jen aten, etrgnapee an Behe aad Wade | be blselkedens vei: ebenst ann eagen | han beent an van Deed balbditelh vin | bide ed hed . verdient ie 1 eee Tea bbele an 8 ni helde dd 1 ad En ruk p a heeten | MME Dr 4 me | mens hthe belas Be bp, te ded Genten a in llen leve note nde ef es pliefin oes vinder seer dediadd, f rlr, r A CEN “ 4 EE ia, ee ” 4 el 1 t , Ih AE ge ta 4 _ Ne Anda { Rijs Te hA _ eed & ’ 03 f, he! AR d er Boet 4 ob 4 VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN. Afdeeling NATUURKUNDE, DERDE REEKS, VIJFDE DEEL. __ AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1889. — VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN, VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN KONINKLIJKE AKADEMIE WETENSCHAPPEN, Afdeeling NATUURKUNDE DERDE REEKS. VIJFDE DEEL. un AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1889. ed GEDRUKT BIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. LN: INHOUD VIJFDE DEEL DERDE REEKS. PROCESSEN-VERBAAL EEN ONE VERGADEREN GEN. Vergadering gehouden 28 Januari 1888. . . . . . … blz. " / BEDEA eN ne dalen hel Far W „ # 31 Maart OE et M „ " 21 April tinte oc tE A D " 26 Mei DNR sr ht iel „ " 30 Juni Ts A EE „ DOED er ne ” / 21 Oetober ne ei „ / 24 November Et One ADD 100. VI TN HO MT WD: VERSLAGEN. Rapport over de beproeving der bliksemafleiders op het Rijks- museum te Amsterdam Verslag over de verhandeling des Heeren Dr. G. SCHOUTEN: „De regel voor den baanvorm en de eigenschappen der centrale beweging, graphisch toegelicht”; uitgebracht in de vergadering van 28 Januari 1888. Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. JAN DE Veres: „Over vlakke configuraties”; uitgebracht in de vergadering van 31 Maart 1888 Verslag over de verhandeling des Heeren Dr. V. A. Jurrus: „De lineaire spectra der elementen”; uitgebracht in de vergadering van 3l Maart 1888 Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. J. L. Hoor- WEG :/ Experimenteel onderzoek naar de polsbeweging”’; uit- gebracht in de vergadering van 27 April 1888. Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. V. A. Jurrus: „Over de trillende beweging van een vervormden vloeistofbol”; uitgebracht in de vergadering van 27 April 1888 Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. V. A. Jurrus: „Over de dubbellijnen in de spectra van natrium, magne- sium en aluminium”; uitgebracht in de vergadering van 26 Mei 1888. Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. JAN pr VRrrs: „Over de harmonische configuratie 24,, 184’; uitgebracht in de vergadering van 30 Juni 1888. Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. J. T. Ov- DEMANS, „Beiträge zur Kenntniss des Chiromys madagas- cariensis’’; uitgebracht in de vergadering van 30 Juni 1888. Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. P. H. Dogzs: „Over eenige formules, betrekking hebbende op de veran- deringen in samenstelling der oplossingen, door druk en temperatuurs-veranderingen bewerkt”; uitgebracht in de vergadering van 30 Juni 1888, . , , . . . . blz. /Á / I / / ‚ 121. 132. 174. 206. 228 INHOUD. Missive aan Zijne Excellentie den Minister van Waterstaat, Handel en Nijverheid, over den tegenwoordigen stand van het onderzoek der Limnoria-Commissie . Rapport over de verhandeling des Heeren Dr. G. SCHOUTEN: „Algemeene eigenschappen van de zuiver rollende beweging van een omwentelingslichaam op een horizontaal vlak, toe- gepast op de beweging van een omwentelingslichaam om een vast punt van zijne as”; uitgebracht in de vergadering van 29 September 1888. Verslag over de verhandeling des Heeren J. CARDINAAL: „Meetkundige theorie der scheeve oppervlakken van de vierde orde”; uitgebracht in de vergadering van 24 No- vember 1888. MEDEDEELINGEN. G. SCHOUTEN. De regel voor den baanvorm en de eigen- schappen der centrale beweging, graphisch toegelicht . Hveo per Veres. Veber die Anwendung der plasmolytischen Methode auf die Bestimmung des Molekulargewichts che- mischer Substanzen. P. H. Scroure. Het lineaire complex en de congruentie (1,1); LEL JAN DE Vries. Over vlakke configuraties . . . .. V. A. Jurrvs. Over de trillende beweging van een ver- monden ntnentotbel en Os On Oe oe J. A. C. OupeEMANs. Onderzoek naar de voorwaarde, waarop, in den dubbele-beeldenmikrometer van Arry, de waarde eener schroefomwenteling onafhankelijk is van de accom- vm A DE J. W. GUNNING. Over de kwantitatieve bepaling van EE a an blz. 264. LÁ ” VLA I I /Á /Á „ 289. 441, 4. 149. 171. VI TNHGRD, JAN pe Varrs. Over de harmonische configuratie (243, 18,). blz. P. H. Doses. Over eenige formules, betrekking hebbende op de veranderingen in samenstelling der oplossingen, door druk- en temperatuurs-veranderingen bewerkt. F. J. van DEN Bere. De constructie-figuur voor de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen, beschouwd als con- humble; Sons. at G. ScHoureN. Algemeene eigenschappen van de zu'ver rollende beweging van een omwentelingslichaam op een horizontaal vlak, toegepast op de beweging van een om- wentelingslichaam om een vast punt van zijne as. (Met eene Plaat) AMER W. Burcek. Over den invloed van het licht op de kieming der sporen van Hemileia vastatrix BERK. et Br. C. H. C. Grinwis. De energie van den bolvormigen con- densator F. J. vaN DEN Bema. Eenige formulen voor de berekening van de Bernoulliaansche en van de tangenten-coëfficiënten. A. C. OUDEMANs JR. Bijdrage tot de kennis van de Cupreïne. K. Martis Notiz über den angeblich fossilen, menschlichen Unterkiefer vom Caberge bei Maastricht. (Mit 1 Tafel) J. CARDINAAL. Meetkundige theorie der scheeve oppervlakken van de vierde orde. „ „ „ iÁ jÁ I ld ” 210. 226. 549. 355. 408. 434, 450. Rn A n 5 W- % Nef KA Aj ES. Kf \ EN in AA \ k 5 entend Dd Sr RR UL < Ap \ EES E \ 1 SA ee | / VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN. — Afdeeling NATUURKUNDE. DERDE REEKS. Dijfde Deel, — Eerste Stuk. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1888. KJ S lem, Ee E L bo PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 28 Januari 1888. Tegenwoordig de Heeren: Buys Barror, Voorzitter, vaN Dresen, Micnaëris, ScHors, WEBER, VAN DE SANDE BAK- HUYZEN, TrruB, ENGELMANN, Hork, HOFFMANN, PEKELHARING, Drssrirs, Martin, Mac GiLLAVRY, ZAAIJER, RAUWENHOFF, VAN ‘tr Horr, Forster, VAN Dore, BeErERINOK, A. OC. OUDEMANS JR., FRANCHIMONT, LORENtTz, Prace, Barrr, BreRENs DE HAAN, Husrecurt, VAN DER Waars, DoNpers, ScHoure, Stokvis, ZeeMAN, Bosscra, GRINwIs, J. A. C. OupemaANs, Korrewee, BrureL DE LA Rivière, VAN Rremspijk en C. A.J. A. Oupr- MANS, Secretaris; van de Letterkundige Afdeeling de Heer: CAMPBELL. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. A. J. Enscrepee, Bibliotheecaris der Stads- Bibliotheek te Haarlem, 4 Januari 1888; 20. G. J. W. Breuer, Se- eretaris van het Bataafsch Genootschap der proefondervin- delijke Wijsbegeerte te Rotterdam, 1 Januari 1888; 30, H. Tonckens jr, Voorzitter der koloniale Bibliotheek te Pa- ramaribo, 1 December 1888; aangenomen voor bericht. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3Î6 REEKS. DEEL V. 1 (2) — Voorts Brieven ten geleide van boekgeschenken van de navolgenden: 10. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te ’s Gra- venhage, 2, 5 Januari 1888; 20. W. H. M. Crrisrie, Di- recteur van het royal Observatory te Greenwich, 1887; 30, F. J. pr ‘Frerrras, Secretaris van het Museu nacional te Rio de Janeiro, 21 Maart 1887; 40. J. F. Brior, Bi- bliotheearis der publie Library te Melbourne, 9 December 1887; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10. een schrij- ven van den Minister van Waterstaat, Handel en Nijverheid (2 Januari 1888), ter begeleiding: a. van een afschrift van het Koninklijjk Besluit d.d. 27 Nov. 1887, nl. 25, waarbij de Commissie tot het overbrengen naar Nederland van den Standaardmeter van hare taak is ontheven; b. van een exemplaar van het Staatsblad n0. 168, waarin het Konink- lijk Besluit van 8 Oct. 1887 tot aanwijzing van de Ne- derlandsche Standaarden der maten en gewichten, en tot regeling van hunne bewaring is opgenomen; c. afschrift van het Koninklijk Besluit van 25 Nov. 1387 n0. 28, hou- dende benoeming der Commissie, bedoeld in art. 3, al. 2 van het sub 2 genoemd Koninklijk Besluit. De Minister deelt verder mede, dat de platina Standaard van het kilogram, overeenkomstig het advies der Afd. van o Mei 1887 n0. 20, aan den Hoogleeraar Dr. J. A. C. Oupemans te Utrecht in gebruik gegeven, door dien Hoog- leeraar in handen zal worden gesteld van bovengenoemde Commissie van Toezicht. Eindelijk wenscht de Minister te vernemen: »of de Aka- demie er prijs op stelt dat de platina Mètre, vermeld in art. l van het Koninklijk Besluit van 12 April 1859 (Staatsblad n®. 18), die krachtens art. 6 van het Konink- lijk Besluit van 83 Oct. 1887 (Staatsblad n®. 168) voor wetenschappelijke doeleinden bewaard blijft, onder hare be- waring blijft”. De Voorzitter stelt voor, den Minister op de laatste alinea Hen te antwoorden, dat de Afdeeling er geen prijs op stelt met de bewaring van den platina Meter, vermeld in art. 1 van het Koninklijk Besluit van 12 April 1839 (Staatsblad n°. 13) belast te blijven, nu de onlangs tot Standaard verheven pla- tina-iridium Meter aan de Polytechnische School te Delft ter bewaring werd afgestaan. Aldus wordt besloten. 20, eene uitnoodiging van den Rector der Universiteit van Bologna, aan de Akademie gezonden om zich bij het achtste eeuwfeest, dat op 12 Juni gevierd zal worden, te doen vertegenwoordigen. Daar op dit oogenblik geen der leden zich bereid ver- klaart, die vertegenwoordiging te aanvaarden, wordt besloten de gelegenheid daartoe tot 15 Febr. as. open te houden, als wanneer de Secretaris der Letterkundige Afdeeling zich bereid heeft verklaard een Latijnsch antwoord op de in het Latijn geschreven uitnoodiging op te stellen. — De Heer Bosscra leest, uit naam der Commissie voor de bliksemafleiders op ’s Rijks Museum van schilderijen, het antwoord voor, aan den Minister van Binnenlandsche Zaken te geven op Z.Exs. brief van 10 Aug. Il. n®. 1739 Afd. Kunsten en Wetenschappen, waarin om nadere inlich- tingen aangaande een periodiek onderzoek naar de deugde- lijkheid der bliksemafleiders verzocht werd. Het antwoord wordt goedgekeurd en zal ter kennisse van den Minister gebracht worden. — De Heeren Korrewea en ScHoure brengen verslag uit over eene verhandeling des heeren Dr. G. SCHOUTEN, en stellen voor die in de werken der Akademie op te nemen. Aldus wordt besloten. Een paar opmerkingen, door de Commissie gemaakt en die wellicht eenigen invloed op de redactie van enkele plaatsen in het handschrift zouden kun- nen hebben, zullen ter kennisse van den Schrijver gebracht worden, vóór tot het drukken der verhandeling wordt over- gegaan. — De Heer HorFMaNnN houdt een voordracht over den 1* (4) oorsprong en de beteekenis der zoogenaamde vrije kernen en van den voedingsdooier bij de Beenvisschen. Spreker zet daarbij uiteen, hoe de verklaring van het aanwezig zijn der vrije kernen, in de volgens vaste wetten plaats hebbende aequatoriale splijting van het ei gezocht moet worden; hoe verder in het ei vermeerdering der kernen niet alleen plaats heeft door mitose, maar ook door eene buiten- gewone fragmentatie, en hoe eindelijk, naar aanleiding van zijne onderzoekingen, de aanleg van het bloed en van het bloedvatenstelsel niet in den mesoblast gezocht moet wor- den. Over de beteekenis der fragmentatie, die meer als de uitdrukking eener degeneratie der kernen door de meeste onderzoekers wordt aangezien, en den oorsprong van het bloed uit den mesoblast, ontspint zich eene korte discussie, waaraan de Heeren Mac Girravry en HugrzcHTt deelnemen. — De Heer TrruB geeft daarna een, door afbeeldingen en enkele voorwerpen toegelicht, verhaal van zijn bezoek aan Krakatau op 19 Juni 1886. Dat bezoek had vooral ten doel de nieuwe flora van Krakatau te leeren kennen. Sedert de uitbarsting van den vulkaan aldaar is een nieuw plantenkleed ontstaan, dat, daar de bodem met eene laag asch en puimsteen van 1—60 meter bedekt is, onmogelijk een overblijfsel eener vroegere vegetatie zijn kan, evenmin als het op dit onbewoonde en onbewoonbare eiland door menschen kan zijn voortgebracht. Deze nieuwe flora bestaat aan het strand uit de bekende vegetatie, die men op alle koraaleilanden aantreft, en die afkomstig is van door de zee aangespoelde zaden. Op de hoogte van Krakatau vindt men een geheel anderen plantengroei, en wel uitsluitend Varens. Elf verschillende soorten van die plantengroep werden daar door den Spreker gevonden, en de wijze waarop zij zich daar ontwikkeld hadden, nader bestudeerd. Het bleek, dat de spo- ren dier Varens, eenmaal ter plaatse aangeland, aan den voor plantengroei zoo ongeschikten bodem werden vastge- houden door Draadwieren, wier verslijmend omhulsel een groenachtig waas aan de witte asch, die het eiland bedekt, verleende. (5) Spreker formuleert de uitkomsten van zijn ter plaatse ingesteld onderzoek in deze 4 punten: 1°. dat men — op veel te eenzijdige manier — de koraal-eilanden als type heeft beschouwd bij het bepalen der wijze, waarop eilanden door planten worden bevolkt; 20, dat men, door die eenzijdigheid, geheel heeft mis- kend de hoogst belangrijke rol, welke Vaateryptogamen — en in het bijzonder Varens — bij het begroeid geraken van vulkanische eilanden spelen; 30, dat ongetwijfeld Vaateryptogamen — en weder meer in het bijzonder Varens — eene even belangrijke rol gespeeld hebben, en nog zullen spelen, als aanzienlijke uitgestrekthe- den van een vast land door vulkanische uitbarstingen werden of worden verwoest — ten minste in warme luchtstreken ; 40, dat, ten minste in warme luchtstreken en op een vulkanischen bodem, niet Lichenen, doch Algen den groei van Vaatplanten mogelijk maken en voorbereiden. Met eenige opmerkingen omtrent soortgelijke vegetatiën op Ascension en Juan Fernandez wordt deze voorloopige mededeeling besloten. — Daar er verder niets te verhandelen is, wordt de Vergadering gesloten. RAP POR OVER DE BEPROEVING DER BLIKSEMAFLEIDERS OP HET RIJKS- MUSEUM TE AMSTERDAM. Als vervolg op ons Rapport over de plaatsing en in- richting der bliksemafleiders op het Rijksmuseum te Am- sterdam en ter beantwoording van den brief van den Minister van Staat, Minister van Binnenlandsche Zaken, dd. 10 Au- gustus ll. n0. 1739, Afdeeling Kunsten en Wetenschappen, hebben wij de eer aan de Natuurkundige Afdeeling dezer Akademie het volgende voor te dragen. De beproeving der bliksemafleiders van het Rijksmuseum moet, naar onze meening, geschieden op gezette tijden, naar vaste regelen, door een persoon: ervaren in het samen- stellen en plaatsen dier toestellen en tevens bekwaam in het verrichten van eenvoudige natuurkundige metingen. Eene keuring eenmaal ’sjaars, in de maanden April of Mei, schijnt in den regel voldoende. Bestaat er vermoeden „ of zekerheid dat de afleiders of het gebouw door een blik- semslag zijn getroffen geworden, dan dient een onderzoek der getroffene deelen zoo spoedig mogelijk te volgen. De jJaarliijksche beproeving moet bestaan in eene schou- wing van het geheele samenstel der afleiding van het ge- bouw en in eene weêrstandsbepaling van bepaalde deelen der geleiding. Alvorens tot de schouwing over te gaan, moet de persoon, met de beproeving belast, zich aanmelden bij den Architekt, aan wien het onderhoud van het gebouw is opgedragen, CA) ten einde eene opgaaf te verkrijgen van alle verbouwingen, veranderingen en herstellingen, welke sedert de laatstvoor- gaande beproeving aan het gebouw hebben plaats gehad. Bij de algemeene schouwing moet hij meer in het bijzonder nagaan, van welken invloed de genoemde werkzaamheden geweest zijn op de samenstelling en het veilig behoud der afleidingen. De weêrstandsbepalingen hebben telken jare betrekking op een drietal afleiders, op uiteengelegene deelen van het gebouw te kiezen, in dier voege dat telkens in drie jaren alle afleiders van het gebouw zijn onderzocht geworden. Die bepalingen bestaan in: 10. eene weêrstandsmeting van de geleidende verbinding, die het gebouw oplevert tusschen een vast aangenomen centraal punt van het dak en den voet van elk der drie te onderzoeken afleiderss; 20, eene weêrstandsmeting van de geleiding tusschen de spits van elken afleider en een nabiijgelegen punt van het metalen dak ; 30, eene weêrstandsbepaling van de aardgeleiding van elk der drie te onderzoeken afleiders. De afleiding van de directeurswoning moet telken jare worden geschouwd en, op eene dergelijke wijze als hierboven werd voorgeschreven, door weêrstandsmeting worden beproefd, Van elke beproeving of onderzoeking zal een schriftelijk verslag worden opgemaakt, hetwelk door tusschenkomst van den Architekt, die met het toezicht over het gebouw is be- last, aan den Minister van Binnenlandsche Zaken wordt toegezonden. De uitvoering van de weêrstandsbepalingen zal kunnen bevorderd worden door het aanbrengen van vaste geleidingen. Het schijnt wijders wenschelijk, de metingen telken jare te doen plaats hebben met behulp van dezelfde werktuigen en standaardweêrstanden, welke te dien einde in het ge- bouw bewaard blijven. Naardien de bijzonderheden, die op een en ander be- trekking hebben, voor een groot deel afhangen van plaat- selijke omstandigheden en van hetgeen dienaangaande bij (8) de eerste beproeving de ondervinding zal leeren, meent de Commissie te moeten aanbevelen dat de persoon, die tot het verrichten der beproevingen zal worden aangewezen, met haar in overleg trede tot het ontvangen van meer be- paalde aanwijzingen en, zoo noodig, tot het ontwerpen van eene nadere instructie, Haarlem, Amsterdam, Leiden. 20 Januari 1888. J. BOSSCHA. J. D. vaN DER WAALS, H. A. LORENTZ. VERSLAG OVER DE VERHANDELING DES HEEREN Dr. G. SCHOUTEN: „DE REGEL VOOR DEN BAANVORM EN DE EIGENSCHAPPEN DER CENTRALE BEWEGING GRAPHISCH TOEGELICHT”. (Uitgebracht in de Vergadering van 28 Januari 1888). In het jaar 1855 is door Bensamin Perree in zijne » Phy- sical and celestial mechanics” eene graphische methode ter bestudeering van centrale banen medegedeeld, welke meerdere aandacht blijkt te verdienen dan er tot heden aan gewijd schijnt te zijn. Zet men op de abscissen-as van een rechthoekig coördi- naten-stelsel het vierkant van de reciproke waarde van den voerstraal af, en gebruikt men als ordinaat de waarde van de potentiaalfunctie der centrale kracht met omgekeerd tee- ken, zoodat eene kromme (potentiaalkromme) ontstaat, wier gedaante afhankelijk is van de heerschende krachtenwet, dan kunnen verschillende grootheden, die op de centrale baan betrekking hebben, onmiddellijk uit de figuur afgelezen worden, nadat vooraf in die figuur eene rechte lijn getrok- ken is, die op bepaalde wijze met de te onderzoeken baan samenhangt. Deze rechte namelijk, die naar de zijde der positieve abscissen stijgende zal moeten zijn, behoort tot richtingscoëfficiënt te bezitten het dubbele vierkant der sec- torsnelheid, terwijl de ordinaat van haar snijpunt met de ordinaten-as bepaald wordt door de energie in de baan met (10) tegengesteld teeken. Banen van gelijke sectorsnelheid wor- den dus voorgesteld door evenwijdige lijnen ; die van gelijke energie door lijnen, gaande door éénzelfde punt der ordina- ten-as, lager gelegen naarmate die energie grooter is. Ferwijl de snijpunten dezer rechte met de potentiaal- kromme apo- en pericentra der baan aanwijzen, zijn alleen die gedeelten der rechte, waar zij zich beneden de potenti- aalkromme bevindt, voor de centrale banen van beteekenis. Zij nu A (fig. 7 van de verhandeling van den Heer Scrou- TEN) een punt op zulk een gedeelte der rechte gelegen, bezittende y, tot ordinaat; C het punt der potentiaalkrom- me ‘twelk dezelfde abscis en ys >> yj tot ordinaat bezit; wordt voorts door D, het snijpunt der rechte met de ordi- naten-as eene lijn y == vg getrokken; dan wordt de radiale snelheid in het met 4 overeenkomstige punt der centrale baan gemeten door w/2 (ya — yi)» de totale snelheid door W2 (ys — yo) de sinus van den hoek w tusschen voerstraal en raaklijn door Le ja zelfs de kromtestraal GRE der centrale baan hangt op eenvoudige wijze met de figuur samen. Trekt men in C de raaklijn aan de potentiaalkromme en door het snijpunt. dier raaklijn met de ordinaten-as eene lijn y =yz, dan is: J2 — Yo 5 gie /3 osn u == Het is van deze wijze van graphische voorstelling dat de Heer ScgoureN gebruik maakt om de vroeger door hem (Versl. en Meded. 3e Reeks, Deel III) en door den eerst- ondergeteekende (Versl. en Meded, 2ie Reeks, Deel XX) ontwikkelde eigenschappen der centrale banen en de regels ter bepaling van den baanvorm af te leiden, en het moet erkend worden dat, door de methode van Perrror toe te passen en uit te breiden op de wijze zooals zulks door den Heer ScrourenN is geschied, een bijzonder helder inzicht ver- kregen wordt in de vroeger gevonden stellingen. Zoo blijkt het dat in een stabiliteitsgebied de potentiaalkromme hare (1) holte naar beneden, in een iwstabiliteitsgebied naar boven keert, terwijl uit deze omstandigheid de kenmerkende eigen- schappen van deze beide soorten van gebied geheel onge- zocht voortvloeien. Eene raaklijn aan de kromme stelt na- melijk in het eene geval slechts eene stabiele cirkelbaan, in het andere eene cirkelspiraalbaan, welke baanvorm aan Primer onbekend schijnt geweest te zijn, met hare asympto- tische instabiele cirkelbaan voor. Op één enkel punt verschillen wij met den Heer SCHOUTEN van gevoelen. Het betreft het zeer bijzondere geval dat de eerste afgeleide van de kracht naar den afstand oneindig groot wordt en de snelheid juist de waarde en richting der cirkelsnelheid bezit. Volgens Dr. Scrouren, en in afwijking met zijne vroeger uitgesproken meening (Versl. en Meded., 3de Reeks, Deel III, p. 408; vergelijk ook 2de Reeks, Deel XX, p. 265) is dan toch de cirkelbaan onmogelijk, maar zal eene andere baan beschreven worden, die met de cirkel- baan eene aanraking van hoogere orde bezit. Wij meenen daarentegen dat hier twee banen mogelijk moeten worden geacht, zelfs somtijds, zooals blijken zal, een drietal. Laat om dit toe te lichten: FF A(r ro): + termen met hoogere machten van (r—r,)) et de centrale kracht aangeven, dan zal aan de bewegingsver- gelijkingen : d? dp\° d d __d? Rd ea Ep ke ied dt? dt voortdurend. voldaan worden door: kn pP=ot mits: "0@ =P (12) en het schijnt ons, dat daarom de cirkelbaan als eene mo- gelijke baan moet worden erkend. Daarnaast bestaat nu echter eene oplossing: 2 r=r +al(ttl-: + hoogere machten van t gE pot fB(Etl- + hoogere machten van t alwaar « en /} moeten voldoen aan de voorwaarden: 2a(l te) Za (3 — €) Te nd 5 (L—)? 5 HEE (lr P 70 ì verkregen door op de laagste machten van t acht te slaan. Voor « vindt men hieruit, behalve «== 0 welke oplossing weder tot de cirkelbeweging terugvoert en met de andere gelijk recht van bestaan bezit, A(l—e? BL) Daarbij zullen nu, aannemende dat e een meetbaar ge- broken is, verschillende gevallen te onderscheiden zijn, naar gelang teller en noemer even of oneven zijn. Zijn beiden bijv. oneven en is A positief, dan wordt deze oplossing on- bestaanbaar en de cirkelbaan is de eenig mogelijke. Inder- daad bevindt zich dan aan weerskanten stabiliteitsgebied. Is A daarentegen negatief, dan zijn naast de cirkelbaan twee banen: eene binnen- en eene buitenwaartsche,: mogelijk. In het algemeen, zal eene dergelijke baan steeds gevonden wor- den aan de zijde waar zich instabiliteitsgebied bevindt. Daarbij dient dan ook op het geval: F= Fo + Arp)? +. gelet te worden. Wellicht vindt de schrijver in het bovenstaande aanlei- (13) ding tot eenige wijziging, want ook afgezien van de meer speculatieve zijde van het hier opgeworpen vraagstuk, schijnt ons zijne berekening eenige herziening te behoeven. In elk geval betreft het geheele punt van verschil eene bijzaak en bevelen wij gaarne zijne verhandeling ter opneming in de Verslagen en Mededeelingen aan. D. J. KORTEWEG. P. H. SCHOUTE. DE REGEL VOOR DEN BAANVORM EN DE EIGENSCHAPPEN DER CENTRALE BEWEGING. GRAPHISCH TOEGELICHT DOOR Dr. 6. SCH 0 U TBN I. INreiDinNG. De uitkomsten gevonden in de verhandeling » Algemeene regel voor den baanvorm en duur der centrale beweging”’ *) zijn hoofdzakelijk afgeleid uit de vergelijking: 4 C2 Er° ID Een ! en 5 2 WE: 5 To 5 en 7 / 3 dr je 70 door na te gaan, òf, en zoo ja, op welke afstanden tot het centrum de radiale snelheid nul wordt, m. a. w. door de wortels te bepalen van de vergelijking: r (2 F3 vtt [pare To In de volgende bladzijden zullen deze wortels graphisch geconstrueerd worden. De krommen, wier onderlinge snij- punten de wortels zullen geven, kunnen zoo gekozen wor- *) Verslagen en Mededeelingen der Koninkl. Akad. van Wetensch, Afd, Natuurk., 3de Reeks, Deel 111. (15) den, dat een er van in een rechte lijn overgaat; de rich- ting er van wordt bepaald door de sectorsnelheid der be- weging (de vlakte nl. door den voerstraal in de tijds- eenheid beschreven), terwijl overigens hare ligging in het vlak enkel afhangt van de energie, waarmede de beweging plaats grijpt. De andere kromme wordt bepaald door de krachtenwet alleen. Is dus deze kromme op een rechthoekig coördinaten-stelsel geteekend, dan zal elke lijn in haar vlak getrokken in de punten, waar ze deze snijdt, de afstanden geven, waar de peri- en apocentra der baan gelegen zijn. De sectorsnelheid, waarmede de beweging in die baan plaats grijpt, zal be- paald worden door den hoek, dien de lijn met de abscissen- as maakt, terwijl de energie van ’t bewegend punt gegeven wordt door het snijpunt der lijn met de ordinaten-as. Een verplaatsing van de lijn in het vlak zal op graphi- sche wijze het verband aanwijzen, dat er tusschen de ligging en afmeting der baan en de sectorsvelheid en energie van de beweging in die baan bestaat, en ons voeren tot een alge- meenen regel voor den baanvorm, die overeenstemt met dien, welke gegeven is in $ 5l van bovengenoemde ver- handeling. Verder zal de kromme blijken eigenschappen te bezitten, wier kennis in staat stelt een menigte eigenschappen der centrale beweging uit een figuur te lezen. Alle eigenschap- pen der banen zoowel in bovengenoemde verhandeling als in die van Prof. Korrewee »Over de banen beschreven on- der den invloed eener centrale kracht” *) voorkomende, vinden we op die wijze terug. Omdat de graphische methode uit den aard der zaak niets leert omtrent den duur der beweging, en de kennis omtrent het al of niet eindig zijn van den duur toch een vereischte is om over de werkelijke beweging te kunnen oordeelen, zoo zullen we door de notatie (4. &. $) verwijzen naar *) Verslagen en Mededeelingen der Kon dkad. v. Wetens., Afd. Na- tuurk., 2de Reeks, Deel XX, (16 ) de 8 van den » Algemeene regel voor enz’, waar de bere- kening een beslissing geeft. De eer van de gelukkige keuze voor de krommen, die in dit geval de wortels der vergelijking bepalen, komt toe aan B. Perron. Althans in zijn werk A system of Analytic Me- chanics past hij de graphische methode toe; en hoewel zijn onbekendheid met banen met asymptotische binnen- en bui- tencirkels een leemte veroorzaakt in zijne toepassing, zijn toch de uitkomsten door hem gevonden zoo verrassend een- voudig, dat ze mij aanspoorden een poging aan te wenden om die leemte aan te vullen. IL. De POTENTIAALKROMME EN DE SECTORLIJN. 1. Stellen we in de formule (6) van (A. R. 8 2), nl: r(2 Frs I Ip 7 Zh To [re mik bj GC? |-ae= Ws r dan gaat ze over in Eri bro? + Vo VU U, of ook, omdat Ero nk Voka rb Is, In irt UV Uh) Omdat de eerste oe voor de mogelijkheid der beweging is, dat r'? geen negatieve waarden mag hebben, (17) _200 zal alleen beweging kunnen plaats grijpen op afstan- ___den, voor welke ee a Vv + U, — 5u is. Wordt nu U als ordinaat y genomen op een rechthoe- ___kig coördinaten-stelsel, waarvan r de abscis is, dan zal tjaa 6] de vergelijking eener kromme voorstellen, welker gedaante alleen afhangt van de krachtenwet, en die door Perrcr potentiaalkromme is genoemd. Wordt evenzoo V + Uo—}vg’ als ordinaat uitgezet, dan stelt ee Meli de vergelijking eener tweede kromme voor, welker vorm alleen zal afhangen van de sectorsnelheid 4 C, en daarom __sectorkromme genoemd zal worden. Zijn beide krommen op hetzelfde coördinatenstelsel ge- teekend, dan zullen alle deelen der potentiaalkromme, wier ordinaten grooter zijn dan de overeenkomstige ordinaten der sectorkromme, of, zooals we dit in ’t vervolg zullen uitdrukken, die boven de sectorkromme gelegen zijn, de af- standen aanwijzen, op welke de beweging alleen mogelijk is. C2 B: Daar V = Zen is, zal de sectorkromme in een rechte r d lijn overgaan, als niet r# maar Th als abscis wordt uitgezet. ij | Kiezen we dus op het voorbeeld van Perrcr 5 tot abscis #, en drukken we ook U in # uit, dan stellen | Ee ern denderen en (1) y=t tet Uy ko... . (2) resp. de vergelijkingen voor van de potentiaalkromme en de sectorlijn. 3. Wordt aan de kracht # een nieuwe van den vorm VERSL. EN MEDED, AFD. NATUURK. 3de REEKS, DEEL V. D) (18 ) 5 toegevoegd, dan wordt U vermeerderd met en of 3 ur. Laat men echter U onveranderd, maar vermindert men V met 44, dan zal dit geen invloed op de waarde voor 7’? hebben. Die vermindering van V zal C° in C?*— « veran- deren, zoodat dus het vermeerderen van de centrale kracht u À 7 met de waarde — overeenkomt met een vermindering van En C? met u *). 4. Eigenschappen der potentiaalkromme. De raaklijn aan de potentiaalkromme maakt met de d abscissen-as een hoek, welks tangens en gegeven wordt v door ET Hieruit volgt: De potentiaalkromme stijgt Lij toenemende abscissen voor aantrekkende, daalt voor afstootende krachten 4). Waar dus de potentiaalkromme evenwijdig is aan de abscissen-as, is de kracht nul, waar ze er loodrecht op ge- 5 richt is echter oneindig groot. Voor F' == ae is de poten- a tiaalkromme een rechte lijn. 5. Verder is | dy dAFr3 de drs Hieruit volgt: Die deelen der potentiaalkromme, welke hunne bolle zijde naar de ordinaten-as gekeerd hebben, geven de afstanden aan, voor welke F'r® een wassende functie van r is; daar- *) Hiermede is de stelling van A. R. $ 4 bewezen. Bovenstaand bewijs komt voor bij Perree, $ 707. j) Peiree, $ 709. (19) entegen zullen die deelen der potentiaalkromme, welke hunne holle zijde naar de ordinaten-as keeren, de afstanden aange- ven, voor welke #'r® een afnemende functie van r is. Elk buigpunt der potentiaalkromme geeft een afstand, voor wel- ken Fr een maximum- of minimumwaarde bereikt. Deze eigenschappen laten zich op de volgende wijze in woorden brengen, als wij gebruik maken van de benamin- gen, die Prof. KorreweG in zijn Verhandeling gebruikt *): In een afstootingsgebied is de potentiaalkromme dalende bij toenemende abscissen. In een stabiliteitsgebied heeft de potentvaalkromme haar BOLLE, in een instabiliteitsgebied haar HOLLE zijde naar de POSITIEVE ordinaten-as gekeerd. Elk bwigpunt in een stijgend deel. wijst de grens aan tusschen een stabiliteits- en instabili- teits-gebied. In een omgekeerde derdemachts- gebied is de potentiaalkromme een rechte lijn. Is dus de potentiaalkromme geteekend, dan zal ze de verschillende soorten van gebied aangeven, waaruit het be- wegingsveld bestaat. Is bovenstaande kromme de potentiaalkromme voor zekere krachtenwet, dan zal rondom het centrum tot op een af- stand, aangegeven door het punt A, een stabiliteitsgebied gelegen zijn. Daarop volgen in volgorde naar de oneindige ruimte een instabileitsgebied A B, een afstootingsgebied BC, een stabiliteitsgebied CD, een instabiliteitsgebied DE, een stabiliteitsgebied EF, en eindelijk een instabiliteitsgebied FO. me en *) Korrewze $ 3. Het gebied, waar de kracht afstootende werkt, heet een afstootingsgebied; waar ze aantrekkende is, een stabiliteitsgebied in- geval Fr3 een wassende, een instabiliteitsgebied als Fr* een afnemende functie van r is. Is F7? standvastig, dan heet het gebied een omgekeerde derdemachts-gebied. ge (20) 6. De weg naar het centrum ligt voor ’t punt open, als voor r=—= 0 of # =: oo DA 4 + U, ET 5 vo ° (2 To is. Daar voor r == 0 v=| dr en vu | Fdr 7 Ò 0 is, gaat deze ongelijkheid nu over in ge ze f kop” + [rarr | —5 dr, y 0 0 welke volgens de notaties van (A. R. $ 44) op de volgende wijze kan geschreven worden: Ad Dit stemt volgens (A. R. $ 51) met de berekening over- een. Volgens (A. R. $ 52) zal de spiraalvormige tak, die naar het centrum voert, een eindig of oneindig aantal win- dingen hebben, naar gelang p(o) (Fr* = p(r) stellende) oneindig groot of eindig is, d. w. z. naar gelang de poten- tiaalkromme voor oneindig groote abscissen de ordinaten-as tot grensrichting heeft of niet. Het laatste moet het geval wezen, als het centrum omgeven is van een stabiliteits-gebied, het eerste kan alleen 't geval wezen als om het centrum een instabiliteitsgebied ligt. Gevolg. Omdat de potentiaalkromme voor alle afstanden, op welke de beweging plaats grijpt, boven of op de sector- lijn moet gelegen zijn, zoo zal noodzakelijk << p(o) „/ zijn, als de baan zich tot in het centrum uitstrekt. Doch deze voorwaarde is, wat (?—g(0) betreft, niet voldoende. Wordt toch het centrum door een in- stabiliteitsgebied omringd, dan zal de potentiaalkromme een asymp- Arc Tg P ©) (21) toot hebben. Heeft nu de sectorliijn de richting van die asymptoot, maar ligt ze boven deze, dan zal ze de poten- tiaalkromme zeker snijden, zoodat de weg naar het centrum is afgesneden. Dezelfde uitkomst is door berekening gevonden in AT R. S 33—36), waar is aangetoond, dat voor C?—= p (0) het centrum dan alleen bereikt wordt, als tegelijkertijd A < A, is. 7. De weg naar het oneindige ligt voor het punt open, als voor r=@ of #—= 0: Di V + Up} Ee Na is voor r—=@o V—=0 en UU, = —| Far zoodat de ongelijkheid overgaat in tet Farzo, of ook in tert f'rar> | Fr, U 0 welke met behulp van de notaties in (A. R. $ 44) als volgt geschreven kan worden: AL. Dit stemt overeen met de berekening (A. R. $ 51). Gevolg. Wordt het bewegingsveld begrensd door een sta- biliteitsgebied, dan zal voor A= A, noodzakelijk | ps G p(o) alle be- f Va weging op zeer grooten afstand van ’t cen- trum uitsluit. Dit stemt overeen met (A. R. $ 18). Is echter op oneindigen (22) afstand een instabiliteitsgebied gelegen, dan zal voor A == A, noodzakelijk: C*p (oo) de bewe- ging op zeer grooten afstand uitsluit. Dit stemt overeen met (A. R. S 43). 8. EIGENSCHAPPEN DER SECTORLIJN. De sectorlijn maakt met de abscissen-as een hoek p‚ welks tangens gelijk 4 C? is, terwijl ze de ordinaten-as snijdt in een punt, dat op een afstand Up—} vj° van den coördinaten- oorsprong ligt. Hieruit volgt: 1. Een verplaatsing van de sectorlijn evenwijdig aan zich zelve zal alle banen leeren kennen, die met dezelfde sector- snelheid worden beschreven. Geschiedt de verplaatsing van de sectorlijn zóó, dat haar snijpunt met de ordinaten-as zich in de negatieve richting van deze verplaatst, dan zal de energie van de overeenkom- stige beweging van ’t punt toenemen. 2. Hen wenteling van de sectorlijn om een punt van de ordinaten-as zal alle banen doen kennen, welke met dezelfde energie beschreven worden. 9. Im elk punt, waar de sectorlijn de potentiaalkromme snijdt, is #'— 0, maar 4 C2 7 } Fr°, of ook, daar volgens (A. R. $ 2, formule (4) Een rt Zulk een snijpunt geeft dus een afstand aan, waar de baan een apo- of pericentrum heeft, daar de berekening heeft geleerd, dat zulk een afstand steeds door het bewe- gende punt wordt bereikt. Wij vinden dus: Elk snijpunt van de sectorlijn met de potentiaalkromme geeft een apo- of pericentrum van de baan; een APOCENTRUM, als de potentiaalkromme zich BOVEN, een PERICENTRUM, als ze zich ONDER de sectorlijn voortzet. (23) 10. In elk punt, waar de sectorlijn de potentiaalkromme raakt, is niet alleen 7! —= 0 maar ook r" — 0. Ligt zulk een raakpunt in een stabiliteitsgebied, dan kan de beweging op den afstand door het raakpunt aangegeven slechts cirkelvormig wezen. Ligt het raakpunt echter in een in- stabiliteitsgebied, dan bestaat de moge- lijkheid, dat het punt de cirkelbaan verlaat. Teneinde dit nader te onderzoeken, stellen we de functie C? — p(r), welke voor r=rg gelijk nul is, onder de | volgende gedaante: C2— p(r) = Ar o(r—rg): + termen met hoogere machten van (r—r). A stelt een constante voor en gp een functie van r, die zoowel op als even buiten de cirkelbaan eindige positieve waarden heeft. Verder is e in zooverre willekeurig, dat ze grooter dan O moet zijn en voor p(r) dus ook voor F' een bestaanbare waarde levert voor # < ro. Is « b.v. een breuk met oneven teller en noemer, dan ligt de cirkelbaan in een stabiliteitsgebied voor A < 0, in een instabiliteitsgebied voor A >0; is de teller echter even, de noemer dus oneven, dan vormt de cirkelbaan de grens tusschen een stabiliteits- en een instabiliteitsgebied, het laatste buitenwaarts voor A > 0, echter binnenwaarts voor Ee 0. In de gemaakte onderstelling voor C°—p(r) volgt uit me - Ar? =| zedeEn r ro ï r'? mm A; O7 (r—r) +! —- bes waaruit op nieuw blijkt dat voor A < 0 de beweging bui- ten de cirkelbaan onmogelijk is. Verder is (24) etl red (rr) ode (a) waar À een veranderlijke factor is. Wordt deze vergelijking geïntegreerd, dan komt er 13 t—tg == À (r—ro) 5 + ë ese a avion oe d (6) als e ongelijk aan 1 is; echter tto pmm À, l (r—ro) + sr ee (c) voor e= l. Hieruit blijkt, dat voor «> 1 de eenig mogelijke oplos- sing is r=?r)} dat voor e< 1 de onderstelling r = 70 witgesloten is. Deze is een singuliere oplossing van de bewe- gingsvergelijkingen, wat zoowel uit de algemeene oplossing (6) als uit de differentiaalvergelijking (a) blijkt. d d Volgens (6) is rn op het teeken na gelijk aan Ee zoodat 0 dr e+] zz ze Arrr) 2 +... EER Altro) Be dr d is. Omdat deze uitdrukking voor er nul is voor r == ro; 0 zal de oplossing r == r, een singuliere wezen. Evenzoo volgt uit (a): dr' r! jer nere Ae, ZH... | r Ak zoodat — voor r=r, een oneindig groote waarde ver- J£ krijgt, als e <1 is, waaruit op nieuw blijkt, dat r = ro een singuliere oplossing is. (Vergelijk Boorr, A Treatise on Differential Equations, ‚ Chap VIJL, art. 11). In het laatste geval moet de baan, die het punt be- schrijft, met de cirkelbaan een aanraking van hoogere orde hebben. Terwijl bij de singuliere oplossing r == r, alle afge- leiden #(%) van r naar den tijd nul zijn, zal dit niet het (25 ) geval kunnen zijn met alle afgeleiden, zooals die door diffe- rentiatie uit de bewegingsvergeliijjkingen voortvloeien, als daarin r == rg gesteld wordt. Is 7, de eerste onder deze, die ‘niet nul wordt, zal de aanraking van de (n—l)® orde wezen. | Omdat dru) r®) = Al, dr is, zal de exponent van de laagste macht van (r—r,) bij 1 elke volgende afgeleide met 1 verminderd doch met le vermeerderd, dus in 't geheel met Pae verminderd worden. 1— Die exponent is bij r() «&, dus bij 7%) en) of 5 e — —. Hieruit volgt: 0 —2 1”) == eindig voor € 2 js ) oo AEL 8 —l rot = eindig voor « Ze Za R oo < ntl zoodat de aanraking van de n® orde zal wezen, als e vol- doet aan de ongelijkheid dn Eel welke ook op de volgende wijze kan geschreven worden: 2 nk waar (l—e) den graad van oneindigheid van — p' (r,) voorstelt. Is dus — p' (#9) = @, dan zal het punt de cirkelbaan onmiddellijk verlaten; of het zich buiten dan wel binnen deze zal gaan bewegen, blijft onbeslist; beide richtingen zijn even goed mogelijk, onverschillig van welke orde de aanraking zij. Vormt de cirkelbaan evenwel de grens tus- (26) schen een stabiliteits- en een instabiliteitsgehied, dan zal de beweging in het laatste plaats grijpen. Anders is het, als het punt gedurende zijn beweging op de cirkelbaan komt in den toestand #'==0 en 7" == 0. Dit zal het geval zijn, als de sectorsnelheid en energie van de beweging gelijk zijn aan dezelfde grootheden bij het begin der beweging op den cirkel. Is de aanraking van even orde, dan zal het punt de cirkelbaan overschrijden, Is ze van on- even orde, dan zal het punt terugkeeren, na de cirkelbaan bereikt te hebben. De cirkelbaan is dan de omhullende van alle mogelijke banen, die het punt onder dezelfde krachten- wet kan beschrijven. De gevonden uitkomsten laten zich in de volgende woor- den samenvatten, als onder (C‚7,) een cirkelbaan verstaan wordt met den straal 7,, waar langs het bewegende punt voortbewogen wordt met de sectorsnelheid 4 C, Ligt de cirkelbaan (C‚r,) in een stabiliteitsgebied, dan is ze de eenig mogelijke baan. Ligt ze in een instabiliteitsgebied, dan evenzoo als — p' (ro) een eindige waarde heeft. Is echter — p' (ro) een oneindig groot van de orde np, dan zal de cirkelbaan niet beschreven worden. De baan van het punt zal met de cirkelbaan een aan- raking hebben, waarvan de orde wordt aangegeven door het 2 grootste geheele getal, dat kleiner is dan — *). 1) Voor elke cirkelbeweging vinden we: De sectorsnelheid 4 C, waarmede de cirkelbeweging op eeni- gen afstand plaats grijpt, wordt bepaald door den hoek p == Arc. Tg. C°, dien de raaklijn aan het overeenkomstige punt der potentiaalkromme met de abscissen-as maakt. 11. De afstand van het raakpunt tot de lijn, die even- wijdig aan de abscissen-as getrokken wordt door het snij- punt van de raaklijn met de ordinaten-as, wordt gege- ven door %) Deze uitkomst kwam ook voor in de verhandeling, zooals ik die voor de werken van de Kon. Akad. van Wetenschappen aanbood; even- wel was ze daar op een andere wijze afgeleid. (27) mX tr} Pr == 302, als v, de snelheid der cirkelbeweging voorstelt. Bijgevolg: Het halve vierkant van de snelheid, waarmede de cirkelbeweging op zekeren afstand plaats grijpt, wordt gegeven door den afstand van het overeenkom- stige punt der potentiaalkromme tot de lijn, die evenwijdig aan de abscis- 4 0 —_K sen-as getrokken wordt door het snij- | punt van de ordinaten-as met de raak- lijn aan de potentiaalkromme. 12. De afstand van een punt der potentiaalkromme tot de lijn, die evenwijdig aan de abscissen-as getrokken wordt door het snijpunt der sectorlijn met de ordinaten-as wordt bepaald door To OUt t | Parmtet EL Bijgevolg: | en Het halve vierkant, waarmede de beweging op zekeren afstand plaats grijpt, wordt gegeven door den afstand van het overeenkom- stige punt der potentiaalkromme tot de lijn, die evenwijdig aan de abscissen-as getrokken wordt door het snijpunt van sectorlijn en or- DE eek dinaten-as. Tevens blijkt, dat de inhoud van den driehoek, die door de ordinaat wordt afgesneden van den hoek, dien de sectorlijn met bovengenoemde lijn maakt, gelijk vs aan het vierkant van de halve hoeksnelheid, waarmede de voerstraal van het bewegende punt wentelt. *) PerircE $ 712. 28 ) 13. De hoek w‚ dien de verbindingslijn van een punt der potentiaalkromme met het snijpunt der sectorlijn en de ordi- E naten-as maakt met de abscissen-as, wordt bepaald door qe z U gy == kv r?, | TATCL 14. Is (r,‚, s) de hoek, dien de ii voerstraal van ’t bewegende punt C A met de raaklijn aan de baan maakt, dan volgt uit het beginsel der vlakten, nl. vr sin (r‚,s)= C: DATE: sin? (r‚ 5) = —5 = a sE Vi ig w als w de hoek is in $ 13 genoemd, en p= Arc. Ty} CC? de hoek, dien de sectorlijn met de abscissen-as maakt. 15. Is g de kromtestraal van de baan, dan volgt uit 2 Ee (7,8): & o sin (r, 5) v° vo? Tm Bijgevolg: de projectie van den kromtestraal der baan op den voerstraal staat tot dien voerstraal zelf als het vierkant der snelheid tot dat der cirkelsnelheid. II. EIGENSCHAPPEN VAN DE BANEN DER CENTRALE BEWEGING. 16. Met behulp van de ontwikkelde eigenschappen van potentiaalkromme en sectorlijn worden de volgende eigen- schappen der banen uit een figuur afgelezen. %) Peireer geeft siz? (r, 5) =— 5 (7,5) Pr f) Peimce geeft in $ 712 een eenigszins andere uitdrukking voor den kromtestraal. (29) a. Elke cirkelbaan in een , AG instabiliteits= gebied snijdt alle banen in dat ge- bied, die met dezelfde sectorsnelheid als deze maar met grootere energie beschreven worden. In het snijpunt is de radiale snel- heid Pe 2 R. S 12 en $ 2 minimum 8 29 Volgt hieruit (A. R. 8 19), dat alle banen, die met dezelfde sector- snelheid beschreven worden volgens de krachtenwet u r—°, gelijke para- meters hebben, toegepast op de krachtenwet wr leert de eigenschap, dat alle ellipsen met dezelfde sectorsnelheid beschreven gelijken inhoud hebben. Zijn toch a en 5 de halve assen der ellips, dan is de radiale snelheid het grootst als de voerstraal y/ab lang is. De om- loopstijden zijn dus ook gelijk. stabiliteits- dé b. Elke cirkelbaan in een , … … gebied snijdt alle instabiliteits- banen in dat gebied, die met dezelfde energie als deze maar met kleinere sectorsnelheid beschreven worden. In het sni- punt ds hr Semm PE matimum 2. or minimum id | \ minimum sin (7,5) lee) marimum 4. De projectie van den kromtestraal | der baan op den voerstraal gelijk aan den voerstraal. De stellingen onder 1, 2 en 3 komen overeen met de stellingen Il en III van pIP Prof. Korrewee, die daaruit afleidde, dat | alle elliptische banen, die met dezelfde energie beschreven worden onder de werking van een kracht (30) ger=?, gelijke groote assen hebben; worden ze echter be- schreven onder de werking van de kracht wr, dan zal de diagonaal van den rechthoek op de assen beschreven bij elke ellips evenlang zijn. De stelling onder 4 toegepast op de krachtenwet ur? geeft, dat het krommingsmiddelpunt van een punt eener ellips, dat gelegen is in een der uiteinden van de kleine as, het snijpunt is van deze as met de loodlijn, uit een der brandpunten opgericht op de lijn, die dat brandpunt met het beschouwde punt der ellips verbindt. Toegepast op de krachtenwet ur leert ze, dat het krommingsmiddelpunt van een punt in een der uiteinden van de gelijke geconjugeerde middellijnen gelegen gevonden wordt in het snijpunt van twee loodlijnen, de eene opgericht uit het middelpunt der ellips op de middellijn van “+ punt, de andere uit het punt neergelaten op de geconjugeerde middellijn. c. Jm een stabiliteitsgebied kan de | beweging nimmer cirkelvormig worden. In een instabiliteitsgebied zal elke cirkelbaan asymptotische binnen- of buitencirkel wezen voor alle banen in dat gebied, die met dezelfde energie en sectorsnelheid als deze beschreven worden *). Uit de figuur blijkt, dat de cirkelbaan in een instabiliteitsgebied vanweers- zijden kan genaderd worden, en de be- rekening in (A. R. $ 28 en $ 30) heeft doen zien, dat daartoe een oneindig groot tijdsverloop noodig is, behalve d Hrs wanneer op de cirkelbaan oneindig groot is, in welk geval het bewegende punt de cirkelbaan zal bereiken. Op dat oogenblik is == 0, "== 0, sin (r,s) = 1 en de krom- testraal van de baan gelijk aan den straal des cirkels, z00- ENE df ) Zie voor gr © Op de cirkelbaan $ 10, (31) dat deze de kromtecirkel van de baan is ter plaatse, waar het punt de cirkelbaan betreedt. Op dat oogenblik heeft dus het punt een beweging, die in alle opzichten gelijk is aan de cirkelbeweging, zoodat om die reden in (A. R. $ 28) beweerd werd, dat het punt de cirkelbaan voortaan zal be- schrijven *). Verder moge nog de opmerking gemaakt worden, dat dFr5 ! 5 voor nk de potentiaalkromme in het overeen- dr komstige punt een oneindig groote kromming zal hebben. Als nu bj een buigpunt de kromming nul is, zal een cirkelbaan op de grens van een stabiliteits- en instabiliteitsgebied asymptotische cirkel wezen van alle banen in het instabiliteits- gebied, die met dezelfde sectorsnelheid en energie als de cúr- kelbaan beschreven worden F). d. Een geringe storing van een cirkelbeweging in een stabi- liteitsgebied zal aanleiding geven tot een nieuwe beweging in een regelmatig gegolfde baan, wier peri- en apocentra zeer weinig verwijderd zullen liggen van de oorspronkelijke cirkel- baan (A. R. 8 20). Bestaat de storing alleen uit een vermeerdering ‚vande tangentiale snelheid, vermindering pert- apo- dan zullen de centra der nieuwe baan op de oorspronkelijke cirkelbaan gelegen zijn. Veroorzaakt de storing slechts een radiale snelheid, dan zal de nieuwe baan hare pericentra binnen, hare apocentra nagenoeg even ver buiten de oorspron- kelijke cirkelbaan gelegen hebben. Veroorzaakt de storing zoowel een verandering van de tangentiale als een a *) Zie echter voor dit geval $ 10. 1) Kortewee, stelling VI, gevolg a. (32) radiale snelheid, dan zal de nieuwe baan de cirkelbaan regel- matig snijden. e. Een geringe storing van een cirkelbeweging in een insta- biliteitsgebied zal een nieuwe beweging geven in een baan, die zich òf naar den binnenkant, òf naar den buitenkant, òf naar beide kanten tot op eindigen afstand van de cirkelbaan zal verwijderen (A. R. 8 24) *). Geeft de storing alleen een „dert . aen gli van de tangentiale vermindering snelheid, dan zal de nieuwe baan een £ centrum op de cirkelbaan apo- hebben, en overigens het gebied buiten- aan de el é zijde verlaten, of binnen- oneindige zich tot het uitstrek- centrum ken, als dit met het gebied het geval is. | Geeft de storing slechts een //_ radiale snelheid, dan zal de nieuwe V, baan geen apo- of pericentrum ee Sin het instabiliteitsgebied kunnen G hebben. Is eindelijk de storing geheel willekeurig, dan zal de nieuwe baan behalve de vormen in de vorige gevallen nog een asympto- tischen binnen- of buitencirkel kunnen hebben in plaats van een apo- of pericentrum. f. Hen storing van een cirkelbeweging op de grens van een stabiliteite- en instabiliteitsgebied zal een nieuwe beweging ge- ven in een baan, die altijd een apo- of pericentrum heeft, *) Deze en de vorige stelling komen overeen met stelling IV van Prof. KORTEWEG. (33) ook beiden kan hebben, of ook een van beiden met een asym- ptotieschen cirkel. g. Voor de spiraal, die naar het centrum voert geldt C2 p (0) 0 lim sin (r‚ 8) = il lim o == Met het oog op (A. R. $ 52) vin- den we: Een spiraal, die met een eindig aantal windingen (dus voor p (0) ==) naar het centrum voert, zal in de richting van den voerstraal in het centrum komen. Een spiraal, die met een oneindig aantal windingen naar het centrum voert (dus voor O0

A, dus de tak hyperboolvor- | B de mig (A. R. S 52), dan is lim sin (r‚ s) = 0. C2 Is A= A_: dan is lim sin (rs) == é Is dusp ( oo) = oo, de tak bijgevolg para- boolvormig (A. R. $ 52), dan is lim (r,s)=0. Dd | af Ee Is echter p (oo) < oo, dus de tak een | rd spiraal met oneindig veel windingen (A. dl bo R. S 52), dan voert deze onder een scher- en pen hoek met den voerstraal naar het *) Kortewee, stellingen Xs, Xb, Xe, Xd, VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, òÎe REEKS, DEEL \£ 3 (34) oneindige. Alleen wanneer het be- wegingsveld eindigt in een instabili- teitsgebied kan C?=— p( oo) zijn, in welk geval lm sin (r‚ s) = 1 is. 5 Tevens doen de figuren zien, dat zoowel de hyperbool- als de parabool- vormige takken naar het oneindige toe steeds steiler worden, evenals de spiraalvormige tak, die in een stabi- liteitsgebied ligt; terwijl zulk een tak in een instabiliteitsgebied op grooteren afstand minder steil zal ziijjn-dan op kleineren. k. Worden alle raaklijnen, die een hoek p = Arc Ty 4 C° met de abscissen-as maken, aan die deelen der potentiaal- kromme getrokken, wier holle zijde naar de positieve ordi- naten-as gekeerd is, dan zullen de raakpunten alle afstanden geven, waarop de cirkelbeweging met de sectorsnelheid } C mogelijk is. Deze afstanden worden natuurlijk gegeven door de positieve wortels van de vergelijking #'r9—C* == 0, die drs dr <0 maken. Is bovenstaande kromme lijn de potentiaalkromme voor zekere krachtenwet, dan zullen uit een punt, welks afstand tot het centrum door het punt A wordt aangegeven, twee banen met asymptotischen binnencirkel en geen enkele met asymptotischen buitencirkel kunnen afgezonden worden met een sectorsnelheid & C. De figuur doet tevens zien, hoe de baan van het punt (35 ) gewijzigd wordt, als de energie der beweging bij standvas- tige sectorsnelheid langzamerhand toeneemt. Is de energie het kleinst, dus de beweging loodrecht op den voerstraal van ‘t punt, dan ligt het pericentrum van de baan in A. Bj toenemende energie van de beweging zal het pericentrum allengs alle afstanden A B verkrijgen ter- wijl in B de eerste binnencirkel ligt; daarna zal het plot- seling overspringen in C, zoodat op BC geen pericentrum kan gelegen zijn, en verder zich over C D verplaatsen, in D den tweeden asymptotischen cirkel naderen, om daarna weer over te springen tot &, van waaruit het zich allengs verder tot het centrum zal verplaatsen. De baan zal in alle gevallen met een hyperboolvormigen tak naar het oneindige voeren *). Een beschouwing van de figuur geeft de volgende stel- ling: binnen- Het aantal banen met asymptotischen , cirkel, die met buiten- standvastige sectorsnelheid beschreven van uit een punt kunnen afgeeonden worden, is gelijk aan het aantal cirkelbewegingen, die in een instabiliteitsgebied met dezelfde sectorsnelheid, maar ' centrum in volgorde van het punt tot het „ … geteld, met steeds oneindige grootere energie beschreven worden. Daar volgens (A. R. 8 47, form. (14) or EE (0 | xp (r) C gn rs het bedrag voorstelt, waarmede de energie van de cirkel- beweging, die op den afstand #, met de sectorsnelheid } C plaats grijpt, die van het punt overtreft, als het zich op den afstand r met dezelfde sectorsnelheid en loodrecht op zijn voerstraal beweegt, zal deze stelling het volgende ana- Iytische kenmerk geven: ©) Vergelijk $ 4 van de verhandeling van Prof. KORTEWEG. g* (36 ) Bepaal van alle waarden, die de integraal [25e 8 verkrijgt, als daarin voor gp achtereenvolgens de wortels, ge- centrum rangschikt in grootte van rj tot het ‚> ‚van de verge- oneindige Ee d Fr lijking Fr — C?==0 genomen worden, welke < 0 ma- r ken, diegenen, welke een klimmende reeks van positieve waarden vormen. Het aantal termen dezer reeks is gelijk aan het aantal binnen- banen met asymtotischen cirkel, die van uit een punt buiten= op den afstand rj met de sectorsnelheid 5 C kunnen afgezon- den worden. l. Uit de figuur blijkt tevens, dat er banen mogelijk zijn, die zoowel een asymptotischen binnen- als buitencirkel hebben. Elke lijn toch, die twee deelen der potentiaalkromme raakt, welke hunne holle zijde naar de positieve ordinaten- as gekeerd hebben, terwijl het tusschen de raakpunten ge- legen deel geheel boven de raaklijn is gelegen. zal in de raakpunten de afstanden geven, waarop de cirkelbanen ge- legen zijn, die door het punt, dat zich tusschen deze in beweegt met een sectorsnelheid en energie gelijk aan die, waarmede elk dier cirkels doorloopen wordt, asymptotisch zullen genaderd worden. Het analytische kenmerk voor het bestaan van zulke ba- nen bestaat hierin, dat in de integraal OS Ee fr Sk r Ni voor @ twee wortels, de een grooter en de andere kleine dan 7}, van de vergelijking F'r5— (2 == 0 gekozen kunnen | Fr5 rd worden, die <0 en tevens de waarde van de integraal positief en gelijk maken. ede, Het aantal paren van zulke wortels geeft het aantal banen, die uit een plaats op den afstand 7» van het centrum met de sectorsnelheid & C kunnen afgezonden worden, en zoowel in de richting van het centrum als van het oneindige ecn cirkelbaan asymptotisch zullen naderen. m. Worden van uit een punt der ordinaten-as onder een scherpen hoek met deze as alle lijnen getrokken, die de potentiaalkromme in deelen raakt, welke hun holle zijde naar de positieve ordinaten-as gekeerd hebben, dan zullen de raakpunten de afstanden aangeven, op welke de cirkel- bewegingen met dezelfde energie plaats grijpen. ae: Ie X B, A PE hb Stelt bovenstaande kromme lijn de potentiaalkromme voor een zekere krachtenwet voor, dan zullen van uit een plaats, aangegeven door 4, een baan met een asymptotischen bin- nen- en een met een asymptotischen buitencirkel kunnen afgezonden worden met een snelheid y/ 9 p Ook hier zien we hoe de ligging en grootte van de baan gewijzigd wordt met de sectorsnelheid van de beweging. Is deze het grootst, dan heeft de baan in P) en-peri-, in A zelf een apocentrum. Wordt de sectorsnelheid allengs kleiner, dan zal het pericentrum zich verplaatsen over den afstand P Ps, en het apocentrum gelijktijdig over den afstand A B, terwijl in B, de buitencirkel ligt, die asymptotisch genaderd wordt. Neemt de sectorsnelheid nog meer af, dan zal de baan geen apocentrum meer hebben; het pericentrum echter zal zich verplaatsen over den afstand Pb), terwijl in bj de asymptotische binnencirkel gelegen is. Bij nog kleinere sectorsnelheid zal de baan ook geen pericentrum meer hebben. Uit de figuur blijkt de waarheid van de volgende stelling. (38 ) b binnen- g Het aantal banen met asymptotischen cirkel, die met buiten- standvastige energie beschreven van uit een punt kunnen afge- zonden worden, is gelijk aan het aantal cirkelbewegingen, die in een instabiliteitsgebied met dezelfde energie maar in volgorde centrum van het punt tot het geteld, met steeds kleinere sec- oneindige torsnelheid plaats grijpen. Omdat volgens b op de cirkelbanen, die in een instabi- liteitsgebied plaats grijpen, het produkt vr een minimum- waarde heeft voor alle banen, die met dezelfde energie als de cirkelbeweging beschreven worden, zoo vinden we het volgende analytische kenmerk: binnen- Het aantal banen met asymptotischen NE cirkel, die van uit een afstand ry met de snelheid vj kunnen afgezonden worden, is gelijk aan het aantal onder de minimum-waarden, die vr verkrijgt, welke kleiner dan vj rj zijn, en geteld van centrum k den afstand rj tot het ‚ … een dalende reeks van post- oneindige tieve waarden vormen *). Ook hier blijkt, dat elk paar gelijke minimum-waarden, die in beide reeksen voorkomen, wijst op een baan met asymptotischen binnen- en buitencirkel. m. Uit k volgt met in achtneming van $ 6 en $ 7 de volgende: REGEL VOOR DEN VORM DER BANEN, DIE MET STANDVASTIGE SECTORSNELHEID & ( WORDEN BESCHREVEN. Bepaal de positieve wortels van de vergelijking Fr3—C?=—=0. Deze wortels bepalen de afstanden, op welke de eenparige cirkelbeweging met de sectorsnelheid $C alleen mogelijk is }). Beschrijf in het vlak van beweging de cirkelbanen, op welke dr <00 ús. dr *) Korrtewee, stelling VII, JF t) Zie voor =o op de cirkelbaan $ 10. (39 ) Het punt zal geen dezer cirkelbanen kunnen overschrijden, als niet zijn totale arbeidsvermogen dat der betreffende cirkel- beweging overtreft. Is het er aan gelijk, dan nadert het dien cirkel asymptotisch, is het kleiner, dan keert het terug vóór den cirkel bereikt te hebben. Vindt het punt in de richting naar het centrum of het oneindige geen cirkelbaan op zijn weg, dan nog zal zijn baan niet tot het centrum of het on- eindige voeren, als zijn totale arbeidsvermogen kleiner is, in het eerste geval, dan dat der kracht C?2r—5, in het tweede geval, dan dat der beweegkracht *). n. Hvenzoo volgt uit / met inachtneming van $ 6 en S 7 een regel voor den vorm der banen, die met dezelfde energie worden beschreven. Vervangt men de cirkelbanen, in den vorigen regel be- schouwd, door de cirkelbanen, die met gelijke energie wor- den beschreven, en wier stralen gegeven worden door de wortels van de vergelijking tert [rar= ho als vj de standvastige snelheid is, waarmede de beweging op den afstand 7, plaats grijpt, dan zal geen van deze cir- kelbanen door het punt overschreden worden, als de sec- torsnelheid van zijn beweging grooter is dan die van de betreffende cirkelbeweging. Is die er aan gelijk, dan zal de cirkelbaan asymptotische cirkel wezen; is die kleiner, dan zal de cirkelbaan overschreden worden. Voor ’t overige moet de regel gelijkluidend zijn met den vorigen. *) Zie $ 10 voor ’t geval, dat ee op de cirkelbaan oo is. r Deze regel komt overeen met (A. R. $ 51). (40 ) IV. TOEPASSINGEN. a. Is het geheele veld van be- weging een afstootingsgebied, dus de potentiaalkromme dalende bij toenemende abscissen, dan heeft de —___< baan altijd een pericentrum en hyper- boolvormigen tak. Omdat g sin (r, 5) hier negatief is, zal de baan hare boll zijde naar het centrum gekeerd hebben. (A. R. $ 9). b. Is het geheele veld van Da beweging een omgekeerde derde- Y machtsgebied, dus de beweegkracht van den vorm gr—® en de poten- tiaalkromme een rechte lijn, die met de abscissen-as een hoek ge- lijk Arc. Tg } 4 maakt en door den coördinaten-oorsprong gaat, dan geeft de figuur: Voor-C2== ft A= Ag = Ag: Overal slechts eenparige cirkelbeweging. AS Ag An HH, de baan wordt naar het cen- trum heen steeds minder steil, en is in het centrum zelf loodrecht op den voerstraal. De radiale snelheid is stand- vaslig. Voor. Geit AZA =At Se Arde baan wordt van het apocen- trum af steeds steiler; in het centrum is lim sin (r‚ 5) = —. Verder is v‚? — v? standvastig, en de projectie van den kromtestraal der baan op den voerstraal steeds kleiner dan de voerstraal. (41) ASA Ag: Soren Ss langs de geheele baan is v‚=v en vr constant ; de baan overal | even steil, zoodat ze een lo- 2 | Are 77 4C° 4 0 nf garithmische spiraal zal zijn. De kromtestraal van de baan f ze Y gie IS C? r. Es Eje ar di, 0 X de baan wordt naar het cen- trum toe steeds minder steil, C2 in het centrum is lim sin (r‚ s)=—. Verder is v°—v?=v, °, te dus de projectie van den kromtestraal op den voerstraal steeds grooter dan de voerstraal. Is eindelijk C? > u, dan moet A > A, zijn, de baan is P — H,. De uitkomsten in (A. R. 8 46, tabel B) komen met de hier ge- vondenen overeen. À Arc Tj iC” c. Is het bewegingsveld een stabiliteitsgebied, dan heeft de potentiaalkromme overal hare bolle zijde naar de posi- tieve ordinaten-as gekeerd. De figuur geeft nu: Voor g(oo )> C2”>p(0): A p(o ) moet A > A, zijn, en is de baan PM, De uitkomsten (A. R. S$ 46, tabel C) komen met de bo- gevondenen overeen. Vergelijk ook Prince $ 708. d. Is het geheele bewegingsveld een instabiliteitsgebied, dan heeft de potentiaalkromme hare holle zijde naar de positieve ordinaten-as gekeerd. De figuur geeft nu voor pleo) OT vl) < p(0): e A e A :“S‚—A, de spi- EEn wordt naar het centrum heen steeds steiler; in het En zelfs is lm sin (1,8) = RS voor p(0)==oo =O Klin (r‚s) = 0 is; in dit geval alleen is het aantal windingen van de spiraal Arc Th ÍP(K) (48 ) AS Aen PH; Bn 0 Spens-f, A > 4 SSH. Voor C* p(0) moet A > A zijn; de baan is altijd P—H,. Ook voor C? =p (0) moet A>A zijn. ASSH, De uitkomsten in (A. R. $ 46, tabel D) stemmen met de hier gevondenen overeen. Vergelijk ook Perrcr 8 708. PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 25 Februari 1888. Tegenwoordig de Heeren: Buys Barror, Voorzitter, A.C. OUDEMANS JR, Hoek, vAN Dorp, Mac GrLLavry, Forster, PEKELHARING, BRUTEL DE LA Rivière, BreRENs DE HAAN, BEIJE- RINCK, TRrrEuB, SCHOLS, VAN DER WAALS, VAN Dresen, RAUWEN- HOFF, VAN ‘tr Horr, Martin, pe Vries, WeBeEr, FRANCHI- MONT, LORENTz, SToKvis, Prace, Rijke, BAEHR, VAN DE SANDE BaAKHUyYzEeN, Murper, ZEEMAN, ScHoure, Korrewea, J. A. C, OupemaANs, BosscHaA, Husrecur, Digits, ENGELMANN, VAN BrMMELEN en C. A. J. A. Oupemans, Secretaris; van de Letterkundige Afdeeling de Heer: Boor. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt ge- _ lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. de Gedeputeerde Staten van Friesland te Leeuwarden, 16 Februari 1888; 2°. C. Pa. SLurrer, Batavia, 21 Februari 1888; 30. W. Tonckens JzN., Voorzitter van de koloniale Bibliotheek te Paramaribo, 19 Januari 1888; 40, Tu. L- MonreomerYy, Secretaris van het Wagner free Institute of Science te Philadelphia, 13 Januari 1888; aangenomen voor bericht, (45 ) — Voorts Brieven ten geleide van boekgeschenken van de navolgenden : 1°. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te ’s Graven- hage, 9, 13 Februari 1888; 20, Morrrerrrer, Directeur der Revue Internationaie de l'’Electricité te Parijs, 30 Januari 1888; 30. GirBert, Directeur der kön. Universitäts-Biblio- thek te Greifswald, 9 Januari 1888; 40. Conwenrtrz, Secre- taris der naturforschende Gesellschaft te Dantzig, 15 Januari 1888; 50, Srricker, Bibliothecaris der Senckenbergische naturforschende Gesellschaft te Frankfort a./M., 20 Januari 1888; 60. A. Gricoriev, Secretaris der Société impériale de Géographie te St. Petersburg, 15 Januari 1888; 70. den Directeur van het Musée public te Moskou, 5 Februari 1888 ; 80. den Directeur van het geological and natural History Survey te Sussex, 1888; 90. J. J. Bripe, Bibliothecaris der publie Library te Melbourne, 21 December 1887; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — Ingekomen zijn: 10, eene uitnoodiging ter bijwoning van het Congrès géologique international, te houden te Londen, van 17—22 September e. k ; 20. twee manuscrip- ten van den Heer Deraurier te Parijs, getiteld: » Expérien- ces chimiques sur le poids de Ether des physiciens’”’ en » Observations sur la note de Mr. G. Govr publiée dans la Revue internationale de l'Electricité”’. Zij zullen aan de chemische en physische leden der Afdeeling, die daarin be- lang stellen, ter kennisneming worden toegezonden. — De Heer MarriN vertoont eene door hem vervaardigde geologische kaart van den loop der rivier Suriname, en knoopt daaraan de mededeeling vast, dat het hem gelukt is, gedurende zijn verblijf in West-Indië, de geologische for- matie te vinden, waarin het goud, ’'twelk in die streken voorkomt en reeds lang als waschgoud bekend staat, oor- spronkelijk werd neêrgelegd. Die formatie is de kristallijne Schieferformatie: eene laag, waarin ook in Brazilië het meeste goud wordt aangetroffen, Tusschen Brazilië en Suri- (46 ) name bestaat voor het overige, meent de Spreker, zeer veel overeenkomst in de opeenvolging en den aard der lagen, waaruit de vaste bodem gevormd is. — De Heer pr Vries spreekt: Over de bepaling van het mole- culaire gewicht der raffinose volgens de physiologische methode. Over het moleculaire gewicht der raffinose (mélitose, gos- sypose) bestaan drie verschillende meeningen, die haar uit- drukking vinden in de formules, die door verschillende schrijvers voor deze stof worden opgegeven. Deze zijn: Mol.gew. Co Hag Oi + 3 Ho0 996 BerrHevor en RIrrHAusEN Cs H39 Og + 95 Ho 0 594 _Lorseav en ScHEIBLER Cz Hoa 039 + 10 H,O 1188 Torvens en RriscuBrer. Deze formules drukken dezelfde elementaire samenstelling der gekristalliseerde stof uit; haar verschil berust ten deele op de verschillende bepalingen van het gehalte aan kristal- water, dat door Berrueror en RrrrHauseN == 18.6 pCt, doeh door Lorspau en ScHeiBLER — 15.15 pCt. gevonden werd. De formule van Torrens en RrsonBier neemt het laatstgenoemde cijfer als juist aan, doch tracht rekening te houden met de samenstelling van het natriumderivaat (Ci Hay Na 0O;;, bevattende 6.32 pCt. Na) en met de hoe- veelheid slijmzuur (22—28 pCt), die door de inwerking van salpeterzuur op de genoemde suikersoort ontstaat. Om de vraag te beantwoorden, welke van deze formules de juiste is, heb ik gebruik gemaakt van de stelling, dat organische stoffen denzeltden isotonischen coëfficiënt bezitten. Hieruit toch volgt, dat oplossingen, die per liter evenveel grammoleculen der opgeloste stof bevatten, ongeveer dezelfde osmotische spanning hebben. Ik heb daarom de concentratie gezocht van eene oplossing van raffinose, die dezelfde osmo- tische spanning heeft, als eene oplossing van 0.1 Mol. riet- suiker. Ik heb daartoe gebruik gemaakt van de plasmolytische methode en gezocht naar de concentratiën van rietsuiker en raffinose, die met het ecelvocht van Tradescantia discolor (47) isotonisch waren. Als zoodanig beschouw ik de gemiddelden tusschen de hoogste concentratie die geene, en de laagste, die in alle cellen plasmolyse doet ontstaan. In vier proe- ven, elk met een afzonderlijk blad genomen, vond ik als isotonisch met het celvocht: pCt. raffinose isoton. m. Mol. rietsuiker. pCt. raffinose. 0.1 mol. rietsuiker 0.19 10.5 5.526 017 05 6.176 O7 10.0 5.882 0.20 A 6.250 Gemiddeld: 5.957 Eene oplossing van 5.957 pCt. raffinose, die dus 5.957 gram der kristalwaterhoudende stof per 100 CC. bevat, is dus met eene oplossing van 0.1 Mol. rietsuiker isoto- nisch. Zij moet dus ook ongeveer 0.1 Mol. per liter be- vatten. Het moleculaire gewicht moet dus ongeveer 595.7 zijn. Dit komt, zooals men ziet, voldoende overeen met de formule van Lorseau en ScHeIBLER, en slechts deze kan dus, volgens de wet der isotonische coëfficiënten, juist zijn. — De Heer Husrzcur behandelt de gegevens, die in de latere jaren aan het licht gekomen zijn over de vroegste ontwikke- Iingsstadiën van de zoogdierkiemblaas en geeft een overzicht van de resultaten waartoe hij gekomen is, met betrekking tot de ontwikkeling van den Egel, Erinaceus europaeus, waar- van de embryologie tot heden nog niet onderzocht is. De centrale positie die de Inseetivora onder de Zoogdieren en die de Egel (met Gymnura) onder de Insectivora inneemt, gaven hoop, dat de ontogenie van deze diersoort uit een vergelijkend oogpunt belangrijk zou kunnen wezen. Ten aanzien van meerdere punten, acht spreker, dat de uitkomsten van zijn onderzoek dit vermoeden versterken. Met name wordt in de allervroegste stadiën de wijze van ontstaan van het binnenste kiemblad afwijkend gevonden van wat dienaangaande voor de overige, te dier zake on- derzochte, Zoogdieren tot nu toe beschreven is. In plaats van zich tegen den binnenwand der aanvanke- (48) lijk éénbladige kiemblaas gaandeweg uit te breiden en door peripheren groei eindelijk den geheelen binnenwand te be- kleeden, is het hypoblast van den Egel in den aanvang een groepje cellen in moerbeivorm, waarin zich spoedig eene centrale ruimte vertoont, die toeneemt in grootte, naar- mate de wand van dezen »hypoblastzak’’ toeneemt in opper- vlakte. Aanvankelijk dus geheel zelfstandig van het epiblast, heeft het er somtijds den schijn van alsof het hypoblast eerst tengevolge der preparatie daarvan heeft losgelaten. De jong- ste stadiën, zooeven vermeld, bewijzen dat deze interpretatie onjuist is, terwijl latere stadiën, wanneer de allereerste aan- duiding van de vorming van primitiefstreep en mesoblast begint, aantoonen, dat eerst op dat oogenblik epiblast en hypoblast van het embryo in enger verband treden, en zich ook over de geheele peripherie van de kiemblaas tegen elkaar sluiten. Het epiblast is van den beginne af meerdere cellagen dik. Deze woekeren verder en vergroeien over den geheelen om- trek der kiemblaas met het moederlijke deciduale weefsel. De kiemblaas is daarbinnen opgenomen onder vorming eener decidua reflexa. Op één punt, dat altijd ten opzichte van de as van den uterus eene vaste ligging heeft, splijt van den epiblastischen kiemblaaswand een celplaat af, die daarna in omvang belangrijk toeneemt en het epiblast van het embryo wordt, maar aan den rand met den kiemblaaswand blijft sa- menhangen. Het mesoblast ontstaat allereerst in de primitiefstreep door woekering van het epiblast. Kort daarna neemt men waar, dat in dat gedeelte van de kiemschijjf vóór de primi- tiefstreep, waar het embryo zich zal gaan vormen, ook het hypoblast aan de vorming van het mesoblast, en wel door directe afsplijting, aandeel neemt. Verder achterwaarts versmelten de zijdelingsche meso blast- platen, die uit het hypoblast ontstaan, met het mesoblast van de primitiefstreep. Er ontstaat reeds vroeg eene area vasculosa, die zich tegen den kiemblaaswand aanlegt. De bloedrijkdom van deze 6 A laatste, ook in vroege stadiën, werd door injecties, van de moederlijke aorta uit, vastgesteld. Een sterk ontwikkeld proamnion is aanwezig. De allantois, die tot het ontstaan der schijfvormige pla- centa medewerkt, blijft een ruime holte bevatten. De segmentaal-gang ontstaat ook bij den egel uit het epiblast, De vroegste stadiën der egel-kiemblaas maken eene inter- pretatie van de jongste kiemblazen van den mensch, die tot nu toe bekend zijn, gemakkelijker. In overeenstemming met His is het waarschijnlijk te achten, en thans door het fei- telijk voorbeeld van den egel gestaafd, dat de dojerblaas van den mensch door uitholling van een aanvankelijk solide cel- groep ontstaat. De vorming van het epiblast van het embryo zal echter, in afwijking van Hrs, veeleer als een afsplijtings- proces in den kiemblaaswand, zooals thans bij den egel is waargenomen, moeten worden opgevat. De vasthechting van het embryo aan den kiemblaaswand, die men bij het vroege menschelijk embryo waarneemt en waaraan His den naam »buiksteel’’ gegeven heeft, is ook bij Erinaceus van den aanvang af aanwezig, als gevolg van de boven beschreven ontwikkelingsverschijnsels der primaire kiembladen. Alleen langs dien weg kan de vorming van dien buiksteel op afdoende wijze verklaard worden en moeten de onderling afwijkende interpretaties van His, Körriker en Herrwie, voor de hier aangegevene plaats maken. — De Heer Treug deelt mede, dat het hem gelukt is, eene som van f 2400 bijeen te brengen, waaruit reeds dade- lijk de onkosten bestreden kunnen worden voor de uitzen- ding van een Nederlandsch natuuronderzoeker naar het Buitenzorgsche Station. Des sprekers keuze viel op den Heer Dr. Borerrace, Conservator aan ’skijks Herbarium te Leiden, voor wien een bezoek aan Buitenzorg, om er de Javaansche en andere plantenvormen in levenden staat te onderzoeken en na te gaan, zeker een leerzame afwisseling zou zijn met zijne tegenwoordige betrekking, die hem slechts met gedroogde voorwerpen in aanraking brengt. VERSL, EN MEDED, AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V. 4 (50) Spreker dankt de Afdeeling voor den steun, hem verleend bij de pogingen om zijne plannen verwezenlijkt te zien, en beveelt het Buitenzorgsche Station bij voortduring in hare belangstelling aan. | De Voorzitter dankt den Heer TreuB wederkeerig voor den doortastenden ijver, waarmede hij een voor de weten- schappelijke eer onzer natie gewichtig plan in vervulling heeft weten te doen overgaan, en wenscht hem, bij eene voorspoedige reis, al verder toe, dat hij moge blijven voort- gaan de botanische wetenschap te dienen, zooals hij tot hiertoe op uitnemende wijze gedaan heeft. — Ter plaatsing in de werken der Akademie worden aangeboden: Ll. door den Secretaris een opstel van den Heer Dr. Jax pe Vries, leeraar aan de H. B. S, te Kampen: »Over vlakke configuraties” ; 2. door den Heer Buys Barror eene verhandeling van den Heer Dr. J. D. vaN per Praars, leeraar aan de Vee- artsenijschool te Utrecht: » Over Standaardbarometers, in het bijzonder over dien van het Kon. Ned. Meteorol. Insti- tuut’’; 3. door den Heer vaN per Waars een opstel van den Heer Dr. Cu. M. van Deventer te Amsterdam: » Over eenige belangrijke thermodynamische vergelijkingen”; _4. door den Heer Lorentz eene verhandeling van den Heer Dr. V. A. Jurrus, leeraar aan de H. B. S. te Breda, »Over de lineaire spectra der elementen”; 5. door het lid der Akademie Dr. P. H. Scnoure, een opstel van hemzelven: »Het lineaire complex en de con- gruentie (I, 1)”; 6, door den Heer ENGELMANN, uit naam van den Heer Donpers, eene verhandeling yvan den Heer Dr. J. L. Hoor- weG: > Bxperimenteel onderzoek naar de polsbeweging”, — Tot rapporteurs worden benoemd: a. over den arbeid van den Heer pr Vries, de Heeren BrereNs DE HAAN en VAN DEN BERG; (31) b. over dien van den Heer vaN per Praars, de Heeren BosscHaA en VAN DE SANDE BAKHUYZEN 5 c. over dien van den Heer van Deventer, de Heeren VAN DER WaAaLs en LORENTZ 3 d. over dien van den Heer Jurrius, de Heeren GRINwis en LOREN1z; e. over dien van den Heer Hoorwee, de Heeren Prace en KoRrrTEwWeG. _— Voor de bibliotheek der Akademie wordt aangeboden: 1. door den Heer FRANCHIMONT, uit naam van de redac- tie, het 6de deel van het » Recueil des travaux chimiques dans les Pays-Bas” ; 2. door den Heer Srokvis diens voordrachten: » Over Homoeopathie’’, gehouden aan de Amsterdamsche Univer- siteit. — Daar er verder niets te verhandelen is, sluit de Voor- zitter de vergadering. 4* UEBER DIE ANWENDUNG DER PLASMOLYTISCHEN METHODE AUF DIE BESTIMMUNG DES MOLEKULARGEWICHTS CHEMISCHER SUBSTANZEN VON HUGO DE VRIES. Die relative Grösse der osmotischen Spannkraft chemischer Verbindungen in verdünnten wässrigen Lösungen wird durch die Zahlen angegeben, für welche ich den Namen der iso- tonischen jCoëfficienten gewählt habe. Diese Werthe sind für sämmtliche Glieder einer und derselben Gruppe nahezu dieselben *). Und da diese Gruppen äusserst natürliche sind, so kann man für sämmtliche zu ihnen gehörige aber bis- jetzt darauf noch nicht geprüfte Körper den isotonischen Coëfficienten im Voraus angeben. Ist nun das Molekulargewicht, des betreffenden Körpers bekannt, so kann man aus diesem und dem Coëfficienten die Concentrationen berechnen, welche dieselbe osmotische Spannkraft besitzen, als irgend welche verdünnte Lösung einer anderen gegebenen Substanz. In dieser Weise finden die isotonischen Coëfficienten bei plasmolytischen Versuchen regelmässig Anwendung. Ist aber das Molekulargewicht einer fraglichen Verbin- dung noch nicht bekannt, so wird man offenbar umgekehrt, *) PRINGHEIM’s JaArbücher für wiss. Bot, Bd, XIV, S, 514. (ha) aus ihrem isotonischen Coëffieienten und dem Resultate einer experimentellen Ermittelung ihres isotonischen Werthes die Grösse dieses Molekulargewichts, wenigstens annähernd ableiten können. Die Ermittelung des isotonischen Werthes ist aber für alle Körper, deren Lösungen in Pflanzenzellen die Erscheinung der normalen Plasmolyse hervorrufen kön- nen, eine leichte und einfache Operation, welche in genau derselben Weise, wie die Bestimmung der isotonischen Coëffi- cienten, ausgeführt wird. In ähnlicher Weise wie für Gase hat die Berechnung des Molekulargewichts auf physikalischem Wege in allen jenen Fällen Werth, in denen das Studium der chemischen Eigen- schaften eines Körpers die Wahl offen lässt zwischen mehre- ren, aus derselben elementaren Zusammensetzung abgeleiteten Formeln, welche verschiedenen Molekulargrössen entsprechen. Und wo es sich um wässrige Lösungen von Substanzen handelt, welche als plasmolytische Reagentien benutzt wer- den können, empfiehlt sich zu diesem Zwecke also die plas- molytische Methode. Ihre Resultate erreichen denselben Grad von Genauigkeit, wie die zur Ermittelung des Molekulargewichts vorgeschla- genen rein chemischen oder physikalischen Methoden, da die Endreaction, das Eintreten des ersten Anfanges der Plas- molyse, sich bei den von mir gewählten Indicatorpflanzen stets mit der gewünschten Schärfe erkennen lässt. Meine Methode weist nicht die absolute Grösse der osmo- tischen Spannung der untersuchten Lösung an, sondern nur das Verhältniss zu dem analogen Werth einer anderen Ver- bindung. Denn man hat für zwei Substanzen diejenige Concentration zu ermitteln, welche grade den Anfang der Plasmolyse hervorruft. Diese sind unter sich isotonisch, d. h. sie haben dieselbe osmotische Spannung. Hat man aber beide Substanzen aus derselben Gruppe gewählt, d. h. besitzen beide denselben isotonischen Coëfficienten, so ver- halten sich die Concentrationen der isotonischen Lösungen offenbar wie die Molekulargewichte. Ist dieser Werth für die eine der beiden Substanzen bekannt, so kann man ihn also für die anderen berechnen. Trotzdem sie also nur rela- (94) tive Zahlen giebt, ist die Methode aber, wie man sieht, eine Husserst einfache und völlig sichere. Bei der hier vorgeschlagenen Anwendung handelt es sich aber stets um Körper deren isotonischer Werth noch nicht experimentell bestimmt wurde, für welche also die Gültig- keit der betreffenden Gesetze nicht direct bewiesen worden sE, Und auf die Annahme, dass diese Gesetze auch für sie gelten, beruht offenbar die Zuverlässigkeit des Resultates. Es ist somit erforderlich, die Berechtigung dieser An- nahme ausführlich zu begründen. Sie beruht in erster Linie auf die bedeutende Anzahl der untersuchten Substanzen, und auf die Erwägung, dass Ausnahmen von den betreffenden Gesetzen bis jetzt nicht aufgefunden worden sind (L. e. S. 512). Zweitens aber auf alle jene Fälle, in denen der isotonische Coëfficient im Voraus aus den Gesetzen abgeleitet und nach- her durch das Experiment bestätigt wurde (l. ce. S. 515). Zu diesen Beispielen ist jetzt auch das Glycerin zu stellen *). Die Zuverlässigkeit der Gesetze der isotonischen Coëffi- eienten geht aber besonders klar hervor aus der Bestätigung, welche diese nach einer ganz andern aber gleïchfalls phy- siologischen Methode erfahren haben. In seinen Untersu- chungen über den Einfluss chemischer Substanzen auf die Blutkörperchen, und über die Beziehung dieses Einflusses zu den Molekulargewichten f) hat HaAMmBureer den Nachweis geliefert, dass die Blutkörperchen in Lösungen neutraler, unschädlicher Verbindungen ähnliche Erscheinungen aufwei- sen, wie die Pflanzenzellen, und dass sie in diesen Lösungen nur dann unverändert erhalten bleiben, wenn deren Concen- tration mit der osmotischen Spannung des Blutes isotonisch ist. Dabei verhalten sich aber verschiedene Verbindungen quantitativ in derselben Weise, wie gegenüber Pflanzen- zellen, und es sind somit die Gesetze der isotonischen Coëffi- cienten für diese letzteren dieselben wie für die Blutkör- perchen. *) Maandblad voor Natuurwetenschappen 1888, N°. 7, Bot. Zeitung 1888, N°. 15 en 16. y) H. J. HaAMmBurGeER in de Onderzoekingen van het physiologisch Laboratorium te Utrecht, 3de Reeks, IX, blz. 26, 1884. (55) In meiner »Methode zur Analyse der Turgorkraft’ habe ich hervorgehoben, dass die Verminderung der Dampfspan- nung des Wassers durch darin gelöste Stoffe, die Erniedri- gung des Dichtigkeitsmaximums von Lösungen und die Er- niedrigung der Temperatur des Gefrierens Hrscheinungen sind, welche als Folgen derselben osmotischen Kräfte zu be- trachten sind, wie die Plasmolyse, und dass eine Verglei- chung der isotonischen Coëfficienten mit den Resultaten der Erforschung jener Vorgänge im Allgemeinen zu einer Be- stätigung der betreffenden Gesetze führt (l. c., 5. 522). Diese Bestätigung ist nun durch die seitdem veröffentlichten Resultate Raourr's über die molekulare Gefrierpunktsernie= drigung bedeutend erweitert worden, und etwaige Zweifel über die Anwendbarkeit meiner Gesetze auf andere als die bisher untersuchten Stoffe werden durch eine Vergleichung der von RaAourr gewonnenen Zahlen völlig beseitigt. Auch hat dieser Forscher auf die Bestimmung der Gefrierpunkts- erniedrigung eine Methode gegründet, welche die Ermitte- lung des Molekulargewichts für eine äusserst grosse Reihe von Körpern gestattet und welche ohne Zweifel in den meisten Fällen den Vorzug vor der plasmolytischen Methode verdient *). Die Verminderung der Dampfspannung des Wassers durch darin gelöste Substanzen ist im vergangenen Jahre von G. TAMMAN f) studirt worden, und auch hier verhalten sich die verschiedenen Substanzen genau so wie bei der Plas- molyse und bei der Erniedrigung des Gefrierpunktes. Schliesslich finden alle diese Kinzeluntersuchungen ihre theoretische Grundlage und ihr gemeinschattliches Band in den Untersuchungen von vaN ’‘r Horr über die Grundge- setze der osmotischen Spannung verdünnter Lösungen, und *) KF. M. Raouur, Méthode universelle pour la détermination des poids moléculaires; Annales de chimie et de physique, 6de Serie, T. VIII, p. 29, Jaillet 1886. f) Gustav TAMMAN, Die Dampftensionen der Lösungen, in Mémoires de PAcud. d. Sc. de St. Pétersbourg, 1de Série, T. XXXV, N° 9, 18657, Avin (56 ) in dem von diesem Forscher gelieferten Nachweis, dass die Gesetze von Boyrre, GaAy-Lussac und AvoecApro nicht auf Gase beschränkt sind, sondern auch die sämmtlichen Span- nungserscheinungen in verdünnten Lösungen beherrschen *). Es kann somit die Berechtigung der hier vorgeschlagenen Anwendung meiner Methode keinem begründeten Zweifel mehr ausgesetzt sein. Das Molekulargewicht der Raffinose. Die im Vorhergehenden betonte Leistungsfähigkeit der plasmolytischen Methode wollen wir jetzt durch ein Beispiel näher begründen. Ich wähle dazu die Raffinose, und werde zunächst die Gründe auseinandersetzen, welche eine Be- stimmung des Molekulargewichts dieses Körpers erwünscht machen. Die Raffinose ist eine Zuckerart, welche im Jahre 1876 von Lorseau entdeckt wurde in einer kristallinischen Kruste, welche sich in der Raffinerie von Sommrer und Co. in Paris allmählig aus der zuckerhaltigen Mutterlauge abgesetzt hat- te f). Sie unterscheidet sich von anderen Zuckerarten durch ihren nur wenig süssen Geschmack und durch ihr Vermö- gen, das polarisirte Licht weit stärker zu drehen als der Rohrzucker. Seitdem wurde die Raffinose erkannt als die Ursache einer bis dahin häufig beobachteten, aber noch nicht völlig aufgeklärten Hrscheinung. Die Melassen der Rübenzucker- industrie, und namentlich die durch das Strontianverfahren gewonnenen, wiesen häufig im Polarisations-apparate einen grösseren Gehalt an Zucker auf als 100 pCt. Sie mussten also einen unbekannten, das polarisirte Licht stärker drehen- den Bestandtheil enthalten. Dieser lange Zeit vorläufig als Plus-Zucker bezeichnete Stoff stellte sich nun, wenigstens *) J. H. van ’r Horr, Lois de l’équilibre chimique dans l'état dilué, gazeux ou dissous. — Kon. Svensk. Vetenskap. Akademiens Handlinger Bd. 21, N°. 17, 1886 und Archives Néerl., T. XX, p. 239. tf) Comptes rendus 1876, II, Tom. 82, p. 1058. (57) der Hauptsache nach, als Raffinose heraus, und es gelang _SCHEIBLER ein einfaches Verfahren anzugeben, um die Raffi- nose aus diesen Melassen abzuscheiden, und in reiner kris- tallisirter Form in den Handel zu bringen *). Die Raffinose entsteht nicht etwa während des Fabriks- processes; sie kommt bereits in den Rüben selbst vor, und zwar in bedeutenderer Menge, als man nach dem Gehalt der Melassen annehmen würde. Sie wird also bei der Zucker- gewinnung theilweise zersetzt. Ausser in Rüben wurde sie von RrcHARDSON und CrAMPTON im Weizen und von Surur- “WAN im Gerste aufgefunden. Sie wird demnach voraussichtlich im Pflanzenreich wohl eine weite Verbreitung haben. Dafür spricht auch der Umstand, dass neuere Untersuchungen ihre Identität mit den aus anderen pflanzlichen Produkten berei- teten Zuekerarten Melitose und Gossypose nachgewiesen haben. Die Melitose wurde von JonNsroN aus der Australischen Hucalyyptus-manna gewonnen und von Berrueror eingehend studirt f). Ihre Identität mit der Raffinose wurde von Torrers und Rrscrnaier entdeekt und ausführlich nachge- wiesen 8), welche Autoren auch, wie wir bald sehen wer- den, die von Berrueror aufgestellte Molekularformel über- nahmen. Auf die Identität der von RirrHauseN und Bönm aus Baumwollensamenkuchen gewonnenen Gossypose mit der Raf- finose hatte Torrens bereits früher hingewiesen, während SCHEIBLER bald darauf den endgültigen Nachweis dafür brachte **), Die Raffinose muss somit eine im Pflanzenreich ziemlich weit verbreitete Zuckerart sein. | Während ich für die chemischen Eigenschaften dieses Körpers auf die betreffende Literatur, und namentlich auf die ausführliche und gründliche Zusammenstellung in SraM- %) C, ScHrIBLER, Berichte d. d. chem. Gesellsch, 18 S. 1409. f) JouNston, Philos. Magazine 1843, S. 14; Berruevor, dun. Chim. Phys, (3) T. 46, p. 66. $) Torrens und Riscrpier, Zeitschr. f. Zuekerindustrie, T, 35, p. 1C30. #%) ScueIBLER, Ber. d. d. chem. Geselisch., Bd. 18, S. 1779. (58 ) MER's » Jahresbericht über die Untersuchungen und Fortschritte im Gesammtgebiete der Zuckerfabrikation’’ (Band XXV, 1885, 162— 202), verweise, werde ich jetzt versuchen eine Ueber- sicht desjenigen zu geben, was zu den verschiedenen An=- sichten über die Molekularformel unserer Zuckerart Veran- lassung gegeben hat. Berruevor hatte für seine Melitose die Formel C,3 H220 jj + 3 H‚,O aufgestellt, und zu derselben Zusammensetzung war Rrrrnausen für die Gossypose gelangt. Dagegen hatte Lorsrau, welcher der Raffinose seit 1876 eine Reihe gründ- licher Arbeiten im Journal des fabricants de sucre gewidmet - hat, für diesen Körper die Formel Cg H39 O7 + 5 Ho O angenommen. Beide Formeln entsprechen demselhen Resul- tate der Elementar-analyse, da beide — n (C‚ H‚4 Oy) sind, indem ” von Berrueror und RrrrHausEN —= 2, von Lor- SEAU == 3 gestellt wurde. Die Entscheidung hierüber war in beiden Fällen durch die Bestimmung des Gehalts an Kristallwasser gewonnen, welcher Gehalt für die erste For- mel 13,64 pCt, für die zweite aber 15,15 pCt. beträgt. Man sollte nun glauben, dass die Frage nach der Kristall- wassermenge sich leicht entscheiden liesse. Man stösst hierbei aber auf unerwartete Schwierigkeiten. HErwärmt man zu rasch, so schmilzt die Substanz in ihrem Kristallwasser, und eine völlige Austreibung dieses ist nicht mehr zu er- reichen. Weicht man dieser Schwierigkeit durch sehr lang- sames Erwärmen aus, so erhält man bei 1000 C allerdings einen Wasserverlust von etwa 18—14 pCt., aber dieser wird nicht constant. Erhitzt man bis zu 120—1300 C, so fängt die Raffinose an sich zu zersetzen und zu caramelisiren, bevor ein Gewichtsverlust von 15,15 pCt. erreicht worden ist. Dabei entsteht Glucose, wie man mittelst Fruring’scher Lösung nachweisen kann, denn die Raffinose reducirt die Kupferlösung nicht. SCHEIBLER hat eine Methode gefunden, um den Kristall- wassergehalt ohne jegliche Zersetzung genau zu bestimmen. Er lässt die fein-kristallinische Substanz im Vacuum über Schwefelsäure etwa 14 Tage vortrocknen, und setzt dann die Operation im Wasserbade bei 1000 C fort, bis ein völ- (59 ) lig constantes Gewicht eingetreten ist. Der Verlust beträgt dann genau 15,15 pCt., und Scrersrer betrachtete die Frage damit als zu Gunsten Lorsrav’s entschieden *). Ihm gegenüber vertheidigten TorreNs und Krscrier die Formel Brrrrnezor’s f). Sie behaupten, »dass man je nach der Art des Troecknens zu recht verschiedenen Formeln ge- langen kann”, dass mitunter sogar ein Verlust von mehr als 15,15 pCt. gefunden sei. Sie versuchten somit eine Bestimmung auf rein chemischen Wege, und wählten dazu die Darstellung des Natriumderivats. Dieses hatte die Zu- sammensetzung Co Ho; Na Or (== 6.32 pCt. Na), oder Ci, Haa O7, Na OH (6.02 pCt. Na), und entschied also für die Formel O5 Hos 0, + 3 Hy 0. Als die genannten Verfasser ihre Untersuchungen über die chemischen Eigenschaften der Raffinose fortsetzten, ge- langten sie aber allmählig zu der Ansicht, dass die Mole- küle dieser Verbindung wahrscheinlich grösser seien, als dieser Formel entsprechen würde, ja sogar grösser als von Lorseav und ScHeIBLER angenommen wurde. Manches schien darauf hin zu deuten, dass die Raffinose sich den höher in der Reihe stehenden Stoffen, wie Amylodextrin und Inulin nähert, da sie sich in vielen Hinsichten diesen ähnlich ver- hält. Namentlich das Verhalten gegenüber Salpetersäure führte zu diesem Schlusse, denn es entstehen dabei 22—23 pCt. Schleimsäure. Dieses ist aus dem Formel C;3 Hs 0; + 3 Hs O nicht zu erklären, wohl aber aus Cg H3s Og + 5 Ho O oder deren Polymeren, wenn man annimmt, dass darin eine Galactose-gruppe C6 Hi9 Og vorhanden ist, oder doch durch die Winwirkung der Saüre daraus entstehen kann. Um nun sowohl dieser letzteren Reaction, als dem Na- triumderivate und endlich auch dem Kristallwassergehalt von 15.15 pCt. zu genügen, schlagen die beiden genannten Forscher vor, die Formel Lorsrau’s zu verdoppeln und das Molekül der Raffinose als der Formel C36 Ho4 O3g + 10 Hy O entsprechend zu betrachten. * Le. S. 181191, 1) Zeitsch. f. Zuekerindustrie, T. 35, 5. 1030. ( 60°) In einer späteren ausführlicheren im Jahre 1886 erschie- nenen Arbeit halten sie diese Meinung aufrecht, indem sie sagen »Die Formel C36 Ho4 O3 + 10 HgO ist diejenige, welche allen bekannten Thatsachen genügt” *). Ueber die Molekularformel der Raffinose liegen also der- zeit die drei folgenden Ansichten vor 4): Kristallwasser- Molekular- gehalt. gewicht, 1. C‚eHa00,1 td 3H20 13.64 pCt. 396 BerrueLor und RirTHAUSEN. 2. CisH32Ojet SHa0 15.15 594 _ Lorsrau und SCHEIBLER. 3. C36He4032 -1O0H20O 1515 wv 1188 Torres und RiscuBier. Diese Formeln entsprechen derselben elementaren Zusam- mensetzung der kristallisirten Substanz, tragen aber ver- schiedenen Bestimmungen des Kristallwassergehaltes und verschiedenen chemischen Reactionen Rechnung. Bestimmung des Molekulargewichts der Raffinose nach der plasmolytischen Methode. Um zu einer Entscheidung über die schwebende Frage zu gelangen, wollen wir jetzt den Satz anwenden, dass or- ganische Körper in verdünnten Liösungen bei derselben mo- lekularen Concentration annähernd dieselbe osmotische Spannung besitzen. Dieses Gesetz ist ein Theil meines ersten Gesetzes für die isotonischen Coëfficiënten $), und zwar derjenige 'Theil, welcher sich auf die erste der dort unterschiedenen Gruppen, diejenige der organischen metallfreien Verbindungen bezieht. Wir haben also die osmotische Spannung verdünnter Lösungen von Raffinose zu vergleichen mit dem analogen Werthe für irgend eine andere organische Substanz, und wählen dazu aus leicht ersichtlichen Gründen den Lokhrzu- cker, als einen genau bekannten, und mit der Raffinose am nächsten verwandten, also am besten vergleichbaren Stoff. Wir haben also zu erforschen, bei welchen Conecentrati- onen die Lösungen beider Substanzen denselben isotonischen %) Zeitschr. f. Rübenzuckerindustrie, T. 86, S. 214. j) Man vergleiche auch die Uebersicht von LiPPMANN über diesen Streit in NO. 39 der Deutschen Zuekerindustrie (1885). $) PRINGSHEIM's Jahrbücher, Band XIV, S. 514. (61) Werth, d. h. dieselbe osmotische Spannung besitzen, denn solche Lösungen werden pro Liter annähernd dieselbe An- zahl von Molekülen enthalten. Hs reicht hin, für eine Concentration des Rohrzuckers die damit isotonische Con- centration der Raffinose zu ermitteln. Als Indicator wählen wir die Erscheinung der Plasmolyse. In Lösungen, welche geringere Anziehung für Wasser haben als der Zellsaft der betreffenden Zellen, wird sich der den Saft umschliessende Protoplast nicht von der Zellhaut ab- heben, in hyperisotonischen *) Lösungen wird solehes wohl der Fall sein. Die auf der Grenze stehende Concentration wird offenbar mit dem Zellsaft isotonisch sein; hat man diese »plasmolytische Grenzlösung” für zwei Substanzen ermittelt, so sind diese Lösungen auch unter sich isotonisch. Es kommt nur darauf an, eine Pflanze und ein Gewebe zu wählen, in denen in Tausenden von Zellen die Grenze bei genau derselben Concentration überschritteri wird, und diese Erscheinung sich leicht und mit voller Schärfe beobachten lässt. Solches ist aber bei den sogenannten Indicatorpflan- zen der Fall). Unter diesen wählte ich die Tradescantia discolor, und zwar die violette Oberhaut auf der Unterseite des Mittelnerven ausgewachsener Blätter. Dieses Gewebe ist, wie meine früheren Untersuchungen lehrten, für ähn- hehe Zwecke durchaus zuverlässig. Ich habe nun in verschiedenen Versuchen die plasmoly- tische Grenzeoncentration des Rohrzuckers für dieses Gre- webe, und den ihr jedesmal entsprechenden analogen Werth für die Raffinose bestimmt. Aus diesen Zahlen lässt sich, nach dem angeführten Gesetze, das Molekulargewicht der Raffinose ohne Weiteres berechnen. Da die oben mitgetheilten Zahlen für das Molekularge- wicht der Raffinose sehr weit auseinander liegen, müsste ich durch einen Vorversuch zunächst entscheiden, welche von ihnen der Wahrheit am nächsten entsprach, ehe ich an die %) HAMBURGER in Onderzoekingen van het Physiologisch Laboratorium te Utrecht, 3e Reihe, Bd. X, S. 49, 1886. f) PRINGHEIM's JaArbücher, Bd, XIV, S. 444. (62) genaue Ermittelung herantreten konnte. Ich bin dabei von folgender Berechnung ausgegangen. Eine Lösung von 0.22 Mol, Rohrzucker pflegt in den erwähnten Zellen von Tradescantia discolor einen schwachen Grad von Plasmolyse hervorzurufen. Eine Lösung von 0.22 Mol. Raffinose muss sich also, nach dem obigen Gesetze, gleich verhalten. Eine solche Lösung enthält aber, je nach- dem man eine der dreì Formeln annimmt, 0.22 X 396, 0.22 X 594 oder 0.22 X 1188 Gramm pro Liter, ihre Con- centration ist demgemäss 8.7, 18.1 oder 26.1 pCt. der kris- tallwasserhaltenden Substanz. Ich bereitete mir nun eine Lösung von 13.1 pCt. und brachte in diese ein Praeparat des nahmhaft gemachten Gewebes. Ist das Molekularge- wicht = 396, so muss darin eine sehr starke Plasmolyse eintreten; ist es =— 594, so muss diese Érscheinung in schwä- cherm Grade, und bei einem Molekulargewicht von 1188 muss sie gar nicht eintreten. Nach 4 Stunden zeigte sich, dass der zweite Fall vorlag; in sämmtlichen Zellen war der Protoplast an einer kleinen Hecke von der Zellhaut abgehoben. Nur die Ansicht von Lorswau und ScHerBLeR konnte also richtig sein. Zur Contrôle machte ich noch eine Lösung von 26,1 pCt.; in dieser war nach vier Stun- den die Plasmolyse so stark, dass die Protoplaste sich bis auf etwa die Hälfte ihres ursprünglichen Volumens contra- hirt hatten, Diese Lösung hatte also eine etwa doppelt so grosse Spannkraít wie der Zellsaft, was mit dem Resultate des ersteren Versuches übereinstimmt. Für die genaue Bestimmung der osmotischen Spannkraft der Raffinose stellte ich mir zwei Reiïhen von Lösungen her. Die erste von reinem Kandiszucker; diese wurden der ein- facheren Berechnung halber gleich nach Grammolekülen —= 342 Gramm) pro Liter gewählt, und zwar in Concen- trationen von 0.16—0.18—0.20—0.22— 0.24 und 0.26 Mo- lekül. Für die zweite Reihe machte ich die Lösungen nach Prozenten der kristallwasserhaltenden Substanz. Sie enthiel- ten 9, 10, 11, 12, 13 und 14 pCt. Raffinose. Für jeden Versuch wurde von jeder dieser Lösungen 2—5 CCm. in einen kleinen Glascilinder gebracht und mit einem Praeparat (63 ) aus der violetten Oberhaut des Blattnerven von Tradescantia discolor beschickt. Und zwar wurden die Praeparate in jedem Versuch einem und demselben Blatte entnommen, und aus diesem in möglichst geringer Entfernung von ein- ander geschnitten. Benachbarte Schnitte kamen dabei stets in nahezu isotonische Lösungen, um die Vergleichbarkeit eine möglichst vollständige zu machen. Jeder Versuch dauerte 4 Stunden. Dann wurden die Prae- parate unter dem Mikroskop, bei etwa 100-maliger Ver- grösserung untersucht. Nach weiteren zwei bis vier Stun- den wiederholte ich diese Prüfung und überzeugte mich in jedem einzelnen Fall, dass die gesuchte Grenze sich nicht verschoben hatte. Die Resultate der vier, mit verschiedenen Blättern aus- geführten Versuche enthält die folgende Tabelle. Am Kopfe der einzelnen Spalten findet man die Concentrationen der Lösungen in obiger Weise ausgedrückt. Es bedeutet I. C. die sich aus dem Versuch ergebende, mit dem Zellsaft iso- tonische Concentration. Das Verhältniss dieser beiden Zahlen, durch 10 dividirt, gibt die mit 0.1 Mol. Rohrzucker iso- tonische Concentration der Raffinose in pCt. Es bedeutet ferner: n keine Zelle plasmolysirt, hp etwa die Hälfte der Zellen und p sämmtliche Zellen plasmoly- sirt. Die mit „ bezeichneten Lösungen waren also, in Bezug auf dem Zellsaft hypisotonisch, die durch hp angedeuteten isotonisch, und die einen p führenden hyperisotonisch. Im Uebrigen vergleiche man über die Bedeutung solcher Tabellen meine oben citirte Arbeit #). | Mol. Rohrzucker. | pCt. Raffinose. | | l. | *) PRINGHEIM’s Jahrbücher, Bd. XIV, S. 450—465, | | Ge rc. Raft 1 ab os Dee ze 0.24 | Oer SEZ or 13 14 PT, Cr C Robz X io p 10.5 5.526 n p 19.5 6.176 n p 10.0 5.882 hp | Ap \ p [12.5 6.250 (64) Im Mittel ist also die mit 0.1 Mol. Rohrzucker isoto- nische Concentration der Raffinose: == 5.957 pCt. Zu bemerken ist, dass diese Zahl eine rein empirische ist, und dass zu ihrer Ermittelung keine theoretische Vor- aussetzung erforderlich war. Um mich von der Zuverlässigkeit des erhaltenen Resul- tates noch weiter zu überzeugen, habe ich noch einige Con- trollversuche nach genau derselben Methode gemacht. Erstens habe ich die Versuche wiederholt mit einer im hiesigen chemischen Laboratorium aus Baumwolle dargestellten Raf- finose, welche nicht so schön kristallisirt und nicht so völ- lig aschenfrei war als das oben benutzte, aus dem Handel bezogene Muster. Zweitens habe ich die Versuche, welche bei 15° C gemacht waren, bei etwa 00 C wiederholt. Drit- tens habe ich statt der Zradescantia discolor die Begonta manicata als Indicatorpflanze benutzt. In allen diesen Ver- suchen fand ich das mitgetheilte Resultat bestätigt, da die Concentrationen der Raffinose, welche mit 0.1 Mol. Rohr- zueker isotonisch waren, nur unerheblich von der obigen Zahl abwichen. Da die Versuche aber nur zur Contrôle, und also nicht mit derselben Genauigkeit ausgeführt wur- den, unterlasse ich es, auf die erhaltenen Zahlen näher ein zu gehen. Wenn es sich nun darum handelt, aus dem rein empiri- rischen Resultate unserer Versuche das Molekulargewicht der Raffinose zu berechnen, so haben wir darauf das im Anfange citirte Gesetz anzuwenden. Dieses lehrte uns, dass die mit 0.1 Mol. Rohrzucker isotonischen Lösungen anderer organischer Verbindungen gleichfalls im Liter annähernd 0.1 Molekül enthalten müssen. Hieraus folgt, das für Raffinose, annähernd: 5.957 pCt. = 0.1 Mol. pro Liter Ist, Das Molekulargewicht der Raffinose ist also annähernd 0 (65 ) Die von den verscheidenen Formeln geforderten Moleku- largewichte waren aber: Cio Hs On — 8 He 0) sn ee. 0e 6e 996 Cis Hs Os + 5 H, 6 eer el ed » © 594 AOR U 1188 Wir finden also mit der zweitgenannten Formel eine sehr genügende UVebereinstimmung. Es folgt daraus aber, dass, nach dem Gesetze der isotonischen Coëfficienten, nur diese von Lorsrau aufgestellte und von ScHrIBLER in so überzeu- gender Weise vertheidigte Formel die richtige sein kann. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V 5 HET LINEAIRE COMPLEX EN DE CONGRUENTIE (1,1) DOOR P. H. SCHOUTE. Onder een complex van den nden graad verstaat men een drievoudig oneindig aantal lijnen zoo in de ruimte gegeven, dat er door elk willekeurig punt P in elk willekeurig door dit punt aangenomen vlak 7 een aantal » dier lijnen gaan. Hieruit volgt dan, dat de door een punt P gaande lijnen van het complex een kegel van den „den graad vormen en de in een vlak zz liggende lijnen van het complex een kromme van de „ie klasse omhullen; deze kegel heet de complexkegel van het punt P en deze kromme de complez= kromme van het vlak zz. Onder een congruentie (m, n) verstaat men een tweevou- dig oneindig aantal lijnen zoo in de ruimte gegeven, dat er m dezer lijnen door elk willekeurig punt P gaan en » dezer lijnen in elk willekeurig vlak 7 liggen; van deze getallen heet m de graad en n de klasse van de congruentie. Volgende bladzijden zullen eerst een meetkundige behan- deling bevatten van het eenvoudigste complex, het complex van den eersten graad of het lineaire complex, en van de eenvoudigste congruentie, de congruentie (1,1). Daarbij zul- len uitsluitend bekende uitkomsten verkregen worden, maar langs een meer rechtstreekschen weg, die bij het onderzoek (67) van het lineaire complex geen kennis van de theorie der reciprociteit in de ruimte onderstelt en bij de beschouwing van de congruentie (1,1) onafhankelijk blijft van de theorie van het lineaire complex. En daarna zullen eenige nieuwe uitkomsten verkregen worden door beide vormingen in ver- band met elkaar te beschouwen. 1. Her LINEAIRE COMPLEX. 1. Is het complex, dat we beschouwen, een lineair com- plex, dan herleidt zich de complexkegel van elk punt P tot een vlak door P, het compleavlak 7 van P, en de com-= plexkromme van elk vlak zr tot een stralenbundel van lij- nen door een punt in zv, het complevpunt P van 7. Daar dit geen verwarring veroorzaken kan, vervangen we kort- heidshalve de namen complexpunt, complexvlak en lijn van het complex door pool, poolvlak en straal. 2. Ligt het punt Q in het poolvlak mn van het punt P, dan ligt P ook in het poolvlak p van Q. Want als Q in het poolvlak 77 van P ligt, is PQ een straal en als PQ een straal is, ligt P ook in het poolvlak p van Q. Indien men op de willekeurige lijn /' (fg. 1) twee pun- ten P en Q aanneemt, van deze punten de poolvlakken 7m en p zoekt en de doorsnee dezer vlakken £’ noemt, dan zal een willekeurig punt R van U’ volgens de juist bewe- zen stelling het vlak (RI) en evenzoo een willekeurig punt S van U het vlak (S4) tot poolvlak hebben. Omdat in het algemeen het poolvlak van een willekeurig punt van een der lijnen / en U’ dus het vlak door dit punt en de andere lijn is, noemt men lijnen als /' en U" weerkeerige poollijnen van het complex. Van zulk een lijnenpaar kan men bij een bepaald complex steeds een der twee willekeurig aannemen ; de andere is dan bepaald. Elke lijn, die twee weerkeerige poollijnen snijdt, is een straal. En elke straal, die van twee weerkeerige poollijnen er een snijdt, snijdt ook de andere. 5e (68 ) a). Wat men hier bij stralen en weerkeerige poollijnen ont- moet, herinnert aan de verhouding tusschen bestaanbare en toe- gevoegd onbestaanbare lijnen. Even als elke bestaanbare lijn, die van twee toegevoegd onbestaanbare lijnen er een ontmoet, dit ook de andere doet, snijdt elke straal, die van twee weer- keerige poollijnen er een ontmoet, ook de andere. In dit opzicht speelt de viervoudige oneindigheid van bestaanbare lijnen in het achtvoudig oneindige gebied der onbestaanbare lijnen tegenover de paren van toegevoegd onbestaanbare lijnen dezelfde rol, die in het lineaire complex de stralen met betrekking tot de paren van weerkeerige poollijnen vervullen. Maar terwijl in het complex elke lijn, die twee weerkeerige poollijnen snijdt, een straal is, zal elke lijn, die twee toegevoegd onbestaanbare lijnen snijdt, nog geen bestaanbare lijn behoeven te zijn. 6). De namen pool, poolvlak en weerkeerige poollijnen zijn aan de theorie der reciprociteit ontleend, met welke het lineaire complex in nauw verband staat. Zoo als men weet, noemt men twee ruimtestelsels reciprook, als met een punt van het eene een bepaald vlak van het andere en met punten in een vlak van het eene bepaalde vlakken door een punt van het andere over- eenkomen, als dus met punt en vlak van het eene vlak en punt van liet andere overeenstemmen. Heeft daarbij ivolutie plaats, d. w. z. komt met elk willekeurig punt P hetzelfde vlak overeen, tot welk der beide stelsels men P ook laat behooren, dan heeft men met een poolstelsel in de ruimte te doen en zijn de beide ruimtestelsels, die het samenstellen, elkaars weerkeerige poolfiguren met betrekking tot een bestaanbaar of onbestaanbaar oppervlak van den tweeden graad; tenzij het ge- beuren mocht, dat elk punt in zijn poolvlak ligt, welk bijzon- der geval zich bij het lineaire complex voordoet. Dit bijzondere poolstelsel is door Mögrus een xulstelsel genoemd. Op dit nul- stelsel komen we later terug (art. 11°). Omtrent de stelkundige behandeling van de complexen van eersten en tweeden graad verwijzen wij in de eerste plaats naar PLUECKER’s Neue Geometrie des Raumes gegrändet auf die Be- trachtung der geraden Linie als Raumelement, in 1868 door F. KrriN bij TeEuBNER uitgegeven. In dit werk maakt PLUECKER gebruik van Zgncoördinaten. Deze treden echter daarin nog niet op in den meest algemeenen vorm, waarin men ze vindt in KLrIN’s dissertatie en in enkele verhandelingen van lateren tijd. Men vergelijke bijv. den herdruk van KrLEIN’s dissertatie in deel XXIII van de Mathematische Annalen. Voor de meetkundige behandeling van het lineaire complex kan men Tu, Reye’s Geometrie der Lage raadplegen. Van deze (69) afleiding zal wat hier gegeven wordt slechts in zoover afwijken, dat het zich zelfstandig ontwikkelt uit de bewezen betrekking tusschen weerkeerige poollijnen en stralen en geen gebruik maakt van uitkomsten verkregen door de theorie der reciprociteit, die evenzeer uit de in den aanvang van dit artikel bewezen stelling wordt opgetrokken. Bij deze wijze van voorstelling zullen we ge- noodzaakt zijn voorloopig aan te nemen, dat er een lineair com- plex bestaat om dan eerst later na te gaan hoe men het verkrijgt (art. 85). c). Behooren bij de vier niet in een vlak gelegen punten 4, B,C,D de dan ook niet door een punt gaande vlakken z, B, y, 3, dan zijn de twee viervlakken 4 BCD en «B y 8 elkaar tege- lijkertijd in- en omgeschreven. Terwijl nl. d in z ligt, enz, gaat het vlak (BCD) door het punt (B y 8), enz.; want de lijnen, die het punt (B y 5) met B, C,D verbinden, zijn door dit punt gaande stralen en liggen dus in het poolvlak van (3 y 3), enz. Men vergelijke MöBius (CRELLE's Journal, III, blz. 213 en NreuBErG (Mémoires de la Sociëtf royale des sciences de Liège, 2de reeks, XL.) 8. De onderstelling, dat twee weerkeerige poollijnen elkaar snijden, voert tot een bijzonder geval van het lineaire complex. Zijn nl. de lijnen € en U' (fg. 2) twee in het vlak 7 gelegen weerkeerige poollijnen, dan zal z het poolvlak zijn van elk punt #’ van ! en van elk punt P" van U’. Daar- uit zal dan volgen, dat elke lijn P'P" van zv straal is en 7x dus poolvlak is van elk zijner punten. Is nu zr (fg. 3) een vlak, dat poolvlak is voor al zijn punten P, p het poolvlak van een willekeurig buiten 7 aangenomen punt Q en a de sniijlijn van 7 en p, dan is a de weerkeerige poolliijjn van PQ. Wil nu bij verplaatsing van P in zv blijkt, dat elke willekeurige lijn P Q door Q de lijn a tot weerkeerige poollijn heeft en het poolvlak v van elk willekeurig punt R dus door a gaat, is het complex de vereeniging van alle lijnen, die a snijden. Werkelijk voldoet die verzameling van lijnen aan de van het lineaire complex gegeven bepaling. We noemen zulk een lineair complex een oneigenlijk complee en de lijn, die door al zijn stralen ge sneden wordt, zijn as. Ligt deze as in het oneindige, dan (70) bestaat het complex uit alle lijnen evenwijdig aan een zelfde vlak. a). We noemen het bijzondere complex een oneigenlijk en niet een ontaard complex, omdat onder een ontaard complex van hoo- geren graad in overeenstemming met het begrip van ontaarde kromme een complex verstaan wordt, dat zich in complexen van lageren graad splitst. b). Hadden we er boven de aandacht op gevestigd, dat het snijpunt P (fig. 2) van twee elkaar snijdende weerkeerige pool- lijnen pool is van elk door dit punt gebracht vlak, dan zouden we gevonden hebben, dat de polen van alle vlakken op een be- paalde lijn a moeten liggen en het complex dus langs dien weg ook gebleken zijn te bestaan uit alle lijnen, die een zekere lijn a snijden, enz. Sluiten we het bijzondere geval van het oneigenlijke com- plex voorloopig uit, dan kunnen twee weerkeerige poollijnen elkaar dus niet snijden. Hieruit volgt, dat de weerkeerige poollijn van een straal s met s moet samenvallen. Is nl. P een punt van s, dan zal het poolvlak z van P door s gaan. En nu voert de onderstelling, dat de in 7 gelegen weerkeerige poollijn van s verschilt van s, tot het oneigen- lijke complex. Bij het algemeene lineaire complex zullen twee weerkeerige poollijnen derhalve òf elkaar kruisen, òf in een straal samenvallen. e). In dit opzicht wijkt het lineaire complex af van het pool- stelsel in de ruimte. Want bij het laatste vormen twee toege= voegde raaklijnen aan bet ordeoppervlak van den tweeden graad, dat de reeiprociteit beheerscht, twee elkaar snijdende weerkeerige poollijnen. En in dit opzicht verschilt het lineaire complex ook van het viervoudig oneindige gebied der onbestaanbare lijnen. Want, zooals bekend is, kunnen toegevoegd onbestaanbare lijnen een punt gemeen hebben, dat dan even als het vlak door beide lijnen altijd bestaanbaar is. Omtrent de wijze van samenvalling van twee weerkeerige pool- lijnen in een straal vergelijke men art. 15°. In zijn Geometrie der Lage noemt Tu. Reyer de onbestaan- bare lijnen met een bestaanbaar punt tmaginäre Geraden erster Art en die zonder bestaanbaar punt {mnagindre Gera- (71) den zweiter Art. Dit is in zoover minder logisch als de groepen niet gelijkwaardig zijn, maar de eerste een onder- afdeeling vormt van de tweede. d). Men vindt de coördinaten der weerkeerige poollijn eener gegeven lijn op de meest eenvoudige wijs in die der gegeven lijn uitgedrukt in Tu. Rerye’s verhandeling Ueber lineaire und qua- dratische Strahlencompleze und Complexengewebe (CrRELLE’s Jour- nal XCV, blz. 350). " Uit het bovenstaande volgt, dat het algemeene lineaire complex geen vlak bevat, dat poolvlak is voor meer dan een zijner punten. Want is een vlak poolvlak voor twee zijner punten, dan is het dit voor al zijn punten en deze onderstelling leidt tot het oneigenlijke complex. En even- min kan het algemeene lineaire complex een punt bevatten, dat pool is voor meer dan een der door dit punt gaande vlakken. Want is een punt pool voor twee der door dit punt gaande vlakken, dan hebben alle vlakken door dit punt in dit punt hun pool en ook deze onderstelling leidt tot het oneigenlijke complex. Beide opmerkingen laten zich vereenigen in de stelling, die zegt, dat het algemeene com- plex geen witzonderingselementen toelaat. e). Met het oog op de bepaling van het lineaire complex kan het den oningewijde overbodig schijnen het bewijs van het ont- breken der uitzonderingselementen te leveren. Het is dit echter niet. Want bij het oneigenlijke complex, dat toeh ook altijd een lineair complex is, komen deze uitzonderingselementen wel voor; daar zijn alle punten der as en alle vlakken door de as uitzon- deringselementen. Bovendien komen uitzonderingselementen van geheel denzelfden aard bij complexen van hoogeren graad voor. Wijl de complexkegels en complexkrommen daar geen vlakken en punten zijn, maar kegels van den „den graad en krommen van de xde klasse, zal een punt P daar uitzonderingspunt zijn, als de complexkromme van elk vlak # door P bestaat uit het als kromme van de eerste klasse beschouwde punt P en een kromme van de u—lste klasse, en evenzoo een vlak x uitzonde- ringsvlak wezen, als de complexkegel van elk punt P van dit vlak zich in dit vlak en een kegel van den —lsten graad splitst. Deze uitzonderingselementen heeten dan Zoofdpunt en hoofdvlak. En doet zich het geval voor, dat een punt als kromme van de (72) eerste klasse A-maal tot de complexkromme van elk door dit punt gaand vlak behoort, of dat een vlak %-maal deel uitmaakt van den complexkegel van elk zijner punten, dan spreekt men van een k-voudig hoofdpunt en een k-voudig hoofdvlak. Loo heeft het onder den naam van tefraêdraalcomplex bekende complex van den tweeden graad (Tu. Reyer, die Geometrie der Lage) de hoek- punten en zijvlakken van een viervlak tot enkelvoudige hoofd- punten en hoofdvlakken. Zoo speelt, als P en P! isogonaal ver- want zijn met betrekking tot een viervlak, dit viervlak geheel dezelfde rol ten opzichte van het complex van den derden graad door de verbindingslijnen P P' gevormd (Association frangaise, Congrès «le Toulouse, 1887). Zoo bezit het complex van den vierden graad, waarvoor de afstanden der stralen tot twee ge= geven lijnen een gegeven verhouding hebben, twee tweevoudige hoofdpunten, zes enkelvoudige hoofdvlakken en één tweevoudig hoofdvlak en heeft het complex van den vierden graad, waarbij het product dier afstanden standvastig is, twee tweevoudige hoofd- punten en acht enkelvoudige REE (Annales de ? Koole Polytechnique de Delft, III, 52), enz. Elke lijn, waarvan elk punt een k-voudig hoofdpunt en elk er door gaand vlak dan ook een 4-voudig hoofdvlak is, noemt men een k-voudige hoofdlijn. Als een lineair complex in een oneigen- lijk complex overgaat, heeft het dus de as van dit oneigenlijke complex tot enkelvoudige hoofdlijn. En indien een complex van den „den graad een k-voudige hoofdlijn heeft, splitst het zich in het k-maal getelde oneigenlijke complex, dat deze hoofdlijn tot as heeft, en een complex van den graad n—f. Behalve de genoemde uitzonderingselementen bevat elk complex van hoogeren dan den eersten graad nog bijzondere punten en bijzondere vlakken, d. w.z. punten, waarvan de complexkegels een dubbelribbe meer hebben dan die der overige punten, en vlakken, waarvan de complexkrommen een dubbelraaklijn meer hebben dan die der overige vlakken. Zoo is bij het algemeene complex van den tweeden graad de meetkundige plaats der punten, wier com- plexkegels een dubbelribbe hebben en dus uit twee vlakken be- staan, tevens het omhullend oppervlak der vlakken, wier complex- krommen een dubbelraaklijn bezitten en dus uit twee punten samengesteld zijn, nl. een oppervlak van den vierden graad en de vierde klasse met zestien conische punten en zestien conische vlakken, d.w.z. vlakken die het in de punten eener kegelsnee aanraken; dit is het oppervlak van KUMMER. Omtrent de algemeene theorie der complexen verwijzen wij naar de verhandelingen van CreBscH, F. KLEIN, WEILER en Voss in de Mathematische Annalen. (73) 4. Wil elk vlak door U zijn snijpunt met Z' tot pool heeft, liggen de polen van een bundel evenwijdige vlakken op een rechte lijn, de weerkeerige poolliijjn van de in het oneindige gelegen as des bundels. Deze meetkundige plaats van polen noemt men een middellijn van het complex. Dus is middellijn van het complex elke lijn, waarvan de weer- keerige poolliijjn oneindig ver ligt. _ Alle middellijnen van het complex zijn onderling even- wijdig. Want, daar de bundels van evenwijdige vlakken het vlak in het oneindige gemeen hebben, hebben hun mid= dellijnen de in het oneindige gelegen pool van dit vlak met elkaar gemeen. We noemen dit aan alle middellijnen ge- meenschappelijke punt het middelpunt van het complex. De middellijn, die behoort bij den bundel van vlakken loodrecht op alle middellijnen, noemt men de as van het complex. Wil zij haar in het oneindige gelegene weerkee- rige poollijn loodrecht kruist, zullen alle lijnen, die haar loodrecht snijden, stralen wezen; omgekeerd wordt zij door elken straal, die haar snijdt, loodrecht gesneden. Bij elken bundel van evenwijdige vlakken, wier gemeen- schappelijke lijn niet door het middelpunt gaat, behoort een middellijn in het eindige; bij elken bundel van evenwijdige vlakken door het middelpunt is de as des bundels een straal en dus als weerkeerige poolliijn van zich zelf de dan in het oneindige liggende middellijn des bundels. Bij het oneigenlijke complex vallen alle middellijnen samen met de lijn, die door alle stralen gesneden wordt en de as van het oneigenlijke complex genoemd is. Dus kan de as van het oneigenlijke complex werkelijk als as beschouwd worden in den zin, dien we bij het algemeene lineaire complex aan dit woord gehecht hebben, en is er geen tegenstrijdigheid tusschen de twee verschillende betee- kenissen, waarin we het woord hebben gebezigd. a). Men komt het voorstellingsvermogen te hulp door zich het middelpunt van het complex in het zenith (en nadir) te denken. Alle middellijnen van het complex zijn dan vertikaal. Alle bundels van niet vertikale evenwijdige vlakken hebben dan een vertikale middellijn in het eindige, alle bundels van vertikale (74) evenwijdige vlakken hebben dan een door den top gaande mid- dellijn in het oneindige. Alle horizontale stralen snijden dan de as en alle horizontale lijnen, die de as snijden, zijn stralen, enz. In het volgende zal men zich de as van het complex steeds vertikaal denken om alleen hiervan af te wijken als men twee lineaire complexen met niet evenwijdige assen te beschouwen heeft. 5. Zij a (fig. 4) de as van het complex, s een straal en o het vlak door s evenwijdig aan a. Omdat dit vlak & door het oneindig ver gelegen punt van a, d. i. door de pool van het vlak in het oneindige gaat, zal de pool van oc in het oneindige liggen en dus elke lijn in evenwijdig aan s straal zijn. In elk vlak o evenwijdig aan a loopen de stralen dus onderling evenwijdig, m. a. w. als geheel ver- andert het complex niet, wanneer het in de richting van de as verschoven wordt. 6. Als van het complex de as a en een straal s gege- ven is, vindt men gemakkelijk de weerkeerige poollijn van elke lijn U, die met s in een vlak g evenwijdig aan a ligt, Bij de afleiding dezer constructie wordt eenvoudigheidshalve ondersteld, dat } den straal s ontmoet in het punt $ (fg. 5) van den kortsten afstand A $ tusschen a en s; wijl het complex in de richting van de as verschuifbaar is, doet deze onderstelling de algemeenheid niet te kort. Vooreerst snijdt € al de stralen evenwijdig aan het lood- recht op a staande vlak «, die op a en ! rusten en moet U’ op de door deze stralen gevormde hyperbolische parabo- loïde dus een lijn van het stelsel (a,?') zijn. Ten tweede snijdt !' alle stralen in het vlak o en moet !’ dus, wijl ze — èn als weerkeerige poollijn van € èn als lijn van het stelsel (a,l) der hyperbolische paraboloïde — niet met }' in een vlak liggen mag, door het gemeenschappelijk punt dier stralen gaan en dus evenwijdig aan s wezen. Dus is [’ de aan s evenwijdige beschrijvende lijn der hyperboli- sche paraboloïde, wat voor deze lijn de volgende constructie oplevert. Breng een vlak (} aan evenwijdig aan « en laat dit a; de lijn door S evenwijdig aan a en de lijnen /' en « achtereenvolgens in B, C,L en 7 snijden. Zoek in dit vlak (75) fB het snijpunt L' van BL met de lijn door T evenwijdig aan BC en trek door L' de lijn L$ evenwijdig aan s, dan is deze laatste lijn de gevraagde lijn U’. a). Als / evenwijdig aan a aangenomen is, vereenvoudigt zich de constructie, wijl de hyperbolische paraboloïde een vlak wordt (plus het vlak in het oneindige); dan is / een middellijn en de weerkeerige poollijn Z' van } de lijn in het oneindige, die s en een gemeenschappelijke loodlijn van a en U snijdt. Als / in z list, wordt &" de lijn door 4 evenwijdig aan s. En is / evenwij- dig aan s, d. w. z. valt zij met s samen, dan is ze straal en dus haar eigen weerkeerige poollijn. 7. De lijn ST’ door S' evenwijdig aan SL getrokken is een straal; want ze rust op € en is evenwijdig aan |. Verandert men nu in het vlak o de richting der lijn / door S, dan vindt men achtereenvolgens alle stralen S' 4’, die den kortsten afstand 4 S$ van a en s loodrecht snijden. Stellen r en 7 de afstanden 4 S en A S' voor en zijn Ò en ò' de hoeken, waaronder de stralen ST en S'T' de as kruisen, dan volgt uit de evenredigheid CGB, waarin C' het snijpunt van L/7' met BC aanduidt, on- middellijk de betrekking rigÒ =r'tgò'; dus behoudt de uitdrukking rg ò steeds dezelfde waarde, als men den straal s achtereenvolgens door elk der A S loodrecht snijdende stralen vervangt. a). De stralen, die 4 S loodrecht snijden, snijden het vlak 3 in de punten eener gelijkzijdige hyperbool, die B tot middelpunt en BC tot een der asymptoten heeft. Het oppervlak dier lijnen is dus een orthogonale hyperbolische paraboloïde met a tot as, 4 tot top, z tot topraakvlak en het vlak d BS tot een der twee loodrecht op elkaar staande richtvlakken. Indien het punt 7' in plaats van tusschen C en L aan de zijde van C buiten CL gelegen was, zou L aan de zijde van B buiten BL en dus ook $ aan de zijde van (76) A buiten AS gevallen zijn; dan zouden r' en Ò' beide het tegengestelde teeken verkregen en het product #' fg Ò' geen verandering van teeken ondergaan hebben. Als men be- hoorlijk op het teeken let, is de uitdrukking rg d dus standvastig voor alle stralen loodrecht op A $, onverschil- lig aan welke zijde van A het voetpunt S ligt. Gaat men nu van den afstand AS (fig. 6) tot den ge- lijken maar tegengestelden afstand A S' over, dan keert de hoek d van teeken om. Men vindt dan den straal s', terwijl de lijnen | en l’ uit S evenwijdig aan s en uit S' even- wijdig aan s dan weer twee weerkeerige poollijnen zijn. Draait nu de lijn s om a, dan brengt zij een omwentelings- hyperboloïde voort, die l en U” bevat; bij die beweging is s in elken stand een straal van het complex, wijl ze in elken stand op & en }’ rust. Bij draaiing van het complex om de as zal elke lijn s, die straal is, straal blijven en derhalve ook geen lijn, die geen straal was, straal worden ; m. a. w. als geheel verandert het complex niet, wanneer het om de as gedraaid wordt. Hieruit blijkt tevens, dat de uit- drukking r tg Ò niet slechts standvastig is voor alle stralen, die A S loodrecht snijden, maar ook voor alle stralen, wier kortste afstand tot a in 4 loodrecht op a staat, d. i. met het oog op de verschuifbaarheid in de richting van de as, voor alle stralen zonder onderscheid. Aan die onverander- lijke grootheid u =—= r tg Ò geeft men den naam van constante van het complex; zij is de afstand van de as tot de stra- len, die deze onder een halven rechten hoek kruisen. 5). Als de constante r ég $ nul is, is het complex een oneigen- lijk complex met a tot as; is ze oneindig groot, dan bestaat het complex uit alle lijnen die a loodrecht kruisen en is het complex dus een oneigenlijk complex met een in het oneindige liggende as. 8. De as a en een straal s bepalen samen het complex. Want de ligging van dezen straal met betrekking tot de as doet de constante van het complex kennen en met be- hulp van de as en deze constante kan men alle stralen vinden. Als men het complex alleen door stralen bepalen wil, zal men er minstens vijf moeten aannemen. Want vier (77) willekeurig gekozen stralen komen met betrekking tot de bepaling van het complex geheel overeen met de twee deze vier stralen snijdende lijnen, die nu weerkeerige poollijnen van het complex zijn moeten. En is behalve een paar weer- keerige poollijnen & en }' niets gegeven, dan is van het poolvlak van een punt P nog slechts één straal, de snijlijn der vlakken (PU) en (PU), bekend, terwijl men van de pool van een vlak zm nog slechts weet, dat ze op één be- paalden straal, de verbindingslijn der punten (a!) en (a U), liggen moet. Geeft men echter behalve het paar weerkeerige poollijnen } en /’ nog een straal s, dan is het complex ondubbelzinnig bepaald. Dan is nl. de pool Q van het poolvlak (Ps) en het poolvlak p van het punt (ms) on- middellijk te vinden; zoodat men het poolvlak van P als het vlak door Q en de snijlijn van de vlakken (PU) en (PU), de pool van zr als het snijpunt van p met de ver- bindingslijn der punten (al) en (zl') bepalen kan. Het complex kan dus door twee weerkeerige poollijnen en een straal en derhalve ook door vijf stralen bepaald worden. a). Het lineaire complex is bepaald door vijf enkelvoudige ‘voorwaarden. Dat een gegeven lijn straal is, is een enkelvoudige voorwaarde; dat een punt een bepaald poolvlak, of een vlak een bepaalde pool heeft, is een dubbele voorwaarde; dat een lijn een bepaalde weerkeerige poollijn heeft, of as is, is een viervoudige voorwaarde, enz. Het getal vijf volgt bij de theorie der reciprociteit hieruit, dat de reciprociteit tusschen twee ruimtestelsels bepaald is, als men vijf willekeurig gekozen punten van het eene met vijf willekeurig gekozen vlakken van het andere laat overeenkomen. Zoo is (REYyr, die Geometrie der Lage) een lineair complex ook bepaald door een ruumtevijfhoek, enz. Bij stelkundige behandeling is het getal vijf dat der onderling onafhankelijke verhoudingen van de zes coëfficienten der lineaire homogene betrekking tusschen de zes lijncoördinaten der stralen. Omtrent de lijncoördinaten vergelijke men den herdruk der dis- sertatie van B. Kumin (Mathematische Annalen XXIII, blz. 539— 5471) en omtrent nieuwere studie van het lineaire complex in lijncoördinaten Reyr (CreuLe’s Journal, XCV, blz. 3380—335). B). In het voorgaande ligt het bewijs, dat er niet oneigenlijke €785) lineaire complexen bestaan, waarmee de bedenking van art. 2 ontzenuwd is. 9. Zijn s, en sj twee elkaar snijdende stralen van het complex, dan is elke lijn in hun vlak en door hun sniij- punt straal. Dit volgt uit de bepaling van het complex. Zijn sj, sg en sz drie elkaar twee aan twee kruisende stralen, dan is elke lijn van het stelsel (sj, 55, s3) op het door deze lijnen bepaalde regelvlak een straal. Want als l een lijn is, die sj, s9, s3 snijdt, dan zal de weerkeerige poollijn /' van £ die lijnen ook snijden en zijn de lijnen van het stelsel (sj, s9, s3) dus stralen, wijl ze alle de beide op het regelvlak liggende weerkeerige poollijnen /' en !' snijden. Op dit oppervlak zijn dan de lijnen van het stelsel (!, U") als weerkeerige- poollijnen involutorisch gepaard; on- der hen komen dus twee stralen voor, de dubbelelementen dier involutie. Zijn bj, l' en lo, lo! twee paar weerkeerige poollijnen en hebben de lijnen van het eene paar geen punten gemeen met die van het andere, dan hebben zij hyperboloïdische ligging. Want elke lijn, die op lj’, &" en lo’ rust, is straal als snijlijjn van &, l,' en elke straal, die ls’ snijdt, snijdt ook ly’. Snijden echter /, en lj elkaar, dan liggen Le en ly” in het poolvlak van dit snijpunt. De punten (l' lo’, en (l' lo!) hebben dan de vlakken (l” lo!) en (U ly) tot poolvlakken. De vereenigingslijn der punten is dan tevens de snijjlijn der vlakken en dus een straal. 10. De as a van het complex en een straal s bepalen een schroeflijn, die a tot as en s tot raaklijn heeft. Alle raaklijnen dezer schroeflijn zijn stralen. Draait men deze schroeflijn om de as, dan zullen haar achtereenvolgende standen op een omwentelingscylinder een bundel van schroef- lijnen vormen, waarvan alle raaklijnen stralen zijn. En laat men nu den cylinder zich achtereenvolgens naar beide zijden uitbreiden en daarbij tevens de er op gelegen schroeflijnen zich zoo vervormen als de standvastigheid van het product rtgÒ dit vereischt, dan zullen de raaklijnen aan de schroef- lijnen op de coaxiale cylinders gelegen gezamenlijk alle stra len van het complex vormen. (79) a). Naar aanleiding van fig. 6 zou men de stralen van het complex eveneens kunnen vereenigen tot telkens een der beide stellen beschrijvende lijnen van een tweevoudig oneindig aantal omwentelingshyperboloïdes. Beschouwt men op een der schroeflijnen het punt P als het snijpunt van twee opvolgende raaklijnen der schroeflijn, dan is het duidelijk, dat het door deze beide raaklijnen gaande kromtevlak der schroeflijn in P het poolvlak van P is. En dit bewijst met betrekking tot een willekeurige schroeflijn de stelling, dat de kromtevlakken in de snijpun- ten met een willekeurig vlak 77 door een zelfde punt gaan, nl. door de pool van 7 met betrekking tot het complex, waartoe de schroeflijn behoort. Met het oog op de winding der schroeflijnen noemt men het complex rechts of links gewonden, naarmate rig Ò posi- tief of negatief is. 11. Men zou kunnen meenen, dat elke ruimtefiguur, die bij een willekeurig punt P een door dit punt gaand vlak 7m en omgekeerd bij een willekeurig vlak sr een in dit vlak liggend punt ? doet vinden, ook een lineair complex op- levert, als men de lijnen door P in het bij P gevonden vlak 7 en de lijnen in 7 door het bij 7 gevonden punt P als stralen beschouwt. Dit behoeft echter niet het geval te zijn, zoo lang men nog niet heeft aangetoond, dat elke straal als straal optreedt voor elk der punten P op hem en elk der vlakken 77 door hem. Als voorbeeld nemen we in de ruimte twee paren elkaar kruisende lijnen mj, mg en nj, nz aan. Stellen dan m, en np de door een willekeurig punt P gaande en mx en n‚ de in een willekeurig vlak 7 gelegene lijnen voor, die op deze lijnenparen mj, mg en nj, ng rusten, dan kan men aan het punt P het vlak (mj, n,) en aan het vlak 77 het punt (my n„) toewijzen en dus voor P de lijnen door P in het vlak (mp np) en voor z de lijnen in 77 door het punt (ma z) als stralen aanmerken Onderzoeken we nu of elke straal dien naam verdient voor al zijn punten en al zijn vlakken. Is s (fg. 7) een straal voor het punt P en het vlak zz, dan zal deze lijn in het algemeen geen straal zijn met be- (80) trekking tot een ander punt Q willekeurig op haar geko- zen. Immers de lijnen m, en ny bepalen in het algemeen een niet door P gaand vlak p. Want men kan zich voor- stellen, dat eerst de lijnen mg, en n, zoo zijn aangenomen, dat het vlak (m, ny) niet door ? gaat en men daarna mj, en mg op mp en my en evenzoo nj en nz op np en n, heeft laten rusten, In het algemeen is elke straal s van P dus geen straal van een willekeurig op hem gekozen punt Q en kan deze lijn dit hoogstens voor een zeker aantal harer pun- ten zijn. Hiermee is niet alleen aangetoond, dat de bedoelde verzameling van lijnen geen lineair complex vormt, maar zelfs, dat zij geen complex, van welken graad dan ook, kun- nen vormen. Want uit den aard der zaak laat een complex slechts stralen toe, die stralen zijn voor elk der punten, die er op liggen, en elk der vlakken, die er door gaan. a). Bij complexen van hoogeren graad komen wellijnen voor, die veelwoudige lijnen zijn van den complexkegel van slechts een harer punten en veelvoudige raaklijnen van de complexkromme in slechts een der door haar gaande vlakken. Men vergelijke Annales de Delft, III, 52. Dat de bedoelde lijnengroep geen complex vormt, blijkt ook hieruit, dat elke willekeurige lijn / tweemaal tot die verzameling behoort. Is nl. P een willekeurig punt dier lijn !, dan zal / straal zijn voor P, wanneer de raakvlakken in P aan de beide door U, mj, mg en U, nj, nz bepaalde oppervlakken van den tweeden graad samenvallen. En wijl die raakvlakken bij beweging van P over U twee vlakken- bundels vormen, die met de puntreeks P en dus ook onder- ling projeetief zijn, vallen deze raakvlakken voor twee punten P van U samen, enz. Hieruit blijkt tevens, dat elke wil- lekeurige lijn 4 straal is voor twee der door haar gaande vlakken, de vlakken door !, die de beide regelvlakken in een der beide juist gevonden punten aanraken. b). Indien twee stelsels van lijnen zoo uit stralenbundels wor- den opgebouwd, dat elk vlak en elk punt een stralenbundel meebrengt, dan bezitten die beide stelsels denzelfden graad van oneindigheid als men rekening houdt met den graad van onein- digheid van elken straal. Wijl nu de stralen vam een lineair (81) complex voor al hun punten en vlakken stralen zijn en dus een oneindig aantal malen geteld worden als men de stralen van alle punten en alle vlakken bij elkaar voegt, terwijl de stralen van de nu onderzochte groep onder deze omstandigheden slechts een ein- dig aantal malen genomen worden, moet dit bij de laatste lijnen- groep hierin vergoeding vinden, dat de graad van oneindigheid dier nieuwe groep dien van het lineaire complex met een overtreft, m. a. w. dat alle lijnen in de ruimte een eindig aantal malen tot de nieuwe verzameling behooren. Hebben de lijnenparen m;, mg en nj, nz echter hyperbo- loïdische ligging, dan zal elke straal voor al zijn punten en vlakken straal zijn en de verzameling van stralen wer- kelijk een lineair complex vormen. Is nl. P een willekeurig punt en s een lijn door P in het vlak (m, n,) willekeurig getrokken, dan zal s straal zijn voor P en voor haar beide snijpunten met het door mj, mg en nj, ng gaande opper- vlak van den tweeden graad; zoodat de beide projectivische bundels van raakvlakken in de punten van s aan de opper- vlakken (s, mj, mg) en (s, nj, ng) aangebracht drie samen- vallingen vertoonen en dus identisch zijn. En als elke straal straal is voor al zijn punten en vlakken, dan geldt de aan het begin van art. 2 bewezen stelling met al haar gevolgen en vormt dus de bedoelde verzameling van stralen een lineair complex; van dit lineaire complex zijn mj, mg en nj, Ng twee paar weerkeerige poollijnen, enz. c). Aan het slot van deze meetkundige beschouwing van het lineaire complex wijzen we met enkel woord den weg aan, langs welken Mösrus in zijne studie op het gebied der statica tot het met het lineaire complex samenhangende nulstelsel (art. 2%) gekomen is, Zoo als bekend is, laat een willekeurig in de ruimte gegeven stelsel van krachten zich in het algemeen steeds herleiden tot twee elkaar kruisende krachten of tot een kracht en een kop- pel, terwijl men slechts in een bijzonder geval een enkele kracht of een koppel vindt. In het algemeene geval van twee krach- ten K' en K' kan de lijn U, langs welke de eene kracht werkt, willekeurig aangenomen worden; maar dan is ook de lijn /”, langs welke de andere kracht werkt, ondubbelzinnig bepaald. Draait U om een harer punten P, dan beweegt #! zich in een vlak zr door P; beweegt U zich in eeu vlak z, dan draait /! om een punt P. Gemakkelijk herkent men in de lijnenparen @,!' de paren weerkeerige poollijnen en in de met elkaar overeenkomende ele- VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL Vv. 6 (82) menten P en de bij elkaar behoorende polen en poolvlakken van een lineair complex. Elke middellijn van dit complex is dan omgekeerd een lijn, langs welke men een bepaalde kracht kan laten werken, die in vereeniging met een bepaald koppel, d. i, met een nulkracht in het oneindige, het krachtenstelsel kan ver vangen; onder deze middellijnen is de as van het complex de centrale as van Pornsor, d. i. de lijn, waarbij de resultante met het kleinste koppel behoort. De stralen van het complex zijn, omdat ze de twee weerkeerige poollijnen snijden zoodra men weet dat zij het er een van beide doen, de lijnen, voor welke de som der momenten van de krachten van het stelsel nul is. En herleidt het krachtenstelsel zich tot een enkele resultante of tot een koppel, dan herleidt zich het lineaire complex tot een oneigenlijk complex met een as in het eindige of in het oneindige. Men vergelijke omtrent het nulstelsel de verhandeling van Möprus (CRELLE's Journal, X, 317 of A. F. Möprus’ gesammelte Werke 1, 489). Aan deze mechanische behandeling van het complex heeft ZEUTHEN een andere voorstellingswijze verbonden. Verstaat men onder het moment van twee lijnen, langs welke men een positieve richting aangenomen heeft, het product van haar kortsten afstand met den sinus van den hoek, dien haar positieve richtingen met elkaar vormen, d. í. het moment van een eenheidskracht langs de eene lijn met betrekking tot de andere lijn, dan is het complex met betrekking tot elk harer paren weerkeerige poollijnen ?!, // te beschouwen als de meetkundige plaats der lijnen, voor welke de met betrekking tot U en U genomen momenten een gegeven verhouding hebben. LEUTHEN _ komt tot dit resultaat met behulp van lijncoördinaten, die hij als momenten ten opzichte van de zes ribben van het eoördinaten- viervlak en daarna als verhoudingen van inhouden van viervlakken leert beschouwen (Mathematische Annalen IT, 482). Ten slotte zou men kunnen meenen, dat de beschouwing van ZEUTHEN vereenvoudiging moet ondergaan, als men niet de ver- houding der momenten van een straal tot U en U! maar de verhouding zijner afstanden tot / en /' standvastig stelt. Dan komt men echter integendeel op een complex van den vierden graad terecht (Annales de Delft, III, 52). IL. De conerverrie (1,1). 12. Volgens bepaling is de congruentie (1,1) een twee- voudig oneindig aantal lijnen zoo in de ruimte gegeven, dat er één door een willekeurig punt P gaat en één in (83 ) een willekeurig vlak zz ligt. Kortheidshalve zullen we de eongruentielijnen koorden noemen. De koorden, die een willekeurig aangenomen lijn m snij- den, vormen een oppervlak F'? van den tweeden graad door m. Want, dáar er door elk punt P van meen koorde gaat, ligt m eenmaal op dit oppervlak en verder bevat elk wil- lekeurig vlak zz door m nog een lijn van dit oppervlak, de in 77 gelegen koorde. a). We sluiten voorloopig het bijzondere geval, waarin x koorde is, uit. Later zal blijken, wat dan het oppervlak F? vervangt (art. 145). b). Geheel langs denzelfden weg vindt men, dat bij een con- gruentie (m, #) de een gegeven rechte lijn snijdende koorden een oppervlak van den + „den graad vormen, dat m-maal door de gegeven lijn gaat. 18. Een willekeurige andere lijn mj wordt door het bij m behoorende oppervlak F° in twee punten gesneden. Dus zijn er twee op m en mj rustende koorden, die natuurlijk bestaanbaar, samenvallend of onbestaanbaar kunnen zijn. Zij laten zich onmiddellijk aanwijzen als sm en m; (fig. 8) elkaar snijden. Dan is de eene koorde k in het vlak 7 door m en mj gelegen en gaat de andere & door het snijpunt P van m en mj. Beschouwen we nu de bij de lijnen m en mj behoorende oppervlakken #2 en #,°, die de twee elkaar kruisende koor- den k en k' gemeen hebben, en nemen we aan, dat Q een niet op k of k' gelegen gemeenschappeliijjk punt dier opper- vlakken is, dan is het duidelijk, dat de lijn, die door Q gaat en op k en £' rust, drie punten met elk der beide oppervlakken gemeen hebben en dus op elk dier beide op- pervlakken liggen zal. Derhalve bestaat de doorsnee van F? en F° uit ken k' en twee lijnen t, en tz, die k en £' snijden. Deze lijnen t, en t, kunnen weer bestaanbaar, sa- menvallend of onbestaanbaar zijn; we bewijzen, dat ze voor de congruentie (1,1) een belangrijke beteekenis hebben. Snijdt t, het vlak 77 in 7) en is mg een willekeurige lijn door dit punt in 7 getrokken, dan zal het bij mg bee hoorende oppervlak 45° drie punten met t‚ gemeen hebben 6* (84) en deze lijn dus bevatten. Zijn nl. M en M, de snijpunten van mg met m en mj, dan zullen de drie koorden door M, M;, en 7, waarvan de laatste de lijn Z is, in verschillende punten op t‚ rusten. Hieruit volgt, dat de koorde van elk ‚punt Ms van mz op tj rust en — als we mz in zm om 7} laten draaien — dat de koorde van elk punt van 7 — en dus ook elke koorde — tf, ontmoet. Wil nu met behulp van de oppervlakken #3? behoorende bij lijnen m3 door het snijpunt 75 van 49 met zr geheel op dezelfde wijs blijken kan, dat elke koorde t, snijdt, is hiermee aangetoond, dat elke koorde de beide lijnen t; en t, ontmoet; m. a. w. de congruentie (1,1) vs de vereeniging der lijnen, die twee gege- vene elkaar krwisende lijnen t‚ en ty snijden. Deze lijnen t} en ft, noemt men de richtlijnen der congruentie. a). Het schijnt, dat men de oppervlakken #? behoorende bij de lijnen ma door 7, eveneens gebruiken kan om te bewijzen, dat alle koorden f, snijden. Omdat in het volgende artikel hiertegen bezwaren zullen rijzen, is dit niet geschied. Het oppervlak #° der lijn z is het oppervlak der lijnen, die op éj, t> en m rusten. b). We maken opmerkzaam op de rangschikking van al de koorden der congruentie tot telkens een der stellen beschrijvende lijnen der oppervlakken (mz,t,,l,), die door draaiing van xm om P in x worden voortgebracht. Zij vormen een bundel van opper- vlakken met de uit vier lijnen Z,4', t‚, f, bestaande basiskromme. In het algemeen vormeu de op een bundel van oppervlakken van den tweeden graad liggende rechte lijnen een congruentie (2,6); alleen als de basiskromme van den bundel een scheeve vierhoek is, splitst deze congruentie zich in twee congruenties (1,1) die elk een paar overstaande zijden des vierhoeks tot richt- lijnen hebben en vier congruenties (0,1, die elk bestaan uit alle lijnen in een vlak door twee opvolgende zijden des vierhoeks. | Evenzoo als de lijnen in een vlak hier als een congruentie (0,1) verschijnen, komen alle lijven door een punt als een congruentie (1,0) voor. Zoo splitst de congiuentie (1,1) zich in een congru- entie (1,0) en een cougrueutie (0,1), als de richtlijnen elkaar snijden. We noemen de eongruenties (1,0) en (0,1) oneigenlijke congruenties. Naderen de beide richtlijnen tot elkaar als twee nabij elkaar gelegen beschrijvende lijnen van een scheef oppervlak, dan bestaat de grensstand der congruentie uit de lijnen, die dit oppervlak in (85 ) de punten der lijn van samenvalling aanraken. Bij elk punt der lijn behoort dan een bundel van stralen door dit punt in het raak- vlak aan het oppervlak door dit punt. Men spreekt dan van een bijzondere congruentie en kan het oppervlak gevormd door de lood- recht op de lijn van samenvalling staande koorden, dat de con- gruentie bepaalt, de Ayperbolische paraboloïde der congruentie noe- men (WEILER, Zreeugung von Complexen ersten und zweiten Grades aus linearen Congruenzen, Zeitschrift von ScuröMIiLcH, XXVII, 257). 14. De punten van en de vlakken door elk der beide richtlijnen maken uitzondering op den regel, dat door elk punt slechts een koorde gaat en in elk vlak slechts een koorde ligt; deze punten en vlakken zijn dus witzonderings- elementen der congruentie. Voor elk punt 7, van tf zijn alle lijnen door /, in het vlak (P; t3) koorden, voor elk vlak zz, door t; is dit met alle lijnen in 77, door het punt (zj tz) het geval, enz. Snijden twee koorden elkaar, dan is dus elke lijn door haar snijpunt en in haar vlak koorde; het snijpunt ligt dan op de eene der beide richtlijnen en het vlak gaat door de andere. a). Wat zich hier bij de uitzonderingselementen voordoet, is volkomen analoog aan hetgeen men in de stelkunde opmerkt. Een vergelijking van den „den graad, die # + 1 wortels bezit, is een identiteit, enz. 5). Indien de lijn m de richtlijn f, in 7, en ft, het vlak (mt) in 7, snijdt, vormen de op m rustende koorden in plaats van het eene stel beschrijvende lijnen van een oppervlak van den tweeden graad twee vlakke stralenbundels nl. de lijnen door T, in het vlak (2,4) en de lijnen door 7, in het vlak (7, #,). Het oppervlak dier koorden bestaat dan uit de twee vlakken (Tt) en (Ts t‚). En snijdt m niet alleen f, in 7, maar ook t, in T,, dan blijft het resultaat onveranderd, ligt alleen 75 ook op m. c). Het zou kunnen schijnen, dat door deze uitkomst het in art. 13 gegeven bewijs zijn kracht verliest. Daar toch is gevon- den, dat elke op ma (fig. 8) rustende koorde # snijdt, omdat drie dezer koorden dit doen en het oppervlak #,° dier koorden dus #, bevatten moct. En nu blijkt, dat de koorden, die rusten op de lijn Mz, die f, in 7, snijdt, zich in twee groepen splitsen, waarvan de eene de lijnen door 7, bevat die f, snijden en de andere de lijnen door een bepaald punt 7> van # die f, snijden ; zoodat het mogelijk zou zijn, dat de drie koorden door M, M,, en 7, de richtlijn 4, niet in drie verschillende punten sneden. Bij nader (86 ) onderzoek blijkt echter, dat de punten, waarin f‚ door de koor- den van M en M, gesneden wordt, noodzakelijk van 7, verschil- len en het besluit, dat het oppervlak der op #, rustende koorden drie punten met f, gemeen heeft, ook nu dit oppervlak uit twee platte vlakken bestaat, volkomen geldig blijft; terwijl met behulp der lijn ms nog niet onmiddellijk blijken kan, dat 4, op het bij ms, behoorende oppervlak #° ligt, daar de koorden van M en M, de richtlijn f, in hetzelfde punt snijden. Daarom is, hoewel deze leemte natuurlijk gemakkelijk aan te vullen geweest zou zijn, de vervanging der lijnen ma door lijnen m3 verkozen. 15. De congruentie (1,1) is door vier willekeurig gekozen koorden bepaald. Want deze doen, mits zij geen hyperbo- loïdische ligging hebben, de beide richtlijnen kennen. Elk drietal koorden bepaalt een regelvlak van den twee- den graad, waarvan alle lijnen, die met de drie gegevene koorden tot hetzelfde stel behooren, koorden zijn; want al deze lijnen snijden de beide richtlijnen. Denkt men zich nu de congruentie door de vier koorden hej, ko, ka, kg, bepaald en neemt men naast deze vier koorden een vijfde lijn s willekeurig aan, dan kan men onmiddellijk bewijzen, dat het door de vijf stralen Zj, ka, ka, hy, en s be- paalde lineaire complex de congruentie door kj, ka, ka, ka bepaald omvat en elke koorde dier congruentie dus straal is van het complex. Immers de beide richtlijnen t,‚ en t, der congruentie zijn dan weerkeerige poollijnen van het complex, wijl met de lijn t, die kj, kg, k3, hy snijdt, de eenige andere lijn, die deze vier stralen ontmoet, d. i. ts, als weerkeerige poollijn overeenkomt. En dan is elke lijn, die t‚ en é; snijdt, d. i. elke koorde der congruentie, straal van het complex. Het voorgaande leert ons de congruentie bepaald door de koorden kj, kg, Kz, hy beschouwen als de vereeniging der stralen gemeen aan de beide complexen (%, Zg, k3, ka, s) en (ley Pos kas kan Sj)» Waarbij s en sj twee geheel willekeurig ge- kozen lijnen zijn; m. a. w. de congruentie (1,1) is de door- snee van twee lineatre complexen. a). Gewoonlijk wordt de congruentie (L,l) als de doorsnee van twee lineaire complexen bepaald (Rryre, die Geometrie der Lage). Dit is echter in zeker opzicht niet algemeen, omdat niet elke cougruentie de doorsnee van twee complexen behoeft te zijn. (87 ) Indien een congruentie de doorsnee is van twee complexen van hoogeren graad, dan zijn in het algemeen haar graad m en haar klasse x aan elkaar gelijk. Dan is nl. het aantal koorden door een punt P als het aantal gemeenschappelijke beschrijvende lijnen der complexkegels van P en eveneens het aantal koorden in een vlak x als het aantal gemeenschappelijke raaklijnen der beide complexkrommen van 7 aan het product der graden van beide complexen gelijk. Toch zijn er congruenties, wier graad en klasse van elkaar verschillen. Zoo hebben we in art. 13% de oneigenlijke eongruenties (1,0), (0,1) en de congruentie (2,6) ontmoet en noe- men we hier, om van andere voorbeelden niet te spreken, de _ bekende congruentie (n° —® + n, n° — n) gevormd door de nor- malen aan een puntalgemeen oppervlak Ft van den uden graad (Nieuw Archief voor Wiskunde, VI, blz. 24 en 25). Nu er werkelijk congruenties zijn, die niet als de doorsnee van twee complexen beschouwd kunnen worden, moet rekening ge- houden worden met de mogelijkheid, dat de meest algemeene congruentie (1,1) niettegenstaande de gelijkheid van graad en klasse tot deze groep van congruenties behoort. En hoewel dit ons nu gebleken is niet het geval te zijn, is toch — juist omdat dit langs dezen weg eerst gebleken is — de hier gevolgde weg te verkiezen. 5). Bij de voorstelling der eongruenties door tweetallen van vergelijkingen in lijncoördinaten, staat men met betrekking tot de econgruenties, waarvan graad en klasse verschillend zijn, voor hetzelfde bezwaar, dat men bij de voorstelling der ruimtekrommen door twee vergelijkingen in punteoördinaten ontmoet. Alleen de ruimtekromme, die de volledige doorsnee is van twee oppervlak- ken, kan door twee vergelijkingen worden voorgesteld; gedeelte- lijke doorsneden, zoo als bijv. de ruimtekromme van den derden graad, vereischen meer dan twee van elkaar afhangende vergelij- kingen. En evenzoo is het met congruenties gesteld. Zoo moet de congruentie (m,7) in vereeniging met een zekere andere congruen- tie (pq —m, pq —n) de doorsnee zijn van twee complexen van de graden p en g. Maar deze aanvullende congruentie is even als de graden p en g der complexen in het algemeen niet te vinden. Is een zeker vlak z een r-voudig hoofdvlak van een complex van den pien graad en een s-voudig hoofdvlak van een complex van den geen graad, dan bestaat de doorsnee dier complexen uit het rs-maal getelde vlak x en een congruentie (pg, p q—rs). Een dergelijke congruentie, die zich door toevoeging van eenige on- eigenlijke congruenties (0,1) of (1,0) tot de volledige doorsnee van twee complexen laat aanvullen, is de eenvoudigste congruentie met van elkaar verschillende kenmerkende getallen mz en «, die (88) men zich denken kan; we zullen er later een voorbeeld van ont- moeten (art. 24). De uitwerking van deze overeenkomst van bezwaren bij de ana- lytische voorstelling van ruimtekrommen en congruenties leidt tot allerlei opmerkingen. Vooreerst is het duidelijk, dat gelijkheid van graad en klasse niet de eenige voorwaarde behoeft te zijn, waaronder een congruentie de volledige doorsnee is van twee complexen; want was dit het geval, dan zouden bij een congru- entie met een ondeelbaar getal tot graad en klasse de door een punt P gaande koorden tevens in een vlak liggen en de in een vlak zr liggende koorden tevens door een punt gaan moeten. Op dezelfde wijze als CayrLry (Comptes rendus 1862 1 blz. 55, 396, 612 en 1864 I blz. 994) getracht heeft het oppervlak van den laagsten graad te vinden, dat door een gegeven ruimtekromme gaat, — welk oppervlak door hem een monoïde genoemd is — kan men den graad van het complex van den laagsten graad zoeken, dat door een gegeven congruentie (m,) kan gebracht worden, enz. Omtrent de stralenstelsels of congruenties van hoogeren graad en klasse raadplege men de verhandelingen van Kummer (Über die algebraïschen Strahlensysteme u. s. w. in de Abhandlungen van Berlijn 1864 en Allgemeine Theorie der geradlinigen Strah- lensysteme (CRELLE's Journal LVII, blz. 202), een verhandeling van HrirsT (On Cremonian congruences in de Proceedings of the London Math. Soc, XIV, 1883) en de reeds aangehaalde studie van Voss in de Math. Annalen. c). Zijn ! en U” weerkeerige poollijnen van een lineair complex, dan bevat dit ook de koorden van de congruentie (1,1), die deze lijnen tot richtlijnen heeft, als stralen (art. 2). En de stralen, die een gegeven straal snijden, vormen blijkbaar een bijzondere con- gruentie (art. 14°). Dus moet men aannemen, dat twee weerkeerige poollijnen in een straal samenvallen even als twee opvolgende stan- den der beschrijvende lijn van een scheef oppervlak, nl. zoo, dat het vlak door beide lijnen om de lijn draait als het snijpunt van beide lijnen zich over de lijn beweegt, enz. (art. 3°). 16. Op een paar willekeurige vlakken 77 en 77! teekenen de koorden der congruentie (1,1) twee vlakke stelsels af, tusschen welke een kwadratische overeenkomst bestaat. Want de hyperboloïde der op tj, ig en een willekeurige lijn / van mm (of zr) rustende lijnen snijdt 77’ (of 77) volgens een kegel- snee. In geval de snijliijjn der vlakken echter een koorde is, gaat de overeenkomst in homografie of collineätie over. a). Deze door STEINER gevoudene afleiding der kwadratische (89) overeenkomst (Systematische Entwickelung u. s. w.‚ N°, 59, of ge- sammelte Werke, 1, blz. 407) heeft historische waarde; zij vormt de eerste behandeling van dit onderwerp. III. STELSELS VAN LINKAIRE COMPLEXEN. 17. Als een congruentie door vier koorden Z; (4 = 1, 2, 3, 4) gegeven is, dan bepaalt elke vijfde willekeurig aangenomen lijn s een lineair complex, dat deze lijn s en al de koorden der gegeven congruentie tot stralen heeft. Laat men daarna s veranderen, dan verkrijgt men een en- kelvoudig oneindig aantal lineaire complexen; wijl zij alle de koorden der gegeven congruentie als stralen gemeen hebben en er door elke willekeurige andere lijn s steeds een van hen gaat, geeft men aan dit samenstel van com- plexen den naam van complevbundel en aan de aan alle complexen des bundels gemeenschappelijke congruentie den naam van basiscongruentie des bundels. a). De verzameling van lineaire complexen is enkelvoudig on- eindig. Want bij de onderstelling, dat elke lijn s een nieuw com- plex bepaalt, zou het aantal der complexen viervoudig oneindig zijn. Maar, wijl elk complex een drievoudig oneindig aantal stralen heeft, wordt het bij deze onderstelling een drievoudig oneindig aantal malen geteld, enz. Twee lineaire complexen bepalen samen een congruentie, die de gemeenschappelijke stralen van beide tot koorden heeft. Zij bepalen dus ook den complexbundel, waarvan deze congruentie de basiscongruentie is; m. a. w. een complex- bundel is door twee zijner complexen bepaald. Bepaalt men de basiscongruentie door haar twee richt- lijnen t‚ en tf, in plaats van door vier koorden, dan zal elke lijn s, die geen der richtlijnen snijdt, een complex be- palen, dat s tot straal en tj en ft, tot een paar weerkeerige poollijnen heeft. Hven als boven vormen al deze complexen weer een bundel, enz. Een eigenaardig bijzonder geval doet zich voor, wanneer de beide richtlijnen elkaar loodrecht kruisen en een van beide in het oneindige ligt. Dan hebben de complexen des (90 ) bundels een gemeenschappelijke as, de in het eindige lig- gende richtlijn der congruentie, en zijn zij door de waarde der constante u == r{g Ò van elkaar onderscheiden. De complexbundel bevat twee oneigenlijke complexen, waarvan het eene t,‚ en het andere ft, tot as heeft. Wil deze twee oneigenlijke complexen de basiscongruentie be- palen kunnen zij even goed als twee andere complexen des bundels den bundel bepalen, Men vindt een dezer oneigen- lijke complexen als s een der beide richtlijnen snijdt; snijdt s beide richtlijnen, dan bepaalt ze als aan alle complexen des bundels gemeenschappelijke straal geen complex. Als de richtlijnen t;, tz der basiscongruentie elkaar snij- den en de basiscongruentie zich dus splitst in alle lijnen door het snijpunt P van tj, tz en alle lijnen in het vlak 7m door tj, tz, dan zal elk der complexen des bundels een oneigenlijk complex zijn met een as door / en in 77. Snijdt nl. de lijn s, die met de basiscongruentie het complex be- paalt, het vlak 77 in $, dan zullen zoowel alle lijnen door S als alle lijnen door P tot dit complex behooren. Want het bevat de lijnen door $ in zz en s, dus alle lijnen door S, enz. Dus moet het complex een oneigenlijk complex zijn met de lijn PS in zz tot as. 18. De assen der lineaire complexen van den bundel, die een gegeven congruentie (1,1) tot basiscongruentie heeft, noemt men de assen der congruentie. We zoeken het opper- vlak, dat de meetkundige plaats dier assen is. De as van een complex snijdt het vlak in het oneindige in diens pool en ontmoet dus al de in het oneindige gele- gen stralen; derhalve moeten de assen der congruentie alle haar oneindig ver gelegen koorde snijden. Maar dan moet ook het oppervlak #2, dat volgens art. 12 de meetkundige plaats is van de koorden, die een willekeurig gegeven lijn snijden, voor elk van de assen der congruentie een hyper- bolische paraboloïde zijn en wel een rechthoekige. Want, daar de as van een complex al de haar ontmoetende stralen loodrecht snijdt, staat zij loodrecht op het richtvlak der haar ontmoetende koorden en staan dus de beide richtvlak- ken loodrecht op elkaar. (A1) Uit de beschouwingen van art. 6 volgt, dat de as van een complex den kortsten afstand van elk paar weerkeerige poollijnen loodrecht snijdt. Nemen we voor het complex een der complexen des bundels en voor het paar weerkee- rige poollijnen de richtlijnen t en t; der basiscongruentie, dan vinden we, dat alle assen der congruentie den kortsten afstand van t; en tj loodrecht snijden. a). Nu zou men kunnen meenen, dat hieruit in verband met het voorgaande voor het gezochte oppervlak een hyperbolische paraboloïde gevonden wordt. Want de assen moeten evenwijdig blijven aan een vlak loodrecht op den kortsten afstand tusschen t‚ en f> en bovendien twee lijnen snijden, den genoemden kortsten afstand en de in het oneindige liggende koorde der congruentie. Bij nader inzien blijkt echter, dat het rusten op deze koorde met het evenwijdig zijn aan een vlak loodrecht op den kortsten af- stand identisch is en dat in elk vlak loodrecht op dien kortsten afstand de as nu verder zoo bepaald moet worden, dat zij door de haar snijdende koorden loodrecht gesneden wordt. De twee lijnen a (fig. 9), die in het vlak « loodrecht op den kortsten afstand A; Ag van de richtlijnen t en #3 in het midden Ó tusschen A, en A, aangebracht den hoek tusschen de projecties uj en ug van tj en tg op dit vlak middendoordeelen, zijn assen der congruentie. Want uit de beschouwing der hyperbolische paraboloïde, die t;,t, en een der beide lijnen a tot richtlijnen heeft, blijkt onmiddel- lijk, dat deze lijn a de haar ontmoetende koorden lood- recht snijdt. En aan den anderen kant zijn de lijnen a de eenige assen door Ó, waaruit dus volgen moet, dat er door elk punt van A; Ag twee assen der congruentie gaan, daar de lijn A; A, zelve niet tot deze assen behoort. We toonen dit nog nader aan door voor een willekeurig punt van 4; Ag de assen te construeeren. Brengt men een willekeurig vlak aan evenwijdig aan A; As, dat t,‚ in B en tz in C snijdt, projecteert men B in B' en C in C' op het vlak der assen a, laat men uit O de loodlijn OD' op de verbindingslijn B'C' neer en zoekt men het punt D van de lijn B C waarvan D' de pro- jectie is op het vlak der assen, dan is de lijn / £ uit D (92) evenwijdig aan D'Ò getrokken een as der congruentie. Want deze lijn DK is richtlijn der hyperbolische paraboloïde, die door de richtlijnen #, tg en het evenwijdig aan A; Ag aan- genomen richtvlak bepaald wordt; dus zal zij als loodlijn op dit richtvlak de beschrijvende lijnen van dit oppervlak, d. w. z. de koorden die zij ontmoet, loodrecht snijden, enz. Uit de figuur volgt onmiddellijk Ar B MED B' D' Á URE B Wil nu de meetkundige plaats van D' bij draaiing van het aan A} A; evenwijdig aangenomen vlak om B B' de in het vlak « op B'O als middellijn beschreven cirkel is en A, E A; A wijdig aan wuz in twee punten D' gesneden wordt, gaan er twee assen der congruentie door elk punt Z van A; Ag en zijn deze assen gemakkelijk te construeeren, als het punt Z deze door de bij de verhouding passende lijn even- gegeven is. In elk vlak A; Ag ) door A; A, ligt een der assen van de congruentie. Want bij het loodrecht op Aj A9 D staande richtvlak door B B' behoort een enkele as. Dus is de ge- zochte meetkundige plaats een regelwlak van den derden graad met A; Ag tot dubbelljn en de haar loodrecht kruisende koorde in het oneindige tot enkelvoudige richtlijn. ved est B b) De verhouding Oki = Bo voor D' het punt D' neemt, waar rechts van B'O de raaklijn aan den hulpcirkel evenwijdig is aan C'O, Isnu{BOC'=2 8, dan vindt men met betrekking tot het bedoelde punt D' onmid- LD) ‚ne le} dellijk Pr DE ee . Eveneens wordt het punt D', waar de verhouding haar kleinste waarde heeft en dat in den hulp- cirkel middellijnig tegenover D' gelegen is, door de betrekking BD sin? (45° — 3) BOLTS Tens niet in de figuur aangewezen. De beide gevonden grensverhoudingen geven op 4,42 de puuten 4 aan, voor welke de beide assen samenvallen. Zij liggen, wordt het grootst, als men bepaald. De punten D' en D'' zijn (93) zooals te verwachten was, symmetrisch ten opzichte van O, want B' D' B D' NT punten £ met bestaanbare, er buiten liggen de punten Z met on- bestaanbare assen. In het algemeen liggen de grenspunten huiten het segment A, 4; alleen als 3 — 45° is, vallen zij met A, en A, samen. In 4, zijn de beide assen de lijn 4, behoorende bij een oneigen- lijk complex en de loodlijn door d, op het vlak (A, t‚) ; werke- zijn deze lijnen altijd bestaanbaar en vallen ze voor 3 — 45° samen. Is de gegeven congruentie een bijzondere (art. 13%), dan zal het voorgaande in hoofdzaak doorgaan. De punten 4,4, vereeni- gen zich dan in het centraalpunt 4 der beschrijvende lijn van samenvalling met betrekking tot de hyperbolische paraboloïde der congruentie, 3 wordt nul en de grenspunten F liggen aan weers- kanten van Jd op een afstand, die het dubbel is van den para- meter dier beschrijvende lijn (DE LA GOURNERIE, Traité de géo- métrie descriptive, deel II, blz. 144). ce). De bij de afleiding van het oppervlak der assen gebruikte hyperbolische paraboloïdes hebben de zijden van een scheeven vierhoek (d:d, é,, de in het oneindige liggende koorde en 4) gemeen. Zij vormen dus een bundel. We vinden derhalve hier de in art. 18% aangewezen rangschikking der koorden zoo her- baald, dat met ieder oppervlak een as der congruentie in ver- band staat. d). Als f in het oneindige ligt en f, niet loodrecht kruist, herleidt het oppervlak van den derden graad zich tot een plat vlak, het vlak door 4, dat met een willekeurig vlak door ft, een loodlijn op de projectie van f, op dit vlak tot doorgang heeft. In dit vlak zijn de lijnen evenwijdig aan f} de assen van de com- plexen des bundels. Kruist de in het oneindige liggende richtlijn t, de andere #, loodrecht, dan vallen, zoo als we reeds zagen, al de assen met f, samen. — Ll. Tusschen deze grenspunten F liggen de 19. Alle complexen, die drie gegeven lijnen sj, sg, sz tot stralen hebben, hebben als stralen al de lijnen s gemeen, die op het door deze drie lijnen bepaalde oppervlak van den tweeden graad met deze drie lijnen tot een zelfde stel “behooren. Zij vormen een tweevoudig oneindig samenstel van complexen, waaraan men den naam van compleanet geeft; van dit complexnet vormt het oppervlak der lijnen s het basisregelvlak. [ Elke lijn a', die de drie gegeven stralen sj, 83, $3 Ont- (4) moet, is as van een oneigenlijk complex in het net begre- pen; de meetkundige plaats der assen a is dus eveneens het basisregelvlak. | | Elke willekeurige lijn / bepaalt met de drie lijnen sj, 83, 3 een congruentie (1,1), die de twee op 4 rustende lijnen a van het basisregelvlak tot richtlijnen heeft. Elk willekeurig paar lijnen U, ly bepaalt met de drie gegeven stralen een complex; de assen van deze complexen, noemt men de assen van het complexnet. We zullen later zien welk een congruentie zij vormen. Het complexnet is bepaald door drie onderling onafhan- kelijke complexen (5, Co, C3, d. w. z. door drie complexen, die niet tot een zelfden bundel behooren. Zijn nl. t en tz de richtlijnen der congruentie gemeen aan C} en C5, ty en to de richtlijnen der congruentie gemeen aan Cs en C3, dan hebben deze vier lijnen als twee paar weerkeerige poollijnen van C3 hyperboloïdische ligging en vormen de op deze vier _ lijnen rustende stralen het basisregelvlak van het net. a). Indien sen s, elkaar in $ snijden en 83 het vlak « door si en 82 in 7 ontmoet, bestaat het basisregelvlak uit twee stra- lenbundels. Gaan de drie stralen s door een zelfde punt S, of liggen zij in een zelfde vlak cg, dan treedt er onbepaaldheid in bij de in het net begrepen congruenties, die alle uit de vereeniging eener congruentie (0,1) met een congruentie (1,0) bestaan; ter- wijl al de complexen van het net dan oneigenlijke complexen zijn. 20. Alle complexen, die twee gegeven lijnen sj, sz tot stralen hebben, vormen een drievoudig oneindig samenstel, waaraan we den naam van complerweefsel geven; van dit weefsel vormen sj en sz de basisstralen. Elke lijn a’, die sj en sj ontmoet, is de as van een on- eigenlijk complex van het weefsel; dus vormen de assen der oneigenlijke complexen van het weefsel de congruentie (1,1), die sj en sz tot richtlijnen heeft. Gemakkelijk blijkt, dat een, twee en drie lijnen / met de beide basisstralen achtereenvolgens een complexnet, een congruentie en een lineair complex bepalen. En aanstonds zal blijken, welk een complex gevormd wordt door de assen der in het weefsel begrepen complexen. (95 ) Het complexweefsel is bepaald door vier onderling onaf- hankelijke complexen C}, Co, Ca, Cas d. w. z. door vier complexen, die niet tot een zelfde complexnet behooren. Zijn nl. # en tj de richtlijnen der congruentie gemeen aan C en Co, tj’ en ty’ de richtlijnen der congruentie gemeen aan Cs en C4, dan zullen de twee lijnen, die op deze vier lijnen rusten, de beide basisstralen van het weefsel doen kennen. a). Het geval, dat s, en s, elkaar snijden, wordt in verband met art. 19 gemakkelijk in zijn bijzonderheden geschetst. 21. Alle complexen, die een gegeven lijn s tot straal hebben, vormen een viervoudig oneindig samenstel, dat we een complexstelsel noemen; van dit stelsel mag s de basis- straal heeten. Elke lijn a’, die s ontmoet, is de as van een oneigenlijk complex in het stelsel begrepen; dus vormen de assen der oneigenlijke complexen in het stelsel begrepen een oneigen- lijk complex met den basisstraal van het stelsel tot as. Het hier beschouwde complexstelsel is niet het meest algemeene. Want dit laatste wordt bepaald door vijf onder- ling onafhankelijke complexen C}, Co, Ca, Can Cp, d. w. z. door vijf complexen, die niet tot een zelfde complexweefsel be- hooren, en deze hebben in het algemeen geen straal gemeen, Dit algemeene complexstelsel bepaald door C, Co, Ca, Cu C5 omvat al de complexen, die met een der vijf complexen en een der complexen uit het door de vier overige complexen bepaalde weefsel tot een zelfden bundel behooren. En nu blijkt gemakkelijk, dat deze verzameling van complexen met - het eerst besproken stelsel daarin overeenkomt, dat alle er toe behoorende complexen, die een, twee of drie willekeu- rig gegeven lijnen tot stralen hebben achtereenvolgens een weefsel, een net of een bundel vormen en er slechts één complex toe behoort, dat vier willekeurig gegeven lijnen tot stralen heeft. Is nl. #° het regelvlak van het net (C, Ci, Ca), zijn daarop sj, sz de basisstralen van het weefsel (Ci, Co, Ca, Ci) en s1,5g die van het weefsel (C, Co, C3, C5), terwijl een willekeurige lijn aanduidt, dan zullen de beide lijnen door de snijpunten van / met F?, die niet met de (96) lijnen s tot hetzelfde stel behooren, aan de oppervlakken (51, 52, l) en (s7,89,l) van den tweeden graad gemeen zijn en deze elkaar dus verder nog volgens een lijn / van het stel der lijnen s snijden. Deze lijn vormt met / de basis- stralen van het door / in het complexstelsel bepaalde com- plexweefsel, enz. Tevens blijkt hieruit, dat de assen der oneigenlijke com- plexen van dit meer algemeene stelsel nu niet een oneigen- lijk, maar een eigenlijk complex vormen. Want alle assen die een lijn l snijden, snijden ook een tweede !', enz. 22. De assen der complexen begrepen in een complex- stelsel vormen de viervoudige oneindigheid der lijnen in de ruimte. Dit is onmiddellijk duidelijk bij het stelsel met een basisstraal s. Want elke lijn a bepaalt een complex, waar- van s straal is. En bij een meer algemeen complex kan men als volgt redeneeren. Zijn op het basisregelvlak 472 van het net (Cj, Cz, C3) door sj, sg en sj',sj weer de basis- stralen van de weefsels (C), C, Cs, C4) en (C5, C5, Ca, Cs) voorgesteld, dan zullen de basisstralen van de weefsels (Ci, Ca, Ca, C5), waarbij Cj elk willekeurig complex uit den bundel (C, C;) aangeeft, op F? de involutie (sj s9, sj 51) vormen. Maar op dit zelfde oppervlak zullen de basisstralen van het weefsel (Cj, Co, C3, Cu), waarvan Cp het complex is met een willekeurig gegeven lijn a tot as en uw tot con- stante, bij verandering van « een tweede involutie vormen. Het aan beide involuties gemeenschappelijke paar lijnen is een stralenpaar van het in het stelsel begrepen complex met a tot as. 23. We zoeken thans de meetkundige plaats van de assen der complexen begrepen in een weefsel. Zijn sj, en sz de beide basisstralen en a de as van een in het door hen be- paalde weefsel begrepen complex, dan hebben naar de uit- drukking van Zeuren (art 11e) de lijnen s, en sz gelijke momenten te met betrekking tot a. Maar dan heeft « ook gelijke momenten 44 met betrekking tot sj en sj. Dus is de meetkundige plaats der lijnen a de meetkundige plaats van de congruentie gemeen aan de beide complexen, die sj en s3 tot assen en « tot constante hebben, als men w laat veranderen. (97) Deze meetkundige plaats van de doorsnee der overeenkomstige complexen van twee projectivische complexbundels is een com- plee van den tweeden graad. Immers de poolvlakken 774 en zz’ van een willekeurig gekozen punt P met betrekking tot de complexen Cu en Cu, die sj en sz tot assen en w tot con- stante hebben, brengen bij verandering van gw twee projecti- vische vlakkenbundels voort, die de loodlijnen uit P op s; en 8 tot assen hebben, en de meetkundige plaats van de snijlijn dier vlakken 77, en 'p is een kegel van den tweeden graad. En evenzoo doorloopen de polen Pu en Pp van een wille- keurig gekozen vlak 7 met betrekking tot de complexen Cu en C' bij verandering van u twee projectivische punt- reeksen, waarvan de in 7v gelegen loodlijnen op s, en sde dragers zijn, en omhult de verbindingslijn dier punten een kromme van de tweede klasse. Dus is de verzameling van assen a een complex van den tweeden graad, wijl de com- plexkegel van elk punt P van den tweeden graad en de complexkromme van elk vlak 7 van de tweede klasse is. Bij de beschouwing van het complex der assen a als de meetkundige plaats der congruenties gemeen aan de over- eenkomstige complexen Cu en C'p van twee projectivische eomplexbundels (C‚) en (C'p) verdient het opmerking, dat de oneigenlijke complexen van den eenen bundel met die van den anderen overeenstemmen, wijl zij met dezelfde waar- den van zw, nl. nul en oneindig, overeenkomen. kn de assen der oneigenlijke complexen, die bij de oneindig groote waar- de van ge behooren, snijden elkaar bovendien, wijl ze beide in het vlak in het oneindige liggen. Dus bevat de meet- kundige plaats een congruentie (1,1), die zich splitst in de congruentie (0,1) der lijnen in dit vlak zr , en de congru- entie (1,0) der lijnen, die sj en sz loodrecht snijden en dus door een in het oneindige gelegen punt P gaan; m.a.w. het vlak sr, is een enkelvoudig hoofdvlak en het punt P‚ een enkelvoudig hoofdpunt van het complex van den tweeden graad. Wanneer de twee basisstralen sj, en sg elkaar snijden, is het vlak (sj, s,) een tweede hoofdvlak en het punt (sj, s9) een tweede hoofdpunt der meetkundige plaats. VERS. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de gLEKS, DEEL V, 1 (98) a). ln het voorbijgaan mag hier worden aangestipt, dat niet elk complex van den tweeden graad door middel van twee pro- jectivische lineaire complexbundels kan worden voortgebracht. Men vergelijke de in art. 13% aangehaalde verhandeling van WEILER. b). Indien er slechts één hoofdvlak en één hoofdpunt is, zal het oppervlak der bijzondere punten van het complex van den tweeden graad een oppervlak van den derden graad en de derde klasse wezen. Zijn er echter twee hoofdvlakken en twee hoofd- punten, dan gaat het bedoelde oppervlak in een oppervlak van den tweeden graad en de tweede klasse over. 24. Eindelijk bepalen we de meetkundige plaats van de assen der compiexen begrepen in een net, waarvan sj, 83, S3 de gegeven basisstralen zijn. We slagen hierin onmiddellijk als we dit net als aan de weefsels (sj, sg) en (sj, 53) ge= meen beschouwen. Dan blijkt namelijk, dat de bedoelde meetkundige plaats als de doorsnee van twee complexen van den tweeden graad met een gemeenschappeliijjk hoofd- vlak z, een congruentie (4,3) is. Zijn de basisstralen sj, 59, sz evenwijdig aan een zelfde vlak, dan zal het gemeenschappelijk punt der loodlijnen op dit vlak een gemeenschappelijk hoofdpunt van beide complexen van den tweeden graad zijn en dus de doorsnee een con= gruentie (3,3) wezen. a). Omtrent de bundels, netten, weefsels en stelsels van lineaire complexen vergelijke men nog de verhandeling Zutroduzione alla teoria dello spazio rigato van BÉ. CarorarI en P. peu Przzo, op- genomen in het dit jaar uitgekomen werk Memorie di geometria di Ettore Caporali, en het eerste gedeelte der verhandeling Fon- damenti di una teoria dello spazio generato dai complessì lineart van R. pr Paorrs (Reale Accademia dei Lincei, 15 Februari, 1885). We besluiten met het volgende overzicht, dat uit zich zelf duidelijk is en waarin de overeenkomst tusschen de van boven naar beneden gelezen derde kolom en de van beneden naar boven gelegen vierde kolom in het oog springt, zi Ig H. SCHOUTE. Lineaire complex en de congruentie (LI). | lecol:& Meded: Afd. NLatuurk: 32 R: DEV. (99) mmm ed ae Assen van on Beschouwde p= | Gemeenschappe- | Ar: “| Assen in het Ee Pee lijk - vormen. E Ee lijke elementen. ee Oe algemeen. ® A S2 Ia. Complex. | 5 | (Complex). Ben lijn. Tb. Oneigen- (Oneigenlijk com-| Een lijn. lijk com- plex). plex. IL. Complex-f 4 | Congruentie (1,1) |De twee lijnen |Een regelopper- bundel. met richtlijnen ti ba vlak #2. bio boe UI. Complex- | 3 | Regelvlak s,, 53, s,| Regelvlak der lij- net. nen, die s,, $, $3 snijden. dj Hyperboloide. . Congruentie(4,3) je Barabolorde … Congruentie(3,3) IV. Complex- | 2 | Twee basisstralen |Congruentie (1,1) | Complex van den weefsel. SS met richtlijnen | tweeden graad iBar met hoofdvlak (Foo) en hoofd- punt (Po Va, Beperkt | 1 {Een basisstraal s,. | Oneigenlijk com- complex- plex met as s,. stelsel. Alle lijnen in Vé. Algemeen| 0 Niets. Complex. der complex- stelsel. Groningen, 24 Februari 1888. PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 31 Maart 1888. Tegenwoordig de Heeren : vaN peR Waars, Onder-Voor- zitter, Scroure, Stokvis, Forster, MrcHaAërIs, VAN DE SANDE BAKHUYzEN, ScnoLs, Baenr, HuBrecur, VAN BEMMELEN, PLACE, VAN RreMspijk, Korreweo, A. C. OOpEMANS JR, GRINWIS, DriBerrs, vaN ’r Horr, vaN Dore, Hoer, J. A. C, Oupemars, FRANCHIMONT, LORENTZ, Mac GILLAVRY, PEKELHARING, MAr- TIN, BRUTEL DE LA RIVIDRE, ZEEMAN, BIERENS DE HAAN, VAN Dresen en QC. A. J. A. Oupemans, Secretaris; voorts het correspondeerend Lid de Heer: vaN per Bure en van de letterkundige Afdeeling de Heer: CAMPBELL. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — De Heer Buys Barror heeft zich schriftelijk over het niet bijwonen der vergadering verontschuldigd. De Heer vaN DER Waars leidt, als Onder-Voorzitter, de vergadering. — Worden gelezen Brieven van dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. den Secretaris van het historisch Genootschap te Utrecht, 1888; den Directeur van de Universiteits-boekerij te Upsala, 7 Maart 1887; aangenomen voor bericht, (101) — Voorts Brieven ten geleide van boekgeschenken van de navolgenden: 19. het Ministerie van binnenlandsche Zaken, ’s Graven- hage, 29 Februari 1888; 20. het Ministerie van Marine, 'sGravenhage, 29 Februari 1888; 30. J. F. L. Scunerper, Bibliothecaris der polytechnische School te Delft, 26 Maart 1888; 49. L. JANMART pe BROUILLANT, Brussel, 1888; 50, von Brzorp, Directeur van het kön. preuss. meteorologisches Institut te Berlijn, 1888; 60. J.J. Brive, Bibliothecaris der public Library of Victoria te Melbourne, 18 October 1887; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetui- ging en plaatsing in de boekerij. — De Heer Bierens pe HAAN leest, ook uit naam van den Heer vaN DEN Bere, het rapport over de verhandeling des Heeren Dr. J. ve Vrims (Over vlakke configuraties). De conclusie strekt om haar op te nemen in de werken der Akademie. Aldus wordt besloten. — De Heer Grinwis leest, ook uit naam van den Heer Lorentz, het rapport over de verhandeling des Heeren Dr. V. A. Jurrus (Over de lineaire spectra der elementen). Het voorstel om haar in de werken der Akademie op te nemen, wordt aangenomen, — De Heer VAN DE SANDE BAKHUYzEN deelt, ook uit naam van den Heer Bosscra, mede, dat zij met den Heer Dr. J. D. vaN per Praars overeengekomen zijn, dat deze zijne verhandeling: »Over Standaardbarometers, in het bijzonder over die van het koninklijk Nederlandsch Meteorologisch Instituut” in twee deelen splitsen, en daarvan het eerste voor de werken der Akademie afstaan, het tweede echter voor de werken van een ander wetenschappelijk lichaam bestemmen __ zal, — Dit eerste gedeelte, in ietwat gewijzigden vorm, zou der Commissie van beoordeeling binnen kort opnieuw wor- den toegezonden. — De Heer Martin deelt mede, dat hem door den Heer ( 102 ) VAN LANSBERGE, oud Gouverneur-Generaal van Nederlandsch- Indië, voor het Leidsch Museum ten geschenke werd aan- geboden een stuk kaak van een reusachtigen Ichthyosaurus, afkomstig van de zuidkust van Ceram. Uit dit fossiel kan het bestaan van mesozoïsche lagen op genoemd eiland wor- den afgeleid, en, op grond van het feit, dat in Engelsch- Indië en Australië overblijfselen van hetzelfde dier in het krijt gevonden zijn, ook tot de aanwezigheid van eene krijt- formatie op Ceram besloten worden. De opgave in Bero- HAUS’ »Physikalischer Atlas’ dat er aan de zuidkust van Ceram eene palaeozoïsche formatie zoude voorkomen, is van grond ontbloot. — De Heer J. A. C. Oupemans biedt voor de werken der Akademie aan eene verhandeling van den Heer Dr. J. D. van per Praars, leeraar aan de Veeartsenijschool te Utrecht, getiteld: »Over den Secundeslinger’’, 1° gedeelte. Aan de Heeren BosscHaA, VAN DE SANDE BAKHUYZEN en SCHOLS wordt opgedragen, daarover rapport uit te brengen. — De Heer Lorentz biedt voor de werken der Akademie aan eene verhandeling van den Heer Dr. V. A. Jurius, ge- titeld: »Over de trillende beweging van een vervormden vloeistof bol”. Tot rapporteurs daarover worden aangewezen de Heeren GRINwis en Korteweg, — Daar er verder niets te behandelen is, wordt de ver- gadering gesloten. RAP PORT OVER EENE VERHANDELING vaN Dr. J. DE VRIES, „OVER VLAKKE CONFIGURATIES”. (Uitgebracht in de Vergadering van 31 Maart 1888). De Afdeeling heeft ons in hare zitting van 25 Februari 1. opgedragen, een advies uittebrengen over eene verhandeling van Dr. J. pe Vries, met den titel: Over vlakke configuraties; zij bevatte 9 paragrafen. Spoedig daarop zond de schrijver ons paragraaf 10 tot 18, die wij gemeend hebben bij de beoor- deeling in het stuk te mogen opnemen. De configuraties zijn door den Straatsburger hoogleeraar Tu. Reve het eerst genoemd in zijn bekend werk: Geometrie der Lage, en daarna door hem behandeld in Crerue's Jour- nal, Bd. 86, in zijn Systematische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsystemen, en in de Acta Mathematica, T. 1. Schr. begint met de bepaling van zulk eene vlakke con- figuratie, en de nomenclatuur, die door KANTor, SCHOENFLIES, AmesEDEr, allengs daarbij werd ingevoerd ter verduidelijking en vereenvoudiging; — en behandelt dan, als punt van uit- gang de configuratie (124, 163), gevormd door de twaalf ge- lijkvormigheidspunten van vier cirkels. Hij bewijst, dat die configuratie is samengesteld uit drie quadrupels, in iedere waarvan elk drietal punten de rest- figuur van het vierde punt is, en daarop, dat omgekeerd elke configuratie (124, 163), welke uit drie zoodanige qua- (104) drupels samengesteld is, tot een in vorm bepaald stel van vier cirkels behoort. Van deze configuratie leert hij onder- scheidene merkwaardige eigenschappen, in verband met de theorie der volkomen vierhoeken en vierzijden — en komt eerst tot de configuratië (154, 203), die op bepaalde wijze met de eerste samenhangt, — en later tot de (geassocieerde) configuratie (124, 163), die met de eerste de hoekpuntslijnen gemeen heeft, en weder tot de gelijksoortige configuratie (154, 203) voert. De hoekpunten van twee zoodanige ge- associeerde configuratiën vormen met de achttien hoekpunts- lijnen eene nieuwe configuratie (245, 18,4). Door de punten van vier der quadrupels dezer configuratie en het gemeenschappelijk nevenhoekpunt der beide overige quadrupels wordt eene kromme der vierde orde K, bepaald. Door de punten eener regelmatige configuratie (124, 163) gaat steeds eene kromme der derde orde Kz. En van deze worden dan merkwaardige betrekkingen met de configuratie aangetoond. In de laatste paragrafen wordt in hoofdzaak eene configu- ratie (124, 163), van anderen aard dan de voorgaande, onder- zocht, en worden hiervoor nieuwe eigenschappen afgeleid met betrekking tot eene eentakkige, en tot den oneven tak eener tweetakkige kromme der derde orde. Met eene nadere opsomming der uitkomsten willen wij de Afdeeling niet lastig vallen, maar merken alleen op, dat zij merkwaardig zijn, en door eene eenvoudige, heldere methode worden gevonden. En daarom aarzelen wij ook geenzins de Afdeeling aanteraden, dit stuk in hare werken optenemen, waarin het de plaatsing volkomen verdient. Leiden en Hilversum, 20 en 19 Maart 1888. D. BIERENS DE HAAN, F. J. VAN DEN BERG. OVER VLAKKE CONFIGURATIES, DOOR J. DE VRIES. 1 Hene configuratie (pm, l,) is eene vlakke figuur, welke uit p punten en / rechte lijnen zoodanig is samengesteld, dat met elk punt mm lijnen en met elke lijn n punten inci- dent zijn *). Om de verschillende, collineair niet verwante, configuraties, welke bij vier bepaalde waarden van p, m, l, n behooren, van elkander te onderscheiden, kan men vaak met vrucht gebruik maken van de restfiguren f). De rest- figuur van een punt der cf. ontstaat, wanneer men de in dat punt samenkomende lijnen met de op hen gelegen pun- ten der cf. afzondert; zij wordt gevormd door de overge- bleven punten en de lijnen der cf., welke minstens twee dezer punten bevatten. ene cf. heet regelmatig $), wanneer zij ten opzichte van al haar punten en lijnen op gelijksoor- tige wijze is samengesteld, Hene lijn, welke twee punten der ef. verbindt zonder tot haar te behooren, heet diagonaal **): de door haar vereenigde punten worden gescheiden jf) pun= ten genoemd. Het uitgangspunt der volgende beschouwin= gen is eene door de geliijjkvormigheidspunten van vier cir- #) Reye, das Problem der Configurationen, Acta Math, I. }) Kanror, die Conf. (3, 3)io, Wiener Sitzber., Bd. 84. $) Scroexruies, Veber einige ebene Conf, Nachr. d. Kôn. Ges. d. Wiss. Göttingen, N°. 14, 1887. %) Reys, Die Hexaeder und Oktaeder Cf, dcta Math, L, Ff) ScHoENrFuIEs, |. c. (106 ) kels gevormde cf. (124, 163), welke in de theorie der krommen van de derde orde en der krommen van de vierde orde met twee of drie dubbelpunten een groote rol speelt *). 2. De 12 geliijjkvormigheidspunten, welke vier cirkels 2 aan 2 bepalen en de 16 gelijkvormigheidsassen, op welke zij in drietallen gelegen zijn, vormen eene (12,, 163). Stel- len wjg en tg het uitwendige en het inwendige gelijkvor- migheidspunt der cirkels 1 en 2 voor, dan bevat de vol- gende tabel de verdeeling der 12 ef. punten over de 16 cf. lijnen. Uig Uiz3 Ugz | UZ4 UZ Uia lig 3 Uazl34 U3 Uiá Uig 3 P23 |Uz4 U3 Va [Uig Uig Voz |L34 Ui3 Ca ( A) Uig Uia Uoal Uza U93 Uza |U19 Via Uz4l?34 3 Uo4 Uig Va La |U34 U3 VUa4 TU Wia Poa 1U34 UZ3 Vo4 De punten w34 Co dga, welke niet gelegen zijn op de in ujg samenkomende lijnen, zijn »gescheiden’’ punten; zij vor= men dus met wjg een gesloten groep, waarin elk drietal punten de rol van restfiguur van het vierde punt vervult. De cf. bestaat uit drie zulke kwadrupels, en behoort blijk- baar tot de regelmatige. Elke (12,, 163) waarvoor de verdeeling der cf. punten over de ef. lijnen door tabel A kan voorgesteld worden, kan uit vier cirkels worden afgeleid, waarvan de middel- punten en de verhoudingen der stralen door de cf. gegeven zijn. Immers worden de drie paren overstaande hoekpun- ten van eene tot de cf. behoorende volledige vierzijde door wig Ùa Uiz Cz UZ Ugz aangewezen en de drie snijpunten der diagonalen mj mg mg genoemd, dan geeft de stelling van de Ceva Ug My X Ugg Mg X Uig Mg — Uig Mg X Ugg Mg X Uig Mys en deze vergelijking is niet in strijd met *) AMESEDER, Conf. u. Polygone auf biquadr. Curven., Wiener Sitz. ber, Bd. 93, (107) Uig Nij 6 Uig Ng == Tj * Tg Ug3 Mg © Ugg Mg == rg 5 Tg Uj3 Mg d uz3 My En rg d Te 3. Worden de kwadrupels eener (12,, 163) door de let- ters a; b; cj (@= 1, 2, 3, 4) onderscheiden, dan kan tabel A door het volgende overzicht vervangen worden, dj hi Cj 4) bi Cy | U3 bi C3 a4, bi C4, ar Og Cg |ag bg c7 |ag bg ca | aA bg Ca . (B). aj bg c3 [ag 03 ca [ag bz cj \44 bz Cg aj Da CA | Ag Da C3 | Qg ba Cg | 44 ba, Cj Hieruit blijkt, dat a, het gemeenschappelijk hoekpunt is van 6 volledige vierzijden, in welke elk der punten ag a3 aa tweemaal als overstaand hoekpunt van a, voorkomt. De ef. bestaat dus uit 12 volledige vierzijden en, in verband daarmede, uit 48 driezijden. De lijn a, bj cj wordt in de punten aj bj cj door 9 andere cf lijnen gesneden; de overige 6 lijnen, namelijk Ag b3 C4 Ag ba C3 43 ba Cg en ag Da Ch“ Ne here erde e (C) aa by c3 aa bz Cz vormen eene (93, 63). Elk der beide afzonderlijk geschreven drietallen van lij- nen bevat de 9 punten a b c; deze kunnen dus als de basis van een krommenbundel der derde orde beschouwd worden. 4, Daar bj cy en bz cg in ay, ag cg en ag cz in bj, ao dg en ag bg in cj, samenkomen, liggen de cf. driehoeken a, bg ca, ag bg cz collineair ten opzichte van aj bj c1 als as en het punt Ò, == (ag ag, bp bg, Cg C3) als centrum. Op dezelfde wijze blijkt, dat de „„diagonalen”’ ag a4, bg ba, Cp C4 naar een punt Òg, ag aas bg bas C3 Ca naar Ò, convergeren. Nu is cj als snijpunt van az by, az ba, da ba het collineatie= centrum der diagonaaldriehoeken az ag 44; bz bz by; dus (108 ) zijn Òs 3 Ò4 als snijpunten van overeenkomstige zijden in- cident met de collineatieas dier driehoeken, die tevens de collineatieas is voor de driehoeken a, az a4, cg C3 C4 met centrum bj en bg b3 by, Cg C3 Cy met centrum aj. „Elke lijn is de gemeenschappelijke collineatieas van drie „ef. driehoeken, waarvan de drie collineatiecentra gelegen „zijn in eene rechte, die tevens de gemeenschappelijke colli- ‚„neatieas van drie uit dezelfde negen hoekpunten gevormde „diagonaaldriehoeken is, wier collineatiecentra met de ge- „noemde ef. lijn incident zijn.” Anders uitgedrukt: „Elke ef. lijn behoort met de 9 op haar samenkomen- „de cf. lijnen, de 9 diagonalen, die haar niet in cf. pun- „ten snijden, en de verbindingslijn der drie punten, in „welke deze diagonalen in drietallen samenkomen, tot eene „(154, 203), waarin elk punt eene volledige vierzijde tot „restfiguur heeft.” De (154, 203), waartoe a, bj cj aanleiding geeft, bestaat uit de lijnen: ay bg Cz a, Ò3 C3 ar ba ca 4 bi Cj Ag Dg Cj 43 b3 C A4, ba Ci ag bj Cg as bj C3 a, Dj ca (D.). Òs 43 Q4 Òz D3 Da, Òs C3 C4 Òs Òs Ò, Òs Ag A4 Òs Dg ba 3 Cg C4 Ö4 45 d3 Ò4 bg b3 Ò4 Cg (3 Uit deze rangschikking blijkt, dat de lijnen a, bj cj en Ò, Òz Ò, met elk der nevens hen geschreven drietallen eene volledige vierzijde vormen. Met het oog hierop kunnen de 20 ef. lijnen tot 10 paren gebracht worden. Elke der 15 volledige vierzijden, welke in de cf. voorkomen, is de rest- figuur van het snijpunt der 4 lijnen, welke de zijden der volledige vierzijde tot paren aanvullen. 5. Met behulp van de notatie (ar az, bj bi, cj Ci) = &i, (ay ai br bho cj Ci) — fÎis (ar ai bj bi, Ck Cy) — ir (Waar (309) i = 2, 3, 4), geeft de volgende tabel eene samenstelling van de 16 cf. lijnen der (12,4, 163) met de ef. driehoeken, waarvan zij de collineatieassen zijn en de overeenkomstige collineatiecentra; elke regel bevat de 15 punten eener cf. (154, 203). pe Cf, lijnen. an bi C1 ar bg ca an bg c3 an Da ca ag bi ca ag ba Ci ag D3 Ca a by Cz as Ù1 cz az Dg ca ag O3 ci ag ba cz aa bi ca as bg Cz ag, O3 Ca as Da cj De 12 as Da Ca ag Di C1 ag ba Ca ag bz C3 aj Og c1 ar bi € a 04 C3 ar Dz Ca, aj O3 c1 an Da Cz ai bi c3 an Da ca an Da c1 an 3 Ca an ba c3 aj Dj ca Cf. driehoeken. az Dz Cz q3 Da C4 az Oy cj ag Og ca az ba C3 Q3 D3 Ca az Dg Cj Q3 bj C3 ag ba Cz ag Ds Cj ag bg ca ag bi C3 ag 03 Cc ag Da, ci az bi ca Ug Dg C3 ag, Da C4, au, b3 Cz a, bg Ca aa, Oi C1 aa Dz Ca aa Da, es aa bj € a4, Dg C1 aa bg Ca as bi €3 a4 ba Ca as 3 C1 az bg C3 az bi C4 ag ba, C1 q3 D3 Ca Coll. centra. Ò4 Ò, ò3 4, X3 Òg A) Òs Ò4 &g 3 3 Òs Pa y3 Òs a Ps dg 4 | y3 a Pa Ba Òs Pa EREN ya Ò3 Ya ya 3 4 2 Òs 3 Pz aa Y3 Ya Ga (J3 Ya Ò4 73 (B) collineatiecentra a; 2; yi; Ò; vormen met de 16 lijnen, op welke zij in drietallen gelegen zijn, eene cf. (12,, 163), die met de cf. a; b;c; gelijksoortig is. Immers, door «4 gaan 4 lijnen, die achtereenvolgens de punten 3 Ya Bz 3, &3 Òz, «z Òz bevatten, terwijl de drie overige punten (110) Ba ya Òs gescheiden zijn; elk viertal punten a /2yÒ met gelijke indices vormt een kwadrupel der nieuwe (124 , 163), die de geassociëerde cf. zal genoemd worden. In de volledige vierzijde a,ag, bj bg, cj cg worden de hoekpunten aj ag door 9 == (ay ag, bj ba) en (73 = (aj 43; Cj €) harmonisch gescheiden. De 18 diagonalen der oorspron- kelijke cf. geven dienovereenkomstig de in tabel (F) ver- eenigde harmonische groepen. a, ag Ps ya | bi be A2 ya | en Ca &2 (F2 an ag F3 ys | bi bs 8 ys | a c3 &3 Î3 ar aa Ba ya | by ba a ya | cr ca Ga fÎa Ag A3 @X4 Ò4 Da Da Pa Ò4 Cg C3 Va Ò4 (F) ag aa 3 Ò3 | ba ba (F3 Òz | ca ca ys Ò3 ag as @3 Òy | bg ba (32 Òa | ez ca Yo Òp Evenals bij de ef. a; b; c; onder 4 is geschied, kan ge- makkelijk aangetoond worden, dat d Ò3 Ò4 de gem: colli- neatieas der driehoekeu ag az «4, (93 (93 (las Yo Y3 Ya is, terwijl de diagonaaldriehoeken as (99 2, «3 (23 Y3: aa (Ba yade lijn aj bj cj tot gem: collineatieas hebben, zoo- dat de punten a; (9; ys Ò; aj bj cj eene met de boven gevon- dene gelijksoortige ef. (154, 203) vormen. De lijnen aj bj cj en Ò, Òs Ò4 zijn dus door eene wederkeerige betrekking verbonden. „Twee geassociëerde cf. (124, 163) hebben de diagonalen „gemeen, en vormen op deze harmonische groepen. In elk „der 24 punten komen drie diagonalen samen; elke der „92 lijnen behoort met de punten der andere cf. tot eene „(154, 203), waarin zij met eene bepaalde lijn der tweede cf. „nauwer verbonden is.” 6. De lijnen der tweede cf. (124, 163), welke in tabel (E) overeenkomen met vier door een punt der eerste cf. gaande cf. lijnen, vormen eene volledige vierzijde. De beide ef. (99, 63), welko de restfiguren van twee overeenkomstige lijnen der beide ef. vormen, bestaan, zooals uit (B) volgt, uit overeenkomstige lijnen. (HI) „De hoekpunten van twee geassociëerde (124, 163) vormen ‚„met de 18 gemeenschappelijke diagonalen eene cf. (243, 184) „die uit twee groepen van drie volledige vierhoeken zoodanig „is samengesteld, dat elke vierhoek der eene groep met elken „vierhoek der andere een nevenhoekpunt *) gemeen heeft.” Elk der 6 kwadrupels, uit welke de cf. (243, 184) bestaat, bepaalt een volledigen vierhoek; het snijpunt der lijnen ar ag Fy yg en ag aa dg Òy is b.v. het gemeenschappelijke nevenhoekpunt der vierhoeken aj ag ag aa en @9 (93 ys Òs. Uit tabel (F) kan verder afgeleid worden, dat de 8 cf. lijnen der (243, 184), welke a; og (9 yz in ef. punten snijden, ook op 43 a4 dg Òg samenkomen; de overige 8 vormen eene (16,, 84), waarvan de punten als de basis van een krom- menbundel der vierde orde kunnen beschouwd worden, daar zij de snijpunten zijn van twee uit rechten samengestelde Ki ’ nl. bj 03 @3 Y3 bj ba Ca Y4 ba ba B3 ò3 ba ba (Ja Öaen (1) cj ca a (ds Ci C3 A3 (dz né Cz 3 Ya Òa c2 ca Ys Ò „Door het gemeenschappelijke nevenhoekpunt van twee „kwadrupels der (2435, 184) en de punten der overige vier „kwadrupels gaat eene kromme K4’’. 7. De hoekpunten der volledige vierzijden a, ag bj Os Cj Cg Aj aa bg bz Cg cq bepalen eene kromme K3; op haar behooren a; ag aa , bj bg ba, ci Cz C3 tot drie puntkwadrupels. 4) Daar de corresponderende punten bj bz uit aj in de corre- sponderende punten cj c3 geprojecteerd worden, zijn ook ag == (bj c3, bz cj) en aj correspondeerende punten. $) Om %*) Het snijpunt van twee overstaande zijden van een volledigen vier- hoek wordt nevenhoekpunt genoemd. j) Een puntkwadrupel op K; bestaat uit 4 punten met gemeenschappe- lijk tangentiaalpunt. Zie Durège, die ebenen Curven 3ter Ordnung, blz. 207, 8) 1. c. blz. 209, (112) dezelfde reden vormen b4 == (aa cj, ag c3) en ca == (ag ba, aa bj) met bj resp. cq twee paren corresponderende punten. »Door de punten eener (124, 163) gaat steeds eene twee- »takkige kromme der derde orde; de cf. bestaat uit drie »puntkwadrupels met collineaire tangentiaalpunten…”’ »Hene cf. (124, 163) is volkomen bepaald door twee vol- »ledige vierzijden, welke eene zijde en de daarop gelegen »hoekpunten gemeen hebben, mits de overstaande hoekpun- »ten tot hetzelfde kwadrupel worden gerekend” Kent men bijv. a3bjc3, ag b3 cj, ag bg ca, dan bepalen ar == (bier, b3 ez) en ag == (bg cj, bz ca) met de 7 gegeven punten de K3, welke door de punten der cf. gaat; voor de ontbrekende punten heeft men aa == (bg cz, bj ca), ba == (ag cz, aa ci) cg = (a bo, ag bj): Daar Pa == (aj az, az aa), ps = (aj A3, Ag A4), Pa == (47 A4, ag 3) met het tangentiaalpunt pj van a; een puntkwadrupel vor- men *), gaat de door (124 , 163) bepaalde K3 ook door de 9 nevenhoekpunten der kwadrupels a; b;c;. De cf. is dus, in het algemeen, ook bepaald door een kwadrupel en twee punten; de 6 punten en 3 nevenhoekpunten van het ge- geven kwadrupel zijn alleen dan niet toereikende voor da constructie der ef, wanneer de kegelsneden, welke het kwa- drupel met de beide andere punten verbinden, door de ver- bindingslijn dier punten, worden aangeraakt 4). 8. Daar de nevenhoekpunten der kwadrupels eener (124, 163), in andere volgorde genomen, de nevenhoekpunten der geassociëerde cf. zijn, behooren zij tot de beide krommen K3, welke door de twee cf. bepaald worden. Stelt men (ar ajar ar) = pi, (bibi, brb) =gi (eren eren) =r;(i=2,3,4) *) Durkee, Ll. e. blz. 214 of 227. T) Durben, 1. c. blz. 280. Ook kan men raadplegen Wevyg, Zur Er- zeugung der Curven 3. O. Wiener Sitz. ber. Bd. 58. (113 ) dan zijn, blijkens tabel (F) r3, go, pg de nevenhoekpunten van @sf29y2Ôs, 73 q3p3 en ra qa pa resp. de nevenhoek- punten van c3 (23 y3 Ò3 en wa (34 ya Ò4. De punten p;q; 7; vormen met de tangentiaalpunten py gj rj der kwadrupels a;, b;, ce; eene (124 , 163), met de tangentiaalpunten t; der kwadrupels (@;(% ; Ò;) eene tweede (124, 163). De restfi- guren (99, 63) der cf. lijnen pj gj * en tz tz t4 kunnen niet verschillen, daar de 9 nevenhoekpunten geen bestaanbare (94, 123) kunnen vormen *); inderdaad bestaat de restfiguur voor beide lijnen uit: Pa 73 74, P3 9479, P4 Jg 73 Be [0 16 © ee © € (EH) P2 9473, P3 I3 74 PA Y3 Tg De overige 20 lijnen der beide (124, 163) zijn, met het oog op tabel (B), Pi A” ig P3 P4 P1 92 72 t 93 94 P1 93 73 lg 73 74 Pi 94 74 í3 Pa P4 Pa %1 72 ro JA piens alle, Elia (ete (5) Pz Js 1 l3 72 74 P3 A1 73 ta Ps Pz P3 93 ”1 ta Jz 93 pa A 74 t4 Tg 73 pa qa Ti tg tg ta Zij vormen, met de 15 op hen gelegen punten, eene cf. %*) Worden van eene (9,, 12,) een punt en de 4 in dat punt samen- komende lijnen weggelaten, dan ontstaat eene cf. 8,, welke niet bestaan- baar is (KaNror, Weber die Conf, (3,3) mit den Indices 8,9. Wiener Sitzber. Bd. 84). VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de BEEKS. DEEL V. 8 CHA) (154, 203), die collineair verwant is met de onder 4 gevon- den ef., omdat, zooals gemakkelijk uit tabel (I) wordt afge- leid, elk ef. punt eene volledige vierzijde tot restfiguur heeft. »Door de 9 nevenhoekpunten der puntkwadrupels, welke >bij 3 collineaire tangentiaalpunten eener K3 behooren, wor- »den twee cf. (124 , 163) bepaald, welke eene cf. (99, 63) »gemeen hebben; de niet gemeenschappelijke lijnen behooren »tot eene cf. (154, 203).” 9. De bovengenoemde (154 , 203) komt dualistisch over- een met de cf. (203, 154), welke door de 15 machtlijnen en 20 machtpunten van 6 cirkels gevormd wordt. Immers, worden de machtlijnen der cirkels 1 2 3 4 5 6 aangeduid door 12 23 34 45 56 13 24 35 46 IA br BENEL AN (K) 15: > 26 16 dan wordt 12 door de. lijnen 13, 23; 14, 24; 15, 25; 16, 26 in de machtpunten 123, 124, 125, 126 gesneden, terwijl de paren 35, 45 en 36, 46 in de op 34 gelegen punten 345, 846, en in de tot 56 behoorende punten 356, 456 samenkomen; de restfiguur van 12 is dus een volledige vierhoek, welke reciprook overeenkomt met de volledige vierzijde, die als restfiguur van elk punt der (154, 203) werd opgemerkt. Tabel (K) levert nu tevens eene geschikte notatie voor de 15 punten eener (154, 203) waarvan alle punten volledige vierzijden tot restfiguren hebben; de 20 lijnen der ef. kun- nen dan door de teekens 123, 124,..... 456 worden voor- gesteld. Met behulp van deze schrijfwijze vindt men: ‚Elke lijn der beschouwde regelmatige (154, 203) vormt »met de 9 lijnen, welke haar in cf. punten ontmoeten, drie »volledige vierzijden, terwijl de overige 10 cf. lijnen even- veens drie volledige vierzijden met eene gemeenschappelijke »zijde opleveren.” (115 ) Voorbeeld. 123 123 123 456 456 456 | 124 125 126 356 256 158 14 136 345 245 145 236 || 346 246 146 | ed edu) En amd (edu) Or De lijnen der cf. kunnen dus tot 10 paren van „„geasso- ciëerde” lijnen gebracht worden. Daar de in 12 samenko- mende lijnen 123, 124, 125, 126 door 456, 356, 346, 345 tot paren worden aangevuld, bestaat de restfiguur van elk ef. punt uit de geassociëerden der met dat punt incidente ef. lijnen. Op dezelfde wijze als in 4 kan nu aangetoond worden, dat elke ef. lijn de gemeenschappelijke collineatieas van 3 ef. driehoeken is, waarvan de collineatiecentra met de ge- associëerde lijn incident zijn. Zoo is 128 de collineatieas der driehoeken (14, 24, 34), (15, 25, 35), (16, 26, 36), met de collineatiecentra 45, 56, 46, terwijl omgekeerd 456 de collineatieas van (14, 15, 16), (24, 25, 26), (34, 35, 36) met de centra 12, 23, 18 is. Im verband hiermede blijkt nu, dat de in 4 afgeleide (154, 203) eene bizondere ef. is; immers, wanneer de 12 punten 12, 23, 183; 14, 24, 34; 15, 25, 35; 16, 26, 36 tot eene (124, 163) behoorden, zouden o.a. de punten 35, 24, 16 collineair moeten zijn, hetgeen, met het oog op de reciproke cf. der machtpunten en machtlijnen van 6 cirkels, in het algemeen niet waar is. „De bovenbesproken regelmatige (154, 203) is volkomen bepaald door drie volledige vierzijden, welke drie collineaire hoekpunten gemeen hebben.” De cf. (154, 203) kan nog uit een ander oogpunt be- schouwd worden. Elk van haar punten, b.v. 12, is het gemeenschappelijk collineatiecentrum van 4 paar driehoeken 23, 24, 25 en 13, 14, 15 met collineatieas 345 23, 24, 26 en 13, 14, 16 met collineatieas 346 23, 25, 26 en 13, 15, 16 met collineatieas 356 24, 25, 26 en 14, 15, 16 met collineatieas 456. 8 (116) De cf. is dus ook bepaald door twee volledige vierhoeken, waarvan de hoekpunten op vier in een punt samenkomende lijnen liggen. De 12 punten en 16 lijnen der (124, 163) geven dus aanleiding tot 28 cf. (154, 203). 10. Liggen de hoekpunten ajg aga, big b34, Cio C34 eener volledige vierzijde op een eentakkige kromme der derde orde of op den oneven tak eener tweetakkige K3, dan behooren de 6 paren aj ag, ag a4, bj bg, 53 ba, Cj Cg, C3 Ca, welke de genoemde hoekpunten tot tangentiaalpunten hebben (en voor het geval der tweetakkige K3 op den oneven tak lig- gen) tot eene cf. (124, 163), welke slechts 4 volledige vier- zijden bevat, nl. ay Ag, by bg, Cj Co met satelliet aj9 bijg cia aj aa, bz ba, cz ca met satelliet aj, b34 c34 Ag A4, bi bo, C3 C4 met satelliet A34. Dia C31 az aa, bz ba, Cj cq met satelliet a34 b34 Cj3- Deze cf. is dus niet gelijksoortig met de boven be- schouwde (124, 163) waarvan de lijnen 12 volledige vier- zijden vormen; zij worde van de eerste, die A genoemd zal worden, onderscheiden door bijvoeging van de letter B. Komen bj e1, Og Co, Dg Cz, ba Ca in ay samen, dan is az het snijpunt van bj co met bg ej en van bz c4 met ba c3; gaan verder bj c3 en bg ca door ag, dan moet a3 bz het punt cz en az ba het punt cj bevatten, daar ag en aj, omdat zij niet hetzelfde tangentiaalpunt bezitten, niet de overstaande hoekpunten van eene volledige vierzijde kunnen zijn. De volgende tabel geeft dus de verdeeling der 12 punten over de 16 lijnen der ef. (124, 163) B. ar bi ci | a Dj ea | as bj e3 | aa Dj Ca dj Ds Cg Ag bs Ci 43 Da C4 qU4 Da Cg . (L) aj b3 C3 4) Da C4 | A3 Da Cg q4 b3 cj a, ba ca | ag ba cz } az ba cj | aa Ùa cz Door permutatie der letters kan uit tabel (L) afgeleid worden, dat de cf, welke door (B) en (L) worden aange- (117 ) wezen, de eenigste (124, 163) zijn, welke drie kwadrupels van onderling gescheiden punten bezitten. Daar de lijnen bj cj, cj ba, ba ca, ca bo, bg Co, Ca ba, bg C3, C3 by beurtelings door aj en az gaan, zijn deze beide punten de hoofdpunten van eene SteiNer’sche achtzijde *). Blijkbaar komen in de cf. nog 11 figuren van dien aard voor. 11. „Elke ef. (124, 163) waarvoor de verdeeling der pun- „ten over de ef. lijnen door tabel (L) kan worden voorge- „steld, bestaat uit 6 paren, correspondeerende punten eener „‚Äz. waarvan de 6 tangentiaalpunten eene volledige vierzijde „vormen. Immers op de K3, welke door aj ag, bj bo, ci co, as 3 Ca gaat, zijn de eerste 6 punten drie correspondeerende paren met collineaire tangentiaalpunten ajg big Cig. Daar een cor- respondeerend paar uit elk punt der K3 in een ander cor- respondeerend paar geprojecteerd wordt, en ag de projectie van bj uit cg en van co uit bz is, zal het met ag correspon- deerende punt uit cz In bg en uit bg in cj geprojecteerd wor- den, dus met a4 samenvallen. Op dezelfde wijze blijkt, dat ba == (aa co, az Ci) met bz == (aa cj, az Cg) en ca =(a4 bj, ag bg) met cz == (aa bg, ag bj) een correspondeerend paar vormt. De tangentiaalpunten a34 b34 c34 der laatste drie paren liggen twee aan twee resp. met cjy aj bjg collineair, zoodat de 16 linen der ef. (124, 163) B eene gemeenschappelijke tweede satelliet bezitten, nl. de satelliet der zijden van de door de 6 tangentiaalpunten bepaalde vierzijde. Hieruit volgt, dat de ef. B bepaald is door eene volledige vierzijde aj az, bj bg, cj cg en een driehoek a3 b3 cz, waar-= van de zijden az b3, bg c3, c3 ag met drie niet collineaire hoekpunten der vierzijde incident zijn. De overige drie punten worden dan gevonden uit a4 == (b3 Cj, bg c3), 4 == (az c5, Ag C3), ca == (ag bz, ag bg). (zie tabel L. 12. De restfiguur van aj bj cj bevat de lijnen \ Ag ba C4s * dg Dg Cs A4 Da C3 | ag ba ca, az 3 Co aa Da cg *) De Sreiner’sche veelzijden werden o. a. behandeld door Dr. P. H. Scuoure in „Die SreiNer’schen Polygone.” J. v. CRELLE 95, (118) Zij bestaat uit twee driehoeken a4 ba cz en as bg ca, waatr- van de zijden twee aan twee in de niet collineair gelegen punten cz az bg samenkomen, zoodat zij niet gelijksoortig is met de ef. (95, 63), welke als restfiguur van elke lijn der ef. (124, 163) A werdt opgemerkt. De beide genoemde restfiguren zijn de eenigste cf. (99, 63), hetgeen men gemak- kelijk kan aantoonen door uit te gaan van twee gescheiden ef, lijnen en te onderzoeken op welke wijzen de overige 4 lijnen door de 6 aangenomen punten kunnen gaan. De punten ag bz c4 worden uit cj aj bj in de collineaire punten bg cz a4 geprojecteerd; de overige drie punten vormen een cf. driehoek. Daar elke lijn der ef, (124, 163) B op deze wijze met elke lijn van haar restfiguur (93, 63) B in verband gebracht kan worden, bevat de cf. 16 cf (9, 635) A. De voornaamste punten van verschil tusschen de beide (124, 163) zijn in het volgende overzicht samengesteld. A. 1. De 12 punten vormen ò, puntkwadrupels van eene twee- takkige Ks; de drie tangen- tiaalpunten zijn collineair. 2. Elk punt is als hoekpunt aan 6 volledige vierzijden ge- meen. 3. Elke lijn behoort tot 8 volledige vierzijden. 4. De restfiguur van elke ef. lijn is eene (9, 63) A. 5. De cf. is bepaald door een driehoek, waarvan de zijden door 8 collineaire hoek punten eener volledige vierzijde gaan. 6. De cf. bevat 8 kwadru- B. 1. De 12 punten vormen 6 correspondeerende paren eener K3; de tangentiaalpunten vor- men eene volledige vierzijde. 2. Elk punt behoort tot 2 volledige vierzijden als hoofdpunt tot 2 SreiNeR’sche achtzijden, 3. Elke lijn behoort tot 1 volledige vierzijde en tot 6 STriNER’sche achtzijden. 4. De restfiguur van elke ef. lijn is eene (9,, 63) B. 5. De cf. is bepaald door een driehoek, waarvan de zijden en door 8 niet collineaire hoek- punten eener volledige vierzijde gaan. 6. De cf. bevat geen kwa- (119) Á. B. pels van onderling gescheiden |drupels, maar 32 tripels van ef. lijnen. Door afzondering van |onderling gescheiden cf. lijnen. zulk een kwadrupel ontstaat eene regelmatige cf. 123, welke als het samenstel van twee in elkander beschreven zeshoeken kan beschouwd worden. 13. Behooren de hoekpunten a;9 aa, Dia 034, C1g C34 eener volledige vierzijde tot den oneven tak eener uit twee deelen bestaande Á3, dan vormen de 6 puntkwadrupels a; ag xj aa, az aa A3 a , bibo di Fz, baba 3 Pa, Ci 0212134 3 4 eene cf. (243, 643), welke samengesteld is uit de 4 cf. (124 , 163) A, waarvoor de zijden der volledige vierzijde de satellieten zijn. Liggen de door grieksche letters aangewezen punten op het ovaal der K;, dan bevat de (249, 643) de volgende cf. (12, , 163) B: Uy Ay, AZ A4, Di Da; Da ba, Cj Cg) C3 C4 5 Ui Ag, Az a, bi Oo, F3 Jas Ca Can Hadden Mj Ag, Az Aas rfdo, 3 Pas Y1Y2s Y3 AS Oj Ag, @3 a, bg ba, 172, 3 CA» Y1/2s AU A3, A3 da, Dj Dz, Da Da, Y1Yas Y3 AS Ui As Az la, (P1(Fo, (Palas C1 Cas CB CA; jg, Ag aa, Oi Do, F3 Pa, C3 Cas Y1Y2s jg, Az Aa , (F1fFa, Da ba, a Cy» Y3y4- Elk punt der (2439, 643) is dus hoofdpunt van 8 Srzer- NER'sche achtzijden, waarvan het andere hoofdpunt tweemaal samenvalt met elk der punten van het kwadrupel, waarvan het tangentiaalpunt met het tangentiaalpunt van het eerste hoofdpunt een corresponderend paar vormt. De cf. bevat dus 96 SrriNer’sche achtzijden, en daar in elke (124, 163) B 12 zulke achtzijden voorkomen, zijn de bovengenoemde 8 cf. B de eenigste, welke uit de 6 kwadrupels kunnen gevormd worden. De restfiguur van elke lijn L der cf. is eene (21, 423) bestaande uit eene (9), 63) A als restfiguur van L in de (120) (124 , 165) A waartoe die lijn behoort, en uit de figuren, welke uit de overige 3 cf. A gevormd worden door een punt van L met de 4 daarmede incidente lijnen weg te laten. Daar elke diagonaal der door de 6 kwadrupels dezer’ (243, 643) bepaalde volledige vierhoeken tot twee cf. (124 , 163) A behoort, bevat zij twee paar punten van ge- associëerde cf. A, die elk met twee andere diagonalen inci- dent zijn; de punten der 4 cf. A vormen dus met de pun- ten der 4 geassociëerde cf. en de 36 diagonalen eene cf. (723, 366), waarin op elke lijn twee punten door twee paren van punten harmonisch gescheiden worden. NE RSA GG OVER DE VERHANDELING VAN DEN Heer Dr. V. A. JULIUS „DE LINEAIRE SPECTRA DER ELEMENTEN”. (Uitgebracht in de Vergadering van 31 Maart 1888). De Commissie, door U benoemd om verslag uit te bren- gen over de verhandeling van den Heer V. A. Jurrus, getiteld: De Wneaire spectra der elementen, heeft de eer het volgende mede te deelen : Voortdurend blijven bezwaren bestaan tegen de kinetische gastheorie, voornamelijk gelegen in het theorema van Borrz- MANN omtrent het arbeidsvermogen van een atoom. De schrijver merkt op, dat men de aanvaarding van dit theo- rema ontgaan kon door rekening te houden met de uitwis- seling van vibratorisch arbeidsvermogen tusschen de mole- culen en den aether. Daarvoor moet echter onze kennis van de vibratorische beweging der moleculen aanmerkelijk worden uitgebreid. De studie der spectraallijnen schijnt daartoe de aangewezen weg en hiervoor levert de ingezonden arbeid eene belangrijke “bijdrage. Schrijver, die zich tot de lineaire spectra der elementen als de minst zamengestelde bepaalt, geeft in de eerste plaats een uitvoerig overzicht van het belangrijkste, dat op dit gebied door anderen is gevonden en gedacht. Hij doet daarna in de bedoelde richting een oorspronkelijk onderzoek, dat niet zonder resultaten is en van veel beteekenis blijkt, Met Wat vooreerst de homologie betreft tusschen de spectraal- lijnen van verschillende elementen, merkte Mascart op, dat de zes hoofdlijnen van natrium alle dubbel zijn, terwijl hij in het magnesium bij het groen en ultra-violet dergelijke groepen vond; hij meende hier geen toevalligheid te moeten zien en die groepen van overeenkomstige lijnen te moeten vergelijken met boventonen. Het uitvoerigst hield omstreeks 1869 Lrcoq pe BorsBau- DRAN zich met dit onderwerp bezig; in drie mededeelingen aan de Fransche Akademie ontwikkelt bij eene moleculaire theorie, die van de spectraallijnen rekenschap moet geven, doch van vrij willekeurige onderstellingen uitgaat. Van meer gewicht zijn zijne waarnemingen en opmerkingen om- trent de spectra van kalium- en rubidium-chloruur, tusschen wier spectraallijnen hij verband opmaakt. Later hield CramrcraN zich met het zoeken naar homo- logieën bezig: hij is echter op het punt van de alkalische metalen het niet eens met zijn voorganger; de metalen der alkalische aarden brengen hem in strijd met zich zelven. Van meer belang zijn de resultaten van Cornu, die, nadat hj in 1871 had opgemerkt, dat niet alle spectraallijnen, afkomstig van eene gloeiende dampmassa van een of ander metaal, gelijk omgekeerd worden, in 1885 op dit ontwerp terugkwam en opmerkte, dat de lijngroepen, welke zich regelmatig herhalen, juist tot de spontaan omkeerbare lijnen behooren. Zij worden aan de meest breekbare zijde het dichtst bij elkander gevonden en nemen in die richting aan intensiteit af, Cornu toonde aan, dat de door Hueerns in het spectrum der witte sterren gevonden lijnen tot waterstof behooren en komt tot het besluit, dat in de spectra der metalen zekere reeksen van spontaan omkeerbare lijnen vrij wel dezelfde wetten volgen als de waterstoflijnen, zoodat de wijze van verdeeling over het spectrum door eene zelfde functie, de »function hydrogénique’’ zou uitgedrukt kunnen worden. Van veel belang is eindelijk eene verhandeling van GRÜN- waALD die in 1887 in de Astron. Nachrichten verscheen. Hij hield zich met de spectra van waterstof en waterdamp bezig (123 ) en heeft op grond van voorloopige resultaten eene reeks van golflengten opgemaakt, die in het spectrum van water- damp zouden moeten voorkomen, maar nog niet waarge- nomen waren, en die werkelijk later gevonden zijn. GRUNWALD heeft aan zijne onderzoekingen eene theorie vastgeknoopt, omtrent de chemische structuur der elementen waterstof en zuurstof. Andere natuurkundigen hebben getracht eene betrekking te vinden tusschen de spectraallijnen van een zelfde element. Men tracht aan te toonen, dat de verschillende lijnen har- monisch tot eene zekere grondlijijn zijn, analoog met de harmonische tonen, door eene snaar of orgelpijp voortge- bracht. In 1871 werd door Stoney zelfs betoogd, dat eene dergelijke harmonische betrekking moet bestaan: daar toch de ather-verstoringen (die gewoonlijk als de oorzaken der spectraallijnen beschouwd worden) periodisch zijn, mag de aether-beweging als de superpositie van enkelvoudige tril- lende bewegingen worden aangezien, wier perioden, inge- volge het theorema van Fourier, aan de harmonische reeks voldoen. Intusschen geldt deze redeneering slechts als de enkelvoudige trillingstiden, waaruit de zamengestelde be- weging bestaat, onderling meetbaar zijn, en dit schijnt niet noodwendig. Men kan echter van de meening uitgaan, dat tusschen de lijnen van elk spectrum eene harmonische be- trekking bestaat. SroNey vindt, dat de drie bekende wa- terstoflijnen de 20°, 27e en 32° harmonische boventoon van eene zelfde grondlijn zijn. De lijn H, door Hveerns in het spectrum der witte ster- ren gevonden, verhoudt zich tot de bekende waterstoflijn nabij G, als de 35° tot de 32° harmonische bovenlijn. Om zijne theorie verder te toetsen, heeft SroNey met Rey- NOLDS een onderzoek ingesteld omtrent het absorptiespectrum van damp van chromylchloruur; zij bepaalden de golflengten voor 32 spectraallijnen en vonden voor het verschil tusschen de trillingsgetallen van twee achtervolgende lijnen steeds een zelfde getal; een zeer opvallend resultaat. ScHusrER maakte in 1879 eene bijzondere studie van het ijzerspectrum; 7 lijnen kunnen beschouwd worden als bo- (14) venlijnen van dezelfde grondliijn; bovendien bestaan nog andere merkwaardige betrekkingen tusschen de lijnen van dit metaal. In 1881 hervatte hij dit onderwerp en vroeg naar de waarschijjnlijkheid, dat de verhouding van twee grootheden, die willekeurig tusschen twee vaste grenzen verbreid zijn, zamenvalt met eene gegevene breuk. Aan het antwoord op die vraag toetste hij het iijjzerspectrum en kwam tot een in hoofdzaak negatief resultaat; hij twijfelt er wel niet aan, dat er eene wet is, die de verdeeling der spectraallijnen beheerscht, doch meent, dat die wel slechts in bijzondere gevallen overgaat in de wet der harmonische verhoudingen. Later, in 1885, heeft BALLMER zonder theoretische be- schouwing naar de empirische formule gezocht, die de wa- terstoflijnen zou omvatten en vond daarvoor eeue zeer een- voudige betrekking, waaraan de waarnemingen van HueeiNs en Cornu vrij goed voldoen. De formule heeft echter geene theoretische beteekenis, verklaart dus het verschijnsel niet. Niet tevreden met het zoeken naar homologieën in de verschillende spectra, heeft men ook getracht eene voldoende theorie van het verschijnsel der spectraallijnen te geven. Hiertoe dienden o.a. de theoriën van Stoney, É. WIEDEMANN en SCHUSTER. Zij loopen tamelijk uiteen, zijn niet altijd voldoende duidelijk en leiden vooralsnog tot geen bevredi- gend resultaat. Van meer belang zijn de bijzondere hypothesen, die tot de verklaring der spectraallijnen den weg banen. Men kan bij de studie der lineaire spectra twee wegen inslaan: vooreerst kon men trachten empirische betrekkingen te vinden tusschen de golflengten der spectraallijnen van hetzelfde spectrum of tusschen die van verschillende spectra. CorNu meent, dat slechts op deze wijze resultaten te ver- kriijgen zijn. Doch de methode opent een onafzienbaar veld van getallen-combinatiën, waarin men zonder gids rond- doolt, en de kans, dat men de ware combinatie maakt, wordt uiterst gering. De straks genoemde physici BALMER en GRÜN- WALD zijn de eenige, die hierbij op succes kunnen wijzen, al hebben hunne eenvoudige formules geen theoretische waarde. (125 ) Daarom schijnt den schrijver de tweede weg beter, dat men uitgaat van eene of andere hypothese en nagaat of zij in overeenstemming is met hetgeen de waarneming omtrent de spectraallijnen leert. Deze weg vordert echter zeer veel arbeid. De eenvoudigste hypothese is, dat er tusschen de lijnen van hetzelfde spectrum harmonische verhoudingen bestaan, Alleen vaor het ijzerspectrum moest Scrusrer, die haar toe- paste, 20000 quotiënten berekenen. Het vormen eener voldoende hypothese is verder moeilijk genoeg; die omtrent de harmonische verhoudingen der spec- traallijnen schijnt niet rationeel; omtrent de zamenstelling der atomen laat zich evenmin a priori iets vaststellen. Van belang is misschien, in verband met eene door ZÖLLNER ge- maakte opmerking, de formule van Wrirneum WeBer voor de potentiaal van twee electrische deeltjes; zij kan als uit- gangspunt dienen en zou wel resultaten beloven, zoo niet het onderzoek van ScumusrerR bewezen had, dat de analogie der vibratorische beweging der atomen met de trillende be- weging van een electrisch atomenpaar onwaarschijnlijk is en dat men in elk geval de moleculen uit een groot aantal electrische atomen zou moeten opbouwen. Door te onderstellen, dat de atomen elastische bollen zijn of liever kernen met aetherhulsels omgeven, heeft men ge- tracht, doch te vergeefs, de verschijnselen der spectraallijnen te verklaren. Veel verwachting gaf eindelijk de vortex theorie van Tromson; verschillende gronden beletten evenwel den schrijver die verwachting te deelen. Schrijver wijst nu een geheel nieuwen weg aan, langs welken men, zonder den oorsprong der spectraallijnen geheel te kennen, toch een verband tusschen de verschillende lijnen op het spoor kan komen. Het valt hem vooral op, dat het aantal spectraallijnen zoo groot is, en de verschillende lijnen zoozeer in intensi- teit kunnen uiteenloopen. Hij vraagt daarom, of in een lineair spectrum niet de analogen aanwezig zijn van de combinatie-tonen, allereerst de verschil- en somtonen volgens HeLMrourz; zulks is niet onwaarschijnlijk, wanneer van een ( 126 ) lichtuitzendend atoom of molecule de trillingen niet onein- dig klein zijn. Schrijver gaat nu, volgens het door Rayrrrem ontwikkelde, de mogelijkheid voor het bestaan van dergelijke secundaire trillingen na en betoogt, dat hun optreden zeer waarschijn- lijk is. Daar hunne amplitude evenredig is aan het pro- duct van de amplituden der primaire trillingen, laat zich bij groote lichtintensiteit verwachten. dat het oog gevoelig genoeg is om die combinatietrillingen waar te nemen. Hierop volgt de uitvoerige uiteenzetting eener methode van onderzoek naar het bestaan van deze som- en verschil- lijnen. Wanneer een dergelijk verschil zich tusschen twee spectrale lijnen voordoet, in hoever is dit dan toevallig ? Deze vraag wordt in het breede onderzocht, ook volgens eene methode, door den tweeden ondergeteekende van dit verslag aangegeven. Op uitmuntende wijze wordt dit on- derzoek, dat van zuiver wiskundigen aard is, doorgevoerd en daarbij berekend, hoeveel coïncidentiën van verschillen bij x« grootheden te verwachten zijn; want is het aantal waargenomen coïncidentiën van verschillen grooter dan het aantal, dat men gemiddeld kon verwachten, zoo wordt het vermoeden gevestigd, dat som- of verschillijnen bestaan en hier dus geen louter toeval in het spel is. Na deze theoretische ontwikkelingen deelt de schrijver de uitkomsten van zijn onderzoek bij waterstof, kalium, natrium, koper, mangaan, zilver, rubidium, zuurstof en waterstof mede. Hij geeft deze in uitvoerige tabellen, waarbij hij uit de waarnemingen der verschillende natuurkundigen de som- en verschillijnen tracht op te sporen. Hij vindt bij waterstof dat het aantal waargenomen coïn- cidentiën vrij wat grooter is dan het te verwachten aantal; de waarschijnlijkheid, dat deze coïncidentiën aan toeval moe- „ten worden toegeschreven, is daarom vrij klein. Het onderzoek bij kalium heeft ook eene uitkomst ge- leverd, gunstig voor de meening dat in het kaliumspectrum som- en verschillijnen voorkomen; ook voor natrium en de andere genoemde stoffen vindt hij hetzelfde resultaat. De uitgebreide verhandeling van den Heer Jurrius levert, (127 ) behalve zijn oorspronkelijk onderzoek, eene zeer belangrijke bijdrage tot de geschiedenis en kritiek van de theorie der spectraallijnen. Wy hebben de eer U voor te stellen, deze verhandeling met de daaraan toegevoegde tabellen in de werken der Aka- demie te doen opnemen. Amsterdam, 31 Maart 1888. C. H. C. GRINWIS. H. A. LORENTZ, PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 27 April 1888. Tegenwoordig de Heeren: Buys Barror, Voorzitter, HorrmaANN, ZEEMAN, BieRENsS pe HAAN, Brute DE LA Rire vidre, Barrr, Mac GiLLavry, FRANCHIMONT, DE VRIES, Hoek, Dorpers, RauweNnorr, Husrecur, Stokvis, À. C. OUDEMANS JR., GRINWIS, DrBBirs, Prace, ENGELMANN, J. À. C. OUDEMANS, PEKELHARING, ForstTER, VAN Dorp, RiJkKe, LORENTZ, VAN RrEMSDIJK, MARTIN, VAN DE SANDE BAKHUY- ZEN, Murper, Korrtewea, Scuoure en C. A.J. A. OUDEMANs, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige zitting wordt gelezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. H. C. Roeer, Bibliothecaris der Universiteits-Biblio- theek te Amsterdam, 21 April 1888; 20. A. J. van Pescr, Bibliothecaris van het wiskundig Genootschap » Hen onver- moeide arbeid komt alles te boven’ te Amsterdam, 21 April 1888; 30. A. J. EnscueDé, Bibliothecaris der Stads-Biblio- theek te Haarlem, 18 April 1888; 40, J. TiprmaN, Secre- taris van het Koninklijk Instituut van Ingenieurs te ’s Gra- venhage, 19 April 1888; 5°. Buys Barror, Directeur var (129 ) het Koninklijk Nederlandsch meteorologisch Instituut te Utrecht, 17 April 1888; 60. W. F. C. van LAAK JR, Bibliothecaris der Gemeente-Bibliotheek te Arnhem, 1888; 7°, L. Broekema, Directeur der Rijkslandbouwschool te Wageningen, 19 April 1888; 80, H. KroBravcr, Voorzit- ter der Kais. Leopoldinisch-Carolinischen deutschen Akademie der Naturforscher te Halle a/S., 20 Maart 1888; 90. den Secretaris der Koninklijke Academie van Wetenschappen te Bologna, 25 Mei 1888; 100, H. G. Zeurmen, Secretaris der Académie royale danoise des Sciences et des Lettres te Kopen- hagen, 12 December 1887; 110, den Directeur ker Nicolai- Hauptsternwarte te Pulkowa, 1888; 120. J. S. Brrrines, Bibliothecaris van het Surgeon General's Office te Washing= ton, 11 April (888; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van boekgeschenken van de navolgenden : 10. A. Treremans, Bibliothecaris der Université Catholique te Leuven, Januari 1888; 20, FörsreMANN, Archivaris der kön. sächsische Gesellschaft der Wissenschaften te Leipzig, 25 October, 26 November 1887; 5, 10 Februari 1888; 30, den Secretaris van het historischer Verein für Unter- franken und Aschaffenburg te Würzburg, 1 October 1887; 40, A, S. Rrrrrer, Secretaris der Société de Physique et d'Histoire naturelle te Genève, 22 Maart 1888; 50. den Bibliothecaris der Società Italiana delle Scienze te Rome, 7 September 1887; 60, den Secretaris der Koninklijke Aka- demie van Wetenschappen te Bologna, 18 Augustus 1887 ; 70, H. Wip, Directeur van het physikalisches Central-Ob- servatorium te Petersburg, December 1887; 80, H. OC. He- prres, Directeur van het Institut météorologique de Rou- ‘manie te Bucharest, 1888: waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10, brieven van de Heeren vaN pe SaNDE BAKHUYZEN en VAN DER WAALS, de kennisgeving behelzend, dat zij de op hen in de Maart- vergadering uitgebrachte keuzen tot Voorzitter en Onder- VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V. 9 ( 130 ) voorzitter der Afdeeling aannemen; 20, een schrijven van den Minister van Binnenlandsche Zaken (25 April 1888) waarin wordt meêgedeeld, dat 4. M. de Koning de benoe- ming van de Heeren H. G. vaN pe SANDE BAKHUYZEN en J. D. van per Waars, respectievelijk tot voorzitter en ondervoorzitter der Afdeeling, heeft goedgekeurd; 30, ken- nisgevingen van de Heeren Scrous, vAN Driesen en SURINGAR, dat zij verhinderd zijn de Vergadering bij te wonen; 40, een brief van het correspondeerend lid, den Heer vaN per Bure, ter begeleiding van een paar brochures over geneeskundige onderwerpen. De voorzitter richt eenige waardeerende woorden tot de Heeren VAN DE SANDE BAKHUYZEN en VANDER Waars, en wenscht hen zoowel als de Afdeeling met de bekrachtiging door Z. M. den Koning van de op hen uitgebrachte keuzen geluk. — De Heeren Prace en Korrewme brengen een gunstig rapport uit over de verhandeling van den Heer Dr. J. L. Hoorwzre (Experimenteel onderzoek over de polsbeweging), waarna de Vergadering besluit haar in de werken der Akademie op te nemen. Gunstig ook luidt het verslag, uitgebracht over het opstel van Dr. V. A. Jurrus (Over de trillende beweging van een vervormden vloeistof bol), weshalve ook hieraan eene plaats in de werken der Akademie zal worden ingeruimd. — De Heer J. A. C. Ouvremans spreekt over den dubbele- beelden-mikrometer van Arry en deelt de uitkomst mede van het onderzoek naar de eigenschap, waaraan dit instru- ment voldoen moet, opdat de waarde eener schroefomwen- teling onafhankelijk zij van de accomodatie van het oog. - De spreker vond, dat hiertoe de afstand van de 1e tot de 2e lens gelijk moet zin aan den brandpuntsafstand der 1e lens — eene voorwaarde, die reeds voor een ander doel in den mikrometer vervuld was. — Door den Heer BreRENs pe HAAN worden, uit naam (131 ) van den hoogleeraar Le Paree te Luik, voor de boekerij der Akademie eenige overdrukken aangeboden van wiskundige opstellen. — De Heer Lorentz biedt ter opneming in de wer- ken der Akademie aan: 1® eene verhandeling van den Heer Dr. V. A, Jurrius, leeraar aan de Hoogere Burgerschool te Delft; »Over de dubbellijnen in de spectra van natrium, magnesium en aluminium”; en 20. eene verhandeling van den Heer Dr. P. H. Dosrs: »Over de vermeerdering der maximale spanning van een damp en daarmede samenhan- gende verschijnselen”. De Voorzitter benoemt tot verslaggevers over de 1e ver- handeling de Heeren GrRiNwis en Lorentz, en over de 2e de Heeren vaN DER Waars en BosscHa. — Daar er verder niets te behandelen is, sluit de Voor= zitter de vergadering. ge e RA PB OVER DE VERHANDELING vaN Dr. J. L. HOOR WEG: EXPERIMENTEEL ONDERZOEK NAAR DE POLSBEWEGING. (Uitgebracht in de vergadering van 27 April 1888). De verhandeling van den Heer Hoorwee : » Éxperimenteel onderzoek naar de polsbeweging”’, welke ons ter beoordeeling is gegeven, heeft in hoofdzaak ten doel, al de verschijnselen der polsbeweging in elastische buizen en in het slagader- stelsel te verklaren: uitsluitend uit de bekende wetten der terugkaatsing en interferentie van golven, en dat wel in tegenstelling met andere onderzoekers, die dikwijls meer op het mechanisme zelf de aandacht gevestigd houden, door hetwelk deze verschijnselen tot stand komen. Wij kunnen de vraag laten rusten òf en in welke mate deze het verwijt verdienen, hun door den Heer HoorweG gedaan, van vaak, na ter verklaring van hoofdverschijnselen de wetten der golfbeweging te hebben toegepast, nog bijkomende verschijn- selen aan de traagheid der stof of de uitrekking van den wand te willen toeschrijven, maar merken op dat, naar onze meening, ook al wordt deze fout vermeden, de methode van Hoorwea veel vóór heeft. Inderdaad toch is de mathe- matische physica er in geslaagd, de wetten der golf bewe- ging een zoo eenvoudigen vorm te geven, dat ons voor- stellingsvermogen gemakkelijker werkt met die wetten dan met het mechanisme, waardoor zij ontstaan. In Hoofdstuk Ì geeft de schrijver een kritisch overzicht ( 133) der verschillende sphygmographen en stelt hij de eischen vast, waaraan een goede sphygmograaph moet voldoen. Bij de bespreking van het luchttransport, dat bij het registree- ren van den pols wel de beste uitkomsten geeft, gaat de schrijver het onderzoek van Donpers met stilzwijgen voorbij, dat in deel [ der tweede reeks van de » Onderzoekingen gedaan in het physiologisch Laboratorium der Utrechtsche Hoogeschool’, te- vinden is. Omtrent de voortplantingssnel- heid der luchtgolven in elastische buizen, wijken de resul- taten van den schrijver van die van Donpers af. Aan het slot van dit hoofdstuk wordt nauwkeurig nage- gaan, op welke wijze de uitslag van den sphygmograaf afhangt van de kracht, waarmede de veer op den buiswand drukt. De uitkomst wordt in een formule samengevat en experimenteel getoetst. Het volgende hoofdstuk vangt aan met de mathematische theorie der golfbeweging. Met de wijze, waarop de Bes- sEL'sche functiën uit de formules (23), (24), (25) verwijderd zijn, kunnen wij ons niet vereenigen. Evenmin houden Wij de toepassing der formule (26), door LAMB voor eene geheel andere golfbeweging opgesteld, op polsgolven met wrijving voor geoorloofd. Wij kunnen deze beide punten echter laten rusten, daar zij op het vervolg der verhandeling van geen invloed zijn. Voor zooverre dit gedeelte als inleiding dienen moet van ‘t geen volgt, kunnen wij er gunstig over oor- deelen. Terecht wijst de schrijver op het belangwekkende feit, dat de formule voor de voortplantingssnelheid van polsgolven, waarvan de ontdekking tot heden aan RrsaL werd toege- schreven, reeds bijna zeventig jaar vroeger door THomas Youre is gevonden. Zonderling is het echter dat Youre in dezelfde verhandeling (Phil. Trans. 1809, p. 1), waarin hij later de juiste uitkomst geeft, de voortplantingssnelheid op p. 12 ten onrechte uit de »actwat arterial pressure’ berekend wil hebben en dan ook daar ter plaatse tot eene aanzienlijk geringere waarde komt dan die, welke uit de juiste formule volgt (p. 16) en door Dr. Hoorwue wordt aangehaald, en dat wel zonder tusschen beide tegenstrijdige ( 134 ) voorstellingen eene besliste keuze te doen, al helt hij blijk- baar tot de juiste over, Tot zijn eigenlijk onderwerp komt de Heer Hoorwee in S 10. Hier en in $ ll tracht hij door graphische con- structies eenige door anderen verkregen sphygmographische krommen als gevolg van meervoudige terugkaatsingen te ver- klaren. Zonder het welslagen van deze poging in twijfel te willen trekken, meenen wij toch op hare zwakke zijde te moeten wijzen. De schrijver geeft namelijk niet aan, hoe de afneming der intensiteit als gevolg der terugkaat- singen en der wriijving door hem in rekening is gebracht. Waar het proeven van anderen geldt, over wier toestellen men niet te beschikken heeft, is een zekere willekeur niet te vermijden, maar een eigen experimenteel onderzoek zou toch over dit punt allicht meer licht kunnen verspreiden. In Hoofdstuk III geeft de schriijver verslag van zijne eigen proeven. Door middel van een caoutchouc-ballon, die met de hand wordt samengeknepen, wordt het vocht stootsgewijs voortbewogen door een caoutchouc-buis, waarop twee luchtkussens geplaatst zijn, die door luchttransport twee op een cylinder schrijvende hef boompjes in beweging brengen. De eigenaardigheid van den toestel bestaat voor- namelijk daarin, dat het oogenblik der sluiting van de me- talen kleppen, vóór en achter den ballon, in de geregis- treerde kromme wordt aangegeven door een inductie-vonk, die door het papier slaat. Uit de analyse der kromme leidt de schrijver af‚ dat de verheffing in het neerdalende deel van de sluiting der klep achter het kunsthart, de nagebootste valvulae semilunares, afhangt. In Hoofdstuk IV wordt de zooeven besproken kromme vergeleken met die, welke men door middel van het luchttransport van de menschelijke carotis kan registreeren. Ook in deze wordt door middel van een inductie-vonk het oogenblik der sluiting van de valvulae semilunares aangeteekend, en wel door den stroom te sluiten telkens wanneer de tweede hartstoon gehoord wordt. De schriijver komt hierbij tot de uitkomst, dat het zoogenaamde dicrotisme een klepgolf is en ontwikkelt alle gronden, waarom die verheffing niet aan een teruggekaatste (135) golf mag worden toegeschreven. Ook experimenteel wordt de afwezigheid van teruggekaatste golven in het vaatstelsel aangetoond. Hiervoor werd de aorta van een konijn dicht bij het hart afgesneden en door een lange caoutchouc-buis verbonden met het kunsthart. Bij het rhytmisch inpompen van vocht was in de kromme, geregistreerd door middel van een aan het begin der buis geplaatst luchtkussen, nauwe- lijks een spoor van een teruggekaatste golf te zien. Eindelijk wordt de vraag besproken, in hoeverre de ge- registreerde krommen der polsgolf een aanwijzing kunnen geven van de drukking in de arteries, en aangetoond, dat die drukking niet onmiddellijk uit de krommen is op te maken. Aangezien bij den mensch directe manometrische bepalingen wegvallen, moet men zijn toevlucht tot indirecte bepalingen nemen. De schrijver bespreekt de methode, door anderen gevolgd en de door hem daarin aangebrachte wijzigingen, komt echter tot de slotsom, dat wel is waar bij caout- ehouec-buizen, door de kracht te bepalen, die voor dicht drukken noodig is, met tamelijke nauwkeurigheid de span- ning van het in de buis bevatte vocht kan worden gevon- den, maar dat dezelfde methode ook bij de het best toe- gankelijke arteries van het menschelijk lichaam slechts zeer onvoldoende resultaten oplevert. Ten slotte bespreekt de schrijver de mogelijkheid om uit het oppervlak, door de abscissen-as en de polskrommen begrensd, de hoeveelheid bloed te berekenen, die in de arterie is ge- drongen, als men den straal van het vat en de vergrooting door den hefboomsarm kent en buitendien een factor in aanmerking neemt, die van de drukking van het luchtkus- sen op de arterie afhangt. De bepalingen geschieden in de carotis en daaruit wordt de grootte van de bloedgolf in de aorta: het debiet van den linker ventrikel, berekend met ten gronde legging der door Herre opgegeven waarden voor den diameter der artt. carotis, subclavia, anonyma en aorta. Schrijver vindt daar- voor 68 cM3, dus veel minder dan men in navolging van VorkKMANN doorgaans ziet opgegeven, doch niet veel minder als anderen daarvoor hebben gevonden. (136 ) Schrijver knoopt daaraan een berekening vast van den arbeid, dien het hart verricht en de warmte, die daardoor wordt ontwikkeld, evenwel zonder nieuwe gezichtspunten te geven. Het experimenteel onderzoek, door den schrijver uitge- voerd, draagt de kenmerken van groote nauwgezetheid en zijn beschouwingen verdienen alleszins overweging; daarom adviseeren de ondergeteekenden tot opneming van zijne ver- handeling in de werken der Akademie. T. PLACE. D. J. KORTEWEG. ERE EO RT OVER DE VERHANDELING VAN Dr. V. A. JULIUS: OVER DE TRILLENDE BEWEGING VAN EEN VERVORMDEN VLOEISTOFBOL. (Uitgebracht in de vergadering van 27 April 1888). De aangeboden verhandeling van den Heer Dr. V. A. Jurrius » Over de trillende beweging van een vervormden vloei- stofbol”’ is eene merkwaardige bijdrage tot de toepassing van bolfunctiën bij reeksen-ontwikkeling. Rarrrren had omstreeks 1879, aan het einde van zijne verhandeling over capillaire verschijnselen bij vloeistofstralen, de theorie van de trillende beweging van een vloeistof bol ontwikkeld, die eene oneindig kleine vervorming heeft on- dergaan en aan de werking der moleculaire krachten is overgelaten. Terwijl hierbij de vervorming symmetrisch is ten opzichte van eene middellijn, voegt hij hieraan toe, doch zonder zulks te bewijzen, dat de oplossing van het meer algemeene geval eener willekeurige verstoring, tot ge- heel dezelfde uitkomst zou voeren. De schrijver meent, dat deze bewering onwaarschijnlijk is en dus betoog behoeft, en hiertoe dient de ingezonden bijdrage. De schrijver neemt aan, dat de onsamendrukbare vloeistof zonder vortex-beweging is en dus eene snelheidspotentiaal bezit, die aan de bekende partiëele differentiaalvergelijking der tweede orde van Larrace voldoet. Dientengevolge laat zij zich in eene reeks volgens de opklimmende machten van (138 ) r ontwikkelen, terwijl de coëfficiënten uit producten van bolfunctiën en functiën van den tijd bestaan. Het goed recht dier ontwikkeling wordt betoogd. Na meer andere herleidingen, die hier onmogelijk kunnen worden wedergegeven, komt de schrijver tot het besluit, dat inderdaad, bij eene willekeurige vervorming, elk punt van het boloppervlak eene samengestelde trillende beweging verkrijgt, die, evenals bij eene symmetrische vervorming, kan ontbonden worden in eene reeks van enkelvoudige tril- lende bewegingen, waarvoor de trillingstijd bekend is. De wiskundige ontwikkeling verdient allen lof wegens hare sierlijkheid en kortheid; van belang is daarbij een merkwaardig, naar wij meenen, onbekend theorema omtrent twee bolfunctiën van de #? orde. De Commissie adviseert, de bijdrage in de Verslagen en Mededeelingen der Akademie te doen opnemen. Amsterdam, 2% April 1888. C. H. C. GRINWIS. D. J. KORTEWEG. OVER DE TRILLENDE BEWEGING VAN EEN VERVORMDEN VLOEISTOFBOL, DOOR Mad UE EU S. 1. Aan het einde van zijn verhandeling *) over de ca- pillaire verschijnselen bij vloeistofstralen, geeft RAyrrren de theorie van de trillende beweging van een vloeistof bol, die een oneindig kleine vervorming heeft ondergaan en aan de werking der moleculaire krachten is overgelaten f). Hij onderstelt hierbij, dat de vervorming symmetrisch is ten opzichte van een middellijn; hij voegt er aan toe, dat de oplossing van het meer algemeene geval tot geheel dezelfde uitkomst zou voeren. Deze bewering van Rayrrien kwam mij vreemd voor; in vele gevallen weten wij, dat in een trillend stelsel de aanwezigheid of afwezigheid van zekere partiaal-trillingen ten nauwste samenhangt met de oorspronkelijke vervorming. Dat werkelijk een symmetrische vervorming bij een vloei- stofbol geheel dezelfde partiaal-trillingen in het leven roept, als een willekeurige vervorming, scheen mij toe, niettegen- staande het groote gezag, dat ieder aan een uitspraak van RaArreieH zal toekennen, bevestiging te behoeven. %) RayreieH, On the capillary phenomena of jets, Proe. Roy. Soc. 29, p. 11 (1879). Plc. p. 95. ( 140 ) Daarom heb ik de oplossing van het algemeene geval beproefd. 2. Wij nemen aan, dat de vloeistof, waaruit het bolletje bestaat, onsamendrukbaar en zonder vortex-beweging is; er is dus een snelheidspotentiaal U, die voldoet aan de ver- gelijking PU PU, PU Se TD Indien wij als coördinaten invoeren 7, en p,‚, of wel r, wen p, terwijl w —= cos Ô, volgt hieruit: U= po + pir Xi (ww) + pa r° Ko (u, o) +. ze ttr Pa Pt An (Lp) Fr ONZ. Va en en (2) waarin po, pi, enz. grootheden zijn afhankelijk van den tijd en X, (4, p) een bolfunctie voorstelt van de nde orde, onaf- hankelijk van den tijd. Dat men werkelijk de functies X zoodanig kan kiezen, dat zij niet afhangen van den tijd, blijkt uit de volgende beschouwing. | Men weet, dat U een funtie is van r,u,g en t. Voor een bepaalde waarde van elk der veranderlijken r,u en p, kan U als functie van t ontwikkeld gedacht worden in een reeks van den vorm: U= bo + bi Pi (6) + ba Pa (t) +. + bn Pr (t) H enz. …(3) waarin P, (t), Ps (t), enz. periodieke functies zijn van t, ter- wijl de coëfficienten b functies zijn van r,‚u en p. De eenige onderstelling, die in (3) ligt opgesloten, is deze, dat de perioden voor alle punten van den vloeistof bol dezelfde zijn. Voor een bepaalde waarde van r kan elk der coëfficienten b ontwikkeld worden in een reeks van den vorm bok a Zi lu, Pp) + cz Zo (u, P) dese. Hen Ln lus Pp) +-.(4) waarin Z, (4,p) een bolfuntie is van de orde », natuurlijk (141 ) onafhankelijk van f. Substitueert men deze waarden van } in (3), dan krijgt men: U=e Her Zilk P) +. + en En (Up) H enz... (5) waarin de bolfuncties & onafhankelijk zijn van t, terwijl de grootheden e functies zijn van r en tf. Uit de voorwaarde, dat U voldoet aan (1), volgt nu dat ex evenredig is met #"; en hierdoor gaat (5) over in den vorm (2). 3. Uit deze beschouwing volgt ook, dat wij voor eenig punt van de oppervlakte van het vervormde bolletje, de waarde van ro kunnen brengen in den vorm: ro=4o ta Zi (4,9) Hag Zo (ee, Pp) A Har Ln (0,9) + enz. (6) waarin de grootheden a afhankelijk zijn van den tijd en de functies Z hiervan onaf hankelijk. Tusschen (2) en (6) bestaat een zeker verband, daar dro jo U Ae). wr ETR (7) Nu is de, Eg 5 Zn + enz....(8) vaer d dt ò U bi | Ee | =p * 2paroÄg td... + npnro X, + enz..(9) 0 De waarde van r, uit (6) moet gesubstitueerd worden in fd, de uitdrukking voor En . De grootheden aj, ag, enz. ln worden intusschen ondersteld zeer klein te zijn in verge- lijking met a); met andere woorden, wij nemen aan, dat het bolletje slechts een oneindig kleine vervorming ondergaat. U\ Dan mogen wij in de uitdrukking voor bel in plaats er /o van 7 schrijven a, of wel Pe, den straal van het onver- vormde bolletje. (142) Maar dan kan ook niet voor alle waarden van w en p voldaan worden aan de vergelijking (7), tenzij voor elke waarde van „ Xn (u, ©) = Zi (Ws ©) en tevens Men kan zich hiervan gemakkelijk overtuigen, als men de bolfuncties in den vorm brengt, waarin de veranderlijken wen p van elkander gescheiden zijn *). Men kan ook op- merken dat, indien Y„ de twee-assige bolfunctie van de nde orde is, volgens (8) en (9), als wij in (9) r, vervangen door £, if 2x dr, ò U | [ on rad EANELEL dl 2x dan =| / Fe [o Zo —n pn RIX, |audo Volgens (7) moet deze laatste integraal nul zijn, wat als noodzakelijk gevolg met zich brengt, dat de bolfuncties d a Zn en npn Br! X, identisch zijn 4). Wij krijgen dus in plaats van de vergelijking (2): U=p, d- pir Lisp) +. + par” Zo (u, Pp) + enz. …(11) waarin de grootheden p nog voldoen aan de betrekking (10). Het is duidelijk, dat wij deze eenvoudige uitkomst niet verkregen zouden hebben, indien wij niet hadden aange- nomen, dat het bolletje nooit veel van den bolvorm afwijkt. *) Zie TODHUNTER, LAPLACE's functions, p. 155, Heine, Handbuch der Kugelfunctionen \ster Bnd. p. 312, f) Zie TopHunrer, p. 159. ( 143) 4. Tot het vinden van de uitdrukking voor het arbeids- vermogen van plaats van het vervormde bolletje, zoeken wij de vergrooting, die het oppervlak van het bolletje door de afwijking van den bolvorm ondergaat. De verandering van het arbeidsvermogen van plaats bij vervorming, zal evenredig zijn met deze vergrooting van het oppervlak. Het geheele oppervlak is +l /27 , pe J a raal) + 65) El 0 Ò ze 1u? \d op of lr27 dr == d 3 Ll u? 0 {2 [ Í du p [ro “af (5 | en ed 1 ik Lame AEN (12) als wij de vierde en hoogere machten van ord of lu ver- Ò u Òp waarloozen. Daar in het algemeen, wanneer m en n verschillende geheele getallen zijn, +—lr2z | | Zn Andudp=0, —Ì 0 is het duidelijk, dat volgens (6) +lr2z | | andemtnaterff Zande 0 tar ff Zande ten. BE 65 EE (13) Verder is (144) +127 /Ò ro 1 ei sn pn | | richdd 5) ‘eb: | 0 ff dre m5 P … + an De eel tga tte : te]. (14) 5. Stel dat X, een bolfunctie is van de orde p, die dus voldoet aan de vergelijking Ò Xp 1 AD ela rig +2 + D= 05 Lost men uit (15) X, op en substitueert men deze waarde n [ Xp Zn dee dp, dan vindt men: +27 [ [ Xr Zn dudop —_l 0 ä +l (27 | dl 1 d2Xp ze — (lu?) Zndud TD | FL AP EE hit, Integreert men partieel, en houdt men in het oog dat (lu) Zi Ò Äp | 4 Se voor 4 =—l en voor u == + l verdwijnt, Xp evenals Z, ee tusschen de grenzen 0 en 277, zoo volgt: p ha Ò Zn ò X TZ dudp|(l—u? LL + ge | Í 5 ol AD oa lu’ Òògp ad =rotDf Je Kp Zn dudg. 0 Wanneer p en n verschillen, heeft men dus: JAC. OUDEMANS. Dabbele-beeldern-mikrometer vart Airy. | ed MOE ie de RE k Sfderslt Jieded: Ul: Natuurks SRD. (145 ) En „nd, 1 dZndX, dudp| (1— | E a olp ar du Te 1u? op Fe 0 en verder +1 27 OE Ars jl OZ A BR | gan | BT 3e del —l ‘+1 27 =n(n + D | | A, Zn dudop RS el INTER a (17) id Hoewel de theorema's, opgesloten in de vergelijkingen (16) en (17) zeker wel bekend zijn, heb ik ze in de aangehaalde werken van Topuunrer en Herne niet aangetroffen. Daarom heb ik de afleiding medegedeeld, hoe eenvoudig zij ook is. 6. Wij passen (16) en (17) toe op (14). Dan wordt El Ò 7 | Ò rr g | aaa,” sE erde 0 Ae n= = 2 nn + Dart | [At aas n=l Dus volgens (12) en (13) = 0 np? De, == Ana + > End a | [zr anar…a8 7. Wij moeten nu nog de voorwaarde invoeren, dat het vloeistof bolletje niet van volume verandert, omdat de vloei- stof onsamendrukbaar is. Men heeft, als het volume Z genoemd wordt: +l (27 =| | ro dudop —_l: 0 1 (+1 (2r a 5 =| | du dop lag’ +3 ap lan Zit... Han Zo +} er 3 ap {ar Zj d. =b An Zn sE + {a Zi Hee danZnt }°]. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS. DEEL V. 10 (146 ) Daar +1 (2x J-1 (27 | | Ad pe 0" eN Í Zp An dudp=0, sl "0 —1l 0 vinden wij bij geoorloofde verwaarloozing: 1 aj” an Ee lant sof |zeanart… +3rsf |2otardrt A 06 %o Als R de straal is van het onvervormde bolletje, vol hieruit : g' “aze Baile 2 eff zeamas), (19) 0 | Aich he oi at || Zaan zoodat (18) wordt: == nt eat Etn Re > 5 TE of [asanas (20) Sl 8. Is C een constante; noemen wij het arbeidsvermogen van plaats van het vervormde bolletje V; is } H de mo- leculaire constante van de vloeistof; zoo heeft men: ie CR | 9 +1 (27 V=CH: Ee | | Ze dudp..(21) 0 n=l Het arbeidsvermogen van beweging is, wanneer wij de dichtheid der vloeistof g stellen: re ze \Ol + (a) + GE) Daar A° U==0, kunnen wij volgens het theorema van GREEN hiervoor schrijven: dedyde (147) 1 òU B Ull d 42 ze | ol), als MN de normaal aanduidt, in eenig punt op de opper- vlakte van het bolletje opgericht. Maar Pe] dl 1 Ò7, kad Zin Orne Po OZ deo Eee 0 Ef Ò 7% 1 Ò 7% 1 mmm Bn V e: ro Kdl rtl terwijl d@=r? 1 lu? dro) 1 Gi Re I Rn wel LEN Sn gedp zoodat 1 +1 (2x òU rl OU == dude U, Ee Be a? | En: or), art —l 0 1 07) Ge Ni EN 29 EE 1] ( ) Voeren wij nu de waarden in van U uit (11) en die van ro uit (6), dan is het gemakkelijk in te zien dat bij de nauwkeurigheid, waarmede wij ons hier tevreden stellen, de vergelijking (22) wordt: me AM ard etl, || a erao =l Volgens (LO) gaat dit over in 1 n da +Hl (2x zu al J: | Zi? dudp..(23) n= 9. De bewegingsvergelijkingen van LAGRANGE voor dit geval 10* (148 ) Ee dt\aw) Om Ow als w een der algemeene coördinaten voorstelt en w voor ht en IS Tee even nu: dt 75 RS d2a, 1 aen —_H(n — 1 == 0e Mn De grootheden a„ zijn dus onafhankelijk van elkander, ter wijl Dn cos VA ro + B {--(25) Elk punt van de oppervlakte van het bolletje krijgt dus een samengestelde trillende beweging, die ontbonden kan worden in een reeks van enkelvoudige trillende bewegingen, terwijl de trillingstijd is: 2 77 2o RS Tr nn WV n(n — 1) (n + 2) H . (26) 10. Hiermede is aangetoond, dat werkelijk de bewering van Rayrrien juist is. Natuurlijk zal de relatieve intensi- teit van de partiaal-trillingen afhankelijk wezen van de oor- spronkelijke vervorming; maar dit neemt niet weg dat bij een willekeurige vervorming geen andere partiaal-trillingen voorkomen als die, welke ook bij een vervorming, symme- trisch ten opzichte van een middellijn, mogelijk zijn. Delft, Maart 1888. ONDERZOEK NAAR DE VOORWAARDE, WAAROP IN DEN DUBBELE-BEELDENeMIKROMETER VAN AIRY DE WAARDE EENER SCHROEFOMWENTELING ONAFHANKELIJK IS VAN DE ACCOMMODATIE VAN HET OOG, DOOR J. A. C. OUDEMANS. De dubbele-beelden-mikrometer, waarvan de bijgevoegde figuur 1 eene doorsnede op de ware grootte aanbiedt, is door de HH. TrovenroN en Srmus te Londen, naar de door Arry aangegeven beginselen, maar naar de door Varz voor- gestelde en door Army overgenomen verhoudingen, in 1855 voor de Leidsche sterrewacht vervaardigd, en heeft wijlen ‚ons medelid KarseR gediend om zijne nauwkeurige bepa= lingen van de afmetingen der groote planeten te volbrengen, (zie Verhandelingen der Afdeeling Natuurkunde, Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Deel VI, en Annalen der Sternwarte zu Leiden, Deel III.) Zooals de figuur aantoont, bestaat hij uit 4 ienzen. Airy nummerde deze in de richting van het objectief naar het oog, Karser in de richting van het oog naar het objectief; om verwarring te voorkomen zullen wij haar aldus be- noemen ; ( 150 ) Van het objec- Welke soort ief afgerekend. van lens. de 1° lens: de voorste lens, + gelijkbol, » 2e » : » gespleten lens, — gelijkbol, *) » 8e » : » veldlens, + platbol, » 4e » : » de ooglens. + gelijkbol. Van deze lenzen zijn de brandpuntsafstanden en onder linge afstanden, theoretisch, als volgt: Brandpunts- Afstand van 2 Lens. afstand. opvolgende lenzen. NWoorste lens ossen p (willekeurig) a Gespleten lens ...... =— 1 EÀ bt VeldlensfTEAF: Ae ik r= +1 AG Ooeldns ee ae he Jl m7 Het is niet moeilijk na te gaan, hoe Varz aan deze waarden gekomen is. De voorwaarden, waaraan het len- zenstelsel voldoet, zijn, volgens Arry's ontwikkeling, (Me- moirs of the R. A. S. Deel XV): 16. het achromatisme, dat bedongen wordt door de formule: 4Aabe—3bep—3(ladb)eg —3albHer—abs + 2Zepg Hb + e)pr + 2a HbHe)gr-2bpst2(atHb)gst2ars —_pqgr—-pgqgs-pre-grs=0......... (1). 20. de eigenschap, dat door de zijdelingsche beweging van eene helft of beide helften der gespletene lens geene kleu ring ontstaat, en die uitgedrukt wordt door de formule Sbe—2(b 4 o)r —2bsdArs=0....(2). 30, dat het door de voorste lens gevormde beeld van het objectief des kijkers, zich bevindt op de plaats der gesple- tene lens, zoodat beide helften dezer laatste, in alle geval- len, dezelfde hoeveelheid licht ontvangen en de beide beelden. nn *) Het was het voorstel van Vauz, deze lens negatief te nemen. Wij zullen spoedig zien, waarom. (151 ) dus even helder zijn. Aan deze eigenschap wordt in vol= doende mate voldaan door de vergelijking Door substitutie in de vergelijking (Ll) verkrijgt men: O=pibe—eg—(bHo)r—bstgrtgsd rs} dg{—3bet 2(b Hor 2bs—rs}. Daar echter de laatste term dezer uitdrukking, krachtens (2), =0 is, zoo is ook de eerste term — 0, of, door p deelende : Bte be nbs get gest re 0. (4) De vergelijkingen (2) en (4) stellen dus de voorwaarde voor, waaraan b,c,‚g,r en s moeten voldoen. Elimineeren wij tusschen deze vergelijkingen nog c, dan verkrijgen wij: (r + 5)b2—(gr Hgst 2rsbt(agr gs drsr=0 waarin men drie grootheden willekeurig kan aannemen om er de vierde uit te bepalen. Het eenvoudigst zou zijn q,r en s= + l te stellen, maar dan wordt 5 onbestaanbaar. Stelt men r en s—= l, en laat men g nog onbepaald, dan verkrijgt men TE tE Wil men g positief aannemen, dan moet g> 2 + py 9,d. 1.) 4,236 zijn; Airy nam aanvankelijjk g=—=5; b wordt dan St1l=4 of 2, waarvan hj de laatste koos. Wil men echter, zooals Varz voorstelde, q negatief nemen, dan geeft q==—l reeds een bestaanbare uitkomst, nl. b == + 1; daar nu & noodzakelijk positief moet zijn, is alleen het bovenste teeken geldig; derhalve b= 1 en uit (2):c == 3, een en ander overeenkomstig de boven medegedeelde, later door Arry aangenome verhoudingen, In het exemplaar den Leidsche Sterrewacht, mij goed- (152) gunstig door den Heer BaknuyzeN ter leen afgestaan, schij- nen de vervaardigers voor de eenheid den engelschen duim, (25,4 mm.) genomen te hebben; althans eene bepaling der brandpuntsafstanden en uitmeting der onderlinge afstanden der lenzen heeft mij in millimeters gegeven: YET 26,0 ; dikte = 0,65 Es 0,22 ie EN ONS 4,86 1,61 si 08 85, 1,95 0,62 En Zal, EZ 11.0 kis == den afstand der knooppunten, als men den brekings- index van het glas == 1,5 stelt. De brandpuntsafstanden zijn hier gemeten van knooppunt tot brandpunt, en de on- derlinge afstanden der lenzen tusschen de naar elkander toegekeerde knooppunten. Er zijn vier objectieflenzen, die even zoo vele verschillende vergrootingen geven. Zij zijn in buisjes gevat, die met ba- jonetsluiting bevestigd worden in het buisje A B CD, dat onder aan den mikrometer geschroefd is. De fignur ver- toont den mikrometer, als de kleinste vergrooting gebruikt wordt; met stippels is aangegeven waar de 2°, 3° en 4e voorste lenzen komen, als de buisjes, waarin zij gevat zijn, in de plaats van de in de figuur aangewezene komen. Voor deze 4 lenzen vond ik, evenzoo in millimeters N°. Dikte. k. p. 4. 1 4,63 1,44 26,41 27,2 2 4,45 1,37 19,94 21,4 B, 4,01 1,23 12,70 12,7 4 4,53 1,24 8,40 8,0 waaruit blijkt dat de gelijkheid van p en a door de ver- vaardigers vrij wel in acht genomen is, De waarde van den equivalenten brandpuntsafstand van een uit 4 glazen bestaand oculair is: Feen OE (p=a)g(r 4 se) + r(s—e)(p + q-a)-b(p-q-a) (r+5-e) (153 ) Substitueert men hierin de waarden p = a,q = —1, b=r=s=l, en c=3, dan verkrijgt men PS — ds het geheele oculair is dus equivalent aan eene negatieve lens met een brandpuntsafstand == a, en vertoont dus, evenals een Galileische kijker, de voorwerpen rechtop. Bj het nauwkeurig beschouwen van dezen mikrometer kwam de vraag bij mij op of de waarde eener omwenteling der mikrometerschroef wel onafhankelijk is van de accom- modatiewijdte van het oog. Is dit niet het geval, en moet de afstand van het in het brandpunt des kijkers gevormde beeld tot de voorste lens van den mikrometer onveranderd blijven, dan is het gebruik van het instrument aan groote moeielijkheden onderworpen. Om dit te onderzoeken, ga men den loop der,lichtstralen in eene tegengestelde richting na, als waarin zij invallen, dus van het oog uit. Stel dat het oog hypermetropisch is en dat het geaccommodeerd is voor stralen die convergeeren op een afstand D van de ooglens, aan de zijde van den Q waarnemer; als wij dan deze stra- len in omgekeerde richting, dus van het oog naar het objectief vervolgen, zullen zij zich na den Gespleten lensdoorgang door elke der 4 lenzen vereenigen in 4 punten P, Q, R, S; stel de afstanden dezer ver- eenigingspunten tot de laatst door- geloopene lens D', c', b' en a), dan zullen deze grootheden alle afhangen van D. Om nu de door ons gestelde vraag te beantwoor- den zijn, in figuur 2, Q, R en $ Brandvlak de drie laatste der bedoelde 4 punten, dan bevindt zich in $ het door het objectief gevormde beeld, dat door den mikrometer gemeten wordt. Stel dat de ééne Voorste lens (154 ) helft der gespletene lens zooveel op zijde geschroefd is, als ééne omwenteling g der mikrometerschroef bedraagt, en dat daarmede overeenstemt eene verplaatsing van het beeld = g', dan is AR Ln TT, Besl g. Stel 5 — ee = E, dan is E F5 Di 1 ab! == 1 Le Ee pars (a —b)p ab =p an a 4 b ee a—b'\ +5) Pp É p Zal dus S onafhankelijk van £ en dus van D zijn, dan moet a =p zijn, en aan deze voorwaarde is, zooals boven Is medegedeeld, reeds, om een ander doel te bereiken, vol- daan. | Worden de door Arry aangegeven verhoudingen strikt in acht genomen, dan is, voor een oog, dat voor evenwijdige stralen acommodeert, Di be Cake Ci Ez=b-cd=-l, en, daar g= — lis: p= 0, (155 ) zoodat ook de tweede factor van den eersten term van den noemer = 0 wordt. In die onderstelling heeft men dus p de s q In de uitvoering zullen echter de werkelijke waarden van b, ec, q, r en s altijd eenigszins van de theoretische waar- den verschillen, en de beide factoren van den eersten term van den noemer zullen dus feitelijk niet geheel — 0 zijn, maar het product van beide factoren zal ten opzichte van g altijd zeer klein zijn. Zooals men uit figuur 1 ziet, zijn ooglens en collectief- lens in eene en dezelfde uitschuifbare oogbuis bevestigd ; is dus de mikrometer, op zeer weinig na, op den behoor- lijken afstand van het objectief aangebracht, doch vindt men dan de beelden niet volkomen zuiver, dan kan men de voor het meten noodige scherpte der beelden ook nog verkrijgen, door die oogbuis in of uit te schuiven; het is namelijk duidelijk dat dit op de aanraking der beide beel- den, die door de helften der gespletene lens gevormd worden, van geen invloed is. Utrecht, Mei 1888. KE He del k INHOUD VAN DEEL V. — STUK 1. Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 28 Jan. 1888. Rapport over de beproeving der bliksemafleiders op het Rijksmuseum te Amsterdam...... PRITE DL EEE ineen 6 Verslag over de verhandeling des Heeren Dr. G. SCHOUTEN: # De regel voor den baanvorm en de eigenschappen der centrale bewe- ging, graphisch toegelicht”; uitgebracht in de vergadering van 28 BORE EBEN sr ee ee ad ien An Me Ent lee UE Een De regel voor den baanvorm en de eigenschappen der centrale be- weging, graphisch toegelicht door Dr. G. SCHOUTEN........... Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 25 Febr. 1888. Ueber die Anwendung der plasmolytischen Methode auf die Bestim- mung des Molekulargewichts chemischer Substanzen; von Hvuao LL PEPE Het lineaire complex en de congruentie (1,1); (met één plaat); door B kE SOMOUEE:- ree ene eden eme an ee Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 31 Maart 1888. Rapport over eene verhandeling van den Heer Dr. JAN DE Veres: „Over vlakke configuraties”; uitgebracht in de vergadering van 31 Maart 1883; -.0. „zes Be Rn een ne de Verslag over de verhandeling van den Heer Dr. V. A. Jurivs: # De lineaire spectra der elementen”; uitgebracht in de vergadering ERE NIMAEE AOB) tse ed ae Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 27 April 1888. Rapport over de verhandeling van Dr. J. L. Hoorwee: 7 Experi- menteel onderzoek naar de polsbeweging”’; uitgebracht in de verga- Beene URN AI Api ENDE: oe Ae Sede Ed ed Rapport over de verhandeling van Dr. V. A. Jurrius: „7 Over de trillende beweging van een vervormden vloeistofbol”; uitgebracht in de vergadering van 27 April 1888....................……. Over de trillende beweging van een vervormden vloeistofbol; door DEVA DRE nea een Onderzoek naar de voorwaarde, waarop, in den dubbele-beelden- mikrometer van Airy, de waarde eener schroefomwenteling onaf- hankelijk is van de accommodatie van het oog; door J. A. C. EON Eene Dn de Ane ie eni Overzicht der boekwerken, door de Koninklijke Akademie van We- bladz. Ls 100. 103. 105. 121. 128. 132. 137. 139. tenschappen ontvangen en aangekocht..................…. 105—150. STOOMDRUKKERIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. _ VERSLAGEN EN MEDEDELINGEN KONINKLIJKE AKADEMIE _ WETENSCHAPPEN. Afdeeling NATUURKUNDE, DERDE REEKS. Dijfde Deel, — Tweede Stuk. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1888. PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 26 Mei 1888. Tegenwoordig de Heeren : VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Voor- zitter, ScHoure, Kapteijn, HoocewerrrF, BAEHR, Stokvis, For- STER, VAN DER Waars, ScHors, Rijke, À. C. OUDEMANS JR., Grinwis, Buys Barror, Mrcuaëuis, vAN Diesen, BRUTEL DE LA Rrvière, Murper, RAUWENHOFF, PEKELHARING, GUNNING, Lorentz, FRANCHIMONT, Mac Gruravry, Kortewen, KAMER- LINGE ONNes, FORBRINGER, Prace, Hoek, Martin, HorFMANN BeiserincK, BEHRENS, ENGELMANN en C. A. J. A. Oupemans, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige zitting wordt gelezen en goedgekeurd. — De Voorzitter wenscht de eerste maal, dat het praesi- dium door hem zal worden waargenomen, niet voorbij te laten gaan, zonder zijn dank voor de op hem uitgebrachte keuze uit te spreken, en zich in de welwillende samenwer- king zijner medeleden aan te bevelen. — Hij vertrouwt dat het hem gelukken zal, de bijeenkomsten met onpartij- digheid te leiden, in overeenstemming met de overlevering, dat geschillen van wetenschappelijken aard in vergaderingen als die der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, enkel door argumenten, aan de wetenschap ontleend, beslecht kun- VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V, 1 (158) nen worden. — Hij vertrouwt in den geest der Vergade- ring te handelen, wanneer hij een woord van dank richt tot den vorigen Voorzitter, den Heer Buys Barror, wiens 70-jarige leeftijd hem verplichtte tot de rustende leden over te gaan, voor de diensten door hem aan de Akademie be- wezen. De genegenheid van de leden dezer Instelling voor zijn persoon, was hem niet lang geleden gebleken, bij de herdenking van zijn 40-jarig hoogleeraarschap. — De Aka- demie was daarbij — harer overlevering getrouw, waartegen Spreker geen bezwaren konde opperen — niet op officiëele wijze vertegenwoordigd geweest, maar er kan geen twijfel bestaan of alle ambtgenooten van den Jubilaris, en dus ook zij, die de plechtigheid niet persoonlijk konden bijwonen, waren in gedachte in de feestzaal tegenwoordig geweest. Hij hoopt van harte dat het den Heer Buys Barror nog vele jaren gegeven moge wezen, de bijeenkomsten der Af- deeling bij te wonen. — Worden gelezen Brieven van dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. de Gedeputeerde Staten van Friesland te Leeuwarden, 17 Mei 1888; 20. A. Kruyver, Bibliothecaris van de Maat- schappij der Nederlandsche Letterkunde te Leiden, Maart 1888; aangenomen voor bericht. —- Voorts Brieven ten geleide van boekgeschenken van de navolgenden: 19, J. Bosscra, Secretaris van de Hollandsche Maat- schappij der Wetenschappen te Haarlem, 27 April 1888; 20, Srrroker, Bibliothecaris der Senckenbergische naturfor- schende Gesellschaft te Frankfurt a.M., 8 April 1888 ; waar- op het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10. de mede- deeling van Z. Exe. den Minister van Binnenlandsche Zaken, (14 Mei 1888) dat het Z.M. den Koning behaagd heeft, de benoeming van de Heeren Dr. J. C. KarrruunN en Dr. S. Led A hkediikad sin (159 ) Hooerwerer tot leden, en die des Heeren Dr. Ave. KekKuué, Hoogleeraar in de Scheikunde te Bonn, tot buitenlandsch lid der Akademie goed te keuren; 20, brieven van de Heeren Karrrijn en HooeewerrF, waarin zij der Afdeeling hun dank betuigen voor de eervolle onderscheiding, hun bewezen. De Heeren PrekKerHARING en MartiN worden uitgenoodigd, de nieuw benoemde leden ter Vergadering binnen te leiden. Nadat dit geschied is, worden zij door den Voorzitter verwelkomd en als leden geïnstalleerd. — De Secretaris deelt mede, dat de Heer Dr. JAN pe Vries, leeraar aan de H.B.S. te Kampen, hem een opstel toezond, getiteld: »Over de harmonische configuratie (243, 184)’’, met verzoek dit ter plaatsing in de werken der Akademie aan te bieden. — De Voorzitter noodigt de Heeren Scroure en Bierens pe HAAN uit, daarover in de Juni-Vergadering rapport uit te brengen. Verder, dat de Heer Dr. J. D. van per Praars de door hem voor de werken der Akademie aangeboden verhande- ling: »Over den Secundeslinger; 1® gedeelte” heeft terug verzocht, — De Heer Grinwis leest, ook uit naam van den Heer Lorenzz, het rapport over het opstel van den Heer Dr. V, A. Jurrus: »Over de dubbellijnen in de spectra van natrium, magnesium en aluminium”, De conclusie strekt om aan des Schrijvers verlangen, zijn arbeid in de werken der Akademie opgenomen te zien, gevolg te geven. Aldus wordt besloten. — De Heer FRANCHIMONT herinnert eerst aan zijne mede- deelingen van het vorige jaar omtrent de werking van sal- peterzuur, bij de gewone temperatuur, op derivaten van het ureum. Het is toen gebleken dat alle ureumderivaten, waarin de ureumrest met de overige elementen een open keten vormt, ontleed worden op de wijze der amiden, ofschoon niet altijd even gemakkelijk, maar dat dit niet gebeurt bij dezulke, waarin de ureumrest met de overige atoomgroepen een ge- sloten ring vormt. In het laatste geval had òf geene, òf kr (160 ) eene geheel andere werking plaats, welke meestal bestond in de vorming van een nitroderivaat. Het verder onderzoek, dat met de hulp van den Heer Krossie werd verricht, heeft geleerd dat de interne ureïden, ook door hun gedrag met salpeterzuur, in ten minste drie soorten te onderscheiden zijn: 10. zij, waarin de rest van het ureum alleen met eene koolwaterstofrest verbonden is, zooals het aethyleencarbamide, het glycoluril enz, die juister wreïnen genoemd moeten worden; 20, zij, waarin ééne groep NH van de ureumrest aan eene koolwaterstofrest, de andere aan de groep CO gebonden is, zooals bij de interne ureïden der éénbasische zuren: Aydan- toïne, lactylwreum, acetonylureum enz. ; 30, zij, waarin de beide groepen NH der ureumrest alleen aan CO gebonden zijn, zooals bij de interne ureïden der tweebasische zuren: parabaanzuur enz. De beide eerste soorten leveren gemakkelijk nitroderiva- ten, de eerste een dinitro-, de tweede een mononitroderivaat. De derde soort levert alleen dan een nitroderivaat, als tus- schen de beide CO-groepen van het tweebasische zuur een met waterstof verbonden C-atoom zich bevindt. Zulk een nitroderivaat heeft andere eigenschappen dan die, welke uit de beide andere soorten van interne ureïden ontstaan en wordt voorloopig niet verder besproken. Van de 1ste soort van interne ureïden werd vooreerst het aethyleencarbamide onderzocht; dit geeft uiterst gemakkelijk een kleurloos dinitroderivaat, dat in water niet oplosbaar is, maar uit kokenden absoluten aleohol, waarin het een weinig oplost, kan omgekristalliseerd worden. Het geeft met 4 molece. NaOH een kleurloos oplosbaar natriumderivaat, waaruit door zilvernitraat de correspondeerende Ag.-verbin- ding als wit poeder wordt neêrgeslagen, dat in drogen toe- stand bij zachte verwarming heftig ontploft. Het dinstroaethyleencarbamide wordt door koken met water ontleed; onder opneming van één molec. H‚O geeft het één molee. CO, af en er ontstaat een fraai kristalliseerend kleur- loos lichaam, dat in koud water weinig oplost, en eene sterk zure reactie heeft. Het wordt door kali niet ontleed, maar (161 ) geeft een kaliumderivaat met 2 Ka, dat uit alcohol omge« kristalliseerd kan worden. De sterk zure reactie van dit lichaam deed de vraag op- werpen of de nitrogroepen hierin, en dus ook in het dini- troaethyleencarbamide, aan koolstof of aan stikstof gebonden zijn; met andere woorden of het product NO, NO, | | CH—NH, dan wel CH‚—NH IS. | | CH—NH, CH‚—NH | | NO, NO; dinitroaethyleendiamine aethyleendinitramine De sterk zure reactie maakt de eerste opvatting minder waarschijnlijk en pleit niet tegen de tweede. Tweeërlei we- gen kunnen ingeslagen worden om de vraag op te lossen. De eerste is de reductie; deze zou alleen dan tot het doel leiden, als er gemakkelijk een hydrazine ontstond, hetgeen de tweede opvatting zou bewijzen. Het is echter de vraag of het te verwachten hydrazine, dat niet bekend is, bestaan- baar is onder de aan te wenden omstandigheden en niet ontleed wordt in aethyleendiamine en NH3: de producten die ook uit het eerste lichaam te verwachten zijn en vol- gens voorloopige proeven ook werkelijk bij de reductie schij- nen te ontstaan. De tweede weg is het onderzoek van het gedrag der methylderivaten van het aethyleencarbamide CH; CH3 CH 4 NA CH‚—_N C—NH | >C0 en DD. CH‚—_N C—NH AN EES CH3 CH; CH welke beiden onbekend zijn, tegenover salpeterzuur. Het is tot nog toe niet gelukt deze lichamen te berei- den, ofschoon reeds eene aanwijzing voor de vorming van het eerste verkregen is. (162) De buitengewone kostbaarheid van het aethyleencarbamide, waarvan aanzienlijke hoeveelheden noodig zouden zijn, deed besluiten eerst met andere lichamen eenige opheldering aan te brengen. Hiertoe kon zich wellicht het glycoluril leenen; dit levert eveneens een dinitroderivaat, dat ongekleurd en onoplosbaar is in de gewone oplosmiddelen. Door koking met water wordt het ontleed, doch behalve één molec. CO, ontwikkelen er zich nog twee molec. N90 en er ontstaat een fraai kristal- liseerend lichaam, dat isomeer is met het hydantoïnezuur, en zich, behalve in vorm enz., daarvan onderscheidt in het gedrag met salpeterzuur, waarmede het geen gas ontwikkelt, terwijl hydantoïnezuur dadelijk CO en N30 levert. Twee formules kunnen dus weer voor het dindtroglyeoluril in aanmerking komen NO, NO, | /‚NH—C—NH en ‚NH—CH—N CO nt CO | >(00 NNH-—C—_NH NNE CHN \ \ NO, NO, terwijl voor het ontledingsproduct door water deze NEL. OH CO |H \NH—CoH de meest waarschijnlijke kan geacht worden. Om tusschen de beide formules voor het dinitroglycoluril te kunnen beslissen, werden de methylderivaten van het glycoluril bereid en aan de werking van het salpeterzuur onderworpen. Glycoldimethyluril (uit glyoxaal en monomethylureum) gaf een dinitroderivaat, en wel een wit, in water en aleohol geheel onoplosbaar poeder, dat door koken met water in ‘t geheel niet veranderd werd. Glycoltetramethyluril (uit glyoxaal en symetrisch dime- thylureum) dus ( 163 ) /CHs „ACH ‚JN—CH—-N Be 00 \N—-CH-—-N NCHs CH: wordt door salpeterzuur aangetast onder oxydatie; en naat gelang der omstandigheden schijnen er verschillende nitro- ‚derivaten uit te ontstaan met geringer C-gehalte. Dimethylglycoluril (uit diacetyl en ureum) „CH3 ‚NH—C—NH CO Pe 00 CO en | >CO CO-——NH CO—NH CO—NH hydantoïne lactylureum acetonylureum die alle drie een mononitroderivaat geven. Deze nitroderivaten zijn kleurlooze, goed kristalliseerende lichamen, die door koken met water ontleed worden, of- schoon niet even gemakkelijk. Het nitrohydantoïne wordt het moeielijkst door kokend water aangegrepen en geeft daarbij CO4 af, waarbij op ’t laatst eenig N20 komt; en er blijft een lichaam terug dat, na omkristalliseering uit alco- hol, de samenstelling heeft van nitrohydantoïne — CO + Ha. Iets gemakkelijker wordt het nitrolactylureum ontleed en geeft in den beginne veel meer CO, dan N20. Ten slotte echter ( 164 ) komt er meer N30; zoodat uit één molecuul bijna 1 COg en 1 N,0 ontwikkeld worden. Het residu dat zeer zuur reageert geeft eene reactie op melkzuur met kobaltacetaat. Veel gemakkelijker dan de beide voorgaande wordt het ni- troacetonylwreum door kokend water ontleed en geeft van t begin af CO4 en N40 in bijna gelijke volumina; terwijl er oxyisoboterzuur schijnt gevormd te worden. Het bestaan van het nitroacetonylureum en de vorming van oxyisoboterzuur er uit kunnen als bewijs dienen dat de groep NOs aan de N gebonden is, zoodat dit en ver- moedelijk ook de beide andere nitrolichamen nitro-ureïden of nitrureïden zijn. CH, CH; CH ee Ll Af cn NO, dS NO HE ted MERE Oe CON, CON CON, Het uit nitrohydantoïne met H9O verkregen product wordt dan | H CO ie nitramidoacetamide. Uit de verkregen resultaten, in verband met het feit dat parabaanzuur en cholestropbaan door salpeterzuur niet ver- anderd worden, kan afgeleid worden dat de groep NH tus- schen 2 CO groepen geplaatst in een ring van atomen door salpeterzuur niet aangegrepen wordt, maar dat zij, gebonden aan 1 CO en aan ééne koolwaterstofrest, haar H-atoom tegen de groep NO, kan inruilen, zoodat ook hier weder de groote invloed der zoogenaamde negatieve groepen op de eigenschappen der verbindingen blijkt. Ook uit de ontleding der verschillende nitro-ureïden met H,O, zijn omtrent dien invloed belangrijke gevolgtrekkingen te maken. Bij de bereiding van aethyleencarbamide (uit aethyleendia= mine en uethylcarbonaat) werd eens, in plaats van aethyl- ( 165 ) carbonaat, methylcarbonaat genomen, en toen, reeds in de koude, een ander fraai kristalliseerend lichaam verkregen, dat aan deze formule CH—=NE-—00, CH, | CH,—N—C0, CH, beantwoordde. Het gaf met salpeterzuur een dinitroderivaat, dat door koken met water niet ontleed werd. Dit gaf aan- leiding, den methylamidomierenzuren methylaether te berei- den, die eveneens een nitroderivaat schijnt te geven. Eenige jaren geleden was de werking van salpeterzuur op symetrisch dimethylureumnitraat onderzocht, en toen was gevonden dat deze zeer langzaam plaats had. Zij werd nu op andere wijze herhaald. Toen nl. de gasontwikkeling begon, werd de oplossing in water gegoten, waarbij zich eene vloeistof afscheidde; deze werd door koken met water ontleed onder ontwikkeling van CO. Vermoedelijk is zij dus een zitrodimethylureum geweest. Het product, dat door de ontleding met H,O ontstond en met aether afgezonderd werd, was vloeibaar en vermoedelijk het monomethylnitramine CH3—-NE—_N0,. Toen beproefd werd het te distilleeren, ontplofte het met een buitengewoon heftigen knal. Dit on- derzoek zal echter worden voortgezet. — De Heer Scnorus spreekt over de berekening van de af- schuivende krachten en de buigingsmomenten, die bij spoor- wegbruggen worden opgewekt door eene belasting bestaande uit locomotieven. De onregelmatige verdeeling van de drukkingen, op de verschillende assen van een locomotief uitgeoefend, maakt die berekening vrij omslachtig. Spreker heeft zich nu ten doel gesteld om na te gaan in hoeverre uit die onregelmatig verdeelde belasting toch eenvoudige formules zijn af te leiden voor de berekening van de ge- noemde krachten en momenten. Daar men bij de berekening van beiden te maken heeft met de som van de momenten ten opzichte van het steunpunt van de krachten die tusschen dat steunpunt en het beschouwde punt op den ligger werken, (166 ) worden die momenten in de eerste plaats beschouwd. Het blijkt nu dat die som van momenten in twee deelen ge- splitst kan worden: in een hoofddeel dat door eene een- voudige formule wordt voorgesteld en in een periodiek ge- deelte. Boven het steunpunt bevindt zich namelijk een locomotief die slechts gedeeltelijk op de brug rust; stelt men de lengte van dat gedeelte door « en het moment van de as-drukkingen op dat gedeelte van de brug ten opzichte van het steunpunt door m voor en noemt men Q het ge- wicht van een locomotief, 5 haar lengte en b' de afstand van het zwaarte punt tot het midden van de locomotief, dan wordt het periodieke gedeelte van de som der momen- ten voorgesteld door : mm +200) Dit periodieke gedeelte bevat hoofdzakelijk de onregel- matigheden die voortspruiten uit de onregelmatige verdee- ling van de locomotief-belasting, het is betrekkelijk gering en voor het grootste gedeelte negatief. Voor de locomotief, die bij de berekening van de bruggen voor de Staatsspoor- wegen als type is voorgeschreven, wisselt de waarde daarvan af tusschen — 24,591 en + 2,058 ton meter. Beschouwt men nu het geval dat de maximum waarde van de afschuivende kracht V ontstaat wanneer de brug slechts aan eene zijde van het beschouwde punt belast is, in welk geval de voorste locomotief met hare vooras bij dat punt staat, dan vindt voor de berekening daarvan de volgende formule : VL AH) Hat 2) 4 mp waarin X de lengte van het belaste gedeelte en ZL de totale lengte van den ligger voorstellen en waarin a de afstand aangeeft van vooras tot voorkant buffer. Daar nu het pe- riodieke gedeelte mm, van het moment klein en meestal ne- gatief is, kan dit ten opzichte van den hoofdterm worden weggelaten en vindt men dus voor de berekening van de afschuivende kracht V de volgende eenvoudige formule: nc pe ( E61.) VL HEt a +2) waaruit blijkt, dat behalve het gewicht van de locomotief per strekkende eenheid, vooral ook de ligging van het zwaarte punt en de afstand van de vooras tot den voor- kant buffer van invloed zijn op de waarde van V. De hier beschouwde wijze van belasting geeft niet altijd de allergrootste waarde van V; er kunnen zich andere wij- zen van belasting voordoen, die eene eenigszins grootere waarde van V opleveren; het verschil is echter steeds ge- ring en kan dus wanneer de lengte L van den ligger niet al te klein is, verwaarloosd worden, te meer daar dit ver- schil alleen van eenige beteekenis is voor die punten van den ligger waar V zelve eene groote waarde bereikt. Bij de vroeger genoemde locomotief blijft dat verschil beneden de 5 ton. Maakt men de formule op voor het buigingsmoment in een punt van een ligger op eene afstand X7 van het linker en X, van het rechter uiteinde, dan kan die onder den volgenden vorm gebracht worden: M=z=AHBHC Q LH44b ENNE r ar L Els Qbe X, — X ET ARR 5 7 X, Cmr HE m, waarin m,‚ en mz; voorstellen de periodieke gedeelten van de momenten voor de locomotieven, die zich respectievelijk bo- ven het rechter en het linker uiteinde bevinden, en waarin e en m dezelfde beteekenis hebben als boven bij m,, maar nu betrekking hebben op de locomotief boven het beschouwde punt van den ligger en wel op het deel rechts van dat punt gelegen; de locomotief zelve is ondersteld met het voor- einde naar rechts gekeerd te zijn. (i68 ) Het eerste gedeelte A is de hoofdterm, en komt overeeü met het moment opgewekt door eene gelijkmatig verdeelde belasting, geliijk aan het gewicht van de locomotief per strekkende eenheid vermeerderd in reden van L tot L + 45, De twee overige deelen hangen naauw samen met het periodieke gedeelte van het moment van de locomotief. De waarde van C zal steeds blijven binnen de grenzen van dat periodieke gedeelte en dus slechts eene kleine positieve waarde kunnen verkrijgen. Het gedeelte B verkrijgt haar grootste waarde voor X,== L, X} = 0 en wordt dan juist gelijk aan het periodieke gedeelte maar met het omgekeerde teeken, zoodat de grootste positieve waarde van B niet grooter kan worden dan de grootste negatieve waarde van het perio- dieke gedeelte. De waarde van beide termen te zamen kan dus nooit grooter worden dan het verschil van de twee uiterste waarden van het periodieke gedeelte; voor den vroeger ges= noemden locomotief dus nooit grooter dan 24,591 + 2,058 = 26,649 ton meter. Deze grootste waarde zal echter nooit bereikt worden, omdat wanneer B hare grootste waarde bereikt, C juist dezelfde negatieve waarde verkrigt. Bij eene eenigszins groote brug kan dus het weglaten van de twee termen geen bezwaar opleveren. Ook niet dicht bij de uiteinden alwaar, zooals uit den hoofdterm A blijkt, het moment zelve klein wordt, omdat in dat geval B wel eene groote positieve waarde kan bereiken, maar C dan tevens eene groote nega= tieve waarde bezit. Het weglaten van beide termen voert tot de eenvoudige uitdrukking : I Meine br Bestaat de belasting gedeeltelijk uit locomotieven gedeel- telijk uit zwaar beladen goederen-wagens, dan worden de formules natuurlijk iets samengestelder; zij leiden echter eveneens tot eenvoudige eindformules. Stelt men het aantal locomotieven gelijk „ en het gewicht der wagens per strekkende eenheid gelijk g dan vindt men voor de bere- kening van V en M: rend 8, ( 169 ) VL=jtg(XHa—-nb AnQ(XHa—inb + bl) 2n(Q — gb) n°b(Q — gb)—AnQb menen De hierbij verwaarloosde termen bereiken ongeveer het- zelfde bedrag als boven voor eene belasting enkel uit locomotieven bestaande is aangegeven. Het weglaten daar- van heeft hier te minder bezwaar, omdat men hier steeds met groote bruggen en dus met groote waarden van V en M te maken heeft. — De Heer PrKeLHARING spreekt over woekering van het endothelium in slagaderen. In de laatste jaren heeft Toma door een uitgebreid onder- zoek aangetoond, dat woekering van het endothelium, 'twelk den wand der slagaderen van binnen bekleedt, bij den mensch niet slechts onder pathologische, maar ook onder normale omstandigheden voorkomt. Zij komt op den voorgrond en vertoont zich duidelijk als ziekelijk verschijnsel bij de chro- nische endarteriitis, maar zij is evenzeer aan te toonen als een normale verandering, die reeds zeer spoedig na de ge- boorte begint, in dat gedeelte van de slagaderlijke bloed- baan, ‘twelk tusschen den ductus arter. Botalli en de arteriae umbilicales gelegen is. Zoowel onder normale als onder pathologische omstandigheden ontstaat zij dáár, waar de slagader te wijd dreigt te worden of reeds geworden is. Zoo vond THoma deze woekering ook in de slagaderen van extremiteiten, waarvan een gedeelte geamputeerd was, en wel in de hoofdslagader over haar geheele lengte en in die takken, welker gebied door de amputatie verkleind was, maar niet in de takken, die een ongedeerd stroomgebied behouden hadden. De vermeerdering van het endothelium, die tot woekering van fibrillair bindweefsel leidt, draagt daardoor het karakter van een compenseerende verandering. De vraag, welke de onmiddellijke oorzaak is van deze proliferatie van cellen, wordt door THoma in dien zin beantwoord, als zou verlangzaming van den bloedstroom daarbij de hoofdrol spe- len. Maar hijj toont niet aan, dat verlangzaming van den (1% ) stroom mag worden aangenomen in al die gevallen, waarin de woekering van endothelium gezien wordt. Wel echter is de drukking, die op het endothelium wordt uitgeoefend, verminderd, ten minste bij het afnemen van de grootte en volkomenheid van de elasticiteit van den slagaderwand, en evenzeer bij de vormverandering van den oorsprong van een slagadertak, waarop door kronkeling van den hoofdstam een trekking wordt uitgeoefend. Inderdaad is nu gebleken, dat vermindering van de druk- king op het endothelium van arteriën tot proliferatie van cellen aanleiding geeft. Wanneer bij konijnen of honden twee gelijknamige slagaderen, beide carotiden of beide arteriae erurales, te geliijker tijd dubbel worden afgesnoerd, en wel zóó dat de eene arterie eerst peripherisch en daarna centraal, en de andere eerst centraal en daarna peripherisch dichtge- bonden wordt; dan staat tusschen de twee ligaturen in beide slagaderen het bloed stil, maar in het eerste geval blijven de endotheliumcellen onder een drukking, nagenoeg gelijk aan die, welke zij bij den ongestoorden bloedstroom ondervonden, in het andere daarentegen is de vaatwand geplooid en de drukking op het endothelium veel geringer. Wanneer nu het dier na één of meer weken gedood wordt, dan kan in de afgesnoerde slagaderen zeer duidelijk woekering van bindweefsel worden aangetoond in de gecol- labeerde vaten, terwijl zij in de vaten, die in gespannen toestand gebleven zijn, geheel, of zoo goed als geheel ont- breekt. Dat het nieuw gevormde bindweefsel inderdaad van endothelium afkomstig is, ‘twelk in een staat van woekering verkeerde, blijkt hieruit, dat in de eerste week na de afsnoe- ring in het gecollabeerde vat mitosen in de endotheliumcel- len aangetroffen worden. De woekering staat met de door het afsnoeren van het vat opgewekte ontsteking in geen ver- band. Dicht bij de ligaturen vertoont zij zich zoowel in de met, als in de zonder spanning afgesnoerde slagaderen, ter- wijl zij midden tusschen de een tot twee ctm. van elkaar gelegen ingesnoerde plaatsen in het gerekte vat ontbreekt. Het schijnt niet wel mogelijk, hier een andere oorzaak voor de vermeerdering der cellen aan te nemen, als vermin- nnen _ EER) dering van de drukking. De rekking van den vaatwand, waar de afsnoering eerst peripherisch en daarna centraal plaats had, is door het aanstroomende bloed zelf teweeggebracht, en kan niet van dien aard zijn, dat de voeding daardoor eenige storing van beteekenis ondergaat. Men zou wellicht op deze wijze kunnen redeneeren: De endotheliumecellen worden tot woekering geprikkeld zoodra het bloed stil staat. Maar in het gerekte vat kunnen zij aan die prikkeling geen ge- hoor geven, omdat de spanning van den wand een krachtigen stroom van het voedingsvocht belet. Zulk een meening echter zal men niet vasthouden, wanneer men denkt aan de hyper- trophie der slagaderwanden bij de ontwikkeling van collate- rale circulatie, waarmede noodzakelijk vermeerdering van het aantal endotheliumecellen gepaard moet gaan. Men zou dus moeten aannemen, dat in de normale slagader de en- dotheliumcellen steeds de neiging bezitten tot woekering, maar dat zij daarin door de drukking, waaraan zij blootge- steld zijn, worden tegengehouden. Bij aderen heeft spreker tot nog toe slechts woekering van endothelium kunnen waarnemen, die met het door de afsnoering opgewekte ontstekingsproces in verband stond. In- tusschen zijn de veranderingen van het endothelium in ade- ren na afsnoering niet voldoende door spreker onderzocht om daarover een goed oordeel te vellen. Slechts wordt er op gewezen, dat er voor het oogenblik geen grond is om voor andere endotheliumcellen als voor die der slagaderen aan te nemen, dat zij door mechanische drukking worden tegengegaan in de neiging tot proliferatie. Ook wijst spreker er op, dat de endotheltumcellen van slagaderen niet enkel door het wegvallen van een weerstand tot woekering ge- raken, maar ook, naar zijn meening, door irritatie. Immers, in slagaderen, in welker omtrek ontsteking heerscht, kunnen alle stadia van endarteriitis, van kerndeelingsfiguren af tot vorming van fbrillair bindweefsel toe, worden waargenomen. Daar is toch het verminderen van een weerstand, die zich tegen den groei verzet, niet op goede gronden aan te nemen. — De Heer van per Waars bespreekt den samenhang (172 ) tusschen de wijze, waarop de dichtheid verandert in de over- gangslaag van vloeistof op damp en de wijze der werking der molekulaire krachten. Dit verband wordt gevonden door toepassing van de stelling, dat de stof zich bij gegeven tem- peratuur en in gegeven volume aldus schikt, dat de totale vrije energie een minimum is. (Door vrije energie wordt aangeduid de functie, welke GzBBs door w heeft voorge- steld). Noemt men de dichtheid pg, en stelt men de Larrace’sche coëfficiënten uit de theorie der capillariteit | f(«) dz en | ef(e)de door eg en cj voor — voert men evenzoo in [ a° f(«e) de enz. door de teekens cj enz., dan vindt men: Ë d? 23 ri ed = J (0) — constante. De functie /(g) is de thermodynamische potentiaal, be- antwoordende aan een gelijkmatige dichtheid g. Alleen dus als al de Larrace’sche coëfficiënten cg... can gelijk nul zijn, zal de dichtheid discontinue veranderen. Inge- val alleen cj nog waarde heeft, of in aanmerking behoeft genomen te worden. is de discussie der differentiaalvergelij- king gemakkelijk, en vindt men een zeer eenvoudig beloop van de dichtheidsverandering. De capillaire constante is dan 9 …\) dh. wat bij discontinue verandering der dichtheid overgaat in Qi — Q5° Oi ne 2 — De Heer FurBrINGER biedt, uit naam van den Heer Dr. J. T. OupruanNs, voor de werken der Akademie eene verhandeling aan, getiteld: » Beiträge zur Kenntniss des (173) Chiromys madagascariensis”. Op verzoek des Voorzitters, zullen de Heeren FürBRINGER en HorFMANN daarover verslag uitbrengen in de volgende vergadering. — Voor de boekerij der Akademie wordt door den Voor- zitter aangeboden een exemplaar van: » Uitkomsten der Rijks- waterpassing, ontworpen en aangevangen door L. CoHeN STUART, en voortgezet en voltooid door H. J. vAN DE SANDE BAKHUYZEN en G. vaN Drimsnn 1875—1885.” — Daar er verder niets te verhandelen is, wordt de „ vergadering gesloten. VERSL. EN MEDED, AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V, 12 RK A Bi OT OVER DE VERHANDELING VAN DEN HEER Dr. V. A. JULIUS OVER DE DUBBELLIJNEN IN DE SPECTRA VAN NATRIUM, MAGNESIUM EN ALUMINIUM. (Voorgedragen in de vergadering van 26 Mei 1888). De thans ingediende bijdrage van den Heer Dr. V. A. Juurus » Over de dubbellijnen in de spectra van natrium, magnesium en aluminium’ kan als een naschrift beschouwd worden tot zijne uitvoerige verhandeling »Over de lineaire spectra der elementen’, waaromtrent de ondergeteekenden in de Maart- vergadering 11. verslag uitbrachten. Doch zij is meer dan een naschrift; zij bevat eene belangrijke uitbreiding van de theorie des schrijvers omtrent som- en verschiltonen en be- vestigt zijn theoretisch onderzoek. Wanneer tot de primaire trillingen van een atoom een paar behoort, waarvan het verschil gering is en wier tril- lingen te langzaam zijn om te worden waargenomen, zoo kunnen zij, gevoegd bij de aanwezige trillingen, nieuwe tonen geven; voor iedere toon ontstaan dan twee nieuwe _ trillingen, die waarneembaar zijn en hetzelfde kleine ver- schil bezitten. Hr treden dus in het spectrum dubbellijnen op van constant verschil. Waren er drie zulke primaire tril- lingen aanwezig, zoo zouden deze, analoog aan de somto-= OT WOUENPEN (175 ) nen, meerdere identische groepen van drievoudige lijnen in het spectrum doen ontstaan. Het is daarom van belang, de dubbele en meervoudige lijnen uit dit oogpunt te onderzoeken, wat, daar men de golflengte niet nauwkeurig kent, eene eigenaardige methode met zich brengt, die voldoende wordt uiteengezet. De schrijver past deze methode toe op de spectra van vier elementen: natrium, magnesium, aluminium en thallum. Bij natrium zijn de spectraallijnen, op eene enkele uitzon- dering na, alle dubbellijnen. — Van de erkende 13 dubbel- lijnen maken er 10 deel uit van dezelfde reeks, daar hunne leden een standvastig trillingsverschil bezitten. Zij kunnen dus als summatielijnen beschouwd worden. Het magnesium-spectrum bevat eene bekende groep van drie lijnen; later bemerkte men, dat deze zich in het violet verscheidene malen herhaalt. De 10 drievoudige lijnen, die in het spectrum voorkomen, schijnen alle tot eene zelfde reeks te behooren; zij zijn dus de summatietonen van drie weinig verschillende primaire trillingen, die zich op ver- schillende plaatsen van het spectrum herhalen. Het spectrum van alwminium vertoont volgens Cornu 7 dubbellijnen; voor de golflengten van beide leden eener dub- bellijn geeft hij empirische formules, doch meer gaf hij niet. Nader blijkt, dat er 11 dubbelliijjnen zijn en daarbij is geen enkel geval, dat de afwijking hunner trillingen aan het niet constant zijn van het trillingsverschil doet twijfelen, Zij alle behooren dus tot somtonen. Corsu vond eindelijk in het ultra-violette spectrum van thallium eene reeks dubbellijnen en gaf hunne empirische formulen; hierbij is echter geen constant verschil merkbaar. Doet de bijgevoegde afbeelding zulks vermoeden, de rekc- ning bevestigt die meening niet. Bij de drie eerste elementen wordt de onderstelling, dat men ecombinatietrillingen waarneemt, door het optreden der meervoudige lijnen bevestigd, welke onderstelling daardoor zeer waarschijnlijk wordt. De verhandeling van den Heer Jurrus munt Er door groote duidelijkheid. De Commissie stelt voor haar in de 12* (176) werken der Akademie op te nemen, liefst als vervolg op de genoemde grootere bijdrage: »Over de lineaire spectra der elementen’ van denzelfden schrijver. Amsterdam, 26 Mei 1888. GC. H. C, GRINWIS. H. A. LORENTZ. OVER DE KWANTITATIEVE BEPALING VAN RAFFINOSE. DOOR Dr. J. W. GUNNING, Het is bekend, dat de fiscus in de landen, waar van de suiker accijns wordt geheven, het polarisatiewerktuig aan- wendt om het bedrag daarvan te bepalen; evenzeer, dat de uitkomsten van het onderzoek met dit werktuig (de polari- satiepercenten) daartoe in den regel niet ongecorrigeerd wor- den aangewend (gelijk gesteld met de saccharosepercenten). Meestal worden correctiën voor de invertsuiker en voor de zouten aangebracht. Voor de beetwortelsuiker heeft alleen de laatste beteekenis, de eerste niet, daar dat artikel in den regel vrij van invertsuiker is. In den laatsten tijd wordt door sommigen nog eene andere correctie geeischt, namelijk voor de raffinose *). Dit bestanddeel verhoogt de rechtsdraaing der suikers of andere *) Tegenwoordig is vrij algemeen aangenomen, dat raffinose een normaal bestanddeel van den beetwortel is, niet een product der fabrieksbewerkin- gen. De omstandigheid, dat zij, hoewel op zich zelve zeer goed kristalliseer- baar en minder oplosbaar in water dan saccharose, zich uit eene saccha- rosehoudende vloeistof moeilijk afscheidt, was oorzaak, dat zij tot dusver in de moederloog der fabrieken, in de melassen, onopgemerkt terugbleef. _ Uit sterk daarmede belaste melassen zet zij zich soms bij aanzienlijke koude af, en zoo is de raffinose het eerst ontdekt (Loisrau 1876 Compt, rend. 82. p. 1058). — De verwerking van melassen door praecipitatie daaruit van de saccharose heeft later de algemeene aandacht op haar gevestigd en tegenwoordig kan bij het onderzoek van elk product der suikerfabriekatie de vraag naar hare aanwezigheid oprijzen. (178) producten, waarin het voorkomt en het is noodig, dien in- vloed nauwkeurig te kennen om hem desvereischt in rekening te kunnen brengen. Daarop is de aandacht der scheikundi- gen, die zich met saccharimetrie bezighouden, sedert gerui- men tijd gevestigd, maar tot eene algemeen als juist erkende oplossing van het vraagstuk is men nog niet gekomen. Dit blijkt duidelijk uit de besprekingen, die daarover zijn gehou- den in de algemeene vergadering van het » Verein für die Rübenzucker-Industrie in Deutschland” in Mei 1888 te Cassel en die geleid hebben tot het verzoek aan het Bestuur om aan eene Commissie de studie van dit punt op te dragen. Inmiddels is voor den Duitschen Bond eene nieuwe rege- ling van den suikeraccijns tot stand gekomen, die in Au- gustus 1888 wordt ingevoerd en in de daarbij gevoegde in- structiën heeft de Administratie den weg voorgeschreven, hoe bij het onderstelde voorkomen van raffinose in suikerpro- ducten moet worden gehandeld, om de hoeveelheid daarvan te bepalen. In de onder mijne hoofdleiding staande Rijks-suikerlabo- ratoria in ons land is dit vraagstuk insgelijks behandeld en, naar ik meen, tot eene voorloopig bevredigende oplos- sing gebracht, dank zij vooral den ijver en de bekwaamheid van den Heer Jhr. W. ALBERDA VAN EKENSTEIN, die sedert de oprichting als scheikundige aan het Laboratorium te Am- sterdam werkzaam is. Inzonderheid na het verschijnen der zoo even genoemde Duitsche instructie acht ik den tijd geko- men, om deze onderzoekingen te publiceeren en daar het een Rijksbelang geldt, dat met hulpmiddelen, door het Rijk verschaft, behartigd wordt, schijnt het niet ongepast, daar- voor eene plaats te vragen in de werken van de Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Het komt mij doelmatig voor, tot het geven van een geregeld overzicht de bedoelde Duitsche instructie als uit- gangspunt te nemen. Zij maakt gebruik van het bekende feit, dat saccharose en raffinose o. a. hierin verschillen, dat beider rechtsdraaing in oplossing door zuren vermindert — wat de eerstgenoemde betreft, zelfs in linksdraaing overgaat — en dat deze verandering voor de beide koolhydraten verschil- ro (179) lend, maar voor elk hunner bepaald en in voldoende mate constant is. Bij de daardoor ontstaande glycosen hebben wij ons niet op te houden. Alleen zij herinnerd, dat het bedrag van het draaiend vermogen na de inversie bij saccharose en bij raffinose blijkt in niet onbelangrijke mate afhankelijk te zijn van de wijze waarop deze plaats heeft gehad, zoodat het noodig is, daarvoor steeds een bepaald voorschrift in acht te nemen; eveneens, dat de draaing na inversie met de tempera- tuur in vrij sterke mate varieert, wat, gelijk bekend is, bij de rechtsdraaing der oorspronkelijke koolhydraten, niet merkbaar het geval is, zoodat het noodig is, òf steeds bij eene zelfde temperatuur te polariseeren, òf van eene correctietafel gebruik te maken. Met inachtneming van deze en nog andere voor- zorgen, geeft de Duitsche instructie — of Dr. ScHeIBLer, dien wij meenen als den auteur der methode te mogen aan- merken — de volgende formulen : 0.5188 P—I 0.845 Ps R (procentisch raffinosegehalte *)) = ET - waarin P de rechtsdraaing in wateroplossing (normaalge- wicht 26,048 gram) en / de polarisatie dierzelfde waterop-= lossing na inversie, met omgekeerd teeken, beduidt. Dat de methode zeer goede uitkomsten kan opleveren, wordt in de instructie zelve door eenige voorbeelden gestaafd: S (procentisch saccharosegehalte) = kunstmatige mengsels van gaven bij onderzoek: Saccharose Raffinose Saccharose Raffinose 97.0 pCt 8.0 pCt. 97.02 pCt. 2.98 pCt. 91,0 » OLD GOES TD 8.95 » 85.0 » 15.0 » 85.06 » 14.97 » Hoe gunstig deze cijfers ook spreken, ScHrIBLER ver- trouwt toch de methode niet geheel en verlangt ze slechts toegepast te zien in de gevallen, waarin de hoeveelheid raffinose meer dan 1/5 pCt. zou bedragen, d. 1, wanneer de *) Hier is de raffinose watervrij bedoeld, ( 180 ) grootheid P—S (het verschil tusschen de rechtstreeksche polarisatie en het met behulp van deze en van de polarisa- tie na de inversie berekende gehalte aan saccharose) grooter dan 0.6 wordt bevonden *). Hij verzekert trouwens, dat er geene methode ter bepaling van kleinere hoeveelheden raffi- nose bekend is, en voegt er zelfs als gevolgtrekking bij — wat natuurlijk een lapsus calami is — dat de suikerpro- ducten des handels, indien zij raffinosehoudend zijn, daarvan altijd meer dan Ì/z pCt. bevatten. Het is van het meeste belang, het volkomen onbewezen zijn van deze bewering *) In de gevallen waarin P—S 0,6 of minder bedraagt, moet de expert verklaren: „dat geene raffinose in het onderzochte monster aangetoond kan worden”, De instructie zegt zelfs, dat er, zoolang P—S niet het be- drag 1 bereikt, nog onzekerheid blijft, d. i. de uitkomst behoeft dan niet te wijzen op de raffinose, maar kan ook een gevolg zijn van het gebrekkige der methode. Eigenaardig is de wijze, welke iu die gevallen voorgeschre= ven wordt om uit de onzekerheid te geraken. Er wordt dan „aangeno- men” dat de vorganische niet-suiker”, dat is: hetgeen aan 100 ontbreekt, als de percentische gehalten aan asch en water met de polarisatiepercenten worden samengeteld, aan het bedrag der asch zelf gelijk is, alzoo dat, wanneer a de asch en & de vochtigheid in percenten voorstellen P+2a+5=100 zal moeten wezen. Wanneer nu bij de volledige analyse, welke in die gevallen noodig is, blijkt, dat die grootheid > 100 is, dan bestaat er re= den om ste vermoeden”, dat P te groot gevonden en dat er dus raffinose aanwezig is; is zij » 100,3 dan bestaat daarvoor wzekerheid”, en de hoe- veelheid raffinose zou dan zelfs kunnen worden bepaald, waarvoor ook eene formule gegeven wordt. Maar dit is niet de bedoeling dezer „rekenme- thode”. Zij dient er alleen toe, den scheikundige de vrijheid te geven om, wanneer PS — of > 0.6 is gevonden, de waarde van voor R als juist aan te nemen en zij rmoet” tot dat doel aangewend worden in die gevallen waar de waarde van PS tusschen 0.6 en 1 gevonden wordt. Om mij zooveel noodig te verdedigen, wanneer ik in deze instructie de hoogte geteekend meen te zien, tot waar men het elders heeft ge- bracht in de kwantitatieve bepaling der raffinose, zij hier herinnerd, dat het met betrekking tot dit punt uit die instructie aangehaalde niet be- stemd is voor ambtenaren der Administratie, maar voor de beëedigde han- delsscheikundigen, aan wie de Administratie verplicht de analyse volgens deze voorschriften op te dragen. Deze handelscheikundigen zijn, gelijk bekend is, in den regel, personen, die hunne opleiding aan de Universiteit hebben genoten. (181 ) uit te spreken. Ware zij juist, dan zouden de belasting- schuldigen steeds met grond kunnen beweren, dat zij door de Administratie, wanneer deze geene correctie voor de raffinose aanwendt, meer dan 0.5 pCt. te hoog worden aan- geslagen. In de Rijks-suikerlaboratoria wordt, strikt genomen, de- zelfde methode van onderzoek, die oorspronkelijk van Creypr *) is en gevoegelijk de »inversiemethode’" heeten kan, gevolgd, maar met belangrijke wijzigingen. Daarnevens wordt in som- mige gevallen, doch slechts ter controle, de dusgenaamde slijmzuurmethode gebezigd, die van denzelfden Crevor af- komstig is en dit tot grondslag heeft: dat raffinose tot de koolhydraten behoort, welke bij behandeling met salpeter- zuur het vrij moeilijk oplosbare slijmzuur opleveren, wat met de saccharose niet het geval is, en van dat oxydatie- product onder bepaalde omstandigheden een vrij constant bedrag oplevert. Voor mengsels van enkel saccharose en raffinose is deze methode ook ons bij herhaling gebleken, zeer geschikt te zijn. Maar tot algemeen gebruik bij het onderzoek der suikerproducten kan zij, in haren tegenwoor- digen vorm, om verschillende, thans niet nader te bespreken redenen, niet aanbevolen worden. Om tot de inversiemethode terug te keeren, het is, na de inzage van het hierboven gegeven tafeltje, dat met een groot aantal er even gunstig voor getuigende gegevens, uit onze Laboratoria afkomstig, vermeerderd zou kunnen worden, volkomen duidelijk, dat zij eene algemeen bruikbare en juiste methode voor de analyse der suikerproducten zijn kan, mits men er in slaagt, door eene voorafgaande behan- deling er al de raffinose, met zoo weinig saccharose, uit te trekken, dat de samenstelling van dit mengsel binnen de grenzen valt, tusschen welke de methode bewijsbaar juiste uitkomsten geeft. Slechts zij men er op bedacht, dat de organische niet-suiker nevens raffinose, nog andere bestanddee- len bevat, die het gepolariseerde licht op krachtige en eigen- aardige wijze aandoen en de raffinose niet zelden in hoeveel- *) CrEypr, Vereinszeitschrift. Bd. XXXVII, 153. ( 182) heid overtreffen. Bij het concentreeren van deze laatste moet er dus tegen gewaakt worden dat die niet-suikerbestanddee- len met de raffinose medegaan. Ziedaar de hoofdlijnen waarlangs het onderzoek in onze Suikerlaboratoria zich heeft bewogen. Wat het concentreeren van de raffinose aangaat, SCHEIBLER zelf heeft daartoe den weg gewezen, door de aandacht te vestigen op het groote verschil in oplossend vermogen voor saccharose en raffinose, dat aan methylaleohol eigen is. Zie- hier bepalingen van den Heer ArBerpa, die dit punt in het licht stellen. 100 ecM* methylaleohol van de aangewezen sterkte (in volumenprocenten) lossen bij 15° van saccharose en van raffinose (deze laatste in gekristalliseerden, waterhoudenden staat) de volgende hoeveelheden op: Sterkte, Saccharose Raffinose 100 pCt. 0.3 gram. 10.2 gram *). 95 » de ae 90 » 0.6 » 24 » 85 » TE: 80 > 3.8 > 1.8 > 60 » 28 » 20 » 5.0 » Het eigenaardig dalen en weder rijzen van het oplossend *) Wegens de kostbaarheid van methylaleohol kan ook houtgeest (een aceton-, allylverbindingen en dusgenaamde houtoliën bevattende methyl- alcohol) voor dit doel in aanmerking komen. Daarom laat ik een tweede tafeltje van den Heer ALBERDA volgen, daarop betrekking hebbende: Sterkte Saccharose _ Raffinose watervrij 0.42 gram 8.10 gram met 5 pCt. water (in vol.) 180 , Ld 10 4 LÁ 2.25 LÁ 0.83 n 7 Te w 075 » „ 20 v „ 6,20, rr 0.90 w „ 40 ’ 1.90 # „ 80 # ‚ 4,00 w pr ck demen ater dn nd lk (183 ) vermogen dezer vloeistoffen bij afnemende sterkte, houde ons niet op *). Wij constateeren slechts het belangrijke verschil en leiden daaruit af, dat zeer sterke methylalcohol, met ge- droogde raffinosehoudende suiker geschud, daaruit een meng- sel van saccharose en raffinose kan opnemen, waarin deze laatste de overhand heeft. ScrerBrer zelf heeft hiervan reeds op de volgende wijze partij getrokken : hij verzadigde methyl- aleohol met saccharose, schudde met eene bepaalde hoe- veelheid dezer oplossing, na er het draaiend vermogen van bepaald te hebben, eene bepaalde hoeveelheid der gedroogde suiker en stelde zich nu voor, dat deze laatste hierbij aan het vocht al de daarin bevatte raffinose en niets dan raffinose af zou staan, zoodat de vermeerderde rechtsdraaïing der vloei- stof daarvan de maat zijn zoude. Deze methode heeft ScHEIBLER in 1886 +) aanbevolen, maar haar weder verlaten, na dat hij ingezien had, dat zij om eene, naar ’t schijnt, hem onbekend gebleven reden veel te hooge raffinosegehalten deed vinden. Later heeft de Heer LorMmaN, handelsscheikundige te Am- sterdam, in eene circulaire aan den handel bekend gemaakt, dat hij een middel wist om die methode van haar gebre- ken te ontdoen. Hij had nl. gevonden, dat methylalcohol, met gedroogde suiker geschud en daaruit raffinose opgeno- men hebbende, door toevoeging van zooveel mogelijk gecon- centreerden loodazijn het geheele opgeloste gehalte aan raffinose weder liet praecipiteeren. Het lag voor de hand, dat hiervan partij kon worden getrokken; polarisatie vóór en na de be- handeling met loodazijn zou het bedrag der raffinose kunnen doen kennen. ScHeIBLER heeft echter verklaard, dat ook deze handelwijze aan groote onnauwkeurigheden onderhevig is en liet zich nog *) Waarschijnlijk onttrekt watervrije methylalcohol aan de gekristalli- seerde raffinose het water dat zij bevat en is de watervrije raffinose op= losbaarder in methylalcohol dan de waterhoudende. Hiervoor pleit de volgende proef: eene oplossing van watervrij gemaakte raffinose in water: vrijen methylaleohol geeft na toevoeging van !/, van haar volumen water onmiddellijk eene overvloedige kristallisatie van waterhoudende raffinose. +) Neue Zeitschr. f. Rube. Ind,, XVIL. blz. 233. ( 184 ) onlangs over de aanwending van methylaleohol tot het be- oogde doel uit als over een wel veel belovend middel, maar voor welks toepassing nog vele experimenteele onderzoekin- gen vereischt zouden worden *). Het is de bizondere verdienste van den Heer ALBERDA, te hebben aangetoond, dat en waarom de methoden van ScHeIBLeR en van LorMAN niet tot het beoogde doel kunnen leiden en daarmede baande hij tevens den weg tot de juiste wijze van aanwending van den methylalcohol. De zaak is deze. Methylalcohol lost uit suikers niet slechts raffinose op, maar ook het grootste deel — en bij aanwezig- heid van eenig water zelfs het geheele bedrag — der stroop- bestanddeelen. Onbekend was dit feit niet. De Amerikaansche scheikundige CAsAMAJOR heeft er reeds voor jaren gebruik van willen maken tot bepaling van de saccharose in ruwsui- kers f) en er zijn ook patenten opgenomen voor het zuiveren van deze in het groot. — ALBERDA vond, dat afgewerkte beetwortelmelasse, met zand gemengd en sterk gedroogd, zich in watervrien methylaleohol tot de helft van zijn ge- wicht oplost; dat melasse, met zijn eigen gewicht aan water verdund, in elke verhouding met methylaleohol kan worden vermengd, zonder dat er iets anders praecipiteert dan dextran, pektinlichamen en soortgelijke stoffen, benevens kaliumsulfaat, wanneer het in genoegzame hoeveelheid aanwezig is. — Sui- kerproducten van eenigzins hooge gehalten en goed gekristal- liseerd, kunnen door ééne enkele afwassching met methyl- alcohol geheel van hun stroopgehalte bevrijd worden en laten een suiker terug, die boven 99 polariseert, terwijl het asch- gehalte daalt van b.v. 1 tot 0.1 pCt. Lagere producten laten zich echter niet op die wijze onmiddellijk van hun stroop- gehalte ontdoen; dit gelukt eerst na ze drie of viermaal stoffijn gewreven en met verschen methylaleohol behandeld te hebben 8). %) Deutsche Zucker-Industrie. XIII, N°. 24 (Mei 1888). +) CASAMAJOR. Journ. of the Amer. Soe., Vol. I. $) De aanwijzing is belangrijk, daar zij de van verschillende zijden (185 ) Ook de chemische verbindingen van citroenzure, wijnsteen- zure, appelzure, barnsteenzure, glutaminzure, asparaginezure, azijnzure en mierezure alkalizouten met saccharose, wier be- reiding door mij beschreven is in Zijdschrift van Nijverheid, Dl. XVI, St. 8 (1875) gedragen zich tegenover methylalco- hol en tegenover houtgeest juist zooals de natuurlijke stroo- pen. Hetzelfde geldt van invertsuiker, van tarwestroop en dergelijke producten (met uitzondering natuurlijk van hare dextrineachtige bestanddeelen), en- dus ook van de exotische melassen, zoodat ook rietsuikers zich tegenover deze vloei- stoffen evenzoo gedragen als die van beetwortel. Het is derhalve duidelijk, dat het onderzoek met het pola- risatiewerktuig van een met saccharose verzadigden hoog- percentigen methylaleohol, vóór en nadat men dien met gedroogde suiker heeft geschud, gelijk ScrerBLER’s voorstel luidde, dáárom niet tot bepaling der raffinose leiden kan, omdat, behalve raffinose, ook nog saccharose in den vorm van stroop en bovendien nog allerlei bestanddeelen, die invloed kunnen hebben op gepolariseerd licht, in de waschvloeistof worden opgelost. Voor zoover men aan de alzoo verkregen uitkomsten beteekenis heeft gehecht, vloeit er uit voort, geopperde onderstelling schijnt te bevestigen, dat slechts de goedge- vormde en geïsoleerde suikerkristallen, al zijn zij ook klein, door uit- wassching vrij van moederloog te verkrijgen zijn, maar dat dit met de conglomeraten, waaruit de naproducten bestaan, niet meer het geval is. Het is eene reden, waarom men op uitwaschstelsels, zooals zij tot dusver voor saccharimetrische doeleinden zijn aanbevolen, alleen bij de hoogere producten vertrouwen kan stellen. Mochten zoodanige stelsels weder eens in aanmerking komen, — wat zeer wel het geval wezen kan — dan zal het geraden zijn, voor wasch- vloeistof in plaats van aethylalcohol, methylaleohol te nemen. De toevoeging van eenig azijnzuur maakt ook bij de lagere producten de oplossing van de stroapbestanddeelen sneller en volkomener. Overigens meent de Heer ArgErDA bemerkt te hebben, dat zoowel aethyl- als me- thylaleohol, azijnzuurhoudend en met saccharose verzadigd, na stroopbe- standdeelen opgenomen te hebben, bij aanraking met saccharose van deze opnieuw eene, zij het dan ook geringe, hoeveelheid, oplossen kan, iets wat, indien het nader wordt bevestigd, zou bewijzen, dat de stroopvor- mende zouten, als kaliumacetaat enz, in alcoholische oplossing meer saccharose kunnen binden, dan in waterige, (186 ) dat het raffinosegehalte ook der betere suikerproducten in den regel veel te hoog is geschat. In hoogpercentigen methylalcohol, die met ruwsuiker is ge- schud en nevens raffinose en saccharose in vrijen toestand, ook saccharose in verbindingen met organischzure alcalizou- ten en waarschijnlijk nog andere organische stoffen bevat, brengt zooveel mogelijk geconcentreerde loodazijn een praeci- pitaat te weeg, dat van zeer complexen aard is. Het bevat stellig, indien genoeg loodzout is toegevoegd, al de raffinose ; de afscheiding van deze uit soortgelijke vloeistoffen laat niets te wenschen over en in zoover was de gedachte, die ten grondslag ligt aan LOTMAN's wijziging van SCHEIBLER's waschmethode niet onjuist. Maar onjuist is de meening, dat het loodzout aan de vloeistof geene andere het gepolariseerde lieht aandoende stoffen ontneemt, dan raffinose. Niet slechts wordt ook bijna al de organische niet-suiker (bepaaldelijk de organische zuren) mede neergeslagen, maar ook eene aan- zienlijke hoeveelheid saccharose zelf. De mede neergeslagen hoeveelheid saccharose kan, gelijk bij onderzoek gebleken is, in genoegzaam watervrije oplossingen, tienmaal die der raf- finose bedragen. — Zeer aanzienlijk is echter de invloed, die de verdunning met water, vóór de praecipitatie met loodazijn, op de samenstelling van het neerslag heeft. De hoeveelheid gepraecipiteerde saccharose vermindert dan met het water- gehalte der vloeistof. In methylaleohol van 95 pOt. is de verhouding tusschen saccharose en raffinose in het neerslag ongeveer 5:1, in methylalcohol van 90 pCt. ongeveer 3: 1. Bij verdere verdunning wordt ook het raffinosegehalte van het praecipitaat geringer, in methylaleohol van 80 pCt. heeft geene volledige praecipitatie van raffinose meer plaats en in methylalcohol van 70 pCt. wordt geen spoor meer, noch van saccharose, noch van raffinose, door loodazijn nedergeslagen. Talrijke onderzoekingen zijn in het werk gesteld om, zoo mogelijk, een grens te vinden, waar raffinose zonder saccha- rose werd neergeslagen, maar zonder gevolg. Doch al ware de uitkomst anders geweest, de methode van Lorman had daar- mede niet gered kunnen worden. Want, in welke verdunning ook het praecipitaat ontsta, het blijft de draaiende organische ( 187 ) zuren bevatten en in geen geval kan derhalve het rotatie- vermogen der oplossing door loodazijn alleen met het aan- deel, dat de raffinose daarin heeft, worden verminderd. De gemaakte ervaringen toonden echter duidelijk den weg langs welken het beoogde doel kon worden bereikt. De behandeling der gedroogde suikers met zooveel mogelijk watervrijen methylaleohol of dito houtgeest leidt tot het verkrijgen van eene vloeistof, wier rotatievermogen van com- plexen oorsprong is. Dit wordt daarom ook niet bepaald, dan nadat: 10 de vloeistof met zooveel water is verdund, tot dat het alcoholische oplosmiddel eene sterkte heeft van 60 à 70 pOt. en 20 in dien toestand door loodazijn van de daarmede praecipiteerbare stoffen is bevriijd. De nu over- blijvende vloeistof dankt haar rotatievermogen zoo goed als uitsluitend aan saccharose en aan raffinose, en de betrekke- lijke hoeveelheden van dezen laten zich thans nauwkeurig door de inversiemethode bepalen. Daar de handelwijze toelaat, groote hoeveelheden suiker aan de proef te onderwerpen is het niet moeilijk, ook bij de hoogere producten, nauwkeurig na te gaan of en hoeveel raffinose zij bevatten. Opzettelijk daartoe ingerichte proeven hebben geleerd, dat men met ze- kerheid in die suikers 0.05 pCt. raffinose, indien zij aanwe- zig is, kan aantoonen *). ©) Noodzakelijk voor den scheikundige, die deze opgave zou willen controleeren door de analyse van synthetische mengsels van zuivere sac- charose en raffinose, is de opmerking, dat zoodanig mengsel aan methyl- alcohol de raffinose vooral dan gemakkelijk afstaat wanneer het oplosmiddel eenig kaliumacetaat of ander stroopvormend zout bevat. Raffinose vormt nog gemakkelijker dan saccharose met kaliumacetaat enz, stroopen (op de wijze zooals door mij is aangegeven, zie blz. 185) en deze faculteit schijnt eeu bevorderende factor te zijn bij het scheiden van raffinose en saccharose door methylalcohol. De suikers van den handel bevatten in den regel genoeg stroopvor- mende zouten om de oplossing der raffinose zonder toevoeging van ka- liumacetaat te verzekeren. Alkalische suikers moeten echter vooraf met azijnzuur (of nog bete. met aluin) worden geneutraliseerd. Deze ervaringen ondersteunen de opvatting, dat het bij de vaste zonder melasseverwerking verkregen suikerproducten de stroop is, die de raffinose bevat, niet de suikerkristaller zelve. De eindbeslissing hieromtrent wordt echter nog (188 ) Er is reeds medegedeeld, dat van de lagere suikers (de naproducten) het raffinosegehalte niet door eene eenvoudige wassching met methylalcohol of houtgeest, ook niet na toevoeging van azijnzuur of kaliumacetaat, geheel en in korten tijd in oplossing kan worden gebracht *). Dit gelukt echter met zekerheid wanneer zoodanige suiker in een weinig water wordt opgelost, en deze oplossing met eene overvloedige hoeveelheid van de bedoelde vloeistoffen wordt vermengd. Na eenigen tijd — indien men haar met eenige suikerkristallen in een gesloten vat schudt, zelfs in ongeveer één uur — kristalliseert dan ten minste f/, van de voorhanden saccharose uit en laat al de raffinose in de oplos- sing, die vervolgens tot bepaling daarvan op dezelfde wijze wordt behandeld als de vloeistof, verkregen bij de hoogere suikers. Proeven met synthetische mengsels van saccharose, raffinose en kaliumacetaat (voor de stroopvorming), waarbij 50 gram van het mengsel aan de proef werden onderworpen, bewezen, dat de nauwkeurigheid hier gerust op 0.1 pCt. mag worden gesteld. | Bij melassen is concentratie van het raffinosegehalte op deze wijze niet mogelijk, daar zij zelve, gelijk reeds vroeger is opgemerkt, na toevoeging van eenig water in elke ver- houding in methylaleohol of houtgeest oplosbaar zijn (op dextran, galactan en soortgelijke stoffen, alsmede eventueel op kaliumsulfaat na). Er blijft dan niet anders over, dan op die oplossingen in methylalcohol de zuivering met loodazijn en daarna de inversiemethode toe te passen. De nauwkeurigheid, waarmede de bepaling van raffinose in de natuurlijke melassen kan geschieden, mag op 0.2 pCt. worden geschat. eenigzins belemmerd door de moeilijkheid, die de kwalitatieve erkenning van zeer kleine hoeveelheden raffinose in ruwsuikers aankleeft. %) Als voorbeeld (uit zeer vele onzer proeven) wordt hier aangehaald. cen STEFFEN’ suiker 4e product, die bij de behandeling, in den tekst aan- gegeven, bleek 3.23 pCt. raffinose te bevatten, en bij de eerste behande- ling met de waschvloeistof daarvan 2.1, bij de tweede 0.7, bij de derde 0.8 en bij de vierde 0.l pCt. opleverde. ( 189 ) In het voorgaande is de wordingsgeschiedenis dezer raffi- nosebepaling in de hoofdtrekken beschreven, terwijl in eene bijlage de nadere voorschriften voor de uitvoering worden medegedeeld. Het is hier de plaats niet, om de resultaten, waartoe het onderzoek naar het raffinosegehalte der handelsuikers heeft geleid, mede te deelen. Het is echter niet overbodig te verklaren, dat er geene reden bestaat, om bij het sacchari- metrisch onderzoek nog eene correctie voor een mogelijk gehalte aan raffinose aan te brengen dan alleen bij de slechts zelden voorkomende spitse suikers, bij welke de afwezigheid van raffinose zich reeds op het oog door dien gewijzigde kristalvorm openbaart. Ik laat nu nog eenige kritische opmerkingen betreffende het onderwerp volgen, in de eerste plaats ten aanzien van de door loodaziijjn praecipiteerbare bestanddeelen der orga- nische niet-suiker. Herinnerd worde, dat deze stoffen bij het gewone saccha- rimetrisch onderzoek uit de wateroplossing door loodazijn worden neergeslagen en dat de hoeveelheid daarvan, die ten- gevolge van de onvolkomen praecipitatie in die vloeistof kan verblijven, te klein is om het resultaat der polarisatie te storen. Dit is gebleken door het onderzoek van die praeci- pitaten zelve; na ontleding met zwavelwaterstof enz, leve- ren zij eene vloeistof op, wier invloed op het gepolariseerde licht slechts merkbaar gemaakt kan worden door haar vele malen geconcentreerder te nemen, dan correspondeert met de sterkte der oplossing, waarin de ruwe suiker aan het gewone onderzoek in het polarisatiewerktuig onderworpen wordt. Het raffinoseonderzoek verschilt echter van het gewone in drie, hier in aanmerking komende punten: 1° de vloei- stof is (bj de rechtstreeksche polarisatie) niet water, maar methylaleohol; 20. het is een concentratiesysteem, ook voor de organische niet-suiker; en 30. bij het gewone sacchari- metrische onderzoek heeft geene inversie plaats. | Over elk dezer drie punten een woord. Wat het eerste betreft, zij opgemerkt, dat het natuurlijk noopt tot grootere voorzorgen tegen verdamping, die zich VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 8de REEKS, DEEL V, 13 (190 ) echter van zelf aanwijzen en geene moeilijkheid van belang kunnen baren. Maar iets anders is de invloed, dien het op- losmiddel heeft op de draaing. Oplossingen van saccharose en van raffinose in houtgeest, draaien iets sterker dan die in water. Het verschil is door den Heer ArgBerpa bepaald en gevonden : [a] p voor saccharose in houtgeest 68.0, in water 66.6 > » » raffinose » » 105,5; 2 sn de houtgeest was van 65 en 70 pCt. zooals die in toepas- sing komt, en de verschillen zijn constant bevonden voor oplossingen van 2 tot en met 16 pCt. Ten aanzien van het tweede punt zij opgemerkt, dat de hoeveelheid organische niet-suiker, aanwezig in de oplossin= gen bij het raffinose-onderzoek van vaste suikers, ongeveer viermaal zooveel zal bedragen, als bij de gewone polarisatie ; bij het onderzoek van stroopen bestaat er geen verschil. Daar- tegenover staat, dat de praecipitatie dezer stoffen met lood- azijn in methylaleoholoplossing veel vollediger plaats heeft dan in waterige *) en dat de oplosbaarheid van het neêrslag in een overmaat van loodazijn bij de eerstgenoemde veel gerin- ger is dan bij de laatste. Hieruit mag worden afgeleid, dat, ofschoon men in beide gevallen de volkomen zekerheid mist, dat alle draaiende niet-suikerbestanddeelen door loodazijn worden afgescheiden, hieraan met betrekking tot de polari- satie vóór inversie bij het raffinose onderzoek nog minder bedenkingen kunnen worden ontleend dan ten aanzien van het gewone onderzoek in wateroplossingen. — Anders is het evenwel gelegen met de polarisatie na inversie. Dit brengt ons tot het Derde punt. De polarisatie na inversie brengt, als zij voor het saccharimetrisch onderzoek noodig is, een factor van onzekerheid mede. Niet alleen door de reeds gememoreerde afhankelijkheid der draaing van de wijze van inversie en door *) Eene wateroplossing van lage producten (16.26 gr. op 100 cM3), met loodazija zooveel mogelijk uitgepraecipiteerd, geeft, na filtratie, met methylalcohol een nieuw praecipitaat van loodzouten. (191) hare veranderlijkheid met de temperatuur, maar ook omdat, indien er na de praecipitatie met loodazijn nog organische niet-suiker mocht overgebleven zijn, deze, zoo zij niet reeds op zich zelve draaiend is, in den regel door de inwerking van het zuur in stoffen overgaat, die een merkbaar draaiend vermogen hebben *). Hier zij tevens herinnerd aan de mogelijkheid, dat dextran, galactan f) pektinlichamen en soortgelijke, benevens saccha- rine en saccharinezure verbindingen, die alle draaiend ver- mogen bezitten, in beetwortelsuiker voorkomen 8). Deze laat- ste zouden vooral te vreezen zijn. Saccharine heeft een sterk rechtsdraaiend vermogen, bijna 1.5 maal dat van saccharose, en wordt, ook in alcoholische oplossingen, niet door loodzou- ten nedergeslagen Doch men bedenke: 10. dat saccharine in invertsuikervrije beetwortelsuikers hoogst waarschijnlijk niet voorkomt en dat, mocht dit het geval wezen, zij moeilijk anders dan in den vorm van saccharinezure zouten aanwezig zijn kan. Deze nu worden, naar DeeeNeRr's eigen onderzoe- kingen, door loodazijn wel nedergeslagen, ofschoon, volgens ÄLBERDA's ondervinding, niet volkomen, terwijl het neerslag in alcoholische oplossingen in overmaat van het praecipi- teermiddel tamelijk oplosbaar is. Dextran, galactan en soortgelijken zijn bij het raffinose- onderzoek, tengevolge der behandeling met methylalcohol of met houtgeest, geheel buitengesloten. Nog zouden bedenkingen ontleend kunnen worden aan de beweringen van Lerray en MaAumeNé omtrent inactieve sac- charose, die door zuren actief zou worden. Maar die be- weringen hebben tot dusver bij andere scheikundigen, die er zich mede hebben beziggehouden, niets dan tegenspraak ontmoet. Dit alles overziende kan moeilijk worden ontkend, dat *) Onze ondervinding is deze: de praecipitaten met loodazijn geven na behandeling met H? S in zwak azijnzure oplossing òf geene òf eene hoogst geringe linksdraaing, die echter door de inversie in eene veel sterker rechtsdraaing overgaat. T) Zie DeeeNeR, Vereins. Zeitschrift. N°, 35, pag. 121. $) LiePmaN B. B. XX. 1001. 13* (192 ) eene kwalitatief en kwantitatief zékere methode om de raf- finose als zoodanig af te scheiden *) de voorkeur zou verdie- nen boven deze en elke andere, die het vinden en bepalen van dat bestanddeel uitsluitend afhankelijk maakt van het kwantitatieve verschil, dat eene, enkel saccharose houdende, oplossing vóór en na inversie aanbiedt met de oplossing der te onderzoeken suiker vóór en na inversie. Voor de zekerheid, die verlangd wordt, komt er hier alles op aan, in hoever men er in slaagt, het objekt van het onderzoek door zuiveringsmiddelen te doen naderen tot een mengsel van enkel saccharose en raffinose. Daarvoor nu kunnen geen volkomen afdoende kenteekenen worden aangegeven. Dit is en blijft een bezwaar maar het weegt bij onze methode stellig veel minder dan bij eenige andere. Het gebruik van methylaleohol of van houtgeest heeft ten ge- volge dat veel zuiverder vloeistoffen aan de inversie worden onderworpen dan bij de overige methoden, bepaaldelijk bij die van de duitsche instructie, waar de inversie plaats grijpt met de zelfs niet door loodazijn gezuiverde oplossing 4). Voorts wensch ik nog een oogenblik stil te staan bij de formule voor de berekening, die door ons wordt aan- gewend. Noemt men: *) De hoop bestaat nog, dat de praecipitatie der raffinose door lood- azijn in methylaleohol- oplossing daaraan dienstbaar gemaakt zal kunnen worden, gelijk zij misschien ook zal kunnen dienen om de raffinose rechtstreeks in den beetwortel (en in rietsuiker) aan te wijzen en kwan- titatief te bepalen. tf) Er mag nog op worden gewezen, dat de met loodazijn uitgepraeci- piteerde houtgeest-oplossing na de inversie in den regel zonder verdere voorbereiding in het polarisatieapparaat kan worden onderzocht. De geïn- verteerde wateroplossing is, zelfs als behandeling met loodazijn is voor« afgegaan (in de duitsche instructie wordt dit niet eens voorgeschreven), gewoonlijk zoo donker gekleurd, dat dit onderzoek zonder gedeeltelijke ontkleuring met kool onuitvoerbaar is, waardoor een nieuwe reden van onzekerheid wordt ingevoerd. Kool toch (uitgewasschen beenkool) absor- beert, gelijk opzettelijke proeven ons hebben geleerd, eene merkbare hoe- veelheid suiker, zoodra zij in grooter hoeveelheid dan van één gram wordt aangewend. ( 193 ) x het aantal grammen saccharose op 100 cM$ der vloei- stof; y het aantal grammen raffinose in dezelfde hoeveelheid vloeistof ; P de polarisatie vóór inversie ; p de polarisatie na inversie en t de temperatuur van het vocht bij de bepaling van p‚ dan hebben wij: 102 2 + 158,4 y == 16.26 P en — (44 — Up) + (75 PY, y = 16.26 p Hierbij zij herinnerd dat het apparaat van LAURENT ge- bruikelijk is waarin 16.26 saccharose, in water tot 100 cM5 opgelost, 100 polarisatie geven; 16.26 raffinose (waterhou- dende) geven op dezelfde wijze 157. Omtrent de verande- ring van 100 en van 157 in 102 en 158.4, zie blz. 190, Bij 200 C. geven 16.26 saccharose na onze wijze van inversie — 84; 16.26 raffinose +- 80. Deze beide cijfers varieeren, naar eigen onderzoekingen, gelijkmatig met de temperatuur tot het bedrag, in de vergelijking aange- geven, zoodat p bij 0? voor saccharose is 44, voor raf- finose 75. ‘ | In den vorm der Duitsche vergelijkingen gebracht en on- derstellend, dat de P in wateroplossing wordt bepaald, wor- den de onze: MEE P=8 TER. De Duitsche formulen zijn echter berekend op watervrije raffinose, omgerekend tot waterhoudende, worden zij: 0.5189 P —p PS pe lend Ral 0.8459 ke 1.57 ( 194) Creypr’s constanten komen met deze nagenoeg overeen. Zijne vergelijkingen zijn: Ten slotte nog een woord over het onderzoek der in- vertsuikerhoudende suikerproducten. Dat daarover tot dusver het stilzwijgen is bewaard, heeft zijn grond hierin, dat geene inversiemethode met eenige zekerheid kan worden toegepast op suikerproducten die invertsuiker bevatten, tenzij de hoe- veelheid van deze zoo gering zi, dat zij in elk opzicht verwaarloosd kan worden. Dit moge misschien het geval zijn bij sommige der enkele malen voorkomende invertsui- kerhoudende beetwortelproducten, de koloniale suiker is van deze onderzoekingswijze ten eenenmale uitgesloten, omdat voor de polarisatie van de daarin bevatte invertsuiker, zoo- wel vóór als na de inversie, geene ook maar eenigermate betrouwbare cijfers zijn op te geven. De kwestie van het voorkomen van raffinose in rietsuikerproducten is daarom nog geheel open. Bijlage. OMSCHRIJVING VAN DE METHODE VOOR RAFFINOSE- BEPALING IN RUWSUIKERS EN STROOPEN, AFKOMSTIG VAN BEETWORTEL. Hoogpercentige ruwsuiker. 100 gram ruwsuiker wordt gebracht in een nauwmondsstopflesch van ca. 250 cM? inhoud en gedurende eenigen tijd geschud 1met 150 ec. e. houtgeest (van den handel), waaraan eventueel zooveel oplossing van kali-aluin is toegevoegd als noodig is om de alkaliteit van de suiker te neutraliseeren. Daarna filtreert men 100 cM? van de vloeistof in eeu wijdhalzig kolfje van 100 eM? en destilleert hiervan 40 cM? af. Bij de overgebleven vloei- stof voegt men weder 20 cM? water, vervolgens zooveel loodazijn, tot er zich geen p.p. meer vormt, daarna eenig geprecipiteerd aluinaarde- hydraat, vult met water aan tot de deelstreep, schudt de vloeistof goed dooreen, filtreert in zooveel mogelijk gesloten toestellen en polariseert. Van deze polarisatie-vloeistof wordt tegelijkertijd 50 cM* ingedampt tot de alkohol verwijderd is; de overgebleven vloeistof brengt men met water terug op 50 eM°, voegt 5 eM? zoutzuur van ca. 36 pCt. HCI toe en inverteert nu gedurende 10 minuten bij 68° C., koelt af tot +- 20" en polariseert deze vloeistof, zooals ze daar is, in een glazen buis van 22 cM. Het gewicht der gevonden hoeveelheid raffinose in grammen moet in dit geval met 1!/, vermenigvuldigd worden om het percentisch bedrag te vinden. Laagpercentige ruwsuikers. 30 gram van de te onderzoeken ruw- Suiker wordt gebracht in een kolfje van 150 eM? en overgoten met, al naarmate de hoeveelheid stroop, in de ruwsuiker voorhanden, 6—9 cM? water, waaraan zooveel kali-aluin is toegevoegd als noodig is om de alkaliteit van de suiker te neutraliseeren. Nu wordt de suiker onder zachte verwarming hierin opgelost en bij de nog heete vloeistof kleine hoeveelheden houtgeest gevoegd onder voortdurend dooreenschudden. Daarna wordt de vloeistof afgekoeld, en de kolf tot de deelstreep met houtgeest aangevuld. Na een weinig poedersuiker in de kolf te hebben gebracht, wordt zij gedurende een uur in schuddende beweging gehouden en daarna opnieuw tot de deelstreep aangevuld. Met 100 eM* van de gefiltreerde vloeistof wordt gehandeld als bij de hoog percentige suiker is beschre- ( 196 ) ven. Bij de berekening van het pereentisch raffinosegehalte dient men rekening te houden met het volumen dat de uitgekristalliseerde suiker inneemt, hetgeen geschieden kan, door de uitkomsten met 0,88 à 0,92 te vermenigvuldigen. De gevonden hoeveelheid raffinose wordt tot het vinden van het percentisch bedrag vermenigvuldigd met 5. Stroopen. Men weegt 12 gram van deze af in een kolfje van 150 eM?, voegt 12 cM?* water toe met zooveel kali-aluin als noodig is om de alkaliteit van de stroop te neutraliseeren, lost de stroop hierin op en vult daarna de kolf aan met methylaleohol tot de deelstreep. De goed dooreengeschudde vloeistof wordt gefiltreerd en met 100 cM? van dit filtraat gehandeld als bij de ruwsuiker is beschreven. De gevonden hoeveelheid raffinose wordt tot het vinden van het per- eentisch gehalte vermenigvuldigd met 100 en gedeeld door 8. Bij bovenbeschreven bepalingen is gebruik gemaakt van kali-aluin voor het neutraliseeren, omdat de daardoor ontstane zwavelzure zouten bij hunne praecipitatie met methylalcohol veel kleurstof meêslepen. PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 30 Juni 1888, Tegenwoordig de Heeren: van DER Waars, Ondervoor- zitter, ENGELMANN, MARTIN, HorFFMANN, BRUTEL DE LA Rr- VIÈRE, BieRENS DE HAAN, Prace, HuBreorr, FURBRINGER, RauwenNznorr, Buys BALLoT, ZEEMAN, VAN BEMMELEN, Murper, BerverincK, Rrske, J. A. C. Oupemans, Mac GILLAVRY, VAN Diesen, PEKELHARING, VAN RreMsDiJjK, Mrcmaëris, Forster, Stokvis en C. A. J. A. OupemaNs, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt gelezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden : 10, G. C. W. Bounensree, Conservator van de Bibliotheek van Teylers Stichting te Haarlem, 28 April 1888; 20, G. J. W. Bremer, Secretaris van het Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke Wijsbegeerte te Rotterdam, 29 Mei 1888; 30. P. G. Tarr, Secretaris der royal Society te Eidin- burg, 7 Juni 1889 ; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 1°. Guye, Redacteur van het Nederlandsch Tijdschrift voor (198 ) Geneeskunde te Amsterdam, 29 Mei 1888; 20. den Direc- teur der Service de la Statistique générale de Belgique te Brussel, 19 Mei 1888, 30. A. Auwers, Voorzitter der Com- mission für die Beobachtung des Venus-Durchgangs te Ber- lijn, Mei 1888; 40, Herrner, Secretaris der Gesellschaft für nützliche Forschungen te Trier, 7 Mei 1888; 50, den Di- recteur van het Musée publie te Moscou, 11 Juni 1888; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbe- tuiging en plaatsing in de Boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10. een brief van den Hoogleeraar Kekuré te Bonn (ll Juni 1888), waarin dank betuigd wordt voor zijne benoen:ing tot buitenlandsch lid der Akademie; 20. de kennisgeving van Mevr. de Wed. Mr. C. Vosmaer, geb. CraNr, van het overlijden van haren echtgenoot, lid der Akademie. Zij zal met een adres van rouwbeklag worden beantwoord; 80. de mededeeling van den Heer Dorpers, dat hij den 27sten Mei Il. den 70-jarigen leeftijd bereikte; 40, kennisgevingen van de Heeren VAN DE SANDE BAKHUYZEN, HooeeweRFrF, Hoek en ScroLs, dat zij verhinderd werden de vergadering bij te wonen; 50, een brief van den Heer H. P. J. Moonen te Venro (23 Juni 1888) ter begeleiding van een opstel, getiteld: »lets over geluid- golven”. De schriijver wenschte het door de Akademie be- oordeeld te zien. — De Voorzitter draagt deze taak op aan de Heeren GrINwis en LoRENTz; 6. een brief van den Heer Dr. G ScHouren, leeraar aan de H. B. S. te Amsterdam, ter begeleiding van eene verhandeling, getiteld : » Algemeene eigenschappen van de zuiver rollende beweging van een om- wentelingslichaam op een horizontaal vlak, toegepast op de beweging van een omwentelingslichaam om een vast punt van zijne as’, die hij gaarne in de werken der Akademie wenschte opgenomen te zien. — Als rapporteurs over dezen arbeid worden benoemd de Heeren KortewrG en ScHoLS. — Het rapport van de Heeren BreRENs DE HAAN en VAN DEN Berre over de verhandeling van den Heer Dr. JAN pe Vries (Over de harmonische configuratie 243, 184), en dat van de Heeren FÖrBRINGER en HorFMANN over de verhandeling ecn heen dn cad ( 199 ) van den Heer Dr. J. T. OupemanNs (Beiträge zur Kenntniss des Chiromys madagascariensis) luidt gunstig. De conclusie om beide verhandelingen op te nemen in de werken der Akademie wordt zonder discusie aangenomen. — De Heeren van peR Waars en BosscHa, rapporteurs over het opstel van den Heer Dr. P. H. Doses (Over de vermindering der maximale spanning van een damp en daar- mede samenhangende verschijnselen) stellen voor, dit opstel wel voor de Verslagen en Mededeelingen te bestemmen, maar den Heer Doses vooraf kennis te doen nemen van hun ver- slag, opdat hij met de Commissie in overleg zou kunnen treden over aan te brengen verbeteringen. — Deze conclusie wordt aangenomen. — De Heer vaN peR Waars, zich grondende op de be- schouwingen van GiBBs, toont aan dat de voorwaarden, waaraan voldaan moet worden als een gegeven stof zich bij gegeven temperatuur 7} in een gegeven ruimte in evenwicht schikt, gevonden kunnen worden door de voorwaarden te zoeken, onder welke de functie Jee Tr n) dk een minimumwaarde verkrijgt. In deze functie stelt gp voor de dichtheid, dk het vo- lume-element, e en 7 de energie en entropie per gewichts- eenheid. De laatste twee grootheden worden beschouwd als fanctiën van 7, g en andere parameters w, die den toestand ondubbelzinnig bepalen (bijv. betrekkelijk aantal gesplitste molekulen) — terwijl, als er uitwendige krachten werken, & bovendien een functie van de coördinaten der ruimte is. Zal |ole — Ts n)dk een minimumwaarde hebben, dan moet, volgens de regels der variatierekening, ò f o (— Te 1) dk gelijk nul zijn. Er is, behalve het onveranderd blijven der ruimte, geen andere nevenvoorwaarde dan dat ò | go dk mede gelijk nul zij. (200 ) Daaruit besluiten wij, dat de partiëele differentaalquotiën- ten van o(e— 1%) ten opzichte van T' en de verschillende parameters «& gelijk nul moeten zijn, en dat ten opzichte van @ gelijk constante. Of voor elk punt der ruimte geldt: Ò go (e — Te 1) Oe REE Ò Tp a enk ) Òg(e —T, LE On: GE &) Tpzrzenz. Òo(e— Tern) | er wan ERN ee 9 Ö granen @) Uit (1) vindt men 7 —= Tk, of er is geen evenwicht mogelijk zonder gelijkheid van temperatuur. (2) leert ons bijv. voor de gedissociëerden toestand, hoe de graad van dissociatie met de densiteit samenhangt. (83) leert ons welke densiteiten naast elkander bestaan kunnen. Gezamenlijk leeren deze vergelijkingen ons kennen, welke phasen kunnen coëxisteeren — een aantal, dat in het bijzon- der als er uitwendige krachten zijn, oneindig groot is. Daar voor elk punt der ruimte de volgende differentiaal- vergelijking geldt: | = Tdn-pdVH4pdei + pg deg enz. en uit (1) gebleken is, dat overal 7’ gelijk 74} moet zijn, leeren ons de vergelijkingen (2) dat d(e— Ten), — — JV ie met inachtneming daarvan, wordt (3): ON Ca Ò (e — Te 1) ent Ges e Tin v EA FE L1La of ein tpV == Cs ras TEE ( 201 ) Bestaat e nu uit twee deelen, nl. € de thermodynamische energie en P de potentiaal der uitwendige krachten, dan vindt mep: ee Tan HpV=C—P of: bij afwezigheid van uitwendige krachten moet de dicht- heid in de ruimte zoodanig zijn, dat de thermodynamische potentiaal standvastig zij. Dat dan ook p (de druk) in de ruimte standvastig moet zijn, blijkt o. a. als men (4) aldus transformeert: ole — Ten) = Cop. In verband met de vergelijkingen (1), (2) en (3) blijkt, dat p als een constante-moet behandeld worden. Zijn er uitwendige krachten, en heeft P dus een waarde van de coördinaten der punten in de ruimte afhangende, dan vinden wij p niet standvastig, maar Vdp= —dP of dp = —-odP een vergelijking, in de hydrostatica bekend. Het geval, dat in e behalve g ook afgeleiden van p ten opzichte van de coördinaten voorkomen, een geval dat strikt genomen telkens zal voorkomen als de densiteit in de ruimte niet overal gelijk is, is in de vorige vergadering besproken. De voorwaarde Ò | 0 (e — Tz n) dk gelijk nul, leert echter, behalve de minimumwaarde, ook de maximumwaarde kennen. Zijn er dus meerdere oplossingen, dan moet die genomen worden, welke de integraal de kleinste waarde geeft. Zoo zal bijv. (8) leeren, dat bij een niet dissociëerende stof de densiteit zoo verdeeld is, dat pV — |pdV = constant. Dit kan, als er geen uitwendige krachten werken òf het ( 202 ) het geval zijn als de stof zich homogeen schikt, òf zich in de 2 bekende densiteiten splitst. Voor het laatste geval is de integraal zoo klein mogelijk. — De Heer Beijerinck deelt de uitkomst mede van krui- singsproeven met Kultuurgerst (Mordeum vulgare, H. hevasti- chon, H. distichon, H. Zeocriton en H. trifurcatum), sedert 1884 door hem in het groot genomen, en heldert zijne voor- dracht op door gedroogde voorwerpen en andere op spiritus. Hij beschrijft de voorzorgen, bij die kruisingsproeven te nemen, en leidt uit zijne proeven deze gevolgtrekkingen af: 10. al de hierboven genoemde soorten van Gerst laten zich gemakkelijk door elkander bevruchten; 20, de daardoor verkregen bastaarden zijn zeer volkomen zelf-fertiel; die tusschen MH. vulgare (vr.) en H. distichum (m.) en die tusschen H. vulgare (vr.) en H. Zeoecriton (m.) zelfs kleistogaam ; 30, de bastaarden der Ist generatie zijn over ’t algemeen middelvormen tusschen de beide ouders. Kene uitzondering op dien regel vormden die van M. nudum (vr.)en H. trifurcatum (m.), welke voor een groot deel bleken te behooren tot den niet verwachten gewonen intermedium-vorm (den tusschen- vorm tusschen M. vulgare en MH. distichum). Enkele exem- plaren behoorden tot den wèl verwachten cornutum-vorm ; 40, de zaailingen, uit bastaarden door zelf bevruchting ontstaan, zijn zeer veranderlijk. De spreker verkreeg, be- halve enkele reeds bekende, eenige geheel nieuwe verschei- denheden. Zeer merkwaardig was, dat de 3de generatie eener kruising van M. vulgare (vr.) en H. Zeocriton (m.) hem H. hexastichon opleverde; 50, in den loopenden zomer werd uit de in 1884 uit- gevoerde kruising tusschen M. distichum (vr.) en H trifur- catum (m.) een bijna volkomen ongenaalde vorm geteeld. De Heer FürBriNGER deelt den korten inhoud mede van onderzoekingen van den Heer Dr. J. F. van BEMMELEN, over den oorsprong van de voorste ledematen en de tongspieren bij Reptilen, ( 203 ) Het onderzoek geschiedde aan embryonen van Lacerta muralis en Fropidonotus natriz. In het jongste stadium, dat voor het onderzoek ter be- schikking stond, was de vierde kieuwzak juist aangelegd, terwijl de vijfde nog niet aanwezig was. Óp dezen trap van ontwikkeling wordt de aanleg van het mesodermaal be- standdeel der voorste ledematen niet alleen bij de Hagedis, maar ook bij de Slang aangetroffen, en wel bij beide in vol- komen overeenkomstigen vorm. Het eerste rompsomiet ziet men op korten afstand achter het gehoorblaasje; het is zwakker ontwikkeld dan de vol- gende. Langs den oralen rand van dit somiet buigt zich de Vagus naar buiten om _en loopt naar de 3de en 4de kieuw- spleet, waar hij met het ectodermaal epitheel van den ach- terwand der spleten versmelt. De Vagus met den Accessorius ontspringt uit het verlengde merg over eene vrij groote uitgestrektheid, evenwijdig aan de lengteas van den romp, zoodat zijn oorsprongsliijjn naar achteren reikt tot aan de grens tusschen het 5de en 6de somiet. Over dezen afstand zijn de spinaal-gangliën niet ontwikkeld; alleen het 5de is zichtbaar, maar zeer rudimentair. Bij het vierde somiet is een dorsale zenuwwortel duidelijk, maar geen gangliëncellen. Deze voorste vijf somieten vormen elk naar de buikzijde eene strengvormige uitgroeiing. De vjf strengen conver- geeren en smelten samen tot een cellige strook, die achter den laatsten kieuwzak om naar de buikzj loopt en zich vervolgens naar voren begeeft, zoodat zij de onderkaak be- reikt. Deze strook bevat het materiaal, waaruit zich de tong- spieren ontwikkelen zullen. Zij loopt op de grens tusschen den onderrand der branchiaalstreek en den bovenrand van de pericardiaalholte, in de »schouder-tong-lijst”’ van FRORIEP. Zij wordt begeleid door den Hypoglossus. Deze zenuw ont- staat uit de samengroeling van ventrale ruggemergs-wortels, behoorende bij eenige der voorste somieten. Hun aantal kon nog niet met volkomen zekerheid bepaald worden, maar waarschijnlijk gaan de ventrale wortels van het 2de tot 4de segment in den Hypoglossus op en geeft die van het vijfde er een tak aan af, terwijl de vijfde spinaalzenuw overigens ( 204) tot eerste cervicaalzenuw’ wordt. Hiervoor pleit, dat in oudere stadiën de voorste halszenuw geen spinaalganglion heeft. Bij het eerste somiet komt geen zenuw voor. Dit stemt overeen met de waarnemingen van Dr. vaN Winr. Het 6de tot en met het 18de somiet, dus in ’t geheel 8 somieten, vormen eveneens aan hunne ventrale zijde steel- vormige uitgroeisels, maar deze vereenigen zich niet met die der voorste vijf somieten. Zij wijken eenigszins aboraal af en lossen zich op in één gemeenschappelijke celmassa, die zich van het omliggende bindweefsel alleen door dichtere opeenhooping der kernen onderscheidt. Deze celmassa ligt aan weerszijden van het lichaam dicht onder de huid en veroorzaakt een flauwe verheffing der lichaamsoppervlakte, waardoor de aanleg van het voorste lidmaat uitwendig te herkennen is. In een iets ouder stadium van ontwikkeling, wanneer de vijfde kieuwzak en de zesde aortaboog juist aangelegd zijn, is deze verdikking van den lichaamswand bij de Hagedis grooter geworden en naar achter en rugwaarts vrij uit- gegroeid; bij de Slang daarentegen reeds weder spoorloos verdwenen. Uit dezen dichten celklomp ontwikkelen zich bij de Ha- gedis de spieren en waarschijnlijk ook het geraamte van het voorste lidmaat. De eerste konden dus een voortbrengsel van de spierknoppen van acht lichaamssegmenten zijn; met het oog op de innervatie is het echter waarschijnlijk, dat niet alle knoppen zich tot spieren ontwikkelen De »schouder- tong-lijst” ligt wel in het verlengde van deze lidmaats-verdik- king — de zoogenoemde »extremiteits-lijst van Worrr” — maar het materiaal voor de tongspieren groeit niet in haar naar binnen, van het vooreinde van den lidmaatsaanleg uit, zooals Froriep beweert. Het is integendeel, zooals boven bleek, eene voortzetting van de spierknoppen der voorste vijf myotomen, welke knoppen gelegen zijn in de »Kopfnicker- wulst’’ van FRroRIeP. Van de voorste vier dezer vijf somieten zelve gaan waar- schijnlijk de sclerotomen op in den aanleg van ’t achter- hoofd, terwijl het sclerotoom van het vijfde atlas wordt. (205) De myotomen der twee of drie voorste gaan waarschijnlijk te gronde, op hun spierknop voor den tong na. Uit die der achterste ontwikkelen zich wellicht halsspieren. Dit werd nog niet uitvoerig nagegaan. — Voor de Boekerij worden aangeboden: door den Heer Prace, uit naam van Dr. vAN Rees, diens » Beiträge zur Kenntniss der innern Metamorphose von Musca vomitoria'’’ en door den Heer vaN BEMMELEN een door hem in » Die landwirtschaftlichen Versuchs-Stationen, XXXV” openbaar gemaakte verhandeling, getiteld: »Die Absorptionsverbin- dungen und das Absorptionsvermögen der Ackererde."’ — De Heer GUNNING zond voor de Verslagen en Mede- deelingen aan den Secretaris toe twee opstellen, getiteld : 10. »Over afscheiding en bepaling van Raffinose”; 20, » Over het gebruik van kaliumhydrosulfaat bij het onderzoeken van organische stoffen.’ — Daar er verder niets te behandelen is, wordt de ver- gadering gesloten. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de RKEKS, DEEL V. 14 RAPEOB MN OVER EENE VERHANDELING VAN DEN Heer Dr. J. DE VRIES „OVER DE HARMONISCHE CONFIGURATIE (24,, 184)”. (Uitgebracht in de Vergadering van 30 Juni 1888). Volgens opdracht der Afdeeling hebben wij de eer over genoemde verhandeling rapport uit te brengen. Dit opstel sluit zich dan ook aan een vorig van den zelfden schrijver »Over vlakke configuraties”, waarover wij pas onlangs een gunstig bericht mochten geven. In dit laatste toch kwam de configuratie (243, 18,) ter sprake, gevormd door twee geassocieerde conf. (124, 163) van de soort Á met hare gemeenschappeliijjke diagonalen. Aan- gezien elk harer lijnen vier harmonische punten bevat, noemt schrijver haar de harmonische configuratie. Zij bevat 32 drie- puntige configuratie-diagonalen D (de lijnen de beide conf. (12, 163), en 72 tweepuntige diagonalen 7, ontstaan door de verbinding van elk punt der eene conf. (124, 163) met een punt der andere. Schrijver bewijst daarop, dat in elk punt der harmonische configuratie de 6 tweepuntige diagonalen 7’ van de 3 conf. lijnen harmonisch worden gescheiden door de 6 paren, welke uit de 4 driepuntige diagonalen D kunnen gevormd wor- den; — dat de diagonalen 7’ op de diagonalen D 96 pun- ten A bepalen, die met de drietallen punten, op die lijnen D gelegen, harmonische groepen vormen; — dat elke diago- ata af an er NE ” er tene ( 207 ) naal 7 4 zulke punten A bevat; — dat elk dier punten h met 3 diagonalen 7' incident is; — dat dus deze punten A met de tweepuntige diagonalen 7' eene configuratie (963, 72,4) vormen; — dat de punten der harmonische configuratie tot 32 conf. (124, 163) gebracht kunnen worden, welke ieder 9 lijnen en 7 driepuntige diagonalen D) met haar gemeen heb- ben; — en daarop, door middel der geassocieerde configu- ratie dier conf. (12,, 163), dat elk drietal collineaire punten eener conf.‚ (12,, 163) eene configuratie van dezelfde soort vormt met de 9 punten, door welke zij op de in hen zamen- komende conf. lijnen tot harmonische groepen worden aan- gevuld; — en ten slotte, dat uit de punten der harmonische configuratie en der daarbij behoorende conf. (963, 724) 32 configuratiën (124, 163) A kunnen gevormd worden, welke ieder met deze beide 3 en 9 punten gemeen hebben. Van de lijnen M, die in de eonf. (124, 163) tot de rest- figuur der lijnen dier configuratie behooren (haar aantal is 96), gaan er telkens 6 door hare punten h. De 48 pun- ten A, die tot eene configuratie (12,, 163) A behooren, de 96 lijnen H, en de 16 lijnen der configuratie vormen eene nieuwe conf. (48, 1123): van de 216 diagonalen dezer nieuwe configuratie gaan er 18 door elk punt der conf. (124, 163): zijn er 72, die tevens diagonalen zijn van de andere con- figuratie (487, 1123), die aan de geassocieerde configuratie (124, 163) toekomen; en deze 72 diagonalen vormen met de beide groepen van punten 4 de vroegere configuratie (963, 72,). Laat men echter de 16 lijnen der conf. (124, 163) weg, dan ontstaat er een nieuwe configuratie (486, “63). Elk paar driepuntige diagonalen D der harmonische con- figuratie, welke geassocieerde lijnen zijn der conf. (154) 203), bevat een zestal onderling gescheiden punten; wordt dit uit de harmonische configuratie verwijderd, dan ontstaat eene merkwaardige configuratie (18, 183), waarvan er 16 uit de harmonische configuratie kunnen gevormd worden, en waarvan ieder uit twee drietallen van driehoeken bestaat ; zoodat elke hoekpunt van een driehoek in één groep op eene zijde van een driehoek van de andere groep ligt. Brengt men nu zes der driepuntige diagonalen D bij deze 14* ( 208 ) conf.. (183, 183), dan ontstaat eene configuratie (184. 243), die niet meer regelmatig is en niet reciprook met de har- monische configuratie overeenkomt, en waarvan elk punt behoort tot 7 configuratie driehoeken. Brengt men nog de zes andere driepuntige diagonalen D daarbij, dan ont- staat er eene conf. (185, 303), waarin elk punt tot 15 conf. driehoeken behoort. De punten der harmonische configu- ratie geven nu aanleiding tot 64 conf. zoowel van de eerste, als van de tweede soort. Zondert men daarentegen van onze configuratie (183, 183) een zestal onderling gescheiden punten af, dan blijft er eene configuratie (123, 189); en voegt men weder hier- bij de negen nevenhoekpunten der harmonische configu- ratie, en drie gescheiden lijnen der door hen bepaalde conf. (99, 63), zoo ontstaat er eene nieuwe evenzeer merkwaar- dige configuratie (213, 213). Wanneer men echter weder zeven driepuntige diagonalen D daarbij voegt, ontstaat er eene conf. (21,, 28,). Wanneer men in de harmonische configuratie de punten van een der beide conf. (12,, 163) vervangt door de negen nevenhoekpunten met drie gescheiden lijnen der door hen bepaalde conf. (93, 63), dan ontstaat er ook eene configuratie (213, 213), die echter met de vorige niet gelijksoortig is. Voegt men hierbij 7 driepuntige diagonalen, dan ontstaat weder eene conf. (214. 283), die met de vorige 26 lijnen gemeen heeft. Het aantal conf. driehoeken, waarin de conf, punten voorkomen, is voor de laatste conf. 9 of 4, voor de eerstgenoemde 5 of 0. Uit de punten der harmonische configuratie en hare neven- hoekpunten kunnen nu 240 econf. (213, 213) worden ge- vormd, die van elke der beide geassocieerde conf. (124, 163) zes punten en alle nevenhoekpunten bevatten, en 4 conf, (213, 213), die met de vorige ongelijksoortig zijn, en, be- halve alle nevenhoekpunten, alle punten van eene der beide conf. (124, 163) bevatten. Voegt men nu hierbij telkens 7 nieuwe diagonalen, dan kan men 272 conf. (214, 283) vormen, waarvan de laatste 32 in samenstelling verschillen van de eerste 240. ( 209) In de vroeger gevonden conf. (48, 1123) komen lijnen voor, die met 15 lijnen uit de conf. (486, 963) eene groep van 16 gescheiden lijnen vormen, welke samen alle punten der conf. (48,, 1123) bevatten. Laat men nu deze lijnen uit de conf. (48,, 1123) weg, dan ontstaat er eene nieuwe conf. (48,, 963). De eerstgenoemde conf. (48,, 963) heeft 144 tweepuntige diagonalen 7, die in twaalftallen incident zijn met de punten der oorspronkelijke conf. (12,, 163). Neemt men deze 144 lijnen in de configuratie op, dan ontstaat er eene conf. (60,9, 2403), voor welke de lijnen der conf. (L2,, 163) zespuntige diagonalen zijn. Schrijver besluit zijn verhandeling met eene stelling, die zijne methode van afzonderen en toevoegen van elementen verklaart. | | Wegens de merkwaardigheid der uitkomsten, de eenvou- digheid en helderheid der toegepaste methoden komt, naar ons oordeel, aan dit opstel een plaats toe naast de voor- gaande verhandeling. Wij meenen dan ook de Afdeeling gerustelijk te kunnen aanraden, het een eervolle plaats te gunnen in hare Verslagen en Mededeelingen. Leiden en Rotterdam, Juli 1888. D. BIERENS DE HAAN, F. J. VAN DEN BERG. OVER DE HARMONISCHE CONFIGURATIE (243, 18.). DOOR J.DE VRIES. 1. In mijn opstel »Over vlakke configuraties” (Versl. en Meded. d. Kon. Ak. v. Wet. Afd. Nat. 3de Reeks Deel V), heb ik aangetoond, dat de punten van twee geassociëerde ef. (12,4, 163) A met hare gemeenschappeliijjke diagonalen eene ef. vormen, welke ik de »harmonische’”’ (243, 184) zal noemen, omdat elke harer lijnen vier harmonische punten bevat. Zij bezit cf. diagonalen van tweeërlei soort, n.l. 82 »driepuntige" (de lijnen der beide (12,, 163)) en 72 »twee- puntige’, welke elk een punt der eene (24,, 163) met een punt der andere verbinden. | In de volledige vierzijde a;as, bj bg, 1 c2*) is az (het snijpunt der diagonalen bj bg, cj co) harmonisch gescheiden van de diagonaal aj ag; deze beschouwing levert voor het punt aj de volgende harmonische vierstralen. a Aaa ag ler br aaf an Dz Co a 3 | a 83 || a Di ala bs e3 A7 @4 | a 4 IN ar Dj ej | ar Da Ca ar Òs (ar ag | ar ba el ar ba u} °° B aj 3 ar ag || an Dz ez | an ba Ca dj Ò, aj Uy dj Da Cg aj Da C3 *) De letters hebben hier dezelfde beteekenis als in het genoemde opstel. (Tabellen B, E, F). (211) >In elk punt der harmonische (243, 184) worden de 6 »tweepuntige diagonalen 7’ van de 3 cf. lijnen harmonisch »gescheiden door de 6 paren, welke uit de 4 driepuntige »diagonalen D kunnen gevormd worden.” 2. De snijpunten (bj cz) en (bg ej) van ag bj eg en ag bg cj met aj @ zijn aan ag harmonisch toegevoegd ten opzichte van de paren bj, cg en bg, cj. De diagonalen 7' bepalen dus op de diagonalen D 96 punten Ah, welke de drietallen van punten, op de lijnen D gelegen, tot harmonische groepen aanvullen. Daar elke 7’ ook met een volledige vierzijde der goassociëerde (12,, 163) in verband kan gebracht worden, bevat zij vier der punten /. Het punt a, is b.v. als snij- punt der diagonalen (933, (%4y4 in de vierzijde (az Òy, 23 Y3» (Pa ya) harmonisch gescheiden van de diagonaal ws Òs, zoodat a, «gs op de zijden (3 (24, y3 ya de punten ((%3 (74), (y3 4) bepaalt, welke ten opzichte van de paren (93, (94 en Y3, Ya aan het punt Ò, harmonisch zijn toegevoegd. Elke diagonaal D behoort tot drie volledige vierzijden der overeenkomstige (12,4, 163): elk der punten A is dus met drie diagonalen 7' incident. De lijn ag bj eg wordt b.v. in het punt (bj cz) gesneden door de lijnen aj «3, ag y4 , ax 3 >De punten A, welke op de driepuntige diagonalen der »harmonische (243, 18,4) hare punten tot harmonische groe- »pen aanvullen, vormen met de tweepuntige diagonalen dezer vef. eene (963, 724). Op elke lijn der laatste cf. zijn de »>vier cf. punten tot twee paren eener kwadratische involutie » vereenigd, waarvoor twee punten der (243, 18,) de coïn- vcidentiepunten zijn.” 3. Het tweede tiental linen van tabel D*) vormt met de lijnen van tabel C+) de volgende (12,, 163) A: 1d 3 Ò, 4) 3 A4, Da Òs Da Cg Ò3 C4, Òs 43 A4 Ag 43 Ö, Da A3 C4 Cy A3 by tej (II) Ò, Da D4 Ag b3 C4, Dg b3 Ò4 Cg b3 dy Òs C3 C4 Ag C3 Da bg C3 ay, Cg C3 Ò4 Le. S 4. PLles3. (212) Zij bevat 9 punten der oorspronkelijke en 3 punten der geassociëerde (12,, 163) A, terwijl van hare lijnen 6 tot de oorspronkelijke, ééne tot de geassociëerde en de overige 9 als diagonalen tot beide cf. behooren. »De punten der harmonische (243, 18,) kunnen tot 82 »ef. (24, , 163) A gebracht worden, welke ieder 9 lijnen en »7 driepuntige diagonalen met haar gemeen hebben.” Met het oog op de $$ 4 en 5 van het aangehaalde op- stel bevat de volgende tabel de drietallen van diagonalen der (124, 163) van tabel (II), welke in één punt samenko- men; 9 dezer punten behooren als doorsneden van eene 7 met eene D tot de punten A. Snip unt. Diag. Diag. Diag. RE Hieruit volgt, met behulp van tabel E‚ voor de geasso- ciëerde der (124, 163) van tabel (LI) dit overzicht : (213) dj Di Ci (bz €2) bi (a, 59) dj (az co) (ag ba) | (ba cz) (ag C2) Ci aj _ (ag c3) (az ba) | (ba cz) (az €3) (an ba) dj (as ca) (as ba) | (ba ca) (aa c1) (az b3) (AV) (bz c3) dr (az ba) | (ba ca) ba (a, ba) (ba cz) (ag ca) (aa ba) | (la ca) (ag ca) (az b3) (U3 c3) (az c3) Cj (ba ca) (az cz) (ag ba) (bz cz) (aa ca) (aa ba) I (ba ca) (aa C4) cn Deze tabel vertoont eene merkwaardige overeenkomst met de tabel B*), welke de lijnen der uit de punten (a; bi c;) gevormde (12,, 163) A bevat; zij ontstaat uit de laatste, wanneer men ai, bi, ce; (2 = 2,3, 4) achtereenvolgens door (bi ei), (ci a;), (a; bij) vervangt. » Elke drie collineaire punten eener (124, 163) A vormen »met de 9 punten, door welke zij op de in hen samenko- »mende cf. lijnen tot harmonische groepen worden aange- »vuld, eene cf. van dezelfde soort.” Wordt deze beschouwing toegepast op alle lijnen van twee geassociëerde (12,, 163) A, dan heeft men: »Uit de punten der harmonische (243, 184) en der bij- »behoorende (963, 724) kunnen 32 ef. (12,, 16) A ge- »vormd worden, welke ieder met deze beide cf. 3 resp. 9 »punten gemeen hebben.” 4, Elke lijn MZ, welke in de (12,, 163) van tabel (IV) tot de restfiguur van aj bj cj behoort, verbindt drie pun- ten van drie onderling gescheiden lijnen der (124, 163) van tabel B 4). Daar nu elke lijn der laatste cf. in twee kwadrupels van onderling gescheiden lijnen voorkomt, dus van zes paren gescheiden is, zullen de 96 lijnen M, tot welke de cf. (ai bi c;) aanleiding geeft, zes aan zes door hare 48 pun- ten A gaan. mn an se © en oe Ge (24) Elke der 9 lijnen, welke in de cf. van tabel IV met ay bje, verbonden zijn, is in eene volledige vierzijde har- monisch toegevoegd aan eene zijde ten opzichte van eene andere zijde en eene diagonaal; a; (ag ca) (ag bg) wordt b.v. door ajbje, harmonisch gescheiden van ag bzcg en aj ag. Daar a, tot 6 volledige vierzijden der oorspronkelijke cf. behoort, komen in dat punt, behalve de in $2 besproken 6 lijnen 7, nog 12 door paren van punten A getrokken lijnen samen. >De 48 tot eene (12,4, 163) A behoorende punten A vor- »men met de 96 lijnen Hen de 16 cf. lijnen eene (48, 1123); »van de 216 diagonalen dezer nieuwe cf. gaan er 18 door »elk punt der (124, 163); onder deze diagonalen bevinden »zich 72, die tevens diagonalen der aan de geassocieerde »(12,, 163) A toekomende (487, 1123) zijn en met de beide »groepen van punten A de boven besproken (963, 724) vor- » men’. »Door weglating van de 16 lijnen der (124, 163) ontstaat »uit de (48,, 1123) eene (486, 963)”. 5. Elk paar driepuntige diagonalen der harmonische (243, 184), welke geassocieerde lijnen eener (154, 203) zijn, bevat een zestal onderling gescheiden punten; wordt zulk een zestal uit de harmonische cf. verwijderd, dan ontstaat eene merkwaardige cf. 183. Door weglating van de punten aj bj cy Ò3 3 Ò, uit de tabel F,*) verkrijgt men b.v. de cf. ag (72 ya | be «2 Ya | Ca A2 2 ag Ps ys | bs @s Ya | C3 As [3 a, (Ba ya | ba Ga Ya | a aa |V) ag az ca | ba ba (Ja | Co C3 Ya az a, Aa | ba ba F2 | 3 Ca Ya as, ag 3 | ba ba ls | ca Ca Y3 Deze cf. bestaat uit twee drietallen van onderling ge- scheiden driehoeken, _— “ les B. (215 ) k dg A3 A4 as (ls Ya Da ba Da “3 fs Y3 Bn Vn Pt (VI) Cg C3 C4 (Pa Ya welke zoodanige plaatsing ten opzichte van elkander heb- ben, dat elke zijde en het overstaande hoekpunt van iederen driehoek van eene groep met een hoekpunt en de overstaande zijde van een driehoek der andere groep incident zijn. Elk punt der 183 komt evenals elke lijn slechts in een ef. driehoek voor. Van de 32 driepuntige diagonalen der harmonische cf. bevat deze 183 er nog de volgende twaalf, ag ba c3 ag 4 73 ag bz C4 as (73 Ya ag ba ca | @3 (2 ya || as ba ca | 3 Pa ya |- (VII) a, 03 Cg a 3 Y2 a, bg C3 a, (73 3 welke blijkbaar in vier verschillende zestallen van onderling gescheiden lijnen kunnen gerangschikt worden. »>Uit de punten en lijnen der harmonische (245, 184) »kunnen 16 cf. 183 gevormd worden, van welke ieder uit »twee drietallen van driehoeken bestaat, zoodat elk hoek- »punt van een driehoek der eene groep op eene zijde van _»een driehoek der andere groep ligt”. 6. Door toevoeging van de eerste zes lijnen van tabel VII ontstaat uit de cf. 183 eene (184, 243), welke niet meer regelmatig is, daar zij wel ten opzichte van elk harer punten, maar niet ten opzichte van elke harer lijnen, op gelijksoortige wijze is samengesteld, dus niet reciprook over- eenkomt met de harmonische (243, 18,4). Elk punt be- hoort tot 7 cf. driehoeken; voor az zijn het de driehoeken dg Az dap Ag ba Mar Az ba Pps Ag C3 A3, Ag C3 Yar Ag 3 (F3s Ag %4 Yo Wordt ook het tweede zestal lijnen van tabel VI in de figuur opgenomen, dan ontstaat eene (185, 303), waarin elk punt tot 15 cf. driehoeken behoort; voor het punt ag komen bij de bovengenoemde 7 nog deze: ag b3 ba, ag C3 Cav ag bz Az, ag bz fÌos Ag Ca an Ap Ca Yo Ag A3 Yan Ag Aa (Ì3- (216 ) >De punten der harmonische (243, 184) geven aanleiding »tot 64 cf. (184, 243) en even zoovele cf. (185, 303)". 7. Zondert men van de cf. 183 een zestal onderling ge- scheiden punten af, dan blijft eene (123, 183) over, waaruit door toevoeging van de nevenhoekpunten p; gi 7; der har- monische (243, 184) en van drie gescheiden lijnen der door hen bepaalde (9, 63) eene cf. 21; ontstaat. Zoo levert de vervanging van de punten ag bz ca @g (93 ya door pi gi ri het volgende overzicht (Ll. c. 8 8). pa 2 Ya | qa ba ya | ra ca 2 Ps % Ya | Is %3 Ys | Ts Ca A3 pa aa (24 | ga ba aa | ra aa fa Pa as %a | gaby Fa | 74 3 Cg {ee << (MD P3 Aa &3 | 93 Da ba | 73 Ca Y3 Pa A3 da | qa ba Po | ra C3 Ya P2 93 74 ' P3 JA Tg P4 q2 73 In deze cf, behoort geen der punten p,‚, q, r tot een cf. driehoek, terwijl de overige punten ieder in twee driehoe- ken voorkomen. De cf. gaat over in eene (21,, 283), wanneer men de volgende 7 driepuntige diagonalen als cf. lijnen beschouwt: ag Oa cz aa bg C3 P3 94 73 «3 Pa Ys P3 Jz 74 as (3 y3 P4 93 Pz Uit de harmonische (243, 18,4) kan eene 213 afgeleid worden, welke van de 213 van tabel VIII in samenstelling verschilt, door de punten van een der geassociëerde (12, 163) A weg te laten en de nevenhoekpunten p, q, r met drie ge- scheiden lijnen der door hen bepaalde (9,, 63) in de figuur op te nemen. Hierdoor ontstaat b.v. de tabel: (217) dj dg Pa bj ba qa €17 C3 Tg aj 43 Pz bj bz 93 Cy 3 73 a) 44 Pa bj Oa qa Cj C4 74 dg dz pP4 by bz qa Cg Cz C4 …… …… (X) dz Ut Pz by ba 93 Cg C4 73 d3 44 Pz b3 ba 92 Cg C4 Tg P2 93 74 P3 94 Tg PA Jg 73 Dat deze 213 niet met de 213 van tabel VIII gelijksoor- tig is, blijkt terstond uit het aantal cf. driehoeken, waartoe de ef. punten behooren: naarmate zij tot de (124, 163) ef. of tot hare nevenhoekpunten gerekend moeten worden, komen zij in 9 of 4 cf. driehoeken voor. Uit deze 213 kunnen 8 cf. (21,, 283) afgeleid worden door toevoeging van 7 driepuntige diagonalen; elk der 8 kwadrupels van gescheiden lijnen der (124, 163) waarvan de 213 de punten bevat, kan daartoe, in verband met de overige drie lijnen van de (9, 63) der nevenhoekpunten, gebezigd worden. De 7 nieuwe lijnen kunnen b.v. zijn: aj bi Cj ag bz ca P2 4 73 ed (XI) ag Da cp P3 92 74 aa Ùg C3 pa 93 Tg De beide cf. (21,, 283) hebben blijkbaar 26 lijnen ge- meen; het aantal cf. driehoeken, waarin de ef. punten voor- komen, is voor de laatst beschouwde 9 of 4 (evenals voor de 213, waaruit zij afgeleid werd), voor de eerstgenoemde 9 of 0. »Uit de punten der harmonische (243, 18,4) en hare neven- „hoekpunten kunnen 240 ef. 213 gevormd worden, welke »van elke der beide geassocieerde (124, 163) 6 punten en >alle nevenhoekpunten bevatten, en 4 met de vorige onge- »lijksoortige 213, welke de nevenhoekpunten en alle punten (218) »van eene der beide (12,, 163) bevatten. Door toevoeging »telkens van een stel van 7 nieuwe lijnen kunnen uit deze »ef. (240 + 32) ef. (214, 283) gevormd worden; de laatste »32 verschillen in samenstelling van de 240 der eerste groep”’. 8. De in den aanhef van 8 4 gemaakte opmerking geeft het middel om gemakkelijk een tabel voor de lijnen der aldaar gevonden cf. (486, 963) te verkrijgen. Daarbij blijkt, dat van de 16 restfiguren (99, 63) A, waaruit deze cf. is samengesteld, er slechts drie behoeven opgeschreven te wor- den, daar de overige door verschikking van letters en indices uit deze voortvloeien. Deze zijn: (ag ba) (bz cz) (aa ca) (ag ba) (ba ca) (az c3) (ag bz) (ba ca) (ag co) | (az ba) (bg co) (aa C4) (aa ba) (ba ca) (as cz) | (as ba) (bz e3) (ag €2) (aj bi) (bz e3) (az c2) } (a bi) (b3 cz) (ag c3) (ag bz) (bg ca) (ar ca) | (az bo) (bi ca) (ag ca) (XII) (az b3) (bi ca) (ag e3) [| (ag b3) (bz e3) (an ea) (aj bz) (1 e,) (ag ej) (ar ba) (ba ej) (ag c4) (ag bj) (ba cj) («aj c3) (az ba) (ba cz) (ag C4) (aa bi) (ba cz) (az cj) (ag ba) (bj c4) (a1 c3). Het eerste zestal lijnen staat op zichzelf; uit het tweede kunnen nog 8, uit het derde nog 5 zestallen afgeleid wor- den; dit hangt hiermede samen, dat de lijnen der oorspron- lijke (12,, 163), waarvoor deze getallen de restfigureu zijn, tot de grondvormen aj bj ej, az bi ei (a: bj e;, ai bi cj), ai bra (&, hk, l= 2, 3, 4) kunnen gebractt worden. Met behulp van de volledige tabel der bedoelde (48, , 963) vindt men gemakkelijk, dat zij vijftientallen van onderling gescheiden lijnen bezit. Als voorbeeld diene de volgende groep. end dn nn (219 ) (ay 52) (bj ca) (ag e1) | (ar ba) (bi co) (aa ej) (ag bj) (bac) (an €3) | (az bj) (bz e1) (an c4) (ag ba) (ba cz) (ag ca) | (ag ba) (ba ca) (az ca) (aa 53) (ba ca) (ag c3) | (aa ba) (bg 4) (az 2) (XIII) (ar ba) (by c3) (ag c1) | (aa bo) (ba c3) (aa ca) (aa bj) (bg c1) (ar ca) | (ag ba) (ba es) (ag co) (aa ba) (ba cz) (aa ez) | (as ba) (bz ca) (az 3) (az ba) (ba ez) (aa 02) Het is dus niet mogelijk, om uit deze ef. door de boven- gebezigde methode van afzondering eener groep van cf. lij- nen, eene eenvoudiger cf. verkrijgen. Maar door op te mer- ken, dat in de cf. (48,, 1123) van S8 4 de lijn (a, bi), (bj cj), (aj ej) voorkomt, die met bovenstaand vijftiental eene groep van 16 onderling gescheiden lijnen vormt, welke samen alle punten der cf. bevatten, komt men tot eene nieuwe (486, 963) door deze 16 lijnen weg te laten. De eerstgenoemde (48,, 963) heeft 144 tweepuntige dia- gonalen, die in twaalftallen met de punten der oorspron- kelijke (124, 163) incident zijn; daar zij elk twee punten der (48,;, 963) bevatten, komen in elk dezer punten 6 zulke diagonalen samen. Door deze 144 lijnen in de cf. op te nemen, verkrijgt men dus eene cf. (60,9, 2403), voor welke de lijnen der (124, 163) zespuntige diagonalen zijn. 9. Met het oog op de uitkomsten der vorige 88 zal bij het onderzoek van cf. met vrucht gebruik gemaakt kunnen worden van deze regels. » Bezit eene cf. (pe,, qe) eene groep van w onderling »gescheiden lijnen, dan levert de afzondering dezer lijnen »eene cf. (pes, (q— l)e,) Heeft zij w diagonalen, welke »>ieder eene verschillende groep van p cf. punten bevatten, »>dan ontstaat door het toevoegen dezer p—=puntige diago- vualen eene ef. (p rvy+1, (q + Ll) zp)” KA PE'O ROE OVER DE VERHANDELING VAN DEN Heer Dr. J. T. OUDEMANS, GETITELD : BEITRAGE ZUR KENNTNISS DES CHIROMYS MADAGASCARIENSIS. (Uitgebracht in de Vergadering van 30 Juni 1888). De ondergeteekenden hebben de eer, over deze in hunne handen gestelde verhandeling, het volgende mede te deelen. Genoemde verhandeling, groot 38 folio-pagina's schrift en vergezeld van 8 platen, bevat anatomische onderzoekingen en biologische aanteekeningen over Chiromys madagascarien- sis, van welke belangwekkende en zeldzame Prosimia van Madagascar tot nog toe slechts weinige exemplaren bekend zijn, terwijl slechts enkele schrijvers zich met haar anatomie hebben beziggehouden. Elk nieuw onderzoek over dit be- langrijk dier is dan ook met vreugde te begroeten. Den schrijver stonden 2 vrouwelijke exemplaren ten dienste. Het eene, in den tuin van het Kon. zoöl. Gen. Natura Artis Magistra gestorven, werd gedeeltelijk versch onder- zocht; het andere exemplaar was in alcohol bewaard. Het onderzoek strekte zich uit over het spierstelsel, het oog, de hersenen, het darmkanaal, de bronchiaalvertakkin- gen, de tepels, alsmede over de wijze waarop het dier zich voedt. Van de figuren behooren er 9 bij het spierstelsel, 4 bij de hersenen, 1 bij het darmkanaal en 1 bij de voedings- wijze van het dier, (221) Aan de behandeling van het spierstelsel is het grootste gedeelte van het onderzoek van den Heer OupeMans gewijd; met uitzondering van de aangezichtsspieren, die kortelings door Ruee zeer volledig bewerkt zijn en van de romp- en staartspieren, heeft de schrijver van het spierstelsel van Chi- romys, in 't bizonder van dat der l- dematen eene uitvoerige en nauwkeurige beschrijving geleverd. Bij vergelijking met oudere onderzoekingen zooals b.v. met die van OweN, Mv- RIE AND Mrvarr en Arrx, onderscheidt zich de hier voor ons liggende verhandeling door groote nauwkeurigheid. Het meest stemmen de door den schrijver verkregen resultaten met die van Murim AND Mrvart overeen. In menig opzicht bevat evenwel het onderzoek van den Heer Oupremans tal van nieuwe bizonderheden. De innervatie der spieren is in hoofdzaak niet nagegaan, hetgeen echter ten volle te ver- ontschuldigen is, wanneer men bedenkt dat bij een dier als Chiromys, het homologiseeren der spieren zoo goed als geen bezwaren oplevert. Bj de behandeling van het oog bespreekt de schrijver wel de oogleden en de oogspieren, maar van een speciaal onderzoek van den bulbus moest hij door den minder goeden conservatietoestand afzien, Van de hersenen, (voor de eerste maal dat de hersenen van een Chiromys in verschen toestand onderzocht zijn), werden de grootte, de vorm, de convexiteit der hemisphaeren en de kleine hersenen meer speciaal behandeld, waarbij de schrijver tevens eenige vergelijkingen met de door OweN on- derzochte hersenen van een spiritusexemplaar van Chiromys en met de hersenen van Lemur catta en die van Perodicticus Potto ten beste geeft. De nomenclatuur van de sleuven der hemisphaeren ontleent de schrijver aan Krure, maar ont- houdt zich van voorbarige vergelijkingen met bij den mensch voorkomende toestanden, De door den Heer Ouprmans aan het darmkanaal zijner beide exemplaren verrichte metingen doen ons zien, ook wanneer hij ze met de uitkomsten van OweN en Perers vergelijkt, dat de lengte der verschillende onderafdeelingen belangrijk afwisselt. Het onderzoek der bronchiaalvertakkin- VERSL, EN MEDED. AFD, NATUURK. 3Ω REEKS, DEEL V. 15 ( 222) gen stemt overeen met de uitkomsten van Peters, dat der tepels met de beschrijving van KrAArscH. Daar er veel tegenstrijdigheid heerscht over het voedsel van Ohiromys, heeft de schrijver de litteratuur daarover nauwkeurig nagegaan en komt op grond van eigen waar- nemingen tot de slotsom, dat Chiromys een frugivoor is, ofschoon zij evenwel sommige insecten niet versmaadt. De wijze waarop een nu nog in den Amsterdamschen dierentuin levend voorwerp haar voedsel (appelen en walnoten) tot zich neemt, wordt uitvoerig uiteengezet en door een afbeelding opgehelderd. De litteratuur is uitvoerig en op doeltreffende wijze be- handeld. De afbeeldingen zijn fraai en voortreffelijk uit- gevoerd. Wij zien in de verhandeling van den Heer OupeMans een zeer belangrijke en te waardeeren bijdrage tot de kennis van Chiromys, die vele nieuwe feiten aan het licht brengt en verder vele onderdeelen grondiger behandelt dan tot dus- ver geschied is. Wij aarzelen dan ook niet het onderzoek van den Heer OupeMaNs ter opneming in de Verhandelingen aan de Afdeeling aan te bevelen. Amsterdam en Leiden, Juni 1888. ‚ M. FURBRINGER, C. K. HOFFMANN, TE vene he OVER EENE VERHANDELING VAN DEN HeEeER Dr. P. H. DOJES „OVER DE AFHANKELIJKHEID DER OPLOSBAARHEID VAN DRUK EN TEMPERATUUR”, (Uitgebracht in de Vergadering van 30 Juni 1888). De verhandeling van den Heer Doses, waarover ons is opgedragen rapport uit te brengen, heeft tot titel: >de af- hankelijkheid der oplosbaarheid van druk en temperatuur”’, Had de schrijver nauwkeurig willen zijn, dan had hij er wel mogen bijvoegen »der zouten”; immers alleen de op- losbaarheid daarvan wordt behandeld; doeh ook dan ware o.i, de titel nog niet juist, Het volgende geeft beter den inhoud der verhandeling weder : »een betrekking tusschen de verandering in de op- losbaarheid der zouten en de verandering in de spanning van den. damp boven die oplossingen”, Hen vraag, be- trekking hebbende op de verandering der electromotorische kracht van enkele cellen met de temperatuur, wordt aan het einde dezer niet zeer groote verhandeling mede door den schrijver behandeld. In de eerste plaats zoekt de schrijver de betrekking tus- schen de verandering in de oplosbaarheid bij drukverhoo- ging en de vermindering in de spanning van den waterdamp boven een geconcentreerde zoutoplossing, vergeleken bij die boven zuiver water. Langs twee verschillende wegen wordt die betrekking verkregen, nl. met behulp van de theorie 15° (224) van de thermodynamische potentiaal en door de beschouwing van een omkeerbaar isothermisch kringproces, waarbij eerst door druk zout uitgescheiden wordt, daarna water verdampt en ten laatsten het verdampte water weder met het uitge- scheiden zout tot de vroegere oplossing wordt teruggebracht. Bij zulk een omkeerbaar isothermisch kringproces is de som der verrichte hoeveelheden arbeid gelijk nul, en het is van deze eigenschap, dat de schrijver gebruik maakt om de for- mule te vinden, die hem tot de slotsom leidt: dat bij alle zouten, die onder contractie oplossen, de oplosbaarheid bij verhooging van druk vermeerdert en omgekeerd. Het schijnt ons toe, dat de schrijver dit resultaat als het voornaamste beschouwt wat uit de gevonden formule volgt. Ten minste dit is het eenige gevolg dat afzonderlijk aan- geduid en in het licht gesteld wordt. Is dit zoo, dan zou niet veel nieuws gevonden en de formule van niet veel be- teekenis zijn, want reeds vóór 15 à 16 jaren is door GrpBs de algemeene regel uitgesproken, waaronder dit als bijzon- der geval behoort, nl. »bij verhooging van druk verdwijnt die phase die het grootste volumen heeft, en treedt in de plaats die van het kleinste volumen”. Een ander gevolg der gevonden formule echter is óf nieuw óf ten minste veel minder algemeen bekend, nl. hoe de verandering der oplos- baarheid met verhoogden druk berekend zou kunnen wor- den, indien bekend is de mate waarin de spanning van den waterdamp met het zoutgehalte der oplossing samenhangt. Mocht men, zooals de schrijver doet, aannemen dat de druk regelmatig met aangroeiend zoutgehalte en evenredig daar- aan afneemt, — iets dat approximatief bij zeer verdunde oplossingen geldt en wel eens de wet van W üLLNER genoemd wordt, — dan liet de gevonden formule ook de bovenge- noemde berekening toe. De schrijver waagt zich dan ook aan enkele berekeningen. Maar de overeenstemming met de ervaring is niet zeer groot en dit wordt door hem toe- geschreven aan mogelijke fouten der waarneming. Wij schrijven ze toe aan het niet gelden der wet van WULLNER. In de tweede plaats wordt behandeld de verandering der oplosbaarheid met de temperatuur, of liever deze verande- sen. ad rn a nn kl af somde (225) ring wordt in verband gebracht met de vermindering der dampspanning. Maar wij zullen niet verder in bijzonderheden treden en liever tot de formuleering van ons advies overgaan. De verhandeling bevat iets nieuws of ten minste weinig bekends. Dit geeft den doorslag, waar wij anders zouden aarzelen. Want wij hebben tegen de behandeling, vooral uit het oogpunt van duidelijkheid en nauwkeurigheid, be- denkingen. Ook het gebruikte kringproces kan ons niet voldoen. Daarom raden wij de Akademie aan, de verhan- deling wel in de Verslagen en Mededeelingen op te nemen ; maar den schriijver vooraf met dit rapport in kennis te stellen, opdat hij met de Commissie in overleg trede over aan te brengen verbeteringen. Amsterdam en Haarlem, 28 Juni 1888. J.D. VAN DER WAALS. J. BOSSCHA. OVER EENIGE FORMULES, BETREKKING HEBBENDE OP DE VERANDERINGEN IN SAMENSTELLING DER OPLOS- SINGEN, DOOR DRUK- EN TEMPERATUURS- VERANDERINGEN BEWERKT. DOOR Dr. P. H. DOJES. INLEIDING. Ter rechtvaardiging en verduidelijking van de navolgende toepassingen van de theorie van den thermodynamischen po- tentiaal mogen hier de volgende beschouwingen voorafgaan. De bekende theorie van GriBBs leert, dat er chemisch even- wicht bestaat, wanneer de thermodynamische potentiaal eene minimum-waarde heeft. Vooral door Durem *) is deze theorie systematisch doorgevoerd en toegepast. Ten einde tot grootere kortheid van uitdrukking te geraken, zullen hier eenige sym- bolische benamingen gebruikt worden. Men beschouwe nl. een mengsel of oplossing van twee of meer bestanddeelen. De grootte van den thermodynamischen potentiaal, het vo- lume, de energie en de entropie van het geheel hangt af van de hoeveelheid en de verhouding, waarin de bestand- deelen optreden. De bedoelde symbolische uitdrukkingen nu zijn de thermodynamische potentiaal, het volume, de energie *) Durnem. Potentiel Thermodynamigue etc. Paris 1886. Men zie ook PrANCK. Wied, Ann. Bd 30 en 31. 1887. (221) en de entropie van elk der bestanddeelen, zooals zij in het mengsel voorkomen. Men houde wel in ’t oog, dat zij al- leen symbolisch zijn; hare werkelijke beteekenis moge uit het volgende blijken. Zij F de thermodynamische potentiaal onder den con- stanten druk p van eene zekere hoeveelheid van een (ho- mogeen) mengsel, die M, G. van de eene en M, G. van de andere stof bevat. Zij V het volume van deze hoeveelheid, U en $ hare energie, respectievelijk entropie. Daar £, V, U en $ alle homogene functiën van den eersten graad in M; en My zijn, bestaan de volgende ge- lijkheden : M, Ee -- dn F Mtr = V Mt Mig =V Mn Mps Verder heeft men daar £ = U — TS + pV is: NR OEE AV DM dM, dM, )F dU Ss RA en de en DM DAM B PM, lr On EE BEA aram, dM, Po Er RAN, 8 > V LN ENEN ENA nb OM, AT e+ P or of, daar dU òS òV EE dg ret, d TT PT OP dS Evenzoo is: Verder is: att AE __ dp JM dM, en evenzoo: U dS òV lS nan V|\ == ——— 5 Pd |) DM, Voert men de volgende notatiën in: BP DF om LN dM, En, dU dU mint 1 ò M, oe dan bestaan tussche NES) AES) Shen 2 | ò M; n deze grootheden de betrekkingen: SRE UTS, + p Vi — Us 1 S + pVz \PY) ò A == — TT V, IT 2 dp Ten Ò Fr Va. 5 sE Mb Tusschen de grootheden #, V,, U, en S, Fo, Va, Us en S, bestaan dus die betrekkingen, welke gelden voor den thermodynamischen potentiaal, het volume, de energie en de entropie van eene onvermengd voorkomende stof. Maar op zich zelf heeft het geen physischen zin, te spreken van den thermodynamischen potentiaal, het volume, de energie : en de entropie van elk der bestanddeelen, zooals zij in het | mengsel voorkomen. AN 4 ò VV == Ay == —_— z= V 2 DM, Ln 3 2 (229) Voor een mengsel van meer dan twee bestanddeelen gel- den gelijke betrekkingen. Beschouwen wij thans de voorwaarden voor chemisch evenwicht. Laten twee stoffen twee mengsels van verschil- lende samenstelling vormen; zij treden dan volgens de uit- drukking van Gasss in twee verschillende phasen op. Voor het eene mengsel, dat M; G. resp. My G. der beide be- standdeelen bevat, hebben #£, V, U en S; 4, Vi, U) en Ss Fo, Va, Ug en Sz de bovengemelde beteekenis. f, v, wen sj fi, vj, wi eu si5 fo» Va, Uz en sz duiden dezelfde grootheden aan voor het andere mengsel, dat mj, resp. mz G. bevat. Vermeerdert de hoeveelheid m, met de oneindig kleine hoeveelheid dm, en vermindert dientengevolge M, met dm; , dan is de variatie van den thermodynamischen potentiaal: Zip ee Mg — Tr dm Ò my f ò M; Ù en daar deze functie in den evenwichtstoestand eene mini- mumwaarde heeft, moet deze variatie gelijk nul zijn. Hier- uit volgt: Ur Ò mj ò My == of f‚. — A= 0. Evenzoo geldt voor het andere bestanddeel ; fh, — A= 0, indien fy en F5 voor dit bestanddeel gelijke beteekenis hebben als f, en £) voor het eerstgenoemde. In het vervolg hebben F,, Vj, U, en S, Fo, Vo, Uo en Ss steeds de bovengemelde beteekenis: Ae are OM’ OM,’ ÒM' ÒM, enz. ; de symbolische benamingen voor deze functiën: thermody- namische potentiaal, volume, energie en entropie van 1 G. ( 230 ) eener stof, zooals deze in het mengsel voorkomt, zijn hier- door, wat hare beteekenis betreft, voldoende verklaard. De in de formules optredende verschillen v, — Vi, vg — Vo, — sj + Sj en — sz + Sy hebben eene gemak- kelijk aan te wijzen beteekenis. Immers, vermeerdert de hoeveelheid m;, met dm, en vermindert dus gelijktijdig M, met dm, , dan is de volume-vermeerdering van het systeem der beide mengsels: Pig er dan, ( V‚) me zn di EE Ma —=e in Ur == ee 1 SED 1 1 (1 1 vj — Vj is dus de volume-vermeerdering, per G. berekend. Analoog is de beteekenis van vg — Vg. Evenzoo stelt ds QS Ò m7 ò Ms sj —  ZE de entropie-vermeerdering voor, die bij de gemelde verande- ring van het systeem optreedt (ook weder per gewichtseen- heid berekend). Bij het vermengen van twee vloeistoffen kunnen verschil- lende gevallen voorkomen, waaronder echter twee het menig- vuldigst optreden: zij kunnen of geheel zich vermengen, of slechts gedeeltelijk, zóódat twee lagen van verschillende samenstelling ontstaan. De thermodynamica leert, dat de damp boven deze beide vloeistofmengsels geheel dezelfde is en verder, dat zij beide hetzelfde vriespunt hebben. Daar- entegen lossen gassen en vaste stoffen in het algemeen slechts tot een bepaald bedrag in eene vloeistof op. Met behulp van den thermodynamischen potentiaal kan men de veran- deringen nagaan, die door veranderden druk en temperatuur in de samenstelling der mengsels en oplossingen optreden. 1. TWwerE GEDEELTELIJK MENGBARE VLOEISTOFFEN. Beschouwen wij het systeem van de beide vloeistoffen en nemen wij als concreet voorbeeld de twee mengsels van (231 ) aethylaether en water. Voor de gemakkelijkheid der nota- tiën duide men alle grootheden, die op de benedenste laag betrekking hebben, door een’ hoofdletter aan ; daarentegen door een kleinen letter alle, die voor de bovenste laag gel- den. In de eerstgenoemde laag kome voor M; G. aether en M, G. water; /}) zij de thermodynamische potentiaal onder constanten druk van 1 G. aether, in deze laag voor- komende, Fy, die voor 1 G. water van dit mengsel, V, zij het volume, dat in het mengsel door 1 G. aether wordt ingenomen, Vz het analoge volume van 1 G. water, $S, en S, stellen de respectieve entropiën voor. (symbolische bena- mingen met boven verklaarde beteekenis.) Voor de bovenste laag hebben mj, mo, fis fas Vis Vos S1 En sz gelijksoortige : Ms; Mag beteekenis. Men stelle ten slotte — —= Ml en — =—=h. M, mj De beide mengsels verkeeren oorspronkelijk onder den druk van hun damp. Im de volgende formules wordt deze kleine druk verwaarloosd. Als evenwichtsvergelijkingen heeft men: fi — Fy —=0 en fy — Fz=0. Om den invloed der drukvermeerdering te leeren kennen, heeft men slechts neer te schrijven, dat in den nieuwen evenwichtstoestand de ther- modynamische potentialen weer gelijk moeten zijn. Dit geeft: òf òfidk Pd FH RTE dp Ere dpa rdp==0 MR nor op PT Hap * en Ò Òfg dh ò NENDE, ig Sl Se — #g Edp ee p ; Ò òhòp AP AH Òp of daar (232) Vooreerst heeft men nu de boven (bladz. 228) afgeleide vergelijkingen : verder bestaan de betrekkingen *) : fer nl df rh Smak Andhra Dit alles ingevoerd zijnde, vindt men door oplossing : dlogd _vj_— — V, — h(vg— Va) „Slogh EE: ke V, + H(vs— 1 1 Òp Te ee Bp ( LH) U) beide vloeistoffen; kent men de wet, welke volgens de par- tiëele spanniag van een der dampen afhangt van de verhou- 8 Ä De damp boven een vloeistofmengsel bevat dampen der | ding, waarin beide vloeistoffen gemengd zijn, dan kan men | oF ò fi ER berekenen. Men make nl. de onderstelling, dat beide dam- pen zich als volkomen gassen gedragen en dat hunne par- tiëele spanningen P; en Ps zijn, zoodat de totale dampdruk P =P; + Ps is. Is F dan de thermodynamische potentiaal onder den totalen druk P van het vloeistofmengsel, dat M, G. van de eene en M, G. van de andere vloeistof bevat, en is evenzoo w die voor het dampmengsel, dat uit xj G. van de eene en uit nz G. van de andere stof in dampvorm be- staat, dan bestaat ook hier weer de evenwichtsvoorwaarde; 0 ne dM, dm Ri Men kan nu wp nog anders uitdrukken, daar volgens on- *) Dune, Potentiel Thermodynamigue, Paris 1886, Ll kerr d (233 ) derstelling beide dampen zich als volkomen gassen verhou- den. Denkt men zich nl. beide damphoeveelheden van het mengsel gescheiden en beide afzonderlijk op het volume ge- bracht, dat door het dampmengsel wordt ingenomen, dan is de som van de functiën energie, entropie en thermodyna- mische potentiaal (onder den betreffenden partiëelen druk) der beide afzonderlijke dampmassa’s gelijk die functiën, welke voor het dampmengsel gelden. Is dus p; de thermodynami- sche potentiaal onder den druk P, van 1 G. van den eenen damp en gg die onder den druk P, van 1 G. vau den an- deren damp, dan is: Ò W = NP} + Ng pg, waaruit volgt, dat Ee 18 | Om dit te bewijzen, houde men in ’t oog, dat in de formule or OW en ==), de differentiatie van #' naar M, en van w naar nj plaats moet hebben bij constante waarde van den totalen druk P, Daar nu p, van P, en pz van P afhangt, zullen wij eerst pj en pz uitdrukken in PP, nj en ng. Duiden A, Ten Ry T de bekende produkten aan voor 1 G. van elk der dampen, die zich volgen onderstelling als volkomen gassen gedra- gen, dan is: nj R R nn en m Bj + 3 Bo mj Lj + ng Lig en dus: DR P, k, REE we el ee BB Òyi E Ny B + nz Bi EL nj, P Ò nj Ik ne Ò Men vindt dus voor raa wanneer P constant blijft : SPELEN Ò nj ats \ òP: Ò nj î ò Pa NE (234 ) Daar 99, NG he See ò P; P, (het volume van 1 G. van den damp onder den druk P}) en evenzoo Ò Ps Bel HE Ps en eindelijk DE SR dn, GS Ò vallen de twee laatste termen tegen elkaar weg en er blijft over : OW dn — pj: Evenzoo is ok en M, Verandert nu de verhouding Tp == H, dan verandert 1 F tevens de dampdruk. #£ = En hangt zoowel van H wien als van den totalen druk P af; Dt == @} zijnde, verandert ea alleen voor zoover de partiëele druk P, verandert. De differentiatie naar Hd geeft dus: ò Fi oM, df Òm, A — == dE ò AZ oL vO OE Se Nu is en = Vy, waarin Vy het volume van 1 G. van 1 dezen damp onder den druk P, voorstelt. AE ò VV SET (235 ) is de volume-vermeerdering van het vloeistofmengsel, ver- oorzaakt door dat de gewichtseenheid van de vloeistof Mr, in het mengsel overgaat. Men vindt dus: òL 7 òP oP ir en TEN Verwaarloost men, daar Vj klein is tegenover Vy, en d P dP òP Pp DH slechts om Gn grooter is dan SE? den term ne. dan komt men tot de benaderde formule: ò FP, ò P: en Wa à ‚ò A CEE Evenzoo is: ENE A wknd Neemt men verder nog aan, dat de wet van Marzrorre geldig is, en stelt men diensvolgens P) Vy, —= pi vu, = Ri T, dan komt men tot de vergelijkingen: ER dpd dE „of 9m tT Òp nn Bme == ZT EE Voor het geval, waarop de vergelijkingen (Ll) betrekking hebben is P, =p; te stellen; ò Pi Ò Pi Ld Md òH ÒA zijn echter verschillend. De invoering van deze waarden geeft de vergelijkingen: log Hm Vith Vo) Ee P Òp RT e Ee gE) Ò logh fd BN je BE ri) P. en ( 236 ) Alle tot nu toe uitgevoerde experimenteele onderzoekin- oP gen schijnen te leeren, dat in deze formules En en el Ò òP negatief zijn en wel is — EE Denn En Hebben vj, — Vj en vj — Vz hetzelfde teeken, dan is dit ò A ò A ook het geval met — en ——. Opdat na drukverhooging òp òp de beide mengsels in samenstelling minder van elkander ver- schillen, hetgeen den overgang vormt tot volkomen vermen- Ork ò H oi ht ONE ging, moet N positief en Er negatief zijn; hieruit volgt p /, on — Vi <0 en va — Vz > 0; deze twee laatste voorwaar- den zijn echter niet voldoende. De verandering der con- centratie door druk verhooging is verder, al het overige gelijk zijnde, omgekeerd evenredig met de vermindering in dampspanning. De afhankelijkheid der samenstelling der twee lagen van de temperatuur wordt aangegeven door de twee vergelij- kingen: Ae dE BF Tu OA AEP OEE Hierin is: Ò fi à Ai Ò fz ò£ et nT Sn hed EN: ier en Re re eere rn Vermeerdert mm) met dim) en vermindert M, met dm, dan worde in ’t geheel eene warmtehoeveelheid opgenomen, gelijk aan À, dm). Vermeerdert mz met dmg en M, met — dmz, dan worde Às dim opgenomen. Met het oog hierop, bestaan dan de gelijkheden: BA F_ en ET B ee TER Daar verder: LE ERE EH IR gaan de bovenstaande vergelijkingen over in: a ae a 0 mn Si Ô en EER EEn baeh. dT Aj Fhhg dog OA dlogH oP: ern Eh eVa (H— (2) A + Hg A) log h A) fi ò log h Ò pi ee EH er tT Ò vj A, Pi Men kan verder nog voor Va, DH en va, ST de boven ont- wikkelde waarden invoeren. Over de afhankelijkheid der samenstelling der twee meng- sels van den druk zijn in ’t geheel geen proeven genomen; ook die over de veranderlijkheid met de temperatuur zijn weinig talrijk *). Opdat temperatuursverhooging het verschil in samenstel- ling vermindere, moet Àj + hÀg <0 en À, + HA > 0 zijn, waaruit volgt: A, < 0 en Àg > 0; deze laatste twee voorwaarden zijn evenwel niet voldoende. De combinatie van de vergelijkingen (l) en (2) geeft: %*) OsrwaLD, Lehrbuch der allgemeinen Chemie. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS, DEEL V. 16 ( 238 ) ò H òH vj — Vi + h(vy — Vz) TTE SERRE b En re A De Mh + Hd 2. VASTE LICHAMEN EN GASSEN. Veel eenvoudiger zijn de formules, die de afhankelijkheid der oplosbaarheid van vaste stoffen en gassen van tempera- tuur en druk aangeven. Bij de notatiën neme men aan, dat de index 1 op de vloeistof, 2 op de vaste stof of het gas slaat. f) zij de thermodynamische potentiaal onder constanten druk van 1 G. opgelost, wg die van 1 G. onopgelost zout, vj en Vs de vo- lumina, sy en Zg de entropiën van 1 G. zout in opgelosten, resp. in onopgelosten toestand. (symbolisch op te vatten.) h is de gewichtsverhouding, waarin zout en vloeistof in de oplossing voorkomen. Alsdan gelden de vergelijkingen: TTT _—_ dp Òh òp Ap voor de veranderlijkheid met den druk en ò fr òf, dh ÒWe OT oer Me voor die met de temperatuur. Men heeft: A Stelt men sz — 29 = ES dan is Zg de warmtehoeveel- | | ET ( 239) heid, die opgenomen wordt, wanneer eene kleine zouthoe- veelheid in eene bijna verzadigde oplossing overgaat (per G. berekend). De invoering al dezer waarden, geeft de twee vergelij- kingen: log h Vs — le ERGEN (4) di ef Ò A en Ò log h zl a een DE A (5) T 1 òh Door combinatie van (4) en (5) vindt men: òA Vs — u ò A en eN 6 Stellen v/, en pj volume en druk van den damp voor boven de verzadigde oplossing en volgt de damp de wet van Mariorre, dan is: feeen Hi r. Ò log pi dk “dh dh en (4) en (5) gaan over is: ò log h VV, —v EE bree Tee (4e) Pp RR 4 PT Ò A en Di À lo L 2 he neg Te fe neo kenhd B Ò A Zeer eenvoudig worden deze formules, indien de wet van Ò 1 ò A Würiner geldig is; alsdan heeft de waarde — b, b 16* (240 ) eene constante zijnde, die alleen nog van de temperatuur afhangt. Deze substitutie uitvoerende, vindt men: | Ò log h Pi Ve De formule (6) is door Braun *) langs anderen weg afgeleid; de formule (5%) door Dunem f) met behulp van den thermodynamischen potentiaal. De door Kircrnorr $) afgeleide formule voor de oplossingswarmte stemt niet met de door Dunem gegevene overeen. Voor zoutoplossingen zijn door SorgBy **) eenige quanti- tatieve bepalingen omtrent de verandering der oplosbaarheid door drukverhooging geschied. 'TAMMANN heeft ff) verder voor de oplossingen, die SorBy onderzocht, ook de damp- spanningen onderzocht, zoodat men aan zijne tabellen de waarde van b ontleenen kan. De overeenstemming tusschen Òh. de waargenomen en de berekende waarde van nd echter op vrij slecht en is waarschijnlijk te verklaren, hetzij door waarnemingsfouten, bij de bepaling van dergelijke kleine dh ge grootheden als PE en Vs — vg noodzakelijk begaan of door *) F. BRAUN, Wied. Annalen, Bd. 30, pag. 250, 1887. BRAUN be- gaat overigens eene onnauwkeurigheid door te stellen: (pag. 253): u +k ie en 0 A òg hetgeen streng genomen moet zijn: vpk Ip 9 Daardoor wordt zijne eindvergelijkingen volmaakt gelijk aan de hier ontwikkelde: eN yu. f) Durem, Comptes Rendus, T. 104, pag. 683, 1887. $) Kircuuorr, Poggend. Ann, Bd. 103, pag. 177, 1858. *%) SorBy, Phil. Mag., Vol. 27, 4th Ser., pag. 145, 1864. Ft) TAMMANN, Wied, Ann, Bd. 24, pag. 523, 1885. e alsa, És 5 B oh òf dh (241 ) de onjuistheid van de wet van Würrrer. Ook voor de meest verdunde oplossing (11,05 G. Ky SO, in 100 G. water) is de overeenstemming onbevredigend; SorBy geeft aan 0,0002914, de berekening levert 0,0002207. p is daarbij in atmosfee- ren uitgedrukt. Voor de oplossing van gassen in niet of weinig vluchtige vloeistoffen, gelden geheel analoge formules. De index 1 hebbe betrekking op de vloeistof, de index 2 op het gas. Fy zij de thermodynamische potentiaal onder constanten druk van 1 G. der gasvormige stof, fy die van 1 G. opge- loste stof; vg en Vz zij het volumen, s, en $5 de entropie in gasvormigen, resp. in opgelosten toestand (symbolische benamingen.) A zij de verhouding van de gewichtshoeveelhe- den gas en vloeistof,waarin zij in de oplossing voorkomen. De gelijkheid fy — Fy = 0 geeft door differentiatie naar men 7: jn == 0. en dp òp h Òòp L Stelt men S, — 89 = dan beteekent Lgdm; de (nega- tieve) warmtehoeveelheid, die opgenomen wordt, wanneer bij constante temperatuur eene kleine gashoeveelheid d mg door de bijna verzadigde oplossing wordt geabsorbeerd. Door . Ld Ld A) fa invoering van deze waarde en door substitutie van RP 5 door hunne bekende waarden, vindt men: an dh df, o bat rl BEP Pd Gr De combinatie van deze beide vergelijkingen geeft: OA Sannen Vs T. lk rn NP Bij niet te hoogen druk mag men Vz tegenover vz ver- ( 242 ) waarloozen; volgt verder het gas de wet van Mariorrtr, dan is: Daar volgens de wet van Henry A= p f}, waarin (3 den absorptie-coëfficiënt voorstelt, die niet van p afhangt, gaat deze formule over in: en deze stemt geheel overeen met de vroeger langs anderen weg door Kircnnorr *) afgeleide. 3. BEVRIEZING VAN ZOUTOPLOSSINGEN. De analogie tusschen het verschijnsel der verzadiging en dat der bevriezing leidt er toe, ook den invloed van den druk op dit verschijnsel te bespreken. Bij de verzadigings- temperatuur is de oplossing in evenwicht met vast zout; bij het vriespunt in evenwicht met ijs. Zij (symbolisch) f, weder de thermodynamische potentiaal onder constanten druk van 1 G. water, in de oplossing voor- komende, w; die van 1 G. ijs. Alsdan is bij het vriespunt f,—y,=0. Indien men nu den druk verhoogt, kan men de concentratie van de oplossing berekenen, die onder dezen hoogeren druk hetzelfde vriespunt heeft. De gelijkheid f, — w,—=0 gedifferentiëerd, geeft: | *) Kimcuuorr, |. c. pag. 194. Tr EE V, is het volumen van 1 G. is, (bij de temperatuur van het vriespunt der oplossing onder den druk p) en vj dat van l G. water, zooals dit in de oplossing voorkomt (symbolisch). Daar en on negatief is, daar verder het specifiek volumen van Ô ijs grooter is dan dat van zuiver water en water in ’t alge- meen onder contractie door eene oplossing wordt opgenomen, J is Vj-—vj, positief; hieruit volgt. dat En negatief is, m. a. 2 w. eene meer verdunde oplossing heeft onder hoogeren druk hetzelfde vriespunt. De temperatuursverandering, die men moet veroorzaken, opdat eene oplossing van dezelfde concentratie onder ver- hoogden druk met ijs in evenwicht is, wordt gegeven door de vergelijking: of AA AT dm dT sn 0 Ld Òp of dp Men stelle weder L;, beteekent dan de naar verhouding voor 1 G. berekende hoeveelheid warmte, die opgenomen wordt, wanneer eene kleine hoeveelheid ijs bij het vriespunt in de zoutoplossing overgaat. Bijgevolg is: A — V: een lr, Òp Lj (244 ) Daar voor waterige oplossingen algemeen vj < Ven Lj (de som van de smeltingswarmte van ijs en van de verdun- | OT ningswarmte) positief is, heeft 55 eene negatieve waarde. Pe Wanneer de volumeverandering van het oplossingsmid- | del bij den overgang van den vasten in den vloeibaren toe-, stand verschillend teeken heeft van die bij den overgang van de vloeistof in de oplossing, dan bestaat de mogelijkheid, dat eene oplossing zich onder vermeerderden druk in omge- keerden zin gedraagt als het zuivere oplossingsmiddel. De vraag, naar de concentratieverandering eener oplossing, die bij veranderde temperatuur met ijs in aanraking blijft, wordt beantwoord door de differentiaalvergelijking : df: fet al 97 EP ME pee of daar: dw _ òf _ La ___ ET een is, volgt uit deze gelijkheid : DEE OE in Ò A In dezen vorm geeft de vergelijking de vermindering der eoncentratie aan, die de oplossing moet ondergaan, opdat zij bij verhoogde temperatuur met iijs in evenwicht is. Het om- gekeerde differentiaal-quotiënt Sn geeft dus eenvoudig aan, met hoeveel de temperatuur verlaagd moet worden, wanneer d h met dh wordt vermeerderd, m. a. w. = is de verlaging (/ van het vriespunt. Men vindt dus daarvoor: ini ( 245 ) Voor verdunde oplossingen gaat Lj, over in de smeltings- E N Ò warmte van ijs; daar verder oh End, Sj v‚/, het volume NN, voorstelt van 1 G. damp boven ijs bij 0’, drukt deze ver- gelijking uit, dat voor alle verdunde oplossingen de verla- ging van het vriespunt evenredig is met de vermindering der dampspanning. Men kan evenwel ook voor oplossingen van willekeurige concentratie aan deze formule eene merkwaardige en volkomen strenge gedaante geven. Daar nl. bij het vriespunt eener oplossing onder den druk van haren damp (bij het drievou- dige puut) deze druk gelijk is aan dien van den damp boven ijs, kan men Lj gemakkelijk uitdrukken. Men late nl. bij het drievoudige punt eene kleine hoeveelheid ijs verdampen ; deze damphoeveelheid voere men, zonder voorafgaande compressie (daar de dampspanningen gelijk zijn) in de oplossing over. _ Alsdan ziet men, dat L, het verschil is van de twee ver- dampingswarmten, onverschillig of de damp zich als volko- men gas gedraagt of niet. Zij 7 de spanning van den wa- terdamp boven iijs en pj die boven de zoutoplossing ; bij het drievoudige punt van de oplossing is pj = 7; de specifieke volumina van den damp zijn dus ook dezelfde. Men vindt dus: d 7 Ò pr e= BS — 1 VL, F 7 ò ) Dit in òf Ë h dE et A Li ingevoerd zijnde, geeft: Òpr òp1 Toy, òf ne NE Ex Ò A dh da __Òp) da _ òp Aar 37 ar or De verlaging van het vriespunt door eene bepaalde ver- (246) … meerdering der concentratie is ook bij eene willekeurig ge- concentreerde oplossing evenredig met de vermindering in dampspanning, door dezelfde concentratie-vermeerdering ver- Ò pr òT wijst op de discontinuïteit, waarmede bij het vriespunt der zoutoplossing de lijn harer dampspanning in die der span- ning boven ijs overgaat. d. oorzaakt; de veranderlijke proportionaliteitsfactor Er Aan 4. CRYOHYDRATEN Ten slotte zij het mij vergund hier het probleem te be- handelen omtrent de samenstelling van een eryohydraat *). Y 7 Een cryohydraat is eene op- | lossing, die tegelijkertijd met ijs en zout in evenwicht is; uit deze oplossing scheidt zich bij het bevriezen ijs en zout in zoo snelle opeenvolging uit, dat zij schijnbaar eene homo- gene, vaste massa vormen f). Zij in nevenstaande figuur X de lijn der temperaturen, B het O-punt der Celsius-schaal en Y de lijn der zouthoeveelhe- den, opgelost in 100 G. water. Zij AC de oplosbaarheids- lijn en BC de lijn van het vriespunt. Eene oplossing van het gehalte B C) heeft haar vriespunt bij 7® en is tevens verzadigd; zij is dus een eryohydraat. De beide lijnen snij- den elkaar slechts eenmaal en eindigen beide in het punt C. De hoeken, die de raaklijnen in C, aan de beide krommen getrokken, met de X-as maken, hebben tot tangenten : *) Dit probleem is zeer onlangs, maar op m i onjuiste wijze behan- deld door PARKER. Phil. Mag. 5th Ser., N°. 156, pag. 406, May. 1888. j) Volgens Gururie is eigenlijk deze vaste massa van dezelfde pro- centische samenstelling als de oplossing een eryohydraat. md third wad cantele kade midi a er ee tan dS an ande rt k 7) — dy h bid Li En enn meerd ò Tlac Ò pi ò 7/gc Ò Pi 76 t za òA ie ÒA de verhoudingen der tangenten is eenvoudig : dh Balen At ER, 5) Een a BC Om den invloed van den druk op de samenstelling van een eryohydraat na te gaan, voere men de volgende nota- tiën in. fj zj de thermodynamische potentiaal onder con- stanten druk van 1 G. water in de oplossing voorkomende, w, die van 1 G. ijs, fg die van 1 G. opgelost zout en wa die van 1 G. vast zout. Verder beteekenen vj. vg de volu- mina van 1 G. water en zout, zooals zij in de oplossing voorkomen, V, en Vs de specifieke volumina van ijs en zout; 8, Sg Zj en 2 de respectieve entropiën (als steeds sym- bolische benamingen). Alsdan gelden onder den kleinen druk van den damp boven het eryohydraat, welken druk men verwaarloozen mag, de gelijkheden: fi =0 en fg— Wy = 0. Den invloed der drukverhooging leert men kennen door differentiatie van deze vergelijkingen, waarbij 7 en A als functiën van p zijn te beschouwen. Deze geeft: Òp òhdòp. AT Ap eL dp OP of reen Wp or op dp AE dp Stellen wij: de beteekenis van Zj en Jy is duidelijk. Na F. LONEN LE V, enz òA h_ ÒAh Òòp Òp gesteld te hebben, vindt men door oplossing: dur ne V, + h(vy— V3) 7 Òp In + h dz en OM Et ee Lj (wa — Vo) — da (vj — Vi) TE AA p = Er à à En ‚a + h A) dh 27 sd d ES TE geeft de totale verandering in samenstelling aan, door de drukverhooging dp veroorzaakt. Ly, en Ay zijn in 't algemeen beide positief; vj — Vi is (voor waterige oplossingen) in 't algemeen negatief, even- Zoo vg — Vz; de beide termen van den teller hebben dus hetzelfde teeken en het kan gebeuren als een bijzonder ge- val, dat Zj (vg — Va) = dz (wy — Vi) is en in dit geval zou de samenstelling van het eryohydraat onafhankelijk zijn van den druk. In het algemeen zijn echter deze grootheden niet gelijk en men, ziet, dat de concentratie van hel eryohydraat wel van den druk afhangt *). *) PARKER meent bewezen te hebben, dat de samenstelling onveran- derlijk is. ( 249 ) Daar oh En EEA correspondeert, al het overige ge- òh Ò A lijk blijvende, eene groote veranderiug in samenstelling met eene kleine vermindering in dampspanning. BE is algemeen negatief; het vriespunt van het cryohy- 4 draat wordt dus door druk verlaagd. PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 29 September 1888. Tegenwoordig de Heeren: VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Voorzitter, Mac Girravry, BeEHRENS, Prace, Korrtewee, FRANCHIMONT, HooGewerrFF, DE Vries, BEYERINCK, MARTIN, HorFFMANN, ScHourE, ZEEMAN, BieRENsS DE HAAN, BAEHR, SroKvis, Husreonr, Forster, RAUWENHOFF, VAN 'r Horr, ScHoLs, J. A. C. OUupeMANs, LORENtTz, A. C, OUDEMANS JR, GriNwis, BRUTEL DE LA RIvIÈRE, VAN DrIESEN, PEKELHARING, VAN Dore, VAN BEMMELEN, KAPTEYN, GUNNING en C. Á. J. Á. OUDEMANS, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige zitting wordt gelezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden : I®. H. Dumonceau, Bibliothecaris van Z. M. den Koning, ‘sGravenhage, 8 September 1888; 20. het Ministerie van Buitenlandsche Zaken, 's Gravenhage, 10 September 1888; 30, het Minesterie van Oorlog, 's Gravenhage, 7 September 1888; 40. het Ministerie van Marine, ’s Gravenhage, 7 Sep- tember 1888; 50, het Ministerie van Justitie, ’s Gravenhage, 12 September 1888; 60, den Commissaris des Konings in Noord-Holland te Haarlem, 8 September 1888; 70. Burge- (251) meester en Wethouders van Amsterdam, 7 September 1888 ; 80. Curatoren der Rijks-Universiteit te Leiden, 14 Septem- ber 1888; 90. Curatoren der Rijks-Universiteit te Utrecht, 11 September 1888; 100. Curatoren der Rijks-Universiteit te Groningen, 7 September 1888; 110. H. C. Roca, Biblio- thecaris der Universiteits-Bibliotheek te Amsterdam, 7 Sep- tember 1888; 120. A. J. van Pescr, Bibliothecaris van het wiskundis Genootschap » Een onvermoeide arbeid komt alles te boven” te Amsterdam, 7 September 1888; 130. Direc- teuren der Nederlandsche Handelmaatschappij te Amsterdam, 7 September 1888; 140. Gure, Redacteur van het Neder- landsch Tijdschrift voor Geneeskunde te Amsterdam, 7 Sep- tember 1888; 150. A. J. Ensorrpé, Bibliothecaris der Stads- Bibliotheek te Haarlem, 8 Septe:nber 1888; 160, J. BosscHa, Secretaris van de Hollandsche Maatschappij der Wetenschap- pen te Haarlem, 8 September 1888; 170, G. C. W. BonNex- SIG, Conservator van Teylers Stichting te Haarlem, 19 September 1888; 18°. H. G. VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Directeur der Sterrenwacht te Leiden, 1888; 190. A. Kruv- ver, Bibliothecaris van de Maatschappij der Nederlandsche Letterkunde te Leiden, 19 September 1888; 200. A. R. ARNTZENIUs, Griffier van de Tweede Kamer der Staten Gene- raal te 'sGravenhage, 8 September 1888; 210. H. VorLEN- HOVEN, 'sGravenhage, 10 September 1888; 220, J. TrpeMaN, Secretaris van het koninklijjk Instituut van Ingenieurs te ‘sGravenhage, 8 September 1888; 230. T.C. L. WijNMALEN, Secretaris van het koninklijk Instituut voor Taal-, Land- en Volkenkunde te ’s Gravenhage, 17 September 1888; 240, J. F, L. Scaneiver, Bibliothecaris der polytechnische School te Delft, 23 Juli 1888; 250. R. M. van Lianpen, Secretaris van het provinciaal Utrechtsch Genootschap van Kunsten en Wetenschappen te Utrecht, Juni 1888; 260. W. F. C. van LAAK Jr, Bibliothecaris der Gemeente-Bibliotheek te Arnhem 1888; 270. L. Broekema, Directeur der Rijkslandbouwschool te Wageningen, 10 September 1888; 280, Burgemeester en Wethouders der stad Zutphen, 10 September 1888; 290. Kru- SEMAN, Secretaris van het Zeeuwsch Genootschap der Weten- schappen te Middelburg, 1888; 30°. J. L. Berns, Biblioe (252) thecaris der provinciale Bibliotheek in Friesland te Leeuwar- den, 17 September 1888; 310. TaArrs vAN AMERONGEN, Gou- verneur der koninklijke militaire Akademie te Breda, 12 September 1888; 320, F Czrermak, Secretaris van het natur- forschende Verein te Brunn, Januari 1888; 330. von Heum- HoLtz, Berlin, 15 April 1888; 840, G. Voss, Secretaris der paturforschende Gesellschaft te Emden, 20 September 1888 ; 350. Tr. Struck, Bibliothecaris der naturforschende Gesell- schaft te Bern, 9 Juni 1887; 360. J. R. Kocn, Bibliothe- caris der allgemeine schweizerische Naturforscher Gesell- schaft te Bern, 8 Juni 1887; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 1%. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken, ’s Graven- hage, 9, 24 Juli, 3, 18 Augustus 1888; 20, het Ministerie van Oorlog, ’s Gravenhage 20 Juli 1888; 30, den Commis- saris des Konings in de provincie Friesland te Leeuwarden, 5 Juli 1888; 40. J. F. L. Scureiver, Bibliothecaris der polytechnische school te Delft, 30 Juli 1888; 50, R. M. VAN LIJNDEN, Secretaris van het provinciaal Utrechtsch Ge- nootschap van Kunsten en Wetenschappen te Utrecht, Juni 1888; 60, het Ministère de l’Instruction publique et des beaux Arts te Parijs, 26 Juli 1888; 7°%. De Mrrrové, Directeur van het Musée Gruimet te Parijs, 1888; 80, den Directeur der Eeole polytechnique te Parijs, Januari 1888; 90, G. Bru- NEL, Archivaris der Société des Sciences physiques et natu- relles te Bordeaux, 1 Februari 1887; 10°, A. Duufrr, Se- cretaris der Académie des Sciences, Inscriptions et belles Lettres te Toulouse, 1 Maart 1888; 110. F. Nrcuouson, Bibliothecaris der literary philosophical Society te Man- chester, 1888; 12°. R. HervenraiN, Voorzitter der Schlesi- sche Gesellschaft für vaterländische Cultur te Breslau, 1 Augustus 1888; 130, D. Srrrcker, Bibliothecaris der Senc- kenbergische naturforschende Gesellschaft te Frankfort a/M., 24 Augustus 1888; 140. G, pr Lorenzo, Napels 19 Sep- tember 1888; 150. G. Srorm, Secretaris der Videnskabs- Selskabet te Christiania, 29 Mei 1888; 160. E. pr Recer, wd nn id ek nde ned Sen (253) Directeur van den Jardin impérial de Botanique te St. Peters- burg, 28 Januari 1888; 170. den Secretaris der Naturfor- scher-Gesellschaft te Dorpat, 1 April 1888; 180, F. M. TrornN, Directeur der U. S. coast and geodetic Survey te Washington, 14 Juli 1888; 190, J. F. Brive, Bibliotheca- ris der publie Library te Melbourne, 8 Augustus 1888; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbe- tuiging en plaatsing in de Boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10. Kene missive van den Minister van Waterstaat, Handel en Nijverheid (l Sept. 1888), ter begeleiding van een adres met bijlagen van den Heer D. Dossrp, te ’s Gravenhage, be- treffende eene door hem bereide soort van olie, bestemd om wormen en insecten uit hout en andere stoffen te weren. — De Minister vestigt de aandacht der Afdeeling op dit mid- del, in verband met het aanhangig onderzoek in zake de Limnoria lignorum, en betuigt dat het hem aangenaam zou zijn, over den tegenwoordigen stand van dat onderzoek eenig bericht te ontvangen. 20. Hen brief van den Gouverneur van Suriname (Pa- ramaribo 17 Juli 1888), waarin, naar aanleiding van som- mige in Nederland openbaar gemaakte verslagen over de verwoestingen, door den Paalworm en de Limnoria lignorum teweeggebracht, de aandacht der Afdeeling gevestigd wordt op eenige houtsoorten van West-Indië, aldaar gebruikelijk bij het bouwen van waterwerken, en waarvan vooral het mambarklak, door eene langdurige praktijk, gebleken was bestand te zijn tegen de verwoestingen van den Paalworm. — De Gouverneur deelde tevens mede, dat de Afdeeling in het bezit gesteld zou worden van monsters van dat hout en dat daaruit blijken zou: 1®. dat het mambarklak niet altijd uit knoestige stukken bestaat, maar wel degelijk in den vorm van rechte palen verkregen kan worden, ter inheiing geschikt, en 20. dat de Paalworm wel het splint, maar niet het kern- hout van den mambarklakboom aantast. — De Secretaris bericht, dat de hierboven bedoelde voorwerpen in het bezit der Akademie gekomen zijn. — De Voorzitter wenscht én VERSL. EN MEDED, AFD. NATUURK, 8de REEKS, DEEL V, 17 (254) den brief van den Minister van Waterstaat, Handel en Nij- verheid én dien van den Gouverneur van Suriname, met al de daarbij behoorende bescheiden en bewijsstukken, ter be- schikking te stellen van de Limnoria-Commissie, opdat de Afdeeling te zijner tijd het advies zoowel over de bederfwe- rende olie als over het mambarklak moge vernemen. — Aldus wordt besloten. — Tevens stelt de Voorzitter voor, den Gouverneur van Suriname, den Heer Mr. H. J. Smipr, thans in Nederland teruggekeerd, den dank der Afdeeling te brengen: zoowel voor zijne belangstelling in een voor het moederland zoo belangrijk vraagstuk als het maken van standhoudende waterwerken, als voor de toezending van de grondstof, waarmeê proeven kunnen genomen worden. — Dit voorstel wordt aangenomen. — De Heer Hugrrcur, Voorzitter der Limnoria-Commissie, in tijds door den Secre- taris in kennis gesteld met het verlangen van den Minister van Waterstaat, Handel en Nijverheid om een en ander over den tegenwoordigen stand van het onderzoek der Commissie te vernemen, leest een door de Commissie goedgekeurd rap- port voor, dat als antwoord op ’s Ministers vraag zou kun- nen dienen, en ’t welk hij voorstelt dat door de Afdeeling als het hare erkend worde. — Aan dezen wensch wordt zonder discussie gevolg gegeven. 80. Een brief van den Minister van Binnenlandsche Zaken (22 Aug. 1888), ter begeleiding van het programma der Statuten en van een uitnoodiging ter biijijjwoning van het VIIe internationale Congres van Amerikanisten te Berlijn. 40, Ken brief van het Koninklijk Instituut van Ingenieurs (16 Juli 1888), ter begeleiding van een exemplaar eener prijsvraag, uitgeschreven door de Afdeeling Ned.-Indië van genoemd Instituut, en luidende: >men vraagt eene prakti- sche handleiding tot toepassing van de gezondheidsleer bij het bouwen in Nederlandsch Indië’, Voor het beste ant- woord wordt uitgeloofd eene som vanf 1000. | 5°, Het bericht van het overlijden van het buitenlandsch lid der Akademie Dr, Ruporr Crausrus, Hoogleeraar te Bonn. De mededeeling werd door den Secretaris beantwoord. 60, Bene missive van den Hoogleeraar Dr. M‚ FURBRINGER (255) (17 Juli 1888), waarin hij kennis geeft van zijn aanstaand ver- trek naar Jena, en zijn lidmaatschap der Akademie nederlegt. 70. Een brief van het lid der Akademie Dr. Hoek, ter be- geleiding van een exemplaar van het rapport over de vis- scherij met ankerkuilen en staalboomen op het Hollandsch Diep en Haringvliet, ingevolge eene opdracht van den Mi- nister van Financiën aan hem zelven en den Heer Borre. MANNE verstrekt. | 80. Een brief van het lid der Akademie, den oud-Hoog- leeraar VAN DEN Bere, ter begeleiding van een opstel voor de Verslagen en Mededeelingen: » De constructie-figuur voor de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen, beschouwd als configuratie”’. 90. Eene verhandeling »Over polyedrale configuraties”, aangeboden door Dr. JAN pe Vries, leeraar aan de H, B. 5. te Kampen, voor de werken der Afdeeling. De Voorzitter benoemt tot rapporteurs over dien arbeid de Heeren BrerenNs pE HAAN en VAN DEN Bere. — De Heer pe Vries spreekt over steriele maïs-planten. Naast eene gewone maïs-plant wordt een andere vertoond, waaraan de zijtakken en de kolven ontbreken, terwijl de ge- heele pluim door eene naakte spil vervangen is. In de oksels der bladscheeden zijn geene knoppen, hoe klein ook, te zien. De plant mist dus het vermogen om zich te vertakken in haren stam te eenen male. Een veertigtal zulke planten waren in dezen zomer op een bed van om- streeks 340 maïs-planten ontstaan; zij waren krachtig en sterk bebladerd, en bijna alle volkomen onvertakt. Slechts enkele toonden aan den top der spil eenige zeer fijne takjes. Het bedoelde bed was opgekweekt uit de zaden van eene enkele in 1887 gewonnen kolf, Van een paar andere kolven, in 1887 gewonnen uit hetzelfde zaaisel (uit één kolf van 1886), werden in 1888 eveneens zaden uitgezaaid. Onder deze, minder talrijke, culturen kwamen eveneens zulke steriele mais-planten voor. Met den Heer BeyEriNcK wisselt spreker van gedachte over de vragen: 1°. of de bloemlooze individuen niet ver- Va ( 256 ) menigvuldigd zouden kunnen worden door hunne blad- knoppen en 20. of het ontstaan van variatiën altijd, zooals de spreker zulks had voorgesteld, de uitkomst van meer dan één tijdperk van groei moet wezen, en of de mogelijk- heid was uitgesloten, dat in eene zelfde periode niet enkel het verschijnsel, maar ook de aanleg daartoe werde voort- gebracht. De spreker meende dat de volstrekte afwezigheid van okselknoppen bij de door hem onderzochte één-assige maïs-planten geen kans van vermenigvuldiging langs vegeta- tieven weg aanbood, en dat het antwoord op de tweede vraag langs experimenteelen weg niet gegeven kan worden. Eene vraag van den Heer J. A. C. OupeManNs over den invloed van het klimaat op de weelderige ontwikkeling der kolven wordt door den Heer pr Vries beantwoord. — De Secretaris leest eene geschrevene bijdrage van het correspondeerend lid der Afdeeling, den Heer Dr. Burcx te Buitenzorg, »Over den invloed van het licht op de kieming der sporen van Memdleia vastatriv’”’. Zij zal worden opge- nomen in de Verslagen en Mededeelingen. Eveneens wordt door den Secretaris, op verzoek van den Heer Dr. J. G. Borervaacr, mededeeling gedaan van diens voorloopig verslag van werkzaamheden, verricht in ’s Lands Plantentuin te Buitenzorg, van 14 April tot 4 Augustus 1888. — De Heer vaN BEMMELEN doet mededeelingen omtrent de onderzoekingen van den Heer Bakmurs RoozeBooM ; »Over de verbindingen van chloorcalcium met water in vasten en vloeibaren toestand.” Deze onderzoekingen zijn ondernomen met het doel, de gevolgtrekkingen te toetsen, welke afgeleid konden wor- den omtrent de samenstellingen en de dampspanningen van verzadigde zoutoplossingen uit de thermodynamische formulen van Prof. vaN DER Waars, welke formulen in overeenstemming gebleken waren met de witkomsten der vroegere onderzoe- kingen van den Heer RoozeBooMm over gashydraten en ver- wante lichamen. (251) Tevens wenschte de Heer RoozeBoom voor een enkel zout alle verbindingen op te sporen, die het met water kan aan- gaan, de voorwaarden van haar ontstaan te leeren kennen, en de omstandigheden van temperatuur en druk waaronder twee of meer dezer vaste lichamen met elkander in evenwicht kunnen zijn, nevens oplossing, nevens damp, of nevens damp en oplossing samen. Eene dergelijke studie was noodig om een volledig over- zicht te krijgen over het gedrag van zouten tegenover water. Bij het chloorcalcium bleken de volgende vaste hydraten te bestaan: Ca Cl, . 6 HO — CaCl,.4H, Oa — CaCl,. 4 Hs O 3, CaCl,. 2H,0 — CaCl,. H‚ 0. De Heer RoozeBoom bepaalde van al deze hydraten de oplosbaarheid, en vond langs dien weg het verschil tusschen de beide hydraten met 4H,0, welke tot dusverre voor de- zelfde verbinding waren aangezien. Hij isoleerde het hydraat met 2H,O voor ’t eerst uit de zuivere oplossing, dat vroeger slechts door de toevoeging van HCI verkregen was; terwijl het hydraat met 1H9Ó tot dusverre niet bekend was. Voor het van ouds bekende hydraat met 6 H‚ O toonde hij aan, dat het beneden zijne smelttemperatuur niet alleen naast oplossingen met meer water, maar evenzeer nevens oplos- singen met meer Call, bestaanbaar is, wier gehalte aan Ca Cl, toeneemt naarmate men zich van het smeltpunt ver- wijdert. Hierdoor wordt voor ’t eerst de bestaanbaarheid aan- getoond van dergelijke oplossingen; terwijl die bestaanbaar- heid reeds afgeleid was uit de formule van Prof. vaN prm Waars, die de betrekking aangeeft tusschen concentratie en temperatuur, in verband met de concentratie van het vaste hydraat, de dampspanning en de oploswarmte. Voor geen der andere hydraten werden zulke oplossingen aangetroffen. Slechts het CaCl,.2H,0 kan tot zeer nabij zijn smeltpunt vervolgd worden, de anderen worden reeds ver beneden hun smeltpunt omgezet in het opvolgende water- armere hydraat. In zulke gevallen is de bestendigheid van oplossingen, met nog meer zout dan het gesmolten hydraat, ondenkbaar. (258) Behalve de verschillende hydraten, kunnen ook de beide componenten zelve in vasten toestand nevens vloeibare com- plexen bestaan. Zoo loopt de oplossingslijn van ijs in de op- lossing van CaCl,, van het kryohydratische punt (— 556) tot het smeltpunt van ijs; de oplossingslijn van watervrij CaCl, begint bij — 260° om te eindigen in het smeltpunt van CaCl, + 7200. Bij de laatste kunnen slechts oplossin- gen behooren, die meer HO bevatten dan de vaste stof; bij de eerste daarentegen slechts oplossingen, die meer Ca Cl, be- vatten dan de vaste stof (ijs). Uit dit oogpunt beschouwd, vormen dus de vriespuntslijnen, van oplossingen van Ca Cls zoowel als van andere zouten, alle voorbeelden van den nieuwen tak der oplosbaarheidslijn, waarvan de bestaanbaar- heid voor hydraten voor ’t eerst bij CaCl,.6 HO bleek. De Heer RoozeBoom heeft verder de dampspanningen der verzadigde oplossingen bepaald, tusschen 0° en 2050. Hier- door heeft hij voor de verzadigde oplossingen van het 6 hydraat eene tweede gevolgtrekking kunnen bevestigen, die uit de formule van vaN DER Waars af te leiden is omtrent de wijze waarop de evenwichtsdruk van het stelsel: vast, oplossing, damp: met de temperatuur verandert. Beschouwt men namelijk de oplossingen die meer water bevatten dan het vaste hydraat, dan zou, naarmate men van lagere tem- peraturen tot het smeltpunt van het hydraat voortschrijdt, de dampdruk eerst moeten toenemen, daarna tot aan het smeltpunt moeten afnemen. In de graphische voorstelling zou dus de lijn (p, t) twee takken vertoonen ter weerszij van eene temperatuur, behoorende bij een drukmaximum. Het bestaan dier twee takken was door den Heer Roozr- BOOM reeds vroeger aangetroffen bij verschillende gashydraten, doch bij geen der bestudeerde gevallen kwamen die takken tegelijkertijd voor. De dampspanningslijn van het systeem met het 6° hydraat vertoont nu echter beide takken, omdat men hierbij, van vrij slappe oplossingen uitgaande, tot het smeltpunt geraken kan. Evenwel is de tak van de afnemende spanningen zeer klein. Deze bizonderheid stemt echter overeen met de voorwaar- den, waardoor de temperatuur van het drukmaximum bepaald A TN (259) wordt. Bij deze temperatuur moet namelijk de omzettings- warmte van het systeem nul geworden zijn. Daar nu bij temperaturen beneden het smeltpunt de omzetting bestaat in smelting van hydraat, en in eene absorbtie van eene hoeveelheid waterdamp, die het gesmolten hydraat veranderen kan in oplossing (behoorende bij die temperatuur), zoo behoeft men slechts weinig beneden het smeltpunt te gaan om een punt te bereiken, voor hetwelk de absorbtiewarmte reeds gelijk is aan de smeltwarmte van het hydraat. Kunnen dus hydraten niet tot zeer nabij hun smeltpunt vervolgd worden, dan bestaat er weinig kans tot het verwezen- lijken dezer druklijn. Alleen bij CaCl,.2H,O werd dan ook nog eene aanduiding van die lijn gevonden. De Heer RoozeBoom kon verder het beloop der spanningslijn voor verzadigde oplossingen van CaCl,.6H,O, met gebruikma- king van thermochemischbe bepalingen van anderen, toetsen aan de formule van VAN DER Waars, en vond voldoende overeenstemming tusschen proefneming en berekening, ook voor de temperatuur van het drukmaximum. De studie der spanningslijnen voor de oplossingen der verschillende bovengenoemde hydraten voerde tevens tot ‚ kennis der dampspanning bij de temperaturen, waarbij het eene hydraat in het andere wordt omgezet. De punten, die deze temperaturen en spanningen voorstellen, zijn quadrupelpun- ten, waar telkens twee hydraten met oplossing en damp in evenwicht zijn, en waarin, behalve de spanningslijnen der beide verzadigde oplossingen, ook nog moeten samenkomen de spanningslijnen, welke het evenwicht aangeven tusschen die twee hydraten en waterdamp, en de lijnen voor het even- wicht dier hydraten nevens oplossing alleen. . Voor de meeste stelsels heeft de Heer RoozreBoom eerst- genoemde lijnen bepaald, van de laatste reeks slechts hare richtingen. Met gebruikmaking dezer lijnen laat zich een volledig graphisch overzicht geven van al de evenwichtstoestanden die mogelijk zijn, en van de veranderingen, die zich kunnen openbaren bij verhooging of verlaging van temperatuur of druk in een bestaand stelsel, ( 260 Zij leeren nauwkeurig kennen de voorwaarden voor het bestaan of ontstaan van eenig hydraat, hetzij uit een ander hydraat, hetzij uit de oplossing. Zoo bestaat: CaCl,.6HO nevens oplossing, tusschen — 55len 300,2 CaCl,.4H,0/5 » » » 290,2 » 3804 CaCl,.4H,0Oa » > > 2908 » 4503 CaCQl,.2H,0 » » » 450,3 » 1760 Ca Cl, . Hs O > > » 1760 » + 2600, Bij 1620 wordt de spanning der verzadigde oplossing grooter dan l atm. Boven deze temperatuur zijn dus op- lossingen slechts mogelijk in gesloten toestellen. Bij 2050 is de spanning der met CaCl, . Hy O verzadigde oplossing reeds 2 atm. De oplossingen nevens watervrij CaCl, kunnen dus slechts bij zeer hoogen druk bestaan. Toch doet de formule van vAN DER Waars verwachten, dat ook deze druk tot een maximum stijgen zal, om daarna (vermoedelijk zeer snel) met toenemende temperatuur te da- len tot den smeltdruk van CaCls, die zeker zeer klein is. Deze onderzoekingen bevestigen tevens, dat elk hydraat bij elke temperatuur slechts met eene oplossing van bepaalde concentratie in evenwicht kan zijn; dat bij eene overgangs- teraperatuur de beide hydraten gelijke oplosbaarheid heb- ben, en dat de verandering der oplosbaarheid bij dit punt plotseling geschiedt, zoodat de beide oplosbaarheidslijnen elkan- der scherp snijden. Dat elk hydraat eene eigen oplosbaarheid heeft, is reeds door LorweL en G J. Mourper beslist uitgesproken ; later echter, vooral in navolging van NAUMANN, verduisterd. NAUMANN zag in de omzetting van een hydraat in een ander, dat armer aan water was,een begin van gradueele dissociatie in de oplos- sing — eene meening die tot in den allerlaatsten tijd voortleeft. Deze opvatting is volslagen in strijd: 10. met de scherpe wijziging der oplosbaarheid bij het bereiken van eene overgangstemperatuur ; (261 ) 20, met de mogelijkheid om bet waterarmere hydraat onder gunstige omstandigheden ook beneden zijne overgangs- temperatuur in verzadigde oplossing te behouden; 30. met de regelmatige aansluiting, die in dat geval de beide deelen der oplosbaarheidsliijjn vertoonen, en 40, met het feit, dat in vele gevallen het waterarmere hydraat even goed met de temperatuur in oplosbaarheid toeneemt als het waterrijkere. De oplosbaarheidsbepalingen bij de hydraten van Ca Cls leveren voor dit alles nieuwe voorbeelden, en dwingen tot de erkentenis : 10 dat elk hydraat zijne eigen oplosbaarheid heeft, 20 dat de verandering in het vaste zout oorzaak is van de verandering in de oplosbaarheid — niet omgekeerd; waarom ook bij de overgangstemperatuur dezelfde verande- ring zich openbaart bij het hydraat buiten de oplossing. Deze feiten versterken eindelijk het inzicht, dat eene oplos- sing een zelfstandige evenwichtstoestand is, geheel verschil- lend van den evenwichtstoestand van het hydraat, hetwelk tot hare bereiding mag gediend hebben, en evenzeer van dien der andere hydraten, welke zich mogelijkerwijze uit die oplossing bij verschillende temperaturen zouden kunnen af- zetten. — De Heer J. A. U. Ouprmans deelt een en ander mede omtrent een gebrek, dat vele, aanvankelijk onberispelijke, niveaubuizen later vertoonen, dat namelijk bij langzaam toe- nemende helling de luchtbel onbewegelijk blijft, om dan in eens een heel eind vooruit te gaan. Eenige in Indië ge- bruikte niveaubuizen waren in 1886 wegens dat gebrek teruggezonden. Het is wel bekend dat uit den zwavelether, waarmede de niveaubuizen gevuld worden, mikroskopische lichaampjes zich tegen den glaswand afzetten, en dat deze den gang der luchtbel stremmen, maar over den scheikundigen aard dier lichaampjes en de reden van hun ontstaan was men het niet eens. Prof. H. Werers Berrink te Utrecht nam, op verzoek van Spreker, een onderzoek naar de oorzaak van dit gebrek ( 262 ) op zich, en vond toen reeds, in October 1886, door chemi- sche analyse, dat de buizen, die het gebrek het meest ver- toonden, ook het sterkst natrongehalte bezaten ; dat derhalve waarschijnlijk door sporen van azijnzuur of van water het glas werd aangetast; de mikroskopische lichaampjes bleken ook uit het losgekomen kiezelzuurhydraat te bestaan. Bij het verdampen van den ether op platina bleef eene rest terug, waarin langs mikrochemischen weg calcium en natrium konde. worden aangetoond, terwijl in de korreltjes kiezelzuur de hoofdmassa vormde met sporen van ijzer. Azijnzuur kon niet worden aangetoond. Eene analyse van hel glas der niet aangetaste niveaus toonde, dat het kalium daarin in verhouding tot het natrium voorkwam als 43,14 : 56,86. Eene analyse van het glas der niveaus, waarin zich de korreltjes hadden afgezet, deed eene verhouding vinden van 22,61 kalium op 77,39 natrium. Bij het aangetaste glas, was dus ongeveer de helft van het kalium, dat in het on- aangetaste glas werd gevonden, door natrium vervangen. Hij ried dus, in plaats van zwavelether, het gebruik van petroleumether aan, wijl deze vloeistof in alle geval niet verzuren kan. Het is echter gebleken, dat dit nog niet ge- heel voldoende was, en opnieuw werden de niveaus uit Indië teruggezonden. Het resultaat van zijn herhaald onder- zoek (Mei jl.) was nu, dat het aantasten van het glas be- paaldelijk door het water geschiedde *), en dat bij den petro- leumether de mogelijkheid bestaat, dat dit ontleend wordt aan de kleefstof, waarmede zoowel de dekplaatjes als het diaphragma aan de buis worden bevestigd. Om dus niveaus te vervaardigen, die het gevreesde gebrek niet vertoonen, was het advies van Prof. Werers Berrink: 10, het gebruik %) Dat inderdaad het water de oorzaak moet zijn van het aangetast worden, en de ether inderdaad waterhoudend is, blijkt wanneer men den inhoud van een der niveaus uitgiet in een buisje, dat poedervormig acidum tannieum bevat. De inhoud der niveaus maakte terstond het acidum tannieum kleverig, wat, zooals bekend is, met watervrijen ether het geval niet is, ( 263 ) van buizen, vervaardigd uit glas met een sterk kali- en een zwak natrongehalte, 20. liefst de vulling te doen met lich- ten pretroleumether, die minder kans heeft van water aan te trekken, dan zwavelether, en 3P. de niveaubuizen aan de beide einden toe te smelten, zooals trouwens reeds lang ook gebruikelijk is. j In dien zin had Spreker ook aan den Heer RerrcuneL te Berlijn geschreven, en daarna eerst kennis gekregen van een onderzoek van Dr. Myrrus (werkzaam aan de physikalisch- technische Reichsanstalt te Charlottenburg), dat geplaatst is in het Augustus-nummer van het Zeitschrift für Instru- mentenkunde, en dat tot dezelfde uitkomst geleid heeft als dat van Prof, Werers Berrink Spreker merkt op, dat laatst- genoemde dus geheel onafhankelijk tot hetzelfde, voor de praktische astronomie en geodesie belangrijke, resultaat ge- komen is. — Voor de Boekerij der Akademie worden aangeboden: door den Heer Bierens DE HAAN, uit naam van het wiskundig Genootschap: » Een onvermoeide arbeid komt alles te boven”: Nieuw Archief voor Wiskunde, XIV, 2 en XV, 1; en uit naam van den Heer J. C. van DEN Bere diens Dissertatie »Over de Wervelbeweging”; door den Heer Grinwis de Dissertatie van den Heer L. van ErrFrINKHoOF: >De viriaal en hare beteekenis in de Mechanica’'; door den Heer vAN BeMMELEN de Dissertatie van den Heer STORTENBEKER » Over de verbinding van het chloor en het jodium’; door den Heer ScrHors 9 stukken van »Waterbouwkunde’”’ door HeNker, ScHoLs en Terpers; door den Heer C. ÀA. J. A. OuDeMANs de door hem in vereeniging met den Heer BorrLaceE be- werkte: » Bibliographie der Flora van Nederland”. — Daar er verder niets te verhandelen is, wordt de ver- gadering gesloten. MISSIVE AAN ZIJNE EXCELLENTIE DEN MINISTER VAN WATERSTAAT, HANDEL EN NIJVERHEID, OVER DEN TEGENWOORDIGEN STAND VAN HET ONDER- ZOEK DER LIMNORIA-COMMISSIE. Amsterdam, Septemler 1888, In antwoord op Uwer Exes. missive van 1 September Ll, heeft de Afdeeling Natuurkunde der Koninklijke Akademie van Wetenschappen de eer, U omtrent den stand van het onder- zoek naar de verspreiding en de middelen ter bestrijding van de Limnoria lignorum het navolgende te berichten. Nadat in een tweetal voorloopige mededeelingen, door de te dezer zake benoemde Commissie aan onze Afdeeling ge- daan en ook aan Uwe Exellentie toegezonden, vastgesteld was dat de Limnoria niet geacht kan worden een vernielende Vijand te zijn, die voor het eerst met een aanval op onze inheemsche waterstaatswerken dreigt en als zoodanig door snelle maatregelen van tegenweer nog zou kunnen worden afgeweerd, maar dat zij integendeel moet beschouwd worden als een op vele punten der Nederlandsche kust (een deel der Zuiderzee uitgesloten) voorkomend Schaaldier, hetwelk daar al vroeger een vernielenden invloed op houtwerk, dat in zeewater geplaatst is, heeft uitgeoefend, meende die Com- missie, dat hare wijze van werken in overeenstemming be- hoorde gebracht te worden met deze uitkomst. Nu het niet de vraag bleek te zijn een dreigend gevaar nn nde ended (265 ) af te weren, maar veeleer om voor een reeds lang bestaande kwaal verzachting te zoeken, achtte de Commissie het aller- eerst hare taak te zijn, meer betrouwbare gegevens te erlan- gen omtrent de leefwijze en de voortplanting van de Lim- norìa, dan tot heden in de literatuur over dit onderwerp (die ook vele buitenlandsche verhandelingen omvat), te vin- den zijn. Zoo moest er worden vastgesteld in welk jaarge- tijde de Limnoria geacht kan worden haar meest krachtigen aanval op het houtwerk te doen; zoo ook of er verband bestaat tusschen dien heftigen aanval en de voortplanting der soort, hetzij doordien de jonggeborenen aan het maken van nieuwe loopgraven deelnemen, hetzij doordien vóór hunne geboorte reeds door de ouders voor meer ruimte in de gemeenschappelijke woning wordt zorg gedragen. Ook de vraag: hoe de volgende generaties zich door het water ver- spreiden en nabijgelegen houtwerk aantasten, moest langs proefondervindelijken weg worden uitgemaakt. Daarbij mocht niet verzuimd worden, waarnemingen te doen omtrent den invloed, dien het zoutgehalte, in verband met de temperatuur van het zeewater, op de bovengenoemde verschijnsels zou kunnen uitoefenen: een invloed, die, op grond van voorloopig verkregen resultaten, reeds als positief bestaande mocht worden aangemerkt. Eindelijk heeft de Commissie zich voorgesteld, proeven te nemen — die ook reeds aangevangen zijn — over voorbe- hoedmiddelen, die, op het houtwerk toegepast, de nadeelige werking der Limnoria beletten of althans verlangzamen. Het behoeft niet nader uiteengezet te worden, dat voor een en ander een behoorlijk tijdsverloop dient gesteld te worden, vóór en aleer men het terrein der waarneming ver- laten en dat der gevolgtrekking betreden mag. In het geheel zijn sedert het begin van de werkzaamheid onzer Commissie op twaalf verschillende punten van de kust een honderdtal proeflatten geplaatst, en van deze laatsten een 80 tal weder gelicht, en nauwkeurig onderzocht. Ge- regelde waarnemingen omtrent zoutgehalte enz. worden sedert het begin van het onderzoek en wel veelal driemaal daags op acht verschillende punten verricht, (266) Liever dan thans in eene uiteenzetting van het tot nu toe gevondene te treden, wenscht de Commissie, en met haar ook de Afdeeling, door Uwe Excellentie te dezer zake dili- gent verklaard te worden. En liever dan telkens kleine mededeelingen van opeen- volgende stappen in den gang van het onderzoek aan de Regeering te doen, zou de Afdeeling het eindrapport van de Commissie, te dezer zake benoemd, willen afwachten, waarin de geheele aangelegenheid op de meer uitgebreide schaal, die hierboven geschetst werd, behandeld zal worden, zij het dan ook dat zoodanig eindrapport uit den aard der zaak eerst na verloop van eenige jaren mag worden te gemoet gezien. De geldmiddelen, door de Regeering voor het Limnoria- onderzoek toegestaan, zijn niet uitgeput en worden door de Commissie tot het nemen van de meermalen genoemde proe- ven met overleg aangewend. De Afdeeling Natuurkunde van de Koninklijke Akad. v. Wetenschappen. de Secretaris C. A. J. A. OUDEMANS. mm nt dn DE CONSTRUCTIE-FIGUUR VOOR DE OPLOSSING VAN EEN STELSEL LINEAIRE VERGELIJKINGEN, BESCHOUWD ALS CONFIGURATIE, DOOR EF. J. VAN DEN BERG. De in de Verslagen en Mededeelingen der Akademie, Af- deeling Natuurkunde, 83° Reeks, Deel V, Stuk 1, 1888, blz. 105—120, opgenomen bijdrage van Dr. J. pe Vries, » Over vlakke configuraties’, geeft mij aanleiding tot eene opmerking met betrekking tot de oplossingswijze die op blz. 207 —249 van mijn in de genoemde Verslagen, enz., Deel IV, Stuk 2, 1887, blz. 196—252, geplaatst opstel » Over de graphische oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen” het laatst en uitvoerigst werd behandeld, De figuur namelijk, die al- daar werd gebezigd om wat ik noemde het wortelpunt van het willekeurig gegeven stelsel vergelijkingen te bepalen door middel van de wortelpunten van zekere daaruit afgeleide stelsels, vertoont de bijzonderheid —- waarop bij de gevolgde wijze van behandeling niet zoo kennelijk het licht viel — dat zij niet anders dan eene zoogenaamde configuratie is. Bj de uiteenzetting van deze bijzonderheid, waartoe ik thans wensch over te gaan, zal ik mj als vroeger hoofdzakelijk houden aan beschouwingen in het platte vlak, niet in de ruimte, en ook op het voetspoor van vroeger duidelijkheids- halve beginnen met de afzonderlijke behandeling van de twee eenvoudigste gevallen, waarin namelijk het aantal 7 der vergelijkingen en der onbekenden hetzij 2 of 3 bedraagt, nnmntmttmmnsd ( 268 ) In het geval van n= 2 (zie blz, 207 — 209 en Fig. 2) valt dadelijk in het oog dat de in het geheel beschouwde 6 wor- telpunten, te weten het eenige wortelpunt der Ode orde of oorsprong O, de 4 wortelpunten der 1° orde «;, «3, (91 ‚ (3, en het eenige wortelpunt der 2e orde of hoofdwortelpunt X, de hoekpunten zijn van eene volledige vierzijde gevormd door de 4 in de figuur aanwezige lijnen OX), OXs, aj «5, (1 72 en dat deze hoekpunten en zijden dus eene configuratie (65, 43) vormen die — na het geval (33, 3) eener drie- zijde — tevens het meest eenvoudige geval is van dein het algemeen uit de „ zijden en 5) hoekpunten eener volledige n-zijde bestaande configuratie (5) : vet) Ofschoon het 2 alzoo voor dit geval van » == 2 op zich zelf minder noodig is hierbij langer stil te staan of deze configuratie door eene andere notatie voor te-stellen, zullen wij toch, voornamelijk als voorbereiding tot eene overeenkomstige notatie die voor hoogere n doelmatig zal blijken, reeds hier de volgende teekens invoeren. De twee oorspronkelijke assen OX; en OA noemen wij l en 2, de twee lijnen «j «3 en (2) (73, in plaats van 9 en 4, liever — om later zekere regelmaat of sym- metrie duidelijker in het oog te doen vallen — 1’ en 2’; terwijl wij in het algemeen het snijpunt van twee lijnen aanduiden door de nummers dezer lijnen naast elkander te stellen, zoodat hier de punten 0 —= 12, «, == 11’, 3 = 21, fPr=12, Py=22', X=1'2' zijn. En tevens stellen wij de volgende tabel of overzigt van de ter sprake komende lijnen en punten op: TT | Ode orde Tans 12 OEREN SER DE Se reibes Ue Le nn De 12122! ’ 2e orde 12 waarin de zamenstelling van de onderling gelijkvormige (269 ) bovenrand en linkerrand duidelijk is, terwijl de vier elemen- ten van het middenvak zijn ingevuld door, als in eene tafel van vermenigvuldiging, voor ieder daarvan te nemen de in dezelfde kolom en in dezelfde rij geplaatste elementen der beide genoemde randen. De tabel bevat alzoo 1? + 2? + 1? == 4 ie 5 elementen ieder van twee cijfers, voorstellende het enkele wortelpunt der Ode orde (of met nul accenten) 12, de 4 wortelpunten der 1e orde (met 1 accent) 11’, 21’, 12’, 22', en het enkele wortelpunt der 2° orde (met 2 4 accenten) 1'2'; en voorts 1.2 42.1 =4= / elemen- ten ieder van één cijfer, voorstellende de 2 lijnen met nul accenten (wij zullen daarom zeggen: van de Ole orde) 1 en 2, en de 2 lijnen met 1 accent (van de 1e orde) 1’ en 2. Voor ieder der 6 punten komen de 2 daardoor gaande lij- nen, en voor ieder der 4 lijnen komen de 3 daarop liggende punten vóór deels in rij en deels in kolom van het punt of van de lijn zelf. Anders gezegd, in verband met de wijze - van notatie: ieder punt is het product van de 2 daardoor gaande lijnen, iedere lijn is een factor van de 3 daarop liggende punten. Of, meer in bijzonderheden nog voor de vijf afzonderlijke vakken der tabel, in aansluiting aan de wordingswijze van Fig. 2: — wij herhalen: te uitvoerig misschien voor dit eenvoudige geval op zich zelf, maar ge- wettigd misschien als wegwijzer voor de allengs ingewik- kelder gevallen — 10, Door het punt der Ode orde 12 gaan de 2 lijnen der Ode orde 1 en 2. 20, Op iedere lijn der Ode orde ligt het punt der Ode en 2 punten der 1° orde. 30, Door ieder punt der 1e orde gaat 1 lijn der Ode en 1 lijn der 1® orde, 40, Op iedere lijn der 1® orde liggen 2 punten der 1° en het punt der 2° orde. 50, Door het punt der 2e orde 1'2' gaan de 2 lijnen der le orde 1' en 2, VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V. 18 (270) Overgaande tot het geval van n =3 (zie blz. 209 —215 en Fig. 3), stellen wij, overeenkomstig met hetgeen zoo even geschiedde, den oorsprong Ó of het snijpunt der alsnu aangenomen drie assen OX;,, OXz, OX3 door 123 voor, daarentegen deze assen zelve niet door de afzonderlijke cij- fers 1, 2, 3, maar — wederom met het oog op hetgeen later voor hoogere n dienstig zal blijken, en in overeen- stemming met hetgeen wij thans voor de overige te bespre- ken lijnen zullen doen — door hunne drie verbindingen twee aan twee, en wel liefst in opklimmende volgorde, das door 12, 13, 23. De hoekpunten («j, «9, c3), (1, 22, (73): (ya, Yar 73) der drie in de figuur voorkomende driehoeken a, 2, y‚ die wij thans evenals den oorsprong en de ver- dere benoodigde punten door drie cijfers aanduiden, noemen wij, door bij de assen waarin zij liggen het cijfer 1' of 2' of 3' (wederom liever dan 4 of 5 of 6) bij te schrijven, (121', 181’, 231’), (122, 132, 232), (123', 133’, 233'), zoo- dat men in zekeren zin deze enkele cyfers 1', 2’, 3’ als de vertegenwoordigers der drie genoemde driehoeken zou kun- nen beschouwen, ofschoon wij later liever op eene andere meetkundige beteekenis, die deze cijfers met de drie afzon- derlijke 1, 2, 3 zelve gemeen hebben, zullen terugkomen. Vasthoudende verder aan den bij deze aangenomen notatiën reeds geldenden dubbelen regel, dat de door twee of meer punten gaande lijn de aan dezen gemeene cijfers draagt en dat wederkeerig het snijpunt van twee of meer lijnen de cijfers van dezen omvat, hebben wij de zijden waarop het eerste en het tweede, het eerste en het derde, het tweede en het derde hoekpunt van den driehoek (121’, 131’, 281) liggen, te noemen (11, 21, 31’), en evenzoo voor den drie- hoek (122', 132', 232') de zijden (12, 22, 32) en voor den driehoek (123', 133', 233') de zijden (13', 23', 53'); dus wederom de snijpunten der overeenkomstige zijden van den eersten en den tweeden dezer driehoeken (11'2', 21/2’, 31'2'), en daarom de deze drie snijpunten bevattende homo- loge as der twee zelfde driehoeken 1'2', terwijl de punten (11'3', 21'5', 31/3’) en (123, 223, 323) ende homologe assen 1/3' en 2'3' voor den eersten en den derden en voor pa (271 ) den tweeden en den derden der genoemde driehoeken de overeenkomstige beteekenis hebben. En ten slotte dient al- zoo, wil men stelselmatig te werk gaan, het hoofdwortel- punt X, waarop deze drie homologe assen uitloopen, door de notatie 1'2'8' aangeduid te worden. Dit alles vatten wij in beknopten vorm weder zamen in de hier volgende, met de voorgaande overeenstemmende, tabel : Ode orde 1 Do (ed) 12 13 23 [123 jk EE SE St EESN dal 251 1* orde 2 12’ 22’ 32' |[122' 132’ 232 3' 13' 23’ 33’ |123'’ 133' 233' 12 1112’ 212’ 31/2 2e orde 13’ [11'3' 21'3' 313’ 23 1123! 223' 323 ge orde || 1/23’ waarin ook nu uit de onderling gelijkvormige bovenrand en linkerrand de verdere vakken als in eene vermenigvul- digingstabel zijn ingevuld, en waarin men de gezamenlijke 6: 12 324 32 4 1? == 20 = # wortelpunten of eleraenten van drie cÚÓjfers, en de gezamenlijke 1.3 + 33 + 3.1 = 6 ET — 5) lijnen of elementen van twee cijfers aantreft; wordende voor ieder element, hetzij punt of lijn, wat wij genoemd hebben de orde door het aantal accenten aange- geven. Voor ieder der 20 punten zijn de 8 daardoor gaande lijnen, voor ieder der 15 lijnen de 4 daarop liggende pun- ten weder in de eigen rij en kolom te vinden: de geheele figuur is mitsdien niet anders dan eene configuratie (20, 154). Of wederom: ieder punt is een veelvoud van zijne lijnen, iedere lijn is een factor van hare punten. Of nogmaals, de 18* (272) zamenstelling der meetkundige figuur of van de rekenkun- dige tabel, die slechts twee verschillende beelden van ééne en dezelfde zaak zijn, stap voor stap volgende: 10. Door het punt der Ole orde 123 gaan de 3 lijnen der Ode orde 12, 13 en 23. 20. Op iedere lijn der Ode orde ligt het punt der Ode en 9 punten der Le orde. 30, Door ieder punt der 1® orde gaat 1 lijn der Ode en 2 lijnen der 1° orde. 40, Op iedere lijn der l® orde liggen 2 punten der 1° en 2 punten der 2° orde. 50, Door ieder punt der 2° orde gaan 2 lijnen der 1® en 1 lijn der 2° orde. 60, Op iedere lijn der 2e orde liggen 3 punten der 2° en het punt der 83° orde. 70, Door het punt der 83° orde 1'2'3' gaan de 3 lijnen dér 2e orde. 13,43 Temas Al het voorgaande geeft, onder rekenkundigen vorm, niet anders terug dan wat voor de beide gevallen n —= 2 en n == 8 in mijn vroeger opstel meetkundig werd uiteenge- zet. Thans, voor n == 4, zullen wij in zooverre eene andere volgorde in acht nemen dat wij dadelijk eene tabel, gecon- strueerd als het ware naar het voorbeeld van de beide vorigen, op den voorgrond stellen en daarvoor dan berede- neren eensdeels dat zij eene configuratie kan vertegenwoor- digen en ten andere dat deze met het zamenstel van alle op „n == 4 betrekkelijke wortelpunten — dus niet alleen de 1 +4 + 9 + 16 = 30, waarmede men strikt genomen voor de constructie van het hoofdwortelpunt zelf (zie on- der anderen blz. 240—247) kan volstaan, maar ook de 10 — (30 + 1) = 89 overigen — zamenvalt. De bedoelde tabel volgt hier: de nn a " (VEE opio ay VIEIGY MVIEGE (VEEG MEG iviEiG VENT MENE METS ETV ivi6i MEV MENE MENG (MGV Vic} IGIGTV7 (EGTE (ETE (EGT 161 (273) iVET6 METG MMEEG MEYV MMEEV EGT EY MEE MEG EV iVI6 iVIGYE (VIGYG (GEG (NEY V MGEV Vec) MET MEE Me6 io} vie IEIGYE IEIEYG IEIGEG IEIGTT EIGEN EEEN EGY VEGE IEEE 1EGV 1616 VE MVG (EG VV (AVEN 7, VGT MY (NE 6 dV val EVYE (EV7G (EEG (ETV ETEN (ETGT EN (ETE JEG EV EV IGVYE (EVE IGTEG (GMT IG TEV (VGT GV (GV6 GIG (GD ‚Gl TEGE (YYEN ivYGV VEE) 778 YGC EG MY EV vo) y iIEVEG IETEV EYGV EET ETE EYE EEG ETV EEV EG) 6 IGYEG (CVE iGYGV IGEGN IGYE IGYG EEG IGYV GEV Go} IG iVYEG AVEN YEN ,VEGT 17E MG VEG AD EV JGV ‚} oPio op) (274) De bovenrand bevat de verbindingen één aan één, twee aan twee, drie aan drie en vier aan vier van de cyfers 1, 2, 3, 4, allen weder in opklimmende volgorde; de lin- kerrand onderscheidt zich daarvan ook nu slechts door by- voeging van een accent bij ieder cijfer; uit beide randen zijn voorts wederom de verdere vakken bij wijze van ver- menigvuldiging ingevuld. Terwijl wij later terugkomen op de meetkundige beteekenis die men aan de elementen van twee en aan die van één cijfer kan hechten, staan wij thans meer in het bijzonder stil bij de 1? + 42 + 62 +4? 41? == 8 0 | elementen van vier cijfers en bij de 1.4 + 8 +46 A64 F4 =56= 5) elementen van drie cijfers die de tabel in het geheel bevat. Laat vooreerst, in de Ode orde, 1234 weder de naam zijn dien wij aan den oor- sprong 0, en 123, 124, 184, 234 de namen die wij aan de vier daardoor gelegde assen OXj, O Xs, O X3, O X4 geven; laten verder de op deze assen liggende hoekpunten van de vier vierhoeken — of, liever nog (evenals eene overeenkomstige benaming ook in mijn vroeger opstel door- gaande met meer juistheid had kunnen worden gebezigd) van de vier volledige vierhoeken — die de vier gegeven vergelijkingen meetkundig voorstellen, worden aangeduid door bij deze assen het cijfer 1' of 2' of 3' of 4! bj te schrijven, zoodat deze 16 hoekpunten of wortelpunten der le orde de in het vak van vier cijfers dier orde ingevulde elementen zin; de gegevens van ons vraagstuk zijn dan hiermede aangewezen. Men late nu, om de stelling van blz. 218 te kunnen toepassen, bijv. de vierde gegeven ver- gelijking of den volledigen vierhoek, waarbij het cijfer 4 behoort, buiten beschouwing en neme in de drie overige vergelijkingen in de eerste plaats de bij de eerste as, 123, behoorende onbekende gelijk nul: de vier vergelijkingen met vier onbekenden zijn dan tot drie vergelijkingen met drie onbekenden afgeknot of, meetkundig, de vier vierhoeken op de vier assen tot drie driehoeken op drie dezer assen. De op de configuratie dezer drie driehoeken betrekkelijke ene a” se (275) tabel is om zoo te zeggen als onderdeel van de zoo even opgestelde tabel reeds aanwezig; want houdt men daarin voor een oogenblik alleen al die elementen aan, die het cijfer 4 wél, maar 4’ niet bevatten, dan verdwijnt de ge- heele linkerrand en herleidt overigens de tabel zich tot eene die zich van de volledige boven voor n == 8 nedergeschre- vene alleen onderscheidt door bij ieder element van deze het cijfer 4 bij te schrijven en die daarom inderdaad als voorstelling van de evenbedoelde configuratie mag gelden, En daar bovendien deze bijvoeging overal van het cijfer 4 blijkbaar geene verandering hoegenaamd kan teweegbrengen in den voor tabel n= 8 geldigen dubbelen regel — name- lijk: ieder punt behoort tot alle lijnen die factoren zijn van het punt; iedere lijn bevat alle punten die veelvouden zijn van de lijn — zoo behoudt deze regel ook zijne geldigheid voor de omschreven gedeeltelijke tabel (laat ons zeggen (4,—4’)) van n=—=4, terwijl de elementen van vier cijfers van deze gedeeltelijke tabel juist die wortelpunten der Ode, der 1e, der 2e en der 83° orde van de vier gegeven vergelijkingen beteekenen, die tevens als zoodanig behooren tot de drie beschouwde daaruit afgeleide vergelijkingen. Dit zoo zijnde, is het op grond van de onderlinge onaf hankelijkheid van alle acht cijfers 1, 2, 3, 4, 1’, 2, 8’, 4 duidelijk, vooreerst dat, als men, altijd nog de vierde vergelijking of vierhoek of cijfer 4’ wegdenkende, de tweede as 124, of de derde 184, of de vierde 234, achtervolgens uitligt in denzelfden zin als zoo even de eerste as 128, drie nieuwe gedeeltelijke tabel- len (3, — 4), (2, —4) en (l,— 4) uit die van n= 4 komen, in het wezen der zaak ieder weder geheel identisch met die van „== 8, en waaromtrent zich dus het dergelijke als zoo even laat zeggen, zoodat nu met name 41'2'3' en 31'2'3' en 21/23’ en 11/23’ de wortelpunten der 3° orde zijn van de achtervolgens beschouwde vier stelsels van drie vergelijkingen; ten andere dat, als men, hetgeen op het cijfer 4’ betrekking heeft hiermede uitgeput zijnde, alsnu beurtelings de cijfers 3' en 2’ en 1’ diezelfde rol doet ver- vullen, telkens weder het dergelijke geldt, zoodat de 16 elementen van het tot de 83° orde behoorende vak van vier (276) cijfers der tabel blijken de gezamenlijke 16 wortelpunten dier orde van de vier gegeven vergelijkingen voor te stel- len. Maar volgens de reeds aangehaalde stelling van blz. 218 liggen nu vooreerst de vier eerstgenoemde van deze wor- telpunten, dat is 41'2'3', 83128’, 2123’, 1123’, in eene regte lijn, die men dus regelmatigheidshalve de lijn 1'23 der 3° orde dient te noemen, terwijl 1'2'4', 1'3'4' en 2'3'4! voor de drie volgende viertallen van wortelpunten eene soortgelijke beteekenis verkrijgen; en gaan ten andere deze vier lijnen allen door het hoofdwortelpunt dat alzoo, wat aantal cijfers, wat orde of aantal accenten en wat zamen- hang met die lijnen aangaat, teregt door de notatie 1'2'3'4' als laatste element der tabel wordt aangeduid. De voor n= 4 uitgeschreven tabel in haar geheel blijkt derhalve juist diegene te zijn die, om verband te houden met meer- genoemde stelling, uit de tabel voor n= 3 als het ware behoort te worden opgebouwd; en ook voor die tabel n == 4 in haar geheel blijft de dubbele regel omtrent punten en lijnen, beschouwd als veelvouden en factoren, geldig, waar- door tegelijkertijd naar wij meenen het bewijs geleverd is, dat het door háár voorgestelde netwerk der bij == 4 be- hoorende wortelpunten niet anders dan eene configuratie (704, 565) is. Ten overvloede, en in navolging van hetgeen wij zoowel voor n= 2 als voor n — 3 gedaan hebben, schrijven wij ook hier de negen onderdeelen, waaruit thans de bewer- king in haar geheel in figuur of tabel bestaat, voluit neder : 10, Door het punt der Ode orde 1234 gaan de 4 lijnen der Ode orde 123, 124, 134 en 284. 20, Op iedere lijn der Ode orde ligt het punt der Ode en 4 punten der 1® orde. 30, Door ieder punt der 1° orde gaat 1 lijn der Ode en 9 lijnen der 1° orde. 40, Op iedere lijn der 1° orde liggen 2 punten der 1e en 3 punten der 2e orde. 50, Door ieder punt der 2e orde gaan 2 lijnen der 1e en 2 lijnen der 2° orde. 60. Op iedere lijn der 2e orde liggen 3 punten der 2e en 2 punten der 83° orde. (297) 70, Door ieder punt der 38° orde gaan 3 lijnen der 2e en 1 lijn der 3° orde. 80, Op iedere lijn der 3° orde liggen 4 punten der 3e en het punt der 4° orde. 90, Door het punt der 4° orde 1'2'3'4' gaan de 4 lijnen der 3e orde 1/23’, 1'2'4!, 1'3'4' en 234. Na het uiteengezette zal het wel minder noodig zijn even uitvoerig voor hoogere waarden van „ voort te gaan. Voor n => bijv. schrijven wij de tabel, overeenkomende met de voor n= 2, 3 en 4 besprokene, dan ook niet neder, maar bepalen ons tot de aanwijzing dat haar bovenrand bestaat uit alle in geregelde volgorde genomen verbindingen van de vijf eerste cijfers, namelijk: | 1, 2, 3, 4, 5 | 12, 13, 14, Me 24 25,34, 35, 45 | 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 | 1234, 1235, 1245, 1345, 2345 | 12345 | ; dat de linkerrand geheel dezelfde is behoudens toevoeging van een accent bij ieder cijfer; dat uit deze twee randen de tabel zelve wordt ingevuld als ware zij eene ver- menigvuldigingstabel. En dan laat zich weder, opklimmende van n= 4 tot n — 5, geheel op dezelfde wijze als zoo even aantoonen, dat deze tabel het rekenkundige beeld is van het zamenstel der doorde 12 + 5? + 10° + 102 +52 41? =—= 10 EA a elementen van vijf cijfers voorgestelde wor- telpunten van de Ode tot de 5e orde van vijf vergelijkingen met vijf onbekenden, welke wortelpunten 6 aan 6 blijken te liggen op de doorde 1.5 + 5.10 + 10,10 + 10.5 + 5.1 = 210 Ke n=! lijnen van de Ode tot de 4e orde, die telkens 5 aan 5 door een zelfde wortelpunt gaan; zoodat deze wortelpunten en ljuen werkelijk weder eene configuratie (252;, 210,) vormen. | elementen van vier cijfers voorgestelde regte Zoo voortgaande, ziet men in het algemeen voor eene willekeurige waarde van n eene tabel ontstaan, bevattende evenveel elementen van „ cijfers als het geheele aantal wor- ( 278 ) telpunten der verschillende orden bedraagt, namelijk — in verband met wat ik reeds op blz. 225 —226 van mijn vroe- ger opstel uit de onderlinge gelijkstelling der van # onaf- hankelijke termen in het ontwikkelde eerste en laatste lid der identiteit 5) D e+ B 2? + enz. + 1e [lo ++ e+ enz. +) = (ler : se besloot — het aantal n\? In\? has jee bej À + (5) Eg + eme tij =l en bevattende voorts, in verband met wat diezelfde identi- 5 l teit door gelijkstelling der coëfficiënten van — of ook van % x leert, een aantal van ol) + la) (a) + La) + om + Heal el heten elementen van ” — 1 cijfers; terwijl hier tevens moge wor- den gezegd (al heeft dit voor ons tegenwoordig doel minder 1 belang) dat, wederom met het oog op de termen in — of L ) . 1 3 . 1 . . . 2E of: we enz. an ER of z*—! der identiteit, de tabel x gn overigens nog bevat: (279) elementen van » — 2 cijfers, Aarden. elementen van n — 3 zeef enz., tot o) 2) + La) = band elementen van Ì cijfer. Ook nu weder kunnen de genoemde elementen van n cijfers de wortelpunten zelve beteekenen, en de elementen van » — Ì cijfers regte lijnen waarover zij regelmatig verspreid zijn, daar ook thans de boven herhaal- delijk genoemde dubbeie regel omtrent punten en lijnen, besehouwd als veelvouden en factoren, toepasselijk blijkt: meer bepaaldelijk gaan namelijk in deze algemeene tabel door ieder punt der p° orde p lijnen der (p — 1) enn —p lijnen der p° orde, en liggen wederkeerig op iedere lijn der p° orde p + 1 punten der p? en n —p punten der (p + 1e orde. De tabel stelt alzoo weder eene door de gezamenlijke wortelpunten en door hunne lijnen gevormde (ee 5 É de 1 ka voor, en hiermede is dan ook de onderlinge gelijkheid der beide, ieder aan configuratie (2)! (n — 1)! pn! gelijke, producten n \ "\ en (n + D( al naar behooren in overeenstemming. (280 ) Twee uit de wijze van zamenstelling der tabel volgende bijzonderheden willen wij nog doen opmerken. In de eerste plaats — en juist om dit sprekender te doen uitkomen, hielden wij overal de » oorspronkelijke cijfers met bijvoe- ging van een accent aan, liever dan evenveel hoogere cijfers in te voeren — dat elke twee elementen, symmetrisch lig- gende wederzijds de van den linker-boven- naar den regter- benedenhoek der tabel te trekken diagonaal, en dus uit elkander volgende door verwisseling hunner beide regthoe- kige coördinaten ten opzigte van bovenrand en linkerra: d, zich alleen door onderlinge verwisseling van elk cijter met en zonder accent onderscheiden; alle door deze diagonaal doorsneden elementen zijn dus tevens al diegene die bij zulk eene verwisseling onveranderd blijven, bijv. voor n —= 4 de 10 elementen 11', 22’, 33', 44’, 121'2’, 1313’, 141'4', 2323; 242'4', 343'4'. In de tweede plaats, dat elke twee symme- trisch wederzijds het middelpunt van het regthoekige raam der tabel liggende elementen van x cijfers, al welke elemen- ten de gezamenlijke wortelpunten voorstellen, elkander aan- vullen tot de gezamenlijke gebezigde 2n cijfers met en zon- der accenten. Dit laatste is bepaaldelijk een gevolg van de bij het opstellen van den bovenrand en dus ook van den linkerrand der tabel steeds in acht genomen opklimmende volgorde in ieder der groepen van verbindingen der n cijfers, waardoor al die verbindingen voorkomen in dezelfde orde die zj, ieder voor zich beschouwd als een enkel uit dezelfde cijfers bestaand getal, zouden innemen; want op grond van deze geregelde volgorde vullen bijv. in den bovenrand — het allereerste of ledige vak daarvan zich voor een oogen- blik door eene nul ingevuld denkende — elke twee even ver wederzijds het midden van dien geheelen rand zelf ge- plaatste verbindingen elkander tot de gezamenlijke n cijfers aan; (zoo zijn bijv. in den reeds voor „== 5 neêrgeschreven bovenrand OQ en 12845, 1 en 2345, 2 en 1845, enz. 12 en 345, 13 en 245, enz. twee aan twee complementair ten aanzien van 12345). Immers, indien men in het algemeen de groep der ei verbindingen p aan p indeelt in onder- (281 ) groepen waarin telkens een zelfde linkercijfer voorkomt, dan rangschikken deze ondergroepen zich als volgt: die waarin 1 voorkomt; die zonder 1, maar met 2; die zonder 1 en 2, maar met 9; enz.; en dan komen hare complementaire 8 eh ondergroepen, die te zamen de even zoovele \ ver- ef bindingen „— p aan n — p bevatten, namelijk die zonder 1, die met 1, maar zonder 2, die met 1 en 2, maar zonder 3, enz., blijkbaar in den beschouwden bovenrand in omge- keerde volgorde voor. En daar het dergelijke blijft gelden wanneer men ieder der gezegde ondergroepen nogmaals, en wel ditmaal naar gelang van het tweede cijfer links, indeelt in nieuwe ondergroepen en deze weder ieder met hare com- plementaire in verband beschouwt; en wederom bij onder- verdeeling naar den maatstaf van het derde cijfer, enz., totdat de beschouwde groep in haar geheel in hare enkele verbindingen is ontleed, is hiermede naar wij meenen de doorgaande symmetrische plaatsing van elk paar complemen- taire verbindingen in den bovenrand uitgewezen. Zij geldt dan evenzeer in den geheel gelijkvormigen linkerrand, en mitsdien, krachtens de zamenstelling der tabel uit beide randen, ook in de tabel zelve ten opzigte van haar mid- delpunt, gelijk beweerd werd. Deze symmetrische plaatsing van elk paar complementaire elementen van » cijfers der tabel wist er, in verband met den aard der configuratie zelve, nog op heen, dat in dit opzigt het paar der laatste elementen van beide randen, namelijk 123...nen 1'2'3'...n', niets wezenlijks vóór heeft boven ieder ander complementair paar; en in meetkundigen zin blijkt dus ook de in mijn vroeger opstel aangewezen wederkeerigheid tusschen de beide door de genoemde laatste elementen voorgestelde wortel- punten, namelijk de oorsprong Ó en het hoofdwortelpunt X, evenzeer te gelden voor ieder ander paar complementaire of toegevoegde wortelpunten der volledige figuur. In ver- band hiermede zij tevens nog opgemerkt, dat de beschouwde configuratie eene zoogenaamde regelmatige is. (282 ) Door den Heer pr Vries wordt in $ 9, blz. 114, zijner in den aanhef dezes aangehaalde bijdrage ook melding ge- 6 maakt van de configuratie (203, 154), gevormd door del ‚|=E \ 6\ radicale lijnen en de hid =— 20 radicale punten van zes / willekeurige in één vlak liggende cirkels. De hoven in het geval van n= 3 beschouwde configuratie (203, 154), die bleek te ontstaan uit drie driehoeken met gemeenschappelijk homoloog middelpunt, kan steeds, en zelfs op een aantal wijzen dat als een oneindig aantal van de vierde orde voor- komt, als zulk eene uit zes cirkels voortvloeiende configu- ratie worden opgevat. Men denke zich namelijk vooreerst twee overigens willekeurige cirkels, hebbende eene der 15 lijnen van onze gegeven configuratie, bijv. de lijn 12, tot radicale lijn — en juist deze ééne voorwaarde, die toelaat dat twee willekeurige, bestaanbare of toegevoegd onbestaan- bare, punten dezer lijn als snijpunten der beide cirkels ge- dacht worden en dat twee willekeurige punten van de in het midden opgerigte loodlijn als hunne middelpunten wor- den aangenomen, wijst op de evenbedoelde viervoudige on- eindigheid van dergelijke cirkelparen heen — dan kan, omdat de liijn 12 bijv. de beide lijnen 13 en 23 in een zelfde punt, namelijk 123, snijdt, het snijpunt der loodlijnen, uit het middelpunt van den eersten cirkel op 18 en uit dat van den tweeden op 23 nedergelaten, als middelpunt van een derden cirkel dienen wiens straal zóó te bepalen is dat 13 en 28 gelijktijdig de radicale lijnen van dezen nieuwen cirkel met de beide eersten en dus 123 het ge- meenschappelijk radicaal punt van alle drie wordt. Geheel op dezelfde wijze geeft ieder der drie andere op de lijn 12 gelegen punten 121’, 122’ en 1238' der configuratie, door middel telkens van de twee andere aldaar zamenkomende lijnen der configuratie, aanleiding tot een nieuwen cirkel die op overeenkomstige wijze met de twee eerste cirkels in ver- band staat. En dat dan de volledige gegeven configuratie werkelijk die van alle radicale punten en lijnen van de zes aanwezige cirkels onderling is, blijkt doordien de radi- ( 283 cale lijn bijv. van de beide uit 123 en uit 121' voortge- komen cirkels moet gaan door de radicale punten van de twee drietallen die dit cirkelpaar opvolgend met den eersten en met den tweeden aangenomen cirkel vormt, dat is door het snijpunt der radicale lijnen 13 en 11’ en door dat van 23 en 21’, dat is door de beide als 131' en 281’ gegeven punten, zoodat deze radicale lijn noodwendig de gegeven lijn 31’ moet zjn; terwijl dezelfde redenering natuurlijk op iedere andere verbinding van twee of ook van drie der zes cirkels toepasselijk is. Deze zes cirkels zelve, waarvan de radicale lijnen en punten door de verbindingen twee aan twee en drie aan drie van de zes cyfers 1, 2, 3, 1’, 2’, 3' worden voorgesteld, kunnen dus eigenaardig door deze cijfers op zich zelve worden aangeduid; en hierdoor is tegelijkertijd de vroe- ger toegezegde meetkundige beteekenis dezer 1.3 + 3.1 = a 1 6 iN Lj) in de tabel voor n == 3 voorkomende elemen- ten van één cijfer toegelicht. Hierbij ten slotte nog de vol- gende opmerkingen: 10. Ieder der 10 paren van wat wij boven noemden complementaire of toegevoegde of weder- keerige wortelpunten van de gegeven configuratie is een der 10 paren radicale punten van twee drietallen telkens waarin men de zes cirkels kan indeelen. 20. De volledige zeshoek der middelpunten van de zes cirkels is eene configuratie (65, 159), waarvan de 15 zijden loodregt staan op de 15 radicale lijnen en tevens 20 driehoeken vormen in dier voege dat de drie radicale lijnen door ieder radicaal punt loodregt staan op de zijden van den overeenkomstigen uit deze 20 driehoeken. 30. Bij behoud der zes middelpunten kunnen voor dezelfde radicale lijnen de vierkanten der zes stralen allen met een zelfde willekeurig bedrag vermeerderd of verminderd worden; dit is dus een voorbeeld van de aan- gevoerde meervoudige oneindigheid der cirkelstelsels. Indien men, zooals oorspronkelijk in mijn vroeger opstel geschiedde, in het geval van „== 4 aanneemt dat de ge- bezigde constructie-figuur of de configuratie (704, 56;), in plaats van in één vlak te liggen, eene ruimtefiguur is, kan men die geheel in denzelfden geest als zoo even ook op» ( 284 ) vatten als ontstaan uit acht willekeurige bollen. Terwijl _dan deze bollen zelve worden voorgesteld door de 1.4 4- 4.1 = ‚8 en Bi elementen van één cijfer, en de bij hunne ver- bindingen twee aan twee behoorende radicale vlakken door 8 de 1.6 + 44 +61 =28 == 5) elementen van twee cijfers die de tabel voor n == 4 bevat en op wier meetkundige be- teekenis wij zeiden te zullen terugkomen, vertegen woordigen 8 de toen reeds nader onderzochte 56 = 5) elementen van drie cijfers de radicale lijnen der drie aan drie genomen /8 bollen, en de 70 = 4 elementen van vier cijfers hunne ‚uit viertallen voortkomende radicale punten. Bij opmerkin- gen, die zich aan deze beschouwing in denzelfden trant als zoo even zouden laten vastknoopen, staan wij niet verder stil, Evenzoo stippen wij slechts met een enkel woord aan, dat men voor willekeurige waarden van xn ook vlakke en ruimte-figuren zou kunnen beschouwen, correlatief van de tot nog toe besprokene, en waarin dus punten en lijnen, of wel punten en vlakken, lijnen en lijnen in elkanders plaats zouden komen. Voor n= 8 zou de op deze wijze ontstaande configuratie (154, 203) ook hare verklaring kun- 6 nen vinden in de ls) —= 15 uitwendige gelijkvormigheids- punten — of desverkiezende ook sommige uitwendige, en bepaalde daarbij behoorende inwendige gelijkvormigheidspun- ten — van zes willekeurige cirkels in één vlak, genomen 6 twee aan twee, en in de 5) == 20, bij viertallen door deze punten gaande en de punten zelve bij drietallen bevattende, gelijkvormigheidslijnen dezer cirkels drie aan drie. Voor n=—=4 is aan de configuratie (565, 704) eene overeenkom- stige beteekenis in de ruimte te geven, afgeleid uit acht willekeurige bollen. (285 ) Nadat ik het vorenstaande had opgesteld maakte de Heer DE Vries mij nog opmerkzaam op de verhandeling van S. KaN- roR »Ueber eine Gattung von Configurationen in der Ebene und im Raume’’, voorkomende in den 80m Band, 2e Abtheilung (Jahrg. 1879) van de Sitzungsberichte der mathematisch- naturwissenschaftlichen Classe der Kais. Akademie der Wis- senschaften, Wien, 1880, blz. 715 — 723. In deze verhandeling wordt in de eerste plaats (blz. 716) opgemerkt dat, als de hoekpunten van drie volledige vierhoeken op vier door één punt gaande stralen liggen, de vier punten van Hesse (dat zijn de gemeenschappelijke snijpunten telkens van drie assen van ho- mologie, als waarvan sprake was op blz. 211, regel 7—10, van mijn vroeger opstel), waartoe de vier uit deze vierhoe- ken te vormen drietallen van onderling perspectivische drie- hoeken aanleiding geven, tot ééne regte lijn behooren; en vervolgens dat, als vier volledige vierhoeken in vier door één punt getrokken lijnen beschreven zijn, de vier zoo even bedoelde regte lijnen, ontstaande uit de vier te beschouwen drietallen dezer vierhoeken, in Één punt zamenkomen. Op deze wijze voortgaande, komt KaNtor tot de beide op blz. 716 onder in déze woorden uitgesproken stellingen: »Construirt man nun „ — ll vollständige n-Ecke, deren Ecken auf n gegen einen Punkt W convergirenden Strahlen liegen, so erhält man in jede Combination dieser Strahlen zu n — 1 eine Reihe von n— 1 vollständigen (n — 1)-Ecken eingeschrieben und jede dieser Reihen liefert einen Punkt Ty. Diese n Punkte liegen alle in einer Geraden gy. (Ll Figur)”. »Werden „ vollständige n-Ecke in der eben beschriebenen Lage angenommen, so treffen sich die für ihre „ Combina- tionen zu je » — 1 construirten Geraden gy in demselben Punkte Ty. (2 Figur)”. (NB. De twee hier aangehaalde figuren komen waar- schijnlijk voor in de vroegere verhandeling van KaANror »Ueber eine Gattung merkwürdiger Geraden und Punkte bei vollständigen n-Ecken auf dem Kreise”’ in de Sitzungs- berichte als voren, 78er Band, 2e Abtheilung, waarnaar bij, evenals naar zijne verhandeling »Ueber den Zusammenhang VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK 8de REEKS DEEL V, 19 ( 286 ) von n beliebigen Geraden in der Ebene'’, idem, 76er Band, verwijst. Zie overigens nog over configuratiën in het alge- meen de in het opstel van Dr. J. pe Vries vermelde lit- teratuur). En van deze stellingen leidt de eerste hem tot eene uit n — l volledige n-hoeken ontstaande configuratie na didodnden en de tweede tot eene uit ” volledige n-hoeken ontstaande edel n ì n—l ee zijnde deze laatste juist dezelfde als de door mij uit een eenigzins ander gezigtspunt beschouwde. Bovendien wordt door Kanror op blz. 719 nog eene meer algemeene configuratie Aiden Aen afgeleid, bij welke gelegenheid onder anderen wordt gezegd dat de bij het tellen van de aantallen punten en lijnen dézer configuratie voorkomende sommatiën — overeenkomende (Lp u configuratie met de boven door mij uit de ontwikkeling van verkregen sommatiën voor het beschouwde geval m=—=n+1 —- ook, zooals door Netro werd opgemerkt, uit de hypergeo- metrische reeks volgen. De op blz. 721—723 behandelde uitbreiding op de ruimte staat eveneens in naauw verband met wat ik in mijn vorig en in mijn tegenwoordig opstel voor het geval der ruimte heb uiteengezet. Naar mij voorkomt bevinden zich in het besproken stuk van Kanrrtor de volgende kleine druk- of schrijffouten : (“287 ) Blz. 717, regel 14, staat: fünf; lees: n. | — 1 ED oet VO Ze 1 |: lees: B } Be di, > Di “&% weniger; '» s-mehr. / rie ee BER ke, ie, Gaarne maak ik van deze gelegenheid gebruik om eene aanvulling mede te deelen die, zooals de Heer A. KE, RaHv- SEN, Leeraar aan de Polytechnische School te Delft, mij deed opmerken, de op blz. 219—220 van mijn vroeger opstel „vermelde determinanten-eigenschap, overgenomen uit mijne bijdrage in het Mieuw Archief voor Wiskunde, Deel VI, Stuk I, 1879, blz. 79—80, behoeft. Ik haal daartoe de volgende woorden van den Heer RAHUsEN aan: »Uit een matrix M, die uit (n — 1) rijen en „n kolom- men bestaat, kan men door weglating telkens van eene ko- lom „ determinanten van den (n — 1)sten graad vormen, die aangegeven worden door P;, Ps, ... P,. Zijn i [t > 1] dezer determinanten, bijv. P}, Ps,... P;, gelijk nul, zoo zijn tevens gelijk nul de (n—{) overige determinanten P‚41,... Pe», tenzij gelijk nul zijn alle determinanten van den (n — iden graad, die gevormd kunnen worden uit de matrix, welke aan de determinanten P,, Ps,... P; gemeen is.” Aj 412 U13 414 A15 e n Aa e ee € © . » Zij bijv. M = om n baren tgs Aar Uag A43 ag A45 de determinanten, verkregen door uit de matrix M de 1ste, gde, 3de, 4de of 5de kolom weg te laten; zoo volgt uit nes 9 de Pi 2 3 hets dat : 19* (238 ) Oi4 OE | Aga A5 EG opn gf an TO Aaa, A45 »Nauw verwant aan deze stelling is de volgende : Is een determinant gelijk nul en tevens de minor van het element Qs, ZOO zijn tevens gelijk nul de minoren der overige elemen- ten of van de rij, of van de kolom, waartoe het element ars kehoort.”’ >In verband hiermede staat ook, dat de bekende stel- ling — welke zegt, dat, als een determinant gelijk nul is, de elementen van elke rij (of kolom) uitgedrukt kunnen worden als homogene lineaire functies, met gelijke coëffi- ciënten, der overeenkomstige elementen der overige rijen (of kolommen) — alleen waar is, wanneer geen der eerste mi- noren gelijk nul is.” De Heer RAHusEN meldt mij te dezer zake nog dat hj in een waarschijnlijk spoedig in de Annales de U’ Ecole Po- Uytechniqgue de Delft verschijnend opstel onder anderen de volgende meer algemeene stelling uitwerkt: »Uit de matrix A11 412... Aip bin Dig. big A2 A22... aap ber beg... bag Anl AnZ.«« Unp bun Ona... Dug (waarbij q Zn

de traagheidsstraal ten opzichte van eene middellijn van den aequator, en qz die ten opzichte van de lichaams-as. De afstand d van het zwaartepunt tot de oogenblikke- lijke as wordt gegeven door te @ Bat ( Is dus M/ de massa van het lichaam, dan zal Do E 19 Jon er 2 Ó en w° sin Ô $ n M NP en 2 zen = @ est 4 2 ET zijn, welke vergelijking door substitutie van de waarde van d overgaat in ( 296 ) ERO HEA) HW POE +) + nos tn) 2En.nw an. na eN (3) 5. Daar w en p niet in 7 voorkomen, evenmin als in de krachtsfunctie U = Mg (n sin Ô — E cos 0), welke enkel eene functie van Ó is, daar & en n als zoodanig moeten be- schouwd worden, zoo vinden wij door toepassing van de bewegingsvergelijkingen za dw d(T+ U) dt dw zooals LAGrANee die heeft afgeleid en waarin w eene der algemeene coordinaten is, waarin 7 en U zijn uitgedrukt, de volgende integraalvergelijkingen: —— == constante —= MÀ; En == Constante = M u. dw dp Beiden drukken uit, dat het moment van de hoeveelheid van beweging om zekere as standvastig blijft gedurende de beweging; de eerste om de verticaal van het steunpunt, de tweede om de lijn uit het steunpunt evenwijdig aan de lichaams-as getrokken. Worden deze vergelijkingen ontwikkeld door middel van (3), dan vinden wij wsin? Og? +82) +ncos(g? + n°) +EnsinO(n + w'eos0)=d (4), wsind . En + (ot 1) == Eene derde integraalvergelijking wordt gegeven door het beginsel van arbeidsvermogen, uitgedrukt in de vergelijking TL — U == const, welke door middel van (3) overgaat in OP (Pr HE H n°) Hw? sin? (0 + 52) Fn? (0% + 1?) + + 2En.n p' sin 0 = eonst. — 29 (1 sin Ô — E cos 0)..(6) EK adt (207 6. De vergelijkingen (4) en (5) bepalen n en w' als fúncties van 0, zoodat (6) @' ook als functie van Ó geeft. De oplossing geeft NE sÔ ei eN B (Or F5) pe Ard ECE CE tetesa Eea jn Ô en (0? + 17°) — un ! sin Ô mn AEN (7) 4 (oa Senese 2 OP (oP + 82 + 1?) — const. — |? gh + En + SL DE en cos0 min \? (0% +57) (02241?) —5° n°\ sn Ptn?) | ) waarin A — nsin0 — &cosÔ de hoogte van het zwaartepunt boven het steunvlak voorstelt. De laatste van deze zal na integratie 0 als functie van den tijd leeren kennen, terwijl door twee quadraturen „ en w in Ô zullen bepaald worden. 7. Om de plaats van het lichaam ìn de ruimte aan te wijzen, zal het voldoende zijn die van een zijner punten, b.v. het zwaartepunt, te bepalen. De snelheid van het zwaartepunt is: — W'sin0.E —nnin de richting van de Ó'-as; Ó' nin die van de lichaams-as; 0' Ein die van de w' sin O-as. De ontbondenen u,v, w van die snelheid resp. in de richtingen van de vaste coordinaat-assen OX, 0 Y, OZ zijn dus u—=' (1 sin O—E cos 0) cos wA-(n .n-Hw sin OE) sin w, v—=' (n sin O—E cos 0) sin w—(n .ndw' sin 0. E) cos w‚y (8) wz=Ó' (neos OE sin 0). ( 298 ) Deze geïntegreerd zullen de coordinaten z, y, 2 van het zwaartepunt geven. De coordinaten X, Y van het steunpunt zijn nu Xr + (Esin0 + en Y=yt(Esin + neos 0) sin w zoodat de ontbondenen U en V van de snelheid, waarmede S zijn spoor beschrijft resp. in de richtingen O X en 0 Y gegeven worden door U=g sinw.n + (£ sin 0 + 1 eos 0) cos w, | … (10) V == —pleosw.n + (E sin + 1 eos 0) sin w, waarin &' voor —- en # voor EED esteld zijn ì dt dt S es Uit deze vergelijkingen volgt verder Voos wp — Usin w= —g'.n EE Vsinw + Ucosw=E' sind + 1 cos Ô De eerste stelt de snelheid voor, waarmede het steunpunt S zich in de richting van de Ó'-as beweegt, de tweede die in de richting van het beweeglijke been van het azimuth. B 00: DS 4 WK ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN VAN DE ZUIVER ROLLENDE BEWEGING VAN EEN OMWENTELINGSLICHAAM OP EEN HORIZONTAAL VLAK, 9. Worden de beide leden van de laatste der vergelij- kingen (7) met 5 MZ vermenigvuldigd, dan stelt het eerste lid EMO NHP 1?) (299) de energie voor, die het lichaam verkrijgt alleen ten gevolge van de verandering in helling, die zijne as ondergaat; dit gedeelte van de energie van ’t lichaam zullen wij de schommelings-energie noemen. De constante in het tweede lid stelt de totale energie van het lichaam voor. De vorm tusschen de accolades, dien wij door @ zullen aanduiden, zoodat í u? O=3M;2gA 2 2 in 5 2 armed ij 12) (0% +E°) (02 tn)— En sin Ô on is, stelt het overige gedeelte van de energie voor, nl. de potentiale verminderd met die, welke het lichaam heeft ten gevolge van de wentelingen n en w. Daar bij bepaalde waarden van À en g die hoeveelheid alleen afhangt van de helling Ó der as, zullen wy haar de hellings-energie noemen. 10. Zetten wij nu @ als ordinaat uit op een rechthoe- kig coordinaat-stelsel met 4 tot abscis, dan stelt =O de vergelijking eener kromme voor, die wij de kromme der hellings-energie zullen noemen. Deze kromme heeft, als wij het geval À? —= w? voorloopig uitsluiten en ons bepalen tot de absecissen tusschen 0 en 7, de lijnen 0 —=0 en Ó —=n tot asymptoten; zij ligt geheel boven de abscissen-as en moet dus minstens één punt hebben, waarin de raaklijn evenwijdig is aan de abscissen-as, waar OQ dus eene minimum-waarde heeft. De vergelijking d O AET moet derhalve minstens één bestaanbaren wortel hebben tusschen O en zv gelegen, die @ tot een minimum maakt, (300 ) Heeft die vergelijking meer bestaanbare wortels, dan heeft de kromme voor die wortels afwisselend marimum- en minimum-ordinaten, tenzij in die punten buigpunten mochten aanwezig zijn. Heeft dus de kromme der hellings-energie voor elk stel waarden van À en u minstens ééne minimum-ordinaat, om- gekeerd zullen À en ge altijd zóó bepaald kunnen worden, dat die minimum-ordinaat bij eene willekeurig gekozen abscis « behoort. Daartoe wordt slechts vereischt, dat À en « voldoen aan de vergelijking 10 bri 0, do), \ wat op onbepaald vele wijzen kan plaats grijpen, aangezien À en w onderling onafhankelijke willekeurige waarden zijn. Is het lichaam b. v. eene ellipsoïde van omwenteling, dan zal voor À =0 O eene minimum-waarde hebben voor JT . . . Pi DE, ingeval de omwentelings-as de grootste der assen is. dd De kromme zal een vorm hebben overeenkomstig de eerste figuur. Is de ellipsoïde echter afgeplat, dan zal voor ge zeer klein met be- trekking tot A de kromme bij de 7 e abscis 5 eene maximum-ordinaat heb- ben, en een vorm overeenkomstig de tweede figuur, die evenals de vorige symmetrisch is ten opzichte van de | ordinaat bij dd Blijkt uit dit voor- 0 7 7 ä 2 beeld, dat de kromme der hellings- energie meerdere minimwm-ordinaten met tusschen gelegen marimum-ordinaat kan hebben, tevens doet het zien, dat zij voor verschillende waarden van À en xe ook verschil- lende vormen kan aannemen, ( 301 ) 11. Wordt op hetzelfde coordinaten-stelsel de rechte lijn y == Constante getrokken, welke lijn wij de lijn van energie zullen noemen, dan zullen die deelen van de kromme der hellings-energie, welke onder deze lijn gelegen zijn, in hunne abscissen de hellingen aanwijzen, die de lichaams-as gedurende de be- weging kan verkrijgen. Zy Fig. 2 de kromme der hellings-energie voor zeker stel waarden van À en w, zoodat de hellings-energie @ twee minimum-waarden heeft voor Ô == 0, en Ô == 0, en eene maximum-waarde voor Ó == Óg. Raakt de lijn van energie de kromme in D, dan moet 0' voortdurend gelijk nul zijn. De lichaams-as zal onver- anderlijk dezelfde helling Ó, behouden, zoodat zij met een- parige beweging een kegelmantel zal beschrijven, die de verticaal tot as en 20, tot tophoek heeft. Volgens (11) beweegt zich het steunpunt in eene richting loodrecht op het beweeglijke been van het azimuth, zoodat de kromte- straal v van het spoor op het horizontale vlak beschreven gelijk is aan Dit spoor is dus een cirkel. Het spoor op het lichaam zelf, gevormd door de meetkundige plaats der steunpunten, is een parallelcirkel met den straal ». Deze beweging van het lichaam heet conische beweging ; zij heeft met eene minimum-waarde van energie plaats, en draagt, zooals wij straks zullen zien, het karakter van stabiliteit. Wordt de energie van de beweging vergroot, zonder in À en wu eene wijziging te brengen, wat dus geschieden kan door het lichaam onder zijne conische beweging een stoot te geven, gericht in het verticale vlak van zijne as, dan zal dit in de figuur aangewezen worden door de lijn van energie te laten rijzen. VERSL, EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS. DEEL V, 20 ( 302 ) De hellingshoek 6 zal nu kunnen veranderen tusschen 03 en O,, aangegeven door de abscissen der snijpunten van kromme en lijn. Die grenswaarden O3 en Ó, zullen bereikt worden. Im- mers de laatste van (7) kan nu op de volgende wijze ge- schreven worden: 07 = (0 — 03) (0 — 0). f (0), waar f(0) voor alle abscissen tusschen O0 en 7 eindige negatieve waarden zal hebben. Hieruit volgt: 1 dÔ nd Me TT LON 16 0D) rrê zoodat het tijdsverloop 2, 3 verandert, gegeven wordt door en in ieder geval eene eindige waarde zal hebben. Evenzoo blijkt dat 7 eindig is. De lichaams-as zal dus regelmatige schommelingen maken in het vlak, door haar en de verticaal bepaald. Bj elke schommeling zal de schommelings-energie eene marimum- waarde verkrijgen bij de helling der oorspronkelijke conische beweging. Hoe grooter de energie van de beweging wordt, des te grooter zal de slingerwijdte der schommelingen wor- den. Tevens blijkt, dat de oorspronkelijke beweging eene stabiele 1s. Bereikt eindelijk de energie die waarde, waarbij de lijn van energie de kromme in B raakt, dan zullen de schom- melingen der as tusschen de grenzen Ó; en Ó, plaats grij- pen, maar tevens zal het lichaam eene tweede conische ‚ waarin de helling van @ tot 93 dôÔ 63 6 4 Fn VV O0 | | E ( 303 ) beweging kunnen hebben bij de helling @,, aangegeven door de abscis van het raakpunt B. Wordt de energie nu nog meer vergroot, dan kan het lichaam twee verschillende bewegingen hebben; de eene is de gestoorde van de eerste, de andere die van de tweede conische beweging. Bij voortgezette vermeerdering van de energie zal er eens een toestand komen, waarbij de lijn van energie de kromme in C raakt, waar de hellings-energie eene maximum-waarde heeft, De schommelingen van elk der bewegingen, die het li- chaam kon hebben, houden nu op, aangezien de lichaams- as de helling 0, aangegeven door de abscis van het raak- punt C, asymptotisch zal naderen. Onder deze omstandigheid toch kan Ó' als volgt uitgedrukt worden : 02 =(0— 6;)(0 — 0,)"(0 — 65) F(0) waarin f' (0) voor alle waarden van Ó tusschen O0 en 77 eindige negatieve waarden heeft. Hieruit volgt: Fs (0 — 0) (Os — 0). — F0)0 — 0 zoodat ú en sijn beiden oneindig groot zijn. id Onderstellen wij echter, dat het lichaam met dezelfde energie in beweging wordt gezet onder de helling 6, dan zal deze weer onveranderlijk gelijk Ó blijven, en het lichaam alzoo eene derde conische beweging hebben, die nu echter het karakter van instabiliteit draagt. Neemt eindelijk de energie van de beweging nog meer toe, dan zal het lichaam slechts ééne beweging kunnen hebben. De slingerwijdte der schommelingen van de as wordt met de energie grooter, doch kan de waarde 77 nim- mer bereiken. De as zal nimmer door den verticalen stand gaan. Verder zal de schommelings-energie bij elke schomme- | 20* ( 304 ) ling twee marvimum-waarden bereiken, nl. bij de hellingen der oorspronkelijke stabiele conische bewegingen, en ééne mintmum=-waarde bij de helling der instabiele conische be- weging. 12. Terwijl de lichaams-as schommelt, wordt het vlak van schommeling met eene hoeksnelheid w' om de verti- caal van het steunpunt gedraaid. Deze wenteling zal òf voortdurend in denzelfden zin plaats grijpen, òf bij elke schommeling van teeken kunnen ver- anderen. Wordt de helling gedurende de beweging zeer gering, dan moet w' op dat oogenblik eene zeer groote waarde hebben. De uitdrukking voor @ toch kan onder de vol- gende gedaante geschreven worden: u MENO en EE eg ECE ASTER KN EE AET w-sin"0 zoodat Cm dn 0% ai je 20 zis 2 sin? Oz ne E w* sn RE (> gh Gen si) is. Omdat Ah, £, # eindige waarden behouden en @ zeer groot is als de as den verticalen stand nabij komt, zal ook w? sin? 0 en à fortiori w?* dan zeer groot zijn. 13. Beschouwen wij nog kortelijk het geval Â? = w?. Is À = u, dan snijdt de kromme der hellings-energie de ordinaten-as, maar heeft nog de lijn Ó — 7 tot asymptoot. Heeft de snijding onder een rechten hoek plaats, en t blijkt uit den vorm van de uitdrukking voor @ dat dit het ge- val moet zijn als het raakpunt bij verticalen stand van de as op de as ligt, dan is de ordinaat bij @ — 0 eene maint- mum- of marimum=ordinaat. In ’t eerste geval is de eenparige wenteling om de ver- ticaal naar boven gerichte as eene stabiele beweging, en alle andere bewegingen, die het lichaam kan hebben zijn pe (805 ) gestoorde van deze, waarbij de as schommelingen maakt om de verticaal als middenstand. In ’t tweede geval is die eenparige wenteling eene insta- biele, en het lichaam zal eene stabiele conische beweging kunnen hebben bij de helling, aangegeven door de abscis van het laagste punt van de kromme der hellings-energie. Alle bewegingen van het lichaam kunnen beschouwd worden als gestoorde van deze stabiele conische beweging. Zoolang de energie van de beweging kleiner blijft dan die van de insta- biele wenteling, zal de as schommelingen maken, waarbij de verticale stand door de as niet wordt bereikt. Is de energie daaraan gelijk, dan zal de as zich asymptotisch naar den verticalen stand begeven; is ze grooter, dan zal de as bij elke schommeling door den verticalen stand gaan. Snijdt de kromme der hellings-energie de ordinaten-as niet loodrecht, zooals dat o.a. bij den hoepel het geval is, dan kan het lichaam geene eenparige wenteling on: de verticaal naar boven gerichte as hebben, en het hangt nu van het beloop der kromme af, hoedanig de bewegingen zullen zijn, die het li- chaam nu zal kunnen hebben. Onder alle vormen van de krom- men vermelden wij er slechts één, insgelijks bij den hoepel voor- komende, nl. die, waarbij de kromme voortdurend stijgt met toenemende abscissen. In dit geval kan het lichaam geen enkele conische beweging hebben, en moet de as bij alle bewegingen van het hichaam om de verticaal als middenstand schommelen. Het geval À == — u geeft tot soortgelijke opmerkingen aanleiding; de ordinaten-as in het vorige geval worde slechts vervangen door de lijn Ó == 7. 14. Alvorens tot de toepassing over te gaan, zullen wij de oneindig weinig gestoorde stabiele conische beweging meer van nabij beschouwen. Heeft de kromme der hellings-energie eene minimum- ordinaat bij de abscis «, dan kan het lichaam bij de hel- ling « eene stabiele conische beweging hebben. Onderstellen wij, dat deze oneindig weinig gestoord wordt door een stoot, aangebracht in het verticale vlak van de lichaams-as, dan zal de lijn van energie, die raaklijn was bj de conische beweging, nu sniijlijn wezen; de abscissen ( 306 0, a van de snijpunten zullen zeer weinig van « verschillen. De laatste van de vergelijkingen (7) kunnen wij nu onder den volgenden vorm schrijven: 02 =(O — 01) (0, — 0) F(O), waar F'(Ó) voor alle abscissen tusschen O en zr eindige positieve waarden heeft. Met verwaarloozing van alle machten van Ó— a hooger d20'? dan de eerste macht, kunnen wij £'(6) door —} | —_ d 0? Gza vervangen, en schrijven: Eton Ge). Hieruit volgt: ee Ve et dô de PON VOO) 6) er 2 welke tusschen de grenzen Ó, en Og geïntegreerd geeft: 1 5 pen ae), sie . 0» « De overeenkomstige verandering Er van het azimuth zal | met denzelfden graad van benadering gevonden worden door 0, 2 PEET een (15) waar W'« de azimuthale snelheid der conische beweging is. | ; | | | | | (307) EE OGO: TUE IN. De BEWEGING VAN EEN OMWENTELINGSLICHAAM OM EEN VAST PUNT VAN ZIJNE AS. 15. In de vergelijkingen (7)—(11) moet nu 7 = 0 en E == — l genomen worden, als / de afstand is waarop het zwaartepunt boven het vaste punt ligt, wanneer de helling van de as nul is. De vergelijkingen (1) en (7) gaan hierdoor over in A — Beos O1? 0? = H — acos 0 — en £ \ sin-Ô ‚A Beos “a (16) ve: sin? Ô pl =n — W' cos Ó. waarin À u u 2gl 29 ED erde mene ne 0 +7 0 + [ 0z is, als A de gereduceerde slingerlengte van het lichaam is ten opzichte van het vaste punt en @ de hoeksnelheid, die het lichaam heeft, als het van uit den hoogsten stand ge- vallen is naar den laagsten. De constante H vermeerdert met de totale energie. De vergelijking van de lijn van energie wordt hier ver- vangen door im LEON arne alen (17) en die van de kromme der hellings-energie door A — Beos 0\? ern n Beginnen wij met de beschouwing van het ( 308 ) 16. Eerste geval AH De vergelijking (18) kan nu op de volgende wijze ge- schreven worden: yacht A ig On en (19) Nu is dy ( A? |) Re he dôÔ rte 2 acos* 4 O A2 gr zoodat 4 voor 5 > 1 de minimum-waarde a heeft voor A= — 0. De kromme stijgt met toe- nemenden abscissen en heeft de lijn 0 == 7 tot asymptoot. A2 | saca 41 | Voor a cos“ $a heeft y de maximum-waarde a voor Ó —= 0, en de minimum-waarde a (1—2 sint } «) voor Ô'==.@. De kromme heeft bij de abscis « APS eene minimum-ordinaat, snijdt de | ordinaten-as loodrecht en heeft de 0 Á 71 lijn O =a tot asymptoot. A? De beteekenis van An is duidelijk, als wij die uit- a Vn Re stelt dus de verhouding voor van het Oe der hoeveel- drukking op de volgende wijze eek, heid van beweging ten opzichte van de verticaal van ’t vaste punt, of, wat hier ’t zelfde is, ten opzichte van de lichaams-as, tot het moment van de hoeveelheid van be- weging, die het lichaam heeft als het van uit den hoogsten stand naar den laagsten stand is gevallen, genomen ten opzichte van de ophang-as. Noemen wij dit moment het valmoment (y) van het lichaam, dan kunnen wij op de vol- gende wijze een beeld schetsen van de bewegingen, die het ( 309 ) lichaam zal kunnen hebben, in acht nemende dat w! == ze 1 +cos Ô niet van teeken verandert. Wanneer het moment van de hoeveelheid van beweging ten opzichte van de verticaal van steunpunt gelijk ts aan dat ten opzichte van de lichaams-as, maar grooter dan of gelijk aan het valmoment des lichaams, dan zijn alle bewegingen ge- stoorde van de eenparige wenteling om de verticaal naar boven gerichte as. Deze schommelt om de verticaal als middenstand, de slingerwijdte groeit aan met de energie, doch de as kan nimmer door de naar beneden gerichte verticaal gaan. Te gelijkertijd draartt het slingervlak om de verticaal van het vaste punt altijd in denzelfden zin als waarin de ongestoorde een- parige wenteling plaats greep. Js het moment van de hoeveelheid van beweging ten opzichte van de verticaal van 't vaste punt gelijk aan dat ten opzichte van de lichaams-as, maar kleiner dan het valmoment des li- chaams, en is cos° }a& de verhouding dier momenten, dan kan het lichaam twee conische bewegingen hebben, eene bij de hel- ling «,‚ die stabiel is, en eene tweede bij de helling O, de een- parige wenteling om de verticaal naar boven gerichte as, welke instabiel is. Alle andere bewegingen zijn gestoorde van de stabiele comische beweging. Zoolang de energie van de bewe- ging kleiner blijft dan die, waarmede de eenparige wenteling plaats grijpt, zal de lichaams-as bij hare schommelingen den verticalen stand niet bereiken; is zij er aan gelijk, dan zalde as dien stand asymptotisch naderen; is zij grooter, dan zullen de schommelingen om den verticalen stand als middenstand plaats grijpen. Te gelijkertijd wentelt het schommelvlak om de verticaal van 't vaste punt altijd in den zin, waarin de azi- muthale verandering der oorspronkelijke conische beweging plaats had. 17. Ten einde dit beeld te voltooien, zal nu eene be- rekening van de bewegings-elementen Ó, wen p volgen. Mt == boer Ht of ADG O8 F0, le. De conische beweging. De azimuthale verandering w' is hier en AE ef! Ee J —— ee AET ’ ij 2 cos° Ja 5 5 A zoodat de tijd 7, waarin de kegelmantel geheel wordt be- schreven dvor de lichaams-as, gegeven wordt door waaruit de merkwaardige eigenschap volgt: Bij alle conische bewegingen beschrijft de lichaams-as den kegeìmantel in een tijdsverloop gelijk aan den slingertijd van het lichaam, als dit onder de werking van zijn gewicht onein- dig kleine schommelingen maakt om het vaste punt als as. 12. De oneindig weinig gestoorde conische beweging. Uit de eerste van de vergelijkingen (16), die wij nu op de volgende wijze schrijven: 0? —= H —acos 0 — A? tg° }Ó volgt: dÔ'? A sin $a\?® ; Pa Tar lataen =tast hemfeantel/ f) zoodat volgens (14) de schommeltijd van de lichaams-as is Re EDER (21) 2 sin} a g en daar Pr mn A pn E ME me cos? ha Vig (311) Hoe geringer dus de helling der oorspronkelijke conische beweging is, des te grooter zijn T' en W. le. De eindig gestoorde conische beweging. A. De energie van de beweging kleiner dan die der een- parige wenteling om de verticaal naar boven gerichte as. De lijn van energie snijdt de kromme der hellings-energie in twee punten, wier abscissen 0, << «& en Og > « zijn. De eerste der vergelijkingen (16) wordt nu O2 (1 + cos 0) =— acos° 0 + (H +4 A? —a)ecos0 + H— 42, en kan bijgevolg nu ook op de volgende wijze geschreven worden : O'? (1 + cos 0) = a (cos Ô, — cos Ó) (cos Ô — cos 0). Eene onderlinge vergelijking van de coëfficienten geeft H— A? TEN en GOS ô, COS 0. a H + 4? == | eos 0, + eos Og, zoodat A? En L(L + cos 0) (1 + cos 09) = cost} a IS. Hieruit volgt: + adt= 1 + cos 0 10 (cos Ôj — cos Ó) (cos Ô — cos 03) — d eos Ô en, ae) W (1 — cos 0) (cos Ó, — cos 0) (cos Oy — cos Ó) Uit de tweede van (16) volgt B P: REE rn adt, (312 ) bijgevolg is Be AE rn ER — d cos Ô N24 (1 4cos 0) W(1—cos 0) (cos Oj—cos 0) (cos O9 —cos 0) ee Eindelijk geeft de derde van (16): A cos Ô pan LA oa =n Ren PT ke 1 + cos Ô à 1 + cos Ô dus dp= (n= A)dt AUT (25) Stellen wij nu nn za 0080 — 0503 dn? u l — cos Og waar u de elliptische integraal van de eerste soort is met k tot modulus, dan is — d cos Ô Adu VAL eos O)leos Oce Oye Bcr) Vv TN Verder is 1 kee 1 — cos 0; k2sn° u 1 + cos Ô Ll + cos0| Ee 2 1D ir? ze \ 1 + cos Ó, f door dus 2 A NDE ne sn (te + K) te stellen, gaat deze uitdrukking over in 1 Tae tente + K) Te EE lj eosin WE cos \ snl(ie + K) dnlie + K) du 4 (313 ) Omdat ienlie + K) El + cos Oy) (1 — cos 03) sn(ie + K).dn(ie +K) 2 {1 + cos Ó3) is, gaan nu de vergelijkingen (23), (24), (25) over in 2du et Wa (l — cos 03) _sn(iet K).dn(ie + K) Bd OR du dill(utetK), eN er + dill(usied- K)Hndt. sn(detK).ien (tek) Worden deze geïntegreerd tusschen de grenzen 0, en 0a, zoodat w van 0 tot K verandert, en noemen wij 7 den schommeltijd van de as, © de overeenkomstige verandering van het azimuth, welke verandering hetzelfde teeken heeft als À, P de overeenkomstige verandering van p‚ dan vin- den wij, als # 1 (K, ie + K)door hare bekende waarde wordt vervangen : K A Die sin } Os g PW K jie nn gr el (26) Te snie + K).ien(de K bk (Zeta AE) ez AKK! sn(ie + K)-ienlie + K) | Worden ze echter geïntegreerd tusschen de grenzen 0; en Ó, zoodat w verandert van 0 tot u, dan zal de uitkomst met behulp van (26) op de volgende wijze kunnen geschre- ven worden ; (314) ==, KX u …„O(u—ie—K) nn EE © EE id KE lon la u WREE tn ze B Ee dr RETO Hieruit blijkt, dat het slingervlak van de lichaams-as schommelingen uitvoert, met de periode 7, ten opzichte van een verticaal vlak, dat eenparig wentelt met de snel- ° tt heid r om de verticaal van het vaste punt. Voor de oneindig weinig gestoorde beweging is k=— 0, zoodat voor k—= 0 de vergelijkingen (26) over moeten gaan in (21) en (22). Dit blijkt op de volgende wijze: Voor kt isk El K' =logarithmisch oneindig groot K) Kele Er Pda En (e‚ k') = 4 7 sin (e, 1) APET dn(ie + K) =$ msn tas; sn(ie + K).ienlied K) UEA ed) lea cotta 2 (1 — cos 03) 2sinta sinta | Derhalve is | Ee | 2 sin a g in overeenstemming met (21), en Pe 2 sin } « gelijkluidend met (22). (315 ) Dat Z(e,k') voor k=0 of k=1 gelijk is aan sn(e,l) blijkt op de volgende wijze: WL: 5 TE sin in 2 — 2 7 J' RK EE) — — zE El s£ RE zi EK HE ; K A7 e me mmm welke met eene kleine wijziging ook aldus geschreven kan worden : ES kont g K en REN K' K Ke EE . LE ETR € En Bedenken wij nu, dat X' voor k=0 logarithmisch onein- dig groot is, dat dus K voor n==oo en k == 0 ook on- eindig groot is, kunnen wij nu schrijven: A SUD nerd 4 eN Hg EL — et De waarde van deze integraal is (D. BrereNs pe HAAN, tables d'intégrales définies, Table 281) 4 7 ‚4 (el) =|; El EE IRD =E =sn(e, Ì). € Be es us Hoe meer de energie van de beweging nadert tot die van (316 ) de eenparig wentelende beweging om de naar boven ge- keerde liehaams-as, des te grooter wordt k, zoodat ook vol- gens (26) 7 en P onbepaald aangroeien met de slingerwijdte. Denkt men zich om het vaste punt als middelpunt een bol geslagen met de eenheid tot straal, en noemen wij het snijpunt van de lichaams-as met den bol de pool van ’t lichaam, dan zal die pool op den bol eene regelmatig ge- golfde kromme beschriijven, die beurtelings de horizontale cirkels met de bolstralen 4, en 0, aanraakt. Bij de conische beweging vallen die cirkels samen mes den eirkel, welks bolstraal « is; hoe meer de energie toe- neemt, hoe kleiner 4, en hoe grooter @, wordt, terwijl het verschil ® in azimuth tusschen de opvolgende raakpunten steeds grooter wordt (fig. 3). B. De energie is gelijk aan die der eenparige wenteling om de verticaal naar boven gerichte lichaams-as. In dit geval zal de lichaamsas den verticalen stand asymptotisch naderen. Dit blijkt ook uit (26). Daar 0, == 0 dus k== 1 is, zullen zoowel T als © oneindig groot wezen. De pool van het lichaam zal op den bol eene spiraal- baan met oneindig veel windingen beschrijven om het hoogste punt van den bol (fig. 4). C. De energie is grooter dan die der eenparige wenteling om de verticaal naar boven gekeerde lichaams-as Nu zal de lichaams-as om de verticaal als middenstand schommelingen volbrengen. De lijn van energie snijdt nu de kromme der hellings- energie slechts in één punt, welks abscis wij 0, zullen noemen. De eerste van de vergelijkingen (16) is nu nog O° (1 +4 cos) = —acos* Ù + (H + A?-—a)cosd + H—A?, het tweede lid moet dus een factor cos } — cos Ô, bevatten, maar ook een factor v? — cos Ô, waar v? > 1 is, omdat het tweede lid voor cos Ô == 1 gelijk 2 (MZ — a) dus positief is, en voor cos — oo negatief. Bovenstaande vergelijking kan dus op de volgende wijze geschreven worden : ( 317 ) OP (1 + cos 0) = a (wv? — cos 0) (cos 0 — cos 03). Eene onderlinge vergelijking van de coefficienten geeft H + A? Nr l Hv? + cos Oz, H — A? î = —v? cos 0, , bijgevolg is A? rn 1 (v? + 1) (1 + cos 0). De vergelijkingen (16) kunnen nu op de volgende wijze geschreven worden: — d cos Ô W(1—eos 0) (cos Ô— cos 03) (v? —cos 0) ip Dr 5 adt —= 2 (28) Ie Se CREE AEN dp=(rn—A)dt Hd. / Stelt men hierin 1 — cos = (1 — cos 0) sn? u, 1 — cos 0, dn v? — cos 0,” dan wordt — d cos Ô 0 Sd WL — cos 0) (cos A — cos Oz) (1? — cos l) Er Vv? —cos0, 1 1 1 — cos 0, sn? u 1 +4 cosô 1 + cos 03 1 + cos0j 1—cos0, Te SN 1 +eos 0, VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3C@ REEKS. DEEL V, 21 ( 318 ) Door in de laatste uitdrukking 1 — cos Og — — Pant ie 1 + cos Oz te stellen, gaat zij over in 1 1 1 snie di 1 (w, ie) 1 eosd 1 + eos 05 \ vcos te. dnie du |: Worden nu (28) geintegreerd, in acht nemende dat Weed Heos0) snie 2(v? +1) > denie.dnie Is, tusschen de grenzen 0 en Ós, zoodat wu verandert van 0 tot K, dan vinden wij IRE A it sin 3 0, g alzo en idnie (29) É _LOnIE ’ EE snie. ent _idnie 2ienie Poke | (: JE snie.cnie snie. u Ea Worden ze echter geintegreerd tusschen de grenzen Ô en 0, overeenkomende met O en «, dan kunnen wij de uitkomst met behulp van (29) op de volgende wijze uitdrukken: EE K yr? O (u — ie) w an Ola til (30) ed ( 319 ) Omtrent deze uitkomsten kan dezelfde opmerking gemaakt worden als omtrent die, begrepen in (27), terwijl ook hier wen p het teeken van A moeten hebben. Geeft de stoot eene vermeerdering van energie, die zeer klein is met betrekking tot die van de eenparige wente- ling, dan ligt »? bij 1, dus k? bij 1, zoodat Ten # beiden zeer groot zijn. Hoe meer de energie die van de eenparige wenteling overtreft, des te kleiner wordt k?, die voor zeer groote waarde van de energie dicht bij 0 komt. Bijgevolg nemen 7 en W af met het toenemen der slingerwijdte; 7 nadert onbepaald tot 0, ® tot }m.sn(e,l), of omdat —_ sn (de, 0) =tg?(e, 1) = oo is, tot } 77. De pool van het lichaam zal bij elke schommeling van de as eene kromme beschrijven, die door het hoogste punt van den bol gaat en in de eindpunten raakt aan den hori- zontalen cirkel met den bolstraal 0, (fig. 5). 2. A\=u>yof Aid. In dit geval is elke | beweging de gestoorde van de nu stabiele eenparige wenteling om de verticaal naar boven gerichte lichaams-as. Omdat de lijn van energie nu de kromme der hellings- energie slechts in één punt snijdt, evenals in ’t vorige geval, en de eerste van de vergelijkingen (16) hier evenzoo geschre- ven wordt als daar, zullen wij dezelfde formules voor w en wp vinden als in 't vorige geval; (29 en (30) gelden ook hier. Evenwel zullen de gevolgtrekkingen gedeeltelijk anders luiden. Bij kleine vermeerdering van de energie moet hier de slingerwijdte altijd zeer klein zijn, terwijl dan v° alleen dicht bij de eenheid ligt, als À dicht bij y is; v° groeit met À aan. De slingertijd 7, die in het vorige geval voor H dicht bij a zeer groot is, is het hier alleen als À dicht bij y ligt, en is kleiner naarmate À het valmoment meer overtreft. 18. Tweede geval: À + u = 0. De vergelijking (18) van de kromme der hellings-energie kan nu op de volgende wijze geschreven worden: y=acosd + A? cot? 3. 21* ( 320 ) Nu is dy cos 5 Ó d sin° } 0 (A? + 2a sint 3 0), zoodat de kromme eene minimum- ordinaat — a heeft voor Ô == 7, en daar DE negatief is voor alle waarden van Ó tusschen Ô en zr, zal de kromme dalende wezen voor toenemende abscissen, en de or- dinaten-as tot asymptoot hebben. Het lichaam kan dus slechts ééne conische beweging hebben, nl. de eenparige wenteling om de verticaal naar beneden gerichte as. Alle overige bewegingen zijn gestoorde van deze, waarbij de lichaams-as om de verticaal als midden- stand schommelingen zal maken, terwijl de wenteling van het schommelvlak steeds in den zin van de oorspronkelijke wenteling zal plaats grijpen. | De slingerwijdte neemt toe met de energie, doch de li- chaams-as zal nimmer de naar boven gerichte verticaal be- reiken. Ter berekening van de bewegings-elementen beschouwen wij eerst 19. De oneindig weinig gestoorde conische beweging. De eerste van (16) wordt hier O0 -= H —acos 0 — A? cot? 4} Ó, zoodat OON vAn AAD Je BAE is. Volgens (14) en (15) vinden wij dus voor den slinger- tijd 7 en de overeenkomstige verandering ® van het azi- muth : ine dk A, (53) ke 27 \ RTE ) Made A =A=0is Ln 7 en P —= 0, zoodat wij dan de slingerende beweging van het lichaam onder de werking van zijn gewicht terug vinden, de slingerwijdte oneindig klein zijnde. Hoe grooter A is, des te kleiner wordt 7 en des te grooter ©. Voor lim. À = @ is lim, Me en lim, P ==. 20. De eindig gestoorde conische beweging. De lijn van energie snijdt nu de kromme der hellings- energie in één punt, welks abscis wij door Ó, zullen voor- stellen. De eerste van (16) wordt nu O2 (1 — cos 0) =a cos" 0 — (H + A? +a)cos 0 + H — A?. Het tweede lid moet dus een factor cos 0, — cos Ô hebben, en omdat dat lid negatief is voor cos Q == 1, doch positief voor cos Ô =— oo, zal het ook een factor v? — cos Ô hebben, waar v? > 1 is. Bovenstaande vergelijking kunnen wij dus ook op de vol- gende wijze schrijven: 0? (1 — cos 0) = a (wv? — cos )) (cos 0, — cos 6). De coefficienten van deze vergelijkingen onderling verge- leken geeft H + 4? en H — 4? a sr cos Oh. ( 322 ) zoodat 2 A? q == (wy? — 1) (1 — cos Oi) 18. De vergelijkingen (16) kunnen nu als volgt geschreven worden : — deos Ô st ze nr Vadt= W(L+cos 0) (cos Oj— cos 0) (v°—cos 0) TE UNE save (62) — d cos Ô 4 (1 — 080) (1 + cos0)(cos0j — cos (w?—cosb) dp=(n th A)dt — dy. Stellen wij hierin v? — cos Ô yv? — cos = Er Ie Aa Le 1 + yv? dan wordt EA NEN te Een _ _ &du VO + c050) (cos Dj — c0s0) (wv? — cos) — VI 4 vi kee 1 v2—cos Ô, Pe Gids Leod ed | ol Ln ki sn? u 1 —cos Ó, Stellen we eindelijk in de laatste uitdrukking yv? —Ì ee eten esn dan gaat ze over in 1 3} k SOR E Br OT en 1 — cos Oi FP enie.dnie du ( 323 ) Worden nu (32) geintegreerd tusschen de grenzen Ó, en 71, overeenkomende met o en K voor u, dan vinden wij, als wij voor ill (K,ie) hare bekende waarde substitueeren, en de betrekking dente Ae I) (1 — cos Ój) snie.dnie 2 (v? — 1) in acht nemen: 2 K k A en Ä Se 4 Wall + rv?) cos $ Ó, We (33) 13 ° er 7e) sf 7 € Ak*snie | RE eee E waar W en DP hetzelfde teeken als ”» hebben, Worden echter (52) geintegreerd tusschen de grenzen 0. en Ó, dan vinden wij met behulp van (33): u t = T u …, O (u — ie) in Lal w K 1 zt O (u + de) a CMT Er (34) 7 … O(u — ie) = Pil ie B Deelt de stoot slechts eene betrekkelijk geringe hoeveel- heid energie aan het lichaam mede, terwijl dit de eenparige wenteling bezit, dan ligt & dicht bij 0. Voor k = 0 moe- ten dus (33) overgaan in (31), wat op de volgende wijze blijkt: Et 1 ) Ener AS ’ a(l +?) (245) WA? + 2a ( 324 ) W — Haenle,l) = s/ Tee 1 + 4g?(e,1) A Van = An Etn en cn? ie v.+1 welke waarden met 2 moeten vermenigvulliyd worden, om T en W voor eene volle slingering te vinden. Alsdan stem- men zij overeen met (31). Hoe grooter de vermeerdering van de energie is, die de stoot veroorzaakt, des te grooter zal k? worden. Met het grooter worden van de slingerwijdte der schommelingen van de lichaams-as groeit ook de slingertijd onbepaald aan, terwijl voor =t lin. Psn 21. Derde geval: À? 5 u. De vergelijking (18) van de kromme der hellings-energie is A — Beos 0 £ y= 0 + | Eg De kromme heeft dus de ordinaten-as en de lijn O = 7 tot asymptoten. Verder volgt uit he As Sz asin 2 GE dÔ sin Ô sin? Ô é welke vergelijking wij liever op de volgende wijze schrijven ; eeen JO sins 0 (cost O2 F-p g) cos° OH-(p? +q°) eos O +(1—pg)) A B waar kortheidshalve =p en == teld zijn, VA 4 V ja kn d y E pr — gelijk nul wordt voor 0 =a& 5 als pg >1 is, dat 70 voor 0= 5 ds pq= li is, voor de als pg < 1 B, ( 325 ) is, terwijl de toepassing van het theorema van StrurMm op | d deze vergelijking leert, dat a slechts eenmaal nul wordt tusschen 0 en zr. De kromme der hellings-energie heeft dus slechts ééne minimum- ordinaat. Het lichaam kan dus slechts ééne | conische beweging hebben. Alle 0 oane! N andere bewegingen zijn gestoorde van deze. De slingerwijdte wordt grooter met de energie, doeh de lichaams-as zal nimmer door den verticalen stand gaan. De slingerings-energie verkrijgt de grootste waarde, als de as door de helling van de oorspronkelijke conische beweging gaat. Daar B eo EE sin? is, zal voor A2 > B? of A? > u? de azimuthale verande- ring gedurende de beweging steeds het teeken van A heb- ben, dus steeds plaats grijpen in den zin, waarin ze ge- schiedt bij de oorspronkelijke conische beweging. Is echter À? < u?, dan kan w' nul worden en van teeken veranderen. Stellen wij in dit geval À = u cos (9, d dan blijkt vooreerst, dat ee voor Ô == (ì negatief is, zoodat a > (3 zal wezen. Noemen wij nu de abscissen der snijpunten van de lijn van energie met de kromme der hellings-energie 0, < a en Óy > a, zoodat 0, de kleinste, Ó, de grootste helling is die de lichaams-as verkrijgt, dan zal w' voor Ó, >) niet van teeken veranderen; » Ój =d te gelijk met }' nul worden; » Ôj <> nul worden bij de helling (9, en gedurende ( 326 ) al den tijd, dien de as noodig heeft om hare helling van fP tot 0, te verminderen en van Ó, tot 2 te vermeerderen, in tegengestelden zin plaats grijpen. Daar verder ij — == sin0 H — acos Ô MB od (A — B cos 0)? Ge voor Ó == (» oneindig groot is, zal dus de pool van het lichaam eene regelmatige kromme beschrijven, altijd in den- zelfden zin, als 0, >} is, en beurteling de horizontale cirkels met de spherische stralen Ó, en 0, aanraken (fig. 3). Is 0, = fs, dan zal de pool bogen beschrijven, die in de eindpunten loodrecht staan op den cirkel met den spheri- schen straal (%, terwijl zij in hunne middens geraakt wor- den door den cirkel met den spherischen straal 0, (fig. 6). Is eindelijk 0, <>, dan zal de baan van de pool den cirkel met den spherischen straal /} loodrecht snijden, en bij elke schommeling van de as eene lus vormen, wier midden door den cirkel met den spherischen straal Ó, wordt geraakt, terwijl de takken geraakt worden door den cirkel met den spherischen straal Ós. Het is duidelijk, dat de beweging, waarbij 0, == f? is, ook tot stand kan gebracht worden door op het lichaam bij de helling Q, een koppel van impulsie te laten werken, die het de aswenteling » geeft. Bij de helling Ó, => toch heeft het lichaam alleen eene wenteling om de as. Als wij deze beweging van het lichaam aanduiden door het woord tmpulsie-beweging, dan komen de bovengenoemde ge- vallen 0, >), Oj = fl, Oi < f? respectievelijk overeen met de gevallen, dat de energie van de beweging 3 de energie van de impulsie-beweging is. 22. Ter berekening van de bewegings-elementen merken wij op, dat de eerste vergelijking van (16) op de volgende wijze kan geschreven worden: O?sin?0 == acos°0 — (H 4 b®)eos°d +(2AB—a)eosd + H— AP, … Witmer arn ade en AR) Wij weten reeds, dat het tweede lid cos 0, — cos @ en cos Ô — cos Ô, tot factoren moet hebben; daarenboven bezit het nog een factor v? — cos 0, waar v? > 1 is, omdat het negatief is voor cos == 1 en positief voor cos == o«. De vergelijking kan dus vervangen worden door 0? sin? O = a (cos Ô, — cos 0) (cos Ô — cos 03) (v? — cos 0). Bene onderlinge vergelijking van de coefficienten geeft: H + B? ke = yv? + cos Ô, + cos 03, H— A? me — v? cos Ô, . cos 03, AB — B == Oj .cos Oy + v? (eos Ô, + cos Oa). Hieruit volgt: An = (wv? + 1) (1 + cos Oi) (1 + cos 0o), (A — B)? mn w2—1) (1 — cos Ó)) (1 — cos 03). De vergelijkingen (16) kunnen nu op de volgende wijze geschreven worden: EE need epe W(cos Ô, — cos Ô) (cos O — 03) (wv? — cos) Ad B d A —B Ë RT 2 en 2 1 — cos 450) A+B 1 A-—-B 1 Jen —_B Beko 2 ek, ( 328 ) - Wordt hierin ven En v cos Ó, zen 0, — cos Os; 2 cos Û = Here dntu v? — cos Oy gesteld, dan wordt — d eos Ô 9 du V {cos Or — 08 D) (eos 0 — cos Di) WT — 0080) VVP —c0s Verder is Kuis 1 1 yv? — cos Ój klsn?u 1 4 cos 1 + cos Ó, 1 + cos Ó, ve +1 k ln 1 + cos 0, 1 pt 1 v2—cos Ó, k2 sn? u EE a REE RE ak Ô eet KES 1 — cos Ô, Stellen wij dus Panel re vl == K ee 1 + cos Ó, Ak ET ER dan gaan deze uitdrukkingen over in ln 1 HSE ien(de + K) dillluietK) 1cos0 1+4cos0, sn(ie + K).dnlied K) du î Ee ( tenin dill(u,in)\ 1—-cos 1 —cosl, snin.dnin du ) De vergelijkingen (35) kunnen nu op de volgende wijze geschreven worden (329 ) 2du Edi = Va (v? — cos 03) inde bk TN a dende + KK) sn(iet K).dn(ie + K) 2 ( ic Nd DVEGE cosÔg)(1— cos)? \ 5 snin. ed. sin) (36) dp = [au + inde) ee Va? — 05 0) (1 + cos met inte NE EN | Lel Valw?— cos0a)(1— c0s0,)? dp=(ln—B)dt + x [de + Ean rin dnigHCusin) Omdat voor A2 > u? A + B en A —B hetzelfde teeken hebben, en voor Â? < u? daarentegen tegengesteld teeken, moeten wij bij de integratie van (36) op deze twee geval- len letten. 23. De oneindig weinig gestoorde conische beweging. Uit OP sin? 0 = a (w? — cos 0) (cos Dj — cos 0) (cos O — cos 0) volgt 120 E 15e). rel zoodat volgens (14) de schommeltijd 7’ van de lichaams-as gegeven wordt door JAE EA SE nn (37) Verder volgt uit ( 330 ) ERE Ae Bt 2 Trent 2 1 + cos 0 met inachtneming van de uitdrukkingen van A + B en A — B: wm WaW trl} waar het bovenste teeken moet genomen worden voor À? > u?, het onderste voor À? << w?°. Bijgevolg is volgens (15): WREE EEE hen Wv? — cos a 24. De eindig gestoorde beweging. Eerste geval: A2 > u?. De uitdrukkingen A + B en A — B hebben nu beiden het teeken van A of À. Derhalve is ee Walv?—cos0pl +coslj)? (w2—cos0 (1 4 cos0;) ME de K).dn(ie + K) RT ’ den (de + K) EN 211080) Walv?—cos0)(1 — cos)? KR: (w°— cosy 1 —c080;) 4  EEEN ten in waar het bovenste teeken geldt voor A > 0, het onderste voor A < 0. Hieruit volgt: s Ô n (ted K) dn (te 4 K B A == 60 Ree EE sntn.dnen — (1 — cos Pajee tent ny nend aan dn de (335) De vergelijkingen (36) zullen hiermede tot integralen op- leveren, als wij t beginnen te tellen bij } — 0: 2u TRA [siet K) „dnliet-K) snin. a Pe \ __ Zen(ie + K) dent nn Hi ll(uie + K) Hill (win) sn(tetK).dnlie+K) snin. drin), À ven( ie + K) ten in dE nth il(uie + K)_—i ll (u,in) waar het bovenste teeken geldt voor À > 0, het onderste voor À < 0. Voor uw == K vinden wij voor den slingertijd 7’ van de as en de overeenkomstige waarden W en P van w en p: ee War? — cos 03) ij tee + dy — 010 ziek de | Ziek!) + Zlnk!) +7 ed dn(ie+ K) sn(ie + K). ien (ie + B) EE B t(n-B T+ KZ W) Zink) +7 dn (de + K) ni sn(ie + K).ien(de + K) zoodat wij nu de vergelijkingen van de bewegings-elemen- ten met behulp van (39) op de volgende wijze kunnen schrijven: En i=T= = Ts Ou —ie— Kk). O(u—in) \ Ou tiet K).O(u Hin)’ (40). Ow - te K).O(u tin) Ou Hie K).O(u—in) WE Pt hil p= bet Hil ( 332 ) Deze vergelijkingen stemmen overeen met (11) en (21) van Dr. C. Lorrren. 25. Tweede geval: MZ u? Nu hebben 4 + B en A — B een tegengesteld teeken; dat van de eerste uitdrukking is hetzelfde als dat van B. Voor B moet nu genomen worden: BE eld, yv ed la and liet A) EN dnlie + K) ed ienie + K) snin.dnin et es EP | De integratie van (86) geeft nu Ne 2 u Va (vz — cos 03) Nes En + K).dn(ie rn Pen ien(te + Á) dend n (41) + ill(u,ie + K)—ilI(u,in), sn(ie + K).dnlie + LN ien(te + K) dent n dE ntt ill(uie + KK) 4ill(win), waar nu het bovenste teeken geldt voor B > 0, het onderste voor B <0. Wordt hierin u == K gesteld, dan vinden wij voor den schommeltijd van de as en de overeenkomstige waarden van w en p: tEp= — cost | ee De TVal?—0s0) de P=K| Ae) 7 gt dn(ie + K) td ie ebt) | Zed) KH Ank) + 77 et dn(ied K) ETET ( 333 ) zoodat nu (39) kunnen voorgesteld worden als volgt: (=> Te en ek O (u + in) za K+ On nn ZE mes eee U oe: Olutie+K).O(u tin) 26. Een paar opmerkingen mogen hier nog volgen. De waarden van T' en P Ee TT Waw? — eos 0) | Een PK Ze, k) + Ank) + on FK) sn(ie +) bj de eindig gestoorde beweging gevonden moeten eerstens voor k=—=0 overgaan in (37) en (38). Dit blijkt onmid- dellijk voor 7’; voor W op de ee wijze. Moor 0 is dn (ie + K) Een 1 + cos a ien(ie + K).snlie FK) Wv? l1l)(v? — cosa) b Vv? — COS U Ziek) = mls) = VE Dak isslnl} — en. dn 5 2 — COS U zoodat W overgaat in zn | 1 + cosa p Ve en | Ee IW (wv? + 1)(v?-cose) vel v?-cosa TEN A | Wv? — cosa i = 7 overeenkomstig (88). VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 8de REEKS. DEEL V, 22 (334 ) Ten tweede moeten de vergelijkingen (41) overgaan in de door Dr. P. vaN Geer gevondenen formules, ingeval wij onderstellen, dat 0, == (3 is, dus w'—= 0 voor 0 == 0. Is w'=0 voor Ó == 0, dan moet HB A Best 2(L + eos) _ (Ll — eos) zijn. Nu is in ons geval rant, VEF D(L + cos Ji) — 2 (1 + COS 0) 4 (1 sn cos 0) El Cn sn(de + K).dn(te + AK) 4 icos(de + K) ’ A — B ze, A DU ed) — a (1 — cos Ú;) 4 (1 — cos 0) Ee snin. KEERN denn waar het bovenste teeken geldt voor B >> 0, het onderste voor B <0. Hieruit volgt A + B pn A — B pe 2 (1 + cos 0) 2 (1 — cos 0) ln ee snliet Kk). dnlietK) _ snij. dn) Î venlde + K) den in zoodat nu sn(ie + K).dn(ie + K) snin.dnin ien (de + K) dening ( 334 ) Ten tweede moeten de vergelijkingen (41) overgaan in de door Dr. P. van Geer gevondenen formules, ingeval wij onderstellen, dat 0, —= (3 is, dus w'—= 0 voor =O. Is w'=0 voor Ó == 0, dan moet A + B Pm 2 (Ll + cos 0) 2(1 — cos 0) zijn. Nu is in ons geval n= / (pv? + 1) (1 + cos 03) — 2 (1 + cos 0) a A (1 + cos 0) en en sn(ied K).dn(ie + Á) 4 icos(de + K) a (1 — COS BEL ene kakt EED z £ dere le 4 (1 — cos 0) S= ee cos 0, snin. snin.dhin denin waar het bovenste teeken geldt voor B > 0, het onderste voor B < 0. Hieruit volgt A + B A — B 2 (1 + cos 0) 2 (1 — cos Ee ed sn(tet KK). dnlie+K) _snin. dn Î den(de + K) den in zoodat nu sn(ie + K)edn(lie + K) sn in.dnin ien (de + Á) _____denin. G SCHOUTEN Algemeene etgernsch: van de zutver rollende beweging. ig: 2. en Derslzen Jlieded: eAfd: JCatuurke: 3°R- Dt V. Clth: Gebr. Reimeringer,Amolo. ( 335 ) is, en de tweede en de derde van (41) resp. overgaan in dw=illluie + K)— ill (vin), tE p=illluie + K) +} il (u,in) + nt, overeenstemmende met (57) en (58) in de verhandeling van Dr. P. van Geer. OVER DEN INVLOED VAN HET LICHT OP DE KIEMING DER SPOREN VAN HEMILEIA VASTATRIX Berk. en BR., DOOR W. BUR CK, Corresp. Lid van de Koninkl. Akad. v. Wet. Bij mijn onderzoek naar de oorzaken der koffiebladziekte en de middelen ter bestrijding daarvan, is het mij gebleken, dat de sporen van Hemileia vastatrix in een droppel lucht- houdend water tot kieming konden worden gebracht, en in overeenstemming met MarsHar Warp meende ik derhalve gerechtigd te zijn, zuurstof en water te beschouwen als de eenige voorwaarden voor de kieming dezer sporen. Bij vele mijner kiemproeven bleef evenwel de kieming achterwege, zonder dat het mij duidelijk werd, aan welke omstandigheden dit moest worden toegeschreven. Een nader onderzoek heeft mij thans de oorzaak van het veelvuldig mislakken mijner proeven doen kennen; het is mij namelijk gebleken, dat de kieming der sporen afhanke- lijk is van de intensiteit van het licht, waaraan de kiem- proeven zijn blootgesteld. Het is niet de eerste maal dat de aandacht wordt ge- vestigd op den invloed, dien het licht vermag uit te oefenen op de kieming der sporen. Vooral in het laatste jaar werd die zaak herhaaldelijk ter sprake gebracht met betrekking (337) tot de sporen van verschillende micro-organismen en werden reeds eenige onderzoekingen daarover bekend gemaakt, waar- van de resultaten zijn bijeengebracht door Duvcraux en Roux in de Annales de U Institut Pasteur. Een korte uiteenzetting van hetgeen omtrent dit onder- werp bekend is, moge aan de omschrijving van mijn eigen onderzoek voorafgaan. Het was een reeds lang bekend feit, dat er in de lucht veel meer doode dan levende micro-organismen worden aangetroffen. Herhaaldelijk is hierop door Pasteur, Mriqueu en anderen de aandacht gevestigd geworden. Downes en BrLuNr nu waren de eersten, die in 1877 en 1878 eenig licht hierover deden opgaan en aantoonden, dat er geen ontwikkeling van »micro-organismen” plaats vond in buizen met’ suikerhoudende vloeistof, die bij de tegen- woordigheid van lucht aan het zonlicht werden blootgesteld. Dit feit is thans door andere onderzoekers, zooals ArLOING, Ducraux, Strauss, Roux en anderen bevestigd geworden. Allen kwamen bij hun onderzoek tot het besluit, dat de ont- wikkeling van microben bij eene min of meer sterke en lang- durige blootstelling aan het zonlicht werd tegengegaan en dat deze invloed van het licht zich alleen liet gevoelen bij de tegenwoordigheid van zuurstof. Verder liepen echter de meeningen van deze geleerden uiteen. Terwijl toch DowNes en Buurt van oordeel waren, dat de kiemen gedood werden en de vloeistof niets van hare voedende kracht verloor, meende Roux, dat het zon- licht aan de zuurstof der lucht een meerdere energie, een hooger oxydeerend vermogen meêdeelde, die de voedings- vloeistof, en wel waarschijnlijk de koolwaterstofverbindingen daaruit, ongeschikt maakten om de kieming en de voeding der bacteriën te onderhouden. Uit de proeven, door Roux genomen om dit feit in ’t heht te stellen, bleek dat zuivere bouillon, die 8 à 4 uur lang aan het zonlicht was blootgesteld geweest, het vermo- gen niet meer had om daarin overgebachte sporen te doen kiemen. Werden dergelijke buizen met dezelfde voedings- hd ( 338 ) vloeistof, waarin sporen waren uitgezaaid, in ’t zonlicht gebracht, dan ontwikkelden zich de kiemen niet meer na 2 uur. Toch waren deze geenszins gedood, want toen zij, na 7 uur aan ’t licht te zijn blootgesteld geweest, uit de vloei- stof genomen en overgebracht werden in dezelfde vloeistof, die niet in ’t licht had gestaan, gaven zij nog schoone kulturen. De proeven van Roux zijn zeker overtuigend. Men mag echter niet uit het oog verliezen, dat Roux zijne proeven nam met Bacillus anthracis en dat deze waar- schijnlijk veel meer wêerstand biedt aan de werking van het zonlicht dan de »micro-organismen’’ waarmede Dowres en Brurr proeven hebben genomen. Ook de voedingsvloeistof van laatstgenoemden (vloeistof van Pasreur en Conn) was niet dezelfde als die, welke door Roux werd gebruikt. Dit maakt, dat de proeven moeilijk met elkander kunnen vergeleken worden. Houden wij hierbij in ’t oog, dat reeds Ducraux heeft aangetoond, dat de verschillende soorten van coccus veel minder weêrstand bieden aan de werking van het zonlicht dan de sporen van Bacillus anthracis en dat in het alge- meen het weêrstandbiedend vermogen afhankelijk is van de soort, en voor dezelfde soort van de natuur der voedings- vloeistof, dan is het niet te gewaagd te vooronderstellen, dat zoowel Dowres en BruNr als Roux zeer juiste conclu- siën hebben getrokken uit hunne waarneiningen. Bij de proeven van Dowres en BruNr was derhalve de verandering, die de vloeistof onder de gezamenlijke werking van zonlicht en lucht onderging, onmerkbaar in zooverre hare voedende eigenschappen behouden bleven, terwijl daar- entegen de »micro-organismen”’ zelven werden gedood. De voedingsvloeistof, door Rovx bij zijne proeven gebruikt, onderging daarentegen vrij spoedig een zeer merkbare om- zetting, terwijl de sporen van Bacillus anthracis vele dagen achtereen aan het licht konden worden blootgesteld, zonder haar kiemvermogen te verliezen. Dat ook, buiten de voedingsvloeistof om, het zonlicht eene doodelijke werking op de sporen kan uitoefenen, was boven- pn î j ( 339 ) dien reeds door Duvcraux meêgedeeld. Na een maand in drogen staat aan 't licht te zijn blootgesteld, werden de sporen ongeschikt om zich verder te ontwikkelen. De resultaten van mijn eigen onderzoek kunnen, naar ik meen, er toe bijdragen om eenig meerder licht te doen opgaan over deze belangrijke zaak, vooral omdat de sporen van Hemileia vastatrix reeds in gedestilleerd water tot kie- ming kunnen worden gebracht en er derhalve geen rekening behoeft te worden gehouden met veranderingen, die een voedingsvloeistof kan ondergaan onder de gelijktijdige inwer- king van zuurstof en licht, en voorts omdat deze sporen, in vergelijking met die der bovengenoemde bacteriën, buitenge- woon gevoelig zijn ten opzichte van het licht. Wanneer de sporen van Hemileia vastatrix, uitgezaaid in een droppel gedestilleerd en luchthoudend water, worden blootgesteld aan het licht, dan gaan zij niet tot kieming over. Dit licht behoeft geen direct zonlicht te zijn; zelfs bj de zeer geringe intensiteit van het diffuse licht in het achterste gedeelte van het laboratorium, op geruimen afstand van het venster, gelukte het mij nimmer de sporen tot kieming te brengen. Worden deze echter in het duister gebracht, dan ziet men reeds na 2 à 21/, uur de kiembuis te voorschijn treden om na weinige uren een vrij uitgestrekt mycelium te vormen. Volkomen duisternis is voor de kie- ming niet noodzakelijk; de kieming begint, wanneer slechts de lichtintensiteit tot een zeker minimum gedaald is. Bij nader onderzoek blijkt, dat niet alleen de kieming der sporen door het licht tijdelijk wordt tegengehouden, zoodat zij eerst later begint, maar dat de sporen inderdaad haar kiemvermogen verliezen en zij, na de blootstelling aan het licht in een donkere kamer overgebracht, niet meer tot de ontwikkeling der kiembuis te brengen zijn Het verlies van het kiemvermogen of de dood der spo- ren heeft reeds betrekkelijk spoedig plaats. Bij vele mij- ner proeven, waarbij de sporen geplaatst waren op een paar meter afstand van het venster, bleek, dat na 1!/, uur reeds de meeste sporen niet meer tot kieming konden ( 340 ) worden opgewekt, terwijl na 19%/, uur alle sporen waren gedood. De tijd, noodig om de sporen te dooden, is af hankelijk van de intensiteit van het licht; op geringeren afstand van het venster, werden de sporen reeds binnen het uur gedood ; bij een geringere intensiteit, b. v. bij een bewolkten hemel, is een langere blootstelling aan het licht een ver- eischte. Bij deze proeven werd een aantal voorwerpglaasjes, waarop de sporen in een vri higgenden droppe! luchthoudend water waren uitgezaaid, in een met waterdamp verzadigde glazen kamer aan het diffuse daglicht blootgesteld. Elk kwartier werd één der voorwerpglaasjes overgebracht naar een dergelijke vochtige kamer, die zorgvuldig van het licht was afgesloten. Den volgenden dag bleek dan bij het onderzoek, dat de sporen, die langer dan 9—7 kwartier aan het licht waren blootgesteld geweest, niet meer tot kieming waren over- gegaan. Er moet hier nog uitdrukkelijk worden vermeld, dat deze nadeelige werking van het licht dan alleen op de sporen wordt uitgeoefend, als deze gelegenheid hebben gehad om water op te nemen. In drogen toestand zijn de sporen zelfs tegen eene langdurige inwerking van het directe zonlicht _ volkomen bestand. Afgeplukte koffiebladen met sporen-afsnoerende mycelia kunnen uren achtereen aan den invloed van het sterke zon- licht worden blootgesteld, tot zi geheel zijn uitgedroogd, zonder dat de sporen hierbij haar kiemvermogen verliezen. Het is derhalve de door opneming van water turgescee- rende spore, die door het licht gedood wordt. Reeds vroeger heb ik er op gewezen, dat vochtige lucht niet in staat is de kieming op te wekken; dat sporen uren achtereen in een met waterdamp verzadigde ruimte kunnen gehouden worden, zonder hare kiembuizen te voorschijn te brengen, en dat ook nimmer, zelfs niet in de vochtigste dagen van den regenmousson, de sporen in gekiemden staat op de afsnoerende mycelia worden aangetroffen. De sporen ( 341 ) moeten 2 à 21/, uur lang bij zeer geringe intensiteit van het licht in een droppel water hebben gelegen, alvorens te kunnen kiemen. Dat voorts voor de kieming tegenwoor- digheid van zuurstof noodzakelijk is, blijkt reeds uit het feit, dat ondergedompelde sporen zelden kiemen en dat dit nog zeldzamer wordt opgemerkt, wanneer het water door voorafgegane verhitting luchtvrij is gemaakt. De voorwaarden waarop de sporen van Hemileia vastatrix kiemen, zijn derhalve: water ín vloeibaren vorm, zuurstof en min of meer volkomen duisternis. Het is een zeer opmerkelijk feit, dat het licht, hetwelk in staat is de sporen der Hemileia in korten tijd te dooden, daarop in het geheel geen merkbaren invloed meer oefent, zoodra zij tot kieming zijn overgegaan, en even min op het reeds ontwikkelde mycelium. Worden de sporen in een donkere ruimte tot kieming opgewekt en daarna overgebracht in het licht, dan blijven de kiembuizen zich ontwikkelen en voortgroeien, zonder ook maar in het allerminste blijken te geven van onder de inwerking van het licht te lijden. Het klinkt zeker zeer vreemd, dat de spore, die tegen vele reagentiën en tegen uitdroging veel meer weêrstand biedt dan de kiembuis, zich tegenover het licht zoo geheel anders gedraagt. Het laat zich dan ook hooren, dat, toen Arrorne tot hetzelfde resultaat gekomen was bij zijn onderzoek naar den invloed van het licht op de sporen van Bacillus, men getracht heeft tot een verklaring te komen van hetgeen men een anomalie meende te zijn. Arrorne had namelijk aangetoond, dat 2 uren voldoende waren om allen groei van de sporen van een Bacillus te onderdrukken, terwijl de Bacillus in ve- getatieven toestand 27—30 uren aan het licht moest wor- den blootgesteld om hetzelfde doel te bereiken. Nocarp en Srrauss meenden dit ieit te mogen verklaren door aan te nemen, dat de spore bij de temperatuur, waaraan de proef was blootgesteld, juist begon te kiemen en dat de zeer jeugdige Bacillus veel gevoeliger was voor de inwerking van het zonlicht dan de volwassen bacterie, zoodat de kiemende * (342 ) spore kon worden gedood en de bacterie zelve niet onder den invloed van het licht behoefde te lijden. Om dit te bewijzen, bracht Srrauss de sporen in gedestil- leerd water, waarin geen kieming mogelijk was, en zag hij ook werkelijk dat zij, uren achtereen aan het licht blootge- steld, niet werden gedood. Hiertegenover echter bewees AmrroïNe, dat de sporen wel degelijk gedood werden, wanneer de proeven door ijs werden afgekoeld, ver beneden de temperatuur, die kieming toelaat. Eindelijk toonde Roux door een proef aan, dat de veran- dering, die de voedingsvloeistof ondergaat door haar bloot te stellen aan het zonlicht, wel voldoende is om de ontkieming der sporen tegen te gaan, maar nochthans in staat de reeds gevormde bacillen te voeden. Hoe dit ook zij, zeker is het, dat bij Hemileia vastatrix, waar de kieming in gedestilleerd water kan worden opge- wekt, het licht geen invloed uitoefent op de kiemende spore of op de daaruit ontwikkelde kiembuis. Aannemend, dat de dood der sporen veroorzaakt wordt door de zuurstof der lucht, die onder den invloed van het licht een hooger oxydeerend vermogen verkrijgt, meen ik, dat de verklaring van het laatstgenoemde feit gezocht moet worden in de omstandigheid, dat de oliehoudende reserve- stoffen van de spore zich gemakkelijker laten oxydeeren dan de verbindingen, die ten tijde der kieming uit dit reservevoed- sel ontstaan zijn; een veronderstelling, die niet te gewaagd is, nu Duvcraux heeft aangetoond, hoe gemakkelijk zich deze plantaardige vetten met zuurstof verbinden *). Het licht zou derhalve juist dezeifde werking uitoefenen op de sporen van Hemileia vastatrix, als een temperatuurs- verhooging tot 70°, volgens Roux, uitoefent op de sporen van Bacillus anthracis. Ook hier zou het de zuurstof zijn der lucht, die bij deze temperatuur zich met de vetlichamen der spore verbindt en den dood der sporen veroorzaakt f). *) Duvcraux. Sur la migration des matières grasses. dun. de t Inst. Pasteur. Aug. 1887. t) Roux. De l'action de la chaleur et de lair sur les spores de la bactéridie du charbon. Azzal. de Inst. Pasteur. Août. 1887. a dn enn eenden denkende ( 343 ) Het scheen mij toe, dat het niet van belang ontbloot was, tevens door een proef uit te maken of deze nadeelige wer- king van het zonlicht moest worden toegeschreven aan het lieht, dan wel aan sommige stralen van eene bepaalde golf- lengte. Ook deze vraag was gemakkelijk op te lossen met zulk een snel kiemend en uiterst gevoelig materiaal voor proef- nemingen. Aan Arroine, die den invloed der 7 verschillende kleuren op de sporen der bacillen bestudeerde, gelukte het niet, tot een bepaalde conclusie te geraken. Het is mij bij Hemileia gebleken, dat de nadeelige wer- king van het zonlicht op de kieming der sporen uitsluitend moet worden toegeschreven aan de blauwe helft van ’t spectrum. Als de lichtstralen genoodzaakt worden hun weg door een koperoxydammoniak-oplossing te nemen, alvorens tot de spo- ren te geraken, dan is kieming niet mogelijk; de sporen worden gedood. Als evenwel het licht een geconcentreerde oplossing van bichromas kalieus is doorgegaan, zoodat het een groot deel zijner actinische stralen verloren heeft, alvo- rens op de sporen te kunnen inwerken, gaan zij kiemen alsof zij in volkomen duisternis waren gebracht. Bij de bichromas kalicus-oplossing dient men echter in het oog te houden, dat deze niet alle actinische stralen ab- sorbeert, vooral niet indien de intensiteit van het daglicht vrij groot is, en meermalen ziet men dan ook, als men geen voldoende voorzorgsmaatregelen genomen heeft, dat de sporen niet tot ontwikkeling komen. Naarmate de intensiteit van het licht sterker is, moet de dikte der vloeistofmassa grooter genomen worden. Het een- voudigst laat zich dit regelen door een proef met photo- graphisch papier. Dit gebruikend, zag ik, dat telken male als de sporen in de roode kamer niet tot kieming overgingen, er dan nog actinisch licht werd doorgelaten van genoegzame intensiteit om het papier te kleuren. Het chloorzilver-albumine-papier leent zich hiertoe beter dan het broomzilver-gelatine-papier. Dit laatste is te ge- ( 344 ) voelig en moeilijk is het de hoeveelheid vloeistof zoo te regelen, dat dit papier in ’t geheel niet meer gekleurd wordt. Als nu de intensiteit van de blauwe helft van het door- gelaten licht in die mate verzwakt is, dat het chloorzilver- albumine-papier in de roode kamer niet meer wordt aange- daan, dan ook kiemen de sporen in dit roode licht even goed als in het donker. Een nader bewijs voor de stelling, dat de nadeelige wer- king, die het zonlicht uitoefent op de sporen van Hemileia vastatrix, uitsluitend moet worden toegeschreven aan de blauwe helft van het spectrum, is gelegen in het feit, dat de sporen. ook in het sterkste petroleum-licht, even goed en even snel kiemen als in volslagen duisternis. De actinische stralen van het petroleum-licht hebben een te geringe in- tensiteit om een nadeeligen invloed op de sporen te kunnen uitoefenen. Buitenzorg, Juni 1888. INHOUD Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 26 Mei 1888. Rapport over de verhandeling van den Heer Dr. V. A. Juurus: Over de dubbellijnen in de spectra van natrium, magnesium en alumi- nium; uitgebracht in de vergadering van 26 Mei 1888.......…. Over de kwantitatieve bepaling van raftinose; door Dr. J. W. GUNNING. Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 30 Juni 1888. Rapport over eene verhandeling van den Heer Dr. JAN DE Vries: „Over de harmonische configuratie (243, 18 )”; uitgebracht in de Nermedertne van-30-Juur 1883 nlnornr sneae ee s end arken Over de harmonische configuratie (243, 18,); door Dr. JAN ne VRIES. Rapport over de verhandeling van den Heer Dr. J. T. OvpEMans, getiteld : Beiträge zur Kenntniss des Chiromys madagascariensis; uitgebracht in de vergadering van 80 Juni 1888............…. Rapport over eene verhandeling van den Heer Dr. P. H. Dors: „Over eenige formules, betrekking hebbende op de veranderingen in samenstelling der oplossingen, door druk en temperatuurs-veran- deringen bewerkt”; uitgebracht in de vergadering van 30 Juni 1888. Over eenige formules, betrekking hebbende op de veranderingen in samenstelling der oplossingen, door druk- en temperatuurs-veran- deringen. bewerkt; door Dr. P. H. Dosrs. ,.............. __Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 29 Sept. 1888. Missive aan Zijne Excellentie den Minister van Waterstaat, Handel en Nijverheid, over den tegenwoordigen stand van het onderzoek Hef lmuortacGönimisele sn. iEst oor gemaa Bld De constructie-figuur voor de oplossing van een stelsel lineaire ver- gelijkingen, beschouwd als configuratie; door F.J, VAN DEN BERG. Rapport over de verhandeling: Algemeene eigenschappen van de zui- ver rollende beweging van een omwentelingslichaam op een ho- rizontaal vlak, toegepast op de beweging van een omwentelings- lichaam om een vast punt van zijne as, door Dr. G. ScHOUTEN ; uitgebracht in de vergadering van 29 Sept. 1888...........…. Algemeene eigenschappen van de zuiver rollende beweging van een omwentelingslichaam op een horizontaal vlak, toegepast op de beweging van een omwentelingslichaam om een vast punt van zijne as; door Dr. G. ScHoOUTEN. (Met één Plaat)... Over den invloed van het licht op de kieming der sporen van Hemileia vastatrix BERK. en BrR.; door W., BuRckK............. Overzicht. der boekwerken, door de Koninklijke Akademie van We- tenschappen ontvangen en aangekocht..............…. . . tees es bladz. 174. 117 197. 206. 210. 220. 228. 226. 250. 264. 267. 289. ‘STOOMDRUKKERIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. _ VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN | KONINKLIJKE AKADEMIE WETENSCHAPPEN. Afdeeling NATUURKUNDE. DERDE REEKS. hmtde eit. Dette Stuk. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1889. lat poe. Oef PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 27 October 1888, Tegenwoordig de Heeren: VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Voorzitter, Husreonrt, BenReENs, GRINWIS, Muuper, Hoek, _ MARrriN, vaN Dorp, Rijke, Korreweeo, Mac GrLLAvRy, FRANCHIMONT, DE Vries, HoOFFMANN, ZAAIER, ZEEMAN, Bierens pe HAAN, Forster, RAUWENHOFF, SCHOLS, SCHOUTE, KarrryN, Srokvis, LORENtTz, ÀA. C, OupemANs JR, Buys Barot, vAN Diesen, Mrcnaöris, DrBairs, PEKELHARING: ENGELMANN, J. A. C. OupemaNs, Prace, HOOGEWERFF en C. A. J. A. OupemaNs, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. G. F. Westerman, Directeur van het koninklijk zoölogisch Genootschap: Natura Artis Magistra te Amster- dam, 1 October 1888; 20, G. J. W. Bremer, Secretaris van het Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke Wijsbegeerte te Rotterdam, 7 October 1888; 30. H. Herven, Bibliothecaris van het provinciaal Genootschap van Kunsten en Wetenschappen te 's Hertogenbosch, 4 October 1888; 40, FE, Krauss, Bibliothecaris van het Verein für vater- VEESL. EN MEDED, AFD. NATUURK. ZU BEEKS. DEEL \V. 23 ( 346 ) ländische Naturkunde te Stuttgart, 19 Mei 1888; 50. den Bibliothecaris der Academia Romana te Bucharest, 5 Oc- tober 1888; 60. Borora, Secretaris der Société Khédiviale de Géographie te Caïro, 18 October 1888; 70. H. Burenss, Secretaris der Boston Society of natural History te Boston, 14 Februari 1888; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 10. G. C. W. Borrensiee, Conservator van TeEyrer’s Stichting te Haarlem, October 1888; 20. FörstEMANN, Ár- chivaris der kön. sächsische Gesellschaft der Wissenschaf- ten te Leipzig, 20 April 1888; 30. den Secretaris der Ge- sellschaft für bildende Kunst und Alterthümer te Emden, 15 Augustus 1888; 40, E. Bureess, Secretaris der Boston „Society of natural History te Boston, 27 Februari 1888; 50, den Bibliothecaris van den State Board of Agriculture of Michigan, April 1888; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — De Heeren BreRuNs pr HAAN en VAN DEN Bere zijn nog niet gereed met hun rapport over de verhandeling van den Heer Dr. JAN pe Vries. Hene nieuwe verhandeling van denzelfden auteur: »Over eene groep van regelmatige configuraties”, inmiddels ter plaatsing in de werken der Akademie bij den Secretaris ingekomen, woidt door den Voorzitter om advies in handen gesteld derzelfde Commissie. — De Heer BrnreNs spreekt over eene geologische excursie, door hem in den Eifel gedaan, om aldaar gesteenten te ver- zamelen, tot hiertoe niet onderzocht. Bij deze gelegenheid hebben ook de vulkanische meren, de Eifeler » Maare", zijne aandacht getrokken. Deze zijn, zijns inziens, niet door instorting van uitgedoofde vulkanen ont- staan. Ware dit zoo, dan zou men de koppen der afgeknapte lagen moeten kunnen zien, en meren met oevers van bazalt- lava moeten vinden, beantwoordend aan de talrijke bazal- tische vulkanen van den Eifel. ( 347 ) De spreker deelt vervolgens de uitkomsten mede van proeven, door hem genomen met het uitblazen van kuilen in verschillende losse materialen, door openingen, op ver- schillende diepten daarin aangebracht. Het is hem bij deze proeven gebleken: 10, dat in fijne en lichte materialen, b. v. fijn poeder van puimsteen en tras, steeds trechtervormige, naar onder nagenoeg cilindrische kolken ontstaan, besloten in vrij hooge en steile kegelvormige opstortingen ; 20, dat bijmenging van grover en zwaarder materiaal de wijdte der kuilen doet toenemen, terwijl de diepte afneemt en de bodem vlak wordt; 30. dat de bijmenging van zulk zwaar materiaal tot on- dermijning in de diepte en daarop volgende instorting aan- leiding kan geven; 40, dat de bijmenging van betrekkelijk groote brokken en scherven aanleiding geeft tot opheffing, en tot eene schif= ting, die ten gevolge heeft, dat het lichtste materiaal — puimsteen — aan de oppervlakte komt en dat hoofdzakelijk dit lichtste materiaal weggeslingerd wordt. De kuil wordt hierbij zeer wijd en ondiep, de rand steil, zijne ophooging onbeduidend. De Heer BEHRENS meende op grond van een en ander te mogen aannemen, dat de Eifeler meren als niet voltooide vulkanen moeten opgevat worden, en dat zij gevormd zijn geworden door het murw worden en het lang voortgezette uitblazen van het sedimentaire gesteente, waarbij dan slechts weinig lava aan de oppervlakte gebracht werd. Ten slotte werden modellen vertoond, verkregen door het inpersen van gipsmortel in kegelvormige hoopen van zand en puin. Deze modellen moesten bewijzen, dat centrale uitholingen in vulkanische kegels en centrale opvullingen met eruptieve gesteenten, die von Hocrsterrur tot uitsmel- ting meende te moeten terugbrengen, op meer eenvoudige wijze, nl. door zijdelingsche uitspreiding en omkorsting van lavakolommen kunnen verklaard worden. Al naar de mate van vloeibaarheid der ingeperste specie en de geaardheid yan den zand- of puinhoop, konden peervormige, cilindri« 23° ( 348 ) sche en veelvuldig vertakte kernen, met of zonder krater- openingen, verkregen worden. — Voor de Verslagen en Mededeelingen worden aange- boden, door den Heer Grinwis een opstel, getiteld: » De energie van den bolvormigen condensator”, en door den Heer Scnors, uit naam van den Heer vAN DEN Bere, diens: »Henige formulen voorde berekening van de Bernoulliaansche en van de tangenten-coëfficiënten”’. — Voor de Boekerij der Akademie worden aangeboden: 1. door den Heer Marin, diens » Aanteekeningen bij eene geognostische overzichtskaart van Suriname”; 2. door den Heer BriereNs pe HAAN, uit naam van het wiskundig Genootschap: >Een onvermoeide arbeid komt alles te boven’: »Register naar eene wetenschappelijke verdeeling op de werken van het wiskundig Genootschap: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven”. 8. door den Heer pr Vries, uit naam van den Heer Dr. Rrrzema Bos te Wageningen, diens: a. L'anguillule de la tige et les maladies des plantes dues à ce Nématode; b. Landbouwdierkunde; ec. De dierlijke parasieten van den mensch en de huisdieren ; en nog enkele kleinere brochuren over zoölogische onderwerpen, — Eene verhandeling van den Heer J. CARDINAAL, leeraar aan ’skijks H. B. S. te Tilburg: » Meetkundige theorie der scheeve oppervlakken der vierde orde’ wordt in handen gesteld der Heeren ScHoure en BrereNs pe HAAN, om daar- over, zoo mogelijk, rapport uit te brengen in de volgende Vergadering. — Daar er verder niets te verhandelen is, wordt -de Vergadering gesloten. DE ENERGIE VAN DEN BOLVORMIGEN CONDENSATOR. é DOOR 8 k C. H. C. GRINWIS. ; 1. De potentieele electrische energie van een stelsel ge- __ leiders heeft tot waarde k RN AREN tn A led UK waarbij het somteeken geldt voor de producten der electri- ___sche massa’s MZ met de overeenkomstige potentiaalwaarden V voor iederen geleider. | Laat men de bewegelijke geleiders, wier ladingen onver- anderlijk worden ondersteld, aan zichzelve over, zoo geven zij-aan de electrische werkingen, die tusschen hen bestaan, gevolg; de arbeid dier krachten is positief en de energie van het stelsel vermindert. Is A de arbeid der electrische krachten, zoo zal, inge- volge het beginsel van behoud van arbeidsvermogen, Oer al en ie Uit (1) volgt, dW=iE2Md Sat doch daar de ladingen constant blijven, vervalt de laatste term en wordt ( 350 ) WENEN. ee Daar dan eene positieve waarde van d A, volgens (2) eene negatieve waarde van d W met zich brengt, de energie dus afneemt, wordt volgens (3) ook d V negatief; de ver- plaatsing der geleiders vermindert hunne potentiaalwaarden. 2, Zijn voor twee geleiders de electrische ladingen Men Ms, de totale potentialen over die geleiders Vj en Vs, zoo bestaan tusschen deze vier grootheden de betrekkingen, V, =p Mi + p! My Vo=p! M; + pe Mz .. (4) waarin py pl en pz de potentiaalcoëfficiënten van het stelsel aanduiden ; zooals bekend, zijn het positieve grootheden van de afmeting Ll, terwijl pl De factoren qj en qz worden de coëfficiënten van capaci- teit, ql de inductiecoëfficiënt der beide geleiders op elkander genoemd. Substitueeren wij de waarden van M, en Ms uit (5) in (4), zoo volgen twee identische vergelijkingen in V, en Vs, waaruit voor de 6 coëfficiënten p en q de volgende drie onafhankelijke betrekkingen ontstaan : panteg=l plgl Appgg=l pig! + p!g =0..(6) zoodat de 3 coëfficiënten g uit de 3 coëfficiënten p kunnen worden afgeleid en omgekeerd. _ Voor een bolvormigen condensator met concerts ge- leidende schil als buitenoppervlak, volgt (zie onze bijdrage »Over den invloed van geleiders op de verdeeling der elec- trische energie’, Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, 34e Reeks, Deel II, blz. 31—32), als a de straal van den bol, 5 en 5! de stralen van de daarom geplaatste schil aanduiden : (aak) Bel Ì 1 eri, 1 Mn sr Te a dus, in gevolge vergel. (6), Ree) ab ab ab ss ll — d Db 1 b—a ’ q ba. VE) ar beb 8. Bj dezen condensator onderscheiden wij, als de massa M; eonstant is, twee gevallen: le Wanneer de tweede geleider (de schil) geïsoleerd en neutraal is, dus M, == 0, zal | A stond de kern alleen, zonder schil, zoo ware bij dezelfde lading Mi derhalve waarin f< 1. De schil vermindert dus de potentiaalwaarde der kern. 2e. Als de schil is afgeleid (met den grond verbonden), volgt Vz =p Mi + pz Mz = 0; dus en de potentiaal der kern wordt in dit geval | Pipe —Pp* ba Vi =p tp M= tlas Tet M, ( 352) of a\ M; a\ —= Vo! =il—-- zelle Vz=gV | zj 4 é waarin gat 4 zoodat Vr Mn de. potentiaal der kern wordt bij constante lading door de tegenwoordigheid der neutrale schil verminderd en die ver- mindering neemt toe, wanneer de schil daarna met den grond verbonden wordt. 4, Voor de potentiaal vonden wij, bij bet aanbrengen en daarna afleiden van de schil, steeds kleinere waarden; het- zelfde geldt voor de electrische energie van het stelsel. Daar dit stelsel uit twee geleiders bestaat, volgt uit (1) en (4) WM u, Va) = à (pi Mt + 2p! MM, + pa M3°) dus voor den condensator, ingevolge de in (7) gegeven waarden, Wynn Ee dk Watt) A + En EM, Mt gel Is de schil niet aanwezig, zoo is wm U 2a Is de schil neutraal en geïsoleerd, dan My == 0 en w ee mezi Wenn AVENE ER fe) Is de schil afgeleid, dan geeft (4) voor V,= 0 id: M, de Pa ( 353 ) dus, daar wegens (7) pl = pz, _ de energie van den condensator wordt dan 2 EA A ie e: ‚arl 1 en Ln JW a & \ b De energie van den condensator wordt derhalve door de tegenwoordigheid der neutrale schil verminderd; die vermin- dering neemt toe, wanneer de schil daarna wordt afgeleid. Dezelfde regel geldt dus voor de energie als voor de potentiaal der kern en wel zijn beide grootheden steeds evenredig aan elkander. 5 Nemen wij thans aan, dat de potentiaal V, der kern constant gehouden wordt en onderzoeken wij de verandering der lading M, voor de beide gevallen 1° dat de schil geïso- leerd en zonder lading is, 2° dat de schil met den grond is verbonden. Wij hebben dan: 1e. Als de schil neutraal (zonder lading) en geïsoleerd is, 1 M= Vi +92 Va =0 n=, 7 2 M= Vi +g! n=| dus wegens (7), abb' A Eb ab sEab | Zonder schil is bij dezelfde waarde V, de massa M be- paald door dus wordt waarin weder dus M, > M,; de massa op de kern is door toevoeging der neutrale schil toegenomen en wel met een bedrag ge, Als de schil is afgeleid (met den grond verbonden) dan ab b 6 V‚,=0 M= Vz Vi=z= M 2 Om A Den WEG a bee M= Me, ke é b waarin weder a =D 9 b dus mg eh 5 zoodat de massa weder is toegenomen en die toename be- draagt meer dan toen de geïsoleerde schil werd aangebracht. Immers die toename is voor de afgeleide schil As M: En Een M, en blijkbaar is AM > AM \ (355 ) 6. Onderzoeken wij thans bij constante potentiaal de waarde der energie van het stelsel, uitgedrukt door Wy =$ (a Vi® +2g! Vi Va + 3 Vo°). Is alleen de kern aanwezig, zoo is „daar nu mn en terwijl in dit geval Ì Dre gn zal W nn 1 a pas Onderscheiden wij verder ieder der beide gevallen, dat de schil geïsoleerd, zonder lading en met den grond verbon- den is. le. Schil geïsoleerd en zonder lading. M=nVN+a Vs, M= Vi + ge Vo q M=.) dus Vy= —= V, qz en de energie wordt 2 q'? Wz (o pese vet 7e) Ja =} Vi? Bed) a a55 q2 ab + bb —ab') Ae ab + bb —ab Eed Ra: zoodat ( 356 } derhalve daar fz 1, Week terwijl voor de vermeerdering van W volgt rt bb ne pan hor AN ab + bb —ab b b TEK a b —b 2e, Schil met den grond verbonden. In dit geval is V‚ == 6, derhalve ab b W', == Pe de W, 2 2 1 1 9 (b en a) 1 b ES zoodat j R W', omme W 9 dus w'' Ed W en voor de vermeerdering der energie volgt in dit geval a ES zoodat AW>AW ea Wi>Wi> Wi, terwijl 1 l Rd Ae wanneer dus de schil met den grond verbonden is en de kern op standvastige potentiaal wordt gehouden, heeft de energie van het stelsel hare maximumwaarde. (357 ) 7. Vergelijken wij de grootste en kleinste waarden van W met de middenwaarde (waarbij de kern alleen aanwezig is), dus met paas MM? ader A Wijs B (4 zoo geeft het boven gevondene voor b—a de kleinste waarde, W', = A = 5 b de grootste waarde, W',= B =- 8 b—a g hieruit volgt, 4 B == C° zoodat de electrische energie van den kern, wanneer de schil verwijderd is, middenevenredig is tot de minimum en maximum waarde der energie van het stelsel; in het eerste geval bij constante lading van den kern, in het tweede geval, wanneer die kern eene con- stante potentiaal heeft. — Die minimum en maximum waar- den treden beiden op, wanneer de schil met den grond is verbonden. Utrecht, October 1888. EENIGE FORMULEN VOOR DE BEREKENING VAN DE BERNOULLIAANSCHE EN VAN DE TANGENTEN-COEFFICIËNTEN. DOOR F. J. VAN DEN BERG. Evenals in mijne vroegere, in de Verslagen en Mededee- lingen, Afdeeling Natuurkunde, 2e Reeks, Deel XVI, 1e Stuk, 1881, blz. 74—176, opgenomen bijdrage » Over perio- dieke terugloopende betrekkingen tusschen de coëfficiënten in de ontwikkeling van functiën; meer in het bijzonder tus- schen de Bernoulliaansche en ook tusschen eenige daarmede verwante coëfficiënten”, ga ik ook in het onderstaande uit van de bepaling der Bernoulliaansche en der tangenten- coëfficiënten als coëfficiënten in de ontwikkeling van twee der meest eenvoudige goniometrische functiën. In aansluiting namelijk aan blz. 82—83, 84—85 en l54—155 van die bijdrage stel ik de beide ontwikkelingen en Es T: (29)! Dor C5 ee} eh Do | bef Pan DO [ax KO |Q || je 8 vo Q | mt op den voorgrond, waarin weder, omdat de gebezigde boog . ij . . niet z zelf, maar 5 Is, Baj den qden Bernoulliaanschen of verkleinden cotangenten-coëfficiënt en Toj—j den qe" ver- kleinden tangenten-coëfficiënt beteekent, zijnde ook nu slechts ( 359 ) voor de regelmaat en de beknoptheid der formulen de op zich zelf eigenlijk overbodige notatiën B ‚ = —-l en T_, == 0 als vooropstaande of Ode coëfficiënten ingevoerd, terwijl overigens ook in het verdere het teeken p! steeds in plaats van het gedurig product 1.2.83...p staat, zoo- p + 1)! + 1 l is te hechten. Al dadelijk geeft nu de formule dat blijkens p! == aan het symbool 0! de waarde % cot° ——1 ee 2 cot ad z Ë S cot — — 2 cot” = COt zz tg 2 2 x Jg COR 2 door in haar eerste en haar derde lid, uitgedrukt in de coëfficiënten B en 7, de coëfficiënten van den algemee- nen term #2! onderling gelijk te stellen, de betrekking 2(2°7—1) Bag-1= Pog-1; en deze doet alzoo iedere for- mule voor de Bernoulliaansche coëfficiënten tevens als eene zoodanige voor de tangenten-coëfficiënten kennen, en omge- keerd. Deze betrekking eens en vooral gevonden zijnde, zul- len wij ons dan ook in het volgende, alwaar gewoonlijk de formulen in 7 een meer beknopten vorm hebben, in den regel tot deze formulen bepalen, zonder ze nogmaals neêr te schrijven in den gewijzigden vorm dien zij verkrijgen door voor iederen 7 de waarde uitgedrukt in den overeenkom- stigen B in te vullen. Vooreerst heeft men nu, overgaande van goniometrische tot exponentiale functiën en daarbij als gewoonlijk door e de Neperiaansche logarithmen-basis en door d de onbestaan= bare eenheid verstaansle, ee Ed” 2 Un on ETT BTS TE 9 gen ZEN A) Mi € t-€ en dus, vervangende e door — ix en gelijktijdig de boven- staande tangenten-ontwikkeling toepassende, z Tag — 4 log tgene 17 2) ECHT Li 2 HE ee + 1 Denkt men zich hierin het laatste lid volgens de reeks van MacLAURIN ontwikkeld, dan komt onmiddellijk door geliijk- stelling van den coëfficiënt van «°—!l aan den gelijknami- gen van het voorlaatste lid: 2 a mn, d2a—! 1 2 er + 1 ED (£=0) | hetgeen onder den vorm d2a—l 2q—1 2 (2271) 2g er + ‚| Bag = =(—# 1 7 EPEN naar behooren dezelfde differentiaal-uitdrukking voor den gien Bernoulliaanschen coëfficiënt geeft als onder anderen bij R. Lorarro, Lessen over de differentiaal- en integraal- rekening, 2° Deel, le Afdeeling, 1852, blz. 374—376, en bj S. EF. Lacrorx, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2e Hd, Tome 3, 1819, blz. 107—114, uit andere gronden volgens LaPrLacE is afgeleid. Aldaar wordt dan verder uiteengezet hoe LarLacm, door het (29 —1l)® differen- tiaalquotient van de functie op te maken eensdeels ï et + Ì onder ‘den vorm eener eindige breuk met (et + 1)°7 tot noemer en met onbepaalde coëfficiënten voor de 2g—l eer- ste magten van ef in den teller, ten andere onder den vorm mad eener oneindige reeks komende door eerst die functie 5 pe s ” Ond verdie ien Nd nde cd ( 361 ) zelve volgens de negatieve magten van ef te ontwikkelen, tot zijne formule voor de regtstreeksche of onafhankelijke berekening van een willekeurigen Bernoulliaanschen coëfficiënt geraakt is. Deze formule, die zich, weder in 7- in plaats van in B-vorm, en gebruik makende van dubbele X'-teekens en van de gewone notatie voor de binomiaal-coëfficiënten, aanvankelijk aldus laat schrijven: 2g—l n—l 122? En OT Tag - =d) Ee | 7) amen, levert het groote voordeel op dat zij zich in het tweede lid tot slechts het halve aantal onder het eerste 2'-teeken staande termen laat terugbrengen: immers, op grond dat de (2g—l)° magten van de natuurlijke getallen eene reken- kundige reeks van de (2g—1)® orde vormen en dus hunne (2g)° verschillen allen gelijk nul zijn, heeft men 2q Er (Planer 0 r of, omdat hierin de term voor r == »n van zelf gelijk nul is, n—l ren rl, Je oer ite [7 Dante, waaruit volgt, vervangende in den tweeden ='-term den wil- lekeurigen veranderlijken aanwijzer r door 2q—r en daarbij 2q \ al en lettende, op ä ) Ee etvende n—l pr or () eee gnl en y | WN eam: en het blijkt alzoo dat in gezegde formule telkens elke VERSL. EN MEDED. AFD NATUURK 3de REEKS. DEEL V. 24 ( 362 ) twee evenver uit het midden verwijderde termen, in » en 2g—n namelijk, onderling gelijk zijn, dat dus ook de mid- delste term, voor n =g, op zich zelf staat, en dat bijgevolg GAPLACE zijne formule teregt heeft kunnen inkorten tot wat weder in 7- en in 2'-vorm luidt: gl (ri n= pen Ee {7 arj ” qg—l a err | Aa (grat on On (1) Maar ook zonder een beroep te doen op de reeks van MacrAuRIN kan men de bovenstaande onderlinge gelijkheid Op, q der twee voor — {tg — verkregen waarden bij voorbeeld als volgt onder anderen vorm verder ontwikkelen. Men heeft En hierin laat zich nu substitueren (er 1) = je (—)r 8 gna — 5 (—y Ù > pee, welke substitutie vooreerst wegens het ontbreken van alle even magten van # in het eerste lid der vorenstaande ge- lijkheid aanleiding geeft tot de opmerking dat in de uit- komst de coëfficiënt van elken term x% voor s= 2g gelijk nul moet zijn, dat is 2q n—lì wrd (fenn =0, (waarin namelijk voor r de bovengrens n door n—l ver- B hant ( 363 ) vangen mogt worden omdat voor r=n de term (n—r)? verdwijnt, terwijl voor n de bovengrens van oo tot 2 g mogt verminderd worden omdat volgens het zoo even reeds her- innerde de (2g + 1)°, en ook alle hoogere, verschillen van de reeks der (2g)° magten van zelf gelijk nul worden). Maar ten andere geeft diezelfde substitutie door onderlinge gelijkstelling, voor s=2g—l, van de coëfficiënten van zl, en met inachtneming van eene overeenkomstige grens- verlaging, en na vermenigvuldiging met 2%-—l,(2q—l)!, de formule: 22g— B! Tag = 271 ien ED (—)"—! 22g nel 8 (—)" 7 (” _ r)2g—l == (2) r 2y—l n—l EE ‚5 (yr 122 n ji or) Eee, waarin namelijk als vereenvoudigde vorm het laatste lid mogt worden bijgeschreven op grond van in n! Ien ld) HE ee In plaats van, zooals hier geschied is, in het tweede of het derde lid voor ieder der 2q—l waarden van „n den in de ontwikkeling van (e?—1)* voorkomenden coëfficiënt van den term zl zelfstandig in D-vorm uit te drukken, kan men deze coëfficiënten voor de opvolgende n ook geschikt door eene terugloopende formule uit elkander afleiden. Uit- gaande namelijk van dézen vorm van ontwikkeling: cl Ees, waarin men wegens er—l —=r + enz. de veranderlijke s werkelijk eerst bij n als benedengrens behoeft te doen aan- vangen, en opmerkende dat 24* ( 364 ) (err Lln) Galo A BN Ceed PE nl (n—1)! d is, verkrijgt men door substitutie hierin: oo ica e WER Pis rn Ke on B Pag 9 Lt +5 he en na dus, ten einde de coëfficiënten van #5! in beide le- den onderling gelijk te kunnen stellen, in het tweede lid de willekeurige veranderlijke s door s—l vervangen te heb- ben, geeft deze gelijkstelling de algemeene herleidingsformule Eis —— n Pis! nn Pestast voor de coëfficiënten P. In aanmerking nemende dat voor n= l alle Pi;==l1l bekend zijn, en evenzeer voor s == n alle P‚„ == 1, vult men door deze formule gemakkelijk de volgende (err nl Tabel der coëfficiënten Ps van E in s! en | en oa da | DN enn em bss Annmmnmnmmmd mmmmmd ensman Meere A eee ee a nnn Ee enmmnememmmmstas Eeen Kennen mnd (365 ) in, waarvan alzoo de beteekenis is dat men voor eenige nn EL waarde van xn de ontwikkeling van EL verkrijgt door de som te nemen der producten van de coëfficiënten voor- komende in de door deze n aangewezen rij met de daar- boven staande termen aan het hoofd der tabel. (In het voorbijgaan zij hier herinnerd dat de coëfficiënten der tabel dezelfde zijn die voorkomen in de formulen voor de eindige differentiën der opvolgende orden van eene willekeurige func- tie uitgedrukt in de differentiaal-quotienten dier functie : im- mers voor y= f(z) in verband met y + Ay==f{\rs + h) geeft het theorema van TaAyror, wanneer men daarop eene symbolische schrijfwijze toepast, ee hs ds 4 Arzt thor HE tis, rds EPS en dus de herhaling van dezelfde bewerking in het algemeen DN 5 ee di) Jo zoodat ook te dezer zake, zij het symbolisch, eene uitdruk- king van denzelfden vorm (e‘—l)’ als zoo even optreedt. De vorenstaande tabel komt dan ook werkelijk te voor- schijn indien men de onder anderen bij LoBarro op blz. 335 uit zijne herleidingsformule () (m1) (x) | Ë, Ei le d He opgemaakte tabel der coëfficiënten p voor de gezegde diffe- rentiën vereenvoudigt door de opvolgende rijen te deelen door hare eerste termen 1! == 1, 2!=2, 3! =6, 4! == 24, ol 120, 6! == 720, 7! == 5040, enz, hetgeen nederkomt op den overgang van zijne tot onze coëtficiënten volgens p” = nl P„; en den daaruit dadelijk en naar behooren voortvloeijenden overgang van zijne herleidingsformule in p tot jde onze in P. Ter zake van vorenstaande tabel vond ik overigens nog aangehaald Lacrorx, blz. 124 en 800, en L. Eurer, Differentialrechnung, 2er Theil, 1790, blz. 59—63). (366 ) De substitutie nu in de formule («) van de op deze wijze in de coëfficiënten P uitgedrukte (er—1)” geeft jn —_)1—! Ta El ger ent Hel (29)! Ï waarbij wij niet op nieuw stilstaan bij het noodwendig ver- dwijnen van den volledigen coëfficiënt van iedere even magt van ws in het tweede lid, maar daarentegen door onderlinge gelijkstelling der coëfficiënten van de algemeene oneven magt a2g—l in beide leden, na dezelfde grensverlaging voor n en dezelfde vermenigvuldiging met 2%-l.(2g—l)! als bij (2), besluiten tot: | 2g —1 22 2 (—)7—! ET U JE (—)r-l 22 nl Poag-1- (2) En deze formule, die in wezenlijkheid slechts een andere, terugloopende, vorm van den zelfstandigen vorm (2) is, be- hoeft aan de vorenstaande tabel dus telkens slechts de geza- menlijke coëfficiënten Z’ eener zelfde kolom van oneven rang- orde 2q—l te ontleenen: voor de hier te maken toepassing zijn de even kolommen allen overbodig, en dit geeft dan ook aanleiding tot het regtstreeks zamenstellen voor ons doel van de tabel in zamengedrongen vorm, met behoud namelijk van alle rijen maar alleen van de oneven kolom- men. Daartoe dient in plaats van de bovenstaande van s op s—l terugloopende herleidingsformule voor P eene an- dere te komen, die telkens van s op s—2 verspringt; en zulk eene verkrijgt men door het toenmaals gevonden eerste (Ir n\ differentiaal-quotient van nogmaals te differentiëren en in de uitkomst dit quotient zelf, zoowel voor n als voor _n—l, te substitueren, hetgeen geeft (er—1)" ä (er—1)® E (er—1je-! d? laks n! (n—l)! er tbe: da 4 dz zin , (er—l)n (er— 1)! (er—1)"—? (n—l)! — (n—2)! (367 ) dat is rs Ss xs e , xr: nd ON Pr —2)! n s! sl s| XS Ee Liban ’ waaruit, na vervanging in het tweede lid van s door s—2, de bedoelde formule Par == n° tE, + (2 n—l) Bte? == Pas? komt. Deze formule die, ware het noodig, even goed voor het zamenstel der uitsluitend even als voor dat der oneven kolommen zou kunnen dienen, strekt alzoo tot grondslag van de volgende in ons geval toereikende LS Tabel der coëfficiënten P‚‚ van de oneven termen er in 8; ee —Ij n! ( 268 ) Hiermede afstappende van hetgeen voor ons doel wit de _ ontwikkeling van («) voortvloeit, gaan wij over tot het opmaken van andere, meer eenvoudige, formulen voor de onafhankelijke berekening van de tangenten- en dus ook van de Bernoulliaansche coëfficiënten. Wij beginnen daarbij, ten einde zoo straks een herhaald gebruik van de uitkom- sten te kunnen maken, met een onderzoek naar de ontwik- keling, zoowel in zelfstandigen als in terugloopenden vorm, eener willekeurige magt van den sinus uitgedrukt in de magten van den boog. Hiertoe kan als uitgangspunt de formule nat == Ee _y Ë | dry=r (eier — Oi ) en -2r)ir — Ee (—y pe y; (aar) (n— jen 0 T r ) len ro \2 sin £ sin x dienen. Maar omdat — — en dus ook | —-| slechts de 5 es positieve even magten van z bevat, kunnen in het laatste lid geene andere magten dan van den vorm 4” +? voor- komen. Vervangende dus aldaar s door n + 2s, keerende de volgorde der beide sommatiën om, en deelende door #, verkrijgt men vooreerst (Zn y: (—) Cn En ain (n—2ryr ts, (n + 25)! 5 in welke formule echter de onder het tweede E-teeken staande termen tot slechts het halve aantal zijn terug te brengen omdat steeds \ or (jennen er (o) ee ete is, dat is elke twee evenver uit het midden verwijderde ter- men, in r en n—r, onderling gelijk; zoodat men, deelende Seide mhd nn PT ee ( 369 ) door 2, en ingeval van even » opmerkende dat dan de mid- Nn delste term, voor r == 3 van zelf gelijk nul is, en dat dan tevens overal “ —2r=—=2 5 — ’) kan geschreven en verkrijgt (voor oneven 7) \ ad | gn+2s JE en hei "arj (n +25)! Dr ln? REN) (voor even 7) 5! Sr" Ve +291 5 Thans de ontwikkeling derzelfde functie sin" # volgens te- rugloopende coëfficiënten. Stel daartoe ny za 2s sn Mir 0 On (n 425)! dan make men gebruik van „sina sin? —\xcosa n\ (n—l)! — sing + (n—1l)sin? (1 —sin?r) da? da En (n—l)! sin? « sint? x == — n? d n\ (n—2)! dat is bij substitutie an r2s-2 znt2s Dn EEN Ed En ER 2 Cueta os +251 gn+2s-2 + Ey Ors n+-2s—2 (nF 2e—2)l (370 ) Vervangt men hier, ten einde de coëfficiënten van gn+2s-? in beide leden gelijk te kunnen stellen, in den eersten term van het tweede lid den veranderlijken aanwijzer s door s—l, dan geeft deze gelijkstelling de herleidingsformule nn Ze nr nn +2s—2 + Oe a aen voor de coëfficiënten Q. Ofschoon dus deze formule in ver- band met (/2') even goed voor even als voor oneven waar- den van »n geldt, is echter voor even n de invoering van verkleinde getallencoëfficiënten Q' mogelijk en bij de toe- passing verkieslijk. Stel namelijk dat in dat geval ieder dezer nieuwe coëfficiënten Q@ met den geliijjknamigen oor- spronkelijken coëfficiënt Q zamenhangt volgens Qu.n +25 = —= 22 V'yn42s (waarin dus telkens de exponent van 2 gelijk is aan het verschil der beide aanwijzers van Q of Q)), dan kan men vooreerst de formule (/?') bij vermenigvuldiging met 2% schrijven onder den vorm (2 sn Cen (2 zr +25 2s te sa oe De DEs nr, PEPI en ten andere de daarin alsnu voorkomende coëfficiënten Q' uitrekenen door de herleidingsformule g n OEE == (5) Oeren + Onee. seins komende door de drie termen van de evengevonden formule in Q@ opvolgend te deelen door de drie, ieder aan 2°% ge- lijke, waarden 2+2s—rn, 22, lnt2s-2)—z en Ztls l)—(n—2), In aansluiting nu aan de twee omschreven, oneven en even, stelsels, en in aanmerking nemende eensdeels dat in ({5') voor nisl ie zt 55 EE br ne (Ll 425)! +- 25)! (871) alle Qi142s == l en voor s == 0 alle Q‚n = 1 bekend zijn, anderdeels dat in (/3") voor n= 2 wegens (2 sin zo) x)? Ik (2x)? +25 ] == 4608 Pe Dre Dn alle Q's24,2;=—= 1 en voor s=0 alle Q'‚„ —= 1 evenzeer bekend zijn, verkrijgt men zonder moeite de beide onder- staande afzonderlijk voor oneven en voor even »n dienstige tabellen : n+2s l Tabel der coëfficiënten Q.n+2s van ——— in (—) ? BEET | Nn (+25)! (voor oneven z). en | een | a ee (| nn, nn | mmm | el ll nn jn | ef en ej | TTT nnen [a 966 [24970 nf | |} | nf mm | (372) ” 7 2)r +2S oe Es (Zeina)? (” + 25)! nl Tabel der coëfficiënten Q',„ +2 van (voor even 7). (2 4)? (Az)t (2 #)E (22)8 (2 7)10| (27)!2 2! 4 | 6! 8tje TUT 12! Wed 1 il l 1 1 Ì en EE EE RVE Freien EO id ee in ieder van welke tabellen, evenals in de allereerste tabel, de ontwikkeling der aan het hoofd vermelde functie voor eenige waarde van n weder komt als algebraïsche som der producten van de door deze n aangewezen coëfficiëntenrij met de daarboven geplaatste termen in z. Wat nu het gebruik betreft, dat wij van de voor sin” gevonden formulen ({2), (/2') en ({3”) voor ons doel wenschen te maken, merken wij in de eerste plaats op dat men — in dit geval liever dan van 13 — dadelijk van j KS 13.5..(2n -1) sun x 8 ' a NLO... N — 4 tgr=——=sna(l—sn) == ZL sin?n+l, 5 COS © LE 2 4.6.……...(2 7) i zelf de ontwikkeling volgens de opklimmende oneven mag- ten van sinx voor zich heeft; en daarbij blijkt voor den door n= 0 aangeduiden term niet alleen aan den noemer 2.4.,6...(2n) == 2" .n! van de vooropstaande breuk, krach- md het ana. nd nm nn ne nd Rr mani ac od SE no SE a A EE ENT TE ( 373 ) tens het in den aanhef gezegde, maar evenzeer aan den on- (—1).1.3.5...(An—l) — 1 en dus ook aan de breuk zelve, de eenheid tot waarde te moeten worden toegekend. Vult men nu in het eerste lid der den vorm te beschouwen teller, | de waarde uitgedrukt in de tangenten-coëfficiënten in, en in het laatste lid voor de algemeene oneven magt van sin « de waarde die bij vervanging van n door 2n + 1 hetzij uit de eerste formule (/?) hetzij uit de formule (/3') komt, dan beschikt men over de dubbele gelijkheid E 1.3.5 ONE 1 Diet aopen — Pike DL (29)! 2i4iBin (An): 2% D $ gan+2s+l È jl 2n4l\ Untistlf En An | r en zi EE Een fan + 1)! S(—)S Ven1.2 Pnt En nu is niets anders noodig dan, na in het tweede en het derde lid, om aldaar dezelfde magt z°4—l als in het eer- ste lid op den voorgrond te kunnen brengen, s=g—=n—l genomen te hebben, de coëfficiënten van deze magt in de drie leden onderling gelijk te stellen, ten einde na verme- nigvuldiging met (—)7-1(2g—1}! te kunnen besluiten tot déze dubbele formule, de eerste onafhankelijk, de tweede in de terugloopende coëfficiënten Q,‚ voor den willekeurigen tan- genten-coëfficiënt : 92- Mnl (—T 1 The ed vn „(2n) 92n (374) gl en (1.8.5. (2n1) (2n HIJ Oona (B) zijnde hierin weder voor n de bovengrens van oo tot q—l verlaagd kunnen worden, omdat in (3) het (2n + 1)° ver- schil van de reeks der (2g—l)° magten van de opvolgende oneven getallen voor iedere 2n + 1>2g—1l van zelf ver- dwijnt, of, wat hetzelfde zegt, omdat de in (3') aan eene zelfde kolom van de voorlaatste tabel te ontleenen coëfficiën- ten Qon41.2g—1 blijkbaar komen te ontbreken zoodra ook hier 2n 4 1>2g—l zou zijn. Ook de ontwikkeling 1—cos2n 1—(l—sin®2r) 1.3.5..(2n—l) , == Un19 ge Toor: yjietn NNC PE sin 2 z volgens de opklimmende oneven magten van sin 2 z in plaats van sinw zelf kan geschikt tot een paar nagenoeg gelijk- vormige formulen voor den algemeenen tangenten-coëfficiënt dienen. Past men hier namelijk geheel dezelfde bewerking toe, maar bovendien eene deeling door 2%—?, dan vindt men: gl _Ânl lr dee: } ERE NR ” (2 n 1 Er” d | (An Br HIE. on ak (4) ee Dry ES Qantas ln n + Ì En in plaats van de tangens zelf, kan men, en wat een- voudigheid van uitkomst betreft nog met wel zoo goed ge- volg, haar differentiaalquotient tot uitgang van berekening doen strekken: zelfs heeft men hier niet alleen weder ge- schikte ontwikkelingen in sinw zelf en in sin2&, maar bo- vendien in sing: Men kan toch schriijven — wat den tweeden ( 375 ) regel betreft door de laatst gevonden ontwikkeling van tg # zelf te substitueren — se} 1 ap rn et n sing 1 sin? 0 dige 1 1 ee nl e ta aen gr e . alan je, — = (2 AN de cos°x sin 2 « EO ede 8 ins) eb Ze I2rsin? 0 en. heeft dus hier telkens met de opvolgende even magten van den sinus van #, of van 2z, of van 5 te doen. Alzoo geeft bij voorbeeld de eerste regel, door nu bij vervanging van x door 2n hetzij de tweede formule (/9), hetzij de for- mule (/2') toe te passen — daarbij evenwel lettende dat de toepasselijkheid van beide deze formulen zelve eerst bij n — 2, en dus ua de gezegde vervanging eerst bij n == 1 begint, en dat alzoo de noodzakelijkheid ontstaat in ieder der drie dige ' voor verkregen ontwikkelingen telkens den term voor n==0, dat is de eenheid, afzonderlijk op den voorgrond te brengen — Dj Ag Dien Og) Diet 3 jrs — 0 (29)! 5 1 90 „@ EE on oe Ei) en +29)! eN Er ketan (2 n)! 8 Á (2 gyant2s B De gon DE en En neemt men hier, ter onderlinge gelijkstelling der coëfi- cliënten van (2#)?4-°, thans in het tweede en het derde ( 376 ) lid weder s = gq—n—l, dan verkrijgt men na vermenigvul- diging met (—)7-l (29 —2)! het stel: gl n—l rr Sir reeet gl Dl En Won 20 oke En (5) waarin ook nu, om reden als zoo even, voor n de boven- grens oo door g—l vervangen mogt worden. Op dezelfde wijze geeft de tweede regel aanleiding tot de dubbele formule: yr Sl AE egen Di y| err © GQ qì (1.3.5. (dn lj mA did bn Dad 6’ pn Um ag-2 (6) En de derde regel tot de dubbele formule: n—l Ho Erf, ‚erp —2, (7) qì nt 1)(2n)! ak os Ee Q'en2g-2. « (1) Eenigzins meer zamengestelde formulen verkrijgt men door van het tweede differentiaalquotient van tgw uit te gaan, hetgeen hier doelmatig onder den dubbelen vorm VE (377) 8 oo f EE 1.3.5...(2n+1) Deinel1sind “== ed, nl en talk 0 0 2.4.6... (2 n) eld d B (Leos2r)? sind Ul —sin?2e)S 2 ES 3 ° Fr er de? cos°x nr END 1,35. (Ant 1) nd \ 0-2.4.6...(2n4-4) kan geschieden, zoodat in beide deze gevallen de eerste for- mule (/}) en de formule ({%') voor de oneven sinusmagten weder aan de orde zijn. Men heeft nu, dezelfde handelwijze als tot nog toe volgende, déze bewerkingen: de twee even- genoemde formulen, na vervanging van xn door 2n + 1 en in het tweede geval bovendien van « door 2x, te substi- tueren; op te merken dat, al begint, evenals in de te vin- den uitkomsten, in het in > ZE g—-b(2g—2) Taj 0 (29)! overgaande eerste lid de feitelijke toepassing eerst bij q = 2, het niet eens noodig is voor de ondergrens aldaar 2 in plaats van 0 te schrijven, wijl voor qg —=0 de factor T_, en voor g=l de factor 2g—2 toch van zelf gelijk nul worden; voorts ten behoeve der gelijkstelling van de coëffi- ciënten van «4-3 of van (2x)29-® thans s=g—n—?2 te nemen; eindelijk met (—)4—l (29 —3)! te vermenigvuldigen en voor ” de thans geoorloofde verlaging der bovengrens van oo tot gq—2 toe te passen. De uitkomsten zijn: in het eerste geval het stel qg-2 22? bet ed EN et ) En Nn a n—l ee Ld —_—_—__ in+12z (2 2)223 ” Dy ag ei (An-2r + es) het en (8) 0 qg—2 B À Nn jl (1 ee (2n + 1)? Q2 nr1 Bg3 Ne (8’) C en in het tweede geval het stel VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V. 25 q—2 EN B nt 1.3.5. s(2n HI et Gl q = A5 ) ENNE Zn 2 - 2 1 Zr Rn en—ar + 1 Sl En (9) IS (1.8.5 (an + IP — dt | RE ann Qon+1.240-3 « « (0)) Wilde men in denzelfden trant met de hoogere differen- tiaalquotienten van tg voortgaan, dan zou men als volgt, om daarvoor de ontwikkelingen volgens de magten van sin z te verkrijgen, weder geschikt van herleidingsformulen ge- bruik kunnen maken, die bovendien nagenoeg onveranderd voor de ontwikkeling volgens sin 2, en voor oneven diffe- rentiaalquotienten ook nog voor die volgens sin — zouden kunnen dienen. Stel dat in het algemeen voor zekere p reeds gevonden is dr tg Ny In + 4 tl Xn, gn waarin de coëfficiënt A, „ dus eene bekende functie van den rangwijzer zn is, terwijl voor oneven p steeds « —= 0 en voor even p steeds «== l zal blijken te zijn, dan komt pt3 ige dap+2 door tweemaal te differentiëren : dat is Qo ED) (@nta) Npn sin tal x cos oo D 1» N on EN gn 0 DA dx lee) enn ) n (anda) Non (Anta sin? +a-2p(1—sin?x)—sin tig |= 0 > Àe (an +a—l)(2n + «) Npn sin? n tat — 0 DE Dn (2n + «)° Np sin "+Ew, 0 (379) en dus door, in den eersten term van het laatste lid „ ver- vangende door n + 1, de coëfficiënten van sin%+*x in de beide uiterste leden gelijk te stellen: Nyon =(2n HaH1(anHet 2) Nn — (An +0) Npn Of afzonderlijk: voor oneven p, bij vervanging door 2p +1, Nop43n =(@n 4 1)(2n + 2) Noprna1 — (27)? Nop 41.ns en voor even p, bij vervanging door 2 p, Nap +2.n —=(2n + 2) (An + 3) Nap.n +1 Ee (2 n + Es Nop.ns terwijl men in dit laatste geval nog doelmatig volgens eenvoudiger functiën N' kan invoeren, waarvoor dan N'opa.n =(2n+l) \(@n +3) Napa —(@n + I) N'ap.n} wordt. Men heeft alzoo in het algemeen de twee typen CR Kann hen ‚AN sin?” z dap +1 2ptl.x en Brige N° 1.3.5..(An-l) == eeen belen oan A, de? Ee Gn (2 ») N'ap.n sin? tlv, en verkrijgt hiervoor, uitgaande voor p= 0 van de boven voor tge zelf en voor E opgemaakte ontwikkelingen volgens sin, dat is van N'j„ == 1l voor de tweede en van Nin == l voor de eerste type, en verder beurtelings de even- gevonden herleidingsformulen voor de functiën N'op-2.n en Noap43.n toepassende : Non =2(2An 1) (in overeenstemming naar behooren d? tg x met de boven reeds regtstreeks voor Ee berekende waarde), 25* ( 380 ) Nan =2(3n +1), MNanz=16(2n +1) (rn +1), Nsn=4(lön? + 15nt4), Men==1l6(2n H1(12n?428n +17), Nin=8(105n% + 210 n° + 147 n + 34), enz. Deze functiën blijken dus al spoedig zamengesteld te wor- den en ieder voor zich geene in het oog loopende wet te volgen; en juist daardoor zou het voordeel, dat bij aan- wending der klimmende differentiaalquotienten van tgz de komende formulen voor den algemeenen tangenten-coëfficiënt steeds uit minder termen in ” zouden bestaan en bovendien in ieder dezer termen steeds lager magten zouden bevatten, meer dan te niet gedaan worden. Wij gaan dan ook op dezen weg niet verder voort, behoudens alleen de vermelding dat uit het betrekkelijk nog eenvoudige derde quotient, namelijk F 2 s Nn Nan sins 2 Dn (Sn + I)sinz, Hij 0) 7) wanneer men daarop dezelfde handelwijze als voor de vori= gen toepast, te voorschijn komt het stel formulen (waarvan de toepassing nu echter eerst met q —= 3 begint): —l ( Te Togt Ee p= EE Sn Ee Sr ojee g—2 == yi G En 5) Ee mj Q'2n.2g—4 NEN (10) nl Zooals zich na het vorenstaande wel verwachten laat, be=_ staan de uit integratie in plaats van differentiatie af te leiden formulen weder uit meer termen in ”. Ook ten deze zullen wij ons bekorten, en alleen de dubbele uitgangs- formule : sin” 1 dep. dog. (sin?) == DE | tgeda=— Nep.log.cosx= x\ 22 T — Nep.log.| 1—-2sin?— == Se Me p.log | sin a) in 3 ( 381 ) en het daaruit voortkomende dubbele stel: n—l 1 2n (rie! Xie pien) ie en il (2n)! ne EE de EN ! zr ) PE Q2n.2q TPE EN GEE) q n—l 1 2n er Ti at (11) .(12) 1 n.2 (0) r Q'on, Dti mage) (12) neêrschrijven. Om door een bepaald voorbeeld de meerdere of mindere eenvoudigheid van alle voor de tangenten-coëfficiënten ver- kregen formulen duidelijk in het oog te doen vallen, plaatsen wij ten besluite van deze afdeeling de voluit geschreven vor- men bijjeen die zij ieder voor zich voor q == 4, dat is voor den vierden coëfficiënt 7, opleveren. Men verkrijgt daarvoor opvolgend : door de formule van LAPLACE: irene) see en verder: _5 Ty = 2 — 2 — 1) ke [st — H 27 + fejn spele ol Sf | ge (re (eee je (e+) afde — je En je 1) EE ze 5fse— (jet | E 4 AN 5 5 5 aje) 6 lt ‚ 5 / 6 6 Kon en 6 6 rije) + are (ij + (at lo} + — 26,1!1 —25.2163 4 2431301 — 23.41 350 + + TTA TTT Do _I | 6: 6, +, (52+) 4 5140 26121 LT TN (2') ij ‚5 5 ve PA 7 are ij 1) En sr + (2) AE ne Tg Dy 7 7 7 rg 57 hase as Ali) + baja) 4 24.6 26 a Beesd é BE O0 25 6) 2! 4 6! | ms 52 g4b ae Ì el Ene 1e (5) en Eede MEE oi +2 + Es 1.3.5 B 6 == Zi 26 6 Sne 2 1) EE 5) , (6) 12 (1.3)? (1.3.5)? EE) | NZ O3 Ziri ' nt eb ee el) or Zed 3,4! 4.6! DN: 1 ET B5 BA (7) 3 5 opene Dit! 5 TEEN 1) naer) … ER DD 28 @) —= 2121 + (132.10 —(1.3.5)21} (8) en fas il EM Bent |, }— 5 15\ ser + 1d 1 \2 î Bl Tepee kie () 12 (1.3 (1.3.5)? | |- rit gl wf (99 ( 384 ) a) er Ee, É es olie ss a (10) 4 22 2 4,2! 1.4! id, Ne en EN (1 = 55 pn | ee En es (10) 4 6 6 Be 38 98 Ee W Á (+) Rr en 3,24 8 (or + (Eler 1) 3 (LI) 120 2! 4} 6! 8! nn RE 0 Ee Ee ee TEE en en Ek, Ne 5 2,23 Lt ops se 4,27 El 4 6 6 pat 38 98 rn Ed W + (a) A de 3.2? 8 8 8 Keel 8 Geke ses} + (al) jh En 195 ve (12) 2! Al 6! 8! Î == — Ae 14 .1..(12 12 : 2,22 Lt 55 En 4,2% EE Terwijl alle formulen van dit overzigt — waarin de zooals gezegd telkens gezamenlijke aan eene zelfde kolom van onze tweede of derde of vierde tabel ontleende coëffi- ciënten P of Q of Q' ter onderscheiding vetter gedrukt zijn — werkelijk in de gemeenschappelijke uitkomst 7%, — 17 zamenvallen, ziet men hoezeer de dubbele formule (10) (10) het van alle overigen wint én in minder aantal termen of coëfficiënten Q' én in lagere in die termen voorkomende magten. Toch neemt dit niet weg dat, wanneer de bedoe- ling is eenige opvolgende tangenten-coëfficiënten, te hegin- dd, dd dn dn nd nnen 6 ( 385 ) nen met den eersten, feitelijk uit te rekenen, dit wel in den regel eenvoudiger dan door de hier behandelde zelf- standige formulen zal gelukken bij voorbeeld door periodieke terugloopende formulen zooals ik in mijne vroegere bij- drage ontwikkelde. Steunende op blz. 125 van die bijdrage haal ik daarvan als enkele beknopte voorbeelden voor de periode 3 aan (wat dit betreft in Bernoulliaanschen in plaats van in tangenten-vorm): ED 15 15\ 15 EE B Bz == o)Pr le) pa) e= 5 ki B 17 B 8 4 B eet 19 19 19 on — Bye == -— 42 ed Be + (io) A die dus opvolgend kunnen dienen om, nadat langs den- zelfden weg eerst B_; of B; of Bz, en daarna B; of By of Bg berekend zijn, thans ook Bj, of Bj3 of Bij te be- palen. Op blz. 113—116 van mijne vroegere bijdrage gaf ik ook eene afleiding van de beide door M. A. StrerN gevon- den afgebroken terugloopende betrekkingen tusschen de Bernoulliaansche coëfficiënten. Thans ga ik hier evenzeer dergelijke afgebroken — dat wil zeggen, niet over alle, maar slechts over eenige onmiddellijk voorafgaande coëffi- ciënten terugloopende — betrekkingen, ofschoon van eenig- zins anderen vorm, ontwikkelen; deze zullen dan ook blij- ken, eenvoudiger weder dan in de Bernoulliaansche, in de tangenten-coëfficiënten te worden uitgedrukt, of liever nog in andere coëfficiënten die met deze laatsten onmiddellijk zamenhangen. Als uitgangspunt van berekening zal hiertoe KH eene formule voor eene willekeurige magt van tg — in func- ( 386 ) tie van de differentiaalquotienten dezer tangens worden op-= gemaakt. d Stellende kortheidshalve t = {g ak. heeft men voor de eerste differentiaalquotienten, uitgedrukt in t zelf, dt jl 2 +1 dede 2 cos? — dus d?t dt toHt dt 3 H1ldt 3441 de GT en A 2 enz., waaruit bij omkeering volgt dt d?t tie ede ee —t). de \ d xv? ds dt Kd Om r), enz. ; en het blijkt al spoedig dat men, wel geregtigd is in het algemeen de beide vormen (voor oneven p) el Ec pt gp P. Er En dax p—-2r—1l’ —l)! iP = ln, De even p) 1) Et de —-2r—l À 4 en en —)? App 2E d apar op te stellen, die men voor de nu volgende terugloopende bepaling der coëfficiënten A zelfs zonder “bezwaar onder den eersten vorm kan zamenvatten, mits dan voor even p p d de bovengrens aldaar door 5 vervangende en er bovendien ( 387 ) op bedacht blijvende dat in dat geval in den laatsten, door deet el ‚ wat zou Ee bepaalden, term, in plaats van dl B worden ppd, dat is f tdr, als uitzondering op den regel moet gelezen worden de eenheid. Onder dien gemeen- schappelijken eersten vorm dan komt door het dubbel van het differentiaalquotient naar # te nemen: pltP=l(2 +1), dat is Rt Dale e!), dat is == of; Lol de—2r- 2% Xe Yr Arnar Her we Y Arran En of 5 dP—?2rt == E (— A Ap. Eee =$ d aP—?2r waaruit men, na in den tweeden term van het eerste lid den veranderliijjken aanwijzer r vervangen te hebben door r_— l en dus dien term zelf door ptl f 2 2 2 dp—?2r t en EE, | zen es (p )p 5 dn de ?2r vindt, door alsdan de coëfficiënten van in beide leden d zp-?2r gelijk te stellen, de algemeene herleidingsformule Apy12r = 2 Apar + (p— 1) p Áp-lar—2 voor de coëfficiënten A. Echter valt — de evengezegde vervanging van den tweeden term in het oog blijvende houden — bij het toepassen van deze formule het volgende ( 388 ) wel op te merken: 10, (zoowel voor oneven als voor even p) Voor r==0 geldt, wegens het ontbreken van dezen term in den nieuwen tweeden term, Artio 2 Apo. 2°. (voor oneven p) Voor r==1l tot en met 5 1 meene formule; voor rbi geldt, wegens het ont- breken van dezen term in het tweede lid, Ayipa = =(p—l)p App 93°. (voor even p) Voor r=l tot geldt de alge- en met lan 1 geldt de algemeene formule; voor „=E 2 zou zij eveneens schijnen te gelden, maar juist dan moet de bijjbehoorende term in het tweede lid, dat is het dubbel van het differentiaalquotient van den laatsten term in (y), dlg p die volgens het evengezegde niet is (—)2 Ap eet ER ‚ maar alleen de standvastige (jk App, door nul vervangen wor- den, zoodat nu als uitzonderingsformule geldt Aptip = =(p—1)p Ap-ip-2. Dit een en ander strekt tot grond- slag van de volgende dealt dors el in (pl)! (P. Tabel der coëfficiënten A‚2r van (—)? pt (25 2) p=? |(2: 2.3) (2, (U) p=3 | (2; 34) (2 (2, 1) pt 24,5) PAN B ed ps (290) 18 (Zi LO p=b | (2; 6.7) {8 (4, 40, 46, (15))} p=1 |(@; 7.8) {16 (4, 70, 196, 45)} p=8 2; 8.9) {16 (8, 224, 1232, 1056, (315) )} p=9 | (259.10) {128 (2, 84, 798, 1656, 315) enz. «, waarin namelijk telkens de tusschen { } geplaatste coëffi- edn dent CE ( 389 ) ciëntenrij voor (p — 1)!t? — zijnde de met p= 3 te be- ginnen gemeenschappelijke factor 2, 2, 8, 8, 16, 16, 128, enz. dezer rij telkens daarbinnen op den voorgrond gebragt — gevonden is door de overeenkomstige coëfficiëntenrij voor (p—2)!tr—t op den voorgaanden regel (met weglating evenwel, telkens als p oneven is, van den laatsten coëffi- ciënt daarvan, die om die reden tusschen () geplaatst is) te vermenigvuldigen met den eersten der beide vóór dien regel bijgeschreven factoren, namelijk 2, en de overeenkomstige eoëfficiëntenrij voor (p — 3)! tP—? op den laatstvoorgaanden regel (steeds zonder uitzondering in haar geheel) met den tweeden der beide factoren vóór dien regel, namelijk (p-2) (p-1), en door dan deze laatste uitkomst, ééne plaats naar regts verspringende, op te tellen bij de eerste. Zoo heeft men bij voorbeeld voor p =6 de coëfficiëntenrij in dt df dt \ ol =8 4 — 40 + 46 — — { de ed de ie door {8 (4, 40, 46, 15) } [8 (2,10, 3)} + 4.5 {2 (0, 4, 8, 3)} te nemen, zijnde hier in den laatsten term de nul voorge- voegd ter aanduiding van de evenbedoelde verspringing ; daarentegen voor p= 7 de coëfficiëntenrij in dê t dt d? t 1 104 | EE en OTR enk door {16 (4, 70, 196, 45)} —=2 {8 (4, 40, 46, 15)} + + 5.6 {8 (0, 2, 10, 3} te nemen, alwaar nu de niet in rekening mogende komen coëfficiënt 15 is doorgestreept, terwijl in den laatsten term weder als zoo even eene nul is voorgevoegd. Hiermede de voorgenomen ontwikkeling zelve van (p—1)!t? volgens (y) genoegzaam toegelicht achtende, maken wij (390 ) daarvan voor ons doel nu verder als volgt gebruik. Wij voeren in plaats van de tangenten-coëfficiënten 7’ liever andere coëfficiënten 7’ in, daarmede telkens op de een- Das voudige wijze T''og_l = ant zamenhangende; daardoor q laat zich schrijven Ta Win mg HB er 2-0 n waarin namelijk tegelijkertijd de vooropstaande, door g == 0 bepaalde, term, die toch op zich zelf gelijk nul is, is weg- gelaten. Hieruit volgt in het algemeen el 5 ' dp —?2r ga N, FT og! paper, dap 2r—1 (2qg—pd2r)! waarin telkens de ondergrens voor q bepaald worlt door- dien dit differentiaalquotient blijkbaar geene negatieve mag- ten van w kan bevatten, zoodat Bep er Pi De oneven p) 2s 41, EE |(voor even p) 25 Í moet zijn en men alzoo ook kan schrijven Tipa —_2rJ-2s voor oneven pd É v2s +1 aermtg V p) (2s +1)! d xp—=2r —l B the Mrs] voor even pn ( Pp) > 25)! Deze waarden substituerende in het tweede lid van (y),‚ en tevens het eerste lid regtstreeks ontwikkelende in volgens x\P % xs p (lj w;) =p Dt te) en (391 ) (waarin wij de meer zamengestelde hoogere termen niet verder uitwerken), verkrijgen wij: pl ME (voor oneven p) Zr Apor 0 s T' oars: BDP! ben (4E 1)! 2p 32+ Lek La (voor even p) Zij Ap.or eN 2rH2s— 1 8 Ë x2s +1 | En stelt men nu in het tweede lid de coëfficiënten van alle, in het eerste lid ontbrekende, lagere magten dan zp gelijk nul, en de coëfficiënten van a? zelf, van a/+2, enz, gelijk aan die in het eerste lid, dan heeft men de afge- broken terugloopende betrekkingen, die wij ons voorstelden tusschen de coëfficiënten 7’ op te maken, namelijk voor- eerst: | 2 (voor oneven p) Dr (-) Apar T para voorsz) 0 p —_——l 2 p (voor even p) D, (—)" Apar T' pari + (—)? App = 0 0 ES 2 À rÁ ij == kde en (==) p2r £ p—2r+2s—l voor s =1totz 0 en verder; ( 392 ) (voor oneven en voor even p) pk Pa geef (p—l)!p! DE Apr T'op—e rel > Po ) i 2p Dt or Zi â p! (p +2)! 0 Soar Tiptel SE enz, Bij voorbeeld voor p= 0 geldt het stelsel: AT! —40T', +46 Tj 15 = 0 Dpt A0 TE AE AORG =0 dT 40 TD EA —=0 516! B(AT'j —40P, H46P)) C = 618! B(ATg AOT +407) == 5 enz. En voor p = 7 het stelsel : 4 T', ie 70 T's + 196 P's en 45 rn, _— AT', — TOT, +196’; —45 73 = 0 AT — 701 +1967', 45 T; =0 16 (4 T'is Te 70 T'à - 196 Ps orn 45 F''‚) en en 119! 16 (4 T'is EE, 70 Tis + 196 T'. EE 45 T')) ZE 3.99 enz. Deze afgebroken betrekkingen onderscheiden zich in hoofd- zaak hierin van die volgens SrerN, dat telkens dezelfde getallencoëfficiënten A — voor p= 6 namelijk 8 (4, 40, 46, (15), voor p= 7 evenzeer 16 (4, 70, 196, 45), enz. — van toepassing blijven op de verschillende groepen van p tl 2 of en opvolgende coëfficiënten T'. En daar boven- —Ì dien het aantal £ 5 of 5 onderling onaf hankelijke ver- ( 393 ) houdingen dezer getallencoëfficiënten telkens juist gelijk is aan het aantal van diegene der betrekkingen waarin zij voorkomen, wier tweede lid gelijk nul is, zijn dan ook deze hier regtstreeks opgemaakte getallencoëfficiënten A de eenige mogelijke die eene dergelijke gemeenschappelijke toepassing bij de verschillende groepen van opvolgende 7T'' kunnen vin- den. Bij SrerN daarentegen treden in het algemeen bij iedere andere groep van opvolgende Bernoulliaansche coëfficiënten ook andere getallencoëfficiënten op. Hiertegenover staat echter, dat deze in den regel kleiner waarden hebben dan in ons geval de overeenkomstige getallencoëfficiënten 4, Om dit te doen uitkomen brengen wij het volgende stelsel van meest eenvoudige afgebroken betrekkingen — ten minste indien men zich tot diegenen bepaalt die nul tot tweede lid hebben — ter berekening der opvolgende coëfficiënten 7” uit elkander, namelijk: B le 0, 2T3 — Ty =0, A(T'; —2 T's) = 0, 27, 107; 438 T's =0, (27 —20 7, + 23 7';) =0, AT 70 Tp +196 7", —45 1 =z=0, (Tiz — 28 Tj + 154 7’) — 1321!) = 0, 2T' 5 —84 T'is H+ 798 Tj — 1636 To + 315 Ly == 0, enz., | in vergelijking met het overeenkomstige stelsel dat men uit de beide betrekkingen van SreRN verkrijgt wanneer men deze toepast op het geval waarin zij ieder het geringste aantal termen bevatten. Dit geval is dát waarin men in die betrekkingen {zie mijne vroegere bijdrage, blz. 115 onder en 116 midden) neemt k == q, waardoor zij worden e 1 ee | id ar Plan) (Bag-are == Hi ga d (voor q>1) 0 | (voorg=l) 5 en q As r eh + 1 |»: rl Dr ) \\2r—1 Be damn (voorg>>1) 0 VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS, DEEL V, 26 (394 ) en bijgevolg, omdat zoowel gt2 wd É 5, 2r 20 Nn Ì carmen +1 (gH2) (gt 1-2) ((q-#2)-2n)} = de EES EE) 2 tld ee Pen eha + Ls ! eten (+1) + (q-2r +2} = als ook iS OEE bl TTT) ne is, zamenvallen, als men nog r door r + 1 vervangt, in den gemeenschappelijken vorm ud 1 Er Je 2r 1 | AP B ss an al dea 2r) (voor q > 1) 0 zijnde hierin tegelijkertijd voor r de bovengrens verlaagd tot het bedrag voortvloeiende uit het nul worden van den \ ie, vorm geeft nu, door achtervolgens q = |, 2, men, het bedoelde stelsel: binomiaalcoëfficiënt & | zoodra 2r*>g zou zijn. En deze 9, enz. te ne- 8 B; mo 5 B, — Bj = 0, 7B; —5 Bz = 0, 9 B, —14 B; + Bz = 0, 11 By —30 B; + 7 Bj = 0, 13 Bj, — 95 Bj + 27 Bj — B; = 0, 15 Bijz — 91 Bj + 77 Bj — 9 By =0, 17 Bj; — 140 Bis + 182 Bj — 44 Bo + Br; enz. ( 395 ) Wij hebben dit laatste stelsel te meer nedergeschreven om er op te wijzen dat daarin de getallencoëfficiënten van een zelfden Bernoulliaanschen coëfficiënt in de opvolgende regels op eenvoudige wijze telkens uit elkander zijn af te leiden, zoodat men voor het stelsel in zijn geheel die ge- tallen gemakkelijk in evenwijdige schuine volgorden zou invullen. Immers de coëfficiënt van den (r + 1)en term in den gien regel, dat is (afgezien van het teeken) juist de coëfficiënt van den algemeenen term Bag —2r—i, bleek zoo q| (ar + I!(gq—2r)! meerdert men nu hierin gelijktijdig g en-r met de eenheid, dan blijkt de coëfficiënt van denzelfden schuin daaronder geplaatsten term B, -2-—i in den volgenden regel gelijk (2g—2r + en en dus te (2r +3)!(g—2r—1)! (2r +2)(2r +3) zoo groot te zijn. De opvolgende door (q, r=0), (q+1,r==l), (q + 2,r==2), enz, (2g—-l,r==g-—l), (29, r=g) bij wijze van regthoekige coördinaten aangeduide getallencoëfficiënten van denzelfden Bernoulliaanschen coëfficiënt B2,-1 in de q + | opvolgende regels waarin deze voorkomt moeten dus even te bedragen (2q—2r + l) ; en ver- aal ieder voor zich met gt ID) Gr) END 1 Eb (ZI) +1 en nul vermenigvuldigd worden om telkens den naastvol- genden getallencoëfficiënt op te leveren. Zoo heeft men bij voorbeeld voor g == 4, dat is voor de vijf opvolgende coëffi- ciënten 9, 30, 27, 9, 1 waarmede B, is aangedaan: 54 6.3 7.2 8.1 9.0 Kg BOK LELIJK En DEE DT Tot besluit van dit opstel deel ik hier voor de eerste Bernoulliaansche coëfficiënten nog eenige uitdrukkingen mede, waardoor zij op betrekkelijk eenvoudige wijze afhangen 26* ( 396 ) van min of meer regelmatige algebraïsche sommen van zekere binomiaalcoëfficiënten. Behalve voor enkele der allereersten is het mij echter niet gelukt den wezenlijken grondslag, waarop dergelijke analogiën zouden berusten, op te sporen: ik geef ze dus als slechts bij toeval of bij tasting gevonden. Regelmatigheidshalve de eerste leden in eene tamelijk in het oog loopende volgorde brengende, zijn de bedoelde uit- drukkingen de onderstaande: 9 nn 1) sp 5) (5) / 25,7.8.9 B, — 2 | Ek a) je \2 12 12 12e alte ad el of ook = 5 10) (5) + (5) (9) + Gi) PALI2AE115 Bj") gh +(5 A; tl (ra)! 27,9.10.11.12 Bj — 20 ee 9, \12 NL18,M15.1017.18Zj=2 | | B) (5) Ô 21\ 218,15.16.17.18.19.20.21 Bg — 210.33,52.17 den ie 121A Ot 21 21 21 | -(5)+ (5)+ (a) li Voor Bj; heb ik iets dergelijks niet anders kunnen ver- krijgen dan met bijvoeging nog van 2 als factor bij som- mige termen, namelijk : 218. 33.7.11.19( 215,17.18,19, 20.21.992 ABe d DE (5) zele) +? en 5) + 2 ela) ( 397 ) Voor de hoogere Bernoulliaansche coëfficiënten zijn enkele pogingen in dezen zin mij in het geheel niet gelukt. Zonder het verder uit te werken moge hier nog worden aangeduid dat dergelijke ontwikkelingen volgens de opklim- mende magten van den sinus als in de eerste afdeeling de- zes tot grondslag van zelfstandige formulen voor de tan- genten-coëfficiënten dienden, ook tot hetzelfde doel voor de secanten-coëfficiënten zouden kunnen strekken. Zoo zou men kunnen uitgaan van lee} Ere 1.3.5...(2n—l) ,, EE esn" ts; eZ Eee (Zn) De essecanten-coëfficiënten C hangen (zie vroegere bij- drage, blz. 154) onmiddellijk met de Bernoulliaansche zamen volgens C2g 1=2(27-1— 1) Bag -1- Van welwillende zijde werd mij nog de navolgende litte- ratuur ter zake medegedeeld, die zich eenigzins aansluit aan wat ik vroeger op blz. 167—170 opgaf: A. L. Creure — CO. W. BorcHARDT, Jourzul fur die Mathematik: STERN, in 92er Bd, 1882; Worpeirzky, Studien über die Bern. und Bul. Zahlen, en Kronmecker, Ueber die Bern. Zahlen, in M4er Bd., 1883; Lar- scHITz, Beiträge eu der Kenntniss der Bern. Zahlen, in 96er Bd, 1884. J. A. GRUNERT, Archiv der Mathematik und Physik: SacHse, Ueber die Darstellung der Bern. und Hul. Zahlen durch Determinanten, in 6Ser Th. 1882. ScHLÖMILCH's Zeitschrift fúr Mathematik ete.: Woreirzky, Ueber die Partialbruchzerlegung der Functionen etc. Nouvelles Annales de mathématigues: CrsSARO, Sur les nombres de Bernoulli et d'Huler, in 3e Série, T. 5, 1886. American Journal of Mathematics: G.S. Ery, Bibliography of Ber- noullis numbers, Some Notes, in Vol. 5; T. Gomes 'LerrxeEIRA, Notes sur les nombres de Bernoulli, im Vol. 7. September 1835, PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 24 November 1888. Tegenwoordig de Heeren : VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Voor- zitter, Korrewea, A. C. OopeMaANs JR, HuBrecnrt, Mrenaëurs, VAN Dresen, DrBBirs, ENGELMANN, FORSTER, SURINGAR, ZAAIJER, Brurern Dh LA Rrvibre, BrieRENs pe HAAN, SCHOUTE, BAEHR, Karren, Hoer, PeEKELHARING, ZEEMAN, RAUWENHOFF, SCHOLS, Mac GrrLLavRry, LoORENTz, Prace, MARTIN, DE VRIES, FRAN- CHIMONT, GUNNING, VAN 'T Horr en C. ÁA. J. A. OUDEMANs Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10, B. Duronr, Directeur van het Musée royal d'Histoire naturelle de Belgique te Brussel, 14 November 1888; 20, den Secretaris der Académie d'Archeologie de Belgique te Antwerpen, 9 November 1888; 30. P. J. van BENEDEN, Leuven, 18 November 1888; 40. het Ministère de 1’In- struction publique et des beaux Arts te Parijs, 13 Novem- ber 1888; 50. L. Dreriore, Directeur der Bibliothèque na- tionale te Parijs, 19 November 1888; 60, J. Deniker, Bi- bliothecaris van het Museum d'Histoire naturelle te Parijs, ( 399 ) 20 November 1888; 70. den Directeur der Ecole polytech- nique te Parijs, 14 November 1888; 80. den Secretaris der Société des Antiquaires de la Morinie te St. Omer, 16 No- vember 1888; 90, den Secretaris der Société agricole, scientifique et littéraire des Pyrénées orientales te Perpi- gnan, 16 November 1888; 100. A. Durievx, Secretaris der Société d'Emulation te Cambrai, 17 November 1888; 110. den Secretaris der Académie des Sciences, Inseriptions et belles-Lettres te Toulouse, 17 November 1888; 120, J. Lrcar, Secretaris der Société d'Agriculture, Sciences et Arts te Valenciennes, 21 November 1888; 130. Duramer, Se- eretaris der Société des Antiquaires de Picardie te Amiens, 22 November 1888; 140. den Secretaris der royal Society te Londen, 31 October 1888; 15°. W. H. Wesrey, Biblio- thecaris der royal astronomical Society te Londen, 30 Oe- tober 1888; 160. D. W. FresurieLp, Secretaris der royal geographical Society te Londen, 31 October 1888; 170. J. L. Scrarer, Secretaris der zoological Society te Londen, 2 November 1888; 180. B. Owen, Londen, 3 November 1888; 190. den Directeur van het royal Observatory, Greenwich, 31 October 1888; 200. H. Warre, Bibliothecaris der Cam- bridge philosophical Society te Cambridge, 2 November 1888 ; 216. W. Weieur, Cambridge, 3 November 1888; 22°, den Secretaris der literary and philosophical Society te Man- chester, 2 November 1888; 230. Sir Wr…1rvram THoMson, Glasgow, 1888; 240, J. B. Barrour, Bibliothecaris der royal botanical Society te Edinburg, 8 November 1888; 25°, den Secretaris der royal Dublin Society te Dublin, 2 November 1888; 269. von Bezorup, Directeur van het kön. preuss. meteorologische Institut te Berlijn, 2 November 1888; 270. EK. pu Bors-Reymonp, Secretaris der kön. preuss. Akademie der Wissenschaften te Berlijn, 5, 21 November 1888; 280. den Directeur der kön. Sternwarte te Kiel, 2 November 1888; 290, C. PF. W. Perers, Directeur der kön. Universitäts-Sternwarte te Koningsbergen, 2 November 1888; 300. GrBerT, Directeur der kön. Universitäts-Bibliothek te Greifswald, 7 November 1888; 310. FöÖRrsrEMANN, Archiva- ris der kön. Sächsische Gesellschaft der Wissenschatten te ( 400 ) Leipzig, 8 November 1888; 520, B. Wrinpscreip, Leipzig, 9 November 1888; 330. FörsrTEMANN, Archivaris der fürst- lich Jablonowskisclie Gesellschaft te Leipzig, 12 November 1888; 340. A. Krinesere, Bibliothecaris van het Verein der Freunde der Naturgeschichte te Güstrow, 14 Novem- ber 1888; 350. den Bibliothecaris der Oberlausitzische Ge- sellschaft der Wissenschaften te Görlitz, 15 November 1888 ; 360. J. Lrurricur, Bibliotheearis der Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur te Breslau, 15 November 1888; 370, A. Gruser, Secretaris der naturforschende Gesellschaft te Freiburg i/B., 19 November 1888; 380, J. Franck, Bonn, 19 November 1888; 39°. ScraarscnMmIiprT, Bibliothecaris der kön. Universitäts-Bibliothek te Bonn, 20 November 1888; 400. P. E. SoNNenBure, Bibliothecaris van het Verein von Alterthumsfreunden im Rheinlande te Bonn, 21 November 1888; 410. C. GereeeNBauR, Heidelberg, 21 November 1888; 420, C. Knroor, Secretaris der Wetterauische Gesellschaft für die gesammte Naturkunde te Hanau, 22 November 1888; 480. J, Rosenruar, Bibliothecaris der physikalisch- medicinische Gesellschaft te Würzburg, 22 November 1888; 440, O. Bucurer, Secretaris der Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde te Giessen, 23 November 1888; 450, PF. Imnoor-Brumer, Winterthur, 21 November 1888; 460. J. Gomares ArrerA, Bibliothecaris van het Museo de Ingenieros te Madrid, 17 November 1888; 470 H. G. ZRUTHEN, Secretaris der kong. danske videnskabernes Selskab te Kopenhagen, 17 November 1888; 480. Tuerer, Biblio- thecaris der Universitets Bibliothek te Lund, 6 November 1888; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 10. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te ’s Gra- venhage, 14, 20 November 1888; 20. J, Bruinwoup Riuper, Secretaris der Maatschappij tot Nut van ’t Algemeen te Amsterdam, 10 November 1888; 30. W. H. M. Curisrie, Directeur van het roval Observatory, Greenwich, 26 October 1888; 40, A. Auwers, Secretaris der kön. preuss. Akademie dan ne ( 401 ) der Wissenschaften te Berlijn, Juli 1888; 50, A. PrucKuer, Secretaris van het Verein für Erdkunde te Dresden, 1888; 60. den Secretaris der Senckenbergische naturforschende Gesellschaft te Frankfort a/M., 1888; 7%. A. O. Krrrman, Secretaris der Societas pro Fauna et Flora fennica te Hel- singfors, 1 November 1888; 80, K. A, Moprre, Secretaris der Commission géologique de la Finlande te Helsingfors, 1 November 1888; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — Ingekomen zijn: 10. een brief van den Heer Buys Barror, ter begeleiding eener verhandeling van den Heer Dr. vaN RisckevorsEL: » Magnetic Survey of the eastern part of Brazil’; en 20. een brief van Dr. Jan pr Vrins, leeraar aan de H. B. 5. te Kampen, ter begeleiding van een opstel: »Eene rangschikking van het puntenveld in invo- lutorische groepen”. Zoowel de verhandeling als het opstel werden aangeboden voor de werken der Akademie. — De beoordeeling van het werk van den Heer vAN RiJCKEVORSEL wordt door den Voorzitter opgedragen aan de Heeren J. A. C. OuprmaNs en KAMERLINGH ONNEs, en die van de bij- drage des Heeren pe Vrins aan de Heeren Scrourw en Brr- RENS DE HAAN. — De Heeren ScHoure en Bierens pe HAAN brengen rapport uit over de verhandeling van den Heer J. Car- DINAAL : »>Meetkundige theorie der scheeve oppervlakken van de 4° orde’; en de Heeren BriERENsS DE HAAN en vAN DEN Brera over de verhandelingen van den Heer Dr, JAN pe Vries, aangeboden in de vergaderingen van 29 Septem- ber en 27 October: » Over de polyedrale configuraties’ en »>Over eene groep van regelmatige configuraties”. — De conclusie van beide commissiën van Rapporteurs strekt om de hun ter beoordeeling gegeven bijdragen op te nemen in de werken der Akademie, — In dezen zin wordt zonder dis- cussie besloten. — De Heer pr Vrrgs spreekt over Darwin's Pangenesis. De ( 402) bestrijding, die deze hypothese in de twintig jaren van haar bestaan ondervonden heeft, acht hij niet in alle opzichten gerechtvaardigd. Want de Pangenesis bestaat uit twee van elkander onafhankelijke stellingen, waarvan de eerste vol- strekt niet vervalt, als het gelukt is de tweede te weêrleggen. Volgens de eerste stelling worden de erfelijke eigenschappen der organismen in de cellen vertegenwoordigd door stoffe- lijke deeltjes, die, ontelbaar als de sterren in den hemel, elk eene afzonderlijke eigenschap vertegenwoordigen. De tweede stelling is de bekende hypothese van het transport der kiempjes door het organisme, van de organen naar de kiemcellen. De argumenten, tegen deze laatste aangevoerd, acht spreker overtuigend. Hij wijst er op, dat daarmede de eerste stelling echter niet weêrlegd is, en tracht aan te toonen, dat deze zoowel van de verschijnselen der erfelijk- heid, als van de feiten, die in de beide laatste tientallen van jaren omtrent celdeeling en bevruchting ontdekt zijn, op zeer voldoende wijze rekenschap kan geven. De Heer HuBrrcur, die meende dat de Spreker W ersMANN's verdiensten geen recht had laten wedervaren, wordt door den Heer pe Vries beantwoord. — De Heer Korrewera deelt het volgende mede: Wanneer een dubbelraakvlak over een gegeven oppervlak voortrolt, kan het gebeuren dat de beide gekoppelde raak- punten samenvallen. Daar ter plaatse ligt dan op het opper- vlak een bijzonder punt, waaraan spreker den naam van » plooi- punt” wenscht toe te kennen. Bij sommige thermodynamische oppervlakken heeft het eene gewichtige physische beteekenis, representeert namelijk den kritischen toestand. In de theorie der algebraïsche oppervlakken is het bekend als een ge- meenschappelijk punt van de spinodale en fleencdale lijn. Spreker begon met het bestudeeren van de gedaante van het oppervlak in de nabijheid van een plooipunt. Het bleek toen, dat er twee soorten van plooipunten onder- scheiden moeten worden. Zij verschillen onder anderen in de doorsnede van raakvlak en oppervlak, welke bij de eerste soort uit een geïsoleerd punt met bestaanbare raaklijn, in ( 403) de tweede uit twee rakende takken bestaat. Voorts be- vindt zich de lijn der gekoppelde raakpunten bij de eerste soort op ‘t elliptisch gekromde, bij de tweede soort op ’t hyperbolisch gekromde gedeelte van het oppervlak. Spreker vertoont modellen van beide gevallen. Daarna ging spreker over tot de vraag: hoe plooipunten nieuw ontstaan en verdwijnen op een vloeiend veranderend oppervlak. Hen algemeene regel is het, dat bijzondere punten, die in eindig aantal op een oppervlak optreden, niet verdwijnen, dat is onbestaanbaar worden, alvorens twee of meer samengekomen zijn. Om dus op een vloeiend ver- anderend oppervlak het oogenblik van verdwijnen of ver- schijnen te leeren kennen, behoeft men slechts na te gaan het optreden van die bijzondere punten van hooger orde, waar meerdere der te onderzoeken bijzondere punten samenvallen. In de eerste plaats komen dan in aanmerking die bij- zondere punten van hooger orde, wier aanwezigheid op een algebraïsch oppervlak slechts aan ééne voorwaarde tusschen de coëfficienten gebonden is. Spreker zoude zulke bijzondere punten »uitzonderingspunten van den eersten graad (van uit- zondering)’ willen noemen. Men kan een gegeven oppervlak van gegeven graad vloeiend laten overgaan in elk ander oppervlak van denzelfden graad, zonder andere dan deze uit- zonderingspunten te zien verschijnen, en ook dan, wanneer de wijze van verandering niet geheel vrij is, maar veroorzaakt wordt door de aanwezigheid van een of meer pararneters, zullen in den regel geene andere uitzonderingspunten behoeven op te treden. Wat nu de plooipunten betreft, voor deze zijn de be-” doelde uitzonderingspunten vier in getal, en wel (merkwaar- dig genoeg) twee geheel onderscheiden soorten van dubbel- plooipunten, voorts osculatiepunten en kegelpunten. De eerste soort van dubbel-plooipunt ontstaat als in de vergelijking : =d dzay + ey die in het algemeen de gedaante van het oppervlak in de ( 404 ) nabijheid van een plooipunt bepaalt, de coëfficient dz nul wordt. Zulk een plooipunt ontstaat door ’t samenvallen van gelijksoortige enkele plooipunten, die dan na het sa- menvallen onbestaanbaar worden. De tweede soort eischt: d°3 — 4 cj es = 0. Het gelukte spreker aan te twonen, dut zij beschouwd moet worden te zijn ontstaan uit het samenvallen vau twee ongelijksoortige plootpunten. Zij vormt tevens den overgang tusschen beide soorten van enkelvoudige plooipunten. Hieruit volgt dus dat een plooipunt zijn soortkarakter niet veranderen kan zonder eerst met andere plooipunten samen te komen. Ge- schiedt dit in een dubbelplooipunt tweede soort, dan worden beide onbestaanbaar. Bij ‘t samenkomen in een osculatie- punt kan echter wellicht ’t karakter veranderen. Dit is door spreker niet onderzocht. in een osculatiepunt, waar de doorsnede van raakvlak en oppervlak een driedubbelpunt vertoont, komen drie plooi- punten samen. Van deze drie zijn er evenzoovele bestaan- baar als door het driedubbelpunt bestaanbare takken gaan. In de bestaanbaarheid komt na het optreden van een os- culatiepunt geene verandering. Anders is het met de kegelpunten gesteld. Hier komen 24 plooipunten bijeen; toch kan hetgeen met die 24 punten voorvalt op tamelijk eenvoudige wijze worden beschreven. Brengt men een coördinaten-stelsel aan in het kegelpunt, dan kan de vergelijking van het oppervlak geschreven worden: Ozi Helen Laat men nu alle termen M, en hoogere weg, dan ont- staat een derdegraadsoppervlak met kegelpunt. Door dit ke- gelpunt gaan dan zes (dubbele) rechte lijnen, die al of niet bestaanbaar kunnen zijn. Vervormt men nu het oorspron- kelijk oppervlak, zoodat binding of scheiding optreedt tus- schen de twee bladen, die in het kegelpunt samenhingen, dan gaan de 24 plooipunten in zes groepen van vier uiteen. leder van deze groepen correspondeert met een der zes dub- bellijnen van het derdegraadsoppervlak: met iedere onbe- staanbare lijn een groep van vier punten, die bij binding (405') zoowel als scheiding onbestaanbaar blijven ; met iedere be- staanbare lijn eene, waarvan twee plooipunten onbestaanbaar zijn en blijven, maar de twee andere òf bij scheiding òf bij binding bestaanbaar worden. Spreker pastte nu de ontworpen theorie toe op derde- graadsoppervlakken. De 54 plooipunten van zulk een op- pervlak liggen paarsgewijze op de 27 rechte lijnen. Dubbel- plooipunten kunnen alleen optreden op rechten, die door twee kegelpunten gaan; deze rechten tellen dan voor vier en al hunne punten zijn als dubbelplooipunten te beschou- wen. Daar evenwel bij ’t vervormen van een derdegraads- oppervlak ‘t optreden van twee kegelpunten te gelijk steeds vermeden kan worden, kunnen de dubbelplooipunten evenzeer buiten beschouwing gelaten worden als de osculatiepunten, welke geene verandering in ’t aantal bestaanbare plooipun- ten veroorzaken. De kegelpunten blijven nu over. Hier splitst zich bij binding iedere bestaanbare dubbellijn van het kegelpunt in twee bestaanbare rechte, waarop, blijkens de algemeene theorie, nu slechts twee bestaanbare plovi- punten, beide aan dezelfde lijn eigen, gelegen kunner zijn. Bij scheiding wordt alles onbestaanbaar. Het verdwijnen van twee plooipanten van een derdegraads- oppervlak gaat dus gepaard met het verdwijnen van twee rechten. Weet men nu nog dat het samenvallen van rechten slechts kan voorkomen bj ’t optreden van een ke- gelpunt, dan geraakt men van zelf tot het theorema, dat het verschil tusschen het aantal bestaanbare plooipunten en het aantal bestaanbare rechten voor alle derdegraadsop- pervlakken gelijk moet zijn, en wel blijkens het diagonaal- vlak van CruBscH, waar 27 bestaanbare rechte en 10 oscu- latiepunten, die elk voor 3 bestaanbare plooipunten tellen, aanwezig zijn, gelijk aan het getal drie. Spreker vond in de tamelijk uitgebreide literatuur over derdegraadsoppervlakken, dit theorema nergens uitdrukkelijk geformuleerd, maar het bleek toch, wat den inhoud betreft, bekend te zijn. Zoo geeft ZmurneN (Math. Annalen, Bd. VII, S. 5) voor de vijf hoofdsoorten, welke respectievelijk 27, 15, 1, 3 en 3 bestaanbare rechten bezitten, het aantal bestaan- ( 406 ) bare rechten met onbestaanbare plooipunten op als te zijn, resp. 12, 6, 2, 0, 0; waaruit het theorema natuurlijk on- middellijk volgt. — De Heer A. C. Oupemans Jr. biedt voor de Verslagen en Mededeelingen aan eene verhandeling, getiteld: » Bijdrage tot de kennis van de Cupreïne”. — De Heer MarriN deelt mede, dat door hem onlangs eene bezending versteeningen uit Nederlandseh Indië werd ontvangen, door den mijningenieur J. A. Hoozr in Marta- poera, het zuidoostelijk gedeelte van Borneo, verzameld. Daaronder vond spreker karakteristieke fossielen der krijt- formatie, vooral ook rudisten, en wel verscheidene soorten van Sphaerulites en Radiolites. Beide geslachten werden vroeger ook in Engelsch Indië waargenomen en door Srorrczka be- schreven, terwijl rudisten in de Nederlandsche bezittingen tot nu toe nooit waren aangetroffen. De aanwezigheid eener krijtformatie op Borneo, die reeds door Geinrrz hoogst- waarschijnlijk werd geacht, blijkt hieruit met zekerheid, en wel in streken, waar oudere dan tertiaire sedimenten nog niet ontdekt waren. Eene meer uitvoerige bewerking der krijtfauna hoopt spreker binnen kort te kunnen beginnen. Dezelfde spreker handelt vervolgens over eene mensche- lijke onderkaak, in 1828 in den Caberg bij Maastricht ge- vonden en sedert dikwerf in de anthropologische literatuur genoemd, omdat het voorwerp aan een diluviaal mensch werd toegeschreven. Spreker bracht de kaak ter tafel, be- nevens een profiel, opgenomen door den opzichter van den waterstaat G. A. VAN DER Dussen, werkzaam bij het ontgra- ven der Zuid-Willemsvaart, bij welke gelegenheid het bedoelde overblijfsel is gevonden. Het profiel gaat vergezeld van een beschrijvenden catalogus, en al hetgeen over de vindplaats der kaak bekend is, doet veronderstellen, dat die in jonge alluviale afzettingen, voorkomende binnen het gebied der Loessformatie, heeft gelegen en niet van diluvialen ouder- dom kan zijn. De zeer frissche toestand, waarin het voor- werp nog verkeert, doet buitendien geenszins aan een fossiel ( 407 ) denken; terwijl de kaak, volgens den hoogleeraar ZAAIser en andere anatomen, ook geenerlei bijzonderheden vertoont, die voor een hoogen ouderdom zouden pleiten. — De Voorzitter biedt, uit naam van den Heer vaN BEMMELEN, voor de werken der Akademie aan eene verhan- deling van den Heer G. Reinpers te Wageningen: » Over de samenstelling en het ontstaan der zoogenoemde Oerbanken in de Nederlandsche heidegronden”. Rapport daarover zal worden uitgebracht door de Heeren vaN BEMMELEN en MARTIN. — De Heer Hork biedt voor de boekerij der Akademie aan een exemplaar der door hem bewerkte » Bibliographie der Fauna van Nederland.” — Daar er verder niets te verhandelen is, sluit de Voor- zitter de Vergadering. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DE CUPREINE. DOOR A.C OUDEMAENNS LL Door de vrijgevigheid van de bekende kinine-fabrikanten Howarps and Sons, die mij eenige hektogrammen basisch cupreïnesulfaat afstonden, werd mij de gelegenheid gegeven, een uitvoerig onderzoek in het werk te stellen omtrent de cu- preïne en hare verbindingen en daardoor mijne kennis om- trent de eigenschappen der kina-alkaloïden te vermeerderen. Het zout, dat mij ten dienste stond, was goed kristallijn, maar eenigszins vaal van tint. Het loste in overmaat van zuren tot eene lichtbruingeel gekleurde vloeistof op. Om daaruit eupreïne te bereiden, zou men geneigd zijn, de in verdund zoutzuur opgeloste massa door alkaliën — en wel door ammonia in zwakken overmaat — te ontleden, daar cupreïne, zooals reeds uit het onderzoek van Hesse en van Paur en CowNrey is gebleken, in overmaat van kali en natron — en zelfs van ammonia — gemakkelijk oplost. Deze wijze van doen voert intusschen niet tot het doel; want wanneer men het in verdunde zuren opgeloste sulfaat in zwakken overmaat van verdunde ammonia giet en snel om- roert, ontstaat altijd weiler, nevens cupreïne, eene zekere hoeveelheid van het moeilijk oplosbare basische sulfaat. Ik heb er my het best bij bevonden, de cupreïne af te scheiden uit eene oplossing van het neutrale (door an- deren zuur genoemde) hydrochloraat, die men zich gemak- kelijk op de volgende wijze bereidt. Men verwarmt het ven en ( 409 ) basische sulfaat met zijn tienvoudig gewicht aan water, voegt onder gestadig roeren zooveel zoutzuur toe, dat de massa opgelost is en daarna de ter precipitatie van het zwavelzuur noodige hoeveelheid chloorbaryum. Nadat zich het baryumsulfaat heeft afgezet, filtreert men de vloei- stof door dierlijke kool en giet haar, na bekoeling, on- der voortdurend roeren in eene verdunde oplossing van am- monia in water. Hierbij kan men, bij gedeelten werkende, zich door den reuk laten leiden en zoolang met de toevoe- sing van het zure vocht voortgaan, als bij het omroeren de reuk van de ammonia nog even duidelijk voor den dag komt. Het is niet raadzaam, omgekeerd te handelen en de ammonia bij het zure vocht te gieten, tenzij de oplossing van het zout zeer verdund zij, omdat dan lichtelijk uit de oplossing van het gemakkelijk oplosbare neutrale hydro- chloraat eene zekere hoeveelheid van het basische hydro- chloraat kan ontstaan, dat zich met de afgescheidene cupreïne vermengt, later door het ter uitspoeling dienende water wordt opgelost en op die wijze verloren gaat. De verkregene neerslag wordt nu zoo snel mogelijk met behulp van den BunseN’schen toestel afgefiltreerd en met koud water uitgewasschen. De doorloopende zwak ammo- niakale vloeistoffen behoeven niet te worden weggeworpen. Door verdamping daarvan en latere toevoeging van eene kleine overmaat van ammonia, verkrijgt nen daaruit weder een neerslag van cupreïne, die, ofschoon gekleurd, zeer goed tot de bereiding van sommige cupreïne-zouten kan dienen, Bij de beschrevene bewerkingen bemerkt men al spoedig, dat cupreïne, in vergelijking van de meer bekende kina- alkaloïden, veel grootere neiging vertoont om zich onder den invloed van verschillende invloeden te kleuren en te ontaarden. Herhaalde bewerkingen van hetzelfde preparaat (verdamping en oplossing) voeren doorgaans tot het resul- taat, dat de massa geelachtig, bruin- of roodachtig, ten laatste bijna zwart wordt gekleurd. Dit schijnt vooral plaats te grijpen onder den invloed van oxydeerende zuren, zooals salpeterzuur en chloorzuur, en van alkaliën, althans onder den invloed van ammonia. Somtijds verkrijgt men door het VERSL. EN MEDED, AFD. NATUURK, de RLEKS, DEEL WE 21 (410) verdampen van dergelijke gekleurde oplossingen tot droog- wordens en latere behandeling met water een zwart poeder als residu, dat met eene donkerviolette kleur in alkohol en iijsazijn oplost en daaruit bij verdamping duidelijk kristal- lijn achterblijft. De hoeveelheid daarvan is echter altijd zeer gering. Zooals later zal worden vermeld, ontstaat daarvan eene ruime hoeveelheid, wanneer het neutrale nitraat in drogen toestand boven zekere grenzen van temperatuur wordt verhit. Heeft men dergelijke donkergekleurde vloeistoffen op cupreïne te verwerken, dan voert het gebruik van dierlijke kool ter ontkleuring gewoonlijk niet tot het doel en is het verkieselijk, aan het vocht allengskens zooveel verdun- de ammonia toe te voegen, dat er een geringe nederslag is ontstaan. Na bezinking is het vocht min of meer ontkleurd en de kleurstof in den neerslag overgegaan; men herhaalt deze bewerking, totdat men het beoogde doel heeft bereikt. Het alkaloïde, dat uit de oplossing van een cupreïnezout door ammonia is afgescheiden, heeft menigmaal eene gele tint, vooral wanneer deze laatste niet genoegzaam was verdund. Het zuiveren van een dergelijk gekleurd praeparaat geschiedt het best, wanneer men de massa bij zachte warmte met alkohol van 70 pCt. uittrekt; daardoor gaat de kleur- stof met een deel van het alkaloïde in oplossing; het afge- filtreerde residu kan nu in sterken alkohol worden omge- kristalliseerd of door omgzichtige toevoeging van water tot het vocht, bij bekoeling, in kristalletjes worden afgescheiden. Volgens deze laatste wijze van doen scheidt zich een zeer groot gedeelte van het alkaloïde zuiver wit uit de oplos- sing af‚ terwijl het kristalliseeren daarvan door ver- damping van sterk alkoholische oplossingen allengs weder aanleiding geeft tot het verkrijgen van een min of meer gekleurd produkt. Wat nu verder de eigenschappen van de cupreïne betreft, zoo kan ik in hoofdzaak bevestigen, hetgeen daaromtrent loor Hesse is medegedeeld *). *) Ann. der Chem. u. Pharm. 230, 55 en verv. En ds nes ne en (411 ) Cupreïne lost tamelijk wel in sterken alkokol op, weinig in aether, zwavelkoolstof, benzol, chloroform en petroleum- aether. Het kristalliseert uit sterken alkohol in den vorm van kleine doorschijnende kristalletjes, uit (waterhoudenden) aether in den vorm van wratjes, die, volgens de ondervinding van Hesse en ook volgens de mijne, 2 moleculen water bevatten. Het alkaloïde, dat door toevoeging van water aan eene warme alkoholische oplossing wordt afgescheiden, bevat altijd eene zeer geringe hoeveelheid water, ongeveer 1.3 procent, wat overeenkomt met 1/3 molecule. Dat dit water niet kan ge- acht worden, door hygroscopiciteit te zijn opgenomen, maar werkelijk scheikundig is gebonden, schijnt mij toe daar- uit te blijken, dat het uiterlijk van het praeparaat na het drogen op 100—1380® zeer wordt veranderd; vroeger een vrij dicht zandachtig poeder, gaat het over in eene los samenhangende massa van veel duidelijker kristallijn voor- komen. Ik geloof dan ook te mogen aannemen, dat de samenstelling van uit slappen alkohol afgescheiden en aan de lucht gedroogde cupreïne beantwoordt aan de formule 3 (CroHaaN209) + H30. Voor het smeltpunt van bij 1400 gedroogde cupreïne vond Prof, Hooeewerer —t 1970, hetgeen met de opgave van Hessr (1980) goed overeenstemt. De analyse, uitgevoerd door den Heer EK. H. Exkxer, le- verde de volgende uitkomst op: 1) 0.7502 gram luchtdroge cupreïne, uit aether gekristal- liseerd, verloren bij 130— 1400 0.1008 gram H‚0 = 18.4 pCt. De formule C‚oHo,N309 + 2 H3O vordert 10.4 pCt. HO. 2) 0.2808 gram uit aether gekristalliseerd alkaloïde, bij 1300 gedroogd, gaven 0.7602 gr. CO, en 0.1865 gr. HO. Gevonden. Berekend, El 73.8 73.5 Has us 7.1 Ne zi En 0, st ms Hiermede stemt vrij goed overeen de uitkomst der analyse 27* (412) van het neutrale chloroplatinaat, ten deele door den Heer E. H. Ekxker, ten deele door mij verricht. 1) 0.9461 gr. van het zout gaven mij bij drogen op 1450 een verlies aan water van 0.0265 gr. of 2.8 pCt, hetgeen beantwoordt aan 1 molecule kristalwater (2.44 pCt.). Van het- zelfde zout gaven 0.4136 gr. 0.1094 gr. platina — 26.45 pCt. De formule C‚oHazN503, Ho Pt Clo + HgO vordert 26.34 pCt. Pt. 2) De Heer Exxer verkreeg van 0.5611 gram bij 110 —1300 tot standvastig gewicht gedroogd chloroplatinaat 0.6393 CO, en 0.1809 gr. H‚O. Gevonden. Berekend. Co 91.1 81.7 Ho, 9.7 9.3 No Ee EE 0 ee en Pé 26.5 26.3 on te Cupreïne gedraagt zich als eene tweezurige basis en geeft met de meeste zuren twee reeksen van zouten, die ik basi- sche en neutrale zal noemen. Met sommige zuren, zooals zwavelzuur, vereenigt het zich ook nog ter vorming van een zuur zout, waarvan het zuur op 1 mol. alkaloïde twee- maal grooter is dan in het neutrale. De basische zouten zijn over het geheel niet zeer oplosbaar in water, de neutrale en zure daarentegen wel. Zooals Hessr reeds heeft opgemerkt, zijn oplossingen van basische zouten geel gekleurd; de eigenaardige citroengele tint dezer vloeistoffen, die bij de zuiverste praeparaten voor- komt, moet niet worden verward met de bruingele kleur, die bij langzame ontaarding ten gevolge van verdamping enz. wordt waargenomen. Dit blijkt onder anderen daaruit, dat de witte basische zouten, die met eene gele kleur in water oplossen, met watervrijen alkohol geheel kleurlooze oplos- singen geven. De oplossingen van neutrale verbindingen van cupreïne met kleurlooze zuren zijn ongekleurd, tenzij bij verdunning en verwarming door dissociatie eene zekere hoeveelheid basisch zout ontstaan zij. In drogen toestand nn (418) _ zijn de volkomen zuiwere neutrale verbindingen met kleur- looze zuren waarschijnlijk ongekleurd (het hydroiodaat uit- gezonderd, dat oranjekleurig en het hydrobromaat, dat geel is), maar het is mij niet mogen gelukken, neutrale zouten in groote kristallen geheel ongekleurd te verkrijgen. Bij de bepaling van het soortelijk draaiingsvermogen van cupreïne en hare verbindingen heb ik dezelfde methode ge- volgd als vroeger bij mijn onderzoek omtrent kinamine en konkinamine. De uitkomsten werden berekend met behulp van de for- Je, r Voor de oplossingen van het vrije alkaloïde in absoluten alkohol verkreeg ik daarbij de volgende resultaten : N°, vl) É at El D «) D 1 | 0.1310 gr. 19 CC. | 302.8 mm. 17°C. | 3°40' p 7 7, er. ” / „r 339! SN 15e ” / Pi Ed / / ge ef 3°39/5 ” ” ” VN, 7 V7 GEN, 3°39'5 RO ODA | 19 er | 302.87 |17° „| 6932! | ij 7 Hit ’ n_ |w w | 6931’ 6933! | — 175°.5 7 1 gl pe u n |« wj 6°35/ ii OeddSt p | 19 » "°302.8 2 [17° , | 9921! u ij Oh her ON 7 RE Pe 0 eel Ae — 173°.3 72 ” ì nn ” V/4 eN gef Eene bepaling van het S. D. V. in alkohol van 97 pCt. gaf de volgende uitkomst: 0.254 gr. 7°56' er ep 1enan S7e58tn V/ „ „ „ 8° 0’ | (44) ZOUTEN VAN CUPREÏNE. Basisch hydrochtoraat Cg Hag No Oo, HCI + Ho O. Voor dit in klearlooze naalden kristalliseerende zout vond ik de- zelfde samenstelling als Hessr. 0.4087 gram zout verloren namelijk bij drogen op 140° C. 0.0200 gram H‚O =4.9 pCt. Berekend 4.9 pCt. De oplosbaarheid in water werd bepaald volgens de me- thode van Vrcror Meyer en wel voor eene temperatuur van 16.3° QC. 7.8512 gram van eene bij die temperatuur verzadigde oplossing lieten bij verdamping en drogen op 1800 OQ. een overschot achter van 0.1370 gram. Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid van het waterhoudende zout 1 : 53.5. De bepaling van het soortelijk draaiïingsvermogen in wa- terige en alkoholische oplossingen leverde de volgende uit- komst op. Oplos- | @, | NE p V d bi (4) bere middel | | bee k op | 1 water | 0.1418grj 25 CC.| 302.8 mm.) 17° Cl 2943 5 8 ele a orn Le mn [2049 \ 90495 4570 Al ij 7 AK: ann NK fi 7 n | ry w|99495 „ ’ En Ar n ú NAS Er 5' |—154°.8{ „ ú Ot ’ „ vin erde 3 [watervrije alkohol, O.1801 # | 19.42 „ nin mn | 40445 4946! 1—169° 7/49 V/À 4 l/Á „ yv /Á I HI w m V/d 447'5 4 ” / 0 3127 / | 22 4 ” ” VREE 0 ds 712-167: 319 H P/À „ / „ I Nw „ „ V/d LÁ Pi 5 | 5 ) 2 I 0:77 125 Vi / / a wid! k „ /Á LÁ LÁ ” u LÁ n V/A V/Á LÁ q Se 1 4 ee erk vt er rt DD er (415 ) Neutraal hydrochloraat Cj9 Hoo N9 O9, 2 HCI, watervrij en gebonden aan twee moleculen kristalwater. Volgens Hesse bevat dit zout geen kristalwater en is het gemakkelijk oplosbaar in koud water, moeilijk oplos- baar in sterk zoutzuur. Naar mijne ervaring bestaan er twee zouten, waarvan het eene watervrij is en bij temperaturen, die naar mijne schatting boven 15 liggen, in harde kleurlooze kristallen aanschiet, terwijl het andere bij winterkoude in verbinding met twee moleculen water verkregen wordt en betrekkelijk groote tot het rhombische stelsel behoorende kristallen vormt, die veel meer neiging bezitten om uit het omgevende water kleurstof op te nemen dan het watervrije. Het is mij eenmaal voorgekomen, dat eene kristallisatie van watervrij zout, over dag in de maand November 1887 aan den binnenwand van een bekerglas gevormd, gedurende den pacht was verdwenen en had plaats gemaakt voor groote kristallen van waterhoudend zout, die den bodem van het vat bedekten en een geheel ander uiterlijk voor- komen hadden. | De waterbepaling van het laatstgenoemde zout leverde de volgende uitkomst op: 0.9648 gram verloren bij drogen op 1400 0.0748 gram —= 8.3 pCt. aan gewicht. De formule met twee moleculen water eischt een gehalte van 8.6 pCt. Na eenige dagen staan in de lucht had dit zout weder 0.0498 gram water opgenomen, d. 1. ongeveer 5.1 pt. Het zout met 1 mole- cule water zou 4.5 pt. water moeten bevatten. Later evenwel was de toename in gewicht in het geheel gelijk aan 6.9 pCt. zoodat het schijnt dat het zout onder gunstige omstandig- heden weder het geheele gehalte van 2H,0O kan opnemen. De oplosbaarheidsbepaling volgens de methode van V. Meiser leverde de volgende uitkomst: t— 50, 4.2893 gram verzadigde waterige oplossing gaven als droog residu (verhitting op 1400 C.) 0.6500 gr. Oplosbaarheid van het droge zout daaruit berekend 1 : 5.60. t— 160,3. 9.2511 gram verzadigde oplossing gaven als droog residu 1.3014 gr. Oplosbaarheid van het droge zout 1 : 6,11. (416 ) Wat nu verder de bepaling van het S. D. V. voor op- lossingen in water betreft, ik heb deze uitgevoerd zoowel bij het watervrije als bij het waterhoudende zout en buiten- dien ook onder toevoeging van een overmaat van zoutzuur. De uitkomsten zijn de volgende: N°, 0.2619 gr. dr. zout mnd gi 0.2866 gr. w. „u Ad: „ | 7°48 2 0.5518 gr. w. „ | 22 w IR, „ 16° 05 / „ perd nw RS „ [18959 5 15°59'5 ij , Eind en Pina n_|15°59/ 3 0.8906 A in Mer A RS: „ 1299445 Ld n V/A LÁ iÁ I i/Á IÁ IÁ 29 ii 1 4 dl 6 0.3968 Sr vj LO a / " „ _13°20' | 13°20’ _210°,81-—o899, „ LOG mormH Ololt nr A, j 13°20: f AE B 7 0.3933 gr. " 195 Ap „ _13°40 È „ PCG: norm. Cl 7 B „_3°41055 raes 210 y „ 4 4 jd 4 ” m 7 pm 4 3e 10/5 8 0.4372 gr. ENE eN. „ H2°94' 5 6 le} me, daf / 5 CC. norm. H Cl nn II v 7 129921! | ier En go 2108 9 0.3962 er. za Ap E, „ _12°345 " 10 CC. norm. H CI ven / ” n_ 1129335 12°345—199°.5 67° | V/A V/ I | r 4 IE 0 7 „ pn 12°33'5 Ì 10 0.4523 gr. / 9 y ” > „ 12° 4! EL „ BOE norm, HO or 5 Ee dd „ 12° a 12° 4/5 —194°.0—260°, | Ë | (417) Basisch Aydrobromaat. Cio Hag No0g, HBr + Ho0. Dit zout kristalliseert even als het basische hydrochloraat in den vorm van witte naalden. Kristalwaterbepaling. 1) 0.8664 gr; zout verloren bij dro- gen op 1600C 0.0384 gr. water —= 4.4 pCt. 2) 0.6956 gr. zout verloren bij drogen op 1600 C. 0.0298 gr. water = 4.3 pCt. De formule eischt 4.4 pCt. water. Het zout is, volgens de uitkomst van de volgende proef, moeilijker oplosbaar in water dan het overeenkomstige hy- drochloraat. 6.7774 gram. van eene bij 16° verzadigde oplos- sing lieten bij verdampen en drogen op 1450 C. een overschot achter, wegende 0.0526 gram. Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid van het waterhoudende zout 1: 122,2. Omtrent het 5. D. V. verkreeg ik de volgende uitkomst: Oplos- p V / middel berekend op alkaloïde water 0.1080 gr. 22 CC. | 302,8 mm. w / ” mn ” mln nr 229) 210’ [—145°.8—492° 7 2 P? ” ne 7 nee Se „ peek nr ” men Pa 20015 4928! [—144°.8—191° 1 pb „ n\n ml 69 3 56° 3 |—139°,2|—183°.7 wp IJ vels Tel 7 NEN tT Neutraal hydrobromaat. Cio Hoo N23, 2H Br. Watervrij en met 2H,0 gekristalliseerd naar gelang van temperatuur. | Waterbepaling van het gehydrateerde zout: 1.3496 gram (418 ) verloren bij drogen op 1400 C. 0.0983 gr. = 7.3 pCt. wa- ter. De formule eischt 7.0 pCt. _ Bepaling van de oplosbaarheid: 6.8066 gram bij 16° C. verzadigde waterige oplossing lieten na verdamping en ver- hitting op 1450 een overschot van 0.5072 gram. Oplosbaar- heid hieruit berekend 1: 12.52. De uitkomsten omtrent het soortelijk draaiingsvermogen voor oplossingen in water waren de volgende (hierbij werd het watervrije zout gebruikt) : berekend 6) r alkaloïde 1 | 0.3440 gr. 22 CC. | 302.8 mm.) 17°C.| 9° 0' Vi I I 7 Ld I ” 4 Hr 8 5 5 6 8°57' —189°.0—287° 7 I ” ” AS p na u | 856! „ V/A „ V/d V/Á V/Á „ V/A V/Á 8 p 55 ! 210.7178 | w / „ly w |16°44/ / „Ly dn „ nm mw 16°42 en — {84° 6/—281° 0 V/Á V/Á V/Á I /Á I V/d I/ V/d 1 6 5 42 ! 311.541 vl # „ Re, 317597) : 37°59' |—176°.8—268° .6 / sid ee mn » „\a « |97°58! ) Basisch hydroiodaat. Cio Hag No O5, H I. Het zout, dat ik onderzocht, was watervrij. Het verloor bij verhitting op 140° niets aan gewicht. 0.4545 gr. gaven 0.2394 er. Agl, het- geen overeenkomt met 28.4 pCt. Todium. De formule van het watervrije zout vordert 29.2 pCt. I. Bepaling van oplosbaarheid: 6.0228 gram van eene bij 160 verzadigde waterige oplossing lieten na verdamping en drogen op 140® achter 0.0559 gr. overschot. Oplosbaarheid hieruit berekend 1 : 106.6. Voor het S. D., V. vond ik het volgende: 2 ntt oss die Aard van „| het oplos- p V middel berekend op alkaloïde / ” ” line ‚ Mtd ‚ re Pnt, ” „ie u | 3 AIO 4! —126°.3178°.4 4 4 ’ „ „ nm nl 3e 3/5 | p Ee p Bft „ A Beter, elkohol { 0.2160 / | 22 pv # ader 13 46 \ n „ r /Á V/ I „ VA, 359 | 3°49' |—128°.3—180°.9 ri p - vn v „lr wo | 3°48! 4 n ” (lt SIT ’ 7, Hm 3°49! Neutraal hydroiodaat Cio Hoo No O5, 2 HI met 1 en met 2 H‚,O. Ik verkreeg dit zout in den vorm van oranjegele wratten en in den vorm van tamelijk groote fraaie donker oranje- kleurige kristallen. Van het eerste verloren 0.6857 gr. bij drogen op 1450 0.0211 gr. water d.1: 3.8 pCt. De formule met 1 Ho O eischt 3.0 pCt. Van het tweede verloren 1.2854 gr. bij drogen op 1500 0.092 gr. of 7.2 pCt. water. De formule met 2 H‚O eischt 6 pCt. Het verschil tusschen de gevondene en be- rekende hoeveelheid laat zich daardoor verklaren, dat het zout nog een weinig vochtig was. Bepaling van oplosbaarheid bij 16° C. 10.700 gram verzadigde waterige oplossing gaven als residu, op 1400 gedroogd, 0.6494 gr. zout. Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid van het waterhoudende zout 1: 15. Het onderzoek omtrent het 5. D. V. leverde de volgende uitkomst op voor opl. in water. 0.3759 gr. 25 CC. | 302.8mm.j17° C.f 6°53! n ee Zlk nu |n wl 6°53' 6°53' |—151°.2—283°. 2 p Pe EN An, pe we beh 0.9879 gr. 22 a Hie Ik 20 5! 20'5' |- 147°.6/—276°.4 V/Á V/ „ VÁ /Á V/d vj IÁ 20 8 5 I Basisch nitraat. Cio Hag Na O5, HNO3 + 2 H‚O0. Dit zout doet zich voor in den vorm van fijne witte naalden. Bij verhitting onder water smelt het tot eene kleverige dikke massa en bij snelle bekoeling van eene heete ge- concentreerde oplossing scheidt het zich als eene amorphe massa af, die allengs kristallijn wordt. Waterbepaling. 0.5000 gr. verloren door drogen op 1200 0.8442 gr. water == 8.84 pCt. De formule van het zout met 2 moleculen kristalwater eischt 8.8 pCt. Oplosbaarheidsbepaling. 12,525 gram van eene bij 15 C. verzadigde waterige oplossing lieten bij uitdampen en drogen op 1100 C. achter een overschot van 0.1312 gram. Hier- uit berekent men voor de oplosbaarheid van het waterhou- dende zout 1: 86. Zooals uit deze uitkomst blijkt, mist de bewering, dat dit zout in water zeer oplosbaar is, allen grond *). De bepaling van het S. D. V. in waterige oplossing le- verde de volgende uitkomst op: *) Pharm. Journal. Transactions [3] XV 402, (Paur en CowNLEY). @, er le  N°. l É D Lanen tie zout dd loïde. hO45' VASE hOAr) —182°,5 4°45' 494315 Neutraal Nitraat. Cio Hog N3 Os, 2 HNOs + Ho 0. Deze verbinding kristalliseert in prachtige lichtgele kristallen, welke evenals het hydrochloraat eene aanzienlijke grootte kunnen bereiken. Men bereidt het gemakkelijk door bij het alkaloïde de berekende hoeveelheid (getitreerd) normaal salpeterzuur te voegen. Het alkaloïde lost daarin eerst op; maar weldra scheidt zich het zout af, dat door kristalli- seeren uit warm water gemakkelijk te reinigen is. Zooals reeds in den aanvang (zie bl, 3) werd vermeld, is het tegen den invloed van hooge temperaturen niet bestand. Bij 1009 verhit, begint het na langen tijd reeds verschijnselen van kleuring te vertoonen; bij 1100 in fijn verdeelden toestand op een open horlogieglas verhit, wordt het spoedig bruinachtig en naarmate de temperatuur stijgt, wordt de massa donkerder, totdat zij ten laatste zwart schijnt. Bij be- handeling met water verkrijgt men eene donkerviolet ge- kleurde oplossing en blijft er een zwartviolet poeder terug, dat niet in water oplost en bij koking met ijijsazijn en al- kohol eene vloeistof geeft, die bij langzame verdamping aan de lucht een kristallijn violet residu achterlaat. De bedoelde verandering heeft veel gemakkelijker plaats in open schalen of glazen dan in buizen. Bj 1500—1600 is zu vooral gemakkelijk waar te nemen. Ik behoud mij voor, later omtrent het ontledingsprodukt nadere onderzoekingen te doen. Waterbepaling. 0.5314 gr. verloren bij drogen op 1056 — 1 100 0.0217 gr. water = 4.1 pCt. De formule met 1 mol HO eischt 4.0 pCt. Dat er niet meer dan 1 mol. kristalwater in het zout is, schijnt mij daaruit te blijken, dat bij eene proef, waarbij het zout op 150® werd verhit, onder gedeeltelijke ontleding en ontwijking van salpeterzuur een gewichtsverlies werd ver- kregen van slechts 6 pCt. Ten aanzien van de oplosbaarheid in water werd het vol- gende resultaat verkregen. 10.3840 gr. van eene bij 170 U. verzadigde oplossing lie- ten een bij 1000 op het waterbad gedroogd overschot terug van 0.7570 er. Hieruit berekent men eene oplosbaarheid van het waterhoudende zout van 1: 12,2. Deze uitkomst is evenwel slechts eene benadering tot de waarheid, omdat het uitdampen van de waterige oplossing steeds het ontaarden en bruin worden van de massa ten gevolge heeft, die vooral op het laatst zeer merkbaar is. Wat verder het S. D. V. in waterige oplossing betreft, zoo kan de uitkomst daarvan uit het volgende overzicht worden opgemaakt : (2) Ken | D berekend op alka- loïde. pre TPE vn |, n | 37°27 \37°361|—188°.9|—276° 7 Ui lÁ /Á I/Á Id I/Á Ld /Á 31 926! 302.8 mm. 7°40' | 7°39'5 |—197°.4|— 289° 1 " / 7 / P7 1 7 mn 7939! 2 0.5164 rv | 22 / W7, sel TA Rele Aan s bnegne EAE | 13°46!|—4193°.4—283°.2 7 y 7 NET 2 ” 7 A A ie Si en 3 10.748 #1 19 7 vern s mk 255 | 21°55'|—188° ,9|—276° .7 ” P] 2 Pe à 7 u sz A 1-212555 | 4 10.9566 # [19 7 „ 7 „nr | 2857! | 28°57'—189°,8—278° „0 pe pe ” np 7 ” nm \ 28957! 5 1 . AAT n 19 / /Á Á I VÁ EN 024! — E4 TT A (423 ) Hieruit schijnt te blijken, dat beneden en boven zekere concentratie een gelijk soortelijk draaiend vermogen kan worden waargenomen, terwijl verder bij sterkere verdunning dit 5. V. D. gestadig toeneemt. Sterkere oplossingen dan die onder n0. 5 is vermeld heb ik niet gebruikt, omdat, zooals uit het bovenstaande blijkt, al spoedig oververzadigde soluties zouden verkregen zijn, die onder de waarneming konden kristalliseeren. Basisch chloraat. Co Hao N90Og + HCIOs. Het basische chloraat is watervrij, zooals mij bij droging van verschil- lende praeparaten tot op 1500 bleek. Het kristalliseert in fijne, witte, tot knolvormige aggregaten vereenigde naaldjes. De oplossing daarvan in heet water kleurt zich allengskens bruinrood en wordt daarbij steeds donkerder. Eene verdunde oplossing van het zuivere zout vertoont, in tegenoverstelling van al hetgeen ik bij andere zouten heb gezien, geene de minste gele kleuring. Bepaling van oplosbaarheid. 9.482 wram van eene bij 140 verzadigde waterige oplossing lieten bij uitdampen en drogen op 1150 een overschot achter van 0.1936 gr. Hieruit be- rekent men voor de oplosbaarheid 1 : 48, De resultaten omtrent het S. D. V. van het zout waren de volgende; KNK op zout alkaloide 0.2272 gr. 22 CC. | 302.8 mm. 17° CG. 4934! ” /À LÁ n Vi v v yv 49326 4939! en 144° . 9 En 184° . 4 A n Ld VA H „ # LÁ 450’ / Neutraal chloraat. Cio Has No Os, 2 HCIO3 + zHo0. Dit zout bereidde ik door dubbele ontleding van de bere- kende hoeveelheden neutraal sulfaat en zuiver gekristalliseerd baryumchloraat. Na filtratie van het afgescheidene baryum- sulfaat verkreeg ik eene bijna kleurlooze oplossing, die, in tic van het | berekend ( 424) uiterst dunne lagen aan de lucht verdampt, eerst een amorph vernis achterliet, dat echter bij lang staan in eene straal- vormige kristallijne massa veranderde. Het verdampen van eene groote hoeveelheid oplossing, eerst op het waterbad en later onder den exsiccator, waarbij de massa steeds- donkerder van kleur werd, leidde tot het verkrijgen van eene bijna zwarte, zeer dikke gomachtige massa, die in verloop van een paar maanden kristallijne structuur aannam. Uit deze proef blijkt de groote oplosbaarheid van het zout en tevens de moeilijkheid om het S. D. V. daarvan te bepalen. Basisch perchloraat Cio Hag No 05, HCIO, + 14 Ho 0. Wanneer men dit zout bereidt uit alkaloïde en eene niet al te verdunde warme oplosssing van overchloorzuur, zet zich bij bekoeling eene gele olieachtige massa af; deze ver- andert echter onder het vocht langzamerhand in nagenoeg kleurlooze kleine kristalletjes, die uit kokend water kunnen “worden omgekristalliseerd en zich dan veel gemakkelijker vormen, bij vrijwillige verdamping zelfs zich in net ge- vormde kristalindividuen aanzetten. Bepaling van krstalwater. 10, 0.4110 gram zout ver- loren bij drogen op 1350 C. 0.0243 gram water —= 5.7 pCt. 2) 0.9455 gr. verloren bij drogen op 1350 0.0600 water == 6,3 pCt. 3) 0.638 gr. verloren bij drogen op 1859 0.0404 water ba Pot: De formule met 1} mol. kristalwater vordert 6.2 pCt. De bepaling van de oplosbaarheid in water gaf het vol- gende resultaat : 7.493 gram bij 110 C. verzadigde oplossing lieten als op 110? gedroogd residu 0.0420 gram ach- ter. Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid van het waterhoudende zout 1 : 167. Neutraal perchloraat. Cio H3g N35 Op, 2 HCIO,. Ik be- reidde dit zout door de berekende hoeveelheden neutraal cupreïnesulfaat en baryumperchloraat in heete oplossin- gen bij elkander te voegen. De van het baryumsulfaat af- gefiltreerde vloeistof was lichtgeel gekleurd en werd na vr aanzienlijke concentratie op het waterbad onder eenen ex- TET (425 ) siccator weggezet. Allengs vormden zich aan den rand van de vloeistof witte vezelachtige kristalaggregaten en tevens op den bodem van het vat eene olieachtige vloeistof (waar- schijnlijk een bepaald hydraat). Werden de kristallen weder in de vloeistof ondergedompeld, dan losten zij toch in de bovenste laag spoedig weder op; dit mag in zooverre ver- wondering baren, dat men met het oog op de afgescheidene olieachtige massa, het bovenstaande vocht al licht voor ver- zadigd zou houden. Bepaling van kristalwater. 0.6776 gram zout verloren bij verhitten op 1350 C. 0.464 er. water —= 6.8 pCt. De formule eischt een gehalte van 6.6 pCt. Basisch sulfaat. 2 (C19HaN209), H9S0O, + 6 H30. Housse bepaalde de samenstelling van dit zout en vond, dat het weinig in water oplosbaar was. Ik verkreeg het nooit anders dan in den vorm van zeer lichte vlokken, die op een fil- trum tot eene papierachtige massa samenkleven. In alkohol is het ook slecht oplosbaar. 0.4131 gr. verloren bij drogen op 1400 C. 0.0549 water —= 13.3 pCt. De formule eischt 13.1 pCt. HO. Oplosbaarheidsbepaling. 1) 19.7622 gram van eene bij 170 C. verzadigde waterige oplossing lieten bij verdampen en drogen op 1200 CO. 0.0208 gr. residu van watervrij zout. Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid van het water- houdende zout 1:813. 2) 29.1600 gr. van eene bij 1000 C. verzadigde oplossing lieten bij verdampen en drogen op 1200 C. eene residu achter van 0.1202 gr. watervrij zout. Hieruit berekent men voor de oplossing van het waterhoudend zout 1 : 209. Neutraal sulfaat. Co Hag No 03, Hy SO, + 2H,0. Hesse vond van dit zout, dat het in heet water tamelijk, in koud water slecht oplosbaar is en geeft op, dat het l mo- lecule kristalwater bevat. Mijne ervaring strookt daar- mede niet, zooals blijken kan uit de volgende resultaten der analyse: Kristalwater. 1) 0.4387 gr. verloren op 1200 C 0.0098 gr. H,O maar op 140° 0.0356 gr. H,0. Dit laatste cijfer komt overeen met 8.3 pCt. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS, DEEL Ns 28 ( 426 ) 2) 1.2787 gr. verloren door drogen op 145° 0.0998 gr. HO Oe, Dit gehalte aan water werd door het aan de lucht staande zout weder binnen een paar dagen geheel opgenomen. Zwavelzuurbepaling. &) Het residu bij het drogen van 0.4387 gr. zout (zie proef 1) leverde 0.2332 gr. BaS04 =— 0:09826 or. HSO, — 22.4. pk 4) Het residu van 12787 gr. zout uit proef 2) leverde 0.6763 gr. BaSO, —= 22.3 pCt. HSO, Alzoo Gevonden. Berekend naar de formule je 9. Cio Ha No O,, Ho80, + 2H, 0. B O 8.3 TA 8.1 SO, H, 22.4 | ee Ten aanzien van de oplosbaarheid werd de volgende uit- komst verkregen: 1) 10.068 gram van eene na lang staan bij 170 OC. ver- zadigde waterige oplossing gaven na uitdampen en drogen op lage temperatunr een residu van gekristalliseerd zout, we- gende 0.1475 gram. Hieruit berekent men eene oplosbaar- heid(van 12701: 2) Bene volgens de methode van Victor Menem bereide bij 160 verzadigde oplossing gaf op 10.898 gram vocht een residu van 0.1473 gr. op 140® gedroogd zout; dit komt overeen met eene oplosbaarheid van het waterhoudende zout van 1: 78.04. In alkohol is het zout, zelfs in de warmte, slecht op- losbaar. De uitkomsten ten aanzien van het soortelijk draaïings- vermogen in waterige oplossingen, zijn de volgende: 0.1765 gr. 19.5 CC.) 302.8mm.17° C. 9°32/5—202°.4|— 289° „9 0.2065 » [19.0 » „ #8 | 69355 | 6934! |—197°.4—282° „3 ’ „ Pi / Pp ete GSR 0.2110 ” 19.0 ” Á Á 19°5/ 6937 | 6931 |—196°. 728197 V/ „ ” n ” ” Ms OM 6937! | 0 . 2731 4 19 . 0 „ i n 18° n 8°37' 8°37' |—197°,4—282°,8 „ p Mn „ pela om 1831 03047 l/Á 19.5 V/Á V/d 1 16° VÁ gog! n Vi " 7} ’ " „ mp \ 927! | „ ” n " " „ zn | 9! 5 928! Ee 286°.6 0.3050 Á 19.0 nm ” „ die /À te 9°40' —199°,9— 85° .3 0.4047 / (9.0 ” Dj] # 18° „ 12°44! | ( 12°451 —497°.0—282°.2 0.5394 4 |19.5 7 „17° » da 4 ” m „ VÁ n " „ 16°26' 4 16926! 19621 —980° „9 VÁ LA „ V/A /Á P/j 4 mn 16°26 | Hieruit blijkt dat, even als gewoonlijk wordt waargeno- men, met eene grootere concentratie een grooter soortelijk draaiïingsvermogen overeenkomt. Zuur sulfaat. Cio Hs; N, 05, 2H,S04, + 3H,0. Wan- neer men het voorgaande zout met iets meer dan de be- rekende hoeveelheid zwavelzuur bij verwarming in oplos- sing brengt en de vloeistof wordt geconcentreerd, zet zich ten slotte een zout in vezelige naalden af‚ dat aan de opge- 28+ (428 ) gevene samenstelling beantwoordt. Het is in water zeer op- losbaar, minder in sterk zwavelzuur; ook door alkohol wordt het tamelijk goed opgenomen. De eenigzins verdunde op- lossing van het zuivere zout wordt bij verwarming vrij ge- makkelijk ontleed en daaruit zetten zich dan bij bekoeling kristallen van het voorgaande zout af. De analyse van de verbinding leverde de volgende uit- komsten : Waterbepaling. 0.5046 gr. verloren bij drogen op 1200 0.0494 er. Ho 0. Bepaling van zwavelzuur. 0.4162 gr. gaven 0.38522 Ba SO, =— 0.1484 gr. H‚ SO, Gevonden. Berekend naar de formule Co Has N20s, 2 H;SO, +3 H‚O. Hs O 9.8 9.7 H, S 0, 39.7 35.0 Basisch formiaat. Cio Hao Na O3, CH9 Og. Het basische for- miaat kristalliseert in den vorm van fijne witte naaldjes, die in water slecht oplosbaar zijn. Het is watervrij; althans werd bij drogen op 140° C. geen gewichtsverlies bespeurd, Oplosbaarheidsbepaling. 12.986 gram van eene bij 160 C. verzadigde waterige oplossing gaven bij uitdamping een residu van 0.1174 gr. droog zout, Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid in water eene verhouding van l : 110. Eene bepaling van het S. D. V. leverde het volgende resultaat: 2, Lee berekend op alka- oïde. D van het zout. | 29225 2924’ 2°23' 2923’ |—163°.8—188°.0 Neutraal formaat Cs Hs Ns 05, 2 CH, 0, Dad dT H, 0. Lost ( 429 ) men het voorgaande zout in eene zwakke overmaat van mierenzuur op, dan verkrijgt men eene vloeistof, die onder eenen exsiccator strooperig wordt en eindelijk in dunnere lagen sporen van kristallisatie vertoont. Basisch acetaat Qi9 Hog No 05, Co H4 09 + 2H90. Door zachte verwarming van cupreïne met eene zwakke over- maat van azijnzuur wordt eene verbinding verkregen, be- antwoordende aan de opgegeven samenstelling. Het vormt uiterst fijne wollige naaldjes en lost moeilijk in water op. De oplossingen zijn in hooge mate vatbaar voor overver- zadiging. | Bepaling van kristalwater. 1) 0.5974 gram verloren bij drogen op 1400 0.0496 er. HO —= 8.3 pCt. 2) 0.9276 gr. verloren bij drogen op 1400 0.0706 gr. HO = 7.6 pOt. De formule eischt 8.8 pCt. H‚O. Dat het zout geen azijn- zuur had verloren, blijkt daaruit, dat het bij koken met wa- ter weder geheel oploste. Bepaling van oplosbaarheid in water, 1) 7.912 gram van eene bij 170 C. verzadigde oplossing lieten bij verdamping en drogen op 1300 een overschot achter van 0 0760 gr, Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid van het water- houdende zout 1:85. 2) 10.294 gram van eene bij 1000 C. verzadigde oplossing lieten op dezelfde wijze een droog overschot achter van 0.5214 gr, hetgeen overeenkomt met eene oplosbaarheid van het waterhoudende zout van 1:17. Neutraal acetaat. Cio Hag No Oo, 205 Hi Og + wr Hz 0. Door het voorgaande zout in overmaat van azijnzuur op te lossen en aan vrijwillige verdamping bloot te stellen, ver- krijgt men eene amorphe strooperige massa, die tot een vernis opdroogt en waarschijnlijk het neutrale zout voor- stelt. Basisch ozvalaat. 2 (Cio Haa Na Os), C5 Hs O, + 2 Ho O0. Pau en Cownrey beschrijven dit zout en vermelden er van, dat de oplossing tot een vernis opdroogt, waarin hier en daar kristallen voorkomen. Inderdaad verkrijgt men, wan- neer het zout door dubbele ontleding van het hydrochloraat of nitraat en ammoniumoxalaat in tamelijk geconcentreerde oplossing wordt bereid, eerst eene afscheiding van olieach- ( 430 ) tige druppeltjes, die zich allengs op den bodem van het vat als eene gele amorphe taaie harsachtige massa afzetten, maar deze gaat allengs geheel in eene kristallijne massa over. Lost men die in kokend water op of zorgt men bij de straks beschreven proef, dat de oplossingen een verdun- ningsgraad hebben, waarbij zich slechts weinig zout kan afzetten, dan verkrijgt men ongekleurde duidelijke kristal- letjes. De waterige oplossing van het zout is zeer onderhe- vig aan oververzadiging. Bepaling van kristalwater. 0.4788 gram zout verloren bij drogen op 130° C. 0.0268 gram water = 5.6 pCt. De formule eischt insgelijks 5,6 pCt. Bepaling van de oplosbaarheid in water. 22.527 gram van eene bij 180 ©. verzadigde oplossing lieten bij verdamping en verder drogen op 1400 een overschot achter van 0.0511 gram. Hieruit berekent men voor de oplosbaarheid van het waterhoudende zout 1 : 407. Neutraal oralaat. Co Hag Na Os, Co Ho 04 +2 H30. Lost men onder zachte verwarming Ìl mol. cupreïne in eene geconcentreerde oplossing van 1 mol. zuringzuur op, zoo verkrijgt men eene strooperige vloeistof, die bij verdere verwarming plotseling eene groote hoeveelheid van een wit zout afscheidt. Dit zout is het voorgaande basische. Brengt men door toevoeging van meer water en verwarming alles weder in oplossing zoo kristalliseert bij bekoeling al- lengs het basische oxalaat in fraaie netgevormde kristallen. De afgegoten vloeistof gaat hiermede voort, tot dat er ten laatste een vocht overblijft, dat tot eene gomachtige massa uitdroogt. Basisch tartraat. 2 (Co Hag No O9), C4 Ho Og + 2 Hz O Deze verbinding kristalliseert door toevoeging van alkali- tartraat bij eene warme niet te verdunde oplossing van ba= sisch hydrochloraat of nitraat in den vorm van dunne witte naaldjes. Hesse, die het zout beschrijft, vond dezelfde sinds ling als hier boven aangegeven is. Mijne uitkomsten waren de volgende: l) 0.6283 gram tartraat verloren bij drogen op 1400 C, (431 ) 0.0289 gr. H‚O —= 4.6 pCt. 2) 0 8981 gram tartraat ver- loren bij drogen op 140° 0.0418 gr. H,O —= 4.6 pCt. De formule eischt 4.4 pOt. Het geheele gehalte aan kristalwa- ter wordt door staan aan de lucht allengs weder opgenomen, Zooals reeds Paur en CowNLEy opmerkten, is het zout iets meer oplosbaar dan het overeenkomstige tartraat van kinine en cinchonidine; dit blijkt uit het resultaat van de volgende proef. 10.1390 gram van eene bij 160 verzadigde oplossing lever- den bij verdamping en droging op 150® een overschot, we- gende 0.0017 gram. Hieruit berekent men voor de oplos- baarheid van het waterhoudende zout 1 :571. Neutraal tartraat. Het is mij tot nog toe niet gelukt, deze verbinding in kristallen te verkriijgen. Voegt men één molecule wijnsteenzuur en één molecule cupreïne bij elkaar onder toevoeging van eenig water ter oplossing, dan verkrijgt men geene homogene vloeistof; er wordt eene zekere hoeveelheid basisch tartraat gevormd, die niet oplost en er blijft eene zure vloeistof over, die bij voorzichtig uitdampen een amorph overschot achterlaat, waarin zich hier en daar kristalletjes, waarschijnlijk van het zure tar- traat, vertoonen. Zuur tartraat. Cio Hoa No Os, 20, HG Og + HyO. Bj eene proef voegde ik 1 molecule cupreïne en eene geconcentreerde oplossing van 4 mol. wijnsteenzuur bij elkaar. Biij lang verwarmen loste alles tot eene heldere vloeistof op, die in een smal en hoog bekerglas onder een exsiccator verdampt, eindelijk vrij groote kleurlooze kristallen afzette. Deze, met warm water behandeld, ondergingen eene ontleding, waarbij basisch tartraat werd gevormd. 0.4847 gram van dit zout verloren bij drogen op 1350 C. 0.0120 er. H,0O —=- 2.5 pCt. Het residu, met water gekookt en met 0.885 X normale kalioplossing getitreerd, vorderde 2.5 C.C, daarvan, om eene neutrale reactie te voorschijn te brengen. Hieruit berekent men voor het wijnsteenzuurge- halte, dat vrij gekomen is (*/4, van het geheel) 0.16593 gr. == 34.3 pCt. De aangegevene formule van het zure zout vordert 2.9 pCt, (432 ) water en 35.8 pCt. vrij wijnsteenzuur. De afwijking tus- schen de berekende en de gevondene hoeveelheid wijnsteenzuur laat zich verklaren uit de geringe hoeveelheid stof, die ik voor de analyse kon gebruiken. Neutraal chloroplatinaat. Cio Haz No Os, Ho Pt Cl, + Ho O Hessr geeft voor het kristalwater van dit zout op een ge- halte van 2.28 pCt. beantwoordende aan 1 HyO. Het door mij bij dubbele ontleding van neutraal hydrochloraat met platinachloorwaterstofzuur bereide praeparaat bevatte eveneens 1 H‚O, zooals blijkt uit het volgende : 0.9461 gram verloren na drogen op 1500 0.0217 gram water = 2.3 pOt. De formule eischt een gehalte van 2.44 pCt. Het schijnt echter, dat het lichaam ook watervrij kan voorkomen, want een ander maal verloor eene hoeveelheid van 0.5727 gr. bij drogen op 150® slechts 0.0028 gr. d. i. If, pCt. water. Wanneer men de uitkomsten vergelijkt, die ten aanzien van het 5. D. V. der cupreïnezouten in waterige oplossing onder nagenoeg gelijke voorwaarden van concentratie zijn verkregen, dan ziet men weder hetzelfde verschijnsel, waarop ik reeds vroeger herhaaldelijk opmerkzaam heb gemaakt, namelijk dat aan het alkaloïde in basische en neutrale zou ten een verschillend eigen S. D. V. toekomt en wel zóó, dat dit voor elke reeks van zouten nagenoeg gelijk is. Het S. D. V. is in de basische verbindingen steeds veel lager dan in de neutrale. Wat dus vroeger vooral bij de twee door mij onderzochte alkaloïden apocinchonine en hydrochloorapocinchonine dui- delijk werd aangetoond *), vinden wij hier terug. Dit blijkt — voldoende uit het volgende tabelletje, waarin de S. D. V. zijn opgenomen, welke ik voor verdunde opoe van nagenoeg gelijke concentratie heb waargenomen. *) Verslagen en Mededeelingen der K. A. v. W., Deel XVIII, blz. 1 en vervolg. ( 433 ) S.D.V.van het \S. D. V. van het alkaloïde in alkaloïde in oplossingen van | oplossingen van basische zouten. | neutrale zouten, Namen der zuren, waaraan het alkaloïde is gebonden. Chloorwaterstofzuur.… Broomwaterstofzuur............. — 191°%1 — 287°7 ed wntesstofzuor DERDE adve — 178° — 283°2 Eee — 182°5 — 289% ONE dee see eee — 184°4 _ EEE eenen epeneser ces eme — 289°9 OREN eveedee ee: — 188°0 ee Waarschijnlijk zullen de maxima van S.D. V., verkregen door aan één molecule van het alkaloïde in hetzelfde volu- men vloeistof betrekkelijk meer en meer zuur toe te voegen, eene nog betere overeenkomst toonen, dan de in de laatste kolom opgenomen cijfers. In elk geval bevestigt het thans verkregen resultaat mij op nieuw in de vroeger uitgesproken meening, dat de bepa- ling van het S. D. V. een middel kan opleveren, om het scheikundig karakter van optisch actieve alkaloïden te leeren kennen en te beslissen of zij één-, twee- of meerzurig zijn. NOTIZ ÜBER DEN ANGEBLICH FOSSILEN, MENSCHLICHEN UNTERKIEFER VOM CABERGE BEI MAASTRICHT. VON K. MARTIN. Beim Ausgraben der Zuid-Willemsvaart wurde im Jahre 1823 zwischen Maastricht und dem gegenüber Itteren an der Maas gelegenen Hocht eine Reihe von vorweltlichen Thier- resten, menschlichen Gebeinen und anderen Gegenständen gefunden. Hierunter war auch ein menschlicher Unterkiefer, den Crahay für fossil erklärte, und welcher seither in der anthropologischen Literatur wiederholt genannt worden ist, indem er verschiedenen Forschern als Ausgangspunkt weit- tragender Spekulationen diente *). Aus solchem Anlasse ersuchte mich G. pr Mortier im Jahre 1880 um einen Gypsabguss der »célèbre mâchoire humaine des alluvions quaternaires de Maestricht’’, in der Meinung, dass der Unterkiefer im Leidener Museum vor- A *) Vgl. Hierüber: Casimir UpacHs. L’âge et P'homme préhistorique et ses utensiles de la station lacustre près Maastricht. Ruremonde (Jahreszahl fehlt). — Hier finden sich auch ausführliche Auszüge aus der Mittheilung Crahay’s, die ursprünglich erschienen ist im: Messager des sciences et des arts, première livr. 1823, Gand. Ich stütze mich auf diese Auszüge, da es mir nicht gelang, die Originalarbeit zu erhalten. (435 ) handen sei. Freilich war dies nicht der Fall; aber es gelang mir, im zoologischen Reichs-Museum ein sehr sorgfältig ge- zeichnetes Profil aufzufinden, in das die Fundorte des Kie- fers und der diluvialen Thierreste eingetragen waren und welches G. A. v. np. Dussen, Opzichter van den Waterstaat, 1824 gezeichnet hatte. Derselbe hatte auch die betreffenden Objekte gesammelt, und bereits in 1828 war von letzteren ein ausführlicher, beschreibender Catalog angelegt worden, der sich im Archive des geologischen Museums vorfand. Auch war in der Sammlung eine grosse Zahl der ausgegra- benen Knochen und Zähne vorhanden, während das Uebrige in verschiedene andere Museen zerstreut worden ist. Das gesammte Material von diluvialen Resten und von Aufzeichnungen gestattete mir schon damals, den Schluss zu ziehen, dass der in Rede stehende Unterkiefer vielleicht gar nicht fossil sei, und ich theilte das Resultat meiner Unter- suchung G. pe Morrirrer mit, ohne indessen je zu erfahren, ob Derselbe hiervon Gebrauch gemacht habe. Das Gleiche berichtete ich später mündlich Herrn Upaans, welcher 1. c. meine Zweifel theilt — freilich zum Theil aus irrigen Grün- den, da er sich im Wesentlichen auf die in mehrfacher Hin- sicht unrichtigen Angaben von Crahay stützte *). Die Frage, ob der menschliche Ueberrest fossil se1, blieb auch bei UBacHs noch offen. Inzwischen stellte sich heraus, dass der Unterkiefer im anatomischen Cabinete der Leidener Universität sich befinde +), woselbst er Herrn T. Zaarser lange bekannt war. Durch die Güte des Letzteren ist jetzt der menschliche Veberrest wieder dem geologischen Museum einverleibt worden, um mit den %) Lc. pag. 40. +) Dass derselbe wirklich der gesuchte Kiefer sei, war nicht im min. desten zweifelhaft, da er die Nummer 45 trug, welche auch Catalog und Profil für den Gegenstand angaben. Handschrift und Art der Befestigung der Nummer auf dem Kiefer stimmen auch durchaus mit dem überem, was die Nummern der im geologischen Museum befindlichen thierischen Reste zeigen. Endlich war ihm noch eine lose Etiquette zugefügt, welche lautet: „ad prof. 15 ped. é€ Kaberg”. ( 436 ) übrigen, bei Anlage der Willemsvaart gefundenen Objekten zusammen aufbewahrt zu werden. Es schien mir deswegen nicht überflüssig, an der Hand der alten authentischen Schriftstücke und der Sammlung selbst mitzutheilen, was vom geologischen Gesichtspunkte aus über den Fund des Unterkiefers zu sagen ist, Der Unterkiefer ist im Caberge gefunden. Darunter ver- steht man ein niedriges, im N.W. von Maastricht gelegenes Plateau, welches sich bis Smeermaas ausdehnt und weiter nördlich über den Ort hinaus fortsetzt, hier aber nicht mehr als Caberg bezeichnet wird. Ks erhebt sich etwa 20 m. über das Niveau der Zuid-Willemsvaart, und da die Schleuse der letzteren bei Maastricht ungefähr 47 m. über A.P. liegt ®), so besitzt es demnach + 70 m. Meereshöhe. In der Gegend von Smeermaas tritt das Plateau nahe an die Maas hinan und wurde es beim Graben des Canals angeschnitten. Das erwähnte Profil v. p. Dussen’'s bezieht sich auf diesen An- schnitt; es stellt den Aufschluss im Caberge südlich von Smeermaas dar und weiter nördlich von genanntem Orte den Aufschluss längs der Maas bis zu dem niedrigen Land- striche im Süden van Hocht. Soweit das Profil den Caberg betrifft, ist es in verkleinerter Copie diesen Zeilen beigefügt. STARING giebt auf seiner Karte an, dass der Caberg und die Höhe von Smeermaas längs des Canals von Löss bedeckt werden; weiter nordwestlich von Smeermaas folgt zunächst Sand- und bald darauf Maasdiluvium. Den Untergrund des Cabergs kennt SrariNG nicht; derselbe vermuthet nur, dass er der Kreideformation angehöre f). Dewarque, welcher auf sei- ner Karte die älteren Formationen abgedeckt angelegt hat 8), verzeichnet in der betreffenden Gegend Tertiär (Oligocän), und UzacHs befindet sich somit in Kinklang hiermit, wenn er in dem seiner Arbeit beigegebenen Profile von unten nach %) L. CoreN Stuart, H. G. VAN DE SANDE BAKHUYZEN en G. VAN Disssen, Uitkomsten der Rijkswaterpassing. 1888, pag. 21. f) Bodem van Nederland. II, pag. 321. $) Carte géologiqgue de la Belgique 1: 500.000. (437 ) oben folgen lässt: Tertiär (Tongrien), Maasdiluvium und Löss. Von der Richtigkeit dieses Profils, und besonders auch von dem Vorkommen eines typischen Lösses im Caberge, konnte ich mich überdies durch eine für das Leidener Museum von Ugpaers erworbene Sammlung überzeugen. Das erwähnte Profil v. p. Dussen's giebt nun auch bereits drei verschiedene Schichten an: zu unterst einen blauen, muschelführenden Lehm, welcher unterhalb des Niveaus der Maas ansteht und dessen Alter sich auf Grund der vorlie- genden Daten nicht mehr bestimmen lässt; darauf die » Kie- selbank’’ genannte Schicht, welche den Beschreibungen zu- folge ohne Zweifel als Maasdiluvium aufzufassen ist; endlich die »gelbe Erde'', welche der Lössformation gleichzustellen ist. Dass Maasdiluvium und Löss in den Hauptzügen richtig durch v. p. Dussen geschieden sind, kann nach dem Studium des Catalogs nicht zweifelhaft sein, zumal auch die für die jüngere Schicht angegebene Mächtigkeit sehr gut mit der Darstellung von Upaans übereinstimmt. In beiden Sehichten, sowohl im Maasdiluvium als auch im Löss, ist eine grosse Anzahl vorweltlicher Thierreste, vor allem von Elephas primigenius, gefunden, und zwar befand sich der reichste Fundort unmittelbar nördlich von dem durch Smeermaas führenden Wege. Hier zeigte sich eine Depression im Profile des Maasdiluviums, welche später vom Löss angefüllt und ausgeebnet wurde, und in ihr sind die meisten Knochen und Zähne gefunden, nament- lich am Grunde, unmittelbar im Hangenden des Maasdilu- viums. Unter anderen stammt hieher ein prächtig erhaltener Mammuth-Unterkiefer mit Zähnen, den das Leidener Museum besitzt (NO. 1; L. M.)*), und verschiedene Molaren (NO. 7, 8 u. 12; L. M.) sind aus demselben Löss abkünftig. Der menschliche Unterkiefer des Cabergs ist ebenfalls in der oberen Schicht, unmittelbar im Hangenden des Maas- diluviums gefunden (N°. 45; L. M.), und überträgt man das *) Der Zusatz L. M., hier und im Folgenden, bedeutet, dass der Gegen- stand sich im Leidener Geologischen Museum befindet. ( 438 ) Obige, von Smeermuas Mitgetheilte auch auf das Profil des Cabergs, so würde hienach dem in Rede stehenden Kiefer in der That ein hohes, vermuthlich jungdiluviales Alter, zu- kommen; wir würden in ihm den Rest eines Löss-Menschen zu sehen haben, und sein Vorkommen zusammen mit H. primigenius wäre durchaus erklärlich. Nun lehrt aber das beigegebene Profil, dass im Caberge die jüngere beider Ablagerungen keine für Diluvium be- weisende Versteinerungen geliefert hat: ihr entstummt nur der Unterkiefer und eine Anzahl von Knochen des Eq uus caballus, Wirbel, Beckentheile etc. (NO. 44; L. M.). Der älteren Schicht (Maasdiluvium) gehören die Nummern 34— 38, 40—43 und 81.1° an, und von diesen waren laut Ca- talog 34—38 Elephantenzähne; N. 35 ist auch unter dem Profile v. p. DusseN's abgebildet und hienach sicher als Molar von Elephas zu bestimmen, während 3 Bruchstücke von Molaren und viele von Stosszähnen aus der Staring schen Sammlung (Lb. M.) den Nummern 34, 36, 37 u. 88 zu ent- sprechen scheinen *). Ausserdem ist ein Unterkieferfragment von B. primigenius, abkünftig vom Caberge, in der Samm- lung SrariNe’s vorhanden. Ueber NO. 40—43 giebt der Ca- talog keinen näheren Aufschluss, als dass darunter grosse Knochen (vermuthlich Elephas)und Fragmente von Hörnern zu verstehen seien; NO, 81, 1? endlich ist ein Gegenstand menschlichen Kunstfleisses, über den ich nichts weiter aus- zusagen vermag jí). Selbstredend ist nun das Fehlen von diluvialen Thierresten in der jüngeren Schicht des Cabergs an und für sich kein Beweis dagegen, dass dieselbe auch hier dem Löss angehöre und der betreffenden jungdiluvialen Ablagerung von Smeer- maas gleichzustellen sei; aber der Zusatz des Catalogs zu %) Sie tragen nur die Angabe „Caberg”, nicht eine auf das Profil be- zügliche Nummer. 1) Der Catalog sagt hierüber wörtlich: „een klein antiek beeldwerk ter diepte van 14 ellen in zwarte kiezelgrond nabij het midden der doorsnede van den berg (omtrent de echtheid van dit stukje is het meest mogelijk onderzoek gedaan”), ET er Fe (439 ) NO. 45 erregt grosse Bedenken. Denn hienach wurde der Kiefer in einem Sande gefunden, der deutlich geschich- tet und in wellig gebogenen Lagen abgesetzt war (»in geele zand of zavelgrond, welke in onderscheidene serpenteerende stroomlagen was afgedeeld; van beneden deze natuurlijke lagen was eene bank van kiezel’). Bekanntlich hat aber der Löss ein ungeschichtetes Aeussere, und ist dem- nach der menschliche Unterkiefer sicherlich nicht in dieser Formation gefunden, wenngleich letztere an anderen Stellen des Plateaus des Cabergs eine grosse Verbreitung haben mag. Er könnte freilich aus Sedimenten stammen, die mit Löss wechsellagern; aber die einfachste Hrklärung scheint mir die zu sein, dass das Lössplateau von Wasserrissen durch- furcht und sein Material stellenweise umgelagert worden ist, so dass sich der menschliche Unterkiefer in einer Bildung des jüngeren alluvialen Zeitalters befand. Dass v. p. Dussen diese umgelagerten Sedimente nicht von dem Löss auf pri- märer Lagerstätte unterschieden hat, würde sehr erklärlich scheinen. Obige Schlussfolgerung konnte ich, wie erwähnt, schon ziehen, bevor ich noch den Kiefer selbst gesehen; seit ich aber das Original untersucht habe, bin ich noch mehr in der Auffassung bestärkt worden, dass demselben un- möglich ein sehr hohes Alter zugeschrieben werden darf. Denn der Kiefer macht gar nicht den Eindruck eines Fossils, sieht vielmehr aus, als ob man ihn vom KrrcmuHore aufge= lesen hätte, ganz im Gegensatze zu den übrigen Resten, so auch den Knochen von Eyuus caballus, welche in der oberen Schicht des Cabergs, etwas tiefer und weiter nörd- lich, gefunden sind. Das ist auch den Sammlern der Objekte schon aufgefallen; denn es wird angegeben, dass man die Knochen der Wirbelthiere in Folge ihrer grossen Weichheit mit den Fingern kneten konnte, was bei dem menschlichen Ueberreste dagegen nicht der Fall war. Rechnet man hinzu, dass der Kiefer laut der Erklärung meines Collegen ZAAIJER und anderer Anatomen in seiner Form durchaus nichts Bemerkenswerthes zeigt, dass er ferner von Arbeitern aufgelesen ist, dass endlich Lösswände leicht ( 440 ) vertikal abblättern und so zu Missverständnissen beim Gra- ben, in Folge von Einstürzen, unschwer Veranlassung geben können — so wird man vielleicht auch der oben gemachten Ännahme nicht einmal beipflichten wollen, nach welcher der Unterkiefer aus dem Alluvium stamme, sondern ihn mit einiger Wabhrscheinlichkeit einem Zeitgenossen zuschreiben dürfen. Jedenfalls fehlt jeder hinreichende Grund, um von einem diluvialen Menschen aus dem Caberge von Maas- trieht zu sprechen. Novbr 1888. Westelijk: talud van den Laberg. Geele zavelachtige Vang, sE voortbrengsels als in het neven, staand. 37 Ho 34 js terreur. 43 36 35 | Stand van het water in de Zuid Willems Vaart. Ar Laag zomerwater in de Rüvier de Maas. Oostelijk talud van GAva. Dasfer 1 Mei 1824. pt Re Ofdpcol. & Uleded: eld: Matuurk: SER: DEV, : Lith: Gebe. Rei meinger, eAmoto, „4 T Be + y Nd ( 440 ) vertikal abblättern und so zu Missverständnissen beim Gra- ben, in Folge von Einstürzen, unschwer Veranlassung geben können — so wird man vielleicht auch der oben gemachten Ännahme nicht einmal beipflichten wollen, nach welcher der Unterkiefer aus dem Alluvium stamme, sondern ihn mit einiger Wabhrscheinlichkeit einem Zeitgenossen zuschreiben dürfen. Jedenfalls fehlt jeder hinreichende Grund, um von einem diluvialen Menschen aus dem Caberge von Maas- trieht zu sprechen. Novbr 1888. Menschl. Uirderkiefer vom Caberge. Rag dE Westelijk talud van den Kaberg. Geele zavelachtige Van, voortbrengsels als tn het neven. staand. NDE AED terreur. 13 36 35 Stand van het water im de Zuid Willems Vaart. Laag zomerwater in de Rivier de Maas. 1 Mei 1824. JA & Neded: ori. Natnurk: 35 R: DEV Lith;Gebe.Reimeringer, Ama. à ks Je - ä eer de ha’ f di) Ee keif ders) r ae 2 r t * 4 d d E d D, han hk eReE) 6 BANG OVER EEN VERHANDELING VAN J. CARDINAAL. MEETKUNDIGE THEORIE DER SCHEEVE OPPERVLAKKEN VAN DE VIERDE ORDE. (Voorgedragen in de Vergadering van 23 November 1888). De verhandeling van den Heer J. CARDINAAL, over welke wij de eer hebben verslag uit te brengen, bevat in hoofd« zaak een langs meetkundigen weg afgeleide verdeeling dier oppervlakken. „De schrijver doet onmiddellijk uitkomen, dat de door hem verkregen resultaten vóór hem reeds door anderen, als Cav- LEY, CrasLes, CREMONA, Reys, RoHN, SALMON, SCHWARZ, enz. gevonden zijn. Toch wenschen wij deze vergadering voor te stellen, zijn verhandeling in de Verslagen en Mededeelingen te doen opnemen, omdat de weg, die hier tot bekende uit- komsten leidt, geheel nieuw is en verdient te worden open- baar gemaakt. Om dit in het licht te stellen zij het ons vergund, eerst in het kort de door de genoemde wiskundi- gen tot de bedoelde classificatie gebruikte hulpmiddelen na te gaan, om daarna het door den Heer CARDINAAL gevolgde beginsel daarnaast te stellen. Een der belangrijkste scheeve oppervlakken van den vier- den graad is in 1861 door Crasres als in het voorbijgaan in de fransche Akademie ter sprake gebracht. Crasres stelde zich toen voor, dat men een hyperboloïde met één blad door twee vlakken snijdt, dat men op deze doorsneden VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS. DEEL V, 29 (442) de projectivische puntreeksen aanteekent, die er door de be- schrijvende lijnen van een der beide stelsels op worden be- paald, en dat men de overeenkomstige punten dier projecti- vische puntreeksen vereenigt, nadat men een der beide doorsneden in haar geheel met betrekking tot de andere heeft verplaatst. Hij beschouwde dus dit oppervlak, dat we verder het »oppervlak van Cuasres’’ zullen noemen, als de meetkundige plaats der verbindingslijn van twee overeen- komstige punten van twee projectivische puntreeksen, die twee kegelsneden tot dragers hebben. En nog in hetzelfde jaar deelde hij mede, dat weldra van zijn hand een stel- selmatige indeeling der regelvlakken van de vierde orde in veertien soorten verschijnen zou; deze indeeling heeft echter voor altijd op zich laten wachten. Daarna was het Cayrey,‚ die zich met de indeeling der scheeve oppervlakken bezig hield. In zijn bekende drie verhandelingen »On skew surfaces, otherwise scrolls’ be- schouwt hij in het algemeen de oppervlakken $S (m, #, p) voortgebracht door de beweging van een rechte lijn, die over drie kromme richtlijnen achtereenvolgens van de graden m,n, p heenglijdt. En na deze inleiding geeft hij een over- zicht van de verschillende scheeve oppervlakken van den derden en vierden graad. Daarbij maakt hij hoofdzakelijk gebruik van de reeds vele jaren vroeger door hem gevonden stelling omtrent den graad der dubbelkromme van een scheef oppervlak, en onderscheidt hij acht verschillende soorten van scheeve oppervlakken van den vierden graad. Aan deze acht soorten heeft hij later nog tweemaal, op aanwijzing eerst van CREMONA en daarna van ScHwarz, een paar nieuwe moeten toevoegen; van elk dezer twaalf soorten geeft hij bovendien de vergelijking aan met betrekking tot een ho- mogeen coördinatenstelsel, dat een bepaalde ligging heeft ten opzichte van de dubbelkromme of haar samenstellende deelen. Zeer merkwaardig is o. i. zijn beschouwing van het oppervlak van CgasLes als de meetkundige plaats van de tot een lineair complex behoorende stralen, die koorden zijn van een bepaalde ruimtekromme van den derden graad. Het is de verdienste van ons buitenlandsch lid CREMONA em nt dink daar erk a nh os nas ahd 4 (443 ) bij de verdeeling, die ons thans bezig houdt, een tweede kenmerk op den voorgrond te hebben gebracht, door naast de dubbelkromme het ontwikkelbare oppervlak omhuld door de dubbelrakende vlakken van het scheeve oppervlak in de beschouwing op te nemen. Omtrent dit »bitangent torse”’ waren reeds in 1852 door Carrey verschillende belangrijke stellingen ontwikkeld, o. a. dat zijn klasse steeds aan den graad van de dubbelkromme gelijk is, enz. Door zich de bij twee punten der dubbelkromme behoorende dubbelraak- vlakken en de in deze gelegene kegelsneden voor te stellen, kwam CRrEMONA tot de voortbrenging van het oppervlak van Crasrrs terug. En door nu de verschillende mogelijke ge- vallen zoowel van dubbelkromme als van dubbelrakend ont- wikkelbaar oppervlak na te gaan, kwam hiijj in zijn ver- handeling » Sulle superficie gobbe di quarto grado”’ dadelijk tot twaalf soorten, die meetkundig van elkaar worden on- derscheiden. Zijn verdeeling is vrij algemeen in gebruik. De in zin bekende handboeken door SaLmoN ontwik- kelde behandeling der scheeve oppervlakken van de vierde orde, die bijna geheel berust op een onderzoek der verschil- lende vormen van de vergelijking dier oppervlakken, heeft weinig punten van aanraking met de meetkundige beschou- wingen van den Heer CARDINAAL. We bepalen ons dus tot de opmerking, dat de uitkomsten van SALMON volkomen met die van CayLry en CREMONA overeenstemmen. Wat in zijn » Geometrie der Lage’ door Reyer omtrent regeloppervlakken van den vierden graad geleverd is, mag hier allerminst worden gemist. Want van alles wat omtrent deze oppervlakken geschreven is, heeft de door Reyer gevon- dene voortbrengingswijze nog wel de meeste aanrakingspun- ten met het door den Heer CARDINAAL aan zijn classificatie ten grondslag gelegde nieuwe beginsel. Beyer laat nl. de raakvlakken van twee niet concentrische kegelvlakken van den tweeden graad één aan één met elkaar overeenkomen en vindt dan langs dezen weg, dualistisch tegengesteld aan den door Crasrres gevolgden, het oppervlak van CuasrLes terug. Maar het kon niet in de bedoeling van Reyer liggen aldus tot een verdeeling onzer oppervlakken te geraken. 2y* (444) Eindelijk is nog door RorN een nieuw middel ter classi- ficatie van de bedoelde oppervlakken gegeven. Ronn be- schouwde de reeds door CREMONA aangegevene twee hoofd- groepen der scheeve oppervlakken van den vierden graad, nl. de oppervlakken van het nulde geslacht, die dus een ruimtekromme van den derden graad tot dubbelkromme heb- ben, en de oppervlakken van het eerste geslacht, wier dub- belkromme uit twee elkaar kruisende lijnen is samengesteld, als de meetkundige plaats der verbindingslijn van de over- eenkomstige punten van twee puntreeksen, tusschen welke een verwantschap (2,2) bestaat; bij de oppervlakken van de tweede groep zijn deze puntreeksen over de beide rechte lijnen uitgespreid; bij die van de eerste hebben zij de ka- bische dubbelkromme tot gemeenschappelijken drager. Dit denkbeeld wordt door Ronn stelkundig uitgewerkt en tevens ten grondslag gelegd aan de constructie van tien modellen, door de firma L. Brruv in Darmstadt in den handel ge- bracht. Bedenkt men nu, dat Scrwarz zich in 1869 reeds met de classificatie der scheeve oppervlakken van den vijfden graad ging bezig houden, omdat deze de oppervlakken van den vierden graad grondig genoeg onderzocht achtte, dan be- hoort er eenige moed toe de litteratuur over dit onderwerp thans nog te vermeerderen. En toch heeft o. 1, de verhan- deling van den Heer CARDINAAL ook thans nog alle recht van bestaan. Want het door hem ontwikkelde beginsel om de indeeling der scheeve oppervlakken van den vierden graad te gronden op de algemeene voortbrengingswijze van een niet regelrecht oppervlak met behulp van twee projectivische bundels van oppervlakken van den tweeden graad is geheel nieuw. Immers, tusschen de door Reyer en door den Heer CARDINAAL aangegeven voortbrengingswijzen bestaat slechts deze overeenkomst, dat het oppervlak bij beiden de meetkun- dige plaats is der sniijlijn van de overeenkomstige elementen van twee projectivische bundels; maar deze familietrek is O. 1. ZOO ondergeschikt, dat men in het werk van Reyer de kiem niet zien mag van de verhandeling van den Heer CAR- DINAAL. Want verder is alles verschil. Bij Reys zijn de | | | ONPTSTAT PNT TR nr (445 ) bundels vlakkenbundels, bij CarpinaaL zijn het bundels van oppervlakken; bij Reye is het bewegend element reeds da- delijk een rechte lijn, bij CARDINAAL moeten juist die bij- zondere gevallen worden opgezocht, waarin de bewegende deelen der ruimtedoorsnee van den vierden graad rechte lijnen worden, enz. In deze laatste opmerking is naar onze meening tevens het verdienstelijke van de in onze handen gestelde verhan- deling aangewezen. Want heeft men eenmaal het denkbeeld opgevat, te onderzoeken in welke verschillende gevallen het bewegende deel der doorsnee van de overeenkomstige opper- vlakken van twee projectivische bundels van den tweeden graad wit een of meer rechte lijnen bestaat, dan volgt het overige bijna van zelf. Dan komt men met den Heer Car- DINAAL onmiddellijk tot acht groepen van oppervlakken, die zich tot vier reduceeren, en levert ook de onderverdeeling van elk dezer groepen bijna geen moeielijkheden meer op. Alleen de meetkundige onderscheiding der verschillende vor- men, die samenhangen met het al of niet bestaanbaar zijn der »vertakkingspunten” der beide puntreeksen van RorN, tusschen welke een verwantschap (2,2) bestaat, der zooge- naamde pinch-points van Carrey, kan dan verder nog be- zwaren opleveren; deze bezwaren zijn echter door den Heer CARDINAAL met behulp van de bekende vormen der vlakke kromme van den derden graad op verdienstelijke wijze uit den weg geruimd, Wij wenschen nog één opmerking te maken. De Heer CARDINAAL heeft van elk zijner groepen eenige soorten af- geleid, en deze eenvoudig naast elkaar geschikt zonder ook maar eenigzins aan te wijzen in welke rangverhouding deze soorten tot elkaar staan, zonder van een paar soorten aan te geven of ze gelijkwaardig en dus aan elkaar gecoördi- neerd zijn dan wel of de een minder algemeen dan de ander en dus aan deze gesubordineerd is. Zoo bevat de eerste groep drie soorten, die eenvoudig naast elkaar ge- steld worden, hoewel de eerste en tweede aan elkaar ge- ljkwaardig zijn en alleen verschil opleveren met betrekking tot bestaanbaarheid, terwijl de derde de grens vormt tus- (446 ) schen beide en van deze dus een gemeenschappelijk bijzon- der geval uitmaakt. We achten het vooral van belang hierop te wijzen, omdat de aangestipte onvolledigheid bij al de tot heden geleverde indeelingen der scheeve oppervlakken van den vierden graad in bijna dezelfde mate wordt aangetroffen en er in het algemeen bij deze classificatie te weinig gelet is op het onderscheid tusschen verschillen van coördinatie als verschil in ligging met betrekking tot het vlak in het oneindige, verschil in bestaanbaarheid, enz. en verschillen van subordinatie, die in de eerste plaats in aanmerking be- hooren te komen. Zoo vinden we bijv. niet aangegeven — wat overigens zeer duidelijk is — dat het zevende opper- vlak van Cremona, d. i. de meetkundige plaats van de koor- den eener kubische ruimtekromme, die een gegeven rechte lijn snijden, een bijzonder geval is van het eerste oppervlak van CREMONA, d. 1. van het oppervlak van Crasrrs, evenals de vereeniging van alle lijnen die een gegeven lijn snijden een bijzonder geval vormt van een lineair complex. Natuurlijk is de vermelding van het constantenaantal der oppervlakken- soort, d. 1. van het aantal punten, waardoor het opper- vlak — zij het dan ook niet ondubbelzinnig — bepaald wordt, het middel om de bedoelde onvolledigheid geheel weg te nemen. Terwijl wij den Heer CarprNaar dit punt ter overweging aanbevelen, eindigen wij met de verzekering, dat we ook zelfs zonder de bijvoeging dier getallen de verhandeling gaarne in de Verslagen en Mededeelingen zullen zien verschijnen. Amsterdam, 23 Nov. 1888. P. H. SCHOUTE, D. BIERENS DE HAAN MEETKUNDIGE THEORIE DER SCHEEVE OPPERVLAKKEN VAN DE VIERDE ORDE. DOOR J. CARDINAAL. Leeraar aan de H. B.S. te Tilburg. EB ENLBIDIENG. 1. Onder de oppervlakken van hoogere orde behooren de scheeve oppervlakken tot die, welker gedaante en eigen- schappen het beste kunnen worden nagegaan. Voor zoover het betreft oppervlakken van de vierde orde, is dit dan ook geschied in vele wiskundige verhandelingen, van welke de volgende genoemd worden: Crasrrs, Mémoire sur les surfaces du 3° et 4° degré, Comptes rendus. T. 52 blz. 1099 en T. 53 blz. 888. Cayrey, Plhulosophical transactions. Vol. 153, 154, 159, Memoirs on Skew surfaces, otherwise Scrolls. Reyer, Geometrie der Lage IL, Vortrag 15 (2° druk). H. A. Scnwarz, Crerre's Journal. Bd. 67. CrEMONA, Sulle superficie gobbe die quarto grado. K. Roun, Math. Annalen. Bd. XVIII en Bd. XXIV, K. Ronn, Die verschiedenen Arten der Regelflächen vierter Ordnung; geschrift behoorende bij de verzameling mathe- matische modellen van Brin te Darmstadt. SALMON, Analytische Geometrie des Lèaumes, II, p. 430 — 442 (3e druk). 2, Het zij mij vergund, met enkele woorden eenige uit- ( 448 ) komsten dezer verhandelingen, voor zooverre het voor dit opstel noodig is, te zamen te vatten. Cayrey geraakte het eerste tot eene ordening der scheeve oppervlakken van de vierde orde door eene vlakke doorsnede te bepalen. Opmer- kende, dat het oppervlak noodzakelijk eene dubbelkromme en dus eene doorsnede minstens twee dubbelpunten bevatten moet, en de verschillende gevallen van dubbelpunten be- schouwende in verband met de dubbelkrommen, uit welke deze ontstaan, kwam Cayrrey tot acht soorten. Scnwarz deelde schriftelijk aan Cayrey mede, dat hij nog twee andere wijzen van ontstaan ontdekt had, en weldra vulde CreMONA het getal soorten tot twaalf aan, met de opmerking, dat deze aanvulling haar ontstaan te danken had aan het invoeren van het dubbelrakende ontwikkelbaar oppervlak (bitangent torse), 'tgeen eerst door Cayrey niet geschied was *). 3. Eene groote uitbreiding onderging de kennis van de gedaante der scheeve oppervlakken van de vierde orde, toen, naar aanwijzing van K. Korn, de firma Brin te Darm- stadt 10 typen van deze werkelijk uit zijden draden ver- vaardigde; de door RouN aan deze oppervlakken toegevoegde verhandeling geeft een ongemeen helder inzicht in de ver- schillende vormen #). In deze verhandeling gaat de schrijver uit van vergelijkingen; de verschillende vormen dezer ver- gelijkingen dienen als uitgangspunten ter beredeneering van de eigenschappen en de verschillende gedaanten van het op- pervlak. Langs een geheel anderen weg komt Reyer tot eenige typen van scheeve oppervlakken van de vierde orde. Bij de bespreking van het stralenstelsel van de eerste orde merkt hij op, dat stralen van dit stelsel, aan enkele beperkende voorwaarden onderworpen, een scheef oppervlak doen ont- %) Deze mededeeling geschiedt door Cayrury zelven in de derde der aangehaalde verhandelingen. 1) Ben dezer modellen bevindt zich aan de Universiteit te Amsterdam. Met de meeste welwillendheid werd ik in de gelegenheid gesteld, dit eenigen tijd te kunnen bestudeeren. nnn hie en re eN Ei (449 ) staan, en leidt hij als gevolg af, dat, wanneer de raakvlak- ken van twee kegelvlakken van den tweeden graad in pro- jectief verband gesteld worden, de snilijnen van de homologe raakvlakken een scheef oppervlak van de vierde orde be- schrijven ; slechts een deel der mogelijke vormen wordt evenwel op deze wijze verkregen. De laatste behandeling onderscheidt zich door haar zuiver meetkundigen grondslag van de voor- gaande. 4. Het doel van de hier volgende behandeling is, langs zuiver meetkundigen weg tot eene volledige verdeeling en volkomen kennis van de vormen der scheeve oppervlakken van de vierde orde te geraken; daarbij zullen vooral de vol- gende twee punten in het licht gesteld worden. Een scheef oppervlak van de vierde orde kan steeds door projectieve grondvormen geconstrueerd worden. Alle soorten kunnen op deze wijze worden verkregen, en men kan tot een volledig inzicht van alle vormen geraken. De uitkomsten zullen blijken overeen te stemmen met die, door RorN langs analytischen weg verkregen. 5. Henige bekende en voldoend bewezen meetkundige stel- lingen worden vooropgesteld, nl. Een scheef oppervlak van de nde orde is ook van de nie klasse. Twee projectieve bundels oppervlakken van de tweede orde beschrijven door de doorsnijding hunner homologe op- pervlakken een oppervlak van de vierde orde O% Op dit oppervlak liggen twee stelsels scheeve krommen van de vierde orde en de eerste soort. Elk {weetal krommen van een zelfde stelsel kan als basiskrommen dienen van twee bundels oppervlakken van de tweede orde, die O* doen ontstaan. Door twee krommen, tot verschillende stelsels behoorende, kan een oppervlak van de tweede orde worden gebracht. Aan deze stellingen kunnen de wederkeerige worden toe- gevoegd; men kan dus een oppervlak der vierde klasse construeeren door twee projectieve scharen oppervlakken van de tweede klasse. ( 450 ) II. VERDEELING IN GROEPEN. 6. Op grond der laatstgenoemde stellingen kan men uit projectieve bundels oppervlakken van de tweede orde een op- pervlak van de vierde orde doen ontstaan; evenals een scheef oppervlak van de tweede orde door de beweging eener rechte lijn ontstaat, wordt dit oppervlak door de beweging eener scheeve kromme van de vierde orde beschreven. Een scheef oppervlak A* zal evenwel alleen dan ontstaan, wanneer het bewegende element eene rechte lijn is. Hieruit volgt, dat twee homologe oppervlakken der beide bundels elkander zoodanig moeten snijden, dat de doorsnede òf wel uit eene rechte lijn, òf wel uit twee elkander kruisende lijnen bestaat. Opdat dit plaats grijpe, moet een deel der basiskrommen van beide bundels tezamenvallen; het over- blijvende deel der doorsnijding zal dan, als de oppervlakken den geheelen bundel doorloopen, R* beschrijven. Daar nu de beide basiskrommen geheel op het oppervlak gelegen zijn, zullen hare twee samenvallende gedeelten eene dubbel- kromme op het oppervlak vormen; men kan dus de opper- vlakken verdeelen naar den aard der dubbelkromme. Hier- uit volgt de navolgende verdeeling: Eerste geval. De basiskrommen zijn twee scheeve vier- zijden; twee overstaande zijden van de eene vierzijde vallen te zamen met twee overstaande zijden van de tweede. Tweede geval. De basiskrommen bestaan beiden uit eene scheeve kromme van de derde orde met eene koorde. De kromme behoort tot de beide basiskrommen. Derde geval. De wederkeerige wijze van ontstaan geeft aanleiding tot hetzelfde geval als het eerste, omdat eene scheeve vierzijde zoowel een bijzonder geval is van de basis- kromme als van de basis-ontwikkelbare. Vierde geval. Is wederkeerig met het tweede, waaruit volgt: De beide scharen oppervlakken van de tweede klasse zijn beschreven in eene gemeenschappeliijjke ontwikkelbare van de derde klasse, terwijl tot elk nog eene van wee verschillende assen der ontwikkelbare behoort. (451 ) Vijfde geval, Hen der bundels is overgegaan in eene vlakken-involutie, welker as tevens de koorde is van eene scheeve kromme van de derde orde. De koorde met de kromme vormen de basiskromme van den tweeden bundel. Zesde geval. De beide bundels zijn overgegaan in vlakken- involutiën. De beschouwing der wederkeerige gevallen geeft wederom : Zevende geval. Eene der scharen is overgegaan in eene punteninvolutie, welker draaglijn tevens eene as is van een ontwikkelbaar oppervlak der derde klasse. Deze ontwikkel- bare vormt met de daarbij behoorende as de basis-ontwik- kelbare der tweede schaar. Achtste geval. De beide scharen zijn overgegaan in pun- teninvolutiën. 7. Deze opsomming bevat alle hoofdgevallen. De ont- wikkeling zal evenwel doen zien, dat het eerste en derde geval volkomen overeenstemmen, terwijl het zesde en het achtste als een bijzonder geval van deze kunnen worden aangemerkt. Dezelfde overeenstemming zal blijken te bestaan tusschen het tweede en het vierde, waaruit nu de volgende verdeeling in groepen voortvloeit: Eerste groep, bevattende de gevallen I, HI, VI, VIII. Tweede groep, bevattende de gevallen II, IV. Derde groep, geval V. Vierde groep, geval VIL. Bij de behandeling zal elk dezer groepen weder in onder- deelen gesplitst worden. II. EersTE GROEP. 8. Bij de oppervlakken dezer groep zijn de volgende ge- vallen in het oog te houden: Geval A. De te zamen vallende twee paren overstaande zijden der vierzijden, zijn bestaanbaar en liggen op eindigen afstand. Geval B. Deze zijden zijn toegevoegd imaginair. (452 ) Geval C. Deze overstaande zijden liggen op oneindig kleinen afstand van elkander. Elk dezer gevallen dient afzonderlijk behandeld te worden. Geval A. 9. Laten gegeven zijn de elkaar kruisende lijnen d end, benevens hare transversalen a,, a2; bj, bg. Neemt men nu als basiskromme van den eersten bundel dd a, aj, van den tweeden dd'b, bg, dan komt met een oppervlak A? een oppervlak B?, overeen. Er moet eerst worden nagegaan op welke wijze men de bundels in projectief verband met elkander kan stellen. 10. Men neme daartoe op d een punt P en beschouwe dit punt als middelpunt van twee concentrische stralenbun- dels in het vlak Pd; elke straal van één dezer bundels is eene beschrijvende lijn van het oppervlak A en de daarmede homologe straal van den anderen eene beschrij- vende lijn van een oppervlak B°,. De oppervlakken snijden elkander volgens nog twee transversalen van d en d. Door de beweging van den straal wordt de geheele bundel opper- vlakken beschreven en daardoor het scheeve oppervlak Zit, De twee dubbelstralen der beide projectieve stralenbundels zijn de beide beschrijvende lijnen, uit P gaande. Het is licht in te zien, dat de voorgaande constructie ook omgekeerd opgevat kan worden; door d' een vlak zr leg- gende, vindt men het punt P als snijpunt van 7v met d, en kan men weder de twee projectieve stralenbundels ver- krijgen ; door deze opmerking wordt de wederkeerigheid van het oppervlak met zichzelf nog nader toegelicht. 11. De doorsnijding van) De omhullingskegel uit een het oppervlak met een vlak z|punt P aan het oppervlak Z* wordt verkregen door de door- [wordt verkregen door de omhul- snijding van 7 met de ver-|lingskegels uit P aan de ver- schillende oppervlakken van{schillende oppervlakken van de de bundels te construeeren.{bundels te construeeren. Deze Daardoor ontstaan twee kegel- {zullen twee concentrische ke- snedenbundels met de basispun- |gelscharen vormen met de basis- (453 ) ten: DD' A, As; DD B, Bo; de snijpunten der homologe ke- gelsneden vormen eene vlakke kromm> van de vierde orde c* met de beide dubbelpunten D en D'. Deze kromme zal dus van de achtste klasse zijn en acht dubbelraaklijnen bezitten. De doorsnijding verkrijgt eene eenvoudiger gedaante, wanneer men een vlak door eene be- schrijvende lijn / van R* legt; deze lijn behoort tot de door- snede, het overschietende deel is dan eene kromme van de derde orde c° zonder dubbel- punt, d. 1. van de zesde klasse. De snijpunten van c° met ! zijn de snijpunten van de dubbel- lijnen met het vlak 77 en het raakpunt van sv met Zi. 12. Hieruit volgt, dat het beide dubbellijnen en acht punten. vlakken: ÒÒ' a; 5; ÒÒ' (3, (35; de gemeenschappelijke raak- vlakken der homologe ke gelvlakken omhullen een ke- geloppervlak y* van de vierde klasse met de beide dubbel- raakvlakken Ò en Ò'. Dit ke-. geloppervlak is dus van de achtste orde en bezit acht dub- belstralen. De omhullingskegel verkrijgt eene eenvoudiger ge- daante, wanneer men een punt aanneemt op eene beschrijvende lijn / van R*; deze lijn is een straal tot den omhullingskegel behoorende; het overschieten- de deel y° is dan een kegelvlak van de derde klasse en de zesde orde. De raakvlakken, door 4 aan y° gebracht, zijn de vlak- ken, door P en de dubbellj- ren gebracht en het raakvlak door P aan Rt. oppervlak bepaald is door de Men trekke namelijk eene beschrijvende lijn / door een der punten en legge door l een vlak 7; de beschrijvende lijnen door de andere pun- ten snijden 7 in zeven punten; deze en de snijpunten Den D' van U met d en d' zijn negen punten eener kromme van de derde orde, door welke deze doorsnede bepaald is. Om haar te construeeren, kieze men als basispunten van den kegelsnedenbundel D, D' en nog twee punten, en bepale het daarbij behoorende middelpunt C van den stralenbundel; de lijn l en de stralenbundel door C moeten worden be- schouwd als tweede bundel van de in eene lijn met eene kromme van de derde orde overgegane kromme van de vierde orde. Op die wijze kan men een willekeurig aantal doorsneden bepalen. (454) De wederkeerige constructie geldt voor den omhullings- kegel. Daar, volgens de constructie van krommen van de derde orde, elk willekeurig tweetal punten met Den D' als basispunten van den kegelsneden-bundel kan beschouwd wor- den, volgt hieruit, dat men elk tweetal transversalen van d en d' met dezen als basiskromme kan beschouwen van een’ der bundels, die R* doen ontstaan *). 13. Men kan nu meetkundig de snijding bepalen van het scheeve oppervlak Rf met eene rechte lijn en met verschil- lende andere scheeve oppervlakken, die men door de dub- bellijnen legt. Zij bijv. R? een zoodanig scheef oppervlak van de tweede orde en zr wederom een snijvlak door eene beschrijvende lijn van Z*; nu ontstaan in zr eene kromme van de derde orde c° en eene van de tweede c°, welke JD, D' en dus nog vier andere punten met elkaar gemeen hebben; daar AR? en Rt beschreven worden door de trans- versalen van d en d', die c° en c?° snijden, zoo volgt hieruit: Een scheef oppervlak van de vierde orde, tot de eerste groep behoorende, snijdt een scheef oppervlak van de tweede orde, door zijne twee dubbelliijnen gebracht, volgens vier beschrijvende lijnen van beide. Op dezelfde wijze verkrijgt men: Een scheef oppervlak van de vierde orde, tot de eerste groep behoorende, snijdt een scheef oppervlak van de derde orde A5, welks dubbellijn met d samenvalt, en van het- welk d' de enkelvoudige richtlijn is, volgens zes gemeen- schappelijke beschrijvende lijnen. Een scheef oppervlak van de vierde orde, tot de eerste groep behoorende, snijdt een ander scheef oppervlak van dezelfde orde en groep, dat de dubbellijnen met het eerste gemeen heeft, volgens acht beschrijvende lijnen. *) Bij deze en de volgende constructiën worden bekend ondersteld de meetkundige constructie van krommen van de derde en vierde orde uit kegelsneden- of stralenbundels, benevens de methoden?om snijpunten dezer krommen te bepalen door deze constructiën terug te brengen tot die der snijpunten van kegelsneden onderling. Deze opmerking geldt voor elk der te behandelen gevallen en constructiën dezer verhandeling. “. ken el Se (455) In het eerste geval wordt het vlak z gesneden volgens twee krommen van de derde orde, van welke de eene in D een dubbelpunt heeft; in het tweede geval ontstaan er in m eene kromme van de vierde orde en eene van de derde, die door de beide dubbelpunten van de voorgaande gaat. 14. De verdeeling van dit oppervlak in soorten geschiedt het beste door, gelijk ook door RorN langs analytischen weg gedaan wordt, op de dubbellijnen die bijzondere punten op te sporen, die door Cayrey pinchpoints, d. 1. klempun- ten, genoemd zijn; het zijn die punten, in welke de beide raakvlakken zich vereenigen, zoodat elk vlak door een dezer punten gebracht, het oppervlak snijdt volgens eene kromme met een keerpunt. Als wederkeerige vorm dezer klempunten komen dan in aanmerking de vlakken, door de dubbellijnen gebracht, in welke de beide raakpunten zich vereenigen ; de omhullingskegel, welks top in een punt van zulk een vlak ligt, bezit dan een buigraakvlak. Ten einde deze klem- punten op te sporen, brenge men weder een vlak a door eene beschrijvende lijn !, en denke in dit vlak de kromme c° geconstrueerd. Brengt men door d vervolgens een vlak a, dan snijdt dit d' in S en 7 volgens eene rechte lijn p, die c°, behalve in D, in twee punten P, en Ps snijdt. Nu zijn P, S en P, S' twee beschriijvende lijnen van R*; de vlakken d'S'P; en d'S' Ps zijn de raakvlakken van R* in S', en de snijpunten d—S'P, en d—S' Py de raakpunten van a« met R*, Vallen P, en P3 te zamen, d. i, wordt DP eene raaklijn, dan verkriijgt men eene beschrijvende lijn s, die uit twee samenvallende beschrijvende lijnen bestaat, en die men grenslijjn kan noemen ; de twee raakvlak- ken door d', zoowel als de beide raakpunten op d vallen nu te zamen, en het punt S is een klempunt op d', terwijl het vlak Sd een klemvlak door d is. Een vlak door s snijdt A* in eene kromme van de derde orde, van welke s eene raaklijn in S' is; terwijl een punt op s een omhullingskegel doet ontstaan, van welken s een straal is. 15. De vorm van het oppervlak Zi* hangt af van de bestaanbaarheid of onbestaanbaarheid dezer klempunten. Ten einde deze bestaanbaarheid te onderzoeken, legt men weder ( 456 ) even als vroeger (12) eeu vlak zr door de beschrijvende lijn l, welke de daarin ontstaande kromme c° in Den D' snijdt, en construeert de poolkegelsnede van D ten opzichte van c3; deze is bepaald door D zelf, hare raaklijn door D, zijnde dit tevens de raaklijn aan de kegelsnede, homoloog met straal CD; en drie punten, toegevoegd harmonisch aan D ten opzichte van de beide andere snijpunten eener lijn door D met c°. De snijpunten van c° met de poolkegel- snede zijn, de gezochte raakpunten. Men komt nu tot de volgende drie gevallen: de snijpunten zijn alle vier bestaanbaar ; twee der snijpunten zijn bestaanbaar, de beide andere toe- gevoegd imaginair; de snijpunten zijn allen imaginair. In het eerste en derde geval is de vorm der kromme c° tweedeelig *); zij bestaat uit een ovaal en eenen tak; het eerste wordt steeds in een even, de tweede in een oneven aantal punten gesneden. In het eerste geval ligt D op den tak, in het derde op het ovaal. Het punt D' kan nu in beide gevallen òf op den tak òf op het ovaal liggen. Hier- uit volgt de volgende verdeeling: Ten eerste, de kromme is tweedeelig : a. D en D' liggen beiden op den tak. b. Den D' liggen beiden op het ovaal. c. D ligt op den tak, D' op het ovaal. Ten tweede, de kromme is ééndeelig : d. D en D' liggen beiden op den tak. Hieruit volgt nu ten opzichte van de klempunten : a. De vier klempunten op d zoowel als op d zijn be- staanbaar. b. De klempunten op den d en d' zijn imaginair. c. De vier klempunten op d'd zijn bestaanbaar, die op dd’ imaginair. d. Twee klempunten op elk der dubbellijnen zijn bestaan- baar, twee toegevoegd imaginair. | | *) Vergelijk voor den vorm der kromme e?°: R. Sturm, Veber die ebe- nen Curven dritter Ordnung, CRELLE’S, Jourzal, Bd, 90 blz, 83, (457) Deze meetkundige beschouwing leidt dus tot alle vormen van oppervlakken, door Ronn verkregen. 16. Ik wensch nog in ’t kort de aandacht te vestigen op de gedaanten der doorsnijjdingskrommen en omhullings- kegels bij deze verschillende vormen. a. Daar de vier klempunten, zoowel op d als op d'’, be- staanbaar zijn, wordt elk der dubbellijnen in vier deelen ver- deeld; twee dubbelsegmenten, op welke de uitgangspunten der bestaanbare beschrijvende lijnen liggen en twee geïsoleerde segmenten, op welke de uitgangspunten der Imaginaire be- schrijvende lijnen liggen. De dubbelsegmenten zijn dus door bestaanbare, de geïsoleerde door imaginaire beschrijvende lijnen verbonden. Hen vlak zal alzoo R* snijden volgens twee volkomen van elkander gescheiden deelen, m. a. w. de door- snede zal bestaan uit twee ovalen, (takken van evene orde) O, en 0, die elkander niet snijden. Daar de kromme in het geheel twee bijzondere punten moet hebben, zoo heeft men, dj, dz, kj, kg de dubbel- en keerpunten van 0, en Oy, d de geïsoleerde punten noemende, de navolgende vormen: ele Oef 0-0 [0 Ere re TE 1-0 ep bed 00 00 edet 00 10 1-0 Opete ne0b 0 aje 0 01-1712 b. Daar er geene geïsoleerde segmenten zijn, zal elk vlak R* snijden volgens twee ovalen; de beide dubbelpunten ont- staan nu door de snijding der beide ovalen. c. Dit oppervlak komt overeen met a, doordat een der deelen van de snijkromme een dubbelpunt bezit; en met b, doordat een ander dubbelpunt ontstaat door de snijding van twee deelen der kromme; hieruit volgt, dat de kromme be- staat uit twee oneven takken. De eene tak heeft een dub- belpunt, de andere niet; beide takken snijden elkander in een punt, dat dus geen geïsoleerd of keerpunt kan worden. De vormen der doorsnede kunnen dus drie in getal zijn, VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL V. 30 (458) naar gelang het eerste bijzondere punt een dubbelpunt, keer- punt of geïsoleerd punt is. d. Im dit geval bestaat de kromme slechts uit één deel; dit ovaal heeft twee bijzondere punten, welke dubbel-, keer- of geïsoleerde punten kunnen zijn, zoodat zes verschillende vormen mogelijk zijn. Er kan geen bezwaar bestaan, de vormen van de omhulÉ- lingskegels voor de verschillende gevallen van het opper- vlak na te gaan; de beschouwing, hiertoe noodig, is weder- keerig met de vorige. | 17. Een tweetal gedaanten, die dit oppervlak kan aan- nemen, dienen nog in aanmerking te worden genomen. Het oppervlak kan ontstaan door twee projectieve vlak- keninvolutiën; dan is de vlakke doorsnede eene kromme van de vierde orde cf, welke ontstaat door de snijding van de homologe elementen van twee projectieve straleninvolu- tiën. Het onderzoek der gedaante van het oppervlak kan op geheel dezelfde wijze geschieden; slechts worde hier de vol- gende bijzonderheid opgemerkt. Daar twee der raakpunten van de raaklijnen, aan c* uit 1 getrokken, in eene rechte lijn liggen met D', zoo liggen de beide grenslijnen door deze punten gaande in een vlak door d, en snijden zij elkander in een punt van d. De tweede gedaante ontstaat, wanneer Z* geheel en al imaginair wordt; terwijl d en d’ bestaanbaar blijven. De doorsnijding met een vlak is alsdan eene imaginaire kromme van de vierde orde met twee bestaanbare geïsoleerde punten. Deze kromme is de centrale of orthogonale pro- jectie van de imaginaire sniijkromme van twee oppervlakken van de tweede orde, die geen enkel punt gemeen hebben. Het oppervlak, ontstaan uit twee projectieve punten-invo- lutiën stemt overeen met dat, uit twee projectieve vlakken- involutiën ontstaan. Geval B. 18. In plaats van de elkaar kruisende lijnen d en d zijn nu gegeven de lijnen lj, la, la, ly, welker gemeenschappe- lijke transversalen ondersteld worden toegevoegd imaginair (459) te ziju. De hier volgende constructie kan natuurlijk ook toegepast worden op scheeve oppervlakken met bestaanbare dubbellijnen. Daar de lijnen aj, ag en bj, bg, behoorende tot de beide basiskrommen, de imaginaire transversalen van /j, la, ls, ly snijden moeten, zoo behooren zij tot het stralenstelsel van den eersten graad, door deze vier bepaald. Het projectief verband wordt nu op de volgende wijze geregeld. 19. Men trekke eene lijn p, die a, in 4, b; in B, snijdt, en neme op p twee projectieve puntenrijjen aan; de twee stralen a, en b, van het stralenstelsel, die men door twee homologe punten trekken kan, behooren tot twee homologe oppervlakken, die dus door aj, a9, a„ en bj, bg, ba bepaald zijn, en welker doorsnede construeerbaar is. Hierdoor worden twee beschrijvende lijnen van het opper- vlak bepaald; men kan, aldus voortgaande, er meerdere vinden. De stralen door de dubbelpunten op p zijn twee beschrijvende lijnen van het oppervlak £%. 20. Na de beschouwingen, bij het voorgaande geval ge- houden over het oppervlak, wat betreft zijnen vorm en de gedaante zijner vlakke doorsnede, zal het voldoende zijn, eenige uitkomsten te geven, tot welke men largs denzelfden weg geraakt. Ook dit oppervlak is met zichzelf wederkeerig, zooals blijkt, wanneer men het beschrijft door twee projectieve vlakkenbundels door p te leggen, en in twee homologe vlakken de stralen te construeeren, tot het stelsel behoorende. De snijkromme c* van Rt met een willekeurig vlak 7 heeft twee toegevoegd imaginaire dubbelpunten, en de om- hullingskegel twee toegevoegd imaginaire dubbelraakvlakken. Brengt men een vlak a door eene beschrijvende lijn /, dan zal de snijkromme c* door / in een bestaanbaar en in twee imaginaire punten gesneden worden; zij kan twee- of ééntakkig zijn. | In het eerste geval bestaat c* uit twee ovalen, in het tweede uit een ovaal. In het eerste geval snijden de beide ovalen elkander in de imaginaire dubbelpunten, het eene ovaal kan het andere omringen of uitsluten. 80* ( 460 ) Even als bij het geval A kan ook hier het oppervlak geheelimaginair worden, Geval C. 20. Dit geval ontstaat wanneer d en d'’ oneindig dicht bij elkander liggen; nu treden, in de plaats der gegevens van A, de lijn d, de lijnen aj, ag, bj, bg, benevens eene lijn 7, die d snijdt en eene raaklijn is aan elk opper- vlak van bundel d aj ag zoowel als van bundel d bj bg. Het projeetief verband der bundels wordt verkregen door op d uit het snijpunt van Jd met r, even als in het geval 4, twee projectieve stralenbundels te trekken, gelegen in het vlak dr. De verdere constructie verloopt als bij 4. 21. De doorsnede van At met een vlak z wordt nu eene kromme c* met dubbelknoop D in het snijpunt met d; zoo ook zal de omhullingskegel een kegel van de vierde klasse met dubbelen knoopstraal zijn. R* voldoet verder aan de voorwaarde, dat alle beschrijvende lijnen stralen zijn van het bijzondere stralenstelsel van den eersten graad, bepaald door de stralen aj, as, bj, bg. Legt men het vlak 77 door eene beschrijvende lijn !, dan ontstaat er als doorsnede eene kromme van de derde orde, van welke £ de raaklijn in DW is, en welke wederom ver- schillende vormen hebben kan. Om den vorm van het op- pervlak te bepalen, is het nu weder in de eerste plaats noodig, dat men het aantal klempunten kenne. Op hel voetspoor van geval A kan men de volgende verdeeling maken : a. c° bestaat uit twee deelen, D ligt op den tak. Er zijn vier bestaanbare klempunten. b. c* bestaat uit twee deelen, /) ligt op het ovaal. Er zijn slechts imaginaire klempunten. c. c* bestaat uit één deel. Er zijn twee bestaanbare en twee onbestaanbare klempunten. De gedaante der vlakke doorsnede in elk dezer gevallen is als volgt: a, Hen willekeurig vlak z snijdt R* in eene kromme van ( 461 ) de vierde orde, bestaande uit twee ovalen, die elkander niet snijden; gaat 7 door een punt van d, uit 't welk bestaan- bare beschrijvende lijnen gaan, dan bevindt zich een dubbel- knoop op een dezer ovalen, gaat 77 door een punt op een geïsoleerd gedeelte van d, dan bezit de kromme een dubbel- geïsoleerd punt; eindelijk kan 77 door een klempunt gaan; dan vertoont een der ovalen de combinatie van dubbel- en keerpunt d. 1. een keerpunt van de tweede soort. Wordt 7 door de grenslijn door dit klempunt gebracht, dan snijdt het A* volgens eene kromme van de derde orde, die in het klempunt een buigpunt met buigraaklijn heeft. b. Het vlak 7 snijdt R* volgens eene kromme, bestaande uit twee ovalen, die elkander raken. c. In dit geval bestaat de doorsnijding uit één ovaal met dubbelknoop, dubbel-geïsoleerd punt of keerpunt van de tweede soort. | Ook dit oppervlak kan imaginair zijn. De vlakke door- suede is dan eene imaginaire kromme van de vierde orde met dubbel-geïsoleerd punt. Deze kromme ontstaat door de imaginaire snijkromme van twee oppervlakken van de tweede orde te projecteeren uit een punt, genomen op een der kegel- oppervlakken, die door deze kromme gebracht kunnen worden. IV. TwreepE GRroeP. 22. De oppervlakken, tot deze groep behoorende, kunnen naar den vorm der dubbelkromme verdeeld worden in de volgende gevallen: Geval A. De dubbelkromme is eene scheeve kromme van de derde orde c°. Geval B. De kromme c° gaat over in een kegelsnede met eene lijn d, die een punt met haar gemeen heeft. Geval C. De kromme c* gaat over in twee bestaanbare elkander kruisende lijnen d en d', gesneden door eene lijn 4. Geval D. De kromme c? gaat over in twee elkander kruisende lijnen, die toegevoegd imaginair zijn, benevens hare transversaal /. ( 462 ) Geval E. De lijnen d en d' liggen oneindig dicht bij elkander. De oppervlakken dezer groep zijn diegenen, die door Reve langs meetkundigen weg verkregen worden. (Geometvie der Lage II, Vortrag 15, verg. Inleiding 3). Hij verkrijgt daar de eerste drie gevallen en bewijst tevens, dat het oppervlak met zichzelf wederkeerig is. Daar evenwel de meetkundige weg, langs welken zij verkregen worden, van den in dit opstel gevolgden verschilt, zoo zal hier worden aangetoond, dat ook volgens de hier als grondslag aangenomene methode al deze vormen kunnen worden verkregen. Geval A. 23. Laten gegeven zijn de scheeve kromme van de derde orde c°, benevens hare koorden a en b; c* is het gemeen- schappelijk deel der basiskromme van beide bundels. Deze kunnen op de volgende wijze met elkander in projectief verband worden gebracht. Men neme een punt £ op c° trekke door P in de vlakken Pa en Pb twee projectieve stralenbundels; elk paar homo- loge stralen a, b„ bepaalt een paar homologe opper- vlakken 4,2 en B? der beide bundels, die elkander volgens eene beschrijvende lijn van het scheeve oppervlak R* zullen snijden; deze beschrijvende lijn is de verbindingslijn der beide snijpunten van het vlak Pa, b, met c°. Doorloopt men de stralenbundels geheel, dan wordt het geheele op- pervlak Z* beschreven. 24. De doorsnede van Z* met een vlak 77 is eene kromme van de vierde orde c* met drie dubbelpunten, welke de snijpunten zijn van zz met c*. De kromme is dus van de zesde klasse en heeft vier dubbelraaklijnen. Hieruit volgt, dat de omhullingskegel van de zesde orde is; daar hij van de vierde klasse moet zijn, volgt hieruit, dat hij weder- keerig is met de snijkromme. De kegel heeft vier dubbel- stralen en drie dubbelraakvlakken; de dubbelrakende ont- wikkelbare is dus een oppervlak van de derde klasse (4de orde); op deze wijze wordt alzoo het wederkeerige ont- staan van het oppervlak opgehelderd. (463) De doorsnede wordt vereenvoudigd, wanneer het vlak n gelegd wordt door eene beschrijvende lijn /; zij gaat dan over in eene kromme van de derde orde met een dubbelpunt, gesneden door Z in drie punten; twee dezer snijpunten zijn de snijpunten van l met de dubbelkromme ; het derde is het raakpunt van 2 met Z*; het dubbelpunt is het derde snijpunt van 77 met de dubbelkromme. Nog eenvoudiger wordt de doorsnede, wanneer 7 ge- legd wordt door twee beschrijvende lijnen in een punt van c° te zamen komende. Het overschietende deel wordt dan eene kegelsnede, gaande door de niet samenvallende snij- punten der beschrijvende lijnen met c*, en de beschrijvende lijnen ten tweeden male snijdende in de beide raakpunten van 7 met A*. Het kan geen bezwaar geven, om, even als bij de eerste groep (11), de constructie van den omhullingskegel ook na te gaan; met het oog op het reeds behandelde zal dit worden voorbijgegaan, terwijl ook naar de aangehaalde $ van Reyer verder verwezen wordt. Bij de volgende constructiën zal eveneens de loop in het kort worden aangegeven. 25. Het oppervlak is bepaald en construeerbaar door de dubbelkromme en vijf punten. Ten einde het te construeeren, trekke men koorden door deze punten, legge een vlak door een dezer koorden 4; dit vlak snijdt de dubbelkromme in drie punten en de overige vier koorden in vier punten. De vlakke doorsnede is nu bekend door zes punten benevens een dubbelpunt en dus construeerbaar. 26. Even als vroeger zijn nu ook te construeeren de doorsnede van A* met verschillende andere scheeve opper- vlakken, door c* gebracht. Zij b.v. A? een oppervlak van de tweede orde door c*. Men legge een vlak, dat Z* vol- gens eene kegelsnede en twee beschrijvende lijnen snijdt; deze kegelsnede zal B? snijden in twee punten buiten de punten der dubbelkromme; door deze twee punten gaan de gemeenschappelijke beschrijvende lijnen van £?® en R& Op dezelfde wijze is het na te gaan, dat een tweede scheef op- pervlak Zj* van de vierde orde, waarvan mede c* de dub- belkromme is, met R* vier beschrijvende lijnen gemeen heeft. ( 464 ) De voornoemde kegelsnede snijdt namelijk de tweede kromme eyf, behalve in twee dubbelpunten, in vier punten ; door deze snijpunten worden de vier gemeenschappelijke lijnen getrokken. 27. Ten einde alle soorten van oppervlakken dezer groep te verkrijgen, moeten, even als te voren, de klempunten en grenslijnen meetkundig onderzocht worden. Hiertoe kan de volgende beschouwing leiden. Volgens (23) verkrijgt men de beschrijvende lijnen van R* door de constructie der vlakken, die, door P gaande, opvolgend twee homologe stralen van de beide projectieve stralenbundels bevatten. Deze vlakken omhullen dus een kegelvlak van de tweede orde, den omhullingskegel K? van Rt uit P; terwijl P nog buitendien de top is van een ke- gel van de tweede orde K,°, die c° tot richtlijn heeft. Uit een punt van c° buiten KX? kunnen nu twee raakvlakken aan K? getrokken worden; uit elk punt daarbinnen worden deze raakvlakken imaginair, terwijl er in elk snijpunt één raakvlak zijn zal. Daar deze raakvlakken tevens raakvlak- ken van At zijn, zoo zijn de gemelde snijpunten de op c° gelegen klempunten van Zit en de twee samenvallende be- schrijvende lijden vormen eene grenslijn. Een raakvlak van K? snijdt verder c° in twee punten; wanneer deze beide pun- ten zich vereenigen, ontstaat er eene beschrijvende lijn die tevens raaklijn van c? is. De vlakken, die deze lijnen doen ontstaan, zullen mede ten getale van vier zijn, want de ke- gels AK? en Kj° kunnen hoogstens vier gemeenschappelijke raakvlakken hebben. Nu volgt weder de classificatie van de scheeve oppervlakken dezer groep op de bestaanbaarheid van klempunten en klemvlakken gegrondvest *). Algeraeene gevallen. a. K? en K;° hebben vier gemeenschappelijke stralen en vier gemeenschappelijke raakvlakken. b. K? en K}° hebben vier gemeenschappelijke stralen en geene gemeenschappelijke raakvlakken. *) Reye, Gd. ZL. IL, p. 114 vg. komt, mitgaande van een ander meetkundig beginsel, tot dezelfde standen van kegelsneden als hier van kegelvlakken ge- vonden wordt; de beschouwing der kegelsneden is wederkeerig met deze. (465 ) c. K? en Kij? hebben twee gemeenschappelijke stralen en dus ook twee gemeenschappelijke raakvlakken. d. K? en Kj° hebben geene gemeenschappelijke stralen en vier gemeenschappelijke raakvlakken. e. K en K;° hebben geene gemeenschappelijke stralen en geene gemeenschappelijke raakvlakken; K° ligt binnen X,?. f. K en Kj° verkeeren in het voorgaande geval, maar Kj° ligt binnen K?, Bijzondere gevallen. g. Ki raakt K?; er zijn nog twee gemeenschappelijke stralen en raakvlakken, en de straal van raking ligt op dat deel van Kj°, dat buiten KX? ligt. h. Kj° raakt K?°; er zijn nog twee gemeenschappelijke stralen en raakvlakken; de straal van raking ligt op dat deel van Kj°, dat binnen X° ligt. i. Kj° raakt K?; er zijn twee gemeenschappelijke stralen, maar geene gemeenschappelijke raakvlakken. k. Kj° raakt K?; er zijn geene gemeenschappelijke stra- len meer, maar wel twee gemeenschappelijke raakvlakken. L. Kj° raakt K*; er zijn geene gemeenschappelijke stra- len meer en ook geene gemeenschappelijijke raakvlakken; K? ligt binnen A7? m. KG? raakt K?; er zijn geene gemeenschappelijke stra- len of raakvlakken meer; XK}? ligt binnen 2. n. Ky? en K? hebben een osculeerenden straal. o. Kj° en K? hebben eene dubbele raking ; K®ligt binnen A’. p. Kj° en K? hebben eene dubbele raking; Kj° ligt bin- nen K?, g. Ki° en K° hebben een dubbele imaginaire raking ; £° ligt binnen XK? r. Ky” en K° hebben eene dubbele imaginaire raking ; Áj° ligt binnen K?, s. Ky? en K?° snijden elkander volgens vier opvolgende stralen; Á° ligt binnen Kj°. t. Ky? en K? snijden elkander volgens vier opvolgende stralen; Aj° ligt binnen K?*). *) Deze beschouwing brengt het aantal mogelijke vormen terug tot het ( 466 ) 28. Na het onderzoek der doorsnede bij de voorgaande groep kan de snijkromme met een plat vlak kort afge- handeld worden. Zij is eene kromme van de vierde orde met drie bijzondere punten, welke ieder op zich zelf dab- belpunten, keerpunten of geïsoleerde punten kunnen zijn, terwijl eindelijk de bijzondere punten toegevoegd imaginair kunnen worden. Voor elk der gevondene soorten kan men als in (16) eene opsomming van de mogelijke vormen dezer kromme maken; ook zal men zonder moeite na kunnen gaan, in hoeverre de dubbelkromme geheel dubbel, gedeel- telijk geïsoleerd of geheel geïsoleerd op het oppervlak ligt. Verder zij opgemerkt, dat, door een snijvlak te leggen door eene raaklijn, of een osculatievlak aan de dubbelkromme te construeeren, men krommen van de vierde orde met een dubbelen of drievoudigen knoop verkrijgt. Dezelfde bijzon- dere gedaanten van omhullingskegels kunnen eveneens wor- den verkregen. Wordt het snijvlak gelegd door eene raaklijn aan een klempunt, dan ontstaan de combinatiën van een keerpunt met eenen knoop, of wel van een keerpunt met twee knoopen. Dit oppervlak kan ook geheel imaginair worden; zijn om- hullingskegel uit een punt der dubbelkromme is dan een imaginair kegelvlak van de tweede orde, en de doorsnijding met een vlak eene imaginaire kromme van de vierde orde. Deze kromme is de centrale of orthogonale projectie van de imaginaire sniijkromme van twee oppervlakken van de tweede orde, die elkander raken, maar overigens geen be- staanbaar gemeenschappelijk punt bezitten. Geval B. 29, Laat voor dit geval de dubbelkromme c° overgegaan zijn in de kegelsnede c° met de haar in A snijdende lijn d, aantal mogelijke standen van twee kegelsneden ten opzichte van elkan- der; zij bevat al de gevallen door RorEN langs analytisch-meetkundigen weg verkregen. (467) Even als in het voorgaande geval wordt elk der bundels weder bepaald door de koorden a en b, die ieder, zoowel met c? als met d, een punt gemeen hebben. Past men, ter verkriijging van het projectief verband, de- zelfde constructie als in het voorgaande geval toe, daarbij het punt P op c° nemende, dan verkrijgt men wederom den omhullingskegel K?°?; terwijl Kj?® overgaat in twee vlakken, het vlak Ò van c? en het vlak Pd. Wederom bepaalt elk raakvlak aan K? eene beschrijvende lijn van R$; uit de punten van c° of d, die buiten K? lig- gen, kunnen twee raakvlakken aan A° getrokken worden; uit die binnen K°® twee toegevoegd imaginaire raakvlak- ken; terwijl de snijpunten van c° en d met K? de klem- punten zijn. 30. Tot de kennis der dubbelrakende ontwikkelbare komt men op de volgende wijze. Men trekke uit een punt Q van d de beide raakvlakken aan K?, construeere dan de beide beschrijvende lijnen door Q en legge er een vlak p door, dan zal p R* nog in eene kegelsnede snijden. Deze kegel- snede c‚° heeft twee punten gemeen met c°; de beide andere snijpunten met de beschrijvende lijnen zijn de raakpunten met Rf; van deze dubbelrakende vlakken moet nu de om- hulde geconstrueerd worden. Men projecteere daartoe uit alle punten van d c° op het vlak p, dan ontstaat er in dit vlak een kegelsnedenbundel, welks basispunten ge- vormd worden door de snijpunten van cj° met c?, door het snijpunt Q van d met p en door de snijlijn van het raakvlak, door d aan c?° gebracht, met het vlak g. De kegelsneden van dezen bundel snijden c;°, behalve in de twee vaste punten, nog in twee veranderlijke punten, welker verbindingslijn door een vast punt gaat. Hieruit volgt: De dubbelrakende vlakken snijden een hunner in een stralenbundel; de dubbelrakende ontwikkelbare is dus een kegelvlak van de tweede klasse; de vlakkenbundel door d vult de klasse van dit oppervlak tot drie aan. De constructie van den top van dezen kegel is dus in het bovenstaande aangewezen. ( 468 ) De sniijding van deze dubbelrakende ontwikkelbare met Ò zal eene kegelsnede zijn; zij kan op de volgende wijze geconstrueerd worden. Men projecteere uit de opvolgende punten van d de kegelsnede cj? op het vlak Ò. Elk dezer geprojecteerde kegelsneden heeft met c° twee vaste punten gemeen; de gevraagde kegelsnede wordt dus omhuld door de verbindingsliijjnen der overige beide snijpunten; zij gaat door A en raakt aan de raaklijn door A aan c° getrokken en aan de snijjlijn van c,?° en c?. 31. De vlakke doorsneden van dit oppervlak geven geene aanleiding tot bijzondere opmerkingen; de verschillende vor- men worden weder verkregen, wanneer men de klempunten opspoort. Deze beschouwing geeft aanleiding tot dezelfde verdeeling als bij het geval 4; slechts gaat XK}? in twee vlakken over, het eene is het vlak Ò van c° het andere is het vlak P d(m). Men heeft nu de volgende soorten: a. Ò en 7 snijden K?; hunne sniijlijn ligt buiten K?. b. Ò en 7 snijden K?; hunne sniijlijn valt binnen K?. c. Ò snijdt K?, 1 niet. d, Ò snijdt K? niet, m snijdt K?. e. Ò en zm snijden K? nict. En als eenig bijzonder geval: J-. De snijlijn van Ò en z valt te zamen met eene be- schrijvende lijn van K?, De bijzondere gevallen, die zouden ontstaan, wanneer òf Ò òf 7 rakend werd aan K,?, vervallen, omdat alsdan deze vlakken een deel uitmaken van Rf, en R* dus ophoudt van de vierde orde te zijn. Door deze verdeeling ziet men, dat elk der deelen van de dubbelkromme twee klempunten bezit, welke bestaanbaar of toegevoegd imaginair kunnen zijn; daar verder ook dit oppervlak wederkeerig met zich zelf is, zoo gelden hier de- zelfde opmerkingen ten opzichte der klemvlakken. Geval C. 92. Men neme, even als bij het geval A, de dubbellij- nen d en d' aan, gesneden door 4 en nog buitendien tot (469 ) transversalen hebbende a en b. Uit een punt P van / kan men de constructie uitvoeren even als bij de voorgaande gevallen, en verkrijgt alsdan den omhullingskegel. De snij- kromme met een vlak 7 zal eene kromme van de vierde orde met drie dubbelpunten zijn, die kan overgaan in eene kromme van de derde orde met dubbelpunt, of, zoo men het vlak z door ! legt, in eene kegelsnede met de dubbel tellende lijn, of wel in eene der andere dubbellijnen met nog twee rechte lijnen. Het is verder licht in te zien, dat dit geval niet alleen een bijzonder geval is van het geval A dezer afdeeling, maar ook als bijzonder geval van de vorige groep kan beschouwd worden. Hieruit volgt dus eene daarop gegronde constructie van het oppervlak. 83. De verdeeling van dit oppervlak in soorten steunt weder op het al of ‘niet aanwezig zijn van klempunten. Deze worden het eenvoudigst gevonden door eene doorsnede te beschouwen van het oppervlak A* met een vlak zr, ge- bracht door l; 7 snijdt R* volgens de dubbel tellende lijn l en eene kegelsnede c°% en de lijnen d en d' in de punten Den D' Elk punt van d nu is de top van een’ kegel, die c? tot richtlijn heeft; deze kegel snijdt d’ in twee pun- ten, door welke twee beschrijvende lijnen bepaald worden. Zoodra nu deze kegel rakende wordt aan d' ontstaat er een klempunt op d. De bestaanbaarheid van deze klempunten hangt dus af van den stand van d en d' ten opzichte van c?, welke stand onderzocht kan worden, door de ligging der punten D en 7) ten opzichte van c° na te gaan, Er ontstaan alzoo de navolgende soorten. a. Den D' liggen buiten c?; D D' snijdt c?. b. Den D' liggen buiten c?; D D' snijdt c° niet. c. _D ligt buiten, D' binnen c?. d. Den D' liggen binnen c° en als bijzonder geval: en OP raakt aan. Het is nu duidelijk te zien, dat de gevallen a en b vier bestaanbare klempunten geven, het geval c twee, terwijl zij in het geval d imaginair zijn. Nog worde opgemerkt, (470) dat in het geval a de lijn / dubbel op het oppervlak ligt; in het geval b is zij eene geïsoleerde, in het geval e eene keerlijn. In dit laatste geval snijdt elk vlak het opper- vlak RÉ volgens eene doorsnede met een keerpunt. De vlakke doorsneden en de vorm der omhullingskegels kunnen, na het besprokene in de voorgaande gevallen, verder worden voorbijgegaan. Geval D. 34, Wanneer d en d toegevoegd imaginair zijn, kan men weder als gegevens aannemen, behalve !, a, b, vier lijnen, die met a, b, l, tot hetzelfde stralenstelsel van den eersten graad behooren. Na hetgeen hieromtrent in de eerste groep en in het voorgaande geval is opgemerkt, kan de constructie worden voorbijgegaan. Slechts worde hier het volgende opgemerkt. De doorsnijding met een willekeurig vlak is eene krom- me van de vierde orde met twee toegevoegd imaginaire en een reëel dubbelpunt; de doorsnijding met een vlak door l geeft weder eene kegelsnede; er ontstaan hier dus de na- volgende soorten : a. U snijdt c2. b. U snijdt c° niet. geerd raalh nok Geval K. 35. Wanneer eindelijk Jd en d' oneindig dicht bij elkan- der liggen, kan, wat de constructie betreft, weder verwe- zen worden naar geval C van de eerste groep. De vlakke doorsnede is eene kromme van de vierde orde met dubbel- knoop en dubbelpunt; zoo ook: zal de omhullingskegel uit een willekeurig punt een dubbelraakvlak en twee samen- vallende dubbelraakvlakken hebben. Als bijzczdere gevallen komen in aanmerking: De doorsnede door het snijpunt van dd’ met !; dit is eene combinatie van drie knoopen; zoodanig dat er slechts ééne raaklijn aan dit punt is. (471) De doorsnede door !; zij bestaat, behalve uit /, uit eene kegelsnede; hierbij komen dus, evenals in het vorige geval de volgende soorten: a. U snijdt c°; D ligt binnen c?. b. U snijdt c°; D ligt buiten c?. é bsnijdt ce? miet. d. U raakt c?. De doorsnede door het snijpunt van dd met / wordt in het geval d eene verbinding van twee knoopen en een keer- punt met ééne raaklijn aan dit punt. Even als in het geval A kan bij elk der gevallen A, C, D, E het oppervlak geheel imaginair worden. V. DerpeE GROEP. 96. In deze groep kan de basiskromme van een der beide bundels verschillende vormen aannemen. Deze basiskromme bestaat uit de scheeve kromme van de derde orde cè met eene koorde t, welke tevens de as is der vlakkeninvolutie. In deze involutie vervult elk vlakkenpaar de rol van een oppervlak van den tweeden bundel, en, daar de as t samenvalt met het rechtlijnige deel van de basiskromme van den eer- sten bundel, wordt t eene drievoudige lijn van het scheeve oppervlak At. De behandeling zal doen zien, dat de kromme c* vervangen kan worden door verschillende andere vormen van scheeve krommen van de derde orde. Daarop berust dan de verdeeling van dit oppervlak in gevallen. Deze gevallen zijn: A. c wordt vervangen door eene kegelsnede c? met eene lijn !, die een punt met haar gemeen heeft. B. Deze lijn 4 valt te zamen met de as t der vlakken- involutie. C. c° wordt vervangen door de rechte lijnen /, en ls ge- sneden door lg; lg is op eindigen afstand van t gelegen, D. c° gaat over in de rechte lijnen l, en l3, gesneden door ly; lg ligt oneindig dicht bij t. Geval A. 97. Het projectief verband wordt op de volgende wijze (472) geregeld. Men neme een punt P op t en trekke door dit punt lijnen, die c3 snijden; elke lijn doet een oppervlak van den bundel tc? ontstaan, en de puntenriijj, door deze be- schrijvende lijnen, uit P gaande, op c* bepaald, is projectief met de punteninvolutie, door de vlakkenparen van de vlak- keninvolutie op c° uitgesneden. Zulk eene lijn vormt na- melijk met t een raakvlak door P aan een oppervlak van den bundel gebracht. Projecteert men nu uit het snijpunt Q van c° met t beide punteurijen op een vlak, dan ont- staan op eene kegelsnede eene puntenrij met daarmede pro- jectieve punteninvolutie; deze zullen drie gemeenschappelijke homologe punten bezitten; deze punten, met Q vereenigd, geven drie punten P, F3, Pz op c°, welke de drie beschrij- vende lijnen PP, PP, PP3z van RÉ doen ontstaan. Door verplaatsing van # op t worden alle beschrijvende lijnen van R* verkregen. 38. De doorsnijding van R* met een plat vlak is eene kromme van de vierde orde met een drievoudig punt, ont- staande door eene straleninvolutie, projectief met een kegel- snedenbundel, van welken een der basispunten met het middelpunt van de straleninvolutie tezamen valt. Vereen- voudigde doorsneden worden verkregen door een vlak te leggen door eene beschrijvende lijn l; hierdoor ontstaat eene kromme van de derde orde met een dubbelpunt op / gelegen; legt men een vlak door twee beschrijvende lijnen, dan wordt de doorsnede eene kegelsnede, welke het snijpunt der beide lijnen bevat De twee beschrijvende lijnen kunnen toegevoegd imaginair zijn; hun vlak is dan evenwel bestaanbaar. Be- schouwt men nu de kegelsnede met eene der beschrijvende lijnen van het oppervlak als één geheel, dan kan de kromme c* door haar vervangen worden. De beschrjvende lijnen van het oppervlak R* glijden dan bij hare beweging langs t en twee dezer kegelsneden. 98. De dubbelrakende ontwikkelbare is op de volgende wijze te construeeren. Men legge een vlak « door twee beschrijvende lijnen, dat dus R* nog volgens eene kegelsnede c° snijdt, en projecteert eene tweede kegelsneden-doorsnede cj? op « uit alle punten van ft. De geprojecteerde kegel- (473) sneden zullen allen met elkander gemeen hebben de beide snijpunten P en Q van cj° met a, het snijpunt 7’ van t met «, en hebben allen tot raaklijn de snijlijn van « met het vlak, door t rakende aan c,° gebracht. Er ontstaat dus een kegelsnedenbundel, van welken elke kegelsnede c?, behalve in 7, nog in drie punten snijdt; de driehoeken, door verbinding dezer snijpunten ontstaande, omhullen eene kegelsnede d°, die ook de zijden van A P Q 7 zal raken en in het algemeen c° zal snijden. De drie vlakken, gebracht door een projecteeringscentrum en de daarbij behoorende drie zijden van een driehoek, zijn dabbelrakende vlakken, tot welke ook « behoort. Daar nu de snijlijnen der dubbel- rakende vlakken met een hunner eene kegelsnede omhullen, is de dubbelrakende ontwikkelbare van de derde klasse; hare constructie is hier aangegeven. 39. Uit de constructie der kegelsnede d° is de constructie der klempunten af te leiden. Door klempunten moeten bij dit oppervlak punten verstaan worden, zoodanig, dat daarin twee van de drie raakvlakken te zamen vallen. Elk vlak door een klempunt snijdt dus At in eene kromme van de vierde orde met een keerpunt, door ’t welk een tak gaat. Eene raaklijn van d? snijdt in het algemeen c? in twee punten, uit welke twee beschrijvende lijnen naar het bijbehoorend punt op t kunnen getrokken worden. Vereenigen zich deze beide snijpunten, m. a. w. wordt de raaklijn aan d° gemeen- schappelijke raaklijn, dan is het bijbehoorend punt op teen klempunt; van de drie beschrijvende lijnen, uit dit klem-= punt gaande, vereenigen zich twee tot eene grenslijn. Om nu de klempunten te bepalen, moet men weder de standen van d? ten opzichte van c° nagaan. Trekt men eene raaklijn uit een snijpunt van d? met c? aan d? dan zal deze raaklijn c° nog in een tweede punt snijden; de raaklijn, door dit punt aan c?° getrokken, zal weder raaklijn aan d? moeten zijn; want d? en c? moeten voldoen aan de voorwaarde, dat elke omgeschreven driehoek van d? een ingeschreven driehoek van c° is. Hieruit volgt, dat c? en d? evenveel snijpunten als gemeenschappelijke raak- lijnen moeten hebben. VERSL. EN MEDED. AFD, NATUUR. 3de REEKS. DEEL V. 31 (474) De standen van d? en c? ten opzichte van elkander zijn dus: a. d? en c? hebben vier gemeenschappelijke punten en vier gemeenschappelijke raaklijnen. b. d? en c?° hebben twee gemeenschappelijke punten en twee gemeenschappelijke raaklijnen. c. d? en c? hebben geene gemeenschappelijke punten of raaklijnen; d? ligt binnen c?. d. d? en c? hebben geene gemeenschappelijke punten of raaklijnen; c? ligt binnen d? Bij welke zich de bijzondere gevallen voegen: e. d? en c? raken elkander in één punt en hebben nog twee gemeenschappelijke punten en raaklijnen; het deel van d?, op hetwelk het raakpunt ligt, ligt binnen c?. Ff. d? en c° raken elkander in één punt en hebben geene gemeenschappelijke punten of raaklijnen; het deel van d?, op hetwelk het raakpunt ligt, ligt binnen c°. g. d? en c° raken elkander in één punt en hebben nog twee gemeenschappelijke raaklijnen en punten; het deel van d?, op hetwelk het raakpunt ligt, ligt buiten c?. h. d? en c° raken elkander in één punt en hebben geene gemeenschappelijke punten of raaklijnen; het deel van d?, op hetwelk het raakpunt ligt, ligt buiten c?. i. d? en c° raken elkander in twee punten; d? ligt bin- nen C°. k. d? en c? raken elkander in twee punten; d? ligt bui- ten c°. I. d? en c° raken elkander in twee toegevoegd imaginaire punten, d? ligt binnen c?. m. d? en c° raken elkander in twee toegevoegd imagi- naire punten; c° ligt binnen d?. 40. Ook in dit geval kan worden volstaan met enkele opmerkingen over de vlakke doorsneden. In de gevallen a en b, die der bestaanbare klempunten, kunnen de doorsneden kromme lijnen van de vierde orde met een drievoudig punt zijn, met een keerpunt, door ’t welk een tak loopt, of met een drievoudig punt met een bestaanbare en twee toegevoegd imaginaire raaklijnen. In de gevallen c en d heeft de kromme steeds òf wel drie raaklijnen òf wel eene raaklijn. sns an Ds ann es. (475) Wat de bijzondere gevallen betreft, zijn er tweeërlei soort doorsneden in de gevallen e en g, en is er slechts één vorm van doorsnede in de overige. De doorsnede door de dubbele klempunten zal eene kromme van de vierde orde zijn met een bijzonder punt, samengesteld uit twee keerpunten en een dubbelpunt; dit punt onderscheidt zich op het oog niet van eenig ander punt der kromme. Bij de bijzondere doorsneden moet verder opgemerkt wor- den, dat eene doorsnede door eene beschrijvende lijn, welke door een klempunt gaat, eene kromme van de derde orde met een keerpunt is, dat gelegen is op de beschrijvende lijn. Is de beschrijvende lijn tevens grenslijn, dan wordt de door- snede eene kromme van de derde orde met een dubbelpunt, dat de beschrijvende lijn tot raaklijn heeft. In een dubbel klempunt vereenigen zich de drie beschrijvende lijnen; de doorsnede, door de drievoudige lijn gelegd, geeft eene kromme van de derde orde met keerpunt; de keerraaklijn is de drie- voudige beschrijvende lijn. Geval B. 41. Daar in dit geval / zoowel eene beschrijvende lijn van het oppervlak A* als een onderdeel der basiskromme van den oppervlakkenbuntel is, bezit elk oppervlak van dien bundel eene dubbele beschrijvende lijn. Hieruit volgt, dat de oppervlakkenbundel overgaat in een kegelbundel; de kegelvlakken, hiertoe behoorende, hebben hun’ top op t‚, de kegelsnede c* is hunne gemeenschappelijke richtlijn, en de puntenrij, op t door de toppen bepaald, is projectief met de vlakkeninvolutie. De beschrijvende lijnen kunnen dus geconstrueerd worden, 42, De doorsnijding met cen plat vlak biedt, vergeleken met de vorige, geen bijzonderheden aan, slechts zal, bij ver- plaatsing der doorsneden, men aan het drievoudig punt altijd ééne raaklijn krijgen, die in een onveranderlijk raakvlak ligt. Van twee kegelsneden-doorsneden zullen dus de raaklijnen in hare snijpunten met 4 in dit vlak liggen, Eveneens kan onveranderd worden toegepast het beginsel gl* ( 476 ) der constructie van de dubbelrakende ontwikkelbare; de kegel- snedenbundel, liggende in het vlak « van c° (38) ondergaat in zijnen stand evenwel eene wijziging. Wederom hebben de geprojecteerde kegelsneden met elkander gemeen de beide snijpunten P en Q van cj° met «, het snijpunt 7 van « met # en tot raaklijn de snijjlijn van « met het vlak, door t rakende aan c}° gebracht. Deze laatste raaklijn is evenwel nu ook eene raaklijn van c°, zoodat de kegelsneden van den bundel, behalve het raakpunt, slechts twee punten met c? gemeen hebben, welke door hunne vereeniging eenen stra- lenbundel doen ontstaan. Hieruit volgt: Een der dubbelrakende vlakken wordt door de andere gesneden in een’ stralenbundel; deze vlakken omhullen dus een’ kegel van de tweede klasse, welke tot top het middel- punt A van den stralenbundel heeft, Het standvastige raak- vlak door t vult de klasse der dubbelrakende ontwikkelbare tot drie aan. 43. Im overeenstemming met het vorige geval ziet men, dat er klempunten worden gevonden, indien men uit A raak- lijnen aan c° trekt; de kegeltop, die bj deze raaklijn behoort zal een klempunt op f zijn. Nog ontstaat er een bijzonder punt op 4, wanneer men den kegeltop construeert, welke behoort bij de lijn, die uit A naar 7’ getrokken wordt; dit punt heeft de bijzonderheid, dat van de raakvlakken, door hetzelve aan At gebracht, er een te zamenvalt met het stand- vastige raakvlak. De standen, die het punt A ten opzichte van c° innemen kan, geven wederom aanleiding tot de vol- gende verdeeling ; a. A ligt buiten b. A ligt binnen c@ c. A ligt buiten c? op de raaklijn door 7'aan c? getrokken. In het laatste geval zal er door het bijzondere punt eene doorsnede gaan, die een punt heeft dat uit twee keerpunten en een dubbelpunt bestaat. Voor de verdere bijzondere door- sneden kan naar het geval A verwezen worden, | Geval C. 44. In dit geval heeft men eene scheeve vierzijde, die (477) tot overstaande zijden heeft !,,/3, benevens t, /. Men neme, even als bij geval A, P op t aan, trekke door P in het vlak Pl, een’ stralenbundel, projectief met de stralenin= volutie door de vlakkeninvolutie in dit zelfde vlak bepaald, en bepale de gemeenschappelijke homologe stralen van beide ; dit zijn de drie beschrijvende lijnen uit P; bij verplaatsing van P wordt het geheele oppervlak beschreven. Het kenmerkende onderscheid tusschen dit oppervlak en dat, genoemd in geval A dezer groep, is dus hierin ge- legen, dat bij het laatste drie beschrijvende lijnen, uit een punt van # getrokken, niet in één vlak liggen, terwijl dit bij het hier behandelde wel het geval is. Verder is het niet moeilijk in te zien, dat men hetzelfde oppervlak verkrijgt wanneer men op fy eene punten invo- lutie aanneemt en deze projectief maakt met de oppervlak- kenschaar, door &/ lg l3 bepaald, die dus het vlak /, in een’ stralenbundel snijdt. Dit oppervlak is dus met zich zelf wederkeerig; de lijn l, is tevens de dubbelrakende ontwikkelbare. De vorm van de vlakke doorsnede van dit oppervlak zal zich niet van dien van de vorige gevallen onderscheiden ; zij heeft een drievoudig punt en de ombullingskegels hebben een drievoudig raakvlak, 45. Voor het opsporen der klempunten moet een andere weg ingeslagen worden dan in het vorige geval, daar de doorsnijding, verkregen door een vlak gebracht door twee beschrijvende lijnen, bestaat uit drie beschrijvende lijnen en de lijn /,. Ten einde ook voor dit geval de klempunten te vinden, legge men een vlak zr door ééne beschrijvende lijn /; dit vlak snijdt t in T' en /j in Lg; T'is dan tevens een dub- belpunt van de snijkromme c3 en Ly ligt op 4. Elk vlak, door l, gebracht, snijdt zr in eene lijn, die c? in drie punten snijdt, welke drie punten men vereenigt met het snijpunt van het bewegelijke vlak met /; men verkrijgt alzoo in elk vlak drie beschrijvende lijnen. Zoodra twee dezer zich vereeni- gen, d. i. voor elke raaklijn wt Ly aan c°* getrokken, vindt men dus in het daarbij behoorend punt op t een klempunt. Dit geeft aanleiding tot de navolgende gevallen: (478 ) a. Ly ligt zoodanig, dat er vier bestaanbare raaklijnen aan c3 kunnen worden getrokken. b. Uit Lg kunnen twee bestaanbare en twee toegevoegd imaginaire raaklijnen aan c° worden getrokken. c. Uit Zy kunnen slechts imaginaire raaklijnen aan c° worden getrokken; c° heeft een dubbelpunt. d. Uit Zig kunnen slechts imaginaire raaklijnen aan c? worden getrokken; c3 heeft een geïsoleerd punt. Hieruit ziet men, dat de algemeene gevallen overeenstem- men met die, in het geval A dezer groep verkregen. Men kan ook de bijzondere gevallen der klempunten verkrijgen ; namelijk de vereeniging van klempunten op verschillende wijzen. Het kan namelijk zijn, dat Ly op eene raaklijn aan een buigpunt van c° ligt, of ook wel, dat Ls het snijpunt is van twee raaklijnen, ieder aan een buigpunt getrokken. Houdt men nu in het oog, dat in het eerste geval de beide andere raaklijnen uit Lg bestaanbaar of toegevoegd imagi- nair kunnen zijn; dat in het tweede geval Zj het snijpunt van twee bestaanbare of wel van twee toegevoegd imagi- naire buigraaklijnen kan zijn, dan ziet men, dat de bijzondere gevallen van het geval 4 zich ook hier kunnen voordoen. Fiveneens kan naar het geval A verwezen worden, wat betreft de vormen der bijzondere doorsneden, door klempun- ten, grenslijnen enz. gelegd. Geval D. 46. Even als bij het geval C der eerste groep (20) tre- den hier op als gegevens van den oppervlakkenbundel de rechte lijnen /, en ls, hare transversaal t en een vlak door t, in hetwelk eene lijn r eene raaklijn is aan elk opper- vlak van den bundel. Elke straal van den stralenbundel, welks middelpunt het snijpunt van # en r is, en die gele- gen is in het vlak 4, bepaalt met /, en Js een oppervlak; is nu deze stralenbundel projectief met de vlakkeninvolutie, dan snijdt elk vlakkenpaar het homologe oppervlak in twee beschrijvende lijnen; men kan dus de opeenvolging van deze (479 ) construeeren. Even als in het vorige geval is het oppervlak met zich zelf wederkeerig; de dubbelrakende ontwikkelbare gaat steeds door t. 47, De doorsnijding met een plat vlak z is wederom eene kromme van de vierde orde met een drievoudig punt; zij ontstaat door de doorsnijding der homologe elementen van eene straleninvolutie met een’ kegelsnedenbundel; deze laatste bundel wordt bepaald door de snijpunten van 7 met bj, lg, t en de raaklijn, door het laatst gemelde snijpunt aan alle kegelsneden van den bundel getrokken. De drie raak- lijnen aan dit drievoudige punt worden gevonden door de raaklijn van den kegelsnedenbundel, en het stralenpaar der involutie, dat homoloog is met de bijzondere kegelsnede van den bundel, welke vertegenwoordigd wordt door de snij- lijnen van zr met de twee vlakken t/, en tl. De twee vlakken él, en tlg vormen nu, bij elkander gedacht, een element van den oppervlakkenbundel, zoodat met dit vlak- kenpaar één bepaald vlakkenpaar der vlakkeninvolutie over- eenkomt; hieruit volgt, dat van de drie raakvlakken door elk punt der drievoudige lijn gebracht er twee standvastig zijn. Ook bij dit oppervlak liggen voor elk punt drie be- schrijvende lijnen in één vlak. 48. Daar twee der raakvlakken standvastig zijn, kunnen klempunten alleen voorkomen, als het bewegelijke raakvlak aan een punt van t samenvalt met een der standvastige raakvlakken. Deze punten kan men op de navolgende wijze opsporen. Men denke zich een oppervlak &° van den oppervlakken- bundel geconstrueerd; dit zal in elk punt van t een raak- vlak bezitten en het raakvlak in een dier punten moet voor den geheelen bundel constant zijn. Dit raakvlak is tevens raakvlak van het scheeve oppervlak Rf, Zijn dus nu de standvastige raakvlakken gp, en Q3 van Z* bepaald, dan bepale men de lijn volgens welke een dezer vlakken R? snijdt, het snijpunt dezer lijn met t geeft een klempunt. Er zijn dus twee dezer punten; en het oppervlak laat zich naar de bestaanbaarheid dezer klempunten verdeelen. Ook bestaat de mogelijkheid, dat het vlakkenpaar g, en ( 480 ) qz der vlakkeninvolutie een dubbelvlak der involutie is; alsdan heeft men slechts één standvastig raakvlak, terwijl elk der punten van & tevens een keerpunt van de vlakke doorsnede van Rt is. Men komt alzoo tot de volgende soorten. a. @j en gg zijn bestaanbaar, de vlakkeninvolutie is elliptisch of hyperbolisch; er zijn twee bestaanbare klem- punten. b. @j en Qz zijn toegevoegd imaginair, de vlakkeninvo- lutie is hyperbolisch; er zijn geen bestaanbare klempunten. c. gi en gg vereenigen zich in één raakvlak g; de vlak- keninvolutie is hyperbolisch; er is één klempunt (eigenlijk twee samenvallende klem punten). Bij de vlakke doorsneden door deze bijzondere punten zullen, even als bij geval A, weder de verschillende vormen van drievoudige punten zich voordoen. VI. Vierve GRroeP. 47. Uit de wijze van ontstaan blijkt, dat deze groep uit oppervlakken zal bestaan, die wederkeerig zijn met die van de voorgaande. Het is onnoodig om de redeneeringen op te stellen, noodig om tot de verdeeling in soorten te gera- ken; voldoende zal het zijn, zoo hier aangegeven worden die gevallen, die verschillend zijn van die der vorige groep. Daar de gevallen C en D der voorgaande groep wederkeerig zijn met ziehzelven, zoo behooren zij mede tot deze groep en blijven zij dus verder buiten beschouwing. Voor de ge- vallen A en B der voorgaande groep komen nu de vol- gende in plaats. A. Het ontwikkelbare oppervlak van de derde klasse y° wordt vervangen door een kegelvlak van de tweede klasse y? en eene raaklijn J aan y?. D. Deze raaklijn / valt te zamen met de draaglijn der punteninvolutie. (481 ) Geval A. 48. Met het oog op de voorgaande opmerking omtrent de wederkeerigheid van dit oppervlak met het geval A der voorgaande groep, kunnen zonder vernieuwing van bewijzen de volgende eigenschappen worden afgeleid. Het oppervlak heeft eene dubbelrakende ontwikkelbare, welke is overgegaan in eene rechte lijn t; elk vlak 7 door deze rechte lijn t bezit drie raakpunten, zoodat men haar eene drievoudig rakende ontwikkelbare kan noemen. De constructie der beschrijvende lijnen, liggende in een vlak door deze lijn gebracht, is wederkeerig met de constructie van (37). In het vlak 77 vormen de beschrijvende lijnen een’ drie- hoek. Uit elk hoekpunt van dien driehoek kan een om- hullingskegel aan het oppervlak beschreven worden; deze kegel is van de tweede klasse en raakt aan ft, De beschrij- vende lijnen van het oppervlak glijden bij hare beweging langs t en twee dezer kegels. De dubbelkromme is eene scheeve kromme van de derde orde c°. 49. Men kan bij dit oppervlak de klemvlakken bepalen, gelijk in de voorgaande groep de klempunten bepaald zijn; men komt dan tot een aantal soorten, gelijkstaande met dat van geval 4 der voorgaande groep. Het heeft evenwel ook geen bezwaar in dit geval de klempunten op te sporen; hierdoor moet men dan tot dezelfde verdeeling komen. Om deze klempunten te construeeren kan men den volgenden weg „inslaan. De vlakken door & snijden de dubbelkromme cè in drie punten; wordt zulk een vlak raakvlak aan cè dan vereenigen zich twee dezer punten; het vlak wordt een klemvlak, het derde punt wordt een klempunt op c?° en de twee beschrijvende lijnen, die zich in dit klempunt vereenigen, worden tot eene grenslijn. Daar er door eene lijn, buiten eene kromme van de derde orde gelegen, aan die kromme vier raakvlakken kunnen worden gebracht, zoo ontstaan de volgende soorten ; ( 482 ) a. Door & kunnen vier bestaanbare raakvlakken aan c3 gebracht worden. b. Door t kunnen twee bestaanbare en twee toegevoegd imaginaire raakvlakken aan c° gebracht worden. ce. Door t kunnen geen andere dan imaginaire raakvlak- ken aan c° worden gebracht; alle koorden die t snijden heb- ben bestaanbare eindpunten. d. Door t kunnen slechts imaginaire raakvlakken aan c3 worden gebracht; alle koorden die t snijden hebben toe- gevoegd imaginaire eindpunten. De bijzondere gevallen worden verkregen wanneer t òf wel in een osculatievlak van c° ligt, òf wel de snijlijn is van twee osculatievlakken. Geeft men aan 4 nu deze bijzondere standen, dan ontstaan dezelfde bijzondere gevallen als bij dat geval der voorgaande groep, dat met dit wederkeerig is. De vlakke doorsnede van het oppervlak is eene kromme van de vierde orde met drie dubbelpunten, die naar om- standigheden keerpunten kunnen worden. De gegeven beschouwing kan dienen, om de vormen van den omhullingskegel bij het geval A van de vorige groep af te leiden. Geval B. 50. De wederkeerigheid van dit oppervlak met het opper- vlak B van de voorgaande groep geeft de navolgende eigen- schappen. Men brenge door t een vlakkenbundel, die een kegelvlak van de tweede klasse, van hetwelk t eene raaklijn is, vol- gens kegelsneden snijdt; beschouwt men elke kegelsnede als homoloog met een puntenpaar der involutie op t,‚ dan zullen de raaklijnen uit de puntenparen dezer involutien aan de kegelsneden de beschrijvende lijnen van het oppervlak zijn. Het oppervlak kan ook ontstaan door de beweging eener lijn langs de lijn tf, welke laatste aan twee kegelvlakken van de tweede klasse raakt, en getrokken is door het snijpunt van twee beschrijvende lijnen dezer kegelvlakken ; de beschrijvende lijn moet dan ook aan beide kegelvlakken rakende blijven, nat REE n\n ie a ne ne en a a (483 ) Het oppervlak bezit eene dubbel-kegelsnede en een punt, dat de eigenschap heeft, dat elke lijn, door hetzelve getrok- ken, tot een omhullingskegel van het oppervlak behoort. Even als bij geval B der voorgaande groep laat zich dit oppervlak in drie soorten verdeelen; deze verdeeling geeft na het aldaar behandelde geene aanleiding tot bezwaren. Ook alle verdere eigenschappen van dit oppervlak geven met het oog op de wederkeerigheid van dit oppervlak met het vroeger behandelde geene stof tot nieuwe opmerkingen. October 1888. ALGEMEENE OPMERKINGEN OVER DE GEVONDENE OPPERVLAKKEN. Ten einde het overzicht van de gevondene groepen van oppervlakken te vereenvoudigen wordt hier bijgevoegd eene tabel van de verschillende resultaten in de voorgaande be- schouwingen verkregen. Zij worden vergeleken met de orde- ringen van RorN, SALMON, CREMONA en Cayrey. Men kan deze tabel beschouwen als eene aanvulling en uitbreiding van de nummers in SALMON-FrepLers Geometrie des Raumes aangegeven. Bij hare samenstelling is alleen rekening ge- houden met de verdeeling in groepen en de daarin voorko- mende hoofdgevallen, terwijl voor de verdere indeeling naar gelang der klempunten naar den tekst verwezen wordt. Het is verder niet zonder belang na te gaan, in welke groe- pen enkele meer bekende scheeve oppervlakken van de vierde orde hunne plaats vinden. Na de gegevene ontwikkelingen kan dit zonder bezwaar geschieden. Hier volgt dus eene aanwijzing daaromtrent dezer oppervlakken. *) a. Het normalen-oppervlak. Dit oppervlak wordt beschre- ven door de normalen van een oppervlak van de tweede orde, getrokken aan de punten eener vlakke doorsnede evenwijdig aan een der hoofdvlakken. Als meetkundig be- wezen mag worden aangenomen, dat dit oppervlak ook kan ontstaan door uit het middelpunt eener kegelsnede c? eene loodlijn op te richten op het vlak zr dezer kegelsnede; neemt men nu twee punten op deze loodlijn aan en trekt men door het eene eene lijn d, evenwijdig aan eene der *) Daar het voornamelijk het doel is, de oppervlakken in de gevondene groepeering op hunne plaats te stellen, zoo wordt, wat betreft de meet- kundige eigenschappen, verwezen naar de handboeken van Beschrijvende Meetkunde. Pd (485 ) assen van c° en door het andere eene lijn d', evenwijdig aan de tweede, dan zijn d, d' en c?° de richtlijnen van het oppervlak. Het vlak 7 vormt bij dit oppervlak eene door- snede van de vierde orde, overgegaan in de kegelsnede c? en de lijn, die de snijpunten van d en d° met 7 verbindt, d. 1. de oneindig ver gelegene lijn van 77. De dubbelkromme bestaat dus uit d, d en de beiden snijdende oneindig ver gelegene lijn van 7. Het normalenoppervlak behoort dus tot de tweede groep, geval C, Is c? eene ellips, dan behoort het tot de soort b; is c? eene hyperbool, dan tot de soort c3 is c? eene parabool, dan tot de soort e. b. De eirkeleonoïde. Deze heeft tot richtlijnen een cir- kel c? gelegen in een vlak 77, eene lijn d, en tevens loopen de beschrijvende lijnen evenwijdig aan een vlak « of, met andere woorden, snijden de oneindig ver gelegen lijn van a. Zooals door te vergelijken met het vorige geval blijkt, behoort dit oppervlak eveneens tot de tweede groep, geval C; de dubbelkromme bestaat uit de lijn d, de oneindig ver ver- wijderde lijn van «, en eene lijn / door het snijpunt D van d met n evenwijdig aan de snijlijn van z en « getrokken. Valt D binnen den cirkel c?, dan behoort het tot de soort c; valt D buiten c°, dan behoort het tot de soort a, b of e, naar gelang / den cirkel snijdt, niet snijdt of raakt. c. De wig van Warris. Dit is een bijzonder geval van de cirkelconoïde; de lijn d loopt bij dit oppervlak evenwij- dig aan 7, hare projectie op 7 is eene middellijn van den cirkel c? en het richtvlak « staat loodrecht op d. De dub- belkromme bestaat uit de lijn d en de oneindig ver verwij- derde lijnen van « en a; de lijn / en dus ook de punten D en D' liggen nu geheel op oneindigen afstand van c?. Het oppervlak behoort dus tot de tweede groep, geval C, soort b. Er zijn twee klempunten op d, zoodanig gelegen, dat hunne projectiën op 7 in den omtrek van c° vallen en twee op de oneindig ver verwijderde lijn 4, liggende in de vlakken door d rakende aan den cirkel gebracht. De klem- vlakken zijn de vlakken, door de klempunten op d even- wijdig aan « gebracht, en de raakvlakken door d aan den cirkel c?% Het oppervlak heeft vier grenslijnen ; de lood- ( 486 ) lijn uit de klempunten van d op z, en de beschrijvende lijnen liggende in de klemvlakken door d. d. Het oppervlak, ontstaande door de homologe punten van twee projectieve puntenrijen op twee in de ruimte ge- legen kegelsneden te verbinden. Volgens de wijze van ontstaan beschreven in de tweede groep, geval A, kan het oppervlak, dat tot dubbelkromme eene scheeve kromme van de derde orde c° heeft, ontstaan door eene koorde van deze kromme te laten glijden langs een kegelvlak van de tweede orde, welks top op c° ligt. Uit twee punten van c° deze lijnen projecteerende, verkrijgt men de raakvlakken van twee kegeloppervlakken van de tweede orde, welke met elkander in projectief verband staan ; daar het oppervlak volgens het behandelde in de tweede groep A met zich zelf wederkeerig is, kan het dus ook ontstaan door de verbinding der homologe punten van twee projectieve puntenrijen op twee kegelsneden. e. De cilindroïde, Men denke zich in een cilindervlak van de tweede orde twee willekeurige vlakke doorsneden ei? en cg? geconstrueerd, gelegen in de vlakken « en (3. Verschuift men nu cg° in 9, zoodanig dat alle punten lijnen beschrijven evenwijdig aan de snijlijn l van « en 9, en ver- bindt men dan de punten, die oorspronkelijk op dezelfde beschrijvende lijnen van den cilinder lagen, dan ontstaat eene cilindroïde. Het is duidelijk, dat men te doen heeft met een bijzonder geval van het oppervlak, ontstaande door de verbinding van de homologe punten van twee projectieve puntenrijen op twee kegelsneden. Er ontstaat dus in elk geval een oppervlak tot de tweede groep behoorende; het zal geheel omschreven zijn, zoodra men de dubbelkromme kent. De beide vlakken « en (2 door ! gebracht snijden de cilindroïde volgens kegelsneden; de lijn / is dus eene dub- bellijn; voor het geval dat cj° en c9° l snijden blijkt dit ook, door dat zij twee over elkaar liggende beschrijvende lijnen vertegenwoordigt. De beschrijvende lijnen der cilin- droïde loopen verder alle evenwijdig aan een vlak y, door ! evenwijdig aan de oorspronkelijke beschrijvende lijnen van (487 ) den cilinder gebracht; zij snijden dus de oneindig ver ver- wijderde lijn loo van y. Deze lijn loo vertegenwoordigt twee oneindig dicht bij elkander gelegen lijnen. Men beschouwe, om zich hiervan te overtuigen, de doorsnede c;° in «. Men verkrijgt in het algemeene geval der tweede groep C de klempunten en de grenslijnen door uit D en D' de raak- lijnen aan ej° te trekken, welke dus in het algemeen vier in getal zijn. In dit geval kunnen er evenwel alleen grens- lijnen ontstaan, wanneer men raaklijnen trekt aan c}° even- wijdig aan !, de beide punten D en D', uit welke de raaklijnen getrokken worden zijn dus in het oneindige te zamengevallen. De eilindroïde behoort alzoo tot de tweede groep, geval E en wel tot de soorten a, b of c of d naar gelang ! den cilinder snijdt, niet snijdt of raakt. _f. Het scheeve tongewelf. Dit oppervlak heeft tot richt- lijnen twee gelijke cirkels cj° en cg? in evenwijdige vlakken, benevens de normaal d der vlakken, die den afstand der- middelpunten van de cirkels midden door deelt. Uit een punt P van d de kegelvlakken construeerende, die tot richtlijnen hebben cj? en ca°, ziet men, dat deze kegels twee gemeenschappelijke stralen hebben, welke ge- richt zijn naar de oneindig ver verwijderde cirkelpunten van de evenwijdige vlakken en twee andere gemeenschappelijke stralen, welke tot het oppervlak behooren. De lijn d is dus eene dubbellijn. Door d vlakken leggende, ziet men, dat deze gedurig twee evenwijdige beschrijvende lijnen van het oppervlak be- _ palen; het oppervlak bezit dus in het oneindig ver verwij- derde vlak eene dubbelkromme. Uit het punt 4 van d, dat den afstand der evenwijdige vlakken midden doordeelt, den richtkegel van het scheeve tongewelf construeerende, ziet men, dat deze richtkegel van de tweede orde is, en dat de lijn d er op ligt; het scheeve tongewelf heeft dus eene dubbelkromme bestaande uit de lijn d, benevens eene deze snijdende kromme van de tweede orde, gelegen in het on- eindig ver gelegen vlak. Het oppervlak behoort alzoo tot de afdeeling B van de tweede groep. ( 488 ) Projecteert men uit de punten van d de oneindig ver verwijderde kromme op het vlak van c}°, dan ontstaat een cirkelbundel, gaande door het snijpunt D van d met dit vlak en rakende aan eene la, door D getrokken loodrecht op de door D gaande middellijn van cj°. Deze cirkels snij- den cj° volgens evenwijdige koorden; de dubbelrakende ont- wikkelbare bestaat dus, behalve uit d, uit een cilinder van de tweede orde, welks beschrijvende lijnen d loodrecht krui- sen. Grenslijnen zijn die beschrijvende lijnen, die met d en de middelpunten der cirkels in een vlak liggen en d in de klempunten snijden. Twee andere grenslijnen vindt men door uit d raakvlakken aan de cirkels te leggen; zij zijn onbe- staanbaar als d door de cirkels heen loopt, anders bestaan- baar; zij geven aanleiding tot klempunten in de oneindig ver verwijderde dubbelkromme. Het oppervlak behoort dus tot de tweede groep, geval B, soort b of c. end ne en ( 488 ) Projecteert men uit de punten van d de oneindig ver verwijderde kromme op het vlak van cj°, dan ontstaat een cirkelbundel, gaande door het snijpunt D van d met dit vlak en rakende aan eene lia, door D getrokken loodrecht op de door D gaande middellijn van cj°. Deze cirkels snij- den cj? volgens evenwijdige koorden; de dubbelrakende ont- wikkelbare bestaat dus, behalve uit d, uit een cilinder van de tweede orde, welks beschrijvende lijnen d loodrecht krui- sen. Grenslijnen zijn die beschrijvende lijnen, die met d en de middelpunten der cirkels in een vlak liggen en d in de klempunten snijden. Twee andere grenslijnen vindt men door uit d raakvlakken aan de cirkels te leggen; zij zijn onbe- staanbaar als d door de cirkels heen loopt, anders bestaan- baar; zij geven aanleiding tot klempunten in de oneindig ver verwijderde dubbelkromme. Het oppervlak behoort dus tot de tweede groep, geval B, soort b of c. (Behoort bij pag. 484.) GROBPEERING. DUBBELKROMME. DD ROEN. SALMON. | CREMONA. | CAYLEY. | | ai A. Twee elkander kruisende bestaanbare | _ Twee elkander kruisende bestaanbare Model }, 2, 3. XI 1 | L a lijnen d en d'. lijnen d en /. A5 > B. Twee elkander kruisende toegevoegd |_ Twee elkander kruisende toegevoegd Model 4. 5) imaginaire lijnen. imaginaire lijnen. 7) ie- | 5 ‘ sl C. Twee oneindig dicht bij elkander lig- | Twee oneindig dicht bij elkander lig- Model 5. XI ji) 4 A gende lijnen 4d! — d. gende lijnen 4d! — d. A. Scheeve kromme van de derde orde €. |_ Ontwikkelbaar oppervlak van de derde Model 9, 10. VI l 10 klasse 75. 5 B. Kegelsnede c? met eene lijn d, die één | Kegelvlak van de tweede klasse 7? met Model 5. VL 2 7 5 punt met, haar gemeen heeft. daaraan rakende lijn /. ide} â 5 C. Twee elkander kruisende bestaanbare |_ ‘Twee elkander kruisende bestaanbare \ 5 2 A lijnen d en d/, beiden gesneden door de | lijnen d en dl, beiden gesneden door de A lijn /. lijn /. En D. Twee elkander kruisende toegevoegd | Twee elkander kruisende toegevoegd imaginaire lijnen, gesneden door / imaginaire lijnen gesneden door /. E. Twee oneindig dicht bij elkander lig- | ‘Twee oneindig dicht bij elkander lig- XLI 6 5 gende lijnen Jd! =d, gesneden door 4. | gende lijnen 4d! =d, gesneden door /. as A. Een rechte lijn £, welke als drievoudige |_ Ontwikkelbaar oppervlak van de derde L S 9 A lijn optreedt. klasse ,% ©} 5 B. als A. Kegelvlak van de tweede klasse ,? met Model 7. LI 3 12 pa de daaraan rakende lijn 4. =) 5 C. als A. De rechte lijn /, welke / kruist. Model 6. II 9 3 AN D. als A. De rechte lijn 4, drievoudig tellende. IV, V 10 ö ai 5 A. Scheeve kromme van de derde orde 5. |_ Drievoudig tellende rechte lijn /. VL 7 s a 5 B. Kegelsnede e? met de lijn 4, die één | als A. IX l 1 5 punt met haar gemeen heeft. (ef À C en D. Als C en D van de voorgaande groep. | als C en D van de voorgaande groep. JUN IA 9, 10 3, 6 > INHOUD DEEL V. — STUK 3. Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 27 Oct. 1888. De energie van den bolvormigen condensator; door C. H. C. Grinwis. Eenige formulen voor de berekening van de Bernoulliaansche en van _de tangenten-coëfficiënten 5 door F.J. VAN DEN BERG se Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 24 Nov. 1888. Bijdrage tot de kennis van de Cupreïne; door A. C. OUDEMANs JR. Notiz über den angeblich fossilen, menschliehen Unterkiefer vom Caberge bei Maastricht; von K. Martin. (Mit 1 Tafel) eee. Verslag over eene verhandeling van den Heer J. CARDINAAL: 7 Meet- kundige theorie der scheeve oppervlakken van de vierde orde”; uitgebracht in de vergadering van 23 November 1888 ee ee eee e bladz. 845. 349. 358. 398. 408. 434. 441. Meetkundige theorie der scheeve oppervlakken van de vierde orde; door J. CARDINAAL ee ee es eee es ee eee ee. see ee ese es eee. e.e es es _ Overzicht der boekwerken, door de Koninklijke Akademie van We- 450. tenschappen ontvangen en aangekocht...................….. 4996. „ STOOMDRUKKERIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. STOOMDRUKKERIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. KONINKLIJKE AKADEMIE | VAN | WETENSCHAPPEN. Afdeeling NATUURKUNDE, DERDE REEKS. ZESDE DEEL. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1889. | VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN. VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN _ KONINKLIJKE AKADEMIE WETENSCHAPPEN, Deen enen Afdeeling NATUURKUNDE. DERDE REEKS. ARS DE DEEL. De Er AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1889. y GEDRUKT BIJ DE ROEVER KRÖBER-B BERDE DEEL INHOUD DERDE REEKS. PROCESSEN-VERBA AL VAN HET DER DER GEWONE VERGADERINGEN. Vergadering gehouden 29 N 25 29 28 December 1888 . Januari Februari Maart April Mei Juni September 1889 . / A and / 226. Val TON EO RDD: VERSLAGEN. Rapport over de verhandeling van Dr. J. pr Vries: „Over vlakke polyedrale configuraties”, door D. Bierens DE HAAN en F. J. vAN DEN Ber; uitgebracht in de vergadering van 24 November 1888 . Rapport over de verhandeling van Dr. J. pr Vrrgs: „Over eene groep van regelmatige vlakke configuraties”, door D. BreRENs DE HAAN en F.J. vAN DEN BERG; uitgebracht in de vergadering van 24 November 1888. Rapport over een brief des Ministers van Binnenlandsche Zaken, handelend over het plaatsen van bliksemafleiders op de Abdij te Middelburg; uitgebracht in de vergadering van 29 December 1888 . Rapport over de verhandeling van Dr. E. vaN RIJCKEVORSEL: „Magnetic survey of the eastern part of Brazil”, door J. A. C. OUDEMANS en H. KAMERLINGH ONNES; uitgebracht in de vergadering van 29 December 1888. Verslag omtrent de verhandeling van Dr. J. pe Vries: / Fen rangschikking van het puntenveld in involutorische groe- pen”, door P. H. ScHoure en D. BrERENS DE HAAN ; uitge- bracht in de vergadering van 29 December 1888 Rapport over de verhandeling van Dr. J. pe VrrEs: # Over de desmische configuratie 94°’, door D. BreRENsS DE HAAN en F. J. vAN DEN BERG; uitgebracht in de vergadering van 28 Februari 1889 Verslag over de verhandeling van den Heer G. REINDERS: „Over de samenstelling en het ontstaan der zoogenaamde oerbanken in de heidegronden”, door J. M. vAN BEMMELEN en K. MarriN; uitgebracht in de vergadering van 23 Fe- bruari 1889 . | Verslag over de verhandeling van den Heer J. CARDINAAL: „Het construeeren van gebogen oppervlakken door mid- del van vlakke doorsneden”, door P. H. ScmHourre en . blz. „ /Á / 39. 1. 13 38, 185. De p INHOUD. D. BreRENs DE Haar: uitgebracht in de vergadering van 30 Maart 1889 . Verslag over de verhandeling van den Heer Dr. J. pe Vrres: „Over vlakke configuraties, die uit de osculatiegroepen der kubische kromme kunnen worden afgeleid”, door P. H. ScHourE en D. BrERENsS DE HAAN; uitgebracht in de vergadering van 20 April 1889 É Vierde rapport van de Huygens-Commissie ; uitgebracht in de vergadering van 25 Mei 1889. Voorstel van de Commissie voor de geologische kaart van Nederland Verslag over de verhandeling van Dr. J. ve VRIES: # Over vlakke configuraties, waarin elk’ punt met twee lijnen in- eident is”, door D. BrERENS DE HAAN en F. J. VAN DEN Bere; uitgebracht in de vergadering van 28 September 1889. MEDEDEELINGEN. JAN pe Vries. Over vlakke polyedrale configuraties . Over eene groep van regelmatige vlakke con- figuraties . Eene rangschikking van het puntenveld in in- volutorische groepen . D. BreRENs pe HAAN. Bouwstoffen voor de geschiedenis der wis- en natuurkundige wetenschappen in de Nederlanden. N°. XXXT. ROE oren M. W. BerserINckK. Over een middel om de werking van verschillende stoffen op den groei en enkele andere levens- verrichtingen van microörganismen vast te stellen . C. H. D. Buys Barzor. Uitkomsten van de reeks van me- teorologische waarnemingen gedurende 40 jaren te Utrecht. Jan pe Veres. Over de desmische configuratie 9, rr mp Î . blz. A „ „ /Á jd Vri 196 229. 342. 367. 371. 45. 92. 103, Virit ÍN HOT D. J. CARDINAAL. Het construeeren van gebogen oppervlakken door middel van vlakke doorsneden. . . . . . .… … blz. J. P, VAN DER Stok. Harmonische analyse der getijden in de Java-zee JAN DE VRIES. Over vlakke configuraties, welke uit de oscu- latiegroepen der kubische kromme kunnen gevormd worden. F. J. VAN DEN BERG. Nogmaals over de Bernoulliaansche coëfficiënten . P. H. Scrourr. Equianharmonie en harmonie bij poolstelsels van binaire vormen, enz. J. A. U. OuprManNs. Vergelijking, bij zomer- en wintertem- peratuur, van twee glazen eindmeters (behoorende respec- tievelijk aan de Regeering van Nederl. Oost-Indië en aan het natuurkundig kabinet der Rijks-Universiteit te Utrecht) met den platina-iridium streepmeter N°. 27. (Met Plaat.) Jan pe Vries. Over vlakke configuraties, waarin elk punt met twee lijnen incident is. W. F. R. SuriNGar. Nieuwe bijdragen tot de kennis der Melocacti van West-Indië. (Met plaat). ee Melocacti novi ex insula Aruba, adjec- tis supplementis ad specierum jam ante descriptarum cha- racteres. P. H. Scmoure. Over viervlakken door gelijkvormige drie- hoeken begrensd VERBETEREN GE Pag. 221 reg. 9 v. o. staat: weers componente Hiervoor te lezen: westelijke componente /Á L/Á „ /Á / /Á 198. 216. 232. 265. 2717. 299. 382. 408. 437. 460. KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN. hmmm Afdeeling NATUURKUNDE. DERDE REEKS. Zesde Deel, — Eerste Stuk. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1889. man, elke ke. 1 sE PO WT OVER DE VERHANDELING VAN Dr. J. DE VRIES. nOVER VLAKKE POLYEDRALE CONFIGURATIES”, DOOR D. BIERENS DE HAAN ex F J. VAN DEN BERG, (Uitgebracht in de Vergadering van 24 November 1888). Volgens uwe opdracht hebben wij rapport uit te brengen over deze nieuwe verhandeling, die zich aan vroegere van denzelfden schrijver aansluit. Wij willen daaraan voldoen, hoezeer wij het niet mogelijk achten dit te volbrengen dan door het aanhalen van verkregen formulen en stellingen, die wel verstaanbaar kunnen worden, wanneer zij gelezen worden, maar bij het hooren zeker zeer raadselachtig zul- len blijven. Wij zullen ons echter tot het voornaamste uit den overvloedigen, belangrijken oogst beperken. Wanneer men een volledigen ruimte-n-hoek door een n D willekeurig vlak snijdt, ontstaan er IJ snijpunten met de ribben en s) doorsneden met de vlakken. Deze vormen \ LÁ / Ne : n ; eene regelmatige configuratie del, 5), En Cede polyedrale configuratie heet. Wanneer d, k, l, getallen voor- —2 stellen van 1 tot », dan komt elk punt #% voor in 2 - | VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS. DEEL VI. (2) elke lijn ikl in 83 (n — 3) conf. driehoeken, die dus ten ge- 1 tale van 6” (n — 1) (n — 2) (n — 3) in de configuratie voor- komen. De restfiguren van het punt 12 bestaat uit de punten 7 , en de lijnen dk, voor d = 3 tot n, k = 4 tot n, l= 5 tot n: zij is dus eene m„—2. Het punt 12 is het collineatie- centrum, de lijnen van de 7rj—2 zijn de collineatie-assen voor de paren driehoeken (lié, 1k, 14) en (2% 24, 21). Met aanhaling van een opstel » Ueber gewisse ebene Con- figurationen”’, door schrijver in de Acta Mathematica, Tom. 12 geplaatst, bewijst hij, dat elke zr uit twee drietallen vol- ledige zeshoeken bestaat, maar door een zoodanig drietal volkomen bepaald is, waarbij de twee lijnen, # kl, j mm n, die ieder de gemeenschappelijke zijde van een der beide bijeen behoorende drietallen vierzijden zijn, den naam van geas- socieerde lijnen dragen. Eene 7m is evenzoo bepaald door n — 3 volledige vier- zijden, die drie collineaire hoekpunten gemeen hebben. De geassocieerde lijnen van eene zelfde lijn van 77, ten aanzien van de verschillende 7z,, waartoe deze lijn behoort, vormen eene 7-3. De 7, kan gesplitst worden in eene 7, —j en eene — 1 conf. le — Ie; 5 2 )) ‚ en dat wel op „ verschil- lende wijzen. Eene zv2n bevat groepen van n onderling gescheiden pun- ten, waarvan elk paar tot eene 77, behoort; men kan dus eene 7527 beschouwen als het zamenstel van eene conf. \ Ee 5 5 4| A8 \ ) Er zn | Dn ale me ne groep van 2) conf. 754 ; en dit wel op 1”° wijzen. Wanneer men in eene 7» eene uit gescheiden lijnen ge- vormde groep kan maken, zoodat hare afscheiding tot eene nieuwe conf. voert, dan heet zulk eene groep, hoofd-veel- zijde, en deze figuur speelt in het vervolg een groote rol. Zij kan eerst voorkomen, als n 27 is, en wel voor n= 6m lof = 6mt3. Zulk ‘eene hoofd-veel-zijde (3) a À bestaat dus uit 6 n(n — 1) conf. lijnen; en de 77, bestaat { behalve haar uit een conf. 5) : en (n — 1) (n — 3) n—8 Had de schrijver in het eerste gedeelte van zijn opstel reeds 775, 759 en 7757 beschouwd, thans in $ 5 gaat hij over tot de discussie der zg. Elke conf. lijn komt daar voor in 2160 hoofd-twaalf-zijden; in de conf. komen 15120 groepen voor van twaalf onderling gescheiden lijnen. Zondert men één hoofd-twaalf-zijde af‚ dan ontstaat er de conf. (366, 723) ; laat men eene tweede weg, die met de eerste eene lijn ge- meen heeft, dan blijft er een conf. (365, 603) over. Bij eene 773 vindt hij hoofd-26-zijden met de notatie (136, 263). Bij de 77; komen hoofd-35-zijden voor met de notatie (157, 353), en daarvan heeft elke lijn tot restfiguur eene (124, 163) A (zie schrijvers opstel over vlakke configura- ties); de hoofd-35-zijde kan herleid worden tot zeven hoofd- vijf-zijden, die geene lijn gemeen hebben. Na de discussie der restfiguur eener 77), en de afleiding van eenige eigenschappen, zondert schrijver uit eene 772, +1 de daarin begrepen zz„ en : (n + 1) n(r—l) niet tot de 7, behoorende lijnen af, en verkrijgt alsdan de conf. re + 1), zi (n + Is) gevormd door „ + 1 groe- pen van » punten 1d, 27 tot ni, (L=n + 1, n + 2, tot 2n 41), met ed punten dk (voor 4 = n + 1 tot 2ntl1l,k=nH2tot 2n +1), ten opzichte waarvan die groepen paarswijze perspectivisch liggen, en de 7 Aaf ) perspectiviteitsstralen. De genoemde conf. bevat n volkomene (» + 1)-hoeken, dus (a + I)n?(n — 1) conf. driehoeken, die geen der perspectiviteits-centra bevatten. Door discussie der congruentie 27 == + 1 (mod. 2x + 1) 1° GE) komt schrijver tot het aantal (2 + 1)-hoeken, waaruit eene ni kan worden samengesteld, en wel voor n == 2 tot n == 12, met de daarbij behoorende kleinste waarde van z. Voor deze « bevat 772,1 een aantal 2 n!: 2 r conf. (2n + 1)r3, welke ieder uit e# (2x + 1)-hoeken zijn samengesteld. Voor n = 3 komt elk punt der 213 in twee conf. driehoeken voor; voor n >3 bestaan er geen conf. driehoeken. Zulke conf. zonder conf. driehoeken zijn de id | En id ea) 6 (p °/3 En Thans gaat schrijver over tot eene afzonderlijke behan- deling der volledige vierzijde 774, en voert een punt &l/i in, dat op eene lijn (kl met de punten {k, il en kl harmo- nisch gelegen is. Hij vindt dan, dat de zes punten ik en de twaalf punten {k/l met de zes lijnen lij, klji, kl/j en de twaalf lijnen (%j, tk/l, jk/l) eene 183 samenstellen, waar- voor de zijden {kl der vierzijde zespuntige diagonalen zijn. Deze 183 bevat vier configuratiedriehoeken, en vijf hoofd-zes- zijden: neemt men van deze laatste ééne weg, dan ontstaat de conf. (183, 123). De lijnen der 183 komen drie aan drie in twaalf punten samen: worden deze twaalf nieuwe pun- ten aan de figuur toegevoegd, dan ontstaat er eene conf. (303, 185); en worden hierin de punten ik weggelaten, dan komt er eene conf. (243, 184). Eene andere 183 ontstaat er uit de zes punten ik der Uy, en de twaalf punten (kl, met de zes lijnen (47, kl/s, kllj) en de twaalf lijnen (@j, dhl, jk}l). Deze 183 verschilt van de vorige alleen door het ontbreken der zespuntige diagonalen. De evenvermelde conf. (243, 18,4) is het zamen- stel van de beide (1235, 183), welke door afzondering van de punten #£ uit de beide (183) ontstaat. Zij heeft acht conf. driehoeken, namelijk de beide stellen, die door schrij- ver 4, B, C, D en A°, B, C', D' worden genoemd, en verschilt dus in zamenstelling van de harmonische conf. (243, 184), welke 24 conf. driehoeken bevat. NE NE 8 an (5) Deze beide 183 hebben de conf. lijnen en de zes conf. punten 4%, dus eene hoofd-zes-zijde gemeen; te samen vor- men zij de vermelde (303, 185). Elk punt 4% ligt met de punten lil en kl, en evenzeer met de punten mm en m kam op eene rechte lijn; deze twaalf nieuwe lijnen vormen, met de zes punten {ken de twaalf punten ll, eene conf. (183, 123) met vier conf. driehoeken, die schrijver A", B’, C', D' noemt. Worden deze twaalf lijnen aan de tweede der beide zoo even beschouwde conf. 183 toegevoegd, dan ontstaat er eene conf. (185, 303). De punten 4k en iki bepalen met de lijnen {kli die de punten dk, lil, LAl bevat, en ik/lm, dat is (@k, lm/i, lm/k), eene 183 met vier conf. driehoeken, en die gelijksoortig is met de laatstgenoemde 183. Te samen behooren deze beide 183 tot eene conf. (185, 303), waaruit men, de hoofd-zes-zijde met de lijnen {kylm afzonderende, eene conf. (18,, 243) vormen kan. De twaalf punten 7j/k, welke elk punt der 7, harmonisch scheiden van de beide paren punten, waarmede het colli- neair ligt, bepalen achttien lijnen, die zes aan zes door de drie diagonaalpunten der zr, gaan. Deze achttien lijnen kun- nen gerangschikt worden in drie zestallen, dat elk de twaalf punten j/k bevat, en waarvan er een de hoofd-zes-zijde vormt, die de drie straks gevonden conf. 183 gemeen heb- ben. Evenzeer worden de twaalf punten ikk paarswijze ver- bonden door achttien lijnen, die zes aan zes door de dia- gonaalpunten der 7, gaan, en waarvan er weder zes tot de genoemde hoofd-zes-zijde behooren. De driehoeken A, B, C, D, en evenzeer de stellen drie- hoeken A’, B, C', D' en 4", B", C*‚, D", liggen paars- gewijze perspectief ten opzichte van een der diagonaalpun- ten van de 77, en van een der punten 4%. De driehoeken A, A' en A", en evenzeer de stellen driehoeken B, B', B", C,C', CC”, D,D', D”, hebben één der zijden van de zr, tot collineatie-as; en daaruit volgt nog : wanneer drie driehoeken a, bj ej, agbzeg, agbzeg zoodanig in een driestraal A B C beschreven zijn, dat de zijden A}, Âg, Âz in een punt a,de zijden B, Bz, Bz in een punt b, en de zijden C, C5, Cz in een punt c samenkomen; dan vormen de twaalf punten en (6) twaalf lijnen eene conf. 183; de punten a, b, c komen elk in zes, de overige punten elk in vijf conf. driehoeken voor. De 1; bevat vijf volledige vierzijder: hare vijftien dia- gonaalpunten liggen twee aan twee in dertig lijnen 7j/kl, die drie aan drie in de punten der zr; samenkomen en vier aan vier door die diagonaalpunten gaan. Wanneer men de punten eener 75; harmonisch scheidt van de met hen col- lineair gelegen conf. punten, verkrijgt men dertig punten; voegt men daarbij de vijftien diagonaalpunten der 7r4, die in 7 begrepen zijn, dan vormen deze met zestig niet tot 7; behoorende lijnen eene conf. (454, 603); zij heeft tot driepuntige diagonalen, die ieder door een punt der zz; gaan, de dertig lijnen van vijftien hoofd-zes-zijden, behoorende bij vijf conf. 183: worden deze dertig lijnen in de conf. opge- nomen, dan ontstaat er eene nieuwe conf. (45,, 903). In de eerste conf‚ vormen de 45 punten vijftien onderling gelijk- waardige drietallen. Dezelfde eigenschap bestaat ook bij de eonf. (454, 603), gevormd door de 45 nevenhoekpunten van een in eene kegelsnede beschreven zeshoek en de zestig Pas- callijnen ; deze conf. bevat vijftien zespuntige diagonalen, de vorige conf. (454, 603) daarentegen dertig driepuntige. Bij deze Pascalconf. kan men nu de 45 diagonaalpunten van de vijftien in haar begrepen 774, en de 180 punten A opnemen, die de conf‚ punten harmonisch scheiden van de met hen collineair gelegen paren van punten: er ontstaat dan, door toevoeging van 360 lijnen, de eonf. (270,4, 3603): deze heeft zestig zespuntige diagonalen en negentig vierpuntige diago- nalen. Ook nog op andere wijze kan men eene conf. (270,, 3603) van dezelfde soort verkrijgen. Langs denzelfden weg kan men nog meer samengestelde conf. uit het vroeger gevondene afleiden. Wanneer men ten slotte dezelfde behandelingswijzen op de 774 toepast, verkrijgen wij het volgende. —2 fi ; } lijnen, die elk twee punten ik/l of twee diagonaalpunten bevatten; door elk punt ik/l gaan 4 (n — 3) lijnen, die ieder een punt 4k of een diagonaalpunt en bovendien steeds een tweede punt 4 k/l Door elk punt jk gaan 3 ier ennn ae ie, bevatten; door elk diagonaalpunt gaan acht lijnen, die elk een tweede diagonaalpunt met een punt ik, of wel twee punten #%/l bevatten. Men kan daaruit geen conf. samen- stellen. En ten slotte: behoort in eene conf. (p,, 2q3) elke lijn tot twee vierzijden, dan vormen de 3g diagonaalpunten van de g in haar begrepen vierzijden, — de 6g punten A, — en 12g nieuwe lijnen een conf. (9q4, 12q3) ; deze heeft 3g vierzijden, waarbij elk conf. punt tot twee, elke conf. lijn tot één dezer vierzijden behoort; de 9g punten dezer nieuwe conf.‚ hare 36g punten Ah,en de 9g diagonaalpunten vor- men met 72g nieuwe lijnen eene conf. (54g4, 72q3). Daar deze verhandeling en wegens de merkwaardigheid der uitkomsten, en wegens de behandeling de opname in uwe werken ten volle verdient, aarzelen wij geenszins u daartoe aan te raden. Leiden en Hilversum, November 1888. D. BIERENS DE HAAN, F. J. VAN DEN BERG. OVER VLAKKE POLYEDRALE CONFIGURATIES. DOOR J.. DE VRIES. / / 1e De A) snijpunten der ribben en de 5) doorsneden der vlakken van een volledigen ruimte-n-hoek met een willekeurig vlak vormen eene regelmatige configuratie (5) : Wi |», | AN ss AS Xs welke door June f) onderzocht en met den naam van »po- lyedrale” configuratie bestempeld is. Worden de hoekpun- ten van den ruimte-n-hoek door de getallen 1 tot», zijne ribben en vlakken achtereenvolgens door de combinaties der tweede en derde klasse dezer getallen aangeduid, dan ligt et voor de hand, deze notatie der ribben en vlakken ook te bezigen voor hunne doorgangea, dus voor de punten en 5 n n\ Re lijnen der 5) ' 5 | ): dan bevat de lijn (kl dezer cf. n—?2 3 de punten 7k, kl, il, terwijl het ef.-punt jk alle cf‚-lijnen draagt, waarvan de notatie de getallen { en £ met een der overige (n — 2) bevat. Elk punt dezer cf.‚ welke ik door *) De in dit opstel gebezigde terminologie is besproken in „Over vlakke configuraties” (Versl. en Meded. 3de reeks, deel V, bl. 105) en „Ueber ge- wisse ebene Configurationen” (Acta Mathematica 12). tf) Sopra una classe di configurazioni d'indice 3. (Rendiconti di R. Ist. Lombardo, Ser. 2, tomo XVIII). te Vaere behe dln enn ne nen er (9) ‚het teeken z„ zal voorstellen *), komt voor in 2 gs! elke lijn in 3 (n—3) ef.-driehoeken; 7r„ heeft dus 4 ú) 4 driehoeken. De restfiguur van het punt 12 bestaat uit de punten jk (2=3 tot n, k=4 tot n) en de lijnen 4 kl (£=3 tot n, A= 4 tot n, l= 5 tot n); zij is dus eene TIn—2. Hare lijnen zijn de collineatieassen der paren van driehoeken (li, 1, 14) en (2%, 2k, 2), waarvoor 12 het collineatiecentrum is: de polyedrale configuraties behooren dus tot de groep (” Vadis gh le Ji dal \ welke n ze nl / | door KANtor f) is opgemerkt. » Eene 7, is door twee perspectief gelegen (n—2) — hoe- ken volkomen bepaald.” In mijn opstel »Ueber gewisse ebene Configurationen’”’ heb ik aangetoond $), dat eene 77 op tien wijzen kan be- schouwd worden als het samenstel van twee drietallen van volledige vierzijden 774, die zoodanig geplaatst zijn, dat de 1, van elk drietal drie collineaire toppen gemeen hebben, terwijl hunne overige negen hoekpunten tot beide drietallen bebooren. De lijnen {kl en jm n, welke ieder de gemeen- schappelijke zijde van een dier drietallen zijn, heb ik »ge- associeerde’"’ lijnen genoemd; wordt een van hen als gemeenschappelijke collineatieas van drie cf. driehoeken be- schouwd, dan draagt de andere de overeenkomstige colline- atiecentra; 7rg is dus door een drietal vierzijden bepaald. In zr, behoort elke lijn tot (n—3) volledige vierzijden, dus tot Ges ef. 716; de Ee ‚ in ieder van deze 774 met de beschouwde lijn geassocieerde, lijnen vormen eene An—3, die voor de lijn 123 uit de punten dk (é = 4 tot n, %) Hier beteekent # dus eene vaste benaming in tegenstelling met de in den aanhef van het opstel in de deta Mathematica voorkomende no- tatie pr. t) Veber eine Gattung von Configurationen (Sitz. Wiener Akad. Bd. 80). $) Acta Math. 12. bl, 70 (10) k = 5totn) en de lijnen {kl (4 = 4totn, k = 5 tot n, l == 6 tot n) is samengesteld. » Eene 7r, is volkomen bepaald door (n—8) volledige vier- zijden, welke drie collineaire toppen gemeen hebben”. De (n—1l) punten 14 (#—=2tot xn) vormen met de en lijnen 14k(t=—=2 tot n, k=3 tot n) eenen volledigen (n—l) — hoek, waarvan elke zijde een punt der 77,1 bevat, welke door afscheiding van den (n—l)—hoek uit 7z, ontstaat ; deze split- sing der zr, in eene sr—1i en eene (e—D-r fs 1 | 2 kan blijkbaar op » verschillende wijzen uitgevoerd worden *). 2. Daar de punten ? k en lm niet door eene lijn der ef. zv» verbonden zijn, bezit elke polyedrale cf. zr2„ van even orde groepen van m onderling gescheiden punten. Elk paar punten van zulk eene groep vormt een paar overstaande toppen eener in de cf. begrepen 774; immers ik en lm be- hooren tot de volledige vierzijde, welke uit den ruimtevier- hoek {klm voortkomt. De 5) ef. 774, waartoe elke groep van m onderling gescheiden punten aanleiding geeft, hebben blijkbaar geene zijde gemeen; wordt zulk een »nevenveel- hoek” f) met de zijden der overeenkomstige vierzijden afge- zonderd, dan verliezen de overblijvende punten der sam ieder twee van de door hen gedragen cf. lijnen, vormen dus met de overblijvende lijnen eene nieuwe cf. Worden b.v. van 73 == (286, 563) de vier punten 12, 84, 56, 78 benevens de 24 lijnen *) Voor ws; (de cf. van Drsarauers) werd dit reeds door KANTOR op- gemerkt. („Die Conf, (3,3),0” Wiener Sitz. Bd. 84). 1) Deze benaming voor eene groep van gescheiden cf. punten, welke samen slechts met een gedeelte der cf. lijnen incident zijn, bezig ik in navolging van MARTINETTI, die in zijne verhandeling „Sopra alcune con- figurazioni piane” (Ann. di Mat. Ser. Ia, tomo XIV) groepen van ge- scheiden cf. lijnen door de uitdrukkingen w-latero principale en n-latero non principale onderscheidt, naar gelang de lijnen van zulk eene groep samen alle cf. punten of slechts een deel van hen dragen. nde: Dn dns tn ras, 125 | 127 | 345 | 347 1567 124 | 126 | 128 | 346 | 348 | 568 1834 | 156 | 178 | 856 | 378 | 578 234 | 256 | 278 | 456 | 478 | 678 afgezonderd, dan vormen de overige 24 punten met de overige 32 lijnen eene (244, 923). In deze nieuwe cf. behoort het punt 13 tot de vierzijden 1357, 1358, 1367 en 1368 *), terwijl de lijn 135 de gemeenschappeliijjke zijde van 1857 en 18358 is. In eene 7r2„ behoort elk punt van eenen neven-m-hoek tot (m—l) volledige vierzijden; elk der overige ( Hi — m 4 5) punten is incident met (2m — 4) van de fe Al; es 8 5) niet tot die vierzijden behoorende lijnen der en Wordt de neven-m-hoek 12, 34, 56,....,(2m— 1) 2m met de door zijne punten gedragen cf. lijnen uit sram ver- wijderd, dan komt het punt 13 in de nieuwe ef. voor in de a — 4 2 k en / de getallen > 4 voorstellen, voor zoover zij geen tot den neven-m-hoek behoorende combinatie vormen. De — | — (m—2)=4 ia | vierzijden 13%!, waar nieuwe ef. bezit dus 16 1) vierzijden, en elke harer lijnen komt in 2 (m— 3) dezer 774 voor. Het aantal verschillende neven-m-hoeken der sro is blijk- baar gelijk aan het aantal wijzen, waarop men 2 m elementen in m paren kan verdeelen. >Elke zrem kan op (2m)!: (2”.m!) verschillende wij- »zen beschouwd worden als het samenstel van eene %) Door het teeken #4/m duid ik de vierzijde aan, die door de lijnen é kl, km, è lem, klm wordt begrensd. (12) / | > E el in, 8 ey ‚ met eene groep van ge volledige » vierzijden”’. 8. In eene zr, Is de lijn jk van elke lijn {lm en van elke lijn lmn gescheiden; 77, bezit dus geene gescheiden lijnen, zr; heeft paren van gescheiden lijnen, b. v. 123, 145; bij 7, komen viertallen van zulke lijnen voor, b. v. 123, 145, 256, 346, welke samen twaalf ef. punten dragen, terwijl de overige drie (in dit geval 16, 24,35) gescheiden liggen. Eerst bij zr, doet zich het geval voor, dat eene uit onderling gescheiden lijnen bestaande groep alle punten der cf. bevat, zoodat hare afscheiding tot eene nieuwe cf. leidt; zulk eene uit m onderling gescheiden lijnen samen- gestelde groep noem ik, wederom in navolging van Marrr- NETTL (Ì. ce.) eene ‚„hoofd-m-zijde.” De (215, 353), welke door het teeken 77, wordt aange- duid bevat o. m. de volgende hoofdzevenzijde: 123, 145, 167, 246, 257, 347, 8356 .. .. (a). Worden deze zeven lijnen uit de 77; verwijderd, dan ont- staat eene regelmatige (21,, 283), waarin elk punt tot acht, elke lijn tot zes cf. driehoeken behoort, of, zooals ik ter bekorting zal zeggen: eene cf. met » oktotrigonische”’ punten en met »hexatrigonische” lijnen. In zy komt elke lijn {kl voor in zes hoofdzevenzijden, die door onderlinge permutatie der getallen 7, k, lin elkander overgaan; bij gevolg bevat zr, dertig zoodanige groepen. Van de zes hoofdzevenzijden, waartoe de lijn 124 behoort, hebben alleen de beide volgende geene lijn met de groep (a) gemeen. 124, 136, 157, 237, 256, 345, 467 . . . . (b) 124, 137, 156, 235, 267, 346, 457... . (c). Wordt eene dezer beide groepen tegelijk met (a) wegge- laten, dan vormen de overige 2i lijnen der 7, met hare 21 punten eene regelmatige 213, waarop ik in $ 7 zal terug- komen. Elke hoofdzevenzijde kan op deze wijze met acht (18) andere samengesteld worden tot acht verschillende (215, 143); immers elke der 28 lijnen, die niet in eene bepaalde hoofd- zevenzijde voorkomen, geeft aanleiding tot twee paren van groepen, die geen lijn gemeen hebben; daar op deze wijze elk paar zeven maal in rekening wordt gebracht, bedraagt ket aantal paren 28 Xx 2:7 == 8. De 30 verschillende hoofd- zevenzijden leveren derhalve 30 x 8:2 == 120 cf. (215, 143), dus evenzoovele cf. 213. 4, Eene sr, zal slechts dan hoofdveelzijden bezitten, wan- neer het aantal cf. punten 5) door 8 deelbaar, dus „ van den vorm 3m of (Bm + |) is. In de tabel voor de en) lijnen eener gescheiden groep komen verder alle getallen van 1 tot „, wegens de regelmatigheid van 7r,, even vaak voors; 27 (n— 1) moet dus door n deelbaar der- halve (n—l) even zijn, d. w. z. n==l of n==3 (mod. 6). Beschouwt men in de bedoelde tabel elk getal als de notatie van een punt, dan stelt zij tevens eene regelmatige \ : 1 r… De” (n— Da) voor, waarin alle punten met elkan- der verbonden zijn; laat men dus een punt en de daar- mede incidente lijnen uit deze cf. weg, dan ontstaat eene 5 | 1 eD 5 ede) met 5 (n—l) paren van onderling gescheiden punten. Wordt van de laatste cf. zulk een paar punten met de door hen gedragen lijnen afgezon- derd, dan verliest elk der overblijvende punten twee lijnen, l en er ontstaat eene es 1e (n—d) (07) )s waar 1(n—1) in elk pint met (n—?7) punten verbonden, dus van 3 punten gescheiden is; deze 3 punten zullen in het algemeen niet onderling gescheiden zijn, omdat de punten der uit den aard der zaak regelmatige cf. dan in viertallen konden gerangschikt worden, hetgeen alleen voor n == 3 (mod. 4) mogelijk is. Door deze beschouwing wordt de bepaling (4) der tabel voor eene hoofdveelzijde in elk geval teruggebracht 1 tot de bepaling der notatie voor eene cf., die on (n—l) — (Sn—7) lijnen minder telt dan de Do 1 3 Eet ee hoofd veelzijde. »Hene 7, kan, als n= bm tl of n= 6m +8 is, 1 „hoofdveelzijden bezitten, die uit rk (n— 1) lijnen zijn samen- „gesteld. De afscheiding van zulk eene hoofdveelzijde levert / n 1 neene regelmatige (5) ‚ = n (n—l) e=)” n—=ò 6 5. De tabel voor eene hoofdtwaalfzijde der 7, kan door de in $4 uiteengezette handelwijze uit de notatie der reeds door Mörrus *) opgemerkte, onbestaanbare, 83 gevonden worden. Stellen de cijfers 1 tot 8 de punten dezer 83 voor, dan zijn hare linen aangewezen door de volgende groepen van 8 cijfers f). 123 | 478 Ker er a 1 167 | 258 246 | 357 Door toevoeging van vier lijnen, die elk een paar ge- scheiden punten der 83 vereenigen en dooreen punt 9 gaan, volgt nu uit (LI) de tabel (UI) der, evenzeer onbestaanbare, (94, 123); zij is de bekende cf. der buigpunten eener kromme der derde orde (Hesse). %) Gesammelte Werke Bd. 1, S. 445. (Vgl. Scurörer wUeber lineare Konstructionen,” Göttinger Nachrichten n°. 9, 1888). }) Zie Scurörer lc. of MARTINETTI „Sulle conf. piane pz (duz. di Mat. Ser. Illa, tomo XV, pag. 4). (15) 128 478 569 145 279 868 167 258 949 189 246 957 De lijnen dezer tot 779 behoorende hoofdtwaalfzijde zijn in tabel (III) zoo gerangschikt, dat elke horizontale rij alle cijfers van 1 tot 9 bevat. Door onderlinge permutatie van 4, 7, 8 en van 5, 6, 9 ontstaat uit (III) eene groep van 6% hoofd- twaalfzijden, die de nevendriezijde 123, 478, 569 gemeen hebben. Daar verder 4, 5, 6, 7, 8, 9 op 10 wijzen tot twee drietallen kunnen gerangschikt worden, komt de lijn 9 123, dus elke der 5) — 84 lijnen van 79, in 63 XxX 10 = 2160 hoofdtwaalfzijden voor; zr bezit derhalve 2160 x 84: 12 — 15120 hoofdtwaalfzijden, die ieder aanleiding geven tot eene regelmatige (366, 723). Door het weglaten van eene tweede, van de bovenstaande onathankelijke, hoofdtwaalfzijde ontstaat uit de (36,, 723) eene (865, 603). De mogelijkheid van zulk eene afscheiding blijkt o. a. uit tabel (IV), welke met (III) geene lijn gemeen heeft. 124 979 568 186 289 457 178 235 469 159 267 348 De regelmatige (136, 263), welke door de tabel eener hoofdveelzijde der 7773 wordt voorgesteld, hangt, volgens de algemeene beschouwing, af van eene 103 met drie onderling onafhankelijke groepen, die elk 5 paren van gescheiden pun- ten bevatten. Uit de tabellen, die door MarrtiNerrr voor de beide regel- matige 103 zijn opgesteld *), volgt gemakkelijk, dat alleen *) ta. p. bl. 17. De overige acht cf. 10, zijn onregelmatig, (16 ) de door Kanrtor 103 A genoemde cf. hier in aanmerking kan komen; zij bezit de volgende vijftallen van gescheiden puntenparen : 18 19 1(10) 25 2(10) | 27 37 55 BO Ten NA (V) A(10) | 47 49 69 68 58 Onderstelt men, dat de lijnen, welke de eerste vijf paren verbinden, in een punt (11), de lijnen door de paren der tweede groep in een punt (12) samenkonien, dan ontstaat door toevoeging dezer 10 lijnen aan de 103 eene ‚12;, 203) met zes gescheiden paren van punten, nl. de vijf paren der derde groep van (V) benevens het paar (11) (12). Uit deze cf. volgt dan de gewenschte (136, 263) door de genoemde zes paren collineair te onderstellen met een punt (18). Hierdoor verkrijgt men de volgende hoofdzes- entwintigzijde der 773. GRSRSDAESEE 2 {3 alal6|s8|oiola4ls|7 {8 io 8 |5|7 10 12 13 | 6 |t1 |i3 |9 12 [8 j12 RE 818181 Afd le ssl SBN 6179 7e Jee age en 13 11-10 (12-415 |E 110 jp 9:13 A2 TLE KOTS ) ] Ì Bij het bepalen eener hoofdvijf-en-dertigzijde der 717; kan gebruik gemaakt worden van de tabel der (124, 163’ 4, welke in mijn opstel »>Over vlakke configuraties” *) voorkomt. Worden de vier gescheiden kwadrupels dezer ef. door de getallen 1,2,3,4; 5,6, 7,8; 9, 10,11, 12 aangeduid, dan gaat de bedoelde tabel over in: %) t. a. p. bl. 107, tabel (B). (17 ) 1 1 1 22223333 4 4 4 4 5) 6| 7 8 5, 6| 7 8| 51 6 71 8| 5} 6f 7, 8. . (VII) 9101111210) 91211112) 910121 110 N De 18 paren van gescheiden punten dezer cf. kunnen tot de volgende 3 onderling onaf hankelijke zestallen gebracht worden Wesen Gl 7. el 9,10 11-12 56e) odt 10, 12! |. (VID) Bol Bel 6, 7} 9, 121 10, t1 Wordt tabel (VII) aangevuld met de lijnen ESES KAKN ON BEEN ENKSKEN Bard he pe ftoopna lj s)4j7|e julie |. (AX) 13 13 [13 [13 18 [13 14 [14 [14 [14 [14 (14 | dan ontstaat de notatie eener (14, 283) met 7 gescheiden paren van punten, nl. het derde zestal van (VIII) benevens het paar 13, 14. Hieruit volgt dan de tabel eener (157, 393), tevens die eener hoofdvijfendertigzijde der 77}, door toevoe- ging van de lijnen BIT 12 LEN 0 In de genoemde (157, 353) heeft elke lijn tot restfiguur eene (12,, 163) A: elke der acht hoofdvierzijden dezer cf. vormt dus met de bedoelde lijn eene hoofdvijfzijde der(15,, 353). Met het oog hierop zijn de 35 lijnen der gevonden hoofd- veelzijde van 77; gerangschikt in de volgende 7 groepen, die elk alle getallen van 1 tot 15 bevatten. VEESL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de zreEKs. DEEL VI, 2 (18) 12(13)| 35 (11)| 489 100505) 67 (15) gd A 13(14)| 269 [47(10)| 58(15) a A2) 13) | 14 (15)| 25 (10) [36 (12)| 78 (13) 9 (11) (14) 159 |27(12)|38(10)| 46(11) |(13) (14) (15).(XI) 16 (10)| 28 (11)|34(13)| 57(14) | 9 (12)(15) mmm mmm ‘mn | gn, 17 (11) (23 (15) 45 (12)| 68(14) | 9 (10)(13) 18 (12) | 24 (14) 56 (13) [(10) (11) (15) 6. In eene zr; bestaat de restfiguur der lijn 123 uit 22 lijnen en 18 punten; worden daaruit de lijnen 456, 457, 467 en 567 weggelaten, dan ontstaat eene cf. 183 met de lijnen: 145 | 146 | 147 | 156 | 157 | 167 245 | 246 | 247 | 256 | 257 \ 267 |... (XII) 345 | 846 | 347 | 356 | 357 | 367 Zij bestaat uit vier drietallen van punten 14, 24 3%, (2 = 4, 5, 6, 7), die paarsgewijze perspectief liggen to. v. zes punten {k (@ —= 4 tot 7, k == 5 tot 7), en de achttien perspectiviteitsstralen. Tot deze ef. behooren drie volledige vierhoeken met de toppen 24, 45,16,77 (4 = 1, 2, 8 , dus 12 cf. driehoeken; de zes perspectiviteitscentra komen in geen dier driehoeken voor, de overige twaalf punten elk in drie driehoeken. »Na afzondering van eene der in 772, ‚1 begrepen 7 en l » van 4 k je | niet tot deze 77, behoorende lijnen ontstaat 4 Kl (19) 4 1 1 »eene Ee id | ‚n ä ge | ) bestaande uit (n + 1) »>groepen van „» punten 1% 2% 3% .... ni @ =n+l ap In + 1 | 5 | punten ck = rn 1 vlot Wn + 1, k = n + 2 tot 2 n + 1) ten opzichte »waarvan die groepen paarsgewijze perspectief liggen, en de 1 ne > pl | perspectiviteitsstralen. De nieuwe cf. bevat 7 1 volledige (n + 1) hoeken, dus » ie | driehoeken; geen »der perspectiviteitscentra behoort tot zulk een driehoek, ter- KA »wijl elk der overige punten in lo | driehoeken voorkomt”. Eene met de bovengevonden 183 gelijksoortige cf. kan aldus geconstrueerd worden: In een door de lijnen ORTE 7 ge- vormden vierstraal beschrijft men twee vierhoeken met de hoekpunten (14, 15, 16, 17) en (24, 25, 26, 27), bepaalt de snijpunten 4 k der homologe zijden (1%, 1%) en (2%, 24) en brengt door deze zes punten de zijden van een derden vierhoek, waarvan de hoekpunten 34, 35, 36, 37 achter- eenvolgens op 4,5,6,7 liggen. Deze 18; onderscheidt zich van de uit 77, afgeleide cf. enkel door het bezit van de vier naar een punt convergeerende driepuntige diagonalen 4, 5,6, 7. Op dergelijke wijze kan eene cf. gevonden worden, die van de boven vermelde [8 ú 4 ú ; (” ià alleen door 2 n 2 5) het voorkomen van (n + 1) door een punt gedragen n-pun- tige diagonalen verschilt. 7. De ef. 775, welke door twee homologe driehoeken met hun centrum en as gevormd wordt, kan op zes ver- schillende wijzen beschouwd worden als het samenstel van twee in elkander beschreven vijfhoeken *). De toppen de beide vijfhoeken kunnen b. v. zijn: *) Volgens ScHRötER (t. a. p.) reeds door CAYLEY opgemerkt. (CRELLE XXXI, bla. 215). E (20 ) 12, 28,34, 45, Bli. Ate (1) 13/:85,/58) DA, Al zarvte e NN (2) __Beschouwt men hier 123 als eerste, 234 als tweede zijde van vijfhoek (1), 185 als eerste, 352 als tweede zijde van 2), dan ligt het {le hoekpunt van (2) blijkbaar op de (24 — 1jste zijde van (1), het dde hoekpunt van (1) daarentegen op de (1 — 2de zijde van (2), mits men zorg drage, de door dezen regel gevonden getallen door hunne positieve resten mod. ‚9 te vervangen *). Bij 77 vormen de 21 cf. punten met 21 bepaalde cf. lijnen eene uit 3 zevenhoeken samengestelde cf.‚ die door Scnrörer }) is aangewezen. Voor de toppen dezer zeven- hoeken kan men b. v. de volgende cf. punten nemen: (a) 12, 23, 34, 45, 56, 67, 71; | (5) 18,-35, 57, 72, 24, 46, 61; nr (KU () A5, 52,26, 68, BL VA NA. Hier ligt het le hoekpunt van (b) op de (2 {— I)ste zijde van (a), het de hoekpunt van (c) op de (24—l1)ste zijde van (b), het de hoekpunt van (a) op de (24—1)ste zijde van (c\‚ met dien verstande, dat de door dezen regel be- paalde getallen door hunne positieve resten mod. 7 worden vervangen; de wijze van samenstelling dezer 213 komt dus niet geheel overeen met die der boven beschouwde 103 $). Elke willekeurige volgorde der cijfers 1 tot 7 kan voor (a) worden aangenomen ; men vindt dan de voor (6) in acht te nemen volgorde door, uitgaande van het eerste getal, telkens één over te slaan, die voor (c) door evenzoo te han- *) Ook de bovenvermelde ef. 10, A is het samenstel van 2 in elkander beschreven vijfhoeken; de plaatsing is evenwel anders. }) Veber das Fünfflach und Sechsflach, Crerue C. bl. 237, noot. $) Scnönrries heeft aangetoond, dat er twee soorten van regelmatige cf. bestaan, welke uit eene reeks van in elkander beschreven veelhoeken zijn samengesteld. Deze 21, behoort tot de eerste, gene 10, tot de tweede soort. (Math. Ann. XXXI bl. 61). (21) delen ten opzichte van (b); past men hetzelfde toe op de getallen, waaruit (c) dan is samengesteld, zoo komt de oorspronkelijke volgorde weder te voorschijn, terwijl bij 773 de cijfers der eerste reeks in tegengestelde orde terugkomen. De 77 bevat blijkbaar 7!: (7 X 2 X 3) == 120 verschil- lende 213, overeenkomende met de 120 boven aangewezen (219, 143), die elk eene 213 tot 77} aanvullen. _ BIJ 79 wordt eene 273 gevormd door de volgende negen- hoeken. (a) 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 19; (b) 13, 35, 57, 79, 29, 24, 46, 68, 18;...(XIV) kel 15:59, 49, 48, 38, 37, 27,-26, 16. Hier ligt het #de hoekpunt van (b) resp. (c) op de (2% — 1ste zijde van (a) resp. (b), maar, in tegenstelling met de 213 bij zz, het ce hoekpunt van (a) op de (1 — 2 ide zijde van (c). 8. Voor elk oneven aantal getallen der natuurlijke rij kunnen de volgende reeksen opgeschreven worden, waar alle getallen grooter dan (22 + 1) door hunne positieve resten mod. (2x + 1) moeten vervangen worden. Be Dern +1; ME ll 2 (2): ld 4 (On): \... EV) MBE 2 1 4 220 (LH 220), . (1 4 22n). Nu is, volgens eene bekende eigenschap der getallen, Ee Ts Oi(mod,-2n 1), waar r (An +1) de door Sylvester ingevoerde notatie is voor het „totient,” d. i. het aantal getallen kleiner dan en onderling ondeelbaar met (2n + 1). Bijgevolg is girl) SS tof=z=—l (mod. 2n 41). In de congruentie 2" = lof = — | (mod. 2n + 1)isz dus, met het oog op de maximumwaarde (22) 2n van T (2n +1), hoogstens gelijk aan », maar kan natuurlijk ook een deeler van » zijn. Voor de kleinste waarde van #, die, wanneer aan 2° == — 1 niet kan vol- daan worden, 2” == 1 maakt,is 1 + 2° == 3, zoodat de laatste der opgeschreven reeksen geheel met de eerste over- eenkomt, Dan zijn 12, 23, 34, . . (2n)(2n +1), (2n +1) 1; 13, 35, 57, . . (Qn — 2) (2n), (2n) 1; 15, 59, 9 (13), ..(2n — 6) (2n — 2), (2n —2) 1; \... (XVI) \ 1(n + 2), (7 + 2) 2,..(2n + 1) (n + 1), (n + IJ he / de hoekpunten van # tot eene ef. (2n + 1) zg vereenigde (2n + 1) hoeken in zoodanige ligging, dat het de hoek- punt van den Aden veelhoek op de (2% 1)ste zijde van den (k—l)sten veelhoek is geplaatst. Het aantal cf. van deze soort, begrepen in eene 72, +1, bedraagt blijkbaar (2n 41)! : 2r(2n +1). Kan aan de congruentie 2° == — 1 voldaan worden, dan is voor de kleinste waarde van den exponent 1 4- 2° =2n +1 (mod. 2n + 1), zoodat de laatste reeks van getallen met de reeks 1, 2n + 1, An, 2n —1,..... 3,2 overeenkomt. In dit geval zijn SP EA OORD We en Le 1835 CN AN a …… (XVII) 1(n + 1I),(n +1) (2n +1), . . (rn +2)1; de punten van eene in 72,1 begrepen (2n + 1)23, die van de boven gevonden cf. alleen daarin verschilt, dat de eerste (2x + 1) hoek ten opzichte van den laatsten zoo is geplaatst, dat het 2d: hoekpunt op de (1 — 2z}de zijde ligt. De volgende tabel bevat de uitkomsten van het onderzoek naar de waarde van # voor de eerste tien oneven getallen > ò. DE" he meme (23 ) nz 2 E = 1 {8 zevenhoeken 213 Hol 2 S= 1 | 3 negenhoeken 273 | 2 Î == > elf hoeken 953 7013 | 2 ij =— 1 | 6 dertienhoeken 183 Tis | 2 ' = 1 {4 vjftienhoeken 603 717 2 '= —1l | 4 zeventienhoeken 683 | Kad Tio | 2 = 1 | 9 negentienhoeken 1713 Ta | 2 Ì = 1 {6 eenentwintighoeken | 1263 7198 2 = 1 [Il drieëntwintighoeken{ 2533 1025 2 =—l 10 vjjfentwintighoeken | 2503 9. In elke tot eene 7 ,,,;j behoorende (2n + I)zg is het punt 12 incident met de lijnen 123, 12(2n + 1) en 12 (n + 2). Van de 6 op die lijnen gelegen punten 13, 23, 1(2n +1), 2(2n +1), 1(n +2), 2(n + 2) kunnen alleen het eerste, derde en vijfde onderling verbonden zijn ; evenzoo het tweede, vierde en zesde dezer punten. Nu kun- nen ik en il alleen dan tot eene lijn der (27 + 1) 3 be- hooren, wanneer 4, k,l in eenige volgorde genomen en zoo noodig door getallen vervangen, die met hen == zijn mod. (2x + 1), eene rekenkundige reeks vormen. Het on- derzoek der verschillende hierbij mogelijke gevallen leert nu, dat voor 2n + 1 > 7 geene verbinding door cf. lijnen tusschen de genoemde zes punten bestaat, terwijl bij 77; de punten 1% evenals de punten 2% onderling verbonden zijn, en bij 77 25 met 27, 13 met 15 door eene cf. lijn is vereenigd. »Stelt rz de kleinste waarde voor, welke aan 2% == — Ì »(mod. 2n + 1), of, zoo dit niet mogelijk is, aan 2* == 1 »(mod. 2n + 1) voldoet, dan kan men uit eene sr3n +1 Op >(2 n)!: (2x) verschillende wijzen eene cf. (2n + 1) z3 »afleiden, welke uit # tot 7r2>„ +1 behoorende (2n + 1) hoe- »ken zoodanig is samengesteld, dat de 4de veelhoek in den (24) (hk — I)sten, de eerste in den laatsten is beschreven. ‘Naar »gelang 2° = 1 of == — 1 (mod. 2n +1) is (2n + 1) 23 neene cf. der eerste of tweede soort (Schoenflies). Met uit- „zondering van de ditrigonische 213 zijn deze ef. atrigonisch'’. Atrigonische configuraties, d. w. z. ef. zonder driehoeken, zijn het eerst beschouwd door Marrinerri *); hij toonde aan,dat eene (275, 453), eene 153, eene 173 en vier verschillende / 183 deze eigenschap bezitten. De bedoelde eigenaardigheid / heb ik ook opgemerkt bij eene (84, 2803), waarvan de | punten door de combinaties 3 aan 8 van de cijfers van 1, tot 9 kunnen voorgesteld worden, en elke lijn drie punten, bevat, die geen cijfer gemeen hebben; algemeen bij de ef. bid (3)! # | 2p—l / 6 p!)°, hs waarvan de punten door de combinaties p aan p van Sp | getallen worden aangewezen, en drie punten collineair zijn, als zij geen getal gemeen hebben; p — 2 geeft de cf. 153 van MARTINETTI, p == 9 de zooeven vermelde (84,0, 2803). 10. Wordt op de lijn #4! der volledige vierzijde 77, het door de punten tk en #!l van kl harmonisch geschei- den punt, door kl/# voorgesteld, dan gaat de lijn, welke klji en kllj verbindt, door het punt ú. Immers de harmo- nische groepen ik, il; kl, kilt en jk, jl; kl, kljj hebben het punt kl gemeen: de lijn (kl/i, klj) gaat dus door het snijpunt der lijnen ({k, jk) en (4l,jl). Om dezelfde reden komen in ij de lijnen (4 k/l, jk/l) en (clk, j UE) samen. „De 6 punten 7 k en de 12 punten #k/l vormen met de „6 lijnen ijlkl —= (ij,klfi, kllj) en de 12 lijnen ij/k = nij, dk[l,jk/l) eene 183, voor welke de zijden 44! der „vierzijde zespuntige diagonalen zijn”. %) Sopra alcune cf. piane. (Ann di Mat., Serie IIa, tomo XIV). Mar- TINErTI schijnt niet opgemerkt te hebben dat de restfiguur van elke lijn der bovengenoemde (27;, 453) eene abrigonische (244, 323) is. (25) De volgende tabel geeft de verdeeling der punten dezer 183 over hare lijnen. Er E Gp B L. He Tm nen eenen 12/34 [12{ 34/1! 34/2| 12/31 13/41 23/4} 23/1|23| 24/A| 31/4 13/24 13/ 24/1: 24/3} 12/4}12) 14/3 24/3| 23/4|23| 24/1 | 34/1 | 14/23 14) 23/1! 23/4| 13/2|13 12/4| 32/4) 24/1 24) 21/3| 41/3 23/14 [23| 14/2! 14/3| 13/4}13| 14/2| 34/2} 24/3|24) 23/1| 43/1 24/13 |2a) 13/2! 13/4} 14/2}14) 12/3) 42/3| 34/1|34) 31/2| 41/2 34/12134\ 12/3| 12/41 14/3|44\ 13/2 43/21 34/2|34) 32/1) 42/1 (XIX) Uit dit overzicht blijkt gemakkelijk, dat de cf. 5 hoofd- zeszijden en 5 hoofdvijfhoeken bevat; de afzondering van elk dezer zestallen van onderling gescheiden lijnen of punten geeft eene (18, 123) of eene (123, 183.) Deze hoofdzeszijden zijn: 12/34 || 12/34 | 12/34 13/24 \ 14/23 13/24 || 18/24 | 23/14 © 28/14 | 24/18 14/23 || 14/23 | 24/18 | 34/12 | 34/12 B | 2418 |I [BAN vp 23/14 || 28/1 | 13/2 | 123 | 12/4 24/18 | 24/1 | 14/2 | 14/3 | 13/4 34/12 || 34/1 | 342 | 24/3 | 23/4 De gevonden 183 bevat vier cf. driehoeken: IN Hoekpunten. Zijden. A || 23/1 | 24/1 | 34/1 || 34/2 | 23/4 | 24/3 B || 18/2 | 14/2 | 34/2 | 34/1 | 18/4 | 14/3 MEDD C || 12/3 | 14/3 | 24,3 || 24/1 | 12/4 | 14/2 D || 12/4 | 13/4 | 23/4 || 23/1 | 12/3 © 13/2 | (26) Geen der punten 4% behoort tot een cf. driehoek; de overige 12 punten komen elk in een driehoek voor. 11. De driehoeken A, B, C, D liggen twee aan twee per- spectief t.o.v. de punten #4. De hoekpunten van 4 en B zijn b.v. paarsgewijze met de lijnen 123, 124 en 12/34 incident; de snijpunten van 14/8 met 24/3 en van 13/4 met 23/4 zijn dus collineair met het snijpunt 34 van 34/1 en 34/2. Nu zijn 12, 834 en het snijpunt van 13/4 met 23/4, dat ik door 343 zal aanduiden, de nevenhoekpunten van een volledigen vierhoek, die tot toppen heeft 13, 23, 34/1, 34/2 en tot zijden 123, 12/34, 134, 234, 13/4 en 23/4; de verbindingslijn der nevenhoekpunten 84, 843 bepaalt dus op 123 het door 13 en 23 van 12 harmonisch gescbei- den punt 12/3. De collineatieas 34/12 van A en B bevat dus de 5 punten 34, 12/3, 12/4, 343, 344. Algemeen bevat elke der 6 lijnen új/kl het snijpunt ijt van vkjj met d lij en het snijpunt ijj van jk/i met j li. Hier volgen de 12 punten ij? en de drietallen van lijnen der 183, met welke zij eene (123, 183) vormen. EE LE Pe L. TT Tm pn 121 | 12/34 | 13/2 | 14/2 232 | 23/14 | 12/3 | 24/3 122 | 12/34 | 23/1 | 24/1 233 | 23/14 | 13/2 | 34/2 131 | 13/24 | 12/3 | 14/3 242 | 24/13 3/4 al den 5 | 0E Loca 133 | 13/24 | 23/1 | 34/1 24 | 24/13 | 14/2 | 34/2 141 | 14/23 | 12/4 | 13/4 343 | 34/12 | 13/4 | 23/4 144 1 14/23 | 24/1 | 34/1 344 1 34/12 \ 14/3 | 24/3 >De lijnen der harmonisch in 774 beschreven 183 komen »3 aan 8 in 12 punten samen. Worden deze 12 punten »>aan de configuratie toegevoegd, dan ontstaat eene (303, 185), »die na weglating van de punten dk overgaat in eene »(245, 184)” (27) Tabel der (303, 185). Punten. 34/2 24/3 23/4 14/3 13/4 12/4 rt (XT) 23/4 24/3 23/4 34/2 24/3 34/2 13/4 34/1 14/3 24/3 || 24 | 23/1 | 34/1 | 232 | 344 34/1 || 34 | 13/2 | 14/2 | 133 | 144 34/2 || 84 | 23/1 dak 233 | 244 Worden de 3de en 4de kolom uit deze tabel gelicht, dan ontstaat de notatie voor eene 183 met de 4 cf. driehoeken; (28) Hoekpunten. 132 1-133 | 144 1 23/1 rem Zajk 121 | 233 | 244 || 13/2 | 34/2 | 14/2 131 | 232 | 344 || 12/3 | 24/3 | 14/3 D' | 141 | 242 | 843 || 12/4 | 23/4 | 13/4 |.. (XXIV) „>De 6 punten 4% eener 7, en de 12 punten 7 k k vormen »met de 6 lijnen ij/kl en de 12 lijnen ij/k eene 183, welke »van de harmonisch in 7r4 beschreven 183 alleen door de „afwezigheid van zespuntige diagonalen verschilt”. De beide 183 hebben de ef. lijnen en de 6 cf. punten ik gemeen; samen vormen zij de bovengenoemde (303, 185), terwijl de daaruit afgeleide (243, 18,) het samenstel is van de beide (123, 189), welke door afzondering van de punten ik uit de beide 183 ontstaan. Daar geen der punten 4 tot een cf. driehoek eener 183 behoort, kunnen door hunne afscheiding geen driehoeken verloren gaan, en bevat de be- doelde (243, 184) acht ef. driehoeken, te weten 4, B, C, D; A', B, C', D', zoodat zij in samenstelling verschilt van de » harmonische" (243, 184), welke 24 cf. driehoeken bezit *). De beide 183 hebben de eerste hoofdzeszijde van tabel (XX) gemeen; worden deze 6 lijnen uit de bovengenoemde (303, 185) verwijderd, dan blijft eene (30, 12;), welke blijk- baar uit twee (185, 123) f) met de 6 gemeenschappelijke punten 74 bestaat. 12. De lijnen 123, 124; 134, 34/2; 14/23, 13/24 zijn drie paren overstaande zijden van een volledigen vierhoek met de hoekpunten 18, 14, 23/1, 24/1 en de nevenhoek- %) „Over vlakke configuraties” $ 6, of „Over de harm. cf. (243, 18,)” (Versl. en Med., 3e reeks, deel V, bl. 210). f) $ 10 van dit opstel. (29) punten 12, 34 en (14/23, 13/24); de lijn, die het laatste punt met 12 verbindt, ontmoet derhalve 134 in het punt 34/1, dat door 13 en 14 van 34 harmonisch is gescheiden: de lijnen 14/23, 13/24, 12/34 gaan dus door één punt, dat ik door 121314 zal aanduiden. De lijnen der aan de beide 183 gemeenschappelijke hoofdzeszijde (S 11) vormen derhalve een volledigen vierhoek met de hoekpunten 121314, 212324, 313234, 414245. Daar de lijnen 13/24 en 14/23 in 121314, 23/1 en 24/1 in 122, 12/3 en 12/4 in 12 samenkomen, en deze drie punten tot de lijn 12/34 behooren, liggen de driehoeken (131, 133, 13/4) en (141, 144, 14/3) perspectief en gaat de lijn 1341 =(181, 141) door het snijpunt 34 der lijnen 34/1 —=(183, 144) en 134== (18/4, 14/8). Elk punt ík ligt dus met de punten 4jj en kjj in eene rechte ji kj, en met de punten 7/l en £ll in eene rechte ikl. De 12 door deze beschouwing geleverde lijnen vormen met de 6 punten 7k en de 12 punten 4jj eene (183, 123) met de cf. driehoeken: Zijden. A 1231 1341 B 242 || 2132 | 2342 | 2142 |. . (XXV) Cc" 343 || 3123 | 3243 | 3143 p | 344 || 4124 | 4234 | 4134 | | Worden de 12 nieuwe lijnen van (XXV) toegevoegd aan de 183, waarvoor tabel (XXIII), na afscheiding van de 3% en 44° kolom, de notatie bevat, dan ontstaat de door tabel (XXVI) voorgestelde (185, 303). Tm 12/34 | 12 [121 | 12 13/24 | 13 | 131 | 133 14/23 | 14 | 141 | 144 | (e) 28/ia | 28 | 282 | 238 rte CRN | 24/13 | 24 | 242 | 244 | 34/12 | 34 | 348 | 344 | L. P. L. P, TT enn 12/3 | 12 | 131 | 232 1341 | 34 ( 131 ( 141 12/4 | 12 | 141 | 242 2342 | 34 | 232 | 242 13/2 | 13 | 121 | 233 1241 | 24 | 121 | 141 13/4 | 13 | 141 | 343 3248 | 24 | 233 | 343 14/2 | 14 | 121 | 244 1231 | 23 | 121 | 131 14/3 | 14 | 181 | 344 |(/3) | 4234 | 23 | 244 | 344 | y) 23/1 | 23 | 122 | 133 3123 | 12 | 183 | 233 23/4 | 23 | 242 | 343 4124 | 12 | 144 | 244 24/1 | 24 | 122 | 144 2132 | 13 | 122 | 232 24/3 | 24 | 232 | 344 | | 4134 | 13 | 144 | 344 34/1 | 34 | 133 | 144 2142 | 14 | 122 | 242 34/2 | 34 | 233 | 244 3143 | 14 | 133 | 343 Hier vormen de groepen («) en (/2) samen de notatie voor de 183 van tabel (XXIII) met de cf. driehoeken A, B', C!', D', terwijl (a) en (y) eene 183 van dezelfde soort met de ef. driehoeken A", B’, C', D" en (2) met (y) eene (184, 243) voorstellen. „De punten ik en ikk bepalen met de lijnen jikj en »ijjkl eene 18, met 4 cf. driehoeken, welke gelijksoortig »is met de 183, welke dezelfde punten met de lijnen j ijk »en ij/kl vormen. Samen behooren deze beide cf. tot eene »(185, 303), waaruit, na afzondering der hoofdzeszijde met „de lijnen ijjkl, eene (184, 243) ontstaat’, (SL) 13. De beide harmonische groepen 12, 12/3; 13,23 en 34, 34/2; 24,23 hebben het punt 23 gemeen: de lijn, welke 12/3 met 34/2 verbindt, gaat dus door het snijpunt der diagonalen (12,34) en (13,24) dat ik door 1213 zal aan- duiden. Door hetzelfde punt gaan dan de lijnen (12/4, 34/1), (24/1, 13/4), (24/3, 13/2), (14/2, 14/3) en (23/1, 23/4). >De 12 punten 1j/k, welke elk der punten eener 77, har- »monisch scheiden van de beide paren, waarmede het col- »lineair ligt, bepalen 18 lijnen, die 6 aan 6 door de 3 »diagonaalpunten van 77, gaan.” Deze 18 lijnen kunnen gerangschikt worden in 3 zes- tallen, zoodat elk zestal 12 punten dj/k bevat. 1243 14,2| 14/3 { 1213(12/3| 34/2 1213 13/2| 24/3 1213| 23/1 | 23/4 | 1213) 12/4 | 34/1 | 1213 | 13/4) 24/1 1214 | 13/2|13/4 | 1244) 14/2) 23/4| 1214 12/3/34/1 |, (XXVII). 1244 42/1 (24/3 | 1214 | 14/3 | 23/1 || 1214 | 12/4 | 3412 1314 | 12/3 | 12/4 [4314 13/2 | 241 || 1314 | 14/2 | 23/1 1314| 34/1 | 34/2 [1314] 134 | 24/3 | 1314 | 14/3 23/4 De eerste zes dezer lijnen vormen de hoofdzeszijde, welke de drie ef. 183 der SS8 10, 11, 12 gemeen hebben. Uit tabel (XXVII) volgt, dat de driehoeken A, B,C,D en A', B, C', D', (tab. XXI en XXIV) twee aan twee perspectief liegen ten opzichte van 1218, 1214, 1814 als centra. De harmonische groepen 24/1, 24; 14, 12en 24/3, 24; 28, 34 worden achtereenvolgens uit de punten 34 en 12 op de lijnen 25/14en 14/28 geprojecteerd in de harmonische groepen, 233,23; 14/3, 1213 en 141,14; 23 1, 1213; daar deze het punt 1213 gemeen hebben, komen de lijnen (141, 233) (14, 23) en (14/3, 23/1) in een punt samen, d. w. z. de lijn (141, 233) gaat door 1214. De punten {kk worden dus paarsgewijze verbonden door 18 lijnen, die 6 aan 6 door de diagonaal punten van 774 gaan; zes dier lijnen behooren weder tot de bovengenoemde hoofdzeszijde (tabel XXVI, «); de overige 12 lijnen zijn (32) 1213 | 131 | 244 1213 | 121 | 344 12138 | 133 | 242 1213 | 122 | 348 1214 | 121 | 843 1214 | 141 \ 233 (XXVIII) 1214 | 122 | 344 1214 | 144 | 232 18314 | 141 | 232 1314 | 131 | 242 1314 | 144 | 238 1814 | 133 | 244 Elke dezer beide zestallen van lijnen bevat blijkbaar alle punten (Ak. De 18 zooeven gevonden lijnen dragen de hoekpunten der driehoeken A“, B”, GC”, D", (tab. XXV.) zoo- dat deze 2 aan 2 de diagonaalpunten van 774 tot perspecti- viteitscentra hebben. „De driehoeken A, B,C, D liggen paarsgewijze perspectief „ten opzichte van een der punten en tevens ten opzichte „van een der diagonaalpunten van 7r,. Hetzelfde geldt voor ABC, D'än voor ABD Tabel der 9 perspectiviteitscentra. 4 Paren. Paren. Paren. Centra. A Di AV bn LoL A AG A ij A" |} CG" | 13 | 1214 gd NS Dn et DI A" DI At 1215 EN BA 0 B' C BG 1923 nl 18 Dn DO, D B DEM TD a Me D, C p GC" | DD" | 84 | 1314 Hierbij valt op te merken, dat 12 niet het gemeenschap- pelijke perspectiviteitscentrum van A, A', A' of van B, B, B’ is. De tabellen (XXIII) en (XXVI) bewijzen, dat de hoek- punten van 4, A’, A" rusten op de drie in 121314 samen- (33) komende lijnen 12/34, 13/24, 14/23, terwijl hunne homo- loge zijden drie aan drie met de punten 23, 34, 24 incident zijn, zoodat de zijde 234 van 77, hunne gemeenschappelijke collineatieas is. Drietallen. Centra. _ Assen. Snijp. hom. z. En ern En A ar Toller 234 28 134 | 24 Br B! B" | 212824 | 184 | 13 | 34 | 14 (XXX) C C Ot ahd 124 RAN OAT 14 RD BEATS 1123 112 1 29. 13 De hoekpunten en zijden der driehoeken A, A’, A" vormen met de snijpunten 23,34, 24 hunner homologe zijden en de perspectiviteitsstralen 12/34, 13/24, 14/23 eene 123. » Wanneer drie driehoeken a; bj cj, ag bg Co, az Dg C3 ZOO- »danig in een driestraal A, 5, C beschreven zijn, dat de »zijden A; Az Az in een punt a, de zijden B, /9 B3 iu een »>punt b en de zijden C Cs Cz in een punt c samenkomen, »dan behooren de genoemde 12 punten en 12 lijnen tot »eene 123, waar a,b,c elk in 6, de overige punten elk in »5 cf.-driehoeken voorkomen”. De cf. is met zichzelf reciprook; zij geeft aanleiding tot de volgende tabel: 4 | a | as dl | B | bi | b3 | Gallaeh enlnen | 4, | a | bi ar B, | Bk 0 Cil € | al bal... (XXXI) AN ‚da Ca BEN Dt cl as Galle | a5leds | 43 | a | b3 ál | B: | b | es| 43 Csll e | asl b3 | | 14, Eene 7 wordt gevormd door twee perspectief ge- legen driehoeken (13, 14,15) en (23,24, 25) met hun cen- trum 12 en as 345 =(34, 45,35). Van de eveneens ten opzichte van 12 perspectief gelegen driehoeken (13, 15, 24) en (23, 25, 14) gaat de as door het punt 35 en bevat de VERSL. EN MEDED. AFD. NATUUR. 8de gEEKs. DEEL VI. 8 (34) snijpunten der homologe zijden (13, 24) en (14, 23), (15, 24) en (14, 25); ik zal deze as door het teeken 35/12 voorstellen. Nu kan 7; ook beschouwd worden als het samenstel van twee t.o.v. 14 perspectief geplaatste drie- hoeken met hunne door 35 loopende as; 85 zal dus ook incident zijn met de liijn 85/14, die het snijpunt der cf. diagonalen (13,24) en (12,34) benevens het snijpunt van (15,24) met (12,45) bevat ; eindelijk behoort 35 nog tot de lijn 35/24 met de snijpunten (12,34 ; 14,23) en (12,45 ; 14,25). >De 15 diagonaalpunten der 5 tot eene 77; behoorende » volledige vierzijden liggen paarsgewijze in 30 lijnen ij/kl, »welke drie aan drie door de punten van 77; gaan en vier »aan vier in die diagonaalpunten samenkomen”. Door elk punt #k van 75 gaan de lijnen ik/lm, ik‚ln en ik,mn, door elk diagonaalpunt (ik,‚lm; im, lk) de lij- nen jijkm, jk,il, jl,km en jm,il. n —2 In eene zr, behoort elk punt 7 k ot) ef. 77; en tot 4 5 | lijnen k/lm, waar l en m alle getallen van 1 tot», (den k an Se uitgezonderd) kunnen voorstellen. De 8 | \ diagonaalpun- ten der í| tot 77, behoorende zr, liggen dus paarsgewijze _9 eerd (5) "2 \ == oi) lijnen vk/lim, die in viertallen ) | met de diagonaalpunten incident zijn. BME Elk punt 4 van zr, komt voor in Ki 9 | ef. 774, is dus \ TA) nd met 2 Ù 9 | lijnen # kl incident, die elk twee punten 4 kl dragen. Daar verder elke lijn van 7, tot (n—3) cf. 774, be- / hoort, gaan door elk der dl 5 | punten d k{l 2(n—3) lijnen kl ($ 10). Verder is ($13) elk diagonaalpunt eener tot zz, behoo- vende 77, met 4 lijnen incident, welke elk twee punten 7 k/l en bevatten. (De eerste zes lijnen van tabel (XXVII) blijven hier buiten beschouwing, omdat zijij elk vier punten, nl. ook een punt ik, dragen). Elk punt 4 kil bevat daarentegen 2(n—3) door diagonaalpunten getrokken lijnen. —? >In eene 71, gaan door elk punt #4 2" lijnen, die »elk 2 punten {Al of 2 diagonaalpunten ({k, lm; im, lk) »bevatten; door elk punt 4 k/l (4n —3) lijnen, elk een punt »ik met een tweede punt 4k/l, of een diagonaalpunt met veen tweede punt 7k/l dragende; door elk diagonaalpunt »>8 lijnen, die elk een tweede diagonaalpunt met een punt >ik, of twee punten #A/l bevatten. Daar nu de getallen 3 B (n—3), 4ln—3) en 8 voor geen waarde van » veven groot zijn, is het niet mogelijk uit de genoemde »punten en lijnen eene cf, samen te stellen.” 15. Door elk diagonaalpunt d eener tot sr; behoorende 74, gaan 4 lijnen, die elk nog 2 punten 7 k/l bevatten, ter- wijl elk der punten ik/l, omdat de lijn ík! tot twee cf. 704 behoort, met 4 lijnen incident is, die een tweede punt {k/l benevens een diagonaalpunt dragen. >De 30 punten, welke de punten eener 77; harmonisch >scheiden van de met hen collineair gelegen cf. punten en »de 15 diagonaalpunten d der 5 in 7; begrepen cf. 7r4 »vormen met 60 niet tot 77; behoorende lijnen eene (454, 603), »waarvoor de 30 lijnen 4Zllm van 5 in de 5 cf. 183 be- »grepen hoofdzeszijden driepuntige diagonalen zijn, die elk >een punt van 7; dragen; worden deze 30 lijnen in de cf. >opgenomen, dan ontstaat eene (456, 903)” In de bedoelde (454, 603) is het punt (12,34; 18,24) in 2 volledige vierzijden het overstaande hoekpunt der punten (12,34; 14,23) en (13,24; 14,23); daar de beide laatstge- noemde punten overstaande hoekpunten eener mede tot de ef. behoorende vierzijde zijn, vormen de drie genoemde dia- gonaalpunten eene gesloten groep. Geheel op dezelfde wijze blijkt, dat de punten 12/3, 12,4 en 12/5, twee aan twee E | | 5 (36 ) enomen, overstaande hoekpunten van 3 in de cf. begrepen vierzijden zijn. De 45 ef. punten vormen dus 15 onderling gelijkwaardige drietallen. Dezelfde eigenschap heb ik opge- merkt bij de (454, 603), welke uit de 45 nevenhoekpunten van een in eene kegelsnede beschreven zeshoek en de 60 Pascallijnen is samengesteld. Worden de hoekpunten door 1,2,3,4,5,6, de zijden door ik(t == 1 tot 6, k = 2 tot 6), de nevenhoekpunten door 12/45 enz. voorgesteld, dan bevat deze ef. o.m. de volgende lijnen. 12/45 | 23/56 | 34/16 | 15/42 | 23/56 (13/46 | 14/25 35/16 34/26 12/45 | 35/26 | 13/46 || 15/42 | 35/26 | 34/16 | 14/25 | 13/56 | 23 /46 12/45 | 35/16 | 23/46 || 15/42 | 13/26 [34/56 | 14/25 13/26 35 /46 12/45 | 13/56 | 34/26 || 15/42 | 16/23 | 35/46 El Blik | Uit deze tabel blijkt, dat 12/45, 14/25 en 15/42 een ge- sloten groep vormen op dezelfde wijze als b.v. de punten 12/3, 12/4, 12/5 der eerst genoemde (454, 603); de beide ef. zijn dus gelijksoortig; in elk van hen komt elk punt in twee vierzijden, elke lijn in eene vierzijde voor. In een opzicht is de cf. der Pascallijnen van meer bizonderen aard; zij bezit in de 15 lijnen #k evenzoovele zespuntige diago- nalen, terwijl de andere cf. 80 driepuntige diagonalen telt *). 16. De boven besproken (454, 603) geeft aanleiding tot nieuwe cf, wanneer de 45 diagonaalpunten der 15 in haar begrepen 77, en de 180 punten A, welke de ef. punten van de met hen collineair gelegen paren van cf. punten har- *) De 60 Pascallijnen vormen met de 60 Kirkmanpunten 6 cf. zs (de stelsels 7e van VERONESE); door toevoeging van de 20 Steinerpunten wor- den deze 6 cf. vereenigd tot eene (80,, 64), door toevoeging van de 20 Cayleylijnen daarentegen tot eene (604, 80;), door toevoeging van de Steinerpunten en de Cayleylijnen ontstaat dus eene 80,. Eene volledige opgave der litteratuur over dit onderwerp en eene gemakkelijke notatie vindt men in „The Pascal hexagram” by Miss Cumistinp Lapp (dmer., J. of Math, Vol. IL, 1, 1879). (37) monisch scheiden, in de beschouwing worden opgenomen. Door elk ef. punt gaan dan vier lijnen, die elk twee punten h bevatten, nl. twee voor elke 77, waarin dat cf. punt voorkomt; door elk diagonaalpunt d gaan vier lijnen, elk met twee punten A; door elk punt h vier lijnen, welke elk een tweede punt h met een cf. punt of een diagonaalpunt d dragen. >De Pascalef. (454, 604) levert eene door hare 45 cf. »punten, hare 180 punten A en hare 45 punten d met 360 >niet tot de ef. behoorende lijnen gevormde (2704, 3603), »welke 60 zespuntige diagonalen (de lijnen der (454, 603)) »en 90 vierpuntige diagonalen (de lijnen der 15 tot de 15 >ef. 74 behoorende hoofdzeszijden jl) bezit”, Blijkbaar wordt eene (270,4, 3603) van dezelfde soort be- paald door de 15 Xx 12 tot de 15 ef. 75, behoorende punten ikk ($ 11) met de 45 diagonaalpunten d, de 45 cf. punten, de 15 XxX 12 nen ‚klt ($12) en de 15 X 12 lijnen van tabel (XXVIII). De beschouwingen van deze $ gelden voor alle cf. waarin elk punt tot twee, elke lijn tot eene 77, behoort. Zoo vindt men uit de (124, 163) B, welke ik in mijn opstel »Over vlakke ef,” heb beschreven, eene uit 12 ef. punten, 4 x 8 diagonaalpunten en 48 punten h samengestelde (724, 963) en eene daarmede gelijksoortige cf.‚ waarin de 48 punten h door 48 punten # kk zijn vervangen. In de (12,, 163) A, welke in hetzelfde opstel voorkomt, behoort elk punt tot 6, elke lijn tot 3, elk diagonaalpunt (als snijpunt van 3 ef. diagonalen) tot 3 vierzijden, zoodat hier op dergelijke wijze eene nieuwe cf. kan worden samengesteld. „De 12 ef. punten en 48 punten A eener (12,, 163) A »en de 12 punten der geassocieerde cf. behooren tot eene »(7279, 2883) met 16 zespuntige en 72 vierpuntige diago- »nalen; elke der laatste bevat een punt der oorspronkelijke >ef., een punt der geassocieerde cf. en twee punten 4.” Uit het in de $$ 15 en 16 behandelde volgt algemeen: 6 ae » Behoort elke lijn eener (7) x tot twee vierzijden, Nn [a (38) »>dan vormen de 3g diagonaalpunten der g in haar begrepen »vierzijden met de 6g punten h en 12g nieuwe lijnen eene >(9g4, 1293), welke uit 3q vierzijden zoodanig is samenge- »steld, dat elk cf. punt tot twee, elke cf. lijn tot eene »>dezer vierzijden behoort. De 9g punten der nieuwe cf., »>hare 36g punten Ah en hare 9g diagonaalpunten, bepalen »met 72g nieuwe lijnen eene (54g4, 72q3).” KEA OM OVER DE VERHANDELING VAN Dr. J. DE VRIES. „OVER EENE GROEP VAN REGELMATIGE VLAKKE CONFIGURATIES”, DOOR D. BIERENS DE HAAN ex F. J. VAN DEN BERG. (Uitgebracht in de Vergadering van 24 November 1888). Nog is ons opgedragen over de bovenstaande verhande- ling van denzelfden schrijver rapport uit te brengen; en daaromtrent gelden dezelfde opmerkingen, die bij het voor- _ gaande rapport gemaakt zijn. De in de vorige verhandeling behandelde Poiyedrale con- figuratien zoowel als die, welke de tweede ondergeteekende (van DEN Bere) afleidde bij de graphische oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen, behooren tot de conf. 7 a dj [7 ie 4 IE deze ontstaat bij p volledige g- \ 7 Ja \g— Up hoeken, die paarsgewijze ten opzichte van een bepaald punt perspectivisch gelegen zijn. Schrijver wil vooreerst bewijzen, dat deze conf. eene regelmatige is. Hij neemt drie driehoeken, die op drie in één punt zamenkomende rechten, een driestraal, rusten, en vindt dat de drie collineatie-assen in één punt zamenkomen, en dus tot de conf. (203, 154) aanleiding geven, die nu re- (40) gelmatig is. Voor het snijpunt van drie rechten der configu- ratie het punt jmx, en voor het snijpunt der drie bijbehoo- rende collineatie-assen het punt 4kl nemende, noemt hij deze geassociëerde punten, in overeenstemming met de » geassociëerde lijnen’ der polyedrale conf. (154, 203), die met de vorige reciprook verwant is. In een vierstraal, waarin drie volledige vierhoeken zijn beschreven, noemt schrijver het middelpunt complementair met de lijn, die de vier geassociëerde punten van dit mid- delpunt in vier conf. (203, 154) blijkt te bevatten. Die complementaire lijn voltooit de gegeven figuur met de conf, (203, 154) tot eene conf. 354, en wordt hier door c‚ aan- geduid. Deze conf. 394 is regelmatig: zij ontstaat ook bij drie volledige vierzijden, die ten opzichte van vier collineaire punten in lneale ligging zijn; dat is, waarbij de » suiijpun- ten van homologe zijden op ééne rechte lijn liggen. In een vjfstraal, waarop drie volledige vijf hoeken rusten, komt schrijver op eene regelmatige conf. (565, 704), die ook ontstaat uit vier volledige vierzijden, die lineaal gelegen zijn ten vpzichte van vier collineaire punten. Hare lijnen kun- nen in 95 tweetallen worden verdeeld, die geassociëerde pa- ren der tweede orde worden genoemd, en door a, worden aangeduid. Wordt bij den vierstraal het centrum door vier letters aangeduid, en draagt hij vier volledige vierhoeken, dan ver- krijgt men, door zamenvoeging van vier in de figuur begre- pen conf. 854, eene conf. (704, 56;), die met de voorgaande reciprook verwant is. Vier vijfhoeken, beschreven in een vijfstraal, geven aanleiding tot vijf conf. (704, 56). De vijf punten ag, die in deze vijf conf. bij het middelpunt daarvan behooren, liggen in eene rechte, die de complemen- tavre lijn der tweede orde wordt genoemd, en door co aange- geven wordt; zij vult de genoemde conf. aan tot een conf. 1265; deze is regelmatig, elk punt kan dus weder als eentrum worden beschouwd. Het voorgaande wettigt het vermoeden, dat ook (p — 1) pr-hoeken, die twee aan twee perspectivisch gelegen zijn ten (41) opzichte van een door (p — 1) letters voorgesteld punt, aanleiding geven tot eene regelmatige conf. & ae \ ; deze B up EN Aen zoude dan ú | L de ‚| punten aj en ú 5 À 1 2 Ee ‚+ 2 \4 + 3 lijnen cj bevatten voor 4 == 1,2, 2...p — 3; waarvan elke lijn cj incident is met (4 + 3) punten aj. Deze stelling wordt door schrijver bewezen, en daaruit verder afgeleid, dat, wanneer men p volledige g-hoeken in een g-straal be- / \ schrijft, deze aanleiding geven tot (7 je 7 3 El id 4 IE | ld ee dn am) JS eene regelmatige configuratic. Schrijver gaat terug tot de vroeger behandelde regelma- tige conf. 354. Deze bevat groepen van zeven gescheiden puuten, die nu neven-zeven-hoeken vormen, in tegenstelling met de »hoofd-veel-hoeken’’ die wij in het vorige opstel leerden kennen. De complementaire lijnen van zeven ge- scheiden punten leveren ook eene neven-zeven-zijde. Zondert men zeven gescheiden punten en hunne complementaire lijnen uit de conf. 354 af, dan ontstaat er eene 283, die nu echter noch conf. driehoeken bevat, noch als de conf. (93, 63) 4 sa- mengesteld is uit twee drietallen van onderling gescheiden lijnen, welke laatste door de letter A zal worden voorgesteld. Me me In de cont : | vormen alleen voor m=—= 6 +1 8 n—ì d 4 Bras en m==6k 43, de lijnen, die in 5 m (m — 1) onderling gescheiden punten samenkomen, met de overige conf. pun- | d | ten eene conf. fs m (m —1) (m — 2) ‚ die geene conf. drie- 8 7 hoeken, en evenmin figuren (A) bevat. De overige lijnen van de oorspronkelijke conf. vormen met dezelfde punten eene conf. Opdat onze conf. (4 , win hoofd veel-zijden kunne bevatten, moet m van den vorm Ôk +2 of Ók + 4 zijn; mb (42) ï alsdan bestaan die hoofd-veel-zijden uit 1 (7) lijnen. Wordt nu zulk een groep weggenomen, dan verkrijgt men eene conf. LAS Se ek dt 1 Sl waarin elk punt tot 3 se | conf. driehoeken behoort; terwijl er in de oorspronkelijke — 3 conf. voor elk punt 3 4 5 conf. driehoeken bevat zijn. Voor enkele, bepaalde waarden van m zal deze laatste conf. een neven-veel-hoek bezitten; het wegnemen van deze geeft tot eene splitsing der conf. aanleiding. Derhalve bezit de eonf. (56,4) — die uit de conf. (563, 704) ontstaan is door het wegnemen eener hoofd-veertien-zijde — neven-acht- hoeken; laat men een daarvan weg, zoo valt de conf. uit- een in twee andere (485, 323) en (483, 244). Evenzoo be- vat de conf. (1206, 180,) — ontstaan uit de weglating van eene hoofd-dertig-zijde uit de conf. (120,, 2104) — neven- twaalf-hoeken; laat men daarvan eene weg, zoo valt de conf. uiteen in de conf. (1083, 723) en de conf. (1084). De vroeger verkregen configuratie 1 1 G m(m — 1) (m — I)norgg M (m— 1) (m — 3) (me — 0) kan eene configuratie 1 Ì 5 m (m — 1) (nm — Sn (m gat (a ma (m0) 1 leveren door de afscheiding van a, (ln — 1) (m —l) sds Ke bevat de configuratie EN oh Ean 1 die samengesteld is uit de hoekpunten van ú E | (p—l)- gescheiden lijnen. De configuratie mdm dt ne (43) [p +1 hoeken, die drie aan drie LA: 3 le —l)-stralen rusten, p +1 rf en uit hunne 3 collmmeatie-centra en hunne collinea= tie-stralen; worden die centra weggenomen, dan valt de conf. | 1 uiteen in (p — 1) polyedrale conf. | P jk | ä EN } 3 pl 3 /3 En ten slotte nog algemeener. De configuratie ( m m\ \ nl henk n he kan door (n — 1) volledige (m — n + I)-hoeken bepaald worden, die in een (m — n + l)-straal beschreven wor- den. Zoodra m — n even en ) door m — n deelbaar n—Ì is, levert zij, na afscheiding van eene hoofd” ni al n}- n—l / m m —n m \ ide, eene conf. | 3 N En ak KS an ple, n Eh JJ) Wanneer m — n oneven is, en \ door m en n—l 10) deelbaar is, bezit zij neven-veel-hoeken; wordt er zulk eene afgescheiden, dan wordt zij gesplitst in de twee configuratiën eerd ej vager mm \ grand be mnd 2 n— 1jm-2n41 mn 2 n en Voor elke even waarde van m — n levert zij configuratiën van den vorm B an ee } n—l Nn 2 mj n—] elke daarvan valt na afscheiding van | (44) delpunten der daarbij voorkomende 3 (m — n + 2)-stralen, uiteen in J(m —n + 2) configuratiën sers deze zijn gelijksoortig met de oorspronkelijke configuratie (Erheaer Kele Ook de plaatsing van deze verhandeling in uwe werken durven uwe Rapporteurs, wegens hare belangrijkheid, zoo- wel wat uitkomsten als wat methode aangaat, gerustelijk tol aanraden. Leiden en Hilversum. November 1888. D. BIERENS DE HAAN. F. J. VAN DEN BERG. OVER EENE GROEP VAN REGELMATIGE VLAKKE CONFIGURATIES, DOOR JAN DE VRIES. In een kort opstel „Ueber eine Gattung von Configura- tionen'*) toonde KaNror aan, dat p paarsgewijze ten op- zichte van een zelfde punt perspectief gelegen volledige qg-hoe- ken aanleiding geven tot eene cf. 7 E 1) ’ u ze 1 } 1 14 \7 Pl Onlangs heeft Prof. van peN Beret) bewezen, dat de graphische oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen tot configuraties leidt, die tot de door KaANtor ontdek(e groep behooren. In de volgende bladzijden zal ik aantoonen, dat Kantor’s ef. regelmatig zijn en eigenschappen bezitten overeenkomende met die der vlakke polyedrale ef. S), welke mede tot de bedoelde groep moeten gerekend worden. 1. Drie driehoeken met de hoekpunten (124, 125, 126), (134, 135, 136), (284, 235, 236), welke op drie in een %) Sitz. ber. d. Wiener Akad. Bd. 80. {) » Over de graphische oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen” (Versl. en Med. 3de reeks, Deel IV, bl. 196) en „De constructiefiguur voor de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen, beschouwd als configuratie” (Versl. en Med. 3de reeks, Deel V, bl. 267). $) Zie mijn opstel „Over vlakke polyedrale configuraties” (Versl, en Med. 3de reeks, Deel VI bl. 8). (46) punt 125 samenkomende rechten 1284, 1235, 1236 rusten, bepalen drie collineatieassen 7 456 ({== 1, 2,3) met de snij- pnnten (45, 756, #46 der paren van homologe zijden (4, ik5)en (dl4, 15), (Ch5, ik6)en (4l5, 26), (Ch4, h6) en (4/4, 7/6). Nu is 124 het snijpunt van (145, 245) met (146, 246), 234 van (245, 345) met (246, 346), 134 van (345, 145) met (346, 146): de lijn 1234, welke 124, 234 en 184 draagt, is dus de collineatieas der driehoeken (145, 245, 345) en (146, 246, 346) zoodat de lijnen 1456, 2456, 3456, die de homologe hoekpunten vereenigen, in een punt 456 samenkomen, dat de beschouwde figuur tot eene ef. (205, 15,) *) aanvult. 1284 123 124 184 234 1255 1258 125 155 235 1236 123 126 136 | 236 1245 124 125 145 245 18345 134 135 145 945 2345 234 | 235 245 |- 349 | «sf 1256 125 126 156 | 256 1856 135 136 156 | 356 2356 235 236 256 356 1246 124 126 146 246 1846 134 136 146 346 2846 284 236 246 946 1456 145 146 156 456 2456 245 246 256 | 456 8456 345 346 | 356 | 456 *) De 20 Steinerpunten en de 15 Plückerlijnen van eenen in eene K, beschreven volledigen zeshoek vormen zulk eene (203, 154), terwijl de 15 Salmonpunten met de 20 Cayleylijnen tot de reciproke (15,, 20,) == WN, vereenigd zijn, Lhje (47) Uit tabel A blijkt, dat de gevonden (203, 154) regelmatig is, zoodat elk punt #4! kan beschouwd worden als het snijpunt van de collineatieassen behoorende tot drie drie- hoeken, waarvan de hoekpunten op drie in het punt jm n samenkomende lijnen rusten; de beide punten ikl en jmn zal ik „geassociéerde’’ punten der eerste orde (a,) noemen in overeenstemming met de geassociëerde lijnen der polye- drale ef. zr == (154, 203), *) welke met de beschouwde (203, 154) reciprook verwant is. 2. Zijn in een vierstraal 1234, 1235, 1236, 1237 met middelpunt 128 drie volledige vierhoeken met de hoekpun- ten ik4, ik5, ik0, vk7 (&,k= 1,2, 3) beschreven, dan is 123 achtereenvolgens in 4 cf. (203, 154) geassociëerd met de punten 456, 457, 467, 567. Nu gaan de zijden der driehoeken 177, 2747, 347, @=4,5,6) door de met 1237 incidente punten 127, 137, 237; de 3 door die drie- hoeken bepaalde collineatiecentra 457, 467, 567 behooren dus met de genoemde 12 punten tot eene polyedrale (154, 203) waarin de door 457, 467 en 567 getrokken lijn 4567 met 1237 is geassociëerd 4). Ip eene tweede (154, 203) is de lijn 1236 geassociëerd met eene rechte, welke de punten 456, 476 en 576 draagt: de vier punten 456, 457, 467, 567 zijn derhalve collineair. De lijn 4567 vormt nu met de elementen der reeds voor- handen figuur eene cf. 354, welke uit het centrum 123, de 12 hoekpunten der 8 volledige vierhoeken, de 18 snijpun- ten van homologe zijden en de 4 met 123 geassociëerde punten bestaat, welke elk incident zijn met 4 der volgende 35 lijnen: de 4 stralen door 123, de 18 zijden der 4hoeken, de 12 collineatieassen, welke tot de 12 paren van driehoeken behooren, en de complementaire lijn 4567; elk hoekpunt *) „Over vlakke polyedrale conf.” en „Ueber gewisse ebene Configura- tionen” (Acta Math. 12 bl. 70). }) Deze notatie der bedoelde (154, 203) wordt uit de in mijn opstel „Over vlakke polyedrale cf.” gebezigde gevonden door achter elke com- binatie der 2de en 3de klasse van de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 het cijfer 7 te plaatsen. (48) is nl. met een straal en 3 zijden, elk homoloog snijpunt met 2 zijden en 2 assen, elk met 123 geassociëerd punt met 3 assen en de lijn 4567 incident. Daar de elementen dezer 35, door de combinaties der 3de en 4de klasse van 7 cijfers worden voorgesteld, is de cf. regelmatig, en vor- men hare punten en lijnen 85 paren »complementaire” elementen 7jk en lmn p. Dezelfde cf. ontstaat blijkbaar uit 3 volledige vierzijden, die ten opzichte van 4 collineaire punten in lineale *) ligging verkeeren. j) Het complemen- taire element (der eerste orde) van een punt of lijn der 354 zal steeds door cj, worden aangeduid. 3. Worden drie volledige vijfhoeken met de hoekpunten ik4, ik5, ik6, ik7, ok 8 dk =1,2,3) op 5 door het punt 123 getrokken lijnen 123%i—= 4, 5, 6, 7, 8) geplaatst, dan is 128 in 5 ef. 35, complementair tot even- zoovele lijnen 1567, 4568, 4578, 4678, 5678, welke paars- gewijze met de punten dl (% k‚, l = 4, 5, 6, 7, 8) in- eident zijn, en met hen eene volledige vijfzijde vormen. Het punt 123, de 15 hoekpunten, de 30 homologe snijpunten en de 10 met 128 geassociëerde punten zijn nu elk met 5 lijnen incident, en wel elk hoekpunt met een straal en 4 zijden, elk homoloog snijpunt met 2 zijden en 8 assen, elk geassociëerd punt met 9 assen en 2 complementaire lijnen, terwijl de 5 stralen, de 80 zijden, de 30 assen en de 5 complementaire lijnen elk 4 der voornoemde punten dragen. De door deze punten en lijnen gevormde (565, 704), waar- van de regelmatigheid uit hare notatie volgt, ontstaat ook uit 4 ten opzichte van 4 collineaire punten lineaal ge- *) Twee z-zijden liggen slineaal,” wanneer de # snijpunten van over- eenkomstige zijden op eene rechte geplaatst zijn. (Zie Scuröter, Ueber das Fünfflach und Sechsflach, Crerre C., bl. 238). 1) De 354, welke door de 15 Salmonpunten, de 20 Steinerpunten, de 15 Plückerlijnen en de 20 Cayleylijnen van den volledigen Pascalzeshoek wordt gevormd, is met de gevonden cf. gelijksoortig; zij kan gesplitst worden in de boven aangehaalde (203, 154) der Steinerpunten en Plücker- lijnen en de (15,, 20,4) der Salmonpunten en Cayleylijnen. (49) plaatste vierzijden. Hare lijnen kunnen in 835 paren 7 klm, nopg gerangschikt worden, welke ik geassociëerde paren der 2de orde zal noemen; waar het noodig is, duid ik „opg aan als de a, van 2% lm. 4. Draagt de vierstraal 12545, 12346, 12347, 12348 met centrum 1234 vier volledige vierhoeken met de hoek- Punten s£l5, ckl6, ikl7, ikL8 (6, Z‚ l = 1, 2, 3, 4), dan komt 1284 in 4 ef. 354 voor. De punten 1238, 1248, 1348, 2348 zijn resp. met de zijden 12387, 1248 4, 13481, 2048 ú (2 == 5,6, 7) van 3 volledige vierzijden incident en bepalen met deze eene in de geconstrueerde figuur begrepen 354, waarin de lijn 12348 complementair is tot het snijpunt 5678 der lijnen 15678, 25678, 35678, 45678 *), welke juist complementair zijn met het punt 1234 in de 4 cf. 354, waartoe dit punt behoort. Door samenvoeging van deze 4 cf. ontstaat dus eene figuur met 70 punten (1234, 16 hoekpunten, 86 homologe snijpunten, 16 punten a, en het punt 5678, dat ik, in overeenstemming met het slot van 83, het geassociëerde punt ag der tweede orde van 1234 noem) en 56 lijnen (+ stralen, 24 zijden, 24 assen, 4 com- plementaire lijnen), dus eene (704, 565), die blijkbaar reci- prook verwant is met de (565, 70,) van 8 3. Vier vijfhoeken met de hoekpunten z#klp, waart, k‚l = 1, 2, 3, 4 en p—=5, 6, 7,8, 9, geven aanleiding tot 5 cf. (704, 56), wanneer zij beschreven zijn in den vijfstraal 12341 (== 5, 6,7,8,9); bj 1234, het middelpunt van den vijfstraal, behooren dus 5 punten az, nl. 5678, 5679, 5689, 5789, 6789. De punten 1239, 1249, 1349, 2349 liggen op de zijden 1239, 12491, 13491, 23491 (2 —= 5, 6,7,8) van 4 tot de figuur behoorende volledige vierzijden, waar- mede zij blijkbaar eene, eveneens in de geconstrueerde figuur begrepen, (563, 704) bepalen, en waarin de punten 5679, 5689, 5789, 6759 met de a, van 12349 incident zijn f). *) De notatie dezer 35, wordt gelijk aan de mm $ 2 gebruikte, wanneer men het cijfer 8 weglaat. 4) Achtervoeging van eene 9 doet de schrijfwijze voor deze cf. uit die van $ 3 ontstaan. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. Òde REEKS. DEEL VI. 4 (50) Daar in eene andere (565, 704) de punten 5678, 5698, 5798, 6798 op de az van 128348 liggen, zijn de 5 bij 1234 behoorende punten ag incident met eene rechte 56789, welke ik de complementaire ln der tweede orde van het punt 1284 noem en door het teeken ec, aanduid. Zij vult de door samenstelling van de 5 ef. (704, 565) gevormde figuur aan tot eene 126, met 1 centrum, 20 hoekpunten, 60 homo- loge snijpunten, 40 punten aj, 5 punten az, benevens 5 stralen, 40 zijden, 60 assen, 20 lijnen c‚ en 1 lijn c5. Daar hare elementen door de combinaties der 4de en 5de klasse van 9 getallen voorgesteld worden, is zij regelmatig en kan elk punt als centrum beschouwd worden; zijn eg wordt dan aangeduid door de 5 cijfers, welke in de notatie van het punt ontbreken. 5. Het voorafgaande wettigt het vermoeden, dat (p—l1) ten opzichte van een door het teeken 1234,...( p-l) voorgesteld punt paarsgewijze perspectief gelegen p-hoeken dek tat sah ne t ze ii H even (0) eene z me 5 ‚ aantel Ing en Vv p É ; EN ij ; si 5 p—l ks punten a; en Á # ‚)G 4 4 lgnen e;14-== 1, ASN (p—3)), waarbij elke ln c; met (é43) purten a; incident is; dit vermoeden wordt zekerheid, wanneer aangetoond wordt, dat uit de gemaakte onderstelling het bestaan eener 2pti ‘ gbl gelegen (p +4 l)-hoeken. Worden (p—l) volledige (p + l)-hoeken paarsgewijze perspectief geplaatst ten opzichte van het punt 1234... ) volgt, welke bepaald is door p perspectief p+] 2p—l (p—1), dan is het laatste in (p+1) cf. ( À ) aan vid p evenzoovele lijnen c‚—_3 toegevoegd, die met de op hen ge- legen punten aj—3 eene volledige (p+tl)zijde vormen. Zoo 2 2 :8 ontstaat eene (( ú) ( 0 ) waarvan de lijnen in pt Ip \ P Jp 2 een ; ( 4) paren kunnen gerangschikt worden, zoodat de Pp (5145 lijnen van elk paar samen de 2p tot aanduiding der ele- menten gebezigde getallen bevatten, en als geassociëerde lijnen a,—2 aan elkander zijn toegevoegd Iinmers de nieuwe figuur bevat 1 + (p — 1) (p +1) + ä & De 5 ) te Re OE 2 1 (peten jen trop (!; ) ei ED EON 0 en = 8 band p p die elk p der genoemde punten dragen en in (p + 1)-tallen in hen samenkomen. Elke lijn dezer cf. kan met de p volledige p-zijden, welke ten opzichte van haar in lineale ligging verkeeren, tot be- paling der cf. dienen; de bij haar behoorende lijn a, — 2 bevat Û 2p — Ì de p punten c,_ 3, welke in evenzoovele ( ) aan p Ë haar zijn toegevoegd. Is verder 123...p het gemeenschappeliijke collineatie- centrum van p volledige p-hoeken met de hoekpunten ù dg U «« pl (p + I) \ dd ize ip—l (Pp + 2) Ù (5) dg e= « Ip—l (p + 9) (&, 0) . ‚ip —1 == 1 2, ö, . ‚p) Ù ) 13 «pl 2p dan geeft de constructie der punten a; en lijnen c; eene p—l figuur waarin 128....p in p cf. complementair P /p is met de volgende p lijnen c‚_3: *) Eene handelwijze om dergelijke sommaties te verrichten viudt men in het boven aangehaalde opstel van Prof. VAN DEN Bere („De construc- tiefiguur enz.” bl. 278, 279). 4* dope 1, pn Stene 2p Pp Pp an je Pp + 2, ei jet ter Bren (alle 2 p 2p—l Daar de ( ) ‚ waarvan het bestaan ondersteld is, Pp p ook kan voortgebracht worden door (p — 1) ten opzichte | van p collineaire punten lineaal geplaatste volledige p-zijden, 2p—l en de zooeven genoemde lijnen c,—3 b. v. tot de ( À ) | p p behooren, welke door de p collineaire punten (% #3 3 ……2 Pp) en de met hen incidente lijnen bepaald is, komen die p_ lijnen cp—3 samen in een punt (p + 1, p + 2,.2p), dat (123... p) geassociëerde punt a,—_2 kan genoemd worden. De figuur bevat nu j 2 9 EN 1 Hp? + (5) +…+ (6) ttr I= Gn punten en rr) +0) et OG) ttr lijnen, en daar elk dezer punten met p der lijnen, elke lijn met (p + 1) punten incident is, vormen zij eene (SP Rusten eindelijk de hoekpunten Ùj ig gee s Upl p+l | Ùj 2 Ue « « Upl p + 2 (Bidon tp SE | U U Ugs « e Wel 2p + JN (53) van p perspectief geplaatste (p + 1)-hoeken op den (p + 1)- straal 123.... pit (@=p tl, p+2,... 2p +1), dan 2, 2 is het centrum 128... pin(p + l) ( 9 ( p ) ) | P /p p—l p+] toegevoegd aan (p + 1) punten aj_2. nl. kj, ho, ha... hp (kh; =p.p + l,...2p +1). Nu gaan de zijden van p vol- ledige tot de figuur behoorende p-zijden door de punten ME. Or opt 1) der rechte (123...p, 2p + 1) en bepalen met deze eene mede in de figuur begrepen 2p 2p B ek ) À ) )yvaarin de punten (4 %3....t ‚2p+1), p—l/per \P Jp fot (=p l,p + 2,....2p), op deaan(123....p, 2p +1) toegevoegde lijn a,_> liggen. Hieruit volgt dat de (p + 1) _ bovengenoemde punten a, in p-tallen collineair, dus allen op eene rechte (p + 1l,p + 2,....2p + 1) geplaatst zijn, welke als ce bij 128 ....p behoort. Het aantal punten der figuur bedraagt nul + p(p + Ì) (5) 5 ) SEE ie g ) het aantal lijnen (p+41) + p Ed in ke PS \ 2pt1 1 ( pt {7 ni ) en daar elk dezer elementen met (p +1) BN etl, \ Pp elementen incident is, vormen zij eene Li ) £ P Jp Op dergelijke wijze als in $ 3 is gehandeld kan nu met behulp van het voorafgaande bewezen worden, dat p volledige in een g-straal beschreven gq-hoeken tot eene (é 1) d E dj) ) aanleiding geven, welke regelmatig g Ja. \alpri Is, en waarvan de punten en lijnen door de combinaties der pd en (p+1)tte klasse van (p +g) getallen kunnen voor- gesteld worden. 6. Daar elk der cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 met 8 paren tot drietallen kan samengevoegd worden, welke onderling gescheiden punten aanduiden, bezit de boven gevonden 35, groepen van 7 gescheiden punten, welke ik »nevenzeven- (54) hoeken” noem, in tegenstelling met een hoofdveelhoek, waar- van de punten samen met alle cf. lijnen incident zijn *). Uit de volgende tabel blijkt, dat de complementaire lijnen van 7 onderling gescheiden púnten der 354, eene »nevenze- venzijde’” vormen. NErenovendel Nevenzevenzijde. 123 4567 145 2367 167 2845 on SEEN 246 1357 257 1346 347 1256 356 1247 De 28 met een nevenzevenhoek incidente lijnen der 354 dragen elk, behalve het punt der gescheiden groep, nog 3 ef.punten; zij gaan dus 3 aan 3 door de 28 overige cf.pun- ten, die in 4tallen op de lijnen der nevenzevenzijde gelegen zijn. Door afzondering der elementen van (B) ontstaat uit 954 eene 283, waarin het punt 124 op de lijnen 1284, 1245, 1246 met de paren 134, 234; 125, 245; 126, 146 collineair is; van deze 6 punten zijn in de 35, de paren 234, 245; 134, 146; 125, 126 resp. door de niet in 283 voorkomende lijnen 2845, 1846, 1256 verbonden; van de beide andere lijnen, waarmede elk dezer 6 punten in 854 incident is, gaat eene naar een punt der afgezonderde lijn 1247 en eene naar een der afgescheiden punten 123, 145, %) Nevenveelhoeken en hoofdveelzijden komen ook voor bij vlakke po- lyedrale cf. (Vgl, het aangehaalde opstel over dit onderwerp, $ 2 eu $ 3). 246. De 28; is dus atrigonisch, d. w. z. zij bevat geen cf. driehoeken. Tabel (C) bevat de 6 in 283 met 1234 verbonden lijnen met de op hen gelegen punten; de punten tusschen boogjes behooren niet tot de 28. 1245 || 124 | 125 | 245 | (145) 1345 || 134 | 135 | 345 | (145) 1246 | 124 | 126 | 146 | (246) 2346 || 234 | 236 | 346 | (246) |... (O) 1347 || 1834 | 137 | 147 | (847) 2347 || 234 | 237 | 247 | (347) Van de 12 punten, welke behalve 124, 234, 134 op deze 6 lijnen gelegen zijn, worden er geen drie door eene lijn der 283 vereenigd: de cf. bevat dus geen uit 2 drietallen van onderling gescheiden lijnen samengestelde (9, 63), *) waaraan ik den naam van »bitripel” geef, die ook voor de reciproke (63, 99) past; de bedoelde 12 punten rusten paarssewijze op 6 lijjneu der 283, welke elk een derde, niet in (C) voor- komend, punt dragen. »Door afscheiding van een nevenzevenhoek en de com- » plementaire nevenzevenzijde ontstaat uit de regelmatige 35, »eene atrigonische regelmatige 283 zonder bitripels.”’ %*) Deze, na de ef. #3, eenvoudigste atrigonische cf. wordt door Mar- TINErTI aangeduid door het teeken (A). („Sopra alcune cf. piane” (Aun. di Mat., Serie Ila, Deel XIV, bl. 164). Dezelfde (9, 6,) heb ik in mijn opstel „Over vlakke cf.” (bl. 118) door het teeken A onderscheiden van de tweede mogelijke (93, 63), welke twee cf. driehoeken bezit en o.a. uit de polyedrale 10, door afscheiding van het punt @k en de lijnen 4}, (hm, ikn en lmn ontstaat. G56 ) 7. De lijnen der regelmatige 5 vC welke 95) mj 4 4/1 met z onderling gescheiden punten incident zijn, komen drie Mm 3 aan drie in de overige ( )— x punten samen, zoodra m 1 x (m3) = gj — dez gs” (ml) is. Deze waarde kan rz evenwel slechts voor oneven waarden van mm verkrijgen, omdat dan in de tabel voor den neven —z — hoek elk der m getallen, waarvan de combinaties der 3de en 4de l klasse de elementen der cf. voorstellen, met > (m1) uit de overige getallen gevormde paren tot de notatie voor evenveel onderling gescheiden punten kan verbonden worden, 1 terwijl voor even waarde van m slechts z (m8) drietallen een bepaald getal kunnen gemeen hebben, waardoor het 1 1 maximum van & dan 5” (m2) wordt. Daar — m (m—1l) voor m == 3 k +2 geen geheel getal voorstelt, e= m oneven moet zijn, vormen alleen voor m = 6 k +41 of ie m m m= 6 k4+3 de lijnen der - welke 8 Jm-8 4 3) in B m(m—l) onderling gescheiden punten samenkomen, Ì met de overige cf. punten eene cf. e m (m1) m5) 3 terwijl de overige lijnen der oorspronkelijke cf, met diezelfde overige punten eene cf. É 1 9 E 1 9 6 (Gr DD zg * Dr) }) bepalen. Om de hierna volgende tabel (D) voor een neven- twaalfhoek der (845, 1264) te verkrijgen, kan men de 4 drietallen, welke het cijfer 1 gemeen hebben, willekeurig aannemen, b.v. 128, 145, 168, 179; daarna kiest men de (:44) 3 paren, welke behalve 18 met het cijfer 2 tot drietallen moeten vereenigd worden, zoo, dat de nieuwe groepen met geen der eerst aangenomen drietallen meer dan een cijfer gemeen hebben; nu is er reeds een drietal dat het cijfer 3 bevat: er moeten dus nog 8 aan toegevoegd worden, enz. Op overeenkomstige wijze is de tabel (/) samengesteld ; daarbij blijkt, dat het niet mogelijk is te bewerken, dat de tabellen (D) en (LE) meer dan de 4 drietallen 123, 145, 246, 347 met tabel (B) gemeen hebben. Neventwaalf hoek der (846, 126,). 123 246 347 145 259 BEB it LD) 168 278 369 179 489 567 Neven-zes-en-twintig:hoek der (286 ,,, 715,). 123 246 347 18E) 145 259 35 (12) 4 9 (10) 168 27 (11) 36 (13) _ | 4(11) (13) 179 28 (13) 389 56010914 OEE) 1 (10) (18) | 2(10) (12) | 3 (10)(11) | 5 7 (13) BEELD (12) 6 7. (12) dei(10) 5 16 EKE) 6 9 (11) 9 (12) (13) Wordt de notatie voor den nevenveelhoek steeds zoo ge- kozen, dat hij de punten 123, 145, 246, 347 bevat, zooals in de tabellen (B), (D) en (Z) het geval is, dan is in de (58) GE Ë m (m — 1) (m — 5) het punt 124 collineair met 3 de paren 134, 234; 125, 245; 126, 146. Geen der lijnen 1256, 1346, 2345, die in de oorspronkelijke cf. de paren 125, 126; 134, 146; 234, 245 vereenigen, bevat een punt van den nevenveelhoek, daar geen der punten 156, 256; 136, 846; 235, 345, welke die lijnen achtereenvolgens nog bevatten, van de punten 123, 145, 246 gescheiden is: de l genoemde drie lijnen behooren niet tot def m (m — D5)) 1 3 zoodat deze atrigonisch is. Verder blijkt uit tabel (C), die ook hier van kracht is, dat de nieuwe cf. evenmin als de 283 (m == 7) lijnen bevat, welke drie der twaalf met 124, 184, 234 verbonden punten dragen: zij heeft dus geen bitripels. 6k + 1 6k + 1 » Worden van eene (( ig ) ( ) ) de punten 8 Jor? 4 4 »>van een neven-(Ó k? + k)-hoek afgezonderd, dan valt de »ef. uiteen in eene atrigonische (s k2 + k(6 k — 2) en 3 » eene (© k° + k)(6 k— 2) A Cr+ k(6k—2}(6k—5) ) 645 4 Ok 4 3 ok +3 » Voor eene ij 8 ie levert evenzoo de 5, úZ 4 4 >afscheiding der punten van een neven-(2k + 1)(3 k + 1I)- »>hoek eene ((OA° + 34) 6k + 2) zonder cf. driehoeken » benevens eene ( WH BAO + Dors, (ot +3 BOE 2)GE)) De afscheiding van de punten der tabel (D) geeft eene atrigonische 723 en eene (723, 54,4) met 72 cf. driehoeken ; in de laatste cf. is nl. het punt 124 verbonden met de drietallen 127, 147, 247; 128, 148, 248; 129, 149, 249; van de zijden der 3 driehoeken, welke in de oorspronkelijke cf. door deze 9 punten gevormd worden, behooren er 6 tot (59) de 723, omdat zij elk met een der punten 179, 278, 489 van (D) incident zijn; de overige drie lijnen, n.l. 1289, 1478, 2479 komen in de (723, 544) voor: hare punten zijn dus tritrigonisch, hare lijnen tetratrigonisch. 8. Zal eene e £ Ee hoofdveelzijden bezitten, bh EN el dan moet het aantal punten (5 )aoor 4 deelbaar zijn, dus m== 2kof m—=8k + 1. Het laatste moet verworpen worden, omdat voor mm oneven elk paar der getallen van 1 tot m 1 slechts met 5 (m — 3) paren tot viertallen kan vereenigd worden, waardoor het aantal onderling gescheiden cf. lijnen m (m — 1) (m — 3) zou worden, terwijl eene hoofdveelzijde 24 | So 1 (m — 1) (m—2) moet bevatten. Voor m == 2k 1 kunnen uit de m getallen g4 (m — 1) (m — 2) viertallen ; gevormd worden, als 5” (m — 1) (m — 2) door m, dus (m — 1) (m — 2) door 6 deelbaar is; immers in de tabel der hoofdveelzijde moeten wegens de regelmatigheid der cf., alle getallen even vaak voorkomen; alleen voor m == 2 of m == 4 (mod. 6) kunnen de bedoelde cf. hoofdveelzijden be- zitten. De samenstelling der tabel voor eene hoofdveelzijde kan aldus geschieden: men vormt uit de getallen 2,3,4....m À op de wijze, in $ 7 omschreven, eene tabel van 6 (m—1)(m—-2) drietallen, waarin deze getallen alle even vaak voorkomen, en twee drietallen niet meer dan een getal gemeen hebben ; uit de groepen dezer tabel welke elk door het cijfer 1 tot vier- 1 tallen worden aangevuld, kiest men de ü (m — 2) groepen, die het cijfer 2 bevatten, laat dit cijfer weg en vult deze (60) 0 — 2) drietallen tot eene uit de getallen 1,3,4....m 1 samengestelde groep van 6 (m — 1)(m — 2) drietallen aan, daarbij zorg dragende, dat geen der viertallen, welke door toevoeging van het cijfer 2 uit deze drietallen ontstaan, met een viertal der eerste groep meer dan twee elementen ge- meen heeft. Zoo voortgaande vult men de gevonden groepen aan met de viertallen, welke nog het cijfer 3, 4,.... moeten 1 bevatten, totdat er Ee (m — 1)(m — 2) lijnen verkregen zijn. De beide volgende hoofdveertienzijden der (565, 704) zijn op deze wijze bepaald: 1234 5678 1256 3478 1278 3456 1357 2468 .. . (F) 1368 2457 1458 2367 1467 2358 1235 4678 1247 3568 1268 3457 1348 2567 . . . (G) 1367 2458 1456 2378 1578 2346 (61) (F) en (G) bestaan elk uit 7 paren geassociëerde lijnen ag, en hebben geen lijn gemeen; het is niet moeielijk om na te gaan, dat uit de 42 niet tot (F) of (G) behoorende cf. lijnen geen derde hoofdveertienzijde kan gevormd worden. Wordt uit de (56;, 704) eene hoofd-14-zijde weggelaten, dan ontstaat eene 564, waarin elk punt tot 18 ef. driehoe- ken behoort, in tegenstelling met de (56,, 70,4), waar dit aantal 30 bedraagt. Door afzondering van twee, evenals (7) en (G) onaf hankelijke, hoofdveertienzijden komt eene (56, 42,4) te voorschijn met 9 cf. driehoeken in elk punt. Voor eene regelmatige (120, 2104) kunnen hoofddertig- zijden aangewezen worden; de afzondering van zulk eene groep levert eene (120,, 180,) met 45 cf. driehoeken in elk punt, tegen 63 in de oorspronkelijke cf, Hoofd-dertig-zijde der (120, 210,). 1284 | 1389 | 2358 | 257(10)| 378(10) 1256 | 1458 :| 236(10)| 2689 | 456(10) Bas Pp r469 ‘| 2379 | 3457 [4789 |....(H) 129(10) | 147(10) | 2459 | 3468 | 5678 135(10) | 1579 | 2467 | 349(10) | 589(10) 1367 | 168(10)| 248(10) | 3569 | 679(10) k +2 À » Eene (C A EN Le ) ) bezit hoofdveelzijden, bki + > bestaande uit Ze: d lijnen ; de afscheiding van zulk 6k 2 Sk—l/6kH2 >eene groep levert eene (RE on K 5 3), »>waarin elk punt tot On 5 4) ef. driehoeken behoort, >terwijl dit aantal voor elk punt der oorspronkelijke cf, — 1 a 5 ) bedraagt. (62) 6k + 4 6k + 4 » Evenzoo ontstaat uit eene (é 1 ) ' ( + )) 8 Jok+1 8 Jk 1/6 4 »door afzondering van eene uit il À 6 AN Sk /6k + 4 6% » hoofdveelzijde een ( IE RE En ) met af d 6Z 2 | 4 2 6k + !) in 2 ) lijnen gevormde »ef. driehoeken in elk punt in plaats van s( »elk punt der oorspronkelijke cf.” 9. De cf. 56,, welke in de (565, 704) begrepen is. bezit nevenachthoeken. Immers door het vervallen van de lijnen 1284, 5678 der hoofdveertienzijde zijn de punten 123, 124, 134, 234, 567, 568, 578, 678 in de 564, onderling ge- scheiden; de overige 48 punten worden dubbel geteld, als elke der 52 in deze 8 punten samenkomende lijnen met 3 punten incident gerekend wordt; zij bepalen dus met die 92 lijnen eene (489, 323), terwijl de overige lijnen der 564 met dezelfde punten eene (48, 244) vormen. Evenzoo valt de (1206, 1804), welke door afzondering van eene hoofddertigzijde uit (120,, 2104) ontstaat, door het weg- laten van den uit de punten 123, 124, 184, 284, 157, 159, 179, 579, 168, 16(10). 18(10), 68(10) samengestelden neven- twaalfhoek, uiteen in eene (1083, 723) en eene 108, / —1 Zal de cf. (eek ’ de waartoe de cf. 56, en (1206, 180), als bizondere gevallen behooren, eene neven-z- hoek bezitten, welke tot eene splitsing der cf. aanleiding geeft, dan moet 3r(m — 4) = (5 )-=) zijn, dus e= mlm — 1m — 2):3 (3 m — 10). Nu volgt uit 81lz —= Im? + 3m + 28 + 280 : (Bm — 10) dat (Bm — 10) een deeler van 280 moet wezen, die == 2 (mod3) is; aan deze voorwaarde voldoen de deelers 2, 5, 8, 14, 20, 35, 56, 140, waardoor m4, 5, 608 1015 ZAL tevens rz een geheel getal wordt. Maar m moet =2 of =4 (mod 6) zijn, en daar m — 4 hier vervalt, kan de bedoelde ae a ( 63 ) splitsing alleen uitgevoerd worden, wanneer m == 8, 10, 22 GE 50 ze. *) 10. Eene hoofdveelzijde der cf. Grenen 5 A m (m— lm — 3 6 6 n— 61 34 )(n )(n — ) welke, zoodra m = l of = 8 (mod. 6) is, door splitsing m m uit de ; ($ 7) ontstaat, moet uit m (ml) (m3): 24 lijnen bestaan, die in hun notatie samen elk der getallen van l tot m even vaak bevatten, zoodat | 5 (m — I)(m — 3) een geheel getal moet zijn, en dit is het geval voor de zooeven genoemde waarden van m. De moge- lijkheid voor zulk eene hoofdveelzijde blijkt verder uit het 5 ) feit, dat m getallen (5) paren vormen en elk paar met_ (m—3) uit de overige getallen samengestelde paren kan verbonden l worden, waardoor het aantal lijnen ie (m_—l)(m— 3) wordt. Het vervaardigen der tabellen voor de hier bedoelde hoofd- veelzijden, waarbij de opmerking, in $ 8 gemaakt, geldig blijft, wordt daardoor eenigzins bemoeilijkt, dat de viertallen niet uit alle combinaties der 4de klasse van m getallen kun- nen gekozen worden, daar immers een deel dezer combinaties d de notatie voor de lijnen der (Gr (m — Im — 3) vormt. 8 Bij het opmaken der volgende tabel, welke eene hoofdacht- tienzijde der (723, 54,) voorstelt, die door het weglaten van den neven-12-hoek (D) uit de (84,, 126,4) ontstaat, kwamen bv. de lijnen van de vormen 123a, 1456, 168c, 179d, 246e, %) Ten gevolge van eene rekenfout had ik de beide laatste waarden over het hoofd gezien; Prof. vAN peN Bere had de welwillendheid mijne aan- dacht hierop te vestigen. (64) 259f, 2789, 489h, 3471, 358), 369, 5674 niet in aanmer- king, omdat deze 72 lijnen de ef. 723 bepalen. Hoofd-achttien-zijde der (72,, 544). 1247 1469 2679 1256 1578 3456 1289 2349 3789... D 1348 2357 4579 1359 2368 4678 1367 2458 5689 Ed Door verwijdering van dit achttiental ontstaat uit de be- doelde (723, 54,) eene atrigonische (729, 364); immers van de lijnen 1289, 1489, 2489, welke de in (8t,, 1204) met 124 verbonden punten 128, 129; 148, 149; 248, 249 dra- gen, is de eerste als lijn van groep (Ll) vervallen, terwijl de beide overige tot de 72, behooren. l » Door afscheiding van (Gr (m — 1) (m — 3) onderling » gescheiden lijnen kan uit de 1 1 (or (en — Ì) (mm — 3) Feld Im — 3m —0),), >(m — Ôk + 1 of m — 6k J- 3) eene cf. l 1 3 l 5 7 (are An gare Dn DD) IN » worden afgeleid.” *) 11, De lijnen lskl, ikl, Sikl,(o kr SA onb bepalen met de op hen geplaatste punten lik, 2ik, %) Op dergelijke at levert de uit de polyedrale cf. sr, gevormde 1 4 al ko \ 5! ln \ Ae / ver vl. pol. ef. ‚bl. 12) door afscheiding eener hoofdveelzijde eene AA ef, mits m== 0 of == 1 (modo nj (65 ) Stk, ikl eene in de (565, 704) begrepen (403, 30,), welke geacht kan worden te bestaan uit de hoekpunten van 10 drie aan drie in 10 driestralen beschreven driehoeken (lik, 24k,3ik) met hun 10 collineatriecentra en 30 stra- len. De nieuwe tf. bevat 3 polyedrale cf. 77; == 103, waar- van de punten door lik (resp. 22 k, 3 ik), de lijnen door 1%kl (resp. 2 ikl, 3ikl) worden voorgesteld; zij bezit dus 60 ef. driehoeken, die geen der 10 centra tot hoekpunt hebben. Evenzoo kan uit de lijnen 1%kl, 24kl, S4kl, 4Aikl en de punten lik, 2ik,3ik, dik, ikl(i,k‚l =5,6,7,8,9, 10) eene 80, samengesteld worden, die deel uitmaakt van eene (120,, 210,) en bepaald is door de hoekpunten, collinea- tiecentra en stralen van 15 drie aan drie in 20 vierstralen beschreven vierhoeken; na verwijdering van de 20 centra ontaardt zij in 4 polyedrale zg == (154, 203). n >De lijnen vjikl (j=1,2,3,.. np —1 en dhl =p,p + 1,....2p) »vormen met de punten jik en kl eene in de Casape) rr) and. »welke uit de hoekpunten van ( ) drie aan drie op pt 1 u ) (p—1l) stralen rustende (p — 1)-hoeken met hunne »collineatiecentra en stralen is samengesteld, en na afschei- »ding van oe | centra in p— l polyedrale 7 == pt 1 B) À ge | uiteen valt.” 2 pl 3 3 12. De beschouwingen der voorgaande $$ kunnen gemak- / kelijk worden uitgebreid tot alle cf, ( En kt | Eno n a 4 die de eigenschap bezitten, dat hunne punten en lijnen door VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de RUEKS, DEEL VL ö (66 ) de combinaties der (n — 1)ste en nde klasse der getallen van 1 tot m kunnen voorgesteld worden, waarmede samenhangt dat elk punt met de hoekpunten der (n — 1) volledige (m — n + I)-hoeken, waarmede het verbonden is, de cf. volkomen bepaalt. Zal zulk eene cf. hoofdveelzijden bezitten, dan moet in de eerste plaats ( n is ‚) het aantal harer punten, door » deelbaar zijn, daar elke cf. lijn » punten draagt; ten tweede me en . moet ( e gok een veelvoud van m zijn, daar immers Nn ee de tabel der hoofdveelzijde # ds ij getallen, en elk der m getallen even vaak, bevat; ten derde moet (m—n) even wezen, want twee gescheiden lijnen kunnen hoogstens (n — 2) ge- Nn tallen gemeen hebben, en elke der ( ee ‚) groepen van mnd 2 nù nel (n — 2) getallen vormt met NE? o EEN uit de overige getallen samengestelde paren #-tallen, zoodat het aantal onderling gescheiden lijnen slechts voor even waarden van (m—n +2) gelijk wordt aan het vereischte getal Mo Rd 1 gerfik mM m Eene (( ) f ( )) van de bedoelde soort zal n — 1/m—n+tl nJn door het afscheiden van rz onderling gescheiden punten in twee ef. ontaarden, wanneer de in w zoodanige punten samen- komende lijnen in (n — 1)-tallen met de overige ( a == Nn _ punten incident zijn, zoodat (m — n + Ie — ( ik == en n= gienen we | AE m | í EN (mn F2) = bt : (2 — 1) wordt. Daar in de tabel voor den nevenveelhoek elk der m voor de notatie der cf. gebezigde getallen even dikwijls voorkomt, eert eerde NEEN (67) moet ie D ook door m deelbaar zijn. Ten slotte kan even- Lis als boven aangetoond worden, dat alleen voor even waarden van (m—n 3) een ( ie i e1)al punten kan gevon- n B enctaansd den worden, die niet meer dan (n—3) getallen gemeen hebben. Is (m —n), dus ook (m + n) even, dan vormen de m——nt2 (mdn—-â) Ea ik kg... ni, (waar == 1, 20 8,... b(m—n + 2) en Mad hj, kg,---kn—t uit de getallenreeks 2E, en ) lijnen met de notatie n—l . M 1 ZE gekozen worden), met de 5 (m — n + 2) 4 (m + n 5) n— 2 Ì punten %kjkg....An—g en de $ c nee iel dj punten 8 kj kg... kn eeneecf.,die uit de hoekpunten van ( nn 4 ee ) in (n — 1)-tallen op J (in — n + 2)-stralen rustende b (mn + 2)-hoeken, de middelpunten dier veelstralen en de genoemde stralen bestaat. Door het wegnemen van deze middelpunten valt deze cf. uiteen in }(m—n +2) cf, waarvan de punten en lijnen, na weglating van het getal i uit hunne notatie, door de combinaties der (xn — 2)de resp. (n — I)ste klasse van 3 (m + n-—2) getallen worden voor- gesteld, zoodat zij tot de groep van cf. behooren, waarover dit opstel handelt, De uitkomsten der beschouwingen van deze $ kunnen aldus samengevat worden : » De regelmatige (( 5 ) KD) ) welke door (n—l) n— 1/m—n+1 \2 Jr pin een (m—n + I)-straal beschreven volledige (m—n+tl)- »>hoeken bepaald is, levert door afzondering van eene hoofd- 8, m mn m » veelzijde eene : ( ) ) zoodra (mx) n— l/m-n % —_l/, Me s »even en ( ) door m en door n deelbaar is. 5* (68 ) »Zij kan na de verwijdering van een nevenveelhoek in twee mnl / m >ef., nl. eene | en eene nl Ante n—l De | cal m—And 2 el dem OM Edd mnd 2 her m » gesplitst worden, wanneer (mm — n) oneven en | , toor n= »m en (n— 1) deelbaar is. » Voor elke even waarde van (m + „) geeft zij aanleiding tot # sea m—nt2 k RE | »cef. [n EPT, : n—l Hm—n+2) 2 n—_l Ja 4 — 2 »die elk, na afzondering van \ eee fs | punten, in bm t-n—2) zm be | 1 EE 9 E | » ontaarden, welke met de oorspronkelijke ( SR | 7) | n—l mnl \ Nw / s ak » gelijksoortig zijn. PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 29 December 1SSS. Tegenwoordig de Heeren: vaN De SANDE BAKBHUYZEN, Voorzitter, Scuoure, KarrerN, BiEeRENs DE HAAN, HOFFMANN, Hoek, ZEEMAN, ZAANER, Barnr, MARTIN, vAN RrEMsDK, FrANcHIMONT, Mac GiLLAvRY, STOKVIS, LORENTZ, ENGELMANN, Prace, J. A. C. OUDeMANs, VAN DER Waars, HuBrecar, Grinwis, Murper, Forster, RAUWENHOFF, PEKELHARING, BEH- RENS, KAMERLINGH Onnes en C. A. J. A. Oupemans, Secre- taris; van de Letterkundige Afdeeling de Heeren: Beers, Boor, CHANTEPIE DE LA SAUSSAYE en DE LOUTER. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. de gedeputeerde Staten van Friesland te Leeuwarden, 29 November 1888; 20. J. Wrirreus, te Leuven, 26 No- vember 1888; 30. den Secretaris der Société mathématique de France te Parys, 22 November 1888; 40. den Secretaris der Société philomatique te Pars, 24 November 1888; 50. den Secretaris der Académie des Sciences, Arts et belles- Lettres te Dyon, 24 November 1888; 60. A. DarreMoxr, Secretaris der Société pour l'encouragement des Sciences. (0 des Lettres et des Arts te Duinkerken, 1888; 70. J. G. Tarr, Secretaris der royal Society te Edinburg, 2 November 1888; 80. H. Srresnr, Archivaris van het naturwissen- schaftlicher Verein te Hamburg, 1888; 90. C. Messer, Secretaris van het naturwissenschaftlicher Verein te Bremen, 1888; 10°. H. Bruns, Bibliothecaris van de astronomische Gesellschaft te Leipzig, 20 November 1888; 110. I. Auwers, Blibliothecaris van de kön. bayerische Akademie der Wissen- schaften te München, 22 November 1888; 120. de Redactie van PerERMANN's geographische Mitteilungen te Gotha, 22 November 1888; 130. Conwertz, Secretaris van de naturfor- schende Gesellschaft te Danzig, 23 November 1888; 140. Rurerr, Secretaris van het Nassauischer Altertumsverein te Wiesbaden, 24 November 1888; 150. LANDAurR, Voor- zitter van het Verein für Naturwissenschaft te Brunswijk, 28 November 1888; 160. W. Varenriner, Directeur van de grossherzogliche Sternwarte te Karlsruhe, 29 November 1888; 17°. Rrcnrer, Bibliothekaris van het Verein für Erdkunde te Dresden, 30 November 1888; 180. W. Heyp, Bibliothecaris van de königliche Bibliothek te Stuttgart, 1 December 1888; 190, Barack, Bibliothecaris van de kais. Universitäts- und Landes-Bibliothek te Straatsburg, 4 Decem- ber 1888; 200. I. EK. A. Martin, Secretaris van het Verein für Thüringische Geschichte und Altertumskunde te Jena, 9 December 1888; 210, J. von Sacus, Würzburg, 1888; 220, Tu. NörpeKe, Straatsburg, 29 November 1888; 230, H. Grar, Bibliothecaris van de Schweizerische Gesellschaft für die gesammten Naturwissenschaften te Bern, 18 December 1888; 240. ScHrAPARELLI, Secretaris der regia Lyncearum Academia te Rome, 4 December 1888; 250. den Secretaris van het Institut royal des Sciences et Lettres te Milaan, 1 December 1888; 260, TI, Bassa, Secretaris der Académie royale des Sciences te Turijn, 8 December 1888; 270. D. Curzoni, Directeur van de Biblioteca nazionale centrale te Florence, 3 December 1888; 280. H. Gyupen, Stoekholm, 938 November 1888; 290. E. pe Rreer, Directeur van den Jardin impérial de Botanique te St. Petersburg, 29 November 1888; 30%. M. BarceNa, Directeur van het Observatorio f Á (71) meteorologico central te Mexico, 23 October 1888; aange- nomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 19. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te 's Gra- venhage, 28 December 1888; 20. het Ministerie van Water- staat, Handel en Nijverheid te ’s Gravenhage, 15 December 1888; 3°. den Directeur van het magnetisch en meteorolo- gisch Observatorium te Batavia, September 1888; 40. L. F. von EersreiN, Berlijn, 24 November 1888 ; 50. Forsre- MANN, Archivaris van de kön. sächsische Gesellschaft der Wissenschaften te Leipzig, 1 September 1888 ; 60. J. C. Prr- Line, Directeur van de U. S. geological Survey te Washing- ton, 29 September 1888; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — De Heeren Scnors en VAN DrrsEN hebben zich schrif- telijk over hunne afwezigheid verontschuldigd. — Ïs ingekomen een opstel van den Heer Dr. JAN DE Vries: »Over de desmische configuratie 93,” ter opneming in de werken der Akademie. — Op verzoek van den Voor- zitter, zullen daarover in de Januarl-vergadering rapport uitbrengen de Heeren Bierens DE HAAN en VAN DEN Bere. — Wordt gelezen een concept-antwoord, op verzoek des Voorzitters buitenstijds opgesteld door de Heeren BosscHa, VAN pER Waars en LorENtz, op een schrijven van 4. H. den Minister van Binnenlandsche Zaken, over het plaatsen van ‘bliksemafleiders op de Abdij te Middelburg. — Het antwoord wordt goedgekeurd en zal in afschrift aan den Minister worden meêgedeeld. _ De Heeren J. A. C. OuprmaNs en KAMERLINGH ONNES brengen verslag uit over de verhandeling van den Heer Dr. vaN Rrckevorsen: » Magnetic Survey of the eastern part of Brazil’. — Hulde doende aan den belangloozen ijver en de (72) voortvarendheid van den koenen reiziger, van wien reeds tweemaal, in de jaren 1879 en 1880, magnetische waarne- mingen, in een ander werelddeel verricht, in de werken der Akademie werden opgenomen, stellen Rapporteurs, aan het slot hunner kritische beschouwingen voor, ook dezen der- den arbeid eene plaats in de Verhandelingen der Akademie aan te wijzen. Aldus wordt zonder discussie besloten. — Het opstel van Dr. JAN pe Vries, te Kampen: »Eene rangschikking van het puntenveld in involutorische groe- pen’ wordt, op voorstel van de Heeren Rapporteurs ScHoure en Bierens pe HAAN, aangenomen voor de Verslagen en Mededeelingen. — De Heer Husrrcur leest een opstel: » Ter nagedach- tenis van wijlen het lid der Akademie Prerer HARTING”, en biedt dit aan voor het jaarverslag 1888. — De Voorzitter brengt den Spreker den dank der Vergadering, wier applaus hem reeds had kunnen overtuigen, dat zijne rede met groote belangstelling was aangehoord. — De Heer BrereNs pe HAAN biedt ter plaatsing in de Verslagen en Mededeelingen eenige brieven aan van Con STANTIJN Huvyeens, den vader, aan père MeERSENNE. — De Heer FRANCHIMONT biedt, uit naam van den Heer Murper, voor de Verslagen en Mededeelingen aan twee op- stellen over scheikundige onderwerpen: 16. Dibroombarn- steenzure aethylester, monobroommaleïnzure aethyester en wijnsteenzure aethylester, in hunne verhouding tot kalium- aethylaat; 20. Over de verhouding van iodium, iodoform en methyleniodide tegenover natriumaethylaat, en over iodium tegenover natriumcarbaminzuur aethyl. — De Heer J. A. OC. Oupemars bespreekt de bepaling, in 1885 door Besse verricht, van de ligging en den terug= gang van het vlak van den ring van Saturnus. Hij komt tot het besluit, dat de waarnemingen van het verdwijnen en (73) weder verschijnen van den ring, waaruit Besse niet alleen de ligging der knooplijnen van gezegd vlak, maar ook den teruggang afleidde, waarvoor hij 3,848 per jaar vond, voor ‘het laatste doel uiet toereikend waren, maar dat men den teruggang liever theoretisch moet bepalen, als wanneer men dan 0,25 vindt. — De Heer VAN pe SANDE BAKHUYZEN biedt voor de Bibliotheek der Akademie aan een exemplaar van zijn » Rap- port sur les longitudes, latitudes et azimuths’’ opgenomen in de »Comtes Rendus de la Session de l'Association géolo- gique internationale à Nice, 1887” en licht enkele punten dier verhandeling nader toe. — Daar er verder niets te verhandelen 1s, sluit de Voor- zitter de Vergadering. BAP EO OVER EEN BRIEF DES MINISTERS VAN BINNENLANDSCHE ZAKEN, HANDELEND OVER HET PLAATSEN VAN BLIKSEMAFLEIDERS OP DE ABDIJ TE MIDDELBURG. (Uitgebracht in de Vergadering van 29 December 1888) Door den Voorzitter dezer Afdeeling werd in onze han- den gesteld een brief van den Heer Minister van Binnen- landsche Zaken, d.d. 28 November 1888, N°, 2403 Afd. K. W., waarbij de Akademie verzocht wordt hare meening te doen kennen over de plaatsing van bliksemafleiders op de Abdij te Middelburg. Uit den inhoud van den brief en de daarbij gevoegde bescheiden blijkt, dat Gedeputeerde Staten van Zeeland wen- schelijk achten de Abdij, voor zooverre zij Rijksgebouwen bevat, voor het inslaan van den bliksem te beveiligen, en voorstellen daartoe twee bliksemafleiders te plaatsen. De Riksbouwkundige voor de gebouwen van onderwijs, enz., acht dit aantal onvoldoende en meent dat twaalf opvang- stangen met onderlinge verbinding langs de nokken en vier afzonderlijke grondleidingen noodig zijn, een en ander aan te brengen op de plaatsen, aangeduid op twee teekeningen (een grondplan en een ontwikkelden opstand). Hij gaat daarbij uit van de bekende leer, volgens welke door een afleider de ruimte beveiligd wordt, welke onder de spits begrepen is binnen een rechten cirkelvormigen kegel, waarvan de spits des afleiders de top en een rechte hoek de tophoek is. De Minister stelt de vraag of, nu die gebouwen niet NE (75) merkbaar boven hunne omgeving uitsteken en de zeer hooge Abdijtoren van een afleider voorzien is, het aanbrengen van meerdere afleiders wel dringend noodzakelijk is. De Ondergeteekenden achten de beantwoording der vraag, of een gebouw door bliksemafleiders moet beschermd wor- den, grootendeels afhankelijk van de waarde, welke de gebouwen bezitten of bevatten; van de kansen dat door het inslaan van den bliksem een brand kan ontstaan, die niet aanstonds bedwongen wordt, en van de mogelijkheid dat grootere rampen, zooals ontploffingen, daarvan het ge- volg zijn. Twee hunner hadden reeds vroeger de eer, hier- omtrent hunne meening te doen kennen. (Zie het Verslag over bliksemafleiders op Rijksgebouwen te Delft, uitgebracht in de Zitting van 29 November 1879. Versl. en Meded. Tweede Reeks, Deel XV, bladz. 33). Naardien voor grootere rampen in dit geval wel geene vrees zal zijn, hangt de beslissing van de vraag, of het aanbrengen van bliksem- afleiders hier wenschelijk is, geheel en al af van de waarde, die aan het behoud der Abdij moet worden toegekend, en van de kans, dat een door bliksem ontstane brand, door onvoldoend toezicht of onvoldoenden toestand der blusch- middelen, eenige uitbreiding erlange. De Ondergeteekenden meenen dat zij, die met het beheer dezer gebouwen belast zijn, het best in staat zijn hierover te oordeelen. Zij moeten alleen verklaren, dat, naar hunne meening, het minder hoog uitsteken der gebouwen boven de omgeving, bij het hieromtrent te nemen besluit slechts een zeer gering gewicht in de schaal mag leggen. Aannemende evenwel, dat het beschermen der Abdij tegen bliksemgevaar wenschelijk wordt geacht, meenen zij dat de inrichting, door den Rijksbouwkundige voorgesteld, zonder eenigszins beteekenende vermindering der veiligheid, aan- merkelijk kan worden vereenvoudigd. Aan den hierboven genoemden bekenden regel, die op geene voldoende gegevens der ervaring berust, kan geenszins eene zoo alles beheerschende beteekenis gehecht worden, dat men dien slechts blindelings heeft toe te passen om zeker te zijn het juiste te treffen, zonder in overdrijving te vervallen, Trouwens, reeds volgens den regel zelven kan men hier met minder volstaan dan wordt voorgesteld. Immers, de over de nokken der daken te leggen verbindingskabel moet als een met den grond verbonden geleider worden aange- merkt, die eveneens zijn beveiligingskegel heeft en, reeds daardoor alleen, eenige der voorgestelde opvangstangen overbodig maakt. Men kan toch moeilijk een grond aanwijzen, waarom de bescherming, die eenig punt van den horizontalen kabel verleent, minder zou zijn dan die van den top der vangstang. Het schijnt ons dan ook toe, dat het aanbrengen van een koperdraadkabel over de nokken der gebouwen, zooals in de teekeningen is aangeduid, — te beginnen ongeveer waar hij, in de doorsnede over AB, door den bescher- mingskegel van den Abdijtoren wordt gesneden, d.i. bij de eerste der reeks van eif vangstangen, tot even voorbij de doorsnede ST —, als eene voldoende bescherming kan gel- den, en dat slechts twee vangstangen en twee afleiders met grondgeleidingen noodig zijn, namelijk de beide uiterste der door den Rijksbouwkundige voor dit deel der gebouwen voorgestelde. Het torentje bij E schijnt ons toe geene bij- zondere voorziening te vereischen; het behoeft niet met een afleider te worden gewapend. _J. BOSSCHA. Haarlem, Amsterdam, Leiden, J. D. v. ». WAAIS. 20 December 1858. H. A. LORENTZ. Kea FBR LE OVER DE VERHANDELING VAN Dr. E. VAN RIJCKEVORSEL, GETITELD : MAGNETIC SURVEY OF THE EASTERN PART OF BRAZIL. (Uitgebracht in de Vergadering van 29 December 1888.) De verhandeling, of liever het verslag van den Heer Dr. _E. van RrckevorseL, getiteld: Magnetic Survey of the Has- tern part of Brazil, kan als een vervolg beschouwd worden op de drie verslagen van denzelfden geleerde, aan Zijne Eixe. den Minister van Koloniën, betreffende zijne magneti- sche waarnemingen van den Oost-Indischen Archipel, welke in de jaren 1879 en 1880 in de Verhandelingen dezer Aka- demie zijn opgenomen. De rapporten over deze drie Versla- gen zijn uitgebracht in de vergadering van 1 lebruari 1879 door de HH. Buys Barror en STAMKART, in die van 25 Oetober 1879 door dezelfde Heeren, en in die van 27 Maart 1880 door de Heeren Buys Barror en den eerst on- “ dergeteekende van dit rapport. Het eerste verslag bevatte alleen de inclinatie-bepalingen, het tweede die van het magnetisch moment en de horizon- tale intensiteit, het derde die van de magnetische declinatie. Dr. RrcrkrvorseL had in die verhandeling zelf vermeld, dat en waarom het werk niet tot die volmaaktheid had gebracht kunnen worden, welke hij zich zelf ten doel had (8 « gesteld. Ook Rapporteurs konden de aandacht vestigen op enkele zaken, die door den Schrijver waren over het hoofd gezien. Zij voegden er echter uitdrukkelijk bij dat hunne opmerkingen in geenen deele afbreuk deden aan de verdien- sten, die Dr. RrsckevorseL zich met zooveel opoffering ver- worven had. Aan zijne begeerte om de wetenschap te dienen toch dankt de Afdeeling het voorrecht, dat zij eene vol- doende magnetische beschrijving van onzen Indischen Archipel van de hand van een landgenoot onder hare werken telt. Na het afdrukken van de genoemde verhandelingen besloot Dr. RrckevorseL eene 2de bijdrage tot de kennis van het aardmagnetisme te leveren, en werd hem, zoo wij ons niet | bedriegen, door ons geacht medelid Buys Barror eene op- | neming van Oost-Brazilië voorgesteld. De thans aangeboden omvangrijke verhandeling bevat al de uitkomsten van dit onderzoek, waaraan Dr. RrckevorseL, worstelende met moeilijkheden van allerlei aard, vier jaren heeft gewijd. De heer RisckevorseL kwam in December 1830 te Rio- Janeiro aan, vergezeld van Jhr. W. vaN ALPHEN, civiel in- genieur, die zich aan de sterrewacht te Utrecht voor het uitvoeren der sterrekundige waarnemingen had voorbereid, dit toch was een der werkzaamheden, die Dr. vaN RIJcKr- VORSEL aan zijn assistent wilde opdragen, De eerste reis geschiedde met een stoomschip, dat de Braziliaansche regeering daartoe goedgunstig had afgestaan, van Rio af langs de kust tot nabij Pará. Daar strandde het stoomschip, dat reddeloos verloren was, terwijl de op- varenden en instrumenten gered werden. Hierop volgde een gedwongen verblijf te Pará, doch ongelukkig werd hier Van ArPrHeN het slachtoffer van het klimaat. Dr. RrckKevoRseL ondernam nu, alleen vergezeld van een hollandschen bediende, twee reizen naar de binnenlanden, de eene langs de rivier Itapicuru, de andere van Amaracâo af, langs de Parnahyba. Die rivieren werden met stoomge- legenheid opgevaren, maar in eene boot of op een vlot weder afgevaren, en bij die afvaart werden verschillende punten bezocht. Te Pará in Mei 1882 teruggekomen, werd Dr, Risckevorser e (79) door malaria gedwongen, zoo spoedig mogelijk naar Europa de wijk te nemen; doch in 1883 was hij weer terug, thans verge- zeld door den heer H. ENGerLENBURG, eveneens Civiel Inge- nieur, met wien hij zijne eerste reis naar het binnenland maakte, n.l. (2 Aug. — 6 Sept. '83) de Capim op, een zijtak van de Tocantins: hierop volgde, (9 Sep. — 19 Oct. ’83) eene reis, de Tocantins half op, tot aan de watervallen. De heer ENGELENBURG bleef in dien tijd te Pará, even als gedurende de volgende reis van Dr. RrsckuvorseL, ten einde een jaar achtereen op dezelfde plaats geregelde variatie- waarnemingen omtrent het magnetisme te doen; eene der- gelijke reeks toch was noodig om de op verschillende dagen en dikwijls op verschillende uren, op de vele bezochte plaatsen verrichte waarnemingen tot één zelfde tijdstip te herleiden. Dr. RrcrkevorseL vertrok nu, na nog een paar punten nabij Pará bezocht te hebben, naar Rio Janeiro; en van daar 9 dagen over land, in eene noordelijke richting naar Carandahy, dat aan de San Francisco rivier gelegen is. Hier liet hij eene boot bouwen en zakte de San Francisco af, op een aantal plaatsen de magnetische elementen bepalende. Daar echter Carandahy ook per spoorwagen te bereiken was, werd eerst door een snelle reis de lengte van dit punt be- paald. Deze reis heeft in het geheel zeven maanden ge- duurd, maar daardoor werden ook de noodige gegevens ge- vonden, om de isoklinen en andere magnetische lijnen van Zuid-Amerika met eenigen graad van juistheid te trekken: Dit was de laatste groote reis die Dr. RrsckevorseL in Brazilië ondernam. Van Penedo, nabij den mond der San Francisco-rivier, keerde hij over zee naar Rio terug, en van daar, in Nov. 1884, naar Nederland, den heer Enar- LENBURG achterlatende, om even als hij te Pará gedaan had, ook te Nicterohy, nabij Rio, een jaar lang geregelde waar- nemingen te doen. Men lette hierbij op het breedteverschil van Pará en Nieterohy, eerstgenoemd punt ligt op slechts 2° ZB, Nic- terohy op 23°; het eene nabij de noordelijke, het andere aan de zuidelijke grens van het te onderzoeken gebied, en het was dus voor de reductie der waarnemingen tot één (80) Bad tijdstip van veel belang, de dagelijksche variaties voor deze beide uiterste punten te kennen. In een tweede gedeelte noemt Dr. RrsckevorseL de ge- bruikte instrumenten op en beschrijft hij de gevolgde me- thoden van waarneming, zoowel voor de astronomische, als de magnetische bepalingen. De heer vaN ALPHEN had nog met het universaal-instrument van BamBerG geobserveerd, waarvan de mikroskopen ééne sekonde aangaven, dat dus meer dan voldoende nauwkeurig was. Op de zeereis van Rio tot Pará, werden de lengtebepalingen aangesloten aan de door de Ame- Yikaansche marine bepaalde telegrafische lengten van Rio, Bahia, Pernambuco en Pará, en aan die van den Franschen kolonel Movcerez, thans directeur der sterrewacht te Parijs. Maar na den dood van vaN ArPHeN werd het universaal- instrument niet meer gebruikt; de kist, waarin het geborgen was, was te groot om in de booten geborgen te worden, en Dr. RrckevorseL deed zijne astronomische waarnemingen met een prismacirkel. Hoogten, door middel van een kwikbak, waren dus de waarnemingen, die voor het bepalen van lengte en breedte moesten dienen. Daar de lengten door middel der chronometers bepaald moesten worden, die, dit is nog niet vermeld, grootendeels door de Nederlandsche Regeering waren ter leen verstrekt, werd het verblijf op elke plaats, op weinige uitzonderingen na, zoolang gerekt, tot er een gang der chronometers kon afgeleid worden. De meerdere of mindere overeenkomst, tusschen al de gangen, gedurende die lange reis door denzelfden tijdmeter bezeten, was een maatstaf van het gewicht, dat aan elken tijdmeter moest worden toegekend. Met veel zorg werd voor elke waarne- mingsplaats de waarschijnlijkste lengte afgeleid; het komt rapporteurs echter nog twijfelachtig voor of de onderstelling, de variaties van den gang als toevallige afwijkingen te be- schouwen, wel vrij is van alle bedenkingen, daar enkele chronometers wel degelijk eene nagenoeg eenparige veran- dering van den gang verraden. Ook de breedten werden met behulp van de zon genomen. In onze zomermaanden, voor Brazilië de wintermaanden, stond de zon bij den middag laag genoeg, om met behulp NE (81) van den kwikbak de dubbele middaghoogte met den pris- macirkel te meten, maar bij het naderen van den Braziliaan- schen zomer kwam de zon te hoog, en werden dus waar- nemingen van den voor- en namiddag verbonden om de breedte te bepalen. Daardoor viel de laatste onzekerder uit, maar daar de geografische plaatsbepaling niet de hoofdzaak was, werd over dit bezwaar heengestapt. Rapporteurs vatten niet goed, waarom in die tijden niet van sterren gebruikt gemaakt werd voor de bepaling der breedte. De sterren van de eerste en tweede grootte kunnen met een prismacirkel met het grootste gemak worden waarge- nomen *), en een paar zulke hoogten nabij den meridiaan *) Hier zouden in aanmerking gekomen zijn: a Gruis 22u Jm — 479,5 a Pegasi 2259 + 14 6 & Andromedae O0 2 + 28 5 a Cassiopeiae 034 + 55 9 « Eridani l 83 — 57 ,8 enz. De wijze, waarop breedte en tijd werden afgeleid, ingeval beide onzeker waren, was de volgende: met eene aangenomene breedte werd, uit de waarnemingen die daarvoor het best waren, de correctie der chronometers afgeleid, en wel uit elke waarneming afzonderlijk; daarmede uit andere waarnemingen, met inachtneming van den gang des chronometers, de breed- te; met de aldus gevondene breedte werd de correctie des chronometers op nieuws berekend, enz, en dit werd zoolang herhaald als noodig bleek. Voor de noordelijke plaatsen bleek deze methode, zegt de schrijver, „exceedingly tiresome” te zijn. Men zou hier kunnen opmerken, dat dat herhalen der berekening ge- heel onnoodig was; mits bij beide berekeningen slechts de noodige diffe- rentiaalquotiënten, voor het gemiddelde tijdstip der waarneminggroep, er bij berekend worden. Zij namelijk p de aangenomene breedte, z de cor- rectie des chronometers, en men hebbe voor die correctie gevonden: dan is, als B de ware breedte beteekent: do=B—gp de ware correctie des chronometers: == XtalB—g) VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3Î@ REEKS. DEEL VI. 6 (82) gedaan, zouden eene nauwkeuriger breedte gegeven hebben dan de zonshoogten konden opleveren in de omstandigheden waaronder dit gedeelte der reis werd volbracht; en waar- schijnlijk ook dan de uit eene kaart ontleende. Het tweede gedeelte van het Verslag is bewerkt door den Heer ExcereENBuRG, en behandelt de variatiewaarne- mingen, gedaan van Sept. 1882 tot November 1883 te Pará, en van 15 April 1884 tot 31 Maart 1885 te Nicterohy bij Rio de Janeiro. Het derde gedeelte, weder van de hand van den Heer RisckevorseL, behandelt de absolute magnetische bepalingen door hem op zijne reizen verricht, waarachter nog gevoegd is eene paragraaf over de herleiding dezer waarnemingen tot ééne zelfde epoche. Een vierde gedeelte, bevattende meteorologische waarne- mingen, besluit het geheel. De variatiewaarnemingen betroffen enkel de declinatie. Want hoewel de drie bekende toestellen van LaMonNr voor en de ware breedte: d + ab(B—op) == B waaruit : bd Bo = A of ab Borge) Nl / / De bedoelde differentiaal-quotiënten zijn, voor de tijdsbepaling door de eerste ster, als 3 de declinatie en / den uurhoek beteekent, en de chro- nometer naar sterretijd loopt: k de LOL db Bp 1Bolsint! otg ll en voor de breedtebepaling door de tweede ster, wier declinatie = #!, enz.: dp Àp sin t/ en 4 uth Ee 15 15 ég Azimuth cos p - Es Win Or A Loopt de chronometer naar middelbaren tijd, dan moet de eerstgenoemde 865,24 866,24 3 í waarde nog met „… … en de laatste met — — — vermenigvuldigd worden. 366,24 365,24 (83) variatiewaarnemingen van declinatie, horizontale intensiteit en inclinatie aanwezig en ook opgesteld waren, slaagde men er niet in, uit de aanwijzingen der laatste de variatie af te leiden. In het variatie-instrument voor de horizontale in- tensiteit wordt aan de magneetnaald eene afwijking mede- gedeeld door een zoogenaamden deflector, bestaande uit een houten balkje, dat iets hooger dan, doch loodrecht op de richting der magneetnaald wordt aangebracht, en waaronder op gelijke hoogte als de magneetnaald twee gelijk gerichte magneten in gelijke richting als de balk zelve zijn aan- gebracht; van deze beide magneten heeft dus de eene de noordpool, de ander de zuidpool naar het midden der mag- neetnaald gericht, en zij versterken dus elkander, door beide eene afwijking der naald maar dezelfde zijde te veroorzaken. De variaties in de afwijking van den magneet, welke op de gewone wijze met spiegel en schaal worden afgelezen, hangen niet alleen af van de variatie der horizontale inten- siteit, maar ook van de verandering der declinatie en van de verandering van het magnetisme der deflectoren met de temperatuur. Ten einde den laatsten invloed gering te maken, zijn de deflectoren gecompenseerde magneten. Het bleek nu dat deze gecompenseerde deflectoren te zwak geko- zen waren om geschikte afwijkingen te geven aan de waar- genomen magneetnaald, en toen zij, door het opheffen der compensatie, geschikt werden om groote afwijkingen te ge- ven, bleken de aanwijzingen van den toestel hoofdzakelijk door temperatuurveranderingen veroorzaakt te worden, en werden de waarnemingen dus gestaakt. Rapporteurs kunnen niet anders dan dit bejammeren en voelen zich gedrongen de vraag te opperen, of misschien verzuimd was de varlatietoestellen vóór het aanvaarden der reis te bestudeeren, na ze, kunstmatig onder nagenoeg dezelfde omstandigheden gebracht te hebben als waaronder men ze voor de waarnemingen zelve wenschte te gebruiken, en of men zich, zelfs in aanmerking genomen de ongunstige toestand in Brazilië, niet wat al te spoedig heeft laten ont- moedigen, daar het toch bekend is, dat ook variometers met niet gecompenseerde deflectoren zeer bruikbaar zijn. Ook 6* (84) in het waarnemen van de variatie der inclinatie slaagde men niet. De inrichting van het hiertoe dienende instrument is geheel overeenkomstig het zoo even beschrevene, maar de deflecteerende horizontale magneten worden vervangen door vertikale ijzeren stangen, aan beide zijden der magneet- naald, tegenover haar midden, op ongelijke hoogte opge- hangen, zoodanig dat van de eene stang het ondereind, van de andere het boveneind nagenoeg op dezelfde hoogte der. magneetnaald komt. De aarde induceert in deze stangen magnetisme, en hetzelfde heeft plaats als bij het intensiteits- variatie-instrument, nl. aan de beide zijde der naald komen verschillende polen, en afwijking der naald is het gevolg, Maar ook dit instrument weigerde te Pará zijne diensten. De vertikale composante van het aardmagnetisme bleek noch aldaar, noch later te Rio, sterk genoeg te zijn om eene voldoende afwijking te weeg brengen, en ook inclinatie- variatie-waarnemingen moesten dus worden opgegeven. Dat de vertikale ijzeren staven op sommige plaatsen in Brazilië geen voldoende geïnduceerd magnetisme zouden ver- krijgen om de variatie der inclinatie aan te geven, was te voorzien, daar de magnetische equator door Brazilië loopt, en wellicht ware eene inclinatienaald op messen, voorzien van een afleesspiegeltje, (eene zoogenaamde balans van Lroyp,} te beproeven geweest. Even als bij de horizontale variatiën ligt in dit geval de vraag voor de hand, of men niet althans tijdig voor de waarnemingen in Niecterohy nog geschikte toestellen uit Kuropa had kunnen laten overkomen. Maar rapporteurs willen hier niet verder over uitweiden, daar immers hun eigenlijke taak is te adviseeren omtrent het al of niet opnemen van het Verslag van Dr. RiscKe- VORSEL, in de Werken der Akademie. De variatiewaarne- mingen dan, zoowel te Pará, als te Nicterohy, die, zooals gezegd is, enkel de declinatie betreffen, zijn met alle zorg herleid en de resultaten in verschillende tabellen medege- deeld. Door vergelijking van een drietal absolute declinatie- waarnemingen van Dr. RrsckuvorseL met de gelijktijdig gedane aflezingen van den heer EiNGELENBURG werd de con- stante afwijking voor een bepaald schaaldeel, en door ver- (85) gelijking van eene reeks bepalingen van beide heeren de waarde van elk schaaldeel bepaald. De waarnemingen werden gewoonlijijk viermaal daags verricht, maar op vaste tijden ook meermalen, o. a. den Ien en 152 der maand, 24 uren achter elkander elk uur. Den 27 Aug. 1883 des namiddags werden storingen waar- genomen, die aan de uitbarsting van Krakataoe werden toegeschreven. De gemiddelde afwijkingen voor al de uren van het et- maal en van alle maanden des jaars zijn nu voor beide plaatsen zoo goed mogelijk afgeleid. Als eene merkwaardigheid kan nog worden medegedeeld, dat bij onweer te Pará niet, te Rio wel storing van de declinatie- naald bij elken bliksemslag werd waargenomen. Te Batavia was die invloed duidelijk waarneembaar, zooals de eerst on- dergeteekende zich herinnert van BerasMa vernomen te hebben. In het volgende gedeelte, door Dr. Rrsokrevorsen zelf op- gesteld, en gewijd aan de absolute waarnemingen, beschrijft hj eerst de volgorde der op elke plaats gedane waarne- mingen. Wij stippen alleen aan, dat, om niet te afhankelijk te zijn van toevallige lokale storende invloeden, zijne ge- woonte was, altijd op twee punten, die eenige tientallen meters van elkander lagen, de waarnemingen te volbrengen. De rust, die buiten de steden heerschte, maakte dat de waarnemingen aldaar verricht, gewoonlijk beter overeen- kwamen, dan die welke in de steden gedaan werden. Bij de beschrijving zijner declinatiewaarnemingen geeft Dr. RuckevorseL van den daarbij gebruikten uniflar mag- netometer, Kew pattern, van Errror Broruers te Londen, eene kritiek, die wel behartiging verdient. Reeds bij de waarnemingen in den O.-L. Archipel gedaan, werden, zooals de rapporteurs over de 38° verhandeling op- merkten, verschillen gevonden, die niet moesten voorkomen, indien en de instrumenten, en de waarnemings-methoden goed waren. Ook hier kwamen dergelijke verschillen voor, en Dr. RisckEvorsEL noemt sommige oorzaken op, die er schuld aan kunnen zijn. Men zou wenschen dat de Repsorp's den unifilar eens onderhanden namen om er werkelijk een in-= (86) strument de précision van te maken. Dan zou hj er zeker ook op rekenen, dat de waarnemer een hoofd heeft, en dus het instrument door een prisma zoo ivrichten, dat niet gewacht behoeft te worden, totdat de zon hoog genoeg staat om boven des waarnemers hoofd in het zonnespiegeltje te schijnen. Bj inclinatiewaarnemingen, waarbij steeds meer dan eene naald gebruikt werd, (het inclinatorium was van JonN Dover te Charlton,) had Dr. RisckevorseL weer de bekende erva- ring, dat elke naald, al worden de waarnemingen volgens de bekende voorschriften gecombineerd, voor en na de om- keering der polen, toch hare » persoonlijke fout’ bezit. Het schijnt zeer moeielijk te zijn, althans met inclinatie-naalden, eene nauwkeurlgheid te bereiken volkomen gelijk aan die der aflezing. De bepalingen der horizontale idensiteit werden met het- zelfde unifilar-instrument verricht, dat voor de declinatie- bepalingen diende, doch hier waren de slingertijden en de afwijkingen, die de gebruikte magneetnaald, als deflector aangewend, op twee verschillende afstanden gaf, de gege- vens om er het resultaat uit af te leiden. Er volgt nu een. zoo volledig mogelijk onderzoek naar de seculaire variatie der drie magnetische elementen. Hiervoor konden dienen: 10, waarnemingen, door Dr. Rrsckevorsen zelf op twee verschillende tijdstippen gedaan ; 20, waarne- mingen, vroeger door Forster, Lrars, Movourz en anderen op verschillende tijdstippen, maar op dezelfde plaatsen verricht; 30, waarnemingen van anderen, vroeger, en van Dr. Risckr- VORSEL, nu verricht. Voor de declinatie werd met vrij groote nauwkeurigheid eene jaarlijksche toeneming der westelijke declinatie van 8',5 gevonden; voor de inclinatie kwam ter nauwernood eene variatie aan den dag; althans van het zuiden naar het noorden gaande, gaf Rio + 0°,03, Bahia, Pernambuco, Ceara en Maranhäo zwakke negatieve waarden, en Pará weder 0°,00, zoodat voor de geheele serie nul werd aangenomen. Voor de horizontale intensiteit gaven eenige goed overeen stemmende verschillen — 0,0130. Ten slotte moeten wij er nog bijvoegen, dat voor declinatie (87) en horizontale intensiteit ook de dagelijksche variaties werden aangewend, ten einde al de waarnemingen op een gemeen- schappelijk tijdstip, nl. den 1 Januari 1883, te 10 uur des morgens te herleiden. | Dit is geschied en hiermede zijn de eindtabellen samen- gesteld, die weder tot grondslag gestrekt hebben van de drie kaarten, waar de isogonen, isoklinen en isodynamen op zijn aangebracht. Deze kaarten zijn dergelijke, als bij de drie verslagen van Dr. RrsckKEvorseL over zijne waarnemin- gen in den O.-l. Archipel zijn gevoegd geweest. Rapporteurs meenen hiermede de bespreking van de me- thoden en uitkomsten te kunnen eindigen. leder, die zich met de geregelde waarnemingen van het aardmagnetisme heeft bezig gehouden, kent de groote eischen, die daardoor aan den waarnemer worden gesteld. Reeds het volbrengen der omvangrijke berekeningen, waarbij, (dit mag voorzeker met instemming van den schrijver met een woord van waar- deering worden gezegd) Dr. RrickevorseL trouw door den heer ENGELENBURG werd bijgestaan, eischte eene groote vol- harding. Evenmin behoeven wij te zeggen, hoezeer de ont- beering op prijs is te stellen, die de heer RrsckevorseL zich moest getroosten, om im een tropisch klimaat en in eene nauwe boot reizende, bij het afzakken eener rivier op gere- gelde afstanden wetenschappelijke waarnemingen te verrichten. Wij zijn overtuigd dat de Afdeeling de wijze waarop Dr. VAN RIJCKEVORSEL eenige zijner beste jaren aan wetenschap- pelijke ontdekkingsreizen vol bezwaren heeft gewijd, van ganscher harte toejuicht, en het is ons eene aangename tiuak, als onze meening uit te spreken, dat de door hem in Bra- zilië verkregen uitkomsten een belangrijk geheel vormen en een waardig tegenhanger zijn van hetgeen hij in den In- dischen Archipel heeft tot stand gebracht. Volgaarne ad- viseeren wij dan ook tot opneming van deze Verhandeling in de werken der Academie. Utrecht en Leiden. December 1888. J. A. C. OUDEMANS. H. KAMERLINGH ONNES, VE RG AMW OMTRENT DE VERHANDELING VAN Dr. J. DE VRIES. EEN RANGSCHIKKING VAN HET PUNTENVELD IN INVOLUTORISCHE GROEPEN. (Uitgebragt in de Vergadering van 29 December 1888.) Ben kromme K„ van den nden graad is bepaald door n(n +3) punten. Denkt men zich ter bepaling van zulk een kromme echter niet 4x (n + 3), maar één punt minder gegeven, dan gaan er door deze $n(n + 3) — 1 gegeven punten een oneindig aantal krommen K„, die behalve de gegeven punten nog & (xn — 1) (n — 2) andere punten met elkaar gemeen hebben. Deze verzameling (Á) van krommen K„ noemt men een bundel; de 4n(n—3)— l gegeven punten en de } (xn — I)n — 2) verder nog aan alle krom- men gemeenschappelijke punten, die door deze worden be- paald, vormen samen de „n° basispunten van den bundel. Stelt men zich nu verder voor, dat de tn(n + 3) —l gegeven basispunten op één na een vaste ligging hebben en deze vaste punten bj,bz,bg,..ban(n43)—2 door een bewegelijk punt (5 tot 4x(n +3) — 1 gegeven punten worden aangevuld, dan zal men bij elken stand van (9 een nieuw stel van 4 (xn — 1) (n — 2) bijkomende basispunten vinden ; terwijl dan bovendien de groepen, telkens gevormd (89 door het willekeurig aangenomen punt /? en de door dit punt bepaalde 4 (n — 1) (n — 2) basispunten, de eigenschap- pen bezitten van involutorische groepen, nl. dat een punt van het vlak slechts tot één bepaalde groep behoort en deze groep door elk harer punten bepaald is. Het onder- zoek dezer involutorische groepen ({9) maakt het onderwerp uit van de verhandeling, over welke wij thans verslag uit- brengen. In de eerste plaats wijst Dr. pr Vries — in het voet- spoor tredende van Dr. Emin Weyr — aan, wat men on- der coïncidentiepunten y/, onder coïncidentiegroepen (y), onder vertakkingspunten p te verstaan heeft. Daarbij komt hij met behulp van zijn onderzoekingen omtrent involuties op kromme lijnen (Verslagen en Mededeelingen, reeks 3, deel 4, blz. 332) tot het besluit, dat de meetkundige plaats der coïncidentiepunten van het stelsel een kromme C3(n— 1) van den graad 83 (n — 1) is. Deze uitkomst is niet nieuw. Want de bedoelde kromme is de kromme van JacoBr voor het net ((K„)) der krommen Ks, die door de 4 n (n + 3)—2 vaste punten b gaan. Wanneer een der punten /) van een groep (/9) een rechte lijn Z doorloopt, beschrijven de overige punten dier groep een zekere kromme Ms; de bepaling van den aard dezer kromme vormt een der belangrijkste deelen van schrijver’s onderzoek. Deze kromme M/ blijkt van den n° — 1sten graad te zijn en in elk der punten b een »-vondig punt te hebben. Gaat L door een der punten b, dan scheidt de kromme uit het net, die in dit punt 5 een dubbelpunt heeft, zich van de kromme M af; is L de vereenigingslijn van twee punten b, dan herhaalt zich dit nog eens. De eigenlijke kromme M is dus in het eerste geval van den n° — n — 1sten, in het tweede geval van den „n° — An — Íeten graad, Hieruit nu is in het algemeen af te leiden, wat de overige punten fB eener groep ({%) doen, als men een der punten /} een kromme beschrijven laat. Als /} een kromme van den mien graad doorloopt, die achtereenvolgens h,-maal door b; gaat, dan beschrijven de overige punten f een kromme van den graad mm (n? — 1) —n 2 hi, die mn — & hj — hijs (90 ) maal door b; gaat. Van deze meer algemeene uitkomst, die onmiddellijk uit schrijvers resultaten volgt, wordt alleen het geval beschouwd, dat (9 de kromme van Jacorr doorloopt, in welk geval er dan rekening mee te houden is, dat deze kromme zelf tot de bedoelde meetkundige plaats behoort. Maar de Heer pr Vries leidt den graad dezer » wertakkings- kromme’ V langs anderen weg af. Een tweede hoofdpunt in de beschouwingen van Dr. pe Vries betreft de involutie van de groepen der 3 (n —1)(n—2) punten (9, die bij de punten eener rechte lijn behooren. Deze involutie, gelegen op de bij de lijn Z behoorende kromme M, blijkt 2 (xn? — 1) (n — 3) dubbelpunten te heb- ben; de verbindingslijnen der tot een zelfde groep behoo- _ rende punten (/} omhullen een kromme, waarvan de klasse 4 (n?—1)(n—2) (n—3) is. Deze uitkomsten worden door den schrijver afgeleid met behulp van een nieuwe meetkundige plaats, nl. die der tot een zelfde groep behoorende paren van punten /, die collineair zijn met een gegeven punt a. Deze meetkundige plaats is een kromme MN van den graad 3 (n—1l)(n —2), die a tot 4 (n — 1) (n — 2)-voudig punt en de gegeven punten & tot » — 2-voudige punten heeft. Op haar beurt wordt de graad dezer hulpkromme gevonden met behulp van het aantal 3 (rn — 1) (n — 2) der neutrale paren van de involutie 72, door het net ((&£)) op elke rechte jn ZL bepaald, die de 3 (n — 1) snijpunten dezer lijn met de kromme van JacoBr tot haar n°? — 1 snijpunten met haar kromme M aanvullen. Ook als we ons tot het aanstippen der hoofdzaken be- palen, moet nog worden vermeld, dat de Heer pr Veres twee bijzondere gevallen nader onderzoekt. Im het eerste wordt ondersteld, dat „ van de gegeven punten b op een rechte lijn — en meer algemeen, dat np—} (p—l) (p —2) dier punten op een kromme XK, van den pien graad — ge- legen zijn. En in het tweede bijzondere geval wordt aan- genomen, dat eenige der gegeven punten b zich tot aan alle krommen van het net gemeenschappelijke veelvoudige punten vereenigd hebben. Voor zoover ons bekend is, zijn de door den Heer pr (91) . . _ Vries verkregen uitkomsten voor het meerendeel nieuw ; naar ons oordeel verdient zijn verhandeling ten volle in de werken der Akademie te worden opgenomen. Groningen en Leiden, December 1888. P. H. SCHOUTE. D. BIERENS DE HAAN. EENE RANGSCHIKKING | VAN HET PUNTENVELD IN INVOLUTORISCHE GROEPEN, DOOR JAN DE VRIES. In eene verhandeling: Sur la transformation conjuguée *) heeft Dr. P. H. Scrourr de involutorisch birationeele trans- formatie onderzocht, welke bij een bundel krommen van den derden graad met zeven vaste basispunten door de beide overige veranderlijke basispunten wordt bepaald, en verder aangetoond, dat deze overeenkomst ook bij krom- menbundels van hooger graad kan ontstaan, wanneer in de vaste basis veelvoudige punten worden aangenomen. De volgende bladzijden bevatten beschouwingen over de groepen van basispunten der bundels van vlakke krommen, welke begrepen zijn in een net met 4x (n + 3) — 2 vaste punten. 1. Alle krommen KK, die 4n (n + 3) — 2 punten b gemeen hebben, vormen een net ((K„)); de krommen van dit net, die bovendien een punt /) gemeen hebben, behooren tot een bundel (Á,), waarvan de basis uit de punten b, het punt (2 en 4 (n — 1)(n — 2) punten /2' bestaat, die met fì eene involutorische groep ({}) vormen. Hebben de door %*) Association francaise pour lavancement des sciences, Congrès de Montpellier, 1879, eeen vil heren de ada naden ml sate dd a SE de (95 ) een punt y bepaalde krommen K„ in dat punt eene gemeen- schappelijke raaklijn, dan zijn daar twee punten (3, /2' tot een »coincidentiepunt’ vereenigd: zulk eene »coincidentie- groep’ (y) bezit dan nog 3 n (n — 3) »vertakkings- punten” gp. De kromme B; van het net, welke in het punt bj een dubbelpunt bezit, behoort tot alle (K,) waarvoor () in eene bepaalde richting met b, is samengevallen; zij bevat dus de punten 2’, die bj tot groepen ({}) aanvullen. Door de dubbelpuntsraaklijnen van bj worden twee coincidentiegroe- pen bepaald: de meetkundige plaats C der coincidentiepun- ten y gaat dus twee maal door bj en heeft met B} de raaklijnen in het dubbelpunt gemeen. Op elke XK, van het net vormen de groepen (/)) eene involutie /‚, waar s= Fn(n—3) + 2, welke door elken bundel van (‚A,)) wordt ingesneden en 2 (9 + s — 1) coincidentiepunten bezit *. Behalve deze 2 (n — I)(n — 2) punten heeft de >coinci- dentiekromme” C in elk punt b twee punten met de bedoelde K, gemeen; zij is dus van den graad [2 (n — In — 2) + (n — 1)(n + 4)]: n= 3 (n — U). 2. Bestaat tusschen de bundels (K,)' en (K,)', die in (A5) door (/7) en (/9)' zijn aangewezen, eene (p, g) over- eenkomst, dan snijden zij de willekeurige lijn Z volgens twee reeksen in (np, »q) overeenkomst, waarvan de # (p +g) coincidentiepunten snijpunten van toegevoegde krommen zijn. Daar de overeenkomst op eene door bj getrokken lijn in eene ((n — 1) p, (n — 1) g) ontaardt, gaat de kromme van den graad n (p + q), die door de bundels wordt voortgebracht, (p + q) maal door elk punt b. Evenzoo blijkt, dat zij q resp. p maal gaat door de punten ({) resp. (/2)". Door de transformatie, welke aan een punt /ò de overige punten der groep (2) toevoegt, gaat deze kromme in zich zelve over. Komt voor het geval g =p de K„, welke de beide bun- *) J. pe Vries, Over kwadrupelinvoluties op bikwadratische krommen. (Wersl. en Med. 3de reeks, deel IV, bl, 322). g stelt hier het geslacht van den drager voor, (94) dels gemeen hebben, p maal met zich zelve overeen, dan ontaardt de voortgebrachte kromme in eene Kp, die p maal door de punten b gaat en de groepen (3) en ({?)' niet meer bevat. 3. Wordt de overeenkomst van (K„)' en (K„)' zoo ge- regeld, dat toegevoegde krommen elkander op de kromme C snijden, dan is g=p =2(n—l}(n—2), daar C door elke K„ buiten de vaste basis in 2 (n — 1) (n — 2) punten gesneden wordt. Van de voortgebrachte kromme scheiden zich af de aan beide bundels gemeenschappelijke 2(n—l)(n— 2) maal te tellen AK, en de dubbel te tellen C, en er blijft over eene kromme V van den graad 4 n (n— 1)(n— 2) — Inn — Dn —2) — Ó(n — 1) = 2(n? — 1)(n — 3), die ik »vertakkingskromme’’ noem, daar zij de punten bevat, welke de punten y tot groepen aanvullen. Omdat de drie krommen samen 4 (n — 1) n — 2) maal door bj, gaan en C en K„ samen 4 + 2 (n — 1)n — 2) doorgangen opleveren, heeft V in de vaste basispunten 2 n (n — 3)voudige punten. De 2n(n—3) in bj vereenigde punten p behooren tot even zoovele doorsneden van B, met C; daar deze beide krommen in elk der overige } n(n +5) — 9 punten & (n? + 3n-— 6) punten gemeen hebben, liggen er 6 in bj waaruit op vieuw blijkt, dat B, en C de dubbelpuntsraak- lijnen gemeen hebben. A. Voegt men twee krommen K„ en K„, welke elkander op de lijn L snijden, aan elkander toe, dan vormen de bundels eene (n, n) overeenkomst, waarin hunne gemeen- schappelijke kromme » maal met zich zelve overeenkomt. De punten van L worden dus tot groepen ({}) aangevuld door de punten eener kromme M van den graad (n° — 1), die n maal door de punten b gaat, en behalve met L nog }n(n —83) maal met zich zelve overeenkomt. Van de snijpunten van M en L liggen er 3 (n — 1) op C; de overige (n — 1)(n — 2) komen paarsgewijze met elkander overeen en zijn de neutrale paren der involutie van den „den graad en 2den rang, welke door (£„)) op L wordt ingesneden, (95) Gaat L door bj, dan zijn (K,) en (K‚)' in eene (n—l‚n—l), terwijl hunne gemeenschappelijke K,„ (n — 1) maal deel uitmaakt van de door hen voortgebrachte kromme van den graad 2n(n — 1); L wordt dan vervormd in eene kromme van den graad (n° — n — 1), die (n — 2) maal door b,, (n — 1) maal door elk der overige punten b gaat. Deze verlaging van den graad der kromme M/ is toe te schrijven aan het feit, dat met bj overeenkomt de kromme B, als meetkundige plaats der punten (5, welke met bj groepen (/2) vormen. Op dezelfde wijze blijkt, dat de M, waarin de door 5; en ba getrokken L vervormd wordt, in Bj, Bj en eene kromme van den graad (n° — 2n — 1) ontaardt, die (n — 3) maal door bj en door bz, (rn — 2) maal door elk der overige b gaat. 5. Van de (n° — 1)? snijpunten van M; en Ms, waarin Ly en Lg door de groepen ({%) vervormd worden, liggen er n° in elk der 4 (x — 1) (n + 4) vaste basispunten, terwijl er } (n — 1) (n — 2) met het snijpunt van Lj en Ly eene groep (/) vormen. De overige 4 n (n — 3) (n° — 1) kunnen gebracht worden tot (n° — 1) groepen, die elk door een snijpunt van Zj met Ms en een snijjpunt van Ly met M; tot eene (/ worden aangevuld. Een stralenbundel wordt dus niet in een krommenbundel getransformeerd; dit is een gevolg van het feit, dat M, met M, + Lj, My met My + Ly overeenkomt. Door twee punten a en (2 gaan 4 (xn — 1}? (n — 2)? krommen Ms; deze ontstaan door vervorming uit de lijnen L, die de punten der door a bepaalde groep met de punten van (f>) verbinden. Behooren de twee punten, tot eene groep (2), dan bepaalt elke lijn door 2 punten van (/}) eene M, die de gegeven punten bevat; het aantal krommen is dan bn? —3nt 4) Mira} 6. De krommen van ((K„)), welke door het punt o gaan, bepalen op de lijn ZL eene involutie van den „den graad met (96) 2 (n — 1) eoïncidentiepunten; de meetkundige plaats (o, L) der (n — 1)-tallen van punten, in welke de kromme X„, die L in p aanraakt, den straal op bovendien snijdt, gaat dus 2 (n — 1) maal door o, en is van den graad 3 (n—l). Elke van hare doorsneden met ZL is blijkbaar dubbelpunt op eene K,„ van het net. De involutie JZ, ontaardt op eene door bj getrokken lijn in eene J„_—1, waardoor de graad van (o, L) met twee verlaagd wordt: de meetkundige plaats der dubbel- punten van ((K„)) gaat dus tweemaal door elk punt 5 en is van den graad 3 (n — |). Daar elke Á,„ met dubbelpunt d een bundel bepaalt, waarvan de krommen in d twee punten gemeen hebben, is d een der punten y: de meetkundige plaats der dubbelpunten is dus identiek met de coincidentie- kromme. 7. Samenvattende heeft men dus: » Doorloopt een basis- „punt van een bundel algemeene vlakke krommen van den pnden graad met 4 (n — 1) (n + 4) vaste basispunten eene »rechte, dan beschrijven de overige veranderlijke basispunten peene kromme van den graad (n? — 1) met » voudige punten »in de vaste basis; gaat de bedoelde rechte door een der » vaste basispunten, dan maakt de kromme Á,„, welke in dat » punt een dubbelpunt bezit, deel uit van de overeenkomstige » kromme. Doorloopt een basispunt de kromme van den graad »3 (n — 1), die de dubbelpunten van krommen K,„ bevat, en »tweemaal door de vaste basis gaat, dan beschrijven de ove- » rige basispunten eene kromme van den graad 2 (n° —1) (n—3) »met 2n (n — 3)voudige punten in de vaste basis.” 8. Liggen n punten b in eene rechte K;, dan vormen de overige 5 (n — 1) (n + 2) — 1 met A(n —2) (n — 3) andere punten c de basis van een (Ki). Elk op Kj ge- kozen punt (2 bepaalt dan een (K‚), die uit K, en (K‚—i) is samengesteld, zoodat de door (9 aangewezen groep (3) uit de $(n— 2) (n — 3) punten c en (n — 2) willekeurige pun- ten van Kj bestaat. Met elk punt c komt dus de geheele lijn Kj overeen, met elk punt van K} de punten c benevens de lijn Aj zelve. De kromme C ontaardt dan in K, en Ch eene kromme C' van den graad (3n — 4), terwijl M, na af- scheiding van de lijn K,, eene kromme van den graad (n? — 2) blijkt te zijn, die (n — 1) maal door de op K; gelegen punten b, n maal door de overige b en een maal door de punten c gaat. Wordt L door een op Á; geplaatst basispunt b, getrok- ken, dan is M/ van den graad (n° — n — 2), (daar de kromme B, deel uitmaakt van de met L overeenkomende kromme), en heeft in het punt bj een (n — 3)voudig, in de overige op K, gelegen b een (n — 2voudig, in de buiten Kij ge- plaatste b een (n — I)voudig punt. Gaat L daarentegen door een niet op A} gelegen punt b, dan is dit laatste, evenals de basispunten op A}, een (n — 2)voudig punt der kromme M van den graad (n° —n — 2), terwijl de overige punten 5 (n — I)voudige punten zijn. Kunnen np —t(p—l)(p—?2) basispunten van ((K„)) door eene Á, verbonden worden, dan bepalen de overige F(n—p)(n—pd3)—l een (Kop), tot welks basis nog b(n —p — 2) (n —p—l) punten c behooren. Hen punt (2 op Kp wordt dan door de punten c en $p(2n—p—8) willekeurige punten van Á, tot eene (/?) aangevuld; met elk punt c komt de kromme K, overeen. De willekeurige lijn ZL wordt dan vervormd tot eene kromme van den graad (n° —p* — 1), daar de met elk snijpunt van Zien K, over- eenkomende K, p-maal tot M behoort. »>Zijn np —t(p—l)(p—2) punten der basis van »een ((K,)) met eene Á, incident, dan wordt eene lijn L »>door de groepen ({£) in eene kromme van den graad » (n° — p° — 1) getransformeerd, die (n — p)-maal door de »op K, gelegen basispunten, n-maal door de overige en p- »maal door de punten c gaat, die de buiten K, geplaatste »basispunten tot de basis van een (K„—_,) aanvullen. Bevat »L een punt b, dan: ontaardt de overeenkomstige kromme in de K„, met dubbelpunt b en eene kromme van den graad (n? — p? —n— 1); gaat L door een punt c, dan maakt > Ky, deel uit van de door vervorming verkregen kromme.” 9. De meetkundige plaats MN der met een punt o col- lineair gelegen punten (, >’ wordt in o aangeraakt door de VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de RLEKS, DEEL VI. P (98) lijnen, welke dit punt verbinden met de 4 (n — 1) (n — 2) punten der groep ({%}, waartoe o behoort, en bevat cp elken straal uit dit punt de neutrale paren der door ((K,)) ingesne- den 7? zoodat N van den graad 3 (n — 1)(n — 2) is, De straal ob, wordt door A behalve in oen de $(n — 2) (n — 9) neutrale paren der door ((K,)) bepaalde Z?,_) nog gesneden in de (# — 2) punten, welke hij met Bj gemeen heeft, en die elk met bj, een der ontbrekende puntenparen vervangen ; N gaat dus (n — 2) maal door elk der 3 (n + 4) (n — 1) basispunten van het net. Doorloopt o eene rechte £, dan hebben de verschillende krommen N de (xn — 2)voudige punten benevens de neu- trale paren der op R ingesneden /°,, dus 5 (nt4)n-1)(n-2) + (n-1)(n-2) = } (n-1(n-2(n H2n-6) punten gemeen. Zij vormen een stelsel, waarvan er door het willekeurige punt £} à (n — 1) (n — 2) gaan, n. Ll. de krommen, behoorende bij de snijpunten van R met de lijnen, welke (7 met de punten van (/%) verbinden. Alle t. o. v. ((&,)) be- paalde krommen MN vormen een stelsel, waarvan twee wil- } En? —3 IN? lekeurige punten « en (2 er à (re ik ) bepalen ; zij komen overeen met de punten o, die met een paar verr bindingslijnen van « resp. /) met een punt van («) resp. (£) incident zijn. 10. Op eene kromme Q van den graad n (p + q), welke door eene (p, q) overeenkomst van twee tot het net be- hoorende bundels ontstaat, dus door de groepen (/%) in zich zelve vervormd wordt, bepalen deze groepen eene involutie I‚, (waar s= $(n° — èn + 4)) waarvan p resp. q groepen door eene K, van een der bundels worden ingesneden; deze involutie is dus niet gelijksoortig met de involuties, welke ik Lì. e. heb beschouwd. Q wordt door de eoincidentiekromme C buiten de basis van ((K,)) nog in 3 (n —i)n(p + g) — Nn + 4) (rn — 1) (p + g) = 2 (n — 1) (n — 2) (p + g) pun- ten gesneden, die de coincidentiepunten der Z; zijn. (99 ) Met eene N heeft Q, behalve de punten b, Bn) (12) 1 (pt) — HAD) (12) (pH0) = (n— 1)(n—2)° (p +9) punten gemeen, die b(n— 1)(n—2) (pg) _ met het punt o collineair gelegen paren der Z, vormen; de involutiekromme $ is dus van de klasse 5 (n— 1) (n— 2)? (p +9). Komt in twee door eene (p‚p) verbonden bundels de ge- meenschappelijke A, pmaal met zich zelve overeen, dan brengen zij eene kromme P van den graad np met p-vou- dige punten 5 voort, die door C in hare 2p (n—l) (n—2) eoincidentiepunten, door eene N in 5 p (n—l) (n—2)? paren der J, gesneden wordt, welke de door o getrokken raak- lijnen van $ leveren. Voor p= l gaat P over in eene K, van het net, en kan 1; door elken tot ((£,)) behoorenden bundel worden inge- sneden; de boven gevonden aantallen geven dan ook voor p—=l del. ce. (bl. 322) afgeleide waarden. Eene lijn L en de kromme M, waarin zij door ({?) ver- vormd wordt, kunnen samen als eene ontaarde kromme £ van den graad n° beschouwd worden; de op haar ingesneden involutie is dan samengesteld uit eene puntenreeks en eene L (t= 4 (n —1) (rn — 2)). Van de 3 (n—l) (n°—1) — n(n44) (nl) = (n—l) (An*—An—3) doorsneden van M/ met C zin de 3 (n—l) tevens op L ge- legen coincidentiepunten van ({2) geen coincidentiepunten van de Z,; voor deze is het aantal coïncidenties dus 2 (n?—1) (n—3). Met N heeft M EET = } (n—l) (n —2) (An? — An —3) punten gemeen ; daaronder bevinden zich 3 (n — 1) (n — 2) punten, die de snijpunten van /, en N tot neutrale paren aanvullen; de overige vormen de met o ecollineair gelegen paren der 7,: de involutiekromme is dus van de klasse 5 (n° — 1) (rn —2) (rn — 3). >De involutie der groepen (9) op de kromme, in welke »zij eene rechte lijn vervormen, heeft 2 (n° — 1) (n — 3) j* (100) » coincidentiepunten, terwijl de zijden der door hen bepaalde » veelhoeken een kromme van de klasse 3 (n° —1) (n — 2) (n —3) » omhullen.” 11. Hebben de krommen van een ((K,)) in À een lvoudig punt, dan kan de graad der kromme dd, welke de punten B bevat, die À tot (/%) aanvullen, door de volgende over- weging bepaald worden. Voegt men aan elke kromme van een tot het net behoorenden (Á„) de krommen van (X,)' toe, welke in À met haar eene raaklijn gemeen hebben, dan brengen deze bundels in (!, U) eene kromme van den graad 2nl voort, die 2kl maal door elk k-voudig basispunt, maar (212 + 1) maal door À gaat; immers onder de coincidenties der puntenreeksen, welke de bundels op een straal uit À insnijden komt À zelf als raakpunt van twee gekoppelde krommen voor. Daar nu de gemeenschappelijke kromme der bundels / maal tot het voortbrengsel behoort, is J van den graad nl, gaat zij kl maal door een k-voudig basispunt en (12 + 1) maal door À. Eene door (p,q) overeenkomst van 2 bundels voortge- brachte Q gaat k(p + q) maal door een k-voudig basispunt ; dit blijkt uit het ontaarden der (np, nq) van twee collocale puntenreeksen in eene ((n — £)p, (n — 2) g), zoodra de drager het k-voudige punt bevat. De kromme M, in welke eene rechte L door de groepen (/5) getransformeerd wordt, heeft dus een „k-voudig punt in elk k-voudig basispunt. Is ZL met het l-voudig basispunt À incident, dan wordt p—g=n—len de graad van M daalt tot (n° — nl —1); de kromme gaat (nl — l? — 1) maal door À, en (n—l)k maal door een k-voudig punt b. De verlaging van graad is natuurlijk weêr het gevolg van de afscheiding der kromme A, die met À overeenkomt; hier blijkt op nieuw, dat deze kromme van den graad nl is met (/* + l)-voudig punt À. 12. De 12, welke ((K)) op eene door À getrokken L bepaalt, bezit } (n — l — Ì) (n — l — 2) neutrale paren, welke ook op M liggen; de overige punten, die ( 101 ) L en M buiten À gemeen hebben (hun aantal bedraagt (n? — nl — 1) — (nl — l? — Ì) —(n —l— 1) (n —-l—2) == 3 (n —l)— 2) worden door de coincidentiekromme inge- sneden; daar C van den graad (8n — 3) is, heeft zij dus in À een (3! — 1)-voudig punt. Bestaat de basis van het net uit 4 enkelvoudige, % dub- MES. in m-voudige punten, dan heeft C met elke K,, buiten de basis om p = Sn(n—l)—2Ek(3 kli ! punten gemeen. Wordt de overeenkomst van 2 in ((£,)) begrepen bundels zoo geregeld, dat toegevoegde krommen hetzelfde punt van C projecteeren, dan is door hen voort- gebrachte kromme van den graad 2 np samengesteld uit de p-maal getelde tot beide bundels te rekenen K,, de dubbel getelde C en de vertakkingskromme V; deze is dus van den graad 3 (n — 1) (n° — 2) —n Ek(3A—1)i, en gaat | kp — 2(3k— 1) maal door een k-voudig punt 5. 13. Bezit de basis van ((K„)) een k-voudig punt # en een l-voudig punt À, dan zal de (A), die door een punt van #À bepaald wordt, in die rechte benevens een (K,—1) ontaarden met (k — 1) en (l — 1)-voudige punten in x en À, zoodra 3 (n? + Sn — 4) —(k +Hl)=t(n—l}(n +2) —-1 of k + ln. Dan wordt elk punt / van #À door eenige willekeurig te kiezen punten dier lijn in verband met de van de punten b verschillende basispunten van (Ki) tot eene groep ({?) aangevuld, zoodat #À deel uitmaakt van de kromme M. Daar het geslacht der Ks, is m B bla ln 2) EERE 2 en dat der K„_; g =H) (n—3)— |E FN) if — (he (lj = 2 —= (rn —l)(n—2)— ikki, 2 is dit kenmerkende getal voor beide hetzelfde, (102) Door uitbreiding van deze beschouwing komt men tot deze algemeene uitkomst : »Behooren tot de basis van ((&,) A = $p(p +53) »veelvoudige punten van de graden &j, la....l,, terwijl h Ey == np—t(p—l)(p—2), dan is de K,, welke deze l >h punten vereenigt, p-maal begrepen in de krommen, waarin »de lijn L vervormd wordt, zoodat de eigenlijke kromme M »dan van den graad (n° — p° — 1) is.” Immers de bedoelde A punten vervangen als (l;, — 1) vou- dige punten $ U (U; — 1) basispunten van (Á„-—p), dus U; min- der dan wanneer zij l;‚-voudige punten van ((Á„)) zijn. Is nu h Eb nnie WSE dus h LOHEn D= bep) p +3) 1 dan bepalen de punten 5 een bundel krommen van den graad (n — p), die een keer minder door de A punten gaan dan de krommen K,. Het geslacht der KS, is m A H(n=pl) (n—p 2) — |= bee — EGI = = [t(rl) (1-2) — Eb h(EI de] — Hp (PB) dus $(p —1)(p—2) eenheden lager dan het geslacht der krommen Á,. BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS DER WIS- EN NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. DOOR D. BLERENS DE HAAN. NO. XXXI. EENIGE BRIEVEN VAN CONsTANTYN HUYGENS, DEN VADER, AAN PATER MARIN MERSENNE. Toen bij den verkoop der Bibliotheek van den Lord Asn- BURNHAM verschillende gedeelten der Bibliotheek van den ver- maarden G. Lisrr naar Frankrijk terugkeerden, werd mijne aandacht gevestigd op eenige brieven aan M. MERSENNz, geteekend door C. Huyeens. Het bleek, dat deze verza- meling meerendeels brieven van CoNstANTYN Huyeens, den vader, bevatten: slechts enkele brieven waren van CHmrIs- TIAAN HuyceEnNs. Van de laatste zijn onder de stukken van CHRISTIAAN Huvyeens, die thans door ons bewerkt worden, geene af- schriften of minuten gevonden: en evenmin zijn van de eerste brieven afschriften opgenomen in de Lettres Frangaises van ConsrANTyN HuveeNs, die in de Bibliotheek van de Kon. Akademie van Wetenschappen berusten. Voor een groot gedeelte worden de vermelde brieven opge- nomen in het »Supplément’’ van het tweede deel der Oeuvres et Correspondance de Christiaan Huygens. De overigen, die voor dit ( 104) laatste doel minder geschikt schenen, zijn toch in menig op- zicht belangrijk. Zij worden in dit opstel aangeboden aan hen, die belang stellen in geschiedkundige en biographische studiën. T. ConNsraNntTYN HuUYceENs AAN M. MERSENNE. 15 DecemBeER 1641. Le bon Veglinus a) commence a prendre racine ou je ay planté, et son maistre (qui est seigneur de grand mérite) m'en scait autant de gré que luy, dont je suis très ayse; car comme disent nos Pseaumes Rimes, mon vouloir est d'ayder aux vertueux, qui de bien vivre ont acquis la louange etc. et je commence à m'’asseurer que ce garcon sera trouvé tel intus et in cute, Les petits traictés que M. Grotius b) a publiés depuis quelque temps en và, tant sur les passages de Antichro }) que sur la Consulte de Cassander °) (lequel je n'ay encor veu) font courrir des bruicts desesperés de sa personne, plu- sieurs le tenants à la veille de la Revolte, quelques asseu- rant qu'il auroit esté veu à la messe. C'est ce que pour moy Je ecroy aussi peu de luy que de moy mesme; mais cependant vous prie m'advertir un peu de ce que vous scavez de ses intentions. C'est un rare personnage, et jamais n'aurions nous faict perte plus sensible depuis la Reforma- tion, mais j'espere que dieu ne l'abandonnera pas. Si vous avez de la familiarité aveq le Srde la Miltiere c) je vous prie de luy demander la veue d'une lettre %) que a) Het is mij niet mogen gelukken om uit te maken, wie deze VrGLINUS (toch niet een VEGELIN?) of zijn „maistre” is. b) Hueco Grotius, die toen reeds in Paris woonde. c) Tukormirve BrAcHRT DE LA Miuuerikrm, geboren omstreeks 1596, en overleden in Mei 1665, was protestant, studeerde in Heidelberg, en zette zich te Paris neder, eerst als advocaat, later als godgeleerde. In hoog aanzien bij de Protestanten, trachtte hij tusschen deze en de Roomsch- katholieken eene toenadering te bewerken. Dit had echter ten gevolge, dat hij in 1642 in den ban werd gedaan. In 1645 ging hij toen bepaaldelijk tot de Roomsche kerk over, en schreef sedert heftig tegen de Protestanten, ( 105 ) M. Riuet d) luy a escrit dernierement sur le subject de ses derniers livres 4) dont il luy avait demandé son advis. Ja- mais brouillon presomptueux ne fut mené de meilleure sorte. Je l'appelle toujours ainsi, et si vous en jugez autrement, je vous diray que vous ne le cognoissez pas. Pardonnez à la franchise dont je vous entretiens, je changeray de style quand vous le voudrez, mais si vous me permettez d'en user ainsi, je vous anonce mesme liberté, caedimus ing; viceem e.gq.n.e), et il me semble que cela osté, il n'y a point d'amitié qui ne cloche. En tout cas la miene vous demeure acquise aveg tout le service dont je suis ca- pable, et je suis pour toujours Monsieur, A la Haye, où il faict Vostre très-humble serviteur un hyver desesperé, C. Huveess. 15 Deeemb. 1641. II. CoNsTANTYN HuycenNs AAN M. MeERSENNrF. 7 Arri 1642. Monsieur, Voyant par la copie du petit sicle qu'il vous à plu de m'envoyer que c'est la mesme chose que nous avons icy d) ANprras River, waarschijnlijk den 2den Juli 1572 te Saint-Maxent geboren en op 1 Januari 1651 te Breda overleden, was de zoon van een aanzienlijk handelaar JEAN River en CATHARINE CARDEL. Als protestantsch geestelijke te Thouars, had hij grooten invloed bij de Protestanten in Frank- rijk. Den 14de October 1620 werd bij Professor in de godgeleerdheid te Leiden. Im dat jaar overleed zijn eerste vrouw SUsANNE Oiseau, die hij in 1596 gehuwd had. In Augustus 1621 hertrouwde hij met MARIA DU Mouzin te Oxford, alwaar hij fellow der Universiteit werd. Naar Frank- rijk teruggekeerd om zijn zaken te regelen, wilde men hem daar behou- den, doch hij verkoos in ons land te blijven. In 1682 werd hij Gouverneur van Prins Wizvem IL, en in 1646 benoemde FreperiK HENDRIK hem tot Curator der nieuwe Universiteit te Breda. Hij was een geleerd theo- logant van veel belezenheid, en schreef veel, ook bij de theologische twisten van dien tijd. e) Een aanhaling uit Persii Satira IV, vers 42, ( 106 ) je ne vous envoye qu’une estampe du grand, aveg le poids de l'un et de l'autre. Ce grand dong pese (icey bas je vous interpreteray nostre poids) dix Engelsche et dix grains. Le petit semblable au vostre, huict Engelsche et trente grains ; le tout examiné très exactement. Ces Engelsche sont subdi- visions de l'onece, que vous partissez en gros et deniers et voyel comme nous la distribuons. Le marq à 8 onees comme aussi 5 francs et quasi par- tout ailleurs. L'once 20 Engelsche. L'Engelsche 32 grains. de ces Engelsche je vous adjoints icy }, 4, 1, 2et 3, mar- ques d'encre et puis 1, 2, 3 et 4 grains, de sorte que ne sgauriez plus manquer de sgavoir très justement le poids de notre grand sicle qui est piece antique aussi entiere que jen ay jamais veu portant très distinctement le Jeruschalaim= Hakkedoschah — nwinpn opw et de l'autre coté le Schekel- Israel bna bow. Si la piece etoit à moy, comme je ne la scauray avoir, je seroy bien ayse de vous en accommoder. On m'a trouvé du drap d'eslite, qu'aujourd’hui je mets entre les mains de l'Agent de Glargesa) qui m'a promis de vous la faire tenir par les rouliers de Calais. Le per- sonnage en pourra porter le deuil de son impudence, et du reste, en ce qui me regarde et ses compositions que jestime tant, en usera à sa fantaisie: je suis assez resolu de ne luy en demander plus, de peur qu'il n'en pretende encor quelque pieces de drap blang. Par de mes dernieres vous avez receu la deffense 5) de M. Descartes, sous le nom de Regiusb) contre Voe- a) De Grareurs was de Hollandsche consul te Calais en komt ook in de Correspondence de Cur. HuyGeNs voor; hij was bekend wegens zijne hulpvaardigheid jegens de Hollanders. b) Henricus pe Roy (= Rerervs), geboren te Utrecht den 29sten Juli 1598 en aldaar overleden den 2lsten Januari 1684, werd in 1624 te Fra- neker Artium Liberalium Magister en Medicinae Doctor, en vestigde zich toen te Utrecht, waar hij een vurig aanhanger van DescARTES werd. Im 1638 werd hij aldaar Professor in de medicijnen en kruidkunde. Spoedig geraakte hij met SENGUERDIUS en Vortius in twist, die, in 1640 en 1641 (107 ) tus c). un petit moine supposé a) faict imprimer de la repli- que 6) la dessus, que je vous envoyeray des qu'elle verra le jour. En attendant vous trouverez icy la censure de l’Academie d'Utrecht 7) en grosse lettre marquant la faiblesse du dict Voetius et ensemble son pouvoir parmi les collegues, induits par sa seule autorité de publier une censure si impertinente, Sie sententiam de sententia. Voyei d'ailleurs la moitié de M. Rivet contra Grotium 8). Tout le livre estoit trop gros pour un ordinaire. Entre icy et la sepmaine qui vient vous l'aurez leu jusques la. Le reste suivra. Beaucoup d'affres me font lever manum de tabula, disposez de moi et croyez que je suis Monsieur A la Haye, le Vostre très humble servitr 7me de April 1642. C. Huvyeens. II. ConsrantyN Huvyeens à M. MeERSENNFE. 11 Januari 1644. Lettre touchant les proprietez, et qualites et differences du Ha ou Cha, et du Té. Monsieur, Voyei le jeunn'homme, le Sr Elzevira) fils de nostre met afwisselend gevolg gestreden, eindigde met de overwinning van Voerius, die toen als Rector Magnificus van zijn macht gebruik maakte. Later echter, toen Descartes met Rereivs in strijd geraakte, werd deze zijn tegenstander. c) GissBeRT Voert, geboren te Heusden den Sden Maart 1588 en over- leden te Utrecht den Isten November 1676, studeerde te Leiden in de godgeleerdheid, en werd in 1617 predikant te Heusden; in 1684 vertrok hij naar Utrecht als Hoogleeraar in de theologie. Hij was een heftig Gomarist, en vurig bestrijder van de Roomschen en van de Remonstran- ten. Ook ijverde hij hevig tegen DESCARTES. a) JEAN Erzrvier, oudste zoon van ABRAHAM ELZEVIER en CATHARINA VAN WAESBERGHE, werd einde Februari 1622 geboren te Leiden en is al- daar den 8sten Juni 1661 overleden; hij volgde zijn vader op in de druk- kerij te Leiden. Hij huwde EvA vAN ALPHEN, geboren te Leiden 29 Maart 1620 en aldaar overleden 18 Maart 1695, die de zaak na zijn dood nog eenigen tijd voortzette. Zij hadden 2 zoons en 2 dochter . (108 ) Imprimr 5) à Leiden, qui m'a toujours promis d'estre le porteur de ces pacquets de Té, et s'est trouvé arresté icy par la contrarieté des vents jusques a psent. La saison toutefois se disposant à la gelée je l'en charge de bonn’heure, de peur qu'il ne m'eschappe soudainemt. Faictes bien recognoistre par les friands la difference qu'il y a entre le Ha ou Cha et le Técommun. Le premier est Té aussi, mais la fleur de l'herbe et de bien plus grande vertu qui a la verité, n'est pas pour m'y affriander: car desja l'ordin”. niest trop fort, et m'empesche si absolument de dor- mir, que, malgré moy, il fault que je m'en abstiene, l'esti- mant d'ailleurs comme une herbe merveilleuse et saincte, tant je lay trouvé capable de raffiner et subtiliser esprit, à qui a besoin de l'employer en affaire soit serieuse ou de plaisir. mon eloge en est cognu icy, c'est qu'un homme qui a prins du Té vault doublemt sa valeur ordinaire en gaignant la conception prompte, fertile, aysée, et, qui plus est, infa- tigable: c'est un grand point en occasion de necessité ur- gente. J'en laisse le reste à l'experience et m'offre à vous en faire encor avoir davantage, si le desirez, au moins du commun, qui seul est de ma cognoissance, n'en ayant jamais prins, n'y tasché de prendre d'autre. Je vous baise les mains et au bonhomme qui vous doibst servir d'essayeur, et suis Monsieur, A la Haye le 11° de Janvier Vostre très humble serv. 1644. _C. Huveens. Après vous avoir escrit par l'ordr. b) ABRAHAM Erzevier, oudste zoon van Marruieu ELzEVIER en BAR- BARA Lorrs, werd den 14den April 1592 te Leiden geboren en stierf aldaar den 14den Augustus 1652. Hij studeerde te Leiden (ingeschreven 11 Fe- bruari 1604) in de letteren, huwde den 21sten Mei 1621 CATHARINA VAN - WaAESBERGHE, de dochter van den Rotterdamschen drukker. In September 1622 trok zijn vader zich uit de firma terug, en hij, hoewel vooral boek- drukker, kwam in zijne plaats; zoo ontstond de firma BONAVENTURA EN ABRAHAM Hrzevier, die 30 jaren duurde, eigenlijk de bloeitijd van de Erzpviers. Bij zijn dood liet de Leidsche Universiteit eene medaille voor hem slaan. Hij kreeg 5 kinderen, waarvan de oudste zoon JrAN hem opvolgde, en de beide andere zoons een anderen loopbaan kozen. ( 109) IV. ConsraNtTyYN HuycENns AAN M. MeERSENNE. 21 Augustus 1646. Monsieur. Pendant que vous avez pensé vous esloigner a) le plus de moy, jay eu le bien de vous veoir de près à la Haye, dans un portraict, assez mediocre qu’avait porté le Sr Sor- bière b) de Paris. A cest heure icy je donne la bienvenue à original, et vous remercie de la faveur que m'avez voulu faire de m'adresser de vostre retour. Ce que vous avez ap- prins au voyage de linventeur des nouvelles Lunettes d'ap- proche par des machines si aysées me plaist fort, mais j'ay de la peine à imaginer qu'à la longueur de 3 pieds elles fassent leffect de celles de 6 ou 7, Celà semble repugner aux principes optiques. Mais en tout cas usque quo abuti- mini patientia nostra? Quand est ce que les francais pro- duiront les grandes choses qu'ils promettent tous les jours ? Ayons une de ces Lunettes par vostre moyen, et je suis content de la payer au triple ou quadruple. J’attendray cela de vos soings, ou jamais ne feray plus compte de ces grands hiatus de vos prometteurs. Je n’ay pas encor veu le Simplicius °) de Mr De Saumaise c), a) MERSENNE was zijn laatste reis naar Italië gaan doen en daarvan nu teruggekomen. b) SAMUEL SORBIÈRE, geboren te Saint-Ambroise (Gard) den 17/den Sep- tember 1615, vergiftigde zich 9 April 1670 te Paris; hij werd als wees opgevoed ten huize van zijn oom SAMUEL Perir. Bestemd tot protestantsch predikant, gaf hij de voorkeur aan de geneeskunde: daarin te Paris ge- promoveerd, ging hij nog in 1646 naar den Haag. In 1650 werd hij direk- teur van het College te Orange; hij ging in 1658 tot de roomsche gods- dienst over en in 1660 werd hij Historiographe du Roi; sedert 1667 dwaalde hij overal rond. Hij was een lastige intrigant, dan eens vleiend, dan we- der hekelend; stelde fortuin boven roem; een geleerde, maar van opper- vlakkige kennis, met een geest zonder orde. €) CLAUDE SAUMAISE (== SALMASIUS), zoon van BENIGNE SAUMAISE Seigneur de Tailly, Bouze, St. Loup, en ErisaBeruH Prior, werd den }3den April 1588 te Sémur-en-Auxois geboren en stierf te Spa den 3den September 1653. Hij reisde veel, werd protestant en huwde in 1623 ANNE MERCIER, die hem 6 kinderen schonk. Im 1632 werd hij Hoogleeraar te Leiden, (110) estant absent de la Haye depuis quelques mois d), et non a loysir pour ces entretiens là, mais selon ce que m'en mande Mr Rivet, je comprends que c'est là le traicté mesme de Transubstantiation contre Grotius |) et au jugement de cestuy notre amy, la plus achevée pièce qu'il ayt encor veu en ceste matiere de laquelle souffrez qu'un Laïe vous die qu'à son advis, c'est la moins difficile de tout ce que nous disputons à ceux qui entendent le stile de l’Ecriture, ou qui veulent entendre, comme dit le satyrique non parant insanire ratione modoque, mais pour tout celà je n'espere pas que jamais nous nous entendions la dessus. Il importe trop à l'Eglise de Rome que lerreur (j'allay dire la fourbe) ne paroisse. Voyci bien le langage d'un franc Huguenot à un homme de vostre profession, mais à un homme de vostre distinction il n'est pas insupportable. Il y a longtemps que jay eu du jeusne Vossiuse) son Epistre de St Ignace lÌ) et vault bien la peine de la veoir mais bien plus le vaudra ce que M. Saumaise voudra pro- duire sur les notes de Cicéron et Tiron f) dont j’ avouë n'’avoir jamais bien pu comprendre le vray usage. à sgavoir comment il a esté possible qu'ils s'en soient servi aveg faci- hité et promptitude; conditions fort requises aux chiffres des gens d'affaires. Pour chose nouvelle je vous annonce que le Profr Regius hoewel hij andere aanzoeken van de Universiteiten te Padua, Bologna en in Engeland had afgeslagen. Later verbleef hij geruimen tijd aan het hof van koningin CHRISTINA van Zweden. Hij gaf vele werken uit. d) Huyaerns was sedert den 30sten Mei met Prins FREDERIK HENDRIK op reis, om zich bij het leger te voegen [Dagboek]. e) Isaac Vossius, de zesde zoon van den Hoogleeraar GERARDUS Jo- HANNES Vossius en ErisaBeTH JuNius, werd in 1618 te Leiden geboren en stierf te Londen den 2lsten Februari 1689. Hij reisde van 1641 tot 1646 in Frankrijk en Italië, vertrok in 1648 naar koningin CHRISTINA van Zweden, maar keerde in 1654 naar Holland terug, vertoefde in 1663 in Frankrijk, en vertrok in 1670 naar Engeland, waar hij Canon of Windsor werd. Zijne rijke bibliotheek werd later voor / 83000 voor de Leidsche bibliotheek aangekocht. /) Deze commentaren hebben, zoo verre mij bekend is, nimmer het licht gezien. (111) à Utrecht, qu’a souffert martyre pour la cause de Mr Des- cartes contre Voetius, produict toute ceste Philosophie natu- relle, en un beau livre in 4® qu'il nomme Fundamenta Phy- sica 12), qui enfin sera un corps achevé aveg beaucoup de bonnes figures, on dit que M. Descartes n'est pas satisfaict, ear en quelques points audet a dictatore discrepare. La chose se conduisant à son desceu, mais par une pre- face il aura soin de protester amplement que tout ce qu'il y aura de bon à son oeuure ne provient que de ce grand personnage duquel il établira et le mérite au plus haut point; comme il est bien raisonnable, jamais à mon advis les sciecles n'ayant rien produict de tel. J'en ay desjà jus- ques a 296 pages, et l'imprimé tire vers la fin et vous en aurez un explaire à la premiere commodité. Vous faictes trop d'honneur à mes Pseaumes 13) de vous informer de ce qu’ils sont devenus. Le Sr Gobert g) les a tous en mains aveq quelques Airs Italiens h) que je pretens d'y joindre et peu de francois?) qui vont venir. Quand tout sera ensemble je vous recommanderay une partie du soing de ceste impression, si tant est. Le dernier Psaume £) a esté un de profundis, que je souffre bien que vous examiniez, un plus recent que j'envoye encor présentment à M. Gobert, est sur les paroles du 142 memor fui dierum antiquorum cet. Par dessus la basse j'av adjoustéla Tablature du Luth. parce que le subject m'a convié a le jouer dans un ton fort bizarre, et duquel toute main ordinaire ne viendroit pas a bout, sans me faire tort, qui suis fort chatouilleux du choix g) Tromas Gosert, wit Picardië, werd in 1630 kanunnik te St. Quen- tin. Hij was een goed musicus, en daardoor zeer bevriend met CONSTAN- TYN Huvyeens; hij bezorgde de uitgave ‚van zijne Pathodia Sacra door den uitgever RoBEerT BALLARD, umicus Regiae Musicae Typographus te Paris. h) Zie in het werk, „Musique et Musiciens au XVIIe siècle, Correspon- dance et Oeuvre musicales de CoNstTANTIN HuyceNs, publiées par W.J. A, JoNcKBLOET etJ. P. N. Lanp. Leyde E‚J.Brirr. 1882. 4° de „Pathodia sacra et Profana occupati” de Nos. XXI—XXXII. i) Zie in hetzelfde werk de Nos. XXXIII—XXXIX. k) Zie in hetzelfde werk het Nr, XX, (118) des Chordes, pour animer le chant y trouvant des differen- ces merveilleuses et mysterieuses. M. le Premier l) m'escrit d'un jeusn'homme sn) que le Sr Gobert auroit trouvé pr moy. Je vous prie d'en prendre et de m'en donner cognoissance à ce que je puisse sgavoir combien il me seroit propice. Mais labsence de la cour retardera tout cecy — le St Gobert ayant à: la suivre. J'attendray donq en patience, mais en impatience de vos lunettes, sans lesquelles il n'y a plus d'amitié? Sia, sia, car je suis et serai toujours | Monsieur, Vostre très humble et très affté serviteur C. Huveens. Au camp de St. Gilles païs de Waes en Flandre 21 Août 1646. V. CoNsraNTYN HUYGENS AAN M. MERSENNE. 13 Janrvari 1648. Monsieur. Je voy bien que vous ne lisez pas mes lettres qu’en passant et aliud agens. Voicy je pense la 3 ou 4° fois que je vous rememore les questions que je vous avoy pro- posées, touchant la conformation et bonté des Luths, et vous n'avez jamais daigné m'en dire un seul mot. Cepen- /) Hier is bedoeld de „premier Escuyer du Roy :” Herri DE BERINGHEN, geboren in 1603 te Paris, en aldaar overleden den 30sten Maart 1692; hij was de kleinzoon van PieRRE DE BERINGHEN, van Nederlandschen oorsprong. Deze, zoowel als zijn zoon, waren hof be- dienden bij Henri IV en Louis XIII: ook de kleinzoon bekleedde die be- trekking, maar werd in 1630 verbannen. Hij trok toen naar Zweden en kwam in 16834 in dienst van Stadhouder FreperIK HENDRIK; later keerde hij terug aan het Fransche hof. Hij was een groot vriend van CONsTAN- TYN HUYGENS. m) Mr. Avriw, door GoBerT aanbevolen als „jeune, de bonnes moeurs et gargon de coeur, excellent musicien” (in diens brieven van 17 Juli en 25 November 1646, in het werk van noot 4), page CCXV, CCXVII). Hij kwam in den Haag omstreeks half December :646. 14 dant je persiste dans le dessin de vous satisfaire par mes propres experiences sur la plus part de vos questions tou- chant le Canon a), mais comme cela doibt se faire au rivage de la mer, où il ne faict pas bon se promener par la rudesse de ceste saison, je croy que vous me donnerez le loysir de veoir un peu remonter plus le soleil devant que d'y hasarder ma santé, qui s'ebransle aysement, et est subjecte aux de= fluxions. Ainsi, je vous pourray envoyer des experiences mechaniques, et moy mesme m'embarasser aux medicinales, et comme dit un cavalier Romain, entendant lire, teste nue, dans salle ouverte, où il faisait grand froid, certaine Bulle d'indulgence pour autant de mil ans, et un Catarrho di piu en mettant son chapeau et sortant de là de peur de se morfondre, et que le pape ne fust capable de le guerir, Vous ne seriez pas bien ayse de me veoir dans ce predica- ment là. Par ainsi, nous attendrons quelque temps à vous régaler de ces experiences et cependant je demeure Monsieur, A la Haye, le Vostre très humble et affecté serviteur 13 Janv. 1648, C. Huyeens. Hastez-vous de nous produire vostre phieb) de Vacuo c) mais cependant voyez ee que m'en mande M. Descartes. VI. ConsrantyN HuyceEns AAN M. MERSENNE. 14 Avcusrus 1648. Monsieur. J'ai veu aveg desplaisir et non sans apprehension la main a) Omtrent deze proeven met het kanon, waaraan ook CHRISTIAAN HuyeeNs deelnam, raadplege men onderscheidene brieven in!het le Deel en in het Supplement van het 2e deel van de Correspondance de CHR. Huyeens. b) Dat is: philosophie. c) Dit werk van MeRSENNE is nimmer verschenen, denkelijk in verband met zijn spoedig gevolgden dood. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS, DEEL VI. 8 (114) empruntée a) qui m’a escrit vostre derniere lettre-dieu j'espere, vous aura encor remis de ce mal, qui est de acu- tis, et ne peut estre negligé. Mon Archimede b) est à la Haye c), et je suis dehorsd) depuis 15 jours, desquels une partie a esté employée aux solennités du Baptesme e) de nostre jeusne Electeur de Brandebourg à Cleve. Ce que j'ay à vous rapporter de ce voyage là, c'est que jy ay eu tout mon saoul de très excellente musique instrumentale, que possede cet Hlecteur de toutes fagons, et nommement de Violes de Gambe incomparables, de Harpes d'yslande et autres, de dolcians, Cornets Positifs et autres pieces de tres bon concert, toutes manieres en grande perfection; pensez si je m’'y suis trouvé simia inter nuces. a) MERSENNE was toen zwaar ziek. In Maart 1647 toch werd hij bij eene ziekte door een onkundig chirurg gelaten, die hem, in plaats van een ader, een slagader opende. Hoewel deze fout spoedig hersteld werd, had toch het bloedverlies een ongunstigen invloed op zijne gezondheid. Half Juli 1648 riep hij de hulp van GASSENDI in, maar deze vermocht hem niet te redden: hij overleed den 1sten September 1648, bijna 60 jaren oud. Hij was den Ssten September 1588 in la Soultière Maine) geboren uit een landbouwer JurieN. MERSENNE en JEANNE Mourière. Eerst bij de Pères de POratoire opgevoed, ging hij bij de oprichting van het Jezuiten-college la Fleche daarheen, en werd daar boezemvriend van RÉNÉ DES CARTES. Deze laatste werd militair. MEeERSENNE werd den 17den Juli 1611 frère Minime in het klooster van Nigeon, bij Paris. Van 16!4—1620 onder- wees hij de philosophie aan het klooster van St. Frangois de Paula te Nevers. Te Paris teruggekeerd in het klooster de lAnnonciata, trad hij heftig op tegen de Sceptici. Later ging hij over tot wis- en natuurkun- dige studiën, en was in die richting een groote steun voor DesCARTES. Bij herhaald reizen in de Nederlanden en Ltalië, maakte hij vele kennissen, en onderhield een zeer uitgebreide briefwisseling: hij stelde gaarne allerlei wetenschappelijke vraagstukken aan de orde, om die door anderen te doen oplossen. b) Zoo noemt CoNstTANTYN gewoonlijk zijn zoon CHRISTIAAN HUYGENS. €) CHRISTIAAN HuyaeNs was dus uit de Universiteit te Breda, naar ’s Gravenhage teruggekeerd. d) CONSTANTYN HuyeeNs vertrok uit den Haag den 30sten Juli 1648, om er den 2/sten October eerst terug te keeren [Dagboek]. e) De doop van WirmeLm HeNprikK, Prins van Brandenburg, had plaats den 2den Augustus 1648 [Dagboek]. de (115) Au moins j'ày bien excité ces musiciens, qui sont tous gens de bonne sorte non mechanique, et nous sommes deve- nus grands amis, quand je les ay faict taster de quelques mienes compositions, qui ne sont jamais parvenues à vostre eognoissance, n'y ne la meritent pas. Le S" de la Barre f) me tesmoigne de l'inclination à dedier le service de sa fille 4) et fils A) a nos Altesses, si une consideration ne me retenait, je travailleray à ce marché, et verray pourtant ce qu'il y aura moyen d'y faire à la Haye, que nous sommes laissez de ne reveoir pas de 5 ou 6 sepmaines, ayant à roder encor par d'autres Provinces esloignées plus que celle-cy. Led. S£. la Barre m'eserit d'un certain clavier d'espinette mouvant, qu'il a inventé, à faire changer de ton. Si vous scavez com- ment celà se prattique, je vous en demande la science, mais soyez bien gueri et de loysir, avant que de vous y amuser et me croyez passionnement Monsieur A Nimmeghe, quod est Vostre très-humble serviteur verum Taciti oppidum Batavorum C. HuvyeeNs. en despit de plus pedans qui s'y sont mespris. 14 Août 1648. f) Seigneur pr LA BARRE was „Epinette et Organiste du Roy et de la Reyne”, een groot musicus, zeer bevriend met CONSTANTYN HUYGENS. 4) Deze dochter heette ANNE pr LA BARRE; zij was een groote schoon- heid en eene beroemde zangeres. Het plan om haar naar Holland te zen- den, schijnt toen te zijn afgesprongen, want CHRISTINA van Zweden had haar naar haar hof geroepen op zeer voordeelige en eervolle voorwaarden. Doch ook die reis werd uitgesteld, en eerst den 3den Februari 1653 kwam zij toch te ’sGravenhage, en bleef toen eenigen tijd in de Nederlanden. A) De zoon DE LA BARRE was evenzeer een goed musicus in theorie en in praktijk. 3% AANTEEKENINGEN. 1) H. Grotii Commentatio ad loca quaedam Novi Testamenti quae de Antichristo agunt, aut agere putantur, expendenda eruditis. Am- stelodami apud Joh. $: Cornelivm Blaev. CIOIOCXL. 8. Herdrukken : ib. id. 1641. 8°. Oxoniae. 1675. S". Hiertegen schreven Maresrus en Jac. LAURENTIUS. 2) Via ad pacem ecclesiasticam in qua eontinentur: Confessio fidei, secun- dum Cone. Trid. Confessio fidei Avgvstana. Consvltatio Cassandri. Anno- tata H. Grotii in Consultationem Cassandri. H. Grotii Poema de Baptisma- te. Poema de Eucharistia. Disquisitio Pelagiana. Anno M.DC.X LIL. in S°, Herdruk: Amsterdami, apud Johannem Blaev. MDC.XLI. in Sv. 3) Responce à trois Lettres du Sieur la Milletière sur les moyens de réunion en la religion; avec la defence de Livet contre les calomnies du Sieur la Milletière en son pretendu Catholique reformé, plus une lettre d'un docte personnage sur le mesme traicté. Quevilly. 1642. in 8”, *) a) Th. Br. de la Milletière. Lettre à un de ses Amis, où sont resolves les difficultéz formées par le mal-entendu des Evangeliques contre la doetrine Catholique de la présence réelle: la nécessité de la puissance du Pape en l'Eglise pour remede contre le schisme, pour une legitime reformation. De predikant D. BroNperL schreef hier tegen, en werd beantwoord door zijn: 5) Reponse à la Lettre d'un de ses Amis sur la necessité de la puissance du Pape en l'Eglise sur la doctrine du purgatoire; prière Chrestienne et Catholique: jugement sur le livre de Eucharistie de M. Blondel; la vérité du Saint Sacrement de l'Eucharistie; le catho- lique reformé défense de la méthode nouvelle introduite pour soutenir Pautorité de la foi catholique. Par 7%. Br. de la Milletière. 5) Rererus had geschreven a) H. Regius Theses pro circulatione sanguinis. Ultr. 1640. Waartegen het werk verscheen 5) Jacobi Primerosii Animadversiones, quas pro circulatione sangui- nis in Academia Ultrajectinâ Regius disputandas posuerat. Leidae. 1641. En hierop had Reerus geantwoord in zijn: c) Spongia, qua ejiciuntur sordes animadversionum quas Jacobus Primerosius, Lector medicus, adversus theses pro circulatione sangui- nis in Academia Ultrajectina disputatas nuper edidit. Auct. Z. Regio. Leidae 1641. in 4, ee CAO (117) 6) J. Primerosii, Antidotum adversus Regii venenatam Spongiam sive vindicias animadversionum Regii Spongiae reposuit. Leidae 1642. 7) De vroetschap der stadt Utrecht aan R. Descartes 13 Juni 1643. 8) Dit strijdschrift was gericht tegen het werk van Aanteekening 2. a) 4. Riveti, Animadversiones in Hugonis Grotii Annotata in G. Cassan- dri eonsultationem. Accessit Tractatus de Christianae pacificationis et ec- elesiae reformanda verà ratione ante 80 annos editus. Lugd. Bat. 1642. 80, Daarop volgden later: b) Hugonis Grotii, Anmimadversiones in Animadversiones Andreae Riveti. Lutetiae Parisiorum. CI9.IOCXLIL. in 80; ook te Heidelberg in hetzelfde jaar. ce) A. Riveti, Examen Animadversionum H. Grotii pro suis notis ad econsultationem Cassandri. Accessit Prodromus adv. Calumnias Th. Bractati Milleterii. Lugd. Bat. 1641. 8’. d) Hugomis Grotii, Votvm pro pace ecclesiastica, contra Examen Andreae Riveti et alios irreconciabiles. Heee quam bonum & quam jucundum habitare fratres in unum. MDCXLII. in 8", e) A. Riveti, Apologetieus pro suo de verae et sincerae pacis Eccle- slasticae proposita, contra Grotii votum. Lugd. Bat. 1643. in S. f) [Z. Grotius), Rivetiani Apologetici, pro schismate contra votvm pacisfacti, discussio. Monopolis apud Hesychium Candidum.CIOIDCXLV. in 89, 9) 4. Riweti Grotianae diseussionis 3:uAvorg. Roterod. 1648. 8. 9) SrMPLICII || COMMENTARIGS || Zx || ENcurrIipioN Eprorerrjj Zw Libris veteribus emendatus||Cum Versionel| Hieronymi Wolfii || Et[| Cr. Sar- MASI || ÄNIMADVERSIONIBUS || rr Norrs|| Quibus Philosophia Srorca pas- sim explicatur||& illustratur. || Quae accesserunt, sequens pagina indi- cubit || vignette: de landbouwer met het motto FAC ET SPERA || LUGDUNI BArAvorvm || Typis JonaANNis Marre, || CIOI9CXL. in 4°. Verso van titel bevat de inhoud (5 stuks), dan /Cr. SALMASIvs” PHILOSOPHIAE STOICAE||srupiosis (13 blz). In verso volgt: EPIsTOLA || DANTELIS || HEINSII || 4d || THEODORUM GRASWINCKELIUM || DEDICATORIA (Ll blz), daarop Typographus (1 blz), 2 grieksche ver- zen (1 blz), vepicrer vrra” (1 blz). A—Tt (blz. 1—332), het werk zelf in 2 kolommen, links het grieksch, rechts het latijn: Index rerum et variorum (12 blz). Nieuwe titel. Cr. sALMASII|| NOTAE || ZZ |] ANIMADVERSIONES || ZV || gP1CTETUM || 27 || SIMPLICIUM. || Vignette even als boven. A—_XX (blz. 1—829). Index Graecus (25 blz). Index Latinus (S blz): Nieuwe titel. TaBura CEBETIS||Graece, Arabice, Latine |} Ztem || AUREA CARMINA || PYTHIGORAE || Cum paraphrasi Arabica, || AuctTore || JOHANNE ELICHMAN- NollM. Dl Cum Praefationell Cru. Saumastr. Vionette even als boven, (118) Verso van titel wit: dan Cr. SALMAST || PRAEFATIO || zv || TABULAM CEBETIS||ARABICAM (32 blz.) dan plaat en daarop: A—l, blz. 1—88. De verso bevat het arabisch, de recto bevat in twee kolommen: links het latijn, rechts het grieksch. Evenzoo is ingericht: A—_D, blz. 1—15, het werk: PyTHAGORAE || AVREORVM CARMINVM || Arabica paraphrasis || C7x || LA- TINA VERSIONE. || Auctore || Jor. ELICHMANNO. [| M. D. 10) Hugonis Grotii. De coenae administratione ubi Pastores non sunt. ltem an semper communicandum per symbola? Dissertatio, Anno Domini MDCXLVI. 31 bldz. in 8. In het Engelsch vertaald. London 1685 en 1708. in 82, 1) EPISTOLAB GENVINAE || S. IGNATIT || MARTYRIS, || quae nunc primum lucem vident ex || bibliotheca Florentina, [| Adduntur || S. TGNATE BPISTO- LAB, [|quales vulgo cireumferuntur. |} AdZaec||S. BARNABAE EPISTOLA. || Accessit universis translatio vetus. || Zdidit & Noras addidit, || 1sAACvs vossrvs. || Vignette: de sphaera armillaria, met het motto INDEFESSUS AGENDO || AMSTELODAMT. || Apud TOANNEM BLARV, [| CIOIOCXLVI. in 40. Verso van titel wit, dan opdracht rillvstribvs viris, GERBRANDO PANCRATIO, IOANNII CORNELIO GEELVINK, GERARDO SCHAEP IC., CORNELIO BICKERO, REIP. AMSTELODAMENSIS CONSVLIBVS’’ (6 blz). Dan BENEVOLO LECTORI Ss. P. (3 blz). A—Rr bevat: Blz. 1—254. De epistolae in twee kolommen, de buitenste grieksch, de binnenste latijn. Bla. 259—318. De noten van Vossrus. 12) HENRICI REGIL || ULTRAJECTINI || FUNDAMENTA || PHYSICES || vignette : Minerva onder den laurierboom, met het devies /NE EXTRA OLEAS”’ || 4MSTE- LODAMI, || Apud Lupovrcum ErLsEvIrIuM. [| ANNo || CIOIOCXLVL. in 4, a, b. In verso van den titel de grieksche spreuk: vargvra doxs- mdlere, mòilosAdv waréygere”. Dan opdracht aan „Frederico Henrico” gedateerd 10 Augusti, Anni 1646, stylo Jul. (4 blz.); daarop INDEx || CarrruMm || RERUMQUE PRINCIPVARUM, QUAE IN HIS || FVNDAMENTIS PHYy- SICIS || EXPLICANTUR (10 blz). A—Qg. Blz. 1—306. Daarop 1 blz. Errata. 18) PATHODIA || SACRA, || ET || PROFANA || OCCVPATI, ||een fraaie samen- gestelde vignette met muzieknoten en instrumenten en het motto vIr- TVL FORTVNA CEDIT. || PARISTIS. || Ex Officina RoBERTI BALLARD, vnici Regiae Musicae ll'Typographi. [| M.DC.CXLVIL. in 4. In verso van den titel eene plaat, voorstellende een muziekpartij aan het hof. Dan opdracht aan /UTRICIAE OGLE NUPER SUANNIAE”. Daarachter „Caurro”’. 46 blz. met muziek van psalmen ; dan een „Ap LecToREM”’ en daarop 39 blz. met muziek van wereldlijke liederen in het italiaansch en fransch. mna RE rn PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 26 Januari 1889. Tegenwoordig de Heeren : VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Voor- zitter, DE VRIES, ZAAIJER, FRANCHIMONT, VAN Dorp, A. C. Ov- DEMANS JR., KortTEwWeEe, Mac GriLLAvRy, ScHoure, BEIJERINCK, HorrMANN, BAEHR, ZEEMAN, Forster, J. A. C. OUpeEMaANs, Prace, Stokvis, BieRENs DE HAAN, Mrcraëurs, Diseurs, Hv- BRECHT, PEKELHARING, BRUTEL DE LA Rivière, ENGELMANN, RauwenNuHorr, Karren, Buys Barror, Martin, Hoek, Sv- RINGAR en U. A. J. A. Oupemans, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige Vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 19, R. M. vaN LinpeN, Secretaris van het provinciaal Utrechtsch Genootschap van Kunsten en Wetenschappen te Utrecht, Januari 1889; 20. J. F. L. ScunNeiper, Bibliothe- caris der Polytechnische School te Delft, 14 Januari 1889 ; 30. den Secretaris van het Sanitary Institute te Londen, 21 Januari 1889; 4°, den Directeur van het Institut royal géologique te Budapest, 2 Januari 1889; 5%. H. Boescu, Secretaris van het germanisches Nationalmuseum te Neuren- berg, 17 Januari 1889; 60, R. HrrprBrAND, Leipzig, 20 Januari 1889; 7°. G. Bizro, Secretaris van het real Istituto (120 ) dì Scienze, Lettere ed Arti te Venetië, 28 December 1888; 80, J. M. Larinno-Coruno, Secretaris der Académie royale des Sciences te Lissabon , Januari 1889; 90. S. Mürrer, Secretaris der Société royale des Antiquaires du Nord te Kopenhagen, 1889; 100% F. Marmprre, Directeur van het nautisk-meteorologiska Byran te Stockholm, 10 Januari 1889; 11%. R. TrarenN, Bibliothecaris der Société royale des Sciences te Upsala, 2 Januari 1889; 12°, den Directeur van het Comité géologique de la Russie te St. Petersburg, 5 Ja- nuari 1889; 18%. den Bibliothecaris der Académie impériale des Sciences te St. Petersburg, 21 Januari 1889 ; 14, F. Kurrz, Bibliothecaris der Academia nacional de Ciencias te Cordoba, 17 December 1888. — Aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden : 1°. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te ’s Gra- venhage, 2 Januari 1889; 20. J. T. Burss, Leiden, 21 Ja- nuari 1889; 30, J. F. L. ScrNeiper, Bibliothecaris der Poly- technische School te Delft, 22 Januari 1889; 40. R. M, van LiNpeN, Secretaris van het provinciaal Utrechtsch Genoot- schap van Kunsten en Wetenschappen te Utrecht, Januari 1889; 50. J. Rrrzema Bos, Wageningen, 7 Januari 1889 waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetui- ging en plaatsing in de Boekerij. : — De Heeren vaN Diesen, SonHors en BereuRENs hebben zich schriftelijk over hunne afwezigheid verontschuldigd. — De Heer Buys Barror vergeleek de uitkomsten der waarnemingsreeks te Utrecht, nu gedurende veertig jaren voortgezet, met de normalen, die hij voor temperatuur en barometerstand in 1876 in de Marche annuelle gegeven had, en toonde aan, dat de verschillen daarvan met de normalen niet grooter waren dan een paar jaren zouden kunnen ver- dubbelen of te niet maken. Hij gaf voorts, als eveneens hoog noodig voor de kennis van het klimaat, ook de uiterste afwijkingen van de ge- (121) middelden, in verschillende jaren voor elke maand waarge- nomen; daarbij de gemiddelde sommen der dagelijksche waarnemingen in elke der maanden Januari, Februari, enz. ; ook nog hoe lang de afwijkingen in denzelfden zin soms voortduurden, en tot welk bedrag, en vergeleek de daaruit af te leiden afwisselingen met die op andere plaatsen in het noorder Halfrond, verwijzende naar het Jaarboek 1879 II, dat weldra van de pers zal komen. Eindelijk toonde hj de tabellen voor de hoeveelheden regen, voor zoover Zwanenburg betreft, van 1743 af, en tabellen die de overmaat aanwijzen van temperatuur, lucht- drukking en regenhoeveelheden, op sommige tijden te Utrecht gebleken, en hoe lang het soms duurde eer compensatie plaats vond. De spreker hoopt over dit onderwerp later een opstel voor de Verslagen en Mededeelingen aan te bieden. ___De Heer Forster doet opmerken dat, uit een hygiënisch oogpunt, naast het klimaat en de temperatuurverschillen in de open lucht, ook die van afgesloten ruimten — kamers, enz. — en die welke door verschil in kleeding veroorzaakt worden, van belang zijn. In afgesloten ruimten is de tem- peratuur steeds hooger dan in de buitenlucht, zooals den spreker o. a. uit opzettelijk daartoe genomen proeven ge- bleken was, toen hij eenige jaren geleden den warmtegraad binnen de muren van den Zuiderkerkstoren met die der buitenlucht vergeleken had. De Voorzitter vraagt in hoeverre, bij meteorologische berekeningen als de medegedeelde, van periodieke formules gebruik gemaakt zou kunnen worden. De Heer Buys BarLor meent, dat die formules daar van geen nut kunnen wezen, daar noch de verschillen in temperatuur, noch die der lucht- drukking, aan eenige periodiciteit schijnen te gehoorzamen. — De Heer BrimriNcK spreekt » Over een middel om de werking van verschillende stoffen op den groei en enkele andere levensverrichtingen van microörganismen vast te stel- 39 len’ en heldert zijne voordracht door praeparaten op. Het middel bestaat hierin, dat men op gelatineplaten, zuiver of meer of minder toebereid, en met de eene of andere soort van (122) gist of bacteriën besmet, kleine hoeveelheden van verschil- lende stoffen overbrengt, en dan nagaat of de microörga- nismen in de diffusiecentra dier stoffen, hetzij deze zuiver bleven of elkander op hun weg ontmoetten, zich al of niet, of wel in meerdere of mindere mate vermenigvuldigen. — Een opstel over het onderwerp wordt aangeboden voor de Verslagen en Mededeelingen. De Heer Mac GirLavry vraagt of niet de reactie van de gelatine bij de kultuur van microörganismen eene voorname rol speelt, en verkrijgt ten antwoord, dat zulks zeer zeker het geval is, zoodra proeven genomen worden met bacteriën, doch dat de gistcellen, waarmede de spreker zich trouwens meer uitsluitend had bezig gehouden, lang zoo gevoelig niet zijn. — De Heer FRrANcHimonNrT biedt, uit naam der Redactie, voor de boekerij der Akademie aan een exemplaar van den den Jaargang van het » Recueil des travaux chimiques dans les Pays-Bas”’. — Daar er verder niets te verhandelen is, wordt de Ver- gadering gesloten. OVER EEN MIDDEL OM DE WERKING VAN VERSCHILLENDE STOFFEN OP DEN GROEI EN ENKELE ANDERE LEVENSVERRICHTINGEN VAN MICROORGANISMEN VAST TE STELLEN ©. DOOR Mm. W.BEIJERINCK. Bij het onderzoek van de levensverschijnselen der micro- Öörganismen *), is het zonder twijfel in de allereerste plaats van belang, zekerheid te verkrijgen aangaande de stoffen, welke tot hun groeien vermenigvuldiging aanleiding kunnen geven. Wel is waar is het bij het vinden van nieuwe vormen meestal gemakkelijk uit te maken, welk mengsel van voe- dingsstoffen de ontdekking daarvan in het gegeven geval heeft mogelijk gemaakt, zoodat het aanleggen van blijvende culturen in overeenkomstige mengsels niet moeielijk is. Maar wenscht men voor bepaalde soorten een ruimer overzicht over de assimileerbare stoffen te verkrijgen, dan stuit men %) Im overeenstemming met het tegenwoordige spraakgebruik versta ik onder microörganismen die vormen, welke in voedingsgelatine, kunnen ge- kweekt worden. (124) op allerlei bezwaren. Tot nu toe pleegt men de vraag te beantwoorden door in vloeistofeulturen of in de voedings- gelatine de te onderzoeken stoffen te brengen, en dan door weging of door telling van de cellen, of door schatting van de grootte der koloniën of entstrepen, de hoeveelheid nieuw gevormde levende stof te bepalen. De toestand van de litera- tuur bewijst, hoe weinig talriijk de vaststaande feiten zijn, op deze wijze verkregen. Hoe gering is bijvoorbeeld de oogst bij de studie van de talrijke verhandelingen, welke over de voedingsverschijnselen van de bier- en de wijngist ge- schreven zijn! Met uitzondering van de klassieke ontdek- kingen van Pasreur en CoHN aangaande de noodzakelijke aschbestanddeelen en de natuur der assimileerbare stikstof- verbindingen voor eenige bepaalde gistsoorten, bacteriën en bacteriënmengsels, geven de vele verspreide waarnemingen van latere schrijvers, die zich met dit onderwerp hebben bezig gehouden, slechts bij uitzondering volle bevrediging. Vaak was de proefneming te omslachtig om gemakkelijk herhaald te kunnen worden, of de controle op het rein blijven der culturen niet overtuigend, of twijfelde men aan de juistheid der keus van de gebruikte concentratie der onderzochte stoffen, of waren de conditiën, waarbij de vergelijking van verschil- lende stoffen plaats had, niet in alle verdere opzichten iden- tiek, Door de toepassing van de volgende handelwijze, welke op de erkentenis van twee eenvoudige eigenschappen der zoogenaamde » vaste cultuurgronden’’ voor microörganismen berust, is het mogelijk, eenige dezer storende invloeden te vermijden. De beide bedoelde eigenschappen zijn de volgende. Ten eerste: de gelatine en de gelose (gezuiverde agar-agar) zijn geene voedingsmaterialen voor de meeste microben; ten tweede: door de vaste, gestolde gelatine- en geloselagen heeft de hydrodiffusie van opgeloste stoffen op bijna dezelfde wijze plaats als in water. Van deze beide beginselen laat zich nu als volgt gebruik maken. Aan alle bacteriologen is het bekend, dat zuivere gelatine en gelose, of oplossingen daarvan in gedistilleerd water, een uiterst slechte voedingsbodem voor bacteriën, gist en zelfs schimmels zijn. Dit berust niet alleen daarop, dat de ge- Or tid enen tc es eer mn n PS CD OE Vn (125 ) latine als zoodanig voor de meeste soorten niet assimileer- baar en bijna volkomen vrij is van andere assimileerbare stikstofverbindingen, zooals amiden en peptonen, maar tevens op het daarin meer of minder volledig ontbreken van de noodzakelijke aschbestanddeelen, in het bijzonder van het kaliumphosphaat, en van het niet stikstofhoudend voedsel, zooals lactaten en koolhydraten. Gelatine of gelose, opge- lost in gedistilleerd water, bezit dus de volgende drievou- dige eigenschap. Daarin komen voor: een ontoereikende hoeveelheid aschbestanddeelen, een ontoereikende hoeveel- heid assimileerbare stikstof en een ontoereikende hoeveel- heid stikstofvrije verbindingen, om den groei van de meeste miecroörganismen, meer dan tot een onmerkbaar klein be- drag, mogelijk te maken. Elk dezer groepen van verbin- dingen, of twee daarvan gezamenlijk, zijn eveneens ontoerei- kend voor de ontwikkeling der in de gelatine verspreide microben. Zal er groei plaats hebben, dan moeten noodza- kelijk de drie groepen van voedingsstoffen gezamenlijk verte- genwoordigd zijn. Gesteld dus men zaait eene bepaalde gist- of bacteriën» soort uit in een gelatine, waaraan de aschbestanddeelen ont- breken, dan zullen zelfs de gunstigste aschvrije voedings- mengsels werkeloos blijven. Plaatst men nu echter op de oppervlakte van een zoodanige gelatinelaag een weinig van de als noodzakelijk erkende zouten, dan begint, na korten wd, elk der in het diffusieveld dezer zouten ver- spreide kiemen zich tot een kolonie te ontwikkelen, en zoo- doende ontstaat er een cirkelrond, scherp omschreven, ondoor- schijnend veld op den doorschijnenden gelatinegrond. Dat men aan deze proef door kleine wijzigingen een zeer alsemeen karakter kan geven, is uit het bovenstaande dui- delijk ; intusschen wensch ik dit nog door een bepaald voor- beeld nader toe te lichten. De gewone wijngist groeit niet dan bij de aanwezigheid van belangrijke hoeveelheden kaliumphosphaat, gemengd met het organische voedsel. Lost men dus zuivere gelatine in water op en mengt daarin een matig groot aantal gistcellen, waar- door de gelatine haar volkomen doorzichtigheid volstrekt niet (126 ) behoeft te verliezen, dan verkrijgt men na stolling een grond, die aan den bovengenoemden eisch van den groei te verhin- deren, zonder den dood der gistcellen te veroorzaken, vol- doet *). Plaatst men nu op de oppervlakte dezer gelatine een droppel eener oplossing, die glucose en asparagine be- vat, en op zekeren afstand daarvan verwijderd een droppel kaliumphosphaat, en laat het geheel enkele dagen aan zich zelf over, dan neemt men ongeveer het volgende waar. Noch het organische voedsel alleen, noch het phosphaat op zich zelf, is in staat geweest de cellen tot koloniën te doen uitgroeien, maar voor zoover het diffusieveld van het ka- liumphosphaat samenvalt met dat van de glucose en de asparagine, waren alle voorwaarden voor den groei verwe- zenlijkt en ontstaat er daar ter plaatse een geelachtige, on- doorschijnende, lensvormige figuur op den doorzichtigen gela- tinegrond. Deze figuur bestaat uit de nu duidelijk zichtbaar geworden gistkoloniën. Brengt men op de oppervlakte van een als boven toebe- reide gelatine, waaraan echter vooraf een genoegzame hoe- veelheid kaliumphosphaat is toegevoegd, op zekeren afstand van elkander, afzonderlijke druppels glucose en asparagine dan vormt zich, na zekeren tijd, een ondoorzichtige figuur in het gemeenschappelijke diffusieveld dezer beide stoffen, welke elk voor zich onwerkzaam zijn. Plaatst men eindelijk op den grond, die behalve het phosphaat ook nog een koolhydraat bevat, stikstof houdende stoffen, welke men op hare assimileerbaarheid wenscht te on- derzoeken. dan ontstaat: hetzij een ondoorzichtig cirkelvormig veld, of wel een ringfiguur van gistkoloniën in den door- zichtigen grond. Is daarentegen de toegediende stof niet assimileerbaar, dan blijft het diffusieveld daarvan geheel helder. Omgekeerd, kan men, door aan den grond vooraf de noodige stikstofhoudende stoffen toe te voegen, op overeenkomstige wijze vaststellen %) Langdurig met gedistilleerd water uitgeloogde gelatine is, evenals gedistilleerd water zelf, voor zeer vele microörganismen doodelijk of na- deelig, maar wijngist is daartegen bestand. ed 5 mere ad Berk wann (127) welke stikstofvrije stoffen voor het tot stand komen van den groei dienstig zijn. Ook hierbij ziet men dan in het diffusieveld de koloniën gelijkmatig, of in een ring geplaatst, te voorschijn komen, wanneer de betrokken stof assimileer- baar is. De ringvormige plaatsing der groeiende koloniën is het bewijs, dat de concentratie van de onderzochte stoffen in het midden der diffusievelden te hoog was, waardoor de groei belemmerd of de kiemen gedood werden. In deze ringen bemerkt men echter nog klimming en daling van het aantal koloniën in de richting der stralen, welke op bijzondere inwerkingen van de diffundeerende stoffen moeten berusten. Bij het gebruik maken van een gelatinegrond, waarin, behalve het organisme, alle noodzakelijke voedselstoffen voorkomen, zoodat zich de koloniën daarin overal gelijkma- tig zouden kunnen ontwikkelen, is het gemakkelijk, door het opleggen van vergiftige of antiseptische stoffen, heldere diffusievelden dezer stoffen op den troebel wordenden grond te verkrijgen. Behandelt men den grond, na afloop der proefneming, met de een of andere anilinekleurstof, die wel de cellen, maar niet de gelatine kleurt, dan ontstaan, na indroging, preparaten van blijvende waarde. Zijn de onderzochte soorten niet al te doorzichtig, dan is eenvoudig indrogen voor het verkrijgen van duurzame preparaten voldoende. Door bevochtiging keeren zij in den oorspronkeliijken toestand terug. Ten slotte wil ik er nog op wijzen, dat het, in de bovenstaande regels beschreven, beginsel nog voor een an- dere, hoewel minder omvangrijke toepassing vatbaar is. Ik heb hierbij die gevallen op het oog, waarbij eenig orga- nisme, alleen onder den invloed van bepaalde stoffen, zekere zichtbare of gemakkelijk langs chemischen weg aan te toonen functie verricht, bijv. een zuur of een enzym afscheidt, een pigment vormt of licht geeft, alzoo werkingen, die vol- strekt niet noodzakelijk met den groei behoeven verbonden te zijn. In zoodanige gevallen kan men, eveneens met be- hulp van gelatinegronden, waarin het organisme in groote hoeveelheid voorkomt, zonder daarin de bewuste werking (128 ) te veroorzaken, door het opleggen van de te onderzoeken stoffen, het al of niet optreden dezer werking vaststellen. Op deze wijze onderzocht ik, niet zonder vrucht, den in- vloed van een aantal stoffen op het lichtend en zuuraf- scheidend vermogen van Photobactertum phosphorescens: en op de pigment-afscheiding van Vibrio cyanogenus: het orga- nisme van de blauwe melk. Later hoop ik daarop nog nader terug te komen. Zooals men ziet, geeft de beschreven methode een eenvoudig middel aan de hand om de werking van verschillende stoffen op de levensuitingen der microben te onderzoeken, zonder dat men daarbij bekend behoeft te zijn met de gunstigste concentratieverhoudingen dezer stoffen, welke kennis voor het welslagen van vloeistofculturen zeer moeielijk gemist kan worden. Heeft men bij mijne proef de concentratie locaal te hoog doen worden, dan is de diffusie in de gelatine steeds werkzaam om die concentratie te verminderen en er- gens een ringveld met de meest voordeelige hoeveelheid voort te brengen, waardoor, zooals boven reeds is opgemerkt, een vlek van gedoode of in hun groei of andere verrichtin- gen teruggehouden cellen ontstaat, ingesloten door een ring van werkzame koloniën. Tevens geeft de reinheid der cul- turen bij de diffusie-methode in een vasten bodem weinig reden tot onzekerheid, en, bij het gebruik van gelatineplaten van groote uitgebreidheid, kunnen verscheidene stoffen ge- lijktijdig op denzelfden grond worden gebracht, waardoor de overige invloeden, zooals temperatuur-schommelingen, afwis- seling van licht en duister, van zuurstof-toetreding en ver- damping van koolzuur en water, voor alle onderzochte stoffen uit den aard der zaak volkomen dezelfde zijn. UITKOMSTEN VAN DE REEKS VAN METEOROLOGISCHE WAARNEMINGEN GEDURENDE 40 JAREN TE UTRECHT. DOOR C. H. D BUYS BALLOT. Nu de meteorologische waarnemingen te Utrecht 40 jaren lang op dezelfde wijze zijn voortgezet, meen ik aan de Akademie daarvan omtrent temperatuur, barometerstand en regen verslag te moeten doen, en tevens daaromtrent eenige beschouwingen en berekeningen te moeten mededeelen. Voorloopig neem ik daarin alleen op de gemiddelde tem- peratuur, de regenhoeveelheden van den dag, en de barome- terstanden van des morgens acht uren. De verschillen van andere uren daarmede zijn zeer overeenkomstig met die, welke in de »Marche annuelle du thermomêtre et du baromètre en Neerlande 1876,” voorkomen en uitvoeriger in de Ne- derlandsche meteorologische jaarboeken van 1858, 68, 78. Voor luchtdrukking en temperatuur zijn alle afwijkingen en ook de overmaat berekend naar deze normalen, maar de regenafwijkingen naar de gemiddelden van de 39 jaren 18491887. De regenhoeveelheden toch zijn gemiddeld al te ongelijk in verschillende maanden en jaren, dan dat ik daarvoor een eigenlijk gezegde normaal meende te kunnen vaststellen. Ook zin er geen lang genoeg voortgezette waarnemingen van regenhoeveelheden op naburige plaatsen VERSL. EN MEDED. AFD, NATUUBK, de REEKS. DEEL VI, Q (130 ) bekend, zoodat de gang daarvan niet scherper kon worden bepaald uit de verloopen 89 jaren, waarin het veertigste jaar geen merkbare verandering bracht. Ter vergelijking herhaal ik hieronder ook nog de nor- maal voor temperatuur, zooals die medegedeeld is in de wer- ken der Akademie 1861, toen uit twaalf jaren verkregen, welke slechts weinig gewijzigd behoefde te worden in 1875. De laatste normaal voldoet al zeer goed, daar een verschil van een tiende graad voor een maand zeer licht door een paar volgende jaren kan uitgewischt worden. Zoo is het verschil van den barometerstand in Februari sedert 1876 de helft afgenomen, dat voor Januari sedert 1873 geheel omgeslagen. In 1873 scheen de barometerstand een millimeter te hoog geschat te zijn, nu een halven milli- meter te laag, September tot December wisselden in de laatste jaren het teeken van het verschil. En wat de tem- peratuur betreft zoo verminderde het verschil reeds weder in de drie eerste maanden van 1889, terwijl in de drie laatste jaren het teeken van het verschil omsloeg. Alleen Mei is bijna een halven graad te hoog aangeslagen. Hieromtrent valt op te merken, dat wij werkelijk in den laatsten tijd veel koude Meimaanden hebben gehad. De twintig eerste jaren 1849—1868 geven 130,40. > » laatste » 1869—1888 » 120.73. Wij mogen dus weldra eenige meerdere warmte in de Meimaanden wachten, hoewel bezwaarlijk het gemiddelde 13.°38, in de werken der Akademie opgegeven, zal bereikt worden, (Tst c 969 rv 469 6'T9 T'e9 v'6G 666 ile SA LSA 099 049 118 PTS PS, 74 878 9'E3, v'67 0'0S vr L6 686 GC 77 v's7 vvv 877 687 woel Op "GET vozel ur pjoppruo; JN JANLVEHANEL HIVNUON AA LAN NEONINENUVVA HA NVA ONDUTIJOHT A "uorel 07 "UIBB MA ‘948 S18L 1008 RAON reel Op UIEE MA, Q48T WIN G8'6 806 rog [v'OI 66'7I Gy 8I 69'8I SG LI OS EI L8'6 OGEN O7 & SIL reef 1oq waard 19 UI AON 1940320 zog urazdog sugsn.on y EE EEDE PN [dy RAIN Liena df LIEN UB f? LOB Jee EON: g& Maand. (132 ) Maar het is voor de kennis van het klimaat niet voldoende den gemiddelden toestand aan te geven, men wil ook de Daarom geven wij grenzen der afwijkingen bepaald zien. de grootste en de kleinste afwijkingen van temperatuur en barometerstand en de grootste en kleinste regenhoeveelheden telkens met de jaren, waarin die voorkwamen, en daarachter den afstand van de grenzen der afwijkingen, zooals zij tot nu toe gebleken zijn, als verschillen. Temperatuur. Ee 2 m. m. in. m. aL 0 4,08 1866497 1850/10.43 18829.64 1885) 51.6 1877139.4 18611 9.05/20.07| S Jan. Febr. 13.45 678.21 Maart 13.27 624.28 April 3.04 652.34 Mei [5.81 682.82 Juni [9.50 582.65 Juli 8.43 522.66 Aug. B.06 573.47 Sept. [2.77 652.46 Oct. |f.76 573.49 Nov. [8.47 523.94 Dec. [445 425.90 Wij zien, hoe voor temperatuur en luchtdrukking de gren- zen in den winter verder uiteen liggen dan in den zomer, voor de regenhoeveelheden bijna omgekeerd. De tegen ver- schillen zijn althans na April grooter. Voor Januari hebben wij ten opzichte der temperatuur nog eens een grootere ne- gatieve afwijking te wachten, daar voor deze maand het / Grootste | Grootste ots Afwijking Afwijking { Afwijking (Afwijking | Afwijking [Afwijking | positief. | negatief. | positief. | negatief. | positief. | negatief. Verschillen Barometerstand. Regen. der grootst afwijkinger Grootste | Grootste | Grootste | Grootste 6319.61 549.88 70/6.38 813.90 655.29 85/5.49 695.62 65/5.06 56/6.06 676.67 979.27 79) 541 76| 61.1 79| 68.8 56 83.7 92 79.4 8&/109.4 60f 92,4 76| 76.3 851424 82| 55.6 76) 88.7 50138.4 59/30.6 53135.7 69/43.6 61/38.3 65/68.9 70/61.2 76/58.5 92/70.5 6655.5 54}52.6 Temperat. 57111.66/17.40/ 9 7.5519.87| 9 5.38|12.04/10 6.63| 7.56[t 6.15/10.45|t1à 6.09/10.26|178 6.53/ 9.09} 5,23|12.16|13 5.25/13.41 2 7.44 14.381: 64{10.35/19.25/144 Í, | | | (1 1850 verschil der uitersten nog kleiner is dan voor December en Februari. In de overige maanden zullen de opgegeven gren- zen wel niet of slechts weinig overschreden worden. Uit de grootte der gemiddelde afwijkingen der maanden kunnen wij wel afleiden, dat dan de dagelijksche afwijkingen ook niet gering kunnen zijn. Om dat in het oog te doen vallen geven wij ook de ge- middelde sommen der dagelijksche afwijkingen in elke maand, maar zonder op het teeken te letten, omdat wij toch anders twee ongeveer gelijke getallen verkrijgen. Voor Utrecht volgen hier die sommen: haar gemiddelde van 1867—1888, benevens de grootste en kleinste in ieder der maanden bereikt. Sonvmen der temperatuurafwijkingen in graden Crusrus. Jan. Febr. Mrt. Apr. Mei Juni Juli Aug. Sept. Oct. Nov. Dec. Grootste 140 152 125 117 158 116 122 101 93 111 128 198 Gem. BRA de nj O4 81 16 72-5167, "78 108 Kleinste 42 63 26 39 67 41 45 49 36 4l 47 52 Sommen der barometerafwijkingen in millimeters. Grootste 390 396 305 228 231 173 134 177 247 305 319 358 162 204 228 249 105 127 151 171 251 216 214 175 156 119 129 129 85. 119 - 64: 77 82 Gem. Kleinste 159 101 133 Door deze afwijkingssommen voornamelijk wordt in ver- band met de heerschende windrichting en de vochtigheid de mindere of meerdere gunstige eigenschappen van het kli- maat voor de gezondheid bepaald. Uit eene vergelijking van deze sommen met die, welke voor 154 plaatsen in het noorderhalfrond in 1879 II opgenomen zijn, kunnen wij dus de veranderlijkheid van Utrecht met die van de overige ver- gelijken. Voor de temperatuur nemen deze sommen zeer af, naar mate de plaatsen meer in of aan zee zijn gelegen, toe, naar mate zij verder van zee zich bevinden. De westkusten der continenten hebben nog een voordeel boven de oostkusten, maar de breedte heeft er slechts geringen invloed op, terwijl integendeel de sommen van de barometer-afwijkingen gere- geld met de breedte toenemen en slechts in geringe mate (134 ) van de lengte, liever van deligging van de zee af hankelijk zijn. Voor de maandelijksche, dagelijksche en uurlijjksche ver- anderingen der temperatuur zelve geldt ook deze wet in haar geheel, voor den barometerstand gedeeltelijk, ten op- zichte van de beide eerste omstandigheden. De dagelijksche verandering der temperatuur wordt hier- onder voor iedere Nederlandsche plaats aangevoerd, waar het minimum en maximum wordt aangeteekend. Het verschil van die twee kan als maat van den dagelijkschen gang gelden. Niet op alle plaatsen is men gelijktijdig daarmede aange- vangen. Voor Utrecht, Maastricht en Helder vervolg ik hier de reeks medegedeeld in de Verslagen en Mededeelingen, tweede reeks, deel IX, Tabel. IV, over de later verloopen jaren, door de gemiddelde som dier verschillen te geven. Dagelijksche gang in Celsiusgraden te October. Ed le ri ke SLE hs 5 183 overeenstemt dat de veertig jaren 5 > 207 19 en de 39 tijdperken van 2 jaren 21 afwisselingen aantoonen. | Vv OV OV VV ( 145 ) Teo + Evo 69 L— 7 — LET 85 — 108 DOE 68E — 7E0 + INT — ROA BVE Er — E50 — 7L0 + 067 + 580 + | ST + 967 + Ors + 55 + 897 + 90'0 + 57 + OTE + | 880 + Eiche a Kd’ WW ‘NENVMNHOOA NEAONVVW AfIA STAIA ‘HEMAL NAH Gh Li Oe €00 — 097 + EO + 66 TV — 060 — ELV — an EO O5 + 6 _ [Surosstayy 167 — | 08 Wenuer VG'y — | Toquooog 870 — | toqwoAoN CLO —T 1900390 LVO — | teqwogdog Ey — | suysnsny 960 — KEE 760 + aL EvS L on en dy &e0 + HEEN OLG + | _ Heurgor 900 + [Gy uenver G80 + [gy "quod PD NVA NANUHAOPIL VN UE NHONIIHSSIMAV TAHAHOH NVM NAXNFIIH LINUVVAMA SnHdavL HAT ONILHOTANT 10 VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. Òde REEKS. DEEL VI. (146 ) Wij eindigen met de beantwoording der vraag: in hoever heeft men eenig recht afwisseling of overeenkomst van tem- peratuur te verwachten na een half jaar, gelijk Dr. HerLMANN voor Berlijn heeft onderzocht; met andere woorden, of men na een zachten of strengen winter, meer kans heeft een heeten of koelen zomer te verwachten dan wel omgekeerd. Wij beschikken over 146 jaren, 106 te Haarlen en Zwa=- nenburg en 40 te Utrecht. Afzonderlijk is onderzocht, of beide reeksen overeenkomstige uitkomsten gaven, anders toch zouden die nog minder gewicht hebben dan die men er misschien nu aan toekennen mag. Wij zouden ze dan ook niet gelijk nu hebben mogen vereenigen. Wij noemen een winter streng of zeer zacht als de som der afwijkingen in December, Januari en Februari minder dan — 5 CP of meer dan + 5 C° bedraagt; een winter koud of zacht, als ze door binnen de genoemde grenzen. gt. Voor de zomers hebben wij de grenzen op drie en een halven graad ter weerzijde van de normaal aangenomen en noemen dus den zomer heet of zeer koud als de som van de afwijkingen in Juni, Juli en Augustus buiten die grenzen ligt, enkel koel of warm als zij daarbinnen blijft. Er is wel weder iets willekeurigs in het stellen dezer grenzen, maar wie zal ze stellen zonder willekeur? Ook kan men aanvoeren dat wij zelven bewezen, Jaarboek 1858, dat van de zes opvolgende maanden November—Maart ieder de laagste temperatuur kan hebben en dus juist No- vember of Maart een winter wel eens tot een kouden of strengen zou kunnen stempelen, dien wij nu zacht of enkel koud noemden; maar dien geringen invloed, want die ge- vallen komen toch slechts zeer zeldzaam voor, zal men slechts later met vrucht kunnen en dan behooren te onder- zoeken. Wij blijven dus voorloopig bij onze terminologie en vin= den dan de volgende getallen 28 zeer warme winters gaven 19 warme, 9 koude zomers 4 warme » » 23 — >» 24 » » 19 nin » > 42 >» 33 ? ( 147 ) 45 koude zomers gaveu 18 warme 27 koude zomers 26 zeer koude » DN 6 » 20 » » 71 koude DN DN 24 » 47 > » 53 warme » » 30 5 23 _» winters 12 zeer warme DN » 5 » 9 » » 65 warme N > 33 > 32 > 66 koude _ N lt 5 » 13 zeer koude » > 5 » 8 » » 79 koude » > 41 » 38 » » Men ziet dat althans de zomers weinig licht geven om- trent het karakter der volgende winters en dat alleen koude winters meer waarschijnliijkheid geven dat weder een koele of half koude zomer volgen zal. Bladzijde 151 geeft gelegenheid die warme en koele zomers gemakkelijk te onderkennen aan het grooter of kleiner zijn van de getallen, die voor het einde van een Augustusmaand opgegeven zijn, dan die, welke op het einde van de vooraf- gaande Meimaand betrekking hebben. Algemeen kan men de afwijkingen van iedere maand uit de overmaatstabellen afleiden, met inachtneming van de op- merkingen, op bladz. 136 en 137 vervat. Ook zie men de Marche annuelle du Thermomètre et du Baromètre en Nêer- lande. 1876. p. V. 10* (148 ) TABEL I. | OVERMAAT VAN TEMW®B VAN IEDER DER EE Januari. | Februari. | Maart. April. Mei. | 1849 oo6 2 20 032 0.53 213 0.3: 50 1 91 5.10 1.06 O 11 0.S0 0.46 51 2.66 5.26 0.19 0.67 1.46 0.06) 52 0.01 5.93 1.06 3.01 2.31 1.11 53 3 AS 1.96 5.34 1.94 2,75 1.32 54 3.56 1.22 4.18 1.27 3.79 2.83 55 1.34 6.44 7.04 6.31 5.97 3.29 56 3.04 4.88 7.81 6.24 7.95 4.07 57 2 35 1.95 7 90 7.16 7.08 2.03 58 1.38 8.13 8.72 vir) 8.37 1.46 59 3.25 5.88 5.89 8.64 7.54 3.443 60 5 20 7.95 6.97 10.43 7.59 2 38 61 1.01 6.01 5.07 11.88 9.73 3.56 62 0.S6 5.35 1.80 9.96 7.45 2. 63 4.06 3.16 0.15 9.02 7.61 1 SC 64 1.30 5.01 1.32 9.51 8.65 ©.63 65 1.23 8.03 1.98 6.47 5.25 0.54 66 5.31 6.10 2.18 5.15 7.4 2 01 67 4.42 2.65 3.78 5.14 6.86 1.21 68 3.4. 0.11 2.28 5.20 3.05 3.3, 69 3.69 3 AG 3.93 2.72 4.07 0.22 70 4672 054 5.27 1.64 4.27 0.08 71 1.09 0 25 2.51 2.59 6.23 1.87 72 293 2.05 0.28 1.50 6.92 1.36 73 6 15 0.42 1 22 1.84 9.27 0.46 7A 8.89 0.49 3.16 0.25 11.49 0.93: 15 |a1 63 | 246 2'az | 051 | 41038 0.15) 76 9 A5 1.85 3 20 0.02 13.20 0.21 rid 12 64 0.55 290 1.35 15.47 2.2 78 14 21 2.83 3 25 0.20 | 15.01 3.00 79 11.44 1.29 2 63 1.12 17 49 PN | 80 9.81 2 52 a AA 0.41 18.10 1 85 st 5.63 1.S6 4 92 1.82 18 00 0.2 82 6 S3 3.08 Ss 04 1.29 17.56 0.79 83 2.S2 5 24 A26 0.74 16.94 0.19 84 11.SS 2.27 6 S3 {43 16.17 2.04 85 10.22 10.53 6.S2 O 19 | 18.46 1.70 86 9.0 6.274 5.98 0.12 | 18.08 3.25 87 Ss.14 6.22 4.26 1.20 20.30 3.34 88 2.28 2 06 2.15 3.51 91.36 3.34! (149 ) RE ER UTRECHT | ZELVE EN VAN HET JAAR. Augustus. | September.| October. | November. | December. | | „36 1.37 0.17 0.73 0.48 1.51 „73 2.60 1.70 2 94 1.60 0.63 AN 2.75 2.99 2.07 0.58 0.09 32 2.26 3.55 3.41 289 4 36 16 3.50 4.16 2.90 1.39 1.13 09 4.06 4 Sp, 0.13 0.02 A6 3.97 4.13 2.56 1.71 2 Ot .03 3.1 5.22 1.64 3.34 0.31 ).08 0.05 3.66 012 2.53 2.23 43 Oo .2 1.84 © o1 6.47 2.s4 42 1 S4 2.58 1.04 7.38 0.61 51 0.47 4.07 1.04 5.23 1.28 h.07 0.28 4.27 2.82 5.29 0.49 559 0.25 3.67 4.31 A 1.69 ,.76 0.11 5.64 5.23 4.82 4.59 h.98 2.23 6.18 5.0t 6.11 1.66 b.12 ard 3.41 5 SG 4.16 212 45 4.51 3.56 559 | 274 412 1.87 255 3.02 5.02 2,13 282 5.77 1.84 1.66 4.36 2 61 6 S3 b.31 3.30 0.97 3 56 2.21 6 92 24 A14 1.80 2.90 1.85 2.05 51 2,29 1.58 091 4.62 0.41 ).03 2.56 1055 0 91 an 215 4 2.03 2.94 06: 1.44 2.64 | 54 3.28 2.02 1.52 NA 0.90 1.65 1.93 0.84 0.27 5 O1 L55 0.80 2.24 1.29 3.58 2.99 21 0.97 4.70 0 39 1.29 3.29 .S4 1.05 4.46 0.43 1.93 1.68 | 41 1.68 4.89 o oz 3.45 1.22 IG | 013 3.67 1052 3.28 1:32 5 3,34 4.77 5.0f 0.58 0.92 62 5.10 5.37 5.16 0 21 0.77 ) 5 5.58 5.92 5 09 O.S6 O1. } 06 3.62 4.47 4.87 025 137 32 ark, 5.84 6.47 0.68 1.49 08 5.51 4.40 5.46 140 | 0.94 ‚09 6.27 5.94 7.96 111 0.01 ‚43 8.19 6.92 9.67 1.94 1.16 TABEL IT. Januari. 1849 0.06 50 4.57 51 4.95 52 1.12 53 1.22 54 147 55 21:32 56 39.93 57 43.25 58 atie 59 34.41 60 24.37 61 40.07 62 JadIJ 63 23.04 64 19.55 65 31.79 66 22.44 67 19.86 68 20.93 69 Erf 70 243 71 14.54 72 21.02 75} 5.19 74 0.90 75 0 91 76 aM drf 3.20 78 4.06 79 4.62 80 14.93 81 12.49 82 17.53 83 11.64 84 10.98 85 4.55 86 7.76 87 10.95 88 23.06 OVERMAAT VAN TEMB Februari. (150 ) Maart. April. ACHTEREEN VOL 11 en jd ln S s KNIE ded EEE ed SW aon ao aL @S Ed raadde me ml CS 15 5 DO == GO En GI OT IO > 1 O0 en 100 Nt DP DO A wan ie JC N Éen (151) WTUUR TE UTRECHT. | HET EINDE VAN Ë Augustus. |September.| October. [November.| December. OP ueomaHnnrSSsEoBHn TABEL III. Januari. vem ed Sl TO ma mn D DO Februari. = bd Kd „4 br jd jd jd jd jn jj jm jm en jd jm OUROPEAPREMUEORDELAR SIND AE wore: sd lr) er) IL (152) Maart. OVERMAAT DER MORGEN-BAi VAN IEDER DER MAANDEN # en SS Clt OU Om 0 me St RDSE AADS KW WBA md jo ee ov: mn jn SRD w le) lere) 45 3.68 DA ROES DW oto me Da nd GP GU OO OO D 3 IO == bed jn mi & . @r wi AAT S= unu Et a gr - x x en ge mn en ne ee nenf hd mat” ( Senda eN je UO En Rl AE EES EEN _ - S oo os 3 mi USS mw Www OOH RULLOOM mone - Ol DO == GEO TT U Seun vz ml rd (153) TERAFWIJKINGEN TE UTRECHT Í IZELVE EN VAN HET JAAR. September.| October. |November. | December. 3 0.3 0.31 0.28 0.03 0.68 5 0.37 3.00 2.56 072 2.68 75 0.95 <32 pe 2.91 11 42 47 2.09 s.ee 4.08 8.37 <.39 34 1.96 5.21 6.96 2:92 c.s. )7 0-47 10.51 ie Dek 4.79 3.64 6 1.29 [14 8% 13.06 1.48 3.25 42 0.23 11.04 Bert 0.18 0.81 07 0.91 11.56 5.49 6.30 9 1% IS 0.92 13.S1 | <.64 9 54 | 1.81 11.54 7.06 9 64 6.51 )9 3.91 10.19 A21 9 AS 0.47 31 2.50 <.69 0.28 4.€6 4.61 37 2.85 9 40 ost 4.96 5.62 93 3.36 6.8. 0.30 9 01 Ss .1S 31 1 04 6.50 0.04 <3 12.23 53 3:21 13.60 5.80 «.<0 20.54 30 7.58 s.S2 0.16 6.6S 20.3 38 6.24 11.23 Ö:13 14.39 20.16 s1 112 9 €99 0.94 | 16.39 12.16 56 3.65 6.60 2. 14.63 Ss 3e 31 5.75 9 69 0.98 12.02 „26 63 3.58 <.S3 1.44 13 .4S 10.S1 32 3.62 4.08 2.10 s.49 24. 99 3.92 3 54 2.96 <.<9 10.22 94 4.22 3.19 2.47 Ss IS 4.32 11 2.64 5.29 4.10 3.98 <.4S 47 en De 0.23 2570 3.25 el 94 5.47 1.38 0.26 1:21 0.85 81 9.94 1.12 2. 7 S- rr 36 12.07 1.23 2.22 9.06 1.32 85 12.99 1.24 0.66 1.04 0.60 26 13.85 1.16 2.85 1.83 0.90 13 16.02 1.96 2.06 4.84 5.49 47 15.11 5.09 3.03 6.89 3.48 46 13.76 4.02 5.08 1633 6.40 69 14.24 6.23 0.98 0.64 149 73 13-22 4.24 2:99 0.52 1.74 87 13.57 5.79 0.28 5.11 5.58 36 12.70 1:65 3.05 6.06 3.61 Jaar. jd ae =weoncWS SSI ( 154 ) TABEL IV. … OVERMAAT DER BAROME TS | El Januari. [ Februari. Maart. April. Mei. Jr | | 1849 0.82 6.10 Ss. 95 292 2.66 3 50 428 | 410 | 929 | 632 | 452 6 51 2.16 9 24 5.45 3.25 5.11 6. 52 (1298 |\12 53 \1S.S5 23 99 |\23 43 | 1S.i 53 1.20 9.88 8.67 11.34 12.04 14! 54 14.85 10.79 0.80 4.18 1.96 0.5 55 5.00 0.31 5.02 1.99 5.07 Alt 56 10.04 7.10 0.64 3.85 7.75 6 57 11.31 6.36 6.97 10.31 9.84 74 58 21.08 22 31 21 43 23.65 | 23.31 | 25 59 32.92 38 26 \38S 21 3429 \33 95 | 32.1 60 23.33 |22 18 \18 58 |\12.8S6 16.99 | 13. 61 2.s2 6.45 1.23 6.24 9.14 Ss. 62 6.66 9 33 3.39 5.50 A25 1. 63 0141 2.93 6.12 2.08 Ss 53 6. 64 21.20 |\2062 14.28 \18 39 18.95 ra 65 12.98 9.81 2.28 13.28 14.01 | 19.j 66 25 42 |18S 28 13.33 13.68 [14.53 | 144 67 0.03 2.24 0.99 4.92 5.51 38 68 5.25 2.95 Ss AS S 51 11.14 158 69 14.26 | 13.36 9.06 10.59 s.10 9. 70 11.35 |10.62 12.09 (12 22 |20.60 | 23.1 71 14.62 12.38 21 08 \1S 1S |20 82 18.4 72 18.98 16.66 |14.40 13.60 12.58 | 14.4 73 13.39 11.30 13.41 13.62 14.00 | 14ä 7A 5.89 3.00 2 60 1.23 1.22 A4) 75 0.46 1.25 6.72 9.69 11.54 | 1O0.U 76 19 49 |15.39 5.51 4.62 8.26 S. 77 5.09 8.44 13.93 17.19 19.19 17 .& 78 17.93 10.19 9.33 11.10 14.34 145 79 32.71 12.32 40.66 47.04 15.95 19 0 80 26.36 28.97 23.31 24.69 22.02 Ad 81 29.33 33.08 33.90 33.23 29.57 29 82 14.25 7.64 5.64 8.34 5.51 7.6 83 28.18 24.08 25.32 22.92 23.09 23 / 84 4.71 24.04 23.10 25.72 2.48 23.4 85 16.27 21.17 18.62 22.06 25.94 48 86 30.23 27.15 25.15 24.99 24.36 25.4 (155) | | BE UEKINGEN TE UTRECHT. HET EINDE VAN Augustus. |September.| October. | November. | December. 3.28 3.56 Od 2.91 s.35 s.s1 4.26 S.12 9.40 9.61 <45 16.19 14.83 13.08 S.G1 3.58 15.89 18.77 12.62 12.24 6.S5 6.28 3.e1 0.42 0.35 5.18 1.87 2.26 11.45 4.10 2.80 6.86 5.7} 9.97 091 | 10.89 26.58 29 08 |30.4A1 30 88 34.09 |30.02 32.02 28.99 6.18 s.Id S.S1 1.83 zee <32 2.60 <.6S 1.95 „04 2.et 3.85 €.06 6.52 [10.54 13.15 20.55 | 20.21 |1S 54 22.62 23.88 18.12 |1S 45 26.46 3.13 S.d 8.5 “.5S 1.63 1.60 6.11 5.90 TABEL V. Januari. 1849 9.8 50 0.6 51 12.9 52 2s.1 53 oe.4 54 4 4 55 65.5 56 <5. Di 91.8 58 <1.6 59 4.5 60 56.5 61 1e.1 62 22.1 63 13.4 64 45::5 C5 12.8 66 1.6 67 20.3 68 22.6 69 11.6 70 5.9 71 11.3 72 1.4 13 127 74 123 75 de 76 33.4 zh 18.2 78 25.6 79 23. 80 10.1 81 29.2 82 37.2 83 48.4 84 16.2 85 15.4 86 34.3 87 1.3 Februari. Seuharverhaskincuuumeuzizunvenekessnsun ( 156 ) OVERMAAT vi Maart. EN Le) EAS md jm mlm SE En UO Dm IEI OE DN 7 Go GP OT Al ACae LT Nn zSurtsutsen SUNS BIP IO 2 lm OT ln OD TD OE U Ut a WSD SS pa # VAN IEDER DER MAANDEN April. ze. Se. 113. S6. 155. 14e 130. 162 ben ja jd © Sa) He He QD 196. me md jm 9 Pane ans CEDEVORAUUURRALEDUOS Em UDUUO SR iin RU B Mei. (157) | GEN TE UTRECHT | ELVE EN VAN HET JAAR. | Î | Ji. Augustus. | September.| October. | November. | December.| Jaar. ).S 39.7 35.3 39.2 5.4 36.0 32.1 3 3.3 63.7 33.2 5.1 59.6 | 154.27 pa 9.3 103.8 5.2 56.5 14.4 91.6 2 59.3 83.9 | 132.22 S3.2 22.0 | 4322 ,.S 50.S 65.4 151.4 28.2 83 |426.5 4 24.9 75.9 | 194.3 42 9 SOA | 5986 0 | 2.8 121.2 | 2414 11.2 23.1 | 530.9 p.9 4.0 115.8 |1S2.2 56.4 62.8 | 5929 3.6 37.0 115.3 | 142.535 26.9 13.6 | 543.2 2.1 2e 149.1 |122.4 13.6 226 | 2830 B.L 16.1 135.5 | 116.9 24.1 18.0 | 2623 B.2 2.8 129 .1 95.1 25.8 16.2 | 244.535 5.2 3.3 97.6 24.6 5.7 60.6 | 209.090 ti 22.3 124.7 45.2 A.A 64.9 | 100.3 2.6 36.6 109.6 1.1 62.5 59.8 72.6 „0 33.0 97.2 40.7 87.2 112.4 311.5 2 AS.0 155.7 37.0 121 .4 164.5 299.9 D.A 51.0 99.4 99.8 65.8 143.2 185.9 LL 3.4 86.6 109.0 91 9 131.4 198.4 6.S 12.0 131.9 122.3 123.6 97.5 332.6 9 20.6 121 .4 96.2 102.3 93.5 235.3 2.S (113.0 1424 55.9 117.1 43.5 202.6 1.4 51.S 118.2 58.5 131.0 62.7 261 .1 6.6 44.6 76.5 4A.S 103. 1 18.8 83.0 S.S 33.6 38.1 1.0 136.1 rid 205.3 5.1 3.5 14.5 18.5 97.8 78.9 209.8 93 29.3 24.9 52.9 49.3 113.1 130.5 2.5 59.3 |101.2 91.7 53.3 1171 125.3 5.6 1050 22.2 rn 27.4 110.1 22 04 132.0 5.4 109.7 10.1 122.6 36.8 DS |153.2 33.2 122.8 7.2 151.9 36.0 D.3 1213 55.0 67.6 13.1 95.5 | 110.5 D.3 |162.6 54.2 92.8 18.4 55.4 | 1S5.1 43 1942 222 90.4 13.8 30.7 |\439.1 18 159.5 66.9 88.6 38.5 36.6 | 35S.5 & 134.1 54.3 93.6 25.5 2.6 | 2943 6 2 SG6.G 62.8 8.2 18.1 35.3 | 219.9 3.6 49.8 19... 21.9 :.S 1.9 |223.6 10 87 1.5 0.0 0.4 | 0.2 Br, TABEL VI, Januari. 1849 9.8 50 A. 51 141.2 52 132.6 53 46.0 54 492.S 55 592.44 56 s41.1 57 609.00 58 323.55 59 258.99 60 2.1.3 61 205.11 62 214.0 63 91.6 64 101.5 65 308.8 66 88.7 67 164.0 68 195.9 69 343.8 70 241 .0 71 219.8 72 48.4 vi: 97.1 74 204.9 75 199.2 76 162.2 77 13:77 78 9.6 79 34.9 80 2.2 s1 1.4 82 Ies.1 83 428.9 84 390.% 85 2J5.1 86 269.66 87 190.6 Februari. SS) er) VORDOWT WR IWASE r THEEMS HUER UNS w (158 ) OVERMAAT Vij Maart. SRDUR URI jp PO DD Oi a nd md © U April. 30. 160. 163. 142. sle. 485. ser. 64. SO. zie. 33E. 310. zot. 158. 50. 144. 329. 267. 161. 178 341. 287. 237. 267. 133. 225. 212. 78. 13. 29. 59. 23. 139. 215. 34. 339. zes. 243. 143. bal AUSTUS OE ijn CP CPO ARDH OPRA D U DSi © FE ma Es VOLGEN Een Sne Bnn oen on 25.8 1 16: 9 | 13 169.99 | 13! 120.090 | 20; 503.44 | 53f 455.S 50: 235.S | 52 634 2 | 624 532.22 | 504 252.6 261 3046 | 2Sf 332.22 | 32% 2110 294 135 2 14: 30.2 163.4 15 337:1 | 280.9 ) 186.0 17 198.3 3, 258.1 309.3 2704 267 .3 108.6 194.5 2573 85.9 20.4 <5.9 42.0 > 62.2 185.44 19 2182 | 31 361.OVER DE DESMISCHE CONFIGURATIE 9,” DOOR D. BIERENS DE HAAN ex F. J. VAN DEN BERG. (Uitgebracht in de Vergadering van 23 Februari 1889). Ondergeteekenden, aan wien door de Afdeeling de beoor- deeling van de genoemde verhandeling werd opgedragen, hebben de eer zich van hunne taak te kwijten. Neemt men drie willekeurige punten c3,ag,bg aan op de drie gegeven lijnen aj bj, bj cj» ci &» en nog één willekeurig punt ag op de lijn bzez, en construcert men de Pascal- lijn ajb3c3, voor den in twee rechten beschreven zes-hoek agbgcjasbieg, dan verkrijgt men eene configuratie 9, A, die schrijver de desmische noemt, ter onderscheiding van twee andere configuratiën 93 B en 93 C, die, even als de 9, A zelve, reeds in 1881 door S. Kanrror werden aangegeven. Onze configuratie bezit: drie hoofd-drie-hoeken a; ag az, | drie hoofd-drie-zijden A, A, As, bj bab3, CciCc3; hare lijnen| B} B, B3, Cì Co C5; hare pun- vormen dus de basis van eene|ten vormen dus de basis van een krommen-reeks der derde klasse. krommen-bundel der derde orde. Bepaalt men eene Ä3 door de drie punten a;b;c; (voor iz 1, 2,3) en een willekeurig punt a”! op aj ag, dan snijdt Kz de lijnen aja, ag ag, ag aj in de punten a'’, a’, a", die | ( 169 ) de tangentiaalpunten zijn van a3,aj,4g; deze laatste vormen dus een inflexietripel. Wanneer de K3 de lijn a; az in het punt a, raakt, dan zijn aj ‚az, ag punten van 9-puntige aan- raking met krommen der derde orde, en zijn dus hoekpun- ten van een driehoek van Hart. Elk drietal collineaire punten eener Kz behoort slechts tot ééne desmische conf. 93 A, in die Kz beschreven. En daaruit volgt, dat de lijnen, die twee inflexietripels vereeni- gen, A3 snijden in een derde inflexietripel. Daar drie collineaire punten ook drie collineaire tangen- tiaalpunten hebben, zal men, uit de punten eener desmische conf. 93, beschreven in de serpentine der twee-takkige Ks, de raaklijnen aan de kromme trekkende, raakpunten verkrij- gen, die tot eene config. (3613, 1443) aanleiding geven. Deze bevat 16 desmische conf. 93 en negen der vroeger door schrijver behandelde conf. (124, 163) 4. Vervangt men de twee-takkige X3 door eene één-takkige, dan komt er eene config. (186, 363), bevattende vier desmi- sche conf. 93 en negen vier-zijden. Nadat schrijver de constructie gegeven heeft voor conneze desmische configuratiën, toont hij aan, dat een K3 bevat eene desmische conf. 93, die met hare connexe samenvalt, en daarom autoconneve genoemd wordt. Deze heeft een drie- voudig nevenpunt; terwijl de reciproke wel ééne driepuntige diagonaal heeft, maar geen tweede, zonder onbestaanbaar te worden. En, omgekeerd, bij eene desmische conf. 93 met drievoudig nevenpunt, komen de negen diagonalen drie aan drie samen in collineaire punten, de buigpunten eener K3, die door één hunner wordt bepaald; zij vormen puntenqua- drupels, met de drie puntentripels der desmische conf. 93: en daarom is deze autoconnexe. Hare hoofd-driehoeken zijn, twee aan twee, viermaal perspectief ten opzichte van de hoekpunten van den derden driehoek en het drievoudig nevenpunt der configuratie. Zoowel de hoofd-driehoeken eener desmische conf. 93 met bunne perspectiviteits-assen, als de hoofd-driezijden met hare perspectiviteits-centra, bepalen telkens drie dergelijke conf. Er zijn 27 desmische conf. 93, welke ieder zijn samenge- (1%) steld uit zes lijnen, zes punten, twee diagonalen, twee neven- punten, een nevenpuntslijn en een diagonaalsnijpunt der oor- spronkelijke econf. 93; zoodat de 27 perspectiviteitsstralen, die behooren tot de paarswijze drievoudig homologe hoofd- driezijden der conf. 93, elk gaan door 27 homologe snij- punten van de zijden der hoofd-driehoeken, die eveneens paarswijze drievoudig homoloog zijn. Het voorgaande leert ons nu uit eene couf‚ (3 27, p #3) af te leiden de conf. (9 #3,, 9 pag) die bestaat uit de 3 4 daartoe behoorende inflexietripels en de lijnen, die hiermede px desmische conf. vormen; — de conf. (6 #9,, 4 p az), die uit per vierzijden is samengesteld; — de conf. (12 #4), 16 p #3), die uit per conf. (124, 163) A bestaat; — verder de conf. (15 asp, 29 p23), door eene eigenschap der conf. (155, 253); — en eindelijk de coní. (24 wgn, 64 p az), door eene eigenschap der conf. (243, 643). Schrijver somt nu de bekende configuratiën op, die in eene Kz kunnen beschreven worden, met de indices 2 en 3; die van den vorm „3, en enkele met de indices 4 en 5. De methode van dit opstel stelt hem nu in staat, dit geringe aantal willekeurig te vermeerderen, zooals hij met een paar voorbeelden toelicht. Deze arbeid is van dien aard, dat Uwe Commissie U, ook nu weder, gerust kan aanraden, de verhandeling in de Ver- slagen en Mededeelingen op te nemen. Leiden en Hilversum, D. BIERENS DE HAAN. Februari 1889. FE. J. VAN DEN BERG. OVER DE DESMISCHE CONFIGURATIE 93, DOOR Dr. JAN DE VRIES. Sedert S. Kanror in 1881 *) aantoonde, dat er drie in samenstelling verschillende configuraties 93 bestaan en de middelen aanwees, om hen te construeeren en van elkander te onderscheiden, zijn deze cf. herhaalde malen het voorwerp van onderzoek geweest. Zoo bepaalden Martine f) en SCHOENFLIESS) de groepen van substituties, welke in elke dezer cf. de door de getallen van 1 tot 9 voorgestelde cf. punten in elkander doen overgaan, terwijl ScrroerER **) onlangs bewees, dat ook de 93 C, welke Kanror met behulp van lineaal en passer had leeren construeeren, evenals de beide anderen, 93 A en P3 B, eene lineaire constructie toelaat. In de volgende S$ wensch ik eenige eigenschappen der door KANrtor 93 A genoemde cf. te behandelen, welke, naar het schijnt, nog niet werden opgemerkt. S 1. Neemt men op de lijnen bj ej, ej «, aj bj achter- eenvolgens de punten ag, bg, cg en op de lijn ba cz het punt ag willekeurig aan, en bepaalt de snijpunten bg == (az cj, ag €2) *) Ueber die Conf. mit Ind. 8, 9 (Sitz. Wien. Ak, Bd. 84, S. 915). }) Sulle cf. piane pz (Aur. de Mat, Ser. Ila, tomo XV). 9) Ueber die regelmässigen Cf. #4 (Math. Ann. XXXT). %) Ueber lineare Konstructionen zur Herstellung der Konfigurationen nz (Gött. Nach. 9, 1888). (172) en ca == (az bj, ag bg), dan liggen aj,b3 en cz in eene rechte, die de reeds voorhanden punten en lijnen tot de cf. 93 A aanvult; deze rechte is de Pascallijn voor den in twee rechten ag bj cj en ag bg cg beschreven zeshoek ag bg cj ag bj cz- Tabel (A) geeft een overzicht over de gevormde cf. Lijnen |A;l Bil C: | A3\ Bal Co || A3 | B3| C3 42 fes ta TL TES Punten bi Dg bi Dg D3 Da D3 bi Da Cj Cj Cg Cg Cg C3 C3 Cg Cj De cf. bevat drie hoofddriezijden *) 4, A, A3, B; Bs B3 Ci Ca C3, hare punten vormen dus de basis van een (3), d. 1. een bundel krommen der derde orde; zij bezit ook drie hoofddriehoeken a;ag ag, bj ba ba, cj Cg Ca, zoodat hare lijnen de basis van eene krommenreeks der derde klasse vormen. Wegens de overeenkomst tusschen het stelsel der hoofddriehoeken — die, zooals Kanror opmerkte, paarsge- wijze driemaal perspectief zijn t. o. v. de hoekpunten van den derden driehoek als middelpunten — en het door Her- MES f), STEPHANOSS) en Veronese *") beschouwde stelsel van drie paarsgewijze viermaal homologe viervlakken, zal ik deze 93 de „desmische’ noemen. 8 2. Op de Kz, welke door de negen punten a; b; c; (== 1,2,3) en het op aj ag willekeurig gekozen punt a” bepaald wordt, is a” het tegenpunt van bj c3 bz cj, omdat de lijnen Ag en A; *) Eene hoofdveelzijde (een hoofdveelhoek) is het samenstel van eene groep onderling gescheiden cf. lijnen (punten), die samen alle cf. punten (lijnen) dragen. Verg. mijn opstel „Over vlakke polyedrale cf.” (Versl. en Meded. 3de Reeks, Deel VI, blz. 12). T) Ausdehnung eines Satzes vom ebenen Vierseit auf räumliche Figuren (Journal v. Creuum. Bd. 56, 1858). $) Sur les systèmes desmiques (Bull. d. sciences math. Ser. IL, tome III, le partie). *%) Sopra aleune notevoli conf. (déti del PAcc. R. IX). (173 ) de K3 in a, en ag snijden; daar ag het dubbelpunt der uit B; en C3 gevormde Kg is, moet a'* dus het tangentiaal- punt van ag wezen. Op dezelfde wijze blijkt, dat Kz de lijn agag in het tangentiaalpunt a’ van a, en de lij1 ag aj in het tangentiaalpunt a" van ag ontmoet. De punten aj ag a3 _ vormen derhalve een inflexietripel, d. w. z. zijn de projec- ties der drie bestaanbare buigpunten uit een punt van K3 *). De drie gescheiden puntentripels eener desmische 93 vormen op elke omgeschreven Ks drie inflevietripels, die paarsgewijze driemaal perspectief zijn t. o. v. het derde tripel. Op de A3, die aj ag in aj raakt, valt a” met aj, dus a! met ag samen, waardoor ag het tangentiaalpunt van az en het 2de tangentiaalpunt van aj, wordt, dus met zijn 3de tangentiaalpunt vereenigd is; aj ag 43 zijn dan punten van negenpuntige aanraking met krommen der derde orde, dus de hoekpunten van een der beide driehoeken van Hart #). De (K3), welke door eene desmische 93 bepaald is, bevat drie kronvmen, voor welke een der hoofddriehoeken tegelijk in en om Kz beschreven is. 8 3, Liggen drie punten aj, bj,cg eener K3 in eene rechte, dan zijn hunne projecties p,‚g,r uit de bestaanbare buig- punten ú,d,i” eveneens collineair. De projecties ag en az van d en d' uit p vullen aj tot een inflexietripel aan, ter- wijl bj met de projecties by en bz van d en # uit g, en cg met de projecties cg en cj van d en d uit r een inflexie- tripel vormt. Duidt men door het teeken bet 5 £ «5 0 Buse =0 aan, dat de negen punten 1 tot 9 met de zes lijnen *) Duren, die ebenen Curven Ster O. 1871, S. 291, of SCHROETER, die Theorie der ebenen Curven 3ter O. 1888, S. 282. }f) On the nine-punct contact of eubie curves (Fraxs. Royat Irish dead. 1875). (174) 123, 456, 789, 147, 258, 369 incident zijn, dus met hen eene atrigonische *) (95, 63) vormen, dan geeft tabel (B) een overzicht over den samenhang tusschen de 15 bovenge- noemde punten, S -Q 3 > CS « > =| dee s en! : B Ct L 4 2 dj bi Cg aj Dg Cj dz Da Cg fsngnin par pgr) 7 ii dk MS e U ä | a, Da C3 ag 3 ci az bj c3 De acht nieuwe lijnen van (B) vormen blijkbaar met de lijn aj bj cg eene door tabel (A) voorgestelde desmische 93. Elk drietal collineaire punten eener Kz behoort slechts tot ééne in Kg beschreven desmisehe 93. Daar een inflexietripel door een zijner punten bepaald is, geldt voorts de volgende, naar het schijnt nog niet opge- merkte, eigenschap. De tijnen, welke een inflewietripel met een tweede inflexie- tripel vereenigen, snijden Kz in een derde inflevietripel. Drie tot eene desmische 93 behoorende inflexietripels zal ik door de benaming desmische groep samenvatten. Daar drie collineaire punten ecollineaire tangentiaalpunten hebben, vormen de snijpunten van Á3 met de zijden der hoofddriehoeken eener desmische 93, dus de punten a'a'a', D'U"b', c'e"e", eene tweede desmische 93, waarvoor de tabel uit (A) wordt afgeleid door elken index door het overeen- komstige aantal accenten te vervangen. Elk op eene cf.dia- *) Atrigonisch heet eene cf., wanneer zij geen cf. driehoeken bezit, (175) gonaal der desmische 9, gekozen punt bepaalt dus eene in de hoofddriehoeken dezer cf, beschreven desmische 93. Hier- uit volgt verder: Trekt men wit de punten eener in de serpentine eener twee- takkige Kg beschreven desmische 93 de raaklijnen naar de kromme, dan behooren de raakpunten tot eene cf. (36,9, 1443), welke 16 desmische 93 en 9 cf. (124, 163) A *) bevat. Verricht men dezelfde constructie voor het geval der een- takkige Kz, dan ontstaat eene (186, 363), welke 9 wvierzijden en 4 desmische 93 bevat. De beide laatste ef. ontstaan ook, als men de punten der desmische 93 tot puntenkwadrupels of tot correspondeerende paren van hetzelfde stelsel aanvult. Wordt elk inflevietripel eener desmische groep met een be- paald tripel van eene tweede soortgelijke groep vereenigd, dan snijden de 27 verbindingslijnen Kz in de tripels van een derde desmische groep. De 9 inflevietripels behooren dan met hunne verbindings- lijnen tot eene cf. (276, 543), welke uit 6 desmische 93 is samengesteld. | S 4. Plaatst men bij de in $ 1 gegeven constructie der desmische 93 het punt az in de doorsnede der lijnen bg cz en aj dg, dan zijn aj agag de bestaanbare buigpunten van elke om de cf. beschreven Ks; bj bg bz en cj cg ez zijn dan conneze inflexietripels f). Deze bizondere 93 wordt door SCHROETER in zijne onlangs verschenen theorie der K3 ver- meld $). Op elke K3, welke om eene desmische 93 met eene driepun- tige diagonaal kan beschreven worden, zijn de beide overige gescheiden puntentripels conneve inflezietripels; op ééne Kz zijn de beide hoofddriehoeken met de driehoeken van Hart identiek. Dit laatste blijkt hieruit, dat een punt, dat met zijn %) De cf. (124, 163) 4 heb ik beschouwd in mijn opstel „Over vlakke conf.” (Versl. en Meded, 3de Reeks, Deel V, blz. 105). f) Durèee, L. c., blz. 288. $) ScuRoetER, Ll. c., blz. 288, ( 176 ) derde tangentiaalpunt samenvalt, uit elk buigpunt in een soortgelijk punt wordt geprojecteerd. De punten p, g, 7, uit welke de punten eener algemeene desmische 93 in de drie buigpunten worden geprojecteerd ($ 3), behooren achtereenvolgens tot de connexe tripels van ai bye: ((=1,2,3). Deze drie connexe inflexietripels be- palen eene tweede desmische 93; dit volgt trouwens ook uit de aan het slot van $ 3 vermelde eigenschap, wanneer aldaar de tweede desmische groep tot het buigpuntentripel wordt samengetrokken. Twee aldus met elkander verbonden desmische 93 noem ik conneve cf. De desmische 93 eener Kz kunnen dus in connexe paren gerangschikt worden; daarbij blijkt, dat K, ééne desmische 9, bevat, welke met hare connexe cf. samenvalt: hare tripels worden gevormd door de sextactische punten, d. z. de 9 antitangentiaalpunten der drie bestaanbare buigpunten. Eene hoofddriezijde dezer autoconnewe 93 bestaat uit de drie harmonische poolliijnen der buigpunten; daar deze rechten naar een punt convergeeren, heeft de cf. een drievoudig nevenpunt, komt dus reciprook overeen met de bovenge- noemde door het bezit van eene driepuntige diagonaal ge- kenmerkte desmische 93. Eene desmische 93 kan geen tweede driepuntige diagonaal bezitten, zonder gedeeltelijk onbestaanbaar te worden; im- mers uit U==ajagaz en Bb; bz bz volgt ej eg cz = €; door toevoeging dezer drie lijnen ontstaat uit de 9, eene (94, 123), die met de door Hesse aangewezen cf. der buig- punten identiek, dus slechts gedeeltelijk bestaanbaar is. 8 5. Komen A; Az Az in een punt o samen, dan bestaat eene der krommen van de derde klasse, welke door 4; B; C; worden aangeraakt, uit o en eene kegelsnede. Beschouwt men Bi, C; als de zijden van den Brianchonzeshoek a; cj b3 ag c3 bj: dan blijkt, dat de cf. diagonalen a; az, bj bz en cj c3 door een punt y gaan. Evenzoo volgt uit den zeshoek a; bg c3 az b3 cg, dat aj ag, ba ba, cgcg maar een punt (9, en uit den zeshoek agbgei as bj eg, dat de diagonalen aga3, bj bg, cj cg naar Dd ak < en sé | er 177) een punt « convergeeren. De punten «, ?, y zijn als homo- loge snijpunten der t. o. v. het punt o perspectief gelegen driehoeken (aj ag a3), (b3 bj ba), (cz cj cq) collineair. De lijnen Bi, C; vormen nu met de 9 cf. diagonalen, de as «a /2 7, de 9 ef. punten en de punten a, /?,y de door tabel (C) voor- _ E | EDE ee Ea gestelde (12,, 163) A *). Bz C By 55: Ca | €; | 8 €, A | aj | aj al &rala le b3| 3 | b3 | ba | cz | e3 | ca | Ca (C) ag | 2 | bj € | (3 \bi | er | az fb ci laa | (2 |D: | er Y | 43 | €2 bz | 3 y | dg | ce || ca bar az || Og | €2 | d3 Y| Op de om deze cf. beschreven tweetakkige K3 vormen aj bz C3 A, ag bj ciy? en azbgcegy drie puntenkwadrupels met collineaire tangentiaalpunten; nu zijn evenwel a; bs cz met A3, agbje, met Aj en azbgeg met Ag incident: «, (3, zijn dus de buigpunten der 3 en A; hunne harmonische poollijnen. Van de geassociëerde (124, 163) A liggen op elke A; drie punten, die door de paren der 93 van o harmo- nisch gescheiden worden; de overige 3 punten zijn in o vereenigd, zoodat de omgeschreven A3 iu het samenstel der lijnen A; ontaardt. Hieruit volgt deze omkeering der in $ 4 gevonden eigen- schap: Van eene desmische 93 met drievoudig nevenpunt komen de negen diagonalen drie aan drie samen in drie collineaïre pun- ten, welke de buigpunten der door een hunner bepaalde Kz zijn ; daar deze: buigpunten met de drie inflevietripels der 9) punten- kwadrupels vormen, is deze 9 autvconnes. De hoofddriehoeken der autoconnexe cf. liggen paarsge- wijze viermaal perspectief t. o. v. het punt o en de hoek- %) J. pr Vries, Over vlakke cf., blz. 107. De volgorde der kolommen van (C) stemt geheel overeen met die der tabel (B) in de aangehaalde verhandeling. VERSL, EN MEDED. AFD, NATUURK, 3de REEKS DEEL VE 12 (A98) punten van den derden driehoek *). Omgekeerd geven twee viermaal perspectief geplaatste driehoeken steeds aanleiding tot eene autoconnexe desmische 93; een der driehoeken kan willekeurig aangenomen worden, van den tweeden slechts een hoekpunt f); drie der perspectiviteitscentra vormen een derden driehoek, welke met elken der beide anderen viermaal perspectief ligt; dit laatste schijnt door ScHrortER niet op- gemerkt te zijn. De hoofddriehoeken eener autoconnexe 93 zijn twee aan twee viermaal perspectief t. o. v. de hoekpunten van den derden driehoek en het drievoudige nevenpunt der cf. Heeft eene desmische 93 behalve de driepuntige diagonaal U'==aj ag ag een drievoudig nevenpunt o=d; A, As, dan liggen de punten a, (2, op U, en de door een hunner be- paalde K; ontaardt in 4 en de door b; c; (== 1, 2,3) ge- trokken Ks. Deze in dubbele mate bizondere 93 kan aldus gecon- strueerd worden: drie in o samenkomende lijnen A; As As worden door eene vierde lijn U achtereenvolgens in dg. 43, dj gesneden; het op 4, gekozen punt bj wordt uit a, op Az in ca, uit ag op Az in cz geprojecteerd; ag co snijdt A; in bg, agcz bepaalt op Az het punt b5, aj bz op A; het ne- gende punt cj. 8 6. De hoofddriehoeken aj ag az en bj b3 by eener desmi- sche 93 liggen perspectief t. o. v. cz (tabel A): de homologe diagonalensnijpunten As Ba, A, B, Uw B3 zijn dus incident met eene rechte C'. Uit de homologie van a; ag ag en ba bj b3 met centrum cj volgt evenzoo, dat de punten 43 Bs, U Bo, U, By door eene rechte C" verbonden worden; eindelijk le- vert de homologe ligging van ajagag3 en b3bgb, de rechte C' == (Us Di, AU Da, Ag Bo). De lijnen C'C'C” vormen met *) Dat twee driehoeken hoogstens viermaal perspectief kunnen zijn, heeft Rosanes (Math. Ann. IL, S. 549) analytisch en ScHRORTER (aldaar S. 553) synthetisch bewezen. j) Scrroerer in de zooeven aangehaalde verhandeling. ada” ent AS Sns aad as GR de en WE ik rl Sd oen mn fd - ‘ B (179 ) de diagonalen 94; B; en de diagonalensnijpunten c;; == (Ui B;) de door tabel (D) voorgestelde desmische 9. * ! Ds DN U, | U Us Bl Bal Bs C | Sg | Ak f Beer est em | Cm-| Ci3 | Ci | Cis Fear (D) | Mi eton |-Caa| Cal.) Coa. | Cos | Cas | Ca1, | C33 €13 | Cas | C33 | Can | C32 | C33 | €53. | Caz | C12 De hoofddriehoeken eener desmische 93 bepalen paarsgewijze met hunne bijbehoorende perspectiviteitsassen drie soortgelijke configuraties. Zijn ayazes 17273 de hoekpunten der hoofddrie- zijden A, As A3, Bj B9 Bz, dan ligt A; Ag A3 met B, B3 Dy Mo: v. de ag C., met B, B, Bs to. v. de as Co, met B, B; B; t. o. v. C perspectief. De overeenkomstige centra y'y'y' vormen met de punten «;, (2; en de 9 perspecti- viteitsstralen 7; 1 de desmische 93 van tabel (HE). Tas [Fo Fo TAP ' I | 1 Aat | " " u 1 In A a RAR RA . (E) Er Ps | A5 | &i | @2 35 [| | @&3 | 3 AUNENNE | Bs | Be \ O1 | A2 | 1 | Ps De hoofddriezijden eener desmische 93 bepalen paarsgewijze met hunne bijbehoorende perspectiviteitscentra drie soortgelijke cf. Van den in de lijnen C} C5 beschreven zeshoek a, ag ca bg bj cz met de zijden Uz By Az Dz Bz Az bevat de Pascallijn de pun- ten cz3 = (Uz Dz), 1 =S(B2 Bz) en a Ìg A3); blijkens tabel (E) ligt op deze rechte ook 7. Tot elke desmische 9 behooren 21 soortgelijke ef, welke elk wit 6 punten en 6 lijnen, 2 nevenpunten en 2 diagonalen, 1 diugonalensnijpunt en 1 nevenpuutenlijn der oorspronkelijke 9 zijn samengesteld. 12 ( 180 ) Hierdoor is tevens een verband aangewezen tusschen de drie met (D) en de drie met (E) overeenkomende 93: De 27 perspectiviteitsstralen, welke lij de paarsgewijze drie- voudig homologe hoofddriezijden eener desmische 93 behooren, gaan elk door een der 27 homologe snijpunten der zijden van de paarsgewijze driemaal homologe hoofddriehoeken. S 7. De eigenschap, dat drie collineaire punten eener K3 steeds ééne in de kromme beschreven desmische 93 bepalen (8 3), geeft een middel om uit eene cf. (3 #,, paz) eene ef. (9 as, 9 paz) af te leiden, welke samengesteld is uit de 3x door de oorspronkelijke cf. pnnten aangewezen infle- xietripels en de lijnen, die met deze tripels p x desmische Cs vormen. Deze constructie vervalt natuurlijk, wanneer de (3 ap, p 13) zelve uit inflexietripels bestaat; dit is o. a. het geval met de 93 C, waarvan Kanror Ll. c. heeft aangetoond, dat hare punten steeds met eene Kz incident zijn *), en de toppen vormen van eenen tangentiaalnegenhoek, d. w. z. een negenhoek, waarin elk hoekpunt het tangentiaalpunt van het voorgaande is. Zooals uit tabel (F) blijkt, vormen de drietallen van punten 1,4,7; 2,5,8; 3,6,9 drie infle- xietripels, wanneer (2 + 1) het tangentiaalpunt van % voor- stelt. 47 PS PE 4 1 ck KRO: CE € 8, a | | | 2de FN De bovengenoemde handelwijze om nieuwe cf. te vinden, staat niet op zich zelve. Vult men nl. de punten der (3 ej, pz) tot correspondeerende puntenparen of tot punten- kwadrupels aan, dan ontstaat in het eerste geval eene (Ö zap, 4paz), die uit pr vierzijden, in het tweede geval eene (12 4, 16 pz3), welke uit pr ef. (124, 163) A is sa- mengesteld. *) Door 9, B kan geen eigenlijke K; gebracht worden (KANtToR Ll. c.). (181) Wordt K3 in de ecollineaire punten p, q, r door kegel- _ sneden TgiBsnhg geraakt, dan liggen de zesde snijpunten _ met A3, p,g,7', eveneens in eene rechte *‚. Nu gaan door _ het punt p' der tweetakkige Ks nog vier bestaanbare Ks, _ die elders vijfpuntig raken f), zoodat door elk der punten _ P,Q,r een puntenkwintupel bepaald wordt; uit de zooeven aangehaalde eigenschap volgt evenwel, dat K3 door elke lijn, die een punt van het met p-overeenkomende kwintupel met een punt van het door g aangewezen kwintupel verbindt, in een punt van het derde kwintupel wordt gesneden. ___Construeert men door ieder van drie collineaïre punten eener _ K3 de vijf kegelsneden, welke Kz elders vijfpuntig raken, dan behooren de raakpunten tot eene cf. (155, 253), die door eene van hare lijnen volkomen bepaald is. Deze eigenschap biedt blijkbaar het middel aan, om uit eene (32,, pz) door aanvulling van hare punten tot kwin- tupels Je (15 wap. 29 pz) te verkrijgen. Daar verder twee elkander achtpuntig rakende K3 nog het derde tangentiaalpunt van het raakpunt gemeen heb- ben $), en van drie collineaire punten de derde tangentiaal- punten mede collineair zijn, volgt hieruit, dat de acht op een bepaalden tak der K3 gelegen punten, welke # tot derde tangentiaalpunt hebben, met de acht tot denzelfden tak be- hoorende derde antitangentiaalpunten van y verbonden worden door 64 lijnen, die Kz acht aan acht ontmoeten in acht punten, waarvan het gemeenschappelijke derde tangentiaal- punt op #y ligt. Hier heeft men dus eene cf. (245, 643), die wederom door eene van hare lijnen volkomen bepaald is; zij stelt ons in staat uit eene (3 2, paz) eene (24 zg), 64 p 23) af te leiden. De cf. (63, 42), (93. 93), (124, 163), (195, 293) en (24s, 642), waarvan in het voorgaande gebruik wordt gemaakt tot verkrijging van nieuwe cf., behooren blijkbaar tot den vorm (3 n„, n°); in een volgend opstel zal ik aan- %) SCHROETER, |. c. blz. 273. +) Körrer, Beiträge zur Theorie der Osculationen bei ebenen Curven dritten Ordnurg. Zmaug. diss. Berlin 1884. S. 6. $) SALMON, On curves of the third order. Phil. Trans. Vol. 148, p. 537, (182) toonen, dat voor elke waarde van n eene cf, kan aangewezen worden, die tot hetzelfde doeleinde bruikbaar is. 8 8. Het aantal bekende cf., die in eene K; kunnen be- schreven worden, is betrekkelijk nog gering: daarvan be-_ hooren tot de cf. met indices (2, 3), behalve de volledige vierzijde en de atrigonische (93, 63) 4, de (125, 83), welke uit de (124, 163) A door afscheiding van twee hoofdvier- zijden ontstaat *), en de (159, 103), welke door de afzon- dering van twee hoofdvijfzijdden uit de door Marrixerrr f) opgemerkte atrigonische 153 gevormd wordt. Tot de cf. n3, welke hier in aanmerking komen, behooren, behalve de des- mische 93 en de 93 C, de door KanNrorS) als 103 4, 103 B, 103 D, 103 G, vermelde ecf.‚, de 123, die uit (12,4, 163) A door weglating van eene hoofdvierzijde ontstaat, en de bo- vengenoemde 153 van MarrinNertr, welke, zooals Dr. ScHour- FLIES mij onlangs mededeelde, ook gevormd wordt door de snijpunten van 3 met de 15 zijden van eenen in haar be- schreven Pascalzeshoek; verder twee verschillende atrigoni- sche 273, waarvan de eene door Marrinerri |. ce. uit de bovengenoemde 153 wordt afgeleid, terwijl het bestaan der tweede mij eveneens door Dr. ScrHoeNrries werd medege- deeld; zij wordt bepaald door de punten eener atrigonische (95, 63) en de snijpunten van hare diagonalen met de Ks. Tot de ef. met hooger indices behooren de beide door mij L ec. aangewezen (124, 1635) benevens de eveneens door MarriNerrr gevonden (275, 453) en de (24,, 323), welke de restfiguur van elke harer lijnen is. De toepassing der bovengenoemde handelwijzen stelt ons nu in staat, uit deze bekende cf. een onbeperkt groot aantal nieuwe cf. te vinden. Als voorbeeld beschouw ik de ef. (276, 543), welke ont- staat, wanneer de punten der atrigonische (9, 63), (verg. $ 3), %) J. pr Vries, Over vlakke cf, blz. 118. f) Sopra alcune conf. piane (4xn. di Mat. Ser. Ia, tomo XIV). $) Die Conf. (3, 3),o (Wiener Sitz. Bd. 84, S. 1291). ah A MM Aged. (Gj) _ tot inflexietripels p; (p—=l tot 9, #=1, 2, 3) worden aangevuld. Met het oog op tabel (A) kunnen hare lijnen worden voorgesteld door Broere ts oer ds lar A op Kh! ; 65 | 4e Oi Os | Ain Di 6, 7: 8; Oiar | 7 Birr Ws | Vin B 9; ed at ME Been Ae Aer Jer boi 4545 Debs Sart A Dir 3) Jin De 3 Deer los 0 Siti 6, 9; Elke der zes kolommen van tabel (H), waar de index 4 natuurlijk door 1 moet worden vervangen, bevat blijkbaar de notatie voor eene hoofdnegenzijde der (27,, 543); door achtereenvolgens een, twee, drie, vier dezer hoofdnegenzijden weg te laten, ontstaat uit de oorspronkelijk dodekatrigoni- sche *) (27;, 543) eene hexatrigonische (275, 453), eene atri- gonische (274, 363), eene atrigonische 273 en eene atrigo- nische (27, 183). S 9. Zijn aj, ag, d3,..-an de toppen van eenen tangenti- aal-n-hoek der Ks, zoodat a;‚1 het tangentiaalpunt van a; is, dan behooren de inflexietripels a;, b;, c: (== l tot 7), welke door de punten a; bepaald worden, tot eene ef. 3n3, waarvan de lijnen » driehoeken (a; bi c;) begrenzen, die zoo- danig geplaatst zijn, dat de driehoek (a;41 bii ci+1) in den driehoek (a; b; c;) is beschreven; het laatste is een ge- volg van de eigenschap, dat de zijden van den door een *) Door z-trigonische cf. wordt verstaan eene cf., waarin elk punt tot n ef. driehoeken behoort. (184 ) inflexietripel bepaalden driehoek de kromme in de tangen- tiaalpunten der overstaande toppen snijden, terwijl deze tan- gentiaalpunten weer een inflexietripel vormen; blijkbaar zijn de punten b; de toppen van een tweeden, de punten c; de toppen van een derden tangentiaal-n-hoek. Daar Kz voor elke waarde van » bestaanbare tangentiaalveelhoeken be- zit *), is hierdoor bewezen, dat de door ScHoeNrures f) op- gemerkte tetratrigonische, uit een cyclus van n in elkander beschreven driehoeken samengestelde, cf. 3n3 in eene alge- meene Kz kunnen beschreven worden. Vult men de toppen aj van een tangentiaal-n-hoek der Kg tot inflexietripels aan, dan ontstaat eene tetratrigonische 3n3 met de lijnen a; bi ci+1, ai bi1e; en lil bies (té = Loth Deze cf. bezit drie hoofd-n-zijden, waarvan er eene door de n lijnen a; bi; c;-1 wordt gevormd; door afscheiding dezer hoofd-n-zijde ontstaat uit de 83n3 eene (3 ng, 2 n3). *) Körrer, l. c. S. 50. tje: SBA, Mere Ee- AG OVER DE VERHANDELING VAN DEN Heer G. REINDERS. „OVER DE SAMENSTELLING EN HET ONTSTAAN DER ZOO- GENAAMDE OERBANKEN IN DE NEDERLANDSCHE HEIDEGRONDEN”. (Uitgebracht in de Vergadering van 23 Februari 1889.) De Akademie herinnert zich gewis, dat hare Commissie tot onderzoek: »naar de mate, waarin water onder verschil- lende drukhoogte door zandmassa’s van verschillende samen- stelling en breedte stroomt”; haar vóór twee jaren een verslag van dat onderzoek heeft aangeboden. In dat verslag (in de Verhandelingen afgedrukt) werd op den invloed ge- wezen, dien de zoogenaamde bankvorming in den bodem op het waterdoorlatend vermogen, met name van zandlagen, uitoefent. Van het voorkomen van al of niet doorlatende zandlagen in het Nederl, alluvium en diluvium werden voor- beelden gegeven, en de algemeene oorzaken der bankvorming daarbij vermeld. De samenstelling der bank die het water niet doorlaat, gemeenliijk oerbank genoemd, was echter tot nog toe voor onzen bodem niet of geheel onvoldoende on- derzocht. De Heer Reinpers heeft dat onderzoek ter hand genomen. Het voorkomen van oerbanken heeft hij op negen ver- schillende plaatsen, in de gemeenten Apeldoorn en Olst ge- legen, onderzocht, en de aarde zoowel uit de bank als uit de daarboven en daarbeneden gelegen lagen aan een uit- ( 186 ) voerig chemisch onderzoek onderworpen. Hij heeft daarbij vooral getracht de samenstelling van het bindmiddel of cement na te speuren; in hoeverre ijzeroxyde, humuszuren, humaten van iijzeroxyde en aluinaarde, kiezelzuur en silica- ten, daaraan deelnemen. Voorts heeft hij uit de onderlinge vergelijking der lagen trachten op te sporen, op welke wijze de beweging dezer bestanddeelen door de verschillende lagen van den bodem daarin de bankvorming voortbrengt — niet alleen langs chemischen maar ook langs mechanischen weg. Na eene uiteenzetting van de uitkomsten der vroegere onderzoekingen van Möürrer, Tuxen, RAMANN, Emeis om- trent de bankvorming in overeenkomstige gronden in Duitsch- land, vergelijkt de schriijver deze uitkomsten met de zijne. Hij bevestigt dat het bindmiddel in de meeste gevallen niet alleen uit ijzeroxyde — of althans in hoofdzaak — bestaat, maar uit humaten van iijjzeroxyde en aluinaarde; en toont daarbij aan dat ook kiezelzuur en silicaten in het bind- middel aanwezig zijn. Een onderzoek daarnaar had tot nog toe niet plaats gehad. Voorts licht hij uitvoerig toe, hoe uit de beweging der fijnste aarddeeltjes tusschen de zandkorrels, en uit de inwerking der colloidale humuszuren op het iijzeroxyde en op de silicaten enz. — gegeven de eigenaardige omstandigheden van vochtigheid en planten- groei — de ophooping van het bindmiddel in de banklaag aanvankelijk kan verklaard worden. De schrijver geeft zijn voornemen te kennen om zijn onderzoek voort te zetten. Aangezien deze verhandeling eene niet onbelangrijke bij- drage is tot de kennis van eene gewichtige vorming in den bouwgrond, en aangezien het onderzoek met nauwkeurig- heid is volbracht, en verder doorgevoerd dan tot nog toe het geval was, zoo hebben wij geen bezwaar de plaatsing dezer verhandeling in hare werken aan de Akademie voor te stellen. Leiden, Februar: 1889 J. M. VAN BEMMELEN. K. MARTIN. enn Nn PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 30 Maart 1889, Tegenwoordig de Heeren: VAN DE SANDE BAKBUYZEN, Voorzitter, ZEEMAN, Barenr, HuBrecrrt, Forster, STOKVIS, RauweNnorr, MricHaëris, VAN DiESEN, SCHOLS, KAPTEYN, DE Vrres, VAN DER Waars, Buys Barror, J. A. C. OupemaANs, GRINWIS, SURINGAR, FRANCHIMONT, MARTIN, VAN BEMMELEN, VAN Dorp, Drgeirs, A. C. OupemanNs JR, KorrtEweo, Ka- MERLINGH ONNes, Murper, Hoek, ZAAIER, HOFFMANN, SCHOUTE, Bierens pe HAAN, BEIJERINCK, BRUTEL DE LA RIVIÈRE, VAN 'r Horr en C. A. J. A. Ouprmans, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden : 10. J. A. Grorrne, Secretaris van het historisch Genoot- schap te Utrecht, Februari 1889; 20. J. Branpes, Welte- vreden, 183 Februari 1889; 30. M. Berrueror, Parijs 1889; 40, LAUBMANN, Directeur van de kön. Hof- und Staatsbi- bliothek te München, 4 Januari 1889; 50, A. C. Drorsum, Bibliothecaris van de Université royale de Norvège te Chris- (188% tiania, 9 Mei 1888; 60. den Secretaris van de Société 1m- périale des Naturalistes te Moscou, 4 Maart 1889; 7°. A. Lrversipee, Secretaris van de royal Society of N. S. Wales te Sydney, 10 Januari 1889; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden : 10. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te 's Graven- hage, 15 Februari 1889 ; 20. het Ministerie van Buitenlandsche Zaken te 's Gravenhage, 13 Maart 1889; 30. J. W. R. Tr- LANUs, Secretaris van het Genootschap voor Natuur-, Genees- en Heelkunde te Amsterdam, 18 Maart 1889; 40. A. D. vAN Rrremspijk, Utrecht 20 Maart 1889; 50. pe Mirrouk, Directeur van het Musée Guimet te Parijs, 1889; 60. L. J. Leer, Onder-Bibliothecaris van de Société Linnéenne de Normandie te Caen, 11 Januari 1889; 70. M. Gürke, Bi- bliothecaris van het botanischer Verein der Provinz Bran- denburg te Berlijn, 20 Maart 1889; 80, A. Auwers, Voor- zitter van de Commission für die Beobachtung des Venus- Durchgangs, te Berlijn, Februari 1889; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10, Kennisgeving van Mevr. de Wed. Donpers—Hu- BRECHT van het overlijden van haar echtgenoot, wijlen Dr. F. U. Dorpers, lid der Akademie. — De Voorzitter vindt hierin aanleiding, een woord van warme hulde te wijden aan den grooten geleerde en roemvollen burger van Neder- land, die 17 achtereenvolgende jaren als Voorzitter der Akademie werkzaam was en haren glans verhoogde. Zoo veelzijdig als Donper’s verdiensten waren op het gebied der wetenschap, zoo menigvuldig ook waren de altijd belangrijke mededeelingen, waarmede hij de zittingen van het hoogste wetenschappelijk lichaam van ons vaderland opluisterde. De naam van DoNpers zal bij het dankbare nageslacht steeds met hooge onderscheiding genoemd worden, en zijn beeld, als dat van een voortreffelijk dienaar der wetenschap en (189 ) edel menschenvriend, onverflauwd in de herinnering blijven voortbestaan van allen, en zeer zeker van alle leden der Akademie, die het voorrecht mochten genieten, met den over- ledene door banden van vriendschap of genegenheid verbon- den te zijn geweest. 20. Kennisgevingen van het overlijden van de Voorzitters der Akademiën van Wetenschappen van Toskane en Turijn, GruserPE MeENeeHINI en ANGELO GENOCCHT. 30, Hen brief van Z.E. den Minister van Waterstaat, Handel en Nijverheid, ter begeleiding van eene brochure van den Heer B. P. Moors te 'sGravenhage, gewijd aan de be- schrijving van een door bem uitgevonden natten gasmeter met standvastig watervlak. 40, Bene missive van den Correspondent der Afdeeling, den Heer J. T. vaN per Stok te Batavia, ter begeleiding van eene verhandeling voor de Verslagen en Mededeelingen, getiteld: Harmonische analyse der getijden in de Java Zee. 50, Eene mededeeling van den Heer Mac Girravry, dat hj verhinderd werd de vergadering bij te wonen. — De Heeren Scroure en BreRENsS DE HAAN brengen een gunstig rapport uit over het opstel van den Heer CARDINAAL en stellen voor, het te bestemmen voor de Verslagen en Mededeelingen. — Aldus wordt besloten. — De Heer KaAMerriNgn ONNes leest het 2de en laatste gedeelte van het levensbericht van wijlen het lid der Aka- demie R. A. Mers, en ontvangt, bij monde van den Voor- zitter, den dank der Afdeeling voor de door hem zoo wél volbrachte taak. Het levensbericht zal in het Jaarboek voor 1888 worden opgenomen. — De Heer Forster deelt de uitkomst mede van eenige proeven, in zijn laboratorium genomen door den Heer Hunper SrEwART en FRASER ÉiwMaAN, over het voorkomen van bacteriën in het darmkanaal. De eerste vond dat gewone, en de laatste dat typhoide bacteriën, met spijzen in de maag gekomen, later slechts in het laagste gedeelte der dunne en verder ( 190 ) in de dikke darmen terug te vinden zijn. Gewone bacteriën hebben dus geen invloed op het spijsverteeringsproces — De Heer Sonovre bespreekt het teeken van den co- variant van Hessr, die bij een gegeven vorm behoort. Met behulp van bekende eigenschappen der poolstelsels en van eenvoudige beschouwingen omtrent bestaanbaarheid toont hij aan, dat deze covariant het negatieve teeken heeft voor die waarden der veranderlijke, die den gegeven vorm nul maken. In het kort is zijn gedachtengang in de volgende woorden samen te vatten, Zijn de punten Aj, A9.... Á„ eener willekeurige lijn ! de wortelpunten van de vergelijking, die door het nul stel- len van den gegeven binairen vorm f verkregen wordt, dan is het eerste poolstelsel van een willekeurig punt P van l als pool met betrekking tot het stelsel der punten 4 bepaald door de voorwaarde 2 ER = 0, terwijl men door 1 d van deze „ — l punten X als stelsel van gegeven punten uit te gaan tot hoogere poolstelsels opklimmen kan. Zijn de wortels van de vergelijking f == 0 en dus ook de punten A bestaanbaar en verschillend, dan is dit ook het geval met de „— 1 punten X van elk eerste poolstelsel. Wordt nl. de lijn / door de in volgorde genomen punten A verdeeld in de » segmenten Aj A= Âs Az Segni Ae rn set A Ar waarvan het laatste het oneindig ver gelegen punt insluit, dan zal elk dier segmenten een der punten X bevatten, uit- genomen het segment, waarop de pool ligt. Want de vorm En PA. Ars Kot sien ee gl dien men verkrijgt door het eerste lid der voorwaardever- gelijking met het product der noemers X A; te vermenig- vuldigen, herleidt zich, als men voor X achtereenvolgens de uiteinden 4, en Aj; van het segment 5, in de plaats stelt, tot de enkele termen (191 ) PA). Aj A. AjAa. AjAj-l.AjAjrl. Aj Mil... Aj Ani PAj+1l.4j -1AAj tl Ao. dj Aj 1l.Aj 41 Aj. Aj Aj? dj +1 An. En deze twee termen hebben tegengestelde teekens als P A, en PA;;1 hetzelfde teeken hebben en P dus niet op 5; ligt, omdat ze de tegengestelde factoren A, A;;j en A;;j A; bevatten en de overige overeenkomstige factoren Aj; Ay en Ass: Ap in beide hetzelfde teeken hebben. Dus wordt de bedoelde vorm nul voor een tusschen A; en A;‚j gele- gen punt. Zoo blijkt, dat alle segmenten s, een punt X bevatten, uitgenomen het segment waarop P ligt. En valt P met een der punten A samen, dan maakt dit punt A deel uit van het eerste poolstelsel en zijn de n—2 andere punten gelijkelijk verdeeld over de n—2 segmenten s, waar- van dit punt A geen grenspunt is. Uit bovenstaande stelling, die de projectivische uitbreiding vormt van het bekende theorema van Rorre, volgt onmid- dellijk, dat een puntstelsel A van louter bestaanbare en van elkaar verschillende punten geen eerste poolstelsel toelaat, waarvan twee punten samenvallen. En dit bewjst dan verder, dat er geen tweede, geen derde... geen n—2de poolstelsel met twee samenvallende punten te vinden is. Onder den covariant van Hessn, die bij f behoort, verstaat men den van de coëfficienten van f afhangenden vorm, die nul gesteld de punten doet kennen, waarvan de n—2de poolstelsels, d. w. z. de poolpuntenparen, uit dubbelgetelde punten bestaan. Er is dus bewezen, dat bij een binairen vorm f met louter bestaanbare en verschillende wortels een covarlant van Hrssw behoort, die nul gesteld een vergelijking met louter onbestaanbare wortels oplevert; deze vorm p kan dus niet van teeken veranderen als de veranderlijke achter- eenvolgens alle mogelijke waarden doorloopt. Het teeken van dien vorm, dat van diens nadere bepaling afhankelijk is, mag voorloopig het oorspronkelijke heeten. Onderstelt men, dat de coëfficienten van f een vloeiende verandering ondergaan en deze vorm hierdoor geleidelijk overgaat in een anderen vorm f' met paren onbestaanbare wortels, dan kan men zonder aan de algemeenheid te kort te doen aan deze verandering twee beperkingen stellen. Men (192) kan eerstens aannemen, dat daarbij het gelijk worden van twee bestaanbare wortels deze bij voortzetting van het proces onmiddellijk onbestaanbaar doet worden en omgekeerd on- bestaanbare wortels niet weer tot den bestaanbaren toestand terugkeeren. En ten tweede kan men er zorg voor dragen, dat f niet door een tusschentoestand passeert, waarbij het punt, waarvoor p oneindig wordt, er deel van uitmaakt. Het bewijs, dat deze beide beperkende voorwaarden de alge- meenheid niet schaden, volgt onmiddellijk uit de voorstelling der onbestaanbare punten eener lijn in het platte vlak. Gaat @ in den loop van het aangeduide proces in g' over, dan kan bewezen worden, dat p' voor de waarden der ver- anderlijke, die met de bestaanbare wortels van f° overeen- komen, het oorspronkelijke teeken heeft behouden. Is nl. A'; een bestaanbaar punt van die dan moet dit zich gelei- delijk uit een punt Az; van f hebben ontwikkeld. En had nu pin A’; het tegengestelde teeken, dan zou de overgang van g in Ax tot g/ in A'; door nul heen hebben moeten plaats vinden, omdat de overgang door het oneindige is uitgesloten. Bj den overgang van Az tot A'‚ zon dan een tusschenstand A’ gepasseerd zijn, waarvoor de waarde van den overeenkomstigen vorm gp’ nul is. Maar dan heeft volgens de bepaling van den covariant van Hesse het punt A" met betrekking tot den overeenkomstigen vorm f" een dubbelgeteld punt tot poolpuntenpaar. En dan moet dit dubbel te tellen punt met 4", samenvallen, omdat elk pool- stelsel van een punt A"; van het gegeven puntstelsel f" — en dus ook het n—?2de poolstelsel — dit punt A} zelf bevatten moet. Wil nu eindelijk het punt A", alleen dan tweemaal behoort tot het n—2% poolstelsel van dit punt, als f" het punt A"‚ tweemaal bevat — in welk geval het ook tweemaal deel uitmaakt van elk der voorgaande pool- stelsels van dit punt, — zoo is A", een stand van Ay, waarbij dit punt zich met een der andere punten van het stelsel vereenigd heeft, om bij voortzetting van het proces onmiddellijk onbestaanbaar te worden. Dus sluit de onderstelling, dat A', bestaanbaar is, den tusschenstand (198 3 nu z uit en heeft p in A's nog altijd het oorspronkelijke teeken. Uit het bovenstaande volgt, dat de covariant van Hessr alleen dan voor alle waarden der veranderlijke het tegen- _ gestelde teeken hebben kan, als alle wortels van f_onbe- staanbaar zijn; dit kan dus alleen voorkomen bij een vorm f van even graad. Wil men eindelijk weten, welk teeken boven het oor- spronkelijke genoemd is, dan moet men den covariant p nader bepalen. Is f een binaire vorm in #j en «3, dan Pf df df \? dai? d oe vd Ee) der tweede differentiaalquotienten onder. In het bijzondere geval f — rj F, waarbij £° weer homogeen in zj en zg is, verstaat men er den determinant is de waarde van g voor het punt zj — Ô door een negatief EPN vierkant, nl. (5e) voorgesteld en dus steeds negatief. di Bij de algemeen aangenomen bepaling van p is het oor- spronkelijke teeken dus het negatieve, zoowel voor even als oneven ». De hier verkregen uitkomst omtrent het teeken van pin de bestaanbare wortelpunten van f is een uitbreiding van een langs geheel anderen weg door Dr. F. GerBaupr uit Rome bewezen stelling (Rendiconti del etrcolo matematico dì Palermo, deel III, blz. 22). — De Heer J. A. U. Oupremans doet eene mededeeling over den tegenwoordigen stand der onderzoekingen betref- fende de afstanden der vaste sterren tot het zonnestelsel. Die afstanden worden, zoo als bekend is, gevonden door de bepaling der jaarlijksche parallaxis. Van slechts 39 ster- ren kan men zeggen dat het bedrag dier parallaxis met eenige nauwkeurigheid bepaald is; gedeeltelijk zijn dat zeer heldere sterren, gedeeltelijk sterren met eene groote eigene beweging. Spreker vermeldde dat als men deze sterren naar VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de reeks. DEEL VI. 13 (194) de helderheid rangschikte, men geen verband hoegenaamd tusschen deze en de parallaxis vond; eene rangschikking naar de eigene beweging geeft het eigenaardig resultaat, dat de parallaxis slechts zeer langzaam met de eigene be- weging vermindert. De bedoelde 39 sterren in 6 groepen verdeelende, en uit de groctten, eigene bewegingen en parallaxen van elke groep het arithmetisch midden nemende, verkrijgt spreker de volgende getallen: Gemiddelde Gemiddelde Gemiddelde Aantal grootte. eigene beweging. Parallaxis. sterren. le groep 6.3 5.3 Nd Ki 2e’ > 4.7 2.95 0.25 7 SE, 4.2 15 0.23 7 4e » 3.1 0.8 0 .20 6 De > 1.2 0.53 OE W// 6 gets Del DS |E 0.055 6 Er is hier wel, bij afnemende eigene beweging, ook eene afnemende parallaxis te bespeuren, maar evenredigheid be- staat er niet, en men moet hieruit dus dit resultaat trekken, dat de sterren met de grootste eigene bewegingen deze over het algemeen aan werkelijke snelheid te danken hebben. Spreker wijst nog op eene bijzonderheid, waarop reeds dikwijls de aandacht gevallen is, dat nl. de sterkste eigene beweg:ngen aan betrekkelijk zwakke sterren behooren. Door velen wordt dit een vreemd verschijnsel gevonden, doch naar sprekers oordeel niet met het volle recht, om- dat men ook moet letten op het gering aantal heldere _ tegen het groot aantal minder heldere sterren. Hers telde b. v. aan den te Munster zichtbaren hemel, dus van de noordpool tot ongeveer 34° zuider-declinatie: 61 sterren van de eerste en tweede grootte, maar 3974 sterren van de 6° grootte; en ARGELANDER bepaalde in zijne Durch- musterung, die zich tot 1° bezuiden den equator uitstrekte, 324198 sterren. SEELIGER, te Munchen, heeft de sterren der Bonner Durchmusterung, zoowel der noordelijke als der zuidelijke, laten aftellen, daarbij den hemel verdeelende (195 ) in vakken, die eene breedte hadden van 5° of 20m Rechte klimming en een hoogte van 5° declinatie en daarbij let- tende op de verschillende grootten; (Sitzungsberichte der math. phys. Classe der Kön. bayerischen Akademie der Wis- senschaften zu München, 8 Nov. 1884 en 3 Juli 1886); van hem de getallen overnemende, doch slechts heele grootte- klassen aannemende, vinden wij, uit zijne beide mededee- lingen, voor het gedeelte van den hemel, tusschen de noord- ___pool en de parallel van — 23°, Sterren van de 1e, tot en met de 6° grootte 5385 N er ed Ee 13045 DN Me MT: STE AAN EE AAN 45183 N > >» Ye en STEE nt 341023 Men ziet dus, dat reeds de sterren der 7® grootte met tienduizenden aan den hemel zijn, en er dus voor zulk eene ster veel meer kans Is, in een of ander bepaald opzicht eene uitzondering te maken, dan voor de sterren van de eerste of tweede grootte, die slechts ten getale van enkele tientallen aan den hemel zijn; en in nog hoogere mate is dit voor de sterren der volgende grootten van kracht. — De Voorzitter stelt voor, de vergadering der afdeeling in plaats van op 26 April te doen plaats hebben op 20 April, omdat eerstgenoemde datum samenvalt met een der beide dagen van het te Leiden te houden 2de natuur- en geneeskundig Congres. — Aldus wordt besloten. — Voor de boekerij der Akademie worden aangeboden, 10. door den Heer Buys-Barror : Onweders in » Nederland’ naar vrijwillige waarnemingen in 1888; deel IX, bewerkt door den Heer ENGeLENBURG, en 20. door den Heer MarrrN een bro- chure, getiteld: » Het eiland Urk, benevens eenige algemeene beschouwingen over de geologie van Nederland"'. -— Daar er verder niets te verhandelen is, wordt de Ver- gadering gesloten. 13* VERSLAG OVER DE VERHANDELING VAN DEN HEER J. CARDINAAL. „HET CONSTRUEEREN VAN GEBOGEN OPPERVLAKKEN DOOR MIDDEL VAN VLAKKE DOORSNEDEN.” (Uitgebracht in de Vergadering van 30 Maart 1889.) De verhandeling van den Heer CarprNaar, die het boven- staande opschrift draagt, is een vervolg op de verhandeling van denzelfden schrijver, over welke wij in de November- vergadering van het vorige jaar een gunstig rapport hebben uitgebracht, Zij is ontstaan uit de begeerte een toen door ons aangewezen leemte aan te vullen en brengt ons het constantenaantal van elk der daar behandelde soorten van oppervlakken. Aan de bepaling der bedoelde getallen laat de schrijver het onderzoek voorafgaan naar de wijze, waarop een alge- meen oppervlak van den „den graad door vlakke doorsneden kan worden bepaald. Daarbj blijkt, dat deze bepaling de kennis van » vlakke doorsneden en een buiten deze gelegen punt van het oppervlak vereischt. En op zijn beurt hangt het aantal der punten, die een vlakke doorsnee doen kennen, van het aantal der reeds bekende vlakke doorsneden af. Terwijl de eerste vlakke doorsnee bepaald is door } n (n +3) punten, wordt de ple door } (n —p + 2) (n—p + 3) nieuwe punten bepaald en verkrijgt men dus in deze getallen de termen eener rekenkundige reeks van de tweede orde, als idee men het op zich zelf staande punt bij de u(n + 3) pun- ten van de eerste vlakke doorsnee telt. Van deze reeks stemt de som behoorlijk overeen met het bekende aantal E(n + 1)(n + 2) (n + 3) — 1 der punten, die een oppervlak van den „den graad bepalen. Vervolgens ‘wijst de. Heer CARDINAAL de vereenvoudigingen. aan, die zich voordoen als het te bepalen oppervlak een scheef oppervlak is. Dan is vooreest het aantal punten, dat elk der vlakke doorsneden bepaalt, minder dan boven is op- gegeven, omdat elk scheef oppervlak van den „den graad een dubbelkromme heeft minstens van den n—2den graad. Ten tweede is het aantal vlakke doorsneden, dat men kennen moet, nu niet » maar hoogstens drie, omdat drie richtkrom- men de beweging der beschrijvende lijn geleiden. ‚En ten derde kan de bekende constructie van het oppervlak dit aan- tal. in sommige gevallen nog meer doen afnemen. Het eerst- genoemde dezer drie punten wordt nader uitgewerkt met betrekking tot de vlakke krommen van den vierden graad. Ten slotte gaat de schrijver over tot de toepassing. op de scheeve oppervlakken van den vierden graad. In verband met de vroeger decor hem gevonden constructie dier. opper- vlakken blijkt dan, dat men hier volstaan kan met het aan- nemen van een enkele vlakke doorsnee en van de punten der dubbelkromme gelegen in een tweede vlak. Dit voert dan onmiddellijk tot de verlangde uitkomsten, die op een eenvoudige wijs blijken samen te hangen met de door SALMON langs analytischen weg verkregene vergelijkingen der opper- vlakken. Het komt ons voor, dat deze tweede verhandeling van den Heer CARDINAAL een belangrijke aanvulling vormt van de eerste. We hebben dus de eer U voor te stellen haar in de Verslagen en Mededeelingen op te nemen. Groningen en Leiden, P. H. SCHOUTE. 22 Maart. D. BIERENS DE HAAN, HET CONSTRUEEREN VAN GEBOGEN OPPERVLAKKEN DOOR MIDDEL VAN VLAKKE DOORSNEDEN. DOOR J. CARDINAAL. 1. Het doel van deze verhandeling ís het bepalen van het aantal voorwaarden, vereischt om een gebogen oppervlak te construeeren door opvolgende vlakke doorsneden, en het maken eener bijzondere toepassing van de gevonden methode op de scheeve oppervlakken van de vierde orde. Daardoor sluit zj zich bij de vroegere verhandeling over de meetkun- dige theorie van de scheeve oppervlakken van de vierde orde aan. 2. Zooals bekend is, is het construeeren van oppervlakken door aanname van een voldoend aantal geheel willekeurige punten zeer bezwaarlijk. Reeds het construeeren van een oppervlak van den tweeden graad door aanname van 9 zoo- danige punten is zeer ingewikkeld, alhoewel lineair uitvoer- baar. Het kan daarom van belang zijn, na te gaan, hoeveel willekeurige punten men aan moet nemen, om de constructie van een gebogen oppervlak onder die vereenvoudigde aanname te volvoeren. Dit vraagstuk splitst zich blijkbaar in twee onderdeelen t. w. a. Hoeveel vlakke doorsneden moet men van een gebogen oppervlak kennen, opdat het geheel bepaald zij. b. Hoeveel punten moet men van elke doorsnede aan- nemen, opdat deze doorsnede bepaald zij. Hierbij wordt bekend ondersteld, dat het aantal wille- keurig gelegen punten, noodig ter bepaling eener vlakke ( 199 ) kromme van de nie orde zonder ‘bijzondere punten gelijk is aan: Fln +2) (nd 1) 1. Van het oppervlak wordt verder ondersteld, dat het geene dubbelpunten of dubbelkrommen bezit, zoodat geene der vlakke doorsneden bijzondere punten heeft. 3. a. Ter bepaling van een oppervlak van de „de orde _ On is het noodzakelijk en voldoende, dat n + 1 vlakke door- sneden volkomen bekend zijn. Men stelle namelijk, dat „ ’vlakke doorsneden van O volkomen bekend zijn. Men legge verder een snijvlak Cn41; dit vlak snijdt elk der n doorsneden in » punten, gelegen op de n rechte lijnen, volgens welke de opvolgende snijvlakken aj, «3, 43... ‚ «” door «1 gesneden worden; van v/4 . Dr de doorsnede c ‚yin Grpl gelegen, zijn dus „° punten be- kend, ‘tgeen voor n >3 meer is dan het vereischte aantal. Deze n lijnen, als een geheel beschouwd, vormen evenwel een bijzonder geval van eene kromtne van de nde orde; de is dus door deze „° punten onvolledig bepaald; de punten zijn de basispunten van een’ bundel krommen van de „te orde; eerst. wanneer men nog een punt P aanneemt, wordt Biet volkomen bekend. Laat men het vlak ‚1 door P bewe- gen, dan zal, voor elken stand van a, +1, er op dezelfde wijze eene doorsnede construeerbaar zijn ; het oppervlak 0% wordt dus nu volledig bekend. Hieruit volgt de vooropgezette stelling. 4. b. Bj het bepalen van het aantal punten, noodig ter constructie van de opvolgende vlakke doorsneden, moeten de volgende regels in het oog worden gehouden. Alleen de eerste doorsnede cj” is gegeven door bn + 2)(n HI) — 1 punten. Voor de volgende doorsneden ondergaat het aantal punten, dat men aannemen kan, eene vermindering als ge- volg van het feit, dat een snijvlak eik der voorgaande krom- men in ” punten snijdt. C Bij de constructie van de doorsnede c° in Cp moet men rekening houden met de mogelijkheid, dat, bij aanname van ( 200 ) k(n + 2) (n +1) — 1 — (p—l)n punten, er, in plaats van eene kromme e, van de „de orde, twee krommen van lagere orde zouden kunnen geconstrueerd worden. De laatste opmerking voert tot de volgende onderzoeking. Heeft men a, gelegd, dan ontstaan er in «, een aantal rechte lijnen =p — l; alzoo kan men beginnen met aan te nemen : (nt 2)(n + 1) — 1 — (p — 1) n punten. Van deze punten moet nu worden nagegaan, of er eene kromme van de orde n — p + 1 door gebracht kan worden. Het aantal hiertoe vereischte punten is: bp Par se Het eerste aantal kan door omschrijving met het laatste vergeleken worden; men heeft nl: Eln +29) (n +1) —-1—(p— In =d (n? + ôn — 2 pn) — bl (np)? + 5(n—p) +6 —(p—3)(p —2))—= =hln—p +3) (n —p + 2) — (p=) (p 3). Wanneer J(p—2);ip —3) > =l is zal men door het aannemen van } (n + 2) (n + 1) — 1 — (p — 1) n punten de kromme c° dus uiet volkomen bepalen. Hieruit volgt: Wlanneer men een gebogen oppervlak Ó” door vlakke door- sneden wil construeeren, dan kan men in de cerste drie doorsneden een aantal punten aannemen overeenkomende met: Fn 2) (n +1) —1 bnn tij- len 1(n + 2)(n + 1) — 1 — An. Bij de volgende doorsneden zal evenwel dit aantal punten niet voldoende zijn om de doorsnede te bepalen. Men zal dus dienen na te gaan, hoeveel punten men aan moet nemen in de pie doorsnede, wanneer p > 3 en Zn + 1 is. Uit het voorgaande blijkt, dat men een bundel krommen van de nde orde in «, kan construeeren, zoolang men slechts bnp 3)(n—pt 2) — l punten heeft. Neemt men | | | | | ( 201 j nog één punt daarbij aan, dan wordt eene kromme van den bundel bepaald, hieruit volgt: Het totaal aantal toe te voegen punten in het ple snij- vlak bedraagt 5 (n —p + 3) (n —p + 2). Daar p > 3 is, zal men slechts de eerste drie vlakke doorsneden afzonderlijk hebben te beschouwen. In het vlak a, neemt men aan: 3(n + 2) (n + 1) — 1 punten. In het vlak «, neemt men aan: Lln + 2)(n +1) _—1l—n=i(n + 1) punten. In het vlak «3 neemt men aan: E(n + 2) (n + 1) — 1 —An = Jn(n — 1) punten. Daar voor «4....@&„,1 het aantal punten door de boven gevonden betrekking aangeduid wordt, kan men de volgende tabel opstellen: Snijvlak. Aantal punten. c (2 + 2) (rn + 1) — 40) Ent In 3 $n(n — 1) bn — 1) (mn — 2) i EK tn On EAX 2 5. Door optelling kan men het geheel aantal punten bepalen, noodig ter constructie van het oppervlak. Daartoe schrijve men de gevondene getallen aldus: N(nj=} {1.2 42.3 H.(n—p H3)(n—p +2). (n— ln —2) + n(n— 1) 4 (n + In + (n + 2)(n + 1} —1 . als „» oneven is kan men hiervoor schrijven: id 42 2, 62 4 ...2(n —3)? + nd B ad Ni UAL OL (n— 32 4 (n— 1) 4 (nt Be e ( 202 ) Deze reeks is eene rekenkundige reeks van de tweede orde de som harer termen is dus, daar zij 4 (n + 1) termen heeft k 1 1 ie Ni) =d ). 5 (xn Ds anak d, EE (an +1). (n — 1): $(n — 3) menen vanme sit tl + iis Den on ì Herleidende : N (n) =$ (n +1) {12 4 9(n — 1) + (n 1) (n —3)}— 1= =H(n +1) (n +2) (n +3) — 1. Äls » even is wordt de som : N (n) = ne en ee (n—2) nd Fn t2) (n +1)—1 N(n)= gn (n + 1)(n +2) + f(a +2) (n +1) —1l = pe el Men ziet dus, dat in beide gevallen het gevonden aantal een minder is dan het aantal termen van de algemeene homogene vergelijking van den „den graad met vier veran- derlijken, zooals volgens de analytische meetkunde dan ook het geval moet zijn. Berekent men op deze wijze het aantal punten noodig ter constructie van oppervlakken van de orde 1 tot 6, dan verkrijgt men de onderstaande uitkomsten : ay | @s “7 | Totaal. el aoe en 3 ON ARL 9 Te Ake 19 4 14 10 84 5 20 15 1 55 6 27 21 5) bis 58 dte (203) 6. Bovenstaande lijst geeft aan, hoeveel doorsneden men moet construeeren en hoeveel punten in elke doorsnede aan- nemen, wanneer een algemeen oppervlak van de „de orde _ moet worden geconstrueerd. Zoodra men scheeve oppervlak- ken heeft te construeeren, treden evenwel vereen voudigin- gen in. Deze zijn: | a. Bij elke doorsnede wordt het aantal punten, noodig tot hare constructie, met een zeker aantal verminderd, ten gevolge van het feit, dat de doorsnede dubbelpunten of een drievoudig punt bezit. b. Het oppervlak is volkomen construeerbaar, zoodra men, door middel van vlakke doorsneden, zooveel elemen- ten heeft bepaald, dat de beweging, die de beschrijvende lijnen moeten maken om het oppervlak te doen ontstaan, volkomen bepaald is. De vraag wordt dus nu, hoeveel pun- ten er noodig zijn, om tot de richtlijnen te geraken. 7. Alvorens over te gaan tot de bepaling van het aan- tal punten, vereischt om een scheef oppervlak van de vierde orde door middel van vlakke doorsneden te construeeren, is het wenschelijk eenige beginselen voorop te stellen, die bij het construeeren van krommen van de vierde orde toe- gepast zullen worden. Deze zijn: a. Een algemeene kromme van de vierde orde is bepaald door 14 punten. Het aantal aan te nemen punten onder- gaat eene vermindering, wanneer de kromme bijzondere punten bezit, en wel op de volgende wijze. Bezit de kromme een dubbelpunt, dan is zij door 18 punten bepaald; de 14de voorwaarde wordt dan niet gegeven in den vorm van een punt, maar in dien van den eisch, dat de kromme een dubbelpunt bezitten moet. Deze bepa- ling laat evenwel de mogelijkheid toe, dat er meerdere krommen met dubbelpunten door het gegeven aantal ge- legd kunnen worden; bij eene kromme van de vierde orde met dubbelpunt bedraagt dit aantal 27 *). %*) Dit getal, zoowel als de volgende zijn ontleend aan Dr. H. ScHusekt, Kalkül der abzählenden Geometrie. (Leipzig 1879) $ 26 pag. 184—187. ( 204) Zoo zal eene kromme van de vierde orde met 2 dubbel- punten bepaald zijn door 12 punten, eene met drie dubbel- punten door 11 punten; in het eerste geval kunnen er 225, in het tweede 620 van de gevraagde krommen door heen gelegd worden. | | AN b. Wanneer eene kromme van de EEn Bn een drie- voudig punt bezit, dan is zij door 10 punten bepaald. Het drievoudig punt stelt, behalve het aanwezig zijn, van drie dubbelpunten, nog den eisch, dat deze een oneindig kleinen driehoek vormen. | Door deze 10 punten kan men 60 zoodanige krommen van de vierde orde leggen. , ce. Wanneer eene kromme van de vierde orde een dubbel knoop bezitten moet, is zij door 11 punten bepaald. De dubbelknoop stelt, behalve het aanwezig zijn van twee dub- belpunten, nog den eisch, dat deze te zamenvallen, zoodat het aantal bepalende punten met drie verminderd wordt. d. Daar bij scheeve oppervlakken de vlakke doorsnede steeds bijzondere punten heeft, zoo is het noodig na te gaan, met hoeveel voorwaarden het aannemen van dubbele of drievoudige punten gelijkstaat. Laat van eene kromme van de vierde orde vooraf niet bekend zijn, dat zij bijzondere punten heeft. Neemt men nu een dubbelpunt aan, dan bepaalt men: 10. de bijzonderheid, dat er een dubbelpunt is, 20. twee samenvallende punten ; alzoo blijven er nog 11 willekeurig aan te nemen punten over. Onder dezelfde voorwaarde staat een dubbelknoop gelijk met 5 niet bijzondere punten. Men denke, om dit toe te lichten, dat men twee dubbelpunten heeft aangenomen; vol- gens het voorgaande vertegenwoordigen deze 6 voorwaar- den; daarmede is tevens de verbindingslijn dier beide punteu gegeven. Gaan de beide dubbelpunten over in een dubbel- knoop, dan wordt deze verbindingslijn de raaklijn aan dit bijzondere punt; een dubbelknoop met raaklijn vertegen- woordigt alzoo 6, een dubbelknoop alleen 5 voorwaarden. Op dezelfde wijze vertegenwoordigt een drievoudig punt 6 punten. Om ook dit toe te lichten, denke men zich drie dubbelpunten. aangenomen; deze staan gelijk met 9 voor- (205 ) waarden; de verbindingslijnen dezer drie punten zijn dan tevens bekend. Vallen de drie dubbelpunten tot een drie- voudig punt te zamen, dan worden de verbindingslijnen de drie raaxlynen; een drievoudig punt met zijne drie raak- lijnen staat dus gelijk met 9 voorwaarden; voor het drie- voudig punt zelf blijven er alzoo 6 over. € Ìs evenwel van eene kromme vooraf bekend, dat zij een of meer bijzondere punten heeft, dan vertegenwoordigt elk bijzonder punt een aantal punten, gelijk aan het voor- gaande getal, verminderd met het aantal voorwaarden, be- sloten in het feit, dat de kromme de bijzondere punten bezit. Zoo vertegenwoordigt in eene kromme met dubbelpunten elk dubbelpunt 3 — 1 = 2 gegevens, dewijl, door het feit, dat de kromme dubbelpunten bezit, er voor elk dezer pun- ten reeds ééne voorwaarde vastgesteld is; een dubbelknoop vertegenwoordigt om dezelfde reden 5 — 3 —= 2 voorwaar- den en eveneens een drievoudig punt 6 — 4 == 2 voor- waarden. Ter nadere opheldering kan men de hier vooropgezette beginselen toetsen aan eene kromme van de vierde orde met vier dubbelpunten, welke, gelijk bekend is, in twee kegel- sneden overgaat. Daar de algemeene kromme van de vierde orde door 14 punten bepaald is, wordt het aantal bepalende punten 14 — 4 —= 10; twee kegelsneden zijn dus door 10 punten bepaald. Van deze kegelsneden vertegenwoordigt elk dubbel- punt (hier tevens snijpunt) 2 voorwaarden ; twee kegelsneden zijn dus bepaald door de vier snijpunten en 2 niet bijzon- dere punten. Bezit eene kromme van de vierde orde 2 dubbelpunten en een dubbelknoop, dan gaat zij over in twee kegelsneden, die elkander in een punt raken. Het aantal bepalende pun- ten moet nu zijn 14 — 2 — 3=9. De eerste kegelsnede wordt door 5 punten bepaald, de tweede door 4, daar zij aan de eerste raken moet. Neemt men de bijzondere punten aan, dan vertegenwoordigen het raakpunt en de snijpunten ieder 2 voorwaarden; er blijven dus nog 3 voorwaarden over. De eerste kegelsnede wordt geconstrueerd door de 3 (206 ) bijzondere punten en 2 der andere punten, de tweede is be- paald door de drie bijzondere punten, de raaklijn aan het raakpunt van beide kegelsneden en het derde niet bijzon- dere punt. Bezit eene kromme van de vierde orde 2 dubbelpunten en een drievoudig punt, dan gaat zij over in eene kegel- snede met twee elkaar snijdende lijnen, welker snijpunt in de kegelsnede gelegen is. Het aantal bepalende punten moet nu zijn: 14 — 2 —4=—8. Door 4 der punten legt men de twee elkaar snijdende lijnen; de kegelsnede kan dan ge- construeerd worden door de 4 overige punten en het snij- punt der twee lijnen. Neemt men het drievoudig punt aan, dan blijven er nog 6 bepalende punten over; door vier pun- ten en dit drievoudig punt kan men de kegelsnede leggen ; de twee lijnen verkrijgt men door het drievoudig punt met de twee andere punten te verbinden. Het drievoudig punt telt dus als 2 voorwaarden. 8. Alsnu overgaande tot de scheeve oppervlakken van de vierde orde, trachte men op te sporen het aantal pun- ten, in vlakke doorsneden gelegen, vereischt tot de con- structie van ieder dezer oppervlakken en verdeele dit groeps- gewijze, overeenkomstig de indeeling bij de aangehaalde ver- handeling. Eerste groep, geval 4. Het eerste snijvlak a, snijdt het scheeve oppervlak P* in eene kromme van de vierde orde cj* met twee dubbelpunten; zij is dus bepaald door 12 pun- ten (Za). Men brenge nu het tweede snijvlak «a, aan; dit heeft met cj* gemeen vier punten, terwijl buitendien c3* eveneens aan de voorwaarde voldoen moet twee dubbelpun- ten te bezitten Neemt men deze aan, dan zal het opper- vlak R* volkomen bepaald zijn. Men denke zich namelijk in «, de projectieve kegelsnedenbundels, die c;* doen ont- staan, geconstrueerd; door elk dezer kegelsneden wordt met de beide nu bekende dubbellijnen een oppervlak der bun- dels oppervlakken van de tweede orde, die R* doen ontstaan bepaald; alle oppervlakken en dus ook Z* worden alzoo bekend. De dubbelpunten vertegenwoordigen ieder twee voorwaarden (7e) alzoo zijn er in het geheel aangenomen ( 207 ) 12 + 2 + 2 == 16 punten. In plaats van de doorsnede ct in den hier aangegeven algemeenen stand aan te nemen, kan men aan az ook bij- zondere standen geven. Laten de dubbelpunten van cj* D, en Dy, genoemd worden en zij «a, door DD} Dy gebracht, dan zijn van cg* de beide dubbelpunten bekend. Trekt men nu in @&, zoowel door D, als door Ds, de beide raaklijnen der te construeeren kromme cy*‚ en legt men vlakken door een raaklijnenpaar, door eenzelfde punt in verschillende vlak- ken getrokken, dan zijn door de snijlijnen dier vlakken de dub- bellijnen bepaald en hierdoor het geheele oppervlak. Deze vier raaklijnen voegen aan de eerste 12 voorwaarden 4 nieuwe toe; alzoo heeft men in het geheel 16 punten aangenomen. 9. Eerste Groep, geval B. Dit geval onderscheidt zich alleen van het voorgaande doordat, zoowel de doorsnede cj* als cy* twee toegevoegd imaginaire dubbelpunten heeft; zij worden gegeven als dubbelpunten van elliptische punten- involutiën. Dit oppervlak wordt dus evenals het voorgaande door 16 punten bepaald. 10. Eerste Groep, geval C. Het vlak «; zal het opper- vlak R* snijden in eene kromme c,*, welke een’ dubbelknoop bezit; cj* zal dus bepaald zijn door 11 punten (7c). Legt man @y op de boven beschreven eerste wijze, dan moet de nieuwe doorsnede cg* wederom een’ dubbelknoop bezitten; neemt men dezen aan, dan zin er 2 nieuwe voorwaarden ingevoerd (7e) en de dubbele knooplijn d kan getrokken worden. Er moet nu worden nagegaan, hoeveel punten men van co* nog zal moeten aannemen opdat de twee projectieve oppervlakkenbundels, die R* doen ontstaan, bekend zijn. Men construeere daartoe de projectieve bundels kegelsneden, die ej* doen ontstaan; deze beide bundels hebben als ge- meenschapperijke basiselementen den dubbelknoop van c;* en de raaklijn daaraan, de overige twee basispunten van den eersten bundel zijn willekeurig op cy* te nemen; dit zelfde is nog het geval met het derde der basispunten van den tweeden bundel, terwijl het vierde door de overige drie be- paald wordt. Men onderstelle nu een paar homologe kegel (208) sneden der bundels; deze snijden elkander in nog twee punten P en Q@ van cj*; ware cg* geconstrueerd, dan moesten de oppervlakken van de tweede orde, tot welke de aangenomene kegelsneden behooren, «gy snijden in twee kegelsneden, die elkander ontmoeten in twee punten #' en Q' van cg“, welke nog buitendien zoodanig gelegen moeten zijn, dat PP' en QQ' beiden de dubbelknooplijn ontmoeten. Men neme nu van cyf aan de raaklijn t in den dubbelknoop en een punt A', legge een vlak /} door d en A'; dit snijdt c‚* volgens twee punten A en B, die weder een punt B' van cz* doen ontstaan. Men kieze nu B als een der basispunten van den eersten kegelsnedenbundel in «, en Á' als een basispunt van den overeenkomstigen bundel in «j,en legge eene kegel- snede cj° in «j; dan is de overeenkomstige kegelsnede co? in «g bepaald, want zij ligt met c;‚° op een oppervlak van de tweede orde, bevattende c,° als vlakke doorsnede, d als beschrijvende lijn, de raaklijn t als raaklijn en het punt A’. Met cj° is in «j homoloog eene kegelsn >de d,° die haar in de punten P en Q van cj* snijdt; het vlak P d snijdt de over- eenkomstige kegelsnede in « in P', het vlak Qd doet op dezelfde wijze het punt (/ ontstaan, en de met c° homologe kegelsnede is bepaald door P,Q', den dubbelknoop met de raaklijn t‚ terwijl zij met d,® op een oppervlak van de tweede orde ligt. Daar dit bij elke kegelsnede herhaald kan worden, is co* dus door de aanname van t en 4’ volkomen bekend en insgelijks het oppervlak A* Het aantal aan- genomen punten bedraagt dus: Il +2 41 +1 == 15 punten. 12. Tweede Groep, geval A. Het vlak «, snijdt het oppervlak At volgens eene kromme cj* van de vierde orde met drie dubbelpunten D,, Dy, Ds. Deze kromme is dus bepaald door 11 punten. Het vlak «@, snijdt cj* in vier punten ; neemt men van de nieuwe kromme vg* nog de drie dubbelpunten aan, dan is de dubbelkromme, welke eene scheeve kromme van de derde orde is bekend. Het oppervlak Rt is nu bepaald, want de kegelsnedenbundels, die v,* doen ontstiuan hebben (209 ) als gemeenschappelijke basispunten D,, Dy, Dz; met de ge- construeerde scheeve kromme van de derde orde bepaalt dus elke kegelsnede een oppervlak van de tweede orde en de oppervlakkenbundels zijn bekend. Daar elk der drie dubbel- punten van co“ twee voorwaarden vertegenwoordigt, zoo heeft men in het geheel ter bepaling aangenomen : Il + 3 X 2 == 17 punten. Wil men aan «j een bijzonderen stand geven, dan kan men dit vlak leggen door D, Dy, en, even als dit bij de vorige groep geschied is, door D, zoowel als door Ds, twee raaklijnen in «3 trekken. Wederom vlakken leggende door een raaklijnenpaar, door een zelfde punt in verschillende vlakken getrokken, worden de raaklijnen aan de dubbel- kromme, door D, en Dy, gaande, bekend; de dubbelkromme, en daardoor R*, wordt dus geheel bepaald, zoo men nog een dubbelpunt in «z aanneemt. Daar elk der raaklijnen weder eene voorwaarde vertegenwoordigt, heeft men als boven : Il + 2 Xx 2 +2 == 17 punten. 12. Tweede Groep, geval B. De doorsnede cj* is als in geval A bepaald door 11 punten. Van de kromme cz* kan men 2 dubbelpunten willekeurig aannemen; het derde dubbelpunt moet evenwel aan de voor- waarde voldoen in één vlak te liggen met twee dubbelpunten van cj* en een van cz*; het ligt dus in de snijjlijn van dit vlak met wg; hierdoor vertegenwoordigt dit derde dubbel- punt slechts ééne voorwaarde; het aantal aan te nemen punten bedraagt dus: Il +2 XxX 24 1== 16 punten. Om dit nog nader door bijzondere standen vana, op te helderen, onderstelle men, dat van de dubbelpunten D, en Dy op de dubbelkegelsnede en Dz op de dubbele rechte lijn liggen. Legt men dan in de eerste plaats «, door Dj en Dg; en trekt men in ws de beide raaklijnen in elk dezer punten, dan worden, als vroeger, de raaklijnen VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL VL. 14 (210 j aan de dubbelkromme in D, en D3 bekend. Daar Ds even- wel op de dubbellijn d ligt, zoo is d zelve bekend; tevens is de raaklijn door U, der dubbelkegelsnede bepaald en daar D, een harer punten is, is haar vlak Ò te construeeren. Van de dubbelkegelsnede is nu bekend D,, de raaklijn door D,, Dg en het snijpunt van d met Ò; het nog aan te nemen dubbelpunt van cz* ligt in de sniijjlijn van ag met Ò, en vertegenwoerdigt eene voorwaarde; er zijn dus ook nu aan- genomen : Il + 2 X2 +4 1== 16 punten. Legt men, om nog een bijzonderen stand van as te onder- zoeken, dit vlak door D} Dy, dan kan men in «ej aan D, het raaklijnenpaar trekken; de raaklijn aan de dubbelkegel- snede wordt dan weder bekend. Trekt men een der raak- lijnen aan Dg in «zg, dan wordt een vlak construeerbaar, rakende aan de dubbelkromme in dit punt; dit vlak snijdt de aan Dj geconstrueerde raaklijn, in een punt P; de lijn P D, is eene tweede raaklijn aan de dubbelkegelsnede, van welke nu bekend zijn twee raaklijnen met de daarop lig- gende raakpunten. Nog een dubbelpunt van cy* in aj ne- mende, kan men de dubbellijn d trekken; zij snijdt het vlak Ò in een punt der nu geheel bekende kegelsnede. Het opper- vlak is nu construeerbaar en men heeft daarvan aangenomen : Il +2 + 1 + 2==16 punten. 13. Tweede Groep, geval C en D. Daar het eenige ver- schil van deze twee gevallen bestaat in de bestaanbaarheid of onbestaanbaarheid der elkander kruisende dubbellijnen, kan men ze gezamenlijk in behandeling nemen. De doorsnede cj* is weder door 11 punten bepaald. Voor de kromme cg* kan men twee dubbelpunten willekeurig ne- men, hiermede zijn de kruisend gelegen dubbellijnen bepaald : door het derde dubbelpunt in «j kan men dan de derde dubbellijn trekken en het oppervlak is construeerbaar; het verband tusschen dit oppervlak en die der eerste groep blijkt ook nu weder duidelijk. Het aantal bepalende punten is dus nur Il + 2 X 2== 15 punten. mnd ennn a han (2145) Voor bijzondere standen van «jy wordt verwezen naar het eerste geval der eerste groep. 14. Tweede Groep, geval Z. De kromme c;* bezit een _ dubbelpunt en eenen dubbelknoop; dit staat gelijk met 4 __ voorwaarden; zij moet dus bepaald zijn door 10 punten. De doorsnede cf zal, evenals bij het geval C der eerste groep, bepaald zijn, zoodra gegeven zijn de dubbelknoop, de raaklijn daaraan en een punt, 'tzij dit een gewoon punt of een dubbelpunt zij, daar ook het dubbelpunt, in één vlak moetende liggen met de dubbele knooplijn en het dubbelpunt van cj*% slechts eene voorwaarde vertegenwoordigt. Bij deze aanname blijkt het, dat, even als bij het aangehaalde geval van de voorgaande groep, de oppervlakkenbundels van de tweede orde bepaald zijn. Het geheel aantal punten, dat ter bepaling gediend heeft, bedraagt dus nu: 10 + 241 + 1== 14 punten. 15. Derde Groep, geval 4. De kromme cj* is eene kromme van de vierde orde met een drievoudig punt, zij is dus (75) bepaald door 10 punten. Het oppervlak zal verder geheel bekend zijn, zoodra eene tweede doorsnede cy* gegeven is; dan toch kan men de drievoudige lijn trekken en het door middel van haar en de twee doorsneden construeeren. De kromme cj* ontstaat namelijk door een kegelsnedenbundel en eene daarmede projectieve straleninvolutie; het middelpunt der stralen-involutie is een basispunt van den kegelsneden- bundel. Door de drievoudige lijn en de stralen-involutie is de vlakken-involutie bepaald; neemt men nu een vlak dezer involutie, dan snijdt dit zoowel cj* als cg* in een punt, de verbindingslijn dezer punten is een beschrijvende lijn. De kromme c,* heeft nu tot hare constructie vereischt Ó punten, alzoo in het geheel : 10 + 6 == 16 punten. 16. Derde Groep, geval B. Als in het vorige geval is de kromme cj* bepaald door 10 punten. Legt men uz in den algemeenen stand, dan kan men van cj* aannemen het 14” (212) drievoudig punt, waardoor 2 nieuwe voorwaarden ingevoerd worden (7e). Trekt men nu door dit punt twee raaklijnen, dan zal de derde raaklijn bekend worden door de voorwaarde, dat zij eene der raaklijnen van het drievoudig punt van c,f moet snijden. De drie raaklijnen in het drievoudig punt van c3° vertegenwoordigen dus slechts twee nieuwe voorwaarden. Van cy* is nu bekend het drievoudig punt, de drie raaklijnen daaraan, benevens de vier snijpunten van ws met e;*; er is dus ter algeheele bepaling van cg* nog noodig één punt te weten; neemt men ook dit aan, dan is, even als in het vorige geval, het oppervlak bepaald Men heeft dus in het geheel aangenomen : 10 + 2 +2 + 1 == 15 punten. 17. Derde Groep, geval C. De doorsnede c;* is wederom bepaald door 10 punten; ter verdere constructie bedenke men, dat het oppervlak bepaald is door de kromme cj* en twee rechte lijnen van welke de eene, t‚, door het drievoudig punt 7 van cj“ getrokken is en de andere door een niet bijzonder punt van cj* gaat. Het oppervlak A* zal dus bepaald zijn, zoodra men zooveel punten van cg* heeft aan- genomen, dat beide lijnen getrokken kunnen worden. Men neme nu het drievoudig punt van cj“ aan, dan is t bekend. Neemt men daarna een punt Az van cg* aan, en legt men het vlak t Ag, dan snijdt dit c,t nog in een punt A}, en A; Ag is eene beschrijvende lijn van Zé, Op dezelfde wijze zullen twee andere aan te nemen punten By en C3 van caf nog twee andere beschrijvende lijnen #) 23 en C, C3 doen ontstaan Alle rechte lijnen, welke zoowel A, As als B, Be en C Cy snijden, vormen een stelsel beschrijvende lijnen eener hyperboloïde, welker doorsnede met «, eene kegel- snede is, dis ej* behalve in 7, Aj, B, C nog in twee punten snijden zal. Uit een dezer beide punten kan men de enkelvoudige richtlijn trekken, en daardoor wordt het geheele oppervlak bepaald. Het aantal punten, dat men aangenomen heeft, is dus: | 10 + 2 + 3 == 15 punten. 18. Derde Groep, geval DD, De kromme ej“ is wederom (213) bepaald door 10 punten; de lijn, welke door alle beschrij- vende lijnen gesneden wordt, valt evenwel in dit geval te zamen met de drievoudige lijn. Legt men het vlak «,, dan kan hierin weder het drievoudige punt aangenomen worden ; daar evenwel dit oppervlak twee standvastige raakvlakken heeft, zal men van cz“ dadelijk twee raaklijnen geeonstru- eerd hebben door vlakken te leggen door de drievoudige lijn en twee der raaklijnen van cj“. Van czf zijn nu bekend het drievoudige punt, twee der raaklijnen daaraan en de vier punten volgens welke a, cj* snijdt; men moet dus nog 2 punten van ecg aannemen om haar te bepalen. Is cf geconstrueerd, dan kan men, door vlakken te leggen door de drievoudige lijn, alle beschrijvende lijnen construeeren. Daar men als nieuwe voorwaarden van c3f slechts heeft aan- genomen het drievoudige punt en nog 2 punten zoo maakt dit: 10 + 2 + 2 == 14 punten. 19. Vierde Groep, geval 4. Bij dit oppervlak is de dub- belkromme eene scheeve kromme van de derde orde, maar alle beschrijvende lijnen moeten eene rechte lijn — de draagster der punten-involutie — snijden. Men brenge het vlak «, aan, dan zal dit vlak het oppervlak £* volgens eene kromme van de vierde orde c‚* snijden, welke drie dubbelpunten heeft, Men neme van cj aan de drie dubbelpunten benevens vier niet bijzondere punten, dan zal cj* niet volkomen bepaald zijn. Neemt men evenwel in «z eveneens de drie dubbel- punten van cj* aan, dan is de dubbelkromme bepaald, en het zal blijken, dat nu ook cj* en dus het geheele opper- vlak A* construeerbaar is. Uit elk der vier aangenomen punten van cj* kan men namelijk eene koorde van de scheeve kromme trekken; deze koorden zijn beschrijvende lijnen van R*; zij hebben verder twee gemeenschappelijke transversalen; elk dezer is eene oplossing voor de lijn, die als drievoudig rakende ontwikkelbare van A* optreedt, en tevens de rol van enkelvoudige richtlijn vervult. Is deze lijn geconstru- eerd, dan is R* bepaald en dus kan cj* zoowel als cy* verder geconstrueerd worden. In het geheel heeft men dus aange- aangenomen : (214 ) 3X 2444 3 x2=16 punten. Deze uitkomst liet zich vermoeden; de algemeene theorie geeft aan, dat dit oppervlak het wederkeerige is van het oppervlak A der derde groep; men zou dus 16 raakvlakken moeten aanleggen om het te kunnen construeeren, en deze — vormen evenzeer bepalende elementen als punten, zoodat men ook op deze wijze het getal bepalende punten had kunnen afleiden. 20. Vierde Groep, geval B. Volgens de opmerking aan het slot van het voorgaande geval laat zich het aantal pun- ten noodig ter constructie oogenblikkelijk afleiden uit het geval B der derde groep. Men kan het evenwel ook be- palen door de opmerking te maken, dat dit oppervlak ge- construeerd wordt als het voorgaande, met dit onderscheid, dat de dubbelkromme in eene kegelsnede, gesneden door eene _ rechte lijn overgaat, en dus een der dubbelpunten van «g, op eene gegevene rechte lijn moetende liggen, slechts eene voorwaarde uitdrukt. In het laatste geval verkrijgt men 8 X 2 H4H2X2H1==15 punten. 't geen met het aantal punten van het getal B der derde groep overeenstemt. 21. Het is duidelijk, dat men bij elk dezer aannamen een zeer groot aantal oplossingen verkrijgt; zoo zoude bv. wanneer men het geval A der derde groep op de voorgeschre- ven wijze wilde construeeren, men in «; door 10 punten 60 krommen van de vierde orde met drievoudig punt ver- krijgen, en eveneens in het vlak «s; daar elke kromme in _ aj met eene in «sg kan gecombineerd worden, zoude dit tot 8600 oppervlakken aanleiding geven. Het aantal is echter door de aangenomen voorwaarden bepaald. Evenals in de algemeene tabel der scheeve oppervlakken, is hier alleen nagegaan de hoofdgroepeering, zonder in de bijzonderheden te treden die door het samenvallen van klem- punten ontstaan. Bj vergelijking der uitkomsten met de vergelijkingen ge- geven in SALMON-Freprer, Geometrie des Raumes II, 3de Aufl. pag. 430—443, zal men zien, dat in die gevallen, waarin eene vermindering van het aantal aan te nemen punten intreedt, men ook in de vergelijking evenveel bijzondere — waarden aan de coëfficiënten moet toekennen, als de ver- mindering van het aantal punten bedraagt. _ De gevallen C en D van groep IV stemmen overeen met de gevallen C en D van de derde groep, en behoeven dus niet afzonderlijk te worden nagegaan. Tilburg, Januari 1889. 8 (215 ) HARMONISCHE ANALYSE DER GETIJDEN IN DE JAVA-ZEE, DOOR Dr. J.P. VAN DER STOK, Ofschoon de verwachtingen, aanvankelijk gekoesterd van de bruikbaarheid der gegevens, door middel der harmonische analyse verkregen, voor eene juiste berekening van de star- heid van het inwendige der aarde niet in alle deelen zijn bevestigd, blijft eene ook in de kleinere bijzonderheden tre- dende nauwkeurige berekening der verschillende componen- ten van groote beteekenis voor velerlei vraagstukken. Slechts indien deze methode op waarnemingen, op een groot aantal plaatsen verricht, is toegepast en kaarten van »cotidal lines’ voor de drie groepen van getijden: de halfdaagsche, de een- daagsche en de meerdaagsche afzonderlijk zijn vervaardigd, zal het mogelijk zijn, tot eene juiste kennis te geraken van de voortplantingswijze dezer, voor het grootste gedeelte, vrije golven in diep en ondiep water en de daarmede samenhan- gende vraagstukken omtrent de gemiddelde diepte der zeeën en de aanwezigheid, al of niet, van staande golven. Nog slechts voor een veertigtal plaatsen zijn de constan- ten volledig bekend, waarvan twintig stations in Britsch- ET ad ng (217) Indië. Binnen kort echter mogen verschillende publicatiën van op deze wijze berekende constanten verwacht worden, daar de roepstem van Prof. G. H. Darwin, die door zijne uitvoerige studiën over dit onderwerp het groote belang der zaak heeft aangetoond, weerklank gevonden heeft __ in Duitschland, Frankrijk, de Kaap en Australië, terwijl in Amerika reeds sedert meer jaren de studie der getijden van een practisch en theoretisch standpunt uit door Ferreu is ter hand genomen. Ook in Nederlandsch-Indië zullen, met het doel dit internationale streven te steunen, twee zelfregistreerende peilschalen te Tjilatjap en te Padang worden opgesteld, door welke twee punten dan verband is gebracht tusschen de Australische stations en die van de Britsch-Indische kustlijn. Terwijl de uitkomsten, die hiervan te wachten zijn, meer licht zullen verspreiden omtrent de voortschrijding der vloed- golven in den Indischen Oceaan, zijn observatiën in een min of meer afgesloten bekken, als de Java-zee, meer geschikt om gegevens te leveren voor de voortplantingswijze der golf- bewegingen, indien deze door vele belemmeringen in haren voortgang zijn gestuit en zich voortbewegen in betrekkelijk ondiep water. Reeds eenige jaren lang zijn voor de Java-zee gegevens verzameld door middel van zelfregistreerende peil- schalen in de haven van Tandjong-Priok en het bassin van het Marine-etablissement, te Soerabaya opgesteld. Het doel van dit opstel is, de publicatie van de constan- ten voor Batavia's haven en de vergelijking van deze met die, welke in 1886 door den ingenieur H. Yrrs voor Soe- rabaya werden gepubliceerd (Tijdschrift van het Kon. In- stituut van Ing. Afd. N. I. 1885 - 1886). In Tabel I zijn de amplituden en argumenten der getijden te Tandjong-Priok op dezelfde wijze en in dezelfde volgorde samengesteld als voor een veertigtal plaatsen geschiedde door Prof. Darwin en Majoor Barrp in de Proceedings van de Royal Society, 1885. Vol. 39. De amplituden zijn gegeven in centimeters; de argumenten hebben betrekking op lo- calen tijd. (218) TAB Erin el CONSTANTEN DER GETIJDEN TE BATAVIA, 1885. 1887—88. 1885. 1887—88. 1885. 1887—88. ‚HE 1.50 e.m. 2.54 Ee ke 0.10e.m. 0.12 De jz 1.92 e.m. 1.96 cm. 6 St ‘ik 3240 24° K 77° _357° K 338° _314° ä 4.86 5.69 ö Hé 12.68 13.64 | HO26 0.91 S 2 K 315° _ 294° K 440° 121° K 126° _136° (H 0.06 _ 0.04 H 24.64 26.53 HO045 0.93 5) «| v | [Kk 222° 76e |K 4357° 144 Y Ik 23° 7e H 004 0.01 H 255 243 (HO51 1.23 S K |, 146° _ 2259 * Ie 269° ane Big ste ren H 1.00 _ 0.80 E 5.81 H24M 1.3 | P at | K 168° 79e |K 4579 _146° K: -StE on H 447 479 IH 294 2.02 H 0.20 043 Mt, | J | ast) |K 48° 347° K 1949 240° K 40° 1829 H 0.06 _ 0.27 H 3.02 3.53 ‚E TAA 7.84 a, Q | Sa K 98° 27° K 4939 414° IK 70° 129 (H 042 061 ik je 0.37 _0.90 le 5.53 6.4 | M | ‘jk o3ge 4850 lk 3e 89° |K 1069 147 | De eerste reeks vangt aan op den middag van den eersten Januari 1885, de tweede op den middag van 1 Juli 1887: beide serieën omvatten een vol jaar. Het oorspronkelijk plan om van 1885 af deze grootheden voor elk jaar te bereke- nen, kon niet gevolgd worden, omdat in het begin van 1887 bleek, dat de toevoerbuis van den getijmeter van lieverlede door de aangroeiing van oesterschelpen was verstopt ge= (219 ) raakt; de invloed hiervan was op de toen reeds gedeeltelijk berekende constanten voor 1886 duidelijk merbaar en het scheen dus wenschelijk, dit geheele jaar te verwerpen en met 1 Juli 1887 eene nieuwe, betere reeks aan te vangen. Dat echter deze aanwas reeds in 1885 was begonnen, blijkt wit de vergelijking der beide reeksen; de amplituden der tweede reeks zijn bijna zonder onderscheid iets grooter dan die der tweede, evenals de argumenten; daar de formule, voor de perioden gebezigd, is: H cos (nt — k) werd de beweging derhalve reeds in 1885 op merkbare wijze vertraagd. De constanten der tweede reeks zijn daarom te verkiezen boven die van de eerste, om welke reden het mid- delen der grootheden achterwege is gelaten. Voor de beteekenis der letters, waarmede de verschillende getijden zijn aangeduid en eveneens voor wijze, waarop de constanten berekend zijn, moge verwezen worden naar het bovengenoemd overzicht der verkregen resultaten in de Pro- eeedings, de verschillende rapporten van Prof. DARwIN aan de British Association en de handleidingen van Prof. BöraeN *) eu Majoor Bairo f). Uit de gegevens der Tabel I blijkt terstond, dat de ge- tijden in de haven van Batavia in zeer sterke mate het eendaagsch karakter vertoonen, dat allen plaatsen, buiten den Atlantischen Oceaan gelegen, eigen is, en dat elke practi- sche beteekenis ontneemt aan het havengetal, welks ge- woonlijk aangenomen definitie berust op de onderstelling, dat het dubbel maansgetij inderdaad van overwegenden in- vloed is. Aan welke gegevens het havengetal 10 uur in het uittreksel van de Connaissance des Temps en in de Ge- zeitentafeln, uitgegeven door het Hydr. Bureau te Berlijn, js ontleend, is mij onbekend; maar daar, indien wij de beide %) Ann. d. Hydr. XII. Jahrg. 1884. Heft VI u. f. f) A manual for tidal obs. by A. W. Barrp (1886). ( 220 ) dubbele getijden $, en My afzonderlijk beschouwen, het wa- terverval bij springtij niet meer dan ongeveer 21 cent. be- draagt en bij doodtij de geheele beweging tot nul gereduceerd is, ware het beter, de publicatie van dit havengetal, alsmede dat van Pontianak en de Karimon-Djawa eilanden achter- wege te laten. Voor de practijk kan aan een zóó klein getij geene waarde gehecht worden, tenzij dan in verband met de andere grootere getijden, en eene dergelijke publicatie kan aanleiding geven tot het trekken van ongegronde ge- volgtrekkingen omtrent den oorsprong der getijden. De beide andere halfdaagsche getijden Ky en Ns, de eerste afhankelijk van de maansdeclinatie, de tweede van den maans- afstand (elliptisch getij), hoewel zeer klein, zijn toch, zooals uit de vergelijking der beide serieën blijkt, met volkomen juistheid berekenbaar. Het zijn echter vooral de drie een- daagsche getijden A, Ó en P, van welke K, van de maans- en zons-deelinatie, Q van de maans-declinatie en P van de zons- declinatie af hankelijk zijn, maar, iu vergelijking met de kleine halfdaagsche getijden, eene overheerschende rol spelen. De combinatie der getijden K en Ó veroorzaakt eene sterke veertiendaagsche ongelijkheid: het grootste waterverval, on- geveer 80 cent., valt in ongeveer één dag na dien der grootste maans-declinatie; het kleinste, ongeveer 26 cent.,‚ kort na den maansdoorgang door den equator, terwijl het getij P in Maart en September deze getijden tegenwerkt, in December en Juli daarentegen ondersteunt, zoodat in het laatste ge- val het hoogste getij kan opklimmen tot een verval van 80 + 14.56 —= 95 e. m.; het kleinste, in Maart en September, daarentegen daalt tot 11 c.m. Zelfs onder deze ongunstige omstandigheden, wanneer tevens die voor het dubbel getij het gunstigst zijn, omdat, als de zon den evenaar passeert, volle en nieuwe maan met den maansdoorgang door den equator samenvallen, moet de eendaagsche getijbeweging nog met een bedrag van ongeveer 50 pCt. der halfdaagsche in rekening gebracht worden. Niet geheel juist is dus de dikwerf geuite meening, dat in Maart en September het eendaagsch getij klein en het halfdaagsch grooter is; dit geldt alleen voor de dagen in (221 ) den omtrek van volle en nieuwe maan; op den dag na dien der grootste maansdeclinatie, bedraagt het verval van het eendaagsche getij nog 65 c.m. De elliptische getijden O0, Sen L zijn alleen van theoretisch belang; van de beide eersten zijn de argumenten voor de beide reeksen voldoende overeenstemmend en derhalve ook de berekende amplitude juist. Wat de getijden van langen duur betreft, zoo schijnen ook de beide eerste Mm en Mf (maandelijksch en maans-veertiendaagsch , hoe gering hunne amplituden ook zijn, met voldoende zekerheid uit de Bata- vlasche waarnemingen af te leiden te zijn; het getij M Sf (zons en maans-synodisch-veertiendaagsch) echter te klein; het havengetal dier langdurige getijden bedraagt ongeveer 30. Wat eindelijk de meteorologische getijden aangaat, zoo verdient bemerking, dat het getij S, zeer klein is en dus de land- en zeewind slechts geringen invloed uitoefent. Het veertiendaagsch getij Ssa is, althans voor deze beide reeksen, zeer constant; hoog water komt, volgens deze gegevens, omstreeks de helft van Mei en November voor. Het getij Sa (jaarlijksch) schijnt veel veranderijker te zijn. De eerste reeks geeft hoog water op 31 Mei, de tweede op 30 Juli; indien men hierbij in het oog houdt, dat in 1885 de oostmoesson buitengewoon vroeg is ingevallen, zoodat na 22 Maart geene weers componente meer in de gemiddelde dagelijksche windrich- tingen voorkomt, dan is men wel tot de conclusie gedwongen, dat in het westelijk gedeelte der Java-zee door den ooste- wind het niveau der zee wordt opgestuwd, terwijl men a priori eer geneigd zou zijn eene verhooging van het niveau gedurende den regenmoesson te verwachten. Zoo althans is het te Soerabaya gesteld, waar, zooals blijkt uit Tabel II, door het getij Sa hoog water omstreeks 11 Januari ver- oorzaakt wordt. (222) T: ABE tndik CoNSTANTEN DER GETIJDEN TE SOERABAYA, Maart 1878—PFebruari 1879. En H 2.00 cm. H 97.16 cm. |H 912em. | K 83° K 2840 |K 337 H 26.40 | H 46.92 H 1.43 s, | K, \ K 355 | K 318° K __28ge (E 1.40 (H_ 8.00 H 1.85 xr, K, | v | | K _ 309° \K 357 KAR H 44.29 H 14.20 H 1.51 M, | Ë Mm K 351° K _324° K ‘351° HSA H 0.62 se M, | 3 | Mf | K __238° K _260° see 46° a) H 2.00 ‚H_ 4.67 ie | H- 4461 | f ‘|K _997e |K ate K _129° | H 1.19 ‚H 2.99 | H 3.40 M, L | Sa | | K _218° K ge | K _292e H “659 Ssa | K _ 165° De gegevens, in deze Tabel vereenigd. verschillen eenigs- zins van de door den Heer Ypres berekende; de waarden nl. der amplituden en argumenten zijn, in overeenstemming met de door BöreeN en Bairo gegeven voorschriften, wat de argumenten betreft, gedeeltelijk gewijzigd door herberekening der grootheid V, + u, terwijl de amplituden alleen door ver- menigvuldiging met den reductie-factor 1/A voor seculaire variatie zijn gecorrigeerd, waardoor de grootheden met die voor Batavia, in Tabel [ gegeven, vergelijkbaar worden. Het aanmerkelijk verschil tusschen de getijden, waarge- nomen in het nauw van straat Madoera en die van Batavia, (223 ) valt terstond in het oog. Wel is hier, evenals te Batavia, het eendaagsch getij groot, maar de halfdaagsche zons- en maansgetijden spelen beide hier eene veel minder onderge- schikte rol en zijn ook voor de practijk niet over het hoofd te zien. Het havengetal kan hier op 0 of 12 uur aange- _ nomen worden en, daar de argumenten van Sj en Ms onge- veer gelijk zijn, zal het springtij met een verval van 2 X(44.29 + 26.40) — 141. 38 com. op den dag van nieuwe maan worden waargenomen, terwijl bij doodtij het verval ongeveer 36 c.m. zal bedragen. Van de eendaagsche getijden K}, OQ en P zijn de amplituden 1.9 malen grooter dan die van Batavia; de argumenten voor de twee plaatsen toonen constante verschillen aan ; deze zijn, in uren uitgedrukt : Batavia. Soerabaya. Verschil. u. u. u. K, 9.57 21.14 11.57 Ó 8.68 20.37 OS P 9,76 21.46 11.70 Het effect der eendaagsche getijden is dus te Soerabaya juist omgekeerd van die te Batavia. Gedurende den oost- moesson wordt te Batavia hoog water waargenomen te 10 u. n.m., in December te 10 uur v.m., te Soerabaya respec- tievelijk te 10 uur vm. en te 10 uur nm. Daar het ver- schil tusschen de waarden der grootheid K voor de getijden O en K} weinig meer bedraagt dan voor Batavia gevonden is, valt ook de tijd van ’t hoogste water met een verval van 2 (46.92 + 27.16) — 148. 16 c.m. ongeveer één dag na de grootste maansdeclinatie. In Sep- tember en Maart, als wanneer het getij P tegenwerkt en bij eene maansdeclinatie OQ, is het verval van het eendaagsch getij 2 (46.92 — 27.16 — 14.20) = 11 e.m. dus feitelijk ten opzichte van het groote dubbelgetij te vers (224 ) waarloozen en even klein als, onder gelijke omstandigheden, te Batavia. Ook al neemt men aan, ’t geen waarschijnlijk is, dat de getijhoogten te Soerabaya, door stuwing in den trechter van straat Madoera sterk vergroot, en derhalve op Madoera'’s noordkust aanmerkelijk kleiner zijn, dan blijft toch de ver- houding der een- en halfdaagsche getijden een essentiëel onderscheid uitmaken tusschen de getijden voor beide plaatsen. Het verschil der argumenten voor M, bedraagt ongeveer 00 of 12 uur, ‘tgeen even goed vroeger als later kan be- duiden; dat der argumenten van de eendaagsche getijden gemiddeld 11.65 uren, om welken tijd deze getijden te Soera- baya later invallen ten opzichte van den localen tijd, dan te Batavia. Het is echter geheel onaanneemlijk, zoowel we- gens de grootte der Soerabaaische getijden, als wegens de ligging der beide plaatsen, dat inderdaad de vloedgolf zich langs Java's noordkust van West naar Oost zou voortplan- ten; omgekeerd, dat zij zich westwaarts beweegt, ware denk- baar, in welk geval de 11.65 uren later als 12,35 uren vroeger zouden moeten opgevat worden. De vloedgolf zou in dit geval den weg langs Java’s noordkust tusschen de beide plaatsen, gelijk aan ongeveer 6561/, K. M. hebben af- gelegd in 12.74 uren, omdat het verschil in lengte 0.39 uren bedraagt. Volgens de LacrANee’sche formule c2 pri fj waarin p de diepte der zee, c de snelbeid van voortplanting, g de versnelling der zwaartekracht beduiden, zou deze snel- heid derhalve overeenkomen met eene gemiddelde diepte van niet meer dan 21 meters. Deze diepte is zeker te veel ver- schillend van de ware, dan dat deze onderstelling zou kunnen stand houden; ook zou bezwaarlijk kunnen toegegeven worden, dat op dezen betrekkelijk korten weg het karakter der getijden zoodanig kon zijn veranderd, als inderdaad het geval is, en het eendaagsch getij, schoon zelf verwakt, in zoo groote mate de overhand zou gekregen hebben boven het halfdaagsche, (225 ) Evenmin als deze, schijnt de onderstelling dat de Batavia- sche getijden veroorzaakt zouden worden door de vloedgolven, die uit de Chineesche zee door de Karimata- en Gasperstraten in de Java-zee zich voortbewegen, aan de eischen van het probleem te voldoen. Hoewel hier volledige gegevens ont- breken, wijzen toch de in de bovengenoemde » Gezeitenta- feln” opgegeven getijhoogten voor Pontianak en de Banka- straat op eene veel te groote getijbeweging, dan dat het kleine verval, te Batavia waargenomen, hierdoor verklaard zou kun- nen worden. Uit de tot heden bekend geworden resultaten moet dus de conclusie getrokken worden, dat de Java-zee het terrein is, waar twee vloedgolven, beide oorspronkelijk afkomstig uit den stillen Oceaan, waarvan echter de eene den langeren weg door de Baschistraat, de Chineesche zee en de Kari- matastraat heeft afgelegd, de andere den korteren afstand door de Celebeszee en straat Makasser heeft doorloopen, met elkander op gecompliceerde wijze interfereeren. Door het verschil in afgelegden weg, kan het groote phasen-onderscheid, dat kenmerkend is voor beide eendaag- sche componenten, verklaard worden en te Batavia, gelegen in een cul de sac, zullen door deze interferentie beide com- ponenten elkander voor het grootste gedeelte vernietigen. Terwijl dus te Batavia, blijkens het argument der eendaag- sche getijden, de invloed van de uit het Noorden komende vloedgolf nog overheerschend is, maar sterk getemperd door de oostelijke vloedgolf, zal er, meer oostelijk, eene grenslijn te vinden zijn, waar de beide eendaagsche getijden elkander geheel en al tegenwerken en dus alleen zwakke halfdaagsche getijden zullen zijn waar te nemen; oostwaarts van deze demarcatie-lijn zullen de getijden meer en meer het karakter der getijden van Soerabaya aannemen. Batavia, Februari 1889. VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL VL. 15 PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 20 April 1889. Tegenwoordig de Heeren: VAN De SANDE BAKHUYZEN, Voorzitter, Scuors, Prace, ZEEMAN, J. A. C. OUDEMANs, Grinwis, Murper, A. C. OUpeEMANs JR, Mac GILLAVRY, FRANCHIMONT, VAN Dorre, Husreour, HoocewerrFrF, MARTIN, BrEIJERINCK, HOFFMANN, SURINGAR, BRUTEL DE LA RIVIÈRE, Barnr, PEKELHARING, Forster, ScHoure, Buys BALLOT, VAN DER WAALS, VAN DiEsEN, KAMERLINGH ONNES, HoEK, DE Vries, BrerENs DE HAAN, Stokvis, BeEHRENS, VAN 'r Horr en C. A. J. A. Oupemans, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige zitting wordt gelezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 1°. A. Krumver, Bibliothecaris van de Maatschappij der Nederlandsche Letterkunde te Leiden, Januari 1889; 20, J. FE, vaN SOMEREN, Bibliothecaris van de Rijks-Universiteit te Utrecht, 1889; 30. J. W. G. van Haarsr, Bibliothecaris van de Rijks-Universiteit te Groningen, 17 April 1889; 40, D. Srur, Directeur van de k. k. geologische Reichs- anstalt te Weenen, 14 April 1889; 5%. H. Hermroraz, Berlijn, 9 April 1889; 60, W. TreseNmausEN, Directeur (227) van de Commission impériale archéologique te St. Peters- burg, 28 Maart 1889; 70. M. Perrz, Directeur van het Observatorio meteorologieo central te Mexico, 8 Maart 1889; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 10. E. LrieNeNKLAus, Secretaris van het naturwissenschaft- liche Verein te Osnabrück, 1 April 1889; 20, GrrBerr, Bibliothecaris van de kön. Universitäts-Bibliothek te Greifs- wald, 3 Januari 1889; 30. S. Sincrarr, Secretaris van het Australian Museum te Sydney, 15 Februari 1889; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — Ìs ingekomen een brief van Z.Exc. den Minister van Binnenlandsche Zaken (18 April 1889), de mededeeling be- helzend, dat de herbenoemingen van de Heeren H. G. vaN DE SANDE BAKHUIJZEN, J. D. vAN DER Waarsen C. A.J. Á. OupeMANs, respectievelijk tot Voorzitter, Onder- Voorzitter en Secretaris der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, door den Raad van State bekrachtigd zijn. — De Heeren Scnourr en Bierens pe HAAN brengen een gunstig verslag uit over de verhandeling van den Heer Dr. Jan pe Vries. Wordt besloten haar op te nemen in de Verslagen en Mededeelingen. — De Heer J. A. C. OuprMmaNs doet eene mededeeling betreffende te Utrecht uitgevoerde vergelijkingen van twee glazen eindmeters met den platina-iridiummeter NO. 27 en biedt over dit onderwerp eene verhandeling aan voor de Verslagen en Mededeelingen. — De Heer Martin spreekt over de zoogenaamde »oude schieferformatie’’ op Borneo. Deze formatie is onder anderen in de Westerafdeeling van het eiland bekend en hier wer- den daarin ook enkele versteeningen door den Ingenieur 15* ( 228 9 _C. J. VAN ScHELLE verzameld, namelijk aan de Soengei Mot- tong, en bij Boedoek en Sepang in de Chineesche distrikten. Het bleek uit een daaromtrent ingesteld onderzoek, dat deze versteeningen tot de geslachten Gervillia en Corbula behoo- ren, en aangezien deze nooit in palaeozoïsche lagen voorko- men, kunnen ook de »oude schiefers’’ hier niet palaeozoïsch wezen. De schiefers worden bovendien door tertiaire lagen overdekt en er schiet dus niets anders over dan aan te nemen, dat zij tot het mesozoïsche tijdvak behooren. Eene verdere bevestiging dezer veronderstelling vond spreker hierin, | dat het hem gelukte, in een grijzen kalksteen van den Bojan | in het Boven-Kapoeas-gebied Orbitolina Lenticularis te vinden. Aangezien dit fossiel cretaceïsch is en de bedoelde kalksteen eveneens in verband met kleischiefers gevonden wordt, komt aa ARE Kn ha den eend nn spreker tot de conclusie, dat de lagen met Gervillia en Cor- bula van gelijken ouderdom zijn als die met Orbitolina en dat alle tot de krijtperiode behooren. Spreker houdt zich overtuigd, dat de kriijtformatie in den Indischen Archipel | zeer verspreid is en‚ wegens gebrek aan fossielen, gedeelte- lijk onder de »>oude schiefers’’, gedeeltelijk ook onder het » tertiair" begrepen is geworden. — De Heer Scrors biedt, namens den Heer vaN DEN Bere, voor de Verslagen en Medeelingen een opstel aan, getiteld: >» Nogmaals over de Bernoulliaansche coëfficiënten’. — De Heer Scnoure biedt voor de Verslagen en Mede- deelingen aan een opstel, getiteld. » Equianharmonie en har- monie bij poolstelsels van binaire vormen, enz.” — De Vergadering wordt gesloten. VERSLAG OMTRENT DE VERHANDELING VAN DEN HEER Dr. J. {DE, VRIES. OVER VLAKKE CONFIGURATIES, DIE UIT DE OSCULATIE- GROEPEN DER KUBISCHE KROMME KUNNEN WORDEN AFGELEID. (Uitgebracht in de Vergadering van 20 April 1889). De verhandeling, die bovenstaanden titel voert, brengt verband tusschen twee vroeger door den heer pe Vries be- handelde vraagpunten, de involuties op kromme lijnen en de configuraties. Het zij ons geoorloofd met een enkel woord het onderwerp nader aan te wijzen, en de voornaamste der verkregen uitkomsten te vermelden. Alle krommen K” van den n° graad, die een gegeven kubische kromme K°* in een gegeven punt A 8 »—l-puntig aanraken, snijden deze verder in een zelfde punt B, dat door het aannemen van A bepaald is. Bij elk punt A der kromme K$* behoort dus een enkel punt £, dat men naar SYLVESTER het restpunt der nie orde van A noemen kan. Valt het snijpunt B in een bijzonder geval met het aangenomen raak- punt A samen, dan heeft men met een punt van volledige aanraking van K° met een kromme K”te doen, dat door SYLVESTER een plethorisch punt (ndúyd@ — vol zijn), door anderen een buigpunt van de nie orde genoemd is. Behoort nu bij een aangenomen punt A een enkel rest- punt B, omgekeerd is elk punt £ restpunt van (3 — 1)? punten A, zoo als dit het eerst door Cresse met behulp van elliptische functies is aangewezen. Deze (3x — 1)? pun- (230 ) ten A vormen gezamenlijk, wat men de osculatiegroep van het aangenomen punt B zou kunnen noemen. Im engeren zin verstaat de heer pe Vrres onder de osculatiegroep O, van het punt B echter alleen de bestaanbare punten A, die tot het restpunt B voeren. Hierdoor is hij genoodzaakt vooraf te onderzoeken, hoe het aantal dier bestaanbare punten voor- eerst afhangt van het een- of tweetakkig zijn der kromme KS, in het laatste geval verder van het oneven of even zijn van »n en in het laatste dezer gevallen verder weer van de ligging van B op het ovaal of op de serpentine. Daar- bij worden dan gelijkloopende onderzoekingen van HaArr en Körrer vermeld. Het eerste der vier hoofdstukken, waarin de verhandeling verdeeld is, draagt het opschrift osculatiegroepen. Daarin heeft het bovengenoemde onderzoek naar het aantal bestaan- bare punten dier groepen plaatsen wordt de stelling bewezen, dat de punten, die drie collineaire punten A tot osculatie- groepen Ó„ aanvullen, met deze drie punten een confi- guratie ((On— 3)an—1, (Bn — 1)%3} vormen. Deze belang- rijke uitkomst kan beschouwd worden als de rationeele uitbreiding van het bekende theorema, volgens hetwelk de drie toegevoegde punten van drie collineaire punten eener K3 genomen in een zelfde der drie stelsels met de drie colli- neaire punten de zes hoekpunten eener volledige vierzij, d. w. z. de configuratie (69, 43), vormen. Verder worden eenige gevallen, waarbij osculatiegroepen van hoogeren graad uit osculatiegroepen van lageren graad samengesteld zijn, nader onderzocht. Het tweede hoofdstuk handelt over plethorische groepen, d. w. z. over osculatiegroepen O,, die een buigpunt tot rest- punt hebben. Wijl de kromme Á$ drie bestaanbare buig- punten bezit, zijn er drie plethorische groepen; al de punten dier groepen zijn plethorische punten. Zoo als door Story, Picqver, Körrer en den eersten ondergeteekende is aange- wezen, komen onder deze als » deelers heeft de op die deelers betrekking hebbende plethorische punten van lageren graad en, zelfs als » ondeelbaar is, de gewone buigpunten voor. Terwijl nu, als men deze plethorische punten van lageren ( 231) graad meetelt, elke plethorische groep uit 3n punten bestaat, bewijst Dr. pre Vries in het voetspoor van Körrer, dat 7 van deze nader met elkaar tot een groep P, verbonden kun- nen worden; van zulk een groep heeft elk der punten de overige punten der groep tot restpunten van verschillenden graad. Het derde hoofdstuk is gewijd aan de bespreking der tangentiaalveelhoeken, der veelhoeken die terzelfder tijd in en om XK? beschreven zijn. Van deze tangentiaalveelhoeken, over welke men Dvrder en Prcquer raadplegen kan, zijn de hoekpunten plethorische punten van de orde } {2” — (—1)”}, als » het aantal zijden van den veelhoek aanduidt. Zij wor- den door den schrijver in verband gebracht met de in flevie- tripels van K°, d. w. z. met drietallen van punten der kromme, die zich met de drie bestaanbare buigpunten door drie in een punt der kromme samenkomende lijnen laten vereenigen. Daarbij maakt hij gebruik van de elders door - hem bewezen stelling, die zegt, dat de aanvulling van de hoekpunten eens tangentiaalveelhoeks van » zijden tot de configuratie 3 n3 voert, die bestaat uit de hoekpunten van »n driehoeken, die een reeks vormen, van welke elke driehoek in den voorgaanden en om den volgenden beschreven is. Zoo komt hij tot een reeks van samenhangende configuraties, waarvan de opsom- ming hier achterwege blijven moet. Het laatste hoofdstuk bevat algemeene beschouwingen omtrent de configuraties, die uit plethorische punten bestaan. Deze beschouwingen betreffen in hoofdzaak de configuraties ontleend aan de plethorische groepen van den graad 3! en aan die van den graad 18g—3. Daarbij treden dan alge- braïsche congruenties op den voorgrond. Het is onze meening, dat deze nieuwe studie van Dr. pe Vries zich op verdienstelijke wijze bij de voorgaanden aan- sluit. Omtrent het algemeene vraagpunt der configuraties opent zij naar ons oordeel verscheidene nieuwe gezichtspun- ten. Wij schromen daarom niet U voor te stellen haar in de Verslagen en Mededeelingen te doen opnemen. Amsterdam, P. H. SCHOUTE 17 April 1889. D. BIERENS DE HAAN, OVER VLAKKE CONFIGURATIES, WELKE UIT DE OSCULATIEGROEPEN DER KUBISCHE KROMME KUNNEN GEVORMD WORDEN. DOOR JAN DE VRIES. In zijne verhandeling »Anwendung der Abelschen Func- tionen auf die Geometrie” heeft CreBscH *) aangetoond, dat eene algemeene vlakke kubische kromme A3 m? punten be- zit, waar zij m-puntig aangeraakt wordt door krommen K,, | welke (Ön — m) vaste punten met haar gemeen hebben. Deze uitkomst is in 1884 aangevuld door Körrer f) met den regel, dat van deze m? punten m bestaanbaar zijn, als Ks uit een trek bestaat, terwijl voor de tweetakkige Ks dit aantal m bedraagt, als m oneven is, 2m, wanneer m even is en een even aantal vaste punten op het ovaal ligt, nul, als het ovaal voor even waarde van m een oneven aantal vaste punten bevat. In het bizonder onderzoekt Körrer de punten van volledige, dus 8 n-puntige, aanraking met krom- men der „d° orde en construeert daarna stelsels van zulke punten, of deelen van zoodanige stelsels, voor n= 2 tot (LOE %) Journal von Creuue, Band 63. t) Beiträge zur Theorie der Osculationen bei ebenen Curven dritter Ordnung. Zmauguraldissertation. Berlin 1884. (233 ) In het volgende opstel beschouw ik de configuraties, welke uit groepen van punten der Á3 kunnen gevormd wor- den, welke eene (3n — l)-puntige aanraking met krommen K„ door een vast punt der Ks toelaten, en daarna groepen van punten van volledige aanraking. Terwijl mijne beschou- _wingen over het algemeen van Körrer's handelwijze ver- schillen, heb ik gemeend zijne methode voor de bepaling van het aantal bestaanbare punten in zulke groepen in het verband te moeten opnemen; zij is trouwens eene uitbrei- ding van de wijze, waarop Hart *) het aantal punten van volledige aanraking met krommen der derde orde heeft gevonden. sE OSCULATIEGROEPEN. Alle krommen K„, welke 3 in het punt ag (3x — I)- puntig osculeeren, snijden haar in een en hetzelfde punt, r‚, dat ik het restpunt der nΰ orde zal noemen. Hen stel- sel van krommen K,, die in ag (Bn —2) punten met Kn» gemeen hebben, snijdt haar dus volgens eene centrale invo- latie Zot). Tot dit stelsel behoort elke kromme, die uit eene (3n —4)-puntig rakende K„-— en de raaklijn van ao is samengesteld; het restpunt 7/1 en het tangentiaalpunt a, =rj vormen dus een paar der Jg, zoodat de lijn rj Pa de Kz in het centrum s, der involutie snijdt. Daar a, en r„ ook een paar van Jy leveren, wordt 7, door de lijn ag sn ingesneden. Op deze wijze wordt de bepaling van r4 tot de *) On the nine-punct contact of cubic curves. (frans. Royal Irish Aca- demy, Dublin 1875). f) Werr heeft in zijne verhandeling „Ueber eindeutige Beziehungen auf einer allgemeinen ebenen Curve 3.0.” (Sitz. ber. Wiener Akad. April 1883) aangetoond, dat £; slechts twee soorten van 7, bezit, n.l. de drie fundamentale, gevormd uit paren van ecorrespondeerende punten, en de centrale, van welke alle paren met een vast punt der £3 collineair zijn. (234) constructie van rp teruggebracht, komt dus ten slotte neer op het trekken der raaklijn in aj. Tabel (1; geeft een over- zicht van alle lijnen, welke, volgens deze beschouwing, voor de constructie van 7, vereischt worden. ao Lo MI ek Ne Ao. S2 7D rj U) $3 ag Sg Tg se tet ater (I) a \ rg 84, ap 84, Ty, zi Ens 1 Sn dg Sn Fn De punten 7, en r—p, welke K3 achtereenvolgens ge- meen heeft met eene (3p — I)-puntig osculeerende K, en eene (3n — 3p — 1)-puntig osculecrende K,_,, vormen ook een paar der Js: s, is dus het snijpunt der lijnen 7, rup (p= l tot An of tot 4 (n — 1)). Door het teeken Ln, Br ar enn | 7e s| zal ik te kennen geven, dat de door de cijfers 1 tot 9 aangewezen punten der Á3 eene atrigonische (99, 63) met de lijnen 123, 456, 789; 147, 258, 369 vormen. Daar het bestaan van vijf dezer zes lijnen de zesde nood- zakelijk maakt, volgt uit: ie MOE Ee MEE Si Si a PAN dat de punten s;, sz en r;+p—i steeds collineair zijn. Der- halve is rj het tangentiaalpunt van s;, terwijl uit het bovenstaande volgt, dat s2; het tangentiaalpunt van 74 is. Stelt a; het de tangentiaalpunt van a, voor, dan blijkt, dat: (235 ) en er dj =S 8 ds — fs A4, == 5% as == ru SEE TOE (II) ary So dg == 886 nde Kf A10 $342 1 +1) Ak == S{22%2) De juistheid der algemeene formule kan gemakkelijk door inductie bewezen worden. De punten rj =aj en s9 =az liggen steeds op de serpen- tine der tweetakkige Kz, onverschillig of a, tot het ovaal of de serpentine behoort; 7, en ap zijn dus punten van den- zelfden tak. Algemeen volgt uit tabel (I): ram ligt op het ovaal of op de serpentine, naarmate ag zich op ovaal of ser- pentine bevindt; ram+1 behoort altoos tot de serpentine. Terwijl elk punt ag alle restpunten ondubbelzinnig bepaalt, behoort bij het willekeurig gekozen punt 7, eene groep van punten a, waarvan ik, in het voetspoor van Harren Kör- TER, het aantal bestaanbare punten zal zoeken. In denzelfden tijd, waarin a, het ovaal of de serpentine doorloopt, beweegt a, zich tweemaal, in tegengestelde rich- ting, langs de serpentine *); ag == sg verplaatst zich derhalve (+4) maal, d. w.z. 4 maal in dezelfde richting met a, langs de serpentine, zoodat zijne projectie p uit het vaste punt rz, dat op den door a, doorloopen tak wordt aangenomen, dezen tak (— 4) maal beschrijft. Gedurende een omloop komt ag het punt p dus 5 maal tegen, zoodat a, en sg ò maal met 7, collineair liggen; elk punt rg is dus het restpunt van eene uit vijf punten a, gevormde osculatiegroep der tweede orde, Os. Stelt @(2m) het aantal bestaanbare punten eener oscu- latiegroep der orde 2m voor, dan zullen gedurende een %) Dit wordt uitvoerig aangetoond door ScHoerer in zijn „Theorie der ebenen Kurven 8.0.” bl. 250. ( 236 ) omloop van ag langs een der takken van K3 (of langs eene eentakkige K3) de punten rz» en rg denzelfden tak — ww (2m) maal en (— 5) maal afleggen. Het met hen collineaire punt S2m+2 verricht dus @ (2m) + 5 positieve omloopen langs de serpentine, zijne projectie p uit het met a, op één tak ge- plaatste punt r2„…2 beschrijft dezen tak dan @ (2m) + 5 maal in negatieven zin, valt dus @ (2m) + 6 maal met ao samen; even vaak zijn ag, S2m+2 en r2m+2 collineair, zoodat o(2m 2) == a(2m) + 6. Uit deze recursieformule volgt gemakkelijk, dat @ (2m) —= 6m — 1. 1. Elk punt van K3 behoort tot eene uit (6m —1) punten gevormde osculatiegroep Om; alle punten der groep liggen met hun gemeenschappelijk restpunt der orde 2m op denzelfden tak der kromme. Doorloopt ag in eene bepaalde richting het ovaal, dan beschrijft rop dien tak (6m — 1) maal in tegengestelden zin; daar tegelijk 7, zich (— 2) maal over de serpentine ver- plaatst, gaat sami + (6 m + 1) maal langs het ovaal ; zijne projectie p uit het op de serpentine willekeurig aangenomen vaste punt #1 beschrijft derhalve -— (6m + 1) maal het ovaal, ontmoet ag dus (6m + 2) maal; even vaak worden Ao, S2m+l EN P2m1i Collineair. Beweegt a, zich langs de serpentine, dan verrichten de genoemde punten evenveel om- loopen, maar nu alle langs dezen tak, zoodat ag ook op dezen (6m + 2) maal met sami en r‚/+1 door eene rechte verbonden wordt. 2. Elk punt der serpentine van Kg is het restpunt der orde (2m + 1) voor (6m + 2) punten van het ovaal en voor (Óm +2) punten der serpentine. Voor de eentakkige Kz be- staat alleen de tweede groep. Wordt elke dezer (6m + 2)-puntige groepen als eene O2m+1 (osculatiegroep der orde 2m + 1) aangeduid, dan geldt de algemeene regel: 9. Elk punt eener algemeene kubische kromme behoort met (Sn — 2) andere punten van denzelfden tak tot eene oscula- tiegroep O,. Voor drie collineaire punten ag, ag’, ag” heeft men blijk- baar : hen: ee an TN renden Immers de tweede tangentiaalpunten (sg) van drie colli- neaire punten zijn mede collineair. Uit het collineair liggen ven 7, 73, rg volgt nu: The Et SRM Ng 53 93 83 / . zoodat ook sz, s3, 53’ door eene rechte kunnen vereenigd worden. Zoo voortgaande leidt men uit het collineair liggen van sj, Sn, Sn, en hieruit, blijkens | ao a'o al er | LD Pi Fn de collineaire ligging van 7, 7, rn af. De lijn, welke een punt ag eener O, met een punt a’, eener tweede O, verbindt, ontmoet Kz dus in een a’, van eene derde O,, waarvan het restpunt #’„ met de restpunten ra en 7, der eerste en tweede groep collineair ligt. M. a. w. 4. Vult men drie collineaire punten eener Kg tot osculatie- groepen der nie orde aan, dan ontstaat eene cf. ((On — 3)an-1, (Br — 1)%). Daar se, het tangentiaalpunt van r, is, hebben de punten eener Oo, hetzelfde punt s2/, en wegens ran—i == tang. san ook hetzelfde punt r4,—i. Elke Ó, maakt dus deel uit van eene Oan—i; de (12n —4) punten der laatste groep kunnen derhalve in vier O,„ gerangschikt worden, waarvan de vier ( 238 ) restpunten 7, de (op de serpentine gelegen) antitangentiaal- punten van rap ZIJN. Deze eigenschap kan uitgebreid worden: de punten met gemeenschappelijk 7, hebben ook het eerste, tweede, .. . de tangentiaalpunt van rán—i gemeen, dus de punten ssn—2, Plôn—5s S32n—10s P6An—-21 Enz. Het ordegetal o van elk in deze reeks voorkomend restpunt kan blijkbaar afgeleid wor- den uit de formule o = 4t.n — (dir 4e 41) = 4[4/ (Bn — 1) + 1]. Dus: 5. Elke osculatiegroep der orde + [4 (Sn —1) + ÎÌ] be- staat uit 4 osculatiegroepen der orde n. Verder hebben de punten eener O, ook gemeen het punt s met den index 1[4° + 4£) (Bn — 1) + 2], dat collineair ligt met de restpunten der orden :[4’(3n — 1) + 1] en 1[44 (Bn — 1) + 1]; het tangentiaalpunt van dit punt s is dus voor alle punten der 0, het restpunt der orde 1[4? + 45) (On — 2) + 1]. 6. Elke osculatiegroep der orde 4 [(4* + 4%) (On — 2) + 1] bestaat uit 2 (4% + 4#) osculatiegroepen der orde n. Bovendien kan elke osculatiegroep Ó2+1 van oneven orde in twee groepen gescheiden worden, overeenkomende met de beide hier in aanmerking komende antitangentiaalpunten van rom, die elk voor de helft der groep als sm dienst doen. Het stelsel der bestaanbare punten van Kz, welke het centrum s/+1 gemeen hebben, zal ik als centraalgroep der (m + 1)ste orde, Sr aanduiden. 1. Elke uit drie osculatiegroepen der orde (2m + 1) samen- gestelde cf. ((18m + Olem+2, (6m + 2?) bevat vier ef. ((Om + 3)gma1r, (Bm + 1)?%), die elk gevormd worden door drie centraalgroepen. De punten smyr dezer zes centraalgroe- pen zijn de toppen eener volledige vierzijde. Overeenkomstige eigenschappen gelden voor de splitsing van osculatiegroepen in osculatiegroepen van lager orde. Van de ef. onder 4 en 7 kan men gebruik maken, om uit ef, in Kz beschreven, meer samengestelde cf. af te leiden : 8. Vult men de punten eener in K3 beschreven (3x, , q 23) tot osculatiegroepen der nde orde aan, dan ontstaat er eene < enen dae ( 239 ) ((On — 3) eran ig, (Bn — 1)? gez). Voegt men uan elk punt der oorspronkelijke cf. de punten toe, welke het tot eene cen= traalgroep der (m + 1)ste orde aanvullen, dan verkrijgt men eene ((9 m + 9) C(3mi-lg» (Sm + 1? Q&3). Zijn ag en bo twee correspondeerende punten van den- zelfden tak, dan hebben zij rj en sg, en dientengevolge Pyl Cn 52, gemeen. Immers, gesteld, dat, voor eenige waarde van den index, rz, aan a, en aan bo toekomt, dan geldt dit ook voor het met r; en #2, collineair gelegen punt s2,, dus ook voor het met s, en s2, collineair gelegen punt #2,,1. HElke O2, bestaat dus uit (3p — 2) paren van correspondeerende punten. De tangentiaalpunten van Ó, behooren blijkbaar tot eene tweede 0, waarvan 7, met het tangentiaalpunt van het restpunt der eerste groep samenvalt. Voor even waarden van „” vindt men zoodoende alle punten der tweede groep; voor oneven n, blijkens het bovenstaande, slechts de helft. Tot de punten dezer tweede 0, komt men ook door de snij- punten op te zoeken van / met de zijden van den door de eerste groep bepaalden volledigen (Sn — I)hoek; immers drie collineaire punten hebben hunne restpunten der „t° orde in eene rechte, die hier eene raaklijn der Ks wordt. De groep, waartoe de tangentiaalpunten van Ó, behooren, wordt met 0, identiek, zoodra r, met zijn tangentiaalpunt samenvalt, dus een buigpunt is. Daar een buigpunt 7 met alle zijne restpunten samenvalt, behoort # ook tot de O,, waarvoor het als 7, dienst doet. Voor deze bijzondere 0, snijdt agt de Á3 in s,: daar # ook het punt sz, (tangentiaalpunt van #,) vertegenwoordigt, is ag dus identiek met het steeds opde lijn s„ se, gelegen punt 13/1, d. w. z. ag is een punt van volledige aanraking der Kz met een stelsel van K3, 1; ik zal zulk een punt, in navolging van SYLVESTER, een plethorisch punt der orde (3n — 1) noemen. 9. Elke der drie O,, welke door de drie bestaanbare buig- punten bepaald worden, bestaat uit plethorische punten der orde (3n — 1). Is het punt s„ met 2 vereenigd, dan vervangt # voor de overeenkomstige centraalgroep ook het punt s4,—2 (tweede (240 j tangentiaalpunt van s,). De lijn ag # snijdt Á3 dan in 7, dus is ag == 73n—2. 10. Elk bestaanbaar buigpunt bepaalt eene centraalgroep der nde orde, die uit plethorische punten der orde (Sn — 2) bestaat, en waarvoor het buigpunt tevens de punten sn en P2n—l vervangt. S IL PLETHORISCHE GROEPEN. Daar, gedurende een omloop van ag langs een tak van Ág, het punt #2 denzelfden tak (6 m — 1)maal in tegengestel- ‚den zin aflegt, zullen deze beide punten 6m maal samen- vallen in een plethorisch punt der orde 2m. 11. Mene tweetakkige Kz bezit 12m plethorische punten der orde 2m, waarvan 6m op het ovaal en Om op de serpentine liggen. Omdat 2,1 steeds tot de serpentine behoort, bevat het ovaal geen plethorische punten van oneven orde. Beweegt ag zich eens langs de serpentine, dan verplaatst r2m+1 zich (6m + 2) maal in tegengestelde richting over dien tak, zoodat de beide punten (6 m + 3) maal samenkomen. 12. Mene K3 heeft (6m + 3) plethorische punten der orde (2m + 1), die alle tot de serpentine behooren. Vat men de plethorische punten der nde orde, die tot denzelfden tak behooren, tot eene plethorische groep P„ sa- men, dan geldt de algemeene regel: 13. Elk plethorisch punt der nde orde vormt met (3 n — 1) andere punten van denzelfden tuk eene plethorische groep der nde orde. Tot de krommen der orde (np + X), die in een pletho- risch punt a, der „de orde 3 (np 4 k) — 1 punten met Kz gemeen hebben, behoort elke kromme, die uit eene p-maal getelde, volledig rakende K„ en eene (3 £ — 1)— puntig osculeerende Áz is samengesteld; hieruit volgt, dat zr, , + # ZE Ih (241 ) In het bijzonder kan een plethorisch punt der orde » steeds beschouwd worden als plethorisch punt der orde np. De 3n punten eener groep zijn dan ook niet alle eigenlijke plethorische punten der orde „; steeds bevinden zich onder hen de drie buigpunten. Körrer heeft aangetoond, dat het aantal eigenlijke plethorische punten der nie orde o(n) bepaald wordt door eene der formules: é @(2mtl) == 3r(2m tl) p (4m 2) = 9r(dmtl) pl (Am +1) == 2-3 rv (Am +1) waar 7 het teeken voor het totient is *). Daar 7, 7m, Sn1 steeds collineair zijn, volgt uit ag == raen rj == aj, dat sn1 = ag; daar dan verder s„+1, S4 r4 in eene rechte liggen, wordt sp == rai—k. 14. Voor een plethorisch punt der nie orde is snptk = Sk Tnptk == Thy Sk == Tntl—k CN ZN Th, PL CN Payi—k—l COÌ- lineair. Duidt men het punt s; == r„+1-—k door «pg, het restpunt der ple orde van «9 door Qp, het centrum der ple orde door Op aan, dan heeft men vj == tang. «pg == r2k—is en og == tang. 07 == S4k—2} VOOrts, omdat «og 03 Qg Ccoïlineair zijn, 02 == Tik O3 == tang. Qg == S1k—4s 03 == tang. Ys == F8k—5: Algemeen is 15. Op =S T2klt(pl(B-L) S TB) (k-I) Immers, neemt men aan, dat deze betrekking voor eenige waarde van p geldt, dan blijkt uit de collineaire ligging van @j Op en Yp+1, dat yps1 == SUU-I)+(p IN) == Skp(3k-2), en uit de collineaire ligging van a, yp+1 en Op+1s dat Opi =S Tak—l+n3k-2) daar 15. voor p = 1 waar is, geldt zij dus algemeen. Nu is Op == Tuk?) — (kl) ZE Intl-k = Co. Omdat elk restpunt van ag tevens een restpunt van a, is, volgt hieruit : *) T, a p. bl. 46. VEESL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS DEEL VI, 16 (249) 16. De (n — 1) verschillende restpunten van een pletho- risch punt der nde orde zijn eveneens plethorische punten der nde orde en vormen met het eerste eene uit n punten samen- gestelde groep Re, *) Is het bij a) == rup behoorende punt s4 == rmpyl-4 een plethorisch punt der ple orde, dus gp = #p(3h—2) — hl) = Pup lk, dan heeft men p(3k — 2) — (k — 1) =S mph 1l—k (mod mp) of 83k == 2 (mod m). Voor m == 3q + 1 wordt dusk==g + 1 (mod3j + 1), voor on == 3q — 1 wordt £ == 2g (mod 3q — 1), voor m =— 3g heeft de congruentie geen wortel. Hieruit blijkt, dat de plethorische punten der orde 3°, wier aantal 2. 35 bedraagt, verdeeld zijn over twee gelijkwaardige groepen Zèzs; eene derde groep wordt gevormd door de ple- thorische punten der orden 8! , (£ = 0, 1, 2 tot (s — I)); zij bestaat uit groepen A van lager orde. 17. Pzs bevat enkel eigenlijke plethorische punten; Roy+3 bevat drie plethorische punten der derde orde; R3y+1 bezit een buigpunt. Is ag =S ram en «g == S2m = rj, dan wordt om == ram(8m2}+| == aj} aj is dus een plethorisch punt der orde mm. Stelt men Su+l == «og dan wordt gm == Pamtl+(u-l8nti) SS P8n d. w. z. vm is identiek met r„ of met >, naar gelang m oneven of even is; in het eerste geval is r,, een ple- thorisch punt der mie orde, in het tweede een plethorisch punt der orde 2m. 18. De plethorische punten der orde 2m zijn de antitan- gentiaalpunten van de plethorische punten der mt orde; naar mate me oneven of even is, geeft elk punt der mie orde drie of vier punten der orde 2m. == 4 *) Körrer, t. a. p. bl. 47: „Aus einem eigentlichen Wendepunet zter Ordnung kann man mit Hülfe des Liüneals (x — 1) andere eigentliehe oder uneigentliche Wendepuncte derselben Ordnung ableiten.s De groep Ax verschilt natuurlijk van de boven beschouwde groep P. Ì E d en enden ds nd TETE Ven pr ( 243 ) 8 MT. TANGENTIAALVEELHOEKEN. Blijkens tabel (II) zal een plethorisch punt der orde 4 (2-1 + 1) met zijn (2k—1)ste tangentiaalpunt, een ple- thorisch punt der orde } (2% —1) met zijn 2kie tangen- tiaalpunt samenvallen; daarbij is het onverschillig of het bedoelde punt een eigenlijk of oneigenlijk plethorisch punt der genoemde orde is. In beide gevallen ontstaat een veel- hoek, die tegelijk (2 en om Kz is beschreven, en tangen- tiaalveelhoek zal genoemd worden. Körrer *) vat deze beide gevallen samen tot den regel: 19. Zlk hoekpunt van een tangentiaalweelhoek met n zijden is een eigenlijk of oneigenlijk plethorisch punt der orde B (1e). Doorloopt ag de serpentine in eene bepaalde richting, dan verplaatst a2—1 zich 2%-l maal in tegengestelden zin, valt dus (27%! + 1) maal met ag samen, terwijl a24 dien tak 2% maal in dezelfde richting beschrijft, derhalve (22% — 1) maal met ag vereenigd wordt. Zoo komt men tot de door Dumber f) in anderen vorm gegeven eigenschap : 20. Het aantal toppen van tangentiaal-n-hoeken bedraagt 2n — (— 1)" ; daaronder zijn evenwel punten, behoorende tot veelhoeken met een aantal zijden gelijk aan een deeler van n, en bovendien de drie buigpunten. Daar a4==8G Een ag =Spri, is elk hoekpunt van een tangentiaalvierhoek een plethorisch punt der 5'e orde. $) Het buigpunt az, dat met de toppen van dien vierhoek eene Ls vormt, is hun gemeenschappelijk restpunt 73; we- gens de collineaire ligging van a, ag, en 79 is het in het snijpunt van aag en ajaz gelegen. De twaalf eigenlijke plethorische punten der vijfde orde vormen eene 123, welke %) t. a. p. bl. 50. In plaats van plethorisch punt staat daar Wendepunct. t) „Ueber fortgesetztes Tangentenziehen» (Math. Ann. I). $) De beide tangentiaaldriehoeken vormen met de buigpunten eene desmische 93. (J. pe Vries „Over de desmische ef. 9,.r Versl. en Meded. deel VI, bl. 175). 16* (244 ) uit een der tangentiaalvierhoeken 7, ontstaat door toepas- sing van de door mij elders *) bewezen eigenschap: 21. Vult men de toppen van een tangentiaal-n-hoek tot inflexietripels aan, dan vormen deze n tripels eene cf. 3nz, welke wit een cyclus van n driehoeken zoodanig ts samen- gesteld, dat elke driehoek én den voorafgaanden en om den volgenden is beschreven, terwijl de 2n toegevoegde punten tot twee nieuwe tangentiaal-n-hoeken behooren. Deze 3ng is tetra- trigonisch en levert door afscheiding van eene hoofd-n-zijde eene cf. (3nz, 2nz). In het vervolg zal ik deze 3n3 als splitsbare tetratrigo- nische cf. aanduiden om haar te onderscheiden van de on- splitsbare tetratrigonische 3n3, welke slechts neven-(n--1)- zijden bezit, en waarvan de lijnen door a; b; ei+1, bi ce; aiv1, ei ai Digi, (== 1 tot n — 1) met de drie lijnen a bu aj, Dn Cn Ors Cn An €j worden voorgesteld. De drie bestaanbare 7 eener K3 vormen, volgens NO. 21, de splitsbare tetratrigonische 123 van tabel (III). ar bj ec ag bj a 4 Da Cj dg b3 C3 q3 Da Cg Ag ba Cg . . . . (LI). 43 Ds C4, A4, ba C3 43 Da C3 Ga ba Ci ar Da ca aa bj ca Blijkbaar zijn a, bj cj en az bj c3 connexe inflexietri- pels, en geldt hetzelfde voor ay by cg en a, b, ca. Tabel (IV) bevat de beide desmische 93, welke door de twee con- nexe paren met de buigpunten a; bz c; worden gevormd. in ar 3 c5 ar 5 C3 Di Ds bz A3 bs C7 d3 bi C5 C1 C3 C5 | A5 bj C3 | Gs bg e . ee (LV). dg Gy, 45 ag ba €5 ag bs Ca Cg C4, bs ds Da C4, as ba Cg *) tap. bl A58. e aijedes… ° ie Ter lldnlsri en : Emer ME EED EEN er bt; ( 245 ) Samen stellen de tabellen (III) en (IV) eene ef. (155, 303) met driepuntige diagonaal az b; c; voor. 22. De twaalf plethorische punten der vijfde orde be- hooren tot eene splitsbare tetratrigonische 123, waaruit door toevoeging van de drie bwigpunten eene (15, 303) ontstaat. De cf. (155, 253), welke uit de bedoelde (156, 303) te voorschijn komt, als de zes diagonalen der drie 7, wegge- laten worden en men de punten as, b; en c; in de figuur opneemt, is blijkens 9, uit drie osculatiegroepen der tweede orde samengesteld; tabel (V) geeft dus de notatie voor elke uit drie Ó, gevormde (15;, 253). ay Di ca | az bg cz | ag bz Ca | aa ba cj as bs C5 a, ba Ci ag bz Cg | az ba c3 | au bs Ca | as bi C3 sc | ao by Car | ag De eit | as Oy c4 | as bg ca (Voy ar ba ca ag Ds C4 az bi 6 aa bg c5 as Ö3 cj aj bs e3 | ag bi Ca | 43 bg Ca | aa bz C3 | a5 Dy Ca Elke lijn dezer cf. heeft tot restfiguur eene met de cf. van tabel (III) gelijksoortige 123. Laat men cj met aj, co met ag, c3 met az, c4 met ay, c5 met az samenvallen, waardoor bz, bz, ba, bj, bz achter- eenvolgens de tangentiaalpunten van aj, ag, as, ay, «5 Wor- den, dan gaat tabel (V) over in (VI), welke de punten b; als neventoppen van den volledigen vijfhoek a; doet kennen. aj as bi az aa 03 a 43 Ò ag aa bs aj aa ba dg: d Dg sv {VIJ a, 45 bg ag as bi ag As ba as as Dg 23. Elke in Kz beschreven splitsbare tetratrigonische 123 behoort tot eene door drie osculatiegroepen der tweede orde gevormde (153, 253). ( 246 ) Immers, snijdt Kz de lijn bj cz in as, dan volgt uit: aj bi ca | ag bj ci ar bi Ca bg C3 Az ba C3 A4 Ds ba C3 A3 Ps Ci 45 b3 Cg A5 Da C4 A5 Dg dat de lijnen bz ej, beg, boeg door a; gaan. Op dergelijke wijze blijkt, dat de lijnen a; e3, agc4s age en a4cg in een punt bs; van Ks, en de lijnen a; b3, ag ba, a3bj, a4 bg im een c; van Ä3 samenkomen. Ten slotte zijn blijkens bi C3 a C3 aa Ò3 as bs C5 de punten az, bs, cz collinair met eene lijn, die de figuur tot eene (155, 253) aanvult. Verder leert bi Cy Aj Cj Da U ag ag tga dat het tangentiaalpunt van aj op ag az, dus algemeen het tangentiaalpunt van p; op de lijn pi41 pi+2 ligt, waar p= ab et sens == 1e Blijkens aj dg Ìge A4, ig. tg. az tg. ag ÌY. qz 1) da tgelgeAg hebben a; en az hetzelfde tweede restpunt, behooren dus tot eene Oz; en hierdoor is de waarheid van N°, 22 gestaafd, Door afscheiding van de hoofdvijfzijde (ar bi cos ag Da Cz A3 bz Cas Aa by Cn A5 Ò5 C5) ontstaat uit de (155, 293) van tabel (V) eene (154, 203), waaruit door afzondering der hoofdvijfzijde se’ rk ki en ade de ee ie it ven ed acte En rs ot WP a (247 ) (an bz cz, Aa ba C5 ag bg Co A4 Di Can A5 bz C1) eene 153 kan gevonden worden. Is a} ag 43 ay az een tangentiaalvijfhoek, dan snijdt aj a3 de K3 in een punt as, dat met zijn vijfde tangen- tiaalpunt moet samenvallen, omdat dit het geval is voor a, en az; het behoort dus tot een tweeden tangentiaal- vijfhoek a; «os «3 ay az. De uit aj ag en az a, gevormde K, snijdt K3 nog in a, en az, dus is «; het tegenpunt van aj 4 az ay; derhalve liggen de punten ag en «3, welke Ks nog gemeen heeft met de uit ag az en ay aj samenge- stelde Ko, met «j collineair. De beide vijfhoeken a; en a; vormen dus de door tabel (VII) voorgestelde 103. a A3 A5 | Aj Kz a5 ag A4 &i 3 Us U A3 45 Cg Oa WkEr dor site. (VII). ù4 A C3 Cl. Ui 03 A5 Ag Ca 5 Uy A4 Daar elk punt dezer 103 tot restfiguur heeft een cf. drie- hoek, is zij identiek met de door Karrtor *) als 103 A be- schreven cf. Is a; het snijpunt van K3 met a; «; (@ = 1 tot 5) dan volgt uit : A % A 44) Ag Ag Us, A4 A4 ) dat a, ag ay ecollineair zijn; dit geldt dan voor alle drie- tallen van punten a;, die door eyelische verschuiving uit dit drietal ontstaan; alle punten a; zijn dus tot een buig- punt 4 vereenigd. De zes tangentiaalvijf hoeken, welke blijkens a; = rj, *) Die Conf. (3, 3)u0 (Wiener Sitz. ber. Bd. 84). Kantor bewijst, dat elke in eene Ks, beschreven 10, 4 uit twee tangentiaalvijf hoeken bestaat, ( 248 ) uit de dertig eigenlijke plethorische punten de 11de orde kunnen samengesteld worden, behooren tot twee ef. 153, die door toepassing van N°. 21 uit de punten a; en «; ont- staan en achtereenvolgens door ai bi ci+1 @i (Bi yin air bi ci en 4 aif% y: (i=1 tot 5(VIII) ds Dj ses n ai Pi yi worden voorgesteld. De vijf paren van connexe inflexietripels a; b; c;, a (% yi, bepalen met de buigpunten a, 6, c vijf door tabel (IX) voorgestelde desmische 93. ai A di a b wy; KR bi b 5 bi c ai bi a ys: (IX). BE “4 Piek hk (é = 1 tot 5). De punten der beide ef. 153 worden nog door 10 andere desmische 93 verbonden. Immers de lijnen a; asso «; HE bi big Pira en ci ci42 Yiga van tabel (VII) geven aanlei- ding tot de cf. van tabel (X), waar {== 1 tot 5. di AiH2 Ki +4 ai bige Yi+aá ai (Pi +a cie bi biga i+a4 aire Pi+aci ai+2 bi yi+a (X). Ci- Gig Yi+4 dia Di Ci42 diva bir2 Ci Vervanging van a door a, van b door (3, van c door y geeft de tabel voor de overige vijf 93. | 24. De dertig plethorische punten der elfde orde vormen twee splitsbare cf. 153, die deel uitmaken van eene (30,9, 1205), welke behalve hen tien desmische 93 bevat. Verwijdert men uit de (809, 903), waartoe deze tien 93 vereenigd zijn, de tien hoofddriezijden: nn A an mn nt on (249) ai Ai42 Ui +4 tj Aj +2 Di HA Bi, Dio (Mira Bi Pie bias (—=1 tot 5), Ci Ci+2 YiH4 Vi Yi Ci +4, dan ontstaat eene (30,, 603), welke door toevoeging van de beide 153, (tabel VIII), van de vijf desmische 93 van (IX) (met uitzondering van de lijnen a; a «; b; 6 (3; v; c y;) en de lijn a b c‚ in eene (331, 1213) verandert. Volgens NO, 9 vormen deze 33 punten drie 0, met de collineaire restpunten a b Cc. 25. De cf. (33,7, 1213), welke wit drie osculatiegroepen der vierde orde kan samengesteld worden, geeft aanleiding tot de tabel : ai bie yial si (Fire eivala: bie Yig2l ai (Fia cire bi ci2 Kira (Pi yi arab: Cie Kine (Pi yi—2aie Ci aire (Pidalyi ira bivale: ai Bire| Yi wia bis (XI) Menen Bonsen) ev !ble yillar € afd arl bie alb a mi Me rela «lea be ej ih anbe | (£ = 1 tot 5). Daar ag == 829, zullen ag en a, == sj samenvallen, zoodra ag == 73, dus wanneer ag een plethorisch punt der 21ste of der 7de orde is In elk dezer beide gevallen zijn de plethorische punten in tangentiaalzeshoeken gerangschikt, en is de lijn a; a;43 identiek met haar derde satelliet a;43 a;, zoodat haar snijpunt met K3 òf een buigpunt, òf een ple- thorisch punt der 3de orde is. Volgens NO. 17 bestaat Ry, uit 6 eigenlijke plethorische punten en een buigpunt, en bevat Aj een driehoek van Hart, zoodat de overige 18 punten drie tangentiaalzeshoeken moeten vormen. (250 ) Voor Ry heeft men #, == a (buigpunt) en ao == fy Ag SS Wz q ==" {A dj =S %9 A= 16 ds =S 74 Blijkens N°. 14 volgt hieruit dat a, ag az en evenzoo ag a4 ag collineair zijn. 26. De achttien plethorische punten der zevende orde vormen drie paren van connere inflevietripels, welke tot eene splitsbare tetratrigonische 183 met de lijnen a; bj ei, ai bir Ci ast bie: (C =l tot 6) en twee desmische 93 met de lijnen Aj AjH2 UiH4 ai b‚+2 Ci +4 a; biga Ci +? bi bia2 ira air2 biga Ci Ai+2 bi Ci +4 Ci CiH2 Ci+4 aiga bi ci +2 aja bie Ci vereenigd zijn; deze drie cf. vormen samen eene (186, 363). De lijnen a; a;+3 a, bi bi4s b, ci c;43 c bepalen dries desmische 93, welke behalve deze lijnen de lijnen ai b ci43 | ai Cc bi+3 | bi C 443 bi mas Ci a bi+43 ci b 4:43 bevatten. De drie centraalgroepen S}, waaruit volgens NO. 10 de drie Zy bestaan, vormen eene (21,, 49,\, waartoe behalve de lijn a bc, de genoemde lijnen, met uitzondering van de zes lijnen p; pi; +2 pi +4 (p —= a,b, cent == len 2), behooren. 27. Drie centraalgroepen der derde orde, waarvoor de punten sg collineair liggen, vormen eene (21, 493) met de lijnen ai biaa Cia ai bi acro as Dessa, bi Cair3, Ci AD: 43 Gi: bi Cils Ora (ORE Dienen (== 1tot6) en de lijn abc. Voor ag == 7r3j == ag heeft meu: el | Bien == ES 43 == Ta Ùg, == ‘fe Cg == 73 As ==. 73 b3 == #30 C5 == F7 da == 716 Da == 79 C4 == 79 En A5 == Tu be == Ms 5 == P4 B 46 == fa1 B ie 7 B ooien El Jao st Ha De laatste drie punten vormen een tangentiaaldriehoek. Volgens NO. 14 is a, eollineair met de puntenparen r; Pari (C= 2tot 10). Met het oog op tabel (XII) vindt men hieruit, dat de punten a; b;, c; en h; door de volgende lijnen verbonden worden: de bs Cil di ar Ls Mi ai bi4l Ci De. Dis Mia ae De se Ei Cis his ra ELW). ai ai 42 bi 44 ai bi +3 hi+2 bi bia2 Cid bi ci+3 hi Ci CiH2 Ai HA Ci airs hi (é —= 1 tot 6). De lijnen a; b; c;+1, ai Oil Cp arai bi ce; vormen eene splitsbare tetratrigonische 183; de overige lijnen, welke a; bi ce; onderling verbinden, bepalen twee desmische 93, de eene met de driehoeken aj ag az, bi b3 bz, ej Cz ez, de andere met ag a4 ag, ba ba Des Ca ca C+ Ten slotte zijn de punten hj hg hg met a;, b; en e; tot drie desmische 93 vereenigd, waarvan eene de punten aj, aas bj» O4» Cj en c4, bevat. 28. Elke der beide groepen van eigenlijke plethorische punten der orde 21 bestaat uit drie tangentiaalzeshoeken en een tangentiaaldriehoek; de toppen van den laatsten liggen op (252 ) de hoofddiagonalen der zeshoeken, die ten opzichte van elkander zoodanig geplaatst zijn, dat de overige diagonalen van elken zeshoek de toppen van een tweeden zeshoek dragen, zoodat zij tot een cyclus vereenigd zijn. De geheele groep geeft aanlei- ding tot eene (21), 633), die in eene 183 en vijf desmische 93 kan ontleed worden; zondert men den tangentscatdrtekaen af, dan ontstaat eene (186, 363). De lijn, welke een eigenlijk plethorisch punt der orde 21 verbindt met een dergelijk punt der tweede A3), gaat òf door een buigpunt, òf door een plethorisch punt der 7de orde. De toppen der drie tangentiaalzeshoeken der eerste soort vormen dus met de toppen van de zes tangentiaal- zeshoeken der tweede saort eene (5475, 2703). Daar ay == 743, zijn de 126 plethorische punten der 43ste orde gerangschikt in drie groepen van zes tangentiaal- zevenhoeken. Is ag = ay een punt van zulk een 7}, dan valt 739 == lg. 739 met het buigpunt der R4g samen; de overige punten der groep behooren tot de zes in tabel (XIV) voorgestelde 7. n=rm [bi =taola=rmr|=rualiEnsly ra ag Sr lbo rp [Ca = Tio} Ste | P2=rs |Y2=7s ag = rg |bg =30|C3 S Pga | &3 =Ti2 | Ì3 =Tg8| 3 = 734 a4 = 738 | Da = rgy | C4 = 130 | 44 = 720 | P4= 731 | ya = T10 (XIV) a, = ribs Srg3|es Po [As =r4 [F5 ras Ys =70 tg = rag |bo =S Pai Ce = 726 | 6 = 36 |Ì6 =t37| Yo = 732 ag = rag by Sr | er = 735 | Ay Sris | Pr Stas | yr =t23 Deze 42 punten vormen twee groepen van 21 punten, die uit het buigpunt in elkander geprojecteerd worden, en wel a; in « bi in f c: in y; Uit (XIV) blijkt gemakkelijk dat a, met de paren ag bj, D5 Cas C1 Cg en ag bg collineair ligt. 29. Drie tangentiaalzevenhoeken eener Rig bepalen eene (21,, 283), welke uit het bwigpunt der groep in eene gelijk= soortige, door de overige drie zevenhoeken gevormde cf. gepro- jecteerd wordt. Deze beide cf. zijn vereenigd in eene cf. ê ordi (253 ) (42,9, 2663). De toppen der achttien zevenhoeken, welke Kz „bezit, behooren tot eene (12669, 25203), welke uit drie (42,9, 2663), zes splitsbare tetratrigonische 213 en 266 desmische 93 is sa- mengesteld. Daar de afleiding der laatstgenoemde eigenschappen op het voetspoor der bij 7 gebezigde handelwijze kan ge- schieden, laat ik haar hier, en in het vervolg, achterwege. Omdat ag == sg, zijn de plethorische punten der orde 85 en de plethorische punten der orde 17 in tangentiaalacht- hoeken vereenigd; elke der drie Zg; bevat een buigpunt, eenen 7, (daar Ps tot Zègs behoort), twee 73 der eerste soort (behoorende tot Ay) en acht 7s der tweede soort, waarvan de toppen plethorische punten der orde 85 zijn. Voor 1) == ry is rg == $1g met een buigpunt identiek, waardoor de hoofddiagonalen der beide tot A; behoorende achthoeken gaan. De toppen dezer Ts hangen op de vol- gende wijze samen met de restpunten van 1. id dij fi Il, == 716 23 == 15 ik da =S FB od th XV). hi Fn % = F4 le = 73 26 == 77 1, = 79 dy =S 14 ly =S ri 2% == 710 Uit deze tabel vindt men gemakkelijk, dat de beide 75 aanleiding geven tot eene cf. (166, 323) met de lijnen: Eeeh eo Aid Krebs sl 2 ige ls43 25 2i43 Ls (254 ) Volgens NO, 9 is elke der drie Rij; tevens eene O; met het buigpunt als gemeenschappelijk restpunt; de samenstel- - ling der (51lj7, 2893), tot welke deze drie 0, behooren, wordt langs soortgelijken weg gevonden als boven voor de uit drie 0, bestaande cf. is geschied, Tot haar vorming dragen bij: 10. twee splitsbare tetragonische 243, elke uit drie 73 en acht inflexietripels bestaande, 20. 52 desmische 93, elke van de hoofddriezijde beroofd, welke aan de drie (16,, 323) ontleend is, 80. acht desmische 93, die door de hoofddiago- nalen der achthoeken bepaald en van deze ontdaan zijn, 40, de lijn, die de drie buigpunten draagt. In de door het punt aj == rg; bepaalde Ag; worden de punten der in haar begrepen R;en R‚; aangewezen door de wortels der congruenties k — 12 (mod 17) en k = 4 (mod 5), welke uit de congruentie 3k == 2 (mod ) van bl. 242 voortvloeien. De toppen van 7, zijn dus identiek met 70, 33, rags 774 3 de hoekpunten 1, 2; der beide 73 der eerste soort zijn restpunten van ag, waarvoor de indices aan de vergelijking £ == 82 — 9 voldoen; het aan R; en Ry gemeenschappe- lijke buigpunt is met 7;; vereenigd Hieruit blijkt nu, dat de diagonaal aj az een top 1, van eenen 73 der eerste soort draagt, terwijl de diagonaal a, a, met een plethorisch punt der orde 85 incident is, dat niet tot den achthoek aj behoort, en door bj kan voorgesteld worden ; a, az bevat een top van 74, aj ag het punt bo, aj ay het punt 1. Bij voortzetting van dit onderzoek blijkt, dat de acht tangen- tiaalachthoeken der tweede soort elk acht diagonalen be- zitten, welke de toppen van een dergelijken Ts dragen, zoodat zij, als het ware, tot een ring zijn vereenigd en zoodoende eene 643 vormen. De 82 punten, waarmede ag niet door raaklijnen verbonden is, liggen paarsgewijze in Al lijnen door a, ; 20 van hen verbinden dit punt met de toppen van den 74, en de beide 7, der 1st: soort. Daar evenwel het tot #ljy behoorende # met het in £; begrepen punt #7, door eene met a, incidente lijn wordt vereenigd, vallen twee dezer lijnen samen. Zondert men deze 19 lijnen benevens de rechte, welke ag met het buigpunt der groep (255 ) verbindt, van de 41 af‚ dan blijkt, dat de eigenlijke ple- thorische punten der orde 85 in elke der drie Ry; eene (645), 4485) bepalen. 30. Zlke K3 bevat zes tangentiaalachthoeken der eerste en vierentwintig achthoeken der tweede soort. De eerste groep levert eene (485), 8563), waarin twee 243 en tweeëndertig desmische 93 begrepen zijn; de tweede groep geeft eene (19266, 42243), die tn acht 243 en 448 desmische 9 kan ontleed worden. De hoofddiagonalen van eenen achthoek der eerste soort snijden elkander in een der buigpunten, die van eenen achthoek der tweede soort bepalen op K3 de toppen van eenen tangentizalvierhoek. Omdat ag == 777} is, kan een tangentiaalnegenhoek door plethorische punten der orde 9, 19, 57 of 171 gevormd worden. Voor ag == 79 heeft men: nk Ia == F4 dy =S Ay D= te BN =S Io Os Eef (AVE) dz == 73 de == 76 dy =S 79 | In overeenstemming met NO. 17 blijkt A, geen pletho- Verder wordt a, collineair met de paren as a7, 43 ag, 44 dg, zoodat alle rische punten van lager orde te bevatten. verbindingslijnen der AQ door a; a; +2 aj +5 kunnen voor- gesteld worden. De punten a; vormen eene 93 met de tabel dj ay, dg dg Us 4g 43 ag 44] dy, Ay Qg 45 43 43 dg ag a, (XVII) qr ‚ Uj ds dg dg dg dg d3 ay De lijnen dezer 93 vormen drie driehoeken a; a, a, ag az ag; da dg Ag in zoodanige ligging, dat elke zijde het tangen- tiaalpunt van het overstaande hoekpunt bevat, zoodat de Deze onsplitsbare cf. is blijkbaar identiek met de 93 C van Kanror *); toppen van elken driehoek een inflexietripel vormen. *) t. a. p. Kanror bewijst, dat elke 93 C door de toppen en diagonalen van een tangentiaalmegenhoek wordt gevormd, ( 256 ) zij bestaat, evenals de desmische 93, steeds uit drie inflexie- tripels, maar onderscheidt zich van deze daardoor, dat hare punten niet de basis van een Ägz-bundel zijn, en de tripels zelf uit bijzondere punten der A3 zijn samengesteld: men zou haar de plethorische 93 kunnen noemen. Elke K3 bezit twee door eene Ry bepaalde 93. Voor ag == rjg levert de beschouwing der restpunten de lijnen: di Gi43 diH6 bi biz bio tij sg bi bi—2 ai—2 (XVIII) ai ia Di +1 bi biga a+ De beide 7, waaruit By, na afzondering van het buig- punt #73, blijkt te bestaan, onderscheiden zich van de 74 der R‚ door het bezit van slechts drie driepuntige diagonalen Aj Ay Ay, Ag A5 Ag, dz Ag dg, die elk juist dezelfde punten bevatten, welke bij de plethorische 93 tot een inflexietripel vereenigd zijn. De 18 tweepuntige diagonalen van den negenhoek a; komen paarsgewijze samen in de toppen van den tweeden 7, der groep. De beide negenhoeken bepalen eene (18, 423); elke van hen behoort tot eene splitsbare tetratrigonische 273, waarvan de 18 overige punten aan de beide andere Ry ontleend zijn; de beide 273, die door pro- jectie uit de buigpunten in elkander overgaan, zijn met de uit de drie (18, 423) voortgekomen (545), 8783) tot een (54z4, 4323) vereenigd. Elke R;; bevat, behalve een tangentiaaldriehoek (NO. 17), zes To, die van de beide bovengevonden soorten van negen- hoeken verschillen, daar de lijn a,a4 noch met a;, noch met ag incident is; van de zes diagonalen uit een hoekpunt van een dier 79 gaan er twee door twee toppen van een tweeden, twee andere door twee toppen van een derden, de beide overige door twee hoekpunten van een vierden 7. De zes To zijn tot eene (5454, 4923) vereenigd; met de toppen van den 73 der groep zijn zij begrepen in eene (97 o7s 5133). he ndi Sedai A an oan mk dn nn dd dn Ten slotte blijkt door toepassing van de congruentie 3 £==2 (mod. 19), dat elke der beide Zijy, eene Ay bevat, terwijl de overige punten dezer groep tot 18 tangentiaal- negenhoeken gerangschikt zijn, welke van de 7 der Zy in geen enkel opzicht verschillen; samen bepalen zij eene (162,5, 40503) en met de 93 der Lg eene (17134, 47883). 31. Blke K3 bezit drie soorten van tangentiaalnegenhoeken. De beide negenhoeken der eerste soort bepalen elk eene pletho- rische 93; elke mnegenhoek der tweede soort levert met twee andere eene splitsbare tetratrigonische 213 en met eenen derden eene (187, 423); elke negenhoek der derde soort is met vijf of met zeventien dergelijke veelhoeken tot eene (5434, 4323) of tot eene (16275, 40503) vereenigd. Uit ap == S34g volgt, dat er twee soorten van 7 be- staan; van de eerste soort vormen er drie met een buig- punt eene Jz, en bepalen samen eene (3073, 1303), die in eene (304, 403) en eene (309, 903) kan gesplitst worden; van de tweede soort komen er dertig voor in elke /l5,), die behalve hen de drie 7} eener A3, de beide 7; eener Rj, benevens het buigpunt bevat, dat Aj) en /isy gemeen heb- ben. Van een 7, der eerste soort snijden de hoofddiagonalen de K; in het buigpunt der groep; van eenen tienhoek der tweede soort gaan zij door de toppen van eenen 7. S IV. ALGEMEENE BESCHOUWINGEN OVER DE CONFIGURATIES, WELKE UIT PLETHORISCHE PUNTEN BESTAAN, De plethorische groepen Zi der orde 8! onderscheiden zich van de overige groepen daarin, dat zij geen plethorische punten van lager orde bevatten. Deze overeenkomst wettigt het. vermoeden, dat Zi, evenals Zi, uit inflexietripels be- staat, waarvan elk tripel het taugentiaaltripel van een tweede en het antitangentiaaltripel van een derde is. Zal dit waar zijn, dan moeten de punten | aj, at—l, 4, 11 | VERSL. EN MEDED. AFD. NATUUKK, 3de REEKS. DEEL VI, 17 ( 258 j een dier tripels vormen, en moet a, gelegen zijn op de lijn GES Az t— le Nu IS es kj 5 t—l en a | tn 2 3t—! . gr nT) PATS (Pt) de voorwaarde van de collineaire ligging der genoemde drie punten is derhalve : 1—ì En (ars +2) =| (ze + + 1 (mod. 3), t—l 3 t—l 208 weg + 1-55 (notk Sk eoslm of of ook ad ed Piss +1) (mod. 34). (I zj Door inductie vindt men gemakkelijk, dat 2% + 1==o (mod. 34); immers, geldt deze congruentie voor eenige waarde t EP van t‚,danis 23 + 1 + 3.28 (2e + I= o (mod. 3%), Ll tl en daar, blijkens de onderstelling, 3.25 (2 + 1) == 0 t (mod. 31) is, heeft men door aftrekking 23 + 1 =o (mod. 34+I), Daar nu 23 + 1 =o (mod. 3%, as descom 1 | gruentie steeds waar, en wordt af 2 En IJ (mod. 341), zoodat aan (1) voldaan wordt door elke waarde van t. Í Tevens vindt men % (> + OE o (mod. 3!), zoodat a; ==ag. Derhalve: 82. De beide plethorische groepen der orde 3! vormen elk een tangentiaalveelhoek van 3! zijden, waarvan de toppen in 3-1 inflexietripels gerangschikt zijn en eene onsplitsbare tetratrigoni- sche 8/3 bepalen, die wit een cyclus van 34—! driehoeken be- staat, zoodat elke driehoek in een tweeden en om een derden beschreven is en de toppen van elken driehoek de tangentiaal- punten zijn van de overstaande hoekpunten des driehoeks, waarop hij rust. Deze cf. ús begrepen in eene A zn mh Sar Each el da. ed od t EN € ‚ 4,3 (- — 1) ) Fi —]) 3 welke ontstaat als men alle lijnen trekt, die met drietallen van punten der groep incident zijn. Is p een priemgetal, dan bezit K3 twee plethorische groepen der orde 3p, die elk uit een 75 en (Bp — 3) eigen- lijke plethorische punten der orde 5p bestaan. Zullen deze (Bp — 3) punten een tangentiaalveelhoek vormen, dan moet A3p-3 == 4, dus ROn 3 Der of EP je Ie (mods 3p)s. sardienn (2) wezen. Zal deze (Bp — 3)-hoek eene (3p — 3)3 bepalen, welke op dezelfde wijze is samengesteld als de bovengevonden (3%)3, dan moet a, met de lijn a, Q2p—s incident wezen; daar deze drie punten achtereenvolgens met 7, ‚( En. wol en s, ( rp? +2) identiek zijn, is de voorwaarde: ee HAP Zp 1 == k (mod. 3p) of 2-2 + 2p-l = 2 (mod. ln (3) Is nu p —=6g + 1, dan volgt uit 29 == — 1 (mod. 9), dat 2p-1 1 (mod. 9) en 2-2? —=1 (mod. 9), dus, wegens pl Sl (mod. p), 2-2 + 2-1 —=2 (mod. Ip), zoodat aan de congruentie (3) is voldaan. Voor p = 6g— l volgt uit 29 == — 1 (mod. 9), dat 26g 3 — —len2P-! == — 2(mod. 9), dus WP? j 2p-l=2 (mod. 9). Daar weer 2-2 + wp-l == 2 (mod. p), is ook nu aan (3) voldaan. Ook congruentie (2) wordt in beide gevallen bevredigd; immers Zp? L pel + 1 ==3 (mod. 9) en Aw-l —1=oof=—3 (mod. 9), dus 2r-3 — 1 =o (mod. 9), en daar 2-1 = 1 (mod. p), ook 23-83 —1 (mod. 9p) of (2*P-S + 2) =1 (mod. 3p). Schoon voor p= 6g -+ l aan de beide congruenties vol- daan wordt, bestaat er in dat geval toch geen (òp — 3)-hoek; 115 ( 260 ) vinmers 27-l == 1 (mod. 9p), dus (271 + 2) == 1 (mod. 3p), zoodat ag zone met zijn (p — De tangentiaalpunt veree- nigd is, en de plethorische groep uit eene 73 en drie Tj_1 is samengesteld; de congruentie (3) drukt dan alleen uit, dat a, het tangentiaalpunt van ag is. 33. Elke der beide plethorische groepen der orde (18q—3) bestaat uit een tangentiaaldriehoek en een tangentiaal-(18 q —6)- hoek, waarvan de hoekpunten eene onsplitsbare tetratrigonische, uit (6q—-2) inflevietripels samengestelde, (18 g—6)z vormen; deze cf. is begrepen in eene ((18q—6)9,- 6, (18 q— 6) (3q —2)3), die door het trekken van alle verbindingslijnen ontstaat, en door toevoeging van de toppen van den tangentiaaldriehoek in eene ((18 g—3)97—3, (18q —3)(3 q—1)3) overgaat. Voor q==l volgt uit (33), dat Zj; eenen 79 bevat, die eene 123, en met de punten van 73, eene (156, 303) levert. Boven is gebleken, dat elke in eene A, begrepen 7, en elke in eene Pig begrepen 7y achtereenvolgens twee en drie gescheiden driepuntige diagonalen bezit. Heeft algemeen de Te, uit eene R„‚de diagonaal Ap AU2g Uig == Ag S2 UH.) S1 2402), dan is voldaan aan de congruentie zet, 2) 0 (mod. »), of 24a + 224 + 1 == 0 (mod. 31). . . ... (4) Bezit eene Te, +3 de diagonaal Ap Uyl dg +2 == dg PU) SZH, 2), dan is SM H2 gj =S SHARE Is dus gtt att 10 (mod.3n). . (5) ( 261 ) De congruentie (4) levert voor g —= 1 als kleinste waarde van „” het getal 7, dus den bovengenoemden tangentiaal- zeshoek. Voor g=2 wordt n== 91, zoodat elke 7o uit eene Liz of eene Aij de eigenschap bezit, dat de punten A, A4 Ag, dus ook de groepen aj as ag, ag ag dio, 43 Uy An collineair zijn. Met behulp van de methode der restpunten vindt men gemakkelijk, dat de 7}, eener Ro, geen andere driepuntige diagonalen bezit, terwijl voor den Zy uit Ris de in tabel (XIX) voorgestelde (12,4, 163) gevonden wordt. le Ee Oe OT DE Ag Ae Ajo | A A4 A | Ag Ao Ag | A5 Ag dio (XIX). Ba da A Ag | A3: Ag dg Ap On A4, Ag A79 Ay, A6 Aj Ay, Uy Ag dy Ao Gaz Deze (124, 163) verschilt van de beide ef. A en B, welke ik elders *) beschouwd heb; elk van hare punten heeft tot restfiguur een cf. driehoek. Laat men uit deze cf. de vier lijnen der eerste kolom weg, dan ontstaat eene hexatrigonische 123, die identiek is met de door Scuönrrims }) behandelde 123; zij kan be- schouwd worden als een in zichzelven beschreven twaalf- hoek, als het samenstel van twee in elkander beschreven zeshoeken en als het samenstel van drie in elkander be- schreven vierhoeken. De boven gevonden 123 levert volgens de eerste wijze van beschouwing den twaalfhoek : Bn ae 10 4e CI Ap 42 Go Orr Hers volgens de tweede opvatting de zeshoeken : dj A3 A5 Ay Ag Ar ER Aig Uig U A4 U A35 *) Over vlakke ef. (V ersl. en Med. 3, V) en Ueber gewisse ebene Of. (Acta Math. 12). }) Veber die regelmässigen Cf. #3 (Math. Ann. Bd. XXXI, S. 48, Figur 1). ( 262 ) volgens de derde opvatting de vierhoeken : Ay A4 A O0s Og Op Og ED De bovengenoemde (124, 163) is regelmatig ten op- zichte van hare punten; ten opzichte van de vier lijnen Qi Air4Aj+8 18 zij anders samengesteld als ten opzichte van de twaalf lijnen a; a;43 ai;+5 (C = 1 tot 12). Hiermede hangt samen, dat de 123, welke ontstaat door afschei- ding van eene hoofdvierzijde, waarvan eene lijn van deu vorm aj dj+4 di4g is en de overige drie van den vorm aj di+3 Ai45 zijn, niet regelmatig is, maar drie op de eerste lijn gelegen pentatrigonische punten bezit, terwijl de ove- rige negen tetratrigonisch zijn. Congruentie (5) levert voor q == l den bekenden 7, der Îi9; voor qg == 2 vindt men n —= 331; elke A3, bevat dus, behalve een buigpunt, 22 tangentiaalvijftienhoeken, waar- van de punten a; a;45 a;+10 collineair liggen, (4 = 1 tot 5). Dus: 34. Js n het kleinste getal, waarvoor de congruentie 20 4 (—2) + 1 ==o (mod. 3n) waar is, dan liggen van elken tot eene plethorische groep der n?® orde behoorenden tan- gentiaal-Sh-hoek de punten ai ain ain (d —= 1 tot Ah collineaar. Door uitbreiding dezer beschouwingen kan men de voor- waarden vinden, die vervuld moeten zijn, zal een tangen- - tiaalveelhoek eene driepuntige diagonaal a; ai+p ai4g be- zitten. Men vindt dan den volgenden regel: 35. Js n het kleinste getal, waarvoor de congruentie GT 2P + (— 2 =— 1 (mod. 3 n)waar gemaakt wordt, dan bezit elke tangentiaalveelhoek der R,„ de driepuntige diagonalen ai Dip Uitg Door toepassing van dezen regel vindt men b.v., dat de ljnen a; a;;2 a;;6 voorkomen bij elken 739; de plethorische punten der fi53 geven dus aanleiding tot eene 223, waarin a; met de puntenparen a;42 a;46, a;ra4 Ai+ep EN a;+16 A i+18 collineair is. Trekt men alle lijnen der R33, welke niet door het buigpunt gaan, dan worden er nog twee 22; ge- ( 263 ) vormd, welke met de genoemde cf. tot eene (22), 663) veree- nigd zijn. In de ef.‚ waartoe de diagonalen a; a;4p a;+g eener ple- thorische groep behooren, is het punt a, met de paren Ops Ag 3 A—ps Agpi @-q Ap—g COllineair; deze drie lijnen worden gesneden door de volgende negen ef. lijnen: 0 Ne je ap Ap Cg pg [agp |. = Aptg Aap—gldp+g 42g pl pg tg pp Ap —2g|t2g —p Het punt a, komt derhalve voor in de driehoeken Ao Ap Ap—gs 4) ag Ag -p en (47) a P Ag: 36. De regelmatige cf. met den inder 3, waarvan de lijnen door aì ai+p Giag worden voorgesteld, zijn in het alge- meen genomen tritrigonisch. Dat het aantal ef.-driehoeken, waartoe elk punt eener zoodanige cf. behoort, soms grooter kan worden, blijkt uit het voorbeeld der boven beschouwde hexatrigonische 123 der Rjz; zooals door ScHÖNrLres is aangetoond, kan dit aantal evenwel slechts 6 of 4 zijn. Vormen de tangentiaalveelhoeken a;, b;, c;, . . . U; eenen eyelus, zoodat de diagonalen a, a,b, bj, . « . lo ly achter- eenvolgens de toppen bj, €,» « « « ag bevatten, dan is a, met de paren ap b, Ap bg—p En lg lp-g collineair. Im de cf. met index 3, welke door de diagonalen dier veelhoeken wordt bepaald, worden deze drie naar ag convergeerende lijnen gesneden door de lijnen: aop Up-g ap la pta Pap [Pgo ap-2g | (XXI). bpa+g Wep—g Dg -2p U-p—gC2g WC2g-p |C2g—p (aap —2q Uit deze tabel blijkt, dat het punt a, tot de driehoeken ao b, Bena dp lpg En ag A—p l_, behoort ; daar de cf, ( 264 ) uit den aard der zaak regelmatig is, zijn derhalve alle bare punten in het algemeen tritrigonisch. 37. Elke regelmatige cf. met den inder 3, welke door de diagonalen van eene reeks van tangentiaalveelhoeken gevormd wordt, waarin elke veelhoek op de diagonalen van den voor- gaanden rust, terwijl zijne diagonalen den volgenden veelhoek dragen, is in het algemeen genomen tritrigonisch. De 103 van tabel (VII) is een voorbeeld van eene cf. der genoemde soort, waarbij het aantal cf. driehoeken in elk punt 6 bedraagt. Kampen, 15 Februari 1889. NOGMAALS OVER DE BERNOULLIAANSCHE COËFFICIËNTEN. DOOR F. J. VAN DEN BERG. (Vervolg van 2de Reeks, Deel XVI, 1881, blz. 74—176, en 3de Reeks, Deel V, 1889, blz. 358—897.) In de eerste der hierboven aangehaalde bijdragen in de Verslagen en Mededeelingen, Afdeeling Natuurkunde, gaf ik op blz. 118—116 eene afleiding van de beide door M. A. STERN in zijne Beiträge zur Theorie der BerNourLr’schen und Eurer'schen Zahlen, in Abhandl. der Kön. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 23er Band, 1878, blz. 7—8, medegedeelde betrekkingen, die ter berekening van eenigen Bernoulliaanschen coëfficiënt terugloopen niet over alle, maar slechts over eenige onmiddellijk voorafgaande coëfficiënten. Op blz. 393—395 van mijne in de tweede plaats ge- noemde bijdrage vond ik aanleiding meer in het bijzonder nog stil te staan bij diegene van de bedoelde onvolledig of afgebroken terugloopende betrekkingen, waarin de beide van StreRN zamenvallen in het geval dat zij ieder, voor een zelf- den willekeurigen Bernoulliaanschen coëfficiënt, het kleinst mogelijk aantal voorafgaande coëfficiënten bevatten. Voor deze bijzondere betrekking werd aldaar, indien als vroeger in het algemeen de gie Bernoulliaansche coëfficiënt door Ba, bleef voorgesteld, gevonden ( 266 ) Lof? 48 ne B vern De ki Ur +1 IED NRM i (voor g > 1) 0 terwijl voor g==l tot en met 8 de opvolgende betrekkin- gen volgens dit type voluit werden nedergeschreven. Daar het mij niet bekend is, of door een der schrij- vers over dit onderwerp reeds opmerkzaam gemaakt werd op de omstandigheid dat uit vorenstaande betrekking zon- der veel moeite een paar andere kunnen worden afgeleid, die zich in raeer dan één opzigt geschikter tot de wer- kelijke getallenberekening leenen dan vele overigen, geeft dit mij aanleiding thans nogmaals op deze zaak terug te komen. Telt men namelijk bij die voor eene willekeurige waarde van q DE 1 geldende betrekking het dubbel van de onmid- dellijk voorafgaande, waarin zij zelve alzoo door vervanging van q door q—l overgaat, op, en voegt men daartoe tel- kens elke twee gelijknamige termen B2,-—er—| bijeen, waar- voor dus in die voorafgaande betrekking ook iedere r door r—l dient vervangen te worden, dan doet zich deze som aanvankelijk vóór onder den vorm ze off Ye nr | epe ME Ed en | Bag-en- EE (voor q = 2) N (voor q > 2) 0 waarin namelijk voor oneven g de oorspronkelijke bovengrens q—l 1 van r vervangen werd door = ‚ omdat in dát ge- val — maar daarentegen niet voor even g — die vooraf- gaande betrekking, behalve de in de oorspronkelijke zelve voorkomende coëfficiënten B, nog één lageren B bevat; terwijl, zooals in het tweede lid aangewezen, de toepasse- lijkheid eerst bij q == 2 begint, omdat meergenoemde voor- alt a A Sn mee dn Á 4d One ee ( 267 ) afgaande betrekking slechts voor q—l oel geldt. De her- È q 2 gl DE 2r + Te ge EE Te TS @r-Nerer ti) q(qg2r 1) Arni, Hs te Ent Det A __ (2r—-l2r(2r +1) \2r—2 leiding doet voorts de evengevonden betrekking overgaan in ee Liot, En Ae @r—1)2r(2r +1) da Ash ga) 1 Es A A A («) en deze vormt nu den grondslag der verdere berekening. Of liever, voor het geval van even q is zij zelve reeds, zonder eenige nadere bewerking, de beoogde einduitkomst, indien men slechts opmerkt dat alsdan telkens de coëfficiënten van twee symmetrisch wederzijds het midden geplaatste termen van het eerste lid (dat is dus van elk paar termen in r en 27 óf gelijk óf tegengesteld gelijk zijn: immers, de onderlinge. verwisseling van 2r en g— 2r, waardoor de factor |: q— 8 (2r—1l)2r(2r +1) \2r— ‚) geschreven onder den vorm Er Br Dg At A AJN blijkt onveranderd te blijven, geeft als coëfficiënt van den term in B‚+2—i de waarde (AE teder DG Hr Dg (2r—1)2r(2r + 1) Ir =Ifn Er, | dat is juist (—)2 maal den coëfficiënt van Bag ar — zelf; en op grond hiervan de termen paarsgewijs bijeenbrengende, heeft men dus de meer beknopte formule: qr Id 4 4 rg LONEN | (2r—1)2r(2rt1) an ges (2: ar t(—)? B4 „== (voor even q) Dey Ô (roorg=2)1 \(voorg > 2) il de : op q waarin namelijk voor even 5 als bovengrens van » geschre- _—4 ven mogt worden En in plaats van zE omdat de op zich zelf staande middelste term, die alsdan voor » == d in (a) zou voorkomen, blijkens zijn factor q—4r == 0 van zelf komt te verdwijnen. Heeft men daarentegen met het geval van oneven g te doen, dan is de in het algemeen gevonden betrekking («) zelve niet voor eene dergelijke vereenvoudiging als zoo even vatbaar, omdat in dat geval al hare coëfficiënten onderling ongelijk zijn. Toch kan men ook in dit geval uit («) eene andere betrekking afleiden van althans bijna even beknopten vorm als (1). Vermindert men namelijk in het algemeen de betrekking (a) met de onmiddellijk voorafgaande van het- zelfde type, waarvoor dus in («) wederom q door g—l en, ten einde ook nu den aanwijzer 2g—2@r—l van den alge- meenen term in B onveranderd te laten, bovendien # door r—l te vervangen is, dan geeft dit: Len ofte ega) (CDG Har Ig gl en knn EEE a ) _ {(voorg=3)—1 (2r—3)(2r—2)(2r—1)\2r Aff UT (voorg>3) 0 f’ en _ ( 269 ) waarin namelijk voor even g de in (a) aangewezen boven- q+2 grens 5 van r vervangen werd door om dezelfde reden als bij het opmaken van («) zelve de in het geval ä q—l van oneven g oorspronkelijke bovengrens DE veranderd l werd in . En brengt men nu deze uitkomst vooreerst onder den vorm EE pi, Ec jr 2qg—ar +1 (2r—3)(2r—2(Ar—l)Ar(2r Ea (a —4r)(q + Ar + Dg) (q—2r + 2) + —2 -}- (qg—ár + 9) (g d4 2r—2)2r(2r “- DIS 4) Zarern == ES ((voor q=3)—l —_ \(voorg > 3) 0 en herleidt men hierin verder de uitdrukking tusschen { } tot ((q—Ar + Iq + 2e) — Ór) (qr +2) + k(g—Ar + Dg + 2e) + Ö(2r—1), 2r(2r + 1) = —(qgArt Datar) {lg Dg Ar) HAr(2r + IJ — br {(q—1)(g —2r +2) U2r—I(2r +1}, dat is, door hierin den laatsten term, onder den vorm Zôr(gAr +1 (g +2), met den eersten bijeen te brengen, =(gAr + Dg Hr) ((g- Dg Ar +2) 4 2r(2r 2), dan is in het algemeen bewezen, wanneer men weder op —2 gl Rie 242) Ge (Ar 3)(Ur 2) Mp ( 270 ) | I gl Zi —)r(g-Ar+1)(g+2r)(2g-2r+1) | PEC 5 1 qg—à E ne (2r—3)(2r— (Ar + 1) En Dag trein (voor q = 3)—l Ë: nn 3) 0 | is. Bij deze nieuwe betrekking («') doet zich nu juist het tegengestelde voor van wat boven ten aanzien van de be- trekking (u) bleek. Terwijl zij namelijk voor even q wegens de onderlinge ongelijkheid der coëfficiënten van al hare ter- men den gevonden vrij zamengestelden vorm behoudt, laat zij zich daarentegen voor oneven q om zoo te zeggen weder tot het halve aantal termen zamendringen. Dit valt waar- schijnlijk het gemakkelijkst in het oog wanneer men, de uit- drukking die thans in («') tusschen { } verkregen is onder haar oorspronkelijken vorm g-bg=2r ++ rar) (4-2 (2r—3)(2r—2)(2r—1)2r(2r + 1) (ree of hever nog onder den vorm — 2)! {a 1 (g +2) arg är + 1) Ba U an beschouwende, opmerkt dat deze bij onderlinge verwisseling van Ar en q—2r — Ll geheel onveranderd blijft, en wanneer men hieraan de opmerking knoopt dat diezelfde verwisseling het vóór de { } staande product (g—4r + I)(g + 2r)(2g —2r +1) alleen van teeken doet omkeeren. Hieruit toch volgt dat de door deze verwisseling uit den coëfficiënt van Ba2,-o— af te schrijven coëfficiënt van B, 9-2 zich van den oorspron- kelijken slechts onderscheidt door voorvoeging van het teeken gl (—) 7 en dat men, op dezen grond elk paar symmetrisch _ oneven g) ZH (a-dr Dg +222 Daran 0) (ZE wederzijds het midden geplaatste termen van het eerste lid (dat is dus thans, voor oneven g, elk paar termen in r en g+! 5 —r) weder bijeenbrengende, kan schrijven: q8 of 471 7 4 (2r—1)2r(2r+ 1) _ En q—2 Ws er (rt I) AR ( Up 2r—l + gl 8 (voor g = 8) —1 EL) B Bose) =De 5 ien 0) - dd q waarin namelijk voor even als bovengrens van r ge- gk 1 EN) schreven werd 1 ‚ omdat de door r == aangewezen eerstvolgende en in dat geval tevens middelste term in (a!) wegens zijn factor gq—4r + 1 =0 van zelf uitvalt. Bj de getallentoepassing zoowel van (1) als van (1') kan het gemak geven onder anderen op de volgende bijzonderheden be- dacht te zijn: 10 dat voor den eersten, door 7 — 0 aangewezen, gen gt (7 Bi in (len Biga tl) 2 B in (Ì') de coëfficiënt, omdat dan g—-2 EE ES (2r—l)2r(2r + 1 U on I!(g—2r jer 1 VEA TE Sn qlqg + 1) ard wordt, niet anders is dan de enkele 2y + 1; 20 dat in het algemeen voor een willekeurigen door # aangewezen term de factor 2g--2r + 1 steeds de som is van de twee daar- vóór staande factoren, hetzij dan g— 4r en q + 2r + 1, hetzij g— Ar + l eu q + 27; 30 dat alle getallencoëffi- ciënten van de Bernoulliaansche coëfficiënten, omdat (1) en (1') uitsluitend uit optelling of aftrekking van formulen met qg-l 2r—2 ‚)" (272) geheele coëfficiënten zijn voortgekomen, ook geheelen moeten zijn. De beurtelingsche toepassing overigens van de beide gevonden formulen (1) en (1'), met voorvoeging, voor het daarin niet begrepen geval g — 1, van de oorspronkelijke formule waaruit zij werden afgeleid, geeft het volgende over- zigt, waarin telkens de uitgerekende getallencoëfficiënten tus- schen [ J achteraan zijn geplaatst: En gs Lb Ed g=?, 5(B3 + B) == 1,[5] gs 1D Lie qg=4, 9 (By — Ba) = 0, [9] 2.7.9 /4 qg=>, 11(B9 + B3) — 12.8 IE he + Bi) = 0, [11,21 2.9-k1 qg=6, 18(BijtBp= 1, + B) = 0,[13,33] 1.3.3 AO 4,913 /6 1E BiB) (0) A) 0,015, 781 411.15 ZIN — 6.11.17 8 79, 19 (BtB a (5) (Bis + Bo) + 2.13.15 Ë ae 7 En je s6 ) ie reele ) (Bis + Bi) = O,[19, 187, 2087 6.13.19 /9 gl; AB Dole EEE À ) cn + Bi) + RS 17 PN ONE 3,45 | 8.13.21/10 J=1, NEN oe) 41510 fe ht 1 /9 \ Selo In 12, 25 (Ba3—Di) En (Dai — Bj3) + 1:23 4e 7:2 9,4.5 11 0e ) Go — Bi) ) = 0, [25, 460, 13097 (273) ie 12 + 6.17.25 eG) ) + EN )! (Ba + Bis) — 12 1 I\) Io a WGA d Ne gran [27, 625, 2737, 2299] enz. ) en + Bia) + 10.15.25 YJ == 18, 27 (Bas + Bi) — Sa lo | mike Het voordeel dat nu deze betrekkingen voor de opvol- gende berekening van Bj, B3, Bs, enz., B2,-—1 uit elkander op- leveren bestaat vooreerst hierin dat ter bepaling van Bz,—, ten naastebij slechts ï getallencoëfficiënten vereischt worden, die ieder op vrij eenvoudige wijze van de binomiaalcoëfficiënten van geene andere dan de (q— 1), of de (q— 1)® en de (q—2)e, magt afhangen; terwijl bij voorbeeld de toepassing van de terugloopende betrekking, die men het veelvuldigst voor de Bernoulliaansche coëfficiënten vermeld vindt, namelijk van de Ee Xe a en en k 5) Ben in (zie onder anderen mijne eerst aangehaalde bijdrage, blz. 109, formule (4*)), welke alzoo alle voorafgaande coëfficiënten B bevat, de berekening van een aantal van g binomiaalcoëf- ficiënten, en wel van de zooveel hoogere (2q + 1)e magt, vordert. Maar eene niet minder belangrijke vereenvoudiging vloeit naar het mij toeschijnt voort uit de eigenaardige wijze waarop in de gevonden betrekkingen de Bernoulliaansche coëfficiënten niet anders dan twee aan twee tot eene som of een verschil verbonden voorkomen. Op grond van eene stelling toch, die nagenoeg gelijktijdig door von Sraupr in A. L. Creuuw’s Journal für die Mathematik, 21er Band, 1840, blz. 372—374, en door Tu. CrauseN in H. C. SCHUMACHER's Astronomische Nachrichten, 17er Band, 1840, blz. 351 —3852, (beide stukken aangehaald in mijne eerste bijdrage, blz. 168) werd bekend gemaakt, bestaat, al naarmate q oneven of even VERSL. KN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS, DEEL VI. 18 (274 ) is, de algemeene Bernoulliaansche coëfficiënt L2,—: uit een geheel getal vermeerderd of verminderd met de breuk 5 en verminderd of vermeerderd met de som van alle breuken die de eenheid tot tellers hebben en tot noemers diegene uit de met de eenheid vermeerderde even deelers van Zg die on- deelbaar zijn. Zoo heeft men bij voorbeeld — en wij kiezen hier juist die coëfficiënten B, die ons zoo dadelijk ter ver- dere toelichting te stade zullen komen — de waarden 691 1 1 1 if | Bn ano Tat3tstitis’ z 7 Ln d 1 Ea : ak gm 8617 iig 1 Ruk. + Ì Rr Re dd Dv Br BR f 174611 Zr 1 1 1 1 lia =S =H — De ei 330 at3tst 854513 1 1 1 == == 6192 a, de 138 +5 Bas 9236364091 1 1 1 1 | ETT == 86580 —- + dk, Nu komen, voor even g, in (1) met elkander telkens ver- e bonden vóór de (q—r)® en de ( + ‚) Bernoulliaansche coëfficiënt, en wel, naarmate het verschil 42e hunner 7 rangnummers oneven of even en dus de exponent _—l aldaar even of oneven is, verbonden als som of als verschil; desgelijks treft men, voor oneven q, in (1') met elkander EE | e telkens verbonden áán de (q—r)® en de É 5 je ‚) coëf- A 5 + ficiënt, en wel, naarmate hun rangverschil LE ar on- end even of even en dus de exponent d in (1') even of on- ad je (275) even is, almede verbonden tot som of tot verschil. Maakt men deze sommen en verschillen dus telkens op uit de, zooals in de pas aangevoerde voorbeelden, in geheelen en in breuken gesplitste waarden der coëfficiënten B, dan zul- len, op grond van het toen gezegde, daarbij niet alleen de in jd iederen B steeds voorkomende termen (—)7—! E — 5) maar naar omstandigheden ook sommige, of vele, of zelfs alle overige gedeeltelijke breuken elkander opheffen, hetgeen al- ligt — door het alsnu overbodig worden van verschillende vermenigvuldigers wier invoering noodzakelijk zou geworden zijn indien iedere coëfficiënt B zelfstandig was blijven op- treden — tot eene niet onbelangrijke bekorting van de uit- rekening kan leiden. Door het volgende voorbeeld vleijen wij ons het hier bedoelde voordeel voldoende te zullen toelich- ten. Stel dat alle zoo even geschreven waarden, met uitzon- dering van de laatste of Boz, reeds bekend zouden zijn, dan mag men voor deze, omdat onder de met de eenheid ver- meerderde even deelers van 24, namelijk 3, 5, 7, 9, 13, 25, de beide deelbare 9 en 25 verworpen moeten worden, nemen | 1 l 1 1 en hats tnt en dan komt de berekening van het onbekende geheele getal x door toepassing der in het bovenstaande overzigt voluit geschreven betrekking voor g — 12 op het volgende te staan: 1 1 1 —0))— 2 1—-— O9 BAO TT Jz 25(1—0) soo s1s 1 5) +18 ( tn =| 0 of 252—460.6191+1309.522 =— 20119 +77 == — 62, waaruit zonder veel moeite e= 86580 en daarmede B33 zelf gevonden wordt. Te vergeefs heb ik getracht om, wanneer niet de aaneen- gesloten reeks van alle opvolgende Bernoulliaansche coëffi- ciënten zou beschouwd worden, maar ieder voor zich de gedeeltelijke reeksen Bj, Bz, Bg, enz. en B3, By, Bij, enz, 18* (276 ) die men bij indeeling in perioden van twee termen, of de gedeeltelijke reeksen Bj, Bj, Biz, enz. en B3, Bo, Bis, enz. en Bs, Bij, Bij, enz. die men bij perioden van drie termen zou verkrijgen — op de wijze zooals in mijne eerste bijdrage behandeld — alsdan voor deze gedeeltelijke reeksen afge- broken periodieke terugloopende betrekkingen te ontwikke- len, die daarbij dus dezelfde rol zouden vervullen als de beide betrekkingen van SrERN of de daaruit in het voren- staande afgeleide betrekkingen (1) en (1’) bij de enkele of aaneengesloten reeks Bj, B3, Bj, By, enz. Nadat ik het voorgaande had opgesteld, viel mijne aan- dacht nog op een artikel van Ep. Luucas, Sur les nouvelles formules de MM. SripeL et SrerN, concernant les nombres de BeRrNouLri, in Bulletin de la société mathématigue de France, T. 8, 1879 — 1880, blz. 169 —172. Door dat artikel werd ik er aan herinnerd dat juist de in mijn tegenwoordig en jn mijn voorgaand opstel beschouwde bijzondere betrekking van STERN — maar niet zijne algemeene — dezelfde is die reeds vóór hem door L. Srrper als vergelijking VI—VIII werd bekend gemaakt in diens in de Sitzungsberichte der ma- them.-physik. Classe der k.b. Akademie der Wissenschaften zu München (door Lucas wordt ten onregte aangehaald de bökm. Academie zu Prag), Band 7, Jahrg. 1877, blz. 157 —187, opgenomen (en ook in mijn eerste opstel, van 1881, op blz. 170 vermelde) bijdrage, getiteld: Ueber eine einfache Ent- stehungsweise der BerNouLLi'schen Zahlen und einiger ver- wandten Reihen. De door mj, in verband met de stelling van VON Sraupr-CLAUSEN, thans besproken vervorming van de bedoelde bijzondere betrekking heb ik evenwel in deze stuk- ken van Lucas en SEIDEL niet aangetroffen. April 1889. EQUIANHARMONIE EN HARMONIE BIJ POOLSTELSELS VAN BINAIRE VORMEN, ENZ. DOOR P. H. SCHOUTE. 1. Zooals bekend is, liggen de vier punten voorgesteld door de binaire vergelijking p‚* =g:* =r,* = 0 equianhar- monisch als de invariant 2 =(pgqi* en harmonisch als de invariant j = (q #)° (r p)° (p g)® verdwijnt *). In verband hier- mee zullen, volgens een bekend overdragingsbeginsel van CreBscu j), de lijnen, die een vlakke kromme gegeven door de ternaire vergelijking pr =gq:*=r;* = 0 volgens een equi- anharmonisch of harmonisch puntkwadrupel snijden, krom- men omhullen, die achtereenvolgens door de tangentiëele vergelijkingen (pgqu)t=0 en (gru)(rpu)’(pgu)y =0 %) Men heeft i= (pg = 2 (Po PAP, Pz + 3 P2°), Po P1 #2 j=(lqr} (rp) (p 0)? =6 |D, 2 p3 [=Ô(po Pa Pat? p, Pa Po Pa Pols Dy P4)- Pe P3 Pa Men vergelijke CreBscu Theorie der binären algebraïschen Formen, blz. 135 en blz. 171, of CreBsCH-LINDEMANN Vorlesungen über Geometrie, blz. 229 en blz. 239. f) Men vergelijke CueBscH-LINDEMANN, t. a. p., bla. 276. (278) worden bepaald en waarvan dus de eerste van de vierde en de tweede van de zesde klasse is. In het volgende zullen eenige aanverwante stellingen met betrekking tot puntstelsels en krommen van hoogeren graad ontwikkeld worden; daartoe onderzoeken we eerst door welke vergelijkingen de polen y worden bepaald, waarvan de bi- kwadratische poolstelsels ten opzichte van een gegeven punt- stelsel f=—= 0 deze ligging vertoonen. Het bikwadratische poolstelsel van y ten opzichte van het puntstelsel f == 4,” = bs" Ze” = 0 is voorgesteld door ee bedoelde voorwaarden worden dus gevon- den door voor pit pgt-* en de gelijkwaardige symbolen g en 7» de meer samengestelde uitdrukkingen aj# agt—% a,”—* en de gelijkwaardige symbolen b en ec in de plaats te stel- len. We vinden dan i=(pgt= (abarth =0, jep p= bea abrartbjtet=0, waaruit blijkt, dat van 2(n—4) polen y het poolkwadrupel equianharmonisch en van 3(n—4) polen y het poolkwadru- pel harmonisch is. De vorm #==(ab)*a,r—4bpr=4, die de coëfficiënten van f in den tweeden graad bevat, is blijkens zijn gedaante de vierde overschuiwving van a,” over b;”, d. 1. van f over zich- zelf, en kan dus door het symbool (f, f)* worden voorge- steld. De covariant 7 ==(be}° (ce a)* (a b)?a,n—4 bt 4 opn4, die in de coëfficiënten van f tot den derden graad opklimt, is op het teeken na de tweede overschuiving van # over f, d. i. — (%f)°; dit wordt gemakkelijk aangetoond door het door GoRrDAN voor het bijzondere geval n — 5 gegeven be- wijs *) op een willekeurige n uit te breiden. Als toepassing van het bovenstaande bepalen we in het vlak eener gegeven kromme (# van den „den graad de meet- kundige plaats van het punt Q, dat op de lijn PQ, die %) Men vergelijke Dr. P. GoRDAN’s Vorlesungen über Invariantentheorie, herausgegeben von Dr. G. KERSCHENSTEINER, deel II, blz. 241. (279) __ het met een vast punt P van het vlak verbindt, met be- trekking tot de snijpunten van deze lijn met C” tot een eguianharmonisch of harmonisch poolkwadrupel voert. We vonden, dat elke willekeurige lijn P Q van de eerste meet- kundiges plaats 2(n—4) en van de tweede 3 (n — 4) pun- ten oplevert. Men vindt dus de graden dier meetkundige plaatsen door de genoemde getallen te vermeerderen met het aantal lijnen door P, waarvoor P tot zulk een pool- kwadrupel leidt. Zooals uit de in den aanhef genoemde om- hullenden blijkt, is dit achtereenvolgens vier en zes. Dus is de eerste meetkundige plaats een kromme van den graad 2(n—2) met P tot viervoudig punt, de tweede een kromme van den graad 8 (n — 2) met P tot zesvoudig punt. 2. We gaan nu een stap verder door het kubische pool- stelsel van y ten opzichte van f == a” == bi” = ec” = 0 met het laatste poolpunt van een andere pool z ten op- zichte van een ander poolstelsel p =«;’ == (%,v =y)?=0 van den yden graad te vereenigen en de betrekking te zoeken, die er tusschen y en z bestaan moet, opdat het door deze vereeniging ontstane puntkwadrupel equianharmo- nisch of harmonisch zi. We hebben dan met de substitu- ties te doen, die voortvloeien uit het overeenbrengen van pz“ met a,”S a” a7°—l a. Zij zijn Po \ a a, 4 pi (B ay“ ag aj + aj «2) EN 0 arn! (3 aj ag aj + 3 a? ag dz) 4 p3 (as ay + Say ag? «3) Pa a’ ag Wij vinden dus 3 1 B ob apt Pt (a;b; &,f5) — 0, 8 1 i=lifP=af br Ber Bar ir ly Habes afd,y)=0, k l waarbij onder (a, b.….; @&,/7.…' een vorm te verstaan is, die ( 280 ) in elk der symbolenparen a, en ag, bj en bg, enz. homogeen van den 4den en op dezelfde wijs in elk der symbolenparen aj en «3, fy en (93 enz. homogeen van den Jden graad is. Hoewel deze vormen door volledige uitvoering der aangegeven substitutie kunnen gevonden worden, zullen we ter vermij- ding van omslachtige berekeningen een minder rechtstreek- schen weg inslaan. Zooals bekend is, kan elke simultane covariant van twee vormen a,? en @x” worden opgebouwd uit drie soorten van elementen, nl. determinanten (ab), (a (9), (a a), lineaire vor- men az, &: en identische covarianten (yz) *). Dus kan de 3 1 symbolische vorm (a, bi; «,‚ (2?) slechts twee termen bevat- ten, nl. (a b)3 (a /2) en (al)? (a «) (b fj. Wijl echter de met (ab) (af?) overeenkomende term van # bij de omwisseling der gelijkwaardige symbolen a en b of « en (2 van teeken omkeert en dus nul is, vinden we met weglating van een onbekenden getallenfactor (ab (aay{b3) a," Sb tarn ed 3 l Op overeenkomstige wijs laat zich (a,b,c; «, (9, y) bepalen. Hier zijn de vormen (be) (ca) (ab) . (aa) (b/5) (ey) (be)" (ea). (aa) (af?) (by) (be) (ca) (ab) . (y) . (aa) mogelijk, van welke de eerste en tweede drie gemengde factoren (aa) bevatten en de derde slechts een. Nu is echter de term van j, die bij den laatsten vorm behoort, nul, daar zij van teeken verandert bij verwisseling van (5 en y. En door de bekende identische vergelijking +4) B) (ey) + By) (Be) + (be) (y 7) =O *) Men vergelijke CrrBscrH-LINDEMANN, t. a. p. blz. 187. 1) Men vergelijke CreBscH-LINDEMANN, t. a. p. blz. 193. - ( 281 ) met (be) (ca) (ab) (aa) te vermenigvuldigen, vindt men, dat de term van j, die bij den eersten der drie vormen behoort, half zoo groot is als de juist besprokene en dus eveneens nul. De tweede voorwaarde wordt derhalve, eveneens met weglating van een onbekenden getallenfactor *) (be)? (ca) (ax) (af?) (by) ay” —3byr-3epr FarlI ly vl ==0. Laat men a,” met a,” en e met y samenvallen, dan her- leiden zich de beide vergelijkingen tot (a B)? (a ©) (b d) ayr8 br of l dl = 0, (Be)? (ca) (ad) (ae) (bf) a,"—3 br 3 eyr—S dyn=l epr=l fyr=lz=0. In het voorgaande is dus een eenvoudige beteekenis begre- pen van deze beide covarianten 4). Is n= 3 en yv —= 1, dan vallen y en z uit de vergelijkin- gen weg en drukken de simultane invarianten (a 5)? (a «) (b a) en (be)? (ca) Laa)? (ba) door hun verdwijnen uit, dat het kwadrupel gevormd door de samenvoeging der punten ar — 0 en a‚„ == 0 equianharmonische of harmonische lig- ging heeft. Volgens het bekende overdragingsbeginsel van CreBscH zullen de ternaire tangentiëele vergelijkingen (abu)? (aau) (bau) = 0, (beu)? (eau) (aa u)’ (bau) = 0 dus de omhullenden voorstellen van de lijnen, die de kubi- sche kromme (aj zj + ag 2 + az 23) ® == 0 en de rechte lijn ae + dag + 313 =O equianharmonisch of harmonisch snijden. De eerste dezer omhullenden is van de vierde klasse ; zij raakt de lijn «‚=—= 0 in de twee punten die equianhar- monisch liggen met de drie punten Sj, $S, S3 van ar° = op de lijn gelegen, de kromme ax° —= Ô in deze drie punten %) Deze getallenfactoren kunnen niet nul zijn; want de gezochte be- trekking is uit den aard der zaak geen identiteit. f) De eerste der beide vormen is een der drie eerste overschuivingen van den vorm # = (ub)? (ae) ay”*—3 byr—? cyr—t over f=dy”; de tweede is een dieper liggende overschuiving en wel een der eerste overschuivin- gen van f over een eerste overschuiving van f over (/% f).. ( 282 ) S en de buigraaklijnen van a:° = 0 buiten deze kromme: De tweede der omhullenden is van de zesde klasse; zij raakt de lijn a,‚=0 in de drie punten die harmonisch liggen met de drie punten $, heeft de drie punten S tot buigpun- ten en raakt in deze punten de kromme a,° = 0, terwijl zij de buigraaklijnen van a,” == 0 in de punten der kromme aanraakt. Dus bestaan de 24 gemeenschappelijke raaklijnen van a: met de eerste omhullende uit de drie raaklijnen Sj, Ss $3 in Sj, Sy, Sz aan a,° =O dubbel geteld en de negen buigraaklijnen van a,* — 0 eveneens dubbel geteld, evenzoo de 36 gemeenschappelijke raaklijnen van a,° =—= 0 en de tweede omhullende uit dezelfde twaalf lijnen driemaal geteld en eindelijk de 24 gemeenschappelijke raaklijnen der beide omhullenden uit de lijn «‚==0 zesmaal, de lijnen s drie- maal en de buigraaklijnen van a,;® =— Ò eenmaal geteld. Zijn in een vlak twee krommen Cr en C* en een punt P gegeven, dan kan men weer vragen naar de meetkundige plaats van het punt Q, dat op de lijn P Q@ met betrekking tot de snijpunten met C” een kubisch poolstelsel en tot de snijpunten met (? een laatste poolpunt bepaalt, uit wier samenvoeging een equianharmonisch of harmonisch kwadru- pel ontstaat. Op een willekeurige lijn door P liggen 2(nd-v—4ì punten van de eerste kromme en 3 (n +v—4) van de tweede. Verder is de meetkundige plaats der kubi- sche poolstelsels van P op de lijnen P Q met betrekking tot de snijpunten dier lijnen met C” de kubische poolkrom- me van P ten opzichte van (# en de meetkundige plaats van het laatste poolpunt van P op de lijnen P Q met be- trekking tot de snijpunten dier lijnen met C* de poolliijn van PP ten opzichte van (>. Dus volgt uit de voor het geval n= 3 en y —= 1 gevonden omhullenden, dat P vier- maal op de eerste en zesmaal op de tweede kromme ligt. De eerste kromme is dus van den graad 2(n + yv — 2) en heeft P tot viervoudig punt, de tweede is van den graad — B(n + v — 2) en heeft P tot zesvoudig punt. 3. De vereeniging van het kwadratische poolstelsel van y ten opzichte van f/— 0 met het kwadratische poolstelsel ( 283 ) van ez ten opzichte van p —=0 geeft meer symmetrische uitkomsten. Zij leidt tot de substituties, die den vorm p‚* in aft? ax? a}T? a? doen overgaan, nl. Po f ar” a \ 4 pi | (Garage + Za a) ao) | 6 pa s =afrart, (ager +daarna + ar ag?) \, Ks (Zag? a, ag + 2 aj ag ag°) Pa ll die ons voeren tot de voorwaarden 2 2 jn ay? by? ar? fPy-? (a, b; a, P) — 0, 2 2 gat Sb Pet Bar? Br Ly? (aber a,B,y) =0. *) 2 2 | Het symbool (a, b: ; a, /$) bevat vier vormen, nl. (aa)? (6 £)° (ae) (b5) (af) be) | (ab). (aa) (bf). (a /#) (ab)? (a 3)? | Ook deze vier symbolen zin echter niet onafhankelijk van elkaar. Stellen we ze kortheidshalve door P,Q, R,‚S voor, dan gelden de betrekkingen P=—= Q + A en 2 == S$, die men vindt door de identiteit (a 2) (bat) + (a «) (55) + (ab) (a 1) =O achtereenvolgens met (aa)(b/3) en met (ab)(w 3) te ver- 2 2 menigvuldigen. Hieruit volgt dus voor (a,b; a, /7) de waar- de k(aa)? (b 2)? + l(ab) (ef?) waarin ken U twee nog 2 *) Deze beide symbolen kunnen evengoed in de gedaante (a,b, z (3) en (a,b,c, a, B, y) geschreven worden. (284 ) te bepalen getallenfactoren zijn. Nu is de coëfficiënt van a fy? met dien van den gelijkwaardigen term «3? (94? ver- eenigd volgens de gemaakte onderstelling 2[kay°bg? + l(ab?] of 2[(k + 2l)ar® bz — 2laj ag bj bg] en in werkelijkheid ï l 1 2 f ar” bo — a7 aa bj b)} hieruit volgt k= 5 er Le Di De eerste voorwaarde wordt dus na verdrijving der breuken [(a #)2 (Bb 9)? + 3 (ab)? af] art 2bjr2u,rT "2 —= 0. 2 2 De uitdrukking (a,b,c; a, (2, y) brengt elf vormen mee, die we naar het aantal gemengde factoren rangschikken en, voor zoover ze niet identisch nul zijn, door een enkele letter aanduiden. Ze zijn, naar verschillende typen ge- rangschikt, = (a 4) (5 B)? (e y}?, = (aa)? (b B) (ey) (by) (ce (7), Ps, = (af5)(ay) (by) B &) (ce «) (e 19), type 4(aa).... Q = (be). (a @)? (b 7) (cy). (By) (be). (a) (ay) be) (ea). (B y), Qa = (be). (a 9) (B y) (a «) (e «). (13 7), type 2(aa).... Ri = (ab)(ae). (bf) (ey). (a 7)(a 7), type 6(aa).... Pi Ry = (be)? (af) (ay). (a £)) (a 7). Ri = (al)(ae). (ba) (ee). (By? RB == Wer staare bn. type O(aa).... (be) (ca) (ab). (P 7) (y «) (a f9). Van deze elf vormen zijn de vijfde en de laatste nul, omdat zij bij verwisseling van b en c van teeken omkeeren. Verder is 2P,=2P Rs, QA =t Ba, BR, = | Fia, zooals gemakkelijk blijkt met behulp der identiteiten B) (ey) + CY) (Bo) + (bo) (75) =0, (DB (ey)? + (by) (e7P — BPA = 2 U) 67) (eey). Men kan alle overblijvende vormen dus in P, en A, uit- (285 ) 2 2 drukken en voor (a,b,c; «, f), y) derhalve (a ce)? [k (6/3)? (ey)? + U(b0)? (15 )P] in de plaats stellen. Ter bepaling van k en / zoeken we den coëfficiënt van den term met «° (71? yy? en de gelijk- waardige omwisselingen. In P, is a” Pi? yi? vermenigvul- digd met 3 aj bg co°, in Ra met 4(ay* bz? eg° — ag bj bp C1 €3) 2 2 en in (a,b,c; «,(%,y) met 3(1lay? boeg” — 12 a9° bj bg ej C3). We vinden dus £== — 1, l=9, zoodat de tweede voor- waarde wordt (au ° (0e)? (/77)P| ar? bf a Zar ry? —2 =O Voor a,” = ax" en z = y herleiden beide uitkomsten zich tot (ab)? a,” br*=0, de punten van den covariant p=lf,f) =O van Hesse. Werkelijk vormen twee punten elk dubbel geteld alleen dan een equianharmonisch en dan ook tevens een harmonisch kwadrupel als ze samenvallen en dit gebeurt met de kwadratische poolpunten van elk met den covariant van Hesse overeenkomend punt als pool. Zijn n en yv beide twee, dan vallen y en z uit de verge- lijkingen weg en drukken de betrekkingen (a a)? (b 2,2 + 3 (ab)? (a 1)? = 0, (a @)? [(b (3)? (ey)? — 9 (be)P (17 y)'] =O uit, dat de puntenparen a,? = 0 en a‚? = 0 equianharmo- nisch of harmonisch liggen. Volgens het overdragingsbe- ginsel van Cresson stellen de vergelijkingen (aa u) (bf? u)? +3 (ab u}? (a f? u)? =0, (a a u)? [(b fB u) (ey u)? — 9 (beu) (PF yu}=0 derhalve de omhullenden der lijnen voor, die de kegelsneden ar? =0 en «‚° = 0 equianharmonisch of harmonisch snijden. De eerste vergelijking gaat volgens de notatie van CrerBscH over in Fo? + 3 Fy Fog = 0, een kromme van de vierde klasse, die de snijpunten van a;° = 0 en «‚;” = Ô tot dub- ( 286 ) belpunten en de raaklijnen in die punten aan de beide krommen tot dubbelpuntsraakliijnen heeft. En de tweede vergelijking splitst zich in Fy —= 0, de omhullende der lij- nen op welke de snijpuntenparen elkaar harmonisch schei- den, en in Fig? — 9 F, Foo — 0, de omhullende der lijnen waarvoor de dubbelverhouding dier pacen 2 of 3 is *). Denken we ons in een vlak nu weer twee krommen C en C° en een punt /’ gegeven, dan kunnen we de meet- kundige plaats zoeken van het punt Q, dat met betrekking tot de snijpunten der lijn P Q met de beide krommen twee poolparen bepaalt, die vereenigd een equianharmonisch of harmonisch kwadrupel opleveren. Langs den in art. 2 ge- volgden weg vinden we, dat de eerste kromme van den graad 2(n + vy—2) is en viermaal door P gaat, dat de tweede kromme van den graad 3 (n +v 2) is en zesmaal door P gaat; hierin komen de nieuwe krommen dus met die van art. 2 overeen. Maar de tweede bestaat hier uit twee deelen, uit een tweemaal door P gaande kromme van den n + y— 2den graad en een viermaal door P gaande kromme van den 2(n + y—2)den graad; van deze deelen bevat het eerste de punten Q met elkaar harmonisch schei- dende poolparen, enz. 4, De vereeniging van het kwadratisch poolstelsel van 4 ten opzichte van f == 0 met de laatste poolpunten van zten _ opzichte van g —= 0 en van tten opzichte van w=A,N=0 voert tot de substituties, die p‚* doen overgaan in ay az e al Cz . A Art A; « nl. tot de substituties Lara Â; ar (ar Ag+agAi)+2ajager dj —=ayrPa lAN- aj a, Ay +êajag(eyAg+agdi)+tagar Aj 2azag ag Ag +ag (ar Ag+ag \ az’ azAg %) Men vergelijke een vraagstuk van A. R. Jounson, M. A. in de Wis- kundige Opgaven, deel III, blz. 295, (287 ) Het uit de vereeniging ontstane puntkwadrupel is dus equi- anharmonisch of harmonisch onder de voorwaarden 2 1 1 im ar bbr tar ILA NI BNN (a,b; 2/7; A,B)=0, =p tbrtertar BS lpp L AN 1 BNL ON-L x 2 l 1 Ree Pr db), 2 l 1 Het symbool (a,b; «,/); A, B) bevat de vier vormen | P, = (abi A) (B), Qi = (ab). (aa) (bA)(P B), R‚ = (ae) bf)(aA)(bB), Ry = (aa) (af)(bA) (LB), als men de vormen weglaat, die identisch nul zijn. Tusschen deze bestaan de betrekkingen PP) = 2, Ll = QQ + Aj. Dus is 2 } 1 Wb; oP; A, B) = hab (LA(BB) + Lae)(bf?)(a ALB). Zoeken we nu den coëfficiënt van a; az bj ba, dan volgen hier- ì 1 uit de betrekkingen / — 2k= 3 l 4 2k= — 5 en dus is 1 B 1 en k = — — De eerste voorwaarde wordt derhalve [8 (ab)? (a A) (2 B) — 2(aa)(bfr)(a ALB] X X de bn ar before! A‚N-1 BiN=l —= 0, 2 1 1 Verder kan (a,b,c: : a, fB, ys ABC de termen P, = (be). (aa) (a 4) (PB) (y C), Py —= (ab)(ac). (be) (ce 4) (7 B) (y C), Qj = (be).(aa)(a 4) (67) (ec B) (y C), Bj = (aa)(a A) (bf) LB) (ey) (el), By = (aa) (a A)(LB) U) (e B) (e C) ( 288 ) bevatten. Daar de betrekkingen gelden, kunnen we stellen 2 1 1 (a, bes da B —=[k (be? (B B) C) + m(bf7) (b B) (ey) (e Cy] (aa) (a Al. En bepalen we den coëfficiënt van aj ag bj ba c} cz, dan vin= | den we k= —9 en m==— 2, zoodat de tweede voor- waarde wordt [9 Be? (BB)(y C) + 26/9) (bB) (ey) (cC)] (aa) (a A) X x bra bn? den arl PAR A LBN-1GN1 0, Voor AN za?’ =a? en t—=z= y ‘herleiden beus uitkomsten, wijl de eerste term identisch nul wordt, zich tot (ac) (bd) (ae) (bf) nn: by? et! dt Oje Ps: il (ad) (ag) (be) (bh) (ef) (cì) a,” * bre ord XX 5 haas Bit Pac. Pedra ht dn —z 0. Als n= 2, y= l, N==l is, vallen de y, z, f wtsdewers gelijking weg. Dan drukken de betrekkingen 3 (ab?) (a A) — 2(aa)(ba)(aA)b dd) = 0, (ac) (a A) [9 (be)? (a AP + 2(ba)(ea)(bA)(e AI] = 0 de voorwaarden uit, dat de punten a,° = 0, d‚ = 0, A; = 0 een equianharmonisch of harmonisch kwadrupel vormen. Naar behooren splitst de laatste voorwaarde zich in de twee vergelijkingen (aw) (aA) == 0, 9 (ab) (a Ay? + 2(aa) (be) (a A) (b A) = 0, waarvan de eerste betrekking heeft op het geval dat de beide punten a,* = 0 de beide anderen harmonisch scheiden. Zoo komt men weer tot drie omhullenden ( 289 ) 3 (ab u)? (a Au)? — 2 (aat u) (bet u) (a A u) (bA u) = 0 (acu) (a A u) = 0, (abu) (a Au)? + 2(aau)(bau)(aAu)(bAu)=0, waarvan de eerste op de equianharmonisshe en de beide an- dere op de harmonische snijding betrekking hebben. De tweede is een kegelsnee; zooals meetkundig onmiddellijk blijkt, raakt zij de gegeven lijnen en de raaklijnen aan a,” == in de punten, waar de gegeven lijnen deze snijden. Stelt men de tangentiëele vergelijkingen van de gegeven kegelsnee, de gevonden kegelsnee en het snijpunt der gegeven lijnen door F=0, F'=0 en P==0 voor, dan zijn de drie krom- men achtereenvolgens- SFP —2F2—=0, F'=0, 9FP!43F2 0. Hieruit blijkt, dat de beide krommen van de vierde klasse de beide gegeven lijnen tot dubbelraaklijnen hebben. Zijn nu eindelijk in een vlak weer drie krommen C”, C*, CN en een punt P gegeven, dan kan men de meetkundige plaats zoeken van het punt Q, dat op de lijn P Q met betrekking tot (# een poolpuntenpaar en met betrekking tot C* en CN laatste poolpunten bepaalt, die bij vereeniging een equianharmonisch of harmonisch kwadrupel vormen. We vinden voor de eerste meetkundige plaats een kromme van den graad 2 (n + v + N-— 2) met een viervondig punt in P, voor de tweede de vereeniging van een kromme van den graad n + v + N— 2, die P tot dubbelpunt heeft, met een kromme van den graal 2(n + yv + N-—2), die viermaal door P gaat. 5. Zoo komen we dan nu tot vier vormen f/=0,g = 0, w=0 en y= a" —=0 achtereenvolgens van de graden n‚v, N‚,n en zoeken we de voorwaarden, die uitdrukken dat de laatste poolpunten van y,2,t,‚s ten opzichte van deze stelsels een equianharmonisch of harmonisch kwadrupel vormen. We hebben dan te doen met de substituties, die VERSL. EN MEDED, AFD. NATUURK, 3C@ REEKS, DEEL VI. 19 (290 ) pe“ in afrlar.arTla,. AN A, .ast—la, doen over- gaan, nl, Po a ct Aj à Ap, agt Aja + aj Aij + aje Aga) e +AA = Zag A10) 6pg sate aasde dg Ag Aj dj 4p3 2 ag A3 Áz àj Ps ag «a ÁÂg dg We vinden 1 == arl br! ai eh A,N-1 BN gnl bl x val eran X (a,b; a, (7; A, B; a,b), j=aprlbjt=left=lapt. CPT af Ib el Geen 1 1 1 1 x (a, b, (arbres a, f2,ys A, BC ; a, b, €). 1 1 1 1 Nu bestaat (a,b; «,fs; A, B; a, b), wijl determinanten- factoren (ab), enz. niet kunnen voorkomen, uit twee drie- tallen van gelijkwaardige termen, nl: P, =(aA)(bB). (aa) (53)) A= (af?) («-B) (AB) (ab) Py=(aa)(bb).(&A)(PB)j, QG = (a B)(AD) (4/9) (« bj) P;= (aa) (6/2). (Aa) (B) | Qs = (ab) (22) (« B) (Ab) waarvan men het eerste drietal bieyclisch, het tweede mo- noeyelisch *) zou kunnen noemen. Tusschen deze bestaan de betrekkingen P= Qt, Po= Bt, Lt Ds Dus kunnen we stellen 1 1 1 1 (a,b; af; A, B; a,b)=e (Pi + Ps + P3), %) Deze termen zijn ontleend aan de „groepentheorie”, . Tin Cn. Aldie Se Pe ( 291 ) waardoor de eerste voorwaarde overgaat in (P+ Ps + P3) ar! bbl PLA N-I BN gt byte 0; 1 1 1 | Evenzoo bestaat (a,b,c; «‚f?,y: A, B, C; a, b,c) uit zes gelijkwaardige termen, nl. Pir =(a A)(b B). (aa) (bB). (ce) (y C) Piy=(aä)(b b).(a4) (BB). (cy) (C ©); Psn = (a) (66) (A 3) (BV). (ce C) (6) Pra ={(aA)(5 B).(a a) (5 Pike Y) (C5) Pia = (aa) (55). (&A) (BB). (e O)(cy)} » Pia =(a@) (68). (A3) (BT). (eo) (yC) die onmiddellijk uit de drie boven gevonden termen P zijn gevormd. We hebben dus voor de tweede voorwaarde rd Pan A Par k Pis tr Poa 4 Poix br erhalten Voor a ti = y herlei- den beide voorwaarden zich natuurlijk tot identiteiten. Als n= N==v=nz==l is, vallen de onbekenden uit de voorwaardevergelijkingen weg. Dan drukken de voorwaarden Epe De Pin + Pon + Pan + Pia + Pro + P3o = 0 uit, dat de vier punten door de lineaire vergelijkingen ar = 0, enz. gegeven een equianharmonisch of harmonisch kwadrupel vormen. Wijl we hier met lineaire vormen te doen hebben, is het overbodig telkens nieuwe symbolen in te voe- ren. We kunnen ze dus door ax == 0, b‚ =0, cr = 0, de == 0 vervangen, waardoor de beide betrekkingen overgaan in 19+ ( 292 ) (a 92 (LD)? + (a AP (WO)? + (ab) (ed =0, XE (a b)? (e d)° (ac) (bd) = 0. Van deze laat de eerste zich met behulp der identiteit, die men door het weglaten van alle kwadraten verkrijgt, ver- vormen tot Ee | +1=0, of (abed)—(abed) +1=0, wat zooals men weet de voorwaarde is, dat de dubbelver- houding (a bed) gelijk is aan een der onbestaanbare derde- machtswortels uit de negatieve eenheid en de vier punten dus equianharmonisch liggen. En de tweede splitst zich in de drie factoren Bb) ee EEN (at) EE lady (bd) fb (0E) OT 0 Via ey die met de drie harmonische kwadrupels van verschillende paring overeenstemmen *). Met de beide gevonden voorwaarden staan weer de om- hullenden (acu) (db u)? + (adu) (beu) + (abu) (edu) =0, 2 (abu)? (edu) (acu) (bdu)=0 in verband; van deze splitst de tweede zich in drie verschil- lende kegelsneden, die de vier gegeven lijnem ar =—= 0, br == 0, ca == 0, dr =O aanraken: Zijn eindelijk weer vier krommen C, C°, CN, Ch en een punt P in een zelfde vlak gegeven, dan is de meetkundige plaats van het punt Q, dat op PQ met betrekking tot de snijpunten dier lijn met de krommen vier laatste poolpunten bepaalt, waarvan de vereeniging een equianharmonisch of %) Deze bekende uitkomsten hadden het uitgangspunt van dit artikel kunnen vormen; nu dienen ze tot bevestiging van het voorgaande. (293 ) een harmonisch kwadrupel vormen, een kromme van den Un Hy NA n—2)ien graad, die viermaal door P gaat, of de vereeniging van drie krommen van den n + v + N + n — den graad, die in P een gemeenschappelijk dubbelpunt hebben. 6. We voegen ten slotte het punt z aan de punten van f=ar’ = 0 toe en zoeken de betrekking, die er tusschen y en z bestaan moet, opdat het bikwadratisch poolstelsel van y ten opzichte van a#” (« z) = 0 equianharmonisch of harmonisch gelegen zij. Hiertoe bepalen we dit poolstelsel door òf Ò 7g der poolvorming n—è-maal toe te passen. Dit geeft met weglating van gemeenschappelijke getallentactoren N op de vergelijking a” (wz)— 0 het proces nt AAE Bi da Bar (#2) F (n — 3) a,*—* az“ (y 2) en deze vergelijking levert de substitutie Pp) (Aai 23 aj* „| (B ar“ az zg — aj” zj) aj” ag pa) =ay" 8. (Lay ag° 29 — Zar azen) p + (n— 3)” Hyz) aj ag” P3 (age, — 3ajag”ei) a ag? Pa (—4a3’,) agt We vinden dus voor de eerste voorwaarde Bd: Piron ei X 5) 5 4 x[agby(a,b ; 2) + 2(n-3)ay (a; b 3e) (y2) + (n-3)7 (a, b)(ye)]=0. | Do Hierin is nu tt (a,b; 2) == k(ab) a; be, dro 1 4 (e5 bi; Dl(edb, (a D= med). (24 ) Nu doet echter de identiteit ay bz — az by = (ab) (y 2) den vorm (ab)(yz}a,b, overgaan in } (ab)? (y2}?. Dus wordt onze voorwaarde (a by? art brt [kay,byazb, + U (ab)? (y 2)°] = 0, waarin k en l nog onbekend zijn. Deze coëfficiënten worden gaen bepaald met behulp van de termen, die 4j° 21° en yi” 22° bevatten; door gelijkstelling van de coëfficiënten dier termen uit den onderstelden vorm met die van de wer- kelijkheid vindt men £=—= 12 en l = (n + 1)(n — 3) en dus (ab)ragr—4br=4[12a,byasbe + (n + 1) (n— 3) (ab)° (y2)°| = 0. Werkelijk moet n—3 factor zijn van den coëfficiënt van (y2)°. Eveneens vindt men hid DS KANS j=afr=tbyjnt ers [(a,boe; pn2) + (a,boes p72) (ye) + AL | 4 + (abe; g,2) (y2)° + (a,b,e) Y 2] =O, waarvoor men in verband met de samenstelling van j ook schrijven kan 3 3 ED Bont by— —4 bn [(a, b, C; z dy by Cy + (a; b, C; z) by, cy (y2) + de d, 4 ain (a,b; c C; e) cy (y 2)? + (a, (a,b, cj e) (y 2}°] = 0. 3, (a, b,es 2) = k(be)Ba® +U(be)(ca)ac'be +m,(be)ea)(ab)azbzen, , 2) = kg (ab)2(ac}? bees + lo (be)? (ca) (ab; a,?, (a,b; c; 2) == ka (ab) (ac}bebe + l3 (a b)° (ac) be) e, Vp ( 295 ) 4 Mn Oe) =— hy (b e}° (e dy” (a b)?. Dit herleidt zich tot de termen met !,, lg, ka, ka, kj. Want de termen met k, en mj zijn nul, wijl ze bij verwisseling van b en c in de tegengestelde waarden overgaan. En de term met ls is eveneens nul, wijl ze van teeken verandert | bij verwisseling van a en b. We vinden dus (be)? (ea)by eya2? Lb ay be + lo(ab)(ye)] | aur —SbyrSep=td + (ab) (ae)° (y 2) [ko by ey be oz + en + ha(be)eybe (ye) + hi (be)? (y 2)°] en moeten de getallenfactoren lj, lg, ka, ka, kj nu nog bepalen. Uit den vorm Po + QG (ye), Pi + Qi (42), Po + Vo (y2) Betere) Bod Ce (ye). Pat Gs (var 0k Po + Qa(yz), Pa + Q3 (ye), Pa + U (y2) dien de voorwaarde j == Ò hier aanneemt, berekent men deze getallenfactoren zonder veel moeite. Herleidt de deter- minant zich tot A + B(yz) + C(ye)}? + D(yz}? als we ze uitwerken, dan vindt men achtereenvolgens voor den coëffi- ciënt *) %) De volledige vergelijking is y- da,?z Ha , aya (Basea-4, 21) par ds, Zaya,aalaszs- a, 2j) + paar yb1(3b222-b121) + INDE 20,b,0a(Ds za= 0,21) + m1 ba°, by ba (O222-30 21) Hu Di 63° 0, ye, ealea2a=C12) + pC Ca, Cy Ca” (Ca 23 -3c,z) + pee’, -Aevertz + cs als men (#-3) (yz) kortheidshalve door g aanduidt. Dus is de coëfficiënt van pz zo in den term met & of (w-3)(y2) ad, 0 24, 0 1 0 0 a as } bt ba ci ca? Di b, 3bs L ds qz UR C1 Ca bi? de bs’ En abies bi 26,°3 VA ’ ce, Zeu dez Zei* e3° Zes Ze? Zer es e,° enz, ( 296 van yj2aj® in A - .…. -4(be)?(ea)ar bie, 3 > year zg >» Bye)... —(n—3) po ce)? (ca)(ab)a* bier + + (ab) (a c)° bj” nj » pers » C(yze)?... — (n—3)" (be) (ab) (ae) bier, 1 » yi >» Dye)... 6 (n—3)}®. In verband met de aangenomen onderstelling volgt hieruit 3 L == — 4, los Zi (n—3), kg SE (n—3), ka zn (n—3)? bad: 3) tan )’ We vinden dus ten slotte voor de tweede voorwaarde S(be)* (ca)bye,az* [8 aybz +3 (ab)(y2)] agr =Sbin=Sepr=tl + (n —3)(abyt (ac? vel6byeybeert {=O 4 6(n —3)(be)eybe— (n—3) (be) (2)? Als z met y identisch is, worden deze beide uitkomsten achtereenvolgens (abp'ay" 2 bjs-2 =D, (bep (ca) ut tb tert AS De eerste is de covariant van Hessr, g = (f, fj”, en de tweede is de vorm t=(f,p)t=dth (ff) jk Hes volgt weer een eenvoudige meetkundige beteekenis van de vergelijkingen p= 0 en t=— 0. Zoo geeft de covariant van Hesse — en dit is, zoo we ons niet bedriegen, een nieuwe eigenschap — de punten aan, die equianharmonisch liggen met hun kubisch poolstelsel. Natuurlijk kunnen de laatstvermelde uitkomsten ook recht- streeks verkregen worden door het punt y te voegen bij het kubisch poolstelsel van y ten opzichte van /. De substi- tutie pr —= az? ay” (wy) geeft nl. (297 ) ENE iz af=3bjnB(a,d; y) =0, 5 ö Fe bt Sef (a, bes py) =0. Hieruit volgt onmiddelijk het vroeger gevondene; want voor 2 9 3) 5) TEN CREED kan alleen (ab)? a,b, en (bc)? (ca) a,? b, genomen worden. Is nu in een plat vlak weer een kromme (7 en een punt P gegeven, dan kan men vragen naar de meetkundige plaats van het punt Q, waarvan het kubisch poolstelsel ten op- zichte van de snijpunten der lijn P Q met (Cr equianharmo- nisch of harmonisch ligt met P. Men vindt dan, dat de eerste kromme viermaal door P gaat en van den 2(n—1 sten graad is, terwijl de tweede kromme zesmaal door P gaat en van den 3(n—l1)sten graad is, 1. De verkregen uitkomsten, die op kromme lijnen be- trekking hebben, laten zich gemakkelijk op oppervlakken en ten deele zelfs op complexen overdragen. Als voorbeeld dezer uitbreiding beschouwen we het geval van art. 3. We vinden dan onmiddellijk het volgende, Zijn twee oppervlakken fen #* en een punt P gegeven, dan is de meetkundige plaats van het punt Q, dat met be- trekking tot de snijpunten der lijn PQ met beide opper- vlakken twee poolparen bepaalt, die samen een equianhar- monisch of harmonisch kwadrupel vormen, een oppervlak van den graad 2(n + v — 2) met een viervoudig punt in P, of de vereeniging van een oppervlak van den graad n + v — 2, dat in P een dubbelpunt heeft, met een opper- vlak van den graad 2(n + v — 2}, dat een viervoudig punt heeft in Ps; van de beide deelen der laatste meetkundige plaats heeft de eerste betrekking op punten Q met elkaar harmonisch scheidende poolparen, enz. De meetkundige plaats der lijnen, die twee oppervlakken ( 298 Fr? en F‚? van den tweeden graad volgens een equiharmo- nisch of harmonisch kwadrupel snijden, is een complex van den vierden graad of de vereeniging van een complex van | den tweeden graad met een complex van den vierden graad. | Het bedoelde complex van den tweeden graad is reeds meer- malen het onderwerp van wiskundige beschouwing geweest. En het onderzoek der beide complexen van den vierden graad ligt buiten het bestek van dit opstel. VERGELIJKING, BIJ ZOMER- EN WINTERTEMPERATUUR, VAN TWEE GLAZEN EINDMETERS, (BEHOORENDE RESPECTIEVELIJK AAN DE REGEERING VAN Nep. Oosr-INprù EN AAN HET NATUURKUNDIG KABINET DER Riuks-Unrtverstrerr re Urrecur,) MET DEN PLATINA-IRIDIUM STREEPMETER NO, 27, DOOR J. A. C. OUDEMANS. S 1. VROEGERE VERGELIJKING VAN DE GLAZEN METERS MET DEN OUDEN PLATINA STANDAARDMETER. De in het opschrift dezer mededeeling bedoelde glazen meters zijn twee van de zeven, die door wijlen den Heer STAMKART en miijj in September 1856 en Maart en April 1857 met den in 1838 uit Parijs door Lirkens, UyLENBROEK en LoBarro medegebrachten platina standaardmeter vergeleken vEn. De resultaten van die vergelijkingen zijn vermeld in de Verslagen en Mededeelingen dezer Afdeeling, 1° reeks, 7e deel (1858), blz. 38. Van de aldaar vermelde glazen meters is NO. 3 in 1857 door mij, in voldoening aan eene opdracht van den Minister van Koloniën, naar Batavia over- (300) gebracht; N°. 13 kwam aan het Natuurkundig Kabinet der Utrechtsche Hoogeschool. De glazen meter NO, 3 heeft mij te Batavia gediend om er den normaalm:ter mede te vergelijken, behoorende bij Rersorp’s basis-toestel, waarmede de drie bases op Java ge- meten zijn; (zie mijn verslag: Die Triangulation von Java, ausgeführt vam Perssnal des geographischen Dienstes in Nie- derländisch Ost-Indien, Erste Abtheilung. Batavia, Staats- druckerei, 1875; ook verkrijgbaar bij Marrixus Ninorr te ’s Hage). | Toen het nu, ten behoeve der berekening van de trian- gulatie van Java, wenschelijk bleek, dien normaalmeter met den voor dat doel aangevraagden platina-iridium meter NO. 27 te vergelijken, en ik derhalve aan den Minister van Koloniën voorstelde, comparateur en normaalmeter naar Nederland te doen overzenden, voegde ik bij dit voorstel ook dat, om er den glazen meter NO. 3 bj te voegen, die dan tevens eene nieuwe vergelijking kon ondergaan, en dus daarna in Indië beter aan zijn doel, (standaard voor den ijk te zijn), zou kunnen beantwoorden. Ter hierboven aangehaalde plaatse vindt men o. a. de volgende resultaten vermeld : Stelt men de gemiddelde lengte der zeven glazen meters — a de lengte van den platina standaardmeter . en dan is gevonden door wijlen F.J. Sramkarr: September 1856, bij 15°%,1 C ..: N°. 3=—=a— 0R,35, m. fout + Op,31 | NIB gd OBN / Maart en April 1857, bij 7°,1 C..: Ne 3=a—0, 25, u 505,38 N° 13. at DOS en / Het verschil tusschen de beide paren resultaten aan ver- schil aan uitzetting toeschrijvende, hebben wij voor 0°%0 CO: NO. 3 a — 0,16 midd. foub =O: 70 NO, 138 =a— 0, 77 > » Verder vindt men t. a. p. de volgende resultaten vermeld van de vergelijkingen van al de zeven glazen meters met den platina meter: (301 ) Oetober 1856, Februari 1857, bij 15°,6 C inf. ug 03,0 Ce m. INBEMANS a — 4 — 10/,08 4 02,42 A + 0,34 + 0,97 STAMKART asten Ot Ae Nen Oek Gemiddeld « —= A — 10 „82 A— 0 ,50 De gemiddelde uitzetting der glazen meters is dus: 10,32 6005 ho, per graad Celsius minder dan die van den platina standaard- meter. De uitzetting van dezen werd wel is waar door de com- missie LIPKENS, UYLENBROEK, LoBarro in 1888 te Parijs zelf bepaald op 9%6 per 1° C, (zie mijne mededeeling in de Verslagen en Mededeelingen, 8° reeks, Deel III, p. 225), maar dit getal verdient weinig vertrouwen, daar, zooals ik in genoemde mededeeling heb aangetoond, de vergelijking der meters door die commissie niet met de uiterste zorg verricht is. Mijne bedoeling met deze uitspraak is niet, om de nage- dachtenis «lezer overigens als nauwgezette personen bekende commissieleden te benadeelen; de wegingen der standaard- kilogrammen bewijst hunne zorgvuldigheid. Zij meenden zonder twijfel, dat de door hen bereikte nauwkeurigheid, (die men ongeveer daardoor kan aangeven, dat de nieuwe Nederlandsche standaard geverifieerd werd tot op een hon- derdste deel van een millimeter), voldoende was, en waren bovendien huiverig, hun verblijf te Parijs, dat reeds drie maanden geduurd had, nog langer te rekken. Uit de genoemde bepaling zou volgen: gemiddelde ui: zet- ting van den glazen meter 8*,94 per 1° C, hetgeen zonder twijfel te groot 1s. Nemen wij voor den platina meter denzelfden uitzet tings- coëfficiënt als de heer Bosscra voor den A/ètre des Archives heeft afgeleid, nl, 82,77 per 1’ CO, *) dan zou die der %) J. Bossena, Relation des expériences qui ont servi à la construc- tion de deux mètres étalons en platine iridié, eomparés directement avee le mètre des Archives, 2e partie, (Annales de "Beole de Delft, Vol. II, le et 2e Livraison.) p. 67. ( 302 ) glazen meters — 84,11 zijn, hetgeen, zooals wij later zullen vien, zeer nabij het door mij verkregene resultaat komt. 60 VORM DER METERS, 1, De glazen meters, die wij G3 en G73 zullen noemen, hebben den vorm van rechthoekige parallelapipeda, hoog 22, breed 12 mm. en zijn aan weerszijden conisch afgeslepen, zoodat figuur 1, zie de Plaat, de projectie en de opstand er van voorstelt. De uiteinden zijn cirkelvormig, en hebben eene middel- lijn van 2 mm. Het eene uiteinde is vlak afgeslepen, zuiver rechthoekig op den as van den meter; het andere uiteinde is bol geslepen, met een kromtestraal van één meter. zoodat het een segment is van een bol, wiens middelpunt zich be- vindt in het middelpunt van het andere uiteinde. 2. De platina-iridiummeter NP. 27. Deze meter, een der beide door de Rijkscommissie STAMKART, BosscHA, Oupe- MANS in October 1880 uit Parijs mcdegebrachte, heeft, zooals reeds meermalen is medegedeeld, (zie o. a. BosscHa, t. a. p., blz. 69) eene lengte van 102 centimeters, en, op voorstel van den heer Trrsca, eene doorsnede, zooals in figuur Óa zicht- baar is. Het doel, met deze doorsnede beoogd, is om met dezelfde hoeveelheid metaal eene groote stevigheid te verkrijgen en tevens gelegenheid te hebben de twee eindstrepen te trekken op eene vlakte, (de bovenvlakte van het in de figuur zicht- bare middenbalkje}, waarin de neutrale vezel, le fibre neutre, van den meter gelegen was. De eiidstrepen zijn op spiegelend gepolijste plekjes, op één centimeter van elk uiteinde, aangebracht, elke eindstreep aan weêrszijden vergezeld door eene andere op een afstand van iets meer dan 20 mikrons. Men ziet er dus door eene sterke loep of een mikroskoop drie strepen, waarvan de middelste de eindstreep is. ( 303 ) Elk dezer meters wordt alleen gebruikt, liggende op twee rollen b, die op een afstand van 55 centimeters van elkander in de zijwanden eener ijzeren lade c waren aangebracht. In het midden dezer lade bevond zich eene klem, die aan den meter kon bevestigd worden, en waaraan eene inrichting was om dezen eene kleine longitudinale beweging mede te deelen; deze inrichting is echter bij onze vergelijkingen niet gebruikt geworden, en zullen wij dus met stilzwijgen voor- bijgaan. WIJZE, WAAROP DE VERGELIJKINGEN PLAATS HADDEN. De vergelijkingen werden verricht door middel van den- zelfden spiegeleomparateur, die in 1856 en 57 op het Trip- penhuis gediend had. Het beginsel, waarop zijn gebruik in het algemeen berust, is door SramkarT beschreven in den Algemeenen Konst- en Letterbode van 1839, NP. 36, en de toepassing op het vergelijken van streepmaten met eindmaten in het Tijdschrift voor de Wis- en Natuurkundige Weten- schappen, uitgegeven door de Eerste Klasse van het Ko- ninklijk Nederlandsch Instituut, Deel IV, blz. 27. Van Amsterdam, waar hij op de bovenverdieping van het Trippenhuis bewaard werd, werd hij naar Utrecht overge- bracht, en, zie figuur 4, in den > Zuidertoren” der Sterre- wacht opgesteld. Daar voor het oprichten van geïsoleerde pilaren het weg- breken van den vloer in den genoemden toren noodzakelijk zou zijn, verkoos ik liever den comparateur op twee hori- zontale balkjes te leggen, die door middel van een stevig samenstel van latten aan de balken der zoldering bevestigd waren. In het kort komt de inrichting en het gebruik van den comparuteur op het volgende neder: zie figuur 2, 3 en 4, AB, figuur 2, is een volkomen horizontale balk, C eene fijne horizontale schroef, die op eene hoogte van enkele ( 304 ) centimeters boven den balk door eene moer loopt, die aan den balk bevestigd is. JD, figuur 2, 3 en 7, is eene vol- komen vertikale vlakte, (een stukje spiegelgias,) die zuiver loodrecht. op de lengte-as van den balk gesteld kan worden. Zij dient tot steunpunt van een der twee stiftjes, die achter een hangend spiegeltje £ zijn aangebracht. /, figuur 4, is een kijker, waarmede op zekeren afstand, in dat spiegeltje de schaal G afgelezen wordt. Bij die aflezingen waren de meters beurtelings geplaatst als in figuur 2 en 3. In figuur 2 ligt NO. 27 »achter,” steunende tegen de schroef C, waarvan de moer op de hiervoor noodige hoogte gebracht moet worden. Tegen N°. 27 aan leunt, met het bolle uiteinde, de glazen meter Gs, die dus nu »voor” is. Tegen het andere, dus het vlakke einde van G3, rust het tweede stiftje van het hangende spiegeltje. In figuur 3 ligt NP. 27 vóór, en is zijne vroegere plaats ingenomen door eene houten met metalen schenen voorziene lat van nagenoeg één meter lengte. De glazen meter is nu weggenomen. Boven het midden van den balk is zeer stevig bevestigd een vertikaal geplaatst mikroskoop, zie figuur 5, in welks buis, ter plaatse van het brandpunt van het positief oculair, zich een diafragma met twee evenwijdige spinragdraden bevindt. Bij de eerste ligging, (figuur 2), wordt door draaien aan de schroef (/, de streep 5 tusschen de draden van dit mi- kroskoop gebracht; onmiddellijk daarop wordt, door een helper, in den kijker # de schaal G afgelezen. Daarna wordt het hangend spiegeltje weggenomen, de glazen meter G3 zijdelings verwijderd, en de platina-iridium meter N. 27 naar voren gebracht, zoodat men de in figuur 3 aangeduide ligging verkrijgt. Zooals gezegd is, wordt tus- schen de schroef C en NO, 27 nu eene lat H ingebracht van ongeveer één meter lengte; die, welke ik gebruikte, rustte op rollen. Het hangende spiegeltje wordt nu weer op zijne vorige plaats gebracht, met het eene stiftje leunende tegen het vertikale spiegeltje D, met het andere tegen het einde van den streepmeter NO, 27. ( 305 ) Beide meters worden steeds door middel van gewichten, waarvan de koorden over katrollen loopen, met eene standvastige kracht tegen hunne steunpunten aangedrukt. Het eene koordje is aan de lade van N°, 27 bevestigd, en behoeft gedurende eene reeks metingen niet losgemaakt te worden. Het andere koordje wordt met een haakje aan een knopje bevestigd, dat op zijde van eene klem zit, die op den glazen meter geschroefd wordt. Bj die tweede ligging wordt door draaien aan schroef C de streep a onder het mikroskoop en tusschen de draden gebracht. Bij de waarnemingen van 1856 en 57 was aan de schroef C een molentje aangebracht; de waarnemer moest nu, ter- wijl hij door het mikroskoop keek, door met een stok aan te brengen tikken, de wieken van dit molentje vooruit of achteruit draaien. Deze methode kwam mij te grof en te lastig voor. Ten einde, staande voor het mikroskoop, het omdraaien van schroef C met de noodige langzaamheid te kunnen bewerkstelligen, heb ik den heer OLLAND verzocht in plaats van het molentje aan schroef C een rad aan te brengen, waarin een rondsel grijpt, dat door middel eener stang, waarvan het andere eind door den waarnemer in de hand gehouden wordt, omgedraaid kan worden. Zoodra de streep a juist tusschen afleesdraden in het mi- kroskoop is, wordt de schaal afgelezen. De glazen eindmeter G3 is nu blijkbaar vervangen door den afstand der eindstrepen op NC. 27. Het verschil in de beide aflezingen, tot mikrons herleid, is dus ook het verschil der beide meters. De streepmeter moet dus in de richting van de lengte van den balk verplaatst worden, de eindmeter in eene rich- ting loodrecht daarop; hiernaar zijn de richels ingericht, waarop de wielen rollen, die de meters medevoeren. De streepmeter, hier NO. 27, rust met zijne lade op de vlakke bovenzijden van twee horizontale assen, die aan hare einden van losse wielen voorzien zijn, loopende op. ijzeren VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3ÎdC REEKS. DEEL VI. 20 (306 ) richels, aan weerszijden van den balk. Een en ander is in figuur 5 in doorsnede zichtbaar. De eindmeter, hier G3, rust op een paar rollen, die aan een wagen bevestigd zijn, die insgelijks langs ijzeren richels, zijdelings weggerold kan worden. Vóór dat weg- rollen moet het koordje, waaraan het gewichtje hangt, waar- van zoo even sprake was, losgemaakt worden. Eene volledige meting bestond nu uit het volgende schema : Ingesteld onder het Welke meter mikroskoop streep vóór a NO. 27, b Gs, a NO. 27, b Gs, a NO. 27 Elke instelling geschiedde tweemaal achter elkander; en elke keer werd de schaal tweemaal afgelezen. Daardoor was het mogelijk de middelbare fout af te leiden, zoowel van de aflezing der schaal, als van de instelling der strepen onder het mikroskoop. Tevens werd, zoodra de meters verlegd waren, de ther- mometer op den meter, die vóór lag, afgelezen, evenals een andere, die in het vertrek boven den comparateur hing; evenzoo werd, bij elke aflezing der schaal, de tijd aangetee- kend. Kwam er geene stoornis, dan liep zulk eene reeks metingen in achttien minuten af. Ss 4 NADERE BESCHRIJVING VAN ENKELE BIJZONDERHEDEN VAN DEN COMPARATEUR. 1. De platina-tridium meter NÒ,. 27. De voorkant van NO, 27 bij streep b, is op mijn verzoek door den heer ( 307 ) OrranD met veel nauwkeurigheid loodrecht afgeslepen. De loodrechtheid heb ik door terugkaatsing van het licht eener kaarsvlam onderzocht. Alleen de randen schijnen een weinig rond af te loopen, maar volgens den heer OLLAND is dit aan het polijsten toe te schrijven, dat ik noodzake- lijk geacht had, om dat onderzoek te kunnen doen. Ove- rigens scheen mij de eindvlakte voldoende loodrecht op de as te zijn. 2. Het mikroskoop, dat nog van 1856 dagteekende, had eene negatieve oogbuis, die door middel van eene stift en eene spleet, eene speling in hare hoogte had van 10 millimeters; met deze oogbuis had het eene vergroo- ting van 18,6 tot 15,2 maal. In 1856 en 57 was in het brandpunt van het oogglas slechts één draad van gekleurde zijde gespannen, die op de strepen gebracht moest worden: De hier opgenoemde vergrooting kwam mij te gering voor. Door de buis van het mikroskoop, die slechts 17 centime- ters lang was, met 12 em. te verlengen, en de oogbuis te vervangen door de beide oculairen van een prismacirkel van WEGENER, behoorende aan de sterrewacht, verkreeg ik ver- grootingen van 63,75 en 127,5 maal. Herstgenoemde gaf nog heldere beelden, doch gemakshalve gebruikte ik liever het sterkste oculair, dat, hoewel het de strepen wat dof ver- toonde, nog voldoende licht gaf. Het diafragma kwam nu buiten het oculair. 3. De verlichting. Met de verlichting heb ik veel moeite gehad; de comparateur stond, zie figuur 4, in den zuider- toren der sterrewacht, de kijker in de meridiaanzaal, nabij den muur van den noordertoren; door die schikking alleen kon ik althans over een afstand van 8} meter tusschen kij- ker en spiegeltje beschikken. Die groote afstand werd door SramKaART voor het gebruik van zijn comparateur noodig ge- acht; doch het zal later blijken dat hij veel minder bedra- gen kan. Na verschillende proeven, ook met gloeilampjes, die alle mislukten, doordien deze te spoedig hare lichtkracht ver= loren, kreeg ik eindelijk door drievoudige spiegeling van uit het venster licht, dat niets te wenschen overliet. 20* ( 308 ) Het mikroskoop a, zie flguur 5, was vastgeschroefd op eene koperen plaat b, en deze weer op twee vertikale plankjes c‚ die, door tusschenkomst van eene ijzeren plaat d stevig aan den balk e bevestigd waren. f is een hol spiegeltje, dat de heer OrrLANp op mijn verlangen zoo ingericht heeft, dat men het met gemak alle bewegingen geven kan. Bij de waarnemingen bevindt het zich onder de helft van het objec- tief, aan de zijde van den waarnemer; het kaatst het licht terug naar de bovenvlakte van NC. 27, die onder het mikros- koop ligt. Dat spiegeltje / ontvangt het licht, door het gat g, van een grooteren spiegel h, die om twee loodrecht op elkander staande assen kunnende draaien, alle mogelijke stan- den kan aannemen. Op den vloer van het vertrek is in % een heliostaat gezet, die het licht van het venster terug- werpt naar h; van daar gaat het naar f,en daar de richting der eindstreep parallel aan de lijn fh is, is de verlichting symmetriek met betrekking tot die eindstreep. Op deze wijze kon de verlichting, die donkere strepen op een licht veld geeft, altijd met het meeste gemak zoo gunstig mogelijk gemaakt worden. 4. De thermometers. Bij de zomerwaarnemingen, in Au- gustus 1889 zijn de beide thermometers Baupin, NO. 4899 en 4896 gebruikt, die te Parijs bij den platina-iridium meter NO. 27 waren ontvangen. Deze thermometers waren in tiende graden verdeeld, en honderdsten werden dus geschat. Acht vergelijkingen werden verricht met N° 4896 op NO. 27 en NO. 4899 op G3, en acht vergelijkingen met NO. 4889 op NO. 27 en NO. 4896 op Gs. Daardoor wordt het verschil in aanwijzing van deze thermometers geëlimineerd, en komt nog alleen de gemiddelde correctie der beide thermometers in aanmerking. Bij het leggen der meters voor het doen dezer winter- waarnemingen, den &sten Januari 1889, brak N°. 4896, en werd vervangen door BaupiN NO. 7483, van de sterrewacht, die in vijfde graden verdeeld is, en waarop dus zeer ge- makkelijk de vijftigste graden geschat kunnen worden, Den 81ste Juli, dus vóór het begin der vergelijkingen, werd gemerkt dat in NO, 4899 de kwikkolom niet geheel (309 ) doorliep; met de loep kon men eene kleine tusschenruimte ontdekken. Daar zij bij verwarming opschoof, bleek zij lucht te bevatten. Door verwarming van den thermometer werd deze luchtbel tot in de bovenste verzamelholte ge- bracht, en aldus verwijderd. Het nulpunt van den thermo- meter kon door die bewerking veranderd zijn, en het kon verwacht worden dat het slechts langzaam tot zijne vorige ligging zou terugkeeren. Hoewel Baupix NO. 4896 en 4899 doorgaan voor stand- aardthermometers van de Íste klasse, heb ik toch gemeend meer vertrouwen te moeten stellen op de beide standaard- thermometers van de Sterrewacht, Baupin 7483 en 9797, die wel is waar slechts in vijfde graden verdeeld zijn, maar waarvan de schaal tot boven het kookpunt reikt, zoodat dit met den daarvoor dienenden toestel van ReenauLr, is knnnen geverifieerd worden. Vande gebruikte thermometers nu is het nulpunt herhaal- delijk bepaald, wij zullen dit met een veranderd teeken, dus de correctie opgeven. Met de meeste zorgvuldigheid werd bevonden: Correctie bij 0°. 2 Aug. 31 Aug. 9 Sept. Baupin 7483 — 0°,10 0°00 — 0°04 vertikaal > 4899 — 0,11 —0,14 — 0,15 > » » — 0,15 — 0,16 (— 0,17) horizontaal > A896 — 0,30 — 0,29 — 0,29 vertikaal > > — 0,40 —0,35 (— 0,35) horizontaal GuissrerR NO. 2 + 0,01 +0 ,Ol 0,00 De getallen tusschen (_ ) zijn uit de andere afgeleid. Verder gaven den 5den September, opzettelijk gedurende een ganschen morgen voortgezette proeven met behulp van een waterbak, door vergelijking met BAUDIN 1483 en 9797: BaAupin 4896 Correctie van 15 tot 25° — 0°,205 BAupiN 4899 > bij 16°,72 rt UG » ME Ar ee (RTE » PR NN tl 6 » » 24,58 — 0,124 GeissLER N°. 2 > >» 15—25° + 0,07 ( 310 ) Terwijl de vroeger genomene bepalingen van kook- en vriespunt gegeven hebben: Baupin 7485 1° == 10089"G BávbinN 0797” 17 ==" 150054 6 welke verhoudingen bij de herleiding der genoemde vergelij- kingen der thermometers in den waterbak gebruikt zijn. 5. Het hangende spiegeltje. Dit spiegeltje zie fig. 7, was van STAMKART herkomstig. Het is in eene stevige eikenhou- ten lijst gevat, en van achteren zijn hierin de twee naalden bevestigd, die als steunpunten bij de vergelijkingen dienden. De nog van SrAMKART's tijd afkomstige stiftjes waren van geelkoper en hadden afgeronde punten, zoodat het moeielijk was den afstand der rustpunten nauwkeurig aan te geven. Ik heb daarom den Heer OrvLanD verzocht ze door stalen naalden te vervangen, van welker spitsen ik den af- stand, die ook nog iets kleiner kon aangenomen worden dan vroeger, met alle nauwkeurigheid kon meten. Het spiegeltje hangt aan drie draden, waarvan twee aan de achterzijde bevestigd zijn, en de derde aan de voorzijde. Deze derde is om eene schroef gewikkeld, waardoor het mo- gelijk is, door aan deze te draaien, aan de spiegelvlakte die helling ten opzichte der loodlijn te geven, die voor eene geschikte aflezing door den kijker noodig is. Deze drie draden vereenigen zich boven het spiegelte tot één draad, die boven aan eene galg opgehangen is, zoodanig dat het ophangpunt in de richting loodrecht op de lengte- richting van den balk verplaatst kan worden. Tevens is daar de draad om eene schroef heen gewikkeld, zoodat door hieraan te draaien, het spiegeltje rijzen en dalen kan. Hin- delijk is het vertikale balkje van den galg van onderen met een drukschroef aan den balk bevestigd, en daardoor kan de geheele galg voor- en achterover gedraaid worden, waar- van eene verschuiving van het ophangpunt, in de richting der lengte-as van den balk het gevolg is. Ben gebrek van deze inrichting was alleen dit, dat het de vraag is of het spiegeltje wel onwrikbaar in zijne lijst (311) zit. Wegens de mogelijkheid, dat nog eenige bewegelijkheid van het spiegeltje was overgebleven, werd het, bij de ver- gelijkingen, altijd met de meeste voorzichtigheid afgelicht, over den vasten spiegel geheven en weêr op zijne plaats gehangen. De afleeskijker en schaal. Door StrAMKART en mij was in 1856 en 57 voor afleeskijker gebruikt een kleine handkijker van MorreNr, met eene opening van 27 mm. en aardsche oogbuis, waarvan de vergrooting 12,5 maal bedraagt. Deze vergrooting kwam mij te zwak voor. Een dergelijke handkiijjker van denzelfden maker, met 38 mm. opeving, behoorende tot den inventaris der sterrewacht, vergroot 25 maal; deze was wel geschikt, maar voor de beschikbare ruimte te lang. Nog andere waarlooze kijkers beproefd hebbende, viel mijne keuze op den kijker van een oud altazimuth van DorroNp, met eene vergrooting van 17,7 maal. Hij werd in eene houten goot gelegd, en daarna goed vastgebonden; die goot werd met schroeven stevig bevestigd aan eene horizontale lat boven die, welke voor schaal dienen moest. De as der kijkers was, zie fignur 4, evenwijdig aan, doeh iets hooger dan de as van den platina-iridium meter, als deze op den comparateur op zijne rollen lag. Het objectief bevond zich van het hangende spiegeltje op een afstand van 8,579 meter. De aflezing geschiedde aldus. Onder den kijker was aan de bovenste lat een zwart koord bevestigd, waaraan een gewicht hing. Op den comparateur bevond zich nog vóór het losse, hangende spiegeltje, een vaste vertikale spiegel K, (guur 2 en 3) waarin die zwarte draad door den kijker gezien werd. Dit spiegelbeeld diende als wijzer. Op de bovenzijde van de onderste lat was een papieren strook geplakt, met dwarsstrepen, 108,4 mm. van elkander. Deze waren van rechts naar links genommerd 1, 2,3... 10. Een houten driehoekig prisma van 2 dm. lengte, was tus- schen een raam gevat, dat over die lat heen schoof en op een van de hellende vlakken van dat prisma was eene pa- pieren strook van 108,4 mm. lengte geplakt, die in 100 gelijke deelen verdeeld was; elk deeltje bedroeg dus 1,084 ( 312) mm.; deze verdeeling was genummerd van links naar rechts, en liep dus tegen de vorige jn. Het nulpunt dezer ver- deeling als wijzer aanziende, leest men dus onmiddelijk de honderdtallen, eenheden, en tiende deelen van eenheden af. Van het genoemde raam hing aan de voorzijde van de lat een tweede zwarte draad af, waaraan insgelijks een gewichtje hing, en wel, om de slingeringen spoedig tot stilstand te brengen, in een glas water. De afstand van die vóórzijde der lat, dus van dezen zwarten draad, tot het hangende spiegeltje was == 8,768 meters, makende met de zooeven genoemde 8,579 meters: 17,347 meters. De afstand der beide naalden achter het hangende spiegeltje is — 16,0 mm. Nu is: 16. : -0,001-— 1347 LOSE zoodat elk deeltje van onze verdeeling overeenkomt met een lengteverschil der meters van één mikron. Het hangende spiegeltje is voor den waarnemer, die aan den kijker zit, zichtbaar boven den vasten spiegel. Maar daar de kijker omkeert, ziet men het in den kijker er onder. De waarnemer breugt nu, door het raam met de verdeeling over de lat te verschuiven, den bewegelijken draad in het verlengde van den vasten draad, en leest de schaal af, nl. de honderdtallen van deeltjes op de lat, de enkele deeltjes en de tiende deelen op het driehoekig prisma. 8 5. VOORZORGEN, GENOMEN OM ZOOVEEL MOGELIJK JUISTE RESUL- TATEN TE VERKRIJGEN. Verschillende voorzorgen moesten genomen worden om zooveel mogelijk juiste resultaten te verkrijgen. Ten eerste moest gezorgd worden dat de afgelezene temperatuur waar- schijnlijk zoo na mogelijk met die der meters overeenkwam. De sterrewacht bezit wel dubbele muren, maar de tempera- tuur is er toch dag en nacht niet gelijk, hoewel het ver- (313 ) schil veel geringer is dan in de opene lucht. Des zomers, ‚ bij helder weder, was de temperatuur het gelijkvormigst tij- dens en onmiddelijk na het maximum, d. i. omtrent 4 uur des namiddags en onmiddelijk na het minimum, een paar uur na zons opkomst. Des winters, en des zomers bij ge- heel betrokkene lucht was de temperatuur over het algemeen veel gelijkmatiger. Ik nam dus des zomers, bij helder we- der, op de aangegeven tijden de vergelijkingen, terwijl ik des zomers bij betrokkene lacht en voorts bij de winterver- gelijkingen niet op den tijd van den dag behoefde te letten. In de tweede plaats moesten zooveel mogelijk voorzorgen genomen worden, dat de lichaamswarmte van den waarne- mer geen invloed op dien der meters kon hebben. Hiertoe waren zij beiden met karton bedekt, dat met tinfoelie be- plakt was. Dit toch is door de proeven, onlangs door H. C. Voer en Wirsine te Potsdam genomen, (Astron. Nachrichten, N°. 2815, October 1887) gebleken eene zeer doelmatige manier te zijn, de stralende warmte tegen te houden. Bovendien werd telkens, zoodra de meters gesteld waren, en ik dus, kijkende door het mikroskoop, de instelling beginnen zou, een met tinfoelie beplakt bordpapieren scherm vóór den voorsten meter neergelaten. Daar overigens de vergelijkingen zeer snel in zijn werk gingen, heb ik de volle overtuiging, dat de lichaamswarmte van den waarnemer geen, althans slechts een zeer geringen nadeeligen invloed op het resultaat heeft kunnen hebben. In de derde plaats moest gezorgd worden, dat het steun- punt van de eene stift van het losse spiegelte steeds het- zelfde was, en dat de andere stift, op de voorvlakte van NO. 27 rustende, dezelfde plaats aanraakte, waartegen, als NO. 27 de achterste was, (1ste stand, figuur 2,) de glazen meter met zijn bol uiteinde rustte. Voor het eerste werd gezorgd, doordien het losse spiegeltje zijdelings, aan den kant van den waarnemer, tegen een vast steunpunt rustte ; (hiervoor moet dus de draad, waaraan het spiegeltje hangt, niet volkomen vertikaal hangen, maar eenigszins naar de zijde des waarnemers overhellen ;) voor het tweede door de meters zeer nauwkeurig te stellen, en telkens door eene (314) loep goed toe te zien, waar de tweede stift van het losse spiegeltje tegen rustte. Dit was namelijk daarom raadzaam, omdat de wielen, waarop de beide meters rustten, wel eene geringe zijdelingsche verplaatsing der meters gedoogden. Het punt, waarin ik de aanraking tegen de voorvlakte van N°. 27 liet plaats hebben, was het middelpunt van het dwars- balkje. Mocht er nog een klein verschil in dit aanrakings- punt zijn, dan wordt het zooveel mogelijk onschadelijk ge- maakt, doordien de platinameter van voren een vlakte had, die zoo nauwkeurig doenlijk loodrecht op zijne lengteas ge- slepen was, bovendien was de stand van het spiegelte D, nl. loodrecht op de assen der meters, gerectificeerd, door te zorgen, dat de aflezing van deschaal hetzelfde bleef, als het hangende spiegeltje, hetzij zijdelings, hetzij naar de hoogte of laagte een weinig bewogen werd. 8 6. VOORBEELD VAN EENE REEKS VERGELIJKINGEN, Als voorbeeld van eene reeks vergelijkingen zullen wij die van den 22sten Augustus 1888, des morgens, mededeelen. (315 ) Lidd. BAUDIN BAUDIN GerssLer N° 2 Afle- Afleiding van ij d le or OP __[Ne. 4896 op G4\ in het vertrek. se zing. ONE 27. 44m |16°,36 16°,32 N°. 27| 464,5} | \ | 4610 116125 i 16°,36 16°,315 461,325 cs MG |16 36 ) hg 464,30 ft a EEE EP EE EE EE ke 47 162,50) 16°,31 Gs [434,5 | 134,6 [ 434,75 °° 434,35 | 16°,51 16°,295 ; Ô OLON Mant __50 16°,52] 16°,28) 134,2 | “__J— 26,95 (52 16°,37 16°,31 No. 27 el pp | | 16°,385 16°,305 é | 461,275 461,5 Û 9} 46 _ 54 0 16°,30 pd bnn _ 55 16°,55) 16°,32) a RATE 135] 434,3 ì | 434.92 (16950 teal Gene | 434,1 aus] Z 57 16°,57] 16°,30) 434,2 — 27,34 59 |16°,40 16°,33 N°. 27/4618) , | | En len: 16°,42 16°,305 161,8 461,7 > \ 461,75 4 2 |16°,44) 16°,28) Last Gemiddeld: BAupiN 4899 BAupinN 4896 Geissrer N°, 2 op N°. 27 op G3 inhet vertrek G3 —N°. 27 16°,373 _ 16°,51 16°,30 __ — 26#,95 403 ‚56 SL nete GORE 16 388 16 ,535 16,30 _ — 27#,15 De thermometer GeissLer NO. 2, (verdeeld in tiende graden) hing boven den comparateur, links van den waarnemer, en (316 ) werd telkens mede afgelezen om de standvastigheid der tem- peratuur in het vertrek te kunnen beoordeelen. 87, LENGTE VAN DEN PLATINA-IRIDIUM METER NÛ. 27 BIJ VERSCHIL- LENDE TEMPERATUREN. De vergelijkingen, in 1879 en 1880 te Parijs door de Rijks-Commissie STAMKART, BosscHA, OUDEMANs, bijgestaan door den heer G. Tresca, met den Mètre des Archives ver- richt, hebben, in verband met de bepaling van den uitzet- tings-coëfficiënt, door den heer Frzeau, (zie J. Bosscna » Re- lation des expériences, qui ont servi à la construction de deux mètres étalons en platine iridié, comparés directement avec le Mètre des Archives,’ 2de Partie, p. 67, geplaatst in het Journal de U Bcole Polytechnique de Delft,) voor de lengte van den platina-iridium meter NO. 27 gevonden, tot de volgende formule geleid, waarin M de lengte van den Mètre des Archives bij 0° C en t de temperatuur in graden Celsius beteekent; en de eenheid de mikron of duizendste mm. 1s. NO, 27 — M + 68,11 + 04327 t + 0,0401 t. Hiermede vindt men het volgende tafeltje : T. Celstus. N°. 97 — M. MEE d 8 ‚444 2 22 ‚991 3 31 „444 dan ’ 8 „461 4 H- 39 „905 16 + 142 ,060 4 8,565 17 150 ,625 8 573 18 + 159 198 (St 8 8. SAMENVOEGING DER RESULTATEN BETREFFENDE DEN GLAZEN METER G3, VAN DE NED. O. I. REGEERING. hak F Wij zullen nu de resultaten der afzonderlijke vergelijkin- gen mededeelen. Meestal bestaat elke vergelijking uit een gelijk aantal instellingen en aflezingen, als die van 22 Augustus, die in de $ 6 is uitgewerkt, nl. 2 aflezingen op den eenen en 3 op den anderen meter, gevende 2 uitkom- sten, waaruit het arithmetisch midden genomen werd. Dit aantal uitkomsten is in de 6de kolom door den letter 7 aangeduid. ZOMERVERGELIJKINGEN. Enrsre REEKS. BAunin 4896 op NO. 27. Verschil BAUDIN BAUDIN (GeISSLER hee sne iede Datum. _4896 op 4899 op N°. 2 in het Gy_—_N0.27. 7 en nd doed N°. 27. Ga. vertrek). aflezing. vóórlag. 2 Augustus 1888 16°,62 1667 (16943) — #5 3 —0°%2% G, DR 47 19 16-88 (17305) — A, 30,0 N97 B, BE 1642 46 46/16 A0 — BB 2 40,0 En Be 4 Wege is (1507 (15,98 — BE 20 1 NM ZA 48,96 18,85 (419,04) — 2,65 2 +0,12 N° 27 5 „ 48,67 18,52 (18,40) — 3 3 +0, N°. 27 30 7 wo 46,54 16 Als „616-593 — TdT 2 0,06 NAT RE, 4551 415,36 (4531) — UB 2 +014 N°27 Som. . 436 05 134,92 (134,94) — 206 „45 8 8 47°,006 _ 16°,85 _(16°,87) DEE 0,205 —0 „14. (+0 ,07) Verbeterd, . 16°,80 4621 OE 25 81, ( 318 ) Twrepe reeks. BaupiNn 4896 op Ga. Verschil Welke BAUDiN BAUpIN (GEISSLER tassehen de meten 5 het eerst: Datum. 4899 op 4896op N°. 2 inhet G,—Nr.27. u. gede e en laatst; N°-07: Gs. vertrek). Emin Mise: 22 Augustus 1888 16°,39 16°,53 _(16°,30) — 27245 2 +006 N° É Pos „ 17,40 17,50 (17,36) — 23,2 2 +0,09 N°. 27 ‚ rv 19 00 19 10 (18,91) — A9 2 +0 O1 G, | 98: y ‚ 17,60 17 84 (17 53) — 5 2 +0,09 Ne. 28 Pi ” 18 „20 18 „29 (18 15) — 25 2 3 +0 17 N°.27 29 7 ‚ 16,99 17,11 (16,93 — 1 2 H0,085 N°. 29 7 re bt 47-570 (ATB) 12690 2 +0 ,095 N°.27 29 „ vo 17 OT (TSS RTI 2 +0 ,115 N°277 11 14 142,09 (140,72) — 207 75 Blin EE 17 642 17 ,761 (17 59) Correctie. . — 0 „143 —0 „205 (+0 ,07) Verbeterd. . 17 ,50 17,56 (1766) — 2% 97 Gemiddeld uit beide reeksen. G—N?, 27- 145 17°,135 — 25%,895 N°. 2/"is bij47°,15 “== M + 151 OM wi: £ Dus is G, bij 17°135 —= M + 126*,015 +4 0#,35 WINTERVERGELIJKINGEN. Krrste REEKS. Baupin 4899 op NO. 27, Verschil BAupin BAUDIN (GEISSLER epe EA Mb Datum. 4899 op 7483 op N°. Zin het G—N. 27. 7. laatste tem- vh N90 Gs. _ vertrek). pen vóórlag. 8 Januari 1889 1°,52 1°,40 (1°,22) — 184,5 2 + 0265 N°. 297 | 8 Januari 1889 41 615 1 „51 (1 56) — 18 05" 2 0 AES 9 Januari 1889 1,32 1,32 (1,15) — 18,0 2 +#0,265 N°.27 | 9 Januari 1889 1 505 152 (1 41) — 18 8 2 40533 NDE ES d 5 96 And Ai SR Hat ae 1°,49 1 „44 (1 34) Correctie. . — 0 17 — 0 „04 - (0 00) 19,92 1940 MEAD TESS (319 ) Tweeps REEKS. BAupiN 4899 op G3. Verschil Baupin BAUDIN (GEISSLER mera Datum. 7483 op 4899 op N".Zinhet G,—N. 27. a. en N°. 97. Es: vertrek). Re Januari 1889 2°625 2°905 (2°,715) — 204,3 Seep 045 i 9 c E +0 145 Januari 1889 2 ,90 315 (2,99) — 49,7 2 | +0 125 Januari 1889 2 96 3,225 (3,03) — MO 9 9 H- 042 Januari 1889 1 ,66 2 07 (1 80) — 19 6 2 + 0 345 10 445 11,35 (40 525) — 80 5 EE PEDT 2,54 2,84 (2,645) BRO 050,11 (40 Ot) 2,49 267 (2,65) — 20 13 Gemiddeld uit beide reeksen. Ge N'. 27. 1°,905 _ 2°035 __ — 19#.23 N°. 27 is bij 1,905 —= M + 22 19 ma. fouts Dus is G, bij 2,035 = M + 2*96 + 0,16 S 9. AFLEIDING VAN HET EINDRESULTAAT EN VERGELIJKING MET DE IN 1856, 57 GEVONDENE EN TOT NOG TOE AANGENOMENE WAARDE. Wij hebben gevonden voor de lengte van Gs ba 7,135 M + 126#,015 bij 2,035 M + 2,96 Uitzetting voor 15 „10 123 „055 of per 1° CG 8 „149 Derhalve in 2°,035 16 „58 en lengte van G3 bij 0”: M — 13#,62 Welke meter het eerst en laatst vóórlag. N°. 27 G, N°. 27 Gs G3 ( 320 ) De vergelijkingen bij 0° hadden in 1856, 57 gegeven, Zie.s ke GGz = a — 02,30 ds, Ast Dea VE derhalve: G3 = M — 2,54 Thans gevonden: G3 = M — 138 62 Het verschil in de oude en deze bepaling is dus = 11,08 mikrons; het moet zonder twijfel hoofdzakelijk toegeschre- ven worden aan de gebrekkige vergelijking in 1838, van den voor Nederland bestemden platina standaardmeter met den Mètre des Archives. Wij hebben dus nu de volgende TAFEL VOOR DE LENGTE VAN ÚG3, AFGEROND TOT DUIZENDSTE MILILJMETERS (MIKRONS). 5 EN C Gs Ö Gs mm. mm. mm. 999,986 11° __1000,076 21° __1000,158 1 999,995 13 ‚084 B An 2 1000,003 Is ‚092 23 ‚174 3 1000,011 14 ‚100 24 ‚182 4 1000,019 15 ‚109 25 ‚190 5 1000,027 16 A dj 26 ‚198 6 1000,035 17 ‚125 27 ‚206 7 1000,043 18 ‚133 28 ‚215 8 1000,052 19 ‚140 29 ‚Jaa 9 1000,060 20 ‚149 30 at 10 1000,068 *) Zoo werd het verschil althans door mij afgeleid uit de aanteekenin- gen der commissie LiPkeNs, UyLENBROEK, LoBarto. Zie Verslagen en Mededeelingen, 3e Reeks, Deel III, p. 226, en de noot onder aan die bladzijde. ( 321) 8 10. SAMENVOEGING DER RESULTATEN BETREFFENDE DEN GLAZEN METER Ú13 f VAN HET NAruuRrKUNDIG KaBiNer re Urreour. d ZOMERVERGELIJKINGEN. zd Eerste REEKS. BAUDIN 4899 oP Gj3. Nm Es. | BAupiN BAUDIN (GEISSLER ee NE Ì Datum 4896op 4899op N°. 2Zinhet Gj—N°.2/. u. _ laatste tem- ea er | IN. 97. Eid vertrek). ne : edelen 12 Sept. 1888 15°,64 15°,55 (159,39) — 234,1 2 +-0°085 NO. 27 ME ie te 15,97 (45,79 — 4 2 0,06 - Gu BA / 7 16 52 16 38 (16 25) — 18 ,4 2 +0 „08 N° ST B toss 1677 (TAU) — 204 A 030 Gu | EE EA | Som: 65,0 64,67 (GA ,5H) — 823 lk | An 16 30 16 168 (16 135) Correctie: — 0 „205 —0 14 (+0 07) 16°,095 16°%028 (16°,205) — 20%,58 TWEEDE REEKS. BAUDIN 4899 oep NO, 27. Verschil BAUDiN BAUDIN (GEISSLER ere Datum 4899 op 4896 op NO 2 inhet Gy—N°27. 7. onee N°. 27. _ @3 _ vertrek). bin, °o vodden 17 Sept. 1888 169,75 16°89 (47°,01) — 204,4 3 J- 0°,31 5 19 # # 16 „22 16 375 (16 28) — 18 9 o +0 „20 Es 15 97 16,07 (46 07) EME IE: ka ee Er 55 16.70 (16,70) — 23,9 2, LOA s 65 49 66 ,035 (66,06) — 82 9 Vs vt a dE 37 16:54) (16 :,515) Correctie . —0 „14 — 0 „205 (+0 „07 ) 16°23 16°,305 (16°,59) — -20u,72 Gemiddeld uit beide reeksen ‚ — NO 27 16°,16 _ 16°,17 — 204,65 N°. 27 is bij 16°,16 = M + 143 „44 Dus is G,; bij 16°,17 = M + 122 „79 VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS. DEEL VI, 21 ( 322 ) WINTERVERGELIJKINGEN, Perste Reeks. BauniN 4899 op G53. Verschil BAupin BAUDIN (GEISSLER pe En Datum. 7483op 4899op N° Zinhet Gz—N°.27. zu. _ laatstetem- het eerst peratuur- en laatst NZ Gis vertrek). aflezing. _vóórlag. 17 Jan. 1889 0°,03 09,38 » (024) — 14%,05 2 + UBE Dn Te / 3 ,55 3,91 (3,3) if 7 2 OER 22 / 3 „34 3 „98 (3 ,62) — 13 ,7 2 + 0,235 Gi3 23 / / 2 ,60 2,65 (2,6 WAD +0 42 Gi 9,52 10,38 (9,89): — 53 95 IJ/ ZEE 2 38 2,595 (2,47) | Correctie . — 0 „03 — 0 165 (+0 ,Of) 20,35 22,43 (22,48) _— 134,46 | Twerepe reeks. BauniNn 4899 op NO. 27. { Verschil BAUDIN BAUDIN (GEISSLER nh ee Datum. 4899 op 7483op N°. inhet Gig—N°27. zp. laatste tem. si | N20 ds vertrek). pier: vóórlag, | 24 Jan. 1889 3°,63 39,58 (3,635) — 1448 2 + 0% N° Á Ul OR EER 6 | 3, 3,68) —136 3 LOA 29 , ae ont, a0 4,34 (4,485) —47,0 2 ot OR 21 80 s 4 MM 4 „03 (4,125) — 16 1 2 + 0,28 N° 27 15 „75 15,66. (15 925) —6f' 5 4 tn 3 „4 3,15 (3,98) Correctie . — 0 163 — 0 „03 (+0 02 ) he Wid 3,885 (401) — 154,37 Gemiddeld uit beide reeksen. Gig=N°.27. 3°06 3°,16 — Î4R42 Lengte van N°. 27 bij 3°,06 : M + 31 „95 Lengte van G,4 bij 3°,16 : MZ + 17 ,53 ( 323 ) St AFLEIDING VAN HET EINDRESULTAAT EN VERGELIJKING MET DE IN 1856 EN 57 GEVONDENE WAARDE. Wij hebben gevonden voor de lengte van Gs: bij’ 162,17 : M + 122#,79 bij 8 16: M + 17 ,53 Uitzetting voor 13°,01 105 „26 amper lt GC: 8 ,0907 Derhalve in 3°,16 25 „57 en Lengte van Gj3 bij 0° C: M — 82,04 De vergelijkingen hadden in 1856,7 gegeven; zie Versl. en Mededeelingen, 1ste Reeks, 7de Deel, blz. 35: bj 15°,1: Gia = a + 1#,02, midd. fout + 0#,31, he 71 a + 0,07, > » it 07 38E Schrijft men het verschil tusschen de beide waarden van Gj3 — a, (het midden der 7 glazen meters,) aan verschil in uitzetting toe, dan heeft men bij 0° Gi3 = a — 0,76, midd. fout + 0#,76 Ds A 90 A == M— 1,74 derhalve : Gis = M — 3 ,00. Het verschil met onze bepaling is hier slechts omtrent 5 mikrons. Het is mijns inziens echter niet zeker dat het verschil tusschen de beide waarden van Gj3 — a aan ver- schil in uitzetting moet toegeschreven worden. Beschouwt men het als toevallig, en de uitzetting van Gj3 gelijk aan de gemiddelde van al de glazen meters, dan zou men hebben Gj3 = a + 0%,64 midd. fout + 0r,24 == M— 1 ,60 en het verschil met onze tegenwoordige bepaling zou dan 62,3 bedragen, hetgeen slechts 4,7 van 11% verschilt, 21 ( 324 ) Aan welke bepalingen dit ligt, aan die van 1856, 57 of aan die van 1888, 89 is moeielijk te beslissen. Die van 1856, 57 hebben het voordeel, dat zij in een groot lokaal verricht zijn, waar de temperatuur weinig veranderde; die van 1888, 89 dat er veel meer voorzorgen genomen zijn 1° om de metingen niet te doen lijden door de stralende warmte, die van het lichaam van den waarnemer uitgaat, 20 om de juiste correctie der thermometers voor alle tem- peraturen te kennen, 30 om te zorgen dat de steunpunten der beide stiftjes achter het hangende spiegeltje dezelfde bleven. 8 12. ONDERZOEK NAAR DE NAUWKEURIGHEID DER WAARNEMINGEN EN RESULTATEN, Let men op alles, wat omtrent de gevolgde wijze van waarnemen is medegedeeld, en beschouwt men het in 8 6 gegevene voorbeeld, dan ziet men dat men vier verschil- lende middelbare fouten te onderscheiden heeft. Wij zullen noemen : de middelbare fout van ééne aflezing der schaal door dert kijker nn rn Az ie de middelbare fout van ééne hasta van He mi- lampekoop. pa oe td eN ELN de middelbare fout van één ee a EE RLN afgeleid zooals in de laatste kolom van het schema in $ 6 is aangetoond, uit ééne gemiddelde aflezing als de eene meter voor is, en twee gemiddelde aflezingen als de andere meter vóór is, (ééne voorafgaande en ééne volgende, welke middelbare fout voorondersteld wordt a posteriori afgeleid te zijn, dus door vergelijking van de twee of drie tot hetzelfde stel behoorende resultaten 1n3, de middelbare fout van het resultaat van één stel metingen, welke middeibare fout evenzoo verondersteld wordt a posteriori afgeleid te zijn door vergelijking met het midden.…van* alde stellen; str „00u vee OSE ( 325 ) Omtrent de afleiding dezer middelbare fouten geldt het volgende : mj wordt berekend uit de verschillen van de beide afle- zingen, genomen na elke instelling van het mikroskoop, (zie 6de kolom in het schema van 8 6). Noemen wij deze verschillen a. Zijn er in een stel vergelijkingen der beide meters 2p instellingen, dus 4p aflezingen, dan is: 2p my = } [a°], b. v. voor 22 Augustus, zie $ 6: Ora — OAT, Derhalve voor al de stellen: 2 Ep.m == [a], 2 Fed B É tl LE mg wordt evenzoo door de verschillen gevonden, tusschen de beide middentallen der paren aflezingen, die tot dezelfde ligging der meters behooren. Noemen wij die verschillen b, dan is evenzoo: p (mo? + & mj?) = } [LV], b. v. voor 22 Augustus: 5 (mg? + 4 mj°) = 0,2975. En voor al de stellen: Sm dm ZE derhalve: js > 16°] ER — 1 mj. My a 3 2 zp Wij hebben hieromtrent echter de volgende opmerking te maken: Men kan aannemen, dat er eene oorzaak is, waarom de tweede instelling doorgaans hoogere of lagere aflezingen geven moet dan de eerste. Zoo geeft 22 Augustus, zie S 6: ( 326 ) Tweede aflezing — eerste afiezing N°, 27 vóór. G, vóór. + 0,15 — 0,5 + 0,55 a 01 — 0,1 Gemiddeld : + 0,20 — 0,3 Het is werkelijk gebleken, dat een dergelijk, nagenoeg constant verschil bestond. Wij hebben namelijk gevonden, de gezochte overmaat — # stellende: NE. 27 vóór. G; of G,3 vóór. Zomerverg. G3: 50 r=1l,8 p—=h0%16 39 4,3 z=0K,11 nm Gi: 2 48 A0 Winterverg. G3: 22 —2 1 —0 10 19 — 1,35 —0 ,07 5 Gia: Bte B les li5g=tll,l s=40 10 105 z=—ll l 20 ,10 Bij het afleiden der middelbare fouten kan en moet op een dergelijken systematischen invloed gelet worden; dit ge- schiedt, zooals bekend is, door in plaats van 2 [b?] te nemen : > [b°] EET nt doch deze herleiding is bij elk der vier groepen vergelijkin- gen afzonderlijk uitgevoerd. Aldus is verkregen: Uit de zomervergelijkingen van: Gas 178 mj == 2,06 89 (mg? + Emy?) = 10,34 Gi3: O4 0,57 47 9,65 Uit de wintervergelijkingen van: Gera Sm == 00605 41 6,00 Gis s 86 0,66 43 6,77 440 mj? = 4,759 220 (m3? + 4} mj?) = 26,76 mi° me 0,0108 ma? En ï mi” == 0,1216 ma? == 02 (SIE) Is de afstand der stiftjes achter het hangende spiegeltje == A, en de vergrooting van den kijker = V, dan is de angulaire waarde van mm; : nl EN OE AEN A OE EZ 16000 sin 1” ERE Is verder de afstand van duidelijk zien —= D, de ver- grooting van het mikroskoop — V', dan is de angulaire waarde van mg =d. Vz hl le 127,5 —= 41" PED sen 17° “218000 sin 1” # BANT, C Mag De angulaire middelb. fout, 24", van de aflezingen der schaal met den kijker bewijst de nauwkeurigheid der me- thode, om twee zwarte strepen op witten grond in elkan- ders verlengde te doen vallen. De beide aflezingen, die door den amanuensis der sterrewacht, den heer C. VerrLoop, tot op tiende deelen van de deeltjes, die — 1,084 mm. waren, verricht werden, waren meestal aan elkander gelijk; zoodat ik wel eens het vermoeden kreeg, dat de tweede aflezing niet geheel onbevoordeeld geschiedde; doch indien ik zelf, met de noodige aandacht, eene aflezing eenige malen her- haalde, d. w. z. de beelden der twee hangende draden in elkanders verlengde bracht en de schaal dan aflas, verkreeg ik ook herhaalde malen dezelfde aflezing. De tweede leden der bovenstaande vergelijkingen 2,56 enz. zijn voornamelijk te wijten aan eenige weinige groote verschillen, (tusschen de beide aflezingen,) die wellicht aan eene beweging van den voorliggenden meter te wijten zijn. De middelbare fout mg — 0#,34 had nien, de vergrooting van het mikroskoop 127,5 in aanmerking genomen, geringer kunnen verwachten. LAUucrER (> Mémoire sur la détermina- tion des distances polaires des étoiles fondamentales,” Mém, de U Acad. des Sciences, XXVII, 2me Partie, blz. 38) vindt de middelbare fout van het brengen van een streep tusschen twee evenwijdige strepen — 24", en Bosscra (» Relation des expériences qui ont servi à la construction de deux mètres ( 328 ) en platine iridié, comparés directement avec le mètre des Archives,” Journal de U Beole Polytechnique de Delft, Tome I, p. 96) vond uit het midden van vier bepalingen: middelbare fout X vergrooting — 224,23, zoodat bij eene vergrooting van 127,5 eene middelbare fout zou behooren van: 22,23 EE Nn en | 127,5 ie dus ongeveer de helft van hetgeen onze waarnemingen op- leverden. De reden, waarom onze middelbare fout grooter werd gevonden, kan tweeledig zijn: eensdeels was er tusschen beide instellingen een tijdsverloop van omtrent eene minuut, waarin eene werkelijke, hoezeer ook geringe, verandering in den stand der streep kon plaats hebben; anderdeels was de vergrooting sterker dan het enkelvoudige objectief van het mikroskoop verdragen kan. De strepen van den meter deden zich flauw en slecht begrensd voor. Toen ik vroeger, bij voorloopige metinger, eene oogbuis gebruikte, half zoo sterk als deze, vond ik eene middelbare fout van instelling, die slechts iets grooter was, nl. 0#,4. Door de grootere vergrooting op het mikroskoop te plaatsen, werd wel het gemak een weinig bevorderd, maar de nauwkeurigheid niet vermeerderd. De derde middelbare fout mz leiden wij af uit de twee of meer resultaten, die elk stel vergelijkingen heeft opgele- verd. Zooals uit $ 6 te zien is, hebben wij de bij derge- lijke bepalingen, waar systematische, maar toch veranderlijke fouten kunnen begaan worden, gebruikelijke methode gevolgd, om als er n + laflezingen van den eenen en n aflezingen van den anderen meter elkander afwisselen, alsdan het ver- schil te nemen tusschen elk der „ laatstbedoelde aflezingen en het arithmetisch midden der naastvoorgaande en naast- volgende aflezing van den anderen meter; men heeft dan het voordeel, twee of meer resultaten te verkrijgen, die een oordeel over de overeenkomst der vergelijkingen kunnen ver- schaffen, terwijl de onregelmatige fouten nog iets beter ( 329 ) geëlimineerd worden, dan wanneer men eenvoudig het arith- metisch midden neemt tusschen de beide categoriën van af- lezingen. *) De beide resultaten zijn niet geheel onderling onafhankelijk; bepaalt men uit hunne verschillen de mid- delbare fout van elk resultaat, dan vindt men daarvoor eene te kleine waarde; zooals in mijne »Mededeeling betreffende betreffende de verificatie van eenige kilogrammen,’ Versla- gen en Mededeelingen, 3de reeks, III, blz. 259, is aange- toond, moet men de gevondene (middelbare fout)? nog ver- hlhands: menigvuldigen met den factor ed deze factor is dus: n= 7 VOE NEN 5 > ME en 8 15 rn ONE EE 11 Op deze wijze heb ik gevonden: Uit de zomervergelijkingen van G3 19 m3° = 8,24 KE: » big 9 10,41 » » wintervergelijijkingen » G3 8 6,77 Oe > RE AE, 17,20 45 m3? —= 42,62 Men ziet dus dat er bij het verwisselen der meters sto- rende invloeden werken, want bestonden deze niet, dan zou men voor m3? moeten verkregen hebben: eek 3 b ie 5 (os da m?) = 7: 0,1216 — 0,0912. *) Zooals gemakkelijk te bewijzen is, worden lengteveranderingen van den vorm m + nt 4 pt? (waarin £ den tijd voorstelt,) geëlimineerd, door, als er is afgelezen a,, bj, @, ba en az te nemen: ar +649 +43 Or Twe EIO Vr 9 ( 330 ) Tot hetzelfde resultaat komen wij, als wij de op ver- schillende dagen of althans door verschillende stellen verge- lijkingen verkregene uitkomsten bij het algemeene midden vergelijken. Wij vinden namelijk: Uit de zomervergelijkingen van G3 : 14 m4’ —= 32,55 » » » » Gis lokt: | 25,74 » » wintervergeliijjkingen » G3: 6 1,56 nlet » » Gis hk 11,10 Som: 32 m4 == N my = 2,22 MA == a 1,49 Derhalve : middelbare font van het resultaat der zomervergelijkingen vana, vote bad te B en ES 1,49 middelbare fouten der overige reeksen ET ni 0 „52. Hoewel wij deze middelbare fouten gaarne kleiner gewenscht hadden, wij gelooven toch, dat voor alle doeleinden, waarvoor de glazen meter ooit gebruikt zal worden, de bereikte nauw- keurigheid voldoende is. S 13. NADER ONDERZOEK, IN HOE VER DE LICHAAMSWARMTE VAN DEN WAARNEMER BIJ DE VERGELIJKINGEN MERKBAAR WAS. Hetgeen boven is medegedeeld betreffende het verschil tusschen de aflezingen, behoorende bij de eerste en de tweede instelling bij dezelfde ligging der meters, gaf mij aanleiding eens na te gaan, welke in het algemeen de vermeerdering der temperatuur en der aflezingen gedurende een stel ver- gelijkingen geweest is. Zie hier wat dat onderzoek heeft opgeleverd. Wij nebben de zomervergeliijkingen en de winter- vergelijkingen afzonderlijk gehouden, en evenzoo de stellen, waarbij de platina-iridium meter, als waarbij een der glazen meters in het begin en eind voor was. Wij geven: 10. den (381 ) datum; 20, den duur der geheele reeks vergelijkingen, 30. de toeneming der aanwijzing van den thermometer, die op den meter lag, die bij het begin en eind vóór was; 40. de rij- zing der temperatuur in het vertrek zelf, afgeleid uit de aanwijzing van den thermometer GeissLerR NO, 2, die boven den comparateur, doch zoo hing, dat hij nauwelijks aan de stralende warmte van den waarnemer onderhevig was. Van beide thermometers werd het midden der beide eerste aflezingen, behoorende bij de eerste ligging der meters, af- getrokken van het midden der beide laatste aflezingen, be- hoorende bij de laatste ligging der meters. 50, de toeneming van de aflezing der schaal, tusschen de eerste en de laatste aflezing, zoowel a, in de eerste, derde, vijfde ligging als b, in de tweede, vierde ligging. ZOMERVERGELIJKINGEN. De platina-iridium meter NO. 27 het eerst vóór. Rijzing Verandering der aflezing Datum. Duur.) van den thermometer NS 27 Ge of Bn op N°. 27. [in het vertrek. (a) (51 3 Augustus | 22m | + 0°,30 0°,00 8e 16 0,07 | + 0,09 0 17 0,15 |+ 0,4 2 Or 17 0,06 | — 0 Of ane 17 0,09 | — 0 ,06 A Oy 19 042 | + 0 „075 ca 17 0,09 | + 0,416 Ben, 28 0 47 | + 0 „265 29 19 0 „085 | + 0 275 gel, 19 0 095 | + 0 055 9 4 19 0,445 | + 0 135 Bee, 19 0,06 |+ 0 16 GEA Oe, 17 0,44 | + 0 „075 12 September \ 23 0 085 | + 0 „045 hr jk 20 0 „085 | — 0 „025 RAP | 12 0,10 | + 0,08 Gemiddeld. „19m | + 0%,41 | + 040 | + 0g,35 | — 04,28 ( 332 ) De glazen meter G3z of Gj3 het eerst vóór. Rijzing Verandering der aflezing Datum. van den thermometer Gao! Gs 0 ad op N°. 27 fm het vertrek. (a) (5) 2 Augustus — 0°,26 4, ï + 0 13 27 ij + 0 Of 13 September + 0 ,06 15 # + 0 „30 uy + 0 31 19 fn + 0 „20 20 4 + 0 „18 99 p + 0 „24 Gemiddeld + 09,13 WINTERVERGELIJKINGEN,. De platina-iridium meter NO. 27 het eerst vóór. Rijzing van den thermometer op «N°. 27 È het vertrek. Verandering der aflezing N97 Gs of- Gi3 Datum. Duur. B Januari | Am} + 0°,265-| 409,04 | — 0405 | — 15) RME 18 0,265| 047 | +0,33 | +0 528 ükt 32 042651 0036 0D En gj 22 0 33 0,355 | +4 ,88 | + 1 40 10 A0 a 0 45 635 A LDL A ins 46 29 0,425| OM | —0,03 EE 23 0 „26 0,325 | +005 | +187 bo 16 0,275| 0 305 + 2,00 | + 1 ,00 eb aes 20 0 28 OM | +40 | + 2,0 Gemiddeld. .| 22m | +04 | +097 | +081 | + 0890 ee ek ( 333 ) De glazen meter G3 of Gj3 het eerst vóór. Rijzing van den thermometer op G. jim het vertrek. Verandering der aflezing Datum. Gs of Cz ke («) 1 Januari | 42m | + 0°,445 | + 0°,24 — 0415 Mik 19 0 „42 0 „285 1,65 | — 0#,45 RR 17 0,345 | 0,47 0,93 | + 0,418 Te 18 0 33 0 „39 0 ak Sa, 25 0 33 0.1 EE Ba 5 16 0,235 | 0 435 1,83 | + 0,85 at 26 0 455 | 0 425 17 te en een nr De reden dezer verschillen is niet gemakkelijk aan te geven. Het is in de eerste plaats niet zeker, althans niet bij de zomerwaarnemingen, dat de rijzing der thermometers uitsluitend aan de tegenwoordigheid des waarnemers moet geweten worden. Na elke instelling van het mikroskoop verwijderde ik mij van den comparateur, en begaf ik mij meestal achter den zwaren pilaar, die in de boverdieping den kijker van StTEINHEIL draagt. De bollen der thermometers waren door karton, dat met tinfoelie beplakt was, tegen stralende warmte beschut; de een lag in de bovenste holte van den X-vormigen platina-iridium meter NO. 27, de ander was op de glazen meter gebonden. Herstgenoemde thermo- meter zal dus met meer waarschijnlijkheid zijne rijzing aan die van de temperatuur van N°. 27, dan aan stralende warmte van den waarnemer ontleend hebben. Raadselachtig is vooral het verminderen der aflezing voor G3 of Gjz als deze het eerste vóór lag; maar ook bij die wintervergelijkingen, waarin NC. 27 het eerst vóór lag, komt de gemiddelde vermeerdering der aflezing voor G3 of Gig, nl. + 0/,90, lang niet overeen met de gemiddelde rijzing der temperatuur, (0°,27), van dienzelfden meter, daar deze (334 ) temperatuurs-vermeerdering met eene lengte-vermeerdering van ongeveer 2%,2 zou overeenstemmen. In één opzicht is de glazen meter bij de vergelijkingen in een anderen toestand dan NO. 27; hij wordt namelijk, als hij niet vóór ligt, zijdelings weggeschoven, zoodat hij zich dan niet meer boven den balk bevindt. De streepmeter NO, 27 blijft echter altijd boven den balk. Hierin kan een verschil van thermische werking schuilen, maar opzettelijke proeven zouden daaromtrent genomen moeten worden; voorshands is het mij althans nog niet duidelijk hoe, bij toenemende kamertemperatuur, daardoor eene verkoeling ont- staan kan. Men zou geneigd zijn uit het hier medegedeelde af te leiden, dat het verstandiger is enkel het resultaat der eerste vergelijking van elken dag te gebruiken en de één of twee volgende resultaten slechts als contrôle-waarnemingen te beschouwen. Ik heb dit ook gedaan, en het resultaat, dat te voorzien was, was voor NO, 3, dat deze zoowel voor de zomer- als de wintervergelijkingen 0%3 langer, en voor N°. 13, dat hj 0*,4 langer werd gevonden. Het verschil is dus uiterst gering; en er blijkt wel uit dit geheele on- derzoek, hoe moeielijk het is, twee meters tot op b. v. 4 mikron met elkander te vergelijken. Utrecht, 19 April 1889. J.A.C.OUDEMANS. Téry, lijkvegen van twee glazen eindmeters met den platina tridtam streepmeter N27. Ziy-7 ecinger cAmko Lu, Gebe- Heim Verolsen NTeded. olfd JTatwuzk- SR Dt VI. k St er ek Ar Al d el . \ Tal Sne A ie N boe " | BNA seek E N aaien EN ye dt t AA eb A EL Ln à n Wiers his i ie Od An * Ì v [NHOUD VAN „DEEL VI. — STUK 2. Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 23 Febr. 1889. Rapport over de verhandeling van Dr. JAN pe Vries: w Over de des- ‚ mische configuratie 9,;” door D. BieBens pe HAAN en F.J. VAN DEN BERG; uitgebracht in de vergadering van 23 Februari 1889. Over de desmische configuratie 93; door Dr. JaN DE VRIES....... Verslag over de verhandeling van den Heer G. REINDERS: » Over bladz. 161. 168. Pit. de samenstelling en het ontstaan der zoogenaamde oerbanken in de nederlandsche heidegronden”; door J. P, vAN BEMMELEN en K. MARTIN; uitgebracht in de vergadering van 23 Februari 1889. Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden 30 Maart 1889. Verslag over de verhandeling van den Heer J, CARDINAAL: » Het construeeren van gebogen oppervlakken door middel van vlakke doorsneden ;” door P. H. ScHourr en D BiERENS pE HAAN; uit- gebracht in de vergadering van 30 Maart 1889................ Het construeeren van gebogen oppervlakken door middel van vlakke deorsneden door J..CARDINAAE: sees U ne ene oee eee eed de Harmonische analyse der getijden in de Java-zee; door Dr.J. P vaN ENE atelene ae e N seeld Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 20 April 1889. Verslag omtrent de verhandeling van den Heer Dr. JAN pk Varzs: „Over de vlakke configuraties, welke uit de osculatie-groepen der kubische kromme kunnen gevormd worden;” door P. H. ScHOUTE en D. Bierens De HAAN; uitgebracht in de vergadering van 20 EERST a ess PR EE RE RES Over vlakke configuraties, welke uit de osculatiegroepen der kubische kromme kunnen gevormd worden; door Dr. JAN DE VRIES... Nogmaals over de Bernoulliaansche coëfficiënten; door F, J. vaN DEN BERGE eenden eee vee eene ke eee Equianharmonie en harmonie bij poolstelsels van binaire vormen enz. ; Boor EE SORDUIK, 00 sedan entend den ed ete Vergelijking, bij zomer- en wintertemperatuur, van twee glazen eind- meters (behoorende respectievelijk aan de Regeering van Nederl. Oost-Indië en aan het natuurkupdig kabinet der Rijks-Universiteit te Utrecht) met den platina-iridiumstreepmeter N°. 27; door TEN OUDRMANS, (HEE Flanb)s 5 NES are alde nde tale ikje ek Overzicht der boekwerken, door de Koninklijke Akademie van We- 185. HEBT, 196. 198. 216. 226. 299. tenschappen ontvangen en aangekocht.................«.« 145—178. STOOMDRUKKERIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN. Afdeeling NATUURKUNDE, DERDE REEKS. [| Zesde Deel, — Derde Stuk, JOHANNES MÜLLER. | | | AMSTERDAM, 1889. PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 25 Mei 1889. Tegenwoordig de Heeren: VAN DE SANDE BAKHUYZEN, Voorzitter, PeKELHARING, BieRENs DE HAAN, Korrewee, Forster, KAMERLINGH ONNES, VAN DER Waars, BEHRENS, SURINGAR, MARrTtIN, Lorentz, Mac GiLLAVRY, ZAAIER, Horr- MANN, Husrrcur, A. C. OUDEMANS JR, FRANCHIMONT, BEIJE- RINCK, ZEEMAN, PLACE, VAN Driesen, MrcrHaëris, STOKVIS, DE Vries, KaAPreyN, vaN ‘rt Horr, Hooerwerrr, Buys BarLor, J. A. C. Oupemans, Scrors, Brurer pe LA Rivière, Rav- WENHOFF, ENGELMANN, GRINWIS, Morr, GUNNING en C. A.J. Á. OUDEMANs, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige Vergadering wordt ge- lezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10. H. Dv Morcrau, particulier Secretaris van Z. M. den Koning, ’s Gravenhage, 20 April 1889; 20, het Minis- terie van Oorlog, 's Gravenhage, 20 April 1889; 30, het Ministerie van Justitie, 's Gravenhage, 24 April 1889; 40, den Commissaris des Konings in de provincie Noord-Holland te Haarlem, 18 Mei 1889; 50. Burgemeester en Wethouders van Amsterdam, 25 April 1889; 60, Burgemeester en Wet- houders van Zutphen, 26 April 1889; 70, G, F. Westerman, VERSL. EN MEDED. AFD. NATUUBK. 3de REEKS. DEEL VI. 23 ( 336 ) Directeur van het koninklijk zoölogisch Genootschap »Na=- tura Artis Magistra’’ te Amsterdam, 20 April 1889; 80. H. C. Roeee, Bibliothecaris van de Universiteits-Bibliotheek te Amsterdam, 24 April 1889; 90, A. J. van Persen, Bi- bliothecaris vau het wiskundig Genootschap »Een onver- moeide arbeid komt alles te boven’ te Amsterdam, 24 April 1889; 100. Directeuren van de Nederlandsche Handel- maatschappij te Amsterdam, 24 April 1889; 110. A. J. Enscrepé, Bibliothecaris van de Stads-Bibliotheek te Haar- lem, 27 April 1889; 120. J. Bosscra, Secretaris van de Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen te Haarlem, 1 Mei 1889; 130. G. CO. W. Bonrensiee, Conservator van Tryrer’s Stichting te Haarlem, 4 Mei 1889; 140. Cura- toren van de Rijks-Universiteit te Leiden, 22 April 1889; 150, W. P. Worrers, Bibliothecaris van de Maatschappij der Nederlandsche Letterkunde te Leiden, 25 April 1889; 160. A. R. Arntzenius, Griffier van de Tweede Kamer der Staten-Generaal te ’s Gravenhage, 25 April 1889; 170. J. TiprMAN, Secretaris van het Koninklijk Instituut van Inge- nieurs te ’s Gravenhage, 26 April 1889; 180. H. VorrenN- HOVEN, ’s Gravenhage, 27 April 1889; 190. B. J. Gorpnarr, Secretaris van het Rotterdamsch Leeskabinet te Rotterdam, 24 April 1889; 200. J. A. Grornr, Secretaris van het historisch Genootschap te Utrecht, Mei 1889; 210. W. F. C. van Laak Jr, Bibliotheecaris van de Gemeente-Bibliotheek te Arnhem, 1889; 220. van NAAMEN, Secretaris van de Overijsselsche Vereeniging tot ontwikkeling van provinciale Welvaart te Zwolle, 13 Mei 1889; 230. Tarrs vAN AMmERON- GEN, Gouverneur van de Koninklijke militaire Akademie te Breda, 4 Mei 1889; 240. R. D. M. Verrek, te Buitenzorg, 18 April 1889; 250, F. Hecer, Secretaris van de anthro- pologische Gesellschaft te Weenen, 12 April 1889; 260, I. S. Birrines, Bibliothecaris van het Surgeon general’s Office te Washington, 26 April 1889; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden : ( 337) 10. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te ’s Gra- venhage, 2 Mei 1889; 20. het Ministerie van Marine te 's Gravenhage, 25 April 1889; 30. G. C. W. Bounensree, Conservator van Treyrer’s Stichting te Haarlem, 1889; 40. Buys Barror, Directeur van het koninklijk Nederlandsch meteorologisch Instituut te Utrecht, 7 Mei 1889; 50, Trc- NER, Bibliothecaris van de Universiteits-Bibliotheek te Lund, 23 April 1889; 60. B. A. Coronna, Directeur van het U. S. coast and geodetice Survey Office te Washington, 9 Mei 1889; 70. 1. F. Bripp, Bibliothecaris van de public Library te Melbourne, 15 Januari, 25 October 1889 ; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10. de dankzegging van wege Z. M. den Koning (20 Mei 1889) voor den gelukwensch, 4. M. bij gelegenheid van H.desz. 40-jarige regeering door de Akademie aangeboden; 20, een brief van Z. Exe. den Minister van Binnenlandsche Zaken (6 Mei 1889), de mededeeling behelzend, dat de be- noemingen van de Heeren Dr. J. W. Morr, Directeur der H. B. S. te Utrecht, tot gewoon lid, en A. G. Vorper- MAN, geneesheer te Batavia, tot correspondent der Akade- mie door den Raad van State bekrachtigd zijn; 30, een brief van den Heer Dr. J. W. Morr, waarin hij zijn dank betuigt voor zijne benoeming tot lid der Akademie; 4. een schrijven van den Heer Dr. JAN pr Vrims, leeraar aan de H. B. S. te Kampen, ter begeleiding van een opstel: »>Over vlakke configuraties, waarin elk punt met twee lij- nen incident is’, aangeboden voor de werken der Akademie. Tot rapporteurs over dien arbeid worden door den Voorzitter aangewezen de Heeren Bierens pe HAAN en vAN DEN Bema; 50, eene mededeeling van den Heer Hork, dat hij verhin- derd is de vergadering bij te wonen. — De Heer LORENrz doet eene mededeeling over de mole- kulaire beweging van opgeloste stoffen. — De waarden, door den Heer vaN ’r Horr uit verschillende gegevens voor den 22* > ( 338 ) osmotischen druk in zeer verdunde waterige oplossingen af- geleid, maken het waarschijnlijk, dat deze druk niet anders is dan de »kinetische druk” der opgeloste stof; dat hij nl. gelijk is aan de hoeveelheid van beweging, gerekend volgens de normaal op eenig vlak, die tengevolge van de moleku- laire beweging der opgeloste stof per tijdseenheid door de eenheid van dat vlak gaat, waarbij dan zou moeten worden aangenomen, dat de gemiddelde kinetische energie van een molekuul der opgeloste stof even groot is als die van een gasmolekuul bij dezelfde temperatuur. Om deze opvatting nader op de proef te stellen, kan men het molekulair even- wicht in eene oplossing, waarop uitwendige krachten wer- ken, op twee verschillende wijzen beschouwen. Vooreerst kan men, gelijk dit door de Heeren Gouvy en CHAPERON en meer in het algemeen door den Heer vAN DER Waars gedaan is, uit de tweede wet der warmtetheorie de veranderingen afleiden, die in. een dergelijk geval de con- centratie van punt tot punt vertoont. De uitkomst wordt bijzonder eenvoudig, wanneer men dit verschijnsel in ver- band brengt met den osmotischen druk en de vloeistof onsamendrukbaar onderstelt. Neemt men nl. aan, dat de uitwendige kracht overal dezelfde grootte en richting heeft, en beschouwt men een prisma, waarvan grond- en boven- vlak == 1 zijn, en loodrecht op de kracht staan, dan blijkt het verschil van den osmotischen druk aan die beide vlak- ken, wanneer de uitwendige kracht alleen op de opgeloste stof werkt, gelijk te zijn aan de totale kracht, welke de inhoud van het prisma ondervindt. Werkt daarentegen de uitwendige kracht op de massaeenheid van het water even sterk als op de massaeenheid der opgeloste stof, dan wordt het bedoelde verschil gelijk aan de kracht, welke op de in het prisma aanwezige opgeloste stof werkt, verminderd met die, welke het door deze stof vervangen water ondervindt. Met het »vervangen’’ water wordt hier bedoeld de hoeveel- heid water, die men, na de opgeloste stof verwijderd te hebben, in het prisma zou moeten brengen om dit opnieuw geheel te vullen. In de tweede plaats kan men nagaan, aan welke voor= ( 339 ) waarde voldaan moet zijn, opdat de totale hoeveelheid van beweging der in het prisma aanwezige opgeloste stof niet verandert; daarbij moet zoowel op de krachten als op den kinetischen druk aan grond- en bovenvlak worden gelet. De vergelijking der langs dezen weg verkregen uitkom- sten met die, welke uit de mechanische warmtetheorie wor- den afgeleid, voert tot de identiteit van den osmotischen druk en den kinetischen druk, wanneer men de volgende onderstellingen maakt : 1. Indien op het water geene uitwendige kracht werkt, ondervindt eene groep molekulen der opgeloste stof van de waterdeeltjes, waartusschen zij zich bewegen, alles samen- genomen, geene kracht in de eene of in de andere richting. 2. Indien daarentegen ook het water aan de uitwendige kracht is onderworpen, hebben al de krachten, die de wa- terdeeltjes op eene hoeveelheid der opgeloste stof uitoefenen, eene resultante, gelijk en tegengesteld aan de uitwendige kracht, die op het door deze hoeveelheid vervangen water zou werken. — De Heer Bierens pr HAAN brengt, als Voorzitter der Huveerns-Commissie, een 4° rapport uit over de werkzaam- heden der Commissie en deelt mede dat het 2e deel van Huvyeens’ werken weldra het licht zal zien. — De Heer vAN DE SANDE BAKHUYZEN verklaart een, volgens zijne opgave, door den Heer Rrrsorp geconstrueerden toestel voor het uitmeten van de sterreplaatsen op photographieën, door middel van rechthoekige coördinaten, en deelt de uit- komsten mede van de uitmeting van eene photographie, welke hij van den Heer P. Henry uit Parijs ontvangen had. De waarschijnlijke fout van eene coördinaat is + 0",043. In verband met deze nauwkeurigheid wijst spreker op het belang van de photographie ter vervanging van mikro- meter- en heliometer-metingen. Eene gunstige gelegenheid om de groote waarde van de photographie in dit opzicht te leeren kennen, zal binnen kort worden aangeboden bij ge- legenheid van de oppositie van Victoria. De plaatsen van ( 340 ) de planeet zullen dan door heliometer-metingen aan de Kaap de Goede Hoop (in Yale Observatory), te Leipzig en te Göt= tingen worden bepaald, doch tevens zullen, gedurende die periode, op de sterrenwacht te Parijs photographieën worden vervaardigd van die planeet en de in hare nabijheid liggende vergelijkingssterren, welke te Leiden zullen worden uitge- meten. De mededeeling geschiedde naar aanleiding van het in het licht verschijnen eener 40 verhandeling van den Spreker: »>Mesure des clichés d'après la méthode des coordonnées rectangulaires’’, waarvan een exemplaar voor de boekerij der Akademie ten geschenke wordt aangeboden. — De Heer Forster doet in de eerste plaats eenige mede- deelingen aangaande onderzoekingen, onder zijne leiding door den Heer pe Frreyraa, Officier van Gezondheid 1ste kl. N, I, L., gedaan over den invloed van verzadigde oplossingen van keu- kenzout en van zout in substantie op de ontwikkeling en het leven van pathogene bacteriën. Terwijl cholera-bacillen door keukenzout, in overmaat aangewend, spoedig gedood worden, blijven andere soorten van bacteriën, zooals typhus- bacillen, pyogene staphylokokken, erysipelkokken, de bacillen der varkensziekte (rouget des porcs) — indien zij onder zout _ bewaard worden — langen tijd, gedurende weken en som- mige zelfs gedurende maanden, in het leven. Het onder- zoek heeft in zoo verre praktisch belang, als aan Spreker bekend is, dat op sommige plaatsen vleesch van dieren, die bij het slachten aan parelziekte lijdend werden bevonden en waarvan de weeke deelen voor het gebruik als voedings- middel afgekeurd werden, gezouten en, na 2 à 3 weeken in den pekel gelegen te hebben, aan de eigenaars ter vrije be« schikking werden teruggegeven. Tuberkelbacillen echter, die de oorzaak zijn der tuberkulose van den mensch en van de hiermede overeenkomende parelziekte van het rund, worden door het zouten of pekelen niet gedood; deze bacillen, af- komstig van kultures, zoowel als van knobbels van organen van runderen, die aan parelziekte lijdende waren, behouden onder zout zoowel hun leven als hun infecteerend vermogen, (341 ) zoodat ingezouten of gepekelde — door parelziekte ontaarde — organen, waarvan gedeelten in de buikholte van proefdieren worden gebracht, bij deze tuberkulose van het peritoneum teweeg brengen. Waarschijnlijk staat het weêrstandsvermo- gen dier mikroörganismen tegen het zouten in verband met het vermogen om sporen te vormen. Dit mag althans wor- den afgeleid uit proeven, met miltvuurbacillen genomen. Hierbij bleek, dat deze bakteriën door geconcentreerde zout- oplossingen (van ten minste 74 procent) gedood worden, in- dien zij vrij van sporen zijn, terwijl kultures er van, die sporen bevatten, onder zout bewaard, na maanden nog het vermo- gen hebben, zich te ontwikkelen en te vermenigvuldigen. In de tweede plaats vermeldt spreker nog de in zijn laboratorium door Dr. OC. B. Trranus Jr. gedane onder- zoekingen omtrent den invloed van iodoform-dampen op tuberkelbacillen. Er werden aan de Vergadering een aantal buisjes vertoond, waarin een voor de ontwikkeling van tu- berkelbacillen geschikte voedingsstof aanwezig was. Die stof was in alle buisjes ter zelfder tijd met tuberkelbacillen in- geënt. In de eene helft der buisjes had men, na het enten, boven de voedingsstof kleine buisjes met iodoform-poeder opgehangen. Alleen in die buisjes, waarin geen iodoform was gebracht, hadden zich kulturen van tuberkelbacillen ge- vormd; onder den invloed van de iodoform-dampen daaren- tegen, had geen ontwikkeling plaats gehad. — De Heer HorrmanN deelt mede, dat hij binnen kort voor de werken der Akademie eene verhandeling hoopt aan te bieden: »Over de ontwikkeling van het gehoororgaan bij de Reptiliën”’. — De Heer pe Vrims biedt voor de boekerij een exem- plaar aan van een onlangs door hem uitgegeven werk: »Intracellulare Pangenesis. — De Vergadering wordt gesloten. VIERDE RAPPORT VAN DE HUYGENS-COMMISSIE. (Uitgebracht in de Vergadering van 25 Mei 1889). Nu eerstdaags het Tome II van de Oeuvres et Correspon= dance de Cum. Huvyeens in het licht verschijnen zal, wenscht Uwe Commissie daaromtrent eenige mededeelingen te doen, Het eerste Deel liep over de jaren 1637—1656, het tweede loopt over het tijdvak 1657—1659, het volgende zal de ja- ren 1660—1662 moeten bevatten. Het eerste Deel hield 365 brieven en nog 18 in het Sup- plement. Het tweede Deel hield 337 brieven en nog 20 in het Supplement; dus 740 te zamen. Hiernevens leggen wij U over eene lijst van de personen die in deze Correspondance voorkomen, in zoo verre zij door HuvyeeNs of aan hem geschreven zijn. Bovendien zijn er nog 110 andere brieven, die niet tot een dezer beide soor- ten behooren. Deze lijsten hebben wij opgemaakt voor het eerste en voor het tweede deel afzonderlijk, en daarop voor beide deelen te zamen. De tweede kolom bevat de namen der briefschrijvers, de derde en vierde kolom het aantal brieven door HuvyeenNs aan hem, en door hem aan Huyeens geschreven. Daaruit blijkt, dat door somraige personen niet aan HuyeeNs is ge- antwoord, en eveneens dat HuyeeNs sommige personen niet beantwoordde. Behalve deze uitzonderingen nu blijkt uit deze lijsten, dat er bij velen der genoemde personen brief- mer dk mer mee Ee (343 ) wisseling met HuveeNs bestond; waar dit plaats had, is in de eerste kolom het aantal brieven van die briefwisseling opgegeven, dus de som der aantallen, die in de derde en vierde kolommen voorkomen. TasEL I. Tome LL, Briefwisseling. van H. ‘aan H. B. AYRBeBÛ, ee ennen nn | BR Bartholin. eu 6 moteaten jl 1 de Bee are on ae Ì Bn Boulliaue, es ef ind 1 BEA Brerebon. see er wan delle 3 BOREN 1e rn el Te 1 Calthof. 1 7 P. de Carcavy 4 3 Be C.de Ee L 1 6 _J. Chapelain . 3 3 8 A. Colvius. 4 4 N. Colvius. ar 1 NEC matb. aten ee 9 J. Elsevier. 1 2 Etats-Généraux . 1 1 J. Golius . EE 9 19 Gregorius à Shen Npcenbras, bede 10 9) B. van Gutschoven . «lele #* 5 3 7 J. Hevelius B) 4 G. B. Hodierna . À 1 DES Huygens, Pere … ee cent 7 4 BAG Huysers, frère. … … + 25 17 Lodewijk Huygens «. « …« « … 5 Philips Huygens. ‘ 9 Suzanna Huygens … … … … 1 19 G.A, Kinner à Löwenthurn. 8 1 D. v. Leyden v. Leeuwen. À 1 En Epatorp.s soe 0 VRG E 2 15 M. Mersenne . 5 (344 ) Briefwisseling. 153 F. B. Moechi. H. du Mont . 9 Cl. Mylon. Chr. Otter. 3 KR. Paget . k 10 G.P. de Roberval . 3 A. A. de Sarasa. 79 Fr. van Schooten D. Seghers J. Stampioen . 6 A. Tacquet Tassin … 4 D. de Vogelaer . J. van Vondel. . 12 +5, Walls J. Wiessel. J. de Wick . ? (3) 275 Briefwisseling. M. H. van Andel. . D. van Baerle. . E. Bartholin. 6 Ch. Bellair. … A. de Bie. 3 A. Boddens. .… 49 Ism. Boulliau. 2 C. Brunetti 9 Hr Beuno: J. van der Burch 9 P. de Carcavy. 21 J. Chapelain . Tage IT. Tome II. 99 van H. aan H. 92 85 2 1 5 4 l 1 2 6 4 2 1 A4 35 5 1 4 2 2 1 2 5 7 3 1 3 173 148 van H. aan H. 1 1 Jd Ie ee Oe DO eN ES LO lm DO | Briefwisseling. 99 2 A. Colvius. 2 B. Conradus . L. van Coppenol. S. Coster . A. Duyck. Etats de Hollande et E West- De 3 du Gast Th. Gobert. 8 Gregorius à St. eland? G. van Gutschoven . 2 N. Heinsius … 2 G. Hesius. H. van Heuraet . a J. Hevelius.-: G. B. Hodierna . he Eudde . 3 C. Huygens, père. . C. Huygens, frère. . Lodewijk Huygens . ea S. C. Kechelius à Hollenstein. . 3 G.A. Kinner à Löwenthurn. L. de Medias. M. Mersenne. B H. L. H. de Monmor . 13 Cl. Mylon. Lady Newcastle . R. Paget . Deeb: Pascal, 9 P. Petit ME Piek. : : 3 D. Rembrantz van Nierop Mile van Renesse. 33 Fr. van Schooten. . sg WER Beghers. /. sa wife 67 R.F. de Sluse . 260 (345) == e DO eg en ee ed Corim ON Lo == DO ( 346 ) Briefwisseling. van H. 260 « 120 A. Tacquet. . oe ET 4 J.van” Vlet … mce Nn ! 8 JJ. Walls. A 0 Ae 5 EAN 4 J. de Witt son Cousin 1 Mile, 1 PA bil weten Me 1 272 128 TaseL III. Tomes Ï en II. Briefwisseling. van H. M. H. van: Andels. Temmer 1 Fr. X. Aynscom. D. van Baerle. | 9 KE. Bartholin. 1 6 Ch. Bellair. AS LTE 3 As de. Bie. „en deld, IE EA 2 8 A. Boddens. . vreze MODA ENENS 3 1 50 Ism. Boullmayiensoltef BREM 19 W. Brereton . 2 O1 Brunetbi, 1 10 HE Bruno: : 4 J. van der Burch. . Ee NA l Calthof:: “5 Atte NS 1 8 1 0 16 P. de Carcavy. É 2 A.C. de Chambonnière. . 27 „J.Chapelain … et Ae Aare EREN 10 “AR Oolvius: rn nen 5 N. Colvius. 2 Be Conradus: … rt EENES RENE l V. Conrart. Levan: Goppenol. A ON l S. Coster . vee, VOREG WR Ax Duyek:. nv An SRE 1 18. d 63 1 aan H. Le En md E st Briefwisseling. E33 J. Elsevier. 2 Etats-Généraux Etats de Hollande et ie West- Hod 3 du Gast. Th. Gobert J. Golius . ie wed 27 Gregorius à St. Vineentio. 9 G. van Gutschoven. 2 N. Heinsius . 2 G. Hesius. H. van Heuraet . 10 J. Hevelius 2 G.B. Hodierna . B Hudde 14 C. Huygens, père 44 CQ. Huygens, frère. Lodewijk Huygens . Philips Huygens. Suzanna Huygens. S. U. Kechelius à Beat : 22 G. A. Kinner à Löwenthurn. D. v. Leyden v. Leeuwen. ò D. Lipstorp. . L. de Medicis. 18 M. Mersenne . T. B. Moechi. À H. L. H. de Monmor. H. du Mont . Bent Mylon. Lady Newcastle . Chr. Otter. 4 R. Paget . 6 Bl. Pascal. Bee P.. Petit ( 347 ) W. Pieck . van H. 62 ed jd mek == CC HDO OO mi ae UT 25 OO el ei DO OO a Cm Om aan H. 85 A) OO mn em UN ee en OP _—_ 12 LO ( 348 ) Briefwisseling. 934 % 3 D. Rembrantz van Nierop Mile van Renesse 10 G. P. de Roberval . 3 A: Á. de Sarasa. 112 Fr. van Schooten. D. Seghers 67 Sal Ee de Sud > J. Stampioen . 9 A. Tacquet Tassin . 4. J.van Vlet. D. de Vogelaer . VJi- van, Vondel . 20 J. Wallis. J. Wiessel. J. de Witt. J. de Wijck . son Cousin Mile, ? (4) 562 mk DO OO mi NO DN 329 En nu wij deze gegevens hadden, konden wij gemakkelijk een geregeld overzicht geven, zoowel van de wederzijds niet-beantwoorde brieven, als van het aantal der personen, Het moet niet verwonderen, dat daaromtrent alle getallen van tabel III niet de sommen zijn van de getallen, die in de tabellen IT en II voorkomen; omdat het meermalen gebeurt, dat in het eene Deel een persoon onder de briefwisseling voorkomt, terwijl dezelfde in het andere Deel slechts in ééne der beide laatste kolommen te vinden is: of omgekeerd. met wie HuyeeNs in briefwisseling stond. Ener ( 349 ) BOR an nt vi As. O0D Supplement. … …_…— …- -… 18 888 Personen. A. aan 86 personen, B. van 84 ’ /} ij A Tome L. JAE dB: C. in briefwisseling 21, niet beantwoord 15; ’ 185 aantal personen 36 J 34—2l = 49 = 28 + 15 + 18. TE | Supplement. , … … … 20 851 Personen. A. aan 46 personen, B. van 38 7 7 „ VE 0) Tome IL. A If W in briefwisseling 25, niet beantwoord 21; „ aj aantal personen 46 + 33 —25 = 54 —= 25 + 21 + 8. Balen == ar 102 Supplement L. . . 18 / De ER 140 Personen. A. aan 68 personen, B. van 51 / / / Sla # Tome I en II, A. van HUYGENS. B. aan HUYGENS. C. buiten HUYGENS om. in briefwisseling 37; niet beantwoord 31; ” 14; aantal personen 68 Bl—3f == 82 == 31 + 31 + 14. van HuyeceNs. , . . . 173 brieven aan: HUYGENS. … 148 4 buiten HuYcens om . . 62 383 brieven. Brieven. 14] + niet beantwoord 26 128 + / 20 275 —+ niet beantwoord 46 — 321 == 173 J 148, van HuyeeNs . . . . 128 brieven aam EEUSGENS. Lel ” buiten Huycens om . . 48 7 351 brieven. Brieven. 105 + niet beantwoord 23 167 4e „ 14 212 H niet beantwoord 37 = 309 — 128 + 181, 301 brieven — 173 + 128 329 — 148 + 181 110 / —= 63 + 48 140 pm — 383 + 351. Brieven. 256 —+ niet beantwoord 45 — 301! 306 + „ 28 == 399 562 J- niet beantwoord 86 — 630 = 301 + 329, (350 ) Belangrijk mag zulk een overzicht ook uit dien hoofde heeten, dat daaruit blijkt, hoezeer de briefwisseling in den loop der jaren zich allengs verplaatste. Komt in den aan- vang M. MEersENNE op den voorgrond, naderhand verschij- nen G. A. KinNerR à LÖWENTHURN en GREGORIUS à St. ViN- CENTIO en vooral ook FRrANs vAN SCHOOTEN; terwijl deze in den loop van het derde deel overlijdt; in het tweede deel is er eene drukke briefwisseling met R. F, pe SrLusr, Ism. Bourrrau, J. CHAPELAIN, en ook deze zullen wederom voor anderen moeten plaats maken. Voor den lateren bio- graaf van Huyeens leveren deze overgangen zekere belang- rijke gezichtspunten op. Leiden, 24 Mei 1889, D. BIERENS DE HAAN, Voorzitter. H. A. LORENTZ, Secretaris. en a EN PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 29 Juni 1889. Tegenwoordig de Heeren: van peR Waars, onder-Voor- zitter, Rijke, Mac GrrLaAvrRy, ZAAIJER, DE VRIES, FRANCHI- MONT, VAN Dorpe, Stokvis, BeEieERINCK, HOrFFMANN, WEBER, Husrzecur, Martin, Murper, RAUWENHOFF, SURINGAR, Morr, BrureL pe rA Rrvibre, Koster, PeEKELHARING, FORSTER, Mrcraëris, PrACcr, VAN BEMMELEN, J. A. CO. OupemaAnNs en C. A. J. A. Oupemans, Secretaris. — Het Proces-Verbaal der vorige Zitting wordt gelezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden: 10, J. Bosscra, Secretaris van de Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen te Haarlem, 25 Juni 1889; 20, J. Tr- DEMAN, Secretaris van het koninklijk Instituut van Ingenieurs te 's Gravenhage, 22 Juni 1889; 30. G. 1. W. Breuer, Se- cretaris van het Bataafsch Genootschap der proefondervinde- lijke Wijsbegeerte te Rotterdam, 5 Juni 1889; 40, L. van Hassert, Secretaris van het provinciaal Genootschap van Kunsten en Wetenschappen te ’s Hertogenbosch, 24 Juni 1889; 50. de Gedeputeerde Staten van Friesland te Leeuwar- VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, òde REEKS, DEEL VI, 23 (352) den, 23 Mei 1889; 60%. C. Winxkrer, Secretaris van de Ver- eeniging tot bevordering der geneeskundige Wetenschappen te Batavia, 10 April 1889; 70. J. Barry Tuxe, Secretaris van het College of Physicians te Edinburg, 27 Mei 1889; 80, T. W. Horcouse, Secretaris van het Bureau of Education te Washington, 1889; 90, S. P. Lanerey, Secretaris van de Smithsonian Institution te Washington, 18 Mei 1889; 100 J. C. Pirrrna, Secretaris van de U. S, geological Survey te Washington, 22 Mei 1889; 110, H. Pavr, Bibliothecaris van het U. S. naval Observatory te Washington, 22 Mei 1889; 120. M. Dewey, Secretaris van de University of the State of New-York te Albany, 24 Mei 1889; 130, H. Purr- LIPS JR, Secretaris van de American philosophical Society te Philadelphia, 23 Mei 1889; 14°. Tr. L. MonrteoMery, Bibliothecaris van het Wagner free Institute of Science te Philadelphia, 25 Mei 1889; 150. EK. C. Prokerine, Directeur van Harvard College Observatory te Cambridge, 25 Mei 1889; 16°. den Secretaris van het Canadian Institute te Toronto, 25 Mei 1889; 170, W. ScuurssrereLL, Secretaris van de Elliot Society of Science and Art te Charleston, 28 Mei 1889; 180. Cu. B. Hir, Directeur van het Lick Observatory te Mount Hamilton, 30 Mei 1889; 19°. G. VamsacH, Bibliothecaris van de Academy of Science te St. Louis, 15 Juni 1889; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 10. het Ministerie van Buitenlandsche Zaken te ’s Gra- venhage, 91 Mei, 5 Juni 1889; 20. TI. F. Scuneiper, Bi- bliothecaris van de polytechnische School te Delft, 5 Juni 1889; 30, OC. L. van pen Bure, Laag-Soeren, 4 Jnni 1889; 40, B. Lausrucur, Secretaris van de Hecole spéciale des lan- gues orientales vivantes te Parijs, 1 Juni 1889; 50. U. Ar- FiRI, Secretaris van het R. Istituto di Studi superiori te Florence, 8 Mei 1889; . 60. den Secretaris van de Natur- forscher-Gesellschaft te Dorpat, Maart 1889; waarop het gewone besluit valt van schriftelijke dankbetuiging en plaat- sing in de Boekerij. (353) — Tot de ingekomen stukken behooren: 10. Kennisgevingen van de Heeren vaN pe Sanpr Bak- HUYZEN, VAN DrrseN, ScHors en ZErMAN, dat zij verhinderd zijn de Vergadering bij te wonen. 20, Missive van Z. HE. den Minister v. Binnenl. Zaken (23 Juni 1889) ter begeleiding van een Kon. Besluit van 23 Juni 1889, N°, 21, waarbij wordt goedgekeurd, dat ar- tikel 5 van het Reglement der Koninklijke Akakemie van Wetenschappen worde aangevuld met de volgende alinea: »>Aan gewone Leden der Akademie, die zich in het buitenland vestigen, wordt de titel verleend van corres- pondeerend Lid”. 30, Brief van Mevr. de Wed. Donprrs—Husrzcur, ter be- geleiding van het photographisch portret van haar overle- den echtgenoot, wijlen den Hoogleeraar Donpers, Oud-Voor- zitter der Akademie. Het geschenk wordt met erkentelijk- heid aanvaard. Aan de geefster zal de dank der Afdeeling worden overgebracht, — De Heer Francurmoxr vermeldt eerst, als vervolg op zijne mededeeling van 26 Mei 1888, dat hij sedert, met de hulp van den Heer Kropsie, door de werking van ammoniak op de nitroderivaten der monalkylurethanen, verscheidene zure nitraminen, waarvan het vroeger vermeide aethyleendinitra- mine het eerste voorbeeld was, verkregen heeft, die reeds in het Recueil des travaux chimiques des Pays-Bas beschreven zijn, terwijl later door den Heer Dekkers het tetramethyleen- dinitramine en door den Heer Simon Tomas propyl- en isopropylnitramine zijn bereid. De ontleding der zure nitraminen door koken met ver- dund zwavelzuur was bj het pentamethyleendinitramine in het begin van dit jaar nagegaan en had tot de ontdekking van het pentamethyleenglycol, zijn oxyde, zijn bromide en een onverzadigden alcohol geleid; de publicatie was echter verschoven totdat de Heer Dekkers dezelfde ontleding bij het tetramethyleenderivaat zou hebben nagegaan, toen voor weinige dagen eene mededeeling verscheen van den Heer GusravsoN uit Moskau, die het genoemde glycol en zijn 23 (354 ) bromide langs een anderen weg heeft verkregen. In hoofd- zaak stemmen de eigenschappen er van met die welke spre- ker gevonden heeft, overeen. Tot zijn eigenlijk onderwerp overgaande, toont spreker aan hoe de werking van salpeterzuur op waterstofverbindin- gen, waarin de waterstof hetzij aan koolstof, hetzij aan stikstof gebonden is, meestal bestaat in de vorming van water en de vervanging der waterstof door de nitrogroep: dus in nitreering. Maar in beide gevallen wordt de water- stof hiertoe eerst in staat gesteld door den invloed van andere atoomgroepen of elementen, en wel van die, welke men gewoonlijk negatieve noemt. Toch kan, door de aanwe- zigheid van te veel of te sterke negatieve groepen, de reactie weer belet worden. Salpeterzuur werkt b.v. niet op methaan, azijnzuur, sulfonazijnzuur en cyaanazijnzuur, wel op malon- zuur en zijne monalkylderivaten. Dat deze werking in ni- treering bestaat, is bewezen door samengestelde aethers dezer zuren te gebruiken, die nitroderivaten geleverd hebben; de nitromalonzure aethers zijn vrij sterke zuren, die carbonaten ontleden en met ammoniak fraai kristalliseerende verbindin- gen geven, zonder in amiden over te gaan. Ammoniak noch aliphatische aminen, ook niet de inwen- dige, zooals piperidine, werken op salpeterzuur; zij worden hiertoe echter in staat gesteld b.v. door de aanwezigheid der groep CO, want alle amiden, zelfs de inwendige, zooals die van y- en Ò-normaal amidovaleriaanzuur, werken er op. Bij aanwezigheid eener CO groep schijnt het onverschil- hg te zijn waar deze verder aan gebonden is; maar zijn er _ twee aan de stikstof gehecht, dan kan hetgeen verder aan hen gebonden is oorzaak worden dat de reactie belet wordt. In de volgende lijstjes zijn de formules van eenige lichamen onder elkaar geplaatst, ten einde de overeenkomst en het verschil in samenstelling en den invloed, door de verschillende atoomgroepen teweeggebracht, duidelijk te doen uitkomen. À. B. C. 1 | CH;.NH.H CH.CO.NH.H CH,0.CO.NH.H 3 CH. NIEL CHE CH‚.CO.NH.CH, CH;0.CO.NH.CH, 3 | CHL,.NH.CO.CH, |CH,CO.NH.CO.CH, |CH,O.CO.NH.CO.CH, 4 | CH‚.NH.CO.OCH, | CH,.CO.NH.CO.OCH, | CH,0.CO.NH.CO.OCH, (355 ) Van de lichamen in A voorgesteld worden alleen 3 en 4 door salpeterzuur aangegrepen; 8 geeft een onbestendig, 4 een bestendig nitroderivaat. De lichamen in B voorgesteld geven allen onbestendige nitroderivaten. De gemakkelijkheid waarmede deze zich vormen en die waarmede zij ontleed worden, neemt af van 1 tot 4. Van de lichamen in © voor- gesteld, geven 1 en 3 een onbestendig nitroderivaat, 1 ’t gemakkelijkst; 2 geeft een bestendig nitroderivaat en 4 wordt in ’t geheel niet aangetast, Het blijkt dat de groep CO.CH, altijd verwijderd wordt, CO.OCHs daarentegen niet; twee groepen CO.CHs heffen de werking niet op, twee CO.0CH, wel, een CO.CH3 en een CO.OCH, niet. Hetzelfde effekt dat door twee zuurstofatomen teweeggebracht wordt, wordt ook bereikt door het wegnemen van twee waterstofatomen en de vorming van een gesloten ring van atomen. CH3.CO CH.CO >>NH wordt aangegrepen | >NH miet. CH3.CO0 CH.CO De vroeger medegedeelde en door talrijke voorbeelden ge- staafde regel, dat de groep NH, geplaatst in een atomenring tusschen twee groepen CO, door salpeterzuur niet aangegre- pen wordt, maar wel als zij tusschen CO en eene koolwa- terstofrest staat, is door nieuwe voorbeelden bevestigd; onder anderen door methylhydantoïne CH‚—_NH CH‚—_N_—N0, | Or dab af, | >00 overgaat. CO — N—CH; CO — N-—CH; Ook de werking van salpeterzuur op dimethylaminederi- vaten is voortgezet. Het volgende lijstje geeft de formules, analoog aan die uit het voorgaande 1 | (CH3),.N.H 2 | (CH3),.N.CH3 3 | (CH3)s.N.CO,CH; 4 | (CH3)o.N.C0.0CH3 ( 356 ) Ook hier worden 1 en 2 niet aangegrepen; 3 geeft on- der verlies der groep CO.CH3 nitrodimethylamine, terwijl A eene groep CH3 onder oxydatie verliest en tegen NO, ruilt. Dit laatste feit gaf aanleiding analoge derivaten van een inwendig secundair amine te onderzoeken; waartoe voor- loopig alleen het piperidine in aanmerking kon komen. Het volgende lijstje geeft de formules aan: 1 | (CH3)s.N.H 2 | (CHo)s.N.CH3 3 | (CH9)s-N.CO.CH3 4 | (CH»);.N.CO.OCHs 5 | (CH»);.N.CO.NH, Het eerste lichaam — het piperidine — wordt door sal- peterzuur niet aangegrepen. Het tweede is nog niet onder- zocht. Het derde geeft langzaam, onder verlies van de groep CO.CH3, nitropiperidine, dat door het salpeterzuur verder ontleed wordt. Het vierde werkt zeer heftig, zelfs beneden 00; toch wordt de groep CO.OCH3 niet uitgestooten, maar er ontstaat een nitroderivaat onder gelijktijdige oxydatie. Het product is dat, hetwelk 7 jaren geleden door ScHorrTEN langs anderen weg is verkregen en nitrodehydropiperylure- thaan genaamd. ScHorreN gelooft dat de nitrogroep zich aan de koolstof bevindt en de piperidinekern dus nog ge- sloten is, terwijl uit de analogie met de hier behandelde verbindingen zou moeten volgen, dat de kern geopend is en de nitrogroep zich aan de stikstof bevindt. Daar echter alle tot nog toe onderzochte nitro-urethanen gemakkelijk door ammoniak, onder vorming van een nitramine en een urethaan, ontleed worden, en dit lichaam het niet doet, blijft de vraag onopgelost. Het vijfde lichaam eindelijk — het piperylureum — geeft met salpeterzuur koolzuurgas, ammoniak en nitropiperidine. Het is dus vergelijkbaar met het asymmetrische dimethyl- ureum. Het nitropiperidine wordt door salpeterzuur langzaam (357 ) aangegrepen, zoodat de invloed van de groep NO geringer blijkt te zijn dan die van de groep carboxyl. Dit is ook bij koolstofverbindingen het geval, want, terwijl malonzuur ge- nitreerd wordt, geschiedt dit niet bij nitro- en dinitromethaan. De in de gegeven lijstjes vermelde voorbeelden zijn met tal van andere te vermeerderen, bijv. met de derivaten van trichloorazijnzuur en van oxaalzuur, waaruit de invloed van negatieve elementen of groepen aan een met de groep CO verbonden koolstofatoom blijkt. Bijv.: (CH \.N.CO.CH4 (CH3)o.N.CO.CCIs (CH3),.N.CO.CO.OCH. Het eerste verliest de groep CO.CH3 en geeft nitrodi- methylamine. Het tweede en het derde worden niet aange- grepen. De invloed van andere met CO verbonden groepen, bijv. NH, enz, blijkt uit het gedrag der urea, terwijl de invloed van andere groepen dan CO, bijv. 50, uit het gedrag der sulfonzuren en sulfonamiden is af te leiden. De Heer FrancHimoNr biedt voor de boekerij der Aka- demie een exemplaar aan van de dissertatie van den Heer K. H. M. van per Zanpe, getiteld: Over eenige asymmetrische dialkylurea en het di-isopropylamine. Van belang is vooral de werking der dialkylurea op aldehyden en azijnzuuranhy- dride en de bereiding van het di-isopropylamine, omdat de door JauN in de wetenschap gebrachte dwaling, als zou het di-isopropylamine niet door werking van isopropyljodide op amine te bereiden zijn, volkomen weerlegd is, terwijl tevens een nieuw voorbeeld van bestendigheid der nitrieten van aminen is geleverd in dat van het di-isopropylamine: eene eigenschap, welke het normale dipropylamine mist. — De Heer Pekernarine spreekt over het te gronde gaan van miltvuurbacillen in het onderhuids-bindweefsel bij konijnen. Merscunikorr toonde aan dat miltvuurbacillen, bij kik- vorschen onder de huid gebracht, weldra door leucocyten ( 358 ) worden opgenomen. Niet alleen sterven deze dieren dan niet aan miltvuur, maar zelfs is na eenige dagen geen miltvuur- virus meer in het lichaam der geïnfecteerde kikvorschen te vinden. Worden daarentegen konijnen of andere, voor miltvuur vatbare dieren met deze bacillen ingeënt, dan ver- meerderen de bacillen zich in sterke mate, terwijl zij, na den dood van het dier niet, of slechts in zeer geringen ge- tale in cellen ingesloten gevonden worden. Tegen het besluit, uit deze en tal van later medegedeelde bevindingen door hem getrokken, dat nl. de strijd van het dierlijk organisme tegen daarin binnengedrongen bacteriën door cellen, phagocyten, gevoerd wordt, zijn van verschil- lende zijden bezwaren geopperd. Zoo — om slechts een van de gewichtigste te noemen — zagen EmmericH en Marre dat bij konijnen, die immuniteit verkregen hadden tegen de bacillen der varkensziekte, groote hoeveelheden van deze bacillen, onder de huid ingespoten, binnen kort (na 25 minuten) te gronde gingen, terwijl toch slechts zeer weinige daarvan door phagocyten opgenomen werden. Ook bij de vernieling van miltvuurbacillen onder de huid van den kikvorsch, werd door verschillende onderzoekers op- gemerkt dat de bacillen, ofschoon van virulentie beroofd, toch niet alle in cellen ingesloten gevonden worden. Om na te gaan of de bacillen door de phagoeyten of door een opgeloste, voor deze organismen vergiftige stof gedood wer- den, maakten Merscuyikorr en evenzoo PerruscuKy gebruik van dialysators, waarin de bacillen ingesloten werden voor- dat zij onder de huid werden gebracht. Deze proefnemingen echter leidden niet tot geheel duidelijke resultaten; aange- zien meestal ook leucocyten den dialysator binnendringen. Ook spreker is het in een reeks van proeven, door hem met den Heer OC. M. Syerren ingesteld, niet gelukt een dialysator te vervaardigen, waardoor leucocyten buitenge- sloten werden. Even goed als door de fijnste spleten van de dierlijke weefsels, kunnen de leucocyten zich een weg banen door de poriën van de membranen, die als dialysator= wanden dienst kunnen doen. Om het bezwaar langs een anderen weg te ontgaan, wer= ( 359 ) den nu miltvuurbacillen, in dialysators ingesloten, onder de huid gebracht bij konijnen. Hier kon vernieling van milt- vuurbacillen bezwaarlijk aan de werking van phagocyten ‚worden toegeschreven. Wel is waar zijn leucocyten van ‘konijnen in staat levende miltvuurbacillen in zich op te nemen (wanneer een druppel lymphe, ontnomen aan het in ontsteking gebrachte oor van een konijn, met levende milt- vuurbacillen vermengd, bij een temperatuur van + 35° C. onder het mikroskoop wordt waargenomen, ziet men dat nu en dan een leucocyt een bacillus aantast en in zich opneemt), maar daaruit blijkt slechts dat er strijd wordt ge- voerd — niet aan welke zijde de overwinning is. Dat de leucocyten van het konijn althans veel zwakker zijn in den strijd tegen de miltvuurbacillen dan die van den kikvorsch, is duidelijk. Wanneer een leucocyt van den kikvorsch zich in de nabijheid van een bacillus bevindt, kan men, in- dien ten minste de temperatuur niet te veel van 150 C. af. wijkt, er bijna vast op rekenen, dat de cel langzaam maar zeker de bacterie zal naderen, haar in zich op zal nemen, en, is het staafje te lang om geheel opgenomen te worden, zich als een spoel zal uitstrekken, zoodat ten minste een zoo groot mogelijk deel van den bacillus door het lichaam van den phagoeyt omsloten wordt. Wenmaal aangetast, wordt de prooi niet losgelaten. Leucocyten van het konijn daar- entegen kan men niet zelden, langen tijd achtereen, in de onmiddellijke nabijheid van den miltvuurbacillus zien liggen, zonder dat de aanval beproefd wordt. Heeft de cel, dikwijls na lang dralen, zich om een draad van grootere lengte heengelegd, dan neemt zij betrekkelijk zelden den spoelvorm aan, maar behoudt den vorm van een min of meer onregel- matigen bol, die stil blijft liggen of langzaam langs den draad voortkruipt. Herhaaldelijk ook wordt een eenmaal aange- taste bacillus weer losgelaten. Neemt men hierbij in aanmerking dat miltvuurbacillen, bij een konijn in de circulatie gebracht, zich zeer sterk ver- meerderen, het dier dooden en slechts bij groote uitzonde- ring in leucocyten opgenomen gevonden worden, terwijl er toch in het bloed, in allerlei organen, en bepaaldelijk in de ( 360 ) milt, een groot aantal cellen, die als phagocyten kunnen werken, voorhanden is, dan mag men wel met zeer groote waarschijnlijkheid aannemen, dat de leucocyten van het konijn niet tegen miltvuurbacillen bestand zijn. Toeh worden miltvuurbacillen, in een dialysator opgeslo- ten onder de huid van een konijn gebracht, vernield. | De proeven werden op de volgende wijze genomen. In een platte schaal werden op een laag vleeschwater-pepton-agar- agar miltvunrbacillen gekweekt. Van de met bacillen be- dekte gelei werden stukjes ingepakt in onmiddellijk te voren uitgekookt perkamentpapier. De pakjes, met gesteriliseerde draden dichtgebonden, werden bij konijnen onder de huid van den rug geschoven. De huidwond werd daarna zorgvul- ‘dig gehecht. Ter controle werd bij een konijn een stukje van dezelfde gelei, niet ingepakt, onder de huid gebracht. Terwijl nu het controledier binnen enkele dagen aan miltvuur bezweek, bleven de andere konijnen in leven. Waren de bacillen vrij van sporen, dan kon na 8 of 9 dagen het pakje onder de huid weggehaald, geopend en bij hetzelfde dier, of bij een ander konijn, of bij een Cavia cobaya onder de huid gebracht worden, zonder miltvuur-infectie teweeg te brengen. Maar ook sporen van miltvuurbacillen worden, onder de huid van het konijn, wanneer zij door inpakken in perkamentpapier slechts verhinderd worden in de circulatie te komen, gedood. Naar het schijnt is daarvoor wat meer tijd — 14 à 20 da- gen — noodig. Bij het mikroskopisch onderzoek bleken de pakjes telkens een aantal leucocyten te bevatten, maar de bacillen zoowel als de sporen waren, zoo niet alle, dan toch voor de over- groote meerderheid vrij gebleven. Soms waren andere bac- teriën, micrococcen of staafjes, de pakjes binnengedrongen. Maar in andere gevallen was dit niet zoo, en was er ook in den omtrek der pakjes geen spoor van ettering te be- merken, terwijl toch de bacillen hun virulentie verloren hadden. Men is dus, naar het spr. voorkomt, wel gedwongen aan te nemen, dat in het voedingsvocht van het onderhuids-bind- weefsel bij konijnen een stof voorkomt, die in staat is milt- ( 361 ) vuurbacillen en zelfs miltvuursporen te dooden. Daarmede wordt de beteekenis van MerscuNikorr’s phagocyten-leer geenszins ontkend. De hier vermelde resultaten geven enkel een bijdrage tot de meening, volgens welke de in het lichaam gedrongen miltvuurbacillen niet witsluitend in cellen opgenomen behoeven te worden om te gronde te gaan. Geheel in overeenstemming hiermede zijn de uitkomsten van de onderzoekingen, door NurrarL en in den allerlaat- sten tijd door BucuNer medegedeeld, waaruit bleek dat in het bloed, en wel bepaaldelijk, zooals BucrNer aantoonde, in het bloedserum van konijnen en honden, stoffen voor- komen, die op verschillende bacteriën, en in het bijzonder ook op miltvuurbacillen, een vergiftigende werking oefenen. Eene vraag van den Heer Koster aangaande den toestand der bacillen na den afloop der proef, en van den Heer Stokvis over het nemen van eene nader door hem aangeduide con- trôle-proef, worden door den spreker beantwoord. — De Heer pr Vrins spreekt over den klemdraai bij de wilde Kaardebollen (Dipsacus sylvestris). In tegenstelling met de heerschende meening, die de gevallen van klemdraai, door ALEXANDER BRAUN Zwangsdrehung genoemd, beschouwt als toevallige monstrositeiten, acht de spreker zich gerechtigd, dit verschijnsel voor eene erfelijke variatie te houden. En wel op grond van eene kultuurproef, door hem in 1885 be- gonnen. Op een bed met Dipsacus sylvestris, op het physio- logisch terrein van den Hortus Botanicus te Amsterdam, werden in dat jaar twee gedraaide exemplaren gezien. Vóór deze bloeiden, werden alle overige planten derzelfde soort vernietigd. Het zaad van deze beide individuën werd in 1886 gezaaid, doch daar de plant tweejarig is, kon eerst in 1887 worden gezien, of de afwijking in enkele individuën was teruggekeerd. Dit was, op omstreeks 1650 planten, het geval in twee, en nu werden wederom alleen deze twee als zaaddragers uitgekozen; de overige werden vóór den bloeitijd weggesneden. Beide gedraaide individuën droegen rijkelijk zaad. In 1888 werd slechts van één van hen het zaad uit- gezaaid. In 1889 bleek, dat onder ruim 1500 exemplaren ( 362 ) er 67 waren, wier hoofdstengel het verschijnsel van den klemdraai, en wel meest in zeer hoogen graad, vertoonde. Hieruit valt dus af te leiden, dat de klemdraai erfelijk is en, evenals andere variatiën, door cultuurkeus kan worden gefixeerd. Het voornemen bestaat, in deze richting nog ver- der voort te gaan. Tevens was door deze cultuur een zoo rijk materiaal voor het morphologisch en physiologisch onderzoek van het ver- schijnsel gewonnen, als nog nooit iemand in handen had gehad. Het gelukte daarmede de hypothetische verklaring, vóór omstreeks 40 jaren door BRAUN gegeven, in alle af- zonderlijke punten, aan waarneming en experimenten te toetsen. De uitkomst was, dat deze verklaring volkomen Juist bleek te zin. Het microscopisch onderzoek van den groeitop van groeiende exemplaren toonde duidelijk, dat de bladstand, gewoonlijk bij deze soort een kruisgewijze, in de gedraaide planten een spiraalsgewijze is. En evenzeer, dat de bladbases in de richting dier spiraal samenhangen. Daar- mede zijn de, anders afgescheiden tusschenschotten in den hollen stengel hier tot een inwendige schroeflijn vereenigd. Deze lijn is de klem, die de internodiën, bij hunnen groei, dwingt zich te draaien. Want snijdt men deze lijn tusschen de bladeren, vlak vóór dien groei, door, zoo gelukt het, het draaien ten minste hier en daar, te voorkomen. Men krijgt dan rechte internodiën in den overigens gedraaiden stengel. De Heer SurINGAR, die meent dat de verklaring van het verschijnsel meer nog bij den stengel dan bij de bladeren gezocht moet worden, wordt door den spreker beantwoord. — De Heer vaN BEMMELEN deelde het volgende mede betref- fende een onderzoek, door Dr. BakKuurs RoozeBoom in het Scheikundig Laboratorium der Universiteit te Leiden verricht. De Heer R. was aan het einde van zijn onderzoek omtrent het gedrag van zouten tegenover water tot deze slotsom gekomen: dat in het algemeen de oplosbaarheid voorgesteld kan worden door eene reeks van kromme lijnen voor de verschillende hydraten, ten laatste voor het anhydrische zout, welks oplossingslijn tot aan zijn smeltpunt kan voortgezet ( 363 ) worden; tenzij dan dat te voren het water ontledend gaat werken, of wel dat dit smeltpunt boven de kritische tem- peratuur van water ligt, waarbij een afwijkend gedrag mo- gelijk wordt. Er is evenwel nog eene andere omstandigheid, die het normale beloop der oplosbaarheid storen kan, namelijk het ontstaan van eene nieuwe vloeistoflaag, veroorzaakt door het niet mengbaar zijn van het zout en het water in alle verhoudingen. De Heer RoozeBoom heeft hieromtrent eenige waarnemingen gedaan. In ’t algemeen is het ontstaan van eene tweede vloeistof- laag bij het vervolgen der oplosbaarheid van eene vaste stof geene onbekende zaak. Ongetwijfeld behoort hiertoe het zoogenaamde vervroegde smelten van vele stoffen onder water, wat onmogelijk anders zijn kan dan de vorming eener nieuwe oplossing van grootere concentratie dan de reeds aanwezige. Naarmate dit verschijnsel dichter bij het smeltpunt plaats vindt, zal de gevormde laag minder water bevatten. Arrxnsew heeft dit verschijnsel voor ’t eerst bestudeerd bij de oplossingen van phenol en van benzoëzuur in water. Bij eene zekere temperatuur treedt als tweede vloeistoflaag eene zeer sterke oplossing dezer stoffen op. Beneden die temperatuur kan de vaste stof naast de Lste oplossing; ho- ven die temperatuur kan, hetzij de vaste stof naast de 2de bestaan (mogelijkerwijs tot aan haar smeltpunt), òf wel de beide vloeistoflagen nevens elkaar tot aan hun mengpunt. Genoemde temperatuur duidt, in de voorstelling der druk- lijnen voor de verschillende systemen, een quadrupelpunt aan. Soortgelijke gevallen zouden zich nu ook bij zouten kun- nen voordoen. Bij sommige zouten der hoogere vetzuren zijn zelfs gevallen van afscheiding als olieachtige laag be- kend, gewoonlijk echter in tegenwoordigheid van vreemde stoffen. Van andere zouten dier reeks, welke bij laag smelt- punt geringe oplosbaarheid vertoonen, onderzocht de Heer R. er twee: heptylzuurlood en nonylzuurcadmium, welwil- lend door Prof. FrANcHIMONT ter zijner beschikking ge- (364 ) steld. In de nabijheid van hun smeltpunt veranderen zij ook onder water. Er vormen zich ‘echter geene nieuwe vloeistoflagen, maar taaie massa’s wier verder onderzoek on- mogelijk is. Zulks geschiedt ook bij het appelzuur lood: een zout, waarvan de zoogenaamde smeltbaarheid onder wa- ter sinds lang opgegeven werd. Ongetwijfeld scheiden zich in al deze gevallen basische zouten af. Onder de meer oplosbare zouten onderzocht de Heer R. het ammoniumacetaat en het natriumsulfocarbonaat. Bij geen van beide werd laagvorming waargenomen, in weerwil dat zulks bij het tweede zout intreedt na toevoeging van alco- hol tot de oplossing. Het eerste zout is bij zijn smeltpunt zelfs in alle verhoudingen met water mengbaar. Een goed voorbeeld van de scheiding eener zoutoplos- sing in twee lagen vond de Heer R. eindelijk in een zout, door den Heer vaN RomBureH ontdekt, het kaliumzout van trinitrooxyphenylmethylnitramine C;H(NOs)sN NO OE. Neu- 2 traliseert men eene oplossing van het zuur met K3C0Os, dan scheidt zich, als de oplossing niet te slap is, eene zeer ge- concentreerde laag af‚ die na eenigen tijd het vaste zout afzet. Beide vloeistoflagen kunnen bij eene reeks van tem- peraturen bestaan. Daar bij verhooging der temperatuur het watergehalte der onderlaag en het zoutgehalte der boven- laag toenemen, worden hunne samenstellingen meer en meer aan elkander gelijk, en is bij 340.6 hun mengpunt bereikt. Evenwel zijn beide deze oplossingen labiel ten aanzien van het vaste zout, omdat zij beide geconcentreerder zijn dan de oplossing, die met het vaste zout in evenwicht bestaan kan. Daarom zetten zij, vooral de sterkere onderlaag, na korter of langer tijd, het zout af. Bj het vervolgen der oplosbaarheid van het vaste zout, treedt daarom ook nimmer de tweede vloeistoflaag op, daar de verzadigde oplossingen daartoe te slap zijn. Wel ver- krijgt men eene tweede laag, wanneer men de met het vaste zout bereide oplossingen min of meer beneden 35° afkoelt, omdat de uitscheiding van het vaste zout bij afkoeling zeer traag geschiedt. ( 365 ) Uit de sterkere oplossingen scheidt zich dan de bovenlaag, uit de slappere de onderlaag als tweede vloeistof uit. Het gedrag van dit zout stemt in alle opzichten overeen met dat van salicylzuur tegenover water, door Arexrsew onderzocht. Geen enkel voorbeeld van de vorming eener tweede vloei- stoflaag naast het vaste zout aangetroffen zijnde, zocht de Heer R. bij de anorganische zouten. Ook daarbij is de scheiding in twee lagen wel waargeno- men bij toevoeging van vreemde stoffen, voornamelijk alcohol, tot de oplossing, doch nimmer bij de waterige oplossingen alleen. Het verschijnsel scheen het best te verwachten te zijn bij zouten met lage smeltpunten. Hierbij dient afzon- derliijk gelet op anhydrische en op hydratische zouten. Het aantal anhydrische zouten met laag smeltpunt is zeer gering. Voor de meesten ligt het zelfs boven de kritische temperatuur van water. Voor de anderen schijnt de regel te zijn, dat de oplosbaarheid in water regelmatig stijgt totdat ze bij het smeltpunt oneindig wordt. Was dit voor kort slechts bekend van het K N03, onlangs werd dit door Erarp ook bevestigd gevonden bij NaNO3, AeNO3s en KCIOs. De Heer R. vond dit zelfde gedrag ook bij NH, N03, NH, H SO,, KHSO, en He Br,, smeltende bij 1659, 1600, 2000 en 2300, Ook het Al Br3 is bj zijn smeltpunt (95°) met water meng- baar, doch hierbij vormt zich, door toevoeging van meer water, een vast hydraat. Onder de weinig oplosbare zouten met niet al te hoog smeltpunt behoort het Hel, (smelt p. 2509). Wegens de zeer geringe oplosbaarheid neemt echter de druk van den water- damp bij hooge temperatuur zoozeer toe, dat het nimmer gelukte het smeltpunt te bereiken en alzoo waar te nemen of in deszelfs nabijheid zich het vaste zout tot eene tweede vloeistoflaag van groote concentratie omzette. Als men het AsBrs tot de zouten wil rekenen, kan dit echter als voorbeeld dienen voor het gezochte verschijnsel. Beneden 240 lost dit tamelijk in water op. Bij deze tem- peratuur smelt het onder de oplossing en vormt eene tweede vloeistoflaag die een weinig water bevat. Beide vloeistoflagen kunnen boven 240 tot zeer hooge temperatuur nevens elkan- ( 366 ) der bestaan (bij 200° zijn ze nog niet gemengd); het As Br3 kan met de tweede vloeistoflaag bestaan van 240 tot zijn smeltpunt 270,5. Toch is ook dit verschijnsel niet geheel eenvoudig, want er heeft gedeeltelijke ontleding plaats onder afscheiding van eenig Ass. Onder de zouthydraten zijn er genoeg, die een laag smelt- punt bezitten; doch bij geene daarvan is laagvorming uit de oplossing waargenomen. Regel bij dezelve schijnt te zijn: òf dat hunne oplosbaarheid regelmatig stijgt tot aan hun smelt- punt, òf dat beneden die temperatuur zich eene waterarmere laag, niet in vloeibaren, maar in vasten toestand afscheidt. — De Commissie voor de geologische kaart van Nederland brengt, bij monde van den Heer vaN BreuMeELeEN, het voorstel ter tafel, dat de Afdeeling zich wende tot Z. H. den Minis- ter van Binnenlandsche Zaken om er op te wijzen, dat van Gouvernementswege velerlei werken ondernomen worden, die tot het opdoen van kennis, omtrent den aard van onzen bo- dem zouden kunnen strekken, zoo zij slechts in de tegen- woordigheid van deskundigen werden uitgevoerd, doch die, juist omdat deze daar ter plaatse gemist worden, voorbijgaan zonder dat iemand er kennis van neemt. De Commissie zou daarom wenschen, dat de Afdeeling in kennis mocht worden gesteld met al wat op het maken van insnijdingen, van grondboringen enz. betrekking had, en dat de Minister dan een jaarliijjksch crediet van f 500 toestond, waaruit bijv. de reis- en verblijfkosten bestreden zouden kunnen worden van personen, die namens de Commissie met het geologisch on- derzoek belast werden, en verder enkele uitgaven, noodig om een voorzichtig transport van gevonden voorwerpen en het op geschikte wijze bewaren daarvan mogelijk te maken. Na eenige discussie, waaruit bleek, dat de bedoeling was, de subsidie aan te vragen voor de jaren, die nog verloopen zullen alvorens de uitgave der nieuwe geologische kaart bezorgd zal zijn, wordt besloten, den Minister, uit naam der Afdeeling, met de door de Commissie geuite wenschen bekend te maken. — Daar er verder niets te verhandelen is, wordt de Ver- gadering gesloten. NEO B TE P-L VAN DE COMMISSIE VOOR DE GEOLOGISCHE KAART VAN NEDERLAND, Op de buitengewone Vergadering van deze Afdeeling der Akademie, gehouden op den 25sten Mei 1889, werd door den Heer Martin het voorstel gedaan, zich tot den Minister van Binnenlandsche zaken te wenden, ten einde: 10. den Minister opmerkzaam te maken op de omstandigheid, dat in de laatste jaren allerlei werken van Regeeringswege zijn of worden uitgevoerd, zonder dat daarvan nut wordt getrokken voor de vermeerdering onzer kennis van de geolo- gische gesteldheid van Nederland, daarbij den Minister her- innerende aan het antwoord, dat de Afdeeling in haar schrijven van den 20sten Juni 1887 op eene destijds door den Minister gedane vraag betreffende de geologische kaart van Nederland heeft gegeven; 20, den Minister te verzoeken, op de hoogte te worden ge- houden van werkzaamheden, die op last der Regeering worden verricht en welke voor de verzameling van gegevens voor de Geologie van Nederland van belang kunnen wezen, zijnde : grootere uitgravingen bij den aanleg van kanalen van spoor- wegen, benevens boringen ; 830. te mogen ontvangen een crediet van jaarlijks f 500, ten einde van de onder 2 vermelde werkzaamheden de noodige vruchten te kunnen plukken. Nadat door den Secretaris der Afdeeling het denkbeeld was geopperd, deze zaak op een gewone Vergadering nader te behandelen, en na eenige gedachtenwisseling met den VERSL, EN MEDED. AFD. NATUURK, 8de REEKS, DEEL VL. 24 ( 368 ) Heer Van Driesen, verklaarde de Heer MarrinN zich bereid, genoemde voorstellen in de eerstvolgende gewone Vergadering te herhalen en verder toetelichten, of wel zulks aan de Com- ruissie voor de geologische kaart te verzoeken. De Voorzitter stelde voor, den laatstgenoemden weg inteslaan. Gevolg gevende aan deze door de Afdeeling gegeven op- dracht, heeft de Commissie de eer het voorstel nader toe- telichten. Zooals reeds vroeger door de Commissie werd opgemerkt, is het voor de beoordeeling der geologische gesteldheid van Nederland van het allerhoogste belang, goede profielen te verkrijgen, die de vertikale opeenvolging der lagen aantoo- nen. Dergelijke profielen zijn in het aan stroomende beken zoo arme en over het algemeen zoo vlakke Nederland door de natuur zelden gegeven, doch kunnen bij grootere kunstma- tige insnijdingen van den bodem dikwijls zeer gemakkelijk verkregen en door putboringen, met zekeren graad van nauw- keurigheid, gereconstrueerd worden. Hen enkele kunstmatige ontsluiting van den bodem kan mogelijk meer inlichtingen over de geognotische gesteldheid van het land geven, dan een jaren lang voortgezet onderzoek, hetgeen zich tot de oppervlakte moet bepalen. Het is echter duidelijk, dat men de kunstmatige insnijdingen intijds moet bestudeeren en zoo mogelijk gedurende den arbeid, dien de ingenieurs verrichten, herhaaldelijk moet bezoeken, teneinde daaruit werkelijk nut voor de geologie te kunnen trekken. Later toch worden die insnijdingen in den regel kunstmatig door zoden of steenen bedekt, of wel door een natuurlijken plantengroei aan het oog onttrokken, zoodat de profielen niet meer samengesteld kun- nen worden. Daarom is het noodig, tijdig van alle groote uit- of afgravingen te worden verwittigd. Bij putboringen bestaan wel is waar de vermelde gevaren niet, maar ook hier is een tijdige kennisgeving hoogst wen- schelijk, teneinde met betrokken ingenieurs wegens het ver- zamelen van boormonsters in overleg te treden, hetgeen wel is waar volgens een algemeen schema kan geschieden, maar toch voor enkele gevallen in bijzonderheden dient overlegd te wor- den. Dat putboringen van grootere diepte uitkomsten kunnen ek nd nd ( 369 ) geven, die door gravingen niet te verkrijgen zijn, spreekt van zelf, maar ook boringen van kleinere diepte kunnen, behoorlijk verzameld, de uitgestrektere insnijdingen van den bodem tot zekere hoogte vervangen. Het behoeft nauwelijks gezegd te worden, dat het opnemen yan profielen en het verzamelen van de daarin waargenomen gronden en gesteenten — zullen zij voor geologische studiën van dienst zijn — alleen door een geoloog kunnen geschieden en dat dergelijke werkzaamheden bij wijlen veel tijd en een verblijf ter plaatse zullen vereischen, terwijl het ook bij put- boringen noodig is, dat een geoloog nauwkeurig kennis neme van het terrein, waarop die boringen plaats hebben. Om die reden wordt een crediet van jaarlijks f 500 ge- vraagd, ter voorziening in de reis- en verblijfkosten enandere kleine onkosten voor de persoon, die zich in elk bizonder geval met de opneming zoude willen belasten. De bedoeling daarbij is, de werkzaamheden naar vrije keuze door geologen, zoowel buiten als binnen de Akademie van Wetenschappen, te doen verrichten, zonder dat daarbij geldelijke voordeelen worden genoten. Mogelijk, dat niet elk jaar van het gevraagde crediet gebruik wordt gemaakt. / De te verzamelen voorwerpen, afkomstig uit bedoelde in- snijdingen en putboringen, moeten door den verzamelaar aan eene reeds bestaande geologische Rijksverzameling wer- den afgeleverd, en met zoodanige aanteekeningen voorzien, als voor de wetenschappelijke bewerking noodig zal wezen. De verzamelaar heeft natuurlijk in de eerste plaats het recht om de door hem verkregen uitkomsten te publiceeren ; mogt hij even- wel van dit recht, na afloop van een nader te bepalen tijdstip, geen gebruik hebben gemaakt, dan zouden de bijeengebrachte verzamelingen en aanteekeningen ook voor wetenschappelijke onderzoekingen, door anderen ingesteld, dienst mogen doen. Mocht het gevraagde crediet tijdelijk niet voor de boven omschreven doeleinden gebruikt worden, dan zou het ook kunnen dienen tot het bjeenbrengen van geognostische ver- zamelingen en gegevens, die zonder insnijdingen of boringen aan de oppervlakte van het land kunnen verkregen worden en voor welk onderzoek de omstandigheden juist bizonder 24* ( 370 ) gunstig zijn, terwijl het verzamelde op dezelfde wijze kan bewaard en bewerkt worden als het materiaal, langs den eerst vermelden weg verkregen. | De Commissie vertrouwt, dat op deze wijze, zonder al te groote onkosten, belangrijke gegevens omtrent den geognos- tischen bouw van Nederland kunnen verkregen worden; ge- gevens, die wel is waar niet rechtstreeks tot de vervaardiging van de geologische kaart voeren, maar toch de vervaardiging daarvan later zeer zullen vergemakkelijken en bekorten, en die, ook geheel afgescheiden van eene kaart, de wetenschap- pelijke kennis der geologie van Nederland in hooge mate moeten bevorderen. De Commissie meent ook met nadruk er op te moeten wijzen, dat in de laatste jaren reeds materiaal tot onderzoek is verloren gegaan, en dat men, door geen gebruik te maken van kunstmatige insnijdingen en putboringen, zich aan groot verzuim zal schuldig maken, aangezien in dit geval gegevens ongebruikt verloren gaan, die naderhand òf in ’t geheel niet meer, òf alleen met zeer groote onkosten te verkrijgen zullen zijn. De Commissie wijst in het bizonder ook op de omstan- digheid, dat reeds sedert geruimen tijd belangrijke insnijdingen en grondboringen plaats grijpen voor het nieuwe Merwede- kanaal en voor de verlegging van den Maasmond, en welligt ook voor andere werken, zonder dat daarvan in bedoelden geest eenig nut voor de geologie van Nederland werd ge- trokken. ‘ Mocht de Regeering het voorstel willen goedkeuren en aan de Akademie van Wetenschappen het gevraagde crediet toestaan, dan zal de wijze, waarop hiervan gebruik moet worden gemaakt, nog nader moeten worden omschreven dan boven in algemeene trekken is geschied. Het zal zaak zijn, eene eenvoudige wijze van beheer van het crediet in het leven te roepen, teneinde zonder veel omslag in elk bizonder zich voordoend geval te kunnen werken. Voor het oogenblik ech- ter meent de Commissie hieromtrent nog in geen nadere bizonderheden te moeten treden. Kan het boven ontworpén denkbeeld de instemming en (371) medewerking van Zijne Excell. den Minister van Binnen- landsche Zaken verwerven, dan zoude door den invloed van dit Ministerie ook de onmisbare hulp van de Ministers van Waterstaat en Oorlog kunnen worden verkregen. Het zal dan namelijk noodig zijn, dat de ingenieurs van den water- staat en de officieren der genie uitgenoodigd worden, de Akademie te verwittigen van de tijdstippen, waarop het be- zoek van een geoloog voor het verkrijgen van kennis van den bodem nuttig kan zijn. Vrijdom van briefport voor dit doel zoude daarbij tevens dienen verleend te worden voor de correspondentie tusschen den met het onderzoek te be- lasten geoloog en de leden van het corps van den water- staat zoowel als de officieren van de genie. Ook daarvoor zoude de medewerking van den Minister van Waterstaat moeten worden ingeroepen. BEHRENS, Voorzitter. VAN DIESEN, VAN RIEMSDIJK. J. M. VAN BEMMELEN. K. MARTIN, PROCES-VERBAAL VAN DE GEWONE VERGADERING DER AFDEELING NATUURKUNDE, op Zaterdag 28 September 1889. Tegenwoordig de Heeren: van pER Waars, Onder-Voor- zitter, HuBreonr, Korrewee, ENGELMANN, PEKELHARING, KAP- TEYN, SURINGAR, FRANCHIMONT, Hork, Mac Girravry, Horr- MANN, KAMERLINGH ONNes, Rijke, Forster, STOKVIS, ZAAIJER, BrirereNs pe HAAN, ZEEMAN, RAUWENHOFF, MicHAëLIs, SCHOUTE, Morr, Lorentz, pe Vries, Buys Barot, BRUTEL DE LA RrvidkRE, Grinwis, Prace en C. A. J. A. OUDEMANS, Secretaris, — Het Proces-Verbaal der vorige zitting wordt gelezen en goedgekeurd. — Worden gelezen Brieven van Dankzegging voor ont- vangen werken der Akademie van de navolgenden : 10. G. F. WesrerMaAN, Directeur van het koninklijk zoö- logisch Genootschap Natura Artis Magistra te Amsterdam, 8 Augustus 1889; 20, A. J. Enscuepe, Bibliothecaris van de Stads-Bibliotheek te Haarlem, 29 Juni 1889; 30, G. C. W. Bounnensree, Conservator aan Teyler’s Stichting te Haar- lem, 11, 27 Juli 1889; 40. W. P. Worrers, Bibliothecaris van de Maatschappij der Nederlandsche Letterkunde te Lei- den, 22 Augustus 1889; 50, J. F. L. Scaneimper, Bibliothe- caris van de polytechnische School te Delft, 2 Augustus 1889; 60, G. J. W. Bremer, Secretaris van het Bataafsch Genoot- schap der proefondervindeljke Wijsbegeerte te Rotterdam, 20 (373) Juli, 17 September 1889; 70. Gedeputeerde Staten van Fries- land te Leeuwarden, 8 Augustus 1889; 80, PF. Carruak, Secretaris van het naturforschende Verein te Brunn, Februari 1889; 90. F. Krauss, Secretaris van het Verein für vater- ländische Naturkunde te Stuttgart, 15 Mei 1889; 100. G Voss, Secretaris van de naturforschende Gesellschaft te Emden, 9 September 1889; 11°, den Secretaris van de Societá Italiana d'Antropologia te Florence, 1889; 120, J. Brana, Biblio- thecaris van de Academia Romana te Bucharest, 23 Sep- tember 1889; 130. W. Nenrarre, Secretaris van de Elisha Mitchell scientific Society te Chapel Hill, 14 September 1889; 14°. M. Perrz, Directeur van het Observatorio cen- tral te Mexico, 25 Juni 1889; 150. J, TrorBurN, Biblio- thecaris van de geologteal and natural History Survey te Sussex, 14 Augustus 1889; aangenomen voor bericht. — Voorts Brieven ten geleide van Boekgeschenken van de navolgenden: 10. het Ministerie van Binnenlandsche Zaken te ’sGra- venhage, 12, Juli, 12, 28 Augustus, 3, 20 September 1889; 20. het Ministerie van Marine te ’'sGravenhage, 20 Augus- tus 1889; 30. J. Bossora, Secretaris van de Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen te Haarlem, 10 Juni 1889; 40. W.P. Worrers, Bibliothecaris van de Maatschappij der Nederlandsche Letterkunde te Leiden, 11 Juli 1889; 50. M. F. A. G. Caurseru, Bibliothecaris van de Koninklijke Bibliotheek te ’sGravenhage, 6 September 1889; 60, den Directeur van het koninklijk Nederlandsch meteorologisch Instituut te Utrecht, 21 Augustus 1889; 70, het Ministère de l'Intérieur de Belgique te Brussel, 10 September 1889; 80, EF. Nricmorson, Bibliothecaris van de literary and philo- sophieal Society te Manchester, 1889; 90. E. P. Wereur, Secretaris van de royal Irish Academy te Dublin, 1889; 100. Srmerr, Secretaris van de kais. Akademie der Wissen- schaften te Weenen, 20 Maart 1889; 110. Momusen, Secre- taris van de preuss. Akademie der Wissenschaften te Ber- lijn, Juli 1889; 120, von Brzorp, Directeur van het kön. preuss. meteorologisches Institut te Berlijn, 1889; 13°, For- ( 374 ) STEMANN, Archivaris van de kön. sächsische Gesellschaft der Wissenschaften te Leipzig, 20 Februari 1889; 140, A. Prvc- KERT, Secretaris van het Verein für Erdkunde te Dresden: 1889; 150. den Secretaris van het historische Verein für Un- terfranken und Aschaffenburg te Würzburg, 1 October 1888; 160. N. van Hervere, Secretaris van het Institut Luxem- bourgeois, section historique, te Luuxemburg, 1889; 170. H. Wro, Directeur van het Observatoire physique central te St. Petersburg, 20 Januari 1889; 180, den Directeur van het Musée publie te Moscou, 18 Augustus 1889; 190. F. Jreee te Pretoria, Maart 1889; 200. J. C. Prrrve, Di- recteur van de U. S. geological Survey te Washington, 2 Februari 1889; waarop het gewone besluit valt van schrif- telijke dankbetuiging en plaatsing in de Boekerij. — Tot de ingekomen stukken behooren: 10, Brieven van verontschuldiging over het niet bijwonen van de Vergadering van de Heeren VAN DE SANDE BAKHUY- ZEN, ScHors, VAN Diesen, J. A. C. Oupemans en A. C. Ov- DEMANS JR. | 20, Een schrijven van den Hoogleeraar FürBRINGER te Jena, waarin dank wordt gezegd voor den hem aangeboden titel van correspondeerend Lid. 30, Een schrijven van den Heer Dr. FrriscHMANN, privaat- docent in de zoölogie aan de Universiteit te Erlangen, de mededeeling behelzend, dat de Hoogleeraar HE. SELENKA aldaar, wien mede, als oud-lid der Akademie, het corres- pondeerend lidmaatschap werd opgedragen, zich buitenslands bevindt en dus voorloopig op de hem te beurt gevallen on- derscheiding niet kan antwoorden. 40, Een brief van den Heer Dr. JAN pe Vries, leeraar aan de H. B. S, te Kampen, ter begeleiding van eene ver- handeling »Over eene groep van regelmatige vlakke configu- raties en eenige daarmede samenhangende vlakke configura- ties van punten en krommen’. Tot rapporteurs over dien arbeid worden benoemd de Heeren Bierens DE HAAN en VAN DEN BERG, (375 ) — De Heeren Brerens pre HAAN en VAN DEN Brera bren- gen een gunstig rapport uit over de door den Heer Dr. Jan pe Vries in Mei jl. aangeboden verhandeling. Hunne con- clusie om haar te bestemmen voor de Verslagen en Mede- deelingen wordt aangenomen. — De Heer SurINGAR levert eene nieuwe bijdrage tot de kennis der Melocacti van Aruba en deelt mede, wat over de ontwikkeling dier planten uit zaad en haar verderen groei door hem werd waargenomen. Hij geeft verder een overzicht van de wijze, waarop de Melocacti, op grond hun- ner natuurlijke verwantschap, gerangschikt zouden kunnen worden en sluit met philogenetische beschouwingen en het teekenen van een stamboom der soorten, zooals hij zich dien, op dit oogenblik, voorstelt. De waarnemingen werden, be- halve aan de door hem zelven medegebrachte voorwerpen, ook gedaan aan andere, hem door de Heeren pastoors vAN Koorwijk en van Baars toegezonden. De verhandeling wordt aangeboden voor de Verslagen en Mededeelingen. — De Heer Scnoure spreekt »over viervlakken, door ge- lijkvormige driehoeken begrensd’' en licht zijne voordracht door kartonnen voorwerpen toe. Zijne mededeeling zal in de Verslagen en Mededeelingen worden opgenomen. Hen paar vragen, door den Heer Grinwis gedaan, worden door den spreker beantwoord. — Daar het den 19den December twee jaar geleden zal zijn, dat de notarieele acte gepasseerd werd, waarbij het zoogenoemde Buitenzorgfonds werd gesticht, acht de Voor- zitter den tijd gekomen om — in overeenstemming met de voorwaarde, waarop, om de twee jaar, uit ’sLands kas eene subsidie voor de uitzending van een botanicus naar het station te Buitenzorg beschikbaar zal worden gesteld — de Hoogleeraren in de Botanie aan de drie Rijks-Universi- teiten uit te noodigen, in de October-vergadering der Afdee- ling eene aanbeveling in te dienen van hem, wien zij die zending wenschen te zien opgedragen. De Heeren SURINGAR ( 376) en RauwenNHorr, ter Vergadering tegenwoordig, nemen op zich, zich met den Heer pr Borm, Hoogleeraar te Groningen, in verbinding te stellen om zich van de hun gedane op- dracht te kwijten. — De Heer ENGELMANN biedt voor de Verslagen en Mede- deelingen aan een opstel van Dr. Hamsurerr te Utrecht: »Over de permeabiliteit der roode bloedlichaampjes in ver- band met de isotonische coëfficiënten'’. Op verzoek van den Voorzitter, zullen de Heeren ENGELMANN en DE Vries daar- over rapporteeren in de October-vergadering. — De Heer PreKernarine biedt voor de 40 werken der Akademie eene verhandeling aan van Dr. Hacen te Deli, thans te Hamburg: » Ueber Körpergrösse und Wachsthums- verhältnisse der Süd-Chinesen’’. Aan de Heeren ZAAIER en PrKerLHARING wordt opgedragen daarover rapport uit te brengen. — De Heer KaAmerLiNcH ONNes biedt, uit naam van Mevr. de Wed. Mrrs-GocKeneaA te Groningen, het photographisch portret aan van wijlen haren echtgenoot Dr. R. A. Mezs, lid der Akademie. Het geschenk wordt met erkentelijkheid aanvaard en den Secretaris opgedragen Mevr. de Wed. Mers daarvoor den dank der Afdeeling over te brengen. — De Heer Stokvis biedt voor de boekerij der Akademie de dissertatie aan van Dr. J. pe Bruyn: » Bijdrage tot de leer der geelzucht, met het oog op de vergiftige werking der bilirubine’ en licht korteliijjk de uitkomsten toe, door den schrijver van het proefschrift verkregen. De Heer C. A. J. A. Oupemans biedt aan voor de Boekerij zijne: Treizième Contribution à la Flore mycologique des Pays-Bas. — Daar er verder niets te verhandelen is, sluit de Voor- zitter de Vergadering. Nese S-E AG OVER DE VERHANDELING VAN Dr. JAN DE VRIES, GETITELD : OVER VLAKKE CONFIGURATIES, WAARIN ELK PUNT MET TWEE LIJNEN INCIDENT IS. DOOR D. BIERENS DE HAAN zn F. J. VAN DEN BERG. De verhandeling van Dr. J. pr Vries »over vlakke con- figuraties, waarin elk punt met twee lijnen incident is”, waarvan de Afdeeling ons de beoordeeling heeft opgedragen, begint met eenige algemeene opmerkingen. De vlakke configuratiën, waarin elk punt twee lijnen draagt, kunnen in twee groepen verdeeld worden, ((24 + 1) nz, 2n2;41), met een even aantal lijnen (ing, n2:) met een willekeurig aantal lijnen. Zij kunnen uit volledige veelzijden worden afgeleid; want voegt men aan deze conf. de punten toe, waarin elke lijn gesneden wordt door de van haar gescheiden lijnen, dan ontstaan er nieuwe conf, nen — Ies Bnei) Of (Frl — Ia nei) d, i, eene volledige 2n=-zijde, of eene volledige n-zijde. (378) Hare lijnen met de toegevoegde punten vormen evenzeer eene conf. ((m —2i— 2) ng, 2 nan —2i-) of (En(n—1l—20), An—1—ei)- Twee conf.‚ die elkander tot eene volledige veelzijde aan- vullen, heeten elkanders complementen. Het complement van de eonf. (n(2n—2)y, 2n2n-2) is een groep van n geschei- den punten; en nu wordt de hoofd-n-hoek der volledige 2n-zijde aangegeven door de n verbindingen 12, 34, 56,...(2n—1l)2n, of snijpunten telkens van twee gescheiden lijnen uit de door 1 tot 2n aan te duiden lijnen der conf. Voor de conf. (5 (n — 3)3, nn—3) is het complement de conf. ng, d. 1. een n-hoek, of het zamenstel van eenige veelhoeken, die te zamen „” zijden bezitten; en dit laatste kan op onderscheidene wijzen plaats grijpen. Daaruit volgt de stelling. Het aantal verschillende conf. ($n(n—3)3, n1—3) is eene eenheid meer dan het aantal mogelijke wijzen van verdeeling van „ eenheden in groepen, die op zijn minst drie eenheden bevatten. Thans beschouwt schrijver in het bijzonder $ 2—7 de conf. (Bn, 2n3) en S 8, 10 de conf. (Zn, »4). Voor de eerste conf‚ is het eenvoudigste geval de vier- zijde voor n=—=82. Voor n=3 geeft zij de zeszijde; het complement is of een zeshoek, of het zamenstel van twee driehoeken. Het eerste geval geeft de conf. (99, 63) B, waar- voor tabel 2; het tweede geeft (99,63) A, waarvoor ta- bel 1. Zij komen in eene vroegere verhandeling van den schrijver (Versl. en Mededeel., Dl. V, blz. 118) voor als de restfiguren van elke lijn der conf. (12,, 163) B en (12,, 163) 4. ( 379 ) De conf. (99, 63) B bezit zes trigonische en drie atrigoni- sche punten: zij bestaat uit twee driehoeken, waarvan de zijden elkander in drie conf. punten snijden; zijn die drie punten collineair, en is er dus een driepuntige diagonaal, dan maakt de conf. deel uit van de 103 van Drsarcues. De conf. (99, 63) A is atrigonisch; elk harer lijnen be- hoort tot zes vierhoeken; elk harer punten tot vier vier- hoeken. Nu leert schrijver de verschillende conf. (3 (n— 1), 2(n— 1)3) zoo vervormen, dat zij alle conf. (3 ng, 2n3) opleveren, die of minstens één punt bevatten, dat niet incident is met ééne zijde van één conf. driehoek [de atrigonische vervorming a], of die minstens één conf. driehoek bevatten [de trigonische vervorming 7]; of evenzoo de conf. (83 (n—2)s), 2 (n—2)3) zoo, dat zij alle conf. (8 nz, 2n3) geven, die minstens één ditrigonisch punt bevatten [de ditrigonische vervorming Ò]. Hierbij blijkt, dat ééne dezer vervormingen nog doorgaat, wanneer één der punten van de vervorming of reeds in de conf. voorhanden is, of dat de lijnen, waardoor dit punt gevormd moet worden, identisch zijn. Wanneer men de vervorming « op de conf. (95, 63) A en langs onderscheidene manieren op de conf. (9, 63) B toe- past, de vervorming Ò eenmaal op eene vierzijde en nog de vervorming eenmaal op de conf. (95, 63) 2, verkrijgt men slechts vijf onderscheidene conf. (123, 83). Deze verschillen daarin, dat zij al of niet atrigonische, trigonische, ditrigo- nische, tetragonische, ditetragonische, pentagonische, dipen- tagonische, tetrapentagonische en tetrahexagonische punten bevatten; en evenzeer trigonische, ditrigonische, tetragoni- sche, ditetragonische, tritetragonische en dipentagonische lijnen. Deze vijf verschillende econf. (129, 83) noemt schrijver A, B, C, D, E; zij worden voorgesteld door de tabellen 5, 3, 8, 6 en 7; deze bevatten respective 3, 5, 8, 6, 15 kop- pels, zooals schrijver moest bepalen, vóór dat hij ze ver- der konde vervormen, en nu ontstaan door de vervormin- gen « en 7 de volgende 18 onderscheidene conf. (153, 103), en wel met: ( 380 ) soorten van soorten van met de uit de corf. punten. lijnen. tabel. (12, 8,). 13 9 14 15 24 27 11 21 23 25 26 17 12 18 La 22 16 20 OO OO IA AARAU me A 0 DO DO LO OD A UL ia UI UI pn UI GI Be UI OO DO OO DO le oa saak ae Wet Nek In S$ 8, 10 gaat schrijver over tot de tweede soort van conf., namelijk (2 n5, 74). Het eenvoudigste geval is hier de vijfzijde voor n—= 5: daarop volgt voor n==6 de conf. (125, 64), die uit de zeszijde af te leiden is. Nu komt er voor n= 7 de conf, (145, 74), wier complement of een zevenhoek is, of het zamenstel van één vierhoek en één driehoek; in het eerste geval heet de conf. (14, 74) A, in het tweede (145, 74) B. Wat de conf. (165, 84) voor n —= 8 betreft, deze heeft tot complement twee conf. (63, 42), of wel eene der vijf boven- vermelde conf. (125, 83). Schrijver gaat het onderscheid na tusschen deze zes verschillende conf. (163, 84) en geeft daar- voor de tabellen 31, 33, 32, 36, 34, 35. Met de conf. (185, 94) is het anders gesteld, daar haar complementen evenzeer den vorm (183, 9,) bezitten. Schrijver tracht nu een weg te vinden, om ze uit de conf. (163, 84) af te leiden, en leidt als slotsom de volgende algemeene stelling af, ( 381 ) Alle econf. (2 nz, 74) kunnen bepaald worden, zoodra de verschillende conf. ((@2n— 2), (n — 14) en conf. ((2n—10)s, (n—5)4) bekend zijn. Ook het opnemen van dit opstel in uwe Verslagen en Mededeelingen raden wij gaarne aan. Leiden en Hilversum, September 1889. D. BIERENS DE HAAN. F. J. VAN DEN BERG. OVER VLAKKE CONFIGURATTES WAARIN ELK PUNT MET TWEE LIJNEN INCIDENT IS. DOOR JAN DE VRIES. De 1. De vlakke cf., waarin elk punt twee lijnen draagt, kunnen in twee groepen gescheiden worden: de eerste groep omvat dan de cf. (@7 + 1) ng, any) die alleen voor een even aantal lijnen kunnen bestaan, de tweede, waartoe alle cf, ( Ng, NZ i) behooren, bevat cf. voor elk aantal lijnen. Tot deze tweede groep moeten blijkbaar alle niet volledige n-hoeken (ng, ng) gebracht worden. De beide soorten van cf. hebben dit gemeen, dat zij uit volledige veelzijden kunnen afgeleid worden *); voegt men toch aan eenige cf. uit eene der genoemde groepen de pun- ten toe, waarin elke cf. lijn gesneden wordt door de van *) Wederkeerig kan eene vlakke cf, waarin elke lijn twee punten draagt, uit eenen volledigen veelhoek afgeleid worden. ( 383 ) haar gescheiden lijnen, dan ontstaat eene volledige 2n-zijde (n (2n— 1), 2n2,—1) of eene volledige n-zijde Gnln—l)z, ni). De lijnen der cf. vormen in beide gevallen met de toege- voegde punten een nieuwe cf, waarvan de eerste index 2 is, nl. eene cf. der tweede groep ((2n —_ 2 2) Ng; Ò n2n—2i—g) of eene En(n—l— 20), nn —_1-2;)- Dn Twee cf.‚ welke elkander tot eene volledige veelzijde aan- vullen, zullen elkanders complement genoemd worden. Voor eene (n(2n— 2), 2n2,—2) bestaat het complement uit eene groep van n onderling ge- scheiden punten; worden de lijnen dezer cf. door de getal- len van 1 tot 2n aangeduid, en wel de n paren gescheiden lijnen door 1 en 2, door 3 en 4, algemeen door (27 —1) en 2, en stelt de combinatie van twee dezer getallen het snijpunt voor van de lijnen, waartoe die getallen behooren, dan wordt de bedoelde hoofd-n-hoek der volledige 2n-zijde door de „ combinaties DABO, (Dil 1)24 on (An 1) aangewezen. Het is duidelijk, dat er voor elke waarde van n slechts eene cf. met de indices 2, 2n—2 bestaat. Het complement eener (En (n — 3), An—3) is eene 79, dus òf een gewone n-hoek, òf het samenstel van eenige veelhoeken, die samen » zijden bezitten. Voor eene (359, 10,) is het complement b. v. een tienhoek, of het samenstel van een driehoek met een zevenhoek, van een VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3de REEKS. DEEL 48 25 ( 384 ) vierhoek met een zeshoek, van twee vijfhoeken, of eindelijk van twee driehoeken met een vierhoek; hieruit volgt, dat er vijf, in samenstelling verschillende, (853, 10,) zullen zijn. Het aantal verschillende (En (n — 3), nn—3) is een meer dan het aantal wijzen, waarop men n eenheden kan verdeelen in groepen, die minstens drie eenheden bevatten. CoNrFIGURATIES (Sn, 2n3). 2. De eenvoudigste cf. met de indices 2,8 is de vierzijde, waarvan de lijnen door 1, 2, 8, 4, de punten door 12, 18 14, 23, 24, 34 zullen voorgesteld worden. Het complement eener door de lijnen 1, 2, 3, 4, 5, 6 gevormde (95, 63) is òf een zeshoek met de toppen 12, 23, 34, 45, 56, 61 òf het samenstel van twee driehoeken 12, 23, 31 en 45, 56, 64. Het laatstgenoemde complement be- hoort tot de (9, 63), welke ik elders. door de letter A heb aangewezen; zij wordt voorgesteld door tabel 1), E65 welke uit de beide hoofddriezijden 1, 2, 3 en 4, 5, 6 be- staat, terwijl het eerstgenoemde complement aan de (99, 63) B toekomt, welke door tabel 2) wordt voorgesteld; Lijnen. Punten | 141 Zooo BEN ZDA RE 15 | 26 | 36 | 46 | 35 | 46 deze cf. bezit geene hoofddriezijde. Deze beide (95, 63) ko- men achtereenvolgens voor als restfiguren van elke lijn der ( 385 ) ef. (12,, 163) A en B, welke ik in mijn opstel » Over vlakke configuraties’ (deel V, bl. 118 der Versl. en Meded.) heb beschouwd. Ook ontstaan zij, wanneer men van de desmi- sche 93 of 93 A (Kantor) en de onregelmatige 9, of 9 B (Kantor) achtereenvolgens eene hoofddriezijde afzondert, het- geen bij de desmische 93 op drie verschillende wijzen, bij de onregelmatige slechts op eene wijze mogelijk is. De (9, 63) A is atrigonisch; elk harer punten behoort tot vier vierhoeken, elke harer lijnen tot zes vierhoeken. C£. B bestaat uit twee driehoeken 18,35, 51 en 24, 46, 62 in zoodanige ligging, dat de zijden 1, 3, 5 van den eersten door de zijden 4, 6, 2 van den tweeden achtereenvolgens in de overige cf. punten 14, 36, 25 gesneden worden; zijn deze laatste drie punten collineair, bezit de cf. dus eene drie- puntige diagonaal, dan maakt zij blijkbaar deel uit van eene 103 van Desaravrs. De (95, 62) B bezit twee soorten van punten, n.l. zes trigonische en drie atrigonische; hare lijnen daarentegen zijn gelijkwaardig, omdat elke tot eenen der beide driehoeken behoort; zij bevat drie vierhoeken : 1364 met de toppen 13, 36, 64, 41; 2415 met de toppen 24, 41, 15, 52; 3926 met de toppen 35, 52, 26, 63. Er zijn twee in samenstelling verschillende (95, 63), eene atrigonische met twee drietallen gescheiden lijnen en eene cf, met twee driehoeken. „VERVORMING EENER (8 3, 273). 3. Cf. A van tabel (1) ontstaat blijkbaar uit de vierzijde 1245, als men de tegenpunten 12 en 45 weglaat en de lijnen 3 en 6 met de punten 16, 26, 36, 34, 85 aan de figuur toevoegt. Bij deze vervorming worden de paren van verbonden lijnen 1, 2 en 4, 5 door twee gescheiden paren vervangen, waardoor het snijpunt der beide nieuwe lijnen een atrigonisch punt wordt. Is ab een atrigonisch punt der ef. (3 n9, 2 n3), terwijl de lijn a door de onderling gescheiden lijnen e‚d en de lijn b door de onderling gescheiden lijnen e,f in cf. punten ge- sneden wordt, dan ontstaat door de afzondering van de lijnen 25* ( 386 ) a,b en de vijf punten ab, ac, ad, be, bf eene figuur, waarin de lijnen c,d‚e,‚f elk een punt verloren hebben; voegt men nu de punten cd en ef aan haar toe, dan heeft men eene (3 (n — 1)s, 2 (n — 1)3) verkregen, waarin de pun- ten cd en ef onderling gescheiden zijn. De toepassing van de omgekeerde vervorming op alle paren van gescheiden punten der verschillende (3 (n — 1)o, 2 (n — 1)3) levert dus stellig alle (3 nz, 273), welke minstens een punt bezitten, dat niet met eene zijde van een cf. driehoek incident is. Zijn in de (3 nz, 2 n3) met punt «b de lijnen c en d ver- bonden, dan bevat de ef. den driehoek ac d met toppen a «, ad en cd. Gaan de lijnen c,‚d achtereenvolgens door de cf. punten cg, dh, dan ontstaat door afzondering van c en d eene figuur, waarin de lijn a nog slechts het punt a b draagt, terwijl de lijnen g en A elk met twee cf. punten incident zijn; worden dus de punten ag en ah aan de figuur toe- gevoegd, dan liggen op elke der lijnen a,g,h weêr drie snijpunten en er is eene (3 (n — 1)g, 2 (n — 1)3) gevormd. Door de omgekeerde bewerking toe te passen op alle lijnen der verschillende (3 (n — 1)s, 2 (n — 1)3) verkrijgt men dus zeker alle (83 »5, 2 3), die minstens een cf. driehoek bezitten. Zijn de zijden ec en d van den cf. driehoek ac d met de punten eg en dg incident, terwijl de lijn 9 nog het ef. punt g 4 draagt, dan zal door afscheiding van de vier lijnen a, c, d, g met de zeven punten ab, ac,ad,cg, dg, gi, cd eene figuur ontstaan, in welke de lijnen b en 4 elk slechts twee snij- punten bevatten; door toevoeging van het punt 4% verkrijgt men dan eene (3 (n — 2)5, 2(n — 2)3). Toepassing van de omgekeerde handelwijze op alle punten der verschillende (3 (n — 2), 2(n— 23) levert dus zeker alle (3 3, 2 73), welke minstens een ditrigonisch punt, zooals cd, bezitten. Bevat de oorspronkelijke cf. reeds het punt bi, dan is de lijn e, welke b in het derde door haar gedragen cf. punt. snijdt, van a en de derde met # verbonden lijn van g ge- scheiden, zoodat op bi de eerst genoemde vervorming kan toegepast worden. Zijn daarentegen b en { identiek, dan laat het derde punt bf der lijn b stellig eene der drie genoemde vervormingen ( 387 toe: immers de met b verbonden lijnen a en g zijn geschei- den, terwijl de lijnen k en l, waarmede f nog verbonden is, òf gescheiden zin, òf verbonden door het punt kl, dat slechts tot eenen cf. driehoek, nl. #4 f, behoort, òf verbon- den door £l en door de lijn ms; daar in het laatste geval de ln m van b gescheiden is, kan dan de derde vervor- ming ten opzichte van het punt bf geschieden. Uit het voorgaande blijkt nu, dat de verschillende (3 3, 2 n3) door middel van drie vervormingen kunnen bepaald worden, zoodra men de overeenkomstige cf. met twee en vier lijnen minder kent. De eerste vervorming vervangt de gescheiden punten cd en ef door de vijf punten ab, ac, ad, be, bf; omdat ab in de nieuwe ef. tot geen cf. driehoek behoort, noem ik deze handelwijze de atrigonische vervorming en duid haar aan door het teeken a (cd, ef). Het is duidelijk, dat men haar alleen behoeft toe te passen op puntenparen, welke ver- schillende plaatsing hebben ten opzichte van de overige elementen der oorspronkelijke cf, Ondergaat de cf. lijn a met de punten ab, ag, ah de tweede vervorming, welke ik de tmgonische noem, en door het teeken 7 (a) voorstel, dan verdwijnen de punten ag, ah, terwijl de punten ac, ad hunne plaatsen op a, de punten cg, dh hunne plaatsen op g resp. h innemen en de figuur tot eene cf. met indices 2, 3 voltooid wordt door het snij- punt cd der nieuwe lijnen, dat, evenals de punten ac, ad een trigonisch punt der nieuwe cf. is. | Voegt men ten slotte aan eene cf. met de indices 2, 3 vier nieuwe lijnen a, c, d, g met de vijf punten ac, ad, ed, eg, dg toe, terwijl het cf. punt bt op b door het punt ab, op # door het punt gt wordt vervangen, dan ont- staat eene nieuwe cf. met het ditrigonische punt cd, dat tot de ef. driehoeken aed en cdg behoort. Deze derde vervorming noem ik de ditrigonische, en duid haar aan door het teeken Ò (b #). CONFIGURATIES (125, 83). 4, Daar twee gescheiden punten der (93, 63) A steeds over- ( 388 ) staande toppen van eenen ef. vierhoek zijn, vindt men uit haar door atrigonische vervorming slechts eene (125, 83). Door a (16, 34) verkrijgt men uit tabel (1): Ene | 1 | 2 | 3 | 4 | s|e|r|e | 14 | 24 | 35 | 14 [15 | 26 | 17 | 38 En 15 | 25 | 36 | 24 | 25 | 36 | 67 | 48 17 | 26 | 38 | 48 | 35 | 67 | 78 | 78 Punten In deze ef. komen twee soorten van punten voor: de punten 14, 25, 36, 78 behooren elk tot twee cf. vierhoeken, de overige acht elk tot eenen vierhoek. De vier ditetragoni- sche punten vormen eenen hoofdvierhoek der cf,; na hunne afscheiding ontstaat de achthoek 15384267. De cf. kan op twee wijzen beschouwd worden als het samenstel van twee vierhoeken in zoodanige ligging, dat de paren overstaande zijden van den eenen vierhoek elk met een paar aangren- zende zijden van den anderen verbonden zijn. Deze beide stelsels van vierhoeken zijn 1425 met 3678 en 1487 met 2536. De lijnen der ef. zjn gelijksoortig, daar elke hunner in twee vierhoeken voorkomt. Verwijdert men een der monotetragonische punten, b.v. 67 met de lijnen 5, 7 en de punten 26, 36; 17, 78 onder toe- voeging van de punten 23 en 18, dan ontstaat de (99, 63) B van tabel (4): LA 8 A 3 NAE ES NN 15 | 24 | 35 [24u 25 5E 18 10-2501 188 al ESSE Deze omkeering der atrigonische vervorming, waardoor het punt 78 verdwijnt, zal ik door het teeken — « (78) voor- stellen. De cf. van tabel (3) ontstaat door a (18,23) uit de ef. (4), dus door atrigon!sche vervorming ten opzichte van de trigonische punten 18, 23, die niet als tegenpunten in denzelfden vierhoek voorkomen. ( 389 ) De punten eener (95, 63) B vormen vier verschillende soorten van koppels (gescheiden puntenparen). 1. Twee trigonische punten van denzelfden vierhoek. 2. Twee trigonische punten van verschillende vierhoeken. 3. Ken trigonisch met een atrigonisch punt. 4. Twee atrigonische punten. In de ef. van (2) worden deze vier gevallen achtereen- volgens vertegenwoordigd door de koppels 13, 46; 13, 26; 18, 25; 25, 36. Door «a (13, 46) ontstaat de cf. RAA 3 1 141015 260) 1d | 48 (5) Kont 25 13024025 11-36} 341 68 Ka 207 34/48 | 3o | 68 | 78 [78 Alle punten dezer cf. zijn ditetragonisch, alle lijnen be- grenzen drie vierhoeken. Zij bestaat uit twee hoofdvierzijden 1, 2, 3, 3 en 4, 5, 6, 7; hare zes vierhoeken vormen drie ‚ paren, waarin telkens twee tegenzijden van den eenen vier- hoek verbonden zijn met twee tegenzijden van den anderen ; door deze eigenschap kan zij gemakkelijk onderscheiden wor- den van de (123, 83) vaa tabel (3). Zij komt voor als rest- figuur van elke lijn der atrigonische 153 van Martiverrr (Ann. di Mat, Ser. IIe, tomo XIV); ook ontstaat zij uit de (12,, 163) A door afscheiding van twee hoofdvierzijden. Uit « (13, 26) volgt natuurlijk weder eene (129, 83), die met (3) gelijksoortig is. Door a (13, 25) ontstaat: Bn A35 1410, 26 | 171 28 15 | 26 | 36 | 24 | 35 | 36 | 37 | 58 17 1.28 | 37-| 46 | 98 | 46 | 78 | 78 ( 390 ) Deze (129, 83) bezit drie soorten van punten: 1. Drie trigonische 24, 26, 46. 2, Zes ditetragonische 15, 17, 35, 37, 58, 78. 3. Drie tetrapentagonische punten 14, 28, 36, d. w. z. punten, welke noch tot een ef. driehoek, noch tot een ef. vierhoek, maar tot vier cf. vijfhoeken behooren. De punten der eerste en derde soort geven geen aanlei- ding tot eene (— «), die der tweede soort leveren door eene (— «) natuurlijk alle eene (99, 63) B. De cf. bezit ook drie soorten van lijnen, nl. drie trigo- nische, twee tritetragonische en drie ditetragonische lijnen. / Wegens het bezit van eenen driehoek laat de cf. eene nega- tieve trigonische vervorming toe; verwijdert men de lijnen 4, 6 met de punten 24, 26, 46, 14, 36 onder toevoeging van de punten 12, 23, dan komt eene (95, 63) A met de beide hoofddriezijden 1, 3, 8 en 2, 5, 7 te voorschijn. Deze vervorming duidt ik aan door — 7 (2). _ Door a(25, 36) vindt men uit (2): Deze cf. heeft vijf soorten van punten: 1. Vier trigonische, tevens pentagonische, punten 19, 15, 24, 46. 2. Twee trigonische, tevens tetragonische, punten 35, 26. 9. Een ditetragonisch punt 78. 4, Vier tetragonische punten 38, 68, 57, 27, 5. Ken dipentagonisch punt 14, Zij bezit drie soorten van lijnen, nl: 1. Twee trigonische, tevens dipentagonische, 1 en 4. 2. Vier trigonische, tevens tetragonische, 2, 6, 8, 5 3. Twee ditetragonische lijnen, 7 en 8. Daar de beide (9, 63) elk slechts eene soort van lijnen (391 ) bezitten, en de ef. van (6) door trigonische vervorming uit A ontstaat, zal de ef. van (7) door eene rv uit B kunnen afgeleid worden. Eene vijfde (129, 83) wordt gevonden door ditrigonische vervorming der vierzijde. Laat men toch uit de vierzijde 1234 het punt 34, uit de vierzijde 5678 het punt 78 weg, dan worden de acht lijnen door toevoeging van de beide punten 37 en 48 vereenigd tot de cf‚ van tabel (8). 122 4|5 14 | 56 | 56 | 37 Kanaal 20 1-44 | 54-167 Deze cf. heeft drie soorten van punten: 1. Twee ditrigonische 12, 56. 2, Acht monotrigonische 13, 14, 23, 24, 57, 58, 67, 68. 3. Twee tetrahexagonische 37, 48. En twee soorten van lijnen: 1. Vier ditrigonische 1, 2, 5, 6. 7 2. Vier monotrigonische 3, 4, 7, 8. Er zijn vijf in samenstelling verschillende (129, 83). Cf. (125, 83). Tabel. Naam. | Soorten van lijnen. Soorten van punten. Á een een 5 B een twee 8 C twee drie 8 D drie drie 6 E drie vijf if 5. Om op deze vijf ef. de atrigonische vervorming te kunnen toepassen, moet men nagaan hoeveel soorten van ( 392 ) koppels elke hunner bezit. In het navolgende overzicht is achter elke soort een voorbeeld gevoegd, waaraan de tabel- len (5), (3), (8), (6), (7) ten grondslag liggen. Cf. A. a. Twee tegenpunten van een vierhoek 14, 78; b. twee tegenpunten van een zeshoek 14, 36; c. twee door twee zijden gescheiden toppen van een zes- hoek 14, 68; Cf. B. d. twee ditetragonische punten van denzelfden vier- hoek 14, 25; e. twee ditetragonische punten van verschillende vierhoe- ken 14, 36; f. een ditetragonisch met een tetragonisch punt 14, 35; g. twee tetragonische punten van één vierhoek 26, 35; h. twee tetragonische punten van verschillende vierhoe- ken 35, 67; Cf. C. ú. twee ditrigonische punten 12, 56; j. een ditrigonisch met een trigonisch punt 12, 58; k. een ditrigonisch met een hexagonisch punt 12, 57; [. twee trigonische punten, tevens tegenpunten van een vierhoek 15, 24; m. twee trigomische punten, tevens door twee zijden ge- scheiden toppen van een zeshoek 14, 58; n. twee trigonische punten, tevens tegenpunten van een zeshoek 14, 57; o. een trigonisch met een hexagonisch punt 24, 37; p. twee hexagonische punten 37, 48. Cf. D.g. een trigonisch met een tetragonisch punt van denzelfden vijfhoek 24, 78; r. een trigonisch met een tetragonisch punt, tevens te- genpunten van een zeshoek 24, 37; s. een trigonisch met een pentagonisch punt 24, 56; t. twee tetragonische punten 37, 58; u. een tetragonisch met een pentagonisch punt 78, 36; v. twee pentagonische punten 14, 28; Cf. L.w. twee trigonische, tevens tetragonische punten 26, 35; v. een trigonisch-tetragonisch met een trigonisch punt 26, 18; (393 ) ij. een trigonisch-tetragonisch met een ditetragonisch punt 26, 78; z. een trigonisch-tetragonisch met een tetragonisch punt 26, 57; «. een trigonisch=tetragonisch met een pentagonisch punt 26, 14; fB. twee trigonische punten van één vijfhoek 13, 46; y. twee trigonische punten van één zeshoek 13, 24; Ò. een trigonisch en een ditetragonisch punt 13, 78; e. een trigonisch en een tetragonisch punt van éénen vijf- hoek 15, 68; C. een trigonisch en een tetragonisch punt, die tegen- punten van een zeshoek zijn 13, 27; . een trigonisch en een tetragonisch punt van éénen zeshoek, welke door twee zijden gescheiden zijn 13, 57; d. een ditetragonisch met een pentagonisch punt 78, 14; t. twee tetragonische punten van éénen vierhoek 27, 68 ; x. twee tetragonische punten van éénen zeshoek 27, 38; À. een tetragonisch met een pentagonisch punt 57, 14. Conrievraries (153, 103). 6. Door a (14, 78) vindt men uit (5), wanneer men de tiende lijn door 0 voorstelt, Kr 24 35 1-24. 15 | 26 | 1748 | 10) 04 17 (25 | 36 | 48 | 25 | 36 | 37 | 68 | 49 | 08 |. (9) 19 | 26 | 37 | 49 | 35 | 68 | 07 | 08 | 09 | 09 Deze (159, 103) kan beschouwd worden als het samenstel van twee vijfhoeken 15249 en 73680, waarvan de toppen monotetragonisch zijn, terwijl de zijden van den eer- sten vijfhoek de zijden van den tweeden in de genoemde volgorde snijden in de vijf ditetragonische punten 17, 35, 26, 48, 09, die blijkbaar een hoofdvijfhoek vormen; alle cf. lijnen zijn gelijksoortig, daar elke hunner twee van de vijf cf. vierhoeken begrenst. ( 34 ) Door — a (15) ontstaat uit ef. (9) | 37 | 48 | 49 | 07 70 | 68149 | Ó8 |. 49 | 68 or 08 | 09 | 09 23 | 23 4 26 24 | 36 Ei 36 26 1-37 | d.i. eene (125, 83) Z met de driehoeken 236, 790, waarin de nieuwe punten 28, 79 een koppel (> vormen; cf. (9) kan dus door « (23, 79) uit (10) afgeleid worden. Daar zi slechts twee soorten van punten bezit, kan zij uit geene andere (125, 83) gevonden worden dan uit ef. A of ef. E, Uit (5) volgt door « (14, 36) 15 1-24 1'35 1 24 1 164 25 PATA ASN ALONE 17 | 25 | 37 | 48 | 25 | 68 | 37 | 68 | 49 | 06 |. (11). 19 | 26 | 03 | 49 | 35 | 06 78 78 | 09 | 09 Ook deze (153, 103) bestaat uit twee vijfhoeken 19 487 en 52603, zoodat de eerste, tweede, derde, vierde, vijfde zijde van den eersten vijfhoek in de punten 15, 09, 24, 68, 37 door de eerste, vierde, tweede, derde, vijfde zijde van den tweeden gesneden wordt. De ef. kan ook beschouwd worden als het samenstel van twee vierhoeken 1587 en 4268, waarvan de zijden 1 en 4 met de lijn 9, de zijden 3 en 6 met de lijn 0 verbonden zijn, terwijl 2 en 5 door het punt 25, 7 en 8 door het punt 78 verbonden worden. Zij bezit 4 soorten van pun- ten, nl. acht tetragonische punten (de toppen der genoemde vierhoeken), twee dipentagonische punten 25, 78, vier tetra- pentagonische, op vierhoekszijden gelegen, punten 19, 49, 03, 06 en een tetrapentagonisch punt 09, dat niet met eene vierhoekszijde incident is. Deze ef. kan dus nog op drie wijzen door atrigonische vervorming gevonden worden. Door — « (17) komt men op eene (125, 83) B met kop- pel 38, 59, d. 1. een monotetragonisch met een ditetrago- nisch punt, dus een koppel f; — « (78) geeft eene cf. W (395 ) met een koppel w, bestaande uit de punten 183, 46 ; — a (49) levert eene cf. D met een koppel 57, 40 van de soort r. Met behulp van het koppel ec der punten 14, 68 verkrijgt men uit (5) 15 [24 [35 | 24 | 15 | 26 | 17 | 48 | 10 ai 17 | 25 | 36 | 48 | 25 | 36 | 37 | 78 | 49. 08 (12). RR S6 137 40 | 35. 06 | 78. 08 oo 09 | Deze ef. (159, 103) bestaat uit twee vierhoeken 1537 en 9480, zoodat de tegenzijden 9,8 door de punten 19, 87 met de aangrenzende zijden 1,7 verbonden zijn, terwijl 5 en 4 door 2,0 en 38 door 6 in ef. punten gesneden worden, en de lijnen 2,6 onderiing verbonden zijn. Hare punten zijn van zes verschillende soorten, nl. een ditetragonisch punt 35, vier tetragonisch-pentagonische pun- ten 15, 25, 36, 37, twee tetragonisch-dipentagonisch-hexa- gonische punten 48, 90, twee tetragonisch-dipentagonisch- dibexagonische punten 17, 26, twee tetragonisch-tripenta- gonische punten 49, 80, vier tripentagonische punten 24, 19, 60, 78. Door — « (85) ontstaat eene (123, 83) 2 met koppel d (12, 67); door — a (15) eene (125, 83) met koppel qg (23,79); door — a (17) eene (129, 83) B met koppel A (38, 59); door — « (49) eveneens eene (123, 83) B met kop- pel A (28,01); door — a (19) eene (12), 83) WE met kop- pel # (40, 57). Overgaande tot de atrigonische vervorming der (12), 83) B, vindt men door koppel d, zooals zooeven is gebleken, eene cf., welke met de ef. van tabel (12) gelijksoortig is. Door het koppel e der punten 14, 36 vindt men uit (3) 15 | 24 | 35 | 24 | 15 | 26 | 17 38 | 19 | 03 17 | 25 | 38 | 48 | 25 | 67 | 67 | 48 | 49 | 06 |.(13) 19 | 26 | 03 | 49 | 35 | 06 | 78 | 78 | 09 | 09 Alle punten dezer cf. zijn dipentagonisch, alle lijnen tri- pentagonisch. De cf. kan op drie wijzen beschouwd worden als het samenstel van twee vijfhoeken, zoodat de 1ste, 2de, (396 ) 3de, 4de, 5de zijde van den eenen vijfhoek verbonden is met de 1ste, 3de, 5de, 2de, 4de zijde des anderen; een dezer paren van vijfhoeken wordt gevormd door 19487 en 53062. We- gens de geliijjkwaardigheid der punten kan de cf. uit geene andere (129, 83) afgeleid worden. Koppel f geeft, zooals boven bleek, eene met (11) gelijk- soortige cf.; koppel A de cf. (12). Het koppel g der punten 26, 35 levert uit (3) 14 | 24 | 36 | 14 | 15 | 836 | 17 | 38 | 29 | 03 15 | 25 | 38 | 24 25 | 67 | 67 | 48 | 69 | 05 |.(14) 17 | 29 | 03 | 48 | 05 | 69 | 78 | 78 | 09 | 09 | Deze cf. bezit, evenals de ef. van (9) vijf ditetragonische punten 14, 25, 36, 78, 09, welke eenen hoofdvijfhoek vor- men, en tien monotetragonische punten; zij onderscheidt zich evenwel daardoor van gene, dat hare lijnen niet tot twee vijfhoeken kunnen gerangschikt worden; alle hare lijnen zijn ditetragonisch. Door — a (15) komt eene cf. E te voor- schijn met het door 20 en 47 gevormde koppel y. Overgaande tot de atrigonische vervorming der (125, 83) C, vindt men door koppel 12,56 (4) 13 | 23 1/18) 14 1 ot Bidt AS LOE 14 | 24 | 23 | 24 | 58 | 68 | 57 | 58 | 29 | 06 (15) 19 { 29 1 37 1-48 | 05 4062/1671 768 103 1P0D Deze cf. bestaat uit de hoofdvjfzijden 1, 2, 7, 8, O0 en 3, 4, 5, 6, 9; hare punten zijn, met uitzondering van de atetragonische punten 37, 48, 09, ditetragonisch; van hare lijnen zin 1, 2, 5, 6 tritetragonisch, de overige ditetrago- nisch. Door — a (68) verkrijgt men eene DD met koppel s (07, 45). Koppel j levert door a (12, 85) 13 | 23 | 13 | 14 56 56 | 37 | 48 [10 | 05 | 14 124 | 23 | 24, 97.|:67 1057, 1 68: | 20 OST AAG) 19 | 29 | 37 48 | 05 68 1 67-11 081-094 09 (397 ) Hier vindt men het trigonisch-tetragonische punt 56, twee trigonische punten 57, 67, vier ditetragonisch-pentagonische punten 14, 24, 19, 29, twee ditetragonisch-hexagonische punten 13, 23, een tetragonisch-tripentagonisch punt 08, twee tetragonisch-pentagonische punten 05, 68, twee penta- gonische punten 48, 09 en het hexagonische punt 37. Eene negatieve atrigonische vervorming kan natuurlijk niet toegepast worden op de trigonische punten en de punten 37, 68, 05, welke op de zijden van driehoek 567 liggen. Door — « (14) ontstaat eene ME met koppel 39, 28 (#); door — «(13) eene E met lovpel 49, 27 (a); door — « (08) eene D met koppel 46, 59 (w). Het door de punten 12, 37 gevormde koppel k, geeft aanleiding tot de cf: Be 18-14: 756 |-56 {57 | 48 | 19.1 09 WN 28 24 | 07. 67. | 67158 1.29 | 07 |. (17) go 29 1.03 | 48/7: 58-/ 68 | O7 | 68 | 09 4 09 Hier zijn vijf soorten van punten: het ditrigonische punt 56, de vier trigonische punten 57, 58, 67, 68, de vier tritetragonische punten 13, 23, 19, 29, de vier ditetragoni- sche punten 14, 24, 03, 09 en de twee tetrahexagonische punten 48, 07. De eerste vijf punten en de laatste twee komen voor eene — « miet in aanmerking, daar zij op drie- hoekszijden liggen; — w (19) levert eene C met koppel 20, 34 (U). Omgekeerd zal dus de atrigonische vervorming der (125, 83) C ten opzichte van eene koppel / eene met (17) gelijksoortige ef. opleveren. Door « (14, 58, dus een koppel m, ontstaat: Boi 13 | 24) 56 | 56 | 91 | 48 | 19 |-05 Ke 23 23 48 [057 | 67. 977) 68 | 491-006 (18) doea4 "37. 49 | 05 | 68.67 08 | 09 09 | ( 398 ) Deze cf. bezit zes soorten van punten: twee trigonisch- tetragonische 12, 56, vier trigonische 18, 23, 57, 67, twee ditetragonische 49, 08, vier tetragonisch-pentagonische 19, 24, 68, 05, twee tetragonisch-hexagonische 48, 09, een tetrahexagonisch punt 37. Behalve de punten 48, 09, die gelijkwaardig zijn en dus beide door — « eene C leveren, komen alleen de ditetragonische punten voor negatieve ver- vorming in aanmerking; — « (08) geeft eene £ met koppel 46, 59 (4). Koppel » geeft door toepassing van a (14, 57) op tabel (8): 12 | 12/13 [24 |56 | 56 | 37 | 48 | 19 | 05 18 | 23 | 23 | 48 | 58 | 67 | 67 | 58 | 49 | 07 |..(19) 19 | 24 | 37 | 49 | 05 | 68 | 07 | 68 | 09 | 09 De nieuwe cf. heeft zes soorten van punten: twee trigo- nisch-tetragonische 12, 56, vier trigonisch-pentagonische 18, 23, 58, 68, vier tetragonisch-pentagonische 19, 24, 67, 05, twee tetragonisch-dipentagonische 49, 07, twee pentagoni- sche 37, 48, een dipentagonisch punt 09, Uit — « (49) vindt men eene EZ met koppel O1, 28 (À). Door a (24, 37), dus met een koppel o, komt men uit (8) tot: 12) 12 | 13-}-14-1-5601 Db AAT ASN 13 | 23 | 23 | 48 | 57 | 67 | 67 | 58 | 49 | 07 |. .(20) 14 j 29 1:03. 49-158 684) OT 1 GS DO Hier vindt men acht soorten van punten: het ditrigoni- sche punt 56, vier trigonisch-tetragonisch-hexagonische pun- ten 57, 58, 67, 68, twee trigonisch-tetragonisch-pentagoni- sche i2, 23, een trigonisch-dipentagonisch punt 13, een ditetragonisch punt 29, twee tetragonisch-pentagonisch-hexa- gonische punten 49, 09, twee tetragonisch-dipentagonische punten 14, 03, twee hexagonische punten 48, 07. Deze cf. geeft geene aanleiding tot omgekeerde vervorming. ( 399 ) Het koppel p der punten 37, 48 levert door eene « de cf.: marta 13 14 | 56 | 56 | 57 | 58 | 39 | 04 KS 29 | 23 | 241 57) 67) 67 | 68 | 79 | 08 1. (21) BA 24 39. O4 | 58 | 68 | 79 1 08 | 09 | 09 Zij bezit vier soorten van punten: twee ditrigonische 12, 56, vier dipentagonische 89, 79, Of, 08, een tetrapentagonisch punt 09, acht trigonisch-tetragonische punten; eene — q is voor geen der punten (buiten 09) mogelijk. De ef., waarin (129, 83) D door middel van de koppels q, ”‚ s kan vervormd worden, zijn in den loop van dit on- derzoek reeds voorgekomen; het koppel t der punten 57, 58 geeft door atrigonische vervorming: Mera | 35 | 149 15 | 26 | 17 | 28 39 | 05 Re 156 | 24 35 36 | 78 FT 781 79 | 08 | .(22) Banes s4 46 | 05 sy 46 | 79 | 08 | 09 f O9 De ef. bezit drie trigonische punten 24, 26, 46, het ditetragonische punt 09, twee tetragonisch-pentagonische punten 39, 08, twee met eene zijde van driehoek 246 ver- bonden tetragonisch-dipentagonische punten 35, 78, twee tetragonisch-dipentagonische punten 79, 05, die niet met eene driehoekszijde verbonden zijn, drie pentagonische pun- ten 14, 28, 36 en twee tripentagonische punten 15, 17; dus zeven soorten van punten. Nu geeft — a (39) eene E met koppel 2(56, 07); — a (35) eene D met koppel u (O1, 69); — « (05) eene E met koppel Ò (13, 89); — a (15) eene HW met koppel £ (03, 47). Door atrigonische vervorming der (125, 83) D met behulp van koppel w ontstaat volgens de zooeven gemaakte opmer- king eene met de cf. van tabel (22) gelijksoortige cf., terwijl door een koppel v de cf. van (16) gevonden wordt. Van de koppels, waartoe (123, 83) £ aanleiding geeft, VERSL. EN MEDED. AFD. NATUUBK, 3de REEKS DEEL V[, 26 ( 400 ) - blijven nu nog over te onderzoeken y, e, @, x, daar de overige reeds boven voorkwamen. Het koppel y der punten 26, 78 levert door atrigonische vervorming : 13 | 24 [13 | 14 | 15 | 46 | 27 | 38 | 29 | 07 14 | 27 | 35 | 24 | 35 [68 | 57 | 68 | 69 | 08 |..(23) 15 | 29 | 38 | 46 | 57 | 69 | 07 | 03 | 09 | 09 Vier soorten van punten komen in deze ef. voor: drie trigonische 13, 15, 35, drie ditetragonische 29, 69, 09, zes monotetragonische 24, 46, 68, 08, 27, 07 en drie di- pentagonische 14, 38, 57. Door — a (27) ontstaat eene Z met koppel e (49, 05); de andere soorten van punten laten geene — « toe. Koppel 9 (14, 78) geeft: 13 | 24 | 18 | 24 | 15 | 26 | 27 | 38 | 19 | 07 15 | 26 | 35 [| 46 | 35 | 46 | 57 | 68 | 49 | 08 |..(24) 19 | 27 [88 | 49 | 57 | 68 | 07 | 08 | 09 | 09 Hier vindt men drie soorten van punten: zes trigonische 13, 15, 35; 24, 26, 46, zes dipentagonische 19, 38, 57; 27, 49, 68 en drie tetrapentagonische 07, 08, 09. Koppel x geeft ten slotte door « (27, 38): 138 1 24/13 | 14} 154 26-157 108 1 20008 14 | 26 | 35 | 24 | 35 | 46 | 78 | 78 | 79 | 08 (25) 15 | 29 | 03 | 46 | 57 | 68 | 79 | 08 | 09 | 09 Deze cf. bezit vijf soorten van punten: twee trigonisch- dipentagonische 35, 26, vier trigonisch-tetrahexagonische 13, 15, 24, 46, vier tetragonische 78, 79, 08, 09, vier dipentagonische 29, 68, 57, 08 en een dihexagonisch punt 14. ( 401 ) 7, De cf. (12,, 83) geven aanleiding tot tien trigonische vervormingen; van de tien verschillende (153, 103), welke hierdoor te voorschijn komen, zijn er reeds acht door atri- gonische vervorming gevonden. Uit A vindt men nl. de cf. van tabel (23), uit B de ef. van (22), uit eene driehoeks- zijde der C de cf. van (20), uit de drie soorten van lijnen der D de cf. van (16), (24) en (25), uit eene pentagonische driehoekszijde der W de cf. van (18), uit eene tetragonische driehoekszijde van MZ de cf. (19). Door 7 (4) ontstaat uit de (12), 83) C van (8) de cf.: B 12 (13 | 14 | 56 56-87 | 58 | 29 | 04 18 | 23 | 23 | 49 | 57 | 67 | 57 | 68 | 49 | 08 |. .(26) 14 | 29 | 37 | 04 | 58 | 68 | 67 | 08 | 09 | 09 Deze cf. bezit een ditrigonisch punt 56, zes trigonisch- tetragonische punten 67, 68, 58, 57, 12, 49, vier trigonisch- hexagonische punten 13, 28, 04, 09, twee tetragonische punten 14, 29, twee heptagonische punten 37, 08; daar de beide laatste met driehoekszijden incident zijn, kunnen zij, zooals te verwachten was, niet voor eene — « in aanmer- king komen. Er zijn voorts twee ditrigonische lijnen 5, 6, zes trigonisch-tetragonische 1, 2, 4, 9, 7, 8 en twee trigo- nisch-hexagonische 3, 0, dus drie soorten van lijnen tegen vijf soorten van punten. Ten slotte verkrijgt men door 7 (7) uit de cf. & van ta- bel (7) de ef: BRE 13 | 14 15 | 26 1 78 | 38 | 29 | 05 mr 26 | 35 | 24 | 35 | 46 | 79 | 68 | 79 | 07 |..(27) Me 38 | 46 1 05 | 68 | 07 | 78 | 09 | 09 Hier vindt men zes trigonisch-pentagonische punten 13, 35, 26, 46, 79, 07, drie trigonisch-hexagonische punten 15, 24, 09, drie pentagonische punten 14, 29, 05 en drie dipentagonische punten 38, 68, 78, dus vier soorten; verder negen trigonische lijnen en de pentagonische lijn 8, dus 26* ( 402 ) twee soorten van lijnen. Van elken der drie driehoeken der ef. is eene zijde met de pentagonische lijn verbonden, terwijl de beide overige elk eene zijde van een der beide andere driehoeken in ef. punten snijden. Wordt de ditrigonische vervorming toegepast op eenig punt der (95, 63) A, zoo ontstaat de cf. van tabel (17); uit (95, 63) B vindt men door dezelfde vervorming de cf. van (20) en (26). De gevonden achttien (153, 103) zijn in de volgende tabel vereenigd, Daarbij werden twee ef. lijnen als gelijksoortig be- schouwd, wanneer de drie punten der eene lijn achtereenvolgens gelijksoortig bleken te zijn met de drie punten der andere. CE. (159, 103). Naam. Soorten van lijnen. Soorten van punten. Tabel. A een een 13 B een twee 9 C een twee 14 D twee twee 15 E twee vier 27 F drie drie 24 G drie vier 11 H drie vier 21 g drie vijf 25 J drie vj 26 K drie zes 12 L drie zes 18 M vier vier 23 NN vier vijf 17 Ö vier zes 19 B vijf zeven 22 Q zes acht 16 R Zes acht 20 Er eijn achttien in samenstelling verschillende cf. (153, 103). ( 403 ) CONFIGURATIES (2 3, 74). 8. De eenvoudigste ef. met indices 2, 4 is de vijf- zijde met de lijnen 1, 2, 3, 4, 5 en de tien punten MEE Ì tot 5, k—= 2 tot 5). Wordt uit de zeszijde met de lijnen 1, 2, 3, 4, 5, 6 een drietal onderling gescheiden punten afgezonderd, dan vindt men de ef. (125, 64); met behulp van den hoofddriehoek 12, 34, 56 verkrijgt men zoodoende de volgende tabel: 13 23 18 14 15 16 14 24 23 24 25 26 15 25 35 45 95 96 16 26 36 46 45 46 .. (28) _ Terwijl elk punt der zeszijde tetratrigonisch is, zijn alle punten der (125, 64) ditrigonisch; immers door het wegla- ten der drie gescheiden punten verliest elke cf. lijn een punt, dus twee driehoeken, omdat de beide op twee verbonden lijnen gelegen punten tot twee verschillende driehoeken be- hooren. Daar het complement eener (145, 74) een zevenhoek of het samenstel van een driehoek en een vierhoek is, zijn er twee verschillende cf. (145, 74). Door afzondering van den zeven- hoek 12834567 ontstaat uit de zevenzijde de (143, 7/4) A met tabel: 13 | 24 | 18 | 14 { 15 | 16 [ 27 14 | 25 | 35 | 24 | 25 | 26 | 37 15 | 26 | 36 | 46 | 35 | 36 | 47 16 | 27 | 37 | 47 | 57 | 46 | 57 ie Deze cf. bezit zeven ditrigonische punten 13, 24, 35, 46, 57, 61, 72 en zeven raonotrigonische punten, terwijl hare lijnen alle tritrigonisch zijn. ( 404 ) Laat men uit de zevenzijde de punten 12, 23, 34, 41 be- nevens de punten 56, 67, 75 vervallen, zoo komt de cf. (145, 74) B te voorschijn met de tabel: 13 1:24 1 13 | 244 19 hk IB aekt 15 (25 1 35 | 451 BD IA A 16 | 26 | 36 | 46 | 35 | 36 | 37 17 1-27 | 37 | 47 | 45 | 46 | 47 MEt Zij heeft twee tritrigonische punten 13 en 24 en twaalf monotrigonische; van hare lijnen zijn 5, 6, 7 ditrigonisch, 1, 2, 3, 4 tritrigonisch, Er bestaat slechts eene (123, 64), terwijl er twee in samen- stelling verschillende (143, 74) zijn. CONFIGURATIES (165, 84). 9, De ef. (165, 84) hebben tot complement eene (125, 83) A, B, C, D, E of het samenstel van twee (63, 43). Verwij- dert men uit de achtzijde met de lijnen 1,2,3,4,5,6, 7, 8 de toppen der beide vierzijden 1 2834 en 5 6 7 8, zoo komt de (165, 8,) met tabel: 15 | 25 | 35 | 45 | 15 | 16 | 17 | 18 16 | 26 | 36 Ri, 26 | 27 | 28 17 | 27 | 87 | 47 | 35 | 36 | 37 | 38 (18 | 28 | 38 | 48 | 45 | 46 | 47 | 48 | vil vS) Zij is regelmatig en bezit twee hoofdvierzijden en 24 hoofdvierhoeken, welke elk eene (129, 83) A opleveren. Uit de tabellen (3), (5), (6), (7), (8) vindt men achter- eenvolgens de tabellen voor de overige vijf (163, 84). 12 (12,18, [844 45, (Shâ|ora( HiB 138 | 23 | 28 | 45 | 56/46 | 37 | 28 16 | 27 | 34 | 46 | 57 | 56 | 47 | 58 [18 [28 | 37 | 47 | 58 | 68 | 57 | 68 soin Bla, 18 | 34 13 | 23 | 23 | 45 16 | 27 | 34 | 46 18 | 28 | 38 | 47 U er jn 4 46 | 47 | 28 20157 198 67 | 67 | 58 ‚ (33) KS 23-23 | 45 56 | 47 | 38 16 | 25 | 34 | 47 67 | 57 | 48 18 | 27 | 38 | 48 68 | 67 | 68 . (84) Ben ta | 23. | 34 16 | 23 | 34 | 45 Bean 20 47 Keel AS Lon 48 nd Wee ad 36 | 37 | 28 56 | 47 | 48 67 | 67 | 58 . (35) ) ARE 16 | 27 | 18 15 | 25 | 34 | 34 | 15 | 16 | 17 | 18 E66: 26°| 35 | 45-125 | 26 | 27 | 28 Fior 241 961 46 35136 | 47 138 18 | 28 | 38 | 47 | 45 | 46 | 78 | 78 . (86) In ef. (32) zijn de acht punten 12, 23, 37, 74, 45, 56, 68, 81 ditrigonisch, de overige acht monotrigonisch; elk achttal vormt eenen achthoek; alle lijnen der cf. zijn tri- trigonisch. Cf. (33) bestaat uit twee vierzijden 1 23 8 en 4 5 6 7 benevens de punten 16, 27, 34, 58, welke elke zijde der eene vierzijde met eene zijde der andere verbinden; door af- zondering van deze vier punten ontstaat eene (12, 83) A. Alle lijnen der ef. zijn tritrigonisch; van hare punten zijn de vier bovengenoemde atrigonisch, de overige ditrigonisch, ( 406 ) Cf. (34) heeft drie soorten van lijnen: 2, 4, 6 zijn di- trigonisch, 5, 7 tritrigonisch-pentatetragonisch, 1, 8, 8 tri- trigonisch-tetratetragonisch; van hare punten zijn 13, 18, 38 ditrigonisch, 12, 23, 34, 48, 16, 68 trigonisch-tritetra- gonisch, 25, 27, 45, 47, 56, 67 tritrigonisch-tetratetrago- nisch, terwijl 57 als tritrigonisch punt op zichzelf staat. Cf. (55) bezit twee tritrigonische lijnen 7, 8, twee ditri- gonisch-hexatetragonische 1, 4 en vier ditrigonisch-oktote- tragonische 2, 8, 5, 6; verder vier ditrigonische punten 28, 58, 87, 67, vier trigonisch-tritetragonische 17, 18, 47, 48 vier trigonisch-tetratetragonische 12, 16, 34, 45, twee trigo- nisch-pentatetragonische 25, 86 en twee atrigonische 23, 56. Cf. (36) bestaat uit vier ditrigonische lijnen 8, 4, 7, 8 benevens vier monotrigonische lijnen 1, 2, 5, 6; zij bezit twee ditrigonische punten 84, 78; acht monotrigonische 17, 27, 18, 28, 35, 45, 36, 46; vier hexatetragonische 15, 16, 25, 26; en twee tritetragonische 47, 38. Er zijn zes soorten van cf. (165, 84). Cr (Boke Soorten van En Tabel. punten. (12, NES go van ijnen. Á twee (O5, 43) B A d3 C B 82 D C 56 E D 34 F drie vijf E 35 | VERVORMING DER CONFIGURATIES (2n9, 74). 10. De cf. (189, 94) kunnen niet met behulp van hunne complementen gevonden worden, daar deze ook (183, 94) zijn. ( 407 ) Er dient dus eene vervorming bedacht te worden, welke op de verschillende (163, 84) toegepast, de verschillende (183, 94) doet kennen. Is a eene lijn eener (2n, n4), en bevinden zich onder de met haar verbonden lijnen b, vc, d, e twee gescheiden paren die geene lijn gemeen hebben, b.v. de paren b, c en d, e, dan verkrijgt men eene (2 (n—1)5, (n—1l)4,) door a weg te laten en de punten be en de toe te voegen. Vormen b, ec, d, e geen twee onafhankelijke gescheiden ‚ paren, maar b. v. de gescheiden paren b, ec en b, d, dan wordt b gesneden door de lijn a met de punten ac,ad, ae, door de lijn e met de punten ae, ce, de en nog door twee lijnen f en g, die elk van a en e gescheiden zijn; b ver- keert dan in hetzelfde geval als voorheen a, zoodat wegla- ting van b onder toevoeging der punten af en eg wederom eene (2 (n—1l)s, (n—1l)4) doet ontstaan. Zijn daarentegen slechts de lijnen d en e gescheiden, zoo- dat d door a, b, c en de lijn A, de lijn e door a, b, cen 1 gesneden wordt, dan verkrijgt men eene (2 (n —5)g, (n—5)4), wanneer men de lijnen a, b, c, d, e weglaat en het punt hi aan de figuur toevoegt. Deze vervorming kan natuurlijk alleen voorkomen, als n 7 10. Verwijdert men dus uit eene (2n3, n4) de gescheiden pun- ten be, de, terwijl de lijn a met de punten ab, ac, ad, ae aan de figuur wordt toegevoegd, dan ontstaat eene cf. (2 (a + Do, (rn + 1). Wordt uit de (273, 74) het punt hi weggelaten, terwijl men de lijnen a, b, ce, d, e met de punten ab, ac, ad, ae, be, bd, be, ed, ce, dh, et in de figuur opneemt, zoo ont- staat eene (2 (n + 5), (n + 5)4). Alle ef. (2 nz, n4) kunnen bepaald worden, zoodra de ver- schillende (2 (n—1)3, (n—l)4) en (2 (n—5)3, (n—5)4) bekend Kampen, 23 Mei 1889. NIEUWE BIJDRAGEN TOT DE KENNIS DER MELOCACTI VAN WEST-INDIË. DOOR W. F. R. SURINGAR. (Vergadering der Kon. Akad. van Wetensch, 27 September 1889). Nadat ik de eer had, de uitkomsten van mijne reis, ten aanzien van de Melocacti onzer West-Indische eilanden, aan de Akademie voor te dragen *), heb ik dat onderzoek voort- gezet, deels met behulp van het medegebrachte materiaal, deels met behulp van nieuwe voorwerpen, die ik, eerst in Augustus 1886, door de welwillende bemoeiingen van pastoor A. J. van KoorLwijk, en nu weder onlangs, in Augustus 1889, door zijn opvolger te Oranjestad, den Welerw. Heer vaN Baars, mocht ontvangen. Van het oorspronkelijk medegebrachte en ook van het in 1886 ontvangene is een goed deel gestorven, gelijk van deze moeilijk te kweeken voorwerpen niet anders kan worden ver- wacht. Ook was aanvankelijk geen zeer geschikte gelegenheid tot plaatsing van deze voorwerpen aan den Hortus voorhanden. Later werd daarin, door de goede zorg van Regeering en Cu- ratoren, door den aanbouw van een klein succulenten-kastje voorzien; en, ofschoon het onmogelijk is, aan deze planten de levensvoorwaarden van haar vaderland hier terug te geven, %) Zie Verslagen en Mededeelingen der Kon. Akad. v. Wetensch, Afd. Natuurkunde, 8de Reeks, Deel II, p. 183. ( 409 ) mogen wij de hoop koesteren, dat allengs een grooter getal der aangevoerde voorwerpen het leven behouden zal. Van diegene, welke in leven bleven, hebben sommige dui- delijke verschijnselen van groei vertoond. Opmerking verdie- nen hieronder: 1° een zwaar exemplaar van M. Salmianus L. O., destijds uit Curacao medegebracht, waarvan het be- schadigde cephalium begon zich te vernieuwen; deze ver- nieuwing heeft zich voortgezet, en daaruit zijn, bij den warmen zomer van dit jaar, eenige bloemen te voorschijn gekomen; 20 een exemplaar van M. stramineus Sur. 1. c., even- eens tot de eerst medegebrachte planten behoorende, dat toen reeds een vrij groot cephalium bezat. Dit cephalium is op eenigzins afwijkende wijze doorgegroeid. Het is nl. niet een- voudig verlengd, door nieuw toegevoegde tuberkels uit het groeipunt en verbreeding van het daaronder aanwezige ge- welfde topgedeelte tot den volwassen omvang, m. a. w. door verlenging van den cylinder, maar door eene speciale uit- groeiing, vermoedelijk een vertakking nabij het groeipunt, die, terwijl het reeds aanwezige gedeelte onveranderd, en dus gewelfd bleef, op zichzelf tot een bolvormig lichaam, in diameter overeenkomende met de normale breedte van het cephalium, is toegenomen. Deze tak, van dezelfde samenstel- ling als het overige cephalium, hangt daarmede slechts even samen, helt door zijn gewicht sterk over, en zal er ten slotte door dezelfde oorzaak wel van afbreken. Alsdan zal vermoedelijk de inplanting nauwkeuriger dan nu kunnen worden nagegaan. Deze vernieuwing, uit het cephalium zelf, is geheel excep- tioneel. Gewoonlijk, wanneer het cephalium afsterft of ver- nield wordt, en zieh door de vorming van een of meer nieuwe herstelt, ontstaan deze langs den rand van het oude, als zijtakken uit het bovendeel van den vegetatieven stengel; en deze zijknoppen brengen eerst een kleiner of grooter ge- woon stengelgedeelte, en eerst daarna, aan den top hiervan, elk een nieuw cephalium voort. Een voorwerp, in 1886 aangevoerd, en toen zonder cepha- lium, is er een begonnen te vormen, een verschijnsel, dat, zoo- ver mij bekend, bij cultuur in onze kassen, nog niet is waar- (410 ) genomen. Het is een zeer klein voorwerp, met kegelvormigen stengel, dat onder de bij deze mededeeling behoorende be- schrijvingen als M. (ineurvus) nanus vermeld wordt. Bij eene hoogte van 10 em. bezit de kegelvormige stengel beneden een diameter van 1Ol/, em. Onderscheidene, met cephalium voorziene voorwerpen, heb- ben bloemen ontwikkeld, In onze kassen komen deze alleen in de zomermaanden, en bij een warmen, zonnigen zomer voor den dag. Wanneer dus de voorwerpen in Augustus aan- _ komen, heeft men wel eenige, maar niet veel kans, dat men daarvan nog in denzelfden zomer de bloemen zal zien. De beide voorafgaande zomers van 1887 en 1888 waren boven- dien ongunstig, door veel bedekte lucht; het gevolg hiervan Is geweest, dat van de in 1886 ontvangen planten eerst in dezen zomer eenige hebben gebloeid. Sommige, het eerst mede- genomen voorwerpen, hebben in dezen, vooral in den beginne gunstigen zomer, van Mei tot Augustus, hun bloei herhaald. De meeste bloemen komen in den namiddag, of tegen den avond, te voorschijn, en zijn den volgenden morgen verwelkt. Enkele, zooals MM. communis DO., hebben ze in 1885 — later is deze soort uitgestorven — ook in den voormiddag vertoond. Bij de middagzon verwelkten ook deze. In ’t al- gemeen zijn de Melocacti nachtbloeiers en van korten duur. Dit maakt de waarneming der bloemen eenigszins moeilijk ; en daarbij komt, dat slechts dan, wanneer eenige warme zon- nige dagen zijn voorafgegaan, de bloemen geheel tot ontwik- keling komen. In het omgekeerde geval ziet men, nu eens dat een knop even met den top uit de wol van het cepha- lium te voorschijn komt, maar zich weldra terugtrekt en verwelkt. Hen andermaal komt de bloem verder, de bloem= bladen openen zich eenigermate, maar de zoom bereikt slechts een vertikalen stand, en daarna trekken zij zich evenzeer te- rug. Soms staan de binnenste bloembladen een weinig uit- gebogen, en verbergen min of meer de nog vereenigde stem- pellobben. Opent zich de bloem volledig, dan spreiden. deze zich straalvormig uit, de bloembladen vormen een trechter- vormigen zoom, en ten slotte staan ook de toppen van de meer buitenwaartsche kortere blaadjes, die men als kelkbla- (A11 ) den beschouwen kan, eenigszins naar buiten uit. Op die wijze zijn in 1885 en in dezen zomer eenige bloemen waargenomen. Bessen komen gewoonlijk, aan pas ingevoerde bloeibare planten, korten tijd na hare aankomst voor den dag, als het product van bloemen, die vóór de reis hebben gebloeid, zoodat men veelal den vruchtvorm spoedig kan leeren kennen, in zoo- verre de voorwerpen van cephalium voorzien zijn. Deze bessen zijn van verschillenden vorm en grootte, maar in 't algemeen naar beneden smaller. Nadat haar top tusschen de wol van het eephalium zichtbaar is geworden, verheffen zij zich in een of twee dagen daarzit, en vallen ten slotte af. Door de veerkracht der omringende deelen, eene drukking uit- oefenende tegen de zwellende bes, wordt deze als het ware uitgeperst. Mrquer ontkent dit verschijnsel, tegenover de wel wat overdreven mededeelingen van Liemarre, dat de bessen uit het cephalium wegspringen. Op grond van eigen waar- nemingen deelt Mrqurer mede, dat de bessen, na een weinig boven de wol uitgestoken te hebben, zich weder terugtrekken en tusschen de wol verdrogen. Nu en dan geschiedt dit wer- kelijk; nl. soms bljft de bes met haar voet aan de aanhech- tingsplaats verbonden met eene kracht, die aan de oppersing weerstand biedt; maar in de meeste gevallen laat zij los en wordt op de beschrevene wijze langzaam opgeheven en ver- wijderd. Dit jaar zijn bessen verkregen uit een paar in 1886 in- gevoerde planten, die in den loop van den zomer hadden gebloeid, dus uit in de kas zelve ontwikkelde bloemen. De planten hadden gebloeid de eene van het laatst van Mei tot half Juli, de andere nog in het begin van Augustus, terwijl de rijjpe bessen in en na de eerste week van September zijn verschenen. Ten naaste bij laat zich hieruit opmaken, dat er een paar maanden tusschen den bloei en de rijpheid der bes verstreken zijn *). De stempelarmen lagen in deze bloemen in de keel, niet ver boven de meeldraden; of de bevruchting door middel van vliegen, of wellicht door de %) Dit wordt bevestigd door enkele bessen, die nog tot 23 Oktober ver- schenen zijn (noot bij de proefcorrectie toegevoegd). (412 ) aanraking bij het onderzoek der bloem geschied is, moet ik in het midden laten. De bessen waren deels wat kleiner, deels wat smaller dan die, welke kort na den invoer waren ver- kregen, maar overigens normaal gevormd en bevatteden, even als de andere, een aantal goed ontwikkelde zaden. De zaden, welke in vri grooten getale aan de wand- standige zaadlijsten worden voortgebracht, kiemen geregeld, wanneer zij op vochtige zandige aarde worden uitgezaaid. Omtrent de kiemingsgeschiedenis heeft Mrqurr reeds mede- gedeeld, dat het stengelbeginsel voor den dag treedt als een klein bolvormig, boven eenigszins ingesneden lichaampje, waarvan de twee door de insnoering gescheiden helften als de zaadlobben moeten worden aangemerkt. Aan de binnen- zijde van deze ontstaat het eerste dorenbundeltje (zijtakje), waarvan de dorens (bladen) door kleine borsteltjes worden vertegenwoordigd. Na afloop van deze kiemingsgeschiedenis ontstaan twee dorenknobbels, met de eerste gekruist. Hier- door is het begin van vier vertikale rien dorenknobbels gegeven, elke knobbel vertegenwoordigende een blad met daarmede verbonden okseltak, en in elke rij eerst als af- zonderlijke knobbels voorkomende, maar weldra tot een door- loopende rib ineensmeltend. Vrij spoedig wordt dit getal ribben tot acht verdubbeld, doordien zich, tusschen de vier eerst aangelegde, vier nieuwe invoegen, en tusschen deze acht wordt hier en daar nog weder een nieuwe aangelegd, zoodat reeds bij zeer jonge voorwerpen van die soorten, welke binnen het bereik van mijn onderzoek vielen, het aantal ribben tusschen acht en dertien wisselt. In den jongen top, waar voortdurend nieuwe knobbels worden gevormd, liggen deze spiralig. Sommige voorwerpen verkrijgen dus reeds op dezen jongen leeftijd — laten wij het noemen, ter onderscheiding met vol- gende toestanden, het primitieve stadium — hun vol aantal kanten of ribben. Bij andere wordt dit echter ook later nog, op dezelfde wijze, vermeerderd. Bij sommige ziet men zelfs nog eene vermeerdering in de onmiddellijke nabijheid van het cephalium, dus op het einde van den vegetatieven lengtegroei. Bij deze vermeerdering van het aantal ribben smelt de (413 ) aanvangsknobbel der nieuwe doorgaans samen met een der beide oude ribben, waartusschen hij de nieuwe aanvangt; alsdan geeft dit aanleiding tot het voorkomen, alsof deze rib naar boven is gesplitst of vertakt; soms blijft hij op zichzelf staan, en wordt dus de nieuwe rib vrij tusschen de bestaande ingevoegd. Het is duidelijk, dat de vermeerdering van het aantal ribben samenhangt met de vergrooting der eycli in den steeds breeder wordenden spiraligen top, maar tevens, dat zij daarmede niet geheel gelijken tred houdt. De vergroeiing tot doorloopende ribben houdt als het ware de vermeerde- ring van het getal vertikale rijen terug. Ook komen hierbij enkele anomalieën voor. Zoo zijn gewoonlijk de vermeerde- ringen van het aantal ribben, zoowel in volgende stadiën als in het primitieve, gelijkmatig langs den omtrek van den stengel verdeeld; maar bij één (volwassen) voorwerp was te zien, dat zoodanige vermeerdering plaats had gehad aan de ééne zijde van den stengel, tusschen een viertal naast elkan- der liggende ribben. De borsteltjes, die, in het prim‘tieve stadium, de doren- groepen vertegenwoordigen, zijn ten getale van vijf op elk knobbeltje. Zij vertegenwoordigen de zijdorens van de latere volkomene deelen. Herst hooger op vermeerdert hun getal en komen ook, bij die soorten welke later binnendorens zullen bezitten, een of meer borstels in het midden der groepen, als vertegenwoordigers van deze tweede soort van dorens, te voorschijn. De verschillen tusschen de jonge plantjes, van 4- à S-jarigen leeftijd en die een diameter van hoogstens 3 cen- timeter bezitten, zijn overigens nog hoogst gering. Vele, af- komstig van voorwerpen, die tamelijk ver uiteenliepen, laten zieh in dezen toestand niet of nauwelijks van elkander on- derscheiden. Andere vertoonen duidelijker afwijkingen van de overige in kleur, lengte der borstels, enz. Maar de verschil- len zijn volstrekt niet evenredig aan die tusschen de vol- wassen voorwerpen, welke de zaden hebben geleverd. De lichaamsvorm is in het algemeen bolvormig. Alles wat zich nu op de oppervlakte van deze bolvormige stengeltjes bevindt, zal later naar het grondvlak worden (414 ) teruggedrongen, en dus, voor zoover dan nog voorhanden, op de volwassen voorwerpen alleen te zien zijn, als men deze omkeert, en haar grondvlak, rondom het uitgangspunt van den pen- wortel, beschouwt. Dikwijls ziet men daar straalswijs naar den wortel gerichte reeksen van dicht opeen geplaatste doorn- groepen, kleiner en eenvoudiger dan die, welke zich aan het boven den bodem zichtbare gedeelte aan den stengel bevin- den, en hoe langer hoe kleiner een eenvoudiger wordend, naarmate men het middelpunt bij den wortel nadert. De allereerste gevormde doorngroepjes, in diens onmiddellijke nabijheid, zijn dan echter lang verloren gegaan. Juiste waarnemingen omtrent voorwerpen, die in onze kassen het primitieve stadium zijn te boven gekomen, zijn mij niet bekend. Maar uit betrekkelijk jongere ingevoerde voorwerpen, in vergelijking met zaailingen eenerzijds en ge- heel volwassen voorwerpen anderzijds, laat zich opmaken, dat, bij den overgang van het eerste stadium in het tweede, de stengelleden, naarmate zij later worden aangelegd, steeds meer in de breedte uitgroeien, totdat de volle breedte van de latere basis van den stengel bereikt is: even als jonge palmen, boomvarens en dergelijke, eerst, zooals men het noemt, tot hunne breedte uitgroeien, om later, uit die breede basis, door toevoeging van nieuwe leden van ongeveer de- zelfde breedte, den opgerichten stam te vormen. Hier echter is dat eerste gedeelte dadelijk vertikaal, niet min of meer rhizoom-achtig. Geschiedt nu die successieve verbreeding der later ge- vormde leden snel en steeds toenemend, dan verkrijgt men die platte koekvormige lichamen, welke reeds door SALM- Dick en Miqver als jonge voorwerpen van M. pyramidalis S. D. zijn erkend en ik u hier van een variëteit van M. Kool- wijkianus Sur. kan vertoonen. Bij minder snelle, en ten slotte weder geleidelijk verminderende toeneming, moet het grond- vlak zich meer afgerond voordoen. Eene enkele maal, excep- tionneel, zag ik het vrij kegelvormig. Eerst wanneer op deze wijze het grondvlak zijne volle breedte heeft verkregen, heeft men aan de buiten- en bovenzijde van het lichaam doren- groepen, die ook aan de buitenzijde van het volwassen voor- (415 ) werp zichtbaar zullen blijven. Ook in deze dorengroepen, in 't algemeen de krachtigst ontwikkelde, is meestal nog eenige opklimming te bespeuren, en geheel naar boven, tegen de vor- ming van het cephalium, vaak weder eenige vermindering. Het maximum heeft men dus doorgaans in het midden of op twee derden van de hoogte; vandaar uit heeft men, naar gelang van omstandigheden, een kleiner of grooter getal daaraan gelijke, en vervolgens beneden de nog niet tot het maximum gestegene, boven al of niet weder verminderde dorengroepen. Wanneer, na de vorming van een plat of bijna plat grond- vlak, de groei in het tweede stadium — dat wij het vegetatieve zullen noemen — in de hooger en hooger gevormde deelen ge- leidelijk weder afneemt, verkrijgt men den eigenaardigen kegel-, of, de kanten in aanmerking genomen, pyramidaal- vorm, die aan een deel der soorten eigen is. Bij andere blijft de breedtegroei in de deelen voorbij het grondvlak een tijd- lang gelijk, waardoor ecylindervormen, aan den top afgerond, ontstaan, die men wel met die van een suikerbrood verge- leken heeft. Heeft eerst nog een toeneming, en daarna af- neming van den breedtegroei plaats, dan verkrijgt men, als het maximum beneden het midden blijft, een eivormigen, wanneer het in het midden komt, een bolvormigen of lang- werpigen stengel. Tusschen deze hoofdvormen zijn natuurlijk allerlei tusschentoestanden. In ’t algemeen zijn de vormen, waarbij de hoogte den diameter overtreft, zeldzamer dan die, waarbij beide gelijk zijn, of waar de hoogte min of meer beneden het maximum der breedte blijft. Wanneer het cephalium zich begint te vormen, ziet men aan den top, in plaats van jonge elkander kruisende dorens, de lange witte wol van de cephaliumknobbels te voorschijn treden, omringd door de dorens van het laatst gevormde vegetatief gedeelte. Herst zeer smal, verbreedt het zich van lieverlede, waarbij dus ook het vegetatief gedeelte van den stengel, waarop het rust, nog in omvang toeneemt. Op die wijze wordt een diameter van 7—10 centimeters verkregen, terwijl de oppervlakte zich inmiddels welft; ein- delijk, wanneer het maximum van omvang bereikt is, groeit het cephalium verder cylindervormig op. VERSL, EN MEDED, AID. NATUURK, 3de REEKS, DEEL VI, 27 (416 ) Reeds de eerste cephaliumknobbels zijn bloeibaar, maar de bloem ontwikkelt zich niet, voordat een aantal nieuwe cephaliumknobbels zich gevormd heeft. Voorts weet men, dat elke knobbel, als zijtak, niet meer dan ééne bloem kan voortbrengen. Het gevolg hiervan is, dat de bloemen, zoowel bij een reeds eylindervormig ontwikkeld als bij een nog schijf- vormig cephalium, alleen op de bovenvlakte voorkomen, meest 1 à 2 em. van het midden. Bij het cephalium, dat zijne volle breedte bezit en krachtig doorgroeit, komt dit, zooals Mrquer opgeeft, ongeveer uit op een derde tusschen het middelpunt en den omtrek der bovenvlakte; bij jongere cephaliën is het echter dichter bij den rand en bij niet of niet sterk meer aan- groeiende dichter bij het midden. Iets vroeger of later dan de bloemen komen de fijnere borstels te voorschijn, die hier de dorengroepen vertegenwoordigen, en die dus in de eerste plaats op het uitgebloeide, bij sommige soorten reeds op het bloetbare, en bij andere, hoewel zeldzamer, ook op het nog niet bloeibare middengedeelte boven de wol uitsteken. In een paar gevallen, waarin het cephalium geheel en al, tot over den top, met overal even krachtige en even lange bor- stels bedekt was, gelijk bij andere, waar de bloemen of bes- sen uit het midden ontsproten, kwam het mij voor, te doen te hebben met cephaliën die hadden opgehouden te groeien, en de natuurlijke grens van hunne ontwikkeling hadden be- reikt. Waar die grens voor elke soort ligt, is voor het oogen- blik niet uit te maken. Dat zij echter verschilt, valt niet te betwijfelen. Bij de Melocacti op de eilanden beneden den wind heb ik slechts bij uitzondering een cephalium gezien, dat iets hooger was dan de diameter. De meeste waren lager. Bij Me- locactus communis DC. op St. Eustatius waren er van een halven meter en hooger ; welk verschil moeilijk aan toevallige omstan- digheden van vernieling of dergelijke toegeschreven worden kan. De vergelijking van de zaailingen van hetzelfde zaaisel, zal, wanneer de zaailingen eenmaal zoover gevorderd zullen zijn, dat zij het primitieve groeistadium te boven zijn geko- men, over het min of meer standvastige, en dus over de betrekkelijke waarde der kenmerken voor de onderscheiding der soorten, een oordeel kunnen leveren. Het laat zich (417 ) echter voorzien, dat het lang zal duren, voordat de in onze kassen gekweekte voorwerpen dien toestand van ontwikkeling zullen hebben bereikt. Inmiddels levert reeds de vergelijking van verschillende dorengroepen en andere deelen aan een- zelfde voorwerp, en de vergelijking van meerdere voorwerpen, die kennelijk tot denzelfden type behooren, inzonderheid die, welke in het algemeen overeenstemmen, maar in één op- zicht verschillen, een maatstaf tot beoordeeling. Tot dit doel leverden ook de beide zendingen van de Heeren vaN KooLwr:k en vaN Baars een zeer te waardeeren materiaal. De voorwerpen, die de Heer van KoorLwijk zond, waren alle van ééne plaats, in de nabijheid van Oranjestad, en leverden het voordeel op van vrij talrijke exemplaren te bevatten van enkele soorten : waarin dus de variaties, bij behoud van denzelfden algemeenen type, konden worden na- gegaan. Die van den Heer van Baars waren van verschil- lende plaatsen van het eiland; en daar vooreerst de Heer VAN Baars mij. destijds op een paar tochten had vergezeld, en ten tweede dezelfde bediende, die toenmaals voor mij werkzaam was geweest, ook nu weder met het inzamelen kon worden belast, bestond er gelegenheid, om de lokaliteiten vanwaar, en ook eenigermate de vormen die in de eerste plaats tot aanvulling werden gewenscht, meer in het bizon- der op te geven. Op verschillende wijze waren dus beide in hooge mate voor het doel belangrijk. Mijne onderstelling, dat tusschen sommige, vrij uiteenloo- pende vormen, maar die toch iets in haar karakter gemeen hadden, tusschenleden, als van eene zelfde reeks, zouden gevonden worden, b.v. tusschen M. Koolwijkianus Sur. en M. rubellus Sur., werd bevestigd. Voor andere bleek ook nu weder een meer geïsoleerd standpunt, b.v. voor M. strami- neus Sur. Niet bevestigd werd mijn vermoeden, dat men reeds nu de soorten meer, dan tot dusver, zou kunnen samentrekken. Zelfs eene enkele, die ik gemeend had, niet- tegenstaande de bestaande verschillen, tot eene zelfde soort als andere, te mogen rekenen, heb ik daarvan weder moeten afscheiden, b.v. de zeer karakteristieke Arubaansche vorm met kromme dorens, die ik vroeger tot MZ. Monvil- 27° (418) leanus Mrq. had gebracht. Ik ontving nl. onder de latere vor- men een, die veel nader komt tot de beschrijving en afbeel- ding van het fragment, dat Mrqver aanleiding tot het opstellen van zijne soort gaf, maar onmogelijk met den door mij daar- toe gebrachten Arubaanschen vorm kan worden vereenigd. Ik ben dus verplicht geweest, dezen laatsten thans van een afzonderlijken naam te voorzien. Tegelijkertijd moge ik hier aanteekenen, dat de verwante Melocactus Besleri L. O., door de schrijvers die Mrquer hebben opgevolgd, ten onrechte als soort geschrapt is. Link en Orrto, die in 1827 den naam gaven, hebben dien tevens toegepast op een voorwerp, in de collec- tie van ScreLHASE te Cassel aanwezig, dat, door den bloei in 1837 en 1838, bleek tot een ander geslacht, Discocactus, te behooren; maar de afbeelding van Bersrer in den » Hortus Eystettensis’’, die aanleiding gaf om den naam Besleri aan de soort te verbinden, is een duidelijke Melocactus met cepha- lium. Of nu het jonge voorwerp in den Hortus te Berlijn, uit Zuid-Brazilië (het Casselsche voorwerp was uit West- Indië, vermoedelijk van Jamaica, terwijl het vaderland van het BrsLeRr’sche onbekend is), waarnaar Link en Orro hunne be- schrijving en afbeelding gaven, tot de eene of tot de andere soort behoorde, is thans niet meer uit te maken. Förster bericht (Handb. d. Cacteënkunde, p. 348) dat het gestorven is zonder te bloeien. MrqveL geloofde wel aan de identiteit; maar beschouwde in elk geval de afbeelding van BESLER en niet het Berlijnsch exemplaar als de type, zoodat ik meen, met weglating van de verdere synonymie, de soort te moeten behouden als M. Beslert Mrq. (non L. et 0), waarbij dan, uit de beschrijving van Mrqver, datgene moet worden weggelaten, wat aan die van het Berlijnsche exem- plaar ontleend is. Gelijk gezegd, is mijn indruk, na het bestudeeren en ver- gelijken van een vrij groot aantal voorwerpen en vormen van dit geslacht, dat de maatstaf tot onderscheiding der soorten vooralsnog niet veel ruimer kan worden genomen, dan tot dusverre door Mrqurr en de andere schrijvers over dit onderwerp geschiedde. Misschien zullen later sommige vormen, die nu afzonderlijk moeten worden genomen, kunnen reien 5 tf Bed A ho 6 EN nt Eel AP dr en, TM ú (419 ) worden samengevoegd, nl. wanneer van alle de bloemen, vruch- ten en de ontwikkeling nauwkeurig bekend zullen zijn; de ondervinding heeft echter geleerd, dat meerdere malen vor- men, die later heterogeen bleken, zijn samengevoegd ge- worden dan het omgekeerde; en het later samenvoegen van aanvankelijk onderscheiden vormen is zeer eenvoudig, terwijl het scheiden van ten onrechte vereenigde niet zelden groote moeilijkkeden oplevert. Ten einde nu eene eventueele ver- eeniging of scheiding, die later noodzakelijk mochten blijken, gemakkelijk te maken, zonder telkens de namen te veran- deren en daardoor de synonymie te vermeerderen, heb ik niet slechts aan diegene, welke ik meen als afzonderlijke soorten te moeten beschouwen, afzonderlijke namen gegeven, maar ook voor varieteiten, bij verschillende soorten, nooit dezelfde namen gebruikt, en voorts de mij voorkomende verwant- schap, die misschien later tot vereeniging tot ééne soort leiden kan, door het plaatsen van den naam der verwante soort tusschen haakjes vóór den naam der beschrevene aan- geduid. Eene uitzondering heb ik gemaakt ten aanzien der vormen, die zich alleen of hoofdzakelijk door het bezit van twee of meer middeldorens van elkander onderscheiden. Aan dit kenmerk heeft men, naar mijn oordeel, wel niet door- gaans, maar toch nu en dan, eene wat al te groote waarde toegekend. Het gemis van alle middendorens is bij sommige soorten typisch; het bezit van slechts één middeldoren ook in het meerendeel der gevallen, maar niet in alle: gelijk ook reeds door Mriqurr een paar ééndoornige voorwerpen aan meerdoornige zijn verwant geoordeeld. Het bezit van slechts twee middeldorens schijnt mij slechts bij uitzondering een standvastig karakter; naast de meeste, die er twee hebben, komen andere voor met drie, vier, ook wel met meer mid- deldorens, die, op grond van de overige eigenschappen, tot dezelfde soort moeten worden gerekend. Deze onderscheid ik dus telkens eenvoudig als forma 2-spina, 3-spina, 4-spina of plurispina, zonder meer. lets anders is het natuurlijk, wanneer, behalve het grooter aantal dorens, ook andere ver- schillen, in het karakter der dorens of in andere lichaams- deelen optreden. Zoo heb ik b.v. reeds in mijn vorige lijst ( 420 ) een zesdoornige vorm, het naast bij MZ. rubellus staande, als M. heracanthus onderscheiden, enkel met voorvoeging van den naam rubellus tusschen haakjes, omdat de identificatie mij wel waarschijnlijk, maar nog niet voldoende gewettigd scheen. Wat de overige kenmerken betreft, zij het volgende op- gemerkt : De grootte van het volwassen lichaam beweegt zich bij elke soort binnen niet zeer ruime grenzen, zoodat men al- thans kleine, middelmatige en groote soorten onderscheiden kan. Evenzoo is het met de hoofdvormen: kegelvormig of pyramidaal, eivormig, bol en langwerpig, gesteld. Bij beide eigenschappen moet natuurlijk met den leeftijd en met indi- vidueele krachtiger of zwakker ontwikkeling rekening worden gehouden. De kleur des stengels, die tusschen licht en don- ker groen, en min of meer blauwachtig varieert, is in som- mige gevallen eene eigenschap, die met de overige karakte- ristieke eigenschappen constant optreedt, en dus niet verzuimd mag worden; maar tevens moet zij met omzichtigheid worden gebruikt, daar de opvatting der kleur veel afhangt van het licht, dat op de voorwerpen valt. Bij sterke directe zonver- lichting komt het licht geelgroen meer uit dan in het gewone daglicht, en voorwerpen met diepe sleuven doen zich reeds daardoor donkerder en meer blauwgroen voor dan an- dere. Van al de tinten, die hier voorkomen, is praktisch alleen eene onderscheiding tusschen licht, middelmatig en donker bruikbaar, en dan moet bovendien in aanmerking worden genomen, of de taxatie der kleur ‚onder dezelfde omstandigheden heeft plaats gehad. Is dit niet het geval, dan blijft de opgaaf eenigermate onzeker. Het getal der ribben, binnen zekere grenzen, haar vertikale of schuine, spiralige stand, haar vorm, breed met bijna platte of gewelfde vlakken en scherpen of stompen rug; of smal en hoog, sterk om de doornvelden gezwollen en daartusschen ingenepen; de vorm der kam tusschen de velden, effen of kar= telvormig verheven, leveren goede kenmerkende eigenschappen. Hierbij valt evenwel op te merken, dat de ribben door krachtigen groei meer gezwollen kunnen zijn, en dat soms ntt an . he Van ‚ 5 * ‘ (421 ) smalle en breede bij voorwerpen voorkomen, die in andere eigenschappen overeenstemmen, dus om dat ééne verschil niet soortelijk gescheiden kunnen worden, Zoo heeft Liemarre bij zijn M. obtusipetalus, die breede maar tusschen de velden ingesnoerde ribben bezit, als varieteit, met instemming van Mrqver, een vorm gevoegd met zeer breede niet ingesnoerde ribben, terwijl hij dit onderscheid aan den krachtigen groei toeschrijft. Ik zelf heb, bij de laatste bezending uit Aruba, een vorm van MM. stramineus ontvangen, die zich, behalve door eenigzins hoogere gestalte, door smallere ribben, in verband met haar vermeerderd aantal, onderscheidt. De mogelijkheid van zoodanige invloeden moet dus, bij de beoor- deeling van dit kenmerk, in aanmerking worden genomen. Van de dorenvelden wordt het aantal, de meerdere of mindere verwijdering van elkander, hun vorm, grootte, kleur en het al of niet, of in mindere of meerdere mate, bezet zijn met vilt tusschen de dorenwortels, beschreven. Met het aantal wordt het getal der boven den grond, aan de buitenzijde van den stengel zichtbare bedoeld, en in ’t alge- meen worden de in het primitief stadium gevormde, maar bij de volwassen voorwerpen verdwenene of naar de grond- vlakte teruggedrongen doornvelden geheel buiten beschou- wing gelaten. Tusschen de van buiten zichtbare nu bestaat een doorgaand verschil, naarmate zij lager of hooger aan den vegetatieven stengel voorkomen. De hoogste, en vooral in een groeienden top, die nog niet in cephalium-vorming is overgegaan, zijn het rijkelijst, soms zeer sterk, met vilt bekleed, schijnen daardoor ook vaak grooter. De onderste zijn relatief klein en kaal, Wil men niet bij elk voorwerp al deze toestanden afzonderlijk beschrijven, en gewoonlijk geschiedt dit alleen wanneer een eenigzins buitengewone toestand voorkomt, dan kiest men als normaal de doren- velden, die ongeveer te halverhoogte of op tweederden van de hoogte voorkomen. Deze kiest men ook voor de dorens, daar deze hier, met kleiner of grooter verschillen naar be- neden en naar boven, meestal hun maximum van ontwikke- ling vertoonen. Wanneer slechts één doren der centrale groep voorkomt, ( 422) staat deze in het midden van het veld; zijn er twee, dan staat de tweede, doorgaans zwakkere, mediaan daarboven; zijn er drie, dan staan zij in ééne mediane lijn, of in een scheven driehoek, of wel, de twee bijgekomene staan lateraal boven den eersten; zijn er vier, dan komt er eene bovenste bij, en staan alle in eene smallere of breedere ruit. Indien nu het getal nog grooter wordt, dan komen de nieuwe, ac- cessore, vaak kleine dorens, in de door mij waargenomen gevallen, altijd weder boven de vroegere voor: hetzij dat de bovendoren vervangen wordt door een paar laterale en dus alle in een langwerpig rond komen te staan, of dat de bovendoren op zijne plaats blijft en daarboven als het ware een nieuwe kring wordt gevormd. Juist het omgekeerde, nl. het accessoor zijn der onderste dorens van eene aldus vermeerderde groep, heeft MrqverL bij zijn Al. Zuecharinü, ofschoon niet geheel duidelijk, beschreven. Deze vermeer- dering der centrale dorens, buiten den oorspronkelijken kring, is, uit een morphologisch oogpunt, eenigzins raadselachtig. Het heeft er nog het meest van, dat het wijst op de vorming van een ziijtakje uit den knobbel, dat dan meest naar de bovenzijde, eene enkele maal (bij M. Zuccharind Mig.) aan de benedenzijde zou ontstaan. Eene tegenstelling tusschen de beneden- en bovenzijde vinden wij ook in de ontwikkeling der normale dorens, die doorgaans het krach- tigste zijn aan die benedenzijde, zoowel wat de centrale als wat de randdorens betreft, maar somwijlen juist omge= keerd. Nu en dan ziet men den ondersten centraaldoren kleiner dan de anderen; en bij M. dichroacanthus Mrq. zijn de bovenste randdorens tot het dubbele langer dan de onderste. De diameter van het volwassen cephalium levert, gelijk wij zagen, bij de onderscheidene soorten geen groot verschil ops terwijl de opgaaf der hoogte voor het oogenblik veelal slechts de strekking kan hebben om van lieverlede tot de kennis van de natuurlijke grens der hoogte voor elke soort te naderen. Meer positieve kenmerken leveren de borstels, _ hun aard, grootte, kleur, en verspreiding op. Het meest in het oog vallend verschil, dat de bloemen ( 423 ) aanbieden, is gelegen in de grootte en daarmede samenhan- gende wijdte van den goed geopenden zoom. Zoover bekend, wisselt deze wijdte, bij verschillende soorten, af tusschen een halven centimeter en nog iets minder en twee en een hal- ven centimeter; en het is merkwaardig, dat de kleinste bloe- men gezien zijn bij voorwerpen van de hoogste vegetatieve ontwikkeling, en de grootste bij eene in dat opzicht laag staande soort, M. amoenus Horree. van het vasteland, met één, soms nog ontbrekenden, centraaldoorn. Men zou echter verkeerd doen met hieruit eene conclusie omtrent de ver- houding dezer eigenschappen te trekken, want zoowel bij de lage vormen als bij de hoog ontwikkelde komen ook bloemen van middelbare grootte voor, en van de meeste zijn de bloemen nog niet beschreven. Bij vergelijking in dit opzicht moet men zorg dragen, met goed ontwikkelde en geheel geopende bloemen te doen te hebben, iets wat in onze kassen, gelijk vroeger werd opgemerkt, nog al eens te wenschen overlaat. De kleur is nu eens licht rozerood, dan eens donkerder purperrood, soms constant, soms ook wel bij dezelfde soort afwisselend. Met de grootte der bloem neemt ook het aantal der, even als bij alle cacteeën-bloemen, spiralig geplaatste en in elkander overgaande, kelk- en bloembladen toe. De vorm der bloembladen, speciaal van hunne toppen, levert eenige, wel is waar minutieuze, maar toch niet verwerpelijke kenmerken. Zelden zijn alle bloembladen van dezelfde bloem in dit opzicht aan elkander gelijk : zoodat men ook weder eene bloem noodig heeft, waarin alle bloembladen flink ont- wikkeld zijn, om het algemeene of heerschende karakter te vatten. De verschillen zijn dan deze, dat de toppen der bloembladen nu eens stomp en relatief breed, dan spits of versmald, ook wel muecronaat zijn, terwijl de randen nu eens gaaf, dan weer eenigzins onregelmatig gekarteld of ook vrij regelmatig en zeer fijn getand zijn. Het aantal stempelarmen varieert ook ongeveer met de grootte der bloem tusschen 9 en 7, en kan in bloemen van dezelfde plant een of twee verschillen; de kleur heb ik altijd wit gezien, behalve bij M., communis oc, welker bloemen vrij lang openbleven en (424) waar zij ten slotte een weinig rood werden. Behalve voor deze soort worden zij ook roodachtig opgegeven voor M. violaceus Prerrr. en geelachtig voor M. caesius Werp. De hoogte van de (geopende) stempels in de keel heeft mij tot dusverre geene verschillen opgeleverd, die niet uit eene meer of minder krachtige ontwikkeling der bloem kunnen worden verklaard. Tets anders is het met de hoogte, waarop de bloemen bui- ten het cephalium uitsteken; ofschoon ook hier het iets hooger of lager van de gezonde ontwikkeling der bloem afhangt, zoo zijn er soorten, waarbij de bloemzoom niet of nauwelijks buiten de wol van het cephalium uitsteekt, en andere, waar zij zich een centimeter of meer daarboven ver- heft. Het schijnt samen te hangen met de omstandigheid, of de plaats, waar de bloemen gevormd worden, al of niet en met kortere of langere borstels bezet is. Vorm en grootte der bessen loopen nog ul uiteen, en verdienen eene plaats onder de soortskenmerken: mits men voorzichtig zij in de toepassing, indien slechts enkele bessen van een voorwerp zijn gewonnen, en rekening houde met de variaties, die, door zwakke of krachtige ontwikkeling, nu en dan bij bessen van hetzelfde individn voorkomen, en dus ook bij voorwerpen van eene zelfde soort kunnen worden aangetroffen. De middelvorm is omgekeerd ei-kegelvormig, met eene lengte van ongeveer 8Ì/, centimeter en een dia- meter, in het dikste gedeelte, van ongeveer 1/3 der lengte. Vandaar uit gerekend zijn sommige beneden stomper en dus zuiver eivormig of langwerpig, andere spits, dus zui- ver kegelvormig, en in deze vormen absoluut grooter of kleiner, en verschillend in de verhouding van lengte tot breedte; zeer uiteenloopende typen zijn b. v. de kort- en breed-kegelvormige, nog geen twee centimeter lange en on- geveer één em. breede, bij M., communis DC, en de tot 9 em. lange en slechts 8 mm. breede langwerpige bij M. stramineus SUR. In ‘t algemeen hebben de bloemen en vruchten meer op- geleverd dan ik daarvan aanvankelijk verwachtte, maar toch te weinig, om vooralsnog met de vegetatieve organen, in (425 ) het onderscheiden en rangschikken der soorten, om den voor- rang te kunnen wedijveren. Hene rangschikking der soorten is het eerst door Mrqver in zijne bekende Monographie van het geslacht geleverd *). Tot en met Linnaeus werd het weinige bekende als ééne soort beschouwd, door Linnaeus Cactus Melocactus genoemd. DecanporLe verhief 4) Melocactus tot een afzonderlijk ge- slacht en noemde de door hem in de Plantes grasses afge- beelde soort Melocactus communis. Denzelfden naam hadden Link en Orro, even te voren 8), aan een, ook door hen afge- beelden, maar duidelijk verschillenden vorm gegeven; de M. communis van DecANDOLLE bleef echter, ook in het vervolg, als de type der soort beschouwd. Aan het geslacht waren twee soorten, door SALM-DycK als Cactus macracanthus en pyramidalis beschreven, toegevoegd. Daarop volgden meer- dere, door Link en Orro, Hooker, LEMAIRE, PreirrER, LEHMAN, WENDLAND en anderen, ook door Mrqvrer, beschreven, en deze verspreide opgaven werden ten slotte door Mrqver, in zijne Monographie tot een geheel samengevoegd. MrqvueL geeft, na eene algemeene beschouwing van het geslacht, vooreerst een sleutel der soorten, naar den aard, het getal, en verdere eigenschappen der dorens; vervolgens behandelt hij de soor- ten afzonderlijk, in eene andere volgorde, waarbij naar eene natuurlijke rangschikking gestreefd is, Volgende schrijvers hebben, in hoofdzaak, de volgorde van den eerstgenoemden sleutel overgenomen. Herst Förster in zijn Mandbuch der Cacteënkande 1846, daarna LaBourer, in zijne Monograplie de la famille des Cactées, 1852, en nu ook laatstelijk RÜMPLer, %) Acta Acad. Caes. Leop. Carol. nat. Cur. Vol. XVIII. Suppl. F) Revue de la famille des Cactées, Mém. du Musée d’ Histoire natu- relle 17. p. 1. e. v. 1828. $) Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gartenbaues in den Königl. Preussischen Staaten III. 1827. p. 412, tab. XL. Het op de plaat afgebeelde voorwerp onderscheidt zich, behalve door den geheelen lichaams- vorm, door de veel langere, gekruiste randdorens. Ik onderscheid dit als M. Linki. Men heeft het gehouden voor zijne var. macrocephalus; hier- mede is echter eer een met den soorttype van DECANDOLLE overeenstem- mende vorm bedoeld geweest. (426 ) in zijne nieuwe uitgaaf van het Handboek van Försrer, in 1886. Larourer heeft aan de groepen, waarin de sleutel van Mrquer de Melocacti verdeelde, namen gegeven, en tevens de volgorde veranderd, zonder dat echter eenig voordeel van die verandering blijkt. Eene betere verandering dan de door hem gemaakte zou geweest zijn, de laatste afdeeling van den sleutel van Mrqvrr, bevattende de soorten zonder cen- traaldorens, voorop te plaatsen, en verder de volgorde te behouden. Dan ware, wel is waar, de verdeeling kunstmatig gebleven, maar in elk geval eene meer geregelde opklimming van het eenvoudige naar het meer samengestelde verkregen. Waarom Mrqver zelf in zijn sleutel die eenvoudigste groep achteraan heeft geplaatst, terwijl hij in de eerste groep, met centraaldorens, naar het getal van deze, en vervolgens naar dat der rand-dorens, in ’t algemeen opklimmend te werk gaat, is niet duidelijk; in elk geval zet hij echter deze soorten voorop bij de rangschikking der beschrijvingen in het werk zelf, waarin naar eene natuurlijke rangschikking gestreefd wordt. De oorzaak, waarom men niet liever deze volgorde dan den kunstmatigen sleutel gevolgd heeft, komt mij voor daarin gelegen te zijn, dat Mrqver die volgorde niet nader gemotiveerd heeft, en zij, bij den eersten opslag, eenigszins vreemd schijnt. Eerst bij nadere studie ziet men het streven, om in ’t algemeen van het eenvoudige naar het meer samen- gestelde op te klimmen, maar met omkeeringen en verschui- vingen, om in ander opzicht verwante vormen bij elkander te brengen. Mrqueru zelf beschouwt het als een voorloopige proeve, maar het is zeker, dat hj in die proeve althans den weg naar de natuurlijke verwantschap gewezen heeft. De aansluitingen zijn van te verschillenden aard, om daar- aan, in eene eenvoudige rangschikking der soorten achter elkander, eene duidelijke uitdrukking te geven, en vaak ook van te subtielen aard, em er duidelijk beschrijf bare kenmer- ken van groepen aan te ontleenen. Bovendien missen wij vau de meeste nog de beschrijving van bloem en vrucht: welke organen, al kunnen zij hier, reeds om deze reden alleen, niet op den voorgrond worden gesteld, toch, als zij bekend zijn, in anders twijfelachtige gevallen van verbinding of (427) _ scheiding, een machtigen doorslag geven. Men zal nog lang, in het opsporen en wegen der verwantschap, moeten volgen wat de oudere DercANDOLLE eigenaardig de »méthode de tâ- tonnement’ noemde. Wat de uitdrukking der verwantschap, voorzoover gevonden, betreft, komt mij eene graphische voor- stelling, waarbij de soorten op van een aanvangspunt op- klimmende en radieerende lijnen de meest geschikte voor. Op deze lijnen zijn dan de meer eenvoudige vormen in elke reeks het naast bij het aanvangspunt, en de meest gecom- pliceerde het verst daarvan verwijderd te plaatsen. Waar eene dubbele aansluiting plaats heeft, kan men eene lijn zich laten vertakken; waar geen aansluiting aan eenvoudiger vormen gevonden is, kan men den tak op een afstand van het aanvangspunt vrij laten beginnen; en geïsoleerde vormen kunnen tusschen de lijnen worden aangebracht. Men zal ook hier eenigszins moeten geven en nemen, maar verkrijgt een beeld, een soort van morphologische stamboom, waarin al- thans ten naastenbij de betrekkingen tusschen de soorten kunnen worden uitgedrukt en met een opslag overzien. Naar gelang meer soorten bekend, en de bekende meer volledig bekend worden, is zoodanig beeld uit te breiden, en zooveel noodig te wijzigen. Naar de mate van onze tegenwoordige kennis plaats ik dan, naast ééne korte lijn, de soorten waarbij nooit een middeldoren is waargenomen, en wel, naar het opklimmend getal der randdorens (5—8) in deze volgorde: M. penta- centrus Lem, M. depressus Hook., M. violaceus Prerrr., M. goniodacanthus Lem., alle, zoover bekend, soorten van het vasteland van Brazilië. Bij één van deze (M. violaceus) is de bloem als van middelmatige grootte, (1 em. diam.), met gekartelde bloembladen en met een 5-deeligen roodachtigen stempel beschreven; van eene andere (M. depressus) de kleine smalle langwerpig knotsormige (lichtroode) bes. De ce- phaliën enz. loopen nog al uiteen, zoodat deze vormen eenigzins op zich zelf staan. Luangs eene tweede hierboven uitspringende lijn rangschik ik de soorten met een of meer (tot 4) middeldorens, doch die kleiner zijn dan de randdorens. Hiertoe behooren 10 soorten, van Brazilië, Mexico, Jamaica, ( 428 ) Cuba, St. Thomas, St. Croix, St. Eustatius, nl: M. Ellemeetii Mrq. van Bahia, M. Wendlandii Mrq. van St. Thomas, M. Delessertianus Lem. van Mexico, M. meonacanthus L. O. van Jamaica, M. communis D.O. van St. Croix en St. Eustatius, M. havannensis Mrq. van Cuba, M. rubens Prerrr. van West- Indië, M. Linkt (syn. M. communis L. O., non DC.) van West- Indië, M. erassispinus S. D. waarschijnlijk van Brazilië, M. dichroacanthus Mrq. van St. Thomas. Van twee van deze zijn bloemen waargenomen: nl. van de zeer eigenaardige M. Elle- meetii Mrq., vrij klein en rozerood, en bij M. communis Do., middelmatig van grootte, met eenigzins getande vaak aange- spitste bloembladen, met een 5- (4—6) straligen roodachtigen stempel, en eene vrij dikke, kleine, omgekeerd eivormige bes opleverend. Een zeer afwijkende vorm is ander deze M. dichro= acanthus Mrq., waar de hoogere dorens in elke groep grooter zijn dan de lagere. Met M. cummunis DO. zijn vermoedelijk eenige soorten, die eerst als variateiten daarvan beschouwd waren, na verwant. Zelve onderscheidt zij zich door reus- achtigen bouw en buitengewoon hoog cephalium. Als tweede zijtak, van ongeveer gelijke waarde, komen dan daarnaast de soorten met hoogstens één centraaldoren, doeh deze grooter, in een enkel geval alleen dikker, dan de randdorens: M. ferox Prerrr. van Zuid- Brazilië en Mexico, M. Schlumbergianus Lem. van St. Thomas, M. Brogniartii Luu. van onbekenden oorsprong, M. Miquelii Lemm. van St. Croix, M. castus en M. griseus (varieteit) WeNpr. van Laguayra, M. hystrix ParM. van onbekenden oorsprong, M. amoenus Horree. van Columbia, M. atrosanguineus H. B. van St. Tho- mas en M. spatangus H. B. van Curagao, dus, behalve van het vaste land van centraal en Zuid-Amerika, van St. Croix, St. Thomas en eene, waarover nader, van Curacao. De beide eerstgenoemden schijnen, niettegenstaande het ver verwijderd vaderland, nauw verwant te zijn; de anderen staan eenigermate op zich zelf. De beide laatstgenoemden, en vooral de allerlaatste, vertoonen verwantschap met hoo- gere vormen uit de meerdoornige groep: M, Salmianus L.O. en M. pyramidalis S.D., gelijk reeds door Mrquer is opge- merkt, en moeten dus naar de buurt van deze worden opge- (429 ) schoven. Bloeien zijn slechts hij twee, van het vaste land van Zuid-Amerika, waargenomen: bij M. caesius WenNpr , van Venezuela, van middelmatige grootte (11/, em, middellijn) met 7 geelachtige stempelstralen, en bij M. amoenus Horra. van Columbia, zeer groot (21/, em. middellijn), de grootste tot dusver bekende. Bij de vijf eersten zijn de randdorens klein (11/5 of 2!/, em.) en de centraaldoren weinig daarvan verschillend, terwijl het getal der randdorens 8 (bij MZ. ferox Prerrr. 6—8) bedraagt. Bij M. amoenus Horraa. is de centraaldoren 21/, em. en zijn de randdorens 1Ì/, em. lang, bij M. atrosanguineus H. B. zijn 10 randdorens; en M. spatangus H, B. heeft er 12—13, die bovendien naar weerskanten evenwijdig loopen, terwijl de cen- traaldoren 4—5 em. lang is. Deze komt dus geheel uit en boven de lijn, in de buurt van M. pyramidalis S. D., en van de door mij op Bonaire verzamelde en beschreven M. spatan- ginus, waarmede zij wellicht later, als eendoornige vorm, on- middellijk zal moeten worden verbonden. Den hoogsten tak vormen dan eindelijk de soorten met twee of meer centraaldorens, krachtiger dan de randdorens. Hier ontmoeten wij de grootste verscheidenheid, en de hoogste vormen. De tak splitst zich als het ware in meer- dere zijtakken, die, zelve weder vertakt, door menigvuldig- heid en grootte, al het vorige breed overschaduwen. De eenvoudigste vormen zijn hier: M, curvispinus H, B, van Mexico, M. obtusipetalus Lem, van Santa Fé de Rogota, M. parvispinus Sur. van Bonaire en M. Koolwijkianus Sum. van Aruba, bij welke alle de (1-)2 of 2—3 middeldorens weinig grooter zijn dan de randdorens, en de lengte ven deze niet meer bedraagt dan 2!/, em. *). M. obtusipetalus Leu. bezit eene groote bloem, bijna zoo groot als M. amoenus Horree., en M. Koolwijktanus Sur. eene vrij groote (1Ì/j em, in diameter); overigens verschillen zij in meerdere opzichten. %) Dezer dagen ontving ik een nog eenvoudiger vorm, afkomstig van Venezuela, en die eene bijna onmiddellijke aansluiting levert met de één- doornige groep. De beschrijving van deze soort zal als supplement aan dit stuk worden toegevoegd. (430 ) Buiten deze aanvangvormen behoort nu verder geene soort van deze hoogste groep stellig aan het vaste land. Van M. Monvilleanus Mrq. wordt het door Mrquer verondersteld, maar zonder opgaaf van redenen; van M. Besleri Mrq. (non L. 0.) is het vaderland eveneens onbekend; al de anderen, waarvan het vaderland bekend is, zijn afkomstig van St. Domingo, St. Thomas, en van Curacao, Bonaire en Aruba; aan welke drie laatste eilanden, speciaal Aruba, voor het oogen- blik het leeuwendeel toekomt. Aruba op dezen grond als het plantengeographisch mid- delpunt van het geslacht te beschouwen, is misschien wat veel gewaagd, omdat bizondere omstandigheden er toe heb- ben medegewerkt, om vandaar het ruimste materiaal te ver- krijgen. Behoudens enkele soorten, -speciaal aan de noord- kust van Zuid-Amerika, door botanisten verzameld, berustte vroeger de kennis der Melocacti op zonder wetenschappelijke kennis verzameld en naar de Huropeesche tuinen gezonden materiaal. Ook werd wel, in den tijd, toen de liefhebberij voor Cacteeën heerschte, veel gezonden, maar niet alles werd wetenschappelijk bewerkt. Daargelaten nog onderscheidene twijfelachtige soorten, die al te onvolledig zijn beschreven om ze behoorlijk te kunnen identificeeren, en andere, die, zonder grondig onderzoek, hetzij bij M. communis DC. werden gevoegd, of voor M. pyramidalis S.D. of een der andere eerst be- schreven soorten werden gehouden, werden vele, gelijk Förster aan het einde van zine behandeling van het geslacht (Lc. p. 279) mededeelt, in het geheel niet gedetermineerd. Het spoedig afsterven van de ingevoerde exemplaren in onze kas- sen, het zeer langzaam ontwikkelen van de zaailingen, waar- van wel vele werden verkregen, maar waarvan, zoover be- kend, geene tot volledigen wasdom zijn gekomen, deden de lief- hebberij voor deze planten allengs verminderen ; en het gemis van vergelijkingsmateriaal, bij de vaak onvolledige beschrij- vingen, maakte de indentificatie der soorten hoogst moeilijk. Indien nu ook de andere eilanden, in het bizonder St. Tho- mas, hetgeen reeds belangrijke en vrij uiteenloopende vormen heeft opgeleverd, meer opzettelijk werden onderzocht, zou- den daar ongetwijfeld ook wel meer soorten worden aange- (431 ) troffen, dan men daarvan tot dusverre kent; ten slotte zou men wellicht tot de uitkomst geraken om de bakermat van het geslacht te zoeken op een thans verdronken land ergens tusschen onze eilanden onder den wind en St. Thomas in. In elk geval maakt Aruba den indruk van niet ver daar- van verwijderd te zijn geweest, misschien een deel daarvan te hebben uitgemaakt. Het is niet alleen de rijkdom der vormen, welke dien indruk geeft, maar ook iets eigenaardigs in bet karakter, iets wilds en oorspronkelijks, zelfs tegen- over de vormen van Bonaire en Curacao. Naar de buitenzijde van het gebied worden de soorten eenvoudiger van bouw, en minder talrijk; de eenvoudigste heeft men, gelijk wij zagen, aan de kuststreken van het vasteland, deels van Mexico, deels van Zuid-Amerika, waar zij soms nog hoog op de bergen den zeewind zoeken, en verder komt dit hoogst eigenaardig plantengeslacht niet voor. Om nu terug te keeren tot de straks genoemde vormen van den hoogsten tak, zoo heb ik voor M. obtusipetalus Lem. geene aansluiting aan hoogere te vermelden. Eigen- aardig is bij deze soort het grooter zijn van den hoogsten centraaldoren, terwijl de lagere kleiner is en soms ont- breekt, juist omgekeerd als gewoonlijk. Diezelfde omgekeerde verhouding wordt bij M. dichroacanthus Mrq. voor al de dorens gezamenlijk opgegeven; en de abnormale verhouding der centraaldorens, die Mrqurr bij M. Zuecharinii Miq. be- schrijft, komt ook eenigzins in deze richting. Maar dit is ook alles. In 't algemeen verschillen deze soorten zoo zeer van elkander en van MM. obtusipetalus Lem., dat aan eene aanslui- ting niet te denken valt. De zeer groote bloem, opgegeven als tweemaal grooter dan M. communis DC, dus minstens 2 em. in omvang, herinnert aan MM. amoenus Horraa. met hoogstens één (soms geen) centraaldoren, eveneens van Co- lumbia, zoodat zij in elk geval in de nabijheid van dezen lageren vorm moet worden geplaatst. M. curvispinus H. B. van Mexico, is reeds door Mrquer geplaatst bij M. Monvilleanus Mriq. en van M. Besleri (Mrq. non L_ 0.) en daarbij komen de Arubaansche M. arcuatus (== Monvilleanus van mijne eerste lijst) en de nieuwe M. un- VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. 3d REEKS. DEEL VI. 28 (432 ) cinatus. De bloemen zijn van geen van deze bekend; wel de zeer kolossate, tegelijk lange en dikke bessen van M. arcua- tus, welke ook voorkomen bij M. rectiusculus Sur. 1. e., eene _ met kleinere minder kromme dorens, maar die overigens in het algemeen karakter verwantschap met de vorige verraadt. Eene nieuwe, bij deze gelegenheid als M. Baarsianus te vermelden en te beschrijven, vertoont zeer groote overeen- komst met de beschrijving en afbeelding van het fragment van M. Monwvilleanus Mrq. Zij bezit ook het grooter aantal doornvelden en het lichtgekleurde ecephalium. Vorm der rib- ben, aantal en lengte der dorens, en de geaardheid der doorn- velden verschillen echter, zoodat eene identificatie, ook hier, gewaagd zou zijn. De dunne naaldvorm der dorens en hunne lengte en kleur, benevens het cephalium vertoonen eene toe- nadering tot de eveneens bij de vorige gelegenheid beschre- vene M. stramineus en M. trichacanthus. De bessen zijn hier ook lang, maar dun, even als in het evenwijdig takje van M. approximatus Sum. en M. Kvertzianus Sur. De bloemen van M. stramineus, die echter niet goed zijn opengekomen, hebben middelbare grootte. M. parvispinus Sur. van Bonaire voegt zich, als hoogst een- voudige vorm, bij den zelf weer vertakten, schoonen tak, waar- langs M. patens Sum. van Bonaire, Lehmanni Mrq. van Bonaire en Curacao, M. macracanthus S. D. van Curacao, Bonaire en St. Domingo, M. cornutus Sur. van Curagao, M. Salmianus L. O0. van Curagao, M. pusillus Sur. van Curagao, M. in- termedius Sur. van Curagao, MM. pyramidalis S. D. van Cu- ragao en St. Thomas, M. microcephalus Mrq. van Curacao, M. spatanginus Sur. van Bonaire en Curacao, M. macracan= thoides Mrq. van St. Thomas, M. ranthacanthus Mriq. van St. Thomas, M. Zueccharinii Mrq. van Curacao en een vijftal nieuwe Arubaansche vormen moeten worden gerangschikt. De dorengroepen bereiken in dezen tak hare hoogste ont- wikkeling. De centrale dorens, van 2 tot 4, zelden 6 in aan- tal, worden forsch en lang, tot 6 em. toe; de randdorens, in de eenvoudiger vormen regelmatig stralend, worden ook tal- rijker, en de zijdelingsche daarvan breiden zich horizontaal, evenwijdig aan elkander uit, en bedekken eindelijk den stam ("433 ) met een dicht vlechtwerk. Wij hebben reeds opgemerkt, hoe de ééndoornige M. spatangus zich hierbij aansluit, en daar- om op eene plaats onmiddellijk naast of wellicht zelfs in de groep zelve aanspraak maakt. De bloemen, zoover bekend, zijn klein, omstreeks 1/, cm. in diameter en de bessen van middelbaren vorm en grootte; voorts de cephaliën niet bizonder borstelig. Eigenaardig zin M. Lehmanni Mrq. met zijne lichtgroene kleur, donkere dorenvelden en effen, zeer fijnborstelig cepha- lium, en M. macracanthus S. D. met zijn, in verhouding tot de lengte bizonder dikke centraaldorens en groote, blijvend viltige doornvelden, in welk laatste opzicht de nieuwe Aru- baansche soorten MM. flammeus, M. pulvinosus en M armatus zich aansluiten. Op de afwijkende verhouding der dorens bij M. Zuecharinii Mrq. is reeds gewezen. M. microcephalus Mrq. draagt zijn naam naar het bizonder kleine cephalium ; maar uit de afbeelding is duidelijk, dat het cephalium bij de be- schreven voorwerpen nog jong was en zijne volle breedte nog niet had bereikt, terwijl de »doornachtige roode bor- stels’’ mij voorkomen nog tot de omringende doorngroepen te behooren. Van M. Koolwijkianus Sum. opperde ik het vermoeden, dat zij wellicht als aanvangsvorm in eene reeks van M. rubellus Sur. zou tehuis behooren.{Inderdaad heb ik nader- hand soorten ontvangen, die de groote ruimte tusschen deze beide aanvullen. M. Koolwijktanus heeft een betrekkelijk kleinen meest regelmatig eivormigen stengel, recht opgaande ribben, en doorngroepen met kleine (21/9 em.) regelmatig stralende randdorens en 2—3 weinig daarvan verschillende centraal- dorens, alle recht of bijna recht, bijna rolrond en licht rood- achtig gekleurd met hehtbruinroode wortels op kleine, wei- nig viltige dorenvelden. Het cephalium heeft donkerbruine, kromme, vrij sterke borstels. De bloem is vrij groot, fraai roserood, of iets meer purper en de bessen, omgekeerd eivor- mig, eenigzins dik, van middelgrootte; eene enkele maal werd een afwijkend zeer groote, en eenige malen een zeer kleine, blijkbaar onvolledig ontwikkelde bes ingezameld. Bij 28* (434) eene varieteit: adustus, zoogenoemd wegens de nog lichtere dorens en donkerder. als het ware verkoolde puntjes, zijn de dorens bovendien iets meer achterwaarts naar den stengel gebogen. Bij dezen vorm zijn de middeldorens ten getale von 2—3, 3—4 en van 4-—6 gevonden. Van dezen rustigen vorm uit divergeeren soorten in ver- schillende richting : 10, M. roseus en M. argenteus, waar de centraaldorens lan- ger zijn, de doornvelden grooter en viltiger, de bloemen ongeveer gelijk, maar de bessen alle smaller. Bij de tweede genoemde hebben de randdorens bovendien eenige neiging om naar beneden af te buigen. 20, M. flerus en verwante, alle met een kleinen meer kegelvormigen stengel, min of meer spiralige samengedrukte ribben en hetzij rechte maar evenwijdig gerichte, of eenig- zins opgebogen zij-randdorens. Naar den aard der dorens en der dorenvelden, benevens naar dien der bessen, zijn ver- schillende zijtakken te onderscheiden, gelijk uit de beschrij- ving blijkt. Mochten in een volgend jaar nog bloemen te voorschijn komen, dan zullen deze waarschijnlijk een nader inzicht in de verwantschap verleenen. Op deze vormen volgt M. ferus (= M. feroe Sum. van de vorige lijst — waarvan de naam veranderd moest worden omdat hij reeds door Prerrrrer voor eene andere soort is ge- bruikt — met bleek groenen stengel en zeer lange dorens, de zijdelingsche op verschillende wijze gebogen, en dan de reeds vroeger beschreven M. rubellus Sur. en M. (rubellus) hera- canthus Sur. Aan denzelfden tak sluiten zich nog als eenig- zins afwijkende vormen aan: M. capillaris en M. compactus, de laatste hoogst eigenaardig door zijne op het smalle veld als opgedrongene, opstaande en verschillend gekromde dorens. 80, M. stellatus en verwanten, in ’t algemeen eivormig, iets grooter dan MZ. Koolwijkianus Sur., eveneens met rechte ribben, maar deze veelal breed en met betrekkelijk vlakke zij- den; de dorenvelden niet groot en niet sterk viltig ; de dorens _ langer dan de genoemde soort, maar niet dikker, zoodat zij een slanker voorkomen hebben; de randdorens regelmatig stralend en de middeldorens niet veel van deze verschillend ; (435 ) bij de meeste korte, zuiver kegelvormige bessen. Afwijkend, trouwens ook in ander opzicht, zijn een paar vormen met zeer groote langwerpig ei-kegelvormige bessen, en eenige met eenigzins horizontaal-evenwijdige en andere, met flauw naar beneden gebogen zijranddorens. Onder deze is een vorm, misschien als varieteit te beschouwen, met, in jongen toestand, bijna witte dorens, terwijl zij anders min of meer rood, of, door ouderdom, licht vuilbruin zijn. Bloemen, voor zoover waar- genomen, zijn middelgroot, wat kleiner dan bij M. Koolwij- kianus Sum. en tevens, zoowel van deze als onderling, eenig- zins verschillende in den vorm der bloembladen. Dit verschil in de bloemen en bessen heeft mij genoopt, meer vormen afzonderlijk te houden, dan mij aanvankelijk, op grond van de vegetatieve organen alleen, noodig was geschenen. Het geheel is eene eenigzins eentoonige groep met minutieuze verschillen. 40, Naast en gedeeltelijk boven haar komt M. radiatus, met meer conischen vorm, samengedrukte ribben, meer viltige doornvelden en langer, ook meer ongelijke dorens, en hierbij M. albispinus met ivoorwitte, M. eburneus met daarbij boogs- wijs nedergebogen, en eindelijk M. subulatus met niet zeer lange, maar buitengewoon breede, platte, priemvormige dorens. Bij deze laatste, hoogst eigenaardige soort, waarbij een hoog langwerpige vorm voorkomt, stijgt het getal middendorens tot het hoogst waargenomen getal, nl. tot acht. Wij heb- ben hier te doen met een zijtak, die eenigszins in de rich- ting naar de curvispini wijst. Bloemen heb ik nog niet ge- zien. De bessen zijn bij de eerstgenoemde soort kegelvormig, bij de volgende zeer dik kegel- en kegel-eivormig. Uit dit overzicht blijkt, dat de Melocactí van Aruba, bij eene groote verscheidenheid onderling, slechts in een enkele richting, en wel door middel van hunne hoogste vormen, aan- sluiting maken met die van Curacao en de andere eilanden. Behalve de reeds genoemde, welke zich bij M. macracan- thus S. D. aansluiten, zijn het de thans nieuw beschrevene M. trigonus en M. ovatus, welke, de eene het naast met M. patens Sur, de andere het naast met M., pyramidalis S. D. overeenstemmen. ( 436 ) Voorts zal uit deze beschouwingen gebleken zijn, dat eene voortgezette studie der Melocacti er toe leidt, eene grootere verscheidenheid van vormen daarvan te leeren kennen, maar tevens een zekeren samenhang tusschen die vormen op te sporen, die, ook in verband met de geografische verspreiding, op ontwikkeling en genetischen samenhang wijst. Tevens echter blijkt er uit, dat onze kennis nog onvolledig is, en dat de verschillende vraagstukken, die zich voordoen, eerst van lieverlede, en bij benadering, zullen kunnen worden op- gelost. Ik hoop in de gelegenheid te zullen zijn, dit onder- werp te vervolgen, en, terwijl ik voortga met het materiaal voor eene iconografie in gereedheid te brengen, voeg ik hier nu aan toe de beschrijving der nieuwe Melocacti en enkele aanvullingen betreffende de reeds vroeger beschrevene soorten. VERKLARING DER KUNSTWOORDEN OP DE PLAAT. Acentri: soorten zonder middeldorens. Monocentri: soorten met één middeldoren, die langer (in een enkel geval even lang maar dikker) is dan de langste randdoren. Misrocentri: soorten met één ‘of meer middeldorens, die echter, of waaraan de grootste, kleiner is dan de grootste randdoren. Pleiocentri: soorten met twee of meer middeldorens, die, of waarvan de grootste, langer en doorgaans ook dikker zijn dan de grootste randdoren. | Radiantes: soorten, onder laatstgenoemde, waarvan de randdorens gelijkmatig of bijna gelijkmatig straalswijs uitge- spreid zijn. Flevi: soorten met weinig verschillende dorens en min of meer tot den evenwijdigen stand naderende, en hetzij rechte, of een weinig opgebogene zijdelingsche randdorens. Intertexti: soorten met sterk verschillende dorens en even- wijdig loopende zijdelingsche randdorens, die, bij de sterkste VOTI armatus spatangùurs julvinosus Slamrmeus xanthacanthis micrvcerthalus Zr techarut 4 gr gu Omacracanthordes | ®, Öntermeduus (rans U glenanrnii ij ij 1 ij In, 5 S, angus atrosanguineus en ee | (436 ) Voorts zal uit deze beschouwingen gebleken zijn, dat eene voortgezette studie der Melocacti er toe leidt, eene grootere verscheidenheid van vormen daarvan te leeren kennen, maar tevens een zekeren samenhang tusschen die vormen op te sporen, die, ook in verband met de geografische verspreiding, op ontwikkeling en genetischen samenhang wijst. Tevens echter blijkt er uit, dat onze kennis nog onvolledig is, en dat de verschillende vraagstukken, die zich voordoen, eerst van lieverlede, en bij benadering, zullen kunnen worden op- gelost. Ik hoop in de gelegenheid te zullen zijn, dit onder- werp te vervolgen, en, terwijl ik voortga met het materiaal voor eene iconografie in gereedheid te brengen, voeg ik hier nu aan toe de beschrijving der nieuwe Melocactt en enkele aanvullingen betreffende de reeds vroeger beschrevene soorten. VERKLARING DER KUNSTWOORDEN OP DE PLAAT. Acentri: soorten zonder middeldorens. Monocentri: soorten met één middeldoren, die langer (in een enkel geval even lang maar dikker) is dan de iangste randdoren. Microcentri: soorten met één ‘of meer middeldorens, die echter, of waaraan de grootste, kleiner is dan de grootste randdoren. Pleiocentri: soorten met twee of meer middeldorens, die, of waarvan de grootste, langer en doorgaans ook dikker zijn dan de grootste randdoren. | kadiantes: soorten, onder laatstgenoemde, waarvan de randdorens gelijkmatig of bijna gelijkmatig straalswijs uitge- spreid zijn. Flexi: soorten met weinig verschillende dorens en min of meer tot den evenwijdigen stand naderende, en hetzij rechte, of een weinig opgebogene zijdelingsche randdorens. Intertexti: soorten met sterk verschillende dorens en even- wijdig loopende zijdelingsche randdorens, die, bij de sterkste bolocachhs © compractus hexacanttars armatus spatangüurs trichacanthus „gr eburneus 5 P TD ee, macracanthordes Lermedurs Salmranus Evertsxianus #7 strarurnreutrs Pi unflatu IEPSULS # P appwozimatus recluse el os roseus chant Mornvilleanus ”; obsitum. Flos parvus roseus, stigmatibus 5 albis. Bacca elongato-clavata. M. Baarsianus. Caulis oblongus, 17 em. altus, 15 em. crassus. Costae 10 compressae, circa areolas inflatae, sinubus pro- fundis. Areolae 8—9 approximatae fere orbiculares, minores, im- pressae, tomentosae. Spinae non valde diversae subteretes longe aciculares arcu- atae, e radice pallide-fusca stramineae ; marginates 10(—11) fere aequaliter radiantes, inferior lon- gior (ad 41/, cm.) omnes deorsum arcuatae ; centrales 2—4, 1—3 superiores plerumgque rectae, rarius aliguanto sursum incurvatae, infima ceteras longitudine su- perante (4—5l/, em.) recta vel plerumque deorsum curvata, obtusangula vix compressa. | Cephalium teres 10 cm. crassum 81/, cm. altum, setis tenuioribus fasciculatis cinnaberinis totum obsitum. Specimen unicum eheu mortuum advenit, vix tamen col- lapsum, quo factum est ut praeter trunci colorem characte- res bene animadverti potuerint. Spinarum natura M. stramd- neum Sur. Ll. e. in memoriam revocat, sed forma earum curvata, areolae evidenter tomentosae et costae valde comi= eh on dn nt e (449 ) pressae consociationi obstant. Affinis videtur M. Monvilleano MrqueL et multo magis quidem quam species Arubiana, antea a me cum MM. Monvilleano Mrq. eonjuneta, nune arcu- ata voeata. Differt tamen spinis maioribus ecrassioribus stra- mineis (non obscure fuscis), areolis evidenter tomentosis, costarum forma et earum dorso inter areolas alte sellato (in Monvilleano Mrq. vix repando). Nomen dedi in honorem venerandissimi vAN BaAARs, qui specimen, etsì mortuum tamen pulcherrimum, eum maultis aliis Meloeactis mihi bene- vole misit. M. Besleri Miq. (non L. 0.) p.p. Mrqver, Monographia generis Melocacti, Acta Acad. Caes. Leop. Carol. Nat. eur. Vol. XVIII. Suppl. p. 51, exclusis tamen omnibus quae ex specimine Berolinense a clar. Link et Orro descripto immixta sunt. Melocactus Bresuer, Hort. Eystettensis Ord. IV, fol. 1 cum tabula (exclusis synon, Loserm et Cuusrr). Patria ignota. Descriptio castigata, ex sola icone Besrerm Le. desumpta: Caulis maior, depresso- ovoideus glauco-viridis 20 em. altus, 24 cm. crassus. Costae 13 verticales crassae obtusissimae vix torulosae, inter areolas depresso-sinuatae. Areolae paucae (5) valde distantes (4—5!/, cm). Spinae paullum diversae omnes firmae crassae arcuatae sordide-fuscae ; marginales 1—8, suprema brevior, infima lateralibus sub- aequalis vel paullo brevior, omnes radiantes et versus caulem vel deorsum arcuatae; centrales (rarius 1) 2—83, paullo maiores, superiores sursum arcuatae, inferior deorsum curvata vel recta maior (81/, cm.). Cephalium disciforme 2 em. altum, 9!/, em. erassum, setis curvis, sparsis, passim fasciculatis, rubris, per totam super- ficiam aequaliter, non dense, obsitum. Flores et fructus non delineatì, Species cum _Discocacto insigni Prerrr, confusa (Förster | 29* ( 450 ) Handbuch der Cacteeënkunde. 1846, p. 848) at non tota ad hujus synonymiam releganda. Melocactus Horti Eystettensis Melocactus verus, a LiNKrANO separandus et solus servandus. M. arcuatus. Syn: M. Monvilleanus Mriq. Sur. 1. ce. eum descriptione a specimine Arubiano desumpta. Nimis autem a MM. Monvil- leano differt quin eum hac conjuncta maneat. Descriptio mea citata igitur ad nunc propositum M. arcuatum referenda. Huic proxime affinis M. Peslert Mrq. p. p. (non L. O. vide supra) a quo tamen caule minore, costis acutis, areolis minus remotis, spinis maioribus, et spinarum marginalium maiore numero discrepat. M. uncinatus. Caulis (junior) depresso-globosus, pallidius coeruleo-viridis (71, em. altus, 101/, em. crassus). Costae 12, fere verticales, valde compressae, circa areolas tereti-inflatae, inter eas complanatae, dorso nasuto, sinubus profundis. Areolae romotiuseulae 4, majusculae, impressae et circum- vallatae, parcius sed evidenter griseo-rubello-tomentosae. Spinae non valde diversae, e radice obscure fusca vix mar- ginata vel fimbriata, rubro-fuscae, demum griseo-fuscae, firmae subteretes longae curvatae ; marginales 10, vel addita parva suprema ll, fere aequales (33/4, em. longae) radiantes vel laterales aliquanto parallelae, versus caulem et deorsum curvatae, costas vicinas attingentes et superantes ; centrales 2(—4) infima paullo major (ad 5!/, em.) a latere compressa et deorsum curvata, superiores rectae vel sursum curvatae. Cephalium, flores, fructus non visi. Pulcherrimus huius seriei terminus. ( 451 ) M. elongatus. Caulis oblongus (17 em. altus, 15!/; em. erassus) coeruleo- viridis. Costae 11 (—13) fere perpendiculares, latiusculae acutae, lateribus leviter undulatis, sulcis latis, paullum flexuosis. Areolae 7 remotae subrotundae majusculae albo-tomentosae, inferiores subnudae. Spinae paullum diversae aciculares tenues sed firmae sub- rectae, e radice rubella, in vetustioribus griseo-viginata bre- viter albo-fimbriata, pallide carneae et flavescentes, versus apieem et maculatim rubellae; marginales 10—11, superior vel superiores 2 debiliores, ceterae aequaliter radiantes valde patentes supra sinum ecru- ciatae, inferior longior (ad 8/4 em); centrales 2 (—3), superior vel superiores approximatae sursum curvatae, inferior recta vel paullum sursum curvata longior, (ad 4!/, em.) obtuse quadrangula et aliquanto a latere compressa. Cephalium disciforme setis rubro-fuscis erebris curvatis firmis munitum. Flos {non bene apertus) exsertus mediocris (diam. limbi 1 em.) coccineus, petalis obtusissimis, stigmatis radiis albis 6—7. Baccae majusculae elongato-obovatae 81/9 cm. longae, 1 em. crassae coccineae; accedunt formae utrinque divergentes, ad dimidium breviores et usque ad 41/, em. longiores, pro ratione crassiores et angustiores. M, (stellatus ?) sordidus. Caulis depresso ovoideus (11!/, em. altus 141/, em. erassus). Costae 11 subverticales rectae, paullum compressae circa areolas conico-inflatae, lateribus undulatis, dorso inter areolas aeuto compresso plicato-nasuto. Areolae 6 minores brevi-oblongae tomento parco lineari fuscescente praeditae. Spinae vix diversae e basi fusco-griseo-vaginata breviter (452) albo-marginata sordide flavo-fuscescentes aciculares rectae, graciles sed firmae, subteretes; marginales (9 —)10 fere aequaliter radiantes, valde paten- tes, supra sinum cruciatae, inferior ad 3 em. longa; centrales 2, inferior aliqguanto firmior et longior (31/9 cm.) cum superiore leviter sursum curvata vel recta. Cephalium tereti-convexum, setis fusco-rubris firmis curvatis satis aequaliter vestitum. Flores mediocres, roseae et coccineae, ad 11/, cm. ex ce- phalio exserti, limbo ad 1Ì/, em. lato, petalorum apicibus ovatis obtusis, stigmatis radiis 6—8 albis. Bacca minor obconica, 29/, cm. longa, 1 cm. crassa, coccinea. M. stellatus. Caulis depresso-ovatus (10!/,—14 em. altus, 14—17 cm. erassus) coeruleo-viridis. Costae 11 verticales rectae latae aliquanto convexae, late- ribus vix undulatis, dorso acuto leviter sellato vel nasuto, basi complanatae, sulcis fere rectis. Areolae 6—7 subdistantes, vix immersae, parvae suborbicu- lares, tomento albo parciore at evidente praeditae. Spinae subaequales aciculares rectae, e basi rubella palli- dae fere stramineae, passim carneo-maculatae; marginales 10—l1, supremae 1—2 debiles, ceterae fere aequaliter radiantes (rarius laterales 2—3 aliquanto approxi- matae) inferior paullo longior (2t/,—8 cm.) valde patentes eum vieinis non vel vix cruciatae; centrales (2) 9 in triangulum plerumque obliguum, vel 4 in rhombum dispositae, 3 inferiores subaequales (23/,—31/4 em.) rectae, vel superiores leviter sursum incurvatae. Cephalium disciforme, setis fusco-rubris frmis curvatis mar- gine densius, in centro parcius obsitum. Flos medioeris (non omnino apertus), l em. e cephalio exsertus, coccineus, limbo (hce statu) 8 mm. lato, petalorum apicibus ovato-oblongis acutiusculis vel etiam mucronatis saepius aliguanto denticulatis, stigmatis radiis albis 7. | ( 453 ) Baeccae minores obconico-obovatae, circa 21/, cm. longae, l em. erassae. M. (stellatus) flavispinus. Differt a praecedentibus: spints aliquanto magis diversis, minus strietis, margioalibus (eum vicinis eruciatis) aligquanto parallele extensis et sive versus caulem sive sursum, quam- quam levissime, curvatis, areolis adhue nudioribus, et baccis, guarum plures ex eodem specimine provenerunt, exacte coni- cis, 29/, em. longis, l em ecrassis (divergentibus aliquanto longioribus sive angustioribus). In forma bicephala costae divergebant numero 15; hie spinae in gemmis novellis roseae, quod eolorem sordide fusco- flavescentem spinarum in caule vetusto, vestigiis nonnumguam coloris rubelli commixtum, decolorationi tribuendum esse con- firmat. M. retveulatus. Á praecedente differt spinis marginalibus (11—12) tenui- oribus, lateralibus magis approximatis, et cephalii setis sub- rectis tenuioribus. Flores et fructus ignoti. Ut duae sequen- tes, in hac serie aliguanto solitaria. M. flewilis. Differt spins crassioribus varie curvatis. Bacca minor exacte conica (21/5 cm. longa 1 cm. erassa) hospitium in stellatarum serie sibi vindicat. M. obovatus. Forma caulis obovati (14!/, alti, 15 em. superne crassi) peculiaris. Areolae 9—10 oblongae subnudae; spinae paulum diversae subteretes, marginales 10, supremis 1—3 tenuibus exceptis, aequaliter radiantes vel laterales aliquanto approxi- matae, e basi patente plerumque versus caulem recurvatae, rarius deorsum, rarissime sursum curvatae, non aut vix eruci- (454 ) atae. Cephalii initium disciforme sitis rubrofuscis curvatis obsitum. Flores et fructus igmoti, M. (stellatus) dilatatus. Caulis depresso-ovoideus vel subglobosus coerulescente-vi- ridis, 10—14 em. altus, 15 em. crassus. Costae 11 verticales latae, basi complanatae, lateribus pla- niusculis leviter undulatis, dorso acuto, sulcis vix flexuosis. Areolae 5—8 remotiusculae brevi-oblongae, minores, par- cissime tomentosae. Spinae non valde diversae e radice atrovaginata breviter sed evidenter albofimbriata, sordide olivaceo-fuscescentes sub- teretes et minus magisve curvatae; marginales 9—11 fere aequaliter radiantes, ad 21/, cm. longae, late patentes et versus caulem et deorsum leviter curvatae vix cruciatae ; centrales 2(—3), inferior maior (ad 31/, em.) recta vel cum superiore leviter sursum curvata. Cephalium setis rubris curvatis munitum. In forma poly- cephala spinae juniores rubellae, areolae albo-tomentosae. var.? M. leucacanthus. Differt spinis radiantibus paucioribus (8—9) aliquanto magis deorsum curvatis et spinis in gemmis cephalophoris novellis albis, areolis minus tomentosis, in trunco vetusto calvis. Cephalii setae rubrae vel cinnabarinae. Baccae minores exacte conicae 23/, em. longae, l cm. crassae. M. (stellatus?) inflatus. Caulis depresso-globosus coeruleo-viridis 11 em. altus, 15—17 em. crassus. Costae 11 verticales latissimae, lateribus planis vel con- vexiusculis, vix undulatis, suleis subrectis basi evanidis, dorso acuto inter areolas vix prominulo. Areolae 4—6 remotiusculae majores oblongae, parcissime fusco-tomentosae. ord Aen. denten anne nnn die NE (455 ) Spinae vix diversae aciculares subrectae, e radice griseo- vel atrofusco-vaginata breviter albo-marginata sordide fusces- eentes subteretes; marginales 9—10 fere aequaliter radiantes, rectae et levis- sime deorsum curvatae, vix cruciatae, 21/,—3 em. longae; centrales 2(—3), superior leviter sursum curvata, inferior maior (21/,—3!/, em.) plerumque recta. Cephalium teres ad 7 em. altum. 9 em. crassum, setis firmis fusco-rubris curvatis obsitum. Flos coccineus mediocris 1—1!/, em. e cephalio exsertus, limbo ad 1!/, em. lato, petalis linearibus apice angustatis margine erosis, stigmatis radiis 5—6 albis. Bacca non visa. Obs. In specimine quod cephalium destructum gemmis novellis restituere incepit, spinulae juniores rubellae, areolae albo-tomentosae. M. trachycephalus. Caulis depresso-globosus vel globosus 12—141/; cm. altus, 15—16 em. crassus, obseurius eoeruleo- viridis. Costae 11 verticales latissimae convexiusculae, lateribus vix undulatis, sulcis subrectis, dorso acuto nasuto. Areolae 6—8 fere superficiales brevi-oblongae majusculae, tomento parcissimo fusco praeditae vel nudae. Spinae subaequales aciculares subrectae e radice plumbeo- vaginata brevissime albo fimbriata sordide fuscae ; marginales 9—10 fere aequaliter radiantes rectae vel paul- lum deorsum curvatae non cruciatae, inferior longior 21/,—8 em. longa; centrales 2, inferior major recta vel cum superiore leviter sursum curvata, 29/4, —3!/, em. longa. Cephalium e basi terete hemisphaericum 6—7 cm. altum, 10 em. crassum, setis rubris subrectis aequaliter et dense etiam in vertice obsitum. Flos non visus. Baccae magnae elongato-obconicae ad 4 em. longae, 1!/, cm. ecrassae; accedunt minores et angustiores ad 21/, cm, longae 1 cm, crassae. ( 456 ) M. trigonus. Caulis ovatus 15 em. altus 12!/, em. crassus, obscure coeruleo-viridis. Costae 12 subverticales valde compressae, circa areolas te- reti-inflatae, dorso inter eas angustato plicato-sellato et nasuto. Areolae 8 approximatae circumvallatae impressae majores orbiculares tomentosae. Spinae evidenter sed non magnopere diversae tirmiores sub- rectae, e vagina pallide fusca anguste vel omnino non albo- marginata sanguineae, vetustiores minus magisve pruninosae ; marginales 10—ll aciculares rectae vel subrectae fere aegualiter radiantes patentissimae, cum vicinis cruciatae, dor- sum vicinum plerumque attingentes, praeter supremas parvas subaequales, 2°/, cm. longae 1Ì/, mm. crassae; centrales 2(—83) subuliformes obtusangulae, subaequales vel superiores evidenter minores aliqguanto sursum curvatae, in- ferior plerumque recta, rarius leviter deorsum curvata, e basi trigona aliquanto a latere compressa apice tereti, 4A—5!/, em. longa, 2 mm. crassa. Cephalium (adhue minimum) setis rubris obsitum. Flores non vidi Baccae parvae crassae obconicae vel basi ancipite ab uno latere, obovatae fusco-rubrae, 21/3 em. longae, 11/, cm. crassae. Habitus ili M. patentis Sur. 1. e. proximus: distinguitur forma minus oblonga, areolis etiam adultis tomentosis, spinis aliguanto minus diversis, marginalibus latius patentibus, cet. Baccarum color obscurus insignis. M. ovatus. Caulis (junior depresso-ovatus, areolis paucioribus) ovatus, 15 em. altus, 18 —14 em. crassus, atroviridis. Costae 14—15 oblquae, valde compressae, circa areolas tereti-inflatae, dorso inter eas angusto plicato-sellato vel nasuto. | Areolae 9 approximatae vix impressae brevi-oblongae ma- jusculae tomentosae, L u hd ded ae Bt kn or rn nt nn nn md dd a at aen md va (457 ) Spinae valde diversae e radice fusca albomarginata sanguinae et rubrofuscae, demum pruinosae et griseae ; marginales 18—17 tenues aciculares, supremae minimae, laterales utringue 4—5 parallelae 2'/, cm. longae, 1 mm. crassae, costae proximae adpressae, inferiores 8—5 radiantes, infima aequilonga vel brevior, firmior, 2 em. longa, 1,2 mm. crassa ; centrales 2—4 robustae subulaeformes, rectae vel aliguanto sursum incurvatae, inferiores fere aequilongae, subteretes obtuse tetragonae vel desuper compressae circa 4 cm. longae, 2 mm. crassae. Cephalium adhue nullum. Habitus illì M. pyramidalis S.D. proximus; distant forma ovata non conica (l. pyramidalis), areolae evidentius tomen- tosae et spinae centrales minus angulatae. M. flammeus. Caulis ovatus 15 em. altus et crassus, atroviridis. Costae 13 obliquae valde compressae, circa areolas tereti- inflatae, dorso nasuto. Areolae 8 approximatae magnae tomentosae, circumvallatae superficiales. Spinae valde diversae, e radice fusca vix fimbriata adultae canescentes, juniores luteo-aurantiacae apicibus fuscis; marginales 13—17 firmae aciculares, suprema parva me- diana porrecta, si par adest, summae eum 4 —5 paribus lateralium utringue parallelae; hae supra costas vicinas ex- pansa'e iisque adpressae, ad 31/4 em. longae, 1, 2 mm. cras- sae; inferiores tres radiantes plerumque breviores (9 em.) infima saepe crassior (1,5 mm); centrales 3—4 superiores plerumque aliquanto sursum, in- ferior deorsum curvatae, haec plerumgue aequilonga, desuper aliguanto deplanata, 41/, cm. longa, 2,l mm. crassa. Aeccedit ad M. wanthacanthum Mrq., qui eolore pallido, areolis adultis glabris, spinis marginalibus lateralibus quam inferioribus brevioribus, et spinis centralibus longioribus (5—7 em.) differt. ( 458 ) M. pulvinosus. Caulis ovoideus (junior complanatus) 9 —13 cm. altus, 14—15 em. erassus, obseurius eoeruleo- viridis. Costae 12—13 obliquae, valde compressae, circa areolas crasse inflatae, inter eas profunde constrictae, dorso tenui sellato et nasuto. Areolae 6—7 (in juniore 5 —6) subdistantes maximae sub- rotundae copiose tomentosae, late circumvallatae sed vix 1mpressae. Spinae valde diversae, e radice pallide vel obscure fusca, non vel vix marginata, sanguineae et rubrofuscae, inferiores pruinosae minus magisve canescentes; marginales 11—16, superiores parvae, ceterae subaequales vel infima lateralibus aliquanto longior; laterales utrinque 2—5, hie parallelae illie eum ceteris aequaliter radiantes, valde patentes, longitudine (51/9 em.) costam vicinam attin- gentes sed illi non adpressae, plerumque rectae, passim ali- quanto sive sursum sive deorsum sive versus caulem flexae; inferiores 8 semper radiantes, aequales vel infima aliquanto longior (ad 4 em.) et crassior (1Ì/, mm.); centrales 4 robustae subaequales vel suprema minor, infima paullo maior, superiores plerumque leviter sursum, infima recta vel levissime deorsum curvata, obtuse quadrangula, pas- sim a latere compressa, 4—5!/, em. longa, diam. maximo ad 21/, mm. Cephalium nondum visum. Areolis magnis tomentosis et spinis minus aequaliter quam in speciebus conformibus dispositis insignis. M. armatus. Caulis conicus atroviridis (junior depresso-ovatus 11 em. altus 15 em. crassus) adultus 17 cm. altus, 17/—22 cm. basi crassus. Costae 12—18 obliquae superne valde compressae circa areolas crasse inflatae, inter eas constrictae, dorso plicato nasuto. Areolae (in jJuniore 6—7) 8—9 approximatae magnae sub- ek a wal by ere sn ve Saer traden anr nnee be as, 2 Da DEE il 44 as? dd (459 ) orbiculares late eircumvallatae, aliquanto impressae, evidenter tomentosae. Spinae valde diversae, e radice fusca, non et vix marginata, juniores igneae, etiam rubro-fuscae, demum sordide flavescen- tes et pruinose canescentes ; marginales 10—18, patentissimae aciculares, supremae par- vae, infima lateralibus aequalis sive paullo maior vel minor; laterales utrinque 2—5 parallelae costam vicinam attingen- tes eique adpressae sive liberae, 3-4 cm, longae, 1,1—1,3 mm. crassae ; centrales 3—4 maximae, subuliformes subteretes et ali- guanto obtusangulae, rectae vel superiores leviter sursum, inferiores leviter deorsum, rarius omnes leviter sursum cur- vatae, subaequales vel suprema brevior, infima aliquanto longior, haee ad 6—7 cm. longa, basi 2—2l/, mm. crassa et in illa mox aequaliter obtusangula, mox aliquanto a latere sive desuper compressa. Cephalium adhue parvum complanatum setis subrofuscis firmis obsitum. Flos parvus roseus 2 cm. longus 5/, em. e cephalio ex- sertus, limbo nondum Ll em. lato, petalorum apicibus ovatis obtusis satis aegualiter denticulatis. Bacca elongato-obconica 81/, cm. longa, 1 em. crassa, coccinea. STEPPE EMEN TUM m. Oetobr. 1889 Acad. traditum. a. SPECIES NOVA VENEZUELANA. M. humilis. Caulis depresso-ovoideus (10—12!/, cm. altus, 17 cm. basi crassus cinereo-viridis, Costae 12 perpendiculares basi fere complanatae superne sensim angustatae, lateribus fere planis, dorso acuto, depresso- nasuto, sinubus rectis modice profundis, ( 460 ) Areolae 7—8 approximatae parvae orbiculares impressae an- guste circumvallatae, tomento griseo praeditae. Spinae minimae, ab illis costae vicinae longe remotae, vix diversae, e radice crassiuscula griseo-fusca aliquanto fimbriata subteretes subuliformes, sordide olivaceo-fuscae ; marginales 8— 9 patentissimae excurvatae, aequaliter ra- diantes, laterales passim leviter versus basin decurvatae, supremae 1—2 minimae, inferior lateralibus (7— 10 mm. lon- gis) aliquanto longior (ad 11 mm. longa, °/, mm. crassa) ; centrales 2, superior sursum directa et arcuata, lateralibus marginalibus subaequalis et spinulas marginales supremas fere occultans imo opprimens, inferior recta porrecta vel leviter deorsum directa, radiante inferiore crassior et longior (10—13 mm. longa, basi ad 1 mm. crassa). Cephalium disciforme (8!/, cm. latum, 81/, cm. altum) griseo-tomentosum, setulis rubris sparsis vix emergentibus parce munitum. Flos nondum observatus. Bacca coccinea, apice fusco-rubrior, mediocris obovato- obeonica (3 em. longa, l em. crassa). % Venezuela (Laguayra ?). Communicavit cum horto Lugduno-batavo vir spectatis- simus C. W. R. Scrorren JR. Florae amator bene notus Amstelodamensis. Species infra M. parvispinum Sur. 1. e. pleiocentris adjun- genda, nexu cum specie monocentra M. Miquelii Leu. valde Insignis. b. VARIETATES CURASSAVICAE. M. Salmianus L. O. Var. adauctus. Caule magno globoso, spinis marginalibus longioribus, cen- tralium numero pari superiore parvo accessorio ad 6 aucto. Deseribendi gratia e collectione sua mutuatus est vir spec- tatiss. C. W. R. SCHOLTEN JB. (461 ) Var. contractus. Caule minore, areolis approximatis, spinis quam in typo _ minoribus. Ex horto Ultrajectino mutuatus est v. cl. N. W. P. Rav- WENHOFF. M. mierocephalus Miq. Var. olivascens. A typo differt colore caulis obscuriore et spinarum mox olivaceo, areolis aliquanto magis tomentosis et spinis tenui- bus flaccidis. Specimina ad deseribendum mutuati sunt v. spectatiss. C. W. R. ScrorreN et v. clar. N. W. P. RAUwWENHorr. OVER VIERVLAKKEN DOOR GELIJKVORMIGE DRIEHOEKEN BEGRENSD. DOOR P. H. SCHOUTE. In het platte vlak voert een bijzonder geval van drie rechtstreeks gelijkvormige stelsels tot de punten, de driehoe- ken en den cirkel van Brocarp. Beschouwt men nl. de drie rechtstreeks gelijkvormige figuren, waarvan de zijden BC, CA, AB van den driehoek A B C overeenkomstige segmen- ten zijn, dan zijn de drie dubbelpunten der figuren twee aan twee de hoekpunten van den tweeden driehoek van BRocARD, is de gelijkvormigheidscirkel de cirkel van BrocArp, enz. *). Wil men nu de vraag beantwoorden, of het overeenkomstige bijzondere geval van vier rechtstreeks gelijkvormige ruimte- stelsels tot de overeenkomstige ruimtevormingen voeren kan +), dan moet men vier rechtstreeks gelijkvormige ruimtefiguren beschouwen, die op de zijvlakken BCD, CDA, DAB, ABC van een gegeven viervlak A BCD beschreven zijn. Deze figuren zijn echter bij een willekeurig viervlak onmo- gelijk, eenvoudig omdat de zijvlakken in het algemeen niet %) Men vergelijke: H. Brocarp’s „Etude d'un nouveau cercle du plan du triangle” (4s- sociation frangaise, Congres d'Alger, 1881), G. TArRrY’s „Propriétés générales de trois figures semblables” (Mathesis, deel 2, 1882, blz. 75), en J. Casey’s A sequel to Huclid (supplementary chapter, sections 4, 5). }) Zooals uit de laatste noot van het opstel blijken kan, is het voor- zichtig zich omtrent dit punt geen illusies te maken, Er ed ve meel a (463 ) gelijkvormig zijn. Dus is men genoodzaakt zich tot de vier- vlakken te beperken, die door gelijkvormige zijvlakken wor- den ingesloten. In de volgende bladzijden wordt de vraag beantwoord of er viervlakken zijn, die door ongelijkbeenige gelijkvormige driehoeken worden begrensd. Daarbij blijkt, dat er twee verschillende soorten zijn; van deze is de eene reeds meer- malen beschreven, de andere waarschijnlijk nog niet. Verder worden deze beide soorten op enkele van haar bijzonder- heden onderzocht. 1. We stellen de ribben van het viervlak (fig. 1) door Aj, Ag, Az, day dz, Ag VOOr en nemen daarbij aan, dat aj, ag, as ribben van het grondvlak, a4, as, ag opstaande ribben en aj en a4, dg en az, ag en ag paren van overstaande ribben zijn. Bovendien drukken we de opstaande ribben door de betrekkingen a, — Àj aj, as — Àg ag, ag = Àza3z in de over- staande ribben van het grondvlak uit. Nu kan een ribbe aj in de twee driehoeken a, ag az en dj 45 4, tot welke ze behoort, al dan niet met zich zelve overeenkomen. In het eerste geval geldt een der evenredig- heden Aj + Ag: 43 == Aj * U * U, Aj : Ag: 43 == Aj * A5 * Age Van deze beide onderstellingen voert de eerste (ay == ag, az = az) tot gelijkbeenige driehoeken en dus niet tot ons doel. We onderzoeken dus onmiddellijk de tweede (a, = az, az = 4), waarbij tweemaal een paar overstaande ribben ge- lijk zijn (Ag =Àg =1l). In dit geval (fig. 2) wordt op twee wijzen aan den eisch voldaan. Eerstens door À, = 1 te nemen, waarbij we een viervlak verkrijgen, dat door vier congruente driehoeken van willekeurigen vorm wordt begrensd. En ten tweede kan À, verschillend van de eenheid aange- nomen worden, mits VERSL, EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS DEEL VI, 30 ( 464 ) zij; dan kunnen dus de ribben zijn A= ra, =op =P a rûn an of in a, als eenheid 1 or nn en waarbij » willekeurig blijft. Zooals dadelijk blijken zal, zijn deze beide gevallen de eenig mogelijke. 2. Komt geen der ribben met zich zelve overeen in de beide driehoeken, van welke ze deel uitmaakt, dan kan een paar overstaande ribben al dan niet met elkaar overeenkomen. We toonen eerst aan, dat de laatste dezer beide onderstel- lingen echter onhoudbaar blijkt te zijn, en daarna, dat de eerste niet tot het doel voert. Beschouwen we de zijvlakken ajaga3, aj azag en a44g ag: Bij uitsluiting van het met zich zelve overeenkomen eener ribbe en het met elkaar overeenkomen van twee overstaande ribben is de overeenkomst alleen mogelijk op de twee wij- zen, die door de schema's aj az ag | aj 4 43 A5 46 U /» 46 U A5 46 Uy, Ag Ag 46 A4, aangegeven zijn. En hieronder kan a4 as az in geen enkele der zes verschillende verschikkingen geplaatst worden, zon- der dat elk der ribben as, a4, az Òf met zich zelve òf met de overstaande ribbe overeenkomt. Blijft derhalve alleen het geval te onderzoeken, dat twee overstaande ribben met elkaar overeenkomen, bijv. a, en as in dj 4gaz en aj 45 ag. We hebben dan de evenredigheid aj © dg © A3 == Ag * A5 « Aj ay : 49 : ag == Àgag : Àsag : aj. kade (465 ) Hieruit volgt (fg. 3) Nemen we nu ook het derde zijvlak a, az ag in de be- schouwing op, dan kunnen zich de vier gevallen Ui : it EN a Shen Dl Oe DJ} ay. a == A a; . az : Uzs nt EE Mon To dr en ag : Agar : hay voordoen; want in de tweede reden mag az niet in de tweede plaats staan. Van deze vier onderstellingen geven de eerste twee aj = 493 deze voeren dus tot gelijkbeenige driehoeken. Verder geeft de derde onderstelling ons een viervlak met de ribben 4 Uy Ag —= Àa? Aj, Q3 En Ay, == Ag*an, as == Àg® Aj U =S Àg ZAR) 2 of in az als eenheid et Se EE Maar van dit viervlak (fig. 4) is het vierde zijvlak a4 az az niet gelijkvormig met de drie anderen. Hin wijl de vierde onderstelling hetzelfde viervlak oplevert, zijn de boven ge- vonden twee viervlakken, die aan de vraag voldoen, de eenig mogelijken. Het eerste der beide viervlakken is reeds meermalen be= handeld *); de vorm er van hangt af van twee parameters, %) Men vergelijke: G. Dosror’s „Le trièdre et le tétraèdre, etc.” (Grunert's Archiv, deel 57, blz. 175), E. Lemoine’s „/Quelques théorèmes sur les tétraèdres, ete” (Nouvelles Annales de Mathématigues, 1880, bla. 113), Cuérik-Bey’s „Solution, ete.” (Mouv. Ann. de Math, 1880, blz. 403) en J. NeuBerG’s „Mémoire sur le tétraèdre” (Mémoires couronnés, etc, 1884, art. 8), waaraan deze bronnen zijn ontleend. 30* ( 466 ) de verhoudingen der ribben aj, ag, 43. Van het tweede vier- vlak, dat waarschijnlijk nog niet beschreven is, hangt de vorm slechts van één parameter af, nl. van vr. 3. Beschouwen we thans het geval A, == Âg = Àg = 1 wat nader, dan blijkt onmiddellijk, dat de vereenigingslijn A, A4, (fig. 5) der middens A, en A, van a, en a4 tevens de lijn van kortsten afstand voor die ribben is en de drie lijnen van kortsten afstand 4; A4, Aj A5, A3 Ag elkaar in haar snijpunt OQ rechthoekig middendoordeelen. Zoo is Aj A4 loodrecht op uj, omdat de verbindingslijnen van A4 met de uiteinden van uj als overeenkomstige medianen van congruente driehoeken gelijk zijn. Zoo deelen de drie kortste afstanden A; A4, Az Az, A3 Ag elkaar middendoor, omdat ze vallen langs de lichaamsmedianen (verbindingslijnen der middens van overstaande ribben). Zoo staan Aj A; en A3 Ao loodrecht op elkaar, omdat de ziijden van den vierhoek A, Ag As Ag gelijk zijn aan de helft der gelijke ribben aj en ay en deze vierhoek dus een ruit is, enz. Zoo blijkt dan, dat het viervlak kan worden voortgebracht door op een bepaalde wijs van een rechthoekig parallelopipedum vier congruente viervlakken af te kappen, en de inhoud van het overblijvende viervlak het derde deel is van den inhoud van het parallelopipedum. Wat verder omtrent het viervlak gepubliceerd is, komt in hoofdzaak op ht volgende neer: a) De zijvlakken zijn scherphoekig. b) De overstaande tweevlakshoeken zijn gelijk. c) Het punt O is zwaartepunt, middelpunt van om- en in- geschreven bol en punt van LEMOINE. d) De loodljnen, uit de hoekpunten op de overstaande zijvlakken neergelaten, worden aangeraakt door een uit OQ als middelpunt beschreven bol; evenzoo de loodlijnen in de orthocentra op de zijvlakken opgericht *). We laten het bewijs dezer eenvoudige stellingen hier ach- *) Men vergelijke de literatuur boven aangewezen. âs Ten, re Paas nk he bns pe se ( 467 ) terwege. Allcen merken we op, dat de laatste kan wor- den uitgebreid op overeenkomstige lijnen van de vier recht- streeks gelijkvormige figuren, beschreven op de driehoeken Aj Ag A3, Aj Az Ag Ay Ag Ag, Ay Az az *). Brengen we de begrenzende zijvlakken in elkaars verlengde door de opstaande zijvlakken naar buiten om op het grond- vlak neer te slaan, dan ontstaat er (fig. 6) een met het grondvlak ABC gelijkvormige driehoek A' B'C', waarvan A, B, C de middens der zijden zijn. Dus projecteert de top van het viervlak zich op het grondvlak 4 B C in het snij- punt D der hoogtelijnen van driehoek A' B' C+). Is H het *) Noemen we de vier rechtstreeks gelijke ruimtestelsels door de driehoe- ken 4, 4243, U, U; des A4 dale, 4445043 bepaald F,, Fy, F5, F,, dan gaan door een draaïing van 180° om 4, A, als as F, en F,, Fz en F, in elkaar over, terwijl dit bij een dergelijke draaiing om d> d, met F, en F3, F, en F,, bij een dergelijke draaiing om 43 4; met PF, en F,, F, en Fz het geval is. Het punt O is een gemeenschappelijk dubbelpunt. Vier overeenkomstige punten P,, Ps, P3, P4 zijn de hoekpunten van een viervlak, dat in eigenschappen met het gegevene overeenkomt. De inhoud van dit viervlak is standvastig en wel 224, als het product der afstanden van het punt P, van F, tot de vlakken 4,0 43, 4, O0 4,, A, OA, gelijk a is. Voor punten P, in een dier vlakken gelegen is de inhoud dus nul en liggen de vier punten P,, P>, Ps, P, in een zelfde vlak, nl. in hetzelfde der drie genoemde vlakken, waarin P, ligt. Een zeer merkwaardige eigenschap dezer vier stelsels A, F7, F;, F, is, dat een willekeurig stel van vier met elkaar overeenkomende lijnen 1, le, bg, Ja hyperboloïdische ligging hebben. Men bewijst dit onmiddellijk door met betrekking tot drie onderling loodrechte assen een lijn aan te nemen en hierbij de drie lijnen te zoeken, die door een wenteling van 180° om elk der assen worden verkregen. Zoo doet de lijn bepaald door de vergelijkingen y—=ar jb, e=ert d de hyperboloïde (ad —be) (aca* —bdy)z=edy"—abz? ontstaan; op deze hyperboloïde hebben de vier beschrijvende lijnen een C LARP dubbelverhouding En (of een der vijf hiermee in verband staande waar- den). Bij de lijnen van het tetraëdrale complex voorgesteld door de ver- gelijking be +ad= O zijn de viertallen van lijnen met hyperboloïdische ligging dus harmonisch. Zoo wordt meer algemeen. de drievoudig onein- dige verzameling van lijnen. door deze dubbelverhouding met betrekking tot het assenstelsel in een bundel van tetraëdrale complexen gerangschikt, enz. t) Wijl deze top zich noodzakelijk binnen den driehoek 4! B! C' pro- jecteert en het hoogtepunt van een driehoek alleen dan binnen den drie- ( 468 ) hoogtepunt van driehoek 4 5 C en G het gemeenschappelijk zwaartepunt van A BC en A'B C', dan is DG =2GH en het middelpunt O van den om A BC beschreven cirkel, d.i. den negenpuntscirkel van 4' 5 C', het midden van DH. Volgens de door HerMary *) gegeven constructie van de raakpunten der acht bollen, die de vier zijvlakken aanraken, met het grondvlak, is het duidelijk, dat de bollen in de daken beschreven vervallen, omdat hun middelpunten in het oneindige liggen. Slaan we nl. C B A' om CB naar bin- nen om, dan komt het derde hoekpunt in A" op B' C'; an- ders gezegd, voor elke ribbe is de som der zes aanliggende vlakke hoeken 8600. Omgekeerd is elk viervlak met drie oneindig groote dakbollen gelijk aan het thans beschrevene. Stelt nl. « de som der vlakke hoeken van A voor en heb- hen /} en y voor B en C dezelfde beteekenis, dan volgt uit de drie voorwaarden hkdh onmiddellijk == ee y= 180°, zoodat B'C en CG A', enz. in elkaar’s verlengde vallen en A' B'C' dus een driehoek is met 4, B, C tot middens der zijden. De raakpunten der aangeschreven bollen zijn A (het raakpunt van den bol aangeschreven aan het grondvlak) en de op den omgeschreven cirkel diametraal tegenover A, B,C liggende punten 4, Bj, C. hoek ligt als de driehoek scherphoekig is, is driehoek 4! B' C' scherphoekig en dus ook driehoek 4 BC. Dit is een meetkundig bewijs van stelling a), die overigens onmiddellijk hieruit volgt, dat de zijden van 4 BC de op- pervlaktediagonalen van een rechthoekig parallelopipedum zijn. Naderen de driehoeken tot rechthoekige, dan nadert het viervlak tot een rechthoek met boven- en ondervlak, waarvan het eene door de eene, het andere door de andere diagonaal in twee rechthoekige driehoeken verdeeld is. *) Men vergelijke Bulletin ae la Société mathématigue de France, deel 1 en Wiskundige Opgaven, deel 2 1882—1886, blz. 16. den  dten ( 469 ) Het raakpunt met den ingeschreven bol is O0 *. 4, Als men van de twee bij tegenoverstand congruente driehoeken A BC en BAD (fig. 7) den eersten om A B draait tot de afstand tusschen D en het nieuwe punt C ge- lijk is aan 7°, dan ontstaat het tweede viervlak, dat aan de gestelde eischen voldoet. Hierbij schijnen twee grensvoor- waarden van verschillende beteekenis op te treden. Stellen we r <1 — en dit is steeds geoorloofd, omdat vervanging van » door den vorm van het viervlak niet aandoet —, r dan moet eerstens 72 > (1 —r) zijn en ten tweede 73 tus- schen C D en DE liggen. Wijl echter de eerste voorwaarde, die aanwijst, dat er een driehoek met de zijden 1, 7,7? mo- gelijk is, dit ook voor een driehoek met de zijden #,7?, 75 aangeeft, moet #° tusschen C D en DE liggen, zoodra vol- daan is aan de eerste en dan nu ook eenige voorwaarde. Werkelijk is dit het geval. Want daar CD=—=r?°(1l — 72) is, herleidt de voorwaarde 73 > (CD zich tot 72 > (1 —r). %) De merkwaardige ligging der raakpunten van in- en aangeschreven bollen is reeds door NeuBere opgemerkt (t. a. p., art. 20). Ook is stel- kundig door hem bewezen, dat de omgeschreven bol door de middelpun- ten der aangeschreven bollen gaat (t. a. p…, art. 7). Onze figuur geeft nog aanleiding tot de volgende opmerkingen: De driehoeken 4BC, A! B'C', A, B, C, bepalen drie gelijkvormige en gelijkstandige stelsels A, F>, F3 met de dubbelpunten D, 0, G. Een reeds wat meer belangwekkend stelsel van drie gelijkvormige figu- ren wordt bepaald door de driehoeken 4! B"C', A" BCH, 4! BC, die met de aan de opstaande zijvlakken aangeschreven bollen in verband staan. Van deze figuren F,, Fs, F, hebben 4; en ZF, het punt 4! tot dub- belpunt, terwijl B’ en C' achtereenvolgens dezelfde beteekenis hebben voor de paren F7, en F,, F, en F,. Dus is de om 4 BC beschreven cir- kel de gelijkvormigheidscirkel der drie stelsels, zijn d,, B, C, de „onver- anderlijke punten”, is D het „richtpunt”, enz. We vermelden deze uitkomsten slechts terloops, omdat we bij het vol- gende viervlak meer samengestelde stelsels zullen beschouwen. NB. De naam srichtpunt” komt niet voor bij Casey (t. a. p.); ze is ontleend aan TARRrY’s verhandeling „Sur les figures semblables associées’”’ (Mathesis, deel 6, 1886, blz. 148) en komt o.a. ook voorin W.S. M’Cay’s verhandeling „On three similar figures, etc.” (Transactions of the royal irish academy, deel 29, stuk 10, van Juli 1889). (470 ) En verder is DE?—?2rt + 2r? — 1, zoodat r° < DE ach- tereenvolgens overgaat in rol + 272 + 2rt, (LH 12) (1 — 312 HO, Ä 1—3r2 4 rt 0, Ja 1 —2r2 +rt Z r2, / 1—r? Zr, lr rf. | Deze eenige voorwaarde nu verlangt, dat 7 inligt tusschen de 1 eenheid en En Ld 5—1)d. 1. het grootste stuk der in uiterste en middelste reden verdeelde eenheid. Dus zijn de grenzen, waar- _— tusschen zich het tweede viervlak beweegt, het regelmatige viervlak en de rechte lijn A B (fig. 8), die door de punten C en D in uiterste en middelste reden verdeeld is. Hieruit blijkt, dat de grootste hoek der begrenzende driehoeken een speelruimte heeft van 60? tot 180° en er dus zoowel stomp- als scherphoekige driehoeken mogelijk zijn. Is r* 4 r?=—=l, 1 5 of r= aas — 1), dan zijn de driehoeken rechthoekig. Als een hoogeremachtsvergeliijking bij elken wortel » een l 1 wortel — heeft, brengt de substitutie 7 + —=—=k vereenvou- 7 Lj diging; dit zelfde vindt plaats bij die met den driehoek l,r,r? in verband staande grootheden, die bij vervanging 7 van r door — niet veranderen. Als voorbeelden noemen we yr den middelsten hoek B en den hoek @ van BrocarD. We vinden nl. lr? rt rol + rf _—2r? gos B, NO : is COS Co 18 als S den inhoud des driehoeks voorstelt. Hieruit volgt 1 De cos B a —5), ct Es 9 —h? EN DT (471) en dus ook B=2@. Werkelijk liegen de beide punten van Brocarp op de deellijn van den middelsten hoek B en ligt in deze bijzonderheid het eigenaardige kenmerk des drie- hoeks 1,77? *). Daar Z tusschen 2 en y/5 ligt, is de middelste hoek B begrepen tusschen 60° en 00 en dus de hoek van Brocarp tusschen 30° en 00, Omdat 300 de volstrekte maximumwaarde is van @, kan w dus alle overigens ook mogelijke waarden hebben. Zy P (fg. 9) het midden van de grootste ribbe 4 B, Q dat van de kleinste ribbe C Den Ó dat van P Q. Projecteeren wij de ribben van het viervlak op het in O loodrecht op PQ aangebrachte vlak. Omdat de projecties 4'B' en C'D' van AB en CD elkaar in O middendoordeelen, is A’ C'B' D' een parallelogram. Dus zijn A'’C' en D'B', A'D' en C'B' paren van evenwijdige lijnen en snijden de bij AC en DB, AD en CB behoorende lijnen van kortsten afstand de lijn 7 Q in verschillende punten loodrecht; dus kruisen deze lijnen elkaar onder de hoeken van het parallelogram 4'(/B' D'. Voor we verder gaan, drukken we enkele met het vier- vlak in verband staande grootheden uit in r en, als dit een- voudig geschieden kan, in £. Daartoe stellen we achtereen- volgens door p, p‚‚ pr, ‚ de scherpe hoeken voor, waaronder AB en CD, AC en BD, AD en BC elkaar kruisen en de zijden van het parallelogram elkaar snijden, door 4, m, » de afstanden der paren overstaande ribben en door V den inhoud van het viervlak. Dan vinden we lS —zü +2) (1 — Sr? + r*), %) Wijl de coördinaten der punten van BrocARD bij een driehoek met 5 een, Cc a Ò OER ANT de zijden a,b,c evenredig zijn met PN zijn ze hier c a € ded evenredig met #5, 1, 7% en 1, 7% 1; dus is hun vereenigingslijn de lijn zz. Liggen omgekeerd de beide punten met een der hoekpunten B op een rechte lijn, dan zal deze lijn den hoek B moeten middendoor- c b deelen en 57 moeten zijn. dq (472 ) AG en (1 + 2r° — Art 4 r6), 1 A vi — 21? + 2rt + 16), Cos W = ul BEEN Ue W( +02 Art(1—r?)? VUIL — 324) 1 4rb—(1—2r2 Hr d-rb) On EL e TETE SN a Ee raad m == A' D' sin w, n= A'C' sin w, l nn 4 =d sin p= fi Vk. Zijn de driehoeken rechthoekig, dan is 1 CO8 W Sis Cos p =V5—2 ‚ enz. 5. Nemen we een der beide driehoeken met de zijden r°,r?,r (fig. 10) tot grondvlak aan, noemen wij de tegen- _ over die zijden liggende hoekpunten 4, B, C, duiden we de overliggende hoeken des driehoeks en de gelijke hoeken der andere zijvlakken door 4, /, C aan en slaan we de opstaande zijvlakken naar buiten om op het grondvlak neer, dan ont- staat een onregelmatige zeshoek AB'CA' BC' met drie paar gelijke zijden. Uit deze figuur kan dan blijken, dat de drievlakshoeken van het viervlak alle gelijkbeenig zijn. Want om A en om den top 7 liggen twee hoeken A en een hoek B, om B en om C liggen twee hoeken C en een hoek B. Ook hierin onderscheidt zich dit tweede viervlak van het eerste, dat daarentegen gelijke overstaande ribben en gelijke overstaande standhoeken heeft. Heeft dit eerste viervlak dus recht op den naam van geliijkbeenig viervlak als men let op de overstaande ribben en overstaande standhoe- ken, zoo kan het tweede met betrekking tot de drievlaks- (473 ) hoeken dien naam dragen. In plaats van de lange bena- mingen »gelijkbeenig met betrekking tot de paren van overstaande ribben” en »gelijkbeenig met betrekking tot de drievlakshoeken’’ gebruiken wij liever de minder sprekende uitdrukkingen regelmatig en onregelmatig gelijkbeenige viervlakken *). Uit het voorgaande blijkt verder, dat de som der zes vlakke hoeken aan de ribbe A B gelijk is aan A+ B+C) d. 1. aan 8600 en dit met de zes vlakke hoeken aan de ribbe A C eveneens het geval is. Dit leert ons, dat de bol- len in de daken AB, CT en AC, B T oneindig groot zijn. Slaan we dus de opstaande zijvlakken naar binnen om, waarbij 4' komt in A", B' in B" op CB en C' in C'op A C, dan ligt B' op A'C' en GC” op A'B'. Want volgens de door HeRMARY f) gegeven constructie van de raakpunten dier bollen moeten de cirkels 4’ B" C' en A'B'C" in rechte lijnen overgaan. De raakpunten dier bollen met het grond- vlak zijn dus in de loodrecht op A'B' en A! C' staande richtingen CK en BL, in het oneindige verdwenen. En terwijl B!’ en C" op bepaalde lijnen der figuur liggen, is A" een punt van den om 4 B C beschreven cirkel en wel het snijpunt van dien cirkel met de lijn door A evenwijdig aan B C getrokken $). We onderzoeken waar de raakpunten van het grondvlak met de zes andere bollen liggen en maken daartoe gebruik van de stelling, volgens welke de acht raakpunten uit vier paren bestaan, waarvan de punten isogonaal verwant zijn %) In een willekeurig viervlak zijn de zijden van de antiparallelle door- sneden evenredig met de producten der overstaande ribben en dus de antiparallelle doorsneden der vier drievlakshoeken onderling gelijkvormig (Neuzere, t. a. p., art. 16). Bij het onregelmatig gelijkbeenige viervlak zijn deze doorsneden bovendien gelijkvormig met de zijvlakken ; m. a. w. het viervlak door een antiparallelle doorsnee van een gelijkbeenig viervlak afgesneden is weer een gelijkbeenig viervlak. Deze eigenschap bezit het regelmatig gelijkbeenige viervlak niet. f) Men raadplege de aangegeven literatuur. $9) De vierhoek 4CA"B is het antiparallelogram van Hart, dat met de cel van PrauceLLier bij de omzetting van de rechtlijnige beweging in de cirkelbeweging (parallelogram van Wart) voorkomt, (474) met betrekking tot driehoek A B C*). Zoo doen de onein- dig ver gelegen raakpunten K_ en L, twee andere raak- punten KX en L kennen. Deze punten moeten liggen op den omgeschreven cirkel, wijl deze kromme isogonaal overeen- komt met de lijn in het oneindige. En wijl de lijnen AK en AL, isogonaal verwant zijn ten opzichte van TAN 1 LBAC (vant LCAE CARS 1 1 | Lie AP re en ) komt met XK net snijpunt K van AL, en den cirkel, met ZL het snijpunt £ van AK en den cirkel overeen. Dus is BL de deellijn van / B en K L evenwijdig met BC. Op de deellijn van den hoek B liggen nog twee raak- punten M en M', de middelpunten der cirkels A" B" C" en A'B'C'. Het eerste punt is het snijpunt der lijnen BL, en CK; want BL, deelt A" C" en CK deelt A" B" recht- hoekig middendoor. En het tweede punt is het snjpunt van BL met de lijn isogonaal verwant met- A M ten op- zichte van / BAC. Het verdient opmerking, dat ZL, M, M' gelegen zijn op de stralen van den omgeschreven cirkel, die loodrecht staan op detzijden AC, CB, BA van ABC. Van L en M is dit onmiddellijk duidelijk. En wat M' betreft, vindt 1 | men /BAM'—=/ MA CSB AC ESL MEN Bovendien ligt M' op de lijn CK, die isogonaal verwant is met ZK ten opzichte van / AC B. Eindelijk worden de twee nog ontbrekende raakpunten gevonden met behulp van de stelling, volgens welke de acht punten twee aan twee op vier lijnen door A, op vier lijnen door &, op vier lijnen door C liggen f). Zoo is het eene het snijpunt A der lijnen A M, B KK, CL, het andere het snijpunt N' der lijnen A M', BK, CL. Bovendien ligt het snijpunt D van A'4", BB", CC, dat de projectie is van %) NEUBERG, t. a. p., art. 20. +) Wiskundige Opgaven, deel 2, 1882—1886, blz. 16. (475 ) den top 7 op het grondvlak, op de lijnen KK _,LL,, NN Dit punt D is tevens het tweede snijpunt der cirkels A" B" C' en A" B'C' uit K en L beschreven. Want EEA!" Ken LD AK =LA”, Uit het feit, dat de top 7’ zich in een punt D van de verbindingslijn BD der punten van BRrocarp projecteert, € volgt nog een merkwaardige bijzonderheid van het onregel- matig gelijkbeenige viervlak, die aldus onder woorden kan gebracht worden. De vlakken, die door een hoekpunt en de punten van BrocArp van het overstaande zijvlak gebracht worden, staan loodrecht op die zijvlakken en snijlen elkaar in het middelpunt van den ingeschreven bol. Elk dier vlakx- ken gaat door een der vier ribben, die men verkrijgt door de grootste en kleinste ribben weg te laten, nl. door de topribbe van den bij het hoekpunt behoorenden gelijkbee- nigen drievlakshoek. 6. Tusschen de punten en lijnen der beschouwde figuur bestaan nog een reeks van betrekkingen, die achtereenvol- gens mogen worden aangewezen. a). De driehoeken AC B, BC A, CA'B' (fig. 11) zijn gelijkbeenig en gelijkvormig, want hun tophoeken zijn het supplement van C—4. We vinden dus EAB CB OA en at A B BEN OE E Hieruit blijkt, dat de driehoeken A BC en B'C' A' recht- streeks gelijkvormig zijn. b). De driehoeken C 4" B’ en A B" C" zijn gelijkbeenig en gelijkvormig, want hun tophoeken zijn B. We vinden dus Ze Td ed C 4 B" ee Jil ss gres zn r 1 BC AC Bovendien is / C'" B' A", d. 1. de hoek waaronder C' B' en B' 4" elkaar snijden, gelijk aan / ACB, den hoek waaronder «/C en CB elkaar snijden. Dus zijn de drie- hoeken ABC en C" A" B" rechtstreeks gelijkvormig. (476 ) c) Beschouwen we de drie rechtstreeks gelijkvormige figu- ren door de driehoeken 4BC, B'C' A', C'" A" B" bepaald, dan blijkt al aanstonds, dat de drie overeenkomstige lijnen BC, C'A', A"B" elkaar in B’ en de drie overeenkomstige lijnen CA, A'B', B'C" elkaar in C" snijden. Maar ook de overeenkomstige lijnen AB, B'C', C” A" gaau door een punt, We bewijzen dit door te doen zien, dat het snijpunt P van AB en B'C' ook op C' A4" ligt. Hiertoe merken we op, dat de punten P, B’, C" gelijijkstandige punten zijn van de bases der gelijkvormige geliijkbeenige driehoeken A C' B's BG'A', CA'B', wat volgt uit de gelijkheid der hoeken PAB, B'BA', C"CB' (supplement van C). We hebben dus (es P C ! B' Ei (ie d. w.z. PB'A'C" is een parallelogram. Maar dan ligt P ook op C" 4". Want, omdat AC’ en C" A" door de- zelfde lijn, nl. de deellijn van hoek CB A', rechthoekig middendoorgedeeld worden, zijn deze lijnen de evenwijdige zijden van een gelijkbeenig trapezium A C° A" C'. d) Volgens de theorie van drie rechtstreeks gelijkvormige figuren *) leveren deze in het algemeen een oneindig aantal van door een punt gaande overeenkomstige lijnendrietallen op, en gaan deze lijnen in elk der drie figuren door een vast punt, welke drie »onveranderlijke punten” op een cirkel lig- gen met de drie dubbelpunten der figuren twee aan twee. Blijkens het bovenstaande kan echter in het stelsel A BC elk der drie punten 4, B,C op den rang van onveranderlijk punt aanspraak maken, daar de drie zijden van driehoek A BC tot drie drietallen van samenloopende overeenkomstige lijnen behooren. Wijl nu de negen hoekpunten der drie driehoeken niet op een cirkel liggen, hebben we hier te doen met het bijzondere geval, waarin de door de dubbelpunten gaande cirkel onbepaald wordt, door dat de dubbelpunten in een zelfde punt Q samenvallen. Denken we ons drie *) Men vergelijke Casey, t. a. p. en de laatste noot van art, 3. (477) rechtstreeks gelijkvormige stelsels met een gemeenschappelijk dubbelpunt Q door dit punt en drie overeenkomstige punten Lj Ro Pz bepaald, dan kunnen zich twee gevallen voordoen. Of de cirkel #2 Ry Rz gaat door Q, òf hj doet dit niet. Wil de vorm van den vierhoek Q A} Ll R3 niet verandert, als men van het drietal RR, Rs tot een ander drietal over- eenkomstige punten overgaat, zal de verhouding van den cirkel Zj A, A3 tot Q in dit opzicht beslissend zijn voor alle cirkels door drie overeenkomstige punten. Bovendien zal elk drietal overeenkomstige lijnen in het eerste geval door een punt gaan en dit bij het tweede geval nooit kun- nen plaats vinden. Zijn nl. !, lg, l3 overeenkomstige lijnen door A, Lo, Raz, dan volet, als Q LR, Ry Az een koordenvier- hoek is, uit de gelijkheid der hoeken (QA, bi), (Q Ro, lo), (Q B, la), dat lj, lg, lg den om Q B; Liz R3 beschreven cirkel in hetzelfde punt snijden, enz *). *) Gewoonlijk wordt de behandeling van dit bijzondere geval bij de algemeene theorie gemist. Men vergelijke TArry’s‘verhandeling (Mathesis, deel 2, 1882, blz. 73) en Casey, t. a. p. Als volgt kan ook stelkundig blijken, dat bij drie rechtstreeks gelijk- vormige figuren met gemeenschappelijk dubbelpunt alle drietallen van overeenkomstige lijnen samenloopende lijnen zijn, als dit met een niet door het dubbelpunt gaand drietal het geval is. Zij het gemeenschappelijk dubbelpunt oorsprong van coördinaten, dan kunnen drie overeenkomstige lijnen door de vergelijkingen %CO8 D dy sin p — a=0 zoos (o + «) + sin (0 F2) —pa=0 cos (D + B) + y sin (p + B) —ga=0 worden voorgesteld. Deze lijnen snijden elkaar onder de voorwaarde COS _P ‚ Sn P kik A Zl cos(p Ha), sn(p ta), p= 0, cos(p dB), sin (p +2), 9 die reeds onafhankelijk van a blijkt te zijn. Maar ze is ook onaf hankelijk van p. Want, volgens den regel voor de vermenigvuldiging van deter= minanten, vinden we 2, phoosau , g-+roosp A'=|ptoosz, 1+4p ‚ Paheosla—f) |, gteosf, pg teosle—), 144’ (478 ) Daar de figuren der driehoeken ABC, BC'A', C'A"B' door een punt gaande drietallen van overeenkomstige lijnen toelaten, moeten de cirkels A B'C", BCA", CA'B"' door het gemeenschappelijk punt Q der stelsels gaan. We beves- tigen dit door rechtstreeks de drie dubbelpunten der figuren twee aan twee te bepalen. e) We duiden de driehoeken verder aan door U; V, Wi, U, Vz Ws, U3 Vz Waz (fig. 12) en zoeken nu het dubbelpunt Q van de figuren /) en F3. Daartoe brengen we volgende constructie in toepassing. Zijn twee rechtstreeks gelijkvor- mige figuren bepaald door twee segmenten D Ken D' E' van twee elkaar in $ snijdende lijnen, dan is het dubbelpunt dier figuren het tweede snijpunt der cirkels D'S en HE'S *%). Denken we ons /) en F3 bepaald door U, Vg en Us Vs, dan is het dubbelpunt het tweede snijpunt der cirkels U, Us P en Vs Va P. Van deze cirkels gaat de eerste ook door Us, omdat de hoeken U} en Us, die op den boog PU; staan, gelijk zijn, en de tweede ook door Vj, omdat de hoek V3 V, Wz het supplement is van C, d. 1. van W3 Vs Vz. Dus is het gezochte punt op de cirkels WV, Vz Vz en Wi Wg Wz gele- gen. Evenzoo bewijst men, dat het op den cirkel U, Us Us ligt, door van Uy Wy en U3 Wz uit te gaan. Dus hebben de cirkels U; Uy U3, Vi Va Va, Wi Wg Wz een punt gemeen en is dit punt het dubbelpunt van 4, en F5. Maar langs denzelfden weg blijkt het ook het dubbelpunt te wezen van Fs en HF), enz. f) Voert het tegelijkertijd naar buiten en het tegelijker-_ de | tijd naar binnen omslaan der opstaande zijvlakken tat twee driehoeken, die rechtstreeks gelijkvormig zijn met 4 BC, zoo waarin p niet voorkomt, zoodat de voorwaarde A= 0 onafhankelijk is van @. Nemen we in /\ voor @ de waarde nul, dan is de voorwaarde door p—cosa __ g—cos fg sina sin? voorgesteld, wat dan ook juist uitdrukt, dat drie overeenkomstige punten op een cirkel liggen, die door den oorsprong gaat. %) CASEY, t. a. p. (479 ) wordt door het naar buiten omslaan van telkens een en het naar binnen omslaan van de beide andere zijvlakken een drietal driehoeken verkregen, die alle bij tegenoverstand ge- ljkvormig zijn met 4 BC en dus onderling rechtstreeks ge- lijkvormig. Deze driehoeken B’ C" A, AB C', A!"B'C', (fig. 10)*) zijn gelijkvormig met A BC om de volgende redenen.. In driehoek B'C"A' is / A'= Cen LB'= LB'C'A4'—= A. In driehoek A" BC" is / C' == C, terwijl BC'=—= B'C" is en de zijden om hoek C" dus tot elkaar staan als A/C" en B'C', d.i. als 1 tot r. In driehoek ABC is ll OC =Cen/ B'=/ B'4"'C" =B; We stel- len deze driehoeken verder voor door U, V‚, Ws, Us Vs; Ws, Us Vo Ws (fig. 13). De dubbelpunten der rechtstreeks gelijkvormige figuren Fil5,Fo door de rechtstreeks gelijk vormige driehoeken U, VW, enz. bepaald worden gemakkelijk gevonden. Het dubbelpunt Q, van F5 en #5 is het met zich zelf overeenkomende punt U; == Us. Het dubbelpunt Q; van FG en F4 blijkt langs den boven aangegeven weg het tweede snijpunt der cirkels Us Vs We en U4 Va, W4 te zijn en dus samen te vallen met het dubbelpunt Q der stelsels #, >, F5. En de stelsels en Ps zijn niet alleen gelijkvormig maar ook gelijkstandig ; hun dubbelpunt is dus het snijpunt Q; van U, U; met V‚ Vs == W‚ Wz. De cirkel door Q, Q&; Q is de gelijkvormig- heidscirkel; hij gaat ook door het snijpunt W,‚ der over- eenkomstige lijnen V, Wi, Vs Ws, Vo Wo. De onveranderlijke punten P, en P; vallen met Q, samen f) en het onverander- lijke punt P, is het tweede snijpunt van V; WG met den gelijkvormigheidscirkel. Het » richtpunt”’ Z valt met Q, samen. g). Behalve de beide stelsels van drie rechtstreeks gelijk- vormige figuren, die we beschouwd hebben, geeft onze merk- waardige figuur nog twee andere, nl. die van de driehoeken *) Om de figuur uiet te overladen is de lijn 4" B' weggelaten. Zij gaat niet door B, zooals uit de teekening zou schijnen te volgen; want 2 voor het geval r=—=l (ie de teekening is il maken 4" B en 4" B’ een hoek van 120° met elkaar. 4) In fig. 13 staat P4, P; abusievelijk bij Q, in plaats van bij @, VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURK, 3de REEKS, DEEL VL. 31 (480 ) ABC, BAC, CBA, (fg. 10) en die van de driehoeken AB"C", BA" C, CA" B", We laten de behandeling dezer figuren achterwege. Fk h) We maken nog opmerkzaam op het gelijkbeenige tra- pezium We; Vg Vs Uz (fig. 12), dat door twee lijnen in drie gelijkvormige driehoeken is verdeeld. Nemen we de kleinste zijde van den kleinsten driehoek tot eenheid aan, dan komen in dit trapezium de lijnen 1,7,72 75, rf voor. En dan is U; Vs; =r° (fig. 13). | | De vierhoek PB'CB (fig. 11) is wel een gelijkbeenig trapezium; maar dit trapezium is alleen gelijkhoekig en niet gelijkvormig met A'C'A"C" *). Groningen, 1 Sept. 1889. %) Hoewel de beschouwing van de vier rechtstreeks gelijkvormige ruim- tefiguren FFF, PF, door de driehoeken ABC, BAD, ACD, BDC (fig. 9) bepaald een afzonderlijke behandeling vereischt, merken we hier ten slotte terloops het volgende op. | De figuren FP, en F zijn rechtstreeks gelijk en gaan door een draaiing van 180° om PQ in elkaar over; evenzoo de figuren F, en Ps. De figuren PF, en F, hebben 4 tot dubbelpunt. Zetten we van 4 uit naar B,C,D op AB, AC, AD gelijke stukken 4B,, AC,, AD, af, dan is de loodlijn uit 4 op het vlak B, C,D, een met zich zelve over- eenkomende lijn, het vlak door 4 evenwijdig aan het vlak B, C, D, een met zich zelf overeenkomend vlak der beide figuren. Door #/ een zekeren hoek om de aangewezen lijn te draaien en de voerstralen van 4 uit met r te vermenigvuldigen wordt 7, verkregen. Evenzoo hebben de figuren F, en F, het punt 8, de figuren FP, en F4 het punt C, de figuren PF} en F, het punt D tot dubbelpunt. Vier overeenkomstige punten P,, Ps, P3, P4, zijn de hoekpunten van een viervlak, waarvan de ribben PP, en P,P, de lijn PQ tot mediaan en lijn van kortsten afstand hebben. Vier overeenkomstige lijnen hebben in het algemeen geen hyperboloï- dische ligging, enz. Deze uitkomsten en die van de 2de noot van art. 3 kunnen ons tot de opmerking voeren, dat de overdracht van de voor het platte vlak ver- kregen resultaten op de ruimte, die in den aanhef van dit opstel bedoeld werd — en dit is dan nog optimistisch uitgedrukt — niet langs dezen een- voudigen weg geschieden kan. In het geval van het regelmatige gelijk- beenige viervlak hebben de vier rechtstreeks gelijke stelsels een gemeen- schappelijk dubbelpunt en elk der zes combinaties dier stelsels twee aan twee een lijn van dubbelpunten. In het geval van het onregelmatig gelijkbeenige viervlak komt een lijn van dubbelpunten slechts bij twee eee TP er TEN Dn pn ( 481 ) der zes combinaties voor en zijn de hoekpunten de dubbelpunten van de overige vier. En bij het eenige viervlak, dat een andere regeling van de overeenkomst toelaat, het regelmatige viervlak, hebben, zooals gemakkelijk blijkt, òf alle zes, òf drie der zes, òf twee der zes combinaties het mid- delpunt O tot dubbelpunt, terwijl de overige combinaties dan geen dubbel- punt bezitten. Omdat de vier stelsels in dit geval gelijk zijn, moet elk dubbelpunt nl. evenver van de vier hoekpunten verwijderd zijn. En nu kan O alleen dubbelpunt zijn van de beide stelsels O 4BC en O BCD, als de driehoeken 4 BC en BCD van O uit gelijkdraaiend zijn. Daar- gelaten dat het geval van het regelmatige viervlak weinig belangrijks kan aanbieden, moet het dus om de aangevoerde reden in deze richting on- vruchtbaar zijn. Uit deze voorloopige beschouwingen mag dus het besluit getrokken worden, dat men de met de punten, de hoeken en den cirkel van BROCARD overeenkomende ruimtevormingen, zoo deze bestaan, waarschijn- lijk langs anderen weg bereiken moet. e d, el sy E ie + ‘ € ' e- « 3 Á =n = See Sen = ane ed inger. enol. Lith. Gebe? Reimer ‘RDE VI Matuurk 8 Varsl.& Mlèded Afd. NES INHOUD VAN DEEL VI. — STUK 3. Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 25 Mei 1889. Vierde rapport van de Huygens-Commissie. (Uitgebracht in de ver- gadering van 25 Mei 1889)... ........…. OR EE EN AED: Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden 29 Juni 1889. Voorstel van de Commissie voor de geologische kaart van Nederland. Proces-Verbaal van de gewone vergadering, gehouden op 28 Sept. 1889. Verslag over de verhandeling van Dr. JAN DE Vrins, getiteld: „ Over vlakke configuraties, waarin elk punt met twee lijnen incident is”; door D. BIERENS DE HaaN en F. J. VAN DEN BEP.........…. Over vlakke configuraties, waarin elk punt met twe lijnen inci- dente doon Die PAN DE VRIES: UO ee de ade Eh Nieuwe bijdragen tot de kennis der Melocacti van West-Indië door NR OURINGAE (MEL PIRBE NAE ad de fees Melocacti novi ex insula Aruba, adjectis supplementis ad specierum jam ante descriptarum characteres; auctore W. F. R. SURINGAR.. Over viervlakken door gelijkvormige driehoeken begrensd: door NE ORO MEE TAO NE ee ea egen ae En AK Overzicht der boekwerken, door de Koninklijke Akademie van We- tenschappeu - ontvangen en aangekocht...............s.eve bladz. 335. 342. 351. 367. 872. 382. STOOMDRUKKERIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. STOOMDRUKKERIJ DE ROEVER KRÖBER-BAKELS. st ze Î oh ke "dd A9 seed CALIF ACAD OF S NCES LIBRARY OAD 3 1853 10007 679 B Î ‘ 8 . f | enne Pd ters vl} ot win, | ‚ 5 Ee k , « ett stelde Ô ws: … \ P - Ì he É ' * 4 el | & ú ’ : he ' ! t Ea À * EN 5 8 SS ba 8 vj À | \ | , ! … ‚ N 4 â 4 st + 4 8 } \ % | | 7/ iÀ f ; 8 * { ud KR VE var onp nnn