— FORTHE PEOPLE ¥OK EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THE AMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY VERHANDELINGEN. VERHANDELINGEN K O N I N K L IJ K E A K A D E M I E WETENSCHAPPEN. ACHTSTE DEEL. AMSTERDAM, C. G. VA]> DER rOST. 1862. ^c-ii^é^-h-h'o^r I GEnRÜKT BIJ yf. J. DF. ROEVKR KRöBER. EXPOSÉ DE LA THEORIE, PROPRIÉTÉS, DES FORMULES DE TRANSFORMATION , DES METHODES D'ÉVALUATION INTEGRALES DEFINIES D. BIERENS DE HJJN. P E E F A C E. Dans Ie supplémeiil u la préface des Tables iTInti'ijndcs déjin'wx, qui constituent Ie Tomé IV des Mémoires de TAcadémie, mentiou a été faite d'un travail, ayant pour origine la nécessité d'une revision critique de quelques formules de ce genre, — et ayant pour but de fournir une base solide qui put nous servir ii décider de la solidité de ces rcsultats. Co travail se com- posait essentiellemeut de trois parties distinctes. En premier lieu se présentaient les principes de la Tliéorie des Intt'grales dcfinies et leurs propriétós, ainsi que la discussion de quelques points sur lesquels on ditlerait d'opinion, ou auxquels, vu leur valeur, on ne prêtait pas une attention suffisante dans la discussion de cas spcciaux. Quant ;\ Fapplication de ces principes, une fois solide- ment ctablis, elle était ou spéciale, en ne donnant lieu qu'a des formules particulières, ou elle devenait quelquefois plus générale, en faisant créer des tliéorèmes généraux, qui pour des supposi- tions différcntes engendraient de nouveau des rpsultats spéciaux. Les premières ébauches de ce travail m'ayant été d'un grand secours dans la revision des Tables mentionnées, en ce qu'elles m'ont conduit aux // Observations et corrections, en partie critiques," qui precedent ces Tables, — je compris qu'une étude plus éteudue dans les trois voies indiquées pourrait bien être de quelque utilité, et qu'elle pourrait conduire a de nouveaux résultats, auxquels 011 nn s'attendait iiuère encore. Par conséquent je résolus de poursujvre ces études, et la résul- tat u'a pas dégu mes espérances a eet égard. En premier lieu il en est resul té quelques mémoi- res et quelque^ notes sur différents points particuliers, insérés dans les Mémoires ou les Comptes- Eendus de l'Académie Royale des Sciences, dans les Mémoires de la Société HoUaudaise des Scien- ces, dans Ie Journal de la Société: n Een Onvermoeide Arbeid, etc": d'autre part je parvins a diverses formules, inconnues jusqu'alors. De telle sorte j'étais :\ même de réunir toutes les re- cherches sur cette partie de l'Analyse dans un seul travail, que j'olfris a uotre Académie Royale des Sciences. Je la remercie de Tavoir bien voulu admettre dans ses Mémoires 11 conviendra maintenaiit de dunner un apergu de mes intentions, et de la maniere dont je m'y suis pris pour satisfairc ;\ re que je pensais être de la plus grande utilité pour mon but. II P E E F A C E. D'après ce qui vienl d'utre observé, ce travail est flivisé eii Trois parties : Pai'tie I. Princijses de la ilu-orie des inlctjrales dcfinies. — qiii en compreml !a theorie et les ptopriétés; Partie II. Fornmles de tran.ifoniiation générales, — dont on trouve Tapplication dans la Partie III. Écaluation des hitégrales défnies, — qui traite des diverses methodes, imaginées et employees dans ce but. En premier lieu j'ai voulu réunir niéthodiquement toutes les discussioiis sur des points spéciaux de cette theorie, lesquelles se Irouvaient éparpillées dans divers écrits, — et surtout je voulais tacher de les déduire des mêraes principes, qui devaient fermer la base de cette theorie: c'est en quoi je réussis au-delti de mes espérances. De la uotion et des propriétés fondamentales des inté- grales définies découlait naturellement iout ce qui se rapportait au changement tant des limites que de la variable indépendante. De plus on en déduisait la différentiatiou de nos fonctious par rapport a une constante: et de ces formules, par un retour facile, on en venait a leur intégration; ayant égard toujours aus équations de condition, lorsqu'il y avait des cas d'exception ou de dis- continuité. Les derniers théorèmes donuaient lieu a trois discussions dilférenles: d'abord sur Tin- vcrtissement de l'ordre des intégrations daus les intégrales doubles; eusuite sur la theorie des intégrales définies a, limites imaginaires; enfin sur Ie théorèrae de EouiiiEii. Ce théorème exigeait par contre une étude de la limite des intégrales qui contieiineut une constante inSnie, et par la, on se trouvait conduit naturellement aux intégrales qui contiennent des fonctions périodiques entre les limites O et od . Ces derniers paragraphes donnaient des théorèmes, dont il fallait faire usage dans les autres parties de ce travail. Quant aux intégrales doubles, il n'entrait nullement dans Ie cadre actuel d'en donuer une theorie complete : seulenient on a traite de ce qui était nécessaire h. notre but. Maintenant il fallait en venir aux applicatious des principes solidemment établis et des pro- priétés déduites dans la Première Partie, — applications, tant générales, autant qu'il en résultait des théorèmes généraux, — que spéciales, lorsqu'on obteuait Févaluation d'une integrale définie spéciale. Or, dans Ie dernier cas il importait principalement de distribuer les diverses methodes suivaut un certain système quant a leur nature ou quant au principe qu'elles représentaient : il ne s'agissait point de la forme, sous laquelle Ie résultat se présenterait. Dans Ie premier cas au contraire, la déduction de théorèmes généraux, c'était plutót la nature du résultat qui devait être Targument de distribution : ici la cliose importante était Ie résultat, Ie théorème acquis lui-raême; la maniere, dont on s'y était pris pour Ie déduire, avait moins d'importance. Par conséquent la Deusième Partie devait être divisée en quatre Chapitres, seion que Ie résultat se trouvait être une évaluation directe, la réduction a une autre integrale définie, ou la réduction ti une série; ou qu'il s'agissait d'une réduction d'intégrales doubles. Dans Ie Troisième Chapitre on distingue les cas daus lesquels les séries se composent de quantités finies ou d'intégrales définies, en réservant pour Ie troisième et dernier paragraphe quelques théorèmes généraux d'une grande importance. Mes recherches me conduisirent a uue nouvelle source de quelques théorèmes bien interessants, quand Timpression de ce Mémoire fut déja trop avaucée pour qu'ils fussent insérés a leur place propre, et Ton devra les chercher par suite dans les deux Additions a la fin de Touvrage. Par des voics diverses on est conduit a .316 théorèmes généraux dont quelques-uns ont une portee P R E F A C E. I" plus i^raiide que les autres. Dans 1'applicatioii pour chaque cas spécial, lorsquon croit pouvoir s'en servir pour révaluation d'une integrale définie proposée, il faudra nécessairement clioisir parini ceux, qui semblcvont être propres a de tels cas : mais presque jamais on ne sera assuré d'avauce que la clieuiiu iiiunora nécessairement au but que Ton désire atteindre. Toutefois ce chemin est aplani de beaucoup, depuis que les Tables d'lntégrales Définies peuvent dispenser du calcul fiual, en gé- Héral Ie plus dilficile et Ie plus iucertaiii, aussitot que l'ou aura reduit l'intégrale proposée ;i nne autre déjii évaluée dans ces Tables. Mainteuant toiis les matériaux étaient dispoiiiblcs pour procéder li Tévaluation des intégrales définies proprement dite. lei Ie champ était bieii étendu et se trouvait bien défriché daus quelques endroits, bien inculte encore dans d'autres. Mais avant tout il fallait Ie diviser en Sections bien clairement limitées : et ici, comme on vient de Ie voir, c'était la nature de ces methodes qui devait servir de guide; ainsi on se voyait conduit naturellement aux sept sections suivantes, ou chaque methode occupe uu paragraphe: Section I, conlenant 5 paragraplies. Methodes directe?. Section II, contenant 12 paragraphes. Methodes qui ramènent ;\ des intégrales définies. Section III, contenant ." paragraphes. Methodes qui ramènent -i des inté<:;rales définies doubles. Section IV, contenant .'J paragraphes. Methodes qui ramènent a des séries. Seclion V, contenant 3 paragraphes. Methodes qui ramènent i\ des équations différentielles. Section VI, contenant 1 5 paragraphes. Methodes pour déduire d'une integrale définie connue d'au- tres intégrales définies. Section VII, contenant L paragraphes. Methodes particulièrcs (qui n'entraient dans aucunc des sections précédentes). Observons en général que la Sixième Section contient nécessairement des methodes ctablies sur les mêmes principes que quelques-unes des methodes dans les sections précédentes, mais qu'ici ce sont pour ainsi dire les methodes inverses de celles-la: qu'ici on part d'une donnée connue pour obtenir un résultat dont quelquefois on ne saurait pas méme présager la forme: tandis que la on tache de ramener uue integrale définie a évaluer a une autre fonction, qui soit connue ou dont on puisse déterminer la valeur, pour obtenir ainsi l'évaluation de la première. Pour 1'application, les théorèmes, déduits dans la Partie Deuxièine, se trouvent distribués dans les Sections diverses, sauf dans la cinquième et la septième, et font toujours Ie sujet de la dernière Methode de chaque section. lis ont pu donner lieu ;\ uu assez grand nombre d'lntégrales définies nouvelles, grace a Femploi des Tables de ces fonctions. Mais aussi par les autres Methodes on a évalué diverses intégrales définies, tant de celles qui se trouvaient déja consignées dans les Tables, que de formules nouvelles. Parmi les intégrales définies connues il se trouve quelques-unes qui peuvent être déduites par diverses methodes ; c'est ce qui a été fait quelquefois, et alors des notes renvoient toujours aux autres lieux de déduction : ainsi elles donnent parfois un exemple frap- pant, cominent dans cette theorie on peut atteindre un même but par des voics tout-a-fait dift'é- rcntes. Ces exempks montrent en outre comment quelquefois les limites couditionuelles, rcsultant de quelque methode, sont élargies par une autre; que telle methode exige nécessairement que quelque constante soit entière, ou positive, ou moindre qu'une certaine quantité, ou en certaine relation avpc quelque autre constante: tandis qu'une autre methode n'a pas besoin de ces conditions. IV P R E F A C E. Enfin, on veira que ciiaque methode ' peut avoir ses propres restriclioiis, mais aussi ses propres avantages. Le nombre des formules s'accroissant ainsi, elles doiinaient lieu quelquefois ii uu traitemeut SLiivant quelque autve methode. Tantöt cette discussiou a été renvovée a la dite méthodR elle- lüême, tantüt elle a été l'objet d'une note, lorsque cela serablait préférable pour abréger les calculs. Les principes de chaque methode étant déja connus par la Première Partie, on u'a pas hésité d'employer quelquefois dans ces notes en cas de besoin des methodes, qui ne sont discutées que plus tard. Toutpfois on a dü observer dans cette dispo>ition que Texposition de chaque methode se trouverait accompagnée d'un assez grand nombre d'exemples, assortis a eet eifet, pour en rendre évidents les calculs, les accidents, les exceptions, les difficulti's, et tout ce qu'il y avait lieu d'observer par rapport a. elles. La conséquence nécessaire d'un tel arrangement, c"est qu'on a dii citer quelquefois, pour en faire usage dans la transformation, des intégrales délinies ou des relations entre de telles fonctions, qui ne sont étudiées ou déduites que plus tard: toutelbis il n'en résulte aucun inconvénient, lorsque du raoins on s'abstient d'employer une telle integrale, dont la déduc- tiou elle-même renverrait a la discussiou en question ; or, dans ce cas on toniberait dans un eerde vicieus, et c'est ce qui naturellement a toujours dü être évité. Dans chaque paragraphe, après 1'expositiou de la methode, vienneut quelques applications; lorsquil y a lieu de faire quelques oi)servations sur des cas d'exception, sur des difficultés a éviter, sur des discussions spéciales, elles se présentent dans le cours du paragraphe, et toujours elles sont illustrées par des exemples choisis. Or, notre but étant nou-seulement de rassembler dans un cadre, logiquement arrangé, tout ce qui se rapporte a la theorie et aux calculs de 1'évaluation des intégrales définies, mais aussi de prendre ces études comme point de départ pour obtenir des formules nouvelles, — il couvenait de distribuer de la meilleure maniere ces recherches nouvelles parmi les divers paragraphes, de telle sorte que d'une part l'évaluation se présentat le plus natu- rellement, et que d'autre part elle put servir en même temps u rélucidation de la methode elle- même. Cette distribution n'était pas toujours assez facile, et il était irapossible de ne pas favoriser telle methode plutot qu'une autre. La grandeur de son extension pourra peut-être servir en quelque sorte a la mesure du poids de chaque methode, c'est-a-dire de la probabilité de son efficacité pour quelque recherche spéciale. A l'e'gard de la disposition respective des Methodes dans chaque Section, observons qu'on a taché de suivre d'aussi prés qu'il semblait possible, l'arrangement de la Première Partie; de telic sorte que les methodes, reposant sur des principes ou sur des propriétés antérieures, precedent celles qui ont besoin de principes, exposés ultérieurenient : aussi en efiet, les premières methodes etaient généralement plus simples que les dernières. Quant II la bibliographie, il faut ajouter ici quelques observations. Dans la Première Partie les Notes servent en général a citer la bibliographie relative au point en discussion. Il va sans dire qu'on n'a pu citer tous les écrivains qui auraient écrit sur ce point: en général on s'est contenté de citer les mémoires ou les notes, disséminés dans les Collections Académiques ou dans les journaux mathématiques ; chacun étant plus facilement en état de consulter pour lui-même les cours de calcul différentiel et intégral, qui traitent sur quelque partie de notre theorie. La uiême observation vaut encore entièrement pour les notes de la Deuxième Partie, ou pour P 11 E P A C E. V cliaquc svstiMiie Je tliéorèiims on ii ché Tauteur oii les auteurs, :\ qui üii en est redevable en son entiei' oii eu partie. C'est aiiisi que j'ai taché de mettre chacuu en état d'aller jiuiser a la source même, et de donner aiusi une esquisse historique de cette partie de 1'analyse. Par rapport a la Troisième Partie on se trouvait déja dans des conditions plus favorables. Car les iiitégrales détinies évaluées étaieut en partie nouvelles, en partie elles avaient déja été recueillies dans ines Tables d'intégrales déiinies. Pour celles- la il n'y avait point de citation a faire, tandis que pour celles-ci les citations se trouvaient déja dans ces Tables elles-mêmes: ou pouvait donc très-bien s'en dispenser ici. Il est vrai que diverses intégrales déKnies ont été traitées au moyen de methodes difierentes par les divers auteurs qui se trouveut cités dans les Tables, et que d'au- tres formules ont été déduites ici au moyen d'une methode différente de celle que 1'auteur désigné dans les Tables avait employee; mais ceci était de moindre importance. La discussion de toutes ces évaluatioiis diverses, ne diflerant parfois entre elles que par des transformations inter- médiaires, aurait exigé trop de place: et de plus elle n'était pas ne'cessaire, puisque dans Texposition des methodes eu particulier on avait recueilli déja des esemples pour cluique traus- formation, qui semblait 1'exiger par son importance. Ce n'est que dans quelques cas pourtaut, quoique peu nombreux, que je me suis écarté de cette règle générale. Les notes dans cette Partie Troisième avaient un tout autre but: elles. servaient soit a renvoyer i\ une autre Methode, oü la même integrale se trouvait déduite 'd'une maniere ditl'érente; soit a exposer quelque transformation intermediaire; soit a déduire quelque formule nécessaire dans la discussion du texte; soit si appliquer aux résultats obtenus quelque autre methode pour en déduire des iutégrales définies nouvelles. Ce n'est que dans Texposition préalable de cliaque methode, ou plus tard dans celle de quelques sujets spéciaux, que les notes en donnent la bibliograpliie, tout comme eek avait eu lieu dans les deux Parties précédentes. Tel est Ie but que je me suis proposé, telle la maniere dont je me suis proposé de Tatteiudre. Dnns Ie commencement de cette Préface j'ai observé que j'eu attendais une certaiue quantilé d'évaluations nouvelles, et mes espérances nont point été troraiiées sur ce point; on trouvera révaluation d'en- viron 1260 intégrales délinies de mes Tables, et en outre d'environ 2130 iutégrales définies nouvelles. Après-coup, lorsque Ie manuscrit était déja en cours d'impression, je reeus deux corroborations de nres idees a eet égard, sur lesquelles on pourra cunsulter aussi Ie "Supplement aux Talles dln- h'gmles jDi'jinies." L'une, dans la Katholische Literatur-Zeitung du 10 Nov. 1856, N'. 45, p. 365, i>i\ il est question des Tables, est aussi concue: //Nicht leicht ein anderer Gegenstand der höhern // mathematischen Analysis ist ueniger geordnel und in der Literatur mehr zerstreut, als die Theorie '/ der bestimmten Integrale . . . Eine wohlgeordnete Darstellung jener Lelire, welche zugleich alle // allgemeineu wie besonderen Resultate cnthielte, wiire eine überaus lohuende Arbeit; sie würde /' nicht nur den Reichthuui der ^letheden, sinnreichen Künstgriffe und der einzelnen Ergebnisse " erkennen lassen, sondern das Ganze erst zugünglich machen, was bis jctzt aus dem angefiihrteu // Grunde für sehr Viele so gut wie unzugiinglich ist. Ob sicli jedoch ein Matliematiker einstmals VI P E E r A C E. // dieser Arbeit unterzielien wird, steht daliin. Selir viel aber ist gewonnen durch die vorliegende // Publication, u. s. w." L'autre, dans Ie Kapport de la Commission des médailles du 3 Juin 1860, de l'Académ. Impér. des Sciences de ïoulouse, contient ces mots: //Ce receuil (les Tables /' d'Intégrales définies) grandira peut-être même au-dela, des e.spérances et de Tambition de son // auteur, si, comme il y a lieu de Tespérer, Ie rapprochement de résultats si importants et si nom- // breux conduit les géomètres tl établir des methodes générales pour les démontrer, et pour mar- //cher a de nouvelles découvertes." J'ose espérer que ce travail démontre la vérité de ces obser- vations, et qu'il m'ait été donné de meltre en relief la richesse de methodes et d'artifices ingé- nieux, apparente dans cette partie de ['Analyse. Quant aux Methodes générales, lorsque du moins OU veut parier de théorèmes géaéraus, la Deuxième Partie pourra fournir la preuve qu'elles sout en grand nombre. Et les uouvelles découvertes n'ont j)as manqué non plus : or, en cas d'une nouvelle édition des Tables cVIntérjrales Béfinies, elle devra évidemment s'en ressentir. Je ne sais si ce travail trouvera un accueil aussi favorable que mes Tables : en tout cas je prie ceux, qui voudront bien l'annoncer et en donner leur opinion, de m'accorder un exemplaire de leur annonce, afin que je puisse profiter de toute critique venant d'un juge competent. Deventer, Mai 1862. 0. BIERENS DE HAAN. S o M M A I R E. Préface Page 1- PARTIE PREMIÈRE. PRINCIPES DE LA THEORIE DES INTEGRALES Dï^FINIES. Coiisidératioiis générales ii 1- (Numero 1.) § 1. Notion et propriétés fondamentales cl'une integrale définie .... n '2- (Numéros 2—16. Notes 1—10. Formules 1-25.) ^ 2. Changement des limites ;/ 13. (Numéros 17—22. Notes il, 12. Fontuiles 24—42.) § 3. Changement de In variable // 17. (Numéros 2ö — 27. Noles iö, 14. Formules 4,";— 46.) ^ 4. DifTérentiatioii d'nne integrale définie u 20- (Numéros 28—54. Notes 15—17. Formules 47-00.) ^ 5. Intégration d'nne integrale définie w ^6. (Numéros 55 — 45. Notes 18 — 22. Formules O! — 85.) ^ G. Invertissement de l'ordre des inlégratioiis dans les intégrales définies donbles // -34. (Numéros 44 — 49. Noles 25 — 26. Formules 84 — 05.) § 7. Intégrales définies avec des limites iniaginaires „40. (Numéros 50—58. Notes 27—58. Formules 96—120.) § 8. Théorème de FoiRiER // 51- (Numéros 59—68. Notes 59—45. Formules 121-144.) ^ Ü. Limites des intégrales définies (^ui contienuent luie constante infinie . „ 04. (Numéros 69—75. Notes 46, 47. Fommles 145—200.) § 10. Intégrales a fonctions périotliques et aux limites O et co .... ti 7... (Numéros 76—78. Notes 48—50. Formules 201—210.) VIII S o M M A I R E. PARTIE DEUXIÈME. FORMULES DE TRANSFORMATIOX (ilÓNKRALES. CoiisidLTatious generales Page S3. (NumOro 1.) Cl:apitrc I. Évaluatiou d'une integrale détinie générale „ 84. (Numóros 2—11. Notes i— H. Formules 1—27.) Ckapitre II. lléduction d'une integrale définie générale ti nne autre fouction de ce genre ,/ 90. (Xuinéios 12—00. Nolcs 12—40. Formules 28—125.) Cliapitre III. Réduction d'une integrale définie générale a nne série . . „ 1.2G. Considérutions générales „ 12(). (.Xiiméro 57.) § 1. Séries de quantités finies v 1-6. (Numéros Ö8— 44. Notes 41—62. Fornuiles 120-150.) § 2. Séries d'intégrales définies „ 135. (Numéros 45 — 47. Notes 55 — 57. Formules 151 — 155.) § 3. Théorèmes généraux ;/ 140. (Numéros 48-07. Notes 58—71. Formules 150-249.) Cliapitre IV. Réduction de quelques intégrales doubles /, 168. (Numéros 08—75. Notes 72—75. Formules 250—289.) Addition A ,i 689. (Numéros 70— 7S. Notes 70, 77. Formules 290—297.) Addition B „ (i92. (Numéros 79—81. Notes 78—81. Formidos 298—510.) PARTIE TROISIEME. KVALÜATION DES IN'TÉfiRAI.KS l)KI''IMES. Considérations préliminaires „ 183. (Numéros 1 — \. Formules 1 — 110.) SECTION I. Mi'THODES DIUECTES. § 1. Methode 1. Déduction d'intégrales indéfinies „191. (Numéros 1—52. Notes 1-19. Formules 1—201.) S o M M A I R É; IX ^ 2. Métliodo 2. Déductioii (rintégrales indétinies. Cas de discontinuité. Page 227. (Numéros 1—9. Noles 20— '25. Formules 202—218.) ^ 3. Methode 3. Par les formules de réductioii d'iiitégrales iudéüiiies . „ 233. (Numéros 1-12. Notes 24—44. Formules 219—272.) ^ 4. Methode 4. Résolution d'une équatioii obtenue „ 255. (Numéros 1—15. Notes 45—65. Formules 275—291.) § 5. Methode 5. Eraploi de formviles de transformatioii „ 272. (Numéros 1—15. Notes 64—75. Formules 292—550.) SECTION 2. METHODES QUl RAMENENT A DES INTliGRALES DÉFINIES. § 1. Métliode 6. Divisinn de la distance des limites „ 280. (Numéros 1 — 9. Notes 76 — 82. Formules 551 — 569.) § 2. ]\Iéthode 7. Changement de la variable „ 288. (Numéros 1—51. Notes 85—104. Formules 570—454.) § 3. Methode 8. Emploi de la formule: P (4 ƒ(.^■jd^• = .T<{a + (;.-«) 9} .ƒ/>,•) rf.r, (O <5<1) .... „317. (Numéros 1 — 8. Formules 455 — 440.) ^ 4. Methode 9. Division de la fonction a intégrer „ 319. (Numéros 1 — 25. Notes 105—119. Formules 447 — 507.) ^ 5. iMéthode 10. Réductiou a mie autre integrale définie au moven de la différentiation par rapport a une constante ,/ 339. (Numéros 1—17. Notes 120—147. Formules 508—561.) § 0. ■Methode 11. Réduction a une autre integrale définie i)ar la diffé- rentiation réitérée par rapport a une constante ;/ 360. (Numéros 1—5. Formule 562.) ^ 7. Methode 12. Réduction a une autre integrale définie |)ar Tinté- gration par rapport ii une constante „ 302. (Numéros 1—4. Note 148. Formules 505, 564.) ^ 8. Methode 13. Réduction a une autre integrale définie par l'inté- gration réitérée ])ar rapport a une constante „ 364. (Numéros 1, 2, Formule 565.) § 9. ]\Icthodo 14. Emploi de l'intégration par parties „ 364. (Numéros 1—8. Noles 149—157. Fornmles 566—579.) X S o -M M A I 11 E. ^ 10. jMéthode 15. Cas, ou dans la ibnctioii :i intégrer il se trouve mie constante, (jui devient intinic Page 373. (Numéros 1—8. Notes 158—101. Formuies 580—018.) ^ 11. Methode 1(5. Cas, oü la fonction a intégrer s'évanomt pour luie certaine valeur d'uue constante ,/ 381. (Numéros 1-4. Notes 10*2-105. Formules 019-024.) § 12. Methode 17. Eniploi de fornudes de transformation „ 384. (Numéros 1—20. Noles 100—187. PVmulos 025— ! 100.) SECTION 3. MliTHODES, QUI RAMÈNENT "a DES INTJiGRALES DÉFINIES DOUBLES. § 1. ÏMéthode 18. Remplacement d'un facteur par une integrale déflnie. ,/ 437. (Numéros 1—24. Notes 188—221. Formules 1170—1225.) § 2. Methode 19. Emploi de la fornude de Eertraxd et de quelqiies autres formules analogues // 463, (Numéros 1—5. Notes 222—227. Formules 1220—1241.) ^ 3. Methode 20. Emploi de formules de transformation „ 467. (Numéros 1 — 4. Formules 1242 — 1253.) SECTION 4. METHODES QUI RAMÏiNENT A DES SÉKIES. § 1. Methode 21. Par Ia définition de l'intégrale définie „ 470. (Numéros 1-5. Notes 228-251. Formule 1254.) § 2. Methode 22. Développement de la fonction a. intégrer ou d'un facteur decette fonction „472. (Numéros 1—15. Notes 252—248. Formules 1255—1285.) § 3. Methode 23. Emploi de formules de transformation ,; 489. (Numéros 1-25. Notes 249—205. Formules 1280—1497.) SECTION 5. METHODES, QUI RAMENENT A DE.S ÉQÜATIONS DIEFliRENTIELLES. § 1. Methode 24. Par une équation diflereutielle du premier ordrc . . ,/ 517. (Numéros 1—7. Notes 204-271. Formules 1498—1500.) ^ 2. Methode 25. Par une écpiatiou difPéreutielle d'un ordre supérieur. // 521. (Numéros 1-6. Noles 272—279. Formules 1501—1508.) ^ 3. Methode 26. Par deux équations difierentielles simultanées ... ,/ 527. (Numéros 1— o. Notes 280, 28 L) S o .M -Al A 1 il E. XI SECTioN ('). MKTHODKs pouK d:éduire d'une intkgraj.k jjéfime connue d'autres 1NTÉGR.ALES U^EINIES. ^ 1. jNIéthode 27. Par voie cradditioii ot de soustraction Page 530. (Nuinéros \—\± Noles t>8t>— 287. Fommles 150U— 1584.) ^ 2. Methode 28. Substitution d'uiie autre vaviable „ 541. (Niiméros '1—12. Notes '288—297. Fommles 1585—1002.) ^, 3. Methode 29. Simplificatioii d'une integrale définie ])ju- raiinula- tion d'une constante „ 552. (Numéros i, 2. Notes 298-502.) § 4. ;\Iéthode 30. Développement de la fonction intégrée et de Ia va- leur d'une integrale en séries, dont les termes généraux eonsti- tueut une nouvelle évaluation „ 555. (Numéros i — 4, Note oOö.) § 5. Methode 31. Sonniiatioa d'une integrale définie par rajjpott a une constante „ 556. (Numéros '1 — 10. Nolos 504 — 514. Formules 1005 — 1071.) § 6. Methode 32. Différentiation par rapport a une constante. ... „ 564. (Numéros 1-8. Notes 515—528. Formules 1072—1081). ^ 7. Methode 33. Différentiation réitérée par rapport a une constante. „ 570. (Numéros 1—10. Notes 527—558. Formules 1082-1711.) § 8. Methode 34. Intégration par rapport a une constante ,/ 580. (Numéros 1-10. Noles 559—549. Formules 1712—1717.) ^ 9. Methode 35. Intégration réitérée par rapjiort a iine constante. . „ 586. (Numéros 1, 2.) § 10. Mélhode 36. Intégration par ])arties „ 586. (Numéros 1—7. Noles 550—557. Formules 1718—1790.) § 11. ]\Iéthode 37. Formation d'une integrale doublé et invertissement de l'ordre des intégrations v 600. (Numéros 1-15.* Noles 558—574. Formules 1791—1842".) §12. Methode 38. Multiplication de deux intégrales définies .... ,,613. (Numéros 1 — 7. Notes 575 — 585. Formules 1845", 1844".) § 13. ^Methode 39. Combinaison de deux intégrales particulières d'une équation différentiellc du second ordrc w 622. (Numéros \, 2. Note 58G.) XII S o -M M A I R E. § 14. Méthoi'e 40. Combiiiaison des iiitégrales de deux équatious diifó- rentielles du second ordre Page 624. (Numéros 1—4. Note o87. Formules 1845, 1846.) ^15. Methode 41. Emploi de formules de transformatiou „ 628. (Numéros 1—19. Notes 588—408. Formules 1847-2076.) SECTIOX 7. METHODES PARTICULlÈRES. § 1. Methode 42. Emploi des iutégrales de Fourier „ 665. Numéros 1, ± Notes 409—412.) ^ 2. Methode 43. ]\Iéthode de C.vuchy. Calciü des résidus .... „ 666. (Numéros 1-17. Notes 41o— 424. Formules 2077—2094.) § 3. Methode 44. Methodes diverses indirectes. „ 680. (Numéros 1-7. Notes 425-400. Formules 2095—2111.) § 4. Methode 45. Par des coiisidératious de geometrie ...... „ 687. (Numéros 1, 2. Note 457. Formules 2112-2115.) Additions et Correct ioiis „ 698. EXPOSÉ DE LA THÉOPJÉ, DES PIIOPRIÉÏÉS, DES EOIIMULES DE TR/VNSEOKMATION, ET DES METHODES D'ÉVALUATION INTÉGRALES DEFINIES. D B 1 E RE N S DE HAAN. PARTIE PREMIERE. PRINCIPES DE LA THEORIE DES INTÉGRALES DEFINIES. 1. Les intégrales définies sont des expressions d'aualyse, de la plus haute importauce pour la theorie des suites et des équations différentielles, ainsi que pour toutes les parties des sciences exactes, OU celles ei trouveut leur application. Mais la theorie en donne souvent lieu a des discussions de nature delicate, et offre quelquefois de graves difficultés. Il est absolument nécessaire qu'on prenne sou poiut de depart de notions claires et précises et quon en connaisse u fond les propriétés et les transformatioiis, avant de procéder a leur évaluation. Nous conimencerons donc dans cette Première Partie par donner les principes de la tliuorie des intégrales définies; dès-lors nous serons eu ctat de déduire dans la Deuxième Partie plusicuvs théorèmes de transformation générale, et enfin nous pourrons passer dans la Troisirme Partie aux methodes trcs-diflerentes entre elles, qu'on a suivies pour évaluer ces fonctions. Dans la Première et la Deuxième Partie on a ajoutc quelques citations de bibliographie sur les j)oints d'analyse en question. Dans la Troisième on a désigné les intégrales déduites, qui se trou- vent dans mes Tables d'lntégrales Définies, Amsterdam, 1858, (Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Tomé IV) par la notatiou T N avec les nombres de la Table et du Numero cités; la bibliographie de ces intégrales-la ny est point donnée, parce qu'on peut toujours la trouver dans les Tables mentionnées. Pourtant on y reucoiitrera quelquefois une iiotice historique au sujet de quelqiie methode. Page 1. MIS- EN NATl'l'KK. VEllH. DEK KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. I. 1. N". 2, o. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, § 1. NOTION ET PROPPIÉTÉS FONDAMENTALES b'uNE INTEGRALE DliPINIE. 2. La, theorie des fonctions, comme ayant pour objet Ie cliaiigeraeut des fonctious variables dépendantes, est basée, d'après ce que l'on sait, sur la formule fondameutale ƒ' (a-) = Lim. ~ , pour Lim. d = O ; (f) qui exprime Ie coëfficiënt diflerentiel f' (x), comme Ie rapport limite entre les changements de deux variables ƒ (x) et x, dont la dernière est considérée comme variable indépendante et dout la première au contraire dépend de celle-ci. Lorsque ƒ (.«) y est connue, cette formule fait trouver ƒ' (x), et c'est-la Tobjet du Calcul Différentiel : l'opération inverse, de déduire la ƒ {x) de f {x), est du ressort du Calcul Intégral, dont la methode est indirecte par la nature même de la formule précédente. Mais quoiqu'il soit impossible de déduire / (jc) directement de f {x), oii alors ƒ (x) serait l'infé- grale indéjinie de ƒ' {x), on peut pourtant approcher de ce but par une methode, qui donnera la base de notre theorie. 3. Ou peut écrire la formule fondamentale de la maniere suivante: ffa;+8)—f(x) s ^^' ^■'■^ + '' '''°" ^ ^•'' + ^^ -/ W = V (^) + 3 f , (+) oü i est supposé être une quantité, qui s'évauouit a la limite zéro de è. Prenons maintenant: X = a , a-|-ö , a + '^i +'^21 ^ + '^1 +^2 + ••• ^^«— 1 > 8 = ^1, 8 1, ('s, 8„ , tandis que les valeurs en suivent comme valeurs correspondantes : substituons ces valeurs rcspcctives dans l'équation (4.), nous aurons : /(« + ''»,)-/(«) = '^ ƒ («) +^'.^. /(« + ^ + h) -/(« + ^, ) = ^. / (« + ^ ) + <5, *, , /(a+ö,+,5,+... + .i„)_/(afd',+i(,+... + ,5,_,) = V(ft^-'^+'^-l-•••+^„_,)+'^«^«• Lorsque maintenant la fonctiou ƒ {x) est continue pour toutes ces valeurs depuis a jusques :\ a + ^1 + ''2 + ••• 4" f*»» °'^ ^ toujours ƒ(« + ^^j) = ƒ (a + ^/j), ou comme ou Texprime quel- quefois ƒ(« + ^/^ + 0) = /;a -|- cfyj — 0) : en ce cas, dans la somme des premiers membres des équations précédentes, toutes les fonctions intermédiaircs s'annullent entre elles, et il reste ƒ (a-|- t>, + t>2 + •■• + ^n) — /W- M^is quand la fonctiou ƒ (a') est discontinue pour quelque valeur de x, située entre ces limites, soit pour a -\- 8p, on u'a plus identiquement/(a + 3;,) ==/{a-\-8j,), c est-fi-dire, d'après la définition de la discontinuité, f (a -\- cS^;) aura une autre valeur, selou qu'on y parvient par Taugmentatiou de l'argument, par exemple du cöté de a, pour aiusi dire, ou qu'on l'obtient par la diminution de x eu venant de a -\- ö ^ -\- 8.^ -\- . . . -^ Ö„: donc la diflereuce de f[a-\-8p — 0} et f{a-^8p-\-0) aura une valeur finie ou infinie, mais en lous cas elle ne s'évanouira Pa?e 2. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRAEES DÉFINIES. 1. 1 . N". O — 5. j)as en gi'nural dans la somnie mentionuce des premiers membres. Excluoiis doiic ce cas pour Ie moment, nous trouvons poui- Ie cas de contiuuité seulement: A présent supposons que ron ait a + ('•"j + ^2 "l~ • ■ • + '"*« = ^) une quantité constante: dès-lors on peut assigner la valeur de la somme des produits 8p tp : car soit fg la plus grande et fp la plus pe- tite parrai toutes les valeurs de f, on aura: f.p(^-, + ó-^ + ... + S„), OU fy(b — a) > ,^| f, -ft'i^f, -)-...-j-ö„f„>f^;(6 — a), par la substitutiou de h — a: or celle-ci est constante, et Ton peut diminuer les valeurs des e et par suite celle de (g et de fp indéfiniment, en en augmeutant Ie nombre : donc les deux quantités, qui euclavent Ie terme du milieu, convergent avec S vers zéro, et ce terme, par conséquent, devieut aussi zéro pour la limite zéro de S. Ou a donc enfin : f{b)-f{a)=Um.[dJ'(a) + S,f{a-\-S,)+...-].S„f{a-\-8,-\.d„-\.... + Ön-i)lUm.S = 0 . (1) avec la condition b — a = ö, -|-ö^-}-... + '^n; (1*) et ainsi nous avons déduit de la fonction f'{x) la difl'érence f [b) — ƒ(«)• elle nV'st plus uue integrale indéfinie ƒ {x), mais clle est riidcyrale dc/inie de la fonction ƒ (.«). 4. Mais ce résultat peut prendre une forme plus caractéristique. Eu cfiet preuons tous les ö ^,d^, . . . S,i égaux a 8, de sorte que l'équation (1) devient: /■(«')-/(«) = Uva.[S{f'(a)+f{a^S)+f{a + 28) + ...-\-fia+[n-l]S)}lb-a=n8,Um.S^0 . (2) Le second membre de cctte équatiou est une somme de termes ^f{x), oü x augmente unifor- mément depuis a jusques ;\ b: or, dénotons 8, comme Ia difTérence de a;, par A a?, alors cette somme h aura la forme Lim. ^ f'[x)l^x: elle exprime une sommation d'une suite de n termes ;\ facteur a /^x: mais comme 8 duit couverger vers sa limite zéro, on peut le remplacer par la notation usuelle dans ce cas, dx, la differentielle de x: dès-lors Ie nombre ?i des termes, qui est —^ — sui- vant (1*}, devient iufini, et les termes eux-mêmes devienneut infiniment petits ii raison du facteur dx, qui converge vers zéro : il est d'usage dans un tel cas de remplacer le signe de sommation ^ par le signe d'intégratiou / , et Ton peut écrire : / f{x)dx==:Um.[8[f{a)+f'{a-\-8)-\-f'{a-\-28) + ...+f'{a+[7i—l]S)}'\]Am8=^0,b—a = n8 . (-3) (/. équation identique, il est vrai, mais dont le premier membre oflïe une notation plus simple de l'iutégrale définie: on dit alors, que la fonction ƒ {x) est intégrée entre les limites a et b. 5. La comparaison des équations (1) et (2) indique, que 1'égalité ou l'inégalité des divers 8, qui tous convergent vers zéro, n'intiueuce pas sur le résultat: et puis elle nous apprend qu'au lieu de la formule (3) on peut écrire: Pase 3. 1* I. 1. N'. o, 6. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, On peut encore transforiner cette expression dans une autre, qnelquefois plus commode. Or, les quantités a, a -f- 5,, a 4* ^i + ^2»---<* + «^i + ^2 + •• • + ^«— i s°"'' ^^^ valeurs que .« obtient successivemeut, en variant de la limite a a l'autre b: nommons ces valeurs successives de x: a;^, «,, x.^...Xn, oü donc x^ = a, Xn = l>, il vie?it i5, = i^ — .i'g, f)., =x.^ — a-, ...ö„=x„ — Xn-i, et 1'équation aura la forme : ƒ 6. De quelque maniere que Ton exjjrime l'intégrale définie, les équations précédentes nous dounent : f{x)dx=f;h)-f{a) (6) ƒ mais seulement daus Ie cas, que f {x) soit continue entre les limites a et b. Maintenaut l'équation fondamentale (t) du Nr. 2 peut s'écrire: df{x)=f{x)dx, qui donue par 1'opération inverse: pour rintcgrale indL^liuie. 11 est nécessaire d'ajouter ici une constante U, puisque la diflerentiation de cette dernière équation, si nous voulons retourner a l'équation précédeute, élimine cette con- stante. Ou ne peut pas trouver directement cette integrale, ni la constante, comme résolutiou du problème posé de détermiuer ƒ [x] a l'aidc de ƒ ' {r] : mais si nous prenous ici successivement a et 6 pour X, la différeuce des résultats donne: f[h)-f{a)^l'f{^r)dx-C-Uy{x)dx~^^ = iy[x)dx-{G-C) = ('7'{x]dx,.{l) équation qui nous raoutre comment d'une integrale indéfinie on peut passer ii une autre, qui a la forme d'une integrale définie, mais oü nous u'avons point pris en cousideratiou la continuité ou la discontinuité de f {x) entre les limites a et 6 de x. La comparaison des formules (7) et (G) nous monfre en eflet, que daus Ie cas de continuité les deux expressions s'accordeut entre elles : mais dans la suite nous verrons que eet accord n'existe plus dans Ie cas de discontinuité ; en effet alors la formule (7) n'a plus aucun sens [1]. [1] Il s'ensuit dciri que Ia distinction d'OilM *) entre une integrale définie numcrique (numeriscli- *) Ohm, System der Mathematik, ïhcil 8. Die Lelire der endlichen Dift'erenzeii und Siiinineii, uud der reellen Fakforiellen und Fakultaten, so wie die Theorie der bcstiminten Integrale. (Nurnbcri;. Koru. IS51. XXVI et 390 S. 8».) S. 247. fgg. Page 4. ET METHODES ü'ÉVALU.VTIOiN DES INTÉGIIALES DÉFINIES. I. 1. N\ 7, 8. 7. Comme des considératioiis de geometrie peuvent être d'une grande iitilité pour doiiner des notions claires et précises, uous allons voir comment elles interprètent les raisoiincments précédents ; elles uous indiqueront au même temps riufluence, que doit avoir ici la discontinuité de la fouction intégrée. A eet effet, retournons u la formule (f) et prenons pour f{x) l'aire de quelque courbe pour des coordonnées recfangulaires, et comprise entre la courbe, l'axe des abscisses x et deux ordounées quelconques y: quand on fait augmenter l'aire d'une quautité très-petite, Ie numérateuv de la formule citée sera un trapèze, oi\ l'un des cotés est courbe, et Ie cöté opposé la partie de l'axe des abscisses dx: eu passant aux limites ce trapèze devient un rectaugle et ƒ' [x) n'est par conséquent autre chose que l'ordouuée. Maintenant (Fig. 1) soit pour une ordonnée arbitraire M»?J, l'aire M A am = ƒ (a) -f C, et l'aire MLZm=/(ö)+C: il vient AL Za =/(i) — ƒ («). Mais lorsqu'on fait croïtre Tabscisse depuis x = a au point A, jusques li x = b au point L, et qii'ii chaque accroissement on érige Tordonnée, elle obtiendra des valeurs f' [x), oü Ton doit prendre pour X toutes les valeurs successives : une telle ordonnée, D d, multipliée par l'accroissement de x immé- diatement precedent CD, exprime l'aire d'uu rectaugle CQd/, et la somme de tous ces ?t rectangles diflêrera peu de l'aire de la courbe, et finira par coïncider avec elle, lorsque Ie nombre n des par- ties de la distance A L devient infiui, et que par suite chaque partie C D converge vers zéro. En d'autres mots, nommaut OB = a;,, OC = j;^» OI' ^'•^"a ••• o'i ^ura: ALZa = Lim. {{x^ _ a) ƒ (a;,) + («, — «J ƒ' (.^•,) + (.c, — *■,) ƒ («3) + .. .} ; et la comparaison de ces valeurs trouvées pour l'aire AL?a ramene :\ l'équation (5), la définitiou de Fintégrale défiuie. Mais lorsque entre les paints p et 5 ou p et q' la courbe a des branches infinies, ou qu'elle y est discontinue, Ie raisonnement precedent n'est plus exact, car dans ce cas il y a un des rec- tangles a sommer, qui obtient une hauteur infinie OS ou OS', et dont l'aire est par conséquent infinie ou du moins indéterminée. Il faut donc passer a, l'exameu de ce cas de discontinuité [3]. S. A eet effet observons en premier lieu, qu'une integrale définie entre les limites a et & peut être divisée a la valeur c de x (située entre a et b) dans deux autres intégrales définies entre les limites a a, c et c a 6 respectivemeut, car il est identiquement : bestimmtes Integral I , rintcgrale de formule (6)) et une integrale définie générale (allgemein-bcstimmtes J a Integrai I , 1'intégrale de formule (7)) est iniUilc, puisque la dcrnière n'existe qii'autaiit qu'elle coincidc avec la première. Decuer *) en pense autrement, puisqu'il regarde l'expression (7) comme la définition véritable de Tiütégrale définie. C'ette déiinition (7) est la primitive, comme elle a été iiitroduite par Ellek : l'autre (6) au contraire est celle de Caucuy f). [2] Voyez Eaabe, Journal von Crelle, Bd. 30. S. 173—177. *) Dechek, Handbuch der rationucllcn Mechanik. Augsburg, Kieger. IS57. 8°. I?d. I. Einleitung. § 42. S. 107, t) Uaucht, Jouiual de rÉcolc Polytechnique, Cali. 19, p. 510. Post-script. p. 190. Pase 5. I. 1. N\ 8, 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, r/(.r)c2x-+ j'f{^)d^e== {hc)-'/(a)] + {f{b)-f{c)} =f^h)-f{a) = if'{,i)dx ... (8) a c a Maintenant supposons que cette valeur c de ^r soit celle, pour laquelle la fonction /(c) devient discontiuue. Alors dans la première integrale du premier membre il faut chauger la limite supérieure en c — p(, et dans la seconde integrale la limite inférieure en c-\-qi: oü Fou entend par i une quantité, qui a zéro pour limite, de sorte que pour cette limite même les deux limites changées de 1'intégrale redeviennent toutes deux la primitive c. On obtient aiusi l'équatiou : f[:v)dx^- f{w)d.c+ /'(x)dx, (9) Lim.f = 0 (9*) Lorsque après Fintégration cffectuée on fait converger la quantité f vers zéro, cette ojKration produit Ie même résultat, que l'on obtiendrait en approchant Ie point de discontinuité des deux cötés, en Ie serrant de plus en plus, et en excluant pourtant Ie point lui-même; tout comme si, dans Fig. 1, OU faisait approcher les deux ordonnées Uw et v\ v' indéfiuiment de l'ordonnée de discontinuité OU de l'asymptote SOS'. ^ 9. Ce que Ton obtient d'après la formule (9), ƒ ƒ (x) óx =f{h) — f{c -\-qt) +/(c — 'pf) — fa), 'a est nommée par Cauchy sa valeur générale. Lorsqu'on y prend p = \ = q, on obtient la valeur principale de Tintégrale définie h fonction discontinue. Mais on peut écrire Téquation (9) d'une autre maniere, c'est a dire en emjjloyant la trans- formation, que nous apprend la formule (8); car on obtient alors, en considérant chaque integrale au secoud membre de (9) comme une difi'érence de deux autres: ƒ ƒ {x) dx = ƒ / {x) dx - ƒ /' [x) dx -\- j f (x) dx - r/{x) dx = /(c) -/(a) +f{b) - ƒ (c) - e—, — f/W'^-r- jy'lv)dx=./(b)-f(a)- rT(x)dx=/{b)-f{a)-A, (10) e— pe c c—ps f{x) dx , Lim. * = O (11) c—pt Cette correction A dans Ie cas de discontinuité de la fonction pour une certaine valeur c de a-, qui doit se trouver entre les limites a et 6 de Tintégration, — est ce que Cauchy appelle une integrale singuliere, quil reduit souvent, a raison de ce qui a été dit précéiiemment, a sa valeur principale en prenant p = q=\. [.3]. [3] Les intugrales singulières, dont Cadchy a fait beaucoup de cas, ont été introduites par lui Jans l'analyse dans un Mémoire du 22 Aout 1814, publié dans les Mémoires présentés a l'Acad. de Paris, Page 6. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 1. W. 9. Peur Ie cas que c coïucide soit avec a, soit avec b on a eucore successivement: A = rfUcLv=f{a-\.q^}-fia) , l f' {.v)dx=f{h)- f[a -\- q,) , Lim. c = O . . . (12) ^ = i'f[x)dx=^f{h)—f{b — pi) , \ f{x)dx=f{b — pi-)—f{a) , Lim.f = 0. . . (13) b — p£ a Mais quand on péuètre dans Ie sens des facteurs p et q, qui constituent Ie caractère de la valeur générale de Cauchy, on ue voit pas une raison suffisaute pour les prendre différents de 1'unité: et la, oi^i dans la suite nous aurons besoin de ces considérations, nous les prendrons toujours tels, c'est-a-dire nous nc fcrons usage que des valeurs priucipales de Cauchy. [4] Tomé I, (Année 1827) page 599 — 799: Mcmoire sur les intégrales dcfinies. Mais dans un Mémoire (iuséré au Cali. 19 du Journal de rÉcole Polytechnique, p. 510 — 592 (du 16 Sept. 1822)), sur l'intégration des équations lincaires aux différences partielles et a coeificients constants, il en traite plus amplement, ainsi que de la définition d'une integrale définie (voir les Observations et Additions). — Consultez encore Ie Bulletin de la Sooicté Philomathique, Nov. 1822 et surtout son Ke'sumé des Leijons doimées a rÉcole Polytechnique sur Ie calcul infinitcsimal. (Paris. Debure. 1823, T. I (seul) XII et 172. Pag. V). Lep. 25, page 97. [4] Tous les analystes ne sont pas de eet avis : voyez Minding, Integralreclinung, Aendt, Grunerts Ar- , . r dx chiv, Th. 10, S. 240. Pour éelaircir ce point, étudions l'intégrale définie 1 t" ~ qui devient discontinue J Q 1 — X pour la vïilciir ;7:=1. Or on a pour i'intcgrale indcfinie les valeurs difFcrcntes: ƒdx 1,1+A' f dx 1 .«+1 „ 1 — x'' 2 1 — X Jl — x^ 2 X — 1 qui se vérifient aisément : la première vaut seulement entre les limites O et 1 de x, la seconde entre les limites 1 et oo . Donc pour x zéro, la première donne - Z— = O et pour .r infini, la seconde donne eneore— ?— ■= 0. Mais comme on peut les représenter sous la forme ; 1 1,1 + .. . ^ ^ "^ -^ - 1 et - 1 , , 2 l—x ^ 1 _ 1 X ces valeurs convergeront vers unc limite identiquement la méme, lorsquc x approche de l'unité, et pour cettc valeur même elles seront identiquement égales, comme provenant d'unc souree commune : par consé- 1 2 quent, bien que ces valeurs soient toutes deux -/— , infinies, la différence en sera nraunioius nulle. Donc 1 . -1 2 0 il ne reste plus qu'a prendre la différence des valeurs de uotre integrale pour les limites O et =o de .r: ces valeurs étant toutes deux nuUes, comme on a vu, il s'ensuit que /"" dx ■ o Pasce 7. I. 1. N'. 10. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 10. Pour toute fonction, qui est continue entre les limites de Tintégration, cette correction s'évanouit évidemment, parce que Tiutégrale singuliere s'annuUe et cela est nécessaire aussi afin que la for- mule (6) puisse valoir. Ainsi par un raisonnement inverse on peut déduire de ce qui préccde un indice cer- tain de la contiuuité ou de la discoiitinuitéd'unefonctiou; car dans Ie premier cas la correcfTon A doit Voyons maiutenaiit ce qui en est d'après la valeur génerale de Cavcuy. Alors on Irouve : \-pt l;/l + l+g^Y_^l;/l + l-p^ 4 \l — l — qfj 4 \i — l-{-p i 4 \ qi / 4 \ pt j 4 v2+5*/ 4 \p f / 4 4 \ 5* (ou en passant :i Ia limite zéro de (e)) 4 4 \p/ 2 p comme valeur générale: d'ou il s'ensuit comme valeur ^)r»iCi))aZ<; pour /*== g = 1,-/1 = 0. J'en conclus, que cette dernière, qui coïncidc avcc Ie résultat (e), est la seule véiitable, et que la valeur générale ne peut valoir. Pour faire rcssortir la nécessité de la prudence, avec laquelle il faut agir dans ces cas de disconti- nuité, nous verrons ce que Plana *) avance sur cette même integrale. Il regarde en premier lieu les formules (n) et (5) comme généralement valables et déduit de cliacune d'elles : /•* dx 1,1+^1 "" 1 1 1 /* J* 1 ,r + l 1, 1,1 1 / \—x- % l~x\ 2 ' 2^' 2 1—x' 2 x—l 2 2—1 2' ' (^) Ensuite, toutefois sans avoir égard a la diseontiuuité, il reproduit nulrc résultat (c) ; r de ces valeurs bien différentes il regarde la valeur (d) comme la seule véritable. Mais il n'est pas permis de prendre dans ces formules («) et (i) x plus grand ou plus petit respectivement que l'unité: afin d'y être autorisé, il faut d'abord qu'on en cliange les valeurs ainsi ; -i —^—■] +C et -n— ^ -I-C,, et dès-lors, a l'aide de chacune de ces formules, on tombera par sa methode sur Ie résultat (c). La raison de cette coïncidence est évidemment dans la circonstance, que pour les points de discontinuité, les deux valeurs de part et d'autre deviennent égales, et que par suite la correction est nullc, comme nous avons trouvc précédemment. *) Pl.vxa, .Touriuil von Crcllc, Bd. 17. S. 1. (S. 21). PoissoN en pensc de mume: Journal de TÉcoIe Polytechn. Cah. 18, p. 320 — 341. Sur les integralcs des fonctions, qui passent par l'infini entre les limites de l'integration, et sur 1'usage dos imaginaires dans la détcrmination des integralcs dc'tinie«. Page 8. ET METHODES D"ÉVy\LUATION DES L\TEGRALES DÉFINIES. I. 1. N\ 10, 11. ètre iiuUe, taiulis que dans Ie secoiitl cas ellc ne sera jias nulle, et Ie plus souvent elle sera infinic- Alors il s'ensuit cucore que néccssairement j /' (.i') dx = ±: x. Ces valeurs de la correctiou dé- pendent naturellement de ce que les produits Sf'(p-\-d) soient flnis ou nou [5]. Dans les cas d'indétermination on peut appliquer les régies de la convergence des si'ries [6]. 11. Jusquici on supposait la fonction ƒ (x) réelle, mais aussi pour une expression imaginaire ie raisonuemeut precedent restera de vigueur: pour démontrer ceci, nous allons déduire la fonnule (4) dans Ie cas d'une fonction imaginaire de la forme (p {ai) -{- iX (x). Alors la fonnule (4.) de Nr. 3, sur laquelle se fondait la déuionstration, devient ici : <}i.v-\-5) — q'{x)-\-i[-/X.v+d) — y{x)]=S[,i,'{x)-\-ix{a;)]-{-8{i-\-i,;), oh ij est pour jr [x] ce que t est pour ip [x). Maintenant faisons successivement : x=a, a-\-8 ^^a-\-8 ^ -|-ö.j,...a-)-ó'i-j-(5j4---t-^;i— 1, t)"=(5,, 3,, ^i^--- Sn » et dusignons les valeurs qu'obtiennent les « et les »/ par f = f,, *., «3,... f« , et 1j=1]^, »/., iii^--- V" 1 respectivement, et nous aurous les équations: [5] DiENGEK, Journal von Crclle, Bd. 38, S. 266. — Voyez aussi Schlömilch, Gruuert's Arcliiv. m. 11. S. 63. [6] Appliquant a réquation (3) les regies pour la convergence des séries, trouvces simultanémciit par Ra.\be *) et DüHAMEL f), on obtient avec Ossi.vN Bonket §) la régie suivante: Pour savoir si l'intégrale définie I J(:r)clx devient iufinie ou nou, lorsque pour un c, situc entre « et Ja h. on a ƒ (c) = «5 , il faut 1'. calculer les valeurs ^)j et r^i des expressions (c — x)'~-/(r) et (c — x)f{x) iou t est une quantitc positive, aussi petite que I'ou voudra) pour .r == c. Alors l'iütcgrale est finie, si ;>, <:^<», et elle est infinie, si 5, '^0. Mais 2'. si ;), == 00 et (/j = O, il faut calculer les valeurs 7), et q^ des expressions pour X = c. Lorsque ;)j e%i <:^ m , l'intégrale est finie, lorsque q^ est "!> O, elle est iufinie; et lorsque 3'. p^_ = a^ ti q„ ■= O, il faut calculer les valeurs p^ et 53 des expressions pour .ï=c. Lorsque ;), est <^ oo, l'intégrale est finie, lorsque «7 j est ">• O, elle est infinie; et 4'. lorsque ;?3 = « , et 93 = 0, il faut eontinuer de Ia mème mani^re. *) Kaabe, Journal von Crellc, Bd. 11. S. 309. — ld, Journal do Lioiiville, ï. 6, p S.'j. t) DuHAMEL, Journal de Liouvillc, ï. 4, p. 214. §) O. BoKNET, Journal de Liouvillc, T. 8, p. 73 Page 9. WIS- EN KATLUKK. VEIIH. UEll KOMXKL. AKAÜKMIE. DEEL VITi. }. i. N'. 1 I, 1:2. TüÉOiUK, PUÜPUiÉTES, F0R3IULES DE TRA\SF0RJIAT10.\, ,jf,(a-f-,5,)— ,,(a) -\-^['/.[a+Ö ,)—yXa)] =(5,[i'(a) +!Z'(a)] +. Mais de ]a iiotioii d'une fonctioTi imaginaire il suit d'abord que la continnitó en dépend de la coiitiuuité de la partie réelle et de la partie imaginaire séparémcnt; par conséquent dans Ie cas de continuité Taddition de toutes ces équations nous donnc : ,^(a+^-, + ... +,5„)_,p(a) + t[x(a + 5, +... +,5„) -Z W] = ^\ 'f'(") + S, >l'{a + S,) f .. + (')■, é, 4-5j *2 + . . . +«l, fa + i [5, »/, +<5, Vi-i- ■■■ +<^" '/"]• Le raisoiuiement de Nr. 3 donne ici tant S^ f, -{-S.^f^-\-...-\-(),if„=-(), que i5, e;, +i^-,';2 +-'- + '5«'/'i=^''^'- De plus, suivant la supposition et les notations de Nr. 5 on a: y {a + ö,-\-... + 8„) + ix(a-\-Ö, + ... + S,,)] - [.p fa) + i y (a)] =■ / ' [,j' (.r) + i y {oc)\ dx = a ^ Lim. \8, ,,' («) + (r, ,7/ (a + .5, ) + . . . + cJ, ,^' (a + .5, + . . . + «!„_i)] + tLim.[^, Z'(«) + <52zVa + ,^,) + ... + ö„z'(«+'5,+.-- + <5,_i)], (14) formule, tout-a-fait analogne a la formule (+), tt d'ou rusulte tont le reste du raisonnemeut. 12. Ce qui précède peut suffire pour établir iine iiotion clairc et précise de l'intégrale définie ; maintenant déduisons de ces principes quelques propriétés génerales de ces foiictions. En premier lieu nous déduisons de la formule (o) que kf{x)i\£=i\ \j{x)dx (1.5) {' kf{x)i\£=i\ j pour un A coustaut, puisque Fou peut le considérer comme facteur de chaque terme et par consé- quent comme facteur de l'expressiou entière. Évidemment cette même équation donne encorc: ƒ [A (•'-•) +ƒ, (-'■) + ••■] dx - ƒƒ, ix)d^-\- ƒ A {x)d.v + ... , (10) fi a 't d'oM, par combiuaison avec la précédente : j [A , ƒ , (.1-) + A , ƒ, (x) +-. . . J ,^.r == A , ƒ ƒ , {x) dx + A^ j'f^ (x)dx + (17) Enfin Fextension de la formule (8) nous donne pour a ^ O'), on a, supposant que / (x) ue change pas de signe, laissant ce sigue hors du calcul, OU plutót Ie supposant positif: I 'I {9)A^¥^^ > ƒ ■; [x)f[x)dx-> (^ ip)f(x)dx, ou .1 ig) ïy[f)dx > ƒ ,, {x)f[x)dx >., (p) ƒ ƒ (.r) dx ; a (i a a a 'a d'ou, pour uue ceitaine valeur h de :r, située entre g et p, I q (x) f(^.r)dx = q (/i) I f{x)dx. (t a Cette valeur //, située entre g et p, tombe donc aussi entre a et b\ et par conséquent on peut l'exprimer ainsi : h = a-\-Q{b ~ n), pour un e quelcouque plus grand que ;;éro et au-dessous de runité: de telle sorte on obtient l'équation (19), pour Ie cas de ƒ (.f) toujours positive: quaud au contraire elle serait toujours uégative, on n'aurait qua changer Ie sigue des inéquations dans Ie rai- soniiemeut precedent, qui nicuerait toujours au mêine résultat. f' /■' Suj)posn;is-y ƒ(■?■) = 1, i! vieiit I f{x)dx = ƒ dx = b — a et par suite: On ptitt exprimcr la valpitr d'njie irdêgrale d.'jinie ainsi: ƒ,,(,,) rf.r = (/--«) .^[a + O (i-«)] , 0<^<1 (20) ce cjui veut dire cu langage de geometrie: une aire ALla (Fig. 1) est egale a un rectangle, dont la base est A L, la portion analngue de Taxe des abscisses, et dont la hauteur est quelque ordonnce intermediaire entre la plus grande et la plus petite, que la courbe comporte entre les limites a et b. li. Un théorème d'Abei. [7], concernant la convergeuce des séries pcriodiques, donne encore dans notre theorie une application, qui ne manque pas d'iuterèt. Le théorème cité s'éuonce ainsi : Lorsqu'on a n quantités réelles p,, /'^ — pn, et encore n autres quantités 9,, q^ — qn, qu:, toutes d'un même signe, sont de valeurs numériques successivenunt dccroissautes, et de plus que pour cliaque valeur entière de n entre O et ti: [7] Abel, Journal ron Crelle, Bd. 1, S. 3U. Faf^e 11. 2* I. 1. iN'. \A, 15. THEORIE, PIIOPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOX, A,+Pj+--- + ?^« (x) augmente continuellement depuis x = a vers x = b, et dans les mêmes suppositions que précédemmeni, on a Vinêqnalion : Arp(i.)< tf{x)f{x)dx) (0) sont finies et que les /(^') {x) sout continues pour toutes les valeurs de x, qui tombent entre les limites a et 6 de x. Ainsi nous avous encore : ƒ1' fi' (f' f'(Q) /"* f{x)(p{x}d.v=f{0) j ,t(x)d.v + f'{0) I cf{a^)xdx+-'^ ƒ q{x)x^dx-\.... a a II a a a Ce résultat deviant d'un intérêt spécial, lorsque pour la dernière integrale on a: [8] La démonstration en est t'acile, car d'aborJ on a A ^i {x)fK»){Ox)x»d.v = O, Lim.»t= -jd (23*) a Cai' alors pourtant la séiie précédente peut être considcrée comme uiie série iiifinie, tandis qu^elle doit couverger nécessairement en raisou de la condition (23*), que Ie resle a zéro pour limite. On a doiic : i\f{x) T (..) dx = J/(") (Q) y- j X" ,r (^, )dx [10] (23) pour Ia relation cherchce. 16. Observoiis encore qu'ii est quelquefois nécessaire dans les trausformalious d'iutégrales défiuies, d'introduirc une autre variable: mais quaud uiie fois cette trausformation a eu lieu, on peut remettre pour cette nouvelle variable y, z, ou quelle qu'ellc soit, la variable priraitive x: or il suit de Téquation de défiuitiou (6), que la valeur d'une integrale définie dépend seulement des liinites a et b, mais uullement de la variable x, et par conséquent on peut la changer sans que cela ait aucuue inÜueuce sur 1'intégrale définie elle-même. Ou ne doit pourtant pas perdre de vue qu'il s'agit ici d'intégrales définies, puisque a 1'égard des intégrales indéfinies il n'en est plus de même. § 2. CHANGEMENT HES LlMlTES. 17. Dans la formule ('S) de Nr. 8 prenous 6 = a; l'intégrale dans Ie secoud membre aux limites a et a s'évanouit, et nous aurous, eu ccrivant désormais / [x) pour ƒ' {x) : jy(x)dx = — ƒƒ(,<■} dx- (u) c a ce qui nous apprend a invertir les limites. Maintenant dans l'intégrale | ƒ (a;) rfj; substituons s = — x; alors: dx = — dz; et les limites a a ei h de x donnerout pour limites correspondantes de z: — a et — b: on trouve dès-lors : j f{x)dx= n'(_c)(-rfe) = - j~f{-x)dx= rfi-^)dx (:iö) a — a — a — i par 1'emploi de la formule (24); et nous avons la règle pour clianger Ie signe des limites. 18. Pour a zéro cette dernière donne : tf(x)dx- rf{-x)dx==Q (25*) "o — i [10] DiENGEK, Journal von Crelle, Bd. 38, S. 266. Page 13 i. '2. N\ 18, 19. THEORIE, PROPRIÈIÉS, FORMLES DE TRAXSFORMATION, Dans Ie cas de ƒ (.«) = — ƒ( — .«) elle produit la formule: lf{.r)dx+ r/'(.T)c?.r= if{x)dx=^^) (2G) •'o ^- b -6 J'après forinule (8). Au contraire daus Ie cas de ƒ (.t) = -j- ƒ ( — x) elle douiic: lf{x)dx=^ ïf{x)dx. -h -o [b Ajoutez (Ie part et dV.utre j f{x)dj; et il est: 'o j f(x)d.v^ i\f[x)dx= lf{x}dx = 2Jfix)dx (:27) — 6 'o —i "o De ces deux formules la deriiière vaut par conséquent pour uue function paire, c'est-a-dire, qui ne change pas pour uu x iiégatif; la première au contraire pour uue foiiction impaire, qui change de sigue avec la variable x: au premier getire appartieiincnt i)ar exemplc les fonctions .?;-", Cos. er ; au dernier x-''+^. Sin. x, Tang. x. .«. S„,„«,„. .„. + . ..„3 ,,..,4.».= ƒ/(,.) „ ,.,. .-C a et b — O pour s correspondant aux limitcs « et t de x, on obtiendra: r/{x)dx= j flv + c)dx (2S) f{r-\-a)dx, ii9) OH l'oii a tout de suite substitué x II :. Pour c <= a elle change ainsi : j''f(x)d.v^ r a -O la formule pour réduire wie des limites a zéro. En outrc on peut se propnser de rcdidre les limites a et b aux nouvelles O c< 1 : IMquation (:J9) i;e pourrait scrvir a eet cflet, a moins que par hasard la diilerence b — a ne fut cxactement runitc: inais pour y parveuir on peut agir ainsi. Supposez x=p-\-qz, d'oü dx = qdz; pour limites de s on obtiendra successiveinent leséquations 6=/) + ^5,, d'ou puisque c, doit être l'unité, b^=p-{-q: encore a=p-\- g^^^ O"' puisque s^ = O est Ie résultat désiré, a = p: donc encore q = b — p = b — a. On trouvc donc x=a-\-{!> — n) r, et enfin: I f(x) dx = [b-a) (f {« + (b - a) x] (30) Au contraire, pour réduire les limites a et b aux nouvelles O et cc , il faut svq)poser ^'~P 1. ~ P+?- (9 — P}<:1- "• — P z= - d ou .r = — — — et dx = --. Alors on a successiveinent, pour x = a,z. =0 = , q-X 1-f-s (1+5)' q—C- Pasre J4. ET METHODES DÈVALUATiÜN DES INTÉGRALES DEFINIES. 1.2. N'. 19/20. douc a — p — O, et p — a: et pour a; = 6, 5^ = ao = — , d'üu q—b = 0 , q^b\ tout ccla nous doniie: • /-'J . r la-\-hx\ dx j,fOr)ü. = (^-«) j( / (t^ ) ^T^i ; C-^^} d'oii, poiu- Ie eas sjn'cial de a = O, i == 1 : //w.'x= /"/(-^.jj^^^^jLU] m 'o o 1 —dy, Substituons eiicore daus les seconds membres de (31) et de (30) « = -, doiic dx = — , alors y y- les limites de y seront respectivemeut x et O, co et 1, et il vieiit: [Ij r lax + ^\ ^-p |/(.)./. = (^-a)jy(-^)^^-^ (33) a O /■^ I a .r -{- b — a\ dx düut la première remplit Ie même but que la précédeiite (3J), et dont la dernière nous apprend a rédiiire les limites a et b aux autres 1 et co. Afin d'obtenir les limites O et -, on peut daus la Ibrmule (30) supposer x — Sin.i/, &'o\\ dx = Cos.y. dy avec O et - tt pour limites de 3/; ou bien x = Cos.y, d'ou dx -— — Sin. y. dij avec k-s limites - et O de j/ (la substitution de x = Sec y ou de x = Cosec.y dans (34) mèaerait aux dx mêmes résultats.) Taisons cncore dans les formules (31) et (33) x = Tang.y, d'ou dx = ^ — Cos. y et O et - TT les limites de j/ (la substitution de x = Col y dans ces deux formules donnerait la niume integrale). Alors nous aurons: I f{x) dx = {b— a) 1 f{a + (b—a) Sin. x} Cos. x. dx = (b—a) j f[a-\- (b—a) Cos. x] Sin x. dx = ■a *0 'O n^ , (a-\-bTang.x\ dx Ti^ ^aTang.x-\-b\ dx = (-«)/ ^\i^Tang.x](Suüx'-\-Cos.xy'~^ '""'] ' \l-\-Tang.x} (Si7i.x'-{-Cos.xy- ' ^' ' o o 20. Voila les reductions principales des limites générales a et b ;i d'autres limites plus ou moins spéciales: toutefois dans la suite il s'en présentera encorc d'autres, en conséquence des [11] Legexdee, Exercices de Calcul Intégral, Partie 4, Section 2, p. 13U, Pacre 15. 1. 2. N\ 20^ 21. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, substitutious de nouvelles variables. On peut augmenter ces résultats, eu doniiaiit ;\ a et 6 des valeurs spéciales; et ds telle sorte on obtient les formules pour reduire les limites O et c« aux autres O et ], et ainsi de suite. Pour cette deruière réduction pourtant, des limites O et oc aux limites O et 1, iiovis indiqueroiis uue methode assez curieuse. En vertu de la formule (8) on a : rf{x)d:e= jyi^)(hv+ i f{x)da: o 'o 'a Dans ia première substituez x = ay, dx=ady et O et 1 pour limites de y\ elle devient par conséquent : ƒƒ(.,...„ƒ/,««,«. (.0, o o Dans la seconde au contraire prenons x = -,dx = et 1 ot O pour limites de y; il vient : IJ u- j f{x)dx = a f /(^"j ^' ; (37) 'o o ƒ f(x) dx = a Pfiax) dx + a ƒ ƒ (-] '^ = a T [f{a x) + ~/ f^jj dx ; [12] . (3S) et par conséquent o oü a represente une quantité quelcouque positivc 21. On peut encore dans l'intégrale I ƒ (,r) dx diminuer la dUlaw.-e des limites. Car on a d'après (8) ; 'o rf{x)dx= l'y{r)dx+ i"f{x)dx- o "o {a dans la dernière, soit x = a — z, dono dx = — dz, taiidis qu'aux limites - a et a de x correspondent - a et O de s: par conséquent: ƒƒ(.») dx =- j^fix) dx — j f{a—x) dx = ƒ'ƒ(.») dx + j'/ia—x) dx = ('[fix) +/(a— •«)] ^-^ ■ i-i^) o o ia ■() "o O OU les réductions successives montrent assez clairement de quelles formules nous avons fait usage, pour nous dispenser de les citer spécialement. On a reduit la distance des limites a leur moitié, et 1'on pourrait continuer de la sorte; mais il vaut mieux considérer ce problème sous un point de vue un peu plus géncral. Car d'après formule (18) on aura, supposant a = nh-{-c: [12] LEfiEXDKE, E.xcrcices de Caleul Intéo-ral, Pavtie 4, .Scction 2, p. 120. Pasre 16. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 2,0. ^'^ 21— '25. ra fb f^b [nh fib^c jf{.r)d.v^- jfUc)dx-\- j f(.'r)d.v + ...+ j f (t) dj- + lj{^v)dx. Muiiücnant dans les n-fl iutégrales au second iiaembre supposons successivement o: = «, —e-\-b, =..., = z-\-[n \]b,= 2-\-nb:a,\ois pour lesn— 1 premières les limites correspondautes deviendront toujours O et b, et seulemeut pour la dernière O et c ; de plus, on a partout dx =dz. D'après la formule (I6j on pourra doiic réimir les n— 1 premières iutégrales sous un même sigiie d'intégration, et il viendra : r/(,r)c/^= t\f{j:)-\-f[x+b) + ...+f{x+[n-\]b)\dx+ C'f{x + nb)d.r; . . (40) ^0 'o o 011 ciicore, par l'euiploi de la Ibrmule (39) : fa rhb C'^ \f\x)dx^ j [f{a;)+f\b—x)+j\b+x)+f{9.b-.v)+...+f[[n—]]b+x]+f{nb—x)]dj-+ j/{j+nb)dx . (-11) •o o '^ ... Po„ .-„.Vale ƒ/(.).. o. .. .V^, 1» to™«MS). — a jy{x)dx= i\f{.r)dx^ ("fxdx; ■— a — a "o dans la première integrale du second membre soit x^ —z, dx= —dz avec les limites a et O de £, il vient : /"ƒ (.r) dx = - ƒ ƒ ( - x) dx+ ƒ ƒ (^0 dx = ["/(-.v) dx + j'fix) dx = j [/(^)+/(— ^'j] ('■'; et ainsi pour chaque maximum ou minimum passé. 26. Mais ce n'est pas seulemeut pour des racines réelles qu'il fout instituer cette division de la distance des limites: il en est de même pour une paire de racines imaginaires, parce qu'elles aussi iudiquent Ie passage de la variable par un maximum ou par un minimum: et négliger un tel maximum serait omettre une portion de la fonction u intégrer entre deux limites égales, mais qui, séparées par un maximum ou un minimum, revieiment ;\ une autre integrale partielle, lorsqu'on efiectue une division convenable. 11 s'ensuit encorc que ces maximum ou ces minimum, qui se prcsentent dans Ie cas de l'intro- duction d'une nouvelle variable, ne donnent sujet ii aucune recherche, lorsque les valeurs corres- pondantes de la variable primitive ue sont pas situées entre les limites de rintégratiou ; puisque alors évidemment on ne courra aucun risque de négliger quelque partie iutégrée entre ces limites. Mais jorsque que!qu*-uns de ces maximum ou de ces minimum donnent lieu a une valeur de la variable primitive, comprise entre les limites de son iutégration, ou qu'ils tombent dans Ie cas, que Ton vient d'examiner, il faut absolument diviser la distance des limites pour chaque valeur de la variable primitive, correspondante a ces valeurs spéciales de la variable nouvelle [13]. ■27. C'est ici Ie lieu d'insérer une remarque relative a Ia substitution d'une variable imaginaire, bieu que Ton y doive anticiper sur des considérations ultérieures. Soit une integrale : I rpf(pj)d,; (4.6*) et p une constante réelle ou imaginaire, telle que fypr] reste continue entre les limites de Tinté- gration. Alors on peut supposer px --^ ij, d'oü p dx = dy ; et encore la limite O de x donnera ü pour limite de y ; mais, quoique a la limite xi de x corresponde la limite oo de ij, lorsque p est réel, il n'est pas évident ce qui en est dans Ie cas de p imaginaire : c'est-;\-dire, ia formulf . I = ffi'j) 'h (46) o n'est évidente que pour un p réel. [13] ScHLöMlUH, Grunerts Archiv, Th. 18, S. 391. Pacre 19. 'i* I. 3, 4. i\'.27, 28. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Dans Ie cas d'uu p imaginaire, difFérentions la formule (46*) par rapport ap; d'après ce que Jious appicnd a ce sujet Ie § 4 suivantj il vieiit: dl f^ JZ'^ I {f'^P ''■) + Pf {P *■) *} '^•^' OU, lorsquon ajjplique au dernier terme l'intugration par parties (voyez Ie Nr. 41 suivant) : ƒ pf {p-c) ^dx= j X. d.fipa^ = xfipA — j fipx) da-, o o o "o et doDC par la substitution de ce résultat daus Téquation précédente : J'^ f f^P^^ ^-^ + ^f(P^)\ — I f^P^^) <^^ = ^/(PJ!)] ■ 'o 0 0 o Or, d'après la suppositioii, inflp. 0), iii f{p.x) ne deviennent infinies: par conséquent il est xfipx), pour .V zéro, 0./(p.0) = 0. Supposous encore que pour x infiui la valeur aof(^p. oc) de xf{px) s'évauouisse en même temps, nous en tirons , - = 0; c'est-a-dire, que l'intégrale 1 est indépeudante de p. Lorsque encore parmi les valeurs de p, qui reudent continue la fonctiou fipx) entre les li- mites O et cc de x, il se trouve la valeur l'unité de p, il y aura évidemment identité entre les deux expressions (46*) et (46). Par conséquent on se trouve conduit au théorème suivant: Lorsque on sait qu'une fonction f(px) reste continua pour les valeurs de x'entre O et oo, que Ie produit xf[px) iannulle pour x injini, el que la valeur Vunilé de p satiafait a la premiere condition, Vintégrale \ pf(px) dx est indcpendante de p, que cette constante soit réclle ou imaginaire, et elle peut étre remplacée par l'autre plus simple lf(x)dx. [14]. ^ 4. DIITÉRENTI.VTION d'üNE INTliGRALE DÉï'INIE. 28. Considérant une integrale définie, sous la foroie la plus générale ƒ R f{Q,x)dx, comme uue fonction des frois quantités, r, E et q, on peut se proposer Ie probième de la diflereii- tier par rapport h, une de ces quautités séparément, oii alors les autres peuvent se présenter comme [14] Caucht, Comptes Rindus de l'Acad. de Paris, 16 Oct. 1848. — Raabe, Journal von C'rcllc, Bd. 48, S. 160. Pase 20. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 4. N'. "28. coustaiites par rapport h, celle-ci, ou comme dq)eiidai)fes dn cette quaiitité. Commeiicons par la derniure supposition, qui est la plus générale, et preiioiis dans Tintégrale précédente q comme Ia quantité par ra2Jport a laquelie nons voulons la diflerentiir, tandis que les liinites »• et II sont censées dépeudautes de q : alors Tintégrale, comme fonction de ^i, peut se designer par F (o), et l'oii a, en s'arritaiit aux différeutielles premières par rapport u q : f^-^p'"' c d.fi<,,x) ) /■''(■ (/./To,i-) 1 r iQ + dn)=. j h-{o,T) + --—-^ 'i Q\dx== j !^f{Q , .,■) + -^^ dn\ dx + R "i- oh Ton a employé la formule (18). Dans la dernière integrale substituez x = ij -{- r, dx=dy, dr avec O et -y-dq comme liraites de y; et dans ravant-derin'ère de même .r=c-}-Il, rfj = t/i avec J T> les limites O et -,^dn de ^ ; alors la somme de ces deux intégralcs devient : d(j j'^''[/(c.^ + RJ + '-^'^^'; + ^^ d^dx- ji" lf^,,. + r) + '-f^^^d,]d.r. o o Mais dans les deux intégrales la distance des limites est une di Herent ielle; dans 1'emploi de la d R dr formule (3) il faut done se contenter du premier terme; pour a zéro et b= -j—dQet = '^^dg respectivement, elle donne pour 1'expression précédente : dB, f, d-f{Q,'R) 1 dr i d.fh.r) ■. — cio [/'(e, R)+ -'^./yj- -rf? [/•((,,,•)+ -~^d>^ [b) Substituons ceci daus réipiation {a), soustrayons-cn l'intégrale primitive ¥ {q) = j f [q , .e) dx et divisons par dg, nous obtiendrons; VU>+dQ)~-E{Q) t^d.fi(>,:v) c/R dr td,r\o,ll)dR d.f{G,r)drl — ~Tn = / ~:^ — '^•«+/(c'.R) — —ƒ(('.'•) 7^ + 1 -—, — T"— —. — -v\dQ- aq j üQ üQ a Q *■ dQ üQ üQ dgi Or, daus Ie raisonnement. qui a coiiduit ;i la formule (a), on a négligé les difl'érentielles supérieures a la première: ici donc, aprus la division par d(>, on doit négliger Ie dernier terme a facteur dq, ou plutut ce terme s'évanouit nécessairement pour la limite zéro de dq. Eu outre Ie premier membre de Téquation j'récédente est — j-^ ; par conséquent il vieut : d.I'iQJ d. /-H f^d.fiQ,x) ^ dR ^ dr — =-j Jiq,x)dx=^j -^dx^fi,,R)---A,,rJ~; .... (47) ce qu'il s'agissait de trouver. Page 21. I. 4. N'. 29, 50. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 29. Le cas général, oii la foiictioii intégrée et les deux limites dépendent toutes de o, comme nous venons de supposer, comporte quelques cas spéciaux. Ainsi en premier lieu il se peut que la fonction ne dépende pas de (j; alors elle devient simplemeut ƒ (a'), et l'on a: dU dr = /(e,R)---/(o,r)-- (4S) dn ClQ Lorsque encore r et R sont alternativement indépeudants de o, on en déduit ; — / f{x)dx=^f[\l)-^ (49) dQ \ " óq d. f dr -- f{^)dx = -J(r)~ (oü) u (> I dn ■'/, Lorsqueau contraire ce sont les limites, qui ne dépendent pas de e, tandis que cette lettre entre seulement dans / (ji , a;), il vient : J- / /(CSA-)<^A' = 1 --f^ — dx (ol) a a 30. Les considérations précédeutes nous apprennent, que le second niembre de la formule (47) cousiste de trois termes, que Ton retrouve séparément dans les formules (51), (49) et ^50). Mais on peut encore déduire isolement ces trois formules, et aftermir ainsi les résultats obtenus: en même temps cela donnera lieu a quelques remarqucs. En premier lieu, dans TintégraleJ ƒ (.») dx faisons croïtrc la limitc K, d'une dillerentielle c/ 11, la formule (3) nous donnera succcssivement : ' f[x) dx = Lim. [.5 (ƒ (a) + ƒ (a + .^) . . . i-/\a +[«-!] <5)} ], ƒ ƒ f{x) dx = Lim. [Ü {/» + ƒ (a + <>)+...+ ƒ (« + [n - 1] <^) + ƒ (a + mï;} ] ; et par conséquent f{x)dx- l f(x)d.v - ^- [^\-r ^ , Lim.<)/(a + n.)) ., , v, .,p, — -^^ -d^r ^'^ ^ ~dR^o - = '^""- -^('^ + " '^ =-^^^^' puisque (iR peut être considérée comme étant le S de formule (3), et de même a-|-74(5 = R. Ce résultat n est autre chose que la formule (49) : car, si R dépendait de quelque autre quantité e, ou aurait dB, = -i—dq, et, en multipliant de part et d'autre par -r- , on retrouverait la formule citée. Mais encore on peut écrire 1'équation précédente de la maniere suivante: ^R+: prenons la diflerence des deux équatious et divisons par dQ pour obtenir: , X) A? / Aq dx. Quaiid maintenant nous passons ;\ la limite dg de A (.'i nous avous d'après la formule fondameu- tale de jVr. 2; = ]jim. / d.r. I l'> / Ac Mais Ie théorcme "éiu'ral de Taylok nous doiine : /7 I A ^ .7 ^.M^A ,AV(?.^)Ae' /(e + Ao,^-) =/((', ■^•)+ ^^ A(? + — -^— +...: donc aussi, en passant en même temps i\ la limite dans l'équation précédeutc : do j { dQ ^2 dQ^ ^^1 J d(, 2 / d(>^ a a a Par conséquent, aussi longtemps qne la dernière integrale reste finie, son pvoduit par d{j est zéro, et l'oii retrouve la formule (51). Mais lorsque cette inti'grale devieut infinie pour quelque valeur p, de .7' (entre les limites a et h), alors en faisant x — (), ^ d(t = 5, l'expression . = -Lim.-T f'-''^^Mill)^,,Li,.^_0, (52) 2 j c?(.» la seule partie de rintégrale qui ne s'annulle pas, et qui puisse acquérir une valeur ditiereTite de Page 2.S. J. 4. N'. 50 — 3Ö. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, zéro, est uiie integrale singuliere, exprimant la cnrrection qu'il faut ajouter a Tiutégrale (51) et par conséquent aussi u l'intégrale (47) dans Ie mêine cas. ol. Reuiarquons enfiu, que de ces trois formules (49), (50), (51), que uous venous de dé- montrer isolement, on peut remonter ti 1'équation générale (47). Car l'intégrale F (q) est uue fonction de R, r, et q, ou q est pris pour la variable indépendante dans la diflerentiation : maïs la diffé- rent iation partielle donne : dF ldF\ ld-F\ dB. !dj\ dr dn^\TQJ^\dRj dQ'^\drj dQ' et comme les coefflcients différentiels sout exactement donués dans les équations citées, on peut les y substituer pour retrouver ainsi la formule (47). Cette opératioii, et surtout celle de la formule (51), qui se présente Ie plus, est désignée comme la différentiation sous Ie signe d' iiitêgration par rapport a une constante, ou bien comme la variation d^une constante de l'intégrale [15]. Leibnitz l'appelle une differentiatio de curva in curvam, [16] et cette expression s'expliquera dans la traductiou géométrique des discussions précédentes. 32. Soit (Fig. 2) OA=r. ()L=R et l'aire ALZa l'intégrale detinie jf(Q,x)dd: Faites varier la fonction ƒ (o , .r) par rapport a q; alors cette aire deviendra AL?. « et s'augmentera ainsi de la partie alXa. Ensuite supposez r dépendaut de q, alors par la variation de q, il deviendra O B, ce qui fera dimiuuer l'aire primifive de la partie AB6a; de même la variation de R (comme fonction de o) qui deviendra OM, augmentera l'aire primitive de la partie LM»»?; ces considé- rations expliquent les signes — et -|-, qui se trouvent dans les formules (50) et (49). Et lors- qu'on passé aux limites, on trouve encore Lim. AB6a^=Aa.é = ƒ (a),Lim.LMwïZ =L Z.f' =/(6), f' comme dans ces formules; tandis que de même Lim. al).n^al.(' = Lim. (/ des accroissements des (t ordonnées), Ie résultat de la formule (51). Mais lorsqu'on fait varier les limites et la fonction intégrée simultanéinent, l'aire primitive ALZa devient BM.'<(?, ne différant de l'aire Kil cc que par la diffcrence linfiX — ah (ia, c'est-a-dire par celle de deux aires différentielles, différeiice, que 1'ou doit négliger par conséquent; et cela nous conduit a la formule (47). Ainsi la courbe al est devenue § I-I, et voila Forigine de IVxpression de Leib>;itz. •33. Afin d'obtenir une formule symétrique, lorsqu'on continue de diflerentier la formule (47), appliquons h ses deux dernicrs terraes la formule ideutique qdp = d.pq — pdq, et elle devient : [15] Gruneut, Gnmerts Archiv, Bd. 2, S. 266, qui pourtant ne fait pas raention de la correction ui de sa cause; ncanmoins on a souvent etc conduit a des résullats erronés pour avoir négligé cette correction. [16] Leibkitz, dans C. G. Leibxitii et Jou. Beknouillii, Commcrcium epistolicum, Tom. I. (Lausannae Bousquet. 1745. XXVIII et 484 Fag. 4'.) Epist. LIX, LX, p. 319—322 et la réponse de BERNOtiiLi, Epist. LXI, p. 323—333. Pacre 24. ET METHODES D'ÉVALUAÏION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 1. 4. N'. 55, 54. — I f{Q,a:)da;= j dx -\- -^- — J _ R ^ + '^ "; — '■ • (•^'^) a^f J dQ üQ (/(i 0^1 ibnnule, qui proJuit par la tüücrentiatiüii par rapport a (> : do'j-'^''''^' ^ dg] d(, ^'^ do' dol dn *" dQ \' Mais lorsque dans la formule (53) ou écrit -'-p-^— i au lieu de ƒ((»,. r), olie doiiue In valeur de la première integrale dans Ie second inembre de cette deniière formule, dont la troisièmc integrale s'élimine centre la deuxième dans Ie second mcmbre de la formule (53) changét; il vient par suite : — j y(,,.)d.= 1 -j-^dx+-~^ j^ _l,-^^ + ._-^; .(04.) r "r formule, analogue a la précédente (53). Donc il est vraisemblable que la réprtition do cette opé- ration donne en général l'éqnation de la même forme: d". /-R f''dn.f{Q,x) ^".[R/(e,R)-r/(o,>-)] c^«./(g,R) d",fiQ,r} I f [Q ,'■'■) dj: ^ \ dxA- — — R +r ;-(ï>5) donj •'^'^' ^ j don ^ dQ" dQ" ^ dQ" ' ^ ' r . r et en efiet Ie raisonnemeut dit de BEiiNorLLi, c'est-a-dire, la déductiou pour n -\- 1 de la formule, admise pour Ie cas de n, et la démonstration que cette nouvelle formule deviant identique avee la primitive par Ie simple changement de n-\-\ en n, en démontre Texactitude par la raême me- thode, qui a mené S. la formule (54). 34. Dans Ie cas que /'(<), a*) ne contienne pas de q, elle devient ƒ (.i), et Ton a — ^— -^O;donc: <^ f^(.).. ^ ne dépendeut pas de q: ^ rfO.)dx = ^[MlJ _kM^; (57) dQ" I ' dQ" do" d". fb d".[rf(r)] d",f{r) 'd. zéro: alors C' devient zéro et il s'eusuit: 1 ^Q I f{Q^^)dx= \ <^^ \ /(('.«)'^f C^^) o a ^ I ƒ(?,.«) c/x= / do I d.v I f{(),.c)do. p a p a p Mais lorsque dans la formule (62) ou remplace ƒ (o ,.?') par \ ^ [n ,x)dn, Ie premier membre en /' devient ideutique avec Ie dernier membre de Féquation précédente, et Ton a : ^ï(2) [b rb rq{-2) dQ^ \f{Q,x)dx= l dx 1 f{Q,jc)d(,-^ (6:5) pa a p La démnustration de 1'équatioii générale analogue : rq[n) rb rh rq[n) I dQn \ f(o,.v)dx =^ dx j f{Q,x)dQn, (64) > a 'a 'p se fait, tout comme a l'égard de la formule correspoiidaiite inverse (55), par l'induction de Ber- XOUILLI. 37. Passous maintenaut au cas que les limites aussi dépendent de la constante q, et intégrons a eet eflet la formule (47), il vieut, puisque la difl'érenliation au premier membre est dL'truite par 1'intégration : \ F(o, .r)c?x= ƒ dQ j — ^^^^dx+ 1 F(<),R) — dQ— j r(e,r) -(Zo. . . (65*) Mais dans les deux dernières iutégrales ¥{n,>i) dépend de la variablc indépendante q, et encore de //, une fonction de q ; on a donc : Page 27. 4* I. 5. N\ 57. THÉORIS, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR.VNSFORMATION, dn (Iq \ Uq J \ dy sont les coefiicients difl'érentiels partiels. Ou en déduit successivement : dq Encore de la même maniere Par la substitution de tous ces résultats Téquation précédente (65*) devient ; ^ — = g- (? , x), puisque x ne depend pas de ^ : et F (p , «) = j cp (o , a;) d ^ -f- C ; do } o dB. fP fP dR = q)(9,R)+/(e,R) — , etr(?,R)= ƒ cp{Q,R)dQ+ f{Q,-R)j~dQ + C. o o lière : fP fP^ dr F(e,r)= I q>{Q,r)do+ f{Q,r)-dQ+C. o o DUS ces résultats Téquation précédente (65*) dev ril C rP ) fP fR fPdU fP fPdr fP I <^CMC-f-/ f {q , ^) d(>\ =^ j dgl q (o , x) da; -{- l —dQJ q>{Q,Ti)dQ — I J- d Q j cp{o,r)dQ-\- r l) O 't '0^0 "o ^ 'o fPdB, fP dU fPdr fP , dl- ^ fPdn fPdr •^0 " o o (1 "^0 -^0 Pour déterminer la constante C, observons que pour des limites constantes R = Z>, r = a les ^)—dQ+ \ j-d,. fiQ,T)~dQ; (65) l dq ] dn I d(> I do 'o o ■() ■ OU, pour dcduire f{Q,y) on a les condilions: ) tandis que la correction devient ici r(e.2/)= i'f(e.y)^e./(g.y)-r^/'^'l [is] '. (66) [18] Voyez ma Note a ce sujet, inscrée dans les A''erslagen en Jlededeelingen der Kon. Akad. van Wetenschappen. Deel 4. Blz. 332. Page 28. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 5. N\ 57, 58. edQ = ^Um.5 d(> ^~-^f~^d^==^Um.8 do ~^^d-^-- ■ (67) o ■ o ' r {.) 'r 68. Lorsque les limites R =a et r = Z> ne dépeiiclent pas Je (), on se trouvera ramene a la formule (61): mais quaud au contraire eest la fouctioii .jj (o ,a'), qui ue dépend pas de (j, et qui dès-lors peut s'écrirc ip (*•), on a: 'P , . , , . ., s /''•F(c'.!/)\ ''-'tC'/) - ^ ^ Q " ■ dl/ f . /''•F(c'.!/)\ i'C?.'^)^ ƒ *(-«)'^? "=?■/'(■*-■) ./(c''i/)= ( — ^t; — ) •o en tire: fP dy fP d.a,{,j) dii , )^ [^ , , , / s f par la methode de l'iutégration par partjes, et ensuite: fPdv iP dn /P dy CPdy fP ■'o •'() ' >> " o •'o Substituons ce résultat pour y ~ R. et y =- r, et observons que j '^ [x] do = q(j) (a-), puisque x il est indépendaut de q, nous aurons: fP fU fR rp dU fP ^ d?- j do j q.{x)d.v = Q / if.:{x)dx— / Q,f{R)--dQ+ I oiV{r)-d(, (68) Gr r O O Mais 1'intégration par parties nous donne eucore : ƒ? dy ]P [P d.Q(f(y) 1^ f d.(p(7j)dyi ,.p(y)-__cZ, = ,|qp(2/) + ? — -j: u O -o o donc par rintroduction de ce résultat tant pour y = 11 que pour y =■- r, il vient : fP /-R /-H fPd.q(R]dn iPd.q{r)dr fP I d() I q{x)dx=^Q I if(x]dx-{- I r -—UodQ — ƒ — r">'nd)>-^ I R(j'(R)(i(i — J .1 J J dn dQ J d7- dQ J o ;■ r o O O - l'rq{r)dn-Q[Rq,{n) — r,f{T)] (69) "o Lorsque dans ces deux expressions ((58) et (69) on suppose r = a indépendant de o, on a dr [P 3- = O, ƒ r 9 (r) d p = a p (j) (a) ; et par suite: do j Paije 29. I. 5. N\ 38;, 59. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES ÜE TRANSFORMATION, fp rR rK fP dll I cIq I q,(a;)du;=^Q f q>{j;}dx — j q (f(R) ~ cIq (70) o a a 'o De inême pour R = 6; dQ l cp{x)dj:.= n 1 q.{w)dx-^ i (..ƒ (r) ~dQ (72) o r 'r O fl' [Pd.qir] dr fP , = « 1 q{j;)da;— j -^ J'^''^'^ <^ — f r cp {r) d q + r q ,f. {r} ^. . . (i^i) l 'o "" ^ -o Dans les formules de ce Nr. la correction f s'évauouit avec son origine, parce que i/. (^) n'y dépend pas de q. 39. Mais on peut eucore appliquer l'iiitégratiou d'une autre mauière a, la formule (47). Or, pour les limites a et q elle devieut : d. [P f Pd. ¥ (n, x) — / -p{Q,x)dx= \ ^dx + ¥{(>, q). dol J do a a Ensuite supposous ' -f'^' =f{o,x), donc aussi —'^'^-'"' ^/(.r,p), et pnr consequent: ^Pd.Y(o x) [P [ l? 1 -^^J^J^ = / f{Q.^)dx=^ I i /(^,o)f/?|^_ , a a fl lorsquou interprète cette notation, quaprès Fiutégration il faudra remplacer x par o: mais comme la supposition donnc eucore: CP f Pd. f {x, o) jj{^,L')do== j —^^' do, a a on trouve : J do [J dx ) x=p a a et par-l;\ la première équation dcvient : ±i'r,..^,.= \t^^M\ +n,.ê (»*) dQ ] [J dx }^=p a a Quand ou intègre cette équation par rapport u o entre les limites a et q, il est : Paee 30. ET METHODES DÊVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 1-5 N'. aU, 40. fp il. [P fp fp f f Pd. r(,c , p) 1 fp a a a a a a et l'on obticiidra après Ie changement miituel entre q et x et la transposition des termes : F(a,*)c?A'=- ï Y x,n)do— I dx )\ ' y ' dxy . [19] (74) 40. Iiitégrons réquatioii (7 1>') par rapport u q, mais entre les deux lioiites r et R, que nous supposous toutes deux dépendentes de o, il vient: ('^ d. fp /K ( fPd.F(a-,Q) 1 /-R j d,--jYi,,x)dx^jd, \j -^^,,^ + | r(,,,^,,. ra ra r Supposons-y T {q ^ x) = f (q) q (o:), alors: düiic aussi: fPdF(^,e) , d ƒ(.'■) /-p /•PdF(^.g)^_ _d/(.r) jP J dx ^ ^'^ J a a crPd.-p(x,Q) I d,f(Q) fp W —dr '^"\^^r~^ j'^'^ '' il(Q)dn. f a X a.F I G a et par suite: enfin encore F (p , (>) = ƒ (o) qp (o) . La substitution de tous ces résultats uous founiit niaintenant la formule : /•R d. f fP 1 /-R (?./■(()) fP /-R r a r a 'r Mais dans l'intégrale du premier membre la fonction intégrée est une fonction de q, tant par Ic facteur ƒ((?), que par Ia limite q de Tintégration par rapport a .v: ce premier terme devient par conséquent /(R)] ci'{a;)dx — /WJ q>('V) dx et l'on a, en transposant les termes, et en e'crivant X pour q: //(ar)qt.(.r)dr=/(R) ƒ c^ (.r) dx - f (r) j\ (.v) dx — j dx~^^ {\j{x)dx. [20] . . . (75) Pour r = a cette formule devient : [19] Bertrand, Journal de Liouville, T. 8, p. 110. — Grunert, Grunerts Archiv, Th. 4-, S. 113. [20] Meijer, Grunerts Archiv, Th. 5, S. 216. PaOT 31. I. 5. N'. 40, 41. TUÉORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, /•R /-R /-R d.fix) p ï f{x)ct{x)dx^f(R.)\ cf{x)dx— j dx-^^-' >-Kflx) d.-p{x) d'^-^-.fix) Cd<'-\f{x) d\Fi.r) — I dx ^= — ^ -|- / ^ — f d.r dx"-i dx dx"-^ I dr«-2 dx^ dx . rd"-^.f{.v)d\f(x) d"-^.l^{x) d.f(x) , fd.f{x)d"~\Y{x) ^ _ i)»-2 j ^-J !A^' (lx = (— l)«-2 ^' -^^^^ + — l)«-i ƒ -^^ \-^ dx , ^ ' j dx"-^ dx'' ^ ' dr«-2 dx ^^ ' J dx dx"-^ Quand on prend la somuie de toutes ces équations, toutes les n — 1 intégrales au premier menibre, sauf la première, s'élimiuent contre ces mèmes fonctions au second membre, et l'on a : ƒ ,w *'-A-i- , (/''-I./.Ï f/. F(a-) f^-2. ƒ(«) d"-^.Yix) d.f{x) , F {x) ~^ dx^V ix) i^ - ^ •'-^~ J. . . . -L. (_ 1 n-2 -^ l ' -^ + ^ ' dx" ^ ' dx"-i dx dx"-^- ^ ^ ^ ' cb»-2 dx + d"-i.F(^) /•t^«.F(.«) , Pour qu'on puisse passer maintenant ;i Tintégration définie entre les limites a et b, il faut que tous les d'" f(x) d'« F(a') coefficients difl'érentiels — ';----, — V-— , POur les valeurs de m depuis O ii ?i — 1, restent continus dx'" dx'" entre ces mt'mes limites; ou du moins, dans Ie cas contraire, que les corrections, d'après la formule (80;, en devienuent linies et déterminées. Dans ce cas ou trouve: \Y[x)- ;--^ dx = (— 1)" / f(x) —r^ dx + 2(- 1)"' — r-^ — ; ^ [ • • si a a Page 33. " 5 WIS- EX NATVl'EK. VEKH. DER KONINKL. AKADEUIE. DEEL Vlll. I. 5, 6. N'. 4Ö, 44. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORJIATION, d"'.f(x) Cette formule devieut beaucoup plus siinple, lorsque tous les coelRcieiits — ^-^^, ou bieii tous les autres — T — —, s'évaiiouissent entre les limites a et i de l'iiitégratiou, pour les valeurs O a w — 1 de ni. Car alors on trouve : /•* d^ffx) f' ,„, j ^w-ir^— (-^r//(-)-^^- (''^^) ui se présente sous la fait F (.r) = j;"-', il s'ensuit que - ' ■ = d '—^ = ei . l«-i/i = 0: de plus ou a: ^ dx" dx"--^ ^ Il y a encore un cas spécial, qui se présente sous la forma d'une série seulement. Car lorsqu'oii d>".'E{a) {n — l)m|— I a;"— "'— 1 = (n — m)'"!^ x"-'»—^ ; et par conséquent: ƒ dx"' d" 1 — ,^n-\ -^!±J. ^l^ = ^ (_ 1 )'" (h _ ot)'"/ 1 .ï"-"' - 1 =^^ I ^ (_!)»-«-! (,„4.i;.-«,-i/i.^„«^I^r (8:3) § (). INVERTISSEMENT DE l'oRDRE DES INTÉGRATIONS DANS VES IXTEGRALES DliFINlES DOUBLES. 44. La formule (62) de Nr. 35, qui nous apprend a iutégrer une integrale détiuie par rap])ürt a quelque constante, donne encore lieu h. un autre geiire de raisonnemeut, lorsqu'on Téludie sous uu autre point de vue. Eu effet on peut cousidérer la constante q, par rapport a laquelle on a intégré, comme une secoude variable indépendante, et alors les deux membres de l'équatiou citée constituent des intégrales doubles, comme on les appelle. On s'en représente la génération de la même maniere que celle des intégrales définies ordinaires, d'après ce qu'on a vu au Nr. 4. Ainsi pour b = a-\- 7td,Lim.8 =^ O, ou a d'après la formule (3): F(j/) = jf[y ,^)dx = Lim. ['H/'(3/.«) + /(3/,« + 5) + • • • +./'(,'/,« -h [«-1] S)}]; et de même pour q = p -\- nu , Lira. * == O : Tp (y)dy ==Lim.[.{E(p) + F(p + *) + ... + F (p+[«i-l].)}]. 1' Lorsque maiuteuant dans la dernière série on substitue pour chaque terme sa valeur, comme elle suit de la première équation, on obtient la série doublé: Page 34. ET MÉTÜODES D'ÉVALUATION Dl.S IM'ÉGRALES DÉFINIES. I- 6. N'. 44,45. rf{,j)dy== rcJy if{y,x)dx-^ i> P = Liin. [ó' t( { ƒ [p , a) +ƒ [p,a + Ö) +ƒ (^. , a + 2 ^) + . . . + ƒ (p ,a + [h — 1] 5)} + {/(/;-l-é,«)+/lP+^« + ö)+/(;> + c,a + 2c))+... +/(;?+*, «+[«-1]^)} + (■yi:p+2f,a)+/(p+2é,a+i5)+/(p+2f,a+23)+ ... +/(p+2*.«+[«— 1]^)} + Mais lorsquon fubstitue les diverscs valeurs de q {x) = j f {y ■, x) dy dans la série pour j ./ (.r) f/.r, / d,; \f{y,x)dy^^ a p = Lim. [Ö i{ (ƒ (p , u) +/(p + * , a) +ƒ ( p + 2 f , a)+ . . . +f{p + ['« — 1] f . «)} + |/(p,a+Ö)+/(;:. + f,a + ó)+/(p + 2f,a+ö)-j-... +,/'(p + ['«- 1]^ ,« + ^)} + [/.;j,a + 2a)+/>4-f,a+25)+/0+2é,a+2(5)+... +/"(/^+['»- l]f,'T + 2.'i)} + {/[p.ai-[n-l]S)+f{p+i,a-\-[n~l]S)j^f{p+2e,a+ln^l]S)+ ... +/(p+[»n— l]f,a+["— l]^j} )]• Or, comme dans ces deux expressions les séries horizontales de l'une correspondent aux séries verticales de l'autre et réciproquemeut, les deux séries doubles sont identiquement égales, et par conséquent les deux intégrales doubles, dont elles expriment la valeur, seront égales aussi : on se trouve ainsi ramene a la formule citée (62), qui ici prendra la forme: ƒ% jf{y,x)dx=-- j djo t'f{y,x)dy (84) pa a p ïoutefois il ne faut pas perdre de vue que l'emploi de la formule (3), qui est la base de toute la démoustration, repose sur la condition que la fonction ƒ (y , a-) reste continue entre les limites de l'intégration, et comme elle est inlégrée tantot par rapport a x, tantöt par rapport a y, il faut que f{y,x) reste continue pour toutes les valeurs de x entre a et Z> et toutes les valeurs de ?/ entre /> et q simultanément. Ces considérations sur la theorie des intégrales doubles délinies pourront nous suffire pour Temploi dans la theorie des intégrales définies ordinaires: c'est pourquoi nous nous arrêtons ici daus l'étude de ces fonctions, qui sont d'un grand interêt dans 1'Analyse, mais dont la theorie peut être considérée comme une partie a étudier séparément. 45. Cette formule (84) nous apprend maintenant que dans uue integrale doublé il est permis Pase Ï55. 5 I. 0. M'. 45, 40. THEORIE, PROPfilÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOX, (Tinvertir l'ordre des intégrations, pourvu que Ia fonction iiitégrée soit continue pour les deux variables [23]. Quoique cette methode soit devenue célèbre par l'emploi multiplié, qu'eu ont fait PoissoN et La Place, et cela a bonne raison, comme on verra dans la Troisième Partie, il est juste d'ob- server ici avec Lejeune-Üikichlet [24], qu'elle est due a Euler, qui en a traite dans son mé- moire // Metliodus nova et facilis calculum variatiouum tractandi." [25]. 46. Passons au cas, ohf{y,a;) devient discontinue; a, eet efFet il faut d'abord prendre deux fonctions cf y , x) et if/ (y , x), telles que -—-=;(,,,.) et _— -=;(^,,.): d'oii Ton déduit ia relation nécessaire iISJLlzL = •'/'LV'-^J^ Alors, pour Ie cas que la fouctiüii dx dij '^ * f{y,a:) reste continue entre les limites a et ö de x, et entre celles p et 7 de y, l'équation (6) nous donne: f{y,(c)dx = ci,{>j ,b)— ^[,j ,a) , ■. (85a) f{y ,x)dy=H>{q,x)~ii,{p,x); (856) de sorte que la formule (84) devient dans ce cas: /'%[ c — S) — f{y,c-\- S) (formule 86a) entre les limites p et g, mais on verra qu'il suffit d'intégrer seulement entre les limites r — a et r -{- i. Car on a évidemmeut : Tf (y) dy = j' V{y) dy + T F (y) dy + P ^{y)dy («) et pour la première et la troisièine integrale au second membre on peut écrire successivement fc+'J' rc->r^ Cfiy) dy .= j dy (t (y , c - >^) - f (y , « + ^)} = j dy j\fiy , x) dx = T 'dx j f\y , x) dy . /) /i i> c—'i C— (J p F (?/) dy = ï dy {,^ {y,c-d)- ,( {y , c + Ö) } = i % I f{y , x) dx = i dx \ ./ [y^-^')dy:. -S "r+i oü l'on a inverti l'ordre des intégrations, parce qu'il u'y a pas de discontinuité ici entre les limites; par la même raison les dernières intégrales par rapport a y resteut continues, et par conséquent les intégrales singulières, oü la fonction intégrée est continue, s'annulent nécessaire- ment. Ou, en d'autres mots, l'intégrale ne perd sa continuité que pour les valeurs x = c, y = r, simultanées ; or, dans la première et la troisième integrale de la formule (a) la valeur c de x tombe :\ la vérité entre les limites c — 8 et c -\- d de x ; mais, comme la valeur r de y y est exclue, la fonction n'en demeure pas moins continue : c'est seulement dans la deuxième integrale de (a), oi\ les limites sont r — e et r -\- i, que la fonction devient discontinue. Donc ou n"a qua avoir égard a celle-ci, comme nous l'avous avance plus haut. Et cette même observation est ü faire partout dans la suite, oü Ton n'aura a intégrer qu'auprès de la limite, oil la fonction perd sa continuité. Or, dans chaque cas de discontinuité pour x = c (formule 86a), pour x = a (formule 866) et pour x=. b (formule 86c), la discontinuité peut avoir lieu pour les valeurs y = r, y ^ p ou y=^q, séparément, de sorte que pour ces neuf cas divers il faut calculer la correction Z_. Page 37. I. H.N'. 48. THEORIE,: PROPRIÉTÉS, FORJIULES DE TRAiVSFORMATION, 4S. Lorsque la fonction ƒ (y , x) devient discoutiuue pour Ie système des valeurs ; 1'. x = c,y = r, OU a: ^ = ldy jfiy,x)dx= j dy[(f{y,c-\-d)—cp{y,c—d}} =-- / dy{(p{y,c+d)--cp{y,c—Ö}]-\- j dy[q.{y,C'\- <5) r—z C—S r—; r—e r — ^)<^^'<:=j<^y{'}(y,<^+S)—v[yf{y,a-\-8) — q{y,a)}= j dz{q{r—z,a-\-8)—(f {r—-,a)] + j dv{iv{r+v ,a + 8) — •o -o — cp(r+v,a)}^ j dz{q{r+z,a+8}—H{r—z,a) — q(r-\-z,a) + q{r~z,a + 8)] . . (90) o 5". x = a, y=p, lorsqu'on substitue y=p-{-z: J%' lfiy,''>')d^^J%\:)d^=Pdy{,j{y,a-\-8)—j ,h)—q{,j ,b-8)) + / dy{if(y,b) - ,— s 4_(J r-e r—e ^ -q{ll,b-8)}=^ j\h{^l{r-z,b)-q{r-z,b-d)]+ f' dv{<({r+v,b) - {q,x)—ip {p,x)] + /\ , et A = / cbj {if(,j,c + Sj — cf'{i/ ,c—ëj} V a >■—; d'après la formule (87), lorsque f {y , x) perd sa continuité pour les valeurs siraultanées a' = c, y = r. Cela suppose toujours d'après Ie Nr. 46 : d.j = r-{-Sc, alors nous aurons Jy ^ d dz, et — ^ et + i- pour ümites de c; mais nous avons vu précédeuiuient, Nr. 48, qu'il faut d'abord aunuler ö et ensuite f. donc les limites de s devieu- ueut — 00 et 4" oc ; et uous aurons : ^ J 'lc+d-\-{r^dz}i-c-ri c—S + {r+Öz)i—c-ri\ j \ ^ -\-zi 00 00 Mais, passaut a la limite zéro de (5, on a g (c + (5 -|- (r -\- ^ z) i) ^^ a (c + r i), g [c — 5 + (r -}- t* -s) «} =

et p + f, OU q — { et 9 .- donc, substituaut y = r — Sz, on aura pour les nouvelles limites O et ^ — -^ et O, OU bieu O et X et — co et 0. Comme aiusi rien ue chauge hors les limites de Tiutégrale définie / ^~_r^^ i dont la valeur devient respectivement - [29], on a: l^=.ni est Tunité. — 00 /■* ds 1 [29] Car on trouve dans la Troisième Partie, Me'thode 1, N. 8, ƒ = - tt d'ou paria i \ -\rx' -2 ' sup- u position de x = — y, dx = — r/y, avec les limites O et — » de 2 ; l+y' j l+y Page 41. WIS- EN NATCUEK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VJII. I. 7. N\ 51, 52. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORaiULES DE TRANSFORMATIOiV, A=7iiif (c-j-ji), pour F(;i;) == ' (100) a: — c — qi Par suite il est évident, qu^il faut prendre la moitié de la correction ordinaire, lorsque la valeur de y, qui produit la discoutinuité, se trouve être une de ces limites p ou q. 52. Il en sera de même lorsque, pour x = a, la fonctiou devient discontinue pour une valeur r de y. Alors on aura au lieu de la correction ^ (98): (a + ö + yi)-F(a+yi)]; (101) et par l'introduction successive de F {w) = et de u = r -\- S z: X — a — ri A^iTd dz r__l(^d±h(l+M_ _ .T{a + (r+^r)0 i _ f y, [aJ^S+{r^8z)i} _ j la+5+(r+ös)i— a— ri a-\.{r-\-Sz)i-a—ri\ j H 1 + zi — co — cc w{a+(r + dz)i]-i r dz , ^ , , OU, passant ïi la limite zéro de ö: ^=*/ ^7rT~:[— f («+"■)]=-«■ J(«+'^*) ƒ .,, ^ . =7rt^;(^t+^') [;30],pourFW=— ^-^,(102) J zt(l+zi)'- -• y zi{l+zi} X — a — n l\\~U\: [30] Pour la substitutiou zi^=ir, on a riiitcgralc indéfinic : ƒdz i dw Cidw dw \ w . ^* zi(l+zi)~ } w{l-\-w)~ J\w~Tl+w) ~ l+ii}~ 1+zi OU uprès rintégration on a remplacé te par sa valeur zi. Mais comme nous dcvous intégrer entre les limites — co et 00 de z, observons que cette fonction devient discontinue pour la valeur zéro de z; donc il faut séparer l'iutégrale en deux parties, l'une de — oo a — )., et l'autre de X a =o , sauf de prendre 3i zero après Ie calcul. Ainsi 1'on a : . /•" dz l-l dz .rdz I 1\)-^ / 1^1=" / i\ —00 — a> ^ _co ), ce qui devient, pour la limite zero de }., = — 2t- = — ni. 2 Page 42. ET METHODES D'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFINIES. I- 7. N\ 52. Mais (juantl la discontinuité a lieu ici pour y=p ou y^q, Ie résultat est tout autre; or dans ce cas les limites de z devieniieiit O et ao ou — x et O, et par suite [31]: l\ = - n i f^, {a -\- p i) — Ij: = — x , pour F {x) = , (103) 2 X — a — i>i /X=-Tiiq{a-\-qi) + Icc = + x, pour F (x) = 1^—^ (IO4.) 2 X — a — qi Encoi'e pour Ie cas, oü la fouctiou devieut discontiuue pour les valeurs x = b, y = r, on trouve au lieu de la valeur (9S) : A-i rTi[P(6 + ^e)-F(6-5+yi)] (105) r- £ et cette cquation doiinc ici, pour les suppositioiis F {x) == ?' ''— i — ; et y = r -|- ö ^: X — o — ri . _ ,- Tv cZ' f '^{^+('• + '^40 _ ^ JP {b-8Jr{r±Sz)i} 1 _ . r^^ r, {6+(r+ó^) i] _ ^ *j ' ^[bJ^(r-\-82)i—b—ri b—S + {r-\-d3)i—b—ri\ / '^' si -] = if ^^7^{'f{b^{r + Szi]-si[,f{b+[r+dz,i}-q[^^^ OU lorsqn\}ii preiicl pour S sa limite zt-ro : ^=* f -:77^'iP(H''0=*'Ki+«) f --77^==^i'P(^'+«) [3^] • • • (106) J Sl[l — iz) J Sl{l — Zl) [31] Piüsque alors ou a d'aprcs la note prücédente: [32] Car pour zi = tv on a ici: /ds r dw fidw dw \ w zi I 1 .\ zi{l—zi)~~Jiü{l—iv)~j\w~^l—tcj~ l—w~ l—zi~~ \ ~ zj' tout comme pTÓcédemment, il faut diviser ici l'intégrale en deux parties, et l'on peut coutinuer Ic raison- uement de la Note [30]. Mais aussi dans notre integrale on peut faire z = — v, dz =: — dv avec les limites -|- "= e' — °° de r ; alors il vient : dv vi (1 +ot)' j zi{\—zi) j —vi{l+vi) ] Pase 43. . 6* \ I. 7. N'. 52, 55. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Enfiu lorsqiie la valeur de y, qui reud la fonction discoutinue, est une des deux limites p ou ' q, les limites de z devienuent O et co ou — co et O ; et Fou a [33] : l^ = -ni't (b+pi) -f ? X = X, pour r {w} = "^y .; (107) 2 X — b—pi A = -niq>{b-\-qij—l y = — cc, pour F (^) = _ _^__ ■ (1^'^) Par consuqueut on peut réunir les résiütats de ces deux Numéros dans oe Théorèine: Ona: i l\ [F (6 + yi) — F (a -{-yi)\ = jdx [F (r + qi) — F {.v + pi)] + h ; p a si F{x)= — ï-^-^ ., tl inent: X — X, — y,i A = 2 JTJ (ji (x , + y 1 i), pour a<^ii. ET METHODES DÈVALUVTION DES INTÉGRALES DÉFINIES. I. 7. N'. 5-J, 54. Supposous que réquation (llü) ait « raciiics luégales: :;;, + y, ', .i".2 + j/j «, ...a;„ -|- y,,?', et que Ie produit par la valeur de F (a;) en doune successivement : if, (x), ip ^ [x) . . . q „ (x), alors nous aurous généralcmeiit : A = 37ti{/„i)} ; (Hl) cependant nous devous observer ici les cas mentionnés dans Ie thcorcmc (109), ou il faut reinplacer (//, 1 par — qp OU par ± oo . 54. Enüu il nous reste a considérer Ie cas, que 1'équatiou IllO) ait des racines égales, car alors Ie procédé, auquel nous sommes conduits, ferait évanouir les iji (x), et il faut y substituer Ie suivant. Supposons dans Ie cas géuéral de la formule (96), ou la fonctiou f{y,x) perd sa coutinuité pour Ie système des valeurs x = c et y = r, que Ie facteur x — c — n se trouve in fois daus (jt [x) tf {x) : faisons alors F {x) = et encore comme toujours // ^ ?■ -I- cÜ 5, il vient : {x — c — rij'" A = i fsdA 'P{g+^ + (>-+^-)'} cp{c-SJr(r+Sz)i) 1 _ J '" ('■ + ^ + ('■ + ^'^) ï — c — riy (<; — 5 -f (r + ^2) i — c — ri)»' J ^' {c + n+(-l + 5i) 0} ^(e + nXl+^i) d] 1 = -i ƒ (5cL.[^ ()r, Ie dévL'loppeineut par Ie théorSine de Ïavlor nous donne: q{c+n-{.i±S + bzi)} =cp{c+n)+ f /i) - F (o - ,ï + yi) | . r — £ Mais quand on sait, que pour chaque x positif on a : F {x -j- oo i) = O, F {x — cc i) = O ; et en outre pour chaque y: F (» + y i) = O, il en résulte: ƒ F(yi)rfy = A,A= f%[F{c-\-8+yi)—Y{c-8Jr.>ji)\ ~"^ <''<=^'l . (h4) J } (l -|- i Sin. 17 ) / ƒ {? (Cos. q- -j- i Si». 7 ) } dn. La dernière integrale étant réelle par rapport a q, peut être traitée comme une integrale défiuie ordinaire: intégrons-la entre les limites Q=a et Q = b; alors les limites correspondantes de a; seront a: = a{Cos.if -\- iSin.q), .v ^=h[Cos.q' -^ iSin.'}): donc en changeant g en a, parce qu'il est constant, on trouve : ^b{Cos.a+iSin. pour limites: parce que les limites correspondantes de x deviennent x = Q{Cos.a-\-iSin.x) et x = Q(Cos.^-\-iSin.li) ('t que, Q étant supposé constant, on peut Ie remplacer par r, il vient: rriCos.^+iSm.i) f3 j f{x) dx=r i f{(, {Cos. q. + i Sin. q.)} (— Sin. q + i Cos. q] dq (116) r(Cos.a+iSin.«) a 11 nous reste Ie cas, oü ni q ni 9 ne sout constants; dans ce cas V{x) dépend de ces d^ 'F , quantites comme variables indépendautes, et il faut détermiuer , — r-, pour integrer ensuite une fois dodz Pas;e 4S. , ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIINIES. 1.7. N". 57, 58. par ra])port a q et une autre fois encore pur rapport i\ 'f. Oomme on a trouvc p. e. dans la formule (116 rt) que - - - = q/ (? {Cos. cp -\- i Sin. q)} ( — &'«. (]f' + i Cos. if ), il s eiisuit : d((i cKJ\^ =. (— 6w..f + i'6'o«.))r/(?(Co5-'r + 2'S"'-»)} +?-^-/{c'(^os.g. + /,S<-H..,)}.(— 5i-«.., -j-i6'o.'..|)] = (/.( dn I- «? ' ==/{()((7o.s.ij '+ i5in..f)} {—Sin.q+ iCos.q) -\- q —./' {«(tos. (p + iSm.,,)). (— Si/i. Sf + iCos. 2./) ; jiuisque (— Sin. es + i Cos. c)- = — Sjh. 2 w + t Cos. 2 er. IMainteiiaut nous pourrons intégrer par rapport a (> entre les limites a et 6, et encore par rapport u qp entre les limites « et (?, ce qui donne Ie même résulfat que l'intégration par rapport a x entre les limites a{Cos.a -\- iSin.a) et h (Cos ^ -\-i Sin. (i) ; et nous aurons : ^biCos.^+iSin ^) [b fS f{x) dx = 1 do I d I p' {'J i<^<^^'- 'T + «■ 'S'"- •)))(— Sm. 't + t Cos. •/ ) + a(Cos.a-(-e5(n.a) a "« + —•/'(? (Cos- 7 -l-'-Si». '())•?( -S'"-2'/ +«'<"os. 2,;)] [37] . . . (117) dQ' -■ .58. Il est encore facile de présenter les formules, que Ton vient de trouver, sous une autre forme, qui quelquefois donnera plus de facilités dans leur usage. A eet efiet il faut séparer les partie.s imas'inaires et les parties réelles, et les décomposer ensuite dans Ie produit de deux facteurs, comme on Ic fait ordinairement. Prenons ./'{c(C'o.'.i) + «Sm, (;)]:= x(?»'() + "/'(('''"/)= ^ [Cos. = '^--^ sont Tune et ranfro fonctions de ;,< et de q ; les formules (11-5) et (116) deviennent: ƒh{Cos.f+i.Sin.f) .1, M, f{x)da; = {Cos.q. + iSin.q)l P(Cos.$ + iSw.<ï.) f/<.= j F do [Cos. q. Cos ^— Sin. f. Sin. ^ -\- niCos.'f+i.Sm.?) i i -|- { Cos. q. Si7i. $ -f { Sin. ;; . Cos. ] =1 VdQ { Cos. {q + *) + i Sin. (9 + *)} = = / FCos.{q-^^)dQ + i 1 F Sin.{q + ei,) do, oü ./ constant: (H^) / f(x)dj:=Q j F{Cos.^ + iSi7i.^){— Si7i.q+iCos.q)dq (119a) p[Cos.x+iSi'n a) [37] On peut aussi déduire directenicnt les formules de ce numero de la formule (3); voyez: Töplitz, (irunerts Archiv, Th. 23, S. '241. Page 49. 7 V IS- EX NATUL'RK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. I. 7. N\ 58. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ffiCos.^+iSin.^] r& j f{x) dx = Q I F d'f [ — Sin. q. Cos. — Cos. (f. Si7i. $ -}- i Cos. (p. Cos. $ — i Sin. (f. Sin. <ï>] = () JFdfl — Sin.(cf>+) 4- P(_Sm.$ + iCos.^)-^ ■= uQ do do Cos. $— - — VSin —-+« Sin. ^ — -|-P Cos. $ — , sunposons = P , (Cos. $ , + i Sin w.+P=...=.„(^-*y..(-y+(p|v, f„, fiP ^ tZ$l f^ dP c? , . Cos. 2 >/ — i Sin. ^ , . Sin, i, q)\ eb /-p = / di,\ (Z(p[P{— Sin.($ + f/.) + tCos.(s), o o _ ir Sin, [is + r)z]- Sin, ijs-rlz}^ •Z z V ■ / Pase 51. 7* I. 8. iW .jJ), ()0. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Pour la trouver, mettons-Ia sous la forme I Sin.t:-^=h et substituoiis-y <2 = r, cVoü tc?j = di', o taiidis ([ue les limites de v restcnt O et c/:, pom- un t positif: par suite h == I Sin.V—'': et Ton o voit que la valeur tle l'iutégrale priraitive /) est entièremeut indépendaiite de la constante t: sa valeur, qui est ^, peut se déduire de beaucoup de manières différentes, comme on verra dans la '1 roisième Partie, inais nous la déduirous encore tout de suite de cette même discussion. Il résulte de-lil que : / üin. rz. Cos. sz — =- h-\- -h = h pour (r > s) , = - A li == Q pour {r < s) : \) et par consequent, que dans la formule (12 .a) il faut distiuguer les cas oii p est plus grand ou plus petit que a et b. Dans les deux premières intégrales au second membre cette recherche n'ofl're aucuue difficultc: mais daus la troisième integrale doublé, dans Ie facteur Sin.xt/, x peut avoir touies les valeurs entre a et b: donc, lorsque p est situé entre les limites a et b, il faut diviser Tintégration par rapport h. x entre les limites a et 6 daus deux parties, dont Tune a pour limites a et p, l'autre p et b. Or, de telle sorte p est toujours plus grand que x dans la première partie et au contraire toujours plus petit que x dans la seconde. Eu égard a ces observations, nous trouvons : 1 \ pour/?>6>« ; I=/(è) X 0-/(a) X O— ƒ ' y^- dxY.(\= 0. r. Y,ombyp>a: I=./(è)X/<-/(a)XO- (''"''^^^x jSw.xy.Cos.ptf^— ('''-'^^dx jli,.x;/.Cos.p,f-f=^ ^ n ' ■/( o = f'/ib) -0~ j '^-—-dx X h = hf{b) - h X ƒ(.*)} '- /'./(i)-/' {f\b)-f{p)] =hf{p). r. i,ombyayp:l^f[b)Xh-f{a)Xh-l ^^^ dx X h ^ {f(b)-f(a)) h ~ h . / {x)i' =■. a = {/'(^) -/(«)} fi-h {/ib)-f{a)} = 0. I = / Cos.py dy I f [x) Cos.xydx = hf{p), ou = O, i Donc (lUb). suivant que p est situc entre les limites a et b ou non. 60. Oc la même maniere on peut transformcr dans l'intégrale doublé K = ƒ Sin. py dy lf{x) Sin. xy dy Page 52. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÉGRALES DEFINIES. I. 8. N'. 00,01 la deruière intégration par riiitL%ratioii partielle, ce qui donne: [b [b \ 4 r'' d.f{x) y \ J{x)&in.xydx= \ f[x)d.,:{—Cos.x]i)^—j\x)Cos.xyj\ + J Cos.Xij - d.r = r d.t (x) = — f {h)Cos.h;! -■\-t {a)Cos.aij -\- uCos.xrj ' -Ox; a /■" i r* Ju C'd.fLv) /"' c/y K = — /'(^) lCos.bij.Sm.py'-- + fia] j Cos.aij. Sin.py "^ + / — — dx \ Con.xij. Sni.py - ; {liic) j y ' ) ' y J '^•'' j y OU Ton a inverti 1'ordre des iiitégratioiis, ce qui est permis ici pour la même raisou qua l'égard de la formule (121a). Or, comme on se trouve reduit ici égalemeut ;i 1'intégrale h du Nr. precedent, il faut prendre ici les mêmes précautions pour rendre Ie coëfficiënt t toujours positif, et 1'ou aura: ^*f/ tx) ) '• -^' dx-y^h = {ƒ (a) --}\h)\ h^li.f(ic) \ = a = (ƒ(«) -/{'')] /' + /' (/W -/■(«)} = o- fl'd.f(x) r dl/ l''d.t\x) r. ^ dl] '2\pour&>7'>«.- K=— _/,_6)X0+Aa)X/'+ ƒ -^ — dx 1 Si71.py.L0s.xy '+ 1 -- dx f om.py.Cos..V'/ - = f dx f ' y f dx J " 11 'a 'o I' o = ^'/(«)+ r'^'^*'X''+ T—^XO = V(a)-|-/*./>)|''==A/(«) + V(p)-/'/ia)= lif{p). a i> :r. pour Z/ >«>;).• K = — ƒ (è) X O +ƒ («) X O + / -~- rfar X O = 0. Don c encore : K= fs. ,„,,ƒƒ,.)«...,,.. -VW OU = o, I (121(/). selon que p tombe entre les limites a et b ou non. ] 61. Mais dans les résultats (121è) et (121ti?), il faut encore substituer la valeur de /(, que nous déduirous ici de ces résultats eux-mêmes, comme nous Tavions annoncé. A eet eflet soit a zéro, /) zero, d'oil Cos. py ^= 1, et Ton a siüvant 1'équatiou (121(i): h- hy ff{'^) Cos.xydx=f{b) j'S'n.by'^-f{0) j'sm.{i).yfi - f'^^!^'^'" / ^"'"^y'Jj '' 'o o " '- au sccond uiembre s'cvanoui I. ='>f{b}-hf{x)y=I,fiO). o o ou, comme la dcuxième inté"-rale au sccond uiembre s'cvanouit Pacce 53. I. S. W. Gl, G2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOJf, Or, comme ce résultat est tout-a-fait indépendant de h, faisons-le x, et nous aurons : I', = l dy{f{x)Cos.xydy^hf[i))- (12]) •o "o ilaus cette formule soit ƒ(.?;) =e-~v^; done, comme l'iutegrale iudéfinie */*, „ f ^ , ySin.yx — pCos.yx \f{x) Cos. xij chj = I e-P^^ Cos. xy dy = ^ ^^ ^-^ ^ e-P^ nous doiiiie » I v I II 11 n \f{x)Cos.xijdtj=—- — [39],uoustrouvonsI' =A/'(0)=/j= idy — - — = ƒ d. Arctg.~=- ■ J p''-\->Sin.{(p-^} 1 /H»^{OM-^} f{.r)d,-. p+x o 00 OU les seconds membres contienneut deux mêmes intégrales définies: dans la dernière supposons x-\-p = z, d'ou dx ^ dz, avec les limites -\-p et h -\- p pour z; dans la première au contraire substituous X — p = 2, d'oii dx ^-. dz avec — p' et b — p pour limites de s.* ainsi nous obtenons : Cf'Sm.{(p4-x)k] fi^+PSin.ks fl'Sin {(p—x)k) ^ [''-pSinkz, I \T /(■^)'^-«^= / -^./(5-p)c/^ et / -^'-^-^V.-*')f?-^=/ ^-./(-+p)f/-'. 0 •;' 'o '—V Mais divisons dans la dernière integrale la distance des limites — p li b — /) en deux parties. Tune de — p h O, Tautrc de O a b — p: et substituous encore dans la première integrale partielle z = — V, nous aurous : ^''-l'Sin.kz fl'Sm.kv f'^-l'Sin.kz _ ——/(e +p) dz = I — — ƒ (P - v) dv + / - ;■ -f{z +p) dz. —p 'o 'a Par la substitution de tout ceci nous trouvous eufiu : /■'■ f' ^ J ['■'-PSin.kz \ fPSin.kz^ , ] f'+PSin.kz . , \ 1 Cos pydy \j{x]Cos.j;ydy=- j ——j^s^p)dz+- I ^—f,p—z)dz+- I ~—f^z~p]dz, i fk tb 1 tb-PSin.kz 1 CPSinkz 1 f'+PSin.kz , , \ \Sin.pydy\f{x)Sin.xydy=-\ ~'f^~+P)'^'+lj ^r~^^'-^>'^~2 1 -T^A^-P'^z. ] 000 o p J Les intégrales doubles au premier membre de ces équations, que Ton a réduites ainsi a trois inté- grales défiuies ordinaires, devienuent les intégrales doubles de Pouriek dans la formule (122), lorsqu'on passé a la limite cc Aq k\ mais pour cette limite les intégrales au second rnembre devieinieiit de la forme Lim. I — * F (r) dz [pix Lim. k = cc), de sorte qu'ici on se trouve ra- 0 ** meué u Fétude de cette integrale, 011, en opposition avec la forme de Tintégrale h des Nr. 59 et 60. Tinfini se trouve sous Ie signe Sin. au lieu d'auprès la limite de Tintégration ; et cette discussion est d'assez liaute importance et doime lieu a des couséquences assez rcmarquables, pour (|ue nous en traitions a dessein plus amplement. PaM 55. I. 8. N' Oö. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSEORMATION, 63. Examiiiant l'intégrale ;\ étudier, uous sommes cond;iits par la nature du facteur Sin. h concidé- rer la limite eucore indéterminée a en rapport avec -n: et en eiiet Ie raisoniiement suivant montrera que la disliuction préalable entre un a = - tt, et plus petit ou plus grand que -n est tout-u fait conforme aux exigeuces de la discussion. Donc, soit en premier lieu: I = Lim. / -~^'F(z)dz, "o Pt faisoiis-y kz = x, d'oü kdz =■ d.v, avec les limites O et— kit piour x\ par suite: f ^k'^'^ Sin.x fx\ ];orsque maintenant nous regardons ^■ comme un nombre entier, nous pourrons diviser la distauce , 1 . . . . 1 Da— /■: n des limites en /.• parties, dont cliacuue contient justemeut - n, et nous aurons ainsi : rf^^Sin.x ( A ["Sin.x /x\ f^^Sin.x 1 x\ o \v '(c-è)'r [('^^\-^)Sin T lx\ f'^'-^Sin.x ( x\ 1 + ./ -:; n?) '"+■■+./ -., "{ij'A- c-!r [k — 1 iJT ilamenons toutes ces iutégrales au.\ mêmes limites O et - ^; ;\ eet eö'ct dans les intégrales aux limites Ie \n et en, prenons x=^CTt — y, d"ou dx = dij avec les limites - tt et O de rj: dans celles au contraire qui ont les limites ctt et c -|- - j tt, faisons x = en -\- y, dou dx = dij avec les limites O et - n de y. Alors nous trouvons : /'^^Sin.x^ fx\ ^ r'Sin.(cn — y) [cn — ti\ Ci'^ Sin.y lcn — y\ [c—\)T "jsr ^''''''^f^l^^dx^.f-'^^ Cos.crrr^^^^{^^dy. o;r b ' -O ■ ' Lorsque maintenant on applique ces formules générales a la transformation de toutes les intégrales de Téquatiou précédente, elles obtienneut toutes les limites O et - tt : dès-lors on peut les réunir Page .56. ET METHODES D'ÉVALUATlüiN DES IJVTÉGRALES DÉFINIES. I. 8. N\ 6.". sous uu inême signe d'intégratiou. De plus, en passant a la liinite co de k, ou obtient jcn±y\ lcn-\-y\ , • / , F ] = p — — — ] = F (ü); de sorte que les lutegrales out eucore eu commuu les facteurs \ /c y \ 00 / Sin. IJ et F(0), dont Ie dernier, étant constant, peut se mettre hors du sigue d'intégratiou, tandis que ]e premier peut être considérc comme facteur géuéral sous ce même signe. A 1'aide de ces remar- ques ou trouvera: p rl 1 1 1 1 -, I = F(0) / Sin.xdx I- + — — -\ _ ...I = I *-a: n — r?; tt -j- .r 2 tt — x Zn -\- a: ■• ƒ''■i ^ rl 2x Zn -. [2 Si7i.xd.v\ — 1- „ + „ +...I =F(0) / Sin.xdx Cosec.x [lil \..V n^—X- 471^— .t- J ^ ' ^ '- -^ ü • 'o C'.i n fi^Sin.kx n = F(0) I dx = 7^(0), c'est-a-dire Lini. j — Y (x)dx = -¥ {0),JAm.k = «d . (121.) ■q o Soit en second licu O &>0; alors les premières intégrales y ont les limites O et — {p — ö); faisous-y s = — y,et les limites deviennent positives, mais 1'iutégrale obtient Ie signe — : les formules (129a) nous mon- trent qu'alors les deux tenues -/(p + O) et -\- - - f {p — 0) se détruisent, et on a la valeur O correspondaiite des formules (122). Eu secoud lieu soit i>>0>p, alors ce sont les deuxièmes intégrales des équations (123), qui ont pour limites O et — p, et il faut supposer x = y pour rendre les nouvelles limites positives, O et p; mais en ce cas ces intégrales-la obtiennent Ie signe — , et dans les formules (129a) les termes --/(p + O) et — "^ ^./'(P — 'J) «^ détruisent encore. Ainsi dans les cas, ou p est uégatif ou que Ton ait p>&>0, les valeurs des intégrales (129) sont nulles. 65. Ces deux voies pour parvenir aux résultats (122) du Nr. 61 sont essentiellement différentes Page 59. 8* I. 8. N'. 05. THEORIE, PROPiUÉTES, FORJiULES DE TRANSFORMATIOi\, taiit dans leui- poiiit de départ que dans Ie cours de la discussion: si l'une se rattache au chau- /"" dx gemeut de 1'ordre des intégrales et ii 1'iutegrale | Sm.p.v — , la derniere est la source de quel- • .c o ques discussious aualogues h. l'égard des intégrales détinies, qui contienuent un facteur infini : nous en traiterous au paragraphe suivant. Auparavant il nous faut donner encore quelques autres for- mules, qui se rattacheut aux intégrales déduites. Dans ces formules (129) il est permis deprendre h infini, puisque Ie résultat n'en dépend d'aucuue maniere, et que la déduction, qui se foude sur Ia 1 division de la distance des limites en des parties, dout chacune embrasse une amplitude de - n, ne chauge pas pour uu b infini. Alors les formules (123) deviennent: r" p 1 C^Sin.kz 1 C^Sin.kz \Cos.p)jdii\f[x)Cos.xijdx = -Lun. / — -~ f [i-\-p)dz-{- -hun. j -— — f{p —2)dz + "(I "o "o "n 1 f^Sin.ks 1 TT , 1 TT n . + -Lim. ƒ - _--ƒ(.' - p) dz = - -fip) + - - ƒ (p) + O = -/ (p) ; I' f /•* 1 ['"Sin.kz 1 f'^Sin.kz . ISin.pydij lf{x)Sm.xijdj.- = -L\m. l ^ /{z+p)dz-\- -hm. j — ■— / [p — z) dz — o I) o "(1 - -Lim. / --- ./ {z - p) dz = - -/ (;,) + - -/ {p) - O - ^./ [p). Lorsque p devient iufini, les deruières intégrales s'évauouisseut u cause des limites cc et cc : dans les deux premières on a f[p •\- z) =ƒ (» ) =f[p — z): douc, la valeur des deux intégrales doubles devient ici : 1 (■ C'^ Sin.kz { f Sln.kz ] T ■Lim./(x) {2 / dz\ = Lim. /(»)- ; { J s 1 '^ ^ 2 (d'après la valeur de l'intégrale /* au Nr. 61), et les formules précédentes valent encore pour un p infini, c'est-a dire: / Cos.pijdy lf{x)Cos.xijdx = -f(p) , ü 6 > a ou i!> > a >■ p, = nf{p), pouv b'^p^ a; j » 4 ( jdyjf{x)Cos. {(p-\-.v)y] dx = O (131) Idyj f{x)Vos. [ip-\-.v),j} dx = i) V •o „ / Page 60. ET METHODES D'EVALÜATIOiN DES INTÉGUALES DEI INIES. I. 8. N'. 65, 00. jdy jf{.T) Cos. {(p — x) y) clv = nf{p) , Lly jf{x) Cos. {(p + .r) ;/} cZx = O , O < p < i . . ( 1 32) o o "o 'o jdij \f{x) Cos. {{p — X) y} d.v = nf(p) , \d,j j/{x] Cos. {{p+x) ;/} c/^ = O , O < p < o) [42] . ( 1 33) o o 66. Dans ces deux derniers systèmes on peut eucore doubler la distance des limites de la maniere suivaute. Dans les équations (129) substituons - (ip («)-(-'/'( — ■*-')} '^^ -{*'(■«) — ^p{ — •*■')} respecfi- vemeut pour f(x) ; alors nous aurous : / Cos.pydy I {cp{x) + q.{ — x)} Cos.xydx== j Cos.pydii j q,{x)Cos xydx+ j i>{—a-)Cos.xydx\=~ {'i(p) + i^(—p)] , ■|) "o 0 0 "o jSin.pydy j {if(.r)— ydy I (p[x)Cos x.ijdx = n [q (p)-fg'(~p)} , / Sin.pi/di/ l q'{x)Sin xi/d.v = n {q{p)—({'(—p)} ,(139) — flO — 00 00 — 00 jdy L{x)Cos. {(p — .v)>/) dx = n r,.(p), [43] (140) •n -X \d>/ L{x)Cos.{(p — x)y]dx = 2;t(^(/)); (141) ' 30 CO et dans ces formules p est tout-ri-fait arbitraire, vu qu'il y est compris entre — >: et -f" ^• fi7. Comme il est: jdi/ jq(.T)Sh,. {{p — x) ,/) dx = j d>/ if(x)Si)i. {{p — x)//} (/,r-|- ie/'/ / q(x)Sin.{{p — x)>/}dr, — ^ —6 "— » —/, b ■— i et que la substitution de // = — z dans la première integrale au second mcmbre k rend ógale a, l'intégrale suivaiite, sauf Ie signc qui devient uégatif; il s'ensuit que Ton a: f dt/ j q{x)Sin. {(p — a')!/} dx = 0. " — 00 — b Multiplions-la par i et ajoutons ce produit a l'intégrale (137) ou soustrayons-1'en; alors puisque Cos. [{p — .v)i/} ±iSin.[(j) — x)i/} = e±(p-^V, il vient ; jdi/ I q,{x)eMp-x\/>dx = 2 TT ()5(p),p 2 < 62 (142) — 00 — b Et la formule (141) donnera de même : Idyï q){x)e'^iP-^)y'dx = %nq{p) (143) [43] Cette forme se trouve chez Folkier, ïliéorie de la clialeur, p. 449. Page 62. ET METHODES DEVALUATIÜ.N DES IXTEGRALES DÉEliMES. ï- 8. iN '. 0"ge. Substituous enfin p = — , x =— ' - , cc qui donne O et b comme liniites de y' et passons eusuite a la liuiite co de b, les signes de sommation doivent être chaugés en des signes d'intégration par rapport a x' et avec les limites O et x , et 1'on retrouve les for- mules (130) [44]. [44] Lejeune-Dieichlet, Journal von Crelle, Bd. 4, S. 157. — ld., Repertorium der Pliysik von Dove u. Moser, Bd. 1. S. 152. — ld., Journal von Crelle, Bd. 17. S. 35: Addition p. 54—56. — ld., Journal von Crelle, Bd. 17, S. 57. — ld., Abhandlungen der Berliner Akademie 1835. — Schlö.milch, (jrunerl's Archiv, Th. 1, S. 417. — ld., Beitrage zur Theorie bestimmter Integrale, Jena. Feommann 1843. VIII et 103, S. 4°. — ld.. Analytische Studiën, zweite Abtheilmig; die FouRiEE'schen Eeihen und Inte- grale, nebst deren wichtigste Anwendungeii. Leipzig, Engeemann, 1848. 197, S. 8". — Meijer, Journal von Crelle, Bd. 43, S. 60. [45] S. D. PoissoN, Theorie mathématique de la chaleur. Paris Bachelier 1835. 532 Pag. et l PI. 4°. (oü il a ajouté en 1837 un Supplément de 72 Pages 4°) p. 205. Page 63. I. 9. N". 69. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, § 9. LIMITES DES INTfcRALES DEFINIES QUI CONTIENNENT UNE CONSTANTE INFINIE. 69. Dans Ie paragrajilie precedent au Nr. 63 il y avait lieu de déterminer 1'intégrale défiuie générale ^(x iS/ïi Je "?? - ' — P(^) dx, pour Lim. ^ = x , o ^ et au Nr. 68 on a mentionné une autre integrale de forme semblable f Sin. k X f Sm. kx Tji'ii- ƒ "77: f{a;)d.v,Jj\m.k j Sm. X inais outre celle-ci, il y en a encore plusieurs, qui méritent une étude particuliere [46]. Nous tAcherons de les déduire de 1'intégrale mentionnée en premier lieu - -"- r(.ï)c/A- = -F(0), 0+l)^] (k\ f{p+-^)~l lx\ /■^;c+l)'rl (a;\ T/'l , ,''^\,| I=-Lnn.[j -i^os.x/{-jd.+j y^C'---/(^,y.^'+.+ f -,Co.../(^^|/.,-4-.+ j jfos.x,f^jdx\. Dans une de ces intégrales, oü les limites sent c n et (c + 1) n, substituons x = en -\- y, dou dx = dy,Cos.x :^ Cos.cn. Cos. y, avec les limites O et tt pour y; alors elle devieut: /•(c+lin-l /^\ /-Tj lcn-\-x\ I -Cos. x.f[-\dx =■ Cos. c n. 1 -Cos. x. f dx. ct: o Page 66. ET METHODES D'ÉVALUATION DES LNTÉGRALES DÉFINIES. I- 9. N'. 70. Ainsi toutes les intégrales obtieunent les limites O et rr, et on peut les réunir sous uu même signe d'intégratioii ; de plus on peut prendre pour facteurs généraux Cos.pn et - Cos. ic et Ion trouvera : i==a,.,.xi,nj>«.^4Af-'-f')-/('^'|^')+..+c..,((,-ri,)/('-'--^-+-1l. o Ijorsque f{^) est une fonction décroissante entre les limites O et tt, alors la série sous Ie sigue d'intégration est convergente, et sera contenue entre zéro et Ie premier terme de la série: cVst-a- dire, quand on remet pour p n sa valeur bk -\- r : Cos.p7i.Lini. ƒ Cos.xdxyiQ 'i^l'C^Cos.pnAAm. \ - Cos. xdx f l o "o 'T + J^ . r -{- .V I r -^ x\ Mais ia supposition lAm.o f {b -{- ö) = O donne pour Ö = . : Jjiiii. — 7 — /\b-\- — r — = O, 1 lbk-\-r + x\ d'oü, puisqu'on a ü<^j;<^»'<^7r et aussi O <^ ?■ -|- -c -hv + -~. f{.v)Jx. f Sm. X I oui. X J -5'?ï. A' 'o "o !Z 2 Dans la dernière integrale faisons .T = 7r — ?/, d'oü J.i;= — di/, SiH.x^=^Sin.i/, Sin.kx= — Cos. kir. Sin. ky =■■ Cos. ^{k — 1) t} . Sin. ky, donc : C^Sin.kx nSin.kx , , , f'-iSin.kx Lini- I ^:;, — / (x) dx =^ him. I _/ (x) rf.» -f- Co.<. I (fc — l)?T).Lnn./ ~-,- j [n — .v) dx I Sin. X J oin. x j Siit. x ■ (I o 'it = -[/(0) +Cos. [{k~l) tt). f (tt)] , Lim./; = * (15;j) . 1 . j)ar rintennediaire de la formule (152), que ron peut euiployer, puisijue a -^=^—71 est plus petit que TT. On voit que Ie résultat dépend de k en taut que Ie facteur Cos.[{k— l)i) devient — 1 OU + 1 poui' "'1 ^ ps-'i" OU impair; aussitót donc que Ton conuait k comme limite d'une quantité paire ou impaire, on a: .. r^^^-^^^^^^tiW^( ,,^^^^(0) ; . (ir,i) f Sin.x 3 Lim '( r^ Sin. 2 k .r ƒ TT Sin 2 k r re -— -f{x)dx==- {/■(()) -/\ TT)} ,Lim./c = X (155) Sin.x 2 u Lorsque au contraire Torigine de k n'est pas conuuc. cette integrale est iudéterminée, ;i moins que / (tt) ne soit zéro : c'est-ti-dire ƒ"■ Sin. kx Tt . ) l^^^'^^'^^^^^^^-'^^-'' \ (156) = indéterminée, si ƒ (w) n est pas zero. ' Ensuite soit a = hn: si l'on divise la distance des limites en b parties, chacurie de tf, on a : f '-'^ 5; ". kx , f Sin. k x P^ Sin. k x ['"'Snhkx f Sin.kx p^Sin.kx^ ^, , I i^in. X J Sin. X f Sm. x Lim I Sin. X ' ' ' J o ( [<.':+^)^Sin.kx ._ ... Cl'-^Sin.kx ) ^' Pa^e 69. J ASm..c J Sin.x 1. 9. N'. 72. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Maiiitenant dans quelque integrale a limites en tt {c-\- l)n substituons a; = cn -f- y, alors cl.r = ilt/, Sin.a; ^= Cos.cn.Sin.y, Sin.kx= Cos.ckn.Sin.ky == Cos. ^{k — 1) c ttJ .Cos. ctt. "Sm. ^y, tandis que les limites de y deviennent O et ti ; et il vient: I -— fi^^) dx = Cos. {{k—\)cn\. ƒ -~ ƒ (c n -\- x) ch: J om. X ' ^ ' j Sm. X CT O Substituons ce résultat dans les intégrales de l'équation précédeute, observons que Cos. ^(k — l)2c7r} = 1, Cos. \^{k — l)(2c — l)""} = (^os. |(^ — l)'^}» öt faisoiis usage des résultats de la formule (153); nous obtiendrons: ƒ ~ fOl7l fCJj TT TT ~-/^.r). On trouve par conséquent: C'2b7T Sin kx Tl Lim Pase 70 ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 1. U. N'. 72. ƒ( 24 -i- 1 ) T gifi }. ^ jj -^-- /■(.,) rf.<:=- [/(O) + 2 /•(2 ;,) + ... + 2/(2 i,r)],Lim./.= « . . . . (102) si toujours f[{2h-\-l)n^ =^ O, pour /i <^ b et /i <1 6 respectivemcnt ; f''^ )Stn. k.v Li in. ƒ''^ iiiTi. kx — ~f{x]dx = iiicléteriiiinée, Liin. A- =: x (l^'-'^) lorsqu'oii u'a pas toujours ƒ |(2 // -f- 1) tt} =0, 2 /( + 1 <^ i. Enfin soit a = 67r-j-e, ou c<::^7r; alors ou a par la division de la distauce des limites: f''^+':Sin kx , ['•'Sui.kx ['"'+': Sin. I,: x Liin. / -— f(x)dx = Lirn. / — ^ f [x)ilx -\- JAm. ƒ f(x)d,v. j oin. X ' J oui. X J oz?i. x o o 6t Dans la dernière integrale soit x ^^ öti -\- i/, elle devient par la niéme substitutiüu de plus haut : ^ , , ^ f' Sin. k X , Cos. Uk — 1) 6 77] . / — . - f{b n + x) dj; J Sin. X o et elle tombe dans Ie cas de la formule (152), puisque (;<^7t; donc la valeur eu est Cos. [{k — IjÖTi}.-/' (Ótt). Quant a la première integrale au second membre, Ic résultat des reclier- ches se trouve dans les formules (157) 11 (lö3). Par suite on a ici, en dislinguant les mêmes cas : fi-''+<^Sin.{(2k + l)x} . ^r I SinZ /W^^ = ^[/(0) + g/W + 2/(2^) + ---+:^/(^'^)J. • (164) o r2/.^+cSin.-Zkx ^ ^ ^'''"- / Sin.x ^^"''^'^"^ = 2[/W-2,/» + 2/(2^)-...+ 2/(2^"r)] (165) o n2b+\)7T+cSin.2kx ^'"^j ~^r^f{^)dx = ~[fiQ}-2f(n) + 2f{2n)-...~2f{(Zb+l)n}] . (166) o (^Tz-^-c Sin.kx n^ Li>n- / "^^r/ W '^■^ = 2 C^'^'^^ + "^'^'^^ '^l + ■ • ■ + 3/(2^'^)] (167) •o /■!26+l)7r4-c5,>j y^;^ ^ ^''"' / "S^'^'^""^ '^'^ = i [^'(^'^ + ^■^'^'^''^ + • • • + 2/ (2^'^)]" (168) Les deux dernières valent lorsque toujours ƒ {(2 /ï -(- Ij'r) = O pour A <^ 6, /i <^ 6, respecti- veraent; si cela n'est pas toujours Ie cas on a: Page 71. I. 9. W. T2, ~~>. THEORIE, PR0P.1IÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIO?f, ƒ'"+<: Sin. kx, . ^ / (x) dw = iiideterminee f169) Sin.x ' ^ ' o OU partout Lim. k = oc. Ainsi rintcgrale se trouve uvaluce pour tous les cas, qui peuveut se présenter, ei il est évident que la valeur n'en difiêre pas seulemeiit pour les valeurs de a <^ tt, = tt, bn, t> jt -{- c, inais aussi selon qu'on peut supposer la quantité k, qui diverge vers rinfini, comme étaiit paire ou ini- paire, ou en cas que Ton n'en conuaisse pas rorigiiie. Jyorsque encore ou voulait calculer notre integrale pour uu a infini, on ne sait pas si a est un multiple exact de n ou non, c'ests\-dire s'il a la forme bn ou b n -\- c: inais alors les for- mules (157) h (169) mènent toutes aux mêmes résultats : 'Sin. {{Zk+l)a] Lim 'f '^'' Shi. 2 kx I ^^~^-^-^f{x)d.v = -[f(0) + 2/(n) + 2f(2n) + ...]. . . . (170) 'o ƒ^^' Si7l. Ikx , TT r- -^^.^^/W«?^ = -[/(0)-2/(.T) + 2/(2 7r)_...] (171) o I ^f;^'/^'^*'^ J[/'(0) + 2/i27T)4-2/(47r)+.,.] (172) Li o . ' Sin. k X Lim. OU = indétermitiéi' (17 -'3) suivant qu'on a toujours ƒ [2 /< -f- 1) 't | •'= O, O <^ /*<, oo ou non. oü partout Lim. A == ao . Dans toutes les formules de ce numero on a supposé que ƒ [x) reste continue entre les limites de Fintégration. ~ -, r> • /"" (^oü. h X io. iassons mainteiiant ;i riutégrale Lim. I -p'^—f{x)dx, analogue a celle, que nous e venons d'étudier, et tachons de la déduire de celle-ci. A eet efiVt fai.sons x = .-,+y, d'oü d.v := dn, Cos.x = — Sin.y, Cos. kx = Cos. \—k tt 4- kiA avec les limites et a de y. \2 '7 2 2 '^ Or, Tcxpre-'^sion de Co.^.k.r nous indique qu'il y aura ("i distinguer quatre valeurs de k suivant ipi'il a la forme ik', IA-'-}-], i k' -\- 2, i k' — l : alors on aura respcctivement Cos. k .v = Cos. [ik'n+ik'y] =Cos.ék\,j, = Cos. (2/.-'7r -|- - tt -f (4/t' -f- 1)//} =■■ — Sin. {(4 /t' + 1) ?/} , = Cos. I (2 ^' -I- 1) n- +■( l./;'^-2) ,j\ = _ Cos {( U-' + 2)y} , = Cos. {2 k' n -\ n -f- (t k'—^ y] = .S»i. |(4 A-' — 1)!/J. Occu]K)iis-nous en premier lieu du deuxicme et du quatrième de ces quatre cas, et divisons-y la distance des limites dans deux parties, Tune de — t u O, Tautre de O i^i a — ~n: Pao;e 72. ET METHODES D'ÉVALUATION DES IXTÉGRALES DÉFINIES. I- 9. N\ 7ö. obscrvous en outre que par rintermédiaire du doublé sigue ± ou peut admettre ces deux cas dans uue même formule : Lim. /•«Cos. |(4i± ])j-) , f -2 ^Sin.({U±l)x] In \ f Cos..v •'^ / —Sin.x \2 j o _^ J bm.x \z j ■ J 0171 X \z j Dans la première integrale au second membre faisons x = — n\-, nw fn\ jSjiNi , 26+1 Page 73. 10 WIS- EN NATUUKK. VEKH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VlII. Lim. I. 9. iN'. 75. TIlEOIllE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIO.V, o = ="^Ki)+4ï)"^---J ^^''^ OU partout Li in. k =-= y., Pour Ie premier et Ie troisième caSj que nous avons distiiigués au coininencemeut de cette dis- cussion, 011 se trouveiait reduit, eu suivant la même voie, a Tintégrale : f Cos. k X Iiiin. I -^^ ■f{x)dx\ Sin. X et celle-ci sera l'objet de uotre examen au Numero suivant: doiic ici il faut agir autrement. Or, d'après les formules de Goniométrie: Cos.^-kx = Cos. \^,^k -j- 1)^^}. Cos.x -\- &'h.(('± ^ + 1) x]. Sin. x, Cos.{(4A-j-2)j;} =6os.((-i.i- -|- l).?}.CoJ..T — Sin.{l^4i. [ [k + 1 ) .r I . ƒ (.r) dx -\- Lim. ƒ ^-^^-^-^ Cos.x.f (.r) d.r ; J Sin.x o o oü la premiere integrale du dernier membre s'anuule encore d'après la formule (lól). La dernière appartient de même a, celles, que l'on a étudiées au Numero precedent, lorsqu'ou y suppose J2c+1 \ Cos.^x /2c + l \ '^"«■M— ^"^1 /2,^i \ o ^/2c+l \ ,, ^ ' .S i 'M I TT- I * ' [ 2 j Page 76. ET METHODES D'ÉVALUITION DES INTÉGllALES DÉFLMES. I. 9. N\ 74, 75. Cos. "^ X , . mais la fonction — ^^ ƒ(■'') devieiit discontinue poiir chaque valeur en de x, a raisoii du deiio- ininateur Sin. c rr = 0. On a douc : p Cos.lcx , .,,,.. Tjiin. ƒ / {x)dx = O , a <^ t, = 'j^ , n <^a . ± ö) = Lim. -—J(cn± S) = —^ Li.n.--^/(c. ±^)= 0. Sin. (c :t± 0) ± Cos. c 71. Sm. o ± Cos.cti Sm. o Or Lim. o-- -^ est Tunité, donc il faut que lAm.f (o 7j± S) = O, c'est-a-dire f{c7i)==0. Ras- seniblant les résultats obtenus, on a: ƒ" Cos. k X —7 f(x}dx ^ O, 0 n95) Quand f(x) devient infiuie pour les valeurs O, a, ou c(0^^'f{a;)-;A^ = ± -tt i7(0),0 < a < :t, (19(>) ' ■ bin..v 2 1 , = ±-7iif{0) . . . (197j, OU = X ; -I ■) dx = Lim. ."I- [/•(^) -f /(2 ,5) -I- ƒ (3 ■>■) + . . . -}- ƒ ([« — 1 ] $)], oh q = n ü. .■Supposons que /'(*•) soit de la forme / (.r) = r'1 ii>[Sin.ax, Cos. '> t), alors il vicut : ƒ »•■'• q {Sin. « r, Cos. ;)' x) dx = Lim. (^ [;■ ./ (-Sm. « S, Cos. ,5 S) -f ?• • ,, {Sin. 2 « S, Cos. 2 ^^5) -\- ... '' -f- r"- 1 ., [Sin. [ [« _ 1 ] « 0} , Cos. { [n — 1 ] P' <5] ) ] . [48] Voycv, par cxcmple Il.i.\BE, qui a traite de ces intéijralcs en particvilier dan.^ Ie Journal von (Mie, Bd. 15, S. 355; Bd. 23, S. 105; Bd. 35, S. IGU. [49] Comme j'ai taclic de démontrer dans Ia seconde partie de ma notc ins.'rce au Toite 7 des Ver- liandelingen der Koninkl. Akadcmie van Wetenschappen. Pa«'e 78. ET METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. f. 10. N . /('.. Faisons n = Zab :i -\- 1, et doiic q = 2al}id-{-8: mettoiis-y b ö = c, de sorte que b devieiit infiiii, alors q = 2, t ac -\- d, et notre iutégrale devient: I r(? if [Sin. a .v, Cos ^i x-) dx = Li in. 8 r [.f [Sin. u <), Cos. [> S) -\- r (j (Sin. 2 « ü, Cos. 2 [i (J) -f . . . + rSoiir-i qj, ^5;„ oab:, « (), Cos. Zab.i ^^ ö)^ . ]\Iainteiiant prenons a, qui est encore luie quantité tout-a-fait arbitraire, tel que a a et a [i devien- iient des uoinbres enfiers; ce qui est toujours possible, pourvu ([ue « et (j ue soieut pas des iionibres irrationnels: alors Ia périodicité des fonctious Sin. x et Cos. x donnera : Sin. [{-Z nea-\- /') u ö] = Sin.fa S , Cos. [{2nea -|- ƒ) j5 S} = Cos./\i ö ; et par couséquent : q.{Sin. {(-Zriea-^JjuS}, Cos. {{2 n ea -j- J) i3 d}) = q< (Sin.fa S, Cos. f li Ö). On pourra ainsi diviser la série de Téquation précédente en plusieurs périodes: ro if (Sin. (( .r, Cos. § x) dx = Lim. S r \if {Sin. u S, Cos. ,5 8) -j- r q [Sin. 2 « ö, Cos. 2 {i S) -{■ ... " ^ ,.2aT- 1 f,, (^Sin. 2 a .T « S, Cos. Za.i^) + »'2«^,f (5w<. « S, Cos. j)' 5) + r2a"+i ,f,(&-«. 2 « 8, Cos. 2 ,5 i5) + .., + r4ö'r-i<^(&-«.2a,7 « (5, Cos. 2 arr jJd~) + ^ ^(c-l )2aT ,j, (5/„_ „ ^-^ (7o«. ,J S) + ,-(^-02^7+ 1 ,j, (Sin. 2 « (ï, Cos. 2fid) + ... + r2<;"^-i ,,: (&■«. 2 rt TT « (5, Cys. 2 a jt ,3 5j] . . . . {201a) = ]yiiu. (■)■ ?■ ( l + r2«T -j- r-»'"-^...-}. r'c-iiav^ y {Sin. « 5, Cos. §d)-\-r, Cos. 2 a TT ,')' ())] . . . . (201c} Pour pouvüir employer la dernièrc équatiou saus crainte, il faut que c soit fini. Dans ce cas suppo- ^^ 1 — rSoc "i O — 2 a c TT r2ac,T- 1 sous r = 1, alors r^' = 1 et la Ibnction 'Y~2^ = Ö ^ — 2anr^'"'-^ "= '"' «^^'^P^^s la règle usuclle pour les fonctious indéterrainées ; donc uous aurons : .f (Sin. a .r, Cos. [i x) dx = c Lim. 8 [(f (Siw. « 8, Cos. [i 8) -\- (p (Sin. 2 « 5, Cos. 2 jï 8) -|- . . . u /■2aT -}-(;p (S«. 2 a 71 «5, Cos. 2 a 71 (3 J)] =c ƒ 9 (Sm. « j-, Cos. jJ.r) J.c , . . . (201) ■ o oi-i Ton a trausformé la serie en iutc'grale de'finie, d'après la formule (3). Ce résultat est entière- meut conforme a la supposition de périodicité, servant de base li la discussion précédente. Pa>ïe 79. I. 10. N\ 77. THEORIE, PROPRiÉTÉS, F0R3IÜLES DE TRANSFORMATION, 77. Mais ce résultat iie vaut que i)our un c fini, et quand a « et a jJ sout des nombi'es entiers. Gardons cette dernière coudition et passons au cas de c infiui. Alors Ie passage de (201è) a (201c) ii'est plus permis en général, quaud r devient 1'unité; car dans la première on distingue deux fac- teurs, dont Ie premier devient infini : donc pour que l'intégrale ne devienne pas iufinie, il faut du nioins que Ie second facteur soit zéro pour r l'unité, c'est-a-dire, que Ton ait: .( {Sin.uxfios.^ix)dx=Q . (202 ) o La différeuce du second facteur mentionné et de cette série donnera : S=c(5m.«5, Cos.^8)+rf[Sin.ZuS, Cos.2^S)-\-r'^if{Sin.iu5, Cos.SijS\-^...+r^-''^-^^T'j O — 2ban r->"'^^ Ir Lira. = Lim. = — pour cliaque r, lorsque S devicilt zéro : doiic = , , ó\26<«-() 9. ban SS = — 2 ba 71 r2i«7(? l ,. ; mais 011 ;i ici : Liin. rSw'T'-* = l :7= 1 — ^ [_...:= 1, ]jim. b Ir = Lim. -/ ( 1 1 = Lim. c -^ = Liin. c-^ 4r: 1 = Lim. r, = — 1 S \ cl S U — -] 1— - et par conséquent: Lim. = — 2aic 1( — l)r=2a7i:clonc,piu3qucengéuéral] — = l-}-s^l=:s; /•2Tac ï I e '^'i {Sin. « .1', Cos. i>' .^■) d,v = — Lim. S . d [<{, {Sin. « (>', ('0.9. [i S) -\- 'lip (6'm. 2 ocS, Cos. 2 ^i S] -\- -j- 3i| (Sm;. SaS, Cos. 3{jd}-\-...-\- 2anii {Siri. 2a7ic{Sin.ce.v,Cos.§x) dx-\- j tj{Sin.ax,Cos.(ix)dx,cï\nï . (207; o O o Page 8L 11 WIS- EN NATrt'RK. VEEH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIIL I. 10. N'. 78. i'llÉORlE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRAN'SFORMATION, ƒ2■>rac+b ;"i cp [Sin. a X, Cos. li x) diC = / tp (Sin.ua:, Cos. (i ,v) dr, c tini (208) o -^0 e '^(f[Sinaxfios.^x)dx= — lxp{Sin.ax,Cos.^.v)dx-{-e—-^^j c '^(f[Sin.u.r,Cos.lix]d.r,cM\.(9,0Q) o 'o o \ q («Sin. «.i', Cos. §x)d.v = — / x(f' {Sin. a.v, Cos. (i.r) d.v-\- j (j (Sin. u.v, Cos. [ix] dx, o infini . (21 0) "'-> o o Les trois dernières iuti'grales exigent la condition (20:2). Les deux intégrales (206) et (210) out toutes deux oo pour limite supérieure, et pourtaut les valeurs en diflcrent esscntielleinent : douc il est évident que 1'intégrale I (j (Sin. « x, Cos. (i x) dx. o iHi l'on ne connait pas Forigine de la liinite supérieure, est nécessairemeut indéterminée, et que les résultats contraires, qu'out obtenus Poisson, Cisa de GeÉsy, Plana, Raabe, Bo>"compag>t, Oettinger, ue peuvent valoir [50]. [50] Poissox, Jounuil de TEcolc Poli, technique, Cah. IG, p. 215, N'. 2. — Le ehevalier Cjsa de (JRÉSY, Mémoires de Turiu, 1821, p. 209.— Plana, Mémoires de Bruxelles, T. 10, Mém. Corr. p. 1. — Raabk, Journal von Crelle, Bd. 15, S. 355. — Ibid., Bd. 16, S. 219. — Boncompagni, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74. — Oettingek, .Journal von ftelle, Bd. 3S, S. 21G. Paa;e 82. PARTIE DELXIÈME. FORMULES DE TRANSFORMATION GÉNÉRALES. 1. Les priucijjes cxjjosl's de l;i thuorie des iutégrales déliiiies uuus t'ouniisseiit les moyeiis nécessaires de déduire plusieurs théoièmes géuéraux de traiisformation au sujet de ces fonctions, OU il se trouve sous Ie sigiie d'intégratiou définie uiie foiiction, ou tout-ufait arbitraire, ou souinise h quelques conditious plus ou moins restrictives. Uans les discussions, auxquelles les diverses trausfürmations donneut lieu, il faudra presque a chaque instant faire usage des diverses reinarques, que coiitient la Première Partie: de sorte qu'on peut déja considérer cette Partie-ci comme une application de la theorie des iutégrales défiuies, conteiiue dans la première. 11 y a quatre genres de ces théorèmes de trausformation. En premier lieu ceux, qui mèuejit a nne évaluation finie d'une integrale définie générale, en fouction ordinairement des coefficients, qui se l)résentent dans un développement de la fouction intégrée. En deuxième lieu ceux, dans lesquels on est conduit a une autre integrale définie générale, qui est plus simple sous quelque point de vue, ou qui offre plus d'avantages pour la réduction dans chaque cas spécial, lorsque la forme de Ia fonction est connue. En troisième lieu les théorèmes, qui conduisent a, des sommations de séries; ces théorèmes peuvent de même servir inversément a la sommation des suites par des intégrales défiuies. Enfin les théorèmes, ou il se trouve encore des intégrations doubles, que Ton ne peut réduire u une seule intégration qu'après la substitution d'une forme spéciale pour la fonction arbitraire; il dépend donc en cc cas de cette forme, si Tintégration doublé est irn'ductible on non h une seule in- tégration. Dans Ie cours de cette Partie il faudra souvent employer les valeurs d'iutégrales défiuies spéciales, valeurs qu'on ne trouvera déduites que dans la troisième Partie. Ceci pourtant ne pourra donner lieu a des objections fondées, pourvu qu'on se garde de faire usage de telles formules que l'oii aurait obteuues peut-être :\ Taide du théorème en discussion ; ce dont ou pourra toujours faciiemeut s'assurer par l'inspectiou du lieu cité, oïi se trouve Févaluation de l'iutégrale délinie employee. Dans Ie cas contraire, oü Ton voudrait faire usage de la valeur d'une integrale définie, découlant d'un théorème, qu'on s'occupe de démontrer ou de déduire, on tomberait néccssairement dans la faute sjrave de raisonnement en cercle vicieux. Page 83. U* II. I. N\ 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE ÏR.4NSF0RMATI0N, CHAPITRE PREMIER. EVALüATIOiy DUiVE IMÉGRALE DÉFINIE GÉIVÉRALE, 2. Coüimeu^oiis par une application de la formule (18) de la première Partie. Elle nous apprend a diviser la distance des limites d'une integrale déünie en plusieurs parties, qui seroiit les limites d'autant d'intégrales définies nouvelle?, auprès desquelles la fonction intégrée ne subit nucun clianjïement. Ainsi nous avons la formule; I f (a-p 4- x-Pj U— = j f{xP + .v~P) Ij; ~ + j ./ (a'?' + a—P) l w dx IV / o 11 djr — dii 1 — du , ,• Dans la derniere intesjrale faisons .r = -, douc - = — ;.-- : - = '-, tandis que les hmites ° y ,).' (/ y IJ ]iour y deviennent 1 et O ; alors nous avons : r d'^ /■" / 1 \ ,'^ —dl/ (\ 1 d,i / f{,P 4- x-P) Lv-^ fl^ + yp\l ^^ = ƒ (y;. 4- y- P) l - -> , ƒ a- / \yP I y II J y y \ -1 ■ 'o d'après Téquation (P. 1, 24) *). Donc aussi par la substitutioi\ de cettc valcur: j f{xP-{-x-r)l.vj== i f{.TP-\-x-p)h~-\- i f{xP-\-x-p)l-~=^ j f{,r-\-:v-P) '-?+?;] 1 \ dx = 0; [1] .' (1) d'abord puisque nous avons emi)loyé la formule (16, P. I) et ensuite parce que lx -\- 1 - est identique- .7' ment zéro. Toutefois il faut observer que cette division de la distance des limites, ou plutot, que Ie changement de la variable dans une des intégrales partielles n'est plus permis, lorsque celles-ci seraient lx . , . . . toutes deux infinies: donc la fonction intégrée ƒ(*•/' ■{- x~P) — ne doit pas devenir infinie pour la valeur 1'unité de x, c'est-ti.-dire que la fonction /' (r/' -[- -i'"'^) ^ *' doit satisfaire il cette conditiou. Lorsque dans l'intégrale peu différente r dx /■! d.V r' , dx: *) La notation P. I, P. III désigne les formules, qui se trouvent dans la jiremiève, ou dans Ui troisième Partie. [1] ScHLöMiLcu, Grunert's Arcbiv, Bd. 4, S. 316. Page 8^^. ET METHODES D'ÉVALL'ATIOIV DES IIVTÉGRALES DÉFIMES. H. I. N'. '2, 3. ] dx . — dy I 1\ — dy on introduit la inéinc substitution de .t = -, on a ici : 7 = — ~ : 1 + -7 == :; — ; — ;, ; y 1 + -^' y \ y I i+j/' donc tout comme jilus iiaut : r, dx /' dx n ,1 dx / ./ (xP + x-P) Lr —— - = /(..;- + x~P) lx — — ^ + / {XP + x-P)l ----;, = O ; . . (2) / 1 -\- X^ J l -j- X^ J X i -\- X- n *o o par Ie même raisoniiement et sous la même restriction que réquation (]). d\j Lorsque dans les équatious (1) et (2) on fait x =^ e—'J, lx = — y, -'- = — dy, avec les X limites — oc et 00 de y, olies devieuneut: I f(eP^-\-e-P^)xdx = O (3) ƒ ƒ (epx ^ e-P^') f/" = O (4) Dans réquation f2' on peut faire x = Tanq.y, donc = ^ ^ — • : Sec.''- y = dii • alors n les limites de v seront O et - , et l'on obtient: 2 jf{Taiig.Px-\-Cot.Px)Tang.a'dx =0 (5) "o 3. Soit dans une integrale définie dx la fonction f (x) tellement constituée, qu'on jieut la développer dans une série suivant les Cosinus des multiples de x; c'est-a-dire : f{x) = Ag + A , Cos. X -\- A.^ Cos. 2 a; + . . . = ^ A„ Cos. n .r, o — série, qui reste convergente pour toute valeur de a, entre O et qo , — on peut alors en trouver 1 r la valeur de la maniere suivante. On déduira P. III Méth. 1,N°. 9 que- = I e-^'J dy, donc on pourra écrire au lieu de l'intégrale en questiou Tinlégrale doublé: \{f{px)—Aqx)]dx je-^ydy= jdy j{f{px)~fiqx)} e-V^d.v= j dy j Upx)e-y^dx— \f{qx]^y=^dx\ , o o "o 'o "o o o oiï Ie changement dans l'ordre des intégratious est légitime, d'après la supposition a 1'égard de la fonction f[x). Fase S5. II. I. N'. 5,4. THEORIE. PROPRIÉTKS, FORMULES DE TRANSFORMATION. Mais OU a; I f ia x) e—b'^ (lx =■■ I e~!J-^ dx 2 kn Cos. n a x = .Z" An ƒ e—V^ Cos. n a x d.v = 2 hn ~'., — . , , / ' /o L) / O M^a- +»/- 'o n "o lorsqu'ou snbstitue Ia valeur de Fiuttgrale tlcfiuie, trouvée P. III. Méth. 4, N". 11. Douc oii a aussi : "i' o o = ^A„/ -2 +?/^-) d.l{irq^- +v-)f = ^-A„ / (/ . / ,/ , ^ , = 2 o' " i Ü+1 «=7^ + 0] 2 o '" ^^p- Nous y avons efi'ectué Tiiitégratiou d'après la formule (6, P. I), et uous y avoiis garde li dessein Ie coëfficiënt w' dans Ie numérateur et dans Ie deuominateur sous Ie Logarithme, afin de faire voir ijue dans Ie premier terme de la série pour la valeur zéro de n, on aura Ie logarithme de 1'uuité, c'est-a-dire que ce terme deviendra ze'ro lui-mênie: aiusi Ton pourra commencer la soramation avec la valeur unité de n, et uier dès-lors les facteurs n- sous Ie Logarithme, qui ])ar suite sortira du sigue de sommation. On aura ainsi : r{f{p^)-f{'l'=)) ^'— ^^^ ^A„ = ^^^T UÏOI- A„); [-21 (0) "o puisijue ,/ (0) ii'est autrc chose, d'après la sujiposition, (]ue Ao + A, + A, + . . . = i A„ = i A„ + A„. II faut (lonc pour la validité du résultat (fi) que la fonction /' (.r) puisse se développer coinuie il a été supposé: mais on verra sans peine que Ie raisonnement ne change pas, que ce développement soit une série finie ou iufinie. •J-. Appliquons maintenant la methode de diftereutialion successive sous Ie signe d'intégration t{pe^')e—'"^'dx, oü a o soit un uombre entier quelconque. Différentions a fois a l'égard de p, et désignons Tefiet de cette opération sur la fonction f{y) par la notation connue f^°-^{ij), de sorte que: d<^.f{p e") (i«. f{p e^') / d. p e^A « dp^ id.pe^^)^-\ dp > =/^'(pe").(.«>: [2] ScHLÖMiLCH, Grunert's Archiv, Bd. 5, S. 152. Pasïe 86. ET METHODES DlVALU.VTION DES IMÉGRALES DEFINIES. H. I. N°. 4. et par suite : - = ƒ f."'; (p e-'') e"^'' e—axi dx =^ ƒ t\"){pe")(Lv («) Ou a supposé tacitemeiit qu' entre les limites O et ^n de x et des limites quelcoiiques de p les a quotieuts diftereiitiels successifs de f{p e") ne devienuent pas infinis. Séparons dans la fonctioii f{pe^') la partie imaginaire, et so\i f{pe")=qi[p,x)-\-ii[p,x)\ alors on obtient: v„w ,,, ... ;(!■"■/ iP e'') _„,; p. f (/',.«) , .fi«.j;(p,«)| ■' ^' ' dp" [ dp" ^ dp'^ J \p d'^.HP,-c) , ^.. d«.xip,.V)^ .1 d«.i[p,x) d-.^iip,^)^ = > Cos. a X \- oin. a .r '^ +i i Cos. a x - - - — oin. a x > l d/.« ^ c/p" J ^ i dp" dp" j Supposons eucore que la fonction (pe^^) acquière les mêmes valeurs pour les valeurs zéro et 2 tt de X, c'est-a-dire, qu'elle soit périodique; alors Ia même chose arrivera auprès des fonctions ti(p,x) et '/.{p,x) et même auprès des autres (^(p,x} et X(p,x), donc aussi auprès de ƒ("-' (pe-^'). A pré- sent on a : d d v ö**"'^' -- ƒ(«) (p e':') = f^a+i) (^p Qxi^ -II- — — f.a+\) (p e^') p i e" ; dx ' d.v donc aussi par rintégration par rapport u x entre les limites O et 2, n : ^2!r /■2T c^ ) 2t ext f{a+\) Q, gxij dx = I ~ /") (p e") dx = ƒ«) (p e^') } , ( d^ Jo u •'o cest-tVdire prise de O a Sti: uiais d'après la supposition que les valeurs de cette fonctiou soijt égales pour ces deux limites, Ie second niembre de cette équation s'annule. Eu outre puisque d. d. n e^^ 4p dp l'équatiou précédente prend la forme : [-'^ d d /"-^ O = / dx — ƒ(") [p Ê^O = -^ ƒ f'"^ {p e") dx, J dp dp J o o comme il résulte de la formule (59, P. I). Dès-lors il s'ensuit que rintégrale T ƒ(«) (pe'^') dx = Constante par rapport a p = C. ƒ Pour la déterminer, soit p = O : alors il vient : r2?r ») (Oj. C = ƒ '/«) (0) dx =/(")(ü) ƒ " dx = 2 n/i") Page 87. II. I. N\ 4, o. TIIÉORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR.VNSF0RM\T10!V, Ainsi l'oii obtient d'après l'équation («) : f et lorsqu'ou intègre celle-ci a fois de suite par rapport ;\ p.- (7) lorsque f{pe'') =f(pe'^) =f(p), et que cette fouction f\pe"), ainsi que les << premières dérivées, ne devient jjas iufiuie entre les limites O et Sn de x et certaiues limites de p: observons toute- tbis que celles-ci doivent contenir la valeur zéro de p, puisque autremeut la maniere dont nous avons déteiminé la constante C ne serait plus legale. 5. On trouve P. III, Méth. 37, W. 12 Tintegrale détinie : ri'^ {Cos. x. e^^)f 4- ( Cos. X. e-"]!' , ^ / <; \ / ƒ Cos.'^ ar -}- (^^ Sin'^.x 7 \'7 + 1 o EUe douue lieu a uue application très-simple: car soit y'(a;) uiie fonction, ([ui peut se développer salon les puissances de x, savoir f{x) =^A„a-; 1 prenoiis successivemeut pour x: Cos. x. e" et Cos. x. e~",* et pour p successiveinent les norabres entiers de 1 :\ c: muitiplious chaquc integrale par la valeur correspondante de An: et nous aurons par l'addition de tous ces résultats : ƒ ^ o , ,c.. n ^ A„{Cos..v.e^i)"+ l -—- :;: SAJCos.x.e--'^-')" = - ^ A,, -^- . f Cos.-x-\-q^üin.-x i J Cos.^x-\-g^üin.'^x i q \ \q-{-'^ j 'o "o Mais les sommatious dans la première et dans la seconde integrale du premier membre de cette équation ne sont autre cliose que f(Cos.x.e^^) et f (Cos. x. e~^') respectivement: ainsi 1'on pourra de nouveau mettre les deux fonctions sous un même sigue d'intégration . De plus, la sommation dans Ie second membre de notre équation est aussi / ( ); ainsi Ton obtient: \7"|-1/ i^f{Cos.x.e^)+f{Cos.x.e-^'}^^ ^n I q \ ƒ Cos.^ x-\- q''- Sin."^ .v q \q -^ l formule, qui pour la valeur 1 de 5 se reduit h [3] Lamaulb, Journ:il de Liouville, T. 11, p. 139. — Dienger, Grunert's Archiv, Bd. 15, S, 119. Page SS. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. I. N'. 5, 0. ƒ '^ (Cos.x.e^>)-{-f{Cos.x.e-^')}dj; = Trf[-\ [4] (9) 6. Les deux fouctious Z, (x) et ƒ2 (x), qui sout duveloppables, Tune suivant les Cosinus, l'autre suivaiit les Sinus des multiples de x, c c /■j (^) = Aq -}" ^ ^nCos.nx , /j {x) = ^BnSin.nx, 1 1 peuvent être einployt^es ici en vertu du raisonnemeiit suivant. On a identiquemeut d'après la snpposition : f.^ [x) Sin. a X d.v = 23n \ Sin. n X. Sin. a X d.v. Mais on trouve, P. III, Méth. 3, N'. 15 que la valeur de ces iutégrales définies est: r ï I Cos. n X. Cos. a x dx = O , ou = — ** > selon que n est ^ a, ou que n =• ƒ Sin. n X. Sin. a x dx = O , ou = — J 2 o Ainsi tous les termes des deux soinmations s'évanouisseut, outre ceux oïi l'on aurait n == a: de même Pinte'grale, qui a A^ pour coëfficiënt, s'annule aussi. Donc on a enfin: ƒ ƒ, (x)Cos.axdx^=—nAa;\ (10) o \ oü a est un nombre eiitier [5]. n . 1 ( / f 2 {^') Sin. ax dx==- TT Ba ;\ Q]) "o j 11 y a eucore un cas d'exception: c'est celui oii a est zéro: alors la seconde des iutégrales citées devient identiquemeut nulle, et par suite aussi la formule (II). Cos.ax au contraire devieiit Fuiiité, et pour n = a = O, Cos.nx est aussi égal S, l'unité; donc tous les termes de la som- ination dans 1'équation («) s'évanouissent, mais Ie premier terme au contraire devient: Aq 1 Cos.axdx = Kq | dx ^= n k^; [4] Sekret, Journal de Liouville, T. 8, p. 489. [5] ScHLÖMiLcii, Beilriige zur Theorie bestimmter Integrale. Jena. Frommann, 1843. 4°. (103 S.) II. S. 31. Page 89. 12 M'IS- EN NATUURK. VERII. DER KONINKl. AKADEMIE. DEEL VIII. II. I. N\ 0;, 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ainsi la formule (lOj devient : ƒ /'i (a-) de =. 71 Ao (12) 7. Par riutermédiaire des mêmes intégrales défiiiies ou trouvera encore les théorèmes suivauts. c Soit une fonction ƒ (.r) développable suivant les puissances Ae x, c'est-iVdire ƒ(.«) = Aj -\-JEAn-v", alors on aura, a Taide de la formule c" = Cof. a; ± i Sin. x : c c c ƒ (ü e^A = A o + -2" A„ }}" e"" = A (, + ^ A„ p» Cos. n x -\-i2 A„ p" Sin. n x, 1 1 1 c cc ƒ {p e-*') = A o + ^ A„ p" e-"^'' = A ^ + ^ A„ /j" Cos. ?! ^ — z ^ A„ p« »Stn . ?; .« ; 1 1 1 dont la somme et la difiercuee, divisées respectivement ])ar 2 et 3 i, dounent : 2i 1 Multiplious la première par Cos.a.ndx, la seconde par Sin.axdx, et iiitégrous par rapport u x entre les limites O et n, uous aurons : ƒ^f(ne^') 4-f(pe~") f^ "^ [^ ■'-i^- — ^-X^-Lh^ i Qog^ axdx = hr, I Cos. ax dx + 2 A„ p" ƒ (Tos. ?ia'. Cos. ax dx, 2 y > ; u 0 0 — ^- — ^^-^ -Sin.axdx= ^ AnP" \ Sin.nx.Sin.ax dx. 2i , ^ ; o o lei les secouds membres dépendent de nouveau des mèmes intégrales définies, que Ton rencontrait dans Ie numero precedent: les mêmes conclusions valeut douc ici quant aux termes des sommations, qui s'évanouisseut, et il restera enfiu : I r Co$.axdx=-h.ap''-, I (13) ° \ oi\ a est un nombre entier [6]. —-: Sin. ax dx = - Aap" \ \ n^\ f Jjorsque a est zéro, il vieut tout comme plus haut: f 2 dx = nXa (15) [6] Smaasen, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222. Page 90. ET MÉÏIIOÜES Ü'ÉVALUATION DES IMÉGRALES DÉFLMES- II. I. N\ 1, 8. Ces dernières formules soiit un [)cu plus géuérales que celles du Numero precedent, en ce quelles se réduisent aisémcnt a celles-la, lorsqu'on prend Funilé pour la valeur de p. Il est bon de remar- quer, que dans les discussions Ia valeur de c n'a eu aucune influence: de sorte que Ia valeur en peut rtre iufinie, c'est-a-dire que les développemenfs peuvent être des séries iufinies. S. Lorsqu'une fonctiou peut être développée selon les puissances paires de Cos. x, et que 1'on a f(x) = Ao + A , Cos.^ j; -f A j fos." a; + A3 Cos." a- + . . . = ^ A„ Co«.2« ,v, o OU peut traiisformer cette serie dans une série doublé, en faisant usage d'une formule de M. KUMMEII [7] : \''/-i rr, 2lt"/^ Cos.nx (J0g 2/1 ^ ::= . ^ 2^/2 o (A+1)'V' ii('os..vy>' Cos.nx Cette série doublé pourra ensuite se réduire h une autre suivant les coefficients de 7F7v7"^i '■> ^^^ trouve: A^)= Ao 1 / 2 Cos.x 2.3 Cos.2x 2.3.4 Cos.nx 2.3.4.5 Cos.lx "*" 2 '\ "^2 2 Cos.x "^ zJ (2 Cos.x)^ "^ 2 .3. 4 (2 Cos.x)^ "^ 2 . 3 . 4. 5 (2 Cos.jcy 1.3 / 4 Cos.x 4.5 Cos. 2 x 4.5.6 Cos.Zx 4.5.6.7 Cos.4>.i: "^ 2T4 ^'\ "^3 2 Cos.x "*■ 3^ (2 Cos.xy '^3.4.5 (ZCos.xy ^ S.é.5 .Q {ZCos.x)*'^'" 1.3.5 / 6 Cos.x 6.7 Cos.2x 6J\8 Cos.3x 6.7.8.9 Cos.4>x "^ 2.4.6 ^'\^ "^4 2 Cos.x "^ 4.5 {2 Cos.x^'^ 4^.6.6 (ZCos.xy "^ 4>.5.Q.7 {ZCos.x)'^ 1.3.5.7 / 8 Cos.x S.9 Cos.2x SJJjO _CosJ5_^ 8^9J^^ "^ 2.4.6.8 '^m/ '*' 5 2 <7os..c "^ 5^6 {2 Cos xY^ '^ 5 .6.7 {2Cos.xy ■*"5.C.7.S {2Cosxy + 1 1.3 1.3.5^ , 1-3.5.7 , = ^0 + ^^'+ ^^^+ iX'6^=+ ^X^8^*+- Cos.x II 2 1.3 4 L3^ 6 1-3.5.7 8 ^ "^ 2"CoI^ \2"2 '^'+2":4"3 '^^+2.4.6'4 ^^''"2.4.6.8 5 Cos.2x n 2J3 L3 4.5 1A5 67 1.3.5.7 8.9 ^ + (2CW^\2'2:3 ''^'+2^'3l ^^"*' 2.4.6 '4.5 '''^2.4.6.8 5.6 *'^'" Cos.Sx n 2.3.4 1.3 4.5.6 1^ 6.7.8 , liMl! . ?^1:2^ ^ 1 "^ (2(7o..^-) = \2"2T374''^'''"2!4'3T475^'"^2.4.6"4.5.6 '"^2.4.6.8 5.6.7 ' Cos. 4.x n 2.3.4.5 L3 4.5.6.7 1A5 6.7.8.9 L3.5.7 8.9.10.11^^ _^ "^ (2 6W^)*\2'2aI5^' + 2^' sZi^ë^'"^ 2.4.6 '4.5.6.7 '"^2.4.6.8 5.6.7.8 * + [7] KüJiMEE, Journal vou Cvclle, Bd. 15, S. 161, Form. (3). PaM 91. 5 2* 11. 1. N°. 8. TUÉORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ]j"inspection de cette deruière série donne pour la série B^-, qui est Ie coëfficiënt du terme géiiéral Cos hx: {iCos.xf: 1 1.3^+3 1.3.5^4- 4./;+ 5 1. 3. 5. 7 /c + 5.Z; + G /c + 7 2 ^2.4 3 '^2.4.6 4. 5 ^^2.4. 6.8 5. 6. 7 ^^ "" 1 2« 2 [n-\- l)"-i/i " '1 2". l«/i {n -\- l)"-'/' " ~~ "t 2« 12«-i/i ^" ^(^-j-n+l)n-l/l ^ ^ (^ + » + 1)"-'^' . = ^ ; An = .^ A„, 1 2« 2''-l/2 1 22« -1 l»-!/! par la réduption successive, facile d'ailleurs, des facultés numériques. Tachons a présent de transformer cette sommation eu integrale défiuie : a eet efl'et nous ferons usage de Tintégrale défiuie, qui se trouve évaluée P. III, Méth. 23, N". 24 : e\T TiY (p) «^ »2n 1 I (f (x) COS.P—'^ X. Cos. q X dx = ; ; f— rr ; j— p- ^ -. ; , , .„.p , . ,,„,o C„ , / ^^ ^ ^ g^,p /P+g+l\ /p-g+l\ o 0'^-?+l)"'^^(/'-y^-l)"'- l 2 j \ 2 c OU (j){x) == :2CaCos.-"x. Faisonsp =Z:-j-2, .^ = ^-^-J, alors p + 7+1 = 2i- + 4, p— j-f 1 = 2; o de sorte que cette integrale devient ici : i' faut que ƒ (.r-|-^i) soit une fonction qui reste finie et continue entre les limites respectives O et co de a:, — co et x de y. Dans cette supposition on a naturellement : f{x + oo i) f(x — cai) ,_ . . ƒ (m -\-yi) F(a-+xf)=-^V^^ ( =Q,-F{x-:ci) = -^-^ f = O ,F co -\-yi) = - , , ., =0, de soite que les conditions se trouveut satisfaites : puisqu'il u'y a ici aucune discontinuité, la correction A est nulle et Ton a : r^*-o (") — 00 Substituons ensuite F (y) = IML avec les mêmes conditions pour ƒ (a; + ?/ *) que plus haut; les conditions éxigées au comraencemeut de ce Numero seront encore vérifiées, et l'ou peut employer Ie théorème. Mais ici il y a un cas de discontinuité pour la fonction Y [x-\-yi) = r, c'est-;i- dire pour les valeurs siraultanées a- ^ ^ et y = O : on a donc ici: ro+e r/(9-^ + y») _ /(7 + g + yz)-| _ f' ^ lf{q-ö+yi) f{q+S+yiU_ A=-/ ^U—i'] — S+yi) q — {tl+S-{-yi)\ J ^l S-yi "^ 8+yi J O-ö — c- [8] KuMMEE, Journal voii Crellc, Bd. 17, S. 210. Page 93. II. I. N'. 9. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIOI, lorsqu'on ramèue les deux fractions au dénominateur commun {S — yi) {S-\-yi) = d'^ -\- 7j- et que Ton sépare la partie imaginaire de Ia partie réelle. Maiutenant passons a la limite zéro de fi: alors ou a en premier lieu; f(g-S + y O = /(^ + 5 + yO = f il + yi) ; parce que d'après la suppositiou f[x-\-yi) doit rester finie et continue. Donc la dernière integrale s'évanouit et l'on a: L =-2Lim. j'j^^-Jiq^yi), Um.8 = 0. Mais il s'ensuit encore de la contiuuité supposée de /(o; -f- y i) que: fii + yi) =/{!) + yifii + ^yi), «<*"; donc: A =-Lim. [2fig)j'-^^ + 2iöj'j^J(^^eyi)l Lim.5 = 0. La dernière integrale est nécessairement finie, puisque /(j + 6 j/ i) reste continue; par suite elie s'e'vanouit a. cause de son coëfficiënt 8. Quant a la première integrale définie, on a: r 8 dy /■' y ( — ( TT I ■n\ j ^r:^ = ] '^- --irdangr- = Ardaug. -^^ - Ardang. — =-_^_-J=,r; donc : A = -2/(5)7T+0 =- 27r/(ï), c'est-il-dire : p_Ö^?_j,^(„ „s, Combiuons les cquafions trouvées (17) et (18) par voie d'addition et de soustraction : \ f{yi)^-~-,=-.f{q) (20) j_ (i^+y^ ^ Divisons encore la distance des limites — co b oo de ces intégralcs défiuies en deux partics, savoir de — cc a O et de O a oo , nous obtenons : —X o _« O Dans les premières intégrales de ces équations changeons y en — x, par conséquent dy = — d.i; avec les limites oo et O pour ,x; alors: Paste 94. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. I, N'. 9^ 10. I fivi) • = / f(—xi) -. = ƒ /(—*«) T . r 9' + r r r + ^' 7 '^ '9' + ^' — 00 " o — 00 * o aiusi les limites sont les meines que celles des deux autres intégrales : 011 peut donc réuuir les deux füiictious iutégrées sous uu seul sigiie d'intégration définie, c'est-a-dire : r[/(2/^')+/(-2/'')]^T^ = ^/(?) C^J) o V(yO-/(-rO]^r|^ = T/('i). [9] m f 10. On peut difi'érentier ces deux dernières intégrales par rapport a la constante q, et cela plusieurs fois de suite. M. Gkunert [10] a donné les deux formules: Cos.Ua+l) Ardg.^ ^^ Sin. \{a-\rl) Ardg.^ rLZ. 1 = f_naln/l \ 11 : — ( — l)ala/l l ü; qui nous seront utiles ici : car sous la forme qu'ont les équations (21) et (22) elles rentrent sous 1'application de la dernière diflerentiation : tandis que la première j sera applicable, lorsqu'on les aura multipliées toutes deux par q. Ainsi l'on trouve en difierentiant a fois de suite: .&-n.{(a+l)^ro^a»,.^}^.^^,.^^_^.^_^^..^^^^^^_^^„^^ , ^.^^^ l Sin. |(a + l)^.dan,.f} fj_^^^_y^ ^ ^_ ^^^^ ^ j (^i _}_g2)Ua+l) i ^ 1«/1 ^^ O ƒ» Cos. |(a -|- 1) Ardang, — \ — r/(^0 +/(— ^01 dx r^/"H?) ('*) (-1)« /«) (9) (25) la/l Cos.[ia^^)Ardang.^^ ^^^^ ^_ j (.- + g-)^^"+') ^ -'^- = -T<^-^(?/('^^) (^^) o OU a désigne toujours ua nombre entier. [9] ScHLöMiLCH, Journal ven C'relle, Bd. 42, S. 125. — Le même, Grunerts Arcliiv, Bd. 12, S. 130, — Voyez sur ces formules encore la Troisième Partie, Methode 43, N". 13, [10] Gkünert, Journal von Crelle, Bd. 8, S. 146. Page 95. II. l, II. NM 1 , 1 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOW, 11. Voici encore un théorème, qui peut souvent nous servir a décider auprès des intégrales définies, contenant des Logarithmes au dénominateur, si la valeur en est assigiiable ou non. Soit/ (.r) une fonction, qui se laisse développer en série selon les puissances de x: done f(x) = A.x^ + 'Bx'--^Cx':+ ... oii A, B, C, ... a,b,c,... sont des quautités tout-a-fait arbitraires, les dernières seulement posi- tives. Alors on aura identiquement : n dx nAx''+'Bx!>+Ca<=... /■iA(««— 1)+A+B(i*— 1)+B + C(a<^— 1) + C+... r^"^r.= ü '^•^■=/ r. '^" •b •'o •(, Nous avons cliangé Ie numérateur a dessein, afin de pouvoir en séparer diverses intégrales de ii-r'> — 1 la forme | — ; — - d^, dont la valeur est Z(l-)-p), aiusi qu'on Ie déduit P. III, Méth. 10, N°. 5. o '^ Cette remarque nous donne done : ■IA + B + C + . n , da; n lx ■dx-\-Al{l + a)-\-Bl{l +h}-\-Gl{l + c) + Attendu que la première integrale défiuie est infinie, cette équation nous apprend peu, a moius qu'on u'ait la relatiou A + B-|-C-|--..= 0: car alors cette integrale acquiert un coëfficiënt nul et s'évanouit par conséquencc. Or, cette équation de condition ue dit autre chose que celle-ci; il faut que la fonction ƒ {x) ait un facteur x — 1 , ou mieux encore, que cette fonction s'évanouisse pour la valeur Tunité de *-. Dans ce cas Téquation précédente devient: /(r)^= A/(l + a)+BZ(l + ?0 + C/(l + c) + ... [11] (27) ƒ CHAPITRE DEUXIE3IE. IIÉDUCTIOIV d'lTVE INTEGRALE DEFIIME GENERALE A TNE AUTRE FONCTION DE CE GENRE. 12. Dans Ie chapitre precedent on trouve toujours Ie résultat de l'aualyse tout-a-fait dépourvu d'intégrales définies, et cela en général, parce que ces intégrales acquéraient des coefficients nuls, et s'évanouissaient ensuite. Mais il n'en est pas toujours ainsi: dans la plupart des cas les rai- sonnemeuts, analogues è, ceux du chapitre mentionné, aurout pour résultat une équation, qui contient dans son second meinbre aussi une ou plusieurs intégrales définies, et qui par conséquent ne nous inène pas directemeiit au but que nous nous proposions en géuéral : celui de trouver la valeur évaluée d'une integrale définie. [11] EuLER, Institutiones Calculi Integralis, IV Vol. Petvop. 1792—1794. 4°. Vol. 4. S. 5. § 27. Pa£;e 96. ET METHODES D'ÉVALUATION DES LNTÉGRALES DÉFINIES. II. II. N\ 12, l-l. Mais pourtaiit uue telle formulu peut uous faire approcher de ce but : soit qu'eii vcrité poiir une valeur spéciale d'une coustaiite, ou que pour uue ccrtaine fonne donnée de la foiictioii géaé- rale, riiitégratiou daus ce secoud meiabre puisse avoir lieu; snit que cettc integrale défiiiie se distiiignc par une plus grande simplicité, par Tabsence d'une fonction, qui incommode Ie calcul lors de 1'évaluation, ou enfin de quelque autre maniere. 1 3. Iia discussion relative a des intégrales défiuies de fouctions trigonomJtriques, pnses entre les limites O et ex, donue lieu a la simplification suivante, qui a pour fondement la methode, ou Ton divise la distance des limites en plusieurs parties. Daus Ie cas actuel, les fonctions trigo- iiométriques intimcnt une divisïon suivaut les multiples de ^n: supposons donc, pour garder a Tiufiui toute sa généralité, que xi = Lim. j A-.-tt -[-C ]> Lim. fc = qc, ()<^-n-: aiusi pourtaut la fonction k. -re -\- q, oü k est uu nombre eutier, désigne un nombre tout-a-fait arbitraire. A présent nous pouvons prendre —jt pour la distance des limites successives des intt'grales définies partielles: il en résultera l'équatiou identique: /•» dx r^Z dx /•'! dj; rf dx f"" da: f'^^+^^^dx ['^^ d.v f-'=''+P dx JXJXlXjX J X I X J -^ j •'^ OÜ Lim. k = :r. Maintenant ou peut trausformer toutes ces iutégrales définies partielles, de telL; sorte que leurs limites coïncident avec celles de la première integrale dans Ie second membre de l'équatiou pr&édcnte; c'est-a-dire qu'elles devienuent O et — tt. A eet efl'et, dans une iutégra!c ƒ""■ dx f{x) — , il faut faire x = a zi — y, donc dj; = — dy, avec les limites ia-§)sr 1 ^ /-(a+èjT dx 1 — rr et O pour y: et pour I f{x) — il faut faire x = an •\- y, dx = dij, avec O et -t Z J X 'Z alt pour limites de y: substituant tout cula, et recueiilant toutes les iutégrales, qui désormais out rcQu les mêmes limites, sous uii mcme signe d'intégration, nous aurous pour IVquation précédente: f"^, dx fi'l, dx , /-o, —dx rif dx. ■ /O —dx f? , , dx J J' J ^ J ■^-•K J ^ + X J -2:1 — X I lk:T-{.x dx n-\-x rij dx fiT dx fi^ • d.r n^" dx ff c I -^ f ^ — ^ I ■n-\-x f -Zti — X f /«' ■o -c) -o -o -o f { X ' n—x n-\-x. ' Zn—X ^ J ' Z-'^-' ' 'l,kn-\-x "o . •'o " P^ige 97. 13 WIS- EN NATITKK. VEKH. DER KONINKt. AKADEMIE. DEEL VIII. II. II. N'. iö, 14. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Soit inaiuteuaiit ƒ (x) Ie produit de deux autres fonctions, telles que Tun des facteurs ne change pas pnr la substitution de an ± x au lieu de x : par exemple /{x) = qp (x) . 'F {Sin.^ x); oii F( C^^l [x 71 — X 71 -^ X 2n — X 2:r-|-ic j om. x doiic : /■"° „ Sin.xdx fi'" [12] ScuLöMiLCH, Haudbuch der algebraisclieu Analysls, 2* Aufl. Jena. Frommann. 1851. 83. (344 S.) S. 281. La formule (2) fournit après une legere réduction celle dout nous avons besoin ici. [13] ScHLÖMiLCii, ibid. S. 282. Ferm. (8). Fase 98. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. IL II. N". 14. Soit q^lx) = Cos.x, alors q,(x)=^ — q^{n — .r) ^^ — (^(:ï-\-x) = -{-^[2 71 — .t)=-j- q(-Zn — x) = — ... , , . • .. fl 1 i . 1 1 lof 1 71 1) et la serie Cos. ;c < 4" -\ •••( = Cos.x \ — -j {■-> , [x n — X TT+a; In — x 'i.n-\-x ) \ xSin.x x""- x) comme il snit immédiatement de la série précédente ; doiic : 1 Y{Sxn?x)— -= I F(Sw.^j-) Cot.x-^— Cos.x ^~Cos.x\dx .... (31) ƒ X I \ X x'^ X •() •'o ' Soit (f(x) = Ta7ig.x,&\ovs q>(x) = — ffi(n — x) == -}- (p (tt+.t;)— — q.{-27t — x)=-\-c(i{27r-{-x) = — ..., ^ /l 1 1 1 1 \ • 1 et la série Tang.x \ 4- — ; — - — 4- — ...\=Tann.x = 1, [14-1 \x n—x ii-\-x 2n — x 27r + .c ) -^ Tanrj.x comme il suit de la série pour 9 (.i-) = 1 ; done : /•" „ Tang.xdx fi^ „ i F (Sin.-' x) = 1 F(S»i.» x)dx (32) o o Soit qi(x) = Cosec.x, alors ip(u;) = qi{i: — x) = — q){7t-{-x) ^^ — (j (2t — x) = -\- iii.{2it-\-x) = -}--> ,,.0/11 1 1 1 \o 1 1 et la serie Cosec. x \ — | -j -]-,.. = Coscc. x — = — , \x n — X n -\- X 2n — x 2n -\- x j Sin. x Sin,'^ ,r comme plus haut ; done : /'° dx /■§» dx ^{Sin.^ x)—— = / F {Sin.^ x) — ^ (33) o 'o Soitg) (x) = -Sec. ar, alors (jp(ic) = — (p(n — x) = — q.{7i-\-x) = -|-(j-(27r — x) = -\-q){Z7t-\-x) = — .., /lil 1 1 \ f n n l\ et la série Sec.x ( ■ + -1- — ... \=Sec,x\ — — — 1- ~r + - > \x TT — X ^-{-x 2n — X 2 71 -fa' I \ xSin.x x^ xj comme précédemment; done: /■" dx Cl'^ f 2 TT n 1 \ f F(Sm.*^)— =1 F(5^«.^^•) — — Cosec.2x+~-Sec.x^- Sec.x] dx. . . (34) o o Soit enfin (f{x) =Cof.x, alors (^{x] == — qp(7T — x) = -\-(f{7t-\-x) = — q){2n — a')= -{-(f,{2Ti-\-x) = — ..., et la série Cot. x [ -| 4- — ••• 1 = Cot.x-- = Cot."^ r, \x n — X n -\- X 2n — x 2n -\- x j Tang. x comme auparavant ; done : rY{Sin.'x)~~ = j%(S{n.^a!)-^ (3.5) J X. lang.x } lang.^ x [14] ScHLöMiLCH, ibid. S, 231. Ferm. (2). Pa^e 99. 13^ II. II. N'. 14. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIÜIV, De ces sept théorèmes, les formules (29), (31) et (3-1) sjnt de moindre importance en ce qu'eües contienueiit au secoud membre des facteurs trinomes algébriques: les autres sont coin- posées tout-a-fait de fonctions trigonométriques. Les équations (33) et ^35) peuvent être combinées par addition et soustraction, lorsqu'on se souvient que d'un coté Cosec.a; -^ Cot.x == Cot.lx, Cosec.x — ('ot.x = Tang. la-, et que d'un autre cqté 1 1 1 ^ , 1 1 1 Sinra; öin.' j: J(/.-x c:tn. X bin.^ x -iff'^ x Sm.^ X c>in.^ x r r dx fif ! 4- Cos^ X I F(&«.^.r — =^ F(S/..^.r)-:t_^ ^..^ (36) f X Fang. \ x I bin. ^ x o 'o j ¥ {Sin.^ X) -—-■— == j Y(Sin.^x)dx. (37) "o "o lle mêine la diflereuce des formules (33) et (30), ainsi que la somme des autres (32) et (35), , . 1 „. 1 — Sin.'* X Cos.^ X Cos.x _ ^ doiiiie, puisque — — Sin.x = — =-x: = 7;; ,Tang.x -{■ Cot.x =a 2 Cosec.2,^ OÏ7J. j Sin.x Sm.x Tang.x 1 1 1 — Sin.'* X Cos.- X = ?^ 7; , ö- , — 1 = — 7rr-z ~ e , - = Cot.'* X, 1 4-Cot.'* I = Cosec.^x: ^in.x. Cos.x cin.^ X Sm.^ x Sm.' x F &•«.» X) — =^ / F (Sin.' X)- — (38) X Tang. x j lano. ' x o o /■" o , »'ora Ie même raisonnemeiit, qul nous a conduit a, la formule (30), donnera encore: / ï [Sin.' x).Y^ [Sin.x)— = i "^ [Sin.^ x) .\\ [Sin. x) -^ (40) j X j om. X o o Et soit (j (x) = F, (Tang.x), de la même nature que la fonction F, précédeute; lorsqu'on raisonue de la même maniere qu'on l'a fait pour obtenir Téquatiou (32), on aura ici : ƒ* (lx /•§"• dx Y(Sin.'x}.YJTang.x)— == ƒ ^ (Sin,' x). F. (Tang.x)- (41) X J 1 ang. x o o La fonction F, est ici ce que Ton nomme une fonction impaire; cest-;\-dire que, tout comme Pa^e 100. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. II. N'. 14, 15. les fouctious algébriques, oh il n'entre que des puissances impaijes, la fonction change de sigiie avec rélément j-. Il va presque sans dire que daus ces formules ou pourrait mettre au lieu de r{5!>i.' r) tout aussi bien F(*+(7r-a;)^^p='+(7r-{-j;)^ p^+(27r— :c)^^pïH-(27i-t-a!)» / h^Cos.^x-{- g-^Sin.^^^ oi^i les quantités auxiliaires g et h ont pour valeur: 2^ = eP -\-e—P, Zh = eP — e~P (a); done: du; gh C^'1 ^. , dD ^dx gh fi^ „ dj} F (Sin.^- a) = ^ i F (Sin.'- x) — , ^. , (44) /i* vos.- X -\- g' 0171.- X o Soit dans la même équation encore 9 (.^') == Cos, x, alors, d'aprèa les valeurs de ip (a n ± x), — trouvées au numero precedent, et que Ton pourra y voir réduites tant pour ce cas, que pour les suppositions suivantes, — la série devient : ( P _ P _ P _i_ P j. P \ [p^J^x^ p2-j-(7r — a?)* p*-{-(7r-i-a;)*'^p'' + (2 7i — a;)2'*'p^ -f(2 7r + a-)» ■"7 Cos.,v. \p*-f-a;^ P' + l^ — ^ï' p'--\-{n-\-xj' p''-\-[Z7i hCos.x hCos.^x = Cos. X — h- donc = ^"'■''h^+Sm.-x^ r-^Sin.-x'^'^''^ Cos. X dx h [^z. „ . Cos. - X ^ , , , ■dx (45) ƒ" Cos.xdx h ri'^ „ „ *■ p*+.ï» pj ^ 'h^+Sin.^x o o Soit enfin dans cette équation «p (x) = Sec. x, done la série : P _ P P , P I P _ \ 2^x^ p^.^(n — xy p'- -\-(n + xy'^p'-+{2 7i — xy'^p^-{-{Zn + x)^ '"} 7i Cos. r Sec. X /•" Sec.xdx h fi'T „. , dx •00 Dans réquation (43) faisons g {x) = Si7i. x, la série devient : [16] ScHLÖMiLCH, Grunevt's Archiv, Bd. 10, S. 441. Form. (4). [17] ScHLÖMiLCH, Journal von Crelle, Bd. 36, S. 276. Form. (7). Pase 102. > ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. II. II. N'. 15. gfi — Cos.^ X g"^ — Cos.'^ x' et Ton a: xSin.xdx [^^,„. „ • Sin^xdx g^ — Cos.^ X ƒ■" xSi7i.xdx /■^ï,,„. o ', '='«•* ^«^ ,-,, u o Soit dans la même équation I) * ^ o o ' p I F {Sin.- x) l^'2 \ = — / Cosjx:F{Sin.-x).d.Arr.ig\X\ = — Cos.x. .Krclg}X\.F(Sin.- a;)| + o o o + [ .\rd.j. (-] • — {Oos. X.F (Sin.- x)} dx , "o p jf F(5jn.»a;)--^^£-^ = — j Sec.x.F(S{n.-'x].d.Arctg.\^y-= — Scc.x.Arctg.(^\.F(Sin.-x)] + o 'o o + f Arctg. j ^j . ~ {Sec. x. F (Sin.- x)) dx. d.Sin.-x Quaut aux termes intégrés, pnur la limite supérieure c/o, Ie facteur .\rdg. !-l est Arctg. f — j OU Aixtg.{Q), douc nul !ui-même: les autres facteurs F {Sin.- x), Cos.x, Six. x, sont tout-a-fait indéterminés pour cette limite, raais on sait au moins, qu'ils ne peuvent devenir iufinis ; donc leur produit par Ic facteur premier, c'est-ti-dire Ie terme enfier, est zéro pour cette limite. A l'autre limite zéro de x, Ie facteur Arcfg. r-\ devient Arctg. (-) ou Arctg. { x), c'est-a-dire, + -^r» puisque ici il n\' a aucnn doute sur Ie signe de cette limite zéro de r, : les coefficients Cos. x Page 104. F.T METHODES D'ÉVALUATIOX DES INTÉGRALES DÉFIMES II. II. N\ 10, 17. et Sec. X devienneiit Tunité pour !a valeur zéro de x, et la fonctioii T {Sin.- x) duvient F(0). Oii a donc par rintermc'diaire des formules citées (41), (4.j) et (46), pui.-que (I.Sin.^x „ - r,. , =: 2 SiV. X. Cos. X dx = Sm. 2 x ax : dx rAvdan^. I'-] .r{Sin.\r). Sin. 2 x dx = -^F ,0) + g/J V [Sin. '^ x) ,7;;-;-— "T^T-l- , • (ói) f \xj 2 f h^ Cos.- X -\- g Sin.' X 'o "o ["^ Ip\ d- . . ■^ /■'" Cos.'^xdx \ Arctang. ['-].— f Cos.x.Y {Sin.-' x)] dx = F(0) + /J F (S/n.- j)— — — , .... (55) J \x 1 dx ^ 2, f II- -{- km.- X "o "n ƒ■" I r>\ d TT ri^ dx ArctaJig.\i-].— (Sec.x.'F{Sin.\ri\dx=-—-'F{0] + Ji\ I{Sin.^x}-- (56) \.r; dx 'Ij h- -\- Sin.- X o o 17. Toutes les intégrales des N'. 14, 15 sont réduites a des intégrales de foiictions trigono- métriques seulement, prises entre les limites O et ^n. Rien n'est plus aisé que de transformer celles-ci en des intégrales algébriques, maïs alors il arriverait souvent que des quantités irration- nelles les rendraieut trop compliquées : en quelques cas pourtant les résultats sont assez simples pdur que nous les ofTrions ici comme exercices de calcul. dy Pour Sin. x = ?/, Cos.xdx = dti, dx ••= , avec les limites O et 1 de ?/, les équa- tioiis (30), (;32), (37) donncnt : f" Sin.xdx r Tang.xdx r ,.. , dx n^ , dx hiSin-^-x) = F[Sin.\x) ^ = JF [Sin.^ x) — -- = ƒ F(..'; — ; .(57) f X I X I xtot.^x f i' (L — .r^) 'i1 \t o • "o les équatious (33) et (39) : /'"- dx r dx /■' dx \ F(S»-.^r)— — =-- / YiSin.'-x)— — - = F(.r')-;^y -■.. . (5S) I xSin.x I xSin.x.üos.x J x- x' [i — x') 'o 'o o •> et les équations (45) et (51): lx h p dx l,^ 4- X f -F(Sin.'x).¥, {Cos.x) ^ '" ^ == - f F(^\).F, (i/ (1 -x^)} J p^+x^ pj f" ,,. Cos.xdx h ri , , dxK'il—x-^) \ F{Sin.^x)-^-^—^ = - F(,r-)-^^^^,-' , (50) dx h^ + X- (60) Pour Cos.x = 1/, — Sin.xdx = dii, dx = — ~- , avec les limites ] et O pour j/, les \^{i — y) L'quations (30), (32), (37) donnent: Page 105. 14 WIS- EN NATLX'RK. VEKII. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. II. II. N . 17. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMA.TION, ƒ* ^ Sin.xdx n ^ , Tang. X dj; /* ^ , ^ d.e /"i ^ /fa; X J X ] xLot.\x f i/ {l—x^) (1 o 'o 'o On voit que nous avons profité ici de la permissioii évidente d'écrire, dans les N'. 14 et 15, par exemple F (Oos."^ x), afin d'obteuir F («-) dans Ie dernier membre de cette équation. Dans ce numero donc, les substitutioiis faites, uu tel changement n'est plus permis. De même les équa- tions (;i3) et (39) donnent : ^dx /"'" dx /•! dx F (Cos.2 x) —- = / F (Cos.^ a-) — = / F (x') : . . (62) 'xSin.x J ^ ' xSin.x.Cos.x j ^(l —^.2) ^z l —.i-^)' ^ '' encore les équatious (47) et (52): X Sin. X dx /■! dx \/ (1 — x"^) 9' — a;' dx (63) (64) f ^ X Sin. X dx /"l ■mCos.Kr)^^--=.g Y(x^^ o o ƒ•" xdx r' / ¥{Cos.'x).l\ (Sin.x) =g Y {x').¥ , [y/ (l - x'}] J p'+;r^ J 'g^ — x^ 0 o puisque h- = gr^ — 1. dx dy Pour Tanq. x = ?/, — = du, dx = , avec O et oo pour limites de v, on a par ^ ■' Cos.^x ^ 1 + !/' ^' l les équations (30), (32), (37): iZ,^ , Sin.xdx f^^ ^ Tang. xdx f" dx r" , dx I Y{Tang.^ x) ; = / F (7a«^.^ x) ^ = ƒ F {Tang.^ x) ^ = ƒ F(*^) - l) O 0 0 Les équations (33) et (39) donnent: ƒ",, „ , s «^^ /■* dx r dx o "^0 o et (35) et (38): [\ ,„ . dx r Cos. xdx r dx 1 ¥{rang.^x)~r—= / F ( 7a«^. ^- .^) — = / F(a;^) ; . . . . (67) J xlang.x J .rlang.x f x^ {l -\- x^) 'o o encore (41): f"^ dx /■'* dx j JiTang.-^x).l\{Tang.x)~= i Ffa;'). F. (:r) — -— (68) Pour les applications dans Ie N°. 15 ou a A^ Cos.'^.x-\-g^ Sin.'^x=h'^ -^ Sin.^x=g'^ — Cos.^x = = 9 —r~, — 7 = — ^^ , = ; donc par les équations (44), (46), (48): 1 + 2/' 1+2/' 1 + 2/' Pa^e 10(5. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 11. II. N'. 17, 18. I) 'o Ü 'o et par (15), (49), (5U) et (5-3) : C^ „ Cos. X d.c h /''" „ ' dx o o o o /•°° T.Cot.xdx r dx o o j ¥{Tang.^x).Y,{Tang.x)^--~^^ ÏY {^)x.Y , {x) ^ [20] . (73) O O IS. La division de la distance des limites (formule 18, P. I) peut eiicore s'appliquer u Tintégrale définie suivaute r dx n „ , dv ƒ•* dx l f{xP + x-P) Ardang.x — = / f (xP -\- x—P) Ardang. x — -{■ I f{xP-\-x~P) Ardang.or -- . . (et) I •^' y ' '^' ; ■ *■ o ü 1 / i dx — dl/ Faisous dans la dernièrc de ces integrales x = —, donc — = , avec les limites 1 et O pour y X y y ; elle devient : j/(xP-{-x-P)Ardang.x~= j f i~^ yp\ Ardang. [-\ -—^ = UiyP+y-P) Arda»g.\-\-. i 1 ' "o lies limites sont donc les mêmes que dans la première integrale du second mcmbre de la formule dx . , . , , (a), savoir O et 1 ; de plus Ie facteur f {xP — x—P) — se trouve aussi daus les deux integrales: X elles ne difl'èrent que par les facteurs Ardang. x et Ardang. - ]. Or puisque la snmme en est: Ardg.x+Ardg. 1-1 = Ardg. ) j^ = Ardg. ( y^— j-j = /!«/<;.( er.) = -, fl— x-\ V xl [20] Sur les équations (60), (64), (69) et (73) voyez Sculömilch, Grunert's Archiv, Bd. 10, S. 440. et Ie l^iême, Journal von CrcUe, Bd. ;j6, S. 271. Page 107. 14* II. Ü.N'. 18, 19. THEORIE, PROPRIETÉS, F0R.1IL'LES DE TRA.VSFOR.M VTION, réquatiuu («) sé troiive róluite a: ƒ■" dx n n dx fixP + x-P)Arctg.x— = j / f{xP + x~P}~ [21] i7t) 11 o Lorsqu'oii auiait cu a, traiisformer riiilcgrale / dx f{xP + x-P) \rd— 1 i — - > = , !/ "" xj±x^) 2/> (^\ y^)\ l±y^ tandis que les limites de y deviennent 1 et O : en renversaiit ces limites on obtient : ƒ'■" dx /■' , dx /■' ±xdx (I o o Or, les deux intégrales dans Ie dernier membre n'ont pas seulemeut les limites mais encore Texpression / {xP -\- x~P) dx en commun: il faut donc prendre la somme des facteurs diflerents: 1 ±x l±a;2 1 c est-a-dire — + = — — = -- ; par consequent : x{l±x^)^ \±x^ x{l±x^) T ' '■ ƒ" dx /■' dx ^(^^ + ^-''^;^ï^^ = / /(xP + .-P)- (76) .) I) Cette formule contient propremeut la réduction de deux intégrales très-différentes : on pourra les combiner par voie d'additioa et de soustraction, en remarquant que 1 1 n—x^)+{l+x^) 2 1 1 {l+w)^—',l—x^) 2x ._l_ _. . =—; -et xil+x^) x{]—x^) x(\—x*) xil—x") ,ï(l— .i^) x.l+x'') x(l—x^) 1—x* [31] ScuLöMiLCH, Gruncrt's Archiv, Bd. 4, S. 316. Pasje lOS. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÊGRALES DÉFINIES. 11. II. N'. 10, ^O. P"'+'"".ir^- ƒ '^" +■""■''?■ '"' "n o ƒ* xdv fLvV + x-r) '— = 0 (78) o Eiicore cette demière devieut pnur x'^ =y, 2xdx =^ d\j, lorsqu'on y met 3 p au lieu de p : j f 'XP + x'P) ^--^ = 0 (79) o 1 1 1 ± a: 1 Fuisciue • ± = ■ — = , la somme et Ia diiïérence de 1'équatioii rmsque ^^^__^^^ l_^i a:[l—x^) xilzpx)' (79) et de la demière des équations (76) dounent : ƒ'" óx /"' dx f(^'+^-'^7^r^)-r^^'+''-'^^ ^''^ (1 o 20. lior^quc dans riiiti'grale Jéfiiiie r^ dx /"' , dx /■* , dx 1 f{xP 4- CC~P) ~ ^ f t{3!P + X'P) - + I f{xP -{- X-P) — Q, O 1 11 ï^uk^titue dans la deruière integrale encore une fois ,b=-, elle devicnt identique avec celle y (jui ia premie; doiic: ^^ - ^'- ■ '^^ (81) ^(/a; /■! dx f {XP 4- x-P) - = 2 f [XP + x-P) - X } X A pre'seiit on peut preudre la dill'i'rence de celle-ci et de la formule (SO) ou de (76) en remarquant que 1 J (l±a;)— 1 ± 1 1 1 (1 ±x^)—l ^ ±x ~x~'x{\±x)~ x[\±s) ~~ \^x ' x~ x{\±x'^)"~ .r(l±a;^) 1 ± j;' ' ƒ" dx /"' dx ,^„, /(jP + ^-p)-— = ± fixP + x-P)- (82) l±x j X o -^0 ƒ/(-" + ^-'Ot^ = ± /V(.^•^ + ^-'')f (83) f 1 ± ar' f a; ■'o -o OU les deux demièrcs intégrales pcuvent facilcment se de'duire Tune de l'autre. Les résultats de ces deux numéros subsisteront encore pour Ie cas oil l'on aurait f{xP — x-P), pourvu que cette fonction fut impaire. Ajoutons que l'intégrale (7.5) doiine encore un re'sultat remarquable par Tintégration par Page 109. II. II. N\ 20 — 22. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, dos d T parties. Puisque — — d. Ardg.x o\\ a: lAntg.oe = d. {Ardq. x\- , et par coiise- \ -\- x'^ •" \J^.x- >. .^ J ' ! quent : (\, «^*' (Z . Zdj; )* r" (/. n jfixP+x-py -= I f[xP+x~l>)Ardg.x- -=f{xP+x-P){Ardg.x)^ \— f {Ardg.xf~f{j:P^x-0)djr. •o •{) o ./q Or, Ie terme intégré devient pour o; = oc : /(cc ) ( -) et pour .■« = O : /(co ) 0: donc: n I f(a'P-\-x-P)--—^ = --7tV(<:«)— ƒ {\rd/, — dr ■= [l — p] dij : alors les liinites de y clevienneiit 1_„ 1_1 — — = 1 = O, et 11 en resulte : \-p '1-p o o •23. Quelques-unes des iutégrales définies précédentes se prêtent encore ïi, la substitution d'une dx autre variable. Soit par exemple: x = e—y, donc — = — dy, tandis qu aux valeurs O, 1, oo X de X correspondent les valeurs x , O, — .rj. Arct X ->r CotP x) ~~- ^ \ f{xP^x-P)-\ / om. z X J X (92) (9§) et ainsi de suite. [2.3] Legendre, Exercices, Pavtie 4, N". 140. Page 111. II. II. N'. IA, 25. TÜÉORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIOiV, 24. Dans l'intégrale définie I /{Sin. 2 x). Cos. xdx= I /{Sin. 2 x). Cos. xdx + jf{Sin. 2 x). Cos. x dx o o 'i-r TT mettez dans la dernière integrale a- = -y, dx = — dij. Cos.x — Sin.y, Sin.2 x =- Sin.-ly. . n avec les limites — et O pour y\ renversez les limites et substituez Ie résultat, alors: /ès-^ /•*" ri"" t^'' /iSin.Zx).Cos.xdx= / f{Sin.2x].Cos.xdx-\- j fiSin.2x).Sin.xdx== j f{Sin.2x].{Sin x-\-Cos.x)dr. o "o 'o 'o Mettez dans la dernière integrale encore Sin.Zx = Cos.^ y, 2 Cos.2 xdx ■== — ZSin.y.Cos.ydy. mais Cos. 2 a; = v/ (1 — Cos.'^ y) = j/ (1 + Cos."" y) (1 — Cos.'^ y) = Sin. y. \/ (1 + Cos.'' y), et [Sin. X + Cos. J-) 2 = 1 -I- Sin. 2 a- = 1 -^ Cos.'' y, donc Sin. x + Cos. x = \^ {\ + Cos. ^ y) : ensuite les limites de y seiont: Cos} y = O, dunc y ^=—7t; et Cos.'' y =1, donc ,y == 0. Par con- séquent : fi"^ f(> 2SinnCosiidv fi~ \f{Sin.2x).Cos.xdx = \f{Cos.'- y).\'[\ +C0S.2 y)— " T = / t\Cos''x .Co!<.xrJx\2AP[ . '94) .' / 2Sin.y.\{\-^Cos.^yi ]' 25. Lorsque dans Fintégrale tout-u-fait générale ƒ7 (ar) dx on met a — ?/ au licu de x, alors dx =^ — dy et les ümiles de y sont a et 0: donc j"fix)dx =. j f{a-x] {-d.r) ^ jy(a-x)dx. [2.5] (95) o a ü Cette équation si simple peut être quelquefois d'une grande utiiité. Par exemple dans Ie cas de fonctions trigonométriques, quaad a est un multiple de j tt: car alors, la fouction étant périodique, il faut que a ait une telle valeur que ƒ (a — x) est egale a f{x); dès-lors cette équation pourra ofl'rir la réJuction d'une integrale plus compliquée a une autre plus simple. Eu effet soit a = ir, et f(x) = xf(Sin. x, Cos.'' x), alors 'f(a — x) =f[n — x) = [n~ x)f [Sin. (n — x), Cos.'' {n—x)] = (ti — x) f [Sin. X, Cos.^ x). La formule (95) devient donc: ' [24] Besge, Journal de Liouvüle, T. IS, p. 112, 16S. — Gku.nert, Grunerfs Archiv, Bd. 21. S. 359. [25] Cambridge Mathematieal Jouraal, T. 3, N. 16, p. 168, Nov. 1842. — GuUNERT.Grunert's Archiv, Bd. 4, S. 113. Page 112. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. H. II. N°. 25 — 27. I xf{Sin.XyCos.'^x)dx=> l [tv — a;)f{Sin.x,Cos.'^x)dx, o 'o tVou ƒ xf{Sin.x,Cos.'^a) dx = {n 1 f {Sin. x, Cos.^ x) dx . [26] (96) üu voit que la quantité algéhriquc, contenue clans la première integrale, ne se trouvc plus dans i'autre, et qu'ainsi la dernièrc est beaucoup plus simple. 26. Supposons x = —- , pij = :, , l — x = ~~- , — dx = — "^i alors aux 1+P7 i-'« 1+ra {i-\-pyV valeurs O et 1 de x correspondent los valeurs: py = = O et pij la relation : rfix)dx = rf{-^-'~] ^^^'~ =p ff {^^ 1 — ■1 — cc ; donc OU d,J • [^7]. • • (97) n 1 », , ,\i Cette équation peut servir a Ia transformation de la deruière integrale dans la première, dont révaluation est toujours plus simple. Quant u, cette substitution comme a celles qui vont suivre, il ne faut pas perdre de vue la remarque faite dans Ie N'. 25 de la première Partie, savoir que la recherche d'un maximum ou d'un minimum de la nouvelle variable entre les limites de 1'ancienne, est absolument necessaire, et iufiuencc directement sur la marche a suivre. Il s'en présentera dans la suite quelques exemples : toutefois il est aisé de voir qu'un tel cas n'a pas encore eu lieu dans les substitutions précédentes : aussi nous abstiendrons-nous de la recherche mentionuée, lorsque Tinutilité en sera assez clairenient visible. _dx \/ (1 — p"^ Sin ^ x) ƒ 5^ /(l — p"^ Sin."^ x) —j-^^ ^— ^^ — ;; — ^ , on p faisous - — ;;— == Cot.^ (>, alors s^ = [^ \ J'oü 1 — p"^ = q^ Col."^ ^ = Tang.'^ a. Cot.^ (i. DifTérentions eusuite Féquatiou eutre x et z : 2 Cot. zdz . , , , , , — «^ S&'/i.a:. Cos.xdx= — q^ —;; — ;; — , alors nous aurons, puisque aussi 1 — p'^ -{-jj^Cos.-x^q-CoL^z: oin. z 2q^ Cot. zdz q'^ Cot. zdz dx = 1 Sin."^ z.p Sin. x.p Cos. X Sin."^ z \/ {\ — 5^ Cof- z) {q^ Cot.^ z -\- p^ — 1) q ^ Cot. z dz ^ 1/ (Sm.2 z — q'' Cos.'' z) {5^ Cos.^ . _ (1 _p2) 5j„ 2 ^j q'^ Cot. zdz "" ^' 1(1 + 52) Sin.-'z — q-'} {q^ — {q^ Cot."^ (3 + 7^) Sm.'^ «} Tang."^ a. Cot. zdz "~ v/ {iSec.=' a.Sin.^ z — Tan^r.* «) [Tang.'' a — Cosec.^ (ï. Tang.'' «. >Sik.^ s} &'n. cc. Sin. (5. Co^. s dz \/ {Sin.'' z — Sin.'' u) [Sin.'' ^ — Sin.'' z) Substituons ces rc'sultats dans Féquatiou (98) et nous obtiendrous la formule: f3 Sin. a. Sin. 3. Col.x dx 1 ^f{Tang.'u.Cot.''x) j '' ^' ' ' V [Sin.'' X — Sin.'' a) [Sin.'' ^ — Sin.^ x) Tang. a. Cot.x a a OU en utant de part et d'autre les facteurs égaux : //3 / Tang.''a.Cot.^ |ï\ Sin, a. Sin, fj. Cot.x dx 1 j \Tang.^a.Cot.^ x) ^Z {Sin.^ x — Sin.'' cc) [Sin.^ ^ — Sin.^ x) Tang.a. Cot.x' , deux valeurs, dont chacune doit valoir séparément pour les deux iutégrales partielles. Pour en décider considéroiis l'équation, oii la distance des limites quant ;i .v est déja séparée eu deux parties, ff[p.+^y.=j 'v(p^-+f) d.+ r/[p.+iy.. Daus la demiere integrale il faut que x soit > \y^ — , donc 'y- — . %\X nq, donc ^ — w, puis- p 2p 2p que 2l/p5 est la plus petite limite de y, correspondant a cette integrale: par conséquent dans la valeur de dx il faut employer Ie sigue +. Au contraire dans ravant-dernière integrale on a toujours X <^\y^ —, donc <[ — .1\y i^q, donc <^ — y, puisque %\^' pq y est la plus grande limite de p 2 p 2 p y, par suite dans cette integrale il faut faire usage du signe — dans la valeur de dx. Ainsi Téquation précédente devient : ,x^'^d£=^ l'fU) fl /•2M'? ƒ cc 1 dx /■*, f ^1 ^^ ƒ P-'' + ;ty / i. l^ \x- — 'i'PI)) xp Dans la première integrale du second membre on peut renverser les limites, qui deviennent alors le.s ffiêmes que dans 1'intégrale suivaute; elles peuvent dès-lors entrer sous uu même signe d'iu- ,.-,,. . . d^ tegratiou definie: en outre elles ont 1 expression ƒ (.b) — eu commun ; par suite: 2p o il/pï 2l/p7 Soit dans la dernière integrale «^ — 4 -,'. Dans ces trois intégrales la fonctiou intégrée est partout la même: les distances des limites sont respectivement, après que nous avoiis renversé ces limites dans Tintégrale au milieu Page 119. II. II. W. ol,o'2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, de q h +i/(p2_|_^2-)^ de — l/(p'+9') a +1^(^2.1.^2)^ gj ^^ _,^/(p2+^2_) >^ ^. ]a somme de Ia première distance et de la troisième est justemeut egale a la deuxième, doiic: ƒ 2-^ /•+l/(/)2+' == [p'^ -\-q'^){\—y'^); avec les limites — 1 et -j- 1 de y ; par suite : \f{pSin.x-\-qCos.w^dx^% \ f {x\^ [p'-\-q'-)] /_ (IM) •'o -Li ^^^ ''■ ' dr Substituons encore x = Cos.y, = — dy \ alors les limites de y deviennent n et O, \^ (1 — x^) '' '' et l'on a, après avoir reiiversé les limites : / /(p Sin. .r+ q Cos. x) dx = 2 ƒ ƒ [Cos. x . \^ [p"" -\- q- )] dx. [34] . . . . (115) "u 'o 32. Comme deruière application de cctte methode transformons rintcgrale ƒ f [Cos. X -(- p Slit.- x) d.v •o et soit a eet effet Cos.q) =Cos.x-\-pSin.- ^,d'oi\— Sw.g tZ./ ={—Sui.x-{-2pSin.x.Cos.x)dx = —{l — 2pCos.x)Sin.xd.i\ Mais l—4-pCoscp-\-4f-i=:=l+4,p'-—4.p{Cos.x-lrpSm.-^x) = l—i'pCos.x-\-ip^{l—Sin.-'x)={l—2pCos.x)-', et 1^(1— 4pCos.(f-{-4'p'')~{l— -Zp Cos.q) = {l—ZpCos.x}—l-lr2p{Cos.x-\-pS!n.''x)=2p'Sin.\r. Donc , 'Sin, qp dif Sin, cp (i.p . pt^ -2 (1 ~2 p Cos. x) Sin. X ~~ 1^(1 ~4^pCos.rt: + ip'^ ) 1/(1^-^(1— 4pCoArf4-4p^) — l + 2pCos.(p} ' pour rendre cette expressioii jilus simple, réduisoiis les Cosinus en expouentielles par la formule identiquc 2 Cos. f == e?' -f e~'f', alors l—4-pCos.(p-\.4.p'i = l -j. 4 p ï _ o p (g?/ -}- e- ï") =-" ( 1 — 2 p ef') (1—2 2)e-?'} et 1/(1 — 4p Cos. qp+4p'')~ 1 + 2 p Cos. (f = ix-(l— 2pe?') (1— 2pe-?') — l+p(e?''+e-'^0 =^ = — ï [(1 — ^ P ^'"Ó + (1 ~ 2 p e-?0 — 2 IX (1 — 2 p e?') (1 — 2 p e-?')] [34] ScHLÖMiLCH, Grunert's Arohiv, Bd. 18, S. 391. Pase 120. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIOTES. II. II. N'. .'0,51 -= — U 1/ 1—3 p ef') — xy (1— 2pe-?'jl - = — i |— ^^ ^^-^ —, ~ \ [— 2p («?'■ — e-ï") i2 r — 'i>plSin.cp i^ 1/ (1- 2 p e?0 + 1/ (1— 2pÊ-?')l ~~ ~ ^ l-b- (1— 2p f?') -f- 1/ (1—2 p « -f')\ 8 ü ^ /Sin. - qp { 1/ (1 — 2 p e?0 + l^ (1 - 2 p e-?0} fte = 7^ r -~-^ (l/ü — 2pt'?')+ l/-(l— 2pe-?')] _ dj. ( 1 1 I "~ 2 (l/(l — 2pc?') "^ 1/(1 — 3pe-?')}' Lorsque la valeur tle x croit de O a tt, il résulte de 1'équatioii, trouvée dès Ie comoieiicempiit poui' la valeur de dtp, qii'elle reste constammeut positivo avec l'expressioii 1 — -ZpCos-x; doiic il faut que 2p reste moiiidre que 1'unité : aussi dans Ie cas contraire serait-il facile de déduire, que réquatiou pour dx pourrait contenir un terme infini ; la raisoa en 6st qu'alors, entre les limites O et n de X, Cos. f deviendrait d'après la supposition plus grande que 1'uuité, ce qui en efl'et est itnpossible. Sous cette condition, comme alors il n'y a aucun maximum, on trouve dnnc, lorsqu'on change p en J p : JACos. X + ■ pSin.^.) & ==. 1 jncos.x) dx \-^;::^~~^ + ,^(1^^,-4 - "'' ^'< ' ■' [-^]-(i ^ ^') "o "o car pour les deux limites O et ji de x, on a &'«.^ a; = ü, doiic Cos. tp = Cos. x : de sorte que les limites de la variable dans la seconde integrale coïncident avec celles de la variable d'origine. 34. A présent nous allous nous servir d'une methode differente, qui est basée sur l'usage de Ja série de Taylor, et qui par conséquent ii'est applicable que dans les cas oii cette série n'ofiVe pas de difficultés. Par exemple, lorsque rexpressioii f{x) sous Ie signe d'intégratiou dans riiitégrale définie I = / ƒ (2 p Cos. X. e^') é^i" dx ■ ƒ ,/ (^ P ^'^^- ^ peut se dévelopiier au moyen de la st'rie mentionuée ,,, , , /( d.fip) h^ d\fip) 1 dp 1.2 dp^ on a IpCos. X.e^^ = pe^' [c^' -\- e—=^') = p -\- pc-^>, donc h = pe-^' et par suite, en développant actuellement la fonctiou sous Ie siscne d'iiitéi>ration : [35] Jacobi, .rovirnal vou Crelle, Bd. 15, S. 1. Page 121. «IS- EN NATTJUKK. VEUH. DEU K0^"1^"KL. AKADEMIE. DEEL VJII. II. II. N'. 54 THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR VNSFORMATION, f'i" . ( , p d.f(p) p- .d-.f{p) ) — 5T Mais OU Iroure Partic III, Méth. I, N'. 11 l'iutégrale définie ƒ '^ 1 — iT eu dissolvant donc 1'iiitégrale de la série trouvée dans une série d'intégrales, et en effectuant Tin- tégration déönie d'après la formule citée, ou trouvera : iiiais en remarquant que Sin. [[q-^-Zajn^ = Stn.qn, Sm.((j4-2a + l) t} = — Sin.qn, ou aura: ("^q l. dp q-\-l^ 1.2 dp^ q + 2 J ^' Encore trouve-t-on Partie III, Méth. I, N". 2 l'intégrale définie ƒ y^-i dy =~; substituoiis-la pour les valeurs de -, — - — .... alors : 9 9+i Lorsqu'ou fait eutrer les coefficients sous les iutégrales vespectives, et qu'ensuifc, en considéraul que les limites sont partout les mêmes, ou met tous les tt-rmes sous Ie même sigue d'intégration, la formule précédente devient : J l lap l .2 dp^ ! Si... q n. Cyl-^ dy \f [p) _ ^ M^J , tjl ^^ ^ } -^ "^ r ^'^ 1 dp ^ \.2. dp^ '" ■■•} Jlais celte série n'est autre chose, d'après Ie théorème de Taylor (voir la formule (a)), que Ie développcment de f lp ~ py) ; donc : Pase 122. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. II. N\ 54, 55. I = Sin. qn. j f{p— p ij) »/?-' dy o c'est-a-dire : j f^^pCos.x.e^'je'^l^'dx^Siii.qn. I f {p{l — x)] x'!~^ dx; (117) OU encove, quand on fait dans la dernière iiitéi^iale 1 — x=y, — dj; =^ dy, avec 1 et O comme limites de y, et qu'on reuverse les limites: jf{2pCos.x.c^-')e^-l=:'dx = Sln.qn.jf{pju)(l—3;)^ i^ d'^.ffp) 1 , •'^^' <] ^ l dp q-\-l ^ 1.2 dp'' q + 2 ^ Mais d'un eóté i« est ei""'' et d'un autre cóté e^aTi' = i4a =^ _|. j^ g(2n+i)7r/_ i(2a+i)2 ^^ — ]^ donc: I = e:»t' \-f{p)-\- ef« + -— e2T' -^— . - + . . . ? = l*?-^^'^ ^ 1 5+1 dp ^1.29+2 dp^ ^ j . (1 pi d/(p) p- 1 d''-.f{p) \ I^-'^'^ 1?+1 (^p 1.29+2 ) ' /' d^p ' -^dx^ ~q] — \ q—^ dx. dx''-i dx (/a,'«-lM / ^ dx" k ^^ i dq d^ q d"^—^ q , . En cas que q, — , — ,... , s'évanouissent tous entre les limites A; et Z de x, la combi- dx dx^ dx"—^ liaison dü toutes ces équations doniiera uécessairement : [l d<^q [' d"p jpi^'-'-^-'^'h-d'^' ^'''^ 'k k équatioii, qui peut êtrc regardée elle-même comme unc exteiision de la methode mentionnée d'in- tégration par parties. 2a— 1 Soit ;\ présent p = f{x), q = (l — x^) ' , k = — 1, i = -|- 1, alors cette équatiou devient : f+l da ( ^^HL] r+\ ?^=d da f(x) / /W^„ [(1-^^) ' } dx^i-l)" / {l-x') 2 -~rd.v (124) '-1 — i OU les couditions sent satisfaites, puisque q et ses a — 1 difFérentielles s'évauouissent tant pouc X = — 1 que pour x = -\-l. Mais M. Jacobi a trouvé Ie théorème : 2a— 1, (j,a—i (- — -— J Sin.ax |(l_y^) 2 l =:(_i)a-iia/2 ^ lorsque y = Cos.x; [39] • dy'^~'^ \ ) a difiérentions cette équation eticore una fois: Ie résultat 1(1— yM ^ — -= — Smz.a- — 1(1— ?/M - \dx = (—})'''^l°/^Cos.axdx dya V '^ ' ) dx dy [^ •' ' \ est Ie facteur de la première integrale dans Féquation (l'^-l), pourvu qu'oa y change x en Cos. x, dx en — Sin.xdx, et que 1'on prenne pour les limites de a-, n et 0. Renversons encore les limites dans les deux membres de cette équation et nous aurons : ƒ TT fv '~"~' d<^ f(Cosx) f{Cos.x){—l)^-n°I^Cos.axdx=^{—^)" ƒ {Sin.'' x) ^ —^ '-^ {— Sin. x dx) , I (d. Cos. x)" nu b leii [39] Jacobi, Journal vou Crelle, Bd. 15, S. 1. — Li'ouville, Journal de Liouville, T. 6, p. 69. — Gkunert, Grunert's Archiv, Bd. 4, S. 104. Page 125. H. II, III. I. N'. 06 — 08. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSF0RM.\Tl03f, f^d"./ {Cos.a:) (d Cos. .t)« ■Sin.^''xda;= l"/2 i f(Cos.x) Cos.ax dj; [40] (125) ])aus ce laisoDnemeiit, 011 a sui)posé facitemeiit que m f (Cos. x), ui ses a premières diflerentieiles ns devieniient infinies eutre les limites O et tt de *'; car ƒ (Co«. *•) étant ce que p était au commeii- cemeiit de ce numero, la conclusion a la formule (123) serait illegale dans ce cas, puisqu'il pourrait arriver que les termes intégrés, — que nous avons supposés s'évauouir ü cause des suppositions particulitTes a l'égard de q et de ses coeöicients différeutiels — ne devinssent plus zéro, mais acquisseut au coiitraiie la forme au moins iudétermiuée 00 X O- Aussi cette restriction se déduit néccssairement du résultat lui-mêmc, valant pour chaque valeur entière de a, et oü douc il faut que tous les coefficients difierentiels sous Ie signe d'iiitégration dans Ie premier membre restent finis, puisque c'est toujours Ie cas avec Tintégrale du second membre. CHAPITRE TROISIEME. RÉDUCTIO?* d'üNE integrale DÉFINIE GÉNÉRALE A UNE SÉRIE. 37. Lorsque d'uue maniere ou d'autre dans la réduction d'une integrale définie générale ou est conduit h. une série, il se peut qu'on ait a sommer des quantités finies ou bieu des intégralcs définies, contenaut cncore la fonction indétcrminée entièremeiit ou partiellement, et par conséquent ne pouvaut être evaluées, que lorsque cette fonction est connue. 11 se peut encore que Pon puisse atfribuer a ces fonctions, encore inconnues, des propriéiés, qui rendent cette évaiuation possible. C'est pourquoi nous diviserons ce chapitre en trois paragraphes ; dans Ie premier nouj traiterons des intégrales qui se réduisent h. des séries de quantités linies; dans Ie deuxième de celles ou Ton doit sommer des iutégrales définies; et enfin dans Ie troisième nous étudierons quelques théorèines généiaux, qui conduiront a divers théorèmes spéciaux, corre^-^poiidant a des suppositions spéciales a l'éiiard dus fonctions srénérales. § 1. SÉRIES DE QUANTITÉS FINIES. 3S. 11 y a quelques raisoiuiements dans Ie Chapitre I, que nous pourrons poursuivrc plus loin, et qui alors doniieroiit lieu ïi des séries. De ce noinbre est Ie Numero 7: car on peut 1'étendrc comme snit. [40] Jacobi, Journal von Crelle, VA. 15, S. l. — Lc même, Journul de Liouville, T. 1, p. 195. — BiNET, Journal de Liouville, T. 5, p. .373. — Liouville, Journal de Liouville, T. 6, p. 69. — G runeet, ürunert.'s Archiv, Bd. 4, S. 104. Page 126. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 11. lil. I. N\ -18. Suit une fonctiou q. [y] te!le qu'oii puisse la développer selon les puissances de y ; c'esl -;\-clire, ([uc Fon ait 1 :i!nrs, fout comme dans Ie numero cité, on aura aussi : '7 A . /? A /9 \ hl \^ I ^P I = B„ + 1b„ ^ Cos.n., J'lJ \?L^ = 1b„ ? "s»..„.. 2 , \pl 2i 1 \p1 Multiplions ces deux éciuations respectivement par les expressions /■ (?>e'-') + ƒ (pe-") , . fipe^') —fipe-") , — . dx et dx , 2 2 1 OU. Ia fonction f{y) est supposée la même qui a été cüiisidére'e au Numero 7 ; intégrous eusuite entre les limites O et ti par rapport a x\ on trouve : ƒ 2 '2 " ƒ 2 ' ^ o -b + iB.(^)"|^^^^^"'^+/^^^"^'^C....... f 2i 2ï 1 \p/ / 2i •() o (^r, les intégrales défiuies qui nous restent encore aux seconds membres de ces deux équations ue sont autres que les intégrales générales, trouvées respectivement dans les équations (15), (13) et (14) du Numero 7, si Ion y change a en n. Donc, après la substitution de ces valeurs: j-'^ir / yir i./(p^-)+/(p^-"),.^B„.A„ +iB„(i)".^A.,. = 7rAoB„+-^A„B„./ , (126) " 1 ,(]P ( -e^» ) — (f 1 e «I ^.^^^„-^ _j(pg_„j c' l^\n „ Zi dx^Z^Rni \ - ^np" = --S A«B„5''. [41] . (127) • 1 \P/ 2 2 , [41] Smaasen, Journal von Crello, Bd. 42, S. 222, 'ase 127. II. IH. l.N'. 59. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, •39. Nous pouvoDS trouver des résultats plus généraux. On a pour la même fonction que dans Ie Numero 7 : • 2 2i Donc, tout comme dans Ie numero ei té r^/(p° «"«) + ƒ (p« e— «^j ^= A (, -f" -^ A„ p<"' CocS. a n .r , 1 c ^ A,i p"" Sm. a n x. (128) ƒ ^ dji = A^ j dx -\- :E A„ p"" j Cos.anjcdx = TT Aq 0 o "o 1 Cos. abxdx = Ag I Cos. a o x dx -f- 0 ■'o C TT „ + ^ A„ p"" / Cos. a n x. Cos. abx dx ^= - Ai,p"^ , 1 ./ 2 • o /T ƒ (pa ga«) J. f f pa e—"xi] fr 2 ' ^'''" {(« * + <^) *} «^^ = ^ o ƒ ^ö^- {(« ^ + <-■)■«) '^•'- + o "o + .2" A„ p"" I Cos. a n x. Cos. {(a Z) -j- c) r) dx = O , "o j ~. bm.aoxdx = Ag I Sui.abxdx-\- 0 o ƒ TT 7J- Sin. a n x. Siii.a bx dx = — Ai^p"", j ^~ Sm. {(a b + c)x} dx = A o ƒ Sin. {{a b -\- c) x} dx + o -o 4- -2" A„ p"" I Sin. a n x. Sin. {(ab-{- c) x] dx = 0. o OU c est partout plus petit que a. [42] Or, dans la première équatiou la première integrale est n, et toutes les iutégrales dans Ia somma- tiou s evanouissent. Dans les quatre dernières équations les premières intégrales, qui ont A^ pour coelEcient, sont uulles. Les produits sous les signes de sommation doiveut être réduits a des sommes ; en effet : [43] Smaasen, Journal von Crellc, Bd. 42. S. 223 Page 128. ET METHODES ü'ÉVALUATlOxX DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. 1. N'. o9. 2 Cos. a n x. Cos. abx = Cos. {(m —b)a .v] + Cos. [{n -\-b)ax}, •2 Sin. a n x. Sin. abx = Cos. { (w — b)a x] — Cos. [{n -{-b)axy, chaque integrale se divise donc en deux autres : dans la sommation de celles, qui correspondent aux derniers termes de ces équations trigonométriqnes, toutes les intégrales s'e'vanouisscnt: au con- traire dans la sommation des intégrales, qui correspondent aux premiers termes respectifs, il n'y a que Ie terme pour la valeur b de n qui ait une valeur. Dans la troisième et la cinquième équation (128) un tel cas ne peut se présenter; donc toutes les intégrales sous les signes de sommation s'évanouiront; et les valeurs des intégrales correspon- dantes serout nulles. D'après Ie numero precedent on a encore : d'oii Ton déduit les intéo-rales définies : 2 " 1 \p) 2i 1 \p) 1 déduit les intégrales défii 2 bn Sinhnx, I 2 ■ 2 Cos. bn X (lx. h t> — hxi ïi -T-irj bm.bnx clx. 2J ]\Iais il suit des quatres dernières des équations (128) que les intégrales sous les signes de som- mation s'évanouissent, a moins que bn ne soit un multiple de a. Or, dans Ie cas oü nous sup- posous b premier par rapport a a, il faut que n y soit ua multiple do a: h cette condition nous pourrons satisfaire, en écrivant partout sous Ie signe de sommation 7ia au lieu de n. Substituons alors les valeurs respectivcs des intégrales (128); et nous trouvons : {(;)',„} +, {(^ ,„..„,,^^^,^.,,..,)^^^ ^ B..A„+4B„(i)°".-;A....... o = nA,B, + lkA0n'Ban(fl"',{\2Q} % 1 Page 129. 17 WIS- EN NATUtllK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. II. III. l.N'. 59, 40. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMA.TION, l'4idz;\(i L . d.v == « /f/Xocn 71 , TT '^ = ^Bani-] -AbnP"^" = ~ ^ MnBa,, q"'"' ; [43]. . . Q-SO) oü il faut que a et l soieut des nombres entiers, premiers entre eus. 40. Les équatious (126) et (127) donnent lieu a quelques cas spéciaux, qui ue sout pas sans iiitérêt. Soit en premier lieu qp(.r) = , alors on a aussi q (f e^') = 1 — x' 1 1 1 1 — (p e^y 1 — p'' e^'^ 1 — p'' Cos. rx — p''i Sin. r x 1 — f^ Cos.Tx -\- ip'' Sin.rx 1 — p^ Cos.rx + ip'^ Sin.rx (1 — p'' Cos. rx)'^ ■\- (p'' Sin.rx)''- 1 — 2 p"" Cos. r a- -)- p2r et de même 1 — rf Cos. rx — in^ Sin. r x q{pe-^') = l — 2p'-Cos.rx + p^ donc: f (P ^") -\- ^ {p e~^"') 1 — p^ Cos. rx (p{p e^i) — (p (p e— ^') p' Sin. r x 2 1 — 2p'-Cos.r.'s + p2r %i 1 — 2p'■Cos.ra;+p2'■ Mais ,(j/) = 3-^^= l + j/r.^y2r + y3r^....(3/<^l),JoncB„ =B,=Bo, = B3. = ... = l, tandis que tous les autrcs B sent uuls : la condition de j/ »>0;^- ^ = _ — ^_ n: ,7i>»>0.[4S] 1 n^+A'ï 2 6=^^— e-ïï-x ^^-^ , ,j2_|__j.i 2.K 2 e"— e-=T^ ' =' ^ '- -* La première de ces formules de réduction peut être employee, sans transformation, dans notre première équatiou: il n'en est pas de même quant a ia seconde: pour transformer notre équation, nous pourrons y ajouter membre a membre l'équation qui se déduit de la formule (22), lorsqu'on y suppose q égal a zt'i'o; alors elle aduiet Tapplication immédiate de la seconde formule de réduction. Appliquons-les a présent, et divisons de part et d'autre par n, alors nous aurons : /(■* O + ƒ ( — ^' O ei-^—ry — e'/'-f )x e'^x — e— JTx ■dx = 2f(n)Sin.p7i , O /(2«— 1) (140) I 2 1 [48] ScHLöMiLcu, Neue Metbode zur Summirung endlicher und unendlicher Reihen. GreifswalJ. Kocu. 1849. (37 S. 8'.) S. 16, 17. — Le même, Gmnerts Archiv, Bd. 12, S. 130. Page 132. ET METHODES D'ÉVALU.VTION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. I. N". 42;, 45. Enüu la somme et la dilTureuce des intégrales (137) et (13S) doiment, parce que I ^— o7 -,,.._,-|.x^--- = -/(O)-^(l + (- l)")./(«) =-/(0)-2^/(2.),.(Ul) "o "o Toutes les équations de ce numero peuveut aussi servir iuverséinent a, la sommatiou des suites seloii que les termes procèdent suivant les nombres eiitiers ou qu'ils ont seulement les nombres pairs ou les nombres impairs pour indices, et encore selou que ces termes sont tous positifs ou qu'alternativemeut ils sont négatifs. [49] 43. Soient les intégrales J 2 a: ' / 2i X ' o "o oi\ ƒ(,(;) est supposée duveloppable suivant les puissances de ar, c'est-a-dire f(x)=A -{- ^ AnX", 1 coinme au jNTuméro 7 ; dès-lors on peut y substituer les valeurs trouvées dans ce numero pour les premiers facteurs sous Ie signe d'mtégration : 0 'o o o rf(pe")—f(pe-")Cos.axdx r" [^ . „. ]Cos.axdx 4,. rSin.nx. Cos.axdx 1 --; = ƒ iS Anp"oin.nx} =2 A„p" I . J 2t X /Il J *■ 1 ƒ X 00 •'0 > Mais on trouve Partie III, Méth. 21, W. 3 l'intégrale définie ' Sin. a X dx 1 ■ 'Sin.axdj; _ ^ _ f'" Cos. nx. Sin.axdx f et Partie III, Méth. 9, N'. 16 l'autre ' Cos. q X. Sin. r x l dx = — , pour g r. [49] ScHLöMiLCH, Gnmcrt's Archiv, Bd. 12, S. 130. — Le mêmc, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 125. Paffe 133. II. III. 1.N'.43,44. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR.\NSF0RMAT10N, Par conséquent dans la première de iios équatioiis Tintégrale a une valeur constaute depuis n = 1 a n = o, et dans la seconde seulemeut pour n'^a; hors de ces liraites elle est imlle ; donc la première sommation doit aller de Ji = 1 a, n = a, la seconde de n = a a n =-■ c, et l'on a : 2 « a^Si^ 2o Jjli — i Jja )_ ^ _ ^^-An/A [50] (144) 2l X % a Lorsqu'on met a — 1 au lieu de a, il viendra sous la sommation de la première équation uu ternie de moius, et sous celle de la seconde au contraire un terrae de plus. La difterence des deux résul- tats, correspondant a a et a — 1, donnc donc: r/ (P g") + ƒ (P ^-") 'S»»- « ^ - Sin. {{a-\)x) n I 2 X dx = -Aap, (i^-^; •o rf{pe^^)-f(pe-^^) Cos. {ia-l).}-Cosa.^^^_^ ^ ^^^^ ^^^^^ ƒ 2t X % •'o 44. Quand on vcut difierentier une integrale défiuie ƒ ° X dx /{•«) -T~, — ï = \/ (7) q + ^'~ 1/(2) ■ ^ ., . , , , , d-^Pir) 1 ... d.rpjy'q) dq dMV^ ... , , , tioit ;i present u» (»•) = , donc u; (v/?) = = (s 15), clonc : dr dq d.[\/q) dq ü de sorte qu';\ présent on peut employer la même reduction que ci-dcssus : r (-1)"W , <2«+'-»(l/9) ^ 1 - . ^ fa + 1 - n)2"/i dC^+l-») . »(t/ g) / / ix) dx = z = 2 ^ ( — 1 " " " etis f/W; OU en remetlaut |j^ pour q: dx 1 0= (a ~ n + l)2"/i (Z('^+i-»).<^(p) ■(p2 -|- A.2)«+l ~~ la/i(_2p)ap o !»/'(— 2p)« rfp«+i-« cj . qi (p) . cZ(«-").i/;(p) cf(-^-»+').qp(p) iMais comme on a supposu \i>{p) = , on a aussi = — ; — — , donc: ^^ ' " dp dp<^-»' dpa-n+l fn< dx 1 co {a — n+ IpA d(."-«lip{p) [52]. . . (14.8) De la même maniere les deux intéerales /"" xdx f'" p dx I /W ~ ; = 'Tl (p) et / f{x) ~ = i/', (p) donneront: J p-—x- J p^—x- 0 o 1 o. (a — n)2n/l (iCa-»).(]Pi(p) ^;:, i\ . r"^ o^^) (pi_a.2)a+l la/l(— 2f>)° o l"ll(— 2/')" dp''-" dx 1 00 (g — M + lp/l rf(''-") '(p^— .7;-)''+i "" l«/i(— 2p)«p o l«/i(— 2p)« rfp«-'' § 2. .SÜKIES d'iNTÉGRALES DÉFINIES. 45. Par la methode de division de la distance des limites (form. 18, P. 1) on a: [52] ScHLöMiLCH, Journal von Crelle, Bd. 33, S. 268. Pasce 135. II. III. 2. N\45^45*. THEORIE, PIIOPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ■n • ■> V . 1 —d?/Z.v2(l\ 2 IJ raisous dans la dernit-re iuteirrale x ^-, donc dx = — ^, ■-= - : 1 -| = , y y- 1 + ;<•■' y \ y^l i+y'^ avec 1 et O ^nuï les limites de y : renversons ces limites pour obtenir les mêmes que dans l'iutégrale précédente, alors on pourra les réuiiir sous un même signe d'intéi^ratiou, c'est-a dire : o o o 1 2a + l«+i (a-l-«)2"/-i / l\2«+i Maïs on a a^^^+i + = ^^— ^ {—lY •« + - [öSl, donc: o o o • V . ^-^ , ] 2 1 — j;'- , , (1 ±.f)' Soit a present = y, donc x-{ — = — , 7 Zdx = dy, 1 ± y = , douc 1 -\- x"^ X y {\+x-)- \ -\- x- , /l-.x-\2 c?.r i 1+^14^ 1 , -^ 1 d,j ^1+.^^/ X 21 — .{.ï X 2 ?^i/(i — y-) y\^{^—y^) Quant aux Innites, il faut d'abord nous assurer s'il y a peut-être uu maximum on un minimum pour y entre les limites de x. Parce que pour dy = O, on a 1 — a;^ = O, il y a deux telles va- leurs de y, correspondant aux valeurs -\-l et — 1 de a'; mals comme ces deux valeurs ne tom- bent pas entre les limites O et 1 de x, on na pas a y faire attention ici. Aux valeurs limites O et 1 de « correspondent les valeurs O et 1 de y; douc: r . rl 2.r \ , 2a4-l«+'(a4-«)2«/-i fi ^ /2\2«+i dx J ■^\l+.-6-^/ (-1)" O 12«+i/i n ''^'[^rj x^yil-x-' o -o 2a + l«+i (a4-n)2n/-i n dx :S (—l)"'-^^'^^^^-^ — 22n-hl ff(a-)- —^ ■ ,[54.1 . . . (151) (— 1)« 0^ ^ r-n+i/l /•'^ ''a:2«4-2j/(l_a'M •- -' ^ ' ■45*. Dans l'iutégrale o 1 , — f/y faisons x = -, donc dx = — — , avec 30 et O pour les limites de tj; alors on a aussi : y y^ [53] Cal-chy, Cours d'Analyse. I» Partie. Paris. Debüre, 1821. (XVI et 57G p. 8'.) Note 8, p. 551, l'indique comme resultante de la formule (12), page 235. [54] ScHLÖMiLCH, Beitrage, Abth. 3, 5 11. Page 136. ET METHODES DÉVALÜATION DES IMTÉGRALES DÉFINIES. II. III. 2.N\ 45% iO. co o Maisona: .r2a+iJ. = •'■ + - ^ ', U [55]; tlonc par la substitutiou de cette série: 'o . "o o Quoique a présent la réduction nous ait fourui une integrale plus compliquéc, il nous sera facile 1 ( l\ ^ I l\dx de la simplifier. Car si nous y supposons a; = !/, uous trouvons 1 -|- — ] a.» = I .« -|-- | — = ch/, et alors les limites de y seront — x et -\- dx. [.56] (152) o o 46. Lorsque nous traitons l'équation (105), qui peut s'écrire ainsi : rj <}\ f^'^ 1 r. . dx j \ a-j \/x \/p I \/x o o par la methode, emplojée au Numero 44, la diflerentiation par rapport h q, a fois répétée, nous donne : [55] Cauchy, Cours d'.Vnalysc, Notc 8, p. 551, Forni. (9). [56] Cauchy, Exereicps de Mathématiqiie, 1826, p. 54. Page 137. 18 WIS- EN NATUUUK. VERH. DER KOIKKL. AKADEMIE. DEEL VIII. II. III. 2. N". AQ, Al. THEORIE, propriétés, formules de transformation. 1 r-"ji r'pj i/a;2« o 2"/2 [v'q)"^» [d.{x-{-%\/pq}]'^-"' puisque 1 (2i/pj«-» (2l/p)"-« (cZ. i/5)«-» (d 2 1/ p q)"-" [d. {x + 2 1/ p^y) } «-« ' donc: Pour eÖectuer la différentiatiou de la formule citée (105) par rapport a p, il convient de cbaiiger q en p et réciproquemcnt. Mettous en même temps dans Tiiitégrale du premier racmbre - au lieu — (/'/ de a;, d'oü dj: = 5-^,avecleslimites cc et O de?/: cliangeoiis ces limites, alorsréquatiou (105)devieut: y ƒ* , / q\ dr 1 /■"" djc o O A présent difierentious a fois u l'égard de p; cette différcntiation aura dans Ie secoud membre Ie même résultat, que produirait dans Ie dernier membre de rdquation (153) Ic changement de p en, g et réciproquement : dans Ie premier membre on acquiert uu facteur x". Donc on aura : r t' ""^^i ^°^-^- _ i'j \ '" .L j§ (_ 1 )., ("- »)'"''' r ^f°-"^-/(^ + g y'PQ) dx l k(p^ + l']r*''^'^' W l'? 0^ ^ 2"-2(2j.^,^)« j {rf.(.^• + 2^/p7))«-«l/^ -^ "^ ^ 47. Dans la Parlic III, Me'thode 22, N'. 7 on trouve: / x<'l{l-2pCos.x-{-p')dx = ^^ / ^^^[(2i7r + 2/i/+i+(2t7r-2/t)«+i- ü o — 2 (2 6 7i)«+i — ((/ 1)"+^ — (— «/O^+'J- On peut faire usage de cette formule dans Ie cas, oil une fonctiou quelconque ƒ (j) peut être développée suivant Ie théorème de Maclaurin; cest4-dire, quand d'oii : Page 138, ET METHODES D'ÉVALUATION DES IIVTÉGRALES DÉFIMES. 11. III. 2. N\ 47, /V) = /-10)+^/^-)(0)+^''^/i3)(0)+...+^'-^/(i--i)(0) + ^ Car alors on peut multiplier cettc formule de part et d'autre par 7777/^"+'^ (0)i y clianS*^!-" « en 71, sommer les rusultats de n=0 jusques ïi. )i =A; — 2; et puisque {n -\- i) 1"/' ^ !«+>''', il vieudra : o o (26;r o;») _ ^ ^j::^J ƒ „+,) (0) _ ^ ^-^/("+il (0) - 2 ^T^^ ƒ "+')(0) l o l«+i/i . "^ o 1"+'/' o 1"+''' o 1"+''' * OU par la série citée de Maclaueix : •'0 -o O r dx l[Un+xi)'' ^, , , ., [2bn—xif^,,,,, ,, H^',., ,. • ("^'^^^i/.v „■! •ü ^ ^ "o + -|- f -j-^ [(2 ^ 'T + A-i)'-/ i) [9{2bn + xi)} -\-{2bn — x if^) {'J{2bn — x i)] — — {xi)''P) (O j-i) — {—wi)k PH—^-^' '■)]■> . . . (155) oh l'ou a introduit ia valeur, trouvée Partie III, Méth. I, N'. 11, de l'intégrale r dx 1 J Ê^ — p p l (J -Ph Sous cette forme réquatioii (155) est cxactemeut vraie; néanmoius elle ue pourra servir que lorsque les intégrales, qui contiennent k, s'óvaiiouissent avec une valeur infiiiie de k [57]. [57] IFoWE, .Journal ven Crelle, Bd. 40, S. 1,39, ou pouïtant Ia dcduction 11'cst ni complete, ni rigourcuse. Pa-C 139. 18* n. III. 5.N\ 48. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, § 3. TIIÉORÈJIES GÉNÉRAÜX. ■48. Comme c'est notre but de pavcourir autant que possible toutes les métliodes de réduc- tion, eniplojées dans la theorie des iiitégrales défiuies, il ii'est pas inutile de preudre ici une autre voie dans la discussion, et d'envisager cette partie d'un point de vue plus général; on verra dans Ie cours de l'expositiou que plusieurs des raisouuemeuts précédents s'j rattaclient, ou en découlent facilement, quand ou les prend de ce Cüté-1;\ : néanmoius il valait mieux les laisser a la place qu'ils occupent, afin de mieux faire ressortir la diversité des methodes. Ici nous regarderons les fonctious intégrées comme un produit de deux facteurs, dont Tun reste coustammeut arbitraire, tandis que nous supposons a Tautre divers dévcloppements : aiusi Ton reduit des classes entières d'intégrales compliquées a des sommes d'intégrales plus simples, et en dernier lieu enfin a des séries ordinaires ou ii des séries doubles. Cette maniere de voir se trouve exprimée dans la formule ƒ6 c rb f{x).q{jc]ch-^ ^Un 1 f{x).x{x,n)dx, (156) a a c quand (f:[x) = 2^ Un%{x ,n)\ (a) o mais cette réduction est souraise a quelques conditions necessaires. En premier lieu, quant au développement de (f {x), c peut être un uombre ilni, ou bien Tinfini ; dans Ie premier cas c'cst une série finie que nous avons a considérer, dans l'autre c'est une série iufiuie. Lorsqu'eile est infiuie, il faut qu'elle soit convergente pour toutes les valeurs de x, situées entre les limites a et & de x, puisque autrement il ne serait pas permis d'en faire usage dans l'iutégration entre ces limites. Eu sccond lieu, dans Ie cas de c infini, 1'existence de Téquation (156) exige, que la série des termes après les intégrations soit encore convergente: autrement Ton ne pourrait considérer une somme de ces termes comme la valeur de la première integrale. Lorsque au contraire c est un nombre fini, il n'est pas nécessaire ici, ni dans Ie développement supposé, de faire atteution h la convergence, puisque alors les deux séries sout finies. On a vu que la série représentante de

dx; (158) a a a c lorsque cp (x) = A ^ -\- ^ A^ x" (<;) 1 ■Pour qu'on puisse faire un emploi utile de cette formule, il faut connaitre les deux intégrales définies j f(x)dx et j f(.r)x"dx; a a ct il y a beaucoup de cas ou cela a lieu. • Applications. Soit f{x) = e-^% a = 0, 6 =-- oo ; on sait par Méth. 38, W. 2, Méth. 4, W. 7 et Méth. 3, N°. 7 (Partie III) respectivement, que ; r ,1 r . i"/2 r 2 i , / 2 ƒ 2''+i / 2«+" "o o o U'abord on doit observer ici que la valeur de l'intégrale, pour une valeur générale de n, dift'ère selon que n est pair ou impair; dès-lors il faut séparer la sommation en deux parties, dont Tune ne coiitient que les n pairs, Tautre au contraire les n impairs, de sorte que l'on a : I f{x)..l.{j:)dx = A, j'f{x)dx-\-h:A.2„ J f{x].i:-^"dx-\-^A.2n-l j ' f^x) x'^" - ^ dx ; . . . (159) a a a a ou c' est Ie plus grand nombre eutier contoiiu dans ,} c; (avec Téquatiou de condition (c).) Une telle séparation de la sommation se présentera encore souvent dans la suite. Pour l'applicatiou actuelle, cette équation doune : Page 141. H. III. 5. N% 49, 50, THEORIE, propriétés, forjiules de transformatiok, / o 1 f c' ln/2) c'+l 1»1 = 2l/'^JAo+^A,„— j+ ^A,,-,^,. [58]. . . (160) Lorsque ii présent ]a série (c), qui représente Ie développement de ip {x), est telle que tous les coefficieuts a Findice pair Aan, ou tous ceux a l'iudice iinpairAo„_i s'annulent, alors les sommations correspondautes s'évanouisseiit et la formule gagne encore en simplicité. 50. Soit encore ƒ (.r)=A-/'-i Cos. x, ou f(x)=xP-'^ Sin.x: alors on trouve P. III, Méth. 18, W. C> : j aV'-i Cos. X dx = r (ƒ?) Cos. \pn , j .r/'-i Sin. x dx = T (p) Svi. l pn , /; < 1 : o o donc on a aussi : ƒ a'/'^-»-! Cos.xdx = r (p + n) Cos. r~^7T\ , I x"+"-l Sin xdx = V{p-\- u) Sin. ^ -~ n\ ; " O mais ici Cos.{^^ny-Cos.{^^±^nyCos.lp.,-Cos.{^^^ (p+4:?i \ (p+in+?. \ _. , „. /p+-4«H-i \ ^. (p+in+S \ AïH. TT = OUl. 71 =<.Si«. .' PTT, Sin.\ TT = Om. TT = CoS. l IITT, et encore r (p + n) = p"" T (p), d'après la theorie des facultés uumériques. Ici donc il faut de nouveau distinguer entre les cas de n pair et de n impair, et par conséquent séparer la sommation en deux parties et faire usage de la formule (159): ainsi Ton a: ƒ'-" c' c'+l cf{x)xP-'^Cos.xdx = A^r:^p)Cos.lpn-\-^A2n{—'i)''Cos.lpTi.p^-'>'^rip)-\-.^Ao,,-.i{—l)''Sin.lpTi.p^'>~h^rq}) ƒ = r(p)(7os.J/)7r.JAo+:S'(~l)«A2„p2;UJ-[-r(/))SiH.ip;T.^f— l)"Aa«-ip^"-''',.(161) * c' c'+l :({x]xP-^Sin.xdx = A„T{p]Sm.ipjT^SA2n{—l}"Sin.lpTT.p^"^r{p)+ ^ A2n-\[—\)''-'^Cos.\pTt.j)'-"~y^T{p) 1 1 f c' 1 c'+l = r(p)Si«.ipTr. Ao+^(— lj«A2«2>2H(i _r(p)6'os..5/57r.^(— l)»A2«_ip2''-i/i.[59](163) ' 1 J 1 Lorsqu'ou multiplie ces deux équations respectivement par Cos. \pn ti Sin. \p^, et qu'on prend la soinrae des résultats, les sommations par rapport a Ao/i— i se détruisent et il reste : [58] Fautive chez Boncompagni, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74. [59] BoNXOMPAOXi, Journal von Crelle, Bd, 25, S. 74, Page 14?. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. 3. N°. 50, 51. f ƒ-" c'+i ip{x) xV-'^ Sin.{\pn — x) dx ■■= T{p) JS' (— l)«A2,e-ip2«-i/i (1G4) o 51. Pour /'(:)■) = e-'i^xP-'^ Cos.x et ƒ(*) =e-?^a;P-i »Sm.;r,la Métli. 1S,N^3,P. III. doune : /■" ,^ , T(p)Cos.p}. r , „. , T(p) Sin.pl ƒ e-'/^xP-^ Cos.xdx = —- , ƒ e-&«.(.-pA).i. = ^^-^^^A„^-p^ (168) [60] BoNC0MP.\c.Ni, Journal vou Crcllc, Bd. 25, S. 74. Page 143. II. III. 5. N\ 52, 55. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOIIf, 52. Enfin supposons /(j) = , alors on trouve Partie III, Méth. 10, "N\ 5 : lx la?)-!— a?-i p /"'a;?— 1 — xi—^ r i. (/'+"- ^ — icï+''-i p + 7i 'i + n ; dx = l-, donc ƒ ; x" dx = / ~ dx = l lx q j lx I Ijs o "o "o lei Ie théorème (158) donne pour les limites a = O, 6 = 1 : I 9(a,0 dx = AJ- -\- 2 AnV-^^. [61] (169) / lx ? 1 5 "1" '* "o 53. Eetournons au Numero 49, et supposons a piéseut x{x , n) = Sin.''x ou x (■'' , «) = 6'os." j;. Puisque eu géuéial les intégrales définies, dont il faut faire usage, out des valeurs diffé- rentes selon que les puissances des Sinus ou Cosinus sout paires ou impaires, il convieiit de les distinguer d'avance. Ainsi soient : (jP , (a) = B 5 + JS- Bon Sin.^" X , et <^- 3 (:r) = C o + ^ C2„ Cos.^".r, J [d) ou (f^ {x) = 2 B-2„-i &n.2«-i X , ou (p^ (x) == ^Ca,,-! Cos.-"-'^ x;] 1 1 / OU l'ou suppose toutes ces séries convergentes entre les limites a et Z> de .■?' : dès-lors Ie théorème général (156) devient ici successivement: ƒ«■ fb c [h f{(t).-U-dx, (171) O a \f{x).^,{x)dx==C^ j f{x)dx + :èc2„ j f(x)Cos.^'^xdx, (172) o 'a a ƒ'' c [h f{x).ii^(x)dx= ^Gon-i I f(x)Cos.^-"~^xdx (173) Ces theoremes peuvent nous servir, aussitut que les intégrales sous les signes de soramation sont counues: dans Ie cas des formules (170) et (172) il faut encore connaïtre les valeurs des intégrales hors de ce signe. Applications. Ou trouve Partie III, Méth. 3, 'N". 5, les intégrales définies: [61] KuMMER, Journal vou Crellc, Bd. 20, S. 210. Page 141. ET METHODES D'EVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. O. N'. 55. 2a+6;2 2'j la+é+1/2 ƒ O et eiicoic : 3«/2' t+l)*+i ^iT y-jT la/2 Tt fiTt th'^ Cos.-<'xdx = I Sin.-oxdx = , 1 Cos.-a+^xdx ^ \ 81)1.^"+^ x dx = Ür, pnisquc la première des intégrales citées est symétrique par rapport u a et b, on voit tout de suite qu'ou aura Ie niême résultat eu mettant pour f(x] dans Ie théorème (170) Cos'-^x, et Sin.-"!: dans Ie théorème (172): car aussi les intégrales, facteurs de Bg et Cq, devieunent égales ; douc pour a = O, b = ^n: [{TT fi^ lai „ c la/2 ln/2 n l (^ , (r). Cos.2« ;i- d.r = / .r ' {x). Sin.^" ^ rf.r = B „ — - - + ^ Bo^ ^ ^ ,, - I n '^ j ƒ ' " ^ ' " 2°/2 2 1 2''+"/2 2 'd o TT fB„ <= 1"'2 ) = l«/2 - 1^ + ^ Bo,, --, (174.) Pareillemeut la deuxième et la troisième des intégrales citées, appliquées aux théorèmes (171) et (173), dans Ia supposition de ƒ («) = Cos.'^^x et /'(.e) = Sm.-'^x respectiveinent, donnent aussi Ic même résultat; par conséquent: f'lT /-^T c 0« — 1/2 la/2 c 2"~''2 / (f 2 (x). Cos.^^xdiV = / ; alors, puisque suivaut Partie III, Métli. 3, N^ 9: 12a/l ƒ z-p^Sin.-" xdx = - 120+1/1 ƒ (i— i"^iSi;«.2n+i xdx = et quencore suivant Partie III, Méth. 1, N'. 9 : ƒ e-/« dx = ~ , on trouve: r" \ c J2n/1 / q , (.T). e-P=^ d.v = Bo - + ^B2„ — = - iBo + ^B2„;-„T-r3V7I^,-T.T-;7:., ,—..\' ■ ■ ■ (i^s) 1 >(2'+P'')(4*+p^)...(4«^+p^) 1 [ ^ 12n/l^ -|B„+ i^"'(Tï+p-^)(4,^+p^)...(4n^+p' /;.(..).^.^..= ^B.-i (rq:,^^Tz^r.'{(^«-i)^ +7} -^^^^ ^^^^^ "o Puisque la valeur de l'intégrale 1 e—P-' Cos." .V dx ■() impliquc des soinmatioiis, ou ohtieiidiait en Femployaut dans les théorèmes (172) et (173) des sommations doubles, qu'il ue serait pas ;i propos de calculer ici. 55. Lorsqu'on suppose que la fonction y_ {.v ,n) soit de la forme Cos.iisx, ou Sin. n sa; c'tsi :\ dire quand ou a: if,^ [a;) = Dq -\- 2Ï),, Cos.tisx , if ,.(*•)== .2" E,, +"'yi Ei. {—qip + n s}} J + _j_ _ j^g_(r,-,„)r/ £1 ^q (^p _ „ 5) j _ e{p-!isyi Ei I _ ,^ ^p _ „ ,,jj J _ = _ e-pg Fe'"? Ei (q (p — n s)} + e~'>^'l Ei. [q {p -\- n s)] — 4 ePi [c"*'? Ei. [-~q{p + ii •«) } + e-"' p, - (1 — e— -PI) , pour ns = p; Page 148 ET METHODES D'ÉVALUA.T10N DES liNTÉGRALES DÉFIMES. II. III. O. N . 5(». " " q Cos. p m. Cos. n s x dx n q"' + a;ï 1 e— 7"/ (e"s? -f- e— IS?) , pour ns<^p, [ = - (ePI -\- e~f<}) e'""! , pour ?i s > p, 4 71 := - (1 -j- e~'^l"i) , pour ns = />; 4* 'qCos.px. Sin.nsxd.v J ^ , x ^^ ^ / ,-. , . ^ ■,,. r , .t ' i-^ == - [<;-(/'+««)? El. {q [p + w s)) — e(P+««} es; q- -\- X- 4 o — (189) [190) = 1 e-pq Jf- - e-Pi ^ 1)„ {em + e-""?) +-( <^ c; » (^) q^Gos^pxdx ^ _ 1 ^_^^ J ^^^ ^^„^^^ ^ . ^^^ ^^ _ ^^ ^,^^ _ ^_„^^ ^. . ^^^ ^^^ + „.)}]_ f^- -}- ,ï 4 1 eP'i :E^nW"iEi {—q{p -\-ns)] — e-m Ei (— ';(/' — "«))] 4 1 = —^e-pn :k¥.ncmEi.[q(p-i>s)]—^~ + --eP?^E««-'"?E/. ('/(««—?)} , ^^-,.(192) pourvu ([U on cliange D_„ en Dn, E_n en E«. Pan-e 150. ƒ■ Kï MÈTI1ÜD1.S DÉVALUATION DES INÏËGRALES DÉFIMES. [I. III. 7). N^ 50, 57. Quant ü la icductioii des soinraatioiis, il faut reinarquer que dans les tbrnuiles (187) et (190) OU a tout de suite admis Ie ternie solitaire sous Ie signe de sommatiou, ce qui était permis daifs ce cas; eu conséquence de cette admission les soinmatious a présent iic commencent pas a n = 1 uiais ;\ la valeur zero de n. Dans les équations (IS9) et ^191) on a transformé la som- ination de d -\- l u c dans la différence de deux autres qui vont de zéro :\ c et a d respectivement : de plus dans Téquation (191) Ie terme solitaire a étó admis dans la sommation de 1 ii et '—,/.,, et cela a bon droit et avec Ie mème succes. Alors il faut faire usage des intégrales définies, évaluées Partie 111, Métli. 9, jM'. 17 et 18: X Sin. p X. Cos. n $ .v dx I f f = -e-P'i [e»s? -|- e— '«'?} , pour ns<:^p, = - {e-l'H—eV'i) (:-""! , pour 7i s > ;>, = — e--l"i , pour 71 s ==p; 4 \vSin.px.Sin.nsxdx 1 ^ , , ,. r , %i , i„ „.w r-- ( / \-\ \ 1 - ^ = \e'p-ns)qEi. {—(]{p -ns)} + e-iP-'")l El. [q{p — ns)}\ + q- + x- 1 ' ^ i [e(p+»»)ï Ei. {— ''iEi.{qip-ns)]—e-"-'VEi.{q{p+^^^ Pasre 151. II. III. 5. W. 57. THEORIE. PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR.41VSF0RMATIOX, ƒ■'" .X' Cos. p (V. Sin .nsx dx n q^-.^.x^ 4 e-PI {e—"^l — e"«?) , pour ns<^p, == - {cP9 -\- e— PI) e—""} , pour ns"^ p, 4 — e~-P'i , pour ns == p; tiindis que les intégrales définies — TT^-, - = - e-Pi , \ —^-^-7- = - ^ {«P' -Eï- (- P '/) + e-P9 Ei. {p q)] o "o out déj&, été citées au Numero 55. lei comme au numero precedent Temploi de la première et de la quatrième integrale donne lieu il quelques remarques, en grande partie analogues ;\ celles du numero cité. C'est de nouveau Ie signe de 11 s — p, qui doit nous guider ici dans les discussions, mais en contraste avec ce qui a été observé lil, la forme pour la valeur ns egale a p ne se laisse pas réduire ici aux formes qui ont lieu, lorsque ns est égal ii p\ donc il faut considérer ici quatre cas. Lorsque ns est toujours plus petit (|ue p, alors il faut cmployer seulement la première valeur des intégrales définies : c'est ce qui arrive lorsque la plus grande valeur de ns, savoir es, est plus petite que p. Lorque es est égal ■A p, il faut preudre la somme de la première valeur de 1 a e — 1 et y ajouter la troisième valeur de l'intégrale pour Ie cas de n égal a c, Encore ns peut devenir plus grand que p: alors il peut se présenter deux cas pour la valeur de p, savoir: ou p sera exactement uu multiple de s, supposons ds, (oü donc d doit être plus petit que c) ou Ton aura p =.ds -\- p', c'est-a-dire que p est égal u un multiple de s, augmenté d'une quantité p', plus petite que s; tout comme au numero precedent. Dans ce dernier cas il faut preudrê la première valeur des intégrales en (juestion pour la sommation de n 1'unité jusques a la valeur d de n, et au contraire, de n égal u (i -j- 1 jusques a sa valeur extreme c, il faut emplojer la deuxième valeur de ces intégrales, qui vaut dans Ie cas de 7is plus grand que p. Mais lorsque p est un multiple exact ds de s, il faut séparer Ie terme, qui correspond a Ia valeur d de n: dès-lors il faut sommer la première forme des intégrales en question entre les limiles 1 et d — 1 de n, admettre ensuite la troisième forme pour la seule valeur d de n, et enfin étendre la seconde sommation de«^d-l-l an = c pour la deuxième valeur des mêmes intégrales. A l'aide de toutes ces observations, on obtient enfin par les théorèmes (ISO) et (IHl) les formules: Z"" xSin.pxdx n <= tt ^ I —c -e-f'ï.2'D„(e''»?-f e— "^7)+ ~Dc e—^PV = -e-P?.^D„c«*?,pourp = es. (194) 4 o 4 4 _-^ Page 152. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. 5. N\ 57. ƒ* X Sin.pxd.r, n n ^ n <^ '/'5 {■'>■') — :, ..^ -= - e^P"^ 1*0 -\--e—l"i 2Ï' D„(c"--'? -\- e-'""i) -(- - {e— Pi — e/"?) 2 D„e-««/ = ü " ' 1 ■ ''/)+~Dde--P'l-{—{e~Pi—eP'!):SDne-''^l TT "^ TT ""1 7T f'~' TT ' J ^ . . \ •* = _ (e— ;>? — eP9j v- 1)^^ g-n«? -|- _ eP9 ^ D„ e-"«? -|- - e-Pi 2 D„ e'«? + - D,/ -]• o 4 o J-' o 4 /" X Sta T) v dx 1 ^ \ 'Pg W' , Z' , = 7 t'/'ï :^ E„ [e"-y £i. {—q{p + ns)] — e-m Ei. {—q{p- ns)} ] — o 1 '^ e-Pi 2 E„ [e«s? £■«. {^ (/? — n s)] — e-"'l Ei. [q {p + ns)) ] 4 1 1 c n 1 <= = ePl21i:,„e-mEi. {q{ns—p)] e-Pi:E E„ em Ei. ((/(o— ?is)),(197) 4 _c ■' + l/n^ 4 _c ƒ 'PS C-^-) a J_ 2 = ~7 ^''^ ^ ^« [^""^ ^*"- (~ ? (^^ + "*)} + ^~'"' ^''- (— ? (P — "^)) ] — / 9 "r "^ 4 o o 1 <^ e- PI 2 Tin \_em Ei. [q (p — lts) ] + e-""? £;. (5 (/? + ns)] J 1 c 1 c = ePI ^Dne-m Ei.[q[ns ~p)] e-Pl :S'Dn(.'"l Ei.[q[p— ns)] , . (198) 4 — c 4 _c xCos.pxdx 7J- c TT <^ n g(*') — r~^ =-e-Pï.^Ert(e-««/ — e»*'/) =-e-/^'/^E„c-'"7 ,pourD>cs; . (199) /; = - e-Pi 2 E„ (e-"«? — e"«ï) + - Ec e-^P? = — — e-Pi 2 E„ e''«? — , pour /; = es ; . (2 00) 4 o 4 4 _c -\- \/ n''- . ■= -e-/'? ^ E„ {er-^'i — e"'i) -f- - (ePi + c-P?) ^ E,, e-m = 4' o -4 (i+i = - (ePi -\- e-Pi) 2 En e—'"^l ePi È B,, e-"'^i e— w ^ E,, e««? , .... (201) 4 o 4 o 4. o pour p = ds -\- p', d<^c, p' <^s; n <^— 1 TT TT c ', = - e— P? ^ E„ (e-"s7 — e»s?) + - Ej e-2p? + - (ePi -(- (?-P?) .2" E„ e-m = 1' o 4 4 (/_|-i f \)ouï p = ds, > . (202) TT, , . i,„ TT ''— ' 71 ''-' 71 ( ti ]> « s, I '1' ■^' ~ (.1 n = — Cos.p q. Sin. qns, pour p <^ w s, = - SiJi. 2pq , pour p = n s, f'^ q Sin.p x.Sin.nsx t l dx = Cos.pq. Sin. q n s, pour p ^ n s, I q'—x' 2 O TT = — —Sin.pq Cos. qns, pour p -iC. n s, n = Sm. ipq , pour p = ns, évaluées Partic 111, Métli. 9, N'. 19 doivent étre employees. Ou s'aper^oit tout de suite qu'en conséquence des valeurs différeutes de ces intégrales il faut prendre garde aux valeurs que peut acquérir la difierence p — ns, selon qu'elle est positive, uégativè ou nulle; mais eu même temps on voit que ce dernier cas, oh. p est égal a ns, peut se déduire des deux valeurs précédentes, oïl p est plus grand ou plus petit que ns. Dès-lors il faut distiuguer quatre cas auprès des sommations. Premièremeut soit la difierence p — ns toujours positive : cela aura lieu lorsque p est plus grand que es; dans ce cas il ne faut employer que les premières valeurs des intégrales défiuies citées. Eii second lieu soit la moindre valeur de p — jjszéro: c'est-a- dire, soit p cgal a es; alors il faut également employer ces mêmes valeurs. Enfin p peut avoir une telle valeur que la difl'érence p — ns est tantót positive, tantót négative: alors il faut faire usage tantüt de la première, tantót de la seconde valeur des intégrales citées; ponr en décider, suppo- sons que Ie plus grand multiple de s, contenu dans p, soit ds, d'oii il suit que d doit être plus petit que c; alors il peut encore y avoir ou non uii reste p', toujours plus petit que .'. P.na;e 156. ET METllüDKS DÉVALÜATION DES INTEGRALES DÉFINIES. II. III. O. IN'. 58. Eu premier lieu lorsque p est de la forme ds -}-p', Ie cas oü p — ns est zéro ne saurait se pré- senter; alors il faut diviser ia sommatiou eu deux autres, dont la première, allaut de 1 ti, d, exige Teinploi de la premiure valeur des intégrales citeés, puisque ns y roste toujours plus petit que p: et dout au contraire la seconde, allant de d-\-\ ;\ c, ou douc ns est toujours plus grand que p, demaude Tu^age de la deuxième valeur. Dans Ie second des deux cas mentionnés ci-dessus, celui ou p a cxactemeut la forme ds, on u'a rien h, changer dans la seconde des sommations par- tielJes; mais Ia première ne saurait s'étendre maintenant de 1 ;\ d, et nc pourra aller que de 1 a d — 1, afin que toujours ns y reste plus petit que p, et que Ton y puisse employer la première valeur des intégrales définies en question; pour Ie tcrme, qui doit encore veuir en con- sidération, et qui correspond ii la valeur d de ,n, ou peut faire usage arbitrairement de la première OU de la deuxième valeur respective de ces intégrales. Eu égard aux observations précédentes, les formules -(180) et (ISl) doniient : / 1/ . = -DgSiii.jjq^-Sin.pq.^DnCos.qns ^—Sin.pq.^ DnCos.qns ^py^cs; . (208) f " q' — x' 2 2 1 2 o = 'o 7T " 77: '' = -Sin.pq.2J)i, Cos.qns-{-- Cos.pq. ^ D,, Sin. qns , j:) = ds -\- p', d <^ c, O <^p' ) q — j; ■«. 1 2 o n . "^ ' TT = — Sin.pq. ^ E„ Sin. qns Ec Cos 2 pq ,p=^cs; .(217) 2 o 4 TT «^ TT C = — Sin.pq. ^11,181». qns Cos.pq.^'E,„Cos.qHS,p=ds -{- p',d<^c,p <^.s; . (218) ^0 2 rf+i TT TT TT ^ = — Sin.pq. ^ E,i Sin. qns Ej Cos. 2pq Cos.pq. ^ E„ Cos. qns, p = (fs, (? <^ c . (2 1 9) 2 o 4 2 d-i-i Quant aux réductioiis dans ces formules (208) a (219), ou a admis dans les équations (208) et (212) Ie terme solitaire sous la sommation, qui commence par conséquent par la valeur zero de n; pour la symétrie, on a commence de mêinc les sommations dans (210) et (210) par n = O, Ie terme ajouté étant nul. 59. A la fin du Numero 48 on a distingué trois cas d'application du théorème général, et dans les Numéros suivants 49 a 57 on a traite du premier de ces cas. Passons maintenant au second, c'est-Jidire au cas oü Tintégrale génerale I f{x}. % {.t ,n) dx, qui se trouve sous la sommation dans l'équation (15G), se laisse réduire de quelque maniere générale a Tautre integrale , . . f' speciale, d'ordinaire plus simple, j f{x).y(x ,0) dx. Quand on suppose alors : ƒ tfix). X (.r ,n) dx= m Cfi^v). i (.-,0) óx {9) oü /„ est quelque fonction dépendante de n et indépendante de x, cette formule (15G) devient: Page 158. ET METHODES D'ÉVALUATlüN DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. 5. N". 59, 60. a ' a a oii l'ou a supposé de nouveau Ie développement (a) de cp (.r) dans Ie Numero 48. Nous allons donner diverses applications de ce théorème a l'évaluation des iiitégrales détiiiies generales OU :\ leur rcduction a des séries; maïs il convient d'observer auparavant, que ce théorème c (220) est très-utile dans la theorie des suites. En effct Ton en déduit la soinmatiou JS'«„;'„ comme o ie rapport de deux intcgrales défiuies; dès-lors chaque série — car cette sommation ii'est autre chose que Ie symbole général d'une série quelcoiique — subsiste comme un tel rapport de deux intégrales défiuies: donc il importe seulement de trouver auprès de la sommation d'une série, une séparation convenable du terme général, de sorte qu on soit conduit ;\ deux intégrales défiuies, dont la valeur est conuue ou peut être évaluée ailleurs. Retournons u la methode en questioii, et distinguons comme précédcmment les divers déve- lnp|)ements de «f (:i'), ou en d'autres mots les diverses formes de y^{x,n). 60. Soit en premier lieu ^ ('^ > ") de la forme x", c'est-a-dire i.-"+^ s.ï; , ff 5 («) = JS'C-2,,-1-1 Cos.2«+i s.vM o o j toutes convergeutes entre les limites a et 6 de a;. Supposons de plus pour la condition ('j): I f{x)Siii."sxdx = Ii„ / ƒ(*■) dx , ƒ ƒ (*•) Cos." sx dx = I„ ƒ f{oc} dx; .... (i) de sorte que Ie théorème (220) fournit les formules : {'fix).^f,{x)dx= lf{x)dx^B2n H2„ , (226) J f{x).^p,(x)dx= I f{x)dx:éB2n+l'Ü2n+l , (227) j f{x). , ,^ „ , -, 2P42« f?L+l±i V" r f^2±l±i\ /p-g+'V'^' r //^-g+iN Page 161. 2i \VIS- EN NATTJURK. VERH. DEU KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. II. UI. o. N . V)l, 02. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORiVlULES DE TRANSFORMATIOIV, .r. Cos.q ivdx ■= 22« ii^^±lY [/'-^+M"^' ■ .,,r //±i±i\ r f/i=:i±l '''\T.Co8.qj- (lx;. 1 CosJ'-Kr.i (/' + 0 , ., 3 (j) = ^L„ Cos. {(r + ;i)«-*} . '•>". • • • W ü o — convergeutes entre les limites a et b de x, et encore au lieu de Féquation de condition gé- nérale ( 1 , - e—^' Cos. qx dx = - e~il' i/ n : 1 2 donc : e-^'Cos. {(.; + 2?!)«} dr = - e— J(ï+2")- j/ tt = - e— ^7"-?"— "■ i/ tt = e-v"-"- / c^^'Cos.qvdx; 11 'o dès-lors on a par Ie même théorume (232) : /"° ■• 1 , <^ , I cpi,{x) Ê— ^ Cos ^a'da; = -e— i?' (/ 7r.2'L„e-n'— «7 (234) ƒ 2 o •'o 63. Supposons enfin comme deniière application de la formule (220) que Ton ait ixl- pour Ia valeur de x{x,n): elle devient 1'unitr, quand n devient zéro: la condition ((/) contieut donc f. 1'intégrale simple / / (x) dr. Ainsi, lorsqu'on suppose Ie développement Cf q,(,) = 2 0,Axl-Y (m) convergent entre les limites a et è de Tintégration, et de plus l'équation de condition, ƒƒ(.) LlXcI^- p« f/H^^'> Ie théorème (220) dounera la formule: Page 163. 21* II. Hl. o.N\6o, 04. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRVNSFORM VTIOX, (/W-qp., {^)dx = j'f{^)dx:èo,Fn (235; Applkaiion, L'intégrale di-finie f 1/ 1\'7-I ] l-\ ;f/'-i dx =~r (q), wj pi qu'ou trouve cvaluée Partie III, Méth. 29, N'. 2 doniie aussi : (P + (lonc par la formule (235): ^«/> - r 0> == -— ^ il-\ xP-hl r • «)?+» pv (p -\- n) f \ rl I ./ A' ^- ••c''-' c^-c = - r (';) ^0„ -^^ — = r (7) :SOn ' . [68] .... (236) 64. Nous voilh, parvenus au troisième et dernier cas de 1'application de la formule générale (156j, doiit nous avous fait mentioa ïi la fin du Numero 48, et ou l'on suppose que ie déve- loppemement de if (.«) puisse se faire suivant Ie théorème de Maclaurin. Cc théorème peur les deux fonctions ƒ (p a-j ctf{q-\-px) s'énoucc ainsi : ,(;;..) = j'-f;^\f('0(0) , ,,(v+;,.r) = J^^;^^(")(ï); (o; o l'v' o 1 ' pourvu qu'aucuiie des fouctions (^(") (0), '].'•") {q), c'est-;\-dire des dérivées successives de ij (.«), pour les valeurs O ou 5 de x ne devienne iufinie ou iudétenninée. Lorsque en outrc ces séries sout convergentes entre les limites de l'intégratiou par rapport u x, ellcs peuvent servir ;\ la réductinn des intégrales rl, rb j ƒ(•'■)• 'i^ ( ~ P -f) d-'- , / /»• 7 ('7 + 2 ;' x) dr, ])ar la methode, exposée au Numero 48 ; en cflet on trouve les théorèmes : rb ƒ'' » qi") (0) /•* /(4iq+px}dx=^É^'^p" p\,)xndx; (238) »" (y) 1"/' pourvu que les développements (o) vaillent entre les limites a et i de x [68] KuMJiEii, Journal vou CrcUe, Bd. 17, S. 210. Page 164. ET BlÉTllÜDES Ü'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIMES. II. III. 5. N^ 04, 65. Donc si Ton veut être coiuluit ;\ uiie série, qui ii'ofl're pas trop de difficultcs dans sou usage, il importe aupris de cette methode, que Fiukigralc définie sous Ie signe de soininatiou puisse être évaluée, de sorte que la sommatioti ne porte que sur des quautités fiuies. Or, il arrive süuvcut que des iiitégrales d'uue telle fonne aient une valeur coiiuue : nous n'en preudrons que quelques-unes, qui serviront ïi des transformations facilcs et simples. 05. Applkatioim. Soit /(r) = i'(l — •«'"), alors on trouve Partie IIT, Mcth. 3, N'. 4 les deux valeurs de l'intégrale détinic, qu'il faut employer daus Ie cas de n pair ou impair : |'-""''-M(l--^) = .^2 , ^WiJ..i/(l-.z-) = 3.+1/2 lei donc il faut distingucr eulre ces deux valeurs de n, de sorte que, au lieu de la formule (237) OU a la suivante : '(/,f. . . (239) rt> o,n{:J«)(0) /'' OD ,,.(2'i+i)(()) r^ i /■(..). g. (px) d.V = ^ ^-^ f-" j f{.v) ..2« d^ + ^ L^—±J.p2n + l j /(,,) .,2«. a ' tl tl A l'aide des intégrales détinies citées, — pourvu que les fouctions ff- {x) et x" cj. {j!)\/'{l — x^) soient tinies entre les limites O et 1 de x, — ou trouvera maintenant: /•l oort,{2«)(0) l"/2 TT ^^ rf,(2'>-|-I)(0) 2"2 o Tra, (i(2'0(0) IpV" '^ (}(2"+l)(0) 2o(«+l)(l"/')M2J o(2n+3){3W2)2^ Soit eucore f [x] == , alors il faudra employer les intégrales définies, évaluées 1/(1 — ■«^) Partie III, Méth. 3, N". 4, égaleraent distinctes pour les valeurs paires et les valeurs impaires de n: -' «2«+i dj; 2"/2 ƒ1 X^xdx l"/2 TT r' .g2,H l/(l_^.^-) ^^i~Z ' j 7^ X-) 3«/2 lei donc il faut encore prendre la formule (239), et Ton trouve, pourvu que les fonctions ip (r) et 3 " if (x) restent toujours finies entre les limites O et 1 de ar. \/(l—x'') l'c^{px)dx ^ ^ .pl2^(ü) .,^^ W2 ^ ^ ,^(2»+U(üj ^^^^_ 2^ _ O TT «.g:(2")(0) /p\2n 00 a,(2n+l)(0) 2 0(1"/'}^ U) o {3«/^}^ ^ ^ ^ Lorsque dans uue des équations (2^.0) ou (241) la fonctiou if (x) est de telle uature que toutes les derivées d'un ordre pair (j(2«) (.«), ou toutes celles d'uu ordre impair ij.i-"+^} (x) s'évanouissent Page 165. II. III. o. N\ 65, 66. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, pour la valeur zéro de x, alors ces équations devieniient beaucoup plus simples en ce que la sommatioii, correspondant a ces dérivées évanouies, disparait elle-même: et cette suppnsitioii se vérifie souvent. Par exemple soit ƒ (a;) = e— ^', alors on trouve Partie III, Méth, 6, W. S: r ■> 1"'- -X- ^.2n+i dx =: Q , I e-^'x-» d.r = \ tt. I e-x- a!2»+i dx =: O , I avec la valeur spéciale ƒ e~^' dx ■■=•- \/ u . Pourvu doDC que qi{x) et a plus forte raison la fonction e~^- ip {x), soient finies pour toute valeur de X (eutre les limites — x et + ^ )' '^o"^ pouvons faire usage du théorème (:i39). Mais ici ia sommation répondant aux .)(2« + U(0) disparait, puisque l'intégrale qu'elles coiitiennent, s'évanouit : doiic on a: ["" „ »(;(2'0(0) „ l"/2 a> (f(2")(0) /»\2» ƒ c^[px)e-^\lx == ^\, , p-^-^y^^ = V^^ y -1 (242 .Siip])ósons encore f {x) ^= a;c~-^', alors on pent cmployer les mêmes intégrales que ci-dessus pour n géiiéral, avec la valeur particuliere ƒ e— ^'" xdx = 0. Lorsqu'on veut y appliquer Ie théorème (239), on observe qu'ici toutes les intégrales s'évanouissent sous la sommation qui comprend la dérivée (jp(2n) (0), et que par conséquent cette sommation dis- parait de Téquatiou. Douc lorsque les fonctions (j [x], et a plus forte raison la fonction xe—'^ <ï>(^)» resteut finies pour toutes les valeurs de x entre les limites — oo et + <^> 1^ formule (239) donne : [^ , a>T(2«+I)(0) 1"2 oorj,(2n+l)(0) »2«+l / .1 'n x) c-'^' X dx = :E ^»2«+i ^n^V^^- 7^-^— • [69]. ■ .(243) J "' ' o 1-"+'/' '^" o 1"'^ 2«+l '- -* ^ ' — co 66. Jlais en général il ny a pas lieu de faire distinction entre les valeurs paires et les valeurs impaires de n. Car soit f{x) = e—^, on trouve Partie III, Méth. 3, N°. 7 Tiutégrale définie I e-^.t"(te = 1" 1 ; 'o supposons que g; (.r) reste continue entre les limites O et cc de x, alors il en sera de même a plus forte raison de e~'' ^y (x). Ln formule (237) nous dnniie ici: [69] Yoyez sur ces tliéorèmes Diengeu, Journal von Crelle, Bd. 46, S. 119. Pa?e 166. ET METHODES D'ÉVALUATiON DES L\TÉGRALES DÉFINIES. II. III. 5. N\ 06. /•" »(l(")(0) / i^[p.v)e-':d£ = ^' ^-^'pnlnll ^ ^ 2'" f'" i^) i'^^) J O 1"' o Püuv Ie cas de f{.i) = «-« i/ u; oii tmuve Partie 111, Métli. 3, N'. 7: I e~^ O!" (.Lv I JiOi'sque les fonctions "»W(0) (246) o Enfin supposous ƒ («) == lx, alors la Méth. 29, N\ 2 (Partie III), nous donue : i lx.x"dx = — . j (« + 1]-^ Sous la doublé condition que (f'(A'), et donc a plus forte raisou e—'^(p{x) \x soieut finies entre les limites O et 1 de x, nous trouvons a 1'aide de la formule (237): (\Hp^)U-dx = 1!^M,„_^^ ^ _^«_z^_ [70] Voyez sur ces théorcmts Dienger, Journal vou Crelle, Bd, 46, S. 119. Pa^e 167. II. III. 5, IV. N'. 66 — 68. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMTION, Dans ces deux A^uméros nous avons seulement employé Ie théorème {^o7) et celui qui y cor- respond (239). Ji'usage de la formule (23S) mènera aux mèmes résultats: c'est-a-dire, que pour 'ï'(9 + P^} 3U lieu de cp{px) on n'a qua prendre sous les sommations (j(") (7) au lieu de .,('0(0). 67. Au commencemeut du paragrapbe actuel, au Numero 48, nous nous étions proposé de traiter d'une maniere générale la question du déve'oppement en série d'uu facteur quelconque d'une integrale dcfinie générale: et nous pouvons regarder la discussion relative si-non épuisée, du inoius assez éteudue pour y mettre fin. De plus nous avous obtenu dans les paragraphes et dans les chapitres précédents de cette Partie Deuxième diverses autres methodes. Donc on ne doit pas s'étonner si par ces methodes si difi'érentes il nous arrive quelquefois de trouver les valeurs d'une même integrale déünie évaluée sous diverses formes, par exemple sous celle d'une série et celle d'un prnduit infini. L'identité nécessaire de tels résultats donne encore lieu a une nouvelle métiiode de réduction. Par exemple, par Ie rapprochement des résultats de Méth. 3, N'. 9, et de Méth. 32, N'. 3 de la Partie lU, on déduit la relation suivante: 1 (—11" « /2«+l\ 2a + l— 2m (P+«2)(3-+.B-)...{(2a+l)-+.r-} 2-^al2a+yi 0^ \ n j (2a-l-l— 2n)--l-a.-2' ^ ' •^(— 1)"' .r-(2^ +a;2)(-r- +^'^)... (4a--|-.«2) 22«-ll2a,i q \ n j {2 a -2ny -\-ic- JMultiplions de part et d'autre par f{x) dx et intégrons entre les limites i et c de x, alors il vient: ƒ (l+«ï)(3ï+a;^)...((-2a-f-l)'^H-^-) 22«12''+i/l q ^ '\ n J" " ■' / (2a-l-l— 2n)2+a;^ . • (248) b 'c r f{x)xdx (— ])" " /2a\ r* f[x)xdx ^„^^ , I LLjL^ ^_J L_^(_])« ƒ — --^^ r. [71]. (249) j a;^(2' + ^2)(42+A--^)...(4aï-)-.T2) o2a-\ [oan '^ ^\n{2a—2ny-^x^ l j v ; ( HAPITRE QUATIUÈME. RÉDÜCTIOA DE QUELQIES INTÉGRATIOIVS DOUBLES. 08. Quoique la considération des intégrales doubles n'entre pas en géuéral dans Ie but qu'on se propöse jci, il arrive néanmoins souvent, que les transformations de ces fonctions donnent lieu a des relations, qui peuvent servir dans la theorie des intégrales définies ordiuaires. Mais par-la [71] ScHLöMiLCH, Gnmert's Archiv, Bd. 7, S. 38. Pase 168. ET METHODES DEVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. IV. N'. G8, 69. nième c'est esseiitiellement d'uiie inniiière tros-indirectc, que 1'on parvient u de tels résuUats dans Ie cours de la discussion h. Fégaid de quelque integrale doublé. Nous nous contenterons donc ici de l'exposition de quelques-unes de ces léductioiis, oïl l'ou pourra juger en mêine temps de la diversité des methodes, qui servent h, les faire trouver. 09. Dans Tintégrale doublé, très-renommée a cause des discussions et des objections auxquelles elle a douné lieu. l.l a „i — .^2 — f (ai) dx. il y a discontinuité dans Ie cas, oü x ei y deviennent simultanémcnt zéro et seulemcut dans ce cas; et Ton a vu (N\ 46, P. I) que dans une telle occasion il n'est pas permis d'invertir l'ordre des iutégrations, sans qu'on ait égard a la correction quil faut y ajouter. Mais lorsqu'on effectue l'intégration par rapport a y entre les liniites 8 et oo, oü ö peut avoir pour limite définitive une quantité aussi petite que Ton veut, cette difficulté disparaït, vu que dès-lors Ie poiiit de discontinuité ne se tiouve plus entre les limitcs de rintégration doublé. Il est donc permis d'e'crire: ƒ'" ra ,, - j.i ra /"'^ w ' X ■' J o o J oü l'ordre des iutégrations est inverti maintenant. L'iutégrale par rapport a y peut être évaluée til premier lieu comme integrale indcfinie. Car ] +y- ]y^-^x^ y^-^a:^^ Jy-'+x^ j/^+.r^ Cclle-ci dbnne pour la limite supérieure x de y ^ = O, et pour la limite inférieure d elle 00 4- ' 00 — s devient , donc: 8^ + a:^ •a S f- Maintenant développons la fouctiou f [x) suivant Ie théorème de Maclaüein dans la somme f{0)-\'xf'{6.v), oü 0<^S<^1; alors on trouvefa successivement: /■".,, , ^ ddx f" Sdx ["■ Sxdx , [^ x "o o o 'o + 2'' r/(9.rj^^)f{Bx)d.v. . (252) o "o 'o Lorsque luainteiiant ƒ' ( e) et par conséquent ƒ' (5 .r) sont finies entre les limites O et a de a-, — ce qui est une condition nécessaire pour que f (x) reste continue entre ces mêmes limites, comme il faut Ie supposer dans l'intégrale doublé en discussion, — alors, pour la limite co de k la fonction e-qkx — e— p/x (lisparatt tout-ïi-fait, et avec elle toute l'intégrale dernière de la formule (252). On trouve dès-lors: rk ra rag-qkx _ g-pkx f dij j [pe-P^>J — qe-'i^y)f{x)dx ---= f{0) I dx, 'Lira. k = oc. Mais on trouve Partie IIT, Métb. 16, N'. 3, que la dernière integrale a pour valeur, lorsque k P 9 P diverfre vers 1 infiiii, 1-. Donc f-l' {pe-P^y — qe-i^y)f{x)dr=f{0)l~; (253) oü a est une quantité positivo tout-ïl-fait arbitraire, c'est-a-dire 0<:^a<^ oc. On y a supposé que ƒ (.r), aussi bien que /'(.r), soit continue entre les limites O et a de Tintégratiou. [73]. 71. Au Numero Go de cette Partie on a trouve la formule (2-12), qui devient par Ie chan- gement de p en 2?/ et en ^ \' y successivement : I e-^\f{-2xy)dx = i' rrl: ^ <^(2«) (0), f e-^' q, {2 x y/ y) dx = i' n È ^^c^{2'>)(0); — 00 — at OU 1 on a supposé qu'ou puisse développer cp (x) suivant Ie théorème de Maclvurin. On peut [73] ScnLÖMiLCH, Giunert's Archiv, Bd. 11, S. 63. Pa^e 171. 22* o II. IV. N'. 71, 72. TUÉORIE, PROPIUETES, FORMULES DE TRVNSFORM.VTION; intét^rer ces expressions par rapport a ij entre les limites O et p tt changer l'ordre iles iutégratioiis. \Iois, puisqu'ou trouve Partie III, Méth. 1, W. 2, que I il s'eiisuit quou a: ^'^ CP «> »2n + l „(21) CO) e-^-'dx^ /^, =:-{!-{- e-2/'7) , pour y =^ p; 4 ^^"^(«) (256) » «J-^^") (0) , , [74] Diender, Journal von Crelle, Bd. 46, S. 119. Page 172. Eï METHODES DÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. IV. N\ Tl. f^q Sin. p X. Sin. yx n ƒ ^ — dx = - e-i"i {eyi — e-yi) , pour y < p, f q'- +x^ 4. o = -(el'9 — e-Pi) e-Vi , pour ij > p, 4 TT ^ — (1 — e~^P, 11 faut donc faire atteutioii ici u la difierence p — y, car les valeurs de Tiutégrale employee seront diflerentes, selou qu'elle est positive, négative ou nuUe: mais oii voit en même temps que cette dernière valeur se tire des deux autres, quand on y suppose que y et p soient égaux, de sorte que celles-ci valent respectivemeut pour les valeurs de y que sa plus grande valeur c- alors il faut faire usage de la formule première ; 2' p est toujours plus petit que y, ou au moins n'est pas plus grand, c'est-;Vdire que j) est <^ que sa plus petite valeur a; alurs il faut employer la deuxième valeur des intégrales meutionnées; . o° enfin la valeur de p est telle, que y devient tantot plus grand tantot plus petit que p, c'est- a-dire, qu'on a a<^p<^c: alors on doit diviser l'intégratiou a. Tégard de y en deux parties, Tuue de a il p, OLi il faut faire usage de la première valeur des intégrales, puisqu'on y a toujours ?/ <^ p, et l'autre de p a c, ou la deuxième valeur des mêmes intégrales doit être employee, puisqu'on y a toujours y ^ p. Donc : f '" Cos. p X C^ n C^ o a a == -J^(eP« + c-P*) f e-9yf{y)dij , p<^a (259) = ~ e-Vl \{eiy-\-c-l!J)f{y) dy + ~ (,Pi + e-P9) je-'Jyfiy) dy = ~ {eP'i + e-P9) je~<}!/f(jj) dy + a 'p a + r" lie'^-P^l—e^l'-yWiy)^^ = \- [ci-'i-^-e-Pl) L-1!/f(y)dy—~ hen—e-9ii)fyp—y)dy,a<:_p^c; . (2ö0) 47/ 49 j k/J = = Il a o ƒ" iSin p X dx f^ n f^ ,'\_^, / f{y)Sin.xydy =- ^ e-Pl j {eiy — e-iy)f{y)dy , p>c- (261) o a a n /"e = — (ePi — e-Pi) I er-i'jf[ij)dy , p ^a; ........ . (262) ^Q J = a Pase 173. II.IV.N'. 12,1 o. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES ÜE TRANSFORMATION, n (P n f: tt f<^ = — e-Pl I {eiy—e-iy)f{)j) dy -\- — {ePl — e-Pl) I e-l'Jf(y) dy=^ — {ePl — er-Pl) \ e-'l'Jf{y) dy + a pa '*qj 47 j 4iqj = = a a O La réductiou successive des formules (200) et (263) est très-facile: en premier lieu Tintcgrale entre les limites p et c est remplacée par la diflerence de deux autres, avec les limites a et c et a et p, suivaut la formule (18, P. I): alors on obtieut une integrale entre les limites a et c, et une difTérence de deux intégrales entre les mêmes limites a et p, qui peuvent entrer par conséquent sous un signe d'intégration unique: dans cette integrale prenez p — y = z, donc — dy-=dz,a\ec p — a et O comme limites de z, et vous aurez la ferme définitive des formules (260) et (263). [75]. 73. Dans les deux intci^rales doubles [ X Cos. px C , „ P , [ 'V Cos p X. biii. X y \ ^r^dxj/,y)Sm.xydy==.jfiy)dyj — ^--— ^-^ est plus grand que c, la valeur maximum de y. Au contraire il ne faudra faire u-age que de la deuxièmc valeur de ces intégrales, lorsque y reste constamment plus grand que p; alors p doit êlre plus petit que a, la valeur minimum de y. Mais lorsque p est égal ïi c, alors rintégration par rapport S, y, qui contient la première valeur des intégrales citées, ne saurait atteindre la limite c, parce qu'alors cette valeur ne serait plus legale, mais devra s'arrêter u la limite c — * oü i est une quantité, qui après 1'intégration doit converger vers zéro: mais encore faut-il ajouter alors une integrale singuliere de c — * ti c qui doit coutenir la troisième des valeurs de l'iutégrale définie citée. De même lorsque p est égal a a, Tintégratiou par rapport ïi y, quand OU emploie la deuxième valeur de ces intégrales, ne doit commencer qu'a la limite a-\- t; tandis qu'il faut employer la troisième valeur dans une integrale singuliere de a a a -j- f, qui doit être ajoutée au résultat. Lorsque la valeur de p est située entre les limites a et c de y, il faut diviser la distance de a a c des limites par rapport a y dans trnis parties de a a p — i, de p — f ;i p ■\- t et de p -\- i a c: dans ces trois intégratious, dont la deuxième est une intégration singu- liere, il faut substituer la première, la troisième et la deuxième valeur des intégrales définies citées respectivement. Ainsi Ton trouve les formules suivantes: ^'^xCos.px , f^ „ „ n f^ , , d'V j f{y)Sin.xydy = -e-PI / (e-iv — el.'/)f(y)dy , p > c; (264) o "a a = - [eVi -\- C-P1) I e-Wf{y)dy , p <^a; (265) = 1 e~l»i j (e'-qy - e'i>j)f[y) dy + -«-2^7 Uiv) <^y = ^e-Pi j {e-i'J — el!l)f{y) dy -f a c—l 'n n f: + - e-P') l (eiy — e—l'/ -\- e-P'i)f{y)dy , p = c; (266) 'c — : = 1 (ePi 4- e-Pt) 1 e-ii/f(y) dy + j e-'-Pi ƒƒ (y) dy ^"^ {ePv + e-Pi) j e-'ivfiy) dy + + - / [er-^P9 — e(p-!/')l — e-«c; (2G9) = _(e-/'7 — er?) ƒ e-v>/f(y)dy , p?) j^e-iyfiy) dy-^-"^ e'^-Pi i^f{y) dy\ ■ ■ (273) 'p-t P-'' = 1 {e-P-f-2/)_/(p_j/)}rfy-|-^e-5p? j\l-e-iv)/{p+y)dy. Paije 176. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTEGRALES DÉFINIES. II. IV. N'. 75, 74. Jja réduclioii de quelques-unes de ces formules ne donne jias licu ;i des difficultés; dans les for- mules (266), (267), (271) et (272) ou a reduit la liuiite c — i ou a-\-t ie h première inte- grale a la limite c ou a; de talie sorte on acquiert en outre uue integrale singuliere de c — e a c OU de a a a-\- f, qui en conséqueuce de Tégalité des limites peut se réunir a 1'intégrale sin- guliere, déja présente dans la formule. Dans les formules (268) et (273) on a transformé 1'inté- grale de p -\- e ïi c dans une autre de a u c inoins la somme de deux autres de a a p — f et de p — f a p-\-f; alors on obtient Ie second résultat; dans celui-ci, l'intégrale de a a p—f est de nouveau réduite a la difference de deux autres qui ont respectivement a et p, et p — e et p comme limites; maintenant on reduit encore les limites de p — * Èl p et de p — fa p-j-f aux distauces Oafet — the par la substitution de p — s ou de p -\- s pour y, comme il suit de la forme de chaque integrale en particulier. 74. Passons aux deux iutégrales doubles f^ Cos.px /■<: ^ (" ,, , t'^Cos.px.Cos.xy ^ I ^^,dx f(y)Cos..vyd;j^ fiy)d.:i TZI^^^ ^•'' Uu Zq n = — Sm. 2,pq , pour p = y, ^ Sin. p X. Sin. x i/ jt — '- dx = — — Cos. p q. Sin. q y , pour p ^^ y; q^ — x^ 2q = — — «Sin. p q. Cos. q y , pour p c\ (£74^ / r—r' j -1 ' } = TT /■<-• = — Cos.pq. I f{y]Sm.i]ijdij , pc; (277j q-'—.v J 2q j = Uu a n r = — --Sin.pq. I f iy) Cos.qydy , py; ? ■' ^ o = —Sin.pq.Sin.qij , pour p 'Cy \ TT = — - Cos.lpq , pour p = y. 4 Les circnnstauces sont ici les meines qu'aux deux Numéros précédents. Donc les mêmes cousidé- rations conduirout aux résultats suivaiits : [""xCoS.pX /■% TT /•<: ^ ^, / TIT^ ƒ f^y)^"'-''y^y = -Sin.pq.l J{y)bin.qydy , p > c; (280] "d a a = —-^Cos.pq.l f{y)Cos.qydy , p <^ a; (281) = - Sin.pq. j f{y) Sin. qydy—- Cos.Zpq. j f(y) dy = - Sin.pq. 1 f{y) Sin. qy dy — a c—t a I {2Sin.pq.Sin.qy -\- Cos.2pq)/{y)dy , p^c; (282) Pase 179. 23* II. IV. N^ 75. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, == — ^ Cos. pq. I f{y) Cos. qy dy — ^ Cos. 2 p^. 1 ƒ (y) f/y = — ^ Cos. pq. \ f{y) Cos. qy dy -f- + - / (ZCos.pq.Cos.qy — Cos.2pq)f{y)dy , p = a; (2S;5) a n fP-^ n /"P+' TC f: = - Sin. pq. j f{y) Sm. qydy-- Cos. 2 pq. I f{y)dy—- Cos pq. j f{y) Cos. qy dy \ 'a p-e p+c j 7t f^ Tt f^ i = - Sin. pq. j f{y) Sin. qydy—- j f{y) Cos. {q [y — p)] dy — I n ^ (P+^ ^ n rp-r'- . . (284) — - Sm. pq. j f{y) Sin. qydy — - Cos. 2 pq. I f{y) dy\ P-C i-s f , ac; (285) o 'n a n r -■ -Stn.p■' , (4) /f(.r)) =lj; -\-2rni (5) / ((— .T)) -^li- + {-2r+])ni, (G) /((])) -2r7r; (7) l{{-l))=.(2r-\-l)ni, (8) Arcsiii.{{x)) = rn -\- {—ly Aresui..v, —1 < .r < 1 ; (9) =- {2r-\.l)n + Ü (,^. + ^ -U.2 _!)) , 1 < .r < )] ^iSm.{q{%rn-\-q)]], . (21) [{—x-\-yi))'i=n'}[Cos.qq+iSin.qq)[{—\))^==^Q'}[Cos.[q{2rn^q))—iSin.{q{j,{ (28) Hyi) = lni-\-ly, (29) H{^- + yi)) = 2r7ii-\-lQ + qi, (30) l{{—x-\-yi)) = (2r + l)ni-\-lQ -i-qi, (31) l{(yi))^{2r-{-^)7ti-\-ly, (32) Sin. {x 4- y i) = 1 (cï + e-V) Sin. x-\- ^i (e'/ — e-!/) Cos. .r, . . (33) Sin.(yi) = <^i(e'J — e-'J) (34) PaM 185. 24^ III. N'. 3. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Cos.{x + yi) = -{e'/ -{-e-y)Cos.x—-i{e!/ — e-;/)Sm.x, (35) Cos.iyi) = -(ev + e-^), (36) 2 Sin. 2 X e^ — e-^V Tang.{yi)=i'-^^l^, (39) e-y -j- i 2 Sin. 1 3^ e-y e~-!/ Co<.(^ + yi) = ^2, + ,-2,_l2Co..2^""%2, + ,-2,_2(7o..2^ (39) 1 _)_ e-y Cot.(yi) = i^zr^j (^0) Pour les formules suivantes admettons les quantités auxiliaires : y^^y^.^y^—l + yy{{.v^+y^—iy- + i.a>^]]; («) 2.r alors on a : Arcsiii.(.v ■-{- yij = Arcsin. ~ -\- il \a-\- , (41) Arcsin.i^i) = il [y + \/ (r + 1)}, (*~) /Ircsi/i. ((ic + ^2)) = T-TT +(—])'■ |.4rc-sirt-+iZ («-}--— j , (43) Arcsin.({yi)) = r ji + (— l)'-^^ (»/ + »/ (y' + 1)} , • • • (*■*) X f y [i \ ,.-. Arccos. (x -^ y i) = Arccos. - — u «+ r , l*^J « \ \ y J Arccos.(yi) = J^r- il [y -h l' i'j' + ^)} ^ (^^) ylrccos.((a;+j/i')) = 2rn± Mrccos.^ — i/ f « + -JJ— J , (47)' yirccos.((»/i)) = Urdz^U zp il [y -\- \/ {y^ -\-l)} , (^'8) ^rc<^. (.c + »/ 1) == A^-'^t9- r -\- ^^l^^^YZ:^^ ^ ' Page 186. ET METHODES D'ÉVALUATIOx\ DES INTÉGRALES DÉFINIES. lil. N\ O, 4. Arct^.O/i)=lil~^,{-l-' E,,,-, , (72) » 1 (mtt)* — »- » 1 121.1 '^ „ V [281— 28S] (73) Tang.-p = ép:^ = 2^ — -»2n-i Bo,,-! , (710 ^ ^ ^2^ ^ 1 (2n + l)7r2— p^ , 12«/i ^ ^ ^' (75) &c. -p = 4. ^ 1 (-1)^^-1 (2 n-1) ^ ^ P^ ,„ ^ ^ 2^ 1 (2«+l)2 7i^— p2 1 J2";i -"' ^ ^ o. l"/2 »2«+I 1 (7 7) Arcsin. w = ^ — - ^^^ , ,_..„ ï ,p^/2a»+i/-2 Cos.ap = 6'o«.'* /' -2" I ( — Tang.''- p)", o \2nl , p'< hV; [^43] iSm. a p = &'?!.« p^ \ ( — 1)" ( Tang. p)2«+i , o \2ii-\-\j 22a-iCos.2ap = ^ Cos. {(2a— 2n)p) — - ( , a /2 (j -T- 1 \ / 22a(7os.2a+ip = ^ ^ Co5. {(2a+l — 2n)p}, [ 22a-i5;„2-p = l-f— l)"+«r"j Cos.{{la — 2n)p) — - 22'-'&'n.2«+i p = J (— !)"+« ~ « + M ^;,,_ 1(2 a + 1 — 2 «) p) , / 2Co3.-p\ Cos.~ap = ^ "jCos.np, [235] 2 Cos.-p ]" Sin.-ap = J" [" ] &«.np, [235] 1 — pCos.g — p^Cos.a^ -f" P""*"' ^'ös. {(a — l)?) "Z,' ^ 1 — 2 2J Cos. 1-\- p^ o pSin.g — p<'Sin. aq -{- «"+' 5i«. ((a — l)y) "— ' '^ = ^ p''Sui.nq, 1 — 2poos. qi + p^ o [218] 1 — p Cos. q [232] = .2" p" Cos. «5 , p - <^ 1 ; 1 — 2pCos.q-^p^ o p (Sin, 5 1» = .2" p" S»i. n ^ , p " <^ 1 ; 1 — 2pCos.j + p5 aq — p Cos. [(( 1 — 2 p Cos. q -{- p- Cos.aq — pCos.Ua — 1)(/1 2! p"—" Cos.nq , p^ <, 1; III. N'. 4. THEORIE, PROPRIÊTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, (100) i'^ —^ = :2p''-<^Sin.nq, \ (101) , T— J --~^=-^\-\ + ZÈi-.''Cos.nq\, Lp* (o) dx il peut arriver de deux choses 1'une: ou la quantité indéterminée (r-), qui caractérise les valeurs multiples, ne se trouve plus dans Ie coëfficiënt diflereutiel ; et alors on peut prendre quelque valeur de r ^ volonté; — ou cette quantité se trouve encore dans ce coëfficiënt, et alors cette équation (6) doit servir a déterminer la valeur ou les valeurs, qu'il est permis d'einployer. Et comme ceci vaut de même, soit que cette quantité r se trouve ou non daus la fonction f[x\ ou pourra encore faire usage de cette methode dans 1'observatiou précé'dente. 2. De l'intégrale ƒ x!> dx. On a : / xPdx == .rP+' dx + C. Page 191. 25 WIS- EN NATVVKK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. III. W\ i. N°. 2. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Douc, taut que p-\- 1 reste plus grand que zéro : P f ,P,;^ = _________,^,^_,. ^T. 1, NM-3). [1] car jjour p plus grand que — 1 on a 0P+' = 0: lorsque au contraire p devient plus petit que OP+i 1 — 1, on trouve F (0) = — — - = ; ; ^ — = — oo : alors pour — p au lieu de », on a : x-Pdx = I — = 00 , 2^ > ] ; (T. 2, N'. 1). ü "o Encore a-t-ou : r.vpd.v = -^ {(!)/.+! _(_i)p+i}, (1) J p+^ donc == O, OU := , selon que p est impair ou pair (T. 1 7, 'N\ 5, 6). (lei p peut être p -\- 1 positif et négatif). Encore : rdx 1 , / — = { oo-;^+i — 0-P+'} = » , pour — w < Z^ < « ; o car pour p positif, on a F (0) = oo , et pour p négatif F (oo ) = x. Il nous reste encore Ie cas de p = 1 ; alors ou a : f dx 1 , donc: ƒ (2) -■-l{il>-)) — -li{a')) = -{2rm-{-m—2rm—la^}=-{lb^~-la''} =1-; (T.35,N'.20, 21) puisque a et 6 sont tous deux positifs : lorsqu'un des deux est négatif, la fouction devient dis- continue pour la valeur intermediaire zéro de x, [2] mais si a et 6 sont tous deux négatifs, on a Ie métne resul tat -bdx b - = «- (3) ƒ" On voit que dans ces cas la quantité arbitraire r est éliminée de soi-même. [1] Eappelons, que la notation T. N. renvoie a une integrale définie, qui se trouve a tel numero dans talie Table de mes Tables d'intégrales définies. (Verh. Kon. Akad. Deel IV). [3] Voyez Methode 2, N°. 2. Page 192. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'^'. 1. N. O. „ . [ dx C dx 1 1x\ ^ , 3. De lintégrale ƒ . Ou a / = ~ Ardg. \~\\-\-C\ donc: jq^+x^ ;) ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M^^ 4. N'. A, 5. 4. On vérifie aisément les intugrales indéfinies (oü l'oii a omis la constante C) : jp^+x^y+x p-+qHp '^ p^2 p^+x^rjp'+x^q+x p'^+cjH -^p^Ziq+xy) l-^^-^ = ^^\q'Hq-^^)-P9Arc(g.^+lpH(p^+.v')]. J p^-\-x- q-{-ii; p^+9^ I p 2, J Comme alles ne deviennent pas discoutinues entre O et co, on peut les prendre entre ces limites; donc: o /"" X dx 1 f o Q P'^l 1/1 p\ o ƒ'^ x^ dx \ l 1 11 =- -IqH^ -pqATCtg.{[ ^))+-pH^ -qm+pqArctg.m--pHp-'\=^ ■.{'d) p-'+iB^ q-^x p^+q [ 3 ü I o TT puisque on a vu ([uArctg, (( co)) — Arctg. ((0)) = — . Les formules (7) et (8) pour ^ = 1 se trouvent T. 24, N\ 3, 1. ^ „ , f dx f dx 2 , 2rx-{-q 5. De l integrale 1 . On a ƒ = — — Arcig. + ^ j p-l-qx-\-rx^ J p~\.qx-\-rx^ \^{4>pr—q^) " l^{4 — ou, r (et donc également p) étant supposé toujours positif, 5 ^ — 2 p. — Eucore trouve-t-on : C2 y _1_ (7) 17 La réductiou des Arc^^. n'est permise, qu'autant que 7 — — ^ > — 1, c. a d. 2 r ((7 -|- 2 p) ^ O, [3] Voyez P. Minding, Sammlung von Integraltafeln. (Berlin, Keimakus, 1849. VI et 186, S. 4°.) S. 60. Taf. 52. Page 195. in. M^\ l. N°, 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOW, f da: 2 f , ^ 7 = { Arclg. 00 — Arclg. — p -\- q X -\- r x'^ l^(-ipr — q^) [ V/(4pr — q^) = 7, ^Arcig. ^ ^ ^ ^ , 4pr>9^; (12) V/(9^— 47jr)l 2r 9-i-\ '(ï''— 4.pr)) \/(q^—4>pr) q—\/{q'^—épr) on aura : /ds: 1 :c «Si'w. i :: — ;; — ^ — ; = tt — 7 Arctg. — - , /i dx I—Ia &•». l \ 1__ Siii.X f l±ZxCos.X-\-x^ '~' SmAl ^'^^'l±Cos.X~~ j ^ Sin.X ^'^ ^' l dz Cos.X' ^ ' ' •o Mais pour chaque signe en particulier on a : Arctg. [ Tatig. - X\ = — X, ou Arctg. Cot. -X\ = = Arctg.\Tang. {^l-lx\] =^^-lx- iono: r ^ = -^ (T7N^4) r ^ = IL=li (u) J l-\-2xCos.X-\-x^ 2&H.A' ^ ■ ' J i. — 2xCos.X-{-x-' 2Sin.X'.'^ ' o o De même: r dx 1 f / Sin.X \ Sin.X ] jf V^ixCos.x + .-^ •= sïiTx r^'^- [^ösj]-^'"''-Y^^^x\ ■' ^''> mais dans Ie cas de chaque signe en particulier la difi'érence des /Ird^. se reduit u Ard^. (T^.^) — - Arctg. [rg^ A=X_iA=i^,ou .\ Arctg {-Tg. X)- Arctg. Uotl^ J.j =(^_;.)_ /i„_ i ^j = = -TT A: donc: / = , (16) / l + 2a;Cosa + ^^ 2Sin.X 1 dx Tl — X ^ ^ ,,_, = . [41 a7) l — lxCos.X^x--- 2 Sin.X "- "' / Enfin ; j\:^2xtls.X + x^ = stx {^''''-Vt^x-^''''^-'} = 5^^"^'^-(=^^''"^-'^-' • ^''^ •o or, ici on a pour les deux signes Arctg. (± Tang.X) = X ou = n — X, donc: [4] Pour la vérifier, on pourra substituer daas l'intégralc (14) x = — . Page 196. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. IH, W\ \. N'. 5, 0. f ^f =-^ (T.25,N^3),r = '^— . [5]. (T.25,N'.2). •o o Cette discussion fait voir qu'il faut être prudeut daus la réduction des Ardg. ; on aurait pu garder l'exprcssion générale d'Arctff.^ ((^))> P°u'' arriver aux meines résultats. f dx [ dx l\x\ ^ , 6. De l'inte'grale I -, -. On a / — = j4»-csm. - -j- C ; donc : • = Arcsin.A-W — Arcsin. UQ)) = {rn-\-( — IV Arcsi7i.-\ — o P P — fr'7r + ( — lyArcsin.O] =( — ly Arcsin.- = Arcsin.- , 9 >p; .... (19) q q puisque l'intégrale, oü la fonction intégrée reste toujours positive entre les limites, a elle-même une valeur positive (P. 1, N°. 12) : (pour q = i- T. 34, N°. 5). Douc on voit que Ie r arbitraire s'élimine du résultat : on en déduit : dv 1 Arcsin.- , 9>1; [6] (20) l^{q'^ — x^) q r? da n f^ dx n C^ dx n = -, (T. 3-1., W. 6), / — =-. (T. 12, N^ K dx 1 i'x' \ , . — = — Arcsin. \\—\\-\- C, doiic u laide de (C. P. lü): l/(.»^— 5") i \\^q;\ {P'-']'} — 2r +- TT — il \ = l , o-cl^CP (21) l ^2J 9 i l+l/'(l-ï^) ' ^^ "-^ [5] Elle se vérifie comme la somme des intégrales (14) et (17). — Ohm, Die Auswerthuugs-Methoden bestimmter Integrale, (System der Mathcmatik, IX'" Theil), Nürnberg. Korn. 1852, XII et 437 S. 8^, la trouve (S. 13) egale a — , puisqu'il prend Arctg. ( — >) ^= — \. Par ce qui a été dit au N". 12 de la Première Partie il est encore évident que ce rcsultat est fautif'. Car 1 — 2.ïCos. X -f^'* est toujours >1 — %x-\-:c^, donc ^(1 — xy-, donc positif: or, uue telle integrale, oü la fonction intégrée reste constamment positive entre les limites de l'intégration, doit nécessairement avoir une valeur positive, d'aprcs Ie tlii'ort'ine cilé. [6J Au moyen des sabstitutions ï^ = 1 — if- et q^ =^\ -]-ƒ/- on en déduit: ƒ0 —ydy I /•! xdx , . f 1 1 , ' = / = Arcsm. \ 1 \ = Arccot. p. ,/(l-2/^) V/{1+^ = _(1_3/^)} j i/(p^+^2)(l_^^) \V{l-\-p^) i o (T. 16, N°. 6). Page 197. III. IVP. 1. N'. 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, dx ; — — -. Poura = p— 5s + rs- , h=q—lrs, on a: J (a; + s)l^{p-\-qx + rx'^) l/a ( x-\-s 2i/aj 1 . . b{x-\-s) + 2a —2 l^{p-\-qx + rx^) Donc: r <^^ 1 Z[l±f 2p-g3+2t/p(p-gs+..^) 1 p+,,.>j,;.(2.2) ƒ (^+s)v/(p+?a;+ra*) ^/{p— ïs+rs^) l s lp+q—{lr.^q)s+%V{p^-q+r){j)—qs^-Ts-'-)\ i/iqs-p—rs^) l s(l+s)(9^— 4;3r) J _ 2 ri^_lAMlHir)l ^ ^ + ,,. _ ^, (24) 9 — 2rsls !-{■ s i Pour (7 == O, r = — r, on a : r ^^ i i[i+i P+^p(P-rs^) — 1 ^^,.^,^ (,5) ] {x-{-s)l^{p—rx^) l/(p — rs^) l s p + rs + 1/ (p — r) (/? — rs"-)J o = ;, Arcsi?i. l' ' , , , ^ l (rs^— ?^) I , P<'-s' ; • (26) |/(,.s2_p) l s{l + s)pr 1 ^j, rl£p_l/(^-r)j ^^_^^, ^^^^ rs ( s 1 + s J Pour ;> = r = 1, les deux premières donnent : r ^f = ^ iL±j^iü^ii),,.■ 1 ; .... (29) 1/ (s- - 1) s Supposous s = —s, ce qui est permis ; la différence des résultats donuera enfin : fi dx (^2_5'-)1/(l — rr^) r_ ;^f_ __o ,5*<1; (30) =^^ , s^>l; ■ .■ 0^1) [7] Voyez Minding, Samml. von Integraltafeln, S. 97, Taf. 11. Page 198. OU pour s = - ET METHODES D'ÉVALUATIOIV DES LNTÉGRALES DEFINIES. UI. ftP. 1. N°. 7, 8. 1 ' (lx n ƒ = , ?^' < 1 ; (32) o = 0 , p^>l; (33) S. Exercices. Fouctions algébriques. ['"(Ir 1 n dj; l l __ -,(p>l),= ^..(-=/.• dx 2 qr f"^ dx n == — Ardg. ^, (37), / = — , (3S) p'^ -\- q^ X- pq p J P + S'*^ 2 [/p^ — r O / = ,(39),/ = ::; — r,(40 ] r* + 2r2a;2 Cos.ZA. + ^r" 'i^r^Cos.X^ j r'^ -^Zr"^ x^ Cos.2,2.-{- x^ A^rCos.l^ 0 o ƒ1 dx TT f"" dx n = ,(T.7, N°.2), / - = , 41) 1+x + x- 3i/3^ ' j l+x-\-x^ 3i^3 ^ ' o *i 1 • = ,T.25,NM,/ - = ,(T.7,NM),/ - = r,- 42 / 14-^+a;^ 3 1/3^ ' j \-x^x'- 3i'3 'j 1— .« + a;2 3i/3 o o 1 r dx 4 71 /•' Cos.;.— .T ,/ o. 1,^ ,^ / = ,..(43), i —dx = —l{2Sin.-l\,('ï.l,W.'ol j i_a,.-f_a-2 3|/3 ^ '^ j 1— 2i;Cos.;. + .ï- \ 2 /^ J l + 2xCos.X+x^ \ 2 f^ ' f l + 2xCos.l + x'- \ 2 / 2 ■ii "o f^ dx l P+ q n xdx , / „ 1 , \ 1 . ^ . , ƒ —^ =-Z'-^^,(T.3,N".9},/ , r 7, ^ = M^An.-?. + -(;r-A)CoU.,.(4«) I p-f-gx q p j 1 — 2 .r Co*. /, -J- « \ 2/2 "o o p' xdx C^ xdx f" xdx , , / TT— 2 = <^' • • (4'7), -——7 = o, (T. 29, N^. 4), / -— — ; = X, (4S) y 9^ +x^ j q' -\.x~ j q^ +X- -p -cc o f^ dx 1 r dx ,l + p r dx 1 / ■ = -i2, . (49), ƒ = l-^^-^,. . (50), ƒ -=—»-'•, . (.51) J x{l-\-x^j 2 J .^(1+^) p I (p + <]^7+^ rq'^ ' ^ ' I ,, o Page 199. 26 WIS- EX NATTJrilK. VEIIH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. Hl. M""'. 1. N'. 8,9. THEORIE, propriétés, formules de transformation, o o •^i "o j (,- + ;r)v/(l-.r) i/(l-r) i/(l +r) + i/(l-9) V(l + '-)— l/(l— P) = Ardanq. — = ^^^ Ardanq. '—^ ^— ^ , (p > q), = {q-'^x^)V{p'-^-x^-) qy/{p^-q^-) q o 1 ^ 9±}yi9^^P!) ( T.2S, N^9,l 0), f' /"• ,, = — ^rc.m.( v/ ^V . (5^) o ƒ' '-^ = -±- i^^Sl±ll±J^^ (pour p = 1 : T. 12, N°. 25) (55) fi dx ^ J_^ 2lXr(p+ j + r) + g+2r ^^^^ ƒ i/(p + 50; 4" '''^^) !/'■ 2j//)r-)-j o /•' d^ 1 . ■ Fn i^r — q)]^pr + q\^r{p + q — r)^ . o F ^^ = __L_ Ardg.^^^^^^ , (T. 35, N^ 7). ; (9 + ^)v(-^— 1) i/(i + 9) 1/(1 + 5) ƒ '^ ^ ' 87 851/9 l/p ■o Plusieurs dfe ces intécrrales nous serviront dans la suite. 9. De Vinlégrale j e'^i" dx. On a / e±P^ dx = e±/'^ + C ; donc, dans la supposition de sitif: [ eP^dx = -{ei'/' — e"!'), (60) Page 200. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGHALES DÉFINIES. III. iVP. 1. lN\ 9. 1 1 1 e!>i d.v = - [el' — eO) = - fcP — 1), (61) P P ' i , 1 el'^dx == ~{e° — C-") = - (Ö-i) P P Pour p = 1 les formules (61) et (G-Z) devieunent: ï. él, N". 6 et N°. 21. ƒ" 1 11 er-P^ dx == («-» — e-O) = (O — 1) = - . (T. 36, N". 2). P PP u ^qpx qP^ dx = -}- C (lonue : I qP^dx = —r- [r — f) = — . (T- 41. N\ 5), plq plq I qP^dx^ ~-{q'-—qO) = — i , q <^l ■ . . . (63). = «, , j > 1 ; (GL) j vh vk o puisque 5°° est infim', lorsque q est plus grand que runiti', tandis que pour uue valeur inférieure q"" s'évanouit. En général p ne peut clianger de signe dans ces réductions, sans que k validité du résultat s'altère. Lorsque p devient imaginaire, on a encore : ƒ e-Q'+v)': dx = — ; : e- (/'+'/'> 4- C = —~ — e-P^^ [Cos. q x — i Sin. q x) -rC = p + qi ^ P*+9' [(;) Cos. qx — q Sin. q x) — i (p Sin. qx -{- q Cos. qx)] -{- C P +7 eu y substituant Ia valeur de rexponentielle imaginaire (C. P. 24). Donc : e — ^ e — o -(/'+9'> dx =- (•••) + (/> Cos. O — iqCos.O). p'+q- p' + q- f ()r, la fonction c— °° est zéro, tandis que sou coefBcient (. . ,) qui ne dépend que de Sitius et de Cosinus ue saurait devenir infini : par suite ce terrae s'évanouit; dans l'autre terme e-'^ et Cos. O sont tous deux égaux a 1'uuité; donc enfin: ƒ e-'^P+l'^dx = — -(p — qi) = -, (T. 36, W. 6), [S] p +q p + q^ [8] L'évaluation des fonctions imaginaires donne : ƒ e~P^ (Cos. qx — i Sin, q x) dx = , P' +^' Pa?e 201. 26* III. M"*'. I. N'. 9. THEORIE, PROPRIÈTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATlOJf, de soite que la formule précédeute (T. 36, N°. 2) vaut encore pour un -p imaginaire, pourvu qu'alors la partie réelle soit positive. On a encore : i'' . 1 /•' . 1 / e?«(fj; = — ƒ d.e.1^' = — UHi- — e"?'), C65) a a d'oü / e q-), lp + qC0S.X ,,/(l_2^j M P + W ^^^-(1-,^) ' _^_j_^vi(i±pm::ia)___i — ^,+,x(,^-p^) ^^ ^ 1^ = '^,{p=—q), (T. 65, N^ 9— 13); et/ -— -; = T7. {p'>9')' = 0.(P' < T )- (T. 82, N'. 6—9), = 00, (pï = 5')>-{95), =0, (p^<7^).(96} } p-\-qLos.x I p-\-qCos.x i q-\ (Pour a = 2 011 trouve: T. 88, N", 9 — 12). Lorsqu'on substitue x = y ■\-an, on a: /•(«+')''• dx ri"- dx th^ dx J p -\- qCos.x f p -\- q Cos. X.Cos. an f p± qCos.x^ 'a-T "o 'o (lont la valeur se trouve exprimée plus haut: qu'on l'ajoute a, l'iiitégrale (95), (90), on a: A^+J)"- dx an 1 q , ^ I — , 7, = ; zr+ -, —Arccos.- ,p^> g- \ (99) / p-\-qCos.x Zq qi^{p^—qï) p ' ' "^ ^ ' ^ ' O = — - — — T —l , p <1(1-; (100) = ^^ . P = '7 ' (lOi)' = - X , p = - ï , (102) iiq f^fctx=r^^:^§^/''>'^^^ o Lorsqu'on suppose q = ±2r, p = 1 -f- r', on a p^ — q^ = (l -\.r-)'^ — 4'r-=(l — r')' , toujours positif, donc : TT j- dx 2 IL±l\ j 1 ± 2 r Cos. a; + r^ "^ 1 — r'^ ^'^'^' Vl ± r j ' ' ' o TT n eos.xdx \ {n 1+r^ l'^^^W ,, n v / l±2rCo.,. + r^ = ^ ;: \i-T:Z7^^"''^' \Y^r]] ' ^'"^ o o Pa^e 206. ET METHODES D'EVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. UI. W\ i.^ . 14, 15. T ■ ^ "^^ ' 1 zb»- ^'*'' *°"J°"''^ P°^'''f loisque r< 1, et au contraire toujours iiégatif lorsque r^' (T-84, N\ 2), [10] / 1 - ±7r 1+r-l TT TT 15. De l' integrale j — ; ~ . On a: / dx (p + qCos.xy .9—P 1 — Tanq. i .t. i/ Tang. \x.i^- 1 f — 7 p q\ ^ ZTi l 1 + Tl -Arccos.-\ , »^>7^; . . . (109) p —q^ l p i^ip^—q^) p) ' l f? , P ji^{9 + p}+i^{g~p] -+..," ..,J -p)i 9'— P' (P l^(!Z'— P') l/(? + p)— l/(?— P)i 5^_p. fe+l/(,._^./ ^ j ,P^<9^.(110) r___^f ^__ L , np \ pn ]^ {p + qC0S.xy-p----q^y .P^>9^••. • • (Hl) = O , p-q'-; (113), = O , p^-<9^ (114) Lorsque ;* devieut ± c'est-:\-diie, quaiid on suppose 0=1/(9^ -}-r^), Tang.X = - : dx 2 f lx—l\ p — a) — — — — = Arcig. {Tang.ï .1/' i +C , {p'>q^+r^): p+qCos.x+rSin.x 1 q'' +r''\ ^ \ ^\ 2 j'p-j-aj^ ^' -^^ ^ '■ ^''''y~ p- ] l+rang.\—~].V- '^ 1 ™ lx—l\ „ , . „. 1 _ Lv—l\ , o . -T^gi- ^Wc,(p= + l/(7^+r^)); = ^ Co<.(^^ ) +C,(p-= --l-'C?^- +r2)). [11] / • • V ^ C (w 2) Intégrons depuis O jusques a — , en cmployaut en premier lieu Ia fojmule Arctg. cy — Arctg. cz = Arctg.- , 2 l + c^ys alorson trouve: 7',.^--- P-j "^^-H è^) ^ ^ ^. ,,,, ^ ^,, ,> Tg. ^-_ • .j. T,. (- U) 1 — (Sïn.i — Cos.). ^ /tt \ 1 — Sin.l-^Cos.ï. „ /1 .\ ^ , ., 2 ^ /tt \ 1— Sm.;i4-Co5.;i ^ /ti ,\ , , ,, l+5m.i+(7oU' -^ \4 ' I \^Sin.l-\-Cos.X V* / — l+-Sm.^+Coa Lorsqu'on fait usage de ces réductions et que l'on substitue eusuite a Sin. X = r, a Cos. X = q, on obtient : f tA-^ = , ' .^ ., Arctg. (^ (P''^'-^')] , ,. > 5. + .. ; . (116) ] p + qCos.x+rSin.x j^_9l±!:^] '^ \ p+2+r j ' ^ -^ "^ ^ ^ \ P' ) == ï 1 tP+9+r+l^(9^+r^-py p^5^+r%r>();.(123) In—Arctg.ixy^^ \ ^ )},p'>7^+r'\ r<0; . (124) = :: 1 1 1 , ?)- <' o- 4- r^ : . . . . (125) 2 == -,p= ±i/(9i+»-^),r>0 ; (126), = oo , p = ± 1/ (7'+r^-).(T.90,NM,5), = —rVi -^^--^ ^^\ + ?n/ 1— '^ . 7 /—'•—l/ (?+»■- —p')\2l 1 + M rM^ -. 4^ I = :; n=r-.0, (p^ <9ï + r'M, (T. 90, N°. 2, 6), ^— r+i/(5ï+r2— p2)j J 2i/(v2H-r2_pï) = 00 , (p2 =52 ^ r^) (T. 90, N°. 4, 7). Il ne faut pas s'étonner, que VArctg. s'élimine dans la première de ces intégra- les : car si Tou emploie ici la valeur multiple de VArctg., la formule aura pour valeur 2 ^, ï~jL. ïT *"' ^'' °^ ' '^^^ ^^ dificreuce des deux quantités r' et r" dans chaque integrale PI/ 1 ^ '^'' \ P (123) OU (124). Or, ces formules-ci dounent ƒ - — — — <. J p • '^-- • ■■^■■■- - + qCos.x + rSin.x ^ I q^ + ''M 2' ?'i/(i— ^-j r dx 2 2 3 / p + qCosx-rSin..<~~l ^i^^. ^ '^«"'^ ""^re integrale < ^rjI^^T ö -• ^^r — ^J '^r~'i^ et dès-lors r"' = 1, comme on a trouvé ci-dessus. Quant a la dernière integrale, il faut remarquer qu'il y a ici plusieurs cas de discontinuité : pour p^ — ■ l^ ('/^ -|-''^)) auprès de « = ^, ou de X = %n — l, suivant que r est positif ou négatif; de même pour p = -\- V [q''' + t"^), auprès de * = T + A., ou de X = n — "k, suivant que r est positif ou négatif. De la même maniere qu'au N^ 13 on aura encore: ^^'"'^ djo Zan p,.(l---) I'age 210. = =«,(/>'== 2' +»■') (128) ET MÈTIIODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. I\P. 1 . N'. 10, 17. r *pi —q-^ —r^ — a Sin, {a- — l) f dx omme ƒ ^^^ ^^^g_^_^ ^5j-„ ,^^2 ' ' ~~ p -{■ a Cos. {x — l) ^ j jj -\- qCos.x -\-rSin.x' les formules (116) ;\ (120) nous doiinent : ƒ (p-^qCos.x + rSinx)'^ (p+^Mp+rip^—q'—r') j/(p2_^2_r2.» ^ p+^-f-r ' ■o ^ q^+r^+piq+r) p fp+j + r+u{q'-+r^-py^^^.^^^^^^^^^ ^^^^, 17 = 00, p^ = gï 4- r- (131) (i. p Tang. x x p P [ d.p2 l-p'j\+p-' - Ardg. (p Tang. x), donc : Tang.^ X 1 — p^ 1 — p^ ƒ2 dx L fn \ pi. ] In p n n ]+p^7'(/.^r l-p^\2 j 1— pH J 1— p'3 1— p^2 2(1 + p) tl (T. 66, N". 2). Mais par la substitutiou de x =^ n — y, il vient: ^-J±— == ('--'y - = f—^ donc- r -'^- = 2 p-^^-= -^. (182) j 1+p^Tg.^x J li-p'Tg.^x f 1+p'Tg.hj J ^+p^Tg.'x j 1+p^Tg.^x 1+p o ^ - 0 0 ƒSin.xdx 1 r, f Sin.xdx \/{l+p'-—2pCos.x) p ' J \/{l-{-p^—ZpCos.xy — 1 f p — Cos.x 1 — pGos.x = , I bm, xdx = :; r- : pl/(l+p^ — 2pCos.a;) j ^/{l +p^—2pCos.xy p'' y/ (1 -\- p'' — 2 p Cos. x) rintégration depuis O h. n devra toujours rendre les quaiitités irrationelles positives : donc il faut avoir égard a la valeur de p pour savoir si \/ {i -\- p' — 2 p) est I — p (si p <^ 1), ou bieii p — 1 (si p^l); alors on trouve : l^^n.xdx = l+P_L-ZF.=o,.,l),(T.86,N^3,4),= 2,(p=l) .(1^3) f 1/(1 4"/^ — ZpCos.x) PP P V P "o ƒ" Sin. xdx — 1 1 i — 1 1 Ï7(l+p^— 2^(703^^ = p(14p) + p(i_p) = i_pï'^<^^' ^p(l+p)'^p(p-l)~" o = ^ - , (p> 1) , == O) , (p = 1). (T. 86, N\ 8-10). Page 211. Ilf. !\'P. 1. N', 17 — 19. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORJUTION, r^- Sin. xdjc = - — ^^^^ — — — =0 , (p < 1 ) , p~Cos.x c- 7 1+P ^ -7 oin. xax =— 1 +p 1 — p 2 (1 +pï — 2p(?0S.3-)= p2(14.p) pl(l_p) (139) = (140) Tang.'^x 2(1 +p) ' ' ^^'^^TTZ^-^TT— ^= - Ap>^ , (Ï.86,NM1,12), = «= , (p= 1) . (134) p-(l + p) p2(p_l) p- 18. Exercices, ronctions circulaires directes. TT rr ƒ 7— -Ti = 1, . ■ 135), ƒ — — = — cc, . . (136), J = cc, . . . 137) o o o r ''•"' •■ , o /"^ ^-f 1 (tt ] j T=r^:rx = -''---^''''^' I l+p^-Tan,^x = l'^^[-l-P'^'''''Pi' ~ 'o TT 7t ƒ2 <^j; ^ ™ ,, f2 Tanq.- xdx p^ + ra«£,.^jr ~ 2p(l + p)' ^ • ' • '' J p^- + Tc "-. ^ 2 ' \ J i 19. Del'intégrale \ ^^-^''— . Ona [~-^dx = -^;((a;))/'+i + C = ~—[lx+2rm]^P+^+C, J X j X p^i^^ " ^ p + 1^ ^ J lorsqu'ou y substitue la valeur multiple de l{{x)) (C. P. 5). Quaud :\ présent on differentie Ie secoud membre de cette cquation, il vient (l x -{- 2 r n i)P ~: donc il faut prendre Ie zéro pour r, OU il faut écrire sous Ie signe d'intégration 2rni-\-Lv au lieu de lx, afin d'obtenir l'égalité j 1 f .• ^ ■, f{2rni-\-la;)P 1 des deux lonctious. On a donc ƒ dx = -Il .r 4- 2 r 7iï)p+' + C, ou bien, comme J ^- P + 1^ ^ ^ -r ' f((7 4- l x)P 1 il suit facilemeut de Tintégrale primitive ƒ -^—^ — - dx =■ (q + lx)P+^ -f- C, oü q peut être j *■ P + 1 a présent toute quantité imaginaire ou réelle. Donc on a: Pa^e 212. ET METHODES D'ÉVALUATIOIS DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 'I. N'. 19, 20. Mix + q)P ^^^ ^ _j_ _^ ^^^^^, — (Ü + q 4i 'o TT /•2 1 o. 1 ^ o 1 ƒ X Sin. n X dx ^:=: — Sin.-qn — — Cos.-qn, (162) \ ' flï 2^ 2o 2^ ' ^ ' i f^ 1 TT n 1 xSin.qxdx -^^ —Sin.qn Cos.qn , . . (163), == - (— 1)9+', q entier, (T. 244, N'. 2) o TT ja Cos.qxdx=- ~ (Cos.qx-\-qxSin.qx),donc: j xCos.qxdx ^:= — { Cos.-qn — l N-^om,-(/7r,.(164) 'o PasTP. 214. ET METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 1 . N°. 21 — 25. ƒxCos. nxd.c == — [Cos.- on — 1 + — Sin.-qn, (165) o /■" 1 TT 1 1 A-Cos (7«di; = — (Cos. 9 TT— 1}+ --Swi.^TT, (166), = — {(— 1)?— ]],<7entier; (T. 244.,NM), 'o 2 tlonc la vak'ur de cette dernière integrale est O ou — 7, seloii que q est pair ou impair. 22. EarÊraces. / , — - — = ^ , . . (167 , / — r^r = ~ r, • • 168) / {q + lx}P X l—p J il + lx)'' ■■e P— 1 'o 1 ƒ* 1 dx [^ia4- Ardq.x)P 1 \l 7r\/'+l i — -— - = 0, . (169), ^'\ \ ^ ^-^-^-rT U + T -5''+i,- • (170) {q-\-lx)P T J l+.-t;^ p + l l\ i' I i (I o j 1+^^- p+ll\'^2J \ '1/ J ' ƒ ? + ^rc<^.a?l+.«^ 47" 1 "o / = l~'^~^ ,..(173),/ ; - = 1_- ,p de Tintégration, car les autres ne nous regardent pas), elle passé du positif au négatif ou inversument pour cliacune de ces racines; donc on trouve alors : Mais comme Arctg. [({qp (,i-)))] = r tt + Arctcf. [(j, {ic)'\, ou = r tt — Arctg. [{— (f ic)], selon que cp ( /) est positif OU négatif, et que dans ces intégrales ces cas ont lieu alternativement, ou aura en suppo- sant la première positive : / f{x)d.v = {Arctg.[^[c,-d)]-Arciff.[q{a)]} + [-Arctg.[-cp{c,-d)] + Arctg.[-cp{c, +§)]] + ... + {(-l)«.1rc{c,-8)-\-Arctg.[q{c^Jr^)\^Arctg.^{{c,-8)]—...] ; f . , (jj ou = {— l)»-'^ Ardg.'[[—\Y-'^(f>{b)\ — Arctg. \— Cf [a)\ — - 2 [Arclg. [g- (c, - ö)] - Arctg.[cp[c^ j^8)\j^Arclg.q{{c,-8)\-...] ; selon que ip(.i) est positive ou négative de a jusques tk c,. 24. Soit par exemple l'intégrale: r-r'- d.v C+'i j. I ~Y~, — 2"= ƒ -d. Arctg.-; ici Ie signe de 9 [x) change avec celui de .r, donc pour r'p-q: / '.TTT7 = ; (+ ^'''^^- y ('')] - ^'•<=t9-[- f (- r)] - 2 Arctg. [cf (O + 5)]) = j ^^ -r q q — r l r r 2 /• = - Arclg.- -^ Arctg.- — 2 Arctg. O = -Arctg.-; (1*>1) q q q q q donc : Paste 216. ET METHODES D'ÉVALUATION DES LNTÉGRALES DÉFINIES. III. M'". i. N'. '24. ƒ1 dx n /•+! dx a C" dx n = — ,.(]82), / =-Arccot.q,.(lS3l I = -, (T. 29, N^ 3). -1 Soit encore ; ^dx \ , 1 X — » \ '2 X — p~\/{p- — l) Ie dénominateur de la fonction ;\ intégrer s'évanouit pour les deux racines x =■ p ± ]^ [p'^ — 1)^ donc, entre les limites O et 1, la fonctiou reste continue dans Ie cas de p^'p^l; elle devient discontinue dans Ie cas de ]>• i) . . (185) i^{i-p') ^\ i-p) ^' ^ '^ ' i-^ip'-i) \^{p+i)+i^{p-iy ^' ^ ' ^ ' 'o = ^ Ardg. {-^^ — |,fö2 1) ; . (187) ^ f p-\-rx- 1 l2xSin.lcfj.l^pr\ ^ s ^ On a: ƒ d.c = Ardn. , q^< ■i --^i 2xSi7i.]^cf.v^pr . . p p lei (■ƒ' (.(;) = a trois racines : x = — l/-,a- = 0,a;= -f- 1/ - , qui serout tou- 2? — rx- r T les a cousidérer, lorsqu'on iiitègre de — j: a oc ; donc: p -\- r x'- pr 2Sin.:^cp.i^pr f .. , l l'\ , .dx = {—l)' Ardg.[{-iy ,,( cK)]-/l,-c^^.[,f.(_ ^.)] + / p- -{- 2qx^ -\- r^ x^ "- j l j + 2 ^Ardg. [v (- 1/ ^ - ^]] - ^'-'fff- [V (O + ^^)] + ^rdg. [., ( t/ ^ _ ö) ]| f I —2pSM.Lp—2SSin.hT.l^pr\ hZÖSin.l.f = - Ardg.O-Ardg.{-0) + 2 Ürc/i/. — ^^ ^f— ^^-— ^ -.irc^i;. { \ p—p — 2di^pr — ro^ j \ P — '' /2 p Sin. ^ gi — 2 5 Sin. l (p. 1/ pr\ ) + ^"'^- l"^":^+23L/p.-.5^ )] ■- — Ardg. O — Ardg. 0 + 2 (^drc^^. co — Ardg. O + Ardg. oo) = 4 Arc; == ^ji Si7i.} Arccos. I + — Ir = g' / 1\ 27r ^. c I l\\ 1 Arccos. == — , oiti. \ Arccos. *• =]/' — : [14] Pour vtrifier ces résultats on a : y l+25a;2+a;« j 1 + 2^^^+,»'' j 1 o dx. Lorsque dans la dernuTe integrale on pose x = — ?/, elle devieut egale a la précédeute : donc /•■" l + a-ï r 1+x-t /•! l+o;'- , .^r" l+o;^ _ƒ 1 + 2^.?;^ + »* / l + 25.ï-+.r« J I + S^a'^+.k^ ƒ l+2y.«2-j-a;» —00 'o O i Dans la dernière intégi'ale prenez ü; = -, d'ou dx = -, avec les limites correspondantes 1 et O pour y, elle devient egale a la prccédenle ; donc enfin : r '+-' .. _ 4 f' '+!' ..... y l + 2ïa;^+x* _ƒ l + 2j^- + a;' — 00 o Or, ici les cas de discoutinuité pour .r ^^^ O et a = ± K - = ± 1 ne tombent pas entre les limites de l'intégration. On tronve donc tont de suite : ^ ^^= o-^7-T- [Arcig.--^-ArcUj.^\ = ;.-, — = • • • (191) f l+.r^ dx . (192) d'après ce qu'on a obtenu plus haut. Donc ensuito : ƒ dx = „. . , (193) l + 25.«2+.r^ %Sin.\^' et enfin l'intégrale (1S9). Partout ici on a pour l'auxiliaire Cos.^ = — q. Pase 218. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGIIALES DÉFINIES. III. J\P. 1. N°. 25, 20. 25. Exercices. 1 =cd.^ = i;(2_2«) + P Arctg.(\A^\ , p^ < 1 ; (T. 7, N=. 11), ■' (lx . ^ . 1 , = Stt, (ï. 30, N". 15], fpour la première il faut considerer la racine .f = 1/ 3, l±xi^3-\-x-' 'V . ;mi ; 2 et pourla secoude a; = + - l^ 3j; / ^— — - t/.i; = - tt v/ 2 , (194), = / - , \ . - dx,{ld5), '■ 2 ƒ l-\-x^-\-x-^ 4 J l'\-x--x-x^ o / l-|-.7;^+.r' 2 J 1 — « •'o -^0 / ^~" ,, '''^ = ^-. (T- 7, N'. 19), = / —^^^--jdx. [T. 31, N'. 19). J ] — x^+x' 2 / 1 — x^+.v^ o 1 2G. II se peut eucore que rintégraie indéfiuie chaiige de forme, seiou que x a uue valeur iuférieure ou supérieure a, une certaine limite. Alors il faut diviser la distance des limites en deux partieSj doiit 1'une fiiiit a cette limite et dout l'autre y commeuce, et pour lesquelles vaut respec- tivemeut la valeur qui est propre a la valeur correspondante de x. Lorsque a présent la valeur de rintégraie définie ne devient pas discontinue pour la dite limite intermediaire de x, la somme des deux intégrales partielles sera la valeur de rintégraie cberchée. On acquiert toujours dans ces cas un terme imaginaire, puisque en général la fouction sous Ie signe d'intégration devient imagi- naire d'un cuté OU d'autre de la limite. Supposons, par exeinple, que nous ayons l'iutégrale indéfinie : 1+^' ,.. 1_... M^,.^ r J±'^l_ ,;.,._ ^T. 25, lN=. 16), ^ f{x) dx =-. .p {x) , (.« [x) de rintégraie indéfinie (e), qui vaut entre ces limites de x : dans la seconde integrale au contraire il faut faire usage de la seconde valeur %[x) dans (e), puisque celle-ci vaut seule entre ces limites de x; de sorte que: ƒ (a) dx = ^ (a) -g (c-) + i {l)-t[a) {g) I Mais en général, lorsque la fonction ne devient pas discontinue entic les limites c et 6 de x, il faudra que 1'on ait qi {a) = ^ (a) ; par conséquent : Page 219. III. M''". I. N% 26 — 28. THEORIE, propriétés, formules de transformation ƒ ■i /(x) da-= X (^) — 1 • (200) 1/ (1 — X ) Ici Ton avait i/ (1) = Z (1) == Ij comme il a été dit plus haut ; on voit encore que dans les in- tégrales (19S) et (200) il se trouve une partie imaginaire, et aussi que 1/(1 — x"^) sous Ie signe d'intégratiou devient imaginaire depuis .r = ] jusques a x = p. 28. Lorsque les limites sont O et co ou bien — oc et co , on peut traiter la transition des inlégrales indéfinies h. des intégrales défiuies d'une maniere générale, qui en même temps nous mettra h, 1'abri de commettre des fautes dans les circonstances critiques, auxquelles cette transition est parfois sujctte. Ecrivons la fonction ö, intégrer sous la forme d'un quotiënt de deux autres fonctions entières et ratiouelles : fi^) =-7-:; (O zW alors en premier lieu il faut que Ie degré de la fonction ^ surpasse celui de q> (x) au moins de deux unités : car soit n-\- m \e degré de (f (x) et n celui de x (x) : alors la division nous donnera [15] Sur cette observation voyez Heine, Journal von Crelle, Bd. 51, S. 882; ce mémoire est un com- plément du travail de Puiseux, Journal de Liouville, T. 15, p. 385. Pacre 220. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'". 1. N'. 28. DE , . f^x) = kx"> -\- Bx'"'— ' -\- . . . -\- C -\- — -\- — + ..., et rintégration nous donnera une valeur iniinie, a moius que les cocfBciens A, B,...C, U ne s'annulent, c'est-a-dire u raoius que m ue soit = — 2 tout au plus; donc, si Ie degré de q>{x) est n', et celui de % (x) est n' + m',m' doit être plus grand que 2. En second lieu la fonctiou ^ (*') ^^ '^oi'' W^ avoir des racines positives auprès de l'intégra- tiou entre les limites O et oo, car alors Ie facteur a; — p p. e. la rendrait discoutiiiue: et par la même raisou, il ne se peut pas qu'elle ait des racines négatives, lorsqu'on intègre de — oo a co, Eucore suppose-t-ou qu'il u'y ait pas des racines multiples, puisque alors la décomposition a uientiouner ue serait plus valable. Il s'ensuit dès-lors, que la fonctiou ;( (»•) peut se diviser dans des facteurs de la forme: no'^ -\- q x -\- r'^ , et a présent, sous les conditions prccédeutes, on peut réduire suivant des regies connucs la fonctiou f{:t) a nne somme de fractions partiellcs, a dénominateur de la forme x'- -\- (ja,- -\- r- et h numérateur de la forme Q^ + I^» yw - ^ -. , , . (^) X- -{- <]^ -\- 'T OU il faut que Ton ait ,2'Q=0, afin que Ie degré du dénominateur surpasse celui du numérateur au moins de deux unités, comme on a dil Ie supposer. Ou a par suite : Or, pour la limite 00 de a; tous les logarithmes l{x'^ -\- qx -\- r'^y deviennent = Z cc : on pourra donc Ie mettre hors du signe de soramation, comme étant toujours de la même valeur; inais il reste alors comme facteur JS* Q, qui est zéro d'après la suppositiou ; donc Ie terme s'éva- iiouit pour la limite x de jc. Encore pour cette même limite l'Ardg. devient Arctg. cc = - . Donc nous trouvons pour l'intégrale entre O et 00 : ]■ ' ' \nr^-iq')h •^W(r'—\q'] Lorsqu'on veut intégrer de — 00 a + co, Ie logarithme devient égal pour ces deux limites: donc la sommation correspondante s'évanouit : on aurait pu considérer que ce terme s'évauouit de même pour la limite inférieure — co de a; tout comme pour la limite supérieure + '^ t^^ •^• 'T . . ■^ Quant a V Arctg. dans la seconde sommation, il devient -{-- pour la limite -}- =^ de r, et — - pour la limite inférieure — x ; donc la diflerence en est n et l'on a: Page 221. III. yV\ i. N\ 28/29. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ƒ / Lv) dx = n ^ — (n) Toutefois il faut observer que les formules (ot) et {n) ne valent que sous les conditions énoncées plus haut. 7. Appliquons tout ceci a un exemple, et soit /(«) = r, donc (i{x) = x°; 'i[x) = !-{-**• Alors on a la conditiou a Sw.{(s+l)2y} 271 / 1 + a;'' ~ SSm.y"*" 2 Sin.^ y •••W o 6 (2g-^- + l'>Sin.?/.CQ^.V.(7a4;23+l)y}— (23— J;+])&ft.-^.g<"a.[,23+l';/)->S»t.{(2a+l)y) ""2-Sin.//'^ 2Sm.^y ''^'' On a besoin de ces deux transforraations (o) et (p), de Tune dans Ie cas ou b est pair, de l'autre dans Ie cas de b impair. Car soit b pair = 2c?, ona3=^& — l^rf — 1 et 2; — b -{- 2 =0 ; encore . (l2d~Z + 2)(a-{-l) ] Sin. {{z-\- 1)2 n] = Sin.V ~^ — — '-n} = Si7i. {{a + l) n] = 0; donc les deux ter- mes du sec iid r.umérateur de (o) sout égaux ti zéro et il nous reste : b^ /•* «« d.v b _ 2nJ l-\-x''~ 2Sin.y' •^''"''' [16] On a: *) .L „ , , l— Cos. {(s+ 1)2 y] ' , , Sin.((z+l)2y] :ESin. [{2n + l)y] = /j. ' ^^ , ^ Cos. {{2n+^)y] = \Z ^ ^^~ o 2Sin.y q 2Sin.y cc que Ton vérifle aisément de la maniere suivante : développez les sommations, multipliez par 3 Sin, y -. changez cliaque produit de deux Sinus dans une difierence de Cosinus et Ie produit d'un Sinus par un Cosimis dans une ditférence de Sinus: tout cola suivant les régies bien connues de la goniomctrie: vous trouvercz des formules identiqucs. A présent difTérentiez la seconde formule ;i l'égard de y et vous trouverez la seconde des formules dans Ie texte. *) Vcyez p. c. Schlöjiilcu, Beitriigc zur Theorie bestimmter Integrale. S. 96. Page 22.3 WIS- EN NATUtllK. VEEH. DER KOKIXKL. AKADEIIIE. DEEL VIII. in. M''*. 1. N°. 29_, 50, THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Lorsque au contraire h ai iuipair =2d — 1, ou a s^ \(b — \) = d — 1, 2z — h-{-\ =0, o- f -, • ((2c^— 2 +!)(« + 1) 1 ^. f, iiin. |(2 s 4" 1 ) y j = Sin. \ n) = Sin. |(a -(- 1) ^} = O, de sorte que dans Ie dernier numérateur de (p) les trois termes s'évauouisseut séparément et qu'on a : 271 j l+a-' ~ %Sin.y' 1 pau- Ia inême que pour b pair. Donc toujours, en prenant a — 1 pour a : V'^—^dx TC , „ ,^ , a<6; (T. 20, N=. 1). ƒ 1+"' bSin.^ b Le raisonnetnent précédeut se foude eutièrement sur la supposition que a et è soient entiers : uéanmoins il est facile a présent d'étendre la formule au cas ou cette coudition n'a plus lieu. Supposons x'^ = IJ, OU a : m<^~i dx = dy, avec O et cc pour limites de y; prenons en outre a=^pc, b = qc, et nous trouvons : ^xP^^dx en TC > v;.(20]) f \ -\- X bin.pit f p-\-qx'' op\q an O o Sin. — o 30. C'est ici le lieu de meutiomier une observation de Poisson [18] regardant le cas, oü la valeur d'uue integrale définie ne dépend que des racines d'uue certaine équation et du nombre n. Ceci a lieu lorsque la fonction a intégrer entre les limites O et co est une fraction ratiounelle, dont le dénomiiiateur ne contient que des puissances paires de x: dès-lors aussi dans le numérateur on ne rencontrera que des puissances paires de x, parce que autrement la supposition a;^ = ?/ rédui- rait le degré du dénominateur et du numérateur h, la moitié. Soient auprès d'une telle integrale \{x^) [ d.v — P^ > — Q'i — '"'.••• les raciiics de l'équation •/[x-)=^Q, uïl p, q, r,... pcuvent être réels ou [17] Ou trouvera d'autres déductions de cette integrale Métli. 22, N^ 12, Méth. 27, N°. 3 et Mcth. 38, N^ 4. [1#J PoissON, Jouvnal de Liouville, T. 2, p. 224, Page 224. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'^'. 1 . N'. 50, 51. imagiiiaires, .ilors on peut réduire cette integrale a la sonime cle plusiturs iutégrales particlles, ayant pour numérateurs les diviseurs correspondants de '/.{j:''-); c'est-;\-dire : I ^^—^ dx = K \ + B I + C / + r^ + OU A, B, C, ... sont les coeflicients, produits par la réduction en fractioiis partielles, et dépendant de p, q, r,... et des coefficiens de la fonction rp{x-). Par rintermédiaire de Fintcgrale au N". 'S on trouve : j %{^ } 2 \p q r o Suivant les raisonnements précédents cette fonction doit étre une fonction symétrique de p, (/, r, ... lorsqu'on Faura réduite li une seule fractiou: donc elle peut être cousidérée et calculée comme une fonction de y=p-\-q-\-'r-\-... Par conséquent la combinaison des fonctions symétriques ^p,2!pq,... avec les coefficiens de la fonction 3((^^) donnera lieu è une autre équatiou ƒ (?/) = 0. Puisque a présent y regoit d'autres valeurs, lorsqu'on prend p, ou q, ou r,... négatif, et que d'un autre cóté les relations entre les coeflicients de X (*'")» l^i '^^ dépendent que de p"^, q^, r'^,... ue seront point afi'ectces par un tel changement, et que par suite l'équation /(y) = O reste la même, — il s'ensuit naturellement, que ces diverses valeurs de y sont les racines de cette dernière équation. Et puisque r/==p-\-q-{-r-^... est la plus grande de ces racines, c'cst elle qu'il faut employer auprès du calcul de notre integrale. Remarquons encore que/ (y) sera en général d'uu degré plus élevé que y (r). 31. Comme application soit yX-^^) = •i''^ -\-kx* -{-lx- -\-m ={x- -\-p'^)(x- -\-q'^)(x- -^r"^}. Alors : r ''■" ' r d. i r d.v 1 f f Z>') ir' -'f lip' -r^)) x^+p'-(q^-p'-){q^-r^)j x'^+q'^'^ {r''—p'-){r2-q^-;J dx «•'+r- 1 1 1 1^ /» + ? + '■ \p(p-—q-){p'—r') q(q-—p''){q^—r^) r{r-—p^){r^—q'))2 pqr{p-\-q)(p+r){q-\-r) 2' et de même: ƒ'" x^ dx 1 71 ^'^ x^ dx PI -\- 9^ ■{- '>'P Z (•<••') iP + 9){P + ' 1 71 ['" x^ dx PI -\- 1'"' -\' '''P ^ + r)(.; + ,-)2' j ^)'^ {p + q){p + r){q + r)l' toutes fonctions symétriques de p, q et r, comme il a été annoncé. Pour avoir l'équation en y, supposous y ^ p -\- q -\- r. En outre nous savons que p^-j-j^-f-r^ ==/;, p^5''-|-p^ >"-4-?^ '"^ = '» p2 ^2 ,,2 ^^„j_ Éliminons entre ces quatre équations les quantités p, q, r, nous trouvons: 4Z = 4(p5 + gr -1- pv^ _ 8p<;»-(p + 9 + r) = ((p + 5 + r)^ — (p^ + 7' + r^)) ^ — — Spqr{p-\.q-{-r)^{y^~kY — Sy\^ m, pour Téquation, qui aura pour racines p + ? + '', (la plus grande, dont nous aurous besoin), Page 225. 29* IIÏ. M''". 1. N'. 51, o2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, — /'+7 + ''-P — ?+'', etp-f"? — '■• Oua(iès-]oTs{p-{-q](p-\-r){q-\-r)={p-\-q-\-r){pq-\-qr-\-pr] — pqr^= = ?/j(ï/^ — ^) — l'' '" i'^^ égard a la valeur de {pq-^qf-\-p'>') trouveé ci-dessus), et donc; r'" dic y n f"" x''- dx n f^ x'' dx y'^ — k n j z(-«^) i/(i/'— 't)— 2i/»n l/m'/ f^(x'')~ y{tf — k)—l\,m' \ jr(-«') ~y(i/^— 't)— 2l'»» 2 ' o '0 0 (T. 26, N^. 13 — 15), OU y est la plus grande raciue de (ly^ — k^ — 8?/v,/»« = 4Z. Daus Ie cas particulier de k = l=Z, m=l, on z f_[x'^) = {l-\-x-Y et j/* — 6^^ — 8^/ — 3 = = (2/ — S)(!/-|-l)^) oil y = S la plus grande raciiie, donc: dx 3 TT /"" x"^ dx n /■" X* dx Sn r dx _ 3^ ƒ" A-2J^ n r X j (i + A-^-)3 ~ 16' / (i + .f2)3 Tg' j (r+A'^)'~i6 . (T. 21, N". -i— 6). 32. VoyoDS enfin comment quelquefois des fonctions plus compliquées se soumetteut u uotre methode d'évaluation. n ll+plx xlx \ Soit I = / — ï-^ + a'P-i dx. J \l-x ^(1-.^)V o Posous xPlx = y, d'oïl {pxP~^ lx -\- xP—^) dx = (1 -\- plx) xP~^ dx = dy: alors / il— A-^(l — ^)^J ƒ l — x J 1—x o 0 0 Pour les deux limites de x, la fonction devient iudéterminée : donc il faut y appliquer les regies usuelles daus ces cas. l lx X 1 lx Pour X =^ 1: xP = xP — - = — .t'P— 1 = — 1 . Pour .r = O : . = 1 — X — 1 \ — x x~P 1 lx 1 — xP = O, donc: 1 — X — p x~P- 1 1 — .1; fUl+plx xlx \ j (TTT+d^:^)'"-""--'- '^- '''■ "• '■'• "o "0 0 o = f Id.l— d.{e-^lx) — e-='lxdx\. "o Or, la dernière integrale est la constante — A du Logarithme Intégral, (Voyez Méth. 12, N°. 3) Page 226. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. M'"'. 1,2, N°. o1, \, 'i. et la première diflereiice devient indétermiiice: Ie calcul ordinaire nous doiine ici pour .k = oo : 2 , X ^ ^ lx X \ X l—-— — e-^lx = ll—~ = 0—~ = Q— =0— 0 = 0; pour x=0:l — e-^' lx = l-\-x e^^ e^ a-e-'' ^ 1 -f- ^ 1 Lc X (1 — e— ^P (i — e ^j ' — (i — fi— ^j— -e ^ 4: 2(1— e-^)c-^ • e^ -^ , — = 0. Donc : j [l + x ,-x\ -f = A. (T. 133, W. 1). [19]. § 2. METHODE 2. DÉDUCTION d'iNTÉGRALES INDJÉFINIES. CAS DE discontinuit:^. 1. Dans la Première Partie N^. 8 ou a trouvé la formule : \ f[x)dx = ^{h)-Y{a)-L,-j^ =/W,A = ƒ f{x)dx- («) a c — (? lorsque la fonction devient discontinue pour quelque valeur c de x, qui se trouve entre les limites ^. II Pour la correction ou a: C1+^ dx 1 ^^r'-^^^^^|,(,^._,(_,pj.^0.donc:f-^^izf-=?y = ^i^%y^ l x± q z ^ q-'J Encore [19] Voyez une autrc déduction Métli. 37, N'. 3 et Me'th. 44, N'. 3. Pai^e 227. Hl. M.^". 2. W. % o. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIGK, a : ƒ ^-^{^^^^)-^(-^^))=^' fi+^ d.v l ƒ = -[l(S-^) — i{—8y] == O de mèi J , ^ 9 ^ Pour Ie cas de rr -\- q on a : f-q'; (202) ƒ X ± q 2\, — r ± qj r — q Lorsque j = O, on trouve de mêine : (Idx 1 ƒ' ^{iq'-i{-pY)-t, -p jHiisque la discontinuité a lieu ici pour la valeur zéro de x, on trouve: A = / —=~{l{S-) — l{-S)'} =0, donc: ƒ ~=l-, (203), / — = 0. (T. 35, N°. 15). / *■ 2 J X p J X —3 — /} —p „ -r-, .,.,,( dx f dx 1 ./•2' + 9\~ 3. De l integrale 1— -. Ou a: / = — t +C; donc elle deviant dis- j q^ — x^ I q^ — x'^ éq \x — qJ continue pour x ^= ± q. Jjorsqu'on iutègre de O ;\ co , il n'y a que la valeur + ^ de x, que l'on alt :\ considérer; dès-lors : o q-3 1 f^ dx = —11=0, donc: ƒ = 0. (T. 19, N°. 4). [201 4.7 j q"^ — ''^ [20] Cette integrale a donné lieu a bien des difficultés et a des observations contradictoires. Quelques-uiis, comme Poisson, Journal de l'Ecole Polyteclmique, Cah. 18, p. 295; Cisa de GrÉsy, Mémoires de Turiii, 1S21, p. 209; Plaka, JournalvonCrelle, Bd. 17, S. 1; trouvent pour sa valeur „-=•/(— 1); ils ont été conduits 25 ■j. ce rcsullat parce qu'ils ont pris / — = ly et uon = | Zy^ ; or, tant que y reste positif, ces valeurs coïncident, mais ceci n'a plus lieu lorsque y devient négatif; alors, d'après ce que l'on a vu Jléthode 1, N°. 2, il fiiut employer la seconde fonction, et non la première, qui ici nous donncrait a tort une valeur imaginaire. — D'autres, comme Arxdt, Grunert's Archiv, Bd. 10, S. 240, la supposent arbitraire, a cause de Ia discontiuuité de la fonction intégrée poiir la valeur j de x: mais on a vu dans Ie texte que la correction A pour ce cas de discontinuité s'annule ici, de sorte que cette indétermination n'a pas lieu dans ce cas. Paffe 228. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. ill. ftf'. 2. N'. O — 5. Lorsque au coutraire on intègre de — oo a, oo, il y a les deux cas de discontinuité pour a; = -f" P>i- 1— 2pa;+A'2 yi— 22:>^+«2 2\/{p^—l) x—p+V(p^~l) Le dénominateur 1 — 2px-{-x^ devient zéro pour les valeurs p ± 1/ (p^ — 1) de x, valeurs qui sont réelles pour p >■ 1, imaginaires au contraire lorsque p<^l, de sorte qu'il ny a dis- continuité que pour p ^ 1. Avec cette condition on trouve: p d.v II j 1— p — lX(p2— 1) — p — ixfp2 — 1)| .A = 2l/(p2-l) l_p_i/(p'--l) " 2^/(p2_i) l/- [21] On voit que le résultat (T. 19, N". 12), que Plana a trouvé dans les Mémoires de Turin pour 1820, est fautif: et cela parce qu'il prend ly au licu de ^ly^, ce qui n'est pas admissible lorsque 1/ est négatif, comme il a été remarqué précédemment, Pase 229. ni. ftP. 2, N\ 5, G. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE ÏRANSFORMATION. /•p+ 1 (205) I Peur 1'intégrale entre les liniitcs O et -f- ^i on aura a calculer encorc la correction relative ;\ la valeur p -\- l/(p' — 1) de a-; elle est: /•/'+d'+l/(p-+l) dx A = ƒ ^ : r = \l l — l-r~\ = O, donc: /•/'+d'+K(p-+') dx 1 { d —S) 7'-(7+l/(p--i) r dx l \ -p-y^ip^—l)) -] ^;, + t^(p^-.l) / l-%px-\-x' 2l/(/J^— 1)1 — P+l/'Q^' — 1)' '2l/(p'^— 1) p-l/(p^ — 1) l/(p ^Mp + \^{p'-'i-)] ,p'>i; (206) 6. Delintégralel ,0-; (211) Cos.2x =4. ^ ^"Cos.xdx _l_( 1 -\- Sin.ay 2 1—Si?i.ai/9A 1 1 + Sin, a \/ 2 n Cos. 2 a; ~2v/2ll— &n. a i/ 2 ~ 1 + Sin. ay/Z) " \/ 2 1 — Sn. « i,/ 2 ' "^ 4 ' ' ^~ — a inais celle-ci devient infiuie pour a = | ti et a, plus forte raison pour a^|7r, douc: f" Cos. xdx n j ~ — ^— = oo , a > -; (213) — ( [Sin. xdx 1 Cos.'^ X [Cos. xdx 1 , ^"° 1 3 "^ ] „ Eucore a-t-oii : / =-( , f = ^ 1 ^^ ,' . Lomme j Cos.3x 6 Cos.^ X — l J Cos. 3 X 2 p-- 3 Z 4- \ ces deux intégrales devieniieut discontiuues pour x =■ dz -n, on pourra les iutégrer de — a a. a, 1 . . ^ pourvu que l'on suppose a<^ - n-, et de-la on pourra décider pour Ie cas ou a serait = ou ~^ ~- Cos. 2x =4.1 Cos. ( - — x ï Sin. xdx 1, Cos.''- a 1 Cos.'' a n _ t ,^,,, = -1-7. — ; 1 =0,a<-, (214), donc aussi = O,poura >- -,(215) Cos.ix 6 Cos.-'a—i 6 Cos.'' a—l '^(-^^ ^ ^6^ ' ., , , , Cos. a\ Cos. - + a i ^ Cos. a Page 231. 30 WIS- EN NATUUE.K. VERH. DEll KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. ÏII. M'^\ 2. N'. 7 — 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOJJ, Mais cette valeur est x pour a = - tt: donc : ^ 6 ƒ " Cos. jcdx TT 8. Exercices. I — = c/J , (T. 18, N^ 1), ƒ - = _ X , (T. 35, W. 1), -— -=0,(T.29,NM),/ :^= oc,(ï.34,N^3),ƒ -^^'— =_ o. ,(T. 35, NMl). ? l/(p^— l)},p>l,(T.7,NM2).f ^^=:c.(21S) J 1 -«'^ o 9. 11 se peut encorc que F [x) soit réelle entre les liinites a et c de x, mais imaginaire pour les valeurs de x entre e et i, c'est-a-dire que Ton ait : f/{.r)rf^^F(x) + C , a<^X , =l(x — q)^C , q{\ — x a ou aurait I 1 == cc; donc : /•°° xP-^dx a~pf'°xP-^dx [a—pYl-'^r'^xP-'^dx (1— ;9)«/i n 0 0 o après la substitutiou de la deruière integrale, que Ton trouvera Mélh. 23, N'. 12; ou, comDie lésultat identique avec celui du N". 2, mais disposé autrement. L'intégratiou entre les limites O et 1 fait disparaïtre la fonction differenties au premier membre; donc: p + qa p-\-qa-{-q 2,-\.qa-{-2q I xP~t (l_.ï?)a-i dx = ^±i? I ari"+g-i [\—xiY~^dx P P+9 P+^9 X ƒ ^;'+»?— 1 (1 — *•?)«-' d.v. De cette formule de rcduction Euler (*) fait rapplioatlon ingéaieuse suivante. Il remanpe qu'on a tont de même : /"' , , , , , s-\-ga s 4- Qa4- g s 4- qa4- 2q [^ I x'-i {l—a ?)«-! dx ^ ^ . -~~^-^^-^ . ^XJ__l^_ï I x'^'xi-^il — xlY-idx. J s s+q s+2q f O "o Or, lorsqu'on fait diverger »i vers rinfiui, les deux facteurs xp+"q—'i et xs+nq—J deviendront sensiblement egaux : donc les deux intt'grales dans les seconds membres des deus dernières équations finiront par de- . venir identiquement cgales. Dans ce cas les produits de facteurs équiditférents acquerront eu même temp.s \\n iiombre infini de termes, et la eomparaisou des deux équations en question donne enfin : fip-i (1-..)-. dx = '^^±2^ . (f±^K£±£«±?) . is±MP±S^±Mi [,U, i_,,)«-.,/., ./ /'(«+'/«) {p+9)(s-t-9«+9) (z^ + 2?)(s + 5« + 27) J o o Pour s = y on a: r — 1 /■' 1 ƒ a;?-i (1 — x?)"-! dx = I d.{l—xfY = — , (T. 1, N'. 24); donc: J ?« ; ?" o () a;P-i (1 _ xq)"-^ dx = ^^ ^ ^ ' . -^^^ ^ ^{ . ^^ ^ ^ ^ - (219 qa pia^rl) (p + ?) (a + 2) (p + 2 5) (a + 3j ƒ Pour a = - et pour 7 = 1 on trouve respcctivement T. 10, N". 1 et T. 1, N^ 11. (•) Euler, Institutiones Calcnli Integralis, Vol. prinium, Sect. I, Cap. 9, § 360. Page 234. ET MÉTIIODES D'ÉVALUAÏION DES INTÉGRALES DÉFIiMES. III. M". O. N'. 2, (1— p)"/i T{l—p) = r (a+ l—p) (N^ 14 formule A) et T(p)T{l—p) = ~ — (Méth. 4, om. p n N". 6, form. B, Note 4:5): /■" a:;j-id^ r(a — ü4-l)r(n) / = "'' — i'^ï-j'-^'''' O t'— =0 Ie terme intégi'é s'évanouit, lorsque a-\-p — 1 > O, et pour .«= oo, lorsque a-|-p — l<^2a — 1, d'oü p V ; On a: [25] ƒ Sin.pn 12a— 1/1 , a!)^ g"+' o\nj a — b — ?j -j- 1 rl 1" dx 1 "■ I a\ ( nV' / rT-~T6 = -;rn^ — ^-^-y{(p + 5)-^+i-»-p-4+l-») ,a<6-l;.(22ü) 'o Pour a = b — 1 Ie terme de la sommation, répoudant a la valeur zéro de x, regoit una autre forma puisqu'il devient indéterminé; Ia règle ordinaire donne : / (p + ?.r)''+i p -7"+' , W n Up + ?/ J "o /" dx .1- f — a . 7 2 .T da- x (f dr Encore a-t-on : l ^ — = — lx — r-^^Z :; — +2a'{ / ;; — ; — j(p-\-qx-'/' ip + qi:'}" 1 (p + ?^^)°+l ip-\-qx'y^ l/(p+?^')" ^dx ] f d.v X f dx ^,- '— >;douc: 2ap / ; = + (2 a — 1) /; --; par suite: p dx 2a — \ r dx 1"'2 /•« dx 1«^2 ^ ^^ J [p + qx'^Y^'^^ 2ap I (p+<7.r^)«""(2p)«l''/'/ p + r/a;^ "" (2p)« l"/' 2 I/pj ' ^ ""'^ [25] MiNDiNG, Samuilung von Integraltafelii, (Rerlin. Eeimarus. 1849. VI et 186, S. 4^) Abth. I. Taf. 1. raa;e 235. 111. M"^". 5. N\ 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE ÏRAlNSFORMATIOiV, cVaprès Mutli. 1, foim. (3S). Pour ^ = 1, voyez T. 21, N^ 3. Ensuite: flonc, pourvu que a ^ 'o : r ct:-''d.v Zb — 1 r x^-i'-^dw Vf' 1 r dx f (/) + 9a;2)«~~ (a — 6+ 1)V1 (2^)* j (p + 7 .t^ )«-*+' ' ' ip -\- q ^-)''+^ ^aq 'o o 011, lorsqu'on substitue l'intégrale (222) : ^26 £?^ l!,2-[a-bl2 I , ay-b; (223) (p + (/ .«*)«+! 1"/' 2°+i ^^p»-* l/pf/ = /cc9—'^ dx x9 f —Iiq crc-' dx (C9 . , f , f 'eö-'^ ;= — 1x3 == -A-chldx'-i — p , I, (p + <7.^*)* (p + ?.ï<^y' j (p + 7 .«<=)''+! (p+7J.<^)'' j ((p + ïa"=)A '^(p4-5A-c)A+iJ donc, puijque Ie terme intógrc s'évanouit poui- x^d et eiicore toiijours pour j: == co , pourvu que fj <^c, on trouve : q /• (H^''+'^^ / (p+7..-)/<==^l*,i (cp)^'/ p+?.t-^ 1^/' (^•p)^pU) T^T^'^^''^''^''^ o "o ■() Ci^(/i. _ c ;\ Faide tic la formule (201). On a [26]: ^xac+g—\dx pa-\i-!/a-\ « fac—c4-q]"-~<= 1 f nS—Uh ^ (— 1)"^^ ^ 4- '-- ƒ , b+l^a. {p + qx'^)!'+^ ^ ' q" „ p'.(p 4. 3^c)6-«^ W-' {cq)"j{p + qx<=f-<^+^ ^ ^ Ici Ie premier terine, oü « sous la sommation est un produit de coefficieuts d'uu biiióme, s'évanouit pour la valeur zéro de x. Lorsque x devient infini, Ie plus grand terme sous la sommation est celui qui correspoiid ;\ la valeur o — 1 de n, et qui par suite a pour dénominateur (p -f- 5 j^)'""!"', oü Ie degré devient ^ 1 d'après la supposition 6 4-ll>«: douc la plus grande 1 X9 valeur de la fraction est — -. ^: mais dans ce cas encore Ie terine correspoudant — 1 ;; p -\- qx'^ P + ? * s'évanouit pour a; = 00 , lorsque g <^ c. IiOr?que ccla arrive pour ce teinie maximum, il va sans dire que les autres termes, a dénominateur d'un plus liaut degré, seront iiuls h. plus forte raison : et encore que les coetHciens constants, que nous avons omis dans la discussion, ne changent en rien Ie résultat. Donc: /•°°A'«c+g-l (/.c (ac— c+$r)«-cp .rff-' rf.F ga:c'^c—g,'—"l'= 1 l/p\c tt f (p+qx'^)'>+i~~ b^.'-^icq]" j {p-hqx'=jl'-a+l~ l*/! cl>p'>-<'q^p\qj ^gi„ ?]L' ^ >«'5'<^A ' J. c par la sul stitutioii de la dernière integrale (224). [26] Mtnding, Sammlung ven Integraltafcln, Abtli. I, Taf. 49. Pa£?e 236. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTEGRALES DÉFINIES. III. M'^ 5. N°. 5. 3. FoncÜons algébriques irrationnelles. ^D.r"— i-fv*" , r afl—'^dx «« [ — {b—\)qdx , ^, , , dx = a I ; — == — - — lx" — , donc, pourvu c|uea< ö — i: {p-\-q.vy'+i jw + q^vf-i (p + ?^)*-5 j (p + qjc)>>+i' '^ 1 ^ a ƒa''dx 2 a p f'" a;"— • t/.ï 1"/' l^pYf^ f^*' (P + Ï-'O*'*'^ 2a — 26 + 1 9 j (p + qx)l'+i ~ (26_3}«/-2 \q j J {p -\- q «)*+' ~ O la/l 2a+l , a<6 — j, (22t;) (2b— l)«+l/-2 ^a+lp6-a-è lorsqu'ou fait usage de TiDtcgrale que Ton d(?duira Méth. 7, N". 2. — a jdx {\y [p"^ — ^^)" — p'^ l^ ip^ — x'^)"—-^ ; douc, puisque Ie terme intégre s'aunule tant pouc X = O que jjour x = p: dxi^ [p^ —x'-Y = —'—- \ djcl^ip'—x'^Y-^. a+1 / o o lei il faut distingucr entre deux cas, suivant que a est pair ou impair; car pour a pair = 2 6, oti a : /■/' 2b 2{b — l) 2 tP l'/i f ^ 26 + 1'^ 26 — l'^ 3'/ 3^2 ' ^ ^ 'n "O mais pour a iuipair =26 — 1, on trouve : P', , ,.o. , 2 6—1 2 6—3 «^ /•/' (Z« 1*12 p2in: ^ „„ ^^^ ,^ / ^' ' 2b ' 2(6-1)' 2 ƒ i/(p2_^2) 16/126 3'^ ^' "o o a Taide de Méth. 1, N^ 6. (6—1) \x''-^dx\^{p''—x-Y+'^ = (b — l)jd.D {p'- .v'>-^l^ip^—x'')'' — x''l^(p^—x^)''} /a-\- 2 x''-^—^~-l^(p'^—x^)<^{—2xdx); donc: f , 6 — 1 /'/' ƒ a;''dci/(/)2— a;2)a = »2 I xb-2 ^^ (pt _ g;-)" dx, I a 4- 6 + ] / o o ■parce que Ie terme intégré s'évanouit pour les deux limites de l'intégration. Daus Ie eas o\l 6 est pair, et qu'on doit bien distinguer de celui ou 6 serait impair, on a : ['' o, , . . 2 6—1 2 6 — 3 ;''/■'',, ,, , J ' a + 26 + r a + 26 — l' « -f- 3 ƒ ^^ o o Paffe 237. 111. JVf^ o. N". o, 4. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFÜRMATIOK, et donc, suivant les intégrales précédeutes, dans les cas diflerents de a pair ou impair: ƒj, la/2 16/2 fp lal-2lbl2 pia+2b„ O -^ (T. 33, N'. 11 et 10). Lorsque au contraire b est impair, on a: p+. d. ^ (,^ -.^r = ^:^:|^,/'^ 7^^^ • • • ^>^ f"'-^ ^ ^'' " ^^^" ^ •o o a6/l _ 26p26+a+2. [27]. (T. 33, N^ 9). (a + 2)*+'/ Ensuite: - f ?Ü^ = ^a-i i/ (p^ _ ;r^)_ [ 1/ (p^ _.r^)(a- 1)^—2 cfx, oü la dernière integrale vient d'être trouvée entre les limites O et p; donc: o o et par conséquent : {'>_jtÈ^ 1^ J^ ,. P_^Üli^^ _ ^'2«,>+,. (T. 34, N^ 10 et 11). /l/(p2_^2)- la/1 2a+l ' / ^/(p2_a;^) S^/ï O o 4. £.t-emces. i\p-^ (1 — .r)P-i rf.i- = 2 7-^^77;^;, (T. 1, N'. 6), f ^''9-i (1 — .v?)^-' tf.r = •'o o - 5(6^1)6/1' (T- ^' ^•^•^)' j (l+g^)a+l W>3P o ( l+f^-c qP bin.i)n J iu-ri/-ri. "ü 'o pd.^(l-.^)--' = '^'^,(T.9,N^8),ƒL2^.^.^/(l-.')=^^ o o •o o ri 1 6/1 /"i l'/i p+.(l-^^)«rf^ = ^-^-^^^,(T.l,N^^ •o o [27] Car on a par la substitulion de .t' = y, r.., ,/(.--«■;• - i 7^^ fV „>-.')■.«-. - ff^, (^.") •() ' o Page 238. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. 1VP\ o. N\ 4, 5. ƒ! x'^Cclv la/2 ^ /•! A-Sa+lf/^. la/l j- = -— - — -' (T. 13- N\ 12), ƒ = -- 2«. (T. 12, N\ 13). u "o 5. Fonclions circulaires dircctes. Ou a : I Cos." .« dx = Cos."-^ x. Sin. x — 1 Si)i. x. (a — 1) Cos."~- x. ( — S>in, x dx) = == Cos.ö-i .r. Sin.x. — (a— 1) ƒ L J . O O ;i 1'aide de Tintégrale (93) et de Me'th. 1, N'. 12. (fl + 1) \&mflx. Cos.''xdx = Sin.<^+^ x. Cosp-Kv— \Sinfl+^ ;c. [h—l] CosP-^-x.i— Sin.xdx) = = »S'm.°+i X. Cosfi—^ X — (b — 1 ) jdx {Sin.<^ x. Cos.'' x — Sin." x. Cos.''—- x) ; donc : / Sin." x. Cos.'' x dx = Sin."+'^ x. Cos.''—^ x 4- ƒ Sin.a x. Cos.''—^ x dx. J a + b ^ a +b J Quant a la valeur de b, on voit qu'il y a ici deux cas 11 distinguer, suivant que b est pair OU impair. Eu premier lieu supposous b pair, alors ^ b réductions successives ramènent notre inte- grale a j Sin.^xdx: or, d'après les résultats précédents il faut de nouveau preudre a pair ou impair séparément: donc il y aura deux cas distincts. Pour les deux limites O et - de a; Ie terme intégré s'évauouit, par conséquent; 26—1 /-^„. „ .. 14)2 fi 2b— 1 f- ll>i2 [^ I Sin." X. Cos.^'' X dx = / ^ Sin." x. Cos.-'>--xdx •-= | 'Sin.^xdx, et par suite: J a + 26/ C« + 3)'/-j o "o o ƒ- la/2 14/2 jj [^ 2«/2 1,,2 2 -Sm.2a X. Cos.^'' X dx = -— - , ƒ ^ Sin.2"+^ x. Cos.-'' x dx = r^ , (T. 56, W. 1 et 4), O d'après les résultats précédents. [30] De celle-ci on aura uue autre déduction Métli. 4, N". 11 et Méth. 5, N^. 6. [31] Pom- re = 2y on a: / I (la/l) 2 Sin.^"+i2ydi/ = 22" '^ (T. 53, N=. 24.); celle-ci devient pour Sin.^y = z, Sin.2i/ dy =. dz, et O et 1 pour limites de z: f (la/l\2 (l_^)a^ad^=i_J-, (T. 1, N^ 6), expression identique a celle de N". 4. Page 240. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. i\F% o. W. 5. Lorsque en second lieu b est iuipair on a: / -5wi.«A'. CosP+^xcl;v = 7- / -Sin.<'x.Cos.xdx == ; — r. [32], (T. 56, N". 8), / (a 4- 3)*/-' / (a^ 1)6+1/2' L J' V j> o o d'ou eu particulier: / (2a+ ])l«+6+i/2' j 2.1« + 4 + i/i o O (T. 56, N^ 3 et 5). Pour la limite n de x Ie terme intégré dans la dernière integrale indéfinie s'évanouit, douc: p 14/2 r^ /-T la/2 16/2 / Sin." X. Cos.^'' X dx = — I Sin." xd.r,(r OU : I Sin.^" x.Cos.^t> .xdj; = -n,. . (232) ƒ (a + 2)''/2J J 2«+W2 ' ^ ' 'o 0 0 ƒT ga '2 16,2 SMi.2a + ia;.Co«.24a:(/^ = — — , (233) 2 la+6+l|2' ^ ' o et ƒ Swi.°a;.Cos.2''+ia-rf^ = ƒ Sin.^x.Cos.x dx = 0. [331 (234) ƒ (a + 3)^/2 ƒ L j V ; o o (Pour a = 2a— 1 on a: T. 78, N\ 23). On a encore: l Tc/.'^ x dx ^ i Tg.a-^ x—^— j Tg."-^xdx= Tg.a-^ x— iTg."--"- xdx. . , , n . , \ Pour ^ = O Ie terme intéffre est nul. pour iï = — il devient , donc: ƒ•- 111 t\ -^ "■ (—1)"-' \^Tq?-o.xdx== — + — ...+ (l)«-' + (l)«/^Z.ï=(— 1)«- + ^-^-— / , ƒ ^ 2a— 1 2a— 3^ 2a— 5 ^^ ' ' ] ' ^ i2a+l— 2n ^ *o (T. 46, N°. 3), lorsque a est pair; mais lorsque a est impair, on a: 1 1 1 , 1 i\ , , , 1,. .''^' (—1)" hl'q.'i^+^xdx^— + + (_l)a-l_J.(_])a[4y, .^;^^(_l^a /2+^l / -^ 2a 2a— 2^2a— 4^^ ^ 2^^ ƒ -^ 2 o 5; •'o •'- (T. 46, W. 5), d'après Méth. 1, N% 18 2 o 2a — 2/1 o TT 2 , [32] Puisque ƒ Sin.'' x.Cos.xdx = / d.Sm.«+l^ = — — (231) •() •'o 5m.° :r. 6'os. a; rf.p = — — - j d.Sin."+i x = O (235) o . o Page 241. 31* in. IV^^ 5. N'. 6. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 0. On a : — a^ l Sin. a.v. Sin.'> x d.c = a Sin.^ .v. Cos. ax — a \ Cos, ai', b Sin.^~^ x. Cos. x dx = a bin.f'x. Cos.ax—bSin.ax.Sin.'>—'^x.Cos.x-\-h i Sin.ax. [{b — l)SiH.^—-x. Cos.x.Cos.x dx—Sin.'>—'^x.Sm.xdx] = aSin.l'x. Cos.ax~h Sin.ax.Sin.^—'^x. Cos.x—h l Si7i.ax.dx{[b—l)Sin.l' x — [b — 1) Si7i.l'--x-\-Sin.''.v] ; . /"„. o- / , aCos.ax. Sin.ax — b Sin.ax. Sin.''—^x. Cos. x b(b — 1) f douc : ƒ Stn.ax.Sin.''xd.r = — -i--^ '- J Siii. ax.Sin.''--x dx. J b'^—a'- ^b^'—a'-j De Ia même maniere on trouve: ƒ e. ^ , , aCos.ax.Cos.^xA-bSin.ax.Cos.^—^x.Sin.x b (b — ]) f Sm. ax. Cos.'' x dx = — 4- — ^ ~ f Sin. aa . Cosfi - 2 xdx, b- — a- b^ — a^ J ( /. „. ., , — aSin.ax. Sin.ax — bCos.ax.Sin.^—^ x.Cos.x bib — 1) C I Cos. ax. Sm.'' x dx = -f — ^ 1 Cos. ax. Sin.''-'^ xdx, J o- — a' b^ — a^ J ^^ ^ , , —aSin.ax.CosJ'x-\-bCos.ax.Cos.l>—^x.Sin.x bib — 1) /* Cos. ax. Cos.'' X dx = ~- + -\ '- \ Cos. ax. Cos.''-^ xdx. b^ — a^ b^ — «^ j / TT L'integratiou entre les limites O et - fait évanouir partiellemeut les termes intégrés, puisque Los. - = O, maïs au contraire Sm. - = 1, donc : 2 3 iici. Cl. ; , aCos.lan b(b — 1) f% I Sm. ax. Sm.'' X dx = + rr— \ ' Sin.ax. Sin.''-- xdx, (a) / b'-—a^ ^ b^ —a^ I ^ ' ƒ9 ^. ^ , . — « b(b — 1) c'-K ^Sm.ax.CosJ'xdx = + -\ -' ƒ ^ Sin.ax. Cos.''-'^ xdx, (b) o'- — a- b- — a- 1 o \ ƒ2 ^ c- , — aSin.ian bib — 1) /"l^ „. , ^Gos.ax.SmJ'xdx = — , ^- + — '- l^ Cos.ax.Sin.''-^ xdx, ie) o* — a^ b^ — a^ J o 'o h Cos. ax. Cos.l' X dx = o + y^-^ -'^ j' Cos.ax.Cos.''-^ xdx (d) A rexceptiou de la dernière toutes ces formules de réduction donnent lieu en général si des séries assez compliquées, puisqu'il s'y trouve encore des termes hors des signes d'intégration; mais les résultats deviendront beaucoup plus simples, lorsqu'on assemble ces termes: cela se peut en effet, quand on pose a impair dans (a) et a pair dans (c), mais la formule (b) ne s'y prête pas. Dans ces cas spéciaux on trouve a Taide de Méth. 1, W. 12, pour b pair en premier lieu: Page 24.2. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. i\F^ o. N'. 0. j '- Sin. {(2 a+l)x}. SinP x da: = \ ^ "4. ^2 / ^ ^"^- ((^ « + 1) ■^') • ^"^■'^''~- •*• ^-^ = 26(36—1) (26 — 2)(26 — 3) 2.1 4,62_(2a-}-l)i 4,(6 — 2)2 — (2a+ 1)^ 2^- (2a+l)' 12i,i 1 [-&•«. ((2 a+l).^} dl- (2^— (2a4-l)2}.(4.2— (2a+l)2}...{4:62— (2«+l)2) 2rt + l / ^ Cos. 2 a X. SinP x J.v = - — ^^ / " Cos. 2 a .r. SMi.26- 2 ^. c;^ = ƒ 46^ — 4a2 J o o (2^ — 4a2).(4-— 4a2)...(46^ — 4a-) / , (T. 54, N''. 5), Co5.2a.ïda; = 0 , « > 6; (T. 54, N'. 11): car si a était <^ 6, uu des facteurs clans Ie dénominateur du coefBcient serait zéro et Tintégrale deviendrait O : O, c'est-a-dire indéterminée par conséquent. 'Cos.ax.Cos.-''xdx=-— -/ '^Cos.ax.Cos.-'^—~xdx= —, 5 ;; 7, —„ r ) ^Cos.axdx = 46'-— a- j (2- — a^).{¥ — a')...(46^ — «")/ 00 o 126;i 1 ^ - Sin.^an. (T. 55, NM9). (22— a2).(42— a2)...(46^_a2) a Cellc-ci a lieu toujours lorsque a est impair; mais lorsque a est pair, il faut que a ^ 2 6, puisque pour uu a <^ 2 6, il y aurait daus Ie dénominateur hors du signe d'intégration un des facteurs qui s'annule : alors la valeur de Tintégrale est indéterminée. Soit eu second lieu 6 impair, on trouve [34] : [34] Car on a: / 'Cos.ax. Cos.xdx = - \' dx\Cos. {{a — \)x) + Cos. {(a -|- l)a?] = -^Cos.-an,. (236) o o jSm.{{2a-\-l)x}.Sin.xdx==- Pt7A-[Cos. 2 a.r— Cos. {2 (a*+ 1) «}] == O, (237) d'après 1'intégrale (87), et encore suivant 1'nutrc (86): T TT / '^Cos. 2 ax. Sin. x dx = - (^ dx [Sin. {(2 rt + 1) x} — Sin. {(2 a—l)x}] = — . . (238) Page 243. Hl. i\r=. 3. N\ 0. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMAT,ION, 126 + 1/1 /•? Cos. ax. Cos.-''+^ X dx = 7::^: „, ,^_ :^: — ,.,, r, 1 ' Oos. ax. Cos. x dx {3'— a^}.(55_a^}...((2&4-] o 126+i;i. Cos. 'a TT elle vaut toujours lorsque a est pair: pour un a impair, il faut qu'on ait a'^%h-\- 1. (T. 55, N". 20). ƒ- 126+1/1 ^^ ^Sin. ((^«+l)-^-}-5---^'-^— ^3._(o,+ i3.J.|5^_(2« + l)^)...((26+l)^-(2a+l)M X ï~^Sin.{i'Za^\)x].Sin.xdx = O , a>6; (T. 54, jSf°. 4); I) car pour a<^b, un des dénominateurs devieut nul et Tiutégrale par conséquent indéterminee. /o 12(.+l/i rf j " Cos. 2ax. 5Hi.2i+i xdx = :: — ; ; I " Cos. 2 a x. Sin. x dx =■ j {3'— 4a'2].(5^-— 4a*}...{(26+l)2-4a'} j o o 124+1/1 . (T. 54, NM2). {P— 4a2}.{3='~4a%^...((2?>+l)ï — 4a^} Mais lorsqu'on omet les suppositions spéciales qui annulent les tcrmes intégrës dans les équations de re'duction ge'ncrales [a] et (c), et quW présent on fait usage de réquation [h) aussi, on acquiert des valeurs plus compliquccs ; les voici : ƒ Sin. 2 a x. SinP x dx = Il — Cos. an.ll (2^-4a^-).(4^— 4a^)...(46-— 4a^-J 2 a l i 4a^(2^— 4a%> 4a' .(2'— 4a"-).. .{(26— 2)^— 4a'} ; 1.2.3.4 ■■■ 124/1 2a + l \ n . 2 r 1.2 }] (239) / ^Gos.[{%a+\]x }. Sin.''-''xdx = 7 ^— ^—, ^— Sin. ( J Lv . w |22_(2a-l-l)'}.{4'— (2a+l)'}...(4&'— (2a-fl)'} 2a+l \ r _(2a+l)'_(2a+l)'.(2'-(2a+l)') (2a+l)'.(2-(2a + l)'}...((2;.-2)'-(2a+l)')l 'l 1.2 1.2.3.4 '■■ 12i/i J' ƒ f 124+1/1 f I2_4a' Sin. 2 ax. &n.26+i x dx = 7 ■ ; 2aCos. ött. 1 1 + -— — + (I2_4a2} .{:32_4a'}...{(2i + l)'— 4a'} l ^ 1.2.3 -I-...+ {l'-^«n-(3'-4a'}...{(2^-l)'-4a'}l ^^^^^ Page ?44. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALEs DÉFINIES. III. i\P. 5. N'. 6, 7. Of, /^-'■■,) {i I ^";+"' I .. I ii:^'''»+')^^^''^-''°+J);^■-(("^-')^-p■^+')')l|^,^.,) Dans les intégrales (239) et (243) a doit être > 6, puisque pour a < 6, il se trouve dans Ie dëuo- ininateur général toujours un des facteurs qui s'annule et qui dès-lors rend Tin égrale indéterminée. ƒ ^ Sh. a.r. Cos.^l' x dx = ~^ \Cos. ' a^r — ]-»- — 4- ^'•(^'— "') , + • • • + — -^^ =^^1^1 ^J • (T. 55, m 4). Elle vaut toujours pour a irapair, mais lorsque a est pair, on doit avoir de plus a^2b. ƒ Sin. ax. Cos.^l'+ ' x d.c = ~- ^y— — \Sin.^an — ai 14 + ^^[Ï^Tiy^ -^ ^ ]• (T- 55, N^5). o + ...+ Celle-ci vaut toujours pour a pair, pour a impair seulement lorsque a^2 6-j-l. Il faut obscrver encore que ces intégrales valent également pour uu nombre non-entier p, quaud elles sont exprimées sous la même forme que les intégrales (239) a (242), si Ion y substitue ce p respectivement pour 2a et pour 2a + 1 ; et puisque alors aucun des dénominateurs ne peut sMvanouir, il n'y a plus de conditions entre p et b. C'est pour cette valeur p qu'elles se trouvent (T. 54, N°. 6, 13, 7 et 14. [35]. 7. Fondions algébriques et exponeniielles , On a: — p j e-P^ x" dx = e-P^ x'' — l e-P^ ax^-'^ dx ; donc, comme pour ir = O et pour X = üo Ie terme intégré s'évanouit, pourvu que p^ O, on obtient : [35] Eaabe (*) déduit encore ces mcmes intégrales entre les limites O et », et aussi entre les TT autres ^ et co : mais celles-ci ne sauraient valoir, car suivaut la Partie Première N". 78 les expressions intégrées dans les intégi'ales indéfinies au commencement de ce numero devieunent nécessairement indétermi- nées pour la valeur 00 de x. Ce n'est que pour les limites Zjek (oii Lim. /!; = c») qu'elles s'annuleraient. (*) Raabe, DifFerenzial- und Integralrechnuug, Th. I, S. 237. Page 245. 111. M'''. Ö. W. 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, e-P^ic«dA- = - / e-P^a;«-'rfa; = / e-l^^ dj; = ,, (T. 113, N'. 4), p J p" J ^«+' ü o o suivant Méth. 1, N". 9. [36]. Eucore: —2 5^ | e— 9 V- ^a j^. — .^a— l ^-gV — j e—l'^' (a — l)a;"-^dx, donc: I e—i'^' xO' dx = / e-r^' x"—^ dx, i '■'' i puisque Ie terme intégré devieut uul, tant pour la valeur O de x que pour Tautre limite cc ; mais on voit, que la réduction successive donnera lieu a des intégrales finales difl'érenfes selon que a est pair ou impair. On trouve donc; r» 2"- f^ o 1°U f^ ■ 1°'^ 1 e-Q-^- x^'^+i dx === ~~ — / e~r=^ xdx = -^ ƒ e-i-^- xdx = -—-—, (T. 114, W.9), [36] [36] Ou a tout de mcme : / p I p" ; Or, on a par dcfinitiou : e-xr^q-ï dx = T{q), (T. 113, N°. 3), / d'oü, quand on pose x = py. /"°° r fo^ C^ r (a 4- o) / e-;«;c?-i dx = — ^, (T. 113, N°. 5), et aussi : / e-;«j;«+9-i cZi: = — ^. / pi ^ J p°+9 •^0 o Mais cette même integrale est a présent suivant la réduction prccédente : ƒ ° q"l^ r (q) e-px x^+i-^ dx = - —, (T. 113, N°. 6); r,a+g ('t la comparaison de ces deux résultats donne la formule : r(a + 9) = 5«;ir(5), (A) qui exprime une des propriétés fondamentales de la fonction Gamma. e-r'^-xdx = — ^ ƒ de-9-^^ = — . (T. 114, N". 10). o 9 Papse 246. ET jMÈTHODES DÈVALUATION DES INTÉGRALES DEFINIES. III. M''^ O. N'. 7. ƒ e-? ^- A'2" df = —— - / e-r^- dx = - ,, ' , L^ TT, (T. 114, N '. Sj, [38] a laide de Méth. 4, N '. 7. tl o On a: — {p-\-- x" du; = e-iP+l'^x" — i e-{l'+'i'> au-a-xdx. Or, pour .f = O Ie terme intégié est nul; pour x=v:, son facteur e- ï-^'" = Cos.qx — j Si«. (;.r est indéterminc, niais la valeur iiumérique en est toujours plus petite que 1 ± i; l'autre facteur e—P'^x'^ est iiul pour x= ca, comme précédemment, donc Ie terme s'évanouit tout-a-fait, pourvu que Ton ait p ■> 0. Car pour p<. O, p. e. égal a — s, Ie facteur deviant e+«^^'«, et la valeur a présent en est ijifinie pour x = cc, parce que l'autre facteur e~l" est en général iiidéterminé pour cette valeur de a-, comme on vieut de Ie voir. Dans Ie cas de p égal ^ zéro, Ie terme entier e^t e—1^' x", dont Ie deruier facteur devient iufini, fandis que Ie premier est indéterminé; sa valeur donc sera encore infinie en général. J)e telles cousidérations se présentent fréquemment, et d'après les discussions précédentes il faut bieu se garder de prendre un facteur de la ferme e—P±l^' égal a zéro, lorsqu'il n'est pas certaiu que p soit positif. lei Ton a : ƒ e-0'-l-g'> X" dx = / x"-^ e-(j'+v> dx = ■ , (T. 113, N°. 16), ./ P + 3' ] {P + 30"+' o o d'après Méth, 1, W. 11. Donc l'intégrale T. 113, N'. 4, vaut encore pour un p imaginaire. [-39]. [38] Voyez une autre déduclion de cette integrale Méth. 44, N°. 2. On trouve encore par la sub- stilution de .t^ = y et (^' = /> : ƒ " du l"!^ n g-pyya—2- = ,/_. (T. 139 N°. 4). l^y {2pY p [39] Mninteuant on peut dévclopper les fonctions imaginaires suivaut C. P. form. (IS), en écrivaut u — \ au lieu de a : I e~r^[CoD.q.r — i Sm. ry.r) .{■«-' dx = l»— i/i n—a [Cos. af. — iSm, aip), oü o = \/ [p'^ -\-q'^),rp = Arctg. -; / ' P donc par la scparation des fonctions rérlles et des fonctions imaginaires: e-'V^x°-—'^Cos.qxdx^ ;; Cos.\ aArclq.-\ , \ e-P^.v'^—'^ Sin.nxdx = ;;~'S/n. aArciq.- V{p^+q'Y^\ pil ^ \/{p'+q'r \ p o "o (T. 386, X'^. 12 et 13). Plus tanl, Méth. 33, N'. 5, nous déduirons ces mêraes inlcgrales sans la con- iïidcration des imaginaires. Sur les mêmes intc'grales, (mais pour Ie cas, oü la puissance « de x devient fractionnaire) voyez encore Méth. 18, N". 3, 3 et Méth. 26, N". 2. Page 247. 32 WIS- EN KATLURK. TEllH. DER KOKINKL. AKADEJIIE. DEEL VUL III. W\ 5. N'. 8, 9. THEORIE, propriétès, formules de tr vnsformation, 8. Fonctions Algêbriques et Circulaires Directcs. = ivCos.^^-^x.Sin.x -^- Cos.~^x-{-{-2a — 1) 1 .vd.i(Cos:^''+'^ x — Cos.-" J-). Poiu- riiitégratioii entre bn et ctt, Ie premier terme intégré s'évanouit, parce que toujours Sin. x =■ O ; il en sera de même quant au second terme intégré^ ou Cos-^^x sera pour les deux limites toujours f^gal u Tunité positivo, de sorte que la difierence des deux valeurs respectives — - — sera nulle; 2 a 2 a douc il vietit: ƒ w Cos.-" .1 dx = I a; Cos.2«-2 .)■ (ii; ^ ^ l j-dx = —. n-. (T. 255, W. 2). 4t /iTT b'^ ƒ! af x" Cos.q.v da; = x<' Cos. (q -e -\- ^ n) -\ I o-"-' Cos. [q x -j- \ tt) dx. Cette 1 9 j .v" Cos. qx dx = — -S' la."'"-'' Cos. \ q.c -| n) . ^ o 9»+' [nl r ^ 2 J Lorsque x est zéro, tous les tormes de cette série s'évanouissent, excepté Ie dernier pour n égal a a, oil il II y a plus de faeteur .r ; sa valeur est : Cos. o. 04- n]= ] Cos.\ tt\. Lorsque x est 2^37, ce dernier terme de la sommation, correspondant a la valeur a de n . , , /. «+ 1 \ /- /« + ! \ 1 regoit la mcme valeur, puisquc Cos. lq.2bTc-\- ■n\ = Cos l :t ; donc on trouve zéro pour leur difierence et la sommation pour .T = 2b7T nc doit s'étendre que jusqncs a. a — 1; par conséquent : ƒ '26T a-l In \ la\ / « 4- 1 a:''Cos.q.idx = - ^ — - (2 i» 7i)"-" Co5. ^—n]. (T. 25a, N'. 1). 9. fonctions Exponentielles et Circulaires Directes. Qn a : — /) / q^ Sin. px dx = 5* Cos. px — ƒ Cos.px.q^ Iq dx, et : pi q^ Cos. px dx = q^ Sin. px — — jSiii.px.q^lqdx; d'oi\ : {p'+i^)'} 1 q^ Sin.pr dx ~{ — p Cos.px-^Si>i.px.lq)q'',et ƒ 'gx^»,■p.c^.^-^^^"•^ + gf"'^ƒ^^^ + ^ [pourp=2a.: (T. 298, N'. 3)], . (243) Page 248. / ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIMES. IIÏ. !VP. O. N\ 9. n p(jSin.p+qCos.p.lq—lq } p-^^(^lqy o Ou a : p- 1 1'~/^-^ Sln."xdx = — jie—f'^Sm." .r-j-p I c--P^'aSin."—^x. Cos.x (lx = — pe—l'^ Sin." x — — a e—P^ Siv." - ' X. Cos. x -\- a i e—r^ dx {[a — 1 ) Sin."-- x. Cos. x. Cos. x — Sin."-^ x. Sin. .r] = = — p e~P^ Sin." X — ae—l'^Sin."—'^ x.Cos.x-{-a 1 e~P^ dx^{a — 1) {Sin."~- x — Sin." x) — Si?i."x] ; et, tout de même : /)- l e—P^'Cos." xdx = — pc-l'^Cos."x-\-ac—i"'Cos."—'^x.Sin.x+a je-P^d.v[{a — l){Cos."--x—Cos."x)—Cos."x]. Dans ces deux formules de réductioii les termcs iiitégrcs s'annulent pour a; = co , ;i cause du facteur e~P^ qui deviant zéro, tandis que les autres facteurs restent indéterminés. Pour x = O ces termcs s'cvanouissent dans la première formule parce que S{n."x = O = Sin."—^x: encore, puisque pour x = ~ on a Cos." x = O = Cos."—^ x, les termes dans la seconde formule s'annu- lent également pour cette valeur de x. Donc : r „ aia—l)r /•* , , a(a — l)r ^ ^ , I e-P"^ Sin." X dx = -^ l e—P-^ Sin."-'^ x d.c, l e—P-"^ Cos." x d .r = - l e-P^ Cos."— x dx. J p'+a'j I P- + '^\I o o "^ ^ Dans ces deux formules il faut distiiiguer les cas de a pair ou impair, car : //-/-S//,.^v,/.r= ^'-- (e-P-dx^- ;^~~^: ---,(T.279,NM), /-': ]2a+I/l r" 12a+l/l / e-P^'Sin.-"-i-^xdx = — — ; : 1 e—P^Sin.xdx = 7— ~^ ,„„ Tz j- rrr'^ :. ■> (T. 279, N'. 2), [40], oïi dans la première inte'gralc on est rcnvoye' vers Me'th. 1, N'. 9, dans la seconde vers Méth. 1, N°. 9, Note. A Faide des formules (74) et (70) on trouve encore: I e^P-'' Cos.-" X dx =' I /_ (2^+P^)-(4^+P')"(4a-^+p=)i -P-'dx 12a/l 1 -e-ip-^, (ï. 298, N'. 19), [2^-+p^-).{i^+p^-)...{.la'+p')p [40] Méth. 22, N°. ö, nous trouverous d'autres valcurs pour ces mêracs intégralcs. Pai'e 249. 32* III. M'^'. o. N°. 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSEORMATION, /■« 12a+l/l ƒ■* ƒ e-P^C0S.2<'+l.l'(i,<.' = — — ^ r ; — I e'P^' Cos. X djl = T 2 _ 12a+l/l = e-ip^. (T. 298, N°. 20). Si l'ou preiid daiis ces niêmes équations de réductioii d'iiitégrales iiidéfiuies x = — bn, et = _j_cjr, OU = — ('6 — JJTT et == + (c + ï) t respectivement, les termes intégrés devienueut iiuls eiicore: car dans la première Sin.( — bit) = O = Sin. {-\- en) (et leurs puissances de même) et dans Ia seconde Cos.[—[b — l)n] = O = Cos. [-\- {c -\- l) n] , ainsi que leurs puissances. Par conséquent : f<=n a(a—l) ^-^ e[c+h)-i afa— 1) A'^+^> ' „ , I e—P^Sin.a xdx = —^ ' / e—i'^ Sin."-- x da; 1 e-I": Cos." .xdic = : ƒ e—P^ Cos."—\x dx ; } P- +«- / ; p-^ -\-a' J —l,Tz ' — hn •'_(6_i)T _(6_j)7r et pour a pair et impair séparément, a l'aide de la formule (G9) peur les deux premières : 12a/l ^hp-n: — e—cpT^ ƒ et: 12a/l ebpTt — g «—/'■* Sin.-" xdx = ;; (245) fCc+D^r^ _ 12a/i e(''— ')/"^ — e-(c+5)/"r \r-^p-^).{i.^^p^-)...[^a^+p^) J j e-P^ Cos.2" X dx = :,„ \ „. — ,. , , — - — ^^— , . . ■ (246) 12a+l/I {P+p^}.{.3^+p^)...{(2a + l)^ +p^} '~bn f{c+i)Tl _ . _ — 12«-rl I {l'+p'-}7[^'-hp'}...[iia-\.iy-\.p^] -[b-i)K Mais on peut cncore employer les mèmcs formules d'iutégrales indéfinies, sans que les termes inté /e-p^&'H.2^+'.rdi; = -, , (eh^^Cos.bn — e-'^P'^Cos.ciT), . . (247) Ê-/''Cos.2«+lircü-= 7 ^,- :;^ — ^ («''/"fCos.jTT— «-•^/'"(^ös.CTrlc-:/'"'. [41] . (248) [41] Puisque l'intégralc indófinie de Méth. 1, N'. 9, donue: ƒ o Sin. 11 X — » Cos. qx /* „ , P Sin. q x -\- q Cos. q x c-v^ Cos. qx dx = ' e—P'^, / e-P^ Sm. nxdx = — e-P^''; P^+Q' J P-+9'' el par conséquent : fCT i I e— V: Sin. n dr. = {e''P'^ Cos.b rr — e-'^P'^ Cos. c tt), (249) 1 +p'- . . (250) Cic+i) Page 250. ^(c+i)'' 1 e-P' Cos. xdx = e-ip'^ (e~'-p'^ Cos. en — e''P~ Cos. b n) i.+P' ^ ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTEGRALES DÉFINIES. III. i\P. 3. N\ 9. gres s'aiuiuleiit, seulement les icsultats se préseuteront eu forme de séries. Aiiisi Ton trouve: TT TT / e-r^- Sin." X dx = —^ ^ + "^ l e-V': Sinfl-^ x dx, j p- +a- p^+a^ j o o ir TT ƒ2 ^ P rt (a — 1 ) /■ 2 ^ „ , e-;'^ Co.'.« .» dx = ^ + — ^ \ e-P^ Cos."-^ x dx ; ü o et par suite pour chaque cas de a pair et impair en particulier: fl 12a/l 1 r f «ï , ö'-'.(22J_»2) + ■■■■1 P'-(^^+?^')-{(^^-^)'+^^')j1, (251) ƒ2 12a+l/l r f 1 ^ 4- »2 4. , {l'+P'}-{3'+p'l...{ra<'-l)'+P'}jl (25J, "'■""' 12a+l/l Jj' ^ ' ^ _^^pM^-+p')-^((^«-^)-+P-}]^ (.,53) f o ' 12a+l/l 1 |- 1^+»^ + ... + {i^±ÖJï^±£ifcl.'^] , [4.] (.54, [42] Car on se trouve ramene aux intcgrales : ƒ2 i_e-|p-t e-p:"^ Ja- = , (255) P (d'après Méth. 1, N^ 9) et ƒ2 1 — rie-«"f /■2 ^ , P + fi"" e-l>^Sin.xdx = ^ — ;; — , .... (256), ƒ e->"^Cos.xdx = ^-— - — 1+p' j 1+P o o d'après les intégrales indéfinies de la Note précédente. Page 251. (257) lil. M^\ o. N'. 9, 10. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES UE TRANSFORMATION, Enfiu il est: /""* r-. , pe-lP^ a{a—l] f'" o- o . ƒ e-r^c Sm." x da = ^ -^ -' f e—i^Si)L''—-x(Lc, J p^ + a- //•' -\- a^ J ■K n 2 2 ƒ" -> /^ a (« — 1 ) Z'"' -. „ , e-P^Cosaxdx = -^ ^ ' l e'l'^Cos.^-^xdx; pi -j-a^ p2 _j-a- / o -o üïi de nouveau il faut distinguer les cas de a pair et impair; alors au moven des iutcgrales (74'), (78) et (79), auxquelles on se trouve ramene en deruière analyse, on obtient: re-P^Sin,^.d. = "^ i.-|.. (l + ^+Öi!±^} + ./ {V-+P^)-[^'^-p^)...{^<^^+p')P \ 1.2 1.2.3.4 ^ 7? 4. , p^(2'+7>^}...((-2a-3)'+p-}) . "f" ■•• "^ 12a/l j ' ^"' ' I 12a+l/l e P-t-»^ e-pj^ Sjn.s^+i x dx = r— ; — r, e-é/'^ 1 1 + ^^^ + {l-^-fp^}.(3^+;,^)...((2a+l)^+p^}^ \ ^ 1.2.3 ^ {P+pM-(3^-+;>'}-{(2a-iP+p^}] 9) ƒ /> o , 1^"/' 1 f P p^f2'+ioM . {2,^+p^).(V-+p-}...(ia--i-p'-) p { ^1.2 1.3.3.4 ^ ?j- f2^+p'^)...f(2a-2l^-|-r)^)l + . . . + '- — *■ — 3:^— i — "-^^ ^^^\, (T. 279, N'. 3), / -"'^-^"'^'^^ = {r'+P^}.{3^+P^)...{(2a+l)^^^}^ l^ +772-73- + "o |li4-„5).f.3i^-p2)..[(2a— ])^-+Jf'M) „ 4. ... 4. A — XLJ_i — T±_J_il LJE/„J ( . (x. 279 ^r- 4.n 10. (Dccupons-uous uu instant d'un cas interessant des formules prucédentes, et prenons dans la première des intégrales indufinies du N°. precedent — pi' pour p, alors il vieut: (a^ —p - ) ƒ eP-'^' Sin." x dx — er^' [p i Sin." x — a Sin."- ' .r. Cos. x) -^ a(a — 1 ) / eP^' Sin."—- x dx. Intégrons entre les liniitcs O et - ; Ie terme integrc s'évanouit jiour .r = O et devient e\i>^' pi pour X = -; alors Ia supposition « = p fait évanouir Ie premier terine de IVquation précédente et donne ensuite : Pa£re 252. ET METHODES D'ÉVAIÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. ^F^ 3. N". \0, 1! . /■ 2 — pi — i I eP^'Sm.P—'^xd.v = ^-— eiP^' = «'/'"■', OU, comme — i == e~5'^', lorsqu'on ccrit (^ -|- 1 ^"^ ^i^u de p: fï 1 I e(7+i)^'&V/-' .(;c?j; = -ei?'''. (T. 287, N'. 1). [-IS]. 9 /(Sin."^ x) d.v fa f(Sin.^x)d.v 11. De qudques inléqrales \ , r-^. . / 1-^(1 — j:)^ oin.'' x) o Legendre nous donna Ia formule de réductiou : d. ^Cos.x.Sin.'^'^—^ x.X-^ [^ — /^^ <§('«.- *■)} = (2a— 3)Sm.2a— i.c (1 ■^p-)[ta—'l)Sin?^-^x p^ (2 a— 1) ^n.'^".!' , ^ \y{l—p'^Sin^x)'~ \^[\—p-Sin.^x) "*" |,/ ( 1 — p ^ ^m. ■^^•) " '• ^' " ^^Sroi's- a n , ., ■ ^ ■ '^ entre les limites O et -, alors la fonction différeutiée disparaït au premier mcmbre, pourvu quea^-; et nous aurons : TT jr TT /•I Sin?<>-ixdx P Sin.'^<^-^ xdx ,, /'2 Sin.-<'xd.; Sin.'^ x) Or, on a: j'—^^.-^ = T{p), (T. 75, N=. 9). f 1/(1 — /)^5ï».-.t') 'o par défiuitiou ; et ensuite : jT TT ir ƒ2 Sin^xdx p (^.f 2C- \ P '^ u o o jr — / "rfxl/(l— p^ »Sm.^.2;) = F'(/))— E'(p), aussi par définition; 'o [43] La suparation des partics réellcs et des parties imagiuaires doune : TT Jt ƒ '«Szn.ï-i a;. Cos. {(5 + 1 ) ^} rfr = - Cos. -qn, j 'Sin.l—'^ x. Sin. {(5 + 1 ) «} (/.r = - Sin. -qn, o o (T; 54, N°. 8 et 1), comme on trouve cncore Mcth. 14, N". 8. [44] Legendre, Exercices de Calcul lutégral, Tomé I, Partie I, N°. 8. Page 253. III. M'''. o. N'. H. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE ÏRANSFORMATION, Siji.'^xdj; 1 1/(1 — p^ Sin.- x) p"^ donc: i\.,r'':TL... - Z; {F'(p)-E'fp)), (T. 75. A^\ 11); par conséquent comme difierence des deux deruières intégrales : TT / 1/(1 — p^ Sin.^ se) p^ P P Sin."^ f) />^ p' O A présent nous pouvons faire usage de la formule de réduction pour a = 2. Elle doune; et eucore: / , ,. , , = - E' (p) - - -,^ F (/>). ^T. 75, N\ 14) / 1/(1— p f2 Sin.'' xdx „ /"a Sm.'^ xdx f 2 dx , ƒ i/(l_p2^w.2a) ^ ^' ' j i^ (l — pi Sin.\v) J l^ {l—p' Sin.'' x) ■- o o F'(p)-2~~-E'(p). (T. 75, N^ 15) ; clonc: n SinJ xdx _ 2+p'^ 1+p' j i/(l_pïSin.2^) 3p* ^^'^ " Sp* Tar suite aussi ; 77 TT ƒ i/(l_/;^om.*«) j 1/(1 — p'Sm.^x) 3p* dp-* "o o ^ TC ^~i Cos." xdx f2 du; r. , ^ = I (Cos.' X — Sui.^ .r. Cos.'' x) = 1/ (1 — p- 5m.2 .1') y 1/ (1 — p^ Si«. 2^') ^ ^ (1 o 2p^ — l (2_L3„2)(i_^2) = ^ 2E'(p)+ - E' /O 261) Encore : ra rs d^ 1 — »^ 2p^ — 1 / Sin.\rc7.rl/(l-p^5m/^i:)= / -— -— -(&«.^x-p^&•«/^.)=~-f F ^fpJ+^Vr-EVp), / / 1/(1— p^oïH.^i') .3p' op' ■() o (T. 72, N\ 4), d'oü: [^G?!.^ .xd.-^ ]^(l—p''Sin.''x) = f'n—Sin.\i)dxl^il — p''Sin.\r) =- -^— E'(p)— -^'J E'(p); (T. 72, N\ 5) et: Pacre 254. ET METHODES D'ÉVALUATIOIN BES INTÉGRALES DÉFINIES. HUP. 5^4. NMl^ 12. l/i. TT j'Cos.2xd.vi.'{l—p^Sin.^a:) = ^^E» — -""-^a E' (p), (262) o TT IC "o o (T. 72, N". 10). Partout ici on a p= < 1. TT jr 12. Exerdces. \'dx\/ [l—p^ Cos.'' x)^W{p), (263), / ' &'n.^ icd:»!,/ (1 — p^ (^os.* ^) = -o •'o TT = ^±^E'(?0-^f^F(p), (264), [Vo..^.rJ.ri.'(l-p^Co..^.) =^f^rV)-^^f^E'(p), (26.5) op op I óp op 'o [2 2 »^ 1 »^ /"2 dx j ^-l^(l-p^-^c..^.)==— ^-2E'(p)— ^F(p),(266),^ _—__-_ =iv(p), (267) "o "n TT TT /"i? Sin.-xdx 1 1 — p^ /"2 Cos.^xdx 1 I ,.il-p^Cos,:rr?^^'^-l^^^'^^^'''^1 Vil-p^Cos,xr?^^'^'^-^'^'^'^^ ^'''^ 'o 'o fi Sin.*^dx 2p^-l (2-3p^)(l-p') /•l^m.^^-.gog.^^c^g^ E'(p)-— f-2r'(p, 271,/ -^-— = -X^E'(p)--^2E'(p). (272) óp' J 1/(1 — p^Cos.-x) 3p^ 3p* 3p Partout il est p^ <^ I ^ 4. MliTIIODE 4. RÉSOLUTION d'uNE ÉQüATION OBTENUE. 1. Quelquefois on réussit par diflerentes réductions S, obtenir une équation, oü une integrale définie a, calculer figure comme inconnue, et d'oö. elle peut être tirée. Commengons par Ie cas Ie plus simple d'une seule inconuue, et nous verrons que les mojens de trouver Téquatiou requise sont très-diffe'r£nts. 2. Soit I == / xSin."xdx et posoas x = n — y, dx = — dy avec les limites tx et O poury, donc: o Page 255 33 WIS- EN NATUURK. VEEH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. III. M'^''. 4. N\ 2, 3, THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ƒ0 /-T rv rv r„ {n — x)Sin.''x{ — du:] =n j Sin." jcdx — ixSin''xdji; = n jSinaxd^ — I, cVoii 1= ^ir j Sin.<'xdx; OU suivaut Métli. 3, W. 5 : 2«i ƒ"■ 1 la/2 f TT xSin.^oxdj; = -tt* (273) , ƒ x Sinr-'^+'^ x dx = n — (274) 2 2°/2 ^ / 3«/2 ^ ' Pour l^z= ï xCos." xdx, cette transformation donne I, =( — l)'»7r | Cos." xdx — ( — -l)"!!. •o { Lorsqne a présent a est pair, on trouvc par Métli. 3, N°. 5 : ƒ TT 1 /-TT 1 la/2 xCos.^^xdx = - / Cos.'^" X dx = -tt^ — -; (275) 2 ƒ 2 2«/2' *■ '' o o Ccis.2"+' .ïc7a'-[-Ij, de sorte que 1'on ne saurait u en tirer I, ; seulement elle nous donne: I Cos.'"+^ x dx = O, (ï, 78, N'. 7), comme Meth. 3, N'. 5. *o 7T TT 3, Soit 1= / ISin.xdx.Vosows x=~n — // etuous trouvoiis: 1= ƒ ICos.xdx, dont la somme i 3 ./ o I» TT TT est: 21= ƒ l{Shi.xCos.x)dx = / [ISin.'Zx — 12) dx. Par la substitution Zx=i/ on trouve en outre : o 'o ^z ,. 1 /"" . 1 f /"^ r . ] . lbin.2 x dx == — 1 ISin.xdx =— J / " /&'«. A'c/.r + / ^Sin.xrfj;!, ou nous avons divisé la 0 0 o 5 distance des limites dans deux parties de O ;\ - et de — si tt: substituons dans la dernière 2 2 TT integrale n — j/ au lieu de .v, d'oil dx = — di/, et — et O les limites de y, cette integrale devient egale ïi la précédeute: par conséquent ƒ ' ISin.Zxdx =—.2 I ^ ISin. x dx = 1. Donc uotre équation o o primitive dcviendra: 2I = I—l2J^dx,oal=^~-l2 = j-lSin.xdx==hlCos.xdx.(T.3^0,'N\leti:.^31,'N\l).[4!Ö]. o [45J Comme on dcduit autremeut Méth. 28, N^ 7. Paffe 256. ET METHODES D'ÉVALüATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. IVF'. 4, N°. O. Oiientireeiicore:f lSin.,tdx=2l=—nlZ,{T.S5Z;N'.l),ei-.hlTg.xdx=hlS{n.x—[%os.xdx==Q. tt 0 0 0 (T. 333, N'. ] ), Pour avoir I l Cos. x dx, il faut observer que Cos. x devient négatif de x=~n a « == tt, •(. ^ donc: 1 \ ICos.^ xdx = 1 ^|i(7os.- .béZ^-}- / \lCos^ xdx = 2 M^ iCos.^r(7^=— 7rZ2,(T. 353,N'.n), ü o n- o [lar les mêmes réductions que préce'dcmment pour l Sin. x. On a enfin : I ^ ^ Tg.'^ a; = 0. (T. 353, N\ 5). •o Pour 1 1 = ƒ -1' ^ 'Sm. :» c?x on suppose x^n — y, douc : I , = / (ti — .r-) / Sin. x dx = tï i l Si?ixdx — I , , 'o "o o d'ou I,= 1 xlSin.xdx=r=-{—nl2) = n- 12. (T. 413, N\ 1). [46]. J 2 2 o Mais de cette maniere on ne pourra déterminer l'intégrale analogue 1 x^lSin.xdx pour •o a>l, car on trouve par la substitutiou x = n — y: 1 x^lSin.xdx = j [n — x)^ ISin. x dx. o o /"ir fn rit Poura=2ona:l x"^ l Sin. x dx ^= 1 {n^ — 9.nx-\-x'^)lSln.xdx, d'oü O = ƒ {n^ — 2 n x) l Sin. x dx, 'o o o équatiou qui doune de nouveau Tintégrale précédente. Pour a = 3 et a = 4 au contraire : ^2T /-t f27T l-T rT xlSin.^xdx= jxlSin.''xdx-\- j xlShOxdx= I xlSin.'^xdx^ j {2n—x)lSin.'^ xdx u -ü i •'o -o (en y posant ,r = 3,r — ^z)- Cette dernière somme devient: 2n \ ISin.'^.vdx = — 4 7r'^Z2. Mais d'uii •o autre cute'poura;=2?/on a-. j x ISin"^ xdx = 4! j xl Sin.^2xdx=4! j xdx [U-^-lSin."^ x-{-lCos.^ x} = o "o "o _ 1 r.T ^ = 4 — TT- t 4 -(- 4 ( — 7i:2^2)-|-4 ƒ xlCos.'^ X dr. La combinaison de ces deux résultats nous donne : o xlCos.'^xdx-^-l xlSin.^ xdx = — 71 12, et par suite:! co l Tang.'' xdx = 0. (T. 413, N'. 4,5.). 0 0 o Page 257. 33* III. M'^^ 4. N°. o, 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, jxHSin.xdx=l(n^—3n^x-i-3nx^—x')lSin.xdx,i'ou-.Q=l{7i^—37t''x-\--iTix'' — 2x^)lSin..vdx, 0 0 o ƒ xUSin.xdx = j {it^ — -in^ 3^ -^ 6 ti"- x- — én x^ + x^)l Sin.xdx, 0 o d'oü; 0=1 (jt^ — 4 7i' .ï -j- Gtt^ if^ — 4:TTX^)lSiTi.xdx. •o Par la substitutiou des deux iutégrales trouvées poar a = O et a = 1, ces deux équations con- duisent au même résultat, savoir : / {-Zx^ —Z7Ti'^]lSin.xdx = 71^4 (276) o et il ue sera pas possible de séparer les deux parties de cette integrale. Pour la valeur multiple générale de ISiii.x ou trouve par C. P. (5) et (6): r-l{{Sin.x))dx = — ~nl-l-\-rn-'i,{'H{[—Sin.x))dx = — - n / 3 -f- '—^n'' i,(T. 330, N^ 3 et 4), 1 l{{Sm.x))dx = — 7Tl2 + 2rn''i, ƒ i ((— Szn. ar)) dx = — 7ili>-\- (Zr-\-l}7t'^ i, (T. 353, N". 3 et 4), o o /■t 1 ft 1 3r+l j xl{{Si7i.x))dx = —-nHZ^i-rn^- {, I xl({— S{n.x))dx =^ —-nH-Z + --^^- n^ i.{l\^l3,W.6 d7^ 4. Soit I == ƒ l{l — 2pCos.x-\-p-)dx; i)o\iï x = Tc—y ona: 1 = I l{l-\-2p Cos.x -\- p'^)dx; o "o ƒ TT n l{V-lr2p--\-2)''—Ap''Cos^x)dx=ï l{l-\-Zp- ■^p''—%p''{l-\-Cos.Zx)]dx= o "o [T 1 /"Sf 1 (■ /-TT = ll{l+p^—'Zp''-Cos.2x)dx=^-\l[\^p'>— ; d'abord on y a substitué 2x=i/ et ensuite on y a divisé TT la distance des limites en deux parties O a tt et tt a Stt : substituons encore dans la dernière 2 71 — !/ = a-, alors elle devient egale a la précédente et Ton a : 21= I l{l — 2p^ Cos.x -\- p*)dx. i Représentons T, comme étant nécessairement une fonction quelcouque de p, par cp (p) ; cette der- Page 258. ET METHODES ÜÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 4. N'. 4, 5. uière équation doniie la relatiou ( (p') = 2 if (p^) ; Ie produit de n équations de ce geure doiine 9 (p-") = '2," (f lp), d'ou q< (p) = '^/l' iP' ) = f- lei Ton peut faire diverger n vers 1'iufini, et il s'agit de savoir ce que devieudra alors cf (p-") ou Fintégrale ƒ /(l — 2 p-" Cos. x -\- p-"'^ )d.v. Lorsque p est plus petit que runité, 2^" et p- 0 convergent tous deux vers zéro et qc (p-") vers ƒ l{l)d.c = 0; par suite (jp (p) est nul. Mais quaud 'o p est plus grand que l'unité, on peut écrire 1,^ (p-") = / {l{p-"'^^)-\-Hp~''^'' '— 2p--"C'os..r-f l)t/.ï} ; •o 1 /w or, a présent c'est p— 2" gt p— 2" qui convergent vers zéro, donc aussi if (p) ^ Z n lp -{- ~ 1 l{l)dj;=9.nlp. 'o Par suite les deux expressions de I donuent : H(l ±-2pCos.x-\-p'^) d^v = 0,p2l, •o (T. 353, N'. 17 a 20), [47]. Quaud p est égal 11 l'unité, on a p^" = p, pS"-!-» = ^2^ donc q{p-"} == (/ (p), ou d'après l'équation obtenue (f (p) = 5^9 (p)> c'est-ii-dire nécessairement (jp (p) = 0. Maisparce que pourp = ], on a; l{\ -[■2pCos.x-\-p-) =/(2 + 2Cos «) == HCos.^ \x = H-{-lCos.- \x, et de mème: l{\. — 2 p Cos. *• -j- p-) = l\!-\-lSin.- \x, il vient: ƒ (i 4 -f /Cos.'- \.r)dx = Q=^i {n + lSin.-',x}dx,d'oiil ICos.-lxdx := — 2tiI-Z= j ÏSin.- ^xdx, o ü o o intégrales identiques avec celles, que Ton a trouvées au N". 3. dx i'i dx fy d^ 5. Soit : 1=1 Arcsin. ((2 x — 7)) -; , = I Arcsin. {{q — 2 .r)) " f ,i,.-_(g _.»)■' j (q—^) o o l)ar la substitution x = q— y. Or, quel que soit Ie signe de 2x — q (et il est négatif de x = O u X = {q ti positif de ic = {q a x = 9) on a toujours (C. P. form. (9)), Arcsin. {{q — 2 x)) = = 2 r 71 ^ Arcsin. {2x—q) = (2 ?■ + 1) tt + Arcsin. {2x — q). On obtient par conséquent : C'i dx /* dx ^ I = 2rn \ + 1 et I = (2r+l tt / ; 7— I- O o Dans la première de ces équations I s'élimine et il reste: [47] On déduit ces intégrales cncore autrcmeut Méth, 21, N". 4. Page 259. 111. M^\ 4. N'. 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, (1 d.7! ' 17) '0 substituons ce résultat dans la seconde, il vient: f9 dx 2 r + 1 [0), alors ■ = ƒ e-O+Ü'/ ijP-'^ d?/. Multiplious de part et d'autre par 9'— ' J(/ o et intégrons par rapport tl 7 de 9 = O ;i 5 = co (oü donc 1 + f/ > O, conformément a la sup- r r(p) r /•* position), il vient: ƒ —~—-qr—idq= j q'—^dq j e-C^+l^!/ yP-'^ d,j, ou, lorsquon chauge o "o o Tordre des intégratious dans Pintégrale doublé : ^^Pn n~:^,^ I ^-'y^'-'^y \ €-<}!/ qr-^ dq = j e-1 yP-^ dy \ e—" ~ = 0 0 0 o o == I e-lyV-'—'^dy f e-^^s'—^dc, 'o b OU Ton a substitue' z au lieu de q y. Dans l'intégrale doublé a présent les variables sont séparées, c'est-a-dire que dans la première iutegration il n'entre pas de y et que par conséquent son résultat sera indépendant de y ; de plus on voit qu'elle est egale a T (r) ; encore Fintégrale par rapport a y est de même r (p — r) ; donc : ^^P'^ f (TT^ = r(p-'')r(r), [50] (a) [50] On peut en déduirc quelques relations d'un grand iutérèt, dont nous avons besoin daus les réductions, en ce qu'elles appartienncnt a la theorie des Fonctions Gamma, qui jouent un röle eminent auprès des intégrales définies. Car on trouve Méth. I, N". 29 d'une tout autre maniere: /"'" iB'— ' dx TC f l -\-x Sin.rn^ 'o mais cette même integrale peut aussi se tircr de l'équation (a) au moyen de la supposition /) = 1, et alors, puisque r (1) = 1, comme on Ie sait, et comme encore on Ie déduit dans Ie texte: Pa?e 261. III. M"*'. 4. N\ 6. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOX, une des formules fondamentales dans la theorie des fonctioiis r, et qui, écrite aiiisi: a;»— 1 dx T{p — r}T (r) ƒ , (T. 13, N'. 12), (1+^)P T(p) doniie 1'expression de l'intégrale Eulérienne de la première espèce dans les iutégrales Eulériennes de la seconde espèce [51], Eeveuons a Féquation (a), oii la fonction T est encore considérée comme f x^—^ dx , , La comparaison de ces deux valeurs d'une ruême integrale défiuie ibuniit: T{r)T{l—T)n = --— -, (B) om. r n une des intégrales menlionées. Pour r = ^ on tronve : ra)r(i) = 7r, d'oü r(') = ix'^, (C) identique avec l'intégrale T. 140, N°. 1, dans Ie texte. Encore a-t-on Métli. '6, N"". 7, Note [36] pag. 246; r(a -(- q) = q"!^ F {q) (A), équation qui donne ici pour q = \, a l'aide de (C): r(a+J) = -i''''r(i)=^i/.r (D) Les formules (B), (C), (D) cxpriment ces proprictés fondamentales de la fonction Gamma que nous avons annoncées. 1 „ , \—y , —dii [511 On la connait encore sous une autre forme. Substituons l -f a; = -, d ou x = -,(lx == — - , *■ ■' . y y >i^ alors les limites de y devienncnt 1 et O, et l'on a : * 1 o OU pour p — r = q: I (l — xV-^ a-?-' dx = ~^' ^ ' , (T. 1, N\ 8), b l'intégrale Eulérienne de la première espèce; elle est ordinairement exprimée par une des notations B (/j, 5) OU I I : ses propriétés sont intimement liées a celles des fonetions r. Tont comme précédemment on a encore : ƒ1 T(a + q)r (r) g°H r (q) F (r) ^ r(« + ? + '0 il + r)"'^ T{q + r) d'après la formule A, Méth. 3, N'. 7 Note; et de la même maniere: ^ ■" T{a + b + q-\-r) {q + r)''+'''^ r{q-{-r) f Pase 262. ET METHODES D'ÉVALUATION DES lINTÉGRALES DÉFINIES. lil. 1>F". 4. N'. G, 7. iiicoimue, et posons p — l, ?• = ^, alors: r(l) / -^^-^-^ = (r(ï))^ Or, r(]) = l e-^rfa;=l, *o o o o o oil Ton a pris a; = //^ et einplojó la valeur de l'intégralc de Méth. 1, N'. 8. Doiic (r(5)]- =tx, d'oü va) = / e-^-^ = i/TT. (T. 140, N^ 1;. u /"° •> • . 7. Peur trouver TiDtcgrale 1=1 e—P^'cLv, qui depend de la derniere, on peut la mul- 0 tipliei' par e—P Jp et intégrer ensuite par rapport a ;', entre les limites O et cc de p. Or, dans cette integrale doublé il est permis en premier lieu de changer l'ordre des iiitégraticns, donc : 'I e-Pdpl e-P^-rfj; = / dx I e-?'('+^")c//-?= I djc ; = -, d'après Me'th. 1. N'. 9 et 8. "o o o 'o o dy .Mais d'un autre coté, on peut prendre dans la même integrale doubfe ».i'^ = y, d'ou dx = ; dx 1 f^e—Pdp /•'"e— yJy /■ /■ ^^-i' 1 fe-Pdp re-ydy , .,, , , donc: i e—Pdp I e—'J — ■ = - 1 ƒ '- : maïs comme les variables sont separees, / ] ix^py 2 j \yp ] \yy 0 0 Ü o on peut considérer l'iutégrale doublé comme un produit, et dans ce cas-ci comme une puissance -j / e-y 1. Suppbsez-y )/=p.ï^, ellechange eu - 12 i/';? / «— /'^'Ji-I :=3p|| e— P^'V^I . o 0 0 Les deux résultats doivent donc être égaux, c'est-:i-dire : - = 2p| / e-P^^dï] , d'oCi / e-P=^''dx = - i/ -, (T. 36, W. S), [52], o o OU eiicore, d apres ce que l'on vient de trouver, I e* = i/ tt, comme au JNr. precedent. ] ^ ^ o On peut aussi d'uue autre maniere acquérir une équatiou pour iiotre integrale ; car puisqu'on a également : I = / e~/'*" dy, oü a.: 1^ = j e-P^' dx I e-P'J' dy == i d.c j c-Pi'^'+r^dy. Supposons o 0 0 0 0 y==xz, alors dy = xdz, puisque x est supposé constant dans rintégratioa par rapport u ^ ; donc : [52] Sur une autre déduction voyez Me'lh. 38, N'. 2, Mcth. 44, N'. 2. Page 263. " 34 WIS- EN NATÜURK. VEUH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. IlI. M""". 4. N% 7 — 10. THEORIE, propriétes, formules de tr.\nsformatio:v, ƒ J J j ] 2p\+z' -lp] 1 0 0 0 0 11 1 /•* dz^_ 71 ƒ00 1 TT e-."^- f/j- = - 1/ -, comme au- 2 p u paravaiit, et par la substitutioii a' ■'=»/, eiicore: ƒ e-/« = l/-. (T. 140, N. 2). / 1/ .« p 11 . „ . ^ /""a ITanq. xdx Cot.ii S. Soit I = ƒ , „. , ^. Substituez Tang.x=^ , d'ou (Méth. 7, N'. 23) dx dl) 71 ~r, , c.. , ; = ::; f7:: ~ — r avec - et O comme limites de ?/; donc: 1-^(1 — p^ Sin.^ x) 1/(1 — /' Sin/ y) i -, [l—lTg.rj — lin—p-') r^ dv '--j T^ïï^'i^*"- ^i=-i'(i-P-)/V„_;,.,,,~-iF-M.>(i-p'). o o (T. 347, iSr°. 13) d'après la définitiou [53]. „ , /■' 1 ^^.c , , T /■' 1 ^dx n 1 dx /i 1 (^.j: 9. i = ƒ :; :-. Fosous x = y-, alors: I = ƒ == ƒ — ƒ . ƒ 1— .t- ^^ "^ / 1— .ï^ ;.7; ƒ l—x lx ƒ 1— .r^- ?.c •o •'o -o { Or, comme cette dernicic integrale n'est pas nulle, il s'eiisuit que uécessairement : /•' 1 dx jT^.T.----- ^'''^ ri ,p dj, donc aussi : I ^ = — x , (2S7) y 1 — x'^ lx o /■• 1 d.v n 1 — a; c/i- et: ƒ — - — — == ƒ = — ex (2S8) J l-\-xlx / 1 — a-' Lc ^ ' [Hxdx péxlxdx CHxdx plxdx lUxdx •1 — ƒ, — ƒ, ■, ~'*/ '-, — 4 ƒ :; , quaiid on i)Osc.r=v^. Donc: 31=4 ƒ - = •o -o i, -o •& suivantMéth. 32, N°. 5, d^oCi: I = f '-^^ —-Ti^tf ^^^^ = — ^ 7r^ (T. 152, N".7 et 14). / l—x 6 / l—x^ 24 ^ ' 'o "o /•• /./ dx rn ~ X 1 / 1 \ 1 Eiicore eu tire-t-on : / — — = / lxdx = «2 — — — ti^ = — — 7r^{T.152,N°.3). J l+-« ; 1—^' 8 \ 24 / 12 ^ ■^ —n' 2 [53] On la déduit aussi Mc'th. 10, N°. 9. Pa^e 264. ET METHODES D'ÉVALUATION DES LMÉGRALES DÈFINIES. III. i\^'^ 4. N\ 1 O, 1 1 . 1 0. Mais quelquefüis on taclie d'acquérir deux équations, oii deux iutégrales défiuies se trouvciit comme incoiuiues; jiar la résoJution de ces équatioiis on peut alois trouver ces iutégrales ellcs-mêmes. Soit I = ƒ /(l — ^)— et K = i l{l +.«)—. "o "ü /■' , in. qA — / Sin. q x. ( — p e—P^ d.r) = O -\-pK, — qK = e—P^ Cos. q .»} — (I / o "ü 1 Cos.qx.[ — pe—P^d.c) = — 1 4- p I, puisque dans la première équation Ie terme intégré s'an- [54] Comme on déduit d'une aiitre maniere Mctli. 22, N". 3. Pa^e 265. W III. >P. 4. N°. l\, 12. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, uuie, tant pour ,v = O que ponr .r = :>:, et que dans la seconde il ne s'évanouit que pour A' == O), tandis qu'il devient Tunité pour x = 0. La résolutiou de ces equations donne: 1= ƒ e-7>-rCos j.i-(Zi: = — ^ — ,K=/ e-P^Sin.nxdx = — -. (T. 378, W. S et 9'. [551. ./ P'+'l'' f p--\-1^ o "o 12. SoitI(.,)^r ,/"^''l'!! , ,• Lorsque Y {p, x) + Y{p,y) = T {p) on a [56] ; ƒ 1-^(1 — p oin.-.z'j o Multipliez ces équations membrea mcmbre et intégrez entre les limites O et x de x, (donc pour ?/ entre les limites- et y) ontvonwe:- d.I{y) + l[-\ = l(x) + r(p,ln)Y(p,x)-^'(p} ^.^l ,2^-,, 2 .+ o 1 r^ Z{1— w^)[F(/s..;)— -(E'(p)rtp)~-'?(i-p^-)]i>,x)--| -;(i_p2^.,,^^j^^-(«) o PouriC=— j7rona:y=7r,etdeplus:I(a:)=I(— ^7r)=~I(^7r),F(p,a')=F(p, — l7i)==—'F{p,ln]=—I''{p', — - Z C ^l{l—p^Sin.^x)dx rH{l—p''Sin.^x)dx , ,,,,,• / rrT^"^^ = -/ 7777 r^r^=-/(1-P'^-l'^(/'h(suivantl\tóh.l7,NM6); '<1 ü donc la formule (a) devient : OU I(^)-2I(» = E(p){F'(p)}^ {b) ^dy f dx y (p , y) = 4y(p,;i) 4" '(1 — p'^ Sin." x) : multipliez membre a, membre et iutcgrez de .1; ^ O a X = '^n (et par conséquent de y = O a y = tt); alors : I(7r) = 8I(^ n) -\- [55] Dcja déduites Méth. 1, N'. 9, Note. [56] EoBERTS, Journal de Liouville, T. 12, p. 449, N\ 2. [57] Verhulst, Traite élémentaire des fonctioiis elliptiqiics. Bruxelles, Haycz, 1841, (XII et -316 p. 8°.) § 65, p. 114. [58] Veruülst, Traite élcm. des fonct. ellipt., § 66, p. 116, forin. (21). Vase 266. ET METHODES BÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFLMES. III. M^^ 4. N'. '12, 13. rifl—p'Siu.''.r)d.e 4(1— p') 'T , + ^ 1 ^77 .e- =SI(.S) + F(P)^- ^-rF'{lX(l-/)')},(suivantMétL10,N'.9).(c) La combiiiaisou des équations (b) et (c) conduit aux valcurs suivantes de I — et I (tt) : /,..(i-,'«».-^)°iiF'^''^''"J'-'"'^" P +i'""''^-'"»]- •o — da,: Eu premier lieu on a : o 0 0 o ,. , . 1 .0 Pour a; = O, 1 integration donne i- = 0; pour ^ = 1, au contraire l-, par couséquent, d'après les 1 — x1 — oa'7— ' 1 — x'l regies pour ce cas : == = q a-ï— ', donc pour o; = 1 : t = l {q .s?— 'J = Iq, et : 1 — X — 1 ] — x I(l)= / — -L ]d.v = lq. (T. 6, N^ ]6). [59]. Ensuite on a: 1(1) — !(») = / \1 — X 1 — .f?/ o ƒ! / 1 — ^P— 1 a'7— 1 — .r7/'-l \ . — (] — ; ] dx. Or, puisque les deux termes dans Tintégrale I (p) devien- nent iufinis tous deux pour x =^ 1, il n^est pas permis de faire usage d'une substitutiou quelconque dans uu de ces termes a part ; en effet, quand on pose ici dans Ie second terme a'7 = y, il devient qxPI—'^ yP-'^ ^ fKvP-'^d.v nyP-'^du; dx = dl/, de sorte qu'on aurait : If»)= I — f = O, resultat ^ -xl l-y ^'^ / l-.(- j 1-i/ o o fautif, comme on va Ie voir. Car lorsqu'il est possible de démontrer que les deux termes de Texpres- siou pour 1(1) — I{p) sont finis, alors il est permis de les séparer, et de faire une substitution quelconque dans une des iutégrales partielles. Or ici, lorsque p est un entier, plus grand que l'unité, /•ll_a'P-l V . . Tintégrale I dx restc Unie, puisque pour la limite 1 de a; la fonctiou a integrer / 1 — X •o 1 — -ï''"' . . '^ 1 , 1 • devient/) — 1. Jlais lorsque/) seraitfractionnaire, on pourrait supposer/j =-; alors la substitu- 1 — ^ ' -^-'--'- -.--r rr""r j. [59] Sur une autre dóduction de cette mcme integrale voyez Mcth. 10, N". 15. Pasce 267. III. M^°. 4. N'. io, 14. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORHATION, tioii de .r = 2/ t^ou'ie: / d.c == j T" ^2/ ''J/j encore finie: donc en eff'et la o o première integrale particlle est fiuie, et par conséquent la seconde de mêinc; substituons-y xl = y, et nous trouvons ; 1(1) — I(b) = / dx—q \ dx=\ dx— I "^ dij = O, o o 0 0» I —- ] dx = Iq, (T. 0,N'. 12), d'oü il s'ensuit o que Ie résultat precedent zéro était réellement fautif. 14. Dans quelques-uiis des exeinples précédents, on se trouve ramene a des formules de réduction, qui nous aident pour quelque cas spécial. Il en sera de même dans les considérations JfP dx [ l{l — x) — , et sup- o posons 1 — X = y, dx == — dj avec 1 et 1 — p comme limites pour y; donc: ^i-Pli/dii f^-P Ixdx n Ixdx n-P Ixdx 1 I o o 'o nous avous trouve au N'. 9 ; Tintégration par partics donue ensuite : ƒ '^-P Ixdx f^—P '-/> f^—P dx ^=1 l.id.l{l—x)=lx.l{ï—x]} —I l{]—x)~. Or, pnur la 1 l — X I ü / ■'■ o 'o "o supérieure Ie tormc intégré devient ^(l — p)-lp- V°^'^ .r = O il s'évauouit, comme nous avons 1 n-P dx , V „ vu au N^ 1 0 ; donc : I (p) =^ — - ti ^ -\- lp. 1(1 — p) — I / ( 1 — .r) — , ou, d apres 1 expression de T : 6 I X *ü j{p)-\-i{i-p)=^ip.i{i~r)^ln' («) Cette relation peut nous scrvir a présent ;\ étudier Tintégrale I(p) et ses propriétés. Soit en ])remier lieu » = i, on a : 2 I a) = l[iy- --^\ donc : h{l-x)—^ - (/2)= — — ^'- (T- 18S, N'. 5). [60]. 2 '6 j X 2 12 umie 1 )/ 1 [60] Lorsqu'on suppose x = -, dx = — -dj avec les liraites 1 et O pour j, on trouve: n l+^J^_ll ,_±^, (289) ƒ 2 1 — .T 2^ ^ 12 "o Pase 268. ET jUÈTUODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M""". 4. N°. \A, 15. ƒ' dx fl' dx l[\ — x) — 4" I ' (1 — ^) — ■ ü '^ -1 lp', , dx 1 li'dx fP dx •( -1 ' 1 ƒ/' dx /■/', f/A' /■/' / 1\ fZor 1 fP CJ> dij 1 lix — ]) — =/ lx — -j-/tl — = ~l d.llxY — / t (1 — w) — , quaud on pose x=—. X J X J^ \ xj X Zj^ J^ y y 1 1 fp dx [j, dx Donc: I(p) = n- -\-l{ — 1)-0^+- (^/')" — / ^(1 — •'") — ; i"ais encore — 1 Z(l — x) — = ö 2, \ X lx 1 ■'i r <^-" [P dx 1 /i\ ■,, . nvT, ,1/. = 1^(1 — x) — — / l{\ — x) — = n"^ — I-,ü apres N . 9 et la denuitioii de I; donc; ; ^ ] X Q \pI o o l{p)^-lll]-~n'--^l{-l).lp-\-~{lpy , p>l; (b) éfiuation qui servira a réduire iiotre integrale, dans Ie cas de p ■]> 1, a une autie I — , oü dès-lors Fargu- \PJ 1 ^ /1\ ment - est plus petit que Tuuité. Comme pourp = 2, on a trouve I - , on a par cette formule [b) : "11 Ou trouvera d'une maniere aualogue, lorsque p est <^ — 1: i(p) = ^-^-+^(^(-/>)} — 1(^) ,F<-i; («) et dès-lors au moyen de (a) : I(l_p)=Wij_i„2_l(^(_p)}^+i(l_p).^/. , p<-l; {d) formule qui nous servira dans les mêmes cas que la formule (6). [61]. 15. Soit I(x) = ƒ lr{x).Cos.pnxdx ,l<.{x) = I IT {x).Sin.pn xdx, oh fargmnent a; dei o o a rapport a l'argument de la fouction T. Posons x = l — y, dx =^ — dy avec les limites 1 et O de y, et en outre Cos. pnx = Cos. p n. Cos. pny-\- Sin. p n. Sin. pny, Sin. pnx = Sin. p n. Cos. pi Tiy — Cos.pn. Sin.pny. Alors par l'emploi des notations analogues 1(1 — x) et K (1 — (t): [61] On peut poursuivre I'étudc de cette integrale chez Schaeffer, Journal von Crelle, Bd. 30, S. 277—296. Pase 269. III. i\P. 4. N\ 15. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Vx] = Cos.pTt. I lT{l-x].Cos.pna:dx+Sin.p7t. I lV{\ —3;).Sin.pTTxdx=Cos.pn.\[l—a!)+Sin.pn.K[l — x),{a) ■'o •!) K{x)=Si7i.pn. j lT{l-x).Cos.pn.vJx—Cos.pTï. j lT{l—x).Sin pnxdx=Sin.pn.l{l—x)—Cos.pTT.K{l—x).{b) o o Pour obteuir deux autres équations entre les quatres variables I(.r), 1(1 — .r), K(.t) etK(l — x), rappeloiis-nous que, d'après la relatiou B dans la Note du N\6 : iT (x)-\'lT{l — x) = l{2n)~l{2Sin.n), OU, d'après C. P. forin. (109), en y posant p^~l, q=2n .r, l T{x)-\-lT (] —x) = 1271+ :E ^£!l?!^, o " Multiplions cette équation par Cos.pn j dx et par Sin.pnxdx, et intégrons entre les limites O et 1 de A-: ƒ l r{x}. Cos. p TT X dx+ 1 iT {l — x].Cos.p7ixdx = I{x) -{-l {1 — a;)=Z27r. ƒ Cos.pnxdx-{- 0 o {, . /■! , ^Cos.Znnx Sin.pn , £. 1 /"'r^ - + ƒ Cos.pn X dx :E = '—nn-\-^~\ \Cos.{(:ln4-p)nx^4-Cos.{(^n—p)nx]^dx = J i 71 pil 1 2« ƒ ■- ' ^ -• o •'o Sin. pil ^ nSin.pn o. 1 1 = i—lln— i— 2 r, /)7r TT 1 n 4?4^ — p'^ i lT{x). Sin.pnxdx -\- I IT {l — x). S{7i.p7t.Tdx=K{x) + K{\ —x) =l2n.l Sin.pnxdx + " * O "o . Pc- , ^Cos.Znnx l — Cos.pn , <^ l f^r^ r . ^ , + jSm.p7irdx2 = ^— /27r4-^— / iSiH.{(2n+p)7Tx] —Si,i.{(-Z7i—p)7Tx]]dx = J \ n pn i 2n I *- ^ ' i. ' ' j j o •'o _^_^Cos.pn ^^ ^ ^ 1 ï\-Cos.{{27iJ^p)n]_\-Cos.[{27i-p)nU pn ~ 1 2nl (2n+p)7r (2n— p)7r J ^ ' 1 — Cos.p TT , 1 — Cos. pn ^1 1 = ^-- Z 2 :r — i—-p :E , pn n 1 H 4n^ — p' OU, en dénofant l2n—pÈ par P, foiiction de p, il est: 1 n 4n^ — p^ Sin. p n lix) + Iil-x) = !—V, (e) pn 1 — Cos. V n K(.r) + K(l-.r) = ^P (ƒ) p n Quoique uous ayons obtenu quatre équations, elles ne nous sont d aucuu service pour Ie cas géuéral, puisqu'elles forment un systèrae identique; il est aisé de s'en assurer lorsqu'on élimine I (a;) de (a) et Page 270. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. i\^^ 4. N'. 15. de (t), K{x) de {b) et de (ƒ), car alors on obtient un même résultat. Mais on peut employer ce qui pre'cède pour des cas spe'ciaux. Soit par exemple p == 2 a, alors les équations (a) et (b) restent vraies; mais il n'en est pas de même a l'égard des formules (c) ef{d), qui deviennent discoutinues pour la valcur a de tt; on trouve douc dans ces cas: T(.,.) + T(1-.)^;p^g^!^ll^+ ^ISin^itMl-l , %\l Sin.{ia-n]2n} SfitT 1 2« {n-\-a)2n i -Zn (a—n]2n 2a 7 ^ a+i2n (n—a)2n 2rt' ' o 2a7r 1 2?i («+«) 27r i 2?j («— «) 2:t 2a _ƒ ^ ^ <,+, 271 (?j— aj 27r ^-^ ^ o Mais comme les formules (a) et (i) deviennent ici: I('«) = 1(1—^) (a'j , K(.r) = _K(1-^-) {b') les équations (a') et (e') nous donnent I(;v) = I(l — x) = — ; donc: 4 a / lT{x)Cos.2anxcLr = ~, (T. 444, N\ i),= j iT {l~.a;)Cos.2 anxd.v . . . (290) o -o Les 'formules {b') et (ƒ'), étant identiques, ne peuvent donc point scrvir a déterminer K{x) ou K(l — x) dans Ie cas de p = 2a. Mais il se peut encore que dans Tintégrale I p soit nul; dans ce cas les fouctions sous les signes de sommation dans la formule (c) s'annulent et l'on obtient: Iix)-\'l{l — a:} = 127T. I Cos.0 dx ^ I27x; (e") •o l'équation (a) devient en même temps ï(x) =1(1 — x) ; douc: j lr{x)dx=-l27t, (T. 367, W. 2),= j'lvil — xjdx [63] (291) [03] On déduira encore cette intdgrale Méth. 21, N"'. 5. Page 271. 35 WIS- EN NATXJBEK. VEEH. DEll KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. III. M'". 5. W. \, 2. THÉORIK, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ^ 5. MliTHODE 5. EMPLOI DE FORMULES DE TRANSFORMATION. 1. Dans la Partie Deuxième nous sommes parvenus a diverses formules de transformatioii, qui conduiseut immédiatement a Tévaluatioii d'intégrales définies, quand elles en sont des cas spéciaux. Tant que nous regardons cette partie Deuxième comme une collection de Corollaires de la Partie Première, et comme renfermant des donneés, que désormais nous pouvons em- ployer, cette méthode-ci rentre sous la categorie de celles qui sont directes, c'est-a-dire qui n'ont pas besoiii de passage intermediaire par une integrale défiuie, une série, etc. Dans ces appli- cations nous ue donnerons en général que les résultats, laissaut au lecteur les réductions intermé- diaires. 2. Dans II, 1 et II, 2 prenons ƒ (.r) =-= .«-9 : o u I LvP+a-P)- = l,alors:0=/ dï — -^ ,(T.183,NM1), = r? ƒ 1- •■-\-x' /•" xg-^dx O r Ixdx / *■ \'/ , /"^ xndx -,, , . ,^,, ,„ ^,<. , -rx-{-Cot.Pa^.lTang.xdx= O (29Ö) — o. 'o 3. Pour If, 6 employons les développeineuts C. P. form. (S9) u (91), alors /(O) := 1, 1 et O, et 1 I2a\ 1 /2a\ An = — , O et — respectivcment ; douc : r,^ . , „ f^-'« l.'/M i /2aM r dx 1 f;^ ƒ (Co«.2'V>a- — ros.2 A^ =0 respectivement : / I Cos.^-pA'. Cos. ap.« — Cos.''-qx.Cos.-aqx\ — = ~l^— \l \ . . (298) ƒ \ ■i .^ "/ 't^ j X 2 p \ 2" j o /•",l + 2r(?os.üJ7 + r^ J^ /o\ 2 / '7X^~^^"^^~=^(l + '")-M ''•<1- (T- 4U, N\ 9). f 1 + 2 rCos. 9^; + ï" *' \p/ "o 4. Dans II. 7, posons f{x) = /(r-j-.r), alors les conditions ne'cessaires sont satisfaites, pourvu que Ton ait r ^ O, donc: c2n pa I l{r-}-pe^')e-''^>dx = 2nlr-^^ (299) 5. Pour rapplicatiou de II, 8 soit ƒ (*•) = lx, alors: •'2 1 [Cos. X. e^')-}-/(6'os. X. e-") ^\ ICos.xdx n q ' + q"^ Sin.- X 25^ + 1 /• ^ l [Cos. X. e") -\-l{Cos. X. e-") _ f- ICvö..ou.v ■,, ^ [65] Par la substitution x = r Tann.y, (Zx- = — — —, et O et - comme limites de y, elle donne : '■ ' •' -^ Cos.^y 2 "^ / -^(r7'a«£r.,3;).&'n.ï-i2xt/.(;= 2^-Ur ^ -* (294) u Page 273. 35* III. W^'. 5, W. 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Divisez par p- et prenez q au lieu de pij, alors : / r ICos.xdx n q ■ — ^ — - = l~i— (301) f"^ Cosp- X -)- 5 Sin? X 2/)9 P + 9 Posez X = \j et changez p en q et réciproqueraent, alors ƒ ^ ^'^"'•^^^ . = ^^-^ (302) 2^^ Cos? X ■\- q"^ Sin? x 2pq p -{- q ƒi^ l Tanq. x dx n p -TT, TTTT = ^-' (T- 343, N°. 12) [66]. p ^ Cos. ^ X -\- q'' Sin. ^ x '^P'i 1 o La somme en donne encore: ƒ ^ l (Sin. X. Cos. x) dx n , na '- = l — — , 304) p"^ Cos? X -\- q"^ Sin? X 'Zpq {p -\- q)'^ inai is lorsqu'on pose 2x = y, p^ +?' = J", P' — dx ==■ — Sm. , (306) Cos.'^ a^ -\- q- Sin.^ x ? 7 + 1 ƒ r\Cos. (p Cos. X. e") + Cos. (p Cos. x. e-^') ^^ ^ _ ^ ^^^ P9 ,^qj. J Cos? X -\- q^ Sin? x q 7 + 1 o Transformoiis la somme des Simis ou des Cosinus dans un produit, alors nous obtiendrons ïi l'aide q de C. P. form. (36), en écrivant 2p et - pour p et q: [66] Pour Tang. x = y 011 obticnt : NMOl. { , , p'^-\-q^oc- pq q /•* Ixdx n ,p ,^, riil+x^)dx n p -{- q I = 1-, (ï. 180, N'. 10), ƒ „ „ = — r— ^ (303). ƒ p* +q^x' Zpq q j ' O o Pasre 274. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. UI. i>P. 5. N'. 5, 6. \ ^ , , -. ^. , Sin. {p{\ + Cos.2x)] dx = -Sin.-^ , . . . . (308) r- Los.'' X -{- q- om. X qr q-\-r (I ƒ'! ePSi"-^x .L. e-pSm.2x ^ 2pq \^ , , 2^- ,-<^os. (p (1 + Cos. 2 X)} dx = — Cos.-Y- (309) r'- Cos.^ x-\- q^ om.^ X *■ qr q -\- r o cVoïi encore les sommes [Cos.p) X (309) + {Sin.-p) X (308) et (Cos.p) X (308) — {Sin. p) X (309) doniieut pour 2 x ^ i/, q'^ -{- r^ = s, q^ — r"^ = t: . (310) ^TT gpSin.x J^ e-pS/n.x ^ f g — J/ (s^ — t"^)] \ Cos. (p Cos. x] dx = ; Cos. { p > , J s—tCos.x -^^ ' 2l/(s-— <2) Y^ 2t j'/ \ /■T gpSin.x _|_ Q-pSvi X ^ c s — 1/ (s^ — i^)] i I -^ Si7i.(pCos..T)dx = Sin.lp ^--^ -^[,\ .... (311) J s — tCos.x ^^ ' 2^,'(s2_j2) Y 2< i ] Süii eufiii daus II. 8 f(x) = Arctg.px, alors: r''^ , / 2pCos.'^x \ dx ^ , I P9 \ I '''"''■ [T~p^^ Cos^x + q^Sin^x = -q ^"'^-i^TT) ^'''^ 'o 6. A l'aide des f'ürmules (89) a (92) (C. P.) les trausformations II, 10 a II, 12 dounent : f o i: ■ . „. ^ n 2b \ Cos.^^x.Cos.2axdx = — , (313) •2-2b \b — aj ^ ' Gos.^b+^ X.Cos. {(2a+ l).r} dx = ^ ^H^}] (^14) (_ l)a,r / %h /■TT t 1)'^ TT / / S,in^^x.Cos.2axdx = -^ 6 — a (315) /■5r e 1)« TT /2 6-t-l\ ƒ &W2*+i...&n. ((2a + l)a;} rf.. = ^.^j, ( &_« )' (^^^^ "o r GosP-^xdx = ^^r \=^ r 5inPxd.f, et j Cos.^l'+^ x dx = 0. [67]. o 0 0 Eusuite nous trouvous par G. P. form. 93, 94, eu y posant x = 3?/: - 5: I (7os.« ic.óbs. aar. Cos. 2 6« dr = jr2«-2 ("j =. y Cos.'' x.Sin.ax. Sin.2bx dx. (T. 57, N°. 20, 21). [67] Formules déja déduites Méth. 3, N^ 5. Paffe 275. III. M^\ 5. N°. 6. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Eucore par C. P. form. 95 a 98, 101, 102: ^'^1 — pCos.x — p^Cos.ax 4-p''+'^ Cos. {{a — 1)*') n i -^ !-^^ — • -Cos.bxdx = -pa , .... (317) 1 — 2p Cos. .V -\- p^ 2 o f^pSin.x — paSi7i.aa- — pa+^ Sin. {{a—l)a;} ,- l^ in /qion = I '-^^ —^Sm.bxdx, (oii ö,N\5), [68], / l-2pCos.x+p^ 2- ' ' J l—ZpCos.x+p' 'o o r __Cos^axdx_ _^^ r Cos^f^C^^ / l-2pCos.x-\-p' 1-p^^'^ ' 7 l-2pCos.x-^p^ Zl-p^^ Enfin par C. P. form. 103, lOé, 109, 112, 115, 116: / eP(^°':>:Cos.(pSin.x).Cos.axdj: =- -^ = / ePC^^-^Sin.ipSin.x). Sin.axd.7;, (T.296,N\ 8 et 7), I \r / 2 lall I •o O r e-pCos.xCos.{pSin.a:)dx = n, (T. 296, N'. 6), I l[]. -\-%p Cos.x-\- p') Cos. ax dx = [68] Sur nne autre déduction de ces formules voyez Méth. 32, N°. 6, Métli. 41, N°. 7. [69] Cette integrale se trouve déduite d'une autre maniere Métli. 34, N'. 6. Il s'ensuit pour a = 1 ., [-> TT ƒ -^^(1 ± lpCos.%x+p')Cos.2xdx = ± -p; (320) o qui maintenant vaut aussi pour pl); . . . (321) •() donc leur somme et leur différence : ƒ- 1 11 '^ l{\±%pCos.%x-]rp'')Cos.^ xdx = ± -p'r,(p'l),. (323) o \^l{\ ±1pCos.1x^p'')Sin^xdx=^ rp-p7r,(p*l).(325) f 4 4 2 [70] On les déduit aussi Méth. 34, N^ 6. Page 276. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÈGRALES DÉFlNIEs- III. M'^^ 5. N°. G — 8. (i +2pCos.x-{-py^''Cos.laArcta.-~^ — \ . Cos.bx dx :== - \ pb , . . . (326) ( 1 + p Cos. A-J 2 \b o = 1(1 -\- 2 p Cos. X + p^)i^ Sin. {aArctff. ^ "''^' X.Sin.bxdx (327) / ( l-\- p Cos. a;j Dans toutes ces iutégrales on a jo* <:^ 1. 7. Par la formule 78, C. P, ou a par II, 13 a II, 15 ^'^ lZpCos.x\ ^ , ^ (—1)" Ü ƒ% \ l % x>i Sin x\ -Ardg.i-^ ^j.Sm. {{i a -\- l) x} dx (329) OU par C. P. 50, [71] p l 4-2 pCos.x + p- , , (— 1)° j l — 2pCos.x+p^ U -r ; ƒ P 2a-t-l (330) S. Pour ƒ(.») = e-P'' II, 21 et II, 22 dounent: dx n ƒ""„. xdx ^^ dx n /"" xdx n Cos.px—- — - = —e-Pi, I Sm.px— = -e-P9, (T. 205, W. 5 et 6), [721 q^ -{• x^ 2q J ' q^ ^ :x^ 2 /' l j o o et II, 23 tl II, 26 : /^Sin. \(a 4- l) Arctg.'-] ^ \ '^ q) Cos. p xdx _ (— I)« d^. e-i 0 ^ Sm. I (a + 1 ) Ardg. - [ ^Cos.[la-\-\) Arctg. -1 -J ^.^Sin.pxdx='^i:6'62)= ( — ii -^ Cos.pxdx .,(333) 3 ü Gos cc [71] II faut prendre la première formule, puisque y = — — : — '— est toujours moindre que 1'unité, vu fpie 1 +^J* est toujours plus grand que 2p. [72] Ces formules se présentent souvent aupvÈs de l'application de plusieurs methodes; voyez entre autres MétL. 18, N». 4, 8, Métli. 24, N'. 4, Mc'th. 25, N^ 2, Me'th. 38, N''. 3. Méth. 42, N'. 2, Me'th. 43, N°. 14. Page 277. III. M^\ 5. N'. 8 — 11. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ^Cos.\(a-{-l)Arclg.-\ , ^, I — xSin.pxdx = n- — 06—9 (334) 'o 9. Dans II, 27, prenons f(.v) = l , ce qui donne ƒ(!) -•= O, alors par C. P. form. (66) : l—p /■' 1 — p X dx cdv" / l-—^- = -:S^l{l + n) ,pKl (335) j 1 — p lx 1 w • "o Encorc par C. P. 77 : n dx « l»/2 i(2H+2) I Arccos.x—- = — -S"-— I , , (336) / lx o ^"1^ 2 n + 1 o 1 In . \[^ . \ et par C. P. 81, lorsqu'on cousidère que {Arcsin.xy tt^ = — I - — Arcsiii.x I —-{-Arcsin.x J = = — {Arccos. Xj- (tant que 0<[^rc<^ 1): /•i da; -o 2".2 Z(l + 2n) / (Arccos.a:)* — = —2—--^—^ ' (337) / ^ 'lx 1 3"2 „ ^ ' •o Enfin pour /(o;) = (1 — x)P, d'après C. P. form. 61: / (l-x)P- = ^(-l)''Li(i + „), p^l; (338) •o 10. Soit dans II, 79, f{x) = x-°° ' n n TT So\i f (u) = - Ardg. e", d oü «ƒ(«)) =- Arctg.x — Arctg.1 = = -, et par suite: u o 2 4 4' ^dx^ , f" dx [ e1^ — eP^ \ '^ tQ ,n,~s ƒ* dx C" dx I — \^\rQtg. [e'l^) — Arctg. (eP^)] ,[75],= / — Arclg. 1 1 + eiP^l')^] 4 p 1 Arctg. u 00 Arciq. oc Arctq. O tt O , v ■ Pour ƒ(!<) = - on a: uf(u)\ = — ^^ — = ; done, par les regies ^ ' 2t 1 — e-"' o 1 — 0 1 — 1 2 0 ^ ° 1 1 usuelles dans ces cas d'iiidétermination : = - = -, et: -\- re ""■" r r dxfArctg.qx Ardg.px-t In ^\ , 1 ƒdx f Ar et g—qrx i — e-V"\ \ 2 rj p \..= \l-t\l'- r348) [73] De'duites aussi Méth. 14, N'. 8. [74] Voir rAddition A a la fin de cct ouvrage. [75] Encore plus généralement Méth. 17, N''. 25. Page 279. 36 WIS- EN NATUTRK. VERH. DEK KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. ÏII. M^\ 5,0. W. iö, l. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Supposous ƒ(«) = l (s -{- re-"), doüc ^t f (u)] == l (s -\- i^e->')} = /« _ Z (,? 4- ,-) = i — --, et '' u 'o S -f" '' par conséquent : ^dx s-\-re~9^ s q — l = l .1- (349) X s -\-r e—1'^ s-\-r p f o o SECTIOIV DEÜXIÈME METHODES, QUI IIAMÈNENT A DES INTEGRALES DEFINIES- § 1. METHODE (j. DIVISION DE LA DISTANCE DES LIMITES. ]. Dans la Partie Première N". 12, formule (18), nous avons trouvé la formule /c, rci rb rb f{x)dx-\- j f{x)dx-^...-\- I f{x)dx ^= \ f{x)dx, qui nous appreud ü diviser la distance 1 c^ ca des limites a et 6 en plusieurs parties de a; u. c,, de c, :\ Cj, de Cj a Cj,... de Cn a b. Lorsquc les intégrales partielles, obtenues ainsi, sont de nature ,a se transformer aisément en d'autres, qui ont les mêmes limites, p. e. a et c,, on se trouve ramene a une seule integrale entre ces limi- tes, mais oü la fonction a intégrer se trouve sous la forme d'une série; toutefois, lorsque celle-ci donne lieu a une somme simple, on peut évaluer l'intégrale primitive par cette Methode. [76]. [76] Voyez Schlömilcu, Jounml von Crelle, Bd. 36, S. 271.— Le même, Grunerts Archiv, Th. 4, S. 316, Page 280. ET METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. lil. M''". G. N'. 1, 7). raTT 2. Soit IHntégrale f l {{Sin. .r)) dw, et divisoiis la distance des limites de telle maniere, que "o ciiaque partie soit egale h n : j l{{Sm.x))dx= j l {{Sin. x)} d.v -^ j l{{Sin. a:}) dx + . . . o o ü- -\- I l {{Sin. ,x)) dx -\- j l {{Si7i. a)) d.v -\- . . . -\- j l({Sin.a;)) d.v. Dans toutes les iutegralcs de Ia •(5c— 1)t •2rT (a-l)ff forme I l {{Sin. x)) dx substituons *■ = 2 c n — y, dx = — dy, Sin.x = — Sin. y, avec jt et O pour les (20-1),: /•(2c+I)!r limites de 1/ : dans les autres intégrales I l{{Sin.x))dx au contraire mettous x = 2 c n -\- ij, d.v = dy, '2cw C2cT fir Sin.x = Sin. y, avec les limites O et tt de ?/ ; nous aurous : I l{{Sin..vy)dx = j l{{ — Sin.x))dx, \2c-\)k o l {(Sin.x)) dx = ƒ l {{-\- Sin. x)} dx. Donc toutes les intégrales partielles sont rameuecs a deux 2cT o autres difierentes: mais la dcrnière de ces inte'grales, celle qui va de {a — l)7t a aTr, appartiendra a Tune ou a Tautre des ces intégrales défiuitives, selon que a est pair ou impair; donc il faut traiter ces deux cas séparémeut, mais alors aussi on peut rendre la discussiou un peu plus générale en ajoutant Ie doublé signe au sinus sous Ie logaiithme. De cette maniere il vient: ^2an TT TT f(2a-{-l)'T rn l{{±Sin.x))dx =r a 1 l{{Sin.x))dx-\-a j l{{— Sin.x)) dx, I l{{-\-Sin.x))dx = (a+l) jl {{Sin.x)) dx + o o 'o o 'o l {{— Sin. .v) d.v, I l {{— Sin. x)) dx = a j l{{Sin.x))dx + {a + l) j l{{— Sin.x)) dx. Or, 0 0 o o on trouve ces dernières intégrales Méth. 4, N"". 3 ; douc, en y prenant Ie même r, ce qui ne change ƒ 2a TT /((± Sin.x))dx = — 2aiilZ -\- {4, (» <^ ti, Lim. k = oo, et clivisons o la distance des limites O a co en ^ parties, dout chacuue egale a - : f" . d£ ƒ•? . dx ,/■"„. dx /•«"■ dx K''+i)^da> filc^+P dx I bin.x — = ƒ bin.x — 4- I Sm.x — -f-. ..4- I Sin.x — + ƒ Sin.x — +...+ / Sm.x — . J ^ J ^7 ^ / '" J * J * 00:? ïa— i)T 'air i-lT Auprès des intégrales aux limites (a — i)7r et an, an et [a-\- ^)7i employons respectivement /•(2a+§)T / l{{-\-Siii.x))dx = — (2a+ ^)TrZa — (4a+ \)rnH, (357) •o /•(2a+i)T I l((—Sin.x))dx = — {2a-{-i)nl'Z — [{4j et O et r conmie limites de y. TT TT r{lTanff.x)'^"+^dx = O, ƒ ^(i Ta/i^. .«)2a cfa; = 2.12ai J" -^^^^—- (T. 333, W. 14 et 15). ■o -o /•f /l 4. Tang.y\2 dy 1 [81] Pour a: = Tang.y on a: / i — -^^ ^-^\ ^— = - tt^ (T. 340, N'. 14). / \\ — Tang.y j Tang.xj 2 O Page 286. forme : ET METHODES D'ÉVALUATIOi\ DES INTÉGRALES DÉF1^'IES. Hl. M'''=. 6. N'. 7 — 9. r -'.' , I e P z^''ds, évalu.'cs Méth. 3, N\ 7. o Dans les cas de a = O et de a = 1 on trouve: <"-° _L+^ dx _i g 2px ^ g ,, ,^. o^;-j^ ^T. 140, N\ 5), [ 'o i r"^ cZ^ 1/ a; = e"/' i/ 2/^ [i/- Jr + 3/j i v^ tt] = (1 -|- y) e~P \y lp t. (T. 139, N\ 7). /* 8. Enfin ou trouve déja daus la Partie Première uue application du principe de celte me- thode dans les formules (26, 27) : f{x)dx = O , lorsque f [— x) = — f {x), -b = 2 ƒ ƒ (.^•) dx , lorsque ƒ (— .v) = \f[^x). Ces formules sont d'un usage très-fréquent. Par exemple, :\ l'aide.de Métli. 3, N^ 7, on trouve: e-P^^'A-Sa+i dx == O, / e-P^'^' x"^"- dx = — — l^-, (T. 142, N'. 9 et S): et par Mt'th. 4, N^ 7: ƒ „2 J c-P^' Ja; = - 1/ 71. (T. 40, jN[\ 4). P 9. On a: j{xi)i'-^ e'^'dx = j{xi]P—'^ e^'dx -\- /(.ïi)/'-i e^'d?; = i>— ' /.rP-' e^^'' J.r -|-.(— tjP-i j xP-^ e-^'dx, — 00 o —00 O O par la substitutiou de x = — y dans l'intégrale entre les liraites — cc et 0. Or, on a: I e±xijcP-idj; = e±iP^''r(p), . . (369), [82], donc (C. P. 4.): [82] Elle suivruitdeT. 113, N\ IG, (Muth. 3, N'. 7) quand on y preDd/? = 0, ^--zp l,a=p— !,(/? -{-'e-i'^'] = = T(p)Cos.ln = O, (T. 142, N=. 2), I (i.'ij/'— 1 ( — xi)''ei(i-9)'r'eïOJ+'?-i)'r;'r/'p -j- 5 — 1) -f .+ eKi-;')^'eKï-i)''e-10J+?-')'^Tip + 5— l) = r(p-|-g— l){e>-è)'ri-j-e(i-p;'rij==2,Si«.p;r.r(p+7— 1), (T. 142, W. 5); ici Ton a partout p <1 1. § 2. MKTHODE /. CHANGEMENT DE LA VARIABLE. 1. Quelquefois ou peut rendre uoe iDtégrale définie plus simple ou la ramener a quelque autre integrale coiiuue, par uii changement convenable de la vaiiable; ou a imagiuó dans Ie cours des opérations trausformatives plusieurs artifices de calcul de ce genre, que Ton trouvera exposés ici. Les résultats heureux se fondent en général sur la circoustauce, que par uu tel changement les limites de Tintégrale définie par rapport a la nouvelle variable chaugeut en même temps, mais qu'au contraire, après 1'introduction de la nouvelle variable, on peut douner a celle-ci Ie mème nom qu'auparavant, ou, en d'autre mots, que la variable elle-même n'entre en rien dans la valeur de 1'intégrale définie. Déja dans la Methode précédcnte nous nous sommes souvent occupés de ce.s substi- tutions, et l'on a pu y remarquer tout 1'avantage que nous retirons de cette dernière circonstance. Observons que d'après la Première Partie N\ 25, on ue doit pas perdre de vue les cas de maximum ou de minimum de la nouvelle variable, qui peuvent parfois se présenter, et qui donne- raient lieu a des mesures de précautiou. Ces substitutions se divisent convenablement en trois Classes. Classe I. Oïl x est égal a une fonction algébrique de y. Substitutions algébriques. Ciasse II. Ou x est égal a unc fonction transcendante de y, {eV, lij, Sin.y, Cos.y, 1'g-y)- Substitutions transceiidantes explicites. Classe 111. 0\\ quelque fonction transcendante de x est egale a une fonction transcendante de y. Substitutions transcendanies implicitcs. Classe I. Substitutions algébriques. , f'^ Cos.pxd.p f'^Sin.p.vdx , , 2. Dans les intégrales / '- et ƒ -, substituons '7 + J'=2/, dM = di/, avcc j q + X J q-jr X O ■<) Page 288. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES h\TÉGRALES DÉFINIES. IH. i\p. 7. N\ 2. '] et 00 comme limites de y ; alors on trouve : Sin. py cl IJ rCos.j)xdx r Cos. {p(y — q)] dy - rCos.pijd,/ f^ Si. I 5+^ = /• ;j =Cos.pri. ^^^^Sin.pq. - ■^' 1 '1 \ — Cos.pq. Ci. (pq) 4- Si7i.pq. T _ Si. {pq)\, (T. 203, W. S), r Sin.px d.v r Shu{p [y-q))dy rCos.pydy rSin.pydy = Sin.pq.Ci.(pq) ^ Cos pq. y^ — Si.{pq)\. (T. 203, W. 7). [83]. Dans les antegrales j ^7^— et j ^y^7~~. posons ^=y^ dx==2ydy, avec O et "o "o \/p pour les limites de y; on a par rintermédiaire des integrales dernièrcs du N^ 3, Méth. 3, en y prenant v/p au lieu de p : i 1/{P— r) ~ 7 !/(;,_,.) =^^"+'P"l/i'. (371) o o /PX°cb) f\^P y^-ady 1«;2 UAa T^i'^^^ ^^ / 1 _ ^. ^'^ '^ '"^'"ö substitution donne; [83] Comme 011 a par définition : /'"Cos.xdx f] Sin xdr -^— = - Ci.{q), (T. 254, W. 5), / -^ = Si^ (q), (T 251, N'. 3), ? o la substitution de x=py, q ^ pq donne: rCosjpxd^ NSin.pxdx f = - ^*- (P'll (T. 254, N\ 7), ƒ ^ = 5i.(/,5). (T. 251, N^ 4). Mais comme on vient de trouver, Mutli. 6. N°. 5, f '^"'-P-^^f. ^^^ n g'ensuit- lx 2 ' ƒ■* (Sin. px dx n j ~ = ö-S^P^l)> (370) 1 jpoiu- p = 1, (T. 254, N^ 4)}; et voila les integrales employees dans Ic texte. Page 289. 37* lil. IVP. 7. N'. 2, 5, THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSF0R31AT10N, ƒ11 — i/.r /'a— 3 — 1 — dx = 2 — 21-Z,. . (372), 1 ././; = 2/2. (ï. 15, N\ 5). 1 — X J 1 — .^• dx Dans Tintégrale / ; — ^^^, ine'tons p -^ q^i' =y', d'oü qJx = ^ ij dij, et v/p et cc pour les limites de y, donc: r_^^^— =ir^==!-=^fI,-^=^=^(0-;>i-^)=— ^-—.(373) dx -2px-\-p''') ƒ+! dx j — ^substituons 1 — Zpx-^-p"^ =?/^,alors — 2pd,e = 2ijd>/. -I Quant aux liraites de y, on trouve pour elles ±^ (\—p]- et ± l (1-j-p)-; la deruière est toujours l-\-p, mais la premiereest ici 1 — p ou p — J, selon que /) est plus petit ou plus grand que Tunié, puisque y ne saurait deveiiir négatif: car pour la valeur maximum -f- 1 cle ■''> la valeur minimum de j/^ est (1 — p)-, toujours positive et jamais zéro, de sorte que y ne peut s'annuler pas d'avantage. Donc: r+i dx —1 f^-i'yd,/ 1 /•'+/' 1 , ƒ P— hl dn 1 //>+• 1 2 •^ = -/ ^/y = -{(p + i)-(p-i)} = -,;'>!■ (T. 17,N^ 7, s). [si]. y pj P P —1 i+p i-/> — 1 fP-hjdy 1 r/'+i 1 ou = ''■■ P >+i >— 1 Au moyen de la même substitution on trouve, puisque 1 — 2qx-\-q^ = - [(p — q){l — pq) + q>j'^} ■ ƒ+! dx 1 p.O-py —ydy 1 /•'+/' dij V[{l-2px+p'^){l-2qx+q')rPj -^, f /„_„vi_p.^+.„2i^»^i l/((p-g)(l-/"?)+9y^)"' V(i-p)- Or, ici il ne faut pas seulement distinguer les cas oïi p est ^ 1> mais aussi ceux, ou q est ^ 1, comme on pourrait déj^ Ie conclure de la symétrie de Tintégrale par rapport a, p ti q. Donc on trouve: [34] La diiféreiitiation par rapport a p donne: /•+! x—p j i/^l — 2px+p')' —1 Page 290. c/.t- = O, (y> ,,„ I l = / ^^^ -=2nl(Cos.n.Sec.ifi),nL.181, 14), "o o (voir Méth. 10, N\ 12), [S5] ; ƒ l^^ ^^^^— =. 2 fVy -^^-^ = — — 7r= , (374), (voir Me'tli. 4, W. 9), [86] ; / 1+.!;- 1+A'^ I l—y- 12 "o o /-°;tx-(l+.r^)+;. d.v r' l+plX(l-y'), d;j . .t,,^.,.-^,, ƒ l = / l 7 = '^ Arcsm.p, (1. 186, N . 2), j 1/(1 +.«^_)_/, 1/(1+^.3) / i_pi/(i_2/^)i_2/^ 'o 'ü (voir Méth. 34, W. 5); [85] Car de Méth. 10, N=. 12, on lire: ni+x'^Tg.-X dx 1 -}- t/(i 4-T^.U) ACos.n I +6'o5. ;i| j 1+a;- 7>.\« 1/(1— .^2) "^ '^ 1 -|-l/(l + 7>.2,«) "" "^ \Cos.l' \-\-Cos.^i\ o iCos.u 2Cos.^'A) n CosM + x^SinM dx Cos.^X = ■^^-TT-^-—:^ —\; douc: / l- ^ , ^ , ,- =- 27il—^^. (T. 1 66, N^ 4). ' Sin.^ ^ V/(l — x^) Cos. .J [861 La substitution x = — donnc: ƒ Z(l + a;ï) ^ = — 7I-. (T. 184, N'. 14). Pao-e 29 L III. M^\ 7. N'. 4-, 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE ÏRANSFORMATION, n "o 5. Daiisi »(?f(/ra(el = ƒ ^z:;^ posons 1 — xP =yr,xP -— 1 — if, -\-pxP—'^ dx= — pyP—^dy; i (i-xp)~y 1 ?/9— ' dy acP -xP) P 2/9""' dy alors les limites de y deviemient 1 et O, et 1'on a : I = ƒ „ . Eiicore supposons - ^ [l-yP]!' tP p dx dz pzP—^ dz dx dz 'i'P == "-, — : ) = P — — " , — = "": r, avec les limites O et oc de z; les deus l+ZP X ^ Z \-^zP X 2(1 +2P) t'^zP-l-^dz C'"z9-'^dz formes precedentes de [ deviennent: I^ ƒ et I = ƒ ; integrale qui a été evaluée j l + ^!> I l+ZP' ° ^ O "o Méth. 1, N'. 29. Dodo on a: ƒ ^,, (T. 14, W. 1), = / -, (T. 14, N\ 2), = (ï. 20, W. 3), = {{\-xP)-T {{1~'>=P)P /, ^+'" ['"Xl—^dx TT = ƒ = . Peur o = 1 on trouve : l ' + •■'■ pSin'-^ n xP-^dx [^ dx ^ ^ rxP-'^dx I -jrr, ^ — r . (37G), = \ -— -, T. 14, W. 4), = I , (377),= o *o o C" dx n n = / — — , . . . 378 , = - Cosec. -. [88]. / 1 + xl' p p [87] Par la subatitutiou de a; = — ou trouve y ƒ Z(l+.i-^)— ^— =^(Z2-i). (T. 182, N^ 12). o /■l dx (^ dj' n _ ^ [881 On en déduit poiir n = 2, 3, 4, 6: / == / = — , intforalcs déiii coumios ^ ^ ^ ' j i/(i-a-') ; 1+^-" 2 o Ü /■i xdx /•' d.c f'" xdx f^ dx , 2 TT / -,379,= / ,(380),= / =/ -,(T.19,NMletJ0), = o o 0 0 r' X'' dx rl dx f^x^dx r dx n / rr; rT.(381),= / -,(382), = / -= / ,(T.19,NM4etl3}, = o 0 o 'o /■i «* dx /-i dx r x^ dx r dx n ƒ T^T, r;7'(3S3),= / ^ -,(384),= / =/ ,(T.19,N'.17etl5), =-. } 1^1— «^5 n ^' j 1,6/(1—^»/^ -" j l + ^e / \-\.x^^ 3 o Pacje 292. ET METHODES D'ÉVALUATIOiV DES INTÈGRALES DÉFINIES. lil. M'". 7. N°. 5 — 7. La suppositiou xl = yP donne encore: (385) 1 I l\ ( i\dv 1 0. La substitution x = y domie dy = \\ -\- ~\dx =: [x -\ — — , et x'^ -f" "" = X \ x' j \ xj X x^ X 1 -\- % == y- -\- -l ; aux limites 1 et co de a; correspondent O et oc pour y. Par ix--X ƒ'^ V xj I 1\ dx ['" ypdy .■^ + avec les mêmes limites pour s, alors : l\P /p + l\ / _p + l I -7-^^ rV •'•' + - ~ --= 23P-9-i / — = -ZiP-q-h—^ '- > / (^=+1 M ^/ •" l (1 + ^)' r(j) (T. 32, N'. 12), par riutermcdiaire de Méth. 4, N'. 6. Prenons encore x=-, et nous aurons: - — ', . . . (386) r(?) puisquc ( — i)P = Cos.pn. La somme nous en donne la même fonctiou intégrce eutre les limites O et cc : or, 1 + Cos. pn = 2 Cos. - \pn, donc : f j^t U-\ - = ^^^-^-^Cos, ,pJV^y}f'^\. C89].(38r) r d-^ 1—2/ 2 7. Be l intonrale I . Substituons JIX3» = ,1 + «|/3ö = ;— , -" y (l+p*^)l^(l+9pA'^) ^ 1+y ^ 1+2/ [S9] On eu tire encore: xPdx . . V 2 / V 2 ^xPdx , . V 2 / V 2 / — = 2iP-9-è— ^ '- ^^ '-. (T. 27, N\ 12). (^^+2)? r(j) ^ ^ Pase 293. III. M''". 7. N'. 1, 8. THEORIE, PROPRIÉTES, FORMULES DE TRANSFORMATIO]^, d X l^ S p = , avec 1 et — 1 comme limites de w. Bien que y acciuière un maximum 1 pour « = cc et pour a; = — — , nous ue nous en occupcroi;s pas, puisque ces valeurs torabent ]_j_(. 3 4 J j. 3 liors les limites O et x de ,v. On a encore: l-\-dpx'^ = 4 ,\-\-px''- =— - iH-yy a(i+2/)Mi-2/)' 3 f+ ^1 — w- dy 1 — «^ donc pour notre intéarale 2~i i^ — I ■ La fraction a une valeur détermiuée, mais quand on la sépare en deux parties, aux numérateurs 1 et — y- respectivement, celles-ci devienuent infinies pour la limite -|- 1 de y. Chaugeons donc provisoirement les limites en — 1 -J- ó~ et 1 — 8, OTi maiutenant Ie cas de discontiuuité est csclus; séparons la fraction en deux parties y t aux numérateurs 1 et w-; siipposons dans la première — = et dans la seconde 1 u . \ f dt —\ t du • = ; 011 trouve respectivement I et \ . Les limites en li^(l+y3) \>-2 ^ l^-Zji—P i^2jl—u^ — (1— (J)l.>^2 (1— 5)li^2 ^^2 sont respectivement ;^ : — et ;; — ^^ — , — ;^ — et i 1K(3Ó' -3ii^ + .5') ii-(2 — 3(5+35^— 5')' i>''(35 — 30^ +3') 7 : 7 — , OU quand on passé h la limite zero de u, afin de retourner ii Tintegrale 15-^(3 — 33+ 30^— 5') i f ö piimitive, — x et 1, cc et 1. On a donc: r dx _^ 3 _]_ f n ds ƒ•' — du 1 _ o — M ro _1 3 f" d.v 1 o fr" dr fo d.v 1 ~"l^pj l—x^^é^p\J 1— A'2 "^ / 1— .r'j * — 00 o ' — te La première de ces intégrales a été évaluée Méth. 2, N\ 4; dans la seconde mettons a = — y, elle devient / , evaluee au N'. avant-dernicr. Donc enfin : "o r dx 1 3 f TT 2 TT 1 T _ , ƒ = - 1/ 4- \ = . {T. 28, W. 11. / (1 +/)x-)l>(l + 9p.r^) 4 p (3 1/3 ' 3i/;ij 4 lx";; "o rdx\y(\ + f 1—x' •o 2/^1/ (2(1-2/ >)} ^ yi/(i-y'/'' y' y . —xl^Vm—y-^)] — 2«*l/(l— v^) 1, , ,, 2.r^ y y' 2*^ -■ J/2 PaM 294. 8. boit ivdeqrale 1 . rrenons x = , alors ■^ i ■> -i y 1/ 2 ET METHODES D'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M'''. 7. N^ 8, 9. Mais cctte substitution suj)])ose ?/ <^ ], puisqne autremeiit 1/(1 — y-) deviendrait imaginaire: pour?/ = ]. .,.,■■ " . , , , n da) 1^(1+ x'^) rdxv^a+x*) 011 a A'=J, et 11 faut diviser iiotrc mten-rale en deux autres ƒ \- 1 . "o 1 0'cst pour la dernièie de ces iutégraics que vaut Ia substitution meiitioniice, oil encore les limites de y sent . „ „ , . IV , /"" — «'! . l — V^y g — r/y ■. n .TP-^d.i! 1 — l/y ?' 9. Exeraccs. Dans / soit x = -, 1 -f-a; = , dx = ; (i + '^f i + v/y 1 + i/y (i + v/^)V:/ o ,. . , , /■' a'P-ifZj; 1 fi 1 avec 1 et O comme limites de ?/; alors 1 = — / (1 — ?/ )P— ' «— i c?» = — "^ j (1 -X-xfP 22/' j ^ •'^ -^ ■^22, o r (p) t/TT 2/'r(p+4)' ü o (T. 4, N'', 3). [91]. (l ^^'^ + c 1 d.v Jjorsquc dans / 11 — — ; ; — -1 — on prend ax- -}- c = ?/ , o Zaxdx = dijy avec les limites c et ao de y, on trouve: [90] Voycz sur la première substitution de co N'. : Euleu Instit, Calc. Intcgr. Vol. IV. Suppl. I. § 57 — 61. Il s'étonne lui-mciue de eet artitice « a scopo prorsus aliena visa" : mais il lui échappe, que eet artifice se confond avec la « methodus prorsus plauior" des § 63, 03, puisqu'eües donncnt toutes les deux : ;; — =^ 2y-. [91] Cardans l'iutégrale T. 1, N". 8, (Métli. 4, N'. 6, Nole) preiuz q = .!, alors, puisqucr(J) == I/t, ona: / ' d.e r (r) ƒ (1 — a)'-i = --^'— v/TT (;iS9) o rage 295. 38 WIS- EX NATUUllK. VERH. DEll KONIXKL. AKADEMIE. DEEL A'^III. III. M''% 7. W. 9 — 11. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ax- -\- c 1 d.v ac — b /■■■"f ax''- A- c -l dx ac — b^ „ ƒ 11— — — -l^=Z . T. 28, N'. 13). / •- i/ [a^ X* +2{ac—2b^)x- -\-c'']l X ac ' ' fP 2x-—b^—p^ I ^/[{b'-{-p^--x^){b^p^-{b^--\-p^)a-^ + x^]] CP lx- — 6^ — p Dans I == / — ;: ; r^ dx, soit .c^ = p^ (1 — y). et vous aurez : 1 = ƒ ,r,., , f.n-, '^Js '^ ^ /i ^ '^^ = 1"'^"^^ ^^^' V+i'— /^' = 2/;.-, o ƒ' rfu TC = . (T. 34-, N'. 19). o Classe II. Substituiions traiisccndantes expliciles. ƒ1 3-;H9 ± a;P-? dj; p a:? ± a;— ? dx =='■ I • Pour XP = 11 et 7 = pr elles deviciiueut \±X^P X f x-P±xP X J J t o -^0 1 /■' j/»" ± »/— '■ dl/ 1 /■! ?/' ± »/-'■ - I — ;, = - ƒ '-Z — ~—-dij. Prenons i/ = e-'"^, di/ = — nc'^^ds, avec les limites P J y =•=!/!/ Pt !=<=!/ o 'o cc et O (Ic s, alors la transformation doiinc : — / —~ dz, iiitégrales que Ton trouvcra I) déduites Métii. 22, N'. 14. Doiic il est: ƒ -TT—T dx==- Sec. i rn, / dx = - -T- + e-0'+?0^ J l -\. eiP+i')-^ P + qij 1+2/ "o o x=Q 1 /•^=« ] 00 / d.Ardg.ij = {Arclfj.[c(.P+'i>>)\ ]-qi J p + qi ^ o + 'x=0 1 + 2 e;"- Sin. q.v + e-P^ Or, a l'aide de C. P. 21. et 51, Arctn.{e(P+ C^" ''•^' ^'^'- ')- O o par Ia substitiition x = - — j/. Page 298. Eï METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. ill. ^]''^ 7. N'. io, 10. , n (lx 0 2_,b2 15. De linieqralc 1 — ; ^ — -—-. Supposons — = Tam/.'^ i/, x- =^fi'^ Cos.^ y 4- -\- p'^ Sin.- IJ = q'^ — (7^ — p-]Sin^ IJ, ij- — a;^ = i'l' —p') Sin.'^ ij, .c^ — p- = {i/- — p'-]Cos.-y, Zxda; = {p'^ — g')2 Sin.ij.Cos.ij dt/, taiidis que les limitcs de y sont ici - et O ; par suite: ƒ? d:v n dy 1 f P 'o ■■() dl/ l,_ii=:i i) k^ ) i — ; — 'S*' r iin.'^A \ C (j'- — 7> ~ 1 f^I X " (lx = ~ F' ]j/ r*~ ■• (T- ob, W. 8j. De iiicme cncore ƒ" p =,^ r ''- _ fV '''^^=.qdrLr^n_fi (r-p-^)Sin.^^d^^ J ]/{■'<=' -p'ï.r-^') j *-'-p- q V 7M / i/{i'-{rr--p')Sinr-i/} V p 'o Les mcmes considérations doiincnt eucore ii l'aide de Métli. 3, N\ 1.1: j V/(.t'2-p^-)((/^-x') .3 V^ p^- / 3 r 7^ J ^ ^ /' -. , n 7. ■ . , /"'' ^•'•' ^^■*-' /->"<;■ 16. Tour LuiUgrale \ —— — -— il faut prendre x- =^ -^— ' —^ , d'oii P {'r—p^)p''Sln.^y ^ ^ (q'-p'-)q''CosJ;/ Jq'' —p'-)2Sin.y.CosJ/d!/ •" — P'=~l — — ^ Z77^- — ,~!5' — x- = ~ , 2.yrf.c-=ü-'o-' , ;- . q^—{q-—p-)Sui.-i/ q-^—[q^^2y')Sin^i/ i'i'— (7'-p')S'"--y)' De plus poui' X = p, on a Sin.>/ = O, ^ = O, et pour x = q on a Cos.// = Ü, y = '. ; donc on . • .' , /-^P!?— 5U9'— (9"— 75')'-'^'«.'ï/) trouvc pour notre integrale: l 77 / , — ^^^ ^_^ ^-^ f^'/, ou quaud q'^ — p"- ^r--/': o 2/ i/(l-r-^5»i.^y) -^ " ~g ^1 [/{1 — r'Sin.')/) 2q 1 j/(l— r^ASw.^y) ' '"' o o o comme la première integrale est 1" (j;) et que la seconde sera évaluée Métli. 17, W. 10, on a eniin. Pase 299. III. W\ 7. N'. \G, 17. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORBIÜLES DE TRANSFORMATION, /ï Lvdx 1 11 1 f d,p 2 ._ j/ 3 1 "^ = ;^ . La valeur (/ de z donne Cos.^ ip = 1, » = O ; la valeur de z Cos. q, 4 2 13^ 3 au contraire Cos.^ qp = 2 j/ 3 — 3, q = Arccos. j/ (2 j/ 3 — 3j. En substituant ces résultats on aurait dans la valeur de I, un terme au facteur 5ec.^qp: pour nous en débarrasser, (ce qui est néces- saire afin que nous ayons une integrale toujours palpablemciit finie), retouruons vers son expression — 3 ƒ cJ;i, puis en 2/; otons-cn un terme — 3 ƒ cJy, puis introduisons la substitution de z; alors : o -,-^-, + 1" rfz. Pasre 300. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. M'^ 7. N\ 17. Substituons ii présent la variable ip dans les deux iutugiales, il vient : '■=-'+ t^^ / .//, 2 + 1/8 ^ X '^^^ •o V\^— 7 Sin.^(t>\ ArccosV{2[/S—3) 3 /■ dep 2 + i/;i TT Ij = TT:; f 7 g I ,/ o \, OU comme = Cos? — , enfiii : Il =-3+^E{co..^''^,^rcco...i/(V3-3)} + '^^F [cö..^, Jm-o^V (V3-3)} = 2 1/3^,/^ nr\ 1—1/3 / n\ =-^^r''^T2)+- .4- ^(^-1^)' ('^- 1- ^- ^^)' 3 / TT 1 1 / TT \ I, = P Cos. , .-IJTcos. |/ (2 1/ 3 — 3) = r' Cos. — . (T. 15, W. 1 2). [941. ^ tK3 \ 12 "^ ^ ^J I>'-3 \ 12/ ^ ' ; L J ƒ' dx^.-x- /i fZj; ^77 -, 14=/ ^77. TT -, iie'cessitent unc y {i — x'-) J |/(l — x^)]^-'x^ o o ^ 1 1 ,, V f'''' — o wil dy autre trausformatioii. Sunposons-y : x' = r, doü -=^—Zx!jd!jJx'^x'^ = ^ , 1 — x'^ = = -— tÏ — r — 5T^i — ^^) 'ivec co et O comme 'limites de y, Mais aiiisi il y a unc circonstance m- nante, analogue ;\ ce qui arrivait auprès de I,: car I3 acquiert uu facteur (i+7')^ dans Ie dénominateur; pour Ie chasser, transformons I3 comme suit. Ou a ideutiqucment : [94] Eu égard -aux formules: P {p, Atccos. ^/ (2 ,/3 - 3)} = ip' ip), E [p, Arc,os. (/ (2 ,/ 3 - 3)} = i E' (p) + ^^, que l'on trouve cliez Lcgendre, Excrciccs de Ciilcul Intcgnil T. 1. Partio 1, N^. 24. On tire encore de Ia discussion : (1,-1.)=. f^- ^ = ^'' \y icos.^]-Zw{cos.^\ . . (3910 / 1/(3-32/^ +i/*) 3l>'3 l \ 12/ \ 12Jj' ' - I, = ƒ ; = riCos.- (395) 3 ' ƒ |/(3 — 3^/^ + »/^) 3i>'3 \ 12/ ^ > Pa-je 301. III. IVP. 7. N\ 17. THEORIE, PROPRIÉTES, FORMULES DE TRANSFORMATION, 1/(1— a;^) —d.v f , , 1 , „.| —dx Zdx^.v^ -l ^3^ '\ Zx\/{\—x'-)\yx 3i/ri— ^2)' iK.r'^ .rl/(l — --^-Ol^-ïH 3' ') Sx\/{l—x-)^x 3l/(l—x-) _ 3v/(l- 1 o -a^-)|' 1/1 c?.i; c/a- — f / — ; et enfin comme = — 'iiidy]^^x: x^ I 2 / .r+,»') " O Pouï ?/ = o Ie tcrrae intégié s'aiinule : pour en avoir la valeur claus Ie cas de y = cc , posous ^ . 3 1/(5' — 1)— 2,/(3— 1) 3 f / 1\ 1 l-}-J/^=3,alorscctermeaevient — = jV' N — .,] — V[~ — 1)J) donc nul pour s infini; par suite ceterme s uvanouit. Soit maiutenant 3-|-3 '/--f-Z' ' =3 ' -- ^ ) , d ou 1/3/ 2— V/3\/ , 2-fv/3\ ^ , , ^„165^+2 3 •'/' =-^( ^'+"-i A "~ 4 /' ''^^^^ ^'S.3 '2^ 1/3=;/^ +-+1/(3 + 3. /^-+y''). 3 .. 2 + v/3 Pour y = O on a 2 c^ v^ 3 = — + i/ •";, c- == ; pour y = j: on a c = cc, donc : ■+^^ 3 f* 1Z_^-^ Lf" 1 2_i/3V , 2 + i/3\'^ ■,4/3/ J , . 2— 1/3\/ , 2+1/3Y A present supposons z- Cos.- 1;, = , cl ou z- — -j = c'' üm. ff, z- -\- - = / 2 — 1/3^ \ 2Sit).(pd,i> , ,. . , = 1+5- Sin.- 3 V 12J j o o ^ TT /■ 2 Ja- 1 , / ^ TT \ [2 dx \ = - — F (7os. — = / — ;; — , (T- 73, W. 7, 9), / 9- Sin.x l>'3 \ 12/ ƒ i^Cos.a;^ ^ (I o f 'dx IK Sin.'- X = '^ E' ( Sin. — \ _ ^-^~^ F' f -Sm. ^\ = f 'dxX^'Cos. ^r, (T. 7 2, N '. 2 1, 2 3) , / l^^ 3 \ 12/ 2 V'' 3 ^ 12 ƒ ƒ •(I o ff 'T =~— = -^ — F' &•«.— = / — -— — . (T. 73, N^ S, 10). y---Sm.*.T 1^3 1^ 12/ / ^Cos.'x ^ ' '■ o "o Page 303. 39 WIS- EN NATUBEK. VEEII. DER KOKINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. IH. W". 7. N\'19, THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Sin.ady i v ^ ijosous ensuite Sin. x ■'= v Sin. «, dio = ■ -^-, tl oü 1 et Goscc. u pour les liinitcs Je ii ; nous ^ -^ ly' {l—y' Sin.' u) ^ •" ^Cosec. a. dy \y- Sin. u — r- :. Soit maiiitenant y — 1 = r^, dw = %zdz,a.\^c O et iy\{y-\){l-y-Sin.^a)) ■> ' ^ ƒV (Cbsec.a— 1) ^zdz — ; — rT,": — ^rr — 7~ — ~r~^ — ^ = SI ' (l + (l+s^)Sift.«){l— (14-j2)Sh).«} 4 /-l/cCosec."-!) dz \—Sin.a \—Sin.u . Posoiis 0^ = — —; V-, dz = dv \/ fl + Sin-u \/l— 6m.cc ^ \- ^"■^""-^ - — ^.^^^ " ' " "i g-^^^ '^ \ Sin. u j\ Sin. a j lors les limitcs de v soiit O et 1, et par conséquent: 4 1/(1 — Sin.u) ƒ' dv I Sin. « 2 IX 2 /•! Jü / ' av I il -\- Sin. a 1 — Sin.a I 1 — Sin.u \ | 2lx"2 /•! [^) ^0 •/ [(1 -^'^-) {i + ^'^- ^-^-^ (^4-^"){ 1 ;^ — TT") OU Ton a emploj-é les relations Itz — 2 «\ 1 — Sin. « •)/''' — ^ "\ ideutiques 1 4- Sin.a = c- (?os.^ ( 1 , ~ = Tann.^ . Substituons enfin ^ ^ \ 4 ]'\-\-Sin.a '^ \ 4 / 71 ^ .. f TC — 2 u v= Cos. IJ, dv ^= — Sin.ijdqi avec les liinites - et O pour (jf, alors l-\-v- Tang. o o ^ — 2 « f _ In — 2 «\ 1 otc. •! 1 — Sin.'- .S»(.''«I' , 4 l \ l' i J TT n df 4 ;i = 2u/2 ƒ'— ^ ^_::^^^ ^=2i„..2.F/si..!L_.--). [9G] .... (399) ^„ l^ II— Sin.'' \.Sin.W ^ [9(j] On rn tire encore : = 1/ 2.P' &n. V l,-^ (Sin. X — Si)t. «) \ 4 j f (400) = 1/™.F hSin.' - , ... (101) ('osec.a Jy O ^^i(^,. n — 2« il.V , . '1 — :r'^)(i— p^ +p'a'') 'o Patce. 304. (ï/ — 1)(1 — y'^ Si?!.'' a) Sin.a \ 4 r{p) (i'O^) ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 7. N\ 20. dl/ ^ ^ 1 o , 1 + '/' 20. La substitutiou de Tang. ,ï = y cloniie dx = — '~—, Cos. x = -—; , oj«.^ .v = ' , taiidis qu'aux limitcs Ü et — de .r correspondent les limites O et as de y. Ainsi l'on a : TT / -" = / -—^'- = - -, (T. 66, W. 18), d'après Méth. 1. N^ 8. [97]. ] p^ Cos.'- X + y'^ Sm.''- X J p^ -j- 5- a;^ Z ])q 'o o Eucore, a Taide des iiitégrales de Métli. 18, N'. 10 el 1 1 : TT f 'cos. px. Cos.p-'- .V. Covi xdx ^ j ^-Jd^Al^dl 'Li ^ L!ZL±Xri_) "" - , i > 5 > o ; / ^ / (1+!/^-)^'' J/ï r{p)T{ -x.Cot.O xdx = I ; = rT'l^: TT. — ; >'^>'? J>ö ; 98 , ƒ ' j ii+y')ii> yi r(p)r(5) %Sxn.\n o (T. 63, N\ 9), 3- vi 97] On en dóduit: ƒ == ;, ƒ dx - — — ~ -^. , —1\ ^ j p"- Cos.' x+q-' Sin.' X p-—q^} \p^ Cos.'- x -\- q^ Sm.-' X J 1 ^p., „^ ^ ^_y ^ ^ ^ ^ ^^^^^ et dp la niêmc mauièrc : /■ - Co.t. ' X 'lx TT f2 Cos. 2xdx TC q — p , ., ƒ — = , . (404), / ■ = -, . (40o) / p- Cos.- X -y q'' Sin.- X 2p{p -\- q) J p^ Cos.'' x -{- q^ Sin.'' x 2pq q-\- p "o o f '^'^ = r- 'Lf = ^ , (406) / p^-\-q'' Sin.^x J p^ Cos.'' x + ip'' -\-q'') Sin.^ x 2/? l/ (p'+ï') ■() o n dx ƒ2 dx n _p ^j p'+q^Cos.'x'^'^^'^^'j p'—q^^'Si^^Zpi/{p^-q^)'^" ''~ } p^—> -q' vos.- X o r ^f = C ~ = • (T. 69, N'. 8). / r^pSin.''x-Jf-qCos.''x f (q+r) Cos.^ x-\-(p+r)Sin.Kv 2 [/ (p-\-r)(q + r) ■'o o TT ^'2Gos.2wdiC 71 q u Pase 30.5. 39* III. M.^\ 7. N". 20. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, o o n f^SinJpArctg.y) n »"/'«> (a + »i— l)2n/-i / Cos.P+^''x.Cos.p.v.Tg.xdx ^ I , ^ , ^ ■^'■ydy^~ ' — ^^17^ ,(T.58,NM); / J {l-\-lj-^)iP+<^+l'' " 22a4-.p-i-l la|l Q l«/l(a-j-p — l)«I-l'^ ' ''' 0 o et a Taide de Méth. 33, W. 4: TT 1 'Cos. px. Cos. {(a + 1 ) .v] . Cos.^+P-i xdx = = f Cos. (p Arclg.y). Cos. {{a + 1) Arctg.y] ^^ ^^,^,^^„ = ^ f^ , • (411) •o ff ƒ Sin. px. Sin. {(« + 1 ) x) . Cos.'^+P-'^ x d.c ■=: = I Sin.(pArcfg.y).Sin. {{a -\-l} Ardg.a] 77- — ~' , ^ ,, = — ; '— -, . (412) Tang.1 x 2 »Sm. J 5 ;r , ;a > 7 > 0). (T. 63, N'. G, 5). Pouv p = 1 on a : PvV = OP ^i >(l>g>OX (T.63,N^ 4), ƒ "-^ :== "" , (2>?>0); quine diffère pas, / 7^.?.?; 2c;os. JjTT 7 Tg.l+Kv 2oin.\qu •o o r(;?+5— 1) r(l) 1 Sin.qTt de la précédeute. Pour p = 2—f/ on a : — — 7— - = -— ; — — = ; ; — — = 7- — , 1 rip}T{q) T(2-q)r(q) {l-q)T {l-q)T (q) {\-q)n d'apvcs la formule B, Mcth. 4, N'. 6, Note; donc: r%o.{(2-g)4^_^^^.«.lg.^^^^ /•ls>^{(2-g).)rf._g^ f Sin.1 X 1 — ï J ■^"«•' ^ 1 — ? "o o 5r ƒ '2 Sin.px n -— Cos.P—^ xdx = - , om. X 2 ü Cos. Iqn O i TT Sin. l qn , . , • , a • , . , (T. G2,NM), puisque alors = - =: '—'— = 1.71: mais ou deduit la meme mtegrale ^ '^ ^ \—q O —1 auWement, Méth. 38, N°. 5. Pase 306. ET METHODES D'ÉVALU.VflON DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ l.W. 20— 2'2, T l Sin. px. Coü. [{a-\- \)r]. Cos^+P— ' .r. Shi. x d.v = •o Cos. vx. Sin. ((a + 1 ) x) . Cos.<'+P x -^ — = ■■ Sm.x- o = pos.[pArcUj.y).Sin. ((«+ 1} Arcig.y) — -^L_ ^ ^^^.^^ Q 2'"V''-'^'. • (*14) o 1 Sin.px. Cos. {(« + 1 ) A') . Cos.''+P X — = I OIU. A' "o o CP Sin.xdx [P Sin.xdx ^ ^ Cos.p 21 Ou a- I = I :; • rrenons Cos. x = — , / \,'[Sin.^p—Sin.''x) j V{Cos.-'x — Cos.^p) Cos. q.' "o o Sin. (f d (f alors Cos.- X — Cos.- p = Cos/' p. Tanq."^ tv, — Sin. x dx = Cos.p— — , tandis que x —- O doune ' Cos.'' ip ƒ? Sin.xdx CP dep VÏSinyp-Sin.Kvrl Cos'^' o o 1 — )/'■' 1 + 2/' FosoDs a préseut Tg. {(f = y, Cos.(p = -;, dij -= d(f — - — , avec O et Tang. |p comme limites de y, alors uous trouvons : [P drp _ [Tg-hP %dy _ f T'ï l-\-r' ' ƒ \4rccot.{r^ (l-p^-Sin.'x]]dx^/{l--p'Sin.'.v)^~-\-^'Ë[p,Arccot.[ri^{l-p')}]~^l/ , ~ . "o (T. 3GS, N^ 11, 13.) 2 4'. Dans les intégrales C'^ X d.e fr' xTang.'- a: djD f i^ {Sin.^ X — Sin.'' a) [Sin.^ [) — Sin.^ x) ' j l^ {Sin.'- x — Sin.'^ a) {Sin.'' ^ — Sin.- x)' ƒ? xCot.'-xd.v T^r-: ;;: —7,. , ,, „ ,. , , supposons CoC- x = q'' (1 — h^ S«.- «), oü «^ = Got.- u, \^{Sin.^.v~Si7i.'tK){Sm.^ (i — Sin.Kv) '■^ 2 \ i Ji' 1 a /^^ = 1 — Tg.-K. CoL-ji, alors pour .Z' -- « on a : p-Si7i.'^t/ = O, ?/=0, el pour « = [i, Sin.'^i/ = ],ï/ = - ; rf« Cot. X dr. lepus. y — 2p2^2 5j-„.y.(7og.y.Si„.2a;~~l/'{(72 + l)&ft^ij;— 1][1— {1 + (1— p2)72}>Sm.2a;] "" Sj'n. a. ASin. |3. Cot. xdx . . , — - — ;; ^. — - — — -- — — — — - — . Par ces transformations les iutesralcs en queslion devienneut: l^(!!)in.'x — Sin.'' a) (Sm.^ p — Sm.- x) pArcüot. {q W (1— /'^ Sin.'' y)} dij Tang. '^ cc f^ Arccot. [q\X [Y—p^ Sin.'' y] dij osec.l .1 ^ ^^ ^^^.^ ^^,,^^^ ^^ , ^^^^ ^.^ I ^ {l—p'' Sin.'' y) o o TT Cos. « /" - , f „ ^ ^j.^"^ — c~~« I ''''<^'-''''- [?1^(1 — P_'^'"-' 2/)} ^y 1^(1 — P^ S^n.- y), et ce sout les mêmes in- 0 Page 309. [II. M'''. 7. N'. 24. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, tegrales de la Méth. 10, N'. 2, citces au Nr. precedent, avec la dernière integrale de ce Numero. On trouve donc : f^ a: dx n J 1/ {Sin:' X — Sin.'^ cc) (Sm.^ |5 _ Sin:' w) " 2 Cos. «. 5in. (3 ' *'^' ' ^''' 2 — ■ = 1 Tq. '- S. E (p , i^) 4- ' Tang. (i \ , l---{Sin.Kr—Sin:'c<){Sin.''§—Si7t:'x) 2Cos.a.Sin.t^\ ^ ' ^J^'iJT ^^^_^ yij. f? xCot.'^xdx 71 { ^ Sin.a — Sm.fJ( / \^ [Sin'' x—Sin.'' a){Sin^ ^j — Sin.- t) "" Wos.a.Sin.^, 1 "'' "' ' ^'"' ^ ^ "^ Taw^r. «. Stn.«' ' a (T. 253, W. 1, 11, 12). [101]. De la même maniere on obtient: i'' A^ 1 fi dx _ 1 p f 1-^— \ / i/(Si«.^r— 5m.^«j(5t«.2(3— 5in.-.r) Cos.a.Sin.^j \/(l—p'Cos.^j:) CosM.Sin[-i \ Tg.'"^]' ' j. o (T. 107, N°. 13), /"r Tany'^.xdx Tang.- a f2. dx f }/ (5m.2 X ~ Sin.- c<) (Sin.^ ^ — Sin.'' x) '~ Cos. a. Sin.(} f y/{l—p' Sin.- x)^ ~ ■f) 'o Tang.p _/ Tang.- «\ '— E- 1-. \\, (418) Cos. «. Cos.^ \ Tang. ^ [i j Cd'après Méth, 9, N'. 12); TT [^ Cof xdx Cos.u f 2 j \/~{Sin.^ X — SinTuï'iSin.-' (3 - Sin'^J) ^ Sin.'cc. Sin.§ f ''"' ^' ^^~P' ■^"'•' '""^ "" z 'o Cos. « / Tang.'' «\ ~ Sin.^a.Sin.p \ Tang.'' ^j ^' ' ' [101] Sur une autre dédiiction de la premiere integrale voyez Méth. 37, N^. 15. La sorarae de celle-ci avec chacune des deux autres donne respectivement: f^ xdx n i ^ Sin.a — Sin.^\ J «ÏT. ■' x.]/{Sin. ■' x~ Sin. '' «]{Sin.^li—Sin.\v)^2Cosa.Sin.ii V ^^''^^^ "*" ^'"' ' ""^^^"'^ "^ ^h^Tg^ j ' ƒ? xdx n \ = {'Eiv.fi) 4- Tg.'' ^. E [p , (5 4- Cos.-'x.\/{Sin.''x — Sin.''«){Sin.^§—Sin.''x) %Cos.a.Sin.§ { ^' " ^ ^ ^ ' ^^ ' i ; t" « Cos. ^~ Cos.u I ^ + -^-z Tang.^ . (T. 253, W. 2, 4). Cos. a J Pase 310. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. ili. M^'. 7. N\ 25, 2(). rp \A-rSw.,v Cos. X (lx , ^,^ . .^ 25. Dans r;n/cyra/c / / ^-- T-^r-T e- ■■ ,l'^^~r^ ^(»<1) subtituoiis / 1 — tSuu X j/ \Sin.- X — Sm.- a) {iim.^ ^ — bm.^ .t) a Sin.^a; = q- {l—p"^ Sht.-y], 01I7- ^ Sin.'^ ^j; p"^ = T — Si«/- «. Comc- /ï ; alors pour ;c = [i 011 a: 71 2 Siit. X. Cos. ,x dx p'^o'^ Sin.^ V = 0, t/ = 0, et i)Our .r -- « 011 a : Sin.'^ '/ ^= I1 '/ =~; et dii = — = ^ ^ ^ '^ ' 1 j './ ,^' —p^q-.ZStii.y.Cos.y — Sin.r.Cos..id.fl . , , , . 1 ^r/, , r> tvto .. . üès-lors iiofre iiitcL'rale devicnt, au inoycii de Mclli. 10, JN .0: rl-j-rS/w.jf Cosxdx 1 /'■^ l-|-(7ri/(l — p-Sin.-.i;) dx |/ («Sifl.^ (i — Sin.- x) {Sin.'^ x — Sin.' «) f^ l-\~rSin.T Cos xdx 1 f- 1 l — rSin.x \/{Sin.^x—Sin.-a)iSiii.-[i—Siii.-.r) q j ' l~iir[/{\—p'^ Sin.-x) [/' (l—p- Sin.- x) 'a. ' u ïT iSin.a j ... __ -pi ,Arcsiii.(rSin.'l), . (T. S(! I, N'. Ifi). Piiv la menie substitution on trouve encore la lor- Sin.^ [Sin. f ^ 'M ^ Sin.^"+Kv.Cos.xda' fP Sin.^"+Kv.Cos.xda- p ^. , , .,. muledctransfoimation:/ ■ — —7— — -- — — —-—-== I dy[SiH.'u.to.':.-y + Siii.-[j.Sui.'ij)", f \/{Sin.^x — Sin.'u){btii.'ti — üin.^x) f 'a "d fP Sin. X. Cos. xdx ■n d'oü püin- a = 0: ƒ --77—.; „. , ,,,,. , , ^^-7-; = ^ ■ i^- 1<^7' N- 1- [102.. ' / [/ {Sin.- x—Sin.^a){Sin.'' (i — Sm.' x) 2 f P Cos. X dx 26. Soit Vinlégnde \ —-r-r, .,„■ .. ^. , ,, , , et prenous •^ f Sin.^''+Kv.[/ {Sm.^ X — Sin.- u] {Sin.' [? — Si7i.^ x) Sin.-' u. Sin. -"^ . V.. , c- . o- , /, , Sin.'^^—Sin.-'a Sin.'^x-^^ :; — Tl dou hm.^ x — Sin.-a=Sin.-a.Cos.ii-- „. „„ _. „ , Sï"«. = «.Cos.2y+5in.*[9.5in.'// •' Sin.^a.Cos.hj +Sm.-§.Sin.'y Sin.''() — Sin *a Sin.- ti — Sin."- X = Sin.' [!. Sin.- w — ^ — ; — ;; , 2 Sin. x. Cos. x dx = ' ' '' Sin.'a.Cos.^y + Sin.^ ^.Sin.-'y Sin -^ § — Sin.^ cc = — 2Sin.- a Sin '~ii.Sin.t/.Cos.y du -—^ — ; ■ aux valeiirs « et i3 de x ' y J J (^iJx.\/{Si7i:'x—Sin.^c.){Sin.'^—Sin.''x) Sin.^u.Sin.^^J "^ » i i »/ a O TT «SiM.^ a 4- Si».^ ,i = - -. (T. 107, N^ 5 et 6i. [1031. -r, . f '^■'^ • /1 ^"^-^ /' iJ7. Pour C intéqrale f r r soit Cos.^x = , / Cos.'^''x.\/(Cos.^x—Cos.^p)(l—Cos.^-q.Cos.-x) i—Sin^p.Sin^y o ^ , ^ Sin.'^p.Cos.'^p.Sin.'^V ZSin.-p.Cos.^ p. Sin.y. Cos.y dy Cos. '^ X — Cos.- p = ' ' , — 2 Cos. j'. oin. ./; d.v = , 1 — Sin.'p. Sin. ' y (1 — Sin. ^ p. Sin. ^ y) * Sin.p. Cos.y ir, ^ Ai«. j; = ~ — — ; taiiuis (lue iioiir .c = O et x == p oii a; Sin.^ ii = J, w :-=z - et [/{l—Sin.^p.Sin.^y}' ^ ' ' ' "^ 2 Sin^ 1/ = 0, ^ = 0; doiic: /•P dx 1 r 2 dy{l — St«.» ;). Siw.- y)« / 6os.2«j;.i/( ^ ■> 1 c- ■, V' — Sin.' y ^ (1 — p-)Sin^y OU p^ Cos.^ x; alors &n. ^ x = —~- — ~ , Cos.- x = ^^ --^ , — 2 Sin. o). Cos. x d.v = p - Ces. ^ y ])- Cos. ■ y — '' ^; ;; — r"fV {•■ — /'' ^'"•' ^1 = — :, ; a; = O donne: om.- y =-- p-,y = Arcsin.p, p^ Cos.^y *- ^ ' I Q^s.y J I ^J f' ^ -o ü ■i' = - iiu contraire: Sm-.y = , y = 0. Par la substitution de ces valeurs on obtient: •p- ƒ"-- 1 — p- [Arcsm-ji ,1 1 f2 I Sin. X dx j/- ( 1 — p2 Sin.'i a) = ~ - ^ ~ I ■^~ , j Sin.'- .r dx J. ' ( l — p^ Sin.'- x) == J p J Cos.' y I 0 o "o ^—P' f, , 1^ f Arcsin.p dl/ rArcsin.,, (/,,-. ^^ •. I'P' — ^) I T; — :: — + i ;:. — ' — ■• Quoinue nous pnissious réduireces inte- p' •- / Cos.'^ y j Cos.^ l/J ' ^ 'o o grales comme nous l'avons fait au N'. 21, nous retournerons aux inte'grales primitives, et nous y ferons Cos. .r = j/; alors elles devienneut: ƒ dx[/ {[l~-p-)-\-p'^ x^] et / (l—x^)d.r[/{{l—p-)-\-p^x-}, intégrales qui sont de la forme des formules (58) et (59), jVfétli. 1, N'. 8. On a donc: 5r TT 1 Sin.xdxy {\ —p'^ Sin.^ .r) ^ -+ ~'^^ l^'^^ , ('sin.\rdx\/{l~ir-Sin.''x)^^'^ + J y ^ ' ' 2^ ip 1-p' ƒ ' ^ • ' Hp^ ^ o o (3»^ + 1) (l—p-) 1 +/' 16p' 1 — p / (iy dii et par ie retour aux integrations de -- — et -~ — , en y posant O et u pour limites: tos.^ y Cos.^ y f1 d,/ 1 Sin. q 11+ Siu. n ƒ Cos.^y 'ZCos.^q^ 4 l_.Vi„.^' ^ '' 1 dy bSin.q — 'óSiii.^ii 3 }4->^in.o — z — __ ^ ' I i ' i (427) Cos.^y ' SCos.''q "^10 J— S'/n// ^ ' (I 1'age 314. ƒ ET METHODES DlVALUATlüiV DES INTÉÜKALES ÜEFLMES. 111. M^". 7. l^^ Öi), 31 . Siii.x {l-\-pCos.x)'^ 30. La substitutioii — — =om.i,', (r)<'l)(louiie 1 — »^oj/;.-(;= ■ — , \/{]-{-2pCos.j;-\-p'-} -"^'^ ^ ' ■' \-\-1pt'os.x+p^ 1 4" p '-^O''- ^ f (hl <= • T dx. Quand x croït de O i\ \n. Sin, i/ doit croltre un mêmc teinns de ■' l +ipCos.x+j>'' i > .1 1 0 II - 1^ 2'\ » P3''ce que Ie iiuméiateur devient plus graud, lo déiiomiuateur au contraire plus petit. I'our la valeur de x de - ji n , Sin. ij retounic coiitiiifimeiit a zéro: donc ;/ croit de O ;\ 7r: la valeur de dij raflerinit cette coiiclusion, puisque rexisteiicc d'un maxiinuin ou il'un minimum do ij enlrainerait la conditioii 1 + wCo.s. .i'= O, Cos.x= , plus "rand (lue p „ . , , . ., , , . r SiiL^^^dx ('^ SiiL'^oydij 1 unite, chosc impossible. rar suite: / , = f , (I) ^ / y (l + 2pCos.i:-irp^f-''+^ j v/ (1— /;= Sw.= ./) "o "o équation de réduction, qui est souvent employee. Pour ti =^ O et a=l clle donne successivcnient : ^=^ dx f- du y'{\^2pCos.xJrp-^) '' j l/{l--p^Sinr-:j) ^"' ^ ^ o o /•f Sin^adx (■" Sin.^ydi/ 2 ^TTTZVr — nrr^' • (■^••^^)' = / tt^ — hr-^-, = -2 (^ (p)-E'fp)}, • (43 ij / [/ [l + 2 p Cos. X -j- p^ j^ J [/ {l — p^ Sm.^ ij) p^ o o r d'après Méth. 3, N'. 11, puisque dans rintégration par rapport a ij ou a evidemment : ƒ =^- ~ / • o *f) 31. L'introductiou d'une variable imaginaire dunne eneore lieu h quelques observations d'après la Première Partie N'. 27. Dans les intégrales f^^^—x)P{l+x) "^t écrire : M {l—,r)P{\+a.) iT'''=, < y = ) — =^ ~- , avec 1 et O comme liinites de »/; doiic: 1+.!/ ^+!/ l+'-ï y l—x- I , zfc ; I , = 2/'+? ƒ ~ = —2/^ +./ / •- ^ I [{>J+l)Cos.l±(y~l){Si7ij]p+'l j [{l+y)CosJ.^{ï—y)iSin.X]P+Q ()r, comme ± (^ — 1) -= =f. (1 — y) et — 1 -= + f , les deux fonctions a intégrer soiit identi- 'l ■(! quemcnt égales et on peut les comprendre dans uuc seule de ,v = O n r = x, c'est-;\-dire: /■°° yl-^di/ 1 ±tl = 21'+'} I — ; — - — ; — ' — — -Tjj . Afin de rendre Ie dcnominateur léel, /[((/■+ 1 ) Cos. i±{,j—\) i Si». ;.]p+? ■() inultiplions-le par [e±-'''')"+'i = [Cos J. zfc iSm.il/H-'/, il devient (1 -\- y e±-'"'}P+V, donc: ... /"'" hi-Uhi . f'^(i/e±z^^'^)'!—^d.(i/e±-'>') I,±il., = 2/'+?(.±''0'+'?) ƒ - --^ ■!- =. 9.i'^-v) I ~ ^— x-r ■ ' / ( 1 + J/ e±2^')P-i-? J (1 4- l/e±2).'jp+9 "o o Mainteuant la dernière integrale se trouve dans Ie cas, que nous avons étudié Partie Première, N°. 27, pourvu que c±2>./ ,.este plus graud que — 1, c"est-ii-dire que (2P.)- soit plus petit que n- ou A-<^|7r-; dès-lors ou peut prendre la valeur intermediaire zéro de /. pour simplifier 1'iuté- grale, et l'on a : I, drjT, = 2/'+7e±^'(/'-9) ( — — = 2P+9e±Mp-'i)^^^'^ ''^' , d'après Me'th. 4, N\ 6. ; (1+2/)/-+? r(p+5) o Puisque e'^Mp—g) = Cos. [{p — q)).} ±iSi)i. {{p — 7)/-}, on peut séparer les parties réelles et les parties imaginaires, et l'on obtient : r+i(jL^)P(H-^)? + (l-.^Ol(i+^' dx . , r(p)r(r (« + 1^' - '') »} / /(-i-) d:e , o < 5 < 1 . 1. Cette formule, qui a été déduite Paitiu Première N'. 13, trouvc son applicatiou usuelle daus la déterminatiou des valeurs qui doiveut surpasser uiie integrale définie cherchée; détermi- nation qui souvent a pour hut de décider si rintégrale eii question reste finie ou non. On en a surtout besoin auprès de quelques methodes, nous oflrant uue integrale, qui contieiit une con- stante k, soumise :\ la condition de diverger vers l'infini: la question nait alors, si TintéoTale reste finie ou non. /"" e—'^'^la: (lx ^ 1 2. Soit p. i". l'attegrale j , on A: = cc . Prenons >i Lr) = d'ou "o (comme ici O <^ a -|- (ö — a)0■ f/' (« + (^ "" '*) ^] > ^- Désignons cette vaieur par/, 71 Ik 71 alors d'après Métli. 12, N'. o on trouve: — f{lk-\-2l-Z + A)[/- = — fy'7i—f{-Zl-ZA)\/-. k y^ k k La dernière partie s'annule, lorsque k devient iufini : la première partie, qui est indétcrininée, 11 2 doune par la règle ordinaire — : = = O pour k = cc, donc: ^ ° k 2\/k [/k ^ e-'^^la; d.t ; = O, /c = cc (435) f i: Si Ie dénominateur i'tait e' + e"-*' -[- 1, la vaieur de ƒ changerait bieii, mais n'intluerait point sur Ie résultat ; donc : - = 0, i==» (436) er ^ e-^ + 1 l/ ;'• /* g-kx dx 1 3. Si on avait Vintéqrale ƒ , pour (pip) = ■ , la vaieur de /" resterait ^ / e' + e-^y'.v^ ^^' e' + e.-^ o ƒ"" e~^^' dx TC = i/' - , qui s'aniiule pour un k iufini: \/^ x k o e-** da; = 0, i = oo, (437) ex ^ e-x j/ .,; f /■" e-Kx jj. et de raême: I : = O, i = x (438) PaM 317. Ilï. M^\ 8. ^\ 4 — 0. THEORIE. PROPRIÉTÉS, FORMULES DF. TRANSFORWATIOX, . , ["^ e~^^ CoB.px d.r, ('^e—'-'^'Sin.px dx 4. tiicoie poiu' les «H/Mra/es I et i , on obtiendratoujoiirs o 'o ["" e—'^'^Cos.pxclx f^ l/ (P'+^*) + ^"i la mêiiie valeur. En outre, tVanvès Metli. 26. N'. 2 ou a: I = i/l ; — -\ "o ƒ'" e—^^ Sin.nx dx f^l/(P^+^') — ^'1 , " ==1/1 1. Lorsciuc k devieut infini, ces intea;i-alcs convcr- \/x ^ Vl p'+k'' J ' ' = o 71 ü , \ gent vers j/ - et j/ -y, c'est-;\-dire toutes deux vers zéro. Par conséquent on a: ƒ'^ e—'^^Cos.px dx ("' e—'^-^Sin.px dx --=0, (43/X g;S O /■i xl'(lx)P-idx 1 ,....,. Dans i intcqrale I Ic facteur ~ ne dcvient lamais lulmi pour ■^ ƒ l + -l X Cos.X + x' ] -\-9,xCos.X-\-x'' PaM :318. ET MÉTIIODKS Ü'EV VLUATIOA^ DES INTKGRALES DÉFINIES. III. .M'". 8^ 9. N . fi — 8. l/i. les valcurs de .r, 0<'.c< c/:, et oii a riiité'Tale f a'-' (ld!)P~'^ de = 1 — ])P—'^ - ; voyoz Méth. -29, I^'. i. Celle-ci üMvaiiniiit iiour /; = co et Tüii obtieiit: I O , /c = O) (4i5) l+-ZxCos X+x^ 7. -Mais c'est aus^i ilans Ie cas oiV uiie constante convcrge vers zéro que cctte me'tlioJe est employee avcc succes ponr la detenniuation d une integrale propnsee. Kvaluons I e±;'ï - pour l ' 1 9 dtV [9 dw Lim. p = 0. Alors il est: / e±?'^ — =- e^^->P j -- .= e-'^Plq , O < g < 1. Or, imi.-ciue I 1 g±5y, ._ (^±/n(( = ]■' = ] pour la limilc O de p, on a enfin: f e±/'^ — = Iq , Lim. /; = O (ilfi) 8. Quelqucfois di'j;\ il a été fait usage de uotre formule, la oiï il s'agissait de restreindre la valeur iiiconnue d'unc integrale a quelque fonction multiple entie des limites resserrées, aiin de pouvoir décider quelle valeur de rindélerminéc convcnait au cas disculé. § 4. METHODE 9. DIVISION DK LA FONfTIOX A INTEGRKR. ƒ6 rb rb r/(.r)±r(.p)] d.r = I ƒ(.■») dx ± ƒ F (.r) d.i {^) on j)eut transformcr Ie second meinbre de cette équation au lieu du premier, ce qui est souvent d'une grande utilité, puisqu'il y a deux termes qui peuvent être transformés, chacuu a part, soit de la même maniere, soit d'une maniere differente. Or, dans Ie premier cas la transformation sera en général beaucoup plus simple qu'elle ne Ie serait dans l'intégrale primitive: dans Ie second cas cette transformation y serait impossible. Ou s'apercoit aisément de quelle utilité peut être une division judicicnse de la fonction a intégrer. /■' /■' /"'lil 2. On a : ƒ {\—x) jP-' d.r -•= ƒ .r/'-' dx — ƒ xP d.r =. = , (T. 1, N'.5), o 0 0 d'après Méth. ], N\ -2. [105]. /' 1 [105] Substitupz 1 — 1' — y, alors il (st: I (1 — ?/i/'~' ?/ (/y = (4-l'7) J ' 7'(P+1) o Page 319. 41 WIS- EN NATIVKK. VEKH. DER KONINKI,. AKADEjriE. DEEL VIIL UI. M''". 9. N'. 'l, ó. THEORIE, PROPlllÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORiMATION, ƒ --~— rfa-= ƒ {1 ^x-^-x"" + ... + a;'— 1} dx = l dx -\- ï xdx-{- j x'dx + ...+ + j x^'^dx^ i_j--+_4-...^- = i:_, (T. 3. N'. 5). £ 3 a i n xP-'^ dx f^il — x)xr-'^ dx f'^xP-'^ dx ƒ"" xl' dx 'o /■* xP-Ulx r{l—x)xP-Ulx rxP-'^dx ƒ"' XV dx f T+X + ;fc'' +...+ ^''-^ "" j 1 — *■« "" j 1 — ^a ~~ ƒ 1 — j;« (Vaprüs Métl). 22, N'. 11, et aussi de la mcme maniere (voyez encore Mi^th. 22, W. 12): '•Zp4- 1 / , , .-• Sin. , aP-^ dx V 2a , , „, , p<2a; (450) 1— or + a;^— ... — a!2"-i „ „. P^r^. /P+i ' 2 a öt«. — . oin. 2a \ 2a T *Sin. ( 1 . Cos. I - ■ ■ d.z ==■ I -\- I . DaDs la dernierG mteffiale sub- {\^x)- f (\+x}- ^ / {i+x)" o o ■() \ —dy stituons X ■= — , dx = avec cc et 1 comme lirnites do y : alors la fonction i"i intégrer coïncide avec celle de Tintégrale précédente; mais les lirnites sout devenues 1 et 00 : on peut dono comprendre ces iutégrales dans uue seule aux lirnites O et co : or, la valeur de celle-ci a été trouvée f\ jrp~\ 4. x^-P—i T (») T(a — p) Méth. 4., N\ G; donc: ƒ — " ^T dx = -"V;^ " ■ (T. 4., N^ 4). ' I (1+^)" 1"'' 'o • xP + x—P /■' .1 V dx /"' x—P dx ' ' ïci eiicoie la .l + x^ ƒ• xP + x-P /■' xP dx /■' x-P d. 1 ■+-2xCos.X + x^ ■» — / i^ZxCos.l + x-^'^ I 1 + 2 .(• Cos. o o o /■' 2 Prenez encove ij^ = z, alors : ƒ (1 — [/' z)P~^ dz = — (l'^S) Page 320. ET BIÈTHODKS D'KVALUATlOiS DKS INTÉGllALES DÉFIMtS. Hl. M**". 9. N'. O — 5. substitution de x =■ — rend la dcniière integrale egale ii ravant-dernière, aux limites pres, qui ici sont 1 et =o : donc on peut rassernbler ces deux intégrales dans uue seule aux limites O et cc, dont la valeur sera trouvée Métli. 22, N'. 2. Donc: ƒ' xP + x—P TC Sin. p X 1 ro^rlT^'^^^T- ~^'^ . P<1- (T. 7, N^ 7j. ^ l -\- zxCos.K -\- X- bin.pn.oin.7. o •^- j '^■^^■^ iT:.^ =^i v/Tr^^^)'''^=j W??^.^-/ vTTlir.T)- ^^ première 0 0 0 0 a été trouvée Métli. 7, N'. 14. La seconde a pour valeur j/ 2. E' S/n. -1 — P' -Sin.-! riOfl] \ 4/ 1/2 \ ij donc: / (l^\/ -'y-\ = l/2[l"(5ui. ^j — E hSui. ^)|. (T. 12, N'. 'J). [107]. "o TT ö. La substitution Jt =^ luiu/.y donne: j ^(1 4--'^) = / H^ -\- f'^"^ff-!/} /, alors elle devient éaale a la dernière integrale de ce même membre mais a. signe contraire: ces deux intégrales se détruisent par consrtjucnt, et il vient: TT TT jiil-\-^) ~^,(T.160,N°.2),= ^V+7>-2/)rfy,(T.306,NU),=?(^/2). [V«= J(i/2)=^.'2. [108]. 'o "o "o 0. De riniéyrule l lT[x-\-p)dx. On a trouvé (Móth. 3, N'. 7, Nolc) la formule 'ü r (i'-f-p) == JP'' r {x) = x{x -{■!)... {x-\-p — 1) r (p). Prenons les logarithmes de part et d'autre, et iu- te'grous entre les limites O et 1 : / lr{x-\-p)dx ==- j [Lv+l{x+l)-\-...+l{x-\-p—l}+lr{x)]dx== 'o o = ^ 1 l [X -\- Ji) dx -\z I lr[x)dx. L'intégrale sousle sigue de somniation est laformule (71) (ou T.-i2, 'o 'o /•i p-i N^'J); Tautre a e'té trouve'eMcth. 1.,NM5. Donc: ƒ l{x-{-p)dx=}J-Z7i + :S ((1+h)/(1 +n)—7iln—l}. Mais la somniation se laissc réduire de beaucoup, car, en posant m au lieu de 1 -}- n dans la ,j-l /)— 1 ;;— 1 première' des sommations partiellcs, ou la trouve egale ïl -2" (1 -\-7i)l[] -\- n) — ^ nln — 21 = o 0 0 =^2 ml in — 2)1 In — p, puisque la deruière de ces sommations nest autre que p fois 1 umte. 1 o ;' ;'-' /'— • 7'— 1 , , , Or, 2 7n l ni =■■ 2 nln -\- jylp et 2 nln =^ 2nl ii, parce que pour n = O, rargument n l n s annule ; 11 0 1 p-i [\ 1 donc enfin: 2 {{l -\- n)l[l ^ n)-~ nln~\] =^pl p —p et: ƒ IT {x -\- p) dx =- -l%n-\-plp—p. o J ^^ o (T. 307, jM''. 4). 7. Aussitöt que Ton a un dénominatcur a. plusieurs facteurs, il faut faire usage des régies connues pour la réduction en fractions parlielles; aiors on est ramene a plusieurs intégrales partielles, qui seront toujours d'une forrae plus simple que l'intégrale primitive. Dans la suite Ie [108] On dcdiüra orlte iiilcgralc d'uiic autre maniere Mctii. 19, N'. 1. Paue 322. ET iMÉTilüDES D'KVALUATIOJN DES INTÉGRALES DÉlliMES. IH. W'. i). i\'. 7, 8. calcul des fouctions partiellcs sera ciiticrement omis, et les résultats seuls de ces calculs seront regard(;s comme dnnm's: en général pouitaiit on pourra aisdinent les vérifier. "o o o ri (i + wy- ^ i'^-^r+.-^^=°'^'^- ^*'N'. 5), o o o o f l—p^x^ 2J \l+p.i- l—pasj 'lp j 1— ;^.r lp l - p ^ -" ^ '' "o o o r •'? — *'■ , y r f 1 1 I ir ^- / 7 1 > ^ , N ^'^ '^ r"i ~ / ^^^~ -^'O ^-'-' i ';~~r'i=7-r~\-^0ot.rji — 7tCot.qn-- I (-'^—1) (*+;') i+W U— 1 ^•+p) i+p »- "o o Ttp'l np>' I TT Sp'J — Cos.g-rr p'' — Cos.mi bin.[{(l-\-\,n} -St«.[i,r + l}n] j 1+pl Sm.qir Sm.rn | •< ^ ' ^ ' ^ " tVaprès les intégrales tiouvées Méth. 23, N\ 11 et 12. Rien n'empêche de prendre zéro pour r, raais alors Ie deruier terme dans la valeur devient indéteimiué. Or, la règle ordinaire donne : pr—Cos.rn prlpJf-nSin.rn lp ^ f'" x1 — 1 n Ip'^—Cos.qn lp\ — ^: = — = -^, parcousequeiit: ƒ ; dji; = l- ~- — -- l , oui.rn nCos.rn n J (x—\){.v-\-p) l-\-p\ Sin.qu n] O 9^<1. (T. 23, W. 16). [Uü]. De la uiême maniere, et u i'aide de la mcme integrale de la Méth. 22 on obticnt : /•o Cos X dx [lOlIJ Tour X = Sin.y.p = Cos. l, on a : / — -— -^—7-7-,- = -^«c. X l Col i l. (T. 66, W. 1 7). / üin. ■" /. — Cos. ^ K. Cos. ^ .V •o [110] Primilivfnient on a ^ o" 1' , _ rl) dx — = / X — -1 x — r r — 1/ \a: — r x — \ j o o 1 /"^ [xf — aP— 9) [xl - rl) 1 /■* {xP — xP-l) {x; doiic: bui. [ p — ^J Tïj n Cos. [(p — q) Tij n 'xP — 1 XP — rP TT f r^P — 1 rr Ip^ dx= ~-\-r-^- 1, 2/' + q C^}^ ^qf I l7+^s7^ ~ ij^+qCos.^' ) " ^ "(I ƒ'"^ dx 1 p»" i pdx p Cos. X -\- q \ _ _^_ I — o dr f, et enfin: (p + qCos.x)' y,2_,y2 / Ip+qCos.x {p-tqCos.xY' ) o "ü ƒ'^^ pCos.x -\- q 1 r'^pCos.x-^-q 1 1 pCos.x -\- Ij 1 l'''^ {p -\- q Cos. x)- q J Sin. X P ■\- 'I Cos :r q p -\- q Cos. x Sin. x) 00 o 1 f''^ 1 Sin.x{ — pSin.x)— {pCos. x -{- q)Cos.x ] p Cos. x -\- q l 1 '"'' , 7 / P -\- n Cos. X Sin. ^ X 1 P -\- 1 Cos. x Sin. x I Pa™ 32 k KT METHODES U'ÉVALUATIOA DES IJNÏÉGRALES DÉFINIES, III. M'^'^. ü. N'. i), 10. l f'^ dx l»(7os..c + a 1 l'-T 1 l-""- Sin..T 1 '"^ „ . ■ - ^ ,, ■ i -j J = _' *— - ^ — ( — -Cot.xr = \ . Quoique ici a 1 aide (/ ƒ Sin."^ X Q P A- '/ Cos. X Sin. x) n ) P -\- O Cos. x' de 1'intégration par parties on obtienne d'abord une partie intégrée qui devient intiuie pour la valeur zéro de x, il u'en résulte aucuue difiiculté, puisque la seconde integrale donne uu résultat également iufini: ce n'est que par la combiuaison de ces deux résultats que Ie facteur Sin.x, qui se trouvait dans Ie dénominateuTj est détruit par un autre Sin.x dans Ie numérateur. On trouve donc: f"^ p Cos X A- q Sin. rn , ^ I Ji XJL_ djf ^ . .^ (457)^ ^ O, (r = a), / (?' + 1 Cos. x)^ p-\-1 Cos. r n ^458) = -(r = 2a-j- n . (450), = (»• = 2a— j) , (-160^. Donc ;i l'aide de Me'th. 1, W. 13: P P dx 1 cm , {p'9^), — 1 (p-^<9^-), (r = 2a+'),(4G5), =- =-- , 2P+77T — ^^' .(p-<5). o- »^ l/fO-' B^1 » . (406) f'^xSin.pxdx l f" dx l r*. dx ^ , , x , , 10. I = - ISin.p.f jbm.px . Dans Ja derniere integrale posons .; q-—x'^ Z f q — x 2/ j—q)) — = I Sm.{i,{'j—q)]~' — I Sm.{p{,j—q)} — . f q+'i: I y I y ] y 'o "'/ o o La première des intégrales partielles dans Téquatioa primitive devient discoiitiuue pour la valeur 9 de .v: par conséquent ii faut (Méth. 2) chercher la correction Zi. correspondante. Elle est: ƒ 9+-' dx /■+' ^d-e „ /■+? dx Sin. pi ^= / Sin.lp{a-\-(j)j — (par 1 introduction dej' ^ q — .r) = Sm.pq. I Cos.px — • + q—j: J_^ ^ -L. "^ + Cos. pq. / &«. px - = 6.«. />?. j rf^r ^ -^-^ ^— + Cos. pï. j d.t ^ ^^;;^ -^ = (1 (-0-- ^(-1)" (p^)^"-(-p^P)_. ,. '»(-!)« 2 (p*)2"+' = Sin.pQ. l-l 4- .2^ :~ + Cos. pq. >, • . '^ (3 é'- ^ 1 12"/' 2» j ^^ i 12»+i.i 2n + l Or, comme Ie facteur de Sin. pq est identiquement zéro, que celui de Cos. pq est une série de i a puissances positives, et s'évauouit aiusi pour la limite zéro de f, la correction est nulle. Substituous maintenant dans cette méme integrale q — x = y, alors elle est : /■" d.c /— * , « V /""" , ,«(/ /'?, f ^dy \ Sin.px = — Sin.{p[q-y)]-^ = — / Sin.{p{q — y)]— -\- j Sin.{p{q—y}}--, et par / q—x I y j y .1 y o <] OU ƒ"" X Sill.px dx Ir [~T ( . ,-,<^!/ , R- I , x,''y - ., y- = r,\ — f ^"'■[pil—y)}-' + / '^'»- ! ?'(?—!/; / — — o 'o ü — / Sin. {p(y—q} } + I 'S/". {pi>/—q)] " I- Comme Siu. (p (u—q)] = — Si/t. [p[q—i/)] , les deux ; y .1 y* o o intégrales prises entre O et q se détruiseïit. Substituons y = — s dans Ia preuiière integrale, au ƒ"" a: /Si« px d.i ^ r f * r \ > ''■'^ — T — :;^ = — ö I /■^'"•(/'(•'^+'./)) — o o + ƒ 5m.{p(.r-v)}^']=-Jf ^[6ï«.{p(.f-h?)}+'Si«.{p(.r-9)}]--Co..p9./' '^ + Sin.pxdx Cos.pq, (T. 206, N', 1), d'après Méth. 6, N\ ü. De la même maniere on trouverait : dx 11 ƒ Cos.p;c ,— -- = ^Si«.pï. (T. 206, W. 2). [UI]. [111] Ces inlt'giales sirout déthiitcs d'ime autre maniere Méth. 24, N^ 5, Méth. 25, N'. 3,:Méth.43,N=. 14. Pa?e 326. ET METHODES IVÉVALUATIOIV DF.S INTÉGUALES DÈFINIES. III. ^P. 1). N\ H, 12. f' .'•''■'• ' ri -'-d-^ ■•'■''•'■ \ .. , ., . , , 11. ƒ .=:: f + — . Dans la nrcinicre integrale par- ( pi — Cosr-.v -lp I \p-~Cos.,i- p + Cos.xj ' ° ' "o 'o /■=»■ .vdx 1 /'T n — .V l /"'T .i'f/« tielle substituez .<• --- tt — », vnus nuiTz: ƒ ;t — 7- ^= — / d.c -\- — ƒ = / p'—Cos.-a; 9.p J p-\-Cofi.;v 2p J p-\-Cos.x ■|i 'o "o 1, N\ 1: 1 f'^l — '2p'-Sin.-x + p'^Si7i.''x)—p- {(Cos Ja; — iSin.'^ j^){l — p- Sin.^ .i.)+S{n.^ .t.Cos.- x) / i/{\-~p-^Swr-ar "o 1 f"^{l — ip'-Sin.-x + p ' Sü) . '' ~l-p''-l ^ ' [/ (l—p"- Sin.- jy 'o 1 /■■- ?<- (- Sin. X.Cos. X 1 "o "o p Sin.'- :rd.r l pf d« fZ* 1 e mme: j ^ '^^ZT^- Sin.- .v)' ^ p- j \\/ (l —p^ Sin.\vy ~ y/ {\ —p' Sin."- :v)\ ^ "u 'o = ^ I — ^-^-E'(p) — ¥'(p) . (T. 75, N'. 20). Encore : p- |l — ?>- ) T;a piemicri- peut. encore m' tlédiiirc de la seRomle iiioyeniiaiit la diHeiriitiation pav rapport m /i. — A l'aide des premicrcs intc'2'raks dr Métli. 7, N". 3 011 obtirnt encore: t'^Sin.pxdje [^ a'J.v f^ Si7i.pj: lix ^. ^ _ f^ „. ,) „ ,,,,,> ƒ - — '— =2 jSin.p.v +/ — =^Sin.p^.Ci.(pr/)—Cos.pnl~+Si(p(i)\,{T.Z03,N'.ï\), I q — x J q-—.v- f q + ,v 12 ) "o ■(! "o C'^Cos.vxdx ('' dx f^'Cos.p.vdx ^ , (^ „ 1 ƒ P ^Zq Cos p.v-: ^- --i-~ =Co.^.pq.a{rq) + Sin. pq\^+Si.(pr,)\,(T. 203, ■N\ 12), 'o (1 n ƒ■" (/ dx /"* X d.v C^ Sin. p.v dx „ „ „ \Sin.px-- ^ \Sm.vT — / '— — ■.^Sin.pq.Ci.{pq]—Cos.pq.Si.{p(i),{T.2Q&,W. ƒ y{p + qCo.^.x) [/{p + q) \ P + ql "o ; l/(p + qCos.x) q\/(p + q)r^^' Vp + q) ' \ P + V/i O 14 Quelquefois les décompositions en IVactions partiellcs 1 ^ _^_ |_J_ _ _i_ I [p^^x^){q-^+x-) p'^-q^iq^+x- p'- -\- x' \ ^' _ _J f P' _ q' \ (p' + ^') {q^ + .^•') p' — 1' 'p' + '^'^ 9' + •^'^' pcuvent servir ;\ la réduction d'iutégrales définies : } ip'+-^'){q'+^') v'-q'i V/'-+-*' P'+-^' / p'-'rw/ ^-p) ^-Plip+i) f ^ =-^-L__r(^p!A^_j':i^u -i-/i.p_i.,U --- , / {p'-\-x^-)iq' + x^} p'-q' f \p'+x- q'+x'l p'~q' [^ '^ 2 V '^{p-\rq) o "o (ï. 2t, N\ 8), par Tintcrmédiaire de Métli. 1. N°. 3. De même par Méth. 5, N'. 8: f'" x Sin.pxd.v tt , , ,.,/>. ƒ ^ — = «-/" — e-Pl) 476 , [ 2)(r--j-a!ï) 2(^2— r») a;' Sin.pxdx ti o Page 330. [q^ e—P'i — r'' e-I'"), (477) ET JUÉTHOÜES DÈVALUVTION DES IJNTÉGRALES DÈFINIES. III. AP. Ü. iN\ 14, 15. Cos. px dx f Cos.pxdx Tt o ƒ" x'- Cos.pxdx TT — Z_ ^ (o2 ,-M — r- e-/"-) (479) Encore: /z(l+7-.ï^) - - „ "^ ., ..=--'" j!^ ('i J.2f\_ I; /i_i_ ^?U (480) ] ^ ^' \p^ + r^^-^){s^ + l-^a!-^j pH^-sh-^\s \^t) p [^ r jr ^ ' o O d'après Métli. 37, N^ 6. Aiusi les intégrales trouvées au N'. 10 ci-cluvant iloniiciit lieu aux suivantes: /""" x Sin.pxdx TT I ; ,-., 7 = {Cos.pri—Cos.pr), (182) j (^5_^ij(^a_,.2) 2(9^--r2)^ t I L .' \ ) 'o ƒ" x' Sin.pxdx TT (,^ -TT^Zr^ï) = 077.T— ^ (- C--^'- v^ ^-?':/). (483) ƒ" Cos.pxdx n 7"i rTT^» T^ — 'al~ï ^A&in.pv — Sin.pt]), (484) (17^ — x^){r- — x^) 2{f/^ — r-) ' ' o ƒ* X"^ CoS.pxdx TT ^^T:r^(,:^:^.") ■■= o^^^._,.^(^i''S^'^-P9-r'Sin.pr) (485) • 15. Les formules fondameutales de Goniométrie 2 Sin. px. Sin. q s =■ Cos. {{p — ) x] dx == o 1) o = . — r. [h Sin.'-. Cos.~— aCos.—.Sin. ~-\, (486) a^ —b^ \ -2 2 o o j' "^ I ~ TT ~ I Cos.cLC.Cos.bxdx = - I 'Cos [ia — b).v} d.v + - f Cos. {{a-\-b).r} dx = "o -o "o-^ 1 / an bit art b7t\ __ . — . laSin. — .Cos. — — b('os.-~.Sin. — , (487) a'. — bi\ 2 2 2 2/ ^ ' Page 331. III. M^'. 9. N'. 15, '10. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 71 1 TT /•2 1 /■ 2 1 f 2 I Sin. a r. L os. b.r il.c = - / Sin. [(a — b)x]dj;+- 1 Sin. {(a + b)}x dx = o o " -o i. f ^ an bn an bn\ = ~ ~[a — aCos.--.Cos. bSin.—.Sin.— ], (4.88) a-—b^\ 2 2 2 2) ^ ' d'apiès Métli. 1, N\ 12. Pour a (ou b) de la forme 2rt on obtient : ir f^ ( — D^-'Sa bit I Sin.2a.i;.Sin.bxdx = ^ Sin.~ , (189) "o f- ( — 1 )"— ' b bn \ Cos.2ax.Cos.bxd.r = '^ Sin.~ , (490) V. , ^ , , 2a ( bn) Sut.2n.v.Cos.b.vd.c = ; 1 1 _(_ i)« (^os.— , (191) 4a-^-//^ Y ^ '' """ 2j' 5»i. a.f. Cos. 2 ^/.f c/.ï = " ji_(_ i)6(7os.— (492) a- — 46- ^ 2 j ^ ' Dans les intégrales (489) a (492) ou a supposé a et b entiei>, taiidis que dans les iutégrales (486) :\ (488) ces valeurs étaient tout-a-fait arbitraire?. Lorsque les limites sont O et tt et que les valeurs de a et 5 soiit supposées eutières, les intégrales partielles s'évanouissent toujours, u moius que les coefficieuts (a — b) ou (a -}- b) 11e s'annulent {voir Méth. 1, N'. 13, forin. (92)}, car pour un coëfficiënt nnl l'intt'grale devient: I dx = TT. Dès-iors on a : ■o / Cos.a.i:Cos.bxdj- = 0,{n^b),.=^-7T,{a===b), = j Siu.ar.Sin.bx dx: (T. 78, N'. 12 et 11). o 'o 16. On trouve de inême a l'aide de Métli. 4, N''. 11: / e-P^Siii.q.r.Sin.rxd.v = - / e-P^Cos. ((r/ — r) x] dx ƒ (;-/« Co5. ((7 + •'■)■'■) '/•<■ = / o e-P^Siu.r,x.Cos.rxdx ^ q- '- ---^-^ (T. 279, N'. 11, 7 et lU). Page .-5:32. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'*'' 9, N\ 16, 17. Eiicorc: \ Sin.px.Cos.qx — =- /&'«. [(p-|-(/).(;} --f--/ 5tH.|(p — (/),«} — = - ƒ Sin.^{p-\-(i)x^ — — 0 0 0 o 1 /"". dx . ^ , ^ , ^ /■*. dx n / Sin.{{q — f) x] — . Cette integrale a cte trouvee Métli. 6, W. 5, ƒ Sin. rx — = — : muis alors on •Ij X J X Z O o a supposé r positit'; daus la seconde des intégrales partielles précédentes, il faut douc prendie la formule a iSen. {(p — 9)*) üu celle a Sin.[(ij — pj.i;}, suivant que p est plus grand ou plus petit que q, afin que Ie coëfficiënt de x sous Ie sigue Sinus reste constamment positif. Dans Ie cas de p == r), == - e-(A'+')'Z e-('-— /')? = — e-''? (e— /'¥ — eP7), (p <; r), 4 444 n n = —e—{p+r]q =~ e--P'i,{p = r), (T. 209, W. 2, o), ou pom- la seconde valeur on a substitué — Sin. [(/' — p).^■) au lieu de &'?(. {(p — »');«] dans la seconde integrale partielle; tandis que pour la troisième valeur (ou p = r) cette integrale s'évanouissait. D'après Ie même W. de Móth. 5 on a encore: ^'^Cos.px.Cos.rx ^ 1 /•"CosKp+rU] , \ ["^ Cos.[{p—r)x} ^ n , , , , tt q-+x- 2/ q^+x^ 2/ 7-+.^-^ 47 4j o o 'o =—e-/J9(«v+e-9'-),fp>r), = —<;-!/>+'•;? + ^e-i'—P)i=^~-e-"i[e>"i+e-ry),(p<:^r),{T. 209,N'.4,5), 4y '4^ 4^ iq ' Cos.{(p+r)x} n 7t t'^Sin.px.Sin.rx. 1 /■■°Cos.((ü — ?'V) 1 C I V r—\dx = -l ^^-^'^^''~\dx j (ji^4-.T^ 45 4^ = — e-M(e";— e-f9),(p>?'), = — «-('—/>)'/ — ^ é;-('-+/')7 — — e-"i{eP'i — e— A'?),(p- f , , Ni I i^- i , mi * f =. _ el"! [en El. {— q [p + r)} + c-"i Lu [q (r — p)} ] _ q"" + •'«■ ~c-P'j[c'lEi{q{p — r)} +C--Ï/-7. [v(p + r)}] (493) ƒ * .r >S'iM. pj:. Sin. rx d.t 1 - ePI [e>-l Ei {- q [p + r)] — p-'l Ei [q [r - p)) ] -e-i"i[ernEi{q{p~r))—c~'-'iEi.{q[p^T)]] (494) Dans Ie cas de /> = ?', les premières des intégrales juirtielles sont infinies, — puisque CoK.ip — r) .V •= Cos. O ==1, — d'nprès 1'iiitégralc (48); donc: X Cos. ' px dx _ /■" .r Siu. - p.e dx f xCos.^- pxdx f q- +.T- (496) [^^ Sin.px.Cos.rx dx 1 C'^ Sin.{{p^r)x\ 1 /"'^/Sui {(i) — r)x\ Eiicore: I ,=z — I - — ^ dxA — i dx. Ce f 'Si7i.px.Cos.rxdx 1 f Sin.[{p + r]x] , 1 /" - - iv, y-j , ,, ,, • ,. I i^ — I - — i (/.fJ — I dx. Lette uite- / q'+.V^ ij q'-+X-' ^2 / q^+.,- ■() o *o grale, vnir Mctli. 1'2, N'. 2 vaut de mrmc pour un coëfficiënt m'gatif sous Ie signe .Sinus. Donc on a : f^ Sin.p.v.Cos.r.vdx I , , ^ ,, , ,t / ',^ ,- - ..- - c,.7[,.'7/u. {-7'p + r) +c-"/7./. 7(r-7,) ] + o + 2 .-;•'/ [r7 E*. [q(p- r]} -\- CU Ei. {q {p + r)}\ (497) 19. Pour les intégrales analogues u celles dn N'. 17, niais au dénominateur q^ — x^, les intégrales auxiliaires se trouvent déduites précédemment au j\'\ 10. 11 faut de nouveau avoir égard au signe de la dift'éreiice /) — r. Ou trouveni: Tao-e .334. ET METHODES D'ÈVALUATIOiN DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. .M"*". 9. N'. 19, 20. ƒ" Cos. px. Cos. r.c d.v In 1 tt n (1 "" ^ ;r"'^"'- ('X''— rt ) + 7 — 'S'". {q{v + '•)) = — Cos.pq.Si7i.qr , (p r), = o 1 'T 1 Tt" TT TT = 2 o ^^"« {(/'t-'')7) + - -~ C'os (Cp-j'),y} = -- Co5.pr?.6'os.J 2 lp— 71 4 p+ -)- e—ip+'p)^] [eiP-i'> + e-!p-9'>} , (ef« ± e-/«) (eï" ± e— 9«') = [e(p+9'> + e-(p+?;;-ï| d=. {c(p-ï'> + e— (p— ïO^j . 21. Mais il peut se présenter ici uu cas, qui mérite d'être étudié plus en détail. Il a été remarqué par Lejeüke-Dirichlet [114], que dans l'intégrale (a) du N\ 1 il n'est pas permis d'introduire uiie substitutiou diflerente pour chaque terme, lorsque ces termes sout tous deux iufinis. Or, il se peut très-bien que les intégrales dans Ie second inembre soient iufinies, et que, pourvu qu'elles soient liées par Ie signe — , leur diii'érence oo — oo, c'est-^-dire l'intégrale au premier membre, ait uuc valeur déterminée. Pour démontrer la vérité de la remarqué mentionnée, supposons que chacune des deux intégrales en question contienne quelque constante p, et que leurs valeurs soient respectivement représentées par a-\-qi{p) et b-\-,Q — '' |- s''. et séparons les parties ruelles et les parties imaginaivcs, alors nous aurons: f dx 1 V I g '^ / — (e—P'^ Cos. qx — e-'-^Cos.sx) = -l , f X 2 p"^ +q'- "o ^-(e-P^Si>i.qx — e-'''Sin.s.v) = Ardu.^ — Arctff.-. (T. SO-J, 1S!\ 19, 18). X p r o [IIG] Ou la ik'duira d'une autrc maniere Ml'iIi. IS, N'. 5. PaKe 337. 43* III. iM'''. 9. N'. 22/25. theorie, propriétés, formules de transformatioiN, directement jjx = y clans les dernicres intégiales de ces deux exemple?, on aurait obtenu: re-'^dx re-ndn f^Cos.xdx ('"Cos.ydy I — ƒ et I — I , toules deux nulles, et par couséciueul fautives. .'•''■/ ,V j « j 2/ o ü -o o 23. Exercices. ƒ ^' -d.v = —l-\-lSiia + 2Cos.}..li'ZCos.-l],lT.7,'N''.6Uini f l-^z.vCos.l-^.v \ 2 I "o ƒ2 Sin.^xdx p — -Z n i+p&-«.^. = V'^ + ^pVTiT7)' ^'- '"' "^^ '^' ^^" '''"'• '' ''"■''^' o /"" dx 1 ad ƒ , ■ , ,-— , — r, = "T — r l — , (T. 33, N\ 2), avec Ie cas spécial: J (ax -\- h) {ex -\- d] ad — bc bc ' "o /"* dx^ 1 a /""p — X dx p I y- p- — y- Tri / (1 + :r) {ax -^b)^ a-b ? " ^'' ''•''/ ^T^^ q^^ ^ p'+q' I ^P^^~~pq' 2 ' ' '^^^^^ O Ü /"' .i'— ' f/.r 71 Co.sec'. rTT f p = Irr-rr — 7-^ — , (T. 6, W. 8), (nar Méth. 39, N''. 2), o /'S Cos.^xdx n f 2 dx p- + o f1 <)'- dl] (? Tann.'- -p d^p 121 Fonr 7 --= TatKj.^ on obtienl : ƒ '- .= / ' — ^--JL-- == } \/{^-^q'){^^r-p'f. (1 — y.^ Siii.^ q) + (1 — p^ &•»■" 'I)—P^ 'Si«.' .r, +?^^.T.c/.v/ (l-;>' S/«.ï .P)} = o 1 = :| " ^^" { — E|}>,if)-j- 7a?i^.f;.j/(l — pj'^ Sin.^ qj)\; puur l'usage dans Ie te.x.te on a en outre: l-p^-Sin.^,^' + ^'-Pni_ 1 + '/- PaM 340. ET MÉTIIODKS DÈVALUATIOIN DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''". 10. N'. 2. ƒ fi''Arclo.{qt/(l—p^Sin.':i)}^ ,.„,, ^, Soit lintéi^ralu ociu ; ƒ. ., . ■ •■ ^ ''-^ = -, ^iP) - ^ 1 O' ' '^''"'J ?) = 7 1' ^ ' •^'•^^■'"- ('71^ ( 1 -/' )} ] ( )• 1/(1 — p- OIII.-.V) z 'Z :i '- o •77 ii^^-^^ ^^ '- dx = E (ü — ^ — E (p , Ardii. q) + \/ [l—p^ Sin.- .vy 2(1-;^-) 2l/(l— p^-) 2i/(l— p-) '" o + i 1/ — J^' ^^^ = E [p , Arccot. f ^ 1/ ( 1 _ w ^- ) ) 1 — 7 + + T^l^rx4^^~T-T' W; '^- 369, N\ 15 et 17). 2 1+7 — P 9 On peut encorc conibiner ces intégvales du Nr. 3 et de cettc Notc avec celles do JIctli. 7, N\ 2ü. A eet effet posons q = Taiig.l, cl q\' [\ — p^) ^= Tanrj.l. j/ (l — /;-) == Cot.f,\w\\x obtenir des expres- p'^ Sin. ^ a'. 1 1 sions plus simples, et considérons que : g» ■ i = aü+T — oa-l ' (l_p2^ü,.2_i.)^ï~ (1— p^^ïH.^A-)^" (1— p'-5ïn.-j-)~2~ p-'Cos^^jc^ 1 . \—p' ^j. -= aS^ri— ^2H+t; ''lo's '1 ^''c"t: (1 — ;)- S»!.- x) - (1 — p^ *Sï«.- .;;) - (1 — ]J- Sin.- x) - jr / ".Ir*/. (ra»^.A.i./(J -/,= A'».^- ,r)} -7— "-f^-.;- = T^. (E (/^ ^■) - E(p,^)} + I 1/(1 — /^ 0«/i.- .r) 2p- + ^- Col.l.{\ -1(1- p"- Sin.- l)}, (.-312) 2p' {*) Verhulst, Trait'^S{n.Kv)''l+']^(l—p'Sin.-.r) ° c" {\-\-q-' <■) f 2 Oos ^ X cIj* tv / Ardg. {7anc,.}.V(l -;/^ SbC- a-)} ~-j- ' l \ = - {E{p,).)-{1 -p'-)Y!p,X)] J [/ {] — p- bin.^ a-j 2p- 0 — -— Col.h {l - l/(l — p^ Sin.-' /.)}, (Ö13) / JrcTOi. { Tanff. Wi^-p' Sin. ■' .r)} " ,. ^ ; = —7(1' (P ' *) - E (/> , *)} + / ' 1/ {l—p-üi),.^.x) 2//- 0 + -^^ ^'^ ^ fj^. (l_p^-,Si«.'-;^)_^(l_/y-^)}, . . . (514) /•2 Cos.- .VdX TT ,, , . / .im-o^{ra/ ap'' (1 — p^) ir j\rctg. {Tang.l., (1 -p^ g»,.^ .-)} - ^^^^; ^^^ _^^ = -^^ {r(/'. 'O - K O', '■)} + O + "^-:f-^ !l' {!-/>' 5"'.^ A) - 1(1 -/-)}, (^17) 2p- ■K ƒ '2 ^ Sm. "^ X dj) TT f 1 „ , 1-, , ,1 ^Irccöt. ['ra«'/.^.i/(l— />- Sin.- x)] -— , ^. , ^, = „ — '1-, -h[p,'i) — l {p,n)\ — *■ ■^ ' ^ ' " \/ [i—ji^ Siu.^ xy lp- U— p- J o -o r wT^ (l-r(L-pV^»>.^q)}, (518) ■2/j2 1/(1— p') TT ƒ2 (7os. " X dx T , ■, .\rccol. { fans-- ^. l/ (1 - P^ «'«-^ -0} 7(t_^. 5,v..-- .r)^ = 2p^ ^^' ^'^ ' '''^ ~ ^ ^'^ ' '''^^ "^ o + -—l (1 — l-^ll— 7'- Sï«.^.))> (Jl9j 2p^ Page ;342. ET METHODES «'ÉVALUATIOiV DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 10. N'. 2. Pour la décomposer suivaut la Métliode précédeute en fractions partielles, qui out pour déuomi- nateuis 1 + 5^ c et les diverses puissances ascendantes de c, il faut cousidérer que nous avons identi- 4- ^ - , c est-u-dire, en retournant a notre inteo;rale: =■ I 4- 0 C-" ° dq f l + r/-(l_pïS(n.'-a-) 'o TT TT J."^'(_.M« f' ^"^ _- —— tl& J.°i-'(_ , .y, p d^ '^t^ '^ ' J {l—p-'Sin.\vY-" 2i/{i+q-'){\+q^ — q^p'l o ' / (l—p^Sin.'x)"-"' O u d'après Méth. 7, N'. 20. Or, Tintégrale sous Ie signe de sommatioii 2 est indépeudaute deq: donc OU peut aisément intégrer Téquation précédente par rapport a q : lorsqu'ou prend O et q pour limites, il u'y aura pas de constante a ajouter, parcc que pour q = O l'intégrale I s'évanouit. Par conséquent : T ^c \)a I ^ ' -4-2 ( 1)"- f fa) 2 j 1/(1 +9')(1 +'■/' — ?'P') o 2« + l / (1— />^&«.-ar)°-" ■ ' O b ƒ- d.V TT 1 — — — - — - = : , d'ou pour p- = -: i—p'Sin.Kv 2|/(l_p2)' ^ ' r dx n . (r>l) (520) f . . / 7' — Sin.- ,v 2y'r[r — \) o TT ƒ'- (Z;t' n d'^ _ _-,,«-« I = — . ■ — _ — ■ Jr'ir — 1) ~3; (l—p^&H.^ /»)«-» j (r— Sm.'j;/'-" (_l/'-«-ila-«-i/i 2,/ra-"-i l ' '' l) o ^ff— l ,.a— h^2h+1 ,la—n~\ — S donc la sommation dans (al devient: f — 1)""' — 2 , y~^ , : -; :• (''('" — 1)} ^^ ^ ' 2 () (2n-f l)!"-"-'/' f/r"-»-' •■ •■(,—,,-) Substituons en outre q = Tamj. .^ dans la première iutégrale du second mcmbre de l'équa- fi^ Ardff. {qy {"i — p- Sin.- a;)} tion (a), nous aurons, en cliangeant n dans n — 1: ƒ 2ö+T d.c = •'0 [\ —p"^ Sin.-" x)"^" ^ ^ 2 j ^ (i-p- Sin:' (,) ^^ ^ 2 1 (2n - 1) 1"-"/! rf/"-" ' ^-"c ('■-/'-') Page S43. 44 WIS- EN NATUIKK. VEUH. ÜEU KONINKL. AK.VDEJIIE. DEEL VI [I. III. M-^^. 10. N'. 2 — 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSF0RMAT10x\, OU ]a première integrale est expriinée en fonctioiis elUptiques, et oü la sommation tlomie lieu a une série assez compliquée. , ^ n l -\- g y' (1 — p- Sin.'- j;) dx , , , •3. L'iiUeqrale 1=11 doniie par la differen- J l — q\/{l—p'^Sin^x)\/(l—p'Sm.^x) ^ dl f2 dx — = 3 ƒ dq J 1 — q'^ + p-^ q-' Sin.Kv j/ (J — 7') (1 — J^ +p^ 7') ƒ2 Y — :^. -1 -. c.:7r.. = 777, — TVTT, — „, I „i .r. • » o 1'aide de la mêine integrale de Méth. 7, N\ 20, employee au N^ precedent. On trouve doiic: [122] ar /^ I •■ + ? 1/ (1 —P' 'S*'»-^ ^) dx fl Tirf^ l—q\/[l—p-Sin.''^) iZiV—p^Sin^ x) ^ J l/ (1 — ?') (1 — ?" 'hp' 9^) "" o o = 7rF[i/{l — p^), /ly'cswi. y}, (T. 34S, W. 22), ou Ton a commencé rintégration :\ la valeur zéro de q, ijuisqu'elle annule 1'intégrale I, et que par suite il n'y a pas de constante ;t ajouter. c . „. , f'" e—P^ Sin (jx dx ■, , ^ 4. Soit i integrale 1 = 1 et difl'treutioi)s-la par rapport a q, nous aurons: / ^ o dl r ^ p , , — = I e-P^Cos.qxdx = -, suivant Méth. 4, N\ 11; donc, comme rintegrale s'évauouit dq J ;>'+, o N\ 11 ; douc: I = — ƒ — 4- C =: C — Ardg.-. 11 s'agit mainteuant de détenniner la J P' +?' m + ry—p^ f-^q + A (2q — ry-—p- , m — A, e-P^ Sin. - qx. Sin. rx — = ^-^~^--' ^ Arciq. ^^ —^^ — '— Arctg. - - + *•' 8 ^ \ P I 4 \ P I 4-'-^- Arctg.- + ~~pl {p' +m-A'}- ^^~^PI{P' -V{^ + r)'] + ^^i{p' +'•'-), • (525) I [123] Sm' mie aiitre dcduotion de cette integrale vo.vez Mctl). 18, N°. 21, Mélli. S*, N°, 3, [124] Pour ; =1 on a ï. 3'.)2, N°. 12. [125] Caron a : ± { Arctg. \^-'^''\jq = {r±<,) Arcig. f '-^ j — ƒ {r±q) l ±j\ J^ [12G] Yo.vez aussi Mc't'i. 31, N'. 3. Pase 345. 44* r±q\- in. yV\ 10. N% A, 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRA]VSF0RM.\T10N, et a i-aide de ƒ V.^' Sin. g.v. Sm. s.r. Cos. gx~ = '^^'^±' Arct^. l^±^±'\ _ ''-'±' Arctg. [^^±l\ ;_ qui se déduit aise'ment de (523): / e-P': Sin. qx. Sin. rj-.Sin.sx ^ = ^^ ~^ ^?'c?^. [^"tT+f |_ o +''~^%nP'+i9-r + s)-^}+^^^^pl{p^-+(q + r-sy}+'^-^^^^ — ^~^-'pl{p'+i9—r-sr]. [137] (527) 5- I == / , dx- üiflerentioDs par rapport u /), alors — = ƒ xl'—^dx = -, donc: JU (fp I P o o ^ [ dp I = I + C = /p -}- C. Pour détermiuei' cette coustante C, observous que pour la valeur ;^ de p ^\j;P — 1 ^q — 1 p dx = l-. (T.167, WA), lx q o Elle douue lieu li des corollaires qui ue mauquent pas d'iutérêt. Pour p = p -|- 1 et <7 = 1, „ , . t^xP — l elle devient : \ ~ — d.v = l{p + 1). (T. 167, W. 3). Mettous-y p -\- q au lieu de p et prenons [127] Sur les intégrales, que l'on a traitécs dans ce N'. on peut voir une Note dans Ie //Archief van het Gcnootsfihap: //Een onvermoeide arbeid, enz." Deel 1, Stuk 2, 3," ou je trouve enfin pour la valeur ƒ" dx e -P^ Sin. q.v. Sin. rx.... Sin. vx (a n + 1 facteurs SinuA la for- o mule symbolifpic : ^'^■^'--J^^'y-py' (0^8) ou touUs les puissances >u a — 2, 11 — 4, . . . de y doivent ètre remplacéis par Arctj.-, les autres puis- P sances n — 1, // — 3, n — 5, . . . au contraire par .] /(/;2 -f c*). Pour c il faut raettre sucoessivemcnt toiites les sommes possibles des n -\- 1 éle'raents 7, i-,s...v, (ou par une sommo nous entendons tontc combi- uaison avec les signcs -|- et — ). Pase 346. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M^' 10. IS'. 5. la diflërence, alors / xP dx = 1 , (T 167, N°. 5); mais lorsque nous j posons q au } lx p + 1 o lieu (Ie p et que nous soustrajons cc résultat de la dernière, nous trouvoiis: o o ,. , , C'^ixr—\)(x'l—l) {pj-„j-rJl^\){p + \) rosons-y p+r au Iieu de p et soustravons, alors: 1 xP dx = l . } Zo. {pJrq + \){p+r^\) o (T. 167, N". 7). Dans riutégrale avant-dernière mettons r pour p et prenons-en la diflërence avec la dernière, il vieut: 1 (.„r _ 1) (^? _-i) (.^p_i) (y>+?+r+l)(p+l)f7 + l)(r4-l) ._ .. ax = L (ooU) o Prenons-y p + s pour p et soustrayous, alors: ƒ On voit ;\ présent clairenient coniment on pourrait procéder de la même maniere; niais on est déja en ctat de trouver une formule générale pour quelques cas. Or, il résulte de ce qui précède: ƒ '(xP— 1)° lx d^==^(«;,4.1)+/jy((a_2)p+l} + /^j/{(a-4;p + l}+...-Mz{(a-l)p+l}^ " - (3]H(«-% + 1}- = i(-l)" i^\l{{a-n)pJi.\], (532) o -^gji{p + (a-3)ï+l} + ... = i(-l)"|^ji{p+(«-n)ï+I} (533) Dans (532) prenez +(«-«)? + l}. (T. 168, N'. 9, 10), o o + (a— n)p+ 1) Z f(6_m)7 + (a — «);) + 1}, (540) /i(.rP — 1 )«(«? — l)i " /a\ '' /;A i (M- -—■"•" - f <-""(,,) ^ '-')■■ „.) f' + <'-'")' + O + (« — ")/'+l] '{'• + (^ — m)^ + (a — »0Z'+1} (541) [128] Car p (/; + q) dp = {p + q] l {p ^ q) - q Iq - p. 'o Pam 34.8. ET METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M'. 10. iN'. 7, 8. 7. 0)1 pouira diflereiitier 1 mtegrale 1=1 par rapport i p pour "o .dl n .rl'il — xl)^ T{p + q-\-\) avoir — = — ■ / — , dx = —d.l — — — , comme on trouve Méth. o 7, W. 3. dp J l—.u T^{p+^) o Pour p = O cette integrale s'évauouit: intégrons douc par rapport a, p entre les limites O et p, nous obtiendrons : / — — = — t — - 4- ' = ^ — — — . J i— ^ f^ r(p+i) ^ r(i) Tip-^-q+i) o ƒ• (J ai'){l al) dx (T. 171, W. 17). Eemplafous p par p -\- r ti prenoiis la diflcrence, alors: ƒ '- xP = ƒ \—x lx = i . (ï. 171, N'. 18). [1:391. Dans Fiiitégrale avaut-deruière mettons ?• pour». r(p+5+r+l)r(p-|-]) ° ^ ^' /■i(l— .rP)(l-u.-)(l-^g)t^x ,r {pJrq+r+l) T [p+l] T (c?+l)r (r+1) et soustrayons, alors: I -— = L . ^ j !-*■ ^*- r(p+ï+i)r(p+r+i)r (P. 10. N'. 8. THEORIE, PROPRIÉTÉS, F0R31ULES DE TRANSFORMATION, OU obtieut, puisque pour q = O riutégrale s'évanouit et que par couséquent alors il n'y aura pas de coustante a ajouter: [130] , , . /■' */*+' + xP—9 rf.r . , . Lorsquon avait I == I ~ -, la diflereiitiation par rapport a q donnerait x^l' X lx' dl nxP+9 — xP—ldx u qn ^ ^ ^ — = ƒ ; = — — Tang. — , d'après Métli. 7, N". 10: mais rintégratioii entre dq I 1 —x^P X 2p Zp '^ ° o les limites O et 5 iie fait poiiit évanouir la constante ii ajouter C, puisque l'intégrale I ne s'au- , , , r' ZxP dx uule pas pour cette vaieur zero de q : au contraire clle devient daus ce cas : / , ƒ 1 — x^P xlx o la vaieur de C par conséquent : donc en retranchant cette integrale de Pintégrale J, on aura : rl xP+1 4- xP—1 — IxP dx f TT ^ qn Cl qn . qn I ^ :; == — I —Tang/- dn = / d.lCos.^ = lOos.~, (T. 175, N^ 10), / 1— .t2/' xlx f 2p '^ Zp ^ 1 2p 2// ^ ' o "o 'o quon pourra écrire aussi sous la forme suivante : /•l(j;?_a— ?)2 d.v ^ qn l ^ = lS,:c. ^-. [131] (54I-) f xP — x—P X lx p "o La methode employee nous a indiqué que l'intégrale proposée ne saurait être évaluée, c'est-a-dire qu'elle est infiuie : et c'est ie cas en efiet. [130] 1'arne que par la siibstilution x ■= 3;/ on a: I bec. X d.v =: I — — — ■- = _ I d.l Tann. 11 ^ / Tanq. = - l lana. j J ZSin.y.Cos.y 2J ^•' 2 "^ L 2 •' [131] l'oiiv 7 =i 1 et /i = 2. clle doniic: ƒ 1 — X dx 1 = /2 (545) (l+.r)(l+.r^) i.r 2 üue délerminalion exacte, de la constante a cté quelquefois onbliée et c'est pourquoi Ton a parfois obtcnu par cette Methode des résultals faiitifs: voyez entre autves Eüler, Novi Coramentarii Petropolitani, T. 19, p. 30 — 64, p. 06 — 103, deux disscrtations, qui ont cté recueillies dans ses Tnstitutiones Calculi In- tegralis, Tom. 4, Suppl. III, §, 2, p. 122 et Suppl. V. § 1, p. 260. Paife 350. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 10. N\ 9. 9. Quaiid 011 veut évaluer Tintégrale 1= ƒ ^(l -\- aSm.- x) —- ^-^, — ^ -^ suivaut cette j/ (1 — p^ Sin.'^ w) methode, en la dificieiitiaiit par rapport u a, on voit tout de suite que Pon retouibe sur une fonction elliptique de troisième espèce: donc il faut distinguer ici trois suppositions relatives a la valeur de a: 1'. — p* Sin.^ a, 2°. Cot.^ a, 3°. — 1 + (i — p'^)Sin.^ a. — Dans Ie premier cas oii trouve: dl d f- 1(1 — p"^ Sin.'- cc. Sin.- x) di; f^ — p'^2,Sin.a.Cos.a.Sin.^a;dx du~d«j l/(l— p^SïM.- A') ~/ [l—p' Sin.^'a.Sin.-' x)}/ {{—p'' Sin.'' x)~~ o 'o TT r^ f dx dx 1 J W (1 —P- Sin.'' .;■) (1 — p2 Sin."- u. Sin.'' .ï) j/ (1 — p^ Sin."- a)) o = 2 Colu. [T{p) - n'{-p' Sin.^ « ,p)] = ~ ~\, ,- [F'(p). E (p, a) - E'(p). F (p, «)], y (1 — p Sin.- a) ■- en y substituant la valeur de la fonction elliptique de troisième espèce [132]. Comme pour « = O Tintégrale I s'évauouit, il faut intégrer ici dcpuis O a a et il vient : r (p , «) doe 1 = " •'^ \P)- 1 '~7T-, o^^.^r^ — 2 1 (pj. I ^ , OU, comme 2 ƒ ^'^' j i/(l-p\9m.^«) ^^' j i/(l— p2 5i«.-^«)' j Vi^- -p'' Sin,'' ot) = ƒ 2 E (p , «) rf. F (p , «) =r- |r (p , «)} - ... (a), et que Tautre integrale est V (p , «) par définition ; •o ir r-l{\ — p- Sin.'' oc. Sin.'' x) dx I " y/ il -p' Sin.''.) -E'(p).p(p,«)]^-2F-(p).v(p,«). (T. 348, N^ 17). ' o . „. , fi''l(l+Cot''a.Sin."-.T)dx dl En secoud heu soit 1 intescrale : 1 == 1 , d'oü — = ƒ 1/(1— p^5i'«.^ï) da "o ƒ - —2Cot.a. Cosec. ' «. Sin. ^ xdx 2 /" 2 ƒ rfa, ~/ ( 1 + Cot. ^ «. S»i. = .1-) 1/(1 _ p •' &■«. 2 .r) "" S»i.«. Co5.a / 1(1 +Coi.2«.)-E(p.«)-E(p).F(p,«)]. ^/ (1 — p' Sm.- «) •- -■ Page 331. 45 WIS- EN N.\TUI]1{K. VEEH. ÜEll KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIH. in. M'". 10. N'.9. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRAiXSFORMATION, + —7 r-rl- + 1"(P)- C^anrj. «.1/ (1_(1 _p2) Sin.^ «} —E fi/ (1 — p^- ),«]) — — {E'(/)) — I" (p)} P fl/ (1 — P^)i"] I' 6" substituant Ia valeur de la fonctiou elliptique de ti'oisième ƒ da f CCos.ada — — ƒ Tg.a du=\ — ;-^ = (Si«.«.6os.« ƒ J bm.a = l Sin.a, riutégratioii douiie maiiiteuaiit: 1= — 2 F'(p). ?&'». « + ttF (l/' (1 — 2'')»«} — -2ï'(p). r(l/(l-p^),«)- [E'(p)-F(p)} [P(i/(l_pï),«]]^ +C. Or, 1'intégrale I s'évaiiouit ici pour la valeur - de «; par consequent : ƒ :/(l+roe.^«.&«.^-.)^,« _oi.v^^,)_;5.„_,^^p^^(i_^^.^^„j_2i.(^,).,r^,(l_^,.,,«). j/ (1 — p'^ Sin.''- x) - [^'{p)-F{p)]{^[V{l-p'],«}y-ly {^/(l~/^■^)} -^P-F(p), (T. 348, W. 14); f ^ TT) 1 OU dans la rcductiou on a fait usage des formules V ]l/ (1 — P')->T( ^^ T^' W i^ — P^)]- TC 2 E'{/(l_p2))_iip, [134], et ^ = F(p).E'{|/(l-p^)) + E' (p). F {i/ (1 -p^)}- -F(p).E' {/ (1 -p^)). [135]. En dernier lieu on a : ^\'"l\\ — [1 — (1 — p-]Sin.-(t\Sin.-x\ dl [-[]. — p^)2Sin.u.Cos.c(.Sin.^ a; dx -t !^— =^fZ,r, donc: — = / p— — T^r^r' = (/(l — p'^Sin.'-x) du J 1— {1 — (1 — p-)ii>in.-ajSin.2js [/[l—p'Siu.-xj o o rr 2{l—p'')Sin.a.Cos.an^ —da; dr 1 ^ l_(l_p2)Sm.'« j \[/{ï—p'Sin.^xy[l — [\—{l—p^)Sin.-'a}Si,i.'x\[/[l—p^Siu.^j;)}~ o = -, n ^9- 2 M O') + f' (-1+1 -p^ )«<•«.' « ,p ] = —[---, — ;;^T-^-ilö- 1 — (1 — p-join/a ^ •'-' |/[1— (1 — p-)OMi.-'«Ji2 — E'(p).E (t/(l-— 2^')>«} — {E'(/')— F(p)} r(t/(l— p-),«)l par rélimination de la fonc- tion elliptique de troisième espèce [136], L'intégration par rapport u c< dotme niainleuant: l=7rF{l/a-p-^),«)-2F{p).v{^/(l_p^),«}_jE'(p)-F(plj[r{l/(l-p^),«}] = +C. [133] Voyez sur cette valeur Verhulst, Fonct. EUipl., p. 103. [134] Vekhulst trouve celtc formule dans ses Fonct. Ellipt., p. 115. [135] Sur cette formule voyez Veiïhulst, Fonct. Ellipt., p. 73. [136] Suivaut lu formule de Vekhulst, Fonct. Ellipt., p. 103. l'acje 352. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 10. N". 9. , T , . ƒ■- 1(1 — p- Sin.'^ .v) l'uui cluteniiiiier la coiistniile C ijosons « = — ; alors 1 integrale devient: ƒ dx = o = —1" (;))./(! — 7'-). (T. .'MS, N'. 12), comme on la décluira ;\ riiistant de la première integrale de ce iiuméio; dès-loi's on aura Tcquation : -^(1 — p-j. P' (p) = n T' [[/ (1 — p^)] — -P'0->).[F' iyi\-p^-)].E' ),rio7], 2 / Y {\ — p^ oin.'- 3-) 2 o que nous venons d'emplojer. Dans la seconde integrale prenons Coi? u = p, alors on a par la substitution j) Tang.- x = y : ^^^^^~'''^'"^^/ \/{V-[^-p')Sinr-x}~ ] 2\/y{p+y){l+py)- - -^'' ^ o o jr 1 /-ï dz 1 ^,/l— P\ , . \—Sin.z^ = I = F , en V substituant y = . ür, cette function clliptiquc se rcduita-F' {j/ (1— p'^)}, [138], donc: F{l/(1— />-),«}= -Y[\/{l—p-)). De même: v (^/ (1-?/^) , «} = g P- (^/(I-p')]■EW(l-^^^)} - ^ ^~^' ^ ^~^' ^. donc: ƒ |/(1 — p- iSiii.'' x) 3 i/p s [137] Elle est déduite d'une autro maniere Mcth. 17, N'. 16. [138] Voyez Verhui.st, Fonct. EUipl , p. 118. — 11 s'ensuit cncore: 1 dl-, 7— : = ï'{v/(l-P^)} (5*7) 1 + p .f ƒ■ [/x(p-\-.v){l+p.t) Pa-C 353. 4-5 III. M"**. 10. N\ 9, 10. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, La troisième integrale ensuite dounera pourASin.-a = : 1+7? fn(l—pSin^.v)dj! 1 , Zn—p) n , ƒ p-(i-,.J.,) = i-'C'-'-Vr-i'' (•/<'-"'"• '■^- '"'■ ""■ "'■ o La somme de ces dernières iutégrales sera encore : nl{\—p-'Sin.''x)dx 1 4(1— 0-) TT^ , . ^ . ... . / /n ..• , -^J^'(p)-^-^-:r— -tF'U/(1-P^-) ■ (T- 348, N^ 16). / 1/(1 — p^ Sm.- a) z p- Al o Enfin dans Ie troisième cas soit a ^ O, alors : ^i^ l{l — Sin.^a;) fi'' ICos.'^x 1 1— 7/- tt , ^/(l — p'Sn.ïj;) / |/(l—p=' Sin, 2 ar) 2 ^^^ p» 2 ^"^ ^ ^ ^■'' o o (T. 347, N'. 11), d'oü, suivaut Méth. 4, N\ 8 o Z"'" Arclang. px dx 10. Soit I ^= I — — , alors la diüéreiitiation par rapport :"i p donne: J $^ + A *' o dl r dx 1 TT ^ . , . -—--= I . — : — :; — „. , „ — = , suivant 1 integrale (475). Puisque 1 integrale s'eva- o nouit pour un p zéro, il faudra intégrer de O ïl /;, ainsi: ƒ'" Arctg.px dx n [P dp n ^ = T rX^-- = r^^a +P5)- [139] (548) q^ ■\-x'- X 2q I l+pq 'Iq- 0 o dx . dl /"i da, n erf. dx dl [^ Soit 1= lArctg.qx--' .alors: — = / ƒ ^^ x^/ii-x^-y dq ] (l+5^. .x^)y/(l-x-^) 2|/(1 + ?')' suivant 1'intégrale (398). lei encore l'intégrale s'évauouit pour ^ = O, donc : /■' dx [1 ndq n \ Ardq.qx - y- ~ = ƒ ~ = -^ (,, 4. j/ (1 J_ «20 /f, £61, N'. 15'. "o "o ("^ X xdx , d\ Soit I = ƒ Arccot.— — et différentions par rapport ;\ », alors il vient : - = f p X^ — 5- 1 ri j [139] Ellc est dcduite autrement Mctli. 37, N'. 5. Pour p = 1 ou a T. 266, N'. 2. Page 354. ET METHODES D'ÈVALUAT10?J DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 10. IN°. 10, 11. ' X (lx TT p ^- , d'apiès Méth. 27, N°. 2. Pouv w = O on a: X .V cl.v cot. p x^ — q' -i X ^ . . , ^ r Arccot. - -- Arccot. :r> =0, doiic il faut intcgrer clepuis /; = O, et des-Iors : ƒ Arcco P J o - ;--, = - ƒ '■^■l{p-+q'')=-l -^, -• (T. 265, N'-. l;3). Pour »=-?= l on en tire: (I o n, f"" , xdx ^ fl xdx f^ xdx -12= I Arccot.x-- ,(T. :265, N'. 11}, = / Arccot.x + / Arccot.x . Dans 4 / a;^ — 1 ' ' j X- — 1 / x'^ — l "o o ■] , .,x Arccot.x Arctci.x I < 1 X '^ la dernière integrale supposons x = -, aiors il vieiit : j dx=-l2. (T.258, N'.2S). y j X — 1 4? o ƒ* dx _ , V , <^I /■" ^' dx Ari:l- < 1, "o d'après l'intégrale employee. [140]. 1 V . ,. /■'^ Pour — = 7, d'oü fj-^l, on trouve apiès la soustraction de Tintégiale I Ipd.v -— nip: ri(f, ±Cos..r)dx = nl'^^^^~-^^^ ,{q-yi)\ (T. 353, N^ II, 13), d'ou pour q=l ou o obtient de nouveau les intégrales de la note précédentc. — Mais pour deduire cette mêine integrale dans d\ f"" dq Ie cas de o-<' 1, on a: — = / r = O ijour 1).(T. 353, N'. 14et 15). O Pase 3 50 ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M""". 10. N'. 11, 12. ri{l±pCos.,ry clx = —2nl2p , {p"- > 1). [142] (551) l{\±pCos.x)— doiiiie pai- Ia Jiiiereiitiation pai' rapport ii p: Cos. X o d\ f" clx ±71 — =: ± ƒ = , d'anrès Méth. 1, N\ 13. Doiic, comme Tiiitégrale dp I ld= pCos.x [/{l—p') 'o I s'évanouit avec la valeur zéro de p on trouve (cncore avec la restrictioii ^i'^-Cl): ƒ"" d V [P ziz TT dn 1(1 dopCos.x) — — = / ^~— = dzn Arcslii.p. (T. 355, W. 1). Cos..r J i/(l — p^) u O ri dx dl fi x^ d.v 12. Soit I = ƒ l(^ -hu •>!'■) ~y-, -, alors 011 trouve : — = / -— 7 "TTi V. = / ' '^ V(l— '■^-) ^^'1 / 1 + 7-'''- l/(l— •'-•■) = -\- — \. rilol L'intéiJ'rale s'annulc pour O = 0; iiiti;"Tüus doiic depuis cette valeur .jU 21/(1+7)1 L J = 1 i > o ^^-^-'°- /'^'^ +-^^'^)7(1^ = 2 f ^'^^^ o "o rt sr = ^ ^L+i^lil±5)^ (T. 1G5, N°. 6), = r'l[l-hq&in.-'y)dy, (55-1) ^ •'o = \~l{l ■hqCos.'^ z)dz,{i:. 334, N". 8), par la substitution de x = Sin.y ou de x= Cos.t. n So teiicore 1= / /i1 + 7A'-) - -,d ou: — = / — = ' T ~^ + , ,, ,— J • [144]. j'^^ 'V{\—X-')' dq j\+qx^ v{l-x-') Uq q^ q'\''{l+q)) [U2] D'ou: I l {i — p'^ Cois:^ X) d.c = — i 71 1 -2 p . {p^ y l) (552) •o [143] Car par la substitution de .r = Cos.j/ on a: f-j' dx__rCo.^yd, ^1 ni ___dl \_Z [-___i^_).(55,) / 1+V.t--^ 1/(1— .^■^) / l+7Cos.'^y \, N'. 2). e—p, suivant Méth. 5, N". 8. Mais ici p"^ + x"^ 2p o l'intégrale iic sV'vanouit que pour uue valeur iufinie de p; par conséquent il faut intégrer depuis X Cos.xdx pxz^~ IZ^T-P ChanKCons » dans -, alors par la formule conuuc A rd/j px ± Ardg- = Ardg. = Ardg. ^ , — ^— ^ l±px~ qui vaut pour cliaquc x positif, on trouve Cos. X dx '^ r.. i — 1 pdz-\xl rArdg.]'^ H 'i ''-•'■''- =-"{/Me-,')±/^e-;0) . (557 et T. 431, N\ 3). J l 1 zpiE- ' X ~ O /■"e— ?^ — e-''^ , ., . dl 14. Diflcrentions l'intégrale 1= ƒ Sin. px dx par rapport ;i q, ü vient : V = o — e-'?^"Sj/i.».i'(7.(? = — — ,d'aprèsMétli.4,N'. 11. Nous voyons tout de suite que l'intégrale P' + q' o Pa^e 3.jS. ET MÈTUODES D'ÈVALUATION DES INTÉGIIALES DEFINIES. III. M'"^ 10. N'. 14 — 16. s'évaiiouit lorsque nous prenons q égal u r, pour ue pas avoir u ajouter de constante; intégrons donc depuis r jusqu'ü q et nous aurons: ƒ=" e-=_i^— il— .(T. 393, N'. 5). } X ^ j p'--\-q' j 2 ^' ^^ ^ 2 p^-4.,^^ ^ ^ ■ o r T d.c = / - . (ï. 127, W. 4). [145]. ƒ^/xP-'^ qxP'l—'^] dl f'xP'l-'^dx 1 — Wxona:v== — / -((l—x'i)+pqla!,l—xl)+qx9lx]=+-, \l-.v l—x'!j dq y (]-x?)2^^ '^'^ ' ^^ J ^■ 7). ^ J pe"ztqe" ^ -^ j/ dx 27 (qe''' + pe*')" (^eri)^ ' (ï. 41, N'. 8, 9). Tout de même : r_^. "".,„,,„ = 7—;;, (^ < g), = O, (p>(?). (T. 41, NM7, 18). [145] Déja dóduite autreinent Jlütli. 9, N'. 22; voycz aussi Méth. 18, N'. 5. [146] Comme on a trouvc Méth. 4, N\ 13. Page 359. 46 WIS- EN NATTITJRK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. III. M'*'. 10, H. N'. 47, 1. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOi\, 17. Excrcices. ƒ V—-^ = - ArcUj.'- , (T. ISl, W. 11), ƒ x^ q^ — .r^ q q u f ^l+p-x _dM_ ^ ^ ^^^^^f _ ^558), [147], j l{l-^2xCos.X+x'') — = -n^~-X\.{oiJl) J X' q — .ï^ q J iV 6 Z O o ƒ1 dx l 1 l{l — 2.vCos.l + x-)— = 7r-+7rA — -Z^ (T. löO, W. 14). § G. MliTHODE 11. RÉDÜCTION A UNE AÜTRE INTEGRALE D:ÉF1NIE PAR LA DIFF3BRENTIATI0X RlflTJiRÉE PAR RAPPORT 7v UNE CONSTANTE. 1. Il se 2)eut qu'uue seule cliflerentiation par rapport a une coDstante ne suffise pas pour ramener quelque integrale définie ii une autre assez simple; dans ce cas on peut diflurentier une seconde fois, ou même plusieurs fois, soit par rapport h la même constante, soit aussi par rapport a une autre. Mais il ne faut pas perdre de vue que chaque différentiation nécessite une iutégratiou postérieure, qui de nouveau donue lieu u une constante indépeudante: donc il y aura autant de constantes a déterminer, qu'il y a de différentiations eflectuées. II y a deux 'moyens pour dc'ter- miner ces constantes. Le premier, c'est d'attribuer plusieurs valeurs spéciales aux constantes, par rapport auxquelles on vient de diffe'rentier, de telle sorte que Fintégrale primitive regoive une valeur déterminée et connue pour cliacuue d'elles : alors on a autant d'équations que de constantes a déterminer, et la rcsolution en fcra connaitre chacuue de ces constantes en particulier. Mais ca général cette voie ne mènera pas au but, parcc qu'il sera difficile, _si-non impossible, de trouver riutcgrale primitive dans tous ces cas spéciaux. Alors il faut faire usage d'uu autre moyen, qui sera toujours possible; c'est-a-dire qu'il faut prendre en discussion aussi les diverses intégrales, nées par les diflerentiations successives, et y sujiposer une valeur spéciale a quelque constante: ainsi Ton pourra toujours acquérir autant d'équations que de diflerentiations, c'est-ö,-dire, que de constantes. [147] Duns ces deux intégrales substituons x = Tang. y et x = Cot. z ; alors pour g — 1 : /■2 dx f^ dx l l{l-\-p''Cot.^a)~ = nArclg.p = — / /ll+7;^ Tang.'' x)- ,(T. 339, W. 31 et 30j, / Cos. 2x j Cos. 2x 0 o ^- E. f" dx C ^ dx 1 If^pi ^Cot.^a;)-—^ , (559), =nArccot.p = — ƒ 'i(p' + ?a"^-' •^)7r~;r • • • • (^^0) J Cos, 2x J Cos. Zx Paffe 360. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. IVP. H. N'. 2, ö. ƒ'" e—P'^ Cos.'^ qx , dl -^^ dx: differentions deux fois par rapport a 7, alors dq 'e-P^Sin.Zqxdx dM f'" — 2» ■* _ O I — — ii-ï'/'^^ O ^ ^, ,7 ,. _ t^ re-P^üin.2qxdx dM [ — l - , =—3/ e-P'^Cos.Zqxdx = '-—, daprès Méth. 4, N'. 11. j X ' dq^ J ^ p-' ^4.q2' ^ ü o ^ dl f 2pdn Zq Iiitegrons une fois par rapport 7, alors: — = ■ — ƒ -}- C = — Arctg. — +C; or, dq J p-^-j-47^ p suivant la valeur de — , elle s'évanouit pour 7=0; ceci nous doune C = O et par consé- dq dl 2q ^ quent : -— = — Arctang. — . Iiitcgrons encore une fois par rapport a 7, et nous aurons : dq p f" e-P': Cos.^ qx f 2q 2q p j ^^^^^^dx=^ Arcfg.-^dq + G, ■= ^ q Ardg.-^ +^^l (p^ + i q^-) -\- C,. "o Mais Tiutégrale ne s'évanouit pas pour 7 ^^ O, au contraire elle devient alors infinie: d'oïi il s'ensuit que Fintégrale proposée est elle-même infinie. Toutefois on peut en tirer un résultat inte- ressant en posant q = r dans la dernière équation et en la soustrayant ensuite de 1'autre; dès- lors C est éliminc et l'ou a : I -^ ^ e-V^dx =^ TArclg.~-q Arctg. ~^Jr'^l\ \ \. . . . (562) J (T' p p 4i p^ -{- ir' o Mais oa aurait pu la traiter d'uiie autre maniere en la différentiant une fois par rapport a dl f^e—P^Sin.Zqxdx 7, et uuc seconde fois par rapport a p; dans ce cas on aurait cu : — = — / et 07 J X . d-l '■1 f I e—P^Siii.2qxdx=^ ~ , voir Méth. 4, N^ IJ. Int&'rons maintenant par rapport a dpdq J ' p2-}-47^' ° 1 u o dl f 2qdp 2q , . . , ^I , , p et nous aurons : — = / — — - — 4- C = Arctg. — ^ 4- C ; mais comme 1 integrale — s annule pour dq J p2-j-4^2 p dq p n dl p n 2q 7=0, ilvieut: (i= Arctg. — |- C = - -j~ C; par conséquent ; — = Arctg.-— — — = — Arcig. — , comme ci-dessus; et dès-a-présent, nous pourrons continuer comme précédemment. ^^xP d.v , et diflercntions deux fois par rapport il p, nous obteuons: {ixy- o dl nxPdxd-l n 1 . ^ ^ ^I /" ^/' ,/ , ,x , r. ~= ƒ — , — )"rT= ixPdx^^ '.inté^rons par rapport a», alors: — = ƒ, , = l[p-\-l) -]- L\ dp J lx dp^ J p-\-l o r ri r ^^ J^+P O "o intégrons encore une fois par rapport a p, alors: I = (p -f" 1) {^iP + 1)""^] +C/'-f^i- ^^'^ Page 3G1. 46* III, W\ M, 12. N'. o. i,'2. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIOiV, ici encore il ii'y a aucuue valeur finie de p, qui fasse évaiiouir Tintégrale primitive : car pmir p = O elle devieut infinie, d'oii Cj = oo et 1'iiitégrale elle-même est infiuie aussi. Par l'iutroductioii de deux autres constantes pourtant on peut éliminer les constantes C et C, ; car désignous Tinté- grale proposée par I (p), nous avonstrouvé: I (p) = (p-l-l)(Z(p-j-l) — ]} -|-Cp-(-C,. Donc demême: I(^) = (^+ l)(i(^ + l)_l}4-Cg + C,, I(r-)==(r+l){/(r + l)— 1}4-Cr+C,: soustrayous le.i deux autres de la première, il vient: I(p) — I(5) = (p+iy(p-i-l) — (9+1)% + !)— (^ — 9)-\-^{P — ?)' I(p) — I(r) = (p-|-l)Z(p-l-l) — (r-{-i)Z(r-j-l) — (p — r)-\-C{p—r), ou déja la constante Cj est éliminée : or, il est facile maiutenant d'éliminer aussi la constante C, puisque dans les deux dernières équations on trouve (C — 1) multiplié par (p — q) et par (p — r) respectivement : on trouve par cette élimination: (p — r)^l{p) — ï{q)} — (p — q) {I[p) — I(r)}=(p — »•) ((p-}-l)Z(p+l) — (q-{-l)l(q + l)]—(p — q){ip-j-l)l{p-\-l)—{r-\-l)l(r-}-l)], d'ou enfin par la substi- iq — r) aP + {r — p) x9 + (p — q) x^ {uy tutioii des intégrales peur I (p), I (?), !(»■)= / "^~ ' ' ^ n \2 '^^ ^ — '^'"^ ^q-r){p + l)l{p + l) + {r-p){qi.l)l(q-\-l)-\-{p-q)(r-\-l)l{r+l). (T. 108, N\ 6). § 7. METHODE 12. RiDUCTION A DNE AUTRE INT^RALE DEFINIE PAR l'iNTÉGRATION par RAPPORT A UXE CONSTANTE. 1. Comme dans la Métliode 10 la diflerentiation par rapport a une constante ramenait quelque integrale définie proposée ;i une autre plus simple, de même on peut quelquefois atteindre ce but au moyen d'une intégration par rapport a une constante: dès-lors il entre dans Ie résul- tat une constante indépeudanle, qui cependant ne nous gêne aucunemeut, parce que elle devra né- cessairemeiit être éliminée clans la difierentiatiou postérieure. 2. Pour Tintégrale 1=1 e—1^xdx, iutégrons par rapport ^ q, il vient: ƒ I dq -\- C = — ■ o > e~9—\ e-9^ rf.r = , suivant 1 integrale (61). Différentions par rapport a q, nous aurons : 1 ƒ 1 — (l+Q]e-i I = ^—Y^ . (T. 113, W. 1). /•2T f \ [27: Soit 1=1 ei^'^xdx, d'oü par 1'intégration par rapport h. q: \ ldq-\-G =- j el"dx = o o (e^gTi — 1^^ d'après l'intégrale (67). Maintenant différentions par rapport a q, et il vient: el^'xdx = ^ ^—{ (563) / Pa?e 362. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'^' 12. N'. 2 — 4. e^^'xdjo = — (564) a 3. Süit I ^= I e—^Lv.xP -' dx et intégcous par rapport a p, alors: I ldp-\-C = ƒ e—^.rl>—^ djc =^r (p), o o siiivant la définition de la fonction F; la différeiitialion nousdoimc: / e—^Lv.xP—^dx- drjp) dp z= Z'(p)r(/^), (T. 377, N\ 1}, d'ou pour p -^ ] , puisque alors r(l) = 1, Z'(l) -= — A: / c—^lxdx = — A. (T. 273, W. 1). On peut au contraire rendre Tintégrale encore plus o générale, en y supposaut o = qy, d'oü : 1 e~1^ l [q x) xP~^ dx = 2' (p). Mais on a: o ƒ e-^Hq.xP-'^dx.=-^lq, donc: ƒ c-^nx.xP-"^ dx --= -^ (Z'(p) — ??). (T. 377, N". 2). [148] o "o 4. I == / xSin.px dx, d'oü : I Idp =■ — ƒ Cos.pxdx = Sin.p; douc par la dilféren- l J J P o o ƒ' _. Sin.p — pCos.p xoin.pxdx = — . (T. 192, N°. 1). ni—xp-i r [U8] On trouve Mólh. 37, N'. 3 : Z'(p) = — A + / dx, douc : / e-ï^b.^P-' dx = o o r (w) f , /■' 1 — a'P-' ) = ■ < — A — Iq -\- I <^'^ ) ■ Supposezy ^ == i et ƒ> = | successivement, alors : 5P l f 1 — X ) 'o /•" + — ƒ — d.Sin.px.Siii.qx.Sin.rx. lei pour les mêmes raisons que précé- demment Ie terme intégré sMvanouit. De plus on a: d. Sin.px.Sin.qx.Sin.rx =pCos.p.T.Sin.qx.Sin.ric-\- /-, p- r.' o (^' Sin.[{r+p)xi+Sin.({r — p)x\ -f- 5 Sin.px. Cos, qx. Sin. rx -^ r Sin. px. Sm. qx. Cos. rx=p Sin. qx '- — -f- Sin.{{q+2^).i)—Sin.{{q~p).-e] Sin. {(r -f- q)r] Sin. {{r—q)x} 4- q Sm. rx ^ ^ + '" Sm.px ^^ . On pourra donc employer ici l'integrale précédente, mais dès-lois il faut connaitre auparavant les relations de grandeur, qui existeut entre p, qti r ; soit en premier lieu, comme il est évidemmeiit permis de supposer, r~^q~^p; d'oü toujours r -{- p^r^q, q — /' <1 ? <1 »"> 2 + ^ > »' > P- Encore faut-il distinguer trois cas spéciaux: r'^p-\-q, d'oü r — p^q, p-\-q; »" — 9^ Pi r = p-^q, d'ou r — p = q, p-\-q = ^, r — 9 = P\ et r<^p-\-q, d'oii r — p»",»' — ?'+'"-5i:i(?+f)+ +C-?'-'i'")+;(T-7)i4'<'='+''-'-4if(?+'f')+i(?--i--'')+ / * Sin. px dx 2 Sin. px] " 2 /"" 1 , ^ 3. On a: I = — ■ — ) + I v Cos.pxdx. Or, comme 1 x^+^y/x 2a-\-l x<^\/x) 2a + 1 / a;" |/ a; o o o Ie terme intégrc s'évanouit pour la limite ^ de x, et que pour la limite zéro ce terme devieut ƒ'" Sin."- nx.Sin.rx , 1„ ,^,, 1,, > ,^^< '— dx = - 9 2 71, (r > 2q], = - {iq — r) r tt, (c <2r/) . x^ 2 = " o (T. 198, N'. 6 et 7). Mettons-y ?■ =^ q, alors il faut employer la dernière valeur, qui nous fournit ; / — j^ dx = ~q^n. (T. 197, N\ 13). ü l'ase 366. ET METHODES Ü'ÉVALUATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. III. M''". 14.N\5, 4. inlini ;i moins que l'ou n'ait a --= O, Téquatiou précédente ne nous douuera rien que pour cette rSin.pxdx — 2Sm.pa;l", „ T , 1 „ valeui- zcTO de «. Dès-lors on trouve: / = ; -{ +2 ƒ y - pCos.'pxdx = = 2p 1 Cos.p.v =y'2pn, (T. 225. W. 2), d'après Meth. 18, N^ 6. De meme on trouverait : ƒ* Cos. p.v dx /""" Sin. - -pc d.t f" Sin. * px dx 4p o "o "o 1 ' "1 oii Ie tenne iutégré est nul pour x infiui et cgal ;\ Arctg. q pour j; = 1. — Lorsqu'on aurait eu h. intégrcr entre les limites O et x , on se scrait trouvé ramene u une integrale inlinie, donc : /•"' dx I ArcUj.qx -- = cc. (T. 264, N\ 2). [152]. K Afin de déteiminer ainsi Tintégrale | Arctrj.xdx, intégrons premièrement de O i"! p; alors ; \/pn. (T. 225, N\ 23, 11,] 2). légrale | ƒ1' V f dx 1 , ^, Arct(/. X dx — X Ardfj.x \ — ƒ x := p Arcig.p «(1 -\- P')- iour p = co cette valeur devient co — cc, inde;terininée ; les regies usuelles donnent donc ; e'ip^irctg.p U Ardq.p-\- ^1 . = ^ JLL-l ^ Arctg.p -f -' 2 Arcfg.p. l+p' 2/. 2p Arcig.p \ '^ ' l + p'' j V Pour /) = cc on a ; { Ardg. p -}- = - , 2 Ardg. p = n, mais ia première fraction est cncore ^-'f Li j:a^^-^\\, '. _,_!_['_ 1,1+J-. (567) 2 / 1+qKx' 2 l r/2 1+7') 2 9^ ' ' Daus l'intL'gralc du textc prcnez 17 = 1, alors : / °° f/.l' 71 1 / ^rci^..r-- = - + -i2 (068) [152] D'oii il s'ensuit que la valeur trouvcc par C'avchv (.Savauts Jllraiigcrs, Acaduuic de Paris. T. 1. Ad. 1827, p. 599. Partie II. § 5) est lautivc. Page 367. 47 VIS- EN NATVT.uk. VEÜII. HEI! KONINKL. AK.\DI:JIIE. UEEL Vlll. 111. M'^^ 14. N'. 4 — G. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 01-, puisque en géneral pour r iufiui — = — = x , on a eufin : e-l = co et ƒ i4/'6'to rfa; = oo. r 1 J n (T. 109, N'. 1). 5. Eucore est-il: ƒ Ardg.px d.c =: x Arctg.px] — / a: — ~ =Arctg.p-^- -l[\ +p-), [153], (T. 108, N'. 2), J i J l+P''^' ~P o " Ü ƒ /trcs»;.p.j;(f.r = a;/lrcsi«.»j^> — I x = Arcsiii.p-\-- \/{l — p^] — -. (T.10S,N^4). [154]. J i j y{i—p-x^) p p o 0 0 Dans ces deux équatious les termes intégrés s'annuleut pour x zéro et preuuent une valeur déterminee pour x = 1. V TT f - Sin. X. Cos. xdx — \ C- Ü "O o o = ^ [F(p).Z(l-p^)-0-i/(l-p^).F(p)] = _ ^Z(l_p^).F(p), (T. 375, N'. 4), i Taide de l'intégrale de Métli. 17, N\ 16. De même: ƒ "2 Sin /p Cos ^ dx \ [^ 1 1 ^ ^^MT7T^^^-^r-rT = -,— / E(p,^)dZ(l-p\9i«.^a.)=- — E(p,..).Z(l-p^5;«^^) + +■ ^ / ~l[l-p' Sin.' x)dxx/{l-p' Sin.-^x) = -^^-- [e' {p).l[\ -p') -0-{2-p-') Y (p) + o + {2_l/(l_p^)}E'(p)] = pi[(P'-2)^'^P)+ {2+^^(l-P')} E'(p)], . . (571) d'après Me'tli. 17, N°. 16. [153] Puisque: / = "-^ I d.l {l+p^v') = —Jil+p') (569) / 1+p •» ^P I ^P 0 'o fi xdx 1/1 1 t^^*^^^^^= /7(I=7^^~p/'-^^'"^'''^^^^'~^^'~'''^^""-^'''^ 'o o Page 368. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÈGRALES DÈFINIES. l\\. W\ '14. N\ 6. ƒ2 'Efp ,x) Sin. X. Cos. xdx — 1 /"^„, ,r^„„ ë.r^,+«T„:-z7(i:::;^"ni-.-c-»-)} i ''(p.')''-'(c...''+s.»a-.,'(i-.-))- Ü o 1 -- s2 /•2 dj> -I 2(1 — l (1— ;'^|*- j / l'(l — ■p^Sm.^x]* o ■ o = -^ -l T-r— ^7, (T. 375, N'. 5), d'apK-s Méth. 28, W. 11. 4 1-1(1-/'^) {l+i/(l-p^)}l>-(l-p^)' ^ . ;. 1 ( 2 Sin X. Cos. .r dx f ~ Od trouve de même: =fc 2» / F (» , .r) — — - — = / Y {p,w]d.l{l zt pSin.' .r) =^ I l ± p bm.- X J o o =■ Y (p,x).l{l ± pSin.'^x). — ƒ <■! ±poirt.- 3') ;; — . Or, comme cette deniière ) J j/ (1 — p^ Sin. .v) o o integrale a déja été déduite Méth. 10, N°. 9, il vieut : ƒ1 Sin.x.Cos.xdx 1 , 1 [1,2 + 2»^, , tt i 1 ^^;&2)i.2 _j. 2p 2/j *^2 i'p 8 -" J = ir,„,,(l±|)i£il + ^^r (,(.-.■)) (-) rs Sin.x.Cos.xdx 1 1 fl 2 — 2» n , „ _, / 1 — poin.^x 2» 2p ^2 i//) 8 J •o = /f'(p).Z--^— ---^F'{v/(l-p^)); (573) A.p {\—p)\'p 16 p d'oü nous déduisoiis en prenaiit la somme et la diflerence : C'2 Sin.x.Cos.xdx l ^,, 1+p /^-n I F(?>,.t) --= — F(p .Z— ^-S (574) TT ƒ2 Sin.^ X.Cos, xdx 1 ^,, , , 4 n ,-,,, 1 — p^ Sin.^ X Sp' (1— ?J )?' Ifip* o Pa^e 309. 47* lil. M'\ 14. N'. G — 8. TIIÉORIK, PllOPRlÉTÈS, FOiniLLES DE TIIANSFOR.MATION, TT JT Enfin: f\;p,a:)—^~^^ '^ ^ = ^ (\{p,x)J.Arctg.{rffX\ (l_p^St«.^^-))= J ^' 'l—p-^Sin.n.Sin.-^xVil—p'Sin.-'x) p'' Sin.).. Cos.). j ^ ' ^^^ ' '' o o — 1 a l'aitle de Méth. 10, N\ 2; et par Méth. 7, N'. :i3 encore : 0 ^ T ' -j'ArcUj.lTc/.ki/d-p^ Sm.\v)]chY{l-p-^ Sin.'^ .r)] = ~^^-^^^^Tip).Arctg.{Tg.)..y/{^-p^)}- _|e(p,X) + ^Co lp' 1 IP 1 /"P, 7. ƒ a; (p ~ .r)7-i J.i; = ƒ .vJ.(p — .t)1 = x{p — xyi\ + - ƒ {p — x)rfc/6'os.ryj;.s.''+-j'.j o o o TT 5r = • — / Cos.P+-x.Sii).axdx, d'ou encore: / Cos.P x.Sin.qx dx = - — ; — — ; — — + p + 2 p-1-2 / . ^ ' j (p + !)(?' + 2) 'o O _^ _H 1 i — I Cos.P+Kv. Sin. qx dx . . . . (6), qui donne de nouveau pour q = p -\- 2 : (p 4-1) (f + 2) j o ■JT ƒ2 1 Co8.P x.Sin. [(p -\- 2)x] dx = — . (T. 55, N". 1). [156]. Lovsque au contraire on lépète la ré- o P r 1 (F + 2)*— 7^ duction f^-) a fois, il est : ƒ Cos.P x. Sin.qx dx = q\ + ,,,.,, „.- , „>, , .> + • • • / l(p + lj(F + 2) (r+l)(p + 2)(p + -3)(p + 4) ^ (p-t-l)(P + 3).--(p + 2a-^) J^ (p+l)(p-j.o)...p.^o^ j o p a-\ fp_j_a-}.l)n/l(a— 1)W1 qui doune pour q =p + 2a: I Cos r.r. Sin. { (p+2a).r) rf.r = (p-|-2a) ^ (—1)" 22« ■ , j^»/! * (T. 55, W. 3). Maintenant soit d'après ce qui pre'cède : ^ "^ I Cos.P x. Cos. [{p + 2) x] dr = O, 'o ƒ21 Tl Cos.P x.Si}i. |('p+ 2)*-} dx = et substituons la variable ;y ^ - — .-c, nous aurons: o TT 5 = j 'Sin.P r. Cos. {^-^^71 — (p + 2) A d.v = Cos. ( ^^-^ n\ . j Sin.P x. Cos. { [p + 2) .r] dx + I 'o [156] Trouvée d'une autre maniere Mcth. 38, N". 6. Page 372. ET METHODES D'ÉVALUATIOi^ DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. W\ 14, 15. N'. 8, 1. + Sin. ['^^ 71 ]. ƒ 'Sin.P .V. Sin. [{j}-^- 2) x] d.r, K = ƒ 'Sin.P ^. Sin. V^-^ n — {p + 2) aX dx = o Ü TT n = Sin. i^-^nV j Sin.i' x. Cos. ((p + 2).')} dx — Cos.i^-'' n). j~SinPx.Sin. \(p-\-2)x\ dx. o o TT Oi; Cos.i—^ — 7r] = — Cos.-pTT,Sin.i -^tt j = — Sin.-pji; donc : / Sin.P x. Cos. [{p-\-2).t] dx = o TT 1 1 — SinJpn ["i , 1 -^1 Cos\pTt — ICos.-pn — ]LSin.-pn= , / Sin.px.Sin.[{p-\-^x\dx= — lSin.-pTi-{-KCos.-pn= -— . Z 2 P+1 / 2 2 P+i o (T. 54, W. 8, 1). [157]. /«4-2a \ 1 lp-\-'2.a \ 1 , * Puisque Cos. I ^ -ti = 6'os. — ^tt. Cos. aT, >Su(. I ^ jt j = Sin.— pit. Cos. an, Ie meme laisonnement appliquc aux iutcgrales (T. 55, N'. 8, 3) dounera : j Sin.P X.Cos, {{p + 2«).;} c/^' = ^~^—Sin.-pn. ^ (- 1)" 2^" ^^ ^ /.i,l ^ ' ' ("S) / ^ Cos.an 2 o (P + -IJ ' o TT n w4-2a 1 "— ' (p + a+l)"/i(a— 1)"/' § 10. .mï:thode 15. cas, ou dans la foncïion a intkgrer il se trouve üXE constante, qui devienï infinie. 1. Comme au § 9 de la Première Partie nous avous trouvé quelques th&rèmes géuéraux sur les iutégrales définies qui contienuent uiie constante infinie, il est a propos d'en donuer ici quelques applications : nous choisirons celles dont nous aurous besoin dans la suite auprès de quelques methodes qui uécessitcut la consideration de telles intégrales. [158]. [157] Sur une autre déduction voyez Métli. 3, N'. 10. [158] Yoyez ïi ce sujet la première partie de ma Note, publie'e dans les Verhandelingru der Kon. Akad., Deel 7. Page 373. ici toujoiirs ƒ I tt j = -; ^-— — ^ = O, il est pour chaque u: II!. M^^ 15. N\2. TilÉÜIUE, niOPRlÉTÉS, formules de TRA.NSF0RMAT10N, „ _,. , , -. /" Cos.x.Cos.hxdx .,. /■« Cos.- je Cos.hx 2. L integrale Urn. l — — ^ = Lim. ƒ -— ; ■ ~- dx, est de j 1 — 2/'C/05.A--f-p* / l — 2pCos.a; +P'' Cos. ar o o la forme de l'intégrale de T, W. 7.3, lorsqu'ou y preiid f {x) = —^ ; inais comme J — 2pCos.x +p' l~Zc+l \ O f" Cos. X. Cos. kx dj; Lvm. ƒ = 0 , O < a < k , Lim. Z; = =o C580) / 1 — 2öCos.a- 4-»2 ) -- -^ . ; •o „ „ , , r ■ f^ ''"''''■•''■Süi.kxdx . fo Si».^ X Sin.hxdx uc itii me 1 integrale Lim. 1 :; = Liin. I — est com- j i — 2p Cos. x-\-p- J 1 — 2p Cos. X -\- p - Sin. x o o Siti.^ X prise dans les intégrales de i, N\ 72, pour /(j) == ; — • : ainsi on a touiours 1 — 2;; Cos.x -f- p /(ctt) = = O, et Ton en tire pour teute valeur de a: l±2p-^p-i ^ /■" Sin. X. Sin. Icx dx Urn. I = 0 , n \ J 'o La somme de ces deux résultats doune, quand uous remplacons k par k -{- l : f" Cos. kx dx Lvm. I =0, O < a < cc , Lim. i = <» (583) ƒ l—2pCos.x+p^ , ^ ^ , \ ) 'o Pour a = n elle donue l'intégrale T. 84, N'. 11, et par la substitution de .p = 2 y ou en déduit encorc par voic d'addition et de soustraction la formule T. 69, N'. 11, 15. On aurait tiouvé ces mêmes résultats en preuaut dans ], form. 151,/(j;)= 1 — 2pCos.x-\- p^ et k ==■ k± 1. Pour cette supposition Ia formule I, 150 doune : /•« Sin. {[k±: l)x} f" Sin. kx. Cos. x ± Cos. kx. Sin. x Lim. I ■ T dx = Lim. 1 dx = j 1 — 2p Cos. x -\- p'^ I 1 — '2i> Cos X -\- p'- o o = o, o < a < er , Lim. k = nCos.bTi / 2i+l \ T + • • • + ,, ■> , ,c.L , ■■^. ,' "■ = :. ^ + '-• , C < TT ; Lim. Ap' + TT 4p' -j- 971-^ ^ ■ ■ ^ 4p^ + (26 + 1 ) - 71^" /•« Sin. U2 k -\- \) x\ xdx / 1 i / 1 \ """■j — Cos.. '^^T^^-''i:r) ^'''^ () f»Sin.{(4k+2)x] xdx , fSin.U-x xdx ƒ r -^ITT- • (598) =-- - Lim. / — — = . . (599) J tos.x p^-\-x- f Cos.x p-'-j-.r'' [160] Voyez Meijer, Exposü élémentaire iles Intégralcs Di'fiiiies. (Bruxcües. Miqiakdt 1851. IV, 520 et IV Pages 8'). p. 220. Page 376. ET METHODES D'ÈVALUATION DES IiNTÉGRALES DÉFINIES. 111. M'". 15. N'. O. , a=-7T , = —— -, -u— Ij'ti^ ' 4^0- + (26+ 1 j-tt-' \ 2n'- 27r2 27r^Cos,i7r / 26+1 , . \ ,. , — -1- ... J- , a= ^ + c, c <" TT . Lim. k = 4p2_j_^2 4^,2_|_9;ri ' 4,p'- +(Zb-\-iyn^ C^Sin.hx.Tang.ai . fSin.asdxSin.kjc , S/n.a; Auprcs de rintéo-rale Lim. I thv = Lim. I ; r on a: f{x) = — - r; ' ƒ /)'-|-A'^ 7 ?'■'+•'' oV'.i; p--\-x'- 'o o /2c+l \ ■iCos.cn Aouc- f{ TT 1 = , nas zéro, et par ces memes formules I, 183 — 191: •'V 2 / ép'- + {2c+iy n^' l ' 1 f''Sin.{l2k+\}x}.Tana.:v, I 1 \ / .^ 1 \ ,,„ns '-«• — ^"Tqi^r— '^-= O' («< 2-)' = ^X>r\ ^'''^ •o C«Sin.{{A4c-\-''l)x).Tanq.xdx .. f Sin.Ux. Tang..v Lim. ƒ i^ ^~-^^ '-^ ■ • • (601) = — />""• ƒ — .r^-d.v == . (fi03) •o o 2 71 / 1 \ 4/r /l 3 \ 4 7r , 2 tt / 3 = , a=-7r , = , -TT p^-\-n^'\ 2 j' 4/r--f7r^ \2 ^ ^2 /' ip^ 4-n- ^ ^p^ +'Jn'' \ 2 4,1T 471 47T 27r / 26 + 1 = + + . + + , a = 4^,2 _j_„2 T^ 4^2 _|_g^2 ^ ^ 4;>^ +(26— 1)^71^ ^ 4p^ +(26+1)- TT- \ 2 4 7r 4 TT 4 TT / 26+1 , \ TT «P— g-P , -4- 4-.. + 1 «= n: + C,C<'7r , = , (a= oo ) 4p2+^2 ' 4;,2+9;rï ' ■ ' 4^2+(36+l)^7r2 \^ 3 yl ^jo gp+f-p (d'après C. P. form. 73, quand 011 y preiul p=Zp^i). Lim. k = cc. L'intéï?rale Lim. I ' " ^ se déduit pour fix) = -— — 7 de T, W. 73 et ron a: ° / Cos.x p'--{-x''- p^-\-x- '0 f^Cos.2kx dx / 1 \ / 1 \ ,_„^ Lim. — ---=0, a<-7r ,=, cc,(«>-77 , (G03) / Cos.n- p' -\- .v' \ 2 / \ 2 / "(1 ("Cos. {(4,k± ]).)■} (i^ — 4p2+7r2' 4/)-'+97T^'\ 2 /' l4p-^+7r^- ' 4p2+97r2 4p^ +(26— l)-'7r'' 271" -■ / _26 + l \ _ r 47r ^ 471 471: -I + 4p^+(26 + l)^7i2rV'"' 2 ""''/•'" 14^^+71^'' 4./,^- +971-^ ''"■■■'^" 4p^4-(26+l)'u^-I' (26+i \ cP — e—p rt= — — 7r + c, = , fa == x), fcomiiie ci-devant), (604), Lim. k ■■= x . 2 / cP + e-r^ Pa^e 377. 48* III. !\P. 15. N'. 5 — 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES ÜE TRANSFORMATION, f^ Cos. kx X dx Sin.x p'^-\-x^ Enfin Tintégrale Lim. 1 — — ; — ^ se range sous celles des formules f, 192 ii 194, et O comme ƒ (c n) ne s'y évanouit pas, il est : ƒ" Cos. kx xdx I \ \ / 1 \ , . 7 , „ ^ — O, «<-7r , = 7D, a>-7T , Lim. k ==r x ((305) Sin.x p--\-x- \ 2 I \ 2 J u /« Sin.kx , -r. C Cos.kx ,,, . , ^ Encore les integrales Lim. \ dx et Lim. I -; . -,, tu' peuveut se deduire de 1, o «S«'«. a; Cos. .« N'-.72,73,quandonysupposerespectivement/(a!) =--— - — —-, d'oii ƒ (c tt) = O, et ƒ (j;) - / 2c + 1 \ /■" &■«. kx d'oii /l— J"-^ = ü; douc: fJm j ^.^^ ^.,^^. =0,(0 (O < « < '-^ ), -t""- ^- = 00 (607) ƒ« eP^ -|- e— P^ -i-l , / '2b+l \ = ±^i(l+;,^)j- — pkx 8. Soit encore I = Lim. I dx,{k= rx), qui devient pour k.r = y: f a; o raL g-qx g—jjx = ƒ d.r. Maiutenant preuons k infiui, alors l'intégrale a pour limites O et cc et I 'o ra g—qkx g—}ikx p se trouve évaluuo Méth. 9, N'. 22; par suite iiw. / dx = l- , (Lim.k =x ). J ^ 'I •o (T. 149, N\ 16). /•i 1 ^x- Pour avoir enfin Tintégrale Lim. I d.r pour k infini, employons Ie développement en I 1 — .V ■(I séries suivant Legexdue [161], [161] Legexdre, Exercicfs de Calciil Iiittgral, 1'. 4, N'. 63. Page 380. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGKALES DÉFINIES. III. M''^ 15;, 10. N\ S, l. ƒ1 l_.ti 1 00 (—1)" (lx = A + lk-\- ~- -f- ^ — — — Bin—i pour chaque k, J. — — J) /^fv \ iih, o /l 1— A'^- ilonc : Lim. ƒ dx = A -\- Ik, Lim. k -- cc. (ï. 3, N\ 6). } ^— * o Prenez-y alternativement k = ak et k = bk et soustrayez, alors il est: fl.,;ak — ajiX; Ij/, j Lim. I dx =■ l — = l -, Lim. k =-. as . (ï. 5, N°. 27). / 1 — a; aK a § 11. MKTIIODE 10. CAS ol' LA FONCÏION A IiNTEGREU s'ÉVANOUlT FOIJR UNE CERTAINE VALEÜR d'uNE CONSTANTE. 1. Il arrive souvent que la inéthocie d'évaluation d'une iutégrale défiiiie comportc rintrocluc- tion d'une constante, qui doit être éliminée après. Une des voies les plus usitées pour parvenir u cette éliminatiou est d'attribuer, s'il est possible, une telle valeur a, une constante quelconque qui se trouve dans Tintégrale prirnitive, que celle-ci s'évanouit. On a Aéjh fait usage de cette maniere d'agir dans quelques-unes des Methodes prccédentes : on Femploiera encore souvent dans Ia suite. fi Cette methode est donc basée sur la valeur qu'une integrale: ƒ /{c,:t:) dx = "E (a,b,c), . («) a acquierf, lorsque pour la valeur h de la constante c, on a ƒ(/(, .f) =0. En géncral on en déduit ff> ' , . alors: ƒ f{h,w)dj;--='F{a,b,Ji)==d, . (b); mais cette déductiou nest pas toujours rigoureuse, a comme on va Ie prouver: uotamment elle est incertaine, quand Tintégrale définie (a) exige la con- dition c plus grand que h ou plus petit que h. Retournons a la détlnition primitive d'une integrale définie, c'est-a-dire ii l'équation (o) Partic Première : jf{c , x) d.v = Lhn Ö (/(c , a) +f[c ,a + S) +f{c ,a + 2S) + . . . +f{c ,a+[u-l]ö)} , . (c) a et supposons que la valeur /; de c rende /(A,j;) zéro, alors il arrive de deux choscs Tune: il se peut en premier lieu que ^{h,x) s'évaiiouisse pour toute valeur de .^■ entre les limites a ti b: dès-lors chaque terme dans Ie second membre de l'équation préce'dente s'évanouit séparéinent, et 1'intégraie elle-même s'annule par couséqueut; — mais en second lieu il peut se trouver entre les limites a et ö des valeurs de a, par exemple g, telles que f{c,g) ne s'e'vanouit plus, mais devient plutót indéterminée ou même iufinie: dans ce cas Ie terme correspondant S/{c,g) ne s'aunulera pas toujours, mais pourra acquérir une valeur déterminée et différente de zéro. — On s'aper^oit aisément, qu'ici la même chose a lieu qu'au N'' 7 — 9 de la Première Partie, c'est-h,-dire qu'il PaTC .3S1. III. M*^". 16. N'. i, '2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, f'', (9-'- 19+' (l) s'agit ici d'une integrale siugulière. Or, ou a : \ f{h ,.«) dx = ƒ f[h , x) dx -\- j f[h , .r) dx -f- I f[h , a-) d.v. a o. *9 — £ kdx /■* X b — a '' / a\ n 1 n\ P4^ = ƒ d- ^''c'i;- J, = Arcig.j—Arctg. — = Arcfn, nu/^<0), (/;^0) . (623) X p a oh la dernièrc valeur est zéro, puisque Ie cas de discontinuité ny tombe plus entre les limites de Tiutégration. Lorsque a est zéro, Tintégrale singuliere doit être prise entre O et t, et après la substitutiou de h.c = y entre O et oo : de sorte que suivant Méth. 9, W. 23 ou a: / 4 e-pkx — e— ?^x (j I ^^^ dx=^l—. [k^^O). (T. 149, N'. 16). L'intégration immédiate aurait condnit aux 'o niêmes résultats. [165]. f[x) , pour i = ü, o\\f{x) soit supposée k'' -\-{x±i ry u être continue. La fonction a iutégrer devient discontinue, lorsque avec ^ = O on a aussi .t ^= =F r, car la valour doublc, piiisqu'il prciul riutégrale singuliere de — ; u j, au licu d'eiitrc O et s. ƒ■» e-px — g-qx q dx = l^. Prcnez — p, — q, —:•-, au liou de X ■ p o 2J, q, .'-', rintégrale entre les limites — oo et O aura la même valeur et Ie même signe que l'intégrale citée. La somme en fournit douc rintégrale (621). [165] Voyez en outre Mctli. 15, N". 8. Pa;:e 383. 4.9 WIS- £N NATUXJKK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VUL iU. M''". '16, 17. N'. 4, i. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORWATION, k O , . daus ce cas Ia fractiou — ; est - , indeteiminée. En premier lieu, comme la valeur — r de X tombe hors les limites O et 6, on a: ƒ' „ kdx /w*T:f^+7)= -«■' = » '"' u 11 en estautrement lorsque Ie dénominateur est x — »•; car u la vérité daus Ie cas de r jjlus grand que b, on obtient Ie même résultat zéro, vu qu'il n'y a pas de discontinuité; maïs lorsque r est plus petit que b, la /^+^ kdx [^ kdy J {x) = 1 f[r -\-y) , V- -\-{x—ry- j ^^ A*+2/* après la substitution x = y -\- r. Mais au moyen de Tintégration par parties on a: ƒS k dii /■'-). = O, (ir), ^ 0. (6 {{'2,a^\)n — x} = - 1 — Sin. X ==qp(2a7r-f-.T) =if(.i-) et ^{i.an—x) = (f>{{2a-]^\)n-\-a;] = l = (f,(_.r) = — q>[x): par I -J- Hm. x C'^l^Sin.xd.v tl'' l^Sin.x (11 1 1 ) consequent on trouve: / l — — "= ƒ '; 77. aar? --f- — — -{-...\ = J 1 — oin.x X f 1 — om.x [x n — x n-\-x %n — x j o o = i^^^l "^ ' "— /- (C. P. 72) = -7i2, (T. 414, W. 4), suivaut Me'tli, 28, W. 7. Eocore f l — Sin.x Sin.x 3 •o /l + Tang.x\- prenons ¥(Sm.-x) ■-= 1, ((j (.t) =- l ,, , d'ou [an -\- x) = ip{x), et ij.{ajT — x) = \V — lang.xj fl — Tang.x\'^ , r , ( l + Tang.xY dx \\-i-Tang.xj >^ ' *"^ " J \l — rang.xj ir J \l — Tang.xj (x n — x n-\-x 2n — x J ƒ \l — Tang.xj Tang.x (C. P. 69) = -7i:\ (T. 414, N", 5), par l'iute'grale de Méth. G, N\ 6, Note 81. 3. Du groupe II, 29 i\ 39. Dans II, 30, 32 soit Y [Sin.'^ x) = 1, alors: ('^ dv ("^ dv 1 / Sm..r— ,(T. 194,NM),[166] = ƒ 7aHff..r — , (T. ]94,NM 2), =-7r. — II, 30, 32, 37 douuent: ] X j X 2 () -o ^^ dx f^ dx SinP-'^+Kx. Cos^i' X ~ , (T. 195, N\ 25), = ƒ -S«i.2«+' .r. Cos.24-i.»— , (T. 195, N^ 26), = o o ƒ1 dx [l-^ la|2 1*/2 7r Sin?" X. Cos?'' X. Cot. - « — , (G25), = / Sin?"- x. CosP-Kv dx = r— - , (voirMéth.3,N^5); 2 .^• ^ J 2'»+V2 2'^ " o (1 f" dx /"* „ dx I Cos?" X. Cos. Z bx. Sin. X ~ , . . . (626), = / Cos.^"-^ x. Gos.Zbx. Sifi.x — , . . (627),= } "> ^ o ü /■" 1 dx l- Tt 12o/i = \ Cos?<^x.Cos.%bx.Tq.-x~- ,[C^l%\-= \ Cos?"x.Cos.2b.rJx--= : 7-,(voirMe'tll.3S,N^7); [166] Autrcment cK'duite Mülli. G, X\ 5, Mctli. 21, N''. 6 et Mctli. 43, N°. 7. Page 385. 49* lil. M**'. 17. N'. o. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, /■" ^ dx r" dx I (l — 2pCos.2x-\-p'-)'^Sin.x-~,.{6-Z9), =j {l —2pCos.2x + p^)" Tang.x-, . {6'è0),= o o ?r == 1 (1 —2pCos.2x+p'')"Tff.-xdx, . (6:31),= / (1— 2/96'os.2.i'4-/7^«c7.«=- / [l—ZpCos.a; hp^'fdx^^ ■ o o o = -^ p2,- voir Méth.22,N'.9 ;/ — -^ ,.(632), = / ^^ ,.(633),= 2 o\nj 'j ±p-\-qCos.%x x^ ' j ±p-\.qCos.2x x^ " o o TT r Tang.'iC dx f^ dx 1 (^ dx n = \ ^ ,.'634).==/ =-/ ; =± ,fp'>9'), / ±p-\-qCosAx X j ±p + qCos.2x ZJ dzp-\.(iCos.x Z\/{p'^—fi'')^ ^ ' o 0 0 ,,, , ,,, , ,, f" Cos.-" X. Cos. -Za r. Sin. X dx = O, (P- ij J 1 — 2pCos.2x -\- p- X 2(l_pï)2a+l o \n^ /•" Sin.'- X. Tg.^''+^ x dx ['" Sin.x.Sin.^ 'x.Tg.^^x dx f^Sin.'i.v. Tanq^oxdx = / ^ ;r-^ ,.651),=2/ — -^ ^— T — ,.(652),= 1 ^ = / l—2pCos.2x+p' a, f l—2pCos.2x+p^ x J l—2pCos.2x+p^ 0 o o jr 1 f^Sin.2x.Tang.^<'+ixdx n f f l — pV^+^l = ï / i-2,j2.+p^' = 4 '''• «^- 1^ - (r+ p) I' ^^^<^^' (^°"' '''''' ''' ^'- 1^)' o f°° Cos.^^ X. Cos. 2a x. Sin. x dx /"" Cos.2a— i dr. Cos. 2a x. Sin. x dx I ;; :; , . . . . (653), == / , . . . . (654),= J J— 2pCos.2.r4-p^ X J l~2pCos.2x+p^ x ^ " o o ^'^ 6'og.2« X. Cos. 2a X. Tang. ^ x dx ^^ r^Cos.^"x.Cos.2axdx n /l+pV" \—2pCos.2x-\-p''' x' '^''~J l—2pCos,2x-{-p-^~2{l—p^)\ 2 j ' o o ƒ " Cos>+^ .v.Sin. 2ax.Sin.^ x dx ^ f" Cos.^" x. Sin. Za x. Sin.^ x dx j l — 2pCos.-Zx+p'' _^. > • • • (656), --=1 i^2pCos.2x+p'' Iv '"'^ ''^ «> b _ ^ ƒ '° gos.^a+i j. 5in. 2a .r. Sin.^ ■ a; rfa; ^ ^ _ p Cos.^"+^ x. Sin. 2a x. Sin. x __ ~ " / l—2pCos.2x+p-' x' ••••('')' — ƒ l—2pCos.2x-{-p^ "^ 1 nCos.'^''x.Sin.2ax.Sin.2xdx 7r(l+»)2«— 1 _ , == - ƒ :; = - , (voii- Méth. 22, N\ 5; 2j \—2pCos.2x-\-p''' p 22«+3 " o /"" dx /■* dx f'" 1 dA' / Cos. (p Tg..v). Sin.x —, . (659), = ƒ Cos. {p Tg.x). Tg. x —, . (660), = ƒ Cos.{p Tg.x). Tg.- x — ,. (661),= ƒ X I X f 2 X o o •'o ƒ Cos.{pTg.x)dx^-^i\\ Sin.{pTg.x).Siu..r.Tg.x-~,.{ÖG2),= j Sin.{pTg..v).Tq.- x-, . {6GS),= f 2 f X J " .V 'o •() o Page 387. in, M'^". il. W.O. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE. TRANSFORMATION, Sm.{pTg..r].Tff.-x. Tg.x~, . (664),= I Sm.{pTg.x).Tg.xdx^-e-P, | Cos.{pTg.x).Sin.'^ x —,.{QQb),= o 0 0 ƒ"" dx {"" 1 dx Cos. {p Tang.x). Sin.^ x ~- , . (666), = 2 / Cos.{pTang.x).Sin.x.Sin.- -x~, . . (667),= .r Cos. X f 2 ic o "o p 1 — p r . . , djc = ƒ Cos.[pTang x). Siii."^ xdx = ne~P, ƒ Sin. (p Tang.x). Sin. x. Cos.- x — , . . . (668),= jf 4. ; cc o o r ^ dx r 1 d.r, = / Sin.{pTg.x) Sin. x. Cos.x—, . . (669), = / Sin.[pTg.x).Cos.-' x.Tg.~ x—, . . (670),= f X ] % X •'o •'o = / Sin.{pTg.!r).Cos.^xd.v = -^~ ne-P,iSin.{pTg.x).Cos.x—,. {G7l),= jSin.ipTg.x)—, (672),= o 0 0 TT ƒ" 1 dx ra" 71 Sin.{pTg .v).Cot.x.Tg.-x—,.{6ró), = / Sin.{pTg.x).Cot.xdx = -(1— c-P), (voirMéth.28,N°. 7); 2 a; y 2 o o ^Sin.x.\ySin.'^ X — , . (674), = / Tg.x.]^-^ Sin.'t x—,. (675), = ƒ ?>.- x.lV-Sm.^ a— ,. (676),= .T j .^• y 2 X 0 0 0 ƒ2 ^ / 71 \ 3 + 31/3 / 71 \ r" ^ d« da: ^ Sin.* re = 3 t5/ 27.E' Sin. — — — ' — *^~f{ Sin. - , / 6m. x. ^'' Cos.^ x — , . (677),= \ 12/ 2i:K3 \ 12 j f a:^ ^ o "o = ƒ — ,.(078),= / Tg.-.v. x^Cos.- .t— ,.(679), = / dx\i'Cos.\v = 3|)' 27.E Sin. — 1— 0 0 o 3 + 31/3 ^ / 7r\ f" ^ rfo: r" l^-Sin.a; du /"" Tg. \ x dx '-^^-■TlSin.:^],h^'Sin.x-,. (6S0),= — ,.(681),= / —y- ,.(682),= \ l'i j J X J Cos.x X J [i^Sm.'x .V 2 IK 3 ^'■i dx / n \ f'" Sin. X dx i^ Tg. x dx ■ — —-:- = V''21.Y[Sin. \, \ , . (083), = / —> , , . (084),= \^- Sin.^ X \ 12 j / \i^- Cos.^ X X ^ ' j \i-^ Cos.^ x x ^ ' o "o o /■" Tang. lx dx f 2 dx / n\ = ƒ r/^ o > • (685), •-= / — — - — ;; — =: |>' 27. F' ISin. — , (voyez sur les valeurs employees J l^-'Cos.^xx ^ ' J li-Cos.'x \ 12/^ •' '■ ^ o o ,,, , „ ,^ /"^ Sin.x dx /■" Tang.x dx Métb. 7, N\ 17 ; / , . . (686), = / ^ ,. . . (687),= '\l y/{ad=bCos.ix) x ^ '' f \/ {a ± b Cos. 4.x) x ^ '' Pase 388. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M"'. d7. N°. O, 4. j \/{a±hCosAx) X j \/{a±:bCosAx) éj \/{adtzbCos.(c) \/{a + b) y a-i-b) ' o o o l"" Sin.x.OosAx dx /"" Tang.x.CosAx da; p Tang. },a;.CosA.v dx _ ƒ ^{a±bCosAx) x"'^ ''~l \/{a±bCos.éx) x''^ ''~ f \/{a±bCosAx) x"^^^^^~ o o *0 /'2 CosAxdx 1 r^T Cos.xdx ±1 r f Zb \ / 2^ M y l/(a±6(7o«.4.r) ""ij j/(a±6Co«.j;)"" ^(^6)^"^^^^ ^^c^Ièj"""^ (^^o+^Jj' (voir Méth. 9, N^ 13). 4. L'emploi des formules 11, 30, 32, 37, II, 33, 39 et II, 35, 38 ensemble nous fournit encore les résultats suivants : /•" Sin.x dx r" Tang.x dx /•" Tang'x dx o o o TT = ƒ -. rr. = - . (voir Méth. I, N". 17); ƒ , . . (695),— o o ƒ" &in.x dx ['2 dx n p^ + Tang.-^x T^^^x' ' ^'''^' = / Sin.^ x+p^ Cos.^ x^ïp^ (™"' ^^'''' '' ^ " '^^' u O ƒ" Tang.x dx ^ /"" (Sin. « d^ f^ dx n p^ + Tang.^x x' ' ^'' '' ^ j p^ + Tang.^ x'^' ' j p'^+Tang.'' x^ %p {\-\-py 0 0 0 (voirMétli.l,NMS ; ƒ ,.(699, = J ^ , f700) = 'ƒ 5ui.2;r+p26'os.\r.ïCos.2.j: ' / Sin.''x+p'^Cos.-'x xCos.2x ^ '' o o r Sin.x.&in.'^ \x dx n Sin.'' x ^_ 1 p-^ j Sin.''- x-\-p^ Cos.''- X xCos.lx ' / Sin.^ x-\-p'' Cos.^ x Cos.ix 2 1-fp*' • o o ƒ" Sin.x dx /*" Tang.x dx Sin.-' x+p^ Cos.'* X xCos.Zx' ' " ~ / &n.^ ^4-p^ Cos.^r .cCos.a.»' * ' ' ^'"^ 77 _ /a 1 J,g TT l—p^ p &«.A'.C0i.A' d« ƒ &"n.* ar^-;»'' Cos.^ a; (^os. 2« 2» 1+P"' ƒ Sin.* .«-{-p^ C"*-^ * ^C'os. 2,»' ' ' * ' ' o -o Z"" Sin..v. Cos.^ X dx f'~ Cos.'' x dx 1 n = ƒ ,.(705), = \ = — , (voir sur ƒ Sin.''x-itp''Cos.''x xCos.Zx- ' J Sin.'' x+p^ Cos.'x Cos.-Zx 2» 1+»^^ o o Page 389. III. M"^'. 17. N', 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ƒ" Sin.x dx r Tang.x dx ces valeursMéth. 27, N°.2) ; | , .... , , ^ , .-706), = I ,„. , ^ ^ , , 7. • (707),= ■'0 o TT _ r^ Tang.\x dx _ (^ __^± !^ , j a+bSin.Kt+cCos.Kv .r' " ' j a-\-bSin.^ x+cCos.^ x 2i/(a+6)(a+c)' ƒ'■" Sin^x dx /"" Sin."^ X. Tang.x dx ,„,„^ o ' " = 2 ƒ" --^"^"•'^"- ^^ (711), = f% Cos.- .i-f5^ (Sm.^ ,/• 25(p-}-5) f ^^-^ ^' .... (712), = / "^^^ ^A (713),= ƒ p'^ Cos.- x+q'^ Sin.^ X x' j p'^ Cos."^ x+q- Sm.^ x x •'o ö ƒ "2 da^ ^ r Sin. X. Cos. X dx (714.) = ƒ/•' Cos.^ x4-(i^ Sin.- x ~~ Zpq J p^ Cos.'' .ï+9^ Sin.'* x x ü o f" Sin. X. Cos.'' X dx ^ n Cos.^ xdx ^ n "" j p2 Cos.-' x+q' Sin.-' X x' "^ ' j p'' Cos.'' x-\-q^ Sin.-' x 2p(p-f5)' (voir sur les valeurs employe'es Méth. 7, N°. 20); I — — - — ; — _ — , p. , ,, "> .... (71b),= ^ "^ "^ f (p- Gos.^ .y-}-^ oï«.- «)■' A' o _r Sin.'' X. Tang.x _ dx _. T -Si». .y. gm. ^ ■ .r d^ (718) = I (p^Cos.^r + 2^5i«.^r)* .r' ■ ■ ^ '' ^J {p'' Cos.Kv+q^ Siu.^ .v)^ x' ' ' ^ " •^0 o ƒ2 Sin. X. Cos X d_x _ ƒ" ■Sm..t.Co3.^.i- dx (702) = / (»^Co5.^,■ + 9^&•«.^^•)•^ .r' ' ■ • ^ '' ~ / (p^6W.^r+7^&■n.'».r)^ .7,' ' ' " ' ^ '^ ' •o ü = f ^^f:!^*^^,- ^ -^,(voi.Méth.9,N'.23); fv^^^T-^J^r^a -- (^^3).= / (p^(7os.^l4-g^5m.^^;)^ 4/>=2^ J {p'Cos.\v-\-q^Sm.''iry x o u Pase 390. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''^ 17. N'. 4. ƒ" Sin.^ a:7'a7ig..v (lx /"* Sin. a: Sin.' i x dx ,_ , '^ , . (724 , = 2 ƒ ■^. , . . 725 , = {p"" Cos:' x+q"" Sin.' xY X ^ J (p- Cos.'' x+q'' Sin.' .x)^ x o . o ^ /■- Siji.^ xdx n op''-\-q'' /"" Sin. x dx ~ f {p'' Cos.^ .v+q- Sin.Kvy " IG p^ q^ ' ƒ {p- Cos.'' x^q'' Sin."- xY x' ' ' ' ' ^ '^' ~ o "o TT / (/;2Cos.^l■+5^5^■H.^^■)' x"'^ '' j {p^Cos.''x+q^Sin.\vY 16 p^ q^ (I o Z"'^'' Sin. .X.Cos. X dx f"" Sin.x.Cos.'^.v dx I 7, , ■ • ■ 728), = ƒ , . . . (729),= / {p^ Cos.-' .x+q'' Sin.^xY •'' / {p'^ Cos.'' x+q'' Sin.KvY « "o o TT /■^ Cos.'' xdx 7r»^+;3(7- /■°° Sin.^ X dx = I = — — — —, I , . . . (730),= ƒ ip' Cos.' x+q'' Sin.'' xY 16 p'^ q^ f {p'' Cos.'' x+q^ Sin.'' .x)" x ^ ' o o ƒ"" Sin.'' X. Tang. X dx ^ f'" Sin. x. Sin.'' ^ x dx [p^- Cos.' x+q'' Sin.' .1^' x'' ' ^ " ^' ^ ^ / ip' Cos.' x-\-q' Sin.'' aÏY T' ' ' ^ " ^^' "" ü o • _ n Sin.Kxdx n_5p'^ +p' q'+q* r S'm.x dx ~" / (pï Cos.' x-\-q'' Sin.' .xY ~ 32 ^' ' j (p^ Cos.^^■+5^&■n.^l•)* -'-'' O o /"° Tang, x dx f^ dx n 5p'^+Sp^ q''+3p'' q'' +5q^ ~^j(p'Cos.'xi-q'Sin.'x)'' x''^ ''^J {p'Cos.'x-i-q^Sin.'xY^ÏZ p'j^ ' o o /"" Sin.. X. Cos. X dx _ f'^ Sin.,x.Cos.'x dx j ip' Cos.' x-\-q' Sin.' xY x'' ' ' ^ ^'' ^ j [p' Cos.' x-\-q' Sin.' xY .v" ' o o _ n Cos.-xdx Tl pi-\-2p'q^-\-5q'^ r» Sin.^ x dx _ ^ f' {p''Cos.'x-\-q'Si7i.'x)'' ^3Ï p'' q^ ' j [p' Cos.'' x -'t q' Sin.' xY x ' ' ^ ''' ~ o o /"" Sin.'^ x.Tang.x dx f'" Sin.^ x. Sin.' \ x dx ^ I {p'Cos.'x-\-q'Sin.'.xY'^' ' ^^' "" ^ / {p'Cos.'x^q'Sin.'.xY x' ' ' ^ ' '' ^ 'o "o •77 ƒ'- Sin.'' xdx n ^p' -\-q' /"'" Sin.^x.Cos.x dx {p' Cos.' x+q' Sin.' .xY ~ 32 p' ^7^' j (p^ ^08.^^+5^ &'n.\t-)^ .r ' ' ' ^ ' '' ~ I iP' Sin.^ .X.Cos.' X dx 1^ Sin.' ,r. Cos.'' xdx np^-\-Q^ , . . . (741), = ƒ = — - — -^, Cos.' x-\-q' Sin.' .lY X ^ ' J [p' Cos.' x+q' Sin.' xY 32 p^ q'- Page 391. 50 WIS- EN NATÜURK. VERII. DEIl KOKINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. III. M'^^ 17. N'. 4, 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, r Sin. X. Cos." X dx . _ f" Sin, .i: Cos.Kv dx _ •o o ƒ" Cos." X. Tang. i x dx n Cos." xdx n^ p- +5q^ (^^Co^^^^5^Sm7^ 7' ■ ■ ^^**^' ^ / {p'- Cos.' .v.+q^ Sin.Kv)" "~ 32 p' 5^ ' u O f"" Sin.^ X dx (Les iutégrales employees se tiouvent toutes Métli. 32, N''. 3) ; ƒ , , ^ - r ; ; , . (745), = ° ƒ l-\-2pCos.zx-\-p' X o r Sin.'' X. Tang. X dx /"" Sin. x. Sin.' l x dx = / , .... (746), =2 / ;; ~ r — , .... 747,= / l+2p(7os.2.i'+p* X ' j l + -ZpCos.2x+p- x o "o TT ^ J l+Zp Cos.2x+p' '~ ï 1 — p' i 1 + ^ Sin. X d.v V-, (T. 211), ]M^ 1), = ip Cos. 2.t' 4-p'' •■*-' Tanq.x dx _ ,^ Z"" Tang. ' x dx (748), ƒ"" Tanq.x dx _ ,^ [ lang.'x d:, ^ , (T. 219 W. 3), = I ^-^ l+2pCos. 2.c+p- X j l+2pCo«.2.r+p^ x o , o = h ^-^ =i-^. r _Ji!hJ^:^os^üL^ dx ^- ^, _ •'0 l + 2pCo«.2a; + p* 2 1— p» J l + 2pCos.2.i-+p^ x o /•" Sin.xCos.^x dx /"? Cos. - .ï c/.f 1 ^ , == f , . . (749), = I 2— = , (sur ces valeurs ƒ l + 2pCos.2.i'+pï x' ^ ' f l + 2pCos.2^-4-p» 4 l+p ' o o voyez Méth. 31, N\ 7 (on y a p* < 1). 5. Ces mêmes formules de transformation. II, 30, 32, 37, II, 33, 39, II, 35, 38, donnent encore lieu aux intégrales suivantes, seulement a l'aide des iutégrales déja trouvées Méth. 3, N°. 11, 12. /•" Sin. » X dx f * Sin. ^ .c. Tang. x dx j -— -^^V(l_pïS»».^i-), . (750), =/ — \/(l-p'Sin.*x),.{161),=^ o o — Sin..v. Sin.^ \ .r.j/ (1— p^ Sin.^ .v], . . . (752), = j &«.' xdx\/ {l—p- Sin.' .v) = o o 2p^ — 1„ 1 — p' „ t°°Sin.xdx „, . , ,,, ,> = ~^^^E'(p) + "g-^f F(p), I __^/(i_p.&«.^.,), (753),= o TT r ^^^"^•'^''^•'■' ^ (1 — p^ Sin.' .v), (754), = (^dx\/ {l~p' Sin.' x) = E' (p), o o Page 392. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. ftP. 17. N'. 5. ƒ* 5iH. A'. Cos. *■ fte „ ['"Sin.a-.Cos.^xdx ^,, . „■ .. , ,«.^. 1/(1— /)'-&'«.2 ,f), . (755), :== j [/{l—P' Sm.-' ,r), . (756), = o u /•2 l+p' 1 — ;?^ rSin.xdx ^ „ = / Co.^ ^vrf.ri/(l— P''S«"-'-i')=-^-^E'(p)— T-F(n), ƒ \/{l—p-'Sin.^xY,.{m),^ J -óp' 3p^ J .V o o ƒ" Jancf. .V d.v f" Tanq. 1 x dx ^- 1/(1— 7^- Sm. ^i-)-', . (758), = / ^-^ \/ {\-p' Sin? .vY , . (759),= o 'o TT = 1 d.ci/{\—p^Sin.\vy^ - -':^E'(ü)— ^ï'(p), / 1/(1— p'-Cos.^^•),. (760), = J 3 o I X o o ƒ'^Sin.^x.Tq.xdx /""5in.^ lx.Sin.,vdx y__^/(l_p2C'os.j.,)^.(761)^ ^2J ï__ i/(l— 2;'^Cos.2.c),.(762), = o o = / S»i.^rrf,,i/(l_p^Cos.^r)=-^E'(p) ^Ï'(P)J —— V/(l-p'-'Co..^t-),.(763),= o "o = j -^"^']^^/(l— p2Cos.^^■), (764), = j'dx\/{\ — p^Cos?a-) ^E'(p), ƒ"' Sin. X. Cos. X dx ƒ " Sin. x. Cos. - x dx ^/(l— p='6'o«.\r),.(765), =/ ^ 1/ (1— p^ Cos.» .r), . (766), = o o f2 2»^— 1 1— p- , rSin.xdx , = / <:os.^«L'/(i-»^-Cos.2a') = -^ E'(p)4- ^F(p), I i/(l— p^-6'os.^^■)^.(767),= y 3p^- 3p^ j X o o = ^^ [/il-p'-Cos.\cy,.{76S), =/ - ^J 1/(1— p^ Cos. ^ï') 3, . (769), /•2 4— 2ü- 1—»^ r Sin.x dx = / dxi/{l-p^Cos.\cY = --^E'(p)- "^F'(p), ƒ — ^^7-TT- (T. 231, N^ 5), = / 3 3/ i/(l — p-oin.'.i') ,i' 'o "o [^ Tanq.x dx /*°° Sin.- lx dx I i^ ( T 1 (\\ 9 I ^ ^ 7 7 1 ^ / |/ ( l — p' Sj'n.^ .r) ,r ' ' ƒ Sin..r. j/ (1 — p^ &W.-A') « ' 'o o "~ ƒ j/(l— p^5w.-.r) ~ ' ^^^' / 1/(1— p^&V^^^•) .r' ^ T^\ — o "ü PaM 393. 50* III. M"^". 17. N', 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Sin. a: Cos. X clx ^ „ ^^^ „, „ /"" Sin. x. Sin.^ i x d. /°° Sin r Cos v dx f Sm. x. Sm.^ 5 x dx ^ -' ' -, (T. 231, W. 7), = 2 ƒ -— , ^. , ,- (773), = o o f~2 Sin.^xdx 1 r^, , , ^,, M r Sin.jr.Cos.x dx o o TT ƒ•'" Sin.x.Cos.^x dx „,^^ f^ Cos.^ x rf.f 1 1 — p2 = I , . . . (775), = ƒ = — E'(i)) — ï (/'), / ,/(L_p2^;„2.^J .^' ^ ^' y 1/(1 — p2 5j„.2.^.) ^2 ^^' p-2 ^"' "o "■ o /"" Sin.^x dx p Sin.*x. Tang.x dx ^ f'" Sin.^ x. Sin.^ ? x dx I ^7(1^25»iA^7''^''^^^' ; ^/(l— />25ï«.2.r) T"^^ ^^^' ""^/ 1/(1— p2&n.2,f).f"^ '^^'"" () o Ü TT ƒ ^2 Si/).*.Ti?.t' 2 l+»2 1 /-« Sm.3 .T. Cos. « c/a' o o ^ r Sin,x.Cos,x d_x _ Z^';^^'^ ^ ^E-(p)_^~f^2F(p). O o r Sin. X. Cos.* X dx _ r_Sin^x^Coslx_dx ^ f i/{l-p--Sin.^x) x' ^ ^' j V/(l— p2Sm2.T) *' ^ ^' o o i l/(I-p2Sj„.2^.) .3p4 ^il'^ 3p4 ^'^' o ƒ&■«. X dx r Tanq. x dx — — , (T. 231, N°. 6), = ƒ ~r— (783, = l/(l-p2(;os.2.r) .r ^ ^ ] 1/(1— p2Cos.2;r) a" ^' o o TT o o ['" Sin.^x dx i" Sin. X.Cos, x dx f'' Sin.x.Sin.^ix dx ^ I ,.(785),= / ,.(786\=2/ -—,.(787),= / \/{l~p^Cos.^x) x^ ' I \/(l—p^-Cos.Kv} x^ ' I {/{l—p^Cos.^x) X ' o 'o "o TT ƒ2 Sin.'^xdx 1 1— p2 /•» Sin. X.Cos. X dx ^TTTIT^^) = -2^'('')- -^r-^'(/')' ] ^n-p^cosM ^' ■ • • ^ ^' ^ o o r Sin.x.Cos.'^x dx n CoK^-xdx 1 ,,, , , -r. , m J j/ (1 — p2Co.?.2.i) ,^ y j/(l — p2Co.«.2.r) p2 Page 391.. ET MÉTUODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÈFINIES. 111. lM'^ 17. N\ 5, G. /■" Sin.^x dx C^ Sin.'^ic.Tanq.x djo ['" Sin.^x.Sin.-iiodx I :; ,-(790), = ƒ ~ ,.ndi),=zl ^ ,.(792),= o "o "^0 ("^^Ail^^^Éz^l ,E-(,) + (^-^^^ni-P!)^ 'rji.,..Cos.^ dj. _ ƒ 1/(1— p2Cos.%-) -óp* ^"^ 3p*- ^^th y'll—piCos.^^c) .X ^ '' o o ir o o ƒ'" Sin.a-.CosAx dx ■ ^ ƒ■" Siri. x. Cos.^ x dx ^/ (1 Z72 a,s:2^) 7' ^'^■^^^' ^ / 1/(1— p2Cos.2.r) 7' ^^^^^' ^ o -o /■2" (?os.4a;(/:» 2 1 +«2 1 6. Ou trouve ensuite par ces uièmes formules : i''" Sin.'^ X dx ƒ■" Sin. X. Cos. X dx J [/{l—p^Sin.^x)^~^' ^^^^^' "" j 1/(1 ■ p2 &V(.2 ^)3 ^ 5ïVi. X. Si'n.2 § .« d^ f^ Sin.^ x dx 1 1 (798), C Sm. X. Sin.^ z X dx f^ Sin? x dx 1 1 ^, ^ ^j \/{\—p'^~SÏiJxf x' ' ^^''^^^' ^ j \/ [l—p''- Sin? xf ^p(l— p2) ^^'^~pi^ ^^'^' 0 ü ƒ" Sinje_^ dx ^ p Tang.x dx f^ da; J \/{^—V- Sin? xf .r ' ■ ^ / ^/(l— p2&-«.2^)3 -y ' ' ^ ^' ~ ƒ j/ (i _ p2 ^^„.s ,^.)3 "~ |> o o , 1 1"^ Sin. X.Cos. X dx f'" Sin. X.Cos? X dx ~ l_p2 (?')' / ^/(I_p2,9i„.2^j3 P ■ • ^^'^~'' = ƒ V''(l— P^'«.2.r)3 7' ■ ■ ^*^^^^' "" O O TT ƒ2 Cos.2.j;d/j; 1 /"" &■n.3.^• Ja; 7(r-rpï5i;j^ = j^ (F'(p)-e'(,)), / t^p^t-^^' ^''■'^' = ü "o n ƒ"■ Sin. X.Cos. X d.v /'"' Sin. .t. Sin? ^x dx f 2 Sin?xdx —- — ,.(805), =2 ƒ ,.(806), =ƒ = \/{i—p^Cos.-Kv)^ x' ^ " I 1/(1— p2Cos.2./)3 a,' ^ ■" J y/(l—p2Cos?x)i 0 o o 1 ,^. , ^, , /"^ ASi'n.a; dx , /■* Tang.x dv ~{F'{p)-E'(p)}, / — — ^TT^— - -(807, = / ^- — ^rT-,3 - ' ■ (SOS), = 3'' y 1/(1 — p^tos?x)^ X J \/(l — p^Cos?x)^ X P Page :395 III. M''". il. N'. 6, 7. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, n 1/(1— p2Cos.2.r)3 ~ l_p2 'P'' / j/(i_p2Cos.2a)3 a; ' ^ ^'~ o o ƒ•* &«..v.Cos.2ic rfj; /-i Cos.^xdx 1 1 = ƒ — TT: , • (SI 01, = /• = E'(p) — -F'(r)), j 1/(1— p2(;o.'.2.T)3 .f ^ " j v/(l — p2C0S.2.ï)3 p (1 — p2) ^^' p2 "" O O (daprèslesvaleursdeMéth. 9,NM2 ; / ,.(811',= / ^— ,.(812,= ^ ^ ' j l'(l+5in.2«) .f' ^ ' ƒ i/(l+&n.2a:) .r' ^ ^ o o •jr ra dl' ,/ ^\ /■" &'n.3a; cZ.b = / -7— -,;7-— = i'^F Siw.- ,(voirMéth. 7, NM4); ƒ z ,.(813),= / i/(l+&n.2.r) ' \ 4J^ ^' j i/(l + Sin.2.i;) a; ^ ^ o o ƒ'" Sin.-x.Tanq.x dx [^Sin.x.Sin.-\x d.v f-^ Sin?xdx -— ^ — , . (814), = 2 ƒ , . (815), = ƒ = l/(l+&-H.2.,,) 3;' ^ " j |/(14-&n.2.«) X ^ ' j ly {\-\-Sin? x) 000 / 7i\ , ,/„. 7r\ /"'' Sin.. V. Cos. X dx f^ Sin.x.Cos.-x dx = i/ -I.E'i Sin.-]— \^ ir [Sin.-] J -^ ,.(816), = / ;;— ,.817),= ^ \ 4/ l 4'/ 7 V/(l+««.2.t-) x^ ' J. v/tl+Sm.2^) X ^ ' o o 71 = 1 =I/2.lF&ïn.-— E' &«.-!, ƒ —,..(818),= o o 71 ƒ'" Tanq.x. Sin.^ X dx f^ Sin. x. Sin.'^ïx dx f^ Sin.^xdx — TT^. . • (819). = 2 ƒ , . (820), = ƒ = \^{\-\-Cos.^x) X ^ ' j \^{l + Cos.^x) X ^ ' j l/(l + Cos.2.r) 000 [„ f r. '^\ „,/^. 't\i f'^ 'Sinx.Cos.x dx f^ Sin. x. Cos.- x dx , F' &«.- — E' 6'm.- I, ƒ ,.(821),=/ — — ,.822,= \ 4/ \ 4/J' ƒ l/(l + Cos.2j-) X ^ ' I l^{l +Cos.^x x^ ü o ƒ2 Cos.^xdx / t\ / ^\ V -- - = 1^2. E' Sin. - — 1/ ' 1" Sin. - , (d'après les valeurs de Méth. 9, W. 4) ; i^{i+cos.^-x) \ A,j ' [ ^r o l/(l+Cos.2a;) ^' ■ ^ ■-'^' . = ƒ i^(l + Cos.2.r) 7' ' ^ " ^' ~ / i/(l + Cos.2x) ~ o o o W^.Y isin.-\ (voir Me'th. 7, N\ 14). 7. Passons a des intégrales définies d'uu autre geure, mais qui se déduiseut par rapplication mêmes formules de transforraation II, 30, 32, 37 : Page 396. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFIINIES. III. 3P. 17. lN\ 7. / /(l+pCo.^.2.x.) , . . (825), = ƒ l{l+pCos?.v) ^ ^ -. . . . (826),= o Ü TT = 2//(l+/>(;os.2.t) —-? ,.(837), =1 ^(1 +pC'06.2t/;)&-».2^ (/^- =-Z iT'^J^T^^^ ^ { * •() o "^0 = ƒ l[l-\-pCos:ix) ^''''3-2xdx^ ^ ^ ^^^^^^ ^ P^^ +;t;Cos.2A)tte = 7iii^tJ:^±£)^ o 'ü Z""?/, , /.o Sin. O-. Cos. X dj; /■",,,, ^ „ Sin.x.Cos.^xdx \ l{\ + p 6"os.2 .r) , . (831), = I 1(1 +pCos.'^a-) _ , . (832), = o o 77 /■"i ^ Cos.- X. Tang. ixd.c f~ = j Hl +pCos.-^x) ^ , (833), = I l{l -\-pCos.^-a;).Cos.^xdj: = o "o TT ,1+1/(1 +p) 7ri/-(l+»)— 1 /"", Sin.^xdx o /""ï/i I o- o Sin.^x.Tang.xdx „/"°, ,, , o- o Sin.x.Sin.^ïxdx =^ I l{l-\-pSm.^x) —^ ,.(835), =2 1 l{\+pS{n.^x} ,.(830),= o o TT = l{l+pSm.^x).Stnrxdx=-l ^- y~':^'--~^-^'~^,l{l+pSv>.^v] ,.(837),= o o l{l-\-pSi».'^x) ^- , . . . (838), = / l{l+pSiu.^x) ^-^ , . . . (839),= ü o f^,,. ' o. . V , ,l + !/(l+P) r, ^. . Sin.X.Cos.xdx = ƒ Z(l +pSh.2;ï)(£^ = Tri— ^JT-J^-X/'''^ ƒ l{\-\-pSin.^x) , . . (840),= ƒ X I X o \ /'^ ^ Sin.x.Cos.^xdx , Z"" „ Cos.- x. Tang. ^ xdx Z(l+p&«.2.r) , .(S4.]), == / /(l+;)&-H.2j-) ^-? ,.(842),= o o TT f- n 1 + 1/ (1+») 711/(1+») — 1 ƒ l{\-\-pSin''-x).Cos.'^xdx=-l^^' ^— ^-^ + - -^— ^— ^' - - , (partout d'après Méth. 10,NM2); J '2 X 4 l-^ 1+p +1 ^ * '' Page 397. III. M^\ 17. N'. 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, r Sin. X da: /■* ^ Tang. x dx , ^^^ I l(l±pCos.2x) , .... (843), = / l{\dzpCos.2x) ^^ , .... (844),= o o TT = / l{\±pCos.'2.x) ^^ ,.(845), = / l{id=pCos.2x)dx = - j l {1 ± p Cos. x) dx = o 0 0 n l + i,/(l— »2) />» Sin.xdx ^ ^ Tg.xdx = _^^ri^J (Ll^^po^l^i llq±Cos.2x) ,.(846), =/ l{q±Cos.2x)— ,.(847),= o o ir /"°° Tanct -vdv f2 1 f^ = / l(q±Cos.2x) ', . . (848), = / l{g ± Cos.2x)dx = - j l[q± Cos.x)dx = o o o n 7 + 1/(92—1) , , ^ . . , , ^ -Z ^>(l), n^l±2pCos.2.f +p2) ,.(858), = o Page 398. I:T fllÉTHODES D'ÉVALÜATION DES INÏÉGRALES DÉFINIES. III. M"'". 17. N'. 7. = ƒ l{\±.lpCos.^x-\-p''-) ,.(859), = ƒ ;(1 ±2'pCos.Zx^f-) ^- ,. (860), = o o ƒ2 ■ TT /(l±2pCo,9.2;-fp2).Cojt. 3a.r(/.i- =— -(=fip)«, ((Fapics Méth. .5, N\ 6) ; /(l ±/.Co..2.r)-— -^, (86]), - / i(l ±pCo..2;r)--f-- (SC2), = X Los. z.r J a- Cos. 2x o o T. = l{\±p Cos. 2.f) ~-^-—, . (863), = ƒ / (1 ±pCos.2r) ^ - = -ƒ/(! ±n Co.'.r) = 'o o o tl . f^ dx = - Arcsin.p, (p^ < 1 ), (voir Méth.1 0, NM J ) ; ƒ i ( 1 -(-/-^ - ^««^.2 .r). /(l +5^ (^.2 .,.) - -- — _ . (§64), = 2 ƒ X Sin, X = [ '(1 +ƒ>' ra«^.^-^0-'(i +7' t'o«.\r) — ^— -— , (865), = () o 'o = '^n--^^l{\-\-p(]) — 2p7T, f l{\ +^p'- Tang.^x).l{l + A.■).^(l+'rCo^2^)~^', .(86S), = [?(! +p2 7-i;A.)./(l+ry2(7o^^v)^^^', . (869),= •'0 i = ƒ /(l+p^ T

^S»(.\r;,. (872), =^ j l{l—p- Sin.'' x) dxy (l—p'' SfVi.'.v) = o o = (2-p-^)F(p)-{2- ^ /(l_pi,]E"p) ,ƒ /(l-p2C(,..2x)^-^^— 1/(1-/'' ^''^'■-^}, ■ (87:J), = u Pa-e 399. 51 WIS- £N NATUtlïK. VKUH. DEK KONIXKL. AKADEJIIE. DEEL VIII. 111. M''". 17. N'. 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, == Aj_P^Cos.2a-)''^"1/U-;'2Coj-.2.4.(S74),= Rl-p^ . (875),= ^ o ri[l-p'-Cos.\>:)dx\il—p' Cos.Kv) = {■2-p'-)r (p)— {2 — -2l{\ —p-')}^' (p), (voir ici, N^ IG); •o j; |/ (l — p' oj?!.'' .t') J Sin.xdx ,^^^^ /''^,, „, C-. •. s Tang.xdjc^ _ .rv/(l — p'^ Sin.'^x) 1 .1" 1/ (1 — p^ ^m.^ j;) J 1 (1 — p^ Sm.^a) ü o = -in~p2).Y'(p), (voir Mélh. 10, N\9); / lii—p^Sin.'^.v) -^ , ,. , ,, . . . (879), = 2 ' J x\'' (l^p-Stti.-iv) () r'-" Sin.- .v.Tanq.xdx /"°° „ „. „ Sin. ,1: Sin.- kxdx = j /(l-p^-Sü,.=,.0 — :^^r^,.{S&0), = 2\ l[i-p'- Siu.\.-)—-- ,— T-,-(SSl),= / ,f, (1 — p-Sm.^X) J .i'l-'(l — p^iiin.^.r) o o ƒ '^ ^/(l— /;^-S»i.\c) p- ( 2 j /*H 2 J o /"" Sin. .t'. Cos. .(,• c?A- Z'^' , •?"». x. Cos. '^ .f J.t- l{l-p' Sin.^ X) .----, . (882), =^ l{l-p' Sin.^ x) — ~-^ . (883), = (1 o = ƒ l{l-p'Sm.Kv) ;J. . , . S84, = ƒ l{l-p^ Sui.' x)—- , „. .^ ^ = ƒ ^ ^ '.1-1/(1— p*/Si?i.^?v y i^{i~p- SiH.^ x) o l> = ^ [•2-/'^-^(l-P^)'(l-P^)j l^'(P)-^ |2-li(l-p^-)|E(p), ƒ* Sin.^ xdx /"* Sin.' X. Tang. xdx l{l-p' Cos.Kc) -, ,-7r^T,. {«S5), = j ai-P^- Cos.Kv) y . (886), = o o = 2 ƒ Z(I— p'Cos.■'.l■^ ' , . . (887), = / l{l—pH-os.^ x)^— ~:;-^- = J ^ ^ xl^{l-p'- Cos.Kv) J ' ï^ {i—p'' Cos.' x) o o = \ j2-p^-i(l-p-^)/(l-p^)}F(p)--^|2— -Z(1-P^)}e'(p), /"" Sin. X. Cos. X dx f" Sin. x. Cos. - x dx ƒ l{\-p' Cos.^ x) r'F!-, . (8S8). = ƒ l{l-p-'Cos.\x) -^ -^-" 8S9,= J ^ ' 'x]^{l—p^Cos.^x) ^ ' J 'xly^{\ — p^Cos.\v) Paffe 400. ET METHODES D'ÈVALUATIOIN DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. iVI''^ 17. N\ 7. ƒ". „^ Cos.-.r. 7 an Cf. 't; (7.V f^ Cos^xdx ni-p'C.,..,..);^;^^-'^— ..(«90,, ^ ƒ ,(l-„= C.,." ' ys.' .V 1/(1 — p^ Con.'^.r) = --}?' =— 2 +r;(l-/'^) r(p) + - [z --lll-p^)] E' (;,), (partout suivant Mi'th. 32, N'. 7); o o A- 1/ (1 —p^ Cos.^ .)■) y lU-- ( 1 - ?}^ Cos.- w) (I •■ o = -J«(l-^-^).F(^), /^/(l +pSm.Kr) ,^,f"'''f'. , , (894.),= o pd+p..^».--.) ;;""'^-f;\ ..(895), ^ nd+.S».^,.) --^""^-•l-^^--,.(S96),^ / .rl/(l-p2 5tn.2*-) I \v l^ {l—p^Sin.^ xy ^ '' o "o ./ ' V(l— P'-Sm.'^) 2 l/p ^'^^ S ^*^ ^ ^ ''' o ria-pSinr-.,—^^ iS97), == f/d -pS-..^.)— ^^^^^'^^-,.(898), = o o /,,, r.- o > Tang.\ xdx p <7.c o o ^ .2(1 — p) T , /""^ A'h rdr -^ l^P 8 J X i^ (l—p^ Sui.^ x) o = Al-P^-S,..'..)— ^^'^,.(901), = r/(l-p^&-,,.,) --^''"^-^''^^- ,.(902),= o •'o J ' ' l^{l~p-'Sin^x) 2 p ^^' 4 ^ ^ ^ ^^' o fl(l-f-KoO-.0— -^'^:-^,.(903), =^(l+,C..•^r) — ^^^""^-,. (904), = J xu'{l—p^ Cos.' .r) I X i^ {1 - 2^'' Cos.\t) ^ ' o o Page 401. . 5j* III. W\ 17. N\7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR ANSFORMATION, Tang. | x dx f^ -, ^ ^■^' = ƒ l{l+pCos^x) ,, \^ , , . ■ (005), = ƒ Ul+pCos.Kv) _ o o = l'~r-n,)-lri,^a-,')}. n(,_K«.^o--f^'^^v . . (000,= * l^p ö J A'i^ (1 — p'' Cos.' x) o ƒ* , _ , , Tang.xdx , , /"" , Tanq.lxdx l{l—pCos.\'c) ,, ,^ ., ,. 907 . = ƒ in—pCos.\v) ^-' , . (908), = \v]^{l—p^Cos.'u^) J 'xl^{l— p^ Cos.- x) ^ '' /"a d.v 1 2ri_p) 71 ^ ƒ /(I -;j(7os.-^^) — ^-— = -<-^ ^.F(„)__Ffi/(l -w2)}, / V'(l— /''Cos.^?;) 2 i.^p ^^' 8 * ^ '^ "' o ƒ",. ^ Sin.xdx f" Tang.xdx l{l—p'-Cos.Kv) ,.(909),==/ l(l—p^Cos.Ki) , .{<.)10),= ^ '^ 'xl^(l~p^Cos.-x)' ^ / •'vl^{l—p' Cos.-' ic)' ^ '' o o ƒ* , Tanq. l x dx . f- dx l{l—p- Cos.'x) ^-^-- — — , . (911), = ƒ 1(1— p- Cos.' x) ' = ^ \vl^{l-p' Cos.'x) ^ " f ' l^ {l—p' Cos.' X) o o 1,4(1— »n TT , = -l— ^^.F(p) F (l/(l — p = )}, (voir Méth. 10, N^ 'J); 'Z p 4 /"*. „ „. , Sin.^ xdx r°° Sin.'- X. Tang.xdx l{l-p^-Sin.-'x)---- ^^W- (^12)' ^ ƒ ^(^-P' 'S"'- •^) -^T. "J- , ,,'-('Jl-^' = o o ƒ* „ Sin. X. Sin.^ l X dx f'^ l{l~p^-Sm.'-x)-'-- ^,~,.{Qii), - ƒ ^(1-p x\^[i — p'oin.'xy J Sin. X. Sin.^ i X dx f'^. . Sin.'' xdx ~ Sin.'' x) 1/(1 — p' Sin.- xy == ^F(ïïr^[(2-p- + ui-p-)'(i-p-)} i^'(p)- (2 + i^(i -p-)} E'(p)], ƒ,,, „ „. , Sin.xdx f" Tang.xdx l{l—p'^Sin.2x) ,.(915), = ƒ l(l—2)-Sin:^x] ^^-— ,.(916),= ^ \n/(l— p2.Vi/z2u-)3' ^ '' xi^(l—p^Sin.^x]3' ^ " i.xdx /"° „ „, ., , Tanq.xdx f m+Vot.^A.Sin.^x) ,.(933\ =/ l il -{-Cot.n.Sin.^x) ^ ;- ,.(934), = ./ x^/{l—p2Sin:^x) ^ J uyH—p^Sin.^-x) ^ '' Pase 403. III. M''*. 17. N\ 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, F0R3IULES DE TRA.NSFORMATION, / ( 1 4- Cot.^ X. Sin.''- .V) :, . (935), = ƒ ^ (1 -\-CoC- l. Sin? x] == o o 'o ƒ* , r ^ ^ T Tanq. x üx ; [1 - ( 1 - 1 1 - ir^) SinP- 7.) Sin? .r] - , ^. , , (937).- o ^'^ r r , .. T Tang.' xdx Z[l_(,_(,_,.,.,,n}.^.e.]— ^^^, ,038),^ o o -2Fïp).v{v/(l-p2),?.] + lF'(p).«^-|F'{v/(l-p2)}_fE'(^)-Ftp)}|F;vAl-/'-).^}]-. ƒ" , ^ „ Sin, r dj! /"f „ . , Tang. x dj; l{l-pmin.Cos?.v) — -^— , . (939), = j ll-f-Sinn.Cos?j;) ^ oT.-^ ' • (S^'O)' = .ri/(l — p^Cos.-j) J 34/1' — p-Cos/x) o- o ;(l_p2^j„.2;t.Cos2a-; ^-— ,.(9-11),= ƒ i(l— 7^2,9;„.2A.Co. (953), = o T ƒï fte 1 2J>-'(1— »2)3 H6.V^.+Co....^''(U-,^)}^;;^^3^;,^;;^ o ƒ" 1+71/(1— p-Sm.^x) Sin.xdx ,^ /"^ ] +71 (1 -p^Sm.-.g) Tawj.xdx «..^ _ j 1—71/(1— p25J,j.2^)^.l/(l_p25;„;-^^)'-- '^ ^'"j 1— 71/(1— p25;„.2a;)a;|/(l—p2^j„.2a;/"' '^''''~ — ƒ 1 ^ +9' ( 1— P-'^"'-^-»^) ?W i ^'^^ " ,y-(5s ^f'i^+'l i^~p-'^"'--^) ^^ ^ ƒ 1— 7v'(l— p2^'i)<.2x) a;i'(l— //-.SV/<.2j;)'" ' / 1— 71 (1— ;)2^ï/i."'^a;) k(1 — p-Siii.^x) o o Page 405. UI. M'^ 17. N\ 1, 8. THÉORIF,, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, = Tri l/(i — p-uAresin.q) , I l — r ..... Vool), = ^^ ' ïJ' ƒ l — qy/{l—p-'Cos^x)x\/[\—p-Cosr-x) ' 'o r,l+qv/yl-p^-Cos.h) Tangxdx ,„.^^ r\+qV{\-fCos?x] Tang.Kxdx = 1 t ~ ,.(yoo], = 1 i ^~z. — r~,,.("üy,= ƒ \-qV{\-f-Cos?.>)x\/{\-p^CQSp-.r) " f l-qi/{i-p^Cos.^x)x[/{l-p^Cos.^.v] ^ O 'o _ p^l±qVil-p-^Cos^x) dj^ ._,pr,,(i_,,.),,,,e,-,,^}, (voi. Me'th. ƒ l — qY/{[—p'Cos.-x)y{\—p-'Cos:'x) ^'^ ^ ' ^' o 10, N'. ;i). 8. Les intégrales de 5Iétli. 10, N'. 2, lorsqu'oii y applique les tliéorèmes II, 30, 32. 37, conduisent aux résultats suivauts, oii 1'on a Cot.if= 'lang.l.x^ [l — p'^) et p* <^ 1 : ƒ"" A rdg. { Tang. ?-. t/ ( l — p'^ Sin. "^ x)] Sin. ^ xdx 1/(1 — /)- Sin."^ x) X o ['^ Arclg. [Tang. l. \/{l — p' Sin.' x)] Sin.- x. Tang xdx /nrn ƒ v/(l — p- Sin.'^ x) X (I ^'^MrcZ^. { ra?;^. J.. l/( 1 — 2?^ Sin.- x)] Sin.x. Sin.^ ixdx fcrc}\ 1/(1 — p'-'/Sw.^ir) a; ' ~ o -ƒ^;j;'■''l'-':t''''«■^'^■fe=^{F^.')-EWl+^c^^Ml-•(^-;■'^■■■.'')i, ƒ v/(l — p-Sm.-x) ip' 2p- 0 / i/(l~p2 5in.2x) a; '■^' '^^'"j r' (L- p2 5(„.2 3.) .^, "^ "''' o o ^ p .trc.?..t/(I-p2^»».%)} rg.j^df j,, ƒ '-2 .\rctg.{ Tg.l.yj \ -p^-Sin.^^)]^^ ^ n ^ ] [/{l-p^Sin.-^x) X "^ ''''' j \/{l—p^Sin.^x) "^ 2 '^^' ^' o o r'^ Arctg. [Tg. i-[/{l — P' Sin.- x)] Sin.x. Cos.'^ xdx J j/ (1 — p^ Siit.- x) X 'o ƒ'" Ardg.[Tg. l.\/ (1 — ?j' Sin.''- x)) Sin.x. Cos. xdx _ l/ (1 — p* Sin.'' x) X ' o _ r "Arcly. [ Tg. X. [/{l— p"- Sin.'' x)} Co.O x.Tang.hxdx _ / l/(l — p"^ Sin.'' x) .T ' ' IVe lOfi. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÈFINIES. III. M"*'. 17. N\ 8. TT o ^'" Arctg.{Tang.k\/ (1 — p- 5/w.- .r)} Sin."^ x.Tang.xdx _ _ C"^ Arcig.{Tarig. l.\/ {\ — /)' 5m/.^ .r) Sin.x.Sin.'^ \ .cfhr __ o — '- {l/(l— p-ozH.-/'.)— 1/(1— p'')), I — , TT^^^^^T^^^ — ,-\y'^h — 2p-^{\—2y')^^ ^ ^ ' ^^ ' 1 ^/(l— p^&«.-.f)- X o ^ 1 °° Ardg. { Tang. X. y/ ( 1 — p '^ Sin. - .t:)) Ta»ff. x d.r ^ ~ j y'(l—p^Sin.Kvy X o _ /" ^^g^g- {Tang. l. \/ (1 — p' Sin.-'- .r)} T^^J^.^ ^^^^^^ _ u ƒ ^/ (1 — p- Sin.^ x)-' -Z l — p- 2(1 — p'') o i'" Arctg. [Ta}ig.l.\/ [l — p^ ^'»t. " a')) <$»i. -r. Co^.^ x dx (q~^\ — j [/{l—p^Sin.^xy X o f"" Arcig.[Tang.)..{/ [l — p ^ Sin.' x) } Sin x. Cos. x dx t()-c\ ""i ^/^l— p^&H.'.r)-' *■ ' ...••,' u ƒ" A rctg. { fa))^. A. (/ ( 1 — p - 5<". ' .t;)) Cok'' x.Tang. yxdx ^ 1/(1— p'^ Sin. ^A-)' *■ ü ƒ i/(l — p^ASi'n.^A-;' 2p- u Page 407. 52 WIS- EX NATt'lRK. VEKU. DER KONINKL. AKADEMIK. DEEL VIII. III. M"^'. 17. N\ 8. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, O ƒ"".4rc. ;.. ^/ ( 1 — p 2 Cog. ' .t.) } ;S»i. .t'. Co^-- A-rf.r ƒ -- -^-L-.^- -K V- ' ^J _____ __ /984) = J [/ (l—p-' Cos.^x) X ^ " o ƒ^ irc-6'os.^i')3 .r ' ■ ^ ■ '^' o p.lrcigr (rd;;//. A.i/(l— p'-Cos.^i;)} Tang.\x')x __ \ ' i/(l — p'^ Cos.- xY X (I y t/(i — p'Cos.-x)- % 1— p ~(i — /'') o r Arctg. { Tang. l.^{\—pi Cos ' x)} Sin.x.Co.''.'- x dx .^^ ^ J [^ {'— P' C'o,9.^r)= .r ' o r'°i4rc^5r.(7'an(7. i. {/ (l — p- Cos.- x)} Sin.x.Cos.xdx ~ j \/ [i—p-'Cos.'' xy- X o /•" ^rcfgr (7'rtn«/. l. j/ (1 — p^ Co5.- x)) Cos.'' x. Tang. 1 x dx _ ƒ \/ {i — p-> Cos.Kvy X o TT r-Arctg. [ Tg. W {\-p^ Cos:- x)] "^ i 996^ 2p^(l-pï)''^ ^ ' ^ '^ ^ ' ^* 7 1/(1— p2S(•n.^^■) .r '^ ' o _ /•* ^ re<;o;. { Tan^. l.^ [l—p"- Sin. ^ .i;) } Sin.'' x. Tang, xdx rant/O^j/ (] — 7>_^ / l/ (l — p- 5«7i.' x) f" Arccot. { ran^. A. ^ ( ] _ ,, ^ ,<;;«. 2 .r) } Sin.x.Sin.^ ^ x dx _ /•Mrccof.{ra»y.?..i/(l— p'' Sin.' x)] ^,. ^ 77 = ƒ 77, ^g. , , 'S"'-- .'• f'.i' = I-^ 1' (P . ->) - E (p , (>)} + ƒ [/ (l — p^ bin.^ x) lp' o nCol.l , r Arccot (Tg.l.\/ O -p''Sin.hv)]Sin.xdx + ^.T71 -UV-p'-Sin.\,)-y{\-pn\ i^-^^.^ -_i-^ ,.(999),= 2p-'i (1 — p-) j 1/(1 - p'ojn.' ,c) ./• o Paiïe 409. 52* III. M^\ 17. N". 8. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, = ƒ J 1/(1— pï&V^a) * o ' Arccot. \ Tang. ^.1/(1 — p^ Sin.^ x) j Tang.ixdx ' ^ ^-^ ~ — , (1000), = = f ": '""" " £___: — '__' - — - -^ ^ (1001), y 1/(1 — P'' Sin.^ x) X o pArccoO. Tanq. l. \,^ (1 — »- Sin."^ a') ! , tt^ , 'o ƒ" ^rccoi. I ra«(/. ^. l,/ ( 1 — ;> - 5in '^ .f) } &in. ,r. Cos. '■ xdx n n m > 1/ (1 — p^ 5in.'-' j) .« ' o t'^ Arccot.\Tang.X.iy' {\ — p"^ Sin.'- x)\ Sin..i:.Cos.xdx ^ I l^{l—p'Sin.^x) X ' ''''~ •o ƒ" .1 rccot. [ Tang. X.l^ {V — p ^ Sin. ^ x) } Cos. ^ x. Tang. i .« rf;E ]y {V — p^ Siny^) X '•■••( )• — o ir = ƒ ■ ,-, ,%■ : , i-(7as.^«d.f=— E(p,.|.)-(l-p'-)F(p,7') - f l,/(l — p^ Sm.- x) 2p-' o Trtbt.^ , , . ^ , /"" >lreco?.[ Tg.^.!/ (1— p-&'M.-d;)) Sin^xdx , , l/(l-p=.Si7i.2.f)-i/(l-/-) , ƒ , ^ \\. 1 ^, , . 1003 , = o • Z"" Arccot. { Tancy. X. 1/ ( 1 — p' ^t«. ' x)} Sin.Kv.Tang.x dx nnnR) — ^j 1/(1— p'^Sm.'^jr)^ X '• ••( i' — O f'^Arccol.{Tang.X.i^-^{] — p ^ Sin. ^ x)] Sin, x. Sin. ' | a' t/.t,- e 1(10 71 ^^ j i^{ï^p'' Sin.' xy X ,■■■■[ h — o f'-Arccot{Tg.Ll^ll — p'^ Sin."^ x)] „. , , ^ ,„ , , ,, .,-„/ ,-. / 1/(1 — p' Sm.' x)^ 2p^ (1 — p) o nTang.l ^ ,^ , /""iin'coi.l 70.^.1/(1 — p'^Sin.'^x} Sin.xdx ,,„„„, (1— i.'-(l— p»&7i.'.p)), ƒ i-^^ 'T——. . • 1008, = 2p'l/(l-p2)^ ' ^ ' '^^'j i^{l— p' Sin.' xy X ^ 'o / A rccot. ( Tang. l.\y {\ — p - Sin. ^ .e)) Tang. x dx ix-(i— p^Sm.^r) o IVe 410. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTEGKALES DÉFINIES. III. M''^ 17. iN°. 8. f" Arccol.('I'an o 5r f 2 Arccot. ( Tang X.i/(l~ p"^ Cos.- x)] ^ n , (I ƒ y ^/(l — p- Cos.- .r) o ƒ* A rccot. { 7a/((;. A. |/ ( 1 — p '^ Cos. - ,v)] Tang. ■§ .j; J.« yi\—p'Co^.'^) ■ ^ (1019),= o Page 411. /■^ -Ircco/. (2'a(/rt %.{/ (1 — w^ Cos.- x)\ Tang. x dx = I ■*- '' — 5—^ ^-L , (1018), III. W\ 17. N\ 8. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, r^Arccot.[Tang.}..\/{l — p'^ Cos.- x)] n ^ / j/(i__p-^ Cos.Kt) '^'' ~ i ' •'o f°°Arccot.{Tang.X.\/{l—p'^Cos.'^aï]} Sin.a:. Cos.^ xdx rif-^O^ — / |/ (1 — p^ Cos.^ .?r) A- O ƒ* Arccot.{^Tang.l.[/ (l — p-Cos.'^x)}Sin.T.Cosx(}x nnon j/ ( 1 — p ^ Cos. ^ .«} .1' o /""^Ircco^lïan*/. A.p/(1 — p^ Cos. - a;)) Cos. - .t. Tang, j a: da: (■\(\^^\ _ (77i— pï Cos. ï.r) X '• • • • V —;> — o / i/(l — p^ Cos.^ x) 2p^ •o _uCoa_ r...^oq^^^^ "o 1/(1 _p2 Cos. ^i-)' ^^ ' ■ • • ■ ^ " ' ~ o ^"/Irccoi.lT'an^. ?.. |/(1 — p- Cos.- x)) Sin. x. Sin.^ i x dx n(\9'\ ^(l_p''Cos.^ï)' X ^ '^ o _ pc»,.{r»., >.v(Lzj:;^;^Is„,...., = .f, {F(,..,)- E(r..)} + / i/(l — pMos. ■*,?•)' 2p^ n7^.V/(J-pl) r^rccoMjVX,/(l--p-Cos.^.)} ^»l:!f^- (,„, ^ 2p^ ^ '■^^ P oïi. .,;/,j ^(i_p2Cos^r)» ^ '^ ^ o _ f °° ylrccot. { rang. ^. t/ ( 1 — p " Cos. - x)} Tang, x dx (\\)n\ = ^j \/ [\ — p' Cos.- xy ' X o C'^ Arccot.{Tang. l.\/ {i — p^ Cos.^ x)} Tang.ixdx (iüZS) == '^ ] 1/(1— p^Cos.^j;)' ' X ' '~ o nArccot.{Tg.L[/(l—p''Cos.'^x)], 1 n , tt Tan^. X ,, .,, , c- j M = ƒ ^— — ^-^ ^ -'dx = - E(p,/ — (1— l/(l— p-S»i.^ï }, ] [/(i — p^Cos.'xy ii—p^ ^'''^ ■2]/{i—p'y y^ ' Pasre 412. ET METHODES DÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M'''. 17, N'. 8. /"° Arccot. I Tang. A. j/ ( 1 — //- Cos.- .«j j Si?!. .%: Cos.- .v dx j y (l— p^ Cos^^ x)3 X ' (1029),= o ƒ"" Arccot. { Tang. ^. ^Z ( 1 — p^ Cos.^ x) J Sin. x. Cos. w dx l/(l_p2Cc.7^p ; ^ ' (10:iO),= o Arccot. { Tanff. X. \/ (i — p^ Cos.^ .r)] Cos.^ x. Tang. \ x dx ƒ l/(l —p^Cos.^xf (1031), ƒ -^Arccot. {Tang. l.x/ {\—p^Cos.^.v)} ^ „ , n o 51 Ta/io. ^ , Encoie a-t-ou par riiitcrmédiaiie de Mutli. 7, N'. 2:3, au inoyijii des mêmes formules de trauslbrraatioii les furmules de iriême geure : A rcf(). { Taruj. l.y{\—p'> Sin.'^ x)} -"■•'^''''. ^/ ( i _ ^2 ^;„.2 ,p)^ ♦ . . (1032),= o ƒ1 0,1} O os Ó c Arctg. ( Tang. ^ j/ ( 1 _ p2 Sin.^ x)} --'-"-^ ^/ ( i „ p2 Sin.2 x), . . (1033),= o = ƒ Arctg.{Tang. A. j/ (1 —p-^Sin.^x)} - ""^•''^ ^/ (i __p2Sin.2x), . . (1034), = n JArctg.{Tg.l.y{i—p^-Sin.^x)]d.ry'{l-~piSin:h) = '^-E(p,l)---^Cot.^.{l—]/{l—f2Sin.^-X)], ■'o ^ ƒ 1^171 3C düi Arctg. [Tang.)..}/ [l —fi Cos.'i x))-~~ \/ {\ —p^-Cos.'^ x), . . . (1035),= o = ƒ Arctg.{Tang.l.\/{l-p^Cos.^x)} -^^^^—^ [{ — p^Cos.'i.v), . . (1036),= K Arctg. [Tang. X/ {} —p^ Cos.^x)} ^ \/ (1 — p^ Cos.^x), . . (1037), = o n = j Arctg.{Tg.y.y{l -p'^Cos.^.c)]dxy(l—p2Cos.^-x)=^^{p,l)~'^Coi.h{l — [/{}—p''-Sin.n)}, •o Pa^e 413. III. M''. 17. N\ 8, 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, / Arccot.{Tay.l.y'{\—p'iSm.^-.v)} -~'"'~^ [/ {l —p^ Sin.^:c), . . . (10.38),= o f A . r,, ,,,, „^. , Tanq. x dx = / Ar,xot.\lang.f.y{\—p^-Sin.'^x)] \/.{\—p^ Sin.'^ x), . . (1039),= "o = ƒ Arccot.[Tang.l.\/ {\—-p^Sin?x)} ^"^''^ '^ ^ {l — p'i Sin.- x), . (1040),= o = ƒ ^Arccot. { T^.;y[ 1 -p-SinXv)] dxi/[l-p'^-SinXv)=l^p,cf)—-~^^ {|/(l-p'2 Sin.'^ ^) - J 2 2l/(l— p2j o — 1/(1 —p-)], f Ara:of.{Tang.)..\/ {'i — p"- Cos.^- a^)} ^ \/ {1 — p^ Cos.'^ x], . . (1041), = I X o /"'■',„ ^ Tanq. xdx = f Arccot. { Taiiff. X. ^/ ( 1 — p2 Cos.'^ x)} — ^ [/(l—p'^ Cos.^ ^), . - ( 1 043), = o ƒ" , „ „ , Tanq. i x dx Arccot. {Tang. i.[/{l—p'^Cos.2x)} {/ (l—p'^Cos.^x), . . (1043),= o TT f- n = j ' Arccot. [Tang. l. [/ {l —p^Cos.^.v)} d.r \/ {l — p^ Cos.^ x) = - E (p , g) — 'ü n Cot. y. ~ \l/(]— 2) i^'^^-p- ^"'■- -Jt) - 1/ (1 — P-)} ■ Dans ces f'oimules on a partout />>^<^], taiidis que la constante auxiliaire 71 f" ,^ ., Tanq.ixdx n .. dx 1 = ƒ e-r-mj-x ^-? ^ . (I04fi), = ƒ e-r«nv.-x = -j/7r, (voir Méth. 28, N'. 7); ƒ A' Cos.- X I Cos.^ X 2 •'o •'o r I ipCos.^x \ &-71.X dx ƒ Arcig. ^ „ ] -,^- — , (1047), = J \l — p^ Cos.- X j Cos.- X -\- q- Sin.^ x x o /°° / ipCos.-x \ Tanq.x dx Ardq. \- '^--^ 1 -"„ ^^-—„ (1048), = " \ 1 — p- Cos.^ X 1 Cos.^ X -{- q^ Sin.^ x x Pajfe 414. fcl METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M'''. 17. N'. Ü. /°°4 ., l^pCos.'^x \ Tang. ^ x dx '''^•\\-Sp^Cos^x] Cos.x + q^'Sinyxl^' (1049),= = f'Arcta l-^l'^'±^--A ^ A , ( ''M J ^'\l- p^ Cos:^ x] Cos.^ x-\-q^ Sin.^ x '~ ^^' \5 + 1 j' p / 2pSin.^x \ Sin, x dx o = rAr„y(^P^!!Ll^]. Tang^ ^ _ j \i-.p2si„^^j q-^Cos.Kv + Sm.^x x' (lUül), _ o r I 2pSm.^x \ Tang.},x dx j \i — p- liin.- xj q^ Cos.- X -\- Sm.^ X x ^ -" o / (1 + 2p Cos. 2x + p-')la {p-^ + c,p q Cos. 2x + q^)lc Sin. la Arccos. ( ^+p(^os.2x J ^ sj. Ta,, I p + g ^Q-''- ^■g )-tSin.xdx m. ^c rccos. ^^ ^^^ -^ 2p q Cos. 2x + q,)]\ x ' ^^"^^^' ^ = ƒ (1 + ap Co.. 2.i^ + p = )5«(/.^+2p 5 ^o.s.2.c + 9^)5': &•».[« Arccos. { -^+.^°il^^ }]. e- r - ( p+oCos. 2.Ï ]i Tanq.xdx Sin. te Arccos. l ^ }l ^- , . . . nosél — ï- \\/{p'+2pqCos.2x + q')\l x ' (iUO*;, _ = f (1 +2pro.02.. + p^)5«(p^-4-2p9Cos.2.r + 9^)5o&-„.L^,.,,o5. J \+pCos.2x | 7 / u I f-v -ry ; t !i/(l + 2pCo«. 2^ + p')|J I- ||/(p^ +2/7<7 6V.2a,- + 7^)JJ .r ' ^'■'"'''' ^ f\l+2p Cos. 2.r + p^-)ïa (/,. + 2p ,} Cos. Zx + q^y.c Sin. \a Arccos. [ --/-±P^f:l^\ 1 . J "^ [y (i +2pCos.x-{-p^))3 „. r . J p 4- ^ Cos. 2x |, 71 ^/a\ /c\ St?i. iC Arccos. { \ t dx = - p'^ 2 [ o» ^ Il/(P'+2P7C05.2.,- + <7^)|I 2^,\nj\n]^' Page 415. 53 WIS- EN NATVliRK. VEliH. DER KONINKL. AKADEHIE. DEEL YIll. Hl. ftP. 17. N°.9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRA.NSFORMATION, •o [f P A-Q Cos. 2,x ] -M Sin. x dx cArccos. \ — , , V. A I , (1056), = Il/(P' +2p9 Cos. 2* + 9^)1 J X ■ V ;. (1 + 2p Cos. 2x + p'-)i- (p= + 2pqCos. 2.V + ï^)1o Cos. [a Arccos. \^ ^^ _^ ^^^os. 2x + p^}\ i ' o r( P + 9 C'os. 2a; \ -m Tanq. x dx V Arccos. I ^^^ ^ 11 ^ , 1057), = {[/(p-'+^pqCos.Zx + q^)]! .x ' ^ ^' = ni+ZpCos.2x + p'^)iHp'-+^P9Cos.2x + q^)icCos.[aArccos. {.7^ j^tp 00121'^+ p^l ] ' •() (1/ (P + 2p 9 Cos. 2.V + 9^)1-1 X ƒ 2" r f 1 + n Co*. 2 jr ) 1 {\^%pCos.lx^p-)\-{p-^^2pqCos.lxJrq''-r^^Cos.\aArccos. j^^ (^ ^^pCos. 2.. +7)M- o Cos. [c Arccos. { , , ^ t" "^ T' ^"^ , :! 1 c/.r = -p<= {2 + :i f " 1 ( ) l ,.(1059),= / 1— 2p=Cos.2;t+p2c L (i/(pï+2/jgCos.2j!+v^))i x o r(P'+2p?Cos.2.r4-v^)i«^, r f p+9 Cos. 2.r nCos.26^. Y>.a-rf^ r= 1 6os.|ai4rccos. < }| ,.(1060),= ] 1— 2p'^Cos.2.r+p2c l ||/(p^+2/37Cos.2.r+(/-^))-B x = f (£l±M^os^-_±i!)LVo4a.1,-ccoJ H:l^^-jx _|.Cos.2^..r,.'.^. ƒ 1— 2j9c6'os.2j;+/>2': l li/(p=' + 2/79Cos.2j;+7^)J J x ' o /■2:p2j-2poCos.2a:-f.7')5«^ r ^ f p+9Cos.2j? li „, , ^ f, ^/ « \ 1 = ƒ -i — —^ ' Cos.la Arccos.l V, l.6os.26*iia;= -»«-<; 2 h-^ 0'"= , / 1— 2pcCos.2^+p2>-- I- Il (p^+2p7Cos.2.r-:-r/-^)(J 2' [ ^ ]\nc]' )' o /•'"(p*+2»joCos. 2a;+7^)èa ^. r | p+9Cos.2a' \^Sin.2bx.Sin.xdx I Sin.Xa Arccos. { ;; } I ,.(1062),= j 1— 2p<;Cos.2A'4-p2': L lv/(p^+2p9Cös.2;K+9^)!-* x ' v ;. o /'*(p'^4-2p9Cos.2a;+5^)i° r ( p + 9 Cos. 2 j ] |&h. 26j-. 7y. xdx = I -r bm.la Arccos. { !• I ,.(]063),^ J l—2pcCos.2x+p^' ^ |l/(p'+2p9Cos.2a;+7-))-' x ' v ;. o /•" (p '+ 2p9 Cos. 2^+7 ^)i«^. r f p+7 Cos. 2u! ] |«». 2&.r. 7>. ' xdx = ƒ otn.laiérccos. < 1- I "' ,.(1064),^ J 1 — 2p<= Cos. 2jr+p2c l (j/(p^-+2p9Cos.2j?;+9^)j-l j; ' v >' Pase 416. ET METHODES D'ÈVALUVITON DES INTÉGRALES DEFINIES. IH. l\P, il. N'. 9, 10. j ( 1 _ 2p<: Cos. 2x + />-'<^) *- II/ (P ' + 2p 5 Cos. Zx + q'')\Si o =:-pn-c^l ] (j"<:, (d'après les iiitégrales de Méth. 41, W'. 7 et 9, après que Ton y a substitué 2 1 \ncj x = 2!/). Et encore suivant Métb. 4, N^ 13: ƒ'" r(p, x] Sin. X dx /"° 1" (p , x) Tang. .v dx , . • 1065), = ƒ ^z ~i ^ , . . (1066), = ^{X—p-'ShOx) X J \/ {l — p^ Sin.Kv) .r ' ^ ' (I o TT Z"" y(p,x] Tanq.li xdx f- T(p,x)dx n = I "lAIj^i iLJ ,.1067), = ƒ ^^^^^ = — P'fl/(l_p2|) + ƒ y^ {l—p-^ Sin.Kv) X ' ^ -' / ]/{l—p^Sin^x) 12 ^"^ ^ / 'J ^ o o 1 J 4fl p^) Les intégrales préce'dentes, que Ton a déduites N". 3 a 9, démontrent assez la fécondité des formules 29 a 39 de la Deuxième Partie: et en effet elles ne mauquent pas d'intérêt, parce que généralement il ne serait pas aiïé de les évaluer par quelque autre methode, comme Ie prouve assez la circonstance, qu'elles n'ont pas été déduites plus tut. 10. Dans la formule II, 40, prenez V iSin.'^ x) = et 'E,(Sin.x) = '■ ' 1 4- 2p Cos. 2x + p2 ' ^ ' = Cos." X.Cos. ux. Sin. X, foiictioii iinpaire, alors: ƒ'" Cos."x.Cos.ax.Sin.x dx p^ Cos." x.Cos.axdx n !\ — p\<' l + 2pCos.Zx-\-p- X ~ j 1 +2/) Cos. 3.r + p2 ~ 2(1 ~7j2) \ i (1068) suivant Méth. 22, N'. 5. Au moyen de cette même integrale auxiiiaire on trouve encore par la substitution dans 11, 41, de la inème valeur de F {Sin.- .c) et de F, {Sin.- x) : Cos.'^ x. Cos. a x Tang. x, fonction impaire: f'^ Cos.'^'~^ X.Cos. ax. Sin. X dx f^ Cos.<^x.Cos.axdx . n /l — pX" j 1 -\--ZpCos.Zx-irp'' x~j l+ZpCos.Zx-\-p'' ^ 2{l—p^)\ 2 / •••■•( '-^'J 0 o Gardous toujours la même forme de T^ {Sin.- x), mais preiioiis successiveraent F, {Sin..v) = Sin..v Sin.^ X. Cos.^ X = , , ;; — ou = , fouctious impaires, dans II, 40, et de même dans 1 + 2 7 Cos. ix + q' 1 + 3^ Cos. 2.r + r/ ^- ^ Tang.x Sin.^ x.Cos.x 1 [, 41, les autres formes impaires F , {x) = et 1 , (.«•) = ; nous ^ '^ ' \ + 2.qCos.%x-{-q'- '^' l+ZqCos.2x + q^ Pa-e 417. 53* III. M^\ 17. N\ 10, il. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ,,. , f" 1 Sin.a; da; f2 1 dx obtiendrons: ƒ = / ■ ƒ l-\-ZpCos.2x-\-p^l + 2qCos.Zx-{-q^ X J l + 2pCos.2x-\-p'^ \-\-2qCos.2x+q^ o *^o n 1+W f" Siti.^ X ' Cos.^x J i 2(1— />*)(!— 9^) l—i»? J l + 2pCos.2x + p^ l+ZqCos.Zx + q o '2 Sin.^ X. Cos.- X dx n 1 /V + 2p Cos. 2:c + p2 1 + 2^ Cos. -lx + gï 16 1 — pry ' (1071) O (fa; /l Tang.x dx /'2 1 l+2p6bs,3ar + pï l + 27Cos.2a; + }'' « ^ / l + 2p Cos. o O 2ar + p2 1 +29(7os.2;r + 2i l+»o /"°° Sin.^ X Cos.x dx — '^^, . . (1072), ' - ' -- ] J+2i 2(1 — p^*) (1— 9^) 1— py' ' " I \ -\-ZpCos.2.v + p^ l+ZqCos.Zx+q'' X o '2 Sin.'^ X. Cos.^ ;v dx n 1 fv + 2pCos.2x + p^ 1 + 2q Cos.2x + q^ 16 1— p?' 'o (1073) d'après Méth. 31, N'. 6. 11. Supposons r(A'n.^ar) = ^1 +9^7'(/.'-a') et = l{l-\-q-Cot.-.r) dans II, 44; nous aurous: ^ * /'T, . «^ „ , <^'^ 9^« r? ^+.r-^ p f h-'Cos.\x-\-g''Sin.\v p gh \ h j p \ ^^eP — e-p) o o (T. 416, W. 1 et 2,) d'après Méth. 37, N\ 6. [168]. Les formules II, 69 a 72 donnent pour la même supposition : [168] Car supposons dans les intégrales au.^ liraitcs O et - rcspectivement jTunjr. c = _y et Cot.x = y, il vient : o o e o Paffe 418 ET METHODES Ü'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. ]VP^ 1 7. N'. 11, l'i. /'^ l (l + 0"" Tanq.^ x) dx n 2 / eP—e-P\ -^—^~ ~ ;:; =- : M1+? \, (1076) p^+A'ï Cos.x peP + e-P \ eP + e-pJ o I ^ ^^ ' ■ = l[l+q-~^ 1, (1077) / p'^-\-x'^ Cos.x peP + e-P \ ^eP—e-PJ o / , , , ^c~ = lil + q-y ] (1078) J p^ + x^ Sm.x ep — e~P \ eP + e—PJ o ri(l-{-q-^Cot:^ x) X dx 27r / eP 4- e-P \ / p^-\-x^ Sm.x eP — e—l^ \ eP — e-P) o ƒ" Cos.xdx h n { q 1 h\\ O n {eP -\- e—P ( eP — e—P\ eP — e—P ) = P {^'('+'«.-+^4 ^'c +"1 <"""" /"",„ , „, , xCoLxdx (eP-\-e—P 1 eP — e-P\ ] J p'+.ï* lep — e-P \ eP + e-P v i ïy| v ; 12. Dans les formules (54) et (55) tle la deuxième Partic mettons T {Sin.- x) =Cos.^'^x, Cos.^'^ X dx "^ X -\-g'^ Sin.'' X [ P TT Cl'^ < alois nous trouvons : 9.a \ Arctg.-.Cos.'^'^-^ x. Sin.xdx ^ \- qh j J X % J h- Cos. ƒ, p n fi^ Cos.^<^+^ X dx Arctg.~.Cos.^"x.Sin.xdx = \- h 1 . Or, par la substitution de X 2 ƒ /r -\- Sm,^ x o o Cos. X = y, OU trouvc généralement : /^^■^ Cos.^'' X dx 1 /■5'^ ;y2<: dy 1 =o 1 rly2c+2,idy n w ;3«+»/2 1 q'—C0S.'x ^ q^j 7 (yV 1/(1-!/') ^ 9''^¥"J l/(l-Z^ ^ 9^ f 2c+''/2 g^' o l-^-j ,.(1082) Pour q ^ ï, X = ry, p = rp les inttgrales dii texte donneiit eiicore / Sin. ^ qx — (- - r^ -\- x'' r 2 l Cos.-' qx 71 1 + 6-2?'- f" l Sin. ^ qx tt 1 — e-2ï'- -" - ' ' dx =^ -l f'^lCos.-'qx 71 l+e-2ïr /•=■ 1 dx = —l , ƒ j r-^+x^ r 2 J ' l Tany.^ qx n eV — e-ï»" ƒ ——^^^"d^ =:;;::: '— , (T. 415, N'. 4, 5, 11) j j-ï 4-aï r eT' + e-l''- bi (lerDicre comme la diffc'rence des deux aulves. Page 419. III. W\ ll.W.\1,\ö. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, n-C0S.^'=+^xdx 1 /"' ;/2c+l dy 1 « 1 r' 2/2c+2n+l i „ 2c+n|2 1 suivaiit Méth. 3, N'. 3; Ie développemeut employé de |l — (~) [ (voir C. P. 62) est permis ici, puisque ?">• 1, donc toujours — <^ 1. Par consequent les equatious deduites donnent ici : ^irc^fl.-. Cos.2"-" .r. Sin. .i-rfj = — ~ -j ^ 2 , . . . -' X 4a 2a ep — e~P o 2«+'V2 \ cP + e-P o I (1084) " p _„: 1 „■ o,3a+»+'/2 / 2 Arctq. ". Cos?" x. Sin. xdx = + ^ .(1085) ^x 2(2a+l)^ 2a4-l cP + e-P o 2«H-»+'/2 l gp + e-p/ ^ Dans ces mêmes formules soit Y [Sin.'^ .v) ^^ l[\ ■\- q"^ Tang? x), alors a 1'aide de l'iutégrale trouvée dans la Note précédente (168): » Tanq.xdx n' f eP — e—p\ ,,„„„> f ,.^^ , _ .,_, J X Cos? X + q^ Sm? x 2q- \ ep -\- e—Pj o r^ wf 2o^ \Tq.xdx Zn ( eP—e-P) I Arcto.^\Cos?,:lil+q-'Tg?x)+ ^, . , — = l\l-\-q—, . (1087) I y ^y ^ -Tï y '^ Cos? x+q^ Sm? xi Cos.x eP+e-P I ^ eP+e-Pj ^ ' 'o 13. Par 1'introduction de 'P {x^) = 1, F, (.r) = a;^"-! les formules II (60) et (64.) four- uissent, par Ie même développemeut qu'au numero precedent, développemeut qui pour la même raison est permis ici : [■^ C0S?<^-\vdx /i /•l(l~A-^)«-è 1 /-l ^/_.,,.2\K i^/_i\n/-i ƒ =-/ ^ — dx=~\{\-x-'Y-\2\ =~:e[ /(l— .r')°-5*2"rfA'= 0 0 0 o 1 » /— l\« l"/2 1"/2 iT TT l«/2 1 « l«/2 (—2)" = T^ K~ 1 = ^ ^^ . • • • (1088) ph o\h'- j [a+n/i 2a+"+i p 2« eP — e-P o i<»+«/2 (eP — e-P)2'' ^ ' ^'^xSin^'^-^xdx n{l—x''Y-i n 1« 2 «, i«/2 2" — . — :, — = g I - — :^ — -- dx = 2 , .... (10S9) p^+A--' */ g^ — x- fP + e-P 2<» o i-''+''l'^eP.-\- e-P)^" ^ ' o o (voir Méth. 3, W. 4). Encore les formules II, (70), (71) et (72) deviennent pour F(.r^) = ^05. 7,t': /°° Cos. [q Tang. ' x).Cos. x dx h r°° Cos. qx dx h n l _ .JlA\ 4p9 Pa?e 420. O eP — e-P ( ^y—--" \ 1090) eP — e-P ( -./—-" \ \e ^e"+e-i' — e-?/, (I ET METHODES D'EVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. AP. 17. N'. 15, 14. ƒ'" xCos. {rèsMeU. 44, N'.4), [170]; •o -o JT 'T Plil+pt/ Sin.2w)^^ = 2 ('l{\-\-pCos.,v)','' =-n^—{.\rccos.p)\{p-'<^l),. (1121),= J Sin..v J Los.x 4 0 o t2 d.c n l-\-v\/ Sin.2x dx f^ l-^pCos.x da: 1 l{l-\-p\/SiH.2x)y^ ,.(1122), I l ^,^. ^ ^T— — ^ ƒ l-, r r = / ^ ^ ^^ ' Cos.x J 1 — p[/ Siti.2x Sin.a; J 1 — pCos.xCos.x o o o = InAvcsiH.p, . (1123), = ƒ'"; l±iH^_|f!?l?f ^, . (ug^). (suiv^^t Méth. 34, N^ 5). ƒ 1 — py Sm. -Zx Cos. x o Suivaut la formule II, 9G, et par 1'intermédiairc de Métli. 28, N^ 6, on a encore: ƒ"■ .« Sin. xdx l „ „ f^ X Sin. xdx , , , > /^ „ , / n r, - v = -7I^(T.245,NM2), ƒ -—;.— = tttt— 2 iCosec. 2X. . 112o i + Cos.^x 4 ^ ' ^y l — Cos.-^l.Sin.^x o o :t ƒ2 dx l (1 — p- Sin.^ x) -— ^ „. j — - = [170] De rintégralc citée de la Métli. ii, N'. 4, tn cmplo.vaut alternativemeiit 1'intégrale (1115) et (1116), 011 ddduit eneore par soustraction: TT TT I l Sin. X.Cos. xd.r, (1H7), = — 1 = l' ICos.cc. Sin.x d.v, (1118) o o 77 TT jlTanff. X.Cos, xdx (1119), =.-/2 =/^ l Tang. x. Sin. xdx (1120) o o Page 423. 54 WIS- EN NATUURK. VEllH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 111. M^'. 17. N'. 16, 17. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORJITiLES DE TRANSFORMATIOX, l — „ d'oil,aprèsavoirdivisepav2: ƒ Lil — p-om.'^x) ^, — „ „. ^i, — = l—p-'Sm.^x\/(l-p-Sin^a:) ^ J Y[l—p^Sin.^x) 1 f2 dx 1 , . , = - ƒ l{\-p^)--j- — — —= /(l_p^). F(p),(T.34.8,NM2),d'aprèsladéÜmtion. [171]. o ■TT 1 . . (^ l {1 ~ p'' Sin.Kv) Supposons encore dans Ia mèrne formule / lx) = - lx, et il vient : ƒ — — ; :,-^, — -— -, dx = X j 1/ (l—p^ oin.^ x)^ o ^p^l-p^.^^_J-p^ d_. ^-i_/-Y-p^5^«.^.^ .^, f l_^,ï 1— p»&«.'-j:l/(l— p'Sin.^o;) 1— p'/ 1— p' «^ ^ f o o = ^ ~^^ / "(7^^/ (1 _p2 5i„.^ a;)— ^ / '^(1 — p' &»•' ^) |/(1— p2 5j„.2^) TT j\i-p''Sin:-.)^^'"_^^^^^^^^^ ƒ2 Cos 2 X dv 1 1 l{\-p^Sm.^x) • • ^ ^=^-(2-p2— ■(l-p2)7(i-p2)jF(p) (2_./(i_p.)]E'(p).(1128) 1/(1 — p^bm.-x) p- p- Pacre 424. ET METHODES D'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 17. N'. 17. et a Taide de la formule de tiausformatioii citée .-=:ƒ [/ [Siii.^ X — 'S«i.2 «) [Sin.- jï — Sin.- x) -r-^ — r, (a); ou Ton a garde (^i et ij; foiictious de .r. Mais ƒ? y (p . vO cJt; |/ (Sin.2 a- — &n.2 a) [Sin.^ (ï ~ Aï«.2 x) a leur delinitioii dontie 1 eriuation 1 anq. , i>) + Ï'(P > '/') = Ï"(p)ï {^)\ d'ou iminédiatement : /•? F(p,(^)(f.c /-^ r(p^/.)c[x y 1/ (.!>Yh.2 X — Sin.^ «) (Ai'«.2 ^ _ 5j-,/.2 j:) y i/ (&"h.2 a- — &n.2 «) [Sin.^ jï — 5in.2 :r) "" a a /;3 dx 1 „f / ?>-^«\i 1/ (Sm.2 a; — &-«.2 «) (.Sm.2 (i _ S2V(.2 a-) ^ ^^^ Cos. «.&«./? ^' i''' \ ~ ^y^,]^ ' ' ^'"^ a (d'après Méth. 7, N". 24). Maintenant les c'quatioiis (a) et (f), ou il eiilre deux intégrales incon- nues, donuent par leur résolutiou : ƒ? r (Tarig.'!a.Tang.'J(i.Cot.'^ O" l'i dernière iiité"rale (1130) n'est autrc que la %Cos.«.Sin.^ "^ l \ Tang. ^ lij' a \ j i précédente (1129) pour un q négatif. Peur 1 — p^ = Cot?a.ColJ^^ et j := et ^ -\ — suc^ cessivement, Ia première doune : [^ Yip,x)dx 1 ƒ — ^r-:, — c -. V o. o. o- -o~=~ — — r'(v/(l-Co«.2«.Coi:.2,3;).E'(l'(l-7>.2«.Coi.2/J)}, J i/[Sin:-x—Sm.-a)[SiH.^li—Sin.^.c) 2Cos.u.Sinli *■ i 'J V' ^ ^ i ^J' a ,„ ,,, fPY{p,Arclq.(Tan(/.a.Tanii.3.Cot.x)]dx (T. 375. N'. 7), = -,,c 2 Q- o wc. ,' — -,. (/>^==l-Co<.^«.Coi.^5). (1131) / \,/ [Sin.^x — om.' Dc) [Sin.^ p — Sm.- x) a On peut supposer aussi /(7'a"^.2«. Co<.2 x) = E (/?,(})) et /((7o<.2 |5. ran^.2.ï) ^= E (p, v). "^ (|; et l/l sont les mêmes queci-dessus; dès-lors (a) devieut ici: / — ■ (SiH.2 .r — Sin.-a) [Sin.- j? — Sin.2 x) [173] Voir Veuui'I.st, Traite de Fonclioiis Elliptiqncs, p. 40. Pa-e 425. 54* in. 1>P. 17. N\ 17. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR VNSFORMATION, ƒ i ' (Sin.2 ;b — Sm.- cc) {Sm.- § — Sm.^ x) 'o. ^= lËi' [p) -]- p^ Sm.r^.Sin.^j', {e); douc pour obteuir une équatioii analogue u (c) il faudrait qu'on pusse exprimer Sin. (p. Sin. i// dans uue fouction simple de p et de x, ce qui ne léussit pas. Simpli- fions donc tout de suite par la supposition de 5 = i, 1 — p-= Cot.-a. Col.-^. Nous trouvons alors com- me auparavaut: qp = j; et Tang. i/> = Tang.u. Tang.^. Cot.x; donc (e) devient: E [p,x) +E(p, 1/') = p2 Sin. X. Cos. X , ^ rp E fp , .r) dx = E'(p)4- , et Tequation analogue a(\ 1 ƒ"" ■ 1 Sin.\p-.v- — 2pq-\- — \dx==— } Sin.{x'^) d.v ^= — y' 2ii, (1135) \ .x^-] pj 4;> o o Cos. p^^•-— 2/),; + '^- ==!, q — i'', on trouve nes intégrales (11.3.5) u (1138) sous une forme plus simple (T. 98, N". 1 a 4). Page 427. III. M''". 17. N\ 18. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Mettons ƒ (.'i') =:= e ^^ daus la formule II, 107, et nous obtiendrons : - \ e x = o = ƒ e-^' y, et prcnez la somme des rcsultats, alors : ƒ Cos.ip- X + '' I -^ = [Cos.ipq— Sbi.-Zi>>j)~\/->iT, (1146) o r^ I ■ 7'\ dx 1 ƒ Cos. lp' X + '—] = (Cos. 2n 7 — «/(.3/> 7) —1/2 TT ....(1147) J \ X I x\/ X 27 o Page 428. ET METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. lil. M*"" 17. N'. 18 — 20. Dans la formule IT, 113, soit ƒ(*•) = c—^, alors: L-(x^+ipx+,f)dj; = 2[/{p'^—g^). [ "O (suivant Méth. 4, W. 7), d'ou : f e-(-^'+2pï) Jx = eP^y/n. (T. 40, N". 10). 19. Pour doniiei- des applications de IT, 115, soit en premier lieu ƒ(./;) =«2a gt f [x) = x^''+^ : alors OU trouve : la/2 (1148) (1149) (p Sin. .r -f 9 Cos. ,',)2a dx = 2 I Cos:^" x (p ^ + 1 donnerail lieu ici ïi une inte- grale, qui serait discontinue. — Enfin soit f{x) == l (l-^p'^ -{-q- -^2x); nous aurons: 1 K^+P"^ 4- q^+2pSm.x+2qCos.x) d.v =- 2 / l{l+p'' +q^ + 2Cos.x.\/(p^-^q^}]da == O, O o (p^- + q' l), (1151) suivant Méth. 4, W. 4. 20.- Mettous f{x) = ,«'' dans la formule II, IIS, nous aurons: ƒ (2p)'Cos.'".ï.e(''+27)^'(/.i'= Sin.qn. j p';e'-(l — ,t)*-' (/.i', d'ou suivant Méth. 4, N^ 6: — »7r ip Cos.'-.Tr.e('-+29)ïï'rf.c = — ^^' ,-(1152) = / CosJ .v.ei'+^i)^''itx + ƒ CosJx. e('-+2?)-t' dx, _1T O -è"- oü nous avons divisé la distance des limites en deux parties; dans la dernière integrale ƒ 5'^ ros.»" .T. e— (''+2?)" rf.r ; donc (C. P. 36): o Cos/x.Cos.i(r+2g)x] dx = -^ ^ . (T. 55, N". 1( [Q), " \ ü'^-t-' V{q-\-r-\-l) Page 42y III. RP. 17. N'. 20, 21 . THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, (2/>)?Cos.9A'.e(?+2a)^'- xd.v = = Cos.an. I p9 xl {l — .«)«—' (f.r, d'oü par Tintégrale de Méth. 4, N'. 6: o /i" , , ..V — nCos.an l"-'.' /"è ^ .r fo x Co.'<<}ic.e('i+-")'>:>-dj;= ,.(1158),= / Cos.'lx.ei'i+^")':> -do;+ l Cos.lxAi+^">'-dx\ i 2?+i «a-i/i ' \ il i — iTT o —ITT après la division de la distance des liinites, substituez dans la dernière integrale ,v = — ?/, alors OU obtient, ici au moyen de C. P. 34: ƒ Cos.'iw.Sm. f (7 + Za)x} xdx = — (1154) O Dans lecasdea =l,on trouverait par II, 121 :2«+i ƒ Cos.lx. Sin.['fj-\-'2,\v]xdx = - I x1dx=2 ((/-{-l), 'o o /2 n Cos.9-Kv.Sin. [{q -\- l)x) xdx = . (T. 238, N'. 8). o Dans la formule II, 122 supposons fix) = a;*"— ^ et nous trouvous: I p''— ' Cos/-' .r. eil-^'')^' Sin.1—^ xdx= eil^i j p'— ' .•e"'-' (1 — .t)9— • (/.r, ou suivant Métli. 4, N'. 6: ■!) •{ ^'Cos.'— ' .r. 5Mi.9-' X. €( ^ i"!^ ^~~ "'''" f (1 + ^^p Cos. 2,x + p' - (VI) Par la substitution ^r^Tcj.x^Tg.y, d'oü — - ^ , , , =-, ^, l + ^/'Co.'- ^x+p^ = 1-}-/) "^ 14-2p Tos. 2 .r -f- p 2 1 — p'- (2 j; - V' d c dii TT V -_ > '-'' ^ = ■ — , les liinites Oet — elant coinmuiies a.i-et »/, 1 — 2p Cos. itj + P''' 1 + 2/9 Cos. 2.r + p' i — p^ 2 elle devient : TT f = ï^ — ƒ (\ — 2pCos.Zii4-p-y'-"-^Sm.^"-2ydi/. . . (VU) (l-\-2pC0S.Zx-\-p'y^ l«2(l_p2)26-l ƒ o "o De plus dans la formule (VI) })renez /) négatif et l — b au lieu de b, alors: f- Co^-^<^^dx ^{b—l)a- f -n^ZpCos.2a- + p')''-"-' Sin.-i"?.xdx,.(YlU) J (l--2pCos.2.v+p^y-l' 1''(2 ^ ^' j o o et comme dans les formules (VII) et (VIII) les intégrales au sccond membre sont égales, il s'ensuit : TT T f! Cos.Zaxdx i"/' 1 pi ,^ r, n a t im \ r a i my\ ~ I n — 2pCo?.2.v4-p'y-~^Cos.Zaxdx. . (IX) {\+ZpCos.Zx+p''}l' (6— l)°-/i (1— p')2*-' ƒ o o Substituez dans celte dernièie formule 2a' = y, alors: ƒ" Cos.axdx b"!^ 1 /"",,„ /■ r M/, 1 ri J ^Y\ {i + 2pCos.x-\rr>')'' (6— !)"/-! (i—p'^)2*-' y [180] Siipposez-y a =: 1 , alors on a suivuut Méth. o, N'. 11: /" Cos^^:dx _ 2^ fpp)_E(p }. (T.. 80, N\ 5). _ƒ 1/(1 -2/. Co.... + p-^) P ^ "^^ o Page 4:il. 55 WIS- EN NATCTEK. VKIMI. DEU KOKIKKL. AKADEMIE. DEEL Viil. Hl. W\ 17. M'. '21, 22. THEORIE, PROPRIÉTÉS, formules de TRANSFORMATION. d'ou eucore jjour a iml: /" dv 1 f^ ƒ '- = — ƒ (l—'ZpCos.x + p''y'-^Jw, (XI) o o Toutes ces formules donnent des relations bien intéressantes dont on fera usage dans la Methode 23. [181]. Peur Ie moment contentons-nous de prendre 1'uuité pour b et 2a; = y dans la for- /'" SinMxdx l"!- 1—p^ r Cos.axdx 1°.'2 rt o o ^ jv-^ r^ g ^^^ ^^ ^j. 25^ suivant Me'tli. 5, jST". 6. !«/' (:'.p)" ^' -^ ^ ^ ' ^ -f / 2.^• \ 22. Applications de Ia formule II, 151. Soit ƒ (.t) = e '\/ {\ — x"^), d'oü y I ^j = _j'l±^ {l — x'Y- = e ^ ^ i/ ' , et par consequent: _*' dx 2n+2 = — ^^—2 "^-^-^ 22«+i— -. . [182] (1155) (_ l)a o 12M-1/1 (/^2,i p '- -^ ' '' Supposez ensuite ƒ(*•) = — — ^^ ; et f{x) = [/ {l — p^ x'^), d'oü respectivement j/(i_p-.i;5) x %x \ / 2.f \ 2^« ^ I Zx \l 2x \t/{l + 2(l— 2pV+.t'*) TiOrsque au secoud niembre de Téquation II, 151 on substitue x = Sin. f" (/-" e—l' I e ^ = ƒ e-r.'/ tj^" dy =-- - ./ e-PUflij = —- . — (1156) o I 'l Pa?e 432. - ET METHODES Ü'ÈVALUATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. III. M^'M 7. N\ 22, 25. o o = ^^— 2(~-\)"-^ 22«+i ƒ ,f{Sm.y) ■- , . . exil) o 0 o _ 2^+1 «^. ■ (a + "F^M , f^^g,^ .^i/l/(l-p^'S»,.2„) -2(_])af( 1) 12„ + U. ^ j ''(i"'.^/) ^.^^„^3^ ,...(Xni) OU les deriiières intégrales peuvent s'exprimer par tles foiictions elliptiques. Pour en avoir un cas spécial, prenoiis dans (XTI) if. (,r) = ,1; " , dans (XIIT) (p(.T) = ,r^, et de plus faisons « = I ; alors, suivaut Méth. 3, N'. 11, on aura les intégrales: o /^ ^.B 2i>--t-l 1 p- fJ^r;^^-'V{^+^i^-^P')-'''-^'^''} =-yT-— -^-I"(P)- (T- 2S, N". 22, 23). o 23. Dans la formule II, 152 mettons ƒ (.i-^) = e-1^', alors d'après Métli. 3, N'. 7: 1 , n ^) ,r-.ada- = ^ ^, ., ƒ e-9-.^•2af7,. = ^-. ^-A^T.^^^. (T. 116, N'. 8). J o a-"/' ƒ ? o 1"/' 2"+' (2^)" ' o "o La supposition f{x) = e-^ dans les formules II, 153, 154 donne — .ƒ(*•) = (_l)ce-a:, et sui- dx'^ vant Méth. 4, N'. 7 : ƒ •' ^ ^ v fH) ^ 1 ,_ ^y^n n-{x+i\/n] — 0 •() ('"e-^dw = i— l)«-"e-2l /? ƒ — - — = (_])«-" c-2! r/j/^i; donc, lorsque dans la dernière équation o II, 154 011 écrit a -\- l pour «: i e V -*-J L e-2l//"y^/-.^i -^ , (T. 140, W. 12), o r^U-^l) lq\ha n ^(a — „+1)2«I 1 ; \PJ P o 2»'2 (2l/p5)" O Page 433. 55* lil. W\ il. N'. 25, 24. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION. 1 Prenons dans ces mêmes formules de transfoimation f(.v) = — , ^ ,, d'ou : ('/■ + . f)s+è * . / 2c — 1\ 1 r(s + r;+') 1 ^^ d<^-».f[x + '2\/pq) dx /""r(g-j-a — M+ j) 1 J?a^ (d (i; + 2 1/ p?)} «-» 1/ A- ~ / r (s + I) (»■ + 2 1/ P9 + .«)»+«-»+è |/ .r ~ o O r(s4-a — 7!+ I) [/ TT r (8 + g — m) r (s 4- ^ — ") jAr "" r (s + ^y (7+2i/p5)»+«-»r(s + a — n+^) "~ r(s+i) (r + 2i/p5)*+«-''' d'après Métb. 4, N". 6. Ecrivons eucore s— a au lieu de s, et daus la dernière II, 154, a-j-l au lieu de a et nous obtiendrons : x^—'^da: 1 /p\'" T" (a — "p"'^ T (s — n) f ai^+'' dx /"° a!s-«(£a; 1 /p\5« :r » (a— «^"A r (s— n) /"" a-^+" ( 1 /(?\i'' TT 00 fa— «4- 1)2"/' r(s — H) '^> l/-.-S'^ ^^^^^^ ^ . (T. 28, N'. 17, 18) r(s+i)W /' o S^/M^l//"/)" (r-+2l/p7)*-'' ƒ'" = 0, q=- «:,ƒ(■!.',(/) =e~'V' OU a/'(,i;7) = e-" = O,/ (j'p) = e-« = I, et par conséquent: /•*(ƒ»/, rr r r^ [''dx C'^dx h II j ^•'{e-V'/— «-«i/j^; — (_1)=_/ —=— ;-=/-,(n59),{pourr=l(T.127,N\4)).[184]. "(1 a a Pour p = 0, q= (x,f{x,j) = Arctg. {{xy)), on a f{x<]) = Ardj. ((4- co )) = (r + ^) TT,f{xp) = = Arctg. [{q)] = /"TT, donc : ƒ '^ {Arctg. {{by)] — Arctc,.{{ay))} = ƒ - '^ {(,■ + i) tt — rTr} =in t ~ = ^ 1-. . . . (1160) o 'a "a Pour ^ = o, 9 = ) I . = {q—p) ƒ - — . ) — A = o •'o •'o ^ ^ ^■' " \tc\e>'—e-" JU J «^ Ie" — C-" jJ ' u Nous j avons introduit la constante A avant rintégration par parties aliti de inettre Ie terme . , , O , ,. . ^ . u integre sous a forinc — pour la limite O de n ; ;\ eet eft'et il faut que A soit la valeur de ü e" — e~" pour ?<-= 0; ce terine se présente ici lui-même sous la forme , donc il faut Ie remplacer selon les 1 . . , , ,. . régies ordinaires par la valeur — , qui devient i pour k = O ; donc A ^ c et Tequation («) devient : ƒ""(/.; / q p \ fl / u \p f"" du f u _|i J .x \e<}^ — e-?^ eP': — e~P''l~ *-u [c — e-" Vio / «^ \e" — e-" ')J' [185] Sur une expressiou uu pen moins générale voycz Sléth. 5, N'. 1.3. [186] Voir 1'Addition A ri la fin de rouvragc. Pasre 430. ET -METHODES D'ÉVALUATIOK DES INTÈGRALES DÉFINIES. III. M''^ 17, 18. N. 20, 1. , , . 1 1 Maiutenaiit i)Our « = cc Ie terme iiilegie devient = O — 0 = 0; pour m = O * " e» — e-" 2it il devient indéteiminé, donc comme d'ordiuaire : u I 1 !«(e«4-e-«) (U _ e-t< '^ o e« — e—" (e" — e-") ^ e» — e-" — m (e« + e—") O !t "" ü ~ 1 ~ (e"_e-«)'^ ~ O "" e" + e—" — ((i" + e-") — w (e" — e-«) — L'iutt'grale dcfinie dernièie a pour valeur — hli, [187], douc : == 0. ƒ - [ -^ _ ^ '\=(.y-/,)IO-iZ2l = \{p — q)n. . . (1169) SECTION TROISIEME. IMETIIODES, QUI RAMÈNENT A DES INTÈGRALES DÉFINIES DOÜBLES. \ 1. MJiTHOUE 18. REMPLACEMEx\T d'uN FACTEUR PAR UNE INTliGRALE DÉFINIE. 1. Cette mélhode est due a Cauchy, qui daus soii //Mémoire sur diverses formules relatives // a la theorie des iutégrales défiiiies et sur la, conversion des diflerences fiiiies des puissances eu + [1871 Car on a ['wiiuition identique: / — \ \ = ƒ ~ (e— "—(-'--«; + ^ ^ ' '/!«■- (e« — e-« 2J ^ / " o o / — / I e~" - I — \ — e~-", . Or, lorsquo dans la derniei'e J u le"~l II 2 j ju y"—l 2ii -Z j integrale on pvciid 2ii = v, on acquit'iL la d(!uxicme intugialo préciscment ; donc suivant Méth. 9, N"". 22: o • o Pacje 437. lil. M''^ 18. N'.l. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, // intégrales de cette espèce," [188] en traite au long. Apvès avoir donné uue exposition de la methode, nous allons Ie suivre dans les diverses applications qu'il eu fait: nous y ajouteroiis des exemples nouveaux, niais il faut observer la circoustance remarquable, qu'ils entrent presque tous dans Ic cadre tracé par Cauchy. Les considérations suivantes servent de base a cette mi'thode. Lorsque dans quelque integrale défiuie : ƒ ,/(^)-rW'^-*-, («) il est possible de décomposer la fonctioii ;i intégrer eu deux facteurs, de telle sorte que 1'uu des facteurs 1' (a') p. e. coiistitue la valeur de quelque integrale définie connue, c'est-ïl-dire, que Ton ait : F(.r)= l\iy,.r)dy, (/-) f' oti dans la fouclion 7 1'arguinent .e doit uécessairement entrer comme constante, — on peut écrire réqiiation identique : / nx).Y{.v)iLv^ T/G^O^*- {\{>J,-r)d,j. (^•) /' Mainteuant supposons que Tintégrale doublé soit de telle nature, que la fonctiou f{.r).(f){ij,,v) ne devienrie discontinue pour aucune valeur de .r et de y, située entre les limites respectives a et b, 2) et q: dès-lors il est permis, selon la Partie Première N°. 44, de changer l'ordre des inté- grations ; par conséquent : /"/(4F(.r)(f.^• = Tdu I ci{y,.v).f{.v)d.r {d) a pa Ensuite il est nécessaire pour Ie succes de notre methode, que l'on connaisse la valeur de la dernière integrale par rapport .\ x. Soit donc: (f- {;/,''«)■ f i-'v) d.v = x{a,b,y), . . {e), et par suite ƒ f{a-).'P{x)dx= j y.{a,f>,y) dij . . (ƒ) o « p Or, il se peut en premier lieu que Ia dernière integrale par rapport a y soit connue, et dans ce cas on a évalué la première primitive; mais il se peut aussi, que l'on ne connaisse pas la valeur de cette deuxième integrale par rapport a tj : dès-lors l'équation (/) ne sera quune relation entre deux intégrales définies, mais dans ce cas même elle peut être d'un grand interêt et servir auprès de quelque autre réduction d'intégrales définies. — On voit qu'il y a beaucoup de conditions a [ISSJ Ce Méraoire, presenté a TAcadémie des Sciences Ie 3 Janvier 1815, n'a été imprimu qii'en 18il dans Ie 28"'= Cahier de Journal de 1'Ecole Pohtcchnique, p. 147 — 248, ou les cinqiiaiite premiè- res pages sont consacrées ii rétude de la methode en question. Page 438. O' METHODES D'ÉVALUATION DES IiMÉGRALES DÈFINIES. 111. M''". 18. N'. '2. réaliser ijour rcuiploi iitile de cettc methode, mais on veira aussi daus Ia suite les lésultats heureux , auxquels elle doiiiie lieu : en eftet, c' est une des methodes qu'on pourra souvent appliquer avec Ie plus de succes: son sphère d'action s'élargira d'autant plus qu'on coiinaïtra plus d'évaluatioiis d'iutégrales définies, expriinées sous uue forme finie et simple. 2. Passoiis maintcnaut aux applications de Cauchy, que nous exposei'ons pourtaiit d'une maniere un peu dilleientc. Soit en premier lieu [189] V [x] = , et, suivant Méth. o, N^ 7, o a I) a relation, basée sui- la coiitinuité de la fouction ?//'-' e—!A'\i'=)f{.v) pour toute valeur positive de y et toute valeur de x entre les limites a et h. Pour F, (;r) == x, et f [x] = t— 7-^ elle donnc: ^l'e-l^dx l f" f'' 1 /■" ,?//'-• c/» XP T{p)J ^ -^ j r(p)j ^ ^ q + y a II II O En outre supposoiis a = O, l> = y: , afin d'obfenir une integrale connue; dès-lors : ^'"e-l'^dx 1 /■" yP-'^dy 1 xp r{p)J q+y r(p) I) o (pour q = l: T. 126. N\ 0}, d'après Méth. 4, N^ 6. [190]. /"" 1 Prenons 1 — ^J au lieu de p, et il vient: ƒ e-ï^.-B?'-! rf.t- = — r (p), p'?'""' rf.r = (7±rj)— PT (/?), p<^ 1, o (T. 113, N'. 17). [192]. Scparons encore les parties réelles et les parties imaginaircs et il vient: [IS'J] Voyez Cvucnr, Journal do TKcolc Polyt., Cali. 27, p. 147. l'ariie I, § 3. ?. 152—175. [190] Par la subslitution de t— r = 7/, elle doniie: rfrv =9''-'^{i-?'^ frSin.rxdx = --- ƒ yP-Uhi- j o^p r(p)j-^ ^y T{p)J' ■'', •n n n O -\-iq-\-yV = ^T\ t ^"'- V'^-flArctrj.-y (1172) r(p) Sm.pn l q) re- = X ; il vieiit: ƒ {Cos.qx — c-/«) — = j dij j [e-V^ Cos. qx — e-ii'+V>] dx. Re- 0 ■() 'tt marquons que dans la première integrale' au premier membre les deux termes sont séjarément infinis, de sorte qu'il i^aurait pas été permis d'y faire uiie substitution diflerente, sclon ce qui a été dit a ce sujet Métli. S, N". 21; dans l'intégrale au second membre par rapport a x, cette circoustance n'a plus lieu: Ie premier terme est coniiu par Méth. 4, N". 11, Ie second par Méth. 1, N^ 9; douc: / (Cos.qx — e~l''^) — ^= I dy \ — 1. Comme Ion aurait pu s'y J ■*■ j W'+'j- p + 'Jl (1 u attendre, Tintégralc se composc de nouveau de deux termes ;\ valeur infinie: mais ici ils se prêtent a l'intégration indéfiuie ; d'ou : dx r (1 11 f" (ü + ?/)^ ƒ dr f (^ "11 r (Cos.qx-e-P-) ~ = / |-c/i(7^ + y^)-d.l{p + y)^ = ö / '^•^ (j'+y' 1 C oM 1 p- = - \n-l~\ --i-,- [195] (1174) 2 l pM 2 q^ [194] Voyez sur des autres Uéductions Méth. 5, N'. 8, ci-après N'. 8, Méth. 24, N°. 4, Méth. 25, N'. 2, Méth. 38, N°. 3, Méth. 42, N". 2, Méth. 43, N°. 14, Ou en déduit encore suivant Méth. O, N\ 5: ^d.T 1 f n X 1 n Sm.rx- = ƒ Sin.rxdx \ \ = (l_e-r), (T. 212, NM2), dont x{q-^^x^) q' ] \x q-^+x^i 2q'- ^ h ^ ' o 11 on trouveva une autre dcduction Mélh. 25, N^. 2, Métli. 43, N'. 14. [195] Ecrivons succcssiveraent r pour q et pour ;;, et soiistrayous cos résultats de riutégialc (1174), il vient: I {Cos.qx.— Cos.rx)— == -l^^, (T. 196, N'. 2), ƒ {er^—ei'^)— =-l^-, (T. 127,N\ 4), o o comme on a déj^i trouvé Méth. !(, N\ 22 et Méth. 9, N°. 22, Méth. 10, N°. 14, vespcctivement. Page 441. 56* III. ^^^ 18. N'. o. theorie, PROPRIÉTÉS, formules de TRANSFORMATION, 6. Pour f{x) = Cos.qx, F, (.«) = .r, a = O, i = oo , Ie théorème XIV founiit les t-quations: y ■'•■'' r(p)_/ j T{p)J '/'+!/" 2Co5.2yj7T.r(p) o 0 0 o (T. 201, N^ G). /'"Sin.qxdx j /•« /■<» j ^cr. ^rf/-' ^ = \ yP-Uhi \ e-y^ Sin.pxdx = ■- / v'^ -''/'/ "V"-, =--7;r-^^ r^.''i>/'>0; .t'P r(p)j^ '7 ^ r(;,)/-^ ■ 7^-+.'/"- 25m.l/,7r.r(p)' 0 0 0 'o (T. 200, N". 7). Dans les réductions premières oii a employé les iiitégrales de Métli. 4, N'. 11, et dans les secondes la (201) de Métli. 1, N°. 29; c'est la deniière, cjui a introduit les restrictions quant a la valeur de p. Loi'sque dans ces intégrales ou suppose /> = 1 — p, oii troüve, par l'in- termédiaire de l'équation (B) Métli. 4, N '. 6 : /■" , Cos. \ nn C Sin. i pn , j aP-^Cos.fjxclv= ' ' T{p), / ^iP-^Sin.<]xd.v= '-^T (p), (T. 193, W. 15, 14), 'o "o 1 f'" d.v TT d dx n ^ formules, riui dounent eiicore i;our » = - : ƒ Cos. qx - =l/ — , ƒ Sin. qx -~~- =i/-~. (T.224, N° 4, 5). ' ' '^ 2 / ^ l/.« 2] . . (11 [196] Les intógmles (1179) et (IISO) poiir '/ = 1 se tvouvent (T. 97, N\ 13, 11). Jlultiplioas /pn fp^\ !p^\ /öM oiicoie (1177) et (1178) \>nr Cos. { —] et Sin.. — 1 oii par — Sin. [--] et Cos.l ] respectivement, U / \ '/ / \ 7 / \f/ I la soumie des résiillats dous tbuniit : ƒ Cos.iqx-' ±2px)Jx = jCcs. f '-j +&■«.( ^'jj -y ^ (1183) o j Sin.{,ix-^±2p.,:)dx = icos.(—\ — Sin.r'A'^ ! l-^ :7 (1^^*) o Sépiiioiis les signes doubles, et prenous la sounue et Ia diffjrence des intégvales aualogues, il vicnt: j''sin.{ /^ (,,)(/., _ ^---- / e-7yyP-'c/y / Cos. .ry,/(,.) c/.r, (\V) rt !) a /b (q xi)~P ((> -\- xi]~P 1 f" f^ "^ 2i /■W^-^=p7^ ƒ «-?^r-''^y / -S^^-r;/./, W ^.r (XVI) a Ou Soit a, present a= O, b = ic , /(,?■) = c— '^ Cos. r,?; et ƒ, {.v) = e-«^ Sin. r-.r, et nominons les intégrales correspondantes I, et I^- Leur combinaisou par voie d'additiou et de soustraction donnera lieu ii 1'équa- 1 /■* f" tion unique, plus facile ii traiter : I , ± I j == I e~-l!/ yP-^ dij I [Cos. x[j.f{x) ± Sin. x'j-fi (j)} dx = o o ir"/"" 1 /•'* s T{p)J J T{p)J s'+iyzpr)^ o o o Méth. 4, N\ 11. Maintenant séparoiis de nouveau les intégrales T, et T,, iious aurons: TT r - > - j [197] Car siibstituoiis dans rintéirral(! du N'. 4 pi pour ;y, nlors: - e~P'i' = I dx = q j n1 J- ..2 /"" e?'^ i/a r* e-/« (y_,i)-p_(g+,,,-)-p J (Jos.rxdx = e~'J' rP—', I oin.r.vdx = •ƒ 2 Tip) f 1i 'O "o = e—l''rP—K (T. 213, N'. 12, 11). Pour p = l ces formules dounent de nouveau les 2r(p) intégrales connues (ï. 205, N°. 5, 6). [199]. Pour p = ï« prenons -^^.)-K..-i)j! •<'-. o ri^/.+^^)co,],.^.-ijj'^,.(,2ü«),=o^rv.-p'-;;j««.l.{.-i)if.p»o].(.soi) •o, n [200] Dans les intcgrahs (ll'.ilj), (11'.)?), oii peut divisci- la foiicliou h intc'grer en deux parties, et preudvc x = - dans la seconde, ou ainsi la fonction deviendva la mcuie que dans la première, niais prise entre les limitcs O et 1. Par consL-qnent : o f» Pase 41^;. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFiNlES. III. W'. 18. N'. 9. !i. Mais OU peut aussi cliaiigcr les aujipositions f{x) et ƒ, (.i-) du N". precedent daus les formules (XV) et (XVI). Soient alors les intégrales correspoudantes I, et I^, et combinoiis-les par voie d'nddition et de soustraction afin d'obteiiir une seule integrale, plus f'aciie u traiisformer; nous obtiendrons: I3 ± I, = - / e~1!iyP—^dy f {Coit..ry.f\{x)±S{ii.Ti/.f{x)]d,e = r (P) / J o o 1 /•* /•* ir r± V = f e-9!/ ijr—^dy f e-'^^ S{n.{rx ± xij)dij ■■= I «-97 ?//• — ' c/y - - - " . A pirsent r{p) J - J • r{p) J • s-+{r±,jy' o (I o nous pounons séparer de nouveau les deux intégrales Ij et I4 pour acquérir : ' j 2 2r(p)lj ,-^+(r+^)^ •'^/ .■^+(r-y)'- ^J'^' o o 'o ' / 3i 2r(p))j .^-+(r+y)' '^ j ,. +(^_y)2 ^j ^^ o o o Supposons dans ces intégrales, cömmc au N'. precedent, s zéro, il vient : r (g-ar»)-P + (g + .«•)-?' 1 f f" g-9:'/ /^-' % , T e " ^^ ƒ'-' %j . . I Siu.rxdx = l I + / f, . . . . (c) / 2 2T{p) \] r+y ^j T-y ) O 00 j Zi "'■'"' "" 2r(p) }j r+y / r-y J' " ' ' ^ ^ O n o Dans ces deux systènies de formules (a) et (i), (c) et (f/), soit encore p = 1, et par conséquent: O o 'ü ^.vd.i; 1 ( /"* e--/.'/ (r 4- //) f^c-'ivir—y) ) (;--"■ Cos. r.T = - / ^-"-^ -(/,/_ ƒ ^ -' "^dy], {f) . ("^Sin.rxdii \ 1 C^c-indn f^ e-l'l d/y) C^xCos.rxdx 1 f f"" e~9H di/ f" f '^/^qiT^" == 2 i / 7+7 ~j (^0 relations, dont on fcra usage dans la suite. Mak les intégrales au second membre des formules (g) et (/i) ont déja uté évaluées Métli. 7, N°. 12. On a donc : Page 44.7. 57 WIS- EN NATITKK. VEliH. OEI! KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. III. M''. 18. W. 9, lU. THEOKIE, PROPRIÉTÉS, FOKMULES DE TKANSFORMATION, f'" Sin. rx da: 1 , ^. , „. , f^ xCos.rxdx — 1 q^+x^ , „ ^ ^ f X Los. rx dx — 1 ^ \e.-'rEi.{qr)—eV El. [—qr)]A , = --~{er Ei.{—qr)'\-e-l'- Ei.{qr)]. J 9" "r •*•" '- (T. -205, N\ lU, 11). [201]. 10. Il résulte du rapprochemcnt des deux intt'graies identicjues du N'. 2 et 3, ou des tbiic- tions a argument imaginaire se trouvent remplacées par des fonctions réelles, que de la même maniere les théorèmes (XV) et (XVI) peuveut s'écrire comme suit: Cos.[pArctff. ^ j - iq^:v^fp^'^'^'^''-rip)} ''-'"'•'''-' ^y ] Cos.xj.f{x)dx, .... (XVIl) Sin. pArctq.— , ƒ '-(;^+.,yJ'f> w^-^' = rj/;) ƒ '-"'^''-'^^ f ^"'••''7-/. W'^^'-. . . . (xviii) Sous cette forme les théorèmes se prétent a maiiite applicatioii. Soit eu premier lieu f{x) = .c"*, a = O, 6 = oo , alors ; / X Cos. p Ardg. - Cos. z dz /•" l*^ '^ q dx 1 /•=° , , rCos.xydx 1 r f j {q-+X^y.P X^ Tip)] ■' ■' j O- V{p) ■'} O o o "^0 o Sin.lp Arctg.'-] f \ q dx i t 1 , / Sm xydx 1 / ^ ( üm.zdz j (q'+x^-)iP *- T{p)l ^1 xs T(p)l ' j oü 1'on a fait usage de la substitution xi/ = s, ce qui douiie ici i/dx = dz. puisque y est traite comme constant dans rintégration par rapport a x. Les intégrales doubles se trouveut a présent être telles, que les variables y sont séparées, c'est-k-dire que dans Tintégralc jiar rapport a y il n'y pas de s et que dans celle par rapport è, s il n'entre pas de y ; donc rintégration par rapport a z donnera uu résultat qui sera constant pour Tintégration par rapport a y : én un mot les intégrales doubles ne sont ici que les produits de deux intégrales détiiiies simples. Or, la première de ces intégra- les a été évaluée Méth. 3, N'. 7, et les suivautes ont été trouvées précédemment au N'. 6. Il en Cos. IpArctg.- résulte par conséquent: I —^- — ^ 7Ü7~^ ~ = ^ '„7^^777"' ÖTZo" T7i"~i '1^*^ — ï» dx _r{pj-s—l) {q^ 4- x'^y^P X' ~ r{p)T (S) 2qP+^-^ Cos. ^ SJl' [201] Elle a été (iéduitj autrement .Alétii. ii, N°. 2. Page 44.8. ET METHODES D'ÉVALÜATIOIN DES INTÉGRALES DÈFIIVIES. UI. W\ 18. N'. 10, 1 1. 'o 11. Supposez en second lieu dans les théorèmes (XVII) et (XVIII) f{x) = , et s^ -j- x^ .V /", (x) = , a = O, A = X , il vient : Cos.lf>Arctg.~ ^^ ^ pCos..,dx I ^ -^ =~ I e-VJyP-Uh/ I •--[2031 = o 'o "o 1 f'^ n ■"■ r^ , «(ï + ■')'' (liOi) 6ï«. 1 p.^rcif/. ƒ" \' q xdx 1 /■* [""xSinxi/dx > -^- = - - ƒ e-s> 1) / ii+x^)iP X' r(p)r(s) 2Cos.}sn^ ^ -^ " 'o ' Sin.{p Arctq. x) dx T (p -\- s — 1) n [203] Loi-squ'üH iiiirait pris ici f[x) = , on auvait a cette période de ia discussion: «•' -\-x^ /'"x" Cos. xy dx f" x" Sin. xy dx „ et ; - , inté"-rales nui sont nccessairenient infinies pour f' "> 1 ; donc leur o o eniploi par ScHl,ÖMn.f:l£ iic saurait être h'gilimc', et los intégrales, (T. 433, N'. 8 et '.»), ne valent que pour b zéro. [204] Dans la deniièrc integrale du N^. 10, prenez »• = 1, vous trouvez: f . Sh, in. lp Arcla.— 1 _\ li {q^ + x-^P X 2yP' q' dx n (1204) résultat que donnerait la fbrnuile (1203) pour .< = O, supposi^ion d'aillcurs non cxraiplc d'objection. Page 4i9. 57* III. W\ 18. N\ I 1^ 12. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Soit eiicoie plus généralement f (.v) = —~ — .- et ƒ, (x) = ^ . On a par CosApArdff.'-] les the'oièmes (XVII) et (XVIII): I > ^^ ~ = j (2'''+'^'h-p («'+.f^)«+' o o o ■'o — 2a+i ]a/i r (p)"; "^''/as-a+'i+i / ^ (''+'^)J'^''+^-"-' «'ƒ, or. daus la réductiou on a fait usage () de rintégraie de Me'th. 33, N\ 3; uiaiutenant suivant N\ 2 on trouve pour la valeur du dernier terme ^(a + „)2«/-» T {a+p-n) r{a+p) P"/" r (p) — ^ , , ^Ti^^ï» suivant (A) Melh. 3, N'. 7, Note; par conséquent: ^ Cos. {pArc'g.-\ 7 (9^+*'')''' (s'+a'^)«+i 2°+! l«)l s«+'(5+s)«+P o 2'"2(a+j3— l)'V-i \ s j ' ^ "' ^ et de uième : Stn.[pArctg.~j ^^^ ^ ^ ^^^^ ^ ^ (^^„_l)On/-i /^_^,y. ^ o (pour 7= 1, T. 4.33, N'. 15 et 14). /■" 1 —C n 12. En troisième lieu Cauchy [20ö] se sert de l'intégrale ƒ e—^y'Cof.i'^^ et f{.v) = e~J''-^, oii toujours a = O, et b= x, nous aurons : I e ^ ^ dx\/x= I Cos.2qydi; f e-iu'+P')^ xdx = ƒ i' J ^ (suivaiit Méth. / i/"./ ' ■ ./ V^ "^ } (ƒ>'-+.'/')' o 0 0 o 2 1 + 2üo l + 2»7 3, N\ 7), = ~-~ .-^^-^ne-ii"i = -^-f^ e-^Pi^^, (1208) u 1'aide de Mcth. 32, N'. 2; ƒ e -■ '^ = l Cos 2q//d» f e-if+l''.^dx = ƒ — J \/x \/nj ■ I \/nJ p 2 f" Cos. 'Zo// d// 2 TT 1 + ,/' ^/tt 2/> ;5 (T. 140, N'. y), [206], oü peur la première réductioii on a employé Métli. 1, N". 9, pour la seconde Ie N". 8 precedent. 13. Maintenant supposous dans la formule (XIX) ƒ (.r) =e— ''"^ /Sw.p.c et/ (a;) =e~''^^Cospx successi vemen t, elle nous fournit, quand on y prend eucore a = O, 6 = x : / e ^-^ 1 Sin.px — = — 1 Cos.Zqudu 1 e—(~f+'")-^'Si7i.pxdx = ICos.^^qyd;/ J [/x \/nJ J i/nj O 0 0 o Cos.lqydy lp n e-2?> P |/3r ƒ (r^ +y'-)^ +/j'-' j/tt 2p l/(r* 4"P^) (uC(?«. 2(/a + ^Si:«. 27») = = e-2< — u Sm. 2q n) =^ = e-''-l'>^{lCos:-lqa—u&m.tq et (/.. (ï. 285, N^ 7, 9). Pour r^ü celles-ci douueut : ƒ00 ^,j! ^ TT /■* _'' e r- Sin. [px"^) dx = - e~i^'^i' {Cos. {q \/ lp) + Sin. (// \/ 2/j)) V ,f ^ \ « ^' ^°^- (P*"') '^^ = o "^ "o 1 / . -" = _ g-?l 2p ^Cos. [q 1/ 2/)) — Sin. [q )/ 2p)} l/ ^ - , ('L'- 285, N'. 3, 4) — et pour 7=0: •o "" (T. 280, N°. 23, 24), que l'on déduira autrement Méth. 2G, N°. 2. [208] Voyez Cauchy, Journal de l'lÓcole Polytechuique, Cali. 27, p. U7. l'avtit; I, § 5, p. 188, 189. [209] Une autre déduction se trouve Méth. 36, N". (>. Pa"e 452. cas ET METHODES ü'ÈVALUATIOiN DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. iW'. 18. INM5- sera piéférable. Pour y paiveiiir, écrivoiis la inêtne integrale de Méth. 10, N'. 4 aiiisi : / Sin- rxy e-.'' = Arcta.rx, il'oü résulte Ie théorème: i 'J j Arcl(/.ra:.f{.T)d.t: =1 e^!/ j Su>.rj;y.f{.i-)diV (XXl) 'a O - e^rq-i);, _ e-lrq+iy n ;", dy ,71 r dy = -e-V'i I - d!j — ~e-i"i l e'"i-^) -^ -\- — cfi l d-C-ï+O -"^ = ■iq J y H ] y 47 ; y o > I'. OU Ton a substitué Tintégrale du N'. 5. 11 semble évident que cette valeur devient discontinue pour Ie cas de rq == 1 ; néaumoins nous réussirons ü en trouver Texpression finie par une autre rcductiou. Or, reprenons la discussion précédente ;i la formule (a), qui ne se ressent pas eucore de cette valeur 1 particuliere )■ = -; et nous aurons : 'i [310] Car au moyen de la siibstit ilion dr lx =-- ^/, o\ a: ,'"e±<>^dx ("el/dy j ^ = -n.(±a/0 (1211) j ^ J y a ±al/ , Page 453. ni. M"*". 18. N'. ir», 10. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Arcig. - . '--'---- = 7 e-Pi f - "^ [e!/ — e-.'/) + — [cPI — e- Pi) ƒ ^ e-'J = TT fPldy n ["^e-^Vdij n f' e-^'J dy n fP'J di/ n f e-'^V du 4'/ j y H j y iq j y 4.7 / ,v ^ 4y / ,/ O Ü pq -1 ,;,, —~~c-P<} I '+~ e-Pi I ~ = ~ e-Pilpq-- ePlEi.{-Zpq) + -' c-P9 / -^— / "\. " ü "o . o La diflëreiice des deux dernières iiitégrales 11e peut s'évaluer que taut que les limites sont égales; substituez doiic dans ravaiit-dernière, aux limites O, et 1 ;/ = —- — , d 'ou - = — ' , 1 4- .r y .T (1 + x) 11- , • , T,,.^ ■ /^l dij e— % c/mi avec les liinites O et 30 cie u; u vient ijour la dilieience en ciuestion : ƒ j — -) = ^ / 'y(i+y) y i o = / ( , — e-2y) \ intéffiiile doiit la valeur est A + Z2, suivant Métli. 27, N". 7. Par V + >J y o couséqueut il est : / Arclg. = — e-Pl (A + l 2pq) — — ePI Ei. (— 2pq). (T. 431, N°. 5). ' '? ?^ "i" ^' ■i? *? 'o xCos.px /"* xCos.pxdx Pour la substitutiou /(a;) 1= , a = O et 6 = er , ou a : I Ardg.rx = x^ -{-q"^ f q^-\-x^ o r°° ^y ['" •'üCos.px.Sin.rxy , ,f/ , t.,o „ = I e~y - \ -^ dx. lei de meme la Meth. 9, JN . 17, uous apprend que Ion / y ] 7* + ^''■ o o p p doit diviser la dista?ice O a y: des limites de x en deux parties de O :\ - et de - a x ; toute r r réduetioii et substitutiou faite, ou acquiert : f" xCon.pxdx TTfl f'ir—lY ^.Irq—l \ „. / rq-\-l \] ,^,„, ^^,„, fAr,rj.rx. ^^^^ =-• ^ e-P.l[L^^ ) -c-;.E. j-^--, )-..£.(— ^-7--,)} . (T.431,N^6). 'o Par la même laison que précédemment, il faut recourir a uii changement dans la discussion pour Ie cas de r.y = 1 ; alors il vient : rArcfg.-^^^^^^^^ = --e-P9{A-\-l-Zpq)--ePiEi.{~2pq). (ï. 431, N°. 7). 1 q q"^ -\- X- 4 4 (I 16. Pour la cinquièmc et dernière application C.vuchy [211] fait usage des intégrales [211] Yoyez Caucuy, Journal, de n'xole Polyt. Cab. 27, p. U7. l'artiu I. § G, p. 189—196. Pacre 454. Eï METHODES D'ÉVALUATION DES LXTÉGRALES DÉFINIES. III. M'*^ 18. N'. iQ, 17. I (/» = — /.,; et A 4" / «~''^ — "' = — 1^1!, dont la premiere a ete deduite J y ' } \ 1 + .'// .'/ o o Métl). i', N\ -l-l et dont la deniière sera trouvée Métli. 27, N'. 7; il obtient aiiisi: „ On O ' a et i''f[x)l-^clc = A l''fi.c)chc+ C'^' /''«-'/.■/■(,,) f/,«- ƒ ^Ty'JJ.-,^ [Vg^V-ï-. • • (XXIII) II 'n "o "n O ' "(1 Mais iious iie Ie suivrons pas dans ses considératioiis, qtii iie donnent lieu qu'u des équations de relatioii. Observoiis seuleinent qu'il faut être prudent dans la réduction de ces formules, puisque ce nVst que la ditlerence de ces intégralcs qui ait une valeur dt'terminée, tandis qu'elles sont infinies, prises scparénient: entre autres on ne doit pas perdre de vue ce qui a été dit au sujet de telles intcgrales Méili. 9, N". 21. 17. Cette même observation vaut encore dans Ie cas, oi'i Ton vcitt employer Piiitégrale Z"" CoK. 7/ — Cos r.vi/ ^ , Ir.v = I '■ '-- ilii, evalnee N'. 5, qui nous doniie; i ' j"lir.rmr)cl.=j^'^^ ƒ ƒ (.) c7.. - ƒ ^ ^ fco.r.,.fi.^cl.r. . . . (XXIV) a O ' 'a O 'n Cos. px , Prenons dans cette formule fix) = , il vieut pour a = O et 6 = x : ƒ=" Cos.pxdx t'^Cos.ydy rCos.pxdx f'^dy f"^ Con.rxij.Cox pxdx '?'+.^-'^ ^ I y " I V+^~ I 7/ 1'+-^' (I o 'o 0 0 La première integrale par rapport a .r dans Ie secoud membre a été doniiée au N\ S, la seconde Méth. 9, N". 17; mais celle-ci nous oblige a distinguer les cas de p plus grand ou plus petit que ry, d'oii il resulte que la distance des limites O et oo de y dans cette dernière integrale doit être divisée en deux ))arties, dont Tune va de O a. - et l'autre de - a -k ; ainsi il ii'y aura [ilus r r aucune incertitude sur la valeur de l'intégrale relative a x, quil faut employer; et l'on trouve: /•°° Cos.pxdx ["^Cos.ydyn c'idtj n r <'J ^ r«„ ' »„ _l_ ™ ƒ l r.r = / — ^-^ — e-Pi— I -^ — e-P1 [e/IH + e-^«'/ — ƒ -' — e''"!!/ .e'"' + e-Pi) = o l) ■() P 4? / y 4.; ] y ^ ^ J V ^1 ƒ V o o '' - Page -i.jö. * 58 WIS- EN NATl'l'UK. VKllII. DEIt KOKIXKL. AKADEMIE. HEET. VIH. 111. M''". '18. N'. 17 — lU. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Cette réduclion a pour but de pouvoir combiuer les deux premières iutégrales aux limites 0 et oc, qui sont iiifiuies séparémeiit et doiit la différence suivaiit Ie N\ 5 a jiour valeur 21 qr [212], tandis que les deux deriiières out été trouvées forin. (1211). Donc: /■°° , Cos. px dx n 1 ^ ('"'^) ^, 1 ., = — {le-rilqr — e-Pi Ei. {pq) + el"l Ei. {—pq)}. (T. 417, N°. 6). De la uiême mauière, par les inêmcs distinctioiis et les mênies réductinns et avec les iiiêmes précautions on ohtieiit ,,. , , , /"" xSin.pxd.v TT , liiitegrale aualogue: ƒ i{rx) — :^--^ ~- = - [2e-P'Jlqr — e-r est l)!us petit OU ])liis grand que nj, de sorte ijne pour l'iiitégrale par rapport a ,!,, il faut diviser la distance des limites Ü a x en deux parties, de O u - cl de - a or . Dès-lors on trouve: [21:;] Car iki Nr. cité il suil (jue l'on ;i ausr^i d'apr^s (1174) f{ O [;213] Yoyez sur urn- autre tk'duction .Méth. 42, M". 2. [214] Elle a dïj» été déduitfi Métli. 5, X°. 5. Ppm 4.56. 2Cos.qx eP^'A-e-vA n —■— —■ W/x = 21- n2!2) X X ] q ET METHODES D'ÉVALU VTlOiV DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. i\P. 18. N'. 19, 20. o o '1 11 "o 'n 1 Dans Ie sficoiid membre les deux premiures iatégrales soiit infinies; ])ouf en évaluer la différeiice il faut les rameiier aux meines limitcs, et comme oii a vu au N'. 15 riue l ~^ -= I '■ . Ju / a'll+.r)' o (1 011 trouve ici : ƒ"" Sin pxdx n f'^ I 1 \ diJ n p n 1 n\ o b f^fl — y^-^ \dt/ 2(1. Comme on trouve Metli. 2S, N'. 12 : / —--•--- -f- l—.c] / -= lT{.v).\\ s'cnsuit Ie tlie'oième j \ ^—y Ik o r/(,«)/r(.,Orf,r = /'^L |'''(i_2/.-,-.)/(,.)j,,4. |'^|/ l\\-.r)f{x)d.f (XXV) a o 'a o « Soit par exeinple ƒ (.e) = Sin.ia-jd; alors pour a = O, 6 = 1 il vient: ƒ >S7/(. 2a tt,!'. Z T (.;•) (7a' = o /•if/y /"'f/ 1 \ 1 1 = ƒ T" I I ; +1] Sin.2an,v — xSm.2anx — i,'^-^ Sin.Zanx Idx. Mais suivant j k] ^V-y I i-y J o o Méth. 1, N". 12, on a: j üln. 2a 7t.v dx ^ O, (T. 95, N\ Sj ; d'apics Metli. 12, N\ 4.: o /■i 1 I xSin. 2aTixdx = — , (1214) ƒ Zan ^ ' •'n et par Méth. 3, W. 'J : ƒ' 1 o- , r' r,. f , 1 . 1 iiSin.p.lti'-\- p(l — II) Cos. p if-^ Sm.pxdx = / u-=Sin. {p{\ — s ) dz = ' J^' ^ Il L (1215) r ^'' '^ y p^^-[hy ^ o o /■' , o 2a;r 1— 7 dou: ƒ ii^~^ Sm.laTTxdx = '^ : (1216) j ' il ^a-'n^-^[Ujy (I I» 'o o (T. 212, N". l), comme on déiUiit d'uiie autrc maniere Métli. 4+, N', 3; car la première de ces intégvalcs est /l ou zéro, suivant Ie N". 5 precedent, et la seconde est — A, suivant Méth. 1, N". 32. IVe 457. 58* Hl. M^\ 18. >i\ 20 — 22. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, /•' /"'(/.vl 1 -^a^- 1 l flonc en substituant tous ces resultats: / Sin.-Za7T.i\LT(.c)dx=l -—8 — 1 = 'o "o 1 /•"/ l \dz 1 = — ƒ e— 2rtT^ — \ — (pai- la substitutioti de lif = ■ — 'Iuttz), = (A + / '2i(7r), 2a7t J \ J -\-z'' j z ' Zaïi o (T. 4i4, N^ 3), suivant Métli. -27, W. 7. [216]. fl Si», qx fl ^ Sin. -^ 9.1- 21. Puisqu il est: ƒ Cos.xydij = et ƒ Sin.lxjih/ = , daprès Méth. 1, o o N'. 1 2, OU a les tliéorèmes : / &«. 5«. ƒ(.,•)— = ƒ d:j j Cos.x ] , "o j e-^li.{c-'-).Cos.pxdx = -'^~^i-p7i-{-lp]. (T. 442, N°. 6 et 7). o 23. Nous pourrous aisément reudre les théorèmes (XXVIII) et (XXTX) plus généraux, lorsque dans Ie premier nous prenons e— (9+')^/(ar) et dans Ie dernier e~(ï~')^/(») au lieu de f {on); ainsi on acquiert : l e-i'=li.{e-%fix)dx^— j --f^ j e-(y^'/^^>f(x)dj; (XXX) (1 'o "ii I e-i^.li.{e^).f(x)dx^ f - — ^— f e-i.'/+.'c/'-iJj- = r(p) / -^ T"' y 1-!/; y (1— y)(!/'+7— 1/ o o o l) n[\ ^)»— 1 r(i — r)rM -n de la formule B, Notc 43 dans la mème MAhodc: / ^ d.t= ----^' = — ,(T.4,N\6), ] .V'- r(l) Sm.rn comme on dcduit aussi Méth. 22, N'. 12. ƒ1 iJx P dy 2 \/x[\+qx) J \/ii+qij') \/p o O (T. 15, N°. 10), d'après iMétli. l, N'. S. — Dans l'intégralc du tcxte mettcz eiieore .c ^= ;/* et il vient: re-i^"-li[e-^')dx ^ — l{\/q±i/{\ +q)].y/^. (T. 300, N'. 4). o [220] Car pour x = y- ou a par formule (53): r '^-^ = 2 f' ^-^ = — Arcsin.h/q) (1219) O 'o Lorsr|ue daus l'intégnile du tcxte on pvend x^=y^, on obticnt encorc : ^ei':"-ii.(e--'°-)dx = —Arcs{n.{[/q\[/-. (T. 300, N'. .■)). 9 Pa^e 460. Eï METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. .M''^ 18. JN\ 25, 24. OU maintenant il ('aut que 1- Pour 7 = 1 011 trouve : 1 e~ ^li.{e^].,vP~^ clv= T{i>) f ~ — = J J (1—:/)^ y}yp o rip)rr.Cot.j>n. [221]. (T. 402, W. 1). Pour p = 1 il vient: ) !'' S»i.»vy • p Cos.rxij ƒ c-?-'^/(.(e-^)t/.f = r(l) / -^-^ ■ =- '(-/— 1), (cPaprès Méth. 9, N°. 23). . (1221 / / (J— //)(y+? — 1) 9 o o [^ Sin. r XII ■ p Cos.rxii 2-4. Au moyeii des déÜnitioiis ƒ ch/ = Si.{rx) ei ƒ ^ f/y = (7ï.(r.i'),(T.254,ISfM), } j ' I y OU obtieut entiu les tlit'orèmcs : rSi.{r.r).f{x)cl.v= j ^ j f(.v)Sin.r.ry dr, (XXXIJ) ■ Il "o ' 'a j'ci.{rx).fix)Jx = — I ~- j'fi.e)Cos.rx!/d.c (XXXIII) '« 1 (i Sin px Pour en tlonner une application, soit dans la première ƒ (.r) = — ~\ il vieut alors pour a = O, ƒ■* Sin. px dx p du ƒ""" Sin. vxy. Sin. pxdx ^ . , ,,,... Si.{rx\- — - — — ^r =1 — ƒ ~ ; . La derniere iiitej^vale a ete deduite ^ ' q^ —x^ ] y ] q^ —x^ o o o sous (499), et ditfère de valeur selou que rij est jjIus petit ou plus grand que p. Lorsque p est plus grand que r, Ie dernier cas ne peut avoir lieu et Ton a tout de suite : /•" Sin, pxdx f^d//-~n —71 pdijSin.qri/ I Si. {rx) — = / - " " Cos.pq. Sin. qrj/ = "I— Cos. pq. f - = J q^ — x' } jj 27 27 j y 0 0 o = — ^Cos.pq.Si.{qr) , p'yr (1222) Quaud au contraire p est plus petit que r, il faut diviser la distance des limites O et 1 de y P en deux parties de O u - e r ployer. Dès-lors 011 trouve: en deux parties de O u - et de - a 1, afin qu'il n'y ait aucuiie incertitude sur la valeur a era [221] Car rintt'grale de Mc'tii. 23. N'. 11 duiiiic pour ;>= 1, 7 = 1 — c: f . 11 ^ ^Col. ((1 — r)7i) = —nCol.rn (1220) Pa-e 4(5 1. lil. M''. 18. N'. 24. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRA]VSFORMATIO^, /"" Sin.pxc/x l'dii — TT r' '''/ — ^ 1 ƒ biJrx) r= I ~^ Cos.iyi.Siu. orii 4- } ' Siu.)>Q.Cos.gru = — — Cos 2q f'-Sin.qri/ d;/ n { f" Cos.or'/ J'/ f" Cos. qrii di/\ --Cospr,.Si{pq)-^~Si„.pr,.{Ci(pq)-CL(qr)},q^r (1223) Soit eiicore clans Ie tlit'nrèine (XXXIII) : f {.v) = ~ - , a := O, 6 = m , alors il est: 17'^ — X- ƒ"" Cos.pxdx C^d/j f" Cos.pw. Cos.rx'j ^'- (''•'■) ^r. T = — I ~^ I :; <^l'V- T.a dernièrc iutferale, dédnite (498), 9 — '^ ./ .'/ / q- — .c' o 1 o a une valeur dillerciite suivant (lue p est plus grand ou plus petit que ?'.'/. Ce n'est que Ie dernier cas qui a lieu iorsque p est plus pctii que r, donc: /■* Cos.pxdx rdy n n irSln.qrydn (^ Sin.qr>jdy\ \ Cl.{l\i:)— - = —j ~ ~ Cos pq.Sm.qr'/ = ~ Cos.prill — / } = - :fOos.pq. |-_67.(.;,-)J ,;>.p'j.{Ci{qr)—Ci.{pq}}—~Cos.pq..-^~&i{pqV , p > r (1225) 4,(J ivQ [ f^ } Pane 462. KT METHODES DÉVALÜATION DES IIVTÉGRALES DÉFINIES. UI. M'*'. 19. N'. i. ^ 2. MKTIlnliK l!(, KMl'LÜI Dli I-A FORMULE UE UERTRAND ET PE QUELQUES AUTRES 1'ORMULES ANALOGÜES. 1. Pour faire en i)reirnor lieu uiie application de la foimule de Bkrtrand, nous commencerous par celle, qui a donné lieu u ce théorème [222]. A eet eflet soit dans la formule mentioiuiée T, fP fP fP i fPd.¥Lx,n) ) in^Qx) N'. 39, form. 74; ƒ ¥{Q,.r)d.v=l ¥{w,x)(}.v+ l dg \ — y-^/p ,F((,>,.r)= -^~^ ; J JU ^^'*-' ^^=P 1+*" a a na' n o On ^^P Or, on a [22o]: j ^ ^^. j^^. = " -^^^ + i T+7.^ + ^j^^^^^^'H-P' - ^^ o devieut nour.r^»: T" + ,~ : — ' AvcUlv; et i>ar suite i! vicnt : / — rf^ = ' 2 1 +p- 1 +/)- '^ / 1 + X* o = I (/,(■ I ''/'+/ Ardq.p ==/ d.c — -1 dp + j l+.r^ 2/ 1+/,-^ '^1 ''^l+r' f 1+.1- 2j l+p-^ '^ (I 'd (I o u 1 I'' i P' ^P , . , -\ — Ardg.2).l{l + P')r ƒ H^-\-P') — ; — T' lorsquon applique rintégration par parties 2 I 2 ƒ 1 -\- p- i' o au dernier terme dans l'avant-deruier membre. Or, dans Ie dernier membre les trois inté- grales se détruisent et Ie terme intégré s'évanouit pour la iimite inférieure O de p, donc: •pUl -l. px) 1 dx = ~ Arctg.p.l{\ -\- p^). (T. 18S, N'. 15). Supposons p = \/q, px = 7/, il vient: r^ + x' I ■lin+a;)dj; 1 ^_^ = - - Arctg (i/,/).Z(l +^), (1236) [222] On pomvii coiisiilter Bertkand, Joiininl de LiouviUc, T. 8, p. 110 et Grunert, Gninerts Arcliiv, T?d. 4, S. 113. \ p — .V .V . p [223] ruisque: , ,^ ,-^-1 = /, , , ^ m ,":; + VT^Tivrm^; + ; 1+^2 l^p^ (l+,,2)(,+p.,.) (l+^l)(l+p2) (l^.,.,)(l+p2y Page 4Ü3. 59 WIS- EN NATURK. VEli H. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. lil, M'^'. 19. N'. i, ± ÏHÉORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, [224]. et pour q = l: / -\Z.j2 =s^"- (T. 160, W. ?.}. o l{l—Qj;] , , , 2. Soit au contraire F(p,.r) = —, alors Ie tiieoreine nous donue, pour Q = p: 1 -j- iB" I Hl Pf)__^ I _i -^d.,:-\- dp \ — ^dp\ . Mais il est [2251: o o 0 0 rp 1 —pdp l{l-p.v) , .c 1/(1+/'^) , w. 1 I ^ = ■+■ - Arcfg. p ;-- ■ chanffez-y x en /) et substituez, alors : j i^pii—p^^ 14-^.2 ^l+a;-' ^' 2 l+:r' ' ° ^ ' o o o o 0 0 OU, d'api'cs la valeur de la dernière integrale, trouvée au numero precedent, après quelques réductions: [pU\ — nx)dx fPin—x''} fPlil+x-) 1, , , ,, „ . ^ / — -- — - — = 2 ƒ -— - — ~ dx— I -—- -^dx + -Arcty.p.l(l +]>-), don de nouveau: ƒ 1 -\- x^ J 1 -\- x^ J l+x^ 2 o 0 0 fP (l—px)(l4-x^) dx l , , / ^ n \Z 7-J-~,=-^Arctg.p.l(l+p^) (1229) J (1 — x^)^ 1 -|- «^ 2 o Ajoutez-y la première integrale du N". precedent alors : [224] Déja dcdiiitc Mi-tli. 9, N°. 5. — On peut aj;ir encoro de la maniere suivante. 11 est: /■i X dx /"> dx f — p pq'- + x] 1 ( 11 l+q'-i / 1+pxq^+x^ J \+p^q^[l-\-px '2^-\-x^) l+p'q-[ q 2 q- ) o o Multiplions de part el d'autre par dj) et intégrons par rapport a ji entre les limites O et 1, il vient: ƒ — n~r =" ~ I Tir^2~2^p+v ^'''^'^- r • ^(' +'? + v^ — r~- ^'"'•^s'-'/. J q^+'-e^ J ^+p^q^ 2? \gi 29 9' o o d'oi'i en rasseniblant les intcgrales sous un luême signe: ƒ' 1 + x^ dx 1 in ) ^(l+-^')-7^, , . .^TTTTTx \-li^+'j')-ZArcty.q.lql. . (1228) '7'+.i'' 1 + ? -i 29(1+7^) 12 j ceüe-ei, pour q =], donne de nouveau T. 160, N". 2. [225] Suivant la relation de Note 223 pour un /) négatit". Page 464. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. III. M''^ 19. N'. '2, ö. |W(l-p-.-)(L+^-) ^ ^ ^.,,,.,,(1 +,,,. t22.>] (1230) o Par lil substitutiou de. j/' = 7 et de px = y on obtieiit encore: [q — x'y q + x- 2 l/g 5- ? (l_j.i)(,,_L-^2) (f.u 1 1 +r/ (r/_.r2ji 7 + ^- l/f/ 7 3. Passous :\ la fonmilc I, 75 / f{x)..i{x)dx=f{K) j ,,(i-) dr -ƒ(/•) ƒ ,, (.r)rf.r- / dw-^ / (jp (^) (7.« 1 f^ xdx et substituoiis-v /(.i-) = Ardg x, (/ (.ï) = ~ — -, r = O, E, = /), alors ; i — p- x' ƒ1' xdx P' xdx /"O xdx [f 1 p' ArclQ.x- ■ == Arc'qJp). ƒ — Arctq.(o).j ; — - — f dx — —- - f - o a 'a "(I a ■'^"i/-^/ 2^2 l-a2p2^2/.2/ l+.r--' l-p2«2 2p2 -"^ l_p4 2^2^ ^ 1^ 1+,t2^ "o "o 1 Ci'l{l—p^x'^]dx 1 , l-a2p2 1 o -s . , ,1 /•/'^(l— p2j:2)^.^ ^ 22,2J 14-^2 2p2 -^^ i_p4 2p2 ^ ' ^ 2pV 1+''^' OU il est évident que la constante a, qui semble se trouver dans la formule T, 75 d'une raanière entièrement arbitraire, s'évanouira d'elle-même, puisque les deux i)remiers termes du second membre donuent — Arctg.p.l{\ — p^). Mais comme la dernière integrale 11'est pas coiinue, ce n'est 2p^ pas ainsi qu'on peut trouver la première. [226] Pour ji =-- 1 ces ronmiles donnent ; /' 1 + X- dx n , /-l ƒ l -' =-l2, . . . L231), ƒ j {{-\.x)(l-x')l+x^ 8 J 1+^'' ^^ "- '■^"- /■'/L±f.^._if_=ü/2.,...(1232) I — .r^ 1+x^ 4 la combiiuiison de ceile dernière iiitrgruic avec; la dtrnière du N'. 1, founiit encoro ƒ ^ \ + x"^ dx Sti l -^ = — /2 1238) i—xi+x'^S Pase 465. 59^ 111. W'. 19. iN\ 4, 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRAJNSFORMATIOiN, 4. Poiir une autre application de 1, 75 soit f{x) = Ai-csin. -, q.' {.t) = *•''—', ?■ = O, R = /;, alors: /Arcsin f -\..i''~'t^.f = ^J'mw.(-V ƒ a-'-'-'J* — i4rcaj«.(- l. 1 .v''—^dx — / dic ƒ j;''— ' t/.^■ = Ui Uii w; i i/(p^-^')/ o "^a a O a 1 ƒ''' C?iC , , T , , 1 /> ,f*t/.r ■ 1 TT 26 ^'^ lei encore la constante a s'élimine déja; en outre la Métii. o, N'. -3, nous apprend qu'il faut distinguer ici entre b pair et impair. On trouve ainsi séparément : ^..rc.in.(fy.2i-lc/.. = J;>2*(i-^^) (1^36) o fP f.ü\ , 1 , /TT 2*/2\ ƒ Arcsi7i. -\..v^l'iLv = -; »26+i (1237) o Peur p = 1 OU a T. 256, N'. 2, 3. 5. Enfin pour rapplication de la formule I, 65*: x.-lrcsin.l- ;i.|- ƒ» fP /•R(i.^(o,.^■) ffi dR (P d,j lp 7- l) r ^ O O ƒP /a'\ artZ:» fl' tP x dx (Pp Arcsin. l Arcsin.\ -1 = I Jp I T ~~r7~l T + 1 ^~ dp—0^ o 0 0 O fP Ai'csin.p 1 71 ,T , ] = ƒ '^Pi77ïirpï)~2 2^^~^'^ ^'^^^^ ^ -- /(l-;>^) + -(^mm.p)^ . . . (1240) o [227] C.1V la substitntioii de p^ — x^ ==^^ donne: 0 0 *^ Ardg.i -] = Arcshi.p; . (1238) '■' .vdx 'o Page 466. d'oü encore pour ;j = 1 : I = x (1239) ET METHODES D'ÉVALUATIOiS DES INTÉGRALES DÉFIMI^S. Hl. M""". 19, "20. iN'. 5, 1. Pour p = l OU tiouve: ƒ1 aidx Afi-.ain. x — = Ji (12ï 1) § 3. MiÓTHODK 20. EMPLOI DE FORMULES WE TRANSFOHMATION. /■'" dx 1. Pour l'iutégrale / Sin.px.Si.{rx) ^ — ^ il faut prendre les théorèmes II, 261 et 263 •'o et y supposer it = O, c = r, f [x] ^: - , de sorte qu'ou ue peut jamais avoir />q '*q -iq (/><_r). (T. 435, W. 3 eu 4). Pour les mêmes suppositious ou trouve a. l'aide des formules II, 2ö4, 26S: ('^ xdx n /''■ dl/ Tl ƒ Cos. px. bi. (rx) — — — - = - e-/"? / (e-ïy^evy) — = - e— /^ï | Ei. (— ^r) — £i. (qr)] , (p > r); = n /'■ rfi/ TT /■'■ , ^dii n f' ipdii tt /'s 4 ] y hj y ij p^—'J^ 4/ p+y = -{ePQ+e-Pl) Ei.(—qr) — '-{cPl Ei.i—pq) + e-P c) et pour /(.f) ^ -; il vieut: ƒ* da; n f^ dii n ^ Cos. p.v. CL irx) := — — [eVI + e-Pl) ƒ e-i'J — = — (c?^? + e-?^ï) Ei. ( — jr), (p< r) ; = o r -[-e-Pi) l e-l!/~—~ I {ei!'-pyi — e(r—y)9]~ = —{cPi-\-e-Pi)Ei.{ — qr) — J y H j y 4f/ /• r — -^ Té-/'? [Ei. ipq) — £/. ('^r)} - ePI [Ei.{--pq) — Ei.{— qr)] ] = ^ cPï Ei. {—pq) + = — — (e/»? + e—i 4j + — c-Pïf£i.(— 7r) + £L(9r) — £i.(p9)}, (r2 ■" Zq fci.{Ta;)-=—^fEi.[-qT) (1244) o Lorsqu'011 garde les mêmes substitutious, mais que Tou fait usage des thuorèmes IT, 270, 273, OU aequiert: ƒ Sin. p.v. Cl. (rx) -^-^^ = — - {e-P'J — ePi) ƒ e-ï.'/— = ^ {e-P1 — cP?) £'2. (— 7»'), (p < r) ; =: y 5- +.7;- 4 J y 4- = _- (e-P9_eP?) / e-'y.'/ "^ / (e(j'-P;7+e(P-i')?)- — - / e-l'J ^-^ c-2p7 \{V~e-iy)^^^ ^ f y 'ij y "^J p''—y '• J r+y r r O — £ = !1(é-P'/ _eP7) £?. (_ qr) — - fc-P-? [Ei. {pq) — £*/. (7c)) + ,'Pï {£i. (— 7?2) — Ei. (— r/r)) ] = 4 4 "■ = _Ü ePi Ei. (— ö-?) + - e~P'i [Ei. (— ^r) + EL {qr) — J?i. {pq)} , (r < /-]. (T. 435, N^ 7 et 8). 4 4 Daus Ie cas de p = r on trouve eiicore par la formule II, 272: /xd.v n f" du n ƒ•'•+=- ^ , , y ,^y Sin.r.v.Ci.{rx) = (e-qr—ev) f e—lV-- ƒ e-2pï^-e'p-.'/.?-e-iP-'/>/ — = = {c-'f — eV) EL {— qr) (1245) Paee 46 S. ET METHODES UlVAHJATlON DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M**". 20. N'. Ö, A- Cos.pA:Si.{rx) il faut employer les théoièmes II, 280, 284 pour i) 1 a = O, ü = r, f (,(•) = - ; donc: X l Cos.p.c.Si.irx) — — — - = '- Sin.pq. 1 Sln.qy - = - Sin. pq. iSL (qr), (p>r);. . (1246) j q'—.i- 2 J IJ ~ () ü ji /■'■ dy n f du n fP+^ dy n fP+^dy = - Sin.pq. l Sin. qy ƒ Cos. [q (^ _ p)) — — - Sin.pq. f Sin. qy~- — - Cos. %pq. I — = 2/ y ^J y '^ J y * J y ü /)+: p-i p-s = ^ Sitt.pq.Si.(qr) — ^[— Cos. pq. {Cl. {pq) — Ci.{qr)] + Sin. j.q. [Si. (qr) — Si. (pi)}] = = ^Sin.pq.Si.{pq)-^Cos.pq.{Ci.{qr)-Ci.{pq)},[pr); (1252) tandis que Ie théorème IT, 288 nous fouruit Ie cas spc'cial : 6ïH. 7'x. Ci. (rx) = Sin. rq. I Sin. qy — ƒ (2 Sin. rq. Sin. qy -|- Cos. 2rq) -^ = = jSin.rq.)-^—Si.(qr)^^ (1253) -=^^«» SECTJOA QUA TH IE ME. METHODES, QUI RAMÈNENT A DES SÉRIES. § 1. MKTHOÜE 21. PAR i.A U^FiNITIÜN DE ],'[XTK(iKALE DÉEJNIE. 1. Au N°. 4 de la Premièie Partie nous avoiis vu que la dcfinitioii de Tiutégrale défiuie est exprimée par la formule: f/. p-i I ƒ (.r) J.C = Lim. 5 ^ ƒ (rt -\-nd) ,pÖ = O — «, Lim. ö = 0. Fase -170. ET METHODES Ü'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. IVP. 21. N'. 1 — 4. Loisque maiuteiiant Ie terme gcuéral sous Ie sigiie de sommation est de telle uature que la série, qui en résulte, peut aisémeut être sommee, alors cette somme sera par conséquent la valeur de l'intégrale définie au premier membre; et en effet ce cas a lieu quelquefois. 2. La formule meutionnée nous donne par exemple: ƒ (f dx = Lim. ü Z 3«+"'^ = Lim. ('S {5" + 5"+'^ + ^«+2^ + • ■ • + f/'+(/'-')-^)'') = q"Um.S j = q<'l/m.8 ~ ~ ^{q"—q'')Uin. ,,. Or, pour Lim. ('5 = 0, cette limite devient -, indétermine'e, mais par les régies ordinaircs : d 1 1 /■'' q'' — g" Lim. T = Lim. ^rr = — -, et donc: J o^ dx = — (liïól) l — q'^ —q^lq Iq j ^l a ƒ'" dx V-^Sin.qnS P—^Sin.qn8 xSin.qnS n — qS Sin.qx — = Lim. o .2' = Lim. ^ = Lim. .2^ = Lim. — - — , ^ X o WO o « o « 2 o (C. P. 112), = - . [228]. (T. 191, W. 5). 4. ll{l—2qCos.x+q')dx = Um.Ö^l{l~2qCos.rt8+q-')^Um.-:^l(l—2qCos.^^+q-\ J o P o \ P j o Mais comme d'uu cóté une somme de logarithmes est Ie logarithme du produit des foiictioiis respectives, et que d'autre part Ic théorème de cotes nous apprend que (l_2o+r/2) (l—2qCos.-+qAll—2qCos.'^+qA...(l — 2qCos.- n + q-]=-—^{q^P—l), \ P l\ P I \ P I 1+9 nous pouvons protiter de cette équatioii pourvu que dans Tiiitégrale priraitive b soit n. Dès-iors on trouve: rin—2q Cos. x+q'') dx = Um.- l \ 7^('/''~l) =Lim. -^— - + Lim./ (*?2,,_i)P. j p ll+q } p l+q o Passons maintenant a la limite zéro de 8, de sorte que la limite correspoudante de p devient infinie. En premier lieu on a Lim. - l ^ = O ; mais en second lieu il faut distiugucr les cas de q p l+q [228] Déja déduite Méth. 6, N\ 5 et Méth. 17, N'. 3; voycz encore Métli. 34, N^ 2. On aurait pu agir ainsi suivant Méth. 18: /co ^^ .ro ^=0 ^x ^.o ^00 p /•« y Sin.px — = I Sin.pxdx 1 e-^v d// = j dy j e-^!i Sin. py dy = j dy ^ . , = ƒ d-Archj.'-, o 00 00 o <> dono = ^, =r^ O, OU = — -^, suivant que p soit >, =, ou < 0. (T. 194, N'. 5 a 7). — Legendre la déduit encore comme la somme des intégralcs T. 204, N^. 3 et T. 212, N". 4. Page 471. 6D WIS- EN NATUURK. VEKH. DER KONINKL. .\KADEMIE. DEEL VUL 111. M^'. 21, 22. N'. 4, 5. 1. theorie, propriétès, formules de transformation, plus petit OU plus grand que Tuuité; lorsque q est <^ 1, on a Lim. l [c/'-f' — 1)/^ = l{ — 1)" = 77 TT :=:Z1==0, et au contraire lorsque i) est plus grand que l\m\ié, Lim. l((j^P — ])l> ^him.^q^P)? -\- + LimJ(l— fy-2p)p = Lira./(^)2T-|-Z(l)o = ;(^)2T ^ 2jj;^. Paj. conse'quent il est: / l{l—2(/Cos.a; + q^)dx=Q,{q'' °=, /" ■» Cos. tix dx 2 Cos. nx = ^ ƒ Cos. nx dx = 2 , \ dx2 Sin. nx = 2 \ Sin. nx dx = — 2 , 1 1 y i « ; 1 ij 1 « et les deux résultats sont des séries convergentes. [2;32]. r XP dx r xP dx r xPdx _ "^7 l-^2xCos.}.+x-~J {l-\-x/'—'ixSin.-'yk~l {1+xf o o Ü 1 2. (l+.r) {■ZSin.[i.y^ ƒ'" xPdx ^ X" co , /'* xP+"dx 2 (3 Sin. i l)^" = 2 (2 Sin. }. X)-" ƒ . Ce develonpement est {l-i-xy o(l^-.^■)2"^ ' ' 0^ ' ' j (l+.tf«+2 ^' o o . . . ^x , permis ici, puisque est toujours moiiidre que Tunité, et que [Sin.],).)'- reste toujours plus (i + A-)- petit que l'unité. Au moyeu de l'intégrale de Méth. 'i, W. 2 et ensuite par (C. P. 85) on trouve : [232] Cette methode est souvent usitée par Legendre dans ses Exercices de Calcul Intégral et par Poissox dans son Mémoire sur les intégrales dcfinies et sur la somraation des suites dans ie Journal de 1'École Polytechnique, Cah. 16, p. 215—246; Cali. 17, p. 612—631; Cali. 18, p. 295—341; Cah. 19, p. 404—509; Cah. 20, p. 222—248. — Voyez encore Cl.u'sen, Journal von Crelle, Bd. 7, S. 309. — BoKCOMPAGNi, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74. — Diengek, Journal von Crelle, Bd. 46, S. 119. — Akndt, Gruncrt's Archiv, Th. 6, S. 434. 1'a^e 473. 60* III. yV\ '■l'-l. N\ 'i, 5. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORJIULES IJE TRANSFORMATION, j 14-2 .V Cos. % + x-' o *"" ^ -•>«« pn 12«+l/l o TT /Si'ji. » ^ = ^^ ^ • ^' <7rS p^ < 1. (T. 25, W. 5.) La couditiou pour l résulte de la série, celle pour p de Tintégrale employee; mais cette dernière était proprement ;^ <^ 1 : puisque pourtant pour un p uégatif Ie raisonnement precedent ne changerait , f'^ a;—Pdx n Sin.p^ pas, et que Ie resultat serait: ƒ — = -. n-"^i ' ^- ^^' '^''- ^)' '^ ^^^ I l -\- Zx Cos. l -\- x'' om. pn Sm. A o évident que la condition p'^ <^ 1 est légitime. [333]. ƒ' Ivdv /"' 00 ^ /■' o. ( — IV'— 1 --— = j lxdx2(-x-^r=^2{-iy' ƒ .f2'./..rfa- = ^ ;— f~, (T. 152, N^ 11), 1 +.r^ _ƒ o o / o (2n+l)'' 00 "o d'après Me'th. 33, N'. 7. Encore : f - ''''° '^' ^ f {lx)<'dxÈ {—x'')" = È {— l)» 1 x''-'' (Ix)^ dx = J !+■'-- j o o J o o o = J^ (— 1)»(— 1)« ^^ ^ (— 1)«1«/' J- ^~^'" . (T. 158, N\ 1), [234], A(l-.^■^-==-^-^-=-^- ^.^—^.^■ = -^-.- = -l-,(T. 160, N». 5), J ' X J X ] n \ n I \ n n \n'^ o o "o /■' dv /■-' dx 0= 1 /■— 1 «> {— IV' ƒ i(l+/f)— = — ƒ la—x)- = 2- ƒ x'^-Ulx = — ^^-— ^, (T. lGO,m 1), [235], 7 X j X \ n J o «^ [233] Pour .r =■- on trouv ƒ 5 2 ^ 2 { 1 )n e^+e— ^ o (2n+ 1)"+' o [335] On a déjïi obtenu ces intcgrales Métli. 4, N\ 10, oii pourtant la valeur en est donnée sous uiie forme finie. Pour 1 — c = ^/, la première donne encore T. 152, N'. 6. Page 474. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÈFINIES. III. ^^'^ 22. N\ 5, 4. / (1 _ .v)a-l ( 1 4- qaJ^Y X"- >(/.*,■= ƒ (1 — .'•)""' A-P-l d.v ^\]q'' X^" = o o = :è[]g"l (l—*)«-i *■'«+/'-' <■/.« = JE f) 5" -f , -„,(T. 1,N'. 27), (voir Métli. 4, N\ 6); o ƒ• 1 ~.r Cos. ;i — .!■«+' Cos. ((a + 1)A} -(-.i'«+2 Cos.a;L /'i <■ ■ ■ ; r-n^r> ^ ^''^' = / dx:Sx'> Cos.nl = 1 — 2,j; Cos.K -\- X- f ,) o 'o Ji ^ 1 /"' , Ji Cos- «^ = ^ Cos. lil I x"dx ^2 , (T. 7, N'. 15), o J o «+1 o /•* .t'2«Ac f" .if-'^d.v « ^ , 00 Sin. 2h Tril /"" J e^—ZCos.%nl + e-^ J Sin. Zn l , i Sin.2nl J ^Sin.2nnl l^"l> 12«/i or,Sin.2miX 1 Sin. Zn l n2«+l Siri.Znl , n2a+l ' ^ '' suivaut Méth. 3, N'. 7 ; Sin.^"+\v. e-}»- dx = I e-P^ d.c _^J ^(— l)"r""^ Sw. {(2a + 1 — 2n).x'} = o o (—1)° « /2« + l\ /"° (— 1)"4/ ■,^ /2« + l\ 2a.+ l — 2h 22« o \ « / (2a+ ] — 2«)2+pï j Sin:^<'x.e-l"dx =1 c-P-^' ^a- --^^ ^ (— 1 )« ( Cos. {(2a — 2h)a') = o o (_l)a a lZa\ r r -. (— 1/" " /2a\ » =--^-^(—1)'' \e-P':Cos.UZa~-Zn].v\dx=--—'-:E{-\y'\ ^~ .[2361.(1258) o 4. Exercices. I Il — x)P d.v ^ S a"-^ -, (T. 3, N'. 11): o ƒ' ( 1 — *)? -'•-! r (»•) r (o — f) o. r" I ^ .r'-' dx = --^-^-^-^ ^^— -p», (T. 3, N\ 10); 1-p^- T{q) or' [236] Voyez trautres expressions pour ces mumcs inU'grales Méth. 3, N'. 9. Page 475. lil. M''^ 22. N'. 4. ÏHÈOKIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES ÜE TRANSFORJIATION, ƒ1 ( 1 _ xY-r—i r (r) T(s — r) « »«/i r"/' ^ ' A-r-i rf,e = -±J^^ l^l^ ««, (T. 4, N'. 17); o /••' 1— »^r^ » (— 1)»|2 l'i/a ƒ dxi/ '^~— = 2' '—' — p2n (T. 12, N\ 14): o ƒ' Cos. A — .X — .t"»-! Cos. a?.^-.^•'« Co.?. { (a— 1 ) X] Jx «-i , tt ;; = ^ Cos. nX. {/-, l — ZxCos.X + x'' ,,l 1 ^ n /•i Sin. X — .i'«-' .Vin. aX + x" Sin. {{a—\)X\ dx «- ' n I i , ^ , i^ ^=*^ = ^SinnX.*/-, (T. 178, N'. 6, 7), / l — 2xCos.X-\-x'- 1 j ^ « ^ ' .f ■ d'après Méth. 28, N". 4; ^ ^^^-^Vt^ (1— .r)Pdr = r (« + 1).S— — -'- — q'^-iSii>. nX, l—%cjxCos.X+fjKv-t ^ ' ^^^ ' iT{p+n-\-iy o /lCos.X—nx-fj''x''Cos.{{a+l)X]+q"+hv''-^^Cos.aX " « T (h) '- '- ~' J ' \ {\—x)Pdx = T[p-\- \)2 — o»- ' Cos. nX, l — ZqxCos.X-\-q^x^ ^ ' ^^^ \ T[p-\-n+l)^ o /^ Sin.X—x'^Sin.[{a-\-l)X}+x'^-r^Sin.aX '^ Sin.nX r^ 1 — x 1 ^ Sin.nX l — 2xCos.X-{-x' '*' *~ I n+ll }—2xCos.X+x'^''^'~SiH.X j n(H + l)' ü -^ o (T. 7, N\ 17, 18, 16, 22); /■'" Cos. 27rA — e— ^ X Cos. 2n nX I ,^ , , . x^o+^dx^ l2«+i/i^ — ^^T-' (1-59) ƒ e^— 2Cos.2 7rA + e-^ i n^<^+^ •o ƒ" dr 1 ° / 2a + 1 \ TT f'" dx Sin.^"-^^p.v = --2[ (_l)»+a^ / Cos.2«H-> n.ï — - = '^ l/.r 22a y ,j j^ -^ i' 2p(2a+l— 2n) y ' j/a' = — JS" ^ 1/ . [2371. (T. 224, K\ 14, 15). 22« o \ « / 2p(2a+l— 2«) l j ^ . ; [237] Poiir x = 1/2 on a encore : f Sin.2''+i {p.v-') dx = — '— J (~""*" M (—!)«+« 1/ ^- — . . . (1260) / ^' ^ 22a-ri o\ « y 2jO(2a + l — 2m)' 'o /"c0S.2a+l(p.i-'-)Af = -1-1 /-''+ M j/ ^"^ (1261) j ^' ' 22«+i o\ n r 2/j(2a4-l — 2») PaM 470. ET METHODES D'ÉVALUAÏION DES LNTEGRALES DÉFINIES. III, >P. 22. iN°. 5. 5. Jusques :\ présent ou se trouvait léduit en général k des séries soit fiuies, soit iiifiiiies, mals il n'en est pas toujours ainsi. Par exeinple, il est au nioyen de C. P. 98 : ƒ" Sin. qx xdx /"° 1 x dx ^ ,. 1 », f"" .vSi7i.nqxdx 1 - 2p Cos. qx +p^ r^ +^ ^ j P '^H^ i ^" '*""" '"''"' ^ P 7 ^" / r^ + x'^ = o o •;) 1 00 71 71 00 71 Ve~1'' 71 1 = - ^ jo" - e-''9'- = --- .S- (pe -«'■)" = -- , = , (ï. 221, N^ Ü), oü ^r- < 1 ; condi- p 1 2 Zp 1 -Ipl—pe-v Zeir — p^ h f -^ ^ tion de la convergence de la série employee; peur )a réduction on a fait usage de Méth. 18 N". 8. [338]. ƒ2 Cos.''x.Cos.axdx 1 f^ dx 1 " / ^_ ƒ —SEl l—2pCos.2x-\-p- 2j l-2pCo,'.,i'+p- 2« o V Cos. n xdx 1 " [a\ 7t»" 2a4i o\"/7 1 — SpCos^ + pï 2«+i^ ^nj 1— p'^ 2''+i(l— p2) o W ^ o 71 /14-p\'' /•-Cos." .y. Sin, ax. Sin. 2x d.,: 1 /"^ Sin.xdx 1 " /a\ ~" 2(1— p-^) \^~/ ' j 1 — 2p Cos. 2a- + p => ^ 2 / 1— 2pCo«.^+p~2 2« "^ [n j ^"'' ""'' ^ o o 2"+' 1 \«/i 1 — ZpCos-a-'+p^* 2«+l,\«J2' 2'^+^ i Vij*^ 4p[\ 2 / \2J J' (T. 69, N". 5, G), oü la réduction a eu lieu suivant Méth. 5, N°. 6. — Les mèmes développe- /■" Sin.px xdx raents fournissent encore: / 2r Cos. px + r^ x'^ + 2(/^ .^■ï Cos. 2A + ^« xdx -^ „ 1 c- -^ ,> 1 /"* xSin.np.vd.v x" + 2q' .f2 Cos. 2X + 7« — — ■ — ^r"—^ Sin.npx = .2^r"-i ƒ x' +Zq^x^Cos.n-\-q'' , ' x j _2' r«- 1 e- ''P9 Coi.i Coscc. 2 A. S»i. [mq Sin. l) := 2 [re—Pl<^os.\yi sin. (n. pq Siti. l) ■■ 1 2^'' 2q- rSin.2/. \ 2q 2 r Sin. 21 1—2 re-PlCos.l Cos. {pq Sin. A) + r * e-^P<)Cos.y , (»'-< 1. (T. 221, W. 15). j 1 + 2p Cos 2qx + p- r' + x^ 2 ( 1 + p) c^?'" — p o Pase 477. III.1\P.22.N\5,G. THEORIE, PROPRIETÈS, FORMULES DE ÏRANSFORMA.TI0N, a l'aide de Méth. 25, N\ 5. Et de la même mauière: ƒ" Cos. px dx^ 1 /•* dx l—9,rCos.px-\-r-' a;« + Zj^ «- Cos. ZA-f-^' ~r(l— r-) / «* + 2^2 .r^ Co8.n-\-q^ ^ o "o [—l+[l+r-)Èr'>Cos.npx']='-—- —z~,-\ ^È^c-"l'^i'^''>^-''Cosec.ZLSm.a+tipgSm.h= o 4q'r[l — r^]Cosl >'(l— r-j o 2^^ 1 r 1 1 +r- 1 _ re-PlCos-'^' Cos. [pq Sin. ?.) éq^r{l — r^)l Cos.k Cos.l 1 — Zre-r^(^o'-^Cos.{pqSin. l) + r- e-2p9Cosa + l+r2 re--P'— e—Pl'^"^-'') -\- {l-\-r^) Sin.{pqSin. X — l) ~ 2q^l—r^) ^pqCos.y __ 2,. Cos. [pqSin. l) + r^ e-P. ^ 2 Sjh. (p 7 Sm. A — A) ~ 253 (l — r2 ) e/'gCos.i _ 2r Cos. [pq Sin. X) + r^ e-PiCos.l ■ ■ ■ • (1^6o) 6. D'après C. P. 109 on a: /èoTT fiar r „o 1 ) 1 ' o. 1 fi"'^ 1 dxlSinx=jd.v j— /2—^-Cos.2n.r =—-a7r/2—^-/ Cos.2)m/.« = —-a7TZ3. [239] . (1264.) U o 11 ~ Comme -^ = !^ + !I1 ^'(2» + 1)..2« [21.0], on trouve: f"JtK^_^^^__ o n fP xdx n fP xdx o. I l"l^\^ n tv .rdx o o () n^fl"l-\- p' .v^"-^^dx n TT ^ /l»/2\2 2''/2 + ï^,[2'^]^'''+'^j^7ij^x^r^J'+2^[^^^^^^^^ o TT TT ^ 1 "/2 pn co ]"r^ 1 TT r) 2' 2 1 2"'2'^ 2 ü:>"2^ 2' ^ ' '^ 2i/(l— p=) i- -■ ^ ' ■' [239] Poiir « = 1 on retrouvc les iiitégiales de Mctli. 4, ^'^ Ö. TT TT .» f 1 "/ - ) 2 ;j2« [240] Car Vekhülst, Traite de Fonctions EUipliques, \>. 131 trouve ■ E (.r) = '■ .2" l } — , 1 l .1 "^^220 h"'-i Zn—l ce qui vésulte aussi du dcvelopiiement énoncc dans Ie textc. T [241] Vouv X ^pSln.,i on acquiert : l ' -~^^~~r- Sin. ydy = -^—^ (T. 375,N'. 3). o I'acre 478. El METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIIVIES. III. ^V'. '22. i\'. 1, 8, 7. Au moyeii de C. F. 109, oii a pour /)- <^ 1 : i(l—-Zp Cos. ,-■ 4- /- - ) ,T« (^.ir = — / x" d.v 2 -2: - Cos. «.r = — 2 ^ '~ ƒ Cos. )/.r. .it« dx = o 0 0 = 2^^ -2" (2&7iV'-"' Cos. !-^^~tt] = 2 ^ a'"/-i 2è77:)«-"' Cos. ~-ï— tt l-S" -~-, I n m=o «'"+' \ ~ / '«=0 \ 2 j , w'^+a' cVaprès Tiiitégrale de Métli. o, N". S. Substituoiis eticore une autre integrale définie de Métb. 3, ] 1 f^ p''^ W. 7: = ƒ !/'"+' e-"i' t/(/ et nous aurous : / lil — •2nCos.x-\-n'^-)x"dx^ „m+2 lm + 1,1 j -J -^ j O o = 2-2' r^^-, (2i7i)«— "' Cos. j - _^ ^ • ƒ y'""^' t('/ — (pc-'/)", OU, puisque ;/' < 1, o 2/) «(a+l)"/-i ^ njT f'" y"di/ = JS" ; (2677)''-"+' Cos. — . 1 ' - , OU nous avous nris n pour w+ 1 . Mais on a : «4- 1 i 1»" ^ ' 2 j -" -' 1 1 -r ^ ^ ' •■ '-• ■ ^"+1 50_-a + l «+1 i „,=0 (« + 1)1™+'/ ei/ — p Zf'Cos.j =yn ((»)« + (_{)«} =[yin^{-yi)n^ et d'api'ès C.P.61 : ^'"Y»/i ^" = (H-^)" o o = -^-(2H«+'r-'^f(i+-^-^]"^'-i-(-^v'' +(i--^*'Y'''-i-f=^^-v^'i = a+l^ ' ] e!J-pl\ ^Unj \Un] ^\ Un] \%bn] J o = —7— / ^r(267r + (/0''+' +(2^^— 2/ï)«+'— 2 (2&7i)«+i— ("!:)«+' — (—yi)«+il, for- a-J-lye!/ — p"- " '-• mule dont on a eu bcsoin au N'. 47 de la Partie Deuxième. 8. Il y a avantage quelquefois a emplojei- les dévelüppements de fonctions complexes, et c'est ce que nous voulous démontrer par ciuelriues cxemples. Etudiotis 1 inteirrale ƒ r — ; ^ 1111 j l — pCos.x — qüin.x o que p et q y soient tous les deux imaginaires de la forme p = g -\- /". 5 ^ ^ "I" ^h et voyons en premier lieu -s'il y a des cas de discontinuité. Le dénoniinateur devient par la substitution des RoBEltTS déiluit encore cette mC-me intugralc de la quadniture de riCUiiJSc spliériciuc pur Métii. 44-; voycz Journal de LiouviUe, T. 10, p. 453. ' Page 47^. fil WIS- £N NATVI'KK. XEÜII. DER K0>U>;KI.. AKADEMIE. DEEL VIU. 111. }iV\ 22. ÏN'. 8. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIO.N, valeurs Je p et de <], (1 — ij Cos. x ^ k Si7i. jj) — i{/t Cos.,v -{- iSiit. .v) ; pour rannuler il faut d'abord que nous preuions h Cos. .r -\- l Sw. .r == O, d'ou Cos..v = ■ ^-^ , ,.,^ , Siti. x = ~r, ,':,~\~rrs '■ \/{h^+l') \/{fi-+l^) substituons ces valeurs daus Tautie terme J — gCos.x — kSin.x, qui doit s'évauouir de même, il vient l/(^^+^')=Ö^ — ^'^- Douc voici Ia condition du cas, quaiid la f'oiiction a intégrer deviendra discontinue ; par conséquent il faut considérer séparémeut les deux cas oii (jl — lik est plus grand ou plus petit que [/ {h'' -\- 1"^). Maintenant afin de diviser Ie déuominateur en deux facteurs, substituons (d'après C. P. 34, 36) les valeurs imaginaires de Sin.x et Cos. x, il vient: \—pCos.x—q Sin,x=l—\ {g-\-l-\-Id—ki)e':' — Ir [y — l+Iti-^-ki) e-^' = c {i — ae-^')(l — be-^% iVoCi c = i + 5 1/ (1 — P' — ?")' posous = - — — , a = — - — , b = — , ; de sorte que Ie \ Z 1 l + r l-\-r dénominateur se décompose en deux facteurs : reste u présent a Irouver les fractions jjartielles :—^ — + 1- -, d'oü résulte 1-équalio.i 1 = I -^ (A + B) + C 1 + J^~^^~- 1 _ __ I" d A + B + ] (p Cos. X + '] Sin. .(■) 1 — [- (A — B) (q Cos. x—-p Sin, x)}. Le dernier de ces trois termes, étaut imaginaire, doit ètro zéro: donc A = B; le second, comme il dépend 4.C de A-, doit s'évanouir aussi : donc A -|- B + = 0; le premier enfin doit étre égal a 1; 1 + r 1 +»• f 1— »■- 1 donc puisque p- + q"^ = 1 — r'^: 1 == — — (A + B) + C |1 + .^ j • La resolution 1 1 +r de ce système d'équations fournit A = B = -, C = — — — — , et par consequent enfin : r 2r 1 ' ^ l ] -j- : — 11. Avant de passer au déve- 1 — p Cos. X — q Sin. x r ) p — qi . p + 9^ f 1 + j- 1+r 1 loppement de ces fractions en série, il faut s'assurer si le module de a et de 6 est plus petit que l'unité, condition nécessaire pour la validité de ce développement. Mais comme on a \ -\-r dans le dénominateur de « et de 6 et que r dépend des quantités imaginaires p et q, il faut prendre r = s — ii, ce qui donne 2s^ = « + l/(«* + 4 (3'), 2<2 = — « -f l/(«^ +4 ^*), oii Ton a supposé « = «v— 6^ = 1— ^^4-/(2 — ^'+P, ^.=st=gh-\-kl; d'oü s^+t^ =i/ (a^ + ^i?»). ^ ' (l+«)^+«^ (l+s)^+<^ Pour igl - hky ^ [h^ + P) on a [ (/,2 ^ p) ^ {gl-W =\ plus Page 480. KT METHODES D'ÉVALÜATlüIN DES I1NTÉGK\LES DÈFINIES. III. W\ '22. N\ 8, forte raison ; par consequent ((l + •''■)' i" '"} ^ {9' + ''' + ^" + '" + ^ [d — /ik)] et doiic (Mod. ay- < 1, selon que {,jl — hky ^ (A^ -\- l'')- Mais cncore («'^ + «')- = «' +4(i- = > {^' + 2• ou <^ 0. Dans Ie premier cas on a a plus forte raison (s^+i')*l> {(fli — l)''- -\-{h-\-k)''- — 1} -, d'ou 1 + s- + P >((/2 + r- + A^ + k- — Igl -\- Uk), donc (Mod. 6)= < 1 ; dans Ie second cas on a au contraire u plus forte raison . (s^ -|" ^^)^ !> {(^ + ^)" + C' — ^Y — 1) ^, d'oü 14-s'!-|-(->;;-'+Z2 4-/i'--f A;'^+%/ — 2AA>^- +/-+/(•' +A-—2^Z + 2/(/.-,doiic cncore (Mod. A)''<1. Maintcnaiit on a : 1 I 1 1 1 _ ril— «e" 1 — he-^' ) ~ 1 — p Cos. .r — q Sin. .t ril — ae^' 1 — be-^' J = - (1 -\-ac''+ a- e^-^^ ...-\-f>e.-^' -\- l>- e-^'--' -^ . . .} ,{gl — hk)^ <(/<•' +''), ^ r = ;. 1" « '~" ~ o^'"'" ~ ■ • • + ^'~" + ^' ''"'" + • • •) '(i^^ - ^'^^■)' > (^'' +'')•' et il faut intégrer cette série par rapport a .v entre les limites ü et Zn: or, Métli. 1, N'. '.) , r-^ . on a trouve I c?-^' d.r == O pour cliaque q enticr, donc enfin: o f-'' dx Zn Zn I 1 — (j/ -f /d) Cos. x—[k-{-li)Sin..v ^ V^ ^(l_(^_(_/»')2_(^._i-/,y-j ' ^^ "" '''^ ' < (^' ' + ^ ' )' = 'o = O, {gl — hk)'- y{ir- + i'). ^T. 90, W. 11, 10). Par les intégrales de Méth. 9, N'. 20 la discussioii précédente donnc eiicore : Cos. .rdx n 2pn ; — ; = -(«4-6)= - -'-Agl — fil'^) ■<(/'■'■ +1-),. (1265) i- — {g + /")Cos..e—{k-\-U)Sin..r r ^ ' r{i+r)^'' > ^^ T h \ J 6- - ) = — -.Agi - /'/'■•)' > (/<■' + i'), (T. 90, N^ 12); a j p — qi /•2^ Cos.cxdj! ^/cA.7c^ ^ (P— 9'T+(P + 9'> , , ,M,/^;.,/M / ; — T = - (af-}-6'^) =- , ((A- +/-J,(T. 90,N\ 13); r \ a j p — qi Sin.c.rdx ni ni (p4-qiY — (p — ai]'^ ■l — {g-\-hi)Cos.x-ik-\-li)Siu..v r^ ' r {] + r)' ' ^"^ ;<^V T ;, — nil 1\ —■jiin—rY — n-i-r)': = H"^-^ =~- ^ L^^-L^^ i_,,i,y.y^/^,^p^^ (T. 90, W. 15,14); oïi partout g -\- fii = p, h -\- li = q, r = j/' (1 — p'' — q'-). 9. Puisque (1 — '•Zp Cos.x -\- p'^) = (1 — pe^') (1 — pe~^'), on a pour /X^ 1 : ƒ (1 —2pCos.x + p''Ydx = jdvèi—ï)" rU^'^p"'"^" {— 1)"' (' ] e-">^-'p"' = o n /T m=a a I a\ I a\ dx ^ 2{— \)"' + " e(,,-m)xi pm+u^ M=o O \w/ \n/ o /"" • Or, Métli. 1, N^ 9, chaque iiiti^grale I e*^-^' dx est zéro pour c eiitier, donc tous les tenues o sevanouisseiit, excepté ceux oü n — m = 0, c'est-u-dire ou n^=m; doiic : fil-2pCos.x + p^rJx = px^i-^y^" i^eop^" = i pV- fdx = nÈ [;])>. o o o . (T. 79, N'. 7). [2i2]. Eucore a-t-on: /'^ f^ « /a\ . '"=" l a\ . , . (1— 2/>Cos.a;4-p-)''ros.6.(;dï-= ƒ f?x-S'(— ])« | e-"^'p» -S (— 1)»' &"^' p'" Cos. bx = J o \«/ "1=0 \»v o () dx 2 2 [ — 1)"'+" \ 1 e('"-">'' Cos. i'a!./J'«+". Or, Méth. 9, N'. 20 nous apprend que «=o o \»*/ \«/ o Tintt^grale n'a une valeur différente de zéro que dans U; cas oü m — n = i»; de sorte que les termes, o\\ m = h -\- 7i, paraissent seuis dans Ie résultat; donc : ƒ [\—1pCos.x-\-p''-)"Cos.bxdx^^= tl o [243] Par 1'équation (XT) de Mclh. 17, N". 21 elle donue : f '^"^ -^ "^ i h'p". (T. 85, W. 12). ƒ (\-\-2pCos.x + p'^)^+' {Y—p^y2a+i o \«/ o Paice 482. p.n = ET MÉTHODKS DEVALUATION DES INÏÈGRALES DEFINIES. 111. i\P. 22. N'. U, 10. = n( üV' ^1 1 ~ P-'\ (T. 79, N'. S), après (luelques rédactions de facultós aiialytiques [2-13]. ƒ -f Cos.ax — p Cos. {la -\- l) x] , [-~ Sin.ax — »»Sm!. {(a + !).«) c/a' — tl ~ ^ — dx = 1 — 1pCos.x-\-p''- j 1 — SpCos./B + p^ o o •'o o (> o 01-, cette integrale est toujours uulle sauf pour n = a, doiic la valeur est : ƒ 2" g — a^' dx co f-^ = ^ p" j ei"~"^"dx = 2 7j p'' (1267) 1 — pc" o ; o o La sépai'ation des parties réelles et des parties imaginaires fournit : n^Cos.a.-pCos• " ■ «'■ / fi-TiKïri^+f"')^' - " i-' "" (-1^7%^.- '^- '"• ""•■ '■"■ o Page 483. in. M^'. 22. N". 10, 11, THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ƒ -=.^ p'> + p«.2n'- +^ p>' = Zn^p'' + -Zm:Z- — — 2ni 2 ~ — 1 — pe^^ o '* — C' a+i n — a ^) a — tt a+i" — a = 2„5„a f 277/»"^ — — 2mp''È- ==B<'(2ji3+2m^ + -Zmlil — p)} ,{G.¥.66); .(1268) 1 np" 1 n 1 «/;" /■-'Cos.a.*,'— pCos.{(a+l).r) , et en sejjarant les parties leelles et les parties uuaginaues: ƒ -:; 1 ;; — a;d.T=2n^p'', 'o ^^'^ Sin.aa: — pSin. {(a+l).'c] f, " 1 1 , ~7r--^- ■^■''•^' = ^-^P" Uil-P) + :^~\ . . (1^-69) 1 — Zp Cos. .r + P [ 1 «P ' o 11. Quaud dans l'application de cette métliode il y a quelque doute sur la convergeoce des séries, il faudra admettre dans Ie calcul Ie reste de la série, pour s'assurer a Ia fiu du calcul si l'on peut omettre Ie terme correspoudant ; car s'il s'évanouit pour uu terme situé a Tinfini, Ie résultat est valide sans ce reste: lorsque au contraire Ie terme en question ne s'annule pas, il faut garder la correction, qui en général rendra la valeur sinou iufiuie, du moius iudéterminée. /'^xP—'^dx pxP-^d.c ['".vP-^dx fKvP-^dx py—Pdy T^TJ = ] T=:7 + / T^7 == j T37 " ] 'j^' 0 0 1 0 0 la divisioii de la fonction a intégrer était nécessaire, puisqu^elle est discontinue pour la valeur 1 de ,?■: mais comme cliaque integrale partielle est finie, il était permis de les traiter séparément 1 ^ 1 et de substitucr w = - dans Ia dcrnièrc. Lorsqu'ou preiid (C. P. G2) Ie développemeut de , X 1 — ^ il faut observer qu'il ne vaut plus pour .!•==!: il faut donc admettic Ie reste et employer l'équa- 1 " •r"+' . . „ tiou identiquemeut vraie = .2.i"+- . Ainsi Ion a: 1 — X n 1 — '1 '^ =ƒ xP-ldx+ I (xP—x-P)dx\^x" + =-+:S:/ (.i-"+/' - .r"-P) dt- + l — xj I [o l—x] p o J ƒl.^p_.p-/> 1 « / 1 1 \ fKvP — x—P .i-M+i dx = - 4- ^ + ƒ .««+• dx. lei Ion l-x p^o\n + p+l n-p+lj^J 1-x o o a séparé Ie premier terme de la série ; terme, qui répond a la première des intégrales partielles : et cela seulement nar raison de svmétrie : dans la sommation Ie terme -— déinontre qu'il faut ' ' n — p -\- i preudre /)<11 pour n'avoir aucun terme infini. Maiutenant pour déteruiiner Ie reste dans Ie cas de n iiitini, il est évident que cette integrale de correction est plus grande qu'une autre a déno- — 2/' miuateur 1, I (xP — x-P)x"+* dx = ~r~rr\ — ^ ■,"=,./ TV-TT 2' "uHe pour rt [ / (xP — x-P)x''-^^ dx ^= — = '/^ '' „-j-p-l-1 n—p-\-\ (n + 1)^ infini. D'un autre cöté, comme pour.r<^l on a «' < i--/', la fonction u inti'grer est iiégalive, donc Page 481. ET METHODES D'ÉVALÜATlOiN DES INTÈGRALES DÉFINIES. lil. M'^ 2'2. N'. 11, l'2. suivaut la Partie Première jM". 13, la valeur de rintégrale Test aussi. Oii ne peut satisfaire ti ces deux conditions, qu'eu prenant Tintégrale et par suite la correctioii zéro, et l'oii a eutin en passant a la limite ^de«.-/ =- + ^ K—TT- T7 H ^ — -^— ^ = 7rCo<.p7r,(p2p— 1>0), = ^-^^ ^.2'(— l)»l ' / Cos}-'ip zXos.{{\ — 2p-\-2n)z)ds. II Mais il s'ensuit de Métli. 5, N'. 11, que l'iutégrale sous le signe de sommatioii s'évanouit ponr 71 toute valeur de n, saul' le cas de n zéro, oii par Métli. 38, N'. 7 on obtient Ia valeur • 1 22-2/> Joiic on a: [244] Dédiüte autrement Métli. 38, N^ 4. Tour x = ^9, pq :^ p il vient encore; ƒ '"xP—^dx n „ pn „ „ ,^, = -Cot.~-. (T. 20, N'. 13). Ou peut iute'grer et diliéreiititr cette ii\,tégralc par rapport a p, et alors il vient : =— - Cosec.'''—,.n2,70), ƒ ~ =l{S{nA .Cosec.— ] . [127 i] l—xl \qj g ^ ' j \—x1 lx \ q q] ^ ' o o Pour le cas de 7 = 2 on a les deux intégrales T. 180, N°. 12, 13. [245] Sur une antre dwhiction vovez ^[éth. 38, X°. 6. Page 485. UI. M''^ 22. N'. 12, \ö. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ^ , , Sec. TT raiV-^dx \ 2 n n j 1-^P7 = k^r-^ ¥^=^' = &-„.p.' C^-l^' NV2),P<1 ; [^^ej. Il résulteencorede la o uiscussion precedeiite : ƒ laug.-P—'^ xdx = , (T.53, N°. 25), 7''+'^>Sin.- bin. kn IL „ nn \3/ 3 \\k ^ '- ^ pir = 2 {— 1)«-1 e~"^Sin. — -\- (— 1} e^+l + e-"-- 1 3 1 +e-^ + e-^^ l k ( \\k g—1kx "^( — 1)"— 1 e— (2«— i)-' -|- ; OU peut fairR quelques applications utiles de ^ -j- e— ^ 1 e^ -\-e ces deux développemeuts. dx ^ . Multiplions-lez par et iutegrous entre les limites O et co ; alors Meth. 8, N'. 3 nous \/ X appreiid que les iutiïgrales de correction s'évanouisseiit poui uu k infini : donc par rintertnédiaire de [24G] EUe a Aiyx c'té obtenueMcth. 1, N^ 29, et elle ie sera encoro Métli. 27, N% 2, Mcth. 38, W. 4. Ou /■i .rP— 1 dx -\- x—P TT ., [Klit anssi Ia ilcduire ;ui moven de riiitcgiale I dx = — ; , (T. 5, N .1), (coiumc ici il f \ -\- X Sin . pn "o s'ensuit d\\ résultat obtenu) — oii bicn avec üalsz au nioycn de sa série renommée, — ou bien avec Cauchï 1 1 1 — i' par la Methode 18. Lorsqu'ou y introduit les subslitutious ^r = -, = , = successivemenf, ou y 1 — s V = / •^- ■', (T. 22, N\ 1),= / ] ~,(T. 4, N^ 6),(dontuneautre o o ' o ri ƒ 1 — i,\ /' du n évalnation Méth. 18, N\ 23), = ƒ , (T. 5, W. 7), =7:;: . Lorsqne au contrau-e ƒ \ V ƒ . 1 — V om. pn o ƒ'" xl>—^ dx n pn ato n — = - Cosec. ---, {£. 20, N . 1), 1+xl q q o (évaluée Jléth. 1, N'. 29), d'oii enfui par la ditlerentiation et rintégratioii par rapport a p -. f^xP-lx ln\- pn pn , C^ xV-'^—x'-'^ dx , / ^„ pn Tn\ ƒ -d.v=—{-\Co.^' . Cosec.' '-,.{] 27 2), l — —, - ^ li Tang.' .Cot.~] . J \+x1 [/) q q f l-^xl lx \ 2q 2qj O o (T. 183, N°. 18'. Pase 486. E'ï METHODES DÈVALUATION DES INTÊGRALES DÈFIIVIES. 111. M'". 2'i. N". 15. /"» 1 fix 1 <» nn n f" l dx Méth. 1, N\7: ƒ — — — = — — — ^(— ])"-' Smi. -.1/-, I — = y É^ + 1 +e-^ l/.ï óiïi.^TT 1 3 Ji J e^-f-e ^ J/.e = J'f— l)"-'/ — ^'^ — . (T. MO, jN!\ 20 et J 9). 1 'Zn — 1 Lvdx , , , . ■ 1 I 1- -i n i Au moyen de la multiplication par —- et tic 1 integration toujours cutie les limites U et cc, par l'emploi de Méth. S, N''. 3, oii les iiitégrales de correction cürrespondaiites sont iiuUes pour im k iiiöni, et de Me'tli. 12, N'. 3 — ou a: '-''■ ''"■ ' l(_l)»Sü,.-".(?« + 2i2+A)i/' / e^ -f 1 + ^-^ l^-*^ 'S"'- 3 ^ 1 o lx d. f — ^^ — = J(— l)"n(2«-l) + 2/2 + A]i/— ^^— . (T. 381, N\ 15, 14.) ƒ É-t' 4- c-^' i/.r 1 2jt — 1 •o Cos.pxdx Sin.pxdx , -. v -f.rf.-< Lorsijue culiii nous multiplions par ou par ~-^ et que nous avons egard a Metli. 8, W. 4, oü nous trouvous que les intégrales de correction, qui se présenteiit ici, s'annuleiit pour k infini, nous obtenons par Méth. 26, N". 2 : f ^"•^- ^^-^-i(-i)-^-.5»j^.t/{-^^^'+"';+i, . . (1273) ƒ e^J^\ + e-^\/x Sin.\n i ' 'd ^ U p^^H^ j •o j e^ + e-^\/x 1^ ^ "^12 p^4-(2n-l)-^ J j e^ + e-^y/x / ^ "^ 12 p^ + (2«— 1)^ j [247] La substitution de x -^^^ d;ji,s les forimdes de ce Numero fera trouver successiveraent la valeur des intéarrales : ''■ "(_ l)»-i &■«.— . l/-, (1277) ƒ 00 ex2 _j_ 1 I e-:r= "~ 2 Sin. 1 tt ~ ' '' . ' 3 ' " ' o r-.-^=ii(-i)"-v^,^ (i-^^'^) o r_Jl± =_i — l(_l)«5»,.''^.(m + 2i2 + A)v/- (1279) ƒ ex2 4. 1 ^. e-a= 2 Sin. \n ^^ ' -^ « "o Page 487. '^''' WIS- EN NATfURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL YIIT. III. JVP'. 22. N', 14. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORJIULES DE TRANSFORMATION, (>px g — px k 14. Encoreavoiis-nous itlentiquement: = .ZFe— 1(2«— U'^— P!^ — e-!(2«-i)K-+pia,'l J- gTX g—7!X , L J ' fpx p — px gpx _1_ g — pz /• . ï e-2iTx T == ^(_ !)«-! re-i(2,i-i;7r-p(x_|_ e-;(2'i-i)'r+pU-l .i. e'f^ — e— "^ e'^^ + e-'^^ i ^ epx_j_e— px dj; , 4- ( — 1)^' g— 24^x_ Multiplions-les par — , et iutécjrons entre les liraites O et :» ; alors, ^ '' ^ e-x + g-TTx ' ^ .T? ° d'après Méth. 8, N°. 6, les iutégrales de correctiou devienneut zéro pour un /t infiiii ; et nous obtenons suivant Méth. 18, N°. 2: /■«^ epx_e-px f/^. ^ r 1 1 ^ p epx_|_e— px j^. / e^»^ — e-^ x'3~ ^ 1 l((2?i— 1)71 — ^p}'— ? {(2?j— l)7r4-/)}i-?r/ e7ix_|_e— .ix ^y "~ o o Comme ces iutégrales valent aussi pour q = O, elle donneiit: reP=c-e-i'- » r 1 __L___1 ^ 2P 1 7, l f cLv = ^ l — 1 = ^ 7 ;r- =- I anq. — p, r!S:£iï!,„j(_„,.-,[^^+ — ! — i=i-'-"'-'''';'-"=!&,.v O (T. 38, W. 17, IG). [248]. ^'^ Ixdx 1 00 TT e^ -f- e—^ 4 1 -^ 2?i — 1 o f^ Cos.(px-)dx 1 ^ , !m fTi i/(p2+n2) + wl / „ ^^ ^ ; = -T ^ — 1)"-' Sin.~.i/ - ^ ^^ ^ — ^^^^— , .1281) o rCos.{px'^)dx 1 « , fTT i/(p- +(2h— l)n+ 2« — Il I gi _j_ g— X 2 1 (2 p- -\- [in — ])■' j o -^ „= — .Sf— 1)"-' &•». — . 1/]- ^^^ ^ ; , . . . (1283) o ƒ — ^- ^{—lY-W \- —^-^ ... 1284) j c^= + e-^= 2 / ' ^ \l p^+[ln — \)- j ^ ' o [248] Sur unc amre tléduclion voyez Müth. 31, N'. 2. Pour ;; = jr — p ceci donne encore : Page 488. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIMES. IH. 1\P. 22,25. NM5, 1/2. 15. Les developpemeius ideutiques = ^( — 1)"—Kt"—'^ Sin hX 4- 1 + 2a; Cos. l -\- x^ i + i + 2^6bs.;i + ..'^ (-l)^rcS „lulfphes par y^T^TZ^ et uitegres entre les + limites O et 1, — lorsqu'on observe que les intégrales de correction s'óvanouisseut pour it infini d'après Métli. 8, N'. 6, et que Tiutegrale sous Ie signe de sommatiou a cté trouvée Méth. 18, N°. 2, nous doniieut: P 1 dx r(p) » Si7i.nX ■ j l + 2.Cos.l + .^ 7IV=7> = SüJ-,^- '^'-'-—T' (T. 174, N^ 4), 1 4-^ d^ r(p) \->(-'lxCos.l-\-x- ( \y-p Cos.{l 1 • np ^, .. ,'^OS. ((71— ')l] § 3. MKTHODE 23. EMPLOI DE FORMULES DE ÏRANSFORMATION. 1. Parmi les théorèmes, que nous avons déduits dans la Partie Deuxième, il s'en trouve beaucoup, qui mènent a des expressions, contenant des séries soit finies, soit infinies. Nous en donnerons ici quelques applications, et de préférence de telles, que l'on obtienne des séries dont la somme peut s'exprimer sous forme finie. 2. Dans les formules li, (147), (148) prenoiis ƒ (.f) = Sin.qx, et ƒ (a') = Cö.t. ja' respective- ment, alors nous avons Méth. 18, N^ 8, re (?)) = - e-/'ï, d'oü — . w (n) == - [— nY c—Pi \ il vient: /°° xSin.qxdx 1_ IqVn _ ^^ :^^{a — nfn / J. \« p pCos.qxdx (p^ J^x'Y+^ ~ \on \2p] 2' ''^'^ "~ï»/l ~^ s^Z^pq] ' j (p2+,^.2)a+l = /■'"e('^-p> — eC/»-"".^ /■°°e(2T— p)r — gpx /•« f^e-P^ eP' iCot.\p= I — dx = I ; dx = I e-P^dx+ I dx, o o •'0 -o /=° epx — e-;'x 111 ,2^.._r '^•^ = ;T-i^°'-2'" ('^'- ^^' ^''- ^'^^- o Page 489. 62* e meme III. AP, 23. N\ 2, o. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES UE'TRANSFORMATION, 1 IqYn co (a_H+ iy2.«/l / 1 \« ^ = -^1 -e-Pl2' V^ . (T. 208, W. U, 13). [:34.9]. Lorsque cl dans la formule II, (149) on suppose ƒ(.■(;) = Sin.qx et claus II, (150)^ /(.r) ^ Cos.qx, on obtient 7r TT d'"' Méth. 9, N". 10, respectivement cp (p) = Cos. pq et i/ij {}>)=— ^ii^'-pq, d'oü — . ip (p) = = — o<= - Cos. {IfCrc + »o) et -— . (/< , (n) = - q'^ OiH. (^ ctt -|- «7); par consecment : 2 " nnc -2 2 " dpc /" xSin.qxdx 1 / '7 \« tt a (« — >i)2n/i / 1 \ '' .a — n \ -~ ^ = — r ~^^ -^- Cos.\ 7r + ?x/L . . (1286) (p2_.i.ï)a+i ian[2pj 2 o i«/' \2;>ï/ l 2 ) u • / (p^-.^)«^i=I^ (V) i^ T-A (2^) ^-'r^--+P?| • (i^«7) o 3. D'après C.P. ()7, Ie théorème 11,(160), fournit pour ^{x) = Cos.px,Aon_\ = 0,A2n= , e-'^^Cos.pxdx = -i/^- 1 1 +^(- l)'"v-r +-^0= - 1/^- 1 +-S'(— 1)'' -"-^^^ = ^ 2*^ I ^ / ' 12«i 2«J^2 I r 11 1'Vi ) o ^^[/■jt.e-'P-. (T. 280, N\ 1). [250]. Pour c^'(x) = Sin. px, C. P. 68 donne Ao,, = O, p2«-fi r" ^ Aq = O, Aoh+i = ( — 1)" q ^ , » «lonc par la formule II, (100): ƒ e~^'Sin.pxdx = o 1 „ r)2n+l 1 o, »2n+I = -^(— 1)«-^ l»+i/i + 0 =i^(— 1)« — ^ -. (T. 280, W. 7). 2 o 12«+Vi ^ 2 o (7j + 2)«+i/i ^ ^ Suivant C. P. 103, 104, les suppositions ijp [x) = eP"'^""-^ Cos. {pxSin. ).) et n \2J ^2 1 („+l)«-i/i ^ o 1 - /l \ 1 00 6'o3. f2n + l)A) = -i/n.ehfCosoj.Cos. -p^Sw. 2;i +-^ -i ~^-' p2«+i . (120S) r . ] „ /l \ 1 l ~^' \q^"-^Sin. [{hi—l)}.} . (1295) o Encore d'après C. P. 63, par les théorèmes IT, (165), (106), on acquiert: /"° r er «2)1/1 I c-r^-x"-xCoa Cos.x.xP-hlx = T{p)Sin.Pl\Cos.pl-^:E-~^[~r''Y Sin.^"k Cos. {{p-\-2n)l] I,. (1 290) o le-r-x'--xCoasin.x.xP-hlx=^r{p)Sm.Pl.lSin.pl-\-:Z —{—r'-)''Sln.^>'l.SM.[{^^ o avec la condition ?' <^ 1. 5. La formule II, (169) devient successivemeut par la substitution deC. P. 61, 62, 65, 66, 67, 68 : 1 , [l+rxYclx = r- + 2[ \rH'—^- (1298) J lx q i\n] 9 + n o ƒ1 J-p— 1 — .ï'/— 1 clx p co f(",i ,p -\- n =1-+^ r'-i'-^— ,r* <1; (1299) lx {V—rx)"- q il".' <7+H = ' '' '' O c'-^c7.c= Z'-+^ l - , (1300) lx q^ 1 l"/i 9 + n' ^ ^ o t{\+rx)dx = 1-+^-L'^-^, (1301) lx q I n q-\-n o Page 491. Ifl. M''% 25. N\ 5 — 1. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMA.TION, fl^'P-l— A'?-i p cx,(— 1)" p + 2n /-•„„ „..,)., 7' I v-- V ^y ..9„ I " ' 2,r ^''''^ /1a'P-1— A'ï-l » cx,(— 1)" » + Co.', ra (lx =l- + :Z^ '- r2« l ^^^ (j 5/H.ra(ia; = .^^ ^- r2«+i ; '-X ZL^ 1303) o 6. Pour l'applicatiou des théorcmes II, (174) a (177), prenoiis C. P. 83 et 85, pour (f, (x) et gij (x) et nous auroiis, puisque x- <, - : /•2 ^ o . 'T (1 00 o»/2 (— o)«/2 1 1 ƒ Cos.qx.Cos.'^"xdx = - la/2 — + ^^ — ^ ^^— , (1304) J 2 \2»^ i l"/i 2«.2«+«'2j' ^ ' o /^r, «= (1 +9)"/2(l — 0)"/2 Sin.qx.Cos?<'xdx = 1^/2 g ^ ^ ^ ^^ — ^^ -^^^, (1305) O TT Cos.qx.Cos?<^+^xdx = 2"^ { 4-^^ — ^ ^ >, (1306) o 11 ƒ2 ao ri 4-oVi/2n (jVi/2 &"H.o;r. Cos 2«+i o; rfa;= 2<2g^^ ^^ — ^ — . [251] (1307) O 7. Passons maintenant 11 rapplicatiou des théorèmes II, (182) a (202), pour diverses supposi- tious: nous verrons qu'eu général les résultats prendront uue expressiou finie. A Taide de G. P. 95 OU trouve par II, (182), (190) et (191), (193) a (196): /°°1 — rCos.sx — r'^Cos.asx-\-r''-T-^Cos.{{a — Wsx] dx tt"— ' n 1 — r«e— «?« — ■ ~ '^^ -— = — 2 r"c-"ï^ = ,.(1308) l — ^rCos.sx+r"^ ^- 4j o =z — e-Pi {— -\ } , rw>(a— l)sl (1309) n "—1 n ^ n d ^j- l — ^.a g—aqs = — (e/'9 + e—l"J) 2 r" e-''?« — — e/'? 2 r" e-«9« -\- — e ~P1 2 r" e"'/* = — [ePl + e-P?) — 4j o 49 o 49 o 4? 1 — re—?* — — eP? -\- — e-Pl , f» — ds+;y , jyP. 25. N°, 7. ƒ""] — r Cos. sx — roCos.asx -\-r"+^ Cos. {(a — \]sx] xSin.pxdx n "~} ! Lï i !: __ .. g—py ^ j.n Unqs _L g— »r/s) ^ 1 — 2rCos.S2'+r^ 5*+.f^ 4 o o = -e-Pn -I I , r«Xa — l)sl, ....... (1311) 4, l l—rel' ^ 1— re-ï*l ' L'' -^ ^ '' J' ^ '' n rl r<^-\ fiia~\)qs 1 — ^a^—aqs = -e-vq 1 — r e— ï' 49 1 — r c—i' %q 1 — r e?» [p = f?«+;y, p'<6!, fZ (rt — 1)*1, .... (131 8) = - e-Pi \ — +ra-ie-2'/' ,[»= (a— ])*1 . (1319) TT T .pUg-aqs Tj 1 yrf+1 g— (rf-f l)fys jj 1 }.('+l f(rf+l)i?S = - (e/^9 + e-P'1) eP'} — -e— pi , 4 1 — re-ï« 4 1 — re—i' 4 1 — re'J' [p = (/.9 + //, p'<6-, rf— e's— *)?— eC''s+s-/')9)— ( 1 +r ^ )r<'+2(e(p-*)?— e(*— P)?) 4 l_(e9s-j-e-(7s),. -j_,.2 — r^ xSin.pxdx .(1325) >jr-i-9'- [dans(1324),(1325)/; = J.+//, p'<6], Tj^^ • Cos. «A' -f- r^ 2^ ~|" x^ TT (1 — r-) e-P? — W+i (e(p-<^-s)9 + e'*+«-/')9) -f- r^^+s {^^p-ds)q _|_ e( *—?)?) 2 1 — (e7« + e- ?') r + r = ' " 7T (1— r-)(e-?'7 — r2a.5] . . (1334) TT i- '^ f a\ '' /a\ 1 = 2-«-2 - I(c7"7 + e-P'}) (1 + e-27s)a — cP?^ e-^nqs ^ g-pv ^ e"-"'!^] , 'I*- o \nj o \nj -< [p --^ 2ds + p; p'<2.s c? 2a.v], . . . (1336) o = 2-«-2 7r[(l -|-g-2ö7s)(l 4.e-27.5)a_l], [p = %as] ..(1337) — 2— «-2 n \[e~P9 — ePi) ( 1 + e-2?-')° -\- cPl ^ \\ e-^'"!' -f- e— Pi -2" [ e^"?»! , [p = 2Js-\-p', p'<2«, fi- déduitc Mt'lh. 22, N\ 5. Page 495. 63 WIS- £N NATUtEK. VEEH. DEE KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. lil. j\P. 25. N'. 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRAiN'SFORMATlOJV, ƒ" X Cos." s.v. Sin. asx dx — -^ = 2-«-'7r{(l + e-2?^)«_l}, (1340) o ['" xCos." sx.Sin.asx.Sin.pxdx n _ ^ ƒ ■ = 2-«-2 _e-,.7(e2a9s_i)(i_|.g-2}s),.^ r«>2ö4l, .(1341) / 9^ "h ''*''* 9 = \ = 2-0-2!^ r(eP9 _ e-pg) (1 -{_ e-2fys)« _ gP? ^ I " j e-s»'/* -f e-p = 2f/.s + p', cZ2a6'l=2-"-2!^rfpas , (1347) 7 <7* + «'- ? o = 2-«-i ü Te— r7(g?s _|_ e— fys)a — e'^2a.s-, p=2ds +p,0

2as,] o = 2-«-i TT [ePï(l + £-2'?^)'' — cP? ^ r I Ê-2"9s— e-P7 JS" T j t2»7»l[p = 2^/5 -j-p'. ï^'<2s,da5], (134.9) o =2-"-ijTre-''?(cï«+e-9*')"-e(f"-'')9^ [ " je-2»?*_e('--o»)? V r |e2«?5l ^ e-r9((;7s^e-v-)a_e(as-r)9^ | Ê-2«2«— e('— «% ^ ) e2"ïsl,[- Cus.sxCos. {rSm.s.v) -— - - = - (('P'?-|-e-?S)c'-e-«' — ~ePl2 6-"?»+ - e-Pl2 — <;"?« ( 1352) 7'+A- 4v 47 ui"" 4^ o 1"/' o ƒ'" ^ ^ , _. icSin.vxdx n 71 '' r» grCos.sar(7os.(rS/«.x.t') = - ((—/"? — eP?) e''«~'^ + - fiP7.Z e-»'/^ + 5' + .«^ 4 ' ^ 4 o 1"/' o + - e-Pl ^-—e'"!", f-fractionnairel, (1353) 4 o 1"'' 's ^ ^ ' n 71 '='— ' 7'" n '' r" j) = - e-,>? _ eP'i) e«-'' + - cP? ^ r77 ''""''" + " «'Pi ^ — r c"n T- entier] . (1354) 4 4 o 1"/' 4 o 1"" *^ s ^ De même les the'orèmes II, (183), (189), (201) et (202), sont les seuls auxquels on puisse appliquer la substitution q^{x) = e'''-''-'-^^Sin.{rSin.sx) suivaut C. P. 104, ce qui donnera: [253] Dans un Mémoire, adrais dans les Verhandel, der Kon. Akad. van Wetenscli. te Amsterdam, Deel .5, j'ai déduit a 1'aide de ces intégrales quelques thcorèmes analogucs a ceux qui les out engonJrées. Page 497. 6.3* UI. W\ 23. N'. 10^ 11. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMAÏIOX, /xdx n 00 r" n e>-Cos.sxSi7i.(rSin.sa;) = -^ e-"'J' = - (e'-«-^' — 1), (ï. 395, N'. 1), o /Slïl "DXCI V TT TT 7*'* TT " ï''^ er-Coi.sr 5(„ trSin.sx) ~ — ^=— ft'7'?— e-Pï)ê''<^~''— — eP9^~^e-"ï«+— e-/^?^ e"'J\ . ( 1 355) ^ ?'+«' 4r/ ^ 45 ol"'" 45 ü 1"" O ƒ" ,, r^. , „ xCos.pxdx TC 71 '^ r" e-Pl . 4 ^e-W^-^c"v»\ f- fractionnaire] , (1356) o 1"'' s d—l lyn n jl_ r" rP = ' (ePi -\- e-P'i) e'^^-'^' eP?.^ e-'"?' e-P<} 2 e"?«, - entierl . . (1357) Partout ici d est Ie plus grand iiombre entier qui se trouve clans . La différence de (1352) et (1355), comme la somme de (1353) et de (1356), de (1354) et de (1357) nous fournit encore: ƒ erCos.sx Cos. {px-\-r Sin. sx) ^— ^ = ^ e-PV-i '■<•-''% (1358) q^-i-x'- 2 o I grCos.sxSm.{pa;-\-rSin.sx)-^^^^~^ = ^e-i"i+''^~''' (1359) o 11. Pour (pj (x) = ^1{1 -\- ^r Cos. sx -\- r^) on a Ie développement (C. P. 109); il s'ensuit que p ue peut jamais surpasser n et que Ton obtient par les théoièmes II, (182), (191), (195) et (196): / l{[+-ZrCos.sx + r'') ^^ == — - J^^ e-»ï^ = -/(l +re-9%{T. 416, N°. 9), [254], J q'^ +*■' n \ n q n /CyOS TJX clüi TT TT ( 7*V* l{l-\- 2rCos. sx + j'2) '^ = — (cP9+ e-P'i) / (1 + re-'i') -\- — ePI 2 --- e-"?" — '7^+a'ï 2q 2q , n o — ~e-Pl2- '-- e"?-' (1360) 2q 1 JJ ƒ, , , , ^ - . .vSin.pxdx 71 / 1 + 2r Cos. sx + rM ^ = - (e-PI — m\l{\ '71 d r ,,)» '^ 2 1 M 'o — -e-P7^ -*^e"7% [- fractionnairel, (1361) 2 1 9i ^ s [234] De'duite d'un autre maniere Mt'tli. 34, N'. 7, Mtth. 41, N^ 18. Paa;e 498. ET 3IÉTI10DES D1vALUAT10.\ DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''. '25. N\ 11, Ti. 7t n ''-'( — rV' TT '' (■ — r)n « ^ = _(e-P?_ePï);(]-i-re-'/«) eW ^ ^ c-«ï« e-Pï-S" ^ ê«?«, f- entier , . (1:302) P oïi (Z est Ie plus grand iiombre eutier coutenu dans -. / rSin.sx \ i . , t , Pour 11' r (■v)= — Arctg. r | on a de meme Ie développeiiieut analo"ue C. P. 112, \ 1 + »■ Oos. sx j et les théorèmes II, (183), (1S9), (201) et (202) devienneut par la substitution de cette fonction : / Arctg.i--- -— ^ = --:E' ^ê-"ï^ = Z(l +,.,-,.), (T. 431, N". II), (corrj. 'o /"° / rSin.sx \ Sin.pxdx ir , n ji ( — r)" ƒ Ardy. — --^^ — 7 = ^ (ePV — e-P?) i ( 1 + r e-ï«) — — eW 2 é-«?^ + ƒ \ 1 + »■ ^os, sxj q ^ -\- X- 4-g 4-7 l n o n '' i — »•)" + — c-P'!2- -e'"!", (1363) 4^ 1 n ^ ' C^ I rSiti.sx \ xCos.pxdx n , ,,,-,, / Arctg. ---—- —'J—r = - i^P' + '-'"') ^ (1 + ƒ \l -\- rCos.sxj q^-\-x- 4 n '' ( — r)« r e-i^) ePi S ~ e— «?« ■ 4 1 n — -e-PI^- —e'"i\ 1- fractioniiairel (1SG4) 4 l 71 *-s J ^ ' n n d-}(—r)" n i, (—»•)" ,p , = _ fcpq -f e~/> 5 (*•), on peut eu faire usage pour les applications suivautes des tliéorèmes II, (182), (191), (195) et (196) (puisque ici de nouveau p ne peut être ^ es). xVlors on aura : / ^ — ; Cos. (r Cos. sx) dx = -2 -^^^^ ( — 1 )« e-2'"/' = - Cos. (r e-?') , f q^+X^ ■' ' ' r/ o 12"il' ' q rSin.sx _1_ Q~rSin.sx q'^-\-x'- q 'o / ^^+.«^ '■—■'- 2q Sin.irCos.sx) dx = -Si7i.{re—'i-'); (T. 3!j5, N^ 7 et 5); (irSin.sx _1_ g — r.SVii sr jj Cos. [r Cos. sx). Cos. px dx =• — {ePI + c-P ^ ^^2 o 1^"+'''' 2 o 12n+I(P '' ^ ' Dans les intégrales (13G6) et (136S) on a p = 2 c/« +;y,OX />'< 2s, dans (13G7) et (1370), p= (2^ + l)s4-p', p'<2s, dans (1369), p -- 2rfs-et dans"~(1371) /> = (2tZ+l)s. 'De même les développemeuts C. P. 106, 108 ont la foriiie cpg (.«), de sorte que par leur substitution les formules II, (183), (189), (201) et (202) devieunent: /^ QrSin.sx g — rSin.sx ao f^n+i xCos.irCos.sx) dx = n^ -(— l)"e-(2n+iy = 7t {Sin.(re-J^) — rcH, ^2l_^,2 ^ ' j 12n+l/l^ ■' l ^ ^ J' O /"^ orSin.sx Q—riïin.sx i 2 « SiH.(r Cos. s,r) f/,v = TT {1— Cos. (r (;-?')), (T. 39.5, N\ 6 et 4); o ƒ* gr.Sin.sx g— ruin .sx 7j Cos. (r Cos. sx]. Sin.px dx = — (ePI — e-P?) Sin. (re—'J^) — o —~eP'J2— (-i;"e-(2«+0?s+— e-P7^*|^--— (--l,"É(2H-i)?sr„=(2cHl)s+7'>'<2sl.(1372) /°° gi-.Sin sx g— rSin.sx TT n '^ »'2" Sin.{rSin.sx).Sin.pxdx=~{e~P'i — cP?) 6'c)S.(re-(l'«; -j d'?2" {—l,»e--"P — q'^+x'^ 2j 27 o l-"'' o - ^'^e-M-^ [2^(-l)"'^""^'' b = 2c^* + p', P'< 2s,] (1373) PaM .500. ET METHODES D'ÉVALU.VTlOiN DES INÏÉGRALES DÈFINIES. Hl. M^\ '25. NM2, 13. ƒ* ^rSin.sx ^^ g — rSiti.sx ^ ^ A' Cos. [r Cos. s.v). Cos. px dx ^= —{eP'i + e— Pi) Sin. (r e—?*') — q + X 2 o 51 TT (/— l ,.2n+l = - (eP9 + e—P'i) Sin. (r e-i") ePi ^ ( — 1)« e-l^n+O-?» — ■jl d j.2«+l ~i'"''''f ïi^^i^"^^"'''"^'''"' [^ ^ (2'^+l)«]. • • • (1375) /"^ ^rSm.sx g—rSin.sx ^ xSin.irCos.sx). Cos.pxdx = [eP't + e—P'i)Cos.{re-t^\ 4- O 7t '' 1'2" TT f^ »-2n + -eP9^-^^^(— ly'ö-^'"?* -|--e-P9^— ^(— l)»e2«7'-, [p = 2rfs + ;/, ^V < 2s],. (1376) n n d.—\ fin ^ d ,.2/i =-^(eP^+e-P'!)Cos.{re-'}")+~eP'}:SY^^{—iy'e-'^>>'i^-\--e-P'i:S~{- l)"e2«ï^ [2^=2 J«] . (1377) 13. Emplojoiis enfin les développemeiits C. P. 115 et 116, qui correspondent a la forme «Ps (*') et (Je (;e) et oü l'ou a j'^ <^ 1, et toujours p-<.c. Par la première formule les théorèmes II, (182), (191), (195) et (190) founiissent : /"" „ , , f / ^ Sin. sx \ ] c/.« TT co ( a\ n I (l-\-ZrCos.s.v-\-r^)i^Cos.\a.\rctg.i~j~ Kt~1 =^^ r" e-"7^ = - (1 + re-,-)", y ( {l+rtos.sx/ }q^-\-x^ Zq o\nj 2q o (T. 432, N^ 2); /"" ^ , „ , ^ f , / ^ '5w!. sjc \ 1 Cos. par dx n I {l + 2rCos.sx+r^)i"Cos.\aArdg.[-~-~ . , , = ~ {eP'i + e-P1) {l + r e-l")' — J ( \i-\-rLos.sx]] q^ -\- x^ 45 o TT 'Lfa\ n dla\ ^ -, — —ePl^ { r" e->>i'- 4 e-Pl 2[ ] r" e"l^, \p = ds + p\0 — e-P'i) {\-\-r e—t^Y — /^ ^ \ rSin.s.v \] Sm (1 4- 2r Cos,i!x-{-r-ji<^Sin. {a Arctn. } ( \1 4" rCos.sxji q- ü n <^ la\ Tl q o \'V 45 o \nj '- = -" ƒ" „ , „ f / rSin.sx \\ xCos.pxdx n , , . (1 + %r Cos s.i' + r ^ )'« 5iH. a Arctg. \ = - {ePI + e-Pi) {\-\-r e-?')" — l \\-\-rCos.sxj) q'^ -\- x'' 4 o TT £ /«\ '^ J. Ia\ r , . , 1 eP"?^ r»e-»?« e-P?JS^ \r"e'"i\ Ip = t^« + Pi P <. s h (1382) 4 o \n/ 4 o \"/ n n ''-' /a\ n '^ 1 a\ ^ , = -(e/'? + e-P7)(l 4-re-?s)^' eP? -2" I r" e-"?'' e-;"?^ r-'e»?', [p = rfs]. (1383) Le diflerence des intégrales (1378) et (1381), coniDie la somma des autres (1379) et (1382), de (1380) et de (1383), uous donnera eucoie: ƒ* f / rSin.sx \) d.v n {\-\-'ZrCos.sx-\-r')\<'Cos.\px-\-aArcigA—^ — ^ | ^.~7~: = — e-P'?(I +re-9«)«, . (1384) o ƒ* 1 / rSin.sx \] xdx n {\-\-^rCos.sx-{-r')Ï^Sm.\nx-\-aArcUj.\ ^ = - e-/"? (l + r e—m . (1385) (. \\.-\-rCos.sxj] q--\-x'^ 2 o 14. Dans les numéros précédents 7 a 13, il y a quelques icsultats, qui contieunent encore des séries linies, séries ïi calculer dans chaque cas spécial ; toutes ces séries out un nombre de termes égal :\ d -j" ^ ou u d, et coinmencent eu général par le zéro : par conséquent, aussitót que d est zéro, les sommations de O a d se coniposeut d'un seul terme pour d zéro, eu général très- simple, tandis que eucore les sommations de zéro h. d — 1 sont uuiles. Or, ce cas se présente toujours lorsqu'on a p plus petit que s dans les N". 10, 11, 13 et plus petit que rs dans les Numéros 9 et 12, pour des valeurs respectives de p. On obtieut donc alors des résultats bien simples. 15. Passons au groupe de théorèmes II, (203) a (219), oïi Ton rencontre le dénominateur 5'^ — a;^ au lieu de q'^ 4-*^ qui se trouvait dans le groupe precedent, et comnien^ons par la substitution des développements C. P. 95 dans les formules II, (203), (208) et (209), (212) ;\ (215); il vient: 1 — r Cos. sx — r« Cos. asx + r''+' Cos. {{a — 1) sx] dx n "--} — — ■ i ■" — ^ = — ^ r" om. nqs = 1 — 2r Cos.sx -j- ''■ q^ — '^■■' 2'y o n r Sin. as — r" Sin. aas + j'^i+i Sin. ((a — 1 ) ns) = i—^ i^^ '-^^, .... (1386) 2q l — 2rCos.qs-\-r'^ 1 — r Cos. sx — r" Cos. asx -}- r" + ' Cos. ( (a — 1 ) sx^ Cos. px dx 1 — 2r Cos.sx -{- r'^ q"^ — x- n 1 — r Cos. qs — r" Cos. ags + r^+i Cos. {{a — i) qs) . , = —-s^'-r? \ — 77^ — -^—, — '^ . Lf>(«— i)«J'-(i'^^7) 2^ 1 — 2r' Los. qs -\- r' = Page 502. f ET MÈTtlODES D'ÈVALU\TlüiV DES mTÈGRALES DÈFINIES. 111. AP. 25. N°. 15. 31 Sinpq.{l-rCos.fis)—r'^+^ Sin. ^'p-ds—s)t/'^ +r<'+2 Sin. {{p—ds)(j'\ —r" Cos.pq. Sin.a(is-\-r''+^ Cos.pq.Sin. ((a— l)(/s} 2(1 1 — 2rCos.qs-\-r'^ [p = ils + p\ rf<(a— ])s, 0(a-l)4 (13SU) 2 1 — -Zr Cos. qs -\- r- "- -' TT 7t , 1 — rCos.qs — r"Cos.a],.(l:390) 4 2 1 — 2j' Cos. '7« + '" TT Cos.pq. {rCos.'jS — 1 )-4-7'f^+l 6'os.{(/i — ds — s)ii] — r^+- Cos. [\p—ds]q] —ySin.pq. Sin.aqs-{-r''+^Sin.pq.Sin.{{a — 1)7*) ~2 l—ZrCos.qs + r' - ' [p=,ds+p', ,;Qs = TT f 1 — r Cos. qs — r" Cos. aqs -\- !■''+• Cos. |(a — 1 ) qs'^ "1 = - 'il — ' 1, . . . . (1393) 2 l l—'ZrCos.qs + o'' j ^ ' f"' rSin. sx — r" Sin. as.v -\- r«+ 1 Sin. [(« — 1).m-| q Sin. px dx I 1 — Zr Cos. sx 4- r'^ o^ — «^ -o TT ^ r Si7i qs — r" Sin. aqs 4- j-a+i .S'm. ({a — 1 ) qs] , = - 5 ^'''■P'J 1 J^ T". •■ Vp >(« - 1) ^J. ■ (1 39i) 2 1 — 2?' Cos. qs -\- r^ •- = n—rSin.qs.Cos.p(/—r^'-r^Sin.{(p-^ds — s)q] +r^'i--Sin.^{p — ds)q] +r''Sin.pq.Cos.aqs—r'^+'^Sin.pq.Cos.{{a — l)r/s} ~2 l — ZrCos.qs + r'' " ' [p = ,/s-f p', d c, qui a una valeur infiiiie; ainsi les théorèmes II, (203), (209), (214) et (215) fournissent: 1 — »•* qdx » ^ rSin.qs Z—; , — 7—-^ ~=0-\-iT:2r"SvKuqs = n — , . . (1400) l — 2rCos.sx-\-r-q-—x- , ^ 1 — 2rCos.qs -\- r^ ' f o ƒ o f (1 — r- ) r Cos.sx qdx l -\- r' r Sin. ~2rCos.ix+ r^ «7^ - 1 — 1'^ q Cos. px da \~ZrCos.sx-\-r'^ q'^ —x"^ Z \ — Ir Cos. qs -\- r- ' o (1401) 1 — ~r Cos. sx -\- r'^ q'^ — x'^ _ ^ (1 — r'^)Sin.pq -\- 2r'<*■], (1406) Pacre 504. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. ^V". 25. N\ IG, 17. 71 , TT (] — r-) (r<'— ' — Cos. QS. Cos.pq) ^ , -, ,, .nr,s üe incinc la supposition cpn U) = -r^ ; doimera d'après C. P. 9S et les 1 — Zr Cos. s.r -{- r^ théorèmes II, (201), (211), (2 IS) et (219): 1"° r Sin. sx .vdx n r [r — Cos. rjs ' / 1 — 2r Cos. sjc -{- r- /]''- — x- 2 1 — 2r Cos. qs + »' ^ ' o r Sin s.v q Sin. p.v cLv (MOS) f r Sm s.v J l — 2»' Cos. S.V _|_ ,.2 y2 ,j,2 n —rSm.qs.Cos.pq + r^l+i Sin, {{ds -\- s -p)q] -\-r'l+'-.'iin.{lp -ds)q \^ r ^_^^^_j_^^,^ ^^,^ n^ _ ^j j^g^ 2 1 — Zr Cos. qs -I- r- ' L ' J' ƒ>- r Sin. sj; x Cos. p.v d.c 2r Cos. s.v -j- 5-2 q^ — x'^ 'o n r Sin. pq. Sin. qs-\- ;-'^+' Cos. {{ds + s—p)q} —r<2.9],. (]414) 1 Cos." sx. Cos. asx' '- '- = — — Cos.pq. Cos." qs. Cos. aqs,[py- 2as^, (1415) o ^ ^^ " — Cos.pq. Cos." qs.Cos.aqs^ j^p = 2as], (141G) Pase 505. " 64* II[, M"*'. 23. N'. 17. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, n TC '^ I a\ = -Si7i.pq. Cos.''cjS.Sin.aqs — • -2" Cos.[{p — 2iis)q], [p = 3c/i'-|-//', (/qs\Sin.aqs, I p > 2aA- , ... q- — X- 2 *- = -^ o = — - Sin.pq.Cos.<' qs.Cos.aqs— —-^^ I 5m. {{p—Z7is)q],[i>-='2.ds-\-p', d<^a, 0 2asl q"^ V- 2 ■- -" o = — -\- - Sin. pq.Cos." qs.Sin. aqs, ip = ias\ .... T TT I Ct \ = — —Cos.pq.Cos."qs.Cos.aqs-\-z^^ 2 \ Cos.{{p — 2?is)r/], Yp = 2ds-\-p', d<^a, p'<2«],. = - 1 Cos.pq.Cos."qs.Cos.aqs " ^ (^] + ^^ (^)^«'^^- (('^-«) 2?«} , [p=2ds. l2asj, •o = Cos."qs.Sin. { {as—p} r/) -}- -^ JS" | Sin. ((p — 2ns] q] , [p = 2ds + p', (Z < a, O < p' < 2s], 2 '•'' o Vw ■• — ^°^ oCosA(as-\-r))x]dx tt „ , . ^ Cos."sx- i^-iXZ-i— = _ Cos."qs.Sui.{[p^as)q)Sp-::>-las, et p=2f/s+p',0': /Cos." sx.Cos.rx — = ~ Cos."qsSin.rq, [r>asl, ....... (142G) q'^ — x^ i o := — -Cos."q.^.Sin.rq+—^:i:r]sin.{ias—2ns — r)q}, [r < a,s]. . . . (1427) Paso 506. ET METHODES D'ÉVALUATIOX DES hNTÉGIlALES DÉFINIES. III. ^^'^ 23. N'. 17, 18. De mêine Ia somine et la difierence des iiitégrales (1-H5) ;\ (1418), et de (1422) :\ (1425) donneiit cncore: ƒ"" xSi7i. {(as -\- p).r) (Iv n Cos.'' s.v ^^ ^— J — = _ - Cos." qs.Cos. {{p +a«)ry] , rp> 2as et p = Zds+p', p = Zdsl, o ƒ X Sin. {{as — p) x\ dx n Cos.osx '^\_;; ^ = --Cos -qs.Cos. [{as-p)q}, [p > 2a.], — - Cos." c/S.Cos, {{as — p) q} — ^_ ,[p=2as],=~~ Cos." q^. Cos. {{as — p)q} + ■*" S 4" («) ^'"' '^^^' ~ ^"'^ '^^ ' ^^' ^ '^'^' "^ '''' '^ ^ ''' '''<^'^']' I (7os.« qs.Cos. {{as - p) q] - ^ Q^ + ^a^Ju] ^''- ^^'^ " " ) '''^^'i ' ^ = •2^^*'' '^ < «] J d'oïi en "énéral ƒ Co5." SA'.Sin. nt' — ;- = Cos." qs.Cos. qr, \r^as\ (1428) qi — _^,-2 2 L j ^ / = — - Cos.«(/s. Cos. (J-r + ^-^, [r = a.s] (1429) TT TT " /a\ ,7' = — - Cos." 7S. Cos. qr-{-~^{ Cos. {as— 2ws— »•) r/} , [-fiactiotiiiaire, ^-'i' Sm.{rSin.qs), (1432) o /^ y, , ^ qCos.pxdx TT ^ TT '' r" ertos.s.T los. {r bin. sx) — y- = - Cos. pq.e'<-''"l' 6ln. {r bhi. qs) + - ^ — 6'm. {(/> — 7is] q] , q — X Z 2 o 1" o [/' = ds-\-p', 0Cos.sxStn.(rSin.sa-) -~ — — = Sm.pq.e'-Cos.rjsCo,.(rSinMs]+-:S Sin.Up--- 72s]q], if- — x^ 2 2 o 1"'' o \P = 'h^p\ 0s.qsCos.{rSin.qs) + ^ ~A-'t:E~ Cos. {{p — ns)q]Ap = r/s] . .(1439) Encore la clifleience de (1433) et (1137), comme la somme de (1431) et (1438), de (1433) et (1439), fournit ici : e^<''os-^=^Cos.{p.v-\-rSin sx)-—-^^—; =='^- e'-'o'^-'lsSin.ipq^rSin.qsy ..... (1440) q - X- ;., o e (^o''"-- Sin. (jjx + r Sin. s.t) ^_ '^ '' ,^ ^ — ^ C-C'-o-vsi^ös. (/j^ + r ^ïh.^.^), [/j = ffs -f- p'j, ,(1441) 71 »■'' TT ^ 2 Y;;^-2'^'^""''^''^'- {r? + rSin.qs}, [p = d,] (1443) 19. Emplojoiis Ie développemeiit C. P. 109, qui appartieiit ;\ la forme 'ï- («); o" ya r^ <1, et /) toujours moiudre que c; doiic h l'aide des théorcmes II, (20;5), (209), (214) et (215): l(]-^-ZrCos.s.v-{-r'-)-f -=_7i^^ ^-^ Sln.nqs = n Arctg.l z^ — , [255] . (1443; q-—x^ 1 n \l-\-rÜos.qsj [35BJ Pour r —- ± 1, suppositiou permise ici, on trouve: l[ZA=tzCos.sx)]—^ = nArdg.l - = - n q.^ on = -niqs—n). . .({U4, 1445) q' — ^■" \\do(os.qsl 2 2 sc4oii qu'on a Ie signn -|- on — Pa^e 508. ET METHODES DÉVALUATION DES IINTÉGRALES DÉFIXIES. III. M'""'. 25. N\ 19^ 2Ü. /■'■" qCos.pxdx l rSin.qs \ '' I — »•'/' / l l-{--ZrCos..s.v-{-r'-) —=^ nCos.pq.ArctffA -— — — n^ Sin. {(p— ns)r/\ ,. (1446) f tj'^ — x' \l-\;-rCos.qsj in -o /■* xSin.pxdx 1 r Sin. os \ j Z ( J + 2r Cos. M + r^ ) '—-- .-= TT Sin.pq. Ardg -f ƒ q'- — X- \\ -\-r Cos. qsj 'o cl ^ — ^yi p + Tt ^ Cos. {{p — ns)q], \- fractioniiaire], . . . ; . (1447) 1 '« 's -* / rSiii.qs \ tt '' ( — r]" I r.'^ui.qs \ TT , " I — ri" ,p = Tl Sin. pq. Arcta. \ —- -' — + ^, ( - ^') +^^ ~ Cos. ({p - m]q] , - eiitierl . . (1 44S) \l -\- rios.qsj zd in ^ ^ 's -" Au contraire Ie dtiveloppement C. P. 112 appartieiit u la forme q „ (x) et doune par les formules 17, (204), (211), (218) et (219): ^"^ / '' Sin. S.V \ xdx ■Ji Arcty "— ^^ ; = — .^(1 + IrCos.qs-^T^-), (1449) \ 1 + r Cos. sj-J q^ — x- 4 o ƒ* / 1'Sin.sx \qSin.r)xdx n vr '^ ( — r)" Ardg.l ■—— Y-V-^. =-~Sin.pq.l{\ + IrCos.qs + r^)—.^ ^- '- Sin. {{p-qs)n} , . ( 1450) \\ -\-rtos.sx j q x'- 4 Z \ n o r* / rSin.sx \ xCos.pxd.v n I ^''''^^'J- 7~, ? — i r =" —-Cos.pq.l{l + ZrCos.qs + r-) — / y 1 -j- r Cos. sxj q^ — ,v^ 4 O 1 '' ( — '';" r -1 r?"" • • I ^ Cos. {{p — qs]n\, I — fractioniiaire I (1451) 2 i n '- s ' ^ , ^ , ^ "^ ( — '')" -> r/-* • ■> = Cos.pq.l{l-{-Zr CüS.qs-\-r'-) — — ( — »■)'' ^ Cos.[(p — (^.s,kJ, j— cnticrj ; . (1452) 011 p = ds -\- p' et aussi r- rSi".sxA.f> — >Sin.sx Tl -j) j.2;i ^^ — rSin.qs grSt'n.qs ƒ Cos.{rCos.sj;)dx=- SS ^-r Sin.2nqs = Sin.{rCos.qs) ,.(1453) / q^ — X- q o 1'^"/' q 2 O J'" grSin.sx A^ g—rSin.sx Tj- grSii).qs g — rSin.qs Sin.[rCos.s.r}clx=— Cos. (r Cos. qs), (1454) 9' — x"^ q 2 O Sin.sx _|_ g — rSin.sx Tj- g—rSin.qs grSin.qs Cos. ()• Cos. sx). Cos.px dx = - Sin. {r Cos. qs). Cos. pq -{- q'- — x' q 'O d ,,2n + -^i'i/7(- ')"''^"'- ÜP --'"') 9) > [P = '^^ + P\ Z''<«J (1455) q o i- ' ^ grSm.sj; _1_ g — rSin.ax ^ grSinqs g — rSin.qs ƒ■" gr ^m.sx _j_ g—ii,in.sx ^ Sin. (r Cos. s.r). Cos. px dx = - 9- — *'- q Cos. {r Cos. qs). Cos. pq -{- + -^^-^^-~^^i-l)"Sin.{{p-2ns-s)q}, [p = ds + p', p'<4 . (1456) grSin.sx _L g — rSin.sx g—rSin.qs gr Sin. /^ griiin.sx _L g — r.bm.sx Cos. (r Cos. sx). Sin. px dx = n Cos. (?■ Cos. qs). Sin. pq — — TT ^ ^— (— 1)« Cos. {!p — 2ns) q] , [p = 2ds + p', p' < 2s] , . . . ( 1 457) o 1-"' ' t> — rSüi.qs grSi'n.qs 7jf_/»2|rf tl j,2n Cos.[rCos.qs).Sinpq+---^^—n^~'-l/'Cos.[{2,-2ns]q],[p=2ds].. {IV08) f 5 ' X tl r2n+ 1 o -;; X Sin. (r Cos. sx). Sin. px dx = n Sin. [r Cos. qs). Sin. pq — -7r^f,----(-l)»6W.((p-2«s-.)7},[p=(2rf+l). + p',2y<25] (1459) ^in.qs ft — rSin.qs ^jj. ( }.l"d Sin. [r Cos. qs). Sin. pa A — ; d ,.9h4-1 — 71 -S" (— 1 )» Cos. {{p — 2ns — s) q), [p = (2d + 'i)s]. . . (1460) Eiicore a-t-on les développements aiialogues C. P. 106 et 108, qui sont de la forme q^ (x), de sorte ijuc j)ar leur usage Ips fhéorèmes If, (204), (211), (218) et (219) devieuncnt: r' Sin.sx p— rSin.sx ( grSin.qs \g~rSin.qs xCos.{rCos.sx)dx=^n IrCos.qs — Sin.{r Cos.qs)] , . (1461) /"grAin.sx g—rSin.sz CgrS/ii.qs A. g—rSni qs j i ', xSin.{rCos.s.i:)dx = n { Cos. [r Cos. qs) — 1, , . . . . (1462) Page 510. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M!^'. '23. N'. '20, 'il - f'" grSin.sx g — rSiii.sx ^ e"'^'" ?' -f- g— ''S'" ?« ;; Cos. (r Cos. SA'\ Sin. px d.v = Sin. (r Cos. qs). Sin. pq -\- q^ — x'- q 2 o + -^l'o^,]i(-l)"*5"'-(0'-2n5-s)ï}, [p = (2 (,rSin.sx ^—rSin.sx „ (.rSin.qs J^ g-rShi.is 1,^ Sin. (r Cos:s.v). Sin. px dx = — Cos. [r Cos. os). Sin. po — q^ — *••' q 3 \ 1 I I I n " r d ,.2« ^^i^(- ^y'^'"- {iP-'^'''yj}' \P = 2c/s + /y, p'<2s] (1464) q o l-"i' ƒ'" grSin.sx g — rSin.sx . giSin qs _L. g — rSi'n.q^ [ X Cos. {r Cos. Fx). Cos.px dx = — n Sin. (?• Cos. qs). Cos. pq -\- d j.2n+l + ''^T^;;;iT7A-^)"Sin.{{p-Zns-s)rj], [p = {-Zd + \) s -{- p' , p' Sin. {{p — ns] q] , 2 (. \l -[- r Cos. qs j ) 2 o \W/ [p = ds+p\ ps = 4 . (1479) 22. Quant aux intégrales obtenues aux N'. 15 a 21, il y a la mème observatioii :\ faire qu'au N°. 14, car les séries que ces valeurs contienneiit parfois sont toutes finies, et peuvent ainsi aisé- ineiit être calculeés : mais'cn outre elles s'évanouisseüt ou se réduisent a uii seul terme, toutes les fois que Tod a p plus petit que s dans les numéros 18, 19, 21, et plus j^etit que 2.'ï dans les numéros 17 et 20. Les intégrales déduites ici N°. 7 ;\ 21 sont toutes nouvclles h. rexcepiion de quelques-unes, mais elles sont assez intéressautes j^our niériter une place, surtout en ce qu'elles font connaitre 1'influence, que peut avoir une relation entre les constantes d'une integrale définie: iuHuence, qui est tont aufre auprès -d'intégrales de même forme, et qui même sj annule quelquefois, sans qu'il soit facile de présager ces divers faits. 23. Apiilications de 11, (222), (223). Pour .f- (.r) = (1 +ra)-« on a par II, (222): o 1 A'P-i(l— a-)?-i — — -^ — óx = V,{p,q){\-\-T)-P, (T. 4, W. 15); celle-ci deviont pour »4-(7 = l, ( i -f- rx)P+'l '- ' < i f comme alors B{p,q) = Sin.prj: (voyez Méth. 4, N'. 6, Note, form. Bj: ƒ ' .t'P— 1 dx 71 1 — 5 1 ,-, TTT ~ = 7^ vr7"V • (T- 6, N\ 2). Foui- q = ,p = l +-s,r =-. —r\ on a (l—x)P l+ra Sm.pn.{\-\-r)P ' 2 ' -2 , "" a ■r'" dx 1, /-+* 1 — *\ (l — »-)~'—(l +'•)-* /' xi'^dx /2 +5 l — s\ ire: / p = = B — —, | J [{l-TKv){i—x)]H^-rs} \ 2 ' 2 y 2rs (T. 16, N\ 7). Pour la nióme valeur de (( {x) la formule II, (223) nous donne ƒ ' e-9i xP-'' dx 1 «> a"n p^n 7rT^ = ?.'-""frsV'" <'""' La substitutiou des développements C. P. 07 et fiS dans Ie tliéorèine N, (223) fait évanouir les Aon-i-i et les A2,i respectivement, et Ton obtient: e-9^xP-^Cos.rxdx=^-^^-T[i,,^i—i-iy\-^^ ,j ,-...,.-. &«.«v/.=^^^r(,)^^(-l,«-j .[256]. ü o [256] Pour ;) etitier o;i Iroiivc cctle clernJL'rc intégi;ile T. SS6, N'. 11. Page 513. 65* 111. W\ 23. N'. 23, 24. theorie, propriétés, formules de transformatio?*, Preiiez-y r = aqi, emijloyez les développemeuts C. P. 63 et 64., remettez la valeur de «, il vient: /"-.^ .P-> Cos. r. clc = r (.) ('?+-0^+(9-WP r _^,^_, ^,. ^ ,._^, ^_^ _ ^ (^+n^-(,_^P 0 o (T. 3S6, JM". 10 et 15), d'oü encore pnur r = qTang.u: 1 Ê-?^A'P-l Cos. [qx Taihj. u) dx = q~P T [p] Cos.P u. Cos. pa, j e-'J'^ .i'/'--i Sin. [qx Tang. «) dx = '^ -o = q-i>T{q)Cos.Pa.Sin.pa. (T. 386, N^ 20 et 16). [257]. Pour t^{x) = Cos. (2 ^/ ra) les théorèmes II, (222) et (223) deviennent: ƒ .,;'-! (1 - a-)'/-' Cos. (2 1/ n.) dx ==B[p,q)È ^-^-^ f' (4r)" (USl) o ƒ e-?-^.«P-iCos.(2j/r.r)f/.t' = ~-r(p).2'^^ -^ ^ — (4r)" (1482) y qP o 1-"' 9" o Pour Ie cas spécial de p = ^ on acquiert : ƒ' du; o. ( — 1 )" r" {l—x]i--^Cos.(it/rx)—- = B{'q)^^~ / _ -, (1483) o ƒ e-?^Cos.(2i/»-^)— -=— -r('):S'^^ — -^ - =e (2px) = Sin.2p.v, ou a ' 1 o 1 + 4ö- 0 o (T. 278, N\ 6, 7). [263]. o f" 1 •« 32«/2 / Cos.Zpx.e-''dx\/x = -[/n.2 — — p^"{—l}'\ (1494.) O r" dx » 12n + I,2 o f^ dx rr, I2nl2 ƒ Cos.2px.e-'^—-= ^TT.^-— -p2«(_i)..^ (1496) J yx o 1 o / Sin. 2pj.;.i-rfj;= —2 ^-^ — (— 1)", (1497) ƒ Co«.2p.r.^tAr=-^;^^^;-P^f^-^^(-l)» = -f-S;.(2/,). (T. 301, N\ 1). o(2n+l)^l2«/i^ ' 2p [263] Déja tiouvcc plus gciiéialement, Mcth. 4, N''. 11. — =^-ê-»« PaM 516. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÈGRALES DÉFLNIES. lil. iM''". 'I'i. IN'. 1^ ± SECTION CliNQUIÉME. METHODES, QUl RAMÈNENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉUENTIELLES. § 1. MKTHODE 24. PAR UNE ÉQÜAÏION DIFFliRENTIELLE DU TREMIER ORDRE, 1. Lorsqu'il est permis, daprès N'. 30 de la Première Partie, de diderentier uiie integrale définie 1 par rapport ïi une constante quelconque p, il se peut ijue Ton tombe sur une integrale définie qui est connue d'autrc part: et dans ce cas on obtient 1'équation -r- =/(p). Or, Tin- tégration de cette équation par rapport u p nous reconduit alors vers l'intégrale primitive 1: c'est la Methode précédente dixième. Mais en second- lieu la diflerentiation par rapport a la constante p peut donner une integrale, dont la valeur n'est pas connue, mais qui est une fonction quel- conque de riutégrale primitive: alors on a - j- = f (l) -\- '}• {p), équation diflV'rentielle du pre- mier ordre. Il nous reste a l'intégrer; et si cela nous réussit, nous trouvons tant Tintegrale I, que sa diflerentielle j-: lorsque au contraire cette intégration iie réussit pas, on n'a qu'une relation entre une équation difierentielle et son integrale sous forme d'une integrale définie. En tous cas la dernière intégration implique l'addition d'une constante arbitraire; sa détermination donne lieu ici aux mêmes remarques qu'au N^. 1, de Méth. 10. [264], J r^r. e X' dx donne: — = — ^Q I e ■<■— = — ^9 ~ / dq J X^ q) r '"'^. (7 dl dl par la substitutiun de x = -. On a donc : — = — -21, d'oü ~^ — 'Idq: son integrale est y dq l r 1 ll = — %q-\-C; I = Ce-2'y. Pour q zéro on a (Méth. 4, N\ 7): / c-^-rf.r = i/ti = CeO = C, o ^"_r2-9" 1 —Xdl ["^^x-^rdx I e r^ d.f =-6-2? i/7T,(T.37,N'.2) [2(15], =/c x^ „-=— c-2'/j/7r,.(149S) 2 2q dq J x^ 2q [264] De cette methode, comme des deux suivantes il a été fait un usage frequent et utile dans les deux Mémoires de Helmling : Transforraation und Ausmitteluug bestimmter Integrale. Dorpat. L.vakmax. 1851. 35 S. 4'. — Transformation und Aiismittelung bestimmter Integrale mit besonderer Riicksicht auf grösscre Werthe der Griinzen und iniplizirten Constanten. Mitan. llEïiiEK. 1854, IV et 140. S. 4'. [265] Voycz encore Méth. 17, N\ 18. Pai^e 517. III. M''. 24. N', 2, o. THEORIE, PROPRIÈTES, FORMULES DE TRANSFORMATION, clou pour x = q;/: f e ^ •" f ~^ = -e-^li/n. (T. 126, N". 16). [266]. J y " o /■* dl ["" 1 r=° 3. Pour 1=1 c— ?'°^- Cos. Iqxdx ons.: — = — 2 ƒ e—P'^'Sin. Iqr. .rcLv = — | Siti. 2q.r. d. e-i'^^" = J '^ï ./ P'V o 0 0 = ~7 [e-r^- Sin. 2 .^.r} — 2? ƒ e-P"-^" Cos ï^a- (^,v] = — (O — 2^ 1) = — ~ I, puisque Ie terme in- 0 tégré s'cvanouit pour les deux limites O et co de ic, e—P^' étaut zéro pour x = y., et SinZqx dl —2qdq o^ _q2 zero avec .r. Oii eu déduit — = , d'oü par 1'intégration : ZI = — ^^ + C', 1=0 e p'^. I p"- p- r ■, ■> 1 Or, pour o zero Méth. 4, W. 7, doniie : ƒ e~P-^' dx = — t/n = Ce" = C, donc : o I = 'o I e-P'^^'Cos.lqxdx^— e /-^ j/jr. (T. 2S0, N'. 4). [26 7J. [266] On pourrait aussi la dctcniiiiicr par Mctli. 1 : l e xi dx = e~1 j e \ x) dx. Mais o o la substitution de a;-j-- =^ doune uu rainiuuim pour 2 = 21/17, eutre les deux limites -\- co et -|- en de X :: et il faut substituer dcs-lors dans les deux iutégrales partielles par rapport v. z entre les limites co u 21/17 et 2 (/ (7 ïi cc, respectivemcnt dx ^^ , ? ds et dx^ \ — \- \ dz. ' ' ^ ' ^ U 2x/{z^—^p^)\ U^2i/(5^-4;9-')j r-x"--^'' r-[:,-.i\- Toutefois OU peut aisément éviter cette difliculté en. c'crivant ƒ e xi dx = e~^l } e \ x) dx' (j 'o la substitution de x = 2 donuc a present — co et -f- oc comme limites do i, sans aucun minimum X intermediaire. [367] Autrement déduite Méth. 23, N^ 3, 23 et Me'tli. 32, N^ 8, Mcth. 43, N'. 10. Laplane la déduit encore au moyen de l'cxpression imaginaire de Üoa.iqx comme snit: I = - I e—p''^'{e'^'i^>-^e-^3^')dx=- j e-p'''x-+'iqxi dx -\- - f e— Z''^'— 2?« ( Dans la première il preud px i ==■. y, avce les limites et <» de y, dans la SRconde nx A--i ==. z avec — ' _ /> ^ ^ P ^ - P P et co comme limites de z. Or, il u'est pas évident que pour x infiui on puisse prendre les limites supé- rieures de Ji et de z réelles et infinies : mais lorsqu'on passc celte objection sous silence, il vient: PaM 518. i:t methodes üévaluation des intêgrales dèfinies. III, ]\P. 24. IS". 5 — 5. — = / e-i>-^-S{n.9.qa:xcLv^-^ e p^\/n. (T. 389, N". 3;. [268]. 2 dq J 2/>' o ƒ"" Cos.pxdx , f^I ['" xSin.pxdx . , - , , d'oii — = — / ; transfonnons cette integrale par la q^'--\-x'■ dp f 5'-+A-2 o o Methode 18, a 1'aide de l'intégrale de Méth. 4, N'. 11, i! vieiit: — = — j Sin. p,v dx j e-^!/ Cos. qij dy = o O r r o. , r . , p rcoKpzdz = — I Cos.qudi/ f e~^.'/ oin.pxdx -= — f Los.qydii — = — q \ — = — qi, J j j " P'+u' J q- ' '" 'o par l'intégialc de Metli. 4, N'. 11 et la substitutioii de qij = ps. Par consequent — = — qdp Ja et II = — f-i/-. (T. 278, W. 13). J pp o [269] Que 1'on a autrement déduite, Méth. 5, N'. 8, Méth. 18, N^ 4, 8, Méth. 25, N'. 2, Méth. 38, ^'^ 3, Méth. 42, N\ 2, Méth. 43, N'. 14. Page 519. 66 WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VlIL III. i\P. 24. N'. 5 — 7. THEORIE, PROPlllÉTÈS, FORMULES ÜE TRAi\SF0R31AT10N, or, comme ces deux dernières intégrales se détruisent (quand on suppose s = — v) el que la première a été dl donuee Méth. 6, N". 5, il vient : 2g Sin.pq. I -|- 2 Cos. pq — = n. Pour intégrer cette équation différen- dp dl tielle, supposez : I = P Cos. pq (oii P est une fouction eiicoie iuconuue de p), alors — = — qV Sin. pq -\- , dF ^ , rfP ■j-Cos.pq——, et par conséquent n = 2q Sin. pq.F Cos.pq -\- 2 Cos. pq. { — q F Sin.pq -{- Cos. pq — -)^ dp dp dF n dp n n = 2Cos.^pq--; d ou dP =- — , P = — Tana.pq -\-C, I = — Sin.p(j-\-C Cos.pq. Pour dp 2 Cos. ^ pq 2q Zq 11 ' • 1 ^ T T 1 ,-,,,-, T f^Cos.p.vdx Ja valeur speciale zero de p, 1 est uul, et par suite C s aimule ; donc on a : 1 ^ J = J q'^ — x"^ O n ^ dl f^'xSin.pxdx n „ = ^Sin.pq,--= ƒ -— ^ = --Cos.pq. (T. 206, N'. 2, 1). [270]. Zq dp J q^ — .V- 2 O t~(P+9'> x"—^ d.v, on a: — = — il e— (P+ '/'>*•'' J.k = o o «■ r i . .,"/"". T — '■«■ f^i = ƒ x^d.e-^P+l')^= n a;'' e- (;>+?'>) — r Ie— 0'+92>A''—'f/A'= I, donc — = p + qij p + qi^^ O } P + qi I o o — ri dg C , — , II = — 7-1 [p -\- qi) -\- C, I = — . Dans Ie cas de q zero, cette équation devient • P + qi {P + 50'" M'aidedeMéth. 3, N". 7 : ^ = -;donc: f e-ir+l')^x'-'^ Jx = -^^. (T. ]13,N\ 17). [271]. pr pr j (p + qiy o 7. Par les intégrales de Méth. IS, N°. 6 on trouve : xl>-'^Sin.{'^p7T — q.v)dx = O, p < 1 (1499) ƒ Multipliez par e—idq, intégrez entre les liinites a et x , et vous aurez : / [270] Sur une aiitre déduction voyez Méth. 9, N". lö, Méth. 25, N\ 3, Méth. 43, N\ 14. [271] Autremciit déi'iuile Mélh. 18, N'. 2. On Ia trouve encore sous une ferme différente: e-(p+g!)r ,vr-i dx = —^-^ (ü_m)r = ^^ -riArdg.f (,j. .^.^ Q l^, jg et 25), ip'+q'K \/(p'+q'-Y (T. 113, N^ 18). Page 520. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl, W\ 24, 25. N'. 7. 1, 2. = ƒ xP-'^Jx j e-lSin (-'- q.Adq^ j .vP-'' chc \ prr X Sin. qx — Cos. qx X {Sin. —.e—1 1 + .ï^ - „. ^ t *' (^os. — — gx\ — Sin. — — qx ^ pn —xCos.qx — Sin.qx\1='^C^ { \Z \a — Cos.'—.e-i -[ = / xP-Ulx]e-'i 2 1 +.r2 ) j f 1 +x- ) q=a 'o a ƒ'^ X Cos. [ \ pn — ax) — Sin. [l pn — ax) xP-Ulx[-e-) '-^ ^Y_^,, '' (1500) o xP—^Ox d\ /''■°„ x^dx et l+x' r ' xp-'^dx d\ r" Maiiitenant soit: I == ƒ Sin.{\pn — ax) -, alors — = — J Cos.{\pn — ax) f 1 -j- X da I 'o "o d\ dl par la formule obteuue : I -f- — ^0, — = — da, Il = C' — a, I = Ce""". Pour a zéro on da I f'"xP~^dx pn „ pn n ^ pn n a cl'aprrè Métii. 23, N'. 12:C== / Sin.'^ = Sin. — . ~ Cosec— = ~ , dom: ^ f l+.v- 2, 2 2 2 2 'o ƒ"" xP—^dx n dl r' .ti'dx n Sin. (-1 pn - ax) ^-j-^ = - e-", - ^ = / Cos.{l pn - a.i) ^-^-^ = ^ '""• ^'^- ^^'^• o o W. 14, 15). Au fond ces deux intégrales ue different pas. § 2. MKTHODE 25. PAR UNE ÉQUATION DIFFliRENTlELLE d'üN ORDRE SUPÉRIEUR. 1. Il arrive souvent qu'une seule différentiatiou par rapport a une constante ne suffise pas pour obtenir une relation entre l'iutégrale détinie primitive et sa différentielle, de sorte qu'il faut avoir recours a des différentiations réitérées. Dès-lors la relation, lorsqu'on en obtient une, aura la forme d'une équatiou différentielle d'un ordre supérieur, et ne mènera a la valeur de l'intégrale primitive que dans Ie cas oü on sait 1'intégrer. [272]. ƒ* Sin.px dx dl f'^Cos.pxdx d'^l t'^xSin.pxdx , d'ou — = / ^^—- et — ; = — ƒ q"^ -\- x'^ X dp j q^ -\- x^ dp- J ƒ o '° Sin. px dx f q — n :^ = rt- I, suivant Métli. 21, W. 3. Ensuitc on en deduit: X l q'^ — x'^i 2 [273] Dcj;i, trouvée Mélh. 18, N'. 4; encore Meth. 43, N\ 14. [274] Autrement déduites Mélh. 5, N'. 8, Méth. IS, N''. 4, 8, Méth. 24, N^ 4, Meth. 38, N^ 3, Méth. 42, N\ 2, Méth. 43, N\ 14. Page 522. ET METHODES D'ÉVALUATION ÜES INTÉGHALES DÉFIMES. III. M'''. 25. N'. O, 4. dl dl , ^ , ^ IdlY 2 — d — = ndl — 2q-l(ll, u ou i)ar intégration — = ^ I — g^ I- 4- C. La suppositioii de dp dp \dp j dl , dl p = 0 donne:— =0 (Métli. 2, W. 3) et 1=0, tloiic C = O, et par suite — =t/{nl—q-V), dp dp dl , ^ 1 . 20^1 — 71 -— -— — — • = dp, OU en mtégraiit : C -\-p = - Aixsin. , 2n- I — n — n &w. (po -\- C). |/ (ttI — q i-'; q TT Soit eucore p zéro, il vient — n = nSin.G, d'oü C= — -, et enfiu Sg''' I — n = nSin.{pq—\n) = , , ,. /"" Sin.px dx n = —nCos.pq\ c'est-cWhre l =-- / — — '—- — = -—{[ ~ Cos. pn), (T. 212, W. 17), J q- — .r-' X 2q- 0 dl rCos.pxdx n ^ f/U r.vSin.pxdx n -y^^i 2 1 ■■=ir^'''-P1'—T2= I -~r-^--= — ~Cos.pq. {T. 206, N\ 2,1). l-Zlö]. dp j q^ — x^ 2q dp^ J 1 — * ^ - ; l j o o 4. Tjorsqu'on applique cette methode a Tintégrale 1=1 — — ^ — '—, oii tvouve: b e—P^dx dl , 011 tvouve: — q- + A'^ dp re-P^xdx f/H re-P^x''dx ^ ' q- \ \ 0 0 0 tégrer cette équatioii difleieutielle, oü les variables ue sont plus séparées, comme au N>. prece- dent, supposons 1 = 1/ Sin. p^ + c Cos. pq, o\\ y et s soieut des fonctious inconuues de /) ; on en déduit par diflereiitiation : —- == qy Cos. pq — qz Sin. pq -\- Sin. pq — -f ^^s. pq -^. Piiisqu on peut dp dp dp disposer de Tune des deux inconnues »/ et s, siniplifions Téqualiou précédeute par la supposilion dr/ , dz dl Sin.pq- — \- Los.pq— == O (a), il reste: — = qnCos.pq — qzSin.pn; difie'reutions-la eiicore uue dp dp dp ^ . , dn ■ du dz iois par rapport ap et nous aurons: — - = — q- ij Sin.pq — q- z Cos.pq -{- qCos.pq-^ — qSin.pq — . Maintenant substituons tout ceci dans 1'équation diflerentielle en I, il vient: — q'-y Sin. pq — q^z Cos. pq -\- q Cos. pq~ — q Sin. pq~ = q-{ij Sin. pq -{- z Cos. pq), donc : dp dp p ^'J ^ dz 1 Cos.pq—- — Sm.pq—- = — (b) • dp dp pq La résolutiou des 'deux équations (a) et [b) par rapport a — et — comme inconnues, donne: dp dp [275] Sur une autie de'duction voyez Mcth. 9, N\ 10, Méth. 24, N'. 5, Méth. 43, N^ 14. Page 523. III. ftf'. 25. N', 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, dij Cos.pq dz Sin.p(] f Cos.pqdp ^ fSin.pqdp — = et — = — , donc y = C+ j '-^-^ et s = C' — I '~^-^ et nar dp pq dp pq j pq J pq 1 o. fr^ , P'Oos.q.vdx-i _ ^ f fpSin.qxdx-B ^ consequent I — «St«. py. |^C + j I + Cos. ?)(/. I C ' — ƒ - — 1. Pour détermmer les , , f^ dx n constantes, soit en premier Jieu p zero, alors I = ƒ = ; mais Sin. vq zero, donc Ie ƒ q'^ -\- ff^ 2q 'o premier terme du second membre s'annule. Encore Cos. pq est l'unité ; et lorsque la deruière inte- grale est censée commeucer a la limite inférieure zéro, elle s'évanouit. Tout cela nous doune: C' = r-, donc : 2q o TT Eu second lieu soit p infini, alors [ s'évanouit ; en nutre ia dernière integrale devient — (Méth. 2q 6, N'. 5), donc Ie facteur de Cos.pq est zéro: et C est nul encore, lorsqu'on commeuce 1'inté- , fPCos.qxdx gration de 1 integrale I a la limite inférieure l'iufini. Par conséquent il est : J «2'^ 1 fPCos.qxdx 1^ rTT fPSin.pxdx^ 1 = -oin.pq. I ■ — -\--Cos.pq.l ƒ i. Or, ces deux integrale q J X q L2, J x J les ne sont autre chose par définition que Ci. (pq) et Si.{pq), douc: e~P^ dx 1 /'"e-P^dx ir f TT 11 -^-p^ = - [Sin. pq.Ci.{pq)-\- Cos.pq.'^-- Si. {pqy^\, (T. 130, N'. 4), et o dl f'^er-P'^xdx 1 f ^ Cos.pq (n ) ~dp^\ "^M^ ^ ~'qV ^^■^"^" ^^"^^ "^ '^"''^'^ " j' ~ ^ ^'''^' ^"^' \2~ ^^^'^^ "^ o -^Cos.pq.h— ^^^^^H= — Cos.pq. Ci.{pq)-\- Sin. pq.'.-- Si. (pq)\. (T. 130, W. 5). [27(i]. [276] On peut encore trouvev ces intégrales par Méth. 18 en s'aidant des intégrales de Méth. 4, N°. 11 : c^xe-p^dx r r r r r dy r . ,t/5 I - , ^ = ƒ e—P^dx I e-^yCos.q'jdy=^ j Cos.qydy I e—[P+'J^^dx = I Cos.qy ~—= j Cos.[q[z — p)] —, o 0 0 0 0 o p f^qe-P^dx r r" , /" /"° r" du r" , ^dz ƒ ^ = ƒ e-P^dx \ b—^'JSin.qydy= ƒ Sin.qydy ƒ c-(P+y)^cZa;= ƒ Sin.qy-^—= j Sin.[q'z—p)} ; ; '?'+A-' J J J J J p-^y J ' ^ o OU 0 0 o p Pase 521. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''^ 25. N°. 5^ G. , „ , -r r Cos.pxdx 1 f" 1 5. On a au moven de 1 mtci'ration par parties: I = ƒ ^ - ƒ d. Sin. vx = O o 1| &M.px 1" Z"" —qxdx{a-\-\)^ 2(a + l) f°° xSw.pxdx 0 0 o iutégré s'évanouit pour les deux limites O et cc de x. Donc : y^I = 2 fa + 1) | — — — ^. et o ,.„, '/•/'l ^, , ^, f'^ic'^ Cos.pxdx d^.pl ["'x^ Sin.pxdx par suite en dinereutiant; = 2(a4-l)| -— ; , -— ^ — 2(a+l)J — -; dp 1 (q'+x^)''+^ dp^ K -r I (^._j_^^.,^Q+2' o o ^ d^.pl f^ -^ Sin. px dx d V il en resulte , ., — ;x^- 1 = — 2 (a 4-1) ƒ — — ^^ — — — • = 2 (a -f 1) -- , parce que Ton a : dp'- J (7^ +.(;-)«+i dp o dl /" .«Sin m-d« (2-. pi dn dl (PI JI — = — ƒ ;. Encore a-t-on : — = p + 2 — ,donc:?j +2 — — nQ-I = dp j [q^--\-x')"+^ dp^ ^ dp-'^ dp ^ dp'^ dp '^ = 2 (a 4" 1) — ^ OH — — P?^ I =^ '^i équatioü diflerentielle dout riiitégrale u'est pas dp dp p dp connue sous forme fiuie et qui aiusi ne nous mèue pas au but, mais que nous avons déduite, poui- faire remarquer Ie tour de calcul, qui y mène. [277]. ƒ* Sin.px dx dl f'^ Cos.pxdx cZ^I f'^xSin.pxdx : doune: — = ƒ ^ „ . , — ", TT = — / , „ . r^ r'i e-9'-\-x'- X dp j r^ e-, donc enfin Zr* /ibl7l VX dX TC 7^ = e-2?' fl_c-P«'n (1501) d\ /'■° Cos.pxdx n f dp I r"^ e-1' + A'' — e-ï'e-/»-e'\ (150-2) fZ^T f^xSin.pxJx n ■ ' ^ e-/"-'*' (1503) (PT _ r-^ X. dp-'' ~ j r- e^t -|- .t-ï 2 Dans ces intégr'ales prenous — q au lieu de <], ce qui ne change en rien Ie raisounement prece- dent et soustrajous les résultats respectifs; il vieut: /Sin.px dx n ( „ Sin. (iq 4- pr Sin. n]] '- ■ • = n eprCos.rj \ 1 l I ^^1 C15041 r' + -Zr'x^Cos.2q + x' x 2r« 1 Sin.Zq j' • • V 1 o ƒ* Cos. px dx n^ _ Sin. {q + pr Sin. q) /"" x Sin. px dx r-» + 2r2 .«* Co«. 25 + «^ ~ 2r3 ^ Sin.Zq '/ r* -'t 2rKv'' Cos.Zq + x* ~ o o TT Sin. [pr Sin. q) ^ ——- e—V Co$.q _ (X. 210, N^ 8, 7). Comme il est i)crrais de difierentier eucore 2r* Sin.2q ■ , /"* x''- Cos.pxdx n ^ Sin. (o — prSin.q) deux fois, on obtient aiusi : ƒ ' = — g— prCo^.?- /v -{-2r^ x"^ Cos.2q -\- x'' 2r Siri.2q /■"" x^ Sin. px dx n „ Sin. (Zn — pr Sin. n) I -^ ==_e-prCos.<,— l^L_i ^. (T. 210, W. 10, 9). [2781. j r'' + 2rKv^Cos.2q + x' 2 Sin.Zq ^ ' ' ^ L J [278] Lorsquc dans les intégrales da lextc T. 210, N'. 8, 10 on prend r* Cos.2q = s"^ ,r'' =s^ +<*, l/(s^+P) + sï . l/(s^+P) — s^ r Cos. q = y — = X, r Sin. q =y/ ^ ■ i= f,, d'oü encore r * Siti. 2q = t, r'^ = ?.ï +,'«^) il ^icnt pour T. 210, N°. 8 et pour Ia sommc de cette integrale et de ï. 210, N". 10, multiplice par r- Cos. 2q : Cos.pxdx n e~l''' = (u Cos.p tl + ISm.p u) (1505) Cos.p.vdx = {XCos.pu — uSin.pn). . , (1506) i I Pour p = 2s on a T. 210, N'. 6, 5 (après y avoir corrigé la dernière). Pasre 526 ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''". 25, 26, N'. G, i, '2. Pour la valeur zéro de (] les secoiids membres cleviennent tous - : par la lègle usuelle dans ce cas on obticnt: /■■^ Sin.nx da n f 2 4- jw) 1507) ^°° Sin.nx dx t f 1 A- pr] -'— T — = \—e-l"- -^^ , (15 o • ƒ■" Cos. px d,i; n 1 -\-pr /"" x Sin. px dx n pr p n /"" x j {r-+x''y- 2r3 2 / {r- + x')' Zr- 2 4r J { px ax [T^+X'Y 1 — pr f'^ x^ Sin.pxdx n 2 — pr n 1 — pr f x"" bin.p, = —e-I"- — -^ , / = - e-P'- '—. (T. 208, N'. 7, 3, 8, 4 . [2791. 2r 2 j {r' + x'-y 2 2 ^ - ' - ; L J o Pour (/ = — au contraire on a Cos. 2q = O, doiic, lorsqu on prend 2p pour p : 4 ƒ■" Sin. 2px dx 11 ( i -Y^- = 7^U-e-pr\-Cos.ipri/Z)\, (1508) r' -\-x' X 2r^ (. I u C^Cos.^.pxdx nl/2 , ,„ ^ , ['"xSin.Zpxdx n ,,„„ / I ==-l^e-P'V^~[Si>,.{pr^/2)+Cos.{pr^/■2)]J J = — .-/"■'/'-^&n.(prt/2). / r*-j-ve' 4»'- / r^ -\- x^ 2r"' o . o f'^ X- Coü.Zpxdx tl/2 . .-^ „ , f'^ x^ Sin.2pxdx n ,' „ o o (T. 207, N^ 5, 7, 6, Sj. § 3. JIÉTHODE 26. PAU DEUX ÉQUATIONS DlFF]iKEMTIELLES SIMULTANliES. 1. Quelquefois il se peut que deux intégrales définies soieut de telle nature, que de leurs difie- rentielles par rapport a quelque constante chacune peut se lier en équation algébrique avec l'inté- grale, dont elle ne dépend pas. Dès-lors ou a deux équations difl'érentielles simultanées qui souvent peuvent donner lieu a uue solution élégante [280]. 2. Soit par excmple: I =/ c—r^Cos.qx.x'—^djr, K = ƒ e-P^ Sin.qx. x'—^ dx. Alors on a = / c-v^Cos.qx.x^—UU, K= j dl f" dK r d'une part: — = — I e—P^ Sin.qx.x'' dx, — = I e-P^ Cos.qx.x'' dx, mais aussi d une au t re part dq [279] Autrement déduites Mcth. 32, N'. 2. [2S0] Yoyez sur cette Methode due a Lapl.vce : PoissoN, Journ. de TEc. Polyt. Cah. 16, p. 215. ScHLöMiLCH, Grunert's Archiv, Th. 7, S. 270. Page 527. 67 WIS- £N NATUL'UK. VEIIH. DER KONTNKL. AKADEMIE. DEEL VTll. III. M^\ 26. W. 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, par riutégration partielle : r I = 1 e-P^ Cos.qx. d. x^ = e- P^ Cos. qx. a''") — ƒ x' dx { — pe-P^^ Cos. qx — qe—P': Sm. qx\=p —- — q~ , I o ] ' dq dq •'o o r -?= r r c, n ^ dl fZK rK= ƒ e-P^SiH.qx.d.x'' = e-P^Sin.qx..r/] — ƒ x'-dx{—pe-P^Sin.qx-\-cje'-P^Cos.qx}=^—p— — q-—. J o J aq dq o o Daus ces deux équatious les termes intégrés s'évanouissent pour la limite co de x, puisque x^e—P^ est nul alors : de même ils s'aunulent pour la limite zéro de .r, puisqu'elle aimule Ie facteur dl dK , , ,, r. . X'' ; de plus ou y a substitue les valeurs — et -— , trouvees precedemment. Ces deux équations ^ ' dq dq dl r dK r nous fournissent maiuteuant : — = — "z—, — ~ (pK + ^I), — - = — -— - — 7 {qH- — pi), et roii voit dq p'+q^ dq P' + q- que ces difierentielles dépendent de I et de K simultanément. Ou en déduit : dl dK r . —r l d.(V+K') dq dq p-+q- P +ü' ^ "2 '''' -{V+K'-),ld.liV-\-K') = ^^^^,h{V-\-K^)^lrl(p'+q')+G ... . . («) p^ + q^' • "2 p'+q- -2 ' ' ' 2 successivemeut. Encorè a-t-ou : l'^ -Kf ^ --^^{qlK-pV -pK^- ~qlK = -f^ (-pP -pK^\ dq dq P^ + Q P +^ d'oii successivement : dK „dl , , /K\ I3- — K3- d.Arctg.\-] Pour déterminer les coustantes dans ces deux équatious (a) et [b), soit q zéro, ce qui reud K r r W lf/r(r)\2 1 zéro et I = ƒ e-P^ x^-^ dx == — ^ (suivant Méth. 3, N'. 7), de sorte que-M +0^ = ƒ p'- 2 \\ p'' j j 'o = i(p2 ^ 0) + C, C = /r (r), Ardg. ao = rArdg. 00 + C', C' = 0. Par la substitutiou de ces valeurs les équations (a) et {b) deviennent: 1 r {r(r)}^ {d) Ardg.[-^)l=rArdg.-, ou r Ardg. {^--j ^ Arcs^n. ^^^^r^_^^^] == Arcsv,.)^ ^^ f, = Arccos. \ > = Arccos. { ; (, Pa?e 528. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. U\. W\ 26. N\ 2, o. lorsqu'ou y introduit la valeur de I^+K^, donnée dans 1'équatiou (c). Donc ces equations {d) K{p^+q^)ï'- ^. f , q\ I(p' +?')''■ / q\ et (e) nous donnent enfin : :=Sin.\r Ardq.-], = Cos. \r Arcig.— ], on hien: ^' r(r) \ ' p) T{r) \ ^ pj' r r(»') / n\ ƒ•" T = ƒ e-P^Cos.qx.x^-^ dx = ; ~ Cos. IrArdg.' , K = ƒ e-P^ Sin.q.x.x^—'^ dx = ƒ (P' +?')''■ \ PI J o o r(r) . / n\ = , , , -M >S»i. h-^rc^^.i . (T. 386, N". 17 et 21). [2811. 3. Prenons encore: 1=1 Cos.{px'-)- — ; — -, K = ƒ Sin.{px'^) , alon j l+.f- ] 1+*'^ 's nous avons : ^ • i + x' o Sin.ipx"^) — ,-— = I Cos.ipx"-)-—-^ — , donc d'après Méth. 18, N^ 6: 1 -|- x^ dj} f 1 -j- x^ o o = f Cos. (px"^) dx ==-1/ — , K — —-=1 Sin. {px-)dx = -i/ — . Difl'erentions J 2 -lp dp j 2 2p dK dp , . n- , , ■ ,, , . (il d^K 1 TT ces equations encore une lois pour separer les variables: on obtient: — -j = — — y — , dp dp"^ 4p lp dK d-'Y 1 TT ,, . . ^ d\ ^ dK -~- — — - = — — l/"- L elimination de — et de -— entre ces quatrc equations nous con- dp dp^ 4p 2p dp dp duit h notre but, car alors il vient: ^ d^I 2o+l n d'K ?,ö— 1 TT I + -— = -^-^ 1/ -, (a) K + — = -^ 1/ - (b) dp'' 4^p\/p^ 2' ^ ' ^ dp"" 'ip[/p^ 2 ^' Les intégrales de ces equations sont en général : 1 = (fi Cos. p -{- y^ Sin. p, K= ipCos.p-\-^Sin.p, (c) oii (f, %, ijj et I sont des fonctions de p ; on tire de cette supposition : [281] Autrement df'duites Méth. 18, N^. 2, 3, et pour r entier encore Méth. 3, N'. 7, Mcth. 33, N°. 5. Dans Ie cas spécial de >• = t ou en déduit : r n dx r(') ^ / , q\ 1^ 1/(P' +?')+Pl ƒ c-P^ Cos. qx -y = ^ , '\ ■ Cos. ' /Ird^.^ =[/ \- *^^^-^P^^-^'-^^ 1 , o / e-/«&«. qx—- = r^r^-^^M ï '^'•''■'ó'-- == 1/ h 2 1 1 ■ (T. 308, N=. 6 et 5). o Pour X == j/^ les premières valeurs de ces intégrales donnent encore les intégrales T. 28l), N'. 25, 26 de Méth. 18, N". 13. Page 529. 67* III. M''". 26, 27. N'. ó, 1. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRA.NSFORMA.TION, dl o- 1 o ^ d(p dy clfi tly -j- = — 'jp ozn. p -\- •/[ Cos. p -\- Cos. p — -\- Sin p — : et en supposaut Cos.p — -|- Sin.p — = 0..(d) dp dp dp dp dp d- 1 dip dy encore: — - == — q' Cos. p — '/^ Sin. p — Sin. p — -\- Cos. p — = dp ^ dp dp = — I — ^iii. p-^ -\- Cos.p — ■ (e) dp dp doiic suivant la condition (a) : — Si?i. p~ -\- Cos. p -^ = ^"^ 1/- (/) ^ dp^ ^ dp 4>p\/ p^ 'Z ^'" La combinaison des équatious {d) et (ƒ) nous doune enfin: — = — -—- Sin.p.i/ — , dp 4 p\/ p 2, dy, 2p-{- l n ^ _^ dt^' 2p — 1 71 ~ = ; — Cos.j} . l/— . De la même maniere en obtieut par (b) et (c): — = — Sin. » . l/ — , dp 4> p\/ p ' "^ -Z ^ ^' ^' dp 4'p\/p '^ ^ 2 dl 2p— 1 71 7" = ~ ; Cos. ü .l/-. Lorsqu'il serait possible de tirer de ces quatre équations différentielles dp4>p\/p2 ^ '■ ^ les valeurs de (f, y, ip et ?, ou n'aurait qu'a. les substituer dans les formules (c) pour obteuir les valeurs des intégrales ; mais comme riutégratioii mentionnée u'est pas possible, nous n'aurons que , . f'°Cos.{px-)dx TT 1 n fPZx+1 ^ f'^Sin.(p.v-)d.v les relations: ƒ — — - — - — = 7r + ~l/- / — Sin. (p — .«) dic, 1 — = o ü o 1 n fP2x—l ■ . , . .. ■^ "^^ ~[V "^ \ '} — Sin.{p — x) dx; oil nous avons ajouté u la première Ie terme — , afin que les deux équations devieuuent identiqucment uulles pour la valeur zéro de p : c'est la seule constante que les diverses intégrations introduisent dans Ie calcul. SEC TI ON SI XI E ME. METHODES POUR DÉDÜIRE D'ÜNE INTEGRALE DÉFINIE CONNUE D'AUTRES INTÉGRALES DÉFINIES. § 1. Ml^THODE 27. PAR VOIE d'aDDITION ET DE SOUSTRACTION. 1. Plusieurs de ces methodes, qui nous out servi a réduire une integrale définie de telle sorte, que I'on parvient u un résultat devaluation, nous peuvent servir encore a déduire de nouveaux Paffe 530. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''% 11. N'. \ — 5. résultats de quelque integrale dófinie connue; et c'est ce que nous avons fait souvent dans les Notes par exemple, peur obtenir les iutégrales, dont nous avions besoin quelque autre part. Maintenaut nous allous doniier une expositiou suivie de ces applications, dans la vue de faire ressortir toute 1'utilité de ces methodes. 2. Commen^ous par l'addition et la soustraction de quelques intégrales, évaluées précédem- ment. Aiusi les formules (7) (Me'th. 1, W. 4) et' (207) (Métli. 2, N'. 6) donnent: ƒ"" 1 dx 1 TT r x dx 1 o o o De même les autres (8) (Me'tli. 1, N'. 4.) et (208) (Méth. 2, N\ fi) donnent (1510) et: / ,1 , , '\= ~ ■, ^.(T.2-t,NMl). (Pour5=l,onaT.24,NM3, 12,14.). [2821. J p^ -\- x'' q'- — X- p^ -\- q^ 2 ' ' ; L j O 3. Daus T. 5, W. 6 (Méth. 38, N\ 6) prenous x = y"^ et p = ^7, alors il est: 1 ^-gq — 1 ^1 — q jj — — ^ — dx = ^CoLlq-jT, (T. 5, N'. 12), qui devient pour 1 — -7 au licu de q: ' x~'i — w1 n j _ i dx .= - Tang. ^ qn. (T. 5, N°. 1 3). [283]. Leur différence n'est autre cliose que i l l'inte'grale primitive (T. 5, N°. G), maïs leur somme donue, apiès que Ton a ótó Ie facteur 1 — X, commuu au numérateur et au déuominateur de la fraction sous Ie signe d'intégratiou: p .-rP-l + x-P I -. , — dx = 71 Cosec.pn. [284]. (T. 5, N\ 1). Divisons cette integrale en deux parties [282] Pour X = rj Tan ff. y on a: Cos.- X dx q f o 7) f o ƒ * Cos.'' x + q'' Sin.'' xCos.2x p^ -j-./^ 2p' ( ^^l) ' 7'anri. Zx dx 2 o p' Cos.' X -f- q- om.' ,v p -\-q p 2 Sin. ^ X dx — p 71 „ ^_ ' / 1 el o\ p''Cos.x-\-(]^Sin.''xCos.Zx P^+?^ ^7 Pour p OU q égal a runitc les deux iutégrales extrêines fournissent T. 68, N°. 7, 8 on N'. 5, 6. [283] Déja ddclaitc Me'th, 7, N\ 10, [284] Voyez en outve Mélh. 22, N^ U'. Va^e 531. lil. M^% 27. N'. 5 — 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, aux immérateurs xl'—^ et z~P; substituons daus la seconde x = — , elle devient egale a la première sauf les limites, qui ici sout 1 et oo ; donc ou peut prendre une seule integrale entre les f^xi'—^ dj; limites O et co , et il vieut : f = nSin.pn. (T. 18, W. 2) [285]. Eusuite Métli. 1, W. 2 •o /•l nxP-'^-\-xP 1 OU a trouvé : / xP—^ dx = | dx = - ; donc en eu soustrayant l'intéojrale T. 5, N°. 1 : ƒ j i+x p' y o > 'o o fixP — x-P 1 I dx = nCosec.pn (1514) J l+>^ P ^ ^ ' o 4. Dans T. 25, N\ 13 (Méth. 22, W. 2) prenez g-^=.s-+r'', qCos.l = s, qSin.l^r, Tang. A ^ - , il vient : ƒ — r = — • — ; pour 1 — p au lieu 7 r-+is + x)- ^^n.pn ^.I^^^A r «+•'*'■ IJ de p, c'est T. 25, W. 11. Chaugez p en p — 1 et prenez lasomme: ƒ ; — —xP—^ ex = ] »•-+(« + •'•) o 2 ^' = ' +'' ) ^ go8. 1(p — l)^»-d^.-l. . . (1515); pour \ — p au lieu de p, eest T. 26, N°. 3. 5. Pour déduire quelques résultats de T. 55, N°. 6 (Méth. 23, N°. 24) onapour.r = — ^ iden- tiquement : ƒ Cos.px. Cos. qxdx =^ j Cos.P x. Cos. qx dx, j Cos.P x. Sin. qx dx = — ƒ Cos.P x. Sin. qx dx, Cos.P X. Sin. qx dx = O, 1 i 1^ •' 1 Aoüc: I' Cos.Px. Sin. qxdx= O, f'Cos.Px.Cos.qxdx= " [P+ ^ __ ^rp_ gg^ 2.r^-^ + ijr^^— + 1 N'. 3, 2). Multipliez-les par Sin.iqn et Cos.^qn, ou par — Cos.~qn et Siu.\g-n: respective- ment, et prenez la somme des résultats, vous obtiendrez: /■^^ ^ ^ T{p + l)Cos.iqn ri": ^ , I Cos.P X. Cos. (i n-n — qx) dx = ; ; ; r , ƒ Cos.P x. om. [i q? [285] Sur une autrc dédtictiou voyez Méth. 1, N'. 29, Méth. 22, N^ 12, Méth. 38, N^ 4. Pase 532. T — qx) dx = ET METHODES Ü'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. iW'. 27. W. 5 — 7. ^-E-IL. — l 'J-ï _ (T. 93, N°. i, 5). Substitucz maintcuaut § 7t — x = y, alors vous trouverez : I Sin.P.c.Cos.Q.r:dx = ; r, ƒ bm.P x. bm.qx dx = ~ ^(i"+ )^"'tV"^ ^ ^^,^ ^g^ ^,^ -^g^ jg^^ -p^^^ j^ ^^^^ jg p ^ y o„ verra les ''4'-t'+']^('t"'+' Sin.P X.Cos. -pxdx = — Cos.^pn, I Sin.V.Sin.pxdx = u o == — 5m.iü7r. (T. 78, N°. 17, 16). 6. Daus les inte'grales T. 38, N°. 16, 17 (Méth. 22, N^ 14) prenez snccessivemeiit p^r-^-qet^r—q, et combinez les résultats par voie d'addition et de soustraction pour la première integrale, et par voie d'additiou seulement pour la seconde ; il vient : /'"(£2,x_j.e-2rx)(e2ïx^e-2yar) 2 Cos. r. Cos. q z"" (e?rr_e-2''^)(gSg-^— c-^'?-^) 2 Sin, r. Sin, q e-^xj^g-^x '^'^~Cos.2r+Cos.2qJ c"^' + e-'^^" ' Cos.2r+Cos.2q o o ^^ '-^ ~ 'dx^ . (T. 38, N\'U, 15, ISi. c'Tx _ e-^x Cos. 2r + Cos. 25 o 7. La somma de T. 127, N°. 4 (Me'th. 9, W. 22) et de T. 133, N°. 1 (Méth. 1, N". 32), après que nous y avons changé x en qy, doune : ri^ e-,Aè' = A + I?; (1516, O Pour (/ = 1 il est: f 1 — e-pA ^ = A + lp. (T. 133, N-. z). Mais comme T. 24, o ƒ■«>/■ 1 1 \ c^,» N°. 5 (Méth. 9, N°. 7) peut s'écrire : ƒ ( — ! — = 0, leur somme donue : ' '^ J [l+x'^ 1+xj x o f(lT^.~'-i'! = ^ + '" "^"' o p (d'oü pour p = l: T. 133, N', 5). [286]. Chaugez-y x eii qx et p en -, vous aurez : [286] Autrement déduitc Métli. 44, N'. 3. Page 533. IH. l\r". 27. N°. 1, 8. THEORIE, PROPIUÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, f 1 -f- q^ x^ j X q La difierence de T. 160, N°. 1 (Méth. 9, N°. 5) et de T. 153, W. 11 (Me'th. 22, N°. 3) doinie: ^ \-\-x dx. TT, 1 ^. (—1)" l^- =- 1%-\--:E— ^—, 1519 '^\A-x dx n ^ i—l)" l = -Z2 + ^- '-. [287] (1520 X 1+X-' 8 ^ o(2n+l)'- ^ ^ 8. Mais il y a encore quelques formules algébriques identiques, qui peuveiit nous aider beau- coup dans cette methode. Nous u'emploierons que les deux suivantes, qui fournissent quelques résultats interessants. On a : 1 1 g(l+p') ,. l — 2p Cos. gx + p^ 1 + 2p Cos. qx + ;/- 1 — 2/)^ Cos. 2j .t- + p^ ' 1 14» Cos. qx ■ _ = — f- i (b) l — lpCos-qx^p"^ l-\-%pCos.qx-\-p- l — Zp'- Cos. ^ x -\- p" ^' Aussitót donc que 1'on a uue integrale au déuominateur 1 — '^pCos.qx -\- ly-, ou Ie p peut devenir négatif, rapplication de ces formules donuera d'autres intégrales au dénomiuateur 1 — 2r Cos.Zqx -\- r- , lorsqu'on prend p- = r, oü par conséquent r doit toujours être positif. Ainsi les intégrales (644), (645) et (646) (Méth. 17, W. 3) douneut par (a), (lorsqu'on distingue entre a pair et impair, Ti cause du facteur p" + { — p)" dans la valeur, lequel nécessite uue telle distinction) : f Cos.iax.Sin.x dx ,,^„r. C Cos.^ax.Tang.x dx ,,.„^s I , . . . . (1525), = / ~ r — , .... (1536),== ƒ 1— 2pCos.4.e + p^ X ^ " ƒ 1 — 2p6'cs.4.» + p^ x' ' ' o "o ^'^ Cos. 'iax. Tang. \x n p" f"^ Cos. {{la-\-\)'-lx') .Sin.x dx ,, ^^^ ^-^— , . (1537), = - -^ ; ƒ ^^ ';r^ — , . . (1528), = 1— 2pCo?.4.«+p^ ^ ' 2 l—p'' J l—ZpCos.ix + p- X [2S7] Pour a; =^ - ces intégrales devicnnent: J i/x i+x^ 8 ^ :l o(2«+l)-^ ' ] ^^ ^l+x'^ 8 o (3h + 1)' et la sommc ile T. 160, N". 2 et (1522), comme cellc de (1529) et (1521) encore: j ^ ^ 'l+a'^ 4 ^ o(2«+l)^ ^ ' j '-- .... (1524) [/x 1 + x^ ^ ' Fase 534. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIIVIES. III. W\ 27. N'. 8. = ƒ — -^^ ' / . r ..1529),=/ J-^ ^ ' i ^-^ ,.(1530),= 0. / l — 2pCosAx-{-p^ X ^ ' I l—2pCosAx + p^ x ' o 'o De même a-ton par les formules (650) ;\ (G58) (Metli. 17, N". 3): ƒ" Sin.^ X. Tang^a x dx f^ Sin.^ x. Tang.^a+i x dx ~ , . . . . (1531), = / ^ (153^), = l — 2p CosAx -\- p- X j \ — 2p Cos. 'ix + p'^ X o o C^Sin.^'^x.Sin^x/Tang^dx _ n Cos{{a+l)7i] {(l+^/p)-2a+i-|-(i— |/p)2a+i j'^ J 1 — 2pC0S.4x-\-p'' X ^ '8 l-\-p (l_p)2a+l o ' 6'os.-" X. Cos. 2ax. Sin. x dx /'"' Co,?.2«— • x. Cos 2ax. Sin. x dx (1535),= r Cos: I - f 2pCos. 4«-{-p^ X J 1 — 2p Cos. ix -\- p- X o ' Cos.-" X.Cos. Zax.Tang.ix dx ^ u (1 + l/p)-" + (1 — j//>)^" l — 2pCos.ix + p-^ A- ' ( Jx-\-p^ x ;i543), = /"" Tang.x dx f^ Tang.^x dx ,,^_^ ƒ 1 ;r^ , . ■ ■ (1544), = / ^-^ , . . . 1545, = j 1 — 2pCos.4.x-+p2 X V ;. j \ — 2pxCos.i 7^ , . . . (1547), = / ■ , . • • (1548,= 1— 2pCo«.4A-+pï X ^ " I l — 2pCos.4kx+p^ X o II _ ^ (l+l/p)° + (l-l/p)" r 1 Sin^ ^ (1549) = 2^+2 1— p2 ' j l ^ 2p Cos. lx -\- p'' l-\-2q Cos. 2x-\^q'^ x"'^ O 1 Tang. x dx ^^ ^ ^ ^c 1 +P9^ . l — 2pCos.4x + p- ] -lr2qCos.2x-[-q-' x' ' ^ "^'^ ^' ~ 2 (1 — p^) (1 — 9>) 1— p?^ ' f Page 535. 68 WIS- EN NATUÜUK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. III. M^\ 27. N'. 8;, 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Siii.^ ai Cos.^ X dx f 1 — 2/j Cos. 4«-j-p 2 1 + -ZqCos.2x + q- a- ' [ ' Sin? X Cos. X d.t n 1 — 2p(7os.4j? + p^ \-{-2qCos.%x + q-' x ^ ^' "" 16 (1 + p) (1 — pj^^' Et ces quatre dernières douuent de mème: 1 Sin. X dx f f ™ (1553) i — 2p Cos. 4,x + p^ 1 — 2r Cos. 4x + r^ .r ' ^ '' o 1 Tang. X dx n 1 -\- pr l—ZpCosAx-^-p^ 1— 2r6'os. 4v + r- x' ' ' '" ~~ 2 (1 _p2)(l _ r-) 1 — pr ' ' Sin.^ X Cos.''- X dx (15551 == l — 1pCos.-\x+p- l_2»-(7os. 4.« + rï x' " o Sin.^ X Cos.x dx n 1 — ZpCosAx+p'- L — 2rCos.4:X + r- .e' ' ' ^ ''^ >' ~ 16 (1 +p) (1 + r) (1 — pr) ' ƒ Pai-tout on a O < p < 1, 5'' < 1, O < r < 1. 9. Les iutégrales de Méth. 23, !N'. 8, peuvent encore servir ii rapplication de cette methode. En eflet l'intégrale (1323) par (a) ou (1322) par {b) donna: Cos. ."x dx 3T e— 9* = ; (1557) 1 — 2r Cos. 2s X -\-r- q'^ +x- 2q{l — r)l— re-^l^ ^ ' f o f Cos. sx Cos. px dx la formule (1325) par (a) ou (1324) par (b) donne: j = J 1 — 2r Cos. 2s,f + r* q- -\- x^ o j4(l-r)e— /'?(e?^-}-e-?s)-i-r2''[l + (— l)''][[e(p-«'«-'')9-É(*+«-P)9}— {e^P-''«+*)9-e(*-»-p)?}r]4-1 7T 1 4-ri(rf+i)[14.(— l)''+i][{e(p-<^s-2s)?— eC^+s^-/»)?} — (c(p-*)?— «(«^-Plsjr]) ^ ~ 85(1 — r) iir(e2?5 j^ g-2?»j r-\-r^ ~~ oil p = ds -\- p', p' <^s: or, comme pour p = 2a s -^ p' et pour p = (2a — 1) s + p' les valeurs sont identiques, vu que toujours un des coefficieuts 1 + ( — l)''+i ou 1 -f- ( — 1)'^ s'annule, on a en général: ƒ" Cos. sx Cos. px dx l — 2rCos.2s.B + r^ q^ ■\- x^ ~ o n 2{\ — r)e-P• + r^ ' v y oü p = 2ds — p', p'<^2s, 0<^r<^I. Pour ces mémes conditions les équations (1328) et (1329) donneut par (a) ou (1326) et (1337) par [h): Page 536. h ET METHODES D'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'^'. 27. iN'. 9, 10. Cos. sx X Sin. px d.v •2r Cos. 2s X -\- r'^ 7^ "I" *'^ n (1 —r)e-P9{e'}^-\-e-'i^) — r<'[ (e0'-2«'s--s)? -|- efads+s-pj^J _|_ r g(p_2ds-{-s)? 4. g(2ds— s— ^9} r] ~ 4(1— r) 1 —{e-t^-\-e-^'!')r + r''' ' * et au contraire: n 4e-/'ï(e'?«4-e-?«) — (l+r)H(<'-i) [!+(—])<'] — (e?s-j-e-?s)ri'' [1 -f-(— 1)<^+1] = - ~. TZ ; z~^ — ; — ; ) pour p == ds. . (1560) Encore T. 221, N\ 9 doiinc par (a) : Si7i.sx xdx TT é— ï»' . . . (1561) 2?' (7os. 2s « + »•■■' 2* + «^ 2 (1 + rj 1 — r e-^1^ ' , , /""'■' Sin.sx Sin.pxdx et r.ntégrale (ISSOj par [a) : l -— — -— - ~'-~ = ] i — 2?' Cos. 2sx -\-r^ 9 -\- * o Ze-r'')r + r'- ' pour p = (?s-f-p', OU comme auparavaiit: 7r e-?^?(14-r)(c9«— e-?«)4-j'f'[(e(p-2A-s)?— ê(2^«+«-p)?) — {e(p-2*+s>7— e(2rfs-«-p)?jr] ~ 49(1 + »-) l_(e2gs^e-2gs)^_|.^2 ' ' * (1562) pour p = 2cfs — p\p'<^2s, Ö<;^r<:;;^l. Encore a-t-on pour ces mèmes suppositions par les équations (1331) et (1332) au moyen de (a) : ƒ" Sin', sx X Cos. px dx 1 — 2r Cos. 2sx -\-r^ q- -{- x'^ o n e— Pï(l -f »<) (e-9S_e?-«)-|-r''[ [e(p-^ds-s)g.^ci^ds+s-p)q-^ _ ^g(j)-2ds+s)q^e'Ms-s-p)q\ rl ~'4(l+r) 1 _ (e2?s ^ g-2ïsj ^ ^ ,,1 ' • (^5^^) et au contraire: TT 2(l+re-P?(e-?«— e7-') + rK<'-i)(l— r)[l+(— l)f']-fr^'^,(;?"-+e-9'''Jl+(— ly'+i] ^ ^77"; — : — ; — ; z ; — '■ ,pourp=rfs.(]5R4) 8(1 -\-r) 1 — (e2?s -j_ e-2ïsj r + r^ ' i- f \ ; 10. Transforraons enfin de Ia même maniere quelques intégrales de Méth. 23, N". 16; la for- mule (1401) par () donne : sx dx n 1 -\- r Sin. qs /.-^ r Cos. 2sx -\- r'^ q- — x"^ 'Iq \ — r ] — 2r Cos. 2qs -j- r' (1565) Demême Tintégrale (1403) par (a) ou (1402) par (J) fournit des résultats qui valeut pour ;) = t/s4-f'i 0 devieut idoutique pour Ie cas de d égal ii 2a et a 2a — 1, comme dans les formules précédentes, puisque l'un des coefficients l + ( — 1)<^ ou l + ( — l)<'+i s'évanouit daus chaque cas, et que par suite OU peut supposer ici p = 2ds — p', p' <^2s; ainsi l'on obtient: Sin. S.V Sin. px dx ƒ l — 2rCos.2sx + r'' q^ —x'' n —{\-\-r)Sin.qs.Cos.pq-\-T'l\Sin.{[2ds-\-s-p)q]-\-rSin.{{p-2ds+s)q)'\ 2q[l-\-r) \—2rCos.2qs + r'^ Pour ces mêmes conditions les intégrales (1410) et (1411) fournissent encore : Sin. sx X Cos. px dx I 1 — 2r Cos. 2s X -\- r"^ 9^ — x^ TT (l-j-r) Sin. pq.Sin. qs-\-r'J \Cos. [{•2ds+s-p)q} — r Cos.[(2ds—s —p) q) ] "" 2(l+r) 1 — 2r Cos. 2qs + r^ > ■ ■ ) et au contraire : n 4:{l+r)Sin.qs.Sin.pq—[l+{—l)'i]ri'lCos.qs—ll+{-iy-^]il—r'-)rl(''-i) _ ~ 8(l+r) ■ l—2rCos.2qs+r^ Page 538. ET METHODES D'EVALÜATION DES liNTEGRALES DÈFINIES. Ili. IVP. 27. 1N°. 11, 12. 11. Il y a encore quelques thtiorèmes, dont nous avons fait usage de temps en temps. f' f' Lorsque les intégrales j f{x)dx = T (p), . . («) et / f[x)Cos.pxdx = F, (p), . . (fJ) a a sont connues, leur somtne et leur diflerence donueut, puisque \ -\- Cos.px ^ 2Cos.'^ \px et 1 — Cos. px = 2 Sin. * | px, et quand ou change p en 2p : ■b i f{x)Sin.^pxdx == - (F(2p) -F, (2p)), (XXXIV) 2 f[x)Cos.^ pxdx = \ {F (2/)) + F, (2p)} (XXXV) 2 Ainsi les intégrales (106) et (107) (Méth. 1, N". U), pour x = 2y, donnent: f Sin.''- xdx n 1 1 ± j- / 1 rp r\ ^TT+T..^-rArctg.[~--\, (1573) \±'ZrCos.2x-\-r^ 16»- 4rlrpr ^ V' =>= Cos. '^ xdx n 1 1 =p r / 1 zp r\ Arct =y, Cos. oo = y, etc, qui sont tout-a-fait indéterminées [288], et d'oii par conséquent on ne saurait tirer la limite supérieure de y. Passons a quelques exemples. 2. Dans T. 18, N\ 12 (Méth 4, W. 6) soit r = ^^ et rj = { rj, il vieiU: f" .t-?-i dx r ( 1 q) Tip—l q) ' -— "" ^'-^ ^^ "^' (pour r = 1 c'est T. 21, N'. 9). . . (1585) {r^-\-x^)P 2r(p) I-LT ,v.,^ 1 _i_ „ _ ^- 1. . (1591) o 1 La somme de 1'avant-dernièrc integrale et de la première doime encore: / li\-\'{W~^<^y = —■^T{p)Sin.pn. (T. 367, N^ 8). o /"^ 1 e-^- 31- dx = - \/ n, (T. 114, N\ 11), (qui se déduit Méth. o, N'. 7) prenons e-^'^y, d'ou — 2xe—^^dx^dy, x^\/l- avec 1 et y ƒ! dx /•' 11 ^ =\/n, j dx^l-=-\/n. (T. 44, N°. 4, 1). [289]. [289] Substituez encore x •— yp, il est: ƒ^XP-'^dx n /■' l 1 TT — = i/-, (T. 178, N\ 1), ƒ xP~'^dx[/l- =— •/- (1592) Page 542. Eï METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÈFINIE?. III. W\ 28. N . 5 — 7. dx 5. Pour .X = Sin.iJ on n dx = Cos.ii dii, on = du: les liraites O et 1 de x •^ • "^ 1/(1— a;-^ '' n cbnnent les liinites O et - de y. Ainsi 1 integrale (28) (Métli. ], N'. 7) devient : ƒ =— -i-'-^^^ -', s-^l). [290] .(1593) ü 6. Lorsqu'on preud x=Cos.y, on a dx = — Sin.ydy, ou = — dy, avec les limitcs 71, et O de y, lorsque celles de x sont — 1, ü et 1. Dans la formule (183) (Métli. 1, W. 24) prenons q = -, alors il est: /'+' dx 2 n ƒ ., . , , ^--Arclg.^, . (1594) j p--\-q-x' pq p et celle-ci dnnue: /•^ Sin.xdx 2 Q , , ,^ , = - Arcly. 1, ..... (1595) P 'T 9' '^os.^ X pq p O d'oü pour ;i=7 = l: T. 83, N". 1, et pour p=-Sin,l, q = Cos.X: ƒ -— — — = ^ Il — Cos.^ A. otn.^ X o = -— —('T — 2?.). (T. 83, N^ 6). Les formules (336), (337) (Méth. 5, N'. 9) donuent encore: - 5 f^xStn.xdx « 1"/' /(2n + 2) f^x'^Sin.xdx ^ 2"/2 /(l + 2n) ƒ ^7^ = — -S- — , . (1596), / = ^ ^-^ '-. . (1597) ƒ ICos.x u 2«.2 2n+l ^ ' / ICos.x i 3"/2 »j ' O •'o dy dx 'T n 7. De la substitution x^ Tang.y il suit que dx = ou = (^w, etque O, -, -, Cos.- y 1 -j- Jï'^ 4 2 seront les limites de y, correspoiidant aux limites O, 1, cc de x: encore faut-il observer que 1 — x'^ = — — 7^. Dès-lors par les formules (7, 8) (Méth. 1, N'. 4): Cos.-^y f ^ ^_Cos^xd^_^ _!__ h-^A^ (159,) J p^Cos.'^x-\-Sin.''-xSin.x-\-qCos.x p^ + 'i^ \'^P l' o P ' g^--^- ^ -J— (ip. + ,4 .... (1599) J p' Cos.'' A' -|- Sin.'' X Sin. x -\- q Cos. x P^ + 9^ \2 p] [290] Drja déduite plus généralcment Mctli. 1, N°. 1.3. Page 543. 69 WIS- £N NATÜBTIK. TERH. DER KONTNKL. AKADEMIE. DEEL VI 11. III. M. 28. N\ 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, par (207), (208) (Méth. 2, N'. 6) : /^ 1 Cos.xdx 1 Iqn o\ = i-_j./l\ (1600) p^ Cos.''- X -\- Sin.^ X q Cos. x — Sin. x P' -\- <]' W p j o ƒ "2 1 Sin.xdx —1 /l v\ p'^Cos.^x + Sin.^x qCos.x — Sin.x p- + q'^ \2^ 91 ' . o par (184) a (187) (Méth. J, N°. 24): f' '-^ = '— Arct,. 1 ^/ '~+-^] , (p^ < 1), = ] l-pSin.2x 1/(1 -P^) V 1— P/ o = t/(pf_l) ^(^-^^(P'-^)>-(y'>^^' (1Ö02) J l—pSin.2x 1/(1— p') (t/(l— p^)( ^^ ^ ^' o 2 P— l/(it>*— 1) = — Z^^ ^~ ^^, (p- >1); . ; (1603) l/(p2_l) p+^/(p2_l)'^/ -^ ^ ^ > par T. 36, N\ 8 (Méth. 4, N^ 7); ƒ e-pTang.^^ =-*/-., (T. 290, N'. 3); '■ I Cos. ^ X 2 p •'o par (341) a (343) (Méth. 5, N'. 9), T. 180, N'. 11 (Méth. 6, N°. 6): n dx f^,^ dx 1 I ISin.x.Cos.x = O, . . . . (1G04), ƒ ICos.x- = -tt-, (1605) / Cos.2x f Cos.2x 8 ^ ' •'o o ƒ '2 dx 1 / /"^ _ dx 1 lSin.x^-- = -~n\ (T. §36, N\ 3), j lTang.x~-—= --n- ■ (1606) Cos. 2x 8 f Cos. zx 4 o "o - ^ par (374), (375) (Méth. 7, N'. 4): j ISin.'' x. Tang.xdx = — — 7r% ('iSin.^ x. Sin.'' xdx = o "o = _Ü(/2_J), [292J, (T. 330, N'. 13 et 6); [291] Ces intógiales deviennent pour p = \: T. 65, N\ 7, 8. [292] Voyez aussi Méth. 44, N\ 4. Page 544. ET METHODES D'ÉVALUATION DES L^ÏÉGRALES DÉFINIES. III. W'. '28. N'. 7. par (388) (Méth. 7, N°. 8): o par (480), (481) (Méth. 9, N°. 14): TT Cos.^ X dx r /(l + cj-^ Tang.Ki) p' Cos.-" « -}- j-^ Smj.'-' X s'^ Co5.- .r + f^ Sin.'' x pM^— s^ '(1+9 lang. x) ;■ = /;* Cos. ^ A' -|- r^ iSm.' .« s^ Cos.^ « -j- f'' &'?!.'■' a: par T. 23, W. 2 (Mutli. 9, N'. 23): / (a /Smj. ; dx 1 . ati (1610) !;-|-Z'Cos.A') (cfSi?!. .i'-|-c?Cc)5. ,t') ad — -bc hc^ ' par (545) (Méth. 10, W. 8): (^Cos.x-Sin.x dw 1 .ï ^««?.(^-.^■W.^• / P Z^~ r^ ' • • (l^'^l)' --ö'^= / r^ ^,(T. 321,NM5);par J Cos. x-\- Sin. X l Tang. X 2 f ITang.x ' '■ TT T. 4,N°. 6,T. 15,NM0et(1219)|Méth. 1S,N^ 23): i *{Cot.x~\y-'^ —= — .(1612) ƒ i)in. lx 2 Sin. m ■o r* dx 2 , j VSin.xiCos.x + pSin.x) = V~V ^^^^' +^"^^ +''^)' : ^'''''^ O T * dx 2 / j/ »Smj. a; (Cos. .t' — pSin.x) \/ p par (1228) (Méth. 19, N'. 1): ^mMi.(^/p); (1G14) ƒ 4 rf^ 1 (tt "1 '^' + '''-''\,^Cos.-^x+Sin.^x)[Cos.^x+g^Sin.^xr^^iïl^^ o par (1232) (Méth. 19, W. 2): 1'aM 545. 69* III. M''. 28. N'. 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, TT ƒ* TT lCos.2a;dx = —~12 [293]; par T. 152, N". 13 (Méth. 32, N\ 5): o ITang.Kx- , (T. 309, W. 1), =- ƒ l /• 2 1 /'r (1616) 1 r'^l — Sin.x dx 1 - ƒ ^ , (T. 340, N\ 3), = n\ [3941. Daus T. 205, W. 5, 6 (Méth. 18, W. 8), T. 20S, N^ 3, 4, 7, 8 (Méth. 25, N\ 6), T. 212, W. 12 (Méth. IS, N\ 4) prenez p = 1, x = qTang.y, -^^-^ ^ dy, et O et ^ comme limites de y, et vous auiez: ÏT ^ ^ Cos. [q Tjdy = -e-?, / Sin. {q Ty.y). Sin.y.Cos.ydy = - qe-9, 00 o /•2 .2 — r, (T. 59, N'. 1, 5, 8), ƒ Sin. {q Tang. y). Sin.-' y. Tang.ydy = -ne—1 (1617) { ' ■TT 3- / Cos.{qTang.y).Cos.'^ ydy =^ ne—l, I Cos. [q Tang. y). Sin."^ yd'*)) + + 'L.y-?:-^^(izii^ (1 -V/ (1 - K- ^^».^- .)}; . . . (1626) oïi partout Cot.qi = 7'angi. ^.i/(l — p^). De même par les intégrales de Méth. 14, N". 6; F(p,^mm.^)— ^-^— = --T^(l-p')- I"(r). (1627) ' 1 — p^ x^ ép' o rE(p,Amm..r)-^^^=P[[(p^-2)r'(p)+(2+i^l-p^}E'(p)] (162S) / 1 — p^ x' lp'- *- •'o / ^(^'^'•"'"••^•)i-.-+.V(i-"p^)^ï i_i/(i_;.^)^(i+i/(i_p^)}^(i-P^)'-^ ^ rF(p.^.c.»..)-^ = ^F(,)j(^^t|)i^ + ^E (1/(1-,^ (1630) / 1 +».«- '*p "' i^p •f) rF(p,Arc.f«...)-^ = -ï-F'(p)J- ^_-^F'{i/(l-p'-)}, (1631) y 'i—px-' ip (1— p)t/(p) i6/> o i'{p,Arcsin.x) ^-- = -F'(p)J— ^, (l63:2) ^^ l — p- »* 8/) 1 — p o f\ip,Arcnn.x)~^^^=^rip).l-^--^W{^/{y-r^)}, (1633) ƒ l—p^x" 8/)'' (1 — p^)p 16//- ƒ' X dx 1 — p^ x^ Sin.^ /. [/ {l — p^ x^) O ='^^^,b^{P^) — ^^''^P)-^^'-'^9-{'rang.lV{\-p')]] (1634) p^ bin.2, K ■- ƒ' X dx E (p , /lrcsj«. .t) , , <,. , , —77; j— TT = 1 — p^ x^ Sin.^ l y {\ —p^ x^) o = —^ -r7rE(p,A)-2E'(»)..4rcto.(r^X^/(l— p^)}-7rCoa.{l-j/(l-p'Sm.U)}].(1635) Pacce 548. ET METHODES D'ÉVALIJVTION DES liVTÉGRALES DÉFLMES. |I|, M'' '28. N\ 8, 9. Enfin par les formules (1126) a (1128) (Me'th. 17, N'. 16): r/(l-p^.rMc?.i-i/^-;f-==(--i-P^)F'(/>)-[2-.i^(l -p^)}E'(/>), . . (16:56) o o o 9. Pour Cos.x = y ou a — Sin.xdx = dy, tandis que les limites de y deviennent 1,0 et — 1, lorsque celles de x sout O,;, , rr. Ainsi par les intégrales (20.3),(265) a (267) (Méth. 3,NM-i) : r^'\^ w -^H-(i'^^^9)' / '^'^^'t^ i_.,^ ='Jp^^'^P^~'Jp^^'^P^' ■ '^°*"^ o o rfA'l/^ —T-^= 2E'(ö)— ^E'(p),.(1641), I ; —- =1», .(161.2) o o — ^ =— {F'(») — E'(p)), (1643) |/(1 — .i-^)(l— p^.i'2) p2 ^ ^''^ ^f'^J' ^ > o o par (273) a (275) (Méth. 4, N\ 2): ƒ! Tl' 1^2 /•! 2b/2 Arccos.x.{\—x-Y-l dx = ,. . (1645), ƒ Arccos.x.il —3:'^Y dx =n — -, . (1646) \ I 2 2«/2' j o"l- —1 par (305), (310) et i3il) (Méth. 5, N=. 5): —1 X^'^dx TT 2 l°/2 j/(l — .r^) ~ 2 2«/2' ƒ* CV'^" UiV TT" 1"/" y r-|-s.r i/(l — .t^) !/(''" — s^) r-\-]/{r^ — S-) /•ig;,l'(i_x'^)_f.e_;,! (l-x2) Cos.pxdx n ^ ( s—[/{s^—t^)] ^^ ^ I ^ Cos. {p i , .... (1649) J s — tx ^/(l_^i) 2j/(s2_i2) ^t ot \' '^ ' /■ie,n/(i-a:2)-f-e-pl (i-x2) Sin.pxdx n ^,. f s — \/{s''-—f)] ,, ^^ / = biH. \p }, (1650) j s — tl ^/(l_^i) 2j/(s2_,2) [^ 2« j ' ' Pa^e 549. UI. 1\P. 28. N\ U, 10. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRA1VSF0RMA.TI0N, OU <l), . . (1651) —1 ƒ' dx „4-l/(o2_l) ^(/>±^)^^^^__^^.,^ = -2^/g,(p^-^X • • •• {1652) —I J^(l._p..r.).---^-^^_4,;L±J^P:),(p.^l)^__8;,Bp, (p^>l), . 1653) ƒ' dx . p + i/fp2 _ n ^(P^-^^-)Y(i_.^.)^-^"^-"(P'l) (1654) /-i , , dx I l{l±px) ~—y = ±7iArcsin.p,{p^^ 1); (1655) J X[/{l—.l'') — 1 par T. 245. N\ 12 et (1125) (Méth. 17, ^\ 15): fl Jrccos. xdx 1 f^ Arccos. xda /^Arccos. xdx 1 f^ / ' — -— = -7r^ . . (1656', ƒ ■ l+.c' 4 ' ^ j Sin.'l—x'-CosM ~l —1 n{n — 1l)Cosec.1}.. . . . (1657) dx 10. Lorscp'on suppose Taiuj.x = y, on a ^ — ^— = di/, et O et cc pour les liraites de y, correspoiidaiit aux limites O et ^ de x\ ainsi l'intégrale (HOS) (Méth. 17, N\ 14) domie f* Arctg.x ' dx j/tt' V [q) /Arctg. X ' dx ixP-\- X-P)<1 1 ^-«- 22?+2p^(ï+i)' (1658) les formules (1131) et (11-34) donnent poui- Tany.x = ij (avec les suppositions Tang.u ^ q. Tang. [3 = r), et pour Tang. x = - (avec les suppositious Cot. u = q, Cot. /? = r) : |'p^^(l_,.,.),,,.,,.^J_-^^ 9 + ~ E' 1/ 1— ^ ^^ ' 1 , .... (lööl) ^29(l+r^) r^ 5^(1 +,2)2 jl' ^ ^ Pa^e 550. ET METHODES D'ÉVALÜ.VTION DES INTÉGRALES DÉFINIES. IIF. M^^ 28. N'. 10 — 12. ƒ-• / n^r' — l x\ dx 1 f q'^V — i] f / oMl M\/^-—r^^ATccot.-A~- -— -==-E'y^ ^ ^ .F-y 1-^ U \ q-r' Q'f'lvVi' — x'-){.t- — q'-) Ir \ q^ r' ) [ \ r^/l 1 + — ^- F' 1/ 1— . (1062) .q'r{l+r^-) r \ 9-(l+'-'^) = 11. Quelqucfois oii peut obtcuir une nouvelle iutégrale d'uiie manièi'c iudirccto. lutro- duisons par exemple dans 1 integrale: j —— ;7— ; -dx^=^ ï'(1 — P')-Ï"(p) la supposition o F(p,.) = {l+l/(l~,MF(.,.) [.96],dWw> = f^^^|}5^5, ^/(l-t-^».^.) = Tang.(x — t/) = Tang.y.\/[\ —q"^), donc pour ?/ ^ O, a- = O ; pnur y = ■^■, x = ir. Or, comme dans uotre integrale citée la fonction a intégrer est paire, il s'ensuit que Ton a aussi : ^ l(\ — p'^ Sin.- x) ^ ^ ' 'dx = l{\ — ;:)'-). F' (/)). (T. 355, N". 23). Lorsquoii y substitue tout ce qui ƒ j/(l~p2 SiiO x) '^Cos.^y-\-Sm.-yy{l — q'^) dy 1, 2P (1 — ?' 'M •, • . [^,Cos.'y^Sin:-yy{l-q') dy \ 2P [l-q^ ^,,, precede, ü v.ent: j l ^ ^, _ ^. ,,^, ^^ ^/ [i-q^ Sin, y) =^ 2^ +y^il^q^i'' '"^ ^ Z[Co.?.-2/-f"'^*"-^ y-l/'Cl — 7^)) "TTj 7'c^ — 2 — \ "^^ o = -l -^ ^-'-.T(q). (T. 348, N\ 13). 12. Lorsque l'intégrale a, transformer est composée de deux parties, dout chacune pour soi est infinie, il faut avoir égard a robservation de Métli. 9, N°. 21, afin que 1'on n'obtieune pas un ƒ* f l ) dx „, , , e-^ — -—. — r> — = ^ iPI> o oü les deux parties deviennent discontinues pour la limite O de x: rempla^ons cette limite par * ; €es-lors on peut séparer les deux parties sans crainte et y faire des substitutions différente?. Posons dans 1 1 la première e-^ = y, avec les limites de y e—^ et 0; et dans la seconde 1 -{-x = -, avec [296] Voyez Verhülst, Theorie dts Fonctions Eliiptiques, p. 149. Page 551. 70 WIS- EN NATIJÜUK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL Vlll. III. M''^ 28, 29. N'. 12. ! . , theorie, propriètés, formules de transform\tion, et O comme limites de s, u vient: / -^c— ^ — ) — = | — ; — — / = i \ (i +«•)?] «= j ly i,Mi-^) e e— = ' l+£ 1 1 /i+c/l .r?-l \ [\+hIx , .^ . , , j — + da' — I — . Or, d'après Methode S la deiniere integrale a pour valeur \te 1 — .«/ ■ J lx ü e~- 1 \ 1 1— (l+f)e-^ . , , e—- 1 : ;- = . ; pour la limite zero de e cette 1 — 1 /"i / 1 .■*;'-' \ fractiou devieut = 0. Douc on obtient: ƒ t + :^ ]dx = —Z'{q). (T. 171, Ie J \lx 1 — xj N^ 8). [297]. § 3. METHODE 29. SIMPLIFICATION d'uNE INTEGRALE DliFlNIE PAR l'annülation d'une constante. 1. Lorsqu'on a évalué uue integrale définie sous de telles circonstances, que la valeur zéro d'une constante quelconque c u'est pas exclue, il est certainement permis de prendre cette valeur spéciale de c pour simplifier l'intégrale; mais de telle sorte on u'acquiert rien de nouveau. Il n'en est plus de même lorsquc Févaluatiou de l'intégrale a eu lieu sous la condition d'une valeur positive de c, et Ton peut se demander s'il est permis alors de conclure au cas de c zéro, même lorsque la fonction a intégrer et la valeur de l'intégrale restant déterminées toutes les deux, c'est-a-dire : ƒ6 fb /(.■c,c)f/.« = P(c'), (c>0) entraïnc Tautre I f{x,0)dx = ¥{0), (c = 0)? a a Quoique la répouse ait été en général affirmative, et que même Cauchy [298] ait employé cette conclusion, quoique dans bieu des cas elle mèue a des résultats exacts, elle estpourtant vicieuse, puisque la série qui correspond a f {x,c) pourra bien très-bien converger pour c positif, tandis qu'elle [297] Intégrez-Ia par rapport a q entre les limites O et q ; vous aurez ; ƒ1 (o — 1 a;?-' — 11 O [398] Voyez CAU9HY, Mem. préscntés de l'Institut, T. 1, 1827, Mémoire sur la Theorie des Ondes. Note 3, p. 129. — Consultez Akndt, Grunerts .\rchiv, Bd. 11. S. 70. Page 552. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. IVP. 29. iNM. . . , r devient divergente ou périodique pour c nul. Ai'nsi l'intégrale ƒ e—'^^f{x)dx= F (c) reste finie o quelquefois a raisou du facteur e—'^-^, qui par exemple pour Ia limite supérieure co de x devient zéro et aiinule ainsi Ie terme correspondant. Mais lorsque c est zéro, cette circonstance n'a plus lieu, et il se peut très-bien que Ie terine mentiouné devienue indéterminé ou infini. Pour sub- venir a cette difficulté Ossian Bonket [299] a donné uu théorème, que uous déduirons ici, mais qui ii'est plus exact dans Tapplication qu'il en fait. On a ideutiquement suivaut Partie Première N'. 4 : m^f{x)dic=Um.8 {m^f{a) + ,r."+^\f,a + Sj-\-...} = Lim.S.m" {/(a) + 7n'^f{a+8)-\-7n^'^f{a + 28) + ...}; ƒ supposous que Tiutégrale ait uiie valeur détermiiiée pour quelque valeur ?h, de m; la dernière série sera convergente pour cette même valeur et 1'on peut démoiitrer par la methode d'AsEL [300] qu'elle sera eucore convergente pour quelque valeur ?7J moindre que wi,.*Car depuis un terme quelconque ^ième j^ g^rie est: (m \ P'^ Or, comme — est •<. 1, I — | , — j sont des quantites décroissantes: en outre les autres facteurs constituent une série convergente, et cette série est renfermée entre deux limites finies A . , f m\P^ , . l m\pS et £. Dès-lors suivant la Premiere Partie N'. 13, il est - — A <^ série pour m <^ — ) B. De plus la série étant convergente pour m,, les graudeurs A et J] s'amoindrissent de plus en / m\P^ plus, lorsque Ic nombre p augmente; et dans ce même cas la fractiou I — \ diminue aussi; donc les limites, entre lesquelles se trouve renfermée la série pour ?«, approchent graduellemeut de zéro, lorsque p devient plus grand, et la série primitive est convergente pour cette valeur ??i: donc l'intégrale définie, qu'elle exprime, est finie et déterminée. Par conséquent on a Ie théorème suivant : Théorème. Lorsqu'une integrale | m^f{x)dx a une valeur déterminée P (m, ) pour la valeur m, de m: alors pour m^<^in^ Tintégrale aura pour valeur '^{m^), quoique primitivement cette integrale ne valüt pas pour cette valeur m^. Toujours est il sous-entendu que la fonction S, inté- grer ne devient pas iufiuie pour cette valeur in^. [299] O. Bonnet, Journal de LiouviUe, T. 14, p. 249. [300] AbeIv, Journal von Crellc, Bd. 1, S. 3U. Pa^e 553. 70* III. ]VP% 29. N°. 1, 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Tout ceci est exact, mais Ie raisonnement ne vaut plus lorsque avec Bonnet ou prend pour m, uue valeur plus grande que m^, même dans Ie cas que TOi converge vers m.^. Dans ce cas Ie résultat peut être valide ou non, sans que l'on puisse s'en assurer. Aiiisi dans les intégrales de Méth. 4, W. 1 1 Ie facteur e-l'^ = [e-py devient (e")^ = 1^ = 1 ƒ" r" 1 Cos.qxdjc ;= O, J Sin.qxdx = - est par hasard fautif. Au contraire o o /"^ . dx q n Sin. qx — = Arclg.- = — , O ce qui est vrai par hasard. Pour avoir eucore un exemple tranchant de la uon-validité de cette methode, preuons la diflc- C'^qCos.px — xSin.px reuce des intégrales • T. 205, N^ 5, 6 (Me'th. 24, N". 4): ƒ ^ ^^ — ; '— dx = O, j q' -\- x'- O f^ qdx (T. 209, W. 17), et posous-y p zéro, il vient: / ~^^ — J= O, ce qui repugne a la valeur o trouvée Méth. 1, N^ 3. J'ai cru devoir iusister uu peu longuement sur ce point de l'analyse, parce que Temploi illégitime de cette methode a roené assez souvent a des fautes dans les résultats. 2. Mais il y a un autre cas, oü cette methode nous a déjS, quelquefois rendu service : savoir lorsque la valeur zéro de quelque constante annule a la fois la fonction a iutégrer et la valeur de l'intégrale: alors on peut pourtaut acquérir un résultat exact. Ce cas se présente entre autres auprès de ƒ1 /l —r9y 1° 1 xP- 1 dx = — — ; — —7- et en o /•» / 2\a la,l la/l passant a la limite zéro de q [301] : ƒ ( /- xP-^ dx = - — ; = -^. (T. 157, N\ 2). [302]. "o , „ . l — rcg O , ., . , ^ , ,■ ■ l—:ci —Ix.xg—l iSOll Puisque est — pour o zero, il vient par la regie ovdmaire = — = — lx. J ^ r^ O ' -' r o ^ ^ [302] Comme on tvouve d'unc autre maniere Méth. 33, N'. 7. Substituez xP — y, vous aurez, après avoir multiplié par 23«+l : j \i-\dx=^ 1"/', (T. 42, N". 1), d'ou encore, parce que les intégrales o précédenles valeiU tout de même pour un a fraclioauaire : ƒ /l- dx = T (p). (T. 42, N\ 2). Diffe- 0 /■' / 1\''~' renlitz-la par rapport a ^;, il est: I Z- Ux.dx = d. T (p). (T. 42, N'. 8). O Page 554. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES LNÏÉGRALES DÉFINIES. 111, M^\ 30. N\ \ — O. 4. JIKTilODE 30. D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION INTÉGRÉE ET DE LA VALEUR d'uNE INTEGRALE EN SERIES, DONT LES TERMES GÉNÉRAUX CONSTITUENT UNE NOUVELLE ÉVALUATION. fb 1. Lorsquoii couuaït une iütégrale tlétinie i f(p,x)dx=^'¥{p), et que f{p-,x) et F ip) peuvent se développer eu des séries, dout 1'argument est unc même fonction de p, on peut con- clure que Ie teruie géuéral de la série de I'(p) est la valeuv de l'intégrale qui contient Ie tcrme général de Ia série de /(p,.i'). Ainsi quaiid on a /(p ,.«) = .S A„p", et F(p) = .2'B„p'', on aurait : rb I Andjc = B„; OU lorsqu'ou avait f{p,x) = 2 knCos.np, E (^)) = 2BnCos.?ip, il en résulterait rb encore : ƒ fb , . . I An div = B/j. Dans ces deux exemples A„ est uecessairemeut uue fonction de x. r Cos.pxdx 1 1 ^ . 2. Ou trouve (Méth. 4.1, W. 11): j f — ,— = ; = --Sec.{pi), 'o Sin.pxdx ■■^=^ =^ iCotApi). Pour la iiremière on a C. P. 67 et 76, e'^x^i f eP — e-P ^f J i oo(_l)« 1 ^ la (—1)" Cos.vx = 2- ^»2)i^.2n —Sec.(ï>i) =—2 J.H«]3., • or, comme les termes "eueraux pour ^ o 1-"^' ^ - o l-"/'^ ' ' ' o l . r x^-'^dx 1 n = n ue différent que par les facteurs x-" et B2n, on en tire: 1 ; ; — ^-Bon. ^ ^ . / eè'Tx-l-e-i'r.r 2 o (T. 120, N''. 14). Pour la seconde il faut preudre la différence — Sin. px + Z Sin. 2,p x = ay 22»-T-2 1 = ^ ^ — (— l)"p2H+i ^.«+1^ ;--i jaquelle correspond Ia valeur — i Cot. (pi) -\- 2i Cot. [2, pi) = 00 22n+2 — 1 22"+i = — iTang.[pi) = 2 — ( — l)" p-''+^ Ban+i (C P. 74). La comparaison des deux x-"+^ dx = B2«+i. (T. 118, N'. 15). e'f^ — 1 n + 1 o ƒ'" Siii.p.vidx l I „ 1\ /"* Sin.pxidx 1 ,^ —_ = --M Cosec.p , ƒ -r- rr;=77* f9-P- o o Page 555. III. W\ oO, ol.W. Ó,4. l, 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRA^SFORMATIO]V, Oi,smvaütC.V. 6S,72,rd,Sin.pa;i = iÈ -p^''+\v'^'>+\Cosec.p =È^'" ~ p^ii+i ^B2„+i, Q 12n+l|l p Q I2n+in n+l _ ^ 22n+2 __ 1 22n+2 lang.p — 2 ,<,„., n p^"+'-- — -— Boh+i ; donc nour les termes correspoudants : o l''»+i'i 2m + 2 o o (T. 120, N'. 20). A TTl , ,;r/> „. ,,, f^ SlTl. p.Ü dx 1/1 » 1\ 4. Encore a-t-ou Méth. 31, N'. 2: / - = ii-Cot- ; or, par uue j e2t,r_i 2 ^3 Z pj' ' ^ o 11 1 ^ p2«+i /-«.ra-i+i dx ,. 1 1 1 co «2)1+1 r réduction facile d'après C. P. 69, ~ Cot-p = — ^-^^ Bo„+i: douc ici: / l -l p o 12»+ 2,1 ""^ ' / = 4-^;;^ ^2„+.. (T. 117, N\ 28). [303] e2Tx_ 1 o 1 ment ^ 5. MÉTnODE 31. SOMMATION d'uNE INTJÉGRALE DÏIFINIE PAR RAPPORT AUNE CONSTANTE. 1. Quarid ou connaït quclque integrale défiuie I f {p,x) dx = '¥ {p), il s'ensuit naturelle- a -2" I f{p,x)dx= j dx 2 f{p,x) = 2 '¥{p). Dans Ie cas oft les deux sommations, P=l' J j p=h p=k a a celle des f{p , x) et celle des F (p), donnént lieu h, une expression finie, fermée, on est par con- séquent ramene a une nouvelle integrale définie. 2. Ainsi par C. P. 69, 73, 71, l'intéjTrale 80, (Méth. 1, W. 11) donne: — Cot.q = ' ' ' o . \ J 2q -Z ^ '1 Z'"' 00 l f" 00 1 f^Sin.oxidx = - ƒ dx 2 e-»'^^ Siti. nxi = - 1 Sin.qxidx :E e-'^'^^ = - I , (T. 281, N". 10), tl ij 1 ij e'^^—l , [303] Autreraent déduitc Mcth. 33, N'. 9. Poiir 2.r = ?/ on trouvc encore : |'«^.2n+l fJx 22« / -Z7— f =•— ri^2«+,. (T. 117, W. 22). I e~^ — 1 n + l Pacre 556. ET METHODES D'ÉVALÜATION ÜES INTÉGRALES DÈFINIES. III. i\P. 31, N'. % O. 1_ 1 1 r" =0 ,, n, r,. . 1 /"o. , ^ ,, ,,^ \ r Sin.qxidx -Ta. -n = ~l c?a'^e-(2n-l|"^&«. qxi = - ƒ ASin.(/.ri dv^ c-l'^i-i)'^^ = - ƒ ï , (ï. 281, W. 7\ 1 1 , in ^ r / i> c- • !/■?• ,, ^/ ,^ .rSin.qxidx — Coscc. ii = -l dx 2 e-"^^ { — 1)" Sm. qxi==-l bm. qxi dx 2 { — ] )« g-if^ = i ƒ , 2q 2 ij 1 V ' y e'^ + 1 (ï. 281, N^ 5). Eucorc par C. P. 75 et Fintégrale SI, (Mt'tli. 1, N". 11) ou a: 'Sec.-q=^ 4 2 = /(/.^'^(— l)"e-(2''+')"-6os.^^j= /('os. g.ri da;^( — l)"c-(2«+i)'!- = / /'^'^^^ d.y . (1GG3) 0 0 0 Lorsque dans ces quatres intégrales on exprime les Sinus et les Cosinus imagiuaires en exponentielles, f'^el^ — e—1^ 1 f"" e— '3'= — e— 7« 1 1 il vient: ƒ dx = Cot.q, j J.« = -7'««^.-^, [304], (ï. 38, N." 2, 17), J girx — l q I g-'x — g—'^x 2 2 ƒ dx = Cosec. q . (16G4), / ^^— — dx = - Sec.-q. [305]. (T. 38, W. 16). I e'^x_|_i q J e'^^+e-^^ 2 2 '' "- -* ^ o o Quand au contraire dans ces mêmes intégrales on prend qi = p, il vient h l'aide de C. P. 38, ^'"Sin.pxdx 1 l eP+e—P f"^ Sin.pxdx 1 e>' — 1 ^ = — — H , / ' =- [306], (T. 281, N'. 9, S\ e'^.r_l 2p 2 eP—e-pJ e^^—e-""^ é ei'-\-l o o ^'"Sm.pxdx 11 /•" Cos.pxdx 1 eiP ,^ „„,,,,., r„„.,, ^ =— — ,.(1665), I = . T. 2S1,N'.4. [307]. e-»^ + l 2p eP — e-P ^ ' j é^^-\-e-''^ 2 eP+l ^ o o 3. Dans les intégrales T. 63, W. 9, 10, (Méth. 7, N^ 20) prenons p = a entier, alors r (p 4- o — 1) on-i/i = (par la formule A, Méth. 3, W. 7, Note), et nous auroiis: ƒ2 Cotixdx 0«-l/l n f^n- n ^ Cos. ax. Cos." X. = ' , 1 > 9 > — 1 ; I Sin. ax. Cos." x. ■ ja— 1,1 „ (7«— 1" TT , V , 2 > (7 > 0. Maintenaut multiplions par p" et somnions par rapport a a, Ja— 1/1 2 (Sï'n. i gn [304] Sur une autre dédiiction voyez Méth. 22, N°. 14. [305] Comme on a aussi troiivé Méth. 22, N°. 14. [306] Autrement déduite Méth. 41, N\ 11. [307] Déduite d'une autre maniere Méth. 4!, N'. 11. Pacje 557. III. M"^". ol. N°. 3, 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, TORMULES DE TRANSEORMATION, ?r -^-— ^ Cos. a^- [p Cos. x'f == — -^^-^ 2 ^-- p"-', !>-!, Cos.^ X 1 2 6os. |.(77r 1 ia— Wl o X t^Cot.Ixdx ^n _ «TT OD 5» — 1/1 I 2 Sin.axip Cos.xfl = .^ TP''"^ 2 ■> o "> 0. Pour les premières som- ƒ Cos.-'x 1 ' 2Smj. ^371 1 l«-iA^ > -^v/ i o inations chaugez p eu pCos.x claus C. P. 97, 98; pour les secondes on a C. P. 61; donc: 2 Coi.ï .r dj; p ( 1 — p) Cos."^ x j.n 1 Cos."^ X 1 — 2p Cos.^ .K -j-p^ Cos.^ .r 2Co«. |77t(1 — p)" 2 Co/.ï a; dx p Sin, x. Cos. x pn 1 , 1>2>-1, ( f J Cos."^ X 1 — 2p Cos.^ X -\- p'^ Cos.^ X 2Sin.^q-n:{l — p)" o TT ■2_ ƒ '2 Cot.ixdx in p Cot.l-^x l — {2p~p^)Cosr-x ~ (1— p)?+i 2 Cos. J ^tt' >'?>""' j i_(2p„p2 , 2 ^^■^ O, OU bien: = , ^ , 2>5>0, (T.68, W. 9, 10), intégrales, qui au fond ne dift'èrent pas. [308]. (1 — p)9 ZSm.lqn On y a p^ <^ 1. 4. De l-inteVrale de Méth. 4, N^ 6 o„ déduit : f ^ illZ^ÏZl^ ^ £M ^J^^Él ?!l!, « Uj ƒ! (1 — a:)i»-i 00 qn-l r (p) «= r (n — p) qn-i dx ^ —7-; — = .2" = xP+^ i ry r 1 r(«) »-n-l _ r^P) j, (i-p)n-i/ir(i-p) / ^Y'-' _ r(p)r(i-p) j (i-p)"-'/' / gV'-' q^, j^ ^^^_ ,. "7 i»-i/i \rj »■ . 1 i"-!''! y»-/ ■ . / '/\''-' uiere sommation est egale all j , la première sommatiou sous Ie sigue d'iutégration a pour , .K ' n valeur et Ion a trouvé Meth. -I-, N°. O, Note: r(n)r(l — p) == ; donc: r — qx ■ Sin. pn [308] Prenez (1— p)^ = 1—/', alors: ir '2 Cot.ixdx (1-r) ir ƒ2 CoLlxdx 1 n '-, 7, = T^ri—T. , O <»'<], o- < 1. (T. 68, N\ 11). 1— rCo5.'.c , "'t- 2 Cos. IwTr' ^ ^ ' ï' ^ ^ ■' o a—r) 2 PaM 558. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGIIALES DÉFINIES. III. M''''. ö\ . N\ 4 — 6. ^ ' =— [r-, r>0, 1>?'>0, (T. 6, N^ 9), d'oü pour p = -: r — qx xP rP (r — qy~P "' ' dx 1 n 1/ -= . (ï. 15, N'. 15). — fjx .t(1 — x) \/r{r — q) „2.1+1 5. Multipliez rintégralc T. 183, N'. 8 (Méth. 5, N\ 2) par ' et sommez par rapport C'^lxdx^ I qx \2«+l 1 ^\nlil(iYn+\ \ q a a, il vient : f -i ■ ; — = nip 2 — - — = ti lp. Arcsin. rr > j X o\p-+*'/ 2rt+l ' o%nl2\r ; I ^ ^^|^ o o = 7r + 7r(e/'«— 1) = TreW, q- <.l, (T. 396, N'. 19, 20), suivant Méth. 5, W. 6. Trans-- forinoDs enfin de la même mauière T. 370, W. 3 et ï. 354, N", 6 (de Me'tli. 36, N\ 6), ., . fT' , I pSin.x \ qSin.xdx n «o (pnY n il vient: / Arctq.l — — = — 2^^-^^ = ^(1 — » = — I. Page 560. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. IVP. 51. N\ 7. Passons ;\ la limite oc de a, les sommations ont nour valcurs resnectives et • tandis l—p l+p' que les iiitégrales complémenlaires deviennent : . Sin. X. Cos. \[2a+l)-\ , . 2 Cos.^r.Cos. UZa+l]-} ^ ^ , , p r aj dx _ (" i '^^ ^ _ f7'Cos.aa;+Cos.{{ai-l)x} I i — ZpCos.x-\-p'^ Sin.\x j l—ZpCos.x+p^ ^~ 1 l — 2pCos..v+p'' o o 'o /7r^ï«..i'.S2H.|;2a4-lV-( , . 2Sin.Uc.Si7i.[{2a+\i-i (' 'z£ dx fi: 1^ -Zi _fnCosxix^ „ l—-ZpCos.x-\-p'^ Cos.lai J l — 2p'Cos.x-fp-^ '^^/ J_2 dx=0, M.v — Cos.[{a-\-\)x) T, , — ^ dx=0; p tos.x-j-p- . nif'n 1 r TVTo -, 1 /"" Sin.x.Cot. '^xdx n CvSin.x.Tana. \ xdx n suivaiit Meth. 15, N . 2; donc: / = = / ■^- = j \—-lpCos.x-\-p'^ ^—PJ i- — 2pCos.x-\-p^ ^-\-p' (T. 85, N\ 1, 3). [311]. Encoi-ea-t-ou:— 2 ^(—1)« Cos. {(2«—l)a;) = ^ec.r + (— 1)«-^^— [3121, donc par 1 ' Cos. X ' l'intégrale T. 84, W. 3 (Me'th. 5, N°. (i): \ J'(— IV'Cos. f(2H— llr) = j 1 — 2p Cos. X -\- p"^ 1 '^ ' i o _ £ /'tt Sec. X dx [ — l)^ /"jr Cos.Zax dx n " ~ - J ^—^P Cos. X + p-' 2" J l—-2pCos.x+p-' C^c ^ l—p-' "f ^~ !)'>■""'' _ [311] Leur somrae donae ƒ '"^ —-- ■ = -^, (T. Si, W. 1); que 1'on déduit J 1 — 2p Cos. X -\- p^ 1 — p ^ ' ' o aussi Méih. 1, N\ 14, et Métli. 32, N^ 6. Pour x = 2y elles donnent: '^ TT ƒ2 Cos.'-xdx 1 n r2 Sin.^xdx ] n l-2pCos.2x+p^~ll-p^- ■^^^^^^' j l-ZpCos.-lx + p^- ^ïV+p' • (^'^'^^^ TC Pr. 1.1 . I ■' dx In dont la soumie est: / = nr7n 2pCos.2x + p' 2 l—p^ ^ ^ [312] Car niultipliez C. P. 95 et 96, après y avoir remplaei' q par 2q, respccüvemeut par Cos. q et Sm. q, et prenez la sonimc de ees produits ; vous aurez : a—l 2 p" Cos. {{2n -ï)g} = P(t - P) Cos.q-p» Cos. {(2a- 1)?} + p<'+^ Cos. {(2a - 3)7} ^^^^^^ 1 — 2p Cos. 2q -\- p^ ' pour p ^^ — 1 la sommation du texte. Page 561. . ^j^* lil. IVP. 51. iN\ 1, 8. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, d'oü, comme Tintégrale complémentaire devient iufinie avec a (Méth. 15, N°. 2): fir Sec. X dx ZpCos.x -f- p' X. (T. 85, N". 4). o 8. De méme les formules T. 296, W. 7 et 8 (Me'th. 5, N'. (5) donnent lieu aux relations suivantes : epCci.x Sin. [p Sin. x) dx 2 Sin. n.v = - j ePCos.x Sin. [p Sin.x). Cot. i x dx — ö o I g,, C os a' &•„. p Sin. x) ï^ ^^-^ *- dx =-2-^, 2 j '^ ' Sin.hx 2 1 l»/i o /TT " ] /-'^ epCo4-.x Sin. (p Sin. x) dx 2 (— i)" Siti. nx = — - / ePCos-^ Sin. {p Sin.x). Tang. l x dx — o "o (—1)" (-^ r. r, Sin.{{%a-\-\\\x\ n «(—»)" — 'ï ePCos.xSin.[pSinx) ^\ T - dx = ^ ^^ — ^, o /TT a 1 rTT epCo6-.;r(7o5.(pSMi.«)^.i'.2'(— ly'Coj!, {(2n — 1)«} = / ePOos.xCos. ipSin.x). Sec.xdx — o o — ^^ ~ I eP Cos X Cos. (p Sin. .v) J.« = - ^ ^-^ . 2 J ^f I Q^g^ 2 j i2«-i|i o Les valeurs des deux premières équations pour a infini, devieunent - {ep — 1) et - {e—P — 1) r^ Cos.{{2a + l)kx].Cos'x respectivemeut ; les intt;grales de correction sont la: 1 eP^^^-^Sin. {pSin.x) ~ ~ — dx = f 2Sin.ia;.Cos.^x ■o /"/^ c . r,. Cos.ax-{-Cos.{(a + l}x] /'^ ,, „ ^. Sin.{(2a4-l)U].Sin.ix ^ epCos.xSin.(pSm.x) r, d^ et ƒ eP^os.xSin.lpSin.x) ^-\ \ ' —dx= 2 Sin. X I 2 Cos. ï x. Sin. i x o o ^T „ Cos. ax — Cos. {{a-\- \)x\ epCos^c Sin. {p Sin.x) — -^-^ — - — '—^ dx,toütes les deux iiuUcssuivantMéth. 15,N-'.5. 2 Sin. X o Donc : / eP ^os.x Sin, {p Sin. x). Cot. 2 xdx = n (eP — 1), 1 e/'C'os.i Sin. {pSin. .v). Tg. § x dx = n {\—e—P), o o /ir gpCos.x gifj Qj Sin. x) dx n —_ = _(ep_e-/'). (T. 296, N°. 10, 9, 11). Mais Sin. X 2 PaM 562. ET MÈTIIODLS ü'ÈVALÜATlOiX DES INÏÈGKALES DÉFIiNIES. III.M''". 51. N'. 8, 9. daus la tlernière des trois équations précédeutes 1'iutégrale de correction est iiifiiiie avec a, doiic OU a: j ePCos.x Cos. {p Sin. x) -^ = co . (T. 296, N'. 12). / Cos. X 'o 9. Auprcs de l'intégrale T. '651, N°. 6 (Méth. 34, N°. 6) la traiisfonnation doniie lieu a .,. , . ƒ"■ ~ Cos.Zaxdx 1 integrale complémentaire i /(l — ZpCos.x-\-p'^) , qui dcvient inlinie avcc a (Méth. J Cos. X 15, N'. 6); donc il est: jl (l — 2pCos.x + p-)~^_ = x. (T. 355, N°. 3). Mais 1'inte'grale Cos.x fn I pSin.x \ " T. 370, N°. 3, de'duite dans ce mèmc lieu, nous donne; | Arctg.l \dx2Sin.nx = / \ 1 — p Cos. X j 1 "o 1 fTT I pSin.x \ 1 /''^ / pSin.x \ Cos. f (2a -f- 1) ê.») = - ƒ Ardg. -^ -^ . Cot. i X dx— - j Arcig. i ~^ ^~-'— ^ ~ dx = 2/ '^ \\—pCos..x] ' 2/ ^ \\—p Cos.x] Sin.^x 'o *o n "p" fK , / pSin.x \ O) „ 1 /'t / pSin.x \ = --S" — , ƒ ArcIg. ~^—^ dx :E [-1)" Sin. nx = — - ƒ Ardg ~-— . Tg. | xdx — 2 in J -^ \l—p Cos.x j i ' -J \l~pCos.xj ^ ü o (— 1)" (^ , , / pSinx \Sin.{{%a-ir\)hx) , n «{-pY ,• i • — I Arclg.\ ^ — dx= - ^ . Ur, les corrections deviennent : 2 y y 1 — p Cos. x] Cos. 2X 2 i n o [t I pSin.x \Cos.{[2,a-{-l)^x\.Cos.2X /!«■ / pSin.x \Cos.ax-\-Cos.{[a-\-l]x] I Arctg.l ^— — ; — -r^ dx= I Arctg.\- — - — — "- dx J \1 — pCos.xj % Sin.2 X.Cos. ~x J \1 — pGos.xJ ISin.x o o ff , / pSin.x \ Cos.ax — Cos {{a -\- \) x\ , ,, „ v ,ry, et ƒ Ardg.l — \ r ^^^ — - — —^dx, nulles d après Méth. 15, N. 6; et les J \L — p Cos. xj 2 Sin. X o dernières sommations out pour valeur — ö^(l — P) ^^ ö^(^ ~l~ ?')• Donc: \Ardg. i-^—^^^^X Cot.ï xdx == —itl{i—p), (ï. 371, W. 2), j \ 1 — p Cos. X l o /ir / p Sin. X \ Ardg. ~i \.7'ang.ixdx ==nl{l+p), (T. 370, W. 21); \l — p Cos. X j O p Sin. X \ dx n \ -\- p ƒ TT / pSin.x \ Ardg. i \ 1 — p Cos. X Sin. X 2 1 — p Z— -^^. [313]. (T. 371, N'. 1). [313] Cette integrale est autreinent déduite Méth. 34, N". 6. Page 563. III. M'''. 51, 52. N'. 10. 1 . ruEoiUE, propriètés, formules de transformation. xdx " l r xdx ^ ir xdx Cos.U9.a^\)\x\ n « ^ xdx " =-ƒ CoLix / r ^' . ; '~^-dx=-:2e-Q",l -:Z [—1]" Sin.nx = 0 0 o \ ["^ xdx ^ _ ,,>/"" xdx Sin.{{2a-\-\)ïx\ -^ J, , 2y ^•'-l-A"' y 9 +''«^ 6<7S. sa: 2 1 o o —V^ -^ — 1 )" Oos. {{-271—1) x} dx = ƒ -f Sec. X - / ~ ^ o 0 0 GO =.2'( — l)''e-7^2H— 1) J)q ces corrections la deruière est iufiuie, suivaut Méth. 15, ]Nf°.3, oü aussi les deux 1 . „ , , , .. /"" ^^-^ Cos.ax + Cos.{{a+\)x] premières se trouvent etrc telles, lorsqa on les met sous laforme / — — — ^^ -dx j 5"+.«^, 2Sin.x o ƒ* xdx Cos.ax — CosJ(a-\-])x} f^xCot'xdx f" x Tg. ^ xdx — — '^ ^. Donc 011 trouve: 1 ^ «=> / — = ^. q'-\-x'- 2,bin.x ƒ q'^ -{- x^ J 9'^ + .r* o 'Sec. xdx q^+x"^ ^^p^^^ = ac, (T. 216, N'. 1), OU elle est q^+x^ o fautive). [314], ^ .V . f^xCoLpxdx f^xTang.pxdx Absolument de la meme maniere il est : I — = ■» , I ;; — J 9' — x'^ I q- — .r^ o "o /"^ xCosec.pxdx ,„ „„ ,,„ — = X. (T. 206, N°. 19, 16, 18). q^ — x^ § 6. METHODE 32. DIFFÉRENTIATION PAK RAPPORT A UNE CONSTANTE. 1. Quelquefois après avoir trouve quelque integrale définie, nous Tavons différentiée par rapport a une constante, qui se trouvait sous Ie signe d'iiitégration ; et de cette maniere nous [314] Toutes les intégrales que par cette methode l'on a trouvées être infiaies, étaient connues avec d'auties valeurs, puisqu'on négligeait a tort les corvections. Ce changement des résultats a son origine dans la theorie exposée dans la Partie Première § 9, dont j'ai traite dans une Note dans Ie Tomé 7 de ces // Verhandelingen der Kon. Akademie van Wetenschappen." Page 564. ET METHODES D'ÉVALUATIOiN DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. AF". 52. N'. 1 — .1. avons obtenu de uouvelles iutógrales. Toutefois il est nécessaire toujours d'avoir égard aux obser- vations de la Partie Première N\ 30, Nous allons encore considérer dans quelques cas Tinfluence que la methode a sur la fonction i intégrer. [3 15]. 2. Lorsque en premier lieu on differentie suivant unc constante, qui se trouvc au dénomina- teur, cc dénomiuateur se trouvera élevé a uue puissance supérieure d'une unité. Ainsi par ia diffé- rentiation selon q, les intégrales T. 205, W. 5 et 6 (Métli. 18, W. 8) donnent: ƒ" Cos pxdx 1 + pa /"" X Sin. px óx pn ^ , . ^ = ^^* e-/'?, ƒ = '— e-P p' q' (T. 67,N^9,S). Leursommedonne: ƒ" ,^,., . V'^^c.-.. ■■ -n-> = t'^s'^'s • [320]. (T. 67, N^ 7); [315] De celte methode j'ai fait uue applieation dans une Note insérée dans Gvunert's Archiv, BJ. 13, S. 193. [316] Leur ditférence aveo les intégrales primitives doune encore: f'^x-Cos.pxdx 1 — po f^x^Sin.pxdx 2 — pq ^ „ ^^^ ƒ ' = —e-P9, I = - -^ne-Pi. {T. 208, N^ 8, 9. O O Sur toutes ces inlégrales voyez une autre dcduction Méth. 25, N°. 6. [317] Soustrayezen les inlégrales primitives, il vient: r°°x' Sin.pxdx n ƒ O {q^-x-Y 2 X * Cos. px dx [q-'—x'^Y 4'/ -{iCos.pq — pqSin.pq), (1673) {Sin.pq-\- pqCos.pq] (1674) [318] Autremeut déduite Méth. 9, N°. 23. [319] Comme oa trouvera encore Méth. 45, N"". 2. [320] Voyez a ce sujet une autre déduction Méth. 9, N'. 23. Pan-e 565. III. M''=. 32. N\ 5, 4. THEORIE, PROPRIÈTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Différeutiez cette deruière par rapport a p et a q, il est: ^ TT /^ Cos.^xdx n p^ + 39^ /-2 q'' 'o (T. 67, N\ 17, 18, 16, 15, 14, 13). 4. TiOrsqu'on differentie un facteur e±1^ par rapport a p, ou ajoutera uu facteur ,v. Aiusi les iutégrales 78 et 79 (Méth. 1, N'. 11) donueut : r.-.x5.«.r..rrf.r = c-ê;-^tZ^?^!L±Zl=i, (,675) ƒ e-P^Cos..r.xdx = _ g- |^/t 2JLL_+iiJ_±l? (1676) ; (1+p^)^ et 256, 257 (Me'th. 3, N\ 9): [V.^ Sin. X. xdx = [!-;>- -èP^fl +P')] e-i/-'- + ^F j i^ + p'r (1677) pe-r^Cos.x.xdx = Pl=:l+_0-a+p;) + 2p}.^-^ ^^^^3^ (1 + p*)' o Pa^e 566. I:T MtniODES DÉVALU.VÏION des INTÉGIIALKS DÉFINIES. Ml, !\P. 32. N'. 4, 5. ces deux couples d'iiitégrales ne different que par les limites : on peut donc eii pieudre la somme /•* 2« f W- — 1 et Ion obtient: j e—i'-'^ Sin.x. x dx ^= , | e-i'^ Cos. .v.x J.v = fT 385 I) o W. 6 et 14). 5. La différentiation d'une puissance x'i par rapport a +^^^^-'+^^--+^li. J e'^+e-Tx 2 2^ o »• {2,n-\-\)n — p ^ (2?t+l)7r + p J o (T. 274, W. 4, 1). De même les inte'grales T. 5, N'. 17, 18 (Méth. 7, N'. 10) donuent: ƒ' — xP~1 4- x:'-T'—'^> ^°- l'')- Sul)stitucz-y 1 — x-P 2 ylpj o - -^ = Tl' (T 152, N°. 13), iiitégralp, qui est la somme des deux autres \—x' 8 ^ ■ o T. 152, N°. 3 et 7, trouvées Jlétli. 4, N\ 9. Page 567. 72 WIS- EN NATTJTJRK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL Vlll. III. M''% 5'i. N'. 5 — 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ^ rW2 — = — hSec.^^~ — Sec. '- [322], ƒ (Ix)^ — = o 'o = — — I 25ew. — .-Sec.» -. (T. 154, N°. 5, 6). 6. Quelquefois cette methode peut servir a nous faire trouver des intégrales plus simples. Difle- reutions T. 354, N°. 6 et T. 35:j, W. 17 (Méth. 5, W. 6, Me'th. 4, N\ 4) par rapport f —2Cos.x+Zr t~ — 2CosA• + 2r a r, il vicnt: ƒ Cos.axdx = — Trr»— ', I ; — - ax =0; et ƒ 1 — Zr Cos. X -\-r'^ J l — 2r Cos. x -\- r- 0 o f"" t'^ , , , r Cos.axdx puisciue (92) 1 Cos.axdx = Q, et / Az' = tt, il lesulte de ces inteaii'ales: 1 r ; — r j 1 ^ J l — 2rCos.x-\-r- o o o 1 /-Tl — 2rCos. X -\-r- — r{ — 2 Cos. x + 2r) n r" f^ dx = . 1 Cos.axdx = , / z, l—r"-] 1 — 2r Cos. x + r '- i — r - _ƒ 1 — 2?' Cos. x-\-r- 0 o 7t /"" Cos. ax. Cos. xdx tt 1 + r ^ j-«->. (T. 84, N'. 3, 1, 7). [3231. ZrCos.x-\-r- 2 1— r^ ^ - > ; l j 7. Différeutions l'intégrale T. 348, N'. 12 (Méth. 17, N'. 16) par rapport it ;i), uous aurons : /•i l+.«* 3l/2 [322] Poiir ;) = 2, ? =^= 1, oii a: / [lx)- — — 7 dx = — '^ — 7r\ (T. 154, N . 2), d'ou, puisque ƒ I+.3;* ö4 la fonctiüii a inti-gix r ruslc la mCuie par ia substilution de a- = - : :'/ r \ -\-x' 31/ 2 ƒ {lx)-—^-—dx = -^^—n^ 1679) ƒ ^ ' l+x' 32 •o ƒ4 dx (ITatin.xV , (T. 312, N'. 5), = ^ -^ ' Sin.'^ X -^ Cos." X u ■K 1 p> ., dx = - / [irang.xY—-^----:^, (T. 342, N^ 2 2 / Sin ^ X -\- Los.' X dx 31/2, '^ 64 [323] Sur les deux intégrales T. 84, N'. 3, 7, voycz une autre déduction Méth. 5, N'. C, et sur l'intégrale T. 84, N'. 1 d'aulres déductions Mélh. I, ^'^ 14 et Méth. 31. N". 7. Page 568. ET METHODES D'EVALUATION DES INTÉGUALKS DÉFINIES. lil. M'''. 52. IS', 1, 8 ƒ II— p-^Sin.Kv \/il-p''Sin.^x)^ ^ ' ' y" [\~p- Sin.'' x^X 2 ^^^ 1 — jo^ i) ] d^'ip) dY'ip) cl f2 (lx n pSin.Kvdx -| Z(l — p-) . Or, comme ' — ' dp dp dl 'o ƒ2 dx ( 1 p Sin. ^ X dx r = I , 011 trouve : \/{l—p'Sin.\'e) f ^/{l—p^iSin.■'y f 2 1(1 — p- Sin.- x) „ „ , 1 c- . .,,1 f- Sin.'^xdx 1 ^ , ^ yn 2 e- 2 'Sin.Kvdx^-[2p+\pl[l~p^)] / .. - ^ F (p) = ƒ (/(l — ;s*5in.^a;)^ p^ J j/(l — p^ Sm.- xy 1 — f»-' ïl 1'aide de Méth. 9, N". 12. Multipliez cctte iiitégralu par p- et ajoutez Ie produit ii 1 'integrale diflc- TT 1/(1 — p' Sm.' x)^ 1 — p- 0 (T. 348, N\ 18.) [324]. 8. Appliquons encore la formule (49) de la Pavtie Première. On trouve Méth. 44, N\ 2, la 1 ƒ"" dx P? „ Sin.x.e—f^ — = [/n I e—^'d.T. Substituoiis dans la ijreinière integrale x = pq *• ; I) o _p_ et pg = r, il vient: ƒ Si7i.px.e—'^^' — = y/n j e— ^Va-. Maiutenant diflerentions par rapport a;? : "o o ƒ Cos. pxe-'-^ dx = t/71 (e-^\._/L — = ' — e ir'. (T. 280," N'. 4). \_:i2b'\. Pour » = ^t il est : J 2/- 2r 2r ^ [324] De ces deux intcgrales on dcduit encore : J 1/(1 — p' Sm.' x)'' p"- 0 — (2~p2)E'|p) {2+i/(l— p^)}]. (T. 348, N°. 20, 21). [325] Autrement déduile Métli. 23, N\ 3, Mélh. 24, N'. 3 et Méth. 43. N'. 4. Page 569. 72* in. yV\ 5*2, 53. N". 8. 1 . THEORIE, propriétés, formules de transformation, ƒ" l/jr ?! (g2ï.r ^g-27rjg-j"x"d^. = »^ — cr^ (T. 37, N'. 13). Diflereutiez-la seloii q, alors: ƒ> i/t £ q^ — e-'^'!=')e-'-^1x(lx = — 2qer% (1680) qui devient pour .v- ^ y: J (c2 ^^^^ t^^'*^^ " " " " ^^"''^ S.PourqueiiouspuissionscliflerentierT. 205, N'. 5,6 (Méth. 5,N^. Sjpar rapport ay, il faut en premier lieu Jcrirc q pouv q- donc, lorsqu^on divise par ( — 1)'' l*'/' : p xSin.pxJx ( — l)«7r rf« _ . 7re-/'V^? p" o> (a + 72)2"/— 1 1 / ('/ + *•';"+•" S.l"/! c/ryo'^ ~ ]«/l 2«+l «/Ka+D q 2"/2 (pj/^)"' Cos.pxdx ( — l)«7i: rf«H-l , Tre-;'!''? »" ,^, (a + n — 1)2»/— 1 \ lail .1(1-1-1 „In n»,') r.../\„ \.^^'i- j {q-\-x'Y+^ -ZpAol^ d:j«+^ l«/l2«+l,;§« (, 2''/2 {p\/riY o (T. 208, N". 16, 12, 15, 13). d.t (_l]ala|2 ^ („_L.]Wl /«N pa-in 329] Puisqu'il est: . (p'^-r/-)-è =-! ^ S ( — 1)» —^--^11-^ J L -, dp'^^ ^' ,/(p2_,/2) / ^ 2"(2a-l)''/-2(^2n7 fp»-<7')«-'' . (p^ — 7^)-' = 2- , - \ . Pour ;)--=! et 7 = Sin. \ dqa '^ '' \/{p''—q^)>>V'{2a—iy'-^-\inj{p-'—,l-)''-" on trouve T. 82, N''. 14, 15. (la ( — l)«e-Pl ? '» (a-j-n)2'';-l pa—» rSoül A cause de — . g— 7'l 7 = ^ . Vovcz cncore Métli. 23, ^ dqa 2" o 2"/2 (yi(«+") N'. 2. La dernicre iutégralf (pour q Tunité) a été traitée par PorssoN, dans Ie Journal de 1'École Paije 571. III. lW% 35, N'. 4. TÜÉORIE, PROPülEÏÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIO.X, 4. Lorsqu'on difiereutie les intégrales (1201) et (1202) (Méth. 18, N'. 11) a ibis par rapport a s, on obtient: , Cos. I p Arclg. - \ Cos. \[a-\- 1 ) Arctg. (q- -\- a;''-)ir' (s'^ +A'2)è(a+l) r__\l__l_li. '■[ ' '^ ['^ 'l dx, (1686) ^ ^^ ,j ^ „ 5üi. ( p /l rctg. - J Sin. j (a + 1 ) Arctg. ^ j "" 2 l«/i (^ -I- s)P+« ~" j "7?^ 4-.i' = )^^ ^ ■ [s-- +«ï )!(«+!) a>Cos. [p Arctg. -\. Cos. (a -}- 1) .4rc^(/.-| •o ~ 2P+°+' 1"" 5P+« ~ J iq'^ +a;»)è(o+p+i) -c/.t-. [3:il] (1687) 'o Peur s = q elles devieunent : dx, (1688) (g^+«'^)5(a+P+l) / x\ ( X) „„ , .co i'in. p Arctg. ~ . Sin. < (a + 1) Arctg. - - !L_/"^_i__r r %/ r^^ %•,, (1689) Polytecbnique, Cah. 16, p. 215, et par Catal.vn, Journal de Liouville, T. 5, p. 110, qui la fait depeiidre de réquatioii différentielle : la- — ^"+/ r^^...±-— = 0 (a) \\j dp-' ^ [2j dp' dp^-^ ne-P «-1 2" r(3a— n — 1) d"ou Ia (notre integrale) = ■ 2 — p", et donc : ^ ° ' 22a-ir(a) o l"/> r(a — n) '^ Ia = ; . — 1 e-P^(y' — 1)"- {r(a)}^ i ^3/ e*) Serket au contraire dans Ie Journal de Liouville, T. 8, p. 1, démoutro la formule (i) pour un a aussi . , r fractionnaire, et remonte vers l'équation différentielle (a); mais il se sert de 1'intégrale ƒ Cos.pxd.v = O, o /''* / Sin. px n\ dx qui est uvidemment fautive: or, supposons dans son raisouuement K = / I — -| TT""; T~ > ^ j \ X %} {\ +*•*)« o nuUe pour a zéro, alors il se trouve K au lieu de 1 dans (<(), et celle-ei est exacte, puisque K„ s'évanouit. c?« 1 d" s (3311 Puisqu'ona: Ui + s)-P = (—1 )«//'/! — , ^ . , ~~ ~,— = Cos. \(a + 1) Arctg. -| . Sin. ](« + 1 ) Arctg. '-) f—nila/l— _i ll^ = f — Hal*' Pa^e 572. liT METIlüDES D'EVALUATIÜA' DKS I.XTEGRALES DÉF[NIES. III. M''^ 55. N'. 4. Dans ces deux couples de foriniiles combinez les intégrales par voic d'addition et de soustraction il vient : ƒ oi Cos. {p Arclff. — |- (a -|- 1) Arctg.-\ ? ^-c/a' =0, (1690) , Cos. lp Arcig. (a + l)Arctg. - ^ I Q s] dx = ^-- , . . (1691) {.-"f^", (1 2.1"/' s(f/+«)?'-^« o \»i/ i « y (1694) [332] A cause des deux dernières relations de Ia Note précédente prises dans Tordre inverse. Pour la réduclion de la valeur dans la troisième integrale on a employé la première relation de la Note précé- »— 1 dente et encorc la formule evidente (n — l)a/i = — p«l'. Pour les integrales extremes il est en p + ci—l , , , (i" " la\ 1 , s , , ^ r. general: . ir (s). i// (s) = ^ 1 — - . , qui donne ici pour i^[s)=-, iti [s) = [q + S)—P : ds" ^ ' * ^ ' o \wj ds" ds<'-" s d" s— i ( — 1)« « /a\ , , /<7 + *V' ^ > ^ I \ in\\ pa-nl\ \ ^--i— 1 ds" {q -{- s)V s (v + s)P+« o \n Para 573. III. M^". 55. N'. 4. IHÉOIUE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFOlUlAÏIüN, o _ TT ^ [p-i)..{p + a-i)_ q 1 _ - z:!:! ^JrJzi^Jil ^^ ^ . ^^^^^^ o io)i [ (^4-s)P+a-l (^4-s)p+J 2 1"! ;, 4-a— 1 (^ + s)P+"' „SiH. ^p .-irc/^.^j Cos. j(a + 1) ^rcf^.^j ^ ^ ^ (_^ ((_ i)a;,»/i ^ rfa .-l ) ^ ƒ (9^ +«'^)5P (.?••* +«-)4'.«rl) A- ~ 2 1«1 1 fyPS«+' ds«'' {q -\- S)P] = -^^- |i^_— ^-if'^^ !«.;>«-«/. (^+^Vi (1696) 28.1"" is«giP (y 4- «)?'+« o V"/ \ « / ' Dans ces trois formules preiiez s = q, aiors: Sin. (jwArcigr.f j.Cos. (a+l)ylrcfi/.'- ^/, , f __\ 91 ! 9La=dx = ^-^-r — ^ ' ■ ■ (J697) O Cos.(pArc<<7.ïySi». |(a+l)Arc«^.^i ^ 1 " /a\ / \ ?/ '^ V ~ =. V 2»/2„a-«/i, . (1698) l (r/- +.r-)iCp+«+») .•!; 2p+a+i l".! 9P+°+i o \«/ •'o „Sïn.(pArcV^y(7os.{(fl+l)Arrf— ^^ U'-AV"-"/'. .(1699) / (^2 -|_ .^2j',(p-i-a+i) a- 2. l«/i 9P+«+i l' 2P+« o \nj ) •'o Preuons encore la somme et la difieienco de (1G94) et de (169C), de (1698) et de (1699): ƒ«, Sin. I p A rctg. - + (a + 1 ) Arctg. - i , , , (^2 _(-.ï2)èp(s2 4-.ï-=)éta+') .^, 2^PS''+1 1""' O f X .f| ^&n. pArc<5f. {a-^\)Arctg.-) , , ^^, , „ , , /o+A") j (^2^.r^)iP(s^+A'2)5(«-i-0 X s.\mis''qP (r/ + s)°+P o \«/ \ s /3 ' (9 +. = ■; ".'■"• l^iHfiPiitions ces Ibrnuiles Zl> fois et 204-] fois suivant 1 + r^ f l—ZrCos.x-\-r- 1 — r- 'o .w ''"^ Cos.ax , -Zr f^ Sin.ax. Shi.x a, nous obtKMidrons : f — I )* J ^ x-nlx = (—1 )'' J x-'> dx = 'l [—:lrCos.x + r' ' 1— r'' / l —2,r Cos x + r'^ 'o "o Zr l'~ (osax.Coi'.x , n = i—^y''. 7/ ', :rT^ , — -x'^!'dx = ri{lry-'', (T. 248, N\ 4, B, 5); ^ l-\-r'j l — ZrCos.x-\-r' l—r'- ^ ^ ' ^ ' . , ;. ü , , f^ Sin.ax .,,,,, . , 2»- f^ Cos.ax.Sin.x (_ 1)6+1 i ^x^b+i dx =^ {— 1)4 ƒ a:2''+i dx = ^ j \—2rCos.x-{-r- M — r^ / 1 — 27- Cos. « + r^ o "o 2r T'^ Si«. a.r. Cos. x n = (— 1)''-T T f \ . ^—a^-l'+^dx = r«(/r)2i+i. (T. 248, W. 7, 6, 9). ^ M+rM l — Zr Cos. X + r"^ l^r' ^ ' ^ ' ' ^ "o Diflerentions eiicore T. 280, N'. 4 (Méth. 24, N'. 3) a fois par rapport u p, alors il est: x-Cos.ilan+fx^e-'-^-dx^^'—^c 4,= ^(_ 1 --1(„ + 1)" l( JJ 1^ (1704) o pour r= 1 c'est T. ;5SS, N^ 24. [.'3:34]. 7. Dans les dernicrs numcros la diticrentiation a fait iiaïtre un factenr x". Maintenant nous allons douner quelques cxeinples, oü Ie facteur ajouté est {lx)". Diflerentions Tintcgrale T. 1, N°. 1, (Mctli. 1, N'. 2), après y avoir changé p — 1 en ;>, a fois par rapport :\ cette constante, [303] Oïi I'oii a fait r.safre des deux reliitions dcniicrfs de l'avanf-deniière note [331]. Oii a troiivd encore ces intégralcs Méth. 3, N'. 7, et poiir un u fraetionnaire Métli. 18, N'.. 2, 3 d Méth. 2f), N". 2. d" [334] Piusqiic: Cos. px = x'^ Cos (,', arr -|- p.xj, d" -É /1\«_?'' T- fpX"-'^" , „/«\ «;'*'-=-(i;)'*i(y (-')"-(" + ')""(,„)■ Page 575 7-3 WIS- £N NATXLKK. VKRH. ÜKK KONINKL. AKADEMIE. DKEL Vlll. 111. M. OO. N\ 1, 8. TIIKORIE, PROPIUÉTES, FORMULES DE TRANSFORMATJON, vient : I xP 10,1 il vient: l xP {lx)'Ulx = {— lY . (T. 15), N'. 2). [3351. De mème les intéc;ralcs T. 5, N°. 17 et 18 (Méth. 7, l\'°. 10) donnent apiès uiic ciifleientiation suivaiit q, répétéc 2a fois et 2a -|- 1 fois : iixf>~l -\-xP^1 dx n rf2a g^ I 7^ (/a-)2a— = .Sec/--, ■ (17Ü5) j 1 + «2/' ' ' X 2p dq'^" ip ^ ' o fhvP-l — xP+'I dx n d2«+l qn / (/.«)2°+'- = — — -7.&C. - (1706) n /■'a:/'-V — «/'+? dx n d'^" ^ qn ' ""■^2„ r^^-L^ (1707) f^xP-'i — xl'+'J dx n rf^« ^ qn ƒ ■ (/.'b)2« -- = . Col. — , j 1 _ A'S/' ^ ' X lp dq'-a 2p (?j')2''ii— = — -■ .tot.'- (1708). 1_.(,.2/. ^ > ^ tp dq^"+^ 2p ^ xP i ■ , rf+'-^i 8. Quaiid OU muhiplie les Ibrmules identiques = 2: (— 1)" A'P-^" + ( — l)'''-'+' , 1 + X o 1 + X XI' '^ x/'i-'^+i „ . \ = ^jp+n-| par dx, et que Ion integre par rapport ;i x entre les limitcs O 1 X o 1 — A' et J, on acquicrt les résultats ^^ x'>dx ^- (— 1|« , n xP+f'-i-^ dx p xPdx i -\- X o p -{-n-^-l I l +x / 1 — A- o "o "o i 1 n ,rp+lc+\ dx 2 -|" I j niainteiiant difi'éreiifions-les a fois de suite par rapport a p, il o ƒ1 XP {lx)- dx _ , , ^; „(-i)"'"' , i__ ./.- 1 /■' f^ i^vs^" '''^^ r -^H^j"):^ _ j 1+.. ~ "oip + n + ir^^-^^ >" ^ \+x 'j 1-^ o o - -\- \ . ]j0rsqu"on vcut iaire a; iiilini, il faut prciniere- 1 / ! — X ment prendre en considération les inlégralcs complérneiilairej^ i ƒ ^ la/l ^ ^^ ■* 1 ' ' O (p + « + !)«- ' rfj- == , suivant la Méiiioch^ S, ou Ion a 0<.6<11. i'our celte 1 ±9 / 1 ±0 [335] Antrciuont déauite Jlétli. 29, N'. .2. Tour « ^. 1 oi; a: \ x:>lxdx= . (T. 151, N". 1) IV-e 576. i:t methodes ivèvallation des intégrales définiks. IILM*"" -1,". N'. 8. valeur de O cette integrale b'anniile en géiiéral, lorsque k dcvient iiifini: seuleincnt daus les cas lil' O infiiiiment jjiès de O ou de 1, cela iTest pas toutïi-fait clair d'abord. Lorsque Ie déiiomi- natcur est 1 — 5, et que O diflere pcu de 1'unitc, ce dcnomiiiateur et Ie facteur Z9 approchent de zéro: et la fraction iie sera nulle que pour a^l; mais évidemnient c'est toujours Ic cas. Lorsque 9 couverge vers zéro, Ie uuinérateur OP+^'+i (i 9)" est O . o; , indéteriniiii', mais puisque p -\- k -\- 1 ^ n, la règle ordinaire fera évauouir Ic facteur l'i, et la fractiou sera nulle encore. Donc pour k infïni, les intégrales compléinentaires soiit nulles et Ton a: xPÜx)"dx ^ (—1)"+" C^xP{ivy'(lx 00 1 _LJ _;iai^_A '. ,a>0.[:3;5(; I — ^-^ = (— 1)" ].«/' Jl' ,«>Ü. ƒ (T. 157, N". 1 1, it). llais Ie raisonnenient piécédeut étant tout-n-fait indépendant de la valeur de/', on ijourra annuler cette constante et 1 on obtiendra ainsi : ƒ — - = 1"/'^ , I - = ^ j 1+.^' o («+!)"+' 7 1— a- o o = ( — 1)''1"/'JS' . (T. 157, N^ S, 9t. Ponr un « impair res somiriations s'expriinent par des coefficieiits Bernouillieus, donc : / ^—^ =— ^2"B2a-l,/ ~ ==~ 7l2"n2a_l.(T. 15 57,N\5,6).[3C7]. = 2 ~ — , (T. 3, N'. 2), il'üu pour x- = ï;?.' '/ et 2p -\- \ =:r p' : ^+^ o/J+w + l 71 ƒ' «. (— 1 ]" Taini.Pxdx = 2!-— . (T. 46, N\ i). [337] Dans riiUégi'ale T. 157, N". 11 siibstituons x= 7'^. ^ y, nous aurons en changeant 2/) -f 1 en ^) : Tg Px. (l Tg.x'fdx = l«/l ^ ■ , d'ou ponr p zero : / (l Tg.x)" dx = 1"/" ^ -^^ r . o o (T. 305, N'. 13, 10). — Dans l'intégnde T. 157, ^!^ 12, au contraire, prenons x -= Sin.- >j, ct^jaulieu de 2/) -f 1, alors: ƒ Sin.P x.{l Sin. x)"-^;^^^^ == ( — 1 )" 1 "/l JS" ■; ^ — TVZTi' '''"'"' '"'""' ^' ^'^''°' dx », 1 ~ == (-1)" l'ViJS' Cos.x ^ ' o (p_j. 2w+ 1)«+' f- . dx , «> 1 ƒ (ISin.x)" = (— ly'l"'!^ . (T. 3:i6, N°. 18 et 17). o IVe 57 7. 73^ III. W\ öö. N\ 9. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TR.VNSFORHATION, /"" eP^ — e—l'^ 9. On a T. 38, N''. 13 (Métli. 22, N'. 14), au moyen de C. P. 70: | Jx = J e2,r.r_] 111»! ■-Cot.-p=2 )>-" 'Bo,i_i: difierentious-la ia — I fois par rapport a v, il vieiit: '■y -2 , 1 2n/l ' 111 / ' ƒ p 2 i' 1 ]2«;i "epxA.e-P^ er, (On _2a4- l)2a-i/i ^ i »2„-2.. e2T:t_l 12«,1 ^ 2„ 12n-2a;l -" "V ; OU la sommation commeiice par la valeur a, puisque toute valeur de n müindre que a doit être e.xcluse, la diflereiitiation de ;i2n— i ^e pouvant eiigendrer des puissances iiégatives de p. Prenons-y p zéro, alors il ue reste de la série que Ie premier terine ^Boa— i, qui ne contient /«'^2a— I ^j, ] VtTt 7= T'^^a-l- (T. il 7, W. 23). [338]. Cet artilJce pour obtenir c2Tx_l 4a un rcsultat iiiii par rintennédiairc d'uiie série iiifiiiic est assez curieux, pour que nous eii donnions encorc un cxeniplr. Pour cela multiplious la même integrale T. 38, N'. 13 (comme sa trans- ƒ'" CP'^ fc'— P-^ 1 111 Cos. p dx = — Cos. p Cot. -p + Sin. », e^" — 1 ' p '^ 2 2' 2 '^ o ƒ — ~ — Cos. p dx = ~ Cos. p — Cosec.p-\-Sin.p. Afiu de pouvoir les difierentier a fois par rapport "o d" 1 a p, employons dans les intégrales la formule .eP'-' Cos.py = - {ePl^ K»/'')(;b -f ^/i)" + eP(^-!J') (x — yi)"] : substituons d'abord dans les valeurs les expressions en coefficients Hernouilliens de C. P. 70, 72 avee C. P. 67, 68, et diflerentions ensuite, alors il est : ' ( 1 + xi]^»-'^ {eP'-'-^) + eP(^-0} — ( 1 — .ri)2o - 1 {eP(^+'^ + e-Pi''+''>] dx i e^"^— 1 ~ = (- ^YÈ f-^-^ + i- ir-."--'[ ^ . (17. '(1 -(-A7:)2'^-> (eP('--r) + cp(^-ó] —(1 -,,.i,'/)2a-l [«p>+/) 4- e-p(»;+0} dx i e'f -r — 1 oo ,22«-l_l 2)1-11 p2"-2« = (— 1)« ^ Bo„_i +(_!)« ^ (1711) OU les sommations commencent par a pour la inême raison que ci-dessus. Maintenant annulons p, 0) [338] Uéja dé.iuite Métli. 30, N". 4. Pasce 578. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÈGR.VLES DÉFINIES. in,M''% 55. W. d, lO. de sorle que les séries se termiiient a icur premier teruie, il vient: (1 + j;i)'-"-' — (1 — d;i)'^""' ^^ {— 1 .""' n a — 1 - Boa-I H — - •'o ƒ '(l + a;i)2«-i ~(1— a'i)-"-' dx ia—l 22a- 1 — 1 -- " ^^ — T = ~r~ + (-^^^ ^ ^2.-.. (T. 123, N\ 4, 5). 10. Lorsqu'on veut diflereutier T. 23, N'. 10, (Méth. 9, N'. 8), il faut récriro aiiisi : lp ^ -\- p /'"'*' — 1 dx pi — Cos.qn . ., . — -\- / ; — ^ I = — — . Differentioiis d'abord Ie premier membre a fois n n / *' — 1 •*•■ "T P Sm. qn o d'^l 1 +p /•*.«'/(/*)« dx par rapport ;i q, uonc: = ƒ (a) dq" n / A' ' - I - a:-\-p • 'o Soit ensuite p'i — ('os. qn = I Sin.qn = K, alors : rf«K = P'l {lp)" — 71" Cos. {(,/+; a) Tl) (,6) «9" maïs aussi: dK . dl ^ d' K fP ] ji — - = Sm. qn— -|- ^r 1 Cos. qn, == Sin. qn +21 Cos. qn — — tt^ ISin. qn, etc. . . (c) dq dq dq^ dq- dq Uonc pour obteiiir les intégrales (a) il faut substituer ces valeurs comme aussi les diverses valeurs de {b) dans les équatious {<:); il y en aura assez pour élimiiier a — 1 des intégrales (a) pour trouver la o'^'"^. Pour a = 1 on trouve ainsi : ƒ" xtlx dx n ^n{Sin.''qn+Cos.-qn}+p'l Ip.Sin.qn — nplCos.qn\ X — l X -\- p \-\-p\ • Sin.'^ qn \ o Quand on prcnd q zéro, les réductious devienneut beaucoup plus faciles ; mettons les I dans des , ,,. , , fd^l-, l+p r [lx,a dx crochets pour designer cc cas de 7 zero et nous aurons: I 1 = / , . . . (a) *-dq"-^ 71 / X — l X -\- p o »? — Cos.qn pi lp -\-n Sin. on lp [I] = — ^—=' ^■' —=-; tandis que [h) et {<:) donnent: (lp)" — n" Cos.\an =^ Sin. qn n Cos. qn n -b^\-[iY\-dq^\-Q'''b:,^A+[,^^^^^ "^ [dl-t fd-l-f . . , — I, I — -I, etc. Amsi Ion dq* Idq^* /"-° l.c d.n (lpr-+n^ nii-y d.r. , {lpy-\-n- trouverapar(«'): / 7 ^-^ -^ — ^-- , (T. 183, N". li), ƒ - 7 —-- = lp-" J -K-l^+z' 2/) + !)'^ / x—]x-^p 3/.+ 1 ■ Page 579. 11!. ^V\ OÖ, o\. N\ 10. l—o. TllEOUU:, I'KOPKIETÉS, FOIIMULES DE TIUNSFORMATION, a;-\.c + p 4(/_>+I) ' j j: — \.v-\-p p+i 6 5 o = {Lv.-^ d.r f iij)'- + 71-' \ ' \a py + Sn-' j -^ § 8. MIÉTIIODE 34. INTÉGllATION PAR RAVPORT ?\ UNE CONSTANTE. 1. Lorsqu'on veilt intégrer quelque integrale défiuie pai- rapport j'i una constante qu'elle contient, il . faut avoir ('gnrd a la condition du Nr. 35 de la Partie Première, qui est nécessaire pour nous faire acquérir un résultat valide. Il peut se présenter dans Tapplicatiün de cette methode des difficultés dans la détermination de la constante, 'qu'elle comporte. 2. Multipliez Tintégrale T. 280, N'. 4 (Méth. 24, N°. 3) par 2^^, et inté^rez entre les limites f" f'i /■* da; f1 r* d.v O et^, alors: 2 / e-p'-^-dx j Cof.2qxdq = j e-p^^^ — I d.Sin.iqw = I e-P''-'-Sin.2qx — = e i> dg = y'n j e~H' dy, (oïi l'on a mis v ==■ pq), rehition qui peut servir pour p ■ ' "o = -yn Ie p dg = yn 1 P J J o o rapproxiuiation de Tintégrale au premier inembre. Dans Ie cas de p zero, la dernière integrale est \y'n (Mélh. 4, W. 7), d'ou il résulte: / Sin.'-lqx~- = \n. (T. 194, N'. 5). [339]. Écrivons- "() . . f'^ x.qxSin.qxdx tt la amsi: 1 ^ = ±~q, (.-iclon (pic 7 ^0); inlégroiis selpn q entre les limites O o f^ Shi ) ])ar rapport tant a p qu'a (/. et ne nous inquiétons ]ias d'abord des limites; il vient alors: — / &hi. qx dx f e-r^ dp = 1 e~P^ Sin nx "''=—/ ''" '" -^ — Arcto. - + C, o o — I c-P^dxïSin qxdq -= j fi~ir Cos r/.v '^^'^ = — / „'■" '' ., == — -l-il>'+'r)+^,- [339] Autrementdéduilc Mótli. ii. \'. 5, Méth, 17, N'. •O, Mélli. 21, X=. 3. Page 580. I:T METl!üiJi:S DKVMAIATIO.N l)!.S l,MTK(;!!.VL!;s DKFIMlvS. ! II. M''". öl i\ '. ö, 'j. Maiiitiiiant pnin- avoir la pninièrc coiistnnti: O, il laiil pivndn' /,' iiiliiii; car aloi-s 1'iiitégrale est i.ullo, Arcla.- est - , it l'oii a: / e- /'^-^i;/. rya~ = "^ — /i/v/^/' = .tn-/»/. ''. (T. 092, N'. ;5}. [:J-1.0]. (I Pour avoir la ^ccoiuie constante C,, il n'y a aucuno valuur ile p oii de Ü (1 n dx ,1 A-qCos.x ir? Ir. , . ƒ ^, - 77^- =- W ^^-{'^rccos.qy- = - -[{Ara:os.[+ q)]^-- {Arccos.{- ,j)]^] = J Cos. x 1 — q Cos X 2 ƒ -1^ -" o -c/ == - {/Ircvos. (-j- q) -\- Arccoa. [ — ^)] ^^Arccos. (-j- 5) — Arccos. (— */)} = w Arcsin. q. (T. 340, N'. y). [34-l.J. /P c?/? / p Sin. .V \ = Ardg. VCosccx, les formules T. S4, 1 — 2p Cos. :c -\- p- \ 1 — p Cos. X 1 o N''. 1, 10, (Méth. 1, N". 14) et (5) (Métli. 5, W. 6) uous foumissent par Tintégration sui vaut /? : /^ I pSiii.x \ dx fP dx n l-f?) ri f pSin.x \ dx Arctff.i-'' — = n ƒ 7 = -l ~^-'- [3431, / Arcty. -^"r" ^ = \1 — pCos.xj bin.x f 1 — p- 2 1 — p f \l — pCos.xj lang.x o o "o ƒ!' p dn n C" I V Siu. x \ ^ /_-^=--^(l-p^-),(T..3Tl, N^ 1, 3), j ''«'^,l-^-^^.}^^--'^^ = o "n =-. - i ;>«-' dp = - »". [3401. (T. 371), N-.3). Maïs 011 a aussi : ƒ —^ -^ = 2 f ' ' Za ^ ^ ^ ' IV l — 2pCos.x-\-p' 'o "o lp Sin. X \ , . , , , . , =^lb-\-ZCol.x.Ardg.\ - — 1, et i)!ir sou apnlicatioii aux deux dernièrcs des integraies citees. comme \ 1 — p Cos. X j ƒ■' dx 1 1 [3 + 3] roin- C',;<:. .-c = //, il viciit : l l{[+qx) = -tt' (.Irf-w. o) -. (T. 1 63, N'^. 3). J .ri/(l-a'-) b 2 o [34+] 1'ouv Sin. X =^ y ou pouv Cos. x = »/ 011 a : ƒ!, l+<7i/(l— .«M dx „, ^^, , /■' \-\-qx dx l~-'^~^ >^ -, T. 160,NM7), =n Arcsin. q = \ l ^^ , . (T. 1 liO, .\\C). \—q\/{V-x'-)\—x'^ ' ' I [-qxxi/{l — x'') ^ ' o 'u [3+5] Autvement dcdiiite Méth. 31, N '. 'J. [34G] Comme 011 troiive anssi Mét!i. '>, N'. 6. Pase 582. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGIIALES DÉFINIES. III. M''=. 54. lN\ G_, 7. ƒ«" /"TT Cos. X d.v = O, (Méth. 1, N". 12), / Sin. ax. Sin. xdx = O, (Méth. 9, W. 15): o o — Ardg.l-^ = - 1 — ^ d/J = ~ — p + i— ^=-^ , (T.371, N". 4), [347] Siti.x \l—pCos.xJ 2J l~p^ ^ 2( '' l_pj'^ '"- -■ o o /T / pSin.x \ n fP n I p'^—'' ««+1 \ &in.(Sx.Cos.xXrdg.\ -~ U.r -= - / {\-{-p'')p'^-Mp=- + -^ ]. (T.370,N'.5). \l—pCos.xj 4 ƒ ' ' ^ '^ '^ 4, [a—l a+\) ^ ' ' o "o [Pl—p'- dp Enfin Ion a: j -y- 1^72^ Co.^^+p ï =//,-?(!_ 2/> Cos. .r + /, ^ ) ; sou applica- o tion a ï. 84, W. 5, 7 (Méth. 5, N^. 6) doniie, parce que outre les formules précédentes ou a /•77 /-ff eupore I Cos.ax.Cos.xdx = O (Méth. 9, N". 15): l l[l —2p Cos.x + p'').Sin.ax.Sin.xdx = 'o 'o o o 7t fP ^ n I /i«+l pn-l \ = — - ƒ (1 -\-p )p''~- dp = — ; — -\- , cloiit la sommc pour a-\-\ au lieu de a 2 J z \a -\- l a — L I o devieiit: ƒ l{l — 2p Cos.x ->[- j^-).Cos.ax dx = ?>«. [348]. (T. 354, N\ 7, 8, 6). J .±2qCo.s.px-\-q'^ r^-\-x'^ 2 eP''±q 2 J zbgg— P'- "* c/.r p'. ƒ M [P I d.l[\±2,q Cos.px-\-q'^)= r'^+x'J o o n fP , ^ , /"" rf.» ,1 ± 29 6''os.»:b + (?^ TT l±<7e— P»- = - ƒ rf./(l ± r/e-T"-), doiic: J ^— < , ^ ^ — ; — ^ = - i — — , . Ajoutez-y membre rj J r^ -\- x^ i±2q-\-q- rjzfcr/ f'^ f P Sin. X \ 1 [347] La differenco de T. 371, N^. 1 d'avec N\ 4doniie: f Arctg. \.Sin.xdx= 7: ?* ■"■ / '. \ 1 — p Cos. X j 2 o (T. 370, N'. 4); celle de T. 370, N'. 3 d'avec N=. 5 encore: f\irc,,.(~P^'''^^\cos.ax.Sin.xdx==^l^''--^ (T. 370, N^ 6). ƒ ^ \l—pCos.x) 4\a + l a—l] ^ o [348] Sur \ine autre dcduotiüii voyez Mclh. 5, N". G. Page 583. * 74 WIS- EN NATUL'RK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIF.. DEEL VIII. in. W\ 34. N\ 7—9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION da; . . f dx Tl 11 a membre 1 equation identique : ƒ •— j(l±c/)^ == Z(lifco)- — = — ^lio), vous obtieudrez: j r^ -\- x''^ 2r r o /^' djs n n —- -l{l±2qCos.pjc + q^) = -lildzqe-pr)^ [q^- < 1), et = -l{q±e~P%[q-'^\), r'^ -\- X r T (T. 416, N'. 8 — 11), [349], la dernière après la soustraction de réquation I — ^5- == - In, r^ -\- x"^ r et Ie changement de 5 en -. ƒ 1 xP + x—P 8. Il s'ensuit de Métb. 9, jM'. 3 et de Me'th. 22, W. 2: / ■ — dx = "'.x Cos. X -\- x'^ ƒ• xP 1 + 2x o n Sin. pX /■"" xP dx = ^~ ,r — — = f ::: — : ; multiplions-la par — 2 Sin. Xdl et iuté^rons entre Sin.pn.Sin.X j l + 2x Cos.X + x"" ' ^ ° 'o les limites O et X, il en résulte: n dx n —üxSin.XdX /•' dx l+2xCos.X + x^ i (^.p + .,-P)^ I ^ = / (■.P + ..-P)-Z- ^ / -, (1713) J X J 1 -\- 2xCos.X -\- X- 1 X [1 -\- x)^ 00 o r'" , , l+2xCos.X + x'' ^ 2n Cos.pX—\ = ƒ ;rP-> t?.cZ — ^^ , — — ' , (T. 179, N°. 18), = — ■ . Pour p zéro, cettc j {\ -\- xy Sm.pn p o — 2 nXSin.pX O valcur est iudétenniiiée; mais elle devient par les regies ordinaires: Sin. pn + pn Cos. pn O XCos.pX f^dx 14-2xCos.X+x'' = —2nX—-—-—— ^ -— — =-;i^: donc:/ ~l-^ ^J-— ,(T. 179,]M°. 13), nCos.pTi-\-TiCos.pTi — pn^ Sin.pn J x (l+.«)^ o [^dx \ -\- 2x Cos. X + x-' r d-f 1 + 2-f Cof!. X + x^ = — X^ =2 l —l — — — , . (1714), = 2 ƒ ~l--^ — — . . (1715) o I . f [""xP'^dx 9. Meth. 38, IM°. 4 on a déduit la formule — / l^ '^/' = / P""'' trouver o C'^xP—'^dx n . . /""i^P-li/.y f n^'dp f 1=1 = ; il s'ensuit par conséquent : 1 = — ƒ =Tt j d. Col. pn. j \-\-x oin.pn I 1 — X J Sin.'^ pn j [349] Autrement déiluites Méth. 23, N^. 11, Métli. 41, N'^. 13. Différenliez-les par rapport a q, alors il est : /°° dx ('os.px± q 71 1 TT 1 = ,((,2<1),= ,(';'>1). (T.221,NM1, 12). r^-{-x^ l±2qCos.px-{-q- 2r eP''±q^^ ' 2re-P'-±q^^ o Pase 584. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M^\ o4. N'. 9, 10. Afin (IVffectuer rintégration de telle maniere, que Tintégralc ne devicnne pas infinie, prenons ^ , , . ^ , f'" xP -^ — x-i f"" aP — :ri dx f" xP-i — 1 d.v et p pour les limites de p r xP-^ —x-i pxP — xidx rxP-i — 1 dx alors : i dx = ƒ = ƒ ' = j 1 X J 1 XX J 1 X \/ X ■ I) 0 0 = n{Cot.pn — Cot. In) = nCot.pn. (T. 28, N'. 24). Cliaiigeoiis-y p en q et prenons Ia dillerence /"^ xP~^ xl — ' f°°xP x'i dx '- dx = } ''- = n{Cot.r)n — Cot.qn). (T. 22, N^ 6). 1 — X J 1 XX ü o Prenez-y encore x = y'' et 7' et p' au lieu de (7 — p)r et pr; alors vous aurez: fi^lf^^p-,,, ^ - \cotf-^-Cot.lP±^n]\ = " "'" - ^ ,. . . (1716) ƒ 1—x'- r [ r \ 'T j) c- P'^ Q- P+1 \ •'q * ' r oin. — .otn. n\ r \ r I Pour r = Zp, cette integrale devient : /"°° xl — 1 dx n QTC ƒ = — Tang.~; (1717) j xP — x-P X Zp Zp o ^'^xl'J — x—l'Jdx Zzt qn ' = — Tani^. -. (T. 22, N^ 15). .ri'' — .K—a'' X r 2r o Méth.38,N'. 6,on trouve encore T. 5, N^ 5, comme souanalogue(1514') (Méth. 27, N'.3); inlégrons-les fi dx —x-P-\-\ — {xP — \) fP^^ ,,„. par rapport hp entre les limites O et /i, alors : ƒ = ƒ (d.lp — d.lmn.pn) = o o ƒ>> p p 1 /' dx — .T-P+l— (^P — 1) R , , d.l~'~ = l~^—l-,H -— =ï— -^ '-=- {d.lp-d.l{2Tg.\prr}} = oin.pTT bin.pn n J l-\-x tr J 00 o /P 2T,i.^^pTT ZTg.ypjT p jP-\-x-P—Z dx Sin.pn P xP-\-x-P—i dx d. l ' =/ — /ir, douc: J ^ = ' 1 I :, — i T" "^^ pp J 1 — !e la: pTT y 1 4-^ l^ O 00 P 1 2 lang. i pn 10. L'inlégrale T. 127, W. :i (Métli. 9, W. 22) donne par Tintégration suivant 71 entre r {e-^ 1 fP ] ripe-'' , e-P^— 1| ,/''',, les limites O et/): ƒ j P + 'T,} d . e—P'^^^ dx = j [ \- ^ ^J rf.r = ƒ lpdp=plp—p. 000 o (T. 127, N\ .31). De móme l'iute'grale T. 133, N'. 3 (Mélh. 37, N'. 3) donne entre les limites Pase 585. 74* III. W\ oi — 56. N'. 10. 1/2. 1. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, "o 1 "i o 1 /•* f (\-\-x]-P—{\+x)-'^]dx fP = ƒ {(p-l)e-^V ^ i^i^J \-= J7.\p)dp = lT{p)-lTil)=lT{p).iT:. 378,-N\lO). o "'t Dans Ie cas de n = 2 elle devient plussimple: S { — — r \ dx = 0. (ï. 378, N'. 9). Eucore la dilierence de (p — 1) fois la dernière d'avec celle qui précède, élimine Ie terme e~^ et 1 , (1 + A-)l-P— 1) dx (1+7)7(1 + .r) f'" {p—l (1+A-)1-P— 1 UM 1'on trouve: / \- \-^ ■ , ; = lr{p). (T. 184, N^ 19). j [] -\- X .V j /l I -> //1 I --N § 9. M.^TIIODE 35. INT]iGRATiON RÉITÉRÉE PAR RAPPORT A UNE CONSTANTE. 1. Tout comme la Methode 33 engendrait parfois uii facteur général, sou inverse, c'est-a- dire rintégration a fois répétée, peut avoir Ie même effet. 2. Intégrons 2a fois par rapport tl p les intégrales T. 205, N°. 5, 6 (iléth. 18, N". 8), il vient, sans que nous fassions d'abord atteiition aux limites : ƒ" iv Sin. px dx /'°° o Cos. px dx n 1 ^ =ƒ ^ -^ =='(— 1)"- — e-/'ï + C. q^+x-x"^" J q^'+x'x'^''- ^ '252a o o Peur dcterminer la constante, soit dans la première integrale p zéro, donc cette integrale s'annule; n 1 sa valeur devient alors O = ( — 1)" ^ —^ 4- C, d'oü résulte la valeur de C : mais alors il faut \ ' 2 q-" remplacer dans la seconde integrale Cos. p.v par Cos.px — 1, afiu qu'elie s'évanouisse de même pour p zéro. Par conséquent : ^'°xSin.px dx f^q (Cos.px — 1) dx n 1 t ^ = / ^ ^ — = (— 1)« (e-w— 1). (T. 212, N\ 14, 15). 9^+.T'^a;2<' j ,^1+a^ï A-2« ^ ' 2^2a^ ' ^ ' > § 10. METHODE 36. INTÉGRATION PAR PARTIES. 1. Lorsqu'uue integrale détiuie, dout on connait la valeur d'une maniere quelconque, est de tclle forme que la fonction intégrée puisse se diviser eri deu.x facteurs, dont l'un soit la diflerentielle de quelque fonction conuue, on peut y appliquer la methode d'intégratiou par parties, pour en déduire un nouveau résultat; c'est-h,-dire, on aura dans ce cas l'équation identique: /"ƒ(*•) rf.r(^) = ƒ (.t-).P(^)|'- {\{x)d.f[xy, (a) a a Page 586. ET METHODES D'ÈVALU.VTION DES INTÉGRALES DÉFINU-S. IlL M'". 36. N\ 1, 2. oh en géuéral la dernière integrale déduite peut acquérir une forme entièrement differente de Ia première integrale, que Ton suppose donnée. Toutefois ce raisonnement vaut seulement dans Ie cas oü Ie terme déja intégré est déterminé et fiui. Ce terrae n'est autre chose que Févaluation d'une integrale dófinie, dont on counait Fintégrale iudéfinie, suivaut la Methode Première; il faut donc übserver ici la même cliose que kVbas: c'est-a,-dire, Ie produit ƒ(«). r(a;) doit rester continu entre les limites a et 6; sinou, il faut calculer la correction nécessaire suivant la Methode Deuxième. — Ensuite ce produit doit être déterminé pour ces limites elles-mêmes; en efl'et, il arrive souvent qu'il se présente sous une forme indétermiuée, mais alors il faut employer les régies usueiles pour se convaincre que la valeur en est vraiment indéterminée, ou qu'elle se'laisse déterminer. — Et c'est la ce qu'il faut toujours considérer en troisième lieu, car si ce terme était iudéterminé, la seconde in- tegrale serait indéterminée par conséquent. Mais lorsquMl a été satisfait a toutes ces conditions, c'est- adire, lorsque Ie produit ƒ (*). E {x) reste continu, fiui, déterminé entre les limites a et b (iucluses), réquatiou (ti) est certaiuement d'uu usage interessant dans la recherche d'iiitégrales défiuies. [350]. 2. Nous allons prendre successivement les fonctious x, x", l{a-\-bx), Sin.x, etc, Arcsin.x, Ardy.x, ITg. \~±x\ etc, pour E(.t), et nous commenceroiis par la supposition E(.e)=a:. Or, toutes les intégrales définies sont dans ce cas, puisqu'ou u'a qu'a séparer Ic dx ; mais dans les exemples suivants nous ferons seulement usage de celles, qui fouruisseut un résultat simple et nou- veau. Ainsi Ton a (106) (Mctb.1, jNTM*) = -\ —1 x '>U;]}-f_± — ^ '^ ' l±2rCo8.x-\-7-\ ] ( l±2r- 6-05 .r+rï)^ ' r 2 x Si7i. xdx 1 I TT 1 1 ==F '■) / {\±2rCos.x+r'^)'^~ r |4(1 + r^) ~ 1 — r- ^ '''^^^" 1 ± j-i ' ' ' " ' ^^"^ ^'^' o V TT sr X 1" f- 2i! Sin.xJx f- X (109)et(110)(Méthl,NM5) = — — -/ x—^ ^-donc:/ — + g Cos. x) ' o 1(1 p n il p . qt = T~r+- 7 U-TT7^ ~ArccosM,{p^>q^-) (1719) 4.p^ q p' — q' {Zp 2?l/(p^— ï') p] 4/>^7 q^'—p'- '2p •Zq\/{q^—p'') p i X i ^ f^ 2n Sin. xdx [^ xSin.xdx (in)et(112)(Méth.l,NM5)= — / x~- -,douc:/ = ^ ' ^ '^ (p-\.qC0S.xy\ j ip + qcos.xy' j {p + qCoS.xy o o = r---"-T,. (/>^ < 'i'h (1721), - v~r^^ [^-p^r^\' (p'>r-); ■ ■ (i7'i2) [350] J'ai fait usage de cette methode sous ce poiiil dt; viie dans uu Alciiioirè a.liiiis dans k'S Verhandel, der Kon. Akadcmie van Wetenschappen te Amsterdam. Deel 2. Pase 587. 111. M''". 50. N\ '2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, (132)(Méth.l,NM7) = - l+p^Tg.' ,v [~j'' {i+p' Tang. ^ x)' ' ' ""'^ j {Cos.' x+p\Shiy7) p{l+p) , (T. 247, N^ 23); (263) (Méth. 3, N^ 12) =^. .t\/ (l — p^ Cos.Kv}\ ir ^ Tt /2 p-Sin.2.vdx , /"■^ .vSin.-2xdx 1 , u o (266) (Méth, 3. NM 2) = ^^(/(l— ^^ Cos.^xyi'— f'j-.-p- Sh. 2.i- a'.r j/ ( 1 — p ^ Cos.^ «), donc: TT rxSiH.2xdx[/[l—p^Cos.-'x) = ^^— ~^ 4E'(p)+ ~^' ^^'(p); (1723) y ■ 3p-' 9p- 9p' ir TT _ 'TT i p^ Sin. Zxd.v f '2 x Sin. 2xdx ,on^s,xr^, „,T=.,, •■*^ J2 f2 — !; p"^ Sin. 2x d.v . /'2 x Sin 267 AIétli.3,NM2 =— __— -_ _/ ^j. '-^ ; ,cIonc:/ \/{l—p^Cos.^x)\ j i/{l— p'' Cos.' xy' I i/(l— p "o o Cos.^xy = ~{2r{p)-n}- (1724) i Sifi. 2x dx , r~ X Sin. 2x dx /ono^/llr'.l p, ^ro , -X * ) 2" f 2 {Sin.2xdx , /"o X Sin. Zx dx (393) Méth. 7, N. 14)= — / .v — — , douc:/ ■ = ^ 1/ {l + Cos.' x)\ j \/{l+Cos.'xY' I ^/(l + 6•os.^^•)5 = n-\/-Z.Y'lsin.A (T. 243, N\ 7); (428) (Méth. 7, N°. 30) = ~ -— ("- \ ij j/(I— 2pCos.^+p^)|j ƒ" — IZpSin.xdx f^ xSin.xdx 1 f tt "> .■c ^—^ , douc: ƒ — — r=-'2r'(n)— 1; .(172.')) \/{l~2pCos.x + p'y' J y'{l — 2pCos.x+p') p\ ^" 1+pJ' ^ ' o o ,.ir,r>x,-ii,/,i „ ^To ■«, •* i'" ['^ lp'Sin.2xdx , /''^ xSin.2x 429) Méth. 7,]Nf°.30 = — / x—^- ,douc:/ — [/{l—p'Sin.'x)\ J i/{l—p\Sin.\vy' J ^/(l—pi Si dx Sin.^x)^ =:~{n-2¥'{p)y, (1726) ir ir TT 2 /"2 — Ip'Sin 2xdx f2 xSin.Zxdx (468.(Méth.9.NM2)= ^- P- f\^:^i^^^^^'^^^,do„c: f 1/(1— p*Co*.>.r)»' j \/{l—p'Cos.'xy I i/(l—p'Cos.'x) "o 'o 1(2 1 PaM 5 SS. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W". 56. N'. % 5. qz;; Sin. xdx f^ x Sin. x dx ±pCos.x ITT /"^ ::izpSin.xdx , f^ a T. 358, W. 9 (Mcth. 10, N°. 11) =xl{l±:pCos.x)[ — ƒ x^ — ,c]onc: ƒ - ) / 1 ±p Cos. X J i. '^' o o = ±~l ^+t^(^~P \(p2 ^ ;i)^ (x_ 245^ N=_ 7^ et X. 246, N^ 1 1); T. 353, N^ 11 et 12 7? 2(l=Fp) i'' /■'^ q=&'»Ja;(/.» f^xSin.xdx ,?'+l/(P'' — 1) , ,^ ,, (Méth. 10, N". 11) = ^rp±Co«.a:)M — 2/ ^ "7 .d°'>c: ƒ -.t;^ = ±nl' , , ., ^ ,(p'>l)> ) y -pzizCos.X J p±Cos.X 2(pq:l) "o o (T. 245, N^ 5 et T. 216, N^ 7), = zp ^«(4 (lrFp)'^},(/j- • . (1728) ° b o 7t ir TZ iï ƒ2 — gSin.2xdx , /"o xSin.Ixdx T. 334, N\ 8 (Méth. 10, N^ 12) = xl{\+qCos.\v.)\ — I x ., , „ , ,clonc: i — — -_- ''o o ff n n 14-i/(14-o) , ^, > a: \2 fl — Cos.xdx = -1^^^^-^^', /T. 240, N\ 14); (1593) (Méth. 28, N\ 5 = — — : — — ƒ ^T-rT-- r. ^ «^onc: ƒ Z-^tKJ _''_ ^^,(s^l);(1730) ■2'vCos.xdx 1 ^l+,/(l-sï) T_,,, ^-,, ,^^29) ^ i - ^ TT TT (s+&n.ar)^ l/l;l-«*) s 2(l+s) ^ ^ " ^ l/is^-1) « 2(l+s) u rr — ^ (6'os.2^±p»S;».2.r) j/f ■Sin.a*.((7os.«±p , ^y fi \ nt _ ____^___ (17;jl) \/{Cos.x-\-pSin.xy Sin.xySin.x" \/p ^^ ^ ^ ^ ^ '^ ^'^ l/{2(l + p)}'' o ff ƒ4 Cos.-Zx — pSin.2x xdx 4 . , / v ü M7•^o^ 1^ ' = ArcstnJl/p) — -r- (1732) \/{Cos.x-^pSin.xy Sin.x.\/Sin.x \/p ^^ '^' 1/(2(1 — p)} ü 3. Soit ^(.^•) = .^^ alors T. 238, W. 3 (Méth. 37 N'. 14) = TT TT TT ÏT = - l'Cot.xd.x'^-x'Cot.x{"- i[\^-^,donc:p^^ = 7r;2.(T.239,N°.8).[3511. 2 / 2 '2/ Sin.^.r / »Sin.^ ar [351] Pour Cot.x--=,j elle donne: / (/Irccoi. .r)* rfjr == ti i2, (T. 109, N'. 4), dont udr luit •1 PaM 589. III. M^\ 36. N'. o, 4. THEORIE, propriétés, formules de transformation, 1 a;2"+2 1=" Soit plus o-éüéralement r (A-) = x", alors T. 117, N\23 (Méth. 30, N°. 3) = —-7- — — ' o _-^- /•-.2.H-2-^^-^^"-"-\donc: f ■^""•^ .=-B..-„ (T. 119, A- 101; o o 1 x^JL±3 i"" 1 r" — Tre'^-rrfa; T.117,N". 21(Méth.;30,N°.4)=^-— _-— ~ 7~r7, j ^=-"+-7-—— rrj.donc pourA- = 2^: 2n4-2 c'-^4"l ' 2;(-t-2 / (c'^^+lj' ° o ƒ" 3;2n/Vj. 22/1—1 — 1 ?-^^ = = ^B.„_,. (T. 119, N°. 9). (e'Ti.j-e-^TXja ^22n+i u 4. Soit F(.r) = l(a + bx"), oü a peut être nul; alors (7) (Méth. 1, N'. 4) == , /" ^ { — »^ -t- a;2 ) ' ' o o o (8)(Métli.l,N-.4) = - ^^ 7" '[-'] '(p^+.^O'7-r-^.douc:/ ^(p^ + .t.^)-— — = = ^-^ lp '^ + 25 ^? + --?/'}; (1734) (pour 7 = 1 ces deux intégiales se Irouveiit T. 182, N. 8, 15); (49) (Me'th. 1, N°. 8) lx i" /•" — 2j;dA- /■* «^.« 1 = -— ï^ — / Zo; , donc: iz.?; — =-/2,(T.187,N°.4); [352]. (50) (Méth.1, 1+^-M / (1+^^)-^' j (l+.r^)^ 4 ^ 1^1 i\ IK ' I 1 N°. 8) = — / lx , donc: ƒ lx dx 14-^?, 1 = ;—'-'- + //,; .... (1735) (1 +xy- p ■ l+;> OU = ^ ^ '\ — \ /(l + .f) ,donc:/ ?(1 +J-) — = /^^ +- /(l +/)),(T. 189,NM0); a: ] j *•- } x' V V I n t> f" djc clérliiction Méth. 37, N". 7 ; rt poiir Tang. x = n cneovp: I {Arda.x)- — = itI?.. (Ï. 264, N". 4). J X-' O 1 f' xdx J , [352] Supposez-_v .r-"— -, alors: I lx ^ = 12, (T. 153, N°. 15), qiti pour .ï' = 1/ y I {i + ^'V 'o :^ . d. dev n dx ifiit: I Lv = —iZ. (T. 153, N''. 14). Fase 590. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. lU. W. 5G. N . 4. im> ,MÓ,h. ..N-. r„ = - ^^^f+ !ƒ !(,-.,)= ^=^j.n.:pi,,-.y p^ -i-q'- 2p^p^ + q'- '' "^ p^ p-^ + 5 T,' ¥,+,-+-,-,'"+ 7' i;^^-'"-' "™' (208) (Méth. 2, N-. 6) ^- J^;;i-|.--y U//^+.^)— ^^,,do„c: ƒ Z(p^+. = )^^_^.^^ " o o = ,;r~ {p^-^h-'fip}, (1737) (pour n;. (1746) 2s^[/{l~s^) l-\-^/(l-s^f ^ '" ■' 2s y/{s^ — \) s '^ ^ ''^ ' Arcsin. X j' ƒ' — 9.0"^ xdx (398) (Méth. 7, N'. 18) = — \ Arcsin.x , doDC : ■ n n , . xdx n 1/(1. +yM— 1 ƒ Arcsin.x = '^—^ — —^ ; (1747) O — Arccos.x i'^ /"l ~ 2n^ xdx p xdx n l/d+o*)— 1 OU = ;; + / Arccos. X ;^^ — — — ,doiic: [ Arccos. x ~^— -= — * ;. (174S) "o "o Arcsin.x 1' Z"' — p'^ xdx (402) (Méth. 7, N\ 20) = -7- — / Arcsin.x , douc: ^' o /' , xd.i. 1 f 71) / ^-ircsm.x-— TT-^TTs = ^. l^'^P^^i ^ ^^^'^^^ J y {l — p- -\-p^ i-y p- { 2) o — Arccos. .0 )• r' — p^.i'c/.r OU = + I Arccos. X , donc : l/(l-p'-+p^x^)i ^ J ^/(l_p'i+pa,,.;^.' " o ƒ! ■ xdx ] f TT ) Arccos. X = — { — ¥'(p)]; . (1750) O Arcsin. r jl /"• — 0 t^j; (471) (Méth. 9, N^ 13) = — I .'Jrcsw.a; =^^ , donc: " "o Pa-'e 593. 75* lU. M^". 56. N\ 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, — Arccos. A' j ' /■! — qdx OU = I -|~ ƒ -drccos X , douc : ƒ! da: 1 f TT 4 [n 2<] \] Arccos.x—- = ~ { — F -,i/' —\\; ■ . . (1752) o (473) (Méth. 9, N°. 13) = — j — ƒ /Ircwj.ar '''-^ , donc: ü ƒ ^müi.A' = ~l ^^— — h"(i/— ?-)._F ü ,/-J^Ul. (1753) 7 l/(p-r/..)^ ?ll/(p-7) l/(P+9)l rP + '7/ U '^ P + WlJ ^ ^ o — Arccos xi^ f^ qdx /"' c?a' OU == -— [ 4- I Arccos. X , uonc: I Arccos. x = ^[p-qx)\^ j 2^[p-qxY' j j/(p_<,,,.)3 "o o r/»i/p »/(p4-7) " \ P4-7/ \^ p + qjii T. 1(55, N°. 6 (Méth. 10, N". 12) = l[l + qx-). Arcsm.x\ — ƒ rimwi. a; -^— - , donc: ) ƒ 1 + qx^ " o P . . A-t?*- 'T 21/(1 +9) )! ƒ ^mzw.a;-— = —l ^ ^ ^^' , (T. 258, N'. 2); ou = — 1(\ + nx""). Arccos.. v[ + j l+qx^- 2r/ l+p/(l+7) ^ T" / ^ i T o o . /' 2oA-fi?a- n xd.c n l+l/(l+*) + ƒ ^ir-ccos. A- -^^ , donc: ƒ Arccos. x = — 1 — '——^ — -^- , (ï. 258, N'. 17); 0 o T. 163, N'. 2 (Méth. 28, N°. 8) = Arcsin.x.lci — f Arc.nn.x — , donc: ƒ Arcsin.x— = "o o 1 i ^ /"' ±2»(?a.' = -71^2, (T.257,N".1); (1651)(Mrth.28,N=.9)=i(l±p.r)^^imm..T — | Arcsin.j- - ~ , 2 I ƒ 1 ± w.i- -1 -Li donc : ƒ Arcsin.x ~£- = ± f j/(L -p^) + 2 ^- V " n tJ' (/'' ^)) = ± 27 {^(P^-l) + 2'^/'}' (P'>1); (1756) i' f^ ±Zpdx /■' dx OU = — ((1 ± pa;)^. Jrccos. .«[ -j- ƒ Arccos. x ■, donc: ƒ Arccos. x = ' , ƒ \ ±px I l±px -' -1 _i ^ TT 1 +1/(1— »2) ^ p Z{lzpp) p ^ Pase 594, ET METHODES D'ÉVALUATIÜiN DES INTÈGRALES DÉFINIES. UI. iAI'^ 30. N'. G. /^\ Ardg. I -I <„ 6, Soit l^x) = Arctg.-, ou'F{a:) = Arccot.-. A\oïs{7]{U6lh.l,'N\ 4.)=- P 9 + ^ 1 r , X —d.c r .B chv 1/1 p\ PJ P{\ OU = ^~ +- J .lrcco<.~ ,doric: J .Ircco^. = — \^— /-L-CWfiOI o o (pour ^ = 1 ces intégrales devieniient T. 263, N". 5, 17); (49) (Métli. 1,^°. 8) = ^'^'ö^j«j"_ r. -f'*' 1 r. ''■« 1 ^ — 1 Arctg. X 7^, doiic: 1 ^coV./.a'— == - /£ J • (ITÖll ƒ .c^ ƒ A'- 2 4. ^ ^ 1 I — Arccot..Vi'" _ /'* , — dx f"^- (lx 1 TT OU = -f- / Arceot X — —, donc : / Arccot.x— = '2 + - , (T. 270, X ) J x^ j a:^ 2 1.^ -^ Ardg.- „ , .«, , , W. 5), [355]; (207) (Méth. 2, N=. 6) =- 1'\ ƒ Ardg.- '^— , donc: 0 ƒ"" .1- rfj; i / 1 ;A p («/ — ƒ)- /»- -\-q' \ 2 r// o Arccot- 00 . .« j ,ai 1 "•^ , f X d.v — p pTc p lp] 1 ƒ"" A' dx f^ X ou = '-\ -\--\ Arccot.-- ,donc: \ Arccot.- = -_—^ (^— 4. ^C \. (17(3:3) p q-x\ pJ p{q-xY j p{q-x)^ p'+q'\'^q^q) ' o o (pour q 1'unité ces deux dernières se trouvent T. 267, N'. 6, 16); (303) (Méth. 5, N'. 5), pour i^ = 1> 1 ,,, , ., , . i»)"" 1 /"° X 2xdx , /"^ X xdx n = l{\-\-x'-). Arccot. -[ -\--\ Arccot.-- , donc : ƒ Arccot. = -^1+»), (T. 265, o o 1 a; " 1 f"' X M6) ; T. 205, W. 5 (Méth, 5, N'. 8) = Cos.fix. Arccot.-[ -\ — l Arccot. '-. {—p Sin.jt.vdx), donc: 7 9, 9j 7 ]M [355] Pour x = — ces ilciix dernières formules nous tbiirnissent: /■' l TT /•' 71 1 / Arccot. xdx =^ -tZ-\--', j ,\rctg.xdx = -/2. (T. 108, N°. 7, 1) Paa-e 595. III. M. 36. N\ 6. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSF0RM4TI0N, \Arccot-.Sm.pxdx= -{l—e-PI), (T. 374-, N'. 1), [856]; (388) (Méth. 7, N°. 8) = .4rcto. :r — --'-i^ | o I /•* (l_a:2)2^3_(l+,ïi)(_2,,;) /•■" l+.i;2 3;rfx TT — \Arctg.x dx, donc : jArdg.x = -; . (1764) l/(l + .r^) 1 '"/•'" (1 _ .(,.2) 2.r3 ._ (l+A-M (_ 2.c) OU = — Arccot. X -\- I Arccot. x -— dx, donc : 1 — x'^ ' / " " ■ ^" ' ""^^ {l-x'yi/{l+x*) I Arccot xyf--^j^ .^,." ;" „,, = t; (1765) 1 + A'^ a;(/.r (1— a;^)^ 1/(1 +.r«) ~" 4' (475) (Méth. 9, W. 14) =1 ^ j -- r^rcfg:! --f^, donc : f Ar et,.'! -^ o O , Arccot.— 00 n ^OD -.1 „tO T 1 P) , J / - *■ — Zxdx f X xdx = — \ -\ — ƒ Arccot. ;; , donc: ƒ Arccot. ve+^'l VJ P{<1^ + «=')' I p(?^+.t-^)' mr+q) ^"^ ', (T. 267, W. 5, 18); (508) (Méth. 10, N>. 2) = Arctg.x.\/ - '^ ^ - ƒ './.c„. .. (- ! ,;.) ^/ '+:',-f-' '^'"-'■??-r".t!:"'~'''-^ . «lonc *?Mp + '/) 1 + .Ï- — pU'- ■T^— p^u;-^ (1 + a;^_pi a:'')2.^ — (1 +a;' 1 + ic^ (ï+a;^— p»a;=)2 ƒ ^rc/7..T = — { +P n,-U ; . . . . 1766) j -' ,/[(l+.«^-p^a.^)Ml+:z;^)} pM 4i/(2-p^)^ V ^jj' o /!■+*■" |\ r. , , , , - ^1+g-— p-.T^.l+a;'— pV-)2.i-— (l+a;-)(l— p-)2a- ou=— A»'C';o^.f.i/ + / Arccot.x.{—\d.r y ; ——^, — , ^ IJ^x'—f-xA^ ] ' ^ '^ 1+x- {i+x'--p^-x'-)- ƒ' xdx 1 (tc Tri/ 2 / 'ï\) Arccot.x , — Y. _F „ ; . . 1707) j/((l^..^.-2_^,..^2^3(i^,,,ï)j p-^ h 4^/(2-p-^) V"^ 4J)' o (509) (Méth. 10, N". 3) = =Arctg.a: 1/ ^ — } Arctj.x: — i dx\\/ ; — — ; -7-^ , o /f adx Ir 'T 1 Arctg.x-— , = — If (») — T, • • • • (1768) [356] Autremciil tlccluilc Mctli. 18, N'. 14. PaM 596. ET METHODES D'ÉVALUATIOJV DES IJNTÉGRALES DÉFINIES. III. M''^ ÖG. N\ 6 ou= — Arccot.x.y — - + I Arccot.x.[—\dx)\/ ; ; , ^ l+x'—p-x-\ ^ j ^ ^ IV i_^^2 {l+x'—p-x-f ° o ƒ'", Xdx 1 rTT •, Arccot.x---, : = ~ 1 T{p)\\ ...... (17()9) o 1 r 1 * 1 /■°° X T. 205, N'. 10 (Méth. 18, W. 9) = Sin.px.Ar,:cot.-\ -\- - \ Arccot.- .p Cos.pxdx, donc: '1 '1\ "i J 'i j Arccot.''' .Cos.pxdx = ~- [e-Pi Ei.[pq)— ePi Ei.[~pq)] ■. (1770) J '1 2p ^ \P 1 CP (1226) (Méth. 19,N'. 1) =-y-l[\-\-x).Arcl' = -^ll+p') + " Arccot.p.l ^' ■ . . (1776) o X Arccot- 00 1 ..co o c' ^ (1322) (Meth. 23, W. S = ,-— r-^ ^ , + - Arccot.- , doiic: q l—2rCos.sx+r^\_^ qj q [\—2rCos.sx+r'')- ƒ"" , X Sin.sxdx n 1 — e— V' Arccot. T = . (r- <^ D- f17771 q{l-2rCos.sx+r'y 2s (l+r) ( l— r)^ 1— re-?^^ ^ ^' ^ ' 1 « I "" 1 /'*' A' T. 130, N'. 4 (Méth. 25, W. 4) = - e-/'^' ^rdgr. ƒ Arctg.-.{~ i^c-P': dx), donc: •^ o / c-/'-«^^rc<^.-d« = ~ 'Ci.{pq).Sm.pq — Si.{pq).Cos.pq + '^Cos.'pr/:,{^\\ 299, N'. 1); / 7 p 1 Z j '.I 1 x^'^' i r X /"" A- OU = e— P^ Arccot. ~\ +- ƒ ^^''(.'co^.-. (— we— ;«(/a.'), tloiic: / e-P^ Arccot. -dx = = - Ut Sin.''- ~pq — Ci.{pq).Sin.pq-\-Si.{pq).Cos.'pq\-, (1778) V t' 1 " 1 /"" X T. 180, N=. 5 (Méth. 25, N\ 4) = - c-P^: Arctg.-\ ƒ Arctg.-.{e~P^ — pxe-vAdx, 1 ' l\, 'I J 'I o /"" V Ir douc (pai- T. 299, W. 1): ƒ e-/'^ Jrc/^;.-. art/*' == ~ [(?i (w/). &«.»7 -- 5/. (py). Co?. »7 + ./ •? P' *■ o n \ "■ ] 1 + -Cos.pq — pq iCi.{pq).Cos.pq-\-Si.{pq).Sin.pq Sm.p^?!, (T. 401, N\ 1); X xi°° \ ("'-' :V OU = e- P"" Arccot. -\ + - j Arccot. -. {e-p^ — pjc c-l'^] dx, douc (u l'aide du (1778)): 9 'I ;, il J 'i o ƒ e-P"" Arccot. - . xdx = - - 1 71 Sin. - - pq — Ci. (py). Sin. pq + Sü'. [pq). Cos. pq + /),'/ 1 Ci. (pq). Cos. pq + o + Si. (pq). Sin.pq — ""^ Sin.pqly, (1779) Paffe 598. KT METHODES DÉVALüAT10i\ DES INTÉGKALES DÉFIMES. 111. M''. ÖG. N\ O, 7. ' T. 416, N\ S— li (M1). (1781) •Zpq q ± e~l"^ 1 1 " 1 /'* 2a; rfiT (1798) (Méth. 37, N\ fj) = — - Arccot.qx.lip-' +a'')| + - ƒ ^lrcco<. 7.^ ^ , „, » ^«"^ : 7 l '^ ./ p^ + « /"im-oi. ?.« -^^ = 1l\±l^, . . . (1782), fpour 7 = - : T. 265, N^ 12 h o (1800) (Méth. 37, N\ 6) = - ^nVor. -. J---- ƒ ArcUj. -.h-~-v-— ^-r, ilonc : q q '-c'- \ q] q\\^f x^ xj " "o CArdg.- -~ = -Z^-i^^ . . . (1783), fpour <; = - : T. 266. W. 4] . O 7. Soit r(.r) = lTang.{-±.i\- alors on a im- Méth. 10, N\ 17: T. 339, N'. 31 = = ±-/(l+p'^C.,.^.)./7«»,.^/-±.jj ^-j nW.^-(,^±-^') 1+^,.^,,,, > — = =*=-:; ^4 / Sin.- X -f- /)' Cos.'^ x p- donc; / ITang."- [- ±.r] —--—,"" " 7^ , = ± ~ö ^^ctg . t[, ; (1784) T. 339, W. 30 = ± 1 /'T Nj''^ ir- /TT \-2p- Tg.x Sec.'^ xdx donc: n V.»,,.^ l^L^x] --"""■'^; , = ± "^..-^..p, (T. 342, N^ 26); . j \4 j p^ Sin.- X -{■ Cos.^ X p^ o I • /tt \ i2 1 r^ In \ —iCot.xCosec.'^xilx (559) = ±-/(p'^ + r.,.^.).rA.,,.^(^-±.Jj =p- ƒ '7'-^-^l^,±-j p.+r..^, ' Cot.xdi p' (Sin.'' iC + Cos."^ X donc: [^ ITang.'' (~±x] -., ^. T'"'."'^ , = =^ '2 n Arccol.p; (1785) Page 599. 76 WIS- EN NATUUllK. VEllH. DER KONINKL. AKAÜEMIE. DEEL VIll. lil. M"". 5G, 57. N\ 7. 1. theorie, pnopniÉxÈs, formules de tramsformation, (560)=. ±- lip^ +lang.- .)Aran,.- (-i.j j ^ - j lTano^ (^±.) ^^^ ^^^^^ . ^ . o 1 [ ~,'r •> /" , \ Va?;^. a; dx tlonc: ƒ ;fa;/^.^ T±*' 777-^ , r-; = ± 2 7r^m-o?.ü. [357] !1786) j \4 / -azn.^ a- + p2 Cos.'' X , § 11. MiÏTHODE 37. F0R5IAT10N" d'üNE INTEGRALE DOOBLK ET IXVERTISSEMENT ])£ l'oRDRE des INTliGRATIONS. 1. Dans ]a Première Partie N". 45 ou a vu que, sous une seulc condition nécessaire, il est permis d'invertir I'ordre des intégrations dans une integrale doublé u limites constantes. De trois manières difféientes ce théorème peut nous êtrc utile dans la recherche de nouvelles intégrales définies. En premier lieu on peut transformer' ainsi quelque integrale définie counue^ lorsque ii quelque facteur on substitue une autre integrale définie, dont ce facteur exprime la valeur; et qu'après Ie changement de I'ordre des intégrations, la première intégration peut s'eü'ectuer. En second lieu, lorsque l'intégrale connue contieut quelque constante p, ou peut la multiplier par / (p) dp, changer I'ordre des intégrations et intégrer par rapport ap:si cette intégration conduit ^ un résultat connu, et qu'il en est de même au second raembre, la methode a encore mené a une nouvelle inte- grale définie. Enfin, lorsque dans quelque integrale doublé les deux intégrations par rapport a x [357] Combirions ki première et Ia ipialrième, ainsi que la ileuxième et la troisii'ine de ces intégrales par voic d'nddiliün et de soustraction, nous aurons; TT /' ", -r ■. / '^ , \ 1 dx I , 1 1 j "^ \4 ]Sinr-x + p-'Cos:'xSin%x \ p' \ o Cos. 2x dx ( 1 „. „ — = ± TT {Arccot.p — Sm.^ X -{- p'^ Cos^ X [ p- ri]'ang.^r±x] ^,: , y---™..',- = ± 'T {/ircco^.p - ; Ardg.p], (178'J) f2 in \ Cos.2xdx ( 1 ) j /ya«,.^(-±..j ^,:rj^^^^r,= ^ - \Arccot.p- ^^^ ArCg-p^ (179Ü) Page 600. i;i METHODES D'ÉVALUATIOX DES INTÈGUALES DÈFIMES. III. M''°. 37. N\ 1 — 5. et a y peuveut s'eflectuer séparémeiit, on obtient ainsi uue relalion entre deux iutégrales dëfinies simples, dont Tune sera évaluée, dans Ie cas oii l'autre aura uue valcur connue [358]. Nous allons traiter sépaiément de ces trois cas différents. 2. Soit d abord connue unc integrale définie ƒ Y {x).f [x)dx = k, o\x Ton sait de plus que /'v , , f' fy ƒ(•■*')= ƒ '((■'-'!/) '^i/ ) '''lo''^ "" a eii changeant l'ordre des intégratinns : ƒ Y [x) (lx f >y[x,y)dti = I dij j F (cf). (j (.)-,?/) f/.r = A. Lorsquc maintcnant on connaït encorc la valeur de 1'intégrale p a défi / 'F{x).if{x ,1/jdy = (y), il sVnsuit : / ^{ij)dy == A. lei la valeur' de Tintégrale primitive est encore en géuéral celle de l'intégrale trouvée. 3. Dans Tintégrale ƒ xP— ' e— ^ /*■ t/x =r (/>). Z' (p) (Métli. J2, N'. 3)onpeutsubstituerlavaleur o [e-y—e-^!i) — (Mélh. 9,N'. '2-2), et l'on trouvc: T (p) Z'(p) = \ xV-^ c-^dx f {c -y—e-^l/) ~^ = y J J u o 0 0 = ƒ .rP-' e-^dx l e-.'/ — — I .r/'-' e-'^dx f c—'^'J — = r (») ƒ e~y ~— j — ƒ •«'-' e-'!/+^)''dx = ; } y j J y ' j y J y J o o ü o 0 0 o = l'O') ( e-y^~ - ƒ '''^ ~~^--, (Méth. 18, N°. 2), = Tip) rL-y — -- 1 ^^■,d'oh: o o o \e-l' — r-;~:-\ ■ = Z' (/>). (T. 1:33, N°. 3). Pour /. Tunité on a: / fi--^' — = [R58] Cette methode, comme c!le se rencontre soiis la foruie du troisicmc cas, a etc proposée d'abord par EuLER dans sou Mcmoire de formulis intcgralibiis diiplicatis*), ou il la déduit de principes de geometrie. L.\i'LACE ut PoissON en ont donné depnis des applications frcquentes et heureuses; mais aiicun de ces auteurs ne s'inquiète euf'ore du cas exceptionnel dont on a trnité dans la Première Partie N". 46 a 48. — Voyez encore Lejelne-Dirichlet, Journal von Crelle, Bd. 4, S. 94; — Schlömilch, Journal von Crelle, Bd. 33, S. 3.53. — Lo ffême, Grunerl's Archiv, Bd. 4, S. 71, Bd. 6, S. 200, Bd. 11, S. 174. — Arndt, Grunert's Archiv, Bd. 11, S. 70. (•) Novi Commeiitarii I'etropulitrtni, T. U, Pars 1. .\. 1759, p. 7~'— lO.'i. PaTC 601. lil. M"*". 57. N'. o — 5. THEORIE, propriétès, formules im transformaïion, r i \ 1 j rf.r = — A (T. 133, N". 1) [S59]; d'oü pour leur difierence: / r,^*~. — ,7,7^ [ "^ =A4-Z'{p). 'o (T. 2^, N\ 17). [360]. 4. Eiisuite multiplions une integrale définie comiue f f(r,,v)c}:c = 'i(r) par F(r)'ir; intégrons entre les liinites p et q, et changeons au premier niembre Tordre des iiitógratioiis; ce qui revieiit a la réductioii suivante : / P (r) rf»- / f{r,.x)Jx= 1 d.x / E(r)./(r,.«) c?r= I 'E{r).'i{r)dr. p u 'a f) ,, f'! f' f1 Lorsquea présent on coniiait riiitégralel 'F{r).f{r,a^)dr = ^{x), ona: / ^{a;)dx == I Y{r).i-f (r) dr, !' a% p relation entre deux iutégraies défiuies, qui devient une évaluation de ia première, lorsque la valeur de la seconde est coniiue. lei les limites de l'intégrale primitive coïiicidcut encore avec celles de Tintégrale trouvée. /'"' dx n 5. Multiplions 1'iuiégrale ƒ --— — — - = ^-T^^ (^^f^^'^- '•^' N'- 1*) P'""' '^P^ o et iutcTons entre les limites O et p. Ie raisonneuient du Nr. precedent nous fournit ici: dx 1 p fP ndp J 1 {p'+-v'){q'+^') J q'+jr^-j p'+x-' I q'+x-' X ^ a- Jz P(jiP+9) _ fPldp_Jp_\_^ ("d.l-^-=^... [361] (1791) ' j [p pWi ^' J P + 9 [359] Puisquc Z' (1) -^- — A. Cette integrale se trouve encore dcdnite Mctli. 1, X'. 32, Mcth. 44, ?\". 3. 1 /•'l— .ïP-' [360] Tour 1 [ x _-..-- cUe donut-: ƒ dx = A -\- 'L' (p). (T. 3, N'. 1). Cliangez-y ;) eu j .'/ ƒ1 — X o ƒ1 .rï— 1 _ .,/'— 1 ■ dr = Z'(^) -Z'(7:- (T. 3, N\ S). i—x o Chan-ez encoro q en p + ?, nlors : ƒ xP-^ dx = Z'(/> + 7) — Z». (T. 3, N'. 7,1. / 1 — X "o 2 /""/ 7^ r'^ \ dx p 1361] Lorsqvio ici 011 clwiigr 7 en?-, la soiistraction donnc: — / 7) — Arcla. - = ■■ ■' ' TT / \7'' -}-'*-'" »•'+•■'•/ ^' •* O Page 602. ET METHODES D"É\ ALUATION DES IPJTEGUALES DEITNIES. III. W. 57. N'. 5. En preuant au contraire r et p pour limites, on aura Ie rcsultat fiiii : I ------- {Arcia.-—Arctg.-\ = / ~ Ardg. {- —} = j q^+x^xi ^x ^ x\ J q^+w-a; ^ \x^-\-pr\ o o = -- / d.l~^~ = — r ' ^ " (1793) Eucore peut-on iiitégrer entre les limites p et co, alors : / - 1 Ardg.-] = J q- -\-x- X \2 xj O /'^ dx \ X 71 f" p TT p + (I ^— - Ardg.~ = — - ƒ d.l~!—-== - i'~^~\ (T. 366, N\ 5). Pour p au Ijeu q-->^x^x ^p i(f j p-\-q 2,q' p ^ ' ' 0 . /) 1 , r dx l ir de - elle deviant: I ., "JJ^""^ - Ardy.pr = ^l{l -{- pq). (548). [;562]. Changez-y p en r et p / 2 " l~ cc X A^q O soustrayez, il vieut : I -Ardg. {- -\ = l-^-^- (1794) ƒ q'+X-x ^ (l +;)»•.,,•- 1 2(?- l + 5r' ^ ^ 'o niais lorsque au contraire on multiplic d'abord par q'^ et que Ton cliaiigc; eiisuite q en r, la sous- traction des rcsultats donne: f" X dx n ' \ A-pn / -^T-, 7-\ .Ardg.px = l-^^-^ . [3631 . . . (1795) O = t (■ — t } =J — "^ , OU mainteiiant la valeur ne deviiiit plus infinie; ou en tn'c : P -\- (V p -\- r) P +9' ' n o '^ ^ o /'^ X , dx p n [p -\- 1")'] "n— r^ :Ardg.^ = V^^^~^~'-^ (1792) q^ -\- x^ r^ -\- x^ X 2(5''' — r-) (p-\-q)r o [3f)2] Autremeiit déduite jMétli. 10, N". 10. [363] Pour ;> = 1, 7=-= Coi'. )„ r = Cof^-fji, les inlegrales (1792) cl (1/95) donnent: /"" « f/A' n Coft."^ l X. Cos. u J x' + Cos.'^ l x'' + Cos.'' il ' ~ i Sin. (A + fi). Sin. (X — u) Cos.^ ^ ,«. Cos. X ' o ƒ" A' (/.« n Cos. l u Ardg.x = -' ^- / — H. (1- 267, N". 23, U). /c^ +C'os.n a'^ ^-Co5.^a -^ Sin.[l+ n).Sin.[l—ii) Cos.\l o Pase 603. III. M^\ 57. N". 6, 7. THEORIE, PKOPRIETÉS, FORMULES DE TR,VNSF0RMAT10N, 6. Ou peut encoie multiplier la inême integrale par Hp dp et intégrer alors par rap- dx fP 2p dp p^ -\-x'^ fP , r dx /•* dx fi port ;i /) entre les limiles O et »; il sera : J 'lp dpi = J ƒ ; ./ (/''+■«')(7'^-■^•') } v'+^V 0 0 0 0 ƒ" dx V' -\- X- fP ndp n fP 7j p -\- Q q-'+x^ x' I q{p + q) q I ^ Tang:^ x) - \ ~ = - l{\ ^ pq), (1803) _ƒ ly* Cos.'' ,r -j- izw.'' a; ■* •'o ' f^ ■ny+q''V^)-^-Zn[{p + q]l{p+q)-plp-q] (1833) O La différeuce des intégrales (1824) et (1833) et celle des autres (1828) et (1829) nous donnent cncoie: 1 l{l-{-q''x'^].lx— = 7iq{l ~lq), . . {1834:), 1 l'~^, Jxdx = nq{lq—i),. . (IH'db) O O d'oii encore par Ie changeaient de q en p et la soustraction des rrsultats: / l —.Ixdx^^ J p'^+x^ o = n{plq — qlq — p + q). (T. 15, X'. 1).— Uans la formule (1825), (1831) et (1884) preuez encore o: = Tany.y et x = Coty, il s'ensiiit: T TT / (^(1 +P'^5-'-^')}'^^— ;.' • (l^-^ö), = ^ynl2 = / (^(1 ^p^- CoO ^)}^ ^^j^^, . (1837) ƒ 'Z(l + p^- CoC- x).l{\ + 5^- r«»i/.' ■^)^^= 2^ [^-^-^^ /(l + p7) - 4 . . (1838) •'o Page 608. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'''. 57. N\ 9 — 11. suivaut X, qui peut être évaluée; daus ce cas l'iutégrale suivant r sera l'intégrale déduite, oü donc la foiiction intégrée est la même que la valeur de Tintégraie primitive. /"* c— %'■ 1 0. Multiplions par cxeiuple TiniBgrale T.1 1 3, NM 7 (Me'th. 24, N'.6) par ƒ du,i\ vient ■ J ni^+y'^ j m'+y^ {p + yiY T{a)J m'+y'j T{a)j j m^+y^ ^ — 00 — vo o O — a> = / e-px x<^-^ dx - o-(''+i')"> (voir Méth. 18, N'.7) = g--^"' / c-(p+"')x .t'"-' rf.t = r (a) j m ' mV{a) j o o n Y {a\ n e—^'" = e-hn—yy-- (suivant Me'th. 3, N'. 7) = - -- — -. (T. 147, W. 16). On peut mul- mT{a) {p+m)" in {p+m)" '■ e-f^y' dy , ■ (^ e—^yi dii tiplier encore la même integrale par ƒ -~~- — ;; — ; — — ,pour obtenir: / 00 00 r (a) j^ m^ +y-' [q-\-yi)l> j T (a) j ] o 'n —O) ' TT e— (i+J/)'« g— px .^a— 1 j.^. _ (suivant Tintégrale que Ton vient de trouver) m (x^-'^dx== ; , (Mctli.3,N\7)=- -— r-(1842) mT{a){q-\-m)''J mV{a){q-]-m]i'{p+7)i)" m(p-{-m)<'{q-\-m)'> o Il est évident que l'on peut procéder de la même maniere et que Ton obtiendra ainsi : " e—h' dl/ TT e-^'» = . (T. 147, N'. 17). m'^-\-y'^ (p -\- yi)" {q -\- yi}'' {r -{- yiy 7n (p-\-m)<^(q-\-m)^ {r-{-mY — 11. Prenons dans Tiutfigrale citée, T. 113, N°. 17, p -\- yi = l (l -\- yi), alors elle devicnt: /"" a;='-i dx r («) ƒ i^ + yir {'(?- + .V^•)}" (1843) f dx |-1 + P<) UX m-i -r VQ I /(l +j/^ CoO *•)./(! +o'^ Tana.' x) = Zn \ — '-^^(l + pq) - p\, • (1839) Cos."- X l q J 'l{l +7^ 7'a„^_2 ,^).lTang.x--^ = n q{l—lq], (1840) Sm. ^ X ƒ 2 dx , Z(l +7^ Cof' x).lTang.x-—~^ =nq{lq—\) (1841) CoK, - X Pasre 600. 7 7'' 111. W\ 57. N'. 11,12, THEORIE, PROI'RIÉTES, FORMULES DE Ti!ANSFORM\TION, Multiplions par celle-ci 1'iiitégrale T. 147, Jl^". 17, trouvée au Numero precedent, il vient: /•^ _e-kyi_ ] dy l f e-^y' dx A'«— 1 dx 1 f'^ j"^' ê— %'■ 1 dy r x^-Ux 1 r I 1 (ï+^- = rw/ ■"'-'*•■/ T {«) J ~ "" 771 {X-{-m)^{p-{-m)<'{q-{-mf{r-\-mY. . 1 r - — / a;«-ic?A-- , (d'après ï. 147, W. 17) = mT(a) {p-^-7}i)<'(q^mY(r-\-mY.... J {l-\-my m (p +171)" {<]-{- m)l> {r-\-mY. . . . [l[},-\-m)}^^ [T. pour acquérir géuéraleraent: / (d'après la formule (1843)). (T. 383, N". 15). On voit commeiit on peut procéder de la même maniere -hjl dy m^-Vy' {p + yiY{q+yif.... m?-+3/i)}«{'f,"+2/i)}S.... 77i(p^m)''{q-\-m)l>....{l{l-\-m)]'{l{a+)7i)]0...' ^ ' "' ' •'" r 12. On trouve Metli. 2G, N=. 2 uue integrale que Ton peut écrire: ƒ e-'i'^ Cos.yx.xP—^ dx = o r (/?) ^ (7 dg) c?M = CosJ'q.Cos.pq, OU y = nTaiin.q; d'üu il suit f/y = et encore = qp Cos.^ (f (1 + y^y 'J'^'f . ■ ■ ■ ,. , . = -^ — : -; — ; — T^ ;; . Multiplions cette équation par 1 inteo-rale citée et la valeur de celle-ci, Cos.^ q.[\ -\-q^ Ta7}g.- nY membre umembre, et remarquons qu'aux limites O et oo de y correspondent les limites O et '^ de «f ; alors TT r(p) p qdq ^ ^ r ^ r dx nousaurons: l — Cos.P-~q.Cos.px ■=■ ƒ c—'i''Cos.yx.xP—^dx\ = n o o r , , rCos.yxdy r f^ n o IP o 11 Méth. 38, N'. 3;,= T-TT^T / e-(~'i+^)^ xP-^l.c 1 c--^^{x+2y-' :'—Uh. Dans l'iute'gratioii I' o par rapport u ^ substituons s = .ty, oü alors on a dz = xdy, puisque x est censé constant dans Tinte'gration suivant y ; dès-lors Tintégrale doublé devient: Fase 610. ET METHODES D'ÉVALUATIOIN DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. M^^ 57. N\ 12, lö. /■2Cos.P—-qi.Cos.p(p(lf nqP—^ f" ƒ■" f—- = --,' — ƒ e-i9+^UxP-Uly I e-2xy.^2r-i (1 _|_,,y-l„/--i f^w ^ {l+q-^Tangr-^fY T (p) {T (r)} '- ] 'f ^ ^ J) J J (I ü II TT (3?'—' /"° /"° = T ^ I (1 +«)'—'«'■— 'c/h ƒ e-\'l+^+'^'J'i^a;»+'^'-~^c}x = r(p){r(r)}^j ^ -^^ ^ -^y o n o 7r«2P->r(/i + Sr— 1) ƒ" (1 +2/)''^\v'"~''^!/ r(rt {r(r — ^ / ~^- -'=^^' ■-' ^. Pour r7 = J 011 trouve; ƒ C'os.P+^'~2,f.Cos.p4.d + (Cos. (ƒ.(;->"> , ■^ I <1 V ,„. j Cos.- (fi -\- q-' biH.

^i/o.. .<, i^«, — , , j 2P+^ {r(^p+i)} N'. 24 et Métli. 38, N'. 7. rour Ie cas de p zéro, ou ni dédiiit: ƒ Cos.P.vdx = O (T. 53, N^ 21) _-^r(p + ]) |r(,+ i]t/.,2 ^^,^^^ ^ ^.^ ^^ 2P+1 lrfi^,4- mi "^ 2P+1 ir{.i(p+i)} r (P + 1 ) Page 611. , [r (i fp +1)]1 r (P + 1) UI. ar-% 57. N'. 15 — 15. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, i; (x) dx = I $ (?/) dy ; et lorsque a present l'une de ces intégrales est counue, elle donue une a p évaluatioii de 1'autre. Arctg. {p Tang. x) r^— — et Tang. x o o /'^ dx n \ ,, ^ r^ Arctq. (p Tg. x] fl> n 1 -- — ,^ , = . (Mcth. 1, N'. 17). Doiic: / dx ^ ^^ ^ ' = ƒ rf/). = l+p-'Tg.^x 2 1+p ^ ' J Tang..v J ^ 2 l+p o 0 0 = - ld.l{\-\-p} = -l[lJ^p). (T. 369. N\ 10). [373]. Pour p Vunhé oii a /Ir-c^^. ( ?>. .r) = .r, puisque .r reste toujours positif; doiic: ƒ -^; = -/2. (ï. 239, N\ 6). ' 2 xdx n Tang. x 2 15. Soit I = ' ^^■- -'- ' ^'-^ ƒ2 /•2 i. Cos. x) =^ j dy . Mais de la suppositiou / oin.(jp. Cos. tf J J btti.qi, Cos. -p 0 0 o , . ., , ., c- 2 Cos.'' p — Cos.'' q, , , n 1 Cos.^q< — Cos.' tj (a) il seusuit oui.'y = -^ — -^ p, — .— , douc poiu- w = O, ij) = »;et Cos.' ii =^ — „— —^-., , ^ ' ■' Cos.- p — Cos.^ q' f J ' r r^ j Cos.^ p— Cos.'- q donc pour «/ = - , (jp = (^; eusuite — 2 Sin.q. Cos. q dif'^= — 2 Sin.y.Cos.y dy {Cos.' p—Cos.'' g); et par ƒ'! (p Sin.(f, Cos. (p dif 1 — 77 — ; ~ — ;::; — ;, — ^ — — — , et en tin: otn.qi. Cos. (p Cos. -p — Cos. 'q Cos. '■ p — Los. - .p Cos. ' (p — Cos. - q '' ^ Cos.''p — Cos.^ q ^ Cos.'' p — Cos.'' q f1 (fdtf J [/ {Cos.^ p — Cos.' (fi) {Cos.' ,p — Cos.'' q) V ff F |„ , 1/ (1 _ Tcvw.' p. Cof u)] = / \. -: 77. • *■' "^ ^ ^ ' y V/{Sin.'-'f — Sln.''p){Sm.^q — Sin.^r,) %Cos.p.Sin.q P (T. 253, W. 1). [374.]. § 12. METHODE 38. MULTIPLICATION DK DEUX INTEGRALES DÉFINIES. 1. On peut considérer Ie produit de deux intégrales définies comme une integrale doublé, oü les variables sont séparées; mais afin de pouvoir réduire une telle integrale, il faut lui öter ce caractère, et c'est ce que Ton peut faire en général de deux manières. En premier lieu on peut substituer aux variables x et y, considérées comme coordonnées rectangulaires, deux autres variables r et qp, considérées comme coordonnées polaires; alors la nouvelle integrale doublé se prête quel- quefois plus facilement i\ la réduction. En tous cas néanmoins il faut pour Ie succes légitime de [374] Déja déduite Me'th. 7, N^ 24. IVe 613. lil. M. 58. W. l — 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, cette methode que Tintégrale doublé, c'est-ïi-dire la superficie d'uue surface courbe, reste toujours déterminée et fiuie eutre les deux systèmes de limites, de soite que cette discussiou exige en général des considérations géométriques spéciales. Mais ou peut réussir aussi par la substitution de y = px, lorsqu'il faut intégrer d'abord par rapport a y ; car dans cette intégration alors x est traite comme constant, et Ton a par conséquent dy = xdp, oü maintenant p est la nouvelle variable qui remplace y. De cette maniere il se peut que la doublc intégration devienue pos- sible;,[375]. 2. Dounous un seul exemple de la première methode. Pour 1=1 e—^'dx il est aussi o I- = 1 e~^'^ dx I e—y^dy =1 J e—i^'''+/r'>dxdy. Par rintroduction des coordonuées polaires o o 0 0 ic = QCos.q, y = ijSin.qi, on a ,«'■' -\- y' = Q^, et 1'élément de la surface dx dy = QdQd doit varier entre les limites O et oo , ij:_ entre O et — , pour obtenir l'espace compris dans dans l'angle droit, correspondaut aux limites O et x de J (1 ^^L^ / ^P-le-^C-"') ds, donc leur produit:-—^^^^= ƒ ?//'-• c-.'/('+"') (fy ƒ s/'-' e-^l'-^'Jrfi. {l-xi)P j ^ (l+.r^)P ƒ -^ •'} o "o o • dx Multiplions cette cquation par e?^' — , et intégrous par rapport a x entre les limites l' /'■° gf/x(' dx /"" dx /■" /■"" {l+x-^)P X j X j -^ ' j o 0 0 .0 r r r (^^ = I e—yyP~^di/ j e~^zP~^dz j e'^l+^-y." — . Séparons maintenant les parties réelles et les par- [375] Voyez Raabe, Journal von Crelle, Bd, 48, S, 157. Consultez encore Bonnet, Journal de Liouville, T. 14, p. 249, qui y fait des objectious page 253. [376] Autrement de'duite Métb. 4, N'. 7, Méth. 44, N'. 2. PaM 614. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFLMES. UI. M^^ ÓS. N\ ó, 4. tes imaginaires; les deniières nous fournissent : o u n o Comme la deruière integrale est ± - , suivant que y est plus i)etit ou plus grand que q -\- s: (d'après Méth. 34, N'. ;2), il faut diviser l'iiitcgration par rapport u // dans deux parties, IJ 1 « V 1 11 T , V ,11 . . r , /"* Sin.ox dx 1 une de O a o -(- ^, 1 autre de q + s A co , et 1 on aura ainsi : (r inVt ^ 1 = O c-' zP-^ dz I / 6-^ ƒ'--' dy \ Sin. [{q-\.z-y).'v} ~— e-yf~\ dij \ Sin. {(y-q-z) ,r) --| = ?+= — / e—~zP—^dzij e—yijP—^dij — \ e- V yP—'^ d A. Üiffórentions cetle équation par rapport a 9+2 Cos. qx ƒ Cl/o — ^ — — (Z;r = (1.' .(4 = - /e-^5P-irfc[(7+sV-lc-('?+~)— (-l)(5+5)P->c-(?+=)]=7rc-?/ e-s-sP-i (5+£)p-1ü'^, o 'o ['^ Cos.q.vdx /■" 51 relation qui doiine pour p = 1 : I ^ =nc-:-' dx r du . „ , soit ü = -, alors 1=1 ^-=2 1 = n, ou Ion a substitue x = //-; donc: ^ 2' j l+.f j 1+^^ ' -^ ' o o dl , , <7^ ■ dl 5 = — = O, etparconsu(iuent7T^ = C + 0,doiiensuifeI- = 7T^-|"rr'Ct ™fi" =^5= — = Il/{l" — "■^V ap 1 ^ f/yi TT dl dl / 7rn 1 ^'I 1 = TT:i/fl-— =-• On en tire :±dp = :r~=- =— :j/(l — — = _ = - d. Arcsin. -. L'in- Ij/(P — TT^) P "^ \ rl 'T / _7r_-\ ^ I TT TT tüi'ration donne maintenant: dtz n (n -^C) = Arcsin. —, d ou I == r. Or, nous avons vu que la valeur — de p reduit I a n; de sorte qu'alors on a: Sin. •j±7rj — f"C]'/ =1, ±7t(- + c\ = ^,C = ±-= O.ou = —1 ;donc;Sui. (+7r(p + C)} =S{».{pn-lrO) = Sithpn, Sin. [ — TT (p -|- C) = 5««. { — TT (/) — l)^=Sin.{n — pn) = Sin.pn, ce qui revient au niême; '.rP-'d.i- + X Sin. pTi ƒ xP' — = — - — . (T. 18, N'. 2). [3781. [378] Voycz sur nne autrc dcduction Méth. 1, N'. 29, Me'th. 22, N°. 12, Me'th. 27, N'. 3. Cette ♦ ransforraation curieuse est due a Dedekind, qui l'a exposue dans sa dissrrtation : Ueber die Elcmentc der Tlieorie der EuLER'schen Integrale, Göttinpren. Hulh. 1852. 23 S. 4'. L'intc'gration do Féquaüon (7/) donne C^zP-^dz /■ „ f n'-dp encorc: } = j 1^ dp ^= l '- — = — jr Cot.pn, (T. 18, N'. 8), ainsi que l'on trouve y 1— ' / ; sin.^pTi o Méth. 22, N'. n. Pa^e 616. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGMLES DÉFINIES. ||[. W. 38. N'. 5. yP-\e-r!/d^ = 1 (Méth. 18, N\ 2) prenez. pour r successivement o e" et e—^' et multipliez les deux équations correspondaiitcs ; il vient par Ic changement de /) en q dans la seconde integrale : — r. ^. = ƒ t/l>-'^ e-!/^" d» ƒ zQ—' e—^^~''' ch. Pour lier les gjjxi (,~qxi J -^ -^ j O O deux intégrations dans cette integrale doublé, soit z = y<], d'oïl dz = yt/ip, et cnsuite : r{p)T{q)eil-P)" = j//P-^ e-y^"c/y /f^.p)7-i e-y?e-"_y(^,p = (,,7-1 d.f Lp-^1-U-y'/'+fe-"l dy = • u o o ü ^ ƒ f 7-1 d'p ji/V+q—l e-y[( I+?) Cos x+(l-?/-.Si«.x] d//-{- I f 7-1 (?o / yP+?-I e-!/lii+f)Cos.x+[l-7,iSin x] ,/y^ o 1 o OU d'unc part l'on a développé Texpressiou imaginaire e^' -\- qe-^', ét d'autre part on a divisé la distance des limites O et oo par rapport a qt» dans les deux parties O ii 1 et 1 ïi, cc. Mainte- nant dans Ia seconde de ces intégrales doubles soit (;, = -, alors on obtieiit : T {p)r (q) ei'l-!')xi ,=^ = ƒ f?-l d^jyP+l-^ e-!/[(^+'f)Oos.x+ii-?)'S>».x} j^ ^ /p-?-l dppp+l-i r^[('^3^-'"''+('-y'^'"'^] jy ^ 0 0 0 0 _ (\q-ld^ lk±^ -(p + q]iArctg.fh:lfi!llI^ — I (J-ï '«P p+g \i-r? Cos.xS -f- 0 {{l + qy Cos.Kv -Jr {1 — q.) 2 Sin. ^ .v} ~^ fi-1 1 + / *-'-' ^^ -^^^^^ ^q e U-'f Cos xj (j,^^^^.^ l'expression l+- Cos.Kv-\- 1 ] &«.2 de Méth. M, N\ 6, Note) = F (p + q) Y^-(/'+?>-1«'?-(1t?^''") {(i+'^)'^ + (i-'ïr- 7-^.^4 ^ CosJ'+ix'^ Avant d'aller plus loiii nous tirerons quelques corollaires de cette équation ; ellc dcvient pour '^^" •'o 2 •' (1+9') - 2 '^ + M V1+?/ -y:;:^^ ^:;:^ ~_p-i-q- ^'"'^ ^'^ demière de ces intégrales substituez •() s"2~(l+q.^)~2-2 -2- Page 617. 78* III. M""'. 58. N'. 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, '^Z •) ■, ^ P mi'"' \ '" '" ts ^:= Cot. Y, d'-p = , l-\-^- = Cosec. f, — , — - == — 7^. jf , avec - et — comme limites Sin. '^ % ' \ -\-

+1—~xdx = 2 T(p+q)j o jr [^ , , f- —{p-\-q)iArctn. l'^~?Tmin.3:\ 1 dx ( 1 + ^0^+^ { 1 + ( —7^ 1 Taruj. ^ x\ + l\,P-^d,jl''^''''"'<'^f''-) 1 dx ^ , . — , La substitu- 1 — if' „ „, , 1 — q> dx f^Z • 1 ,,- / • tion . lg.x= ig.% doune -^ — ^— = -^ — ^- , puisque dans 1 iiitegration par rapport ii .r,ij[ est considéré comme constant ; les limites de x et de y sont simultanément O et - ; on trouvc TT TT rfölrftf) /2 n ng—id'v f^ donc: ^'^^^^^ ƒ d' Cos.P+l-^ xdx= ƒ ^ ƒ e-(p+9)X/(;osJ'+3-2 y ,/•/ + r(p+ï) j J (l-.f)(l+.p)P+5-> j ^ ^^ o 0 0 TT + I r ƒ e(P+ï^Z'Cbs.P+?~2y (^y, Developpez les cxponeutielles imamnaires dans o o ces trois intégrales et séparez la partie réelle de la partie imaginaire, il vicnt par Ie changement de p-\-g — 2 g' p' _[_ 2 o' -\- )>' -4- 2 en q', et de q — p en p', d'oü p = '- , q = , et ensuite par i'omission des accents : ri ?~-4-l\r|^^^'-J-i I ^ £zP ϱP f — ^ ' — ^ 1 Cos.px.Cos.lxdx=l — —^ da, f Cos.(q+2)x].Cos.lxdx, 0 0 0 r(9+2) ƒ2 f ^ ^ f^ /'S Sin px. CosSxdx = ƒ ; , d» ƒ Sin. (iV/ + 2)x) .Cos.ixdx, . ib) formules générales de réduction, ou la doublé integrale n'est proprement que Ie produit de deux inté- grales définies simples, a causc de la séparatiou des variables. Dans la seconde, l'intégrale par rapport l\ cj> est finie; prenons-y p Tuuité, alors, quand nous utons Ic facteur 1 — if commun au numérateur et Page 619. III. M"^". r38. N\ 6. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORaiüLES DE TRANSFORMATION, J9_±}\^IS±1\ . . .- £ 1/ • \ 2 / V 2 / /"a ^ f^ w 2 da, r2 au denominateur : --i ^ ƒ Sin.x.Cos.<} xdx =^ ƒ I Sin.UQ^i)x\.Cos.'Jxda. r( (d'après Mé.h. 37, N'. 12) ^ ^^^ ^-^^,et ^' r(3+2) • j .;+i r(5+2) 2?+2 ( /7+l^^\)2 TT 1 (d'après Méth.37,NM2)= --^ .Douc r(0)— F(1) = Q ; mais pourceia il faut que dans la doublé T intégration précédente celle par rapport ;i x soit nulle, c'est-u-dire, I Cos/lx. Cos. {{q-\- 2)*-} d:v=0, [383], o et que la doublé integrale elle-mème, dont les deux facteurs sont oo et O, devienne toujours ?r n rl egale :\ F (1) = F (0) == F(p) =-- -. Dès-lors on eu tire: 1 Cos px. Cos.i x = o n r(^'i>\ dq dq\ dq { dq dq \ dq^ dq'- ' ^ ^ ( dh dK\ '^' i^la"^ da] f rfL dK] , f dL dK) s'écrire: — — =i -:^lr— = d/ < K—- — L-— ( = — f{q)d'i : d ou par integratiun •■ ^ { K - — L— - V = du diL l dij dq ) (. dq dq J dq dq = — I f(ii)d(i+C, et K— ^ — L — = C e— //(ï)''?. Maiuteuaut lorsque L et K sout des iuté- J dq dq grales défiuies, — et — sont aussi des iutégrales définies, faciles a déduire; et réquation pré- dq dq cédente fournit uiie relation entre deux produits d'iutégrales délinies, kquelle douuera quelquefois révaluatiou d'une de ces fonctious. [386], n lx -\- q)P+'^ dx dK n {x -\- q)P dx fZ^ K 2. Soit K = ƒ -\-~r— ^r-. aiors — = (p + 1) / ~;^J'' .,_^ et TV = o o . A présent iiour obtenir une relation entre ces trois iutégrales, ou ^.l-r(l_^.)l-.9 i ' o trouve par la dificrcntiation: -— ^- ^ , ^•'--=p(.r-l-»)P-';i"-(l — «>'+ ri^'"-' (>+(/)?( l—aO'- — s{l—.v/-'^{a:-\- qfx'- = (^ + j)P-' .ï'— ' fl — .r)'-! [—{p + r +s)[x-\-qY + + [p + '' + 2/?7 -\- qr -\- qs) (.r + q) — pq (1 + ?)]' "^^''^ par Tintégration entre les limifes O et 1 , qui fait évanouir Ie premier mr-mbre de cette cquation, et par la substitution des valeurs de [386] Cette methode est due u Abel, qui en ;i ivaili' ilaus un Mémoire dans Ie Jounial von CrcUe, Bd. 2, S. 22—30. Pasre 622. ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES, Hl. i\r=. o9. N'. 'i. K de — et de — - : O = — (p + r + ..) k + — — — -77-, — ' -T, ' dq dq^ P + 1 <^? P ( 1 + P) "5 de sorte que 1'iiitégrale détiiiie K est uiie iutégrale particuliere de Téquatioii diflerentielle "dq' ' 9(1 + ?) A/ 7(1+9) ~drr- [Y'^l+qjdq'^ q 1+9" Pour eu obtenir une seconde integrale particuliere, remarquons que cette équation ne subit aucuii changement, quand au lieu de p, r, s, on prend p -\- r -{- s — 1, 1 — s, 1 — r. Lorsqu'on sub- ƒ' (x + «)?+'•+« , . , , — - dA\ pour la seconde integrale .t;*(1 — ,vY fi {x + q)Pf'-+^ dK n {x + q]}'dx dh ƒ•' (^+#+'-+^-' dx. Maintenant [•1 dx ; , dK n {x + q]l'dx dh ƒ•! («+#+'•+«-' ^ particuliere; on en deduit — = (»-(-l) J et — == (p+r+s) / 7 ; dx. dq J A''— '(1— A')'— « dq J x^[i — xy o o ' j /p-\-r 7> + «\ ., , Mais comme dans 1 équation diflereiitielle qu on a obtenue, il est f{q) = — + , ilsensuit: \ 7 1 + '// f — //(?)'^7 = (Z^ + '■)^'/ + (/' + «) '(7 + 1) et Ce-fA'Jy-i-''+'^ : Cl 1-| — = (p + 1) I -^^ -^ ^ — dx X o o 0 0 f- dx pour determiuer la constante C',supposons dans cette équation 7 infini, il vient : C'=(/)+l) I — ~X J A'*(l — xy o o 0 0 0 X f'-—-^^--- = (1 - . _.)-rJi:=-^H-üzii) .LMJÜ) (a^3pr.s Méth. 4. N^ 6) = y x^->(l—xj^~' ^ ' v{Z — r — s) T[r-\-s) ^ ^ o r(l — ?-)r(r).r(l — s)r(s) nCosecrvcnCosecsn , . ,. ^ t.» = ,, ^ '—^ = ,; , — rd'après Méth. 4, W. 6, Note, form. B r(l^j- — s)r(r- + s) n Cosec. {[r -\- s) li) ^ ^ nSm.{{T-\rS)ii\ ri (.c+7)P+'rfj; /•'(■c+7:p+'"+*~' , =--^ï±:^;^n =^ ^^'''■^'^+ ^^'•^'^) (.)donc(;, + .+.) j J3J^iL__xjf ^ -4ïZ;p-^-- -(P+1) /•(•^+'^;;^:--;'^^x /%^±-^)-''4-; = -.((7o...+co....)7P+'(i +7)"-, ia "o u Page 6-?.;l 79 WIS- £N NATriRK. VERH. DICU KOMNKL. AKADEMIE. DEEL VTll. II1.jVP.o9, 40.N\2. 1/2. theorie, propriétés, formules de transformation, relatiou cherchue. Pour eu déduire une integrale définie, soit p -\- r -\- s = O, ce qui fait évanouir ƒ! dx — : X a;^ (1 — xy = C=(1 - — -^ = — n[Cot.rn-\-Cot.STT)<]—'(l + q)-': Or, de (a) on the : n {Cot.rn-\-Cos.STc) , f' dx T{r)T{s) CHx + q]-r-sdx — s) / : , doncpar ladivisiou meinbre araembre: I — ; — == 'j x%\—xY r(r + «) ^ J x^-^{l—xj^-» O o /■' dx r(r-)r(s) 1 = ƒ = , (T. 6, W. 5), d'oü encore pour j {x + qY+^{\-xf-^x^-r r(r+5j 5'(l+7)'- ^ ü /■> dx r(r)r(l— r) n r -\- s = 1 : ƒ = — ; = — ; — — — (d après Méth. 4, j {x + q){\—xYx^-^ q^-" {\- -\- qY q'^-r{l -\- qY Sin.rn ^ ^ o iSr\ 6, Note, form. B). (T. 6, W. 4> § 14.- MKTHODE 40. COMBINAISON DES INTEGRALES d'uNE iQÜATION DIFFJÉRENTIELLE DE SECOND ORDRE. 1. Cette methode est une estension, que Svanberg [387] a foit subir :\ la methode précédente, et se fonde sur Tidée suivante. Il se peut que deux équations diflërentielles, dont on counait pour chacune du moius uue integrale particuliere sous la forme d'une integrale définie — puisseut se combiner de telie maniere que 1'équation différeutielle resultante soit intégrable. Dès-lors cette intégratiou donne évidemment une relation entre les iutégrales définies mentionnées et leurs diffé- reutiellcs. . . , • , «^'I ^ '^i T. d'}L 2. Soient ainsi les deux équations diflërentielles: 'T^, -\- f {q) h^^ (7)1 = 0. j — 4" dl f- dq dq'^ + {f(q) + -M ^lois ü vient : q 1 — (/ dq q^ (1.— 9)' q 1 — q '- ^ dq 1 — q q d-K /2 — p—t 2 — s~i\dK Z—p — s — tt—l de sorte que l'on a: +1 — • 1- K = 0. Et dq- \ q 1—qjdq 1— 7 q celle-ci satisf'ait au but proposé, car en effet elle peut se déduire de I'équation differentielle en I, et cela bien de deus manières diflereutes ; c'est-a-dire, on peut preudre au lieu de p, s, et /, pre- mièreinent 1 — p, 1 — s, 1 — t, et ensuite s, p, 2 — p — s — i; de ces deux manières 1'équatiou en K se change dans celle en I. On connait donc de celle-la deux intégrales particulières K, = I r. — ; -;-^ et K.,'= ƒ ; . Maintenant pour o O obtenir Téquation (a), observons que I {ƒ(-' ^J xV (1 + 4' [x + ). Pour déterminer C, inultiplious par qll — o), j ^i-P(i + .r)i-. (.,-1-5)1-^ q{l-q) ' o et prenons ensuite q l'uiiité; alors les deux premiers produits d'intégrales définies ont zéro pour Page 626. Eï METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M"*'. 40. N'. 4. ƒ"" dw /"° dx ' T-T". — 7~r: X ƒ ~ — 7z~. — r;; ', =^ .rP{l+.vy+' I .i;l-P(l+A')2-'-'!. o *0 r(l-p)r(p+ « + <-!) T{p)T{2-p-s-t) . = (1 — 4' — t) 1 . ; (suivant Meth. 4, N . o) = T{i—p)T{p).T{p+s + t—l)T{2 — p-s—t) _ TT Cosec.pn. n Cosec. {{2+p — s—t)n} ~^ ~^~' Y{s+t}.{l—s—t)T{l—s-t) ^ TT Cosec. ((s+i) Tl} — n Sin. {{s -\- t) 7t| fd'après Méth. 4, W. 6, Note, forra. B) = — — — 7- — . 7-r^ , de sorte que C dans ^ ^ Sin.pn.Sm. [{p-\-s-\-t)n] * réquation (b) est déterminé; mais cette équation n'exprime qu'une relation interessante entre ces six intégrales définies, sans qu'elle donna lieu 11 l'évaluation de quelqu'une parrai elles. Au contraire pour liuteffrale K', on trouve: —t f — - — - — -— — - — ~ ,X ^ ° ' J x^l -\- x)P {x -{- gf-P-'-^ o dx /''" dx /•■" dx ^ r dx_^ r dx ^/ xP{\+xy{x-\-q/+'^'~^^'^'^^~"^ j xP{l+xy{x+qy^j x'{l+x)P{x + qy-P-'-' o o • o ll—p—t s^t — \\ /"° dx p d^ C ~ \ 7" + 1^7 / ,,/'(l+4'(.r+,)' ^ I X' (1 + x)p {x + qy-P-^-t - ^ (1 _ 9)- b b Multiplions encore ici par.(j'(l — q) et prenons ensuile q Tunité, alors les deux premiers produits d''intégralcs défiiiies s'évauouissent a causa du coëfficiënt 1 — q, et Ton trouve: r ^« r f^« ,, T{i—p)T{p+s+t—i) o o r(l_,)r(l-0, . ,.r,..^.,, ,, Til-p)Til-s)T{l-t)T{p+s + t-\) — - (suivant Meth. 4, N . i>) = (1 — s — t) — r(2— s— O ' ' • / V ; Y{s+t)(l—s~t).T(l—s—t} _Tjl-p)ril-s)Til-.)Tip+^±t-J) ^j,^^_ ^._ ^^^ ^^^,^_ 31 Cosec. ((s-j-^JTr) ^ ^ '^ = -Sf«. ((.s4-i)7i].r(l— />)r(l — «)r(l— <)r(/? + s + < — 1) et par conséquent: TT x'{l+x]Pi.v + qy-p-'-< J xP{l+xy{x + qy+^^^'^ ^ 'j xP{l+xy{x + qY o o o x/ r______^^__ , n-p-t s^t-i\ r dx J X' {1 + x)P {x -\- qy-P-'-' '^ \ q "*" 1 — q ]J xP {\ + xy {x -^ qf O o X ƒ — == i^-^^—-' r(i -»)r(i—s)r(i -O r (»+«+<— 1), o Page 627, lil. iVP. 40, 41 . N'. 4. 1, 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORJIATION, uiie seconde relation entre six iutégiales définies. Mais de celle-ci on peut tirer uue autre plus simple /"" dx f"' dx par la suppositiou de p-\-s-\-t = 2\ car alors on a: < / -V I + ^^ i^ ^ ' f j:s(^i^a;)P I .rP (l+.r)« (.«+?)'+' ^ b o 1 _ » _ f -u M r« dx r dx 1 r dx 9(1— f/) j xPil+xY{x+qy J x>^{l+x)P q[l—q)J x' (\ + x)P o o o rn{l—p)-\-a—p — lX.tq)x — Sin. f (2 — p)ti) X ƒ -^ ^-^-^^ dx = i^ — -^-^— ^r(i — «irri— s)r 1 — /)r(i . o ^ r* rfj; r.(i — s)r(s + p— 1) Or, / — ; = — ('Méth. 4, N'. fi), donc, en divisant membre fi uiembre: / a^[V-\-x]P T{p) ^ , h , O '']{^—p) + {^—p—^ + i'l)^', Sin.pn r{p]T{l—p)r{l—t) Sin.jn n T{l—l) dx = — - — f J xP(l-{-x]^x-\-qy+^ n Y{s-\-p—l) n Sin.pn T{L ~t) O (d'après Méth. 4, N". 6, Note, form. B) = 1, oü il est encore toujours p-\-s-\-t=2; par consé- quent en éliminant s: — ■ ; — dx = 1, (1845) xP {\ + X)^-P-I {x -\- qy-i-^ ^ ' f d'ou pour ;j l'unité : dx h + ^)I-'(*- + 5)'+l t{q-l) , . , (1846) ^ 15. MliïUODE 41. EMPLOI DE FOUM0LES DE TRANSFORMATION. J . Parmi les formules de transfonnation que nous avons déduites dans la Deuxième Partie, il se trouve un grand nombre, doiit l'usage rcntre sous la Section I, II, IlI et IV, et nous a fourui respectivement les Methodes 5, 17, 20, 2:3; mais il y en a eucore qui sont plus iudirectes, et nous allons douner quelques applications maintenant tant de celles-ci que de deux formules de la Première Partie, qui appartiennent au même genre de formules. 9,. Dans la formule (US) de la Première Partie soit ƒ(«) = c^; donc, puisque ePiC'>^-?+''^'"-?) = = eP^^o^-9 ^Cos.{QSin.^) -{- iSin.{QSiit.)_e'»;ros.?+(Si«.?;_ ƒ eP'^'>^-tCos.[tp-\-QSin.'p)dQ-\-i I e?Co^-?Si7i.{(p+QSin.^-'!'Cos.(aSin.q.), . (18J.7) exCos.fSin.{q' + xSin.>i)dx=^ e''^^'''-9 Sin.(b Sin.q) — e'^'^'"^-f Sin.iaSin.q). . . (1848) Dans Ie cas spécial de a zéro et de 6 = — oo , on trouve en changeant a; en — x: I g-aCos.y Cos. (,p — X Sin. q.) dx = 1, . (1849), / e-^Cos. j> sin. (.p — x Sin. {Cos.cf -\- iSin.cf)'^ = gPSin-f _|_ g-pSin.f ePS'n.'f — e~P^'"-f = Cos. [q Cos. if') -\-iSin.(QCos.(i) , et par conséquent: c'ipSm.f 1 P = ^ j/ y^?^'i>.f _|. g-2p.SVn.5. _f. 2 Cos. (2 Q Cos. ,()], Tang. $ = Tang. {(> Cos. 'O T1/7~TT ' "^'"'^ /b^Cos 'f+iSin.f) Cos. X dx = Sin. (6 {Cos. (f + i Sin. cp) — Sin. [« [Cos. q -\- i Sin. ij)) = a{Cos.f + iSi>:.f) = 1 V Cos.{-^^<'-'f -\- e--^S"''?)Sbi.{aCos.-i), (1851) / Sim.lip -\- Arctg. lTg.{xCos.Sm.y—.e-^^"'-f)Co.i.{bCos.^) (1852) Lorsque a = O, i = 1, la valeur de ces intégrales est respectivement : = {eS''"? ^ e-S'"-?) Sin.(Cos.^Sui.''.f.]-\-iArctg.l T~j; , .et x(Q^'P)===2H^+^QCos.ip+Q''},iiiQ,if)=Arc(g\~~^-'-^--]; donc, puisque ƒ l{l-{-.v)dx = \l+QCos.fj J Page 629. 111. yV\ 41. N\ o, 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRA\SF0RMAT10N, ^PiCos.e+iSiu.p) l (1 +ai)Jx= { 1 +q{ Cos^+i Sin.^)] / (1 +o [Cos§+iSm.^)} — p(_Cos.a-+,Sin.a) — Q (Cos. /ï -|- i Si7i. (j) — (1+0 (Cos. a-\-i Sin. «)} ^ { 1 + o (Cos. u -j- i Sin. «)} + e (^o«. a + 1 Sin. «) = ^Q I |t^(1 + ^qCos.x + o^) + iArctg. — j^- \\ ( — Sin.cc-\-iCos..i;)dx, d'oii par la sépa- J ■■' \l-\-QCos.xji ratiou des paities réelles et des parties imaginaires: /f^. w, ^ ^ I pSiij.x \\ l-\-gCos.a \Sin.x.l{l + -2o Cos.x-^Q'')-lfZCos..v.Arctg.\ -^ ]lrfj^ = — ^-^ /(l + 2«Cos.«+() = ) — Xl+oCos.xjl (. a 14-0 Cos. [i ^ I nSiit.li \ l II Sin. a \ — l (l + 2o Cos. li+o-)-\- 2 Sin. S. Arctg. I -^ ^— —2 Sin.cc.Arctg. -^ -f ? ' \\-\-qCos.^I \\-\-QCos.aj + 2 (7o«. /5 — 2 Co«. «, (1S55) ƒ jCo5..r./(l + 2 o Cos.x + ?^)— 2 5»i. .r. Ardg.i ^ '""^ ]] rfu,' = &"«. ^./(l +2 « (7o5.|S + e-) — J *- \l-\rQCos.xj\ a r,. „. . ..- 14-i>Cos.3 I o Sin. f} \ l+pCos.a f oSin.a \ e \l-\-(>Co.'!.(} j Q \l-\-()C0S«j ~-ZSin.^+ 2Sin.a; (1856) d'oil pour « = O, j>' = - et ^ ^ n (et doiic dans Ie deiuicr cas q^ <^ 1, afin de prévenir la discontiuuité des intégrales) : TT /\Sin.x.l(l + 2o Cos.x -}- n'^) + 2 Cos.x. Ardg.i — ^ ' '"' ^ — jl dx = \ 1 + o Cos. X jl 1+0 1 = -^-2 ;(! + (.) l{l + ^(l— »') — 4,.(1S59) ƒ l yl+gC/Os.a;/ * e 1 — Q "o ƒ \Cos.x.l(i-\-2,jCos.x + Q-') — 2Sm.x.Ardg.\--^^^^^^^;^^--\\dx== O (ISf.O) y \ 1 + ? Cos xji o 4. Passons maintenant ïlquelqucs théorèmes de la Deu.xièniePartie. Dans II. (85) prenons/(*):=Yj7^ Pa^e 630. ET METHODES D'ÉVALUATION DES liVTÉGRALES DÉFIMES. lU. M''. 41. N\ 4 — 0. alois d'après Métb. 22, N^ 12: -; — = p ƒ '^*' rVr — + -.- =p'' / 7-— - + -V W-*. (T. 6, N\ 11). bin.<]n I { l+;u' .x--' y J ƒ yl-f-p.t- p -]- x j ■ "o 1 + - o Prenez-y ciicote f{.v) = , alors d'après Métli. 22, N". 11 de même : — dx (1861) \1— ;;.i' p — .vj o Pour f{x) = a;'-l(l —.•?;)?— ' la formule II (87) domie suivant Me'th. 4, N°. 6: I [/>'■«'— 1(1— p«)?-' +(1 —p)'/.t;'?-' (1 — (1— ƒ))*■}'—']«/*• = ^--^^^^-^. [388]. . . (1862) (I 5. Daus l'e'quatiou II (97) prenoiis /(.«) =,ff/-i(l — xy—^, et employons 1'intégrale de Méth. 4, N°. 6, il vieiit: r(F + '?) y V+pi') V + pi/l {\+pvV ] (1 +;'.'/)•■+'/ o o Pienoiis eiicore ƒ (.r) = , alors dapres Méth. 38, N'. 6: o o don nous deduisons, en prenant - pour p: r^'-(P + 3/)-^-^^^^^ (i,e5) y (p + y)7 y* o 'r 6. Pour les formules II (126), (127) soit Tgog. U Arcws. -,, , , T \. r-7T ± {{ P + 9 ^"5. ar 'l 1 1 V 1 / . T Arc(^os.\ I 1. Dès-lois les tneoremes cites nous donnent : \l/ (P '" + 2 p5 Cos. jc + 9 ^ )/ I J (^ , ^ f / 1 + P Cos. X \ \ j (1 + 2p6^c... +^^)^'(p^ + 2pgCos. . + .j^- Cos. \s Arccos. ^^ ^^ ^ ^p Cos... + p-^>]\ ' ' "o l\l+2pCo.x + p^)Hp^ + 2pqCos... + g^-)lrSin. [s Arccos. [^y ^.^'l'^cl'I + p^))]' 'o . Sin. \r Arccos. (^, , ^'^ ^r"' , ,]\ ^'^ = h''^('] (!) '?'' (1^- '^^O' ^'- ^^' ^0). [389]. ( 1 + P C'os. .'(,■ ) ( P + !/ Cos. X 1 [3891 Pour » =7=1 on n. Arccos. l \ = Arccos. { ) =ia'; ^ ^ ^ ' \\/[\+%pCos.x+p'')\ ll/(p'^ + 2pr;Cos.,r+r/^)J ' donc : ï Cos.'+r ^ X.Cos. \ s X.Cos. \ rx dx = ^ [ 1 + - 1^ ( *" J T J , (T. 7 8, N\ 2 5), (( . • / ■C'o^.-+'- 1 X Sm ^ S.V. Sin.\ r xch ^ ^ ^ "^ 1 "^ ( '' 1 f )' (1S66) o OU pour X = 2i/: ■K l^Cos.'+'-x.Cos.sx. Cos.rxdx = -^- — |l + ,', 'È{\ | , (1S67) o ƒ Cos.'<-\-'-x.Sm.sx. Sin.rx dx = ''^—Si] \\; (1808) J 2«+'-+2 I \n) \uj o /l TT Cos.' ■!-'■. «. Cos. {(s+rj.r}(?.i; = ^ (T. 55, NM3) a iléja i.'té tiouvéc Jlcth. 38, N'. 7. O Fa^e 632. Eï METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÈFINIES UI. M"*". 41. N'. G, 7. Sin.j: (—1)" (—1)" (—1)" Pienons eiicore- /(.f) = Cos. x, •/ (x) = ; donc A„ = = .„ .. , B„ = — — - - : ■' ^ ' y l\ ) ^ ' 12«+lil (2n + l)i2n/r 12n;i ' gpSin.x JL. g—pSin.x gpSin.x g — pSin.x jn \ alots : f{p e±^') = ^ Cos. {p Cos. j) qz i ■ Siit. (p Cos. x), cp -e±xi = 2 2 \P I = -e^"&m. i~Cos..v± Stii.x] =— Ie '' e^^ /- ' — er e^^ f rl; q- Iz^ ^ /' j 27 l ' . i donc : / Lp*"'* Sin. [.v-\— Cos. x J —e~p'^"''' SifJ .r Cos. x\\{er^^'"-^+e-l'''^"'-^) Cos. [p Cos .v) cl.x = o = -^ + —^:S ■ -— - , (T. 296, N'. 15), I LI^'"-"-' Cos. L + -Cos. ,r ]]— e~'p^"'"'' Cos. f .e— -Cos. x\\ (e?'««-^ — e-l'Sln.x) Sin. (p Cos. .r) dx = o 2 o 9T co 1 O-" = — ^JS"— — ' (1869) p 1 (12«/i)-' 2w+l \ ' 1 ^ /7-\ P — 9 ^"S. *• ± qi Sin. a- 7. Soit ensuite i/. (.r) = , d'ou A„ = 1, qj -e±" = p — ; alors 1 — A' \p / p^ — 2 p (/ Cos. -t; -\- q- 011 a les tliéorènies spéciaux : • ^^ ^ ^■^ ^^ ^ ^^ —, c?.i- = ~f2B„+^B„9«)=-f/(<7)+/fO)},.(XL) •2 p-' — 2pqCos.x-\-q' 2p"- ö^j "/ƒ 2^\J\i/-rj . II, K I o « /Hipe'"') — fipe--"') Sin.a; n " tt , 2i p-^^2pqCos.x + q' 2pq i ' • Zpq^^^' ■'^'*' ^ ' o oïi y'^ >1. - Pour ƒ (.r) = *•'■, on a d'après Fexpression des valeiifs imaginaires : T p — qCos.x. ^ , '^ /9\'' Cos. rj ax = — - ' 2p q Cos. X -j- q - %p \i J P'-2, Cos.rxdx = — i] (]870) /"" Sin. 01. Sin. r X n /o\'' / p^ — 3,p q Cos. X -\- q - Zpq \p j 'o = Cos.rx, il est (d'après la rédiiction du N'. fi): ƒ• TT gpSin.rx 1 g—pSm.rx „ — ^ (p — qCos.x) Cos.(pCos.rx) da: = - (Cos qr + 1), . . (1S72) p- — 2pqCos.x -\- q'^ p [390] Ponr '/ :^' 1 on trouve T. S4, X". ö. dont on troii-vc luie aiitrc di'diiction Mclli. 5, N\ (i. Fase 6.33. 80* III. M"^'. 41. N\ 7 — 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, gpSin.rx g — pS»i.rx tt- f Sin.a: Sm.{pCos.rx) d.v = — {Cos.gr — 1); (1873) p- — 'Zpq Cos.x -\- q- pq et pour f{x) = Sin.rx [391] : /T gpSin.rx _1_ g—pSin.xr -(p — iiCos.x)Siii.{n Cos.r.'c) dx = -Siti.qr, (1874) p^ — 2pq Cos. x -\- q^- Sin.TX g — pSin.rx Sin.x. Cos.{p Cos.r .v) dx = — Sin.rir; (1875) ^pq Gos.x -\- 'j^ pq 'O enfin pour ƒ (.«) = e''^ [392]: /*"■ » — q Cos. X „ 71 ƒ -— -epC"*«Co«.(/9 Sin. »•.«)(?.'(-• = — (é?' + l) (1876) I p'- — 2,pq Cos.X^-\- q- 2p b /^ Sin. X , ' n ■ ---, ;;eP'-«^-'-'^ Sm.{pSin.i\v)dx =^ [eV — 1) (1877) p"^ — 'Ipq Cos. X -\- q' -Zpq O _ S. Dans les théorèmes II (129), (130) prenons f{x) = e^ = ip(j), d'ou A„ = B„ = — - ; alors par Ie développement des fonctions imagiuaires (voyez N". 7, Note) : fV''°"°"+S)'''"'-''Ca.s.(p'' &•«.«..). CoJf-Y «"-^4 dx = n + -È ^V TT q"'"^ • • (1878) J '^ ' (\pj j 2 1 l«"/i iWi ^ ' ^ ' o f''/Co^''-MS}'^''-'''Sia.{p-Sin.ax).Si„.[lïySin.bx] dx = -1-^ — qa'n. ...... (1S79) J * [\pj j 2 1 l"" ' li!"'.i ^ ' o Uaus Ie cas de q'' = p"-^^ et p^' = r, on en tire : /■f TT co 1 1 ƒ er(Cos.djc+CW6i)Cos.(r5ui.rt.r).Co«;(rS(M.Z)a;)f/.« = 7r-|--.2"-— j -^j-'^^^^^^ (T. 296, JN!\16), o /"^ TT o. 1 1 / e>-{Cos.ax+Cos.hx]Sin.(rSi.ii.a.v).Sin.(rSiH.bx)dx = -JS —-r'a+i')" (1880) ƒ 2 1 1""/' IMI ^ ' o 9. Pour ƒ (.!,')= (l-f--»)"' on a par les théorèmes 11 (131), (132) (suivant les réductions du N". (i) : n' I { P -\- Q 'os. X ] 1 l — p'' Cos. rx ƒ (p - + %pq Coü. X + 7 Mi* Cos. I s Arccos. - t ' T^ , f I T. d-« = j\l^ -r fl Tl) Y \\/{p^ ^\-^p■JCos.x + q^-)]\\—%p'■Cos.rx+p^^'■ = ^,,. + _/,.^^( ^j qnr, (1\ .372, N'. 9), [391] Puisqiie : 2f{pe±''^') = 2 Sin. {p Cos.r.v±piSin. rx) = [c"Sin.xj^g-pSin.rx^ Sin. {p Cos.rx) ± ± [ePS'n-rx — e-p Sin rx) Cos. {p CoS rx' . [.i92] Pavce que -. f ip g'±rx''j — gl' ^''"'■'■2^ {Cos. {p Sin. r.v) ± i Sin. (p Sin. rx)] . Pa?e 034. Eï METHODES D'ÉVALUATION DES INïEGRALES DÉFINIES. III, iW. 41. N\ 9, 10. f, : , ^ ^ , ,M c- w A { p + qCos.x 11 Sin.rxdx I (/> " + 2pq tos. .i; + 0^ n" oiti. I s Arccos. ! > 1 == J l \[/{p'-i--ZpqCos.ie + q^)}Ml—2p'-Cos.rx:-\-p^'- O • TT ■ cc [ s\ = -pS-r^l \qnr (IJ^Sl) 2 1 \nrl ] , , Eucore pour / (.r) = — ces ionnules douuent (d après les réductious du N'. 7) : /^ p — q Cos. i^ 1 — p'' Cos. rx 1 [ tt '•« i dx = - lil -\ — ^ r/'"'} == p^ — 2pqCos.a;-\-q'^ 1 — 2p'- Cos. rx + p^'- p { 2 i ] o TT f 11 71 2 (/'■ -^{i+r=7l=^^w' ^''''^ Sin. X Siti. rx dx In ƒ^ ■ Sin. X Si}i. rx dx 1 tt c» ^ -.^ ^nr ^ p ^ — 2fiq Cos. X -\- q- 1 — 2p'' Cos. rx -\- p-'' p''-T- 1 9 2 i o TT ( 1 ") 71 f/' ' = 2^^1-r=:^^-^l=^^i-::^ ^''''^ Soit eucore f{x) = e-^, alors A„ = 1"/', et Ton a (voyez la Nota du W. 7) : /•T 1 — prCos.r.V ICosx [Q „ \ TT 00 1 J l — 2p'Cos.rx + p^'- XP j 2 1 l"^/»- I) » /'^ Sin.rx -Cosx !Q \ TT or. 1 } ;:, e" ' &'«. [~Sin.x\ dx = — JS" q'"- . • . . . . (1884) J l — 2p''Cos.rx + p^'- [p ) 2pr 1 l'"'i ^ ■ \ ") o • . 10. Les formules IL (lo5) a (14'2) doiiiiciit pour ƒ (.«) = , a cause' de ƒ (± .r/^ = q-\-x 1 q zpxi q ± xi q'^ -j- a' ^ ,.'» g(7r— p)2- — eiP—^>' qdx ■x Sin — S- sTX fi — ^X . (o Sin.{7l(n--Zr)] ET METHODES D'ÉVALÜATlüN DES INTÉGRALES DÉFINIES. lil. M''". 41. N'. 10, 1 1, eiicüre — eiP-'^''^ ^ ■ ^ e-lSin.p Cos. qx dx = ^ e- 1 1 — 6-2? = - +^(— ])»e-2'?" = , (1894.) o ƒ"'' Cos.qxdx 00 e— 9 ^.^: ,._,,... = ^(- l)"e-C2«+')'? = r^^Zo-. (T- 281^ N'. G), [395], sèifi^ + e-5"-^- 1 1 + 6-2? ƒ ^ Sin. qx dr = 1 + 2 ^ c-29" =. — ' j eSwx — g-jTTx j 1 — e-2ï o ^=^eéirx_e-5irx o; 2e-9 —Sin.qxdx = 2 ^ c-(2»+l)y = -. (T. 282, N°. 2), (1895) 12. Dans les théorèmes II (143), (144) soit f{a;) = (1 +•■*')'> -^w = b ^lors (d'après les réductions do N". 6) : ƒ"" ^ . ^ f , / l+pCosx \^ Sin.axdx ^ " / »'\ l + 2;'Cos..r+;>'^)5'-Co.<:.lr/lmos. — ^^^ — 1 ^- =-^ \p", . 1896) pouv /) =1^ — '■> •^'' cause du facteur ti^^ — e— é^r comniun au\ dénominateuis et aux.iiiimciateurs des Cos.qxdx= 2 Cos. O' T , ƒ . Sin.qxdx = eirrx_|_e-è''ï ' e2?^e-2?^.2Coa.2r y eéJ^x .j. g-èirx ' o o e? — e— ï = 2Sin.i . (T. 382, N^ 3, 5). Soustravoz encore des intéijrales (1891) et (1892) e29+e-29^2(7os.2r ' ^ \ j \ i les intégrales t. 278, N". 9, 8 de Mctli. 4, N'. 11; il vient : Cos.qxdx = ' — ^-- , (1893) e2!rx_] ^ el + e-I— 2 Cos. p p-^ -\- q^ \ ' o /"^ el"^ J- e-P^ 1 e? — e— 9 q — ~ Sin.pxdx=^- — ^—-. (T. 282, W. 11). c27rx_i ' 2 e? 4- e-? — 2 Cos. p p' + 9^ o [39 i] Autrcment déduitc Mc'th. 31, N\ 2. [395] Comme on trouve d'unc autre maniere Mctli. 31, N'. 2. Page 638. ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. lil. W. 4i. N°. 1'2 f r f 1+pCos.x )jCos.axd.v ^ « /^\ „ ,,on, ƒ n+-2pCos.x+p'}i''Sm.ïr.\rccos.\ ^^ T".^ I ~=i:^\ \P '^- ^^^^ I l \\/(l+2pCos.x-\-p'))i X 2 « \«/ formules, dont la soinine doiiue : ji^ + ^^pCos.x+p^-^^Sin{ax+rArccoJ-^^^^ o Soit f{.r] = , A„ = J, alors suivant N\ 7 : /-- 1 -- p Cos.x S}n.axdx _^ ^ ^^^-P" n «y g) I 1-2/ " - " " ' - ip Cos. X -\- p- X 2 o 2 1 — p r gi"-^ ^^-^-""^'^ = " 1 p« = !! i^- . [396] (1900) j l — ZpCos.x + p''- X Zp a 2 1— p o (— 1)" , V , Pour /(.x') =Cos.x, (111 a A„ = — j;-^ — , et d'après Ie développemeut au N'. 6: r'" gpSin.x ^ g—pSin.x a f pjn ƒ Cos.{pCos.x).Sin.axdx = n^ — STT > (1903) ƒ .■!! tl 1""' "o /'OgpSin.x — g—pSin.x «, ( — ;j' Sin. (p Cos.x], Cos. ax dx = — n 2 p O pour f (x) = Sin. X, on a A„ = , donc suivant Ie N'. 6: (190-t) Sin.(pCos.x).Sin.axdx =71 2 , (1905) X ^' ' o 12"+i/i' ' ^pSiti.x g — pSin.x 50 f p\n ( "- Cos.{p Cos.x). Cos. ax dx = n^- — (1906) j X \f i ^^ I2n+\l\ [S96] Dans ces intégraU's siipposons p négatif et preiions ensuite la difterence et la somme des intégra- les covrespondantes, il vient d'apiès les forinulcs (n) et {b) de Méth. 27. N^. 8, pour /)* = ? = r go«--^ Sin.axdx ^ n - 2 + ,?I(«-U [ 1 + (-1 )"-' ] + qh- [l +(-1)"] _ (jgoi) o ƒ &«.^- ro..a2-d. _ n gH«-0[l + (- 1)^-'] + g»." [l + (- 1)«] ^ ^ ^ ^^^^^^ 1 — 25C0S. 2*-}-?* ■'" 4 1 — 9^ (7<^1); (lont la dmiière a dt^Ti été trouvce pour n pair Mi'tli. 17, X'. 'i, forui. (G4-4.). Page 639. 81 WIS- EN XATIL'RK. VKRH. DKK KOMNKL. AKADEMIE. PEEL VIIl. III. M"*". 41. iN'. 12, \ö. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Eniiu soit ƒ (.r) = c^, d'oii A" == - j > a^ors d'après la Note du N'. 7 : Sin. ax dx el'Oos.xCos.[pSin.x) = -.S— -p« , ' (1907) X 2 I) 1"'' ' „ Cos. ax dx 71 oo 1 ei>Cos.x l^in_{^p Sin x) =-.2" p« ; (190S) .e 2 a 1"' doiit la somme doune : ' ^ r ^ dx n CD 1 ir el' C""'^ Sin. {ax + p Sin. x\ — = - JS —- p" = - el' (1909) ƒ Daus toutes les iutégrales qui out leur origiue de la formule II, ( 1 44) on peut prendre a zéro, inais il ii'eu est pas de même dans celles qui dépeudent de l'équatiou 11, (1 4;3). Or, oii volt que daus celles-ci, pour a zéro, il faut leur óter Ie terme - Aj, c'est-a-dire, Ie tenne qui correspond a n zéro ; de sorte que daus uos iutégrales il faut soustraire -^ , ce qui rend les iutégrales (1S96), (1899), (1901), (1903), (1905), (1907) identiquement iiulles, tandis que les iutégrales (1898) et (1909) deviennent: ƒ" ff \-\-vCos v 11 dv T {\-\-2pCos.x-\-p'-)\rSin\rArccos.\- ^^^ ~\\ — = - |(l J^p)r—\\ . . (1910) I epCos:rSin.(pSin.x)~ = '^{cP—l). (T. 392, N\ 14). X 2 13. La formule II, (155) doiuie licu a Tapplieation suivauto. Soit ƒ (.e) = Arcty.-, donc 7 q . .,,... _/■(.»)= — ; lorsque nous contiuuous de dillereutier, il viendra (7^-l-^^)*'' pour dénomiua- 9^ 4- A-^ teur. Le passage ;\ k iufiui fera donc évanouir tous les teruies qui dépendeut de k, puisqu'ils out le coëfficiënt ~~rr , et que la fonction u intégrer nc pourra devenir iiiHnie avec k, mais devra C^b^ qdx ( 2/^ I rester fiuie. On a donc: ƒ /(l — 2/7 Cos.-v + p^) ^ = 2 {ircVj. — Arclij.')) /(l— p) + "o t dx f libnA-xiX 1 2bi: — ;ri\ f xi\ i — xi t 2bn +'7 e^pf'"'^- (~7~) + '^""^- \ 'f ) - •■^'■'•''^- ['g )-'^'''^-~\ = 2.4,-c/sr.— .;(l_p) + ' o } e^ — p\ \ii^ — X- -\- Zbnxij \q-—x'- — Ibnxij] q o +P I Arcig. — — ; = 2Arcfq. ./( l —p) + p I Arciq. —Ard^i. — ^ : o () Page 640. ET METHODES D'ÈVALUAÏION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III, 1\P. 41. N'. \ó — 1G. oh dans les róductioiis successives des Arctangeiites, on a snpposé qu'ils devaicnt rester positifs. Or, entre les üinitcs O et co de .r, Ie premier cliange de signe auprès de x = q, et reste négatif au-dessous de cette valeur; remplagons-le doiic par Ardg. — _ — pour Tintégration entre O et 7; •Zbn ƒ-'"' qdx 2b Jt f'1 dx l{l—2p Cos. X + ?j^) -:--, — - = 2 Arctg. . / (1 — ;,) - pjt / • + q^+x^ q ' e^ — p o "n f'" (lx f l+\/{x~qV\ /•i' + v\! + p I :^ \ Arctg. ( j—.hxtg. — — . Maintenant passons :\ la limite x de b, alors : o 2bn=vi ,Arctg. =Arctg. 3c=-, et Arctg. \^ Arctg ~~ -" =0,donc parl'intrérale (82): q 2 \ zbn j \ 2on j ƒ " qdx 1 — pe~'i l[\ — 2,,Cos..t-\-p-')--~-=nl[\—p) + 7,l^-'^ = nl{\—pt-'J). (T. 41G, N'. 7). [397]. q^-\-x'- 1 — p -^ ƒ/' 1 ijp (2 ^^) dy = — Sin. 2/w Z.V o ,^(2ti) (0) = 1, donc: / e-^-Sin.2px-~ = — 21/ u^ ;—---— (1911) J X o -Zn -\- l 1".' 00 15. Passons maiiitenant aux théorèmes (298) a (.326) qui se trouvcnt dans 1'addition B a la fin de eet ouvrage. Il s'agit de trouver de telles sujjpositions u IV'gard de 'F [x] ^ f {a -\- h e"'^) que les fonctions -{r(a;i) + i'( — xi)} et — {^(a'j) — P( — .w)} acquièrent des formes utiles, souinises a la restriction de 11e pas être incompatibles avec ie développement de Taylor; on verra que les fonctions uc sont coniplexes qu'eu apparence et que Ie facteur imaginaire s'élimine chaque fois de la fouctiou par des transformations simples. 16. Commenpons par cliercher quelques formes pour - {¥(xi)-\-'F(~xij] et ~{'F[xi) — F( — xiÜ, et prenons a eet eflel : /, (P) = P', a = a,:=aj=... = ], b = b^=b.^ = ... = l, alors : - {F{xi)-{'Y{—.ri)] = - {{l+e"y+([ -^-e-'^^'y} = Z'Cos^-r.v.Cos.-srx, (a) -.{F(xO-F(-^0}=2^{(l + c'''0^ — (l+c-'n1=2'Co,v'-r,r.&-«^ (b) [397] Autrcment dcduite Méth. 23, N'. 11, Jlétli. U, N'. 7. Page 641. 81* ie) lil. M''". 41. N°. 10. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, - {¥c{xi) + ¥c( — xi)} =^ 2,"^' ''^'Cos.' -^rx. Cos."' ^r,a:...Cos. («)' + .', r, +...)-a;|, . ~{Fc {.Ti) - Fe (— .-«)} = 2"^' ' "^■" ^'^^'■'~ '•■^- Cos.''-r,x... Sin. j(s r + s , r ,+...) y .r} . . Pour /"j (P) = P*, a^a^ = a^ =...::= 1, è = 6, = 6^ = . .. = — 1, on a : - (F(.ri)-1-F(— A-j)} =- {(1 — e'-^'Y -\- {l — e-'-^ós'^ =-Z' Sin.^- rx.Cos.i-sn srwV. . {e) - {F (a:i) — F (— o^J)) = -. {(1— «'■^O'— ( 1 — e-'"'')*} = — ^'^"-^ - r.v. Sin. i-S7T—-srx\,. . (f) --{Fc(.ri; — Fc( — arj)}== — 2 ' ' "Sin.*— rA-.Sen.' ' -r , a'...*!?»;. !(s4"*i 4"-) f '^ — (*''+*i'"i +-)f ■^'(■••(^') Pour ƒ3 (P) = P'', a ==a, = ... = a,j = a„^i=...= 1, b ^=^b , = ... = 0,,= ], 6„-|-i= è^+o = = . . . = — 1 , OU trouve donc par analogie : -{Yc U'i) + Fc(— .w)l ^ 2"^''"^'"''"''^'''''-Cos.'>-Ju-.Cos.'' -r, .r.... Sin.' -«.f. Sm.'' -u, a-... 2 l «^ V / 1 c\ ;j 2 2 ' 2 2 ' (1 1 1 ...Cos.^^{t+t, 4-...)-:r_(,r + s,r, -[-... + ^« + <,« , +...)-.r[, . . . . (t) - (F, tó) — F, (—.«■)) = — Z''^' ''^""^'^' ''^'Cos.^ - rx.Cosf > -r . x...Sin.'-ux.Sin.'' -u, *-,.. ...&•;,. •|(< + <,4-...)in -(.s,- + «,r,+...+i« + <, M, +...)- J (A) Pour ƒ4 (P) ==: e»l\ a = a, = . . . = I), i = 6, = . . . = 1, il vient: - {F(.W) +F(— .vi)} = -(fise"' _j_ ese-"') = e'Cos.r:rCos.{sSin.rx], (O -. {F(j;i) — F(— d'i)} =r-. ~(cs«"' — £*«"'") = e»t'o'-'^. •»»(.(« /Sm. ra), . •. (m) rti / 1 1 11 / -Ni ïCov.rx+.s, C'oi.r x+... ^ , r.. , .,• i \ ^ \ - |Fc (a'j) + Ff ( — xi)j =■ e ' ' Cos.{$ibm.rx -\- s^ biii.r, x-\- ...), («) ~{ Fe (•*-■'•/ — Fc( — ^i)} = é ' ' ' ' " Sl)i.{iiSin.rx -\- s^ -SiK. »• , a- + • • •) (<') Pour ƒ5 (P,Q) = P-e/'ti,a = a, = ... = a„= ],6=J, = . .. = è„= 1, a„+i = a„+2 = ..- = 0. 6„-|.l = i„4-2 ==...= I, 011 a: Pasje G42. ET METHODES D'EVALUATIUN DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ ^l\.N\ 16. - (i'(.w)+r(— .i'fj} = 2«ro.?.''-r.r.e'/Cospx(;o.9.L srw -\- g Sin.p.v] , (p) — .{F(.ci) — F(— .w)} = 'Z'^P'Siu.i-srx-\-r/Si]i.pA, (r/) — {Fc(.w') + i\{ — xi)} = ■Z^'^ ' ' '■■ Cos.^ ~ r x. Cosf > -r, «... A Z i ■ ■•e • • Cos. Usr + s^r^ -{- ...)--a:-\-qStn.px+i{fSm.p,x -{-... \,..{r) vCospx+? Cos.p XH-... o- 1/ I . ^ ^ 1 f 1 o- ■ 1 . , ...e ' -SiH. |(«r + 5, r, +...)-.y+56jH.p.r+,;, Sjn.p, A.4-... ...(s) = • . . = O, 6,1+1 = b„^2 = . . . = 1, on trouve: - {F(«i) +F(— a;j)} = 2^Sin.s-rx.ey(^°^P''Cos.i-sn srx — qSin.^jA, (t) — {F{xi)—'F{—xi)} = —2^Si7i.'-r.v.e* + *i+'- c- O' ■'. ^ qCos.px-\-q ,Cos.n ^x-'r—y^ ( . . ^ -|l'c(.r()-j-l<.(— a:i)} = 2 ' Sm.'^-ra.Sjw. '-»-,a:...e^ '^ '^i '' Cos.) (s-\-s ^ -{■...) ~n — — («'' + Si''i + • • .) A' — qSi7i.px — q^Sin.p^x — ...j, (i>) fT.i / ■> 1,1 / .,■> t'+^',+-" f,- ^ tT s, l qCos.px + q Vos.n .r + ...,-. f, 1 ,-.[l'c(-i'«)— IcC— >r«)}=— ^ iS'^»^.^-r,^•.5M. '-r,.f..e^ '"^^i ' ' ^ 6'w. («+s, -i-...) -ti — -— (s>' -\- s, r^ -j- . . .) - o; — q Sin. jj x — (/ , Sin. p , x — . . . > (w) Pour ƒ, (P,Q) = P''e/'Q, rt=a, = . . . = a„ = a„+i = . . . = a,„=],i,= i, =...=^,,= 1^ f'n = öfl+i = ... = l),„ = — 1, rt„+i = a,„+2 = ... = O, i„j-|_i = è„i+2 = ... = 1, il vieut: - {'Fc{xi) + Vc {-xi)} =2"'^' i'^-'^''^' '^- Cos.^ -rx. Cos.' ' -r, x . . .Siii.f-ux. Sin!' -u , x... qCos.px+q Cos.p x+... „ f 1 1 ) -e ' Cos.Ht^l^t^-\-...)-n — [sr-\-s^r^ -]r...-\-tu-\-t^ri^-\-...)-x—qSin.px-qySin.p^x-...\,.[x) ~.{^c{''<:i)—^\{—xi)]== — 2.'^'^^-"'^''^'^^-Cos.^-rx.Cos''-r,x...Sin.'-ux.Sin!'-u,x... 2ï '^ 'i 2 2' 2 2 ' qCos.px-i-q Cus.i) ,.r+... ^. il 1 1 -e ' ' ,9»,. (< + ^,-|_...)_;r_(«._l.,,,,.,-f-... +(u + t,n,+...)-^x-qSi,i.px-q,Sin.p,x—...\..(y) Page 643. lil. M^% 41 . N\ \(j, 17. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Pour ƒ3 (P) = i^^', a = O, 6 = 6, {b' < 1): 1 , ^ b Sin. rx — b^ Sin. sr.v 4- 6^+1 Sin. f fs — 1) rx\ ~{Y{.n)-Y(-xi)} = r~77^^^ — ~rT7^ — ' (««) 2t ^ J — 2o Cos. rx -\- o ' 1 p« cl'üii pour /g (P) = — , a = O, i = 1 : 1 1 f 11 Sin ' ST":» f 1 ) -{¥{xi) + 'F{—.ri)] =-| 1— Cos «)-.r+Sm.sniv Co«.-r,i-l, . {ab), = ^-^^ Cos.{(s—l)-rx} , . (ab) 2 2 1 3 J 5t». ^ ric l 2 1 1, „ .lï ^ll Sin. i srx „1 1 1 -{Y{xi)—Y{—xi)]=-\—Sin.srx-\-{\^Cos.srx)Cot.-r.i\,.[ac), = -— ^ S/n. (s— l)-rj ;. (ac') 22 2* 2 J (Sire. \rx ' 2 ) ] 4. p2s-)-l et pour /, o (P) = -~rp-, a = O, 6 = 1 : 1 , ] r 11 Cos. s-rx c 11 -fF(.ei)-f lY— .rij) = -1 l + Cos.2snr— 5i"n.2srjr.7>.-ral. fa(/), = Cos. (2s + l)-nrL. (örf') 2 -^ 2i 2 1' Cos-lrx | 2 ) 1, ,11" Il Sin.srx^ f 1 1 - (F(.w)— F(— a;0) =-|Sm.2«u-— (1— Cos.2«-.r)7V.-r.Bl, . (ac), = Cos. (2s+ lyrx] . {ael D'autres combinaisons 11e doiiiiproiit pas des formes asscz simples, pour nous être ici d'assez grande utilité. 17. Slainteiiaiit il ne nous inauquc pas de rnatériaux pour obtenir une grande quantité d'intégrales définics nouvellcs [398]. Ici pourtaiit nous ne preiidrons que quelques exemples, et nous clioisirons d'abord les théorèmes (306) a (309), (312), (313) ; les résultats contenant un facteur Si.{x) ou Ci.(x) seront bieu nouveaux et interessants de cette maniere. i^Jous y rencontrons les fonclions/(a-}-6c— ""'),/'(a -j-Z'e""'), f(a), f[a -j- be"'"], f(a + be—'""'), qui donc doivent être calculées pour chaque ƒ (P) du N\ precedent. Dans Ie cas de/,(P) on a : ƒ(«) = l,ƒ(a + 6e±'«O•=(l^-e*'"'|^/(a^-ie^""■0=(l+e*"''■*■ *= Z^ Cos.''~iiir.{ Cos.- smi' ±: i Sin.-sinr\: et pour un doublé r: 2^2 2 ' ^ 2 \ 2 2 , ƒ Cos.«r.r.Cos.sr.r.5i".(*) -*---- = ■-— {Ei.(—m) — Ei.{m)] {l 4- e~'^""-y (1912) •o /Cos.'^j-.r.Co.'i.sr.r. C;.(j-) = — ''^ Ei.[ — jn). f(l + e^">'Y +{1 -U e~'^""-y} = 7n- -j- X- 2'+2,;j <- o = ^— ^^ LV. (-?n). ((i«""-4-e--s""-)(«'«' -f e-""-)-- [399], (1913) [398] C'est ce que j'ai fait dans un //Mémoire sur une methode pour déduire quelqurs intégrales définies, eu parties très-gcnérales, etc." inscrée dans les Natuurk. Yerliandel. van de Hollandsclie Maatsch. der Wetenschappen te Haarlcra, 2'-' Vcrzam. Dl. XVII, encore en cours de publication. [399] Quand on differentie ces intégrales par rapport il s, et qu'on annule eet s aprcs (ce qui est Paije 644. ET METHODES ü'ÈVALUATlOiAl DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. iM. 41. 1N°. il. f Cos.^r.i:Sin..'rj^e-'»'y{G''"\ +ü-""-,)^..., . (1!)22) 2s+s,H-...+2,„ dx m'- -\- x"^ j Cos.^rx. Cos. ' rx . . . Sin. [{sr + * i '' 1 + • . .) a'} . )«, , (1934) o ƒ S^V^«r.r.Cos.f-S7r— «mLS2\(.?')— ^"— - =— -|2-'Ci\(wi) + S2\(to^ [403],. (1935) o /&in.^Tx.&\n\—sn — sr£\.&i.[x\ = — Sz.(»j\j — 1~^-\-&in.'mr.Cos\-sn — smr ) > , . (1938) \2 ƒ m"^ — x"^ lm ' \ \2 /) o /■"si 1 I . ^'^'*'' 1 Sin.^rx.Sin. ' ?'j a-.. . Cos. ' (s + s, -|-...)-7r — («r-f s,r, -f- • • •) ^ ■ 'S* ('^') — TIT — ï ^^ •o = — — '^ ^{E«.(— w)-K.(m)} (I — e-2"")»(l— e-2""-, )«,..., .... (1939) r s ( 1 1 o- ''•*' I Si)i.^ rx. Si?). ' r, te... Cos. Us -\- s, -\- . . .)-ti — {sr -\- s, r, -\- . . .)x>. Ci.{x) ^ — - = II -^ £ï\(— to).[(— l)«+%+---e(«'-+-^^+---!'«4-eHs'-+^'-,+"-)'«](e'"'-— «-»'-)«(e"'^— c-''"'i)^...,.(l94-0) 2s+«, ƒ t'o'c TT c""" e~""' ITg.-^n-.Si.Lv)—^^ =-{Ei(—m)-Ei.(m)}l ; (1931) o /zr<,.= r...a(..)— _^--, = -J'M-m).i—^—:;^^, (193-2) [403] La différentiation par rapport u s donnc, lorsqu'oii annule eet s ensuite : xdx [lSin.-'rje.Si.{x) ^'^''^ = n {Ci.{m].l2 + {mr — ^^7i)Si(m)), .... (1936) J m^ — A'^ o (ïl-ij. ' Tx. Si. (x) '"^'' , ^ - i 71 ^ Si. (>«) (1937) „. . . xdx d'oü par 1'iiitcgrale (191'J) Observons a l'égard de ces notcs [402] et [403] que lu combinaison par voie d'addition des iiitégralcs correspondantes ne donnerait que les intégrales primitives de ces notes pour 'ir au lieu de r, ce qui est en mcine temps une vcrification de notre procédé. Page 647. 82 WIS- EN NATTJUKK. VEIIH. DEK KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 111. M^*. 41. N'. 17. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATlOiV, p.............|.......>i,-.....,.,..,H... {Ei.{—m)—Ei.{m)] {{l—e~^""-y{l—e-^""-iY,...—\], . (1941) ^Siii.s rx. Sin. ' r , ,v ... Sin. 1 (s + s , -\- ...)- n — (sr -j- s j r , -^ ...).v\.Ci.{jr) = I 2 1 m'^ -\- .v^ o TT = -— £'i( — rn].{{ — l)s+s,+...e(sr+s^r|4-...)'n— e— («'■+«,'•,+•••)'"} (e»»- — e-»»)» (e""", —e- ""■,)«,. ..,.(1942) ƒ 00 -1 7 Sin.^ rx. Sin. ' r-, ar... Cos. j(5 + s, -}"•••)" '^ — (*'' H" ^i ''i "h- •O'^'l-'^'- (■'') — ^ " = = 1 2-s— s ,— ••■Ci.(?«) + Si.{M).Sin.^mr.Svi.^ itnr , ...Sm. | (s + s , + ...)-7r — {sr+s , r , -f-...)m | j ,.( 1 943) ƒ00 ' 1 ^ Sin.^ rx. Sin. ' r , .f . . . Siii. \{s -\- s . +...)— ti — Isr -\- a. r. -\- ...) x[.Si. (x) — — = = — ASi.(m).j — 2~^—^ i—---\-Sin.^mr.Sin.'' imr ^.,.Cos.\{s-\-s j -{-...)— n — («''+«, »'i 4'--)'^| l- (1'^'^^) Pour ƒ3 (P) on a par la combiiiaison des réductions précédentes : ƒ" il i xcLv Cos.^rx.Cos.^^r.x..Sin.iux.Sin.'iU.x...Cos.\(t-\-t. -\-...)-n — («»'+« i»', -\-... + tu-\-t.u . -\- ...)x { . Si.{x) — — = ( 2 ) m^-\-x^ o ,{£!.(— ?n)— £i.(ni)}(l + e-2""-)*(l+e-2"»-,)«, ...(l—e-2»'«)'(l_e-2'n«,)', ...,. (1945) dx ƒ00 -1 Cos.^ rx. Cos. ' r , x... Sin.'icx. Sin.' 1 u , .«... Cos. \{t-\-t,-\- ...) - ti — («r-j- s , r , -|- ... -f- ^m + < , " , +...)*■ | .Ci.(.r) w*-)-,»" 2»+«,+...+<+<,+...+2^ V ; \v > • II -r 11 j (emr.!. (;-«'-\-s^r^ -[-•••+'" + ' i"i -\--)j:\-Ci.{x) — ^ ^ = O = 1 f(_ ly+f +... g[sr+s r +..+tu+t u +...)m _ g_(.,r+sr +...+/«+', «,+•••>) 2S+S, +...+<+', +...+2 l^ '' ' ' ' ' ' 1 ■ J («""■ + 6— ""•)■' (e""-, -[-«"""■ i)*i •••(«'"" — c-"'")' (C"", — e-"'"!)'! .. ., (1948) xdx ,2 ...ï m' — ic' ƒ Cos/rx.Cosf^ r , x...Sin.'u.r.Sin.' lU , x...Cos. ](< + <, +-]-^ — (•'"'+«, r , -|-...-{-<"4-«, ;<, -t--)-" ! • ^/.(a') o = — - l2 — '—»i— •••'—',—■■■ Ci.(w)-|-Sï.(M).Cos.'mr.Cos.'i wir, .. .Sin.'mu.Sin.'imu^ . . ,Sin.\[t-\-t^ ■\-...) — it — — (sr + s, r, +... + <« + «, M, 4-...) Wij], (1949) /Cos.^rx. Cos. ' r ^x...Sin.'uiC.Si».' lU ^x...Sin.\{t-\-t^ -}-...)— ir — (sr-j-Sjr, -[-...-}- <«-}-<,?{, +-)'^! •'Sï.(.ï) — = o = — Si. (ot).I — 2—^—^^~■■■—'—', — ■■■4-Cos.^mr.Cos.''^mr,.,.S^n.'m^t.Sm.'^mll, ...Cos. \(t4-t, 4-...) - n — 2ni i- ' ' / 2 — («'• + «, ''i +... + tu-[-l^ u, +...),„!] (1950) 1 S. Dans Ie cas de f^ (P) on a ƒ (a) = e\ f{a -}- be'^"") = ««e*""", ƒ (a + be^""'') = e'«~'"''' = = c«Cos.OTr I^Cos. («&'?). mr) ± ?AS«i. (s/Smï. jnr-)}, et par conséquent: e^Cos.TxCos.(sSin.rx).Si.{x)~-^—^ = - {Ei.[~m) — Ei.{m)} e'^ , (1951) 0 m +.t 4 ƒ'" dx n e^Cos.rxCos.{sSin.rx).Ci.{x) = Ei. (_»,). (c'^"" + e'*"""") , (1952) m^ 4" ^■' 4to o ƒ 00 1 gsCos.rxSj,i.(s5z"n nr).5i.(.«)-^;-^^ = — (E. (m)— Eï.(— m)} {e«~"" — e*}, (1953) o 1 esCos.rxA'n.(sS'?'n.r.4 a'. (.r)— ^ — ^ = - £;. (_m). (e^^"""' — e««""j , (1954) o /V dx TT esCo..rx<;os.(.s&V(.r.r).S/;.(.r) --" = -\—Ci.{m) + Si.{m).e^Cos.mr Sin.{s Sin.mr)], . (1955) m- — X- 2 "- ■' o Page 649. 82* lil, l\P. 41. N'. 18. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, esCos.rxSin.(sSi7i.rx).Si.{x)—^ r = Si.{m).[\—e'Cos.mr Cos. {s Si>i.mr)'\,[4^04^'], . (1956) m^ — x^ 2m ^ -" o esVos.rx+s^Cos.r^x+...Cos.{sSiu.ra: 4- s, Sin.r.x-{- . . .). oj. (x) — = o = ü (£i. (_,«)_ £i.(m)} c«"""'+^ «""''+•-, (1963) 4 ƒ" c/a- gsC^5.ra:+S|Cos.r,a:+... (7os. (s5iH.»-X+.S, «SiH.)', a: -f- . . .). C». (u;) "j-'T — ' = "' "T '^' O ♦ = -^£i.(—m). {e««""+^«'"'''+-+e*«~""'+s, «"""■'+•••}, . . (1964) 4ot gsCos.rx+s , Cos.r ji-l-... 5j,j. (« gin. rx 4- s . Sin. r . £ -\- . . .). Si. [a:) — — = OT'' -J" * o = — {Ei.{7n) — Ei.{—m)} (e««"""4s,€~''"'+..._gs+s_+...J^.. (1965) 4w ƒ00 ^ dx esCos.rx+s ^Cos.r ^x-r- Sin. (s Sin. rx A. g, ^""' Sin.{sSin.mr -\- mr), . . . (1961) m^ — x'^ 'Z o ƒ" dx TT e'»''ye'^ Sin. {{sr -\- p) x -\- q Sin. px^ . Ci. {x) xdx m^ -^ x^ -Ei.{ — m).{eï« "''—smr—mp g?e'"''+s»ir+mpj (gmr _|_g-mr)s^ . . . (1978) xdx ƒ* xdx Cos.* rx. É?(^"s-/'^ Cos. {(sr 4- p) x + O Sin. p.t] . Si. (x) — r = = —Si{m).Cos.^mr.e'l'^o^-"'PSin.[{sr-^p)m + qSin.mpi}, (1979) dx m^ — .r^ ƒ Cos.' rx. gïCos.;)! Sin. ([sr + p) a' + 9 Sin. p.v} . Si. {x) o == — Si.{m).Cos.^mr.e'}'^'>^-"^P Cos. [{sr-\- p)m-\- qSin.mp) (1980) 2m Piiis repiésentons p -i- sr par f, ou i est généial, sauf la condition t~;^sr; éliiuinons p également de la valeur de l'intégrale, annulons lo i] et nous auions : Page 652. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'"'. 41. N'. 18. ƒ Cos.' rx.Cqs.'i r, «...eït'oi.pï+ï,Co«./)|i+... Cos.[{sr-\-s^ r, -\- ...).l;-\->]Sm.jlX-\-^^ Sin.p^a:^ ...} . o .Ci.Lv) — = — —-M.i—m). («9e"'''+y, e'"'''+..+(*^+i, >■+...)'« + 4-e7«~"'''+7,e~'"^'+--(*'-+«,'-l+..)mJ (gmr _^e-mr)i(gwi/-, _j_g— m;-,^*! ___ ...... (1988) Cos.^ra.Cos.'', r, a;...e«'^'''*-/'^+9,t'o^/',a:+...i'i„.|(s,.^5^,._ +...).v+g Sin.px+q, Sm.p. j:-\-...}.SL{x)- — - = o ^Cos/TO.Cos.*,r, j?...eï<^»''/'ï+v,CM./^,i+- .Sm.{(sr+s,r, +.. ).c+9.<>in.^.'c-J-»)] {c""--i-e-""-ye-">i, . . . (1981) ƒ Cos.^rx.Cos.tx.Ci.{x)~ ^= ~Ei.{ — m). {e"'' -\- e-""} [e""' -\- e-'"»']^, (1982) o ƒ Cos.«rx.Si)i.tx.Si.{x)~- == {£i.(7ii) — Ei.(—m)] f (e^'+e-^O^e""''— 1), . (1983) J m'- -\- x- 2'+- m ' ^ j ' V / o ^X cl'ïj TT Cos.^rx.Sin.tx,Ci.(x) '- — = Ei.( — m). (e— "■' — e'»') (e""' + e^""')*" (■1984) m'+A'^ 2^+2 ^ ' ^ / V -r ; . • vi^o-*; o /tCdiJü TT CosJrx.Cos.tx.Si.{x) = - Si.(m). Cos.^mr.Sin.mt, . . . .' (1985) 1) /Cos.^ rx. Sin. t X. Si. (x) = — Si.{m).Cos.^mr.Cos.mt (1986) w^ — x^ 'Zm ' I) Page 653. UI. M"*". 41. N\ 18. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ƒ Co.O ra-. Cos.* i9-| ,f...e?<^<«-;'J+7,C'o«-/'iJ;+- Cos. {{sr-\-s r^ -\-...)x-\-qSin.jyx-{-q. Sin.p. x-\-...].Si.x — = ƒ m'- — A'* o n = - I — 2-«— «,—■•• Cl. (m) +&'. (m).Cos.« »?)»•. Co«.*i»?ir,... e?'^'os'"/'+7, Cos-™/', +••• -Sin. ((«?■ + s,r| + . .)m^ -\- qSin.mp -\- q^ Sin.mp^ -(-•••}]> (1991) ƒ Cof:.^r.v.Cos.^ir^ A'...e?C''«7'^+?i<^'<''f7',i+-&k{ (sr+s,r, + ..).'t:+^Sin ;w+<7, Siw.p,a'+.. '\.Si.{x)- = ƒ m- — X- 0 == — Si.{m). [2— «-•* ,— ros.* jnr. Coa.^ 1 7?ir , . . . cïCos.m/j+y ^ Co^.wi/j j+... Qos. {[sr + s , r , -|- ...)»« -j_ -j- qSin.mp -\-q^ Siyi.mp, 4-...}], (1992) Pour /e ^P) 011 a : ƒ («) = e'i,fia+be^'"r) = (1 _e±mr)i! e<)«^'"'',f{a + 6e±'ni) = (1_ e±.'''"y^ gqe ~ '"'" __ Os gins _ ,n?'.eï Coi.m/j | Cos. i—STi smr — q Sin. mp | rp i Sin.], -sn smr — q Sin. mp\\; pour uu r doublé ou trouve par conséqueut : ƒ" ^ /l ^ \ •«'^* Sin.^ rx. e^Cos.px Cos. \- sn — srx — q Sin. px \ . Si. (x) = o = -^ [fi.i- 771) — j;i. {?>,)} (l — e~^""y e'i''"", (1993) ƒ Sin.^ r.v. e?Cos./'x Co.-i. i-sii—sr.v — q Sii). px ]. Ci{x) — = ~ Ei. (— m). {(1— eS»")* eï«'"'' + y \2 / 77i'^-\-x'- i^+^m o ^ (l_e-2,»r)sg7e-'"''J = --^L^iY. (_,„). {^ (_]).•.■ c7<:'"''+s'«'- + c'/''""' -■"»'■} (e™'' — e"»')* . • (199i) r n ■ /i \ . d'^ I Sin.^ rx. el"<>^P^ Sitt. \—sn — srx — q Sin. px ] . Si. (x) = o = ^" [Ei. (— m) — Ei.(ni)] [(l—e-^""-y Cl''"'' — c'i} , . . (1995) r . . . /] . \ . ^dx ƒ Sin.'' 7\r. ÉïCüs.pa: 5m.l — s;r — srx — q Sin.px . Ci. {x) = J \2 / 7n''-{-x'- 0 = -^^m.{—m).{{—iyeie'"''+^»"-— el ''"''-'""■] {e''"- — e-""-y,. . . (1996) ƒ"" . ^ fl . 1 . •'«dx Sin.^' rx. c'/CV'-'P^ Cos. <~sn — srx — o Sin. pxt . Si. [x] — = [2 ï Z' J V ^^^2__^i -Fa-^Ci. (m) + SJ. (»n).5i«.*»ir.e'yt.'os.m/j5/,j _j;j_s,„,. _,y5j,i. „i^,J j^ (1997) Page 654. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÈFINIES. lü. M'''. 41. N°. 18. ƒ, /l ^, \ , dx Sin ^ rx. el^'^'^l'^Sin. \-sn — srx — o bin. px . Si. {x) — = \iJ / in' — .r^ o = — &'.(m).[ — i-'f+Si7i.'^mr.e'}(''<'^-^''PCosA-sn — smr~qSi7i.mp\y [406], . . (1998) [400] Ces formules pcuvent encore être différentiécs par rapport a q et donnent ainsi : ƒ" „ fl .1 xdx Sin.^ ?\r. e? Cos.px Qqs^ '^—sn — [sr ■\-p)x — q Sin. px t . Si. [x) = o = ^^{Ei.{—m) — Ei. {m)}{l—e-^'n>-ye^i ''"''-'"/>, (1999) /•* fl o- 1 /^. . <^^' I Sin.^ rjt. e'l Cos.px Qqs. \-sn — [sr 4- p) x — q Sin. px ] . Ci. ix) — = o = -r^ — É";. (_?«). ((—1)' e7e'"^+(«-l-p)'« -f e9e-"'M'"-+P>«) («'«'■ — e-""->' (2000) l Sin.^rx.e'iCo^-V^ Sin. {-sn — (s7'-|-»).t' — qSin.px) .Si.ix) — - — , — : = / (.2 ) m^ -\- x' = ^-' {Ei.{—m) — Ei. (m)]{il—e-^""-yel^'""' -">!> — el}, (2001) Sin.^' rx. e^ Cos.px Sin. l—sn — (s?- -|- rA x — q Sin. px] . Ci. (x) — - — , ~ = (2 j m^ -\-x- 0 z= -^^ Ei.{—7n). [{—\y e'i'''^''+("-+P'"' — er~"'''-(^r+p)m^ [e"»- — e-""-y , (2002) ƒ* r. (1 . I . , A'f^A- Sin.^ rx. elC»^ /'■«• Cos. {- sn — (sr -\- p)x — q Siii. px . Si. [x) — = 12 ) m^ — X- o = — —Si.{m).SLn.^mr.elCos.>"pSin. '~STz — {sr-\-p)7n — qSin.mp\, (2003) ƒ" (1 ] . Sin.' rx. e^Cos.px gin. {- sn — [sr 4- p] x — n Sin. px } . Si. (x) (2 j : dx in ' — X - =^ Si.{m).Sin.'inr. elCos.'iipCos. ~sn — {sr-\-p)m — qSin.inp\ (2004) 2 m 2 ) aiors ; Puis anmilons q et prenons .sv -[-;*=', Ou nous avons t^ sr\ a! f Sin.'rx.Cos.l^-sn - Lv\ . Si (.«) - f- "^ = "^ïï (^'- (- "O — ^^•('»)} (e""- — e-'"-)' e-'"', . (2005) J \2 / m^-|-r^ 2*'+- 0 Page 655. ö8 WIS- EN NATri'llK. VERH. DKU KONTNKL. AKADEMIE. DEEL Vlll. III. i\P. 41. N°. 18. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ƒ00 1^ Siti.^ra;.Sm.^ tr ^x...e1Cos.px-\-q ^Cos.p ^x+... Cos.Us-^s^ -\-...)-n — («»■+«) r^-\-...)x — qSin.px — g, Sin.p^ x — ... I . O xdsS TC I Sin.'^rx.Sin.'^tr^ x...el^''^-P^+1 i^°'''-P \^'^"- Cos. \{s-\-s^ +...) -n — (sr-|-."!, »',+•• )a' — qSin.fx — q^ Sin.p^x — ... [. o Ci{x) = "^ Ei. (—«O- [(— 1)'+",+- 69'='"''+?, «'"'''+-+(«'-+^'-, +•••)'« + m^ -\- x'^ 2*+*,+-+2to ^ 4. e?e-"'^+?, e-»/", +...-( sr+5jr, +...>«] (e»»- _e-„»)s(g«,r^_e-mrj)s,..., (2012) ƒ Sin.^rx.Sin.'<^r^ «...e9<^<'«-/'^+?, Cos.p ^x+...Sui. {s-{-s, -\-...)-n — («J'+s, r, -\-...)x — qSin.px—q, Sin.p , cV— ... j . "o ...eïe~"'''+?,^~'"''>+ ev+?i+-}, (2013) / i.^ r.r.5m. I -STi - te j. 5j\ (.ï) ^-— -^ = ~^^J£'^f_m)_£'^(;n)] [(e'«'-_e^^^^ o / / 1 \ XClüi TT j Sinj rx. Sin.\-sn—(x\ . Ci. {x) ^^' - = — Ei. {—m). {(— 1 Y c»"— «-'«'} (e'«'-_e-»»)s^ , (2(joS) o I Sin.^rx.Cos.i-sn — t.v\.Si.{x)~ — '-—^= Si.{m).Sin.^mr.Sin.i-s7i — mtV ..(2009) o ' / Sin.''rx.Si7i.{sTi — txySi.{x)—^-^—^==--^Si.{m).Sin.^7nr.Cos.i-sn~ml\. . . . (2010) O . Pa^e 656. ET METHODES D'EVALÜATION DES INTEGRALES DÉFINIES. III. M"*". 41. N'. 18. |Sin.'rx.S^n.^lr^ x...elGos.px+q ^Cosp^.T+...Cos. j (s+s, +...) ~n—{sr-\-s^ r, +...)x—f/Sin.p.v—t|^Sin.p^x—...L •'o 'fdx n r 6j. («) — .- = \Z-'<—^x—-Ci.{in)-\-Si.[m).Sin.^mr.Sin.''iinr, .. .e^-P^+^Pi^+- Sin. \{t-\-t, -|-...)-7r — o — («r-f s, r, -f-...-|-/«-|- > —e?e~"''+?i«~"'i +•■•-(«'■+5, r, +...+ («+/, u,+..0'«](emr_j-g—mrjs(gmrj -f g-«irj)s,...(em«_g-)«Mrem!(,^ ■ /"" 1 ƒ Cos.^rx.Cos.^lr^.v...S^n.'ux.Sin^lU^w...e'lCos.px+(i^Cos.p^x+...Cos. !(< + ', +...)-7r — o , , , , 1 xdx — («r + s,r, 4-...4-^-"'P+9 iCos.mp ^+... Cos.^{t-\-tj+...)-n—{sr + s^r,+...-\-tu-\-t,u,+...)m—qSin.mp—q^Sin.mp,~-...\].[M7].(-Z0-Z2) [407] Difterentioiis ces formules par rapport ;i ([uelque tja et aiiiuiloiis ce cja après: alors il n'eii rt-ste pas de tracé sinou dans une partie de l'argiiment (sr + ó", 'i +...+tu-\- «, «, -|- .. . -f- qa) sous Ie signe Shius ou Cosinus; faisons a = sr+s, r, -|- . .. -^-tu -\-i^u,-\- . . . -\- i xdx TT — ax—qSu/.px—q^ Sin.p . x—...\. Si.(x)~- = iEi.(—m) — Ei.im)} («""■-}- e-'"')' («""■, +c-'"'-,)', ...(e""'— e-'"'')'(e'"",— e-""',)',...cï«~'"''+?i<ï~'"''i+--n'", . (2023) Pase 658. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. i\I. 4i. N'. 19. 19. Maintenaiit avant de nous occuper de ƒ, (P), passous d'abord aux deux suivantes; ƒ00 1 Cos.^rx.CosJiV, j;...Sin.'Hx.Sin/xU, x . . .elCos./^x+g ^Cos.p^x+... (j^g i(' + 'i+...+ am ^ <>ïc~"'^+je~"'/', +...— awil (^gmr _|_ c— "")« (e""- , -|- e— mr ^ )i , __ ...{e'"" — e-'"")' {e'"",— €-">",)'!..., (2024) ƒ Cos.^rx.Cos.Ur^ x . .. Sin.hl.x.Sin.'lU^ x . . .e<]C''s.px+q ^Cos.p ^x+... Si„_ \{t .^i^ ^...)_^ — •o i _ (lx n — ax — qSin.px — q, Sni.p, x — ... . -SV.. {x) — = — \Ei.{ — m\ — Ei-imSS |(emr_^g— Mrji^gwirj_^g— mr,jjj_..(gm« — «— "i!')'(e'««,— g— "'«,)'|...(;7e~"'''+V,e~'"'', +.-— aH!_e7+9|+... i (2025) / Cos.'rx.Cos.\r^ x ...Shi.'ux.Sin.U u^ x . . . eQ^'^^-l'^-'^+'i ,'-'"^-P i'+- Sin. \{t + t, +...)- ti — ■o C. o I /^ ^^'"^ ^ — ax — q Sm. px — q, Sin. p ,,»; — ... . Ci. {x) ~~-—^ = „, , , . . , . , . ^^ Ei. (— m). J(_ ly+l^ + ...e■ s?' -(- •' i '" i 4" ■ • • "1" '" "h ' i " i "!"■•• Page fi.59. lil. W'. 41. N'. 19. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRAiVSFORHATION, 1 — ei*""' 1 __ e±:smr/' t\ (P) donne /(a) = 1, /(a + 6e±'«') = -— r— ^ , ƒ (a + 6 e*»") = : = 1 — eiw 1 — ^■±.mn == - j 1 — Cos. smr + Siti. smr. Cot. ~mr\ q= — | Sin. smr— (1 — Cos. smr). Cot -mr\. Donc pour ir au lieu de r, les doubles développemeiits dounent ici: /'"Sin.srx ^ , , xdx n , 1 — e—2smr Cos. {{s—l) rx] . Si. {x) — — — - = -{£"».(— m) — Ei. [m) \ -— , . . . (2029) o = - ƒ \l — Cos.2srx-\-Sin.^srx.Cot.rx'\Si[x) — ^-f— (2030) " j m^ 4"^^ o ^'"Sin.srx^ ., ^ ^. dx n ^ fl — e-^""^ 1 — e-2*""-) -— — Cos. {{s—\) rx). Ci. lx) ■ = — Ei. (—m\ + 1 = Süt.rx ^ ' ' ^ m*-f.t!2 4m ^ ' ( 1 — e^""- ^ 1 — e-2''"-j o n 1 — e-2mr -f e(i-l )2mr — e" ^'«r = —Ei.{—m) ^ , (2031) 4m 1 — e- 2""- ^ ' = - I [l — Cos.Zs rx + Siii. 2s rx. Cot. rx^ Ci. {x) —^ — ;;- , (2032) O ■'^Sm^srx dx ^ cc,., , ^. , m f 1 — e-^ /Si7l.srx „ ^ , dx n fl g—'ismr ) " Sin.{{s-\)rx].Si.{x) ~~-^ = ~{Ei.{m)-Ei.{-m)} \~ 3— -1, .(2033) bui.rx m* -f-.r- 4ï« ■ ■" (.1 — e -""' 1 o 1 /" P dx = - ƒ [— &«.2s ?•*• + ( 1— Cos. 2s ra) 60/. r.t-l5t.(a;) ; — -, (2034) •^0 "^ --Sin.{{s-\)rx).Ci.{x)-—— = ~Ei.[—n,)-^ , . . (2035) o = - ƒ \—Si».2srx-\-{l—Cos.2srx)Col.rx] Ci.{x) -^-^ — , (2036) •'o ^ — Cos. Us—l) r.i} . Si. .)•) ' = tCi. (m) 4- Sm.rx "• ^ ^ m' — x^ 4 L ^ ^ ' o + .SÏ.(?n). {&■»!. 2s //ir— (1 — Cos. 2s mr) Co<.?wr}] (2037) = - ƒ [1 — Cos.2.tr.r-f 6Vn.2sr.r.Co<.ra'lSi(j) — ^-^^^ — , (2038) ^ J ■' m^ — x^ o ^'^Sin.srx^, ^ ^ dx n ^ -7— Siu. {(s — ] ) j-j;} . 5«. [x) -^ = ~Si [m). [l 4-Cos.2s mr - Sin.2s 7nr.C0t.mr] , . (2039) o *"■'''' "* ~"'' - 1 [— Sin. 2s r.r + (1 — Cos. 2srx) Cot.rx] Si. dx )~ 7 (^040) m^ — x^ Paae 660. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 41. N°. 19. 1 4- e±(2*+l)mr Encore /lo (P) donue f {a) — ], f [a -\- b e±'»'-) = — , fla + be+""-') = 1 -j- c"t""" l+e±(2.+i>«n 1 ( ^ ^ l ) 1 ( II et par conséquent pour un r doublé: ƒ "7, ^"S. {(2« + 1 ) r..} . 5/. [x) -TT~T = 7 {^'- [-^n)-Ei. (m)} - ^^ , . (2011) o ^— ƒ [l -\- Cos. 'i-s rx — Sin.'Urx.Tg.ra!\Si.[x) — '- — '- — , (2042) 2 _ƒ ■- -" 77(2 ^ ^2 ' ' o /*C0S. 2srA' , , dx n 1 l+e(2J+l)2fflr l _l.g— (2* + l)2mr1 ^ (7os. (2s+ 1 ) r x\ . Ciix) — =- — EU—m) ~ + ^ — = Cos.rx u -i / i ^'m^-{-x' 4m ^ '[ l+e^""- ' l-\-e-2mr j n ^, 1 + e— 2nir _|- e4imr _j_ g— (2«+l)2H!r ^ T / |1 +C'os. 4sni — Si7i.4s>v;. T(7.r.ïl C'i. (a-) '- C2044') 2 y •- ^ m'^ -\- x' ^ ' o /'"iSiii.2.i.2srx dx n 1 -^ Cos.UZs+l ]rx] . Si.{x)——- = — \.Si.'m).{l — Cos.'ismr+Siii.4'Smr.rg.vir] 1.(2051) J Cos.rx ' ' J ^ 'm^—x' 4?n'- ^ ^ JJ' ^ -' o = - / [sin. isrx — (1 — Cos. 4,« rx) Tg. ra-] .Si. (x) J /■ r „ _ „ , dx (2.052) m' — X o Page 661. III. ]\P. 41. N'. 19. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, Dans les intégrales (2029) a (2051) nous avons toujours ajouté la secoude foime (2030) a (2052); c'était afin d'en élirainer certains termes et d'obtenir ainsi une integrale monöme plus simple ici. Or, nous pouvons déduire de Métli. 20, W. 1, 2 les intégrales: / (1 ± Cos. ax) Si. (x) ^2 2 "^ I f ^ ^^- (~ '") ^ ^~""' {^'- (~ '") ~ ^'- v"») } J ' o /(l ± Cos. ax) CL (ir) -— — _ — - = -- (2 ± e""' ± e-<"«) J«. (— m), et nous y trouvions : o ^[M.{mi—Ei.(~m)}, I Siii.aa:Ci.[x)-^^ — =^~(e-<">'—e<">']MJm): o o ainsi que Méth. 20, N^3, 4: ƒ (1 ± Co«. a.ï) 5(". («) — '^:-^^— = -f— «.(»«) d= «.(m).Si?j.aml, y m^ — .r* 2 '^ -• o /QO j &'n. f^A'. &■. (a;) --^^ — = — -—Si.(m).Cos.am. Par leur introduction o nes intégrales deviennent, puisque 1 — Cos.2ax ■=■ ISin.'^ax: Sm.%sr.v.Cot.rx.Si.{x) - -^~- =-[{ Ei.{-m)-EL[m)} ^ZZ^Z^r " 2i^^M-'«)],.(2053) o /dx n 1 -\- e~2»»' Sin.Zsrx.Cot.rx.Ci.{x)-~~-_ — - = — 2Ï. (— ni).(«2^""- — c-2^""-) — ' , (2054) m* + X^ 4m ^ — 9mr ^ ^ 1 _ e— 2mr Sj«.^"!r.T.(7o<.ra:.-Sf.(«) —— — - = — (Ei.(m)—Ei.(—m)] ,.(2055) m^-\-x^ 8m '■ ' i_e-2/«r '^ ' o ^ïH.^c^nr.Co/.r.r. C/.(a; -T, = £i(—m).i2 — e^'>""-—e-2'">') — ' , .... (2056) m-+,F' cS 1 g— 2mr ^ ' O I Sin.2srx.Cot.rx. Si. (x) -„ -- - = n Si. (m). Sin.'^ smr. Cot.mr (2057) J m^ — a-* ■ ^ ' o ƒ«> j Siri.'* srx.Cot.rx. Si.{x)~ = '^~- Si.(m). Il — Sin.2s mr. Cot.fnr), (2058) m' — x^ 4m o Stn.4>srx.Tg.rx.St.{x)~-- -= \2IX{—m)-{Lu(m)-Ei.(-m)] - „ 1,.(2059) ƒ00 5in. 4s ra;. /^. rx. Ci. (x) —— — - = — Ei. (—mi), (e— »««'• — e*'""-) , . . m^ +x'' 4m ^ ' ^ ' i , g_2„„' (2060) -j- e-" Page 662. tT METHODES D'ÉVALUATlüN DES INTÉGRALES DÉFINIES. III, M'''. 41 . N'. 11). /^ d:e Tt Ze — 2"""-4-e — 4*""' e — (2s+i)2»ir -Sjh.ï 2sr.r.7cr.nc.5?.(.r) ------ = — {^'/f— m)_Z? H) -^^ , . (2061) m^+.v^ Sm^ ^ " i_(-e-2;«7- ' ^ ' o /°° a;(?a' "^ r 1 — g— 2!nr ozH.- 2srx'la.rx. C'i.Lr) ^ — /i?. ( — m) { — 2 + e'*^""' + g— 4«nA ^ (2062) o /Sin. '\:srx.Ta.i\v. Si.{.T) = n Si.{m). Shi.'^ 2smr. 7'tt. mr, (2063) m- — ,r^ (1 /°° , dx n , Sin^ 2srx.[ff.r.v.Si.{.v) - — -^ = — — 67. (jn). {1 -|- 5?». 4iïïir. Tg.mr). [40S]. . . . (2064) o \ Js Q-±smr Enfiii nous avoiis la fonctioii /g (P), qui donne /(a) == 1, /(o -f" ^«^""') = . 1 — h e±""' 1 _ is (.-^smrl 1 — 6e^^'"" [l — h Cos. mr — i«C'os.sm?'-f-^'''"' To.?. ((s — l)77ir|]-|- i\hSin.mr~h^ Siii.smr-{-b^+^ Sin.[{s—l]mr}^ 1 — 2b Cos.mr-\-b'' ' par conséquent, quaiid uous mettons 7 pour 6 : [408] Les intcgrales (2053) a (2058) (lorsque nous y aurons remplacc s par 2s) et les autres (2059) a (•2004) pRUvent ctre combinées par voie d'addition, puisque Tg.rx-\- Cot.rx = % Cosec,2 rx\ puis pre- nons r au li'eii de ir, c-t nous aurons: ƒ"" , „ xdx n , , 1 — e— 2s«ir Sin.2srx.Cosec.rx. Si.{x) = - {Ei.{— m) — Ei.(m)\ , (2065) o ƒ* dx n e2«nr — g— 2««i- 5!7J. 25 ra. Cosec. 7-.Ï. C?. (*■) = — Ei.(—m) , (2066) o ƒ" dv n 1 e — -•'""' &"ii.'sra Co.^ec.r.«.S/.(.r)-— ^ = — {Ei.{m) — Ei.{- m)} , (2067) o /°° xdx n 2 f,2smr g — ?«rar Siti.'^ srx.Cosec.rx.Ci.Lv) z=-Ei.( — m) ^ , (2068) emr — g—mi (2069) ƒ xdx Sin.2srx.Cos(c.rx.Si.[x) = n Si.Un). Sin.'^ smr. Cosec.inr, m- — .r^ o /Sm.' srx.Cosec.rx.Si.[x)~ = — — Si.{m).Sin 2smr. Cosec.mr (2070) m' — x'^ 4m o La combinaison par voie de sonstraction ne donne que les prcraiè-res intégrales pour 2r au lieu de r, puisque Cot. rx — Tg. rx ^ 2 Cot. 2 rx. Page 663. 84 UIS- EX NATUrilK. VERH. DER KOXINKL. AKADEMIE. DEEL VIIT. III. W\ 41. N'. 19. THEORIE, PROPflIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOJN, ƒ"] — qCos.rx — q^Cos.sr,c-\-q^+'^ Cos.Us — \)rai\ xdx 1 — 20), et / Sin. p.x dx / f{y) Sin. .vy dy = ^f (p), (^> 0), o o "o o que Ton a déduites au N'. 61 de la Première Fartie, doiuient lieu ü un grand uombre d'inté- grales définies : eu effet on n'a qua y prendre ƒ (?/) telle que rintégratiou par rapport a y puisse se faire, et Ton trouve immédiatement deux iutégrales délinies ïl valeur - f (p). Comme cette application n'oft're pas de difficultés, et qu'elle reproduit en général les integrale?, que nous avons déduites par d'autres methodes, nous nous contenterons ici d'un seul exemple [409]. 2. Prenons en premier lkuf{y) = ey li. [e—V) -\- e—Vli. [ev), alors on a par Métli. IS, W. 22: - [eP li. (c-P).-l- e- 1' li.(cP) } = I Cos. px dr j [e!/ li.{e - !/)-{- e-!J li.{e.'/)] Cos. xy dy — — nl Cos. px , o o o (T. 204<, N'. 8); - {eP li.{e-P) + e-P li.{eP)} = j Sinpxdx j [eV li. (e-y) + e-y li.{ey)} Siii.xydy = o o ƒ* X dx Ijc Sin.px ~. (T. 417, N'. 1). De même pour la supposition ƒ()/) = e'J li. {e—'/) — e—'Jli.{eV), l-\-x o on trouve d'après Me'th. 18, N\ 22: -[ePli.{e~P)~e-Pli.[eP)]= iCos.pxdxï [eV li.{e—yj—e-^ ii.{e;')} o (I ƒ■ " ^ lx dx TT , = 2 ƒ Cos.px- -^, (T. 417, N°. 2j; - [eP li.{e-P) — c-P H.{eP)} = j 1 -{- X 2 lx dx Cos. xy dy [409] D'ailleurs on trouve une exposition dctaillée de la theorie de ces intégrales ainsi que de diverses applications, dans l'ouvrage de Schlümilcii, Analytische Studiën, Zweite Abtheilung: üie Fourier' schen Reihen und Integrale, nebst deren wichtigsten Anwendungen. Lr-ipzig, Enoelmann, 18 58, 197 S, 4^. — Voyez encore Schlömilch, Grunert's Archiv, Bd. 5, S. 204. Fase 6G5. 84* IIJ. .M'*^ 42, io. N\ ± I. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSF0RMA.TI01V, — ƒ Sin.pxdx l {e!ili.{e~y) — c-yU.{cy))Sin.xydi)= — n\ Sin.px . (T. 204., N\ 7). n f^ Jlaiiiteiiant pour ƒ(;/) = e~W, ces formules douuent eiicore suivaut Meth. -1, N". II : — e— P?= ƒ Cos.px o .,00 /.QO I _ y»ao .,QO /-OO \e-l'JCos.xijdij=q \ Cos.px ;-e— /'?= / Sin.px l e~'JV Sin. xy Jy = l Sin. px J J q^+X-' 2 J j J (ï. 205, N'. 5, 6). [4I0j. Multipliez par Iq et ajoutez ces produits a, la troisième et ;\ la deuxièuie des iutégrales précédeutes, après y avoir changé x en - et p en pq ; introduisez ces mêmes substitutious dans la première et dans la dernière de ces quatre intégrales et vous obtiendrez les deux couples de formules : Ixdx n . , , , f" X lx dx /Ixdx n . , f X lx dx Cos. px = ~ { 2(;-P? Iq + ePI li. {e~P9) — e~ i"/ li. (ePl) ] , j Sin. px qi +A.2 4.? J q- +x'^ o o 71, , ■ {"^ xdx = -{2e-Pilq — ePili.{e-Pi) — e-P9li.{eP •nais 3/, =p, ou y^ = ?. = ± X , lorsque x^ = a, ou .r, =b, et en même tempsy, =/>, on »/, =y. [410] Voyez crautres tlcduetions. Mótli. 5, N'. 8, Métli. 18, N'. 4, 8, Méth. 24, N'. 4, Métli. 25. N\ 2, Méth. 38, N". 3, Méth. 43, N'. 14. [411] Autrement déduite Méth. 18, N\ 17. [412] Comme on déiliiit anssi Méth. 18, N'. 9. PaM G6(5. LT METHODES D'ÉVALUATION DES LNTEGRALES DÉFINIKS. 111. i\P^ 45. N\ I, '2. II c;it ¥ [w) = - ., de sortc que a; — .r, — y, « est un diviseur et x, 4- y , i uiie raciue de Téquation t,^^ = O (a) Quaud cette équatiou a plusieurs racines inégales, rselles ou imagiiiaiies, il faut preudre la somme des diverses correctious A, correspondautes a chaque raciue en particulier, du moins taut que ces raciues soiit d'iuüuence ici, c'est-a-dire taut que leurs parties réelles et leurs parties imaginaires se trouvent être entre les limites a et b, p et (j respectivement. Quaiid éucore m de ces racines sont égaleSj il faut changer dans les corrections précédentes l'expression >/' (a;, +//, () dans l'autre - — , ^ '"Vr' , oö (m— 1)/ de'uote Ie nroduit 1. 2. 3. ... (m— 1). (m — Ij.' ' Tout se fonde par conséquent sur la résolution de Téquation («}, et c'est dans ce but que Cauchy a douné son calcul des résidus. Soit qu'on en ait besoin, soit que les racines de 1'équation se présentent d'elles-tnêmes, c'est toujours la résolution d'une équation qui est Ie caractère remar- quable de cette methode, dont nous allons ofi'rir maintenant quelques applications sur des intégralcs générales. 2. Premier Cas. Soit F (x -\- yi) = O ))Our chaque y ; preuons a = O, Z> = ^y) , p = O, il vient : / [1' (•« + = O, 7 = co , il est: / [O— F(/,]f/.ï=i I [F.i + ^jj — F ji ]c/y--A, d'üi\ : [F(A')cfe = iY[l^W'l^ o I) o o Troisième Cas. Soit F(± cc -|- yi) = O pour chaque y; prenons a = — x , b ^ :/d ^ p = O, nous avons : / [F {x^(ji) — Y{a:)] d.c =- i l '[0 — 0] , b = cc , p = 0, q == x ,il vieut : i [O — F (a-)] dx = i J [O — 0] dy — A, —co o doi\: f 'E{x)d:c = A, . • (XLVII), donc aussi : f [f{x) + Y{—x)} dx = £x . ■ ■ (XLVIII) — O) o Septième Cas. Soit F(± oo -\- yi) = O pour chaque _?/, et Y{a; — x i) = O pour chaque .r; prenous a = —X , b = X , p — — co, 5 = 0, alors : ƒ [F {a:) — 0] dx = i l [O — 0] dy — A, d'oii : l Y{x)dx= — A, (XLIX), et eucore: / {F {x) + F(— .r}} dx = — L (L) — w o Huitième Cas. Soit F( — x -\-yi) = O pour chaque y, et F (r ± x /) = O pour chaque x\ et encore a = — qc , p =^ — oo, q = x , il est: (^' + 2/0 — Ol'^y — A, donc: ( ¥{b+yi)dy = — A« (LI) /\0-0y_,/V('. + ,0-O]..-^,.o..c./ Neuvième Cas. Soit Y {x J\-yi)-=0 pour chaque y, et F(«± qc?)=0 pour chaque y; pour a== — a, b ■= X , p = — oo,9=QO,on trouve: ƒ [O - 0] (/.r = / ƒ [O — F (— a -f J/O] f'y — A, d'ou : / F (— a + yt) dy = A «" (LTI) — a — a —00 Di\ième Cas. Soit F(± co + J/«) = ^ P°"i' chaque y, F(.«± » ï) = O pour chaque x; sup- poirons a = — co, b = x , p = — x , q =i x , nous aurons: [O - 0] dx = t / [0—0] dy — Z., d'ou: A = O (A) ƒ [0 — 0] ciA- = t .1 3. Ces dix cas divers, qui résument les priucipales applicatious que Caüchy a faites de sa methode, donnent lieu a quelques observations. Dans les cas I a VI les limites de y sont O et 5, OU O et cc : donc pour toutes les racines réelles de l'équatiou [a), la valeur de y, zéro coïn- cidera avec p, de sorte que les correclions relatives A doivcnt toutes être réduites k leur moitié: de plus les raciues, qui auraient un y négatif, touibent hors des limites de 1'iutégration et par conséquent Ton ne doit pas en tenir compte dans Ie calcul de la correctiou. Pour Ie cas VIT, ou les limites de y sont — oc et O, la remarque que les racines réelles nécessitent uiie correctiou de moitié moindre reste de vigueur, mais ici au contraire ce sont les racines imagiuaires a uu y positif, dont on ne doit pas tenir compte, comme étaiit exclues par les limites de l'intégration. Enfin, auprès des trois deruiers cas, ce sont toutes les raciues réelles et les raciues imaginaires de l'équatiou (a) qui doivent servir au calcul de la correctiou A. et celle-ci reste toujours comme elle est, Ou voit Pa-e 668. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. lil. M''". 15. l\\ ö, 4. par ce qui vient d'êtrc übseivé que les suppositioiis, (jui unt inenë Cauciiy a, ces dix cas, oiit Ie caractère curieux et éiniiiemiDent utile, de nous laisser très-libres dans Ie choix de la fonction F, et de simplifier néanmoins bcaucoup la recherche des raciues de l'équatiou («), taut qu'elles sont nécessaires au calcul de la correction /\,. Quant aux résultats, il reste fi reuiarquer que les cas YI et VII donnent lieu souveut ii une série, taudis que Ie cas X ne fournit rien qu'un résultat de ce genre. Les cas 1 a V et VIII , IX donnent des formules doubles, lorsque pour chaque applicatiou spé- ciale on sépare les fonctious réelles et les fonctions imaginaires. Ces deux derniers cas VIII et IX trouvent encore leur application dans 1'iiitégration des équations diü'érentielles linéaires; mais c'est des formules du Cas VI que Cauchy disait a, bon droit, // qu'elles fournissent les valeurs de presque toutes les intégrales définies connues et d'un grand nombre d'autres." [413]. 4. Passons maintenaut a Tapplicatiou de ces divers théorèmes. Cas I. Théorème XLII. Soit ]?(a') = e—^"^", üouc'F{x-\-yi} = e-'=''^-e<'-!/''{Cos2c- aiy~iSiii.-2c'^ xy) est toujours O pour x = cc; l'équation =^j-^ = e'^^^"' = O a pour racines .c = ± x i, et toutes deux lombent hors des limites O et 7 de y, donc A == O, et eniin : j e-<^''i^+T' dx = I e-'^^-^'dx — i j e—<^-^'J'T-Jy, d'ou a. l'aide de Méth. 4, W. 7: o o o è^^l' ƒ e— c"^'" [Cos. (2o-- qx) — i Sin. (2(;* qx)] dx = -— \/ n — i j e'^'^\l^, et par la séparation des parties O o r . . ■ 1 „ „ /"° „ , réelles et des parties imaginaires : ƒ e-'^'^'Cos.{2c'^ qx)dx= ~ e—'-'r^/Tt [414], 1 e-"^"-'' Siii.['2.c-qxdx = o o == c-'-'T I e'^^'dx, rclation, propre u rajjproximation de riiitégrale au premier mcmbre, parce o qu'il existe des tables calculées de la dernière integrale. [41 B] Sur cette methode de Cauchy ainsi que sur I'application du calcul des résidus, 011 pput coii- sultcr outre Notes nombreuses dans ses E.terciees, suitout les mémoires suivants du raêiue auteur: .Tournal de l'Ecole Polytochnique, Cah. 19, p. 510 — 592. Mémoire sur l'intégration des équations liné- aires aux différcnees partielles et a coefficients constants. — Mémoire sur les intégrales défliiics prises entre des limites imaginaires. Paris, de Bure. 1825. 69 pages 4°. — Mémoire sur les intégrales définies, oii l'on donne une formule générale, de laquelle se déduisent les valeurs de la phipart des intégrales définies déja connues, et celles d'un grand nombre d'autres. Annales de Mathématiques de Gergonnc. T. 16, p. 97 — 108. — lleclierche d'une formule générale, qui fournit la valeur de la phipart des inté- grales définies connues et celle d'un grand nombre d'autres. Annales de Mathématiques de Gergonne, T. 17, p. 84 — 127. — Mémoires des Savants Elrangers de 1'lnstitut de France, ï. 2. 1827, p. 1. Mé- moire sur la Theorie de la pröpagation des ondes, p.124 — 312. Notes. — Ibid. p. 599. Mémoire sur les intégrales définies. [414] Qui est la même que T. 280, N'. 4. Voycz d'autres déductious de cettc integrale Méth. 23, N^ 23, Méth. 2t, N^ 3, Méth. 32, N^ 8. Page 669. lil. W\ 45. N'. 5, G. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES ÜE TRANSFORMATION, 5. Cas II. Théorème XLIII. Preuons F(a') =/(3')c"', donc ï(-^-|-^i)=/(^-}-yi)ec«'— ci', desorte qu'il est ici F (.r + ao i) = O, pourvu que f{x -\- x i) iie devienne pas oc . L'équation («) donne — - e— cj:' = o, d'oü, par la suppositioii quant a ƒ(.«), seulemeiit «— "/ = q, dont Ia racine uuique f' . X = — w i lic tombe pas entre les limites O et oc de y. Donc ^ = O et : ƒ f{x) e"^^' dx = o = i ƒ {/(2/2)c~<^y — ƒ(''-' + J/ï)e''^'—'^.'') rfy. Supposons que par Ie calcul des quantités imaginaires O on trouve pour la fonction u iutégrer au dernier meinbre e~" {/i (*') — «'ƒ■> (*')}i l'oi pi tire: ƒ f{x)Cos.cxdx = 1 ƒ, (.t) fi— '^•^ (?.c, ƒ f {x) Sin. ex dx = ƒ ƒ, (.?•) e— <^^ rfa-, équatioiis, qui par Ie o 0 0 o développement (si toutefois ce dcveloppement est possible) de ƒ, (x) et de /j («.■) en séries ordon- nées suivant les puissances de x, peuvent servir ïi exprimer les intégrales des premiers membres dans une série de fonctions Gamma [4] 5]. 6. Cas III. Théorème XLIV. Lorsqu'on suppose F (a-) ^ {<7 — xi)''~^ e-'^'^', W \ient ¥ {x-\-yi) = = il ~\' y — xiY~^ e—'^i^'—y^^ e—-'^^'J', qui devieiit zéro pour . .r = ± co . Ensuite Téquation («) est 1 1 ,„ = É*^'^" = O, dont les racines ,r = ± oc i tombeiit toutes deux hors des limites r(x) {q-xiy-^ 0 et 7 de y; donc A= O, et par suite: / (q—xi-^-q)'—'^ e-cvr+gO'-(/.r= / [q — xiy—^ e-'^'-'-dx. [416]. Prenons r = 2, séparons les parties réelles et les parties imaginaires, et nous aurons : 1 {-Zq Cos. (2c - qx) — X Sin.{Zc^ q.r)} c-'°(^=-ï') dx = P. 45. N'. 6, 7. {•Zq Cos. (2c- <].v) — ,r Sin. (2c- q.v)] c-c-iV--,-) ^.^. ^ 2 y/ ^^ Soustrajous-eu Tintégrale trouvée o ^' au W. 4, il vient: / .%-Sin.{2c- g.T).e-'-''-'-- d,v == ~ e-<^'r [/ n. (T. 389, N\ 3). [418]. 'o 7. Cas IV. Tliéorème XLV. Pour F (,^•) = (c-^ — j -^ oii a: F(.ï-I-mï) == f 1 -f- ■2'' — V* I *' — ?/* L'équatiou («) donne: c"^' — ^= x , .f = O ; donc .i' = O, = — 1 et = — od les vaciDCs a étudier; les deux dernières soiit situécs hors des limites de rintégration, et ue doniieiit pai couséqueut aucim cas de discoutinuité. La première donne, puisque ip (p) = e- '' — ] -, \ l -\- xj x g.(0) = (1 — ]) - = O, et doiic A = 0. Par conséquent il vient: ƒ [c-^ — — 1 — = (\ .ri.,- 1 \ dA' rir' -c- l—m\d.r = * ƒ « ■' — 7^ r : ~- = ƒ ^^^- ■'■ — * Sui..c — , - ; d'oü ijar la séparation des i.arties j \ J +W ■« ; \ i + .x-"] X ^ ^ o (I réelleset des parties iinagiuairfs : ƒ [Cos.x — -A ~= j je—-' — ■ ) -= A (T 21" J \ 1 +.r5/ .r y \ i +xj .r '^ ' "' 'I (I N^ 6), [ H 9], (ri l'aide de Méth. 37, N'. 3) ; O = C isin. .r — - *' -\ ^'", d'or. : P Sin. x - = [418] Autrement déduitc Méili. 24, N'. o. [419] Voyez encove Méth. 44, N\ 3. Siibstituez eusuite dans T. 212, N". 1 (voycz Mt'tli. 18, N°. 19) X = y"-; alors vous aurez: ƒ \Cos.(x'')— - "^ = A . (2079) j i ^ ' l+.r-j .f 2 ■' o c . ,.• ' , n. . rCos.(x-) — Cos.(x) , 1 isoustrayez-en 1 integrale 1.2 12 N'. Cdu textc, et il rcste: ƒ ^—- - dx = - A (2080) Supposcz-y .•E = //2, alors: ƒ i — '- - (/.c = - A, (2081) J x ' 4 d'oüi vous déduirez, en prenant la somme de celle-ci et de rinlJgrale (2ü8ü): Page 671. 85 WIS- £N NATUIRK. VEUH. DtK KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIU. in..AI'^^ 43. N'. 7 — 9. THEORIE, PROPIUÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, dx f ^ = -, (T. 194, N'. 1), [4-20], (d'-iprès Métli. 1, N'. 8). f{x) l f{x) 3. Prenons eiicore dans la mcme formule Y (x) = — - ^ ■,{o>-), = {T — yf (pour y <,r\ et {—iY{[r—y)iY = (_z)2c(^_r)c (pour y > r), et •= (r — yY (pour y l). Pour r = 1, il vient ƒ (0) = J l{r — xi) X 1 — r ^ 00 1 — el''' O — qi el" . /"° 1 — e9*< dx ƒ1 — e^xt d l{\—xi) i = — qi, donc : ƒ -. = q m. (T. 38:^, N'. !) :\ 1 1). 13. Passous au Théorème XLVIII du Cas VI, et déduisons-cn quelques formules générales, tout en gardant ici la condition (a) du Nr. 11. f{x) Soit F (.«) = -; alors 1'équatioii la) a pour racino .« = O.i, qui coïncide avec la Hmite O X i de ^: donc, puisque r^ -|- A'^ ' X -\- ri 2 il vient: ƒ ' ' ~ '^ ^~ ''.r d.t = 2ni-f{ri) = ni j {ri) (LX VI) / »'^ + X- 2' "n rf{x) ,^ . Prenous encore F (.t') = — ^ . Les racines de 1 équation («) sent x=:izr, qui donnent r^ — .r^ '■/'('•) 1 rfi—r) 1 i/.(-|-'')= ' =~/('')<<ï'( — r)= - = J{ — ?■), d'ou, puisque les racines soutreelles: r -\- r 'i' — r — r 'Z ƒ 'r^^x'- — '■^'-'-■^''Mö'^M — j/ (—'■)} = .^uW -./(—»■)] • • (Lxvn) o xf{x) Au contraire la supposition P(>ï):^ - , doune pour les racines ile l'i'quation («): x^'-c, r"^ — .«'^ .f = ± r, d'ot. ^:(->o ) = -4^ = O' *( + '•) = '"^r^ - T ƒ('•)' '»'{-'•)= ~''^^~''^ = o/(-'V; A'^ — r- r -\- r 2 — r — r Z donc, parce que les racines sont toutes réelles : o Enfin soit F {x) = , alors l'équation («) a pour racines x = O, .r ^ + ri, et x{x'^ -\- r^ ) X = — ri (dont la dernière, comme située hors des limites O et -o par rapport a ij, n'est pas a considérer ici); de plus 011 a .f (0) = - - = /'(O)» (po'"' '^ calcul de h il faut observer que x^ +»■•' Page C75. III. W'. 43. >'\ 10 — 15. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION. r-f{x) r- f{ri) l cette raciue coïucide avec la limite inférieure de ar), rf (m) = ——- = ~ ^. == — r/I»"*); X [x -f- n) ri. 3 ri 2 donc: P^--"-^"-/'--"-' ^^' = 2^'- {^/(O) -^ ƒ (»)! =^ ni (ƒ (0) - /'(ri)} (LXIX) / ,x- '\- r- X \i ~ ) o 14-. Dans les ciiiq derniers tliéorèines supi)osoiis ƒ(,'«•) = eP^', d'ou f{x)-\-f{ — .i') = 9.Cos.px, /(&•) — ƒ( — x) = 2iSin.px, il vient; /'*' Cos.px Tt /■* Sin.ux n ^ I '~rJx = ^ e-/»-, / - — -- xdx= -e-V, (T. 205, N'. 5, 6), \^U\ j r- -(-,«' 2 / *" + *" "^ o I) ƒ"* Cos. »a' 71 /"* 'S''*, w.t TT ^ „ i—^o'djr= Siv.pr, I ' - x(lx = -Cos.pr, (T. 306, N^ 2, 1), [432], ,t;2 — r- 2 _ƒ a-- — r^ 2 O I) r" Sin.vx r'' dx Tl / -^^ -- = - {1 - e-P']. (T. 212, N'. 12). [423]. / ,r' + r-' ,r 2 Dans les formules (LXV) et (LXVll) prenez f{x)^xP-^el-", ahrs f {x) + f {— x) = = (.ïi)?"' {{i~l' — iP) i Cos. qx — [i~P -j- iP) Sin. (/.rj = 2 (.ri)/'— ' &in. ( i pn — qx), et par conséquent : rdx TT TT xP-'^ Sin.{yp7T — qx) = {ri)p-U-'i'- = -rP~2c-?'-, (T. 205. W. 2 4), r- -|- .r- 2riP~' 2 o ƒ■" dj; n-« 1 . . , 1 ^ > .ï/'— 1 S»(.(.', /^TT — oa') =— |,./'-le'/'^_(_r/'— ig-ï'-'} = r/'-2 6os.(.^;-;7— (;>■). r- — .r' 2 2Wf'— ' 3 ' (T. 306, N'. 30). 15. 11 y a eucorc uiie autre transfonnation des thcorèines du Cas Vï, qui mérite uotre atten- 1 f /l +A-A [i—xi\] 1 tion. Sunposons Y [x) = - lf\ -' \ ±f\ J 4)(.r) , et substituons en même temps 2 (• \l—xij \l+.r(/) l-t-,r* X = 'fariff. z, alors Ie tliéorèmc (XfjVll) nous founiit: / '(/(e-^-j ±/(e-2--0) (7y.j)./r = 2 l.. (LXX) Mals lorsque, pour chaxiue sigue séparéinent, nous divisons l'intégrale en deux autres, qui ont n TT ^ respectivement O et — , rt O [lour limites, et que dans les dernièrcs nous substituons z = — y, [421] Voyez Me'tli. 5, .\^ S, Mr'tii. 18, N'. 4, S, Mctli. 24, ^'^ 4, Mctli. 25, N'. 2, iVIétli. 38, N'. 3, Me'th. 43, N°. 2. [423] Autrement dédiüte Me'th. !», N'. lü, Métli. 24, N\ .5, Métli. 25, N\ 'i. [423] Suv une autre dnUictioii voyez Métli. 18, N=. 4, Métli. 25, N'. 2. Pa-je 670. ET 31ETH0DES ü'ÉVALUATIO?< DES INTÉGRALES DÉFINIES. III, M^'. 45. N'. 15, Jo. il vieut: / '[fie2^')+f{e~^'')][{Tg.z) + ,l,{-Tg.z)]dc ==-. Z £^ (LXXI) II TT f \f («-^-'O - ;>--'■)] I * (ÏV- ^) - 4. (- Tg. c)] rfs = -2 A (LXXn) o ■' ^ ' 1— 7'A 2| U—-W\l +•«■/) (1 — '■)-+(l+»-)'-''''' 1 — 2rCos.22+r^' 1 (./l+.w\ ,/l— .w\l 2rxJ riSin.2z .7 y 1^ • ~~Mi'i ■ M^/r \2 I /i ( T'- •> ="V^ T7i — ;; — . — ^ , pai- la substitutiou •i r \1 — xij \]+.w/) (1 — >•)■' -j- (1 + »■)' ^ 1 — 2j- C/o*. 2; -j- ' de ^=^ra«i,.c; donc: ƒ -~--^-—---\^[T,j.z) + ^>{—Tg.z)\dz = £.,... (LX.MIT) f 1 — xr Cos. zz -\- r' TT /■ 2 r Sin, 2z ,- I 'l->>rCos.2z + r^^^':^-'^-''^- ^^^ ^^1 '^^ = ^^ ' ' ' ^^^^^^^^^^ ■() (1_ }.)2-j_n _L,.pj.2 l-i-aj'i 16. Mainteuaut soit (.r) = .ï/', alors rwiuatioii («) deviciit = O, (l—r)- + (1 +^■2).^■2 1 + a'^ OU • = 0: donc dans les deux cas les lacines sont celles de Yé- 2rxi x>' quation 1 -j- •^' = 0> ^'oü .^■ = -|- ' (puisque ,« = — i toffibe liors des limites de ij), et de plus l—r, '■ — 1 . .e = i OU .i' = r i, seloii que 9' est ] . Dès-lors pour Ie premier cas du siijne 4-, on a : 1 + >• »• + 1 ' , ^ ^ . — 2r-./a;— i\ 1. , /l— ''.N /l — »A/U /''■-! \ /r— iN/'— 1 ''^^ _4r \l+A-^i -1- \l+''/ \]+'-/ ■■• V-+1 / \'-+l/ • ^1 1 /l— »-\ /l — r\P — 1 et pour Ie second cas tout de ineine : !c(j) = - iPz^, q I 1 =1" 1 " *'"', 4 \1+''/ \l+''y ''• /,.— 1 \ (r—l\P — 1 . if I ï| = I — ; — - 1 - iP '. Jjorsqu'on substitue tout ceci et que 1'on divise par l + ( — 1)P, \r -\- 1 j \r -\- 1 1 é iP 1 ] ce qui donne ~ ,-- = . = , on trouve; 1 + (— 1)^' I.P + i-P 2 Cos ^pn ƒ2 l—rCos.Zx ^ T f ll—r\p] n i /,._1\?', — — -Tg.Pxd.v= 1+ \ ,(r!); l — -ZrCos.Z.v+r^ ^ ^Cos.\-pn\ ^ \\-{.r] T ^ ' iCos.lpnl \r + ] / V^ -^ ' n Pai-e 677. (Il, M"*". 45. N'. !6. THÉORH-, propriétés, formules dk transformation, i>+l 1 ï f- rSi?i.2;c (Tl. 69, NM , 2); de mêine, puisque - — r = ;- r „ = „ c- i — ' I i ^~^ n , o '^9-''-^'^''= 0 = ^L_. l.-{l-T-)"j. ('<■;. -r/v {l + (^y|(->l).(T.69.N-.3.4,. 4&n. ^pTT I Vl+W ' iStn.lpn [ \r + i j \ Soit encore $ (.r) = Z(l — xi), nlors les racines de 1'équatiou («) lestent les mêmes .r = i, l_r r— 1 1 fl— »• ) 1,/ l — r\ ^ = ï, (rl). On trouve done «r (i) = 7^2, >p '> - i\ =7.' l+TT" = = — i o, { i\ := - M 1 4- ] = —l , pour la première formule (LXXIII); 4i !+,.• Mr+1 1 4i \ ^r+l) 4i r + 1 ' 1 (1— '•.] —1, 2 \r—\.\ —l -Zr /TA-VTv, et a,(i) = - l-Z, g { li --= l , tf> ) li = . ' ,^ , pour la seconde (LXAlV). Oa a de plus l [l —iTff.z) + l{l + iTg.z) =^ l [l + Tg.^ z) = —ZlCos.z, l[\—iTg.z) — — Z(l +17(^.2) = /e2ï = 2s; donc: y 1 — 2rCos. 2j + r- — 2\4i 4i 1+»'/ 4 4 — 2 \4i ^4f 1 + r) 4 4r ' ^ -^ ^ ^ rSin.'Zx , 27ri 1 1 , . — 1 , 2 ƒ2 rSm.'Zx , 27ri 1 —1 2) '^,-,,^,^,^ l — ilrCos.2x+r- 2 (4i ^ 4« l+r( 4 ' 'Z"(i/2+— Z-^M =-/^'^'',(r>l).(T.241,N'.3,4,). [424]. 2 (4i 4.i 1+rl 4 r ' '^ ' ' O 27rt f 1 [424] Comme on a Mctli. 4, N'. 3 I lCos.xdx=^ — —nli, il s'ensuit encore: o ƒ2 ICos.xdx 1 7r,14-r ^. 1 ra 2r ,t„w. = \ = -Z— ^ ,(»-l,. 20«5) 1— 2rfo5.2ir+rï 1— r* 2 2 '^ ^ '^^ ^ r^ — 1 2 1+»- o 7T n_Cos.i>..lCos.xd. _ . -!' + '"/{! +r)-,.U2!,(/^l). . . (2087) Page (57S. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. M"*". 45. N\ 1G, 17. Daus CCS intégrales preiiez .t = ^ — y et r ncgatif, il vieut : 1 — rCos.Zx n 1 — r tt r — 1 -/&H..rtfe = -/--—, (»'^<1), (T.346,NM), =-?- — , (r'^>l), . (:208S) \—%rCos.2x-\-r- 4 4 ' 4 4r 2 r Sin. 2« / n\ n n r — 1 [x \cl'c =-l{\ — r), j-2<]), = -/ , Ir-i >1); 1 — 2rCos.2.r+»-2 \ 2/ 4 ^ '^^ ^ ^ . 4 r ' ^ -^ ' ' o et soustrayez ces intégrales tles correspoudantes qui precedent, alors : - 1 — rCos.2x n 1 — r tt r — 1 r Sin. Z.vdx 11 — r 1 ?■ — 1 = -/--—, (r^-l). . . (2091) l — 2r Cos. 2x -{- r^ 2 1 -f r ' 2 r+l' 17. Cas VIL Théorème XLIX, L. Pour r(.r) = Téauatiou («1 donne {r + xi)<'{s-\-a:i)d ^ ^ ' pour racines x = ri et x = si; mais comme elles sont toutes situées hors des limites de Tiuté- gration — co et O de y, elles u'out aucuue iufluence, et A est zéro; donc : dx ■ = 0. (T. 30, N'. 2) f Comme ((r — .ri)-<: ilr (r -|- .«)-<:} {(« — .«)-'' ± (s + ,ri)-<') = {(r — a-jj-c(5 — .u')-'' + + (r + xi)-<' (s + xi)-'i ] ± [{r — xi)~<= (s + xi)-'l + (r + .ri)-^ (s — xi)-''] et que les intégrales T. 30, N°. ], 2, 3, trouvées respectivement ici aux N'. 9, 17, 10, sont symétriques par rapporti r et .«, on trouvc 1'intégrale: ' 4,71 T(c4-d 1) [(r— .n)-f ± (r+A-ii-c) {{s—xi)-'l±(s + xi)-d]dx= ± -^Jl ' _ _ (2002) ^ V . ; JU K -r j s (^^^^e+rf-i r[c)T{d) ^ ' f Divisez-la en deux parties entre les limites — cc ;\ O et O ,\ x , et substituez dans la première x = — y, il vieiit: ƒ ((r— .ri")-': ± (r+.w)-c} ((,,_^j)-f/ ± L<,J-.,.j)-(A (/^'^ ± -"^ — ^-tj^. J ^ ^ ' ^ i L^ ^ -r ; ƒ (^r + sY+d-i T{c)r{d} o (ï. 23, N". 9, 10). Celles-ci deviennent pour d 1'unité: I , ' — dx = , . (2093), / ■ ^^-^ '-^xdx = . . (2094) j s2 + X' s{r-\-sy- ^ ' j s- + X- {r+s)<= ^ ' Page 679. 86 WIS- EN NATUVRK. VEIUI. DER KOXINKL. AKADE3IIE. DEEL VUT. III. M'^'. 44. N'. i, 2. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, § 3. METHODE 44. METHODES DIVERSES INDIRECTES. 1. Excepté suivant les methodes précédeiites, on a encore agi quelquefois d'une maniere plus OU moius indirecte selon que la formule étudiée semblait Tindiquer. Quelques exempies suiveut ici, qui ne seront pas sans quelque intérêt. ,,/•*, l f^ 2. Dans 1 integrale 1=1 e—^-dx substituez x=^yy'p, alors - — =^ ƒ e—P'J-dy. Dilië- 0' o rentiez-la a fois par rapport a p, il vient: — . = / ( — i/'^]"e—P!/-di/, ou: ƒ e~Py^y'^dy = o o I l«/2 /"" , ^ la/2 = — — . , OU en remplacant p par q"^ : I e- 'f (0) = O, et Tf— ^ 1 dx =^ - A , J [ X ^(1+^)1 ü (T. 133, N\ 1), [^27], ƒ j-— _-^— -| dx = -C. (ï. 212, N\ Ij. [428]. o Encore pour /(x) = — y-;-- on trouve d'après (50) ^, (p) =__;(l_|.^j2)^ 'r(0) = 0 et donc: fF-THr^l"— "^^ (T- 1->5, .V. 5), [i»9], ri'^-— L- !.., = _ C. _/ l* .v(l+.r^)) -^ j i X x{l-{.x-)i [i21] Déj'a déthiite Méili. I, N'. 32, lléili. 37, N'. 3. [428] Aiitrement Méth. IS, N'. 19. [429] Comme on trouve aussi Méth. 27, X'. 7. Dans 1'intégrale T. 133, N'. 1 (voyrz un pen plus Page 6S1. 86* III. W\ 44. IN'. -J;, 4. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, (T. 212, N". 6). [430]. La difleieuce des deux intégrales de chacuii de ces deux systèmes \dx= ï ie-^ — Cos.x)-= O (T. 393, N\ 11) (d'après fouruit Méth. 18, N\ 5), donc C = A. [431] - l ri— I n r''\ '^ f/c =L ac a-\-b.c-\-b' a-\-Zb.c+2l) r -;- h 2i.a+c U a-\-c + h 4. On trouve Méth. 3, N\ 2: 1= ƒ x'^-Ul—x'') " dx = ~ Pourla diflerentier par rapport ii a, prenons-eu d'abord Ie logaritlime, alors 11 = Ib — lc-\-l-Zb — l{c-^b)-{- 4-Vób — l{c + Zb) -{-... — la + l{a-\-c) — l{a -\-b)-{-l{a -\-c + b) — l{a -\-Zb)-\-...; maintenaut dl 1 ,' 1 1 1 1 la diflereutiatiou par rapport u a donnera — — = 1 ;~ — — TT "1" — i 7~i — — m "!"••• I- '^'- Ida a a-{-c a-\-b a-j-c+o a-\-zb f l \dx I 1 e-^- — -. --—= — -. ' I r'-i+^j; haut) faisons x=ij-, et uous aurons : ƒ (e~^" — i^— ^ -^ ) — = — -A (2095) r dx 1 La dift'érence entre cclle-ci et notre integrale T. 133, N". 5 doiine : / (fi— ^- — e— ^) — ==— A, .(2096) ( X 2, Dans cellc-ci faisons x=y''-, nous aurons alors: ƒ {e~^' — e~^"') — = — A, (2097); X 4 dx 3 [ dx 3 et si nous prenons la soramc do ces deux dernières intégrales : ƒ (e— ^'* — e~^) — = - A ƒ(.-'■ (209S) En continuaut de la sorte nous aurons eniin : \{e~^' — e-^) — = 1 — — lA.. . ... (2099) O [430] Sur une autre déduetion voyez Méth. 43, N'. 7. On peut encorc la déterminer ainsi. D'après Cos. y — Cos. xy r f rCos.y — Jilétli. 12, N^ 3 on a: Z'(p)r(p) = i xP-Ux.e-^dx= j xP-U-^' dx j "^ o ■() ■ o (suivant Méth. 9, ^"^ 22) =/ -^ICoi.y. l xP-U—'^dx — j xP—U-='Cos.xydy\= I - }Cos.y.T{p) — 0 0 0 o _ Cos.ipArctgy)) ^^^^^^ r ^s., ^'^^flilAT!^] '^ = Z'ip), (2100) o d'ou pour /) l'unité de nouveau T. 212, N'. 6. [431] Sur ce raisonnenient voyez Arxdt, Gruncrt's Archiv, Bd, 10, S. 225. Page 682. ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''^ 44. N\ 4. PoLir trouver la valeur de la série, multiplions-eu chaque termc pai- uue puissance de ij egale au ya ya+c ya-^b ya+c+li ya+2b dénominateur, alois Fexpressioii P = — "" + — r -f- — — "!"••• deviendra rt a -\- c a -\-o a-\-c-\-u a -\- 2b pour >j Fuuité cxactement la série précedeiite. Ou en déduit — - = — ^a-i _}_ j^a+c— i — ya+b~i si longteuips que y reste •<^ 1. Il s'ensuit donc, puisque la série s'cvanouit pour y zéro: />J dij , , , dl n dy y"~^{y'^—l) 7 ; et suivant ce que nous avons fait observer precedemment : = 1 2/"~'(y'' — 1) 1> dl /' ~ /'«c — 1 , . dl 'oh — == I x'"— ' fl — x^} " dx yc I — rn?«-ic/.i', cest-ü-dire, d'après la valeur de — : da - j ^ ' j 1 — ^* - ' 1 ^2a o o ƒ .i'"-! [l—x'') '' Ixdx =-- f A"-' {l—x'') * dxX ƒ ' -x'^-^dx (a) Atin de simplifier cette relation supposous a = b et x'^ = y, alors il est eu premier lieu : /'i <■' — b - j £n^ 1 / /"i ^ ^ j «i-i (1 _.«6) <: dx = - I {1 —y) '' dy ::= ; / c? (1 ~ 2/)* = -, (T. 10, N^ i), o ."b o et par suite: / x<'~Ux. {l — xf') '' dx = - I -^x'--'^ dx {b) o o Soit eucore a=b — c, et x'' = y, il vieiit: / /r'-'-'^^-i <1— .ï'') * dx = - 1 y '' (1 — »/)''•' dy ^ = ---7-, {T. 10, W. 5), (d'après Métli. 4, N'. 6, Note, forin. B), donc: x'^-'^-Hx.{\-x^) '' dx =. I ", -x'^-'^-^d ic) bSin.^ -() Les formules [b) et (e) réduisent des intégrales, qui sont plus compliquées :'i cause de la présence Pasre 683. ni. M^\ 44. N°. 4. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRA.NSFORMATION, de Lv, a d'autres intégrales, ou cette fonction ne se trouve plus [4;J2]. Lorsque dans (a) on prend i = 2, c = 1 , elle devient : / x''~^ lx 1/(1-.^^) /^ ' dx p x—1 /-i dx n ««-1 dx -'^ ~rr, TT X / x'—^dx = — I .r«-i— -X / • La première ü o 0 0 integrale du produit nécessite, d'après Métli. 3, N°. 4, une distinction entre c pair et impair; done, parce que la seconde a été déduite Méth. 33, N\ 8 : ƒ «^a-l lx = _ j A-2a-l X ƒ = — ^ - a-\- n ^ ^ — — -^ — ^ — —:s — - — }= — :—m+2' — ^.(2101) l«/2 in 1 n j 1«I2 ^ 1 n ^ ' 1-^/2 2« « 3a-ll2^^ (-1)" f q;2al^ ^^ I o;2o V" / == / ' V (!—■«') / J/(1--^-') / !+*■ 2«/2 2 o2a+n+l o Ü . o 3a-l/2^ ^ (-1)"-! So-'/S^f^C-^l)"-' ^(-1)"-') 3«-'/2,r| 2a (_!)«( ^-^«^ 2,5i^r~=-^^?if ^";r^-i^r~h— ^2r+T"7~j -(2102) Quand on suppose 6 = 2, c=3 dans la formule (a), elle devient: ƒ x'^~^ Lv dx [/ {l — x-) = •'o = ƒ *•"-' At- 1/ (] — .r'^) X f ^'^'-^^^ .r«-l rfA' = ƒ a;«-' dx y/{1 — x^) [^ + (- 1)« O 2 + o 0 0 «-!(— IV'll + ^ \\, [4331; mais ici d'après Méth. 3, N'. 4, il faut distinguer encore entre a pair i n )i [432] Voyez sur cettc methode EuLEii, 1'rincip. Calculi Integralis, T. i, S. 3, p. 128, S(iq. [433] Parce que: ƒ -x'^-^dx= I x"-"^ dx lx -\- A = ƒ x"-^ d.c lx -\- r---\ = O 0 ' o « + ] o a + " a + 1 f, n a -\- i [ i n i »« ) 1 I a—l (_!]») = -j-, +(-l)''-i ^2+ ^ ^ ^- (2103) Pa^e 684. ET METHODES D'ÉVALUATION DES li\TÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 44. N'. 4. et impair; donc: ƒ1 2"— 1/2 f 1 2a— 1 ( 1 )n x^-"-Ua:d^l/(l—^c'-) = —- - — -- — 12— 2 ^ ^1, . . . (2104) o ' / s;^-"lxd.vt/(l—x') = — T- -I- 2_|-^*^ '\ (2105) J ^ ^ ' 2«+i/2 2 l2a + 2^ ^ 1 n J ^ ' o — '■ — =12— 1 , 1/(1 — a;^) o n x'^lxdx n( 1) . /"' 1(4) o o et cle Ia dernière pour a zéro : ƒ Ixdaiy' (1 — x"^) = — - (- +Z2 j. (ï, 163, N\ 1). [434]. [434] Par la substitution ile x = Sin.i/ ou de x = Cos.y, on obtient encore : Z '^- ('Cos.^-'^-Kii.lCos.xdx =^~r 112 + '":^ t:^'| ^ . _ (2106),= ƒ'&•n>-la•.^5H^..^•c?a•,.(2107) o o ƒ2 3a-l/2 71 f 2a (—IV) /•2 Cos.2«a'. Z Cos.xdx = — 7- - \n-{-2- '~ , . . (2108), = ƒ Sin.^<' x.lSin.x dx. (2109) 2''.2 2 1 1 M 1 / o o ƒ "2 /•'2 /•2 Sin. X. l Sin. X dx = Z2 — ^ = ƒ Cos.x.lCos.xdx, j Sin.^x.lSin.xdx, (voyezaussiMéth.ZS.N". 7), o 0 0 4\ 2] ] 'ƒ 3l 3/ o o = ƒ Sin.'^ .V.Cos. x.l Cos. xd.v, ƒ Cos.'^ x.lSin.xdx == [12 + -]= ƒ Sin. ^ .v. l Cos. .v dx, 0 0 o formules doiit les premières iutégrales a facteur ISin.x se trouvent T. 330, N". 5, 6, 11 et 10, et les autres a facteur l Cos. x T. 331, N^ 2, 3, 8 et 7. Page 685. lil. IVF'. 44. N\ 5, 6. THEORIE, PROPRIÉTÊS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 5. L'intésrale 1= i e~P ^ Sin.2q:cdx cloune: — ;= / e~P'^' %x Cos. 'Iq x dx = o o = — — ƒ Cos.lqxd.e—P''^^ = — — \Cos.%qx.e-P^^'\ — ƒ e-P'':' {—?.q dx) Sin.'i.qxl = P' J P' *■ l J * o '' o 1 ( r o , ) 1 dl = — — _ 1 -}- 2^ / -e—P'^' Sin.Zqxd.v'. = (— 1 + 2^ I), d'ou 2oI + »^— = 1 ou p'^ l J I p^ dq I e-P'^' {q Si».2qx + p^ X Cos.Zqx) dx =- (2110) d- [ f^ 2 , * 2 ƒ"" . ,2 Eiisuite (Je la inémemauière: — , = — / e-P '^' ix- Sin.2qxdx = — I xSin. 2qx.d. e—P'^' = dq' J p- J o o = JL \xSi}i.2qx,e-P''^'\ — / e— P'-^' [Sin.2qx-\- ZqxCos.Zqx] dx\ = ^ JO— I — q ~\ == ' 21—--', d'ou (p^ — 2(/2) 2 1+ p* = — 2q, OU : p' /?'' dq'^ f e-P'-^-Sin.'2qx.{p'^—9.q-—Zp\v'')dx=—q; (2111) et ainsi cIc suite [435]. Mais les intégrales-qiie l'ou acquiert de cette maniere dépeiident toutes de la primitive 1, et admettent par suite une expresslon finie ou non, sclou que c'est Ie cas auprès de celle-ci. 6. On a ~.{xin+xy-P — x-l+^-P} ==qx'l-^^{li-xy-P + {l—2J)x'}{l+x)-P~ dx —.[q — p -j- \)xi-p = qxi-^ (1 + x)-P + (q — p + 1) {•'>■•'' (1 + x)-P — x-^i-r] . La fonction dif- férentiée s'aunule pour x zéro, pourvu que Ton ait 7 -|- 1 >-p. Encore s'évanouit-elle pour x iufini, pourvu qu'il soit p~^q, car u eet eflet ou peut l'écrire sous la forme, iudéterminée pour cette valeur de x,^ — ^^^^—^ : mais cette inddterminatiou s"en va lorsqu'on fait évauouir x-1 Ie terme x^—P contre Ie dernier tcrme du binomc (i -{-xy—P; il reste alors x—P pour la plus grande puissance de x, et c'est de-la que résulte la couditiou p"^ q. ƒ" ( .rï 1 hc'i-P — ! dx = = g r-n± ^ _JL rj^)i>-7) ^[ ^ .^ ^j.^,^_ ^ .^,_ ^. q-p+lj {1+X)P q-p+l T{p) [435] Cette rwluction fst de Legendre, Excreices de Calcul intt-gval, 3« Partie, N\ 49. Pa^e 680. . KT METHODES ü'E\ALÜ\riOiV DES IIVTÈGRALES DEFINIES- lil. W\ 44, 45. iN'. 7. 1, '2. — ^ ==-6hj. ry. (T. 204, N\ 21. Divi- l-x^ 2 sous la (listaiicii des limites eu deux ^jarties de ü u 1 et de 1 ;i cc , et substituoiis dans la 1 TT ^ pCos.qxdx t'^Cos.qzdx f^ Cos.qxdx deruière int(•^•I•ale .■»=-, i] vieut : — Sin. q = 1 ; v" + ƒ r~ = | , , + ° y 2 ƒ 1— A'- 7 l—x- f 1— .'(- O 1 'o Cos. -^ Co.', oa: — Cos. - 2 ^j«. \^ix + -]{.Sin.\'-^(x ^ ' Ou O (T. 192, N\ 11, 10). [43Ö]. § 4. METHODE 45. PAR DES CONSID^RATIONS DE GKOMKTRIE. 1. Comme les iutégrales définies peuvent ctre considérees comme des quadratures, il s'cnsuit qu'inversemcnt la quadrature d'uiie courbe donne lieu a uiie integrale défiiiie, et en outre ;i sa valeur lorsque de quelque maniere on connaït la valeur de la superficie entre deux limifes. Cette methode appartient donc entièrement au domaiue de la Geometrie, et nous en donnerons seulement un exemple. 2. On sait que l'aire d'une EUipse aux axes a et i (dont a soit Ie plus grand) est abn. Pour des cnordonnées rectaugulaires et l'origine prise a rextrémité du grand ax£, son équation est a^ y^ -{-b-{a — x)'' = a"^ b'^ ; lorsqu'on introduit l'angle >p entre eet axe et Ie rayon vecteur, a^ b^ Cos.' qp a- b- Sin.- (p a'' b'^ Sin.^ rpdcp on a (a — x) - == — ; — r , y- = , et y dx a - Sin. ^ (p -j- 6 ' Cos. - q& ' a'- Sin. -'f-\-b '^ Cos. ^ if ' {a' Sin. ^ qp -f- ^ * Cos. - ip) ^ , TT comme ('lément de l'aire; par rintegration entre les limites O et - , ou entre O et tt, pour acquérir Ie quadiant ou la demi-aire de Fellipse, on trouve : ƒ2 a'' b'^ Sin.- aidf l f^ Sin.'^wdw n , ^^^ „_, {a'-Sin.-if-^b'Cos.-itY' 4 ƒ {a'' Sin.-qi+b-Cos.''(f>y 4aU' o o [436] A'oyez sur pcttc methode: Cauchy, Méiuoiro sur les intégrales définies, prises eiitrr- des limites imagiiiaires. Addition. [437] Di^H di'duitc Méth. 32, N'. 3. Page 687. S7 WIS- EN NAÏIT.'UK. VEKH. DER KQXIXKI. AKADEMIE DEEL. Vlll lil. M^''. 45. N\ ± THEORIE, PROPRIÈTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, •o Mais OU peut exprimer la mêiue aire par Ie rayon vecteur, qui sera pour les meines supposi- ab . . 1 /•'^l a^b^ tious ; donc pour la tlemi-aire ■ ab-n = j —dif „ ^. — ; ; — , \/ [a- f) ^ j it a^ Sm.- qp + 6- Cos.^ .j, O . (ï. S'ó, A^'. 7). Combiiions-la avec la formule identique -f- b- Cos.- 1(' ai d'ou 1 "VT o /"" a ^ Süi. ^ (j) + '-* " C'os. ' (f diV = TT, vient: ^ Sin. - if d(p Cos.'' ((I dep TC /^ Co a^ Sin."- q' + b' Cos.'' (p b {a + b) o Combiuous-la eucore avec Fiutégrale précédente T. 89, N\ 9, et nous obtenoiis: /^ Cos.''(pdif TT f^ d(p "'+A^ {a- Sin.' ,p 4- 6^ Cos.- cp)' "" 2ai''j (a^ Sïk.'- rp + i- Cos.»- ~ 2a" &■• "^^ (2112) (211:3) Pase 688. Eï METHODES D'ÉVALÜATION DES INTKGRALF.S ÜKFIMES. II. Add. A. N°. 7G. A u i) rr I ü N A. A LA DiaiXIÈME partij:. (Page isi). 76. Ajoutons encore quelques tliéorème?, dus ;\ Mr. A. Winckieü, qui mériteiit bien d'être admis ici, en ce qu'il reposent sur des artifices ingénieux. On a ideuti'quement : /■? f^d.fia;,,/) dx f" cJx f'lJ.f(x.,,) C'' dx ,, 'J='i [>> dj; , pa " P " " pourvu que ƒ (.'-',y) "e devienne pas infinie eutre les limites p et q de !/. ïAchons maintenant de simplifier Tintcgrale doublé, et supposoiis :\ eet efl'et: 1 d.f(.v.,,) _ 1_ d,f{a;,>/] car alors cette integrale se reduit, tout comme Tautre, de la maniere suivante: pa P 1 pa p avec une condition, analogue a celle de plus liaut, quant u la continuité de la fonction f{x,y) entre les limites a et 6 de x\ d'ou enfin: ƒ1 du fb dx ^ {/(^.'/)-/(«,.'0} = / ^:) {/■(■^■.7)-/(.^,P)} (291) p a Lorsqu'uue des intégrations peut s^etlectuer, l'autre integrale définie se trouve être évaluée. . ^ . d.fix,y) 1 Retournons maintenant i^i la condition («), et rendons-la identique, en posant -^ = dy % [y) d.f{x,y) 1 et — = — — ; alors la fonction doit être de la forme dx Cf [x) ^i/.^+/^:.i^ '« Pa^e 689, 87* 11.Add.A.N\76, 77. theorie, propriétes, forjiüles de transformtion, et aiusi la relation entre une 'i (.i') et iine y (ij) est plus claireraent exprimée, lorsqu'oii eu vieudra aux applicatious [76]. 77. Soit q.{x,y) une fonction homogene de deux variables .y et ?/, de degré ii, alors il est: •^T + ^T = '"' ^^) dx dy Soit de plus ƒ (cf^) une fonction quelcouque de la Ibuction if j et multiplions Téquation (/) par d.f[^) d./M d,p d.fiq,) d^ d.fU) — - — , nous aurons x , 't y = nq, . a>j> df dx df dij dtp Mais en iutégrant par parties uous trouvons : d.f{^)d.p d.xfi/ J a ) . 21, S. 394. PaM 691, II.ADD.A,n.N'.78,79. theorie, propriétés, formules de transformation, de qx = v et de px=^iv dans chaque terme respectivemeut rendrait les intégrales partielles ideii- tiquement égales, et par conséquent annulerait Fintégrale totale : ce qui est en général contraire u la vérité, comme Ie démoutreiit les formules (295), (296), (297.) Au contraire, on voit que la valeur de ces intégrales dépend en général d'un facteur de la forme i/' [i]) — i/i (p) et d'une autre integrale définie tout-ïi-fait indépendante de q et de /-. A Ü D l T 1 O ^i B. V LA DEUXIÈME PARTIE. (Page l( 79. Il y a encore des théorèmes, qui doivent ètre insérés dans eet ouvrage, et qui appar- tienueut a !a Partie Deuxième, Chapitre ITÏ, § 'è [78]. Tls se fondent sur Ie principe suivant : Sujiposons P(.'f) =/(a + 6e"'), («) développons suivant Ie théorème de Taylou, et cherclions les sommes -{F(.w) + Ï'(— ■'*-'0}et-- .{F(,ri)—P(— .«')}; «lors puisque e"^'4-(— "■"=2Cos.ar,c"^'— e— °»=2i'Sm.aA', nous aurons : -{¥ ui) -f- F (—.'«•))=/(./)-}- - Cos.rx ---^ 4- Cos. Zrx -^-- + ... , (A) 2^ ^ ^ ' ^ 'J ^ '^ l da ^ 1.2 da' ^ ^ ^ 1 ,„ ^ b ^ d.f(a) ir- dKf(a) %i 1 da 1.2 da- Faisons ensuite : l\{x) =f{a-\-he'\ ",+i',e'-.^, aj+i.^e--.'-, . . ) ((J) et opérons de la niême maniere, nous trouverons analogiquement : [78] Sur ces théorèmes on pourra consulter mon «Mémoire sur uiie methode pour déduire quelques intégrales définies, en partie très-générales, etc." inséré dans les Natuurk. Verhand. van de HoUaudsche Maatschappij der Wetenschappen te Haarlem. 2" Verzam. Dl. XA'IT. Paffe (;92. ■'+... 1'T METHODES D'ÉVALUAïlOJJ DES INTÉGllALES DÉFINIES. II. AdD.B.N'.79,80. 1 , , , i „ d.f(a,a,,a ) b, ^ d.t'(a,a,,a,,,...) . -- (Fe {■i-i) + Fe i—xi)} =f{a,a,,a., ,...) + - Cos. ra; ''^ " - + - Cos. r , x -^— '--'-^ -f- 2 1 da 1 da^ , b^ d./{a,a„a^,...) ir- d^ . f{a,a „a .„...) Zbb. d\f{a,a,,a,,...) + ~Oos.r,.-~^j^^ +...^.j^ Cos..r. — ^^ +T2--^''*-f ('-^'•' )^)~1^«7- ^ + b: d'-. f (a,a,,a. .,...) 2bb., ^ , , fZ^./(a,a,,a^,...) +~'^Cos.2r,.v--'~^''r^-''-^'+ ^ ; Cos.{ir+r,)x] ^ y - - + 1.2 «aj 1.3 ' da.aa^ Zb,b., , (P./(a,a,,u5,...) bl d^.f{a,a,,a^,...) + ^;-ic<,,.{(..,+..j.)-^L-^+-c«....-----^'-J+ (C) 1 , b d.f(a.a..a^,.,.) b. ^ cL fia.a. ,ao,...) b-y d.f(aM. ,a^,.. -{Fc-^'O — l'c( — xi)\ = — btn.rx -j- — C3in..r.x + bin.t\^x 2 é ^ 1 da 1 rfa , 1 da.^ ^].2 da- ^ 1.2 IV ^ >W ,iaJa, ^ 1.2 ' da] ^ .~^^2c- f' I , ^d\f(a,a,,a^,...) , 26, ^>, d^/(a,a,,a„...) ö^ d^ ƒ(«,«,, a,,...) +— 6..((,-+,-,)4 ^ y,;^,-;— t- i;,- 'S- {('•, +'-^)'^')-"7,^,;;^" + i-;2 ^°^-^'V-- "^^^-^ +-(D) Lorsque inainteiiant nous multiplioiis ces clévelüjjpemeiits par quelque i'oiictiou .j [x) dx, poui- inté- grer eusuite entre les limites « et |3, uons obtieiidrons les intégrales ƒ■' - {P,(*0 + Fc(— .ri)} ., Wda- et f'^;. [F, (^0 — F, (— ^-i)} ., {x)dx, i-'valuées (lans une suite (l'intégrales définies. Or, pour que cette methode mèiie a mie évaliia- ^ , . f? tioii propremeiit dite et légitime, il faut d'abord que les iiilégrales définies I Cos. s x.q^ [x) dx et a. (K. I Sin.sx.^\x)dx aicnt unc valeur coiniue, et ensuite qu'alors les séries deviennciit de telle nature qu'elles se soumettent légitimement a uue sommatiou, qui en général devra avoir lieuici suivaut Ie théorème de Taylor, 80. Or, il n'est pas difficile de trouver plusieurs intégrales définies, qui ont la propriété voulue. On a par exeuiple (Mélh. o, N\ 0) : ƒ Cos.nxdx = c', ƒ -' Cos.nxdx = „ ,- „ c«, } \--2cCos.x-\-c- 1— c^ ƒ \ — %cCos.x-\-c- 2 o 1-c^ o o /Sin. X n Sin.nxdx = - c", (c'0), (T. lyi-, N\ 5); doiic, cu multipliant o , dx la formule (B) par — et en eftectuant l'intégratiou entre et co , nous aurons : r^ 1 dx Tirhd.fla) _ b- d-.fia) j '^ i rr i i\ si \^ l■>l\^\ j ^ {F(.^)-F(-.ó} 7 = i[T-^+ 1:0 -,«. +•••] = ö {/('^+^)-/(«)}^- • (^^'D o f'^Sin.x f^Cos.x^, , 1 , -^ A\ Puisque Méth. !), N\ 16 011 a: 1 — - Cos. m-J.v = O, | _^ &«.«.w/^ = - 77, (pour m > 0), 'o n (T. 195, N'. 2, 3), on trouvera: ƒ" 1 , Sin. x -n , , - {F(.ri) + F(-.rO} — - ^-^^ = 7 / '^"^ Sin.'.i, . VI „ , f 30''^ f l_(F(:.0-F(-.n))^d^= ^{/(a-l-?')-/W} (=^03) Encore suivant Méth. 18, A'\ 8, -'"« I ;LS'/n. n.r. ■in--\-x'- 2 /•cc..„.-^^ = -^ .—,[&■«.«.. ^^^ = ^e— ,(T. 205, N\ 5,fi), don /l(^<-.+^<-"))i^=Ll/'"'+r-'^'^:'+S--ï'°'+-l=-^'"+"-'-''"*' Pa^e 094. ET .IIÉTIIÜDIÜS DÈVALUATION DKS INTÉGP.ALES DÉFIA'IES. II. Add. B. N'.80. o = ^ [/(« + l>e-"")-n^)] [79] (305) Puis OU a (Méth. 20, N\ 1 et 2): o " rSL{x)ds 5.„_,^,,,/^__- e-"'»rK.H - il(.-m)l , J m- + .v'- im •- o p j^C^)_ 5-,,_„,^^^_^. _^ (,_„,„_,«,„) ^;. (_„,), (ï. 435, N". 9, 5, 3, 7); J m'^+x^ 4 o doiic : fi (r(,,;) 4. r(-.n)] ^ '^'- ^^^ J., ^ ^ (&•■ ( - >n) - J/. (m)) ƒ («+^'^-""-). (306) "o ri ;F(^„-)^F(_.,,;)j4^^i1:^ rf^ = f e;, (-«!).[ƒ (a + 6c»') + ƒ (a+ic-'«0], • • (307) o r~ m.vi) - 1\ -xi)] 4^^ f?-' = f (£'■• (»0-Ek(-«)) [ƒ,«+/-.— )-ƒ(«)], . (aos) o rirE(av)-F(-..-)}-^^''\r^^ = -E^(-».).[/-(« + ^'e-™1-/(«+^^^^^^^ • • (309) f 2i ^ nr -\-x'' 4 *o Parce qu'on trouvait Méth. 24, N^ o : r Cos.nx'-'^'^^- = -Süi.nm, f 5«^«.f -^^^^ = - ^ ^«^'•«'«' (T- 206, N\ 1, 2), ƒ m''— A'^ 2m / ïn^— a;* 2 o ö on en déduit : / _|r(,ri)+F(-;j/)) - = — 10 +-S»i.mr -•^7- + — Si«.2mr---^+ ... I = ƒ .,1 ^ !^ '^ ''-'„42_^ï o„,l 1 rfa 1.2 (fa-' J (1 == _" r/'(a+/*e'«'0 —,/■(« + ^c-""'')]. (310) 4r?n' *-■ [7;>] Yoyrz sur ces deux formules A. F. Svaxbero, Nova Acta Soc. Seient. Upsal. T. X, A. 1832, [). 235. Page (;93, ^^ WIS- EX NATTJCRK. VERH. DKU KOKTKKL. AKADEMIE. DEEL VTll. II. Add.B.N\80,81. theorie, propriétés. formules de transformation, / (Fi'A-i) — r(— J4j) = I -CosMV-^ + --- Cos. 2mr ~^—^ + ... 1 == ƒ ai*- ' ^ 'i m^—x^ 2I1 da ' 1.2 da^ J b = ^[2/(«)-/(«+^e""-')-/(«+Z'^-""-0] (311) /•" x8\.[x) ^ n Eiicore a-t-011 Méth. 30, N". 3 les integrales 1 Cos.ihxdx ==— Si.{m). Sin.tnn , J ni'- — A-' _ 2 o ['" xSi.ij) n /'" Si.ix) n ^ ^ I —^ dx=^ CUm) et Méth. 1 S, N'. 24 l'autre / -^Sin.nxdx = — — Si.[m).Cos.nnu on aura donc ; n , xdx TTr . ^ (^ d.f(a) b^ d\f{a^ il / -[F{xi)+I(-xi)}Siix)^^^^~^^=-^-Ci/,m)J,a)+Sl.{m)^^^^^^ o = |[-«.M./(a)+^-S<.(«i).{/(a+5."'")-/(a+tc-'«'')}], . . . (312) /■» 1 ^ dx n p6 d.f(a) b^ d-.f(a) , / — fF(.M)— r(-.w)l'S''-G«) ; = — —SUm). \-Cos.mr-^-\- Cos.Zmr -■'^^ + . .1 = o = ^Siim).[f{a)—~{fia^bc'>'r')-\-f{a+be-'"")}] (313) SI. Ou pourrait augmenler facilement Ie nombre de ces théorèmes, comme il a été fait dans Ie mémoire cité : mais ici nous nous conteuterons de ceux-ci. Nous n'avons pas énoiicé sépa- ri'ment les autres théorèmes, qui regardent la fonction Fe, puisqu'ils s'en déduisent sans aucune difficulté. Ainsi par exemple les premiers théorèmes (298) ;\ (300) devieudront: ƒ \ o n T-2-^'==. ^/(«+^'^% «,+^«'-.,...1 (314) / l—2cCos.x-^c^ 1 — c^ b ƒ ~i_9 ^ ■ - — Cos.xdj;=-^ -f{a-{-be\ a,+b,e'i , ...], (31 o) ƒ -ZcCos.x+c"^ 2cl— c^' ^^{Fe(.w)-Fc(-^f)} -^—-^-^ r-^ Sin.xdx = f [/(a + bc; «,+Z,, 6'- „...)-/(«,a,, ...)]. [80]. . (;ilC) 1 — 2cCos..r+c^ zc*- [80] Sur ces théorèmes on pourra consuller A. V. Svanbeiig, Nova Acta Upsal., ï. X, p. 273, 274, OU cependant il s'est glissé des fautes dans les résultats. PaTC 696. ET METHODES D'ÈVALÜATION DES INTÈGRALES ÜÉFINIES. il. Add.B.N'.SI. Obseivoiis eiicore que plusicuis des tliéorèmss peuveut ètie difierentiés seloii la constante m, et que tant ces résultats, que quelques-uns des théorèmes primitifs peuvent êtie combines par voie d'addi- tiou et de soustraction, puisque souvent les fonctions {(Fc(a;ï)-|-Fc( — At}} et — ^.(Fc(««j — ^d — ■'^O}' étant lespectivement une fonction paire et une fonction impaire, jouissent d'un facteur Cosinus ou Sinus qui les distingue, tandis que leur autie facteur est Ie même. [81]. [81] Pour une plus grande quantité de théorèmes et de remarques a Fcgard de leur eniploi consultez mon Mcmoire cité dans la note [78], page 692. Page 697. >}fj* ADDITIONS ET CORRECTIONS. Page Liijtie. au liei de: lisez: Paye. Liyne, au 31. 3. F(a,;r) Y{x,x) 89. 9. Méth. 2 33. 38. 40. 17. H— 2 11. c-\-pi ^+^;} n—l + '/(»• + -, X -\- pi •- + S)} 93. 94. 9. O^i 41. ■■■/., 6, 7. r-\-dz 1 r — E r + 8z 95. 107. d^ dyo- 14, —x~V s, in. — 2p 5. lieu 44. 47. 51. 27. —ni 25. =A 10. -/H ■ni = — A 116. 130. 52. 56. 13. ^dy f = ~dy 136. 139. ,/l + 'S 6. ƒ -^'^-- 11, 13. -\-p 57. Zn 7 _L 2j; 12. /(O) - 1 '• +4.-^- «- 4 7rï— ^ 2 58. Sin.kz p Sin. ^ Sin. As l""^- Sin. x 141. 17. 1«;' "Jl. «3. 64. 70. 13. (f (p) -S«i. A'^ 17. [44] 13. ƒ W 22. > X 0 (j) (.k) &'w. ar?/ [45] Y{x) < X 142. 146. 1.47. 149. 2. 2"+i 5. +/» 11. p-^)(r- 20. (f, 2. e"»-v 85. X 11. Tang.xdx dr X l Tang. x d.v 6. e/'?[ 7. e-PH [ 21. positive P age 698. Méth. 9 1-/ e'- p^)(3^ négative ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. Page. Liyne. vu lieu de: l 150. 17. = = «0 151. •2(5. — ,i-nsq [bis ) + e-"'? 152. 28. /) < P> 153. 8. , (1'J7) 19. (j!<« n d < c 155. 13. N\ 7 W. 8 157. 20, 22. = — = :., (197) 178. 3,5,10,12.'- Sin. 2pq — ««h. -Zpq 'Zq 47 (5, 13. r ƒ 7, li. [2 180. fi. / 181 • ^ f 'r 209. 19. 2 qr 211. 3. 2 7 212. 10. 2p + 1 217. 10. —P 1/(1-/') 235. 2. Note 43. 238. 5. a'Vi 14. /.+1/2 241. 4. (2a + l) 1/ 8. 2«'2 ~ 2.1/ I 257. r- 2fi9. Li'jne. (lil lieu de: lisez: 1 1. Fuisque 1'uis », 10. e-1 (partout) e-U 20. Ajoutes: Pour « = J ?/ dans T. 188, N'. 5 et cï = 2^ dans T. 188, iV'. 6, nous aurons: i(l-^r)- dx __ _ J_ ?»■ 2_p /j+1 — P Note 50. l''|i ''+1/1 1/ 2«/2 = 2 r 250. lï). Ajoutez: Supposons c= O, ?)= 1 dans (246) et (248) pour obtenu- ï. 297, W. 1, 2; dont la somme avec T. 298, N". 19, 20'313. donne T. 298, W. 21, 22 rpspectivement. ' 3 1 0 Pa™ 699. ■' .,(^-^)^ 7i-,(2il4) 275. 13. 0 2a + l 16. a—Z 27(i. 3. _;,"+• 13. ;;<1 277. 12. ■jT,e-'i 13. e-1 278. 1. TT, e—'i 279. 8. Cos. 2 ax 285. 11. -f 0 18. N^ 1 289. 4. q — X 292. 16. i^—x") 299. 16. T{x) 305. 1. Siii.-^ 306. 2. Cos. px 309. 7. — E 310. 7, 10,13. 1 ', dx 1 l{l — 2.1') — = n^+nilZ. [2115) X 4 224+1 — a — 2 /'>1 ■rt ■ , e—i>9 2 TT — p" e—l") 2 ' - , e-l'1 iS{k. 2 flA' ^^ 1 N\ 2 q + X !"('•) Cosec.^ Sin.px E 1/ 1- Taihj.- Tang. '^ 18. 21. 17. Tang. '■' ^ Ajoutes: La somme de T 107, N'. 1 (418) et (419) donne T. 1Ö7, N'. 1 X -\->p 71 + 'f = =b = ^1 3 avec 4, 15., THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION Page. Ltyne. cm U eu de: liSPz : ]Par/e. Liijne. iiu Ueu de: lisez : 323. 15. -SïH.-^ ;. — Sin.'' l + 417. 2. N'. 7 N\ 6 325 s. ?'^); = 422. 7 a 11. a + H 4- 1 2 a + 71 -j- 1 328. n 6. - 2 TT 4 ■ 423. 426. 15. /2 = 11. Tang.-^ CoL- |>' 330. 7. =v = 4 427. 3. Sin. « C'os. « 341. 3. 1— ,r^ l+.r'^ 4. N\ 16 N'. 6 4. I^f^ 2 N'. 12. 433. 9. = = E'(.>) 345. dl 434. j 12. 149 14. xSin.px 249 Sin. px 346. 1. Sin.qr &m. rx 441. 9. Méth. S Méth. 9 5. -.^r) + -s)^}_ 460. 15 ± + 357. n 14. - 1 477. '47S. 1 18. +2/V 1. N\ 5 N^ 6 360. 2. 9 — .r- q'' — ,r- 479. l 18. Mcth. 44 Méth. 45 368. 12. 1/(1- 1 — 482. 19. f p2„ 375. 14. 2671 Ihpn 4S3. IG. = = TT 377. 379. 10. +x' 17. ,= 7. =7r '^Yp = ±7I 485. 486. TT 14. - 2 1 5. - 2 n 9 1 3 385. 17. W. 0 N\ 3 10. N'. 2 N^ 3 336. 2. £/,r((;31) dx -(631) 495. 496. 19. -pq){\ 2. A-Cos.« — «/>^ 505. 17, 19'. a — « + 395. 2. — 3p'^ + 3/>-^ 509. 8, 10, 11. <;«)« HS);? 3. 3;,^ 3;.* 510. 4. =,< - 2 <^ 2 7, 12. Siu.x. Cos. X Si;;.'' A'. Tung.x 6. = ds, < = (2s+l)d,<2 8.pil~p') pHi~p') 514. 18. N\ 11 N\ 3 396. 2.p{l-p^) pH^-p^) 518. 15. N'. 10 W. 4 397. TT 3, 13 +- ^4 ■71 ~~ 4 52 J. 532. 17. y 15. 27 9l 2/' 401. n 7, 9. 4 2. 32 N'. 7 7r + i 17 N'. 16 533. 531. 1. 2' 17. , (1527) 2P dx , (1527) 412. 10. Sin.-a: 5i«. X 535. 4. +(l_^/,,) -(1-V/p) Pa ^e 700. ET METHODES Ü'EVALUATION DES INTEGRALES DÉFINIES. Pa je. Liijn iin lie» de: tisez: Page. Liijne. au lieii de: lise 535. ]2. 2 px 2p 592. 13. H-iS" — 4:r 340. 13- -16. px 2px 597. 10. ;, + ,/^ p- -Jrq' 341. 14. r = X = 600. 20. = ± = =F 343. 12. v , _^ 605. 11. Cos.x CoL' X 545. 350. 12, 8. 13. d.<: Sec. x (Li; 607. 3. P-^^ p J P + 71 354. 17. ï. 10 ï. 1 608. 13. ■n{plq — 71 {pip 18. T. 157 T. 151 611. 1 . xl>—^ dy .r/'-l (^j; 559. 10. — 2q Cos. ,x + P' — ■ZqCos.:c -\- q- 6. Cos.^-l> Co.s.''-2 560. 3. Méth. 36 Móth. 34 615. u. ^"-^ rfj 565. 20, 71 2 TC 4 016. 1. ds — rfi 572. 574. 58S. 1. 6. 10. (1201) (1203) q'-\-x'' P^V 621. 631. 12. 2'/+2 9. ^-^-^'^^- r (/' + 7) 2ï+i r(r) r (r + 5) 589. 6. Cos.- dx Cos.^ X 649. 2. = = £;.(- 10, 11. l/{2(l f 651. 661. 12. = 2«+2„j 13. —2 2-9 + 2 14. 1 l 664. 2. 4m 13. 2qCos.smr 4 2 j Cos. m?' 59:J. 2. p-i 2 688. 8. T 89 T. 83 672. 21. Ajoutec: Chaiigeons a en h et soustrajoiis, alors: d.v {C05.f.l2")_6'0.S.(.l'2)) — = 1 1 2* 2" A; la soiiimc de (2083) et de T. 212, N'. 6 (du texte) donne: /■ ( ^ „ l ] dx 1 J { "■ ' l+x''] X 2" Faisons .v ^3/-" daus la T. 212, N^ 6, alors: ƒ" ( „ 1 I dx 1 lCos.(x- ) — Va+W — = — A; . I ^ ' 1 + x^^ ] X 2« o la (liflcrence de ces iiité^rales douiie: r f 1 _} \ ^ _ „ (2116) (2117) . (2118) (2119) Fase 701. ÏHÉORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, ETC. Pcige. Ligtie. 2 = y: I „ — \ - = 0 212 'o a en l>, et soustiayoiis, alors: r f 1 1 I da: ^ j [1 + 0:^" ~ 1 4- A .t- ~ " o K)s cliaiigeoris « en h, et (-- — ^-^7 = 1 682. 12. Ajoiitcz: Lorsque nous clmiigeor.s n en h, et que nous soustrayous, il vient: ,6 fZ.r / 1 1 „, , ,A (2122) 2' 2«/ Eucoie la somme de T. 133, W. 5 (du texte) et de (2099) donne: -^V"»-'^* ("^■'1 1 + ,f2 ] cv 2« o Mais T. 133, N\ 5 devient pour x = y-' : 1 \ dx 1 f(' la difierence des deux dernières intégrales donne lieu de nouveau aux intégrales (2119) u (2121). Eucore rcmplaQOus a par b dans (2123) et soustrayons-en (2117), nous aurons : r* -f' a dx I l W • ƒ ((,-.^- _ Cos.is^')] -- = j^^_^^- j A (2125) Pa^e 702. WIS-F.N XATlTltK. VEKIl HEK KO.N'l.NKl.. AKADEMIK. DKEI, VI "1 'Cjr, ':> r •' f 100127156 ..^<^ .^X V : k ^:~^- f'é V- ^-.^ % '-t^r'^