oe

4
a

aay gary
OU W

DER

L ATUURCUWDIGE WRPRISCHAPERN

DOOR

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)
(DEEL II. N°. 1.)

MET 5 KAARTEN).

AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.

1893.

ir

Digitized by the Internet Archive .
in 2012 with funding from
California Academy of Sciences Library

http://www.archive.org/details/verhandelingende21893koni

BRU WSTOFEEN

VOOR DE GESCHIEDENIS

DER

Wid EN NANDORKONDIGE WETENSGRAPTEN

IN DE NEDERLANDEN,
DOOR

D. BIERENS DE HAAN.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)
(DEEL II. N°. 1.)

(MET 5 KAARTEN)

Ti GE

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1893,

BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS
DER
WIS- EN NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN
IN DE NEDERLANDEN.

DOOR

D. BIERENS DE HAAN,

Can Lan)

N°. XXXII. ConsTanTIIN Huyeens, als Waterbouwkundige,
MICHAEL FLORENTZ. VAN LANGREN.

1. Het is bekend, dat CONSTANTIJN HUYGENS, de vader van
CHRISTIAAN HUYGENS, uitgebreide briefwisseling hield, — niet alleen
die, welke zijne betrekking als secretaris der drie stadhouders hem
oplegde, maar ook zijne eigene, over allerlei takken van kunst en
wetenschap. Dezer dagen kwam mij een waterbouwkundig ontwerp
van den ingenieur MICHAEL FLORENTZ. VAN LANGREN onder de oogen,
waarbij ook brieven van onzen CONSTANTIJN HUYGENS voorkwamen;
die stukken zijn afkomstig uit het legaat J. T. Bopez NrseNHurs,
berustende in de Leidsche Universiteits Bibliotheek. Door de wel willend-
heid van den Heer ARNOLD, Conservator der Bibliotheek te Gend, die
mij verschillende andere stukken toezond, werd ik in staat gesteld dit
onderwerp nader te onderzoeken. Die geheeie zaak is ook niet van
belang ontbloot voor de geschiedenis der waterbouwkunde; derhalve
moge hier het een en ander daarover volgen. Doch zien wij eerst,
welke de betrekking is tusschen den geleerde en den ingenieur.

2. In 1580 vestigde zich te Arnhem een zekere JAKOB FLORIsZ.
LANGREN [of LANGEREN|, een kaartgraveur. Deze, met zijn zoons
ARNOLD FLORENTIUS en HENDRIK FLORENTIUS VAN LANGREN, gra-
veerde de kaarten voor het Reis-geschrift!) van .J. M. van Lin-
SCHOOTEN *), dat in 1595 het licht zag. Omstreeks 1600 verliet de
geheele familie, die streng roomsch catholiek was, en, naar het schijnt,
het protestansche Noord-Nederland weinig genegenheid toedroeg, deze

ae Es
Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. IL.

4 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

gewesten, om zich te Antwerpen te vestigen. De oudste zoon ARNOLD
FLORENTIUS, die TycHo BRAHÉ bij zijne waarnemingen had bijge-
staan, werd door de aartshertogen FERDINAND en ISABELLA tot hun
spherograaf [of wiskundige} benoemd, en vestigde zich in 1600 te
Brussel. Later verkreeg hij diezelfde betrekking bij koning Philips
IV tegen een jaargeld van 300 & Artois [f. 1800]. In 1609 leverde
hij aan de stad: Antwerpen voor 120 @ een ,sphera mundi” en in
1620 twee „spherae” eene van den aardbol, eene van den hemel;
waarbij hij eene verhandeling ®) schreef, die echter ongedrukt ge-
bleven is.

Met den vader ARNOLD FLORENTIUS, kwam ook zijn zoon MICHAEL
FLORENTIUS VAN LANGREN te Brussel. Hij werd daar, na den dood
van zijn vader, cosmograaf of wiskundige van den koning, woonde
daar in het Warmoesbroeck, later in de Hoogstraet bij de Roode
Poort, en overleed er in het begin van Mei 1679. Hij schreef eerst,
in 1644, over de zoogenaamde bepaling van Oost en West“) en gaf
daarop in 1645 een nieuwe maankaart 5), waarbij hij aan de ver-
schillende vlekken, enz. namen gaf van beroemde personen. Onder
deze vindt men ook onzen CONSTANTIJN HUYGENS ®). En deze ant-
woordt daarop met een gedicht, dat voorkomt in de Momenta De-
sultoria 16557), Epigrammatum Liber X, pag. 336, dat aldus luidt:

In M. F. LANGRENI Zedevodaouov.

„Parcite virginea naevos in fronte Dianae
„Quaerere, qui radiis itis ad astra Sophi:

„Nobilis infami divam fuligine Censor
„Liberat, & vitio versa decora probat.

„Langrius, audaci subiens convexa volatu,
„Primus in illustri sidere castra facit,

„It foedae pertaesus humi qua sanguine nullo
„Lurida perspicuis ripa lavatur aquis,

„Surgite, mortales aegri, de faece maligna
„Terrarum, quas in frusta furor secuit,

„Et fratrum temeratus amor dulcedine praedae,
„Et malè mentitum publica jura nefas.

„Integra res alibi est. socias in regna tiaras
„Langrius & gratis & sine lite vocat.

„Exuat invidiam proles insana Philippi;
„Hie & Alexander quo satietur habet.

„Nondum sic veteres avias pulmone revello?
„Qui loquor haec, ingens ipse dynasta loquor.

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN, 5

„Sed loquor immeritus. Quid agis, clarissime Langri,
„Quâ me fronte Deos inter & astra locas?
»Excidis intentis, ingentibus excidis ausis;
„Impare congressu corruit iste labor.
„Tota nitet virgo, totius Cynthia Caeli
„Instar habet; quot ibi castra tot Astra facis.
» Tolle quod hie unum sordet: Quod Regibus addis
„Hugenium, malè; quod sideribus, macula est.

[Maldeghem 19 Augusti 1645.]

De hoffelijkheid van van LANGREN, en de dank daarvoor van
CONSTANTIJN Huygens bewijzen, dat zij elkander kenden en waar-
deerden. Waarschijnlijk hadden zij in Antwerpen kennis gemaakt,
waar HUYGENS meermalen vertoefde en vele kennissen had, zoo als
o. a. de familie Duarte, die aan hem en aan de zijnen menigen
dienst bewees.

Wat nog betreft de ingevoerde benamingen van de maanvlekken,
VAN LANGREN had zich met recht te beklagen over JOHANNES
HeveLius, die in zijne Selenographia 16475), en over GIOVANNI
Barrisra RICCIOLI, die in zijn Almagestum Novum 1651 °) dezelfde
methode met zeer verschillende namen toepasten.

Stippen wij nog aan, dat VAN LANGREN in 1640 over een drievoudig
kanon 1) schreef, en volgen wij hem dan bij zijne, meestal vergeefsche,
bemoeiingen omtrent het verbeteren der Belgische zeehavens.

3. Reeds in 1624 bemoeide hij zich met de haven te Mardijck,
die hij met Duinkerken wilde verbinden door een kanaal, dat hij
„Fossa Marianna Regia” doopte, en dat dienen moest, om bij afwis-
seling de havens te Mardijck en te Duinkerken van het ingespoelde
zand te zuiveren, en op bekwame diepte te houden. Herhaalde malen
kwam hij telkens op dit onderwerp terug; het verlies van Duin-
kerken maakte echter die plannen onmogelijk, en in 1653 beschreef
hij alles, wat daaromtrent geschied was, in eene Memorie !).

Description particuliere du grand changement que le Sable ou banc
de Marpyck (cest Porrvs icctvs selon Mont. Chiflet P))
a fait depuis Van 1624 jusques au temps present 1653.

„Michel Florentz van Langren Cosmographe de sa Majesté a
„tracé les quatre differentes figures du sable ou banc de Mardyck:
„representées en cette Carte”), laquelle est divisèe en quatre petites,

*) Zie deze kaart achter dit stukje, Kaart NO. I,

6 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„dont la premiere decouure le terroir & la marine, comprise entre
»Duynkerke, Linke & Grevelines, montrant en petite forme comme
„le sable estoit en Van 1624. lors que le Port de Mardyck avoit deux
» bancs, & deux canaux vers Orient. Le plus grand banc estoit
„nommé # Schuerken, lequel avoit 12 pieds de bosse par dessus la
„superficie de la basse marée, l’autre estoit plus plate, ayant le nom
„de Schutebeeck. Les grands navires logeoient entre tSchuerken & la
„plage, allans & revenans sans charge & sans canon par lesdits canaux
„lesquels n’avoiet que 4. pieds de fond a basse marée. Mais au
„grand port de Mardyck il y avoit bien 6. 7. & 8. brasses de fond
„a basse marée, & devant la Ville il n’avoit que 2. 3. & 4. brasses
„chaeun de 6. pieds, estans les bancs & la plage jusques aux Dunes,
„deux fois par jour couuert de la haute mer.

„Les Nauires de guerre d’Hollande & Zelande se tenoient ordinai-
„rement sous les bancs dit Brebanck & Brake, pour empescher Jes
„entrées & sorties de ceulx de Duynkerke. Le Port interieur de la
„Ville n'est gueres spacieux, estant a demy rempli de boüe, ayant
„aussy fort peu de Caye pour loger les Navires du Roy, des Mar-
,chands, & des estrangers, n'ayant que l’eau du Canal de Bergues,
„quelque peu de la Moere, avec ce qu’on enserre par l’ecluse bleuë,
„pour nettoyer & entretenir ledit haure.

„ba deuxieme Carte demontre la figure du sable comme il estoit
yen lan 1625, auquel vn voit qu'un desdits passages estoit serré, en
„l'autre flottoient trois tonneaux servants de guide aux grandes Navi-
„res. La baterie de bois dite de N. Dame de Montagu estoit ache-
„vóe, mais e Fort Royal qu'on a depuis faict sur les dunes, n’estoit
„encores commencé.

„La troisieme Carte represente la figure de la marine comme elle
„estoit en Van 1639. on ne trouuoit que 2. 3. & 4. pieds de fond
„devant la Ville, ou il y avoit autant de brasses en l’an 1624. & 25.
„ee qui est vn notable changement en si peu d’annees, la basse Ville
„de Mardyck estoit achevée, comme on la voit en la quatriesme
„Carte, laquelle decouure le miserable estat dudit sable en l’an
„1645. lors que les Francois prindrent M/ardyck, ayant l'agrandissement
„de la Ville esté faict en l’an 1640. La fascinade ou passage des Navires
„située sur le bane estoit brisée & cachée dessoub le sable, & n'avoit
„le port exterieur de la Ville pas vn demi pied d’eau a basse marée.

„Van Langren ayant preueu & predit ce grand changement passé
„28. ans, a cause qu'il recognut que le sable glissoit et voloit avec
„plus de force vers l'Orient qu'au contraire, il representoit qu’en peu
d'années le haure de la Ville & celuy de Mardyck viendroient a
„neant, ne fut qu'on voulut mettre en ractique certain artifice par

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 7

„luy inventé: pour arrester ou pour faire aller le sable desdits bancs,
„disant qu’il seroit bon de faire vn Canal de 150. ou de 200. pieds
„de large, depuis le bout du haure de Duynkerke jusques vn peu par
„dela le Fort de Mardyck, comme on voit figurativement en la troi-
„sieme Carte par les lettres A. B. C. D. Ce Canal auroit deux es-
„cluses, l’vne en. B. & Îautre en D. afin de pouuoir journellement
„enserrer quantité d’eau de la mer entre icelles, tant pour escurer
„le haure de Mardyck, comme celuy de la Ville, lequel deviendroit
„par ce moyen plus spacieux & plus profond.

Si cela avoit esté faict, on auroit eü place assés pour loger 2000.
„Navires : Mardyck auroit esté annexé a la Ville de Duynkerke,
„au long des deux Diques auroit on peu bastir beaucoup de mai-
„sons pour Marchans, Maronneirs, & Pescheurs, & auroient les
„Navires esté coduitz par ledit canal jusques a la Caye de la
„Ville, & mesme demeuré flottans en l’eau, sans se creuer sur le
„fond par leur pesanteur. Au moyen de ces deux escluses auroit
„le Roy esté maistre dudit quartier, lequel on auroit en temps de
„neeessité peu inonder & tenir soub l'eau, veü que le terroir est assè
„bas & de peu de valeur, les’ François auroient par ainsi eü de la
„peine pour passer ledit canal, & se fourrer aux dunes, pour assieger
„& prendre Mardyck, & la Ville, lesquelles ilz ont trouve tout des-
„couuert, comme on voit en la quatrieme Carte. Si ledit Canal avoit
„esté faict, il n’auroit par esté besoing d’entreprendre en l’an 16 37.
avec tant de frais le haure de Greueline, lequel ouurage a esté
„delaissé en celluy de 1638. apres que le Feu Prince CARDINAL Ix-
»FANTE ©), le Prince Tomas DE Savoye ), & tous les Conseils,
,avoient consideré les raisons de van Langren. Si cela avoit esté
„faict en temps, on auroit peu recevoir en icelle la grande Flotte
„Navale de Sa Majesté, laquelle fut conduite par Don Antonio de
»Oquendo, & fut totalement ruinee sous Duyns en l’esté de 1639.
„apres que van Langren avoit dit a vn grand Ministre que ce
„seroit bien de faire venir les navires du Roy sous #reebanck &
„Brake, place où se tenoient ordinairement les Navires d’Hollande.

»Van Langren ne se lassant nullement de poursuivre le service
„du Roy, a renouuellé ces choses es années de 1637. 39. 42. 44, 45.
„& finalement en lan 1646. lors que Son Excellence le Comte de
„FUENSALDANA avoit si heureusement reprins le Fort de Mardyck,
„lequel s’estant retiré en Espagne, procurà aux instaces de van
„Langren que Sa Majesté eserivit par advis du Conseil d'Estat de
„la Monarchie au Gouuerneur du Pays qu'on auroit de faire le
„susdit canal de Mardyck; ce qu'ayant esté negligè les Francois
„prindrent le Fort de Mardyck la seconde fois, & peu de jours apres

8 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„la ville de Duynkerke en Yesté de l’an 1646. Le Toutpuissant
„ayant benit les Armées de Sa Majesté sous l’heureuse conduite de
yo. A. le Serme Archiduc LEOPOLDE GVILLAVME 1) par les repri-
„ses de Greueline, Mardyck, & Duynkerke, aydé des bons Conseils
„de sadite Exell. & qu’il est notoire que cest Estat ne sçauroit
„fleurir sans ports de mer, d’autant que ceux d'Ostende, Nieuport &
„de Greuelines, ont autant besoing d’estre meliorez que celluy de
»Duynkerke, lequel comme on scait, est tellement bouché par le grand
„Sable, qu'a peine il y peult entrer ou sortir vn Nauire sans charge,
»& se ruinerà de plus en plus, impossible pour le remedier: desorte
„que cette tant renomme ville maritime sera bien tost vne ville
„terrestre, esloignee de la mer, ce que durera pour le moins 200.
„ans avant que le grand banc de sable aura passé le port; comme
„van Langren a dit allieurs, ne fut qu’on voulut en preuencion
„faire le Canal susdit pour conduire les Navires de mer jusques a
„la Caye de la Ville, lesquelles s’arrestent presentement toutes au
„Port de Mardyck dou il fault mener la marchandise par terre ou
„par des Bylandres en la Ville, non sans grans frais des marchans.
„Et comme cette Proposition en tout temps a esté estimee de plu-
„Sieurs Seigneurs de jugement, il luy a semblé estre de son devoir
„de le releuer, & presenter a S. A. Ser™e ne doubtant que ceulx qui
„font estat de la Nauigation, & bien de la Patrie, y tiendront la
„main, avant qu'il y survient quelque nouveau changement.

„Toute la Flandre deviendra par moyen de ce nouveau Port de
„mer tres-florisante, & sera la Ville de Duynkerke avec le temps
„non moins renommè que celuy d'Amsterdam; le canal FERNANDINA
„sera par ledit moyen restaurée, en grand benefice de ceux de Bruges,
„les despences de cest ouvrage ne seront si excessives comme quel-
„ques vns lont prefiguré, & pourra mesmes estre faict en vn année
„seul, sans les deniers du Roy.

„Les Escluses seront quelque peu differents de celles qu’on a
„practique jusques a present, & ne donneront aucun empeschement
„aux Navires entrans & sortans comme les autres. Et pouront ceux
„de Berges S. Winox se servir de la mesme commodité, moyennant
„qu'on faircit vn double escluse environ de D. comme on voit en
„la troisiesme Carte.

„Si neantmoins quelqu’un veut produire vn melieur concept pour
„beneficier la Ville de Duynkercke, la Flandre, & tout l’estat il sera
„toujours aise d’y condescendre, moyenant que l’un & l’autre soit
„attentivement consider par des gens du mestié. C'est ce qu’il supplie
„avec humilité a Sa Majestè, a Son Altese Serenissime, & aux Con-
„seils de le vouloir faire ainsy si on a desir de faire le susdit Canal,”

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 9

4. Van de vier Belgische zeehavens, Ostende, Nieupoort, Greve-
lingen en Duinkerken, bleef gedurende deze tijden van oorlog alleen
Ostende in het rustig bezit van het rijk, en daarom kwam VAN
LANGREN telkens terug op zijne plannen voor die zeehaven, onder
andere in eene brochure, uitgegeven in 1650 16); maar ook hier
had hij met veel tegenwerking te kampen. De Belgische ingenieurs
van dien tijd schenen niet gediend van den meer wetenschappelijk
. gevormden man, en bleven — hoezeer zij in hunne pogingen faal-
den, zooais ook VAN LANGREN voorspeld had, — juist daardoor
misschien te feller tegenstanders van diens voorstellen. Een omstandig
verhaal daaromtrent vindt men in zijne memorie aan den koning,
waarbij men een kijkje krijgt in de toenmalige ingenieurs-wereld
in België.

AvRo 7.

„REmonstre tres-humblement Michel Florencio van Langren Cos-
„mographe & Mathematicien de Sa Majesté, qu'il a dez son bas eage
„passé 35. ans considerée la disposition des affaires publiques, &
„principalement celles qui regarde la Marine, Commerce, & Navi-
„gation de la Mer, s’imaginant & sans aucune doubte, si on ny
„prennoit esgard en grande haste que les ennemis de la Religion
„Catholique, ne deviendroint non seullement maistres absolus des
„Mers de pardecà, mais aussi avec le temps en celle des Indes,
„à la totale ruine de la Monarchie Catholique, ce qu’ayant pre-
„veu dez l’an 1625. il representoit à la Serme Infante Madame
„ISABEL 7) de glorieuse memoire, la maniere pour tirer un Canal de
„Duynkerke vers Mardyck *), à cause qu’il recognut que le Port de
„la ville estoit trop petit & incommode, pour pouvoir loger nombre
„de Navires. Et ayant van Langren par ordre verbal de ladite
„Princesse fait une visite & description des costes, & des quatre
„Ports de Mer de la Flandre, il representoit aussi en l’an 1627.
l'unique moyen pour mettre en bon estat le havre d'Ostende, &

\

„de faire secher les terres, que à cause de la guerre avoint estez
„iuondées. Mais cela ne fut fait audit temps, à raison d’une im-
„pression erronée que quelques Ingenieurs & inhabitans de la
„Ville avançoint.

„Et l'ayant renouvellé en l’an 1638. (par induction du Prince

»THOMAS, avec ce qu'il avoit consideré pour le havre de Nieuport)

*) Zie de Aanteekening N°. 11,

10 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„peu de temps apres qu'il avoit demonstré V’invaiidité du nouveau
„havre de Grevelingues, que le Marquis de Fuentes !’) General
„de la Mer, avoit commencé, sur advis du Commis Kesseler (pour
„lors) Superentendent de la fortification de Flandre, & des Inge-
pnieurs Coeck 1) & de Bucg. D'où tant de malheur a esté occa-
,sionné au pays. Et comme la susdite proposition d'Ostende
„fut communiqué audit Ingenieur Coeck, il s’opposoit à icelle, par
sun advis pueril, & nullement fondé en raison, ou science, comme :
»il peut verifier.

Van Langren ayant en lan 1642. recognu que Don FRANCISCO
„DE MELLO *) faisoit grand estat de la Mer, il luy donnvit ad-
„vertence de sondit concept d'Ostende, sur lequel il respondit amia-
„blement par escrit, ordonnant à van Langren de le suivre lors
„qu'il alloit pardelà en Avril 1643. & ayant fait comprendre à sa-
„dite Ex® & au Prince de LixarN, par demonstration Physique: au
„moyen d’un jeu de Carte, qu'il y avoit de l’eau en la Mer, lequel ne
„se meut ou se bouge, parle flux ou reflux (sur quoy il fondoit sondit
„desseing) Il se resolvà de le faire en la mesme forme & maniere,
„comme il est designé en la Carte n°. 1 *), & auroit aussi esté executé,
„S'il n’avoit receu la disgrace à Rocroy peu de jours apres.

„Au mois de Fevrier 1650. s’efforçoit le Gouverneur & le Magistrat
„d'Ostende, par induction de l’Ingenieur //enrick Jansen de porter
„le Serme Archiduc LEOPOLDE GVILLAVME, pour pouvoir coupper
„quelques dicques du costé de Santvorde & Stene, croyant par ce
„moyen d'approfondir le havre, ce qu'ayant esté advisé à van Lan-
„gren, il se trouvoit en homme d'honneur, & de conscience obligée,
„d'advertir S. A. S. & au Conseil, ce qu'il avoit es années 1627.
„1638. & 1643. representé & demonstrée, afin d’empescher que ce
„sage Prince, ne causeroit (sans necessité ou bon effect du havre)
quelque dommage & tristesse au peuple. Il fit en cette conside-
„ration & avec haste, graver & imprimer la susdite Carte n°. 1 *),
„avec inscription; & l’ayant expliqué a S. A. il disoit d’estre bien
„aise de l'avoir veu, asseurant par des paroles tres-benignes, qu'il
„avoit horreur de causer aucune tristesse ou dommage au peuple,
„disant qu’on estoit sur le point de prendre resolution; promettant
„a van Langren de considerer, & recognoistre à son temps ses bon-
„nes services.

„S.A.S. ayant par advis de ceux de Finances, ordonné a Pierre
„de Roberti Commis & Superintendent de la fortification du Pais,

*) Zie dit kaartje hierachter, Kaart NO, IT.

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 11

„de bien considerer la susdite proposition de van Langren, il se
„transportoit en Juin 1650. vers Ostende avec les Ingenieurs Coeck,
„Jansen, & VArchitect Merckx, sans en aucune maniere donner
„advertence, ou advis a van Langren, lequel s’il y eust esté appellé
„(selon qu'il luy sembloit convenir) il auroit peu expliquer son
invention visiblement sur le lieu.

,Ledit Comis & les Ingenieurs ayant en Juillet avisé a $. A.
„(lors qu’il estoit en France) que la susdite proposition de Van Lan-
„gren ne vailloit rien, asseuroient qu’il ny avoit autre ny melieure
„Invention pour profondir le havre, que de faire une grande & forte
„Palisade, Dicque ou Estaccade, depuis la Cataye Orientale note I.
»jusques à la verde dicque note K. en la susdite Carte, aleguant
„(selon qu'on a relatè a van Langren) que cela ne cousteroit que
» TROIS CENT MILLE FLORINS, a quoy S. A. ne voulut incliner.

„De tout quoy ayant van Langren esté adverti, il presentoit le
„19. d’Aoust 1650. une requeste*) au Conseil, disant que cette
„grande dieque ne seroit non seullement dommageable pour le Royal
„tresor, mais en particulier pour la Ville, comme estant un concept
„directement contre les regles de fortifier; asseurant que le havre
„ne seroit par ce moyen en aucune maniere melioree, aleguant
,quil seroit beaucoup mieux (si en cas on ne voulut faire le dicage
»& ecluses qu’il avoit represetée) de faire au long du havre un petit
„ouvrage de bois, lequel ne cousteroit que cinquante mille florins
„en 6. ou 7. ans, au lieu de 300. mille, & lequel pourroit estre fait
„& achevéc en un mois, verifiant par sa signature, d’estre oontent
„que audit ouvrage seroit frayé & compté, les douse mille florins,
„que le Roy le devoit en ce temps de son gage, & que icelles seroint
„perdus pour luy, sì par apres on recognut par experience, que son
„dit dessaing & ouvrage ne vailloit rien, à condition (comme de rai-
„son) sil fut trouvé bon & loüable, qu'il en seroit satisfait, pour
„avoir sauvé l’estat d'une si excessive despence, que ledit Commis
„Roberti vouloit consumer avec ses Ingenieurs, en un temps lors
„que largent estoit si cher, requerrant le Conseil avec humilité,
„(afin de ne frayer un soul mal à propos) de le faire ouyr verbale-
„ment, par eux mesmes, ou par des personnes & Ingenieurs, con-
,joinctement ou separement, afin de pouvoir naivement expliquer ses
„pensees par viue demonstration, comme estant un affaire dependant
„de sa profession Mathematique. Sur cela fut ordonné par lettres
„expres, dathe 20. Aoust, gue van Langren s'auroùt de transporter

*) Vergelijk de aanteekening N°, 16,

12 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„d Bruge avec le Conseillier Malineus, pour y entendre ce que ledit
„Conseillier d Commis Roberti le communigueroint, à Vesgard du
„havre d'Ostende, afin d'y resoudre en cest endroit. Et cependant
„eonsultoit le Conseil à S. A. S. en faveur de van Langren, lequel
„ordonnoit qu'on ne fairoit rien sans l’avoir oüy. Mais comme Roberti
„(selon que le Conseillier Malineus à relaté) ne vouloit venir en
„conference avec van Langren, parlant en sadite lettre en son
„dishonneur, cela occasionnà que van Langren presentoit une se-
„conde requeste, le 14. de Septembre 1650. par laquelle il offroit
„genuement de faire trois demonstracions publicques sans les frais
„du Roy, la premiere devant le Conseil de Finances, la deuxiéme
„devant ceux du Francq & de Bruge, & la derniere devant le Gou-
„verneur & Magistrat d'Ostende, s'obligeant de se sousmettre a leurs
„opinions, ou de ceux que S. A. ou le Conseil seroient servis de
„deputer, & afin d'illustrer la dispute, & deveiller les bons esprits,
„il asseuroit par sa signature qu'il donneroit un present *) de Sis
„CENT FLOBINS f), a l’Ingenieur, ou a la personne qui sgauroit donner
„une melieure invention que la sienne.

„Tous quelles choses ayant aussi esté veu par le Conseil, ils depe-
„schoient le mesme jour leur seconde lettre, ordonnans a van Lan-
„gren, de se transporter vers Ostende, pour conferer avec l’Ingenieur
„Hendrik Jansen. Et van Langren pour tant mieux donner à en-
„tendre ses pensées, faisoit avec haste imprimer un petit livre en
"Flamand $), du havre d'Ostende, lequel il fit Censurer par quatre
„personnes, faisans professions des seinces [sic], contre quel escrit
ledit Comis, ny aucun des Ingenieurs susdis, se sont osè opposer
„par aucun escrit publie, comme ça en tout temps, & par tout le
„monde estè la coustume, de ceux qui veullent en aucune maniere
„se faire cognoistre pour des hommes d’esprit; encores que les ma-
„tieres dont estoit question, ne importoit par fois pas un soul.

„Mais au contraire ledit Commis avec quelques une lesquels ne
„scavent ce que c’est des sciences ; & qui ne sçavoient comprendre
„les speculations Physiques du mouvement de la mer, se mocquoient
„de van Langren, & de ses escrits, aimans mieux de passer outre avec
„leur Constable dicque que d’intenter en vain aux 600. florins susdits.

„Le Serme Archiduc estant retourné de la campagne de France,
envoya en Octobre 1650. le Prince pu LixaIN vers Ostende, afin

%) Van dit aanbod maakte de Notaris van HEEDE te Ostende eene acte op, den
18 Juli 1651.

+) Deze som werd in 1660 tot 3000 escus verhoogd,

§) Het boekje van aanteekening N°. 16,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 13)

de considerer en quelle maniere il conviendroit de le faire, mais
„comme le dit Seigneur, fut surprins par la mort à cause de l’hu-
„midité de l'air, n’a sceu declarer a S.A. que ladite proposition
„de van Langren estoit la melieure, comme il avoit dit & asseuré
„au Seigr de Hellebus Gouverneur de Oudenarde & & quelques
„autres personnes de qualité, lors qu'il retournoit par Gand.

yo: A. ayant le 15. de Decemb. 1650. à la requisition de van
„Langren ordonnè au Conseil, qu’on luy envoyeroit ce qu’on devroit
„faire, le Commis Roberti l’envoya le 17. derechef sondit dessaing
„de ia grande dicque, a laquelle S. A. se conforma, & cause qu’il
„eroyoit qu'on avoit tenu la conference, laquelle il avoit ordonné
„passé plusieurs mois.

„Mais comme le Commis depeschoit en suitte de la susdite reso-
„lution, ses Ingenieurs ca & la, envoyant Jansen au Pays de Luxem-
„bourg, pour faire coupper des arbres, van Langren informa cepen-
„dant tous les grands Seigneurs de la Court, mettant en considera-
„tion importance de la Ville d'Ostende, & combien de sang, &
„d'argent elle avoit cousté à l'Archiduc ALBERT. Il envoyoit aussi
„a S. A. au Conseil, & par tout, ses deux petites Cartes no. 2. &
„n°. 3.*) ou les deux dessaings à sçavoir celuy de ses contredisans,
„& le sien sont separement representez. Tout quoy ayant esté veu,
„& que le Sree Archiduc & le Conseil avoient considerèe les petits
„Versets f) que van Langren avoit fait graver sur icelles 8), cela
„changeà en un instant, ce qu’on avoit resolu, car le Conseil dressoit
„une Consulte à S. A. a l’inceu dudit Commis.

„Roberti alterée de ce subit changement, temporisoit l’affaire, &
„ne parla pas une parole d'Ostende, le reste de l’annee 1651. par
„ou apert qu'il ayma mieux la ruine du havre, que de vouloir
,condescendre a une melieure & moins coustable proposition que la
„siene, van Langren l’exhorta cependant par escrit, de ne vouloir
„ensevelir cette derniere resolution de S. A. mais en vain, car le Com-
„mis asseuroit à ses amis, de ne jamais plus se meller de la fortification.

Van Langren ayant en ces entrefaits : par induction de quelques
„grands Personnages de la Flandre, esté convié pour se trouver à
„Bruge, à la Consecration des Illustrissimes Evesques de Bruge *}),
„& de Rurmonde ?), il se transportoit à la requisition de Messeig-
„neurs de Gand ?3), d'Anvers **), d’Ephese & de Rurmonde #), avec
„eux vers Ostende, le jour de S. Anna **) 1651. ou ils desiroient de

*) Zie de kaartjes N°. IIL en IV hierachter.

J) Zie het stuk aan het eind van $ 6.

§) In het pamflet aangehaald in aanteekening N°. 34.
**) St. Anna is 26 Juli,

14 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„voire la mer & le havre, van Langren se servant de cette notable
„occasion, presentoit par leur Sacre mains, une requeste Notorial, au
„Gouverneur & Magistrat, par laquelle il renouvelloit pour la troi-
„siéme fois de comparoistre en public, & de se soubmettre, & de
„donner les 600. florins comme si devant a esté dit, mais tout en
„vain, car il n’a jamais peu attirer ces contredisans, en une si nota-
„ble & honorable compagaie, ou ils pourroient acquerir argent &
„honneur, par ou il apert comme en un miroir qu’en leur cœur
„estoit escrit, QUE VAN LANGREN AVOIT RAISON.

„Cependant ledit Commis aide d’un Ministre de plus grande
„authorité, s’efforcoient (alors comme encores pour le present) d’em-
„pescher le bon payement des gages que van Langren a gaigné, &
„merité depuis l'an 1626. mais parloient & parlent encores par tout
„en son dishonneur, comme s'il ne meritoit chose quelconque, sans
„prendre esgard aux estimables lettres, que Sa Majesté a escrit
„sur les choses de son entremise & de tresgrande importance, ny a
„plusieurs notables Consultes, que le Conseil a par cy devant dressé sur
„quelques uns d'icelles, ny aussi sur les trois points de considera-
„tion: que van Langren a noté en son escrit de Fossa MARIANNA *),
„ny sur la remonstrance qu'il a paraphé le 9. d’Aoust 1657.
„par laquelle van Langren demonstre que Sa Majesté a en lan
„1647. esté comme contraint, d’accorder tout les demandes des
„Francois, & Hollandois, pour avoire la Paix, à cause que ses ad-
„versaires avoient empesché, ce qu’il avoit de temps à autre repre-
„sentée pour le bien de cest estat. Ne faisant veritablement aussi nul
„estat des cincq decrets que le Serme Prince Don JUAN D’ AUSTRICE °®)
„a envoyé au Conseil, a raison que le Ser™ Prince DE CONDÉ *?)
,lavoit asseuré qu'il n’auroit sçeu assiger Courtray en lan 1646.
„si on avoit suivi l’advis de van Langren, sur lequel decret ledit
„Ministre a mis de sa main qu’il en estoit satisfait, sans l’avoir
„donné chose quelconque. Ayant le dernier tesmoingne une joye
„indicible de la troisiéme perte de Mardijck, lors qu'il disoit a van
„Langren que cela alloit bien, (WANT DE PAPEN SULLEN NU VEEL
„GELDT MOETEN GEVEN) car les Ecclesiastiques seront contraint (disoit
il) de donner beaucoup d’argent &c. Tout quoy avec ce que dessus,
,& derriere, a obligé a van Langren de presenter cette requeste
„Apologique a Sa Majesté, desirant par icelle aussi d’empescher que
„les estrangers ne jetteroient par inadvertence la coulpe des pre-
„sentes malheurs du Pais, sur quelques Illustres Personnages, ou

*) Zie het werkje van Aanteekening N°. 11,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 15

„sur les Espagnols, puis qu’icelle competè a six ou sept Flamans
„de moindre qualité, lesquelles sont tous cognus a van Langren.

„Estant le Commis Roberti, vivement pressé par ceux d'Ostende,
„pour faire redresser & meliorer. leur havre, soit par l’un ou par
»lautre moyen, à cause que dicelle depend tout leur bonheur. Il
„ne trouvoit autre expedient que de faire signer plusieurs jeunes
„Ingenieurs ce que luy sembloit propre a son dessaing, & les fit
„aller avec le Bourgemaistre van Borm, & avec le Pensionnaire
„Tristram, & quelques Bourgeois d'Ostende vers $. A. S. & de
„Ministre, à Ministre, ou ils exclamoient tous d’un voix contre
„van Langren, lequel comme c'est notoir ne demandoit autre chose
‚que d'aschever le different par demonstration Mathematique &
„Physique, en deux ou trois heures de temps, afin que eulx & luy,
„seroient satisfaits & desabusées, semblant a van Langren qu'il
„vailloit mieux de disputer un peu, pour exercer l’entendement que
„de frayer mal à propos une si notable somme du Royal tresor, &
„de mettre en danger une Ville: laquelle avoit cousté tant a l’Ar-
„chidue ALBERT?) pour la prendre.

„Tous ces lamentacions ouies, & ce que les Ingenieurs de Roberti,
„les Bourgeois & Matelots d'Ostende asseuroient par des raisons
„plausibles en aparence, à sçavoir que leau sortant & entrant au
havre seroit pressé par cette grande dicque, & que par consequent
„le Havre s’aprofondiroit, outre ce que le Marquis DE LepE 2°)
avoit dit & escrit au Serre Archiduc par une maniere extraordi-
naire: S. A. voyant tout ce que dessus, si conformà voyant aussi
ce que ledit Commis avoit fait signer par quelques uns dudit
„Conseil, contre le desir & volonté du Marquis pes Eaux lequel
„s'opposoit a icelle, comme il a relaté a van Langren. Voulant
„qu'il seroit personellement ouy comme S. A. avoit par cy devant
„ordonné. Mais comme le Commis, ny les Ingenieurs, n’avoient pas
„bien consceu & examiné, la demonstration Phisique du croissant, &
„deeroissant de la mer, expliqué figurativement au dernier verset *)
„du petit livre d'Ostende 7), si est’il, que tout leur devoir n’a servi
„de rien, comme on entendra au fin de cest escrit.

„EFstant à noter, que les sciences demonstratives comme sont les
„Mathematiques, ne sont nullement subjects au pluralité des voix,
„comme des autres matieres de la Jurisprudence, d'autant qu’icelle
„ne depend pas des fantaisies humaines, mais simplement de la rai-

*) Zie het stuk op blz. 27.
+) Zie het pamflet aangehaald in Aanteekening N°. 34,

16 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„son demonstrative, laquelle ne scauroit faillir, comme scavent tout
„ceux qui se sont exercées aux sciences, & particulierement les
„Sermes Princes Don Juan D'AUSTRICE, & DE CONDÉ pour si avoir
„grandement exercées.

„Et s’estant van Langren lassé de tout ces ruses, il se resoluà de
„ne plus parler un seul mot des affaires d'Ostende, mais voyant que
„quelques uns par induction du Commis Roberti estoint resolu de
„frayer une si notable somme de deniers, il adjoustoit en Mars
„1652. (par forme d’advis) la Rouge dicque a sa troisiesme Carte, *)
„avee un petit versel f) explicatif (lequel il a icy mis derriere les
„Censures des Mathematiciens) mettant en consideration ce que seroit
„mellieur de faire, la Rouge ou la Jaulne dicque, & lequel des deux
„devroit esté fait le premier. Ce qu’ayant aussi envoyé a S. A. a
„cachet vollant, & sans requeste au Conseils, & a quelques Princes,
„& Seigneurs, cela causâ le troisiéme, & un treslong arret, des af-
„faires . de Roberti, car quelques Princes, & Seigneurs du Conseil,
,animoient a van Langren de ne point desister de l'affaire, car le
dessein plaisoit a tous ceux, qui le voyoient.

„Et ayant Roberti & van Langren, estes remis d’une longue &
dangereuse maladie: & considerant la perte de son temps, à cause
„que ses contredisans ne voulloient comprendre ou apprendre un
„affaire si grossiere; & laquelle ils ne sçavoint destruer par raisons
„demonstratives, il escrivit le 9. d’Aoust 1653. au Commis Roberti,
„qu'il delaisseroit tout laffaire d'Ostende, nonobstant qu'il auoit
„assé de matiere pour empescher son dessein, l’asseurant que le temps
„le fairoit sage, sur quoy il print vigeur, & parloit en aparence pour
„van Langren. Et enchergeà le 17. d’Aoust 1654. à l’Architect
„Merckx, la direction de la Jaulne dicque, (lors que son Ex le
„Comte DE IsrmBOURG °°) Premier Chef du Conseil des Finances
„estoit en Allemagne) & fut le susdit ouvrage de la grande dicque
„fait & achevée en lan 1655. par Cornelis Pitersen, lequel usoit
„tant de vaines paroles contre les Mathematiciens.

„Van Langren extrememet zelé pour le service du Roy, voiant
„que son amis Roberti s'alloit perdre, le pria amiablement de pren-
„dre esgard a son honneur, & a l'argent du Roy, le fit mesmes pre-
„senter par le Commis Maes un nouveau expedient pour en quelque
„maniere meliorer le havre, a moins de six mille florins, & lequel
„estoit tout different, de ce qu'il avoit par cy devant representée,

*) Zie dit kaartje hierachter, No. IV.
+) Zie het stuk op blz. 27.

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 17

„croyant par cette stratageme d’amitié de sauver la reputacion du
„Commis & l’argent de sa Majesté, mais tout en vain, car cette tres
„humble & affectionné advertence fut par le Commis Roberti rejet-
„té, car il passoit outre avec la levé de la grandiose y peligrose
„dieque de R. Roberti, C. Coeck, I. Janse, M. Mercks, lequel apres
„avoir cousté une somme de HUICTANTE MILLE FLORINS argent con-
„tant; & lequel a pour le present esté fait plus que quatre ans, &
„contre lequel le flux & le reflux de la mer a pressé, passé & repassé
„presque six mille fois, on voit le present jour de Saint Jean *) 1659.
„que le havre n’est nullement parfondi ou meliorée, mais au con-
„traire empirée & rempli de sable, ensuitte de ce que van Langren
„leur avoit prescrit par ses requestes & par folio 6. de son petit livre
„d'Ostende. f).

„Et comme ils attribueront infaliblement ledit deffaut: a ce que
„la Jaulne dicque n’a pas esté aschevée par manquement d'argent
„que jusques au Ponton, ils presseront derechef la Court pour la par-
„faire jusques à la Verde dicque note K. ce que cousterà beaucoup
„plus que ce qu'ils ont frayé. Cela oblige a van Langren en con-
„science de representer derechef a Sa Majesté comme bon Vasal, & a
„son Ext le Gouverneur que le tout ne vaillera rien (comme il a
„par si devant asseuré de Dunkercke, si on l’avoit voullu croire)
„soit qu'ils font leur dit ouvrage plus haut, ou plus bas que la
„superficié aquatique de la haute mer. Asseurant van Langren en
„outre que le havre se ruinera entierement en peu d’années si on
„laisse ladite dicque de R. C. I. M.S) en estre, doubtant aussi, si
„maintenant on pourrat parfondir le havre avec tant de facilité: par
„moyen des Escluses imaginaires de van Langren, comme on auroit
„peu faire passé tant d’années, & ce à cause que le fond terrenal
„du havre, cêt presentement beaucoup chargé & rehaussé, par la
„dure crouste de sable, qu’elle n’estoit en ce temps la, mais s’ils la
„veullent paraschever jusques à la Verde dicque K. van Langren
„prie Sa Majesté de les faire donner premierement leur raisons de-
„monstratives, afin que les moyens du Roy, ne seroient pour la
„deuxiéme fois consumées si mal a propos & sans effect, a la honte
„de semblables Ingenieurs.

Ils ont depuis leur dit ouvrage, aussi couppé quelques dicques
„du cousté de Santvorde, croyant de parfondir le havre, mais tout

*) Dat is de 24ste Juni.
+) Zie het werkje van Aanteekening NG mor
§) Dit zijn de voorletters van de vier voornoemde ingenieurs.

A 2
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. IT,

18 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„en vain, à grands frais du Roy, & dommage des proprietaires ; ceux
„d'Ostende & leur Ingenieurs se plaingnent que ceux de Bruge ont
„faict le Canal FERNANDINA®), sans lequel si on leur donnoit la
„permissio, ils metteroint soubs la Mer une bonne partie de la Flan-
„dre pour meliorer leur havre, certes cela n’a point l’odeur d’Ingenie,
„mais d’une rudesse: practiqué en nul endroit d’Affrique.

„On vient aussi de dire a van Langren que ceux d'Ostende sont
„en grande paine pour trouver de largent pour refaire le coffres
„maritimes, craignans & avec raison, que la Ville ne soit un jour
„engloutti par les furieuses ondes de la mer; & au contraire il y a
„aussi du danger, quelle ne seroit en partie ensevelie par le sable,
„que les vents Occidentaux poussent en temps de basse mer, du ~
,costé de Porcq-espine, selon que le Serme Prince DE CoNDÉ, a
„depuis peu asseuré & dit a van Langren, quel Prince comme gran-
„dement zelé pour le bien de cest estat: cognoissant aussi la Ville
„d'Ostende, a conseillé à van Langren de declarer ce qu’il a exco-
„gitè estre bon, pour remedier tous ces inconveniens susdits, sur quoy
„il a respondu a S. A. d’estre prest, moyennant qu’il plairoit pre-
„mierement au Roy, & a son Ext le Gouverneur, d’ordonner au Com-
„mis Roberti & a ses Ingenieurs susnommées de confesser leur mes-
„prise, ou bien de la maintenir en un assemblé publie, de tant de
,scavans & judicieux Princes & Seigneurs, dont cette Court est en-
„richi, & de les faire donner raison pourquoy ils ont mieux aimé de
„gaster unique havre de sa Majesté a ses propres depens, que de
„vouloir venir en amiable conference avec un homme qui mange le
„pain du Roy, comme van Langren a tant de fois supplié avec
„sincere humilité, lequel a veritablemet esté contraint à une patience
„insupportable a une personne de sa qualité & profession, de se
„voire en cette maniere meprisé, & chiflée, de ceux qui ne sçavent
„(comme apert) ce que cest des sciences, ce que cest du mouve-
„ment de la Mer, ou ce que cest de la Lune: contre laquelle ils ont
„tant abbayé, sans comprendre ou conside[rer] 8) à quoy cela sert, ou
„ee que le Roy a enchargée à van Langren par ces Patentes, & ce
„que deux Papes, plusieurs Cardinaux, Princes, Seigneurs, & sçavans
„Personnages, & Professeurs de la Mathematique de divers endroits
„de l’Europe, luy ont escrit, sur cette speculation Celeste f), de
„tout quoy il faira en bref parade, pour montrer que les habitans
„de cette nostre terre, sont bien 30. fois plus variables: & par con-

*) Zie het kaartje N°. I bij het pamflet van Aanteekening N°, 11,
$) De laatste syllabe ontbreekt.
+) Zie het boekje van de Aanteekening N° 5.

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 19

„sequet plus sottes, que celles de la Lune, s’il y a des habitans
„par de la comme par deca. Au moins on voit bien que vun Langren
„ne varie point, puis qu'il a demeuré 34. ans ferme & invariable
„sur son concept de Mardyck, & 32. ans sur celuy d'Ostende, ayant
„entretant recognu que les Lunatiques de ceste nostre terre (lesquelles
„sont fort brusques, vehemens, & opiniatres) ont ruiné le Roy &
yl’ Estat, avec un infinité de demi Lunes qu'ils ont fait cy bas, à
„cause qu'ils n’ont en tant d’anneés voulu comprendre, ou sceu re-
„futer par demonstration, ce que van Langren leur a si nettement
„prefiguré.

„Retournant à Ostende, il apert sans contredit, que tous ses de-
„voirs n'ont eü autre fin, que pour empescher qu'on ne fairoit point
„le pesché d’inonder les terres des gens de bien, & que le Serme
»Archiduc LEOPOLDE ne seroit desceu de ses insçavans acteurs,
„lesquels n’ont aucun sentiment de la ruine de leurs proschains &
„compatriots.

„Et si par advanture ils fissent les sourds, les muets, ou les tar-
„difs pour respondre, ou qu'ils aleguoient que le Marquis DE LEDE
„General de la Mer, ne faisoit en son vivant*) non plus d’estime
„de la susdite proposition d'Ostende, comme il n’avoit fait du Canal
„imaginaire de Fossa MARIANNA f), que van Langren a ainsi inti-
„tulé a l'honneur de la Reyne *!), sur cela ne reste avec chose à
„dire, que tout cela est tres-vray, & que ledit Marquis a en imita-
„cion du Commis Roberti, desestimée avec risée l’un & l’autre, tant
„a la personne du Marquis DE CASTELRODRIGOS), comme du Serme
„Archidue LEOPOLDE, & a S. A. le Serme Prince Don Juan D'Aus-
„TRICE, mais helas les deplorables effects des années 1645. 1646.
„1657. & son deplorabie trespas avec la perte de Duynkercke, en
„an 1658. ont manifesté ce qu’ils ont occasionné, de tout quoy
„van Langren se rapporte avec modestié, a ce qu’on a dit de luy
,& de eux par tout le Pais, tant es assemblées de plusieurs Estats,
„Conseils, & Magistrats, comme a ce que un grand nombre d’[llus-
„tres Princes, Seigneurs, & sçavans Personnages luy ont fait l’hon-
„neur de lescrire: asseurans que la derniere perte de Mardyck
„(lequel a servi de pierre d’aschoppemet de ce sage Prince: lequel
„ne l'avoit jamais veü) a aussi occasionné celle de Duynkerke, à
„cause des susdits. Ayant la perte [de] Mardyck en telle maniere

*) Hij stierf den 23 Juni 1658 bij de verdediging van Duinkerken.

+) Zie het werkje van Aanteekening No. 11.

$) Deze Spaansche Generaal heette Francisco de Moura Costen Real, Marquis de
Castel-Rodrigo, comte de Lumières.

DEE

20 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„esté regretté par Mes. les Estats de Brabant, qu’ils ont asseuré &
„dit a van Langren qu'ils auroint volontairement cotribué une
„somme de CENT MILLE FLORINS pour faire ledit Canal de la Reyne,
„Ss on leur avoit faict faire la demande par van Langren. Quel-
„ques Princes de condition ont aussi offert leur liberalitez, de tout
„quoi il parlera, Lors qu'il metterà au jour plusieurs particularitez
„de la guerre du Pais, a lesgard de ses entremises, où il mon-
„Strerà que Hulst & Courtray, n’auroint pas estés perdus, si on avoit
„voulu suivre ses advis, comme aussi qu'on auroit, il y à 30. ans,
„peu secourir Boilducq, par son entremise. Et au contraire ceux de
„la Flandre, ont par induction d’un certain amis dudit Commis,
„pas voulu respondre sur deux agreables lettres, du Conseil dathe 27.
„d'Octobre 1653.

„Au surplus ce ne tousche point a van Langren de conseiller Sa
»Majesté, ce qu'on devroit faire avec ceux qui sçavent (par l'authc-
„rité que Sa Majesté leur a donné) si habillement offusquer les bons
„advis, & suivre les invalides, à la ruine de l’Estat. Van Langren
supplie seullement qu’il plairoit au Roy de donner ordre qu’on ne
„le traitteroit plus en cette maniere, mais au contraire, qu’on vou-
„droit considerer ses bonnes services, & observer ce que sa
„Majesté a escrit il y a 26. ans, & faire ce que le Serme Prince
„Don Juan a ordonné au Conseil, afin de se trouver obligé de les
„pouvoir remercier & conjoinctement, comme aussi a son Ex® le
„Marquis DE CARACENA *’), & occasionner quelques signales services
„de non moindre consideration de ce qu’il a alegué cy dessus, si Dieu
„luy prolongue la vie.

„Si cela se fait reçoiverà Sa Majesté plusieurs avantages, car pre-
„mierement sera la Ville d'Ostende à petits frais notablement
fortifié, contre la Mer, & contre les ennemis. 2. les proprietaires
„des terres inondez reprenderont leur bien patrimonial, ayant offert
‚de le rediquer a leur frais. 3. on ne dependera plus l'argent du
„Roy si hativement, & si mal à propos. 4. le Roy & l’Estat seront
„servis d'un bon Port de Mer, pour en temps de besoin se servir pour
„la guerre: & pour le Commerce, la ou au contraire, il ny a pour
„le present, pas un Havre en toute la Flandre ou on pourra loger:
„ou faire un armée navale si par adventure sa Majesté en vouloit
„faire, ou envoyer une de pardeca, pour resister a ses ennemis,
„ee que sont des choses deplorables, pour un Estat si fleurissant :
,& puissant comme sont ces Pais-bas, particulierement en un temps
„que toutes les Princes voisines Trionfent en la Mer. Et sur tout
„acquerrera Sa Majesté plusieurs hommes d’esprit pour son service,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 21

„ee que luy semble estre la plus grande fortresse, richesse, & bon heur
„d'un Royaulme, Estat, ou Republique qu'on sçauroit desirer.”

Daarachter vindt men zijne ,Demonstration” :

„Demonstration qu'il y a de l'eau en la Mer lequel ne se bouge
„par le Flux ou Reflux, & qu'il faudra oster la grande Dicque de
REC I MS)

„Van Langren désirant de donner entiere satisfaction au Commis
„Roberti, & aux Ingenieurs Coeck, Jansen, & l’Architect Mercks, &
„les faire comprendre que tout le travail & les despences qu’ils ont
„employé pour faire la Iaulne dicque de J. jusques au Ponton: ne
„sert de rien pour profondir le havre, & que ce seroit pire si elle
„avoit esté fait jusques la Verde Dicque K. Il leur expliquerà la
„maniere du croissant & decroissant de la mer au havre, & les faira
„confesser qu’il y a de l’eau en la mer qui ne se bouge, comme il
„a escrit au dernier verset de son petit livre d'Ostende ), ce qu'ils
„n'ont sceu entendre ou sceu refuter.

„Il n'est pas besoing de prouver icy que la mer est agitée & gou-
„vernée par le cours & forces attractives du globe de la Lune, puis
„qu'on a veu depuis tant de siecles: au rapport des anciens Philo-
„sophes & Mathematiciens, que element aquatique s’est tousiours
„reglée à l’advenant du mouvement & illumination que ce bel astre
„ou Monde Celeste; reçoit du Soleil, lequel y contribue aussi beau-
„coup, (comme van Langren expliquerà en l'usage de deux Globes $))
„où i] touscherà au doit quelques opinions extravagantes & erronées,
„qu'aueuns ont en ce temps avacé pour tenir une verité si mani-
„feste en perpetuelle ballance.

„Pour ce faire, ils plairont de se trouver avec van Langren par
„imagination sur la Caye de la ville, ou bien sur leur grande &
„Jaulne dicque, en temps de basse mer, ce qu’ils recognoiteront
„lors qu'une petite barque ou piece de bois mise au havre ne se
„mouverà, mais quelle demeurera comme inmobil sur la surface
„de l’eau (à sçavoir lors qu’il n'y a point de vent ou agitacion en
„la mer) ce qu'ayant un peu contemplé, ils verront que ladite

*) Zie het kaartje N°. LIL hierachter.
+) Zie het boekje van Aanteekening N°. 34.

$) Het schijnt dus dat van Langren het boekje van zijn vader (zie de Aanteeke-
ning N°. 3), dat nog in MSS. aanwezig is, heeft willen uitgeven; of is dit MSS. mis-
schien van hem zelf?

22 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„bareque commencera à se mouvoir lentement au dedans du havre,
augmentant sa course de plus en plus, & lors qu'icelle sera par
„exemple arrivé à mi chemin du havre environ de Pier-hoeck, au
„temps du demi croissant de la mer, elle sera aussi rehaussé quel-
„ques 9. 10. ou 12. pies, selon que la maré devrà estre grande, selon
„la saison de l’anné, & selon que les vents septentrionaux auront
prempli & enflée l'Ocean Germanique entre le Pays-Bas & l’ Angleterre ;
„Audit temps commencera le cours de l’eau aussi un peu à s’a-
„moindrir, remplissant peu a peu les Crecques & les Canaux, & se
„mettera a la fin sur les schorres dudit quartier, le couvrant pcu
„à peu soit 2. 3. ou 4. pies d’eaué au temps de la haute mer, & alors
„paroistera la Ville comme un Isle ou Isthmus, au milieu de la
„mer, & sera derechef comme morte & immobile. Et comme en ces
„entrefaits la mer se retire desia par le destroit de Calais & Douvre,
„& vers le Septentrion, cela causerà: que la masse aquatique qui s’est
„engouffré au havre d'Ostende, se commencerà aussi à se mouvoir
lentement par des tendres pellures ou parties d’eau: agrossissantes
„de moment en moment, comme elie s’estoit accreües, on verra
aussi que la terre inondée se commencera à manifester peu à peu,
„jusques a ce quelle sera entierement descouverte & libre, & alors
„passeront les vaches les Crecques pour derechef se mettre en
„pasturage.

„Si la dessus on demande a ces Ingenieurs par forme d’admiration,
„ou tout ceste grande masse d’eau est demeuré lequel eouvroit ladit
„terre, ils diront qu'elle s’est retiré au long de leur dicque pour se
„rendre en l’Ocean d’ou elle estoit venue, comme n’ayant autre
„sortie. Si on leur demande aussi si cest eauë a escoulée par dessus,
„par le milieu, ou par dessoubs l’eau lequel reste inmobil au
„havre, ils seront forces de dire qu’elle a passé pardessus, puis que
„par le melieu, & par dessoubs il ny avoit point de place ou de
„vuide. Ce qu’estant comme il est, il n’est plus necessaire qu’on
„inonde tant de terres pour escurer le havre, puis qu'il appert que
„Peau de Vinondation n’a jamais sceu touscher ny attaindre le fond
„du havre, mais s’est de temps a autre perdu & egaré en l'Ocean
„pardessus l’eau morte & inmobil d’icelle, comme a esté demonstrée,
„Ergo & par consequent, il n’est pas bon ni profitable pour le bien
„publie: ny pour la conscience de Sa Majesté de frustrer plus long
„temps les proprietaires de leur bien patrimonial, & sera bien (sauf
„melieur advis) qu’on donneroit ordre de faire les dicques & ecluses
„que van Langren a representé passé 32. ans afin de pouvoir es-
,curer le havre par la cheutte des eaux reservées, puis qu'il appert
„que la dicque de R. C. I. M. n’a servi que de la ruine du havre,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 23

ya cause qu'elle empesche que l’eau trouble & sablonneux ne peut
„plus s’espandre & asseoir sur la playe de Bredene, mais se repose
„au havre, contre & pardela ladite dicque (comme van Langren leur
„a prescrit folio 6. de son petit livre*) devoir arriver) il sera partant
„recessaire d’abbattre ladite dicque, & dresser au lieu d’icelle les
„petites murailles que van Langren a representé, ne fust qu’on le
„voulust laisser perdre comme est arrivé avec celuy de Duynkerke,
„parce qu’on n’a voulu croire a van Langren.

Fin.”

6. Bij dit stuk %) behoort nu de „Briefve Description de la Ville
et Havre d’Oostende #)”: zij is in vier deelen gesplitst. Vooreerst het
kaartje N°. 1f) met het onderschrift:

„Michel Florencio van Langren, Cosmographe & Mathematicien
„de Sa Majesté, a en l’an 1625. proposé la meilleuration des quatre
„Ports de mer de la Flandre, & particulierement celui d'Ostende
„és années 1627. & 38. Et aiant sadite demonstration été approuvé
„audit lieu en lan 1643. par Son Excell? Don Francisco de Mello,
„Gouvr & Capit® General du Païs-Bas, & par Mons" le Prince de
„Lixain pour lors Gouverneur de Bruge, & de quelques Ingenieurs
„à ce appellez: ledit de Langren a partant trouvé à propos de pro-
„duire cette demonstration figurative pour satisfaire à quelques
Curieux. La ligne A. B. C. D. denote une bonne Dique pour
„resister à la furie de la mer, & par lequel on pourra aller par terre
„de Bruges jusques à ladite Ville, & subvenir au dagereux passage
„de ce petit bras de mer, E. E. E. sera un petit levé ou dique, par
„moien duquel on mettera au sec le poldre note F, au proufit des
„proprietaires. Environ de B. & C. pourra estre fait deux demi Es-
„cluses lesquelles ne peuvent bonnement estre representez en cette
„Carte, servans pour remplir d'eau de la mer l’entre-deux des deux
„diques note G. G. G. lesquelles Ecluses seront relachez deux
„fois par jour (c'est 730. fois en un an) environ le fin de la basse
„marée. Servant celui de C. pour travailler & parfondir le port
„interieur derriere l'Eglise, pour y pouvoir loger quantité de navires.
„Et rencontrant cest eau la grande masse d’eau sortans de l’Ecluse
„B, ils travailleront conjointement le port exterieur, & la rendra en
„peu de temps propre pour y pouvoir sortir & entrer sans ancun

%) Zie het boekje van Aanteekening N°. 16
+) Zie het kaartje NO. IT achter dit stuk,

24 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„danger. Et si on y vouloit aussi adjouster le benefice qu’on peut
„tirer du Canal de Plaschendale, & de l’inondée note H, celà ne
„seroit que mieux pour ledit dessein, lequel il a proposé passée tant
„d'anneés, pour empescher une grande inondation que quelques-uns
„ont de temps à autre voulu intenter, tant du côté de Bredene,
„antvorde, comme de Steene, pensant par ce moien de meilleurer
„le haure, ce que pour beaucoup des raisons van Langren ne scau-
„roit croire. Ladite Ville recevra par ce moien plusieurs commo-
„ditez, & ne sera pas moins fort qu’elle n’est presentement, d'autant
„que le Gouverneur gouvernera à sa volonté ce furieux elemet,
„lequel jusques à present n’a voulu obeïr à ses ordres.

„Cecy a esté imprimée au mois de Mars 1650.”

Dit stuk, derhalve in Maart 1650 verschenen, is waarschijnlijk
een uittreksel van het in noot 16) aangehaalde werkje.

Daarop volgt het tweede gedeelte, de kaartjes No. 2 en 3%), die
in Mei 1651 uitkwamen en te zamen ééne bladzijde beslaan. Dan,
op de laatste bladzijde, komt eerst het derde gedeelte :

Censure de quelques sçavans Mathematiciens.

MONSIEVR,

,J ay consideré à loisir vos inventions sur la retenué des eaux,
„& dicques projettées dans la Carte qu'il vous a pleu me communi-
„quer, à dessein de meliorer le port & Canal d'Ostende, & mettre
„tout ensemble quelques terres eu espargne pour le bien publica,
„& les treuve fondées en bonnes raisons Physiques & Mathematiques.
„De fagon que je ne doute pas, qu’aiant le secours raisonnable que
„Pon employera pour y travailler, vous n’en deviez tirer de la
„loüange, & de l’avantage pour le bien public: soubmettant neant-
„moins, en tout cas mon jugement à celuy des plus experts, & vous
remerciant de l’honneur qu'il vous a pleu me faire, par la commu-
»nication d’une si belle & profitable invention, où je ne descouvre
„aucune incommodité, ny pour le temps de guerre, ny pour le temps de
„paix, qui ne soit compensée par des plus grandes cemmoditez.
„J’adjouteray volontiers mes prieres-envers Dieu pour la bonne issuë
„de tout l'ouvrage en cas que l’entreprise soit mise en vos mains.
„Du College de nostre Compagnie à Bruxelles 11. de Sept. 1650,

*) Zie hierachter de kaartjes Nos, IIT en IV,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 25
MONSIEVR,

Votre tres-humble & obeissant.
Serviteur en nostre Seigneur
JEAN L'EURICHON. %).”

„M'Ayant Michel Florencio van Langren Cosmographe & Mathr de
„sa Majesté, communique un certain concept pour redycker quel-
„ques terres inondée au quartier d'Ostende, sans que par icelle le
„Havre de laditte Ville recoivera aucune incommodité. Et m’ayant
à cest effect fait voire quelques Cartes figuratives : & requis mon
„sentiment sur sadite proposition. Trouve aprés l’avoir representé
„diverses difficultez, sur lesquelles il m’a donné solution: que sadite
„proposition est fondé en bonne demonstration, laquelle devra estre
„mis en execution au service de sa Majesté, & profit de la commune.
„Fout neantemoins sauf meilleur advis. fait à Bruxelles le 17. Sept.
»1650.

Bart. GAIGNE, Chanoine de St. Gudila.”

MONSIEVR,

,J ay plusieurs fois consideré avec grande attention les choses
„que vous avez de tems à autre proposé pour le service de sa Ma-
„Jesté, tant au regard de vostre profession & speculation de la lon-
-gitude *) tant desirée, pour corriger la Geographie, & faciliter les
„navigations de la mer, comme ce que touche à cest estat au fait de
„la guerre f), me souvenant fort bien de ce que s’estoit passé sur
„diverses propositions par vous faites, pour meliorer les ports de mer,
„ne doubtant que si on eust suivy vostre advis pour celuy de Mar-
„dyeke §), qu'on n’auroit pas perdu si facilement cette place avec
»Duynkercke: ce que j'ay ouy regreter de plusieurs hommes de juge-
„ment. Les marques qu'on a laissé au Havre de Gravelinges par
„une despense si inutile serviront à vostre honneur, parce qu’avez
„monstré que l’entreprise ne pouvoit estre bonne, & partant on l’a
„delaissé.

*) Zie de boekjes van Aanteekening N°. 4.
+) Zie het werkje van de Aanteekening N°. 10.
§) Zie het pamflet van Aanteekening N°, 11,

26 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WiS- EN

„Et quel plus plaisible moyen pouvoit on imaginer pour couper
„le Sasse de Gand °°) dont le mespris at esté fort nuisible à l’estat.
„Ceux de Brusselles se souviendront aussi de vous *”), principalement
„en hiver lors que leurs Caves seront pleines d’eaüe au lieu de
»vin %). Et comme vous m'avez fait l’honneur de demander mon
„opinion sur vostre Carte & demonstration d’Ostende, je diray en
„un mot, que ceux qu'auront bien examiné vostre desseing, diront
avec moy, qu'il est fort loüable, & seront tres-aises de vous assis-
„ter de tout leur pouvoir; sur ce apres mes humbles baisemens,
„je demeureray,

MONSIEYR,
Vostre tres-humble & affectionné serviteur
IEAN DE BOGN£E, Maistre Mathm. des Pages de
S. À. Imperiale, & de Academie Royale.
Bruxelles 10. de Sept. 1650.”
MONSIEYR,

„Vous faites bien de proposer un si beau present *) pour celuy
„qui scaura donner une meilleure invention que celle que vous avez
„publié pour Ostende. Car apres l'avoir consideré avec attention,
„je trouve que l'eau sortant des deux Escluses travaillera à mer-
veille le port interieur & exterieur; le mesme effect se pourroit
„aussi esperer par l’inondation des terres interieures du pais. Mais
„comme cette preuve est dommageable & rude, je ne le scaurois
„Jamais consentir, puis que la vostre est plausible & proufitable; que
„je loüe grandement, & serà cause que chascun reprendra de Nep-
„tune, ce que Mars luy avoit donné, par inadvertence de ceulx qui
„gouvernoient du passé. Je vous en donne partant le bonheur,
„ne doubtant ou la generosité de Messieurs les Flamans recognoi-
„tront vostre industrie & nostre zele, me signant sur ce.

MONSIEVR,

Vostre tres-humble & tres affectionné serviteur
GERARD GUTSCHOVEN °°), Professeur du Roy
és Mathematiques en U Vniversité de Lovain. ce
20. Sept. 1650.”

*) Van Langren had eene som van zeshonderd gulden uitgeloofd,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 27
En nu volgt eindelijk het vierde gedeelte, , Verset” van Maart 1652:
„Ce Verset a esté publié en Mars 1652. par forme d’advis.

„SI on faisoit la Rouge dycque Estaccade ou Palisade au lieu
„de la Iaulne, on auroit un magnifique Caye contre la Ville pour
„attascher & descharger les Navires, cela ne seroit pas contre les
„regles de fortifier comme la Iaulne; Veau sortant du Havre pres-
„seroit entre les deux testes ou Cattaies comme par un entonnoir, d
„feroit en brief deloger le bancg. Cêt ouvrage garanteroit & cou-
„vriroit les contrescarpes de la Ville (lesquelles sont iournellement
„moulles) contre les furieuses attacques & tempestes du Nort, par où
„il y awroit plus de calme au Havre que du passé, un Navire
entrant avec orage, s'arresteroit aussi plus aisement & avec moins
„de danger contre la Rouge dycque que contre la Taulne, laquelle si
„on la fait, sera cause que la terre du costé de la Ville se deman-
„gera, comme on voit en plusieurs Rivieres, elle sera plus incom-
„modé pour gens de mer que la Rouge, & le droit du Roy sera
„aussi moins asseuré. Ainsi lont iugé plusieurs Seigneurs & Inge-
„nieurs auxquels van Langren a communiqué ses pensées. Le gran-
„dissement de la Ville est une chose de pour soy pouvant estre fait
„ow delaissé.”

7. Bi dit pamflet nu behoort het zeldzame ,Apendix”’ 4) waar-
van op de Leidsche Universiteits-Bibliotheek slechts het eerste vel
voorhanden is. Dit bevat:

„Suplica muy humilmente a. V. Ex? tomar la pena de passar
„su benigna vista por estas lineas que Don Fran® de la Maza y
„Prada me escrivio en 29. de Octubre del ano passado de orden del
„Ser.mo Principe Don JUAN DE AUSTRIA, como tambien la del Sr.
,D. FRAN.® DE MELLO, y de las demas Personas entendidas en
„este genero de Estudios”.

Daarop volgt nu de brief van DE LA Maza y PRADA; voorts die van
DE MELLO, geteekend „del Campo al Fuerte Roxo a 16. de Setiembre
1642. Don Francisco DE Mervo Marques de Tordelaguna”. Verder:

„Algunas noticias facadas de differentes Cartas, que el Doctis-
„simo Padre Juan de la Faille*!) Cosmographo Mayor de Su Mag.
»y Prof. de Math. de S. A. escrivio a van Langren.”

Drie brieven, gedateerd „Madrid, 25. de Mayo 1638”, „Junio 23.
1638” en ,y Noviembre 21. 1639”; dit alles vult de eerste bladzijde.

De tweede bladzijde begint met een brief van J. VANDE WALLE:

„JE soubsigne Jacques vande Walle chevalier de l’ordre de

28 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„Christo, Comme ayant particuliere cognoissance de la situation des
„Ports & costes Maritimes de Flandre, Certifié a la requisition de
„Monsieur Michel Florencio van Langren, Cosmographe & Mathe-
„maticien de Sa Majesté, que lors qu’on a relachés les Escluses de
„Duynkercke & Nieuport à basse marée, que l'effect note en la
certification cy joinct en est suivy. M’asseurant que personne ne
„scauroit dire le contraire, d’aultant que le Capitaine & Ingenieur
„Coeck at par diverses fois veü que feu son Ext le Marquis Spi-
pnola *) faisoit ouvrir les Escluses à Duynkercke, lors qu'il failloit
„faire sortir quelques grandes Navires de l’Armade en mer, ce que
„rendoit ledit Port tres-profond; le mesme at aussi esté practiqué par
„divers Capitaines Generaulx de ladite Armade, & autres Ministres,
„tant par l’eau douce, comme par celluy de la mer.

„bedit Capitaine Coeck, & l’Ingenieur Jansen, pourront aussi
„asseurer le mesme du havre de Nieuport, lors qu’on at laissé courrir
„le Sas & Escluses tout ensemble, si parlant son Alteze Serme or-
„donnoit de faire quelques Escluses aupres de Ostende, en la forme
„que ledit de Langren at proposé, il n’y at puint de doubte ou
„cela seroit en tres-grand advantage pour ledit havre, & pourroit
„on par ce moyen facilement oster les bancqz de sable presentement
„seituez audit havre. Et ne seroit nullement besoing de couper les
„dyques du costé de Santvorden pour mettre en ruïne tant de
„pays, & mesme la nouvelle riviere allant de Plassendael à Nieu-
„port; Pour faire lesdites Escluses & aultres ouvrages d'environ, on
trouvera facilement les deniers pour avancer ledit dessein, sans
„que Sa Majesté en sera chargé hormis ce que pourroit couster
l'ouvrage du bois & faschines que quelques uns ont proposé de faire
„au costé Orientale dudit havre, lequel at esté jugé tres-necessaire,
,& sera de grand benefice. Tesmoing ceste signé en Bruxelles le
„12. de Novembre 1650.

JACQUES VANDE WALLE”.

en eene verklaring van eenige inwoners van Duinkerken:

»NOus soubsignez inhabitans de la Ville de Duynkercke, certi-
„fions avoir veü en plusieurs occasions qu'on a relasché les Escluses
„de ladite Ville à basse maré, & que la courrante dudit eau a notoi-
„rement parfondi le fond jusques à trois ou quatre pieds ou en-
„viron, tant du port interieur comme l'exterieur, en verité de quoy
„nous avons signé ceste presente. Fait à Bruxelles le 10. de Novem-
„bre de lan 1650.

JACQUES VAN WALLE, CHRISTOVAL VAN MERSTRATEN,
ANTONIO ASSE, SEGERO VAN Dorr, ROBERTO GILLES.”

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 29

8. Daarop vervolgt van Langren :

„Outre ce que dessus il appert les escrits %) du tres-sgavant Ma-
„thematicien Simon Sterin *), qu'en plusieurs havres des Provinces
„Unies on se sert des Escluses pour les entretenir & nettoyer, sans
„inonder les terres des habitans.

„Comme j’ay en diverses occasions recognu la grande prudence
„& habilité de Messieurs Huygens Seigneur de Zuylichem, de Don
„Antonio de Fuertes, & de D. Jayme Ortensio Lopez Almirante
„d'Anvers, je n'ay sceu laisser de mettre au pied de ceste, les lignes
„qu'ils m'ont fait l’honnenr de m’escrire”’.

Vervolgens komen er twee brieven van Constantijn Huygens, den
vader :

„Monsieur ..... pour le Canal de Marianna”), je suis d’advis avec
„vous que c’eust esté un excellent ouvrage, tant pour couvrir ces deux
„places, que pour retraite aux vaisseaux du Roy. Si bien que si D.
„Antonio d’Ocquendo en eust pti joüir, il n’eust eu que faire de se
„laisser battre aux dunes d'Angleterre. Mais je doibs porter la
„main à vous desabuser d'une opinio qui nous a beaucoup tenu en
„erreur manifeste pardeça, c'est que par le moye de l’eau retenuë
„vous pretendiez d’escurer non seulement vostre havre, mais mesmes
„d'avoir detourné les sables, qui pousses par l’assiduité des vents
„du Ponent, ont ruyné Duynkercke. Stevin nous a mis ceste here-
„sie en teste par son traicté vande Spil-sluysen; mais soyez bien
„asseuré que nous en avons tousiours esprouvé un effect tout contraire.
„Je m'expliqueray mieux par des exemples qui ne vous scauroient
„estre du tout incognus.

„Dans la digue de Harlem & Amsterdam nous avons 8. furieuses
»Escluses de plus de 20. pieds d’ouverture chasqu’ une, par où
„le lac de Harlem se descharge dans le Tye. Par des tempestes du
„Zuyt-west, ce lac senfle si fort, que c'est un horreur à voir com-
„bien d’eau il crache par beaucoup de journées au travers desdits
»3. Escluses: diriez vous pas que ces cheutes d’eau si violentes y
„causeroient des profondeurs grandes & longues? Au contraire, apres
„les forces qu'elles y font, elles y portent un sable tout contre, de
„mesme que nous voyons arriver à la rupture de nos diques en
„Gueldre & alieurs, qui ne font que un fosse ou wiel, & en renvoyant
„le sable à quelques lieües a la ronde. Si bien que nous tenons les
„enfans desià nez qui verront qu'a Sparendam (qui est ce celebre

*) Zie het kaartje N°, I,

30 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„passage de Harlem dans la mesme dicque) il ne pourra plus pas-
„ser aucun bateau, & qu’on sera obligé d’avoir recours ausdites 3.
»Ecluses, pour autant mesme que cela pourra durer. Ce que je
„vous dis de la fausse opinion de nos Houwers & Spil-Sluyse
„est tant verifié en plusieurs lieux, comme a Willemstad & ailleurs,
„qu'il ne reste plus aucune doubte la dedans.

„Prenez en gré l’advertissement que je vous en donne, puis que
„vous m'avez fait l’honneur de sçavoir mes sentimens sur vos belles
„inventions. Je seray bien aise de sçavoir par responce comment
„vous les avés goutées. Plusieurs amis ont veu vostre dessein chez
„moy & ne s'opposent nullement à vostre fortification ni a mon objec-
„tion de l’effect supposé de la retenue des eaux, pour empescher la
„nature de conduire ses sables la où il luy plaira. Je me recom-
„mande a tout vostre famille, & demeure de tout mon coeur

Monsieur

Vostre tres-humble & affectionné serviteur
C. HUYGENS DE ZUYLICHEM.

Post scriptum.

„Cette que je vous ay representé du peu d’effect des eaux rete-
„nues, mon beau-Frere le Seigneur de St. Annelandt #) me dit que
„sadite terre qui est dans l'Isle de Tertolen, s’est trouvée ruinée
„par un sable que la nature avoit jetté peu à peu dans son havre
„de dehors, mais que par la force des eaux retenus: & soudainement
„relachées il en estoit venus à bout, bien entendu qu’avant que
„laisser courrir leurs eaux, ils avoient remué le fonds par où elles
,debuoient susser.”

Van Langren vervolgt aldus:

„Et ayant ledit Seigneur aussi veü la briefue description *) du
„Havre d'Ostende, il m'escrivit ce que s'ensuit le 10. de Mars 1660.”

,, Monsieur,

„Je respond fort tard a vostre depesche du mois de Novembre :
„mais c’est que vos desseins +) estant demeurées entre les mains de

*) Zie het stukje van Aanteekening N° 34.

7) Dit zijn de kaartjes Nos. IT, III en IV.

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 31

„mon Archimede *), il a negligé de m'en faire rapport, dans la
„presse des occupations qu'il se donne, tant pour le Ciel que pour
„la Terre: car il ne s’arreste pas en si beau chemin 7) 4°), & vous en
„verrés partir§) 47) encor de belles choses s’il plait à Dieu. Vos propo-
„Sitions nous ont tant pleu, que ne cessons de vous plaindre, de
„ee que vous estes tombé entre les mains d’un monde qui ne peut,
„ou ne veut pas vous entendre ..... Souffrez cependant que je vous
»redie ce que je pense vous avoir encores objecté, que les eaux re-
„tenues & soudainement lachées, ne font pas icy l’operation qu’on
avoit accoustumé de s’en promettre, n’y ayant presque que la premiere
„cheute qui fasse quelque effect a fort peu de distance; & se trouve
„que ce premier sable retombe tost apres, & fait autant de mal en
„avant, que de bien en arriere. C'est ce qui a donné occasion à
„une invention notable, que nous practiquons avec beaucoup de suc-
„ces au Havre de Maeslantsluys **) : est une forme de Rasteau, que je
„pense qu’en Espagnol vous nommez Rastro. Il a 15. ou 16. pieds de
„tong, & 3. ou 4. de large, armé de grandes & fortes pointes de fer.
„Cest engin s'enfonce jusques sur le fond, attaché à certain petit
„Ponton plat, auquel de part & d'autre on a attaché une aisle de
„planches, au moyen de quoy l’eau lachée le pousse vigoureusement,
»& ces pointes de fer raclans ainsi la bouë ou le sable, par la raci — Th)
„me impetuosité tout s’emporte dans la Meuse, & tient on par Ja ledit
„havre à telle profondeur qu’on desire, ou au contraire des Ecluses
„pareilles à celles que je pense que vous proposez, n’estoient aucu-
„nement capables d’y faire effect de consideration. Voyez comment
„vous goustez l'invention : si vous en desirés instruction plus ample,
„je seray tousiours prest à vous la departir, comme estimateur de
„vostre vertu: & en ceste consideration tout porté a vous tesmoi-
„gner aux occasions de vostre service, & de mon pouvoir, que je
„suis d’entiere affection.

Monsieur,
Vostre tres-humble & tres-affectionné Serviteur,
C. HvYGENS DE ZUYLICHEM”’.

Deze stukken vullen de tweede en derde bladzijde.

*) Dit is de bijnaam, waaronder Constantijn Huygens gewoonlijk zijn zoon Chris-
tiaan aanduidt.

+) Christiaan Huygens had toen reeds de boekjes van Aanteekening N°, 46 uitgegeven,

§) In 1660 gaf Chr. Huygens uit het boekje van Aanteekening No: 47.

**) Thans Maassluis.

ft) Hier is denkelijk iets weggevallen, of er is bedoeld : mesme,

32 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

Daarop vervolgt van Langren op de vierde bladzijde:

„POur moy je confesse ingenuement que je n’ay par cy-devant
„esté informée de ceste pratique, & invention, laquelle je louvé
„grandement: de plus, que je lay du depuis ouy affirmer, par quel-
„ques gens de mer qui ont veu l'usage en diverses endroits des
„Provinces Unies. Mon intention est de faire le mesme, ou de
„remuer & racler le fond sablonneux par plusieurs Rastiaux de fer
„en diverses manieres, ou bien par quelques trouppes de Chevaulx,
„estroitissans le havre par des Navires chargez ou autrement, afin
„que l’eau sortans des Escluses puisse occasionner ce que j’ay avan-
„eée, pour par ces moyens empescher qu’on n'inonderoit plus les
„terres des gens de bien, mais qu'on redyekeroit, & leur renderoit,
„ce que par inadvertence des Ingenieurs du temps passé a esté plus
„que 76. ans soubs la domination de la mer”.

Nu volgt nog een stuk van een spaanschen brief van de Fuertes;
de rest ontbreekt.

9. Wat betreft de briefwisseling tusschen Constantijn Huygens en
van Langren, wij bezitten in de „Lettres Frangaises de Constantijn
Huygens etc, Tome second [1645—1666”’|*) nog een lateren brief
van Huygens, gedateerd 12 Augustus 1660, waarin hij opkomt tegen
de opname zijner beide vorige brieven in de , Appendix’: tevens
blijkt hieruit, dat dit Appendix tusschen Maart en Augustus 1660
gedrukt is.

,M. F. van Langren, Copie.
yA la Haije, ce 12me Aoust 1660.

Monsieur !

AET |

„A mon retour d’un voyage de quelques sepmaines Ÿ) je me suis
„trouvé fort surpris, de voir par vostre pacquet sans date, comme
„vous vous estes advisé de faire imprimer deux de mes lettres $),

*) Dit copieboek berust bij de Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.

+) Constantijn Huygens ging in Juli 1660 op reis voor zaken van den Prins Willem
IIL en keerde eerst 1 Augustus in den Haag terug. [Dagboek].

§) Zie § 8.

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 83

„escrites familierement sur le subject du nettoyement des Haures.
„Vous m’eussiez faict plaisir de vous passer de telle entreprise, sans
„donner à prendre au monde pourquoy je me mesle des Maures du
„Roy d'Espagne qui en effect ne sont pas l’object de mon discours,
„mais simplement la speculation dés mechaniques sans autre reflexion.
„En suitte vous me rendez scrupuleux de plus entretenir aucune
„correspondance sur semblables matières. La pratique de pardecà
„dont je vous aij faict mention, est chose publique, et par conse-
„quent pourrez vous vous en faire instruire par tout autre que moij.

„Pour ce qui regarde la fin de vostre lettre, par laquelle vous
„me parlez de je ne scaïj quelle protection que cest estat desireroit du
„Roy susdit, je veux bien vous dire, que cela est aussi esloigné de ma
„connoissance, que je le tien chimerique et peu conforme à la verité.
„Lestat des Provinces Unies, et chacune de ces Provinces, en parti-
„culier, sont souveraines et independentes de qui que ce soit. Vous
„scavez ce qui en a esté declaré par vostre Roij mesme, et graces
„à Dieu, nous n’avons besoin d’aucune protection que de la diuine
„pour nous maintenir en ceste liberté, juste, naturelle, et légitime,
»quiconcques en parle d'autre sorte au Roy d’Espagne le trompe et
„le presuppose Prince sans foijij; ce que je me garderaij bien de
„faire, si j'estoij son subject. En somme, Monsieur, je pense que vous
„ferez sagement de ne vous ingerer en choses qui ne sont pas de
„vostre profession: Au moins pour celle là, vous m’obligerez de ne
„m'en plus ouurir la bouche, si vous desirez que je continue de
„me dire”.

10. Keeren wij tot VAN LANGREN terug. Deze verloor de haven
van Ostende niet uit het oog. Omstreeks 1668 gaf hij nog uit:
„Copies de ia VI, XI et XIII lettre de Don Juan d’Austriche” **),
waarachter een „Au lecteur”, waarbij praktische kennis, politieke
luchtkasteelen, en in dien tijd algemeen astrologisch bijgeloof won-
derlijk dooreen gemengd zijn.

Copies DE LA VI. XI. ET XIII. LETTRE QUE S. A. LE SERENIS-
SIME PRINCE D. IVAN D’AVSTRICHE A ESCRIT DE SA ROYALE MAIN
A Michel Florencio van Langren, Cosmographe d: Mathemati-
cien de Sa Majesté.

,l’ay receu vostre Lettre du 28. de Juin, où j’ay veu volontiers

„vos bons sentimens .... vous m’avez aussi fait plaisir de me dire
„vostre advis touchant laffaire d'Ostende, & de m'envoyer le dessein
À 3

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. 11.

34 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„pour lestablissement de vos raisons; je souhaitte que vostre capa-
„cité soit considerée, & j'y contribueray volontiers auprés de Sa
» Majesté en recommandation de vostre personne & de vos services.
„Cependant je prie Dieu qu'il vous ait en sa sainte garde. Badajos
„ce 28. Octobre 1662.

D. JUAN”.

yl’ Ay receu vostre Lettre du mois de Septembre passé, où j’ay
„veu, avec agréement, les marques de vostre affection & de vostre
„zele, dans le raisonnement que vous faites sur les affaires presentes;
„Nous devons esperer que Dieu y mettra sa bonne Main, & qu’elles
„prendront le biais plus convenable au bien de la Monarchie & de
„la tres-Auguste Maison. Cependant vous pouvez croire que je con-
„sidere tousiours comme il est juste vostre merite, priant sa Divine
„Majesté qu’elle vous ait en sa sainte garde. Guadalajara ce 5. No-
„vembre 1666.

D. JUAN”.

yl Ay receu vostre Lettre du 14. du passé, avec la Carte in-
„cluse, où vous representés l’estat present des Provinces du Pays-
„Bas, aprés les conquestes des Ennemis la Campagne passée; &
„encores que cela n’aye fait qu’augmenter la douleur que je recens
„des miseres de ces bons Peuples là (que je voudrois pouvoir soula-
„ger de mon propre Sang & ma Vie) je n’aye pas laissé d’agréer
„cette nouvelle marque de vostre zele, pour lequel j’auray tousiours
„estime qu'il merite, & m'en souviendray aux occasions où il
»S’agira de vos interests. Cependant je prie Dieu qu’il vous ait en sa
Sainte garde. Madrid ce 12. Octobre 1667. |

D. Juan”.

AU LECTEUR.

» ET afin que personne n'attribuë à ambition ou vantise, que van Langren
»a mis en lumiere les susdites Lettres de Son Altesse Serenissime, il piaira
»au prudent Lecteur d'estre informé, que Son Altesse Ven chargea le mesme
»jour de son départ vers Espagne, à sçavoir le premier de Mars de U Année
»1659. de l’aviser de temps à autre, ce qui concerneroit les affaires public-
» ques des Provinces des Pays-Bas: comme aussi de luy dire, ce qu’il ren-
»contreroit de curieux aux sciences Mathematiques, Astronomiques, Geographi-
»ques, Hydrographigues, Geometriques, & en l'Art Militaire ou de Fortifier,
»en tous quelles sciences sadite Altesse s'avoit avantageusement exercée en son
»bas âge, sous le tres-sçarant § Reverend Pere Juan della Faille, de la Com-
»pagnie de Jesu; lequel Sa Majesté avoit choisi, pour estre le premier Pro-

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 35

»fesscur au College Imperial, erigé en la Cour de Madrid, afin de convier
»les grands Seigneurs § la Noblesse d'Espagne, à la parfaite connoissance
» desdites sciences, tres-necessaire pour le bien universel de la Monarchie, tant
»par Mer que par Terre, § sans lesquelles on ne sçauroit former un par-
» fait General, Superintendent, ou Ingenieur.

» Et ayant lesdites avis grandement pli à Son Altesse Serenissime, il a de
»mesme eu la bonté, de Vhonorer de plusieurs Lettres, tant pour l’animer
»de poursuivre esdites sciences, comme pour le consoler és traverses inoüies,
»qwil a souffert de ses Adversaires, avec une patience tout entiere, sans
»beaucoup s’alterer des soixante six injures, qu'ils ont inserré en leur Apo-
»logie *) scandaleuse, sans aucune honte ou crainte de Dieu, pensant par
«ledit moyen d'esquiver les Conferences *) que van Langren a tant de fois sol-
»licité au Conseil, pour verifier ce qu'il avoit noté en la Requeste au Roy),
»qwil fit imprimer en Van 1659. à sçavoir, que tout ce qu'ils avoient fait
Ȥ fairoient au Havre d'Ostende contre son avis ne serviroit de rien, comme
>on voit presentement qu'il est pire que jamais.

» Et qu'on n'avoit point de raison, de vouloir imputer les mal-heurs des
> Pays-Bas (survenus és Années 1657. § 1658.) au Serenissime Prince
»>Don Juan D'AUSTRICHE, comme firent quelques mal informez, mais qu'iceur
»competoient à ceux qui avoient pussionnement denigré § empesché les tres-
»importantes propositions Militaires, que ledit van Langren avoit avec fon-
»dement & zele representé passé 20. 30. § 40. années, pour en quelque
»maniere redresser la Monarchi: du co:té Septentrionale, lesquelles notices
» furent si agreables à la Serenissime Princesse Madame TsABELLA, de eternelle
»memoire, qu'elle Venvoya en l'An 1631. en Espagne, pour les donner à con-
»noistre à Sa Majesté, lequel en fit tant d'estime, comme on voit par ses
» Royales Lettres dattées du 10. de May 1633. De mesme ont aussi fait les
» Serenissimes Princes CARDINAL INFANTE, le Duc DE CARIGNAN 50) & Don
» ANDRÉ CaNreLMO en l'An 1638. comme on voit par leurs escrits. Quelques
» grands Seigneurs d'Espagne, d’ Allemagne, & du Pays-Bas ont aussi mani-
»festé leur grand regret par escrit, qu'on a si aigrement rejetté les choses
»que ledit van Langren a representé: Comme amplement sera demonstré au
» Discours 8) Politique § Militaire, qu'il a preparé pour Sa Majesté la Reyne
» Regente, 6 pour les Seigneurs Directeurs de la Monarchie, afin qu'ils ne
»seroient point esmerveillez des mal-heurs passez, & de ce que Sa Majesté
» Purzxppe IV. **) qui est en gloire, a si liberalement cedé aux Hollandois &
» François, ce qu'ils ont desiré, pour donner repos à son Peuple, ayant tout
»le mal qu'on souffre presentement esté causé du premier, à cause de la foi-
vblesse & nudité du Pays.

»Il plaira doncques aux Nobles, § aux fidels Habitans, & Vassaux

*) Zie bladz. 12. 5
4) Zie het stuk van $ 4.

§) Het schijnt, dat dit stuk niet meer bestaat.

**) Philips IV was reeds 17 September 1665 overleden.

3%

36 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

»de Sa Majesté de considerer avec quelle tendresse, affection, 5 fondement
»sadite Altesse a escrit les Lettres cy-dessus, § avec combien de zele & valeur
»il desire de soulager le bon Peuple affligé, en defence de nostre jeune &
»unnocent Monarque Crarres IT. § de la Reyne Marie ANNA sa Mere.

» Prions partant sa Divine Majesté, qu'il luy plaise de conduire au plus-
»tót ce Valeureux § digne Prince pardeca, § d'incliner Sa Majesté Louys
»XIV. de desister de ses pretentions non fondées, comme les Seigneurs &
»sçavans Personnages 11SoLA 61), Srockmans ®2) & autres ont si ample-
»ment demonstré, qu'il ny a pas une plume sçavante en toute la France,
aqui les sçauroit refuter. Prions en outre nostre Seigneur, que les Prelats
» Ecclesiastiques dudit Royaume, veulent imprimer en sa Ltoyale Memoire, les
»mots que marqua la SACRÉE MAIN DE Dreu contre la muraille, au mesme
»temps que le grand Roy Barrmasar, se glorifioit de sa grande puissance,
»§ de luy dire que ledit passage a esté noté par te S. Esprit aux Livres
»sacrez, pour advertir les Souverains de se gouverner selon la raison § Jus-
»tice; & de mettre en consideration, ce que nostre Seigneur a voulu dire,
»d avoir retiré Henry IV. & son Fils Louys XIII. sur wn mesme jour de S.
»Bontrace le 14. de May, de An 1610. & 1643. xxx. ans (qui est
»l'âge de Jesus-Curist) l’un aprés l'autre, ce qui est une chose inoüie.
» Ne seroit-ce pas à cause que lun et l'autre ont voulu intenter ce que
»nous voyons presentement avec tristesse? Je crains si Sa Majesté ne con-
»sidere ce que dessus, ou au moins se conforme au bon conseil que Monsieur
»de Lixonxe %) luy a donné (sans y penser) de restituer au jeune pupille 54)
vee qu'il luy a osté55), sans forme de Justice, que les larmes des oppressez
»obligeront la misericordieuse Main de Dieu de se mettre en deffence des
» Pays-Bas, & de la tres- Auguste Maison; comme le Prince Don Juan a si
»confidemment marqué en sadite Lettre, aprés que van Langren l'avoit avisé,
»ce que la France ruminoit § tramoit en l'An 1666. Si cela ne le contente,
»je le prie du profond de mon cœur, de vouloir consulter avec les plus sça-
»vans Astrologues de la France, & de leur faire examiner les aspects des
»jours 14. de May, jusques à celuy de l'An 1676. inclus, & de noter s'il
»y aura un qui sera, à leur advis, fatal à sa Royale Personne, comme ont
vestez ceux de son Ayeul & Pere, à cause d'avoir manqué à la parole jurée
ven la Paix de Vervin en Van 1598.

»Et veritablement c'est une chose triste & déplorable, de voir que ce Jeune,
»Grand, 6 Puissant Monarque Louys XIV. & toutes les autres Puissances
» de la Chrestienté, n'employent pas plustôt leurs valeureux Gentils-hommes &
» Soldats à la conqueste de la Terre Sainte, de la Natolie, de U’ Archipelage,
»de la Grece, ou bien des Costes de la Mediterranée, où il y a tant de
» Royaumes 6 Principautez à gaigner, & où les Heelesiastigues feroient une
»conqueste de plusieurs millions d'ames à Jusus-Curist, lesquelles se gouf-
»frent presentement (à nostre confusion) en la geule du Lion Infernal; ou
»bien d'assister la Noble Republique de Venise? C'est en cela que les bons
»Ministres des Souverains devroient appliquer leur pensées, afin de meriter

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 37

»la Benediction du Ciel en ce brief cours de nostre vie. Et comme van
»Langren (parlant comme Cosmographe de Sa Majesté) a une bonne con-
»noissance des regions de la Terre § des Mers, il estimeroit à honneur &
»bon-heur, s'il pouvoit monstrer à Sa Majesté Tres-Chrestienne (avec per-
»mission de Sa Majesté & la Reyne Regente, par induction de Son Altesse)
ven quelle forme, maniere, § avec quelle facilité il se pourroit faire le plus
» Puissant § le plus Illustre Monarque de l'Univers, § acquerir plus de
»renonumée que n'ont fait tous ceux qui lont precedé. Si sadite Majesté
»incline à cette sainte expedition, on devra avec haste faire une reparticion
»pertinente des Costes de la Barbarie entre les Princes Chrestiens, avec
»promesse de se donner la main lun à l’autre, selon ce qu'avoit premedité ce
» digne Roy Cuartes IX. de joindre ses forces avec celles de l'Empereur
»ó du Roy Catholique, § ne voulut en nulle maniere entendre aux persua-
»sions de quelques Grands Princes de la France, qui le sollicitoient pour
»rompre avec Puree IL. (au temps que les Provinces des Pays-Bas esto-
vient troublées par l'Heresie) mais leur repliqua d'un zele tres-saint, QUE
>CE N'ESTOIT PAS DE SA DIGNITÉ ET GENEROSITÉ FRANÇOISE DE TROMPER UN
»Roy son Parent Et Amis, chose digne d'estre noté a l'honneur de sadite
» Majesté.

»N'ayant point de doute si cela se faisoit, que toutes les Puissances 6:
» Nobles y concourront par Mer § par Terre: Sa Sainteté Cremext IX
»y employeroit aussi ses sacrées Mains, avec toute U Eglise Romaine, en
»imitation de ses Predecesseurs, comme on voit par les Lettres qu'ils ont
»escrit aur Roys d'Espagne, de France § de Portugal, passé plusieurs années.
»Ce qui donneroit un notable employ & profit aux gens de Mer, tant Espag-
»nols, François, Italiens, Portugais, Anglois 5 Hollandois, où il y a des
» Navires, § des Matelots en abondance. Si sa Sainteté, le sacré College,
»avec les Roys £ Princes Souverains inclinent à cette sainte entreprise, il
»leur supplie en toute humilité, & sincerité de luy commander en ce que
»pourroit estre de leur service.

» Au reste & pour finale conclusion, sera le benin Lecteur adverty, qu'en-
»core que sadite Altesse fait mention en sa derniere, 5 en plusieurs autres;
»d'avoir soin pour les interests dudit van Langren, cela doit estre attribué
>a sa grande & insigne bonté, car van Langren ne luy a jamais fait ses
»plaintes du debil payement de son gage, ny de ceux qui ont retardé, &
»empesché à son grand regret, le voyage d’Espagne & des Indes Occidentules,
»que Sa Majesté desiroit de luy, mais luy a simplement § sincerement avise
»ce qu'il avoit escrit à sa Sainteté 56), par les benignes mains de l’Eminen-
»tissime Cardinal Rospieutost 57), § ce qu'il a representé à Sa Majesté Im-
»periale, 6 au Roy Tres-Chrestien, avec ce qu'il jugeoit digne d'un si grand
» Prince, § en particulier ce qui concernoit le Havre d’Ostende, lors que le
»Seigneur Marquis de CARACENA*) fit inonder le Poldre de Santvorde, sur

*) Dit is Don Luiz de Benavides, zie Aant. 32,

38 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

»des foibles avis de quelques uns, monstrant que le tout ne servoit de rien;
»comme son Excellence le Seigneur Marquis de Castet-Roprico a oculaire-
»ment reconnu sur le lieu, apres avoir considéré le grand model de Bois,
»dudit Havre, lesquels desseins de van Langren ont hautement esté loüez des
» Seigneurs Duc de BourNoviLLe 58), des Comtes Marcin °°), 6 pr SALASAR 60),
ven l'assemblée qu'on tenoit le 23. de May 1660. Sadite Excellence a par
» ainsi sagement resolu de suivre de point en point ce que ledit van Langren
>a representé en lan 1627. passé 40. ans.

» Outre ce ayant son Exc. le Marquis de CasreL-Roprrao, aussi veu les
» Lettres de Son Altesse, 5 les escrits des Seigneurs de la Toison d'Or, de
»tous les Generaur de l'Armée, § de plusieurs Illustres Seigneurs, s’est
»aussi incliné pour faire le Canal de Malines*), que ledit van Langren a
»representé, tant en benefice du Commerce, comme pour la fortification du
» Pays, § seureté des Villes de Malines, Vilvorde § de Bruxelles, (comme
»clairement se voit en sa Carte dudit projet 61)) il a mesmes en consideration
»dudit affaire, deux fois continué Messieurs les Magistrats de Malines, &
»son Krcellence de CARACENA une fois, par où apert combien ledit Canal a
vesté jugé necessaire. Il ordonna 5?) aussi, sur l'avis du Seigneur Comte de
»Marcin, de faire inonder les prairies d'Anderlecht & de Molenbeck, pour
»rendre la Basse Ville de Brurelles hors d'attacque, comme on a veu en
»l'an 1655. à la satisfaction du Serenissime Archiduc Leororpe; le Prince
»Don Juan l'auroit aussi intenté en Van 1658. si les Ennemis ne s’eussent
»relirez. Mais comme en Esté 1667. l'Escluse du Pont des Faquins a esté
»fait contre l'intention de van Langren, par quelques deputez, & qu'ils lont
»fait intituler en la Gasette Num. 6. U Escluse admirable, pensant d'offusquer
»l'invention que ledit van Langren, avoit publié en Van 1644. +) sadite Ex-
»cellence sur l'avis des Seigneurs Comtes de Marcin & RENNEBOURG, aux
»remonstrances dudit van Langren, Va fait demolir, comme un Ouvrage
inutile, nonobstant qu’elle avoit cousté douze mille florins, au lieu de 300.
»que van Langren vouloit frayer. Cette diligence de van Langren & la
»prudence de son ÆExcellence a esté la seule cause que le bas quartier de
»ladite Ville a esté sauvé d'un terrible mal-heur, lors que la Riviere Senne
»debordoit outre mesure le 17. 18. & 19. du present mois de Fevrier, ce qui
»luy fait croire que à la fin Messieurs du Magistrat ne voyant nul remede
certain pour prevenir ledit mal, inclineront un jour pour le remedier.
» Priant aussi son Excellence de luy vouloir faire honneur de conserver en
»sa memoire, ce que ledit van Langren luy a representé pour le plus grand
»bon-heur dudit Pays, tant à Vesgard des peu frayeuses Fortifications des
» Villes, d'Anvers %), Bruxelles, Vilvorde & Ostende, comme pour joindre le
»commerce de l’Empire à celle du Mer Ocean, comme il monstra à la
»Serenissime Infante IsABEL en tan 1626”.

*) Zie het boekje van Aanteekening N°, 58,
+) Vergelijk Aanteekening N°, 37,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 39

11. En daarop deed van Langren in 1670 nog zijn laatste beroep
[want in 1675 overleed hij], in dezer voege 64):

„AYant Michel Florentio van Langren, Cosmographe & Mathe de
„Sa Majesté depuis quelques années, recognu la grande modestie &
„Prudence de Son Ex‘ Monseigneur LE COMTE DE MONTEREY 65), lequel
„Sa Majesté a sagement esleu pour Gouverner, regir & maintenir l’estat
„du Pays-bas, en quoy il s’employe si infatigablement, qu'il n’y a
„Personne ou ils en ont une satisfaction indicible; Et comme ledit
„Seigneur a une grande affection & inclination pour les Sciences
» Mathematiques, Je me suis trouvé obligé de le supplier en toute
,humilité, (& par le devoir d’office) de vouloir prendre un esgard
„particulier, de ne se laisser abuser par la multitude des voix de
„ceux qui ont la maniance & direction des Fortifications, & en par-
yticulier de celles qui regardent les eaués, la Marine & ports de
„Mer, en quoy quelques-uns de ses Predecesseurs Gouverneurs du
„Pays ont grandement estés seduits, par la multitude des voix,
„comme on recognoistera par le present discours, qu'il a mis en
„lumiere pour espargner sa langue, & ne sçavoir respondre là où ils
„parlent incessamment en son desavantage. Et ayant dit à Son
, Hx qu'il avoit accommodé son Model de bois, avec le Canal Cir-
,culair, le nouveau & viel havre d’Ostende: Il luy a commandé de
„la faire porter à la Court, asseurant qu’il auroit un grand soing
„de semblables matieres, esquelles on employe ordinairement le plus-
„clair argent du Pays: Et fit deux jours aprés escrire un billet au
„Remonstrant sur ce que concerne les affaires du Sas de Tenre-
„monde, où il avoit esté envoyé deux fois par ceux du Conseil des
„Finances, afin de considerer l’estat d’icelle, & où on n’a pas com-
„mis un petit erreur à grands frais du Roy.

„Et ayant Son Ex® cependant resolu de faire un voyage vers la
„Flandre, avec intention de recognoistre la constitution presente du
„havre, duquel sadite Ex a tant ouy parler l’année precedente, il
„a jugé estre de son obligation, pour faciliter cette importante entre-
»prinse, de mettre en peu de mots, ce que s’est passé sur ledit
„affaire depuis lan 1627. lors qu'il a representé le remede d’icelle,
„à la Serre & jamais assé honorée Princesse Madame Isapen de
„glorieuse memoire, deux ans aprés qu'il avoit par son ordre fait
„une particuliere description des costes, & des bancq maritimes de
„la Flandre.

„La raison pourquoy audit temps on ne mit en pratique les deux
„Esluses qu'il voulut faire en B. & C.*) avec ce qu’il avoit ex-

#) Zie hierachter het kaartje N°, V,

40 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

»Cogité en A. embouschure du Canal de Plaschendael, estoit que
„Son Ex® le Marquis Spinola (qui avoit gaigné Ostende) estoit de
„longue main imbu par divers Ingenieurs, & par ceux d'Ostende,
„qu'on la deveroit remedier & entretenir par l’inondation que les
„rebelles d'Ostende avoient pratiqué en l’an 1584. par la couppure
„d'une forte & courte Dycke, qui livit ladite ville aux Dunes Orien-
„tales, non pour faire un havre, mais pour la fortifier par l’eauë
„contre le Prince de Parma “), qui avoit l’année precedente fait
„mine de la vouloir assieger.

„Les Sermes Princes ALBERT & ISABELLA, ayant recuperé ladite
„ville en l’an 1604. eurent une grande compassion de la ruïne de
„tant de particuliers, qui avoient leurs terres inondées pour le ser-
„vice du Roy, commandoient en lan 1608. par induction de Mons”
„de Vicq, Bourgemaistre du Francq, qu’on tireroit une dique
„depuis Ja redoute de S. Albert, par la Gavelose Speye, & Santvorde,
»Jusques à la dijcke de Bredene, quel ouvrage fut en l’an 1612.
„prolongué vers les Dunes, la Serme Princesse ayant en l’an 1622.
„fait construire le Sas & le Canal de Plaschendael pour faciliter le
„commerce de Bruge, voyant que la haure Oriental s’estoit eslargy
„par le flux & reflux, & que celie d'Occident avoit esté ruyné à cause
„de la guerre, & lequel n’avoit jamais servy au commerce mais à
„la pescherie.

„Elle voulut aussi en lan 1626. qu'on mettroit en espargne le
„Poldre de Santvorde, par une Dycke depuis Hogebrugge vers
,Slycke, quel ouvrage ayant esté fait sans l'advis dudit Marquis; il
»y accourut sur le mauvais rapport de ceux d'Ostende: & commanda
„au Gouverneur Montero, de donner la premiere poëlle à ladite
inondation, sans vouloir permettre de cueiller les fruits d'icelle, ce
„que causa une subite mort dudit Gouverneur. Mais si-tost qu'il
„s'estoit retiré vers Espagne, commanda S. A. de le reserrer, à
„cause du peu d’effect que faisoit l’eau de ladite inondation.

„Toutes qu’elles controverses & opinions, à esté la seule cause,
„que ceux d'Ostende, les Ingenieurs, & Superintendents de la Forti-
,fication, se sont tousiours opposés aux Escluses que le Remonstrant
„avoit representé à ladite Princesse.

„Et ayant le Remonstrant releüe sadite proposition aprés son
„retour d'Espagne en l’an 1638. par induction & Conseil du Serme
„Prince Tuomas de Savoye, ceux des Finances requeroint l’advis
„du Commis Kesseler, & de l’Ingenieur Cock *) lequel se souvenant

*) Hij bedoelt Jean Heymeissen Coeck,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 41

„du havre de Grevelingues, avisa qu'il ne pouvoit croire que
„van Langren auroit aucune cognoissance de semblables matieres,
„nonobstant qu’il avoit memoire de ce qu'il avoit peu de mois
auparavant fait comprendre par demonstration au Serme Prince
„Cardinal INFANTE par induction au Prince THomas & aux Seig's
„Don Andre Cantelmo & Don Estevan de Gamarra, que le nouveau
„havre de Grevelingues, que Juy & l’Ingenieur de Bucq, & le Com-
„mis & Superintendent Kesseler avoient mis en cervelle au Marquis
„de Fuentes General de la Mer, & ledit Marquis à sa Mat, lequel
,commanda de le faire Sin replica ninguna. Quelle demonstration
„ayant esté oüy avec regret de son Alteze & de toute la Cour; Il
„escrivit à sa Maté que l’entreprise du nouveau havre ne valloit rien,
»& fut delaissé, nonobstant qu’on avoit consumé en icelle plus que
»100. mille florins, & à la mesme occasion perdu les importantes
„villes de Damvillers & Bredal que S. À. ne scavoit secourir, pour
n'avoir à la main les sept ou huit mille soldats qui s’estoient
„retranchés prés ledit ouvrage, l’Ingenieur Cock ayant eû ordre de
„conferer de cêt affaire avec le Cosmographe, ne le donna autre
„responce (selon le thon ordinaire des Ingenieurs) que de dire, iLs
„LONT AINSI VOULU: Et afin qu’on seroit satisfait de sa sincerité,
„& du zele qu'il a pour le service de sa Maté. Il offrit par sa requeste
,qu il mit aux Royales mains de son Altesse, de donner la qua-
„triéme partie de son gage de 200. florins par mois (qu'il luy avoit
„accordé 70. jours auparavant) à la personne qui sçauroit par de-
„monstration refuier sadite contradiction, comme cela paroit par
„sadite requeste, authentiqué par le Secretaire de sa chambre.

„Et ayant du depuis cette passion venimeuse esté accreuë, & comme
„heredité de quelques Ingenieurs, & des deux suivans Superintendens
„de la Fortification qui lont succedé, à sçavoir Mons" de Roberti &
„Maes, ils se sont à châque pas opposez par la multitude de leur
„voix enchaînée & ligué, contre tout ce que le Cosmographe a re-
„presenté de temps à autre, pour le maintien & defence de cêt Estat,
„& mesme contre ce que sa Maté avoit ordonné de faire par ses Roya-
„les lettres.

„Et n'ayant le Remonstrant en aucune maniere voulu, ou sceu
„desister de ses entreprises, pour estre fondé en bonnes & fermes
raisons Physiques & Mathematiques, en quoy ces bonnes gens sont
„peu versées, il les a tousiours genereusement alarmées, les conviant
„de vouloir venir en diverses amiables conferences, pour entendre ses
„raisons demonstratives devant des personnes versées és sciences,
„sous le jugement desquelles il s’estoit tousjours souûmis, comme
„appert par ses requestes authentiques, & papiers imprimés, & afin

42 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„de leur donner un amorce profitable, il offrit en lan 1651. *)
„estant à Ostende avec deux Archevesques & deux Evesques +), de
„leur donner six cent florins §), s'ils le pouvoient confondre en un
„point par demonstration, comme cela appert par l’Acte Notorial
„de van Heede audit Ostende date 18. Juillet; mais comme cela leur
„sembloit peu, il augmentoit ladite courtoisie à trois mille Escus
„en lan 1660. lors que le Sr. Marquis de CARACENA y alla, comme
„paroit par impression; mais tout en vain: Et au lieu qu’ils auroient
„gaigné honneur & argent, ils publioient au mesme temps leur APo-
,LOGIE **) schandaleuse contre luy, le donnant plus que soixante-six
„noms si injurieux, qu’il n’y a eu aucune Personne de sain juge-
„ment, & qui cognoissent au Cosmographe qui la desestime pour
cela, & ont les trois Autheurs Cock, Jansen, & Mercks gaillardement
„esté chastiés ff) par la plume de Don Avonse de Zepeda °"); efforçans
„neantmoins audit Marquis par la multitude de leur voix, de faire
„inonder le Poldre de Santvorde, à la ruïne de tant de bons vas-
„saux de sa Ma, lesquels perdent en icelle bien 60. mille florins
„par an, & le Roy son domaine; Et si on voulut calculer ce que
„les proprietaires ont perdu dés l’an 1584. par l’inondation de ’s Her-
„Woutermans, & de Nordée, cela monteroit à non moins que six
„millions de florins, & tout cela pour fortifier la ville, & meliorer la
„havre, ce qu’on auroit peu faire par industrie & avec profit, comme
„il dira ey-dessous.

„Estant chose tres-notable que Cock, qui avoit en lan 1643. esté
„contraint d’approuver les deux escluses du Cosmographe, en pre-
„sence de Don Francisco DE MELLo, de Don Carlo Guera, & du
„Gouverneur Don Juan de Almarras, ce qu’auroit esté executé, s’il
ynavoit esté defait à Rocroy; & nonobstant que Cock a representé
„les mesmes Escluses en la jointe que le Marquis de CARACENA
„tenoit le 23. de May 1660. avec les Seigneurs Comte de Marzin,
„Due de Bournoville, & le Comte de Salasar, & qu'il avoit escrit à
„van Langren le 17. de Septembre 1660. qu’il n’estoit pas d'intention
„de faire inonder les terres qu'on avoit redicqueés, il se laissa neant-
„moins abuser par le pervers conseil de quelques-uns, & des Inge-
„nieurs, Jansen & Mercks, sur promesse qu'il seroit payé des 8000.

*) Zie het stuk van Aanteekening NO. 33.

t) Zie hiervoor § 4, blz. 13.

§) Zie § 4, blz. 12.

**) Zie het boekje van Aanteekening N°. 49.

tt) Zie de beide stukken, aangehaald in § 12, en voornamelijk het tweede, geda-
eerd 16 September 1660,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 43

„florins qu'il trouvoit de son gage qu'il a eu. Mais helas! au lieu
„que ledit havre auroit esté melioré, il semble que Dreu mesme l’a
„voulu ruïner & serrer par un grand bancq de sable (comme arriva
,jadis & à peu prés par un mesme cas au fameux havre de Stavere en
„Frize; & à Dunkerkes, parce qu’on n’a pas voulu croire à ce que
„le Cosmographe leur a representé en lan 1625.) tellement que à
„Denkerkes & à Ostende, il y peut à peine entrer ou sortir un
„Navire chargé avec haute marée, & ont ceux du Magistrat de Dun-
„kerkes, considerant leur ruïne, amiablement requis & prié au Cos-
„mographe le 2. de Novembre 1669. de se vouloir transporter par
»delà, pour donner son bon advis sur la melioration d’icelle, avec
„offre de remuneration. Par quelle action a esté accomply, ce qu'il
„avoit publié par escrit en l'an 1650. en son petit livre*) d'Ostende
„folio 7. que en Van 1660. & 70. le havre de Dunkerkes ne servi-
„roit plus de rien, & qu'ils s’en plaindroient de n’avoir suivy son
„advis. Le mesme succedera à celuy d'Ostende, s’ils ne veulent
,ouvrir leurs yeux de consideration.

„Quelles sommes de deniers on a inutilement employé ca & là
„sur le seul rapport desdits Super-Intendens, sgauroient ceux du
„Conseil & ceux de Bruges mieux que van Langren. Et certes, si
yon ne se donne haste de remedier ledit havre, la ville de Bruges
„ne perdera non seulement le commerce: qu’elle auroit peu esperer
„de l’industrie du Cosmographe, comme il demonstre par ses requestes
„autentiques de l'an 1642. mais les rentiers qui ont contribué pour
„faire le receptacle & lalargissement du Canal vers Plaschendal,
„tomberont au mesme inconvenient des rentiers de la Blende vaert,
„qu'on a fait en l'an 1639. vers Dunkerke (& lequel il a intitulé
„en ses Cartes Geographiques Fossa Fernandina) quels deniers ils
„auroient veritablement deu employer à la melioration de leur havre
„d'Ostende, sans chercher la mer en un pays si esloigné, sur l’advis
„de ceux qui ne demandent que de travailler, comme il leur repre-
„sentoit au mesme année 1639. lors qu'il fut envoyé à Snaeskercke
„pour entrevenir audit affaire, qui fut assoupi sur ce qu’il represen-
„toit par escrit à ceux du Francq.

„De toutes quelles erreurs & contrarietez ont esté origines, que
„sa Ma n'a non seulement despendu plus que de cing à six
„millions de florins mal à propos en la fortification du Pays, mais
„qu'il a perdu les meilleures places d'icelle, à sçavoir la ville de
„Hulst, Mardyck trois fois, Dunkerke deux fois, Courtray avec ses

*) Zie Aanteekening N°. 16.

44 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER Wis- EN

„consequences; & esté obligé de donner Carta blanche aux Hollan-
„dois en lan 1648. pour avoir la paix, & tout de mesme an Roy
»Tres-Chrestien en lan 1660. quelles ennemis on auroit ensuite de
„ses advis & estudes peu empescher leur progrés, & obliger les pre-
„miers de se conformer à la raison; comme il a fait voir à sa Mat,
„dequoy font foy ses Boyales lettres.

„Et d’autant que tout ce que dessus est veritable, & tres-bien
„cognu au Serme, Prince Don JUAN D’AUSTRICHE, il a en divers
„temps eu la bonté de le consoler par ses benignes lettres *), sans
„aucune de ses merites.

„Ne doutant & esperant, que lors que son Ex°.LE COMTE DE
„MONTEREY aura oüy ses raisons, & veu les lettres que sa Maté
„luy a fait escrire, ne laissera d’y tenir sa bonne main, pour
„ineliner quelques-uns du Conseil qui se sont tousiours excusés de
„m’avoir sceu empescher les susdits deservices pour ne point entendre
„la fortification.

„Quelles matieres ayant à peu pres esté representées au Seigneur
„Marquis de CASTEL-RODRIGO, aprés qu’il avoit passé sa judicieuse
„veüe sur ses escrits & le model de bois, il ne voulut depuis ce
„temps rien entreprendre sans l’advis du Remonstrant, & le fit venir
„avee luy vers Ostende, au mois de Mars 1667. estant chose à
„plaindre que son indisposition l’obligea de retourner sans rien faire,
,& ayant le Remonstrant à cas fortuit veu le dessaing du Sas qu'ils
„vouloient placer au Canal devant le fort de S. Philippe, il asseura
„aux Seigneurs qui furent en la barque, que son concept n’estoit
„non seuleman plus propre pour la navigation & pour la havre,
„mais qu’elle cousteroit bien cent mille florins moins, sur quoy fut
„dit que s'il le pouvoit verifier, qu’il meriteroit un present de 25.
„ou 30. mille florins; Ce qu'ayant fait comprendre à son Ex®, &
„fait voire sa demie excluse avec le Canal circulair il ordonna le
„28. d'Avril par decret qu’on luy donneroit quatre mois de son gage
„afin de retourner vers Ostende pour designer sondit desseing sur
„le terroir, mais survenant la guerre des Francois & qu'il se retira
„vers Espagne, le tout demeura en suspence.

„A l’arrivée de son Ex LE CONNESTABLE DE CASTILLE 6) ont ceux
„du commerce de Bruges de nouveau representé leur Sas, estans
„accompagnés de Monsieur le Comte de Solre, du Surintendent van
„Ophem, avec ses Ingenieurs, sans dire un seul mot de ce qui s’estoit
„passé en la barcque, & de ce que CasTEL-RODRIGO avoit ordonné.

*) Zie over deze brieven $ 10, bladz, 33,

NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 45

„Et ayant son Ex prins resolution sur icelle à l’insceu du Remon-
„Strant, il se trouvoit obligé en conscience & de ce qu'il doit au
„service de sa Maté de le dire par quatre mots d’escrits, que leur
„Sas ne serviroit de rien, offrant de la verifier par demonstration en
„presence des plus habils Seigneurs de la Cour, ce qu'ayant esté
„fait avec applaudissement, & esté remarqué par ceux du Sas, ils
„employent toute leur industrie pour faire varier à son Ex afin de
„suivre la multitude des voix, sur quoy il ordonna selon leur inten-
„tion, que le Cosmographe iroit avec les Deputés & leurs Ingenieurs
„vers Ostende, où ils ne voulurent en aucune maniere permettre qu'il
„parleroit un seul mot avec les Ingenieurs, de la matiere de leur
„voyage, l’obligeant comme par force de mettre son advis entre leur
„mains pour le joindre avec les autres, lesquels avoient tous estés
„dietez sur une mesme note de leur musique.

„Son Ext et ceux de la jointe voyant que le Remonstrant estoit
„seul en son opinion, ordonna le 3. jour de Pentecoste *) de mettre
„la poëlle en terre pour commencer le Sas, ce que fut fait avec
„triomphe, cannonades & musquettades.

Le CONNESTABLE & toute la Cour ayant deux mois après esté
„informé que van Langren avoit raison, il commanda bien expres-
„sement qu’on auroit à delaisser ledit ouvrage, nonobstant qu’on
avoit frayé en icelle entre 25. & 30. mille florins, dequoy ayant
„le Remonstrant publiquement esté congratulé par son Ext & de
„eeux de la Cour, & ayant par aprés consideré, que ce seroit chose
„tres-difficile de pouvoir faire desloger un si large, haute & esloigné
„bancq de sable qui s’augmentoit de jour à autre, devant l'em-
»bouschure du havre, & dequoy on ne scauroit faire la preuve, sans
„premierement faire le Canal Circulair, avec la demie Escluse &
„ies deux Dammes, à une despence de 300. mille florins, au lieu
„qu'un de ses amis avoit soustenu en la jointe qu’elle passeroit les
„900. mille.

„Ce que le fit resoudre de conseiller à Son Ext le CONNESTABLE
de vouloir faire bouscher le havre Oriental, comme elle estoit devant
,linondation, & de ouvrir une nouvelle estroite & courbe du costé
„Occidental de ladite ville, avec une demie escluse ou un Sas
„comme on voudra.

„Cette pensée du Remonstrant pleut de telle maniere à son Exce
„& à ceux de la Cour, que le Seigneur Don Antonio de Pimentel ®)
„(qui a grande cognoissance de la Mer pour avoir gouverné plusieurs

*) Dit was de

46 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN

„années à Cadis en Espagne) l'asseura de la part de son Exce que
„sa Majesté luy donneroit 500. mille florins pour faire ledit ouvrage
„sl necessaire pour la navigation & fortification d'Ostende; le Cos-
„„mographe n’ayant autre dessein que de bien servir à sa Majesté
„sans interest, replica im verbis & en publicq, qu’il ne voulut pas
que sondit dessein passeroit les 300. mille florins, cêt autant comme
„ceux de Bruge avoient estimé leur Sas, & par lequel on n’auroit
»pas desseisché un pied des terres inondées.

Le Seigneur CONNESTABLE desirant d’estre informé de cette pen-
„ste par ceux d'Ostende, ordonna au Remonstrant de le suivre, où
„estant arrivé, on luy mit en avant six ou sept moyens pour meli-
„orer le havre, si extravagans & si peu fondés en raison Mathema-
,tique & Phisique, qu’il faudroit beaucoup de papier pour les refuter,
„ee que causa qu'il ne print aucune resolution, de crainte d’estre
encores abusé, & ne laissa pas de bien parler du concept du Cos-
,mographe & de le remunerer à son insceu au retour à Bruxelles.

„Ce consideré il espere que son Excellence Monseigneur LE COMTE
‚DE MONTEREY, aura un soing particulier de ne se tousiours conformer
à la multitude des voix, qui ont seduit quasi tous les Gouverneurs,
mais sur la seule demonstration Mathematique, dequoy depend cette
faculté, & non des opinions comme des autres matieres ; Et veritable-
„ment si cela avoit esté observé, on n’auroit pas perdu tant de
„places si importantes qui ont donné un grand branle à toute la
„Monarchie, comme on verra par ce qu'il en a escrit en forme
d'histoire *).

„Et afin d'affirmer son dire il a asseuré à sadite Ex° par escrit
d’estre content que tout ce que sa Majesté le doit de son gage
(desquels il ne doute en aucune maniere ou il sera ponctuellement
»payé) seroit consumé en ce qu'il a representé, tant à l'égard du havre
„d'Ostende +), comme du Canal de Malines§), lequel a esté jugé si im-
„portant par les plus Illustres Seigneurs du Pays, pour le maintient
„de Bruxelles, Vilvorde & Malines, contre quel concept ses emula-
„teurs, se sont aussi opposés sans aucune forme de raison. Mais si
„ces Messieurs veullent aux mesmes conditions essayer leur remedes
„qu’ils ont proposé pour ledit havre, il attendra jusques à ce qu'ils
auront augmenté leur fautes.

„Estant chose certaine si son Ext ordonne de faire ledit havre,

*) Zie hierover bladz. noot.
+) Zie het boekje Aanteekening N°.

§) Zie het werkje van Aanteekening N°.

NATUURKUNDIGE WEILENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. 47

„il n’y aura son semblable entre la riviere Albis & le d’estroit de
„Gibraltar, veu que ce sera en icelle perpetuellement haulte eau,
tenant les navires flottans sans se crever sur le fond, & on pourra
à chasque moment naviger sur une mesme superficie d’eau de
„Ostende vers Bruge & Snaeskercke, sans estre obligé de attendre
aprés le croissant ou decroissant de la Mer, passant le Sas de
‚‚Plaschendael comme si elle ny estoit point, car elle demeurera
„tousiours ouverte, où on la pourra demolir comme il a representé
à ceux des Finances au mois de May 1670. pour se servir des
materiaux pour faire le nouveau havre.

Les orages & tempestes de la Mer seront bannis hors le Pays, &
n'auront les Dyckes plus besoing d’estre reparées & entretenües à
„st grands frais, les proprietaires de s’Her-Woutermans, Nordec &
„Santvorde reprenderont leur bien patrimoniel, duquel ils ont esté
„frustrez dez lan 1584. & 1662. & laquelle leur sera renduë à
„telle condition que le Gouverneur d'Ostende (qui aura les Clefs de
„Ocean & des rivieres entre ses mains) pourra en temps de Siege,
„& de necessité retenir autant d'eau sur le Pays circonvoisin comme
„il trouvera convenir pour la deffence de la ville, laquelle sera par
„eeste industrie mieux fortifié contre le sable & les ennemis qu’elle
„mest presentement, (encores qu’on y a tant frayé les années passées)
„car Nepture & Eolus qui ameinent le sable, n’ont jusques à present
pas voulu obeir à ses ordres, à cause qu’il n’a aucune Escluse en
„son pouvoir pour arrester ou exclure les eaües, & afin que Mon-
„sieur le Gouvern. d'Ostende seroit remuneré de ses paines, on le
„pourra ceder une bonne partie dudit schorre pour son service.

Par cêt ouvrage faira son Ex°e un tres notable service à nostre
Seigneur, à Sa Majesté, à l’estat, & aux proprietaires, qui ne ces-
„seront de le donner & souhaiter mille benedictions.

Les Navires estrangers qui ont une crainte dudit havre à cause
„de ses escuils, & qui ont prins leur route vers celle des voisins, y
„retourneront à la foulle, voyant un si beau asile & logement des
navires, qu'ils auront à Ostende, & à Bruge, n’ayant point de doute
„ou par ce moyen ces deux villes agonissantes reprenderont haleine
„& se remettera Bruge (Dieu aydant) sur le mesme pied comme on
„la veu jadis du temps que le havre & la ville de l’Escluse appar-
„tenoit à un mesme Seigneur.

„C'est le souhait de celuy qui est, & qui a tousiours esté un
„tres-humble & affectionné amis & serviteur des bons serviteurs du
„Roy, & en particulier de ceux qai aiment les belles sciences. A
„Bruxelles 25. Aug. 1670.”

48 BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WISKUNDE ENZ.

12. In den bundel, mij door den Conservator Arnold uit Gend
toegezonden, bevinden zich nog twee stukken, die hier tehuis be-
hooren, en waarop ook in de vorige stukken werd gewezen. Het
eerste 70) is een brief van den Kapitein Adjudant Don ALONSO DE
ZEPEDA Y ADRADA aan den Marquis DE FROMISTA Y CARACENA;
het tweede 7) een rapport van denzelfden over de „Apologia’’, tegen
van Langren geschreven door diens tegenstanders, de ingenieurs.

13. Ten slotte valt nog van onzen MrcHeL FLORENTZ. van LAN-
GREN mede te deelen, dat hij bij zijne vrouw JEANNE DE QUANTERE
verscheiden kinderen kreeg o. a.:

ARNOUL, geboren te Brussel den 28 Augustus 1626;

MicHEL, geboren te Brussel den 7 September 1629;

Erie RAPHAEL, geboren begin December 1631, peetekind van
Eryorus PUTEANUS;

Een dochter, geboren in 1635;

en verder nog, dat hij, als jong man van 29 jaren, bij JANNEKE
VAN DEYNSE een onecht kind had, MARIE-FRANÇOISE, die hij in
Oktober 1657 legitimeerde.

ND ERENENGEN

mmm tn

1) Van dit boek, dat in 1604, 1614, 1623, 1644, 1696 herdrukt is, en waarvan in
1599 en 1644 een latijnsche, en in 1610, 1619, 1638 fransche vertalingen verschenen,
bezit de Leidsche Universiteits-bibliotheek een fraai exemplaar. Het is in vier af-
deelingen verdeeld, met de titels:

a.) ITINERARIO, || Voyage ofte Schipvaert/ van Jan || Gaygen van Linschoten naer Oost
ofte Portugaels Fn-[|dien/ inhoudende cen corte beschryvinghe der selver Landen ende Zee-Custen/
met aen-||wysinge van alle de voornaemde principale Gavens/ Wevieren/ hoechen ende plaetsen/
tot noch || toe vande Portngesen ontdecht ende bekent: Waer by ghevoecht zijn/ niet alleen die
Conter-||feytsels vande habyten/ draehten ende wesen/ so vande HPortugesen aldaer resi-
derende/ als van-||de ingeboornen Indianen/ ende haere Tempels/ Afgoden/ Guysinge/ met
die voornaemste || Goomen/ Vruchten/ Gruyden/ Speceryen/ ende diergelijche materialen/ als ove
die || manieren des selfden Volches/ so in hunnen Godts-diensten/ als in Policiellen fnijs-
houdinghe’: maer ooc een corte verhalinghe van de Coophan-||delingen/ hoe en waer die ghedreven
en ghevonden worvden/ || met die ghedenchweerdichste qhesehiedenissen/ || voorghevallen den tijt
sijuder || residentie aldaer. || Alles beschreven ende by een vergadert, door den selfden,
seer nut, oorbaer,||ende oock vermakelijcken voor alle curieuse ende Lief-||hebbers van
vreemdigheden.||[ Vignette: in het midden eene vloot, in de vier hoeken gezichten op
Antwerpen, Amstelredam, Enchuyzen en Middelborch, fee. L. Cornelij] || t° AmsreLre-
DAM, || By Cornelis Claesz. op °t Water, in ’t Schrijf-boeck, by de oude Brugghe. || Anno
CI9.19.XCVI. in-folio.

8 bladz. bevatten titel, octroy, opdracht aan de Generale Staten, het »Prohemio
totten Leser”, vier lofdichten en een portret van den schrijver „Aetate 32. Anno 1595”,
waarbij in vier hoeken gezichten op Goa, Mossambycke en St. Helena, eiland en bergen.

A—N. blz. 1—160, met 9 kaarten en 28 platen.

b.) REYS-GHESCHRIFT || Vande Mavigatien der Portugaloy-||sers in Orienten/ inhoudende
de Zeevaert/ soo van Portu-l|gael naer Oost Indien/ als van Oost Indien weder naer Portugael .
Bnsgelijex van Por-||tugaels Bndien nae Malacca, China, Japan, d’Cylanden van Java
ende Sunda, soo in 't heen vaeven/ als in ’t weder||heeren; Stem van China nae Spaenschs
Bndien/ ende wederom van Daer nae China; Als ooch van de gantsehe || Custen van Grasilien/
ende alle die Havens van dieu; Btem van ’t vaste landt/ ende Die voor Eglanden (Las Antillas]|
ghenaemt) vau Spaenschs Budien, met noch de Wavigatie vande Cabo de Lopo Gonsalues,
naer Angola toe/ aen||¥e Œuste van Aethiopien; Mitsyaders alle die Coursen/ Gavens/
Eylanden/ diepten eude ondiepten/ sanden/ droogh-llten/ Wiffen ende Clippen/ met die gheleghent-
heydt ende strechinghe van dien Desqhelijchs die tyden vandenlljare dat de winden waepen/
met Die waerachtighe teeckenen ende kennisse ven de tyden/ ende het ||weer/ wateren/ ende stroo-
men/ op alle die Orientaelsche Œusten ende Gavens/ qhelijch || sulchs alles gheobserveert ende

À 4
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. IT,

50 AANTEEKENING EN.

aen ghetevkent is/ van de Piloten endeyfs’ Coninghs Stuer-luvden/ door de ghestadighe Mavi- ||
gatic/ ende experientie bude selfde qhe-[|daen ende bevonden. || Alles seer ghetrouwelijcken
met grooter neersticheyt ende correctie bylleen vergadert, ende uyt die Portugaloysche
ende Spaensche in || onse ghemeene Nederlandtsche Tale getransla-|\éeert ende overgheset. ||
Door JAN HVYGHEN van LINSCHOTEN. || [Vignette en het onderschrift als boven; alleen
het jaartal is M.p.xcv].

Aa—Ll. bldz. 1—134, met 1 kaart.

c.) Cen scher Extract ende Sommier van || alle de Wenten/ Domepneu/ Tolleu/ Chijnsen/ || Im-
posten! @ribuuten/ Thienden/ Derde-peuninghen/ en incomsten des || Coninghs van Spaengien over
alle zgne Œoninghrijche/ Lan-||deu/ Provintien en heerlichheyden/ sodanigh als die alles || nyt
de Originale Wegisters der respective Yichenca-||mers getrochen zijn; Met cen corte en clare ||
beschrgvinghe/ vade regieringe/ macht || eude afcompste der Coningheu || van Portugael. || Door
Jan Huyghen van Linschoten, uyt den Spaenschen || in onse Neder-duytsche Tale ghe-
translateert ||ende overgheset. || [Vignette: kaart van „Hispania”] ||? AMSTELREDAM. || By
Cornelis Claesz op “t Water, in ’t Schrijf-boeck, by de Oude Brugghe. || Anno cro.1o.xCvI.

Mm. bldz. 135—147.

d.) Beschryvinghe van de gantsche Custe || van Guinea, Manicongo, Angola, Monomotapa,
ende tegen over || de Cabo de S. Augustijn in Grasilien/ de evghensehappen des qheheelen
oceanische || Zees; Midtsqaders harer Evlanden/ als daer zijn S. Thome, S. Helena, ’t Epland||
Ascencion, met alle hare fjavenen/ diepten/ droochten/ sanden/ qron-||den/ wonderlijche vertellin-
ghen vande Seevaerden||van die van Gollaudt/ als ooch de be-||schryvinghe vande bin-||nen lan-
den || Midtsgaders de voorder beschryvinghe op de Caerte van || Madagascar, anders ’t Eviandt
S. Laurens qhenoemt/ met de ontdechinge aller droocl-||ten/ Clippen/ mennichte van Eylanden in
Dese Indische See liggende/ als ooch de gbhelegentheyt van ’t vastel|landt vande Cabo de boa
Esperanga, langhs Monomotapa, Zefala, tot Mossambique toe/ eude soo voorby || Quioloa,
Gorga, Melinde, Amara, Baru, Magadoxo, Doara, &c. tot die Voo-Zee toe/ en wat u dau
voort || vande beschrpvinghe ontbreecht/ hebdp in ’t boech vau Jan Huyghen van Linschoten
int lange; || Met ooch alle de navigatien van alle vacrden die de Portugesche piloten eude || Stier-
lugden oyt beseylt hebben/ uyt haer Zee-caert-[lboecheu eude qeexperimenteerde stuchen qhe-||trocken/
ende in ons tale in || licht qhebracht. || Daerom is de oncoste van dese nette, perfecte
Caerten ghedaen, met oock dese beschry-||vinghe daer op, om dat sulcks eyste aen ’t
heerlijck werck van [Jan Huyghen voorschreven. || Dolcht noch de beschryvinghe van West-
Indien int langhe/ met bare Caerte. || Vignette: Wereldkaart in twee halfronden door
Jodoeus Hondius]||t AMSrELREDAM. || By Cornelis Claesz. opt Water, in t Schrijf-boeck,
by die oudell Brugghe, A9 m.p.xcvr.

A--4j, blz. 1—82, waarvan de eerste 14 niet gepagineerd. Daarop volgt :

Waerschouwiuge voor de Goeckbinders, waarbij de opmerking: Dese navolghende Caerten moeten
ghebonden wesen in d'Stinerarto ofte || ’t eerste Deel verbaclt/ ofte ooch wel int tweedt deel int Reijs-
gheschrift by dell navigatien/ nae ’t ghelieuen vanden cooper byde aengewe-[[sen pagten ofte folien/
als volght. [12 kaarten, en 30 platen).

Hieruit volgt, en evenzeer uit het verdere, dat deze werken a, 4, e en d, niet afzonder-
lijk zijn uitgegeven, zoo als gewoonlijk beweerd wordt, maar werkelijk bijeen behooren :
dit blijkt ook nog uit de privilegie bij het werk a, geteekend »Subati 8. Octobris 1594”.

INaovr pes Borcks [8] blz. Op het einde:

Sommighe fauten ofte erraten des Boecks inden letter druck inde Dtinerario. — Dn 4 Boeck van
t Reijs-gheschrift ofte vande Mavigatien.

2) JAN HUYGEN VAN LINSCHOTEN werd in 1563 te Haarlem geboren en stierf te
Enkhuizen 8 Februari 1611. In December 1579 trok hij naar Sevilia, waar zich twee
zijner broeders ophielden; de een stierf aan de pest, en met den oudsten vertrok hij
in April 1583 naar Goa in het gevolg van den Aartsbisschop van Indiën, Don Frey
VINCENIE DE ToxsEca: toen deze vergiftigd was, kwam van LinscHoTeN in 1589 eerst

AAN TE FE KEN TINGEN. 51

naar Spanje, en toen naar zijn familie te Enkhuizen terug. In 1594 werd hem opge-
dragen een zeeweg om de Noord naar China te zoeken, en meende hij dien te hebben
gevonden; bij een tweeden tocht in 1595 waren zij minder gelukkig. Zijn motto was:
Souffrir pour parvenir. Zijn Reis-Geschrift heeft, ook voor dat het gedrukt was, veel
bijgebracht om de reis van Houtman mogelijk te maken.

3) Brief Traicté ou maniement d’aucuns, mais principaux usages, des deux globes
celeste et terrestre, ensemble d'explications de tous les cercles, lignes, instruments,
et autres verbis certis y appartenants, composés et dediés au tres-reverend Jaques
Boonen, Eveque de Gand, 1617.

Van dit werk bestaat evenzeer een hollandsche tekst van 1616 en nog een
spaansche vertaling alle in MSS.

fa) Advertencias de Miguel Florencio Van Langren, Matematico de su Magestad,
a todos los professores y amadores de la Matematica, tocantes a la proposicion de
la longitud, por mar y tierra, que ha hecho a su Magestad Catolica,

4 vellen in-40. Denkelijk van 1634.

46) La Vendadera Longitud por Mar y Tierra, Demostrada y Dedicada a su Mage-
stad Catholica Philippo IV, Por Miguel Florencio van Langren Cosmographo y Ma-
themathico de su Magd. en Flandres. Con las Censuras y paraceres de algunos
renombrados y famosos Mathematicos desto siglo, que van puestos en orden de los
fechos defas dichas aprobaciones, M.pc.XLIV. in folio.

5) PLENILVNII || LVMINA AVSTRIACA PHILIPPICA || HAEC NVSQVAM VULGATA, GENERI
TAMEN HVMANO || MAXIME VTILIA, IMO NFCESSARIA, || MICHAEL FLORENTIVS VAN LAN-
GREN || Mathematicus et Cosmographus. Regius|| ORBI TERRARVM PROPONIT. || Brumellae ||
V. Idus Februarij CT9.10C.XLV

Een blad in groot-folio, bevat de maankaart met aanhalingen uit Theodoretus, Plu-
tarchus, Cicero, Achilles Tatius, en Seneca daaromheen. Daaronder volgt de tekst in
drie kolommen.

6) Zie „Oeuvres et Correspondance de Christiaan Huygens, Tome II, pag. 558, Lettre
No. 27a.” een brief van Constantyn Huygens aan Pater Marin Mersenne, waarin bij
spreekt over het voorkomen van beider namen op de maankaart van van Langren le
Mathematicien de Bruxelles.

7) CONSTANTINI HUGENII, || Equitis ZulechemI, Zeelheml, &c. To-||parchae; Principi
Auriaco à Consiliis; || MOMENTA || DESULTORTA ; || POEMATVM || z7BRI x1r.|| Editio altera,
multò priore auctior, || Proeurante LUDOVICO HUGENIO. ©. ¥. || Cùm || Praefatione CASPARTS
BARLAEI. || [Vignette : de sfeer] || HAGAE-comrruM, || Ex Typographia ADRIANI VLACQ. ||
clo.loc.v || Cum Privilegio Ill. Ord, Holl. ac West-Frisiae. in 8°.

*_— * * KK 80 biz. bevatten

titel en in-verso de Syllabus. || Lis. xiv. || FARRAGO. || EPIGRAMMATUM LIBRI XII. ||
OTIORUM JUVENILIUM RESEGMINA.

Twee platen: één Mercurius, die dit werk te koop aanbiedt, en een fraai portret
van den schrijver met eigenhandig onderschrift:

Ordinis et Veri et Justi constanter amantem
Hugenium si quis noscere curat, hic est.

Quidquid ad has quiscumg; vides accedere laudes,
Fama, levis, mendax, garrule finxit anus.

CONSTANTER

CasparIs BARLAEI || PRAEFATIO || AD || LECTOREM. [17] blz. L

Lupovicus C. F. Hueentus || Lectori S. [2] blz.

Lofdichten van Daniel Heinsius, Theod. Graswinckel, Marcus Zuerius Boxhernius
C. Boyus, Henricus Bruno, (3 stuks). [5] blz.

MOMENTORUM || INSCRIPTIUNCULAE || AUTORIS (28) [91 blz.

4%

52 AAN TSE ESKE ENEN GEEN,

REscRIPTA || DE || MOMENTIS, (46) [41] blz.

Daarop volet:

A—Dd. blz. 1—423.

8) JoHANNIs Hever || SELENOGRAPHIA: || SIVE, || Lunae Descriptio; || 47@Uz|| ACCURATA,
Tam MACULARUM || EJUS, QUAM MOTUUM DIVERSORUM || ALIARUMQUE OMNIUM VICISSITU-
DINUM, || PHASIUMQUE, TELESCOPII OPE DEPREHEN-||SARUM, DELINEATIO. || In qué simul
caeterorum omnium Pla-||netarum nativa facies, variaeque observationes, || praesertim
autem Macularum Solarium, atque Jovialium, Tubospicillo || acquisitae, figuris accuratis-
simé aeri incisis, sub adspectum ponuntur: nec||non quamplurimae Astronomicae, Opticae,
Physicaeque quaestio-||nes proponuntur atque resolvuntur. || ADDITA EST, LENTES EXPO-
LIENDI NOVA RA-||TIO; UT EL TELESCOPIA DIVERSA CONSTRUENDI ET EX-\|periendi, horumg;
adminiculo, varias observationes Coelestes, imprimis quidem Ecli-||psium, eum Solarium, tum
Lunarium, exquisite instituendi, itemg; diametros stellarum veras, vid || infallibili, determi-
nandi methodus: eog; quicquid praeterea circa ejusmodi || observationes animadverti debet,
perspicuè || explicatur. ||CUM GRATIA ET PRIVILEGIO S. R. M. || Gepani || edita, || ANNO
AERAE CHRISTIANAE, 1647. || Autoris sumtibus, Typis Hiinefeldianis. || in-folio.

Daarop volgt een door J. Folck Polonus gegraveerde titel en fraai portret van den
schrijver, de opdracht aan de stad Danzig, een „Ad Lectorem” (9 bladz.) »Honoratissi-
morum Amicorum sponte exhibita Carmina” (8 blz.) en Indices (5 blz.).

A—Bbbb. bladz. 1—563 bl. bevat:

Blz. 1—108 Prolegomena Selenographiae Caput I—V.

v 109—496 Selenographiae Caput VI—LVI.
n 497—548 Selenographiae Appendix.
„ 649—563 Index Rerum” en „De Mendis relictis.”

Het keurig gedrukte werk is versierd met 150 niet minder fraaie platen.

9) ALMAGESTVM || NOVVM || ASTRONOMIAM VETEREM || NOVAMQVE COMPLECTENS || OBSERVA-
TIONIBVS ALIORVM, ET PROPRIIS|| Nouisque Theorematibus, Problematibus,||ac Tabulis pro-
motam, || INTRES TOMOS DISTRIBVTAM ||@VORVM ARGVMENTVM || Sequens pagina explicabit. ||
AVCTORE || P. JOANNE BAPTISTA || RICCIOLO || SOCIETATIS IESV || FERRARIENSI || Philoso-
phiae, Theologiae, & Astronomiae professore. || BONONIAE || Ex Typographia Haeredis
Victory) Benatij Mpc.Lr.|| S7PERIORVM PERMISSU, in-folio.

12 bladz. bevatten een door F. Curtus gegraveerden titel en hoofdtitel, titel van PARS
PRIOR || TOMI PRIMI, inhoud der drie deelen: Het eerste vindt men in twee Partes
opdracht aan Hieronymo Cardinali Grimaldo”. Praefatio ad Lectorem Blz. 1—XLVII
en Indices.

A—Cccce. T. 1. Pars Pior bladz. 1—763.

II. Pars Posterior heeft een nieuwe titel; dan opdracht, blz. I—XVIII „Epitome
Genealogiae Grimaldae Gentis” en Indices.

A—Qqqq. blz. 1—676. ,

De Tomus Secunden en Tertius zijn nimmer verschenen, maar den inhoud van dit
derde deel vindt men terug in het later in 1665, verschenen werk:

ASTRONOMIAE || REFORMATAE || 'tOMT DVO, || QVORVM PRIOR OBSERVATIONES, || HYPOTHESES, ||
ET FVNDAMENTA TABVLARVM, || Posterior praecepta pro vsu Tabu-||larum Astronomi-
carum, ||et ipsas Tabulas Astronomi-||cas cir. continet. || PRIORIS TOMI IN DECEM
LIBROS DIVISI, || Argumenta Pagina sequenti exponuntur. || 47crork || P. JOANNE
BAPTISTA RICCIOLO || SOCIETATIS JESV, || FERRARENSI, || BONONTAE, MDCLXV. || Ex Typogra-
phia Haeredis Victorij Benatij. || S”PERIORVM PERMISSr. in-folio.

14 blz. bevat een door L, Tintus gegraveerden titel, de opdracht aan Ferdinand Maria
Keurvorst van Beieren, en Indices.

Blz. I—XIT. Prolegomena.

A— Aaa. blz. 1—374.

Het Tomus II bevat:

AANTEEKENINGEN 53

a. 8 bladz. Indices.

A—V. bladz. 1—36, 1—128.

10) Tormentum bellicum trisphaerium, quo tres ordine globos ex eodem tubo explo-
duntur. Serenissimo, mitissimo, augustissimo Jmperatori Ferdinando III, Germaniae,
Hungariae, Bohemiae, Dalmatiae, Croatiae &e. regi, Austriae Archiduci, etc. suum
hoe tonandi, fulminandique genus oftert Michael Florent van Langren, Belga, mathe-
maticus reg. catholicus. Bruxellae. Ioh. Mommaert. 1640, in folio

8 bladz.

Men heeft een herdruk van dit werkje met den titel

TORMENTVM || BELLICVM || TRISPHAERIVM : || Qvo || TRES ORDINE GLOBE || EX EODEM
rv80 || Distincto Incendio & Tempore || exploduntur. || A MICH. FLOR. LANGRENO || inven-
tum. || AB ERYCIO PYTEANO || descriptum. [LovaNtt, || Typis ANDREAE Bouvet, || Anno
M.DC.XLV. 129,

32 blz.] met 1 plaat.

Dit werkje is opgenomen in:

ERYCI PVTEANI || MVNITIONVM || SYMMETRIA ||FACILLIMIS LINEIS || CONSTITVTA. || Archi-
tecturam Militarem||oompendio exhibens. || Ad usum aevi § Militiae nostrae, cum |
Antiqua comparatae. || [ornament] || Lovann.||Typis ANDREAE Bouverl. Anno M.DC.XLV.

A—E, 119 blz. in-120,

Waarvan het voornoemde werkje blz. 89—119 beslaat.

Deze Erycrus PUTEANUS had reeds vroeger gegeven:

Er, Puteanl Dissertatio de belli fulmine Langrano, quo plures ordine & distincto
incendio globi ex uno eodemque tormento exploduntur. Bruxellae. Typis Mommartia-
nis, 1640, in folio.

11) Description particuliere du grand changement que le Sa-||ble ou banc de
MARDYCK (c'est PORTVS IccIvs || selon Monr. Chiflet) a fait depuis lan 1624. || jusques
au temps present 1653. ||4 Bruxelles, chez Franghois Schovardts a la Mer sauuage,
proche || l'Eglise de S. Jean.

4 blz. in folio met 4 kaartjes.

Van dit werk bestaat nog een andere uitgaaf, zonder drukplaats en datum.

Description Particvliere du Canal De Marianne et du grand changement que le
Sable ou bancq de Mardyck (c’est Portus Iccius selon Monsr. Chiflet) a fait depuis
Van 1624. jusques au temps present 1653. In folio.

En verder nog een derde met eenige varianten

2) Jean Jacques Chifflet, geboren te Besançon in 1588, stierf in 1660 te Brussel.
Hij werd doetor medicinae, maar de studie van oudheden trok hem het meest aan,
wLiifmedicus” geworden van de Infante Isabella, verkreeg hij later dezelfde betrek-
king bij Filippo IV te Madrid, die hem opdroeg de geschiedenis van het Gulden
Vlies te schrijven. Later keerde hij naar Belgie terug. Hij schreef o. a.

Portus Iccius J. Caesaris demonstratus Auet J. J. Chiflet, Madrid. 1626 in 40,

13) Fernando Kardinaal-Infante, derde zoon van Filippo IT, koning van Spanje, en van
Margaretha van Oostenrijk, werd geboren den 17 Mei 1609 en overleed te Brussel
den 9 November 1641. Hij was toen Gouverneur van de Nederlanden.

4) Thomas van Savoye was de zoon van den Hertog Charles Emmanuel I van
Savoye en van Catharina van Spanje, dochter van Filippo I.

15) Leopold Wilhelm, Aartshertog van Oostenrijk, was de tweede zoon van Keizer
Ferdinand IJ en van Maria Anna van Beijeren. Hij werd den 5 Januari 1614 te
Graz geboren en overleed in 1662. Bestemd tot geestelijke, werd hij in 1625 bisschop
van Passau, later generallissimus bij het leger,

16) Profytelijcken Middel om met indyekinghe van Landt, de Zeehaven van Ostende
te verbeteren. Als een sake, daer die van Vlaenderen veel aen gheleghen is. Met
een klare Demonstratie, dienende om te bewysen, datter water in de Zee is, dat zich

54 AANTEEKENINGEN.

niet en beweeght door ebbe of vloedt. Bedacht ende by een gestelt, door Michael
Florentius van Langren, Cosmographe ende Mathematicus van zijne Majesteyt. Tot
Brussel. Bij Jan Mommaert, achter het stadt-huys in de Druckerye, 1650, in 40 met
twee kaartjes.

17) Isabella Clara Eugenia van Spanje, dochter van Filippo IJ en Isabella van
Frankrijk, huwde in 1598 Albert, Aartshertog van Oosterrijk. In-1599 vertrokken
zij als Regenten naar Belgie,

18) Bartolomeo de Fuentes (de Fonte), admiraal bij de genoemde vloot, deed later
vele ontdekkingen in de Zuidzee, die echter lang voor apocryf werden gehouden.

19) Hij heet Jean Heymeissen Coeck,

20) Francisco Manuel de Mello werd den 23 November 1611 te Lissabon geboren,
alwaar hij den 13 October 1665 overleed. Opgevoed door de Jezuïten, ging hij eerst
dienen in het leger van Spanje en werd daarbij „Mestre de Camp”, Later trok hij
naar Brazilie en Portugal, en schreef daar een groot getal boeken,

21) Carlo van den Bosch werd 23 Juli 1650 Bisschop te Brugge, en den 8 Juni
1660 te Gend; hij stierf aldaar den 6 April 1665.

22) Andreas Croesen werd den 10 September 1651 Bisschop te Roermond en den
17 Juni 1657 te Mechelen; hij overleed aldaar den 8 November 1666.

23) Anton Triest werd den 9 Juli 1617 Bisschop te Brugge en den 15 Maart 1622
te Gent; hij stierf aldaar den 28 Mei 1657.

24) Casper Dubois (Nemius) werd den 23 Mei 1634 Bisschop te Antwerpen en den
19 Maart 1652 Aartsbisschop te Kamerrijk; hij overleed aldaar in November 1667.

26) Jacobus a Castro werd den 11 April 1611 Bisschop te Roermond en overleed
aldaar den 24 Februari 1639. Het is niet bekend, wie zijn opvolger was.

26) Don Juan van Oostenrijk, zoon van koning Filippo IV en van de tooneelspeelster
Maria Calderonna, werd in 1629 geboren en overleed in 1679. Hij was Generaal in
Spaansche dienst, en werd in het jaar 1656 naar de Nederlanden gezonden.

27) Louis II van Bourbon, eerst hertog van Enghien, later Prins van Condé, zoon
van Henry IL, Prins van Condé en Charlota de Montmorency, werd „le grand Condé”
genoemd. Hij werd in 1621 geboren en overleed in 1686.

28) Albert, Aartshertog van Oostenrijk, zesde zoon van Keizer Maximilian IT en van
Maria van Oostenrijk, werd in 1559 geboren en overleed in 1621. Hij was eerst
Kardinaal, maar huwde in 1598 de Infante Isabella Clara Eugenia van Spanje en werd
toen als Landvoogd naar de Nederlanden gezonden. (Zie Aanteekening No. 17).

29) Guillaume Bette, Baron en sedert 1633 Marquis van Lede, ridder in de orde
van St. Jacques, was eerst bailluw van Gent, later Spaansch Gouverneur van Limburg
en Gelderland. Hij was in het begin der 17de eeuw geboren en stierf den 23 Juni 1658
bij de verdediging van Duinkerken.

30) Johann Ludwig, Graaf van Isenburg en Büdingen, was de zoon van Wolfgang
Heinrich I, Graaf van Isenburg en Bidingen, en van Maria Magdalena. Hij werd in
1622 geboren, en woonde vele oorlogen bij.

31) Maria Anna, dochter van den Keizer van Oostenrijk Ferdinand III, en van
Maria Anna van Spanje, werd geboren den 22 December 1634 en overleed den
16 Mei 1696. Den 8 November 1649 huwde zij met Filippo IV, koning van Spanje.

32) Don Luiz de Benavides, Carillo y Toledo, Marquis van Fromista en Caracena,
Graaf van Pinto, was de zoon van Don Juan de Benavides en Donna Anna de Carillo
y Toledo. Hij diende in het spaansche leger, werd „gouverneur des armes” en gou-
verneur in deNederlanden tot 1660 en overleed te Madrid den 6 Januari 1668.

33) Dit stuk wav roy’ bestaat uit 2 bladen folio A en B, bevat 8 bladz. waar-
van de laatste wordt ingenomen door de „Demonstration qu'il y a de l’eau en la Mer
lequel ne se bouge par le Flux ou Reflux||$# qu'il faudra oster la grande Dicque de
R. C, J, M,

An ANT E EK BONT NGE Ns 55

34) BRIEFVE DESCRIPTION || DE LA VILLE ET HAVRE || D'OOSTENDE, || ET DE CE QUE ||
MICHAEL FLORENCIO VAN LANGREN || Cosmographe § Mathematicien de sa Majesté.||
A representé dez lan 1627. pour rendre ladite Ville plus forte, & le Havre plus ||
commode, pour y pouvoir loger les Navires allans sur Mer, & par || consequent establir
le Commerce universel en la Flandre, || au moyen de la Navigation; || Veuë gr approuvée
par son Excellence || DON FRANCISCO DE MELLO, || Par son Altesse le Serme Archiduc ||
LEOPOLDE GVILELME, || Par S. A. le Serme Prince || DON JVAN D'AVSTRICE, || Par S. A.
le Serme Prince || DE conpé, ||Comme aussi maintenant par son Exe. le Marquis || de
FROMISTA, Y CARACENA, || Gouverneur & Capitaine General des Païs-Bas, & de Bourgoigne,
&e. || Ht par plusieurs Princes, Seigneurs, § Ingenieurs du Roy. || À BRVXELLES, || chez
PHILIPPE VLEUGART, Imprimeur juré. 1659.

Dit pamphlet bestaat uit 1 vel, 4 bladz. folio.

De titel vult de le bladz.; de 2e bevat het kaartje N°. 1 en het onderschrift; de
3e de kaartjes N°. 2 en N°. 3; de vierde de Censure” en het ”Verset”.

35) Jean Leurechon werd omstreeks 1591 in Bar geboren, en stierf den 17 Januari
1670 te Pont-à-Mousson. Hij kwam in 1609 bij de Jezuiten en gaf onderwijs in de
wiskunde; in 1625 werd hij Pastoor te Bar en later biechtvader van Karl ILI,
hertog van Lotharingen. Hij was de schrijver der beroemde /Recreations Mathematiques”,
die later door Denis Henrion en Claude Mydorge werden bewerkt, en waarvan tot
in 1680 herhaaldelijk herdrukken verschenen.

©) Description de Santvliet, la riviere Schelde et pays de Hulst, par Miguel Flo-
rencio van Langren, Cosmographe et Mathematicien de sa Majesté. Bruxelles. J, Mom-
maert. 1640. met een kaartje.

37a) Invention et Proposition que Michael Florencio van Langren, Cosmographe &
Mathematicien de sa Majesté, a faict à Messieurs les Magistrats et Superintendent du
Canal de ceste Royalle Ville de Bruxelles, pour empescher & prevenir les dommages
& interests dont la basse Ville est actuellement fatiguée par le debordement de la
Riviere de Senne. Censurée par quelques fameux Ingenieurs de sa Majesté. Bruxelles
chez Juan Mommaert, à l’Imprimeur, M.D C.XLIV in 4°; waarop later volgde :

4) Eenighe Middelen om de Princelijcke stadt Brussel van de inondatien oft water-
vloet te bevryden. Door Michael Florencio van Langren, Cosmographe ende Mathe-
maticien van Sijn Majesteyt. Brussel, Godfried Schoevaerts. 1648 in folio.

c) Michael Florencio van Langren, Cosmographe ende Mathematicien van Syne
Majesteyt, sprekende aen d’Inwoonders van de Prinselycke stadt Brussel om de selve
te verlossen van de jaerelycksche overvloedt. 1 blad in folio.

%8) Bij deze gelegenheid ondervond van Langren weder dergelijke tegenwerking,
als bij zijn plannen voor de haven van Ostende. Reeds in 1638 deed hij voorstellen
tot uitbreiding der stad Brussel aan den kant van het kanaal van Willebroeck, waar
hij tevens werken wilde aanleggen tot beveiliging tegen overstrooming. Maar hier waren
de Ingenieurs Jacques Franquart en zijn discipel P. Mercks, die tegen deze plannen
opkwamen. Wel werden zij later ten deele uitgevoerd, maar geheel buiten hem om.

Deze Jacques Francquart (1577—1591) was een rijk architekt, die in Belgie den
Italico-vlaamschen stijl invoerde, vele groote werken bouwde, en bij het hof zeer gezien
was: hij werd door Filippo ILI tot ridder benoemd en was kamerheer van de Infante.

39) Gerard van Gutschoven, zoon van den avocaat der Hoogeschool te Leuven
Guillaume van Gutschoven, en van Henriette van Eldem, werd den 6 Februari 1615
te Leuven geboren. Hij studeerde te Leuven en werd toen leerling van Descartes,
dien hij hielp by zijn proefnemingen en bi het overschrijven van zijne aanteekenin-
gen: hij oefende zich tevens onder hem in de wiskunde en ontleedkunde, Henricus
Reinerius, de groote vriend van Descartes, overleed den 16 Maart 1639 in zijn armen.
Terugggekeerd te Leuven werd hij daar viicencié en médecine” den 2 September 1635.

DDD

In dat zelfde jaar gaf hij een platten grond van Leuven uit, met betrekking tot het

56 ÀAANTEËKENINGËN.

doorgestane beleg (deze kaart bezit de Leidsche Bibliotheek), en werd belast met het
herstellen van een gedeelte der bij het beleg verwoeste bolwerken.’ In 1640 volgde
hij den Hoogleeraar Sturmius op in de leerschool der wiskunde en werd 23 April
1659 Hoogleeraar in anatomie, chirugie en plantkunde. Hij huwde 30 September 1638
Anna Leroy, die in September 1652 stierf; hij werd daarop geestelijke, in 1663 presi-
dent van het College van Bruegel en in April 1665 Canonicus van de Cathedraal te
Gend; doch hij overleed plotseling te Lierre den 4 Mei 1668.

40) APENDIX. Het moet gedrukt zijn in den zomer van 1660; zie $ 8.

denkelijk A, B. 8 bladz, in folio, waarvan slechts de vier eerste bladzijden te Leiden
aanwezig zijn.

#1) Jean Charles della Faille werd den 1 Maart 1597 te Antwerpen geboren. Hoe-
wel hij oudste zoon was van een rijk, adelijk geslacht, voegde hij zich 12 September
1613 bij de Jezuiten te Leuven, waar hij leerling werd van d’Aiguillon en Gregorius
à St. Vincentio; in 1616 werd hij naar Dole gezonden, waar hij wiskunde onderwees, en
zooals later te Leuven, en in 1629 te Madrid, telkens grooten roem behaalde. In Spanje
werd hij leermeester en tevens boezemvriend van Don Juan, dien hij bij alle oorlogs-
tochten getrouw volgde. Deze verliet hem dan ook niet, toen hij te Barcelona door
het verzorgen van zieken en gewonden ziek werd, en tien dagen later, den 4 November
1652 bezweek. Hij was gemengd in den strijd van Gregorius à St. Vincentio over de
quadratuur van den cirkel, en voorkwam P. Guldin door zijn theorie over het
zwaartepunt.

#) Ambrogio, Marquis de Spinola, zoon van Filippo de Spinola en eene dochter
van den rijken prins Grimaldo van Salerne, werd geboren te Genua in 1569. Zelf
zeer bemiddeld, bracht hij een leger van 9000 geoefende soldaten bijeen, waarmede
hij in 1602 in Belgie verscheen, tot hulp van den koning van Spanje; zonder ooit
zijn kosten vergoed te krijgen. Hij was de groote tegenstander van onzen Prins
Maurits. Im 1628 vertrok hij naar Spanje en werd naar Italie gezonden om Casal te
belegeren, waarbij hij den 25 September 1630 overleed. Hij was gehuwd met Joanna
Bacciadonna, die hem twee zonen schonk,

43) Over de „Nieuwe Maniere van Sterctebov door Spilsluysen” zie Bouwstoffen
N°. XXV, en aldaar o. a. noot 274, 29e,

#4) Over Simon Stevin vergelijk de Bouwstoffen N°. XXI en XXV.

45) David le Leu de Wilhem werd 15 Mei 1588 te Hamburg geboren en overleed
27 Januari 1658. Hij was hier te lande in staatsdienst getreden en huwde 16 Januari
1633 met Constantia Huygens (2 Augustus 1602—1 December 1667). Zij was de
jongste dochter van Christiaan Huygens en Susanna Hoefnagel, en dus de zuster van
onzen Constantijn Huygens.

16) Chr. Huygens had in 1660 reeds uitgegeven:

a) CHRiSTIANI HvGeNir, Const. F. || THEOREMATA || DE || QUADRATURA || HYPERBOLES, EL-
LIPSIS || ET CIRCULT; || EX DATO || PORTIONUM GRAVITATIS CENTRO. || Quibus subjuncta est ||
E'Eéruaig Cyclometriae Cl Viri GreGorir à S. Vincenrro || editae A; no CIOTOCXLVIL ||
[Vignette: de boom met bijschrift Non soLus]|| Lvap. Baravor. || Ex Officina ELse-
VIRIANA. || ANNO cloloczr in 4°.

[8] blz. AD LECTOREM.

A—F. 43 blz, met vele figuren ; op blz. 25 begint de ÉgÉTASIS.

6) Curistrant HuGenrr, Const. F. || pe || crrcuxt || MaGNITUDINE || INVENTA. || ACCH-
DVNT ELVSDEM || Problematum quorundam illustrium || Constructiones. || [Vignette als
boven] || LvepvNr Baravorvu, || Apud JOHANNEM & Danrezem ELsevier. || Academ.
Typograph. || clolocziv in 40,

[8] bladz. PRAEFATIO,

A—I, 71 blz. met vele figuren; op blz, 45 begint de PROBLEMATVM CONSTRVCTIONES,

¢) CarisriaNt HuG@enir Const, FI’, || Ap||C. V. Fran, Xaver, Arnscom, S. L ||

AANTEEKENINGEN. 57

EPISTOLA, || Qua diluuntur ea quibus ’EEéracig Cyclometriae Gregori à Sto. Vin-||centio
impugnata fuit. || HAGAg-ComiTum, || Apud Aprravum Vraag || cloloczvr in 40.

A, B, 12 bladz.

d) Car. Hucentt De Saturna Luna Observationes, 1656.

€) CHRISTIANI || HVGENIIJÀ ZVLICHEM, || Const. F, || HOROLOGIUM. || [ornament]. || HAGAE-
COMITVM. || Ex officina Adriani Vlacq.[|M.Dc.Lvirt, in 40,

[3] bladz. opdracht aan de Staten van Holland en West-Friesland.

A,B 15 blz. met 1 plaat

Jf) Car. Huyeens, Van rekeningh in spelen van Geluck. 1659.

Opgenomen in Fr. van ScHooreN, Mathematische Oefeningen; waarvan de La-
tijnsche vertaling

4) Cur. Hueenm De ratiociniis in ludo aleae. 1659.

opgenomen || in Fr. van ScHooTEN. Exercitationes Mathematicae.

h) Crrsrrani[sio) Hvernit||Zviicuemi, Const. F. || systema || sATVRNIVM, || Sive ||
De causis mirandorum SaTveni || Phaenomenôn, || Et || Comite ejus||PLANETA Novo. ||
[ornament] || HAGAE-Comimis, || Ex Typographia AprraNr Vraca. || M.po.LIx. in 4°.

[12] blz, opdracht van Prins Lrororpo AB HETRURIA (7 blz.) 2 verzen van N.
Heinsius en Const. HveeNrvs, C. F. (2 blz); Errat. (1 blz).

A—L, 84 blz. met vele flguren en tafels en 1 plaat.

47) CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII || BREVIS ASSERTIO || SYSTEMATIS || SATVRNIT || SVI, ||
AD SERENISSIMUM PRINCIPEM|| LEOPOLDUM AB HETRURIA. || (ornament) || Æ4G48.comrris ||
Ex Typographia ADRIANI VLACG,|| ANNO DoMINI M.DC.Lx. in 40,

A—C, 20 bladz. met vele figuren.

48) COPIES DE LA VI. XI. ET XIII. LETTRE || QUE S. A. LE SERENISSIME PRINCE || D.
JVAN D'AVSTRICHE || A ESCRIT DE SA ROYALE MAIN || 4 Michel Florencio van Langren,
Cosmographe § Mathe-\\maticien de Sa Majesté.

1 vel., 4 bladz, folio bevat, na drie extracten dezer brieven, een /AU LECTEUR.” De
datum is denkelijk 1668.

49) Dit geschrift heb ik te vergeefs getracht in handen te krijgen. De titel moet
geweest zijn:

Apologia par les Ingenieurs . . . . contre van Langren. 1660.

°°) Thomas François, Hertog (later prins) van Carignan (in Savoye), werd geboren
in 1596 en stierf te Turin in 1656. Hij was een der negen kinderen van Charles Ema-
nuel den Grooten van Savoye, werd Luitenant-Generaal, later Grootmeester van Frankrijk.

51) Francois Paul Baron de Lisola werd in 1613 te Salins geboren en overleed in
het begin van 1675, Hij was eerst avocaat te Besançon, en werd aldaar in 1638 lid
van den raad; het bleek echter, dat hij hierbij ongeoorloofde middelen gebezigd had,
zoodat hij naar Duitschland moest vluchten. De Keizer zond hem in 1643 als am-
bassadeur naar Engeland, en later naar Polen, Spanje en Portugal. Volleerde diplo-
maat, spande hij al zijne krachten in tegen Frankrijk en schreef in 1667 :

Bouclier d'Etat et de justice contre le dessin manifestement decouvert de la mo-
narchie universelle, sous le vain pretexte des prétentions de la Reyne de France, 1667.
in 12°.

DIALOGUE || SUR || LES DROITS || DE LA REYNE || TRES-CHRESTIENNE. || M.DC.LXVII. in 12°,

A—C. 68 blz. waarvan de eerste 6 ongepagineerd.

SUITE || DU || DIALOGVE || SUR LES DROITS || DE LA REYNE || TRES-CHRESTIENNE, || NOv-
VELLE EDITION, || Reveüe, corrigée, & augmentée. || M.p‚c.LxVIm. in 12°.

[16] blz, L'IMPIMEUR (2 blz. SOMMAIRE (12 blz).

A—O 335 blz.

Van het tweede stukje bestaat eene hollandsche vertaling :

SAMENSPRAAK || OVER || DE RECHTEN || der Aller-Christelijkste || KONINGIN || van VRANK-
RYK, || Uit de Fransche in onse Taal getrou-\\welijk overgezet, || M.DC.LXVIL. in 40,

*

58 AANTEEKENINGEN.

56 blz. (ongepagineerd).

*2) Pieter Stockmans werd 3 September 1608 te Antwerpen geboren en overleed
7 Mei 1671 te Brussel. Te Leuven gepromoveerd in 1631, werd hij aldaar in 1632
Hoogleeraar in het grieksch en in 1633 in het burgerlijk recht. Hij huwde met eene
rijke vrouw, die hem Heer van Lahuy en Pietrebois maakte. In 1643 werd hij Raads-
heer van Brabant, in 1664 lid van den geheimen Raad. Hij streed tegen Lodewijk XIV
voor de rechten van Brabant in zijn werk:

TRACTATUS || DE JURE||DEVOLUTIONIS: || AUTHORE || CLARIS. ac Aptis. Vino. || D.
PETRO STOCKMANS, J. V. D. || Olim in Academia Lovaniensi Legum Professore, || Nuper
in Supremo Brabantiae Concilio, nune in Sanctiore, Con-||siliario Regio, & Libellorum
supplicum Magistro. || Archivorum Brabanticorum Custode, Justitiae Militaris Supremo
Praefecto. || Nec non ad Comitia Imperialia titulo Cireuli Burgumdici || Ablegato. ||
bruxellis, || Apud Francrscum Fopprns, sub signo S. Spiritus. || M.nc.Lxvix. || Cum
Privilegio.

A—Z. [29] blz. in 4°.

Waarvan de hollandsche vertaling

VERHANDELING || VAN ’r || VERSTERF-RECHT, || door den voortreftelijken Heer ||
Den Heer prerer srocxmans, Rechts-geleerde. || Voormaels in de Hooge School van
Leuven Leeraer || der Wetten. || Onlangs in den Hoogen, nu in den Geheimen Raed
van Bra-|/band Koninklijk Raedsheer, en Meester der Requesten. || Bewaerder der
Oude Geheug-schriften van Braband,\\ Opperste Richter van °t Krijgs-recht. || En Afge-
sant op den Keiserlijken Rijksdach van wegen||den Bourgondischen Kreits. || Uit het
Latijn vertaelt. || t AMSTERDAM, || By JacoB Vincken, Boekverkooper in de Beurs-
straet, in dell History-schryver 1667. in 4°.

A—M. [6], 9, [9] blz.

%) Hugens de Lionne, Marquis van Berny, zoon van den wiskundige Artus de Lionne,
werd in 1611 te Grenoble geboren en overleed te Parijs den 1 September 1671. In
1629 werd hij eerst commies bij zijn Oom Abel de Servien, directeur der finantién.
Toen deze 1636 in ongenade viel, vertrok de Lionne naar Rome, waar hij het ver-
trouwen van Mazarin won. Onder diens leiding kreeg hij herhaaldelijk diplomatische
zendingen, werd in 1643 Raadsheer, in 1646 Secretaris van de Regentes, in 1653 Groot-
meester der Ceremonien van den Koning, in 1661 minister van buitenlandsche zaken.

54) Het geldt hier

Carlo IT, zoon van den Koning Filippo IV en van Marianne Anne van Oostenrijk;
hij werd geboren in 1661 en overleed 1 November 1700. Toen zijn vader in 1665
overleed, kwam hi onder regentschap, doch aanvaardde in 1676 de regeering; met
hem eindigde de regeering uit het huis van Oostenrijk. Hij huwde in 1679 Maria
Louisa van Orleans, die 1689 overleed, en later, in 1690, Maria Anna van de Pfalz.

5) Vergelijk hierover de kaart, met het onderschrift :

forte Geschryvinge van de || XVIT. NEDERLANTSCHE PROVINTIEN, [| Vertoonende alle de
gefortificeerde, bemuurde en open Steden, Schanssen, &c. daer in gesien || kan worden
wat Plaetsen den Konink van Vrankrijk alrede verovert heeft. || t’ AMSTERDAM, || Voor
Marcus Wirremsz. Doornick, Boekverkooper [| op den Vygendam, in ’t Kantoor
Inktvat. 1667. in plano.

Dit onderschrift eindigt met een merkwaardige opgaaf, vooral in vergelijking met
den tegenwoordigen toestand.

„De 17 Nederlantsche Provintien hebben te samen twee hondert twaelf Steden, zes
duysend vijf hondert een-en-negentigh Dorpen: Hier||volght nu hoe veel Steden en
Dorpen, yeder Provintie onder sigh || heeft.”

Als voorbeeld dienen de volgende, waartegen de tegenwoordige toestand vergeleken
wordt; men vergete daarbij echter niet, dat onderscheidene plattelands gemeenten uit
een zeker aantal gehuchten of buurten bestaan.

AANTEEKENINGEN. 59

Limburg, 5 Steden, 123 Dorpen, . . . . . 5 Steden, 120 Gemeenten.
Gelderlandt en Zutphen, 22 Steden, 300 Dorpen. . . . . . 15 Steden, 201 Gemeenten.

N.- Holland. 13 Steden, 184 Gemeenten.
Hollandt, 29 Steden, 400 Dorpen. Z.- Holland . 11 Steden, 186 Gemeenten.
Zeelandt, 9 Steden, 105 Dorpen. . . . . . 9 Steden, 103 Gemeenten.
Utrecht, 5 Steden, 70 Dorpen. . . . . . 6Steden, 66 Gemeenten.
Vrieslandt, 11 Steden, 490 Dorpen. . . . . . 11 Steden, 32 Gemeenten.

Overijssel . 3 Steden, 58 Gemeenten.
Si eS ae a . 3Steden, 30 Gemeenten.
Groeningen, 1 Stadt 145 Dorpen. . . . . . 1 Stadt, 56 Gemeenten.

dit onderschrift behoort bij een kaartje:

NAEUKEURIGE AFTEYCKENING || Van de gelegentheijt der|| xvi. NEDERLANTSCHE ||
PrRovINcIEN || Waer in de Bewalde, Bemuurde, Open Steden, || en Schanssen, etc. Yder
Bijzonderlijch sijn afyebeelt.|| Uytgegeven by Marcus Doornich, Boek-verkoper tot Am-
sterdam. in plano.

Boven aan dit kaartje (het westen is boven) hangen de wapens der 17 Provincien.

56) In 1660 was Paus

Fabio Chigi, geboren 13 Februari 1599 te Sienna, en overleden 22 Mei 1661 te
Rome. Hij was Nuntius bij de vrede te Munster 1648, werd Cardinaal-Minister en
volgde den 7 April 1655 Innocentius X als Paus Alessandro VII op. Hij was een ge-
leerde, en bracht veel toe aan de versiering van Rome.

57) Julio Rospigliosi, geboren te Pistoia in 1600, overleed te Rome 9 December
1669. Eerst auditeur van de Legatie te Parijs, naderhand Nuntius in Spanje, werd hij
Kardinaal en 20 Juni 1667 Paus Clemens IX, dezelfde die op blz. 37 genoemd werd.
Hij herstelde de goede verstandhouding met Frankrijk.

58) Alexandre Hertog van Bournonville, zoon van Dodart de Bournonville, Baron
van Capres, Barlin en Houllefort en van Maria Christina van Egmond, Hofdame van
Marguerita van Parma, werd 4 November 1585 geboren en overleed in ballingschap
22 Maart 1666. Op 15 jarigen leeftijd door Henri IV tot Hertog en Pair van Frank-
rijk verheven, reisde hij veel, werd opgenomen in het Spaansche leger, en bewees nader-
hand vele diensten als afgezant. In 1662 werd hij ridder van het gulden vlies. Hij
huwde met Anna de Melun.

°°) Hier is bedoeld:

Jean Gaspard Ferdinand Graaf van Marchin, overleden te Spa in 1673. Hij behoorde
tot den Duitschen adel; strijdende onder den Hertog van Enghien (later Condé), werd
bij Kolonel-Generaal van de lichte cavallerie, in 1648 Marechal de camp. Vervolgens
„diende hij dan eens in het Fransche leger, dan weder onder den Hertog van Condé
In 1658 werd hij ridder van den Kouseband, en Graaf du Saint Empire.

6°) Denkelijk een zoon van Don Pedro de Salasar de Mendoza, die in 1550 te
‘Toledo geboren werd, waar hij in 1629 overleed.

5) Aende Edele, Wijse ende voorsienighe Heeren, mijne Heeren den Amptman,
Borghemeester, Schepenen, Stedeniers ende Raedt van de Princelycke Stadt Brussel.
Het is een ieder bekendt dat Michael Florentio van Langren, Cosmographe ende
Mathematicus van sijn Majesteyt, hem over meer als 40 jaeren met alle naerstighheydt
ende ijver gheemployeert heeft om te vermeerderen verscheyde diensten van den
Koninck in de saken van zijn studie.

2 blz. in folio plano. Met een kaart van het kanaal Brussel—Vilvoorde, verlengd
tot aan Mechelen: genaamd ”Canal de Moura”. (naar een der titels, Marquis de Moura,
van den Gouverneur Generaal Marquis de Castel Rodrigo).

Daarbij behoort het pamflet

Van Langren Cosmographe de sa Majesté demonstre en cette Carte le Canal que
Messieurs du Magistrat de Bruxelles ont commencé le 19 Juin. de l’an 1550, & achevé

60 À À N TE E K E N I N'/G'E/N,

en celuy de 1561 {dit is het Kanaal van Brussel naar Vilvoorde). On y voit de mesmes
le Canal qu’il a representé à Messieurs du Magistrat de Malines, par lequel on pourra
à petits frais naviger par deux barques en trois heures & demy ou en quatre heures
d’une ville à l’autre.

62) Vergelijk het werkje:

Eenighe Middelen om de Princelijcke Stadt Brussel van de inondatie oft watervloedt
te bevrijden. Brussel. Godefroid Schoovaerts. 1648 in folio.

53) Zie het werkje:

Michael Florencio van Langren, Bewijs van de alderbequaemste en profitelyckste
inventie om de overtreffelyeke ende vermaerde koopstad van Antwerpen te verlossen
van de pestighe ende ongesonde locht, komende uyt de vuyle, verrotten en stinkende
royen. Brussel. S. Scheybels. 1661. in 4°.

53) Dit Rapport van van Langren aan den Graaf de Monte Rey bevat 8 bladz. folio,
waarvan de eerste zes gepagineerd. Op blz. [7] komt het kaartje No. V voor: het

achtste is wit.
55) De graaf de Monte Rey kwam in Juni 1670 als gouverneur der Spaansche

Nederlanden te Brussel.

66) Alexandro Farnese, Hertog van Parma, was de zoon van Octavio Farnese, Her-
tog van Parma en van Margaretha van Oostenrijk; hij werd 1516 geboren en stierf
3 December 1592. Depper krijgsoverste, streed hij tegen de Noord-Nederlanders.

Hij huwde met Maria van Portugal.
57) Don Alonso de Zepeda y Adada was Kapitein en Adjudant van den Gouverneur

Benavides.

08) De /„Connestable de Castilles’” was Don Inigo Melchior Fernandes de Velasco y
Jouar, hij was, als opvolger van Castel Rodrigo, Gouverneur der Spaansche Nederlanden
van September 1668 tot Juni 1670.

%) Don Antonio de Pimentel was buitengewoon gezant van Spanje te Stockholm,
waar hij op Koningin Christine grooten invloed uitoefende.

10) copra De un Papel||que escribid el Capitan Don {| ALONSO DE ZEPEDA Y ADRADA I
WAYUDANTE DE SERGENTO GENERAL||DE BATTALLA,|| Por Ordeu de su Exe: el Senor ||
nMARQVES DE FROMISTA |] Y CARACENA, &c || SOBRE EL REMEDIO DE EL PUERTO || DE
HOSTENDE. || Y assi mismo de una Carta que escribid à el S*. van LANGREN, Cosmo-
„grapho de su Magd. || En que Responde à la Apologia que hau escrito contra él
valgunos || Emulos suyos.

B—E 10 blad in folio gedateerd Ostende a 15 de Julio 1660.

7) REspuEsTA || De el Capitan Don Alonso de Zepeda Ayudante de || Sargento
„General de Batalla, à un Billete que le es-||crivio el Sr, van Langren sobre la Invectiva
„que sus || Emulos havian escripto contra él, sobre los remedios || propuestos para el
„Puerto de Ostende, en que|| tambien responde à los punctos de la dicha Inve-||ctiva.

w\—C 14 bladz, in folio gedateerd Brusselas à 16. de Septiembre de 1660.

60 AANTEEKEN ENGEN,

en celuy de 1561 {dit is het Kanaal van Brussel naar Vilvoorde). On y voit de mesmes
le Canal qu’il a representé à Messieurs du Magistrat de Malines, par lequel on pourra
à petits frais naviger par deux barques en trois heures & demy ou en quatre heures
d’une ville à l’autre.

62) Vergelijk het werkje:

Eenighe Middelen om de Princelijcke Stadt Brussel van de inondatie oft watervloedt
te bevrijden. Brussel. Godefroid Schoovaerts. 1648 in folio.

53) Zie het werkje:

Michael Florencio van Langren, Bewijs van de alderbequaemste en profitelyckste
inventie om de overtreffelycke ende vermaerde koopstad van Antwerpen te verlossen
van de pestighe ende ongesonde locht, komende uyt de vuyle, verrotten en stinkende
royen. Brussel. S. Scheybels. 1661. in 4°.

54) Dit Rapport van van Langren aan den Graaf de Monte Rey bevat 8 bladz. folio,
waarvan de eerste zes gepagineerd. Op blz. [7] komt het kaartje No. V voor: het

achtste is wit.
55) De graaf de Monte Rey kwam in Juni 1670 als gouverneur der Spaansche

Nederlanden te Brussel.

66) Alexandro Farnese, Hertog van Parma, was de zoon van Octavio Farnese, Her-
tog van Parma en van Margaretha van Oostenrijk; hij werd 1516 geboren en stierf
3 December 1592. Depper krijgsoverste, streed hij tegen de Noord-Nederlanders.

Hij huwde met Maria van Portugal.
°7) Don Alonso de Zepeda y Adada was Kapitein en Adjudant van den Gouverneur

Benavides.

8) De Connestable de Castilles” was Don Inigo Melchior Fernandes de Velasco y
Jouar, hij was, als opvolger van Castel Rodrigo, Gouverneur der Spaansche Nederlanden
van September 1668 tot Juni 1670.

°°) Don Antonio de Pimentel was buitengewoon gezant van Spanje te Stockholm,
waar hij op Koningin Christine grooten invloed uitoefende,

7) corra De un Papel||que escribid el Capitan Don |] ALONSO DE ZEPEDA Y ADRADA ||
WAYUDANTE DE SERGENTO GENERAL||DE BATTALLA,|| Por Ordeu de su Exe: el Senor ||
/MARQVES DE FROMISTA || Y CARACENA, &c || SOBRE EL REMEDIO DE EL PUERTO || DE
HOSTENDE. || Y assi mismo de una Carta que eseribiò à el S*, van LANGREN, Cosmo-
„grapho de su Magd. || En que Responde à la Apologia que hau escrito contra él
valgunos || Emulos suyos.

B—E 10 blad in folio gedateerd Ostende a 15 de Julio 1660.

7) RESPUESTA || De el Capitan Don Alonso de Zepeda Ayudante de || Sargento
„General de Batalla, à un Billete que le es-||crivio el Sr, van Langren sobre la Invectiva
„que sus || Emulos havian escripto contra èl, sobre los remedios [| propuestos para el
„Puerto de Ostende, en que||tambien responde à los punctos de la dicha Inve-||ctiva.

w\—C 14 bladz, in folio gedateerd Brusselas à 16. de Septiembre de 1660.

Verh. 1“ Sect. IL 1.

1 Figure delan 1624.

Era PA Far dyck

Sn Ds
DT 8b 6h

eld debois

| Figure du fable de Lan
1625 abaise mare.

WNaures de Hollande

4Fiqure de lan
IN

Seq race ;

Les Dunes

D

eas:

Groot finte

1645

; Baterie ae >
<> D

F. Mardyck

EN Le fable

„Ant

rn
vs n-de, Cleyn finte
A ="

Canal de Bruge

== \f
Steendr PJ Miuaer Leiden

Verh. 1£ Sect.IT.1. Kaart N° II.
ET NN 10)

DLA MER in ae

S Albert Sablon .
IETS

EEN ee

Bredene dijck

k = = = == = Z
JBiftl ier ae — —— =

Steendr. PIMalder

Verh, 18 Sect. IL. Kaart N° IL
F =
N2 Vnequartade Lequa OSTENDE ES
Arenal Me SS
D = — AY Ca
ee 7 7 = i UE Playa
À

or agus atacco y qano el S’ Archidugue
lberto la villa con perdida de 70.V sold!
ycaft tantos del enemigo, en 3 anos y 80

[rondado

Aqu fe podra con el tiempo
haser vna villa para aloyar :
marineros y pescadores, :

loque coftara nada a su Mag?

Proposicron de van Langren para mexorar el puerto,

| en peligro de perderta por medio de vn dycque.

dies, ae immerso. }

SN
S
g deramada tanta sangre para 4

EAN

IN
I XG Agus hifose el
‘ 2

Dycque deBuguoy Z =
à — Gn

Conviene que effaarena
sea cada dia nofada

1

Y St el Gnde de Buguoy ousa hallada/
ofte grandiose dycque,no auriafe/

tomar la villa

y assegurar la villa,y impedir que nola pondrtan é

JBytel ith.

Verh.1£Sect.Il.1. Kaart N° IV.

LAN: OSTENDE

= a
Le fable sarrettera icy
Cataye

Cette terre fablonneuse sera inonde ou secq,
selon la voulonté du Gouuerneur, leau arret-

tera le fable et fortefiera la ===

s
He NNW

ee,
“haul e nT

Écluse

Prop**de van Langren pour meliorer le
Haure, et afseurer la ville.

TByeel tre
Steond> P JMulder Leiden

|
|

Verh 1° Sect. IL.1.

2

Kaart N° V.
BLA MER ee

EE ————

Bredene dijck

| 4
Prapofition de Vaulan Y
| gren depuis 1627.

Inonde en lan 1662 er M CID
Vn demi lieue

T Tr

ee

Snaeskerke

| Bijtal Lith

Steendr PJ Mulder Leiden

ra .
D
|

4 4) -
te

ag ni de
| ak ae

Pe: AGE Lo Wan, À 970
| De Fever Jue ber Bakels.
derd

© SCHNITTE UND PROJECTIONEN

les Achtzelles, Sechszetmzeles wd Vierundzwanzigzelles

IM

VIERDIMENSIONALEN RAUME,

Pr EL, SC fk OW ek:

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.

(EERSTE SECTIE.)
(DEEL II. N°. 2 en 4.)

DT iW El) TAEELN)

SDE

AMSTERDAM,
“JOHANNES MULLER.

1894.

SU EN de, ordende le

REGELMASSIGE

Schnitte und Projectionen

DES ACHTZELLES UND DES SECHSZEHNZELLES

IM

VIERDIMENSIONALEN RAUME,

VON

Poo SCHOUTE.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)
DEEL II. N°. 2.

(MIT EINER TAFEL.)

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER
1894.

REGELMÁSSIGE

SCHNITTE UND PROJECTIONEN

DES ACHTZELLES UND DES SECHSZEHNZELLES

IM VIERDIMENSIONALEN RAUME.

VON

P. H SCHOUTE.

and an

I. ScHNITTE VOM ACHTZELLE Ze.

1. Man erhält eine Abbildung von Z$ auf den dreidimensionalen
Raum, wenn man einen Würfel in zwei parallelen Lagen annimmt
und die entsprechenden Eckpunkte verbindet. Hiervon liefert Fig. 1
eine zweidimensionale Andeutung.

Wir betrachten nun zunächst den Schnitt von 2° (Seitenlänge— a)
mit dem dreidimensionalen Raume #3, welcher im Mittelpunkte O
der Zelldiagonale AB auf dieser Geraden senkrecht steht und also
den Ort des Punktes bildet, der von À und B gleich weit entfernt
ist. Dieser À; muss die von Seiten weder mit À noch mit B ver-
bundenen Eecken P,, P,, P3, Py, Ps, Ps aufnehmen, weil diese Punkte
von À und B die gleiche Entfernung ay/2 haben. Da, diese Punkte
von A die nämliche Entfernung aj/2 haben, liegen sie auf dem
Schnitte von A; mit der Hypersphere von Centrum und Radius À
und aj/2, d.h. auf der Kugel von Centrum und Radius © und a.
Oder, was schneller zum Ziele führt, es ist P, P, Pz ein gleichsei-
tiges Dreieck, welches man erhält, wenn man vom Würfel mit der
Körperdiagonale AC die andern Eckpunkte der in C zusammenstos-
senden Kanten verbindet. So findet man, dass die sechs genannten
Punkte die Eckpunkte sind von acht gleichseitigen Dreiecken, welche
in den vier Paaren von parallelen Ebenen liegen, die À; mit den
vier Paaren von begrenzenden Wiirfeln gemein hat. Deshalb schliess-
en diese Dreiecke, wie die Figur auch deutlich erkennen lässt, ein
regelmässiges Octaeder von der Seitenlänge aj/2 ein. Also hat man:

„Der Schnitt des ZŸ mit dem- Mittelraume senkrecht auf einer

Zelldiagonale ist ein Octaeder 04/2”.
Bet
Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (le Sectie). DL II.

4 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES ACHTZELLES

„Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes À; geht das Oc-
taeder in die Combination von zwei centrischen nicht gleich stark
entwickelten entgegengesetzten Tetraedern (Fig. 2) über *)”.

Dieser Satz bildet die Ausdehnung des bekannten Satzes, welcher
aussagt, wie ein Wiirfel von einer Ebene senkrecht zu einer Kür-
perdiagonale geschnitten wird.

2. Wir betrachten weiter den Schnitt von Z® mit dem dreidimen-
sionalen Raume R's, welcher im Mittelpunkte O der ersten Querlinie
A' B' (Fig. 3) durch die Mitten von zwei gegenüberstehenden Seiten
auf dieser Geraden senkrecht steht. Da die Körperdiagonalen A, B;
und A,B, eines Paares von parallelen Wiirfeln mit A'B' parallel
laufen und auf A, 4, und B, B, senkrecht stehen, werden sie eben-
falls vom Raume R's senkrecht halbiert. Dem bekannten Satze des
Würfelschnittes nach, begegnet A3 diese beiden Würfel in gleichen
regelmässigen Sechsecken, die in parallelen Ebenen liegen. Weil
Ay Ag dem Schnittraume R'; parallel ist, begegnet diese die sechs
andern begrenzenden Würfel in gleichen Rechtecken (mit den Sei-
tenlängen a und +ay/2). Und es leuchtet jedenfalls auch ein, dass
die Mitten P,, P,..Q,; der zwölf Seiten, welche weder mit A, A, und
B, B, parallel sind, noch diese Seiten schneiden, von A’ und B' die
gleiche Entfernung +ay/6 haben. Man hat also:

„Der Schnitt des Z$ mit dem Mittelraume senkrecht auf einer
ersten Querlinie ist ein regelmässiges sechsseitiges Prisma Pt v/a, -

„Bet paralleler Verschiebung des Schnittraumes geht Pi ys, in
die Combination von zwei centrischen nicht gleich stark entwickelten
regelmässigen dreiseitigen Prismen (Fig. 4) über 7)”.

3. Es ist nicht notwendig die übrigen noch einfacheren Fille
näher zu erörtern. Deshalb geben wir nur die Resultate:

„Der Schnitt des Z® mit dem Mittelraume senkrecht auf einer
zweiten Querlinie A” B" (Fig. 5) ist ein rechtwinkliges Parallelo-
piped Pa, a,aV2”.

„Bei paralleler Verschiebung ändert sich die Dimension ay/2”.

„Der Schnitt des ZŸ mit einem Raume parallel zu zwei begren-
zenden Wiirfeln ist ein Würfel W,’’.

4, Wir reihen hier einige Andeutungen über den Schnitt mit
einem willkürlich gewählten Mittelraume an. Er ist immer von

*) Hier ist nur die Form und nicht die Grösse der Combination in Vergleichung
mit der Grösse des Octaeders richtig angegeben. Denn bei paralleler Verschiebung
des Schnittraumes ändert sich der Abstand der parallelen Seitenflächen nicht.

+) Man sehe die erste Fussnote.

UND DES SECHSZEHNZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 5

Paaren paralleler Ebenen eingeschlossen, hat O zum Centrum und
ist in Bezug auf O radial-symetrisch. Es sind also die gegenüber-
legenden Seitenflichen einander entgegengesetzt-congruente Sechs-»
Fünf-, Vier- oder Dreiecke. Und bei paralleler Verschiebung verliert
der Schnittkérper die centralen Eigenschaften, können sogar einige
Seitenflächen verschwinden. Weiteres würde uns in die Tetragoniome-
trie führen.

II. PROJECTIONEN VOM ACHTZELL Zi

5. Wir projicieren zunächst das Zö in der Richtung AB (Fig. 1)
auf den oben benutzten Schnittraum A3. Dabei wird dann jedes der
beiden Quadrupel von entweder in A oder in B zusammentreten-
den Würfeln die nämliche Projection liefern und die diesen Körper
einschliessenden Seitenflächen von den weder durch A noch durch
B gehenden zwölf Seitenflächen von Z® herrühren. Von jedem
schiefen Parallelopipede, das die Projection eines der acht begren-
zenden Würfel von Z® bildet, stossen dann drei Seitenflächen in O
zusammen, indem die drei übrigen zur Begrenzung gehören. Da
das ZŸ im ganzen sechszehn Eckpunkte hat und A und B sich
im Centrum © projicieren, wird die Bezrenzung vierzehn Eckpunkte
zählen. Diese vierzehn Punkte sind verschiedener Art. Erstens giebt
es sechs Punkte, die ihre eigene Projection sind, die Eckpunkte des
Octaeders 0,42. Zweitens rühren acht Punkte von den Eeken her,
die entweder mit A oder mit B verbunden sind. Wir unterdrücken
den einfachen Beweis, dass die Projectionen dieser acht Punkte die
Eckpunkte eines Würfels W, sind. Ist dieser Beweis gegeben, so
findet man :

„Die senkrechte Projection des ZŸ in der Richtung einer Zelldi-
agonale ist ein Rhombendodekaeder Rye

Zeichnet man in der Abbildung des Rhombendodekaeders die vier
Würfeldiagonalen hinein (Fig. 6) und bringt man die von diesen
Geraden zu je zweien bestimmten Ebenen an, so leuchtet es wirklich
ein, dass dieser Körper auf zwei verschiedene Weisen die Summe
von vier gleichen schiefen Parallelopipeden ist.

6. Die parallelen dreidimensionalen Räume, welche die Würfel
A,B, und A,B, (Fig. 3) enthalten, stehen senkrecht auf den Streck-
en 4,4, und B,B;, welche dem oben benutzten Mittelraume R's pa-
rallel sind. Wenn wir das Z® in der Richtung A'B' auf diesen
Raum A's projicieren, sind die Projectionen der beiden genannten Wiir-
fel also ebene Figuren; für jeden dieser beiden Würfel spielt die

6 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES ACHTZELLES

Operation des Projiciereus ganz in seinem eigenen Raume, d. h. auf
die Schnittebene seines Raumes mit R's ab. Da die beiden Schnitt-
ebenen die Körperdiagonalen 4,4, und AB, senkrecht halbieren,
sind die beiden Projectionen, einem zweiten bekannten Satze vom
Würfel nach, zwei gleiche regelmässige Sechsecke Sige Weiter
projicieren sich die sechs übrigen Wiirfel als gleiche Parallelopipede
mit einer gemeinschaftlichen Seite 0,0,. Deshalb findet man:

„Die senkrechte Projection des Zi in der Richtung einer ersten
Querlinie ist ein regelmässiges sechsseitiges Prisma Pisa.

7. Von den übrigen noch einfacheren Fällen geben wir nur die
Resultate.

„Die senkrechte Projection des Z8 in der Richtung einer zweiten
Querlinie ist ein rechtwinkliges Parallelopided Po, a,aV2.”

„Die senkrechte Projection des ZË auf einen Raum, der mit zwei
der acht begrenzenden Wiirfel parallel läuft, ist ein Wiirfel Wa.”

8. Die allgemeinste senkrechte Projection des ZË ist ein Körper
mit höchstens sechs Paaren parallelen Seitenflächen und 16 Eck-
punkten. Sie hat einen Mittelpunkt und ist in Bezug auf diesen
radial-symetrisch.

III. ANALYTISCHE ABLEITUNG DER GEWONNENEN RESULTATE.

9. Nimmt man die vier dreidimensionalen Räume durch O paral-
lel zu den Paaren von begrenzenden Würfeln zu Coordinatenräu-
men an, so erhält man die einfachste Coordinatenstellung des Z°,
Dabei sind die Coordinaten der 16 Eckpunkte durch die Gleichungen

Ale di (Aig E ds ie EE

wo man alle Zeichencombinationen zu betrachten hat, gegeben.
Mittels der orthogonalen Transformation

By) = 2 + 29 + ay + 24
2yq = A + do — 23 — 4
2y3 = U — Lo + 23 — Aa
dys = y — Lg — Pz + La
wird das Z® senkrecht auf seine Zelldiagonale gestellt. Mit der

Abkürzung b für — a findet man bei jeder Zeichencombination die
Werte der doppelten Coordinaten 241, 272, 2ys, 2y4 angegeben.

UND DES SECHSZEHNZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 7

ed proto oh,
DRE a |) Rene Sibast
po dae pe
JE PE; Le ERREUR BENE elk
à | 0 0,0
Ee 10200 |2; 000

In diesem Schema sind die sechs Punkte des mittleren Teiles die
Schnittpunkte mit dem Raume y, = 0, die wir als die Ecke des
Octaeders © ,, erkannt haben. Und indem der erste und der letzte
Punkt sich auf y, =0 in © projicieren, bilden die gleichartigen Pro-
jectionen der 8 Punkte, deren (Coordinaten eine ungerade Zahl von
Minuszeichen zeigen, die Ecke des Würfels Wa. |

10. Es ist im Systeme der « der Punkt 2}=0,2,=2,=>2,=}a
der Mittelpunkt einer Seite (4'in Fig. 3) und deshalb ist auch
ta + 23 + 24 = 0 die Gleichung des Mittelraumes senkrecht auf OA’.
Mittels der Transformation

a/s= do + 23 + 24

aV8—= — a — T3 + %

Dr SN EUR 2
ZV 3 = — 2 — % +43

stellen wir Z® also senkrecht auf seine erste Querlinie. Mit der
Abkürzung ¢ = — d => sas finden wir in nämlicher Reihenfolge
das Coordinatenschema
Se, d, d, d did en sa d'3e ad; ©
a 3d, de Gp den 30
Sy Cy CE di & 3d, d deelde sd
c, d, ad, € Crit Nd la, Pas) od
cy ©, ddd eso ds a

¢, ad, ¢, d ever uO, rolde Er €

Dieses Schema zeigt, dass die Projection auf zj = 0 ausser den
doppelt zählenden Punkten (c‚c‚c) und (d,d,d) die zwölf Punkte

8 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES ACHTZELLES
BC Ce c¢, 3c, a c, d, 3c
3c, d, c d, 30, c d, c, 3c
Bd, end Cy 94, 4 ci 318
3d, d, ¢ d, 3d, ¢ d, 6, dd

enthält. Mit den Punkten

Be Co Ne Cy SIC EC e, ¢, Sc
3e, d, d d, 3c, d died. 9.0
Sd, 6, € C, Od, e, €, ©, od

od, ad, a d, 3d, d d, d, 3d

bilden sie die 24 convexen Eeken des von sieben Wiirfeln gebilde-
ten Kreuzes mit drei Armen (Fig. 7). An und für sich bilden sie
die Eckpunkte eines regelmässigen sechsseitigen Prismas.

Zur Untersuchung des Schnittes mit dem Raume 2, = 0, bedienen
wir uns von den Umkebrungen der Formeln 2). Diese zeigen, dass
die acht begrenzenden Räume den Gleichungen

zat ta tas

hl — za tas
— 2 +2 = 2. = oy 3
— Zj — 23 + 23 = £a

entsprechen und diese also mit dem Raume zj = 0 die Ebenen

2 + += tas
— 23 += tas
2 — = tas

— 29 + 23 tale

gemein haben. Wie eine Zeichnung (Fig. 8) andeutet, bildet das
erste Paar Ebenen die Grundebenen eines regelmässigen sechsseiti-
gen Prismas, von welchem die drei andern Paare die Seitenflächen
ausmachen.

11. Es ist im Systeme der x der Punkt 2; =, = ka, 3 = #4 —0
der Mittelpunkt einer Seitenfläche (4" in Fig. 5) und deshalb
a +x2=0 die Gleichung des Mittelraumes senkrecht auf A” B",

UND DES SECHSZEHNZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 9

Daher bedienen wir uns der Transformation

hV2= 4 2% nV/2= th + by

te 2= 21 — 43 > 29V/2= th — ty 3)
BY2= ws + 24 tY2= tz + ty

CAGE T3 — La mia tg — t4,

und erhalten dann die 16 Punkte und 8 Räume (für } aj/2 als
Coordinateneinheit) in der Form

Peet, Ost. 0 1; Oel, 00.1

(eh a et 0, 0, 1 ht tea ed
hum Ge =? 0-1 Mk Oet Stim
OEE LORE ees O7 ‘I Bedek Okke
A Te 0-1 ts — tim £1
BROOM 0 1, 0 Pl, S08, +10

Es werden deshalb Projection auf 4 = 0 und Schnitt mit #, —0
in vollem Einklange mit den errungenen Ergebnissen von Fig. 9
angegeben.

12. Anstatt der Formeln 2) und 3) hätten wir auch die Formeln

3 2 — UY 3+ az St 248 hY2> 2 + a
EE ir Ve Nen
Sag A —22 + 4 | tg = 43
ve Sn ge eee ge Oe ee FP D.

anwenden können. Wir haben aber die gewählten Formeln vorge-
zogen, weil aus ihnen einige neue Wahrheiten abzuleiten sind.

Aus der Transformation 1) geht hervor, dass die 8 Zelldiagonalen
des Z sich auf nur eine Art in zwei Systeme von vier senkrechten
Coordinatenachsen zerlegen lassen. Denn es sind die neuen Achsen
die Diagonale AB (Fig. 1) und die drei Körperdiagonalen des De vp
und wenn AB gewählt ist, ist der Schnitt 0, bestimmt.

Auf die nämliche Art liegt der Transformation 2) ein System
von vier zu je zweien zu einander senkrechten ersten Querlinien
O À’ (Fig. 3) zu Grunde. Ist nun OA' gewählt, so kann man ent-
weder die drei Diagonalen OP,, OP;, OP; oder die drei Diagona-

10 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES ACHTZELLES

len OP, OP,, OP; als andere Achsen annehmen. Es bilden also

: d. h. 8 Systeme von vier senkrechten

AD
die 16 ersten Querlinien x

Coordinatenachsen.

So fortfahrend findet man, dass die neuen Coordinatenachsen
der Transformation 3) vier zweite Querlinien sind. Zu A" B" (Fig.
5) gesellt sich die Verbindungslinie C” J" der Mittelpunkte der
Seitenflächen des Schnittes, welche auch Seitenflächen des Z® sind,
und das Paar von Verbindungslinien der Mitten QQ, Q3;Q,. Es

Ne
bilden also die 12 zweiten Querlinien Tt d. h. 3 Systeme von vier

senkrechten Coordinatenachsen.

Dem Satze über die 8 Zelldiagonalen des Z® entsprechend findet
man im Raume von 2” Dimensionen, dass die 22"! Diagonalen
des Wesens mit 22" Eckpunkten 2”—! Systeme von 2” zu je zweien
zu einander senkrechten Coordinatenachsen bilden. So kann im

aume Rs ein System von Formeln, den Gleichungen 1) analog, ge-
au 8 Wi ) 5 55

funden werden, wobei folgende Zeichengruppierung vorkommt:

Hdd dt +
+++
Leede
—~+—-+4+-—4-
Hett
enten
—~-4+-+4++4+-
+++ +

IV. RECIPROCITÂT VON ACHTZELL UND SECHSZEHNZELL.

++++4+4

13. Die Polarfigur des Z® in Bezug auf die concentrische Hy-
persphäre Æ,,#, mit dem Radius }aP2 ist ein concentrisches Sechs-
zehnzell Z1$ mit der Seitenlänge a. Dabei bilden die Eckpunkte,
Kanten, Seitenflächen und begrenzenden Körper des einen Zelles die
Polarfiguren der begrenzenden Körper, Seitenflächen, Kanten und
Eckpunkte des anderen Zelles. Ist X, irgend ein dreidimensionaler
Raum und P sein Pol, so sind die Schnitte von Rs mit den Kan-
ten, Seitenflächen und begrenzenden Körpern des einen Zelles offen.

UND DES SECHSZEHNZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 11

bar die Polarbildungen der Jinearen dreidimensionalen Räume, Ebe-
nen und Geraden, welche durch Verbindung von P mit den Seiten-
flächen, Kanten und Eckpunkten des anderen Zelles entstehen. In
Bezug auf die Kugel, welche den Schnitt von Hs po und AR; bil-
det, sind deshalb die Schnitte von A; mit den Kanten, Seitenflächen
und begrenzenden Kérpern des einen Zelles die Polarfiguren der aus
dem Centrum P auf À; geworfenen centralen Projectionen von den
Seitenflächen, Kanten und Eckpunkten des anderen Zelles. Ist Rs
ein durch den Mittelpunkt © von Hip”, gehender Raum und also
P unendlich entfernt, so hat man es mit den senkrechten Projec-
tionen zu thun.

_ Es können also die Schnitte und Projectionen von ZI aus den
Projectionen und Schnitten von ZS abgeleitet werden.

V. SCHNITTE UND PROJECTIONEN VON Zi.

14. In gedrängter Kürze geben wir hier die in der oben ange-
deuteten Weise zu erhaltenden Resultate :

„Die senkrechte Projection des Z!e in der Richtung einer Zell-
diagonale ist ein Octaeder O, ($ 3, zweiter Satz).”

„Die senkrechte Projection des Zi in der Richtung einer ersten
Querlinie ist eine regelmässige vierseitige Doppelpyramide mit a als
Seite des Quadrates und 4 a als halbe Höhe (§ 3, erster Satz)”

„Die senkrechte Projection des Z'° in der Richtung einer zwei-
ten Querlinie ist eine regelmässige sechsseitige Doppelpyramide mit
Lay/3 als Seite des Sechsecks und Zay/2 als halbe Höhe (§ 2).”

„Die senkrechte Projection des Zi in der Richtung einer Ver-
bindungslinie der Mittelpunkte von zwei einander gegen überstehenden
begrenzenden Tetraedern ist ein Würfel Wis (§ 1)”.

15. „Der Schnitt des Zi mit einem Mittelraume senkrecht auf
einer Zelldiagonale ist ein O, (§ 7, zweiter Satz). Bei paralleler
Verschiebung des Mittelraumes ändert sich die Dimension des Oc-
taeders”.

„Der Schnitt des Zij mit einem Mittelraume senkrecht auf einer
ersten Querlinie A’ B’ ist eine regelmässige vierseitige Doppelpyramide
(Fig. 10) mit a als Seite des Quadrates und 44 als halbe Höhe (§ 7,
erster Satz). Achse der Doppelpyramide ist die zweite Querlinie
Q, Qs, welche mit den Kanten deren Mitten A’ und BP’ sind in einer
Ebene liegen. Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes werden
die Basisecken P1, P,, Ps, P, der Doppelpyramide (Fig. 11) von
Ebenen senkrecht auf den Diagonalen des Quadrates abgestumpft”’.

12 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES U.S. W.

„Der Schnitt des Zie mit einem Mittelraume senkrecht auf einer
zweiten Querlinie 4" B" ist eine regelmässige sechsseitige Doppelpyra-
mide (Fig. 12) mit }a als Seite des Sechseckes und 4 4/2 als halbe
Höhe ($ 6). Achse der Doppelpyramide ist jene Achse Q, Q des
ZI, welche mit dem Dreiecke RST, wovon A” der Mittelpunkt is
keinen Punkt gemein hat. Bei paralleler Verschiebung des Schnitt-
raumes löst sich die sechsseitige Doppelpyramide in zwei regelmäs-
sige dreiseitige Doppelpyramiden (Fig. 13) auf, von welchen die
untergeordnete die Basisecken der vorherrschenden zweiflächig zu-
schärft”.

„Der Schnitt des Zie mit einem Mittelraume senkrecht auf der
Verbindungslinie der Mittelpunkte von zwei einander gegenüberste-
henden begrenzenden Tetraedern ist eine Combination (Fig. 14) vom
Octaeder O2 mit dem Wiirfel Wioy2 in Gleichgewicht ($ 5).
Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes behalten die Würfel-
ebenen ihre gegenseitige Lage und zerfällt (Fig. 15) das Octaeder
in zwei ungleich stark entwickelte Tetraeder. Dabei bleibt der
Schnittpunkt T der Seitenflächen RST und 7UV (Fig. 14 und
Fig. 15) auf der Wiirfelkante; deshalb wird der Körper begrenzt
von vier grossen und vier kleinen gleichseitigen Dreiecken und sechs
Rechtecken bis an die Grenze nur ein regelmässiges Tetraeder übrig
bleibt”.

Offenbar erhält man das hier nicht benutzte Schema der Coordi-
naten der Eckpunkte des Z'® in Bezug auf die vier Zelldiagonalen
als Achsen, indem man auf alle mögliche Weisen drei der vier
- Coordinaten verschwinden lässt und der vierten den absoluten Wert
1ay 2 erteilt.

In einer folgenden Mitteilung werde ich die Untersuchung au
das Vierundzwanzigzell ausdehnen. Dabei wird dann die Zerlegung
der 8 Zelldiagonalen des Z® in zwei Systeme von vier senkrechten
Coordinatenachsen in ein neues Licht erscheinen.

N.B. Ein Teil der mitgeteilten Ergebnisse ist auch von Herrn TU
Proctor HALL im Aprilhefte vom , American Journal of Mat” «-
matics’ dieses Jahres verôffentlicht in der Abhandlung „The Pro-
jection of Fourfold Figures upon a Three-Flat”. Die Behandlung:
weise wird jedoch geniigend zeigen, dass ich nicht von dieser Arbeit
beeinflusst worden bin.

Groningen, September 1893.

ERKLARUNG DER TAFEL.

Das Achtzell (blau) wird vom Mittelraume senkrecht auf der
Zelldiagonale AB in das Octaeder P, P,... Pg (rot) geschnitten.

Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes löst sich das
Octaeder P, P,..P; (rot) in zwei ungleich stark entwickelte
Tetraeder (blau) auf.

Das Achtzell (blau) wird vom Mittelraume senkrecht auf der
ersten Querlinie A'B' in ein regelmässiges sechsseitiges Prisma
(rot) geschnitten.

Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes löst sich das
sechsseitige Prisma (rot) in zwei ungleich stark entwickelte
regelmässige dreiseitige Prismen (blau) auf.

Das Achtzell (blau) wird vom Mittelraume serkrecht auf der
zweiten Querlinie 4"B" in ein regelmässiges vierseitiges Prisma
(rot) geschnitten.

Auflösung des Rhombendodekaeders (schwarz), seinen Eck-
punkten nach, in Würfel (rot) und Octaeder (blau).

Die zwölf benummerten Eckpunkte des Kreuzes mit drei Armen
(rot), welches aus sieben gleichen Würfeln besteht, bilden die
Eckpunkte eines regelmässigen sechsseitigen Prismas (blau).

Stellung des regelmässigen sechsseitigen Prismas (blau) von
Fig. 3 in Bezug auf drei erste Querlinien OZ), OZ, OZ,
welche ein rechtwinkliges Achsenkreuz bilden. Die Grundebe-
nen sind Ausbreitungen von zwei Seitenflächen des den Achsen
OZ entsprechenden Octaeders (rot).

Fig.

9.

LQ:

U,

12.

18.

14.

Schnitt des Achtzelles mit einem Mittelraume senkrecht auf
einer zweiten Querlinie und senkrechte Projection des Achtzel-
les auf diesen Raum.

Das Sechszehnzell (blau) wird vom Mittelraume senkrecht
auf der ersten Querlinie A'S’ in eine regelmässige vierseitige
Doppelpyramide (rot) mit der Achse Q, Q, geschnitten.

Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes werden die
Basisecken der Doppelpyramide (blau) von Ebenen senkrecht auf
den Diagonalen des Quadrates (rot) abgestumpft.

Das Sechszehnzell (blau) wird vom Mittelraume senkrecht
auf der zweiten Querlinie A"B" in eine regelmässige sechsseitige
Doppelpyramide (rot) mit der Achse Q,Q geschnitten.

Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes löst sich die
sechsseitige Doppelpyramide (rot) in zwei ungleich stark ent-
wickelte regelmässige dreiseitige Doppelpyramiden (blau) auf.

Die Combination (blau) des Würfels (rot) und des Octaeders
in Gleichgewicht, welche den Schnitt des Sechszehnzelles mit
einem zu zweien der begrenzenden Räume parallelen Mittelraume
bildet.

Umbildung der Combination von Fig. 14 bei paralleler Ver-
schiebung des Schnittraumes.

ci

sia 0
à
a
Ÿ

iS}

v
A
Qi
N
EE

Ste

RO)
aS
SS |

2

©
S
Ÿ

à!

$
NE

Cr Ne Ê

REGELMASSIGE

Schnitte und Projectionen

DES VIERUNDZWANZIGZELLES

IM

VIERDIMENSIONALEN RAUME.

i els GEE OO 1 ER:

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)
DEEL II. No. 4.

(MIT EINER TAFEL.)

2) Ce—

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1894.

REGELMASSIGE

SCHNITTE UND PROJECTIONEN

DES VIERUNDZWANZIGZELLES

IM VIERDIMENSIONALEN RAUME.
VON

PH SCHOUTE.

en

I. PROJECTION DER VIERDIMENSIONALEN GEBILDE AUF
EINEN BEGRENZENDEN KÔRPER.

1. Bekanntlich erhält man im dreidimensionalen Raume ein
ebenes Bild der regelmässigen Kôrper, indem man diese senkrecht
projiciert auf eine der begrenzenden Seitenflächen.

Auch im vierdimensionalen Raume muss das analoge Verfahren
immer zum Ziele führen können. ÆEinerseits wird es da ausseror-
dentlich wertvoll sein in den Fallen, wo keine einfache persnecti-
vische Abbildung vorliegt, keine Coordinatenstellung sich erbietet
und andere sonstige Hilfsmittel fehlen. Andererseits wird es am
leichtesten anwendbar sein, wenn der Winkel zwischen zwei benach-
barten Zellen einen einfachen Wert hat, wie beim Z8 (90°), beim
Ze (120°) und beim Z% (120°) *).

Es ist der Zweck dieses Aufsatzes den Nutzen dieser Betrachtung
am Beispiele des Zi zu zeigen. Zur Anschliessung an eine frühere
Arbeit+) und zur Einleitung fangen wir jedoch mit Z$ und Z' an.

2. Der Fall des 28 ist unmittelbar erledigt. Es ist die ganze

*) In Bezug auf diese Winkel und ihre Berechnung vergleiche man Wiskundige
Opgaven (T. V, 1891—93, S. 134).
+) Regelmässige Schnitte und Projectionen des Achtzelles und des Sechszehnzelles
im vierdimensionalen Raume (Verhandelingen, eerste sectie, deel II, N° 2).
Dis
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectic). Dl. II.

4 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES

Projection des Z§ ein Würfel Wa. Von den acht begrenzenden
Wiirfeln des Z§ projicieren sich zwei einander gegenüberliegende in
Wa, die sechs übrigen in die Seitenflächen von W, (I, $ 7, zweiter
Satz).

Im Falle des ZŸ erhalten wir auch einen Würfel, jedoch einen
Wins (I, § 14, vierter Satz). Es bilden nl. (Fig. 1) die zwölf
Seitendiagonalen des Würfels die Kanten von zwei centrischen gleich
stark entwickelten complementären Tetraedern PQRS und P'Q' RS’,
welche die hemiedrischen Formen eines nämlichen Octaeders sind.
Geht man nun vom Tetraeder PQRS aus und projiciert man eins
der beiden 71°, zu deren Begrenzung PQRS gehören kann, auf
PQRS, so hat man zünachst auf jede der vier Seitenflächen als
Grundebene eine regelmässige dreiseitige Pyramide aufzusetzen,
deren Höhe die halbe Höhe von ABCD beträgt. Denn es ist
Cos 120° —— 1. Und nun leuchtet es ein, dass man auf diese
Weise das Tetraeder zum Wiirfel anfüllt. So findet man, dass die
16 Tetraeder sich nach einander projicieren in PQRS, P'QRS,
PQRS, PQR'S, PQRS, die sechs Seitenflächen des Würfels,
PRS, PQES, PQRS, P QRS, P QRS. Indem die dre
dimensionalen Räume von sechs Tetraedern auf dem Raume PQRS
senkrecht stehen, wird der Wiirfel Wie auf zwei verschiedene
Weisen von den Projectionen von fünf Tetraedern ausgefüllt *).

3. Die Ausführung des nämlichen Gedankens beim Z** erfordert zu-
nächst, dass wir auf jede Seitenfläche ABC des Octaeders O, (Fig. 2)
ein zu ©, congruentes Octaeder aufsetzen und diese acht neuen
Octaeder, jedesmal in die Richtung senkrecht auf die mit dem Octae-
der 04, gemeinschaftliche Seitenfläche, bis auf die Hälfte zusam-
mendrücken. Diese Construction bringt wieder die gleichwertige
Combination von Würfel Way2 und Octaeder Os, (I, Fig. 14) her-
vor, welche weiter durch das Symbol (W,0) angedeutet werden
soll. Ist nl. P (Fig. 2) der Eekpunkt des Wej/2, welcher der Sei-
tenfläche ABC von O, gegenüberliegt und A" B"C" das von den
Endpunkten A”, B",C" der in P zusammenstossenden Kanten des
Wiirfels (OP) gebildete gleichseitige Dreieck, so liegen die Schnitt-
punkte M, M', M" von OP mit den parallelen Ebenen ABC, A'B'C",
A"B"C" offenbar so, dass die Strecken PM", M"M, MO, OM' cin-

*) Man kann die Figur auch als eine Projection auf den Raum des Tetraeders
P'Q'R'S' betrachten. Will men den Unterschied zwischen beiden Betrachtungswei-
sen hervorheben, so hat man im räumlichen durchsichtigen Bilde das eine Tetraeder
als sichtbar, das andere als unsichtbar anzudeuten,

VIERUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 5

ander gleich sind, und ist deshalb 4 BC, A” B"C" der auf ABC zu
beschreibende Körper. Und dieses Ergebnis macht es leicht die

Projection des Zi zu beendigen. Es bilden nl. die sechs in den
Seitenflächen des Würfels W/2 liegenden Quadrate von der Seiten-
länge a die Projectionen von sechs begrenzenden Octaedern, die senk-
recht auf ©, stehen, und jeder der neun in (W,0) enthaltenen
Körper ist die Projection von zwei Octaedern des Z2% *),

Wenn bei der Projection der regelmässigen Körper des dreidimen-
sionalen Raumes ein regelmässiges Polygon erhalten wird, können
zwei verschiedene Fälle eintreten. Entweder sind die Projectionen
der Kanten von oberer und unterer Hälfte des Körpers verschieden,
oder diese Projectionen kommen zur Deckung. Analoges ereignet
sich bei der Projection von ZS und Z# auf einen der begrenzen-

den Körper; bei Z ae tritt der erste, bei Fe tritt der zweite Fall ein.

4. Es liegt das Vermuten nahe, dass die zwölf Eckpunkte des
Zen welche sich auf den Raum des Qa in die Eckpunkte des (W, 0)
projicieren, im vierdimensionalen Raume einem nämlichen dreidimen-
sionalen Raume angehören. Durch Berechnung der Entfernung
dieser Punkte vom A; des VU, wird dieses Vermuten bestätigt. Sind
ABC und ABD (Fig. 3) zwei Seitenflächen eines regelmässigen
Körpers, welche unter dem Aussenwinkel g an einander schliessen,
so ist die Entfernung PD D' in der Richtung der dritten Dimension
dem Producte MD'. Typ gleich. In ganz derselben Weise findet
man die Entfernung des Punktes A" (Fig. 2) vom À; des Og, wenn
man Zg 60° in die Entfernung PM" = 1 PA"y/3 — ay 6 des Punk-
tes A" von der Ebene ABC multipliciert. So ergiebt sich, dass
die zwölf Eckpunkte in der vierten Dimension nach derselben
Seite hin vom R,; des ©, eine gleiche Entfernung } ay/2 haben,
Demnach sind die 24 Eckpunkte des Z*% im vierdimensionalen
Raume in drei parallelen dreidimensionalen Schichten gelagert, von
welchen die mittlere 12 Eckpunkte, jede der beiden & 41/2 entfern-
ten äusseren 6 Eekpunkte aufnimmt. Beiläufig erhalten wir folgen-
den Satz :

„Es wird das Z% von jedem Mittelraume, welcher zu zwei der
begrenzenden Octaeder parallel ist, in einem (W,0) geschnitten.”

„Bei immer weitergehender paralleler Verschiebung des Schnitt-
raumes werden an den Octaederflächen des (W, O0) immerfort Scheib-
chen abgehobelt und geht der Schnittkorper allmählich in ein Octae

*) Es tritt dieses (#, 0) auch bei der Scurraer’schen Projection auf.

6 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES

der über, indem es dem Zwischenstadium (Fig. 4) eines Octaeders,
dessen Beken vom Wiirfel abgestumpft sind, passiert.

5. Aus der eben gefundenen Schichtung der 24 Eckpunkte des
Z* in drei parallelen Räumen folgt unmittelbar, wie 7% sich auf
den mittleren Raum projiciert. Man findet:

„In senkrechter Projection des Z% auf irgend einen zu zwei be-
grenzenden Octaedern parallelen Mittelraum bilden die Eckpunkte
des Z*% die Eckpunkte des Schnittes (W,0), die ihre eigene Projec-
tion sind, und die doppelt zu zählenden Mittelpunkte der Quadrate
des (W,0), welche die Eckpunkte eines Octaeders und die Projec-
tionen der Eckpunkte der beiden parallelen Octaeder sind”.

Projiciert man aber das Z% in schräger Richtung auf den näm-
lichen Mittelraum, so erhält man eine parallel-perspectivische Abbil-
dung (Fig. 5). Diese wird aus einem Drahtmodelle des (W,0) ab-
geleitet, indem man durch die Mittelpunkte À, B,C, A',B’,C’ der
Quadrate des (W,0) in diesen Punkten halbierte Strecken aa’, bb",
ec, aa, jf}, yy' gleicher Lange und Richtung annimmt und dann
die Endpunkte jeder Strecke mit denen des entsprechenden Quadra-
tes, die gleichartigen Endpunkte der sechs Strecken zu Kanten zweier
Octaeder unter einander verbindet.

Die Figur zeigt deutlich die 24 Octaeder, welche das Z% begren-
zen. Es wird nämlich der Projectionskérper ausgefüllt erstens vom
Octaeder abe a@/?y, den acht anliegenden Octaedern und den drei
Octaedern mit den Kôrperdiagonalen @a', 5/3, yy', zweitens vom
Octaeder a'b'e'«'/ÿ' y", den acht anliegenden Octaedern und den drei
Octaedern mit den Körperdiagonalen aa’, bb’, ec. In der senkrechten
Projection (Fig. 2) des unmittelbar vorhergehenden Satzes fallen die
beiden Verteilungen des (W,0) zusammen.

Ist der Mittelpunkt O des (W,0) ebenfalls der Mittelpunkt der
Strecke PP', welche den genannten Strecken parallel und gleich
angenommen ist, so leuchtet ein, dass die 12 Eckpunkte des (W,0)
von P und P' die gleiche Entfernung a haben, u. s. w.

II. COORDINATENSTELLUNG DES Ze

6. Es führt die Betrachtung des Bildes (Fig. 5) des Drahtmo-
delles unmittelbar zu einer Coordinatenstellung des 2%. In Bezug

auf die Coordinatenachsen OA, OB, OC, OD findet man das
Schema :

VIERUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 7

=, 0 p, C4 Dr fay OO
)

0, p, 0, p | ce 0, 0, p, p

Op, Ora | ve 0, 0; p,m

dev py oe Of Or np

0, n, 0, n : 0, 0, n, n

worin p und n für + $4j/2 und — Zay/2 stehen. Man wird sofort
bemerken, dass dieses Schema sehr regelmässig ist; es enthält alle
Punkte, von welchen zwei der Coordinaten verschwinden und die
zwei anderen den absoluten Wert Zay/’2 haben.

7. Die gefundenen Coordinatenwerte ermöglichen die Bestimmung
von einigen metrischen Verhältnissen. So findet man nach einander
für die Länge von centraler Zelldiagonale, erster, zweiter und dritter
Querlinie (Entfernung der parallelen Octaederräume) 2a, ay/3, ? ay/6
und ay/2, für den Winkel von Zelldiagonale und angrenzender erster
Querlinie und für den Winkel von angrenzender zweiter und dritter
Querlinie 30°, u. s. w.

Mittels der gefundenen Coordinatenwerte kann auch der bekannte
Satz, nach welchem die Polarfigur des Z2 in Bezug auf eine con-

centrische Hypersphere vom Radius $aP’3 ein congruentes Z% in

anderer Stellung ist, bewiesen werden. Dabei ergiebt sich, dass die
Zelldiagonalen, ersten, zweiten und dritten Querlinien des einen res-
pective mit den dritten, zweiten, ersten Querlinien und Zelldiagona-
len des anderen zusammenfallen.

8. Wir untersuchen zunächst, welche besondere Lage der Räume
der 24 begrenzenden Octaeder der Schichtung der 24 Eckpunkte in
drei parallelen Räumen dualistisch entspricht. Dazu bemerken wir,
dass die Polarfigur der drei parallelen Räume von drei Punkten
O', P,P' gebildet wird, welche auf einer durch © gehenden Geraden
liegen; von diesen Punkten ist O’ unendlich entfernt und wird die
Strecke PP’ in O halbiert. Wir finden deshalb,-dass durch jeden
der beiden Punkte P, P' sechs Octaeder gehen, was allerdings be-
kannt ist — denn jeder Eckpunkt Z% ist Eckpunkt von sechs
Octaedern —, und dass die übrigen 12 Octaeder zu der Geraden

8 REGELMÁSSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES

PP' parallel sind und sich also auf den Mittelraum, welcher PP
senkrecht halbiert, als Ebenen projicieren.

Der Reciprocität nach verlangt der Satz von $ 4, dass die senk-
rechte Projection des Z% in der Richtung einer Zelldiagonale ein
Rhombendodekaeder R,,,,, sei. Es stimmt dies genau mit der oben

gefundenen Thatsache der 12 senkrechten Octaeder. Und es kann
offenbar (Fig. 6) das À in sechs octaederförmige Körper (4 0,
PRQS), (BO, QPSE), u.s.w. verteilt werden, welche doppelt*
gezählt die Projectionen der übrigen 12 Octaeder bilden. Deshalb
finden wir den Satz:

„Die senkrechte Projection des Z% in der Richtung der Zelldia-
gonale ist ein Ris

Die Abzählung der Eckpunkte in der letzten Projection zeigt,
dass im Mittelpunkte O und in jedem der acht Würfelpunkte
P,Q,R,S, P', Q, R',S zwei Projectionen zusammenfallen, in jedem
der sechs Octaederpunkte 4,B, C, A’, B', C' sich jedoch nur ein
Eckpunkt projiciert. Es scheint deshalb, dass der Mittelraum nur
die sechs Octaedereckpunkte enthält und der Schnitt dieses Mittel-
raumes mit 2% ein Octaeder Oay2 ist. Dies ist aber nicht der
Fall. Obgleich der Mittelraum nur sechs Eckpunkte des Zi auf-

nimmt, ist der Schnitt doch em 2, .,, wie es die dualistische Um-

3)
kehrung des Satzes von $ 5 verlangt. Denn es wird dieser Schnitt
von den 12 senkrecht auf dem Schnittraume stehenden 12 Octae-
dern eingeschitten. Also finden wir:

„Es wird das Z** von jedem Mittelraume senkrecht auf einer

Zelldiagonale in ein &, V3 geschnitten’’.

„Bei allmählich weitergehender paralleler Verschiebung des Schnitt-
raumes werden erst die Octaederecken des By vom Wiirfel abge-

stumpft (Fig. 7), bis endlich ein Wiirfel W, zuriickbleibt. Wird
die Bewegung dann noch weiter fortgesetzt, so verringert sich die
Seitenlänge des Wiirfels bis Null”.

Wir bemerken, dass auch in Bezug auf Räume senkrecht zu
emer Zelldiagonale von einer Schichtung die Rede sein kann, wobei
sich 1, 8, 6, 8,1 der Punkte in den auffolgenden parallelen Schich-
ten lagern.

Bei schräger Projection der 18 Eckpunkte, welche sich in O und
in den Wiirfeleckpunkten projicierten, erhalten wir eine zweite pa-
rallel-perspectivische Abbildung (Fig. 8). Diese wird aus einem
Drahtmodelle des fy ys abgeleitet, indem man durch die Wiirfel-

eckpunkte P, Q, R, S, P,Q,R',S in diesen Punkten halbierte

VIERUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME 9

Strecken P; Py, Qi Q, Ri Ro, u s.w. gleicher Richtung und Linge
annimmt, durch © eine in diesem Punkt halbierte Strecke D D'
gleicher Richtung und doppelter Länge hindurchlegt und diese
Punkte nachher zur Bildung der 24 Octaeder in geeigneter Weise
unter einander verbindet. Es wird diese Verbindungsweise nachher
schärfer gekennzeichnet werden.

9. Berechnet man (Fig. 8) die Linge von OD, indem man D,D'
und den unendlich fernen Punkt von DD' als Pole von den drei
parallelen Räumen von § 4 betrachtet, so findet man OD —a. Es
sind demnach die Coordinaten der 24 Eckpunkte des Z% in Bezug
auf die Achsen OA,OB, OC,OD durch das Schema

(= a,0, 0.0), (0, Ea, 00), (0,0, + a, 0), (0, 0,0, + a),
(+ ba, t ha, tha, + ha)

gegeben. Daraus folgt der merkwiirdige Satz :

„Die 24 Eckpunkte des Z% zerfallen in die 8 Eckpunkte eines
Z16 und die 16 Eckpunkte eines 28”,

ay/2 a

Hieraus folgt unmittelbar die am Ende des § 8 nicht näher an-
gedeutete Verbindung. Offenbar hat man (Fig. 8) die Endpunkte
A, C irgend einer Kante des Z ye jedesmal mit den vier Eckpunk-
ten P, Ri Ro Py jener Seitenfläche des ZŸ zu vereinigen, auf welcher
die Kante AC im Mittelpunkte senkrecht steht.

Es hat das Z% zwölf Zelldiagonalen, welche sich zu drei recht-
winkligen Coordinatenachsensystemen anordnen. Denn, sobald man
eine Diagonale auserwählt hat, ist der senkrechte Mittelraum, wel-
cher die drei zugehörigen enthält, bestimmt. Deshalb findet man :

„Die Zerlegung des Z% in Z4 und Zi den Eckpunkten nach
kann in drei verschiedenen Weisen geschehen.”

Man liest diese dreifache Zerlegung leicht aus dem Bilde (Fig. 5)
ab. Offenbar giebt es drei Octupel («,@), (6, /),(¢7) von Eeken.
Jedes dieser Octupel enthält die Eckpunkte eines Z Pp jedes Paar
dieser Octupel enthält die Eckpunkte eines 7°. Wie man erblickt,
bestehen die 96 Kanten des Zit jedesmal aus den 32 Kanten des
ZS und die 8 X 8 Verbindungslinien von jedem der 8 Eckpunkte
des Zi mit den 8 Eckpunkten des angrenzenden Wiirfels von ZS.

Aus den gefundenen folgen weiter noch die Sätze:

„Den Eckpunkten nach ist das ZS eine Combination von zwei
ZE (Fig. 9). Es bilden die 2 X 24 Kanten des Zi , die 48

Diagonalen der Seitenflächen des Z A

10 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES

„Pen Eckpunkten nach ist das Z% eine Combination von drei

Z ee Es bilden die 3 X 24 Ren des Za die 24 X 3 Kür-

perdiagonalen der begrenzenden Octaeder des ze,

Der erste dieser beiden Sätze folet auch aus der ersten Arbeit
(I, $ 14); der zweite ist in derselben Weise aus der Bemerkung
abzuleiten, dass die 12 Zelldiagonalen des Z?* drei Systeme von
rechtwinkligen Coordinatenachsen bilden.

Aus der angegebenen Quelle (I, § 14) fliesst noch der neue Satz :

„Den Eckpunkten nach ist das Z2"*", welches im Raume mit 2*
Dimensionen das Mass bildet, eine Combination von 2" Zellen

EE

je

Natürlich stellen sich den angedeuteten Zerlegungen den Eck-
punkten nach Zerlegungen den begrenzenden Räumen nach zur Seite.
Mit Beachtung folgenden Schemas der

Za | Za | Za

Zelldiagonale. . . 2a ay 2 |2a
ee en erster Querlinie. a/3 | a ay/3
zweiter pet ap 204 ap O12 ay 6

dritter Ae 142] a2

findet man nach einander :

„Die 16 begrenzenden Tetraederräume des Zie zerfallen in die
2 X 8 begrenzenden Würfelräume von zwei Z : UG Ww’.

„Die 24 begrenzenden Octaederräume des zs zerfallen auf drei

See ane Weisen in die 16 Metiaclonrainte eines Z a und die

8 Würfelräume eines Z ye und auf eine einzige Weise in die 3 X
8 Würfelräume von drei Z ve Bei jeder der ersten Zerlegungen
bilden die 32 Seitenflächen des 73° und die 8 X 8 Schnittebenen
von jedem der 8 begrenzenden Würfelräume des Z a mit den 8 in
dem anliegenden Eckpunkte der 73° zusammenstossenden 8 Tetra-
derräume die Ebenen der 16 Seitenflächen des Z%. Und bei der
letzten Zerlegung bilden die 3 X 24 Seitenflächen der drei Z8 D
die 24 X 3 Schnittebenen der in den Eckpunkten zusammentreten-
den einander gegenüberliegenden Octaederräume”.

„Den begrenzenden Räumen 2—lster Dimension nach ist das

en = - + n+1
Z? eine Combination von 2"! Zellen 72°, , u.s.w.”
a a

Es bilden die Sätze dieser Zerlegungen in gewissem Sinne Er-

VIERUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 11

weiterungen des bekannten Satzes, nach welchem die Eckpnnkte
eines Würfels und die Seitenflächen eines Octaeders die Eckpunkte
und Seitenflächen von zwei Tetraedern sind (Fig. 1).*)

10. Zur Ableitung anderer Schnitte und Projectionen des Z% fas-
sen wir die gegenseitige Lage der bei den Zerlegungen gefundenen
Componenten etwas näher in’s Auge. Dabei bedienen wir uns der
Notation D, Qi”, Qo”, Qs” zur Andeutung von Diagonalen, ersten,
zweiten und dritten Querlinien des Zelles Zr.

Betrachten wir zuerst die Zerlegung des Z 8 in zwei Z Es (Fig. 9)
und legen wir zur Unterscheidung den 8 Eckpunkten der einen
Zit a? die Buchstabe p, denen des anderen die Buchstabe » bei, so

bestätigt man unmittelbar die in die Gleichungen
8 DS —= ADE 14,16, 12 Q,8 = 12 Q 16

niedergelegten Resultate, wobei nur auf Coincidenz der Geraden,
nicht auf ihre Länge geachtet wird. Dabei ergiebt sich, dass de
beiden Componenten 21° ye im ihren 12 Q, TR und die
4 D des einen die 4 Q; des anderen sind.

Zwischen den 8 D* und den vier Achsen des ZË besteht ein sehr
einfacher Verband. Es sind nl. alle spitzwinkligen Dreiecke n Op
(Fig. 9) gleichseitig. Also findet man:

„Es bilden die 8 D$ den vollständigen Durchschnitt von den vier
vierdimensionaten Kegeln, welche eine der Achsen des Z8 zur Achse
und 60° zum halben Scheitelwinkel haben”.

Bei den Zerlegungen des Z# beschränken wir uns auf diejenigen
in zwei Componenten. Unterscheiden wir dabei die Zerlegung nach
den begrenzenden Räumen mit kleinen Buchstaben, so gelten die
Gleichungen :

12 D?24 — 8 D8 + 4 Die — 12 ges 12 908
48.0,°=16Q@24- .... =16Q,1¢+

48 QE 16g EE == 16g)? + ...…. |”
12 Qt — 12 Q8 = 12 QU = 8 9316 + 49,8

*) Ich erinnere hier an den bekannten Satz, der aussagt, dass die 15 ersten Quer-
linien entweder eines regelmässigen Pentagondodekaeders oder eines regelmässigen
Ikosaeders fünf rechtwinklige Coordinatenachsensysteme bilden (F. KLEIN, Vorlesungen
über das Tkosaeder, Seiten 18, 19). Wie viele Sätze der nämlichen Art wird das wei-
tere Studium des vierdimensionalen Raumes uns wohl nicht bringen können?

12 REGELMÁSSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES

wobei nochmals hervorgehoben werden muss, dass nur auf Lage,
nicht auf Länge der Linien geachtet ist.

11. Wir kommen jetzt zu den Schnitten und Projectionen des
Z°% in Bezug auf Mittelräume senkrecht zu den ersten und zweiten
Querlinien. Teilweise werden diese mit Hilfe der gefundenen Zer-
legungen abgeleitet. In Uebereinstimmung mit den letzten Glei-

chungen ist nl. die erste Querlinie OP (Fig. 8) des Z*% auch eine
16

a/2
welche zusammen die Eckpunkte des Z%# liefern. Wirklich verbindet
sie die Mittelpunkte von den Kanten (P, Pj, P' Po) des Zi und
von den Seitenflächen (A BC, ABC!) des aN? wie man mittels

Vergleichung von Fig. 6 und Fig.8 leicht erblickt. Und vermöge der drei-
fachen Zerlegung des Z** gilt diese Behauptung für jede erste Quer-
linie des 2**. Also findet man die senkrechte Projection in der
Richtung der ersten Querlinie durch Combination*) der Projec-
tionen von Z° in der Richtung der ersten und vom 2 in der
Richtung der zweiten Querlinie. So findet man die Combination
eines regelmässigen sechsseitigen Prismas von der Seitenlänge }a/6
und der Höhe a (I, § 6) mit einer regelmässigen sechsseitigen Dop-
pelpyramide von der Seitenlänge 5ay/6 und der Höhe 2a (I, § 14,
dritter Satz). Wei! O der gemeinschaftliche Mittelpunkt, OD die
gemeinschaftliche Achsenrichtung der beiden sechsseitigen Gebilde
ist, wird die gegenseitige Lage der beiden Körper (Fig. 10) leicht
erkannt. Dabei ist nicht zu übersehen, dass der verfolgte Weg in
erster Instanz nur zur Kenntnis der Eekpunkte, jedenfalls nicht
zur Kenntnis der Seitenflächen des Projectionskörpers führt und
dieser Uebelstand unter mehr dadurch beseitigt werden kann, dass
man die 96 Kanten abzählt. Nun sind die 24 Eckpunkte aus den
8 Eckpunkten a, ag,..ag 2.2 der Doppelpyramide, den 12 Eck-
punkten bj, ba, .. bos 12... cq und den doppelt zu zählenden Mittel-
punkten 27, M” der Grundebenen des Prismas aufgebaut und kom-
men neben den 32 Kanten der Projection des Z8 (d.h. die 18
Kanten, die 2 X 6 Radien der Grundebenen und die doppelt zu
zählende Achse MM' des Prismas) auch die Verbindungslinien zb;
zbg,.«.2bg, und z'er, 2'e,...2ç unter den Projectionen der 96 Kan-
ten vor. Deshalb findet man leicht, dass der Projectionskörper ein

erste Querlinie eines ZË und eine zweite Querlinie eines Z

*) Das hier angegebene Verfahren hätten wir auch in der vorhergehenden Arbeit
benutzen können. Abgesehen von der Thatsache, dass die Zerlegungen uns damals
noch unbekannt waren, wird man bald einsehen, dass diese Methode in ihre Anwen-
dung auf Z8 und 716 nicht einfach ist.

VLERUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 13

von zwei sechsseitigen Pyramiden gedecktes sechsseitiges Prisma ist,
also in Projection 20 Eckpunkte des Z% an der Oberfläche, vier
(zwei doppelt zu zählende) im Innern des Projectionskörpers liegen.
Und indem sich sechs der 24 Octaeder in den Seitenflächen des
Prismas projicieren, zeigen die Fig. 11%, 11%, 11° eine der beiden
Verteilungen des Projectionskörpers in 3 X 3 Octaeder.

Bestimmen wir die Polarfigur des erhaltenen Körpers in Bezug
auf die Hypersphere mit dem Radius }at’8, so finden wir den
Schnitt des Z** mit dem Mittelraume senkrecht zu einer zweiten
Querlinie. Weil der ursprüngliche Körper (Fig. 10) 18 Seitenflächen
und 14 Eckpunkte hat, zählt die Polarfigur 18 Eckpunkte und 14
Seitenflächen; sie ist (Fig. 12) eme auf beiden Seiten abgestumpfte
Doppelpyramide mit der Höhe ay/2 und den Radien $a und a von
Grundebenen und Symmetrieebene.

Ill. ANWENDUNG VON TRANSFORMATION DER COORDINATEN.

12. Die Transformation 2) der vorhergehenden Arbeit (I, § 10)
führt vom Systeme von vier Zelldiagonalen des Z8 zum Systeme

von vier ersten Querlinien von Z§ und hat also für Z% die nän-
liche Bedeutung. Wendet man sie auf die Polarfigur des Z*4 an,
so führt sie vom Systeme von vier dritten Querlinien von Z2% zum
Systeme von vier zweiten Querlinien des Z*%. Deshalb wenden wir

es auf das Schema des $ 6 an, um die Coordinaten der 24 Eck-
punkte in Bezug auf dieses neue System zu erhalten. Wir finden

in der nämlichen Reihenfolge in + a6 als Einheit

ee he B) ee CEE RE dee ne a)
D es ae = ee PN
= ENS 1 Ol Se lo, 2
De: ae eee DNO ln RD 10
9 Oban > 1 eal D Oa © A
Et, pS Ott, oe Qe Go so lk:
ine dan EN ea ON he deal

14 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES

und projicieren diese 24 Punkte in die Richtung der Achse z, auf
den Raum 74, 2, 2;. Zur Bestimmung der gegenseitigen Lage der
Projectionen geben wir erst in der Ebene ZZ, (Fig. 13) die Coor-
dinaten 2, und z, der Punkte an, indem z3 als cotierte Coordinate
hinzugefiigt wird. Daraus leiten wir ab, dass die 24 Punkte gela-
gert sind in den fünf Ebenen, für welche zg nach einander die
Werte = — 2, — 1, 0, 1, 2 hat, und diese Ebenen (Fig. 14) respec-
tive 3, 6, 6, 6, 3 der Punkte enthalten. Schneidet man die fiinf
von diesen Punktgruppen eingeschlossenen Gebilde ‘zwei gleichschen-
kelige Dreiecke, zwei gleichschenkelige Trapezia und ein Sechseck)
von Pappendeckel aus und steekt man sie in der richtigen Weise
mit ihren auf der z, Achse legenden Punkten an eine Stricknadel,
so erblickt man bald, dass die 24 Punkte sich auf einfachere Weise
in drei parallelen Ebenen lagern, die respective 6, 12, 6 Punkte
aufnehmen. Hierauf beziehen sich die Andeutungen

(abedef), (abadeaf): (dale Code eo fo), (pgrstu)

in der räumlichen Projection und in einem neuen Grundrisse (Fig.
15). Jedes dieser vier Gebilde ist ein regelmässiges Sechseck; das
erste, zweite und dritte sind einanders senkrechte Projectionen in
der Richtung der gemeinschaftlichen Perpendikeln der drei Ebenen.
Das vierte liegt in der Mittelebene und hat in Bezug auf das erste
eine sehr einfache Lage. Löst man (pqrstu) den Eckpunkten nach
in zwei gleichseitige Dreiecke auf, so ist (abcdef) der gemein-
schaftliche Teil dieser Dreiecke. So findet man die Gestalt des
Projectionskörpers (Fig. 16), welcher von 26 Ebenen begrenzt wird
und 18 Eckpunkte hat. Es ist die Seitenlänge der drei gleichen
Sechsecke +ay/3, jene des grösseren a und die ganze Höhe ay/2*).

Ist das gefundene Resultat richtig, dann muss der Körper auch
die 24 octaederförmigen Gebilde liefern können. Weil er zwei von
Dreiecken verschiedenen Seitenflächen hat, nl. die parallelen Grund-
ebenen, muss er sich auf zwei verschiedene Weisen in elf solche
Teile zerstiicken lassen. Eine von diesen zeigt Fig. 17, die andere
Fig. 18. Es deuten in den beiden Figuren die kleineren Sechsecke die
Grundebenen, das grössere Sechseck den Mittelschnitt an und nun

*) Wird der Projectionskorper cotiert, so findet man:
0 bei p,giri sl 1 bei ace, do, Ca, Co, 2 bei 4, df,

— 1 bei 4, df, 62, do, fo, — 2 bei a, c,e.

2 a)

VIERUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 15

zählt man z. B. in Fig. 17 unmittelbar die 11 Octaeder ab, nl.:

(afi, eac), (defin tes), (Amo, pau), brad reg),
(bz dy fo, eae), (dy eg fo, tes), (fraaboy pau), (bcs dy, reg),
109, acgp), (did, cesr), (fifa eaut).

Bestimmen wir wieder die Polarfigur des erhaltenen Kérpers in
Bezug auf die Hypersphere mit dem Radius ja?8, so finden wir
den Schnitt des Z% mit dem Mittelraume senkrecht zu einer ersten
Querlinie. So erhält man einen Körper (Fig. 19), welcher 26 Eck-
punkte und 18 Seitenflächen hat. Man findet aa = bb; =...= 3a,
Pry. dea ad = be = ef = fay 6, ze — da,

Fig.

Fig.

Fig.

Fig.

ERKLARUNG DER TAFEL.

1. Der Würfel (schwarz) als Projection des Sechszehnzelles auf den
Raum entweder des Tetraeders PQRS (rot) oder des Tetraeders
PQR'S' (blau). Zerlegung des Würfels (P P') den Eckpunkten
nach und des Octaeders (A BC, A'B'C') den Seitenflächen nach in
zwei Tetraeder.

2, Die Combination von Würfel und Octaeder in Gleichgewicht
(blau) als Projection des Vierundzwanzigzelles auf den Raum einer
der begrenzenden Octaeder (rot) und als Schnitt des Vierundzwanzig-
zelles mit dem parallelen Mittelraume. Zergliederung der genannten
Combination in neun Octaeder.

. 3. Berechnung der Liingen in der vierten Dimension mittels der

körperlichen Projection.

. 4 Umbildung des in Fig. 2 gegebenen Schnittes bei paralleler

Verschiebung des Schnittraumes.

. 5. Parallel-perspectivisches Bild des Vierundzwanzigzelles mittels

schiefer Projection auf den die Combination von Würfel und Octae-
der (blau) enthaltenden Mittelraum. Abbildung der übrigen Kan-
ten (rot).

6. Das Rhombendodekaeder (blau) als senkrechte Projection des
Vierundzwanzigzelles in der Richtung einer Zelldiagonale und als
Schnitt mit dem Mittelraume senkrecht auf einer Zelldiagonale. Bei
der Projection treten die Eckpunkte des Würfels (rot) urd der Mit-
telpunkt zweimal auf. Zergliederung des Rhombendodekaeders in
sechs Octaeder.

7. Umbildung des in Fig. 6 gegebenen Schnittes bei paralleler
Verschiebuug des Schnittraumes. Es werden die Octaederecken (rot)
des Körpers (blau) vom Wiirfel abgestumpft.

Fig.

REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES U.S.W. vy

8. Parallel-perspectivisches Bild des Vierundzwanzigzelles mittels
schiefer Projection auf den Schnittraum der Fig. 6. Der Wiirfel
wird zum Achtzelle (rot). Eins der begrenzenden Octaeder (blau)
ist angegeben.

. 9. Das Achtzell (schwarz) mit seinen acht Zelldiagonalen, welche

zwei Systeme (das rote und das blaue) yon rechtwinkligen Achsen
bilden. Zerlegung des Achtzelles den Eckpunkten nach in zwei Sechs-
zehnzelle (rot und blau).

. 10. Das von zwei sechsseitigen Pyramiden abgeschlossene sechssei-

tige Prisma (blau) als senkrechte Projection des Vierundzwanzigzelles
in der Richtung einer ersten Querlinie. Die Eckpunkte werden ge-
liefert vom durch Grundebenen abgeschlossenen Prisma mit den
doppeltzählenden Mittelpunkten der Grundebenen und einer Doppel-
pyramide (rot).

. 11. Zereliederune des Projectionskörpers von Fig. 10 in neun
D el J oO

Octaeder, von denen das obere (Fig. 114), mittlere (Fig. 11%) und
untere (Fig. llc) Stück je drei enthalten

. 12. Die abgestumpfte Doppelpyramide als Schnitt des Vierundzwan-

zigzelles mit dem Mittelraume senkrecht auf einer zweiten Querlinie.

. 13. Grundriss eines neuen Projectionskôrpers, welchen man bei

Projection in der Richtung einer zweiten Querlinie erhält..

. 14. Räumliche Lage der 24 Eckpunkte des neuen Projectionskör-

pers von Fig. 13 in fünf parallelen Ebenen.

. 15. Andere Anordnung dieser Pankte als Eckpunkte von vier Sechs-

ecken (drei rote und ein blaues).

- 16. Die in den Fig. 13, 14, 15 erzielte Projection des Vierund-

zwanzigzelles in der Richtung einer zweiten Querlinie (blau). Auf
der Oberfläche des inneren Prismas (rot) liegen 18 der 24 Eckpunkte.

. 17 und 18. Zergliederung des Projectionskörpers von Fig. 16 auf

zwei verschiedene Weisen in elf Octaeder.

. 19. Schnitt des Vierundzwanzigzelles mit dem Mittelraume senkrecht

auf einer ersten Querlinie.

77)

Ss

oe 7 EE
Ass EL
LEE LS AREN 5

Sectie) JIE

iS

(2

NE

11:

Le R
oer.
eg
= a en Bekele
TERD ee

ii

sets el i

607
.V472

+1

Deel 2:3 OVER DE

TOEPASSING DER QUATERNIONEN

> OP DE

MECHANICA EN DE NATUURKUNDE

DOOR

EE MOLEENBROEMK.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)

DEEL II. No. 3.

INNS ele ts

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1893.

OVER DE

TOEPASSING DER QUATERNIONEN

OP DE

MECHANICA EN DE NATUURKUNDE

DOOR

FE MOLEENBKROBEK.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)

DEEL IL. No. 5.

NEL

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1892,

OVER DE

TOEPASSING DER QUATERNIONEN

OP DE

MECHANICA EN DE NATUURKUNDE

DOOR

P. MOLENBROEK.

OP nnn

1. De operator 7 komt in de toepassingen, door HAMILTON van
zijne theorie der quaternionen gemaakt, slechts enkele malen voor.
Wel vestigde hij in zijne „Lectures on Quaternions” ($ 620) bij-
zonder de aandacht op dit symbool met het oog op de bruikbaarheid
bij natuurkundige toepassingen, maar een uitwerking van dit denk-
beeld heeft hij niet in het licht gegeven. Toch schijnt dit zijn
voornemen geweest te zijn; althans in de bekende verhandeling van
Tait „On Green's and other allied theorems” (Trans. of the R. Soc.
of Ed. Vol. 26, 1870) zegt de schrijver: „In one of the last letters
I received from him (HAMILTON), he said, that he intended to con-
clude the final chapter of his ,Elements”, which is devoted to
physical applications, by some sections on the operator mentioned
above”.

Vooral door Tair is uitvoeriger de beteekenis van dien operator
uiteengezet in eenige verhandelingen en in zijn bekend werk „An
elementary treatise on quaternions”, waar dit over de leer van de
elasticiteit, de potentiaal en de electriciteit handelt. Er zijn daarbij
twee gevallen te onderscheiden, naarmate V aan een scalaire functie
f van een vector @, of aan een vectorfunctie o van g werkt. In
het eerste geval hebben Vf en v?f, in het laatste SYc en V yo
eene eigenaardige beteekenis, die bij vraagstukken op het gebied,
dat wij zooeven omschreven, duidelijk aan het licht treedt. Tot
heden zijn dan ook steeds de genoemde theorieën aan de hand dier
symbolen ontwikkell: zoo b.v. in Hicks’ „Quaternioninvestigations on

Dm:
Verhand, Kon, Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. IL,

4 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

strains and fluid motion” (Quarterly Journal Vol. 14 p. 271, 1877).
Toch doet zich daarbij het belangrijk bezwaar gelden, dat in de
quaternionentheorie geen methoden bekend zijn, die bij transformaties
van dien operator 7 dienst kunnen doen, zoodat men dan ook,
als een dergelijke transformatie vereischt wordt, steeds tot een over-
gang tot Cartesische coördinaten zijne toevlucht nemen moet. Tarr
zelf drukt dit gevoelen uit, waar hij in de genoemde verhandeling
zegt, dat zijne methode weinig „direct” is. Dientengevolge is de
vorm, waarin hij de vraagstukken over de hydrodynamica behandelt,
gelijk aan die in de gewone rekenwijze, zoodanig zelfs, dat de be-
weging van een vloeistof bij aanname van een snelheidspotentiaal
volgens de beide methoden behandeld eenvoudig niet het geringste
verschil vertoont. Het behoeft wel geen betoog, dat daardoor aan
de invoering van quaternionen in zoodanige gevallen nagenoeg geen
voordeelen verbonden zijn.

Sedert langeren tijd heeft zich de overtuiging bij mij gevestigd,
dat de toepassing van HaMILTON's methode op de mechanica en de
natuurkunde op geheel andere wijze moet plaats hebben, dan tot
heden geschied is, hetgeen ik in deze verhandeling wensch aan te
toonen. Het zal daarbij blijken, dat wij den operator y slechts
in het eenvoudige geval te beschouwen hebben, waarin hij aan een
scalaire functie van g werkt, waarbij dan het resultaat der operatie
ook onmiddellijk, zooals bekend is, door een gewone quaterniondif-
ferentiatie te voorschijn treedt. Het zwaartepunt der verdere be-
schouwingen ligt in de toepassing der lineaire vectorfunctie, die
door HAMILTON blijkens de uitvoerigheid, waarmede hij hare eigen-
schappen ontwikkeld heeft, zonder twijfel als het meest belangrijke
symbool zijner theorie herkend is.

Een overgang tot Cartesische coördinaten is bij geen der menig vul-
dig voorkomende transformaties wenschelijk gebleken. Ik aarzel dan
ook niet, den in het volgende afgeleiden vorm der behandelde vraag-
stukken in tegenstelling met dien, welken men bij FAIT vindt, met
den naam van den waren quaternionvorm te bestempelen. De ver-
rassende eenvoudigheid der verkregene vergelijkingen opent het uit-
zicht eenige tot heden onopgeloste vraagstukken van een geheel
nieuw standpunt uit aan te vatten. Voor de theorie der vloeistof-
stralen heeft deze beschouwingswijze mij tot een, naar ik meen,
nieuw theorema gevoerd.

2. Aangezien de theorie der quaternionen tot heden nog betrek-
kelijk weinig beoefend wordt, zullen wij de grondslagen voor de
navolgende beschouwingen hier zooveel mogelijk in herinnering
brengen. Daarbij zal ik menigmaal naar de speciale werken op dit

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 5

gebied moeten verwijzen, waartoe ik gekozen heb: Tart, „An ele-
mentary treatise on quaternions” en mijne , Theorie der Quaternionen.”

Wanneer men den vector g van een willekeurig punt in de ruimte
volgens drie vaste vectoren «, (2,7 ontbindt, verkrijgt men

ORE TO RETENUS. LT (1)

en door operatie met S. Sy, S.ya, S.af? ontstaat hieruit achtereen-
volgens
„—_SÔre _ Syag BONE
— Safy’ ai Safy' — Sapy’

waardoor uit (1) de fundamenteele betrekking verkregen wordt

eSafy=aSPhye+PSyagt+ySafho . . . (1)
Stelt men nu ter bekorting

VB y m4 Vy a a Vap je
TR

dan gaan deze betrekkingen over in

ESSAYS ASA à ae var ve (3)
derhalve

e=aSsaotf?SazotySae ..... (4)

Men kan g echter ook ontbinden volgens de drie vectoren Vy,
Vya, Va/?, die op de vlakken door &,/7,y twee aan twee gebracht,
loodrecht staan en verkrijgt dan

o=uVÉy+vVyatuwVaf,
waaruit door operatie met S.a, 8.2, S.y achtereenvolgens ontstaat

Sag SPQ Sy
Winn U , — ’
Sapy Sa Py be Safy

welke vergelükingen met de vorige weder de belangrijke formule
opleveren

eSafly=ViySagtVyasfig Val Syo + 124)

en in verband met (2) verkrijgt men tevens

e= sagt Se +aSyo ....., (5)

6 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

Een willekeurige functie van +, y, z, die wij door £ aanduiden,
gaat door de betrekkingen (3) over in

F(Saig, Sao, Sas),

hetgeen HAMILTON een scalaire functie van den vector g van een

punt genoemd heeft, waarvoor wij in het volgende kortheidshalve
Fo zullen schrijven.

Duidt men de partieele differentiaalquotienten van de functie Fe
naar de argumenten Sao, Sap, Sa3Q door Fi, Fy, F3 aan, dan le-
vert een differentiatie van die functie

dF = F, Sa,de + Fy Sagde + F3 Sazdo
== Sydo,

waarin » geschreven is in de beteekenis
vy = 0 + ay fy + ats Fa.

Vormt men nu eveneens het differentiaal dy, waarbij algemeen
door Zij het tweede partieele differentiaalquotient van Fg naar de
beide argumenten Sa@;o, Saxe worde voorgesteld, dan ontstaat

dv =S (a, Py, + colo + ea Pis)do + GyS (4) Fig + Glog + a3 Fos) de +
Jaz S(a Fig + da Fos + ag F3s) do.
Deze uitdrukking kan verkort geschreven worden in den vorm
dy = ¢ de = & Sv, do + a,Srvgdg+a,Syv3dg + . (6)

Zij is een lineaire vectorfunctie van dg, door HAMILTON in $$
346—365 van zijne „Elements of quaternions” beschouwd en wel
verschijnt deze hier in den drietermigen grondvorm !).

3. Het is bekend, dat de lineaire vectorfunctie we gedefinieerd
kan worden door de fundamenteele eigenschap, die in de volgende
vergelijking opgesloten ligt,

wet wo= wle 0).

Zij sluit tevens de betrekking in

weg) =rwe,

1) Vergelijk Tarr, Chapt. V $ 160; MoreNBrork, Sechster Abschn. $ 158.

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 7

als x een willekeurig scalair getal voorstelt. Hieruit kan nu onmid-
dellijk de drietermige grondvorm voor die functie worden afgeleid.
Immers met het oog op (4) heeft men

wo = wle Sao + Sazg + ySezg)

—wa.Saregdwf.Sagg wy. Sag;
of, als men

Wa— Yu WÔ=Yn WY=Ys + + + + + (1)
stelt, dan is
wo=yiSaredyeSazetysSaze. + + . + (8)

Bij elke lineaire vectortunctie wg behoort een verwante functie
we, die gedefinieerd kan worden door de betrekking

SRO SOON Fel Le We 9)
voor alle waarden der vectoren g en o geldende. Uit (5) volgt dan
we=arSawe + a SFW + az Syw'o

ae = A Sowa + a,Sow/? + a Sowy
YO = a 8710 + &Sy,0+aSygg + + + « (10)

zoodat w'o eenvoudig uit we ontstaat, door daarin de grootheden
a en y met elkander te verwisselen.

Blijft daarbij de functie onveranderd, dan noemt HAMILTON haar
zelfverwant.

De som wo + w'e of kortheidshalve (y + w')g is natuurlijk steeds
eene zelfverwante functie, die wij door 2wgg voorstellen, dus

HO WO == ONY, 0 Re Ces ce CLÉ)
Maar uit de vergelijking (8) volet
Sqwo=Sowg of So(w—w)e = 0,

d.i. (y—w')g is een vector, die loodrecht staat op ©. Is nu Ô een
willekeurige vector, dan is Vdg een vector loodrecht op het vlak
van Òen g en men kan dus stellen

WO tO VIOE LE + à « (12)
Uit deze vergelijking en (10) volgen nu de belangrijke betrek-
kingen 1)

1) Verg. Tarr, § 174; MoreENBROEK, § 161.

8 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

we= woedt Vòe |

(13
we= woe Vode |

Den hier ingevoerden vector 0 zullen wij in het vervolg den rota-
tievector van de functie wp noemen. Het is gemakkelijk dezen in
de grootheden « en y uittedrukken, want volgens (11) in verband
met (8) en (10) is

2V00 = (yiSaie — a8 710) + (728. aag — 42 Sag) + (y3S 430 — a3 S 30)
= V. eV (a 71 + aya + &3 7s) 1)

derhalve
Ô—E V(yici+yotetyaus) - + - « « (14)

een betrekking, die ten gevolge van (7) en (2) ook aldus kan ge-
schreven worden

20SaBy=V(waVPy+twP.Vyat wyVafp) . (L4*)

De voorwaarde, waaraan voldaan moet worden, opdat de functie
y zelfverwant is, kan natuurlijk ook in dezen vorm uitgesproken
worden, dat zij geen rotatievector 0 bevat.

De merkwaardigste eigenschap van de lineaire vectorfunctie is
ongetwijfeld, dat zij steeds aan een symbolische cubische vergelijking
voldoet. Het zou te ver voeren bij de afleiding dezer vergelijking
hier stil te staan.?) Wij zullen deze vergelijking in het vervolg
voor de functie w steeds in den vorm aanwenden

uwe wig wig=l,

waarin w°g voor w(we) staat, terwijl x, zj, zo getallen zijn, die op
eenvoudige wijze met de functie w samenhangen, namelijk in het
algemeen

Abed S.w aw hw! u

S.zkhyu
„Sw AE tT Ay eye + ep ey) (15)
a S.zhu ;
eye + we) + ale)
a S.xlu

1) Tarr, § 90; MorrNBrork, § 87, vergelijking (e. 40).
?) Men zie Tarr, $ 145 en vlg; MoLENBRoEK, § 143 en vlg.

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 9

z, 4, uw, zijn hierin drie willekeurige vectoren. Wanneer men voor
yw den drietermigen grondvorm aanneemt, dan is !)

BS Gs A3 8737211
am = — S(Vazaz Vyays + Vaz a, Vysyi + V a) 9 ee 2 (26)
ty = S(u yi + aya + 3 73)

zoodat deze drie grootheden voor de functie w en hare verwante
dezelfde waarde hebben; men mag derhalve ook in (15) de functie
w' overal door w vervangen. In het volgende zullen wij #, 2, #2
de invarianten der lineaire vectorfunctie noemen.

4. Wij zetten nu de beschouwingen van $ 2 voort. Daarin
werd gevonden, dat dy een lineaire vectorfunctie van dg is; het
blijkt nu gemakkelijk, dat deze onveranderd blijft, als men de groot-
heden « en v (vergelijking (6)) verwisselt, zoodat dy steeds zelf-
verwant is. Daarbij was ondersteld

vj = En + Fe + als, Vo = Fig + oF oq + @3Fs, enz.

Een nieuwe differentiatie doet nu onmiddellijk inzien, dat dvi,
dvs, dv; ook zelfverwante lineaire vectorfuncties van dg zijn zullen.

Een vector o, volgens drie vaste vectoren «1, «3, «3 in de ruimte
ontbonden, levert

G= U + Ugg + Us A3;

waarin wj, us, uz drie scalaire grootheden zijn. Hangt o nu op een of met
andere wijze met @ samen, dan openbaart zich dit hierin, dat 1, ua, ug
scalaire functies van © zijn, die wij door F'o, F"@, Fo aanduiden.
De uitdrukking

6 = a F'o+aF"e+asF"e

is dan de meest algemeene uitdrukking voor een vectorfunctie van g.
Het differentiaal do verkrijgt volgens $ 2 den vorm

do = «1 Sv de +aySv'doda3Sv"'de . . . (17)

het is dus een lineaire vectorfunctie dg, die nu echter in het alge-
meen niet zelfverwant zijn zal en dus tot den vorm (13) herleid zal
kunnen worden

de = y dg = yw, do + Vodg,

1) Verg. Tarr, $ 160; MoLENBROEK, Zusätze zur Theorie d. Q, blz. 7,

10 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

waarin Ò de waarde heeft
0 = 4V(a,7' + anv" + av").

Voor het volgende is het nu noodig nog eenige oogenblikken bij
het differentiaal dò stil te staan. Het zal namelijk blijken, dat,
indien o een volkomen willekeurige veetorfunetie van @ is, 0 toch
aan een bepaalde voorwaarde voldoen moet, die wij aldus opsporen.
Men stelle

dy = mdr dr = 7,06; dv!" SA

dan zijn volgens het begin dezer § 71, 72, v3 zelfverwante lineaire vector-
functies. Aangezien Ò een vectorfunctie van g is, zoo zal dd een
niet-zelfverwante lineaire vectorfunctie van dg zijn, die wij door
xde voorstellen, zoodat de betrekking geldt

20 = 2 y do = V (ay x'dQ + ay "dy Has x" do).

Bepaalt men nu voor de functie 7 met behulp van een der for-
mules (15), nadat daarin de verwante functie door de oorspronke-
lijke vervangen is, de invariant 2, aldus

tq Son Oy Gs = S (hy Os ZA + A3 a) Zg + Ai Go 743)

dan vindt men

Ba — 0:
Deze is de bovengenoemde voorwaarde, waaraan de rotatievector
Ò van een lineaire vectorfunctie van do, uit elke willekeurige vec-
torfunctie afgeleid, voldoen moet.

Wanneer in elk punt der ruimte voor een lineaire vectorfunctie
de invariant +, verdwijnt, dan kan daaruit nog een besluit getrok-
ken worden, dat ons later ten nutte komen zal. Zij namelijk die
lineaire vectorfunctie ondersteld in den vorm (17) gegeven te zijn,
dan is

tt = Sla + av" + a3v").

Bijaldien nu deze grootheid overal verdwijnt, dan volgt door
differentiatie met de hierboven toegepaste schrijfwijze voor dr’,
dv', dv"

S (ian + 7% + A33) do — 0.

Daar deze betrekking voor elke waarde van dg gelden moet, zoo
besluit men hieruit, dat ook in elk punt der ruimte de vergelijking

Liar + Yo Go + 7303 — 0
geldig zijn zal.

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. AS

Wij zullen nu het eerst nagaan, welken vorm eenige bekende
stellingen uit de potentiaaltheorie aannemen. Voor de afleiding van
al het navolgende blijkt een overgang tot Cartesische coördinaten
steeds onnoodig.

THEORIE VAN DE POTENTIAAL.

5. Zij o de vektor van een punt, waar een volume-element dv
van een massa met dichtheid m zich bevindt. De potentiaal in het
punt @ is dan

De verandering van deze, als men naar het zeer nabijgelegen punt
at
orde overgaat, 1s )

d = S ( En d
Xv 1 dd oO LU 5

zoodat de uitdrukking voor de kracht in het punt g wordt

Ex Ë m dv
= ee

Hieruit verkrijgt men nu de zelfverwante lineaire vectorfunctie

ae Sy dg S(g—o) do
dt =.9,,d0 = ee (oo) | maw.

Wanneer men daarvoor de invariant zz bepaalt volgens (2), vindt

men
Tg — 0,

zijnde de ware quaternionvorm van de vergelijking van LAPLACE.

Om de vergelijking van Porsson af te leiden, volgen wij een
door DIRICHLET aangegeven methode. Denken wij om het punt 00,
binnen de massa gelegen, een bolletje beschreven en berekenen wij
de waarde van x, in een daarbinnen gelegen punt @, welke het
gevolg is van de werking der massa binnen dat boloppervlak gele-
gen. De kracht in het punt o, welke eenvoudig gelijk is aan de
werking van de massa binnen het boloppervlak met den straal
T(@— @) beschreven, wordt dan

1) Tart, § 133; MoLENBROEK, § 118, vergelijking (e. 22).

e
12 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

4
AES D (9—0) ;

derhalve

+
OH 0 = et 80;

zoodat nu de berekening van zz voor de functie g, levert
ter Emi at SS ik a Pa SE)

de vergelijking van Porsson.

Wij hebben hierdoor tevens een zeer merkwaardigen vorm gevon-
den voor een partieele differentiaalvergelijking van de tweede orde.
Dit onderwerp is in mijne „Anwendung der Quaternionen auf die
Geometrie,” welke weldra het licht zien zal, meer uitvoerig be-
schouwd, alwaar dan ook eenige algemeene integratiemethoden voor
zoodanige vergelijkingen aangegeven zijn.

6. In verband met het voorgaande verkrijgt nu ook het theo-
rema van GREEN een eigenaardigen vorm. Stellen wij door Fg en
fo twee scalaire functies van g voor, zoodanig dat

dF = SK do, "df = Sd
== Pio, de =p do;

terwijl X, en zj de bekende grootheden voor de functies P en p
zijn mogen.

Wanneer nu verder de, dos, dos drie oneindig kleine vectoren
voorstellen, die een volume-element

dv = S de; do, dos

bepalen, en wij deze in het vervolg steeds zoodanig geconstrueerd
denken, dat de draaiing van dez naar des van dy, uitgezien, tegen-
gesteld is aan de beweging der wijzers van een uurwerk, terwijl
hetzelfde bij een cyclische verwisseling van de), des, des geldig blijft,
dan is volgens (1*)

SKz S dor dog do ze
= S. K (dg, Sdog dos x + dos S dos do, # + dos S dor ds #).

Duidt men door d,/ de verandering van F aan, als @ in e+d@
overgaat, dan geldt voor den term SK do; Sdgsdgzx van het tweede
lid der vorige vergelijking

S Kdo, S dog dos # = dj [FS deg dez x] — FS dos dos p der.

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE, 13

Wanneer dus de drievoudige integraal

(sere

wordt uitgestrekt over een begrensde ruimte, die door drie stelsels
van evenwijdige platte vlakken in kleine parallelepipeda verdeeld
wordt, welker ribben evenwijdig aan de, des, dos zijn, dan is een

deel ervan
JSK Sade: = [fr sa agr — ff frs ae des P do,
waar
FS dog dos),
a

aangeeft het verschil der waarden van FS do, dg3% in de punten,
waar een prisma, op een vlakje dos, dy; met opstaande ribben
evenwijdig aan dg, geconstrueerd, het grensoppervlak der beschouwde
ruimte snijdt en de dubbele integratie over alle zoodanige prisma’s
moet worden uitgestrekt. Derhalve wordt

DIE Ka dv =| | rsx tas doz + doz de, + de, deg)
= {J | P'S (doo des p de, + des der pdea + der dea p dys).
Is nu » de normaal tot het oppervlak naar buiten getrokken,
dan is
V (de: dos + dos den + des dee) =
= UV (dog — des) (des — der) 1 V (des — des) (dez — dei)
== Uy do,

waarin do het element van het oppervlak voorstelt door een der
prisma’s uitgesneden t). Derhalve wordt het theorema van GREEN
in algemeenen vorm

[sara frs Ov do — | [res dv . 0010)

1) Tarr, 96; MOLENBROEK, $ 86, formule (c. 33),

14 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

Voor één enkele functie f luidt het

Au (frs veu fre

Uitbreidingen van het theorema zijn in de theorie der quaternio-
nen mogelijk. Wanneer ramelijk # niet van een scalaire functie
is afgeleid, dan blijft toch dx een lineaire vectorfunctie van dg, al
is deze dan niet zelfverwant. De vergelijking (19) zal dus ook in
dit geval onveranderd geldig blijven.

Wanneer verder weder Fie, Foo, #30 scalaire functies van @ voor-
stellen, dan zal

N=a fi Hal, + 43 hs

een op bepaalde wijze in de ruimte verdeelde vectorgrootheid zijn.
Is nu

a, SK; de + a S Ko do + «38 Kz do = yw dg,

dan kan men eerst de vergelijking (19) op elk der grootheden X,
Ks, Ks afzonderlijk toepassen. Vermenigvuldigt men daarna de aldus
verkregen vergelijkingen achtereenvolgens met &1, &, «3 en telt de
producten samen, dan ontstaat het theorema

ff wzce = [fav s eur ao —f fr vas 0)

Het is natuurlijk ook gemakkelijk deze stelling direct te bewijzen.

Met het oog op de hydrodynamica is het wenschelijk hier eenige
beschouwingen omtrent de elasticiteitstheorie op te nemen. Ten
deele is deze theorie reeds door Tair en andere schrijvers in den
hier aangegeven vorm behandeld.

ELASTICITEITSTHEORIE.

7. Denkt men zich om het punt @ van een lichaam met een
zeer kleinen straal 7 een bolletje beschreven, terwijl g+ do de vek-
tor van een punt van het oppervlak is, dan bestaat de betrekking

dg = —r° RP (2)

Nu moge het lichaam, waarvan dit bolletje deel uitmaakt, een
verplaatsing met vervorming ondergaan, waardoor @ overgaat in o
en @+ dy in 6 + do. Algemeen zij gesteld

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE, 15

6 = & Fie + ae Fog + ag Pao
en dus
do = xdy = ui Sy, dg + aS vo dg + az Svz dg.

Hieruit volgt dan 4)
Ge OO te Nes ie Re Cie) ete)

en de vergelijking (21) geeft
(4 dop? = — r?

of, als de tot ~~! verwante functie door (x-!)' aangeduid wordt,
volgens (9)
S. do(z 1) 7-1 do = — r?.

De functie (7-1) 7-1, waarvoor wij kortheidshalve w schrijven,
is steeds zelfverwant. Er blijkt dus, dat punten van het lichaam,
die oorspronkelijk op een boloppervlak gelegen waren, na de ver-
plaatsing een ellipsoïde vormen *). De assen van deze ellipsoïde

SAW Sr re ees)

vallen in de richtingen der eenheidsvektoren 4, 49, «3, welke aan
de vergelijking
Vowg=0

voldoen®). Zijn me, mg, mz de wortels der symbolische cubische
vergelijking voor de functie w

ruwt — y —0,

dan voldoen dus #1, 2, «3 aan de betrekkingen

wu =(4 zt =m
Ylg= (1) 4 le = mytg |. « « . « (24)
Wez = (XX les = mg bg

De richtingen vj, ts, t3 vielen voor de vervorming blijkens (22)
met

VTE A KO be

samen, waaruit volgt, dat zij ook voor de vervorming onderling lood-

!) Tarr, § 139; MoLENBROEK, $ 137.

*) Zie Tarr, §§ 248—252, MOLENBROEK, Anwendung der Q. auf die Geom. § 48,
en vlg.

5) Tarr, § 165 en vlg.; MOLENBROEK, $ 155 en vlg.; ook Anw. d. Q. ad. G. § 58,

O°)

16 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

recht waren. Wij hebben hier namelijk slechts met een bijzonder
geval te doen van de stelling, dat elke twee geconjugeerde richtin-
gen der ellipsoïde voor de vervorming loodrecht op elkander waren.
Zijn toch do, do, twee zoodanige richtingen, die oorspronkelijk langs
der, dez vielen, dan is !)

5 461 Wido =);
of
S ° a doy HE dog = 0,

dernalve volgens (22)
S do, do = 0.

Tevens blijkt hieruit, dat slechts één stelsel van drie richtingen
aan te geven is, die zoowel voor als na de vervorming onderling
loodrecht zijn.

Met een klein plat vlak

S © dg = 0
komt later overeen
S .do(7>) o= 0,

dat is dus opnieuw een plat vlak.

Neemt men twee punten met de vectoren g+ dg en o + dg, voor
de vervorming, dan correspondeeren hiermede later o + 7 dg en
oJ xd@, zoodat de verbindingslijn, die oorspronkelijk dg — do,
was, is overgegaan in x(de —dg,). De uitrekkingsverhouding voor
deze lijn bedraagt dus

T'y(do — d
DAD di) = Tx U(de — do).
T (dg — do)

Deze vorm is alleen van de richting der verbindingslijn af han-
kelijk, waardoor de stelling bewezen is, dat alle evenwijdige lijnen
in de zelfde verhouding hare lengten veranderen.

Als men in het bijzonder aanneemt, dat de verbindingslijn in de
richting valt, die de richting ¢ oorspronkelijk had, d.i. langs den
vector x= tej, dan heeft men te stellen

do — dg, =ug ej,
waarin « een zeer kleine positieve grootheid is. Nu wordt de vorige

uitdrukking

1) Tarr, $254 en vlg.; MOLENBROEK, Anw, d. Q. a. d. G. $ 56.

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 17

Blea doi) wt
F(do — den Ty'y

Duiden wij door OA’, OB', OC! de assen der bovengenoemde ellip-
soïde aan en door OA, OB, OC de oorspronkelijk daarmede overeen-
stemmende richtingen, dan kan men het punt g + dg in het vlak
BOC gelegen denken, zoodat het na de vervorming in het vlak
B'OC" komt te liggen. Uit het vorige blijkt nu, dat de afstand van
een willekeurig punt tot het vlak BOC in de standvastige verhouding

1
Lies

verandert. Opereert men echter aan de eerste der vergelijkingen
(24) met S.:,, dan vindt men

ea Ee EE 0)

derhalve kan voor de uitrekkingsverhouding in de richting OA ook
geschreven worden 1:{/m,. Op dezelfde wijze worden de overeen-
komstige grootheden voor de richtingen OB, OC door 1:y/mz, 1: (/mg
voorgesteld.

De geheele vervorming komt dus hierop neder, dat het oorspron-
kelijke bolletje uitrekkingen ondergaan heeft in drie onderling lood-
rechte richtingen xtu, 2! ta, 4! ez, terwijl daarop een draaiing
gevolgd is, waardoor deze drie vektoren langs «j,t, 3 gekomen
zijn. Deze konische draaiing hebbe om een as plaats, welke met
den eenheidsvektor y samenvalt, terwijl het bedrag der draaiing ta
zij; dan moet volgens een bekende schrijfwijze der quaternionen-
theorie gesteld worden !)

tr enr.
en in verband met de vergelijking (25) ontstaan dus de betrekkingen

Kg =V my tt (26)

re na)
ts =V mg y— =

waaruit y en t bepaald moeten worden.

1) Tarr, § 354 en vlg.; MorENBROEK, § 111.

C 2
Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch, (le Sectie). Dl. II.

18 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN
Wij vonden zooeven voor de lineaire uitrekkingsverhoudingen
1 if 1
Ym,” Vm! Wms

De dilatatie der vlakte-eenheid, loodrecht op de richting van den
eenheidsvektor @ aangebracht, is eveneens op eenvoudige wijze aan
te geven. Zijn namelijk de), dez twee kleine vectoren in dat vlak,
dan is die dilatatie 1)

TVZ dei Ks = qe izin
T Vado, do, A ae

waarin + op de functie 7 betrekking heeft.
Nog wordt de cubische dilatatie voorgesteld door

SX TA do des
S. der dpp dos

Men kan deze grootheid echter ook gemakkelijk in m,, mg, mg

uitdrukken. Want de inhoud van het bolletje à 75 gaat later in

à 4 ij Ns
dien der ellipsoïde = 7 —= over, zoodat de cubische dilatatie ge-
meten zal worden door

1 1

WVmymgmg WX

wanneer X de bekende beteekenis voor de functie (7-1) y—! heeft.

8. De nadere bepaling dezer dilataties en van de as en de grootte
der konische draaiing zullen wij alleen uitvoeren voor een geval,
waarin de vervorming gering is, zoodat m,,mg,%m3 slechts weinig
van de eenheid verschillen. Dit geval treedt in, als de beschouwde
elastische massa een continue beweging bezit en wij haren toestand
beschouwen op twee opeenvolgende tijdstippen ¢ en t—+# dt. Duiden
wij nu de snelheid van het deeltje in het punt g door g aan, dan
kan algemeen gesteld worden

o= Fie Has Fre + a3l30 . . . . . (27)

waarin F,Fr,F3 behalve g ook t bevatten. In plaats van de in

1) Tart, § 145; MOLENBROEK, | 143, formule (/. 32).

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 19

het voorgaande gebruikte grootheid o moet nu g+egdt gesteld wor-
den. Is
do=asSvide + «3 Sri do +asSvzdo=pde. . . (28)

de verandering van @ bij overgang van het punt @ naar 9 + de op
hetzelfde tijdstip t, dan wordt

do = de + p de. dt.

Ter wille van een duidelijke schrijfwijze vervangen wij dt door
u. Nu heeft men voor de in $ 5 dezer verhandeling gebruikte
functie 7

4=1+up, 4 1=1—uœy,

aangezien 777! = 1. Hiermede wordt dan
PET it +uS oe Qy4=Ym.

Eh ioc, os ; : Ih 1 1
De drie lineaire uitrekkingscoéfienten —— — 1

1,——1, — —
Ym V mg VY ms
worden dus door
—uSt Pty ,—US lg Ply, — uS lz Pts

voorgesteld en hieruit volgt dan verder voor den cubischen dilata-
tie-coëfhcient

D= —uS( pui + topte 43 Pls)

of, aangezien 41,42,43 een rechthoekig stelsel van eenheidsvectoren
vormen,
D = UL.

De eerste der vergelijkingen (24) vereenvoudigt zich tot
Part MOD He. se we ee (29)

Om nu de richting der oogenblikkelijke as van wenteling van
het deeltje en de grootte A der hoeksnelheid te vinden, merken wij
op, dat hu het bedrag der wenteling in den tijd dt voorstelt, zoodat
hun voor t in de formules (26) in de plaats gesteld moet worden.
Volgens een bekende formule is bovendien

GRENEN TE MT
y enden

dus in het beschouwde geval is

gi=l + huy.
2*

20 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN
Daardoor ontstaan dus uit (26) betrekkingen van den vorm
Pu tuSupu=hVya,
die tengevolge van de vergelijking (29) zich herleiden tot
Vd =hV 4, VO AVY tg, enz,
derhalve
O=h Y.

Hieruit blijkt dus, dat de vector Ò door zijne lengte de hoeksnel-
heid, door zijne richting de oogenblikkelijke as van wenteling van
het deeltje aangeeft. Daarom gaven wij reeds in $ 2 van deze ver-
handeling aan Ò den naam van den rotatievector in de functie »
begrepen.

De hier verkregene resultaten zullen wij nu verder toepassen in
de theorie der beweging van vloeistoffen. Vooreerst gaan wij over
tot het opstellen van

de algemeene hydrodynamische vergelijkingen.

9. De grootte van den druk in een punt der vloeistof is een
scalaire functie p van eo; wij onderstellen dus, dat geschreven kan
worden

dp = Sp dg.

Beschouwt men nu het volume-element
dv = Sdo, dog do 3,

dan werken op de zijvlakken, die evenwijdig zijn aan de richtingen
dog, dez, nabij het punt @ de krachten

pVdos ds, — (p + Sm, dor) Vago des,

zoodat de totale kracht, die het volume-element tengevolge van den
hydrostatischen druk ondervindt, bedraagt

—[V dg dos . Sm, dor + Videoz dgy. S mo deg + Vd, dez. S mo des]

== — 10 Sd: des dez = — To dv. (volgens 4*)

Is x de uitwendige kracht per massa-eenheid, m de dichtheid der
vloeistof, dan wordt derhalve de bewegingsvergelijking

di |
ahs = NAT) + © + ae en B80)
dt

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 21

De continuiteitsvergelijking is eveneens gemakkelijk af te leiden.
Want in de vorige $ vonden wij voor den cubischen dilatatiecoëffi-
cient in den tijd dt de uitdrukking +, dt en hieruit volgt dan, als
wij weder een differentiatie naar ¢ door NEWTON’s schrijfwijze aan-
geven,

idg ER OE ee en are « (8)

Deze vergelijking zou natuurlijk ook zonder de voorafgaande be-
schouwingen der elasticiteitstheorie op de volgende wijze gevonden
kunnen worden. Daar het element dg, in den tijd dt overgaat in
dg; + pdgy-dt, zoo zal het volume-element S de, deg des daarbij over-
gaan in

S do, des des + dt S (des des p de; + des do, p dos + der des p ds)

waardoor wij de vorige uitdrukking voor den dilatatiecoëfficient
teruggevonden hebben.

Voor een onsamendrukbare vloeistof neemt de continuiteitsverge-
lijking den zeer eenvoudigen vorm aan

F2 — 0:

De bewegingsvergelijking (30) kan nog in een andere gedaante
gebracht worden. Wanneer wij allereerst, zooals gebruikelijk is

d
[=
m

dP = Sado, dus 7%, = ma;

stellen en verder

wanneer wij dan bovendien in het oog houden, dat de betrekking
geldt

dy du
Fae Teas

dan luidt de bewegingsvergelijkinz

do do :
Rei denkend EEE ed del)

In het geval van een stationaire beweging vereenvoudigt deze
zich tot ;

Pe=X*— 7

22 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

Uit het voorafgaande is verder duidelijk, dat de beide gevallen,
waarin een snelheidspotentiaal al of niet bestaat, alleen daardoor
onderscheiden zijn, dat in het eerste geval p een zelfverwante
lineaire vectorfunctie is, in het tweede geval niet.

WERVELBEWEGING.

10. Wij zullen nu aantoonen, dat de wervelbeweging op zeer
eenvoudige wijze door middel van quaternionen beschreven kan
worden. Er zij dus in het volgende ondersteld, dat p een wille-
keurige lineaire vektorfunctie is, welks rotatievector door 0 aange-
duid wordt. Zooals wij in § 8 aantoonden, stelt dan 0 in grootte
en richting de werveldraaiing voor. Denken wij p in den door
(28) aangeduiden vorm en geven wij door d den overgang aan van
een punt @ der vloeistof naar een nabijgelegen punt op hetzelfde
tijdstip, dan volgt uit de bewegingsvergelijking (32)

de é 4 ; ‘
ae de + ct) Sedvy Har Sed, Has Sqdyg =de — dx,

of, als men stelt
dV = p1 de, dv = Pode, dv3 = pz do,

dz = y de, dt = y do,

dc do 5 é : 3 3
PR LE pede + ot, Sde pre + ey S de Py 0 + 3 Sde ps e =(W1—wo)de (33)

fe

Hierin zijn volgens § 4 911 Po: Pa» Wis We zelfverwante functies.
Daar van het tweede lid dezer vergelijking hetzelfde geldt, zoo moet
dus ook de rotatievektor van het eerste lid verdwijnen. Nu is p'?
de geconjugeerde functie van p en volgens (13)

pr —P?= 2 [Go VO de + V.Ò po del
Voert men hierin voor do de waarde in uit
do Safy=aSfyde+fBSyado+ySafide . . (34

waarin &,/3,y willekeurige vektoren voorstellen, dan vindt men vol-
gens (14%) voor het product van den rotatievektor in gy? begrepen
met Say |

4V [(Po Vou +V.0 gy à) VBY+(P VÒ + V.Ò po 2) Vya-+
+ (po VO y + V.d poy) Va/]

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 23

of na eenige herleiding

(% — Po) d ;
zoodat de rotatievektor in het eerste lid der vergelijking (33) wordt
od A ae à
a — Po) Ò + 4V (G1 Pie + HPO + as ps 0).

Nu volgt echter uit

À = LV (a, + ava + a3 V3)

10. d0
Ed + 2V(Qi G10 + Po + A3 P3 0),

zoodat ten slotte de vergelijking voor de wervelbeweging luidt
=O = {ne — 20 us tee BB)

waarvoor men ook zou mogen schrijven
O =(p — 19) O.

Deze vergelijking, die geheel algemeen bij vloeistoffen en gassen
geldt, is zoo eenvoudig, dat zij wel als een der merkwaardigste voor-
beelden van de fraaie wijze van behandeling door middel van qua-
ternionen gelden mag. Voor onsamendrukbare vloeistoffen neemt
zij den vorm aan

Ò=pd=pd. et Eke Die st (ON

11. Het valt niet moeilijk met behulp van deze vergelijkingen
de bekende eigenschappen der wervelbewegingen te bewijzen. Aller-
eerst blijkt onmiddellijk, dat een deeltje, dat eenmaal geen rotatie-
snelheid bezit, deze ook niet verkrijgen zal.

Neemt men twee deeltjes, welker verbindingslijn met een element
van een wervellijn samenvalt, die dus vektoren g en g +!UÖ heb-
ben, dan zijn na een tijd dt hunne vektoren

et edt, 9 + 1U0 + (9 + lpUd) at,
zoodat de verbindingslijn geworden is
1(Ud + pUO. dt).

Nu wordt echter de hoeksnelheid van het deelte op het tijdstip
t+ dt aangegeven door 0+ Ò dt. Maar

24 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN
V(Ô + Ô dt) (Ud + pUÖ. dt)

blijkt een oneindig kleine grootheid van de tweede orde te zijn, als
men de waarde van À uit (35) invoert. Hieruit volgt dus, dat de
verbindingslijn van twee deeltjes, die op het tijdstip t langs een

wervellijn valt, dezelfde eigenschap gedurende de geheele beweging
behoudt.

De lengte der verbindingslijn van de beide deeltjes op het tijd-
stip ¢ + dt is

'=1T (U0 + pUÖ. dt) = U(1 — S Ud pUO. dt)
en de grootte der hoeksnelheid op hetzelfde tijdstip is
h'= T(0 + à dt) = TO (1 —-SU0 p UD . dt — x, dt)
Hieruit volgt

HAUTS TÔ
= = (1 — a, dt) = sr: (1 + ics at) volgens (31),
m

of, als men # + mdt door m' en 70 door h aanduidt,

Het product van den afstand van twee deeltjes met de dichtheid
blijft gedurende de beweging dus evenredig met de hoeksnelheid.
Zooals bekend is, kan deze eigenschap ook op de navolgende wijze
uitgedrukt worden: het product van de hoeksnelheid met de door-
snede van een werveldraad behoudt gedurende de beweging een
standvastige waarde. Om haar te bewijzen kan men dus ook aan-
toonen, dat

0? V? do dg, = een standvastige grootheid 1),

als do, do, twee lijnelementen voorstellen loodrecht op de wervellijn.
Volgens § 9 is

d a 7

— do == mdo:

a
derhalve wordt?)

1) Tart, $ 96; MorENBROER, § 86, formules (c. 33) en (c. 34).
2) Tait, § 134; MOLENBROEK, § 118, formule (e. 22).

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 25
d N |
UE do, =2SÒÒV? dodo, +20? S.Vag de, V (y de. de: + de p dg).

Hierin is nu volgens een bekende formule der theorie!)

V (de p do, + p do. d@;) = (ea — ¢') V do de;
= TV dede, (ea — p') Ud,

en het tweede lid der vorige vergelijking wordt dus na deeling door
2V? do do,
SÒÒ — 028. UD (x — p) UD,

een vorm, die met het oog op de vergelijking (35) verdwijnt.

Eindelijk beschouwen wij de ruimte, ingenomen door een deel van
een werveldraad, dat door twee doorsneden, loodrecht op de wervel-
lijnen aangebracht, begrensd wordt. Passen wij hierop nu het theo-
rema van GREEN toe in den vorm (19), waarbij voor F de eenheid
genomen worde, zoodat K verdwijnt, en voor z de vector 0. Volgens
§ 4 is hiervoor 2 = 0, waardoor men vindt

[Source — (I),

In deze vergelijking ligt de stelling opgesloten, dat langs een wer-
veldraad de hoeksnelheid in elk punt omgekeerd evenredig is met
de grootte der loodrechte doorsnede.

12. Men kan op dezelfde wijze, als zulks in de gewone reken-
wijze geschiedt, aantoonen, dat de beweging eener onsamendrukbare
vloeistof, die op oneindigen afstand in rust verkeert, op elk tijdstip
geheel bepaald is, als de waarde van Ò in elk punt op dat oogen-
blik gegeven is. Hierbij zullen wij niet stilstaan, doch onderzoeken,
hoe in dat geval de waarde van 0 in elk punt gevonden kan wor-
den, waardoor dan ook yw bekend is, zoodat tengevolge van’ de ver-
gelijking (35) dus ook de beweging op elk volgend tijdstip gevonden
kan worden. Daarbij nemen wij aan, dat de vloeistof onsamendruk-
baar is.

Aangezien voor o in dat geval, evenals voor 0, de grootheid Ta
verdwijnt, zoo ligt de onderstelling voor de hand, of ook als
rotatievector van een nader te bepalen lineaire vectorfunctie 7 kan
worden voorgesteld.

1) Tarr $ 147; MOLENBROEK, $ 145, formule (f. 44).

26 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

Indien nu
HO = OS) 6 JS ug 0 + 3 S 30

gesteld wordt, dan is dus

2 9 =V (ay fey + eg Mg + asus).

Hieruit volge nu

2de = p de =V (ay 71 de + Gy pa de + ag 73 de).

Vervangt men weder dy door de uitdrukking in (34) aangegeven,
dan leidt men gemakkelijk af volgens (14*)

2ÒSafy=V.[V(ar ya + Gy xa + a3 730). VP y +
+ Varia +03 73/2) Vye +V (a piy+eoxay Haszsy) Va?)

of na eenige herleiding !)

20 (ag — KYA + (eo ee a zz" — X3) 3)

waarin 2’, 2", ro de waarden van de invariant x, voor de functies
Xi XH K3 Voorstellen. Daar echter voor p in alle punten der ruimte
a, verdwijnt, zoo is volgens § 4

#11 + Hea + H3%3 = 0,
derhalve
20 = ay! Heg Oty + 29" ots
of volgens $ 2
; S aa Gs Ò 9 Sas aj An

To — Rire The, Lh = rn Tg ==

9 S & ag À
S ae S
AX) Ay as, ay Ag Ua

S @ Gy 3

Denkt men zich nu drie massaverdeelingen in de ruimte, welker
dichtheden achtereenvolgens bedragen

dan zullen volgens § 5 de vectoren #1, #9, “3 de daarvan afkom-
stige krachten voorstellen. Wanneer de waarde van Ò in het punt
e' door 0’ wordt aangeduid en een daar ter plaatse gelegen volume-

1) Tarr, $ 91; MOrENBROEK, $ 88, formule (c. 44).

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 27
element door de’, dan is volgens § 5

il Sy as 0 dv'

1
Pan Teo? 0’),

a ara

zoodat de functie zo ten slotte bepaald wordt door

| nn O'S 6 ge). 1

a ee) 37
Te © ae
en e door
V.d'(e—e!
Er foe Seta ee ee a (6)
An) T(o—o')*

Uit (37) volgt nog, als men o door de vervangt,

1 Oo!
fra rer
27) T(e—e)

De functie in het tweede lid dezer vergelijking levert dus ten
slotte de kennis der geheele beweging. Wij zullen hier niet verder
aantoonen, dat deze functie inderdaad aan alle voorwaarden voldoet,
aangezien dit bewijs geleverd. kan worden geheel overeenkomstig de
methode, door HELMHOLTZ in zijne bekende verhandeling gevolgd.
Wij stippen echter aan, dat de vergelijking (38) de volgende stel-
ling bevat: het aandeel, door het volume-element dv’ tot de grootte
van 0 bijgedragen, is

1 V.Ò'U(o—e!) _,
An Tee?

Het deeltje dv’ veroorzaakt dus in het punt e een snelheid, welke
loodrecht gericht is op de oogenblikkelijke as van wenteling 0’ van
het deeltje en op de verbindingslijn e—e', terwijl de grootte even-
redig is met de oogenblikkelijke hoeksnelheid van het deeltje en den
sinus van den hoek tusschen rotatie-as en verbindingslijn, daaren-
tegen omgekeerd evenredig met het vierkant van den afstand.

Tengevolge van de transformaties in $ 6 kan aan de functie

r=— = leo dv’
20 J T(e—e)

nog een andere gedaante toegekend worden. Stelt men namelijk
in de vergelijking (20)
dm 2 U(e—e'),

25 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN
dan vindt men voor de hierbij behoorende waarde van +,

1
T(e—e') ?

lg = —

en als nu voor de grootheid 0’ genomen en de integratie over
de oneindige ruimte uitgestrekt wordt, aan welks oppervlak ò' ver-
dwijnt, dan wordt

Dr" te iff weed,

waarin w de lineaire vectorfunctie voorstelt, die bij het differen-
tieeren van Ò gevonden wordt.

STATIONAIRE POTENTIAALBEWEGING.

Vloeistofstraten in de ruimte.

13. In het algemeen zal het vraagstuk, een stationaire wervel-
looze beweging van een onsamendrukbare vloeistof te beschrijven,
voigens $ 9 neerkomen op de bepaling van een zelfverwante lineaire
vectorfunctie po, die aan gegeven grensvoorwaarden voldoen moet
en tevens aan de vergelijkingen

di add. as ML (0)
opb Se aen eee RO
AE EE TN

Het is duidelijk, dat men eerst uit (41), de gegeven grensvoor-
waarden en desgevorderd (39) de functie gy) en g zal moeten bepa-
len, daarna w uit (40).

Een der meest tot heden uitgewerkte vraagstukken is dat der
vloeistofstralen. Zooals bekend is, is het nog slechts gelukt volgens
een strenge methode het geval te behandelen, waarin geen uitwen-
dige krachten werken en de beweging slechts van twee coördinaten
afhankelijk is. Vloeistofstralen in de ruimte hebben tot heden aan
elke poging om het vraagstuk tot een eenvoudigen vorm terug te
brengen weerstand geboden. Wij zullen nu eerst den algemeenen
quaternionvorm voor deze beweging opstellen en de eenvoudige uit-
komst, waartoe wij geraken, zal ons dan in staat stellen een alge-

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE, 29

meene eigenschap dezer bewegingen te bewijzen, welke in verband
staat met de theorie der oppervlakken.

Vooraf willen wij echter opmerken, dat de hydrodynamische ver-
gelijking voor het geval, dat er geen wervels in de vloeistof aanwe-
zig zijn, ook in den door (32) aangeduiden vorm gemakkelijk ge-
integreerd kan worden, mits de uitwendige krachten een potentiaal
F hebben.

De vektor o valt in richting met de normaal tot een aequipoten-
tiaaloppervlak samen. Is de een lijnelement in het oppervlak gelegen,
dan is dus

Sodo = 0

en men zal dientengevolge onmiddellijk de vergelijking van een zoo-
danig oppervlak verkrijgen, als de functie Se de integrabel is. Dit
nu is inderdaad het geval, aangezien aan de voorwaarde, welker
vervulling daartoe vereischt wordt, dat de een zelfverwante lineaire
vectorfunctie is, hier inderdaad voldaan wordt!) Derhalve is

jef Sedo = standvastig EMEA lt te meen)

de vergelijking van de aequipotentiale oppervlakken en fo de snel-
heidspotentiaal in het punt e. Verder is de krachtfunctie bepaald
door

dF = — Szdo.

Wanneer men nu aan de vergelijking (17) met S. do opereert,
dan wordt door integratie gevonden

fae F+ PHC oe Soc SA)

waarin C alleen van ¢ afhangen kan. Bij een stationaire beweging,
bij welke geen uitwendige krachten werkzaam zijn, is dan

1 0? + P= standvastig. UP 0 des 0)

De grensvoorwaarden, waaraan bij een vloeistofstraal voldaan moet
worden zijn: In het vrije vloeistofoppervlak heeft, zooals uit (44)
in verband met de continuiteit van den druk volgt, de snelheid een

1) Tarr, $ 317; MoLENBROEK, Anw. d, Q. a. d. G. § 95,

80 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

standvastige waarde en bij den vasten wand is er geen snelheids-
component loodrecht op het oppervlak. De vergelijking van het vrije
vloeistofoppervlak zal dus worden voorgesteld door

Folle — a. MANN

oe =—a
Differentieerend vindt men !)
S. do poe == 0,

zoodat de normaal tot het straaloppervlak wordt voorgesteld door
Poe:

In de punten van het oppervlak (45) moet derhalve de voorwaarde
vervuld worden

Segoe dende es Ver ED

Zoodra men verder een oppervlak construeert, welks normaal door
y aangeduid worde, waar in elk punt de betrekking geldt

Sor Oet ve ae EE

zal men dit als een vasten wand mogen beschouwen. Het is nu
niet moeilijk een zoodanig oppervlak te vinden. Want, indien
eenmaal uit de betrekking 72=0 benevens (39) en de gelijktijdige

vervulling van (45) en (46) de functie m, en de vektor o bepaald
zijn, heeft men in (47) een lineaire partieele differentiaalvergelijking
van de eerste orde, welker integratie het gezochte oppervlak levert.
Voor een dergelijke integratie heb ik in mijne ,Anwendung der
der Quaternionen auf die Greometrie’ twee methoden gegeven.

In de vergelijking (46) ligt een algemeene eigenschap der vloei-
stofstralen opgesloten. Om deze af te leiden brengen wij eerst eenige
bekende formules uit de theorie der oppervlakken in herinnering.

Is do een lijnelement op een aequipotentiaal oppervlak in het
punt e getrokken en brengt men hierdoor een normale doorsnede
tot het oppervlak, dan is
Te

aS
S. Udo py Ude

de kromtestraal dier doorsnede?); deze is gelijk aan het vierkant van
de halve middellijn, welke in het oppervlak van den tweeden graad
met de vergelijking

1) Tarr, $ 134; MoreNBROEK, § 118, formule (e. 22).
2) Tarr, $ 333; MoreNBROEK, Anw. d. Q. a, d. Gi, § 140,

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 31
Sag o= To

evenwijdig aan de richting van de getrokken wordt. De richting do
behoort tot het raakvlak aan het oppervlak, dus is

Sedo = 0.

Zijn nu de), de, de hoofdrichtingen van het oppervlak in het be-
schouwde punt, dan zal de som der hoofdkromtestralen dus verd wij-
nen, als

S. Udo pg Ude, + S. Udos po Udes =0.

Maar in het algemeen is volgens (15), in aanmerking nemende,
dat Udo, Ude, en Ue drie onderling loodrechte eenheidsvectoren zijn

2 = — [S. Uae, po Udo, + S. Udez po Udeg + S. Ue po Vel

en aangezien voor de functie gy, de grootheid x, verdwijnt, zoo drukt
dus de gelijktijdige vervulling van de betrekkingen (45) en (46) de
navolgende eigenschap uit :

In elk punt, waar het vrije straaloppervlak een der aequipotentiale
oppervlakken ontmoet, hebben de beide hoofdkromtestralen van dit
laatste gelijke lengte doch tegenovergestelde richting.

Op vloeistofstralen, bij welke de beweging in een plat vlak plaats
heeft, toegepast luidt dit theorema dus: In elk punt, waar de aequi-
potentiale lijnen door de vrije vloeistofbegrenzing gesneden worden,
bezitten de eerstgenoemde krommen een buigpunt.

Nadat ik dit theorema met behulp van de quaternionen gevonden
had, gelukte het natuurlijk spoedig het ook met gewone coördinaten
te bewijzen. Daarbij blijkt dan echter onmiddellijk, waarom deze
eigenschap tot heden verborgen bleef. [Immers de bekende voor-
waarde, die in een punt van een oppervlak

2 (C4)

vervuld moet worden, opdat de beide hoofdkromtestralen gelijk doch
tegengesteld zijn

(1+ 9?) r — 2 pgs + (1 + p°)t = 0
neemt voor het geval, dat men den algemeenen vorm
p (x, y, 2) = standvastig

aanwendt een zoo ingewikkelde gedaante aan, dat het moeilijk valt
het verband met andere betrekkingen op te sporen.
Onmiddellijk blijkt uit het voorafgaande ook, hoe de uitbreiding

32 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

van het theorema luidt op de uitstrooming van een gas onder vrije
straalvorming. Immers de formules op de kromming der aequipoten
tiale oppervlakken betrekking hebbende geven in verband met de
continuiteitsvergelijking (16)

R, R, mTo am a a
zoodat de som der hoofdkrommingen van het evenwichtsoppervlak
in een eenvoudig verband blijkt te staan tot de verandering der
dichtheid.

14. Hoewel de vorm, waarin het vraagstuk der vloeistofstralen
in de ruimte gebracht is, zeer eenvoudig schijnt, zoo is er toch bij
de vervulling der grensvoorwaarde een bezwaar, waaraan tegemoet
gekomen kan worden. Daar de functie po den vector e bevat, zoo
komen in de vergelijking (46) de beide grootheden ¢ en 0 gelijktijdig
voor, hetgeen de oplossing ten zeerste bemoeilijkt.

Nu heb ik echter in mijne „Anwendung enz.” aangetoond, dat
een merkwaardige transformatie der gewone differentiaalrekening,
welke ik reeds vroeger had aangewend om eenige gevallen van
de gasbeweging tot een oplosbaren vorm terug te brengen, ook in
de quaternionentheorie geldig is. Deze transformatie kan in de ge-
wone rekenwijze ook bij vloeistofstralen, die van twee coördinaten
afhankelijk zijn, met goed gevolg worden aangewend, echter niet
bij afhankelijkheid van drie coördinaten. tiet is nu gemakkelijk
aan te toonen, dat zij bij HAMILTON's methode inderdaad vereen-
voudiging geeft.

Beschouwen wij opnieuw de functie f, die door de vergelijking
(42) gedefinieerd wordt en vormen wij een nieuwe functie

FSi en CU RAS
dan is wegens (42)
UN Sodas na EN

zoodat F een functie van 9 alleen blijkt te zijn en o in dezelfde

betrekking staat tot Æ als o tot f. Bij differentiatie zal er derhalve
een lineaire vectorfunctie van dg doen ontstaan, welke overigens
slechts e bevat
do =d re ED
Dus is
do = w—! de = po de.
De functie w—! blijkt dus identiek te zijn met go of

WY py = 1,

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE, 33

waarin de beide symbolen verwisseld mogen worden. w is dus
evenals py een zelfverwante lineaire vectorfanctie,
Uit de voor y, geldende vergelijking

23 = 0
volgt nu in verband met (15)
SByyta+yayf+aBbyy) =),
of volgens een bekende formule der theorie !)
S(ay Byy +Bywyva+yyaæuwf)—0,

zoodat voor de functie y de grootheid 2, verdwijnt. Ten slotte
neemt dus het vraagstuk der vloeistofstralen in de ruimte den vorm
aan:

Een zelfverwante lineaire vektorfunctie y te bepalen, welke slechts
van 9 afhangt en waarvoor 2 verdwijnt, terwijl de voorwaarde-ver-
gelijking plaats vindt

Voor Te =a is Sow-lo=0.

Heeft men hieruit w bepaald, dan levert de integratie van de ver-
gelijking (50) e als functie van 0; uit (49) vindt men F en ten
slotte is de snelheids-potentiaal bekend, daar uit (46) en de beide
zooeven verkregene vergelijkingen g en F geëlimineerd kunnen worden.

Onderstellen wij, dat de functie w—' in den drietermigen grond-
vorm geschreven wordt aldus :

yl o = a Sh, 0 + ay 85,0 + as 5530,

waarin &,, &,£3 van e afhangen, dan moet wegens het ontbreken
van den rotatievector en het verdwijnen van zz voor y! de be-
trekking gelden

Gye tS Agens fee he se (OE)

Voor Te—a moet
Soar Sel + Sea So + Sous S0Ë—=0 . . . (52)

Door middel van de vergelijking (51) kan onmiddellijk een der

2) Tair, § 145; MoveNBROEK, § 143, formule (f. 32),

Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. II.

34 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

grootheden &;,, 8, & in de beide ander uitgedrukt, b. v.
grootheden &, £, & de beide andere worden uitgedrukt, b. v

Es == C3 al (@ Ei + 405).

Hieruit volgt dan, dat de beide vectoren §, & nog slechts aan
de betrekking

Saz (ar 5) + 252) = 0

en aan de vervormde voorwaardevergelijking (52) voldoen moeten.

Hoewel het mij tot heden niet gelukt is, eenigszins belangwek-
kende oplossingen dezer vergelijkingen te vinden, zoo meen ik toch,
dat het uitzicht bestaat, dat langs dezen weg oplossingen voor het
vraagstuk zullen gevonden worden. De algemeene gezichtspunten,
welke ik in het voorgaande heb uiteengezet, schenen mij echter van
genoeg belang, om een afzonderlijke inzending van dit gedeelte te
rechtvaardigen.

’s Gravenhage, 21 Maart 1893.

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. 35

roe Ge EURE FT.

Eenigen tijd, nadat ik de voorafgaande verhandeling ingezonden
had, hield ik mij met hetzelfde onderwerp bezig hoofdzakelijk met
het doel op te sporen, of ock bij eindige vervormingen tusschen den
rotatievector der lineaire vectorfunctie en de as der konische wente-
ling een of andere merkwaardige betrekking bestaat. Hiertoe was
het noodig de oplossing te vinden van het stelsel van vergelijkingen
door (26) aangeduid. Deze oplossing is mij nu inderdaad gelukt en
hoewel het niet gemakkelijk is haar een bepaalde mechanische be-
teekenis toe te kennen, moge zij hier toch wedergegeven worden.
Voor zoover mij bekend is, heeft men in de gewone rekenwijze tot
heden dit vraagstuk uiet ter hand genomen.

Stelt men in de vergelijkingen (26)

y=

dan kunnen zij in den navolgenden vorm gebracht worden

gu =V mj nq
gx lt =V mg tag oes te Ne (68)

GZ =Vmgt30

|

Vermenigvuldigt men nu de eerste vergelijking door #, de tweede
door — ej, de derde met —1; opereert men daarna aan de drie ver-
gelijkingen met S. en sommeert de uitkomsten, dan ontstaat

Sq (a lite — Aa Ca — 7143) — — Wm, + Vimy + V ing) Sts q ° (54)

Om deze betrekking te vereenvoudigen stellen wij
3%

36 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN

VR =n.

Verder is

Sy tej. — gui )) = — Su [yore — (v7) 4]
= 284 Aw 28 ts A,

als A de rotatievector is van de functie 7—1, welke laatste wij in
het volgende kortheidshalve door @ voorstellen. Dan wordt

Vlg ts Hr Otje OL

Maar
S.4V (Ou, . tg + 4) Oty) = —S8. 0900, =S. O'ts,
S.tgV (Oey. tg Fu Oty) = — 8S. tg Org = — Si, bg O's;
derhalve

S 4 [V(Oeq. tg der Oty) + Org] = 0,
S.tg[V(Oeq. tg Hen Ots) + O's] = 0,
zoodat V(Qe,.¢, + 4, Oe) + Ov, loodrecht is op « en vz en dus
gesteld kan worden
V (Oey. bg der Oes) + Org = at.
Hieruit volgt dan door operatie met S. 3
S(e1 Oui + ty Oty +13 Ot) = — a.

Duidt men nu door X, de bekende invariant voor de functie O
of zl aan, dan blijkt dus, dat a= Xs, zoodat men ten slotte heeft

V (Ou, «tg + 4 Oty) = (Xo — O'S ts.

De hier ingevoerde grootheden A en X,, die op © betrekking
hebben, kunnen gemakkelijk ook onmiddellijk met de oorspronkelijke
functie X in verband gebracht worden. De oplossing van de ver-
gelijking

do = y de = a, S v do + az Svo do + a3 Svzdo,

die de functie 7 defineert, luidt namelijk !)

Vro vs Sagazdo + Vys 11 Sag aj do + Vrai vo Sa, ay do

do 7—do=
À 2 Sa dy A3 Sv: Vo vz

1) Tarr § 161; MOrENBROEK, § 188,

OP DE MECHANICA EN DE NATUURKUNDE. | 31
en volgens (14) is dus de rotatievector van 7—!

A V(Vrovs Vagag + Var Vas a, + Viva Va ao)
ES 2 Say az 3 SV va V3

De noemer van deze breuk is het dubbel der negatieve waarde
van de invariant « der functie 7. De teller kan volgens een be-
kende formule!) herleid worden tot den vorm

2(ar Sv, 0 Hay S 720 + az Sad) = 2 x0,
waarin 0 de rotatievector van 7 is. Derhalve

e= — zò
Volgens (16) is verder

S(Vazaz Vv vz + Vaz a, Vv3v, + Var az Vr V9)
Say Gy 3 SV, V9 V3

Kg ==

d]
== —y

FA

als +, ook weder een invariant van is.
Wij keeren nu tot de formule (54) terug, die na het vorige de ge-
daante aanneemt

S.a[2Su A (Ayn — O—G') 13] = 0
Hierin kan nog in den zin van vergelijking (11)
(O + O0) 13 =2 Oye,

gesteld worden. Bovendien is. volgens een bekende formule der
theorie ?)

g=y= Cost + Sint =,

zoodat de vorige vergelijking nu oplevert

Stsd +t9(t5) 8. y (
of ook

Siz A — tg (e 2) S.t5( -- tty =o,

Natuurlijk zal deze vergelijking zonder verdere- wijziging geldig

1) Tarr, § 91; MOLENBROEK, § 88, formule (c. 43).
*) ‘Tarr, Examples to Chapt. [L[; MoLeNBROEK, § 83.

38 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN ENZ.

blijven, als men «3 door #, en zg achtereenvolgens vervangt; ver-
menigvuldigt men daarna de drie zoo verkregen vergelijkingen met
tzr 41, 4g, en sommeert de uitkomsten, dan ontstaat volgens de for-
mule (1*), waarin @, f,7 door «1, vo, 43 vervangen worden,

= TT arg
en eindelijk
1 X, +n\—1
(gt == —
1% (9, 2 )

Deze vergelijking bevat de volledige oplossing. Neemt men aan,
dat de richting van de as der konische wenteling steeds zoo gekozen
wordt, dat hare grootte w — tx nooit meer dan 180° bedraagt, dan
is dus ;

A

y" 2 (0, ‘ih Xs + ee |

Alle in het tweede lid dezer vergelijkingen voorkomende groot-
heden kunnen volgens bekende formules uit de oorspronkelijke functie
x bepaald worden, zoodat hiermede inderdaad in het algemeenste
geval de konische wenteling volledig beschreven is.

Natuurlijk moet de formule (55) voor de onderstellingen in § 8
dezer verhandeling ingevoerd ook de aldaar verkregen uitkomst op-
leveren. Men heeft dan bij aanwending der aldaar voorkomende
notatie

hu

zl tug, Olen, tm
7
0,=10—up+1—uw¢)=1—uqg,
X,=3—usy, n=Vm, +Vimgt+V mz = 8 — ur
A=— 10,

waarin ey en Ò bij de functie w behooren; alles bij verwaarloozing
van oneindig kleinen hooger dan de eerste orde. Volgens (55) wordt
nu

— y = — [—2 + u (ro — pol! ud = 1 wd;

derhalve evenals in § 8
hi Ö.

’s-Hage, Juni 1893.

a

NN nd

EU dij
ear €

Ke

Gee

BE

Y,

Se ea

e hae AS B

ET EN a
ape i

le

«V472
Sed 1

Pel2S DE VERSNELLINGEN

ERGO G ERE ORDEN

DOOR

Dr eye eer Gy UT, EEN.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)

DEEL IL. No. 5.

SS SO I

AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
1894,

DE VERSNELLINGEN

VAN

KROEG ERE OR DEN

DOOR

De, Se SCL OT EN.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam
(EERSTE SECTIE.)

DEEL II, No. 5.

TD

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER,
1894,

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN

DOOR

Dr. G. SCHOUTEN.

o>

In de ,Kinematik von J. Somorr’, vertaald door ALEX. ZIWET,
Leipzig 1878, worden op blz. 333, form. (2), de uitdrukkingen ge-
geven van de ontbondenen langs rechthoekige coördinaatassen van
de versnelling der n° orde, die een punt van een lichaam heeft, dat
om een vast punt beweegt.

Zij drukken uit, dat de versnelling van de ne orde de snelheid is
van het vrije uiteinde des versnellingsvectors van de (n—1)¢ orde.
Die snelheid wordt in twee andere ontbonden, de eerstè is die, welke
het uiteinde heeft tengevolge van de wenteling om de oogenblikke-
lijke as, de andere die, welke voorstelt de snelheid, waarmede de
vector langer wordt. Deze laatste ontbondene wordt eenvoudig voor-
gesteld door de afgeleide van den vector naar den tijd.

Evenwel zal deze laatste ontbondene samenhangen met den be-
wegingstoestand van het lichaam, evenzoo als dit met de eerste het
geval is. Ziet men de eerste ontbondene, zoodra men de oogenblik-
kelijke as en de hoeksnelheid om die as gegeven denkt, waar komt

da
dan die = van daan?

Die samenhang van de versnelling van eenige orde met de wente-
lingen om de verschillende hoekversnellingsassen heb ik nergens
ontwikkeld gezien, noch in de leerboeken van RÉsAL of van SCHELL,
noch in de Verhandelingen van J. SOMOFF of van CaMILLE JORDAN !).

- J. Somorr, „Mémoire sur les accélérations de divers ordres” in T. VIII 1864
van Mémoires de l’Académie impériale de St. Pétersbourg.
CAMILLE JORDAN, „Sur le mouvement des figures dans le plan et dans l’espace”
in Bulletin de la Société mathem. de France, T. I, 1872—73.
Ke
Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. II.

4 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDE.

De beschouwingen in de volgende bladen bewegen zich uitsluitend
op cinematisch gebied en hebben ten hoofddoel bovenbedoelden
samenhang duidelijk in het licht te stellen. Evenals men den snel-
heidsvector van een willekeurig punt eens lichaams ziet, zoodra men
zich de oogenblikkelijke as en de hoeksnelheid gegeven denkt, even-
zoo ziet men, hoe de versnellingsvector van elke orde ontstaat als
de resultante van componenten, waarvan er een door elk der hoek-
versnellingsassen op bepaalde wijze gegeven wordt.

De wijze van behandeling, die overigens zuiver analytisch is,
bracht mede, dat van de allereerste beginselen van de bewegingsleer
werd uitgegaan. Op eenvoudige wijze blijkt, dat men spreken kan
van het parallelogram en het parallelepipedum van versnellingen n° orde,
van hoekversnellingsassen n° orde, dat eene verschuiving met eene
versnelling a aequivalent is met een koppel van hoekversnellingen
van dezelfde orde, welks vlak loodrecht staat op de versnelling en
welks moment gelijk is aan die versnelling, onverschillig van welke
orde die versnelling is.

Eindelijk blijkt, dat er in een lichaam, dat de meest algemeene
beweging heeft, ieder oogenblik een punt kan aangewezen worden,
dat geene versnelling n° orde heeft, zoodat ter bepaling van de ver-
snelling der overige punten dit punt als vast kan aangenomen wor-
den. Slechts in bijzondere gevallen bestaat er eene rechte lijn, wier
punten die eigenschap bezitten. Voor n= 0 geldt, zooals bekend
is, die stelling niet, en treedt het genoemde bijzondere geval slechts
dan in, wanneer het lichaam geene verschuiving heeft.

BEWEGING VAN EEN PUNT. SNELHEID.

1. De plaats van een punt P zullen wij bepalen door zijne coör-
dinaten op een recht- of scheef hoekig coördinatenstelsel 0 X YZ,
Die coördinaten + y z bepalen volkomen den stand van dat punt
ten opzichte van dat stelsel. Blijven de co-
ordinaten voortdurend dezelfde, dan zegt
men dat het punt ten opzichte van dat
P stelsel in rust is.
Veranderen ze daarentegen met den tijd,
0 x dan zegt men, dat het punt zich beweegt
| in dat stelsel, en noemt men de lijn, die het
punt in dat stelsel beschrijft, de haan van
het punt.
De beweging van elk der projecties van
het punt langs de assen heet de ontbon-

Z

xd

atd

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDE. 5

dene van de beweging van het punt langs die assen, en omge-
keerd heet de beweging van het punt de resultante van de drie be-
wegingen langs de assen.

De beweging van het punt zal volkomen bekend zijn, als de co-
Öördinaten bekende functies van den tijd zijn.

Wordt uit die drie functies de tijd geëiimineerd, dan verkrijst
men twee vergelijkingen tusschen de coördinaten

ie (293.2) = 0
Dire)

die de vergelijkingen van de baan voorstellen.

2. Is die baan eene rechte lijn, dan noemt men de beweging
rechtlijnig ; de richting dier lijn is dan de richting der beweginy.

Het spreekt van zelf, dat als de rechtlijnige baan zelve gegeven
is, de beweging van het punt ook bekend zal zijn, als zijn afstand
s van een vast punt der baan ieder oogenblik bekend is.

Is de baan eene kromme lijn, dan wordt de beweging kromlijnig
genoemd. In dat geval is de raaklijn aan de baan de richting der
beweging op het oogenblik, dat het punt ia het raakpunt is.

Is die baan gegeven, dan ook zal de beweging bekend zijn, als
men voor ieder oogenblik de lengte s van het deel der baan kent,
dat het punt van een vast punt op de baan scheidt.

3. De eenvoudigste beweging is die, waarbij de lengte van den
doorloopen weg evenredig is met den daarvoor benoodigden tijd. Zulk
een beweging heet eenparig. Ze is volkomen bepaald, als men de
baan weet, de plaats, die het punt op zeker oogenblik daarop in-
neemt en de lengte van den weg, door het punt in een bepaalden
tijd afgelegd. Neemt men voor dat tijdsverloop de tijdseenheid, dan
noemt men de lengte van den weg, in de tijdseenheid afgelegd, de
snelheid van de eenparige beweging. Wordt dus in ¢ tijdseenheden

‘ > s
een weg van s lengte-eenheden afgelegd, dan is de snelheid v — a)

dus s = vt.

d. : Pe okt
De afgeleide - van de doorloopen ruimte naar den tijd is dus

standvastig en gelijk aan de snelheid.

4, De eenparige rechtlijnige beweging wordt meetkundig voorge-
steld door eene lijn, uit een willekeurig punt als oorsprong getrok-
ken in de richting der beweging en waaraan eene lengte gegeven
wordt gelijk aan het aantal lengte-eenheden van de snelheid. Zulk
eene lijn heet de snelheidsvector van de beweging.

Weet men dus behalve de plaats, die het punt op een gegeven

6 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDE.

oogenblik inneemt, ook den snelheidsvector van eene eenparige recht-
lijnige beweging, dan is deze volkomen bekend.

Is de beweging kromlijnig eenparig, dan ook zal de bewegings-
toestand van het punt ieder oogenblik kunnen voorgesteld worden
door “eene lijn, getrokken in de richting van de raaklijn aan de
baan, in het punt waar het bewegende punt zich op dat oogenblik
bevindt, en waarvan de lengte gelijk genomen wordt aan het aantal
lengte-eenheden van de snelheid.

Die lijn wordt ook de snelheidsvector van de kromlijnige eenparige
beweging op dat oogenblik genoemd.

De vector zal op verschillende oogenblikken verschillende rich-
tingen hebben. Worden alle vectoren uit een vast punt als gemeen-
schappelijken oorsprong getrokken, dan zullen de uiteinden er van
op een boloppervlak gelegen zijn met den oorsprong tot middelpunt.

5. Is de afgelegde weg niet evenredig met den daartoe besteden
tijd, dan heet de beweging veranderlijk. Ter bepaling van den
bewegingstoestand van een punt, dat eene veranderlijke beweging
heeft, vergelijkt men dien met den bewegingstoestand eener een-
parige beweging.

Bevindt zich het bewegende punt op zeker oogenblik t van de
beweging in het punt À van de baan, en is het na verloop van
eenigen tijd At gekomen in B, zoodat het den boog AB = As heeft

afgelegd, dan is a de snelheid, waarmede een ander punt P’, uit

A vertrokken, zich zou hebben moeten bewegen om na verloop van
denzelfden tijd At ook in B aan te komen. In de onderstelling,
dat P en P op ’t zelfde oogenblik vertrekken uit À, zullen ze ge-
durende den tid At niet te gelijker tijd op dezelfde plaats zijn,
alleen wel in B.

De verhouding ot heet de gemiddelde snelheid van het punt P
op het oogenblik t gedurende den tijd At. Zij bepaalt in geenen
deele den bewegingstoestand van het punt op het oogenblik t, daar
ze afhangt van de verschillende bewegingstoestanden gedurende den
tijd At.

Wil men dus den bewegingstoestand op het oogenhlik t zelf

Mee ake
meten, dan moet in Te tot de limiet 0 voor At worden overgaan.

d
Dan wordt an gelijk aan de afgeleide = van den afgelegden weg

naar den tijd. Die afgeleide heet de snelheid van de beweging op
het tijdstip t,

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN. i

De snelheid eener veranderlijke beweging op zeker oogenblik t is
de grenswaarde van de gemiddelde snelheid op dat oogenblik en

-, as
wordt gegeven door de afgeleide van den afgelegden weg naar den

dt
tijd. |
6. Evenals bij de eenparige beweging kan de bewegingstoestand
van het punt ieder oogenblik worden voorgesteld door den snelheids-
vector van het punt.

PARALLELEPIPEDUM VAN SNELHEDEN.

1. Worden de vergelijkingen van de baan

F@ x2) —= 0
@ (4, 9;-2) = 0

naar ¢ gedifferentieerd, dan geeft dit

òf da Of dy of dz

Ox dt dy dt Oz dt

og dz opdy Òpde _

dede But dede
Hieruit volgt:

dx 5 dy 5 dz ne ee f'u ee

dea dts Ven aye

’

waaruit blijkt, dat de snelheden van de ontbondenen der beweging:
evenredig zijn met de richtingscoefficienten van de raaklijn der baan ;
bijgevolg zullen de projecties van den snelheidsvector op de assen
de snelheidsvectoren van de overeenkomstige ontbondenen der bewe-
ging geven.

Beschrijft men dus een parallelepipedum, dat den snelheidsvector
tot lichaamsdiagonaal heeft, dan zullen de in den oorsprong van
dien vector samenkomende ribben de vectoren voorstellen van de
ontbondenen der beweging langs die ribben, en omgekeerd.

Dit parallelepipedum heet het parallelepipedum van snelheden. Het
gaat over in het parallelogram van snelheden, als de beweging
slechts in twee andere ontbonden wordt, die dan met de beweging
zelve in het osculatievlak van de baan plaats grijpen.

VERSNELLINGEN.

d2
8. De uitdrukking 5 kan beschouwd worden als de snelheid

dx
die het punt (« -- = 0, 0) boven die van het punt (z, 0, 0) heeft ; m.a.w.

8 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

au

5 stelt voor de snelheid van het uiteinde van den snelheidsvector

bij de beweging langs de X-as boven die van zijn oorsprong. Wordt
: : ; GE
de snelheidsvector uit een vast punt getrokken, dan is dus a de
oh Le . ey
snelheid van het vrije uiteinde des vectors. Evenzoo is DD de snel-

heid van het vrije uiteinde van den snelheidsvector der beweging
dezen rn
langs de Y-as, a die van de beweging langs de Z-as, als n.l. de

snelheidsvectoren uit een vast punt als oorsprong getrokken worden,
wat we voortaan zullen onderstellen.

Volgens het parallelepipedum van snelheden is de resultante van
die drie snelheden gelijk aan de snelheid, waarmede het vrije uit-
einde (- = ie y + ae z+ <=) van den snelheidsvector van het

dt dt dt
bewegend punt zich beweegt.
2» d 2

Men noemt = oe, = de versnellingen van de bewegingen
resp. langs de X, Y, Z-assen, en de resultante de versnelling van
het bewegende punt P.

Deze laatste moet gelegen zijn in het osculatievlak van de baan,
omdat daarin de vector van het punt beweegt.

Volgens het parallelogram van snelheden kunnen we de snelheid
van het uiteinde des vectors ontbinden in twee andere, de eene in
de richting des vectors, die dus de snelheid meet, waarmede de vector
langer wordt, en volgens de raaklijn der baan is gericht; de andere
in eene richting loodrecht daarop, die een gevolg is van de richtings-
verandering des vectors en dus gericht is volgens den kromtestraal ¢
der baan.

; 4 dv
De eerste heet de tangentiale versnelling, en is gelijk aan a of

d? s : v
ae de andere heet de normale ontbondene en is gelijk aan —.
FA Q
ds v dO»
Want omdat g = — —- dus — —- is, draait de raaklijn met eene
chi age A CH een J

LM

dt

1 . Vv . . e
hoeksnelheid —en is dien ten gevolge de snelheid, waarmede het
0
uiteinde van den vector v beweegt, als deze niet in lengte veran-
vw
dert Xen,

gg

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN. 9

Daar de versnelling de snelheid meet van het vrije uiteinde des
snelheidsvectors, kan zij ook door een vector worden voorgesteld.
Zulk een vector zullen wij een wersnellingsvector noemen.

9. Nu kunnen de uitdrukkingen Ee : Be os beschouwd wor-

de di dé
den als de snelheden resp. van de vrije uiteinden der versnellings-
vectoren der bewegingen langs de X, Y, Z-assen. Zij heeten de
versnellingen van de 2e orde der ontbondene bewegingen en hunne
resultante de versnelling van de beweging van het punt.

Volgens het parallelepipedum van snelheden zal die resultante
gelijk zijn aan de snelheid van het vrije uiteinde des versnellings-
vectors. Zooals we boven reeds vonden draait deze in het osculatie-

vlak, dus om den binormaal als as, met de hoeksnelheid = terwijl
Q
het osculatievlak zelf om de raaklijn gedraaid wordt met eene hoek-

oe ee
snelheid —, als vj, de wringingsstraal der kromme is. Immers
Qi

d. d 2
a =— = —, dus — == stelt de hoeksnelheid voor, waarmede het

ee en dt 0
dt
osculatievlak om de raaklijn der baan wentelt.
Volgens het parallelepipedum van snelheden is de snelheid van
het uiteinde des vectors gelijk aan de resultante van de snelheden,

‘ d? s ve
waarmede de uiteinden der vectoren harer ontbondenen ae en —
C 0

zich bewegen.

We vinden dus:
: ds v vw
tangentiale versnelling 2e orde = — ——. —

de 9 ¢
v v dv 1 3
normale 4 En eet de
Q o dt v Q
dt dt
: v ve
binormale EE
ere

10. Op dezelfde wijze kan voortgegaan worden. Noemt men

dn x oe
ae (de snelheid van het uiteinde des versnellingsvectors van de

(n—1)e orde bij de beweging langs de X-as), de versnelling van
dn
de ne orde dier beweging, evenzoo =. de versnelling van de ne orde
a n

p dze, 4
van de beweging langs de Y-as, rd die van de beweging langs de

10 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

Z-as, en hunne resultante (= snelheid vrije uiteinde van den versnel-
lingsvector (n —1)e orde) de versnelling ne orde van de beweging van
het punt, dan kan deze weer vervangen worden door de snelheden,
waarmede de vrije uiteinden van de versnellingsvectoren der (n—1)e
orde der ontbondenen worden bewogen door de wenteling om den

f BRG à
binormaal met de hoeksnelheid — en de wen‘eling om de raaklijn
0

Ss

met de hoeksnelheid 5
01

n n
Is dus « de versnelling van de xe orde, en « de tangentiale,
t
n n :
« de normale, « de binormale ontbondene, dan geldt algemeen de
N B

betrekking 1):

n d de n—1l y
= =e, =
t dt ne op
n—l
n d ON. n—1 y ilk 5,
Ls). Jr Rete eae ee CT a —— —— KS a
n—1
—l
n d [3 ;
a
a == + N
B dt ©]

BEWEGING VAN EEN VAST LICHAAM OM EEN VAST PUNT.

11. Zij O het vaste punt en OX YZ een vast rechthoekig assen-
£ 7 stelsel. Laat OEnË een met
het bewegend lichaam verbon-

den assenstelsel wezen, welks
stand op zeker oogenblik t van

£ de beweging aangegeven wordt
door de cosinussen van de hoe-

0 x ken, die elke der beweeglijke
assen maakt met ieder der

vaste assen, zooals nevensstaand

1 tabelletje dat aanwijst. b. v.
Oos Ee Cos (Zn) ik

Ya

1) Reeds gegeven door Somorr, Kinematik bl. 60. (6).

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN. kt

AE Zo
§ a a, ae en
n' b bb, De determinant | & 6 b, | is gelijk
Ee €, €, C) CC

+ 1, als het assenstelsel O€ 7 € zóó geplaatst kan worden op het
assenstelsel OX YZ, dat de gelijknamige positieve assen elkaar be-
dekken, wat wij onderstellen zullen dat het geval is. Verder is elke
term van de niet ontwikkelde determinant gelijk aan zijn coefficient
in de ontwikkelde ;

12. Zijn nu op ’t oogenblik ¢ van de beweging de coördinaten
van een punt van ’t lichaam (+, y, z) op het vaste, (£, 7, £) op het
beweeglijk assenstelsel, dan bestaan er tusschen deze de volgende
betrekkingen :

ema Eb ne b
HON EON Er ERA de et (2)
za, +b,n He,

De snelheid v van dat punt wordt dan op dat oogenblik bepaald
dy de
dt’ dt
eerste afgeleide naar t door éen accent, de tweede afgeleide door twee
accenten enz. voorstellen.

Ha Elek nie &
PEEN EREN (3)

2 == a, ë A5 Oi 7 ss ei (a
13. De oorsprong (0, 0, 0) is in rust. Zijn er nog meer punten
in rust? Het bestaan dier punten hangt natuurlijk af van de deter-

de |
door de ontbondenen =) of zl, y, 2. We zullen nl. de

! ! !
abe

minante | a’ b', c, Is die identiek nul, dan zijn bovenstaande
a, b', cu

vergelijkingen, wier eerste leden in nullen moeten veranderd worden,
onderling afhankelijk; in het tegengestelde geval niet.
Nu is die determinante identiek gelijk nul; want wordt ze ver-

Geb ce 3
menigvuldigd met | a 5 c¢ | = 1, daarbij met de kolommen wer-
Band

u u u

kende, dan vindt men voor het produkt:

12 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

or gq|
es
= eee
als
be +bic+b'¢,=—be—be —b c,=p
cad e',a, Hea, —ca—ca,—c,a,—=3g
ab Ha b Ha, b,=— ab —a,b,—a,b,=r

gesteld worden. Dat produkt nu is identiek gelijk nul.
De vergelijkingen (3) kunnen nu als volgt geschreven worden:

—nr+bqg=ar Hay +a,z —v; — snelheid volgens de 5-as,

4). Er—Llp=be' +b, y'+b,2' =», = » ” » 1-48,
—S9g+npa=e'+ey +o, 2 = 1 = ” ” ” G-as.
of in determinantvorm :
7 . Tl)
oe 5
ig) AIRE
Gete tar eee : = 5
(5) : a Nl
Pq | ET
ke 7 ¢

Wij maken uit deze vergelijkingen de volgende gevolgtrekkingen :

1°, De punten van ’t lichaam, die in rust zijn, liggen op de lijn
£2, wier vergelijking is:
6 &
Oeh el hed :

De heweging is op 't beschouwde oogenblik dus aequivalent met
eene wenteling om de lijn 2, die daarom de oogenblikkelijke as heet.

Ê A OER
Zij maakt met de assen hoeken, wier cosinussen Ee Zin, als

=p? + g +r° gesteld wordt.
20, Worden uit (4) &, », & opgelost, dan vindt men b. v. voor &:

OT q en q
El pr opl =ijt, 0 PIP (pee 94, ore
—q Pp 0 ie Pp 0
dus
v
La OS yee ae _§ = Cos (Q,v) = 0
oO v ov oO v

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN, 13

DOUÉ Ip APE Fan re

|
BO) ie eg? ie nets = =
v eden Van. elen OE

@? or cos ({2r)
arcos(Qr), 7?

== @* > sin® (Ory = @ 2

als Z de lengte is van de loodlijn, uit het punt op de as {2 neer-
gelaten en r voorstelt den afstand van het punt tot den oorsprong.
Omdat w de snelheid is van een punt, dat op de eenheid van af-
stand van Q ligt, heet @ de hoeksnelheid van de wenteling om (2.

Hieruit blijkt, dat de beweging op ’t beschouwde oogenblik aequi-
valent is met eene wenteling om de as £2, waarvan de hoeksnelheid
gelijk w is.

14. Uit de vergel. (5) volgt, dat p de snelheid voorstelt van het
punt (0, 1,0) in de richting van de Z-as, of die van het punt (0, 0, 1)
in de richting van de -y-as. Men mag dus p beschouwen als de
hoeksnelheid, waarmede het lichaam om de ¢-as wentelt. Evenzoo
blijkt, dat g de hoeksnelheid is van de wenteling om de y-as, en r
die van de wenteling om de ¢-as.

De wenteling om de oogenblikkelijke as {2 met de hoeksnelheid
w is dus aequivalent met de drie wentelingen p, q, r, om de beweeg-
lijke assen. Wordt dus op de as {2 een stuk afgezet gelijk aan
w lengte-eenheden, dan zullen de projecties van dat stuk op de be-
weeglijke assen p, g, 7 eenheden bevatten, zoodat lijnen, die aswen-
telingen in grootte en richting voorstellen samengesteld en ontbon-
den kunnen worden volgens dezeifde regels als lijnen, die snelheden
en versnellingen voorstellen.

Men spreekt daarom ook van het parallelogram en het parallele-
pipedum van wentelingsassen.

HOEK VERSNELLINGSAS.

15. Worden de vergel. (5) naar t gedifferentieerd, dan komt er

dog a _|q'r qr
nee Pe ie
geep A en 7:
N Ee Le GE $ (7)
LD)
GE PW
el ai Ea

Hieruit blijkt, dat de versnelling van het punt &%,5 de resul-
tante is van twee andere:

14 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.
1°. De versnelling

Vee

A ie ae ak hed
V le kin eden

= ©, Rsin (22, À) = a, bj,

als R de afstand van het punt tot den oorsprong, J, die tot de lijn

£2) (= = at = =) voorstellen en @,2—=p’?-+ q°? + r”? gesteld wordt.
P q 4;
| pgr
Zij staat loodrecht zoowel op @2, (want p Le = 0) als op À
sn

(want ook — 0) , is dus loodrecht gericht op het vlak be-

Ent
paald door het punt en de lijn Q).

Omdat ©, de versnelling is van een punt op de eenheid van
afstand tot de as £2,, heet w, de hoekversnelling om de as 2, die
daarom de hoekversnellingsas don wordt.

112
2°. De versnelling ae mf

=ovsn(2. Vy = ave
qr

loodrecht gericht zoowel op £22 als op den snelheidsvector V, en
omdat £2 en V elkaar rechthoekig kruissen, zal de versnelling lood-
recht op £2 gericht wezen, en wel naar de as ©, omdat zij gericht
is in den zin van de wenteling om 4.

16. p' stelt de versnelling voor van het punt (0, L, 0) in de richting
van de ¢-as of van het punt (0,0, 1) in de richting van de #-as.
De hoekversnelling @, om de as 2, is dus aequivalent met de drie
hoekversnellingen pq r° om de beweeglijke assen. Men spreekt
daarom ook van het parallelogram en het parallelepipedum van hoek-
versnellingsassen.

17. De Cosinus van den hoek tusschen 2 en (2, wordt gegeven
door

ne PPA a, A
© ©) Oo; a)

Vallen dus die assen samen, dan is de hoekversnelling , gelijk
aan de afgeleide @' van de hoeksnelheid naar den tijd. Vallen ze
niet samen, dan is de ontbondene van @, volgens {2 gelijk aan
deze afgeleide.

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN. 15

HOEKVERSNELLINGSASSEN VAN HOOGERE ORDEN.

1. Worden (7) nog eens naar t gedifferentieerd, dan vindt men

elf? ali +| fp
HO AT °
dh AA al

Hieruit leest men drie componenten van de versnelling der 2e
orde, nl.
ger

1°, Eene gelijk V Ê Li.
op=p Hg"? + r'? gesteld wordt en Z de afstand is van het punt

p" (TE à

== 0, Rein (2, BR) = ob als

tot de lijn 2, = hr — aE Zij is loodrecht gericht zoowel

op 2, als op À, dus loodrecht op het vlak bepaald door het punt
en 2.

20. Een tweede gelijk 2 74

loodrecht gericht zoowel op 2 als op V, dus loodrecht op het vlak
bepaald door @ en V. Zij stelt dus de versnelling voor van het
vrije uiteinde van den snelheidsvector V ten gevolge van de hoekver-
snelling o, om de as {2 Zi) is loodrecht gericht op het vlak be-
paald ot £2, en V in den zin van de (PÉTER a.

3. Eene derde gelijk 54 =e

ls dt

den versnellingsvector van de eerste orde van het punt voorstelt.
Zij is loodrecht gericht zoowel op {2 als op &, dus loodrecht op het
vlak door © en & bepaald, in den zin van de wenteling om Q. Zij
stelt de snelheid van het vrije uiteinde van den versnellingsvector
van de eerste orde voor ten gevolge van de wenteling om de oogen-
blikkelijke as Q.

De hoek tusschen £2; en £2, wordt gegeven door

ASD
p = 2 @yvsin (2 V). Deze is
AE

=o ea sin ({2 d) waar d

p' p' ! 11 y' r' ! !
+ qq @j @ OR
wang), Opel 1

(02) Do (02) Go a Oo

Valt dus {22 samen met £2;, dan is de hoekversneiling wg van
de 2e orde de afgeleide @,' van de hoekversnelling &, van de 1°
orde; valt ze er niet mede samen, dan is de ontbondene ©, cos ({2, £2))

16 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

van wy volgens (2, gelijk aan die afgeleide. Men kan nl. ook spre-
ken van het parallelogram en het parallelepipedum van hoekversnel-
lingsassen van de 2e orde, aangezien de hoekversnelling ws om de
as {2 aequivalent is met de drie hoekversnelllingen p", g',r" om de
beweeglijke assen.

19. Het is duidelijk, dat men voort kan gaan met de vergelijkin-
gen (8) naar den tijd te differentieeren, deze nieuwe weer enz., waar-
door de versnellingen van de 3, 4e orde enz. zullen gevonden worden.

Men vindt voor de ontbondenen a, =a) a, = 7+), ger

van de versnelling @ van de n° orde de uitdrukkingen:

mn

2

gem) ram)
ne) Em)

mn

DA

==)

pam) pa—™) AA Sn Ce arte ( 9)
40) Em)

prm) ga—™)
2 (m) 7 (m)

. ML = . . : 5 5
waarin ( ) de me binomiaalcoefficient van de ne macht is. Hieruit
m

volet :
n 5 m—1 m—1
a — Resultante |oo, i Jl Om Sin (ei a \| n=
7
EAD PE en

n .
als (5) = 1, am =o, al =v genomen wordt; of in woorden:

De versnelling van de n° orde is de resultante van (n+1) com-
ponenten ; eene loodrecht op het vlak bepaald door het punt en de

5 &
versnellingsas 2, van de n° orde | — = TT = =) en gelijk aan
pe) qe p(n)

On, Un G — o” gere g°) FE „ent, == afstand van het punt tot de as 2,)

n m—1 É m—1
en n componenten ( enn a sin (2 a ), OON, 2e ER
m

ieder loodrecht gericht op het vlak, bepaald door de overeenkomstige
ml

hockversnellingsas Qn en den versnellingsvector @ .

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN, 17

Verder is het duidelijk, dat men spreken kan van het parallelo-
gram en het parallelepipedum van hoekversnellingsassen van iedere orde.

VRIJE BEWEGING-VAN EEN LICHAAM.

20. Laat de oorsprong van het met het bewegend lichaam vast
verbonden assenstelsel 0§ 7 € op het tijdstip € x, yo 2) tot coördinaten
op de vaste assen hebben, zoodat de transformatie formules nu zijn :

ramt ak + by Hef
y=y+t45 + by Hed
2=2+4,§ bn oh End

Worden dus in (2) 2, y,z vervangen dan z—e, y—40, 2—29, dan
vindt men bovenstaande vergelijkingen. Deze kunnen geschreven
worden als volgt:

BEN à
Per dan:
gele UP ee eo prs lie stier kk ce, vet (61sec 0 (11)

waar v° de snelheid van den beweeglijken oorsprong voorstelt en
vz, vy, vg, hare ontbondenen volgens de beweeglijke assen.
Hieruit volgt :
par
19. P (% Ae hd Ort dn Ce Sm pg | ==10
N

c

zoodat de uitdrukking pog + qv, + rv, voor alle punten van het
Ty

lichaam dezelfde waarde heeft, dus ook Zo 2; + — Vg of de
@ @ a)

projectie van de snelheid op de oogenblikkelijke as 2.

20, dat de snelheid v de resultante is van v® en ol.

De beweging van het lichaam is dus aequivalent met eene wen-
teling om de oogenblikkelijke as © = = ~ == met de hoek-
snelheid en eene verplaatsing van het lichaam, waarbij elk punt
de snelheid v® heeft, welke verplaatsing wij eene verschuiving met
de snelheid w zullen noemen. De snelheid van elk punt heeft tot
ontbondene in de richting van de oogenblikkelijke as eene snelheid
gelijk v0 cos ({2v®), die wij T zullen noemen.

E 2

Verhand, Kon. Akad. v. Wet. (le Sectie). Dl, IL.

18 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

21. Zijn er punten, wier snelheid gelijk T is?

De coördinaten van zulke punten moeten voldoen aan de verge-
lijkingen:
Hie oe j 2 2
CE RE qt
1e Et ae, bre) = Qu), Hr) — a we
re

FR
= (po, + qu, +70) — 0,

welke ook als volgt kunnen geschreven worden:

|
1e Gs fe 0) =r (4 xf Ma)
oi CRE
get PW
r( mt 2 o)=p(t— on +02)
g Ë
Ue
P (: Wr gf *) = AG = ij a 3 0?)
6 us
zoodat de gevraagde punten liggen op de lijn
dk ede en
ve vl v0, we v0 vo
ee SOS ERN ge
12 q 4

eene lijn dus evenwijdig aan de oogenblikkelijke as ©, gaande door
het punt &, n,, &,, gegeven door

En N'OSE
(SE — y0 y0 :@
£
RD.
Jen vo „0 : @?
CG
| ae |
v (2)
EL

De beweging is dus ook aequivalent met eene wenteling om deze
lijn met de hoeksnelheid @ en eene verschuiving volgens deze lijn
met de snelheid 7; m.a.w. aequivalent met eene schroef beweging.
Deze lijn vormt de as der schroef waarvan de spoed is 7, Daarom
zullen we die as de schroefas van de beweging noemen,

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN. 19

22. De lengte 7) van de lijn, die den beweeglijken oorsprong
met het punt &, 7, ¢,, verbindt is

if
a

als w de ontbondene 4/ v°? — 7? van de verschuivingssnelheid lood-
recht op {2 voorstelt. Dus «w=7,@. Verder staat 70 zoowel lood-
recht op 2 als op v°, en meet ze dus den kortsten afstand tusschen
de schroefas en v°, bijgevolg geeft de wenteling © om de schroefas
aan den beweeglijken oorsprong de snelheid «u.

Hieruit blijkt dus, dat de wenteling @ om de schroefas aequivalent

is met de wenteling w om de as 2 = ene = + eene ver-
ihe

q La
schuiving w loodrecht op het vlak van beide assen, waaruit dan ver-
der volgt, dat de verschuiving u aequivalent is met een koppel van
aswenteling, gelegen in een vlak loodrecht op wu, terwijl de afstand
dier assen »xX hoeksnelheid =r,@=u is. Dit produkt heet het
moment van het koppel.

HET

et sm (2 00e, u
vv? wl} ©
Ee ae re

a? o

VERSNELLINGEN.

23. Worden de vergel. (10) naar den tijd ¢ gedifferentieerd, dan
komt er:

ear qr Gas
ek E = ng
rp rp
=n + |; de: oe
wae Sa pq Pq
(a vS de En

Zij verschillen alleen van de vergelijkingen (7) door de termen
Eos no $9 in het tweede lid, de versnellingen nl. volgens de beweeg-
lijke assen van den oorsprong, en wier resultante gelijk is aan die van
de ontbondenen in (1) genoemd, als daarin » = 1 genomen wordt.

De versnelling is dus de resultante van drie componenten nl.
de twee in § 15 genoemd, @?/ loodrecht gericht op de oogenblikke-
lijke as, @,1, loodrecht op het vlak bepaald door de hoekversnel-
lingsas ©, en het punt, en eindelijk de versnelling van den oor-
sprong, de snelheid van het vrije uiteinde van den vector v°. Deze

: : ‘ : dv?
laatste kan ontbonden worden in de tangentiale versnelling —_ en

9%

20 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

in de normale versnelling @ v° sin (Q v0) = @ u, als u de ontbondene
van v® loodrecht op de oogenblikkelijke as is, welke ontbondene ge-
woonlyk de orthogonale snelheid van den oorsprong heet.

Het is duidelijk, dat de versnelling van elke orde de resultante
is van de componenten (9), die men vindt, als de oorsprong van
het beweeglijk assenstelsel wast is, vermeerderd met de versnelling
van dezelfde orde van den oorsprong, en die gegeven wordt door de
drie componenten in (1) genoemd.

24. Een bijzonder geval van deze beweging is dat, waarbij alle
punten van het lichaam zich bewegen evenwijdig aan een zelfde vlak.

In dat geval beschrijft ieder punt eene vlakke baan, zoodat geene
versneliing van eenige orde eene ontbondene loodrecht op dat vlak
heeft Bi deze beweging moeten dus alle hoekversnellingsassen
samen vallen met de loodlijn uit den beweeglijken oorsprong op dat
vlak neergelaten, waaruit verder volgt, dat ©, = &',_, =o", . =
== wo” is.

OOGENBLIKKELIJKE ASSEN EN OOGENBLIKKELIJKE MIDDELPUNTEN
VAN HOOGERE ORDEN.

25. Uit de formules (9) voor de ontbondenen van de versnelling
van de n° orde van een punt eens lichaams, dat om een vast punt
beweegt, volgt:

19 dat die ontbondenen liniaire functies van de coördinaten §, », ¢,
van het punt zijn;

2° dat de coefficienten van &, 7, & alleen af hangen van p, 9, 7
Py qr pd, g, r®, zoodat ook de determinant van het liniaire
stelsel alleen van deze grootheden zal afhangen.

Zoo is b.v. de determinant Di, welke behoort bij de versnelling
van de 1° orde:

pO BTE AIDE ag ol

D, =| pgr, 9? — @, gr — p |= &°(@"° — &;°), . . (12)
pr— gg + por —

terwijl de determinant Dz van de 2° orde is
3 pp —3 © a , 2pq'tp'q+ (@*r—r"), 2 pr! +-p'r—(@?g—q")

D, =|2 p'q+py'—(@?*r— 1), 3 qq —3 © a! , 2gr'4gr Hopp")
2 p'rt pr! Hogg), 2q'r+gr' opp"). 3 rr'—3 oa!

Wordt deze ontwikkeld in gedeeltelijke determinanten, waarin de
ermen 3@0', @2?p—p", @%q—q", @2r—r" behouden blijven, dan
’ Pare gf : )

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN. 21

vindt men, dat de som der termen, die onafhankelijk zijn van ge-
noemde uitdrukkingen, identiek gelijk nul is. De overige geven
samen :

D; = 30 [@' {I—2 0? (@?— a2} — 0? fa, © —0! wg cos (Q Qs) —

— @g {@' @y—@, @', cos (ER LT]... .. (13)
waar

r
r
11
r
den inhoud voorsteit van het parallelepipedum op ©, @), wa ais rib-
ben beschreven.

Vallen 2 en @, samen, zoodat ©, =@' en @, cos (2 2,) = a"
is, dan gaat deze determinant D, over in

Dig te SIN? CGAY, vene un (14)

en wordt dus gelijk nul, wanneer ook 2, met 2 en Q, samenvalt. D,
wordt dus nul voor @ = 0 en ook voor @,=@'; = w", als dus de
drie hoekversnellingsassen van de O°, 1° en 2° orde samenvallen.
D; wordt nul voor #=0 en ook voor &, = «', als dus de assen
2 en 2, samenvallen.

26. Is de determinant D, ongelijk aan nul, dan kan men in
het lichaam altijd één, maar ook slechts één punt aanwijzen, welks
versnellingsvector van de n° orde eene vooraf bepaalde grootte en
richting heeft, en dan is het vaste punt het eenige punt, dat geene
versnelling van de »° orde heeft.

Is de determinant D, gelÿk nul, dan heeft ieder punt van ’t
lichaam nog de versnelling van de n° orde, aangewezen door de ver-
gelijkingen (9), maar nu bestaat er eene betrekking tusschen de ont-
bondenen van die versnelling, zoodat het nu niet altijd mogelijk zal
zijn een punt van ’t lichaam aan te wijzen, welks versnellingsvector
van de n° orde eene vooraf bepaalde richting en grootte heeft.

Daarentegen bestaat er nu eene rechte lijn in het lichaam, die
door het vaste punt gaat, wier punten geene versnelling van de ze orde
hebben, en die alzoo de oogenblikkelijke as van de n° orde kan ge-
noemd worden. Hare vergelijking wordt gegeven door’ twee van de
drie vergelijkingen (9), als daarin de eerste leden gelijk nul gesteld
worden.

27. Nu is de determinant D, niet identiek gelijk nul, omdat
gemakkelijk kan aangetoond worden, dat er altijd een geval denk-

29 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

baar is, waarbij het vaste punt het eenige is, dat eene versnelling
van de n° orde gelijk nul heeft.

Onderstellen we nl. dat alle hoekversnellingsassen behalve de
laatste of 2, samenvallen met de oogenblikkelijke as, dan liggen de

m—1 ml
n componenten (") o @ sin (2, «) allen in het vlak dat

loodrecht op de gemeenschappelijke as staat en door het punt gaat.
De (n + 1)e component &, J, ligt buiten dat vlak. Werd het punt
op de gemeenschappelijke as gekozen, dan is de versnelling gelijk
onl, ; en werd het punt gekozen op @,„ zelf, dan zou de versnel-
ling alleen nul kunnen wezen, als dit ’t geval was met de resul-
tante van de eerstgenoemde » componenten ; eu daar deze zeker niet
voor alle punten in het normale vlak nul kan wezen, behoeft men
2, slechts getrokken te denken door een punt van dat vlak, voor
hetwelk die resultante niet nul is. De uitdrukking (14) voor D, be-
vestigt de stelling.

In ’t algemeen dus zal 2, niet nul wezen, maar alle mogelijke
waarden kunnen hebben, aangezien de grootheden ©, @j, @)....@n
waarvan ze afhangt, geheel willekeurig zijn.

28. Is D, —0, dan moet er dus eene betrekking tusschen de
hoekversnellingen bestaan.

Twee betrekkingen kunnen wij uit (9) afleiden, voor welke D, = 0
moet wezen.

Berstens alto, = © mo RE ete Die, mata
alle hoekversnellingsassen van de 0° tot de n° orde samenvallen. Want
dan zijn pO, g, r© evenredig met p, q, r; en worden in (9) § even-
redig met p, 7 met g, & met r gesteld, zoodat het punt op de oogen blik-
kelijke as & wordt aangenomen, dan worden alle determinanten in de
tweede leden gelijk nul, en met dezen ook de versnelling «- De oogen-
blikkelijke as van de 0° orde is dan tevens die van elke audere orde.

De tweede betrekking blijkt uit (10), als deze op de volgende
wijze geschreven wordt:

n oO A oO
5 | @ © ,@ sin (2. a“ ) B Dat
— Result. Wy jn 5 n—l n—l
(7) sn (Se VEREEN

n—3 n—3

n 2 2
RRD n—1 | @n+1 @ sin (Su « |, n—1 n—l
2 2 2 n 2 d 2
n+l n+1 (5) Oni & sin ( Or )
n AN 2 2 2 a
ooo l n—l J@n—g @ sin( 2, 3@ },
en En 2

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN, 23

als n oneven is,

n Le) oO

Ed (eo SN See) OF! SPORE EEE
a it n—l n—l
a = Result. | on bo 7, n—1 n—1

(ee sin (ete),

n—2 n—2

n a on

see ee (2f@n «a sin Pree

DARE 2

n a
n 2 7 2
Mr n ] no @ sin| 2, oa

2 2 Ex

als n even is.
Omdat nu met © = @,=..... =o, = 0,gepaard gaat 2° =a! =

n
=a —=...=a!= 0, zoo zien we, dat de versnelling a van de ne orde
zich reduceert tot @p J, en dat bijgevolg de as £2, de oogenblikkelijke as

van de ze orde is, zoodra @ = 6 = .... = @y_1 = 0 is voor n oneven,
=

Al = @,-2 =0 voor n even. Tevens blijkt, dat elke
2

hoekversnellingsas van lagere orde de oogenblikkelijke as van de-
zelfde orde is. In ’t algemeen geldt de stelling:

Is © = © = @,=.... = © = 0, dan is 41 de oogenblikkelijke
as van de (LH 1} orde, Si+2 die van de (1+ 2)¢ orde, ......
LOai+2 die van de (21 + 2)¢ orde.

De uitdrukking (12) voor D, geeft aan, dat deze alleen in beide
gevallen nul wordt, terwijl ook D, nul wordt van @ = 0 volgens
(13) en voor @ = @'; =o" volgens (14).

29. Bij de wenteling van cen lichaam om een vast punt is er
dus in ’t algemeen altijd één, maar ook slechts één punt aan te
wijzen, welks versnellingsvector van de n° orde eene vooraf bepaalde
grootte en richting heeft, zoodat het vaste punt, waarom het lichaambe-
weegt, het eenige is, waarvan de versnellingen van alle orden nul zijn.

30. Heeft een lichaam eene geheel willekeurige beweging, dan
bestaat er in het algemeen slechts één punt, welks versnellingsvector
van de ne orde nul is, dat dus een oogenblikkelijk versnellingsmid-
delpunt van de n° orde is. Omdat er toch slechts één punt is, welks
versnellingsvector, in de onderstelling nl. dat de oorsprong vast ge-
dacht wordt, gelijk maar tegengesteld gericht is aan den versnel-
lingsveetor van dien oorsprong, zoo zal dat in werkelijkheid eene
versnelling van de #° orde hebben, dic nul is. Omdat in ’t alge-
meen D, niet gelijk nul is, bestaat er dus in ’t algemeen een oogen-
blikkelijk versnellingsmiddelpunt van de n° orde,

24 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

31 Noemen we de coördinaten van dat oogenblikkelijke versnel-

n
lingsmiddelpant &, 7, Cm en is «, de versnelling van de n° orde
van den oorsprong van het beweeglijk assenstelsel, dan is volgens (9)

mn

a is de => 6

en volgens onderstelling

mn
tt n
ee (x)

m=O

gm) (mn)
ne tm |’

gum y(n—m)

ne Lied

zoodat door aftrekking hieruit volgt:

mn

(EE) (—11)02)

n 5 g@—m) r(n—m) \
== m ) |

La ee

Evenzoo 18 mn
n = pe ram) pom) Fe
He a (FL) (EB ye (15)
i m=n pir—m) gem)
—— n

eae és

Deze formules gaan over in (9), als §—§, n—m, $—Si veranderd
worden in & 7, 6, m. a. w. als het oogenblikkelijk versnellingsmiddel-
punt tot oorsprong van het beweeglijk assenstelsel wordt gekozen.

De versnelling van de ne orde van een punt eens lichaams, dat de
meest algemeene beweging heeft, is gelijk aan die, welke het hebben
zou, als het oogenblikkelijke versnellingsmiddelpunt van de n° orde
tot vasten oorsprong van het beweeglijke assenstelsel wordt gekozen. De
versnellingen van de Ge tot aan de (#—1)° orde, welke dit punt heeft,
wijzigen de versnelling van de n° orde in geenen deele.

32. Is D, echter gelijk nul, (zooals bij D,, die identiek gelijk
nul is, bij D, voor © =0 en voor =; bij D, voor a= 0 en
@ == @,'== @") dan bestaat er eene liniaire betrekking tusschen

n n n n n n

Ug — Hog, by — Ur Ay — Ut die identiek gelijk nul is. De coeffi-
cienten van die grootheden (nl. de onderdeterminanten van de 1°
orde van D,, welke uit twee kolommen kunnen gevormd worden)
zijn functies van @,@j,@z, ..... Or Noemen we ze kortheidshalve

A, B, C, dan is dus

DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN. 25

n n n
Aag + Ba, + Cay = standvastig.
In geval dus D, =0 is, bestaat er eene richting volgens welke

de ontbondene van @ voor alle punten dezelfde grootte heeft.

De richtingscoefficienten van die lijn zijn evenredig met het drie-
tal onderdeterminanten, die gevormd kunnen worden uit twee kolom-
men van D,, terwijl de richtingscoefficienten van de oogenblikkelijke
hoekversnellingsas evenredig zijn met de drie onderdeterminanten,
welke uit twee rijen van D, kunnen gevormd worden. Zonder nader
onderzoek mag dus niet aangenomen worden, dat beide richtingen
samenvallen, en dus de mogelijkheid bestaat, dat er bij alle versnel-
lingen van hoogere orde eene as is, wier punten alle dezelfde ver-
snelling alleen im de richting dier as hebben, evenais dit het geval
is bij de versnellingen van de 0€ orde.

33. Evenwel kan aangetoond worden, dat wanneer &, de oogen-
blikkelijke hoekversnellingsas van de n° orde is, er eene schroefas
van de „° orde bestaat.

In dit geval toch zijn de vergelijkingen voor de ontbondenen van
de versnelling van de n° orde:

n n | ge) y(n) |
Hd — à
VE n 5

5 ue Ee 1 @) px)
x Oy, al GE

n n pm) 7
een

Worden deze vergeleken met (11) in § 20, dan ziet men, dat
daar p, q, 7, v veranderd moeten worden resp. in p™, 9%, 7%, a)
om in deze over te gaan. Met deze verwisseling kunnen we het
daar gevonden resultaat overnemen.

Het blijkt dus, dat ingeval 2, is de oogenblikkelijke hoekver-
snellingsas, 10. er eene schroefas van de n° orde bestaat, 20, dat eene

n
verschuiving met de versnelling @ aequivalent is met een koppel
n
van hoekversnellingen van de n° orde, welks vlak loodrecht op «

ma
gericht is en welks moment gelijk « is.
34, Geschiedt de beweging van het lichaam evenwijdig aan een
plat vlak, dan moeten alle hoekversnellingsassen samenvallen met

26 DE VERSNELLINGEN VAN HOOGERE ORDEN.

de loodlijn, uit den beweeglijken oorsprong op dat vlak neergelaten
en bestaat er bij deze beweging altijd eene oogenblikkelijke as voor
elke orde,

De doorsnede van die as met het vlak zal dan het oogenblikkelijk
middelpunt kunnen genoemd worden van de beweging der doorsnede
van het lichaam met het vlak.

bl.

ER ATA.

12, regel 4, be lees be

uu il d

13, » 14,

wy
ÿ
Uri

£4 seks ay > —7
ir p Zp |

tb. > 3, | » ay,
io Ë 58

15, regels 12, 13, 14, Q » QQ).

19, regel 17, (10) >» (11).

EEE

Ame he Ses
> De Reever Kröber-Bakels.

User

ON THE ASTIGMATISM

ROWLAND'S CONCAVE GRATINGS.

By De. JA "SERK S,. Groningen.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)
DEEL II. No. 6.

(With one Plate.)

IC

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1894.

ON THE ASTIGMATISM

OF

ROWLANDS CONCAVE GRATINGS,

By De. J. iL. SIRKS, ‘Groningen.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)
DEEL II. No. 6.

(With one Plate.)

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1894.

ON THE ASTIGMATISM OF ROWLAND’S CONCAVE GRATINGS.
By Dr. J. L. SIRES, Groningen.

y 5) -

In a well-known paper of Mr. J. S. Ames, On Concave Gratings
for Optical Purposes !), the following passage orcurs. , Owing to
„the astigmatism of the grating, it is not possible to adopt the usual
, method of illuminating part of the slit with the solar image and
„part with the spark or arc; and so a different and far better plan
„is adopted. A compound photograph of the two spectra is taken
„in the following manner.”

Yet this new plan, devised and executed by Professor ROWLAND
with his wonted success, is only applicable by means of photography,
as the photographs of the different spectra must be taken one after

another; and if the precited statement, — which, so far as I see,
neither Mr. Ames nor Prof. ROWLAND, at whose request he wrote,
has recalled or modified — were to be accepted in its apparent

purport, the beautiful instrument with which Mr. Rowtayp has
endowed the spectroscopist would be unfit for the direct comparison
of spectra from different sources by ocular observation, that was
always regarded as a precious function of the dioptric spectroscope.

Fortunately however, though in the literal acce tation of the words
it is useless to illuminate part of the slit with one source of light
and part with another, it is certainly possible to institute the
intended comparison, at least with the first and second spectra, by
a slight modification of the common method: the prisms or other
equivalent contrivances that are generally used to introduce lateral
beams of light, need only be placed not against the slit, in A (Fig. 1),
but at a distance 9 sec y — g cos» from the slit, 9 sec » from the gra-
ting, viz. at a point Q, being the intersection of BA and the tangent
in the focus C.

1) Phil. Mag. XXVII, p. 381, 1889; cf. Astr. and Astro-Ph. 1892, p. 39.

Eel
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. II.

4 ON THE ASTIGMATISM OF ROWLAND’S CONCAVE GRATINGS.

In order to demonstrate the truth of this assertion let us consider
the pencil of monochromatic rays that will, after the reflection at
the grating, concur in the focus at C. It may be divided into what
I may be allowed to call vertical , fans” of rays, each of them
being limited by two vertical planes passing through the slit and
including an infinitesimally narrow strip of the grating. Now all
the rays contained in such a , fan”, in order to concur at C without
any difference of path, must issue from an apex situated in the
line CQ, being the axis of the spherical surface, part of whose
equatorial region is occupied by the grating.

On the other hand the horizontal fans of rays into which the
pencil may be divided, by theory of diffraction have their apices
in the shit. So all the rays that concur at C must have passed
successively through two caustics: the one realised by the slit,
the other only virtual, lying along the line GH, where it may be
realised by another slit, if the source of light be placed at a suf-
ficient distance. It will be easily seen that the length of the first
caustic, the available part of the slit, is bx QA/QB=6dsin?»,
that of the second GH=a X QA/BA=atg*»v, a and b being
the horizontal and vertical dimensions of the grating.

The existence of the second caustic, that is of great importance
for the complete theory of the instrument, may be very simply
demonstrated ad oculos by stretching a thin wire in Q along GH
across an incident beam of sunlight: the result is a perfectly defined
narrow black band passing horizontally across the field of the eyepiece.
Any other horizontal strip of the field has its own conjugate
horizontal strip, of a somewhat greater width, in the proportion
o sec v/e, a little above or below Q in a vertical plane passing
through GH. Yet every single point in the strip of the field, be-
longing to one single 4, derives from the conjugate horizontal caustic
//GH in its full length; conversely every point of a horizontal slit
above or below GH has its horizontal linear image in the field
depicted by rays of different A's.

If the horizontal band, seen in the field, is required to have a
width h, the horizontal sht in GH must be replaced by a rectan-
gular diaphragm height hXQB/BC=hsecv, length as before
GH=atg?». At the same time the vertical slit ought to be
lengthened by the quantity cos», until it gives passage to all the
rays issuing from the diaphragm that can reach the grating; so
the full length becomes h cos » + b sin? ». All the rays that are ob-
structed by the diaphragm, if admitted would only tend to increase
the disadvantageous illumination of the field by scattered light.

ON THE ASTIGMATISM OF ROWLAND’S CONCAVE GRATINGS. 5

Any incident ray passing through the diaphragm over (under) the
line CQ and through the slit will come at a focus in the lower
(upper) half of the field. A short but rather broad prism, 2 or 3
mm. in height, placed at Q and reflecting lateral solar light, will
give a narrow solar spectrum with perfectly defined edges, passing
through the centre of the field; at the same time it will obstruct
none of such rays, emanating from a sodium-flame or arc-light placed
somewhere about T, as may concur in forming a sodium- or metal-
spectrum in the remaining part of the field. Of course if we wish
to get the metal-spectrum as bright as possible, the cone of light
furnished by the condensing lens S must be wide enough to fill up
the wedge formed by the rectangular diaphragm and the slit.

With the third and ulterior spectra and with a very large grating
the condensing lens should be of rather great dimensions, so I think
the method will only be quite applicable with the first and second
spectra. I may add that probably the very best plan would be to
have a bicylindrical lens, or two cylindrical lenses put crosswise, of
such a curvature that both its orthogonal caustics might coincide
with the above named caustics of the grating; but every different
angle » or at least every successive spectrum would require its
especial lens.

Through the kind permission and efficacious assistance of Professor
Haca I have been able to control the above by a provisional exper-
iment. A narrow central band of the field on a black ground
showed the first sodium-spectrum originating from a strip of mirror-
glass, height 2,5 mm., placed along the caustic at Q, at 171 mm.
from the slit, and upon which the light of a lateral Bunsen-flame
was concentrated through a lens, f = 150 mm. The strip of glass
just arrested the superfluous central part of a direct beam of sun-
light that filled out the upper and lower parts of the field with its
spectrum. The sunlight had to be passed through several layers of
wire-gauze in order to bring down its intensity to that of the reflect-
ed sodium-light. Now in the compound spectrum the two positive
sodium-lines ended abruptly where the negative sodium-lines began ;
yet two very narrow sharp black lines, about 0,1 mm. wide, sepa-
rated the three contiguous spectral bands: this was occasioned by
the strip of glass having been simply cut with a diamond without
any ulterior grinding or polishing; so the somewhat rugged edges,
while they were unable to take part in the reflection of the sodium-
flame only acted as a barrier against the sunlight grazing them.

In order to try to what limit, if need be, the method can be
applied, we turned the moveable girder of the spectroscope on to

6 ON THE ASTIGMATISM OF ROWLAND’S CONCAVE GRATINGS.

the last or fourth spectrum with » = 68°, sin » = 0.928. A knitting-
needle held in the horizontal caustic, that now lay at 714 em. from
the slit, was accurately represented by a narrow black line across
the solar spectrum. This proves that the definition in the images
of horizontal lines, produced by the vertical fans holds good even
at this great angle of incidence.

I still may remark that the whole action of the hollow grating
with a radius e, may for these fans be regarded as the result of
three successive operations: one being that of a first concave mirror,
with a radius 2e, but reduced by astigmatism to a radius 2e sec »,
that brings the incident rays to parallelism; the second that of a
plane grating, which occasions the diffraction at an angle »; the third
that of an other concave mirror 20, which makes the diffracted
parallel rays converge into a focus. The distances and dimensions
of two conjugate images may be simply calculated by the formulae
for one mirror with f= e/(1 +cosv), as may be proved in the fol-
lowing manner.

Let BK (Fig. 2) be part of a very narrow vertical strip, and B
the centre of the mirror, C the centre of curvature; D and E two
conjugate foci determined by their height +; = DM, 2, = EL over the
horizontal plane LBM, by BM=R, BL=r and /MBL=p»p;
o being the radius BC of the sphere, KI=/.

Now with a sufficient degree of approximation we successively

find

P [2 cos »
Bli iM = i, ——————_.
9 29
RP?
KD TM eae ee eae
ther Era
20 2R ;
consequently
2 Be, 1,2
E=r— — 240
. i 20 15 2r

For the point B, /=90, we have

BD R “1
ast ke aR
2

— BE = — 7 en

ON THE ASTIGMATISM OF ROWLAND’S CONCAVE GRATINGS. 7

Hence by addition we find for the difference A of the two paths
DKE— DBE

Now if indeed D and E be conjugate foci, A must vanish for
every value of /, and both the factors included in brackets must
be = 0. So the first factor gives for the relation of the distances

1
RR ¢ o

L 1+cosr

as with a mirror of @/(1 + cos ») focus; the second makes

so that the heights of the images are proportional to the distances
as in common optics.

I think I have shown that the astigmatism of the grating, while
securing to the instrument some precious qualities, is no impediment
against a method of observation that seems to be reputed incompat-
ible with astigmatism. On the other hand the valued quality of
the concave grating, that it shows no dust-lines, and that the image
of a star or a spark on the slit is broadened out into a band, may
be imparted to a dioptric spectroscope by giving a slight convex
spherical curvature to one side of one of the prisms, so that the
instrument becomes slightly astigmatic.

Dec. the 28% 1893.

cer da té f he,

4 A 4
"4

7 "Ur Ï + .
1} pOur AR eee
} 4 2 ‘à

JL. SIRKS. Astigmatism of Rowlands concave gratings.

Fig 1.

lig 2

JBijtel, tah Leiden

Vallen Aled: Wee. (44 Beckie ) DLIL

ces pine F4 .
he

L De R
Bev
er gets ber-Bak
ds. à

rd
- c=

{227 REGELMASSIGE

SCHNITTE UND PROJECTIONEN

DES HUNDERTZWANZIGZELLES UND SECHSHUNDERTZELLES
IM

VIERDIMENSIONALEN RAUME

VON

PP ESOC BOW TE

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)
(DEEL IL. N°. 7.)

(Mit sieben Tafeln und drei Tabellen).

Ee

AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.

1894.

REGELMASSIGE

SCHNITTE UND PROJECTIONEN

DES HUNDERTZWANZIGZELLES UND SECHSHUNDERTZELLES

IM

VIERDIMENSIONALEN RAUME

VON

En EL SCHOUT E

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)
(DEEL II. N°. 7.)

(Mit sieben Tafeln und drei Tabellen),
DD

AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.

1894.

REGELMASSIGE

SCHNITTE UND PROJECTIONEN

DES HUNDERTZWANZIGZELLES UND SECHSHUNDERTZELLES

IM VIERDIMENSIONALEN RAUME

VON

Pr H'SCHOUTE

> en nnen

I. COORDINATENSTELLUNG DES 7,600,

1. Schon vor zehn Jahren hat Dr. A. Pucuta die Coordinaten
der 120 Eckpunkte des Z°° berechnet (Wiener Sitzungsberichte, Bd.
89, S. 817). Deshalb würde ich das zu der Bestimmung der Schnitte
und Projectionen dieses Zelles notwendige Material aus seiner Arbeit
haben schöpfen können. Ich ziehe es aber vor ein von der Pucura’-
schen Methode ganz verschiedenes Verfahren zu veröffentlichen, das
sich in der Anwendung viel übersichtlicher gestaltet, indem es der
mühseligen Auswertung der Coordinaten der individuellen Punkte
umgehend das ganze System dieser Coordinatenwerte fast wie in
einem Schlage zu liefern im Stande ist. Es möge dieses Verfahren
von der entsprechenden Betrachtung im dreidimensionalen Raume
eingeleitet werden.

Bekanntlich bilden die in einen Eckpunkt P (Fig. 1) eines regel-
mässigen Ikosaeders zusammentreffenden Flächen die fünf Seitenflächen
einer regelmässigen Pyramide. Ist die Seitenlänge des Ikosaeders a,
so ist der Radius 7 des dem Pentagon ABCDE der Grundebene um-
geschriebenen Kreises rie und findet man für die Höhe PM
der Pyramide und das Diameter PQ der dem Ikosaeder umgeschrie-

2a

benen Kugel nach el d à li t Up= ee
g inander die Werte V/a2— Vio Laps
2
a
und PM == 4 4yY10+ 21/5.

Gs
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. 11.

4 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

Wir erinnern hier an diese bekannten Sätze, weil sie uns das
Mittel darbieten von einer Coordinatenstellung der Eckpunkte des
regelmässigen Pentagons (Coordinatenanfang in M) zu einer Coordi-
natenstellung des Ikosaeders im Raume (Coordinatenanfang in der
Mitte O von PQ) zu gelangen und ein ganz analoges Verfahren von
der Coordinatenstellung des Ikosaeders zu jener des Sechshundert-
zelles Z,°° führen kann.

2. Das Z,°°° wird von 600 Tetraedern eingeschlossen. In jeden
Eckpunkt P’ dieses Gebildes treten 20 dieser Tetraeder zusammen
und die dem Punkte P’ gegenüberliegenden Flächen dieser Tetraeder
schliessen wieder ein regelmässiges Ikosaeder ein. Es beträgt die
Entfernung P'M’ zwischen P' und dem Centrum M’ des Ikosaeders

TC ae VIVEZ 1 ;
Vo en 3 a2 (10 + 21/5) oder 1° (7/5 — 1) und das Diameter

a?

P'Q' der dem Z,6°° umgeschriebenen Hypersphere oder Pw hat die
Linge «(1/5 + 1).

3. Die Verwirklichung des angedeuteten Gedankens wird am
leichtesten gelingen, wenn die ursprtingliche Coordinatenstellung
des Ikosaeders möglichst symmetrisch gewählt wird. Deshalb be-
ziehen wir das Ikosaeder (Fig. 2) auf eins der fünf von den Quer-
linien gebildeten rechtwinkligen Coordinatensysteme. Da der Radius
der die Kanten des Ikosaeders in ihren Mitten beriihrenden Kugel

1
den Wert V Lao of 2/5) — = a? oder a a(y 5 + 1) «haf,

finden wir für die Coordinaten der zwölf Eckpunkte (4, Aj, Ao, A3),
(B, By, Ho, Bs), (C, Ci, Co, C3) des Ikosaeders in Bezug auf das System
M (Xi, Xas X3)

v7 Tg | &3
il 1
7: ge Vein 0 + a + (5 + 1)
iL 1
TEA es + Za(y5 +1) 0 E ga
1 1 3
OEE tee = lott + + a(/5 +1) 0

wobei alle Zeichencombinationen zu nehmen sind. Gehen wir nun
vom Systeme M'(Xj, Xs, X3, X4), in Bezug auf welches alle Punkte

UND 600-ZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 5

des Ikosaeders eine z4 — 0 haben, durch Verschiebung des X} Xo X3-
Raumes nach dem neuen Coordinatenanfange O' in der Mitte des
Diameters P'Q' zum Systeme O'(X,Xo, X3, X4) über, so ergeben sich
die Coordinaten der Eckpunkte des Ikosaeders und jene der Punkte
P' und Q' in der Form |

Ti Ta %3 %

ek 1
34 + ral5 + 8)

1
0 + La (5 +3)

ì 1
+345 +1) | + paly5 +3)

0 tzal +1)

Durch Einführung des doppelten Zeichens bei der 2, der Eck-
punkte des Ikosaeders sind nun zwei einander gegenüberliegende
Ikosaeder des Z,°°° in Betracht gezogen. Und nun liegt weiter der
Gedanken nahe die Betrachtung mittels Umwechslung der Coordi-
naten auf andere Ikosaeder auszudehnen. Setzen wir nämlich voraus,
das Z,°°° sei in Bezug auf die verschiedenen Achsen in derselben
Weise gebaut — eine Voraussetzung, welche wir nachher auf ihre
Wahrheit prüfen werden —, so gelangen wir zu 96 Eckpunkten
von 8 Ikosaedern und 8 Endpunkten von 4 Diametern PQ. Dabei
ist zu bemerken, dass zur Erhaltung der 96 Eckpunkte immer eine
gerade Zah] von Vertauschungen der Coordinaten

+ Tad +1) 0, + Sa, + a5 +5)
in Anwendung kommen soll.

Ist die gemachte Voraussetzung richtig, so haben wir die 16 uns
noch fehlenden Eckpunkte des Z60 zu bestimmen. Dabei werden
wir von der Zahl 16 dieser noch fehlenden Eckpunkte zu der zweiten
Voraussetzung geführt, dass diese Punkte die Eckpunkte eines Z® seien,
von welchem die Coordinatenachsen vier dritte Querlinien sind. Da alle
Ecken des 2.°°° vom Centrum 0’ die Entfernung 3 P'Q' = 4a(y/5 + 1)

6 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

haben, hat man den Coordinaten dieser 16 Eckpunkte den absoluten
1 : iy Ai A
Wert acts + 1) beizulegen. Und nun hat wirklich jeder dieser

16 Punkte von 12 der 96 gefundenen Ikosaedereckpunkte die Ent-
fernung a, zum Beispiel der Punkt mit den positiven Coordinaten

Ta (5 + 1) von denjenigen 12 der 96 Eckpunkte, deren nicht ver-

schwindende Coordinaten sämtlich positiv sind, u. s. w. Was mehr
aussagt, es werden die beiden Voraussetzungen bewährt, indem man
ein Schema der hypothetischen Coordinaten der 120 Eckpunkte des
Za entwirft und nun nachweist, dass jeder der 120 Eckpunkte
von 12 der übrigen wirklich die Entfernung a hat. Die Ergebnisse
dieser Arbeit sind in Tabellen niedergelegt. Es giebt Teil A der
Tabelle I in i a als Einheit und mit Ersetzung von 4’ 5 durch das
Symbol e die Coordinaten von 60 mit den Nummern 1, 2,.. 60
angedeuteten Eckpunkten; zu diesen gesellen sich die diametrai-
gegenüberliegenden, welche die Nummern —1, —2,.. —60 tragen
werden, mittels Umkehrung der Zeichen aller Coordinaten. Und die
Tabelle Ti zeigt, welche Eckenpaare durch Kanten mit einander
verbunden sind.
4, Es bilden die Punkte mit den Coordinaten

oy | Ta | T3 | T4
3 Je l+e 0 0
— (1 +e) 3 Le 0 0
0 0 3 Je 1 He
0 0 — (1 +) 8 +e

nach einander die Mitten der Kanten (53, 56), (46, —47), (33, 34),
(15, —16). Deshalb wird das Z6% von der Transformation

e—l
2

el B
2 V4.5 À ya = — 2

e—1
À U = dj + De To ; À Ya =, == U + To

1
A yg = 23 + vy + 24

senkrecht auf eine erste Querlinie gestellt. Nimmt man À = 1, so

UND 600-ZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 7
findet man die in Teil B der Tabe'le I angegebenen Coordinaten
> Ì —— ene
in zj 10 (5e) als Einheit.

In der nämliehen Weise führea die Mittelpunkte

SE T2 | "3 Ty
|
IE
etl ; (+0
) | 4 a
ma) 34 0 0
4 2
0 0 ate gil 2
2 4

der Flachen (1, 53,56), (2, 46,--47), (3,33, 34), (4, 15,—16) zur
Transformation

3 +e
Way ry + do: M zg = — ay + En
3 He B 2),
A 25 5 r+ 74, Wey == — 73 + 5 rs |

welche das Z,°°° senkrecht stellt auf cine zweite Querlinie. Für

al ER
Mie : = © und deshalb in jz «V3 als Einheit, erhält man dann

die Coordinatenwerte des Teils © von Tabelle I.
Endlich bilden die Punkte

SL Tg T3 T4

Mes 1

LG +9 CE
ine gs
= 8+) —7 (+9

1 ie
Sill + 5e) | zi (3 + e)

[- 1
Se es

8 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

die Mittelpunkte der Tetraeder (1, 29, 41, 53), (—2, —19, —46, 59),
(—3, —24, 35, —50), (—4, —14, —26, 40). Mittels der Transfor-
mation

1h = (2 + e) + to + 23 + da

ae OB 7 — (2 He) 73 + #3 — ty 3)
We 7 — ag — (2 He) 23 +a, NS |
At = vy + % me (2-6) 44 |

wird das Z450 also auf eine dritte Querlinie senkrecht gestellt. Für

+e 1
A"=2, Einheit — ie © — l)ay/2, erhält man die Ergebnisse des
Teils D von Tabelle I.

II. CooORDINATENSTELLUNG DES Zl,

5. Die Mittelpunkte der Flächen eines Pentagondodekaeders bilden
die Eckpunkte eines Körpers, welcher der Polarfigur des Pentagon-
dodekaeders in Bezug auf die umgeschriebene Kugel ähnlich, mit
dieser concentrisch und also ein concentrisches Ikosaeder ist; dabei
gelten die aus den früher erklärten symbolischen Gleichungen

6 Qi? = 6 DA, 15 Qu? = 15 QV, 10 D2 = 10 Q,20

folgenden Lageverhältnisse. Ganz ebenso bilden die Mittelpunkte der
600 begrenzenden Tetraeder des Z,° ein der Polarfigur 7,6 in
Bezug auf die umgeschriebene Hypersphere ähnliches und mit diesem
concentrisches Zell, d. h. ein concentrisches 21%: dabei walten die
von den Gleichungen

300 Q3600 — 300 D12, 600 Q600 — 600 Q,12,
360 Q,600 — 360 Q,12, 60 1600 — 60 Q,120

angegebenen Lageverhältnisse ob.

Der letzte Satz führt uns zu den vier verschiedenen Coordinaten-
stellungen des Za!*°, welche in der Tabelle [IT angegeben sind. Zur
Andeutung von Entstehungsweise und Zusammensetzung dieser Ta-
belle mögen folgende Erläuterungen genügen. Es bilden die Teile
A und B eine notwendige Vorarbeit zu den eigentlichen Coordinaten-
stellungen C, D, E, F. Der Teil A enthält die der zweiten Ta-
belle entnommenen Eckpunkte von 300 Tetraedern, welche sich
mittels Zeichenumkehrung zu den 600 begrenzenden Tetraedern
des 2Za°° ergänzen. In der nämlichen Folge, worin sich diese Te-
traeder aus der zweiten Tabelle ergeben, sind die entsprechenden

UND 600-ZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 9

Eckpunkte des Z1% von den Nummern 1, 2,... 300 und —1,
—2,... —300 gekennzeichnet. Weiter giebt der Teil B an, wie
die 600 Eckpunkte des Z!° von Kanten mit einander verbunden
sind. So findet man angewiesen, dass die Eckpunkte 1 und 2 des
Z,°° Endpunkte einer nämlichen Kante sind, weil den Tetraedern
(1, 29, 32,53), (1, 29, 32,55) die Fläche (1, 29, 32) gemeinsam ist.
Und nun sind die Coordinatenwerte des Teiles C durch Addition der
entsprechenden Coordinaten der Eckpunkte der Tetraeder aus Teil
A der ersten Tabelle gefunden, in Anschliessung an den Satz, dass
diese Summen die vierfachen Werte der Coordinaten der Tetraeder-
mittelpunkte liefern. Nachher is dann die Länge der Kante (1, 2) be-

rechnet und für die Coordinateneinheit den Wert gefun-

a
2(1 +e)
den. Natiirlich können dann weiter die Teile D, ÆE, F in ganz
derselben Weise aus den Teilen B, C, D der ersten Tabelle gefun-
den werden. Zur Verringerung der immer noch mühseligen Arbeit
haben wir es aber vorgezogen die Werte der Teile D, EZ, F aus
den entsprechenden des Teiles C mittels der Transformationen 1),
2), 3) herzuleiten.

Mittels der erhaltenen Coordinatenstellungen ist das gestellte
Problem véllig erledigt, in so fern als diese uns tiber die bezweckten
Schnitte und Projectionen alle Auskunft geben können.

III. WINKELBEZIEHUNGEN ZWISCHEN RICHTUNGEN VON
DIAGONALEN UND QUERLINIEN.

6. Im Teile À der Tabelle I hat x, für 15 Punkte den Wert
Null, für 12, 20, 12 andere Punkte nach einander die Werte
2, 1e, 3 He und für den auf OX, liegenden Punkt 4 den Wert
2(1 4e. Weil 2(1 +e) deshalb die Entfernung aller Eckpunkte
des Z5% vom Centrum angiebt, bildet die Diagonale (4, —4) mit
diesen 15, 12, 20 und 12 anderen Diagonalen nach einander Winkel
von 90°, 72°, 60° und 36°.

Da auf jeder Diagonale des 7,°°° 15 andere senkrecht stehen,

60X15

giebt es — 450 Paare von auf einander senkrecht stehenden

Diagonalen. Hat man ein solches Paar, wie (3, —3) und (4, —4),
zu den Achsen OX; und OX, erwählt, so giebt es unter den
anderen 58 Diagonalen nur noch ein einziges Paar (1,—1) und
(2,—2), welches OX; und OX, zu einem rechtwinkligen Achsen-
systeme ergänzt, Deshalb bilden die 60 Diagonalen des Z«f® eine

10 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

450 eren
Zahl von Wa 75 rechtwinkligen Achsensystemen und 75 X4=—300

rechtwinklige Trieder.

7. Wir untersuchen weiter, wie viel Querlinien des Z,600 auf
einer bestimmten Diagonale dieses Zelles senkrecht stehen. Am
leichtesten erhält man diese Zahl mittels einer anderen, nämlich jener
der Diagonalen, welche auf einer bestimmten Querlinie senkrecht
stehen. Sind & und 7, diese Zahlen für den Fall einer ersten
Querlinie, so wird die Zahl der rechten Winkel, von deren Schen-
keln der eine eine Diagonale und der andere eine erste Querlinie
ist, von den beiden Formen 608, und 3607, angegeben und gilt
deshalb die Beziehung &, — 6m. Und nun kann der Wert von 7
unmittelbar dem Teile B der Tabelle I entnommen werden. Da
von sechs der 60 Eckpunkte die Coordinate y, verschwindet, ist
ny, = bound §) —, 36.

Handelt es sich um eine zweite Querlinie, so findet man fiir die
analogen Zahlen & und #9 die Werte 40 und 4. Und ist von
einer dritten Querlinie die Rede, so ergiebt sich & = 30 und
Nz = 6, u. 8. w.

IV. SENKRECHTE PROJECTIONEN VON Z,600,

7. Projection in der Richtuny einer Zelldiagonale. Wie wir ge-
sehen haben, erhält der Teil A der ersten Tabelle die Coordinaten
des 2,59 in Bezug auf ein von vier Diagonalen gebildetes rechwink-
liges System. Projiciren wir das in dieser Stellung gegebene Za600 in
der Richtung der Achse OX, auf den Coordinatenraum O(X;, Xo, X3),
so sind die Coordinaten 2), 2, 23 der Projectionen der 120 Eck-
punkte in den ersten drei Verticalreihen dieser Tabelle enthalten. Wir
zeichnen nun erst (Fig. 3) das Netz der Projectionen dieser Punkte
auf die Ebene O(X,, X3) und setzen nachher in einer bestimmten
schrägen Richtung O X, das verkürzte x, aus.

Im erhaltenen Bilde sind die 120 Eckpunkte nach ihrer Entfer-
nung vom Projectionsraume, welche einen der Werte 2(l +0),
3 He, 1 He, 2, 0 haben kanun, in Gruppen geteilt. Auf diese Weise
findet man in der bezeichneten Folge den Coordinatenanfang, die
12 Eckpunkte eines Ikosaeders (rot), die 20 Eckpunkte eines Dode-
kaeders (blau), die 12 Eckpunkte eines grösseren Isokaeders (rot)
und die 30 Eckpunkte der Combination (D, I) von Dodekaeder und
Ikosaeder in Gleichgewicht (schwarz), welche mit Ausnahme der letzt-
genannten Combination immer Projectionen von zwei Punkten sind.

Wirklich ist auch 2(1 + 12 + 20 + 12) +30 — 120. Es ist auf die

UND 600-ZELLES IM YIERDIMENSIONALEN RAUME. 11

Hineinzeichnung der Kanten, welche Eckpunkte von verschiedenen
Gruppen unter einander verbinden, verzichtet. Nur ist in Fig. 4
angegeben, dass die 12 Eckpunkte des grösseren Ikosaeders und die
30 Eckpunkte der Combination (D, I) auf der Oberfläche des Pro-
jectionskérpers liegen und dieser eingeschlossen ist von den 20 hier
schattirten Dreiecken des Ikosaeders und die 12 X 5 Seitenflächen von
12 regelmässigen fünfseitigen Pyramiden, von welchen die 12 Fünfecke
der Combination (D, I) die Grundebenen und die 12 Eckpunkte des
grösseren Ikosaeders die Scheitel bilden. Die Coordinaten der hinter
die Oberfläche zurücktretenden Eckpunkte sind in der Tabelle durch
fette Ziffern angedeutet.

Wir bemerken, dass die Combination (D, I) entweder zu einem D,
oder einem I ausgebreitet wird, indem man entweder durch die
Eekpunkte der Pentagonen oder durch jene der Dreiecke gerade
Linien zeichnet, welche den gegenüberliegenden Seiten parallel sind-

Jeder Eekpunkt des Z,°° ist mit 12 andren Eckpunkten, welche
an und für sich die Eckpunkte eines Ikosaeders bilden, durch Kan-
ten verbunden. Steht nun der Raum eines solchen Ikosaeders auf
dem Projectionsraume senkrecht, so liegen die 12 Projectionen in
der den beiden Räumen gemeinsamen Ebene. Dies ist (Fig. 3)
zum Beispiel mit den 12 Eckpunkten (29, 32), 53, 51, (41, 44),
(—42, 43), 56, —54, (— 50, 31) der Fall. Es zeigt wirklich Fig. 5
die senkrechte Projection eines Ikosaeders auf die Mittelebene durch
die parallelen Kanten (53, 56), (51, —54).

Weil das Z6 von Tetraedern begrenzt wird, wird es sich
auch ereignen können, dass die Projectionen von vier Eckpunkten
in einer Ebene liegen. Es zeigt das Bild des Projectionskérpers
(Fig. 4), dass dies wenigstens auf der Oberfläche des Körpers nicht
der Fall ist; deshalb ist es der Convexität des Zelles nach aussen
zufolge überhaupt nicht der Fall.

8. Projection in der Richtung einer ersten Querlinie. Lassen
wir vom Teile B der ersten Tabelle die vierte Verticalreihe bei Seite,
so finden wir die verlangte Projection, welche Fig. 6 auf die näm-
liche Weise abbildet, jedoch nur was die an die Oberfläche des
Projectionskörpers zu Tage tretenden Eckpunkte betrifft. Hingegen
sind die unsichtbaren Eckpunkte in der Tabelle immer wieder init-
tels fetter Ziffern hervorgehoben.

Es zeigt das Bild, dass der Projectionskörper begrenzt wird von
zwei einander gegenüberliegenden regelmässigen abgestumpften zehn-
seitigen Pyramiden, welche von einem Kranze von zehn über ein-
ander greifenden gleichen sechsseitigen Pyramiden mit einander ver-
bunden sind und jede für sich von einer regelmässigen zehnseitigen

12 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

Pyramide abgedeckt werden. Bei Drehung des Körpers um die Dia-
gonale (2, —2), welche wir die Hauptdiagonale des Körpers nennen,
über einen Winkel von 36°, kommt er also mit sich selbst zur
Deckung. In Verbindung mit dieser Thatsache sind die fünfzig
Punkte, welche mit den Endpunkten der Hauptdiagonale die Eckpunkte
des Körpers bilden, zehn zu zehn in fünf parallelen Ebenen gelagert.

Um die Gestalt des Körpers deutlicher hervortreten zu lassen sind
die Seitenflächen der sichtbaren abgestumpften Pyramide wieder
schattirt.

Weil die schattirten Seitenflächen Vierecke sind, sind sie die
Projectionen von das Z60 begrenzenden Tetraedern, deren Räume
auf dem Projectionsraume senkrecht stehen. Weiter stehen die Räume
der Ikosaeder, deren Eckpunkte entweder mit einem der Eckpunkte
(2, —2) der Hauptdiagonale oder mit einem der zehn Eckpunkte
(+ 1, + 29, +30, + 33, +34) des Aequatorzehnecks verbunden
sind, auf dem Projectionsraume senkrecht. Denn indem die ersten
zwei Ikosaeder sich als ein regelmässiges Zehneck projiciren, wie sie
dies in ihrem eigenen Raume auf eine Mittelebene senkrecht auf
einer durch den Mittelpunkt gehenden Diagnonale thun, projiciren
die letzten zehni sich als Sechsecke, wie dies für das Ikosaeder vom
Punkte 1 in Fig. 7 angegeben ist.

9. Projection in der Richtung einer zweiten Querlinie. Dem Teile
C der ersten Tabelle entnehmen wir die Coordinaten der Eckpunkte
der verlangten Projection, indem wir die vierte Verticalreihe bei
Seite lassen. Es zeigt Fig. 8 die Lage dieser Punkte. Wie man
unmittelbar erblickt, tritt hier die Diagonale (1, —1) als Haupt-
diagonale auf, indem der Projectionskörper begrenzt wird von einer
Reihe von sechs achtseitigen Pyramiden (mit den Scheiteln + 2,
+ 21, + 22), mit welcher zwei vereinzelte regelmiissige sechs-
seitige Pyramiden (mit den Scheiteln + 1) mittels zwei von Drei-
ecken und Trapezen gebildeter, hier schattirter, Kragen zusammen-
hängen. Daher stehen hier die Räume von 12 der 600 begrenzen-
den Tetraeder und 8 Ikosaeder auf dem Projectionsraume senkrecht.
Von diesen projiciren die sechs, deren Eckpunkte mit einem der
Punkte + 2, + 21, + 22 verbunden sind, sich in ein Achteck, wie
es Fig. 9 für das dem Punkte 2 entsprechende Ikosaeder zeigt. Und
die beiden übrigen, deren Eckpunkte mit + 1 verbunden sind, pro-
jiciren sich, wie auf eine Ebene ihres Raumes, welche zu zwei
Seitenflächen parallel ist, als regelmässige Sechsecke. Bei dieser
Projection giebt es drei verschiedene Arten von Eckpunkten, indem
die an der Oberfläche des Projectionskörpers liegenden Eckpunkte
entweder Eckpunkte des Projectionskörpers sind (wie 57, 58, . ) oder

UND 600-ZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 13

nicht (wie die sechs Punkte + 3, + 17, + 18). Indem die un-
sichtbaren Eckpunkte immer wieder mittels fetter Ziffern angedeutet
sind, werden die sechs aut Kanten liegenden Punkte durch laufende
Ziffern angewiessen. Es wird diese Bezeichnungsweise weiter stets
gefolgt werden.

10. Projection in der Richting einer dritten Querlinie. Auf die
nämliche Weise erhält man mittels drei Verticalreihen des Teiles
D der ersten Tabelle den in Fig. 10 abgebildeten Projectionskôrper.
Es ist dieser Körper eine Combination (W,R) von Wiirfel und
Rhombendodekaeder, wobei auf jeder Rhombendodekaederfläche eine
sechsseitige Pyramide auftritt. Die Kanten der Combination (W, R)
sind dick, die Scheitelkanten der Pyramide sind dünn gezeichnet; die
Bedeutung der Schattirung wird auf Seite 19 zu Tage treten. Das
Bild zeigt wieder sechs begrenzende Tetraeder, deren Räume auf dem
Projectionsraume senkrecht stehen. Und offenbar thun dies auch die
Räume der Ikosaeder, welche den Scheiteln der zwolf Pyramiden
entsprechen. Es zeigt Fig. 11 die Projection des Ikosaeders, deren
Eekpunkte mit 49 verbunden sind.

V. SENKRECHTE PROJECTIONEN Zl.

11. Projection in der Richtung einer dritten Querlinie. Das Bild
der Fig. 12 wird erhalten, wenn man vom Teile C der dritten Ta-
belle die vierte Verticalreihe bei Seite lässt. Es wird dieser Projec-
tionskörper von 12 regelmässigen Fünfecken und von 30 Sechsecken
begrenzt; die ersten rühren von Seitenflächen her, deren Ebene, die
letzten rühren von Dodekaedern her, deren Räume auf dem Projec-
tionsraume senkrecht stehen. Die Lage der 20 Eckpunkte des ersten
Dodekaeders der dritten Tabelle zeigt Fig. 13.

12. Projection in der Richtung einer zweiten Querlinie. Dem
Teile D der dritten Tabelle entnimmt man die Coordinaten der 160
Eckpunkte des in Fig. 14 dargestellten Projectionskörpers. Wie das
Bild zeigt, hat dieser Körper einen von zehn Achtecken gebildeten
Aequatorialkranz, welcher an beiden Seiten mittels eines Kragens
von 40 Fünfecken mit einem Polzehnecke zusammenhängt. Drehung
des Körpers um die Verbindungslinie der Mittelpunkte dieser Zehn-
ecke über einen Winkel von 36° bringt ihn mit sich selbst zur
Deckung. Hiermit in Einklang sind die 160 Eekpunkte in zwölf
parallelen Ebenen gelagert, welche nach einander 10, 10, 10/2205
20, 10—, 10, 20, 20, 10, 10, 10 dieser Punkte aufnehmen. Es war
diese Thatsache in Verbindung mit Fig. 6 zu erwarten. Wirklich
ist die Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden Zehnecke von

14 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

Fig. 14 mit der Hauptdiagonale (2, —2) von Fig. 6 identisch.
Und dies muss so sein, weil das von uns projicirte 7° die 600
Mittelpunkte der begrenzenden Tetraeder des Z,°° zu Eckpunk-
ten hat.

Dem Bilde nach stehen die Räume von 12 der 120 begrenzenden
Dodekaeder auf dem Projectionsraume senkrecht. Indem zwei von
ihnen sich als regelmässige Zehnecke projiciren, wie sie es in ihrem
eigenen Raume auf eine ihrer Ebenen thun, projiciren die zehn
übrigen sich wie Fig. 15 zeigt als Achtecke.

Die 30 an der Oberfläche liegenden Punkte, welche keine Eck-
punkte des Projectionskörpers sind, liegen auf die von Fig. 15 ange-
gebene Weise in folgender Anordnung auf den zehn vom Aequator
senkrecht halbirten Kanten (4, 1, 8, 2, 5), (10, 7, 8, 6, 9), (—194,
—191, —288, —111, —114), (—247, —48, —248, - 48, —245),
(—134, —131, —284, —91, —94) und die nämlichen, worin alle
Zeichen umgekehrt sind.

In den Teilen D, EH, F der dritten Tabelle sind die im Innern
der Acht-, Zehn- und Zwölfeeken, also nicht auf Kanten liegen-
den Eckpunkte in der nämlichen Weise, wie die unsichtbaren
Punkte angedeutet; in den Zeichnungen sind diese Punkte nicht
angegeben.

13. Projection in der Richtung einer ersten Querlinie. Bei diesem
aus dem Teile Æ der dritten Tabelle zu schöpfenden Körper (Fig.
16) findet man einen Acquatoriaigürtel von sechs nicht zusammen-
hängenden Zehnecken und zwei Polzwölfecken, welche acht Viclecke
mittels Fünfecke unter einander verbunden sind. Es tritt die Ver-
bindungslinie der Mittelpunkte der beiden Zwölfecke als Achse auf;
eine Drehung von 60° um diese Achse bringt den Körper mit sich
selbst zur Deckung. Offenbar muss diese Achse mit der Hauptdia-
gonale (1, — 1) von Fig. 8 zusammenfallen.

Die Figuren 17 und 18 zeigen, wie ein Dodekaeder sich proj.cirt
als ein symmetrisches Zehneck und ein halbregelmässiges Zwölfeck.

14. Projection in der Richtung einer Zelldiagonale. Zum letzten
führt Teil # von der dritten Tabelle zum Körper der Fig. 19,
welcher von zwölf Zehnecken und von 72 Fünfecken begrenzt wird.

VI. ALLGEMEINES ÜBER CENTRALSCHNITTE DER BEIDEN ZELLEN.

15. In unsren beiden vorhergehenden Aufsätzen haben wir uns
öfters der Reciprocität in Bezug auf eine Hypersphere bedient, um
aus den senkrechten Projectionen des einen Zelles die Centralschnitte

UND 600-ZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 15

des ihm dualistisch gegenüber stehenden Zelles abzuleiten. Dieser
Beziehung nach erhalten wir in Verbindung mit den gefundenen
Ergebnissen die in folgende Tabelle niedergelegten Resultate :

De rr ed

600
a
= cn
ENT PR
> © S=
ie =) =e
= E. 158 | 180 | 160 80 F =
[air

ziee | K....| 240 | 282 | 250 | 120 | . . .K | Zooo

oO
re
—
©
re
©
Do
HS
D
es

|

2 % A OD

Diese kleine Tabelle t), welche von oben und nach rechts gelesen
die Projectionen, von unten und nach links gelesen die Schnitte
kennzeichnet, wobei die Anordnung von D, Qi, Qe, @3 in Q3, 0»,
Q;, D umkehrt, zeigt was wir bei der Bestimmung der Central-
schnitte zu erwarten haben; so muss der Schnitt des Z7°0 mit dem
Mittelraume senkrecht zu einer Q, ein Körper sein, der 104 Eck-
punkte, 282 Kanten und 180 Seitenflächen hat, u. s. w.

16. Wir weisen hier auf die merkwiirdige Thatsache hin, dass
die drei Zahlen des oberen Teiles der ersten Verticalreihe den von

1) Indem bei Z* keine Geraden D, Q,, Q:, Q, auftreten und die Resultaten bei
Z und Z% nur sehr unvollkommen von einer Tabelle der Eckpunkte, Kanten und
Seitenflächen gekennzeichnet wird, kann es nützlich sein die bei Z?2 gefundenen
Ergebnisse in eine Tabelle niederzulegen. Sie ist die folgende :

D Q,
|
E 14 14
Projectionen Schnitt
K 24 | 30 A
von Z2, Fr 12 18 von 42,
% %

Bei Z? treten die Räume, welche eine Kante senkrecht halbiren, als Symmetrie-
räume auf, u. s. w.

16 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

unten gelesenen drei Zahlen des unteren Teiles der letzten Vertical-
reihe gleich sind. Diese Coincidenz ist nicht zufällig, vielmehr der
Ausdruck eines allgemeinen Gesetzes, das wir in den beiden vorher-
gehenden Aufsätzen wohl bewährt sahen, dort jedoch noch nicht
ausdrücklich hervorgehoben haben. Es ist dies, dass Projection auf
einen Mittelraum und Schnitt mit diesem völlig zusammenfallen,
wenn dieser Mittelraum ein Symmetrieraum des Zelles ist. Wie

unmittelbar einleuchtet, ist diese Coincidenz eine Folge von zwei.

aequivalenten Conventionen, welche einander dualistisch gegeniiber
stehen : erstens dass man bei der Projection die sich im Innern des
Projectionskérpers projicirenden Eckpunkte unberücksichtigt lässt,
zweitens dass man beim Schnitte nur diejenigen Schnittpunkte der
Kanten in Betracht zieht, welche zwischen den beiden Kanten-
endpunkten liegen. Denn diese Annahmen sind Ursache, dass man
sich im Falle eines Symmetrieraumes À zu in PR liegenden Punkten
und Kanten und zu auf À senkrecht stehenden Kanten, Seitenflächen
und Grenzkörpern beschränken kann.

17. In gedrängter Kürze deuten wir hier die mit dem angegebe-
nen Gesetze in Einklang stehenden Ergebnisse der beiden vorher-
gehenden Arbeiten an.

Beim Z,8 giebt es zwei Arten von Symmetrieräumen, Mittelräume
Rs senkrecht auf einer @, Mittelräume A, senkrecht auf einer Qy.
Für die ersteren werden Projection und Scbhnitt vom nämlichen
Wiirfel We, für die letztereu werden sie vom nämlichen Parallel-
opiped Po, a, a V2 gebildet. Deshalb finden wir bei der reciproken
Polarfigur, beim Z16, Symmetrieräume Lg senkrecht auf einer D
und A, senkrecht auf einer Q,. Für die Rg bildet die nämliche
vierseitige Doppelpyramide, für die ZR, bildet das nämliche Octaeder
O, Projection und Schnitt.

Weil die Polarfigur des Z?* in Bezug auf eine concentrische Hy-
persphere ein neues Z°* in anderer Stellung ist, hat es zwei Arten
von Symmetrieräumen, 4 senkrecht auf D und 2, senkrecht auf
Qs aufzuweisen. Für Rg bildet ein nämliches Rhombendodekaeder,
für À; bildet eine nämliche Combination (W, 0) Projection und
Schnitt.

18, Wie die zwei die Coordinaten von den Eckpunkten des Z600
und Z' enthaltenden Tabellen unmittelbar zeigen, ist jeder Mittel-
raum Ra senkrecht auf D Symmetrieraum von 7° und deshalb
auch jeder Mittelraum Rs senkrecht auf Q; (von ZE?) Symmetrie-
raum von Z1%, Daher die Coincidenz von Projection und Schnitt
bei 75% für À, und bei ZP für 2. Wirklich sind (Fig. 4) die
Eckpunkte der gleichseitigen Dreiecke und (Fig. 12) die Eckpunkte

UND 600-ZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 17

der regelmässigen Fünfecke im Schnittraume enthalten und bilden
die übrigen Eckpunkte, welche alle zwei Nummern tragen, zu gleicher
Zeit die Projection dieser Punktepaare und den in der Mitte liegen-
den Schnittpunkt der in diesen Punkten endenden senkrechten Kante.
Es ist diese Uebereinstimmung die Ursache, warum beide Figuren
auf derselben Tafel abgebildet sind.

Es liegt uns also jetzt noch ob von Z5°° die Schnitte mit Mittel-
räumen senkrecht auf Q), @, Q3, von Z 0 die Schnitte mit Mittel-
réumen senkrecht auf @, Q,, D in Bild zu bringen. Dies wird am
einfachsten geschehen, indem man für jeden Fall 1°. die im Schnitt-
raume liegenden Eckpunkte und 2°. die an verschiedenen Seiten des
Schnittraumes liegenden Kantenendpunkte mit dem vom Schnitt-
punkte bestimmten Teilungsverhältnis aufsucht.

VII. Dre CENTRALSCHNITTE VON 2600,

19. Centralschnitt mit einem R,. Dem Teile B der ersten Tabelle
nach sind die 92 Eckpunkte des Schnittkörpers leicht in der Pro-
jection Fig. 6 nachzuweisen. Sie sind:

1°. die 12 im Schnittraume (y, == 0) liegenden Punkte +1, +2,
u.s.w., welche die Endpunkte der Hauptdiagonale und die Eckpunkte
des Aequatorzehnecks bilden;

20. die Mitten a, a’ der 40 parallelen Seiten (17, 57), (21, 5),
u.s.w. der 20 Trapezia;

3°. die Punkte 5, welche die 20 anderen Seiten dieser Trapezia
in ein bestimmtes Verhältnis schneiden ;

4°. die Punktepaare, welche die 10 Schnittlinien zwischen 21 und
13, 22 und 14, u.s.w. der Grundebenen der über einander greifenden
Pyramiden nach einem bestimmten Verhältnisse und nach dem reci-
proken Verhältnisse schneiden.

Deshalb wird der Schnitt erhalten, indem man in der Projection
Fig. 6 die neuen Punkte hineinzeichnet und die Verbindungsgeraden
anbringt; dies ist in Fig. 6 bis ausgeführt. Es wird, wie man sieht, der
Schnittkérper von 20 symmetrischer Vierseiten und 100 Dreiseiten
begrenzt. Es tritt die Reciprocität zwischen den Körpern Fig. 14 und
Fig. 6bis nach dem bekannten Gesetze ganz unverletzt auf. Dem letzten
Ergebnis, dass der Schnittkörper von 20 Vierecken und 100 Dreiecken
begrenzt wird, entspricht die Thatsache, dass der Projectionskörper 20
vierflächige und 100 dreiflächige Eckpunkte aufzuweisen hat, u.s.w.

20. Centralschnitt mit einem Ry. Auf die nämliche Weise ist
mit Hilfe von Teil C der ersten Tabelle Fig. 8bis entstanden. Es
sind hier die 104 Eckpunkte des Schuittkôrpers :

G 2
Verhand. Kon. Akad. v. Wet. (le Sectie). Dl. IL

18 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES

1°. die acht im Schnittraume liegenden Punkte +1, + 2, us.w.,
welche die Eckpunkte der Hauptdiagonale und die Scheitel der sechs
Aequatorialpyramiden bilden ;

20, die Mitten a, a’ der 24 parallelen Seiten der 12 Trapezia ;

3°. die 24 Punkte b, welche die anderen Seiten der Trapezia nach
bestimmtem Verhältnisse teilen ;

40, die 6 Punktepaare c c, welche dies die Mittellinien (29, —30),
u.s.w. der beiden Zwölfecken thun ;

59. die 12 Punktepaare d d, welche dies die Untenseiten (5, 57),
(57, 45), u.s.w. der Kragenfalten thun;

60. die Punktepaare ee, welche die sechs Kanten (57, 58), u.s.w.

Ll
nach Verhältnissen 4 und 7 teilen.

Wir lenken die Aufmerksamkeit auf die völlige Reciprocität der
Figuren 16 und 8bis.

21. Centralschnitt mit einem R3. Mit Hilfe des Teiles D bildet
man den Projectionskörper Fig. 10 in den dem Bilde der Fig. 19
reciprok gegenüber stehenden Schnittkörper Fig. 10bis um. Es sind
hier die 84 Eckpunkte:

10. die 12 im Schnittraume liegenden Scheitel + 55, u.s.w. der
sechsseitigen Pyramiden ;

20, die Mitten a, b, c, d der 24 Seiten der sechs Quadrate ;

30. die Punktepaare ee, ff, gg', welche die von den Seiten des
Quadrates verschiedenen Seiten der Grundebenen der 12 Pyramiden

1
nach bestimmten Verhältnissen À und =i teilen.

VIII. Dre CENTRALSCHNITTE von Z 12.

22. Centralschnitt mit einem Ry. Die 80 Eckpunkte des Schnittes
sind nach dem Teile D der dritten Tabelle :

1°. die 20 vierflächigen Eckpunkte 86, u.s.w. des Projectionskör-
pers Fig. 14, welche im Schnittraume legen;

20, die Mitten a der 20 Seiten (24, 25) u.s.w. der beiden Pol-
zehnecke ;

30, die Mitten b der 20 Seiten (103, 109) u.s.w. der zehn Aequa-
torachtecke ;

40, die Punktepaare c c, welche die Schnittlinien (114, 194) der
Ebenen dieser Aequatorachtecke nach bestimmten Verhältnissen À

Ve
und — teilen.

A

UND 600-ZELLES TM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 19

So ist das Bild Fig. 14bis des Schnittkörpers entstanden; es ist
dem Bilde der Fig. 6 reciprok verwandt.

23. Centralschnitte mit einem R,. Mittels des Teiles Æ der dritten
Tabelle wird aus dem Projectionskérper von Fig. 16 der Schnitt-
körper Fig. 16bis abgeleitet, welcher dem Körper der Fig. 8 reciprok
gegenüber steht. Es sind die 96 Eckpunkie :

1°. die 24 im Schnittraume liegenden Punkte, welche aus den 12
Aequatorpunkten 25, 258, u.s.w. und den 12 vierflächigen Eck-
punkten 99, u.s.w. bestehen ;

2°. die Mitten a der 12 Linien (37, 38) u.s.w.;

3°. die Mitten 6 der 12 Linien (17, 20) u.s.w.;

40. die Punkte c, welche die 24 Linien (99, 100), u.s.w. nach
bestimmtem Verhältnisse teilen ;

5°. die Punkte d, welche dies die 24 Linien (23, 37), u.s.w. thun.

24. Centralschnitt mit einem Ry. Teil F der dritten Tabelle
thut aus dem Projectionskörper von Fig. 19 den Schnittkörper von
Fig. 19bis hervorgehen. Es sind die 78 Eckpunkte dieses letzteren
mit Fig. 10 reciprok verwandten Körpers :

1°. die 54 im Schnittraume liegenden Punkte, von welchen sechs
(+ 4, £32, £55) auf den Coordiratenachsen liegen und die 48
übrigen Endpunkte sind von Kanten, welche zwei Zehnecke mit
einander verbinden ;

2°. die Mitten a der 24 Kanten, (2, 5), u.s.w.

IX. PROJECTIONS- UND SCHNITTKÖRPER, WELCHE COMBINATIONEN
VON KRYSTALLFORMEN SIND.

25. Indem wir uns auf das reguläre System beschränken, wollen
wir zum Schluss noch kurz hervorheben, dass die Körper 10, 10bis,
19, 19bis Combinationen von Krystallformen sind. Deuten wir die
sieben bekannten Formen Hexaeder, Octaeder, Rhombendodekaeder,
Tetrakishexaeder, Triakisoctaeder, Ikositetraeder und Hexakisoctaeder
durch die Symbole H, O, R, Th, To, I, Ho an, so ist dies im fol-
genden durchsichtigen Schema angegeben :

Fig. 10 . . . (1,41, 53, 29) = H, (1, 31,41) = TA, (1, 31, —54) = Ho.
Bigs 0e 7 (a, b, edi HX, (€, f,9) = O, (a, 6, h) = 1, (f, 9,31) = To,
(CR 50) Ho, (9,h, 31) = Ho’.

foto el, Th, (8, 5, 9,18, 11) = 1,

(9, 13, —235, —288, 298) — 7!

(2, 5, 9, 293, —298, —300, —219,—220, 216, 283) = R.
Fig. 19bis. . (4,9,13) =J, (9,-298, -220, 283) = À, (9,13, -236...)= O.

gk

20 REGELMASSIGE SCIINITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES U.S.W.

Es würde ein Leichtes sein die Parameterverhältnisse der beiden
Ho von Fig. 10bis und J von Fig. 19 zu berechnen. Um nicht zu
weitläufig zu werden wollen wir darauf aber verzichten.

Obgleich die Körper 10 und 19bis, 19 und 10bis einander reciprok
sind in Bezug auf eine bestimmte Hypersphere, kommt diese Beziehung
hier nicht zum Ausdruck, weil bei den Krystalformen einseitig nur
auf die Flächen, nicht auch auf die Eckpunkte geachtet wird.

Groningen, April 1894.

a

PC Te

Fig. Tab.

to
¥

ERKLARUNG DER TAFELN.

Oe — oh

a. SECHSHUNDERTZELL == Z500,

Bestimmung des Radius der dem Ikosaeder umgeschriebenen
Kugel.

Einfachste Coordinatenstellung des Ikosaeders; die Coordi-
natenachsen sind erste Querlinien. Diese Stellung is auf zwei
verschiedene Weisen möglich (gekreuzte Stellung).

Senkrechte Projection des Z600 in der Richtung einer Zelldia-
gonale. Es zeigt das Bild die schichtsweise Lagerung der 120
Eckpunkte. Von innen nach aussen fortschreitend findet man
den Coordinatenanfang O, die 12 Eckpunkte eines Ikosaeders
(rot und dünn), die 20 Eckpunkte eines Dodekaeders (blau), die
12 Eckpunkte eines grösseren Ikosaeders (rot und dick), welche
Punkte Projectionen von zwei Eckpunkten sind und die einfach
zählenden 30 Eckpunkte der Combination (D, 1) von Dodekae-
der und Ikosaeder in Gleichgewicht (schwarz).

Am Tage tretende Eckpunkte, Kanten und Flächen des
vorhergehenden Projectionskörpers, welcher zu gleicher Zeit den
Schnitt des Z°00 mit dem Projectionsraume bildet. Es sind
die Eckpunkte die 12 Eckpunkte des grösseren Ikosaeders und
die 30 Eckpunkte der Combination (D, I). Die 80 einschlies-
senden Dreiecke teilen sich in 20 hier schattirte, deren
Ebenen bei Ausbreitung das Ikosaeder der Combination (D, I)
liefern, und in die 60 Seitenflächen von 12 regelmässigen
fünfseitigen Pyramiden, deren Grundebenen bei Ausbreitung
das Dodekaeder der Combination (D, I) bilden und deren
Scheitel die oben genannten Eckpunkte des grösseren Ikosae-
ders sind.

6 bis,

ga

»

LV:

ERKLARUNG DER TAFELN.

Senkrechte Projection eines Ikosaeders auf die Mittelebene
durch zwei parallele Kanten, d, h. in der Richtung einer
ersten Querlinie, als Sechseck.

Senkrechte Projection des 2600 in der Richtung einer ersten
Querlinie. Es tritt für diesen Projectionskörper die Diagonale
(2, —2) als Hauptdiagonale auf, indem die 50 übrigen Eck-
punkte sich zu 10 in fünf auf dieser Diagonale senkrecht
stehenden Ebenen lagern und eine Drehung von 36° um diese
Diagonale den Körper in sich transformirt (krystallographische
Achse mit der Periode 10). Die Begrenzung besteht aus zwei
einander gegenüberliegenden, hier schattirten, regelmässigen
abgestumpften zehnseitigen Pyramiden (gemässigte Zonen),
welche von einem Kranze von zehn über einander greifenden
gleichen sechsseitigen Pyramiden (Aequator) mit einander ver-
bunden sind und jede für sich von einer regelmässigen zehn-
seitigen Pyramide (Polgegend) abgedeckt werden.

Schnitt des Z600 mit dem Mittelraume senkrecht auf einer
ersten Querlinie. In eine schwach angegebene Wiederholung
der vorhergehenden Projection ist der Schnitt mit schweren
Linien hineingetragen. Auch für diesen Schnittkörper tritt
die Diagonale (2, —2) als Achse mit der Periode 10 auf, in
dem die 90 übrigen Eckpunkte in neun Ebenen senkrecht auf
dieser Geraden die Eckpunkte sind von neun regelmässigen
Zehnecken. Es wird der Körper von 20 Deltoiden und 100
Dreiecken begrenzt. Um die Regelmässigkeit in Bezug auf die
Achse deutlich hervortreten zu lassen, sind zwei Kränze von
Dreiecken schattirt.

Senkrechte Projection eines Ikosaeders auf die Mittelebene
durch eine Körperdiagonale und eine auf dieser Geraden senk-
recht stehende erste Querlinie, als Sechseck.

Senkrechte Projection des Z600 in der Richtung einer zweiten
Querlinie. Hier tritt die Diagonale (1, —1) als Achse mit der
Periode 6 auf, und lagern die übrigen 54 Eckpunkte sich zu
6, 12, 6, 6, 6, 12, 6 in sieben senkrecht auf dieser Geraden
stehende Ebenen. Es projiciren die Punkte + 3, + 17, + 18
sich als Mitten von Kanten. Die Begrenzung besteht aus
einer Reihe von sechs achtseitigen Pyramiden (Aequator), von
welcher zwei vereinzelte regelmässige sechsseitige Pyramiden
(Pole) mittels zwei von Dreiecken und Trapezen gebildeter,
hier schattirter, Kragen (gemässigte Zonen) getrennt sind.

Fig.

Sbis,

10.

10bis,

11

Tab.
IV.

>»

ERKLARUNG DER TAFELN. 23

Schnitt des 2600 mit dem Mittelraume senkrecht auf einer
zweiten Querlinie. In eine schwach angegebene Wiederholung
der vorhergehenden Projection ist der Schnitt mit schweren
Linien hineingezeichnet Es bleibt die Diagonale (1, —1)
Achse mit der Periode 6; in elf Ebenen senkrecht auf ihr
liegen nach einander 12, 12, 6, 12, 6, 6, 6, 12, 6, 12, 12 übrige
Punkte. Der Körper wird begrenzt von 12 gleichschenkligen
Trapezen (schattirt), 12 Deltoiden (schattirt) und 156 Dreiecken
(24 schattirt und 132 nicht schattirt). Diese Flächen bilden
eine Aequatorialreihe von sechs zehnseitigen Pyramiden, zwei
zwölfseitige Polarpyramiden und zwei von Trapezen, Deltoiden
und Dreiecken gebildete gemässigte Zonen; dabei ist die
Schattirung so getroffen, dass die verschiedenen Teile der Zonen
deutlich hervortreten

Senkrechte Projection des Ikosaeders auf die Mittelebene
durch eine erste Querlinie und eine zu dieser senkrechte zwei-
te Querlinie, als Achteck.

Senkrechte Projection des Z°° in der Richtung einer dritten
Querlinie. Grundform dieses Körpers ist eine Combination
(W‚R) von Würfel und Rhombendodekaeder ; die Kanten dieser
Combination sind mittels dicker Linien angegeben. Auf jeder
Rhombendodekaederfläche sitzt eine sechsseitige Pyramide auf.
Die Würfelflächen sind leicht schattirt. Die Seitenflächen der
sechsseitigen Pyramiden sind teils nicht, teils schwer schattirt ;
bei Ausbreitung bilden die ersten ein Pyramidenwürfel (Tetra-
kishexaeder) und die letzteren ein Hexakisoctaeder.

Schnitt des Z°°° mit dem Mittelraume senkrecht auf einer
dritten Querlinie. In eine schwach angegebene Wiederholung
der vorhergehenden Projection ist der Schnitt mit starken
Linien hervorgehoben. Es wird dieser Körper begrenzt von
158 Dreiecken, von welchen bei Ausbreitung 6 und 48 nicht
schattirte ein Hexaeder und ein Hexakisoctaeder, 24 und 48
leicht schattirte ein Triakisoctaeder und ein Hexakisoctaeder,

24 und 8 schwer schattirte ein Ikositetraeder und ein Octae-
der bilden,

Senkrechte Projection eines Ikosaeders in der Richtung der
Schnittlinie von zwei Seitenflächen, welchen wohl ein Eck-
punkt aber keine Kante gemeinsam ist, als Sechseck.

24

15.

14.

14bis,

Tab.
II.

>

ERKLARUNG DER TAFELN.

PP. HunperrzwanziezeLL = Z120,

Senkrechte Projection des Z!®° in der Richtung einer dritten
Querlinie. Der Körper wird von 42 Flächen eingeschlossen.
Die 12 schattirten, welche regelmässige Fünfecke enthalten,
bilden bei Ausbreitung ein Dodekaeder; die 80 nicht schat-
tirten liefern auf dieselbe Weise eine den Eckpunkten nach
genommene Combination (D, I) von Dodekaeder und Ikosaeder
in Gleichgewicht*). Es sind also die von den Pentagoneck-
punkten des Körpers verschiedenen Eckpunkte die Eckpunkte
eines Dodekaeders. Der Körper ist dem in Fig. 4 angegebe-
nen Schnitte reciprok verwandt,

Senkrechte Projection des Dodekaeders in der Richtung einer
Kante, als Sechseck. |

Senkrechte Projection des Z!°° in der Richtung einer zwei-
ten Querlinie. Dieser Körper wird von 2 regelmässigen Zehn-
ecken, 10 Achtecken und 80 Fünfecken begrenzt; er hat die
Verbindungslinie der Mittelpunkte der Zehnecke zur Achse mit
der Periode 10. Es liegen also die 120 Eckpunkte zu 10 in
12 Ebenen senkrecht auf dieser Achse. Der Aequatorialkranz
von 10 Achtecker und die Polarzehnecke sind schattirt; aus-
serdem ist der mittlere Teil der verbindenden Zonen schattirt
um ihre Regelmässigkeit hervortreten zu lassen. Reciprocität
zu Fig. 6bis,

Schnitt des 2120 mit dem Mittelraume senkrecht auf einer
zweiten Querlinie. In eine schwach angegebene Wiederholung
des vorhergehenden Kôrpers ist der Schnitt hineingetragen.
Die Achse mit der Periode 10 bleibt erhalten; es lagern sich
die 80 Eckpunkte in 8 zu ihr senkrechte Ebenen. Der Körper
zeigt einen Aequatorialkranz von 10 Sechsecken (schattirt),

*) Es ensteht eine Combination den Eckpunkten nach von Würfel und Octaeder, wenn
man auf die Seitenflächen gleiche regelmässige Pyramiden aufsetzt; so entstehen Pyramiden-
würfel und Pyramidenoctaeder, je nachdem man entweder vom Würfel oder vom Octaeder

ausgeht.

Die Combination in Gleichgewicht ist der Rhombendodekaeder.

Bei der Combination (D, I) den Eckpunkten nach erhält man ein auf jeder Seitenfläche
eine dreiseitige Pyramide tragendes Ikosaeder und ein auf jeder Seitenfläche eine fünfsei-
tige Pyramide tragendes Dodekaeder; in beiden Fallen ist die zahl der Flächen 60. Bei
der Combination in Gleichgewicht wird die Zahl der Flächen also 30.

Fig.

16.

1 6bis,

Tab.

WE

VE

VEE

ERKLARUNG DER TAFELN. 25

zwei Polarzehnecke und zwei von 10 gleichschenkligen Tra-
pezen (schattirt) und 10 Fiinfecken gebildete Zonen. Recipro-
cität zu Fig. 6.
'
Senkrechte Projection des Dodekaeders auf eine Mittelebene

durch eine erste und eine zu dieser senkrechte zweite Quer-
linie, als Achteck.

Senkrechte Projection des 212 in der Richtung einer ersten
Querlinie. Dieser Körper wird von 2 regelmässigen Zwölfecken,
(leicht schattirt), 6 Zehnecken (nicht schattirt) und 96 Fiinf-
ecken (teilweise schwer, leicht und nicht schattirt) begrenzt.
Die Verbindungslinie der Mittelpunkte der Zwölfecke ist Achse
mit der Periode 6; es lagern die 180 Eckpunkte sich entwe-
der zu 12 oder zu 6 in 19 Ebenen senkrecht auf ihr. Die
Schattirung ist so gewählt, dass der regelmässige Bau des
Körpers deutlich hervortritt. Reciprocität zu Fig. 8bis,

Schnitt des Z!2° mit dem Mittelraume senkrecht auf einer
ersten Querlinie. In eine schwach angegebene Wiederholung
des vorhergehenden Körpers ist der Schnitt hineingezeichnet.
Es bleibt die Achse mit der Periode 6 behalten; es lagern
sich die 96 Eckpunkte entweder zu 12 oder zu 6 in 11 Ebe-
nen senkrecht auf ihr. Der Körper zeigt einen Aequatorialgürtel
von 6 Achtecken (nicht schattirt), 12 Sechsecken (schattirt)
und 24 Vierecken (schattirt), zwei Zonen von 6 Sechsecken
(nicht schattirt) und zwei Polarsechsecken (nicht schattirt).
Reciprocität zu Fig. 8.

Senkrechte Projection des Dodekaeders auf eine Mittelebene
durch eine Körperdiagonale und eine zu ihr senkrechte erste
Querlinie, als Zehneck.

Senkrechte Projection des Dodekaeders in der Richtung einer
Korperdiagonale, als Zwölfeck.

Senkrechte Projection des Z120 in der Richtung einer Zell-
diagonale. Dieser Körper wird von 12 Zehnecken und 72
Fünfecken begrenzt. Die Ausbreitung der Ebenen von den
12 facettenartigen, nicht schattirten Zehnecken liefert ein
Rhombendodekaeder, jene der 24 leicht schattirten Fünfecke
ein Ikositetraeder, jene der 48 schwer schattirten Fiinfecke ein
zweites Ikositetraeder und ein Pyramidenwürfel. Reciprocität
zu Fig. 10bis,

[ ie i us he A

Bip, Tab. | | See eae Et |
19bis, VII. Schnitt des Z12 mit dem Mittelraume senkrecht auf
Zelldiagonale. In eine schwach angegebene Wiederh

_grenzt. Bei Ausbreitung liefern die 12 nicht schattirten
ecke ein Rhombendodekaeder, die 8 leicht schattirten Sech
ecke ein Octaeder und die 24 schwer schattirten Fiinfe
it ein Ikositetraeder. Reciprocität zu Fig. 10. 2

# "4

-

Le di Gates, 0

ERRAT A.

In Tabelle II (drittes Blatt) ist unter F in der Horizontailinie von 219 für 340 und —(3+e) ,
zu lesen 3+e und —(3+e),

4)

‘ Ton
A

aa

+f
A ii

ra ii

D
K

PLII.

PH SCHOUTE. Hundert zwanggzell und Sechshundertzell.

15e
—-|10+4e

TT

10+4e

8+4e
RES Li nen nf

Verhand Kon. Akadem. (2° Sectie) DI.

fi i ea a ae. as | |

Pe nn oe

PA SCHOUTE. Hundertzwanzigzell und Sechshundertzell.

PLATT.

Fig. 6%
Fig. 6. ig.

tp lg

QQ
XN

Z

NS

LL

N \ \ NN
SE AX \
= AN

1

|
=

\
\
\

Verhand. Kon. Akadem. (2° Sectie) DLM

PLAT.

PH SCHOUTE. Mundertzwanzigzell und Sechshundertzell. ]
s ‘bis
Fig 6 Fig. 6°
See
—2+2e
J3+e
en SS
NN !
\\\ AK KC \ LM,
—
AN je 14e
2

«

AAA
ALL

NET

\ 26
\

AK

A IN

Verhand. Kon. Akadern.(2°Sectre) DH.

SIEM

Fig. 8

Hundertzwanzigzell und Sechshundertzell.

hg 8.

ue |

5e

2+2e

NN

\\
AN \ a
AI

i

UY
YY

Y

\\\

my Leider

2

Pi Mader

Jet},

VIN ANA
2
a

\

\

NN

N
NN

\\ \ NN yj 7 YY U
\\ NN II i
IN N AN YY / m \
| WV i
\ i
| SNe |
| iss 1
\ Se 1
\ ù i
| | ES \
\ | iS
( \ | ÈS 1
ES | \ | 1
a) ay | rT
LE | £ Sl
| Hiel | LA ‘|
Hi Lee | Al 1\
SS Se eee ia
! PRK eal 1|
ed ee
! NE 7 \
A PAS Ae | L
ee |
f AA | |
il! | 1 Wez, | 1 l
| nne Ii 3
1 nl 1 La I
1 | Te i | H |
! sg "| | D
f | ? ES: | 1
it i) | NS | Hoi
À DS 1
En | 1
hd i
SN Ir
Ie | 1
PSN eae
\ | Se
7 ANA i
Yy \\ ú |
1 NN
1 NN
if N
\\
UI Wp N
YY \\

Lie) DLIT.

ec.

5

pe
_

lon Mader. (

YU) i
YY |
mm SE
Yf yy nes 30" |—.. dl >
os | | BIES
ee
| | |
| | | | dé NN
LE 20
| |X €
esi
|
ir

| ! N NN

| [En 7 NN za

| Gaal A\ il i
SIS] La

AWD 4}
On [SE NS
(AE
NN fe |

fon. Akadem. (2° Sectie) DIN.

ent

JByeel tee, Pi Malte mann tien

et 4
; PEMA,

PH SCHOUTE. Hundertzwanzgzell und Sechshundertzell.

Fig 16"

_ 33415 e
: ee
| | | | IE 324140
Sees | Silesia ---30+14e
FE SS FS Ss ES PS EE CA
ii | i ---29+18e
EE
re |
| a 28+12e
es ES CE ES = eee eee
eik beg, SKK 26+12e
tt ER
NS ----25+11€
5 Fa | mis | |
à --22#100
. A er +
. Zn --21+9e
rar ial A Ek si | -_19+9e
= Pt
(a | | ----18+8€

—17+7€
iS 27e

A Ned 7/2 INN 4 ?
\ yj VW Wy, 3 Hl 14+6e
7 W YY WW, 12+6e
4 2 poe S 1+5e
he, Z 7 Uy S 10+4e
| X0 7 S 8+4e
Uy
-9| | | Hd 7+3e
| CZ
42e
Cn HER
jee 3+e
o S|
ee 5
47 di =
ne \ 5 =
| À j ut
19 H 7
| IE WV
|
“il oie
A hese fi
sah oe
| | 3 Se Î
E A
5 ANS
in
| 2
ra
=| =H ale
Ie |
EE
ee
JE
en ee

TBgtelüth PJ Mulder trier Leiden

Verhand. Kor. Akadem. (2° Sectie JAT. | = = |

F ;

PI.VII.

À

PHSCHOUTE

MHundertzwanzigzell und Sechshundertzell.

Fig. 19,

--.28+12e

---26+12€

25+12e

--.—-22+10€

21+49e

19+9e

~ 18+8€

~~ 15+7€

er 16+6e

~~ 11+5e

~-10+4e
~- 8+4e

~~ 743e

Ë

4+2e

291 —

|

Verhand Kon Aladem. (2° Sectie) DUI.

JBijtel, lith, PT Mulder, urjer Letter,

TABELLE JL Coordinatenstellung des 49%,

B. Erste Querlinie,

Cc. Zweite Querlinie.

D. Dritte Querlinie.

Sacre ae

BINHELL = 5, 1 „IG BINHEU = + Day BINHEIT = L_a
NE EEE EE NEER | va Vs Ja 2 3 45 vj LA 1,
2(1+e) 0 0 0 (1-0) 4 0 0 2(8-+e) —4 0 W en en 1+e | l+e l+e
0 21-40) 0 0 4 Ulpe) 0 rt) 4 UB+e) 9 s re Bat) EE) 1+e
0 0 | 2146) 0 o 0 2(1+e) —4 o | ON EE EEE) ok Mee | He | x) +)
o o o 2(1-+e) 0 o 4 ate) 0 0 4 AD) the | Ste) | ate || 7-456)
1+e 1+e 1+e 1+e 3+e —1+e 34e = 5+e ite | Ste Fe me BO | See) re)
—(1+e) 1+e | 1e 1-9 Jo Bte | Ste — tel —(lte) | b+e be 1+e A | —2(2+e) —2(2+e) | —2(2+e)
14e | —(14e) 19 1+e te | 34e) see | itt l+e | So We eh lie Zare) | 2@+e) | —a 22e)
Ife | ite | {Lo | ite sto | —ite | 1e | 34 Bj La | he um Aen IS AED | 25
140 1to | le | +e) 34e | —1+e —lte | —(3+9) ON 0 AO te) | 224) | —2 | —2a+0) | 2240
Lt) | —ate) | ito | ato | —e@+y | 1 | sre | ts | Gr) | AA) Ste pre} SS Bte | (te) CEE)
út) enn ie one | 1e ste | apte | ste | Lt) | Ste | —(6+9 | e430 34e | 4d)
=(Q+e) | ite | ite | Alpe) 1-e | 34 | —ite | GHO | —a+e | Bte HO] SCENE OO) GE) | Etc
0 2 1+e ste | -14o | a | auto | ip | 14e | ite | 2649 | Are) Ste | —Bte | Bte) | 5430
o = || ig | ane ig | | acti) 14e Ie, | {te | 224) | 2049) Mo le | ate) | +30)
0 2 | le) Be | —1+e 2 0 B SE ONE FERA) 2 [24e | ate) |— ako)
o 2 | ite | e+e | 14 2 o | =i | tte | tHe el ED) 0 | o [—asto | 264
o 3e | 2 | 14e l+e | 3+e 4 2 tre | 2249 dte | a te | ROME) || GEO)
0 —(8+e) | 2 | 14e lt) | 840 4 2 —(1+e) | -—2(2+e) ca |) 2 9 | 2(8+e) | 0 |—268+e)
0 Min A | aig Hie Te 0 20 1+o 2(2-+0) 1—e | 2449) MOMIE) ite | —a+o
B BO AS 1te | Ste o —20 Ife | Mate) | le | —2(lbe) 2 2240) 2240) | 2249
0 vens | Bte 2 2 | ners 2(1+e) 1338 2 B+e 3(1+e) 0 Ste —(3+e) | —+5e) | —G+e)
ml —(+e) | Ste | 2 —2 | —(1+e) He) 1—e —2 | —(6+9 BL +e) | 0 2 | 2(2e) Ae) Er
0 | ite | —@+e) | 2 2 | 1e =4 34e 2 ste | —5+e) | 2U+0) 0 [ates | 23+9 | 0
0 | Ate | 3+e | — S| ae a | Gt) 2 3+e 54e | SAME) Ite —(1+e) | —(7+8e) | 1+e
Ite | o | | 3e 1+e | em 3+e 4 3+e —2 2(1+e) | 5e 2(3+e) | 0 | 0 |—28-+e)
—{+e) | Onl A | BS —(1+e) 2 3+e 4 —(3+2) 2 2{-+e) | Ste —(1+e) | —d+e) | 146) | +7+30)
1+e o = 34e 1e | 2 | —1+e | 2(1+8) ge 2 [0] | 3(1+e) 2(2+e) | 2 | 2(24e) | —2(2+e)
1+e o | 2 | —(3+4e) le | —2 1—e | —2(1+e) 3-+e —2 {0} | —3(14e) 3e | 3e —(3+e) 53e
84e 0 | +e | 2 3+e | —(1+e) | 2e | 0 2+.) —(1+e) 2(1+e) | ie 7+8e | l+e —(1+e) —Ü+e)
—6+) | 0 | Ten 2 Geo) ol) ne) onde oO 2246) l+e 2(1+c) —l+e |—2(2+0) —2 | eat =2(2-b0),..
3+e | D | (le) 2 3+e | —(1+e) 2 4 22e) | —(1+e) —4 3+e 2(8+e) 0 | Ure) | 0
3+e | 0 | l+e | —) 3+e | —(1+e) 2 th 2(2-+8) —(1+e) 4 | —(3-+e) 5+3e 3+e | —(3+e) | 3+e
2 0 | ate | 14e 2 Ie | ste 0 Ike | 1e 2(3-+6) 2 2(2+e) | 2 |—22+e) | —22+e)
_2 © || spl —2 | —lte | fry 0 AS) —l+e 23e) | 2 om 0 | —2(3-+e) | —23+0)
2 0 | —{34e) | 14e a) || te | te) | 2149) 1+e le —2(142) | 2(2+e) eee 1+3e | —(+e)
2 o | 34e —(1+e) Yo ths | 14e | —2(.-+e) 1+e | 1—o 2(1+e) | —2(2+e) 3+e 3+e —(5+3e) dte
| |
2 ite | o 3+e 4 2 1+e 3+e te | 4 le | 2(24e) | 22e) | —22+e) | 2 |—22+e)
2 Ite | 0 34e 0 2e +e Be 1-0 | 2140) 14e | 2424) Oo |—2840 | o |—2(64+e)
2 —(lts) | o 340 0 | 14e 3to | 149 |-21+0 Ito | 2249) ade | se 3e | —(5+30)
2 1+e 0 —(3-+2) 4 2 —(1+e) | Bt) Ste | 4 —(1+e) | —2(24e) 1+e —(1+e) —(1+e) 7+30
340 2 0 1te 2(1+e) 1—e 2 Lo | site | 0 2 | ste rene | een) lte | —(+0)
—(3-++e) 2 0 1+e —4 3+e 2 1+9 —5-+e) 2(1+e) 2 | 3+e |—2(2+e) | —2(2+e) —2 —2(2+)
34e = 0 1+0 4 —(3+0) 2 14e Be | —2(1+e) 2 | ste 54de | dte 34e | —(6+9
3+e 2 0 —+e) | 2a+te) | 1e —2 A40) | ate) | 0 —2 | 840) | a(3+e) | o o 2(3+e)
1+e ad 0 2 2(1+e) 1+e —i+e -s 22+e) | Ale) Sig | so (3e) | —23+0) 9 nl
(le) s+s | 0 2 0 Bte | —ite | 2 2 | 2649 nl neo ae) | +439 | —a+e | +e)
Lg (SEO) | B à 2 EO) | LEON 1 2 | —2(8-++e) —l+e | l+e 3+e | 54de 3+e Ca)
De CHO | q 2 alte) net we = 2+e) | 2(1+e) 1—e | (+0 22+e) |—2240) | —2 | 22e)
l+e 2 | at 0 ae | 0 Bte | AHO) | ety | ie ean | En ml zen 0
(le) ae are 0 2 4 spe | —<O-+em 4 | 4... ae || eee | a et
a0 ie | 7. F a 7 ne Es, 9 ; | at) (+e) | —(1+e) 2(2-+e) 22+e) | —22-+e) =
| Acte) | — le —2(2+0) 1+e ie —(3+e) orde She
3+e 1+e 2 0 5+e 0 2 ds 2440) | 9 En 1 1480 | =e) —(1+e) 1+e
=(8+e) 1+e 2 0 (+e) (1 +e) 2 Ie | Alte | 224.) na) ey, les eee) |e
3+e —(1+e) 2 0 l+e —2(1+e) 2 1—0 1+.) | —2(2+0) Le | 1e g(3+e) | 2(3-+e) 0 0
3+e 1+e | —2 0 5+e 0 —2 —l+e 2(B+e) | 2 Sate | us SES | 4e) 3+e 3+e
2 Be l+e 0 B+e 4 1+e —2 2l+e) | Be Be | es e+e) |—2%+0 | —2(2+e) 2
SE el fm ie |
| } —3( +e) Hey II ery 140 T+8e | A+) | +e)
; as | A4 3 ey i mo || : Ale) ü+e —(3+c) | 2 3+e | —(6+3e) dte os

Po dD

11

TABELLE UL Coordinatenstellung des 7220, 1

erlinie. AN
©. Dritte Querlinie. D. Zweite Querlinie. pg. Erste au F. Zelldiagonale.
A. Ableitung aus den | B. Verbindungen zu À _ Kante Kante
120Eckpunkten des Z000, Kanten. EINHEIT — _Kante ginnem = Ae BINHEIT = o/o EINHEIT = ————
2(1+e) 2Y 10+2e 41/17+3e
1
ST en scene ,, DRE
1 so | se | 53 2 4 | og? 11+5e lte 5 (6-420 4426 —(5+0) 80414 | (+3) mr (AE) 26+12e 4420 (4420) | 4400
u 16 + EE 4426 0 13 5e (G+2e) | 1
e 5 —(4+2
2 7 3 7 56 1 5 | 1 | 988 11+5e —(+0 Fe | 0 9+ 5e —(8+40) 4426 —(3+e) 28+1% | =05#17) Je LH 25-+1le l+5e ‚| —(@-+e) Ste 2
| 245 | 8+-40 1040
s | - - 41 | 43 4 5 | 1 | 24] 11450 o 1to | 4426 15e +30) +2 | 24 294130 | 11459) | mo ou 20+ 128 4e 4426 cé | 3
| 10+4e 4+2e 9
ZES 7 . 53 1 sr 95 11456 Bte 34e | Ste 12+6e | dt?) Ate | È DES Ci ape 0 v 0 4
| 104-41 4+2 5
sale Ë 43 | 55 Blois 2408 (5e FRE) Ee vo een hep | 2 20-4120 | (18+50) 0 0 254116 Tete ss io) ë
| —(11+5 4+2
ala Ism et 1 9 | 13 | —286 Ieee el (Le) Sets | 5 Ee (+1) | —4+29 Be 28+1% | (547 ee i 21490 73e 15470 tse | 6
| | 11+5e) 4+2 |
7 : Z 7 56 6 10 18 (| ser er Lie ol à ii | —6+20 (4420) 3+e 30+14e | —(7-+5e) —(11+5e e 224106 o 14460 8440 7
| | D 8—4e) | {1040
8 7 ET 44 9 | 10 14 | 7 11450 0 ie) | 4429 1145 | +3) (4420) —(2+2¢) 294180 | 11450) he Ae) 21490 7+30 7+3e 15470 8
| | | —(10+4 —(4+2
a} - | - |» (5 8 6 | 18 (nel, trie | —G+e) =a) | Se) 04de | —Go+4e) | At) —2 26+1% | =(8+") ee) “) 19+90 11+50 11-50 lithe | 9
| —(10 +4 — (4 +2: |
10 . » 44 56 7 8 20 | —195 11+5e 3e —(3+0) —(3+e) 12+6e —(4+2e) —(4+20) —2 324 14e (44) | —( e) (4+ 20) 2241060 0 8440 14460 10)
12 |
11 4 31 41 43 3 | u 13 279 11450 0 ate) | 4420 11+5e —(143e) 2 6+20 294136 | 459) | o +6e 25+1le ate Ilie | Ste) zal
| | | | 1 5 |
12 5 > À 56 lu nik a Fa ee Bell Be 12-60 _(442e) =o} 4420 324140 | —4+2°) —(4420) 0+4e 25+1le ED || 11450 Bte 6}
| | D 10. |
ze a OU EE IE 4-6) —(@+e) | Fre 10+4e | 10449) = 4420 2041ae | terse) | AHO gn DEEE EXD | Ò 13
| 12+6 | | |
ve || mes Nu se 16 | 280] i466 6 ty || Se) 11450 —(7+30) —2 —(8+2e) 294130 | 11450) 0 —(12+60) 224100 | 8440 o Ean | a
10.
15 5 7 = 55 2 | u 18 215 114.50 (549 Bins ere 10446 —(10+40) 2 —(4+-2e) 26+120 | 18482) 4+2e —(10+4e) 22+10e 14460 0 8440 16
| | 20 10:
16 = : 44 53 eas 20 175 11456 TA Bo A Ser) 1260 — 4420) 2 —(4+20) 324-140 | —(4+20) a+) —(10+4e) 25+11e 34e | —(3+0) lit5o | 16
Sal LE ENT oet del ay Peen AR a | 5 dn 144-60 Sep) || 2 | Ie 3341be 0 1+e 420 26+1% | (4420 4426 Az | a7
NI —(4+2 | |
18 . —42 —54 55 9 15 19 | —292 11+6e —(4+-2e) 0 | —(1+e) 8+4e —(11+5e) =} | (le) 25+1le —(22+10e) (1+e) (44-20) 21496 15476 | 7430 | 7430 0
10 | - | 4] - - Si COIN a eral) neste TS on - exe 8+4 | —(+50) | 2 1+e B+ Mey eeu 20) ae oi ED EE | 19
= —| —(4 |
20 | - 44 | 53 | 56 | 10 | 16 | 17 | 204 14e 4420 0 | A+) 14 +Ge SOO) | = | Stax) CER 9 50) ear) 25+1le | +340) | 340 litse | 20
|
|
21 2 17 19 45 22 28 al | 256 140 11450 © | 4420 8-40 0452 | 34e | 44-20 15+7e 284120 4-20 11+5e 11+5e —(254+1le) =(G+e 0) or
| | | | | |
22 | - 5 = 46 | 21 | 24 | 32 | as] _ü+e 11450 0 | 4420 6-20 13450 34e 4420 7+8e | 30+14e SO MN EC de | E03) | 442) | —u4 | 22
23 ’ 4 a 57 21 26 87 | 88 3+e 11+5e zo | es mae |) ao | 4420 2 18+8e 26+12e 10+4e 4426 l4+6e | —(22+100) (8440) | 0 ze
24 . ” 46 58 22 | 2% 30 108 —(3+e) (11+5e) 3+e | 3+e 4+2e | 12+6e | 4+2e | 2 4+2e 82+14e 10+4e | 4+2¢6 3+e —(25+11e) —(11+5e) —(3+e) 24
25 © B 57 os Ze Sok EED 0 11+6e 4+2e l+e T+8e | l+be | Otte | —2 11+5e 20+1de Lede | ke tt | —@2+10e) | (14460) | 0 25
ae | - |—18 | 20 |—47 | 27 | 28 | 34 |= 260) 4 11450 0 (4420) 6+2e | 13450 | —(3+e) | —(4-+2e) T+8e | s0t14e | —4+2e) | —(11#5e) 0 —22410e)| 840) | 14480 | og
| | |
27 . . » | 48 26 29 35 | —261 1+e 11+5e o | —(4420) 8+4e | 9-50 —(3+e) —(4+-2e) 15+47e 284120 | —(442e) | —(11+5e) 7+8e | —21+90) | —(7+3e) | 15470 | 27
| 5 | | 3 | = rp
28 7 - | a7 | 50 26 | 30 |° 40 | —128 Er) den ZE IS) 4+%e 12+6e | —(4+2) | = 4+2e 32+14e (0+4) | (4+2e) (84e) |—25411e) | —{340) 11450 ze
29 > 5 48 60 27 30 38 | —188 Be zi ZON IS 10+4e | 10+4e | —(4+2e) —2 18+5e 26+12e —(10+4e) —(4+2¢) 8440 | 2241068) 0 14-460 Re
| | | |
so | - + = A 28 | 29 | 38 | 969 0 11+5e (4-426) —(1+e) 13e Mie | 642) | 2 11+5e Olde | —(2+6) | 0 34e |—(2541le | 34e Ilse | 30
31 » 19 45 . 21 33 38 148 3+e 11+5e —(B+e) 3+e 10+4e LoLo 2 | 4420 1880 26+12e | —(4+26) | 10+4e 11+5e —(25+1le) | CN |} ~ RO 31
32 : . 46 | —59 22 | 33 40 208 | —(3+e) 11+5e —(3+e | Ste 4420 12+6e | —2 | 4420 4420 324140 | —(44+2e) | 10+4e 0 (284120) | 0 | 0 EB
| |
33 . - |—59 60 30 31 32 263 0 Ide —(4+2e) 1+e 7+3e ll+5e | —(2+2e) | 4+2e 11+5e 294130 | —(10+4e) 8+4e 4420 —(26412e) | 44260 4420 33
34 | 20 |—47 58 26 36 39 298 | —(3+e) 11+5e 34e —(3+e) 44-26 12469 | 2 | —(4+2e) 4+20 324140 42e —(10+4-4e) (0) —(22+100e) | {14460) | 8+40 34
| |
35 okee 48 | 57 27 | 36 37 168 3+e 114+5e 3+e | —(@-+e) 10+49 | 10+4e | 2 —(4+4-2e) 18+8e 26-120 4420 | 1040) 1159 | —(19+-0e) | 1456) 11+5e 35
36 CK 8 25 | 34 | 35 204 0 1l+5e 4+2e —(1+e) 73e 11450 | 2420 | (4426) 11+5e l 29+13e 10+4e —(8+4e) T+3e | 21496) | —15+7e) | 7436 ÉD
37 . 45 48 57 23 35 38 296 42e 11+5e Ite 0 ll+5e Ste 1+e =2 22+10e 25+1le 4426 —(1+e) 154+7e | —(21+9e) —(1+36) 7+3e 37
|
38 ‘ . . 60 29 31 37 297 4+2e 11+5e —(1+e) 0 11+5e 8+4e —(1+e) 2 224100 25-+1le —(4+2e) l+e 14460 | (2241068) | o 8+1e 38
39 ” 46 |—47 | 58 24 34 40 299 | —(4+2e) 11+6e 1e 0 3+e 14+6e | le —2 0 83+1b5e 4+2e | —(1+e) Bte) | —(25+1le) | —(1+5e) | 3+e 39
40 a Ld | 59 28 | 32 39 300 | —(4+2e) 11+5e —(1+e) 0 B+e 14+6e | —(1+e) 2 0 33+15e —(4+2) | 16 —(44+2e) | —(26+12¢) | —(4+2e) | A+2e 40
| | |
| | | |
41 Je ee 24 | 49 42 | 44 | 56 265 l+e 4+26 11+56e 0 4420 2+2e | 11+5e —(7+3e) 8-40 10+-40 29+13e | —(11+5e) Nie | —(+e) | —(@5+llo | —(G+e) 41
| | | | | |
42 | 50 41 | 45 | 55 266 —(1+e) 4426 11+5e 0 2 | 6+2e | 11+5e —(7+3e) (0) 12+60e | 294136 | —(11+5e) 442¢ | —(4+2) | —(26+1%) | —(4+2e) 42
Il | |
43 35 | 34 | 44 | 45 | 48 | 245 o 1+e 11+5e | 4+2e 2 | tre | Ht | =6+9 1+e AD MM 33160 | 0 8t4e | 0 | ~(22410e)) —(14+60) | 43
| | | |
44 se ro lil eel 55 356 Ste | Uti 34e 4420 | 2 12460 | (1420) 10+4e 4420 324140 | —(4+2) 14460 | o |—(224108| —(8+4e) | 44
45 34 | 50 42 43 | 58 | 109) —(@-+e) 34e | 11+5e 3+e —2 | 42e 12+6e —(4+-2e) —(4+2e) 10+4e 32+ 14e —(4+2e) 3+e 340) | —a5+uo —(11+6e) | 45
| | | | | | | | |
46 22 2 eee] 47 | 49 53 268 1+e —(4+2e) | le | 0 = | —(6+2e) | 11+5e | —(7+3e) 0 —(12+6e) 29+13e | —{11+5e) 74+3e | 15+7e | (21480) | —7+3e) | 46
| | | | | | |
47 - ln IP ORE 269 | —l+e) —UH2) | lux | 0 —(44+2e) | —2+2e) | 11450 | —(7+36) —8+4e) | —(10+4e) 29+13e | —(11+65e) 0 | 1446e | atc —8+4e) | 47
| | | | |
aa] - | 33 | as | 43 | 49 | 50 | 247 QO | = | me | Ee —2 | +e) 1466 | —(3+0 AH | —G+26) 33-4150 | 0 13e | 7-436 | ete) | —5+70) | 48
| | = | | | |
49 ” | | | 51 46 | 48 57 | 129 3+e +) | Utie | 3+e 2 | —(44+2e) | 12460 | (4426) 4+2e | —(10+40) | 32+ 14e —(4+ 2e) Ilse | ll+se | —19+8e) | —(1145e) | 49
Il | | | | |
50 | - - 34 | 47 48 58 | 189] —@+e) —(3+6) Ute | ste ee) | LEA | 12+60 | (4420) | —(o+4) | —(4+20 rea (Pd) 0 | 84e | —(22410e)) —14+6e) | 50
| | |
51 D SE 52 53 | 54 0 te) | 11+5e | —(4+2e) —2 | —Ut+e) 840 | —(11+5e) —1+6) —4+2e) | 254110 | —(22+10e) te | Mete | —@6+1i) 3+e 51
| | | | |
52 - | 52 7 ETS Du —(3+e) +e) | 1145 | —(@+e) —(4+20) —2 10440 | —10+40) | 1040) | —(44-20) 26+12e | —(18+8e) —(8+e) NON SCENIC) 52
& | | | re | | |
53 . 36 | 51 46 51 | 60 | Ste HON ISLE —(#+e) 2 | (4428) | 10+4e | —(10+44e) 4420 | 1044) 264120 | — 1880) 8440 14460 — (22410) 0 53
54 24 | 85 | 36 51 55 | 56 254 o Le 11+5e | —(4+2e) 2 | le | 8+4e | —{11+5e) 14e 4420 | 254116 | (224106) 4420 4+2e —(26+12) 4+2e 54
| | | | |
5 5 | le 5 Eenes: 8 = oi | | | ;
5 ye 42 54 59 | 220! +) | +e | 11+5¢ | (3-+e) 2 | 4420 | 10+4e | —(10+4e) — 4-420) 10+40 | 26+412e | —18+8e) 0 0 —(28-+12e) 0 55
58 e 36 | 40 sl 54 co | 169 3+e | 34e 11450 —(3-+e) at2e | 2 | 10+4e | —10+44¢) 10440 4-420 26-120 | (18486) AE Se —(25+11e) 3te 58
ad 53 | 49 aa | 49 | co | 284 DEN | a | lie ire 4+2e | Bte) | 13450 —(8+2e) Nie —(4+20) 30+ ide (1430) 15470 T+3e | (2140) | 7430) | 57
| | | «
58 EN CNE OG | Pact abe Sr | Ste | 13450 —(6+-2e) —(11+50) 4420 30+14¢ | —(7-+3e) —(3+e) 349 —(25+11¢)) —11+5e) | 58
ge = cia NE OD 2 abe tn to) | dte | 9458 || SGH4e) | SN 4420 284120 | —(164+70) | —(4+26) eae EC RCE MED)
60 " | 36 | 49 BL ay aa || | a 442 0 11 I 4+2e | —(3+e) | 9+5e | |
|) | Se] fe EY ENS p | Are U) ue Er) MO SC) tse) —(4+20 | 284120 | 15-470) 14 Ge Sto —(2+10) q 60
61 4 | sal xl 25 Den | | | | | 5 | |
| 63 | 06 241 1e 0 4+2 11+5e 1+9 2 | 15e | | GF ~~ Bs
a | 5 | os | oo | + | +20 aH =f | | ar | 8-40 4428] —a+e) | 224100 | 25+11e 11450 EN) —(3+9) (25411e) | e1
g 0 | 26 61 54 | 67 42 | —(1+e) | 0 | 4+2 | 11+45e 1+¢) 2 11+50 | | =
| | | | 64 1 | 24, (1+ | | +2e | ar —(1+e) | ad | 8+4e (4420) ite | 224100 | 254110 4-20 — (420) —(4-+2e) (26+12e, | 62
2 4 | 37 61 65 7 55 ste | 3+e | 3e | 11+5e 4420 2 | 10440 | | | —2¢ 5
vy Al | IE ER à ek aly a gi | id a 10+4e 10449 4+2e | 18+80 | 264120 14460 | —(8+4e) 0 | —22H10e | 63
| | 38 62 | os | 70 10 —(3+e) e 3 1150 —2 4420 10+4e | | | | =
5 ‘ 1 5 a | +e | + | Ar | 10440 (4-426) 1044 | 1848 | 264126 340 (11450) | —(8+8) | (254+11e) | 64
In: u 63 | 64 173 244 oO | 2e | 1e |_11+5e 3+e | 42e | 8+4e | | |=
ben el AN | | … B | a | hate | 845 4f2e | Ilse | 1547 | 284120 8440 | —(14+6e) 0 | (224108) | 65
LA 9 OLS MNT 125 3: 8) 3e | 11+5e 2 | = e) | 10+40 | | | _
EN E zeeen | ha ie | hr | É: Oerd i encase 4420 |—10+40) | 18+8e | 264120 11+5e ate | 3 (25+11e) | 66
= 62 68 80 | 185 —(3+e 8) 3+e | 11+5e —4+4206) | > | 10+-4e =
68 | - | . | a ce | o uso | + fake Mima topte | —aotse| 4420) | 1stse | 26+4120 0 | oo nn
= i 67 | 76 246 e) 1+e 11+5e —(3+e) — e) 8440 | | | | I=
69 15 |—16 | 7 70 1+e 0 | ne EEE 1+! 2 | + | Cue 428) | —(114-50) 1547e | 28412e Af20 azo | 4420 (26-+120) | 68
| NE il | 74 248 —(4+4-2e) 1 e LE) = 3+e | =
roule | LE | | | ASE 4426 | —1+e) | 0 | 334150 73e | —(7+3e) | 1547 | —(21+9e) | gp
7 [28 | 69 | 7 | 75 | 240! —a+e) 0 —(44-28) 11450 —(1+e) 2 | 34e 14460 | | | aps | ~22
an (ele Ee | | | | —442) 1+e 0 | 334160 o | —(8+4e) | 1 | 224108) | 70
37 69 | 73 | 97 145 3+e 3+e —(3+e) 11450 42e 2 | 4420 12 | | | oy Ate
72 7 lees | | | +6e 10449 its | 4420 324140 11+5e |—(11+6e) | 11+ (19490) | 71
, —28 38 DE HER) 205 —(3+9) 30 | —(34+e) | 1l+5e —2 —(4+20) | 4+2e | | | |
ve |) 44 Fe | | | 12460 —(4426)| 10440 4420 32-+140 o |—aatee | 8449 | —(22+10e)] 72
Wis EH Need 66 | m | 7 | 261 o 4426 —(1-+e) | 11-50 3e 4420 | 6426 1 | | +
m | - | | a | | Sart 442, 11-450 73e 30+140 73e | —(15+7e) 1430 | ~(21+90) | 73
IS 21 39 60 | 76 18 | —225 3+e —8+e) | 3e) | 11+5¢e 2 —{4+-2e) 4+2e 1 : da |
15 | : r | —28 ( | PME 4429 | —(10+4e) 4+2e 324140 84+4e | o | 14#8 | ~(22+1080) | 74
= | 70 7 | zo | ef, Bt) |) 840) | —a4e) 11460 | —4+20) —2 442 12460 | | | j1460 | (25
10-449) | (4420) | 4420 324140 | —(ste) | —ate) | 1 | 254110) | 75
À }

~

TABELLE IL Coordinatenstellung des Z

—— SS SSE
E. Erste Querlinie. F. Zelldiagonale:

A. Ableitung aus den | B. Verbindungen zu ©: Britte Querlinte. RE en 4 Kante Kante
A20Eckpunkten des 2000) Kanten. BINHEIT — JN EINHEIT = Vik BINHELT = oe EINHEIT = ee eee

steker mn nen en 4 |—16 | 39 75 |—28| 0 —4+2e) | ate) 11450 | to | —4+2) 6+20 | 18450 | —4t2as | —11+59) Es ERR TE Ste ate 11+ |) | 78
717 | . 2 | 27 78 | en] 442 1e 0 11450 64-20 —2 7+30 11456 12460 0 1156 294130 | 15+7e | —(7+3e) 7439 |—2l+90) | 77
| EE m | sm 4422 | (+e) 0 15e 2420 | —(4+20) 73e 11450 1044 | 8449 | 11+59 294186 | 14460 0 8440 |—224#100 | 78
79 | . | 26 | ss so | 275] —(4+42e) 1e 0 11t5e | —2+20) 4420 7-30 11450 [10440 | 8+49 EE 204180 | ate) |—11450) 3te _|{Gtlle | 79
so | . Fi . 79 | 276] (4420) | Mo) 0 11450 | —(6+2e) 2 7-+30 11+5e | 12460) o Dune 294180 | —(4420) | —4+20) 4+2e |—26+12e) | 80
si] 5 18 | 17 so | 101 1+6 73e 73e 73e 5de 54e 11+6e Be 11450 17478 26-116 | 11+5e 14460 |—(1446e) |—(14+6e) |—U4tes) | 81
Saen | oe s7 | zul 840 +30 4420 84-40 7-30 64-20 10440 53e | late | 15479 Lore Lende 15+7e |—ast7e) | 743) |—1547o | 82
Gal} a ep ml NN a aag mae tse se Ste 12460 Ite 11456 8440 294136 | 10440 15470 | —74+3e) |—(15+7e) |—i54re) | 83
CIS ot LS on | en] 4420 340 73e 8-40 5+3e 0 13-50 4420 14460 3+e 204120 | 15t7e | 18480 | —atae) |—0+4e) |~1s+s:) | 84
85 | - - , 84 93 4420 4420 4420 10-40 73e 1+e 9+5e 7+8e 15+7e Heise aiitee aif ee 18+8e |—(1044e) | —(4+2e) |—18480) | 85
8e || - mj 81 90 | 258 3+e 8440 73e 4429 9480 T+8e 10+4e 0 15+7e 19+9e PD 4+2e 16+7e | {54e —(1b+7e) | +3 86
87 | - . 87 o7 | 256] 4420 84-40 3o 73e 10-440 5-30 73e 6+20 19+9e 18480 Marl) Wore 18+8e |—18+8e) | —(4+20) |—lo}4e) | 87
88 „| 45 s7 | so] 442¢ 10440 4-420 4420 9450 T+3e 7+8e 1+e 21496 21+9e SIO T+8e 18+8e | (1848) | —G0+4e) | —G42y | 88
89 21 | 38 90 os] 4420 4420 10-440 4420 7+8¢ l+e 18+5e —(1+0 1b-+7e Ipse gesel Lee 18+8e | —(442e) |—(18+8e) |—1044e) | se
90 , 49 100 | 265 4426 7+3e S+4e 34e 84e 4420 9+6e BH) |, 1848 14+68 ape 0) 18+8e —(10+4e) —(18+8e) —(4+2) 90
91 25 | 29 94 131 73e 19 7-+30 73e 9+3e —6+e) 11+5e Ghd 197,00 TE) gate EFse 22108 a —8+4e) | —14+66) 91
92 vfs % | maf SH | ste 420 73e o+5e | 8409 840 atae | a5+1le Ste) | ITS | datée | 254110 | Bte | Gt) [ice | oa
93 A 37 97 271 7430 4-20 340 8-40 10+4e 0 9+3e 7+3e 224100 4420 15+7e 19+90 224100 | —(844e) o —1446e) 93
94 29 | ss 96 | sss] 7430 Be 844e 4420 8de —(l+e) 11450 = 21406 0 Zeng Ge 224100 0 —144+60) | —s}4e) | 04
95 . 41 96 98] 10446 4426 4420 4420 13+5e —(1+0) T+3e te 20418e 1+e REED GHB 26+12e —(4+2e) —(4+20) —(4+2e) 95
96 . 49 100 | 282 Ste 1420 74de 3+e 11+5e =2 8+4e —(1+0) +120 Ste Blane 0 26+1le (8+e) (11+5e) (Ste) 96
ey |} Se INT 98 | 157] 7-80 73e 14e 7-30 11450 Be 5430 543 254110 | 11450 autos MATEO 224100 | ~14+66) 0 —8+40) | 97
os | . a1 | 45 99 | 201 8440 730 340 4420 12+6e 1+e 6+2e 3+e 29+18e 10+4e De Dec 2+lle | —(l+6e —(8+0) (te) 98
99 F 45 53 100 296 7+3e S+de 4426 3+e 13+6e 4+2e 5+3e 0 26+12e 16+7e HE Bane 224100 | —(4+6e) —(8+4e) 0 99
100 . 49 | 99 180 T+8e T+8e T+8e 1e ll+be +e 94-36 —(8+0) Bb: 1150 HE AGE) 22-106 —(B+4e) | —(14+6e) 0 100
101 6 18 | 17 103 106 | —{1+e) 7+3e 7+3e 7+8e 3+e 94de | 11450 ERN 3e 19420 25+11e 11450 7+3e |—(1547e) |—(15+7e) |—15+7e) | 101
102 | - . 2 107 | 244 | (34e) 1+3e | 4420 8+49 14e 8+4e | 10+4e | 5+3e 0 21490 10490 18+48e 4420 |—18+8e) |—(10+4e) |-18+8e) | 102
103 | - = | oi 109 | 245] (34e) 4420 8440 73e 0 bete | att 1+e —8+e) 1460 ATS | a 4+2e |—10+40) |—(18+8e) |—1s+se) | 103
104 | . . 26 1 | 242] {4429 340 7-30 8+40 +e) | 6+2e | 13450 4420 —{(8+4e) 11+5e 26120) | TETE 0 —8+44e) |—(1446e) |—(22410e) | 104
105 : E 104 | 113] —4+-20) 4420 | 44 lof4e | {lt | 7de 94-50 7+3e | 7430) | 1547 alee 21490 ° —14+6e) | —8+40) |—{22410e) | 105
108 17 21 110 258 | (3+) 8440 7+3e A+2e 8+e 9+5e 10+4e 0 1+e 25+1le 22+10e 4+2%e 4420 |—{18+8e) |—(184+8e) |—{1044e) | 106
107 . 38 117 257 | —(442e) 8+4e 3+0 7+3e 2 11+5e | 7+3e 64-20 —(3+e) 26+12e 1446e 15+7e 0 —(22+10e) | 8440) |—{14+6e) | 107
108 . 46 107 119 | —(4+42e) 10+40 4420 4420 l+e ts | 7+8e 1+e —{1+e) 29+18e 16 +7e 1+38e 0 —(22410e) | —(144+6e) | (8446) | 108
109 21 34 110 114 | —(442e) 42e 10-40 4420 —(1+e) 1480 | 18-466 —(1+e) —(1+3e) 15+7e 29+18e l+e te) —(8+4e) |—(22+410e) }—144+6e) | 109
110 . 50 120 | 266] (142) 7+3e S+4e 34e 0 | 10+4e | 9460 —(B+e) —(4+20) 224100 25+lle | —(+0 0 —1476e) |—(224106) || —{(84+4e) | 110
111 26 30 | 114 191] —(7+436) _ 1+e 7+3e 7+3e —(5+36) 54de 11+5e 3+e —(17+7e)_ 11+5e 25+11e 11450 7+3e —{(7+3€) | 15476) |—2149e) |111
112 . . 115 218 | —(8+44e) 3+e 4420 73e —(7+3e) 9+3e 84e 4+20 —(19+-9e) 15+7e 18+8e 14466 11450 |—(114+5e) |—(11+5e) |—(19490) | 112
113 5 38 117 275 | (7430) 4+26 340 8+40 —(4+420) 840 93e 7+3e —(14+6e) 18+8e 15+7e 19+90 —{1+3e) | —15+7e) —7+8e) | —(21+9e) | 113
114 30 | ss 116 | 288] (7430) 340 84-40 4420 —(6+2¢) 1+8e 11+5e —2 —(15+#17e) 14+6e 26+12e 3+e —(7-+3e) | —7-+8e) |—(21#96) | —15-+7e) | 114
115 ” 42 116 118 | —{10+4e) 4-20 4420 44-20 —(1+3e) 9+be 13e l+e —(21+9e) 21+9e 15+7e 7+3e —(1446e) | —(1446e) |—(14466) | 14460) 115
116 7 50 120 | 286] —(8+4e) 4426 7+3e 3+e —(5+3e) 10+4e 8+4e —(+e) —(8+86) 1949 21+9e 0 —(Ll+5e) |—(1145e) |—(19-+9e) | —{114+5e) [116
117 5 38 42 118 217 | —(7+3e) 73e 1e 7+3e —(3+-e) 1150 5-30 5430 |—(11+5e) | 25+11e 11+5e 17+70 —(7+3e) | —(21+9e) —(7+3e) | 1570) | 117
118 . 42 46 119 292 | —(8+44e) 7+30 3e 44-20 —(4+20) 13-++5e 6426 3+e —(1b+7e) | -26+12e 11+6e 8+4e —(1l+5e) | —(19+9e) |—(11+5e) |—(11+5e) | 118
119 . 46 54 120 299 | —(7+3e) 8+4e 4420 3+e —(1+e) 12+6e 5+3e 0 —(10+4e) 29+13e 14+6e 3+e —(7+3e) |—(2149e) |—(15+476) —7+3e) |119
120 . 50 - 119 240] —(1+30 T+8e 7 +30 1+e —(3+e) 11+5e 9+3e —(3+e) —(11+5e) | 25+1le 19+9e —(3+e) —(7+80) |—(15+7e) | —(21+9e) —{7+3e) | 120
121 7 14 | 18 126 181 1+e —(1+30) 7+3e 7+30 —(3+e) —(8+8e) 11+5e 34e —(3++) | 19400) 25+11e 11450 7+3e 15470 | —{1+3e) |—(2149e) | 121
122 . Zale 127 246 3+e —(7+43e) 4420 8+4e —(1+-e) —(8+-46) 10+4e 5430 0 | 21400) 19+9e 18-89 84e | l4t6e | 0 —(22+410e) | 122
123 . . | 22 129 247 3e —4+20) 8+4e 7+3e 0 —(5+3e) 12+6e l+e 3+0 4460) 20136 10+4e 11+5e 1l+5e | —(il+5e) | —19+49e) | 123
124 | . ee | 25 | 131 | 241 42e | —(3+e) 7+3e 84e 3+e —(6+-2e) 13456 4420 8-40 nee) 264126 15+7e 15470 7+3e —7+30) |—(2149e) | 124
125 124 133 4420 | —4+2e) 4420 10440 1e —(7+80) 94-50 7+3e 7+80 |_{15+7e) 21490 21-490 14+60 | 8t4o | 0 —(22+10e) | 125
126 5 18 | 22 130 202 34e —(8+4e) 7-30 4420 —(8-+e) (0450) 10+4e 0 (le) = 6418) 99-4106 orcs se | 21490 —(7+3e) |—(154+7e) | 126
127 | A | BAE 137 260 4-20 —(8+4-1e) 3+e 7+3e —2 —(11+5e) 7+3e 6-+20 3e —{26--126) 14-60 15-+7e 10+4e | 18+80 4-20 —(18+8e) 127
128 | 47 | 127 | 139 4+4+2e |—10+4e) 44-20 4+20 —(1+e) —(13+ 56e) 7+8e 1+e Ire (20418) 15+17e 14% 84e 224100 0 —(1446e) |128
129 } 22 | a | a 49 | 123 | 180 | 134 4420 4426) 10+4¢ 4+2e l+e (14-30) 13e ip) Tse Fe DCE io l4t6e | 14460 | 14460) |—14+6e) |129
150 | BL | 59 À 326 | 329 | 10 | 208 £42 —(7+5e) CRC NN ET 0 —(10-+-40) 9+5e —3+0) 4422 | (924100) 25+1le —(1+0) 11450 | CANON CE) ED) [KEO
131 EE Asante 91 | 14 | 152 | 134 73e —1+8) 7+3e 7+3e 5+3e —(5+3e) 11+5e Ste 17+7e | 1450) 254110 11450 21+90 | 74+3e | —(7+3e) | —(1547e) | 131
CR RSA ||: | eee
134 - | 9 33 | 51 129 | as 136 | 284 73e —{8}2) | 840 4-20 6+2¢ ee | Ds whe ik Ti ue a ne | 11450 |—(11+5e) | —(11+5e) 134
135 , | , 43 | 56 5 | 132 130 | 138 10+4e —4+20) 4+2e 4+20 7+38e ohne | a os a ses ae + Se | 14469 0 —(8+-40) 135
ze | “| = | ale | Le os ae sie aN zie nes Be: +e 21496 —(21+9e) 15+7e 1+3e 224-10e a En BE
137 | a0 | 4 | 47 | 127 | 133 | 138 ee 7430 | —1+3e) a 1+3e 3+e ae ae a a su “x 5 ee | 15-+7e 7+8e |—(5+47e) | 137
138 » | 43 47 | 55 185 | 137 | 139 | 293 81e —\7+3e) 3+e 4-20 4+2e 13+-6 | 6+2 | a Be cou re nie | 18+80 4+-20 —10+4e 138

ae Re i | : x | Seah lees a5 a ae à Ss we Be 1ö+7e — (264-120) 11+5e 8+4e 18+8e ae 4 Ke )
140 =| 51 | 130 | 136 | 139 | —220 7+38e —(1+8e) a 1 8 je y oe De f ie SES) ae ey ae —(7+3e) , he ce
| | cl | 7+38e +e 3+e —(11+- be) D+8e —(8+e) Ulbe Brant) 19+9e —(3+e) 15+7e 21490 —(7+3e) 140
+ É | | i | à el | 143 | 146 201 1te | 7+8e —(7+30) 1+3e 5+3e 5+3e —(3+e) 11450 11450 inge |—ui+5e | 25+11e 7+3e | —(21+9e) 15-7e | 73e) | 141
A ee | oe Lee (ee | ee
| RE | = 8 | e 8 2e £ —(15 €) CE 5
144 | 1337 143 | 145 | 161 | 248 4420 | us A RE à nl ee 11456 84e | —a6+-7e) | 26-120 ‘ois ee 19490 Fs a

145 . | . ’ 87 TL | 142 | 144 | 158 4+20 | 4420 | —(4+-2e) 1040 73e 1+e 14e + me Zi he | See a 14460) 14469 | tate
Tis > PS ee ue |. | | | 13459 15470 7+3e | —{1+e) | 29+13e 14460 |—(14+ Ë | e) |145
147 | . | lee | “a je | a ae | a —(7+3e) 4420 9-30 7+8e | (4426) 8440 ime jofoe |—astée | 168 Bade | 224100) 14460 0 146
428 . » | a | 0 31 | 146 > | 159 44-20 | Rec, ae BE ee | ose se Stee 19496 18480 0 21+9e AO Card TS, | ATS) | 147
149 23 | 36 62 | 52 | 143 | 150 154 4+20 449, Bak a Se Pie se Free 21496 21+9e eet) | vette 2 se | 4 er
de A Een Par ON a Be Ba) is Fire DES mi 2450 15476 73e | 2190) 21400 Brdo | —(Q4+0) 20+10e | meso 149
le —(8+-4e) 3+e 8+-40 4-20 —(7+3e) 9+30 18480 Mae (19-99) 15470 10+4e | —(18-+8e) 18+8e | 4+26 150

a

Dr nn

A. Ableitung aus den

B, Verbindungen zu

120Eckpunkten des Z Kanten.
144 | 152 | 154 | —231
161 | 168 | 165 279
145 | 152 | 157 271
149 | 151 | 156 289
12 152 156 168
154 | 165 | 160 | —287
97 147 | 153 158
155 | 157 | 159 291
148 | 168 | 160 297
150 | 156 | 159 | —200
162 | 163 | 166 221
161 | 165 | 167 253
161 | 164 | 169 254
163 | 165 | 171 | —249
—15 162 164 173
161 | 108 | 170 204
162 | 168 | 177 |—261
35 | 166 | 167 179
56 | 163 | 170 174
166 | 169 | 180 266
164 | 172 | 174 | —2n
271 | 173 | 176 280
165 | 172 | 177 | —276
169 | 171 176 290
16 | 172 | 176 178
174 | 175 | 180 282
167 | 173 | 178 | —197
ws | 177 | 170 | 204
168 | 178 | 180 | 296
100 | 170 | 176 179
121 | 182 | 153 156
181 | 185 | 187 246
181 | 184 | 189 | 247
183 | 185 | 191 242
67 | 182 | 184 193
181 188 190 262
182 | 188 | 197 261
—29 | 186 | 187 199
50 183 190 194
186 159 200 269
1u | 184 | 192 194
191 | 193 195 278
185 | 192 | 197 276
189 | 191 | 196 288
—10 | 192 | 196 198
194 195 200 | 287
177 | 187 193 | 198
195 | 197 99 | —294
185 | 195 200 | —297
160 190 196 199
|
141 | 202 | 203 206
201 205 207 | 261
201 | 204 209 | 202
203 | 205 211 | 249
72 | 201 | 204 213
201 | 208 | 210 | 203
202 | 208 | 217 257
32 | 206 | 207 219
—53 | 203 210 | 214
206 | 209 220 | —268
an | 204 | 12 | 214
211 | 218 215 | —280
205 | 212 217 | 27%
209 | 211 216 —290
—15 | 212 216 218
214 | 215 | 220 | —255
117 207 218 | 218
215 | 217 | 219 | 292
208 | 218 | 220 | 300
—140 210 216 219
|

161 | 222 228 226
221 | 225 | 227 208
221 | 224 | 229 254
223 | 295 | 281 | —248
14 | 222 | 224 233

7+3e
8+40
73e
7+30
10+4e
S+de
73e
81e
7+3e

7+3e

1+e
3e
3e
4+20
4+4-2e
3+0
4-20
4+2e
4+2e
1+2e
7+3e
840
7+3e
7+3e
10+4e
S+de
7+3e
8+40
7+3e

Tie

—(l+e)
—3-+e)
—(3+e)
—(4+2e)
— 42e)
—(3+e)
—(4+-2e)
—(4+20)
—(4+2e)
—(t+2e)
—(7+38e)
—(8+48)
—(7+3e)
—(7+3e)
—(10+4e)
—($+4e)
—(7+3e)
—(8+-4e)
—(7+8e)

—(7+8e)

—(1+2)
—(3+e)
—(3+e)
—(4+42e)
—(4+2e)
—(3+e)
—(4+4-2e)
—(4+-2e)
—(4+2e)
—(4+-2e)
—(7+30)
—(8+-4e)
—(7+3e)
—(7+3e)
110446)
—(8+-4e)
—(7+4-3e)
—{8+4e)
—(7+3e)

—(1+ He)

—{1+e)
—{3 a)
—(3+e)
—(44-2e)
—4+2e)

T ABELL E Il. Coordinatenstellung des 2**°.

C. Dritte Querlinie.

EINHEIL = que
1+e —(7-+35)
3e —(4+-2e)
4+2e —(3+-e)
3e —(8+40)
4+20 —(4+4206)
4+2e —(7+5e)
7+3e —(1+e)
7+3e —(3+e)
8+de | —(4+2e)
7+38¢ | —(7+3e)
7+3e | 7+3e
7+3e | 4-20
4+2e 84-40
3e | 7+3e
4420 | 4+2e
8+1e | 7+3e
8+4e | 3+e
10+4e | 4+20
4+2e | 10+4e
|
7+8e S+de
He 7+3e
3e 42e
4+2e 3+e
3+e 8+4e
4420 4420
4+2e 74de
7+3e 1+e
7+3e 3e
S+de 4+2e
T+8e T+8c
—(7+3e) 7430
—(7+3e) 4+20
—(44-28) 8+40
—(3+2) 7+3e
—(4+-2e) 4420
—(8+4e) 7+30
—(8+-43) 3e
—(10+46) 4+2e
—(4+20) 1044e
—(7+3e) S+4e
—{(1+0) 7+3e
—(3+e) 420
—4+2e) 34e
—8+2) | 8440
—4+2e) | 4+2e
—(+2) | 7456
—7+3e) | 1+e
—(7+3e) | 3+e
—(8+4e) | 1+2e
—(1+30) | 1+3e
7+3e | —(7+43e)
7+3e | —(442e)
4+20 | —(8+4e)
3+e | —(7+8e)
4429 | —(4+-2e)
8+4e | —(7+3e)
8+40 | (340)
10+4e | —(4+2e)
4420 | —(10+4e)
74de | —(S +de)
le | —(7+3e)
3+e | — (4420)
4420 | (54e)
3+e —(8+-1e)
A20 —(4+2e)
4426 —(7+3e)
7+3e | —(1+e)
7+3e | —(3-+e)
8+4e —(1+2e)
1+3e —(1+3e)
7+3e 7+3e
7+3e 4+4-2e
44-20 81e
3e | 73e
442e | 4420

7+3e
7+3e
840
4-20
4-20
3+e

7+3e
4+2e
dte

1+e

—(7+3e)
—(8+4e)
—(7+3e)
—(8+4e)
—(10+4-4e)
—(4+20)
—(7+3e)
—(4+42e).
—(4+-20)
—(3-+e)
—(7+3e)
—(7+3e)
—(8+4e)
—(4+-2e)
—(442e)
—(3+e)
—(7+3e)
—(4+-28)
mu)

—(1+e)

7+30
8+4e
7+3e
8+-4e
1040
4-20
7+3e
4+2e
420
3e
7+30
7+3e
84e
4+20e
4+20
Je
7+3e
44-20
ite

1+e

7+3e
8+1e
7+5e
8+-4e
10+4e
4420
7+3e
4+20
4+20
34e
73e
7+3e
81e
44-20
4-20
de
7+3e
4+2e
Je

le

—(7+38e)
—(8+4e)
—(7+3e)
—(8+40)
—(10+44e)

9+30

9-+50e
10+4e

8-+40
13+5e
11+5e
11+5e
12+86e
13+5e
11+5e

53e
73e
6-20
53e
7+3e
9+30
10+4e
9+45e
7+3e
84e
930
95e
10+4e
8+4e
13450
11+5e
11+5e
12+6e
13+-5e
11+5e

—(5+8e)
—(7+-3e)
—(6+2e)
—(5+3e)
—7-+3e)
—(9+30)
—(10+4e)
—(9+5e)
—(7+3e)
—(8+4e)
—(9+3e)
—(9+5e)
—(10+4e)
—(8+ 4e)
—(13+5e)
—(11+5e)
—{(11+-5e)
—(12+ 0e)
—(13+5e)

—(11+5e)

—(3+e)
—(1+e)
3+e

1+e
—(1+e)
ke)
—(5+4-3e)
—(7+3e)
—(4+-20)
—(6+2e)
—(7+-3e)
—(5+3e)
—(3-+8)
—(4+-28)
—(1-++e)
—(3+e)

D. Zweite Querlinie.

—(b+38e)
—(6+-2e)
—(3+e)
0
—(1+e)
—(7+8e}
—(5+-3e)
—(7+38e)
—(1+e)
—(4+2e)

34e

to

—(3+-e)
—(1+e)
—(4+2e)

—(3+e)

9+3e
8+1e
530
62e
7+3e
95e
11+5e
13+5e
7+3e
10-446
5+3e
93e
840
7+30
9+5e
10-40
1l+5e
13+5e
12+60
11+5e

2+3e
8+4e
530
62e
7+3e

21 10-42

3e
—(543e)
—(1+e)
—(6+2e)

3e

fo}

—(3+e)
—5 +36)

3e
=p}
4+20
1+e
—(+e)
42e
—{l+e)
1+e
7+8e

3-0
53e

1 45e
10440
12+6e
13+5e
9+5e

10+4e

—(4+-2e)
—(1+e)
1+e
—(4+-2e)
1+e
—(1+e)
—(7+3e)
—(7+3e)
—(3+-e)
0
Ja
—(5+3e)
—(1+e)
—(6+-28)

11450
10+4e
95e
10-46
7+3e
7+30
94306
5+3e
6-20
5-30

—(11+5e)
—(11+5e)
—(13-++5e)
—(12+6e)
—(13+5e)

—(8+-4e)

—(8+-4e)

—(7+3e)

—(9+-5e)

—(9+3e)
—(11+5e)
—(10+-4e)

—(0+5e)
—(10+4e)
—(7+3e)
—(7+3e)
—(9+3e)
—(5+3e)
—(6+2e)
—(5+3e)

Se
53e
1+e
44-20
7+3e
0
6+-2e
1+e
—(1+e)
—(3+e)
dte
4-20
73e
—2

l+e

- 10+9e

254110
224108
21490
29130
26-120
254110
29+18e
26+120
25+11e

11+5e
14-60
11450
14460
1570
1570
19490
2190
15470
1880
1990
25-+11e
22+10e
21490
294136
26+12e
25+11e
29+13e
26-120
25+11e

—(11+5e)
—(14-+6e)
—(11+5e)
—(14+6e)
—(15+7e)

—(15+7e)
—(19+9e)

—(2149e)

—(15+7e)
—(18+8e)
—(19+-9e)
—(25+11e)
—(22+-10e)
—(21+ 9e)
—(29+18e)
—(26+12e)
—(25+11e)
—(29+13e) |
—(26+12e)

—(25+11e)

3-0
(0)
—(3+-e)
—(8+4e)
—(7+8e)
1e
—(3+-0)
—1+8)
—(7+3e)
—(4+20)
—(17+7e)
—(19+9e) |
—(14+6e) |
—(15+7e)
—(21+9e) |
—(18+8e)
—(11+5e)
—(15+7e)
—(10+-40)
—(11+-5e)

3e
0
—(3+-0)
—(8+4e)

—(7+8e) |

E. Erste Querlinie.

EINHEIT = —

3e
11450
10446
15+7e
11+5e

—(17+7e)
—(15+7e)
—(8+-4e)
— 38)
—(7+3e)
—(19+-9e)
—18+8e)
—(21+9e)
—(7+38e)
—(14+6e)
3e
1e
—(4+2e)
0
—(1+e)
—(3+e)
—(11+5e)
—(10+4e)
—(15+7e)

—(11+6e)

1990
21-490
14+60
11+5e
15+7e
25+11e
26+12e
29+13e
15+7e
22+100
11450
15+7e
18+8e
14-60
21+90
19+90
25+11e
26+12e
29+13e
25+110

19+90
21+90
1460
1150
15479

Kante

22140

—(11+5e)
—(4+2e)
14e
—(18+8e)
—(7+3e)
—15+7e)
3+0
—(3+e)
—(8+-40)
—(17+7e)

11+5e
3+e
15470
10-40
1+e
14+6e
oO
7+30
21+90
19490
11+5e
44-20
—(1+-e)
—(18+8e)
7+3e
15476
—(3+-e)
3+e
8+-40
17+7e

25+1le
19-+9e
29+13e
26+12e
21+9e
22+10e
14+4-6e
15+7e
29+13e
25+1le
25+11e
18+8e
15+7e
26+12e
15 +7e
21+%e
1150
11+5e
14+6e

19+-9e

—(11-++5e)
—(3+-0)
—(15+7e)
—(10+-40)
—(1+e)
—(14+6e)

ke)

—(7+3e)
—(21+49e)
—(19+90)
—{(1 1450)
—(4+2e)

1+e
18+8e
—(7+-3e)
—(15+7e)

3e

—(3+e)
—(8+-4e)
—(17-+7e)

11+50e
3e

15+7e

10-40

1e

25+11e
224-106
25+11e
19+90
15+7e
14+6e
19+9e
14+6e
11456
11+5e

—(25-+11e)
—(26+12e)
—(26+12e)
—(29+4130)
—(29+13e)
| —(18+48e)
| —(21+-9e)
| —1547e)
| —(214-9e)
| +(15+7e)
| —(254-11e)
| —(224100)
| —25411e)
| —(19+-9e)
| —(15+7e)
| (14466)
| —(19+8e)
—(14+6e)
—(114-5e)
—(11+5e)

|
|

11-50
18+8e
| 10+4e
| 15+7e
21490

4+-2e
15+7e
1+38¢
1+e
—(1+e)
11+5e
14+6e
19490
3+e
7+3e
0
17+7e

B+4e

25+11e
26-120
264-120
29+13e
29+13e
18+8e
21+9e
15+7e
21+9e
15470
25-+11e
22+10e
254110
19+90
1570
1460
19499
14-60
11450
11+5e

|
|
|
|

|
|
|
|
| —(25+11e)
| —(26+12e)
| —(26+12e)
| 294-130)

—(29+-13e)

|
| 3+e
|
—3+e)

—— Sc! 8 Q°r-

15+7e
21+90e
19+90
14+6e
22+10e
18+8e
21+9e
22+ 10e
18+8e

15+7e

73e
7+3e
84e
10440
8+4e
11+5e
11+5e
14460
14460
15+7e
15+7e
18+8e
14460
18+8e
22+100
224106
15+7e
21-90
19496
21+9e

1)
—(3+-e)
(9)
—(3+e)
—(4+4-26)
—(44-2e)
—(8+-4e)
—(10+4e)
—(4+-2e)
—(7+3e)
—(8+4e)
—(14+6e)
—(11+5e)
—(10+44e)
—(18+8e)
—(15+-7e)
—(14+6e)
—(18+8e)
—(15+7e)
—(14+6e)

oO
0
—(4+2e)
—(7+38)
—4+42e)
—(8+e)
—(3+2)
—(4+2e)
—(10+4e)
—(8+4e)
—(14+6e)
—(15+7e)
—(10+40)
—(15+7e)
—(18+-80)
—(18+8e)
—(8+-40)
—(14+6e)
—(11+6e)

—(14+ 6e)

le)
—(4-+20)
—(3+2)
—(8+45)
—(10+40)

F. Zelldiagonale,

BINHEIT = —
4

—(7+3e)
—(7+3e)
—(11+6e)
—(8+-4e)
—(8+4e)
—(10+-4e)
—(15+47e)
—(14+6e)
—(18+8e)

—(15+7e)

—(7+3e)
—(7+3e)
(0)
4420
Lo}
—(11+5e)
—(11+5e)
—(14+6e)
(0)
—(7+3e)
7+3e
44-20
oO
4-20
oO
ko)
—(7+3e)
—(7+-3e)
—(11+5e)
—(7-+3e)

14+46e
11+5e
840
3+e
A4-2e
18-80
14460
18+8e
10+4e
15+7e
0
0
3e
4423
4420
7+3e
840
10440
| 1547e
| 14+46e

| —(22+108)
—(22+108)
| —(18+8e)
— 1570)
18+8e)

—(26+11e)

—(25+11e)

(264120)

—(18+8e)
—(22+106)
| 14460)
| —(15+78)
—18+-8e)
—(15+176)
—(18+80)
| —(18+8e)
—(22+106)
—(22-+108)
—(26 +e)

—(22+10e)

—8+49)
—(10+-4€)
—(3+2)

0

—(44+-20)

Kante

Taede
21490
1576
11456
22+10e
14+6e
18+$e
7+3e
8+4e
10+4e

15+7e

—21+9e)
—(15+7e)
—(22+-10e)
—(18+8e)
—{144-6e)
—(19+49e)
| —(11+45e)
—(14+6e)

—(214+9e)
—(1547e)
| —(10+4-4e)
| —8+4e)
| 18480)
| —(844e)
| 04480)
| —7+3e)
| —(7+3e)

| +11+5e)
—(15+-7e)

| —(8+4e)
| — 3e)
| +14+6e)
| —(114-56)
| —(4+2e)
| —(10+4e)
| 0
| —(4+2e)
—(18+-8e)
—(15+7e)
—(14+6e)
—(8-+4e)
—(3+e)
| —(18+8e)
—(10+-4e)
| —(15+4-7e)
(0)
—(4+-2e)
—{7+3e)
—(14+6e)

| l4+6e
8+-4e
18+89
15+7e
10+4e
11+5e
3+e

| 4+2e

| 18+8e
14+ 6e
14460
7+3e
42e
15 +7e
4-20
10+4e
0
ke)
343
8+4e

|

| (224106)
| TA8+8e)
(254116)

| 224106)
TA8+8e)

|
|
| 42241068) |
|

—(7+3e)
—(7+3e)
—(11+5¢e)
0
0
4426
—(7+8e)
0
42e

7+3e

15+7e
2149e
1460
18+8e
224100
11+45e
19496
14+6e
8+4e
7+3e
15+7e
18+8e
22+-10e
10+4e
14460
8+-40
21+9e
15+11e
11+5e
73e

—(22+10e)
—(25+4-11e)
—(22-++106e)
—(25+11e)
—(26+12e)
—18+8e)
—(22+-10e)
—(18+8e)
—(18+8e)
—(15+-7e)
—(22+-10e)
—(22+-10e)
—25+11e)
—18+8e)
—(18+-8e)
—(15+7e)
—(22+-10e)
—{18+-8e)
—(15+7e)
—(14+6e)

—(8+4e)
—(14+46e)
—10+4e)
—(15+7e)
—18+8e)

—(3+e)
—(11+5e)
—(#+2e)
—(4+2e)
0
—(14+ 60)
—(15+7e)
—(18+8e)
—(7+38e)
—(10+-4e)
—(4+2e)
—(14+-6e)
—(8+4e)
—(3+-e8)
0

14+6e
18+8e
11+5e
14+60
18+8e

151
152
153
154
155
156
157
158
159
160

161

162

163

164
165

166

167

168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180

181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200

201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220

221
222
223
224
225

Wot
VER :

Sect J

Deef 2:6 VERVOLG VAN HET ONDERZOEK
BETREFFENDE

ETF KBTONZUUR

AFGELEID VAN

WIJNSTEENZUUR,

EN OVER HET

PARABRANDIGDRUIVENZUUR

DOOR

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam
(EERSTE SECTIE.)

DEEL IL. No. 8.
er Dee

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1894.

VERVOLG VAN HET ONDERZOEK
BETREFFENDE
HET KBO NZ Dek
AFGELEID VAN

WIJNSTEENZUUR,

EN OVER HET

PARABRANDIGDRUIVENZUUR

DOOR

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)

DEEL II. No. 8.
Dn

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1894,

VERVOLG VAN HET ONDERZOEK

BETREFFENDE

HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR ),

EN OVER HET

PARABRANDIGDRUIVENZUUR"

DOOR

E MULDER,

De amorphe baryumverbindingen afgeleid van oplosbaar en onop-
losbaar product kunnen (verdeeld in water, en behandeld met azijn-
zuur, baryumacetaat, enz.) een kristallijne baryumverbinding doen
ontstaan, waarover in de eerste plaats zal worden gehandeld.

Kristallijne barywmverbinding van oplosbaar product, met azijn-
zuur. Deze kan aldus worden verkregen. Oplosbaar product wordt
opgelost in water, en deze oplossing eenigen tijd aan zich zelve
overgelaten (om de verzeeping der alkalische vloeistof te doen plaats
hebben). Daarna wordt de oplossing neêrgeslagen met barytwater
in overmaat, gefiltreerd, de massa gewasschen, vervolgens (met zoo
weinig water mogelijk) van het filtrum gebracht (gebruik makende
van een pipette met een daaraan bevestigden caoutchoucbal). Thans
wordt langzamerhand azijnzuur toegevoegd (van tijd tot tijd schud-
dende), en dit herhaald, tot zich een kristallijn lichaam vertoont,
dat gemakkelijk is te onderscheiden van de aanvankelijk geleiachtige
massa. Ingeval het afzetsel onder den microscoop zich nog niet
vertoont als een homogene massa, dan wordt het geheel met een
nieuwe hoeveelheid azijnzuur behandeld (gelijk altijd, geacht te wor-

1) Zoogenaamd oplosbaar en onoplosbaar product zijn afgeleid van dinatrium-wijn-
steenzuur aethyl met aethylchloride; zie: Verhand. K. Akad. v. W. Deel I. N°. 7, p. 3.
2) Deze Verhandeling bevat daarenboven een aanhangsel, betrekking hebbende op
amorph wijnsteenzuur en zuringzuur baryum.
| BELLE
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch, (le Sectie). Dl, IL.

4 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

den toegevoegd bij die reeds voorhanden). Wanneer het afzetsel blijkt
homogeen te zijn, dan laat men het geheel voor alle zekerheid nog
eenigen tijd staan (nu en dan schuddende), om vervolgens te filtree-
ren en te wasschen. De kristalvorm is die van spheroiden, welke
bleken dubbelbrekend te zijn (gebruik maken van gepolariseerd licht).
Duidelijkshalve zullen eenige proeven in dien zin gedaan, worden
medegedeeld, met opgave tevens van de gewichtsverhoudingen der
gebruikte materialen.

I. Er werd uitgegaan van 12 gr. oplosbaar product, die werden
opgelost in 300 gr. water (men liet het geheel een halven dag staan,
om de verzeeping te doen plaats hebben). Vervolgens werden er
720 gr. barytwater bijgevoegd (er was dan baryt in overmaat), en
liet men het geheel ongeveer 24 uur staan (van tijd tot tijd schud-
dende). Dan werd de massa gefiltreerd, gewasschen en daarna het
afzetsel (met zoo weinig water mogelijk) afgenomen van het filtrum ;
en werd er vervolgens 20 gr. azijnzuur bijgedaan, na eenige uren
opnieuw 20 gr, toen 40 gr. (na 24 uur) en ten slotte nog 64 gr.
van dit zuur (na eenige uren), dus te zamen 144 gr. Het kristal-
lijne afzetsel werd onder den microscoop bekeken, om zeker te zijn,
dat de massa homogeen is. En mocht dit laatste het geval zijn, dan
laat men het geheel nog eenigen tijd, b.v. twee dagen, staan. Ver-
volgens werd de massa gefiltreerd, het afzetsel gewasschen, daarna
gedaan tusschen filtreerpapier, en ten slotte onder een exsiccator
geplaatst, aanvankelijk met zwavelzuur, daarna daarenboven met
natrium.

De opbrengst bedroeg 2,5 gr. of berekend op 1 gr. oplosbaar
product, dan 0,208 gr. aan de kristallijne baryumverbinding.

Een hoeveelheid van 0,4918 gr. gaf 0,1731 gr. kooldioxyde en
0,0841 gr. water (de exsiccator bevatte zwavelzuur en natrium),
overeenkomende met:

dn à (nader: 9,59 en 1,9).

Een hoeveelheid van 24 gr. eener andere bereiding leverde 5,016
or. van dit kristallijne lichaam op (er werd gebruikt 600 gr. water,
1400 gr. barytwater, en in ’t geheel 288 gr. azijnzuur). In plaats
van azijnzuur kan men salpeterzuur nemen (zie later).

Kristallijne baryumverbinding van oplosbaar product, met bary-
umacetaat.

II. Fen hoeveelheid van 6 gr. oplosbaar product werd opgelost
in 300 gr. water, en er bij gedaan 360 gr. (verzadigd) barytwater.

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 5

De massa werd gefiltreerd en gewasschen, daarna van het filtrum
gedaan (met water), en er bijgevoegd 214 gr. van een oplossing
van baryumacetaat (5 c.c. bevattende 1 gr. van dit lichaam), en
vervolgens 50 gr. van een sterkere oplossing (5 c.c. bevattende 1,8
gr. van dit zout). Onder deze omstandigheden laat de aanvankelijk
geleiachtige massa een kristallijne verbinding terug. Na ongeveer
3 X 24 uur te hebben gestaan, werd gefiltreerd en gewasschen. De
opbrengst bedroeg 1,05 gr., of berekend op 1 gr. oplosbaar product
0,175 gr. aan deze kristallijne stof, bij gevolg een weinig minder
dan met azijnzuur.

Een hoeveelheid van 0,5437 gr. deze stof gaf 0,1921 gr. kool-
dioxyde en 0,0925 gr. water, of berekend op 100 gew. d.:

koolstof 9,6

Ste id (juister 9,63 en 1,89).
)

Kristallijne baryumverbinding afgeleid van onoplosbaar product,
met azijnzuur.

I. Een hoeveelheid van 13,6 gr. onoplosbaar product werd opge-
lost in 340 gr. water, en bij de oplossing (na eenigen tijd te hebben
gestaan) gedaan 816 gr. barytwater (er is dan baryt in overmaat).
Men liet het geheel 5 X 24 uur staan, daarna werd gefiltreerd, het
neêrslag gewasschen, vervolgens met een weinig water van het filtrum
afgenomen, en achtereenvolgens toegevoegd :

40 gr. azijnzuur
den volgenden dag 40
” „ po] 80
cal tds
na twee dagen 80
n ” ” 80

gezamentlijk 448 gr. azijnzuur.

Ss J œ > > 3
C2

Uitgaande van onoplosbaar product, moet dus meer azijnzuur wor-
den genomen, dan oplosbaar product vereischt, onder omstandigheden,
die genoegzaam dezelfde zijn. Ook dit lichaam kan kristalliseeren
in dubbelbrekende spheroïden (evenzoo van microscopische afmeting).

Het kristallijne afzetsel werd overigens behandeld als dat van op-
losbaar product (zie vroeger). De opbrengst bedroeg die van 1,58 gr.
afkomstig van 13,6 gr. onoplosbaar product, en in een andere be-
reiding 1,326 gr. van 13,8 gr. van dit product; of, berekend op
1 gr. onoplosbaar product, gemiddeld 0,11 gr. (derhalve heel wat
minder dan oplosbaar product oplevert).

6 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

In een tweede bereiding werd bij de barytverbinding (na filtreeren
en wasschen) 40 gr. azijnzuur gedaan ; daarna werd gefiltreerd, ge-
wasschen en de massa van het filtrum afgespoten, en er vervolgens
op nieuw 40 gr. azijnzuur bijgedaan; ten slotte werden al die be-
werkingen nogmaals eenmaal herhaald. Aldus te werk gaande, ver-
toont zich de kristallijne baryumverbinding, bij gevolg door gebruik
te maken van 40 X 3 — 120 gr. azijnzuur, in plaats van 442 gr.
zooals in de eerste bereiding. Een hoeveelheid van 0,6307 gr. stof
gaf 0,2376 gr. kooldioxyde en 0,1033 gr. water, op 100 gew. d.
overeenkomende met:

LE a (juister 10,27 en 1,82).

Merkwaardig is de overeenstemming met de oorspronkelijke bary-
um-verbinding (die slechts was gedroogd, dus niet behandeld met
azijnzuur |). Dit lichaam is amorph, en biedt wat dat betreft, minder
waarborg aan van zuiver te zijn (en wel vooral in het geval, dat
ons bezighoudt, omdat de massa aanvankelijk geleiachtig is). Men
zal, vooral later, zien, dat de oorspronkelijke baryumverbinding een
geheel ander lichaam moet zijn dan de kristallijne verbinding, daar
van de eerste (tegelijkertijd met deze kristallijne stof) een ander
afgeleide is te bekomen, voorloopig geheeten, „het lichaam in plaat-
jes” (zie later).

Bij vergelijking van het gehalte aan koolstof (en waterstof) van
de kristallijne baryumverbinding, afgeleid van onoplosbaar product,
met die van oplosbaar product, blijkt, dat het koolstofgehalte in de
eerste een weinig hooger is. Later zal evenwel genoegzaam duidelijk
worden, dat men hier waarschijnlijk met hetzelfde lichaam heeft te
doen, en deze kristallijne stof baryumoxalaat zou kunnen zijn (maar
dit lichaam dan niet volkomen zuiver, niettegenstaande het genoeg-
zaam kleurloos is).

Kristallijne baryumverbinding afgeleid van onoplosbaar product,
met azijnzuur baryum. Ken hoeveelheid van 3,4 gr. onoplosbaar
product werd opgelost in 170 gr. water, er bij gedaan 204 gr. baryt-
water (verzadigd), gefiltreerd, gewasschen en het neêrslag van het
filtrum afgenomen. Thans werd er 70 gr. toegevoegd eener oplos-
sing van barywmacetaat (5 c.c. bevatten 1,854 gr. van dit zout), volg-
den 73 gr. en (den volgenden dag) daarenboven 30 gr., zonder dat de

1) Zie de Verhand. Deel I, N° 7, p. 24,

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 7

geleiachtige massa het kristallijne lichaam deed ontstaan. Om die
reden werd het neêrslag op een filtrum gedaan, andermaal gewas-
schen en van het filtrum (met water) genomen; en er vervolgens
een weinig zoutzuur bijgedaan, ten einde de kristallijne verbinding
te doen ontstaan, dat bijzonder goed mocht gelukken. Maar de op-
brengst liet te wenschen over, en bedroeg niet meer dan 0,26 gr.
of 0,08 gr op 1 gr. onoplosbaar product.

De kristallijne verbinding nader behandeld. Er werd geen verschil
waargenomen tusschen dit lichaam, afgeleid van oplosbaar en onop-
losbaar product, met betrekking tot den kristalvorm en andere eigen-
schappen. Beide b.v. zijn oplosbaar in verdund zoutzuur, en deze
oplossing wordt door barytwater aanvankelijk in amorphen staat
neérgeslagen om dan kristallijn te worden.

De oplossing der kristallijne baryumverbinding (van oplosbaar
product) in verdund zoutzuur, werd geplaatst onder een exsiccator
(met zwavelzuur en kalk); het terugblijvende A behandeld met alco-
hol, en de alcoholische oplossing gezet onder een exsiccator. Er bleef
een kristallijne massa terug en een vloeibaar gedeelte. Het geheel
gaf, behandeld met water een oplossing, waarop een weinig dreef
van een olieachtig lichaam (zie later). Na te zijn geplaatst geweest
onder een exsiccator, en het terugblijvende opnieuw te hebben be-
handeld met water, werd alles opgelost (zonder dat er wat te zien
was van een olieachtige stof); en die oplossing gaf, na geplaatst te
zijn geweest onder een exsiccator, een product, dat genoegzaam geheel
oploste in alcohol. Deze oplossing nu, liet na verdampen een kristal-
lijne, effloresceerende massa terug, het voorkomen hebbende van
zuringzuur.

Wat onopgelost terugbleef van A (zie boven) liet met water een
kleine hoeveelheid terug eener kristallijne stof.

Over de opbrengst van oplosbaar en onoplosbaar product van de
kristallijne baryumverbinding. Men vond op 1 gr. oorspronkelijk
product (zie p. 4, 5, en 7):

oplosbaar onoplosbaar
product: product:
met azijnzuur 0,2 0,11
met baryumacetaat 0,17 0,08 (zie p. 1).

Oplosbaar product geeft bij gevolg ongeveer de dubbele hoeveel-
heid der kristallijne stof van die door onoplosbaar product voortge-
bracht. Met ’t oog op het chloorgehalte van oploshaar product, zou
men eerder het tegendeel kunnen verwacht hebben.

Ten einde een beteren maatstaf te hebben, nam men de oorspron-

8 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

kelijke baryumverbinding van oplosbaar en onoplosbaar product
Berekend op 1 gr. der oorspronkelijke stof heeft men *):

van 1 gr. oplosbaar van 1 gr. onoplosbaar
product. product.
opbrengst aan oor-
spronkelijke ba-
ryumverbinding : 0,52 gr. 0,91 gr.
Zoodat men heeft:
opbrengst aan oor- opbrengst aan ris
spronkelijke baryumver- tallijne baryumverbin-
binding; ding, met azijnzuur:
oplosbaar product 0,52 0,2
onoplosbaar , 0,91 0

Kan de kristallijne baryum-verbinding van onoplosbaar product
afstammen van een gehalte hiervan aan oplosbaar product. Onoplos-
baar product bevat een weinig chloor, stel 1,3 proc. *) (het kan ook
minder bedragen, (zie later p. 22). Laat dit het gevolg zijn van een
gehalte aan oplosbaar *) product (dat gemiddeld 10,5 proc. chloor,
bevatte), dan zou men door het gehalte van chloor, kunnen bereke-
nen het gehalte aan oplosbaar product (10,5: 1,3 = 100: x; x —
12,4 gr), in gemeld geval dan 12,4 p. c. bedragende, of 12,4 gr.
oplosbaar product in 100 gr. onoplosbaar product, of in 1 gr. onop-
losbaar product aan oplosbaar product 0,124 gr. Die hoeveelheid
oplosbaar product zou kunnen voortbrengen 0,0248 gr. aan de kris-
tallijne baryum-verbinding (1: 0,124 = 0,2: x; x = 0,0248 er.),
en wel met azijnzuur, terwijl werd gevonden 0,11 gr. (zie p. 5).
Bijgevolg moet worden aangenomen, dat onoplosbaar product als
zoodanig (dan verondersteld vrij te zijn van oplosbaar product) van
de kristallijne baryumverbinding kan doen ontstaan.

Omzetting der kristallijne baryumverbinding van oplosbaar product
in zuringewur zilver. De verbinding werd in water verdeeld, ver-
volgens opgelost met een weinig salpeterzuur, en (na filtratie) neér-
geslagen met zilvernitraat. |

Een hoeveelheid van 2,251 gr. der kristallijne baryumverbinding
gaf 1,85 gr. van het zilverzout.

1) Zie de voorgaande Verhandeling: Verhand. Kon. Akad. vy. W. Deel I. N°. 7
(Eerste Sectie) p. 23, 25.

*) Zie Verslagen en Mededeelingen der K. Akad. v. W. Afd, Natuurkunde, 3de
Reeks, Deel VIII, p. 191.

*) Les 190,

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 9

1,2512 gr. dezer laatste stof gaf 0,3564 gr. kooldioxyde en 0,0184
gr. water, of op 100 gew.-d.:

Ag. 0, CO. CO. O. Ag. eischt:
Koolstof 7,8 juister 1,9
Waterstof 0,2 (are en 018) 0.

Dit lichaam is derhalve te beschouwen als zijnde zwringzuur zilver.

Over het olievormig lichaam van pag. 1. Het is zeer wel mogelijk,
dat er eenig (neutraal) zuringzuur aethyl ontstaat, als gevolg der
reactie van alkohol op zuringzuur.

Omzetting der kristallijne baryumverbinding van onoplosbaar pro-
duct in zuringzuur zilver. Dezelfde weg werd gevolgd.

Een hoeveelheid van 1,326 gr. den kristallijne stof gaf 1,08 gr.
van het zilverzout.

1,0842 gr. var dit laatste lichaam gaf 0,3124 gr. kooldioxyde
en 0,0169 gr. water, of berekend op 100 gew.d.

Ag 0. CO. CO. O Ag eischt :
Koolstof 7,8 ( juister 7,9
Waterstof 0,2 \7,85 en 0,17) 0.

Dit lichaam is bij gevolg eveneens zuringzuur zilver.

Vorming van zuringzuur zilver met oplosbaar product, langs een meer
directen weg. Een hoeveelheid van 5 gr. oplosbaar product werd in
water opgelost, neêrgeslagen met barytwater in overmaat (als gewoon-
lijk), gefiltreerd (en gewasschen), en vervolgens de massa van het filtrum
(met water) genomen. Na behandeling met verdund salpeterzuur,
vertoont zich weldra een kristallijn afzetsel. Dit laatste werd opge-
lost, door bij het geheel nog eenige hoeveelheid van dit verdunde
zuur te voegen, en gefiltreerd (ten einde een volkomen heldere op-
lossing te hebben). Eindelijk werd neêrgeslagen met zilvernitraat,
dat zuringzuur zilver deed ontstaan.

De amorphe barywmverbindingen, afgeleid van oplosbaar en onop-
losbaar product, zijn deze mengsels? Met den microscoop is niets
waar te nemen van eenige kristallijne stof; alleen vertoont zich nu
en dan een kleine hoeveelheid van een kristallijn afzetsel tegen den
wand van het vat (indien, na neêrslaan der waterige oplossing van
oplosbaar product met barytwater in overmaat, de massa eenigen tijd
heeft gestaan). Maar daaruit volgt niet, dat genoemde baryumverbin-
dingen geen mengsels zijn van amorphe verbindingen, b.v. te scheiden
met azijnzuur, baryumacetaat, enz. (zie vroeger), door een der b.v.
twee voorhanden stoffen (werondersteld aanwezig te zijn) in oplossing

10 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

te brengen, en de andere verbinding te doen overgaan van den amor-
phen (colloïdalen) vorm in den kristallijnen staat.

Men heeft een poging gewaagd, om een dergelijk mengsel na
te bootsen, uitgaande van brandigdruivenzuur en zuringzuur met
barytwater, zooals later zal worden medegedeeld (zie het Aanhangsel
dezer Verhandeling); maar dit is slechts ten deele mogen gelukken,
in zooverre, als men in de massa duidelijk kristalletjes van baryum-
oxalaat onder den microscoop kan zien; dit belet echter niet, dat
de grootste hoeveelheid van dit zout een langeren of korteren tijd
in oplossing kan volharden in den colloïdalen toestand.

Opmerkingswaardig is, dat de oorsponkelijke baryumverbinding van
onoplosbaar product (als altijd versch neërgeslagen en in water ver-
deeld) het kristallijne lichaam niet geeft met barywmacetaat. Maar
men moet bij de massa daarna (altijd na deze eerst gewasschen en
van het filtrum met water te hebben verwijderd) een weinig zoutzuur
voegen, ten einde dit te zien gevormd worden. Het overeenkomstige
afgeleide van oplosbaar product gedraagt zich anders, en geeft ge-
melde kristallijne verbinding met baryumacetaat zonder bezwaar (zie
vroeger).

Een ontleding eener baryumverbinding met baryumacetaat, zooals
dit zou plaats hebben met de oorspronkelijke baryumverbinding van
oplosbaar product, heeft wel iets bevreemdends. Ook is gebleken, dat
deze reactie niet gelukt met onoplosbaar product (zie boven). Bijge-
volg kan het besluit luiden, dat deze (oorspronkelijke) baryumver-
bindingen (afgeleid van oplosbaar en onoplosbaar product), mengsels
zouden kunnen zijn; eea der samenstellende stoffen is in dit geval
waarschijnlijk baryumoxalaat (zie pag. 8 en 9 de omzetting in zuring-
zuur zilver), en een ander samenstellende verbinding, degene, waar-
over weldra zal worden gehandeld.

Samenstelling der kristallijne verbinding afgeleid van oplosbaar en
onoplosbaar product, vergeleken met die van zuringzuur baryum. Er
was gevonden :

oplosbaar onoplosbaar C, Os, Ba + H, O eischt.
product. product.

koolstof 9,6 10,3 9,8

waterstof 19 1,8 0,8.

)

Ten contrôle is zuringzuur baryum gemaakt en geanalyseerd (na
te hebben gestaan onder een exsiccator met zwavelzuur en natrium).
Een hoeveelheid van 1,1828 gr. stof gaf 0,4224 or. kooldioxyde en
0,097 gr. water, of op 100 gew. d.:

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 11

koolstof A
waterstof 0,9.

Vooralsnog kan men dit verschil niet verklaren, dat vooral met
betrekking tot de waterstof nog al aanmerkelijk is. Men kan tot
nogtoe niet over een genoegzame hoeveelheid stof beschikken, om
dit na te gaan. Mogelijk is, dat men hier te doen heeft met een
dubbelzout van zuringzuur en mierenzuur baryum, want er is zuring-
zuur uit afgezonderd *). De opbrengst van zuringzuur zilver beant-
woordt ook niet aan de theoretische hoeveelheid, ingeval de oor-
spronkelijke stof was zuringzuur baryum (zie pag. 8 en 9), want het
mol.-gew. van C2 04 Ba + H, O0 is = 242,54, en dat van zuring-
zuur zilver — 303,1.

Over een verbinding, geheeten het lichaam in plaatjes, afgescheiden
uit de moederloog der kristallijne baryumverbinding, afgeleid van op-
losbaar product met azijnzuur. De moederloog werd geplaatst onder
een exsiccator (met zwavelzuur en kalk, om de dampen van azijn-
zuur te doen opnemen). Het terugblijvende werd behandeld met
water, waarbij een schijnbaar amorph lichaam terugbleef, optredende
in den vorm van (zeer weinig gekleurde) plaatjes.

I. Een hoeveelheid van 0,5217 gr. stof gaf 0,2818 gr. kooldi-
oxyde en 0,1138 gr. water;

een hoeveelheid van 0,3679 gr. stof gaf (na gloeiing en behande-
ling met koolzuren ammoniak) 0,2326 gr. baryumcarbonaat, bevat-
tende 0,1618 gr. baryum of 44 pCt. Hierbij werd gebruik gemaakt
van een toestel, die dient om de fout te ontgaan, veroorzaakt door
het ewaveligzuur der steenkolen-gasvlam (zie later hierover een speciale
Mededeeling). Wendt men dezen toestel niet aan, en volgt overigens
denzelfden weg, dan ontstaat een merkbare fout; zoo gaf 0,3028 gr.
stof 0,194 gr. baryumcarbonaat, bevattende 0,13497 gr. baryum of
44,6 pCt., (juister: 44,56) dus 0,6 pCt. te veel, als gevolg van een
gehalte aan baryumsulphaat).

IT. Van een andere bereiding gaf 0,7465 gr. stof 0,4103 gr.
kooldioxyde en 0,1484 gr. water.

IL. a. Een hoeveelheid van 0,3485 gr. stof, afkomstig van een
andere bereiding, verhit in een droogen luchtstroom tot 130°, gaf
0,1872 gr. kooldioxyde en 0,0618 gr. water;

0,2996 gr. van dezelfde stof gaf 0,2405 gr. baryumsulfaat (na
aanvankelijke oplossing in water met eenig zoutzuur, en filtratie van

!) Zie deze Verhandeling pag. 7.

12 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

een uiterst kleine hoeveelheid van eenig lichaam in suspensie, slechts
bedragende na gloeing 0,0004 gr.), bevattende 0,14143 gr. baryum.

b. De hoeveelheid stof die nog overbleef van de laatste bereiding,
werd aan de vochtige lucht geplaatst tot het gewicht constant was,
na eerst onder een exsiccator te hebben gestaan (met SO, He en
Na), en nam 0,0577 gr. in gewicht toe (of 1,9 pe.) Hiervan gaf
0,3709 gr. stof 0,1743 gr. kooldioxyde en 0,0851 gr. water; en
—0,3399 gr. stof gaf (opgelost in water met verdund zoutzuur en
neêrgeslagen met zwavelzuur) 0,2316 gr. baryumsulfaat, beantwoor-
dende aan 0,1362 gr. baryum; 0,4353 gr. leverde op 0,3086 er.
baryumsulfaat, of 0,18148 gr. baryum; 0,7453 gr. gaf 0,5249 er.
baryumsulfaat, of 0,30868 gr. baryum.

Berekend op 100 gew. d. komt dit overeen met:

je II III
(exsic.) (exsic.) a. (130°) b. (vochtige lucht).
koolstof 14,7 15,0 14,6 12,8
waterstof 2,4 2,2 2,0 2,5
baryum 44 — 47,2 41,1 (gemiddeld).

Kristalwater. De stof werd geplaatst onder een exsiccator (met
zwavelzuur en natrium), na eerst te zijn geplaatst geweest aan de
lucht tusschen filtreerpapier. Verhit in een droogen luchtstroom, nam
een hoeveelheid van 0,3154 gr. stof in gewicht af:

Tijd in uren Temperatuur Verandering in gewicht

4 100° 0,0101 gr.
9 1100 0,00039 ,
L 1050—1100 0,0009. :,
1 1100— 1150 0,0005 ,
1 115°—120° 0,0003 ,
1 125°—1300 0,0001 ,

Totaal 0,0158 gr.

of 5 pCt, dat met de 1,9 pCt. van vroeger dus geeft: 1,9 + 5 —
6,9 pCt. kristalwater.

In een andere proef verloor 0,4269 gr. stof (ongeveer 4 uur) ver-
hit tot 130° in gewicht 0,0167 pCt. of 3,9 pCt.; en in nog een
andere proef 0,1952 gr. stof (ongeveer 4 uur verhit) bij 100°—120°
in gewicht 0,0119 gr. of 6,09 pCt. Hierbij is in aanmerking te
nemen, dat de stof tamelijk hygroscopisch is.

Nemen wij voor het gehalte aan baryum van het lichaam in
plaatjes (bevrijd van het kristalwater) 47,2, en voor dat van het
water 6,9 pCt. (zijnde 5 pCt. het gemiddelde van het water door
de stof afgegeven bij verhitten), dan vindt men berekend op Ba =

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 13

136,8 (47,2: 136,8 — 6,9:x) 19,9 d. water in plaats van 17,96 =
H, O, bij gevolg ongeveer 1 aq.. Het is mogelijk, dat er gedeeltelijke
ontleding intreedt bij verhitting der stof.

Berekent men de verhouding tusschen baryum en koolstof, uit-
gaande b.v. van de analyse van bereiding I, zoo vindt men op 41,1
d. baryum 13,4 d. koolstof (in plaats van 12,8 met bereiding III
gevonden).

Opbrengst van het lichaam in plaatjes. Een hoeveelheid van 1 gr.
oplosbaar product bracht voort 0,136 gr. van het lichaam in plaatjes,
zooals het gaf 0,52 gr. aan de oorspronkelijke baryumverbinding en
0,2 gr. aan de eerste kristallijne baryumverbinding. Derhalve zou
er een verlies zijn, berekend op de aanvankelijke baryumverbinding
(van 0,52—0,2 = 0,32 gr.) 0,32—0,136 = 0,184 gr. Gemelde
proef was in werkelijkheid genomen met 6 gr. oplosbaar product,
dat 0,817 gr. gaf aan het lichaam in plaatjes (dus 0,136 gr. op 1
gr. als boven werd gezegd).

In een andere proef gaven 12 gr. oplosbaar product 1,23 gr. aan
het lichaam in plaatjes of 0,102 gr. op 1 gr. oplosbaar product.
Het verschil is vrij groot, maar in zooverre te verklaren, als het
lichaam in plaatjes een weinig oplosbaar is in water, en een onbe-
paalde hoeveelheid water werd genomen bij het afzonderen. Een andere
proef gaf van 36 gr. oplosbaar product (III) 3.958 gr. van het
lichaam in plaatjes of 0,109 gr. op 1 gr. oplosbaar product.

Reacties met de waterige oplossing van het lichaam in plaatjes, af-
geleid van oplosbaar product. Na te hebben gestaan met water,
heeft men een oplossing, die een amorph neêrslag geeft met zilver-
nitraat en (neutraal) loodacetaat. Later zal dit onderwerp nader
worden besproken (zie over het lichaam in plaatjes afgeleid van on-
oplosbaar product). Alleen voege men er nog aan toe; dat gezegd
neêrslag met zilvernitraat bij verwarming een zilverspiegel doet ont-
staan (zonder aanvankelijke toevoeging van ammoniak), ten einde
het zuur in questie reeds een weinig te kenmerken.

Vergelijking der kristallijne baryumverbinding, tegelijk optredende
met het lichaam iu plaatjes, met dit laatste en de oorspronkelijke
baryumverbinding, afgeleid van oplosbaar product. Daar het gehalte
aan koolstof der genoemde kristallijne verbinding lager is dan dat
der oorspronkelijke baryumverbinding, was het vrij waarschijnlijk,
dat het gehalte aan koolstof van het lichaam in plaatjes betrekkelijk
hooger zou wezen (altijd verondersteld, dat deze twee stoffen !) de

1) Zie Verhand. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie) Deel I. N°. 7. p. 26. (zie deze
Verhandeling p. 4, 7 en 12 wat betreft de samenstelling dezer twee stoffen).

14 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

hoofdontledingsproducten zijn). En inderdaad is dit wel alzoo, want
men had voor de gemiddelde samenstelling der oorspronkelijke bary-
umverbinding gevonden :

oplosbaar product:

koolstof 12,2
waterstof 2,0.

Over het lichaam optredende in plaatjes, afgezonderd uit de moe-
derloog der kristallijne baryumverbinding, van onoplosbaar product.
De weg die ter afscheiding werd gevolgd, is reeds vroeger medege-
deeld (zie deze Verhandeling p. 11). De moedervloeistof werd even-
zoo onder een exsiccator geplaatst (met zwavelzuur en kalk).

I. Een hoeveelheid van 0,4047 gr. stof gaf 0,2577 gr. baryum-
carbonaat, terwijl werd gegloeid (en behandeld met koolzuren am-
moniak) gebruik makende van een toestel ingericht ter ontduiking
der bron van fouten, gelegen in het zwaveldioxyde der vlam van
steenkolengas. Deze hoeveelheid baryumcarbonaat bevat 0,17926 gr.
baryum.

Een hoeveelheid van 0,6002 gr. stof leverde op 0,3025 gr. kool-
dioxyde en 0,1165 gr. water. Berekend op 100 gew. d. stemt dit
overeen met:

koolstof 14,1
waterstof 2,2
baryum 44,3.

De uitkomst van analyse is dus zoo ongeveer dezelfde als bij het
lichaam in plaatjes van oplosbaar product, behalve het betrekkelijk
nog al groote verschil in koolstofgehalte. Het laatste product was
een weinig meer gekleurd.

II. Im een andere bereiding, uitgaande van 27,4 gr. onoplosbaar
product (eerst op de gewone wijze behandeld met baryt, maar daarna
het neêrslag achtereenvolgens behandeld met azijnzuur en water),
heeft zich uit de azijnzure oplossing ongeveer 1,4 gr. afgezet van
een kristallijne stof, die optrad in spheroïden. Het lichaam werd
geplaatst onder een exsiccator (met zwavelzuur en natrium), ver-
volgens geanalyseerd.

0,4765 gr. deze stof gaf 0,2535 gr. kooldioxyde en 0,106 gr.
water.

a. 0,3043 gr. gaf 0,197 gr, baryumcarbonaat (de bepaling was
gedaan als die van de vorige), of 0,13704 gr. baryum. Berekend op
100 gew. d. komt dit overeen met 45,0;

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. . 15

b. 0,6704 gr. stof gaf 0,505 gr. baryumsulphaat (na oplossen in
water met verdund zoutzuur en neêrslaan met zwavelzuur), bevat-
tende 0,29698 gr. de baryum of 44,3 pCt. Er bleef aanvankelijk
zeer weinig onopgelost, dat namelijk bij gloeien gaf 0,0023 gr. ba-
ryumcarbonaat, bevattende 0,0016 gr. baryum (of 0,2 pCt), alles te
zamen 44,5 pCt. baryum. Op 100 gew. d. derhalve

koolstof 14,5
waterstof 2,5
baryum a. 45,0, b. 44,5.

Geplaatst aan de lucht, werd 1,2 pCt. aan water opgenomen.

Bijgevolg is het meer dan waarschijnlijk, dat het lichaam in plaatjês
eveneens is gekristalliseerd, en tevens in spheroïden, maar deze
laatste zoo klein, dat ze zelfs onder een mieroscoop niet waarneem-
baar zijn; en tot plaatjes vereenigd. Ook ziet men nu en dan zeer
kleine spheroïden op de plaatjes.

III. Wordt de waterige oplossing van het lichaam in plaatjes
(zijnde afgeleid van onoplosbaar product) met alkohol neêrgeslagen,
dan ontstaat een vlokkig afzetsel. Gedroogd onder cen exsiccator (met
zwavelzuur en natrium) gaf een hoeveelheid van 0,3445 gr. stof
0,2261 gr. baryumcarbonaat (als vroeger werd zorg gedragen, om de
bron van fouten, gelegen in het gehalte van zwaveldioxyde der
gasvlam, te ontgaan), overeenkomende met 0,15728 gr. baryum, of
45,6 pCt. baryum.

De uitkomsten der analyse van het lichaam in plaatjes afgeleid
van onoplosbaar product zijn bijgevolg:

I. Blin Il.
(exsic.) (goed gekristalli- (neérgeslagen met
seerd; exsic.) alkohol; exsic.)
Koolstof 14,1 14,5 —
Waterstof 2,2 2,5 —
Baryum 44,3 a. 45,0, b. 44,5 45,6.

Zie de uitkomsten der analyse van het lichaam in plaatjes van
oplosbaar product, pag. 12.

Samenstelling van het lichaam in plaatjes van oplosbaar en onop-
losbaar product. Bij vergelijking der analytische uitkomsten, is men
een weinig getroffen door de kleine overmaat aan baryum bij be-
rekening van koolstof en baryum in de verhouding van C, en Ba,
zooals uit het volgende kan blijken (in verband met de analytische
gegevens) ;

16 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

14 gew.-d. koolstof vorderen dan 40 gew.d. baryum.
15 ” ” n » ” 42,8 „ ” »

Alhoewel de verhouding van C, en Ba verre is van bewezen te zijn,
wordt deze toch waarschijnlijk uit de analysen; en men vraagt zich
af, of onder den invloed van water ook soms wat ontstaat van een
basische verbinding. In ieder geval komt de wijze, waarop het
lichaam in plaatjes zich verhoudt tegenover water, in dit opzicht
wel eenigszins verdacht voor (zie wat later).

Opbrengst van onoplosbaar product aan het lichaam in plaatjes.
Een hoeveelheid van 13,6 gr. onoplosbaar product leverde op 4,34
gr. aan het lichaam in plaatjes, of op 1 gr. een hoeveelheid van
0,319 gr. De hoeveelheid water gebruikt bij de zuivering was wel
geringer dan die bij het werken met oplosbaar product, dat evenwel
niet zulk een overwegenden invloed zal gehad hebben. De op-
brengst aan het lichaam in plaatjes was geringer bij het volgen der
methode van pag. 14, toe te schrijven aan de betrekkelijk grootere
hoeveelheid water gebruikt. De opbrengst bedroeg in ’t geheel (zie
pag. 14): 1,4 + 2,1 = 3,5 gr, of 0,12 gr. op 1 gr. onoplosbaar
product.

Samenstelling van het lichaam in plaatjes en de oorspronkelijke
baryumverbinding. Het gemiddelde der analysen van dit laatste
lichaam is: !)

Koolstof 10,3
Waterstof 1,8

bij gevolg overeenkomende, wel toevalligerwijze, met de samen-
stelling gevonden voor de kristallijne baryumverbinding (tegelijkertijd
ontstaande met de oplossing van het lichaam in plaatjes; zie pag.
6 dezer Verhandeling).

Het lichaam in plaatjes tegenover water; en over eenige reacties
der waterige oplossing van het lichaam in plaatjes van oplosbaar en
onoplosbaar product. Laat men het lichaam in plaatjes eenige dagen
staan met water, dan lost er een weinig van op. De oplossing
geeft met alkohol een vlokkig afzetsel (dat zelfs na eenigen tijd niets
kristallijns vertoont onder den microscoop). Bij verhitten met water
wordt het lichaam in plaatjes, maar ’t schijnt, betrekkelijk niet meer
opgelost. Het lichaam in plaatjes van onoplosbaar product gaf zoo
den indruk van oplosbaarder te zijn in water dan dat van oplosbaar

1) Verhand d, Kon, Akad. v. W. (Eerste Sectie), Deel I, No. 7, p. 24.

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 17

product (van onoplosbaar product ongeveer 0,2 gr. in 100 c.c. water;
de oplosbaarheid is dus in ieder geval gering). Ook is het lichaam
in plaatjes niet geheel oplosbaar (bij behandeling achtereenvolgens
met eenzelfde hoeveelheid water).

De waterige oplossing wordt neêrgeslagen met zilvernitraat en
neutraal loodacetaat, welke neêrslagen amorph zijn. Het neêrslag
met zilvernitraat (niet in overmaat) bevat behalve zilver ook baryum
(in zeer merkbare hoeveelheid). Verhit met water, lost gemelde
zilververbinding op, om bij langer verhitten (zonder toevoeging van
ammoniak) een zilverspiegel te geven.

De waterige oplossing van het baryumzout wordt neérgeslagen
door barytwater (voor het calciumzout tegenover kalkwater geacht
te zijn een kenmerkende reactie voor glyoxylzuur).

Wordt bij de waterige oplossing van het lichaam in plaatjes
cuprisulfaat gedaan, dan ontstaat baryumsulfaat, en blijft in oplos-
sing een koperzout (meer of min blauw gekleurd), gevende met eenige
bijtende soda een azuurblauwe oplossing. Wordt deze laatste verhit,
dan vormt zich een onoplosbaar lichaam met roodbruine kleur, ter-
wij! de vloeistof een meer of min gele kleur kan aannemen (er heeft
bij gevolg ontleding plaats).

Het lichaam in plaatjes verhit bij ongeveer 120°. Een hoeveel-
heid van 0,1952 gr. dezer stof (afgeleid van oplosbaar product)
werd bij verwarming tot ongeveer 120° herleid tot 0,1833 gr.. Bij
de massa werd water gedaan, en vervolgens verdund salpeterzuur
ter oplossing; er werd gefiltreerd ter verwijdering eener zeer geringe
hoeveelheid eener stof die onopgelost bleef, en ten slotte zilverni-
traat toegevoegd. Er werd geen neêrslag gevormd, en evenmin na
plaatsing onder een exsiccator (met zwavelzuur en calciumoxyde). Er
was dus noch zuringzuur aanwezig, noch zuringzuur gevormd.

Ferrichloride tegenover het lichaam in plaatjes en de kristallijne
stof, tegelijker tijd gevormd. Het is miet zonder belang om te weten,
dat deze twee stoffen geen verkleuring geven met ferrichloride, zoo-
als dit wel het geval is met de oorspronkelijke baryumverbinding,
waarvan deze twee stoffen zijn afgeleid. Wat betreft het lichaam
in plaatjes, zoo zou men geneigd kunnen zijn, om hierin te zien
glyoxylzuur baryum of een dubbelzout hiervan met glycolzuur bary-
um; maar, zooals zoo straks bleek, werd geen zuringzuur gevonden
bij verhitten van het lichaam in plaatjes tot 120° (gelijk het gly-
oxylzuur baryum doet, naar DEBUS !).

7) Ann. Ch. Ph. Bd, 110. S. 325.

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. II.

18 OVER HET KETONZUUR AEGELEID VAN WIJNSTEENZUUR, |

Over het zuur in vrijen staat van het lichaam in plaatjes, afgeleid
van oplosbaar product. Ongeveer 0,2 gr. van het lichaam in plaatjes
(bereiding III) werd verdeeld in water en eenig verdund zoutzuur
bij gedaan ter oplossing, gefiltreerd van een uiterst kleine hoe-
veelheid onopgelost gebleven stof, en neêrgeslagen met een geti-
treerde oplossing van zwavelzuur. Vervolgens werd gefiltreerd, en het
filtraat geplaatst onder een exsiccator (met zwavelzuur en calcium-
oxyde); er bleef dan terug van een kristallijne stof doortrokken
met een halfvaste massa, die met aether (abs.) werd behandeld,
waardoor weinig verandering intrad, aangezien de aether bijkans niets
opnam (zooals bleek na verdampen). Opgelost in water, kristalliseerde
een stof in prisma’s uit, maar het geheel was toch niet vast. Een
kleine hoeveelheid der massa tusschen papier gedaan gaf van de
gekristalliseerde stof in meer zuiveren staat, die niet beneden 100°
scheen te smelten, en bijkans onoplosbaar is in abs. aether. Hier-
uit volgt wel, dat dit lichaam geen glucolzuur is. Verhit met water :
ging blijkbaar niets over, en dus schijnt geen glyoxylzuur aanwezig
te zijn. Ook liet de aether bij de proef van zoo even bij verdampen
niets over van een kristallijne stof, dat wijst op de afwezigheid van
zuringeuur (dit zuur is namelijk tamelijk oplosbaar in abs. aether).

Over het bestaan eener verbinding, afgeleid van oplosbaar product,
dat zuringzuur en het lichaam in plaatjes doet ontstaan. Ken hoe-
veelheid van 1 gr. van oplosbaar product werd opgelost in 10 gr.
water; na te hebben gestaan, werd er een weinig salpeterzuur bij
gedaan, alleen om de oplossing zwak zuur te hebben (en dat met
het doel om mogelijk aanwezig zuringzuur, later te doen neérslaan).
De oplossing werd behandeld met zilvernitraat (in geringe over-
maat). Na filtratie werd. neêrgeslagen met een weinig eener oplos-
sing van chloornatrium, en na filtratie neêrgeslagen met (60 gr.)
barytwater (als naar gewoonte, maar dan zonder gebruik te maken
van zilvernitraat). De massa werd (als vroeger) gefiltreerd, ge-
wasschen, met eenig water van het filtrum afgenomen, en er ver-
volgens 2 gr. azijnzuur aan toegevoegd (als vroeger). Het kristallijne
lichaam werd ook thans gevormd (er had zich blijkbaar van dezelfde
stof een weinig afgezet tegen den wand van het vat, na toevoeging
van het barytwater), bij gevolg gebruik makende van een kleinere
hoeveelheid zuur, dan vroeger (zonder zilvernitraat). Na oplossing
in verdund salpeterzuur, geeft deze kristallijne stof bij neêrslaan
met zilvernitraat, zuringeuur zilver.

In de proef, die volgt, werd salpeterzuur genomen (in plaats van
azijnzuur), terwijl overigens op gelijke wijze werd te werk gegaan.
Ook onder deze omstandigheden zet zich een kristallijn lichaam af. De

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 19

geheele massa (afzetsel en moedervloeistof) werd toen in verdund
salpeterzuur opgelost (van het zuur werd niet meer genomen dan
noodig was), en de oplossing neêrgeslagen met zilvernitraat. Aldus
te werk gaande, gaf 2,0178 gr. oplosbaar product 0,332 gr. zuring-
zuur zilver. |

Volgens gegevens vroeger medegedeeld (zie p. 8) gaf 1 gr. op-
losbaar product 0,2 gr. der kristallijne baryumverbinding; en 2,251
or. dezer laatste stof gaf 1,85 gr. zuringzuur zilver, of 0,16 gr. op
0,2 gr. der kristallijne baryumverbinding (afgeleid van 1 gr. oplos-
baar product), overeenstemmende met de boven aangehaalde proef.
Hieruit volgt met tamelijk veel waarschïänlijkheid, dat zilvernitraat
geen neêrslag geeft van zuringzuur,zilver met de oplossing van op-
losbaar product, met salpeterzuur slechts zwak zuur gemaakt.

Werd de waterige oplossing van oplosbaar product, na zwak zuur
te zijn gemaakt met salpeterzuur, neêrgeslagen met zilvernitraat, dan
werd vroeger !) een chloorgehalte verkregen genoegzaam gelijk aan
dat, bij het volgen der methode met kalk verkregen. Men vond
namelijk in beide gevallen 10,7 pCt. chloor.

De waterige oplossing van oplosbaar product, zuur gemaakt met
een weinig azijnzuur, wordt ook niet neérgeslagen met baryum-
acetaat *).

Het is duidelijk (om terug te keeren tot het vorige geval), dat
de aanwezigheid van zuringzuur zilver, dan vermengd met chloor-
zilver, zich gemakkelijk zou hebben doen kennen. Een hoeveelheid
namelijk van 1 gr. oplosbaar product geeft 0,2 gr. aan de kristal-
lijne baryumverbinding (zie p. 8), aanvankelijk gevormd, en bijge-
volg 1,1101 gr. oplosbaar product (genomen voor de chloorbepaling
langs den natten weg, zie boven) 0,222 gr. aan die kristallijne stof,
die op hare beurt geeft 0,18 gr. zuringzuur zilver (want 2,251 gr.
geeft 1,85 gr. zuringzuur zilver, zie pag. 8), overeenstemmende met
0,12 gr. zilver na gloeiing; en deze hoeveelheid, vermengd met het
ehloorzilver en als chloorzilver in rekening gebracht, zou een chloor-
gehalte hebben gegeven van 13,3 pCt. in plaats van 10,7 pCt,
zooals werd gevonden (1,1101 gr. oplosbaar product gaf 0,48 er.
neêrslag, gehouden voor chloorzilver; met kalk werd betrekkelijk
genoegzaam dezelfde hoeveelheid erlangd).

Met ’t oog op de feiten, waarover men tot dusverre kan beschik-
ken (zie later), moet men dus zwringzuur beschouwen als een ont-

1) Versl. en Med. d. Kon. Adad. v. W. Afd, Natuurkunde Deel VIII, 3de Reeks,

p. 188 (1890).
2) 1c. T. 1. N°, 7 (Eerste Sectie) p. 29 (1893).

20 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

ledingsproduct van het voorgaande zuur (zijnde dit het eerste ont-
ledingsproduct door inwerking van baryt op oplosbaar en onoplos-
baar product in waterige oplossing) in verbinding met baryum,
onder den invloed van azijnzuur (salpeterzuur, of baryumacetaat).
Heeft men dit aangenomen, dan. moet men wel, tenminste voorals-
nog, de stabiliteit van dit zuur als betrekkelijk gering beschouwen,
hetgeen vooral daaruit zou volgen (altijd uitgaande van deze ver-
onderstelling), dat dit zuur zelfs zou ontleed worden door baryum-
acetaat (zie pag. 6). Het zuur, boven, het eerste ontledingsproduct
geheeten (met betrekking tot de inwerking van baryt), kan op zijne
beurt een ontledingsproduct zijn van het euur van oplosbaar (en
onoplosbaar) product (steeds in, de veronderstelling, dat men hier
niet heeft te doen met een mengsel van stoffen).

Over een methode, gevolgd ter afzondering der verbinding, afge-
leid van oplosbaar (en onoplosbaar) product, en moederstoffe der
kristallijne baryum-verbinding (die zuringzuur geeft) en van het
lichaam in plaatjes. Oplosbaar product. Men heeft verondersteld, dat
deze moederstoffe werkelijk bestaat, wat trouwens nog te bewijzen
is (zie zooeven). Herst werden daartoe pogingen gedaan met neu-
traal en bavisch azijnzuur lood, uitgaande van een waterige op-
lossing van oplosbaar product (die eenigen tijd had gestaan ter ge-
noegzame verzeeping). Een dergelijke oplossing wordt slechts ten
deele neêrgeslagen met neutraal azijnzuur lood, reden waarom men
gebruik maakte van basisch acetaat, na evenwel de oplossing eerst
te hebhen gezuiverd van chloor (met zilvernitraat). Onder deze
omstandigheden werd een neêrslag gevormd met basisch acetaat,
dat werd gekleurd onder den invloed van het licht. Maar, zooals
weldra zal blijken, gelukte het, om de vereischte omstandigheden
te treffen. Zoolang dit laatste nog niet het geval was, trachtte men
het chloor te verwijderen door gedeeltelijk neêrslaan achtereenvol-
gens met basisch azijnzuur lood, dat echter mislukte (het chloor
bevond zich namelijk even goed in het gepraecipiteerde als in oplos-
sing). Men keerde bij gevolg terug tot de eerste methode, door het
chloor te verwijderen, thans met een getitreerde oplossing van zilver-
nitraat, tot grondslag nemende het gehalte van chloor van oplosbaar
product. De waterige oplossing van dit lichaam was, na eenige
dagen te hebben gestaan, zwak zuur gemaakt met salpeterzuur,
alvorens met zilvernitraat te worden neêrgeslagen. De massa werd
na filtratie (het filtraat was dan vrij van chloor) neêrgeslagen met
basisch azijnzuur lood, daarna gefiltreerd, gewasschen, de massa van
het filtrum afgenomen (met eenig water), en vervolgens opgelost in
verdund salpeterzuur, waarbij een weinig terugbleef van een kristal-

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 21

lijne stof, zonder twijfel overeenkomstig met de kristallijne baryum-
verbinding, waarvan vroeger melding werd gemaakt (zie b.v. p. 7).
Door het filtraat andermaal neêrteslaan met basisch azijnzuur lood
enz. (zie boven), werd een nieuwe kleine hoeveelheid dezer kristal-
line stof verkregen. Deze bewerkingen herhalende, werd er ten slotte
geen kristallijne afzetsel meer gevormd.

In een volgende proef werd eerst neêrgeslagen met neutraal azijn-
zuur lood, en het filtraat met basisch azijnzuur lood, hopende aldus
dadelijk het lichaam te elimineeren, dat gemelde kristallijne ver-
binding geeft. De twee neêrslagen afzonderlijk opgelost in verdund
salpeterzuur, gaven beiden een weinig van dezelfde kristallijne ver-
binding. Het gefiltreerde vocht werd neêrgeslagen met basisch en
neutraal azijnzuur lood, en wel afwisselend met basisch en neutraal ;
en zoo vervolgens, tot zich van het kristallijne lichaam niet meer
vertoonde (hoogstwaarschijnlijk analoog met de kristallijne baryum-
verbinding, vroeger verkregen met azijnzuur en baryumacetaat). Maar
aldus werkende, ziet men de hoeveelheid der twee neérslagen op
onrustbarende wijze verminderen.

Bij de volgende proef werd een waterige oplossing van 6 gr. op-
losbaar product (van chloor bevrijd met zilvernitraat) evenzoo eerst
neêrgeslagen met neutraal en daarna met basisch azijnzuur lood.
Dit laatste neêrslag is overvloediger (beiden zijn een weinig ge-
kleurd). De twee neêrslagen worden beiden roodbruin gekleurd door
ferrichloride, vooral het geval met het neêrslag ontstaan met basisch
azijnzuur lood. Alle twee gaven met verdund salpeterzuur van het
kristallijne lichaam, en wel het neêrslag, aanvankelijk met neutraal
azijnzuurlood ontstaan, 0,158 gr. (van 6 gr. oplosbaar product).

Opnieuw doet zich de vraag voor, of dit kristallijne lichaam (en
een tweede afgeleide) een ontledingsproduct is van een oorspronkelijk
zuur, afgeleid van of als zoodanig aanwezig in de waterige oplossing
van oplosbaar product (niet te verwarren met het oplosbaar product
als zoodanig, namelijk in vasten staat, dat zoo goed als zeker een
zuur bevat van een anderen aard, en samengestelder).

De verkleuring met ferrichloride zou als argument kunnen gelden
voor de veronderstelling, dat zich in de waterige oplossing een meer
samengestelde verbinding bevindt (omgezet in een loodverbinding);
maar dit argument gaat ten deele verloren, omdat onoplosbaar pro-
duct zich eenigzins anders schijnt te verhouden (zie later).

Het neêrslag met basisch azijnzuur lood van oplosbaar product, zie
boven, werd, verdeeld in water, ontleed met zwavelwaterstof, en na
filtratie de vloeistof geplaatst onder een exsiccator. Er bleef terug

22 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

van een siropige massa, oplosbaar in water en alcohol. De wate-
rige oplossing (met eenig zoutzuur) gaf geen reactie met zoutzure
phenylhydrazine (reactie op glyoxylzuur volgens ELBers!)). De
oorspronkelijke stof scheen onveranderd te zijn gebleven, want de
waterige oplossing gaf een rood-bruine verkleuring met ferrichloride,
werd neêrgeslagen door barytwater in overmaat (welk neêrslag even-
eens de verkleuring gaf met ferrichloride), en dit laatste met zilver-
nitraat bij verwarming een zilverspiegel.

Onoplosbaar product. Ook dit lichaam is behandeld met de lood-
acetaten, nadat de waterige oplossing eerst bevrijd was van chloor.
Een hoeveelheid van 0,8186 onoplosbaar product gaf (opgelost in
water, met verdund salpeterzuur zwak zuur gemaakt) 0,0195 gr.
chloorzilver, bevattende 0,004822 gr. chloor of 0,58 pCt. Er werd
bij gevolg minder gevonden dan vroeger *), toen dit bedroeg 1,27 of
ongeveer 1,3 pCt. Maar er werd toen reeds gezegd, dat het chloor-
gehalte van onoplosbaar product (in den vorm waarschijnlijk van
chloornatrium; zie wat later) een bijmengsel zou zijn. Ook werd
ter contrôle nog een chloorbepaling verricht met kalk. Een
hoeveelheid van 0,8414 gr. derzelfde bereiding gaf 0,0209 gr. chloor- |
zilver, bevattende 0,005 168 gr. chloor, of 0,61 pCt. Hieruit volgt
dus, dat geen zuringzwur zilver is neérgeslagen, ten minste niet in
noemenswaardige hoeveelheid. De waterige oplossing, bevrijd van
chloor, werd eerst met neutraal, daarna met basisch azijnzuur lood
neérgeslagen.. Dit laatste neérslag werd weinig verkleurd met ferri-
chloride, zoodat men in deze reactie geen argument heeft, om in de
waterige oplossing van onoplosbaar product een samengestelde ver-
binding aan te nemen, maar dit is verder na te gaan. De baryum-
verbinding afgeleid van onoplosbaar product, zou dus ook een mengsel
kunnen zijn als van oplosbaar product; en hetzelfde geldt met betrek-
king tot de oplossing van dit laatste (in vasten staat zijn oplosbaar
en onoplosbaar product lichamen van een meer andere natuur).

Aanvankelijk gevormde barywm-verbindingen, afgeleid van oplos-
baar en onoplosbaar product, behandeld. met water in overmaat; en
geneutraliseerd met azijnzuur. Een waterige oplossing van 1 gr.
oplosbaar product werd neérgeslagen met barytwater in overmaat
(als naar gewoonte), het neérslag gewasschen en van het filtrum
verwijderd met 100 c.c. water. Na eenige dagen te hebben gestaan
(van tijd tot tijd schuddende), werd gefiltreerd, doorgespoeld, en de

1) Ann. Ch. u. Ph. Bd. 227 S. 353.
*) Le. Verslagen en Mededeelingen d. K, Akad, van Wetenschappen. Afd. Nat. 3de
Reeks Deel VIIL, p. 191 (1890).

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 35

massa van het filtrum gedaan, op nieuw met 100 c.c. water behan-
deld; en deze bewerking werd herhaald (in hetzelfde kolfje), tot er ge-
noegzaam niets meer terugbleef van het oplosbaar gedeelte. Een weinig
afzetsel van de kristallijne baryum-verbinding (zie pag. 3) vertoont
zich; gemakkelijk te onderscheiden van het vlokkige lichaam, dat
trouwens ook meer en meer verdwijnt.

Wordt bij het begin de massa geneutraliseerd met verdund azijn-
zuar (niet in overmaat), dan komt dit kristallijne lichaam dadelijk
te voorschijn.

Het aanvankelijk ontstane baryumlichaam, afgeleid van onoplos-
baar product, verhoudt zich eenigzins anders, in zooverre, als deze
verbinding moeielijker oplosbaar is in water, terwijl de kristallijne
stof zich niet vertoont (zie overigens pag. 5).

Moederloog van oplosbaar en onoplosbaar product, na neêrslaan
met barytwater. Deze moederloog werd aanvankelijk behandeld met
kooldioxyde (om nog aanwezige baryt te verwijderen), daarna gefil-
treerd, en het filtraat geplaatst onder een exsiccator. In de twee
gevallen schijnt alleen chloornatrium terug te blijven, en sporen van
andere stoffen.

Invloed van den colloïdalen toestand op den te volgen weg. Men
zou wellicht geneigd zijn, om als zeker aan te nemen, dat een wa-
terige oplossing van oplosbaar of onoplosbaar product, zwak zuur ge-
maakt (met salpeterzuur), en geen neêrslag gevende met zilvernitraat,
geen zuringzuwur zou kunnen bevatten, en geen neêrslag gevende
met neutraal azijnzuur lood, van dit zuur niet inhoudt. Maar dit
is juist de zaak in questie, die zich bij herhaling voordeed by ons
onderzoek; te weten, of zuringzuurzout zich in oplossing bevindt in
colloïdalen staat, en in dien toestand, tenminste ten deele, volhardt.
Men herinnert zich mogelijk nog, dat dit het geval zijn kan met
chloornatrium !).

Over den vorm van het chloor in oplosbaar (en onoplosbaar) pro-
duct. Er was vroeger®) verondersteld, dat het chloor aanwezig in
oplosbaar product, zich daarin bevindt als hike daarbij uit-
gaande van de volgende argumenten:

a. Bij behandeling der oplossing in aethylchloride van oplosbaar
product in het gedeeltelijk ledig (van waterstof), laat zich een deel
van het chloride moeielijk verwijderen bij het einde der bewerking
(dat noodwendig doet denken aan een scheikundige verbinding met
aethylchloride).

1) Zie 1. c. Deel IX pag. 160 (1891),
?) Versl. en Meded. Deel VIII (3de Reeks) pag. 188, 191 (1890).

24 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

b. De verhouding in gehalte van oplosbaar product aan chloor
en natrium komt niet overeen met die van Cl en Na (in Cl Na).

c. Oplosbaar product is in water oplosbaar met sterk alkalische
reactie aanvankelijk, welke evenwel bij staan zeer zwak wordt.

Maar geven wij toe, dat deze argumenten, eigentlijk gezegd, van
niet veel gewicht zijn. Want al het chloor zou in verbinding kun-
nen zijn met natrium, zonder dat al het natrium verbonden was
met chloor; en bijgevolg zou de versche verbinding in oplossing een
sterk alkalische reactie kunnen hebben. En wat betreft meer bepaald
het argument sub a, zoo is mogelijk, dat het aethylchloride aanvankelijk
scheikundig gebonden is, maar wordt verwijderd, en dat het laatste
gedeelte alleen moeielijker wordt ontleed. Ook is het geval niet
buitengesloten, dat het chloor ten deele voorhanden is als chloorna-
trium en tevens als aethylchloride.

Ten einde uit te gaan van experimenteele gegevens, werd de
volgende proef genomen. De waterige oplossing van oplosbaar
product werd dadelijk in aanraking gebracht met azijneuur, om een
verzeeping van aethylcloride te ontgaan (altijd verondersteld, dat
dit aanwezig is) door natriumhychroxyde Na OH (ontstaan uit oplos-
baar product op het oogenblik, dat dit in aanraking komt met water).

Een hoeveelheid van 1,1528 gr. oplosbaar product werd dadelijk
in aanraking gebracht met water, waarbij eenig azijnzuur was ge-
daan, en behoorlijk vermengd. Daarna werd de oplossing geplaatst
onder een exsiccator (met zwavelzuur, en kalk, met ’t oog op het
azijnzuur), en het terugblijvende opgelost in water. De oplossing
werd (na zwak zuur te zijn gemaakt met salpeterzuur) neêrgeslagen
met zilvernitraat. Er werd verkregen 0,5587 gr. chloorzilver, bevat-
tende 0,13815 gr. chloor, of:

chloor 11,98 pCt.

Ter controle werd een hoeveelheid van 1,0645 gr. van hetzelfde
oplosbare product opgelost in water; en, na eenigen tijd te hebben
gestaan, zwak zuur gemaakt met verdund salpeterzuur, vervolgens
neêrgeslagen met zilvernitraat. Alzoo werd verkregen 0,5088 gr,
chloorzilver, beantwoordende aan 0,1258 gr. chloor, of:

chloor 11,81 pCt.

bijgevolg bijkans hetzelfde.
Het oplosbare product waarvan werd uitgegeven, was eenigszins

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 25

anders bereid (sedert is deze methode gevolgd), in zooverre als het
mengsel van oplosbaar product met onoplosbaar product en het
aethylchloride (het oplosbare product daarin opgelost) werd uitgestort
in abs. aether; dan werd afgeschonken van het afzetsel (onoplosbaar
product), en eindelijk, de oplossing geplaatst onder een exsiccator.

Het medegedeelde leidt dus tot het besluit, dat het chloor in
oplosbaar product aanwezig is in den vorm van chloornatrium
(Cl Na).

Om nog even terug te komen op het gehalte aan chloor van op-
losbaar product, zoo gaf van een andere bereiding 1,2598 gr. aan
chloorzilver 0,5651 gr. of 0,1398 gr. chloor, overeenstemmende met
11,1 pCt. Maar de oplossing in aethylchoride (tegelijk met onoplosbaar
product) had zeer langen tijd gestaan,-als gevolg waarvan de oplos-
sing meer gekleurd was.

Uitgaande eens van 6 gr. oplosbaar product (gevende 11,81 proc.
chloor), werd het’ chloor geëlimineerd naar de gewone manier door
de oplossing eerst zwak zuur te maken met salpeterzuur, en dan
neer te slaan met zilvernitraat. Hr werd 3,762 gr. van een neér-
slag erlangd, in plaats van 3,05 gr. dat een verschil geeft van
0.7 gr.; een uitkomst, die tot nog toe geen verklaring heeft gevonden.

De samenstelling van oplosbaar en onoplosbaar product, witgaande
van de veronderstelling, dat het chloor daarin voorkomt als chloor-
natrium (ClNa). Voor de gemiddelde samenstelling van oplosbaar
product werd gevonden '):

koolstof 34,3
waterstof 4,5
chloor 10,5
natrium 17,2
zuurstof 30,5

100.

Uitgaande van de veronderstelling, dat al het chloor is verbonden
met natrium tot chloornatrium (Cl Na; zie pag. 23), dan blijven er
over, aangezien 10,5 gew. d. chloor 6,8 gew. d. natrium eischen,
17,2 — 6,8 = 10,4 gew. d. natrium. De samenstelling van oplosbaar
product, verondersteld vrij te zijn van chloornatrium (Cl Na), is
bij gevolg:

1) Versl. en Mededeel. Koninkl. Akad. vy. Wetensch. Afd, Natuurk, 3e Reeks,
Deel VIII, 190; Le. Deel IX, 146—156.

26 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

koolstof 34,3
waterstof 4,5
natrium 10,4
zuurstof 33,5

82,7.

Door verplaatsing van natrium met waterstof, atoomgewichtswijze,
wordt gevonden voor den ester van het zuur (van oplosbaar product):

koolstof 34,3
waterstof 4,9 (= 4,5 + 0,4)
zuurstof 33,5

1230
of berekend op 100 gew. d. van dezen aethylester :

koolstof 47,1
waterstof 6,7.

Men was uitgegaan, zooals bekend, van wijnsteenzuur aethyl (dat
werd omgezet in dinatrium-wijnsteenzuur aethyl, en dit op zijn beurt
behandeld met aethylchloride enz.); en merkwaardig is het geringe
verschil in samenstelling dezer twee lichamen. De aethylester van
wijnsteenzuur eischt namelijk: |

koolstof 46,6
waterstof 6,8.

Het eindproduct zou dus nagenoeg dezelfde samenstelling hebben
als het aanvangsproduct (voorzooverre betreft oplosbaar product),
dat wel mogelijk is, indien b.v. de aleohol, die werd verondersteld
te zijn geëlimineerd, zich verbindt met het nieuwe molecuul. Maar
men zou terecht kunnen opmerken, dat na de reactie !) met aethyl-
chloride, in dit laatste, in overmaat aanwezig, eenige alkohol is aan-
getroffen. Eveneens zou kunnen gezegd worden, dat deze het gevolg
kon wezen der vorming van onoplosbaar product. Daartegenover
staat weder, dat de samenstelling der gekristalliseerde koperverbin-

ding eerder doet denken aan de vorming van een monaethyltartryl-
wijnsteenzuur, welk zuur vordert : ?)

1) Rec. Trav. chim. Pays-Bas, T. IX, p. 270.
2) Versl. en Meded. Kon. Akad. v. W. Afd. Nat, Dl. IX, p. 155 en p. 175.

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 97

koolstof 48,7
waterstof 6,6.

Het dus geheeten „oplosbaar product” is ook niet volkomen zui-
ver (ongerekend noodwendig zijn gehalte aan chloornatrium, veron-
dersteld, dat dit als bijmengsel aanwezig is); de geel-bruine kleur
maakt dit althans waarschijnlijk (onoplosbaar product is genoegzaam
kleurloos), en zoomede de wijze van bereiding.

Vroeger!) werd verondersteld, dat het chloor in oplosbaar product
aanwezig is in den vorm van aethylchloride; de aethylester zou
dan tot samenstelling hebben op 100 gew. d.:

koolstof 42,0
waterstof 5,6,

dat een aanmerkelijk verschil maakt met de zooeven verkregen uit-
komst, toen van de veronderstelling uitgaande, dat het chloor er in
voorkomt als chloornatrium.

Volgt men dezelfde redeneering met onoplosbaar product, en
veronderstelt derhalve, dat het chloor er in voorkomt als chloor-
natrium en niet als aethylchloride, dan is het verschil lang zoo
groot niet, zooals weldra zal blijken *).

Nemen we het gemiddelde der analysen van onoplosbaar product.
Berekend op 100 gew. d. heeft men :

gemiddeld :
koolstof 34,7: 34,1; 34,8; 3505 35,5; 35,9
waterstof 3,7 3d Dt 3,6 3,6 3,1

) à

chloor ke — — LN, 1,4 1,6

natrium — — en AI et WOT 19 8

zuurstof — — — — — 40,0
100,

De gew. hoeveelheid van 1,6 chloor vordert 1,04 gew.d. natrium
ter vorming van chloornatrium, zoodat overblijft 19,8 — 1,04 —
18,76 gew. d. natrium, waarvoor wordt genomen 18,8 gew. d.. Bij
gevolg blijft over:

1) 1. c. Deel IX, p. 153.

2) Zie Versl. en Mededeel. Kon. Akad. v. Wet. Afd. Nat. 3e Reeks, Deel VIII,
p. 191 en 192, Deel IX, p. 147 (de analyse voorkomende op pag. 159 is hier niet
opgenomen, omdat de bereidingswijze enigermate afweek).

28 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

koolstof 34,9
waterstof 3,7
natrium 18,8
zuurstof 40,0
art

Wordt natrium verplaatst door waterstof, dan geeft de berekening :

koolstof 34,9
waterstof 45 (= 3,1 + 0,8)
zuurstof 40,0

79,4,

)

of op 100 gew. d.:

koolstof 43,9
waterstof 5,7,

uitgaande van de veronderstelling, dat het chloor in onoplosbaar

product aanwezig is als chloornatrium. Ingeval chloor den vorm

zou aannemen van aethylchloride, dan was vroeger gevonden !) :
koolstof 43,5

waterstof 5,6.

Uit het medegedeelde volgt dus, dat, indien het chloor wordt ver-
ondersteld aanwezig te zijn als chloornatrium (zie dienaangaande de
proef vermeld op pag. 24), de samenstelling van den aethylester van
het zuur, verondersteld aanwezig te zijn in oplosbaar en onoplosbaar
product, is, berekend op 100 gew. d.:

oplosbaar onoplosbaar

product. product.
koolstof 47,1 43,9
waterstof 6,7 D 1e

Neemt men aan, zooals is gedaan (steunende op de proef van
pag. 24), dat het chloor in oplosbaar product voorkomt als chloor-
natrium (en bij gevolg tevens in onoplosbaar product, waar het
chloor slechts als bijmengsel optreedt), dan blijft de vraag nog over,

1) Zie 1. c. Versl. en Mededeel. Deel IX, pag. 153.

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 29

of het chloornatrium vrij is of gebonden. De kans schijnt niet zoo
heel groot te zijn, dat het chloornatrium in verbinding is; in ieder
geval is dit mogelijk. Er is wellicht aanleiding, om het er voor te
houden, dat het chloornatrium niet verbonden is, en aanwezig is in
colloidaien (amorphen toestand), aangezien dit laatste het geval
is bij ontleding van oplosbaar product (bijv. opgelost in aethyl-
chloride) met zoutzuurgas. Maar hiertegen zou kunnen worden
opgemerkt, dat het aldus afgescheiden chloornatrium zich niet oplost
in zuiveren alkohol en aether, wel het geval met oplosbaar product.
Bijgevolg is het besluit, dat met ’t oog op de bekende feiten, moet
worden aangenomen, ten minste voor ’t oogenblik, dat het chloor-
natrium verbonden is met de hoofdverbinding. En deze laatste zal
zijn een natrium-verbinding van den aethylester van aethyltartryl
wijnsteenzuur (I), en onoplosbaar product zal wezen een natrium-
verbinding van den aethylester van tartrylwijnsteenzuur (II), terwijl
deze verbindingen vorderen :

el II 5.
koolstof 48,7 45,0
waterstof 6,6 6,0.

Het gehalte aan koolstof der eerste baryumverbinding van oplos-
baar product?) is wat hooger dan dat van onoplosbaar product ®),
dat dan tevens een verklaring zou hebben gevonden (men be-
doelt de baryumverbindingen, waarvan de twee andere (zelfde)
baryumlichamen zijn afgeleid, geheeten de kristallijne baryumver-
binding en het lichaam in plaatjes). In ieder geval, is dit nog te
bewijzen.

Vorming van zuringzuur uit oplosbaar en onoplosbaar product.
Oplosbaar product geeft meer zuringzuur baryum (de kristallijne
baryumverbinding als zoodanig beschouwd), dan onoplosbaar pro-
duct. Daarentegen geeft onoplosbaar product betrekkelijk meer van
het lichaam in plaatjes, dan het geval is met oplosbaar product.
Voor ’t oogenblik is ket noodwendig niet wel mogelijk, daarvan een
eigentlijke verklaring te geven. Maar er volgt toch uit, dat oplos-
baar en onoplosbaar product in den grond hetzelfde karakter heb-
ben. En veronderstellende, dat beiden eenvoudige (esters, enz.)
afgeleiden zijn van tartrylwijnsteenzuur :

1) Zie 1 c. Versl. en Med. Deel IX p. 11.
2) Zie Verhand. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie) Deel I, N°, 7, p. 25.
9) Le, Verband. p. 24.

30 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR, -

„OH
CO—CH—CH—CO—C———CH — CO—OH.

BEE howe | |
OH OH OH CO—OH OH,

dan is een ontstaan van zuringzuur zeer gemakkelijk te geven (zie
een weinig later, het theoretisch gedeelte). Maar men zou in de
eerste plaats het zuur van het lichaam in plaatjes goed moeten
kennen, om er een afdoende verklaring van te kunnen geven.

Over de afwezigheid van wijnsteenzuur in oplosbaar en onoplos-
baar product. Dinatrium-wijnsteenzuur aethyl wordt zoolang in
aanraking gelaten met aethylchloride, tot er geen afzetsel meer ont-
staat (van onoplosbaar product). Voor alle zekerheid, ten einde de
omzetting volledig te doen zijn, wordt het geheel nog eenige dagen
aan zichzelf overgelaten. Toch is het mogelijk, dat de evenwichts-
toestand de aanwezigheid vordert van een zekere hoeveelheid dina-
trium-wijnsteenzuur aethyl. Evenwel is de kans daartoe wel niet
groot, omdat aethylchloride in overmaat aanwezig is. Ook kan men
zich overtuigen van de afwezigheid van dinatrium-wijnsteenzuur
aethyl in oplosbaar product, daar dit laatste oplosbaar, en het eerste
onoplosbaar is in abs. aether. Onoplosbaar product daarentegen is
onoplosbaar in abs. aether, maar ook in aethylchloride, welk laatste
oplost dinatrium-wijnsteenzuur aethyl (overigens, om het spoedig om
te zetten). Koperchloride geeft ook geen blauwe oplossing met op-
losbaar product, dat wel het geval is, wanneer dinatrium-wijnsteen-
zuur aethyl niet den vereischten tijd heeft gehad voor de omzetting.

Over de betrekkelijke standvastigheid van het product der reactie
van dinatrium-wijnsteenzuur aethyl en aethylchloride. Tot nog toe had
men verondersteld, dat er scheikundig evenwicht plaats had na
eenigen tijd te hebben gestaan, en wel vooral, omdat het afzetsel,
dat zich vormt, niet meer schijnt toe te nemen. Maar later is ge-
bleken, dat de kleur der oplossing (bevat in een toegesmolten buis)
meer en meer intensiever wordt, zonder dat er meer afzetsel schijnt
te ontstaan. Derhalve ligt het besluit voor de hand, dat het even-
wicht niet volkomen zal wezen.

Een kleine wyziging in de bereiding van dinatrium- en monona-
trium-wijnsteenzuur aethyl. Zoodra de wijnsteenzure ester gedaan

ce. deze Verhandeling pag. 10, 21, 26.
c. Versl. en Mededeel. VII, p. 34.
e. Verhand. Kon. Akad. Deel I, p. 17.
e. Versl, en Mededeel. VIII, p. 37.

CNT
wwe os

KS en bd
ar ie re

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 31

is in het kolfje, wordt dit gevuld met waterstof, de alkoholische
oplossing van natriumaethylaat toegevoegd, zonder te schudden; en
dan een stroom waterstof doorgejaagd fer vermenging der twee stof-
fen, alsmede geschud. Het kolfje wordt vervolgens verbonden met de
kwikpomp. Dezelfde wijziging is aan te brengen in de bereiding van
mononatrium-wijnsteenzuur aethyl. Op die wijze te werk gaande,
is de oplossing betrekkelijk minder gekleurd.

Theoretisch gedeelte. De vorming van zuringzuur verlangt eenige
opheldering. Jammer, dat men nog niet zich kan uitspreken over
den aard van het zuur van het lichaam in plaatjes van oplosbaar
en onoplosbaar product, want in dat geval zou men zich een vrij
goed denkbeeld kunnen maken van het ketonzuur, dat een gekleurde
verbinding geeft met ijzerchloride (altijd verondersteld, dat dit niet
is toeteschrijven aan eenig ander bestanddeel), en waaruit genoemde
twee zuren te gelijkertijd ontstaan. Nog steeds is het waarschijnlijk,
dat het eerste lichaam, dat ontstaat door dinatriumwijnsteenzuur
aethyl (met aethylchloride), in hoofdzaak is tartrylwijnsteenzuur,
dat slechts 1 H,O verschilt met 2 mol. wijnsteenzuur:

/CO—0H
CO—CH—CH—CO—C—CH—CO CO—CH--CH—CO
lid Salat Peete ee A el 2
OH OH OH OH OH OH OH OH: OB 20H,

dus kan men evengoed wijnsteenzuur nemen als uitgangspunt, en de
stoffen teruggeven, die daaruit kunnen ontstaan, waartoe zuringzuur
dan behoort :

CO—CH—CH—CO!) CH;—CO CO—CO

MRSS eae eo ENEN
OH OH OH OH OH OH OH

en daarenboven:

CO—CH—CH—CO CH,—CO COH—CO (tevens

Es bé ee bot | nog
OH OH OF OH, OH. OH OH nategaan).
Wijnsteenzuur kan ook aldus worden ontleed:

CO—CH—CH—CO CH,—CH—CO

a. | | | f= 0 PE Dre | | (alleen
OH OH OH OH OH OT CE is de

sommaire

CH,—CH—CO reactie

Be sai] | | =H,0+CH;—CO—CO—OH bekend’,
OH OH OH

1) Zie le. Verhand. Kon, Akad. v. Wet., Deel I, pag. 13,

D OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

maar deze laatste reactie schijnt niet op te treden; ten minste is
daarvan niets gebleken (terwijl tegelijkertijd opzettelijk een studie
werd gemaakt van brandrigduivenzuur, om daarop naar behooren
‘toog te kunnen houden).

Over de methode van onderzoek gevolgd. Het is niet overbodig,
om in enkele woorden een overzicht te geven van den gedanen
arbeid betreffende de reactie van dinatrium-wijnsteenzwur aethyl1)
en aethylchloride. Deze studie toch biedt vrij groote bezwaren aan,
onder anderen als gevolg van den colloïdalen toestand van eenige
verbindingen die zich voordoet, en zeer merkbaar invloed uitoefent
op de oplosbaarheid in eenige oplossingsmiddelen.

De ingeslagen weg is de volgende. De vorming van een afzetsel
deed al dadelijk twee lichamen onderscheiden, geheeten, oplosbaar ?)
en onoplosbaar*) product. Van deze lichamen werden analysen *)
gedaan. En, om te komen tot minder samengestelde verbindingen
en tevens meer scheikundig zuiver, liet men chloorwaterstofgas *)
inwerken op oplosbaar en onoplosbaar product bij aanwezigheid van
acthylchloride, terwijl de verkregen stoffen werden geanalyseerd 5).
Maar deze lichamen waren siropig (dikvloeibaar), en gaven reeds
daardoor minder vertrouwen met betrekking tot zuiverheid. Dit deed
een poging wagen, om kristallijne verbindingen te bekomen, en
men was gelukkig genoeg, te zien optreden, al was het onder zeer
bepaalde omstandigheden, een goed gekristalliseerde koperverbinding 6).
Maar de opbrengst deed eenig bezwaar ontstaan, om in deze richting
voorttegaan. Toch werd dit lichaam eenigermate nagegaan, en er met
zwavelwaterstof?) een afgeleide van verkregen, dat er het vrije zuur
van kan zijn, maar overigens een siropige massa vormt. Om die
redenen werd een weinig van richting veranderd. Er werd tamelijk
zeker aangetoond, dat het chloor in oplosbaar product optreedt als
chloornatrium *) (CI Na), waarschijnlijk in verbinding en deze in col-
loïdalen toestand ®), met geheel bijzondere eigenschappen, vooral wat
betreft de groote mate van oplosbaarheid in verscheiden oplossings-
middelen, dat de studie niet weinig bemoeielijkt (zie vroeger). Men

1) Le. Versl. en Med. Deel VII, 37; deze Verh. pag. 30. |

2) Le. Deel VIT, p. 176—195; Deel IX, 145—-161 ; Le. Verh. Kon. Akad. D. I, 17;
deze Verhand. pag. 24, 25.

3) Le. Deel VIII, p. 195; deze Verhand. pag. 25, 27.

4) Le. Deel VIII, 195, Deel IX, 146—157.

5) lic. Deel IX, 146 —157.

6) Le. Versl. en Med. IX, p. 168; l.c. Verh. Kon. Akad. I, p, 3.

7) le. Verh. Kon. Akad. I, p. 7.

8) Deze Verh. p. 23.

9) Le. Versl, en Med. Deel IX, p. 160,

EN OVER HET PARABRANDIGDKUIVENZUUR. 33

is verder een studie gaan maken van ontledingsproducten, anders
gezegd, werd meer de analytische weg gevolgd, om later weder
synthetisch te arbeiden. Vooral werd de met baryt verkregen afge-
leide van oplosbaar en onoplosbaar product nader onderzocht tegen-
over azijnzuur 1). Tevens werd ook een poging gewaagd, het chloor
van oplosbaar product te verwijderen, en vervolgens gepraecipiteerd,
eerst met neutraal en dan met basisch azijnzuur lood, en het laatste
neêrslag ontleed met zwavelwaterstof*), zonder evenwel te komen
tot een kristallijne verbinding, ten minste tot nog toe. Daarentegen
schijnt de studie der ontledingsproduten der baryumverbindingen
(zie boven) met azijnzuur, te zullen leiden tot een nadere kennis
aangaande het Ketonzuur aanvankelijk gevormd. Im verband met
het aanhangige onderwerp, deed men een studie van brandigdruiven-
zuur tegenover baryt®) in overmaat, om redenen ter plaatse mede-
gedeeld. Ter vergelijking werd het dinatriumdruivenzuur aethyl *)
gemaakt; en meer of min de vorming van succinyibarnsteenzuur 5)
nagegaan.

AANHANGSEL. Het onderzoek, waarvan sprake is, vereischte de
studie meer of min van eenige reacties en verbindingen, waar-
van de uitkomsten thans zullen worden medegedeeld.

Colloïdaal (amorph) wijnsteenzuur baryum®). Wordt b.v. 1 gr.
wijnsteenzuur en 2 gr. brandigdruivenzuur (niet volkomen zuiver)
opgelost, en de waterige oplossing neêrgeslagen met baryt, eenigzins
in overmaat, dan vormt zich een volumineus neêrslag (dat bij staan
niet ten deele schijnt te kristalliseeren); in verdund azijnzuur wordt
dit opgelost, om opgelost te blijven (ten minste gedurende eenige
dagen).

Neutraal wijnsteenzuur baryum is, versch neêrgeslagen, amorph,
zooals bekend, maar wordt weldra kristallijn, en in dezen kristallijnen
toestand is het onoplosbaar in verdund (en zelfs geconcentreerd)
azijnzuur.

Uit de medegedeelde proef zou kunnen afgeleid worden, dat wijn-
steenzuur baryum volhardt in den amorphen staat onder bovenge-
noemde omstandigheden (wel voor een zekeren tijd), en dat als gevolg

1) Le. Verh. Kon. Akad. I, p. 28; deze Verh. p. 3—20.
2) Deze Verh. p. 20.

3) Le. Verh. Kon. Akad. I, p. 33; deze Verh. p. 36.

4) Le. Verh, Kon. Akad. I, p. 17.

5) Le. Verh. Kon. Akad. I, p. 18.

5) Le. Verh. Kon. Akad. I, p. 36.

H 3
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch, (le Sectie). Dl. IL.

34 OVER HET KENTONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,.

der aanwezigheid der baryumverbinding afgeleid van brandigdruiven-
zuur. Dit schijnt tevens te volgen uit deze proef.

Met elkander werden gemengd Igr. wijnsteenzuur en 2 gr. bran-
digdruivenzuur, en de oplossing nêergeslagen met barytwater in
overmaat, gefiltreerd en gewasschen. Thans werd op het filtrum
gedaan van een oplossing van azijnzuur baryum, en de trechter
gesloten met een caoutchoucstop. Alles werd opgelost, behoudens
een onbeduidende kleine hoeveelheid stof. Toch lost de baryum-
verbinding, afgeleid van brandigdruivenzuur, moeielijk op in azijnzuur
baryum.

Gelijk het geval is met versch neêrgeslagen wijnsteenzuur baryum,
schijnt ook gemelde verbinding amorph te zijn, en men schijnt dus
hier te doen te hebben met een voorbeeld van twee amorphe stoffen,
waarvan de eene de andere belemmert om te kristalliseeren.

Aangezien de betrekkelijke hoeveelheid der twee zuren willekeurig
was genomen, is de vorming van een dubbelzout, alhoewel aid
mogelijk, zoo goed als buitengesloten.

Wordt wijnsteenzuur vermengd b.v. met zuringzuur, dan on
juist het tegenovergestelde geval in te treden.

Colloïdaal zuringzuur baryum. De baryum-afgeleiden van oplos-
baar en onoplosbaar product zouden zuringzuur baryum kunnen be-
vatten. Maar deze afgeleiden vertoonen niets van een kristallijne
stof onder den microscoop, en bij gevolg zou dit zuringzuurzout dan
amorph moeten zijn. De volgende proeven werden gedaan met het
doel om te trachten een dergelijk mengsel na te bootsen (verondersteld
altijd, dat gezegde lichamen mengsels zijn). Men zou hier namelijk
hetzelfde kunnen hebben, als het geval was met wijnsteenzuur bary-
um, vermengd met de van brandigdruivenzuur afgeleide baryumver-
binding (met baryt in overmaat). In deze richting werd de volgende
proef genomen. Er werd 1 gr. zuringzuur in water opgelost met
2 gr. brandigdruivenzuur, vervolgens neérgeslagen met baryt in
overmaat (dat snel moet geschieden, om een kristalliseeren van
zuringzuur baryum te voorkomen), terwijl de massa daarna eenigen
tijd aan zichzelve werd overgelaten. Werkt men onder de vereischte
omstandigheden, dan ontstaat een gelevachtige massa, die, om zoo te
zeggen, volkomen wordt opgelost in verdund azijnzuur (wil men
het geheel tot de laatste sporen oplossen, dan moet hiervan een
groote hoeveelheid. worden genomen, wel tengevolge eener kleine
hoeveelheid eener zekere baryumverbinding van het lichaam, afge-
leid van brandigdruivenzuur, dat niet geheel zuiver was). Hieruit
volgt dan, dat zuringzuur baryum in amorphen staat schijnt te kun-
nen optreden (tot nog toe was het alleen bekend als kristallijne

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 35

verbinding !), naar het schijnt). Evenwel zet zich onder gemelde
omstandigheden, een weinig kristallijn zuringzuur baryum af na
eenigen tijd, dat onoplosbaar is in verdund azijnzuur. De proef
werd herhaald in dien zin, dat de waterige oplossing der twee stof-
fen (1 gr. zuringzuur en 2 gr. brandigdruivenzuur) werd uitgestort
in 500 c.c. barytwater (in de eerste proef had het omgekeerde
plaats), terwijl goed werd geschud. Een deel der voluminense massa
werd behandeld met verdund azijnzuur, een andere hoeveelheid met
een oplossing van azijnzuur baryum, en een derde hoeveelheid met
een oplossing van baryumchloride. Alles werd opgelost in deze drie
gevallen, terwijl zuringzuur baryum in deze oplossingsmiddelen on-
oplosbaar is. Maar laat men deze drie oplossingen eenigen tijd
staan, dan zet zich langzamerhand kristallijn zuringzuur baryum
af. Ook, wanneer de geleiachtige massa eenigen tijd heeft gestaan,
kan men onder den microscoop daarin spheroïden aantreffen en
naaldvormige kristallen (niet het geval bij het begin der proef). Be-
handelt men dan de massa met verdund azijnzuur of azijnzuur bary-
um in oplossing, dan blijft eenig gekristalliseerd zuringzuur baryum
onopgelost terug, en na filtratie, wordt uit het filtraat een nieuwe
hoeveelheid afgezet. Uit het medegedeelde volgt dus, dat gezegde
omzetting wel kan worden vertraagd, maar niet, om zoo te zeggen,
opgeheven, ten minste onder genoemde omstandigheden.

Gemelde proeven zijn gedaan, zooals gezegd, met ’t oog op de
baryumverbindingen afgeleid van oplosbaar en onoplosbaar product.
Deze doen niets blijken van eenig kristallijn inmengsel onder den
microscoop, maar is dit dadelijk het geval bij behandeling met ver-
duud azijnzuur en azijnzuur baryum in oplossing. Er is dus eenig
verschil op te merken tusschen de twee laatste baryum-verbindingen,
en het mengsel van zuringzuur baryum (aanvankelijk amorph) en
het van brandigdruivenzuur afgeleide baryum-zout (tevens amorph).

Over de rol, wellicht te vervullen door zouten in colloidalen toe-
stand in de levende plant. Men wenschte slechts met een enkel
woord de aandacht te vestigen op de rol vervuld misschien door
sommige zouten, als gevolg van hun meer of min volharden in den
colloïdalen staat, en dat wel door de aanwezigheid van colloïdale
stoffen. enige proeven met een afgeleide van brandigdruivenzuur
gedaan, mogen de aanleiding zijn tot deze opmerking. Het behoeft
wel niet gezegd, dat de eiwitstoffen (bijv. met bases) in dien zin nog
al werkzaam zouden kunnen zijn. Ook is duidelijk, welk een in-

1) Zie bijv. Handl. Org. Chem. Beilstein Bd, I, 642 (1892).

36 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

vloed dit zou kunnen hebben, daar colloïdale stoffen in vele eigen-
schappen zeer kunnen verschillen met deze stoffen in kristallijnen
toestand, in de eerste plaats wat betreft de oplosbaarheid, om niet te
spreken van andere eigenschappen. Een zout, dat genoegzaam on-
oplosbaar is in de gewone oplossingsmiddelen, kan dan daarin ge-
makkelijk oplosbaar worden; en van welken invloed moet reeds zulk
een verschil niet zijn voor het plantaardig leven.

Over parabrandigdruivenzuur. Brandigdruivenzuur werd twee-
maal gefractionneerd 1) (het gedeelte werd genomen overgaande tus-
schen 136°—170°), eenig water bijgedaan, en neérgeslagen met
barytwater (verzadigd) in overmaat (en wel ongeveer 40 gr. met 2
kilogr. barytwater). Na eenige dagen te hebben gestaan (er werd
nu en dan geschud), werd gefiltreerd en doorgespoeld (driemaal).
Bij de massa, met een weinig water gedaan van het filtrum, werd
azijnzwur gevoegd (te weten in de volgende bereidingen eerst 40,
toen 20 en 10 gr. van dit zuur). Aanvankelijk was de massa een
weinig gekleurd, maar werd toen kleurloos; zij werd gedaan op een
filtrum, doorgespoeld, en met filtrum geplaatst tusschen filtreerpapier
(nu en dan ververscht), daarna onder een exsiccator (met zwavelzuur
en natrium). De opbrengst is ongeveer 14 gr., dus afgeleid van 34
or. gefractionneerd brandigdruivenzuur.

Het lichaam doet zich voor als een witte harde massa, meer of
min het aanzien bezittende van krijt. Een deel van het water ver-
liest het zeer moeielijk, zelfs onder gemelde omstandigheden, dat
eenige weken vordert. De verbinding is zeer hygrosscopisch, zoodat
er geen nauwkeurige analyse van is te doen, of er zijn bijzondere
voorzorgen in acht te nemen. Om het drogen te bevorderen werd
de harde massa verhit in een stroom droge lucht tot 110°. Aan
vochtige lucht blootgesteld, neemt men soms het merkwaardige ver-
schijnsel waar, dat uit de massa, zich van zelf verdeelende, stukjes
der verbinding worden weggeslingerd op een betrekkelijk grooten
afstand.

Het lichaam is bijna onoplosbaar in water. Een hoeveelheid van
0,043 gr. stof en 5 gr. water werd eenige dagen aan zich zelf over-
gelaten; daarna werd gefiltreerd, en met zwavelzuur slechts een
zwakke reactie verkregen.

I. Een hoeveelheid van 0,7618 gr. stof (gemaakt met 40 gr.
azijnzuur, zie boven) gaf 0,6061 gr. kooldioxyde en 0,1906 gr.

water.

1) Le. Verhand Kon, Akad. Bd. I, p. 30.

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 31

Il. 0,4602 gr. stof (bereid met 20 gr. azijnzuur, zie pag. 36)
gaf 0,2717 gr. baryumcarbonaat (na gloeing en behandeling met
koolzuren ammoniak. Er werd gebruik gemaakt van een inrichting
ten doel hebbende, om de fout te ontgaan veroorzaakt door het
zwaveligzuur der vlam van het steenkolengas; en zoo ook bij vol-
gende bepalingen. Deze hoeveelheid koolzuur baryum komt overeen
met 0,189 gr. baryum.

Een hoeveelheid van 0,6997 gr. stof gaf 0,5548 gr. kooldioxyde
en 0,1668 gr. water. |

III. Een hoeveelheid van 0,4223 gr. stof (gemaakt met 10 gr.
azijnzuur, zie pag. 36) leverde op 0,2531 gr. koolzuur baryum (werd
behandeld met koolzuren ammoniak, en ook overigens op gelijke
wijze als vroeger), bevattende 0,17606 gr. baryum.

0,7511 gr. stof gaf 0,6022 gr. kooldioxyde en 0,1726 gr. water.

Berekend op 100 gew. d. komt dit overeen met:

L II. IL (CH, CO. CO. 0),

Ba + H, O eischt:
koolstof 21,7 21,6 21,9 21,9
waterstof 2,8 2,6 2,5 2,4
baryum — 4,1 41,7 Ale

De hoeveelheid gebruikt azijnzuur schijnt bijgevolg al zeer weinig
invloed te hebben.

Naar BÔTTINGER !) zou het neutrale baryumzout der basische ver-
binding van Finck *) een zuur bevatten door dezen scheikundige be-
stempeld met den naam van hydruvinezuur. Men is niet mogen
slagen, om dit zout afteleiden van het lichaam van Finck, volgens
de methode door BérTINGER daartoe gegeven). Merkwaardig is,
dat BörriNGER aan dit nentrale zout dezelfde formule geeft, uitge-
drukt in die van brandigdruivenzuur, als gevonden werd voor de
verbinding afgeleid van die van Finck met azijnzuur (zie vroeger),
te weten die van (CH3,CO. CO. 0), Ba + H,O (bij verhitten tot
110°); en vooral, omdat deze twee produkten moeielijk dezelfde stof
kunnen zijn, met ’toog op het verschil in eigenschappen, dat zij
vertoonen. Het lichaam van BÖrrINGER zou namelijk zeer oplosbaar
zijn in water („in Wasser sehr leicht löslich), terwijl onze verbin-
ding daarin bijkans onoplosbaar is. Ook is door BörringeRr van

1) Ann. Ch. u. Ph. 208, 129.
2) Zie Verhand. Kon. Akad. L 33.
%) Le. Verhand. Kon. Akad. 35,

38 OVER HET KENTONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEËNZUUR,

zijn neutrale baryumverbinding (uit de waterige oplossing neérge-
slagen met alkohol) een zinkzout afgeleid, dat genoegzaam onmogelijk
zou zijn met het zout door azijnzuur erlangd uit de basische ver-
binding van Finck. Dit neutraal baryumzout vertoont somwijlen het
verschijnsel (zie pag. 36), om, geplaatst zijnde in vochtige lucht, deeltjes
te slingeren op een betrekkelijk grooten afstand, en dat wel als gevolg
van zeer hygroscopisch te zijn. BörrINGER doet geen melding van
deze laatste eigenschap, die het noodig maakt, de stof onder bijzon-
dere omstandigheden te plaatsen bij het analyseeren (zie vroeger).
Het zuur in vrijen staat, namelijk het hydruvinezuur, treedt volgens
BörriNGER ook op als een siropige massa. Bij behandeling evenwel
van het basische zout van Finck met verdund zoutzuur, en plaatsing
der oplossing onder een exsiccator, behandeling van het terugblijven-
de met alkohol, en verdampen van het overblijvende met abs. aether,
verkrijgt men ua verdampen van den aether een meer of min gom-
achtige massa (dit lichaam is hygroscopisch en volhardt dienten-
gevolge geruimen tijd in den siropigen toestand; ook vervluchtigt
de aether ten deele vrij moeielijk). Het besluit is derhalve,
dat het lichaam van BÔTTINGER een ander zal zijn, dan waarvan
sprake is. Teneinde verwarring te voorkomen, is aan dit laatste den
naam gegeven van parabrandigdruivenzuur, ook omdat de plaats
ingenomen door het molecuul water in (CH3, CO. CO. 0), Ba + HO
(de formule is slechts uitgedrukt in die van het brandigdruivenzuur)
ten eenenmale onbekend is, dat tevens geldt voor het hydruvinezuur
van BörrINGER, die alleen analysen deed van eenige zouten.

Alvorens verder te gaan, nog het volgende. Wordt brandigdrui-
venzuur neérgeslagen met barytwater in overmaat, gefiltreerd, door-
gespoeld, het neêrslag met eenig water van het filtrum gedaan,
daarna gezuiverd met wat azijnzuur (5 gr. op 20 gr. gefractionneerd
brandigdruivenzuur), op nieuw gebracht op een filtrum en gewasschen,
daarna van het filtrum genomen met eenig water; en thans verhit
met verdund azijnzuur, dan blijft na bekoeling alles in oplossing.
Indien thans wordt neêrgeslagen met neutraal azijnzuur lood, gefil-
treerd (en doorgespoeld), daarna het neérslag ontleed met zwavel-
waterstof, gefiltreerd, en het filtraat wordt ingedampt (op een water-
bad), dan blijft een vaste massa terug, waaruit alkohol weinig
opneemt; en opgelost in water rijkelijk een neêrslag geeft met ver-
dund zwavelzuur van baryumsulphaat.

Het lichaam van Finck, door BÔTTINGER beschouwd als een
basisch zout van hydruvinezuur, dat geen constante samenstelling
zou hebben, zou dan beschouwd kunnen worden als (waarschijnlijk)
te zijn een basisch zout van parabrandigdruivenzuur,

EN OVER HER PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 39

Het parabrandigdruivenzuur vertegenwoordigt waarschijnlijk het
zuur der zouten door BERZELIUS !) teruggebracht tot de gomachtige 2)
wijziging, tegenover de kristallijne zouten, die verbindingen zijn van
brandigdruivenzuur. De omzetting van kristallijne in gomachtige
zouten, geschiedt veelal zeer gemakkelijk. Het neutrale baryum-
zout waarvan sprake is, vormt.waarschijnlijk het baryumzout der
gomachtige modificatie van BERZELIUS (dat tevens, zelfs in kokend
water weinig oplosbaar is).

Parabrandigdruivenzuur tegenover phenylhydrazine3). Het onder-
zoek aangaande de omzetting van brandigdruivenzuur in parabran-
digdruivenzuur is vervolgd, en thans meer in quantitatieven zin.
De drie volgende proeven vormen als ’t ware een geheel.

1. Een hoeveelheid van 0,597 gr. gefractionneerd brandigdrui-
venzuur werd gedaan bij 25 gr. barytwater, vermengd met 19 gr.
eener oplossing van zoutzure phenylhydrazine (0,45 gr. in 16 gr.
water), vooral vrij sterk zuur gemaakt met verdund zoutzuur (de
eerste massa werd gedaan bij de laatste zure oplossing. Er werd
verkregen 0,486 gr. aan hydrazonbrandigdruivenzuur®). Deze proef
was meer een contrôle-proef.

2. Dezelfde hoeveelheid gefract. brandigdruivenzuur werd thans
behandeld met 25 gr.barytwater, en dadelijk gefiltreerd ; en gedaan bij
het neêrslag en het gefiltreerde vocht (ieder afzonderlijk) van de
oplossing van zoutzure pbenylhydrazine met verdund zoutzuur, en
wel bij neêrslag en filtraat ieder de helft der hoeveelheid van
proef 1.

Het filtraat gaf 0,029 gr. aan hydrazonbrandigdruivenzuur, en
wat opmerkingswaardig is, het neérslag (niet doorgespoeld, omdat
dit onder deze omstandigheden vrij oplosbaar is 5) ) leverde op 0,043
gr. van dezelfde verbinding. Waarschijnlijk is wel niet, dat dit
neérslag meer vloeistof zou hebben teruggehouden dan het filtraat.
Het ontstaan aanvankelijk van een basische verbinding van brandig-
druivenzuur, dan tamelijk weinig oplosbaar zijnde, is mogelijk, maar
de hoeveelheid van 0,043 gr. staat nog al ver af van de theoretische
hoeveelheid, die, 0,486 gr. bedraagt (zie vroeger).

3. Dezelfde hoeveelheid gefract. brandigdruivenzuur en baryt-

1) Ann. Phys. u. Chem. Bd. 36 S. 12 (1835).
ie 3. 16.

3) Zie 1. c. Verhand. Kon. Akad. I. 36.

4) Le. Verhand. Kon. Akad. I. 36.

5) L c. Verhand. Kon. Akad. I. 33.

40 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR,

water, maar thans 17 dagen aan zich zelf overgelaten, werd daarna
vermengd met een gelijke hoeveelheid zoutzure phenylhydrazine en
verdund zoutzuur. Er had geen vorming plaats van hydrazonbran-
digdruivenzuur, zoodat mag worden aangenomen, dat al het bran-
digdruivenzuur was omgezet.

Zooals blijkt, kan de omzetting volkomen zijn, maar daartoe wordt
nog al tijd gevorderd.

Beszuir. De uitkomsten der onderzoekingen in deze Verhandeling
medegedeeld, schijnen aldus te kunnen worden teruggegeven.

1. De baryum-verbinding afgeleid van oplosbaar product, en zoo
ook van onoplosbaar product, geeft met azijnzuur (ook met salpeter-
zuur), en voor zooverre oplosbaar product aangaat ook met baryum-
acetaat, twee lichamen, te weten een kristallijne baryumverbinding
(A), en een verbinding die optreedt in den vorm van plaatjes (B)
(waarschijnlijk eveneens kristallijn ; zie een weinig verder).

Het kristallijne lichaam!) (A) geeft na oplossing in verdund
salpeterzuur met zilvernitraat zuringzuur zilver ?) (verbinding A bevat
wat meer waterstof dan overeenkomt met de formule C, O4 Ba + H, O;
geeft overigens ontieed met verdund zoutzuur, enz., zuringeuur *) ).

Het lichaam in plaatjes *) is waarschijnlijk gekristalliseerd, want
somwijlen zet zich een stof af optredende in spheroïden, van dezelfde
samenstelling en eigenschappen.

Het lichaam in plaatjes is weinig oplosbaar zelfs in warm water.
Met zilvernitraat vormt het bij verwarming een zilverspiegel.

Vele analysen werden gedaan van het lichaam in plaatjes, zoowel
van oplosbaar als onoplosbaar product, maar het zuur van dit
lichaam is nog niet op afdoende wijze gedetermineerd (door gebrek
voor ’t oogenblik aan de noodige hoeveelheid stof). Dit zuur treedt
op in kristallijnen staat, en is bijv. zeer oplosbaar in water.

2. De vraag is opgeworpen ®), of de oorspronkelijke baryumverbin-
dingen van oplosbaar en onoplosbaar product mengsels zijn of ieder een
chemische verbinding van een zuur (in dat geval zijnde het zuur,
waarvan zuringzuur afstamt, en het zuur van het lichaam in plaat-

1) Zie deze Verhandeling pag. 1.
2) Le: pags Bb:

8) Le, page as

©) L e. pag. 11, 14.

5) Lo. p A2 ae

EN OVER HET PARABRANDIGDRUIVENZUUR. 41

jes). Pogingen werden in ’t werk gesteld, om dit zuur af te zonderen 1),
en tevens eenigzins de verhouding der oorspronkelijke baryumverbindin-
gen tegenover water nagegaan °). Ook werd de moedervloeistof dezer ver-
bindingen niet voorbijgegaan ®). De invloed van den colloïdalen toestand,
bestaande wellicht voor eenige verbindingen in de waterige oplossing
van oplosbaar en onoplosbaar product, werd in ’t kort behandeld 4).

3. De vraag is experimenteel nagegaan, of het chloor van oplos-
baar product (en dus hoogst waarschijnlijk tevens van onoplosbaar
product) daarin aanwezig is als chloornatrium of bijv. als aethylchlo-
ride ; de uitkomst is, dat het chloor waarschijnlijk als chloornatrium
er in voorkomt.

Door elimineeren in de analytische gegevens van oplosbaar pro-
duct, van het chloor als chloornatrium, en substitutie van het terug-
blijvende natrium door waterstof, houdt men over, een samenstelling
vrij wel overeenkomende met die van den wijnsteenzuren ester,
waarvan werd uitgegaan.

Het chloornatrium is waarschijnlijk verbonden met den natrium-
afgeleide van het ketonzuur?) (zijnde voor oplosbaar product wel-
licht de aethylester van monaethyl-tartrylwijnsteenzuur, en voor on-
oplosbaar product de ester van tartrylwijnsteenzuur).

Men heeft de vraag behandeld betreffende de vorming van zuring-
zuur 6) door oplosbaar en onoplosbaar product; verder de stabiliteit 7)
van oplosbaar en onoplosbaar product, en de afwezigheid in deze
producten van wijnsteenzuur ©).

Er is een kleine wijziging gebracht in de bereiding van dinatrium-
en mononatrium-wijnsteenzuur aethyl’). Er is een theoretisch ge-
deelte 1) gegeven, en een overzicht!) van den weg tot nog toe in-
geslagen bij de behandeling van het onderwerp.

4. Parabrandigdruivenzuur *°). Wordt brandigdruivenzuur neêr-
geslagen met een overmaat van barytwater, en het neêrslag behan-
deld met een zekere hoeveelheid azijnzuur, dan brijft een betrekkeijk
2 Ps 20, 2a-

. p. 22.
vp. 28.
. p. 23.
. p. 23.
p. 29.
ep 30.
. p. 30.
5 ps ov.
a) Loe. p. dt.

u) 1e. p. 32.
1e) 1c. p. 39.

me Eje
Le
CA Me Mr EN

D 1 A
CS

a
eed
eN ed bg jet os
rp Fe ete ee din
[el

©
—

Q

42 OVER HET KETONZUUR AFGELEID VAN WIJNSTEENZUUR, ENZ.

groote hoeveelheid terug van een lichaam der formule, uitgedrukt in
die van brandigdruivenzuur: (CH; CO. CO. 0), Ba + H, O (verhit tot
110°). Dit lichaam is bijkans onoplosbaar in water, en kan dus
niet wel hetzelfde wezen als het neutrale hydruvinezuur baryum van
BörriNGer, dat naar dezen scheikundige in water zeer oplosbaar is.

In vrijen toestand vertoont zich dit zuur, parabrandigdruivenzuur |
genoemd, meer of min als een gomachtige massa. Men veronder-
stelt, dat de amorphe zouten zoogenaamd van brandigdruivenzuur
(de gomachtige modificatie van BERZELIUS) dit zuur, namelijk para-
brandigdruivenzuur, bevat (dat niet inwerkt op zoutzure phenylhy-
dravine !). Ingeval dit zoo is, dan zou gemeld baryumzout hetzelfde
zijn als het gomachtige baryumzout (van brandigdruivenzuur zoo-
genaamd) van BERZELIUS. Dit onderzoek moet vervolgd worden,
en in de eerste plaats worden uitgemaakt, of het molecuul water
een integreerend bestanddeel uitmaakt van het parabrandigdruiven-
zuur, dat wellicht niet anders is dan een polymeer van brandig-
druivenzuur.

AANHANGSEL. Het onderwerp maakte het wenschelijk, om eenige
eigenschappen van andere verbindingen nategaan, waarvan de uit-
komst nader hier volgt.

1. Colloïdaal wijnsteenzuur en zuringzuur baryum?). Een mengsel
van wijnsteenzuur en brandigdruivenzuur werd néergeslagen met
barytwater, en aangetoond, dat de aanwezigheid van brandigdruiven-
zuur den aanvankelijk colloïdalen toestand van wijnsteenzuur baryum
in groote mate bestendigt. Meer of min is dit tevens het geval
met zuringzwur*) en brandigdruivenzuur, met baryt. Zuringzuur
schijnt tegenover wijnsteenzuur juist een tegenovergestelde uitwer-
king te hebben.

2. Het is waarschijnlijk, dat de colloïdale toestand van zouten in
het leven der plant een niet onbelangrijke rol heeft te vervullen “).

In een volgende Verhandeling zullen de uitkomsten van een nader
onderzoek met betrekking tot het ketonzuur, afgeleid van wijnsteenzuur,
worden medegedeeld, en zoo ook die van parabrandigdruivenzuur.

5) 1c: p. 89,
2) Le. D: 33.
#) Le. p. 54.
4) ‘Lc. p. 35.

Utrecht, 26 Mei 1894.