THE FIELD MUSEUM LIBRARY \ ^ 3 5711 00073 7396 I^ROPOTfe botany' Field Museum OF NaturalHistory FOUNDED I893 Digitized by the Internet Archive in 2017 with funding fronn BHL-SIL-FEDLINK https://archive.org/details/verslagvandege2721 91 81 91 9 KONINKLIJKE AKADEMlË VAN WETENSCHAPPEN TE AMSTERDAM VERSLAG VAN DE GEWONE VERGADERINGEN DER WIS- EN NATUURKUNDIGE AFDEELING VAN 28 DECEMBER 1918 TOT 3 MEI 1919 DEEL XXVII (2DE GEDEELTE) ddh:]/ JOHANNES MULLER : AMSTERDAM : : SEPTEMBER 1919 : : 'o Sl- .r- INHOUD. Verslag Vergadering 28 December 1918 N». 6 . . Blz. . . 829 25 Januari 1919 N“. 7 . . . . 921 22 Februari „ N“. 8 . . . . 1035 29 Maart „ N". 9 . . . . 1161 3 Mei N“. 10 . . . . 1361 ,, . i" -ïs-;.1 » • •' ERRATA. In het Verslag der Vergaderingen : Deel XXVII, p. 688 regel 5 van boven, lees Sa[)plement N". 42g in plaats van Supplement N". 43a. ,, ,, ,, 1316 ,, 5 van boven, /eeó- XX iti |)laats van XIX. ,, ,, ,, 1316 ,, 13 van onder, lees 75,9488 in plaats van 74,9488. ,, ,, ,, 1324 noot 1), lees Coinrn. N°. I52é; in plaats van Coinm. N“. I52c. ,, XXVIII, ,, 67 regel 4 van boven, lees Supplement N". 43a in plaats van Supplement N". 44. KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN TE AMSTERDAM. VERSLAG VAN DE GEWONE VERGADERING DER WIS- EN NATUURKUNDIGE AFDEELING VAN ZATERDAG 28 DECEMBER 1918. Deel XXVII. N“. 6. Voorzitter: de Heer H. A. Lorentz. Secretaris: de Heer P. Zeeman. INHOUD. liigekonien stukken, p. 830. J. K. A. Wertheim SalomonsoN: „Een nieuwe demonstratie oogspiegel”, p. 831. J. K. A. Wertheim Salomonson en Mevrouw Ratu Lanoi-HOUTMAN: „Tonus en faradische tetanus”, p. 836. L. E J. BROUWER: „Opmerking over de vlakke translatiestelling”, p. 840. JAN DE VRIES; „Quadratische involuties in de stralenruimte”, p. 842. G. VAN Rijnberk: „Kleinere bijdragen tot de vergelijkende physiologie. IV. Over de voortbeweging der landslak Helix aspersa”, p. 849. C. E. A. WICHMANN: „Over de vulkanen van het eiland Tidore (Molukken)”, p. 862. F. ROELS en L. Moll: „Over den index loquelae”. (Aangeboden door de Heeren H. ZWAARDEMAKER en C. WiNKLERi, p. 871. J. WOLTJER Jr.: „De pericentrumlengte van Hyperion en de massa van Titan '. lAangeboden door de Heeren W. DE SlTTER en P. ZEEMAN), p. 882. A. W. K. DE JONG: „De Heterokaneelzuren van Erlenmeyer Jr.” (Aangeboden door de Heer P. VAN ROMBUROH', p. 894. O. Holst en A. N. KOOPMANS: „De ionisatie van argon”. (Aangeboden door de Heeren H. KAMER- LiNGH Onnes en J. P. Kuenen), p. 901. G. KRUTKOW : „Bijdrage tot de theorie der adiabatische invarianten”. iVoorloopige mededeeling) (Aangeboden door de Heeren H. A. LoRENTZ en H. KAMERLINGH Onnes) p. 908. Erik AoduhR: „Is the post-embryonal growth of the nervous system due only to an increase in size or also to an increase in nuniber of the neurones?” (Aangeboden door de Heeren J. Boeke en C. WiNKLER), p. 920. De Heer J. Boeke biedt ter uitgave in de Werken der Akademie aan, namens den Heer H. C. Delsman, het manuscript van diens verhandeling: „The Ancestry of Vertebrates as a means of understanding the principal features of their structure and development", p. 920. Verslagen der .'\fdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A*^. 1918/19. 54 830 Het Proces-verhaal der vorige vergadering wordt gelezen en goedgekeurd. Ingekomen zijn : L. Bei-iclit van de Heeren W. dr vSitter, H. Kamrrlingh Onnes en S. Hoogeweree, dat zij verhinderd zijn de vergadering bij te wonen. 2. Eene kennisgeving van het „Ministère de rinstruction publiqne et des beaux-arts” te Parijs, dat de Regeering van de Fransche Republiek eene commissie heeft ingesteld, welke belast zal zijn met het onder hare bescherming nemen van die voorwerpen van kunst- waarde, welke de vijandelijke legers gedurende de afgeloopen oorlogsjaren mochten hebben onttrokken aan openbai’e of bijzondere collecties of weggevoerd uit kerkelijke en burgerlijke gebouwen in het toen door hen bezette gebied. Medewerking en hulp wordt ook van onze Akademie en hare leden persoonlijk vei'zocht bij het opsporen en aanhouden van zulke kunstvoorwerpen of overblijfsels daarvan, als deze hier te lande mochten te koop aangeboden worden of hunne bergplaats ontdekt mocht zijn, in welke gevallen daarvan aarigifte en mededeeling gevraagd wordt aan de verlegenwoordigei's dei- Fransche Regeering in Nederland of rechtstreeks aan den daarvoor te Parijs ingestelden dienst. 3. Eene keniusgeving namens vereerders, vrienden en leerlingen van Prof. Jui.iüs voN Hann te Weenen, met verzoek door geldelijke bijdragen het plan te steunen om dezen geleerde op zijn ver- jaardag, den 23 Maart J9J9, als een hidde aan zijne groote weten- schappelijke verdiensten, een bedrag in geld aan te bieden, waarvan, ondei' toezicht van de Akademie van Wetenschappen te Weenen, een fonds zal gesticht worden, dat den naam zal krijgen van ,,HANN-Preis” en ten doel zal hebben het bevorderen van weten- schappelijke onderzoekingen op het gebied van meteorologie en klimatologie. Op bepaalde tijden zullen, uit de rente van dit fonds, prijzen worden uitgeloofd tei' mededinging voor binnen- en buiten- landsche geleerden. Beide kennisgevingen worden ter visie gelegd \'Oor de leden en in hunne belangstelling aanbevolen. Physiologie. — De Heer .1. K. A. Wektheim Sat.omonson doet een inededeeling- betreffende : ,,Een. nieiuve demonsivatie oogspiegel” . In een vroegere inededeeling in de vergadering van 27 April 1917 (zie Verslagen Dl. XXV p. 1399) werd door mij bericht over het photographeeren van bet menschelijke netvlies. Het tweede der in bovengenoemde inededeeling beschreven toestellen is sedert i-egel- matig gebruikt en levert bevredigende resultaten op. Uit den aard der zaak was dit toestel ook geschikt om als demonstratie-oph- thalmoscoO[) gebruikt te worden. Hiermede immers kon de instelling op den fundus van den patiënt door een derden persoon geschieden, terwijl de onderzoeker niets anders behoefde te doen dan het reeds zichtbare beeld zoo scher|) mogelijk instellen voor zijn eigen oog. Indien evenwel een dergelijk toestel uitsluitend als demonstratie- instrument had moeten dienst doen, dnn zou de bouw en samen- stelling met voordeel belangrijk gewijzigd kunnen worden. Onder de mogelijke verbeteringen en vereenvoudigingen behoort in de eerste plaats het gebruik van verschillende vergi-ootingen. Bij den omvaug van het geprojecteerde beeld, dat 40 millimeter doorsnede bezit kan dit laatste bezwaarlijk meer dan 3.5 maal vergroot worden, welke vergrooting in het vastaangebrachte oculair inderdaad aan- gewend wordt. Onder bepaalde omstandigheden kan echter een grootere of kleinere totaalvergrooting dan een 15-malige, welke met dit oculair van 3.5-malige eigenvergrooting bereikt wordt, ge- wenscht zijn. In de tweede plaats wordt als lichtbron een booglamp gebruikt waarvan de lichtsterkte, althans voor ons doel, alleen door absor- beerende lichttilters zoude kunnen worden geregeld en verminderd. Verder bleek het mogelijk om de in den photographischen oog- spiegel gebruikte schermpjes, waarmede de lichtretlexen van de ophthalmoscooplens onschadelijk gemaakt worden, door een beter hulpmiddel te vervangen, zoodra niet naar photographische doch alleen naar visueele waarneming van den fundus gestreefd wordt. Ten slotte lag het voor de hand de afmetingen van den geheelen toestel te reduceeren wanneer van de photographie afgezien werd. Hierdoor moest in ieder geval het toestel veel handiger in het ge- bruik worden. Op grond van deze overwegingen ging ik over tot de samen- 54* 882 stelling van den deinonsiralie oplillialnaoscoop, dien ik lieden nader bespreek. Bij dit toestel is liet beginsel van de bescdionwing van het omge- keerde beeld toegepast evenals bij den pliotographisclien oogspiegel. Als lichtbron dient een halfwattlaiiipje met rechte gloeis[)iraal, van 8 Volt klemspaiining en ongeveer 25 kaarsen lichtsterkte. Het wordt aangesloten aan een kleine accumulatorbatterij of wel aan een kleinen transformator ; de lichtsterkte wordt geregeld door een schnifrlieostaat. De gloeispiraal wordt door een condensor afgebeeld op een enge spleet. Een lensje van passende brekende kracht ’t welk op de spleet ligt, beeldt de opening van de condensorlens af op de opening van de ophihalmoscooplens. Een totaal reflecteerend prisma onmiddollijk tegen de spleet geplaatst, maakt het niogelijk dat de verlichtingstnbiis loodrecht ten ojizichte van de waarneniings- richting geplaatst is. Onmiddelijk onder het prisma bevindt zich de opening van het lensenstelsel voor de visneele waarneming van het door de ophthal- 833 moscoopleiis gevoraide netvliesbeekl. Het genoemde lensenslelsel bestaat uit een objectiefje van 55 millimeter brandpuntsafstand en een HuYGENS-oculair, welke samen een soort van verrekijkerloupe vormen. De vergrooting kan nu 0|) eenvoudige wijze veranderd worden door het gebruik van andere oeulairen. Om de licliti'etlexen Oj) de oplitlialmoscooplens weg te maken is tusschen den condensor en de spleet een achromatisch kalkspaatjirisma aangebracht. Feitelijk ontstaan hierdoor twee naast elkaar liggende beelden van de gloeis[)iraal in het vlak van de spleet. Doch slechts één dier beelden, nl. dat gevormd door 1), //, (1 j> g j> — 1) en ƒ/„ (?/ O — J). We vidlen //i en ƒ/, elk op met een bundel van lijnen g — c en g.^ met een bundel \an lijnen hoofdpunten e\\, Vi\\ü\oog, \\\ a e\\ d h.oofdvlakken. Uit liet l)0\'enstaande volgt, dat de sterren A en B, benevens de velden k en j'?, uit dnyiiUere stralen der inrol utie [t, t') bestaan. Een straal b bepaalt met .1 een waaier (Ui) en daardoor tevens een quadratiselie involutie B in de regelsebaar (6‘)\ Zij nu in bet vlak ). een waaier (/) met lop L gegeven. Aan elk punt van wordt, door middel van /k op de kegelsnede ( F" A) een involntie bepaald. Door L gaat dns een straal /, die de doorgangen verbindt van twee stralen c, c' , welke met h een transversaal Ia bepalen. Wordt deze straal I toegewezen aan den straal l' , die b snijdt, dan ontstaat in (/) een i)rojectiviteit. Elke der beide dekstralen is dan een straal t' , die aan een straal tx is toegewezen. Hieruit volgt dat de qnadratisehe regelscbaren (k)k die aan de singuliere stralen tA zijn toegevoegd, een (luadratisclien stralencomplex vormen. Drie andere quadratische complexen \t' \‘' bebooren bij de ster IUj] en de stralenvelden [k] en De waaier (7’, t) bevat xan eiken dezer complexen twee stralen; in verband biermede dragen H,7>, f(en/i ieder twee stralen t' van bet regelvlak [t'Y , waarin (/) door de involntie [t, t') wordt omgezet. Hierdoor blijkt opnieuw, dat {t'Y dubbelpunten in A, B, dubbel- raakvlakken in a, d beeft. De straal A B snijdt twee bepaalde stralen c, c' , maar a//ö stralen a en b. Aan i^A B zijn dns toegewezen alle stralen der bilineaiie congruentie, welke c en c' tot ricbtlijnen beeft k- Analoog is f = « /? toegevoegd aan oo^ stralen t' . De involntie {t, t') bezit dns Uoee hoo fdstralen, A B en « /?. ^ 4. Ook de recbten der legelscbaar (y)’ zijn hoofdstralen, want een recbte y snijdt twee be[)aalde stralen a en h, maar alle stralen c ; elke transversaal t' van a en b rust op twee stralen c, is dns aan tzry y toegevoegd. De involntie {t, t') beeft nog andere singuliere stralen. Wanneer bet snijpunt S van twee stralen a en c gelegen is in bet vlak o door twee stralen b en c' , dan bestaat de waaier (>S, o) nir stralen s, die aan elkaar zijn toegewezen, dns uit singuliere stralen. Nu wordt een vlak o in twee punten S gesneden dooi' de kegelsnede (C, welke F met a gemeen beeft. Elk raakvlak van F bevat dns twee waaiers (s). In een willekeurig vlak liggen twee punten S, dns twee stralen .9; door een willekeurig punt gaan twee x lakken <7, dns vier stralen b De aan AB locge voegde congruentie [/'] behoort tot de door.snede der aan de sterren \tA] en [tu] toegewezen complexen. 845 s. Daar men een tweede stelsel van singuliere sli'alen vindt als men in de bovenstaande beselionwing a met b verwisselt, vormen de lonaiers van singuliere stralen tmee congruenties (4, 2). De toppen der waaiers (s) liggen op de kegelsneden en hun vlakken omlinllen de hyperboloïde r^. ^ 5. Om tot een andere involutie in de sti'alenrnimle Ie geraken, beschouw ik twee qnadratisehe regelscharen (c)’ en {df, gelegen op de lijperboloïden en Ak Elke twee stralen c, c' bepalen met elke twee stralen d, d' een paar transversalen t, t' , en deze vormen een paar van de bedoelde involutie. Ik ondei'stel nu, dat o[) n een involutie (e, c') is gegeven, die op eeuige wijs projectief overeenkomt met een 0|) gegeven involutie {d, d'). De transversaleji der paren d, d' vormen een liiieairen stralen- complex; immers in eeti vlak I bepalen de doorgangen D, D' dier paren een involutie op den doorgang van A’ en de dragers der punten[>areu D, D' vormen dus een waaier. Deze complex be\at twee rechten 1 van de tweede op gelegen regelschaar. Er zijn dus twee transversalen t van paren d, d' , die op alle rechten c rusten. Op een willekeurige rechte c lusten verder de beide trans- versale]) van de paren in (c)^ en {df, die door c zijn bepaald. Dus vormen de traiisvei’salen t, t' dei' paren c, c' en d, d' een regelvlak van den vierden graad. Blijkbaar bevat (ty ook twee stralen der regelschaar (d)’ van Ak § 6. Met de stralen t van een maaier {T,r) komt óiws een regelvlak [t'Y overeen, dat twee rechten y en twee rechten d bevat. Het snijdt de doorsnede van en A^ in ]2 punten, waai-van 8 op de zooeven genoemde vier i-echten liggen; de overige viei' dragen ieder een straal c en een straal (/, die t in twee met 7' collineair gelegen punten snijden. Dit kan als volgt worden bevestigd. Door elk punt van p'* gaat een rechte c en een rechte d. Hun doorgangen C en D op het vlak T bepalen op de doorgangen y'^ en rP van F’ en A’ twee punten- reeksen in verwantschap (2,2). Dus zijn de rechten TC en T D aan . elkaar toegevoegd in een verwantschap (4, 4) ; van de 8 dek- stralen gaan 4 naai' de snijpunten van y’ met d'-* ; de andere 4 snijden elk een paai' c, d, waarvan het snijpunt op p'* ligt, dus een straal t' draagt, die aan een straal t is toegewezen. Het regelvlak [t'y heeft met behalve de reeds genoemde twee rechten y, een ruimtekromme y'* gemeen. Deze snijdt t in 4 punten, die paarsgewijs met T (‘ollineair liggen 2). Hieruit blijkt, dat de dubbelstralen der involutie (t, t') een quadratischen complex vormen. 55 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. A”. 1918/19. 846 De enkelvoudige rirlitlijn van (/'')’ ligt in t, de dubbelrec'hte gaat door 7’. ^ 7. De redden der regelscharen (y)’ en (d)’ zijn blijkbaar 4) hoofdstralen van {t, t'). Aan elke dier redden is een hilineaire congruentie toegewezen, die twee redden c of twee i'edden d tot richtlijnen heeft. Daar elke redde c’ richtlijn is \'00r twee (1,1), gaan door elk \'an haar punten twee waaiers {t'). De congruenties (1,1) behoorende bij de hoofdstralen vormen dus Uoee quadratische complexen. Op analoge wijs als in ^ 4 vinden wij een congrueidie van singuliere stralen. Elk punt van de doorsnede p'' der hyperboloïden 7^’ en A’ is de top van een waaier [S, o) \’an aan elkaai’ toegewezen, dus singuliere, stralen s. Immers, het vlak o door de rechten y en d, wellce in S samenkomen, snijdt nog in een punt C \’an y, een pnid D van d en een punt E\ blijkbaar behoort C E tot (c)’, D E tot (f/)^ Elke straal van (.8, o) rust in S op twee redden c' , d' en snijdt de rechten c eez C E en d D E-, dus bestaat {S, o) uit aan elkaar toegevoegde stralen ,y der invobdie {t, t'). Daar de toppen der waaiers S op liggen, terwijl de vlakken <7 een oidwikkelbaar oppervlak der vierde klasse omhidlen, vormen de UHiaiers van singuliere stilden een congruentie (4, 4). § 8. Elke di'ie stralen c van een kubische regelschnar (c)’ be- palen met eiken straal van een waaier [a) twee transversalen, die een paar vormen van een involntie der stralenrnimte. Door de stralen van een waaier [t) worden de stralen van (c)' in een /’ gerangschikt, waarvan de groepen projectief aan de stralen (I zijn toegewezen. Eerst worde weer ondersteld, dat zulk een toe- voeging op een willekeurige wijs lof stand kond; de transversalen t, t' van de viertallen stralen vormen dan een nadei- te beschouwen regel vlak. Op de nodale kromme y’, volgens welke het regelvlak door het vlak a wordt gesneden, l)epalen de drietallen rechten c een /*. De kegelsneden, welke twee groepen dezer /' met het dubbelpunt D en een ander punt B van y’ verbinden, hebben nog twee buiten y’ gelegen punten B' , B" gemeen. De groepen der /" worden dus ingesneden door den kegelsnedeidDundel met basispunten 7), Z>, B' , B”. Alleen het lijnenpaar DB, B' B" levert eeji groep die uit drie colli- neaire |)uiden bestaat. Hieruit blijkt, dat het vlak u een rechte van het regelvlak (t) bevat; immers de rechte t B' B" rust niet alleen op een drietal stralen c, maar ook op den daaraan toegewezen stiaal u. Analoog gaat ook door A een rechte van (t). Daar elke straal 847 a nog dooi' twee transversalen t, t' wordt gesneden, is hef reyelvldk {t) van den vierden c/raad. De kromme (d, welke {t)* nog met a gemeen lieeft, zendt vier raaklijnen door A ; op (0^ liggen dns vier dndbelstralen der involutie {t, t'). Laat men t een waaier ( 7’, t) beschrijven, dan valt (t)* uiteen in (if) en een knbische regelscliaar {t'Y. Ook nii bevat a een der stralen t' ■, de doorgangen der overige rechten t' vormen een kegelsnede cd, die door A gaat en t op de dnbbelstralen ontmoet, welke tot den waaier beliooren. De did)hehtralen der involutie (/, t') vormen dns een qnadratiscken complex. § 9. Zij (Ie de straal van (.d, «), die door de enkelvoudige richtlijn e van (c)' wordt gesneden. Elke i'echte t' , die op Ue rust, is in {i, t') aan e toegevoegd. Met de rechte ^ komen dus overeen alle stralen van een specialen lineairen complex. Analoog is de dubbelrechte d van (c)' toegevoegd aan alle stralen van den specialen lineairen complex, die den 0|) d i'ustenden straal aj tot as heeft. Ook in deze involutie t') zijn de straten Ia door A singulier en ieder toegevoegd aan de stralen van een regelscliaar, welke di'ie rechten c tot richtlijnen heeft, en de rechten d en e zal bevatten. Analoog zijn de stralen 4, in het vlak «, singulier, en ieder toe- gevoegd aan de stialen van een regelscliaar, waartoe (/ en c beliooren. Beschouwen wij nu het stelsel der hyperboloïden [H] die ieder door drie rechten c zijn bepaald. De exemplaren, welke door een punt P gaan, rangschikken de rechten c in de groepen van een knbische involutie van den tweeden rang. De involuties /%, die aldus bij de punten P, P', P ' beliooren, hebben een groe|) gemeen ; derhalve vormen de hyperboloïden H een /ca’. De hyperboloïden, die bij de stralen Li beliooren, dus door A gaan, zijn dan tot een net vereenigd, waarvan alle exemplaren de rechten d, e en de transversaal L 0''er d, e gemeen hebben. Door een punt P gaan dus de exemplaren van een bundel, en deze hebben nog de transversaal door P over d, e gemeen ; de rechten t' door P, toe- gevoegd aan stralen der ster [4], vormen dns een waaier in het vlak [P td- ^ 10. Er zijn nog andere singuliere stralen. Elk vlak c door e bevat twee rechten c. In e ligt een waaier van stralen t, die tot top heeft het snijpunt E van e met den straal Ue; deze stralen zijn singulier, omdat zij in E op een derde rechte c rusten, dus alle met elkaar overeenkomen. 55* 848 De ster [/ij is dus sameiujesteld idt Oj' ivaaiers vmi singuliere str’. De lineaire com|dex, welke door vijf rechten c van r* wordt gelegd, bevat alle rechten c. De viei- stralen c, die op een rechte t rusten, ontmoeten tevens de rechte t' , die door dien complex aan t wordt toegevoegd. De involntie {t, t') bestaat dan nit de paren toegex’oegde richtlijnen van een lineairen complex ; haar dnbbelstralen zijn de stralen van dien complex. Een andere bekende involntie (i', wordt gevormd door de paren wederkeerige [loollijnen van een hyperboloïde. Haar dnbbelstralen vindt men in de beide regelscharen der hyperboloïde. Physiologie. — De Heer (4. van Rijnberk biedt eeiie inededeeling aan : ,, Kleinere bijl’s waarneming en de beteekenis welke hij daaraan toekent, kan bevestigen. De door mij bestudeerde slukkensoort kan niet achterumarts kruipen. Althans ik ben er nooit in geslaagd er een hiertoe te nopen. Brengt men aan het \ooreinde van het dier een pi'ikkel aan, welke het best door tei'ugdeinzen van het geheele dier ontweken kon worden, dan bepaalde de slak zich er toe den kop terug te trekken, het lichaam te krommen en zóó den prikkel te ontwijken. Terhitte ik den bodem waar de slak op kroop, dan lichte deze den kop en het voorste einde op, zwaaide dat heen en weer, kromde het lichaam sterk ter zijde en kroop weer verder in een richting loodrecht op die welke zij volgde vóór zij aan de heete plek was genaderd. In 853 geen enkel geval lieb ik ooit een aclitei-waarls kruipen kunnen bemerken. Deze onmogelijkheid om achteruit te kruipen moet wel samenhangen met het feit, dat de S|)iei‘werkingen der ki’ui|»golven op zich zelve geen verplaatsing van het dier verwekken, doch dit slechts kunnen, door een zuiver passief mechanische inrichting welke een glijden van de voetzool over den bodem in één richting (de vooi'- waai’tsche) bevorderen, in de andere (de achterwaai-tsche) belemmeren. De richting waarin de krnipgolven zich in den voet voortplanten is hiervoor onverschillig : bij tal van slakken loo[)en deze van voren naar achteren, terwijl de slak zich toch voorwaaids beweegt. Jinst dit feit, dat de richting waarin zich de krnipgolven \'Oortplanten van geen beteekenis is vooi’ de beweging van' slakken in voorwaartsche richting pleit dunkt mij voor de aanwezigheid van een passief mechanisch hulpmiddel, dat de richting der verplaatsing van het lichaam be|)aalt. Terloops mag hier nog even gewezen worden op het feit dat ik, afgezien van de kruiprichting, nooit achterwaarts gerichte golven in de voetzool zag. Blijkbaar kan in den slakkenvoet, even- min als in den darm van zoogdieren, antiperistnltiek vooi'komen. Een andere vraag betreft de wijze waarop de slakken aan hun ondergrond bevestigd zijn en hoe deze bevestiging ter plaatste der krnipgolven mogelijk verschilt van die in de tusschenruimten tusschen de golven. In het algemeen is het duidelijk, dat zij er in zekeren zin tegen aan kleven, door het slijm dat zij afscheiden. Voorts is echter tevens duidelijk, dat de luchtdruk er een groot aandeel aan heeft. Een slak hangt en krnipt zonder bezwaar aan den onderkant van een glazen plaat; men kan, door een huisjesslak bij de schelp te pakken, een betrekkelijk zwaar voorwerp, waarop zij zich bevindt, mede op tillen. De voet werkt dus als zuiger. Het is echter zeker, dat dit als-zuiger-werken bevorderd wordt door de wijze waarop de slak haar \oet op den ondergrond plaatst. Trekt men een stijf tegen een glasplaat aangezogen slak daarvan af, en drukt men haar dadelijk daarna er weer tegen aan, dan zuigt de voet zich volstrekt niet tegen den ondergrond vast. Dit geschiedt pas wanneer de slak zich actief daai-aan gehecht heeft, welk oogenblik geken- merkt is door het ontstaan der krnipgolven. Zoolang deze voortbe- staan bevindt zich de voetzool krachtig tegen den achtergrond aan- gezogen. Met de krnipgolven gaat dus samen een aanzuiging van de voetzool aan den ondergrond. Nu rijst hier echter de \'raag, of bij het voortkruipen, alle plaat- sen van den voet, even sterk tegen den ondergi'ond aandrukken of daarvan af getrokken zijn. En in hei bijzonder heeft men zich af- gevraagd, of de voet, o[) de plaatsen waar de golven er over heen 854 trekken, uitgeboelit of ingetrokken is. Is het eerste het geval, zooals BiiiüiiRMANN en V. ÜEXKÜLL nieeneii, dan zijn dus de tusschenrniinten tnssclien twee golven van den ondergrond afgetrokken en kunnen een zuigende werking ontvouwen. Is het laatste juist, (dat de voet ter plaatse der golven ingetrokken is) zooals Pakker meent, dan oefenen de golven zelve een zuigwerking uit. Ik heb hieromtrent twee waarnemingen gedaan. Wanneer een slak onder aan een, ongeveer waterpas gehouden, glasplaat hangt en men haar door het glas heen, van boven bekijkt, verschijnt de teekening der krnipgolven verschillend, al naar de invalsrichting van het licht. Houdt men de slak zóó, dat de kop naar het licht toegewend is, dan verschijnt vlak vóór (d.i. kopwaarts van) elke donkere golf. Fig. 2. Schema der voetgolven: u. bij van voren invallend licht, b. bij van achteren invallend licht. (Slechts drie golven zijn afgebeeld.) een smalle zoom welke niet alleen lichter is dan de golf, maar ook duidelijk lichter dan de tusschenruimten tusschen twee golven. Houdt men daarentegen de slak met het staarteind gewend naar het licht, dan verschijnen deze smalle lichte randjes achtei' (d.i. staaidwaarts van) de donkere golven. Hieruit blijkt, dat men de lichte tusschenruimten tusschen twee donkere golven, als dalletjes moet opvatten en de golven zelf als heuveltjes, waarvan, bij éénzijdige verlichting (lood- recht op hun verloop) de naar het licht gewende helling licht verschijnt. Het schema van tig. ‘2 verduidelijkt dit verschijnsel. 855 Een tweede waarneming betreft den druk waarmede de voelgol ven en de tnssclienrnimten zieli ondersrlieidelijk aan den ondei-grond hechten. Ik nam hiervoor een glasplaat welke in één inint doorboord was. Op het gaatje was een glazen buisje gekit, dat dicht bij de kitplaats haaksch omgebogen was en dus verliep in een \'lak ten naaste bij evenwijdig aan de glazen plaat. Plaatste men de glasplaat met het buisje naar boven, op drie |)OOtjes rustend op een z.g. nivelleerplaat, dan kan men het bnis^je ten naaste bij waterpas bren- gen. Men kon dan een er in gebrachten dni[)[)el van een lichte vloei- stof (bijv. alcohol) er onbeweeglijk in houden. Het stukje buis tnsscheu de uitmond ingsplaats in het gaatje van de glasplaat en den druppel, vormde dan een soort luchtmanometer en de licht beweeglijke drup- pel vormde naar ééne zijde de afsluiting ervan en diende tevens als index (Fig. 3). Liet men nu een slak van onderen tegen de glasplaat kig. 3. Toestelleije om de drukverschillen onder de voetzool, ontslaan . bij het voortkruipen, aan te kunnen toonen. kruipen, dan begon de druppel heen weer te schommelen zoodra en zoolang de voet van de slak over het gaatje schoof. Dit duurde zoolang ais de slak zich onder het gaatje kruipende bevond. Hieruit blijkt dus al vast duidelijk, dat tusschen het ondervlak van den voet en den ondergrond waarop een slak voortkruipt, de drukking plaatselijk en afwisselend verschilt. Met een loep of een kijker beschouwd, waren de schommelingen niet alleen gemakkelijk te tellen, doch gelukte het ook gemakkelijk enkele eigenaardigheden ervan vast te stellen. Wat het aantal schommelingen betreft kon ik zonder moeite vast- stellen, dat dit in tle eenheid van lijd gelijk was aan het aantal golven dat een ander waarnemer (Mej. L. Schut) tegelijkertijd onder 856 liet gaatje kon zien heen trekken. De voortschrijdende golven ver- wekken dns voortschrijdende plaatselijke drukverschillen tnsschen den ondergrond en het ondervlak van den voet. Er bleef nn nog over, vast te stellen, of de donkere golven dan wel de lichtere tnsschenrniinten beantwoorden aan de gebieden van plaatselijke drnkverlaging. De nanwkenihge l)eschon\ving der schom- melingen van den indexdrn[)pel, hebben hieromtrent het volgende geleerd. De door den druppel vertoonde bewegingen zijn regelmatig en i'hytmisch en bestaan achtereenvolgens in een snel zich iets in de richting van het gaatje af verwijderen, om onmiddellijk daarop wel weer in de richting naar het gaatje toe te naderen, om dan een oogenblik in rust te zijn. Daarna begint de zelfde cjclns van ;N (1905) lieschrexen, (Iooi-Parkku (1911) bevestigde verschijnsel, dat de huid, Ier [)laatse waai- de donkere golven er onder door trekken, stootsgewijze \oorwaarts schiet, terwijl zij zich in de tusschenrniinten niet of veel langzamer verplaatst. Het is echter duidelijk, dat men op deze wijze slechts het naar voren getrokken worden van elk meer naar achteren gelegen deel van' den voet, ten opzichte van elk meer naar voren gelegen deel kan verklaren, en datdns bijv. begrijpelijk wordt, hoe een langgerekte voet zich 0|) deze wijze verkorten kan, waai'bij het staarteinde het kopeind nadert. Dat echter dit kopeind en de gelieele voet zelfz-ich naar voren verplaatsen, kan men zóó niet verklaren. Daarvoor moet men de onderstelling te hulp roepen, tiat terwijl de krnipgolven door verkorting zich naar voren trekken, in de tusschenriiimten zich een proces afspeelt waardoor deze zich \'erlengen, en dus wat \óór hen ligt, naar voren stuwen, in de richting van den minsten weerstand. Deze verlenging kan geschieden door de samentrekking der dwars- spieren. Dat een slak inderdaad zijn lichaam zeer sterk kan uit- rekken, bemerkt men bijv. wanneer een slak, al kruipende aan den rand van een tafel is gekomen. Dan steekt zij den kop naar voren en zwaait dien heen en weer om een nieuw steunvlak te zoeken. Dat deel van het lichaam en den voet dat zich vlak achter den kop bevindt is dan smal en lang uitgestrekt als de hals van een giraffe, terwijl de rest van de voetzool nog aan het tafelblad vastgezogen zit. Ik stel mij nu voor, dat men het kruipen van een slak door het samengaan van voortschrijdende contractiegolven der langsspieren met parallel daarmede voortschi-ijdende contractiegolven der dwarsspieren kan verklaren. De eerste trekken zich zelf en wat achter hen ligt, aan wat vóór hen ligt naar voren. De tweede stuwen zich zelf en wat vóór hen ligt, aan w'at achter hen ligt, eveneens naar voren. Bo\'endien bewerken deze golven een plaatselijk zich iets van den bodem verheffen van de voetzool. Dat deze beide golfbewegingen het lichaam naar voren verplaatsen, wordt n)ogelijk gemaakt dooi- de door voN ükxküi.Tj ontdekte inrichting der voetzool, welke de verschuiving hiervan in voorwaartsche richting begunstigt. De voort- beweging wordt bovendien ongetwijfeld vergemakkelijkt door het feit, dat de voetzool slechts langs enkele smalle strooken aan het grondvlak raakt, waardoor de wrijving betrekkelijk gering moet zijn. Ik sluit mij dus geheel bij de opvatting \'an Carlson (1905) aan, welke de normale voortbeweging- der landslakken als in beginsel geheel gelijkwaardig beschouwt met de bijna sprongsgewijze ,, galop”, 858 in bijzondere omstandigheden vertoond door Helix dnpetitthouarsii. Hij diens , .galop” blijkt ontwijfelbaar, dat de voortbeweging geschiedt doordat de voet op de strooken welke den bodem raken, wordt voortgetrokken, terwijl hij in de laag van den bodem opgetrokken, breede tnsschenrnimten, actief gestrekt wordt door contractie der dwarsche spieren, waardoor het lichaam plaatselijk langer èn dunner wordt. Bij de noi-male voortbeweging vindt geheel hetzelfde plaats. Alleen worden de ndmten tnsschen twee verkortingsgolven der langsspieren niet zoovel' van het grondvlak opgetrokken en het lichaam daar niet zoo krachtig gestrekt. Vandaar dat de voortbeweging veel lang- zamer geschiedt en de voetzool schijnliaar nergens van den bodem af is. Dat zij ter plaatse dei' lichte Insscheni'iiimten, toch inderdaad iets van den bodem is afgetrokken, bewijzen de hierboven weerge- geven waarnemingen. LITERATUUR. 1. M. Lister. Excercitatio anutomica in qua de cochleïs, maxime terrestribus et limacihiis agitur. Londini. 1694-. [Vlès, lU. 18, haalt een langen en belangvvek- kenden passus aan waaruit blijkt, dal Lisïer het verband tusschen voetgolven (undulationem quara in coclilearum limacumque pede observare licet) en voortbe- weging duidelijk inzag Voorts, dal liij met doorsnijdingsproeven van den voet bewezen heeft, dat die golven niet bestaan uit, of voortgebracht worden door den omloop van een „geest” (spiritus) noch van een vloeistof (humor). Ten slotte, dat de voetzool slechts op enkele plaatsen aan den bodem raakt; deze plaatsen trekken die welke los van den grond zijn naar zich toe en daar de plaatsen die aan den bodem kleven door het slijm, en die welke er los van zijn, afwisselen, schuift het geheele dier als een getand rad vooruit en vervangt op die wijze het afwisselend zetten en heffen van voeten]. 2. Bergmann und Leuckart. Anatomisch 2)]iysiologische Uebersicht des Tier- reiclies. 1855. [Volgens Biedermann, n''. 12, geven deze schrijvers op blz. 380 van hun boek een uitmuntende beschrijving van het gebruik van den „voet” der slakken als bewegingsorgaan]. 3. H. SiMROTH. Die Tatigkeit der willkilrlichen Miiskulatur imserer Land,- sc/mec/ren. Zeitschr. f. wiss. Zoologie. 1878. Bd. 30. Supplement. S. 166. [Onderstelt, zooals hij schrijft, „inehr aus allgemeiner Betrachtung lebender Tiere, denn aus eingehender mikroskopischer Forschung” dat zich twee soorten spieren aan den slakkenvoet bevinden : contractiele die . in alle richtingen verloopen behalve in de langsrichting en extensiele „welche sich in der Tatigkeit nach vorn verlangern, in allen Solden die Langsrichtung einhalten, das Wellenspiel auf der Solde erzeugen und durch Dehnung und stetige Vei langerung des Körpers nach vorn, die Locomotion ganz allein hervorrufen”, De onderstelling van het bestaan van spieren, welker werking een actieve verlenging zijn zou, is door een halve eeuw van onderzoekingen over de algemeene eigenschappen van spierweefsel, onhoudbaar gebleken]. 4. H. SiMROTH. Die Bewegung unserer Landschnecken^ ha,uj)tsdchlich erörtert au der Bohle der Limax cinereoniger Wolf. Zschr. f. wiss. Zool. 1879. Bd. 859 32. H. 2. S. 284 — 422. | Langdradig betoog, om op grond van microscopiscli onderzoek het door hem in hel vorige stuk onderstelde bestaan van „extensiele” spieren in de voetzool van slakken te bewijzen]. 5. H. SiMROTH, Ueber die Beivegimg der Weichtiere. Zeitschrift f. d. ges. Naturwissenschaften. 1880. 6. L. Gar. Mechanismns der Locomotioii bei den Palmonaten. Biol. Gentral- blatt, 1897. Bd. 17, N'l 12, S. 426—438. [Nauwkeurige heschiijving der golven bij water (en land-)slakken. Een contractiegolf der langsspieren wordt voorafgegaan door een contractiegolf der dorsoventrale spieren. Deze laatste veroorzaakt een plaatselijk concaaf ópgetrokken worden v. d. voetzool, met gedeeltelijke strekkingj. 7. H. JoRDAN. Die Physiologie der Locomotion bei Aplysia Jimacma. Zeitschr. f. Biologie. 1901. Bd. 41. S. 196 — 238. [Zoekt de oorzaak der verlenging der verslapte (atonisch geworden) spieren en dus van bet zich strekken van het lichaam bij Aplysia, in de decompressie van huidblazen welke zich bij de ver- korting der spieren (door uitdrijving van het bloed uit de intramusculaire lacunen) vormen en daarbij onder spanning geraakt zijn]. 8. G. Bohn. Des ondes musculaires 7'es2)iratoires et locomotrices cJtez les A^inélides et les Mollusques. Buil. du Museé d’Hist. nat. a Paris. 1902. T. 8, n®. 2, p. 96 — 102. Goede détails over de golfbeweging bij Helix pomatia Geen beschouwing over het mechaniek der voortbeweging]. 9. K. Künkel. Znr Locomotion imserer NacktscJmecken. Zool. Anzeiger. 1906. Bd. 26. N". 703, S. 500—506. (Vindt, dat bij Arion en Ltmax, zelfs de kleinste stukjes voetzool zich onder beheersching van uit de plaatselijke zenuwvlechten, snel voort kunnen bewegen». 10. A. J. Carlson. The p)hysiology of locomotion in Gastropods. Biol. Buil. of the Mar. biol. Lab. Woods Holl. May 1905. Vd 8. N®. 2. p. 85 — 92. [In den text aangehaald]. 11. H. JoRDAN. The physiology of locomotion in firrtsO'oyjorfs. Biol. Buil. 1905. Vol. 9. N®. 2. p. 138 — 140. [Scherpe polemiek tegen CAELfSON, die Joedan’s inzichten niet juist weergegeven heeft. Gaelson’s opinie, dal de „galop” van Helix slechts een overdreven vorm van de normale voortbeweging is, en dat ook deze dus onder medewerking van de spieren van de dorsale en laterale lichaamswand tot stand komen is onjuist, want ook na wegname dezer spieren voert de voet bij Aplysia, normale kruipgolven uitj. 12/13. W. Biedermann. Studiën zur vergt. Physiologie der peristultischen Bewegimgeji. II. Die locomotorischen Wellen der Schneckensohle. Pflüger’s Archiv. f. d. ges. Physiol. 1905. Bd. 107. S 1—56 en IIP Die Innervatio7i der Schneckensohle. Ibidem. 1906. Bd. lil. S. 251 — 297. [Uitstekend uitvoerig onderzoek over de algemeene physiologie der werking der spieren in den slakkenvoet. Nauw- keurige beschrijving der kruipgolven en derzelver nerveuse coördinatie bij Helix van uit het Ganglion pedale, bij Arion en Limax van uit de plaalselijke zenuwvlechten]. 14. R. Dubois et E. Vlès. Locomotion des gastér op)odes. 0. R. de l’Acad. d. Sciences. Paris. 1907. T. 144. Ie Serie, N®. 11. p. 658 — 659. [Bewijzen, dat slakken (Eissurella neglecla Desh) zich voortbewegen kunnen nadat de gebeele huid van de voetzool is afgeschoren, en het dier bloedeloos is gemaakt. Noch trilharen noch bloedbeweging zijn dus voor de voortbeweging onontbeerlijk. Deze geschiedt door de spieren]. 15. 1’. Vlès. Sur les ondes pédieuses des molluscpies reptateiirs. C. R. Acad. Sc. Paris. 1907. T. 145. 2e Serie N®. 4. p. 276—278. [Vergelijkend onderzoek 860 der kruipgolven, beschrijving en indeeling. Naar de ricliting van haar voortplanting onderscheidt Vlès: ondes directes (verloopend van'achteren naar voren) en ondes rétrogades (verloopend in tegengestelden zin van de voortbeweging). Naar haar ligging in den voet onderscheidt Vlès fen tgpe monotaxique (dans Ie quel la sole est parcourue par un seul système d’ondes, «een type ditaxique (Le pied est parcouru par deux systèmes d’ondes, occupant chacune une des moitiés latérales du pied et alternant regulièrement des deux cotés de la ligne médiane qui n’est pas intéressée par les ondes) en een type tétrataxique (présentant 4 systèmes d’ondes.)] 16/17. K. Vlès. Quelqnes ohservaiions sur le brult tres spécial qu.e fjroduisent parfois les Helix en se dépla^gant sur la vitre d'une fénêtre — Bull-Société' Zool. de France. 1908. Vol. 33. p. 145. Sur les bruits émis par les Hélix pendant leur progression. — Ibidem 1909. Vol. 34. p. 251 — 254. [Het geluid wordt ver- oorzaakt door het tegen het glas strijken van den scherpen rand van de schelp, welke stootsgewijze, synchroon met de in- en uitademingsbewegingen wordt meegesleept. | 18. F. Vlès. Les notions de Martin Lister (1644) sur la loconiotion des Gas- téropodes. — Bull.-Soc. Zool. de France 1908. Vol. 34. p. 168—170. [Haalt o.a. den onder N". 1 weergegeven passus aan.| 19. A. Robert. Seconde note sur la, progression des g astér opodes. — Buil. Soc. Zool. de France — 1908. Vol. 33. (pag. 151 — 157). [Bij Chiton (Acantochites discrepans Brown) gaat de voortbeweging ongeveer zoo, dat: „une certaine région du pied quitte le substratum et que cette région se déplace d’avant en arrière sous forme d’onde concave de la sole pédieusé Cette région écartée du sol, correspond . . . . a une région dilatée et ce sont les parties contraclées qui sont fixées au substratum”. Ook hier dus, op overdreven wijze, wat bij alle slakken het kenmerkende der voortbew’eging is: afwisselende plaatsen van verkorting en strekking van de lichaamsas, met plaatselijke opheffing der zool van den bodem geheel zooals Carlson (N*^. 10) dat in 1905 al ingezien had.] 20. Olshausen. GeschU'indiykeiten in der organischen und anorganischen Welt. — Hamburg 1908. [De voortbewegingssnelheid van slakken gaat van 0,6 tot 3,3 m.M. per 1".] 21. JoussEAUME. Différents modes de locomotion chez les mollusques pul- mot^c's. .Buil. Soc. Zool. de France, 1909. Vol. 34. p. 109 — -115. [Nog al langdradig niet altijd duidelijk. Onderscheidt 3 soorten kruipgolven: 1. Ondulalions cacheés en progression normale (n.1. tegen de ruit van een aquarium) apparentes en natation (n.1. tegen de oppervlakte van den waterspiegel): Limneé. 2. Ondulations de la plante n’intéressant pas le bord marginal : Hélix. 3. Ondes transversales dans la zone médiane de la plante qui semble divisée en 3 bandes longitudinales : Limax.]. 22. J. VAN Uexküll. Umwelt und Innenwelt der Tiere. J. Springer. Berlin. 1909. [De in den text aangehaalde plaats op bl. 186]. 23. H. SiMROTH. Quelques remarques sur la locomotion des gastéropodes. Buil. Soc. Zool. de France. 1910. Vol. 35. p. 10 — 14. [Een vage verdediging van zijn oude opvatting tegen de theorie van Robert en Carlson], 24. G. H. Parker. The mechanism of locomotion in Gastropods. Q,o\\{nhu.\f\ons from the zool. Lab of the Mus. of Comp. Zool. at Harvard College. N*’. 220. The Journal of Morphology 1911, Vol. 22. N“. p. 155 — 170. [Aangehaald in den text. De hoofdzaak in Parker’s opvatting is, dat de kruipgolf een concave golf is; „an area of the foot that is lifted off the substrate . . . and thereby freed more or less from adhesion”. Dat een dergelijke golfreeks over de voetzool loopt is 8(>1 zeker: naar mijn meening echter beantwoorden de coniractiegolven der lapgs- spieren aan de convexe golven]. ■ 25. G. H. Parker. The locomotion of Chiton. Contr. zool. Lab. Mus. Conip. Zool. Harvard. N'h 246. — (1914 ?) [Een retrograde concave golf verloopt over den voet welke 6 cM lang is, in 20"— 30"; elke nieuwe golf begint aan het kop- einde te verschijnen, vóór de vorige van het staarteind verdwenen is. Ue zool is overal van den bodem gelicht, behalve ter plaatse van de golf; hier alleen schuift de voet naar voren : „On the free portion of the foot, that is., in the region of the wave, the substance of the foot is moved forward as much as 5 niM for each wave. This in the essential act in this type of locomotion and is characteristic apparently of al creeping gastropods”]. 26. R. Dubois Reymond. Bewegung der Schnecken. Winterstein’s Handb. d. vergl. Physiol. Jena j914, Bd. IM. Halfte 1 Teil 1. [Korte oppervlakkige compilatie. Schrijver wijdt zijn aandacht voornamelijk aan de theorie van Gar (n*^. 7) en noemt de belangrijke onderzoekingen van Garlson, Robert, Dubois, Vlès en Parker niet], 27. G. H. Parker. The pedal locomotion of the sea hare, Aplgsia californica. Gontr. Zool. Lab. Mus. Comp. Zool. Harvard. N^. 297. The Journal of exp. Zoology 1917. Vol. 24. N'k 1. p. 139 — 145. [Telkens 1 enkele retrograde concave golf schrijdt over den voet voort. Bij een exemplaar van 23 cM. lichaamslengte. 19 golven liepen in 2' over den voet. Het dier kwam, in dien tijd 124 cM. vooruit. Dus elke 6.3" verschijnt een golf en de slak schuift bij elke golf 6.5 cM vooruit. Op de plaats der concave golf is de slak smaller en strekt zij zich naar voren. Het is dus duidelijk, dat de concave golf niet samenvalt met een verkorting der langsspieren dus m. a. w. dat de concave golf niet de eigenlijke kruipgolf is; niet gelijkwaardig met de donkere golven van Helix]. Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII A". 1918/19. 56 Geologie. — De Heer A. Wichmann biedt een mededeeling aan: ,,Oi‘>er de vidkanen van. het eiland Tidore [Molukken)." Het fraaiste gezicht, dat men van nit den aanlegsteiger van de lioofd|)Iaats. Ternate heeft, is dat op den op IS'/, K.M. afstand op- rijzenden, ranken piek van Tidore, die als de meest regelmatig gevormde vulkaan dei' Moliikken Ie beschouwen is. Al aanstonds ontwaart men echter, dat hij iiiet geïsoleerd staat, maar dat een gedeelte zijner hellingen zich verschuilt acditer eenige kleinere bergen, die zich tot de noordkust \'an het eiland Tidore uitstiekken. Eene voortreffelijke voorstelling daarvan geeft de afbeelding in het werk der Siboga-expeditie, die hieronder (tig. 1) gereproduceerd is. Ook F. H. H, Guillemard heeft eene duidelijke teekening vervaardigd Geheel anders is het gezicht op den vulkaan, dat zich voordoet, Fig. 1. Het eiland Tidore, van N,-W. gezien. wanneer men het eiland van de Zuid komend nadei't. Het uitzicht op den geleidelijk van af het strand oprijzenden berg wordt door geenerlei andere bei’gvormingen belemmerd ®) en evenmin is dit \'an b Max Webkb. Inlroduction et description de 1’expédition : Siboga-Expeditie 1. Leiden 1902. bldz. 63. ’) The Cruise of the Marchesa to Kaïnschatka and New-Guinea. 2. London 1886. blz. 228. De afbeelding van K. Martin (Reisen in den Molukken. Geolog. Theil. Leiden 1903, blz. 59) is minder juist. *) Het berust derhalve op eene vergissing, wanneer A. R. Wallage van ge- hakkelde heuvels ten Zuiden van den piek spreekt (The Malay Archipelago 2. 868 uit de westkust liet geval. Vau uit de oostzijde daarenlegeu verkrijgt uien een goed overzicht van de aan den piek in N.N.0. zich aan- sluitende bergen en R. I). M. Verbeek heeft getracht in een profiel (tig. 2) een voorstelling van hun ondei-ling verband te geven. ') Zooals men ziet, \'olgt op den piek (4) — door de inlanders Kiè Matoeboe genaamd — een 903 M. hooge berg (3), waaraan zich een ander (2) van 661 M. hoogte aansluit. Het besluit vormt in het Fig. 2. Het eiland Tidore, van O. gezien. Noorden een van 2 toppen voorziene kegel (1), waarvan een top in het Zuiden 665 M. boven zee gelegen is. Verbeek heeft den genoem- den kegel als een ingestorten vulkaan beschouwd en daarbij getracht een voorstelling van diens oorspronkelijke gedaante te geven. In de groote behoefte aan eene topographische kaart van het eiland Tidore werd kort geleden door een inlandschen opnemer in opdracht van de Topographische Inrichting te Batavia voorzien ^). Zijn 2. bondon 1869, blz. 24. — A. R. Wallage— P. J. Veth. Insulinde 2. Amsterdam. 1871, blz 30). Reeds P. Bleeker schreef (Reis door de Minahassa en den Molukscben Archipel 1. Batavia 1856, blz. 212): „De zuidelijke helft wordt gevormd door den piek van „Tidore, een regelmatige kegel, welks voet geheel de zuidelijke helft van het eiland „beslaat. De noordelijke helft daarentegen bestaat uit een bergachtig land, woest „dooreengeworpen, maar blijkbaar toch van vulkanischen aard en slechts een „verbindingslid, een schakel van de vulkanische keten, welke Halmaheira ten „westen omringt”. Wat de laatste opmerking betreft, het valt nauwelijks te be- twijfelen, dat de reeks vulkanen van de Molukken in de eerste plaats hare voort- zetting vindt van af den vulkaan van Maftoetoe naar het eiland Maitara en van daar weder in noordelijke richting, nl. naar de eilanden Ternate en Hiri. Eerst daarna verplaatst zij zich in oostelijke richting naar Hahnahera. Niet uitgesloten is het overigens, dat van den vulkaan van Maftoetoe af eveneens eene voortzetting naar Halmahera plaats vindt en wel in een noordoostelijke richting naar de baai van Dodingah, die volgens R. D. M. Verbeek (Molukken- Verslag. Jaarboek van het Mijnw. Ned. O. I. 37. Wetensch. ged. Batavia 1908, blz. 162) een oude ingestorte vulkaan met een straal van minstens 5 K.M. voorstelt. Ook aan de overkant der baai, in de baai van Bobane, die een inham van de Kau baai vormt, vindt men volgens E. Gogarten (Geologie van Noord-Halmahera. Verhandel. Geolog. Mijnbouwk. Genootsch. 2. ’s Gravenhage 1918, blz. 269) andesiet- brecciën en grofkorrelige tuffen, waarin witte puimsteenbrokken. ') Molukken- Verslag. Jaarboek v. h. Mijnwezen in N. O. I. 37 Wet. ged. Batavia 1908, blz. 144—146; Bijl. V. fig. 127. 2) Schetskaart van de eilanden Tidore en Maitara 1 : 20000. Batavia 1916 Topogr. Inrichting. 56* 8(U schetskaart geeft een voortreffelijk beeld van de tidorsche bei-gvor- niingen, dal ons tevens in staat stelt na te gaan in hoeveri'e de door ViCRBKEK gegeven voorstelling jnist is. De Kiè Matoeboe — de eigenlijke piek - werd voor het eerst O]) den 29 Augustus 182J door (1. G. C. Rkinwardt ') van nit de aan de zuidoostzijde gelegen hoofdplaals Soa Sioe beklommen. Daarbij bleek, dat de kraterrand aan de NW-zijde doorbroken was. De hoogte van den westelijken i-and werd op 5598 feet (5435 rh.vt.) bepaald. In den geheel begroeiden krater werden geen versche blijken van vulkanische werkzaamheid waargenomen. Rkinwakot beschouwde het hoofdgesteenie van den berg, alsmede van het geheele eiland, als bazall. Aangaande de beklimming van den vroegtijdig — in J843 — ovei'leden E. A. Forsten (J84J) is niets naders bekend geworden dan dat hij de hoogte van den berg op 5376 rh. vt. bepaalde -). Sedert dien tijd is de vulkaan, behalve door den inlandschen opnemer in 1915, slechts door den kapitein der infanterie G. J. J. de Jongh op den 9 September 1903 met eene patrouille van 19 fuseliers be- klomme]! en wel van uit de zuidzijde. Uit de aanteekeinngen, die deze zoo vriendelijk was mij te zenden, kon men opmaken, dat de top sedert het bezoek van Reinwardt geen wezenlijke veranderingen ondergaan had. De krater had eene wijdte ongeveer overeenkomende met die van den piek van Ternale, maar de wanden wai-en veel minder steil en geheel ttegroeid. De bepaling der hoogte van den piek geschiedde verder alleen nog van uit zee, met uitzondering van die in liet jaar 1915. Men verkrijgt van die be[>alingen het volgende overzicht: C. G. C. Reinwardt 1821 1702 M. E. A. Forsten 1841 ....... 1687,26 ,, Challenger-expeditie 1874 1798,3 ,, ’) Siboga-expeditie 1899 , 1754 R. D. M. Verbeek 1899 . . . 1717 en 1724 „ ^) Inlandsche opnemer 1915 1730 ,, Deze laatste bepaling zal de waarheid wel het meest nabij komen. b Reis naar het oostelijk gedeelte van den Indischen Archipel in het jaar 1821. Amsterdam 1858, blz. -497 — 501. P. Melvill van Gahnbeé, Over de hoogte der bergen van den Oost-Indischen Archipel. Tijdschr. voor Neêrl. Indië 1844. 1. blz. 545. b Report on the Scientific Results of the Voyage of H. M. S. Ghallenger. Narralive 1. 2. bondon 1885, blz. 594. ■‘) T. a. p. blz. 61. b T. a. p. blz. 149. 8H5 Zooals Reinwarut tereclit heeft kunnen opmerken, zijn uitharylin- gen in liistorisflien tijd niet waarschijnlijk. Weliswaar wordt op de eerste bekende afbeelding van den berg in het werk van .). Th. en J. J. DE Rry een rookwolk boven den top gevonden, maar in den tekst wordt aangaande eeinge werkzaamheid van den vulkaan niets vermeld ^). Evenmin heeft in 1608 (einde .luid of begin .lub) de eruptie plaats gehad, die door .1. Mehcialir en K. Schneider ’) o[)nieuw genoemd werd, niettegenstaande niet lang te voren er nog eens op gewezen werd ^), dat het bericht op eene vergissing berustte. De toedracht der zaak is de \olgende: In de oorspronkelijke uitgave van het werk \'an A. Er. Prevost wordt gezegd, dat tijdens de tweede reis van Paulus van Caerüen de bedoelde uitbarsting waar- genomen werd. In diens reisverhaal wordt echter vermeld, dat de in den laten avond (tijdens de eerste wacht) van den 18'^*"' Juli 1608 w^erkzame vulkaan de fiiek van Ternate geweest was"). Het heeft niet mogen baten, dat reeds in de Haagsche uitgave van het werk van Prevost diens bericht gerectificeei'd werd met de woorden : ,,Dans 1’édition de Paris, il y a Tidor, ce qui est nne faute” '), want Alexis Perrey had het onjuiste bericht uit de eerste editie overge- nomen en daarnaast ook het juiste bericht aangaande de eruptie van Ternate geplaatst *). Uit diens aanteekeningen zijn beide in de bovengenoemde werken van Mercalli en Schneider overgegaan. Hevige aardschokken werden op 14 Juli 18.55 op Ternate en Tidore waargenomen. Op het laatstgenoemde eiland stortten 25 huizen in, waarbij 24 personen het leven verloren. Bovendien werden 4 door afstortende rotsblokken van den heuvel Dojado ") gedood ^"). b Indiae orientalis 8. Francofmti 1607, biz. 23, tab. XIII, XVIII. ®) I vulcani attivi della terra. Milano 1907. blz. 310. b Die vulkanischen Ersclieimmgen der Erde. Berlin 1911, blz. 242. b A. WiCHMANN. Der Wawaïii auf Amboina und seine angeblichen Ausbrüche. Tijdschr. Nederl. Aardr. Gen. (2) 16. 1899, blz. 16. Histoire générale des Voyages 8. Paris 1750, blz. 385. ®) Loffelijcke Voyagie op Oost-Indien. Begin ende Voortgang van de Vereenigde Geoctroyeerde Oost Indische Compagnie 2. Amsterdam 1646, N'’. 14, blz. 47. — E. Valentun. Oud en Nieuw Oost Indien 1. 2. Dordrecht — Amsterdam 1724, blz. 5. d Histoire générale des Voyages 10. La Haye 1753, blz. 385. b Documents sur les tremblements de lerre et les pliénomènes volcaniques aux Molluques. Ann. Soc. d’Emulation des Vosges 10. 2. 1859 Epinal 1860, blz. 162— 163. 'h De heuvel Dojado is gelegen aan den zuidoostvoet van den vulkaan van Maftoetoe ongeveer 1,6 K.M. bezuiden Akè Sahoe. . ’O) Aardbevingen in den Indischen Archipel. Naluurk. Tijdschr. Ned. Ind. 9. Batavia 1855, blz._ 519. — P. van der Crab (De Moluksche Eilanden. Batavia 1862, blz. 290) verhaHll, dal het 32 personen waren, die door de afvallende 866 Daarna werd in 1856 bericlit: „Men meende echter verschijnselen opgenierkt te hebben, die te kennen gaven, dat ook hij [n.1. de piek] in een niet ver verwijderd tijdstip zon ontbranden” ^). Waarin deze verschijnselen hebben bestaan, werd niet vermeld; in ieder geval is de verwachte ontbranding nitgebleven. Eene bergstorting, die in Juni 1857 plaats had gevonden aan den voet van den piek, 7 K.M. benoorden de hootdplaats Soa Sioe ’), staat evenmin als de slijkstroom van 6 September 1866, die zijn oorsprong had aan de helling van den piek, boven de kampoeng Toegoriha, in eenig verband met vulkanische werkzaamheid, want, zooals door F. S. A. de Ceercq werd medegedeeld, werd de laatste veroorzaakt door eene aardschniving, die een gevolg was van hevige regens *). Wat verder betreft de mededeeling in het Aardrijkskundig en Statistiek Woordenboek van Nederlandsch Oost-Jjidië, volgens hetwelk de krater vari tijd tot tijd rookende gevonden wo)'dt ^), F. S. A. de Ceercq heeft er reeds op gewezen, dat die opmerking onjuist is ®). De piek met zijn breede basis heeft beslag gelegd op de geheele zuidelijke helft van het eiland, men zon haast kunnen zeggen op Va der oppervlakte, ware het niet, dat zijn regelmatige gedaante aan de noordoosthelling een belangrijke wijziging had ondergaan, door- dien door latere erupties drie samen liangende kegels zich hebben gevormd, waarvan de het meest naar het oosten gelegene 820 M. hooge Kiè Kitji V genoemd wordt. Dit is het door Verbeek vermelde eruptiepnnt 3, met een hoogtecijfer van 903 M. V- Achter den genoemden berg en westelijk daarvan verheft zich een top zonder naam en zonder vermelding van hoogte, die echter naar de hoogtekrommen te oordeelen 870 M. hoog geacht moet steenen hunnen dood hadden gevonden. Ten onrechte meent F. S. A. de Glercq (Bijdragen tot de kennis der residente Ternate. Leiden 1890, blz. 69, aant. 1), dat die gebeurtenis op den 6 September 1866 plaats had. Het werk van van der Grab was reeds in 1862 verschenen. b Fragment uit een reisverhaal. Tijdschr. v. Ned. Indië 1856. 1, blz. 425. J. H. Tobias. Aardstorting op Tidore. Natuurk. Tijdschr. Ned. Indië 15. Batavia 1858, blz. 352-358. 8) T. a. p. blz. 68—69. b 3. Amsterdam 1869, blz. 956. “I Bijdragen tot de kennis der residentie Ternate. Leiden 1890, blz. 68, aanteek. 4. 8) Deze en de Kiè Matoeboe zijn de eenigen, die de Tidorezen de benaming van „berg” (Kiè) waardig keuren; de overigen zijn in ban oogen slechts „boekoe” (heuvels). Zoolang men niet weet langs welken weg de opnemer de hoogte bepaald heeft, kan men niet zeggen aan welk cijfer eene grootere waarde toegekend mag worden. worden. Recht ten N. daarvan ligt de 8d0 iM. Iiooge Roekoe Taga- foera, die blij'khaar — evenals de vorige — \'an uit zee zichtbaar zal zijn. Van alle di-ie tO|)[)en gaan die|)e ravijnen benedenwaarts en het lijdt geen twijfel of deze vormingen moeten als pai'asitische kegels beschouwd worden. Aan den Roekoe Tagafoera sluiten zich aan twee. slechts 400 M. van elkander verwijderd liggende to|)i)en, waarvan aan de Roekoe Goelili eene hoogte van 485 M. en aan de Roekoe Foeloeloe eene hoogte van 500 M. werd toegekend. Samen t)eantwoorden beiden aan het ernptiepnnt 2 van Vkrbeuk met een hoogtecijfer van 600 M. Ten opzichte van Vkrbkek’s vierde ernptiepnnt, dat wij bij gebrek aan een afzonderlijken naam den \'nlkaan van Maftoetoe zullen noemen, heeft de kaart een veri-assing gebracht. In tig. 3 vindt men het daarop betrekking hebbende gedeelte 0|) vei'kleinde schaal gerepro- Fig. 3. De vulkaan van Maftoetoe. dnceerd. Zooals men onmiddellijk kan zien, is hetgeen Verbeek bij intuitie vermoedde, gebleken juist te zijn. Voor hem waren slechts zichtbaar de verhoogingen van den oostelijken ki-aterrand, n.l. de Boeloe Pandanga (570 M.), de Roeloe Mafoe Moeroe (560 M.) en de 868 Tasoeina Maboeloe (500 M.). De hoogste toppen, die van nit zee in de nabijheid der oostkust niet zichtbaar zijn, verhetfeji zicli wel boven den westrand. Het zijn de toppen Boekoe Kabahoso, waarvan de eene, meer naar het zuiden gelegen, een hoogte heeft van 680 M. de andere daarentegen slechts 570 M. hoog is. Op den 325 M. boven zee gelegen bodem der instortingscaldera verheft zich de 570 M. hooge Boeloe Maitara, benevens twee andei-e lagere kegels. De kleine (oostelijke) helft van den krater- bodem is vlak en ten deele moerassig. De caldera .is niet geheel cirkelrond, hare middellijn is in O.-W. 2.8 K.M., in N.-Z. 1.8 K.M. Hare die|)te bedraagt 150 M., terwijl de kraterrand gemiddeld 535 M. hoog is. Uit de ligging van den top van de Boeloe Maitara blijkt, dat het ernptiecentrnm zich ± 50 M. in westelijke richting ver- plaatst heeft. Als laatste niting van vulkanische werkzaamheid van dezen kraterbei'g wordt aan den oostvoet en wel nabij de kampong Akè Sahoe, vlak aan het strand, eene warme bron gevonden, die volgens C. G. C. Reinwardt eene temperatuur van 90° F. (32° C.) heeft. ") Zij werd eveneens door H. A. Bernstkin ’) en H. von Rosenbehg bezocht. ") Van R. D. M. Verbeek is de waarneming, dat zij uit andesiet ojitspringt. ') Aan den noordvoet, aan het strand nabij de kampoeng Maftoetoe zag ik den September J903 onder den geelachtig bruinen tuf en beneden liet zeeniveau eenige koude bronnen te voorschijn komen. Boven de noord westzijde van den buitensten kraterrand verheft zich de 610 M. hooge Kota Moem, die oogenschijnlijk het door Verbeek bedoelde eruptiepunt is, “) dat hij als noordrand van den grooten ki'atermuui' beschouwde. Blijkbaar is het deze, die. de lava- stroomen geleverd heeft, die aan het westelijk gedeelte der noordkust van Tidore ontbloot zijn. Verder in noordwestelijke richting volgt op de Kota Moem de 540 M. hooge Tarobo Maboeloe en de 320 M. hooge Boeloe Gamliir. De volgorde der eruptiepunten zal 4, 3, 1 en 2 zijn, terwijl niet uitgemaakt kan worden of 3 ouder is dan.1. ') Niet te verwarren met den vulkaan van het eiland Maitara, die 5.6 K.iM. ten Westen van de Boeloe Maitara gelegen is. *) T. a p blz. 496. Mededeelingen nopens reizen in den Indisclien Archipel. Tijdschr. voor Ind. T. L. en V. 17. Batavia 1869, hlz. 79. •h Reistochten naar de Geelvinkhaai. ’s-Gravenhage 1875, hlz. 11.' — Der Malayische Archipel. Leipzig 1878, blz 403. •) T. a. p. blz. 146. T. a. p. Bijlage V, tig. 128. 869 Aangaande de gesteenten valt nog op te merken, dat Rkinwaudt het onverweerde materiaal van den piek en van het geheele eiland als bazalt beschouwde. ') Door J. W. Rktgeks werd een stuk af- komstig van een obsidiaanachtigen lavastroom bij de hoofd plaats Soa Sioe als hyperstheenandesiet gedetermineerd. ‘^) Een ander stuk van een onbekende vindplaats bleek een |)yroxeenandesiet te zijn. Dok de lavastroom aan den zuidoostvoet nabij kampoeng Seli behoort, volgens Vkrbeek, eveneens daartoe. ’) Aangaande het petrographisch karakter der tusschen den piek en den vulkaan van Mafloetoe gelegen vulkanen is niets bekend. Daarentegen vond Verbeek l)ij Aké Sahoe, aan den oost voet van den bovengenoemden berg, het volgend profiel; Beneden IV2 M. andesiet, daarop volgend D/, tnf en verder 7^ gele tuf, waarboven 6 a 7 M. puimsteentuf. ') De boven reeds genoemde, horizontaal gelaagde, geelachtig bruine tuf nabij de kampoeng Maftoetoe bleek een andesiettuf te zijn, die gemakkelijk fijn gewreven kan woi'den. De talrijke gesteentefrag- menten, die er in opgesloten liggen, hebben doorgaans slechts de grootte van zandkorrels, waarbij slechts enkelen een middellijn \an 7, c.M. bereiken. Onder het mikroskoo[) blijken de fragmenten tot verschillende variëteiten van andesieten te behooren en wel meestal tot de py- roseen-andesieten. Sommigen bevatten echter bnrkevietische amphi- bool. De grondmassa dezer gesteenten is felsiet- of glasachtig en bevat in het laatste geval tevens talrijke augietmikroliethen. De veld- spaten — meestal plagioklasen — zijn doorgaans nog volkomen versch en glashelder. Het cement bestaat uitbeen zeer fijngewreven en sterk ontleed gesteentepuin, dat vermengd is met talrijke bruin- achtig gele stofdeeltjes van ijzerhydroxyde, die aan hel gesteente de eigenaardige kleur verleenen. Buitendien bevat het cement talidjke splintertjes van veldspaten en augieten, benevens korreltjes van zwart ijzererts. Uit het bovenstaande blijkt, dat deze tuf geen vast gewor- den vulkanische asch kan zijn, maar beschouwd moet worden als een samenslibbingsproduct van ontleed vulkanisch materiaal. "Verder oostelijk, nabij kampoeng Sekèta vond ik vaste andesiet, evenals die, waaruit de op d*e kampoeng Tjobo volgende kaap bestaat, terwijl men in de kleine bocht nabij de genoemde kampoeng weder andesiettuf ontsloten vindt. Verder is nog te vermelden, dat aan b T. a. p. blz. Mikroskopisch onderzoek van gesteenten uit Nederl. Oost-lndië. Jaarboek van het Mijnwezen in N. O. 1. 24. Wet. gedeelte. Amsterdam 1895, blz. 120. ^'1 T. a. p. blz. 251. 9 T. a. p. Bijlage V, fig. 129. 870 de iioordwesizijde van het eiland, nabij Tandjoeng Roem lioorn- blende- angiet- en angietandesiet gevonden wordt. Ten slotte moge nog medegedeeld worden, dat toen J. H. Croookewit in 1858 achter de Humboldt-baai op Nienw-Gninea een stnk glim- merschist opraapte, dit den daarbij tegenwoordigen tidoorschen Prins Amik de opmerking ontlokte, ,,dat het op Tidore gansch niet zeldzaam voorkomt.” Het eenige, dat echter uit dit gezegde afgeleid kan worden, is wel, dat in de gesteenten van dat eiland een of ander glinsterend mineraal niet zeldzaam is. ') A. WicHMANN. Nova Guinea 4. Leiden 1917, blz. 45. 2) Oppervlakkige geognostisclie schets der bezochte punten op de zuid , west- en noord-kuslen van Nieuw-Guinea. Bijdr. t. de T. L. en Vk. (2) 5. Amsterdam 1862, blz. 140. Physiologie. — De Heer Zwaardemakkr biedt een inededeeling aan van de Heeren F. Roels en L. Moi,i, : „Over den index loquelae”. (Mede aangeboden door den Heer Winkler). Het begrip index vocalis is door Gradenigo’) ingevoerd. Hij verstaat er onder de qnantitatieve beti'ekking, die er tnssclien tlnister- spraak van gemiddelde sterkte en gewone conversatiespraak bestaat. Practiscli wordt deze betrekking het best be|)aald met behulp der uiterste afstandeti, waarop in beide gevallen wordt verstaan. Volgens Gradenigo bedraagt de gemiddelde index voor vocalen : 7? of Vs V ; bij Wolf’), Zwaardemaker 7 en Reuter ’) wisselt de gemiddelde index van ^ 5 tot Voor twintig éénlettergrepige, aeqniintense, isozonale proefwoorden kwamen Zvvaarde.maker — Quix ") en Reuter 7 tot een index van Vis- Zwaardemaker heeft, met het oog op de bezwaren, die men l)ij het bepalen der relatieve sterkte van fluisterspraak en conversatie- spraak ontmoet — het is zoo moeilijk aan te geven, wat men nn juist onder fluisterspraak en conversatiespraak verstaat — de methode van geluidmeting door middel van het Rajleighsche spiegeltje te hnlp geroepen®)- Het bleek, dat de normale gemiddelde index vocalis reservelucht-flnisterspraak , , , , 7 de normale gemiddelde index vocalis conversatiespraak 1) Gradenigo. Gommunication au congrès internat, d’otologie. Budapest 1909. Gradenigo et Stefanni. Sur Facoumétrie. Propositions et études. Archives internat, de laryngolie, d’otologie et de rhinologie, 1911. 2) Zwaardemaker. Over den index vocalis bij keuringen en bij de studie der ziektebeelden. (Handelingen van het XlVe. Ned. Nat.- en Gen. Congres te Delft 1913), blz. 370. *) Wolf. Spraclie und Ohr. 1870. Frankfurt. -‘) Zwaardemaker Ibid. 5) Reuter. Zeitschr. f. Ohrenlieilkunde. Bd. 47, blz. 91 ; Onderzoekingen Pbysiol. Lab. Utrecht (5) dl. 5. blz. 239. ®) Zwaardemaker. Over geluidmeting. Zittingsverslag dezer Academie van 23 April 1915. Dl. XXllI. blz. 1405. 7) Reuter. Onderzoekingen Pbysiol. Lab. Utrecht (5) dl. 5. blz. 249. Zwaardemaker en Quix. De studie van het spraakgelioor. Onderzoekingen Physiol. Lab. Utrecht (5) dl. 5. blz. 1. 872 tooiieelHiiistereii ^ , , , , , 7 bedraagt. Aan de liand dezer heide indices is conversatiespraak het inogelijk de voor vocalen en \yoorden verkregen flnistervvaardeii in conversatie-waarden om te zetten. In de praktijk bedient men zich bij liet onderzoek der gehoor- scher|)te van afzonderlijke woorden uit isozonale en aeqiiiintense klanken samengesteld, die o.a. het voordeel bieden, dat zij, juist omdat de componenten van het woord alle even sterk gehoord worden, het raden tot een minimum beperken en het onderzoek van een liepaald gebied der toonladder geniakkelijk maken. Het is echter de vraag — waarschijnlijk is het niet — of de hoorafstand voor getlnisterde zinnen zich even ver als die voor woorden en vocalen nitstrekt. Zwaardemakkr meent, op grond \'an verschillende ervaringen, te mogen veronderstellen, dat de afstand, waarop gefluisterde zinnen in besloten ruimten worden verstaan, al naar gelang de keus der gebezigde woorden van 1 tot 3 M bedraagt’)- Hij noemt de ver- houding tnsschen dezen gemiddelden afstand en dien, waaro[) ge- fluisterde woorden worden waargenomen: index loquelae. Het onderzoek, waarvan wij in deze mededeeling een voorloopig verslag iiittirengen, had oorspronkelijk een loutere bepaling van den index loquelae ten doel. De combinatie der flnistermethode met die der systematische of experirnenteele introspectie deed ons echter een aantal gegevens aan de hand, welke voor de psychologie van het verstaan van gewicht mogen worden geacht. Wij benutten deze hier slechts inzoovei-re zij op de bepaling van den index loquelae, die het eigenlijk voorwerp dezer mededeeling nitmaakt, hun invloed doen gelden. Het materiaal, waarvan wij bij ons onderzoek gebruik maakten, bestond uit betrekkelijk eenvoudige zinnen. De kortste waren nit 3, de langste nit 14 lettergrepen gevormd. De zinnen waren voor het meerendeel in de aantoonende, een enkele maal in de toevoegende of bevelende wijs gesteld. Hoewel de tegenwoordige tijd het sterkst vertegenwooi'digd was, hebben wij ons toch dikwijls van verleden en toekomstigen tijd bediend. Slechts bij uitzondering kwamen ont- kennende zinnen voor. Hij de keuze van het proefmateriaal droegen wij zorg een niet te gering aantal symmetrisch gebouwde zinnen ter beschikking te hebben. Wij verstaan daaronder zinnen, welke vóór en achtei- de nit één of een even aantal lettergrepen bestaande b ZwAARDEMAKEK. Uebei’ tlie Anwenduug von Sig. Exners Akustik von Hörsalen auf die Tlieorie der iiiedizinisclien Hörapparale. Wiener Mediziiiische Wochenschrift. Nr. 14, 1916. 873 copiila, een gelijk aantal lettergi’epen bezitten of wel, hetzij door een woord, hetzij door passend aangehraehle inter|)nnclie, in twee, wat het aantal lettei'grepen betreft, gelijke deelen worden verdeeld (b.v. beter dnnr dan niet te koop; hoe hooger berg, hoe dieper valg Zinnen, waarbij dit niet het geval was, noemen wij asyinmelriseh. Onderwerp, gezegde, voorwerp kwamen in de meeste zinnen en wel in deze volgorde voor; zinnen, waarin een dezei' zinsdeelen ontbi-eekt of het werkwoord zich tengevolge der gel)ezigde eonstrnclie splitst, bestempelen wij met den naam van onregelmatig gevormde zinnen. Spreekwoorden en spreekwoordelijke gezegden werden slechts bij nitzondering gebezigd ; een enkelen keer kreeg de proefpei'soon een Fransehen of Latijnschen zin te hooren. In het geheel hebben wij 328 proeven op 4 pei’sonen (R., M., D. en A.) verricht. Tabel 1 geeft een ovei’zicht van het proefmaleriaal met betrekking tot het aantal lettei’gi-epen, sytïimetrie en asymmeti’ie, regelmatige en onregelmatige vorming enz. der gebezigde zinnen. 0[)merking ver- dient, dat sommige proefzinnen in twee der drie laatste kolommen zijn ondergebracht; een spreekwoord als ,,hoe hooger berg, lioe dieper val” werd zoowel bij de samenstelling van de kolom der spreekwoorden als bij die der symmetrische zinnen in rekening gebracht. De aanbieding van het materiaal geschiedde door middel \'an de tlnisterspraak met reserve-lncht. De proefpersoon zat met het rechter- oor tot Inisteren gereed, loodrecht op een lijn gaande door dit oor en den mond van den experimentator. De maximale afstand bedroeg 5 M.; bleef de proefpersoon in gebreke voor dien afstand het gespro- kene nauwkeurig na te zeggen, dan werd de afstand telkens met 1 M. verminderd, totdat het gesprokene juist wei’d geproduceerd. Beneden de 2 M. bedroeg de vermindering telkens slechts M. Een zorgvnldige introspectie, waarbij de proefpersoon nauwkeurig aangaf, wat hij in werkelijkheid had gehoord, volgde na elk onder- deel der proef. In elke zitting werden, om vermoeienis te voorko- men, ten hoogste 12 proeven genomen. Alle zijn verricht in de druk gemeubelde bibliotheek der Psychiatrisch-Neurologische Kliniek te Utrecht. Alvorens tot de eigenlijke proeven werd overgegaan, be- paalden wij de gehoorscherpte onzer proefpersonen met behulp der woorden, welke Zwaardemakkr en Quix in ,,De studie van het spraakgehoor aangeven '). Allen bleken een normaal gehoor te l)e- zitten ; de hoorafstanden wisselden voor de verschillende woorden van 6 — 30 M. In tabel II hebben wij voor elk der drie proefpersonen R., M. en 0 Onderzoekingen Physiol. Lab. Utrecht (5) dl. 5. blz. 1. 874 — fO fcO 1 d o lO r- fS CD 'w' c^i CO > co CM ü Oi (M < 00 r- p 00 d ; ö ö — o d ifi r; 1 ^ co co 1 ^ O) o j r- 1 r' o o ö o i T*< CM 1-^- i r- 00 fO iD (M ^ — 1 , — 1 r- CM iD 1 : i Tt CM CM — . 1 lO r~ 15 £ ! c S CO CD m 1 in r- co 00 Cö o i 1: ”3 Pp R. M D. A. iS o 875 D. — de gegevens, die A. ons verschafte, laten wij, daai’ zij te gei'ing in aantal zijn, hier buiten beschouwing — den gemiddelden afstand (G.) berekend, waarop zinnen van het aangegeven aantal lettergrepen werden verstaan. Als praecisie-indices voegen wij er de gemiddelde atwijkingen (G. A.) en centrale waarden (C. W.) aan toe. Onmiddellijk springt in het oog, dat de zinnen met de toename van het aantal lettergrepen moeilijker worden verstaan. Voor R., M. en D. bedraagt het verschil in afstand, waaro|) zinnen van 3 en die van 10 en meer lettergrepen juist kunnen worden gereproduceerd resp. 1, 3.17 en 1.33 M. Deze belangrijke individueele verschillen moeten, behalve aan den invloed van factoren, op wier analyse wij hier niet nader kunnen ingaan, voornamelijk worden geweten aan de uiteenloopende eischen, die den verschillenden proefpersonen werden gesteld. Spreekwoorden en spreekwoordelijke gezegden toch worden geregeld op grooteren afstand \ erstaan dan niet-spreekwooi'- delijke uitdrukkingen; symmetrische verder dan asymmetrische zin- nen; onregelmatig gevormde zinnen daarentegen moeilijker dan regelmatig gebouwde. De sterkte nu, waarmede spreekwoorden, sym- metrische en onregelmatig gevormde zinnen onder het proefmateriaal vertegenwoordigd waren, liep, zooals uit onderstaande tabel, waarin de frequentie der onderscheiden soorten van zinnen in percenten van het geheele aantal proefziunen is aangegeven, nogal uiteen. TABEL III. Pp. Symmetrische zinnen. Spreek- woorden. Onregelmatig gevormde zinnen. R. 17 13.7 13.7 M. 16.2 16.2 31.1 D. 14 - 8.1 Het verschil in de afstanden, waarop zinnen van 3 en die van 10 en meer lettergrepen worden verstaan, is voor M. het giootst (3.17 M.). Voor een niet gering gedeelte is het hooge percentage onregelmatig gevormde zinnen (31.1) met hun ongunstigen invloed op het verstaan daar oorzaak van ; R. en D. ondergingen met resp. 13.7 en 8.1 7o onregelmatig gevormde zinnen deze ongun- stige werking in veel mindere mate. Het betrekkelijk klein verschil, dat men bij R. waarneemt (1 M.), dankt zijji ontstaan voor- namelijk aan de omstandigheid, dat symmetrische zinnen en spreekwoorden te samen ongeveer */> °/o) *i6t geheele aan- tal gebezigde proefzinnen uilrnaken. D., die als Vlaming minder goed 876 met onze Hollandsclie spreekwoorden bekend is en wien zij derhalve ook niet werden aangeboden, staat, geheel overeenkomstig het ver- schil in den hoorafstand, met 14"/„ mede- en 8.1 "/o tegenwerkende factoren tnsschen R. en M. in. Bij nadere beschouwing van tabel II blijkt, dat de inlra-individu- eele verschillen niet minder sterk dan de inter-individueele op den voorgrond treden. Want al is het waar, dat de hoorafstand bij de drie [)roefpersonen \'00r drie-leltergrepige zinnen belangrijk grooter is dan die voor zinnen van 10 en meer lettergrepen, geschiedt over het algemeen de afname met de vermeerdering van het aantal letter- grepen vei-i-e van regelmatig. Alleen voor M. wordt, een enkele uit- zondering daargelaten, de hoorafstand met het aangroeien van het aantal lettergrepen geleidelijk kleiner. Zinnen met een oneven aantal lettergrepen worden door R. en D. geregeld beter verstaan dan die met even aantal en één letteigreep meer; zelfs nemen zij zinnen van 9 lettergrepen gemiddeld resp. 0.23 en 0.44 M. verder waar dan die van 4 lettergrepen. De oorzaak van dit op het eerste gezicht zonderlinge verschijnsel is gelegen in het feit, dat sjmmetrische bouw, die het verstaan in niet geringe mate in de hand werkt, meer bij zinnen met oneven dan bij die met even aantal lettergrepen voorkomt. Bij alle sym- metrische zinnen toch is het aantal lettergrepen vóór en achter de copida gelijk, terwijl bij verreweg de meeste de copula uit één lettergreep (is, was, had, zijn enz.') gevormd wordt. Naast het zoo juist genoemde punt van overeenkomst bestaat er, met betrekking tot de veranderingen in den hoorafstand met vermeerdering van het aantal lettergrepen, toch ook eenig verschil. Over het algemeen neemt bij R. de hoorafstand met vermeerdering van het aantal lettergrepen van 4 op 9, zoowel voor zinnen met oneven als met even aantal — hier een enkele uitzondering — toe. Bij D. daarentegen neemt men een verkleining bij de zinnen met oneven, een vergrooting bij die met even aantal lettergrepen waar. Terwijl dus van 4 tot 9 lettergrepen bij M. de hoorafstand, met een enkele uitzondering, regelmatig afneemt, blijkt hij bij R. daarentegen, zoowel voor zinnen met oneven als met even aantal lettergrepen toe te nemen ; bij D. constateei-t men een vergrooting voor zinnen met oneven, een ver- kleining voor die met even aantal lettergrepen. Waaraan is de stijging van den hoorafstand met het toenemen van het aantal lettei-grepen bij de proefpersonen R. en D., vooral bij den eersten, te danken en waarin ligt de oorzaak der verschil- len, die men bij de proefpersonen aantreft? Men zou verwachten, dat met het toenemen vati het aantal lettergrepen de retro-actieve 877 inhibitie zicli sterker doet gevoelen en daardoor minder wordt waar- genomen. Het verstaan komt echter door nanwe samenweiking van apperceptie en assimilatie tot stand en evenals bij het lezen speelt ook hier de laatste een zeer voorname rol. Het assimilatie-proces nn vereischt een minimum van geappercipieerde elementen en de veronderstelling ligt voor de hand, dat bij zinnen met gering aantal lettergrepen deze in den regel te weinig in aantal zijn om tot aan- knoopingspnnten voor het assimilatie-proces te kunnen dienen. De tegenwerping, dat bij kortere zinnen liet assimilatie-proces uiteraard minder omvangrijk is en derhalve minder steunpunten noodig heeft, houdt geen steek. Herhaaldelijk hadden wij gelegenheid op te mer- ken, dat, wil de assimilatie niet in een louter raden overslaan, een bepaald aantal geappercipieerde elementen, onafhankelijk van dé grootte der proefzinnen, moet gegeven zijn. Het voor proefzinnen van verschillende lengte benoodigde aantal geappercipieerde elemen- ten houdt dus geen gelijken tred met de toename van het aantal lettergrepen. De gevolgtrekking is gewettigd, dat de reproductie- strekkingen, die er van de geappercipieerde elementen uitgaan, binnen zekere grenzen sterker zijn dan de inhibitie, welke zij op elkaar uitoefenen. Eeist voor zinnen \ an 10 en meer lettergrepen schijnt bij alle proefpersonen de laatste het van de eerste te winnen. De individueele verschillen zijn nu eveneens gemakkelijk ver- klaarbaar. Bij M., voor wien wij een geleidelijke afname van den hoorafstand met het aangroeien van het aantal lettergrepen waar- nemen, doet de invloed der inhibitie zich sterker gevoelen dan die der assimilatie. Bij R., voor wien, zoowel voor proefzinnen met on- even als met even aantal lettergrepen, de hoorafstand met de lengte der zinnen toeneemt, treedt het tegenovergestelde verschijnsel op: de nadeelige werking der inhibitie wordt niet alleen opgeheven, maar met het toenemen van het aantal aanknoopingspunten, is de assimilatie in staat haar werkzaamheid krachtiger te ontvouwen. Proefpersoon D. staat inzooverre tusschen R. en M. in, als voor zinnen met een even aantal lettergrepen de assimilatie het bij toe- name van de lengte der zinnen van de inhibitie schijnt te winnen, terwijl voor zinnen met oneven aantal lettergrepen deze laatste de overhand behouden. Een verklaring van dit zonderlinge verschijnsel kunnen wij niet geven. Met behulp van den normalen gemiddelden index vocalis reservelucht-fluisterspraak conversatiespraak sterde zinnen geldt, hebben wij in tabel IV de fluislerwaarden voor zinnen van verschillend aantal lettergrepen in conversatie-waarden 57 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVIl. A". 1918/19. = 7i3 vermoedelijk ook voor geflui- 878 omgezet. Zoowel de fluister- als de couversatie-waarden uit tabel IV vormen het gemiddelde uit de hoorafstauden, die, met betrekking tot de lengte der verschillende zinnen, voor de proefpersonen R., M. en D. werden gevonden. TABEL IV. Letter- grepen. Fluisterspraak. Luide spraak. 3 4.67 60.71 4 3.61 46.93 5 3.61 46.93 6 3.11 40.43 7 3.42 44.46 8 3.21 41.73 9 3.34 43.42 10 en meer 2.41 31.33 Terloops zij opgemerkt, dat, tengevolge van de grootere overzich- telijkheid der gegevens van tabel IV de conclusies', waartoe de bespre- king van tabel II ons voerde, hier nog duidelijker aan het licht treden ; het groote verschil, dat er tussclien de hoorafstanden voor zinnen van 3 en voor die van 10 en meer lettergrepen bestaat (luide spraak bijna 30 M.), het, daarbij vergeleken, geringe verschil voor zinnen van 4 tot 9 lettergrepen (luide spraak ± 3.5 M.), de grootere hoorafstand, waarin zinnen met oneven aantal lettergrepen zich, ten- gevolge van huji veelal symmetrischen bouw, mogen verheugen enz. Wij wezen er reeds op, dat symmetrisch gebouwde zinnen, op grooteren afstand worden verstaan dan asymmetrische. Zooals uit de gegevens van tabel V blijkt, speelt de symmetrische bouw TABEL V. Symmetrische : zinnen. [ Asymmetrische zinnen. Pp- G. G.A. C.W. G. R. 4.11 0.79 4 11 3.50 M. 3.87 1 4 2.57 D. 4.21 0.96 4.5 3.97 879 van een zin een zeer voorname i'ol hij liet verstaan. Ook liier worden sterke individneele verschillen waargenomen ; voor R., M. en D. bedraagt het verschil in hoorafstand voor symmetrisch en asymmetrisch gebouwde zinnen resp. 0.61, 1.13 en 0.24 M. Dat spreekwoorden en spreekwoordelijke gezegden op grooteren afstand worden verstaan, valt gemakkelijk te begrijpen. Door hun bekendheid bieden zij meer steun aan het assimilatieproces, dat zich in aansluiting bij de gea[)pereipieerde elementen voltrekt. De gunstige invloed, dien de inbond der [iroefzinnen bij spreekwoorden en spreekwoordelijke gezegden uitoefent, staat echter, zooals uit een vergelijking van tabel V en VI blijkt, ten achter bij dien, welke in de louter formeele eigenschap van den symmetrischeïi bouw zijn oorsprong vindt. Wordt voor symmetrisch gebouwde zinnen de hoorafstand voor de proefpersonen R. en M. vergroot met resp. 0.61 en 1.13 M., zoo bedraagt de vermeeidering \'oor de spreek- woorden slechts resp. 0.41 en 0.74 M. TABEL VI. Spreekwoorden. Overige zinnen. Pp. G. i G.A. C.W. G. R. 3.18 1 4 3.37 M. 3.67 0.94 4 2.93 i Dat ook het ontbreken van onderwerp, gezegde of voorwerp in een zin of een wijziging in de volgorde, waarin deze zinsdeelen plegen voor te komen, een beletsel vormen voor het verstaan, blijkt uit een beschouwing der gegevens van tabel VII. De onre- gelmatig gevormde zinnen toch worden door R., M. en D. eerst op belangrijk korteren afstand gehoord dan de regelmatig ge- vormde. De vermindering van den hoorafstand bedraagt resp. 0.73, 0.28 en 1.01 M. De zeer aanzienlijke vermindering voor D. is waarschijnlijk te wijten aan de omstandigheid, dat deze proefpersoon als Vlaming minder goed bekend was met de betrekkelijk ongewone constructie, die vele onzer onregelmatig gevormde zinnen vertoonden. De verhouding tusschen de gemiddelde afstanden, waarop gefluis- terde zinnen en gefluisterde woorden worden verstaan, noemen wij met ZwAARDEMAKER iiidex loquelae. In de oorheelkunde taxeeit men den afstand, waarop de laatste worden waargenomen op ± 18 M. 57* 880 ZwAAKDEMAKKK 611 Q,üix kwaïiieii daareiiboveii aan de liand van experimenteele gegevens tot dezelfde bevinding. ') De gemiddelde TABEL VII. Onregelmatig gevormde ! zinnen. Regelmatig gevormde zinnen. Pp. G. 1 G.A. j C.W. j i R. 2.90 0.12 3 3.63 M. 2.65 1.11 2.75 2.93 D. 2.64 0.88 2.50 i 3.65 afstand, waarop gefluisterde zinnen van 3 — 14 lettergrepen worden verstaan, beloopt, blijkens de gegevens van tabel II en IV ongeveer 3.42 3.42 M., zoodat de index loqnelae — = ^“/loo bedraagt. 1 8 SAMENVATTING. 1. Het materiaal, waarvan wij bij ons onderzoek gebruik maakten, bestond nit zinnen van 3 tot 14 lettergrepen. De aanbieding geschiedde door middel van de flnisterspraak met reserve-lncht. 2. Wij bepaalden de gelioorscherpte onzer proefpersonen met behulp van afzonderlijke woorden, samengesteld uit isozonale en aequiintense klanken. Allen bleken een normaal gehoor te bezitten ; de hoorafstanden wisselden voorde verschillende woorden van 6 — 30 M. 3. Zinnen worden met de toename van het aantal lettergrepen moeilijker verstaan. Het verschil in afstand, waarop zinnen van 3 en die van 10 en meer lettergrepen woiden waargenomen, bedraagt gemiddeld 1.83 M. (flnisterspraak). 4. De afname van den hoorafstand met de vermeerdering van het aantal lettergrepen heeft over het algemeen niet geleidelijk plaats. Zinnen met een oneven aantal lettergrepen wofden vrij geregeld beter verstaan dan die met even aantal en één lettergreep meer. Zelfs worden zinnen van 9 lettergrepen gemiddeld 0.33 M. verder waargenomen dan die van 4 lettergi-epen. De oorzaak van dit ver- schijnsel is gelegen in het feit, dat symmetrische bouw, die het verstaan in de hand werkt, in onze proeven meer bij zinnen met oneven dan bij die met even aantal lettergrepen voorkwam. ') De studie van het spraakgehoor. Onderzoekingen Physiol. Lab. Utreclit (5) dl. 5. blz. 1. 881 5. Spreekwoorden en spreekwoorclelijke gezegden worden op grooteren afstand verstaan. De gunstige invloed, dien de iidioud der proefzinnen bij spreekwoorden en spreekwoordelijke gezegden uit- oefent, staat echter ten achter bij dien, welke in de louter forineele eigenschap van den syinmetrischen bouw zijn oorsprong vindt. 6. Hel ontbreken van onderwerp, gezegde of voorwerp in een ziji of een wijziging in de volgorde, waarin deze zinsdeelen plegen voor te komen, vormen een beletsel voor het verstaan; de hoor- afstand vermindert er door. 7. Het verstaan komt door nauwe samenwerking van apperceptie en assimilatie tot stand. Voor zinnen van 3 tot 9 lettergrepen weegt de invloed der reprodnctie-strekkingen, die er van de geappercipi- eerde elementen nitgaan, tegen dien der inhibitie, welke in de ver- meerdering van liet aantal lettergrepen haar oorsprong vindt, op. Eerst voor zinnen van 10 en meer lettei’gre[)en schijnt de laatste het van de eerste te winnen. 8. De index loquelae, d. w. z. de verhouding tnsschen de gemid- delde afstanden, waarop getlnisterde zinnen en gefluisterde woorden worden verstaan, bedraagt Sterrekunde. — De Heer de Sitter biedt eene mededeeling aan van Dr. J. 'Wov^sm ,, De pericentmmlengte van Hyperion en de massa van Titan”. (Mede aangeboden door den Heer Zeeman). 1. In mijn in den loop van dit jaar verschenen dissertatie'), getiteld ,,Investigations in the theory of Hyperion”, heb ik een begin gemaakt met de berekening der storingen door Titan in de baan van Hyperion teweeggebracht. Deze ontwikkelingen omvatten de libratie in het kritieke argument, in de halye groote as en in de excentriciteit, benevens de bepaling der middelbare beweging van het argument der libratie; verder de groote storing in het kritieke argument, die evenredig is met 'de eerste macht der excentriciteit van Titan. Het is mijn bedoeling deze berekeningen verder voort te zetten, waartoe in de eerste plaats de libratie in de pericentrum- lengte en de middelbare beweging van dit element belmoren bepaald te worden. Het resultaat dezer bepaling vormt den inhoud dezer mededeeling, welke een vervolg vormt op de bovengenoemde ver- handeling. Ten einde de storingen in de pericentrumlengte te kunnen be- rekenen moet de ontwikkeling der storingsfnnctie uit het eerste hoofdstuk der ,,Investigatións” verder voortgezet worden door de bepaling der afgeleide naar e, de excentriciteit van Hyperion. Daar hiermede nauw verwant is de berekening der afgeleide naar de halve groote as a, zullen wij deze, hoewel voor het doel der mededeeling niet vereischt, tevens bepalen. Ter controle van de voor deze ontwikkelingen gebridkte numerieke waarden der storingsfnnctie is een onafhankelijke berekening dezer waarden uitgevoerd, waar- aan ten grondslag lag de goniometrisclie ontwikkeling van het quadraat van den ouderlingen a'fstand beider satellieten. Het grootste deel dezer controleberekening is verricht door den heer D. Gaijkema, rekenaar aan de Leidsche Sterrenwacht. 2. De berekening der afgeleide van de storingsfnnctie naar e bestaat in de bepaling der functie b Kortheidshalve citeer ik in het vervolg deze verhandeling als „Investigations”. 883 de waar ƒ([!]) de in het eerste lioofdstuk der ,,Investigalions” gedefini- eerde functie is. Uit deze definitie volgt met de notatie van dit hoofdstuk : Wl) de LI (1) Voor een gegeven waarde van [i ] kan de grootlieid — (welke slechts functie van [1] en [8] is, in zooverre de hoekveranderlijken betreft) aldus ontwikkeld worden : — — — Po cos [3] + l\ OO.S 2 [3] -j- . . . -h pn cos U [3J -!-••• de A -f sin [ 3] -f sin 2 | 3 | -f . . . + . 10‘ = - 108614 .8=4), Pao = 0, p,, = -2.10-5. (7) Veronderstellen wij dat de coëfficiënten />„ voor groote waarden van n, ook indien van deze orde van grootte zijn, zoo volgt dat we de formule de n s=, d a' \ de A Js (8) mogen gebruiken, zonder dat wij in de daaruit volgende waarde van een grooter fout uit dezen hoofde hebben te vreezen dan de van een halve eenheid der vijfde decimaal, mits n ^ 90. Ik stel in de volgende tabel samen de volgens deze formule berekende waarden d/’(ll]) van — ; hierbij heb ik voor [IJ = 0" genomen 71 = 270, voor de overige waarden van [1] n = 135 ; de waarden der constanten a' e en — zijn die der tabel op pag. 3 der ,,Investigations”. i [1] i ! ^ i . "" 0 0° — 108614 + 8° — 108574 + 16° — 108450 + 24° - 108226 + 32° — 107877 + 36° — 107647 De functie -4- — is een even functie van [11 ; stelt men de \1] = q sintD, waar q een constante is, dan wordt de ontwikkeling: ö/([ll) tp (tü) = S kin COS 2 nw . de „=o (9) Ik stel nu weer q = -\- 36", dus [Ij = -j- 36" sm iv; berekent men met behulp van deze laatste vergelijking voor elk der waarden van [1] uit bovenstaande tabel een waarde van iv in het eerste quadrant 885 dan heeft men ip (w) voor zes waarden van rn en dus 6 lineaire vergelijkingen, waaruit men, als men enz. =0 stelt, ^2, . . . ,X'io kan bepalen. Men vindt dan en /.'u gelijk aan nnl en verder de volgende voorstelling der functie if’ (n;) : 106 , _ 10^ q, (,„)==_ 108151 1 de I — 484 cos 2 ■/(' 1 / (10) + 21 ros 4 ir I + 1 cos 6 li' . j 3. De afgeleide der functie ƒ([!]) naar a is bepaald door de formule d/([l]) 1 ;■ d a' a =r — la - - - « 1 o da 2.t^ da A (11) d a' Voor een gegeven waarde van [1] kan de grootheid a — - aldus da A ontwikkeld worden : d a' da A = Po + Pi [3] + ^3 cos 2 [3J + ... + pn cos n [3] + 4- sin [3] + sin 2 [3] + , . . + sin n [3] + Dus volgt: i 4 da A )r ^ ■ ;(12) (18) 1 "^1 / d a\ Wii vormen weerde middel waarden - .2" a — — i voor de waar- ns=o\ da L Js den n = 270, 135, 30, 54 eji voor de waarde [1] = 0°. De waarden a' der constanten e en - zijn dezelfde als in de tabel op pag. 3 der ,, In- a vestigations”. Ik vind : 1 >'-i / d a+ = 270 n s=o V 10* = — 110601 135 — 110691 90 — 110691 54 — 110706 Hieruit volgt; Po + P210 + . . . = ;>t> + P13.5 + P21C + • . . = po + P90 + PlSO + en dus: (14) 886 P2-iO — O, Pi35 =0, (15) verder : ;,54 = - 15. 10-5 . (16) Veronderstellen wij dat de coefticienten pn voor groote waarden van n van dezelfde orde van grootte zijn, ook al is [1]7^0°, dan volgt dat we de formule ö/([lj) da “ n Zo V Öa A J (17) mogen gebruiken zonder dat wij in de daaruit volgende waarden van a YY— een grooter font uit dezen hoofde hebben te vreezen oa dan van een halve eenheid der vijfde decimaal, mits n^90. Ik stel in de volgende tabel samen de volgens deze formule berekende waarden van a YY31; voor [1] = 0° heb ik genomen = 270, Oa voor de overige waarden van [IJ n = 135 ; de waarden der con- stanten e en zijn die der tabel op pag. 3 der ,,Investigations”. a [IJ «/([']) a — r . 10" Oa 0° - 110691 + 00 0 - 110887 + 16° — 111477 + 24° — 112480 -f 32° — 113921 + 36° - 114820 De functie a — is een even functie van [1]; stelt men [1] = Oa = , =: 0,1 » . • ? ttr = constante + / < rrï ~ T? /J=:0 (1/1)' (25) Den coëfficiënt van t in ttr heb ik, afwijkend van de in de ..Inves- tigations” gevolgde notatie door / voorgesteld, teti einde verwarring met het bekende getal rr te voorkomen. Men \dndt : waar de constante term der goniomefrische ontwikkeling van p/1 naar t is aangeduid door het functieteeken met een streep JpoTu^o er boven. Voor de berekening van en is het wenschelijk ~ uit te Oö . , I • drukken in ^ en de Daar is da ^ de \ — e’ 1 drT~ ’ d(7” e \/aJl (27) d/_ d/Vl-e’ 1 do “ de e ‘ (28) Derhalve ; 889 i/T Xs — o _ (29) of wel, voor de factoren hun numerieke waarden zettend X, = + [0.937584] n‘ .r^i (30) o ii, is hier in graden nitgedrnkt, Iietgeen aangegeven is door het symbool (0) bij den numerieken factor; de getallen in viei-kante haken zijn logarithmen. Voor verdere ontwikkelingen is het wensclielijk tevens te bepa- len. Dit geschiedt door de vergelijking: waar [ ]„ een vei-korte schrijfwijze is voor [ -=^0' Het rechterlid is de constante term van een even periodieke functie van T, die van teeken omkeert als men t door — t vervangt. Hier- uit volgt : X. = 0 . (32) 5. De in § 2 dezer mededeeling gegeven ontwikkeling der functie de stelt ons nn in staat de numerieke waarde van 12, en te berekenen. Om de functie ”[:'L te berekenen heeft men de ontwikkeling van als functie van vi volgens formule (10) op de de bekende wijze als functie van t uit te drukken. Uit de betrekking (Investigations pag. 20) sin 2 = T, .r = -j- 0.Ü0318, volgt : cos p 10 — cos p T — ^ .V } cos (p f 2) T — cos (p — 2) T j j . . j .c’ (33) en dus : 890 (34) cos 2 w — cos2t = + 0.0032 — 0.0032cos4t, cos A IV — cos4t= -f- 0.01 cos 2t — O.OIcosGt. Met behulp dezer formules leidt men de volgende waarde voor de ontwikkeling van =0^000 [rl = als functie van t af: Hieruit volgt ta 108153 — 484 cos 2 T -f- 23 cos4t -f- 1 COSÖT. 10^ i= — 108153 (35) (36) ’ • j] [9«,. t ^ ■ o Substitueert men deze uitdrukkingen in formule (30) dan vindt men de resultaten, die vereenigd zijn in ondei’staande tabel. n , 'E stn ST S=1 = — sin 2t -b 0*.01 9 sin 4t s = 1,2,... - = - 9.3675 7i\ 6. Voor volgende ontwikkelingen is het van belang de functies /2, en Xi functies van q en t beschouwd) naar q te ditferentieeren ; hiertoe is vereischt de waarde der functie -[^'1 . welke gegeven wordt door de vergelijking ^ \ 1 roy] d,l [dedöj, (37) Ter bepaling der functie heeft men de formules: oeoO 891 d cos 2 w — 4 sin ?c, da d cos 4 w -f- 8 sin w ■ — i 2 szn 'W -■ 8 sin 3 (u, da ~ a cos 6 w W~~ “ — [— 12 SX71 3 w — 12 siH T) IC, (38) Hieruit volgt : dV 10‘ . o = -|- 2092 mi w deda — 150 sin 3 w — 12 sin 5 tv. (39) Ora de goniometrische functies van de verschillende veelvouden van 10 naar r te ontwikkelen heeft men in de eerste plaats de formule (Investigations pag. 27): gin w — -\- 0.99841 sin r — 0.00159 sin 3 t . Verder leidt men uit de in de vorige paragraaf aangehaalde betrekking w -f- A’ sin 2 IC = T, X = 0.00318, af: sin p w = sin pr — — a’ | sin {p -{~2)r — sin {p — 2) t j -f- | . . } a-’ -|- en dus: sin S tv — sin 3 r = -p 0.005 sin r — 0.005 sin 5 r . Met behulp dezer formules leidt men af: 10‘ r^i = -f 2088 sin r — 159 sin Sr — 11 sin 5 T. (40) (41) (42) 0)9, Uit de tabel voor op bldz. 33 der ,, Investigations” volgt in dq verband met deze formule 10' . #1 '"^ = + 663 . — 706 cos 2 T -f 49 cos 4 T + 3 cos 6 T . (43) Dus is • 892 10‘ 10 Po'^oOo IRI = dq Löe J,W;„ + 653 , 353 sin 2t \2sin Ar. (44) <7 öx, di2. — ^ en q^—, X. Ö9 welke ik samenstel in de volgende tabel. Bij deze afleiding bedenke men dat de numerieke factor van de integraal in de formule voor üj ook van q afhankelijk is. 042, 00 d42(*-^) . — = 2; — - sin sr ^ s=i oq dil, q = — 0.0305 sin 2t dq -b 0.0010 sin At ^ — 0.00961 X. ^q 7. Wij willen nu de in § 5 gevonden waarde van Xs gebruiken ter bepaling van de massa van Titan. Daar Xs = 0, volgt voor de pericentrmn beweging van Hyperion met verwaarloozing van termen der orde m' — 9.3675 n'„ ~ . (45) Anderzijds vindt H. Strüvp: ^) voor de middelbare beweging van het pericentrum van Hyperion : * — 18.‘’663; brengt men de coi'rectie voor de precessie aan, dan wordt deze waarde : — 18.'>677; deze bewegingen gelden voor het Juliaansche jaar als tijdseenheid. Om de theoretische waarde volgens formule (45) met de waarge- nomen beweging te kunnen vergelijken moeten wij deze laatste nog corrigeeren voor de saeculaire variaties veroorzaakt door de zon, door de afplatting van Saturnus en door de andere satellieten. De ‘) Beobachtiingen der Saturnstrabanten. Fublicalions de fObservatoire Central Nieolas. Série II. Vol. XI. 1898. pag. 290. 893 waarden dezer variaties ontleen ik aan H. S-\mtkr ’), volgens wien zij respectievelijk -f" O.'Oll, 0.‘’234 en -f- 0.“009 per jaar be- dragen. Verminderen wij de waargenomen beweging met de som dezer getallen, zoo wordt de vergelijking ter bepaling der massa van Titan deze: . tn' — 9.3675 — 18. “931 . (46) 7n Daar n\ slechts in termen van de orde — en hooger van n' ver- M schilt neem ik n\ — n' en dus : «'„ = 365.25 X 22. “5770. Uit (46) volgt dan: M = 4080 , m' Dit resultaat is in goede overeenstemming met de eveneens onder vereenvoudigende onderstellingen afgeleide waarde uit de middelbare bewegijig van het libratie-argument (Investigalions pag. 70) n.1.: M , = 3986 . m De waarden van — door Eichelberger en Samter berekend uit m de storingen van Hyperion zijn : W. S. Eichelberger: 4172 ± 58, H. Samter: 4125. De onderlinge overeenstemming der verschillende waarden is dus bevredigend. 9 Die Masse des Saturnstrabanten Titan. Sitz. Ber. der Kön. Pr. Akad. der Wissenschaften. 1912. Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A“. 1918/19. 58 Scheikunde. — De Heer v. Hombukgii biedt een inededeeling aan van den correspondent A. W. K. dk Jong te Buitenzorg over ; ,,De HeteroJcaneelzuren van Eri.enmeijeh Jr.” Behalve de Storaxkaneelzuren bestaan er volgens Erlenmkueh Jr. nog 2 andere noi-inaal-kaneelzuren, de Heterokaneelzuren, die uit synthetisch kaneelzunr afgescheiden werden. Het verschil tusschen Storax- en Heterokaneelznur bestaat volgens hem feitelijk alleen in de verschillende wijzen, waarop deze zuren uit aether kristalliseeren. Hij schrijft'): ,,Wie ich schon in der ersten Abhandlung erwahnt habe, steht bei der Bearbeitung der Zimtsauren als einziges branchbares Unterscheidungsmerkmal die verschiedene Krystallisationsart der Storaxzimtsaure und der synthetischen Zimtsanre aus Aether zur Verfiigung. Mit Hilfe dieses allerdings ungewöhnlichen ünterscheidnngsmittels gelang es zu zeigen, dass die synthetische Ziintsanre nach verschiedenen niitgeteilten Methoden in zwei unter einander und von der synthetischen Satire verschiedene Satiren, die Storaxsaure und die Heterosatire, zerlegt werden kann, welche bei der Analyse einen Unterschied in der Ztisaininenselzting nicht erkennen Hessen,” terwijl op l.c.blz. 502 geschrexen staat; ,,Begniigt man sich damit, beide Satiren atis Wasser zti krystallisieren und die Schmelz- punkte zu bestimmen, so wird man keinen so wesentlichen Unterschied wahrnehmen, dass die Annahme einer prinzipiellen Verschiedenheit berechtigt erschiene. Ganz anders aber, wenn man die beiden Sauren in Aether lost und diese Löstingen langsam verduitsten lasst. Aus der aetherischen Losting der Storaxsaiire erhalt man so ohne Mühe wasserklare, dicktallige, gut ausgebildete Krystalle, welche mehrere Zentimeter gross und über 2 mm. dick werden können ; atts der aetherischen Lösung der reinen synthelischen Zimtsatire dagegen krystallisieren iinter genatt den gleichen Bedingtingen Aggregate von über einander geschichteten, mit einander verwachsenen, aiissert dünnen Lamellen, welche meist keine geradlinigen Umgrenzungslinien erkennen lassen.” ,,An demselben Thermometer beobachlet, schmilzt die synthetische Satire bei 132 — 133°, die Storaxsaure bei 134 — 135° ’). h Bet’. 42, 2649. Verdere bijzonderheden van de kristalvormen vindt men in Biochem. Zeitsclir. 34, 366 en Ber. 42, 507. 895 Door Riibp:r en Golüschmidt ') werd er oj) f^ewezen, dat de ver- schillen, die Erlenmeijer tnssehen het synthetische en het Storax- kaneelzuur waargenomen heeft, zeer wel aan verontreinigingen van het synthetische znnr geweten kunnen worden, daar het kristallisatie- vermogen van kaneelzunr zeei’ sterk door sporen van andere zuren zooals chloor- ot nitrokaneelznren beïnvloed wordt. Zij vonden, dat het synthetische znnr van den handel verontreinigd was door een chloorkaneelzuur. Erlenmeijer ’) antwoordde hierop, dat ook synthetisch kaneelzunr, bereid uit zuiver, goed kristalliseerend Storaxkaneelzuur, door dit eerst in alkalische oplossing met kaliumpei-manganaat te oxydeeren tot benzaldehyde en hieruit volgens de Perkinsche synthese kaneel- zuur te bereiden, denzelfden eigenaardigen kristalvorm vertoont. Niettegenstaande dit antwoord, komt men bij het lezen van de verhandelingen van E. toch tot de gedachte, dat het Heterokaneeizuur geen zuivere stof is, dat liet door hem gevonden verschil met gewoon kaneelzunr aan een verontreiniging moet worden toege- schreven. Zoo schrijft hij ®), dat synthetisch en ook Heterokaneeizuur door verhitten van hun waterige kleurlooze oplossingen met beenderkool omgezet kunnen worden, ofschoon met een verlies van 10 "/o, ia Storaxkaneelznnr. Ook herhaald snblimeeren doet het Hetero- kaneelzuni- in Storaxkaneelznnr overgaan. Verder gelukt het hem door gefractionneerd praecipiteeren van een oplossing van het natriumzout van synthetisch kaneelzunr gemakkelijk 90 7» Storax- kaneelzuur er uit af te zonderen, terwijl synthetisch kaneelzunr voor 50 7o iiil' Storaxkaneelznnr zou bestaan “)• Het heet dan'): ,,Da die Heterozimtsaure, trotz der Gewinnung von Storaxzimtsaure aus ihr, in ihren Eigenschaften unverandert bleibt, kann man nicht anders annehmen, als dass bei dein fortgesetzten Eraktionierungs- verfahren ein allmahlicher Uebeigang von Hetero- in Storaxzinit- saure stattfindet”. In zijn uitvoerige verhandelingen zoekt men tevergeefs naar de wijze, waarop hij zich zuiver kaneelzunr voor zijn onderzoekingen heeft verschaft. Blijkbaar neemt hij aan, dat goed kristalliseerend 1) Ber. 43, 453. 2) Ber. 43, 955. ») Ber. 43, 1076. *) Ber. 42, 2658. Bioch. Zeitschr. 34, 423. ®) Bioch. Zeitschr. 34, 425. '') Ibidem 424. 58* 896 Storaxkaneelzuui' *) geen onzuiverheden kan bevatten, ook geen minimale hoeveelheden. En toch gaat het hier om sporen, waar reeds 1 7o p-chloorkaneelzunr het kristallisatievermogen van het Storax-kaneelznnr zoodanig verandert, dat het volkomen op het sjnthelische zuur gelijkt’), terwijl van o-nilrokaneelzunr maar 0.3 “/o noodig waien om hetzelfde effect te \’erkrijgen ’) Is de veront- reinigiïig minder, dan zal het kunnen gebeuren, dat men den invloed op den kristalvorm niet merkt. De oorzaak, dat E. uit kaneelzunr van vei’schillende herkomst steeds zoogenaamd sjnthetisch kaneelzunr heeft kunnen bereiden zou dan in de onzuiverheid van de gebruikte producten gezocht moeten worden. Df deze verontreiniging steeds dezelfde is geweest moge voorloopig buiten bescliouwing blijven; het zal echter steeds een stof moeten geweest zijn, die bij de oxydatie een aldehyde levert, waaruit volgens de synthese van Perkin een gesubstitueerd kaneelzunr zich vormt. Bij die oxydatie met kalium- permanganaat heeft het benzaldehyde verhoudingsgewijze meer kans tot benzoëznnr geoxydeerd te worden, dan het in sporen voorkomende verontreinigende aldehyde, daar de dani|) voor dit laatste meestal onverzadigd zal zijn, zoodat het sneller uit de reactievloeistof ver- wijderd zal worden. In het benzaldehyde zal dus het gehalte van de verontreiniging grooter zijn dan iti het kaneelzunr, waarvan werd uitgegaan. Hij de synthese van Perkin wordt volgens de onder- zoekingen van E. zelf het verontreinigend aldehjule vollediger in het gesubstitueerde kaneelzunr veranderd dan het benzaldehyde, daar het verkregen kaneelzunr zoogenaamd synthetisch zuur was eri het niet in reactie getreden benzaldehyde mooi kristalliseerend Storaxkaneelzuur gaf. Door deze bewerkingen samen zon de verontreiniging vergroot en haar invloed op den kristalvorm zichtbaar kunnen worden. Het scheen me daarom noodzakelijk vast te stellen of werkelijk zuiver kaneelzunr op de door E. aangegeven wijze synthetisch kaneelzunr kan leveren met de door hem waargenomen eigenschappen. Bereiding van zuiver kaneelzunr. Uitgegaan werd van de aetherisclie olie uil de wortelstokken van Alpinia malaccensis, die volgens het onderzoek van van Romburgh 7 voor het grootste gedeelte uit den methylester van kaneelzunr bestaat. E. deelt mede 7, daf liet kaneelzviur van Alpinia bij de aether- 9 Ber. 43, 957 spreekt hij van ,25 gr. der als einheitlicli anerkannten Sto- raxzimtsaure”. Riiber en Goldschm[dt Ber. 43, 460; Biocliem. Zeitsclir. 34, 406. ») Ber. 43, 461. 9 Deze verslagen 1898, 550. 7 Ber. 39, 1581. 897 proef tegeji den wand van liet bekerglas kristallen gaf, die op syntlietiscli zuur geleken, terwijl op den bodem mooie platen van /f-Storaxkaneelzuur zieli vormden. De aetlierisclie olie werd verzeept, de oplossing drie maal met benzine uitgeschud en het zuur neergeslagen, gefiltreerd en uitge- wasschen. Bij de oxjdatie met kaliumpermanganaat schuimde de massa zeer sterk op, zoodat de distillatie telkens onderbroken moest worden om een overschuimen te voorkomen, ofschoon de kolf ruim genoeg was. Het rendement wei'd daardoor zeer slecht. Het kaneel- zuur werd daarom ter zuivering bij verhitten opgelost in een natrium- carbonaatoplossing, deze na afkoelen drie maal met benzine uitge- schud en het zuur weder afgescheiden. Dit product schuimde bij de oxydatie met kaliumpermanganaat niet «op. Het kaneelzuur volgens de synthese van PKKKtN bereid zonderde zich bij de aetherproef volgens E. ') in uitstekend gevormde kristallen van «-kaneelzuur af, die geen merkbaar verschil met het oorspronkelijke zuur te zien gaven. Hierna werd het kaneelzuur o[)gelost in zooveel natronloog, dat ongeveer i gr. uit 9 gr. welke aanwezig waren, niet geneutraliseerd werd ^). De oplossing werd daarna goed gekookt en na afkoelen het kaneelzuur door schudden van de oplossing, volledig afgescheiden. In aether opgelost, kristalliseeiale het in groote, platte plaatjes, die verschilden van het oorspronkelijke zuur door hun grootte en geringe dikte. Heterokaneelzuur hetgeen volgens E. oj) deze wijze zou moeten ontstaan, werd niet verkregen; de kristallen kwamen niet eens geheel met z.g. synthetisch kaneelzuur overeen, daar de randen recht en de hoeken goed gevormd waren ; zij stonden er echter dicht bij en bezaten ook paarimoergians. De mogelijkheid was niet uitgesloten, dat dit verschil met hel natuurlijke zuur aan eene onzuiverheid van het gebruikte kaneelzuur te wijten was. Daarom heb ik nog verschillende zuiveringswijzen toegepast, waarover in het kort iets moge worden medegedeeld. Zuivering van den inetkylester door kristallisatie. Verwerkt werden ruim 5 kilo aetherische olie, waaruit zich bij staan reeds een groot deel van den ester gekristalliseerd afzonderde. Hij werd gezuiverd door hem te smelten en bij de hier heerschende temperatuur (ongeveer 25 — 30°) langzaam te laten kristalliseeren. H Biochem. Zeitschr. 34, 406; in plaats van bekerglazen werden door Erlen- MEYEH kolfjes gebruikt. Ber. 42, 519. 898 Het na 24 uur vloeibaar gebleven gedeelte werd door uitlekken verwijderd. Deze bewerking werd herhaald tot de ester reeds binnen 24 uur geheel vast werd. Hij smolt, de Anschützthei-mometer in de stof geplaatst, bij 34° (hij bevatte een spoor water). Uit 28 gr. van dezen ester werden 7.7 gr. benzaldehyde veikregen, die 4.25 gr. kaueelzuur gaven, terwijl ruim 3 gr. benzaldehyde afgezonderd werden, die niet in reactie waren getreden ‘). Men krijgt dus maar 177ü van de gebruikte hoeveelheid kaneelzuur als syn- thetisch product terug. Het synthetische zuur was uit kokend water omgekristalliseei-d om het van geringe bruine onzuiverheden te scheiden. Bij de aetherproef werden goed gevormde kristallen met rechte kanten en scherpe hoeken, van «-kaneelzuur verkregen. Het product vei-toonde evenals- het vorige, in het geheel niet de eigen- schappen, die E. voor het zoogenaamde synthetische kaneelzuur opgeeft. Vervolgens werden uit den ester 16 gr. synthetisch product volgens E. bereid en werd hieruit door kokend oplossen in een ontoereikende hoeveelheid )iatronloog ongeveer 1 gr. afgezonderd. Uit aether kristalliseerde dit product in dunne doorschijnende op elkander liggende glinsterende plaatjes (parel moerglans) waarvan eenige gebogen randen bezaten. Opgelost in benzine kristalliseerden groote, dunne platen met gedeeltelijk gebogen kanten, die bij belichten «-truxillzuur gaven. Door de warme benzine-oplossing plaatselijk te koelen onstonden kleine gebogen naaldjes, die bij belichten /J-truxill- zuur gaven. De eigenschappen van deze eerste fractie komen overeen met die van het synthetische kaneelzuur volgens E., terwijl het volgetis de bereiding Heterokaneelzuur had moeten zijn. Dat hier z.g. synthetisclie kaneelzuur verkregen werd, terwijl de oorsprotd^elijke olie op gelijke wijze een product gaf, dat deze eigen- schappen nog niet ten volle vertoonde, moet zeer waarschijnlijk aan de gebruikte hoeveelheden kaneelzuur n.1. 9 en 16 gr., waarvan de eerste fracties genomen werden, geweten woi'den. Verder mag er nog op gewezen worden, dat het z.g. synthetische zuur, zooals uit het voorgaande volgt, ook een a- en een /l-vortn geeft, hetgeen E. niet vermeldt. Nog werd er getracht den ester door kristallisatie xerder te zuiveren. Hierbij werd een hooikist gebruikt, waarin een groote bak met water zich bevond. Bij het inbrengen van den ester in het water, was zijn temperatuur 36° en na 24 uur 32°. Na een groot aantal kristallisaties was het smeltpunt van den ester 34. °8 — 34. "9 (de ester werd in een reageerbuis met luchtmantel in een bad van 45° b Deze cijfers zijn gemiddelden van 8 bereidingen. 891) vei'liit, terwijl een tliennometer van verdeeling in de stof ge- plaatst was. De smeltlijn wei'd geeonslrueerdj. Als smeltpunt van dezen ester vindt men opgegeven : 38° ') 36° ’), bij 36° "), 34° ^), terwijl ScuiMMun en Co. 36° voor den ester nit Wartaraolie vonden en 34 — 35° bij door ben zelf bereide praeparaten ®). Uit dezen ester werden 16,5 gr. sjntlietiseh kaneelznur volgens E. bereid. De eerste fractie nit de oplossing van het natriumzont afge- zonderd, ongeveer i gr. gaf bij de aetherproef z.g. synthetisch kaneel- znur volgens E. Zuivering van kaneelzuur door kristallwüie uit water. In ongeveer 16 L. water werden 200 gr. kaneelznur, nit de aetberische olie van de wortelstokken van Alpinia malaccensis verkregen, bij koken opge- lost. Den volgenden dag werd het gekristalliseerde zuur gefiltreerd, weer in 16 L. water opgelost enz. Nadat deze kristallisatie 10 maal herhaald was, was de hoeveel- heid kaneelznnr lot ongeveer 40 gr. geslonken. Van dit product werden nu nog 20 gr. 4 maal nit water omgekristalliseerd en uit het op deze wijze verkregen product synthetisch kaneelznur op de door E. aangewezen wijze bereid. De eerste fractie, ongeveer 1 gr., uit 17 gr. synthetisch zuur afgezonderd, gaf uit aether goed gevormde dunne plaatjes van kaneel- zuur ; zij waren dunner en grooter dan die, welke het oorspronkelijke zuur gaf en lagen iets op elkander. Gebogen randen kwamen niet voor. Het was dus nog geen z,g. synthetisch kaneelzuur volgens E. Zuivering van kaneelzuur door kristallisatie uit alcohol 967o- Hiertoe werden 860 gr. kaneelzuur uit de aetberische olie afge- zonderd, opgelost bij verhitten in 1720 cM’ alcohol en na filtratie door roeren bij het af koelen tot kristallisatie gebracht. Op deze wijze werd een zeer fijn kristalmeel verkregen, dat gefiltreerd en met alcohol uitgewasschen 241 gr. kaneelzuur gaf. Dit product werd nog eens op dezelfde wijze omgekrislalliseerd. Het synthetische zuur hieruit bereid gaf als eerste fractie, ongeveer 1 gr. van 13,5 gr., een product dat duidelijk z.g. synthetisch zuur volgens E. was. Uit dit onderzoek blijkt dus, dat de Heterokaneelzuren van ERiiENMKiJER Jr.' op de dooi’ hem aangegeven wijze uit zuiver kaneelzuur niet gevormd worden. Hun ontstaan is aan een onzuiver- 1) Anschütz en Kinnicuït, Ber. 11, 1220. 3) Weoer, Ann. 221, 74. Romburgh, 1. c. 9 Ultée, Mededeeling v. li. Alg. Proefstation te Salatiga II, N'’. 45. “) Gildemeister en Hoffmann, Die aeth. Oele, 2e Aufl. 1, 522. 900 heid van het door E. gebruikte kaneelziiur te wijten. De Hetero- kaneelznren zijn dus geen zuivere chemische verbindingen. Een opraei’king over de reactie van Beilstein moge hier nog gemaakt worden. E. deelt liet volgende mede 0 : <.Es mag hier daranf hingewiesen werden, dass selbst die best krystallisierte Storaxzimtsanre, welche bei der Prüfung mit Soda und Salpeter sich chlorfrei erweist, mit der Kupteroxydperle in der Flamme des Bnnsen-Brenners erhitzt, dieser eine intensiv grüne Farbnng zu ver- leihen vermag.” Door mij werd ook bevonden, dat, op welke wijze het kaneelznnr ook gezuiverd was, het steeds, ofschoon niet sterk, de reactie van Beilstein gaf. De methylester, zelfs de niet gezuiverde, gaf geen verkleuring van de vlam bij verhitten met koperoxyde te zien. Nn vormt het kaneelznnr bij verhitten met koperoxyde zeer snel het koperzout en dit, bereid door praecipitatie van een alkalisclie oplossing van het ammoninmzout met kopers ulfaat, gaf de reactie nog duidelijker dan het vrije zuur. Volgens Erlenmeijek Jr. zou zuiver kopercarbonaat de reactie ook geven. Wellicht dat de reactie van Beilstein voor zuren gevoeliger is dan voor inditferente stoffen, of wel dat zij voor de meeste zuren niet te gebruiken is. Een conclusie is voor het oogenblik niet te trekken, omdat de aanwezigheid, ofschoon in zeer geringe hoeveel- heid, van een verontreiniging in het door mij gebruikte kaneelzuur niet is uitgesloten. Augustus 1918. Buitenzorg. b Bei'. 43, 956 noot. Natuurkunde. — De Heer H. Kamerlingh Onnes biedt namens de Heeren G. Holst en A. N. Koopmans een niededeelin^- aan over: ,,De ionisatie van argon”. (Mede aangeboden door den Heer Kuenen)- 1. Fhanck en Hertz ‘) liebben er o[) gewezen, dat de electriciteits- geleiding niet in alle gassen op dezelfde wijze plaats vindt. Zij verdoelen de gassen in twee groepen: 1". znlke, waarbij een eleeti'on, dat zich door het gas beweegt, bij een niet-ioniseerenden stoot tegen een ga.snioleknnl nagenoeg geen energie verliest en 2". gassen, waarbij de snelheid van het electron bij eiken stoot geheel of grooten- deeis verloren gaat. Tot de eerste groep behooren in het bijzonder de edelgassen. Franck en Hertz hebben zelf een reeks van metingen aan deze gassen verricht en ook een theorie van de electriciteits- geleiding door deze gassen gegeven. Zij hebben in hoofdzaak helium onderzocht. In het volgende deelen wij de resultaten mede van enkele metingen aan argon. Hierover bestondeïi slechts de bepalingen van Gill en Piddugk ’)• Bij een vroeger onderzoek over de doorslagspannitig van argori was ons‘) echter gebleken, dat de lesultaten van deze laatste onderzoekers vermoedelijk door een geringe verontreiniging van het door hen gebezigde argon, niet geheel in orde waren. Hiei'aan moet dan ook waarschijnlijk toegeschreven worden, dat bij hun metingen het eigen- aardige gedrag van argon niet te voorschijn is gekomen. 2. Wij hebben opnieuw den samenhang tnsschen stroom en spanning in argon bepaald. Het toestel, dat wij gebruikten, was op dezelfde wijze geconstrueerd als dat van Gili. en Pidduck (fig. 1 )• Het bestond uit een condensator, waarvan de afstand der platen meetbaar ver- anderd koti worden. In de anode was een reeks gaatjes geboord, waardoor met behulp van een kwartslens ultraviolet licht van een kwiklamp op de zinken kathode kon worden geconcentreerd, om hieruit langs foto-electrischen weg electronen vrij te maken. De 1) Verh. D. pliy.'?. Ges. (15), 34, 929, 1913 en (16), 12, 1914. 3) Phil. Mag. (16), 280, 1908 en (23), 837, 1912. *) Versl. Kon. Ak. v. Wet. (26), 1027, 1917. 902 kadiode kon met behulp van een inicrometerschroef op en neer bewogen worden. Het geheel was in een glazen buis gesmolten, die een kwarts venstertje bevatte om het nlti-aviolette licht door te laten. De stroomsterkte in den condensator werd bepaald nit den op- ladingstijd vaneen binantelectrometer volgens Dolkzalek. De spanning werd door een batterij kleine accnrnnlatoren geleverd en met een electrometer volgens Wulf gecontroleerd. Alle geleidingen, de ont- ladingsbuis en de electrometer werden, om electrostatische storingen te voorkomen, met bladtin beschermd. Het argon werd volgens de methode van Gehehoff gezuiverd. Gedurende de metingen trad steeds een geringe verontreiniging op, waarschijnlijk door gassen afkomstig int het eboniet, waarmede de condensator geïsoleerd was. De druk nam in 24 uur ongeveer 0,00080 mm. toe. De kwartslamp brandde op een accnrnnlatoren batterij. Na eenigen tijd bleek de straling goed cotistant te worden, hetgeen met behulp van een thermozuil werd nagegaan. 3. Wij hebben metingen verricht over den samenhang tnsschen 903 stroom eu spanning bij constanten afstand der condensatorplaten en over het verbond tussehen stroomsterkle en plaalsafstand bij constante veldsterkte. In fig. 2 en 3 vindt men de i'osnltaten van de best geslaagde metingen-grafisch voorgesteld. Beide krommen vertoonen eigenaardige plotselinge richtingsveranderingen, die in een versneld aanstijgen der stroorasterkte bestaan en op regelmatige afstanden voorkomen.') Fig. 2. Franck en Hertz hebben bij lielinm een zelfde verschijnsel waar- genomen en aangetoond, dat deze richtingsveranderingen telkens dan op moeten treden, wanneer een electron een potentiaal verschil gelijk aan de ionisatie-spanning doorloopen heeft. Uit onze metingen volgt daaruit voor de ionisatiespanning van argon 12,0 Volt, in goede overeenstemming met de door Fhanck en Hertz op andere wijze 1) Wij hebben maximaal 15 trapjes waargenomen. 904 gevonden waarde. De kromme bij constante veldsterkte vertoont een veel sterker uitgesproken trap karakter, dan die bij constanten plaat- afstand en schijnt bijzonder geschikt voor liet nauwkeurig bepalen der ionisatiespanning. Deze methode heeft liet voordeel, dat ze geheel onafhankelijk is van eventueel voorhanden contactpotentialen en bovendien, dal men niet slechts de ionisaties|)anning zelf doch ook een reeks geheele veelvouden er van bepaalt, zoodat men gemaklijk een groote nauwkeurigheid der gemiddelde waarde bereikt. 4. Hertz') heeft uit de door hem in samenwerking met Fhanok verrichte metingen aan helium afgeleid, dat de energie, die een electron bij een niet ioniseerenden stool tegen een helium atoom, aan dit laatste overdraagt juist zoo groot is, als het geval zou zijn, wanneer de botsing plaats vond tnsschen volkomen elastische bollen met de massa van het electron resp. het heliuniatoom. Nemen wij nn aan, dat ook bij argon de stoot tnsschen een electron en een argon-atoom de wetten der elastische botsing volgt, dan vindt men, dat het electi'on bij een niet-ioiiiseerenden stoot een hoeveelheid energie V verhit gelijk aan V=kE, waarin E de energie van het electron beteekent en k een constante, gelijk aan het dubbele quotiënt van de massa van het electron tot die van het argon-atoom : b Verli. D. pliys. Ges. (19) 268 1917 Verg. Benade Pliys. Rev. (10) 77 1917. 905 m, 2 1 844.40 0,000027. Wij kunnen nn eveneens de energie toename berekenen, die liet electron tussclien twee opeenvolgende stooten verkrijgt. Is v de snel- heid van het electron, A de gemiddelde vrije weglengte, dan zal de tijd, die tussclien twee stooten verloopt, gemiddeld t= — sec. bedra- ' V gen. Gedurende dezen tijd geeft het electrische veld A’ een versnelling X- aan het electron. Daar nu na eiken stoot het electron gemiddeld m weei' met een snelheid 0 in de richting van het electrische veld begint zal het tnsschen twee stooten gemiddeld een weg = ^in de richting van het veld atleggen De energie- m \v J toename T tussclien 2 stooten zal dus gemiddeld T = Xe \ \ bedragen. De toename wordt dus juist het geringst, wanneer de energie zelf I mv' zoo groot niogelijk is. Dan is echter ook het energieverlies 1 bij de botsing maximaal en dus ook de verhouding 11= --. Nemen wij nn aan, hetgeen wel waarschijnlijk is, dat er ionisatie plaats zal vinden, zoodra een electron voldoende energie verkrijgt, om te kunnen ioniseei'en, dan wordt i] een maximum voor 4 mir = eVi waar F/ de ionisatiespanning voorslelt. '^Inutx ke Vi U Nu is de vrije weglengte voor een electron in argon 4l 2 maal zoo groot als voor een argon roolekuul. Uit de gegevens over de inwendige wrijving kan men gemakkelijk atleiden, dat P. in argon .no / 0,028 van 17 C. en een gasdruk van p m.m. gelijk is aan : A = cm. e A b De gemiddelde snelheid in de richting van het veld wordt dus ihi- = 4 X , m V terwijl Hertz een 2 maal zoo groote waarde vindt. Dit is toe te schrijven aan de door H. gebruikte integratie, waarbij de zelden voorkomende zeer lange wegen een belangrijke rol spelen. In werkelijkheid zal, wanneer het aantal botsingen tnsschen 2 ioniseerende stooten niet bijzonder groot is, een tusschenliggende waarde wel de juiste zijn. 906 De ioiiisaties|)aiining' voor argon bedraagt J2 Volt. Ingezet in boven- staande tbrinnle vindt men : Bij de metingen bij constante veldsterkte was p ongeveer 2 mm. en A" = 250 VoltA.,,. en dus ^ — . Maximaal verliest dus een ejiergie, die het tussehen 2 opeenvolgende botsingen opgenomen heeft. Men mag in dit geval dus het energieverlies geheel verwaar- loozen en aannemen, dat de energie van een electron alleen bepaald wordt door den weg, dien het in de richting van het veld heeft afgelegd; d. w. z. alle electronen, die zich 0|) gelijken afstand van de kathode bevinden, znllen dezelfde snelheid bezitten. Bij metingen bij constanten plaatafstand is dit geenszins het geval. Zoolang het potentiaalverschil tnsschen de platen klein is, is ook de veldsterkte klein en daarmede ij groot ; daar zal men dus steeds met de stootverliezen rekening moeten houdeji en vooral de eerste trappen der stroomspanningski'omme zullen hiervan den invloed ondervinden. Voor het bepalen der ionisatiespanning zijn dan ook metingen bij constante geschikt gekozen veldsterkte, te verkiezen. Wat de hoogte der trappen betreft, deze moeten zich volgens de opvattingen van Franck en Hkrtz verhouden als 1:2:4, enz. Wanneer wij van de afrondingen afzien zou de stroom als funktie van de spanning voorgesteld kunnen worden door een formule van den vorm i=eN\‘l", waarin W, het aantal electronen voorstelt, dat van de kathode uitgaat en n het grootste geheele getal kleiner daii V — . (D het potentiaal verschil tussehen de 2 platen). Vi Bij onze metingen was de verhouding nei’gens als 2:1, maar 1.3 a 1.5 tot 1. Dit moet ongetwijfeld worden toegeschreven aan den invloed van verontreinigingen in het argon. Daardoor is ook de afwijking grooter bij de metingen bij constante veldsterkte, dan bij die bij constanten plaatafstand. In het eerste geval toch neemt met toenemenden plaatafstand ook het aantal vreemde molekulen tussehen de platen toe. Het lijkt dan ook alleszins de moeite waard deze metingen nog eens met zuiverder gas te heilialen. Ten slotte kan men uit de krommen bij constant veld nog atleiden, dat vrijwel elke stoot van een electron, dat 12 Volt doorloopen heeft tot een ionisatie voert. Uit de voorafgaande berekening volgt, dat de Aveg, 907 dien een electron met een snelheid overeenkomende met 12 Volt, tusschen 2 stooten in de ricliliug- van het veld atlegt, gemiddeld 0.001 c.M. bedraagt, üit de meting volgt echter, dat alle ionisaties plaats vinden in een laagje van ten hoogste 0.004 c.M., zoodat vrijwel elke stoot, die tot een ionisatie kan leiden, ook inderdaad ionisatie tengevolge heeft. Natuurkunde. — De Heer Lorkntz biedt eeiie mededeeling aan van den Heer G. Krütkow: ,, Bijdrage tot de theorie der adiahntische invarianten” . ') (Voorioopige mededeeling). (Mede aangeboden door den Heer H. Kamerlingh Onnes). InI;E1DING. Elke grootheid, die gequanteerd moet worden, of kort gezegd — qnantengrootheid — moet, zooals bekend is, aan twee voor- waarden voldoen ; 1. zij moet een functie van de ijilegralen der bewegingsverge- lijkingen van het beschouwde stelsel zijn; deze voorwaarde is van zelfsprekend, daar immers de quantengrootheid door de beweging van het stelsel niet mag worden veranderd, en werd derhalve nooit expliciet uitgesproken. 2. zij moet een adiabatischê invariant zijn, d.w.z. zij mag bij omkeerbaar adiabatischê beïnvloeding van het stelsel niet veranderen. Deze eisch werd door Ehrenfrst opgesteld en door algemeene stati- stische overwegingen bewezen.^) Wanneer wij aannemen dat de adiabatischê inwerking mechanisch mag worden berekend, volgt deze voorwaarde reeds hieruit, dat de quantengrootheid sprongsgewijze varieert, de inwerking echter bv. ook oneindig klein kan zijn; de quantengrootheid mag derhalve in het geheel niet varieeren, zij moet een adiabatischê invariant zijn. Duidt men de quantengrootheid door v aan, de integralen der bewegingsvergelijkingen door c,, c,, . . . . en de adiabatischê invarianten door ,...., dan Iniden derhalve de voorwaarden (1) en (2): = /wnct (Cj, Cj, . . . .) . (1) V = /w»ct (vj, tq, . . . .) . . . . . . , (2) Elke quantengrootheid moet nog aan een andere voorwaarde voldoen ; zij moet eene van het coördinatenstelsel onafhankelijke beteekenis hebben. Deze voorwaarde lijkt mij den zin van het door Pi.ANCK opgestelde begrip van de cohaerentie der graden van vrijheid * *) b Voordracht gehouden in de Petrograd. Phys. Ges. in Dec. 1917 en April 1918. *) P. Ehrenfest. Ann. d. Phys. 51 (1916) blz. 327, Phys. Zschr. (1914) blz. Acad. Amsterdam 22 (1913) p. 586. Ann. d. Phys. 36 (1911) blz. 98. Verh. d. D. phys. Ges. 15 (1913) blz. 451. b M. Planck. Ann. d. Pbys. 50 (1916) blz. 285. 909 weer te geven. Ik lioüp bimiejikort op deze derde voorwaarde terug te komen; hier wordt ze biiiteti beschouwing gelaten en willen wij ons slechts bezighouden met voorwaarde (’2). Deze voorwaarde legt ojis de taak op de adiabatische in varianten voor een gegeven mechanisch stelsel te vinden, en doet ons \'ragen, naar een algemeene methode om het ,, adiabatische” probleem op te lossen'). Een dergelijke methode was tot nu toe niet bekend; naar de adiabatische invarianten moest geraden worden en achteraf moest men hunne adiabatische invariabiliteit toetsen. Langs dezen weg werden de volgende invarianten gevonden; a. de grootheid der statistische mechanica, die de dooi' het ,,energievlak” begrensde |)hasennitbreiding meet’); b. de voor een periode van een periodiek stelsel berekende ,, werking” c. de qnantenintegralen der voorwaardelijk-periodieke stelsels-. bi In het volgende wil ik in het kort een algemeene methode schetsen om adiabatische invarianten te vinden en ze op bijzondere gevallen toepassen : a. Cjklische stelsels. Deze stelsels vallen weliswaar onder het begrip voorwaardelijk-periodieke stelsels; daar echter de verhoudingen hier bijzonder eenvoudig zijn en de natuurlijkheid der methode aanschouwelijk maken, wil ik ze afzonderlijk beschouwen ; jj. voorwaardelijk-periodieke stelsels; y. ergodische stelsels. Onder (t?) zal ik hier slechts het grensgeval beschouwen, waarbij geen meetbare betrekkingen bestaan tusschen de periodiciteitsmoduli. Op de andere gevallen en in het bijzonder op hunne betrekking tot de in het begin opgestelde derde voorwaarde hoop ik nog terug te komen. b Daarop werd nadrukkelijk door Ehrenfest gewezen. Zie b.v. P. Ehrenfest. Phil. Mag. VI Vol. 33. p. 513 (1917). b P. Hertz. Ann. d. Phys. 33 (1910) blz. 544. *) L. Boltzmann. Prinz. d. Mechanik II blz. 181. P. Ehrenfest Ann. d. Phys. 51 (1916) blz. 3517 Anhang. b J. M. Burgers. Ann. d. Phys. 52 (1917) blz. 195. De hier genoemde in de Versl. Akad. Amsterdam gepubliceerde verhandelingen stonden mij helaas niet ter beschikking. Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. A^* *. 1918/19. 59 910 Dk algï:meene methode. § 1. Def nitie van adiahatiscJie invarianten ^). Wij beschonweii een nieclmiiiscli stelsel van n graden van vrijheid, welks bewegingsver- gelijkingen in den Hamiltonschen vorm geschreveti moeten worden : d// • dll »’■' = - V ‘>' = èp; ••■ ■(=*) Hierin is tl een functie der />, en . Zij mag de tijd t niet expliciet bevatten. Verder moet zij van uitwendige coördinaten — wij znllen ze de parameters noemen — afhangen. Deze para- meters kunnen öf constante waarden behonden, wij hebben dan het isoparametrische probleem, öf variëeren, dit is het rheoparameti'ische probleem, öf langzaam veriëeren, “) dit is het herpoparametrische of adiabatische probleem, waarvoor wij ons hoofdzakelijk inleresseeren. Wij willen vooronderstellen: I. Geen p, of q, groeit aan tot oneindig. De r/, zijn tnsschen vaste grenzen opgesloten. II. Gedurende den tijd, dat elke / op- gelost kunnen worden, dan vorme men de karakteristieke functie (6) waarin de c, , a) de uit de vergelijkingen (5) berekende p, be- . teekenen, en stelle dV _ dV _ ÖF_ öc, ‘ ’ ■ ■ öc„ dan zijn dit de ontbrekende integralen, waarbij (7) tn C/i (8) f, = « + c,* c,* is; hierin zijn de cF de nog ontbrekende 7i integratieconstanten. Hiermede is het isoparametrische probleem opgelost. § 3. De dijferentiaalvergelljkimjea van het rheopammetvische probleem. Om deze te verkrijgen zullen wij van de veranderlijke grootheden pi en qi overgaan tot de veranderlijke grootheden a en ti . Dit is een contacttransformatie. De overgang wordt tot stand gebracht door de karakteristieke functie V{qu Ci, a) =J. 2J Fi dqi (6') als transforinatiefunctie : a F a F De differentiaalvergelijkingen (3) behouden hun Hamiltonschen vorm. Blijft a constant dan wordt de nieuwe Hameltonsche functie gelijk aan de getransformeerde oude, d.i. gelijk aan c^, en wij verkrijgen het triviale resultaat : Cj = 0, (jj = 0, . . . . 0,1 = 0 ; fj = 1, = 0, . . . . = 0 Nu laten wij a veranderen, d.w.z. stellen a = /unkt(i). De trans- formatiefunctie F is nu een impliciete functie van t door bemid- deling van q, , c, en a : aF_ ^/aF- De ditferentiaalvei-gelijkingen (3) behouden altijd hun vorm, maar de nieuwe Hamiltonsche functie K wordt nu • (10) 912 waarin de haken beteekenen dat de afgeleide d V/da in de veran- derlijke grootheden r, , t, uitgedrnkt moet worden. De differentiaal- vergelijkingen van het rheoparametrisch probleem zijn derhalve: dK . dK . dK\ “ df, ~ ~ 'aï; “ dr;. / \ . . . (11) . _dK . _dK • _ \ ~ ~ d7, • • ■ ■ öc„ ) ^ 4. Het kerpoparametrische o f adiabatisdie pvobleem. Wij stellen otn te beginnen a = eonst,. Dan worden de vergelij- kingen (11), wanneer men daarin de waarde van K nit (10) substitueert: (t = 1, 2, . . . u) (12) . d /dF\ “dt.VöaJ . d fdV\ . . d fdV\ ( ■ of, wanneer wij differentiatie naar den parameter a door een accent aanduiden : d u V da y (12') Nu behoeven wij slechts links het streepje te plaatsen dat de gemiddelde waarde aangeeft, rechts het tijdsgemiddelde werkelijk te berekenen en verkrijgen dan de gevvenschte differentiaalvergelijkingen van het herpoparametrische- of adiabatische probleem. De integratie (waarbij men de middelwaardestreep links weglaat) levert ons de adiabatische invarianten op; indei'daad : zijn de vergelijkingen c'i =fi {ci, t/, a) t'i = gi {ci, ti. a) en is . 52 7 (31') Bijgevolg hebben wij verkregen 1 , dr, — ^ i >;x 0 (2 i da (33) Wij lossen nn dit stelsel vergelijkingen naar de afgeleiden d Vtlda op: dvi - — 1- ü Oi{x c X 0 o CE In plaats van kan men schrijven ; bi (34) (35) Derhalve voor (34) : iXi dvi dvi — da X döx (36) De Vi zijn functies van a en van de c,.; het linkerlid van (36) is diis de totale ,,adiabatische” afgeleide — : dus de vt zijji adiabatische da invarianten. Wij hebben deze vei'ki-egen door de eerste groep van onze rheo- parametrische vergelijkingen — de vergelijkingen voor c'^ — aan de reeks bewerkingen die door onze methode werd voorgeschreven te onderwei'pen. Nn zullen wij aan toonen, dat wij daarmede genoegen kunnen nemen en ons om de tweede groep van vergelijkingen — de vergelijkingen voor t'x — in ’t geheel niet behoeven te bekommeren, voorotidersteld, dat wij de onder 2) in de inleiding genoemde voor- waarde willen vinden, waaraan elke quantengrootheid van het voor- 917 waardelijk-pei-iodieke stelsel moet voldoen. De onder J) genoemde voorwaarde kunnen wij in het kort zoo formnleeren, dat elke qnan- tengrootheid v langs de „baankromme” van ons stelsel een constante waarde moet behouden ; zij is een functie van die integralen van het isoparametrische stelsel, die den tijd t niet expliciet bevatten, d. i. van Cj, . . . . c,i, /». Het tijdsgemiddelde van v is dns gelijk aan v. Verder mogen wij dit tijdsgemiddelde door het ,,rnimte- gemiddelde” voor de cel vervangen ; dit is een functie der c., alleen, dus is v een functie der Cx en onafhankelijk \an . . . ,1,,. Nu hebben wij n adiabatische invarianten gevonden — functies van Cx en a; de niet berekende invarianten bevatten alle de tx, wij hebben deze voor ons doel niet noodig. De voorwaarden J) en 2) voor een voorwaardelijk-periodiek stelsel zonder meetbare betrek- kingen tusschen de w^- luiden derhalve: V — fuiict (Cj, . . . ; a) V = funct (üj, . . . r„) waarin de Vx door de formule (32) zijn gegeven. De quantentheorie kiest, zooals bekend, als quantengrootheden de Vx zelf '). § 8. Het ergodische stelsel. Tot nu toe hebben wij voorondei'Steld, dat het isoparametrische probleem wei-kelijk opgelost is. Wij zullen nu slechts vooronderstellen, dat de enei’gieintegraal (pó «) = «1 (38) gegeven is en ei- de ergodenhypothese aan toevoegen: n.1. dat het stelsel gaat door elk punt van het ,,energievlak” H = c, ’). Het tijdsgemiddelde F van een phasenfunclie ƒ is dan de integralen genomen over het energie vlak H = c,.. Bij wijze van natuurlijke verbijzondering van onze algemeene methode nemen wij als transformatiefunctie V de grootheid Fdq^ (40) 9 K. SCHWARZSCHILD. Sitzungsber. Berlin 1916. blz. 550. P. Epstein. Ann. 0. Phys. 50 (1916) blz. 489; 51 (1916) blz. 168. A. Sommerfeld. Ann. d. Phys. 51 (1916) p. 1. ’) Zie P. en T. Ehrenfest. Ene. d. inath. Wiss. IV 32. § 10. ®) L. Boltzmann. Gastheorie II blz. 88. e. v. 918 waai-in F de door oplossing van H=c^ verkregen uitdrukking voor ^>1 beteekent : 'Pi = {P2 • • •- pni qv • ■ -t qni C^-,a). . . . . (41) Voert men deze uitdrukking weer in H = c\ in, dan verkrijgt men een identiteit. Differentieert men deze nmv Ci, p,, ... pjn, dan krijgt men : (42) dF dF ^ dPI dpx ~dF dc. dc. dIJ__ 1 dH dF dF' dqi ÖCj \vaaruit men gemakkelijk voor de Hamiltonsclie vergelijkingen vindt; dF dqx dF dt dF Ö/>I dqj: dq^ dp^ dq^ Wij vormen nu de afgeleiden van de transformatiefiinctie V naar alle veranderlijken, die ze bevat: (42') ÖF ÖF rdF ÖF rdF dV ('dF s./x=J di;=jsr *'■='■ Wij kunnen dus beweren, dat F den overgang vormt van de ver- anderlijken p^, . . . , p„, (p, ... , (jn naar de veranderlijken p,, . . . ,p„, ihi • • • . (pn c'i, t^. Van de rheoparametrische ditferentiaalvergelijkingen hebben wij hier slechts de vergelijking voor o', noodig. Zij luidt: d fdV\ d f ('dF \ “■ = -s.TUj = ^d-,ü ■ • ■ • nde integraal ha De tusschen haken staande integraal hangt van t slechts door be- middeling van (p af: (44' Nu vormen wij volgens formule (39) de middel waarde dF dpj . . . dp,i dp^ . . . dp,) . -/-j' öa dpn dq^ dF (45) waarin wij in den noemer volgens de laatste der vergelijkingen (42') door ~ vervangen hebben. Het is gemakkelijk in te zien, dat OCj teller en noemer de partieele afgeleiden naar a, resp. naar c, van een functie V zijn, waarbij F =J ... j dp^ ... dpn dq^ dqni (46) 919 de integratie strekt zich uit over liet gebied, dat door liet ,,energie- vlak” // = (', wordt omsloten. Wij, hebben dns: dV da dV- — cj = 0 dc, (47) V is een adiabatische invariant. Men kan ook geniakkelijk aan- toonen, dat deze grootheid een beteekenis heeft, die onafhankelijk is van het gebruikte coördinatenstelsel; zij voldoet dus ook aau de in de inleiding onder (3) genoemde voorwaarde. Dit is ook het geval met de op blz. 909 met v aangeduide grootlieid. Men moet onderzoeken ouder welke voor waarden de door (32) gedefinieerde grootheden i\ aan dezen eisch voldoen. Men mag zeer zeker verwachten, dat dit onderzoek ons zal leeren, de oii verschil- lende wijzen ontaarde stelsels te quanteeren. Men kan ook voorzien, dat deze kwestie waarschijnlijk in den geest van Planck ') en ScHWAKSCHiLD ’) zal wordeii beslist. Zoo mogen b.v. bij den tol waarop geen krachten werken van de navolgende dile adiabatische invarianten : moment van hoeveelheid van beweging, de projectie daarvan op de assen der figuur en die op de S-assen van een willekeurig georienteerd vast coördinatenstelsel (allen vermenigvuldigd met 2jr), slechts de twee eerste gequanteerd worden. Derhalve wordt het elementairgebied niet h\ maar //’ (2?^ -f- 1), waarin n het bij het moment van hoeveelheid van beweging behoorende quantengetal is. Op grond hiervan kan men bezwaar maken tegen de door Epstein gegeven berekening van de soortelijke warmte van waterstof. *) Op al deze vraagstukken — vraagstukken betreffende de aanpassing der quantenhjpothese aan verschillende gevallen — hoop ik weldra terug te komen. De hier ontwikkelde methode is daarvan onafhankelijk, zij is de oplossing van een zuiver-mechanisch probleem. Het lijkt wenschelijk, haar toe te passen op stelsels, die niet door separatie der variabelen in de partieele differentiaalvergelijking van Hamilton — Jacobi ge- integreerd kunnen worden, b.v. op de PoiNsoT-beweging. Ook daar- over hoop ik binnenkort iets te kunnen mededeelen. Petrogrnd, September 1918. Physisch Laboratorium der üniversiteit. h M. Planck. 1. c. i*) K. Schwarzschild. Silzungsber. Berlin 1916. blz. 550. P. S. Epstein. Ber. d. D. Phys. Ges. 1916 blz. 398. Zie vooral formule 10) blz. 401. Tegen de op blz. 407 voorgestelde quanteering kunnen ook bezwaren worden ingebracht, daar de quantengrootheden geen adiabatische invarianten zijn. 920 Anatomie. — De Heer Boeke biedt eene mededeeliiig aan van den Heer Erik Agduhr : „As- the post-emhryonal grou'th of the nervon.s system doe only to an increase in size or also to an incvease in nuinber o f the nenrones ?” Deze inededeeling zal in het volgende zittingverslag worden opgenonien. Ter uitgave in de Werken der Akademie wordt door den Heer .). Boekk, namens den Heer H. C. Delsman, aangeboden het manu- script van diens verhandeling: The Ancestry ofVertebrates as a means of nnderstanding the principal features oftheir structnre and development" . De Voorzitter stelt het manuscript in handen van eene Commissie van beoordeeling, bestaande nit de Heeren J. Boeke, J. W. van WiJHE en .1. F. VAN Bemmelen met verzoek in een volgende ver- gadering rapport nit te brengen. Genoemde heeren nemen de opdracht aan. De vergadering wordt gesloten. 28 April 1919. KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN TE AMSTERDAM. VERSLAG VAN DE GEWONE^ VERGADERING DER WIS- EN NATUURKUNDIGE AFDEELING VAN ZATERDAG 25 JANUARI 1919. Deel XXVII. N". 7. Voorzitter: de Heer H. A. Lorentz. Secretaris: de Heer P. Zeeman. INHOUD. Ingekomen stuk, p. 921. A. F. HollemaN: „De refractometrische onderzoekingen van EYKMAN, naar aanleiding der aan- bieding van de uitgave zijner werken”, p. 922. J. Boeke en J. O DUSSER DE BarennE: „De sympathische innervatie van de dwarsgestreepte spieren bij de gewervelde dieren”, p. 926. (Met één plaat). Erik AODUHR: „Are the cross-striated muscle fibres of the extremities also innervated sympatheti- cally?” (Aangeboden door de Heeren J. BOEKE en C. P. SLUITER), p. 930. J. G. DusSER DE Barenne: „Nogmaals de innervatie en de tonus der dwarsgestreepte spieren”. Aan- geboden door de Heeren J. Boeke en L. BOLK), p. 937. Jan de VRIES: „Nulstelsels, welke door lineaire stelsels van vlakke algebraïsche krommen worden bepaald”, p. 948. Q. SCHAAKE: „Een involutie in de stralenruimte”. (Aangeboden door de Heeren JAN DE VRIES en Hendrik de Vries), p. 957. W. VAN der WOUDE: „Over een kromme van den vierden graad en 't geslacht twee, waarin oneindig veel configuraties van DESARGUES beschreven kunnen worden”. (Aangeboden door de Heeren J. C. KLUYVER en W. KAPTEYN), p. 962. H. NORT: „De afstandscorrectie bij de platen van de „Harvard Map of the Sky””. (Aangeboden door de Heeren J. C. Kapteyn en W. DE Sitter), p. 967. Mej. Ch. Bastert: „Ecnige waarnemingen over de adembeweging bij Petromyzon fluviatilis”. (Aange- boden door de Heeren O. VAN RIJNBERK en C. P. Sluiter), p. 974. A, Smits: „Het verschijnsel electrische overspanning”. II. (Aangeboden door de Heeren P, ZEEMAN en S. Hooowerff), p. 981. F. E. C. SCHEFFER: „Over metastabiele ontmenging en de classificatie van binaire stelsels”. (Aange- boden door de Heeren J. Böeseken en F. M. JAEGER), p. 987. J. D. VAN DER WAALS JR: „Over de theorie der Brownsche beweging”. (Naschrift). (Aangeboden door de Heeren J. D. VAN DER WAALS en H. A. LORENTZ), p. 989. J. J. VAN LaaR: „Over de toestandsvergelijking voor willekeurige temperaturen en volumina. Analogie met de formule van Planck”. (Aangeboden door de Heeren H. A. LORENTZ en F. A. H.SCHREINE- MAKERS), p. 995. Erik AgduhR: „Is the post-embryonal growth of the nervous System due only to an increase in size or also to an increase in number of the neurones?” (Aangeboden door de Heeren J. BOEKE en C. WINKLER), p. 1011. L. S. ORNSTEIN en H. C. BURGER: „Statistiek van getallenreeksen". (Aangeboden door de Heeren H. A. LORENTZ en W. H. JULIUS), p. 1033. Aangeboden boekgeschenk, p. 1033. Errata, p. 1033. Het Proces- verbaal der \ orige vergadering wordt gelezen en goed- gekeurd. Ingekomen is een bericht van den Heer Jan de Vries, dat hij verhinderd is de vergadering bij te wonen. Verder zijn voor deze vergadering geen stukken ingekomen. 60 Verslagen der Afdeeling Naluurk. Dl. XXVII. A». 1918/19. ScheikuDde. — De Heer Holleman doet eene mededeeling over: „De refraciometrische onderzoekingen van Eykman, naar aan- leiding der aanbieding van de uitgave zijner iverken”. Hoewel Eykman omstreeks 25 jaar van zijn leven besteed heeft aan refractometrische onderzoekingen van organische verbindingen, daarbij een materiaal heeft verzameld van geweldigen om vang en tot zeer belangrijke conclusies uit dit materiaal is gekomen, is zijn werk op dit interessante terrein toch vrij wel onbekend gebleven. Dit is hoofdzakelijk te wijten aan de wijze, waarop hij het heeft gepubliceerd. Aanvankelijk daartoe de Berichte der deutschen chernischen Gesell- schaft kiézende, heeft hij daarna een aantal verhandelingen in het Recueil geschreven ; maar verreweg het grootste deel van zijne verhandelingen zijn uitsluitend in het Chemisch Weekblad vei'schenen. De onderzoekingen zijner leerlingen waren tot nu toe enkel in dissertaties neergelegd. Het was dus voor buitenlandsche chemici, die slechts bij uitzon- dering onze taal machtig zijn, feitelijk ondoenlijk om van Eykman’s onderzoekingen kennis te nemen. Daarbij bleek mij, toen zijne nagelaten papieren door zijn broeder, ons medelid Chk. Eykman, in mijne handen werden gesteld, dat deze nog een omvangrijk feitenmateriaal bevatten, dat nog in het geheel niet gepubliceerd was. Ten einde zijne denkbeelden en experimenteele resultaten meer algemeen toegatikelijk te maken, was het noodzakelijk zijne refrac- tometrische onderzoekingen in hun geheel samen te vatten. Door de tinantieele hulp van de Hollandsche Maatschappij der Weten- schappen, die hierin getrouw aan hare hooge traditiën is gebleven, is deze uitgave mogelijk geworden. Men vindt in het thans verschenen werk : Recherches réfracto- métriqiies de feu J. E. Eykman, in de eerste plaats een levensbericht en een overzicht van zijne onderzoekingen op dit gebied. Dan volgen de verhandelingen uit de Berichte, die o. a. zijne onderzoekingen bevatten over de ver|)laatsing der dubbele bindingen in de zijketens van ai’omatische verbindingen naar de benzolkern toe. Deze ver- plaatsing heeft eene aanzieidijke verhooging der moleculaire refractie en dispersie ten gevolge. 923 In zijne verhandelingen in het Recueil beschrijft hij den door hem geconstrueerden refractometer met constante deviatie van 40®, die vv^ordt verkregen door draaiing van liet prisma om eene verticale as. Dit apparaat heeft verder eene inrichting, waardoor metingen van de refractie tot op eene temperatuur van ca 150° met gemak kunnen geschieden, waardoor het boven alle andere refractometers voor organisch-chemische onderzoekingen de voorkeur verdient. Ook zijne pyknorneters zijn hier beschreven. In deze verhandelingen wordt verder bewezen, dat voor de meest uiteenloopende homologe reeksen de refractometrische waarde der groep CH, constant is, als men slechts de eerste drie termen dier reeksen buiten beschouwing laat, voor welke die waarde hetzij grooter, hetzij kleiner is. Ook bevatten zij de afleiding van Eykman’s formule voor de moleculaire lefractie. Vroeger werd daarvoor meestal de formule van Gtladstone & Dalf, gebruikt: n — 1 . F—const. d waarin n den brekingsindex d het spec. gew. der vloeibare stof en F het inolecu- lairgewicht voorstelt. Nadat door Lorentz langs theoretischen weg — 1 F de formule .— was afgeleid, kwam deze biina uitsluitend in gebruik. De formules van Gladstone & Dale en van Lorentz ver- toonen echter bij groote temperatuurtrajecten (van 100® b.v.) geene constante waarde; maar die van eerstgenoemdeu dalen, terwijl de theoretische formule stijgende waarden geeft. Onder opmerking dat G. & D’s formule zich ook laat schrijven ; ld — 1 F . en het verschil van beide formules dus enkel den noemer n+1 d betreft, zocht Eykman langs empirischeu weg eene formule die ook voor groote temperatuurtrajecten constante waarden behoudt en ,^2 I p vond deze in de uitdrukking . Hierdoor was het dus moge- n-1-0.4 d lijk om metingen, die bij zeer uiteenloo[)ende temperaturen zijn gedaan, direct met elkander te vergelijken. De verhandelingen in het Ghemisch Weekblad gaan over twee, voor de organische refractometrie zeer belangiijke vraagstukken nl. over de cyclische verbindingen en over onverzadigde stoffen. Wat de eerste betreft, komt hij tot het resultaat, dat liet aantal C-atornen in de gesloten keten op de refractie een aanzienlijken invloed heeft, die zich ook uitstrekt over de refractometrische waarde die CH,- groepen in de zijketens hebben. Met betrekking tot de onverzadigde verbindingen bewijst hij aan 60* 924 een buitengewoon omvangrijk materiaal, dat van een constant incre- ment voor de dubbele binding, hetgeen Brühl invoerde, geen sprake kan zijn, want dat de dubbele binding op de refractie, en voorna- melijk op de dispersie der onverzadigde verbindingen een zeer uit- eenloopenden invloed kan oefenen. Onder de nagelaten papieren bevonden zich de refractometrisclie bepalingen van ruim 350 verbindingen, die nog niet waren gepubli- ceerd, waaronder nagenoeg komplete serien van homologen. Dat Eykman deze niet zelf heeft gepubliceerd, schrijf ik voornamelijk toe aan het feit, dat hij er hoe langer hoe moeielijker toe kwam, om zijne resultaten persklaar te maken. Wellicht wilde hij ook wachten, totdat eenige serien nog vollediger waren geworden, of om enkele metingen nog voor hunne publicatie te herhalen. Door deze onder- stellingen kan het eenigszins vermetel schijnen, om thans resultaten openbaar te maken, die de meester zelve nog terug hield. Behalve echter het i'eeds daar even genoemde feit, is er nog eene andere omstandigheid, die de publicatie rechtvaardigt. Het is de vergelijking der metingen aan dezelfde stoffen, die verscheiden jaren na elkander door hem zijn verricht. Er blijkt dan in nagenoeg alle gevallen een bijna volkomen pvereenstemming in de cijfers te bestaan. Inderdaad geeft zijn geheele werk den indruk, van met de grootste zorg, ook wat de zuiverheid der verbindingen betreft, te zijn uitgevoerd. Het is zeer te betreuren, dat het nagelaten materiaal nagenoeg uitsluitend uit tabellen bestond, zonder eenige samenvatting. Ik heb getracht, hieraan te gemoet te komen, door aan iedere serie metingen van homologen een overzicht toe te voegen, mij overigens wel bewust zijnde van de moeielijkheid dezer taak, die zeker door den meester zelve op veel betere wijze zoude zijn ver\uld. Ik heb er naar ge- streefd, om in die overzichten de resultaten zooveel mogelijk te interpreteeren in den geest, die uit Eykman’s werken spreekt, en menigmaal van geheel andere opvattingen getuigt, dan de meeste chemici huldigen, die op dit terrein werkten, in de hoop, naar het oordeel van degenen, die in deze soort onderzoekingen meer com- petent zijn, het juiste te hebben getroffen. De nagelaten metingen omvatten verbindingen uit de volgende homologe reeksen : verzadigde koolwaterstoffen, alcoholen C„H2n-}.iOH, alkylhaloiden, aliphatische en cyclische aminen, zuren CVH2n02 en hunne esters, verzadigde aldehyden en ketonen, onverzadigde koolwaterstoffen, onverzadigde zuren, meerwaardige alcoholen, meer- basische zuren, hydroxyzuren, aldehyd- en ketonzuren, derivaten van koolzuur, cyclische verbindingen, aromatische koolwaterstoffen, phenolen, aromatische aminen en aromatische zuren. 925 Dit nagelaten materiaal bevestigt eenerzijds voor een groot deel de conclusies, waartoe Eykman reeds met belui lp van het door hem gepubliceerde was gekomen, maar toetst deze aan een tot nu, toe ongekend aantal verbindingen; anderzijds zijn eenige nieuwe gezichts- punten voor den dag gekomen. Onder deze zijn de invloed van de vertakking der koolstofketens, de verdere ditferentieering der atoorn- refractie van de zuurstof, de invloed der stereo-isomerie, alsmede het nadere onderzoek van de dispersie der organische verbindingen te noemen. Dit geheele nagelaten werk toont met groote evidentie aan, dat er geen questie van constante atoomrefraclies kan zijn, zelfs niet voor de koolstof. Hoewel de variaties in de atoornrefractie van dit element dikwijls vrij onbeteekenend zijn, vormt het toch geen uit- zondering op den algemeenen regel, dat de atoomrefracties niet constant zijn. Eykman’s werk beoogt niets minder dan eene geheele herziening van de refractometrie der organische verbindingen ; alle fundamen- teele vragen op dit gebied heeft hij op meesterlijke wijze behandeld, dank zij zijn genialen aanleg en zijne verbazingwekkende werkkracht, die gelukkig onder het neerdrukkende gevoel van niet erkende ver- dienste ongerept is gebleven. Amsterdam, Januari 1919. Anatomie. — De Heer J. Boekk biedt, mede namens de Heer J. G. Dusseu de Barenne, een mededeeling aan over: ,, De sympa- thische innervatie van de dwarsgestreepte spieren bij de gewervelde dieren” . Benige jaren geleden werd door een van ons, mede o.a. in deze verslagen en de verliandelingen dezer Akademie'), mededeeling gedaan van waarnemingen, welke aantoonden, dat bij de dwars- gestreepte spieren van i-eptielen, vogels en zoogdieren naast de gewone motorisclie eind|)laten nog andere uiterst tijne en dunne, ijl gebouwde eindorganen op de spiervezelen voorkomen, die zich in Bieeschowsky- praeparaten voordoen als uiterst kleine neurofibrillaire eindringen of eindnetjes aan het einde van dunne merglooze zenuwen. Deze eindigingen liggen op de spiervezelen ingebed in het sarcoplasma der spiervezelen, en bevinden zich nu eens in dezelfde sarcoplasraa- ophooping, waarin ook de gewone molorische zenuweindorganen liggen, dan weer liggen zij afzonderlijk op de spiervezelen in een kleine hoeveelheid sarcoplasma met eenige kernen, doch voor zoover men dit kan nagaan, altijd hypolemmaal. De merglooze zenuwen zelve, aat) de eindvertakkingen van welke deze eindoigaantjes be- vestigd zijn, loopen in bundels tnsschen de spiervezelen door, blijven steeds mergloos, en schijnen een afzonderlijk systeem van zenuwen te vormen afgescheiden van de gevoels- en bewegingszenuwen. Het lag voor de hand, gezien het mergloos kaï'akter dezer zenuwen, te veronderstellen, dat deze zoogenaamde ,,accessorische innervatie” (Boeke, 1909) van sympathischen aard zijn zon, en zoo werd dan ook de veronderstelling geuit, dat de dwarsgestreepte spieren (de bovengenoemde eindorganen konden bij tongspieren, oogspieren, irisspier, rngspieren. [)ectoralis, intercostaalspieren worden aangetoond, terwijl later door Aoyaoi dergelijke eindorganen ook in het diaphragma werden gevonden), behalve aan den invloed van de spinale zenuwen ook aan dien van het sympathische zenu wstelsel waren onderworpen, waarbij óf aan een tonische óf aan een trophische werking ware te denken. Dit laatste is echter een physiologische vraag, en de beant- woording daarvan ligt buiten het bestek van deze mededeeling. 1) J. Boeke, Studiën zur Nervenregeneration I en II. Verhandelingen K. A. W. Tweede serie. Deel 18 en 19. 927 De sympathische aard dezer accessorische vezels kon daarna worden aangetoond, door bij de oogspierzennwen (trochlearis, ocnlo- motorius) de zenuwen vlak bij den hersenstam te doorsnijden, zoodat de motorische (en sensibele) vezels degenereerden. De accessorische merglooze vezels en hunne eindigingen o[) de spiervezels bleven dan echter onveranderd (Hoeke 1911, 1916), hetgeen slechts kon worden verklaard door aan te nemen, dat zij door den sympathi- schen tak, die langs de arteria ophthalmica uit den plexus caroticus de orbita bereikt, naar de oogspierzennwen waren overgebracht, zoodat zij bij de doorsnijding van den zenuwslam vlak bij de intree- dingsplaats uit de hersenen niet werden doorgesneden. Experimenten, waarbij een reeks van spinale zenuwwortels bij de kat werden doorsneden, in samenwerking met Prof. Magnus verricht, gaven evenwel bij het onderzoek van de verlamde intei'- costaalspiervezelen geen duidelijk resultaat, wat wel kan samenhangen met het feit, dat de sympathische zenuwelementen zich over het algemeen bijzonder moeilijk laten kleuren of impraegneeren. Een negatief kleuringsresultaat is derhahe nooit bewijzend voor het niet aanwezig zijn van de te kleuren zenuwelementen. Later zijn derge- lijke experimenten wederom ter hand genomen, en Dr. Agduhr, wiens mededeeling hierover aan onze mededeeling zich aansluit, verkreeg bij de spiervezelen der extremiteitspieren dezelfde positieve en bewijzende resultaten als die, welke wij in deze mededeeling voor de intercostaalspieren zullen beschrijven. De proef, waarvan wij thans de uitkomsten willen mededeelen, werd door een van ons (D. de B.) op de volgende wijze genomen : Bij een kat werden steriel intraduraal weggenomen 4 op elkaar volgende spinaalgangiien aan de rechterzijde, met gelijktijdige door- snijding van de bijbehoorende achter- en voorwortels (15 Februari). De wond genas per primam, het dier bleef gezond. Een maand na de operatie (15 Maart) werd het dier door chloroform gedood, en de bloedvaten van uit de aorta door middel van de vloeistof van Ringer-Locke schoongespoeld. Daarna werd de borstkas met neutrale formoloplossing (12 V») doorgespoeld en in dezelfde vloeistof gefixeerd (met 60 7o alcohol). Bij de autopsie bleken te zijn doorgesneden de voor- en achterwortels van thoracalis Yl, VII, VIII en IX, met de daarbij behoorende spinaalgangiien. De meest betrouwbare resultaten waren dus te verkrijgen bij het microscopisch onderzoek van de intercostaalspieren x an de zevende intercostaalruimte. Daaruit werden dan ook verschillende spierstukken uitgesnedeu en volgens de methode van Bielschowsky werden nu hierin de zenuwen gekleurd, en op doorsneden onderzocht. 9‘28 De kleuring van de zenuw vezelen gelukte goed, en de resultaten van het onderzoek der microscopische doorsneden waren de volgende : de ascj'linders en mergscheden der motorische en sensibele zenuwen waren volkomen gedegenereerd en verdwenen. Slechts de neurilem- scheden van Schwann waren in den eigenaardigen vorm van de protoplasmatische banden van Büngner, zoo karakteristiek voor gede- genereerde zenuwen, in de preparaten te zien. Van de motorische eindplaten was geen s|)Oor meer te vinden, slechts de grofkorrelige sarcoplasma-ophoopingen met hunne talrijke kernen wezen nog de plaats van de vroegere zoolplaten aan. Het motorische en sensibele zenuwstelsel was dus volkomen gedegenereerd. Geen enkele zenuw was meer te vinden. Doch wel waren in de doorsneden tusschen de spiervezelen zeer tijne bundels, dikwijls uit slechts enkele zenuw- draden bestaande, van uiterst dunne mei’glooze neurotibrillendraden te zien (figg. 1 en 2) en als men deze fijne zenuwdraden vervolgde onder het miskroskoop lot daar waar zij ophielden, bleken zij daai' ter plaatse door uiterst kleine, maar duidelijke eindoi'ganen, eind- ringen of kleine eindnetjes met de spiervezelen in verbinding te staan. Ook in het verloop van deze zenuwdraden werden dikwijls kleine zijtakjes afgegeven die met de spiei'vezel, waarover de zenuw- vezel heenliep, door een klein eindringetje in verbinding traden. Een blik op fig. 2 geeft dit duidelijker aan dan een lange beschrijving. Dat ook meer samengesteld gebouwde, doch altijd even ijl en klein blijvende, eindvertakkingen op de spiervezelen bij deze zenuwdraden voorkomen, blijkt uit de eerste figuur van de bij deze mededeeling gevoegde plaat. Hier blijkt ook deze eindvertakking in een ophoo- ping van korrelig sarcoplasma te liggen, waarin eenige kernen ver- spreid liggen. Dit wijst op een hj^polemmale ligging dezer eind- vertakkingen. Kortom, de vorm dezer eindorgaantjes en de structuur van het neurofibrillaire weefsel, zijn volkomen gelijk aan die, welke de eindoi'ganen en eindvertakkingen van de merglooze zenuwvezels vertoonden, die na doorsnijding van den stam .der oogspierzenuwen op de spiervezelen der oogspieren behouden bleken te zijn gebleven (Boekk 1911, 1916), het zijn dus zenuweindigingen en zenuwdraden, die tol het zoogenaamde accessorische innervatieapparaat van de dwarsgestreepte spieren behooren. Deze hier beschreven en in de beide afbeeldingen op de bijge- voegde plaat afgebeelde zenuwen kunnen nu niet anders dan van sympatimchen aard zijn. Merglooze zenuwvezolen degenereeren over het algemeen langzamer dan de merghoudende zenuwen en hunne eindorganen. Terwijl 3 — 4 dagen na de zenuwdoorsnijding doorgaans J. BOEKE en J. G. DUSSER DE BARENNE: „De sympathische inner- vatie van de dwarsgestreepte spieren hij de gewervelde dieren”. Kig. 1. VERKLARING DER AFBEELDINGEN. Fig. I en 2. Spiervezelen van de musculus intercostalis van de zevende intercostaalruimte rechts, met merglooze zenuwdraden en eindigingen, behouden gebleven na doorsnijding van de zenuwwortels en exstirpatie van de spinaal- ganglien van de VDe, VIDe, VIIL'<= en IX^e intercostaalzenuw bij de kat. Vergr. 1800 53' = sympathische zenuwvezels. 929 alle motorische eindplaten op de spiervezeleii verdwenen zijn, kan men soms nog 2 weken na de operatie liier en daar scliijnbaar intact gebleven merglooze zennwvezelen in de preparaten vinden. Wacht men evenwel, zooals bij liet hier beschreven experiment werd gedaan, een maand na de operatie, voordat men liet dier doodt en de spieren onderzoekt, dan is men volkomen zeker, dat alle doorgesneden merglooze zenuwen ook werkelijk gedegenereerd en verdwenen zijn. Vindt men na verloop van dien termijn dan nog in de preparaten intacte, zuiver omlijnde en scherp electief kleur- bare zenuwdraden, eindvertakkingen en nenrofibrillaire eindringen, dan kan men met zekerheid zeggen, dat die zennwvezelen bij de operatie niet werden doorgesneden. Uit de beschrijving van het experiment zelf blijkt, dat dit slechts zennwvezelen kunnen zijn, die eerst nadat het ganglion spinale is gepasseerd, in de zennw zijn binnengedrongen en waarvan het trophische centrum, de ganglie- cel, buiten het rnggemerg en buiten het ganglion spinale ligt, sym- pathische zennwenvezelen derhalve, waarvan de zenuwcel ligt in de gangliën van de sympathische grensstreng. Hierdoor is dus de op grond der vi-oegei'e waarnemingen uitge- sproken veronderstelling (Boeke 1911, 1916) gebleken juist te zijn. Bewezen is hiermede, nltiuws voor de rompspieren, niet alleen dat deze accessorische vezels en eindplaatjes tot het sympathisch zenuw- stelsel belmoren, maar bovendien dat zij cent r ifug a Ie sympathische systemen zijn. Uit de zich aan deze mededeeling aansluitende mededeeling van Dr. Aqduhr zal blijken, dat hetzelfde het geval is voor de spieren der extremiteiten. Leiden, Utrecht, Anatomisch Kabinet. Anatomie. — De Heer Boeke biedt een uiededeeling aan van den Heer Erik Agüuhr: ,,Are the cross-striated inuscle fibres of the extreniities (dso iii/ieronted sympatkeiicalbj?” (Mede aangeboden door den Heer Sluiter). In the Anatoinischer Anzeiger, Bd. 44 Boeke ') gives an account of how lie has shown morpliologicallj that tlie cross-striated inuscle tibres in the ni. obliquus ocnli superior of the cat are innervated not oidy by cerebral but also by sympathetic nerves. He describes how he made a section of the n. trochlearis near the basis of the brain and let the animal live till the nerve tibres, that had been cut otf, peripherically of the place where the sections were made, had under- gone degeneration that could be proved morphologically. He also found in BiELscHOWSKY-impregnated sections fVom the m. obliquus oculi of the animal that the medullated nerves had undergone dege- neration. By the side of these degenerated cerebral nerves Boeke found, however, intact nerves free from mednllary sheaths, which ended in terminal loops in or on the muscle fibres. Boeke was able to show that the terminal loops had a hypo-lemmal position and on account of this he is of the opinion, that the intact nerves are of an efferent nature. The position on the muscle fibres of the terminal loops of these nerves was partly inside and partly outside the region of a motor plate. In this way Boeke had of course put forward evidence of the innervation of the cross-striated mnscle tibres by sympathetic nerves as well. This morphological e\'idence of Boeke has caused me to investi- gate the occurrence of such nerves in the mnsculature of the extre- mities. It is well known, that the inner orbital muscles are excee- dingly well snpplied with nerves, and the possibility that only these and 110 other cross-striated muscles are innervated sympathetically is of course quite a reasonable one, even though it is not obvions. Dnring my investigations on the plurisegmental innervation of the separate cross-striated muscle fibres I had in addition observed in the muscles of the extremity a number of terminal organs of nerves, which I conld not iiiterprete with certainty. I had also noticed a ‘) Boëke, J. Die doppelte (motorische imd sympathische) et'ferente Innervation der quergestreiften Muskelfasern. Anat. Anz., Bd. 44, 1913. niimber of nerve eiidings, tliat reniinded me of tliose described by Hoeke as “accessorj”. Tbis state of affairs compelled me, before continuing the segmeiital investigations mentioned above, fo attempt to answei- the qiiestion : “Are the cross-striated miisele fibres of tlie extremities also iniiervated sjmpathetieally ?”, and in addition, in case the question could l)e answered positivelj, ,to studj in somewhat more detail the terminal organs of these nerves in the exlremity-musen- lature. There were really two ways in which 1 could set abont answering this question, I could either bring all the spinal nerves in the extremities into degeneration, taking cai-e that all the sym|)athetie nerves to the extremities rernained intact, or else I could bring the sympathetic nerves into degeneration while the spinal ones wei'e left intact. I chose both methods, so that I might possibly arrivé at results that agi'eed with each other and that were therefore so much more certain. In order to bring into degeneration the sympathetic nerves of the extremity the ganglion stellatum of one side was exstir|)ated in two cats. The cats were kept alive for a few days (four and six respec- tivelj') after the operation. In sections of /?-impregnated extremity- muscles from the animal in wliich degeneration had proceded farthest I was SLiccessful in showing the remains of degenerated nerves that were without medullai'y sheaths. 1 shali give a more detailed account of this pai't of the investigation in a more complete description. I shall enter here into rather more detail about the other part, i.e. the bringing into degeneration of the spinal nerves, taking care that the sympathetic ones rernained intact. I ent off the last four cervical and the tirst two thoracal nerves in the foramina intervertebralia of several cats. The sections were made bet ween the ganglion spinale and the place where the ramos coramunicans albus goes off. The wounds were sutured and began to heal per primam intent. The animals were killed after different periods of time varying from five to ten days after the ojieration. The animal from which were taken the [ireparations, on which the following description is based, was killed five days aflei' the operation, On account of the operations that had been carried out it could thus be assumed that after a sufficiënt length of time degeneration would occiir — peripherically of the place of the section — in the spinal nerve fibres of the segmental nerves that had been cut off and also in their pre-ganglionar sympalhetic nerves. On the other hand there was reason to expect that the post-ganglionar sympathetic nerves were kept intact. The shortest of the periods of degeneration 932 taken shonld be sufficiënt to show degeneration (periplierically of the place where the cut was made) in Ag — impregnated prepa- rations of the nerve tibies that had been cut otï. Telt, o') gives further details about the time of the appearance of degeneration that can be shown morphologically in the nerves peripherically of the place of the section. The plexus brachialis of the cat is generally formed by the ventral bianches of the tirst thoracic ner\e (1 have sometimes, how- ever, observed a tine branch from the second thoracic nerve) and the last three cervical ner\'es. As is shown above, one segmental nerve cranially and oue caudally of those that generally form the plexus had thus been caused to degenerate. This was done to ensure complete certainty that, even if some branch might possibly come from these contiguous nerves to the anterior exti'emities, all the spinal nerves there would have undergone degeneration. After the animal had been killed, the results of the operation were carefully veiitled, and they were found to l)e good. The animal in question had 110 branch froni the second thoracal nerve to the plexus brachialis. After the blood had been removed by injecting physiological solution of common salt froin the heart, the anterior extrernity on the side where the animal had undergone the operation was tixed by inject- ing a twenty per cent solution of formaldehyd from the a. axillaris. The extremity was kept for some time in formalin. The mm. interossei were impregiiated according to my moditications ’) of Biei,schowsky’s method of silver impregnation. It was clear from sections of the impregnated muscles that all the myelinized nerves, both the motor ones and the sensory ones, had undergone degeneration. On the other hand I found quite a number of intact non-medullated nerves. These intact nerves were found in the preparations partly together with bundles of degenerated spinal nerves and partly along vessels. I was able to follow a large number of the intact non-medullated nerves out to their terminal organs. These terminal organs were situated partly on ordinary cross-striated muscle fibres and partly on muscle fibres in muscle- spindles. I shall give a more detailed account of the sympathetic terminal organs in muscle spindles in a later and more complete h Tello, F. Dégénération et régénération des plaques motrices après la section des nervs. Travaux du laborat. de rech. biolog. publ. par S. R. Gajal, Tomé V, 1907. *) Ebik Agdur: Ueber Stückfarbung mit Bielschowskys Silberimpragnations- methode. — Einige Modifikationen. Zeitschr. f. wiss. Mikrosk. u. f. mikrosk. Techn., Bd. 34, 1917. 933 descriptioii. The accompanying fignres give an idea of the appearance of the sjmpathetic nerves and theii- terminal organs on tlie ordinary cross-striated muscle tibres. Fignres 1, 2, 3 and 4 are drawn trom preparations of the mm. interossei mentioned above. (I have di-awn the tigures with the help of the following optical aids — Abbe’s dravving apparatns and Leitz immers. Vu ^ oenl. 4 tbr tigs. 1, 2 and 3, Rkicheht’s drawing apparatns and Zeiss apochr. homog. immers. 2 mm. apert. 1.3comp. ocul. 6 for tig. 4). On account of the operalions, that Ihe animal had been sitbjected to, and on account of tlie length of the period of degeneration there is reason to assnme that the intact nerves which are found in the preparations and which are reprodiiced in these fignres are of a sympathetic and [>ost-gangiionar nature — this is more especially the case, as I also obtained similar resnlts in the animal that had undergone tlie corresponding opeiaxtion but in which the period of degeneration had been ten days. The preparation on which tig. 1 is based shows at d) a degene- rated spinal nerve that ends in a similai’ degenerated motoi' plate on 934 the left rausde tibre. At we have au intact syrapathetic nerve that etuis with a loop in a degenerated motor plate. At a tlie prepa- ration has an intact sy inpatlietic nerve that passes away along the left mnscle fibre forining loops and varicosities. This nerve fibre has no terininal loops in this preparation, but at one place half way between a and d a part of the extension of the nerve fibre is connected with a periterrainal network and seeras on this account to be situated hypolemnially. The preparation that forins the basis of fig. 2 shows, among other things, a rausde fibre with two degenerated motor terminal plates. These terminal plates are cleaiiy situated on the saine rausde tibre and are at siich a distance froni each other as one generally sees in pluriseginental spinal innervation of separate cross-striated rausde fibres. An intact syrapathetic nerve [a) with a simple loop formation terminates within the region of the motor plate ( en (Z))q hebben de 6(n — 1)* singuliere [)unten gemeen; iimners een kritisch punt draagt oo' paren d, d' . 949 Verder gaan de beide kroininon dooi' de (4/i — 7) unlpiinten der rechte PQ. Elk der overige öiiijoiiiiteii is een punt D, waarvoor d door P, d' door Q gaat. Anders gezegd, als d oin l* wentelt, zal d' een kromme van de klasse (lOa^ — 32a-l-26) omlinllen, Tot de rechten d' , die doör P gaan, behooren de raaklijnen dei- ()'\ die in P liaar dubbelpunt heeft. Elke der overige (lOn^ — 32/i-l-24) rechten d' valt blijkbaar met een straal d samen, bevat dus een nulpunt D, waarvoor de beide nulslralen zijn samengevallen. Wanneer zulk een rechte een (hd)hele nulstraal wordt genoemd, dan \olgt uit het bovetistaaiide, dat de dubbele imlstraleu een kronune van de klasse 2('/i — 2)(5?i — 6) onikidlen *). 4. De nulstralen d, die een nulpunt ü op de rechte p hebben, ondiullen een kromme [p) van de klasse (4« — 5), die p tot (4?i— 7) voudige raaklijn heeft. Zij snijdt p dus in (4/i — 5) (4?i — 6) — (4yi — 7)(4yt — 6) [)unten, die elk twee samengevallen nuisiralen dragen. De meetkundige plaats der punten C, die een dubbelen nulstraal dragen, is dus van den graad 4(2/y — 3). De kromme (6') is blijkbaar de meetkundige [ylaals der keei-punten van den complex. Daar de graad van (C) ook langs anderen weg kan worden bepaald, blijkt nu tevens dat de kromme (p) geen andere veelvoudige raaklijnen bezit. 5. Het geval = 2 verdient een afzonderlijke behandeling. Voor- eei-st heeft elke rechte d thans slechts een nulpunt; dit is het dubbel- punt der kegelsnede, welke door drie punten van d wordt aangewezen. De meetkundige plaats {C) is nu van den vierden graad en bestaat uit vier rechten Ck. Immers, ais de beide rechten van een nodale d samenvallen, is Ck een dubbelrechte. De complex bevat dus vier dubbelr echten, en deze zijn tevens singuliere nidsti-alen. De hoekpunten Si-i der dooi' hen gevormde volledige vierzijde zijn de singuliere punten \'an het nulstelsel. De krommen (/;), en (q)^, zie § 4, hebben, behalve de nulstralen van het punt piq, zeven raaklijnen gemeen, die iedei' een nulpunt op p en een nulpunt op q hebben, óns singuliere nidstra.len zijn. Hiertoe behooren de vier rechten c/,.. Elke der overige drie singuliere nul- stralen s' moet tot 00* nodale kegelsneden behooren. Nu draagt als singulier punt, oo* lijnenparen, die een slraleninvolutie vormen; 1) Anders gezegd; de keerpuntsraaklynen der cuspidale krommen van een com- pléx omhullen een kromme van de klasse 2 [n — 2) {b n — 6). !n mijn mededeelmg over kenmerkende getallen van een complex (Versl. deel XXlll, bl. 9Ü7, § 13), is bij de bepaling van de klasse de invloed der kritische punten over het hoofd gezien. 950 dus helioort tot twee, en ilaii tot oo\ lijnenparen, en moet derliahe siiigidier /djo. De tliagoïiuleii der vierzijde, welke door de vier rechten c vvoi'dt gevormd, zijn bijgevolg de gezochte drie singu- liere nulstralen. 6. Als de complex een basispunt B heeft, dan is dit tevens singulier nul[)unt, want twee punten op een straal door B bepalen een nodale met dubbelpunt in B. De dnbbelstralen der involutie gevormd door de d'-* met dnbbel[)unt B zijn dubbeli'echten van fc’j, dus singuliere nulstralen. Andere dubbele nulstralen zijn er niet, ^vant wanneer een rechte i( van ri’ niet door B gaat, doet d' dit wel. Daar B dubbelpunt is van de Jacobiana van elk tot {c’| be- hoorend net, vervangt dit punt vier kritische punten. Buiten B liggen dus nog twee singuliere punten ; zij worden door een singulieren nulstraal verbonden. 7. In een viervoudig lineair stelsel is elk punt Z) dubbelpunt voor een bundel (d"). Twee van die krommen hebben een keerpunt in C ^ D. Ik beschouw nu het nidstehel, waarin aan het nulpunt 6’ worden toegevoegd de keerpuntsraaklijnen c,c' der beide cuspidale krommen y", die in C hun keerpunt hebben. De rechte d. wordt in elk van haar punten D aangeraakt door een nodale d», die haar dubbel|)uiit in I) heeft. Met de rechte PD heeft d» nog (n— -2) punten E gemeen. Om de meelkundige plaats der punten E te vinden, ga ik na hoe vaak E in P komt. Iti dit geval behoort (f" tot den com[)lex, die in P een basispunt heeft; daarin komen (4n — 7) d>‘ voor, die d raken 0 2). Bijgevolg is (E) een kromme van den graad {5n — 9). Als E op d ligt, raakt PE=d' in dat punt aan een d», welke haar dubbelpunt op D heeft. Elke rechte d is dus dubbelpuntsraak- lijn van (5?i — 9) krommen d», waarxan de tweede raaklijn d' door F gaat. Laat men nu d om een punt Q wentelen, dan beschrijft het punt D een kromme (Z)), waarvan elk punt dubbelpunt is van een d», die haar raaklijnen d en d' door Q on P zendt. In Q wordt een d' door QP aangeraakt; dus is Q, en dan ook P, een punt van {D), zoodat deze kromme van den graad (5?2 — 8) is. Is C een der {bn — lÜ) punten, welke [D], buiten P en Q, met de rechte PQ gemeen heeft, dan vallen de raaklijnen d,d' beide langs PQ, zoodat C een keerpunt is van een cuspidale kromme y", welke c = PQ tot keerpuntsraaklijn heeft. hl het bovenbedoelde nulstelsel heeft een rechte dus b{n — 2) nul- punten. 951 Als c om een punt M wentelt, lipschrijven de iiulpnnten C dus een kromme van den graad {pn — bj, met didtbelpiint d/ (de niil- kroinme van d/). 8. Het stelsel .S^) bevat een aantal krommen met een drievoudig punt. Wordt voorgesteld door de vergelijking ifA ^ i3Z>’ + yC 4 (in + 0, dan hebben de coördinaten van een drievoudig punt te voldoen aan de zes vergelijkingen «Aa-/ + 4 yC/d -i (l-D/c/ 4 fA’/,-/ = 0, waarin A/d enz. afgeleiden naar ,v/^ en av aandniden. Men heeft dus het aantal punten te zoeken, waarvoor ^11 ^^35 ^13 ^33 ""^31 C,, C\, c„ =0. ^33 ^^33 E,, E,, E,, Volgens een bekenden regel vindt men hiei'voor (5-^-4 + 3’^2^4-14 (■u-2)'b Er zijn dus 'J5('« — 2)’’ krommen c:‘ met een drievoudig gunt /S’’). In zulk een punt hebben de iiodale krommen dezelfde raaklijnen d,d' . Elke rechte door S is als een (oneigenlijke) keerpnntsraaklijn c te beschouwen. Het nulstelsel heeft dus 15(n — 2)'‘ singuliere gunten. 9. Ik neem nu drie punten 4, Q, willekeurig aan, en beschouw (zie § 7) de krommen (/))pq en {D)pr. Zij hebben vooreerst het punt P gemeen; immers, er is een d", die P tot dubbelpunt en PQ tot raaklijn heeft, en ee)i d", waarvoor een der raaklijnen langs PP. ligt. Verder hebben die krommen de (5?/ — 9) punten /I gemeen, waar- voor QR een der i-aaklijnen d is. Een andere groep van gemeen- schappelijke punten bestaat uit de singuliere punten S. Zij U een der nog overblijvende snij[)iinten. Er is dan een b" met raaklijnen LP en ÜQ, en ook een d" met raaklijnen IJP en UR. Hieruit volgt, dat alle d" met dubbelpunt de rechte 67^ tot raak- b Als n = .3 is en het stelsel 5 basispunten heeft, zijn de 1 5 drievoudige punten gemakkelijk aan te wijzen. Een daarvan is het snijpunt van BiBj met B3B4. 952 lijn hebben, dus tot een bundel behooi-en, waarin de raaklijnen d,cV een parabolische involnlie vornien. De dnbbelstralen dier involutie zijn dan in ÜF vereenigd, en is keerpunt voor slechts gm c”. Noemt men zulk een punt, ter bekoi'ting, een imicuspidaal punt, dau volgt uit (5?i— 8)’— 1— (5n— 9)— J5(?^— 2)’ dat (lOn*— 25n+12) unicuspidale krommen hun raaklijn u door F zenden. De keerpunts'- raaklijnen der anicuspidale plinten omhullen een kromme van de klasse (10/i’ — 25n-)-12). 10. In elk punt C der rechte a trek ik de beide nulstralen c,c' (keer|>untsraaklijnen), en beschouw de verwantschap tusschen de punten fj,L' , welke c,c' op de rechte / bepalen. Laat men c om L wentelen, dan beschrijven de nulpunten van c een kromme van den graad (5/i — 8), die in L een dubbelpunt heeft (zie ^ 7). Bij een punt L behooren dus {hu — 8) punten 6' en (bn — 8) punten L' . Het [uint al vertegenwoordigt twee dekpunten L = L'. De overige dekpunten zijn afkomstig vau keerpuntsraaklijuen u van anicuspidale punten IJ. De meetkundige plaats der unicuspidale punten is dus van den graad 2(5yz — 9). Deze uitkomst kan aldus worden bevestigd. Als 6' de rechte beschrijft, omhullen de nulstralen c,c' een kromme van de klasse (5/i — 8), welke p tot {5n — lO)voudige raaklijn heeft. Zij heeft dus met p, buiten de raakpunten om, (5;i — 8)(5n — 9) — (5n — 10)(5n— -9) dus 2(5n. — 9) punten gemeen. In elk diei’ |)unten zijn de nulstralen c en c' vereenigd. 11. Het stelsel iS'01 levert nog op een andere wijs een nulstelsel. Elk punt F is jiecnodaalpuut voor vijf krommen rp". Om dit in te zien heeft men slechts de ki'omme te beschouwen, welke ontstaat als men elke h", die F tot dubbelpunt heeft, tot doorsjiijding brengt met haar raaklijnen d,d'. Deze heeft n.1. in een vijfvoudig punt.’) Ik voeg nu aan eik punt F als nulpunt de vijf nulstralen f toe, welke inflectiei'aaklijnen zijn voor de vijf flecnodale ki'oramen c/”. Elk punt D der rechte a is dubbelpunt voor een A", welke den straal FD in D raakt. Ik bepaal nu den graad der meetkundige plaats van de groepen van (n — 3j punten E, welke elke der krom- men ft” nog met FD gemeen heeft. Als E in F ligt, behoort d’' tot L In een punt, S (§ 8) vervangt de c» met drievoudig punt drie der krommen voor de andere twee ligt de infleclieraaklijn langs een der beide vaste raak- lijnen d, d'. Voor een unicuspidaal punt (§ 9) heeft een der krommen haar indectieraaklijn langs de vaste raaklijn d. 953 een complex Volgens § 2 zijn er op a (4v? — 5) dubbelpunten van krommen (T" van die hun raaklijn d door P zenden. Dus is P {4:71 — 5)-voudig punt der kromme {E) en deze dus van den graad (5?i — 8). In elk van haar snijpunten F met a heeft een kromme t"" een tlecnodaalpunt, waarvan de iutleetieraaklijn ƒ door gaat. Hieruit volgt, dat de meetkundige plaats der nulpuntoii F der stralen ƒ uit een punt P {nulkromrne van P) een kromme van den graad {5n — 8) is. Daar zij in P een vijfvoudig punt moet hebben, bevat een willekeurige rechte / dus (5?i — 13) mdinmteuF) 12. In het nulstelsel {C,c) heeft P qqw nulkrotnme van den gi'aad (57i — 8; met dubbelpunt P (§ 7). Van haar snijpunten met de nul- kromme t.o.v. het stelsel {F,f) liggen 10 in P. Ook hebben zij de unicuspidale punten U gemeen, waarvoor de raaklijn u door /'“gaat. In elk der overige (5» — 8)^ — 10 — (lOu^ — 25n-)-i2) snijpunten G heeft een cuspidale kromme niet haar raaklijn c/ viei' punten gemeen. Hieruit volgt, dat de vierpwitige keevpuntsraaklf ien een kromme van de klasse (15»’ — 55» “^2) omhullen. Als n gelijk is aan drie, worden de krommen met vierpuntige raaklijnen \’ervangen door kegelsneden, elk met een van haar raak- lijnen. Het nulstelsel {F,f) heeft dan de kenmerkende getallen 5 en 2; de nnlkromme [Py van P is van de klasse 22, zendt dus 12 raaklijnen f door P, en elke dezer rechten vormt met de haar rakende kegelsnede een f met viei'puntige raaklijn. In overeenstem- ming hiermee levert de vorm 15u’ — 55» -(- 42 voor » = 3 het getal 12. 13. In een vijfvoudig oneindig stelsel is elk punt il dubbel- punt voor een net van nodale krommen. Een rechte d door 1) be- paalt daarin een bundel, waar\an alle d" in D aan d raken. Er is dus 6671 cuspidale y”, die een rechte c door D tot keerpnntsraaklijn heeft. De krommen y", met keerpunt D, vormen een stelsel met index twe6-, immers de krommen d", die door eenig punt P gaan, vormen een bundel, en deze bevat twee krommen met keerpunt in D. Brengt men elke rechte c door D tot doorsnijding' met de cns- pidale y", die zij in ü aanraakt, dan ontstaat blijkbaar een kromme van den graad (» -4- 2), welke in D een \ ijfvondig punt bezit. Hier- b Voor w = 3 is 5n — 13 = 2. Elke cp* is dan hel samenstel van een rechte f en een (p~. Elke rechte- ƒ behoort in .S(4 tot een figuur haar snijpunten met zijn de beide nulpunten F. 62 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. AE 1918/19. 954 uit volgt, dat vijf cuspidale krommen in D een keerpunt hebben, waar de keerpuntsraaklijn een vierpuntige aanraking vertoont. Ik beschouw nu liet mdstelseï {G, g), waarin aan een punt ö zijn toegewezen de vijf rechten g, die vierpuntige keerpuntsraaklijnen zijn voor cuspidale krommen y” met keerpunt G. 14. In elk punt C der rechte a beschouw ik de cuspidale kromme y", die haar raaklijn c door F zendt, en bepaal de meet- kundige plaats der punten E, welke y” nog met PC gemeen heeft. Als E in P ligt, behoort y” tot een stelsel hierin zijn (5n — 8) krommen y’‘, die hun keerpunt op a hebben 7). Dus gaat de kromme {E) (5n — 8)-maal door P en is van den graad (6?i — 11). In elk van haar snijpunten G met a heeft een y” met PG vier punten gemeen. De nulkromme van P is dus van den graad (6n — 11). Daar zij in P een vijfvoudig punt heeft, is een rechte g door P mdstraal voor (6« — 16) punten G. 15. Het stelsel bevat oo' krommen met een drievoudig punt T. Wordt voorgesteld door aA -f dB + yC -i-öD-G fEA- pE = 0, dan wordt de meetkundige plaats der punten l' bepaald door I Aki Bki Cki Pkl Eki F kt I = 0. 6 Zij is dus een kromme [T) van den graad 6(w — 2) '). Een T'‘ met drievoudig punt T bepaalt met een nodale die haar dubbelpunt in T heeft, een bundel van nodale d’* met vaste raaklijnen d,d' . Het net der d» met dubbelpunt T bestaat dus uit oo‘ dergelijke bundels, waarvan de raaklijnen d,d' een involutie voimen. Elke der beide dubbelstralen c,, c, is gemeenschappelijke keerpuntsraaklijn voor een bundel van cuspidale krommen, en ieder van die twee bundels bevat een y” met vierpuntige raaklijn. De vijf nulstralen g van 7’ worden dus vertegenwoordigd door de rechten Cl, Cj en de drie raaklijnen t^ der kromme r’‘. De punten T zijn dus ?iiet singulier. 16. In een zesvoudig oneindig stelsel S is elk punt ^drievoudig punt van een t”. Aan T als nidpunt worden nu de drie raaklijnen fi, t^ van T” als nulstralen toegewezen. Om het tweede kenmerkend getal van dit mdstelseï te vinden. Heeft, voor n = 3, het stelsel Si^) de basispunten Bj, Bo, B3, B4, dan bestaat (T) uit de zes rechten Bk Bi. 955 beechouw ik de krommen t’>, waarvan het punt T op de rechte a ligt en zoek den graad der kromme, welke de groepen van {71 — 3) punten E be\at, waarin t" nog door PT wordt gesneden. Als E in F ligt, behoort t" tot een en T is een der 6(n — 2) punten, welke (§ J5) de kromme {T) met a gemeen heeft. Dus is E een (6?i — 12)voudig punt op de kromme [E), welke bijgevolg den graad (7n — 15) heeft. De nulkromme van P is dus van den graad (7?i— 15). Daar zij driemaal door P gaat, is een rechte t door /^raaklijn voor In — 18) krommen t«, die hun drievoudig punt T op t hebben. Een iiulstraal heeft dus (Jn — 18) nulpunten. 17. De krommen {T), die bij twee in begrepen stelsels behooren, hebben de 15(71 — 2)’ punten 7’ van het stelsel gemeen, dat de ,, doorsnede” der beide vormt. De overige snijpunten zijn kritische punten, d. w. z. elk van hen is drievoudig punt voor een bundel van krommen t», dus singulier nulpunt aS voor {T,t). Dit nulstelsel heeft bijgevolg 21(^7 — 2)’ singu- liere nulpunten. Daar de drietallen raaklijnen der krommen t" van dien bundel een involutie vormen, is S drievoudig punt met een keerpuntstak voor vier krommen t’*. Elk singulier nulpunt draagt vier dubbele nulsWalen. 18. De nulkrommen van P en Q hebben de .singuliere nulpunten & en de nulpunten van PQ gemeen. Elk der overige snijpunten 7’ zendt een nulstraal door P, een tweeden door Q. Uit (777 — 15)’— — 21(77 — 2)’ — (777 — 18) volgt dus, dat de nulstraleu een kromme van de klasse (28?7’ — 13377+159) zullen omhullen, wanneer t^ om een punt P wentelt. De nulstralen van P behooren ieder tweemaal tot die omhulde ; elke der overige raaklijnen, die zij door P zendt, is blijkbaar dubbele nulstraal. De dubbele nidstrnlen omhullen dus een kromme van de klasse (2877’— 13377+153). 19. Om de meetkundige plaats der punten T te vinden, waarvoor twee der nulstralen samenvallen, beschouw ik de kromme {p)in-\b omhuld door de nulstralen der op p gelegen punten. Deze heeft p tot (7/7 — 18)voudige raaklijn, wordt dus door p gesneden in (777 — 15)(777— 16) — (777 — 18)(777 — 1 7) punten. Daar voor elk dier punten twee nulstralen samenvallen, liggen de punten T met dubbele nuhtralen op een kromme van den graad (28?7 — 66). 62^ 956 Deze is tevens de meetkundige plaats der drievoudige punten, welke een keerpuutstak hebben. Voor ?/ = 3 heeft men een nnlstelsel (3,3) ; de krommen t’ zijn dan driestralen. Een willekeurige rechte vormt dan figuren c“ met de exemplaren \'an een net van c\ De Jacobiana van dat net bepaalt de drie nulpunten der rechte. Heeft het stelsel S'^ drie basispunten, dan worden de nulpunten van een rechte ingesneden door de zijden van den driehoek, welke de basispunten tot hoekpunten heeft. Elk basispunt is de top van een waaier van singuliere nulstralen. Wiskunde. — De Heer Jan de Vries liiedt een inededeeliiig van den Heer G-. Schaake aan, getiteld; „Een mvohitie in de stralejiruimte” . (Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). In het Verslag van de Vergadering der Akadeinie \’an 29 Sep- tember 1918 komt op blz. 256 een mededeeling voor van Prof. Jan de Vries over een involntie van stralen paren, die door vier willekeurig in de ruimte aangenomen waaiers wordt bepaald. Elk paar bestaat uit de beide transversalen t,t' van vier stralen a, è, c, , c en d door die punten zeker een regelvlak [h c d). Maar bovendien is bijv. nog een oppervlak te con- strueeren, welks beschrijvenden door de in de raakvlakken /? en y aangenomen punten niet tot het stelsel der rechten h, c en d belioo- ren, terwijl door het punt van d wel een rechte d van dit slelsel gaat. Het stelsel is dus niet lineair. Beschouwen we de regelvlakken van het stelsel, welke door een willekeurig punt P gaan. Op elk dier oppervlakken ligt een rechte door P, welke de het regelvlak bepalende rechten h, c en d snijdt. De stralen door P bepalen een trilineaire verwantschap tusschen de waaiers [b), (c) en (d). Elk drietal daarvan geeft een exemplaar van ons stelsel door P. Willen we dus het aantal oppervlakken door drie punten P, Q en R vinden, dan hebben we het aantal stralendrietallen te zoeken, die aan de trilineaire verwantschapfien Tp , Tq, Tr gemeen zijn. Nu wordt zulk een trilineaire verAvantschap voorgesteld door een vergelijking in de richtingsparameters van h, c en d. Vatten we deze grootheden op als coördinaten t.o.v. een Cartesiaansch stelsel in de ruimte, dan stelt de vergelijking een kubisch oppervlak voor. 958 liet zoogenaamde ver\vantscliapsop[)ervlak, dat in de oneindig verre punten der drie coördinaatassen kegelpunten bezit en het oneindig verre vlak volgens de oneindig verre rechten der drie coördinaat- vlakken snijdt. Hieruit volgt, dat twee van die oppervlakken een zesdegraadskromme k* gemeen hebben, die drie dubbelpunten in de oneindig verre punten der assen heeft. Drie oppervlakken hebben dus zes in het eindige gelegen punten gemeen. We besluiten hieruit, dat de verwantschappen Tp , Tq en Tp zes stralendrietalleu gemeen hebben. Eén hiervan wordt geleverd door de rechten b, c en d, welke door het snijpunt A* van /?, y en (} gaan. De andere geven elk een regelvlak door P, Q en R. Door drie punten gaan dus vijf oppervlakken van het stelsel. Merkt men verder op, dat ook door de stralen van een veld een trilineaire verwantschap tusschen de waaiers {h), (c) en (d) wordt bepaald, dan volgt, dat er vijf oppervlakken zijn, die aan dide vlakken raken, zes, die door twee punten gaan en aan één vlak raken en zes, die door één punt gaan en aan twee vlakken raken. 2. Projecteeren we de doorsnede k^ van twee \ erwantschaps- oppervlakken op een coördinatenvlak, dan ontslaat een vlakke kromme A'* met dubbelpunten in de oneindig verre punten der beide coördinaatassen. Hieruit \olgt, dat de oppervlakken [bed), die door twee punten P en Q gaan een (2,2) verwantschap tusschen 'de waaiers {b) en (c) bepalen, die we verkrijgen door de rechten b en c van zoo’n oppervlak aan elkaar toe te voegen. Hetzelfde geldt voor de oppervlakken, die door twee oneindig dicht bij elkaar ge- legen punten gaan en dus een rechte I in een punt S aanraken. Projecteeren we [b) en (c) uit S, dan ontstaan twee vlakkenbundels, waartusschen een (2,2) verwantschap bestaat. Hierin is het ver: bindingsvlak der beide assen SB en SC, dat tot beide bundels behoort, aan zich zelf toegevoegd. Dit vlak snijdt namelijk d en y volgens rechten b en c, die elkaar op de snijlijji der beide laatst- genoemde vlakken in een punt T ontmoeten. Voegen we aan deze rechten den straal van (r/j toe, die door het snijpunt van ST met (f gaat, dan ontaardt de bijbehoorende hyperboloïde {bed) in twee vlakken, op welker snijlijn S ligt. De hier beschouwde rechten b en c zijn dus beschrijvenden van een regelvlak {bed), dat / in aS aanraakt, waaruit inderdaad volgt, dat het vlak door SB en SC in de laatstgenoemde (2,2) verwantschap aan zich zelf is toegexoegd. Elk vlakkenpaar hiervan geeft in zijn snijlijn een beschi'ijvende van een regelvlak, dat / in S aanraakt. De rn.p. dezer beschrijvenden bestaat dus uit een kubischen kegel, zoodat de afleiding van den 959 graad van den complex der dubbelstralen in § 4 van de inededeeling van Prof. de Vries van kracht blijft. 3. Het aantal oppervlakken {h c d) door een rechte a is blijkbaar gelijk aan dat door drie punten, dus vijf. Zoeken we echter slechts de regelvlakken, waarbij a tot het stelsel van 6. c en d behoort, dan moeten we uitsluiten de regelschaar, die bepaald wordt door de rechten b, c en d, welke door de stiijpunteu van a met d, y en d gaan. Verder vormen bijv. het vlak (a D) en het vlak door BC en het snijpunt van [a D) met een ontaarde hyperboloïde van ons stelsel, die door a gaat. Zoo zijn er nog twee aan te wijzen. Doov a gaat diis één niet onVtard regelvlak {b c d), waarop a, b, c, d tot dezelfde regelschaar behooren. De afleiding van de congruentie (3,3) der singuliere regelscharen in § 7 van de meermalen genoemde mededeeling blijft dus van kracht. 4. Nemen we een straal t, die op de rechten AB en yd rust. De bijbehoorende stralen a en è liggen in het vlak rp door AB en t en snijden elkaar op de rechte nd, terwijl de bij t behoorende rechten c en (7 door het 'snijpunt van met yd gaan. De toegevoegde rechten t' vormen dus een waaier met den top op yo, waarvan het vlak door AB gaat. De involutiè {t,t') bezit dus nog zes bilineaire congruenties van singuliere stralen. Beschouwen wij nog de rechte AA*. De bijbehoorende rechten b, c en d gaan door A*, terwijl a onbepaald is. Aan de rechte f = zijn dus alle stralen van de ster A* toegevoegd. Evenzoo is aan de rechte t = ua* hét geheele stralenveld u* toegevoegd. Er zijn dus nog acht hoofdstralen, waarvan vier aan de stralen van een ster en vier aan die van een veld toegewezen zijn. In het geheel zijn er dus twintig hoofdstralen (zie ^ 6 van de mededeeling van Prof. de Vries). 5. In de involutiè {t,tj zijn aan de stralen t van een ster de rechten t' van een congruentie’ 2 toegevoegd. Bepalen we het aantal rechten van 2 door een willekeurig punt P. Aan een rechte u door P voegen we de rechte t door S toe, die dezelfde stralen a en b snijdt als u. Doorloopt u een waaier met P als top, dan beschrijft t een quadratischen kegel. Nemen we verder bij een rechte t den straal id door P, die dezelfde rechten c en d treft, dan is de verwantschap {t,u') eveneens quadratisch. De verwantschap {u,u') in de ster P is dus van den vierden graad, bovendien birationaal, 960 zoodat ze zes dubbelstralen bezit. Eén liiervan is de rechte PS, waai’in een straal • u met een rechte t samenvalt. De andere vijf dubbelstralen snijden dezelfde stralen van (a), (/j), (c) en {d) als de overeenkomstige rechte t en zijn dus als rechte t' aan stralen t van é) toegevoegd. De slergraad van ^ is dus vijf. Het aantal rechten van in een vlak W vinden we door aan een straal iv van JF de rechte t door S toe te voegen, die dezelfde stralen a en b snijdt, en aan t de rechte rv' , die met t dezelfde rechten c en d treft. De verwantschap {10,10') in IF is weer biratio- naal en van den \derden graad, heeft dus ook zes dubbelstralen. Hier is geen rechte 10 ideiitiek met een rechte l-, de veldgraad van 2i is dns ze.s. Aan een ster is dus een congruentie (5,6) toegevoegd. Met de vier rechten enz. en de transversalen door S naar de zes paren (H25,yd) enz. komen waaiers overeen. Elke congruentie — bevat dus tien singuliere waaiers. Evenzoo bewijzen we, dat met een stralenveld 1" een congruentie •I* (6,5) overeenkomt. Bevat S of V een of meer hoofdstralen, dan treedt een telkens gemakkelijk aan te geven graadverlaging \'an 2i of *I> op. 6. Twee complexen \t'\‘ (zie § 7 van de raededeeling van Prof. DK, Vkiks), die aan speciale lineaire complexen van rechten t met assen / en m zijn loegewezen, hebben een congruentie (7(49,49) gemeen, die we wenschen te onderzoeken. In de eerste plaats behoort lot C de congruentie A, die toegewezen is aan de bi lineaire congruentie L, welke / en m tot richtlijnen heeft. Nu heeft L (1,1) met een congruentie 2 (6,5j elf stralen gemeen, evenals met een '/< (5,6), waaruit volgt, dat A een congruentie (11,11) is. Elke {t'j heeft verder tot dubbelstralen de rechten der sterren A, B, C en D, die der velden «, /?, 7 en d en die der congruentie (3, 3) der singuliere regelscharen. Immers de rechte / snijdt van elke singuliere regelschaar twee beschrijvenden, met elk waarvan de geheele regelschaar overeenkomt. Elk der genoemde negen congruen- ties is in de doorsnijding der beide met I en in overeenkomende complexen \'ier maal te tellen. Samen rekenen we ze dus voor een congruentie (28, 28). Verder bezit iedere \t'\~ enkelvoudige stralen in de rechten der vier sterren A* enz., die der vier velden n* enz. en die der zes bilineaire congruenties {AB,yö) enz. 4). Deze geven samen een congruentie (10,10). Ofil Hiermede is de congruentie (49, 49) v erantwoord en tevens een controle op de volledigheid van het gevonden systeem der singuliere stralen verkregen. 7. Volgens de stelling van Halphen hebben de congruenties .2" (5,6), die aan twee sterren P en Q toegewezen zijn, 61 sti’alen gemeen. Hiertoe behoort in de eerste plaats de rechte t' , die aan de rechte t= PQ is toegevoegd. Iedere congruentie 21 heeft tot beschrijvenden de hoofdstralen AB enz., (6 in getal), «/l enz. (6), AA* enz. (4). Immers met elk der twaalf eerstgenoemde komt een bilineaire congruentie overeen, met de vier laatstgenoemde een ster en deze zenden alle één straal door een willekeurig punt. Hiermede zijn 16 gemeenschappelijke rechten verantwoord. De overige 44 vinden we als volgt. Volgens ^ 1 zijn er vijf regelscharen [h c d) welke door A en tevens door P en Q gaan. Een regelschaar {b c d) door A is volgens ^ 5 van de mededeeling van Prof. de Vries aan een straal door A toegewezen. De beide congruenties 2 hebben dus vijf stralen door A, en evenveel door B, C en D gemeen. Ook zijn er zes regelvlakken {b c d), die aan a raken en door P en Q gaan. Een aan a rakende regelschaar {bed) is toegevoegd aan een rechte in a. De beide congruenties 2 hebben dus zes in a, en evenveel in ji, 7 en d gelegen stralen gemeen. We vinden zoo inderdaad nog 4X5 + 4 X 6 = 44 gemeenschap- pelijke stralen. Het onderzoek van de doorsnede van twee congruenties (6,5) verloopt geheel analoog. Eenigszins andèrs is het met de gemeenschappelijke stralen der con- gruenties ^ en P, die aan een ster /''en een veld D zijn toegevoegd. Deze hebben volgens de stelling van Halphen 60 stralen, gemeen. Hiertoe behooren de hoofdstralen AB enz., (6 in getal), (( d enz. (6), te zamen twaalf rechten. Er zijn zes oppervlakken {bed) door A, die door P gaan en aan V raken. Deze geven zes rechten door .1, die aan ^ en f/’ gemeen zijn. Evenveel vinden we er door 7i, 6’ en D; tezamen 24 rechten. De zes oppervlakken {bed), die aan n raken en door P gaan en aan^ V raken geven 6 gemeenschappelijke rechten in «. Evenveel zijn er in [i, y en d, tezamen 24 rechten. Hiermede zijn inderdaad 60 rechten verantwoord. Deze § geeft een controle op de volledigheid van het gevonden stelsel der hoofdstralen. Wiskunde. — De Heer Kluyver biedt eene mededeeliiig aan van den Heer W. van der Woude; ,,Over een kromme van den vierden graad en ’t geslacht twee, waarin oneindig veel confi- guraties van Desargües beschreven kunnen ivorden” . (Mede aangeboden door den Heer W. Kapteyn). In een artikel, getiteld ,,The quartic Curve and its inscribed configurations” komt H. Bateman ‘) tot de conclusie, dat er krommen van den vierden graad en ’t geslaclit twee bestaafi, waarin oneindig veel configuraties (10,, 10,) van Desargües beschreveji kunnen wor- den. Bateman vermeldt hier slechts ’t bestaan dezer krommen, zonder op hare eigenschappen nader in te gaan. In deze verhandeling wensch ik, uitgaande vaji geheel andere beschouwingen dan Bateman, aan te geven, welke voorwaarde vol- doende is, opdat eet) kromme van den vierden graad met een dubbelpunt om oneindig veel dergelijke configuraties beschreven zal zijn. ’t Zal blijken, dat elk punt van y^ deel nilmaakt van één dezer configuraties en dat wij elk van die configuraties uit één harer punten kunnen constrneeren, als wij y^ als gegeven beschouwen. Een paar bekende eigenschappen \’an een willekeurige kromme van den vierden graad met een dubbelpunt zet ik voorop. 1. Laat voorloopig y^ een kromme van den vierden graad voor- stellen, die in O een dubbelpunt heeft en overigens willekeurig is. De raaklijnen in O duiden wij aan door x en g, hare vergelijkingen zijn ,1’ = 0 en g = 0; deze beide lijnen snijden elk y^ nog in een punt; de verbindingslijn dezer punten wordt voorgesteld door 2; — 0. Dan kunnen wij y^ voorstellen door: y^ — xy (x^ -j- mxy -j- -f- ■2’) “H ^ “b hx'y -|- cxy^ + dy^) =: 0 . (7) Wij kunnen uit O aan y^ 6 raaklijnen trekken, als wij die in O niet meetellen; de raaklijnen zijn de buiten O gelegen snijpunten van met de eerste poolki-omme van tJ, voorgesteld door Jï = 2 xysr vis;* -f" bx'^y cxy"^ -j- dy^ = 0. Derhalve wordt nu door y^ -j- rjtz = 0 b American Journal of Mathematics (36). H. Bateman. The quartic curve and its inscribed contigurations. 963 een bundel van vierdegraadskronmien voorgesteld, die alle in O een dubbelpunt bezitten en daar raken aan x en y; de verdere basispunten zijn de raakpunten der 6 raaklijnen, uit O aan getrokken, en de 4 snijpunten van 2^ met Stellen wij hierin r = — 1, dan kiezen wij uit den bundel een kromme, die ontaard is in de beide lijnen x en y en een kegelsnee [3 met de vergelijking jj = 4;’ 7nxy — 2^ =: 0. Men noemt /i ,,de kegelsnede van Bp:rtini”. Op de kegelsnee d liggen de raakpunten der 6 raaklijnen, uit O aan getrokken, en de beide snijpunten van met z. Trekken wij verder door O een willekeurige lijn y — lx = 0, dan worden hare snijpunten met y^ gevonden uit I (1 + mZ 4- /’) + ^ (a + 6/ + cZ^ 4- 4Z') = 0, die met ^ uit X* (1 4- nil 4- Z’) — 2^ = 0, waaruit dadelijk blijkt : Een loillekeurige lijn I door O snijdt y< buiten O in nog 2 punten, die door de snijpunten van I met d harmonisch gescheiden worden. 2. De kromme, door ons bedoeld, wordt nu verkregen door in de vergelijking (I) den coëfficiënt m, gelijk nul te stellen. De meetkundige beteekenis hiervan is de volgende: De nu door ons heschoiuode kromme y^ wordt door de Ijn z, die de heide punten verbindt, waarin y^ nog door hare dubbelpuntsraak- lijnen gesneden wordt, gesneden in nog twee punten, die door de beide eersten harmoniwli gescheiden tvorden. Gemakshalve zal ik verder spreken van de ,, harmonische kromme met een dubbelpunt”. Hare vergelijking luidt aldus: 7^ = + ld f «") + 2 + bx^y + ex'^y + dy*) = 0 . (1) Stellen wij nu y = {l4-0>c' + (1 — 4- 22 l^.t'I^Z)— d +y(^-a ^ J 4a 4(Z en lil = 2 xy 4 ; xz 4-^ yz, ^ ^ 1 _ C ^ 1 -f G’ ^ waarin C een willekeurige constante is, dan is 4 y, = 2 xyg< 4- |(1 _ G) f (1 4- D) ifi . . . (2) 964 Derhalve hunnen wij voortbrengen als de meetkundige plaats van de snijpunten der overeenkomstige krommen van 2 projektieve kegelsnedenbundels. -f if, = O . (3) en ( I — C) .d + (1 + C) — 2 ).xy = O, .... (4) waarbij de bundel (4) bestaat uit een straleninvolutie met O als middelpunt. 3. Van de wijze, waarop hier de projektiviteit tussclieii (3) en (4) is vastgelegd, willen wij mi eerst een meetkundige interpretatie geven. Door te stellen ). = Aj, kiezen wij een willekeurige kegelsnee uit (3), die c snijdt in de punten A en A', bepaald door; Wij stellen verder + + 2 + {l-C) zoodat 1 + C = (1-C) jgd en 2A, = (l-C) {p + pA De punten B en B' , die van A en A' harmonisch gescheiden zijn door de snijpunten van ^ en d worden dan resp. gevonden uit X — py = 0 en X — p^y = 0 Het stralenpaar, dat uit O de punten B en B' projekteert, heeft dus tot vergelijking {x — py) {x ^ p^y) = 0 of ook ([_(?) + (1 + i) ld — 2 l,.vy = 0. Derhalve is de projektiviteit tiwschen (3) e7i (4) aldus vastgelegd : een paar overeenkomstige kegelsneden van (3) e7i (4) snjden steeds z in puntenparen {A, A') en {B, B'), zoodat A en B en eveneeiis A' en B' liurmonisch gescheiden wordeii door d. 4. Aangaande den bundel (3) merken wij nog op, dat zoowel ff als lp harmonisch omgeschreven is om /?, d. w. z. omgeschreven om oneindig veel pooldriehoeken van j, zooals direkt blijkt uit ’t nul worden van een der simultaaninvarianten — gewoonlijk 6J ge- noemd — , gevormd uit de coëtficienten van d en (p (of tfi). Hieruit volgt: 1“. elke kegel, mee uit (3) is harmonisch omgeschreven om d', 2°. de basispunten van den bundel (3) vomnen een poolvierhoek van d, d. w. z. een vierhoek, waarvan elke zijde door de pool van de overstaande zijde t. o. v. d gaat. 965 De basispunten van f3) noemen wij *Si5, S,^, de ver- bindingslijn van *S,5 en beet die van en S\^ zij .Vj,. Tot den bundel (3) belioori dan een kegelsnee, die in .s-jJ ontaard is; laat 2 door de eerste dezer lijnen in door de tweede in gesneden worden; het punt van c, dat door harmonisch gescheiden wordt van is üj,, eveneens zijn en liarmonisch ge- scheiden door j3. De kegelsnee (lijnenpaar) uit (4), correspondeerende met deze ontaarde kegelsnee uit (3), wordt derhalve gevormd door OB^j en OB^^. Het snijpunt van OB^^ met noemen wij dat met ,?i, zij 7’^; *Si, en 7\, zijn punten van y^. Nu is O de pool van 3: t. o. v. /i, dus OB^^ de poollijn vanHj,; derhalve ligt de poot van .s’,, op OB^^. Wij wisten reeds, dat dit laatste punt ook ligt op s^^-, dus is *Si, de pool van t. o. v. ^3. Zoo vinden wij dat de pool van elke zijde van den vierhoek 5 Sii op ligt. Nu vormen echter de vier hoekpunten van een poolvierhoek met de zes |)olen der zijden een contiguratie (lOj, IO3) van Desargues; derhahe liggen de hoekpunten van deze Cf. alle op r,. Op te merken valt, dat de punten S;j, Ski steeds liggen op een lijn 5/„„ waarvan Sh,, de pool is. Elk dezer lijnen heeft nog een vierde snijpunt met 7^; kiezen wij b.v. .v,,, dan snijdt deze y^ behalve in /S,^, aSj, nog in een punt 7'.,, dat tevens ligt op OS^^. Door aan de vergelijking van y^ den vorm te geven y, = 2 -f { (2 - C) + ( 1 + C) ;y, I U? = 0 . . . (5) hebben wij kunnen aantoonen, dat eeu Cf. (IO3, lOg) van Desargues in haar beschreven is. De vergelijking ;;5) bevat echter nog de geheel willekeurige con- stante C-, door deze te veranderen, zullen wij oneindig veel bundels (3) en (4) en oneindig veel contiguraties vinden. Derhalve: Bi y kunnen oneindig veel coji figuraties (IO3IÜ3) van Desargues beschreven loorden; elke eonjiguratie is haar eigen pooijignnr t. o. v. d- 5. In (5) zijn (f en i|) functies van w, g, z en C. Zij nu P{x',y',z') een willekeurig punt van y^, zoodat derhalve y< y'. ^') = 0, bepalen wij daarna C zoodanig, dat (p (.r', y\ z\C) — ^ wij kunnen twee waarden van C vinden, die aan dezen eisch vol- doen, dan is volgens (5) ook lp (x', y', z' C) = 0. Beschouwen wij dus C als een veranderlijken parameter, dan zal 966 elk punt van tweemaal een basispunt zijn van een bundel (3). Anderszins is ’t uit ’t voorafgaande duidelijk, dat een willekeurig punt, b.^^ aSi,, slechts van één configuratie deel uit kan maken; die wij uitgaande van dat punt gemakkelijk kunnen construeeren. Daarvoor verbinden wij met O, ’t snijpunt van die lijn met is wij trekken de poollijn van aSj, t. o. v. die behalve in nog snijdt in AS54, en de poollijnen van deze 3 punten zullen dan y^ snijden in de 6 ontbrekende punten der configui-atie en Toch zal elk punt, b.v. aSj,, hoewel slechts tot één configuratie behoorende, tweemaal een basispunt zijn van den bundel (3); immers wij kunnen deze configuratie en tevens y^ voortbrengen, zoowel wanneer wij uitgaan van een bundel (3) met de basispunten aSj,, aS^, als wanneer aS,,, de basispunten zijn. Elk punt eener harmonische kromme y^ behoort tot één configuratie (lOj, 10,) van Desargues; heschouioen toij y^ als gegeven, dan kunnen wij elk dezer configuraties gemnkkelijk uit één harer punten construeeren. Bovendien is uit de wijze, waarop wij y^ voortbrachten gebleken: Is gegeven een configuratie (10,, 10,) van Desargues en een punt O, dan kunnen wij een harmonische kromme y^ voortbrengen, die omgeschreven is om deze configuratie en in O haar dubbel punt heeft, terwijl de aan haar verbonden kegelsnede van Bertini sainenvalt met de kegelsnede, ten opzichte tvaarvan de confguratie aan zich zelj geconjugeerd is. sterrenkunde. — De Heer J. C. Kapteyn biedt eene mededeeliiig aan van den Heer H. Nort: „De afstand scorrectie bij de platen van de „Harvard Map of the Sky”. (Mede aangeboden door den Heer de Sitter). Het is een' bekend feit, dat de grensgroofte in ’t centrum van hemelfotografieën niet dezelfde is als aan den rand der platen. Kan rnen b.v. in ’t centrum vau eene plaat sterren van de fotografische grootte 11™. 0 nog juist waarnemen, dan zullen deze sterren op een bepaalden afstand van ’t centrum niet meer op de plaat voorkomen en zal op dezen afstand de grensgrootte b.v. J0”\8 zijn. Iemand, die sterretellingen op fotografische platen verricht, zal noodzakelijk voor elk zijner platen de grensgrootte als functie van den afstand tot ’t centrum moeten kennen of, zooals men ’t gewoonlijk uitdrukt, hij dient voor elk zijner platen de af standsco erectie te bepalen. Kende men van genoeg sterren de fotografische grootte, dan zou men van alle deelen van ’n plaat de grensgrootte langs directen weg kunnen bepalen en dan zou dus ook ’t opsporen van de af- standscorrectie geen groote moeilijkheden opleveren. Doch over voldoende fotografische standaards beschikt men nog lang niet en daardoor is ’t in ’t algemeen niet mogelijk voor platen, die een eenigszins aanzienlijk deel van den hemel beslaan, de afstandscorrectie op directe wijze te bepalen. Er blijft voor zulke platen niets anders over dan een indirecten weg te volgen en hierbij doen zich moei- lijkheden voor, die nog niet alle zijn opgelost. Over een enkele dezer moeilijkheden handelt het volgende. In een vroegeren arbeid * *) heb ik de afstaudscorrectie bepaald voor de Harvard Map of the Sky, eene serie van 55 negatieven op glas, waarvoor Henie ") tellingen had verricht. De weg, die daarbij gevolgd werd, was deze. In de eerste plaats werd onderzocht, hoe de sterredichtheid o.p de platen veranderde met den afstand tot ’t centrum. Hierbij werd stilzwijgend aangenomen, — en met ’t oog op ’t geen volgt, wil ik dit thans nadrukkelijk vermelden — , 1) The Harvard Map of the Sky and the Milky Way. Recherches astronoraiques de 1’Observaloire d’Utrecht, Vol. VII, 1917. *) H. Henie. The Distribution of the Stars lo the eleventh Magnitude. Lunds Universitets Arsskrift. N F. Afd. 2. Bd. 10. Nr. 1. 968 dat deze dichtheid zonder de z.g. Bildioölbung en afgezien van plaatselijke onregelinaligheden over de geheele plaat dezelfde zou zijn, 111. a. w. de afname in gemiddelde dichtheid van ’t centrum naar den rand komt geheel op rekening van de sferische aberratie. Verder werd verondersteld, dat de gemiddelde dichtheid op gelijke afstanden van ’t centrum der plaat overal even groot is, welke onderstelling wel geoorloofd schijnt, als bij ’t fotografeeren op ’t centrum gefocusseerd is en als de plaat daarbij loodrecht stond op de optische as van den kijker, tedere plaat van de Harvard Map, waarvan de filmoppervlakte 19 bij 21 c.M. bedraagt, werd door concentrische cirkels, met ’t centrum der plaat als middelpunt en respectievelijk met stralen van 2, 4, 6, 8, 10 en 12 c.M., verdeeld in 7 concentrische zones. De buitenste drie dezer zones bestaan telkens uit 4 niet samenhangende stukken. Voor elke plaat werd nu uit de tellingen van Henie voor elk dezer zeven zones de ge- middelde dichtheid berekend ') en daarmee was dus voor iedere plaat de dichtheid als functie van den afstand tot ’t centrum ge- vonden. Om zooveel mogelijk de individueele bizonderheden der platen te elimirieeren, werden deze gemiddelde dichtheden der zones dooi- de gemiddelde dichtheid van de geheele plaat gedeeld en leverden zoo de relatieve dichtheden in de zeven zones. Deze relatieve dichtheden zijn voor alle platen bijeengebracht in tabel VIII van m’n werk ’). Wil men uit deze verandering in relatieve dichtheid de verandering in grensgrootte vinden, dan moet men ’n formule aannemen, die sterredichtheid en magnitude met elkaar verbindt. In navolging van Henie nam ik hiervoor de volgende formule, door Charlier in z’n Studies in SteUar Statistics ’) gegeven : ^ im—m.Y Hierin stelt A{m) ’t aantal sterren op een bepaald oppervlak van den hemel voor, die helderder zijn dan de grootte m, terwijl N, k en constanten zijn, die Chari.ier door steri-etellingen op de Carte du Ciel bepaald heeft. Voor de berekeningen, die aan de hand van deze formule uit de verandering in dichtheid de afstandscorrectie doen vinden, verwijs ik naar mijne dissertatie^). 1) 1. c. table VII, p. 34. 3) 1. c. table VIII, p. 35. Lunds Universitets Arsskrift. N.F. Afd. 2. Bd. 8, Nr. 2, p. 32. b 1. c. p. 37 en volgende. 969 Bij deze bepaling van de afstandscorrectie deed zich nu eene complicatie voor, die men a priori niet verwacht zon hebben. Men zou denken, dat de 55 platen, die onder zooveel inogelijk gelijke omstandigheden met twee gelijkwaardige instrumenten zijn opgenomen, afgezien van locale onregelmatigheden, zich ten opzichte van de afstandscorrectie gelijkwaardig zouden gedragen. De reeds boven genoemde tabel Vlll schijnt evenwel op iets anders te wijzen. Niet alleen ziet men, dat voor alle platen de relatieve dichtheid van ’t centrum naar den rand afneemt, maar ook schijnt uit deze tabel te volgen, dat deze afname grooter is voor platen met eene groote, dan voor die met eene kleine gemiddelde dichtheid. Dit laatste ver- schijnsel maakte ’t wenschelijk om bij ’t veitlere onderzoek niet alle platen over één kam te scheren, doch ze naar de gemiddelde dicht- heid in groepen te verdoelen. In navolging van Hknie werden drie groepen gevormd : in de eerste groep werden de 27 platen opgenomen waarvan de gemiddelde dichtheid kleiner is dan 20 sterren per vierkanten graad; de tweede groep werd gevoiund door 17 platen met eene gemiddelde dichtheid tusschen 20 en 35, terwijl in de derde groep tenslotte de 11 overblijvende platen werden opgenomen, die alle ’n gemiddelde dichtheid hebben grooter dan 35. Daar voor elk dezer drie groepen de verandering in de relatieve dichtheid van ’t centrum naar den rand eene andere was, leverden ze ook drie verschillende curven op voor ’t verloop der afstandscorrectie. Deze curven zijn in fig. 1 afgebeeld. Als abscis is genotnen de afstand Fig 1. tot ’t centrum in m.M., als ordinaat ’t verschil van de grensgrootte , op dezen afstand met die in ’t centrum der plaat, uitgedrukt in honderdste deelen van een magnitude. Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII A». 1918/19. 63 970 ’t- Groote verschil tussclieii de krommen I en III van deze figuur is zeer treffend en ’t scheen me van belang, de oorzaak ervan op te sporen. Zooals ik reeds in mijne dissertatie heb opgemerkt, zou dit verschil op twee manieren misschien verklaard kunnen worden. In de eerste plaats zou ’t niet onmogelijk zijn, dat de kleur der sterren ’n rol speelt. Zooals reeds werd gezegd, is de afname van de grensgrootte naar den rand toe ’n gevolg van sferische aberratie en deze is natuurlijk afhankelijk van den brekingsindex. Daar nu, zooals bekend is, ’t percentage van de blauwe sterren toeneemt als we den Melkweg naderen en daar alle platen van groep III, uitge- zonderd één, hun centrum zéér dicht bij den Melkweg hebben, is ’t niet onmogelijk, dat het de kleur van de sterren is, die ’t groote verschil in de curven I en III vei'ooi'zaakte. We beschikken even- wel over te weinig gegevens omtrent de kleur der zwakkere steiTen, om dezen invloed numerisch te kunnen nagaan. Een tweede oorzaak van ’t verschil tusschen de beide genoemde curven zou gelegen kunnen zijn in ’t feit, dat er bij de platen van groep III, in tegenspraak met de aanname, die in ’t begin van dit artikel werd gemaakt, behalve de sferische aberratie nog een andere invloed optreedt, die de relatieve dichtheid van 't centrum naarden rand doet afnemen. En inderdaad zou dit hier niet onmogelijk zijn. Immers iedere plaat van de Harvard Map beslaat ongeveer 900 vier- kante graden aan den hemel en ’t is duidelijk, dat op zoo groot een oppervlak de galactische condensatie een rol gaat spelen en wel des te sterker, naarmate ’t centrum van de plaat dichter bij den galactischen cirkel ligt. Hierop werd ik tijdens ’t bewerken mijner dissertatie reeds gewezen door Dr. P. J. van Rhun te Groningen, maar ik meende dit argument te kunnen ontzenuwen, door op te merken, dat van de acht platen, waarvan ’t centrum ’t dichtst bij den galactischen cirkel ligt, er maar drie tot groep III behooren. Het is evenwel duidelijk, dat door deze opmerking alléén de kwestie niet afdoende is uitgemaakt, want ten slotte zijn de overige vijf van deze acht platen alleen daarom niet in groep III opgenomen, omdat hare gemiddelde dichtheid kleiner was dan 35 sterren per vierkanten graad. Ik heb daai'om de 11 platen van groep Hl aan ’n nieuw onder- zoek onderworpen en heb nagegaan, hoe voor deze platen de afstands- correctie zou worden, nadat een eventueele invloed van de galac- tische condensatie zou zijn geëlimineerd. Van de 100 velden, die op iedere plaat geteld zijn, is niet alleen de sterredichtheid — aantal sterren per vierkanten graad — bekend, doch ook de galactische breedte, terwijl deze coördinaat ook voor ’t centrum der plaat 971 gemakkelijk te berekenen is. Uit tabel V van Gron. Publ. N“. 27 * *) werd voor de visneele grootte 11.0 — de gemiddelde grensgrootte der Harvard-platen - — tusschen 5 = 0° en 5 = 50° de waarde van log N van graad tot graad grafisch geinterpoleerd. Met behulp van deze logarithmen konden de dichtheden van alle velden eener plaat gemakkeüjk herleid worden tot de galactische breedte van ’t centrum. Is b.v. de dichtheid van ’n veld 20,7, z’n galactische breedte 14° en de galactische breedte van ’t centrum 3°, dan is log 20.7 + [logN\o — [log de logarithme van de gereduceerde dichtheid voor dat veld. Nadat op deze wijze de dichtheden op ieder der 11 platen gere- duceerd waren op de galactische breedte van haar centrum, werd op volkomen dezelfde manier als boven is aangegeven, de afstandscorrectie voor deze groep van platen opnieuw bepaald, ’t Resultaat was, dat er tusschen de platen van groep 1 en die van groep lil nog altijd ’n vrij aanzienlijk verschil blijft bestaan met betrekking tot de afstands- correctie, zooals uit de volgende tabel moge blijken. Hierin zijn in honderdste magnitudes opgegeven de verschillen die men krijgt, dooi- de grensgrootte op 30,50. . . . 130 m.M. van ’t centrum te verminderen met die in 't centrum en wel voor de platen van groep I, voor die van groep III vóór de reductie en van de platen van deze laatste groep daarna. 30 50 70 90 110 130 groep I 4-2 —16 —37 —44 —50 -54 groep III (vóór red.) — 6 — 22 — 46 —62 — 87 — 95 groep III (na red.) —6 —19 —40 —52 —72 —79 Waar er dus ten opzichte van de afstandscorrectie nog een ver- schil *) blijft bestaan tusschen de platen van de eerste en die der derde groep, ook nadat deze laatste voor den invloed der galactische condensatie gecorrigeerd zijn, daar zie ik geen kans, dit verschil anders te verklaren dan uit de kleur van de sterren in verband met hare ligging ten opzichte van den Melkweg. Indien dit werkelijk de oorzaak is, dan zou ’t logischer zijn de platen niet in drie groepen te verdeeien naar hare gemiddelde dichtheid, doch in twee groepen naar de galactische breedte van haar centrum. Men kan dan ver- h Dr. P. J. VAN Rhijn. On the Number of Stars of each Photographic Magni- tude in Different Galactic Latitudes. Gron. Publ. N'’. 27, p. 63. *) Dit verschil zou vermoedelijk nog iets grooter worden dan uit bovenstaande tabel volgt, wanneer ook de dichtheden van de platen der eerste groep op de galactische breedte van ’t centrum werden gecorrigeerd. Immers ook in deze groep komen nog eenige platen voor, waarvan ’t centrum eene geringe galactische breedte, heeft. ... , 63* 972 wachten, dat bij deze nieuwe indeeling de platen van de eerste groep (die buiten den Melkweg) eene afstandscorrectie geven, die de karakteristieke eigenschappen van de curve I van Fig. 1 bezit; de nieuwe curve zou voor deze groep waarschijnlijk minder sterk dalen dan de oude, daar nu platen rnet geringe galactische breedte niet meer in deze groep voorkomen. De nieuw gevormde tweede groep, die dus uitsluitend platen met geringe galactische breedte van ’t centrum zou bevatten, zou eene curve moeten leveren nagenoeg identiek met curve Hl van fig. 1. Ik heb de boven aangegeven indeeling uitgevoerd en de resultaten waren in volkomen overeenstemming met de verwachtingen. De nieuwe eerste groep bestaat uit 34 platen, waarvoor de galactische breedte van ’t centrum )> 20° is; de 21 overige platen vormen de nieuwe tweede groep. Evenals curve 1 van fig. 1 vertoont de curve die voor de platen van de nieuwe eerste groep ’t verloop van de grensgrootte aangeeft, een maximum, doch terwijl de oude curve daalde tot —54, daalt de nieuwe slechts tot —48. In onderstaande tabel zijn voor de oude en voor de nieuwe groep I de verschillen gegeven, die men krijgt, door de grensgrootte op 30,50 . . . 130 mM. van ’t centrum met de grensgrootte in ’t centrum te verminderen; 30 50 70 90 110 130 oude groep I -f 2 — 16 — 37 — 44 — 50 — 54 nieuwe groep I + ^ — ^2 — 39 — 46 — 48 Hieronder volgen deze verschillen voor de platen der oude derde en der nieuwe tweede groep: 30 50 70 90 110 130 oude groep III — 6 — 22 — 46 — 62 — 87 — 95 nieuwe groep II — 10 — 25 — 48 — 62 — 83 — 96 Bij deze nieuwe indeeling zijn noch de platen van de eerste noch die van de tweede groep voor den invloed van de galactische con- densatie gecorrigeerd. Men mag trouwens verwachten, dat deze correctie op de afstandscorrectie voor de eerste groep geen invloed zal uitoefenen ; voor de tweede groep zal deze correctie natuurlijk getallen moeten opleveren, die nagenoeg niet verschillen van de onderste rij getallen uit de eerste tabel (pag. 972). Men kan dus voor de beide nieuwe groepen ’t beloop van de zuivere afstands- correctie, ontdaan van den invloed der galactische condensatie, vinden uit de volgende tabel : 30 50 70 90 110 130 nieuwe groep I -f- 3 — 13 — 32 — 39 — 46 — 48 nieuwe groep II — 6 — 19 — 40 — 52 — 72 — 79 973 Op grond van ’t bovenbesclireven onderzoek ineen ik de volgende conclusies te mogen trekken : 1". De platen van de Harvard Map of the Sky moeten, wat de afname van de grensgrootte van ’t centrum naar den rand betreft, in twee groepen verdeeld worden. Als criterium voor deze indeeling geldt niet de gemiddelde dichtheid der jilaten, doch uitsluitend de galactische breedte van haar centrum. 2°. Voor de platen, waarvan ’t centrum buiten deu Melkweg ligt, neemt de grensgrootte eerst toe tot op ougex eer i6 uiM. van ’t centrum; daarna neemt ze weer af. Voor de platen, waarvan ’i centrum in den Melkweg ligt, neemt de grensgrootte direct af ; liovendien is deze afname grooter dan voor de platen buiten den Melkweg. 3". De verschijnselen, onder 1“. en 2“. genoemd, zijn waarschijnlijk een gevolg van ’t z.g. ,,phaenomeen van Kapteyn.” Gouda, Januari J9J9. Physiologie. — De Heer van Rijnberk biedt eene mededeeling aan van mej. Ch. Bastert: „Eenige waarneviingen over de adem- beweging bij Petromyzon fluviatilis." (Mededeeling uit het Physiol. Lab. der Universiteit te Amsterdam). (Mede aangeboden door den Heer Sluiter). Prof. V. Willem bracht me op de gedachte, om bij eenige exem- plaren van Petromyzon, die in het laboratorium aanwezig waren, de ademhalingsbewegingen na te gaan, omdat hierover niet veel zekere gegevens zijn, en het ademtype door de bijzondere levens- wijze, een wijziging moet hebben ondergaan. LITERATUUR. T. Home') ziet dat in- en exspiratie door de kieuwen plaats heeft. Een deel van hel ademwater treedt in de kieuwdarm. De neusopening laat geen ademwater uit, omdat deze niet met de kieuwen in ge- meenschap staat. G. Canis’). De neusopening dient niet voor het uitlaten van adem- water. P. Best’). Ziet de in- en exspiratie door de kieuwen gaan, ook door den neus. Zelden gaat tegelijkertijd een waterstroom door den bek naar binnen. H. A. Pagenstecker ^). Mond en neusopening hebben geen respi- ratorische functie. J. Cunningham ’). Ziet de ademstroorn bij een exemplaar dat geheel in het slijk is ingegraven door den neus gaan. E. CoNVHEUR®). Bij een niet vastzittend dier wordt de inspiratie veroorzaakt door hel naar voren brengen van de tongspier en het 1) Uber den Bau der Atmungswerkzeuge in Tieren, welche zwischen den Fischen und Wurmen zu stehen sclieinen. Philos. Transactions. 1815. *) Uber einige Eigentümlicbkeiten im Bau der Lainnseten. Meckels Deutsch. Arch. f. Physiol. Bd. 2. 1816. ’) LeQons sur la physiologie comparée de la respiration. Paris 1870. Allgemeine Zoologie. Bd. 2. Berlin 1880. ”) On the structure and development of the redroductive elements in Myxine glutinosa. Quart. Journ. Mier. Sc. 2. Vol. 27. 1888. •) Etudes sur la respiration des poissons. (Ann. de la Soc. de Lyon). 1897. 975 vergrooteii van de kieuwholte, terwijl de uitwendige kieuwen open zijn. Bij de exspiratie wordt de tong teruggetrokken, de kieuwholte verkleind en de kleppen van den kieuwdarin worden gesloten. Soms wordt er water door den bek uitgestooten wat echter niet met de ademhaling in verband staat. Bij een vastzittend dier doet de tong- spier niet mee. De exspiratie is dan actief, de inspiratie passief. J. Dawson* *). Inspiratie heeft ook plaats door verwijding van den neusblindzak, veroorzaakt door het uitzetten van den kieuwdarm. Het water stroomt door kieuwen en neus in en uit. De kieuwkleppen doen geen dienst maar flotteeren vrij bij een vastzittend dier. Wil het zich losmaken dan worden de kleppen gesloten en wordt er door samentrekken van den kienwdarrn, water in de mondopening geperst, waardoor het vacuum hier wordt opgeheven. Bij de voeding wordt de kieuwdarm door kleppen gesloten. S. M. Gage’). Petromjzon neemt ook de O uit het bloed op, dat als voedsel wordt gebruikt In de oesophagus wordt het omgezet in methaemaglobin. De larve leeft niet parasitair; maar ingegraven in het zand; en ademt door den bek, terwijl het ademwater door de kieuwen uittreedt. Bij de inspiratie worden de kleppen vóór de kieuwopening door het water gesloten en kan dit water dus alleen door den bek binnen- komen. Op de grens van kieuwdarm en bek ligt een velum, dat men door het lichaam heen kan zien schemeren. Dit velum dient 1° als diaphragma om de kienwdarmholte te verkleinen en te vergroolen, 2“ verhindert het dat bij exspiratie het water uit den mond wordt geperst door de beweging van dit velum naar voren toe. Hij verklaart hiermee ook dat er een constante stroom door den bek gaat, en een afgebroken stroom uit de kieuw- openingen. Bij het volwassen dier heeft de in- en exspiratie dooi- de kieuwopeningen plaats. De klep die de branchioporus bij de larve bij inspiratie afsloot, is hier zóó klein geworden, dat er twee nieuwe bij komen, die een trechter vormen en zóó de richting van de in- en exspiratie bepalen. Het velum doet geen dienst meer. H. WiNTEHSTEiN ’). Ziet bij Petromyzon plancisi deu ademstroom van den mond naar de kieuwen gaan, bij het volwassen dier. A. Kuljabko registreert de adembeweging en den hartslag aan 1) The breathing and feeding mechanism of the lampreys. Bibl. Buil. Words Holl. Vol. 9, p. 1, 1905. *) The lake and trosk Lampreys of New-York, 1893. *) Handbuch Vergl. Physiol., 1913. 9 Quelques experiences sur la suivre prolongée de la tête isolée des poissons. Arch. intern, de physiol., T. 4, 1907. 976 afgesneden Petronijzon-koppen die met Locke vloeistof doorstroomd worden. Waarneiningen. In het bassin van beton, waarin Petromjzon gebonden werd, leefde ze meestal vastgezogen aan den bodem of de wanden, bij nilzondering slechts zag ik ze i'ondzwemmen. Steeds zoeken ze den don kersten hoek van het bassin. Het normaal aaidal ademhalingen bij vastzittende dieren is 80 — 100 |)er min. Zwemmen ze slechts zeer korten tijd rond, dan wor- den do ademhalingen al aanmerkelijk versneld lot 1 50 — 180 per min. Veel van de proefdieren werden door het vangen en het verblijf in een ondiepeji bak met weinig water, djS|)hoeïsch, wat ook aan de curven te zien is. Bij eenige vaslzittende exemplaren werd wat door caimiijn gekleurd watei' met behidp \ an een pipetje, tegen de kien wopeningen gespoten. Steeds kwam na koiden lijd, het roodgekleurde water weer door dezelfde opening naar bniten. Dit wijst ei'op, dat in- en exspiratie door de kieuwen gaal, en er geen spoedige verbinding tnsschen de kienwen ondei'ling is. Carmijn water bij den bek gebiaehl werd nooit naai' binnen gezogen, ook niet bij vriji'ondzwemmende dieren. Hetzelfde werd nn herhaald bij de nensopening van een geheel onder water vastziltend dier. Ook hier kwam steeds na eenigen lijd het roode water als kleine rookkringetjes weer naar bniten. Ook hier dns in- en exspiratie. Nooit kwam gekleurd water dat tegen de kienwopening was gespoten, door de nensopening naar bniten, of omgekeerd. Bij nauwkeurige beschouwing blijkt dat er tnsschen kieuw- en nensbeweging een svnchronisme beslaat. Fig. I, lengte dooi'snede, laat zien dat de nensopening a overgaat in een kanaal b dat zich verwijdt tot een zak c. Deze zak loopt tot Fig. 1. 977 voorbij de eerste inwendige kiemopening e. Deze zak (hypoplij siszak Goodrich) is op de meeste plaatsen door een kraakbeenboog ƒ ge- scheiden van de mondholte g. Op de plaats h ontbreekt deze boog echter en is er slechts een vliezige, makkelijk beweegbare scheiding. Een zijkanaaltje van de hjpophjsiszak voert naar het eigenlijk i-enk- orgaan ^ dat vlak tegen de hei-sens aan ligt. 978 De kieuwdarm k is door het velum / met franjevormig aanhangsel gescheiden van den bek. Bij alle exemplaren ligt dit velum tegen den slokdarm gedrukt, zoodat deze afgesloten is van de mondholte en daardoor op dwarse doorsnee slechts als een nauwe spleet te zien is. Kieuwdarm en mondholte staan met elkaar in verbinding, de franjevormige aan- hangsels hangen er alleen voor. Gaat nu een waterstroom van kieuwdarm naar mond, dan worden de franjes opgetild en tegen den slokdarm geslagen, gaat er een stroom van mond naar kieuwen, dan wordt het water gefiltreerd door de franje. Bij het slikken, wordt het velum naar beneden gedrukt. Ik bracht nu een glazen buisje, dat door middel van een gummi- slang met een trommel van Marey was verbonden tegen de kieuw- opening (branchioporus). Door voorzichtig de buis van de kieuw- opening weg te nemen viel de hefboom tot op de nullijn. Het blijkt dat de druk iïi de kieuwen onder en boven de nullijn komt, dat er dus afwisselende in- en exspiratie is. Curve I. In sommige gevallen bleef de kromme onder de nullijn, dit werd veroorzaakt, doordat de tube krachtig tegen de brachioporus werd gedrukt en de opening door de kleppen werd afgesloten. Curve II. Vóór de brachioporus staan nl. twee kleppen, een in horizontale en een in vertikale richting. Daarna werd de ademhalingsbeweging zelf geregistreerd door een licht alutniniura hefboompje, waardoor de horizontale adembeweging in eeti vertikale werd overgebracht. Fig. 2, Curve III. Vervolgens heb ik na eenige moeite een tube in de mondopening gebracht ; er bleek ook hier een drukschommeling te bestaan, die onder eii boven de nullijn kwam. Curve IV. Dit wijst erop dat kieuw- en mondopening met elkaar communiceeren. 979 Een vergelijking van de twee di tikcurven (I en IV) toont dit nog duidelijker. Noemen we den ruststand ^■an de kieuwen a; do grootste verwijding (inademing) : b-, en het samentrekken (uit- ademen) c; dan is duidelijk dat de druk in de kieuwholte in ruststand gelijk is aan de buiten lucht (nullijn) en bij inademing negatief wordt- Fig. 3 en 4. Nu stroomt dus water van uit den mond en de omgeving naar de kieuwen toe, zoodat de druk in den mond ver- minderen zal. Bij de uit- ademing wordt water uit de kieuwen geperst naar mond- holte en omgeving, zoodat de druk in de mondholte \ermeerdert. Inademen geeft dus eerst drukvermindering in de mondholte, daarna vermeerdering tot ongeveer nul. Uitademing geeft drukver- rneerdering tot den top c. Doordat de mondholte meedoet bij de ademhaling, ontstaat er een stroomrichting in het ademwater, waardoor het innige contact met de kieuwlamellen sterk bevorderd wordt. Door de drukschommeling in de mondholte is ook de adembewe- ging in het neuskanaal te verklaren. Dit kanaal wordt n.1. passief van uit de mondholte vernauwd en verwijd en veroorzaakt zóó een in- en exspiratie die synchroon gaat met de kieuwbeweging. Waarschijnlijk heeft dit kanaal geen respiratorische functie, mis- schien dient de waterstroom om geuren naar het reukorgaan te brengen. Het is me echter niet gelukt dit aan te toonen. Samenvattend zien we: dat Petromyzon, in volwassen toestand, zoowel vrijzwemmend als vastzittejid, in- en exspiratie door de kieuwen heeft. Enkele keeren wordt wat water door den bek naar buiten gespoten, vooral nadat het dier eenigen tijd onrustig heeft rondgezwommen hoesten curve IV). 980 Het velum sluit den slokdarm af en filtreert liet ademwater dat van bek naar kieuwen stroomt. De vergrooting en verkleining van het neuskanaal, waardoor hier een waterstrooming ontstaat, is passief en wordt veroorzaakt door driiksohonimeling in de mondholte. Ze gaat synchroon met de kieuwbeweging. Scheikunde. — De Heer F. Zeeman lüedt, namens den Heer A. Smits, een mededeeling aan getiteld: ,,Het verschijnsel electrische overspanning” . II. (Mede aangeboden door den Heer S. Hoogewerff). In de eerste mededeeling over het verschijnsel electrisehe over- spanning is de overspanning van de waterstof enz. beschouwd die aan onaantastbare electroden optreedt bij het doorleiden van een electrischen stroom. Thans zullen wij het verschijnsel van over- spanning bespreken bij de waterstof-ontwikkeling, die optreedt, wanneer metalen op water of oplossingen van zuren inwei-ken zonder de hulp van den electrischen sivoom, dus zonder toevoer van electronen van buiten. Bij de bespreking van de waterstofontwikkeling bij dompeling van zink in een zure zinkzout-oplossing werd reeds aan de hand van de nevenstaande figuur 1 het volgende opgemerkt. Wanneer zink (M ) wordt gebracht in een vloeistof van de samenstelling a’j, dan kan het zink met deze oplossing electromo- torisch in evenwicht zijn, doch slechts metastabiel, bij een electidsche potentiaal, aangegeven door de stippellijn gf. In dit geval zou echter geen waterstof-ontwikkeling op mogen treden. Het metaal zink werkt echter vFel op de hier onderstelde vloeistof in en er ontwikkelt zich waterstof, waardoor een ontstaat, bestaande uit een waterstofhoudeiide metaalphase, een waterstofphase en de electroljt, waarbij moet worden in het oog gehouden, dat door wat men hier aangeeft met electrolyt, de vloeistof- phase in de grenslaag wordt bedoeld. Bij inwerking van het metaal op den electrolyt zal de samenstelling van de vloeistof in de grens- laag verschillen van die van de vloeistof buiten de grenslaag. Tengevolge van de plaats grijpende reacties i \ I -\-Wl i 2^L-f 2H/.— H,l i 4 i 26 Q 4- 2Hg! — >H,g 982 zal de vloeistof in de grenslaag armer aan waterstof-ionen en rijker aan zink-ionen zijn, dan de electrolyt buiten de grenslaag. Wanneer het metaal zich nu ook hij snel oplossen oppervlakkig in innerlijk evenwicht stelt, zal de metaalphase op ad liggen of op het verlengde van deze lijn, omdat de verschillende punten van deze kromme en haar verlengde voorstellen innerlijke evenwichts-toestanden van het metaal, in electromotorisch evenwicht met electroljten die op de lijn ac of haar verlengde gelegen zijn. Als niet alleen de metaalphase maar ook de waterstofphase van het zooeven genoemde driephasen-evenwicht in innerlijk evenwicht verkeert, moet de metaaljihase in d, de waterstofphase in e, en de electrolyt in de grenslaag iti c gelegen zijn, terwijl de electrolyt buiten de grenslaag de samenstelling j’; bezit. De zink-ionen zullen 983 das voortdurend uit de grenslaag naar buiten ditfundeeren en de waterstof-ionen in tegenovergestelde licliting van buiten in de grenslaag. Laten wij nu allereerst onderstellen, dat het metaal zich zéér snel in innerlijk evenwicht stelt, doch de waterstof niet. Dit zal zich kunnen voordoen, wanneei’ het metaal ook bij snelle uitzending van ionen en electronen zijn innerlijk evenwicht handhaaft, terwijl het innerlijk evenwicht 2<9;+2h zich niet snel genoeg instelt, zoodat een gasphase ontwijkt, die te veel electrisch geladen deeltjes d. w. z. te veel ionen en electronen bevat of m. a. w. in o)iedele richting is verstoord. In dit geval zal het driephasen e\'enwicht; metaalphase-grensvloeistof-waterstofphase aangegeven worden door bv. de drie punten cVc'e'. Wanneer de electrische potentiaal van dezelfde verstoorde water- stofphase gemeten kon worden t. o. v. electrolyten van andere water- stof-ionen concentratie dan c' , dan zou de liju h'c' de electrolyten aangeven, die, bij verschillende electrische potentialen, met dezelfde verstoorde waterstof kunnen koëxisteeren. Thans zullen wij het geval beschouwen, dat het innerlijk even- 2 984 wicht zich bij de waterstof zéér snel instelt, doch dat het metaal wordt verstoord. Daar hier wordt ondersteld dat het metaal vrij snel oplost zal de vloeistof in de grenslaag ook hier afwijken van die buiten de grenslaag met de samenstelling .rj. De waterstofphase is in innerlijk evenwicht, zoodat de koëxisteerende vloeistof een punt moet zijn van de lijn hc. De verstoorde rnetaalphase is veredeld en heeft dus een minder negatieve electrische potentiaal. Stel dat deze raetaalphase wordt aangegeven door d' dan worden de drie koëxisteerende phasen voorgesteld door de punten (/'c'é?' en het lijntje a'c' heeft alleen befeekenis voor het geval dezelfde verstoorde raetaal- phase ook met andere electrolyten dan c' zou kunnen koëxisteeren. Nu blijft er nog een derde mogelijkheid over, n.1. deze, dat noch de metaalphase, noch de gasphase zich met voldoende snelheid in innerlijk evenwicht stellen. In dit geval zal dus het metaal te weinig ionen en electronen bevatten, waardoor zijn electrische potentiaal minder negatief is gewoi'den, terwijl de waterstofpliase te veel ionen en electronen bevat, met dit gevolg, dat haar potentiaal een meer negatieve waarde heeft verkregen. 985 Het metaal wordt dus in dit geval veredeld, maar de waterstof veronedeld. Het is nu de vraag, bij welken potentiaal het driepliasen-even- wicht zal liggen. Wanneer de verstoring van het metaal veel grooter is dan die van de waterstof, dan zal de driephasen-potentiaal hoogstwaarschijn- lijk mindei’ negatief zijn dan bij innerlijk evenwicht van metaal en waterstofphase ; is echter de verstoring van de waterstof zeer groot, dan is het mogelijk, dat deze verstoring het wint en dat de drie- phasen-potentiaal negatiever is dan bij innerlijk evenwicht. In de voorgaande teekening, Fig. 3, is het eerste ondersteld. Het is duidelijk, hoe wij bij deze beschouwingen geleidelijk worden gevoerd tot het geval dat zich bij Nikkel voordoet. Daar wordt het metaal verstoord en de wateistof is door haar uiterst langzaam, niet waar te nemen ontwikkeling steeds in innerlijk evenwicht. Door de uiterst geringe inwerking is de samenstelling van de grensvloeistof practisch niet verschillejid van die buiten de grenslaag, zoodat de vloeistofphase van het driephasen-evenwicht Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVIl. A". 1918/19. 986 aangegeven zal worden door het punt w, zoodat de driephasen- potentiaal san)envalt met de potentiaal van de waterstof-electrode, zooals reeds vroeger werd aangetoond. Uit de hier gegeven beschouwingen blijkt nu ten duidelijkste, dat men niet mag zeggen, dat, wanneer de waterstof zich aan een metaal ontwikkelt bij een potentiaal die onedeler is dan die van de water- stof-electrode, de waterstof het verschijnsel van overspanning vertoont, Fig. 2 heeft b.v. betrekking op dit geval ; hier is de ontwikkelde waterstof niet overspannen, omdat de vloeistof in de grenslaag ligt op de lijn bc. Het punt c' ligt wel is waar boven ???, doch dit is alleen daaraan toe te schrijven, dat, door het oplossen van het metaal, de samenstelling van de vloeistof, in de grenslaag, een andere is dan daar buiten. In de gevallen aangegeven door de Figuren 1. en 3 is de water- stof wel overspannen, maar die o\'erspanning is niet gelijk aan het potentiaal vei-schil tusschen de potentiaal van de ontwikkelende waterstof en de waterstof-electrode, want om de overspanning te weten te komen zou men de waterstof-electrode ook in de grenslaag van het oplossende metaal moeten hebben. Uit genoemde tiguren, 1 en 3, is de werkelijke overspanning af te lezen, deze is niet de afstand van het punt m tot de horizontale lijn d'e' doch gelijk aan den afstand m'c'. Algem. en Anorg. Chemisch Laboratorium der Universiteit. \ Amsterdam, 20 Januari 1919. Scheikunde. — De Heer Böeseken biedt een mededeeling aan van den Heer F. E. C. Sciteffer; ,,Over metastabiele ontmenging en de classificatie van binaire stelsels” . (Mede aangeboden door den Heer Jaeqee). 1. In het onlangs versclienen werk over systemen met twee vloeibare phasen bespreekt Büchner in ^ 4 de \'ersobillende rnimte- figuren van stelsels, waarin behalve twee vloeistoflagen te\’ens ver- bindingen optreden ^). Hij beschouwt daarbij achtereenvolgens de stelsels met qnadi'iipelpnnten VL^L^G (!"= verbinding) en die, welke ovei'eenstemming in gedrag vertonnen met het door Büchiser uitvoerig onderzochte stelsel dipheny lamine-koolzunr. In mijn onlangs verschenen v erhandeling over de phen vl- en tolvl- carbamineznren * *) heb ik er op gewezen, dat de stelsels aniline, resp. toluïdinen-koolznnr tot de door Bücf^ner eerst besproken categorie behooren en dat door geschikte keuze van de homologen \’an aniline een overgang kan' optreden in het tweede door Büchner besproken geval. Dit laatste heb ik echter aangednid als het type zwav'el- waterstof-aramoniak. Naar aanleiding hiervan zij het volgende opgemerkt. 2. In alle stelsels, waarin een driephasenlijn STJt de kritische lijn snijdt is een gedeelte van de laatstgenoemde niet stabiel en dns, wanneer vertragingen niet mogelijk zijn, niet realiseerbaar. Dit niet realiseerbare deel van de kritische lijn kan nn óf geheel metastabiel óf gedeeltelijk metastabiel, gedeeltelijk labiel zijn. Het één noch het ander is direct experimenteel na te gaan. In het door Smits onderzochte stelsel aetlier-antlirachinon is tot nu toe steeds aangenomen, dat de kritische lijn geen keerpunten bezit en dns in het onbestendige gebied geen ontmenging optreedt’); in het door Büchner onderzochte stelsel difiheny lamine-koolzunr wordt echter aangenomen, dat de kritische lijn twee keei'pnnten in het onbestendige gebied bezit. In het stabiele gebied vertoonen beide systemen echter volkomen analoog gedrag. Reden om in het ééne b Bakhuis Roozeboom, Heterogene Gleichgewichle. II 2. (1918) S 184. u. f. *) Deze Verslagen. 27. 297. (1918/19). *) Bakhuis Roozeboom. Heterogene Gleichgewichte 11. 1. (1904). S. 378 u f. 64* 988 stelsel geen, in het andere wel metastabiele ontmenging' aan te nemen is de loop van de kritisclie lijn in het stabiele gebied; in het ééne geval is liet mogelijk de beide stabiele deelen van de kritische lijn door een gelijkmatig verloopende kromme te verbinden; in het andei'e zon de kritische lijn een eigenaardig steil verloop moeten hebben met een sterk uitgesproken maximum. Dit laatste wordt minder waarschijnlijk geacht en kan ook ongedwongen verklaard worden door aan te nemen, dat de kritische lijn twee keerpunten bezit. Ik wil er echter op wijzen, dat bij het stelsel aether-anlhrachinon ook metastabiele ontmenging in het onbestendige gebied mogelijk is en dat voor het stelsel diphenylamine-koolzuur de metastabiele ontmenging niet is bewezen, maai- alleen waarschijnlijk gemaakt. Een scherpe classificatie van deze typen van binaire stelsels is dus on mogelijk. Een dergelijk geval doet zich nn bij het stelsel zwavelwaterstof- ammoniak voor'). Ik heb bij dit onderzoek theoretisch nagegaan, welke verschijnselen in het stabiele gebied optreden, wanneer een kritische lijn de driephasenlijn YLG snijdt; een beschouwing over metastabiele ontmenging was daarbij niet noodzakelijk, omdat uit den aard der zaak alle verschijnselen in het stabiele gebied uit een systeem zonder ontmenging kunnen worden afgeleid. Gaat men nn de experimenteele resultaten van dit onderzoek na, dan blijkt, dat de kritische lijn, wanneer ze geen keerpunten in het onbestendige i gebied bezit, evenals die in het systeem diphenylamine-koolznur een zeer steil verloop moet hebben. (Ik heb dat in mijn dissertatie ook graphisch aangegeven). Op dezelfde gronden, die in het systeem : diphenylamine-koolzuur tot het bestaan van twee keerpunten in de kritische lijn doen besluiten, kan men het stelsel zwavelwaterstof- j ammoniak ook tot de stelsels met ontmenging rekenen. Daar dit j systeem m. i. dan het meest uitvoerig onderzochte voorbeeld van dei'gelijke stelsels zou zijn, waarin behalve ontmenging een ver- binding optreedt, heb ik in de geciteerde verhandeling het tweede door Büchner bespi'okeu geval als het type zwavelwaterstof-ammoniak aangeduid. j 1 December 1918. Delft. Techn. Hoogeschool. j 1 I t ) Dissertatie Amsterdam. 1909. Zeitschr, f. physik. Ghem. 71. 214 en 671 (1910). Natuurkunde. — De Heer J. D. van der Waai.s biedt eene inede- deelirig aan van den Heer J. D. van dek Waals Jr. : ,,Over de theorie der Brownsche beweging. Bfasckriff’ . (Medeaangeboden door den Heer H. A. Lorentz). In deze verslagen brengen L. S. Ohnstein en H. C. Burger^) eenige bezwaren in, tegen een door mij ontwikkelde theorie der Brownsche beweging. Ik wil eenige ervan hier in het kort bespreken. I. Het eerste berust geheel op een misverstand. Het geldt een berekening van x — = L = de in zekeren genieten tijd t verkregen gemeten uitwijking van een gesuspendeerd deeltje. Ik laat bij het opmaken van de middelbare waarde van deze grootheid een term met het product’) XaW{t) weg, omdat dit gemiddelde nul zal zijn. O. en B. meenen nu, dat ik bedoel dat de vergelijking w (t) = o (1) zal gelden voor iedere waarde van t. Zij maken daartegen terecht bezwaar en toonen aan, dat dit tot ongerijmde uitkomsten zou leiden. Mijn bedoe- ling was echter, dat deze vergelijking slechts zou gelden voor tijden die voldoende groot zijn. Zij drukt geheel hetzelfde uit, wat O. en B- aangeven in de graphische voorstelling' op pag. 409 l.c., n.1. dat «(0) to(t) ■') voor t groot weer tot nul nadert. Dat de tijden, waarin de 9 L. S. Ornstein en H. G. Burger. Deze Verslagen XXVII, p. 407, Sept. 1918. 2) J. D. VAN DER Waals J'r. Deze Verslagen XXVI, p. 1317, Febr. 1918. 9 Hierin stelt w de kracht voor, die op het deeltje werkt. Vergelijking (l) ge- lijkt iets op de vergelijking • . (1«) welke herhaaldelijk door mej. Snëthlage en mij gebruikt is, bij onze beschou- wingen over de Brown’sche beweging, en o.a. wordt afgeleid door de vergelijking constant naar t te differentieeren. De vergelijkingen (1) en (la) berus- ten echter op zeer verschillende overwegingen en worden op verschillende wijze gebruikt, zoodat zij vooral niet verward moete.n worden. 9 Een streep boven een grootheid geeft een gemiddelde aan. Staat er geen index bij dan is over alle gesuspendeerde deeltjes gemiddeld. Een index als hier de u{o) achter de streep duidt aan, dat het gemiddelde is genomen over alle deeltjes, die op het oogenblik ^ = 0 de bepaalde snelheid u (o) hadden. 990 waargenomen uitwijkingen bereikt worden, groot genoeg zijn om voor die waarden van t de vergelijking te mogen aannemen, is bekend. Uit dat oogpunt kan tegen mijn afleiding dus geen bezwaar bestaan 'j. II. Een tweede bezwaar van O. en B. geldt mijn bewering l.c. |). 1323 en p. 1331, dat lioogst waarschijnlijk de vergelijking Q = iv(t,)J (2) o zal geldeii, Ik leid dit af uit de overweging, dat 'fa(i) zal voldoen aan de voorwaarde : u>(A) h J w(i)-)dd =0 (3) o O. en B. zullen nu bewijzen, dat dit onjuist is. Zij ontwikkelen daartoe ?r(0 in een reeks van Fourier. Nu zou men zeggen, dat de volgende stap, dien zij te doen hadden, was te onderzoeken welken invloed de voorwaarde (3) op de middel bai'e waarde der coëfficiënten van die reeks zou hebben. Zij spreken echter niet over vergelijking (3) en onderwerpen de coëfficiënten aan geen enkele vooi'waarde en zij komen dan tot de conclusie, dat Q evengoed positief als negatief zou kunnen zijn. Nu is het aan geen twijfel onderhevig, of, als men ?(;(^) aan geen enkele voorwaarde onderwerpt, het teeken van Q evengoed -f — zou kunnen zijn. Er is geen reeksontwikkeling volgens Fourier noodig om dit aan te toonen. Maar de invloed, die de voorwaarde (3) op dit teeken heeft, blijft bij O. en B. toch wel geheel in het duister. b Hoezeer de Heeren O. en B. zich in mijne bedoeling vergissen blijkt wel op merkwaardige wijze biernit, dat zij eensdeels, wanneer zij meenen mijn inzichten weer te geven, berbaaldelijk stellingen verkondigen, met mijn bedoeling in tegen- spraak, maar dat zij anderdeels, waar zij door het teekenen van bedoelde graphiscbe voorstelling op pag. 409 hunner verhandeling meenen in tegenspraak met mijn theorie te zijn, in waarheid niets anders doen dan een verloop van teekening brengen, geheel in overeenstemming met wat ik, gedeeltelijk in samen- werking met mej. Snethlage, aangaande deze grootheid heb verkondigd. Dat deze kromme met de waarde 0 begint geven O. en B. toe, dat door ons terecht is uiteengezet. Dat ik ook voor groote waarde van t de waarde 0 aan zc (0 toeken blijkt uit de zooeven besproken vergelijking (1). Dat verder bij u(o) > 0 de waarde van xv {t) “U) voor kleine waarden van t negatief wordt, is reeds in de 1'' verhandeling van mej. Snethlage en mij over de Brownsche beweging 991 Wil men nu dezen invloed nagaan, dan moet ei’kend worden, dat de voorwaarde (3) alleen, niet op mathematisch strenge wijze tot het negatieve teeken voert. Mijn pretensie 1. c. was dan ook aangegeven in de woorden : indien een deeltje een snelheid u in de rr-richting heeft, is de gemiddeld erop werkende kracht nul. Er zal echter over een kleine tijd t een kracht op gaan werken, gemiddeld tegengesteld aan u, die deze snelheid uitput. Ten slotte komt l. c., pag. 1330, de vergelijking voor: a-o t o welke naar ik daar aangeef zal gelden voor niet te kleine waarden van t en welke toch bezwaarlijk te rijmen is met de onderstelling Xo w (t) = 0 voor iedere waarde van t. 992 slechts het negatief zijn van het feeken ,, hoogst plausibel” te maken. viU) Indien de kromme, die w{t) als functie van t voorstelt slechts één keer van teeken verwisselt en dus een gedaante van het type van fig. A p. 991 veihoont, is het teeken zeker negatief. Maar wanneer, zooals jy{/l) niet is uitgesloten, iv{t) meerdei'e malen van teeken wisselt is (3) niet voldoende om streng tot het negatieve teeken te leiden. Moge- lijk is dit met behulp vaTi een analyse volgens Füurier aan te toonen, maar eenvoudiger is het af te leiden uit lig. B, waar een verloop van de ki-omme is geteekend, dat wèl aan (3) voldoet en toch een positieve waarde van Q oplevert. Niemand zal echter een dergelijk verloop aannemen. Indien de kromme meer dan één teekenwissel vertoont, zal zij wel door een sterk gedempte slingerlijn van het type van tig. C worden voorgesteld, waarbij het feit, dat zij met een positief stuk eindigt bij w[t) en aan de voorwaarde (3) voldoe het negatieve teeken voor Q toch wel zeer waarschijnlijk maakt. III. Een van de voornaamste bezwaren van O. en H. geldt nog steeds het feit, dat Mej. Dr. Snethi.age en ik herhaaldelijk gebruik maakten van de drie met elkander in verband te beschouwen ver- gelijkingen : 1 m dt d\dt) = — ?> M (0 + q (<) (4) 1 jv ’ (/.) p = - = constant (5) M* (t) n(t)q{t) = 0. . . (6) O. en B. beweren, dat hieruit Volgt, dat n’ niet constant kan zijn. Gaan wij nu deze vergelijkingen na, dan zien wij, dat (4) niet (l^ II anders wil zeggen, dan dat wij voor een bepaald deeltje ~ netnen en daar pu bij optellen {p = een [lositieve, voorloopig onbepaald gelaten constante). Daar ii een functie van t is zal ook deze som dit zijn en kunnen wij haar door q(t) voorstellen. Zoo opgevat geldt deze vergelijking natuurlijk niet slechts voor een bepaald oogenblik t = 0, zooals Oknstrin beweert, maar voor ieder oogenblik. Het is een gewone diffei'entiaal vergelijking en zij kan zonder bezwaar geïntegreei'd worden, ofschoon noch uil de vergelijking zei ve, noch uit de integraal iets is af te leiden, wanneer men haar niet in verband met (5) en (6) beschouwt, welke als volgt worden afgeleid. Wij differentieeren u“{t) = constant tweemalen naar t en krijgen dan rf’ u F) fd u {t)\ u (t) . = = 0. df‘ \ dt J (7) 993 Daar wij op ieder oogeiiblik kuimeii difïereiitieei'eii geldt ook deze vergelijking natuurlijk voor iedere waarde van t ‘). Door (4) met u{t) te vermenigvuldigen {niet met ft (o)!) vervolgens te middelen en liet resultaat met (7) te combineeren volgt nu, dat (6) geldt voor iedere waarde van t, wanneer men de voorloopig onbepaald gelaten constante p de waarde van (5) toekent. Terwijl dus (4) niets leert, maar slechts als een detiuitie van t/ is op te vatten, zijn (5) en (6) een direct gevolg van u' = constant. En indien O. en B. erin zouden slagen te bewijzen (zooals zij pre- tendeeren te doen), dat uit het complex (4) (5) en (6) volgt, dat niet constant kan zijn, zouden zij niet meer of minder hebben gedaan, dan aantoonen, dat de gebruikte wiskunde in strijd was met het principinm contradictionis. Gaat men hun bewijs na, dan komt men tot een andere conclusie. In de eerste plaats vervangen zij onze vergelijking weer door een andere en schrijven ,,q = 0 (bij gegeven en «J” ^), wat toch wel zal moeten beteekenen, dat ?/„ q [t) = 0 en Wj q{t) = 0 in plaats van ’n [t) q [t) = 0 zooals wij atleiddeii. Bij het middelen van het quadraat van u laten zij dan ook de termen t 2iq cos {\/p .t) X — \ Q (ly') sin 1 \/p (t — O) ! d ii- en PJ o "o . . 1 r 2 sin (Xp ■ t) X — I Q (^) ! V P (t — '7) ! d/ü l^P 'PJ o ten onrechte weg. Verder ontwikkelen zij q {f) in een reeks van Foökiek en onderwerpen de coëfficiënten dier reeks aan dezelfde onderstellingen, die Planck voor de straling invoerde, terwijl het zeer questieus is of die onderstellingen hier gelden. Want wel zijn beide kromme lijnen in zekeren zin afhankelijk van toevallige groot- heden, maar toch zijn er correlaties tusschen de q% op verschillende ') Ornstein lieeft herhaaidelijk beweerd dat deze vergelijkingen 7det voor iedere waarde, van t gelden, dat (4) geen differentiaal vergelijking is en dat men haar niet integreeren mag. Eenig bewijs voor deze beweringen is door hem echter nooit aangevoerd. Wel hebben Ornstein en Zernike terecht bewezen, dat het complex vergelijkingen (4), (5) en (6) niet geldt, wanneer men de gemiddelden uitstrekt over een groep deeltjes, die op hel oogenblik ^ = 0 een bepaalde snelheid n{o) hebben, — en dit is gemakkelijk in te zien, want voor zulk een groep is niet constant, — maar dat kan toch geen reden zijn, waarom men het complex niet zou mogen gebruiken met gemiddelden over alle deeltjes, waarvoor zij wel gelden. Ten gevolge van een verschil in notatie luidt het bij hen eigenlijk tv — 0, pag. 413 l.c. 994 oogeiiblikken die invloed op de iniddelwaardeii der FouRiER-coëfïi- eiënten hebben, welke invloed door O. en B..niet is nagegaan. Op andere bezwaren van de heeren O. eti B. zal ik hier niet ingaan. Ik acht ze door hetgeen ik l.c. schreef vooraf reeds voldoende weerlegd, In het bijzonder geldt dit van het bezwaar O. en B. l.c. p. 408 tegen het (schijnbaar) optreden van een term met t' in A* waarmee men vergelijke Aajimerking II van mijn artikel l.c. p. 1330. Natuurkunde. — De Heer Lorentz biedt eene mededeeling aan van den Heer J. J. van Laar: de toestandsvergelijkmg voor loillekeurige temperaturen en volumina. Analogie met de formide van Planck.” (Mede aangeboden door den Heer F. A. H. Schheinemakers) § 1. Inleiding. In een viertal stukken ‘) trachtte ik de temperatuurafhankelijkheid der grootheden a en h der van der WAAi.s’sche toestandsvergelijking op grond van kinetische overwegingen nader te bestudeeren. Ik kwam daarbij tot de conclusie, dat de grootheid a met dalende temperatuur gestadig moet toenemen tot een maximumwaarde in de nabijheid van het absolute nulpunt, om daai-na weer af te nemen tot de waarde 0 bij 7’=0. Dit alles bij zeer groot volnme. Ook t. o. V. b voerde ik soortgelijke berekeningen uit, maar de mathematische moeilijkheden worden steeds grooter, en de verkregen uitkomsten zeer gecompliceerd. En voor kleine volumina is een dergelijke behandeling van het probleem nog minder geschikt. Ik zag er dan ook van af het in aansluiting aan de genoemde Verhan- delingen nog gevondene te publiceeren, en trachtte het vraagstuk langs anderen en eenvoudiger weg tot oplossing te biengen. Reeds vroeger was de gedachte bij mij opgekomen het driedimen- sionale probleem te vervangen door een analoog probleem van ééne afmeting, om daarna op de bekende wijze de uitkomst te trans- forraeeren tot die welke voor drie afmetingen zou gelden. Het is duidelijk dat hierbij de aard der te vinden temperatuur- en voluum- afhankelijkheid van de in de toestandsvergelijking voorkomende kon- stanten niet zal worden gewijzigd ; alleen kan er eenig verschil ontstaan in enkele numerieke factoren. Maar deze zijn ten slotte onverschillig, wanneer men in het i-esultaat sommige groepen van grootheden, genoemde factoren inbegrepen, tot een of meer konstanten vereenigt. Deze methode heeft ook nog het voordeel, dat zij niet alleen voor groote volumina, maar ook voor kleine volumina bruikbaar is, en men dus uitkomsten verkrijgt, welke algemeen geldig zijn; niet alleen ’) Deze Verslagen van 27 Oct 1917, 26 Jan., 23 Febr. en 23 Maart 1918. 996 \'00r willekeurige temperaturen, maar ook voor willekeurige van ?; = 00 at tot v = b toe. Bij het berekenen der verschillende tij dsge middelden — welke tot nog toe bij dit probleem te veel werden verwaarloosd, terwijl de aandacht zich bijna uitsluitend concejitreerde op allerlei ruimte- lijke middelwaarden, welke slechts wijziging kunnen brengen in sommige reeds boven aaugeduide numerieke factoren — bleek reeds spoedig dat de betrekking tusschen de gemiddelde Energie en de temperatuur bij kleine volumina en lage temperaturen dezelfde was J als de door Planck, onder aanname der zg. ,,(^^^('^n/m”hypothese> ten behoexe der stralingstheorie opgestelde betrekking 2^0 eRT^_ 1 waarin dan slechts E^ door 7^ ^ou moeten vervangen worden, om de PLANCK’sche uitdrukking terug te vinden 7- Wij zouden dus langs zuiver kinetischen weg, ons alleen baseerende o|) de gewone wetten der klassieke mechanica, de beroemde PLANCK’sche uitdrukking kunnen atleideii; wat tot nog toe, naar ik meen, alleen op grond van zeer bijzondere onderstellingen mogelijk was, nl. bij onderstelling' van het slechts bij geheele veelvouden van de grootheid hl' (,,energie-quanten”) uitzenden van energie. (De absorptie kan volgens de laatste door Pj.anck aangebrachte wijziging in zijn theorie in willekeurige hoeveelheden plaats vitiden). § 2. Algemeene beschouwingen over den aard der aantrekkende en afstootende krachten. Wij onderstellen dus dat de moleculen alle gerangschikt zijn langs ééne afmeting, en nemen aan dat daarbij elk willekeurig molecuul M zich aanhoudend heen eii weer beweegt tusschen de twee naast liggende moleculen en De gemiddelde afstand tusschen de molecuulcentra zij / (het analogoïi van het volume v bij drie afmetingen), de straal van de attractiesfeer p, de diameter 7 Uo M2 A2 M P Fig. 1. ') Op een kiemen eindigen term na, welke tegenover den logarithmisch oneindig wordenden lioofdterm kan verwaarloosd worden. (Zie § 6). ') D.w.z. vermenigvuldigd met 3 bij overgang van een lineairen op een ruimte- lijken oscilator. 997 van het molecuul .s'. Daai- ü/, en zich zoowel links als rechts van de gemiddelde plaatsen M ^ en J/, kunnen bevinden, zoo kunnen wij onderstellen dat zij zich gemiddeld steeds in en zullen bevinden; ook kunnen wij aannemen dat en M, in rust zijn, wijl hunne beweging evengoed naar links als naar rechts kan gericht zijn (zie evenwel § 6). M beweegt zich dus tnsschen de als vast onderstelde moleculen d/j en gestadig heen en weer. Daarbij noemen wij de snelheid, welke M in het pnnt midden tnsschen If, en d/j (in Fig. 1 door d/ aangednid : het z.g. doode of neutrale punt), hetzij naar links, hetzij naar i'echts heeft. Met deze snelheid doorloopt M het baanstnk MA^ (bv. in P), maar dan treedt het binnen de attracliesfeer (j van het raolecunl i)/j (bv. in (3); d. w. z. wij nemen aan dat de aantrekkende kracht zich eerst binnen die sfeer in merkbare mate doet gevoelen, en van daar af gestadig toeneemt tot M het molecuul jy, aanraakt (afstand der middelpunten =P). De snelheid tt is dientengevolge ook van af steeds door toegenomen tot een maximumwaarde Ug. Alsdan treden afstootende kraclileji op; de beide moleculen worden een weinig ingedrukt en M wordt ternggeworpen. Tnsschen il/, en M geschiedt alles op geheel dezelfde wijze, alleen in tegengestelde volg- orde; en tnsschen vlA en il/^ en terug herhaalt zich alles opnieuw. Van elke heen en weer gaande beweging zullen wij dus slechts het vierde deel, nl. hel stuk hebben te beschouwen. Nu ziet men gemakkelijk in, dat er drie gevallen mogelijk zijn. In de eerste {)laats het in Fig. 1 aangeduide geval, waarbij /0(>is, en het molecuul M dus een grooteren of kleineren weg aflegt geheel buiten den invloed der aantrekking van vlT,, en altijd buiten de aantrekkingssfeer van T/,. In de tweede plaats heeft men het oxergangsgeval van Fig. 2, nl. I Q, maar j> Kp -f- s). Alsdan is M voortdurend binnen de attractie- sfeer van A/,, en bovendien een tijdlang (van M tot A,, bv. in P) ook binnen die (T/,/!,) van i/,. Zoodra M het pnnt A, is gepasseerd, bv. in (3, zal het zich buiten den invloed van J/, bevinden. 1 r b 4| L ^ k- ^ w '^p-/ Fig. 2. In de derde plaats kan M ook voortdurend binnen de attractie- sfeer van zijn, zoodra nl. M bij aanraking met (afstand der middelpunten =z s) zich nog juist op den rand der attractiesfeer van 998 bevindt; d. w. z. wanneer A^M^ = *11—q juist de waarde 5 heeft. Dan is dus / = In het tweede (overgangs) geval is alzoo terwijl voor het derde geval eenvoudig /<[ 73(t>+'''‘) is. Nu vonden wij vroeger (zie de geciteerde Verhandelingen), dat q ongeveer =1,7 6* is. Wij zouden dan hebben; 1® geval /7>1,76; 2« geval /< 1,7 .9 >1,35 6; 3« geval /<1,35 6. Bij de kritische temperatuur is = 3,8 (bij “gewone” stoffen altlians), derhalve 1 = s ^''3,8 = 1 ,56 s (het molecuul kubisch gedacht). De gekeele vaste toestand en bijna alle vloeistof volumina, vanaf het smeltpunt (/= 1,08 6 ongeveer) tot ver boven het kookpunt, ver- keeren dus in het derde geval, waarbij ieder molecuul voortdurend binnen de attractiesfeer der naburige moleculen is. Alleen de volu- mina vlak bij Tk, zoowel de vloeistof- als de dampvolumina, be- hooren tot het tweede (overgangs) geval, terwijl bijna alle damp- volumina tot het eerste geval te rekenen zijn (zie Fig. 1). Neemt men p nog iets grooter dan 1,7 6 aan, bv. =2.9, dan ligt het overgangsgeval tusschen 26 en 1,5 s, en bevat alsdan alleen de kleinste dampvolumina in de nabijheid van het ki*itische punt, terwijl (praktisch) alle vloeistofvolumina tot Tk toe, waar /= 1,56 6, tot het derde geval behooren. Wij moeten thans aangaande den aard en werkingswijze der aan- trekkende en afstootende krachten een plausibele onderstelling maken, welke ons tevens veroorlooft de mathematische berekeningen ge- makkelijk uitvoerbaar te maken. Otider alle onderstellingen, welke ik t. o. der aantrekkende krachten bij ver.schillende gelegenheden, nu en vroeger, heb beproefd, is deze wel de eenvoudigste, dat men aanneemt dat de aantrekking vanaf de aantrekkingssfeer p lineair evenredig met den afstand tot die sfeer toeneemt. Is het molecuul bv. in het punt P (Fig. 2), dan zou de aantrekking, Avelke het van A/, ondervindt, = ƒ X A^P zijn. In plaats dus de aantrekkende werking te laten afnemen, vanaf het middelpunt van het molecuul naar hiaten toe tot aan den rand der attractiesfeer (volgens een zekere reciproke macht van den afstand r tot het middelpunt, door bv. te stellen F z=: f r\ of F = [f : r") 'X e~ waardoor de integraties altijd onuit\'oerbaar of uiterst gecompliceerd worden, en men tevens nooit bereikt dat de aantrekkende werking aan den rand dei* attractiesfeer = 0 wordt), volgt men den omgekeerden weg, en laat de aantrekkende werking toenemen van af den rand der attractiesfeer naar binnen toe. De resultaten zullen niet veel verschillen, maar men bereikt er een groote vereenvoudiging der berekeningen mede. Alleen zal men bij 999 verschillende onderstellingen aangaande de aantrekkende krachten quantitatieve verschillen zien optreden (in de numerieke voorfactoren, etc.), maar de gevonden temperatuur- en voluum-afhankelijkheden zullen onveranderd blijven. En het is nog de vraag of onze onderstelling in verband met de aanname dat de moleculen en atomen alle electronen-sjstemen zijn, niet minstens even gei'echtvaardigd is als de andere bovengenoemde onderstellingen. Wat de nfstootende krachten betreft bij aanraking der moleculen, hierbij neem ik het zelfde aan als vroeger (zie o.a. l.c. I, § 7, p. 856), nl. dat zoodra het molecuul wordt samengedrukt (de atomeii, of de electronenringen naar binnen gedrukt uit hun evenwichtsstand), er een quasi-elastische afstootende kracht woixlt opgewekt, welke (bij niet te groote indrukkingen) e\'eneens lineair toeneemt met de uitwijking uit den evenwichtsstand. ^ 3. Opstelling der grondvergelijkingen. In het eerste der drie boven aangeduide gevallen (j) is dus, wanneer men in Fig. 1 MQ~ x stelt, de aantrekking van M door #1 \'Oor te stellen door /d — ƒ ^ d. w. z. door ƒ [MQ — d/id,), of door F ■= ~ q)). Bij de integraties is dan x van I — o tot I — s te nemen. In het Uveede geval (/ \/,(p+.v)) is in P (Fig. 2) de aan- ti'ekking van M door d/, = ƒ X -d , P — ƒ X (d7P + -d,d/), terwijl die welke d/ van d/^ ondervindt =/ X P^I, = ƒ X (dPd, — d/P)is. Derhalve is, MP weer =x stellende: =/(« + ((>— 0 ) ; Pt = f ( (p — 0 ~ •»•)• Hierbij is bij P, x te nemen tusschen 0 en I — s-, bij P, slechts tusschen 0 en p— /• Wordt — /, dan zou P, negatief worden, d. w. z. P treedt buiten de attractiesfeer van d/,. In het derde geval gelden natuurlijk dezelfde uitdrukkingen als in het tweede geval, maar thans kan x bij P, ook tusschen 0 en I — s worden genomen, wijl / — s nu p — I is. (2/ <( p-j-.y). Gedurende het geheele baanstuk tusschen MP=0 en MP=l — s zal alzoo in dit derde geval voor de gezamenlijke werking kunnen worden geschreven F = — P,, d. w. z. F = fX^x. Het is dus alsof de aantrekkende werking van het punt M uitgaat, en evenredig is met den dubbelen afstand van P tot dat rieutrale aanvangspunt, waar natuurlijk steeds in al de drie genoemde gevallen de totale werking = 0 zal zijn. Wij zullen dit laatste (derde) geval, zijnde verreweg het belangrijkste, 1000 het eei'st behandelen. Op eenvoudige wijze zullen wij daarna de beide eerste gevallen kunnen uitwerken. De nu volgende beschou- wingen hebben dus alle betrekking op kleine voluinijia (/<^1,35 a J,5.s‘, d. w. z. a 2,5 a 3,4 hetzij bij vloeistoffen, hetzij bij vaste lichamen. Voor het snelheidskwadraat n'^ in het |)unt P .r) geldt dan X 2 r 2 /■ = i// H /■ X 2.r dx = a/ + -- .v’ . . . . (a) ’ m J' m o 2/ Bij aanraking der beide moleculen is dus (/ — sy ni geworden, terwijl van nu af' aan — tengevolge van het optreden der afstootende kracht, gegeven door (de quasi-elastische kracht door 2f voorstellende) /’'=:2e {x — {l — s)), wanneer P zich binnen den afstand s (bij aanraking) bevindt — de snelheid wordt voorgesteld door 2/' 2 r ny=ny + {l — sY 2 f (.i; — (/ — m ni J s) ) dx, d. w. z. door 2 f 2 e aX = uy -| — ~ (i — sy (x — ii—s)y m m (b) Men heeft alzoo, daar u = ia: dx V {l-sf - 2e -~(x-(i—s)y m d. w. z. voor de tijden en resp. tusschen M en de botsing, en gedurende de botsing tot op het hoogtepunt, waar ïi = 0 geworden is : / — s' t,= l—S dx 2f 2e m m wanneer men door s' voorstelt den afstand der molecuulmiddelpunten op het hoogtepunt der indrukking. Voor het gemiddelde mellieidskivadraat, d. w. z. het tijdsgerniddelde, hetwelk ook in de Virinalvergelijking \'Oorkomt, en waaraan de temperatniü' evenredig is, heeft men nu blijkbaar geheel algemeen: 1001 2/ 25 + - - (/-*))* m rn (Jt, d. w. z. niet dt — dx 2f 25 «o’ + ~ (^' — (^— *))^ 7?i m ook jn TO wanneer men de beide trajecten x = 0 tot I — .v, en x = / — s tot / — s' als één geheel beschouwt. Gedurende het eerste traject is dan voortduiend 5 = 0 te denken, terwijl gedurende het tweede /’=0 is te stellen. Men kan nu ook de bovenstaande integi’alie in twee deelen splitsen, en schrijven: waarin t = is te stellen (zie (c)). In de tweede integraal is bij het aantrekkingsgedeelte x'‘ konstant = (/ — sY geworden, en neemt tengevolge van het buiten werking stellen der aantrekkende kracht niet verder toe. ’) De beteekenis dezer laatste betrekking is zeer groot. Immers is Vj Nmu^ {ISf is het totale aantal moleculen, b. v. in 1 Gr. mol.) een 1) Wanneer wij onderstellen dat de aantrekkende werking nog blijft voortbestaan tijdens de botsing (wat zelfs plausibel zou zijn), dan moet in (c) en (d) bij de 2/ 2/’ tweede integratie — (I —s)^ weer door — worden vervangen. Maar dan worden m m de uitkomsten veel ingewikkelder, terwijl het verschil eigenlijk uiterst gering is, aangezien c zoovele malen grooter is dan f. De reeds zeer geringe tijdsduur der botsing zou er alleen iets grooter door worden, terwijl ook het gemiddelde snel- heidskwadraat slechts een geringe wijziging in hare waarde zou ondergaan Wij hebben derhalve van het doorvoeren dezer geheel onnoodige complicatie afgezien; te meer daar toch ook de door ons gemaakte onderstelling aangaande de werkings- wijze der aantrekkende krachten (d. w. z. evenredig met den afstand van het mid- delpunt van het bewegende molecuul tot den rand der attractiesfeer van een der beide andere moleculen, waartusschen het zicli heen en weer beweegt) slechts een benadering is te achten. 65 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. 1918/19. JÜ02 maat voor de temperatuur van het systeem, zoo zal y^Nmu,* een maat zijn voor de Energie van dat systeem. Want alleen de snelheid waar- mede een molecnnl den neutralen stand in di passeert, zal door energie (warmte) toevoer of afvoer willekeurig kunnen worden verhoogd of ver- laagd. Hetgeen bij \ Nmu^“ komt, in den tei'ra iV/(/ — s)' b.v. tot aan de botsing, ten gevolge der aantrekkende werking der molefulen, kan nimmer door toexoer of afvoer van energie worden gewijzigd. Dit bedrag is standvastig, en kan door worden voorgesteld; d.i. dus de Energie, welke o\ erblijft als u^ = 0 is (geheel potentieel in het neutrale punt M , geheel kinetisch op het oogenblik der botsing). Deze grootheid is derhalve wat Planck e.a. de z.g. nulpimtsenergie hebben genoemd, welke alzoo niets anders is dan de eriergie der aantrekkende krachten, welke ook met de grootheid in verband staat. (Zie ook § 5). De grootheden m’ en zullen alzoo volgens ( (S-»T = 0 m m op het hoogtepunt der botsing (zie vergelijking (b)) zal de grootheid onder Bg sin juist =\ zijn, zoodat k/ m s wordt, de bekende uitdrukking voor den vibratietijd onder den invloed der quasi-elastische afstootende krachtswerking, evenredig met de uitwijking uit den evenwichtstoestand. (Dat hier ’/j ^ optreedt in plaats van 2jr, komt natuurlijk daarvandaan, dat slechts een vierde gedeelte der geheele slingering is beschouwd (zie boven)). 65^- 1004 Wij zullen llians volgens (t/) de waarde van u'‘ berekenen. De eerste integraal binnen [ ] geeft : I — s — s lx —j \/^ «0* + ^ dx = u.’ + v’ dy^ o ‘ ,r=0 wanneer wederom evenals boven — | wordt gesteld. Wii ?t„ 1/ m " verkrijgen derhalve: ^ = “o' \/^ y ^ ^ ~ (— .V + 1 -F .V") J De benedenste grens geeft 0; voor de bovenste gaat y weder in over, zoodat wij hebben ; A = è “o' [/^ +'•ƒ ’)J • . (4) De tweede integraal wordt: I - s' 1,= f \/ Mo' + — {l- «)' — — O'*'- — {I -s) )' d.v = J y m m l-s x=l—s x — {l—s) waarin y thans = ■ ■ (/ + -(*-»)’ verder : 2e — is. Wii vinden dus m Voor de onderste grens wordt y = 0 en verdwijnt alles, zoodat wij alleen overhouden : 1, = h jwo' + j [/^ ^ ^1’ |/l— 1 « > —tL p -f r/)’ - log (- r/.+ V' 1 +f^’) u> = i + 2 "1/ 2f (6) zijnde met (p — \/^ — de gezochte uitdrukking voor ii', uitge- lid V ni drukt in u^, en welke bij kleine volumina (<^ vk) voor alle tempe- raturen zal geldig zijn. ^ 5. Twee belangrijke grensgevallen. a. Hooge temperaturen. Voor M, = 00 ((/) = 0) wordt nu : I / m { / m = è 7= ^ . t / m \ / m _l/ Tf’^ +^"1/ S daar — log { — alsdan tot — log {1 — (p) = (p nadert, en evenzoo log {(p en (py^l-\-q)^. Voor q) dicht bij 0 zullen de eerste termen tegenover de tweede verdwijnen, en u' derhalve naderen tot (r = oo), t? = ^ V, (7) zoodat het tijdsgemiddelde van het snelheidskwadraat bij kleine volu- mina en hooge temperaturen slechts de helft bedraagt van het snelheids- kwadraat in het neutralè punt. Ten gevolge van het verdwijnen van de termen met ƒ tegenover die met f wordt" het tijdsgemiddelde nl. hoofdzakelijk gevormd door de meWxQxésvermindering tijdens de botsing, en niet door de vermeerdering vóór de botsing tengevolge der aan- trekking. Deze laatste vermeerdering duurt zóó kort, dat zij t. o. v. de daaropvolgende belangrijke snelheidsvermindering (tot 0 toe) te verwaarloozen is. 1006 Nu is bij een lineair systeem N mii'‘ niet =SRT, maen eenvoudig = RT, terwijl in de algeraeene betrekking > I N m u] = N m(u„' + ^ 1 w y voor de levende kracht bij den aanvang der botsing, d.w.z. voor de som van kinetische en potentieele energie in het neutrale punt M (en dus in alle punten van de door M doorloopen baan) de grootheid niet de geheele ruimtelijke Energie maar slechts het Vs gedeelte daarvan voorstelt. Evenzoo zal N f{l — s)’ niet de geheele aantrekkingsenergie V (nulpuntsenergie) voorstellen, maar alweder ‘/s ’)• Derhalve is te stellen : Nmt?=RT ; V, = 7, zoodat men volgens (7) bij hooge temperatuur heeft: (7’ = 00) RT = \{E-E,) (8) Dat deze vergelijking juist is, blijkt daaruit dat zij voor c„ geeft: dE (T = oo) Cy = = 3R =: 6 in gr. kal., derhalve de verwachte dubbele warmtecapaciteit, welke bij groote volumina (gassen) onder dezelfde omstandigheden (d.w.z. hooge temp.) slechts — 3 is — altijd in de onderstelling van een- atomige stoffen, daar zich anders de inwendige energie der atomen binnen de moleculen nog bij E zal voegen. Wij merken nog op, dat wanneer de moleculen volkomen karde systemen waren, en derhalve ook niet ingedrukt konden worden, de grootheid s in onze fortnule (6) voor oneindig groot zou zijn, en derhalve de botsingsduur absoluut =0, zoodat alsdan niet de eerste termen met t/.7 (p tegenover de tweede met h n 2s zouden verdwijnen, wanneer rp tot 0 nadert, maar juist omgekeerd deze laatste termen zouden verdwijnen tegen over de eerste, hoe klein deze door (f ook mochten zijn. Maar dan zal ook id niet = b Wij wijzen er op, dat bij het grensvolume v ~ b {I = s) onze EQ = 3Nf{l — si* tot 0 zal naderen. Inderdaad, aangezien alle beweging dan onmogelijk is, zoo kan in dit geval de energie Va -R ^ n- geen vermeerdering ondergaan tengevolge van den aantrekkingsarbeid. Natuurlijk kan men naast de door ons ingevoerde Eq altijd nog een andere nulpuntsenergie invoeren, welke met die der atomen ,'electro- nensystemenj binnen het molecuul in verband staat. De formules worden er echter in geen enkel opzicht door gewijzigd. ’) Het deelen door 3 kan ook hierdoor gerechtvaardigd worden, dat bij de door ons beschouwde lineaire systemen de snelheden alle t.o. der moleculen normaal gerichte snelheden Un zijn. En nu is Un^ = ’/i 1007 worden, maar en derhalve RT= ’/s {E-E^), zoodat c'„= Va /?=3 zou worden, en niet = 6. Dat dus de wanntecapaciteit bij gecon- denseerde systemen niet tot 3 maar tot 6 nadert, is een bewijs dat de moleculen niet als volkomen harde bollen mogen worden be- schouwd, maar elastische systemen zijn, iioor indrukking vatbaar, waarbij de botsingsduur niet oneindig klein of verwaarloosbaar klein is, maar een zekere, hoewel geringe, toch eindige waarde zal hebben. Het spreekt van zelf, dat zoodra

y 2/ . is (zie (1) in ^ 4). Hieruit blijkt dus reeds, 1008 dut de verhouding tusseheji u'‘ en tot ao zal naderen, d. w. z. eveneens de verhouding R7':{E — E„). Want cE is oneindig groot t. o. van Evenwel zal zelf eveneens tot 0 naderen, aangezien 11°- <ƒ ’ eindig blijft (zie ook het begin van § 4). Maar m, nadert dan, terwijl de tijd, gedurende welken de weg onder den invloed der aantrekking doorloopen wordt, tot logarilhinisch oneindig nadert, niet gewoon tot 0 op dezelfde wijze als doch in veel geringer mate, eveni-edig niet 1 ; loq - . D. w. z. de temperatuur zal veel langzamer ’ j/ ’ . tot 0 naderen dan de Energie; wanneer de temperatuur nog een zekere geringe waarde heeft, zal de ,, Energie” (d. w. z. E — reeds praktisch = 0 zijn. Immers de laatste wordt alleen bepaald door ud in het neutrale punt, terwijl de temperatuur door de tijds- middelwaarde van het onder den invloed der aantrekking vermeer- derde snel heidsk wad raat wordt bepaald. Er is dan ook relatief slechts uiterst weinig energietoevoer noodig, om de temperatuur met een zekei- bedrag te verhoogen : m. a. w. de warmtecapaciteit zal bij lage temperaturen zeer snel tot 0 naderen. Schrijven wij voor hare waarde, dan 2/’ wordt udq '' = — (/ — s) zoodat met Nf{l — sy = '^RE^ en Nmu'‘ = RT (zie boven) ver- kregen woi dt : T= 0 RT 'LE log (A-) E. (10) aangezien (E-E^- E-E, - Door (10) wordt dus T nitgedrukt in E, voor het geval van kleine volumina en lage temperaturen. Opgemerkt dient te worden, dat (10) niet geheel identiek is met de PLANCK’sche betrekking, maar dak de logarithmisch oneindige noemei- log (4r/d _j- 2) = log ( [-2 ) met \E—E„ J de kleine eindige grootheid log 2 = 0,69 zou moeten verminderd / 2E, worden, waardooi' de noemer in log -\- \) = log ' zou overgaan. De oorspronkelijke noemer E-E^ zou dus met ’/a ^og 2 = 0,35 moeten worden vermindei'd. Verschillende omstandigheden kunnen worden aangevoerd ter ver- klaring van dit lot de zaak zelf niets afdoende uiterst geringe ]0()9 verschil. Vooreerst zal wellicht een slechts geringe wijziging in onze grondonderstellingen aangaande de werkingswijze der aantrek- kende krachten, bij behoud van den logarithmischen vorm van /j, een wijziging kunnen teweegbrengen in dien zin, dat nog een konstante term tnoet worden aangebracht. En in de tweede plaats zal het in aanmerking nemen der MAXWEi.L’sehe snelheidsverdeeling bij de berekening van een zekeren invloed kunnen hebben op het resultaat. Ongelukkig kunnen de daarop betrekking hebberide berekeningen niet worden uitgevoerd, daai' deze tot een luet voor uitwerking vatbare bepaalde integraal zullen voeren. In de derde plaats kan nog worden aangevoerd, dat het ten opzichte van de snelheid van het bewegende molecuul Al niet geheel geoorloofd is de moleculen M, en in rust Ie onderstellen, op grond daar- van, dat de beweging zoowel naar links als naar rechts kan gericht zijn. Daarbij dient te worden opgemerkt, dat wanneer Af^ zich bv. links van zijn gemiddelden stand bevindt, het .9 aantrekkend op M zal inwerken dan wanneer het zich rechts daarvan bevindt. En zoo is er meer. Wij kunnen dus gerust op grond der bovenstaande overwegingen de genoemde t. o. v. den. logarithmisch oneindigen hoofdterm uiterst geringe correctie aanbrengen, en schrijven ; V. RT -z Keert men nu deze betrekking om, dan komt er ■ • • eRT „1 Hierin = 3 A7 = v,.v, stellende, zoo verkrijgt men eindelijk: 3iV7n’ iVAv ’ hv E: I Nhv-\- (10a) (11) (12) (11«) hetgeen met de betrekking van Pt.anck (na vermenigvuldiging met 3 wegens den overgang van een lineairen tot een ruitntelijken oscillator) overeenstemt. De door Planck ingevoerde grootheid kv zou derhalve gegeven zijn door Ar = 2 /(/-*)«, (11a) 1010 waaruit men h zou kunnen berekenen als v bepaald is (deze groot- heid i' zon dus den factor (/ — .v)’ moeten bevatten, derhalve van het volume afhankelijk zijn, zooals trouwens wordt aangenomen), en wanneer ƒ, de door ons ingevoerde konstante der aantrekkende werking, bekend is. Op dit speciale vraagstuk komen wij later nog terug. Wij vestigen er alleen nog de aandacht op, dat onze formule (11) of (lla), resp. (10) of (lOn), alleen geldig is voor lage, en niet-voov hooge temperaturen, terwijl Planck meent dat de uitdrukking (11a) algemeen geldig is, voor hooge zoowel als voor lage temperaturen. Volgens onze afleiding zou de meer gecompliceerde') formule (6) de algemeen geldige betrekking voorstellen, welke slechts bij zeer lage temperaturen in den vorm (Ha) overgaat. Kerstmis 1918. {Wordt vervolgd). ‘) Ook Einstein, Debye e. a. leidden reeds meer gecompliceerde betrekkingen af, welke de verhoudingen beter zouden voorstellen dan de eenvoudige PLANCK’sche formule. V Anatomie. — De Heer Boeke biedt eene inededeeling aan van den Heer Erik Agdühr : “is the post-embryimal groivth of the nervous sijstem dae onhj to an increase in size or a/so io an mcrease in nwnber of the neurones T' (Mede aangeboden door den Heer Winkler). Introduction. While investigating the effect of- training on the post-embryonal development of the nervons systein I was confronted with tlie following probleni. Is ihere generally an increase in the nnmber of axons diiring the post-einbryonal growth of the nervons systein ? We are concerned with the roots of the spinal nerves. In the dorsal and ventral roots of the spinal nerves there is, as is shown in more detail below, no 7- and J^-division of the nerve fibres. Tlie problem is thus practically identical with another, viz. : Is (here an increase in the number of nenrones diiring the post-einbryonal development? Up to the present time the condition of this question has been siich that the [lossibility referred to has been regarded as almost exclnded. This was due to the snpposition that the nerve-cells were small bodies so miich differentiated that divisions in them coiild not be imagined. Figures of division of cells in the central nervoiis System of animals only a few days old have, however, been described, although very eminent investigators, snch as Marinesco, Phenant, Vai-enza, etc. deny that these fignres have anything to do with the nerve elements, bnt consider them to be stroma elements. Dnring recent years the literature points to some extent in the direction of the possibility of a [)OSt-embryonal new forrnation of nenrones taking place — althongh the newly-formed nenrones are only considered as replacing those that have been destroyed by degeneration. The resnlts of the investigation nndertaken by me with regard to training (exercising) were of snch a nature as to be difticnlt of explanation in the absence of a real increase in the number of neurones dnring the post-embryonal growih of the animal. 1 was b So far only a preliminary communication has been published : Der Einfluss der Trainieren auf das morphologische Bild des motorischen Nervensystems Hygica 1917 (LXXIX). 1012 ac(‘Oidii)gly compelled to investigate more closely the post-embryonal grovvtli, especiallj that of ilie peripheral nervous system. Wheti these iavestigatioiis were planned and also du ring the time when tlie greatei- part of the work was being carried out, I was quite unaoquainted with the comprehensive American literature connected with this subject, especially tlie publications of “The Wistar Inslitute of Anatomy and Biology”. It is only a month since I learned about this during a visit to the Central Inslitute for Brain Research at Amsterdam for purposes of study. For the opportunity of doing so, for tlie extreme kindness shown to me and for much good advice and valuable criticism I wish to express my most cordial thanks to Dr. AatËNS Kappkrs and -Dr. B. Brouwer. During this journey I also stayed with Prof. J. Boeke at Leyden and I am deeply iiidebted to him for his exceedingly cordial reception and very valuable and pertinent criticism. I am also much indebted to my chief, Prof. J. Lündgren, for his kindness iii revising the English of the manuscript. The results I obtained in investigating the post-embryonal develop- menl of the nervous System confirm in certain points the results obtained by others, especially by “The Wistar Institute of Anatomj' and Biology”, but on what appear to me to be the most important points my results dilfer essentially from tliose of Tornier investigators of this subject. I have attempted to find the causes of this difFerence and have discovered that they lie in the different methods of investi- gation that have been used. Previous investigators of this question worked with methods for the staining of medullary sheaths and have determined the number of medullated neiwes, whereas I have worked with neurofibril impregnation methods and have determined the number of nerve fibres. Material and methods. The majority of the species of animals used in my investigations have, as far as I can find in literature, not been previously subjected to a morphological study of their post-embryonal growth. This, was a cause of great trouble to me. It would of course have been more advantageous to use an animal that had been carefully investigated before, when it was a question of explaining something that was essentially new. A very convenient animal of this kind is Mus nonoegicus a/binas, which has been the subject of numbers of detailed investigations concerning its post-embryonal growth at “The J013 Wistar Institnte” and other places. I too shall probablj pass on to this aniinal if 1 have occasion (o contitiue the present investigations. Althoiigh I was unaware of these investigations on Mus nonuegicus albinus, I have, liowever, amongst my inaterial a species that is rather closely related to it, namely Mus rnttus — a male and a female specimen, and their eleven (11) young ones; of the yoiing ones, however, oidy three (10, 20 and 30 days old respectively) have been investigated up to now. My material consists, in addition, of 58 specimens of Mits inusculus albinus (of ages rajiging from 24 hours to over 2 years). Among these 58 there are several litters — thns, for instance, a male and a female, each over two years old, with several generations of their progeny, 42 altogether. I had also 22 specimens of Bos taurus — (half of them two weeks old and the other half over three years — only n. trochlearis and n. oculomotorins were investigated), 5 specimens of Canis familinris, (the two parents and three young ones 6, 17 and 60 days old respectively), a number of specimens of Felis domestica (only n. trochlearis and n. occnlomotorius have been investigated so far) * *). Among cold-blooded animals there were 28 toads {Bufo vidgaris) of different lengths, ranging from 1,6 to 9,8 cms. from nose to tail — but the number of those that are near the minimum and maximum dimensions is larger than those in between. The columna vertebralis with its spinal cord and spinal nerves (even including the spinal ganglia of Bufo, Mus musculus and Mus rattus), the central nerve System with the attached sub-dural parts of the spinal and cranial nerves of (Janis and Felis and the sub- dural parts of nn. trochleares and oculurnotorii of Bos were (ixed in a twenty per cent formalin solution. Previous to this convenient spinal ganglia and pieces of the medulla spinalis had been taken out for fixation in Flbmming’s liquid. The material that had been fixed in Flkmming’s liquid was imbedded in paraffin and was partly cut into sections 3 — 5 g thick, which were stained with the ii-on- alum-hematoxylin of Heidenhain and eosin. The mateilal that had been fixed in formalin was impregnated in pieces according to my modificatiofts ’) of Bifj,scho\vsky’s method of silver irnpregnation, b I shall give a more detailed account of these matters in a subsequent and more extensive publication. *) Agduhr, Eeik, Ueber Stückfarbung mit Bielschowsky’s Silberimpragnations- methode. Einige Modifikationen. Zeitschr. f. wiss. Mikrosk. u. f. mikr. Techn. Bd. 34. 1917. 1014 with the addition that the impregnation in a thirty per cent. AgNO, solution was made specially long — over ten days and nights. The impregnated pieees were imbedded in paraftin and were cut into conveniently Ihick sections, 5 — 15 p. A nnmber of spinal ganglia were cut in unbroken series of sections, 10 — 15 in thickness. Cross sections wei'e placed on the sub-dnral parts of the spinal nerves, partij close to (centrally of) (he spinal ganglia and partly close to the spinal cord. In the [)reparation, in which the spinal cord and the spinal ganglia had been fixed in sitii in the canalis nied. spinalis, cross-sections were ent right from the caudal end as far in the direction of the cranium as the sub-dural part of the nerve roots had a caudal course — this was, as a rule, up to the posterior third and the posterior half of the thoi-acal veitebral column. The rest was cut into sagittal sections, during which the microscope was used to verify that cotneniently sitiiated parts of the segmental nerves were present in the sections. These sections were made 5 — 10 p thick. In determining the mimber of nerve übres in the cross sections 1 used a Leitz microscope (tripod Gr.H.) with a cross-table, an oil-immersion 7n ocular IV (Leitz) with the enclosed sqiiared glass plates. It appeared to be necessary to work with such a great magnifying power in determining the number of nei’ve fibres in order to be able to disin tegrate those parts of the preparation in which the nerve fibres were most close, especially in the yonng animals. Before beginning to count, the square-ocular and the cross-table were adjusted so as to prevent as far as possible unexiiected displacements and miscalculations arising from these. Repeated calculations with the same preparations have also shown that the errors in calculation that we are concerned with are small — always less than ten per cent, as a rnlenotraore than üve per cent. At first I attempted an approximate method in deciding the niimber of nerve fibres in the cross-sectioned nerve roots. 1 counted each nerve fibre in a few hundred squares and found the average number. I then counted the number of squares in a cross-section and multiplied this by the average number. This method appeared, however, to give values that were too uncertain, because nerve fibres of different thicknesses were very unevenly distributed. In order, therefore, to obtain siifficiently exact values, I was thus compelled to count every nerve fibre in the whole cross- section — a method that was certainly trou blesome, but necessary in this case, especially with young animals. In connting 1 always began at the top and at the left, both in the preparation and in the field of the squares, taking care that all the nerve fibres which 1015 were sitiiated on the left and at tlie top l)eneatli the lines vvere cOunted. A nuinber of spinal ganglia and pieees of the S[)inal cord (fixed both in Klemming and Zenkek liqnid and H. ini|>regnated) were arranged in nnbroken series for iiivestigation of the ligures of cell divisions (sectioiis froin 3 — 5 p in thickness). Sonie spinal ganglia with dorsal and ventral roots and a small piece of the spinal cord (all B. impregnaled) froin animals of varioiis ages were arranged in nnbroken series (longitudinal sections of the roots from 5 — 10 p in thickness) for investigation as to the occnrence of 7- and T^divisions and figures of growth of the nerve tibres. The post-emhryonal increase in the nnmher of the nerve /ihres in the dorsal and ventral roots of the spinal nerves. With regard to the general growth of whole animals from birth to matnritj (or at least diiring the period of active growth) works have been pnblished on dallu'! doniesticns (Minot ‘), 1908) Mus nor- roegicus albinus (Donai-dson ^) ), Lepus cnnicnlus (Minot ‘), 1908), Cavia cohaija (Minot ^), 1891), Canis familiaris (Aron, 1911* *)), Homo caucas (Roberts, 1878*) and others) and Homo niongol. (Mishina, 1904 ’) ), eic. All those who have stndied growth have also acknowledged and laid stress on the need for an analysis of the total growth into its components — the organs and their elements the cells. Numerous investigations of the post-embryonal development of the organs and even of the cells have already been pnblished by Donaldson, Hatai, Naoki and others. On the other hand, as far as I conld find from the literatnre, no in- vestigation of a post-embryonal growth of tlie nnmber of axons in the nervous system seems so far to have been pnblished. It is certainly trne that there are numerous investigations on the nnmber of nerve fibres in the dorsal and ventral roots of the spinal nerves and in a nnmber of cranial nerves both in full-grown animals and in animals of different ages (especially M. norwegicus albinus), by Dunn, Hardesty, Hatai and others, and in Homo by Stilling, Ingbert and others, bnt they have all been carried out with the help of staining methods for mednllary sheaths and so cannot afford *) Quoted from Donaldson, H. H. An anatomical analysis of growth. Trans, of the 5th. International Gongress of Hygiene Demography held at Washington D. G. Sept. 23—28. 1912. *) Donaldson, H. H., Watson J. B. and Dunn, E. H. 1906. A comparison of the white rat with man in respect to the growth of the entire body. Boas Memorial Volume, New York. 1016 aiiy information about anything but the number of the medullated iierve fibres inider difïereiit circiimslances. As far as the post- embryoiial growtli in tlie number of [axons is eoncerned, these investigations, wluch in themselves are in many cases very fine pieces of work, alford no information, but with this method one can, of course, only obtain a knowledge of the number of medullated axons, and the total i-esult is that they indicate a gradual process of myelinisation, which is even stated by Donaldson *) : “The increase in the number of myelinated fibres in the spinal root with advancing age is due mainly to [uogressive myelination. Both roots at maturity still contain functional fibres without myelin sheaths (Ranson ’06).” During the progress of the work of counting the number of nerve tibres in the roots of the spinal nerves in the animals I investigated, it soon appeared that it was impossible to get reliable niimbers as to the conditions of the nerve fibres in specimens of different ages by counting those in the i'oots of a single or a small number of spinal nerves. For fairly great displacements and individual varia- fions occur, and these prevent the vahies from being as good as would be desirable, if only a small number of nerves are taken into consideration. On account of this and also in order to obtain an insight into the distribiition of the axons in the different regions I have, in most animals, counted each spinal nerve on the same side and in certain specimens on both sides. As I intend to give a more coinfilete and detailed account of these matters in a future woi'k, 1 rnerely include here sonie totals trom a part of the calcu- lations in question. By calculating the number of nerve tibres in the same section of the root and by using the method of fewest squares for the values, it has been shown that the percentage of error in the dorsal roots of very young animals (from four to ten days old) has not exceeded ± 10, and that for other places it is, as a rule, about ± 2. (In the dorsal roots of the spinal nerves the nerve fibres are sitiiated very close together in young specimens, so that one has to work with thin (5 fi) sections and strong light in order to obtain exact results). The totals of the dorsal and ventral roots of the spinal nerves given in the tables below are thus to be considered as exact within the limits of the percentages rnentioned. That there is thus a post- embryonal increase in the number of nerve fibres in the dorsal and ventral roots is shown with all the clearness that could be desired b Donaldson, H. H. The rat, reference tables and data for the albino rat and the Norway rat, 1915, Fbiladelpbia. 1017 1. Table showing the total numbers of axons in the dorsal and ventral roots of animals of various ages in the same species and of different species. Species. Age in days or length in cms. Total number of axons in al) the roots of thespinal nerves. Relation between the numbers in the dorsal and ventral roots. Average total. Percentage of increase. Remarks. ventral roots. Dorsal roots. V. r ! D. r. V. r. D. r. ifo vulgaris. 1.6 3603 4368 1.2 : 1 1 1.7 3380 4580 1.36 : 1 yf 1.7 2947 4156 1.4 : 1 » yy 1.7 3242 4312 1.3 : 1 j *1.8 2937 4025 1.3 : 1 3281 4357 i 1.8 3891 4399 1.1 : 1 The average 1.8 3661 4367 1.2 : 1 1 numbers for the most dif- 1) » 1.9 3130 4650 1.5 : 1 ferent sizes 2 2742 1 and ages of " " animals are not reliable, 1.77 average — * . 1.3 : 1 78 93.8 because the increase in 3 4325 6129 1.4 : 1 the axons thatisshown 1) „ 4.5 5065 6614 1.35 : 1 in the table 5.8 5209 6647 1.27 : 1 does not pro- " " ceed at an » 1) 6.8 5284 7824 1.48:1 1 equal pace 1 1 during* the II II 7.9 5986 1 7783 1.3 : 1 5854 8276 ) wholeperiod II 9.4 6293 9222 1.46 : 1 / 1 of growth. 8,03 ■«— average — ► 1.41 : 1 ^us rattus 5 about 700 53260 94109 1 1.76 : 1 53260 94 109 ] 2 „ 350 38906 78466 2:1 116.9 79.3 .. „ 5 10 24554 52469 2.13 : 1 24554 52469 » 5 30 29252 51338 1.75:1 » ,, 5 40 30739 57240 1.86 : 1 [ 226 ^ average — »• ■ 1.9 : 1 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. A". 1918/19. 66 1018 2. Table showing the total numbers of axons in the dorsal and ventral roots of animals ol various ages in the same species and of different species. Age in Total nurnber of Relation Average Percentage Species. days or length rootsofthespinal nerves. between the i numbers in the dorsal total. of increase Remark in cms. ventral roots. Dorsal roots. and ventral roots. V. r. D. r. V. r. D. r. Mus musc. var. Days I i 1 albus. 5 550 23075 48880 2.11:1 ) 23067 48639 1 i ,, 2 550 23060 48399 2.09:1 £ t M » 5 189 19588 38122 1.94 : 1 „ V 2 189 18586 37116 1.99 : 1 i » „ 5 151 16523 35097 2.12 : 1 ; 1 ,, » 5 77 16215 33888 2.09 : 1 80 105 n 1) 5 49 15414 27279 1.76 : 1 ' » >1 5 25 14236 26136 1.8 : 1 ! » )» 5 ' 10 12825 ! 23874 1 1.86:1 II $ i 10 12762 24190 1.89:1 1 II II 4 12431 23824 : 1.9 : 1 f 12814 123715 j II II 4 12497 23311 i 1.86:1 ( II II 4 12936 23432 1.81 : 1 1 II II 4 13432 23663 i 1.7 : 1 ' 129 Days about2190 15970 i 1 31229 1.92 : 1 Average i i Canis fam. 9 183188 393489 2.14 : 1 183188 393489 . » „ 5 1 „ 1277 139808 278879 1.99:1 1 1 72.7 73.9 » „ 2 1 " 106072 i 226264 i 2.13:1 106072 1226264/ ! „ „ 2 17 134867 245089 I 1.81 : 1 1 ' » „ 2 60 124401 ' 237839 1 1.91 : 1 1 1 ! i 710 137667 ! 276312 i 2 1 1 j by the above table, which also illustrates to some extent the mag- nitude of the increase. The increase in the nurnber of axons is proportionately greater during the first part of the period of growth than dnring the latter part, which is probably not completed in any of (he gronp of animals included in the table. It is interesting to 1019 compare briefly the results arrived at by some of the previous investigators of this subject. The latter have, however, worked with myelins sheath staining methods and have determined the number of medullated nerve fibres in different States. Dunn ’) “A considerable increase in the nnmber of medullated nerve fibres occurs during the early life of the albino rat”. Dunn investigated the ventral root of 6* *11 in Mus noriveg. albinus. The same thing is true, according to Hatai 'O of the “albino rat” with regard to the ventral roots of CVI, 7’AIV and LII, and, according to Boughton ’), with regard to n. occulomotorius in the same animal. Boüghton’s investigations (06) about cognate problems in the cat and WiLLEMs’s “) in the rabbit point to the same conclusion. Dunn States: “Ranson’s records then are comparable with those presented now, and together tliey show that in regard to the second spinal nerve of the albino rat the number of medullated nerve fibres in both the dorsal and ventral nerve roots increases during the life of the indi\'idual, but that the greatest increase occurs before the sexual malurity or so-called puberty of the animal,” and so on. It is thus shown that what is true in this respect for all the axons — as shown by the results of the calculations given in the above table — is also true for only the medullated nerve fibres. The percentage of increase obtained by using myelin sheath staining methods on the material in question is considerably larger than that arrived at by impregnation of the axons. This is due to the fact that the young animal has relatively considerably more axons free from medullary sheaths than the older one. This increase in the number of nerve fibres is decidedly larger in the dorsal than in the ventral roots, a fact which is seen most clearly when the comparison is based on the conditions in a rather large number of animals. This is not so striking in Canis, and Mus rattus shows an entirely reversed state of affairs. These apparent exceptions are, however, probably due to 1) Dunn, Elisabeth Hopkins. The influence of age, sex, weight and relation- ship upon the number of medullated nerve fibres and on the size of the largest fibres in the ventral root of the second cervical nerve of the albino rat. The Journ. Comp. Neur. Vol. 22. N'^. 2. 1912. *) Hatai, Shinkiski. On the increase in the number of medullated nerve fibres in the ventral roots of the spinal nerves of the growing white rat. J Comp. Neur. Vol. 13, 1903. Boughton, Thomas Harris. The increase in the number and size of the medullated fibres in the occulomotor nerve of the white rat and of the cat at different ages. J. Comp. Neur. Vol. 16. 1906. WiLLEMS, Edouard. Localisation motrice et kinesthesique. Les noyaux masticateur et mesencephalique du trijumeau chez Ie lapin. Le Neuraxe t. 12, 191 1. 66* 1020 the tact tliat the imnibers for these animals were based on speci- i mens on a few investigations. The diffetence between the nnmber | of nerve tibres in the dorsal and ventral roots is comparativel} j greater in old than in yonng animals of the same species. I shall I leave a more detailed discussion of the values obtained for a tuture | and more complete account of the questions that are connected with ; this problem and shall pass on instead to an attempt to answer the ' following question : I Hoii' does a post-embri/onal increase in the nnmber of axons in the i dorsal and ventral roots of the spinal nerves arise? \ This question forces itself npon our attention when we find that | the nuraber of nerve tibres in the dorsal and ventral roots of the | spinal nerves increases considerably with the growth ot the animal. j There may, however, be different opinions as to the manner in which this increase takes place, and this question certainly needs to be , snbjected to a comprehensive investigation. There are really two j possibilities to be taken into consideration. dhe increase must depend i either on a T- or Y-formed division of nerve fibres, or on an outgrowth from the centre, from nerve cells (neuroblasts) that have been neivly ! formed or are lying in reserve. There is, of course, a third possibility || which is, however, not very probable, namely, that one nerve-cell j has discharged two axons in the same direction. j Does a division of the nerve fibres exist in the roots of the spinal ' nerves f 1 Most obvious is of course the supposition that we have here a ! cleavage {T- or F-division) of the nerve fibres on the lines of the , process, of which such fine examples may be seen in the peripheral i part of the nerves and also in the central nerve system. A cleavage , of this kind may be exceedingly frequent; thus, at Prof. Boeke’s in | Leyden 1 saw a preparation which showed, among other things, a nerve fibre that was divided at one place into six branches. | Stefanelli') describes and reproduces a preparation from the tongue , of the chameleon, in which a single nerve tibre was divided into | branches terminating in uo less than thirty-ti\'e motory plates. During , nerve regeneration after a section one may also see abundant | examples of such division. See, for instance, the tigures in Cajal’) 1) Stefanelu, A. La piastra motrice secondo Ie vecchie e Ie nuove vedute. Annali di Neurologia Fase. IV 1912. Quoted by Boeke L. c. 3. 2) Gajal,Ramon Y. Studiën über Nervenregeneralion (J. A. Barth, Leipzig) 19Ü8 1021 andHoEKE‘). Nageoïte’) reprodiices and (^lescrihes spinal nerve-oells, in wliicli a collateral leaves the axon qiiite close to tlie nerve-cell. This collateral terminates in a club-like swelling, which is sitnated inside the capsule of the saine nerve-cell. N. is of the 0[)inion that these collaterals are dne to regenerative activitj in the cell, vvith which Cajal’) alSo agrees. Bieeschowsky '') interprets these forniations in another waj' ; he inclndes Ihein atnong the fenestrate cells and thinks that these processes have nothing to do with i’ege- neration. Ranson®) has tried to discover an explanation of this phenomenon by means of experiinenis. The resiilts given by these experiments have, without exception, indicated that these [irocesses with club-like forniations are not a product of regenerative activity in the cell. I have however, been unable to tind in the literature any indication of the fact that 7- and l'-divisions oecur in the dorsal and ventral roots of the spinal nerves. As a working hypothesis for my continued investigations I took the possibility (which is, in itself, not at all probable) that the above-inentioned, or similar, processes with club-like forniations might develop into axons and, in addition, the possibility that 7- and F-divisions might occur in the intra- and extra-niedullar course of the ventral roots as well as in the dorsal roots, which vvould explain the post-embryonal increase in the axons there which is under discussion. Silver irnpregnated dorsal and ventral roots of lumbal and sacral nerves in connection with their spinal ganglia, and a small piece of half the spinal cord on the same side froin animals of different ages within the same species, were set up in unbroken series (10/^ thick). These series were well snited for studies of the figures of the growth that might possibly occur, and for investigations made with a view to answering the third possibility that had been advanced, namely whether one nerve cell, the axons of which form the spinal nerves, sends off more than one axon in the same direction. In investigating the preparation a cross-table was used and the microscope was h Boeke, J. Studiën zur Nervenregeneration II Verhandel, d. K. Akad. v. Wet. te Amsterdam. Deel XIX. N^* *. 5. 1917. *) Nageotte, J. Recherches experimentales sur la morphologie des cellules et des fibres des ganglions rachidiens Rev. Neurol. Paris. Vol. 15, p. 357. Gajal S. Ramon y. Die Struktur der sensiblen Gangliën des Menschen und der Tiere. Anat. Heft. Zweite Abt. Bd. 16. 1907. h Bielschowsky, M. Ueber den Bau der Spinalganglien unter normalen und pathologischen Verhaltnissen. J. Psych u. Neur. B. 11, 1908. Leipzig. Ranson, S. Walter. The Structure of the Spinal ganglia and of the spinal nerves. J. Gomp. Neur. Vol. 22, 1912. 1022 provided with an oil imiiiersiuii (Vu a) and ücular fonr. Tlie preparations were investigated in the most carefnl waj step step, but noi a single example ot‘ a division of tlie nerve fibres conld be discovered, either in the roots or in the continuation of the nerve fibres in the vent ral horn throngh the spinal oord np to their root cells. I observed a few oases of spinal ganglion-oells which had the claviform prooesses mentioned above. These olaviforra formations were, however, always within the oapsides. In no case, however, was I able to discover anything that conld be interpreted as a division within the sjiinal ganglion of eithei' the central axon or that which passes peri|)herally. I iried to test the negative results obtained from this investigation in another way, in order to obtain if possible a positive result. I made cross-sections of the silver impregnated malerial throngh the corresponding nerve roots on tlie Fig. 1. Schematic representation of the neural growth in the dorsal and ventral roots of the spinal nerves. (a) Cross section at the place with the smaller and [b) cross section at the place with the larger numher of nerve fibres in the dorsal root. («i) Cross section at the place with the larger and {bi) cross section at the place with the smaller numher of nerve fibres in the ventral root at a, spinal nerve from a young animal. (ci Cross section peripherally of the spinal ganglion, (d) Spinal ganglion cell. (?) Ventral root cell. other side, some close to the spinal cord {a and a^; lig. J) and others close lo, bnt centrally of, the spinal ganglion (/> and ; fig. 1). As (he nerve roots that I iiivestigated belonged to the lumbal and sacral nerves, which take part in forming the qiiada equina, the distance between the two cross sections was fairly great. The nerve fibres in the sectioned |)re|)aratioii were counted. There are three possibilities for the totals that we might expect to obtain for the iinmbers of nerve libres. If we take a; «i ; b and fig. 1 to denote the mimber of nerve libres, then a=b or else a'^b or finally a c^b. If a = 6 then one conld scarcely expect any appearance of axon-division or any figures of growth in the piece ab\ if, on the 1023 otliei’ liand, n^b; Uien one ouglit to siicceed in tiiidiiig ligures of division of tlie riei-ve fibres in ab; if, finallj, a<^b, Uien, of conrse, one onglit to be successful in finding figures of growtli in For the ventral root the corresponding line of argument is, of conrse, as follows: if r/j = ('i,, then there are probably neitlier fignres of division nor growtii in the piece aj)^ \ if c/, ^ tliere are probably figures of growth in if retation giveii bj Bühi.eh concerning the sniall cells cannol be accepted as far as white rats are concerned, for he regarded the small cells as replacing the degenerated large nerve cells; if this were the case, then the total nnniber of’ the spinal ganglion cells innst be decreased, bnt the preceding table shows that the total nnmber is approxiinatelj constant.” I have observed in a nnniber of cases in preparations fi’om dogs that a nnmber of the larger ner\e-cells in the spinal ganglion show signs of being in process of degeneration, and in raj opinion Bühleh is right in sayiiig that these degeiiei’ating cells are replaced by yonng cells which grow out in their place. Hatai’s argument to the contrary : “If this were the case, then the total nnmber of the spinal ganglion cells mnst decrease” proves nothing at all. It is even fairlj certain that the degenerate cells are replaced bj jonng cells, which grow ont and, notwithstanding this degeneration, increase the absolute nnmber of ganglion cells dnring the post-embrjonal growth. As a matter of fact, Hatai lias nnconscionsly proved this last point by bis calcnlations (Table h), and bis evidence in favonr of it would certainly have been very mnch clearer if he had made nse of greater material and had counted the cells in a larger nnmber of corres- ponding spinal ganglia in the animal investigated. The calcnlations I am making (which 1 have, however, not yet completed) of the nnmber of ganglion cells in the spinal ganglia of animals of different ages in the same litter, seem to show that there really is an increase in the nnmber of ganglion cells dnring post- embryonal life, althongh this increase is not nearly so large as the increase in the axons. My preparations have also afforded Information as to the way in which this increase is bronght abont. {To he continued). 1033 Natuurkunde. — De Heer Louentz biedt eene luededeeling aan van de Heeren L. S. Ornstein en H. C. Burger; ,, Statistiek van getallenreeksen ’ . Deze niededeeling zal in het volgende zitlingverslag worden opgenomen. De Heer I. K. A. Wertheim Salomonson biedt voor de bibliotheek ten geschenke aan een exemplaar van de dissertatie van Mevrouw E. S. Ratu Langi — Houtman: „Over den invloed van den tonus op den tetanus”. De vergadering wordt gesloten. ERRATA. Zitt. Versl. XXVI p. 693 regel 2 van beneden: lees 0.99165 in plaats van 0.99265. 28 Mei 1919. KONINKLIJKE AKADEMIÊ VAN WETENSCHAPPEN TE AMSTERDAM. VERSLAG VAN DE GEWONE VERGADERING DER WIS- EN NATUURKUNDIGE AFDEELING VAN ZATERDAG 22 FEBRUARI 1919. Deel XXVil. N". 8. Voorzitter: de Heer H. A. Lorentz. Secretaris: de Heer P. Zeeman. INHOUD. Ingekomen stukken, p. 1036. Verslag van de Commissie van uitvoering voor het Zoologisch Insulinde-fonds over 1918. p. 1037. Erik AgduhR: „Is the post-embryonic growth of the nervous systeni due only to an increase in size or aiso to an increase in number of the neurones?” (Part 11). (Aangeboden door de Heeren J. BOEKE en C. Winkler), p. 1038. (Met één plaat). L. BOLK: „Over de ontwikkeling van het Gebit van Elephas africanus", p. 1056. JAN DE VRIES: „Een involutorische transformatie der stralenruimte, welke door twee involutorische homologieën is bepaald”, p. 1070. JAN DE VRIES: „Een straleninvolutie, welke door een congruentie van Reye en een involutorische homologie wordt bepaald", p. 1074. H. ZWAARDEMAKER en F. HOGEWIND: „Lichtelectrische gevoeligheid van Gels”, p. 1083. M. W. Beijerinck: „Oidium lactis, de melkschimmel en een eenvoudige methode om met behulp daarvan anaëroben zuiver te kweeken”, p. 1089. J. WOLFF: „Over de quasi-uniforme convergentie”. (Aangeboden door de Heeren L. E. J. BROUWER en J. C. KluyveR), p. 1098. F. E. C. SCHEFFER en Q MEIJER: „Over een indirecte analyse van gashydraten langs thermodyna- mischen weg en de toepassing daarvan op het hydraat van zwavelwaterstof I.”. (Aangeboden door de Heeren J. Böeseken en F. M. Jaeger), p. 1104. H. P. Barendrecht: „Urease en de stralingstheorie van enzymwerking”. (Aangeboden door de Heeren J. BöESEKEN en F. M. JAEGER), p. 1113. P. E. VerkadE: „Het Qlutakonzuur. lil. (Kondensatie van Natrium-formyiazijnester met Cyaanazijn- ester)". (Aangeboden door de Heeren J. BÖESEKEN en A. F. HollemaN), p. 1130. Nil RATAN Dhar: „Catalysis. Part VI. Temperature coefficients of heterogeneous reactions". (Aan- geboden door de Heeren Ernst Cohen en P. VAN ROMBURGH), p. 1140. L. S. ORNSTEIN en H. C. BURGER: „Statistiek van getallenreeksen”. (Aangeboden door de Heeren H.. A. Lorentz en W. H. Julius), p. 1146. D. CosteR: „Het gebruik van het audion in de draadlooze telegrafie”. (Aangeboden door de Heeren H. A. LORENTZ en H. Kamerlingh ONNES), p. 1159. De Heer P. Zeeman biedt ter uitgave in de Werken der Akademie aan het manuscript eener ver- handeling van den Heer M. PINKHOF: „Bijdrage tot de theorie der Halo-verschijnselen”, p. 1159. Aanbieding van boekgeschenken, p. 1159. Het Proces-verbaal der \ orige vergadering wordt gelezen en goed- gekeurd. Ingekomen zijn : 1". Missive van Zijne Exe. den Minister van Onderwijs, Kunsten en Wetenschappen dd. 3 Februari 1919 iiT 441' Afd. K. W. rnei 67 Verslagen der Afdeeling Natuurk. DL XXVII. Ao. 1918/19. 1036 verzoek om advies aangaande een aan den Minister gezonden reqnest van den Heer Dr. C. U. Ariens Kappers te Amsterdam, waarin deze een Rijkssnbsidie vraagt voor de uitgave van een werk over de vergelijkende anatomie van het zenuwstelsel bij werveilooze dieren, bij gewervelde dieren eii bij den mensch. De Voorzitter stelt deze missive met het reqnest in handen van de Heeren I. K. A. Wërtheim Salomonson en E. D. Wiersma met verzoek om daarover in de volgende vergadering te adviseeren ten einde te voldoen aan het verlangen van den Minister om tijdig genoog antwoord te mogen ontvangen, zoodat bij het opmaken der begrooting \oor het jaar 1920 met het reqnest eventueel rekening zal kunnen gehouden worden. 2°. Missive van denzelfden Minister dd. 8 Februari 1919 nV 552/1 Afd. K. W. met verzoek om advies aangaande een aan den Minister ingediend request van de Hollandsche Maatschappij der Wetenschap- pen, waarin deze een Rijkssubsidie vraagt voor de voltooiing der uitgave van de volledige werken van Christiaan Huygens, waarvan door haar zorgen reeds het 13e deel is verschenen. Door den Voorzitter wordt deze missive met het request gesteld in handen van de Heeren J. Cardinaal, H. Kamerlingh Onnes en J. O. Kaptbyn met verzoek hierover van advies te dienen in de volgende vergadering om de Afdeeling in staat te stellen tijdig ge- noeg haar antwoord aan den Minister te geven, opdat deze bij het opmaken der ontwerp-begrooting voor het jaar 1920 met het request eventueel rekening zal kunnen houden. Aan den Heer Kamerlingh Onnes, niet ter vergadering aanwezig, zal kennis gegeven worden dat hij ten deze tot mede-adviseur is aangewezen. 3°. Missive van denzelfden Minister dd. 17 Februari 1919 n“. 551 Afd. K. W. met verzoek om advies aangaande het tot den Minister gericht request van de Commissie voor het Internationaal Embryo- logisch Instituut te Utrecht om toekenning aan die instelling van een jaarlijksch Rijkssubsidie van ten minste ƒ 6000. — . De Minister zal bij het antwoord gaarne een overzicht ontvangen van de geldmid- delen, waarover het Instituut thans heeft te beschikken en van de verschillende uitgaven, die jaarlijks zijn te bestrijden. De Voorzitter stelt de missive met het request in handen van de Heeren C. Winkleh, G. van Rijnberk en H. J. Hamburger met ver- zoek om advies, uit te brengen in een volgende vergadering ten einde den Minister van antwoord te kunnen dienen. 4V Van de Commissie van Uitvoering voor het Zoölogisch Insu- linde-Fonds het volgende verslag : Eehbeek Amsterdam ’ 20 Februari 1919. Ann het Bestuur der Konmklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Gevolg gevende aan de bepaling van artikel 8 vaii de Statuten van het ,, Zoologisch Insulindefonds”, hebben wij de eer verslag uit te brengen over de werkzaam lieden van de Commissie van uitvoering gedurende het jaar 1918. De Commissie ontving op 1 F’ebiuari 1918 van den Heer R. van Eecke, Conservator bij het Rijks-Museum van Natuurlijke Historie te Leiden, het verzoek om toekenning eener subsidie uit het Insulinde- fonds voor het uitgeven van twee gekleurde platen met af beeldingen van ,, vlinders” in de ,, Zoologische Mededeelingen” van genoemd Museum. De afbeeldingen betreffen belangiijke vlinders, verzameld door den Heer Edw. Jacobson op het eiland Simaloer en op de Satelliet-eilanden. Een derde, eveneens voor de publicatie benoodigde gekleurde plaat alsmede zwarte platen en tekstfiguren zullen door het Rijks-Museum voornoemd betaald worden, maar het kan bij de huidige hooge kosten van publicatie, vooral ook van gekleurde platen, niet verder gaan, zoodat de onkosten voor de beide resteerende platen uit anderen hoofde gedekt moeten worden. Nadat onze Commissie een onderzoek ingesteld had naar den aard en de beteekenis der publicatie van den Heer Van Eecke, heeft zij bij schrijven van 9 Februari J918 aan Uw Bestuur voorgesteld aan den Heer van Eecke voor het beoogde doel eene subsidie van ƒ 350 toe Ie kennen. Uw Bestuur heeft dienovereenkomstig besloten, waarvan wij rnede- deeling ontvangen mochten door Uwe missive van 19 Februari 1918, Afd, Bestuur N“. 6. Onzerzijds gaven wij hiervan dadelijk kennis aan den Heer van Eecke. Intusschen is diens publicatie \erschenen. De Commissie van uitvoering voor het Zoologisch Insulinde- Fonds : (get.) Max Wf.ber, Voorzitter. ,, C. Ph. Sluiter, Secretaris. 67» Anatomie — De Heer Boeke biedt eene niededeeling aan van den Heer Erik Agduhr: the post-einhryonic groivth of the nervous system due only to an increase in size or also to an increase in nuinber of the nenrones?” (Second part). (Mede aangeboden door den Heer Winkler). Mitoses. In connection with tliese matters I have found speeialljMnteresting phenoniena in the thoracic region of a puppy seventee)i days old. The spinal gaiiglia were tixed according to Flemming’s method, cut up in paraffin sections from 3 p to 5 p tljiek and stained witli the iron aluin hematoxilin of Heidenhain. In these continuous series of sections I found a large nuniber of mitoses — an approximate calculation showed that in a single one of these ganglia there were over two hundred mitoses. Eigures 5, 6, 7, and 8 show how these mitoses appear in the preparation. One would be inclined at first sight to refer these mitoses, especially the ones reproduced in figures 5 and 6, to the large ganglion cells — the light tield round the chromatin showing, of course, a rather diffuse transition to the rest of the protoplasm. Owing to the continuous series I was able, however, to follow the ! cells from one section to the other, and then I found that the real nuclei of these ganglion cells were not found in a stage of division, and that these mitoses must belong either to other small cells situated , t between the ganglion cell and its capsule or probably to cells that 1 form the capsule itself. In fig. 7, on the other hand, merely from ■ the Sharp outline which the light field makes against fhe surrounding 3 protoplasm it is clear that there can be scarcely any question of fll the existence of a mitosis in the ganglion cell — this was also «} confirmed by the inyestigation of the same ganglion cell in the A preceding and following sections. In fig. 8 we have again an example of a cell which is going to divide mitotically, and which is situated | outside the capsules of the surrounding ganglion cells. With regard \ to size it resembles most closely the cells in mitotical division in i figures 6, 7, and 8, but on closer examination, for instance, if they . j are traced from section to section, one finds that it is surrounded j by capsule cells. Wé fhus seem to be quite justified in describing 1 1 089 tliis figure as a spiiial ganglion oell at sncli an earlj stage of deve- lopment that it had not lost lts powei' of increasing in nnmber throLigh mitotical division. I fonnd anoibei' mitosis of tliis kind in the series jnst mentioned. Among the other gronp of mitoses, namely those in cel Is that are situated inside or in the capsule of an older ganglion cell, mj preparation shows at least a few forrns in which one can clearlj follow the capsule peripherall}^ of the cell that is engaged in mitotic division and where the latter must therefore be situated beneath the capsule. There are thus good reasons to support the assumption that, even among this gronp of mitoses, sorne are to be referred to very joung undifferentiated cells, which on good grounds — tbr instance on account of their position — can be assumed to develop into Jierve cells. Bj far the larger number of mitoses are, however, undoubtedly to be referred to o.rdinarj' capsular cells. But is the ditference between the capsular cells and the nerve-cells really so great? Are not the former perhaps to be regarded as matrix cells for the latter? I must leave these problems to a subsequent and more detailed account of this question and confme myself to saying that there are points in the prepa- ration that support siich an assumption '). These facts are all the more worthy of attention because, among the in vestigators who formerlj' looked for mitoses in spinal ganglia, Fi.emming ’), Daal and Len- HOssEK have been unable to show any in young animals. Müller ®), on the other hand, found them in new-born animals, but in no later age. The very large number of mitoses in the spinal ganglia shown in the present and other investigations of young animals clearly support the considerable post-embryouic increase in the number of capsular cells in this region, an increase that could scarcely be explained if the ganglia did not increase in number too. In my opinion the exceedingly great number of mitoses that are found in the spinal nerve-cells, according to what has been shown above, cannot possibly be explained by an increase in size merely of those spinal nerve-cells which were already present at birth. This is the less probable because the spinal ganglion-cells must decrease in number with the years if new ones do not grow out and replace all those that degenerate and die away duting post-embryonic life. And this degeneration of the nerve-cells is admitted and shown by all the chief in vestigators of this problem. 1) See addendum! Flemming, Daal and Eeehossek. Quoted from Müller E. Müller Erik, Untersuchungen über den Bau der Spinalganglien. Nord. ined. Ark. Stockholm. Bd. 23. 1891. 1040 Tliat such degeneration is rather common is also proved by the fact tliat no slight tuimber of cells in a spinal ganglion of even a young animal show signs of degeneration. The new growth in this region has thus the task not only of replacing the ganglion-cells that have been destroyed by degeneration, but also of inereasing their nuinber. A fairly eonsiderable increase of this kind takes places, as is shown above, during the anitnal’s period of growth. To judge from my preparations, nature seems in this generation to make use of both mitotic and amitotic division. In no case have I been able to refer the cells that show the latter type of division to such small forms as those in which mitoses occur; the former cells seern to belong to remaining ganglion cells that are somewhat older and sometimes, at least, with a certain degree of development, for I have been unable to find fully developed processes among them. Amitoses. Besides the figures of naitoses one also sees in the preparations in question figures of cells which produce a strong iinpression of being engaged in direct division. As shown below one sees cells that seem to be in different stages of this division. The cells of this type, however, always belong to the young ones, to those cells (in the silver-impregnated preparations) that have taken a very slight arnount of silver or even none at all during the iinpregnation. The different stages of a direct division which are found in ray pre- parations appear as follows: One sees cells, in which the nucleolus is being divided or has just divided (fig. Ia and fig. 26) and where the two nucleoli are still in each other’s immediate neighbourhood. The two nucleoli then move away from each other and the nucleus begins to show signs of incision in the middle (see fig. 36 and fig 26). After this there follows a complete division of the nucleus, which is also frequently accompanied by a division of the protoplasmic body, fig. 3a and fig. 2a. Fig. 3a must be interpreted as a young apolar ganglion cell in which, after the nucleus had fitst divided into two, the protoplasmic body began to divide in the middle, after which the two nuclei again began a new division. The preparations in which these observations were made were particularly well fixed and impreg- nated, so that it is fairly certain that there was no possibility of artificial products. Another thing that further supports the idea of natural formations is the fact that these figures above-mentioned do not occur in such very great numbers. It is true that there are many nuclei of ganglion cells (among the smaller ones) which have two 1041 or more micleoH, bot there are fewer tlint show signs of division. I shall discuss at greater leiigth below some of the literature conceniing direct post-embryonic division of nerve-cells. I will onlj mention here that Rodhe’) describes fonr differents types of amitotic division of the ganglion cells in fnll-grovvn evei'tebrates. Paladino States that direct division is a very common way for young ganglion-cells in the higher vertebrates to increase. In fig. 4a 1 reprodnce a group of nerve-cells from a silver- impregnated spiiial ganglion in a sixty days old pnppy. In it the cells are packed close together into a formation shaped like a string of beads, lying within the same capsule. Between the cells at a few places one can also clearly see bridges of protoplasm, which connect cells that are close to each other. The sei-ies of sections of the spinal ganglia from this animal show nuraerous examples of similar gronps (Muller E.) of cells situated within the same capsule. I have ob- tained the impression, however, that they do notoccur in equally great numbers in all the spinal ganglia of the same individual; similar gronps of cells have been observed in puppies of six ajid seventeen days — but they were not so nuraerous as in the sixty days old animal ’). In the 3,5 j'ears old dog, among live spinal ganglia that were investigated, I did not come across more than a few of these groiips of cells and in the tive years old dog among a still greater amount of rnaterial, 1 did not succeed in finding such a group in more than a single place. It is thus au obvious assumption to regard these groups of cells as formations belonging to the post-euibryonic growth of the spinal ganglia — forms |)roduced by the spinal ganglion cells during the post-erabryonic increase in their number. In spite of the considerable number of works that have been publish- ed on spinal ganglia in the course of years, the information about these groups of cells to be found in this literature is exceed- ingly small. Before 1880, however, they had been observed by a number of investigators and were described most thoroughly by P. Mayer ’). After that the subject seems to have been almost forgotten, until in 1889 and 1891 Müller Erik gave more thorough and valuable descriptions of similar groups of S|)inal ganglion cells within the same capsule. Since Müller’s descrijition of these groups of nerve-cells they scem to have been uegiected again in recent b Rodhe, GangUenzellkern and Neuroglia. Ein Kapital über Verraehrung and Wachslhum der Ganglienzelle. Arch. f. mikr. Anat. Bd. 47. b The sixty days old dog was rachitic. ®) Mayer, S., Arch. f. Psychiatrie, Bd. 6. 187b. 9 Muller, E., L c. 1042 literatiire — I have not found a single mention of them in a whole series of recent pnblications on tliis subject that I have looked throngh. Muller gives tlie name oï “Cellkolonien” to these groups of nerve-cells and distingnishes between regnlar and irregnlar colonies. “Die ersteren” — the regnlar ones — “sind nach anssen durch eine cirkelrnnde Kapsel vom selbigen Anssehen wie diejenige, welche die grossen Zeilen nmgiebt, begrenzt; innerhalb dieser Kapsel fmden zich zwei, drei oder vier Zeilen sehr regelmassig wie Sectoren um einen Mittelpnnkt geordnet”. Müi>ler also found bridges of protoplasm connecting the dilferent cells of the colonj with each other. I have not found in my preparations any colonies of cells which showed this regnlar arrangement of their cells, resembling a sector of a circle, althongh there are several tigures of colonies in which the cells are very nearly equal in size; but in these cases they ai‘e situated side by side, althongh they do not always form such long rows as the one shown in fig. 4. Most of the colonies observed by me are quite clearly built up of cells that are different in size, and ' it seems as if one might place them all in the gronp that Müller describes as irregular. With regard lo the significance of these colonies Müller writes: “Vielleicht steht das Vorkommen dieser Bildungen mit Regenerations-phanomenen in den Spinalganglien in Verbindung”, but he points out that, as he had no opportunity of studying the processes of these cells, his statement on this point can only be a sn|)position. He continues: “So viel geht jedoch aus dem unbedeutenden Vorkommniss bei alteren Thieren von diesen Bildungen — Koloniën und Halbmonden — welche bei jungen Thieren zahlreich auftreten, hervor, dass sie Entwicklungsstadien von Ganglienzellen reprasentieren und ferner, dass die Entwickelung der Spinalganglien eine langsame ist, welche erst in spateren Zeitraurnen von dem Leben des Thieres abgesch lossen wird.” In tearing preparations of older animals the same investigator found that the crescent-shaped cells that are situated within the same ■ capsule as other ganglion cells, have no processes. The observations j of mine, however, are not made from tearing preparations, in which ■ one has of course always to reckon with the possibility of the removal of processes that have really been present, but are ! made from continnous series of intensely impregnated Bielschowsky- preparations, in which one can very easily look for these colonies section by section. In the series of sections from which fig. 4 is taken there is no tracé of any processes. The spinal ganglion in (piestion is intensely impregnated according to the method mentioned above. The impregnation is very successful ; not only the axons, leuron 1042 literatiire — I have not foiiiid a single mention of tliem in a whole series of recet)t pnblications on l.liis subject Ihat I have looked through. Müllkr gives tlie name oï “Cellkolonien” to tliese groups of nerve-cells and distingnishes between regular and irregular colonies. “Die ersteren” — the regnlar ones — “sind nach anssen durch eine cirkelrunde Kapsel vom selbigen Anssehen wie diejenige, welche die grossen Zeilen umgiebt, begrenzt; innerhalb dieser Kapsel tinden zich zwei, drei oder vier Zeilen sehr regelmassig wie Sectoren um einen Mittelpnnkt geordnet”. Muller also found bridges of protoplasm connecting the ditferent cells of the colonj with each other. I have not found in my preparations any colonies of cells which showed this regular arrangetnent of their cells, reseinbling a sector of a circle, althongh there are several figures of colonies in which the cells are very nearlj" eqnal in size; but in these cases thej are situated side by side, although they do not always form such long rows as the one shown in fig. 4. Most of the colonies observed by me are quite clearly built up of cells that are different in size, and it seems as if one might place them all in the group that Muller describes as irregular. With regard lo the significance of these colonies Muller writes: “Vielleicht steht das Vorkommen dieser Bildungen mit Regenerations-phanomenen in den Spinalganglien in Verbindung”, but he points out that, as he had no opportunity of studying the processes of these cells, his statement on this point can only be a supposition. He continues: “So viel geht jedoch aus dem unbedeutenden Vorkommniss bei alteren Thieren von diesen Bildungen — Koloniën und Halbmonden — welche bei jungen Thieren zahlreich auftreten, hervor, dass sie Entwicklungsstadien von Ganglienzellen reprasentieren und ferner, dass die Entwickelung der Spinalganglien eine langsame ist, welche erst in spateren Zeitraumen von dem Leben des Thieres abgesch lossen wird.” In tearing preparations of older animals the same investigator found that the crescent-shaped cells that are situated within the same capsule as olher ganglion cells, have no processes. The observations of mine, ho wever, are not made from tearing preparations, in which one has of course always to reckon with the possibilily of the removal of processes that have really been present, but are made from continuous series of intensely impregnated Bielschowsky- preparations, in which one can very easily look for these colonies section by section. In the series of sections from which fig. 4 is taken there is no tracé of any processes. The spinal ganglion in (piestion is intensely impregnated according to the method menlioned above. The impregnation is very successful ; not only the axons, Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl, XXVII. A", 1918 19 EXPLANATION OF FIGURES. Figures 1, 2, 4, 5, 6, 9. 10, 11, 22, 23, 24 and 25 are drawn after magnifying wilh Leitz immers, h-: and ncul. 4 and using Reichert’s drawing apparatus. Figures 3, 7, 8, 12 and 26 are drawn after magnifying with Zeiss apochr. immers.; 2 mm. Apart. 1.3 and Comp. ocul. N". 6, with the help of Abbe's drawing apparatus'. Figures 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 and 21 are drawn after magnifying with Zeiss Apochr. imm., 2 mm. Apart. 1.3 and Comp. ocul. N". 12, with the help of Lf.it/.’s drawing appara(us. Fig. 1. Repr. -la. Gangl. spin. (Fix. Flemming staining Jhtx and Eos, } of a 17days' old dog. (t. Ganglion cell wilh division of the nucleolus just starled, b. Nucleus dividing amitotically. This small distinct collum-formalion between the nuclei is very rare. Fig. 2. Repr. %. Gangl. spin. (Fix. and staining the same as the preceding) from the same section series as in fig. 1. a. Ganglion cell dividing amitotically. b. Ganglion cell in which the nucleus has two nucleoli. Fig. 3. Repr. Gangl. spin. (Silver-impregnated according to the Bielschowsky- method with my own modifications) of a six days’ old dog. a. Ganglion cell dividing amitotically. b. Ganglion cell with the beginning of amitotic division of the nucleus. Fig. 4. Repr. -k. Gangl. spin. (Impr. as in fig. 3) of a sixly days’ old dog. t;. Colony of apolar cells. Between the three cells in the middle there are bridges of protoplasm. Fig. 5. Repr. -/;i. Gangl. spin. (Fix. and staining as in fig. 1) of a 17 days’ old dog The ganglion cell on the left imitates a milosis. The milosis in realily belongs to a capsular cell. Fig. 6. Repr. V;i. Gangl. spin. (Fix. and stain. as in fig. 1) of a 17 days’ old dog. The mitoses in the capsular cells or in cells subcapsularly situated. which have a tendency to become ganglion cells (?). Fig. 7. Repr. V-- Gangl. spin. (Fix. and stain. as in fig. 1) of a 17 days' old dog. Mitosis in the capsular cell. Fig. 8. Repr. Gangl. spin. (Fix. and stain. as in fig. 1) of a 17 days’ old dog. Mitosis in a very young ganglion cell. Fig. 9. Repr. Vi. Spinal cord. (Fix. and stain. as in fig. 1) of a 24 days’ old Mus musculus var. albus. a. Mitosis. b. Amitosis in a young nerve cell. Fig. 10. Repr. Va. Spinal cord (Fix and stain. as in fig. 1) of a 24 days’ old Mus mtésculus var. albus. Syncytium or plasmodium of young nerve cells. Fig. 11. Repr. Vi. Spinal cord (Fix. and stain. as in fig. 1) of a 24 days’ old Mus musculus var. albus. Mitosis in the nerve cells. Fig. 12. Repr. %. Spinal ganglion (Impragn. as in fig. 3) of a 17 days’ old dog. Bipolar ganglion cell. Fig. 13. Repr. -/3. Spinal cord (Fix. and stain. as in fig. 1 ) of a full-grown M. musc. v. alb. An example of fairly frequently occurring indentations on nuclei of nerve cells: in my opinion these indentations have very probably no connection with amitotic division. Fig. 14. Repr. Va. Spinal cord (Fix. and stain. as in fig. 1) of a ten days’ old Aïus musculus V. albus. An example of a stage in amitotic (?J division in which the nuclei are quite separated but the protoplasmic body is not quile divided. Fig. 15. Repr. Va. Spinal cord (Fix. and stain. as fig. 1^ of a ten days’ old Mus musc. var. albus. Cell plasmodium or syncytium, situated just ventrally of the canalis centralis. Fig. 16. Repr. Va. Spinal cord (Fix. and stain. as in fig. 1) of a ten days’ old Mus musculus V. albus. An example of a cell at an early stage of amitotic division. Fig. 17. Repr. Va. Spinal cord (as in the preceding figure). An example of direct division of the nucleoli and a somewhat later stage than in the proceding figure of direct division of the cell in its entirety. Fig. 18. Repr. Va. Same material as in the preceding figure. Young ganglion cells (neuroblast) engaged in direct division. Fig. 19. Repr. Va. Same material as in the preceding figure. A cell engaged in direct division. Fig. 20. Repr. Vi. Spinal cord (Fix. and stain. as in fig. 1) of a 24 days’ old M. musc. V. alb. A young nerve-cell in a far advanced stage of direct division. Fig. 21. Repr. Va. Same material as in fig. 16. Young nerve cells from the base of the dorsal horn in a very far advanced direct division into four. Figs. 22, 23 and 24 are probable and figs. 25 and 26 certain figures of growth in the roots of the seventh lumbar nerve in a 17 days’ old dog. The material is silver- impregnated according to my modifications of the BiELSCHOWSKY-method. 1043 but the iieuro-tibrils appear exceedingly distiiict. One may tliiis postidate tliat if processes of the cells in ibis colony had really exiöted, tliey wonld also have clearly appeared in llie sections. That these cells are likewise at an early stage in their development is indicated, in addilion, by the tact that there are evident bridges of protoplasm between some of them. In this seiles of sections there are, however, colonies of cells wliich, as far as one can jndge, are at later stages in their development — in these the different cells have processes, there are no bridges of protoplasm between them, and the fntnre capsules of the separate cells exhibit the first tracés of their development. Iir the cells of some of the coloides found in the 3,5 year old dog I have been able to show processes — there were also signs sliowing that these colonies were at a later stage of development than the one shown in fig. 4. In the five year old dog, as has been mentioned above, I fonnd only a single colony of cells and no apolar cells. The resnlts of connting the ganglion cells and their axons indicaie, however, that thei'e really are apolar cells liere as well '). The pnrely morphological observations in the 3.5 and 5 year old dogs do not, of course, qnite exclnde the possibility of there being colonies of cells here as well at a vei'y early stage of development, bnt with regard to this they indicate that in older animals these formations are relatively very rare. It is to be noted that such eminent investigators as Key and Retziüs^), Schwalbe’) and of recent years Ranson are decidedly against the opinion that apolar cells are to be found in the spinal ganglia on the other hatid. KölÜker®), Müller'’) and others hold the opinion that such cells really exist. It wonld lead me too fai' from my real subject were I to discuss in detail the literatnre concerning apolar cells in the spinal ganglia. I must content myself with the references already given, and in connection with this point I wish to state that there are also investigators wlio have observed processes from cells in colonies similar to those described above; such are Arnot'^) and Stienon * *') etc. ’) These and other explanatory details will be given more fully in a forthcomiag and more complete work. 2) Key and Retzius. Studiën in d. Anat. d. Nervensyst. u. Bindegewebe, Bd. 2, 1876. ScHWALBE, Ai'ch. f Mikr. Anat. Bd 4; 1868. *) Ranson, L. c. Kölliker, Handbuch der Gewebelehre, 5 Aufl., 1867, quoted from Muller E. ®) Muller, E., 1 c. 7) Arndt, Archiv f. Mikr. Anat., Bd. 10, 1873. Stienon, Annales de l’université libre de Bruxelles, 1880, quoted from Muller E 1044 If now we summarize the observations that have been made and given above on tliese colonies of cells and the processes of the cells that belong to them, it seems to be clearly shown that some at least of the apolar cells in these colonies grow out to nero neurones during the postembrgonic growth of the anima l. On the other hand it does not seem to me so easy to decide hovv these colonies of cells arise. The waj is perhaps that small cells from the capsule cells which have been developed mitotically, or are at least situated within the capsule, grow out into new ganglion cells, which are added to other ganglion cells alreadj’ existing within the saaie capsule. Might not a relativelj large ganglion cell, which in some respects is at an earlier stage of development — for instance, apolar — increase in number and become one of these colonies of cells by means of amitotic divisions. 1 have not been able to decide with certainty whether one or other or both of these melhods of formations occur. though, as a matter of fact, there are signs in my preparations to support the idea that both these methods of formation may occur, If, as seems to be shown above, a new formation of neurones in the spinal ganglion really occurs post-ernbryonall} , one would and might, of course, also expect to tind, during post-embryonic life, figures of growing axons in the [leripheral nerves. I have examples of such claviform figures, which are quite evident in silver-impi'eg- nated preparations of, for instance, the dorsal and ventral roots of young dogs. More details of this will, however, be given below. 1 consider that I have now shown that the cells in the spinal ganglia sufficiently explain the origin of the actually existing and fairly considerable post-embryonic numeric growth of axons in the dorsal roots of the spinal nerves. I shall now pass on to examine to some extent in connection with those matters the Medulla spinalis. There is but exceedingly scanty information aboiit post-embryonic divisions of the ganglion cells of the central nervous systern to be found in literature, and the existing accounts are not generally admitted to be correct. These accounts, however, take two directions. Some investigators maintain that the cells in this region divide by means of mitoses, others say that the usual method of increase in this case is that of amitotic cell di\’ision. Mitoses. Alt, RN States that in the spinal cord of an “albino rat” twelve Allen, Ezra. The cessation of mitosis in the central nervous systern of the Albino rat; J. Gomp. Neurol. Vol. 22, pp. 547—568, 1912. 1045 days old he found (counting in mm* *) 46 mitoses in the cervical, 75 in the thoracic and 14 in the lumbar region, but that in an aninml twenty days old he could not show a single one. Hamilton ') found in thirteen succeeding sections, 6,75 thiek, from the niedulla spinalis of a four days old rat mitoses in the ependyma and 64 situated extraventricularly. Addison W. H. F.’) found in au “albino rat” nearly 22 days old mitoses “in the other granule layer” of the cerebellum. ScLAVUNOS G. ‘) bas observed mitoses in the central nerve system of new-born dogs. SuGiTA Naoki ^), vvho has studied the post-embryonic growth of the cortex of the brain in the “albino rat”, found that the value for the number of cells in this region in the ten days old animal was 1,9 X the value at birth, and that the number of cells increases further during the next ten days and is complete at twenty days. After this time the number of cells is practically constant and the number of cells in the fully-grown state is approximately twice as great as at birth. These calculations are based on the determination of the number of cells in onlj two layers at only ojie place and therefore their general value may be questioned. S. has, however, previously shown by measurements made at different places on the cortex of the brain that it undergoes the same relative increase in thickness between birth and maturity. S. considers that the values obtained may therefoie with great probability be generalized for the whole cortex. With regard to the way in which such a post-em- bryonic increase in the number of cells in the cortex takes place one can, of course, herein supported by Allen, who in 25 days old specimens of the “Albino rat” found as many as 27 mitoses per mm® of tissue in the cerebrum, consider that it is due to mitolic division. The values given for the number of mitoses and for the increase in number of the cells in the central nervous system do not refer to any definite number of cells, but apply to all the cells taken together, and thus do not exclude an increase in the number of b Hamilton, Alice, The division of differential cells in the central nervous system of the white rat. J. Gomp. Neur., Vol. II, pp. 297 — 320, 1901. b Addison, W. H. F., The development of the Purkinje cells and of the cortical layers in the cerebellum of the Albino raf. J. Gomp. Neurol. Vol. 21, pp. 459— 487. *) ScLAVUNOS, G., lleber Keimzellen in der weissen Substanz des Rückenmarks von alteren Embryonen und Neugeborenen 'Anat. Anz., Bd. 16, 1899. b SuGiTA Naoki, Gomparative Studies on the growth of the Cerebral cortex III, IV and VI, Journ. Comp. Neur. Vol. 29, 1918, 1046 botli glia and ganglion cells. The initoses fomid _in the central nervons sjsteni of young animals do not seem to refer to so-called neiiroblasls (His) '), but the preparation indioates tliat Koklliker is right when, partly by reasoning and parfly by direct observations, he cornes to the conclnsion that those “Keiincellen” that are in initosis are undifFerentiated epithelinm-cells, which give rise to both glia and ganglion cells. Schaper’) arrivés at the same result by his investigations of the course of dilFerentiation in the central nervous systeni of the trout. We thus seem to be justified in postiilating as a fact that as long as tnitoses can be shown in the central nervous System a new formation of ganglion cells is also taking place. In Prenant '*) we read as follows: a. “Les cellules nerveuses, en se différenciant, out perdu Ie pouvoir de se i-eproduire, h. Les rares nuiltiplications qu’il a été possible d’observer dans les cas de cicatri-: sation de portions du névraxe, appartiennent a Ia neuroglie (Valenza, Marinesco, Monti); c. Entin il n’est pas exclus que les quelques mitoses observées doivent également être assignées a la neuroglie”. Among the investigators who do not seem to be able to adinit the possi- bility of an increase of the neurones during post-ernbryonic life I want to niention also Bizzozero and Marinesco ®). In deciding such matter these authors seem more or less to have proceeded from the idee prëconcu that the neurons have a very long life and are nearly perpetual. They consider that this is an absolutely neces- sary qualiticaiion if the individual is to perserve its psychical inheritance, to form associations of ideas, and for memory in general. A close study of suitable preparations of, for instance, the spinal cord from animals of different ages will soon con.vince us that this does not quite agree with the real facts. For in these preparations one tinds not infrequently figures of ganglion cells which are degenerating as well as those which indicate generation. Nor is the literature on the subject without scattered statements about observations of such degeneration in the central nervous q His, Die Neuroblasten und deren Entslehung im embryonalen Mark. Arch f. Anal. u. Entwickelungsgesch. 1889. 2) v. Koellikeb, üewebelehre, Bd. 2, 1893. 5) Schaper, Archiv. für Entw. mech. der Organ. Bd. 5. Prenant, Histologie et Anatomie microscopique, t. II, p. 353, 1911. q Bizzozero, G , Accrescimento e rigenerazione nell’organismo tConferénce du Prof. G. Bizzozero au Gongrés international tenu a Rome en 1894). Voir, en outre, dans Ie 2e volume des oeuvres scientifiques du même auteur publié a Milano en 1905, et dans les Arch. ital de Biol. t. XXI, p. 93, quoted from Paladino. ®) Marinesco, G., La celluie nerveuse, Vol. 1, p 400, Paris 1909. 1047 System. Among the investigators who have made siieh observations we quote Rbtzius, v. Gehuchten, Ramon y Cajau, Dejkrine. The presence of degenerating nerve elements in individuals tliat are growing also readers the possibility of a regeneralion of such very probable. If there is no i-egeneration, tlie nerve elements woiild, of cotirse, decrease during grovvtli — a phenomenon tliat is not indi- cated by any recorded observations. The probability of getieration becomes certainty, however, when one investigates suitable pre|)a- rations from the central nervoiis system, for instance from the spinal cord of animals at varions post-embryonic ages. Such pre[)a- rations show numerous figures of new growtb, which seem to me sufficiënt to explain not only how degenerated gang lion cel Is are replaced, but also how the increase in nerve fibres in the central roots arises, which I proved above to exist during the period of growth. I have made suitable preparations for these investigations from the spinal cord of toads, mice, rats and dogs of different post-em- bryonic ages. The material was tixed either in Flemming’s or Zenker’s tixing liquids and the paraffin sections ent from it were impregnated either with Heidenhain’s iron-alum hoematoxylin or with Erlich’s acid iKjernatoxylin. I have in addition, quite excellent Bielschowsky- preparations from this material. In the hcematoxylin-impregnated preparations from toads 2 cm. long (from neck to sacruin) and ten days old mice I found some — but very few — mitoses. On the other hand I have not found any certain examples of such mitoses in the older individuals of this species nor in six and seventeen days old dogs or in full-grown ones. In a young mouse 23 days old {Muf> musc. var. alhus) I found three appearances, which are reproduced in figs. 9 and 11. The figures are carefully drawn from preparations — which are from the material that was tixed by Flemming’s method — and, at the first glance, certainly produce the impression of being mitoses, and it is possible, of course, that this is the case. A number of facts seem to me, however, to render this doubtful; these are first, that I have not found any more mitoses in this animal and, secondly, that in other mice of equal age, in which the material was fixed according to Zenker’s method — - this method gave better and finer results — and impregnated in the same way, I have not found any tracé of mitoses. In any case I have not found any appearance of amitosisin pre- paratipns of the spinal cord of white mice more than 24 days old. My observations of mitoses in the spinal córd of growing individuals thus agree on the whole with those {irevionsly made by other in- 1048 vestigators. As far as the animals itivestigated by me are concerned, an increase in the number of neurones by meaiis of mitotic division of nerve cells seems thus to be concluded diiring the first month of post-embryonic life. Donaldson’s ') statement : “Moreover, in the case of the albino subjected to modifying conditions after 30daysofage, the number of neurones is aJready complete at tkis age, so that the ckanges indaced are again merely of size^), unless some neurones should have been destroyed,” is an assertion that I cannot agree with, as far as my material is concerned, and I am inclined to think that it does not describe the conditions in any animal. If one gives a strict definition of a neurone as being a nerve-cell with its processes, one of which is a axon and the others dendrites, and one adds to this the generally accepted condition, which by means of the evidence put forward about it, has alrnost become a certainty, namely that one cell in the ventral horn does 1 not send more than one axon out into the ventral root and that tlie axons do not show any T-division on their way through this | root, the considerable post-embryonic increase in the number of l axons in this region, which lias been shown above to be an actual j fact, is a proof of the real existence of an increase in the number | of neurones during a considerably longer peiiod of development than the one given by Donaldson. Tlie Wistar school (Donaldson and others) have, as has been stated above, with their splendid statistical and experimental investi- gations found, by means of the methods they have used (staining of medullary sheaths), that post-embryonic growth in the nerve roots is principally merely an advancing myelinisation. The most important of all the changes that take place during this process, narnely the post-embryonic growth in the number of axons, lias quite escaped their notice. There was tlierefore no need to look tbr an increase in the number of neurons going on for a longer time postembryonally than the time during which the mitosis in the central nervous systeni showed clearly that an increase of this kind really existed. But is i mitosis the only way in which an increase or a new formation of i the cells in the central nervous System can take place? ] Scattered statements in the literature exist to the effect that a new i» formation of nerve-cells may also take place by means of j ‘) Donaldson, H. H., Hatai, S. and King, H. D. Post-natal growth of the Brain f under several experimental conditions. Studies on the albino rat. Journ. Nerv. and ^ Mental Disease. Vol. 42, 1915. I *) The italics are mine. 1 ü4y Amitotic division. Most investigators believe, witli Ff^emming, tliat initotic cell divisioJi is tlie only way iii wliich a iiew growth in a healtliy body naii take place. And it is genei-ally adinitted that amitotic cell division occurs only in pathological tissues and, apart froin this, only in cells tbat liave a very short life. As bas been pointed out above, the nerve cells are generally adraitted to have a life equal in length to that of the individual; it is therefore obvious that any idea of an-increase in these by amitotic division must be out of the question. And I must myself confess that the idea of the pcrmanence and high positioji of the neurones among the cells in general has become so deeply rooted through studying handbooks of medicine as well as the majority of special treatises on this subject that it is really difficnlt to get accustomed to the idea that there may be another possibility for the increase in the nerve-cells than rnitotic division. If, however, one comes quite freely, as I did, to the piobleni of explaining the actually existing increase in the nerve-fibres during the whole post-embryonic developmenl, and linds that this explanation has to be sought in an increase in the number of the neurones and not in a cleavage of the axons — and this at the same time as one tinds signs of how a large number of the nerve cells ai-e degene- rating and dying away, then of course the new formation of ganglion cells, even after mitoses no longer occur in these regions, must be considerable. There are also in the central nervous system, as will be described in more detail belovv, appearances that seem to indicate that amitotic division of young cells really takes place there. Obser- vations pointing in this direction have already been made and described in literature, although this information seems to have attracted but little attention. Rohde ‘) described in 1896 how ganglion cells in invertebrates increase by amitotic division. R. distinguishes four different types of such a division in these animals. As invertebrates have not been the object of rny investigations in this matter, I cannot criticize R’s statements, although some of them seem somewhat strange. Paladino^) (1914) describes amitotic division of cells in the central nervous system of vertebrates. P. States that the neurones degenerate and perish, and in connection with this there is a new development of nerve elements. There are good reasons for believing that this ') Rohde, 1. c. *) Paladino, 1. c. 1050 development takes place by means of the activity of the ependyma and to a subordinate and liinited extent by means of direct division. Where Uiese elements exist they sink down and gradually disappear, sending off a first process, which grows and is lengthened, wliile otliei’S are also developed, so tliat gradually a mnltipolar cell arises. “Avant d’arriver a cette différenciation, ces cléments se divisent ^a et la par scission directe, qni, on bien se compléte — et alors les nonveanx éléments restent en connexion avec un des prolongemenis — on bien ne s’achève pas, et on a alors des formations gemellaires de divers degré. Ces faits peuvent s’observer Ie long de la moelle épinière d’individns d’age différent et dans des préparations obtennes avec des séries de sections frontales et avec les divers colorations”. Pai-adino accompanies his statement witli a figure to show how the epithelinm-cells (ependyma) are fnrtlier differentiated and move down into the snrrounding tissue. On the other hand it is to be regretted that P. did not add a fignre showing a cell engaged in direct division and that he did not give a more detailed description of the amitoses in the central nervoiis System observed by him. The more thoronghly I stndy my prepai-ations from the centi-al nervons system of animals of varions post-embryonic ages, the more convinced am I that Paladino is right in his statements as given above. In these préparations of mine I have fonnd, in a nnmber of places, appearances that indicate, jnst as clearly as P.’s figure, a movement of cells from the ependyma into the snri'onnding tissue. These appearances are not, howevei', fonnd continnonsly along the whole central canal but occnr scattered here and there — this too agrees with P.’s statements. On the other hand, with regard to tigures of direct cell division, I have observed a large nnmber which, in my opinion, are to be interpreted in this way. And as a matter of fact 1 have obtained series of snch appearances which show the different stages of a direct cell divisioïi. Notches, indenlations and irregnlarities in shape occnr very often in the nuclei of the nerve cells. If, however, snch appearances be examined more closely, we shall find in most cases that they cannot be connted as fignres of amitotic divisions. Thns fignres which may with a great degree of probability be considered as stages of amitotic cell divisions do not occnr in snch abundance in my préparations of the spinal cord from the above- mentioned animals. Fig. 13 shows a type of these notches, which are very common in the nuclei of ganglion-cells, bnt which, as far as one can see, have nothing at all to do with amitotic divisions of the cells. Figs. 14 and 15 are cell-plasmodia or syncytia, of which one often sees examples, es[)ecially close to the ependyma. The 1051 syncj'tium in fig. 14 was sitiiated iminediatelj beneath the ependyma, and that in fig. 15 in the dorsal horn of the spinal cord in a yonng white moiise ten days old. Figures Ib, 2a, 3a, 96, 10, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, and 21 are pietiires of different stages of young nerve cells engaged in amitotic division. These figures are all drawn froin appearances in the spinal cord of a white nionse, the two first from an aniinal 24 days old and the others from 10 days old animals. In the material from toads and dogs that was investigated, similar appearances to those in the white mouse have been fonnd to about the same extent. Fig. 96 shows one stage of direct cell division which in my opinion is very rare; I myself have only fonnd this single case. Fig. 20 shows the most advanced incision nsnally seen. Transitional stages between this and complete division of the nuclei occur exceedingly seldom. 1 obtained a parti- cularly welcome opportunity through Professor Boekk’s great kindness during my visit to Holland last summer — of observing in eelem- bryos that it really is a tact that the appearance of amitoses is very rare in cases where the danghter-niiclei show only very narrow communicating bridges between each other. It is, as we know, generally recognized that the nuclei in the myogene tissue increase by direct division during a later stage of its ditïerentiation into muscular tibres. Eel-embryos are particularly suitable tbr the study of this development (Godlewski E. ^). Boeke’s very tine preparations of these embryos showed in this region numerous nuclei engaged in amitotic division. It is worthy of note that here too, among this mass of nuclei in amitotic division, no stage could be discovered in which the nucleus showed a far advanced incision — and con- sequently a very small communicating bridge between the two daughter-nuclei. — Accordingly, after studying this material, I was inclined to assurne that the last part of the process of division took place rapidly, without any narrow drawn-out communicating bridge between the daughter nuclei being formed. With this in view, it is not strange that I looked upon the appearances that form the basis of fig. 21 with a certain amount of surprise and doubt. Does this figiire really show stages of amitotic cell division or are they only artifical Products? The preparations were well fixed and as a matter of fact do not support the idea of there being artificial products. The nucleoli show a particularly great generative tendency. If we h Godlewski, E. Ueber Kernvermehrung in den quergestreiften Muskelfasern der Wirbeltiere, Buil. intern, de 1’ Academie des Scien. de Cracorie, 1900. *) Godlewski, E. Die Entwicklung des Skelet- und Herzmuskelgewebes der Saugethiere. Arch. f. mier. Anat. B. 60, 1902. 68 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. A«. 1918/19. 1052 add that tliis picture is tlje onlj oiie among uiy exteiisive material iii which 1 found such far advanced incisions in the nuclei, these facts certainly support tlie idea that there reallj' are natural forma- tions. AH these cells that show signs of amitotic division are very young. Some of thein have no signs at all of processes (fig. 19 and 20), while others show indications of the beginning of a develop- inent of these (figs. 9b, 16, 17, 18, and 21). I can agree with Pala- DiNo’s statement quoled above that it is onlj before the ditferentia- ; tion of the processes that amitotic division takes place. On the strength of the appearances in this material I am of the opinion that the amitotic division proceeds in the way ; a) The nucleolus ‘) increases in length and begins to show incisions in the middle ; this incision becomes deeper and deeper (figs 16 and 17) and finally one has a division into two nucleoli, each of which i moves to an end of the nucleus of the cell, which has begun to i become drawn out into a more or less oval formatiou. The nucleoli > often exhibit a continued power of generation even after they have moved out to the future daughter-nuclei ; it is this that causes us ' often to see in such daughter-nuclei either one nucleolus engaged in direct division or else several nuclei, a number of which maj be seen moving out of the nucleus. I have not been able to decide i with certainty whether the lilameuts (nuclear übres) of the nucleus i thereby have any specitic function. It is a fact, however, that there ^ are sometimes appearances which point to this being really the case j (tig. 16 and 17). b) The drawn-out, elliptical nucleus begins to show | signs of incision in the middle (fig. 16, 17, and 18). This incision usually takes place iu the middle, so that the two daughter-nuclei are equally large. There are, however' figures showing the existence of a slight dissymmetry (tig. 18). The incision grows deeper, but is not as a rule, however, deeper than is shown in tig. 20, the con- nection between the nuclei being retained. Incision of the nuclei as far advanced as that sliown in figs. 9b and 21 is exceedingly infre- quent and these figures are the oidy ones I found of this type. There are also figures that indicate that the fibres of the nucleus i may have something to do with the division óf the nucleus, c) If the cell in which the nucleus divides amitotically is at a very early stage of development, a cleavage of the protoplasm does not, in most cases, ensue, but a cell plasmodium arises. These cells are i h It should, however, be noted that such phenomena of new growth often appear in the nucleoli without the nucleus otherwise showing any signs of an amitotic division. 1053 theii sifuated most frequeiitly in the ueigbourliood of the central oanal (tig. 15). If the cell is at a somewhat later stage of develop- raent, an incision of the nucleus is usuallj accompanied by a division of the suiTOunding protoplasm, which even at the same stage shows protoplasmic processes engaged in development (fig. 10). Cells of this last type are situated farther away from the centi-al canal. It is noteworthy that the structnre of the nucleus in the cell engaged irl amitotic division seems to be relatively intact in comparison with the corresponding condition in mitotic cell division. With regard to the degree of the neurone formation 1 thinkthat, on the ground of the reasons given above, I may go a step further than Paladino when he writes : “En conclusion, Ie tissu nerveux ne fait pas exception a la loi, d’après laquelle tont tissn vit dans l’ensemble et se renouvelle isolément, pour remplacer les éléraents qui se détériorent et se détruisent; en d’autres tenues, Ie tissu ner- veux, Ini aussi, est un siège de regénémtion pour ainsi dire restauratrice.” It seems to follow from what has been shown above that we are not dealing w'ith merely a restoration of, but also with an increase in the mimber of neurones. In order to complete this sui-vey I shall add the results of iny investigations of the Appearances of groiotk of the axons in the dorsal and ventral rools of the spinal nerves. As has already been shown above, the calculations of the number of the nerve fibres in cross-sections of the dorsal and ventral roots of the spinal nerves made at a, and b, hi lext fig. 1 gave such valnes that one might expect that tignies of gi'owth might also really be shown in longitudinal sections of these roots. Silver-impregnated roots from some intact lurnbal nerves of a 17 days old dog were set up in series of sections of suilable thickness atid then the preparations were searched for tigures of growth. These investigations showed the occurrence of a large number of figures of nerve-fibres free from medullary sheaths, whose ends are situated between the two section surfaces of the preparations; the shape of these ends shows that they could scarcely be due to the nerve-fibres having been cut otf when the sections were cut. Of the different shapes that the ends of these nerve-fibres take 1 will only mention one here, namely, that which shows a swelling at the point; this swelling has in most cases a claviform shape (figs. 22, 23, 24, 25, and 26). The nerve- fibres in these cases were very tine, and showed repeated convolu- tions during their course (fig. 26). A large number of such nerve- 6b* 1054 fibres witli a winding course were to be fonnd in my preparatious, althongli I could not ünd the free end of all of them. Of these figures of growth at least those that form the basis of figs. 22, 25, and 26 niaj be eonsidered as being absolntely reliable. Tliese figures resemble, of conrse, those usually fonnd in preparations of nerves engaged in regeneration (in the regeneration of a peripheral end of a nerve, being produced experiinentaliy), Boeke, Ramon y Cajal, etc. We thus arrivé at the interesting fact tliat in tiie roots of the segmental nerves of fiilly intact aninials as old as those we are dealing with there really exist neurites engaged in growth, and also a new formation of neurones — a phenomenon that mnst be con- sidered of fnndamental iinportance for a coinprehension of the post- embryonal gi’owlh of the whole individual. Résumé and conclusions. 0 The investigations of the material in question have shown that ‘ft the post-embryonic growth of tlie peripheral nerves is not due | i — as far as the axons are concerned — solely to an advancing || myelinisation (Donaldson, etc.) and an increase in the thickness of the separate axons, biit is also dne to an increase in the number if of axons. This increase in the number of axons is, however, relatively 1 larger during the earlier tlian dnring the later post-embryonic period | (- of the animal’s development. It is of special interest to note that the j(< results of counting the axons show that the increase in the number l«: of axons goes on for a considerable iength of time during the post- embiyonic life of the individual (see the table). This post-embryonic | i period during which an increase in the number of nerve fibres in j the roots of, the spinal nerves takes place is many times longer ; i than that during which mitoses can be shown in the spinal ganglia | and the spinal cord. j Investigations carried out with the object of explaining the method i I in which such a post-embryonal increase in the number of axons j .i arises have shown that it can not be explained by means of T- or i i J^-division of the nerve fibres or by assuraing that the same nerve | ' cell sends off more than one axon, but that the explanation must i be sought in a real increase in the number of the neurones. This | increase in the neurones seems to a great extent to be due to the j fact that from young cells lying in reserve processes are developed, j among which the so-called axons grow out in, among other regions, \ the roots of the nerves and the peripheral nerves. Probably the j young cell material in the spinal cord comes from undifferentiated I 1 055 cells iii the ependyma and that iii the spiiial gaiiglia from imdiffe- rentiated eells among the eapsular cells. These cells iiicrease duriiig their ditferentiation into ganglion cells, ainong others, partij by ineans of mitotic division and as far as 1 can see froin iny preparations also partly by means of ainitotic division. This post-enibryonic increase in the nuinber of the cell-matei-ial is greater dniing the first inonth of post-embryonic life, bnt seeins to continue afterwards as well. It is only dnring the first month of the post-einbryonal life of the individual that one sees mitoses in these cells, bnt even diiring its continued life cell-division seenis to oecnr; it then takes place amitotically. These new ganglion eells that have arisen by mitotic or araitotic division seem to develop into neurones, which not only replace older neurones that have been destroyed by degeneration (Paladino), bnt also help to increase the absolute nmnber of neurones. Figures of growth for the axons have been shown inorphologically in the dorsal and ventral roots of the lunibar nerves of a 17 days old dog '). These figures of growth have been, among varioiis other shapes, claviforni — Ihus under completely physiological conditions the saine shape is found for the tignres of growth of the axons as is usually found in experimenlally produced regeneration of periphe- ral nerves. Addendum. It seems as if the post embryonal increase in the neurones can be effected by external influences. Thus, for instance, it has ap[)eared that in growing animals (among others Mns nmsculus var. albus) the increase in the niimber of axons can be intensified by suitably adapted and gradnally increased training. If, on the other hand, the training has been made too intense, quite a contrary result is obtained — the niimber of axons has been found to be relatively less in these animals than in the controlling animals. Dnring my continued investigations of this problem 1 have succeeded in showing, in, among other animals, a 3,5 year old dog, niimeroiis transitional stages from indifferent cells — as large as small eapsular. cells — to fully developed ganglion cells. These different transitional stages have been examined with regard to the position, size, off- shoots and neiiro-fibrillar structnre of the cells. These qnestions will be dealt with more fully in a later and more complete account. b This is the oldest animal that I have investigated so far with regard to this. Anatomie. — De Heer Bolk doet eene mededeeling; „Over de ontwikkeling van het Gebit van Elephas africanus” In deel XIX van de Verhandelingen dezer Sectie van de Akade- mie heb ik de voornaamste anatomische bijzonderheden medegedeeld over een Fetus van Elephas africanus. Van ditzelfde Fetus heb ik een der helften van boven- en onderkaak gebruikt voor een mikros- kopisch onderzoek naar den aanleg van het gebit, terwijl de andere helft voor het prepareeren van het skelet was gebruikt. Beide kaak- helften werden in een serie coupen ter dikte van 20 p gesneden. Een bruikbaar resultaat leverde dit echter slechts voor de onder- kaak op ; ten gevolge der krachtige ontwikkeling van het skelet die reeds had plaats gegrepen, en door den aanzienlijken omvang i van het object, mislukte de serie van de bovenkaak. De waar- !| nemingen die ik omtrent deji aanleg der tanden in de onderkaak I doen kon, waren echter van dien aard dat ik in staat ben een I tamelijk volledig overzicht te geven over den aanleg van het gebit. || Ik geef dit in zeer verkorten vorm in de volgende bladzijden, de J uitvoerige besclirijving zal elders geschieden. I Er waren bei-eids drie kiezen aangelegd, terwijl in het achterste I gédeelte der tandlijst juist een eerste begin gemaakt was met den I aanleg van het emailorgaan van een vierde kies. Deze laatste om- jl standigheid was een buitengewoon gelukkige, want hierdoor werden |l gegevens omtrent den allereersten aanleg der tanden bij den olifant 'l verkregen, die het mogelijk maakten, meerdere verschijnselen, die jl zich voordeden bij de meer naar voren gelegen tanden, welke reeds Iji verder in ontwikkeling voortgeschreden waren te begrijpen. En deze gegevens waren daarom zoo welkom, omdat in het bijzonder de ont- j i staanswijze van het emailorgaan bij den olifant op zoo geheel andere V wijze verloopt als bij de overige zoogdieren. Door de combinatie jd nu der verschijnselen bij den aanleg van het vierde emailorgaan j;i waargenomen, met die bij de meer haar voren gelegen tanden, werd het mogelijk een volledig beeld van de ontogenie der olifantskiezen jt. te ontwerpen. i In Figuur 1 is in een zestal schetsen de aanleg van het email- orgaan van een gewonen zoogdiertand schematisch weergegeven. Ik I heb mij hierbij het achterste deel der tandlijst afgesneden gedacht, ü tei'wijl de snede door het midden van den aanleg van een email- 1057 orgaan gaat. Schets a doet den aanleg van het orgaan in knopvor- niigen toestand zien, als een plaatselijke aanzwelling aan den onder- Fig. 1. rand der tandlijst. In schets b is de aanleg klokvormig geworden, en begint hij zich van het overige deel der tandlijst scherper af te grenzen. In schets c is de aanleg nog zelfstandiger geworden, terwijl de eraailnis en de laterale tandlijst ontwikkeld zijn. In schets d is de afsnoering van het orgaan begonnen, er is een mediale tandlijst ontstaan en de emailnis is ruimer geworden. In schets e is de late- rale tandlijst dooi’zeefd gedacht als voorbereiding voor haar vei- dwijnen, terwijl het emailorgaan aan zijn linguale vlakte nog slechts door middel van een dunnen verbindingsboog met de tandlijst ver- bonden is. In schets f eindelijk is deze laatste verbinding verbroken, de laterale tandlijsl is eveneens geheel opgelost ; het emailorgaan, geheel vrij geworden van de tandlijst, is een volkomen zelfstandig lichaam geworden. Dit korte overzicht van de ontwikkeling van het emailorgaan van een gewonen zoogdiertand, berustend op den ontwikkelingsgang zoo- als ik dezen in mijne ,,Odontologische Studiën” heb leeren kennen, kwam mij gewenscht voor, om de tegenstelling met de ontstaans- wijze van het orgaan bij den olifant beter tot haar recht te doen komen. 1058 Deze ontstaanswijze is in beeld weergegeven in de zes sclietsen van Fignur 2. Als in Figuur 1 heb ik mij ook hier gedacht het acliterste gedeelte der tandlijst, waarbij de snede gaat door het midden van den aanleg van een emailorgaan. Aan de hand dezer schetsen zal een korte beredeneerde beschrijving van de ontwikkeling van zulk een orgaan gegeven worden. Als eerste aanduiding van zulk een ontwikkeling begint het onderste deel der tandlijst, door den vrijen tandlijstrand begrensd, zich in overlangs verloopende plooien te leggen. In schets a zijn anderhalve plooi ontwikkeld, in schets b heeft zich de vrije tandlijst nogmaals omgebogen en er zijn nu twee naast elkander liggende plooien gevormd. Naar achter toe worden deze plooien allengs vlakker, het geplooide veld gaat gelijkmatig in het achterste deel der tand- lijst over, is nog niet scherj) hiervan afgegrensd. Terwijl de tandlijst zelve ongeveer vertikaal gericht is, ligt het geplooide gedeelte meer in een horizontaal vlak. Evenals de tandlijst zelve, bestaat ook het geplooide veld uit een dubbele epitheelmembraan, van een ditferen- tieering van pulpacelleu is nog niets te zien. Deze eerste naast elk- ander liggende plooien bepalen reeds het toekomstig relief van den olifantstand in bukko-lingnale richting. Bij de verdere ontwikkeling gaat nu het geplooide veld zich naar achter toe scherper van het overige deel der tandlijst afgrenzen. 1059 terwijl zich in de meest mediale — dns eei-st aangelegde |)looi pul- pacellen tusschen de beide bladen beginnen te ontwikkelen. Schets c heeft op deze phase der ontwikkeling betrekking. Deze pulpa- differentieering begint in het voorste deel der plooi, en zet zich geleidelijk naar achter voort. Terwijl dit geschiedt, begint nu het omgevend bindweefsel te woekeren door de tand lijst heen, en wel daar waar het niet geplooide deel der tandlijst in het geplooide overgaat. Deze plaats is in schets d door een pijltje aangeduid. Op deze wijze wordt het geplooide veld der tandlijst van het overige afgescheiden en wel volledig, zoodat het van nu aan een geheel zelfstandig onafhankelijk orgaan vormt. Dit orgaan is dns in werkelijkheid een stuk der tandlijst, en de bukkale rand ervan is inderdaad niet anders dan de oorspronkelijke viije rand der tandlijst. Deze rand nu groeit nog verder uit en vormt, zooals uit de schetsen d, e en f blijkt, naast de beide bestaande nog een derde plooi. Terwijl het nu zelfstandig geworden emailorgaan op deze wijze nog in bokko-linguale lichting uitgroeit, schrijdt de pulpadifferenti- eering in dezelfde richting voort, en grijpt ook in de tweede plooi plaats. . Met de afsnoering is ..en dit verschijnseT is van zeer groote beteekenis — de groei van het orgaan in lengterichting niet geëin- digd, aan zijn achterrand blijft het in de lengte groeien, en de beschreven plooivorming en pulpaditferentieering volgen dit veiien- gingsproces op den voet. Het emailorgaan van een enkelen tand laat 1060 dus alle phasen zijner ontwikkeling zien, het verst ontwikkelde gedeelte bevindt zich vooraan, naar achter eindigt dan het orgaan in een eenvoudige nog niet geplooide epitheliale dubbelraembraan. Bovendien is het linguale gedeelte steeds in ontwikkeling voor bij het bukkale deel. Terwijl het bovenstaande elders uitvoeriger zal worden toegelicht, zijn in Figuur 3, 4 en 5 een drietal sneden dooi- de achterste helft van den derden tandaanleg afgebeeld, die het voorgaande kunnen toelichten. Van deze sneden ligt die in Figuur 3 het meest naar I voren, het bukkale deel van het emailorgaan bevindt zich rechts in ! de figuur. Het orgaan is van de tandlijst, die men in de Figuur boven het orgaan aantreft, afgesnoerd, en vertoont twee en een halve plooi. In de beide volledige plooien grijpt de pulpadilferenti- ; eering reeds plaats, de derde plooi is in dit niveau nog slechts in ‘ haar opgaand been aanwezig, en bestaat uit een epitheliale dubbel- j plaat. Vervolgt men den aanleg nu verder naar achter dan ont- wikkelt zich geleidelijk het beeld in Figuur 4 geschetst. De pulpa- * differentieering beperkt zich allengs lot de meest mediale plooi, de j middelste plooi krijgt het karakter van een epitheliaal dubbelblad, j dat zich bukkaalwaarts voortzet in het opstijgend been der derde j plooi. Tusschen beide in vormt het orgaan nog een zeer laag, kort plooitje. Nog verder naar achtei- verdwijnt de pulpa geheel, de middelste plooi wordt onvolledig en een beeld ontstaat als in Figuur 5. Ontwikkelingstoestanden van het emailorgaan als b.v. in Figuur 4 geschetst, zonden moeilijk te begrijpen geweest zijn, wanneer niet ook de aanleg van het vierde emailorgaan in het preparaat aan-, ! | wezig was geweest. Dit orgaan bestond nog slechts uit door de tandlijst gevormde plooien, waarbij de eerste pulpadifFei-entieei-ing i in het voorste gedeelte tot een zeer klein gebied beperkt was. In j Figuur 6 zijn drie doorsneden door den aanleg van dit orgaan ge- schetst. De snede a ligt het meest naar voren, hier vormt de tand- | lijst reeds een dubbelplooi, meer naar achter volgt de snede h met i nog slechts een enkele plooi, snede c ligt weer meer naar achter, j de tandlijst begint hier haar eerste plooi te vormen. ; Wij zien dus dat aanleg en ontwikkeling van het emailorgaan j bij den olifant geheel afwijken van die bij de overige zoogdieren en | op een tot nu onbekende wijze verloopen. In plaats van de knop- j vormige aanzwelling die ons bij andere zoogdieren bekend is, ont- j staat het emailorgaan hier uit een van de tandlijst afgesplitst stuk, j dat bevorens geplooid was, en dat na de afsplitsing nog verder t groeit zoowel in bukkale als in longitudinale richting, maar vooral in deze laatste. 1061 Een niet minder merkwaardige eigenaardigheid treft men in de inwendige structuur van het emailorgaan aan. In een bijzonder hoofdstuk mijner ,,Odontologische Studiën I” is uitvoerig het voor- komen beschreven van een septum in het emailoi'gaan der zoogdieren. Dit septum is sagittaal gericht, en verdeelt het orgaan in een buk- kale en een linguale helft. De wijze waarop dit septum ontstaat, en zijn betrekking tot de mesenchymateuze kiem van den tand, vormen een der grondslagen mijner dimeer-theorie van den zoog- diertand, volgens welke elke tand uit twee pi’imaire elementen, elk homoloog aan een reptilientand, is opgebouwd. Het eene element — het protomeer — vormt het complex der bukkale knobbels, het tweede element — het deuteromeer — dat der linguale knobbels. Het emailorgaan van den olifant wijkt nu in twee richtingen van dit algemeene type af. In de eerste plaats is het aantal septa talrijker, en in ‘de tweede plaats staan deze niet in een sagittaal, doch in een frontaal vlak, zij volgen dus achter elkander. Het aantal septa in het emailorgaan wordt bepaald door het aantal platen of lamellen waaruit de tand is opgebouwd. Telkens tusschen den mesenchymateuzen aanleg van twee platen in, bevindt zich in het emailorgaan een septum. Dit is een zeer belangrijk feit, want het geeft aanleiding tot de stelling dat dus elke plaat van de olifantskies, homoloog moet zijn met een primair element van de gewone zoogdierkiezen, en dat dus deze kies niet als een dimeer, maar als een polymeer object moet worden beschouwd. Beide boven- J062 genoemde feiten, — aantal eu rieliting der einaüsepla — openen in verband met een hypothese die ik vroeger reeds daaromtrent opgesteld heb perspectieven over de morphologische beteekenis van den olifantsmolaar. Al- vorens echter op dit meer theoretisch gedeelte in tegaan, zal ik in ’t kort de waarne- mingen schetsen die ik over aanleg en ontwikkeling van den mesenchymateuzen tand- kiem gedaan heb. Vooraf ga de opmerking dat volgens Giebel’s opgaven bij den afrikaanschen olifant de eerste tand bestaat uit vier platen, de tweede, derde en vierde uit zeven, de vijfde uit acht of negen, de zesde uit tien tot twaalf. Bij het door mij onderzochte object was nog geen begin gemaakt met de vorming noch van dentine, noch van email. De mesenchy matenze aanleg der drie tanden heb ik op de gebrui- kelijke wijze in was gereconstrueerd en in de Figuren 7, 8 en 9 is het lingnale aspekt dezer modellen geschetst, waarbij de voorrand van den tand in de figuur zich links bevindt. Een gedetailleerde be- schrijving der modellen zal niet gegeven worden, slechts de voornaamste voor het verder betoog noodzakelijke feiten zullen worden genoemd. Aan den mesenchymateuzen aanleg van eiken tand is te onder- scheiden een grond papil, waarop zich de aanleg der lamellenpapillen verheffen, en op hun vrijen bovenrand dragen de meeste dezer weder den eersten aanleg der digitellenpapillen. Dit is een eerste feit waarop de aandacht gevestigd moet worden. Want hieruit blijkt dat de chronologische opvolging in den aanleg der den land opbouwende deelen de volgende is : grondpapil of gemeenschappelijke basale massa, lamellenpapillen, digitellenpapillen. Deze laatste verschijnen dus het laatst, in tegenspraak alzoo met de hypothese van Röse over het ontstaan van den olifautenmolaar, volgens welke eerst zouden aan- gelegd worden de digitellen, deze zouden aan hun basis groepsgewijze versmelten en de lamellen vormen, en deze zouden op hun beurt basaal weder zich met elkaar verbinden. Gaat men nu het aantal lamellen na dat bij eiken tandaanleg reeds tot ontwikkeling gekomen is, dan blijkt, dat de eerste molaar (Figuur 7) nog slechts twee lamellen heeft, en het begin van een derden aanleg vertoont, bij de tweede molaar 1063 (Figuur 8) verheffen zich op den basaal-papil nog slechts vijf lainellen- papillen, terwijl de derde (Figuur 9) molaar nog sleclits drie lainellen- papillen tot ontwikkeling bracht. Vergelijkt men dit aantal lamellen met dat der \olwassen tanden. dan blijkt dat van eiken tand slechts een onvolledig aantal is aan- gelegd, van de eerste ontbreekt er nog een, van de tweede nog twee, en van de derde nog vier. Hieruit volgt, dat aan eiken tandaanleg nog een bepaald stuk ontbreekt, dat grooter wordt naar gelang de tand meer naar achter is gelegen. Welk deel ontbreekt nu? Dit is zeer gemakkelijk aan te geven. Van alle tanden is slechts een voorste stuk aangelegd, eji een korter of langer achterste stnk is nog af- wezig. Dit volgt uit het feit dat van elk der drie tandkiemen het voorste deel het verst ontwikkeld is, niet alleen in de breedte, maar ook in den aanleg der digitellen- papillen. Uit dit feit is dus het gewichtige besluit te trekken dat de mesenchymateuze tandkiem van den olifant niet, zooals dit bij de overige zoogdieren het geval is in toto wordt aangelegd, en zich dan 1064 iii toto ditïereiitieert, doch het voorste eind is in aanleg het oudste, en successievelijk groeit nu de kiem naar achter, uit, de achterwand van den kiem is dus een appositioneele groeizone. Terwijl b.v. bij den tweeden tand de eerste of voorste lamelle reeds tamelijk breed is, en goed geditferentieeide digitellenpapillen draagt, is de vijfde lamel nog slechts als een kegelvormige stomp aan den achterrand van den aanleg aanwezig, en is van de zesde en zevende lamel nog niets te zien. Bij den derden molaar springt het onvolledige nog veel duidelijker in ’t oog. Wij zien dus dat er overeenstemming bestaat in de ontwikkelings- verhoudingen van het emailorgaan en van den mesenchymateuzen tandaanleg. Wij konden vaststellen dat het eerste eenvoudiger is gebouwd, naar gelang men meer den achterrand nadert, en dat deze achterrand nog eigenlijk het karakter der ongedifferentieerde tand- lijst bezit. Ook het emailorgaan verlengt zich nog naar achter ex enals de mesenchymateuze tandkiem. Het beeld dat wij nu in zijn hoofdlijnen van aanleg en ontwik- keling van de olifantskies kunnen ontwerpen, wijkt af van dat bij de overige zoogdieren. Terwijl toch bij deze laatste een mesen- chymateuze tandkiem zich iristulpt in het knopvormige epitheliale emailorgaan en dit daardoor klokvormig wordt, waarna in hetzelve twee centra van pulpavorming optreden, een bukkaal en een lin- guaal, waardoor een enkelvoudig emailseptum ontstaat, waarna op de tandpapil de sekundaire papillen ontstaan, die den grondslagvoor de toekomstige knobbels Vormen, ziet men, dat bij den olifant een deel der tandlijst zich eerst in plooien legt, waardoor het toekomstig relief van den mesenchy mateuzen tandkiem in bukko-linguale richting reeds wordt bepaald. Daarna wordt dit geplooide stuk van de tandlijn afgesplitst, en vormt het emailoi’gaan. Na zijn afsplitsing groeit dit stuk nog zelfstandig naar achter uit, en op gelijke wijze verlengt zich ook de mesenchymateuze tandkiem naar achter. Bij dit uitgroeien naar achter worden geleidelijk de lamellen van den kies aangelegd, totdat het voor eiken tand vereischte is bereikt. Met elke lamel van den mesenchy mateuzen kiem, correspondeert een zelfstandig centrum van pulpadifferentiatie in het emailorgaan. Deze centra volgen dus achter elkander, en worden onderling van elkander gescheiden door emailseptum, die dus in hun ligging telkens met een dal tusschen twee lamellen correspondeeren. In Figuur 10 is schematisch een lengtedoorsnede door den geheelen tandaanleg weer- gegeven, waarbij ik mij den ontwikkelingsgraad van den tweeden molaar van het door mij onderzochte object als voorbeeld koos. Als het, voor de opvatting van de morphologische beteekenis der 1065 olifantskiezen, meest beteekeiieude feit, beseliouw ik het successievelijk nitgroeieti naar achter van het emailorgaan, nadat dit zelfstandig geworden is, en van den tandkiem, waarbij achtereenvolgens de lamellen tot ontwikkeling komen, en in het emailorgaan evenzoovele centi'a van pnlpaditferentieering optreden. Hieruit vloeit voort dat het voorste deel van den tand, de eerste lamel dus, de oudste is, de achterste is de jongste. De genetische lengteas van den tand, verloopt dus van voren naar achter, in tegenstelling tot het verloop dezer as bij de gewone zoogdiertanden, die, het proto- met het deuteromeer verbindend, in bukko-mediale richting verloopt. Hieruit moet de gewichtige conclusie getrokken worden dat de kies van den olifant, in vergelijking' met die der overige zoogdiereji 90 graden gedraaid is. De bukkale rand van den gewonen zoogdiertand, met het protomeer, is homoloog met den voorrand van den olifantskies, met de eerste of voorste lamel. Dat men deze in den loop der phylogenetische ontwikkeling tot stand gekomen draaing niet mag denken als een mechanische, van den vol ledig geformeerden tand, doch als een potentieele in de beide elementen van den tandaanleg, het epithe- liale en het mesenchy mateuze, zal elders uitvoeriger worden toegelicht. De betrekking van den tandaanleg bij den olifant tot die van den aanleg bij de overige zoogdieren, is uit het bovenstaande duidelijk geworden : de eerste lamel is homoloog met het protomeer, de tweede lamel met het deuteromeer, zooals het eerste septum in het email- orgaan homoloog is met het eenige septum in den tandaanleg der gewone zoogdiertanden. Homologa voor de derde en volgende lamellen, worden bij de overige zoogdieren in ’t algemeen gemist. Het aan de bovenkaakskiezen van laatstgenoemden wel eens optredend tuberculura impar of Carabellis knobbeltje, kan als tritomeer homo- loog worden gesteld met de derde lamel. Voor de hand ligt het voorts om de poljlophodonte kiezen van sommige Rodentia (Hydro- choerus b.v.) in hun morphologische beteekenis van hetzelfde gezichts- 1066 pnnt nit te beschouwen als de kiezen van den olifant. Dit standpunt is door mij reeds vroeger ingenomen ten o[)zichte der kiezen van , de Multituberculata (zie Odontologische Studiën I, blz. 119). In deze zelfde studie heb ik, op grond van mijn theoretische opvattingen over de betrekking tusschen het gebit der zoogdieren en dat der reptilien ter zooeven aangehaalde plaatse een liypothese ont- wikkeld over de morphologische beteekenis en de ontstaanswijze der olifantskiezen, waarop ik hier ten slotte iets nader zal ingaan, om aan te toonen dat het hoofdbeginsel dier hypothese, door de boven medegedeelde feiten, als juist wordt gekenmerkt. De beteekenis dezer bevestiging mijner theoretische beschouwing, zoude ik in de voor- i naamste plaats niet daarin willen zoeken, dat mijne hypothese over [ de olifantsmolaren als zoodanig nu een daad werkelijken grondslag i heeft gekregen, doch daarin, dat mijne meer algemeene theorie over [ de betrekking tusschen het zoogdiergebit en het reptiliengebit, hier- i door een nieuwen steun heeft gekregen. Want de bedoelde hypothese was slechts de logische consequentie der meer algemeene tandtheorie. ' De bedoelde hypothese komt in ’tkort op het volgende neer. Het uitgangspunt werd gevormd door de verschijnselen der tand wisseling bij de Reptilien. Deze geschiedt zoodanig, dat in de, het geheele leven door bestaande tandlijst, een aantal tand vormende matrices zich bevinden. Nadat een matrix een tand heeft gevormd, — die in de meeste gevallen triconodont is, bij uitzondering, zooals bij de krokodillen eenvoudig kegel vormig — schuift deze langs de tandlijst in de richting van het kaakepitheel, hetgeen doorboord wordt, en de tand treedt in functie. Na korter of langer lijd begint de matrix een tweeden tand te vormen, ook deze verschuift zich in de aange- j geven richting en stoot zijn voorganger uit, om op zijn beurt door ; een volgend product der matrix vervangen te worden. De matrix vormt dan achtereenvolgens een aantal tanden, alle producten eener i matrix heb ik als een ,,tandfamilie” onderscheiden, elke tand stelt i een generatie dezer familie voor. Het aantal leden eener tandfamilie i is practisch onbeperkt, daar de matrix der familie haar potentie j gedurende geheel het leven behoudt, niet ongelijk aan de matrix der j nagels bij de zoogdieren, die echter in afwijking der tandmatrix bij - , de reptilien, niet periodisch maar ononderbroken functioneert. De , ; periodiciteit is echter bij de verschillende reptilien zeer verschillend, ' er zijn vormen met zeer intensieve, anderen met zeer trage tand- wisseling. Deze verschijnselen der tandwisseling bij de reptilien vormen den | grondslag mijner opvatting over de morphologische waarde van den // en qq' , is dus een dubbelstraal der involutie. 1072 Wanneer t tot de ster [.!/] behoort, zullen de doorgangen Pen Q , twee projectieve velden vormen. Daar dan ook P' en Q' in projec- tieve velden overeenkomen, vindt men als beeld van de stee een j congruentie (3,1). | Van de drie stralen, welke deze congruentie door een willekeurig j punt zendt, zijn er twee in de involutie {tg') aan elkaar toegevoegd, terwijl de derde een dubbelstraal is (§ 1). De straal t' , dien zij in : een willekeurig vlak g legt, is het beeld van den straal t welken j de aan g toegevoegde (1,1) door M zendt. Daar de ster [ili] den waaier bevat, waarvan de stralen op de rechte c rusten, behoort de i-egelschaar (c)’ tot het beeld f3,1) der ster. De ster \_M] bevat een waaier van stralen t, die op rusten. Deze bepaalt op den doorgang m van het vlak {Mcd) met « een puntenreeks {F). Het homologe punt P' bepaalt met het aan toegewezen punt C telkens een straal 4. Elke waaier [to) met top i C bevat dus één straal, die overeenkomt met een tot [ü/] behoorenden straal van den axialen complex c^j. Maar ook de rechte c behoort | tot de congruentie (3,1), daar zij het beeld is van de transversaal door M over Ca en Cji. De beelden ta der stralen van den waaier in [Mc^} omhullen dus een kegelsnede. Hieruit blijkt, dat n en {t tot de singuliere vlakken der congruentie (3,1) behooren anders gezegd, a en g zijn osculatievlakken der kubische ruimtekromme, ' waarvan de assen (doorsneden van twee osculatievlakken) de (3,1) vormen. 5. De stralen t, die op de rechten r/, en c/, en tevens op rusten, vormen een quadratische regelschaar ; hun doorgangen P liggen dus op een kegelsnede d’. De overeenkomstige punten P' vormen op een kegelstiede d'* een puntenreeks, die projectief is met de reeks i der punten 6(3, dus ook met de reeks der punten C. Derhalve om- hult de straal t' een kromme der derde klasse. Door een punt N' van « gaan nu vier rechten t' , die de beelden zijn van stralen t der bilineaire congruentie met richtlijnen t/,, (/,, n.1. drie stralen U. en bovendien de straal, die toegevoegd is aan den straal, welken het punt N naar de (1,1) zendt. De bilineaire congruentie, welke het sti-alenveld [pj afbeeldt, heeft twee stralen gemeen met de bo\en bedoelde (1,1); het beeld der laatste heeft dus twee stralen in het vlak g. Bijgevolg wordt een- bilineaire congruentie afgebeeld door een congruentie (4,2). Deze heeft n en d tot singuliere vlakken van de derde klasse. De stralen, welke de (4,2) door een punt M zendt, zijn de beelden 1073 van de stralen, welke de (l.l) gemeen lieeft met liet beeld (3,1) der ster [i¥]. De beelden \ an twee bilineaire congruenties hebben o.a. de regel- schaar (c)’ gemeen; immers elke ster [C] levert aan elke der beide (1.1) een straal. 6. De (Lviale complex met as d wordt door de transformatie (t, t') omgezet in een quadratischen complex \t'Y ■, immers, met de twee stralen der regelschaar {ty, die den waaier if) afbeeld t, komen twee in den waaier (/') gelegen stralen van den beeldcom|»lex overeen. Daar [c/) uit eiken waaier van singuliere stralen één straal afzon- dert, bevat de beide stralenvelden [u] en [/ij. Twee congruenties \t'Y hebben, behalve die twee congruenties (0,1) nog een congruentie (4.2) gemeen; hieruit blijkt op nieuw, dat een lulineaire congruentie in een (4,2) wordt omgezet. Het beeld (3,1) \'au een ster [i/j heeft vier stralen gemeen met het beeld (1,1) van het \’eld [/i]. Een daarvan behoort tot de regel- schaar (c)’ en is toegevoegd aan eiken straal, welken de overeen- komstige ster [C] met [l/j en [;.i] gemeen heeft. Een tweede valt langs c; immers [Ji] eti [,uj zenden ieder een straal over c« en Cii^ De rechte door M en het in p gelegen punt 6)3 behoort tot een waaier, die toegevoegd is aan een bepaalden straal 4; daar ook n een straal van dien waaier bevat, hebben de beeldcongruejities (3,1) en (1,1) dien straal 4 gemeen. Analoog hebben zij een straalt gemeen De beelden van twee stralenvelden [p] en [p^] hebben twee sti-alen gemeen. Een daarvan is het beeld der rechte pp*, de andere is de rechte c; zij is toegewezen aan de beide transversalen van c* en C/s, die in p en in p* zijn gelegen. Het beeld (1,1) van het veld [pj heeft zes stralen gemeen met het beeld (4,2) van een bilineaire congruentie met richtlijnen Daartoe behoort de straal der regelschaai- (c)^ die toegevoegd is aan de ster, waarvan de top in het punt (cp) ligt. De rechte c hebben zij tweemaal gemeen, want twee transversalen van c* en c^ rusten tevens op (/, en dj, terwijl één rechte van p op Ca,C/3 rust. De trans- versaal door het punt (pc,?) over d^,dj behoort tot een waaier, die ook een straal in p heeft ; met beiden komt een zelfde rechte 4 overeen. Analoog hebben de beeldcongruenties een rechte t'y? gemeen. De zesde gemeenschappelijke straal is het beeld van de in p gelegen transversaal van c?, en dj. Wiskunde. - De Heer Jak de Vries biedt een rnededeeling aan over: ,,Een straleninvolutie, welke door een congruentie van Keye en een involutorische homologie wordt bepaald.” 1. In het vlak k is een involutorisclie homologie [«] gegeven, welke A tot centrum, a tot as heeft. Verder zij gegeven de bilineaire congruentie [/i’] van kubische ruimtekrommen, welke door de vijf j hoofdpunteji (^■ = 1 , 2, 8. 4, 5) gaan. Een willekeurige rechte t is bisecante van een ; aan haar doorgang P op « is in [^t] een punt P' toegewezen ; de bisecante t' van d’, welke door P' gaat, worde aan t toegevoegd; daardoor ontstaat een involutie (i', in de stralen- | ruimte. Alle rechten door het punt A of door een punt A* der as | a zijn blijkbaar duhhelstralen der involutie. i- Elke rechte door /i, is .nngidier vooi' de congruentie, daar zij j bisecante is van alle ji”, die gelegen zijn op den quadratischen kegel i I; met top /i,, welke door de overige vier punten en de rechte r kan worden gelegd. De rechte .Vj is tevens singulier voor {t,t')\ immers aan s.^ ^ B^P worden toegevoegd alle bisecanten t' door y P' aan de oo' krommen \aii Deze krommen bepalen een u involutie 7’ 0|) den doorgang \ an (ÖJ’ met de rechten, welke de paren dezer P dragen, omhullen een kegelsnede; in « liggen dus twee van de aan s^ toegewezen stralen t' . Aan den singulieren straal zijn dus de stralen van een kegel [P'Y toegevoegd. De kegel [Bp bevat de vier ontaarde figuren, samengesteld uit een rechte B.^Bj( en een kegelsnede in het vlak dimn der punten Bi, B^n, Bn- Hij bevat evenwel geen tiguui' welke b,^ = B^B^ tot bestanddeel heeft; de kegel {P'Y kan dus slechts in /i, en snijden. De figuin-, die uit èj, en een kegelsnede in het vlak dta bestaat, zendt een bisecante door P', die 6,, buiten B^ en 7?.^ snijdt; de kegel {P')" gaat dus niet door B,, wel door de overige vier punten Bk- Laat men den doorgang P van .9j de kegelsnede doorloopen, ; dan zal P' zich eveneens over een kegelsnede, verplaatsen, die in twee op a gelegen punten snijdt. De bij behoorende kegel (P'y doorloopt dan een stelsel met basis|)unten B.,, J3^, B,, waar- van de toppen op zijn gelegen. De i'ibben t' van die kegels voi'uien een siralencongruenlie. J 1075 2. De stralen t' toegevoegd aan de stralen der ster [üj vonnen een complex. Om den graad van dien complex te kunnen bepalen, beschouw ik een waaier van stralen t' , met top T, waarvan het vlak T met het vlak (c de recdite p gemeen heeft. De welke ee)i dier stralen t' tot bisecante heeft, wordt uit in de kegelsnede (<" geprojecteerd; deze bepaalt op de met // liomologe rechte p twee punten f**, die aan den doorgang B' van t' worden toegevoegd en tevens aan het met P' homologe punt P. Omgekeerd zal een punt P* van p, door middel van de rechte B^P^, een kegel (/li)’, dus een kegelsnede cd bepalen, en de homologe kegelsnede a'“ levert op p' twee punten P' \ de overeenkomstige punten P worden aan P* toegewezen. Daar P* viermaal met P samenvalt, bevat de waaier {T,r) vier stralen ieder toegevoegd aan een singidieren straal .v,. Met elke der vijf sterren [5*] komt dus een complex van den vierden grand overeen. De complexkromme in liet vlak p heeft den doorgang p' tot dubbelraaklijn. Immers, de kromme f, welke p' tot koorde heeft, wordt uit Bi in een kegelsnede cc" geprojecteerd, en de snijpunten van cc’ met de rechte /j bepalen twee stralen die ieder aan p zijn toegewezen. Aan een singidieren straal s.^ - BJ^' is een kegel (/'*)’ van stralen i toegevoegd, die o.a. door Ö, gaat, dus de ribbe gemeen beeft met den door s^ee^-Bf^ bepaalden kegel [Bf. Elke straal ,v., beboort dus tot den complex \t'\d, die met de ster [i;?,] overeenstemt. Die complex beeft m. a. vv. de vier hoofdpunten BjcikT^f- Ligt 1^' op de doorsnede p\^^ van cc, dus P op de daarmee liomologe rechte p^^^, dan is aan den singulieren straal Z?, de waaier [P', toegevoegd, die dan bestanddeel is van den kegel (P'y. De vlakken dkim {k, /, ni ^ zijn dus hoofdvlakken van den complex \t'\\ Ook (( is hoofdvlak. Immers, de in u gelegen straal t'y. is bisecante van een f, en deze wordt uit B^ in een cc’ geprojecteerd, die den bomologen straal 4 in twee punten P ontmoet, waarvoor bet [lunt P' op is gelegen. Dat i?, geen boofdpunt is, blijkt aldus. De kegels {Bf vormen een bundel en snijden dus cc volgens een bundel (cc"). Deze is projectief met den homologen bundel (cc'"), en de beide bundels brengen een figuur van den vierden graad voort. Daar twee over- eenkomstige kegelsneden elkaar op a snijden, bestaat die figuur uit de recbte u en een kubische kromme, welke invariant is t.o.v. de homologie [«]. Elke twee punten P, P' van die kromme leveren twee aan elkaar toegevoegde singuliere stralen ^ terwijl de punten der as a een waaier van dubbelstraien door iöi leveren. De complex- 1076 kegel van fi, bestaat dus uit een waaier en een kubischen kegel. 3. Elke rechte van het vlak is sinyuHere hisecante voor de cougi'uentie [/i*], maar tevens singiUiere. ■'itraal voor Immers bevat een bundel van kegelsneden die elk met de rechte een tot [/?' ] behoorende fignnr vormen. De rechte t van (^,,3 is hisecante van elke dier tigure)i, dus toegevoegd aan de bisecanten t' , welke zij door liet aan den doorgang P van t toegewezen punt P' zenden. De waaiers (t'), die aldus zijn toegevoegd aan de stralen t van het veld [1^12»]^ vormen blijkbaar een bilineaire congruentie, waarvan en de rechte (homoloog met den doorgang van de richtlijnen zijn. Maar ook de stralen dezer congruentie zijn singulier, want aan een straal met doorgang P' zijn toegewezen de straleii van een waaier met top in P. Pr zijn dus tien relden vun singuliere stralen, die ieder hekooren hj een bilineaire congruentie van singuliere stralen. 4. Elke straal 4 van n is singulier-, immers elk van zijn punten kan als doorgang worden beschouwd, dus ook elk punt van t'y, als doorgang P' van een straal t' ; deze is bisecante van de kromme [f, die 4 tweemaal snijdt. Bijgevolg zijn aan den singnlieren straal 4 de stralen t' \'an de regehckaar (4)“ toegevoegd, die de meet- kundige plaats is van de bisecanten dei- welke op de rechte rusten. Als 4 door A gaat, dus met t\^ samenvalt, ontaardt [t'Y in de heide qnadratische kegels, welke de overeenkomstige kromme /'•i’ uit haar snijpnntén met 4 projecteeren. De regelscharen [t'Y vormen een complex. Om daarvan den graad te kunnen bepalen, lieschouw ik het opper\'lak voortgebracht dooi- de krommen ,4, welke de stralen t' \'an een waaier (7’, t) tot bisecanten hebben. Hiertoe behooren tien tiguren, ieder samengesteld nit een rechte bjn en een haar snijdende kegelsnede. De doorsnede van met ,iij3 bestaat dus uit de rechten b^^ en de aan 6^5 gekoppelde kegelsnede; bijgevolg is een oppervlak van den vijfden graad. De meetkundige plaats der puntenparen, welke de krommen /i’ van fp o|) de stralen t' bepalen, is blijkbaar een kromme P met dubbelpunt T. Het vlak t heeft met de kromme en dan nog eeii rechte / gemeen; dei'halve is tevens de meetkundige plaats der krommen die de rechte / snijden. Zij nu [M, p) een willekeurige waaier, en [P de met r' analoge kromme, dus de meetkundige [ilaats der [nintenparen, waarin de 1077 stralen m van {MjH) door krommen (i’ tweemaal worden gesneden. De kromme fi* volgens welke liet oppervlak door p wordt ge--» sneden, heeft met de kromme n* de doorgangen der tien rechten bu gemeen ; maar elke straal m, die op een dier rechten rust, snijdt H* en in verschillende punten, omdat hjti door de beide waaiers (/) en (m) aan verschillende kegelsneden wordt gekoppeld. De overige tien snijpunten der beide krommen liggen paarsgewijs met M col li- neair; de waaier (m) bevat dns vijf bisecanten van krommen /i’, die op liggen. Anders gezegd, de bisecanten der krommen id, welke ieder een bisecante met een gegeven, waaier gemeen hebben, vormen een complex van den vijfden graad. Zij nu p' de doorgang van het vlakke t, p de homologe rechte. Met eik punt P van p komt een punt van overeen. De kromme f, welke den straal t' TP' tot koorde heeft, bepaalt in « drie bisecanten P, welke op p drie [lunten P* insnijden. De. complex der bisecanten van de krommen welke de stralen t' van den waaier {2\r) tot koorden hebben, zendt \ijf rechten u door het punt 7^*; met dit punt komen dus vijf stralen t' en daardoor vijt punten P overeen. Telkens wanneer een punt P* met een homoloog punt P samenvalt, draagt P een straal U, waaraan een door P' gedragen straal t' is gekot)peld. De singidiere stralen van het veld [if worden derhalve afgebeeld door de stralen van een complex van den achtsten graad. De kegel (P')^ die 1) aan den straal Sk = DkP toegevoegd, bevat twee stralen 4. Elke straal der ster [ 7^/,.] is dus tweemaal als straal van den complex te beschouwen. Deze complex heeft bijgevolg de punten Bk tot dubbele hoofdpunten. Elke in « gelegen rechte t' is aan twee stralen ty. toegewezen. Immers, ais t' koorde Q'Q" is van een f, die o' nog in ontmoet, dan blijkt t' toegevoegd te zijn aan elk der beide stralen Q'Q', Q'Q". De rechte t'y, die met Q'Q" = ty in [«] homoloog is, snijdt t' in een punt P' , waarvoor het homologe punt P op Q'Q' ligt. Dus is a dubbel hoofdvlak voor den complex jZj®. 5. Er zijn nog andere singidiere stralen. De kromme /i', welke door een punt P' van « gaat, zendt een bisecante door het homo- loge punt P. Aan den straal ,y*zijn alle stralen t' van den quadra- tischen kegel toegewezen, die uit P' projecteert. De stralen vormen een congruentie, de overeenkomstige stralen t' een complex- Elke straal t' van den waaier {2\r) is koorde van een en de paren van snijpunten vormen de reeds vroeger beschouwde kromme r\ Deze be[)aalt op de rechte ar \’ier punten P' ; de waaier bevat 1078 dus vier stralen van den complex De sinyaliere stralen s zijn dus toegevoegd dan de stralen van een complex van den vierden graad De/.e com|)lex lieeft de punten Bk tot hoofdpunten en liet vlak « tot hoofdvlak-, elke rechte tot. is ribbe van twee kegels {t'Y , behoort dus tweemaal tot den complex. De congruentie [.9] heeft singuliere punten van de tweede orde in A en in elk punt der rechte a. De ribben van eiken dier kegels zijn aan elkaar toegevoegd, en tevens dnbbelstralen der involutie; die kegels behooren blijkbaar ook tot den complex De ribben der kegels, waarvan de toppen op a liggen, zijn tot een congruentie (4,2j vereenigd. Elke straal tot \'ertegen woordigt twee stralen s-, immers, zijn F' en Pf de punten, welke ty, gemeen heeft met de kromme /i’ waar- van ty koorde is, dan is 4 singuliere straal voor elk der homologe punten P en P^. Zal een straal s in « liggen, zonder door A te gaan,^ dan moet hij de punten P” en P'" bevatten, waar de door P' gelegde f het vlak weer ontmoet. Als P' den door ^ getrokken straal m doorloopt, zal P' ^ P" P"’ om ee)i punt i/ wentelen ; want de groepen , P", P'") vormen pooldriehoeken t.o.v. een bepaalde kegelsnede. De waaier ip') is blijkbaar projectief met de op gelegen puntenreeks (P) ; dus zal p' tweemaal door het overeenkomstige punt P gaan en dan een straal s zijn. Bijgevolg is n een singulier vlak van de vierde orde voor de congruentie [.9]. Daar een punt van a bovendien een niet in n gelegen straal .9 draagt, is de stergraad (orde) van |.9| gelijk aan vijf. Om den veklgraad (de klasse) van [.9] te kunnen bepalen, neem ik een vlak p aan. Zij Peen punt van de rechte p = up ; de krommen f, die de stralen t van den waaier (P,p) tweemaal snijden, vormen hel in \ 4 beschouwde oppervlak •t>\ bepalen dus op de rechte p' vijf |)unten Q' , en daardoor op p de homologe punten Q, die aan P worden loegevoegd. Omgekeerd levert een punt Q een punt Q' en de door Q' gelegde kromme f snijdt p in drie punten, bepaalt dus in p drie koorden t en daardoor drie punten P. Telkens als Q met P samenvalt, gaat door P een singuliere straal s, waarvoor de overeenkomstige kegel ff zijn top heeft in het homologe punt P' . De veldgraad bedraagt derhalve acht. De singuliere stralen s vormen een co‘)igruentie (5,8). De punten Bk zijn singulier voor l.s'J. Dit blijkt als men de stralen .9 beschouwt, die tot een waaier (P/^.p) behooren; zij /; de doorsnede van p met a, P een punt van p. De krommen /P, die P^P snijden, worden uit Bk geprojecteerd in de kegelsnede o-, en deze bepaalt op p' twee punten (f , die aan P' worden toegevoegd. Dmgekeeitl 1079 snijdt de dooi- Q' gelegde p(* liet vlak fi nog in twee punten, bepaalt dus twee punten P en daardoor tevens twee punten P' . Daar Q' blijkbaar viermaal met P' samenvalt, bevat de waaier vier stralen s. Dus is Bk een singulie)- punt van de vierde orde voor de congruentie [6\|. 6. De tien rechten bki=^ Bk Bi zijn /ioo/e/ó-zm/c// voor de involutie Immers hu is bisecante van alle krommen /i", dns foegevoegd aan alle bisecanten door het punt P'u, dat homoloog is met den doorgang Pu van hy ■ Aan den lioo fdstraal hi-i u.wrdt (In.s de ster [Pfc/] toegeieezen. Een waaier {T,r) bevat tien stralen t, die ieder rusten op een rechte hu en op een daaraan gekoppelde kegelsnede De over- eenkomstige straal t' rust dan ook op hki . Verder behooren vier stralen t tot den complex \tYk, welke in de involutie {t,t') is toegevoegd aan de ster [ B]^. Dus heeft het beeld van den waaier [t] viervoudige punten in Bk en in Bi, zoodat op hu negen stralen t' rusten. Een waaier wordt dus omgezet in een reqelschaar van den negenden graad. De waaier bevat acht stralen van den complex ^ '' liggen dus acht stralen 4 van het regelvlak (O". Bovendien bevat a de rechte p' , die homoloog' is met den doorgang p van het \lak t, en richtlijn van het regelvlak. 7. Een ster, met top M, wordt afgebeeld door een stralencon- gruentie [i'j. Zij N een willekeurig punt, n de bisecante door iV naar de kromme /l’, welke de rechte MP tweemaal snijdt. De door- gang Q van u komt in een birationale verwantschap o\'ereen met het punt P' , dat door de homologie aan P is toegevoegd. Als Q zich langs de rechte q verplaatst, zoodat u een waaier beschrijft, dan vormen 4) de bisecanten / der overeenkomstige krommen (i'* een complex De complexkegel van M snijdt o volgens een kromme en de daarmee homologe kromme o'® bevat de punten P' , die aan de punten Q van q zijn toegevoegd. De verwantschap tusschen Q en P' is dns van den vijfden graad ; bijgevolg zal O zevenmaal met P' samenvallen. Door N gaan derhalve stralen t' van het beeld der ster [i/J. De ster heeft met haar beeld den straal MA en de sti-alen van den waaier {M,a) gemeen ; dus is M een singulier punt van het beeld. Zij p een vlak, dat a ‘volgens de rechte p' snijdt. De krommen /i®, welke de stralen van den waaier {P',n) tot bisecanten hebben, brengen vijf van hun bisecanten t in het vlak {Mp), en deze bepalen op p vijf punten Q, welke aan het punt P worden toegevoegd. J()8() Omgekeerd levert een |Hmt (2 drie in n gelegen stralen i' , die biseeanten zijn van de welke MQ tot koorde heeft. Aan Q zij» drie punten P' en dan ook drie punten F toegewezen. Telkens als een f)unt (2 met een overeenkomstig punt F samenvalt, ligt de aan MQ toegewezen straal i' in p ; de veldgraad der congruentie bedraagt dus acht. Het beeld van een ster is bijgevolg een congruentie (7,8). De ster bevat een transversaal van de rechten />*/ en ; de congruentie (7,8) heeft dus in elk der tien vlakken een nmaier. Deze vlakken zijn dus singulier voor (7,8). De complex toegevoegd aan de ster [Bk] heeft met [i/] een kegel {ty gemeen ; hiermee komt een kegel (SkY overeen, want aan den doorgang «d van den eersten kegel is in de homologie [ükJ een kromme (d* toegevoegd en deze be\’at de doorgangen der overeen- komstige stralen Sk- De congruentie (7,8) heeft dus singuliere punten van de vierde orde in de vijf punten B. Door M gaan vijf singuliere stralen s; dus heeft (7,8) vijf singu- liere punten van de tweede orde in het vlak «. Het vlak u is singulier voor de congruentie (7,8), want de com- plex j/'j®, die aan het stralenveld [^J is toegevoegd, heeft met \_M'\ een kegel {t'Y gemeen. Laat men een straal t^ om F wentelen, dan vormen de biseeanten u der krommen welke de stralen 4 tot koorden hebben, een complex Door M gaat één bisecante u van de bij U. beboerende ; haar doorgang Q worde met F' ver- l)onden en de rechte F'Q = q worde toegevoegd aan den straal /'«, die met 4 homoloog is. Omgekeerd bevat het vlak {Mq) vijf koor- den n, belioorende bij vijf verschillende krommen /3*, die elk een straal 4 door F aanwijzen, zoodat aan den straal q zijn toegewezen vijf stralen t\y,. Door M gaan dns zes stralen u, die ieder in de involutie (44) overeenkomen met een straal 4 van den waaier (4*,«). Bijgevolg is a een singulier vink van de zesde orde voor de con- gruentie (7,8). Deze congruentie bevat de tien stralen bw, immers deze komen overeen met de stralen MPYi . 8. Ik beschouw nu het beeld van een stralenveld. Het vlak p l)evat (^ 7) acht stralen t, die toegevoegd zijn aan acht stralen 4 door een punt M. Dus heeft het beeld van het stralenveld [p] den stergraad acht. • Zij (f een willekeurig vlak, F' het snijpunt van (p met de rechte //, die homoloog is met de rechte /;^«p. De complex dei- koorden van de krommen f, die ieder een straal van den waaier (7’p) tot bisecante hebben, brengt vijf stralen t' in den waaier Het vlak ff' bevat dns oijf stralen van het beeld van [;«]. .Een stralenvelcl wordt dus afgeheeld door een congruentie (8,5}. De punten Bk zijn singulier voor deze (8,5). Want de waaier {F,p) bevat vier stralen van den complex daarvan liggen twee langs p, terwijl de andere twee overeenkomen met den straal RkB' ■ De waaier {Bk,p') behoort dns tweemaal tot (8,5). Het veld [p] bevat één straal van het veld [dijs] en één straal van de congruentie (1,1), die en tot richtlijnen heeft. Dns bevat de congi-nentie (8,5) tien waaiers {B,dkim) en tien nmaiers in vlakken door de rechten b,.s- De waaier {P,g) bevat acht stralen van den complex daar de overeenkomstige stralen ty. door het punt P' gaan, vormen de stralen in a, die tot (8,5) behooren, een stelsel met index acht. Dns is a een .singulier vlak van de oi-de acht. 9. Zij A' het beeld van een bilineaire congruentie A. Het beeld der ster [il/j heeft met yl 15 stralen gemeen, dns bevat [M] 15 stralen van A' . Analoog blijkt, dat een veld [p] 13 stralen van A' bevat. Het beeld van. een congruoitie (1,1) is dus een cungruentie Deze congruentie bevat de tien hoofdstralen A/,/, want het punt P'ki brengt een straal in de (1,1). De aan Bk toegewezen complex jiflb. heeft met een (1,1) een regelschaar van den achtsten graad gemeen. Met haar doorgang op H komt in [a] een kromme n" overeen, die de doorgangen bevat van de stralen .s> in het beeld der i,l,lj. Dns heeft de congruentie (15,13) de punten Bk tot singuliere punten vuil de orde acht. Ik beschonw nn den waaiei' {P',n) en den homologen waaier [P',u). De kromme welke een straal 4 van den eei-sten tol koorde heeft, brengt vier bisecanten u in de congruentie (1,1); hnn doorgangen Q worden met P' verbonden en leveren dan vier stralen q, die aan den straal t'y worden toegewezen. Een straal q zondert uit (1,1) een qnadratische regelschaar af, en deze heeft tien stralen u gemeen met den complex p, die bij den waaier (P, c) behoort (^ 4). Aan (j zijn dus tien stralen t'y toegevoegd; telkens als twee gekoppelde stralen q en t'y samenvallen, rust op t'y een koorde van een fï", welke 4 tweemaal ontmoet. Hieruit volgt, dat hel vlak n singidier vlak van de orde veertien is voor de congruentie (15,13). Met den straal, dien een (1,1) in het vlak ^1.,, brengt, komt een waaier overeen, waarvan het vlak door b^^ gaat; aan eiken der beide stralen van (1,1), die op en //,,, rusten, is een waaier in 1082 hel vlak ii,j, loegewezeii. Diis bevat de eongruenlie (15,13) twintig waaiars in de vlakken ^um en tien waaiers in vlakken door de rechten è,., . 10. Het beeld van een axialen complex, met richtlijn d, is een complex van den nege7iden graad. Want d snijdt negen stralen van de regelschaar [ty, die het beeld is van een waaier. Van den kegel [P'y, die aan een straal s^ is toegevoegd, snijden twee ribben de richtlijn d\ dus is Bk een dubbel teioWenhoofdpimt van den complex De waaier, die het beeld is van een in gelegen straal, brengt een straal in den axialen complex; de complex bevat dus de tien velden Tevens bevat hij de tien bilineaire congruenties met richtlijnen bki, p'mnr- Van de regelschaar (/')^ die een straal 4 afbeeldt, rusten vier stralen op d\ dus bevat de complex het viermaal te tellen veld [/„]. De quadratische kegel, die aan een singulieren straal s is toege- wezen (§ 5) heeft twee ribben met den axialen complex gemeen ; bijgevolg behoort de congruentie (5,8) der stralen .s’ tweemaal tot Physiologie. — De Heer Zvvaardemakkk biedt, mede namens den Heer F. Hogewind, een mededeeling aan over ijecoeligheid van Gels'. Wordt een metalen scl)ijf, die een negatieve lading bezit, door middel van een of andere lichtbron bestraald, tlan wordt de schijf ontladen. Echter niet, als de schijf eene positieve lading bezit. Dit feit werd het eerst gevonden en beschreven door W. Hallwachs ') in 1888, en is bekend onder den naam van lichtelectrisehe gevoelig- heid of Hallwachsetfect. De ontlading bleek later te berusten op een uitzending van elec- tronen orider den invloed van het licht, en wel in hoofdzaak van het nlti'aviolette licht. Voor het ondei'zoek maakt men dan ook liefst gebruik van een aan ultraviolette sti'alen rijke lichtbron, b.v. ee.n kools])itsen-boog- lamp, waarvan het licht direct, of met Itehnlp van kwartslenzen o[) de metalen schijf wordt geworpen. Deze is met behulp van een barnsteenen staafje geheel geïsoleerd opgesteld en. verbonden met een geaarden electi-oscoop, die negatief opgeladen wordt. Om den belemmerenden invloed van de, in de lucht vóór de schijf opgenomen, electronen te voorkomen, wordt vóór de metalen plaat, op ± 1“/, c.iM. afstand, een draadwerk van geoxydeerd ijzer- gaas, dat zelf zeer weinig lichtelectrisch gevoelig is, opgesteld. Dit draadwerk wordt positief opgeladen tot een [)Otentiaal vian 50 a 100 volt en neemt de uitgezonden electronen oogenblikkelijk op. Door het netwerk heen wordt de schijf bestraald, waarbij terstond de electroscoop aanvangt zich te ontladen. De snelheid der ontlading, gemeten door den z.g. halfwegtijd, is daarbij een maat voor de lieht- electrische gevoeligheid der schijf. Volgens Haelwachs zijn lichtelectrisch gevoelig: De metalen, het sterkst de alkalimetalen, dan Al, Mg, Zn, etc. ' Vele metaalverbindingen: oxyden, chloriden, bromiden, etc. Vele mineraliën. Vele kleurstoffen b.v. anilinekleurstoffen, ook hunne oplossingen in water. b Marx, Handb. der Radiologie. Hallwachs, Lichtelektricitat. 1915. Bd. Illb. S. 245. 70 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVIl. A‘'. 1918/19. 1084 Sotumige niet-geleiders, als zwavel, hard gummi. Gassen worden door de uiterste nltraviolette stralen werkzaam. Niet werkzaam bleken te zijn o. a. : water, steen, gi-aniet, hout. In het algemeen kan men zeggen, dat alle vaste lichamen, die het licht voldoende absorbeeren, en de electriciteit voldoende geleiden, lichtelectrisch worden. Daarentegen zijn volgens Haluwachs vloeibare stotfen in substantie [j geen van alle sterk werkzaam. Hij vond slechts 2 vloeistoffen, die !l duidelijk positief reageerden op lichlbestraling, n.1. het aniline en het | mierenzunr. Ook in de latere literatuur worden geen vloeistoffen genoemd als duidelijk pholoelectrisch. Beide bovengenoemde vloeistoffen behooren tot de reukstoffen, en het gelukte ons, onder deze categorie \’an stoffen er nog verschil- lende fe vinden, die in vloeibaren staat pholoelectrisch waren, o. a. de vloeibare termen van de aniline-reeks : toluidine en xylidine. Verder gnajacol, kreosol, eugenol, anethol, enz. De gevoeligheid van ' anethol b.v. komt die der stei'kst werkende metalen nabij. ! Oplossingen van alle bovengenoemde vaste en vloeibare stoffen in j water bleken over het algemeen niet photoelectrisch te zijn. Een | uitzondering vormden o. a. de reeds bovenvermelde oplossingen van aniline-klenrstoffen. Men veronderstelde dat dit laatste het gevolg was van het zich I vorine)! van een oppervlakte-vliesje, dat een zeer dunne laag van vaste stof' vormde, waaraan de lichtelectriciteit gebonden zou zijn. Deze laatste stijgt met de dikte van het laagje tot een bepaalde grens. Dil oppervlakte-vliesje staat in verband met den colloidalen toestand, waarin de kleurstofoplossing verkeert. Oxydatie is hierbij niet in het spel. Ook anorganische colloiden, als arsenik en anti- moontrisnlfide, doen hetzelfde ^). Hallwachs echter geeft zelf reeds op, dat de lichtelectrische gevoeligheid niet altijd gebonden is, en parallel gaat met de vorming van dit vliesje. j Het bleek ons nn, bij een onderzoek der reukstoffen, dat een i oplossing van een willekeurige stof, hetzij vast of vloeibaar, slechts | dèin lichtelectrisch gevoelig is, als voldaan is aan de volgende drie j voorwaarden : | i". De opgeloste stof moet in substantie photoelectrisch zijn. j 2“. De oplossing moet het ultraviolette licht sterk absorbeeren. b Rohde (Ann. de Physik, 19, p. 935—959, 1906). ’) Plaqmeiee, Deutsche Phys. Gesellschaft, Verh. 11, p. 382—396 (1909). 1Ü85 3“. De oplossing moei eolloidaal zijn. Bij dit ondei'zoek met vloeistotten in substantie en met oplossingen bezigden wij filtreerpapier, dat met de vloeistof werd gedrenkt en op een, met behulp van barnsteen geïsoleerden standaai'd, gehangen. Filtreerpapier, mits goed afgesloten bewaard, is zéér weinig licht- electrisch gevoelig. Het wordt echter door adsorptie van reukstoffen spoedig gevoelig, en mag dus niet in een met reukstoffen bezwan- gerde atmosfeer bewaard worden. Zorgt men ei‘ verder voor, dat de afstand van de lichtbron tot het papier, en het belichte oppervlak van het papier steeds even groot zijn, dan heeft men in den z.g. ha.lfwegtijd van de electros- coop een betrouwbare maat voor de gevoeligheid der vloeistoffen. De colloidaliteit is een absolute voorwaarde vooi' de photoelectri- citeit van oplossingen, en wel neemt deze toe, naarmate de micellen grooter worden en de oplossing toch nog tijdelijk stabiel is. Een verzadigde waterige oplossing van eugenol b.v. geeft; Halfwegtijd Bestraald Onbestraald versch 2 min. j5 sec. 18 min. na 1 uur 1 „ 40 „ 18 „ ,, 2 dagen 1 M 15 „ 18 „ „ i M 18 „ „ 7 „ 50 sec. 18 „ „ 10 50 ,, 18 ., Is er eugejiol in overmaat, dan blijft de gevoeligheid verder constant. Op dezelfde wijze werden ook verschillende phjsiologische vloei- stoffen onderzocht. Ook hierbij bleek, dat D Kristal loide-oplossingen niet photoelectrisch zijn. 2® Colloidale-oplossingen alleen dan, als zij aan de bovengenoemde 3 voor waarden voldoen. Lichtelectrisch gevoelig bleken te zijn : Halfwegtijd. Bestraald On bestraald Serum-globulineopl. (zwak) 8 min. 18 min. Serum-albumineopl. (zwak) 8 18 „ Paardenbloedserum 5V. „ 18 „ Paardenbloed 57, .. 18 „ 70* 1086 Paardenbloed met water lakkleurig Bestraald ( ) I dies t raakt gemaakt 37, .. 18 „ Kippeneiwit in glycerine (verz.) 8 18 „ Nucleine verz. wat.opl. 7 „ 18 „ De gevoeligheid van physiologische oplossingen is dus matig groot, Nog kleinei- is die van fermenten : Pepsine glycerine (verzadigd) 10 min. 18 min. Diastase ,, ,, 8 „ 18 „ Pankreatine 2 “/o wat.opl. 8 ,, 18 „ Leucine 2 7o wat.opl. 10 „ 18 „ Tyrosine verz. wat.opl. 7 ,, 18 „ Niet gevoelig bleken o. a. : Lecithine (verz. wat.opl.), en Caseïne (verz. wat.opl.), als gevolg daarvan, dat deze stoffen in substantie evenmin licbtelectriscli ge- voelig zijn. Over bet Hall wacbsetfect bij yels wordt in de literatnnr niets aan gegeven. Wij onderzochten een reeks van gels en vonden sommige wèl, andere niet gevoelig. - Bij de eerste was de stof ook in volkomen gedroogden staat gevoelig, terwijl deze gels bovendien bet nltraviolette licht sterk absorbeeren. f reageeren o. a. : Halfwegtijd Bestraald On bestraald 2 " „ Agaroplossing 9 min. 18 min. 6 8 „ 18 „ 8 “/o 7V, 18 „ 2 "/(, Glelatineopl. 6 18 „ Carrageen 7 „ 18 „ Vischlijm 7V. 18 „ Rubber (sheet) 7 „ 18 „ ,, (geplasticeerd) 10 „ 18 „ ,, (gevulcaniseerd) 5 „ 18 „ Ook de gels zijn dns slechts weinig licbtelectriscli gevoelig. Daar de [ihysiologische stotfen in de weefsels gedeeltelijk in gel- toestand voorkomen, zochten wij een middel om dezen toestand na te bootsen, en meenen dat gevonden te hebben in een kiezelzuurgel, die gemaakt werd volgens een i'ecept, in het laboratorium van Prof. Beyehinck in gebruik : 1087 iO cc. Na silicaat, N erdiiiid met liet 2-\'uiidig volume water, wordt met 'JO cc. normaal zoutzuur vlug eii goed omgesclind en daarna in een Petrischaaltje uitgegoten, waar zich dan na korten tijd een gel vormt. Deze is lichtelectriscli vrijwel volkomen ongevoelig. Giet men nu, vóiir de massa geheel hard is geworden, een of andere colloidale oplossing 0[) de plaat, dan wordt deze meer of minder diep met de vloeistof geimbibeerd en kan zij door afwas- schen niet meer verwijderd worden. Ook kan men de oplossing door de kiezelzuurgel verwerken vóór het zoutzuur eraan wordt toegevoegd, waarbij dus de hééle massa de colloidale stof bevat. Is deze laatste nu lichtelectriscli gevoelig, dan is de kiezelzuur- schijf dat ook geworden, hetzij alleen aan de oppervlakte, als zij volgens de Ie methode, hetzij door de heele dikte heen, als zij volgens de 2e methode is bereid. Op deze wijze hebben wij bij de volgende physiologische stoffen gevonden : Hestr. On best r. Kiezelzuurplaat -|- serum-albumine (zwakke opl.) 9 min. J 8 min. ,, -|- serum-globuline ,, ,, 9 ,, 18 „ ,, lecithine-opl. (verz.) 18 „ ,, -|- paardenbloed h ,. 18 „ ,, -j- Caseine-opl. (verz.) 18 „ 18 „ ,, Pankreatine 2 7o 9 „ 18 „ ,, + lecithine + chloroform 18 „ 18 „ ,, -j- verz. versche wat.nucleinopl. 7 ,, 18 „ ,, 4“ ,, tyrosineopl. 18 „ Ook in dezen toestand gedragen de physiol. oplossingen zich dus tegenover bestraling op dezelfde wijze. Wordt de zooeven beschreven gel met een kristalloide oplossing gedrenkt, dan is geen zweem van [ihotoelectriciteit te bespeuren. De adsorptie der moleculen aan de gelsubstantie schijnt dus niet voldoende te zijn. Zij moeten zelf vooraf in colloidalen toestand gebracht klaarblijkelijk in continueele laag op en in de gel zijn uitgespreid om het ultraviolette licht voldoende aangrijpingspunt tot zijn ’lichtelectrische werking te kunnen verschaffen. Geeff men de kiezelzuurgel ongeveer 2 a 3 millimeter dikte en gief de colloidale oplossing over de naar het licht gekeerde vlakte uit, dan zal ook aan de van hef licht afgekeerde \' lakte een zwakker phofoelectriciteit merkbaar zijn, klaarblijkelijk doordat de langzame electronen, die het licht doet uitzwermen, doordringingskracht genoeg bezitten om ook aan de achterzijde naar buiten te komen. Wanneer 1088 intusscheii de colloidale, lichtelectrisch-gevoelige oplossing op de van het licht afgekeerde vlakte wordt nitgegoten, blijft de achterlaag ongevoelig, omdat het licht niet zoo diep kan doordringen. Het wordt door het kiezelznnr tegengehouden. Noch water, noch glycerine doen znlks in zulke dunne lagen op merkbare wijze. Wij hebben getracht door eosine-toevoeging ons het zichtbare licht, dat wel doordrijigt, ten nutte te maken, doch voor de lichtelectrici- teit zonder resultaat, he^een ook niet verwonderen katj, daar hel zichtbare licht in het algemeen (behalve bij alkalimetalen en schoon- gemaakt aluminium, magnesium en zink) niet in staat is photo- electriciteit te verwekken. Het doel van onze gel proeven is geweest ons een model van een dierlijk weefsel te verschaffen, waaraan wij modelproeven over licht- werking zouden kunnen verrichten. De kiezelzuurgel eigent zich hiertoe zeer in het bijzonder, daar zij zelf, in tegenstelling tot de gelatine- en agar-gels, hoegenaamd niet lichtelectrisch gevoelig is. Dit maakt het mogelijk haar met allerlei in hel dierlijk weefsel voorkomende colloïden te doordringen en de werking van het licht op deze in diverse verspreiding en onder verschillende voorwaarden te beoordeelen. Alleen de geringe doorlaatbaarheid van het kiezel- zuur voor ultraviolet licht is in sommige opzichten een belemmering. Indien men een dieper doordringen van het ultraviolette licht beoogt, zal men de kiezelzuurgel door een gelatinegel hebben te vervangen, die echter, gelijk reeds opgemerkt, zelf in geringe mate |)hotosensibel is. Omgekeerd zal het bedekken van de gel met een oppervlakkig groeiende cultuur een schermwerking uitoefenen. Dit bleek ons b.v. toen wij een gelatinegel met een dicht gezaaide cultuur van licht- gevende bacteriën bedekten. De lichtelectrische gevoeligheid van de gelatinegel nam daardoor duidelijk af. De pholoelectriciteit van dierlijke weefsels zal kennelijk van de daarin vereenigde soles, gels en vaste stoffen (dubbelbrekende vezels, kristallen, vloeibare kristallen) afhankelijk zijn. De modelproef met de gels stelt in staat deze samenstellende bestanddeelen in wille- keurige hoeveelheden onderling te vereenigen. Men neme, indien men enkel eene werking in de oppervlakkige lagen beoogt, zijn toevlucht tot kiezelzuur, daar het zelf lichtelectrisch ongevoelig is, tot gelatine, wanneer men ook dieper werkingeii uitgeoefend wil zien. Mikrobiologie. — De Heer Beuerinck biedt een mededeeling aan over: „Oidiiüii lactis, de melkschimmel en een eenvoudige methode om met hekidp daarvan anaërohen zuiver te kweeketi' . De vele voor de reinkiiltnur der anaëroben aanbevolen methoden, — wier veelheid bewijst, dat geene daarvan de onderzoekers geheel bevredigt, — kntinen in chemische en biologische verdeeld worden. Wat de eerste betreft, waarvan de ,,exsiccatormetliode” van Novy wel de beste is, is zoowat alles beproefd. Dit kan niet gezegd worden van de biologisc!)e, waarbij voor de zuurstofonttrekking van andere levende organismen, in het bijzonder van aërobe mikroben gebrnik wordt gemaakt. Zoo heb ik zelf eerst nadat ik daarvoor de melk- scliimmel heb toegepast, resultaten gekregen, die de moeite waard zijn om er nog eens de aandacht op te vestigen. Eenige hoofdpunten uit de levensgeschiedenis van Oidiiim, die voor het doen van proeven daarmede belangrijk zijn, laat ik voor- afgaan ; een uitvoerige beschrijving is hier onnoodig. Eigenschap pe7i van de melkschimmel. De melkschimmel bezit een som van eigenschappen, waardoor deze soort bijzonder geschikt is voor velerlei proeven, die in verband staan met de ademhaling, de voeding, den groei en de symbiose. In Oidium is het karakter der schimmels met dat der gistsoorten vereenigd, vooral wat betreft den groei in en op het substraat, zonder dat daarmede gisting of de vorming van door Inchtstroomen verstuivende conidiën gepaard gaan, In het substraat vindt men het langcellige mycelium, daarop de conidiënsnoeren, die zelfs als zij vrij in de lucht reiken niet stuiven en nooit de omgeving besmetten, zooals de schimmels dat doen. De verkrijging is gemakkelijk. Een rijke kuituur ontstaat, wanneer men marktmelk in een open glas enkele dagen in een warme kamer laat staan, waarbij de melk zich steeds met een O/c/mz/diuid bedekt. Daarbij komen tevens melkzuurfermenten tot ontwikkeling, die door hun zuurvorming uit laktose den groei van Oidium bevorderen en zelve in hun groei door Oidium begunstigd worden, omdat daardoor het melkzuur wordt geoxydeerd tot koolzuur en water. In tuingrond is Oidium algemeen verspreid, hetgeen aangetoond kan worden door J090 zwak aaiigezuurd ivioiitexti'akt met grond te infekteereii en bij 25 a 30° C. te bewaren. De kaamhnid die ten slotte de vloeistof bedekt, l)evat, belialve kaamgist steed Oidiiun. Van persgist, lange wei, zure melk, kaas, van de spoeling der branderijen en allerlei afvalwateren is Oidium een bewoner. Natuurlijke vindplaatsen zijn verder de sapvloed van verschillende boomen en de slijmvloed van eikestammen. Voor de reinkultuui' zijn aangezuurde montextract- of bouillon- gljcerine-platen aan te bevelen. Het zuur dient om de booibakteriën uit te sluiten, die groote neiging bezitten om met Oidium in neutrale omgeving in symbiose te groeien. De ovei-entingen voor de collectie worden op moutagar gehouden, maar zij \eranderen daarbij, na eenige maanden, in een taai, leder- achtig mycelinm, bijna uitsluitend uit lange myceliumdraden gevormd, dat moeielijk uit elkander te Avrijven is. Het is dan, voor het ver- krijgen van normaal materiaal het beste weder nit melk of grond opnieuw te isoleeren, want de verandering is een erfelijk mutatie- verschijnsel, dat idet terngloopend kan worden gemaakt. Opmerkelijk groot is de snelheid van den groei bij gunstige voedings- voorwaarden, waarmede de intensiteit van de ademhaling en van de zuurstofabsorptie parallel gaan. Deze intensiteit is belangrijk grooter dan die der gewone schimmels van de geslachten Penicilliuiu en AspergiUus, terwijl zij die van Mucor evenaart. Dit geldt echter alleen bij goede voeding, want tot de diepgaande omzettingen waartoe Penicilliuin en aaideiding geven, waarvan sommige soorten zelfs van cellulose en chitine kunnen leven, is Oidium niet in staat. Ook gelatine en agar worden volstrekt niet aangetast. Gistingsx’er- schijnselen gepaard met gasoni wikkeling ontbreken; dientengevolge vormt Oidium in vaste kultuurbodems nooit gasblazen of scheuren, zelfs niet bij aanwezigheid van glukose. Hierop o.a. berust de voor- treffelijkheid voor de kultuurproef met anaëroben, die straks beschreven zal worden. Als stofwisselingsprodukten ontstaan, al naar de voeding in hoofdzaak of alleen water en koolzuur; vluchtige of niet vluchtige stoffen hinderlijk voor andere organismen worden niet voortgebracht. Ten opzichte van het voedsel vertoont Oidium groote specialisatie. De meeste hexosen, in ’t bijzonder glukose, laevulose en mannose worden zeer gemakkelijk geassimileerd en verbrand. Evenzoo aethyl- alkohol. Ook glycerine is een buitengewoon goede koolstof bron. Zetmeel, maltose, rietsuiker, raffinose, melksuiker, 'manniet, en vele andere derge- lijke stoffen worden daarentegen in het geheel niet geassimileerd en niet aangetast. Enzymen zooals diastase, malto-glukase, invertase, laktase o)dl)i-ekcu derlialve xolkomen. Olukosidenzy men konden evenmin woi'- 1091 deu aiiiigetooiid. Juist door de afwe/iigheiil dezer eJizyiiieii is Oidiuvi, die op liuii produkteii zoo kraelitig reageert, bijzonder gescliikt om als reaktief te dienen op de enzymen, die in bepaalde deelen van lioogere planten voorkomen of door andere mikroben worden afgescheiden, waarbij met voordeel de auxanogratisclie methode kan worden toegopast. Vetten worden evenwel door Oidinui gesplitst, namelijk door een ook buiten de cellen werkzaam exoënzym. Bij aanwezigheid van vetten kan men derhalve groei van OidiuDi verwachten ten koste van de bij de lipolyse gevormde glycerine en dit verklaart de algemeenheid van Oidiiim zoowel iii melk als in andere vethoudende materialen. Voor de bereiding van velsplitsende pi’eparaleu kan de melkschimmel een goed uitgangsmateriaal leveren. Wat de stikstofvoeding betreft komt Oidium ongeveer overeen met de gewone gistsoorten en is dus in dat opzicht nogal veelzijdig. Met uitzondering van nitraten en nitrieten en onveranderde eiwitten wordeii de gewone stikstofverbindingen gemakkelijk geassimileerd bij aanwezigheid van goed koolstofvoedsel, zooals glukose of glyce- rine. In het bijzonder geldt dit voor ammoniakzouten en ureum. Peptonen en de hoogere amminozuren worden als zij alleen zijn niet of zeer langzaam geassimileerd, maar zij kunnen bij aan wezigheid eener goede koolstof bron als stikstofvoedsel dienst doen, zoodat de volledige voeding van Oidium, bij aanwezigheid dezer stoffen een dualistische moet genoemd worden. Dientengevolge is boiullon voor Oidium een zeer onvolkomen \ oedsel en een rijke uitzaaiing van Oidium op een bouillon-agar plaat ontwikkelt zich slechts weinig. Dit verandert echter geheel bij toevoeging van een goede koolstof bron. Geschiedt dit lokaal 0[) een vleeschbouillon-agarplaat dati ontstaat, voorzoover de betrokken stof diffundeert, een auxanogram of groeiveld, bewij- zende dat de overige voor de voeding noodzakelijke elementen in voldoende hoeveelheid aanwezig waren. Daar deze laatste elementen in de éénzijdig gevoede cellen blijken opgehoopt te zijn, al of niet in denzelfden chemischen bindingsvorm, waarin zij in deu voedings- bodeui voorkwamen, zijn zulke proeven geschikt om het absorptie- verschijnsel aan te toonen, dat ik vroeger beschreven heb. Zoo is het bijv. geraakkelijk om, bij omkeering der proef, dat is bij over- matige voeding met een koolhydraat, mikroskopisch glycogeen in de zoo groote OidiumceWeu aan te toonen en het verdwijnen daarvan in de auxanogrammen \an stikstofvoedsel, zooals ammoniakzouten of ureum. Een zwak zure reaktie van den voedingsbodem is voor den groei van Oidium. gunstig; sommige organische zuren, t)ij\'. melkzuur, kunnen 1092 daarbij door oxydatie verdwijnen. Andere zuren, zooals molybdeen- en wolframzunr, worden in goede voedingsbodems, zooals glukose-bouillon- agar door Oiclium tot de bekende blauwe oxyden gereduceerd, hetgeen tot fraaie kleuringsproeven aanleiding geeft. In neutrale oplossingen worden de zouten dezer zuren echter niet aangetast. De gewone alkoliolgisten gedragen zich evenzoo. (Tebi'uik van de melkschimmel voor de reinkultiiur van anaëroben. In de natuur wordt de zuurstofonttrekking aan de omgeving, die noodig is voor de ontwikkeling der anaëroben gewoonlijk door aërobe mikroben veroorzaakt. Deze absorbeeren niet alleen de laatste sporen van vrije zuurstof uit de omgeving maar zij bi'engen daarin zelfs reduceerende stoffen voort. In het laboratorium kan men dit na- bootsen dóór aan een kultuurbodern, waarin de te onderzoeken anaërobe in gering aantal voorkomt, een zeer groot aantal kiemen van een geschikte aërobe toe te voegen. Hoe zulke proeven tot nn toe gedaan zijn ') zal ik door een bepaald voorbeeld toelichten, namelijk aan het kultiveeren van de sporenvormende anaëroben der echte eiwitrotting ; daarna zal ik de gewijzigde methode bespreken. Een ruwkultunr dezer bakteriën verkrijgt men door een stoptlesch geheel te vullen met een waterige eiwitoplossing, te infekteeren met tuingrond, op te kooken en daarna af te sluiten. Bij plaatsing in een broedstoof gaat de massa spoedig over in stinkende rotting, \'er- oorzaakt door de sporenvormende anaëroben. Nu wordt aan gewone bouillon-gelatine of -agar met een weinig keukenzout, een of andere zeer intensief groeiende aërobe bakterie zooals .Ö.y/Morescgni' of B. prodiglosam, in groote hoeveelheid toegevoegd, alsmede een weinig van het op 90° of 100° C. verhitte materiaal, waarin de sporen dei' rottitigsbakteriën voorkomen. Na stolling in een reageerbuis zullen (Ie aëroben in de diepte spoedig de laatste sporen zuur- stof doen verdwijnen, en omdat zij zelf aldaar niet kunnen groeien ook niet tot versmelting der gelatine aanleiding geven; ook zullen zij de vati boven indringende zuurstof absorbeeren en zich in de oppervlakte der gelatine sterk ontwikkelen. In de diepte kunnen de s|)oren der rottingsbakteriën nu ontkiemen en al spoedig ziet men, bij het gebruik van gelatine, de groote smeltende koloniën van den zoo inerkwaardigen Bacillus septicus ontstaan, naast niet smeltende, veelal vlok-vormende (op druk- en trekspanning reagee- rende) koloniën van andere rottingsbakteriën. Voor het mikros- ’) E. Macé, Traité pratique de Bactériologie, 6e Ed. T. 1, pag. 305, Paris 1912. ItEssoN, Techniqne microbiologique et sérothérapiqiie, 6e Ed., pag. 102, Paris 1914. 1093 kopisch onderzoek heeft men nu ongetwijfeld beter materiaal dan in de rnwkulturen, lioezeer het niet gemakkelijk te bereiken is, Daarvoor toch is het noodig de knltunrgelatine nit de buis te ver- wijderen, door deze in de gasvlam te verwarmen, waardoor alleen de buitenkant van de gelatine smelt en de geheele inbond in één stuk kan worden uitgeworpen. Ook kan men met een vijl insnij- dingen in den glaswand maken ter plaatse \an gunstig gelegen koloniën. Natuurlijk is de kans groot, dat daarbij de verschillende koloniën door elkander vloeien, zoodat van een reinkuituur van anaëroben in den gewonen zin van het woord bij zulke |)roeven meestal geen sprake is. Voor het mikroskopisch onderzoek en voor het leeren kennen van het uiterlijk der koloniën is de methode goed, maar voor het kweeken dei' zuivere sooi-ten oiibruikbaai'. Iedere goede methode van reinkuituur, zoowel van aëroben als van anaëroben, moet evenwel aan de twee volgende eischen voldoen: De koloniën moeten geheel vrij en op behoorlijke afstanden van elkandei' verwijderd, op de oppervlakte der vaste kultaurplaten gelegen zijn, verder moeten zij met de grootste gemakkelijkheid met den platinadraad bereikbaar zijn. Aan deze eischen kan alleen voldaan worden door kuituur in gewone glasdoozen of PETRischalen. Dit kan in een goed ingericht laboratorium zeer' goed geschieden door de exsiccator methode van Novy (zie Macè, l.c.), waarbij gewone kultuurdoozen in hun gelteel in een atmosfeer van zirivere waterstof in een exsiccator' geplaatst wor'den, waar-in rrog bovendien eerr of ander zuurstofonttrekkend middel, zooals een pap varr ferro-ferrocyan of alkalische pyrogallol is geplaatst. Maar ook aan deze methode zijn nadeelert verbonden. Men is daarbij namelijk de afzetting varr 'waterdamp tegen de glasdeksels niet geheel meester, tengevolge waarvan het afloopende water op de kultuurplaten kan komen, dat de kolonies door elkander doet loopen en de geheele proef nutteloos maakt. Ook is het moeielijk of onmogelijk in deit rriet geopertden exsiccator den ontwikkelingstoestand der kolonies duidelijk te zien, waardoor men gevaar loopt te vroeg te openen en dan verplicht is opnieuw te beginnen , hetgeen bij de omslachtigheid der proef lastig is. De 0«V/jM?n-methode, welke ik nu zal bespr'eken, is van al deze nadeelen vrij, en levert, bij goede uitvoering, geheel vrij op de opper- vlakte der kultuurplaten gelegen kolonies der anaëroben. Het principe der methode bestaat in het boven elkander plaatsen van twee kultuurplaten, die slechts door een betrekkelijk kleine lucht- ruimte van elkander gescheiden zijn en waarvan de eene de aërobe mikrobe bevat, die de zuurstof moet absorbeeren, terwijl op hel 1094 op|)ervlak van de tweede de anaërobe moet groeien. Ook bier kies ik een bepaald voorbeeld ter toelicliting, namelijk de streng anaërobe bacillen van de boterzunr- en de bntylalkoliolgistingen ; zij bezitten overeenkomstige voedingsvoorwaarden en kunnen op dezelfde wijze geïsoleerd worden. Het zijn sporenvormende bacillen, die het beste leven in montextrakt, waarin zij krachtige gistingen veroorzaken, die gepaard gaan met de ontwikkeling van waterstof en koolzuui'. Een ruwe boterznnrgisting verkrijgt men als volgt. Gemalen rogge of tarwe, of beter nog tot pap gewreven aarda|)pelen, worden in een bekerglas met water gemengd; er wordt krijt toegevoegd en men verwarmt gedurende eenige seconden tot 90° a 100° C. Bij 80° a 40° C. ontstaat dan gewoonlijk na twee dagen een krachtig boterzuni’gisting, waarin verschillende soorten van botei'zunrbakteriën voorkomen, die daaruit zullen geïsoleerd worden. Voor de inrichting van een ruwe butylalkoholgisting ') kan men nitgaan van naakte gerst. Ook aardappelpap kan als uitgangs[)iint dienen ; deze mag dan echter niet hooger dan o|) 80° C. a 85° O. verhit worden; ki'ijttoevoeging is onnoodig omdat de butylbakteriën bijna geen znui- vormen Natuurlijk zijn in zulke pappen de sporen der bolerzuurfermenten nog aanwezig en het verrassende feit, dat men door de juiste toepassing van een zoo klein temperatuurverschil geen boterziiur- maar een butyl-gisting verkrijgt, moet waarschijnlijk \'ei'klaard worden door de schadelijke werking van den butyl- alkohol op de boterzuurfermenten. De eigenlijke proef verloopt nu als volgt. Men smelt in een koltje moutextract-agar, die 5 a J0 7o glnkose bevat en voegt daaraan, na afkoeling tot nabij het stollingspunt een groote hoeveelheid kiemen van Oidium lactis toe en men giet daai'van een plaat {Op) in een ruime giasdoos (G.?,). Bij 25° a 28° O. is de geheele op|>ervlakte dezer plaat i'eeds na 24 unr met een dichte, sneeuwwitte hrud van cojiidiën bedekt, en het binnenste van de agiW' met mycelitim doorwoekerd, hetgeen gepaard gaat met een zeer belangrijk zuui'Stofverbrnik. Men vervaardigt nu een tweede moutextrakt-agar-plaat, de kultuur- plaat (Au), zonder Oidium, in een glasschaal [Gsdj, die veel kleiner is dan Os, ; de ruimte tusschen Gs*, en Gs^ moet voldoende zijn om (r.v, met de vingei's aan te vatten. Op de oppervlakte dezer tweede plaat wordt het tnateriaal uitgezaaid of afgestreken, waarin zich de anaërobeu bevinden. In het gekozen voorbeeld dus een weinig van 'l kermeulation et ferments butyliques. Archives Néerlanilaises T. 39, Pag. 1. IJiicléries aclives dans Ic roiiissage dii tin. Ibid. Sér. 2. 'f 'd. Pag. 418. 1904. 1095 de met sterielwater verdunde ruwe boterzuiir- of hutylalkoliol- gistingen. Daarna_wordt de kleinere glasschaal (rA\ van den deksel Lr I I I Kuituur van anaëroben met behulp van Oidiimi lactis. Gsi groote glasschaal met de zuurslofabsorbeerende Oidiiiniplaal Op. 6rSo kleine glasschaal met de kultuurplaat /va, waarop de anaërobe koloniën Ak groeien. Lr de luchtruimte tusschen de kultuurplaten. Bij g de opening in den glaswand van die met paraffine gesloten wordt. Gd de glasdeksel van de groote schaal Gsj. De hoogste temperatuur is aan den kant van Gd. ontdaan en met den agarkant naar boven op de f>ó/«6/nplaat gedrukt. Om daarbij het ontwijken van de Incdit uit de luchiruimte Lr inogelijk te maken is in den glaswand van fr.s-, bij g een klein gaatje geboord. Dit gaatje wordt daarna afgesloten met een droppeltje parafüne, dat er met een heete roerstaaf is ingébracht. Bij 28° a 30° is de luchtruimte Lr, die men betrekkelijk klein kan maken, zeer spoedig znurstofvrij en de groei der anaëroben .1/' kan beginnen. Om de zunrstofonttrekking aan de agar Ka in O'.s-, nog te bevorderen kan men ook daaraan Oidiaai toevoegen, maar dan moet men daaro\'er nog een dunne laag moutagar zonder (Jidiuni gieten om een kiem- vrije oppervlakte te verkrijgen bestemd voor de uitzaaiing der anaëroben. Daar OicJium volkomen aëroob is, groeien de myceliën niet merkbaar door deze beschnttende laag heen. Heeft men goede afmetingen der glasdoozen gekozen en maakt men de luchtimimte Lr niet al te klein dan kan men zijdelings door den glaswand heen de ontwikkeling der anaërobe koloniën ^4/: volgen, en zien, wanneer het oogenblik voor het verdere onderzoek is gekomen, zonder dat het noodig is de kultnnrplaat [Ka) van de OiV/nrmplaat {Op) te verwijderen, waardoor ontijdig openen wordt vermeden. 1096 Is de tijd voor het openen daar, dan liondt men gesmolten monl- agar gereed, die over de C^a/mraplaal, in liet bijzonder in de door (r.s'5 gevormde groeve gegoten wordt, zoodra de knltunrplaat Ka met de anaëroben er weer op geplaatst zal worden. Het nieuwe voedsel geeft tot nieuwe znurstofabsorptie door Oidvum aanleiding en de groei der anaëroben kan verder gaan. Voor het welslagen der proef is het belangrijk op het volgende te letten : Bij het plaatsen in de broedstoof moet de (AVfó«7ilaag Op zoo gesteld worden, dat deze zich in het koudere en de glasdeksel Gd, alsmede de kultuurplaat Ka, zich in het warmere deel der stoof bevinden. Daardoor zal de waterdamp in de luchtruimte Lr zich niet op het oppervlak van Ka kunnen condenseeren maar in Op trekken. In den omgekeerden stand zal Ka nat worden, de kolonies Ak zullen door elkaar vloeien en de proef mislukt. De figuur is dus geteekend voor een toestand, waarbij de koudere lucht boven, de warmere beneden is, hetgeen in een thermostaat met bodemver- warming de feitelijke toestand is. Hoe eenvoudig dit alles moge schijnen, bij de uitvoering zal men zien, dat het noodzakelijk is daaraan bijzondere aandacht te geven. Op deze wijze gelukt het uit gewone ruwe boterzuur-gistingen, op bovengenoemde wijze vei‘ki-egen, drie duidelijk verschillende Amylo- bacter-soorten af te scheiden, waarvan ik twee reeds vroeger beschre^ ven heb (Verslagen Dl. 12, Pag. 973, 1903) onder de namen A (Granulobacter) saccharobuiyricum. %\\ A. {G-) p^ct^novorum, terwijl uit de ruwe butjlakkoholgistingen twee soorten werden geïsoleerd, waarvan de ééne door sterke slijmvorming groote droppelvormige kolonies voortbrengt en eveneens reeds vroeger beschreven is als A. {Gr.) butylicum (Archives Néerl. Ie Sér. T. 29, Pag. 2), terwijl de andere, die geen slijm afscheidt, nog niet nader onderzocht is. De kolonies van al deze soorten kleuren zich met jodium donker- blauw, evenals zetmeel, omdat de staven en de clostridiën, waaruit zij bestaan, een groote hoeveelheid granulose bevatten. De boterzuur- en bufyl-gistingen langs andere wegen xerkregen dan de bovengenoemde, zijn nog niet onderzocht. Daar ook de anaërobe maagsarcine, Sarcina ventriculi, zich bijzonder goed op moutextrakt agar bij 30 a 37° C. ontwikkelt (Verslagen 28 April 1911, Pag. 1412), laat ook deze soort zich juist op dezelfde wijze isoleeren als de reeds genoemde. Wat de echte, anaërobe, sporen vormende bakteriën dei' eiwitrot- ting betreft, kan de fJic/^ou-kultuur juist zoo ingericht worden als bij de beschreven proef, maar voor de kultuui- der 'anaëroben zelve in is het beter daarbij gebruik te maken van vleesch-bonillon- 1097 agai’ met 0.5 a i "/o keukenzout, al of niet met toevoeging van 2 glukose. Ook in dit geval geeft voeding met koollivdraten bij sommige soorten aanleiding tot granulosevorming, bij andere niet. Als verder voorbeeld van een door de 0/(//«//Mnet bode geïsoleerde anaërobe noem ik nog Bacillus acidi urici (Verslagen 23 April 1909 Pag. 990), waardoor urinezuur vergist wordt tot koolzuur, ammonium- acetaat en ammonium-carbonaat. Ook deze sooil ontwikkelt zi(‘h het beste op vleéschbouillon-agarplaten bij 30 a 35° O. Voor eerstbeginnenden moet nog opgemerkt woi'den, dat op de kultuurplaat Ka ook de faeultatief-anaëroben, zooals Bacteriurn aërogenes en B. coli zeer goed tot ontwidkeling komen, waarvan men zich overtuigt door alle kolonies Ak op aërobe kultuurplaten af te strijken, waarop alleen de anaëroben niet groeien. Wiskunde. - De Heer Bhouwer biedt een mededeeling aan van den Heer Prof. .1. Wolff: ,,Over de quasi-wiiforme converqentie!' (Mede aangeboden door den Heer L C. Kluyver). HOOFDSTUK 1. Wij besclionwen in een interval a A', zoodanig dat men voor iedere x van E een tusschen i\ en N' gelegen index Ux kan bepalen, waarvoor \f{x) — A',, (,'c) is. Wij kiezen een willekeurig punt x van het interval. Wegens de convergentie der reeks kan men een getal N vinden zoodat, als £ een willekeurig positief getal is : /(.i;) — DO , < 4- voor n'y N . . . . (1) b Mem. R. Acc. Bologna 1899. Borf.l, Lecons' sur les Fnnctinns de variables réelles. 1 ( )Hy Voor iedere n lusselieii N eii liet acaii \e,N loegevoegde getal N' kan men nu een interval (a- — ö, a- + d) bepalen, zoodat voor ieder punt § daarbinnen de ongelijkheid [ jV, benevens een puntverzameling B{e,N), behoorende tot de eerste categorie van Baire, zoodat men' voor iedere x van het interved, die niet iot B {s, N) behoort, een tusschen N en N' gelegen index Ux kan bepalen, waar- voor f {x) — Sn \x) 8 is.” Om dit in te zien, nemen we voor- loopig een vaste A^en een afnemende rij positieve getallen ..., I met nul tot limiet. Bij sk mogen jV'{ek, JSl) en B {ejc, JSI) de genoemde beteekenis hebben. Daar B{€jc,EF) bestaat uit een aftelbare verzame- ling van nergens dichte puntverzamelingen, geldt dit eveneens voor de verzameling B (s,, N) -f- B (p,, xV) -^ . . . . = A {N), zoodat B (iV) ook tot de eerste categorie van Baire behoort. Kiezen we nu een toenemende rij getallen N iV, . . . , met oneindig tot limiet, en stellen we B (Pj, ISfi) -f- B (p^, Ni) d\- . . . = B {Ni), dan behoort ook de verzameling 7?(A,) -j- . . . = fi tot die categorie, zoodat 71 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. 1918 19. I 100 haar complementaire verzameling C{B) overal dicht is. GeefiiU6,.V willekeurig. Zij e'^ek en N Ni. Alle punten van C{B) liggen buiten B{fk, zoodat voor ieder punt van C{B) tusschen N^i en N' {Bk, een index bepaald kan worden tix, waarvoor I < f is. Hiermede is het bewijs geleverd, daar C{B) overal dicht is, zoo- 1 dat de stelling van § 1 kan worden toegepast. j 4. Ook krijgen we een voldoende voorwaarde als we in het j voorafgaande in plaats van B {b, ]N) zetten : een verzameling van de maat nul. Want een verzameling die uit een aftelbaar aantal van zulke verzamelingen bestaat, heeft de maat nul, zoodat haar complementaire verzameling overal dicht is, waardoor bovenstaande redeneering weer kan worden toegepast. Hieruit volgt nog in ’t bijzonder ; een convergente reeks van continue functies stelt een continue functie voor als de convergentie „bijna overal” quasi-uniform is. I HOOFDSTUK II. I j 5. In § I hebben we gebruik gemaakt van de converge^itie der I reeks in het willekeurig gekozen punt x, ook als dit punt niet tot de dichte verzameling Ë behoort. Het is de vraag of het noodig is, de convergentie der reeks in het geheele interval te onderstellen. ! Convergeert een reeks van functies, die continu zijn in het interval j a l> A- • • • • en y = I . Kies op de y-SLS een aftelbare puntverzameling /\, F^, P^, ■ ■ ■ die in het interval (0,1) overal dicht is. De functie y = S,, (.r) moge door de volgende kromme worden vooi'gesteld : van rechts naar links eerst de zigzaglijn A^ A^ B^ . . . . A„ Bn, daarna het stnk van tot het snijpunt C,, met de lijn y = y^, daarna de lijn Cn P„. Blijkbaar i§ aS,, (.rj continu in het interval 0 N zijn en die dat interval in Ic 1 stukken verdeelen, allen <( s. Zij nu x een willekeurige tnsschen 0 en 1 gelegen waarde. Valt f{x) met één der k waarden S„.{x) samen, dan is ƒ (.r) - .s;,, (.r) I = 0 < e. Valt f{x) met geen van die waarden samen, dan is Sn.[x) = y^ , 1 = 1,2 k. Daar 0< /’(.'r):^l, voldoet één van die /r indices aan f{x) — Sn. (.r) < f. Hiermede is de quasi-uniforrniteit der convergentie voor het interval 0 .r < 1 aangetoond. f{x) neemt echter geen grens\vaarde in 0 aan : zij schommelt daar tnsschen nul en 1. HOOFDSTUK lil. 7. Laten /i{x), f{x), . . . continue functies zijn in het interval a< xN bestaat waar- voor Sn.{.a) tusschen P,- en P,-(_i ligt. Zoo vinden we r indices. Daar de functies '■) . . .AS'»;_^(a’) continu zijn in a, kan men een getal d, vinden zoodanig dat voor ,r — tusschen P,- en Pj-fi ligt, /=:0, l,...n — 1. Ook kan men een getal d, vinden zoodat voor x — a onder driephasendrnk oplost door q aan, de partiaaldrukkingen van water en zwavelwaterstof door P H.iO en Ph^S^ is « r PiEO n — r 1 — s FH^^s Deze vergelijkingen laten zi(*h transformeeren in » - Ph^S 1 — a y Ph^o (9a en b) s = q Ph^o Pms of bij benadering in : s = 71 q r = i\ Ph^O PfT.,S Ph,s Ph.,0 Ph,s (10a en b) Dat deze benadering toelaatbaar is, zal uit de gegevens blijkei (Zie de tabellen in de volgende verhandeling). Uit lOr/ en b volgt nu ; Ph^o 1 4- r s = ( 1 — n y) 1 -f Ph^s. (ii: Past men de vergelijking van Ci.apkyron o|) het bedoelde drie- phasenevenwieht toe, dan vindt men; l' dP\ QsLtG _ Qa 4- r Qu - sQ^ ydTjsuG EVsj^,g (l+r— PsL,C (12) h Landolt-Börnstein-Roth. Tabellen. *) Thomsen. Thermochem. Unters. I I 12 waacbi) wedtr de volumina van vast en vloeistof ten opzichte van gas verwaarloosd zijn en de wet van Boylk op de gasphase is toegepast. Transformatie van (12) levert ten slotte de gezochte warmte Q, Daar nu (^y (verdampingswarmfe van één mol water) en Qo (oploswarmte van één mol H^S) bekend zijn, r en s uit 10a en h (zie ook (li)) te berekenen zijn, indien men voor n een willekeurig gekozen waarde substitueert, zoo kan, indien de temperaturen dicht hij elkaar gekozen worden, zoodat het differentiaalquotient in (13) door het differentiequotient vervangen kan worden, berekend worden '). Zóó vindt men telkens uit twee waarnemingen bij weinig verschillende temperaturen een waarde van Q, voor dat kleine temperatuurtraject. Deze waarde Q, stelt dus de transtormatiewarmte op de d riep hasen lijn SL^G voor, gecorrigeerd voor het oplossings- en verdam pingsverschijnsel bij de omzetting. Ze is de warmte, be- hoorende bij de omzetting (6) De warmte Qj (en de energie verandering E^) zullen weder tempe- ratunrfuncties zijn. De algebraïsche som der soortelijke warmten is hier grooter dan op de drie|)haseidijn SSbG (§ 5); ze mag niet ver- waarloosd wordeii. De warmte bij transformatie op SL^G in de onmiddellijke nabijheid van het qnadrupelpnnt moet dus door extra- polatie worden gevonden. De daarvoor noodige correctie is echter klein genoeg om lineaire extrapolatie toe Ie laten, m. a. w. de soortelijke warmten als onafhankelijk van de temperatuur te be- schouwen. De waarde van n volgt nu eenvoudig uit de vergelijkingen (5) en (6) 0|» een wijze analoog aan die in § 3. ( Wordt vervolgd). b Daar r en s zelf correcties voorstellen, geeft een verandering van n een wijziging in de toch reeds kleine correctie Of men voor n 5 of 6 kiest, geeft in het resultaat van de berekeningen slechts geringe variatie. Wij komen hierop later terug. Scheikunde. — De Heer Böeseken biedt eene mededeel ing aan van den Heer H. P. Barendrecht : ,,Urease en de stralings- theorie van enzym-werking (Mede aangeboden door den Heer Jaeger). J. Sints de ontdekking door Takeuchi van urease in de Soja- boon is een bij uitstek gunstig inatei'iaal van de studie vau enZijuu- werking tot onze beschikking geweest. Her enzym zoo wel als het zuivere substraat, ureum, zijn in dit ge\'al gemakkelijk vei-krijgbaar in onbeperkte hoeveelheid. De bepaling van de i'eactie-producten kan zonder moeite en nauwkeurig uitgevoerd worden, een belang- rijke voorwaarde voor succes in pionierswerk, waarbij tallooze ana- lyses onvermijdelijk zijn. Deze kans om het groote raadsel van enzym-werking althans tot zekere hoogte op te lossen heeft dan ook de laatste jaren vele onderzoekers aangetrokken. Marshall (J. Biol. Chem. XVll, p. 35J, 1914) vond, dat ook in dit geval de werking evenredig is met de concentratie van het enzym. De Armstrong’s, Horton en Benjamin (Proc. Roy. Soc. 1912 en 1913) maakten uitvoerige empirische studies, waaruit zij het besluit trokken, dat ammonia de werking vertraagt, maar koolzuur haar versnelt, een verwonderlijk resultaat, dat ook anderen vaststellen gevonden te hebben. Zooals echter hier verder zal blijken, leidt enkel chemische empirie in deze tot verkeerde gevolgtrekkingen. Een eerste poging tot theoretische zoowel als tot experimenteele studie van de werking van urease werd gedaan door Donald van Slukk en zijn medewerkers (J. Biol. Chem. XIX, p. 141, 1914). Dit werk kan niet voorbijgegaan worden zonder ernstige kritiek. De theorie van deze schrijvers en al hun verdere werk zijn voor- namelijk gegrond op drie experimenten. In experiment 1 en 2 werden ,,the effect of concentration of urea, enzytne concentration being constant” en ,,the effect of decreasing urea concentration on reaction, as latter approaches completion” onderzocht. Daar in deze experi- menten de aanvankelijke veranderingen in de concentratie der water- stofionen buiten beschouwing gelaten was, niettegenstaande de schrij- vers verderop zelf zijn gewaar geworden, dat de activiteit van urease 1114 iii liooge male van de waterstofionen-coneentratie afhangt, is liet niet Ie verwonderen, dat zij de ,,formulation of the nature and couise of the reaction” trachtten te grondvesten speciaal op experi- ment 3, waarin pliosphaten als buffer werkten tegen groote ver- anderingen van de ware reactie. Daar de cijfers, als door hen ge- publiceerd op [1. 146 onvereenigbaar waren met de experimenten, die verderop in deze studie zullen worden meegedeeld, heeft schrijver dezes de resultaten van van Sluke op nieuw berekend volgens van Slükb’s eigen theorie. De merkwaardige uitkomst hiervan is, dat van Slijke’s eigen fun- damenteel experiment in ’t geheel niet overeenkomt met zijn eigen theorie. Zooals men hieronder ziet, is de c verre van konstant. TABEL III van van Sluke. E = 0,\ t = 60. Concentration a. 0,01N NHgcalc.i X. 0,01 N NHg 0,4343 c = d a 0.4343 c d a \ dEt—x a—x |op nieuw berekend urea. for complete decomp.of urea. formed. \dEt-x a—x tvolgensv.SuJKE. per cent c.c. 0.0375 12.5 5.8 0.055 0.056 0.075 25.- 10.4 0.058 0.059 0.15 50.— 15.5 0.053 0.054 0.3 100.- 21.2 0.052 0.054 0.6 200.— 24.8 0.051 0.048 1 2 400.- 27.— 0.052 0.039 2.4 800.— 28.5 0.052 0.032 2. De nlgemeene vergelijking van urease-werking . De onderzoekingen, hier gepubliceerd, waren weder gegrond op schrijver’s hypothese, dat een enzym werkt door straling en dat een enzymdeellje hetzelfde molekuul of dezelfde atoomgroep in een actieven toestand bevat, dat door dit enzym wordt in vrijheid gesteld of in ’t algemeen beïnvloed wordt. In zijn eerste verhandelingen over enzymwerking (Proc. K. Akad. Wetensch. Amsterdam 1904 en Zeitschr. physikal. Chem. XL p. 456, 1904j heeft de schi'ij ver reeds het vermoeden geopperd, dat de straling, waardoor enzymen hun werking uitoefenen, Ie danken is aan de electronen, die deel uit- maken van de atomen. De huidige ontwikkeling van de electronen- 1 1 I 5 theorie van materie Iieeft geopenl»aar(l, dat, daar elk atoom een complex is van positieve en negatieve eleetrisolie eenheden, elke chemische werking inderdaad een electrisch verschijnsel is. In ’t algemeen kan geconstateei'd worden, dat de electi-onen in een atoom, die zich om de positieve kern hewegen, eenig effect l».v. van electi'omagnetische inductie znllen hebben op andere atomen in hun nabijheid. Indien al de atomen, die een moleknnl samenstellen, dit nitge- straalde effect van een gelijk moleknnl terzelfder tijd in de vereischte phase ontvangen, kan het reactievermogen van het moleknnl als geheel verwacht worden verandei'd te zijn. Ken kleine toename van de trilling \'an het moleknnl zal zijn vermogen om in veii)indingen te treden kunnen doen toenemen (dit punt zal hier later behandeld worden), een groote vermeerdering zal het nit een verbinding met andere moleknlen losi'ukken. De schrijver wil hier echter luet te veel nadruk leggen oj) de bizonderheden der hypothese. De talrijke experimenteele feiten, voor een groot deel pas met behul|) van deze leidende hypothese ge- vonden en alle onder één gezichtspunt gel)racht door ei’ de nood- zakelijke gevolgti-ekkingen nit te maken, zullen haai- nuttigheid bewijzen. De straling dus, door middel van welke nrease inwerkt op ureum, gaat uit vau het enzjmi-molekuul en kan zijn hydrolyseerend effect uitoefenen tot een zekeren afstand, waarschijnlijk microscopisch klein. Wanneer deze urease-straling een ureum-molekunl treft, wordt zij geabsorbeerd, juist zooals b.v. de siiecifieke straling van eeu Na-atoom speciaal door een Na-atoom geabsorbeerd wordt. De hoeveelheid ureum, door een enzy m-molekunl in een tijds- eenheid geliydrolyseerd zou dus onafhankelijk zijn van de ureum- concentratie, indien de andere bestanddeelen van de oplossing |)raktisch geen absorptie-vermogen voor die straling hadden. Alleen bij een zeer geringe concentratie van ureum, zou de straling verwacht mogen worden, althans gedeeltelijk, zoo verzwakt te zijn door verspreiding vóór het bereiken van een ureum-molekunl, dar zij het vermogen te hydrolyseeren verloren had. In zeer verdunde ureum-oplossingen zou dus constantheid der werking van een gegeven hoeveelheid urease niet verwacht moeten worden ; in deze omstandigheden zou het effect kleiner kunnen zijn. Tot zoover is de theorie dezelfde als vroeger voor de suiker- enzymen ontworpen. Een nieuw punt van overheerschend belang, ten minste in het geval van urease, is dit, dat de waterstofionen behalve ureum hel 72 Verslagen der Afdeeling Natnork. Dl. XXVfl. A". 1918/19. 1 1 h) eeiiige bestanddeel in de oplossing bleken te zijn, dat deze straling absorbeei-t. De mathematische tbrmuleering van deze theorie is zeer eenvoudig en geeft onmiddelijk de volgende differentiaalvergelijking voor de reactie-snelheid bij constante temperatuur en constante H-ionen con- centratie : iV — d,x = m dt ....... (1) X + nc In deze vergelijking is x de concentratie van de ureum (grammen })er 100 cc.), c de concentratie van de H-ionen (ook in grammen per 100 cc.) en n de absorptie-coëfficient van de H-ionen, dat is: één gram H-ionen absorbeert n maal zooveel straling als één gram urenm. De snelheidsconstante in is voor een gegeven temperatuur en H-ionen concentratie alleen evenredig aan de concentratie van het enzym, mits zoowel temperatuur als H-ionen concentratie werkelijk constant gehouden worden. Wanneer wij de aanvangsconcentratie van de ureum a noemen, a — X iiitgedrukt evenals .r en c in grammen per 100 cc. en = y a stellen, krijgen wij na substitutie in (1) dy = a (1 — y) f nc dt • (2) Na integratie en overgang op decimale logarithmen wordt de algemeene vergelijking voor de reactie-snelheid van urease bij con- stante temperatuur en constante concentratie \'an H-ionen : 0,434 log \ — (3) 3. Bepalmg van de comtante //. Voor de bepaling dei- belangrijke constante n was het noodig niet alleen nauwkeurig de H-ionen concentratie c te meten, maar ook te zorgen, dat c en daardoor ook m (zooals verder zal blijken) constant bleven. Nu is de hydrolyse van ureum tot ammonium- carbonaat in zoovere een moeilijk geval voor enzym-studie, dat hier door de enzymwerking zelf een duidelijk alkalische stof gevormd wordt uit een neutraal substraat. Deze alkalivorming is zoo aan- zienlijk, dat zelfs met een buffer van S"/» phosphaat slechts 0,01 7o. of ten hoogste 0,027o ureumoplossing gebruikt kan worden, als men iets, wat op constante ptj lijkt, wil bereiken. Een studie van de urease werking zonder de toevoeging van een 1 117 krachtigen buffer voor liet coiistaiit lioudeti der ware reaetie, is ketinelijk even nulteloos als experiineuleereii zonder therinoslaat in een kamer van sterk veranderlijke temperatuur. Bij het vaststellen van de beste voorwaarden voor de beiialing dezer constante n, leidden twee overwegingen de keus van de pii van het reguleerende phosphaat-mengsel. Daar tn reeds was gebleken een functie te zijn van pn met een duidelijk maximum, zou de pn van dit maximum het voordeel geven, dat hier een geringe verandering van pu een kleiner verschil in m zou meebrengen dan elders. Ten tweede moest, om den invloed der onvermijdelijke experimen- nc teele fouten te beperken, de coëfficiënt — niet veel grooter of 0,434 ^ kleiner zijn dan a. Immers, indien de coëfficiënt van loy ^ — sterk overweegt, verloopt de reactie praktisch als de gewone logarithmische lijn van de monomoleculaire reacties. Daarentegen zal, als n veel grooter is, een nagenoeg rechte lijn te voorschijn komen. Daarom werd een mengsel van Na^HPO., 2 aq en KHjPO^ gebruikt in zulke verhouding, dat de enzymwerking verliep in een 8 “/o phosphaatoplossing van ongeveer pn = 7,5. De materialen waren de volgende : Gewone gele Soja-boonen worden fijngemalen onder vermijding van verwarming door de wrijving; het |)oeder bewaard in een gesloten stopflesch in het donker. De KH^PO^ en Na, HP04 2aq waren de zuivere stoffen van Kahlbaum, gemerkt ,,zu Enzymstudien nach Sörensen”. De ureum, van Kahlbaum, werd nog eens omgekristalliseerd uit alcohol. Alle experimenten van dit onderzoek werden uitgevoer-d bij 27° C. Deze temperatuur is juist hoog genoeg om zonder moeite gedurende bijna het geheele jaar met een waterbad te werken en aan de andere zijde laag genoeg om de schadelijke werking van hooge temperatuur op het enzym te voorkomen, althans binnen redelijke grenzen van tijd en ware reactie. 7,28 gr. Na,HPO, 2aq en 2,32 gr. KH,PO, werden opgelost in een maatkolf met stop tot 100 cc. In deze oplossing werd 0.4 gram Soja-rneel gebracht, de tlesch doorgeschud en gedurende een uur in het bad van 27° gelaten. Na toevoeging van 0.4 gr. kiezelgur (te voren goed gewasschen en gedroogd) werd het extract snel en volmaakt helder afgefiltreerd door een gewoon vouwfilter. Terzelfder tijd was een oplossing bereid van 14.4 gr. Na,HPO, 2 aq. in 150 cc. water. Hieraan werden nu 72* J118 toegevoegd 75 cc. van liet lieldere Soja extract, waardoor verkregen werd een verdund, steeds nog volmaakt helder, extract, dat aan- geduid zal worden door de letter E. Tien l eageerbnizen van Jena-glas, ongeveer 20 cm. lang ea 2.3 cm. wijd, waren tevoren in het bad geplaatst. Deze buizen waren fals in VAN Slijke's exfierimenten) gesloten door caoutchouc stoppen met twee doorboringen. Door de eene was een glasbiiis gestoken, ongeveer 30 cm. lang en 4 a 5 mm. uitwendige diameter, van onderen eindigende in een geperforeerd bolletje. De tweede doorboring bevatte een pipetvormig buisje, bestemd het overgaan van spatten met den luchtstroom te \oorkomen. Elk van deze reageerbuizen kreeg 10 cc. van het extract E. Tegelijk met deze buizen werd een kolf met 0.150 gram ureum, opgelost in 250 cc. water, in het waterbad geplaatst. Nadat temperatnnr-evenwicht bereikt was, werd in elke reageer- buis 2 cc. ureuni-oplossing gebracht met een nauwkeurige pipet. Deze pipet was evenals alle andere hier gebruikte gecalibreerd op nitblazen één minnnt nadat de vloeistof was nitgeloopen. Zoo Avoi'dt de grootste nauwkeurigheid bereikt, mits van te voren gereinigd is met zwavelzuur en bichromaat. Een oogenblik roeren door kool- zuurvidje lucht door de lange buis te blazen, verzekert volmaakte menging. Beide buizen wei-den dan gesloten door caoutchouc slang- en klemkranen. Het oogenblik, dat 2 cc. uit de pipet geloopen waren en de inbond van de reageerbuis voorloopig gemengd was door schudden, werd als beginpunt der enzymwerking genomen ; dat was op enkele secunden na nauwkeurig. In een houten blok met twee rijen gaten (Eig. I. werd het ver- eischte aantal dikwandige glasbuizen gereed gezet, elk voorzien vari een nauwkeurig afgemeten hoeveelheid van tnsschen 5 en 12 cc. zwavelzuur van Vso ^ en met water gevuld tot circa 7 cm. hoogte. Deze buizen waren ook gesloten door caoutchouc stoppen, waardoor een lange buis met geperforeerden bol en een kort buisje gestoken waren. Na atloo[) van den vastgestelden tijd (juister gezegd minnnt daarvoor, daar dit de tijd was, noodig voor de volgende bewerkingen totdat de reactie als gestopt beschouwd kon worden) werd de reageer- buis uit de thermostaat genomen en in het houten blok geplaatst. De caoutchoncbnis B werd verbonden met de absorptiebuis, de klemki-aan losgemaakt, de afsluiting van buis A verwijderd en ver- vangen door een caoutchouc buisje, irr het open einde waarvan een druppel octjlalcohol werd gebracht om het schuimen tegen te gaan. 1119 On middel lijk daarop werd do punt van een pipet van 25 ec. ge\’nld met verzadigde kalinm-carbonaat in dit buisje gestoken en werd door zijn inlioud snel uit te blazen en nog een oogenblik lucht door te blazen, de kalium-carbonaat-oplossing siiel gemengd met de vloeistof' in de reactiebuis; de enzym werking werd zoo oogenblikkelijk gestopt. De buis A werd dan verbonden met de luchtleiding en de ammonia overgeblazen door een krachtigen luchtstroom, gewasschen door zwavel- zuur. Twee uur blazen bleek ruim voldoende voor de gebruikte hoeveelheden vloeistof. Grootere volumina zouden moeilijk te hanteeren geweest zijn. Om toch voldoende nauwkeurigheid te bereiken bij de bepaling van 1120 deze zeer geringe hoeveellieden NHj waren enkelvoudige metingen niet voldoende. Op twee opeenvolgende dagen worden daarom identieke experimenten uitgevoerd in duplo zonder de zwavelznnrhuizen te vervangen. Op deze wijze kreeg elke absorptie-buis vier maal de NHg van één reageerbuis. Eiken dag werd het Soja-exti-act verseh bereid als boven beschreven. De noodzakelijke correc.tie voor de sporen NH,, die uit het Soja- meel mochten zijn ontwikkeld, of uit de gebruikte chemicaliën, werd bepaald door eiken dag 3 keer 10, cc. extract E in 3 leege reageer- buizen te brengen en na toevoeging van 25 cc. kalium-caj’bonaat de NHj op de gewone wijze over te blazen in buizen gevuld met 5 cc. zwavelzuur '/j, N en water. Elk van deze absorptiebuizen (: ontving dus 6 maal het bedrag der correctie. De bepaling van pu werd uitgevoerd in den luchtthermostaat bij i 27°, als beschi-even zal worden in een andere mededeeling. j In dit geval werd gevonden voor 10 cc. extract E, gemengd met j /ƒ hier dus als 7,52 aangenomen. De titratie werd uitgevoerd direct in de wijde absorptie-buis met VjoNNaOH, kort te voreji bereid met koolzuur\rij gedistilleei’d j water en Vio ^ Na OH oplossing, vrij van koolzuur bereid en bewaard. I Een zeer verdunde oplossing van alizarin sulphonzure natron bleek 1 ook hier de beste indicator voor NH, bepalingen. j 17-18 Jan. 1917. TABEL 1. (Fig. 2 A) 0.01 o/q ureum. pn = 7.52 t minuten. -4^ H2SO4 • M NaOH j NH3 NH, gecorr. J' 0,0327 log ~ -t- 0,0 Ir m- t 20 10 8.1 1.9 1.78 0.223 0.000290 30 10 7.3 2.7 2.58 0.323 0.000292 50 10 6.2 3.8 3.68 0.46 0.000267 70 10 4.8 5.2 5.08 0.635 0.000295 90 10 4.0 6.0 5.88 0.735 0.000291 110 12 5.37 6.63 6.51 0.814 0.000291 1121 Zooais blijk! uil Fig. 2 .4 valt liet punt voor t ■= 50 buiten de kromme, duidelijk het gevolg van een te groote experitnenteele fout. Door verbinding van de paren van gegevens voor punten, die voldoende ver van elkaar op deze kromme liggen, geeft de verge- 1 / 71C 1 ^ 71C liiking m = —\ loq -f 0,01i/ de tabel 2 voor . ^ ^ t V0,434 1—?/ J 0,434 De concentratie van de waterstof-ionen in deze vergelijking moet worden uitgedrukt in dezelfde eenheden als die van de ureum, dus in grammen per 100 cc. Daar ^>//=7.52 wil zeggen een concen- IJ 22 TABEL 2. t nc 0.434 20 en 90 0.0314 20 en 110 0.0318 30 en 90 0.0335 30 en 110 0.0334 Gemiddeld 0.0327 ti-atie van H-ioiieii van 10“"“^ X 3,02 in de gewone eenheid, grain- inoleknlen [)er liter, hebben wij hier 10-*^ X 0,302 gr. H in 100 cc. Hieruit zon volgen n = 0,047 X 10^ Oin duidelijk te maken, dat in deze metingen gi’oote nauAvkenrig- lieid noodig, doch in het resnltaat nauwelijks te verwachten is en dat de afwijkingen binnen de grenzen van de onvermijdelijke waar- nc nemingsfonten liggen, moge b.v. ^ berekend worden in de onder- stelling dat voor ^ = 20 de titratie 8.05 gegeven had in plaats van 8.1. Uit 0,434 0,5768 -1- 0,00735 J 90 V0,434 0,1128 I 0,00229 zon dan volgen = 0,0426. ® 0,434 Overwegende, dat de twee kleine hoeveelheden Soja-meel, afge- wogen op twee opeen\'olgende dagen toch wel niet volmaakt gelijk’ geweest konden zijn, voerde de schrijver een nieuw stel experimenten uit, waarbij alleen de twee serieën van denzelfden dag gecombineerd werden : 31 Jan. 1917. TABEL 3. (Fig. 2 B) t minuten. HjSOj NaOH 1 M NH, NH, gecorr. y 0,0302 log + 0,0 Ij^ m ~ t 20 5 4.03 0.97 0.94 0.235 0.000293 50 5 2.92 2.08 2.05 0.513 0.000291 70 5 2.35 2.65 2.62 0.655 0.000293 90 5 1.95 3.05 3.02 0.755 0.000289 110 5 1.62 3.38 3.35 0.838 0.000293 130 5 1.40 3.60 3.57 0.892 0.000293 1123 Uit deze tabel 3 werd als boven berekend : TABEL 4. t nc 0.434 20 en 50 0.0343 20 en 110 0.0301 20 en 130 0.0302 50 en 110 , 0.0282 50 en 130 0.0287 70 en 110 0 0298 70 en 130 0.0300 Gemiddeld 0.0302 De w'aai’neming voor 90 ininuten bevat, zooals blijkt uit de //t-kolom van tabel 3 een betrekkelijk groote fout. Daarom zijn de cijfers voor 90 minuten uit tabel 4 weggelaten. Daar van de vele experimenten dezer soort, die de schrijver heeft uitgevoerd, deze de meest geslaagde was, wat regelmatigheid betreft, en, in aanmerking van -de kleinheid der cijfers, die door titratie bepaald moesten worden, ook een zeer bevredigend resultaat gegeven n had, werd ten slotte de waarde van vastgesteld te zijn 0,0302. Hieruit volgt n = 0,043 X welke waarde overal in dit onderzoek gebruikt is en bevestigd werd door de belangrijke quantitatief formuleerbare betrekkingen, die met behulp daarvan in volgende deelen van deze studie zullen ontwik- keld worden. 4. Experimenteele bevestiging van de algenieene vergelijking van urease-werking . Activiteit van het enzgm afhankelijk van de ivare reactie van de oplossing. Een ruime experimenteele bevestiging zal nu noodig wezen en gegeven worden om te toonen, dat de formule nc loq 0,434 • 1 ay = n,t ^-y 1124 werkelijk de algerneene vergelijking van nrease-werking is, bij con- stante temperatuur en constante H-ionen concentratie. Indien klein 0,434 is, vergeleken met a, is het duidelijk, dat de omzettingslijn praktisch een rechte lijn moet worden. In ’t andere ar geval, in meer zure oplossingen, waar ^ ''66' grooter is dan a (als de ureum-concentratie klein is), zal de logarithmische lijn van de monomoleculaire reactie te voorschijn komen. Door de verhouding van NajHPO^ 2 aq en KHjPO^ in de 8 V„ phosphaatmengsels te wijzigen kon een groot gebied van constante H-ionen concentraties verwezenlijkt worden. Om de constantheid van de pn gedurende den geheelen loop der omzetting te verzekeren, was het noodig steeds te werken met 0,02 7o> of beter nog met 0,01" , ureum-oplossingen. Daar 12 c.c. van 0,01 slechts 1,2 ra.gr. ureum bevatten, wil dit zeggen, dat in al deze experimenten de graad van hydroljse van 1,2 mgr. ureum bepaald moest worden door enkelvoudige metingen, een ernstig bezwaar, dat echter niet ontgaan kon worden met het oog op het overheerschende belang van constante H-ionen concentratie. Dezelfde hooge graad van nauwkeurigheid, als volstrekt nood- zakelijk was bij de bepaling der constante ??, kon in die enkelvou- dige bepalingen niet verwacht worden en was, gelukkig, hier ook niet noodig. Een tweede doel van deze experimenten was, in te bepalen in de oplossingen van verschillenden zuurgraad, wanneer gelijke of verge- lijkbare hoeveelheden enzym aanwezig waren of, met andere woor- den, m als functie van pH te onderzoeken. Om vergelijkbare bedragen enzym in de oplossingen te krijgen bleek fle volgende eenvoudige methode afdoende. Een ongeveer 500 gram gemalen Soja-boonen werden voor dit doel bewaard in een stopflesch, afgesloten van het licht in een kast en nu en / 1 , 1 m- t \k— f 30 9.3 0.6 0.15 0.00103 0.0023 60 8.8 1.1 0.275 0.00101 0.0023 90 8.4 1.5 0.375 0.00098 0.0023 125 7.95 1.95 0.488 0.00100 0.0023 150 j 7.6 2.3 0.575 0.00105 0.0025 180 7.4 2.5 0.625 0.00101 0.0024 215 7.1 2.8 0.70 0.00102 0.0024 240 6.95 2.95 0.738 0.00102 0.0024 270 6.75 3.15 0.788 0.00104 0.0025 300 6.6 3.3 0.825 0.00105 0.0025 Gemiddeld 0. 00102 i X 0.00102 = 0.00034. J 127 TABEL 1. ^ c • • S 7-28 gr. Na2HP04 2 aq. 0.75gr. Soja m 100 C.C.J 2.32 gr. KhV04 50 c.c. filtraat gemengd met 100 c.c. water + \ ^ f u.yo gr. ivn2rU4. pH = 1.2l t minuten. c.c. NaOH^^N c.c.NH3^3N gecorrigeerd. y 0,061 1 +0,02y m- ^ k- ^ 20 9.05 0.95 ' 0.238 0.000611 0.0060 40 8.3 1.7 0.425 0.00058 0.0060 60 7.7 2.3 0.575 0.00057 0.0062 80 7.22 2.78 0.695 0.00057 0.0064 100 6.85 3.15 0.788 i 0.00057 0.0067 120 6.55 3.45 0.86 0.00058 0.0071 150 6.35 3.65 0.91 ! 0.00055 0.0070 180 6.25 3.75 0.94 0.00052 0.0068 210 6.1 3.9 0.975 0.00056 0.0076 Gemiddeld 0.00057 1- X 0.00057 :=: 0.00076. TABEL 8. Twee gelijke experimenten op opeenvolgende dagen, met telkens versch bereide oplossingen. r, C • • mn \ gr. Na,HP04 2 aq. 0.75 gr. Soja ,n 100 c.c. j ^ 3^ ^ 50 c.c. filtraat gemengd met 100 c.c. water -j- 9.6 gr. Na2HP04 2 aq. /)// = 7.52 t minuten. c.c. NaOH C.C. NH.In gecorrigeerd (gemiddeld). y 0,0302 /og'j-* +0,02y m- t t 20 8^ "^Tso 1 .45 0.36 0.00065 0.0097 40 7.4 7.4 2.575 0.64 0.00065 0.0111 60 6.75 6.7 3.25 0.81 0.00063 0.0120 80 6.3 6.25 3.7 0.925 0.00066 0.0141 100 6.15 6.1 3.85 0.96 0.00061 0.0140 Gemiddeld 0.00064 X 0.00064 = 0.00085 1128 TABEL 9. 2 aq. . . C ■ • .nn ^ ■ï'28 gr. NaiHPOj 0.5 gr. Soja m 100 ex. | g gg KH2PO4 50 c.c. filtraat gemengd met 150 c.c. water + 14.4 gr. Na2HP04 2 aq. pH= 7.64 t minuten. c.c.NaOH 50 c.c.NH3iN gecorrigeerd. y 0,0227 /o5'y-^ + 0,02>' m- ^ t 20 Vt 9.2 0.8 0.20 0.00030 0.0048 40 8.4 1.6 i 0.40 0.00032 0.0055 60 7.72 2.28 1 0.57 0.00033 0.0061 80 7.3 2.7 ! 0.675 0.00031 0.0061 100 6.8 3.2 0.80 0.00032 0.0070 120 6.5 3.5 ’ 0.875 ! 0.00032 0.0075 150 6.2 3.8 0.95 0.00032 0.0087 Gemiddeld 0.00032 2 X 7 X 0.00032 = 0.00032. TABEL 10. n c • • ^ '7-28 gr. NaoHP04 2 aq. 0.5 gr. Soja m 100 c.c. j ^ 50 c c. filtraat gemengd met 200 c.c. water -|- 19.2 gr. Na2HP04 2 aq. pH = 7.75 t minuten. c.c. NaOH^N cc.nh,1n y Q,miog^^ + 0,Q2y . gecorrigeerd. m- ^ , k- , 20 9.27 0.73 0.18 0.00026 1 0.0043 40 8.65 1.35 0.34 0.00025 0.0045 60 8.1 1.9 0.475 0.00024 0.0047 80 7.7 2.3 0.575 0.00023 0.0047 100 7.2 2.8 0.70 0.00025 0.0062 120 6.85 3.15 0.79 0.00023 0.0056 150 6.45 3.55 0.89 0.00023 0.0064 180 6.2 3.8 0.95 0.00023 0.0072 210 6.1 3.9 0.975 0.00023 0.0076 Gemiddeld 0.00024 1129 TABEL 11. Evenzoo als vorig experiment. pH=1.75 t minuten. C.C. NaOH c.c.NH,1n y 0,176/o^j-^-+0,02j/: gecorrigeerd. m- ^ ! 20 9.3 0.7 0.175 0.00025 0.0042 40 8.57 1.43 0.358 0.00026 0.0048 60 8.12 1.88 0.47 0.00024 0.0046 80 7.65 2.35 0.588 0.00022 0.0048 100 7.2 2.80 0.70 0.00025 0.0062 120 6.9 3.1 0.775 0.00022 0.0054 150 6.4 3.6 0.90 0.00024 0 0066 180 6.15 3.85 0.963 0.00025 0.0079 216 6.05 3,95 0.988 0.00025 0.0089 Gemiddeld 0.00024 Door als eenheid van urease conceniratie te nemen 1 gram Soja op 150 c.c. gezamenlijke 9,6 phosphaat-oplossing en de gemid- delden van >n hiertoe te herleiden (als gedaan is onder aan elke label) krijgen wij voor gelijke enzjm conceniratie bij vei'schillende p£[ de volgende lijst : PH Activiteit van dezelfde hoeveelheid urease 6.13 0.00028 6.40 0.00034 7.21 0.00076 7.52 0.00085 7.64 0.00085 7.75 0.00080 ( Wordt vervolgd.) ! i I Scheikunde. — De Heer Böesbkkn biedt een raededeeling aan van j den Heer F. E. Verkadk: ,,Het (rlutakonzuur . TH. {Konden- i satie van Natrium-forniyhizijnestev met Cyaanazijnester)” . j (Mede aangeboden door den Heer Holleman). In mijn eeiste mededeeling over liet glutakonznur ') heb ik in , het kort een en ander medegedeeld over een poging ter bereiding j van dit znnr volgens een nienwe methode, nl. door kondensatie van ! Na-formylazijnester met cyaanazijnester. Deze poging leidde echter | niet lot het gewenschte resultaat; de oorzaak dezer mislukking zal | ik in het volgende trachten op te sporen. Door Thorpe en Rogerson ■) zijn derivaten van het glutakonznur,. I lievattende een /?-methylgroep en eventueel een y-alkylgroep, ver- ! kregen door kondensatie van Na-cyaanazijnester met acetylazijnester of haar /no?io-alkylderivaten. Bv. : j CN I \OH CHNa + CH EtOOC-CNa(CN)-CMe = CH-COOEt + H,() I I (di-Et-G-cvaan-/‘J-methylglutakonaat). [ COD Et COO Et ‘ . 1 In deze esters was nu door alkyleeren nog een alkylgroep op de | «-plaats in te voeren. i Bij xerzeeping met gekoncenireerd zoutzuur geven deze cyaan- I esters het alkyl-gesubstitueerde glntakonzuur in wisselende hoeveel- j heid, vaak — niet altijd — naast pyridine-derivaten (in het boven- i staande vooi'beeld 5 " 'j, d-methylg luta kon znnr naast Et-4-methyl-2.Q- , (lihydrox.ypyridine-h-karboxylitat (1) en veel ■k-meth:y1-‘l.Kdiliydroxy- • pyridine (II)): OU tc o o c - c c U Mx. c c M. K o II — c I c -o3£ II I 3to-c c-oSe (O (n) b Versl. Kon. Akad. v. Wetenscli. Amsterdam. 24. pag. 865 (1915). 2) Soc. 87. 1685 (1905). 1131 terwijl bij verliitling met metliylalkoho'isclie polascli-oplossing steeds uitsluitend een alkylgesubslitueerd dilijclroxypjridiue - bier dus de stof (I) — : ontstond '). Bo^^endien wordt, indien de ester een vrij a-water- stof atoom bevat, bij staan met gekoncentreerd zwavelzuur de pyri- dine-5-karbonzure ester — hier dus de stof (II) — gevormd ; is echter dit H-atoom door een alkylgroep vervangen, dan lieeft geen reaktie plaats. Door kondensatie van Na-cyaanazijuester met oxaalazijnester ■•') ontstond op overeenkomstige wijze de ^«-cyaanakonietzure estei--. Et OOC — OH(CN) — 'C(COOEt) = CH — DÜOEt welke bij koken met zoutzuur uitsluitend bet akonietzuur gaf en bij verhitting met melliylalkoholische potasch in * *l.l ooc coo Lt i ae — ^ — coo O, coo Ca. (5nn) lx QO C ^COO iX i I of ic ooc — 3€c c — (iio \ / I c X j c X. / \ , | J2 lx OO C COOtA. uit de stof (Vil) Als bewijs voor de konstitutie kan b.v. dienen, ; dat bij hydroijse dezer iirodukten met zoutzuur verschillende stereo- [ isomere, tegenover sal[)eterzuur en alkalisch permanganaat zeer be- j stendige, vierbasische ,d>i(/Iatakomurenl' Hj^^ ()„ ontstonden. ! Alkalische agentia veroorzaakten daarentegen depoijmerisatie : | kaliloog gaf het gewone gliitakonznnr, natriumaethylaat met het liimeer van (VI) kwantitatief de Na-dikarboxjdglutakonzure ester. j Evenzoo verkreeg 8chmitt ’) bij kondensatie \an cjaanazijnester ‘ met oxaalazijnester in tegenwoordigheid xan enkele druppels pipe- j ridine een craanakonietzure ester, welke in afwijking van de boven j ') Ber. 34. 675. (1901). De overeenkomstige lelramethylester, welke later bereid werd, gaf eveneens met piperidine een kristallijn bimeeF. 2) ibid. 31. 2753 (1898). 3) J. pr. (2) 80. 393 (1909). *) Van deze stoffen (VIII) en (IX) zijn resp. 5 en 5 stereoisomeren mogelijk; van de eerste soort zijn er dan bovendien nog 2 in optische antipoden splitsbaar. ‘) C.r. 143. 912 (1906). U35 besprokene kristallijn was (snipt. 75°); het nioleknlairgewiclit dezer \ erbinding heeft liij echter niet bepaald '). De „cjaanglutakonzure- ester” [)olymeriseert nn blijkbaar veel ge- inakkelijker dan deze beide estei's ; zooals nit de door Guthzeit en Eyssen ’) gevonden bereidingswijze volgt, gaat zij reeds bij kaïoer- teinperatnnr in haar binieer ovei'. Toch bleek zij — niettegens taande het reeds een bimeer is — tegen- over piperidine iiog niet inditfereid. Bij menging met een geringe hoe- veelheid hiervan had id. sterke warmte-ontwikkeling, roodklenring en verdikking plaats. De invloed van piperidine bleek ook nog bij de volgende proef ; Een oplossing van 2.1156 gr. ester in 20.5 gr. benzol gafeenstol- pnntsverlaging van 1°.256 (z.b.). Aan deze oplossing werd nn toe- gevoegd 0.0752 gr. piperidine, waardoor ~ indien beide opgeloste stoffen absolimt geen invloed op elkaar hadden — een verdei-e daling van het stolpnnt van t)°.216 (dns een totale daling van 1°.472) gevondeit moest worden. In plaats hiervan steeg het stolpunt langzanierhand ■, de daling bedroeg id. : direct na toevoeging der piperidine nog slechts 1°.159 na ± 2 nnr 1°.084 iia ± 4 nnr 1°.076 (konstant) Bij toevoeging der piperidine aan de benzol ische oplossing ontstond eerst een troebeling (een piperidiidnm-vei-binding?) welke echter weldra weer verdween; de benzolische 0|)lossing kleurde geleidelijk donkerder. De na wasschen der oplossing met verdund zwavelzuur en water en verdamping der benzol bij kamertemperatuur terug gewonnen vloeistof was aanmerkelijk visceuzer dan de oors|*ronkelijk opgeloste. Het inwerkingsprodukt van piperidine op onze ester zal te zijner tijd worden onderzocht. Het bij onze kondensatie verkiegen |)rodukt is dus ook waar- schijnlijk wel een cgklohutaan-derivaat. Afgezien van de mogelijkheid eener verplaatsing der dubbele binding in de ,,u-cyaanglutakonzure ester”, zijn de volgende twee typeïi van bimeren mogelijk ((X) en (XI))’); van elk dezer typen is (door de aanwezigheid van 6 asym- ') ScHMiTT zelf kent aan deze verbinding de konstitutie eener y-cyaanakonietzure ester toe; de oxaalazijnester zou hier dan in zijn ketovorm gereageerd hebben. Deze opvatting is zeer waarschijnlijk wel onjuist, daar volgens Thoepe’s onderzoe- kingen de X- en y-positie in het glutakonzuur en akonietzuur-molekiuil identiek zijn. b loc. cit. b Volgens Prin.s (Ghem. Weekblad 11, 474) beeft altijd binding der meest kontrasteerende atomen plaats ; bijgevolg zou type (XI ) den juisten toestand weergeven. 1136 U ooc^/C^ ^fc txo o c c3C c3€ ^ aCc -- -cooU c3€ '- coott , , (x) tc OOC c ^ tc OOC — Kc — cc li OvAT cooLc metrische C-atomen, waarvan 4 in en 2 buiten den ring) een zeer groot aantal stereoisomeren mogelijk. Onze ester is nu zeer waarschijnlijk een mengsel van een aantal dezer (kristallijne) stereoisomeren en ontleent aan dit feit vermoe- delijk zijn eigenaardig taai-vloeibare konsistentie. lu een preparaat van Me-Et-a-cyaanglutakonaat, hetwelk op over- eenkomstige wijze uit Ma-form_ylazijnzure methylester en cyaan- azijnzure aethy lester was bereid en geheel dezelfde eigenschappen bezat, had zich na enkele maanden een geringe hoeveelheid ! letjes afgezet, welke hoeveelheid na ruim 3 jaar staan niet ver- meerderd was M. Met eenige moeite konden zij door een tri fugeeren van de grootste hoeveelheid der vloeistof worden ontdaan ; het was een organische, stikstofhoudende -stof. Voor verder onderzoek was i de hoeveelheid materiaal ontoereikend. I Ten slotte wil ik er in dit verband nog op wijzen, dat Guthzeit I en Eyssen bij aethyleeren hunner ,,.f-cyaanglntakonzure ester” naast een dikke olie een betrekkelijk kleine hoeveelheid van een kristallijn aothyl-derivaat verkregen. Dit werd echter niet verder door hen onderzocht. Guthzeit en Eyssen ‘■‘j hebben ook reeds de verzeeping der door hen bereide ester bestudeerd. Zij merkten daaromtrent op: ,,Verseifungsversuche des Cyanglutakonsaureesters mit sauern cooK- coo^ 7-tlo o c* — SCo c — ^ c \ C ^2 ciit c3€"' cooK cooX (xn) 0^2 stooc -^c c»€ — coo cUz coo3ft b Enten van ons di-Et-j'-cyaanglutakonaal met deze kristalletjes had geen ander gevolg, dan dat deze oplosten, b loc. cit 1137 Mitteln wnrdeii uiiter den xerschiedeiisleti Bedingiingen aiigestelll, gaben aber alle mir iinklare Resnltate, vermutlich führten sie zu leicht veranderlicben Oxypjiidiiiderivaten”. en levens : in Alkalilange zwar löslicli, aber anscheinend anch bald verandert iind ein fassbares Zersetznngsprodiikt nicht gewinnbar”. Als prodnkt der verzeeping met zoutzuur kon ten eerste een mengsel van ,,biglutakonznren” van de typen (XII) en (XIII) worden verwacht. Daarnaast bestond de mogelijkheid, dat de cyclobutaan-ester voor een gedeelte gemonoraeriseerd zou worden en dat het mononieer krach- tens de boven besproken onderzoekingen van Thorpe en Roüehson^) aanleiding zon geven lot de vormijig van één of meer der volgende prodnkten : glutakonzuur, {Et-2.Q-di/ii/droxi/i)i/ridine-5-karboxylaat) ’), 2.&-dihi/droxi//)i/ridiue-^-knrhonzuur en 2 .Q-dihydroxnpyridine. 10 gram der ester werden met 100 cc. gekoncentreerd zoutznnr op de schud machine aan terngvloeikoeler gekookt, terwijl tegelijker- tijd ter vermijding van eventneele oxydatie een waterstofstroom door de ' vloeistof geleid werd. Na ongeveei- 5 nnr was de ester onder koolzunr-ontwikkeling geheel opgelost. De geelgekleurde reaktie- vloeistof werd nn in vaknnm bij ± 40° drooggedampt en ten slotte in vaknnm boven natronkalk van de laatste resten vrij zoutznnr volkomen bevrijd. Het zeer hygroskopisehe residu (wegende bij twee proeven resp. 8.59 en 8.60 gram) loste zeer gemakkelijk in water, daarentegen niet in aether op; noch Et-2.6-dihjdrox3’pjridine-5-karboxylaat ^), noch glutakonzuur (hetwelk goed in aether oplost) waren dus in noemenswaardige hoeveelheden aanwezig. De waterige oplossing van het verzeepingsresidn vertoonde de volgende reakties : 1. bij toevoeging van een overmaat alkali trad geel kleuring op. 2. bij staan aan de lucht ontstond langzamerhand een groengeel, later \'nilgroen oxydatieprodnkt. onoplosbaar in zuren, doch oplos- baar in alkaliën of ammoniak met groenblauwe kleur. 3. de zwak ammoniakaal gemaakte oplossing kleurde zich bij staan aan de lucht geleidelijk blauw; deze kleur ging later over in violet. h loc. cit. Dit prodnkt is minder waarschijnlijk; de ester zal door het zontzuur worden verzeept. h Ebrera: Ber. 31. ti245 (1898); Guthzeit en Laska ; .l.pr (2) 58. 420. De ester is moeilijk oplosbaar in water of verdunde zuren. 1138 4. terricliloride gaf iii de oplossing een yroenklem'ing ; met een overmaat van het reagens ontstonden doidiergroene vlokken. 5. een ammoniakale zilver-oplossing werd in de warmte zwak gereduceerd. Al deze reakties wijzen op de aanwezigheid van ‘l.Q-dihi/dro.vij- pyridine^). De hoeveelheid hiervan is echter zeer gering; ik was niet in staat deze stof uit het verzeepingsresidu op eenigerlei wijze te isoleeren. Toen in de verdund waterige oplossing van het \'erzeepingsresidu van 10 gram ester het neerslag niet meer vermeerderde (zie reaktie 2), werd afgetilti-eerd en de vloeistof door koken met norit ') zoo veel moge- lijk ontkleurd. In de nu met ammoniak geneutraliseerde oplossing gaven lood- en cadrnium-zouten een wit, koperzouten eeii helblauw vlokkig neerslag, terwijl met calcium- en bariumzouten geen precipitaat ontstond ; deze feiten kloppen volkomen met die, welke door Güthzeit, Weiss en Schaeeer ’) bij' de vier door hen bereide konzuren" werden opgemerkt. Het koperzout werd na wasschen met warm water en alkohol en drogen in vakuuiti boven fosforpentoxjde geanalyseerd. 1 0,3507 gram stof gaf 0,1450 gram CuO. Berekend voor CjHjOsCu, ; 33.19 "/o. gevonden 33.02 ” 'o TTit een kleine hoeveelheid in water gesuspendeerd koperzout werd het zuur door iuleiden van zwavelwaterstof iti viljheid gesteld. Na indampiug der oplossing resulteerde een moeilijk kristal liseerende massa; er waren dus denkelijk verschillende ,,higlutakon zuren'' ont- staan. Het residu was onoplosbaar in aether, uiterst gemakkelijk oplosbaar in aceton en werd door alkalisch permanganaat slechts langzaam aangegrepen ^). De hoeveelheid Cu-zout, verkregen uit 10 gram ester, bedroeg ± 1 gram; het grootste deel der stof is dus in andere (onbekende) richting ontleed. Gezien de onmogelijkheid het uitgangsprodukt in zuiveren toestand te verkrijgen en de zeer weinige tot dusverre met groote moeite ver- kregen resultaten leek ons verder onderzoek dezer stof niet zeer 1) Errera: loc. cit.; Ruhemann: Soc. 73. 350 (1898); Gattermann enSKiTA: Ber. 49. 494 (1916). Volgens Ruhemann ontstaat met ferrichloride violetrood- kleuring. Vgl. ook de reakties der alkyl-2.6-dihydroxypyridinen, beschreven door Thorpe en Rogerson (loc. cit.). 2) Dit produkt van de „-Norit White Sugar Go.” te Zaandam leent zich hiertoe voortreffelijk. *) loc. cit. *) Vgl. hier de door Guthzeit c.s. (loc. cit.) medegedeelde eigenschappen. 1139 hoopvol toe. Verzeepiiigeii met verdund zoutzuur, gekoncentreerd zwavelzuur, verdunde kaliloog, methjlalkoliolische potascli en water- stofperoxyde alkali werden uitgevoerd, doch gaven al evenmin definitieve resultaten. Door dit onderzoek is het intusschen toch wel waarschijnlijk gewordem dat de zgn. ,,«-cyaanglutakonzure ester” als [.‘i-diinethiilcyklolnitaan- -dicy H Jour. chera. soc- 1917, lil, 7U7; Annales de chimie, 1919. | Zeit. Phys. Chem. 1897, 23, 689. b ibid. J904 47, 52, 56. | was coiitested bj Ericson-Auren and Falmaer ‘), Tammann Marc ’), Sentkr "), Wiedermann * *) etc. Since, accordiiig to the diffnsion tlieory, in Chemical reactions which occLir merely at the boundai'v between two pliases, tlie phenomenon is essentially one of' ditfasion, il is useless to (i’j and determine the ordei- of reactions from Ihe rate at which they proceed ; this method of argument is onij applicable, aecording to kinetic considerations to tlie probablitj of collisions in liomogeneous Systems and loses its significance when applied to heterogeneons systems. Moreover, if the velocity is controlled by a diffnsion process, one will get a coëfficiënt of the x elocity similar to that for a nni-molecnlar reaction and the coëfficiënt will be indej)endent of the actiial order of the more rapid Chemical reaction, which accompanies the process. Conseqnently it is impossible to establish a relation between the ordei' of a reaction and its temperatnre coëfficiënt in heterogeneons systems. (a) Temperatnre coefjicients of u.ncMtalysed reactions. Another conseqnence of the diffnsion theoi'y is that the tempera- ture coëfficiënt for an elevation of KF should be of the order J .3 i.e. of the same order of magnitude as the temperatnre coëfficiënt of diffnsion (compare Ohölm®)). We shall now see if experimental results confirm this inference from the diffnsion theory. Thefollowing is the snmmary of resnlts. (See table J next page). These resnlts support the dift'usion theory of reaction velocity in heterogeneons medium. In this connection it is interesting to observe that elevation of temperatnre up to a certain limit is found to be without influence on the decomposition of some alcoholic compounds by sodium amalgam (Löwenherz, Zeit. Phys. Chem. 1900, 32,480; 1902, 40, 400) and on the velocity of dissolution of Casein in alkalies (Robertson, Jour. Phys. chem. 1910, 14, 377). On the other hand, the following snmmary of results shows that the conclusion as to the effect of temperature, is not corroborated in these cases. (See table 2 next page). It has already been pointed out that velocities of ditfusion only determine the rate of reaction when no other pi'ocesses interfere and specially when no slow processes, taking place in the homogen- 1) Zeit. Phys Chem. 1906, 56, 689. 2) ibid. 1910, 69, 257. *) ibid. 1908, 61, 385; 1909, 67, 470. 9 Jour. Phys. Chem. 1905, 9, 311. “) Zeit. Phys. Chem. 1909, 66, 445. 8) ibid. 1905, 50, 309; 1910, 70, 385. 1142 TABLE 1. Reaction. Reference. + 10 (1) CaCOa f HCl Spring (Zeit. Phys. Chem., 1887, 1, 209) 1.5 (2) Metals + acids Veley (Journ. chem. soc. 1889, 55, 361) ■ 1.21 (3) ERicsoN-AuREN(Zeit.anorg. Chem. 1901, 27,209) 1.1 (4) Solution of CaS04. 2 H2O in water Bruner and Tolloczko (Zeit. Phys. Chem. 1900, 35, 283) 1.5 (5' Various reactions Brunner (Zeit. Phys. Chem. 1904, 47, 56) 1.3 (6) Evaporation of water JABLCZYNSKi(Jour. chim. Phys. 1912,10, 241) 1.1 (7) Cu and NH4OH Yamasaki (7"’ Inter. Cong. App. Chem. 1909, Sec. X, 172) 1.15 (8) O2 and pyrogallates 1 0, and haemaglobin CÖ and „ ) Boselli (J. Chim. Phys. 191 1, 9, 689; 1912, 10, 1) 1.1 (9) Halogens and metals 1 Chromic acid and metals Ferric salts and metals \ Van Name and his associates (Amer. J. Science 1910 [4], 237; 1916 [4], 42, 301; 1917 [4] 43, 449) 1.28 (10) Quinol and O2 Euler and Bolin (Zeit. Physiol. Chem. 1908, 57, 80) 1.2 (11) Dissolution of various salts in water Wagner (Zeit. Phys. Chem. 1910, 71, 401) about 1.2 1,12) Dissolution of COo and Oo in water Carlson (Medd. K. Nobel Inst. bd 2, N'^. 5, 1910). 1.4 (13) Mg and HCl Bonsdorff (ibid bd. 3, N" 8, 1915) 1.44 TABLE 2. Reaction. Reference. 10 (1) Dissolution of benzoic acid in water Bruner and Tolloczko (loc. cit.j Wildermann (loc. cit.) 1.8 (2) Ni and CO Mittasch (Zeit. Phys. Chem. 1902, 40, 1) 1 53 (3) Development of photo- grapic plates Sheppard and Mees (Proc. Roy. Soc. 1905, 76, 217) 2. (4) Precipitation of AgCl, AgBr etc. Jablczynski (Zeit. Phys. Chem. 1913, 82, 115) 2 (5) Slow oxidation of S Bodenstein and Karo (ibid. 1911, 75, 30) 1.87 (6) H2 and KMn04 ( CO and KMn04 ( JusT and Kauko (ibid. 1911, 76,601 ; 1913, 82, 71) 2. (7) Velocity of absorption ) reversal of (a) HgS > (ö) s ) Freundlich and associates (ibid. 1913,85, 660; 1915, 89, 147) (а) 4 • (б) 5 (8) Ferrous salts and oxygen Mc. Bain (Journ. Phys. Chem. 1901,5,623) Boselli (loc. cit.) 1 2.2 1 143 eous pliase is coniiected witli ilie progress ol' the reaction. It seeiiis probable, that in tlie examples of reactions cited in Tal)le 2, the changes concenied are rea! Chemical reactions rather than ditl'nsion processes. For these reactions it wonld be interesting to (ind out a relation between tlieir orders and their temperatnre coeflicients, bnt unfortunately no experimental work in this direction is available. {b) Teiiipemhire coefficients of catalysed reactions. We shall now consider the temperatnre coefticients of reactions cataljsed lieterogeneonsly. The following is the sumraary of import- ant reactions investigated up till now : TABLE 3 Reaction. Reference. 10 (!) Decomposition of by catalase (blood) Senter, Zeit. Phys. Chem. 1903, 44, 257 1.7 (2) Decomposition of H3O2 by colloidal Au, Pt, Ir etc. Bredig and his pupils, ibid 1899, 31, 258, 320; 1901, 37, 1, 323; 1901, 38, 122; 1909, 66, 175 1 .6 (3) Decomposition of HoO-, by colloidal Ag Mc. Intosh, Jour. Phys. Chem. 1902,6, 15 5 (4) Decomposition of HjOo by colloidal MnO, Mark. Dissert. Heidelberg 1907 2 (5) Hydrogenationin presence of colloidal Pd Zalkind andPiTCHTscHiKOFF, J. Russ. Phys. Chem. Soc. 1914, 46, 1527 1.75 (6) Oxydation of NaH2P02 by colloidal Pd or Pd black SiEVERTs and Peters, Zeit. Phys. Chem. 1916, 91, 199 2 (7) Reduction of methylene blue by H COOH in pres- ence of colloidal metals Bredig and Sommer, ibid 1910, 70, 34 2 (8) Decomposition of (a) H.COOH and (6) H.COONa in presenceof colloidal Rh Blackadder, ibid 1913, 81, 385 (a)2 ib) 2.5 (9) Oxydation of phenyl thio- carbamide in presence of blood charcoal Freundlich and Bjercke, ibid 1916, 91, 1 2.3 (10) Oxydation of oxalic acid in presence of blood char- coal Warburg, Pflüg. Arch. 1914, 155, 547 2.1 (11) Enzyme actions Generally higher than 2 The following table shows the snmmary of resnlts obtained with catalysts in the solid state : 1 144 TABLE 4. Reaction. Reference. 10 (1) Decomposition of ozone Perman and Greaves (Proc. Roy, Soc. about 1908, 80 A, 353) 1.2 (2) SOa + 0 ^ SOa 1.36 (3) CO + 0 CO2 1 Bodenstein and his pupils(Zeit. Phys. Chem. 1903, 46, 725; 1905, 53, 166; 1907, 60, 1, 1.40 (4) SOa -^S0, + 0 46; 1911, 75, 30; 1912, 80, 148; Zeit. Elektrochem. 1905, 11, 373; Festschrift 1.57 (5) NH3 N + 3H 1 W. Nernst, 1912, p. 99. 1.10 (6) H. — 0 H2O 1.18 (7) Decomposition of H2O3 : Bredigand Teletoff (Zeit. Elektrochem 1.28 1906, 12, 581) (8) Cl - ^ H- ^ Cr- -f H JABLCZYNSKi(Zeit. Phys. Chem. 1908, 64,748) , 1.29 (9) Ti- + H -^Ti — + H Denham (ibid 1910, 72. 641) 1.29 It will be seen at once on glancing at the two tbregoing tables tliat in the ceactions catalysed by solids (with the exception of blood chai'coal) the temperatni-e coëfficiënt is abont 1.3 i.e. of the same order as that for diflfusion ; whilst in ihe case of reactions catalysed by colloidal metals and enzymes the temperatnre coëfficiënt is about 2 i.e. of the same order as that of an ordinary Chemical reaction in homogeneous medium. How is this difference to be explained? With catalysts, which canse reaction between the substances in queslion to take place with |)i-actically infinite velocity, the actnal rate of reaction will be determined solely by the velocity with which the reacting substances diffuse to the surface of the catalyst ; whether such a catalyst exists, must of course be determined separately for every case. Adsor|)tion is now considered to be an exceedingly rapid process. If the reacting substances were brought to the surface of the catalyst by capillary forces, the temperatui'e coëfficiënt would correspond to that of the slower process, namely, the Chemical change involved. If, on the other hand, the reacting substances are brought to the suilace by the slow process of diffnsion, then the measnred velocity would be that of a diffnsion [)rocess and the tem|)ei‘ature coëfficiënt wonld be of the oi-der of 1.3, which we hare seen in the case when solid catalysts are nsed. To account for the high temperature coëf- ficiënt in the case of reactions catalysed by colloidal substances and enzymes, one might suppose that the Brownian movement of these particles acted as very efticient stirring in such a way that the diffnsion layer was removed as fast as it was formed, with the 1 145 resull tliat the liomogeaeoiis eheuiioal i-eaetioii iii the adsorbed layer is the real process of whicli we detennine the temperatnre coëfficiënt. Now it is interesting (o observe Ihat Bredig and Teletofe (Zeit. Elektrochem. 1906, 12, 583) have calcnlated the thickness of ihe diffusion lajer from the Nernst diffusion expression (Zeit. Plijs. Cliein. 1888, 2, 634), utilising the data obtained from the deeomposition of hydrogen peroxide in pi-esence of colloidal platinnm and fonnd the tliickness to be 0.05 mm. i.e. of the same ordei' as Hrunner fonnd in the case of the dissolntion of benzoic acid in water. This seems to show tliat in spite of the Brownian movement the ditfnsion lajer remains unchanged. If this is trne, the abo\e explanalion of the high temperature coëfficiënt in the case of colloids and enzymes breaks down. Moreover, on this |)oint of view, the high valnes of the temperature coëfficiënt obtained in the oxidations of oxalic acid and phenylthiocarbamide in presence of the solid catalyst blood- charcoal, i-emain entirely unexplained. Looking at the whole problem, it seems probable tliat in some cases the slow Chemical change aftects the velocity of tlie total reaction, wliilst in other cases, ditfnsion plays the most important role and it is desirable to investigate fully the kinetics of each individnal case. (fertainly mnch light wonld be thrown on the whole qnestion if we can stndy the kinetics and temperature coefücients of one and the same reaction without any catalyst and in presence of both homogeneous and heterogeneons catalysts. The velocity of decom- position of hydrogen peroxide, tbr example, may be investigated at varions temperatnres (1) without any catalyst and (2) in presence of iodides or any other substance solnble in water (compare Bredig and Walton. Zeit. Phys. Ohem. 1904, 47. 185) and (3) in presence of colloidal metals, MnO,, charcoal, solid metals etc. Ldhoraioire de Chimie Allnérale, Sorhonne, Faris. Imperia I College of Science. London S. IV. 7. Natuurkunde. ^ De Heer Lorkntz biedt een mededeeling aan van de Heeren L. S. Oknstein en H. C. Burger: Statistiek van yeta Henreeksen’ ’ . (Mede aano;ebodeu door den Heer W. H. Jülius). Bij de studie van natiuirverscliijnselen ontmoet men vaak reeksen van gelieele getallen die door het toeval bepaald zijn. Wanneer men bijv. het aantal emulsie deeltjes, dat zich op aequidistante tijdstippen in een bepaald volume element van een emulsie bevindt, teil, ver- ki'ijgt men eene door het loeval bepaalde reeks van getallen. Smolüchowski ') heeft de toevalswetten, waaraan deze getallenreeks voldoet, onderzocht en in vei-band gebracht met de grootheden, die i de BaowN’sche beweging bepalen. Zijne resultaten zijn zondei' kritiek i loege|)ast ‘^) op de statistiek van andere reeksen van getallen. Wij j willen in deze mededeeling eenige algemeene stellingen ovei' de slati- j stiek der getallenreeksen af leiden; tevens zullen wij doen zien dat ? (Ie uitkomsten van Smot.uchowski slechts in Injzondere gevallen gelden. j 1. Wij beschouwen een reeks geheele positieve getallen yq n^... j die door het toeval bepaald zijn. De kans op de getallen kan onder- | ling afhankelijk zijn zoo dat bijv. hel feit dat gegeven is dat een j zekere waarde bezit, invloed heeft op de kans op een waarde' van ! /i,, d. w. z. er kan correlatie bestaan, zoo zelfs dat de invloed van een gegeven waarde voor zich over een grooten afstand in de reeks direct of indirect kan doen gevoelen. Met andere wooi'den de reeks kan een zich ver uitstrekkende directe of indirecte correlatie ver- j toonen. | Wij kiezen nu een groot aantal k achtereenvolgende getallen uit i de reeks en maken de frequentie wet voor de getallen op. Laat J n\n) de kans op een getal n voorstellen; zoodat dus 2iw{n) = '\, j waarbij over alle voorkomende waarden van n gesommeei’d moet woi'den. Wij onderstellen nu dat er een eindig doch zeer groot getal j k te kiezen is zoodanig dal, wanneer men de frequentie wet vooi _ | ') Vergel. bijv. het saiiienvattende artikel in Phys. Zeitschr. XV. 1916, p. 557. ~) A. PoDJED. Diffusion und Stalislik Phys. Zeitschr. XVII. 1918, p. 39. k. ScHRöDiNGER. Notiz ucbcr die Ordnung in Zufallsreihen ibid p 218. R. PüRTH. Statistik und Wahrscheinlichkeitsnachwirkung ibid. p. 421. 1 147 -j- 1 aclilereeiivolgende getallen uit de reeks opiiiaakl de waarden van 'iü(n) voor beide gevallen minder versebillen dan een willekeurig gekozen klein getal e. Indien wij met een eindige reeks te doen hebben znllen wij onderstellen dat het aantal termen groot is ten opzichte van het aantal termen noodig bij de bepaling der fVeqnentie wet. : Wij znllen een reeks homogeen noemen wat betreft de frequenlie wet, wanneer oveial in de reeks dezelfde frequentie wet geldt. Is een reeks homogeen wat beti-eft de fre(pienlie wet dan is zij ook homogeen wat betreft de gemiddelde waarde van willekeurig hooge machten der tei-men. Omgekeerd zal de reeks homogeen zijn, wat de frequejitie wet betreft als zij het is voor gemiddelden van willekeurig hooge machten van de termen. Een voorbeeld van een homogeene reeks levert bijv. de getallen- reeks van Thk Svedberg, die door Smoluciiowski bewerkt is ; een niet homogene reeks ontmoet men bij het bekende stappen beeld der BROVVN’sche beweging. Wij zullen ons in het volgende lutsliutend met homogeene reeksen bezig houden. 2. Voor de studie der getallenreeksen is een tweede groot lieid even belangrijk als de frequentie wet der termen. Deze grootheid is dooi’ Smoi.uc'HOWski ingevoerd. Zij is de jidste maat voor de statistische afhankelijkheid van de termen van de reeks. Laat ons in de reeks alle getallen uitzoeken die een bepaalde waarde /q l)ezitlen en de kans vragen dat wij p termen verder, dat is na /) intervallen, een getal ontmoeten. Wij zullen de frequentie functie door lL(w,,Uj/d voorstellen. Men moet bedenken dat Ik geen eigenlijke functie, doch een dubbel oneindige reeks getallen is (bij gegeven p). ‘) De kans if ?i, p) voldoet aan de beti-ekking V ir(a.,«„p)=- 1.- ....... (1) waarbij de som naar over alle mogelijke waarden moet worden uitgestrekt. Als vq tot oneindig kan loopen moet IF aan de eischen der convergentie voldoen. Opgemerkt moet nog worden dat aan p ook verschillendè waarden kunnen worden toegekend. Wij zullen nu onderstellen dat de reeks homogeen is, ten o[»zichte van de functie W 7i^, p). Behalve W {71^, p) zijn er nog andere voor tle statistiek der ge- tallenreeksen belangrijke grootheden, ïi.1. IFt^q, ;q, ... ?/*, /q, /q, ... ;>/() ') Wanneer Jq en /q van nul tot oneindig, en a* getallen als «j en jq beide van nnl tot n loopen kunnen. . _ . . Verslagen der Afdeeling Natiiurk. 01. XXVII. A®. 1918/19 74 1148 d.w.z. de kans dal wanneer . . . )ik-\ met intervallen /j, gegeven zijn, op een interval na n*~i een waarde rik volgt, üit deze grootheid leidt men grootheden met minder veranderlijken op soortgelijke wijze af als hieronder W {n) nit W{n^,n^,p) afgeleid wordt. Wij zullen ons in deze mededeeling tot de beschouwing van de grootheden W{n) en W {n^,n^,p) bepalen. Tusschen de genoemde frequentiefuncties bestaat een eenvoudig verband. Men heeft n.1. W (/j,) = 2: W (m,) W (Mj, h,, p) (2) waarbij yq alle mogelijke waarden doorloopt. Men ziet dit onmid- dellijk in als men bedenkt dat W (yq) de kans op een waarde is en W{n.^,n^, p) de kans dat deze gegeven waarde yy, door de waarde yq gevolgd wordt, terwijl n^, p intervallen te voren door één der mogelijke waarden moet zijn vooraf gegaan en wel met de door W (rij) gegeven kans. De vergelijking (2) geldt voor alle mogelijke waarden van yq, zijn er dus ?i waarden dan zijn er n vergelijkingen (2). Deze zijn echter afhankelijk daar de determinant der coëfficiënten volgens (1) nul is. Bedenkt men echter verder dat ^ W(n,) = l, dan ziet men dat ’h IV{?i) bepaald is, wanneer men W(nj, n,, p) kent. De oplossing luidt als volgt. Zij A de determinant ,fr(0.0.p)— 1 JV(l.O.p) fV(n.U.p) , JV (0 . u . p) tv (1 . n . p) V (n . n . p) — 1 en stellen wij op de gebruikelijke wijze de onder-determinanten van de' termen der eerste rij door A,, . . . A„o voor dan is: W(0) W{1) W(n)_ 1 waarbij bedacht moet worden dat ^ W{n) = l is. Wanneer wij nu de W{ii^,n^,p) voor het interval p' beschouwen is hieruit weder op dezelfde wijze IF(yy) af te leiden. Dientengevolge bestaan er betrekkingen tusschen de functie }F(yq,yy,,p) voor twee intervallen. Deze luiden, wanneer wij de grootheden die op het tweede interval betrekking hebben dooi' accenten aanduiden : A^ _ A„o ^00 ^10 ^ nO Tusschen de n* getallen, die de TF voor het tweede interval 1 149 bepalen en de gegeven /«’ getallen van de IV van liel eerste interval bestaan dus n — 1 betrekkingen. Deze beperken de IF naast de voor- waaj-den, die reeds door (J) worden opgeleverd. In een bijzonder geval is het niogelijk een vergelijking aan te geven die 'in staat stelt te berekenen uit If (w,, /i,, />') en 14^ ?t,, p") indien p = p' p" . Dit zal namelijk het geval zijn indien de kans dat yi, op volgt na een interval p" niet afhangt van het feit dat een interval p' te voien door een waarde is vooraf gegaan. In dit geval geldt gelijk men onmiddellijk inziet de betrekking : ^ (”l1 P) — ^ ) (^*11 P ) . . • • (^) waarbij naar alle mogelijke waarden van te sommeeren is. Indien men W (ry,, yi/1 kent is in dit geval IF (yi;, /y,, /t) te berekenen. Voor het door Smoluchovvski behandelde geval der emulsies geldt deze vergelijking, gelijk wij hieronder nadei- zullen zien, niet. 3. Bij de toepassing van de statistiek van reeksen van getallen op phjsische verschijnselen doet zich de belangrijke vraag naar de omkeerbaarheid voor. P. en T. Ehrbnfest ‘) zijn de eersten geweest, die op de omkeerbaarheid eener door het toeval bepaalde getallen reeks hebben gewezen in hun belangrijke beschouwingen over het H theorema van Bot.TZMANN. Smoluchowski heeft de omkeerbaarheid aangetoond van de getallenreeks die door intermitteerende waar- neming van het aantal emulsiedeeltjes dat in een bepaald volume ligt ontstaat. Wij zullen nu algemeener voor een getallenreeks de kenmerken van de omkeerbaarheid onderzoeken. Een reeks is omkeerbaar, wanneer hare eigenschappen bij het doorloopen in één richting dezelfde zijn als bij het doorloopen in de tegengestelde richting. Dit legt aan W {n^, yy, p) een voorwaarde op. Definieeren wij W als de kans dat een gegeven getal yy, p intervallen te voren door een getal yy, is voorafgegaan dan is de reeks omkeerbaar als:’) fF («p p) “ IE (»ip «p — p) ..... (4) Wij kunnen nu in de voorwaarde (7) een kenmerk voor omkeer- baarheid afleiden dat slechts gi-ootheden die op het interval p in één richting betrekking hebben, bevat. b P. en T. Ehrenfest. Ueber zwei bekannte Einwande gegen das Boltzmann’scIic H theorem. Phys. Zeitschr. 6. 1907, p. 311. Verg. ook Enzyclop. der Matli. wiss. Bd. IV en 11. Heft 6, p. 42. ’) De beschouwde reeks is omkeerbaar voor het beschouwde interval p, men kan de vraag overwegen of een reeks voor andere intervallen niet omkeerbaar is. 74* J150 VoIjieitH de stelling der waarseliijidijklieid a jiosteriori heeft men n.l. steeds ir(a,) — fr(a,) Tr(7i^, pY waarbij de som naar n, over alle mogelijke waarden van n moet worden nitgestrekt. De noemer is \'olgens (2) gelijk aan W {nY) zoo- dat wij hebben ir(/<,) — p) = ril, p) ... (5) Is de reeks dus omkeerbaar dan geldt volgens (3) ir(jg) iF(«j, ?/,,p) = . ... (6) een betrekking, die Smot.uchowski gebruikt in den vorm H{m.n) = =:zH{n.ui) en waarmede hij het getallen-maleriaal van The Svedberg getoetst heeft. Geldt omgekeerd de betrekking (6) dan geldt dus volgens (5) ook de betrekking (4) en is dus de reeks omkeerbaar. Bedenkt men nn verder dat W{n) in kan worden uit- gedrnkt, dan l)lijl = iiÖ2 omkeerbaar is, het blijkt ook dat H {m . il) = H (n . m). Men heeft opgemerkt, dat het feit dat de betrekking van Smoluchowski geldt met op statistische onaf hatikelijkheid van de termen van de reeks wijst. Nn geldt wel is waar voor een reeks van statistisch onafhankelijke getallen P= 1, doch het omgekeerde is Jiiet het geval. Wij geven hieronder een eenvoudig voorbeeld dat dit doet zien voor een reeks uit de getalleJi 1, 2 en 3 opgebouwd. De eerste tabel geeft de getallen W 1), de tweede tabel — 1) berekend met behulp van (4). In de eene richting is P=1 in de andere richting is P=l, het feit dat de Win^n^ p) niet identiek met W ipi^) is, is al weder voldoende om de statistische afhanke- lijkheid te doen blijken. w 1 2 3 w 1 2 U 1 3/io 3/5 Vlo w(i)=Vs w(2)=y, w(3)^v, 1 3/10 2/5 2/10 2 2/5 2/5 Vs 9 2 3/5 2/5 0 ! 3 i 3/5 0 2/5 3 Vs 2/5 2/5 Men kan door geschikte keuze der getallen in een reeks waarin Ui en /i, een xoldoende aantal waarden kunnen aan- nemen, allerlei mogelijkheden verwezenlijken, omtrent otnkeerbaar- heid en geldigheid van f6) in één of twee richtingen. 5. Wij willen thans een vraagstuk behandelen, dat groote over- eenkomst vertoont met het vraagstuk der emulsies dat door Smolu- chowski behandeld is. Laat het aantal deeltjes, dat zich in een element bevindt n zijn, de kans dat in een interval een deeltje het element verlaat zij P, de kans dat er I deeltjes bij komen zij f[l), deze kans zij onafhan- kelijk van w. Wij eischen nu dat het aantal deeltjes in het element gemiddeld constant is. Dit legt een voorwaarde aan ƒ(/) op. De kans loch dat k deeltjes het element verlaten is n! (?? — ! k! pk Het gemiddelde aantal deeltjes dat het element verlaat, is dus nP. Het gemiddelde aantal deeltjes bij alle mogelijke waarden van n dus vP, wanneer r »,/>) voor meerdere intervallen aan de som ver- gelijking (3) moet voldoen. Beschouwen wij de intervallen /i,, />, zoodat p^ 4- Pi = Pi dan hebben wij dus trpq, pP -- ^ W (n,, pP W (n,, a,, p,) Laat nu de kans dat een deeltje in de verschillende intervallen het element verlaat P^, P, en P, zijn dan hebben wij voor het interval p^ = W{n, pP = 2: il-n) Win.p,pP W (p, pP - - Z W (n, 7J, pP 2: (« -?t) w (p, g, p,) = ■n f ^ W( n, 7], pP (r; — P, p] — r) — n) = — F, (n — i ) of dus n~ n P,-~ P^(l — pp (n - v) + P, V — — P, (n — v) Pi - P. 4 P, - Pr Pi waaruit volgt 1 — P, = (1 — P)\ als P, de P voor drie intervallen en P die voor een interval is, voor k intervallen geldt algemeen 1 — Pjt=r(l — P)^. Deze betrekking is onmiddellijk evident als men bedenkt dat 1 — P^ de kans is, dat een op het eerste moment aan- wezig deeltje na / intervallen het element niet verlaten heeft. De wijze waarop P voor het ge\al van een emulsie van het interval afhangt is nu geheel anders. Dit is een gevolg van het feit dat wanneer P de kans is dat een deeltje op een tijd 0 aanwezig h De bedoeling is dal bij gegeven n gemiddeld wordt. 1154 jia een tijd r uil het element verdwenen is, niet geldt dal een deeltje dat op nul en r aanwezig is, een kans P heeft tusschen t en 2t het element te verlaten. De kans P toch wordt door Smoi.uchowski ge- definieerd onafhankelijk van de ligging van het deeltje in het element en daarbij wordt aan de ligging in alle punten dezelfde waarschijn- lijkheid loegekeiid. Wanneei- men nu weet dat het deeltje een inter- val T te voren ook reeds in het element lag is de waarschijnlijkheid voor alle plaatsen in het element niet meer even groot, en dit moet bij de bepaling van de kans voor hel tweede interval in aan- merking genomen worden. Terwijl in ons geval het feit dat n, door n, is voorafgegaan geen invloed heeft op de kans dat op n, zal volgen is dit bij het probleem der emulsies wel het geval. Daar zal toch een correlatie bestaan die zich veel verder uitstrekt, wanneer bijv. ??,, gevolgd woi'dt door n, zoodat j> /?,, is, zal de kans dat ^ is grooter zijn dan de kans dat //, ! p.^ . .) een rol. Voor een interval echter stemmen de problemen volkomen overeen ')■ SMor.ucHOWSKi heeft de omkeerbaarheid van de diffusie der emulsie- deeltjes onderzocht. Het is mogolijk de omkeerbaarheid van zijn vraagstuk (en ook van ons voorbeeld) dii-ect aan te toonen. Daartoe is slechts noodig aan te toonen dat en — 1) gelijk zijn. En dit is aangetoond, wanueei- men doet zien dat het proces waaruit uit ontstaat na één interval tot hetzelfde kans- probleern voert, als het proces waarbij n, aan ?i, voorafging. Wij hebben daartoe slechts aan te toonen, dat de kans voor een deeltje dat op den tijd nul in ons volume-element ligt, om op den tijd — T buiten het volume gelegen te hebben gelijk is aan de kans voor een deeltje, dat 0|) den tijd nul in het interval ligt op den tijd T er buiten te zijn. Deze laatste kans is Z'' genoemd. Beschouwen wij een groot volume 1^; en laat v een klein deel hiervan zijn waarin het deeltje liggen kan bij de waarnemingen. Wanneer gegeven is dat het deeltje buiten v ligt is de kans dat het na één interval in v is V V- V ^ F, de kans dat het buiten v ligt is — volgens de bekende stelling van de waarschijnlijkheid a |)ostei'iori is dus de kans, dat een deeltje dat o|) den tijd nul in o ligt er op den tijd — r buiten heeft gelegen : b Zoo geldt liet op bh. 1151 gegeven bewijs van de vergelijking (7) ook voor het geval van Smolüchowskt. en dit is inderdaad gelijk aan P. Hiermede is dus de omkeerbaarheid aangetoond. De gebruikte formules kunnen gebiuiikt worden om een zeer eenvoudige betrek- king te bewijzen, die bij Smoluchowski voorkomt, doch die bij hem als resultaat van een betrekkelijk ingewikkelde berekening te voor- schijn komt. SMOLUCHonsKi heeft aangetoond dat de kans dat het element n deeltjes bevat gegeven is door V W(n) = ; n! Terwijl de kans dat het aantal deeltjes in het element van 0 op w komt gegeven is door: r(o,„, 1) = **’'^*"^' 71 ! Deze formules ontstaan uit elkaar door v door vF te vervangen. Dit is een gevolg van het feit dat volkomen gelijke kansproblemen kunnen dienst doen ze te bepalen. Terwijl de kans dat een deeltje V igt — is, is de kans dat een deeltje dat buiten het V in het element element ligt er in komt — - P. Is gegeven dat op den tijd 0 geen deeltjes in het element liggen, dan liggen dus alle er buiten. Zijn er dus N' deeltjes, in het geheele volume dan is W {n) de kans dat van deze iV deeltjes in het element liggen als voor elk deeltje de V kans - is, terwijl het tweede probleem er op neer komt te bepalen hoeveel deeltjes er in he! element komen als de kans voor elk deeltje V P -p dat is P maal zoo groot is. Bedenkt men nu dat het gemiddelde V aantal dat er in ligt r = is, dan ziet men onmiddellijk in dat voor groote waarde van N het verband tusschen de formules voor W (n) en 1'F (0, 7i) moet bestaan '). b Het spreekt van zelf dat W{Qbl)=f{b) is. ’) Wij kunnen voor het door ons behandelde geval en daarmede voor het probleem van Smoluchowski voor zoover het betreft één interval enkele relaties afleiden. Zoo heeft men W (0,0) = ƒ (0), W (1,0) = P ƒ (0), .... W ik, 0) = PIc f (0). 1158 R. Fürth heeft de beschouwingen van Smoluchowskt toegepast op een getallenreeks, die op de volgende wijze verkregen werd. Om de 5 secnnden werd het aantal voorbijgangers dat zich op het trottoir voor een huis bevond geteld. De betrekkingen komen goed uit. Opgemerkt moet nu worden, dat zijn geval geheel analoog aan het geval van Smoluchowski is. Men kan nl. de kans definieeren, dat een voetganger die zich op den tijd nul in het beschouwde interval bevindt er na een tijd t uit verdwenen is. Zij de snelheid van een voetganger v, dan zal elke voetganger uit de beschouwde lengte van het trottoir verdwijnen die zich binnen de lengte vt van de eind- punten bevindt en wiens beweging naar het eindpunt gericht is. Is de lengte van het beschouwde stuk I, dan is dus de kans P ge- geven door ^ 1 2 VT VT ~ 2 ■ ~T ~ T ' Kent men dus behalve t v of / en berekent men P uit de ge- tallenrij dan kan men I of v vinden. Voor P was door Fürth gevonden 0.316, r is 5 sec. wij namen voor r 5 Km. per uur en vonden voor / dus 19 M., op ons verzoek deelde de Heer Fühth ons mede dat de breedte 24 M. bedraagt. Met deze breedte stemt een snelheid van 5.5 Km. per uur overeen'). Gebruikt men de waarden voor W, die Smoluchowski uit de proeven van The Swedberg beeft afgeleid (Studiën ueber Molekularstatistik von Emulsionen und deren Zusammenhang met der BROWN’scben Bewegung Akad. Wien 1915, p. 2401|, 0.325, 0.236, 0.171, 0.124, 0.090, 0.065 dan vindt men voor P de waarden 0.726, 0.724, 0.726, 0.725, 0.722, terwijl door Smoluchowski uit de betrekking l^ = 2vP, 0.726 werd afgeleid. De- goede overeenstemming der P waarden onderling en met die van S. is een duidelijk bewijs voor de juistheid van de theorie. Voor W in .m] heeft men ’* n ! W (» . rn] =z S (1 — P)*/)”— * f(m f s — n) VOOr nC^m. .=0 (n — = 2 ; — - (1 — P)s P« '/'(m f .“t — n) voor n j> m. „_„i (ji — s)!s! Past men elementaire relaties tusschen de coëfficiënten van het binomium toe dan vindt men hieruit een recurrenle betrekking voor W n.1. : W(m, u) = P W{m - 1, n) ) (1 — P) W {m — 1, »/ — 1). Deze relatie komt ook in de verhandeling van Smoluchowski voor. Zij is uit- stekend geschikt voor de bepaling van P uit de proeven. (De toepassing voor 11, 12. lo en 14 geeft bijv. P= 0.702, 0.725, 0.729, 0.727). 0 De waarneming van PüRTH geeft een goed voorbeeld hoe uit een statistiek, omtrenl de oorzaken van de toevallige grootheid iets is af te leiden. 1 157 In het eenvoudige geval van Fürth kan men de betrekking waar- aan P voor meer intervallen voldoet, gemakkelijk afleiden ; is P voor den tijd r =z P, dan is voor den tijd k -Pi. deze i’elatie geldt vxk zoolang ~ 1 is, voor grooter waarden van is dan verder P= 1 . Wij hebben de relatie P^ = kP^ aan het getallen materiaal van Fürth getoetst, zij bleek zeer slecht uit te komen. Wij schrijven dit toe aan het feit dat er langs de lejigte van de straat een corre- latie tusschen de verdeeling der voetgangers bestaat, terwijl de beschouwingen van Fürth slechts juist zijn zoo deze correlatie niet aanwezig is '). 6. Ten slotte willen wij nog een getallenrij beschouwen, die in de afleiding van de stralingswet een rol speelt ’). Een resonator bevindt zich in een stralingsveld, de energie neemt lineair met den tijd toe, zoodat in den tijd t de toename e — hv bedraagt, telkens als de energie ke bereikt wordt is er een kans i/, alle energie te emitteeren. De waarden van de energie uitgedrukt in e als eenheid telkens nadat een emissie kan hebben plaats gehad, voiTuen een reeks van geheele getallen. Het is onmiddellijk duidelijk dat deze reeks niet-omkeerbaar is. Wij zullen de functie W beschouwen. Voor een interval heeft men W (n, 0. 1 ) = r/ , IV [?i, n -|- 1 , 1 ) = 1 — terwijl alle andere combinaties nul zijn. Hieruit is nu W {n) te berekenen, men heeft toch 21 W (n) = 1, W (?) W (?,w, 1) = W {n), waaruit volgt W (n) — Ti (1 — Ti)" en dus — 1 Ti n — 'S, n W (n) — . V ^ Opgemerkt moge worden, dat voor het kansprobleem dat P. en T. Ehrenfest ter illustratie van het H theorema gebruikt hebben ook een W functie bestaat iV—A N—L n.1. IVtA, A + 2, 1) = , W (A, A, 1) = 0 en W (A, L — 2, 1) = — , dal 2 de P relatie van Smoluchowski voor dit geval geldt met P = — , doch dat het quadratisch gemiddelde niet aan de relatie iP = 2'jP voldoet, daar bij Ehrenfest nul is. De verkregen getallen rij is omkeerbaar. M. Planck. Ueber die Begruendung des Gesetzes der schwarzen Strahlung Ann. der Phys. 1912. Bd. 37, p. 642. IJ 58 Verder is het gemakkelijk ir (/ii, w,, te berekenen, daar de sombetrekking (3) geldt. Men vindt op deze wijze: l'V (n, 0, k) z=z )j , IV (h, 1, k) — Ij (I — ïj) . . . . = vervolgens zijn de W’s nul tot aan IV (ti), n die gelijk aan :(:1 — is, terwijl alle volgende nul zijn. Aan de omkeerbaarheidsbet rekking voor de quantengetailen 7U. en met het interval /c is voldaan mits en beide kleiner dan ^ zijn voor andere waarden echter niet, zoodat gelijk te verwachten is de reeks der doorloopen toestanden niet omkeerbaar is. Men kan nagaan of er een betiakking van den vorm (7) bestaat, liet blijkt dat deze geldt met Terwijl men in bet algemeen zou verwachten dat IV {m, n, k) wan- neer het aantal inter\'allen k vergroot wordt tot W {n) asjmptotisch nadert, is dit bij dit voorbeeld niet het geval. JV (m, n, k) en W {n) blijven verschillend hoe groot k ook is, alleen worden voor waarden van n<^k de getallen W {in, n, k) gelijk W {n), dit geschiedt echter reeds dadelijk ook voor kleine k, en het eenige bijzondere voor k — (X) is dat het gebied waar W{ia nk) en W {h) verschillen ver- schuift naar oneindige waarden van n waar beide grootheden tot nul naderen. In een volgende mededeeling zullen wij onze beschouwingen uit- breiden tot gevallen waarin een door het toe val bepaalde verander- lijke continu van een onafhankelijk veranderlijke afhangt. Utrecht, Instituut voor Theoretische ^ atuurkimde. I 151) Natuurkunde. — De Heer H. A. Lohentz biedt een mededeeliiig aan van den Heer D. Coster ; „Het (jebrnik van het audion in de drnadJooze telegvajie”. (Deze mededeeling' zal in liet volgende Zittingsverslag worden opgenomen). Ter uitgave in de Werken der Akademie wordt door den Heer P. Zeeman aangeboden, namens den Heer M. Pinkhof, het manuscript van diens verhandeling: ,, Bijdrage tot de theorie der Halo-verschijnselen.” De Voorzitter stelt het manuscript in handen van de Heeren J. P. VAN DER Stok en J. P. Küenen met verzoek om rapport, nit te brengen in een volgende vergadering. Voor de bibliotheek wordt ten geschenke aangeboden : a. door den Heer F. A. F'. C'. Went een exemplaar van de dissertatie van den Heer C. Spruit P.Pz. ; ,,De invloed van electroljten op de tactische bewegingen van Chlamydomonas variabilis” en een exemplaar van de dissertatie van den Heer D. F. van Slüoten : ,, Bijdrage tot de kennis der Combretaceeën en Flaconrtiaceeën van Nederlandsch- Indië.” b. door den Heer W. H. Jui.ius, een exemplaar van de. dissertatie van den Heer P. H. van Gitteht : ,,Spectraalvei-schijnselen veroor- zaakt door onregelmatige lichtbreking en hun beteekenis voor de physica der zon.” De vergadering wordt gesloten. I 30 Juni 1919. - h »> ■ 4 ■ ' . ‘ ■" ' ‘ i .: . ; ‘’^-'w .\,- \ \sn"\Vv4^vM; '’ ; '■ ■■' ■'■ l'-'.. , ^v' - ' . ,/ '■■ .■ '. ^!F| ' -*, ■ ■ ■ ‘V 'v' ‘ .■ !>''i"'itV' ' "<■' ^ '• < ' o-.'Hi>'tn t(f iïHi. •''4''^. „ . „ '» ‘o. ('7 rS;’ V. •V( ''^f>; , ‘.h(i ■t'jvfjj , vi. )4R^yJ^. < ' ^ fl^ïAvr Ji'» . ,;i. , ■ ' ’« )J1« n^:■ ïrcif'. < i' '.lf>_i»'f-ii f i ti 1- ‘ ^ : si- 'n < jfVi n’,k /* M' -',1 ‘'fj.. , '-i' ^ t’i'w • JM.t:I?^ ': il -. /' r;M,ri‘Viïj ïi: • ,'! iip ? .JïA’uli'SÏÏ'Ji ' 1 Jik: i ! 1 I KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN TE AMSTERDAM. VERSLAG VAN DE GEWONE VERGADERING DER WIS- EN NATUURKUNDIGE AFDEELING VAN ZATERDAG 29 MAART 1919. Deel XXVII. N“. 9. Voorzitter: de Heer H. A. Lorentz. Secretaris: de Heer P. Zeeman. INHOUD. Ingekomen stukken, p. U62. Advies'van'de Heeren I. K. A. Werjheim Salomonson en E. D, WiERSMA aangaande een request van Dr. C. U. Ariens Kappers om eene Rijkssubsidie voor de uitgave van een werk over de vergelijkende ' anatomie van het zenuwstelsel bij wervellooze dieren, bij gewervelde dieren en bij den mensch, p. 1 163, Advies van de Heeren C. WiNKLER, G. VAN Rijnberk en H. J. Hamburger aangaande een request van de Commissie voor het internationale embryologisch Instituut om toekenning van een Rijkssubsidie, p. 1166. Verslag van de Heeren J. P. VAN DER STOK en J. P. KUENEN over de door den Heer W. Pinkhof ter uitgave in de Werken der Akademie aangeboden verhandeling: „Bijdrage tot de theorie der halo-verschijnselen”, p. 1168. J. Droste: „Over integraalvergelijkingen, die in verband staan tot differentiaalvergelijkingen". 'Aangeboden door de Heeren J. C. Kluyver en W. KAPTEIJN), p. 1170. I. K. A. Wertheim Salomonson: „Over meting der chronaxie", p. 1184. H. HAQA en F. Zernike: „Over thermo-electrische stroomen in kwikzilver", p. 1189. Jan de VRIES: „Een involutie in de stralenruimte, die bepaald wordt door een bilineaire congru- entie van elliptische biquadratische ruimtekrommen”, p. 1197. L. E. J. BbouweR: „Over'topologische involuties", p. 1201. W. DE SitteR: „Theorie der Satellieten van Jupiter, I. De intermediaire baan”, p. 1204 F. M. ijAEGER en J. J. WOLDENDORP : „Onderzoekingen over Pasteur's Beginsel betreffende het Verband tusschen Molekulaire en Kristallografische Dissymmetrie, IX. Over het Kalium-Chroom- Malonaat en zijne Splitsing in de optische Antipoden”, p. 1212. A. W. K. DE JONG: „De trimorphie van het allokaneelzuur”. (Aangeboden door den Heer P. VAN Romburgh), p. 1219. H. B. A. BOCKWINKEL: „Over het teorema van MAC LAURlN in de funksionaalrekening II”. (Aangeboden door de Heeren L. E. J. BROUWER en H. A. LORENTZi, p. 1232. H. P. BarendrechT: „Urease en de stralingstheorie van enzymwerking 11’. (Aangeboden door de Heeren J. BöESEKEN en J. P. Kueneni, p. 1236. A. Smits, Q. L. C. la Bastide en J. A. van den Andel: „Over het verschijnsel na anodische polarisatie", I. (Aangeboden door de Heeren P. Zeeman en S. HOOGEWERFF), p. 1253. A. SMITS: „Over het verschijnsel na anodische polarisatie”, II. (Aangeboden door de Heeren P. Zeeman en S. Hooqewerff), p. 1260. D. CosteR: „Het gebruik van het audion in de draadlooze telegrafie’'. (Aangeboden door de Heeren H. a. Lorentz en h. Kamerlinoh Onnes), p. 1264. ]. A. Schouten: „Over reeksontwikkelingen van ko- en kontravariante grootheden van hoogeren graad bij de lineaire homogene groep". (Aangeboden door de Heeren J. CARDINAAL en H. A. Lorentz), p. 1277. 75 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVU. A“. 1918/19. 1162 .1. WOLTJER JR. : „Over de storingstermen in de beweging van Hyperion, welke evenwijdig zijn met de eerste macht der excentriciteit van Titan”. (Aangeboden door de Heeren W. DE SiTTER en J. C. KAPTEIJN), p. 1293. F. E. C. Schepper en Q. Meijer : „Over een indirecte analyse van gashydraten langs thermodyna- mischen weg en de toepassing daarvan op het hydraat van zwavelwaterstof”, II. (Aangeboden door de Heeren J. BöESEKEN en F. M. Jaeger), p. 1305. C. A. CROMMELIN, J. PALACIOS MartineS en H. KAMERLINGH ONNES; „Isothermen van eenatomige stoffen en hunne binaire mengsels. XIX. Isothermen van neon, van -|-20° C. tot —217° C.”, p. 1316. A. Pannekoek: „Onderzoek van een melkwegvlek in Aquila”. (Aangeboden door de Heeren W. DE SiTTER en J. C. KAPTEIJN), p. 1327. H. Groot: „Over de effectieve Zonnetemperatuur. Eenige opmerkingen naar aanleiding van een artikel van Defant : Diffusion und Absorption in der Sonnenatmosphare”. (Aangeboden door de Heeren W. H. JULIUS en J. P. VAN DER STOK), p. 1342. J. D. VAN DER Waals Jr.: „Over de theorie der vloeistofwrijving”, II. (Aangeboden door de Heeren H. A. Lorentz en J. D. VAN DER WAALS), p. 1350. P. Zeeman en Mej. A. Snethlage; „Proeven over de voortplanting van het licht in bewegende, doorschijnende vaste stoffen”, p. 1360. Vaststelling van de algenieene vergadering der Akademie op 23 April en van de gewone vergadering der Afdeeling voor de maand April op 3 Mei 1919, p. 1360. Het Proces-verbaal der vorige vergadering wordt gelezen en goed- gekeurd. Ingekomen is : 1°. Kennisgeving van de Heeren W. dk Sittëh en H. Kameklingh Onnes dat zij verhinderd zijn de vergadering bij te wonen. 2° Een bericht van het overlijden op 8 F’ebruari j.1. van Prof. Edward Chari.es PiCKERiNG, siiids 1877 Directeur van „Harvard College Observatory” te Cainbridge (Mass.). Dit bericht is met een brief van rouwbeklag beantwoord. Anatomie. — De Heer J. K. A. Wicrtheim Salomonson brengt, mede namens den Heer E. D. Wiersma, liet volgende prae- advies uit: In de vergadering van 22 Februari j.l. werd aan de ondergetee- kenden 0|)gedragen om in de Maartvergadering een praeadvies uit te brengen aangaande 'een request aan Zijne Excellentie den Minister van Onderwijs, Kunsten en Wetenschaitpen, gericlit door Dr. C. ü. Ariëns Kappers te Amsterdam, om een rijkssubsidie te mogen ont- vangen voor de uitgave van een werk over de vergelijkende anatomie van het zetuiwstelsel bij wervellooze dieren, bij gewervelde dieren en bij den menscli. Wij hebben de eer aan deze opdracht te vol- doen en het volgende tot Uw kennis te brengen. Het werk vati Dr. C. U. Ariëns Kappers dat in mann8kri|)t geheel persklaar is, geeft een zeer volledig en uitvoerig kritiscli overzicht over de tegenwoordig verkregen kennis der vergelijkende anatomie van het zenuwstelsel. Dr. Drooglever Fortcyn heeft daarin de evertebrata behandeld, terwijl door Dr. Kappers de vertebrata van af Amphioxus tot en met den mensch behandeld zijn. Een dergelijk wei’k bestaat tot dusverre niet. Het is misschien het beste te verge- lijken met het bekende werk van IjUdwig Edinger dat echter veel beknopter en vooral veel minder volle 17 Februari 1919, heeft de Wis- en Natuurkundige Afdeeling der f Koninklijke Akademie van Wetenschappen de eer het onderstaande ^ ter kennis van Uwe Excellentie te brengen. Gelijk uit den hieraan toegevoegden staat der geldmiddelen van a het Internationaal Embryologisch Instituut blijkt, hebben de inkomsten over het jaar 1918 van dit instituut ten hoogste ƒ 4500. — bedragen. i Want al gaat die staat ovei’ een bedi-ag van ± ƒ 11.000. — , zoo is daariii een batig saldo van f 6801. — over 1917 begrepen, een saldo, zoo groot, omdat het kapitaal nog niet geheel belegd was. Het ligt voor de hand, dat deze inkomsten te geilng zijn om een i soortgelijke inrichting naar behooren in werking te stellen. Na aftrek van het salaris voor directeur ( ƒ 2500. — ) en anianu- 'i ensis ( ƒ 800. — ) is er niet meer dan hoogstens ƒ 1300. — voor : * instrumenten, boeken, chemicaliën en glaswerk beschikbaar geweest. ; a Bedenkt men, dat voor deze niet-pensioen-gerechtigde ambtenaren 4 tractementen van f 4500 — 6000 en f 1500. — waarlijk niet te hoog t zouden zijn, dat er dan van een assistent nog geen sprake is en ■. dat er dan / 3000 — -4500 voor de noodzakelijke onkosten van de verwerking der materialia overschiet, dan mag een subside van i /’ 6000. — niet te hoog worden geacht, als men een zoo nuttige t inrichting met vrucht wil doen werken. Daar de afdeeling er van overtuigd is, ook op grond der argu- meuten dooi' de Commissie van het Internationaal Embryologisch i HB7 Instituut gebezigd, dat het \^an zeer groot belang is, soortgelijke instituten in den tegenwoordigen tijd, zooveel tnogelijk te steunen, is zij van ineening, dat de toekenning dezer subsidie alleszins is aan te bevelen. 22 Maart 19J9. (got.) G. VAN Rijnberk. ,, H. J. Hamburger. „ C. WiNKLER. De vergadering besluit dit prae-advies onveranderd over te nemen en een afschrift daarvan met een begeleidend schrijven aan den Minister te zenden als antwoord der Afdeeling op Zijner Excellentie’s verzoek om bericht en raad. Meteorologie. — De Heer J..P. van der Stok brengt, mede namens den Heer ,1. P. Kl’knen, het volgende vei-slag nit over een verhandeling van den Heer M. Pinkhof, getiteld; „Bijdrage ; tot de theorie der hnlo-verschijnselen.” | De theorie der [larhelia is gegrond, in de eerste plaats op den ! aard der ijskristallen die hierin eene rol spelen, in de tweede plaats ^ op de beelden, die zich door breking en weerkaatsing der lichtstralen aan deze kristallen, bij verschillende mogelijke oriënteering, kunnen ^ vormen. Terwijl — zooals de schrijver dezer verhandeling opmerkt ^ — de eigenlijke mathematische theorie als voltooid kan worden j i beschouwd en ook omtrent den aai’d der kristallen overeenstemming j \ bestaat, blijven er nog verscheidene bezwaren bestaan bij pogingen ; i tot verklaring van sommige zeldzaam en moeilijk waar te nemen j > verschijnselen. j De schrijver tracht deze bezwaren te ondervangen en de tegen- strijdige verklaringen, door verschillende onderzoekers ten beste gegeven, tot eenheid te brengen door omtrent de oriënteering der kristallen een nieuwen factor in te voeren, waarmede natnnriijk een ruimere mogelijkheid van verklaring gepaard gaat. j Tot den laatsten tijd is hierbij alleen rekening gehouden met de j zwaartekracht als oorzaak van oriënteering en is de horizontale i luchtbeweging, de wind, als een storende factor beschouwd, die j oriënteei'ing in alle richtingen te weeg brengt. I De Heer Pinkhof stelt voorop dat, wel is waar, in een homogene, eenvoudige, zich gelijkmatig bewegende ciri'uslaag de wind geen oorzaak van oriënteering ten opzichte van de bewegingsrichting kan zijn, maar dat zoowel de sti-uctuur der wolken als de z.g. valstrepen i er op wijzen, dat \ eelal kristallen door rijzing of daling der luchtlagen, j of ook door eigen val in lagen van een met de hunne verschillende horizontale snelheid terecht komen en dat door dit verschil in snel- j heid ook een oriënteering ten opzichte van horizontaal gerichte ; krachten mogelijk wordt, zij het ook met beperkte percentages. j Uit deze stelling volgt o. a. dat er samenhang moet bestaan ' tusschen zonnestand en windrichting eenerzijds en de frequentie van j ■ halo-\'erschijnselen anderzijds, waarbij voor de laatste dan ook een gunstigste tijd van den dag kan worden aangewezen. i Pene stelling van dezen aard kan alleen getoetst worden aan een I 1 169 uitgebreid waaruemingsmateiiaal, \vaai\ oor de sclirijver gelniiik beeft gemaakt van de halo-verschijnselen samengesteld iti de uitgave N°. 81 van bet Kon. Ned. Meteor. Instituut: ..Onweders, o|)tiscbe verschijnselen enz.”, 1901 — 1910 en van eigen observaties, veiiicbt gedurende de jaren 1917 en 1918. De bewerking van dit materiaal levert den schrijver verschillende bevestigingen van zijne stelling. Daar achtereenvolgens de veie onderscheidene verschijnselen eerst met het doel de gegeven verklaringen te herzien, daarna voor toetsing aan de waarnemingen behandeld moesten worden, was eene misschien niet altijd noodige uitvoerigheid bezwaarlijk te vermijden. De schrijver, bij het Instituut bekend als een ijverig en nauwgezet waarnemer van optische verschijnselen, heeft in deze studie niet alleen een nuttig overzicht gegeven van den tegen woordigen stand van het onderzoek, maar ook een belangrijke bijdrage geleverd tot de theorie der parhelia, die tot hernieuwde beschouwing en be- werking van het aanwezige materiaal kan leiden. De ondergeteekenden zijn, op grond van het bovenstaande, van meening, dat er alleszins reden beslaat tot opneming van deze ver- handeling in de werken der Akademie. (get.) J. r. VAN DEK Stok. ,, .1. P. Koenen. De vergadering hecht hare goedkeuring aan de conclusie van dit verslag om de verhandeling op te nemen in de Werken dei' Akademie. Aan den Heer Pinkhof zal van dit besluit bericht gezonden worden. Wiskunde. — De Heer Klüyvëh biedt eene mededeeling aan van den Heer Dr. J. Droste: ,,Over integraalvergelijkingen, die in verba)i(l staan tot differentiaalvergelijkingen.'’ (Mede aangeboden door den Heer W. Kapïeyn). § 1. Tiissclien lineaire integraalvergelijkingen niet symmetrische kern eenerzijds en lineaire differentiaalvergelijkingen \'an de tweede orde met twee lineaire homogene randvoorwaarden in (f> en “ dx anderzijds bestaat een samenhang, die door Hilbert is uiteengezet in zijn tweede verhandeling over integraalvergelijkingen (Gött. Nachr. 1904, blz. 2J3 en volg.). Nemen wij bijv. in het interval (0,1) de differentiaalvergelijking d^w + (''/■= o, . (1) waai-in g een constante is, dan kan men het probleem stellen, (p{x) zoo te bepalen, dat die functie aan de differentiaalvergelijking vol- doet en tevens twee randvoorwaarden bevredigt. Dit kan alleen voor zekere waarden van n, de zoogenaamde karakteristieke getallen. Kiest men nu een waarde gj, waarvoor het probleem geen oplossing heeft, dan kan men wel een functie K{x,g) vinden, symmetrisch in ■X eïi y, die als functie van .r de integraalvergelijking bevredigt, voor = y een discontinuïteit (een eenvoudigen sprong) in haar afgeleide dK{x,y) heeft en aan de randvoorwaarden voldoet. De karakteristieke Ox getallen en functies van de kern K{x,y) (dat zijn de getallen g en de functies waarvoor (f{x) = g (2) o is) zijn de waarden g en de functies (pi^v) die het gestelde probleem der differentiaalvergelijking oplossen; en otngekeerd leidt het rand- waardenvraagstuk tot de oplossing van de homogene integraalver- gelijking (2). Het is duidelijk, dat niet alleen kernen van de beschouwde soort, ul. kernen die de ditferentiaalvergelijking bevredigen, de functies 1171 tot karakteristieke functies zullen hebben. Moeten de kern en de integraalvergelijking' alleen dienen om het randwaardenvraagstuk tot een ander vraagstuk terug te brengen, dan is het ook niet noodig, andere kernen te beschouwen. Waiuieer echter de integraalverge- lijking gegeven is kan het van veel nut zijn te onderzoeketi of de kern karakteristieke functies heeft, die oplossingen zijn van (l)voor zekere waarden van p. Om die reden schijnt het mij vaii belang algemeen de kernen te beschouwen, welker karakteristieke functies aan (1) voldoen. Dat zeer algemeene klassen van kernen oplossingen van (1) tot karakteristieke functies hebben blijkt wel nit de voor- beelden van § 2 en § 3 die twee willekeurige functies bevatten. § 2. Voor 0 ^ ,r ^ 1 en zal K{.v,y) = F{x^y) + {z) nu nog de eigenschap, dat voor 0 ^ s ^ 1 /X.-fl)=F(e) , {z') in het interval (0,1) ontwikkelbaar in uniform con vergen te-i'eeksen van Fourier, dan zijn deze i'eeksen van den vorm F(z) — F ^ aj, cos {2jrkz~ ajc) , (0 < <( Jr) k=i ct>(z) = F ^ 2nkz, /c=l daar uit {z) zijn continue functies, die alleen voldoen aan de bovengenoemde functio- neele betrekkingen (3), terwijl f1\—z) = Men heeft dan 1 l+a: j F(,r, Fy) coü (2i:ky — ^.V = j F(§) cos (2.i:k^ — 2:i:Lv — o . x Daar de integrand de periode 1 heeft, mag men van 0 tot 1 integreeren inplaats van ,r tot .r-f-i- Daardoor wordt 1 1 j F(.vF y) cos (2alcy — F(S) cos (2.-r/>:i — 2jTks; — o o = cos (2nkx \ ^ F{^) cos {2nk'^)d§ + sm {2jxkx f F{l)siri{2 Tkt)d^. Is ni -f akC0s{2jtkz — ajc) h=i de reeks \an Fourier van F{z) (de reeks behoeft niet te conver- geeren), dan wordt J F{^) cos {2jtk'^)d^ = ^ak cos ak, o o en dus wordt met deze beteekenis van uk {2jTk'è)d^ — ^ak sin nk ƒ F{x I y)cos(2jTky-kak) dy — ^akCos(tkCos{2jikx -j- D{z} de periode 1 lieeft, 1 1 J „ of nt -}- f>k of hk — ak nul is. § 3. Zij l\{x,y) een kern van den vorm A(.fc',?/) = ƒ (a- +-?/) + 7 ...... (5) waai'iu weer /■(3) in (0,2) en (({z) in ( — l,-]- !) is gedetijueerd. Wederom zij 4) — />( 1+2) voor 0(2) = A(2) + A(2-1) , 2r/)(2) = A(2)-A(2-1) voor 0^2<1, waardoor overal K{x,y) de som wordt van een kern als (2) en een kern als (5). Daaruit kan men echter weinig besluiten aangaande den aard der karakteristieke functies van K{x,y). ^ 4, Wij beschouwen thans een veel algerneener geval, differentiaalvergelijking d { dz\ Zij de \q{x) + fij2 = 0 (8) 1176 gegeven ; wij stellen ter bekorting £\xZ = (9) zoodat de ditferentiaalvergelijkmg wordt LrZ 4- f42 = 0 . . . . . . . . (8o) De functie /4(.c) zij eenmaal continu ditferentieerhaar in liet inter- val [a,b), q{ai) zij continu in dat interval. Zij verder K {'c,}/) een sjunmetrische kern voor a $ x ‘^b en (i waarin het substitutieteeken, als steeds voortaan, betrekking heeft op y. Dan geldt de volgende Stelliny l. is y'{x) een karakteristieke fiinctie van, K{x,y), m. a. }o. is L(xqi) Cfix) K(x,y)ry(y)c/y (12) dan is A ,(/.(.r) = Kixry) L,^y {y)dy - /’J L{x,y)(4.iy)dy . . (13) (I a Betoijs. Men heeft h b A,y/ (x) = ;. j L^K ( xaj) 7 {y)dy = l^j,JC(x,y)} qiy)dy 1177 wegens (10). Nu geldt voor twee willekeni'ige tweemaal conlinu dilFerent leerbare functies de zoogenaamde formule \'an Grekn, die voor de functies K{x,y) en ff{y) luidt Daardoor vinden wij Ac(f{ar) = K(x,y) L//{i/)dy—X p(rj) I A'(.v,y)p'(tj) c)A"(.};,ïd !]‘ Snbstitneeren wij nu hierin b ’fin) = ^(>iT;y)^/(,v)d:v, a b = -'/O/Kv, dan verschijnt (13). Siellinc/ II. De iioodige en. voldoende voortoaarde, waaraan, K{ie,y) moet voldoen opdat een volledig .'itel.sel van ortkogonale karakteristieke functies van K[x,y) oidossingen van (8) zijn., is, dat identiek in x en y L{.v,y) — 0 . (14) Bewijs. Sfel vooi’eerst, dat L{x,y) = () is. Indien dan fi(x) -f yi[x~y) = ^l\y — aj. Zij a = 0, 6 = 1 en zij aan (3) voldaan, dan is L(x,y) = ({/^(^+1) + n^-l)\ {F’iy + l) - «P'CV- Di ~ - {FV + D - ^>’{x~l)\{F(yFn + ^^>(iH-l)!) - (<^V) + (x)\{Fiy)—0’(y)\ - \F\x)~fI>\x)\ \F{y) \- <1>(y)\) Is nu aan (3) voldaan, dan wordt L[x,y) = 0. Is aan (6) voldaan, met vervanging van f door F en (y door '/», dan wordt ^(x,y) eveneens nul. In beide gevallen zijn dus de kaï'akteristieke functies oplossingen van (1), hetgeen het in § 2 en § 3 gevondene bevestigt. " Q{x), K(x,b) = 8(x) K{x,a) — T (a;), ^ 5. Wij gaan nu de gevonden voorwaarde (14) van meer nabij beschouwen. Stellen wij ter bekorting — = P(;c), — 1 Oï] |„=ö V dan wordt zij ;)(è) j S(«) P(?/) — Pl.r) S(?/) j =jö(tt) j 7’ (.-?;)<)(?/) — Q(a;) 7’ (jf)| . . (14a) Laat nu vooreerst p{h) 0, yia) 7^ 0 zijn en stel er zijn twee waarden 76* 1180 !/j en y, in {a,b) te vinden, waarvoor /S(yi) P(y,) — S{y^) P{y,) ^ O \s. Geven wij ter bekorting de functies P(y), Q[y), S{y), T{y) voor de argumenten y, en y, aan door P^, enz., P.^, enz., dan wordt (14n), wanneer wij y door y^ en y^ vervangen, p{b)PA^^) - p{b)S,P{^v) =p{a)Q/JX.v) - y(a)7\QG), p{b)P,Siw) - p{h)S,Piw) = p{«)QJ{.v) - p{ayi\Q{^)- Hieruit volgt door eliminatie van P{x) of van S{x) p{b){P,S,~P,S,)S{x) ^p{a)\{Q,S-Q,S,)T{w) 4- {Syi\-SJ\)Q{xy p(b){P^S—P,S;)P(x) = p{a) \{qjy-q^P^)T(x)^ (P,7’,-P,7\)QG-)'. Stellen wij nu p{a) _ y(«) S,2\ — SyJ\ _ ^ pia) Q,P,~q, P, _ p{b)P,s,-p,s,~''' p{i,)P,s~fA-‘' p(i.)P,s,-p,s, p{a)P,T,~P,T, ^ pG)P,S, — P,Si dan worden deze betrekkingen %) = aT{x) + i^q(x), Piv)=: r7’(.r) + dQG'). Men vindt gemakkelijk de betrekking p{b) («d— i'iy) = pia) (17) Dus worden S en P uit T en Q berekend door een lineaire subsi itulie. Vervangen wij deze functies weer door hetgeen zij be- teekenen, dan is dus Dat, omgekeerd, door deze vergelijkingen aan (14) voldaan wordt, volgt hieruit, dat de determinant der grootheden links van het ge- lijkteeken voor twee waarden van .r, stel ,)■ en y, gelijk is aan [ad — /3y) maal die der grootheden rechts en dit laat zien, dat, in verband met (17), aan (14, voldaan wordt. Wij schi-ijven nog even de omgekeerde substitutie \'an (18) op; zij luidt ö^,^l Öy \r,=a K{.T,a) (18«) en nu is y(«) i(('(f'—iÏY')=pib) (17«) J18J Indien het ónmogelijk is, en y^ zoo te vinden, dat 0 is, dan zijn S{y:) en P[x) evenredig en (i4a) leert, dat dan ook Q{x) en T{x) evenredig zijn. Dit kan men ook beschouwen uit (18) te volgen. Is p{a)~Q, /){b) ^ 0, dan verlangt (14a) dat S{x) en P{x) even- redig zijn en daar wegens (17a) dan ook (18) de evenredigheid van S{x) en P{x) tot gevolg heeft, kan men zeggen, dat ook in dat geval (18) blijft gelden. Evenzoo blijft (18a) geldig voor /X6) = 0, /Xa) ^ a. Is p{a) = pib) = 0, dan zal een kern, waarvoor de functies P{x), Q(x), S(x) en T(.v) eindig blijven, steeds aan (14) voldoen, zoodat hare karakteristieke functies steeds oplossingen van (8) zijn. § 6. Uit de voorwaarden (18) voor de kern kaïi men nu zonder moeite voorwaarden afleiden voor de karakteristieke functies. Is cpiix) een zoodanige functie en is h (f i(x) = xj K{x,y)(pi{y)dy, dan wordt duf , / ÖK.{x,y) i -Vi yi p{a) Uy y,- 0 1 ug Xg ys Evenzoo vindt men door vermenigvuldiging met v.,, v^ en v, p{a) vi xi yi V,. X,. y,. — 0 Vs ys Is dus p{a) 7^ 0, dan wordt door ontwikkeling naar de elementen der eerste rij UiiXrys—iVsyr) + ‘Vi{y,.Us — ysUr) -j- yi{u,.Xs — UsXy) z= 0, Vi{Xrys -Xsyr) f XiiyrVg-ygVr) -f yiiyrXs—Vs^,) = 0. Laat nu de indices r en s zoo gekozen zijn, dat — .rsy» 7^ 0 in- stellen wij dan VsUr yrU, UgXr UyXg ygVy PrVs VgXy VyXg ' = a, =r = y, = rf, Xrys—Xgy,. ‘Vyys — Xgy, Xrys—x,y,. Xrys—Xgy,. IJ 83 dan wordt voor alle waarden van / Ui =: u,vi byi, Vi — yxi I (\yi. Men vindt gemakkelijk {uö |?y) {Xrys—^syr) = UrVs UgV,- en dus p{b) (m) = p(a) (21) De gevonden formules luiden (fi{h) = aipi{a) -f ^(pi'ia). (f>ï{b) = Y 'f i(a) 4- • (19) Men overtuigt er zich, in verband met (21), gemakkelijk van, dat (19) aan (20) voldoet. Is voor elke r en s de uitdrukking x,.ys — = 0, dan zijn V/ en xi evenredig en hetzelfde geldt daji van m en u,- blijkens (20). Is p(a) = 0 en p(b)^0, dan leert (21), dat aö — (iy = 0 en (19) dat s 24 x 20 c.M); aan de platinadraden P waren de uiteinden van de koperen toeleidingsdraden naar den galvanometer — een met zijde omwikkelde gummiader-souple-kabel gesol- deerd; de soldeerplaatsen en de niet geïsoleerde platina- en koper- draden zorgvuldig met schellak bedekt en twee meter van den kabel in het water gedompeld, zoodat de verbindingsplaatsen kwik-platina- koper op gelijke temperatuur waren en beveiligd tegen geleidings- warmte door het kwik of het koper. De weerstand van de toelei- dingsdraden, buizen met kwik en de kwikstralen was 1.5 ohm. De gebruikte galvanometer was een door Carpkntier vervaardigde van het TnoMsoN-type, waarvan het magneetstelsel vervangen was door een door de tiiana Siemens en Halske vervaardigd stelsel volgens Dü Bois-Rubens, opgehangen aan een kwartsdraad van 7 p. De weerstand der klossen is 2.7 ohms; de schaalsafstand was 2.8 meter, de vergrooting van den afleeskijker 33 maal. Dooi' regeling van de astasie werd een gevoeligheid verkregen van 1 tti.M. uitwijking door 5,8 X arnp. zoodat, daar de geheele weerstand 4.2 ohm bedroeg 1 microvolt (10~® V.) een uitwijking gaf van 41 m.M. Bij deze gevoeligheid waren we echter verplicht de waarnemingen eerst te h De middellijn van A is ongeveer 7.5 c.M. J 192 doen na het ophouden van het tramx'erkeer ; dan echter was, tenzij j de schommelingen in de magnetische declinatie groot waroi, de atlezing' tot O.i m.M. geheel betrouwbaar. Een der toestellen ABC was bevestigd aan een stevig statief, dat fijn regelbare verplaatsingen in drie loodrecht op elkander staande richtingen toeliet. Ten einde bij de |)i'oeven het kwik op te vangen waren in een i verticaal geplaatste 4 c.M. glazen buis twee van boven open verti- I cale gleuven gemaakt, waardoor de buizen B geschoven werden; i de kwiksti'alen spoten tegen de binnenzijtle der glazen buis en het ! kwik -werd opgevangen in een onder de buis geplaatst bekerglas; j op deu bovenrand der buis werd een houten ring met glazen \’enster gelegd, waardoorheen de stralen door een binoculair microscoop i met J5-malige vergrooting konden worden waai'genomen. I Bij goede openingen in de buizen B ontstonden zeer fraaie kwik- j straaltjes, die over een lengte van een paar centimeter geheel het j uiterlijk hadden van metaaldraden, zoodat ook de dikte, met micros- ' coo|» van oculair-micrometer voorzien, gemeten kon worden; bij de i hier besproken pi-oeven was de diameter van den eenen straal 0.10 i m.M., \'an deu anderen 0.13 m.M. Soms waren op de stralen dik- j kere en dunnere gedeelten; iets verder dan liet gladde deel werden de stralen dotter door het vormen van druppeltjes. Ijiet men den eenen straal den anderen langzaam nadei-en en raakten slechts de oppei-vlakten elkander, zoo behielden de stralen voor het grootste deel hun lichting en vormde zich bij de aanraking een dun vliesje; l»ij centrale botsing der stralen was het vlak van j dit vliesje loodrecht op het vlak der stralen ; het vlies bestond voor I het grootste deel uit fijne druppeltjes. i Voor het verkrijgen van den verwarmden straal was om het | bo\'engedeelte van buis B een 16 c.M. lange, nauwsluitende rood- koperen tuiis geschoven en deze werd door een er onder geplaatste j gasvlam verwarmd ; de temperatuur kon hierdoor ook onder hel | spuiten zeer hoog worden, hetgeen o. a. bleek toen eenmaal, onmid- j dellijk na de proef, de overdruk in A werd weggenomen en het toestel brak door de groote hoeveelheid plotseling zich ontwikkelende [ damp uit de oververhitte vloeistof. Het kwam ons bij dit onderzoek ! niet noodig voor de temperatuur met groote nauwkeurigheid te be- j palen, het was voldoende deze te schatten o. a. uit de hoeveelheid j van den ontwijkenden damp. j Onderstaande tabel geeft als voorbeeld een der genomeri reeksen i van |)roeven die alle goed met elkander overeenstemmen. Daarin zijn de getallen van kolom 2 en 3 de atlezitigen op de schaal in millimeter, 1198 Aflezing op de schaal. Tijd 6 Maart 1919. De kwikstralen raken De kwikstralen raken Uitwijking. elkaar niet. elkaar. IA 21m 154.2 161.9 4- 7.9 153.8 161.9 + 8.0 154.0 161.7 + 7.7 154.0 \h 31m gasvlam onder de koperen buis 153.2 161.4 + 8.3 153.0 161.7 + 8.7 153.0 162.0 + 9.2 152.5 162.6 + 9.8 153.0 kwikdampen zichtbaar I 163.0 + 10.0 153.0 163.2 -h 10.2 153.0 zeer veel kwikdamp 163.5 + 10.8 152.7 163.7 + 10.8 153.0 gasvlam verwijderd 152.7 163.5 + 10.8 152.7 kwik op kamertemperatuur 154.0 162.1 + 8.0 \h 41m 154.2 \h 48^ 155.2 162.8 + 7.6 155.2 Van 1*‘ 27 tot 1'' 31™ waren de kwikstralen onverwarmd en atle- zingen werden gedaan beurtelings zonder dat de stralen elkander raakten en bij aanraking; de uitwijking wordt veroorzaakt door zwakke thermoelektrisclie ki'achten in de keten. Daarna werd de gasvlam onder de koperen bnis geplaatst zoodat de eene kwikstraal voortdurend in temperatunr steeg ; de afwijkingen 77 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII A". 1918/19. werden eveneens grooter. Na het verwijderen der vlam werden de i afwijkingen kleiner om de oorspronkelijke waarde weder aan te | nemen wanneer het kwik de kamertemperatuur had aangenomen, j Bij verwarming van de andere buis waren de uitwijkingen kleiner ; dan bij de niet verwarmde kwikstralen. j Ten einde te onderzoeken of het verschil in uitwijking bij gelijke | en ongelijke tempei'atuur der beide kwikstralen — maximaal 3.2 m.M. | — kon toegeschreven wui'den aan een mogelijke verbinding van i kwik met een der bestanddeelen van het glas, werd een uur lang j voor het begin der proef de eene buis ^ sterk verwarmd, zoodat het ! kwik in deze buis veel meer gelegenheid had een dergelijke verbinding te vormen dan gewoonlijk; gedurende de eerste minuut van de proef zou dan het kwik een andere samenstelling hebben dan daarna en een andere uitslag zou verkregen worden. Van een dergelijk gedrag was ecliter niets te bespeuren, zoodat bovenvermeld ver- | schil niet aan een chemische verontreiniging van het kwik kaïi worden | toegeschreven. 1 Ongedwongen laat zich het verschil, wal grootte en richting betreft, i verklaren als gevolg van de thermokracht tusschen kwik onder druk ^ en kwik zonder druk, welke kracht door Des Coudhes ’) is aange- | toond en later ook door Wagner en Horig gemeten. Hel kwik j stond toch in de glazen toestellen onder den druk der samengeperste | lucht; de kwikstralen bestonden uit kwik onder den druk \'an de atmosfeer en hun aanrakingsplaatsen met het kwik onder overdruk j waren op verschillende temperatuur. j Dat deze opvatting de juiste is werd nog aangetoond door een ^ afzonderlijke proef, waarbij een knie vormig omgebogen nauwsluitend \ glazen buisje over de uiteinden der beide buizen B geschoven werd zoodat de kwikstralen het buisje vulden; een kleine opening aan de ! bovenzijde van het buisje diende als overloop voor het kwik. Werd nu een der buizen B vei'warnid, zoo verkregen we uitwijkingen van geheel dezelfde orde als voorheen terwijl er geen vrije kwikstralen meer waren. Eén verschijnsel werd bij deze proeven opgemerkt, dat door het bovenstaande niet verklaard wordt; steeds was gebleken dat de uit- j wijking bij een zeer oppervlakkige aanraking der stralen grooter ^ was dan bij een centrale botsing: dus bij een fijn contact grooter dan | bij een vol; het verschil nam toe met het temperatuursverschil der i stralen en bedroeg bij de grootste temperatuursverschillen 1.5 raM. j b Des Goupres. Wied. Ann. 43, p. 673, 1891. E. Wagner. Ann. d. Physik. 27, p. 955, 1908. H. Hörig. Ann. d. Physik. 28, p. 871, 1909. 1195 Men zou dit verschil kunnen toeschrijven aan den bij een fijn contacf grootei'en teinperatuursprong en ei' een bewijs in vinden van het door Bened[CKs genoemde fundamenteele efiekt. Men moet dan echter niet vei-geten dat deze tliermokracht slechts bedraagt: 3.5 X 1^'*^ steilen tempei'aluurval van 300° op een afstand van een onderdeel van 1 mM., zoodal bij de werkelijk voorkomende gevallen van thermostroomen met deze geringe kracht geen rekening behoeft gehouden te worden. Ten einde de bovenste grens van deze, eventueel aan te nemen, tliermo-electrisclie kracht voor meer normale gevallen nog verder te kunnen ti'ekken, werd een dnnwandig buisje — wanddikte 0.1 mM., inwendige middellijn ± 0.8 mM. — in liet midden uitgetrokken waar de wanddikte 0.08 mM. en de inwendige middellijn ± 0.3 mM. bedroeg. Dit buisje werd horizontaal geplaatst tusschen de uiteinden van de binzen B\ door een caoutchoucbuisje werd het eene uiteinde met een der buizen B verbonden ; van de tweede buis B werd de fijne opening afgesneden, zoodat hel andere uiteinde van het dunwandige buisje, na omgebogen te zijn, in deze buis S reikte en men, door aanbrenging van geringen overdruk, in de eerstgenoemde bins een langzamen stroom kwik door het buisje kon verkrijgen. Zonder dezen stroom gaf een verwarming van het buisje aan eene zijde der vernauwing niet de minste uitwijking. Nu was de oppervlakte der doorsnede van het kwik in het buisje 0.50 mM\ die van den glaswand 0.38 mM’ en in het nauwe deel resp. 0.08 mM’ en 0.1 mM’; daar het ge- leidingsvermogen voor warmte van glas tienmaal kleiner is dan \’an kwik zal de door HetnEDicks gevreesde iinloed van het glas onder deze omstandigheden slechts gering kunnen zijn. Bovendien kan deze in\doed nog in hooge mate verminderd worden door het kwik te laten stroomen tegen de richting van den warmte- stroom. Bij verwarming van het glas links van de \'ernauwing lieten we het kwik van rechts naar links stroomen zoodat, mocht, ten- gevolge der geleiding van warmte door het glas, het kwik in het nauwe deel verwarmd worden, dit door het stroomende koude kwik vervangen werd, terwijl, wegens de zes maal geringere snelheid van het kwik in het vvijdere dan in hel nauwere deel, de temperatuur in het wijdere deel niet merkbaar verminderd zal zijn. Hierdoor werd een temperatuurval van minstens 250° op een afstand van een paar millimeter verkregen. Daar bij hel doen van deze proef de variatie x an de magnetische declinatie uiterst gering was, konden veranderingen in de aflezingen van 0.1 mM. volkomen nauwkeurig onderkend worden ; zelfs een dergelijke kleine vei'plaatsing werd niet waargenomen, zoodal bij bovengenoemden temperatuursgradient 11* IJ 96 geen thernio-elecfi-ische liracht in kwikzilver bestaan kan grooter j dan 1 X 10-9 Volt. , Wat nu het zoo even vermelde kleine verschil van 1.5 niM. betref! j bij de verschillende wijzen van aanraken der stralen, zoo zou dit ook, zonder een met de temperatunrsgradient samenliangende therrao- j electrische kracht aan te nemen, aan een andere oorzaak kunnen I worden toegescbreven. Uit de gedurende ééne minuut uitgespoten hoeveelheid kwik en de dikte van den straal volgt dat de snelheid ' van het kwik ongeveer 5 meter bedroeg, zoodat de tijd voor den j eenen straal om, bij oppervlakkige aanraking, door den anderen te ; 1 ' gaan minder dan — secunde is. Is het temperatuursverschil der I 5ÜÜÜ0 j beide stralen 300°, dan is het zeer goed denkbaar dat, in het aan | beide stralen gemeenschappelijk deel, de electronen en kwikmoleculen j gedurende dien korten tijd niet in den voor kwik normalen toestand i gekomen zijn, zoodat dat laagje te beschouweri is als te bestaan uit i een ander soort kwik, dat aan beide zijden een verschillende tem- peratuur bezit en dientengevolge een thermo-electrische kracht doet ontstaan. I Naar onze meening heeft dit onderzoek het bestaan van het door I Benedicks gezochte effekt in kwikzilver niet bevestigd zoodat er geen aaideiding is de theorie der thermo-stroomen in den door dezen I onderzoeker veilangden zin te wijzigen. | N atiiur kundig Lahoratorium der Rijks- i Universiteit ie Groningen. ! Wiskunde. — De Heer Jan de Vries biedt eene mededeeling aan over: „Een involutie in de stvalenruim.te, die bepaald wordt door een bilineaire congrnentie van elliptische biquadratische ruimtekrommen” . § 1. De ruimtekrommen van den vierden graad (eerste soort), die elke van twee vaste krommen derzelfde soort in acht punten snijden, vormen een bilineaire congruentie^). Een willekeurige rechte t is bisecante van één dier krommen (>“ ; in haar snijpunt P mei het vaste vlak « wordt zij gesneden door één andere bisecante t' der bedoelde pk De rechten t en t' vormen een paar van een stralen- involutie, welke hier zal worden onderzocht. Elke bisecante b der vaste kromme d’ is singulier voor de con- gruentie [p^]. Immers deze wordt voortgebracht door twee bundels (ƒ) en (y^) van quadratische oppervlakken, welke de vaste krommen en tot bases hebben; de hyperboloïde d*. welke 6 bevat, wordt door de oppervlakken van den bundel (/^) in krommen p^ gesneden, die allen de rechte b tot koorde hebben. De tweede rechte, è*, welke die hyperboloïde door het punt bu zendt, is gemeenschappelijke koorde voor dezelfde krommen pk De bisecanten der basiskrommen d^ en 7“*^ zijn dus niet singulier voor de involutie {t, t'). \ 2. De congruentie [p'*] heeft nog andere singuliere bisecanten 5; op elke rechte .s' bepalen de bundels dezelfde in voiutie ; de rechten s zijn tot een congruentie (7,3) vereenigd "). Door de involutie, welke (d^) en (y’) op s bepalen, worden zij projectief gemaakt. De krommen ok welke elk door twee homologe hyperboloïden worden voortgebracht, liggen op een biquadratisch oppervlak, dat de rechte ,9 bevat. Het heeft met een vlak a door s een kromme ö® gemeen, welke de meetkundige plaats is van de puntenparen, die de krommen buiten s, met 6 gemeen hebben. De involutie dier paren is centraal, d. w. z. de koorden t', welke die paren dragen, komen samen in een punt S van nk Dekoorden t' van elke o\ die op s rusten, vormen een regelschaar; de hyper- b Zie mijn mededeeling: ,,Een hilineaire congruentie van biquadratische ruimte- krommen der eerste soort". (Verslagen XX, 197—201). b T. a. p. bl. 199. 1198 boloïden waarop die scharen liggen, zijn vereenigd tot een bundel, waarvan de basis uit s en o’ bestaat. Daar gaan. De complex- kegel van Q in den complex die bij den waaier (Q,p) behoort, valt uiteen in den waaier den kubischen kegel, welke de door Q gelegde kromme f pi-pjecteert en een kegel van den graad 14; deze bevat de kooi’den, welke de kromtnen p"*, die stralen van (Q.p) tweemaal snijden, nog door Q zenden. De drie stralen t' , welke de kubische kegel in *1* brengt, zijn ieder toegevoegd aan elke der drie in p gelegen ribben, zijn dus driemaal in rekening te brengen. Hieruit volgt, dat de veldgraad der congruentie 23 is. Het beeld van een stralenveld is dus eeri congruentie (24, 23). ( Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt een tïiededeeling aan : „Over topologische involuties'’ . Onder een topologische involutie van de /i* orde eener A-dimensio- nale ruimte F verstaan we een zoodanige verdeelir)g van F in systemen van teti hoogste n punten, dat de verzameling dezer syste- men zicli sitaal (d. i. eeneendnidig en continu) laat afbeelden op een andere ^-dimensionale ruimte M, die we de moduulndmte der invo- lutie noemen. ^ 1. Involuties van lijnen. Zij P een punt van de moduullijn j\[, dat eind|)unt is van een zoodanig segment s van AI, waarvan elk punt n verschillende beeldpunten op de lijn F bezit, terwijl voor P zelf m ^ 1 dezer beeldpunten in een punt Q van F samenvallen. Kiezen we een punt C van s dicht genoeg bij P, dan vallen voor de punten van F in de nabijheid van Q, die nóch aan P nóch aan C beantwoor- den, drie en slechts drie categorieën te onderscheiden; zulk een punt is of beeldpunt van een tusschen C en P liggend punt van Al en kan dan zonder ontmoeting der in de nabijheid van Q lig- gende beeldpunten Z);,/),, .... D,n van C met Q worden verbonden, of beeldpunt van een door C van P gescheiden pnnt van Al, in welk geval het zonder ontmoeting van Q,D^,D^, .... Dm nit de nabijheid van Q kan worden verwijderd, (>ƒ beeldpunt van een door P van C gescheiden punt van M, in welk geval het zoowel zonder ontmoeting van D^,D^,.... Dm met Q verbonden, als zonder ont- moeting van Q,D^,D.^, .... Dm uit de nabijheid van Q verwijderd kan worden. Dit beteekent echter voor in 'f> 1 een onmogelijkheid, zoodat ieder punt van Al noodzakelijk n ver. 'schillende beeldpunten op F bezit. Hieruit volgt onmiddellijk, ten eerste, dat F een gesloten lijn is, ten tiveede, dat de involutie van de orde van F topologisch aequivalent is met een n-periodieke rotatiegroep. § 2. Involuties van oppervlakken. Zij d een zoodanig gebied van het moduuloppervlak AI, waarvan ieder punt n verschillende beeldpunten op het oppervlak F bezit, en P een zoodanig bereikbaar punt van de grens van d, tlat langs 1202 een zekeren uit /? naar P voerenden weg m deze n beeldpunten 1 tot het beeldpunt Q van P convergeeren. Zij j een op M in de | nabijheid van P om P getrokken enkelvoudige gesloten kromme, I k haar op F in de nabijheid \'an Q gelegen beeld. Kiezen we j klein genoeg, dan is een pnnl van F' in de nabijheid van Q, dat j niet aan een punt van j beantwoordt, of beeldpunt van een punt [; van M binnen j en kan dan zonder ontmoeting van k met Q wor- ! den verbonden, bf beeldpunt van een punt van M buiten J, in welk I geval het zonder ontmoeting van k nit de nabijheid van Q kan i worden verwijderd. Daar derhalve k op F twee en slechts twee ! gebieden bepaalt, is k een enkelvoudige gesloten kromme, waai’op de gegeven involiitie van F een involutie met j als moduullijn bepaalt, die noodzakelijk van de orde en derhalve topologisch aequivalent met een ni-periodieke rotatiegroep moet zijn. Hieruit volgt on middellijk, ten eerste, dat de beeldpunten der bereikbare j punten van de grens van d, dus ook deze bereikbare punten zelf j geïsoleerd zijn, dat derhalve die punten van waarvan het aantal ' beeld[)unten minder dan n bedraagt, evenals de correspondeerende beeldpunten zelf, geïsoleerd zijn, ten tweede, dat het oppervlak F als een Riernannsch oppervlak n-hladig ligt uitgehreid over het moduul- ' oppervlak M. ' § 3. Eindige groepen van lijnen. \ I' We beschouwen een eindige groep G van n sitale (d. i. eeneen- | duidige en continue) transformaties met invariante indicatrix van een j lijn F. Daar iedere transformatie van G periodiek is, moet i^nood- ' zakelijk gesloten zijn en kan voor geen enkele transformatie van G een invariant punt bestaan. Zij nu .t een segment van F, waarvan : het eeite eindpunt door de transformatie t van G in het andere [ eindpunt 5, overgaat, dat echter voor het overige geen twee voor G aequivalente punten bevat. Laten 8.^,8^, .... 8m,8,n-{-i = «Sj de punten j van F zijn, waarin /Sj door de achtereenvolgende machten der | m-periodieke transformatie t overgaat. Dan kan geen der segmenten | -Sa*Sa-(-i behalve zijn eindpuntenpaar nog een ander paar van voor G aequivalente punten bevatten, zoodat twee punten van F slechts j dan voor G aequivalent zijn, als ze door een macht van t in elkan- ! der overgaan. Daar derhalve de groep G uitsluitend de machten | van t bevat, is zij topologisch aequivalent met een ?2-periodieke i rotatiegroep, m. a. w. zij is een involutie va7i de orde. j ^ 4. Eindige groepen van oppervlakken. | We beschouwen een eindige groep G van n sirale transformaties | 1203 met invariante indieatrix van een gesloten tweezijdig oppervlak F. Zij P een voor een ondergroep y van G invariant punt, t een (klaarblijkelijk periodieke) transformatie van y. Met de transformatie T van F correspondeert een eveneens periodieke, een beeldpunt van P invariant latende transformatie \ an het enkelvoudig samenhangende overwikkelingsoppervlak van F. Hieruit \'olgt op grond van de rotatiestelling van Kerékjaktó, dat P op F een van voor t inva- riante punten vrije, volledige omgeving bezit, zoodat op F even- eens een volledige omgeving van P bestaat, waarbinnen geen enkele transformatie van y een punt invariant laat. Construeeren we dus om P en voldoende dicht bij P een enkelvoudige gesloten kromme, dan bepaalt deze tezamen met hare beelden voor y een eveneens een enkelvoudige gesloten kromme vormende buitengrens k, die door */ zoodanig in zichzelf getransformeerd wordt, dat voor geen enkele transformatie van y een invariant punt kan optreden. Hieruit volgt on middellijk, dat y door ten enkele periodieke trans- formatie t wordt voortgehrackt. Stellen we nu het systeem der voor G met P aequivalente punten voor door .t, dan levert, als we ^ op de boven beschreven wijze uitbreiden over het enkelvoudig saraen- hangende overwikkelingsoppervlak van F, de rotatiestelling het resultaat, dat in de verzameling der systemen van voor fr aequivalente punten van F een volledige omgeving van .y bestaat, die zich inclusief y sitaal op een deelgebied van een oppervlak laat afbeelden. En hiermede is gebleken, dat de groep G een (overigens speciale) involutie van de rP'’- orde. is. Sterrekunde. — De Heer de Sitter biedt eene mededeeling aan : ,, Theorie der Satellieten vanJupiter. I. De intermediaire baan” . In liet volgende wordt de uitwerking gegeven van de theorie, die geschetst is in mijne mededeeling van 23 Maart 1918. Ik zal hier alleen de uitkomsten vermelden. De berekeningen zullen later uitvoerig gepubliceerd worden in de Annalen van de Sterrewacht te Leiden. De huidige mededeeling bevat de bepaling van de elementen der intermediaire baan. Zooals in de ,, Schets” uitgelegd is, stelt deze de banen der satellieten voor als keplersche ellipsen met de constante halve groote assen a, en excentriciteiten e,-, terwijl de perijovia de gemeenschappelijke retrograde beweging — y.x hebben. In plaats van den tijd gebruiken wij de onafhankelijk verander- lijke T, zoodat de tijdseenheid 1.1221899034 middelbare zonnedagen is. De eenheid van massa is de massa van Jupiter, en de eenheid van lengte is zoo gekozen dat de constante van Gauss ƒ = 1 wordt. Deze lengte-eenheid is a„ = 0.0070854378 astronomische eenheden. De gebruikte massa’s der satellieten zijn -) = 0.00003796 (1 + X,) m, = 0.00002541 (1 + m, = 0.00008201 (1 + = 0.00004523 (1 + ;.J. De massa van de zon is M — 1047.40 (1 -j- ol' il/= 1047.600 Voor de afplattingsgrootheden J en K nemen wij J= 0.02186^(1 4- AJ ^= 0.00259 (1 f A,). Deze komen alleen voor in de combinaties en Kh\ waarvan de geadopteerde waarden zijn, in onze eenheden uitgedrukt /(,.9 46^ = 5.9969318 — 10 log Kh^ — De middelbare afstand van de zon tot Jupiter is, in onze eenheid uitgedrukt /o^A= 2.865871. b Schels eener nieuwe theorie der satellieten van Jupiter, deze Verslagen, Deel XXVI, blz. 1374 en 1476. Zie Annalen van de Sterrewacht te Leiden, Deel Xll, Eerste Stuk, Appendix. J205 De middelbare anomaliëii der satellieten in de intermediaire baan zijn Li = ar en de middelbare lengtes zijn = ^-0 0 f + (Ci — ) T waar de lengte is van de als oorsprong gekozen oppositie van II en III, terwijl = = n,, = lS0°. Men heeft ., = 4 c, = 2 r, = I = 0.43697298 = 0.0144839248. De waarden van Ci, x, M en A worden als absoluut bekend en niet voor verbetering vatbaar beschouwd, terwijl de correcties Xi tot de geadopteerde waarden der massa’s en afplattingsgrootheden in de formules opgenomen zullen worden. De storingsfnnctie is gegeven door de formule (15). *) Deze wordt ontwikkeld tot een reeks van den vorm + i (c,-x)(l— p,) l+m,- ^ (^, -x)(l-pd a/ cos qli mi (Ci—X) (1 — fi,) ® i (pij- p).i-\- qli^ q^lj) . cos (Xj — Xi-\- qli-\- q'lj) 1 -f mi dif 9.9' De bovenste lijn is wat wij zullen noemen het ,,additioneele” deel van de storingsfunctie en bevat de afplattingstermen benevens de termen met den onbepaalden parameter m. Het hangt alléén van de elementen van den gestoorden satelliet i af. De tweede lijn is het principale deel der storingsfunctie. Zoo als zij hier geschreven is geldt zij voor het geval dat de storende satelliet de buitenste is, dus Is de gestoorde satelliet de buitenste, dus i'^j, dan moet de factor ai/a^ vervallen en '^9 9' vervangen worden door Tl _ ’ _^{bji)p. in 9 Deze Verslagen Deel XXVI blz. 1383. 1 K' de bovenste lijn staan ' * “ ‘ 10 O/ In deze formule moet binnen de haak 1 1206 zijn de bekende operatoren van Newcomb, en {hij)jj zijn de eoelïicienten van Laphaar in de ontwikkeling van a' jL. De derde lijn is het complementaire deel der storingsfnnetie. De coëfficiënten verschillen van de gewoonlijk gebruikte door de termen met Jj en Kj. De waarden van (6/)" en zijn gegeven in Annalen Leiden Xll, 1, blz. 22 en 23. | Van deze storingsfnnetie gebruiken wij voor de bepaling van de intermediaire baan alleen het niet-periodieke deel [Ri]. Wij voegen j hieraan toe die termen van het seculaire deel der storingsfnnetie voor de werking van de zon, die geen hoekvariabelen van de zon bevatten. Deze zijn, met voldoende nauwkeurigheid (c,— x)(l— p.) a.' 1 A als de excentriciteit en de helling van de zonsbaan is. De storingsfnnetie is ontwikkeld naar machten van e-i . Daarom heb ik ook in plaats van als onbekende ingevoerd jjjl l — irji". De vergelijkingen die de giootheden p, en e< bepalen worden dan, in plaats van (18) en (19) d [ftd O a d [i^.] d ei y 1 — e;’ 4- >'• e, = 0 Noemt men [R'i] de niet-periodieke termen van de principale en complementaire deelen der storingsfnnetie, dan worden deze beide vergelijkingen xe.’ , 1 4 {ci—x ) (1— p,) {ci—x ) (1— pO da/ = 0 . d ffl',] A, e. 4 2 (c/— ;c) (1 -Pd Ji e/’ t (1-i 0 . de,- A, = X 4 (c/ — x) (1— pd {JiA Ki) 4- 3 (cj—x) (1— Pd ^ " 1 4 w. ' A’ De eei'Ste vergelijking geeft direct p'/= - — — . Dan is a/ 1 — Pi door a.' (Ci — x)’ = (1 4- mi) (1 4 pf). 1207 Voor de opiossing van de vergelijkingen (1) en (2) zijn wij uit- gegaan van de benaderingen log2i, = 9.5997740— 10 = 9!8015496— 10 = 0.0042524 %a, = 0.2494696 e, = 0.00404164 e, = 0.00936330 e, = 0.00059680 e, = 0 De coëfficiënten van Laplack behoorende bij deze waarden van a/ werden afgeleid uit de door Souillart gebruikte waarden, door de vereischte correcties toe te voegen om Souillart’s resultaten tol onze waarden voor de verhoudingen der halve grootte assen te herleiden. Daaima werden met deze coëfficiënten de in de verge- lijkingen (1) voorkomende operatoren van Nkwcomb, en de andere coëfficiënten van die vergelijkingen, bepaald, en uil deze vergelijkingen de waarden van o[)gelost, en de hiermee overeenkomende waarden van a; berekend. De coëfficiënten van Laplack werden dan op deze nieuwe waarden van a^- gereduceerd, en nieuwe waarden van p'/ werden bepaald, die slechts onmerkbaar van de eerste afweken. De zoo bepaalde waarden van a, werden als definitief beschouwd, en werden gebruikt als grondslag voor een geheel nieuwe berekening der coëfficiënten van Laplack. Met deze coëfficiënten werden dan de voor de vergelijkingen (2) noodige operatoren van Nbwcomb gerekend. De vergelijkingen (2) zijn niet, als (1) onafhankelijk van elkaar, doch moeten door succes- sieve benadering worden opgelost. De benaderingen, die zeer snel convergeerden, werden \oortgezet zoolang de negende decimaal van e, er nog door veranderde. De aldus afgeleide waarden van ej zijn de definitieve. Zij werden nog in plaats van de eerst gebruikte in de vergelijkingen (1) gesubstitueerd, doch dit gaf geen verandering meer in de waarden p',- en a/. Hiermede zijn dus de elementen van de intermediaire baan bepaald. De verschillende termen waaruit p'ï is opgebouwd, worden hier gegeven. De termen gemerkt „acid.'’ zijn de tweede en derde van de formule (1), ,,jt” is de vijfde en „zon” de vierde, terwijl het effect \'an den laatsten term voor iedere storende satelliet afzonderlijk gegeven wordt. De grootheden x en e/ worden ais van de eerste orde beschouwd, de massa’s en Ji zijn van de tweede orde, een tei m die den factor me“ bevat, is dus b.v. van de vierde orde. Wij vonden b Zie Leiden, Annalen XIl, 1, blz. 52 en 53. b De berekeningen we.fden uitgevoerd met twee decimalen meer dan hier gepu- bliceerd worden. Daardoor kan het voorkomen dat de som der afzonderlijke termen een eenheid der laatste decimaal verschilt van de som. 1208 : add. 2e orde + -000 62824 j 4^ -000 62826 4e + 2 1 1 ^ ■n 3e ,, - 3 zon 3e ,, 8 TO, 2e n - -000 00552 . 3 M + 48 _ 507 4e n — 3 * r>h : 2e _ 303 : 2e — 27 fV, : = + -00061977 fi', : add. 2e orde -f -000 24791 1 j + -000 24794 4e n + 3 ' K 3e „ — 32 zon 3e ,, - 34 2e + -000 05599 j 1 3e ,, — 281 . + 5328 4e + 10 ' 1 m, ; 2e ,, — -000 01761 1 3e ,, -f 157 — 1609 4e ,, — 5 1 ni^ : 2e — 119 o'. = = + -000 28328 ; add. 2e orde + -000 09739 zon 3e ,, — 136 TOj 2e ,, + 4313 7» 2 2e ,, -f- -000 03738 3e ,, — 114 + 3628 4e ,, + 3 Mi- 4 : 2® n — 643 = = + -000 16901 4 • add. : 2e orde + ‘000 03148 zon : 3® ,, — 741 m, : 2e „ + 3946 7n, : 2e „ + 2816 m, : 2e „ + 11069 = + -000 20238 Hieruit vindt men 1209 log Hj = 9 559 77215 — 10 -|- ö log log = 9'801 46241 — 10 -f ölog log a, = 0*004 26052 -(- d log a^ ■ = 0-249 49217 (Uog a, De coi'recties ö log txi zijn toegevoegd oin rekening te kunnen houden met eventneele correcties /,■ tot de massa’s en de afplattings- grootheden. Stelt men tevens et = e.o (1 + ht) dan kan ook de onzekerheid der coëfficiënten e,- in i-ekening gebracht worden. Wij vinden 10^ dlog a^ = f 907 -f 2 + 55 — 7 A, — 4 ;.3 - - 1-0^ d log a"= + 359 + 77 .t, d- 22 A, — 22 A, — 2 A, — — ï;, 10^ öloga, == + 140 A„ + 62 A, -f 52 A, + 119 A3 — 9 A, — 10^ dlog a, = + 45 A3 d 57 A, -f 41 A^ T 160 A, + 66 A, Voor de coëfficiënten Ai van den eersten term der vergelijkingen (2) vinden wij: I 11 111 IV ■n 0-014 48392 0 014 48392 0-014 48392 0-014 48392 add. 2 50655 49242 9599 1330 zon . 50 100 201 469 Ai 0-016 990:'7 0 014 97735 0-014 58198 0.014 50191 De tweede term is te verwaarloozen voor de satellieten lil en IV. Voor I en 11 geeft hij een bijdrage van resp. — 2 en — 5 eeidieden der 8® decimaal tot e,. Voor den derden tei-m vinden wij 1010 (1 ni.^ : 2e orde — 752429 1 3e „ + 43589 1 f 710677 4e n — 1908 i 5® V + 73 1 1 6® „ — 3 1 m, : 3e „ -1 801 1 793 4e 7 I d- : 3e ,, + 70 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. A". 1918/19. — 709814 78 1210 ö [R' l öe, : 2e orde - 312553 1 3e ” +- 72951 1 3396 / 1 } — -242876 4e 5e T’ 125 1 1 6e „ — 3 1 m, : 2® orde — 1198671 3e - + 42122 1 1 1157462 4e M — 930 1 5e ,, + 18 * m. : 3e M + 368 — 1399970 mj : 3e orde - 75 1 1 t 72 4e ,, + 4 1 m, ; 2e „ - 100444 , 3e 4- 13874 1 86928 4e M — 366 j 5e ,, -4 7 ! "0 ; 3e 77 — 86923 d IR\] ; m, 3e orde 4 5 f de, m, 3e M + 51 m, 6e — 71 - i5 De termen van de 6e orde zijn niet direct berekend, maar ver- kregen door extrapolatie. Men vindt hieruit : e, = 0-004 17757 (1 + r/,) e, — 0-009 34720 (1 4- e, = 0-000 59610 (1 f ij,) e, = 0-000 00010 (1 4- Voor de waarden van vind ik = _ -14356 — -00049 - -00683 -f -98651 A, - 03338 A, — — -01 = 009 A, 4 -021 + -001 — -140 + -006 A,A, — 1‘211 — -006 -f -001 - -013 a/ + -034 a.,a, -02 a/;., = - -02951 A„ + -16326 A, — -01272 /,., + -77826 A, - -00024 A, -|- + -001 A„* — •002 A,A, 1 •002A,A., — •024A„A, — -OOÖA/^ + -010 A,A, + -030 A,A, -OOI A,A, — -018 A^ T(, = - -0023 A„ — -0215A, h '9878 A, — 1068 A, — -0008 A, -- -02 A,A,— — -01 A,’ = -f 0-1 A„ l-O A, + 1-0 A, + 1-6 A. - A.A, + 2 A,A, De coördinaten der satellieten in de intermediaire baan worden bepaald door de formules r'i = ai Qi, wi — A„„ d-'^i'o "h ~ -b Ei — — Aj'j -j“ ^0^ Ei, waar 9, en Ei de gewone elliptische waarden voor den radius- vector en de middelpuntsvergelijking zijn. Men heeft, in astronomische eenheden : loga, = 7-450 13884 -- 10 ^^^ 7-651 82910 — 10 %aB = 7-854 62721 — 10 log a, = 8-100 30886 — 10 Dit de gevonden waarden van 1.000 00873 — -004 17755 c-o.? 4t — 873 C03 8t — 3 cos 1 2t p, = 1-000 04368 — '009 34684 6-os2t — 4368 cos 4t — 36 cos 6t Z= 1-000 00018 — 5961 0 cos T — ' 1 8 cos 2t !, volgt: = -f 0"-478714sm( 4r -f 1250 «Mi 8t f 5si«12T E^ — ^ 1“. 071098 sin ‘2t 6258 sin 4t -f- 50 sin 6t £, = -f- 0“-068308 sin r -|- 25 sin 2t 9, = 1 — -000 00010 co.sc,T .E, = + 0“. 0000 12 sin o, T De ongelijkhedeti in lengte zijn hier in graden uitgedrukt De hoek t wordt geteld van af de oppositie van 11 en lil op 1899, Juni 28, 11» 47'» 35* midd. lijd van Greenwich. (Zie ,, Schets”, biz. 1384, noot). 78* Scheikunde. — De Heer Jaegf.h doet, mede namens den Heer J. J. WoLDENDORP, een mededeeling: „Onderzoekingen over jr Pasteur’s Beginsel betreffende liet V erband tusschen Molekulnire ' ■* en Kristallogra/ische Dissgnietrie. IX. Over het Ka/ium-Chrooni- i Malonnat en zijne Splitsing in Optische Antipoden’'-. -■ ^ 1. In aansluiting bij de met sncces iiitgevoerde splitsing van het raeemisclie Kalium- Rhodium-Maloiiaat in zijne beide optische anti- poden '), werden pogingen gedaan, om ook de complexe malonaten van de overige driewaardige metalen dezer reeks te verkrijgen, eq deze in hunne optiscli-actiève componenten te splitsen. Deze be- moeiingen waren tot dusvei'i'e vruchteloos in het geval van het overeenkomstige kobalti-zout, en wel uit hooide van de buitengewoon geringe stabiliteit van het kalium-kobalti-nnilonaat, hetwelk zich in oplossing, zelfs in het donker, snel door hydrolyse ontleedt en tot kobalto-zo\\{ gereduceerd wordt. | Daarentegen bleek het wèl mogelijk, om het kalium-chroom- malonaat in zijne optische antipoden te splitsen. Weliswaar worden ; deze proefnemingen buitengemeen bemoeilijkt door de omstandigheid, ! dat de optisch actieve componenten in oplossing zeer snel auto- racemiseeren, alsook door de groote oplosbaarheid en andere minder gunstige eigenschappen dezer c/o’00??i-verbinding, zoodat de résultaten dan ook niet die scherpte bezitten, welke men in de tot dusverre onderzochte gevallen steeds kon bereiken. Nochtans kan omtrent deze proeven hier het volgende medegedeeld worden. ^ 2. Het voor deze proefnemingen noodige racemische zout, werd op de volgende wijze verkregen. Eene oplossing van 15 gram kaliumbichromaat en 35 gram zuiver nialonzuur werd op het water- bad verwarmd : de vloeistof begint zich dan na korten tijd onder kool- zuur-ontwikkeling donkerder te kleuren. Als de reactie afgeloopen en de koolzuurontwikkeling ten einde is, wordt de oplossing geneutraliseerd met behulp van 15 gram koolzure kali, zoodat zij | teïislotte zwak alkalisch reageert. Eene geringe overmaat van alkali 1 is gewenscht, aangezien zich uit zure oplossingen moeilijk kristallen vormen ; zulke zure oplossingen leveren namelijk bij concentreeren 1) F. M. Jaeger en W. Thomas, deze Verslagen 27. 93. (1918). 12J3 slechts eene strooperige massa. Zelfs ondanks de zooeven genoemde voorzorgen zetten zich in hel algemeen slechts onvolkomen ont- wikkelde kristallen met gebogen vlakken en afgeronde ribben af, die nauwkeurige meting niet toelaten. Door zeer langzame verdamping van de waterige oplossingen van het zuivere zout werden tenslotte toch nog enkele beter gevormde, donker gekleurde prismatische kristallen, of parallelogramvormige plaatjes verkregen. Volgens analyse bevatten zij drie molekulen kristalwater. A := 111° 18'. B= 121° 16'. C= 67° 53' Waargejiomen vormen - ^ 3. Het racemische kalium- chromi-malonnat ■. /r,j6V(C8^/jOj,! + -j- SH,0 is triklien-pinakoïdaal, evenals het overeenkomstige ferri- zout, waarmede het echter, ondanks enkele analogieën in boek- waarden, 7iiet isomorf is, — zooals trouwens reeds het afwijkende watergehalte (het ferri-zoui heeft 4:H,0) laat verwachten. De assenverhouding is: a:5:c = 2,4578; 1:0,9907. o = 134° 52'. /?= 139° 37'. y= 44° 48'. b — jOlOj, overwegend, vrij Mi i g anz nd, doch veelal gekromd en veelvoudige reflexen leverend ; a = jlOOj, sterk glanzend, doch veel smaller dan ft; p = j510}, breeder dan n, en meestal met gekromde vlakken ; m = jllOj, smal, doch goed spiegelend; c = {001|, ongeveer even breed als p, en zeer glanzend ; g = jOl 1 1, veel smaller dan c, doch goede spiegelbeelden leverend ; r = jÏ01j, slechts ondergeschikt en smal, slecht ontwikkeld, maar scherpe reflexen gevend ; e = j3 5 3j, goed ontwikkeld, soms afwezig, en steeds glanzend. De kristallen hebben den vorm van dikke plaatjes ^ volgens twee parallele vlakken van ft, of wel van Èacemis!h Kalium- prisma’s, met verlenging in de richting n an de Chroom-Malonaat. c-as. (Fig. 1). Hoekwaarden : Gemeten ; Berekend ; b-.c =(0!0):(001)=* 68042' - =(001);(100)=* 58 44 — 6:m = (010):(110)=* 26 21 — m-.a =(110): (100)=* 85 46 ~ c.q =(001):{OTl)=* 51 45 — 1214 Hoekwaarden : Gemeten : Berekend : a.r =(100):(10T) = 97 26 97° 34' r-.c =(10T);(OOT) = 23 50 23 42 a-.p =(100):(5T0) = 48 25 48 17 p-.b =(5TO):(010) = 19 38 19 36 ; b-.o =(010): (353) = 34 57 34 34 Eene duidelijke splijtbaarheid werd niet gevonden. De kristallen zijn duidelijk dichroïtisch ; paars en groen, doch dit dichroïsrne is op {01 Oj niet merkbaar . De nitdoovingsrichting op b maakt met de c-as een hoek van 23' =, en deelt den scherpen hoek tusscheii de ribben ni : h en c : h ongeveer midden door. In convergent licht ziet men ééne optische as uittreden onder kleinen hoek met de normaal op jOlOj ; enorme dispersie, met den assenhoek voor rood grooter dan die voor groen. \ 4. Het kaliumzont werd in oplossing met behulp van de be- rekende hoeveelheid hariwnchloride omgezet in het overeenkomstige i hariiimzowx, aan hetwelk volgens de analyse de formule; | toekomt; het üa-gehalte is 31.19 7o. het watergehalte 12,46 7o- kleur van de èn!rm??i-verbinding is licht violet, met grijzen weerschijn. De splitsing van het zout in zijne optische antipoden geschiedde in dit geval met behulp van het strychnine-zowi. Daartoe werd het l zooeven genoemde hariiun-zowt eerst door de berekende hoeveelheid 1 N. zwavelzuur omgezet in eene oplossing van het vrije, complexe chroom-ynalonzuur ; Ei\Cr{C^ Te dien einde werden 10 gram van het bariumzoni met 35 ccm. N. H^SO^ gekookt, na een half uur het BnSO^ afgefiltreerd, en de oplossing verdund op 80 ccm.; aan deze oplossing werden bij kook- hitte 13 gram zuiver strychnine toegevoegd, de vloeistof snel gefil- treerd in een met ijs en keukenzout gekoelde kristalliseerschaal, en vervolgens aan zich zelf overgelaten. Het in glinsterende, grijs-violette plaatjes uitgekristalliseerde zont werd afgezogen, en door wasschen met aether snel gedroogd. De strychnine-hQ\)&\\x\g, alsook de water-bepaling, maken het waar- schijnlijk, dat de aldus verkregene verbinding een zuur zout is van de samenstelling: H \Cr{C^O^HJ)di -\- ^0 ■, het is, zooals blijken zal, een derivaat van het /«i^,?draaiende chroom- m.alonzuur-\on. Met behulp van oplossingen, die resp. 0,2515 gram {A), 0,7515 gram (B), en 0,1791 gram [C) strychnine-zowX in 100 ccm. oplossing bevatten, werden voor eene reeks golflengten de specifieke en mole- 1215 kulaire draaiingen bepaald; de buislengie was in elk geval 20 c.in. Later werden deze proeven nogmaals met verschillende andere prae- paraten herhaald, en met oplossingen, die resp. 0,2805 gram (D), 0,3830 gram {E), en 0,2225 gram [F) van het strychninp.-zo\\{ in 100 cem. der vloeistof bevatten. De volgende waarde voor het raolekniaire draaïingsvermogen \M~\ werd in deze gevallen gevonden : Molekulaire Rotatie- Dispersie van het linksche StRo H jCR (€304112)31 f 3 O. Golflengte in ‘ Angström- Eenheden: Waargenomen Molekulaire Rotatie' s: Waar- schijn li/k- sie Waarden voor [MJ-. A B C i D 1 ! E F 4860 -f 12465° -f 14170° + 13589° -f 9827° — + 10203° + 14000° 5030 14217 14889 14194 10213 12280 11664 + 14890 5180 j 16763 15971 16005 12334 13545 14497 + 16760 5340 13754 15032 14591 10405 12421 11176 + 15000 5510 10960 1 — 8981 6166 - 6071 + 10500 5700 430 - 2718 1927 - 1944 -1- 1900 5800 - - - - — 3886 — 3900 5900 - - - 2508 — 6552 _ - 6802 - 6600 6020 - - - — 4817 - 4859 - 4850 6140 - 3009 - - 2718 3083 - 2430 - 2400 6380 -L 1504 f 3453 -t- 4229 + 2119 + 2229 -f 2186 + 1800 6660 2364 4028 2178 2698 2722 2676 4- 2700 Het karakter der dispersie-kromme is in fig, 2 met behulp der in de laatste kolom vermelde, meest waarschijnlijke middelwaarden voor [M^ gegeven ; de betrekkelijk aanzienlijke afwijkingen tusschen de verschillende waarnemingsreeksen moeten grootendeels op rekening gesteld worden van de alreeds ingetreden, gedeeltelijke racemisatie der oplossingen. Echter geven de metingen toch een globalen indruk van het algemeene karakter der dispersie. Het algeheele verloop der dispersiekromme van het strychnine-zout herinnert volmaakt aan dat van de overeenkomstige lijnen bij de kaliumzo\\{ex\ van het chroom-, en van het kohalti-oxaalzuur \ dat karakter is trouwens tevens analoog aan dat van de kromme voor 1216 liet vrije kaliuni-chroom-malo7inat (zie beneden). De auloraceniisalie der oplossingen is niet te verhinderen; om haar ietwat te vertragen /// werd in enkele gevallen gebruik gemaakt van oplossingen in' :50 7» aceton. De absorptie-banden dezer oplossingen liggen ongeveer in de nabijheid van 5910 A. E. en van 4570 A. E. Bij pogingen, om het strycimine-zowt door omkristalliseeren te zuiveren, bleek het zóo snel te racemiseeren, dat lietAenslotte slechts draaïingen vertoonde, aequivalent aan de hoeveelheid van het daarin bevatte strychnine; het daaruit vrijgemaakte kalinmzoui bleek eveneens geheel en al inactief te zijn. Het is dus wel uitgesloten, om langs dezen weg betere resultaten te verkrijgen. § 5. Uit het linksdraaiende strychnme-zowi werd nu getracht het optisch-actieve kaliuinzowi te winnen, door het in een mortiertje met zijn tienvoudig gewicht aan samen te wrijven, zeer weinig koud water toe te voegen, het strycJmine- jodide snel af te zuigen, en de getiltreerde vloeistof met alkohol van 96 Ve praecipiteeren. 1217 Daarbij slaat liet kaliuDi-’/mxi echter niet neer in den vorm van Jkleine kristalletjes, maar in dien van kleine bolletjes eenei- strooperige, donkergekleurde vloeistof. Zeer waarschijnlijk is dit weder een zxulv zont, dat moeilijk en althans pas na langeren tijd vast wordt, en dat zich dns ook niet terstond door filtratie van de moederloog laat scheiden. Het is dan ook slechts inogelijk, om \'an deze zelfstandig- heid de specifieke draaiing bij benadering te bepalen, terwijl het ook niet wel mogelijk is, om er eene vertrouwbare analyse van nit te voeren. In een aceton-water-mengsel werden de volgende waarden voor de specifieke rotatie [n] gevonden : Golflengte in Angström- Eenheden: Waargenomen draaiing: Specifieke Rotatie [yj: Berekende Molekulaire Rotatie [M], voor een sout : K.iH[Cr(C^O,H2h\: o o o 4860 -f 0.48 + 123.1 + 5385 5030 0.61 156.4 6840 5180 0.69 ! 176.9 7740 5340 0.60 153.8 6720 5510 0.29 74.30 3250 5700 + 0.09 (?) + 23.08 (?) -f 1030 (?) 6140 — 0.21 — 53.85 — 2360 6380 0.09 ! 23.08 1030 6660 • 0.00 - De waarden voor [J/] in de vierde kolom zijn berekend bij de onderstelling, dat men hier met een kalium-hydro-cltroom-vialoixaat te doen heeft van de samenstelling: K^H\Cr{C^O^Hdi\- Aangezien het zont zeker nog kristalwater bevat, zoo moeten deze waarden alle wel een 15 "/o gi’ooter zijn, doch dit kan thans niet nader geveri- fieerd worden. (Zie ter xergelijking met het corresp. striichnine-zowi, eveneens tig. 2). Alle pogingen, om ook den rechtschen component in handen te krijgen, mislukten; zelfs de door Werner bij het overeenkomstige complexe chromi-oxalaat met succes gevolgde methode, nl. om uit alkoholisdie oplossingen het struchnine-zowt van de andere antipode te winnen, — leverde hier nimmer iets anders dan een zont, hetwelk slechts het draaïingsvermogen van het daarin aanwezige strycluiine 1) A. Werner. Ber. d. d. Cliem. Ges. 45. 3063, 3064. (1912). 1218 vertoonde, en waaruit door KJ enkel een volkomen inactief kaliuni- /üut gewonnen kon worden. Onder deze omstandigheden treedt dus blijkbaar öf geene splitsing, bf, waarschijnlijker, eene zeer snelle antoracemisatie in. Proefnemingen met analoog-gebonwde zoniQiw SiW \\q{ wijnsteenzuur leverden tot dusverre, wegens de bezwaren bij de splitsing onder- vonden als gevolg van de bijzondere oplosbaarheidsverschijnselen, geen positief resultaat. Laboratorium voor Anorganische en Fysische Chemie der Rijks- Universiteit. Groningen, Maart 1919. Scheikunde. — De Heer van Romburgh biedt eeiie mededeeling aan van den Correspondent Dr. A. W. K. df, Jong te Buiten- zorg, over: ,,De trimorphie v. 1918/19. 1226 van liet 68° zuur, die bij gewone temperatuur vrij van kernen was gemaakt. Deze oplossing werd in de kolfjes verdeeld, een snelle luchtstroom doorgevoerd en daarna werd, nadat de watten prop onder den aanzet geplaatst was, een groot deel van het oplosmiddel door distillatie verwijderd. Hierna had het afkoelen plaats. Gevonden werd, dat zoowel als de begintemperatuur --10° was als wanneer zij — 16° was, enkele malen het 58° zuur ontstond, maar dat het meest het 68° zuur gevormd werd. Benzoloplossingen op overeenkomstige wijze bereid gaven bij — 10° alleen bij uitzondering een omzetting te zien, waarbij dan het 68° zuur optrad; bij — 16° ontstond steeds na 24 uur het 68° zuur. Verder werden nog aan kristallen van het 42°, het 58° en het 68° zuur in de .kolfjes met de watten proppen enkele druppels van de oplosmiddelen gevoegd, zoodat er nog kristallen overbleven. Het oplosmiddel werd door het wattenpropje in de glazen buis in de kolf gebracht, waarbij het buiten de kurk stekende deel van de glazen buis eerst verhit werd om infectie te voorkomen. Gevonden werd dat het 58° en het 68° zuur niet veranderd werden, het 42° zuur echter wel, waarbij dezelfde omzettingen ais met de oplossingen werden gevonden. Daar door Stobbe en Schönburg') werd medegedeeld, dat het 42° zuur en ook het 58° zuur in vasten toestand bij afkoelen in ijs en keukenzout in het 68° zuur overgaan en de door mij verkregen resultaten aanleiding gaven om aan de juistheid van het door ge- noemde onderzoekers medegedeelde te twijfelen, werden ook de vaste stoffen in de kolfjes met wattenproppen, na vooraf zorgvuldig gedroogd te zijn, (bij het 42° zuur wei'd de kolf op 80° — 90° ver- hit) gedurende 6 dagen in ijs en keukenzout gekoeld. Het bleek dat geen van de 3 zuurvormen door het koelen veranderde. Daar Stobbe en Schönburg steeds met capillairen hebben gewerkt, werd nog een hoeveelheid van de gedroogde zuren uit de kolfjes in capillairen verdeeld. Ook deze vertoonden na 6 dagen koelen geen srneltpuntsveranderingen. De vaste stoffen worden dus bij deze wijze van koelen niet om- gezet. Is het 42° zuur echter vochtig dan kan omzetting plaats hebben; hiei-aan zijn zeer waarschijnlijk de door genoemde onderzoekers medegedeelde omzettingen van dit zuur te wijten. De omzetting van het 58° in het 68° zuur bij koelen door hen medegedeeld, is niet te begrijpen of men zou moeten aannemen, dat h l.c. 218, 236. 1227 zij voor liet koelen eigenlijk maar 10 buisjes gebruikt hebben, die na bepaalde tijden op hnn smeltpunt onderzocdit werden. In tlal geval is de kans toch niet uitgesloten, dat het 42° zniir zich vormt door het smelten, daar dit in ca[)illairen gemakkelijker [ilaats heeft dan men uil de opgaven van genoemde onderzoekers (blz. 239) zon opmaken. Uit het 42° znnr in vochtigen toestanil zon dan het 68° zuur gevormd zijn. Verder zou uit het onderzoek zijn af te leiden, dat er een groot verschil bestaat tusschen dubbelmoleculen en kei'iien. De omzettingen toch, welke werden medegedeeld, hebben .alleen plaats in oplossingen van voldoende conceniratie, terwijl zelfs een chloroform o[)lossing die 35.47o (gewichts) allokaneelznur bevatte en waarin dus zeker dubbelmoleculen waren geen omzetting na 6 dagen koelen vertoonde. Het wil me voorkomen, dat dit hierdoor te verklaren is, dat alleen oplossingen, die kernen bevatten, veranderd kunnen worden en dat er maar één soort dnbbelmoleciden bestaat. De voorstelling van van oer Waals, dat dubbelmoleculen slechts bestaan in een tijdelijke nadering van de enkclmoleculen zou hier- door aan waarschijnlijkheid winnen. Het verder onderzoek moet hierin nog heldeidieid brengen. In de kernen heeft men dus een l)epaalde plaatsing van de mole- culen; het zijn de kleinste deeltjes van den vasten toestand; de eenvoudigste kern zal uit 2 moleculen kunnen beslaan. Een binding van die moleculen door de cai'bo.x.ylgroepen is niet noodig om het bestaan van de verschillende isomeren te verklai-eji, daar zooals do(U' mij werd gevonden ook het cumarine, dat geen carboxjlgroep in het molecule heeft, een metastabielen yorm bezit. Veel meer schijnt het me toe, dat in de dubbelbinditig de oorzaak van het optreden van verschillende isomeien moet gezocht worden. Hierop hoop ik binnenkort terug te komen. Een volgend argument voor de isonierie van het 42° en 68° zuur zien de genoemde onderzoekers in het beslaan van ,,Lösungsgemische'’ van deze zuren (blz. 200). Dat hierbij de kernen van de oplossing een rol gespeeld hebben is uit hel voorgaande duidelijk. Deze proeven hebben Stobbe en Sghönbürg echter op den verkeerden weg gebracht. Waai' zij meenden gevonden te hebben dat ,,ln jedem Eiiizelfalle als Verdampfuiigsrückstand 68°-Saure erhalten wird iiach einem (Tesamlzusalz von 2.9 — 4.1 Froz. 68°-Saure, d. h. waren weniger als 2.9 Proz. 68°-Saure zur 42°-Saurelosung zugesetzt, so schmolz der Verdampfungsrückstand bei 42°; betrug der Zusatz mehr als 4.1 Proz. 68;'-Sanre, so zeigte der Verdampfungsrückstand den Schmelzp. 68°”, zoo komen zij er toe de distillatieresten als mengsels 79* 1228 van 42° en 68° znnr te beschouwen. ,,Wenn, wie oben gezeigt worden, die Ijösung der 68°-Saure verschieden von der Lösung der 42°-Saui-e ist, nnd wenn nach Zusatz von wenig 68''-Saurelösung zur 42°-Saurelösnng ein bei 42° schinelzender Verdampfutigsrückstand erlialten wird, so kann dieser nicid i-eine 42°-Saiire (test) sein. Es mnss vielniehr ein Geniisch der beiden isonieren Saure sein”, heet het op blz. 204. Aangenomen wordt dan, dat er vaste oplossingen van deze vormen bestaan en dat de kristallen mengkristallen van 42° en 68° zuur zijn. Dat deze hypothese allen grond mist is uit hel voorgaande wel duidelijk. Ook is zij theoretisch, van het door de genoemde onderzoekers ingenomen standpunt, niet vol te houden. Men zou toch, wanneer het 68° en het 42° zuur chemisch verschillend zijn en dus ooi het iiifectievermogen van het 68° zunr in ’t rnolecide aanwezig moei zijn, wiet kunnen verklaren, dat een kern van het 68° zuur of een spoor van deze stof in staat is in korten tijd een groote hoeveelheid 42° zuur om te zetten, terwijl, wanneer die moleculen van het 68° zuur regelmatig tusschen die van het 42° zuur verdeeld waren, zooals dit bij mengkristallen het geval moet zijn, geen omzetting zou plaats hebben, voordat 2.9 7e 68° zuur aanwezig wai'en. Ook smeltproeven hebben genoemde onderzoekers er toe gebracht het bestaan van vaste oplossingen of mengkristallen aan te nemen. Op blz. 213 schrijven zij; ,,Ein Teil der eben besprochenen, bei 42° schmelzenden Erstai-rungsprodukte bleibt jahrelang unverandert, ein anderer Teil verwandelt sich bei Zimmertemperatur, zuweilen schon nach Minuten oder Stunden ohne erkennbare ürsache in 68°-Saure. Diese erstarrten Schmelzen sind also untereinander nicht gleich ; sie sind ebenso wie die aus den Lösiuigsgemischen erhaltenen Verdain- pfungsrückstande, feste Lösungen oder Mischkiystalle mit wechseln- den Anteilen 68°-Saure und 42°-Saure” Dat deze omzettingen door een of meer luchtkernen, die nog niet gesplitst waren, veroor- zaakt kunnen zijn, is niet geheel onwaarschijnlijk, waar toch geen zoi’g aan het verwijderen van deze kernen besteed werd. Ook zal het overblijven van een enkele kern in de siïielt lot een dergelijk verschijnsel aanleiding kunnen geven. Bij het smelten van de allokaneelzuurvormen kan men van het b De gedachte van Stobbe (blz. 231), dat een vaste oplossing hetzelfde is als kernen in een smelt is zeker lang niet altijd juist. Kernen toch zijn molecule- complexen en de verdeeling van de moleculen van de kernen in de verschillende deelen van de smelt met kernen behoeft niet regelmatig te zijn, terwijl men bij een vaste oplossing of mengkristallen juist een zeer gelijkmatige verdeeling van de moleculen door elkander heeft. J229 standpunt van ti-iinorphie verwacliten, dat de dissociatie in enkel- moleculen des te vollediger zal zijn naarmate de tijdsduur van ver- hitten grooter en de temperatuur Iiooger is. Dit hebben de genoemde onderzoekers dan ook voor het 58° zuur (Idz. 239j en het 68° zuur (blz. 211) gevonden, waarbij slechts 5— 7 m.gr. in elk ca|)illair buisje gebracht werden. Proeven met 10 — 50 m.gr. van het 68° zuur in grootere capillairen gaven tot residtaat dat zelfs een ver- hitten gedurende 25 minuten op 70° niét in staat was ook maar een enkele maal eeti blijvende omzetting in het 42° zuur te bewer- ken, terwijl bij gebruik van 5 — 7 m.gr. van dit zuur er 4 van 10 proe\’en een omzetting gaven na 10 minuten verhit len. Ditzelfde werd reeds door andere onderzoekers medegedeeld, n.1. dal grootere hoeveelheden moeilijker worden omgezet dan kleine. Het voorkomen van kernen kan dit zeer wel verklaren. Stel toch dat men bijvoorbeeld de dissociatie \'an het 68° zuur zoover brengt dat er in 20 mgr. stof nog 2 kernen zijn en dat men nu in staat is de stof in 4 gelijke deelen te verdeelen, dan zouden in 2 deelen hoogstens elk 1 kern voorkomen en in 2 deelen geen kern ; men krijgt dus dat hij gebiaiik van 5 mgr. stof bO^/^ in 42 zuur omgezet wordt bij de gebruikte temperatuur en verhittingsduur. Had men de verdeeling echter niet aangebracht dan zouden de 20 mgi-. waarin 2 kernen zijn, dadelijk of na enkele uren in 68° zuur overgegaan zijn '). Nu is het gemakkelijk in Ie zien, dat wanneer de kans van totale omzetting voor 5 m.gr. bO^^^ is, deze voor 10 mgr. 257o, 20 rngr. 12.57o, 40 mgr. 6.257o enz. is, m. a. w. de kans voor een totale omzetting bij die temperatuur en verhittingsduur woi'dt bij gebruik van grootere hoeveelheden steeds kleiner, juist wat men gevonden heeft. Stobbe en Schönburg hebben voor elke proef maar 10 buisjes verhit, zoodat de door hen verkregen getallen zeker niet als gemid- delden te gebruiken zijn. Bij 70° verhitten van het 68° zuur ge- durende 10 min. vinden zij bijvoorbeeld bij gebruik van 5 — 7 mgr. stof 4 buisjes omgezet van de 10 (in het geval, dat een deel bij 42° en een ander deel bij 68° smolt is geen totale omzetting ver- kregen) terwijl bij 100° er ook maar 4 van de 10 een omzetting in 42° zuur vertoonden. Bij 70° zal dus het gemiddelde allicht heel wat lager zijn geweest. Neemt men aan, dat het 407o bij 70° voor 10 minuten verhitten was, dan nog zou de kans om een totale b Hierin ligt ook de oorzaak van het door Stobbe en Schönburg waarge- nomen verschijnsel, dat in de capillairen sommige gedeelten bij 42^ en andere bij 68° of 58° smolten. 1280 omzeiling van 0.05 gi‘. in JO min. Ie doen plaals liebben sleclil8 ! 5“/„ zijn, dns gemiddeld zon 1 van de 20 proeven gelukken. j Om na te gaan of de Incditkernen wellicht voor een deel voorde | moeilijke omzetting aansprakelijk waren, werden hoeveelheden van i het 68° znnr in IJ binzen gesmolten. Deze U bnizen bezaten aan | de eene zijde een watten[)ro[) ; door dit been werd een snelle op 70° gebrachte droge Inchtstroom gedurende het verhitten van de U bnis in het waterbad van 70°, geleid om de Inchtkernen door het andere heen te verwijderen. j Na het verhitten werd het andei-e been der U bins met een wattenprop gesloten. Op deze w'ijze gehikte het me evenmin als Stobbe en Schönbuhg, 0.05 gr. 68° znnr blijvend in 42° znnr dooi' 20 min. verhitten op 70° om te zetten. Bij dit onderzoek deed het zich dikwijls voor, dat de smelt eei'st tot 42° znnr kristalliseerde en daarna na enkele nren in het 68° j znnr werd omgezet, hetzelfde dat door de genoemde onderzoekers 1 werd gevonden. Dit verschijnsel is dns niet aan de Inchtkernen, maar aan de vloeistofkernen te wijten. Waar voor een blijvende omzetting in het 42° znnr een volkomen i afwezigheid van kernen van het 68° znnr noodzakelijk is, is het | te begrijpen, dat een enkele kern van dit znnr, die bij het smelten j overblijft, niet in staat behoeft te wezen om de geheele smelt dadelijk j om te zetten maar dat dit na verloop van eenige nren eerst kan | plaats hebben. Bovendien kunnen de kernen in grootte verschillen en zal de werking van de kleinste, die wellicht slechts nit 2 mole- culen allokaneelznnr opgebonwd zijn, allicht heel wat minder sterk 1 en snel zijn, dati van de grootere die nit meerdere moleculen bestaan, j Uit het voorgaande is duidelijk gebleken, dat de door Stobbe en | ScHöNBURG gebezigde argumenten, waaruit chemische isomerie voor [ de allokaneelznren zou volgen, niet steekhoudend zijn, terwijl de resultaten van het onderzoek zich geheel laten verklaren door de aanname \ an trimorphie voor deze zuren. | Kort overzicht van de verkregen resultaten. 1 ( 1. Een bepaalde werkwijze werd (oegepast, waardoor het mogelijk ; is infecties te voorkomen, de luchtkei nen uit te sluiten en de vloeistof- j kernen geheel te dissocieeren. 2. Op deze wijze gebikte hel aan Ie toonen, dat vei'dnnde oplos- singen van het 58° en het 68° zuur bij distillatie \'an het oplosmiddel bij gewone temperalunr een rest kunnen geven, die in het 42° znnr overgaat. 123] 3. Wanneer de concenlratie van de oplossingen van het 58° en het 68° zuur hoog zijn, zooals hij gebruik van aether en benzol kan voorkomen, dan gelukte het niet deze zuren in het 42° zunr bij gewone teniperatnur over te voeren. 4. De oplossingen kunnen bij af koelen in ijs en keukenzout ver- anderd worden. Op deze wijze geeft een waterige, geen kernen van het 58° of het 68° znur bevattende oplossing bij — 10° het 58° zunr en bij —16° het 58° of het 68° zuur. 5. In vasten toestand bleken de znurvornien in ijs en keukenzout na 6 dagen koelen niet veranderd te zijn. 6. De argumenten door Stobbe en Schönburg aangevoerd voor chemische isomerie, zijn gebleken niet steekhoudend te zijn. Alle verkregen resultaten zijn volkomen verklaarbaar uit een oogpujit van trimorphie van de allokaneelzuren. Buitenzorg, Januari 1919. Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt een mededeeling aan van j] den Heer Dr. H. B. A. Bockwinkel: ,,Over het teorema van ui ■ Mac Laurin in de funksionaalrekening” . S (Mede aangeboden door den Heer H. A. Lokentz). In de derde mededeling van mijn verhandeling „Enige opmer- kingen over de volledige Iransmntade” ‘) heb ik een beperkte geldig- heid van het teorema van Mac Laurin voor de funksionaalrekening kunnen aantonen, en wel voor een normale additieve transmutatie. Hieronder verstond ik een transmutatie T met de volgende eigen- schappen : 1°. Er is een funksioneel veld F{T) waarvan de funksies u be- horen tot") eenzelfde sirkel (u), voor welke funksies de transmutatie T oplevert funksies die behoren tol eenzelfde sirkel («), konsentries met (ö)._ 2°. Van het fnnksionele veld maken alle rationele gehele funksies deel uit. 3. De transmutatie T is kontinu in het genoemde tweetal van toegevoegde velden F{T) en («)’). Uit eigenschap 2“ volgt dat S,an iedere zodanige transmutatie T, voorlopig formeel, een andere P beantwoordt die wordt voorgesteld door de reeks a.u a.u Pu =. a u 1 1 ./ 2 + • . . t • (1) waarin de grootheden de afgeleiden van het operatieobjekt u zijn, en de grootheden a„i funksies van de numerieke veranderlike X, die met behulp van de formule «m = + ..• + (— ') • . • • (2) kunnen worden afgeleid uit de getransrauteerden = ......... (3) i *) Deze Verslagen, XXV, 1916 en 1917, aan te halen als I. c. 2) Een funksie behoort tot een sirkel als hij daarbinnen en op de omtrek er van regulier is. De notatie (t) betekent een sirkel met straal a-. Zie voor het kontinuiteitsbegrip 1. c. II n'’. 9—11, waar tevens de begrippen funksioneel veld (E. V.), numeriek operatieveld (N. V. O.) (hier de sirkel («)) en numeriek veld van de funksies (N V. F.) (hier de sirkel (o-)) verklaard zijn. '•’) Met mie wordt de k^ binomiaalkoeffisient van m bedoeld. 1233 van de opvolgende gehele pozitieve machten van x, welke getrans- inuteerden volgens de definitie bestaan en tot de sirkel («) behoi’en. Het bovenbedoelde teorema van Mac Laühin bestond nu daarin dat het de gelijkheid van de transmutaties T en P uitsprak, in een zeker numeriek veld (»'), onderdeel van (nr) of daarmee samenvallend, indien laatstgenoemde transmutatie volledig was in (d) '). In deze uitspraak is iets onbevredigends. Vergelijkt men hem met het teorema van Taylor voor de funksieteorie, dan merkt men een verschil. Bij het laatstgenoemde wordt beweerd : ,,als een funksie in zeker sirkelvormig gebied rondom een punt die en die eigen- schappen heeft (nl. een bepaald differentiaalquotient bezit) dan kan hij in dat gebied in de reeks van Taylor ontwikkeld worden”. Men hoeft dus aan de laatstgenoemde reeks geen bijkomstige voor- waarden op te leggen (bv. dat hij in het genoemde gebied konver- geert), anders gezegd, dergelijke voorwaarden zijn vanzelf vervuld. Men zou dus wensen dat ook voor de funksionaalrekening het teorema zo zou kunnen worden uitgesproken dat aan de met de beschouwde transmutatie T korresponderende reeks geen bijkomstige voorwaarde van volledigheid behoefde gesteld te worden, maar dat deze voor- waarde uit de eigenschappen van T vanzelf voovivXomAQ. Wij hebben indertijd, bij de invoering van het begrip ,, normale transmutatie” (l.c. lll, n“. 15) gedacht dat dit niet het geval behoefde te zijn. Tans menen wij evenwel de stelling te kunnen bewijzen: De met een normale additieve transmutatie korresponderende reeks stelt een volledige transmutatie voor. We beschouwen eenvoudigheidshalve een gebied rondom de oor- sprong en daarin de oneindige reeks van funksies 1, .r, .P, . . . ,c"‘, (4) waarmee, volgens definitie, een oneindige reeks van getransmuteerden • • (5) overeenstemt, die alle in een sirkelvormig gebied («) met ,c = 0 tot middelpunt en a tot straal regulier zijn. Is e een willekeurig klein pozitief getal, dan konvei-geert de uit (4) afgeleide reeks van funksies ^ x"^ x"‘ g (J -f 6 (rj -f f)’’ ■■ ■ ((1 + S)’» b Een transmutatie P, die door een reeks van de vorm (1) wordt voorgesteld, heb ik volledig in een gebied (x) genoemd, als er een zekere sirkel [o], konsentries met (3£), is aan te wijzen, zodanig dat alle funksies die tot (,ot behoren een in (a) reguliere getransmuteerde hebben. De minimumsirkel (/?) die voor (/?) genomen kan worden heb ik het met (x) korresponderende gebied genoemd (1. c. I, n”. 4). 1234 iii het gebied {o) miifonn tof mil. Volgens een eenvoudig te bewijzen kontinniteitseigenschap (l.c. II, n". 11) zal dan de reeks van de geti-ansmnteei-den van laatstgetioemde fnnksies, die, op grond van de additieve eigenschap van de transmutatie, kan worden voorgesteld door r ^ /gf, ; f 4- e)'’ ’ ’ ' ( I Het eerste deel van het rechterlid van deze ongelijkheid bestaat j nit een vast, van m onafhankelik aantal termen, waarvan ieder bij i genoegzaam grote m. kleiner is dan (« -|- f)'", zodat hetzelfde geldt van , hun som. Het tweede deel is groter dan dit laatste bedrag, dus j heeft men voor genoegzaam grote in alle punten van het gebied («) l«m|<( feit, dat een voorstelling van het ongedissocieerde deel van een amphoteren electrolyt als een functie van de H-ionen concentratie, waarbij als abscissen genomen worden de waarden van pn in plaats van de H-ionen concentratie zelf, veel karakteristiekere krommen oplevert. Zijn ,,rest-krommen” worden als volgt afgeleid. • Zij (A) de totale concentratie van den amphoteren electroljt, (^+) die van het kation, {A~) die van het anion, dan is de concentratie van de ongedissocieerde rest [w) : {.^) = {A)-{A+)-{A~) Volgens de vvet van massa- werking hebben wij in de oplossing de twee evenwichtsvergelijkingen : (^+) {OE) = kb{x) (A-) (H) = kaix) Dus : waaruit volgt : kh kn {x) {A) 1 .L I ^ ÏH) ^ {OH) {x) De ongedissocieerde fractie q = — wordt dan {A) 1 ki {OH) In tig. 4 zijn ter vergelijking weergegeven de krommen, door Michaelis geconstrueerd voor verschillende waarden van de disso- ciatie-constanten kn en ki. De overeenstemming van ons diagram van urease-activiteit m met deze kromme is duidelijk. Er moet echter aan herinnerd worden, dat de relatieve afmetin- gen van pu en p uit den aard der zaak willekeurig zijn in deze figuren. 124J Het is duidelijk, dat, tenminste met afiiemende />//, waar de experimenten verder voortgezet konden worden dan aan de andere De interpretatie van deze resultaten is derhalve deze: Urease is een arnphotei'e electroljt, welks activiteit het grootst is in niet-gedissocieerden toestand. Wanneer wij als nieuwe abscissen-as de asymptoot aanbrengen, waartoe in nadert, stelt de kromme voor de overmaat in activiteit van ongedissocieerde boven gedissocieerde urease. Dus i 1 j — -I- ^ {H)^ (OH) De constante u, nitdrnkkende de evenredigheid van de activiteit, zooals deze bepaald is (in willekeurige eenheden) met de ongedis- socieerde fi'actie p, moest int de experimenten berekend worden evenals de constanten ka en kh. De term [■?, die volgens een voorloopige inspectie van de kromme ongeveer 18 schijnt te zijn, moest ten slotte ook oji dezelfde wijze nauwkeurig worden vastgesteld. Deze berekeningen vereischlen de kennis \’an de hydroxjl-ionen concentratie (OH) zoowel als van de wateislof-ionen concentratie (//). In water of verdunde oplossingen is deze waarde onmiddellijk gegeven door de dissociatie-vergelijking van water (/ƒ) (D//) = Verslagen der Afdeeling Natnurk. Dl. XXVIl. A“. 1918/19. 80 1242 Daar echter een 8 "/o phosphaat-oplossiii^- niet als een verdunde . oplossing beschouwd kan worden, waren afzonderlijke bepalingen van de hydroxyl-ionen concentratie onvermijdelijk. Deze bepalingen zullen in het laatste deel dezer inededeelingen besproken worden. De eenvoudigste methode van berekening bleek te zijn voor- N loopig een bepaalde waarde te geven, bv. 18. Door dus te com- ! i bineeren de vergelijkingen voor b.v. pu = 7,52 en pi[ = 7, kon a dadelijk geëlimineerd worden. Hetzelfde proces, toegepast op de vei'gelijkingen voor pn = 6,40 en voor pa == 8,03, leverde een tweede vergelijking, waarin alleen en ku onbekend waren Uit deze twee vergelijkingen werden dan ka en ki, berekend. In tabel 13 zijn samengebracht de waarden, bepaald voor pn en poH, de concentraties der //-ionen en OHAow&u (vermenigvuldigd met 10®) en de waarden voor ni (vermenigvuldigd met 10"), naast | elkaar de direct bepaalde en die, welke berekend zijn o[) den grond- j slag van drie verschillende waarden van TABEL 13. Ph PoH j 108(//) 1 188 {OH) 1 105 m bepaald. 105 m berekend ^=18 , n.9 voor: 19 5.84 7.94 144.5 1 1 1.15 20.5 20.6 20.5 1 21.6 6.13 7.65 74.13 2.24 22.1 23.— 22.9 24.- 6.40 7.38 j 39.81 i .n 26.7 27.2 27.1 28.2 6.67 7.11 21.38 1 7.76 35.4 35.— 34.7 35.7 7.0 6.78 1 10. - 16.6 51.3 51.3 51.3 1 51.3 7.21 6.57 6.17 26.92 67.- 64.8 64.9 64.- 7.52 6.26 3.02 54.95 75.2 75.2 75.2 75.2 7.64 6.14 2.29 72.44 70.3 72.4 72.2 1 73.7 7.80 5.98 1.59 104.7 62.3 64.- 63.6 66.9 8.03 5.75 1 0.93 177.8 47.3 49.— 48.7 53.- 8.13 5.65 0.74 223.9 41.7 43.4 43.1 47.3 8.65 5.13 1 0.22 724.4 24.4 26.— 25.9 28.- Voor /? gelijk 18 of 17,9 zijn de verschillen van m bepaald en in berekend niet grooter dan, volgens tabel 12, de verschillen inde waarden van n?, bepaald bij dezelfde pn op verschillende dagen; 1243 derhalve niet grooter dan de onzekerheid, overgebleven in hnn experimenteele bepaling. Voor ^ z= ld zijn de afwijkingen duidelijk grooter. Voor |?=17,8 gaf de berekening uit de boven gebruikte \'ier waarden van m een negatieve k,,. De ininiuiuin waarde van bleek dus ongeveer 17,9 te zijn. Het i-esultaat dezer berekeidngen, wat betreft 7'^ en o is, sainen- gevat, het volgende : TABEL 14. /? ka h 1 ^ a 1 17.9 10-8X1293 10-8X20880 46356 18.— 10-8X 132.6 10-8X 2170 4828 19.- 108 X 10.8 80-8 X 206.5 469.3 Er uioge liier nog lierinnerd worden, dat de vei'gelijking 1 1 10 waaruit deze constanten berekend moesten worden, een ex|)onen- tieele vergelijking is. Geringe veranderingen in pfj moeten daarom verwacht worden een grooten invloed te hebben. Niettemin, aangezien de afwijkingen tnsschen de experimenteele kromme en die, voorstellende de berekende waarden van m voor, b.v. /? — 18, in tabel 13, binnen de grenzen van nauwkeurigheid zijn, bereikbaar met de gebruikte experimenteele methoden, kan geconcludeerd worden, dat de vergelijking voor het ongedissocieerde deel van een amphoteren electrolyt werkelijk voorstelt de activiteit van nrease ais een functie van pn- Een belangrijk gevolg hiervan is de mogelijkheid om ten minste bij benadering de dissociatie-constanteu van het enzym urease te leeren kermen. Git tabel 14 blijkt, dat k„ eti G ongeveer 1,3 X 10 en 2,2 zijn of zelfs gi'ooter. De dissociatie-constanten van koolzuur en ammonia G zijn bij 27"' respectievelijk 4,4 X 10“’ en 1,9 X 10~-^. De nadering van deze constante'' tot die van urease beantwoordt aan schrijver’s opvatting ’), dat enzymen in ’t algemeen hetzelfde *) Michaklis und Rona, Biochem. Zeitschr. 1914, 67, 182. ’) Lünden, Affinitatsmessungen an scliwachen Saüren und Basen. *) Baeendkecht, Biochem. J. 1913, 7, 549. 80* 1244 molecuul of radicaal iu eeu actieven toestand bevatten, dat door ] hen wordt vrijgemaakt of waarop zij inwerken. Ammonmm-carbonaat -j- koolzuur als bu ffer. | lu het begin dezer studie was het den schrij\ er spoedig duidelijk, | dat de gewoon lijk aangenomen bevinding van de versnellende wer- , kirig' van koolzuur niet alleen door het experiment onvoldoende i bevestigd was, maar zelfs geheel onjuist kon zijn. ! De werkitig van nrease in een ureum oplossing veroorzaakt i spoedig zulk een aanmerkelijke verlaging van de //-ionen concen- tratie, dat het verloop der hjdrolyse sterk vertraagd wordt. De j versnelling, door een koolzuurstroom in zulk een oplossing teweeg- | gebracht, als een bewijs te beschouwen van den speciaal gunstigen j invloed van koolzuur, is een onnoodige aanname, zoolang niet ten | volle is rekening gehouden met het vermogen, dat koolzuur heeft, | om de vermindering van H-ionen concentratie te voorkomen. En dit was niet gedaan door vorige onderzoekers. Toch was het wel bekend, dat de natuur dikwijls gebruik maakt ' van bicarbonaten en koolzuur zoowel als van phosphaatmengsels als | buffers om de noodzakelijke constantheid van de ware reactie in de i levende cel te handhaven. De bnfferwerking van bicarbonaten in | bloed is in deze een voorbeeld, dat den laats ten tijd veel de aandacht getrokken heeft. , Vóór het bereiken van het gezichtspunt, dat de nrease straling , alleen geabsorbeerd wordt door het substraat ureum en de H-ionen, onderstelde schrijver dezes, dat de producten der enzym- werking ; — hier ammonia en koolzuur — ook de straling tot zekere hoogte absorbeeren en op deze wijze den gang dei- hydrolyse vertragen. j Terzelfder tijd werd overwogen, dat door een voortdurenden en overvloedigen koolzuurstroom te voeren door een nrease oplossing, ! die niet te veel ureum en veel ammonium-carbonaat bevatte, de ; H-ionen concentratie gemakkelijk constant gehouden kon worden. Algemeen toch wordt de ware reactie van een oplossing van een bicarbonaat, verzadigd met koolzuur, niet veranderd dooi' eenige , variatie in liare samenstelling. Het was daarom, dat in 1915 en 1916 een lange reeks van experimenten was uitgevoerd met ammonium-carbonaat en koolzuur als bntfermengsel, waarvan nu in ’t kort iets zal worden medege- deeld en uitgelegd aan de hand van de later (als hierboven) ont- wikkelde theorie. Het gebruikte ammonium-carbonaat was Kahi.baüm’s ,, Ammonium- 1245 carbonat, zui' Analyse luit Garantie-Schein”. Door bet oplossen van aininonium-carbonaat in water ontstaat, zooals Fknton ’) aangetoond heeft, een evenwicht van animoninin-cai'bonaat en ainnioninm-carba- maat. Fenton’s methode ter bepaling van deze twee verbindingen en van ureum in eenzelfde oplossing door natriumhypochloriet en natriumhypobromiet werd door schrijver dezes beproefd om zoo inogelijk vast te stellen, wat het primaire hydrolyse product van ureum door urease is. De snelheid, waaimede zoowel ammonium- carbonaat als ammonium-carbamaat in evenwicht komen is echter te groot. Deze [)Ogingen werden te eerder gestaakt, daar de vraag, wat het pi’imaire omzettingsproduct is, in deze niet veel belang heeft. De overgatig van carbomaat tot carbonaat is in ’t algemeen sneller dan de enzymwerking en het koolzuui- verandert toch alle carbamaat zoowel als cai'bonaat tot bicarbonaat. Het ammoninm-carbonaat, gepoederd, beantwoordde nagenoeg aan de samenstelling NH^HCO,. Een oplossing van ammoninm-carbonaat (=r 2 7o zal daarom in deze mededeeling beteekenen een concentratie van ongeveei- 2 X 2,63 7o ammoninm-carbonaat. De vereischte hoeveelheid Soja-meel werd geduiende ongeveer 1 uur bij 27° gedigereerd met een oplossing van ammoninm-carbo- naat, door welke voortdurend een stroom koolzuur geleid werd. Na mengen met wat kiezelgnr werd zeer gemakkelijk een helder tiltraat verkregen, dat slechts eenigszins opaliseerde, wanneer groote hoeveelheden Soja-meel gebruikt waren. Het is duidelijk, dat de electrometrische bepaling van onmoge- lijk is in een oplossing van ammoninm-carbonaat, die met koolzuur verzadigd gehouden moet worden. De veel minder nauwkeurige colorimetrische methode moest daarom hier gebruikt worden. Door het gebruik van rosolznur als indicator en van Tropaeolin 00 om Sörensen’s phosphaatoplossingen zoo goed mogelijk dezelfde tint te geven als het ammoninm-carbonaat extract van Soja-meel en kiezel- gur, werd de pji van een ammonium-carbonaatoplossing (= 2 7o ureum) met 1,36 gram Soja-meel per 100 c.c., waardoor bij 27° koolzuur gevoerd was, vastgesteld op ongeveer 7,0. Dooi' toevoeging van ammoninm-carbonaat (= 0,5 7o ureum) en weder doorvoering van koolzuur werd geen wijziging van de pn geconstateerd. a Zooals bliiken zal is in deze experimenten, waar zooveel nc 0,434 grooter is dan hierboven in de phosphaat-mengsels, dat de krommen b Proc. Roy. Soc. 1886. 39. 386. 1246 alle lot rechte lijnen naderen, geen groote nauwkeurigheid in de pti vereischt. /\ls lype van de talrijke j)i:oe\en mogen hier de volgende ver- meld worden. In een kolt' met ronde bodem van ” Liler inhond, geplaatst in een waterbad van 27° werden 15,125 gi-am ammoninm-carbonaal, opgelost in 250 c.c. water, gebracht en 3 gram Soja-meel. Een paar drn|)pels octy l-alcohol wei'den toegevoegd om het schnimen te ver- hinderen. Het koolzuur nit een stalen cylinder werd eei'st gevoerd dooreen nauwe koperen buis \an ongeveer 150 c.m. lengte, e^i dan door twee waschtlesschen, die evenals de koperen buis ook in het bad van 27° geplaatst waren. De stroom koolzuur, op deze wijze op de \ereischte temperalniir gebracht en verzadigd met waterdamp, werd dan een nur lang door het mengsel in de kolt' geblazen, waarna een snelle (illratie met 2 gram kiezelgiir door een vouwtilter dadelijk een helder tiltraat gat'. 175 c.c. van deze vloeistof werden gebracht in een dergelijke rondbodem kolf, gesloten door een caoutchouc stop, waardoor twee glasl)uizen, een waarvan tot den bodem reikte en het koolzuur toeliet, terwijl de tweede, korte, vei'bonden was met een buis, ge- vuld met 10 c.c. H^SO^IN ten einde de ammonia te kunnen bepalen, die mocht zijn overgel)lazen. Na verzadiging met koolzuur werd de stroom stoj) gezet, de conirole-buis met H^SO^ verwisseld vooi' een andere, de stop van de kolf een oogenblik opgetild en 25 c.c. oplossing, bevattende i . gram ureum er in gebracht. Deze oplossing was te voren op 27° gebracht. Na herslniting van de kolf en weer openen van den koolzuurstroom verliep de reactie dus bij constante temperatuur en constante pu en kon de voortgang ervan van lijd tot tijd gemeten worden door den koolzuurstroom een oogenblik te onderbreken, een monster van 5 c.c. uit de kolf te nemen met een pipet en dit snel te laten uitloopen in 25 c.c. HjSO^^N. Na verdunning met wat water werd dit zuur dan gekookt om het koolzuur uit te drijven en getitreerd met NaOHyVN en lacmoid (of later met alizariii sulphonznre natron) als indicator. Door de phospliaten en eiwitten van het Soja extract was deze titratie niet zeer scherp — een on- zekerheid van een of twee druppels NaOH yV N — maar toch vol- doende nauwkeurig. De ammoidak in de oors|)ronkelijke 175 c.c. vloeistof werd even- zoo bepaald evenals de geringe hoeveelheden door de COj in de controle-buizen overgevoerd. 1247 De resultaten zijn vereenigd in tabel 15 en fig. 5, waarin ter verge- lijking ook de rechte lijn en de logarithinisehe lijn log 1 1— V = kt, Minuten. Fig. 5. heide door den oorsprong en het eerste voor // bepaalde punt ge- trokken, zijn geteekend. TABEL 15. 3 gram Soja per 286 c.c. ammonium-carbonaat (= 4% ureum) 0.5 % ureum pn — 1, dus =0.1 t (minuten) i y ' 0,1 /o^-j^-)-0,5jr , k - - , 45 0.269 0.0033 0.0030 90 0.514 0.0032 0.0035 135 0.746 0.0032 0.0044 165 0.869 0.0032 0.0054 180 0.931 0.0032 0.0064 195 0.97 0.0033 . 0.0078 210 0.984 0.0032 0.0085 Op vele wijzen herhaald gaven deze experimenten steeds een dergelijke uitkomst. B.v. 1248 3 Febi'. 1916. 3 gram Sqja-meel geëxtraheerd inet 200e.c.ammo- iiiinn-carbonaatoplossiiig. lüen rij reageei'buizeii, elk met JO e.c. filtraat eii een druppel octvl-alcoliol in het luid van 27°. Elke buis verboudeu met een wijde buis (over deu rand vaii het bad), bevattende 25 o.c. H3SO4 f N en wat water. Dus koolzuurstroom eerst door reageerbuis eu dan door ivijde buis. Uit een kolf iu ’tzelfde Itail 1 c.c. van een 2,75 “/o nreuni- oplossing toegevoegd aan elke reageerbuis. Reactie gestopt zonder buizen te openen of verbindingen los te maken door 25 c.c. ver- zadigde kalinm-carbonaat oplossing in de reageerbuis te laten loopen en de ammonia over te blazen gedurende een geheelen nacht. Vol- gende dag getitreerd dadelijk in de wijde buis met NaOR^VN en alizarin sulphonznre natron als indicator. Twee reageerbuizen met 10 c.c. extraid, zonder ureum, op dezelfde wijze behandeld. Resultaten in : TABEL 16. 3 gram Soja-meel per 200 c.c. ammonium-carbonaat (= 2% ureum) 0.25 0/0 ureum pn = 1 t (minuten) ' 0,1 log ^ + 0,25 y m - ^ 40 0.495 0.0038 60 0.685 0.0037 70 0.805 ' 0.0039 80 0.876 0.0039 90 0.936 0.0039 95 0.945 0.0038 100 0.968 0.0039 105 0.974 0.0038 110 0.985 0.0039 Deze resultaten toonen duidelijk, dat de formule ----log — ^ 1- 0,434 ‘ 1 — y -[- ay = mt even goed de loop der reactie x'oorstelt in urenmoplos- singen van concentraties veel grooter dan die in de boven behan- delde phosphaat-mengsels. De nagenoeg rechte lijn, gewoonlijk gevonden bij do hjdrolyse van ureum door nrease, wanneer a niet IIC klein is of in elk geval groot is in vergelijking met ^ IS even 1249 goed in overeenstemming met de strcalingstlieorie als de logaritlimisclie kromme, de gewone lijn van de reactie der eerste orde, voors|)eld door dezelfde theorie voor verdunde nrenm oplossingen, wanneer c betrekkelijk gi'oot is. Aanvangs.melheid van urense-wv,vkln 6 "/o 8 "/o werden verkregen door een oplossing van 4,8 gram nrenm in 10 c.c. te maken en daarvan 1 c.c. met 1 c.c. water te brengen in de 4 °/(, buis, 1,5 c.c. met 0,5 c.c. water in de 6 buis en 2 c.c. in de 8 “/o buis. Na een vasigestelden reactie-tijd, gewoonlijk 2 uren, werd de gevormde NU 3 bepaald door de reageerbuizen met wijdei'e buizen te verbinden, waarin 10 c.c. H.SO^^N en wat water gebracht was, 25 c.c. verzadigde kaliurncarbonaat oplossing en een druppel octyl- alcohol toe te voegen en een stroom lucht twee nur lang door te voeren . i 250 1 De pH werd met den eleetrometer bepaald in 10 c.c. phospliaat- enzjni-oplossing -|- 2 c.c. water bij 27°. De gebruikte hoeveelheid Soja-meel was steeds 0,2 gravn. Alleen hij de laagste pn moest meer gebruikt eii een andere reactietijd ge- kozen worden. De onderstaande resultaten zijn dan op 0,2 gr. Soja in 120 minuten omgereketid. Zie tabellen 17 en 18. TABEL 17. c.c. NH2 ^ N, gevormd in 120 minuten in c.c. Concentra- tie ureum a pH = 5.83 pH = 6.68 PH = 6.81 />ƒ/ = 6.89 /)ƒƒ = 1 7.14 pH = ' 7.47 PH = 7.83 pH — 8.10 0.03 0.068 0.58 0.95 1.2 1.65 3.2 3.2 2.9 0.05 0.9 1.4 1.7 2.25 3.45 3.75 3.2 0.08 0.164 1.3 1.9 2.3 2.7 4.05 3.55 3.2 0.1 0.21 1.6 2.15 2.5 3.— 4.15 4.1 3.4 0.2 0.375 2.3 3.4 3.55 4.65 4.3 3.7 0.5 0.85 3.3 3.9 4.3 4.1 5.— 4.5 3.8 1 .— 1.5 3.9 4.5 4.65 4.3 5.05 4.25 3.9 2.— 2.75 4.45 4.9 5.2 4.5 5.15 4.75 4.1 4.— 3.2 4.8 5.15 5.4 4.45 5.25 4.6 3.9 6.— 4.15 4.85 5.2 5.3 4.45 4.85 4.35 3.65 8.- 4.65 4.8 5.- 5.15 4.25 4.6 4.- 3.25 De gevolgtrekkingen, uit deze i-esultalen te maken, zijn de volgende: I Het bedrag van de omzetting, geleverd onder gelijke condities van temperatuur en pn door een gelijke hoeveelheid nrease in I ureum oplossingen \an verschillende concenti’aties wordt nooit wer- i kelijk constant, zelfs niet in sterk geconcentreerde oplossingen. I Hoe hooger de zuurgraad (de ware reactie) van de oplossingen, ' hoe meer dat bedrag toeneemt met toenemende concentratie. I Deze feiten zijn in overeetistemming met onze fnndamenteele j formule: I ,v — dx = m - dt X -f- nc Voor de aanvangssnelheid, als x nog gelijk is aan a, geeft deze: dx a a -\- nc 1251 TABEL 18. “ at jr J Kortheidshalve zijn de waarden van m met 1000 vermenigvuldigd. Concentra- tie ureum a - pH = 5.83 pH = 6.68 . pH = 6.81 pH = 6.89 />ƒ/=- 7.14 pH^ 7.47 pH= , 7.83 pH^ 8.10 0.03 0.068 0.103 0.135 0.153 0.140 0.23 0.174 0.139 0.05 0.114 0.142 0.157 0.160 0.19 0.181 0.144 0.08 0.066 0.128 0.150 0.168 0.160 0.20 0.161 0.140 0.1 0.067 0.136 0.153 0.166 0 167 0.20 0.184 0.147 0.2 0.066 0.143 0.181 0.172 0.21 0.185 0.157 0.5 0.08 0.165 0 184 0.199 0.184 0.21 0.189 0.159 1.— 0.102 0.178 0.194 0.199 0.182 0.21 0.177 0.163 2.- 0.152 0.185 0.208 0.220 0.190 0.22 0.198 0.171 4.— 0.154 1 0.205 0.218 0.226 0.186 0.22 0.192 0.163 6.— 0.19 0.205 0.219 0.221 0.186 0.20 0.181 0.152 8.- 0.20 0.203 0.209 0.214 0.177 0.19 0.167 1 0.135 Iiidieii nc groot is, vei'gelekeii met a, is de aaiivangssnellieid klein; een groolere a geeft een groofere snelheid. Anderzijds, als nc klein is, is zelfs voor lage ni'enni concentraties niet klein a -j- nc en zal S|)Oediger tot een constanie waarde naderen. De waarden van m in de tabel 18 zijn, wanneer y'een eenigszins aanmerkelijke waarde had, bei'ekend nit de geïntegreerde vergelij- king; anders nit de differentiaal veigelijking voor de aainangssnel- heid, zoodra de nrenm coticentratie hoog genoeg was om beide vergelijkingen hetzelfde resultaat te doen gexen. Het niet. constant zijn van m zal nn blijken juist een nieuwen experimenteelen steun te geven aan de stralingstheorie. Immers, bij het doorzien van tabel 17 zal een merkwaardig ver- schijnsel worden opgemerkt. Bij lage pu nemen de cijfers steeds toe van 0,()37o tot 87o areum concentratie. Bij hoogere pu is er eerst een toename en dan, in de meest geconcentreerde ureum o[)lossingen een afname. Dit is juist, wat de theorie ons doet verwachten. 1252 Daar een enzjin deeltje (of molecuul) het centrum is van een . sfeer \an actie en in dit geval die actie een alkalische stof voort- ) brengt, zal de H-ionen concentratie rondom het enzym-molecuul | vei'laagd worden en laag gehouden worden door de enzj inwerking | zelf. Dit proces zal veiavaarloosbaar zijn in verdunde oplossingen, i, maar in geconcentreerde, waar de sfeer van actie tot een klein j volume beperkt is, zal een gevoelige plaatselijke vermindering van i de H-ionen concentratie verwacht mogen worden. j Wanneer herinnerd wordt aan de afhankelijkheid van de urease- ] activiteit m van pn (zie tig. 3), zal het duidelijk zijn, dat in oplos- | singen van lage pn een vermindering der H-ionen concentratie rondom de enzymmoleculen, dat is een vermindering van c (of toename van pn) een toename van ni beteekent. Vandaar dat door twee oorzaken hier in hooge ureum concentraties meer omzetting a ! gevonden wordt. Immers, behalve de toename van is er ook | a-\-nc j nog' een toename van in, omdat de Ph, hoewel constant vooi' zoover i als de oplossing in zijn geheel gemeten kan worden, is toegenomen j in de kleine sfeer rondom het enzym, waarin de werking zich afspeelt. ! Indien p^ niet zeer laag is, kan de productie van een alkalische j stof rondom het enzjmmolekunl de pij doen toenemen boven het optimum in deze phosphaatoplossingen. Vandaar dat in geconcen- treerde ureumoplossingen van een p^ dicht bij of boven dat optimum de Pu in de werkingssfeer licht zoover verhoogd kan worden, dat j in verminderd wordt. ! ( Wordt vervolgd.) j i i i Scheikunde. — De Heer F. Zkeman biedt iiairiens de Heeren A. Smits, G. L. D. La Hastidk, en J. A. van den Andee een inededeeling aan: ,,(>ver het versch/jnse/ na aiux/isrhe /)olari- satie” . I. (Mede aangeboden door den Heer S. HoofiEWREFF). Inleidirn/. Wanneer de exp. eletdriscdie potenliaal van ijzer gemeten wordt gedurende de anodiselie polarisatie, neemt men waar, dal deze poten- tiaal minder negatief wordt naarmate de stroomdichtlieid toeneemt. Voert men dit experiment nit in oplossingen, die geen of weinig lialogeen-ionen bevatten, dan neemt dit verschijnsel boven een bepaalde stroomdichtheid sterk toe en het ijzer gaat dan daarbij van den actieven in den passieven toestand over. Hoewel dit overgaan van den actieven in den passieven toestand niet bij alle metalen wordt waai'genomen, alle vertoonen, terwijl zij anode zijn, een potenliaal, die min of meer in de positieve richting is verschoven. Dit ver- schijnsel der anodische polarisatie is, evenals dat der kathodische polarisatie door de nieuwere beschouwingen omtrent de electromo- torische evenwichten op eenvoudige wijze verklaard '). Een nieuw verschijnsel deed zich echter voor, toen Smits en Loery DE Brüyn, rnim twee jaar geleden, bij de anodische polarisatie van ijzer gebruik maakten van een roteerenden commutator volgens LE Blanc ’). Deze cornmntator is zoo geconstrueerd, dat de potenliaal-sprong niet gemeten wordt tijdens den stroomdoorgang, maar onmiddellijk na verbreking van den stroom. Bij deze methode van werken werd het merkwaardige verschijnsel ontdekt, dat wanneer de stroomdicht- heid niet zóó groot was, 'dat het ijzer passief werd, het ijzer niet een minder negatieven, doch een sterker negatieven potentiaal vertoonde, hetgeen dus zeggen wilde, dat het ijzer na anodische polarisatie een verandering van den potentiaal vertoonde in een richting tegengesteld aan die, welke tijdens den stroomdoorgang is waar te nemen. Aanvankelijk Averd gemeend, dat dit verschijnsel aan de een of andere fout in de opstelling moest worden toegeschreven, doch al b Zeitschr. f. phys. Ghem. 92, 1 (1916). b Zeitschr. f. phys. Chem. 5, 469 (1890). 1254 spoedig bleek, dat dit niet het geval was en dat hetzelfde verschijn- sel, doch eenigszins gewijzigd, zich ook voordeed bij nikkel, en zooals Dr. Aten later vond ook bij chroom. ’) Wanneer zonder den genoemden commntatoi' werd gewerkt, en het verloop van den potentiaal van het ijzer onmiildellijk na anodi- sche polarisatie met den tijd werd nagegaan, bleek dat de [lotentiaal na een minimum te hebben doorloopen, \A'eer snel tot de aanvangs- waarde steeg. Daai' de nadere bestndeeiing van dit xerschijnsel het onderzoek \'aii 8:\iits en Lobrv de Bruvn op een zijweg zon hebben gevoerd, werd deze stadie tot later nitgesteld eji dit is de reden, waarom eerst thans tot de publicatie van dit verschijnsel wordt overgegaan. Hegistreeriiiy van kei verschijnsel. Om het verschijnsel vast te leggen hebben wij ons bediend van de fotografische registreermethode, bij gebruikmaking van den gal- \'anometer van Mole. De potentiaal van een ijzer-electrode 1 werd gemeten t.o.v. een andei’e hnlp-ijzerelectrode 11, terwijl als kathode een platina blikje diende. De electrode was een Vj normaaloplossing van ferro-snlfaat. De ijzer-electrode I, die een op[)ervlak van onge- veer 25 m.ni"'' bezat, werd gedurende korten tijd tot anode gemaakt, terwijl de stroomdichtheid zoo gekozen werd, dat het ijzer bij lan- geren stroomdoorgang passief geworden zon zijn. OnmiddeUijk na deze anodische polai-isatie werd de galvanometer gescliakeld in den keten ijzer 1-electroljt-ijzer II, zoodaf het verloop van den potenti- aal, dat ijzer 1 na de anodische polarisatie vertoonde, nauwkeurig kon worden geregistreerd. ()|) de tllm werd nu opgenomen, ten eerste de potentiaal van ijzer 1 t.o.v. ijzer II vóór de |)roef, ten tweede de ki'omme, die het ver- loop van het verschijnsel aangeeft, ten derde de nnl-lijn, ten vierde een lijn, die overeenkomt met een bepaald potentiaal-verschil, en ten slotte tijd-lijnen door een signaal-inrichling gegeven. Zoo werden bij onze proeven met ijzer in N ferro-sulfaat-opl. de volgende fotografische opnamen verkregen. De lijn DE geeft den [lotentiaal van ijzer 1 t.o.v. ijzer 11 vóór de anodische polarisatie aan. De andeie twee horizontale lijnen, die zich over de geheele figuur voorlzetten, zijn de nul-lijn en de lijn voor — 90 niilli Volt. De kromme ABC geeft het verschijnsel weer, dat men waarneemt na anodische |)olarisatie van ijzer I met een stroomdichfheid van ± 0,360 Amp/cm.^ b Vei-sl. Kon. Akad v. Wet. 26, 1187 (1918). 1 255 De ij ze rel eet rode 1 is iia deze anodische polarisatie aanvankelijk in edele richting verstoord, doch deze \'erstoi'ing woi'dl met groote snelheid opgeheven en de potentiaal daalt tot een waarde, die onge- veer 90 milli Volt negatievei- is dan de potentiaal v(')ór de anodische polarisatie. Het ijzer hehondt slechts korten tijd dezen negatieven potentiaal, en stijgt eerst met toenemende en daarna met afnemende snelheid tot de waarde, die vóór de anodisclie polarisatie werd waargenomen. In Fig. 2 is het verschijnsel gefotografeerd, dat waargenomen werd, wanneer in plaats van een oplossing van ferro-snlfaat, een oplossing van Vio N. Ferro-chloride werd gebrnikt. Er zij Ider met een enkel woord aan herinnerd, dat de concentratie-vergrooting in de grenslaag door de korte anodische oplossing een geringe verandering van den potentiaal in positieve richting tengevolge heeft. Om na te gaan in hoeverre het gevonden verschijnsel iets bijzonders is, dat door de anodische polarisatie bij ijzer wordt veroorzaakt, is ook het verloop 1256 van den potentiaal van het ijzer gefotografeerd na kathodische pola- j risatie. Deze foto is met Kig. 3 aangeduid ; wij zien, dat het ijzer na katliodiselie polarisatie met een stroomdiohtheid \'an ± 0,360 ^ Amp/em.^ nog vrij sterk in onedele richting is verstoord, de poten- tiaal van het ijzer was n.1. bij dit experiment aanvankelijk ongeveer 80 rnilli Volt. negatie\'er dan voor de kathodische polarisatie, welk potentiaal-verschil echter na een minuut weer bijna geheel was verdwenen. Wij willen er hier op wijzen, dat een klein gedeelte van den potentiaal in negatieve richting het gevolg is van de concentratie- afname in de grenslaag bij de kathodische afzetting van het metaal. Daar zooals reeds werd vermeld vroeger gebleken was, dat nikkel, hoewel veel trager, hetzelfde verschijnsel vertoonde als ijzer, zijn met nikkel dezelfde proeven genomen als met ijzer en wel met het volgende resultaat. Fig. 4 geeft het verloop van de nikkel-electi'ode met een opper- vlak van 80 m.M.’ in eeji oplossing van */, „ N. NiSO^, na anodi-, sc/ie polarisatie met een stroomdichlheid van ± 0,075 Amp./cni.h waaruit blijkt, dat hier hetzelfde vei-sciiijnsel o[)treedt als bij ijzer; de potentiaal van het metaal, wordt na anodische polarisatie nega- tiever en keert na een minimumwaarde bereikt te hebben weer langzaam tot de oorspronkelijke waarde van vóór de anodische 1257 polarisatie terug. Het verschijnsel is hetzelfde als hij ijzer, doch het verloopt hier met veel geringere snelheid. In Fig. 5 is het resultaat van de opname van het potentiaalverloop bij nikkel, na kathodische polarisatie met dezelfde stroomdichthekl. Het nikkel is aanvankelijk vrij sterk in onedele ricliting verstoord, de potentiaal is ongeveer 240 m. V. negatiever dan vóór de kato- dische polarisatie, doch wordt met afnemende snelheid steeds minder 0 Ni. / Vj &1SEC F D tonmV T* Fig. 5, negatief, om eerst na bijna 5 minuten weer den [lolentiaal van vóór de katodische polarisatie aan te nemen. Daar het geheele verloop zoo veel tijd in beslag nam, hebben wij de trommel met den film eenige omwentelingen laten nitvoeren, zoodat de opeenvolgende stuk- ken boven elkaar op de foto zijn gekomen. Het is van belang hier op te merken dat Rahtert ’), die ook proeven in deze richting heeft genomen, bij nikkei na anodische polarisatie een negatieveren potentiaal vond in overeenstemming met ons, doch na kathodische polarisatie een veel positievereii potentiaal. Dit is in strijd met hetgeeri door ons gevonden is en moet waar- schijnlijk aan een fout in de opstelling bij het onderzoek van Rahtkkt worden toegeschreven. Want vroeger werd door Smits en Lohry de Hhuyn, en thans door ons, steeds het verschijnsel gevonden, dat hier in Fig. 5 is gefotografeerd. Daar het van belang was ook nog een paar andere metalen in onze beschouwingen op te nemen, hebben wij ook nog zilver en koper onderzocht, gedompeld in een zilver-nitraat resp. kopersulfaat- oplossing met het volgende resultaat. Op de foto, fig. 6, is het potentiaalverloop van een zilver-electrode met een oppervlak van 42 mm’ in een 0,1 N AgNO'-oplossing na ano- dische polarisatie meteen stroomdichtheid van 0,333 Amp./cm.’ opgeno- men, waaruit blijkt, dat hier het gewone verloop optreedt. Het zilver heeft ook na anodische polarisatie aanvankelijk een positieve- b Zeitschr. f. phys. Chem. 86, 567 (1914). Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVIl. 1918/19. 81 3,41 SEC Fig.6. I ’ I ren potenliaal, die met voortdurend geringere snelheid kleiner wordt, j Na katliodisolie polarisatie met dezelfde stroomdichtheid vindt men | eveneens aanvaid^elijk een te negatieven potentiaal, die voortdurend minder negatief wordt, zooals de foto Fig. 7 laat zien. 0 1 Ag j ^ — ' ■ ■■■'■ff*' -6oWV 3,41SEC , rtó.7 - Ten slotte is ook oen koper-electrode met een oppervlak van i 9 m.m^ in 0,1 N CnSO^-oplossing onderzocht, en daarbij is hetzelfde gevonden als bij zilver in 0,1 N AgNOj, zooals nit de foto’s Fig. 8 en Fig. 9 blijkt. De stroomdichtheid bedroeg hier 0,666 Amp/cnij. Tot heden is dus een bijzonder gedrag alleen gevonden bij ijzer, nikkel en chroom, metalen dus, die ionen van verschillende waar- digheid leveren en het was daarom gewenscht na Ie gaan of het verschijnsel zon blijven bestaan, wanneei' de concentratie- verhouding 1259 Cu D E _60toV I 3, «SEC I • tnsschen de verschillende ionen in den electrolyt overal zoo is, tial het metaal, in innerlijken evenwichtstoestand met dezen elecirolyt kan koëxisteeren. Dit werd nn bij ijzer nagegaan door een oplossing van Ferro-chloride langen tijd achtereen in liet vat, waarin de definitieve proef zou woiden genomen, te koken met ijzer-poeder, terwijl zuivere waterstof werd overgeleid. De zoo verkregen oplos- sing was 0,6 N. Het resultaat met deze oplossing verkregen was in hooge mate overtuigend. Zooals Fig. 10 laat zien was er na anodische polarisatie niets van een minimam te bespeuren, en het ijzer gedroeg zich, qiialitatief althans, als zilver en ko|)er. Fié.m. Het vermoeden ligt nu voor de hand, dat ook bij nikkel en chroom het verschijnsel op een dergelijke wijze tot verdwijning kan worden gebracht, waaromtrent thans proeven worden genomen. Laboratorium voor Algem. en Anorg. Chemie der üniversiteit. Amsterdam, 27 Maart 1919. 81* Scheikunde. — De Heer P. Zeeman biedt namens den Heer A. Smits een mededeeling aan: ,,Over het verschijnsel van anoclische polarisatie” . II. (Mede aangeboden door den Heer S. Hoogeweeff). 1. In deze mededeeling zal het eigenaardige verschijnsel besproken worden, dat in de hiervoorgaande eerste mededeeling met boven- staanden titel is vermeld. Zooals daar reeds is gezegd, heb ik het beschreven verschijnsel rnim twee jaar geleden voor het eerst met den Heer Lobry de Bruyn bij ijzei' en nikkel waargenomen, doch de publicatie bleef achterwege, omdat ik het noodig oordeelde het verschijnsel eerst uitvoeriger te bestndeeren. Latei' is hetzelfde door den Heer Aten ') bij chroom gevonden, doch hoogstwaarschijnlijk niet juist door hem geïnterpreteerd. Verklaring van het verschijfisel. 2. Uit de vorige mededeeling is gebleken, dat ,,het verschijnsel” bij ijzer optrad, wanneer dit anodisch werd gepolariseerd in een oplossing van ferro-sulfaat of ferro-chloride, die wel versch waren bei'eid, doch niet van te voren met ijzerpoeder waren verhit. Wij hebben er reeds vroeger op gewezen, dat ijzer in den inner- lijken evenwichtstoestand alleen kan koëxisteeren met een oplossing, die practisch geen ferri-ionen bezat. Verder is het bekend, dat een oplossing, waarin ferri-ionen voorkomen, ijzer duidelijk verstoort en sterker, naarmate de ferri-ionen-concen tralie grooter is. Het is ons, zooals wij reeds vroeger mededeelden zelfs gelukt ijzer passief te maken door het eenvoudig in een geconcentreerde oplossing van ferri-nitraat te dompelen. In een oplossing, die ferri-ionen bevat is de potentiaal van het ijzer dus minder negatief dan in een oplossing, die met unair ijzer koëxisteert, welke oplossing practisch vrij van ferri-ionen is. Het ijzer vertoonde dus in de oplossing, waarmede ,,het verschijnsel” verkregen werd niet den innerlijken evenwichtspotentiaal, maar deze was minder negatief. Wanneer nu ijzer in een dergelijke \'loeistof anodisch tot oplossing h Versl. Kon. Akad. v. Wet. 36, 1187 (1918). J 2H I wordt gebracht zal de electroljl in de oiiigeviiig van het ijzer een verandering ondei'gaan, daar ijzer, zoolang hel niet passief is, zeker practisch uitsluitend als terro-ion in oplo.'ssing gaat. Het ijzer wordt tijdens dit anodisch oplossen versioord, zooals blijkt uit den minder negatieven potentiaal van het ijzer tijdens den stroonidoorgang, en tegelijk wordt nel ijzer orageven door een vloeistoflaagje, dat armer aan ferri-ionen is dan het overige gedeelte van de oplossing. Na verbreking van den stroom transformeert het ijzer-oppervlak zich met vrij groote snelheid in de richting van het innerlijk evenwicht, en daar liet omgeven is door een oplossing, die minder ferri-ionen bevat dan de oplossing buiten de grenslaag, zal de potentiaal van het ijzer thans negatiever zijn dan vóór de anodische polarisatie. Deze toestand kan echter slechts zéér korten tijd duren, want de ferri-ionen diffundeeren van buiten in de grenslaag, tengevolge waar- van de potentiaal weer minder negatief moet worden en zal stijgen tot de oorspronkelijke waarde. Voor het goede begrip is het nuttig de hieronder staande teekening te beschouwen. De lijn ABC stelt voor het verloop van den potentiaal van ijzer na anodische polarisatie, wanneer het gedompeld is in de oplossing van een ferro-zout, die practisch vrij is van ferri-ionen. Het ijzer is 1262 oniiiiddellijk na de anodisclie [)olai'isatie vrij sterk verstoord, doch deze verstoring neemt aanvankelijk met groote snellieid en later langzamer af. De kromme A B' C' geeft ook het verloop van den potentiaal van ijzer na anodische polarisatie aan, maar nu nadat aan de vorige oplossing een kleine hoeveelheid van ee)i ferri-zout is toegevoegd. De potentiaal daalt aanvankelijk ook snel, ejt w^el beneden de eindwaarde. Was de vloeistof in de grenslaag geheel vrij \'an ferri-ionen geweest en gebleven, dan zon de potentiaal de kromme ABC zijn gevolgd, maar thans lievindt het ijzer zich wel is waar in een vloeistoflaag, die armer is aan ferri-ionen dan de vloeistof buiten de grenslaag, maar door de aanwezige ferri-ionen kan het ijzer zich niet in innerlijk evenwicht stellen en de poten- tiaal kan dus niet zoo’n groote negatieve waarde bereiken als wan- neer de ferri-ionen, zooals bij de eerste proef aanwezig waren. Buitendien dilFundeeren voortdurend meer ferri-ionen in de grens- laag, waardoor de verstoring van het ijzer weer toeneemt en de potentiaal weer minder negatief wordt. Plaatst men in gedachte Fig. iO onder Fig. 2 van de vorige publicatie, dan krijgt men de zooeven aangegeven schematische teekening. Zoo moet het verschijnsel bij ijzer worden verklaard en hoogst- waarschijnlijk zal het bij nikkel en chroom op dezelfde wijze ver- klaard moeten worden Dat het minimum bij ijzer eerder optreedt en meer uitgesproken is, moet toegeschi'even worden aan de groote snelheid waarmede ijzer, zoolang het nog niet passief is, zich van een verstoring tracht te herstellen. Nikkel is iii een NiSO^-oplossing veel trager dan in een NiClj-oplossing, en dint uit zich ook weer in dit verschijnsel.') 3. Wanneer nu bij het vooi'tgezet onderzoek, zooals te verwachten is, blijkt, dat het genoemde verschijnsel ook bij nikkel en chroom tot verdwijnen kan worden gebracht door de electroljten van te voren met de metalen in poedervoian langen tijd, onder overvoeren van waterstof, te verhitten, dan is het zeker, dat de tot heden ge- bruikte oplossingen van nikkelsulfaat en chromosulfaat nog een tweede ionensoort bevatten, en wel in een concentratie, verschillend van die, welke heerscht in de vloeistof, die koëxisteert met het metaal, dat in innerlijk evenwicht verkeert. Bij nikkel staan wij dan voor de interessante \'raag, wat hier het tweede nikkel-ion is. Zoo zal dan vermoedelijk blijken, dat het gevonden verschijnsel een uitnemend middel aan de hand doet om uit te maken, of een b In een volgende niededeeling zal dit duidelijk aan den dag komen. 1203 oplossing al dan niet verschillende ionensoorien van een zelfde element bevat. Ten slotte wil ik er de aandacht op \estigen, dat het zéér goed mogelijk is, dat als het ware liet spiegelbeeld van het gevonden verschijnsel zich kan voordoen na kathodische polarisatie; tot heden is dit echter nog niet door ons gevonden. De door Rathkrt gepubli- ceerde uitkomsten zonden deze mogelijkheid bij nikkel bewijzen, doch naar onze meening zijn deze nitkomsten niet juist. Lahoratoriiim voor Aigem. eyi Anorg. Chemie der Universiteit. Amsterdam, 27 Maart 1919. Natuurkunde. — De Heer H. A. Lorentz biedt een mededeeling aan van den Heer D. Coster : „Het gebruik van het audion in de draadlooze telegrafie". ■ (Mede aangeboden door den Heer H. Kamerlingh Onnes). In de jongste successen op liet gebied van de draadlooze telegrafie heeft het drie-electrodenrelais of audion wel de belangrijkste rol gespeeld. Het audion bestaat uit een vacnumbuisje, waarin drie electroden ingesinolten zijn ; een gloeidraadkathode k. een meestal plaatvorniige anode a en een derde tusschen de beide vorige ge- plaatste hulpelectrode h, bestaande uit eenige parallelle en onderling verbonden metaaldraadjes en daarom rooster of tralie genoemd. De eigenschappen van het audion worden bepaald door de audion- karakteristieken, die het verband tusschen de stroomen en //, eener- zijds en de spanningen e en v anderzijds aangeven. (Zie fig. 1). De stroom ih is meestal zeer klein t. o. v. en kan in veel beschou- wingen verwaaidoosd worden. Een eenvoudig schema ter bepaling der karakteristieken geeft flg. 1, waarin eenvoudigheidshalve de meetinstrumenten niet zijn aangegeven. Fig. 2 geeft ia als functie van e, respectievelijk voor verschillende waarden van v. Door paral- i/oli 1265 lelie verseliuiviiig zijn de verschillende karakteristieken nit elkaar . af te leiden. Fig. 3 geeft ia als functie van v bij konstante e. Deze karakteristieken zijn gelijksoortig met die van tig. 2 ; doorgaans evenwel zijn zij steiler. Fig. 2 en 3 geven het essentieele der andionskarak- teristieken ; de verschillende uitvoeringsvormen vertoonen meer of minder belangrijke afvvijki)igen. Ofschoon de aard dei‘ ge- bruikte gasresten en de graad hunner verdunning een be- ' langrijke rol spelen in de bepaling der individueele eigenschappen vaji het audion, schijnen zij niet van essentieele beteekenis te zijn. Het is in alle geval aan L.vngmcik^) gglukt een normaal fnnctionee- rend drie-electrodenrelais te construeeren, door hem pliotron genoemd, waarin elk spoor van gasresten schijnt te ontbi'ekcn. We kunnen ons dns bij de volgende bespreking gevoegelijk op het standpunt stellen, dat de geleiding binnen het audion uitsluitend door de nit de kathode tredende ,,gloeielectronen” of ,,thermoionen” geschiedt. Voor het aantal W per tijdseenheid tiit een gloeidraad in het vacuüm nittredende electronen vond Richaudson de bekende formule ; b N = aT'e~^' (1) hierin is 7’ de abs. temperatuur van den gloeidraad, a. en h zijn konstanten, A is een grootheid, die weinig van de eenlteid verschilt. De uittredende electronen kan men opvangen op een tegenover de kathode geplaatste anode; zV bepaalt men dan door stroommeting. Bij konstante T neemt de stroom aanvankelijk bij grootei- wordend potentiaalverschil toe. Eerst de maximale sti'oom, ,,de verzadigings- stroom” volgt in zijn afhankelijkheid van de temperatuur de formule van Richardson. Voor dit aanvankelijk toenemen van den stroom met de aangelegde spanning gaf Langmuir’) zijn theorie der ,,rnimteladingen”. De in het veld tnsschen de kathode en anode aanwezige electroimn ver- kleinen het potentiaalverval in de nabijheid der kathode. Is de h Langmuib; General Electr. Rev. (1915) p. 327. Hund : Jahrb. f. Drahtl, Tel. (1916) 10 p. 521. ^) Phys. Rev. (1913) p. 457. 1266 gradiënt aan de kathode 0 zoo kunnen een gedeelte der uitgetreden electronen weer op de kathode terugvallen. Deze theorie voerde Langmuir tot de formule ‘) : i=CV^ (2) Hierin is i de stroom, zoolang hij beneden den verzadigingsstrooin blijft, V is de aangelegde s|)anning, C een konstante, die van den vorm en afstand der electroden afhangt. In de omgeving van den verzadigingsstrooin gekomen, gaar i ovei' in een konstante waarde. Dit verband tusschen thermoionenstroom en aangelegde S|)anning vindt men terug in de audionkarakteristieken van tig. 2 en 3. Een complicatie geeft hier het optreden van de derde electrode: het rooster, waaroxer we het volgende kunnen opmerken. Het audion wordt doorgaans gebruikt bij zóó groote anodespanningen, dat de verzadigingsstrooin zou optreden, indien er geen rooster aanwezig was. De taak van het rooster is, den door de kathode uitgezonden electronenstrooin in meer of mindere mate te remmen. De potentiaal van het rooster wordt dan ook steeds lager gekozen dan de poten- tiaal, dien men ter plaatse zou hebben bij ontbreken van het rooster. Doorgaans is de roosterpotentiaal weinig verschillend van den ge- middelden kathodepotential, in vele gevallen blijft hij zelfs daar beneden. Van de electronen, die het vlak bereiken, dat men zich door het rooster denken kan, zullen dus verreweg de meeste tusschen de roosterd raden door naar de anode gaan en slechts weinige de roosterdraden treffen. Het in vele gevallen geringe oppervlak der roosterdraden werkt ook hiertoe mee. De roosterstroom ik (zie tig. 1) is dus in den normalen bedrijfstoestand klein t. o. v. den anode- stroom ia. De anodestroom zelf hangt niet alleen af van den anode- potentiaal e, maar ook van den roosterpotentiaal v. Het is wel plausibel om als ,, drijvende kracht” voor den gemiddelden potentiaal te nemen, dien men heeft in het vlak door het rooter. Duiden we dezen aan door fp, dan is zoolang de anodestroom zijn maximale waarde nog niet bereikt heeft, (p een lineaire functie van e en v (p = ae [iv . (3) Voor den anodestroom krijgen we dus aanvankelijk een verloop als aangegeven door = (7 (4) ') Een analoge formule was al vroeger gegeven door Ghild voor hel transport van pos. ionen. Zie Phys. Rev. (1911) p. 492. 1267 Ben overeenkomstige eni|)irisehe 1‘onmile wordt door Lanomöir’) gegeven voor zijji pliotron. In de draadlooze telegratie wordt liet audion gebruikt als gelijk- richter en versterker. Aan de liaiid van de karakteristieken van fig. 3 zijn deze functies licht na te gaan. Wordt de oogenhlikkelijke bedrijfstoestand van liet audion door liet punt B van één dezer karakteristieken aangegeven, zoo ziet men dat met kleine fluctuaties van den roosterpotentiaal relatief groote veranderingen in den anode- strooin gepaard gaan. Dank zij het lineair verloop van de karakte- ristiek in de omgeving van B, zijn deze stroomvariaties evenredig met de variaties \'an den j'ooster[)Otentiaal. Van groot belang hierbij is nog, dat liet rooster zelf weinig stroom opneemt, ,,liet reageert op spanningen,” er zijn dus zeer kleine energieën noodig om de potentiaalveranderingen van het rooster te bewerken. In de punten A en C werkt het audion tevens als gelijkrichter : bij gelijke poten- tiaalveranderingen in positieven en negatieven zin behooren ongeUjke stroomvariaties. In de laatste jaren heeft men gevonden, dat het audion nog een derde funclie kan verrichten. Door geschikte schakeling kan men een electrisch instabiel sjsteem vormen, dat aanleiding geeft tot wisselstroomen van bepaalde frequentie, evenals dit het geval is met de zoogenaamde zingende booglamp. Het is verder gebleken dat de „instabiele” schakelingen de \ersterkende werking nog in liooge mate vergrooten : z.g. terugkoppeling. Voor een goed begrip van het gebruik van het audion in de draadlooze telegrafie is het van het hoogste belang zijn generatieve werking te verstaan. Het vraagstuk van de instabiliteit van mechanisch rustende electro- L dynamische systemen is o. a. door 72 SiMON en zijn leerlingen bestudeerd ’). C Deze onderzoekers zijn er in geslaagd eenige algemeene gezichts|)unten vast f’ig- 4:. te stellen, die we aan de hand van een eenvoudig schema (zie tig. 4) licht na kunnen gaan. E is een konstante electrom. kracht. W is een weerstand, die zoo groot is, dat de (variabele) weerstand van den lichtboog B steeds hiertegen te verwaarloozen is, L is een zelfinductie, waarvan de weerstand R bedraagt, C is een capaciteit. Van wege de veronder- b Zie Hund : Jahrbuch f. Dr. Tel. (1916) 10 p. 521. 2) Pliys. Zeitschr. (1902) III p. 282. , „ (1903) IV p. 366 en p. 737. Zie ook Jahrb. f. Dr. Tel. (1918) 1 p. 16. i Llj 1268 stelling omtrent fV kan de stroom als konstanl beschouwd worden. We nemen aan, dat de liclitboogs|>anniiig e slechts een functie is van den lichtboogstroom die voor kleine waarden van /j lineair verloopt. We krijgen dus voor dit pi-obleem lineaire di ff. vergelijkin- gen, waarvan de algemeene oplossing bestaat nit de som van een gelijkstroom”- en een ,,wisselstroom-oplossing”, die onafhankelijk van elkaar (e beschouwen zijn. Zoo is de spanning c voor te stellen door een konstante S|)aniiing e„, \ ermeerderd met een wisselspanning \'oor den stroom hebben we de splitsing al getnaakt in en Voor den trillingsketen bestaande uit lichtboog, zeKiuductie en capaciteit is: di. e + i- L — + — _ 0, . ‘ï, dt C waaruit door differeutiatie naar t\ • (5) + U b be k öb, öi, 7 dt (6) Qit (6) \'olgt dat blijvende wisselstroomen alleen mogelijk zijn, indien ; öe dk ^ - ^ (7) Met een stroomtoename dient dus een span nings verlaging gepaard te gaan en omgekeerd m. a. w. voorwaarde voor het ontstaan van wisselstroomen is een ,, dalende” lichtboogkarakteristiek. Voor den wisselstroom gedraagt de lichtboog zich als een ,, negatieve weerstand” ; de grootheid — is dus op te vatten als de electromotorische kracht \oor den wisselstroom. Passen we dit toe op het audion, dan zien we uit de karakteris- tieken van tig. 2 dat voor konstanten roosterpotentiaal, het audion een stijgende karakteristiek heeft, dus stabiel is. Alleen door het rooster aan den trillingsketeu te ko|)pelen is het eventueel mogelijk het systeem labiel te nfaken. De anodestroom i ') is een functie van den anodepotentiaal e en den roosterpotentiaal v f{e,v) (8) Nemen we ook hier een lineair verband aan tusschen stroom en spanningen, dan bestaat de algemeene oplossing der differentiaal- vergelijkingen voor dit systeem uit de som \an een ,,gelijkstroom- oplossing” io,e„,v„ en een wisselstroomoplossing c,. De grootheid — g, is ook hier weer als de electromotorische kracht voor den wisselstroom op te vatten. Gemakshalve laten we den index a, hier voortaan vallen. 1 26y Nu volgt uit (8): (9) 0/ — Cil de r 0 / de r t. (10) üit (10) zien we nu in verband met l)Ovenstaande bescdion wingen, dat, wanneer we ons bevinden op het jniste punt der karakteristiek (b.v. B in fig. 3) en het rooster onderhevig is aan spantnngsflnctuaties t\, we het audion kunnen opvatten als een wisselslroornbron met een electromotorische kracht An, en een inwendigen weerstand r. De spanningsfluctuaties van het rooster kunnei> door een van binten aangrijpende electromotorische kracht vei'oorzaakt worden. Maar ook kunnen we ze te voorschijn roepen door-het rooster op geschikte wijze met de anodeketen te koppelen, waardoor een eenmaal ontstane trilling zichzelf onderhoudt. Beide methoden vinden in de draadlooze telegrafie een veelvuldige toepassing. De tweede methode zal hier voornamelijk een punt van bespreking uitmaken. Hierbij zal ile in de wisselstroomtheorie gebruikelijke ,, methode der complexe weer- standen” worden toegepast ; waarover eerst het volgende : Stel er is een willekeurig electriseh .‘^_ysleem bestaande uit zelf- indncties, capaciteiten en weerstanden, waarin ergens een periodieke electromotorische kracht E cos pt aangrijpt. De stroomen, die in dit systeem optreden, voldoen aan een stel lineaire differentiaalverge- lijkingen ') van den vorm rikdt _ J Cl, ~\E ■ (11) E cos pt Het .2'-teeken heeft hier betrekking op alle stroomen, die optreden in een gesloten kringloop, die we in liet systeem kunnen beschrijven. De oplossing van (11) bestaat uit de algerneene oplossing \'an een stel homogene lineaire vergelijkingen, die uit (11) ontstaan, door Ecospt = 0 te stellen en een particuliere oplossing. Het eerste deel der oplossing geeft de (gedempte) eigen trillingen van het sj^steem ; het tweede deel de gedwongen trilling, die voor het continue bedrijf alleen van belang is. Ter opsporing van de particuliere oplossing kati men gebruik maken van de complexe notatie. Voor E cos pi zet men EeJf'*, waarin j = y" — 1, en zoekt b Tevens aan algebraïsche vergelijkingen van den vorm 'L i 0. 1270 voor ih een oplossing van den vorm Ahe->P\ hierin is Ah complex en geeft zoowel amplitude als phase van 4 aan. In plaats van (11) ontstaat nn een stel lineaire algebraïsche vergelijkingen van den vorm : , = / \E' ‘ (12) Vergelijkingen (12) zijn geheel analoog aan 'de vergelijkingen van Kiuchhoff voor een gelijkstroomsysteem ; alleen treden hier complexe weerstanden op van den vorm Zh= Rh i ( pLu \ Wekim- V pChJ nen hier dns dezelfde kunstgrepen toepassen als bij gelijkstroomproble- men. Zoo zijn twee parallelgeschakelde wisselstroomweerstanden en te vervangen door één enkelen snbstitntieweerstand van de grootte ^^7 Komen ook toederzijdsche inducties d/,. in het systeem voor, dan is de linkerzijde van vergelijking (12) nog te vermeerderen met termen van den vorm jpAI,- A,- De methode der complexe weer- standen is ook dan nog te gebruiken, de analogie met gelijkstroom- jnoblemen gaat dan evenwel niet meer geheel op. Passen we nn het bovenstaande toe op het audioji. De anode 4s dooi' een systeem van zeltinducties, capaciteiten en weerstanden met de kathode verbonden, het rooster is met deze keten of door een directe verbinding gekoppeld of door middel van één of meer weder- zijdsche inducties. Verder zijn er twee batterijen in het systeem aan- wezig, die zorg dragen, dat de gemiddelden der spanningen e en v zoodanig zijn, dat we op hel juiste |)unt der karakteristiek (bijv. B in tig. 3) opereeren. Voor wisselstroomen gedragen de batterijen zich als gewone weerstanden. Aangezien we ons om wisselstroomen en -spanningen bekommeren, znllen we de indices bij deze groot- heden (zie vergelijking (10)) gemakshalve voortaan weglaten. We ki’ijgen nu voor het audion eenzelfde stel vergelijkingen als (11) , Ecospt is nu ).v, als v de wisselpotentiaal van het rooster is. We kunnen deze weer reduceeren tot een stel vergelijkingen (12) . De rooster potentiaal is evenwel op zijn beurt weer een functie van de stroomen in de anodeketen. We dienen dus (12) aan te vullen met één vergelijking van den vorm E = x:SB,.A,. (13) waarin de i?,-’s in het algemeen complexe factoren zijn. Is het nu mogelijk voor een gegeven schakeling een stel Al’s te vinden, die voldoen aan (12) en (13) voor een reëele waarde van p, dan heeft deze schakeling een generatieve werking. Voor en na zijn 1*271 vele dergelijke schakelingen in een bijkans verwarrende nienigle aangegeven, meestal neergelegd in patenlbesclirijvingen. Een ovei'zicht geven o.a. Armstrong') en Eccles-). We kannen voor de ,, generatieve” andionschakelingen nn in ver- band met het bovenstaande de volgende algemeene regels geven : A. Heeft men eenmaal een schakeling, die vvisselstroomen geeft van een bepaalde frequentie, zoo kan men hieruit andeie atleiden die stroomen geven van dezelfde frequentie, wanneer men de op- tredende wisselstroomweerstanden ^ vervangt door andere, die voor deze frequentie aeqnivalent zijn. Zoo kan men twee parallel gescha- kelde wisselstroomweerstanden Zj en Z, vervangen door één enkelen ter grootte • -P Zj jB. Ook kan men nieuwe schakelingen vinden door alle optre- dende wisselstroomweerstanden te vervangen door hun toegevoegde complexen. Immers in dit geval voldoen aan \’ergelijkingen (12) en (13) een stel aan de vorige toegevoegde com|)lexe A’s eveneens voor een reëele waarde van /j. Voor het geval, dat in tie keten geen wederzijdsche inducties aanwezig zijn, kan men zulks bereiken door overal zellindncties />/, door ca|)aciteiten 6"/, te vervangen en omge- keerd, daarbij zorgdragende dat Lj, C' n = L' kCh = [A . Komen er ook wederzijdsche inducties voor, dan is dit niet nieei' op deze eenvoudige wijze te bereiken"). Tevens dient in dit geval bij deze substitutie de wederzijdsche inductie van teeken te veranderen. Dit bei-eikt men door öf primair of secundair de klemmen om te schakelen. Aan de hand van bovenstaande algemeene regels kunnen we nu over de ,, generatieve” schakelingen het volgende opmerken. Er zijn twee typen van schakelingen : 1. die met directe koppeling. Hierbij is het rooster onmiddellijk met een punt van de trillingsketen verbonden. H. die 'met indirecte koppeling. Hierbij is het rooster door één of meer wederzijdsche inducties met de anodeketen gekoppeld. I. Directe koppeling. Het algemeene type van deze schakelingen, waartoe zij ingevolge A alle te herleiden zijn, wordt aangegeven door fig. 5. 1) Zie Jahrb. f. Dr. Tel. (1918) 12, p. 241. ’) Electrician Juli 1916, p. 573, Aug. 1916, p. 595. Zie ook: Yearbook of Wireless Tel. (1917) p. 674. ?) Zie noot bij de Eng. vertaling. 1272 en ') zijn wisselstroom weerstanden, r en ?. hebben hier dezelfde beteekenis als in (10). 12) en (13) worden hier V = — Z " i = ■ ' ' ~ 4- • (14) • (15) Combinatie van (14) en (15) geeft ^1 S'. z." z. = 0. . . . 4 (16) Schrijven we vei'der z^=ci\-\-jy^ enz., waarin j = \ — 1 en stellen we het reëele en het imaginaire deel van (16) respectievelijk gelijk 0, zoo ontstaan ; I .t-/ d (1 -r- ^.) j -1- f .V,) - y, I y,' + C + ii) y," i = 0 (17) //, I d (1 + ^') -^d" i f ’■ (,v/ + ,v,) + 1 !-u' + ( 1 + ^) .y/' ! = 0 (i8) De yds en eventueel ook de .r’s bevatten de frequentie />. Elinii- neei'en we deze uit (17) en (18) zoo ontstaat een betrekking tnsscheii de konstanten van den stroomkring ip(r, . ..) = 0 . ...... (19) waaraan \’oldaan moet worden, opdat er blijvende wisselstrooineii mogelijk zijn. Een der vergelijkingen (17) en (18) kan tevens tei' bepaling dei- frequenlie dienen. (19) geeft een noodzakeUjke voor- waarde, zij is ook voldomde, indien (17) of (18) minstens één reëeleii wortel p bevat. Voor reëele p zijn .i\, enz. essentieel positief als hebbende het karakter van Ohmsche weerstanden ; en P. zijn positieve andions- konstanten; ?/,, ■ zijn öf positief (met karakter van zelfindnctie) of negatief (capaciteit). Uit (17j en (18 nu blijkt, dat schakeling 1 slechts op twee principieel verschillende manieren kan uitgevoei'd worden. Uit (17) volgt, dat y, en y', + (1 +^-) .v"] hetzelfde teeken dienen te hebben, nit (18), dat yi = y\ + y''i en y,, verschillend van teeken moeten zijn. Ie maniei'. y, en y'\ positief; yd^ negatief, terwijl: y} + y.<-y^<\^ \-^)y: • • . . ■ (^^o) Deze schakeling wordt in zijn eenvondigsten vorm voorgesteld door tig. 6. (20) wordt nu ; h In de fig. door gothische letters aangegeven. 1273 +L,)<-^<(l + A)pL, pC^ waaruit onder meer volgt: L,C).L, Voor (17) en (18) krijgen we: R^R,{1 + ;,) + {R, + R,)-\-~- (1 + ;.) f L, L, = 0 p LJiA^ f d- L,) - ^-1 j+7^, j - ^ + (] I waaruit men door eliminatie van p de tamelijk gecompliceerde „trillingsvoorwaarde” kan afleiden. 2'’ manier. Deze ontstaat door substitutie B uit de voorgaande, //, en hier negatief en /// positief, terwijl : ■— (.v," + y,) < < — (1 d- >-) Fig. 7 geeft den eenvoudigsten vorm aan. De vergelijkingen (17) en (18) leveren hier res|)eclie\elijk ^5 ^ F ^ + rR^C.C.^ y'\ s'djn op: (21) (22) Schakelingen, welke op die van tig. 7 neerkomen worden veelvoudig toegepaat. Zij zijn o.a. door Vallauki theoretisch behandeld ^). Dok schakelingen van het Ijpe van tig. 6 vinden een enkele maal toe- passing II. Indirecte koppeling. Het eenvoudigste te behandelen is het geval, waarin de rooslei'- b Jahrb. f. Dr. Tel. (1918) 12 p. 381. b Zie bijv. Armstrong 1 c. fig 13. De capaciteit door ons Ci genoemd in fig. 6 ontbreekt. De anode en bet rooster, die aan lietzelfde einde van bet audion zijn ingesmolten en van fittings voorzien, bezitten evenwel voldoende capaciteit t. o. v elkaar. 82 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVIl. A®. 1918/19 1274 keten stroomloos is. Het gereduceerde type van deze schakeling geeft fig. 8. Iv = \ r + (23) (24) + v = - jp M t, = —jp Uit (23) en (24) wordt gevonden: I p M y^-= r {a.\ + .ü,) 4 it-, — y, y, — IpMx^ — r {y^ -h y J + .r-, y, + y, Aan deze vergelijkingen kan slechts voldaan worden op twee manieren, welke weer dooi- middel van substitutie B uit elkaar zijn af te leiden. 1®. y, pos., y, neg., M neg. 2®. y, neg., y, pos., M pos. Zij worden respectievelijk weergegeven door tig. 9 en 10. (25) (26) Fig. 11. Ook van de schakeling van tig. 9 wordt veelvuldig gebruik ge- maakt. Zij wei'd theoretisch door Vai.lauri ') grondig behandeld. Die van fig. 10 schijnt tot nog toe niet gebruikt te zijn; door Armstrong wordt zij ook niet vermeld. M l.c. 1275 Iii het geval de indirecte koppeling wordt toegepnsl en ook in de 1‘oosterketen een stroom vloeit, is de willekeur zoo groot, dat het moeilijk scliijnt hier eenige algemeene regels behoudens de substitutieregels A en B vast te stellen. Toch voert voor elk bijzonder geval een rekening als boven snel tot het doel en zij is overzichtelijker dan de oplossing van een stel simultane ditfei-entiaalvergelijkingen. Een eenvoudig voorbeeld van deze schakeling geeft tig. 11. Scha- kelingen als deze komen veel voor. Dezelfde schakelingen, die het audion doen geriereeren, zijn ook uitermate geschikt om een goede ver sterke') ule werking te geven. Of een audion als generator dienst doet hangt ten slotte af van de wortels van een algebraïsche vergelijking van den graad : «o P"~^ + «X = 0 (27) Deze vergelijking is ontstaan uit een homogene lineaire diff. vergel. van de orde : . . . -f «n = o, • . (28) door een oplossing te probeeren vat) den vorm x = Aer‘ . De a’s zijn functies van de wisselstroomweerstanden, x stelt een stroom of spanning voor. Is minstens één wortel p = />„ zuiver imaginair, zoo zijn er vrije ongedempte trillingen mogelijk. Waar het audion dienst doet in een ontvanginrichting voor draadlooze telegrafie, ondervindt de rooster- potentiaal buitendien een gedwongen trilling van wege de koppeling met de antenne. In plaats van '29) krijgen we nu een vergelijking mèt tweede lid, in complexe schrijfwijze'): d.tx-^ — EeP't, .... (30) waarin // zuiver imaginair is. De particuliere oplossing, die de gedwongen trilling geeft, vinden we door te stellen xz=A'er''. Ter bepaling van de amplitude ':A' krijgen we : (31) Is nu /;' gelijk aan een (imaginairen) wortel p^ van (27), dan kunnen we door de konstanten a\ enz. slechts weinig verschil- b De a’s zonder accenten reserveeren we voor het speciale geval, dat deze grootheden zoodanig gekozen zijn, dat (27) een zuiver imaginairen wortel p = p,, bevat. 82* 1276 lend te kiezen van enz. in (27), den noemer van het rechterlid van (31) zoo klein maken, als we willen. Een grens wordt slechts hierdoor gesteld, dat de eigen trillingen bepaald door «>'" + ••••«'>> = 0 (32) voldoend gedempt moeten zijn, dus de wortels van (32) een voldoend groot negatief reëel gedeelte dienen te bezitten. Door een koppeling als van fig. 12 wordt dus bereikt, dat het systeem voor de gedwon- gen trilling een zeer kleine ,, wrijving” heeft. Het audion leent zich bij uitstek tot het ontvangen van ongedempte golven. Volgens het heterodyne-principe worden alsdan in het ontvangstation locale tril- lingen opgewekt, die met de ontvangen trillingen aanleiding geven tot zwevin- gen van hoorbare frequentie, welke op de gewone wijze door gelijkrichter en telefoon kunnen worden aangetoond. Het audion wordt nu zóó afgestemd, dat de frequentie der eigen trilling wei- nig van die der gedwongen trilling verschilt. Het is dan wel duidelijk dat het systeem voor deze laatste weinig ,, wrijving” heeft. In bovenstaande beschouwingen is door ons aangenomen dat het verband tusschen stroom en spanningen lineair is. Uit de tig. 2 en 3 blijkt evenwel dat dit slechts voor een beperkt gebied der karakte- ristieken geldt. De stroomamplitude kan niet boven een bepaalde waarde stijgen. Dit maakt, dat we feitelijk niet dienen te vragen naar de zuiver imaginaire wortels van (27), maar naai- de wortels met positief reëel deel. Door een onderzoek als boven leeren we slechts de punten kennen waar het reëel deel der wortels p van negatief positief wordt. Het komt mij voor dat dit in de meeste gevallen ter opsporing der verschillende schakelingsmogelijkheden voldoende is. In een Amerikaansch patent van Nov. 1917 (n“. 102,503) wordt het gebruik van het audion als generator beschreven, waarbij juist qiiadratische termen in het stroomspanningsverband den doorslag schijnen te geven, üit patentbesch rij vingen alleen is moeilijk een conclusie te trekken en voorzoover mij bekend is tot nog toe in de literatuur geen bespreking van een dergelijke schakeling voorhanden. i I Wiskunde. — De Heer Cahdinaal biedt eene mededeeliiig aan van den Heer J. A. Schouten: ,,Over veeksontwikkeüngen van ko- en kontnivariante grootheden van koogeren graad hij de lineaire homogene groei).” (Mede aangeboden door den Heer Lorentz). Notaties '). Een kovariatite atfinor van den graad p kan geschreven worden als algemeen product van p ideale grondelementen’): p 1.-,» p u = — Wa.,..; e),..,e, =u,...u,„ ..... (1) een alterneerende of symmetrische als macht van één ideaal grond- element : 1,...,» 2 Cy, = v/' pyv — È y c;,^e) =yfP . , . '•••;, - p u-, p De p! isomere)i van u, d. z. de p! pi-oducten der ideale factoren p in alle mogelijke volgorden, zijn reale rationale kovarianten van u. p Ieder isomeer ontstaat uit u door een bepaalde der p! permutaties Pj der ideale factoren. Onder een doordringend algemeen product o P <7 van eenige affinoren u,v,.., verstaan we eenig isomeer van het P 9 algemeene product uv.... Een affinor, waarbij tusschen de verschil- lende isomereii geen lineaire betrekkingen bestaan, heet niet hijzoiider. [so)nerenklas.‘)e)i ’). Het is bekend, dat de p faktoren van een isomeer op ééne en slechts ééne wijze in groepen van .s', . faktoren verdeeld kunnen worden, zoo dat de verwisseling in elke groep een cyclische is. De groepen noemen we de permutatiegebieden en het getalkomplex .s-, , ,s’, , . . . gerangschikt van hoog naai' laag en met weglating van alle getallen 1 het permutatiegetal. Voor n evengroote h Men zie verder „Die direkte Analysis der neueren Relativitatstheorie.” Verh. der Kon. Akad. v. Wet. Dl. XU. N^. 6, blz. 7-11. -) Het eerst onder den naain van , .symbolische Vektoren” ingevoerd door E. Waelsch, „Ueber mehrfache Vektoren und ihre Produkte, sowie deren Anwendung in der Elastizitatstheorie.” Mon. f. Math. und Ph. 17 (06) 241 — 280. 1278 gebieden .s'^5 woi'dt daarbij gesclireveii a . 6)3. Een permntatiegetal is hooger dan een ander, wanneer zijn eerste gebied grooter is, of, bij gelijklieid, wanneer het tweede gebied grooter is, enz. Alle pertnu- taties met hetzelfde pernintatiegetal vormen naar Fkobenius een permntatieklasse, en we /loemen derhalve de som van alle isomeren met hetzelfde permutatiegetal gedeeld door p! de isoinerenklasse dat getal. Het aantal klassen is dus gelijk aan het aantal geheele positieve oplossingeri k van de vergelijking .(/•j + 2 -f- y ‘■*^3 + • • • = P ■ • • ■ • (3) De klassen worden gei-angschikt van laag naar hoog en geschreven p 1 p p i> A, u = - u , /T, u , , At u p\ Hel |)ermntatiegetal kan desgewenscht als index links toegevoegd worden, bijv. voor p = Q : Ji, , , ,,,a; , 3.,a, , 3A3 , 3,,A, , ,A, , ,,3A,, 3A,., ,A„. Eeri klasse heet even of oneven al naarmate zij nit even of on- even permntaties is samengesteld. V Alternaties of mengingen. De atïinor, die i'iit u ontstaat door be- paalde groepen van s, , . . . , si factoren ter plaatse te vervangen door heet een eenvoudige alternatie resp. menging van u met het pernni- tatiegetal , . . . , St en wordt geschreven (),) }> (/) p A u resp. M u De index I (rechtsboven) geeft desgewenscht de keuze der permn- tatiegebieden aan. De affinor heet plaatselijk en wel in deze gebieden alterneerend resp. symmetrisch, in het algemeen plaatselijk permu- teerbaar. De som van alle eenvoudige alternaties resp. mengingen met het- zelfde permntatiegetal gedeeld door hnn aantal heet de algemeene alternatie resp. menging met dat getal. De algemeene alternaties en mengingen worden gerangschikt van laag naar hoog en geschreven p p p Aj u = u , A, u,... r Ak u p p ~ p — p u, eventueel onder bijvoeging \'an bijv. voor p = Q het permnlatiegetal als index links, ,Ai , ,A, , 3,,A, , jjA^ , 3A5 , ’ 3. 8-^7 ’ 4-^8 > 4,3'^ 3 ' 5-^10 » 11 M/j , M/3 , , ^M. , ^ »M,,. 1279 Is het permutatiegetal van A, dan bevat Ai eenvoudige alternaties Ai. Hetzelfde geldt voor mengingen. Voor een niet bijzondei-en affinor zijn alle klassen en evenzoo alle eenv. en alg. alternaties resp. mengingen lineair onafhankelijk. Worden en ‘i' • -ViTf na elkaar op een niet bijzonderen affinor toegepast, dan ontstaat dan en alleen dan nul wanneer een gebied s met een der gebieden meer dan een faktor gemeen heeft. Het hoogste permutatiegetal s^’, . . /f, waarvoor ■^1' S’ . IJ A Mn Sx.-.S^ niet steeds nul is, heet aan .Sj St toegevoegd. Daaruit volgt dat s,— S,) , (Si—l) . t , (5,_1— S,). («— . 2. (5) Deze betrekking is een wederkeerige. Worden de permutatiege- bieden van een alternatie of menging genummerd, zoo dat een grooter gebied altijd een lager nummer heeft dan een kleiner, dan is het mogelijk, dat voor alle waarden van e de e-de factoren van elk der gebieden in de volgorde dezer nummering staan. De alter- natie of menging heet dan geordend. Bij een geordende alternatie behoort blijkbaar één en slechts één geordende menging met toe- gevoegd permutatiegetal zoodanig dat deze beide operatoren elkaar niet anulleeren. Deze beide heeten toegevoegd. Een alg. alternatie en een alg. menging met toegevoegd permu- tatiegetal heeten toegevoegd. Iedere alg. alternatie of menging wordt door alle eenv. en alg. mengingen resp. alternaties met hooger per- mutatiegetal dan zijn toegevoegde geanulleerd. De volgorde der aan A^, . . ., Au—! toegevoegde algemeene mengingen is voor > 5 niet dezelfde als M k—\ voor p = ^, bijv.: 2A2 , 2,2^3 t 3.2^44 , 3^5 1 3,2^6 . 2.3^7 , iAs ,4,2^9 ) 5^10 5^10 , ^•2^/9 , 2.3l?7 , Ws , 3.2Ï^6 , , 2.2I/3 , P >' Worden in of — ‘b Mu 6e niet veranderde factoren ver- vangen door de ideale factoren van hun symmetrisch resp. alter- neerend product, dan ontstaat een gemengde alternatie resp. gealter- neerde menging met hetzelfde permutatiegetal, geschreven ; m p o p s„....sj-4u resp. Mn- m o Uit de operatoren A en M kunnen op dezelfde wijze als boven J280 algeineene gemengde alternaties 4 en gealterneerde mengingen M ij gevormd worden. Ten aanzien van de volgorde de onaf- |l liankelijkheid en het geoi’dend zijn gelden vooi’ deze operatoren U dezelfde regels als voor A, A, 4/ en M. i Annnlleeren een A; en een Mj met toegevoegd permutatiegetal j , elkaar niet, dan worden de onveranderde factoren van Mj door Ai i gealtei’iieerd en die van Ai door A/j gemengd, zoodat : Ai A/j = Ai Mj = Ai Jf = Ai a Mj. . . • • (6) en evenzoo : Ai AIj — Ai Mj = Ai Mj = Ai Mj. . . . . (7) Ontwikkeling der algenieene alternaties en mengingen naar klassen. Stelling /. Een algemeene alternatie resg. menging va7i een niet bijzonderen affinor kan op ééne en slechts ééne loijze als veelvouden- som aller klassen met hetzelfde of met een lager permutatiegetal geschreven wot'den. ïmor een menging zijn de koeficienten van alle klasseyi positief, voor een alternatie die dér even klassen positief, de andere negatief. Hun absolute waarden zijn voor hetzelfde permutatie- getal gelijk: j voor Kj even 1 t- — 1 ,, ,, oneven. Mi = iHj Kj J Het zeer eenvoudige bewijs worde acditerwege gelaten. Ter be- paling der koefficienten moet worden nagegaan op hoeveel wijzen I het mogelijk is de t permutatiegebieden s.^ , ... , Si van een A{ of ' Mi zoo te kiezen, dat ieder der t' gebieden .Vj .s-', van een j permutatie van een bepaalde Kj geheel in een diei' gebieden valt. ' Is dit aantal niij, dan is i ^OiPl S^.'...Sif((i • (9) I Voor = 6 is bijvoorbeeld: (zie volgende pagina). Daar alle A, alle Af en alle K lineair onafhankelijk zijn, geldt omgekeerd : d, Ki K, = dij Aj j = S dij Mj (11) 1281 1 6 15 15 20 60 20 90 90 30 1 6 15 30 20 60 120 90 180 360 s ^-rfr^c^ooto-^oo-^-^ _ — CJ — . CN CJ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ It 1+ 1+ 1+ s ^> 11 dan is ; Pm/ = Pmi Hm,i a,p, ... . . . . (22) h.J waaruit blijkt dat de koefficienten p correspondeeren met de door Frobeniüs gedefinieerde groepkarakters '/ der symmetrische groep. Algemeen is (23) waaruit in het bijzonder volgt voor : = Xj;”' ......... (24) 1284 Uit de door Frobbnius aaiigegeveii tabellen voor de groepkarakters vinden we dus direct de vergelijkingen, die de 1 in de K uitdruk- ken, bijv. voor = 6 : Al f<2 A3 A4 As Ab A7 Ag Ag A,o ■ Al, ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 wh 1 --1 1 —1 1 1 — 1 1 1 —1 2h 25 15 5 -5 10 0 -5 5 —5 0 —5 \ lop 25 —15 5 5 10 0 -5 —5 -5 0 5 4 7/5 25 -5 5 15 —5 —5 10 5 -5 0 0 7 4/6 25 5 5 —15 —5 5 10 —5 —5 0 0 (25) 9 sA 81 27 9 27 0 0 0 -9 9 -9 0 9^8 81 —27 9 -27 0 0 0 9 9 -9 0 bh 100 20 -20 -20 10 — 10 10 0 0 0 10 5 sAo 100 -20 -20 20 10 10 10 0 0 0 -10 6 e/.i 256 0 0 0 -32 0 -32 0 0 16 0 *) *) De linker indices der I’s worden hieronder verklaard. Daarmede is dan een ontwikkeling gevonden die voor lederen at'tinor eenduidig is. Inderdaad kan er ook voor een bijzonderen aflinor geen lineaire betrekking bestaan tussclien de / zonder dat iedere koefticient afzonderlijk nul is, gelijk toepassing van een der opei-atoren / onmiddellijk leert. Wij noemen deze ontwikkeling de ontwikkeling naar elementaire a.fj'inoren. Door gebruikmaking van vi a labellen als (10) en (25) zon men nu de / in A, M, A of M kun- nen uitdrukken en aldus een eenduidige ontwikkeling naai' alter- naties of mengingen kunnen verkrijgen. De volgende weg is ecliter eenvoudiger en leert meer. De eleinenlaire operatoren als product van twee toegevoegde alge- nieene operatoren. Zijn Mjk toegevoegd aan A„, A^,. . At , dan worden /!,, . . ., Ah geannulleerd door zij bevatten dus zeker jp der lioofdeenlieden / niet. Evenzoo worden A^, . . .4/,- geannulleerd door Mj^ en zij bevatten dus zeker verdere lioofdeen- lieden niet, enz. Aldus blijkt, dat Ak slechts k — .2' ?//, y/ ^ 1 hoofd- 1285 eenheden bevat, waaruit volgt = y, = . . . r= yj^ = 1 . eenheden kunnen dus zoo worden gerangschikt: dat De hoofd- Ai="É\iI , i>l (26) Daar dezelfde redeueering voor de M geldt kuuiieu de hoofdeeii- heden ook zoo worden gerangschikt: dat U-..,k 1 Mi=:E~iI , i>l . (27) De koeftlcienten van de beide ontwikkelingen zijn gelijk, de twee volgorden der / zijn echter voor /> j> 5 niet gelijk, bijv. voor = 6, beide indices gebruikende-. Van hieraf gebi'uiken we voor de / jiiet meer de indices rechts van blz. 1283. Uit (26), (27) en (7) volgt de betrekking: m a U — iS]. Ai Mj = df. Ai J[j (28) Daar men gemakkelijk aantoont, dat Ai M j, juist éénmaal /v, bevat, zijn de koefficienten (S^ij identiek met de koefficienten in (20) en de dij dus gelijk aan de groepkai-akters in de eerste i’ij van Frobenius. Men behoeft dus slechts deze eerste rij te kennen. Voor het geval dat/b = s/l, is en voor Ai = oL./,/> 1 en alle mengingen Mi, , j , h'^ 1 geannulleerd mordi. Een dergelijke grootheid inordt eveneens gea,nnulleerd door alle Ai en Mj,, kan ontstaan door M , Ai , Ai , M j en Mj en is bij toe- in a passing van Jj , óij Ai , óij Ai , ~Mj en d,-^ Mj invariant. Eoor een bepaalde waarde van n [aantal grondelementen e) worden alle elemen- taire affinoren, voor welke het perniutatiegetal der A permutatiegebie- den j> )i bevat, nul. Voor /> = 6 luidt de ontwikkelitig bijv.; + ^-254,M, + 100^5.¥, ^ 256^,¥,+ | + 2 5 1 0 0 ^ 4 8 1 ¥, + 2 5 , /¥, f ¥ J (31) Ontwikkeling van een elementairen affinor naar geordende elemen- taire a/linoren van de eerste of tweede soort. Stelling 11. Iedere eenv. alternatie of menging, die door alle hoogere met hetzelfde aantal permutatiegebieden van meer dan een faktor geannulleerd nwrdt, kan worden geschreven als veelvoudensoni van geordende alternaties of mengingen met hetzelfde perniutatiegetal, die in elk van hun gebieden alleen faktoren bevatten uit de overeenkomstige gebieden van de oorspronkelijke alternatie of menging. Het bewijs zij eerst geleverd voor een affinor P P d ^ d ^ ,,,c,A n = ,,uo ,/V = (u,....U/do(v,...v,,) P Is de eerste faktor van m geen u, dan passé men een i,-\-\A toe, p welks gebied dezen factor en omval, is dan te schrijven p als som van p-\-l termen, waarvan er slechts een, nl. m zelf, een factor V als eersten heeft en die alle in het gebied alleen factoren p van ^,u hebben. Dus is m te schrijven als een som van termen die alle een factor u als eersten hebben. Komt nu in een dier termen p m, de tweede factor v voor den tweedeti factor u, dan passé men een toe, welks gebied de twee eerste v en de p — 1 laatste u /' bevat. is dan te schrijven als een som van p-\-l termen p waarvan er slechts één, n.1. m, zelf, twee v als tweede en derde factor heeft en die alle in liet gebied /> alleen factoren van ,,u hebben. p m, is dus te schrijven als een som van termen, die alle t.o. van de eerste en van de tweede faktoren geordend zijn. Aldus voortgaande 1‘287 bereikt men een som \'an volledig geordende termen. In elk dier termen bevat het gebied p alleen factoren u en het andere gebied alleen factoren v. p j We beschouwen nu den atïinor m = o o , w o . . . . met Q alterneerende gebieden, van p , q , r , enz. factoren, p > q ^ r ^ , die door iedere alternatie met Q alterneerende gebieden hooger dan /■ geannnlleerd moge worden. Is de eerste factor van m bijv. een w, dan passé men een toe, welks permutatiegebied die p w en bevat. Daar die annulleert is m een som van termen, die alle met een u beginnen. Zij nu de meest linksche tweede factor bijv. een v, dan passé men een p^\A toe, die de twee eerste v en de p — 1 laatste u in zijn permutatiegebied heeft. Aldus voortgaande bereikt men een som van termen, die alle wat betreft den stand der u ten opzichte van de overige factoi’en geordend zijn. Men gaat nu voort met alternaties waarvan het gebied p steeds de reeds geordende u bevat, en bereikt daarmede ordening derv, enz., tot volledige ordening is bereikt. Bij iederen overgang en dus ook in het eindresultaat blijven de factoren u in alle termen in het gebied p, de v in het gebied q enz. We passen de bewezen stelling toe op den elementairen atïinoi’ c j.lu en bewijzen dat het i'esultaat eenduidig i,s en identiek met p b-.ö'/y ... i‘ .'/u = ( ^ fp a/) (32) te sommeeren over alle geordende alternaties en mengingen, wier aantal juist dy bedraagt. Daartoe zij gebruik gemaakt van de be- kende eigenschap dat het getalstelsel der permntalies 7-* een associatief stelsel is, dat niteenvalt in k ,, oorspronkelijke” stelsels met gg,,. heden. De eenheden van zulk een oorspronkelijk stelsel kunnen dus zoo gekozen worden dat d 1,0 J r (33) J jis voor q r 0 „ r. Een dergelijk stelsel bevat hoogstens (fij idempotente hoofdeenheden, wier som de modulus van het stelsel .1/ is. Zij nu vooreen bepaalde /' P waarde van /. voor eenigen affinor v Jit*) v 7^ Ü waarin en iMW toegevoegd zijn, dan is een elementaire affinor en dus is volgens Stelling II . (34) waarin de elemetitaire afiiiioren zijn, en de sommatie te geschie- den heeft over alle alternaties Daai‘ nn d/(“) 0 voor a i? volgt ^(«) ..... (35) I Herhaalde toepassing leert dns dat de operator J/(“) nooit nil- | potent kan zijn. Volgens een bekende stelling nit de theorie der j hoogere komplexe getalstelsels volgt daaruit, dat er een idempotent | getal bestaat van den vorm : j + .... (36) Voor iedere geordende alternatie bestaat er dns zoobi idempotent getal, en deze vormen, daar hnn producten nnl zijn, een rij van idempotente hoofdeenheden. Het aantal geordende operatoren >4,- end/ bedraagt dus (f;j of minder. Het kan echter niet minder bedragen daar herhaalde toepassing van stelling II leert, dat iedere elementaire ' p affinor zich laat schrijven in den vorm .S 71/^^ m. Ware nn , dan zonden de machten van /!(.=') leii opzichte van een der idempotente hoofdeenheden in de eerste en ten opzichte van de andere in de vierde klasse van Peikce zijn. Daar dei’gelijke getallen (nilpotente neveneenheden) in een oors.pronkelijk getalstelsel niet kunnen voorkomen, is p = 1 en de operatoren . . . (37j zijn dus idempotente hoofdeenheden. Evenzoo vormen V/ = e'ij 4/^) ) ;t = 1 (fij . . . (38) een dergelijk stel. Wij noemen deze opeva^ioven geordende elementaire operatoren van de eerste resp. tnmede soort, en de aftinoren die door hen ontstaan kunnen, geordende elementaire affinoren van de eerste resp. tweede soort. Is 7i het aantal |)ermutaties in Ai of Mi, dus voor het permuta- tiegetal ó-j, . . .,St gelijk sj . . . St f eu pi het aantal operatoren A{ of Afi dat een bepaalden operator Mj resp. Aj niet annnlleert, dan is gemakkelijk te berekenen dat K, in A.AMA-) en één is, volgt daai'uit: p! <({ ( = 6 : Jff ’ + d/f'’ + 4- 2 aI'-^ Ml"’ I- Al"' K‘ i' 2 Af Mf 4- I . (4ü) 4- 2 ”1' AfM^f 4- V + ^,^dg u Is een ontwikkeling van een at'tinor u gegeven naar geordende alternaties of mengingen, die ieder door elke lioogere alternatie resp. menging gealterneerd worden, dan is deze ontwikkeling identiek met de aangegevene. Immers bij toepassing van den operatoi' 414'Mt.*^ resp. ?,;,• 4/444 worden alle termen geannnlleerd behalve die welke ontstaan is uit res[). M'V, alleen deze eene term blijft p p ■ onveranderd en is dus gelijk aan ty .4|7") i¥4>u resp. De aangegeven ontwikkeling is dus eenduidig bepaald. We hebben dus de volgende stelling verkregen : Hoofdsteïlwg C. Iedere affinor kan op ééne e)i slechts ééne wijze geschreven -worden als een som va:n geordende (dternaties of mengin- gen, die door elke altewiatie resp. menging met hooger perxnutatiegetal geannuUeerd worden. Ontwikkeling van een affinor naar niet reduceerbare kovarianten van verschillenden graad. Zijn Ai en Mj toegevoegd, dan is het voor nf>b zeer wel moge- lijk, dat met een alg. alternatie lager dan Ai een algemeene men- ging correspondeert lager dan 4/^. Is echter dan is iedere alg. alternatie, lager dan Ai van den vorm (« — ■ ■>'>v 41i • Aan a.n is het permutatiegetal (o p — an), (-)i — 1).« toegevoegd, en aan (a — f{).n,s^, . . .,s, het getal {a — 4 4~ ^ “h P — (« — — • ■ • — {s, — !).(« — 4 Oj • • — *4)-(« — d) en het tweede getal is zeker hooger dan het eerste omdat s.^, . . .,.y„ alle waarin de som is der geordende elementaire operatoren van de eerste soort die dezelfde ??-factorige alterneerende gebieden hebben als Voor n = 2 is de ontwikkeling naar gemengde alternaties volgens Hoofdstelling A tegelijk een ontwikkeling naar niet reduceer bare kovarianten. Zij is dus voor iederen aftinoi- eenduidig bepaald, en daar zij k termen bevat ook identiek met de ontwikkeling naar elementaire affinoren. [lit (16) blijkt dus dat voor dit geval Uit de afgeleide reeksontwikkelingen kunnen op eenvoudige wijze zeer algemeene reeksontwikkelingen voor algebraisehe voinien in m rijen van n variabelen worden afgeleid. In een volgend artikel hoopt schrijver dit nader aan te loonen. Daarbij zal dan tevens worden aangegeven waar het bovenstaande aansluit aan reeds be- kende reeksontwikkelingen van algebraische vormen. Ontwikkeling vdn den RiEWANN-CHRisTOFFBi/schen a/finor naar geordende elementaire affinoren. Wordt de gevonden reeksontwikkeling naar geordende elementaire affinoren van de eerste soort toegepast op den Riemann-Christoffel’- 83* 1292 schen affinor K^kjk^ksk^, waai’voor, zooals bekend is, geldt: k, k, k, k, = — k, k, k, k, = — k, k, k, k, = k, k^ k, k, k,k,k,k, + k,k,k,k, + k.k,k,k, = 0, . . . (43) dan blijkt, dat van alle negen geordende elementaire operatoren van de 4 eerste soort alleen .4^ niet nul geeft. K is dus zelf een voorbeeld van een geordenden elementairen affinor. Sterrekunde. — De Heer de Sitter biedt een mededeeling aan van Dl’. J. WoLTJER Jr.: „Over de storing stermen in de be- weging van Hyperion, welke evenredig zijn met de eerste macht der excentriciteit van Titan". (Mede aangeboden door den Heer J. C. Kapteyn.) 1. De inbond dezer mededeeling bestaat in de berekening der termen in de beweging van Hyperion, welke evenredig zijn met de eerste macht der excentriciteit van Titan, onder dezelfde beperkende omstandigheden als aangegeven in Hoofdstuk II § 1 der ,,Investi- gations” '). De bij deze storingen optredende argumenten worden gevormd door combinatie van het saeculaire deel van het verschil in pericentrumlengte der beide satellieten met veelvouden van het libratie-argument. Die termen, waarvoor dit veelvoud een ojieven getal is, bezitten in de middelbare anomalie coëfficiënten, waarbij de quadraatwortel uit de storende massa in den noemer optreedt: het bedrag der hierdoor in de middelbare anomalie (en middelbare lengte) veroorzaakte storing kan ongeveer een halven graad bedragen. Het vermoeden ligt \ oor de hand, dat wij hier te doen hebben met de door H. Strüve’) aan liet einde zijner bespreking van de baan van Hyperion bedoelde storingstermen, wier invloed hij in de waar- nemingen duidelijk constateerde en welker totaal bedrag volgens zijn schatting eveneens ongeveei' een halven graad zon kunnen bereiken. Deze mededeeling vormt een vervolg op de ontwikkelingen vervat in de ,,Investigations” en in ,,De pericentrumlengte van Hyperion en de massa \ an Titan” ^). 2. De termen der eerste orde t. o. v. de excentriciteit van Titan in de \ier veranderlijken Q,ö,6,i2 nl. (^Q,bo,p — 2 q(P’-‘') cos ST, 8p = 2 sin ST , lip — 2 Si^P'-^'isin sr, T = rt 4- y, i; = g2 gP, P^O P=x, -nr = Xt const., yi^zg' 2 yip+2 gi’, p=0 (4) en Op,..\ q(p,s) ; Si^p.s)- Vp-, X/- ; en y constante groot- heden zijn. De coëfficiënt van t in ter is in afwijking van de in de ,,Investigations” gebruikte notatie door de letter x voorgesteld oin verwarring met het bekende getal rr te voorkomen. De grootheid 4 Investigations, p. 22. 4 Investigations, p. 23 en Veisl. Kon. Akademie van Wetenschappen te Amster- dam, Deel XXVII, N'I 6. 1295 p, die in deze formules in de verseliil lende coëfficiënten optreedt is als functie van en q gegeven door de betrekking ’) bR, ^bR,_ (5) waar de constante term eener periodieke functie aangegeven is door een streep boven het functieteeken. Hieruit volgt voor de ont- wikkeling; Po = S (6) p=0 waar een constante is, /, =: 0 is, terwijl lp, . . . functies van (Jo en q zijn. 3. Door substitutie der reeksen (3) en (4) in (2) Avordt de ont- wikkeling van R, deze : m' eT , />=* = cos tïT S cos pr sin TU" sin pr p=.0 p=l Ma\_ Ap ZZZ ^ Ap^yP’ , deze formule kan men ook aldus schrijven R waar Bp — 'El BijrlC r=0 (7) m! e' ^ cos (ttr-f-pr), (8) c, = A„ 1 ^ Ap—Bp Cp- 2 ’ p^l, 1 1 1 (9) „ _Ap^Bp t-p- , 1 Cp — E Cpp. p’\ p = — cc, . . , 00 r=0 (10) De coëfficiënten Ap^,, Bpp-, Cp^,. zijn functies van PoC^o.?- De waarden der coëfficiënten 6),,, en der afgeleiden dezer coëffi- ciënten, als functies van Po,^, en q beschouwd, naar q vindt men vereenigd in onderstaande tabel. Deze waarden behooren bij de in „Investigations” Hoofdstuk II afgeleide numerieke waarden der coëfficiënten in de reeksen (3) en (4). b Investigations, Hoofdstuk II, § 8. 1296 p 10‘ ac),,o 10^ ^ dq' M 1 : i M 1 1 dD^,o 10‘ 1 ^ dq ' ~M \ 0 + 93397 — 1340 1 + 18685 + 20056 — 1 — 18685 — 20056 2 ' + 318 + 712 — 2 + 318 + 712 3 264 — 826 — 3 -f 264 + 826 4 10 — 42 — 4 - 10 - 42 5 + 4 + 20 — 5 — 4 ' — 20 Voor de verdere ontwikkelingen dezer verliandeling zullen wij nog noodig hebben de waarde van den coëfficiënt 6o,i- Nu heeft men de vergelijking 1 M cos pT = 6», + , (11) waar []„ een verkorte schrijfwijze is voor [ ]^_^ Het rechterlid dezer formule is een even periodieke functie van t; verder keeren, indien men t door .t — r vervangt, (= 0), fVj eji van teeken om, terwijl hun coëfficiënten hetzelfde blijven ; hieruit volgt, dat het linkerlid een even pei'iodieke functie van ris, die van teeken omkeert als men t door rr — r vervangt en dus dat A2ij,i = 0, voor p = 0, 1, . . . ; dus; Co,i = .4,y=0 . (12) 4. De oplossing der vergelijkingen (I) is, wat (1(9 betreft, gegeven door de formule'): 0(9 = 'dd do d(9 do n r dt dR^ ^ d(9 / ^dt\ dR^ do dR, do”] do, dq dq do„J, j A Al _ dq do. do, d^J /di> do di2 dO'^ L /dS2 dO dAi dO \ dol y dr dq dq dr y ) do, dr dojd^j + d(9 rdr do dr do dr dq dq d d^rd)^ do dr Löo„ dq &iJ dq do„J./ L 'dt dK A (18) b Investigations, III, § 1. 129' / d^ d<9 dp do ^ V do /div dO d^ d^\ dt d(j„^ ) X; ~ \d^ dr dr d^y De waarde dei' grootheid L, die constant is, wordt gegeven dooi- de vergelijking; (14) In de formules (13) en (14) zijn de grootlieden te beschouwen als functies van q,o^,r,ixr. Men ziet dadelijk dat in foimule (14) het versclnl met — als fac- dq tor voorgesteld kan worden door een machtreeks in /< zonder con- stanten term ; hetzelfde geldt \ an — , alleen ontbreekt hier ook de Oq eerste macht in (i. Dus: = X mochtreeku in ft. / d() do dy d^^ \ Ux ör dr dOjJ Bedenkt men verder dat A ontwikkeling van het verschil r öp„d^; doj d<9j dr d^ Hieruit volgt: A=r,X'®A.. [_ dr di7 , .<»?.<> da j- X machtreeks in {i, waar bij de differentiaties de grootheden als functies van (?„, a^,q en t te beschouwen, zijn. Uit het stelsel vergelijkingen (J) van Hoofdstuk 11, ^ 8 der Investi- gations volgt, indien men stelt /?, = {i^F^ : dv,_rF, .d’F Voor T = - is (,», = <9, = 0, zoodat dus ook Daar verder 48 "dr^ Or ra^l ' dr' L s?’ Jp=p. volgt als definitieve formule voor A : I 11- A — — fi - — X machtreeks in n , 48 L dr* Jt=- stelt men dus 1298 p^cc A = JS" Ay, Ui' , ,.^o (15) A„ = 0. A, = + 0.0083292 A. = 0 . (16) 5. Duidt men de vijf termen van het rechterlid der formule (13) aan door de cijfers I, II, III, IV, V, zoo vindt men voor elk dezer termen een ontwikkeling van de gedaante : I — S If) sin {W + jor), JE Vp sm (ttr-fpr)- (17) De coëfficiënten Jp, ■ . , Vp bezitten e' als factor en kunnen aldus ontwikkeld worden; lp = 2 lp.r li’- r=0 IJp = Tlp^^x /t-l 4 :S Ilp^r iiip = :E III pp- , r=0 lVp=~£lVp,rii>- . (18) r=0 Voor (^0 vindt men dus de ontwikkeling : d/y = /'s p=0 ^ — t9'4‘^>*m(ur+^T), p = — l,0,.., + a> . i p ^ ) / Ter bepaling der coëfficiënten 4’)' heeft men de vergelijkingen : (19) 44’ = + ^.-t. (20) «4 + P=0.-. + »- Eveiizoo vindt men voor do de ontwikkeling: 1299 p=M ffö = e' 2 o^^'iuP , p=0 P oie')= + (21) De waarde van (!q vindt men z.ondei’ eenige integratie uit de derde vergelijking van het stelsel (1). Daarnit volgt: ÖQ = d^R., dR, do — — ^ dO -- — ’ dt ÓQOrf ÓQoO ÖQ ÖQ^ Hieruit volgt, dat dp aldus ontwikkeld kan woiden : (22) dp = e p=0 P ple I n>} Q(e') z= ^ 13) (24) Ter bepaling van do heeft men volgens (1) de vergelijking: ddSi_ d^R^ ^ d^R, dR^ dt öpda ' do^ desdo öo- Het rechterlid kan ontwikkeld worden als een machtreeks in (i, die begint met een term van de eerste orde in p en waarvan elke coëfficiënt gelijk is aan een som van termen, die e' als factor be- zitten en van de gedaante zijn : coëfficiënt, cos ('ttr -|- pr), p = — 00, . . , -1- Qo. Voor den coëfficiënt van p vindt men : Me' r_dy o: Cl [^döÖÖ J pomSf) Nu is 1 j I öfo.o ^-^0,0 d/j I «'■^1 Iz, dp X,’ dp zoodat de coëfficiënt van p in het rechterlid der vergelijking voor ddQ . gelijk IS aan : 0(e) r^, dr' dt 1 d6o,o Co.odxJd’4>, a'Aj ' h/, dp X,’ dp ) dr* Hieruit volgt dat di2 aldus ontwikkeld kan worden d py-, I (25) s -rqr). (26) 1300 6. Ter bepaling der coëfficiënten 1,.^,.., Fp.o , leidt men uit formule fl3) de volgende formules af: 2 (ttr -f pr) = — co e I = tt - [C,,0CO5(to' + pr) -f cos ('nr — pr)], a Ap’j Oq +=» e dCoo 77„P sin ('nr -f- pr) = — sin Ttr ^ -f -00 «AjX, 0^ OT rt'A, ÖT ÖO';),o ('üT 4-pr) dC—jjfl sin (jïï — ot) _ dq p dq (27) (28) (ctr 4- pr) = — - ' ^ -57J -(-oc ^ [V^, Q sin ("XaT ^-pr) = e' dr, d&. /'=* F ^ sin (ter ^ pr) fl'A, — F sin (tct — pr) costtr, (29) (30) -pP - +® e' 2: sin (ttr + pr) = - Fo,o ö/, d^, o'Aj X,* ^q -f-oc ^ 77, . r , «' öFo,o . Ö6'„ st7i ('nr ) «r) = — : sin TT — — a'A,x, dr +“ c' 1 d/, dt9„ ^ F,, _1 SU! ('ÖT 4- pr) = — - Fo,0 — -:r' ^ " Xs, 0^ (31) (32) (33) a'Aj ’ Xsi’ Ör In (leze formules zijn bij de in de rechterleden te verrichten differentiaties de betrokken grootheden te beschouwen als functies van q en r. De uit de formules (27) tot en met (31) volgende waarden der grootheden /^,o , ■ ■ , ^/,,o pui de uit formule (20) volgende waarde van vindt men in de eerste tabel der volgende bladzijde. De coëfficiënten vindt men door gelijkstelling der overeen- komstige coëfficiënten in de vergelijking + " (_1 o) 1 ^ (tir + or) —00 dFo.o t7o,o ax, 07 ^q sin W — — . (34) ar Uit deze formule, waarin de afgeleiden der verschillende groot- heden bij constante y„ te nemen zijn, volgt geheel algemeen ; ^(-1,29) _ Q 9 = 0, ±1, ±2, (e') ’ ƒ > (35) De waarden der coëfficiënten met oneven index, zooals deze volgen uit formule (34). vindt men in de tweede tabel der volgende bladzijde vereenigd. i3Üi p 10^ e 10^ 10* 10* ^Vp.O-T e 10* T"/.o -r e ,0. {e) - 6 ~ 5 + 6 0 0 0 + 1 -5 - 12 + 13 + 3 0 0 + 4 - 4 + 370 - 381 0 + 7 0 - 4 — 3 + 339 — 359 + ‘2 + 6 0 — 2 - 2 — 19696 + 20464 0 - 739 - 23 + 6 — 1 — 331 — 371 + 466 +■ 6 0 - 230 0 -f- 38663 + 41633 0 — 1493 0 + 78803 + 1 + 331 + 371 — 466 -- 6 0 + 230 + 2 -- 19696 + 20464 0 — 739 - 23 + 6 -f 3 — 339 359 - 12 — 6 0 + 2 + 4 + 370 j — 381 0 t 7 0 — 4 + 5 9 12 - 13 — 3 0 0 - 4 + 6 — 5 + 6 0 0 0 + 1 ? («') 3 - 1 + 1 + 3 - 4 + 770 + 770 — 4 Ter bepaling van heeft men de formule : ie') a z= — — cos ^ « X, IaT, waaruit men de volgende waarden der coëfficiënten a ,(0,y) («') (36) afleidt : o^°’'^’ = 0 als <7 9^0 ; = — 0.090563 . (37) («') (e j Ter bepaling van heeft men de formule : (38) 1302 De waarden der coëfficiënten , die uit deze formule volgen, vindt men vereenigd in onderstaande tabel. 7 J^,g) — 1 + 1 + 13 — 13 Voori^^^'J heeft men de uitdrukking: iike') — I . . . . I sm -ter 0.024 sin XC, (39) o dr waaruit geheel algemeen volgt: _^yo.29+i) _ 0^ ^=z0, ±1, ±2 (40) en verder voor de even indices de waarden uit onderstaande tabel. 10^ (e ) -2 - 3 0 [ ] -1 2 — 3 Voor de berekening van [ ■ . . ] is de ontwikkeling der storings- functie niet ver genoeg doorgevoerd. 7. Gaat men van de termen der eerste orde in e' in (> en o over op de overeenkomstige termen in a en e, die wij öa en ö(j «o öp a, Q, l/l— e’ , dp 1^1 -g* öö öe= I) — e ' Q e \/aM (41) (42) Noemen wij evenzoo él en , 2.303 P gemiddeld. —24.6 [24.9] 24.85 10.160 9.27 [1096] —18.75 31.5 31.4 11.955 8.91 1342 - 12.85 41.5 41.35 11.309 8.53 1326 1329 - 6.95 53.9 53.65 9.063 6.87 1319 — 2.0 66.5 66.1 liydraat-gas hetrekking. (zie ^ 7). Dat de te kleine waarde van Q, met deze xeronderstelling in overeenstemming is, is gemakkelijk in te zien ; het gebied, waar verbiifding naast gas coëxisteert, ligt immers t. o. \'. de driepliasenlijn aan de zijde van hoogeren drnk. Neemt men de gemiddelde waarde nit de drie tabellen, dan blijkt d dat de waarde voor 1338 bedraagt 2.303/1 waaruit voor de waarde 6090 volgt. De uitwendige arbeid bij de transformatie bedraagt RT, omdat bij de omzetting één grammol gas wordt gevormd ; bij het qnadrupel- punt (/=--0.4°; zie § 9) is deze arbeid 541 cal. De energieverandering bedraagt dus 5550 cal. De transformatie wmrdt aangegeven door; . n H^O 1 n H„0 — 5550 cal. (vast) (vast) 9. De driephasenlijn hydraat-imterige vloeistof -gas. In de tabellen 4 — 6 zijn de resultaten vermeld, die vei’ki-egen werden met dezelfde praeparaten als die in § 8. In de \'ijfde kolom is door a aangegeven het aantal volumina H.^S van één atmosfeer (gecorrigeerd op 0°), dat in één volume water oplost. ') Hieruit \olg't door een eenvotv- dige berekening onder aanname van de wet \'an Henky, dat in één grammol water J .057.10‘~-^. aP grammolen zwavel waterstof oplossen ; we hebbet) dit bedrag dooi- q aangeduid. In de tabellen geeft h de absolute waarde van — 2.303 R. (zie verg. 13) aan ; r en s zijn berekend volgens verg. lOu en h, waarin voor n de waarde 6 werd gesubstitueerd. ') Landolï— Böhnstein — Roth. Tabellen blz. 601. Bepalingen van Winkler. TABEL 4. J3l:l gemid- deld. 0 i co d üj' -Q 000 r* cNi ! co co Tt* 000 0 Tf- <0 ic ic Tf ö“ö“ö a> — * ^ O) 0 CvJ Tt- m 10 l’ O co r- kO — co Oi Cï co 00 06 oó L o co + 00 10 co co m cm’ cn cm j co ^ CM CM 00 Oi ' CO r- CO j 0^ 0 oj a> 1 d d d d i ' s CD CM -- CM ■ 0 ^ ^ <0 : d Tj< Tf — ! j 0 10 in in 1 U) <0 a II — 3, co 0 0 tn 1 (N (N CO n" si CO lO ^ CO ' O) co 0 ; lO lO lO ^ 0 1 Cc üc' Q-lQ, 2 ^ ko CM O) ; co 10 kO 0 CM co co 0 00 CM 00 ^ Oï co in ko ö ® S co « Tl> r— O) ® có co CO lo lO krt 0 00 00 0 cm’ d có — 00 0 CM kO 0 c? lO lO in in in (O c' dodo 0, iC ^ iC ï> CM — -d CM 00 0 CM 10 - 0 CO kO Oi 0 0 0 : d CO iO r- J gemid- deld. 14110 ' ^ d i 000000 CO 00 CO Tf 0 kO S ^ S 0 S o lO r- 0 co co co ^ kO CO 'M* 1 1 q \dSoi\j joi 000000 m 04 CO r* CM CM 0 CM ID 0 00 m lO ko '«cj* co 10 0 10 kO 00 CM CO r- 0 r- 00 ^ CM ^ Tf '•d- -M- 00 06 T <3 0 0 CM *-• CO 00 CO CO CO CO CM kO kO «J ^ ^ CM CM «0 tl. + CM CO — 0 r- 0 CM 0 00 co co 0 co 00 00 r- r- co co C> 0> C?^ Ck 0^ en d d d d d d d to 00 co ^ co co »o 0 — CM co co co d COCMCOkO'^CMr* CD CD kO kO kO kO to £■ ó 11 r- in CM CM co kO co kO t-. 0 10 0 CM CM CM CM CO co t. <0 li CO kO kO kO CM ^ CO CM ^ 0 00 kC kO kO kO kn Tï* Tj- 0 1 to qJq, 0 0 0^ CO CM 0 CD CD kO kO kO kO kO 0 kO CO CM 0 CM CO kO CO CO ^ 0 0 CM kO 00 CM co kO d CD ö r« r- 0 CD 0 ko Ok ko 00 'M; co CM 0 o; C-- d ^ ^ co co co 03 cf 0 S S 01 S in © 00 © 0 « M S 00 0 (£ kO kO kO kO kD kO kO kO CD CD 00 d d d d d d d 0, m — < uo 00 w © 1 S 8 § 2 § K g - kft kO kO kO ; 00 CJk Ok 00 00 00 i d -i CM* có d 06 :a-^ R cL o' ^ o) S d |l tiJ -0 o" 0 0 0 Ok — . Tt kO CM kO ^ CO kO ö” o"ö' 0' ■ ■ ' Tf co r- 00 co co CD kO 0000 s 2 s 2 kO kO kC “q,"“ © CM ^ 0 r- CM 0 00 kD r-' CD 06 od GO iL < © tl 1 + <§ t/) w £0 5 ko d CM CM CM rt* r' CD rt .22 C. X < r 33.840 69.83 0.4846 XVI 2 37.707 77.71 4852 XVI" 2 38.581 79.50 4853 XVI 3 43.319 88.97 4869 XVI" 4 49.881 102.32 4875 XVI 4 51.916 106.42 4878 XVI 5 66.471 134.91 4927 XVI 6 78.558 158.06 4970 6 = — 182^.60 C. X 2 32.067 99.89 0.3210 X" 2 32.988 102.84 3208 X 3 36.438 113.69 3205 X" 3 36.880 115.07 3205 X 4 41.371 129.44 3196 X" 4 42.533 133.15 3194 i X 5 49.943 156.61 3189 X" 5 50.514 158.55 3186 X" 6 63.320 199.21 3179 13J9 TABEL I (Vervolg). Serie. NO. P P^A 6 = — 200°.08 C. XI v 26.214 105.10 0.2494 XI 2' 28.402 114.38 2483 XI 3" 31.417 127.24 2469 XI 1 34.268 139.81 2451 XI 4 34.285 139.88 2451 XI 5 39.843 164.30 2425 XI 2 39.891 164.63 2423 XI 3 46.517 194.30 2394 XI 3' 46.529 194.51 2392 XI 6 47.951 200.79 2388 III 1 61.657 263.77 2338 III 2 67.456 291 . 10 2317 III 3 73.850 320.35 2302 III 4 79.923 348.59 2293 6 = — 208^^.10 C. XII 1 24.071 111.90 1 0.2151 XII 3 28.844 136.44 ' 2114 XII 4 31.948 153.00 2088 XII 5 37.856 185.47 2041 XII 6 41.798 207.95 2010 IV 1 58.472 308.32 1897 IV 2 64.451 345.22 1867 IV 3 69.692 377.89 1844 IV 4 74.532 409.18 1822 IV 5 79.228 439.12 1804 1320 TABEL 1 {Vervolg). Serie. NO. dA 6 = — 2130.08 C. XllI 1 23.086 119.92 0.1925 XIII 2 24.810 129.82 1911 XIII 3 26.673 140.90 1893 XIII 4 29.365 . 157.70 1862 XIII 5 32.441 177.37 1829 XIII 6 37.418 210.68 1776 II 1 53.896 334.59 1611 i II 2 59.769 382.03 1565 II 3 66.271 435.46 1522 II 4 72.858 484.75 1503 II 5 79.698 534.62 1491 Q = - 2170.52 C. XIV 1 21.349 123.40 0.1730 XIV 2 22.997 134.72 1707 XIV 3 24.686 146.67 1683 XIV 4 26.848 162.51 1652 XIV 5 30.042 186.94 1607 XIV 6 32.795 209.68 1564 I 1 49.930 358.51 1393 2 53.528 395.62 1353 3 59.618 458.40 1301 I 4 64.975 511.85 1269 I 5 71.649 571.69 ! 1253 I 6 79.417 632.23 1256 Eene grapliische voorstelling van dit waarnemings-materiaal in het Fig. 1. ^ 3. Viriaalcoefficienteii. Uit liet zooeven medegedeelde getallen-niateriaal konden eenige coëfficiënten der empii'isclie toestandsvei'gelijking : pvA = Aa Ba (Li i Ca ^a " -|- L>a d i ' + Ea <^a " + Ea d.4 ® ') worden berekend. Deze bei'ekeningen hebben alleen betrekking op de coëfficiënten Ba, f’.i- Ba, en bi één enkel geval op Ea ; immers de bereikte dichtheden zijn niet groot genoeg om de coeffieieni Fa en in de meeste gevallen ook niet om Ea te berekenen, zoodat deze ontleend werden aan de gereduceerde toestandsvergelijkingen VII. A. 3 of VIl.1.*); de coëfficiënten en A zijn namelijk in deze beide h H. Kamerlingh Onnes, Zittingsverslag Juni 1901, Comm. N". 71. *) Suppl. NO. 19, Mei 1908. Si H. Kamerlingh Onnes en 0. A. Orommelik, Zittingsverslag Juni 1912, Comm. NO. 128. 85 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. A". 1918/19. 1 322 vei’gelijkiiigen identiek. Bij sommige berekeningen werd, zooals uit het vervolg zal blijken, ook Da, bij andere Da en Ca aangenomen volgens VIL A. 3. Deze coëfficiënten werden bei-ekend met de bij eene vorige gelegenheid ') gepubliceerde kritische constanten van neon, nl. 0-k — — 228°. 35 C. Pk = 26.86 int. atm. De berekeningen geschiedden nu op 3 verschillende manieren: a. voor alle temperaturen werd alleen Ba 'lit de waarnemingen berekend, de overige coëfficiënten werden aangenomen. Ca en Da \'olgeiis VIL A. 3, Ea en Fa volgens VIL 1. of VIL A. 3. (wat, zooals boven reeds werd opgemerkt, op hetzelfde neerkomt); b. voor de laagste 4 temperaturen werden Ba en C.4 uit de waar- nemingen berekend, vei der als ojidei- a ; c. voor alle temperaturen werden Ba en Ca, voor — 200°, 08 C., — 208°,10 C. en — 213°, 08 C. bovendien Da en voor — 217°, 52 C. ook nog Ea uit de waarnemingen berekend, verder als onder a. De berekeningen c wei-den het eerst uitgevoerd en hadden ten doel eene zoo mooi mogelijke aansluiting aan de waarnemingen te verkrijgen, zoodat de coefticiënten een zuiver empirisch karakter dragen. Toen het bleek, dat de waaiden van Ca, zich niet mooi op eene kromme lieten vereenigen en die van Da uog veel minder, en het dus duidelijk werd, dat het waarnemingsmateriaal niet vol- doende was om Ca en Da als functie van de temperatuur te bereke- nen, gingen wij over tot de berekeningen a en b, waarbij de Da waarden en gedeeltelijk ook zelfs de Ca waarden werden aange- nomen. De aansluiting aan de waarnemingen is bij de berekeningen a en h natuurlijk belangrijk minder goed dan bij c. De resultaten van deze berekeningen, die alle volgens de methode der kleinste quadraten werden uiigevoerd, vindt men vereenigd in de tabellen II en lil. Tabel II geeft de individueele, volgens de verschillende methoden a, b en c uit waarnemingen berekende viriaalcoefficieuten, tabel III de uit VIL A. 3 afgeleide coëfficiënten, benevens de waarden van Aa, berekend uit de vergelijking Aa=Aa,{\ 4- 0,0036618 0), ’) waarbij voor Aa^ de reeds gepubliceerde waarde + 0.99986 * *) ten grondslag werd genomen. h H. Kamerlingh Onnes, G. A. Grommelin en P. G. Gath, Zittingsverslag Febr. 1917, Gomm. NL 1515. 4 Gomm. N'h 71. *) Gomm. N". 147d. 1323 TABEL 11. Ba X 103 j : Ba X 103 Ca X 10« Volgens a. Volgens b. j 1 + 20°. 00 ■ + 0.54880 0°.00 47148 ' 1 — 1030.01 16653 ! - 141°. 22 055249 — 182°. 60 - 0.093113 — 200°. 08 15746 , — 0.18779 + 0.21531 — 208°. 10 19553 21706 18307 . — 213°. 08 22305 ^ 24084 18407 — 2170.52 24028 25880 19649 TABEL II (Vervolg). i ^ : Ba X 103 ' Ca X lOö 1 ' Da X lO'-^ Ea X 1018 Volgens c. -f 200.00 + 0.51578 + 0.82778 0°.00 41334 1.1538 — 1030.01 069193 1.1515 - 1410.22 — 0.025378 0.71945 — 182°. 60 13435 33607 - 2000.08 19667 27847 - 0.24096 — 2080.10 22926 25304 0.16102 — 2130. 08 24625 21123 0.005848 : - 2170.52 i 29313 36427 0.46739 + 0.57517 85* 1324 TABEL III. d Ca X 10^ 1 Oa X 10>2 i ^A X 10 '8 Fa X 1027 Volgens VII. A. 3. -f 20°. 00 + 1.0731 + 0.29747 i 0.00 0.99986 25440 - 103°. 01 62271 0.072156 + 0.37445 -0.1373 + 40.29 141°. 22 48281 39576 28409 0.03754 12.51 - 182°. 60 33131 58524 12718 2409 1 - 4.190 — 200°. 08 26731 96581 11124 4293 5.666 — 208°. 10 23795 0.12219 0.081145 + 0.04550 5.367 - 213°. 08 21971 14073 60843 4599 4.836 ; - 217°. 52 20345 15882 . 1 41215 - 4576 4.160 § 4. Discussie en vergelijking met andere 'waarnemingen. De verschillen tussclien de uit deze vergelijkingen berekende en de waargenomen /rc^-waarden zijn op tig. 2 graphisch voorgesteld als functies van de dichtheden en wel in dier voege, dat als ordinaten zijn uitgezet de waargenomen /)v^4- waarden minus de berekende waarden, uitgedrnkt in proceiiien van de laatstgenoemde waarden. De voorstelling der afwijkingen is aldus gemakkelijker en over- zichtelijker, dan wanneer het getallen-materiaal in de tabellen inge- voegd was geworden. De aansluiting \'an de nieuwe en de oude series is over ’t alge- meen zeer bevredigend; bij de isothermen van —217°. 52 C. laat zij echter duidelijk te wenschen over. Terwijl het bij de isothermen van — 200°. 08 C. nog gelukt is de afwijkingen der waarnemingsgroot- heden van de best aansluitende formule (rekening c) binnen 0.1 "/o houden, komen bij --217°. 52 C. zelfs afwijkingen van bijna "/o voor. De afwijkingen dei- verschillende stellen van i^^^-waarden uit deze mededeeling van de vereffende /i^i-waarden volgens Vil. A. 3, n.1. LBa = Ba (berekend) — Ba (VII. A. 3)), zijn weergegeven op fig. 3, waarop ook voorkomen de betreffende afwijkingen der ^^-waarden, die door Cath en een van ons verkregen zijn ') uit metingen bij lage drukken. b P. G Gath en H. Kamerlingh Onnes, Gonim. N“. 152c, aangeboden voor de Zittingsverslagen, waarin deze mededeeling weldra zal verschijnen ; voorloopige waarden in: P. G. Gath, Proefschrift. Leiden 1917, p. 77. 1325 +t'/. -«j’to 9» 4- Fig. 2 1326 Wij merken op, dat de 5^4-waarden volgens a vrij goed overeen- “Xeon. ? 2 — -w' ! — -'“-J ‘a— V- c - - !i^.ÖTni8s STt CaïK Fig. 3. komen met die volgens VII. A. 3. Die volgens r wijken van de laatste, zooals ook te verwachten was, aanmerkelijk meer af ; vooral bij de lagere temperatui'en geven zij veel kleinere waarden te zien. Sterrekunde. — De Heer de Sitter biedt een mededeeling .van Dl’. A. Pannekoek : ,, Onderzoek van eeninelkwegvlek in Aquila." (Mede aangeboden door den Heer J. C. Kapteyn). In een mededeeling aan de Vergadering van de Kon. A. v. W. van 8 Dec. 1911 werd een methode geschetst, om met beliulp van eenige photograpliische opnamen gegevens te krijgen omtrent de toename van de sterdichtheid bij afnemende grenshelderheid. Daar werd reeds vermeld, dat Prof. Hertzsprung te Potsdam met het daar aanwezige Zeisstriplet eenige platen had opgenomen (van de melk- wegvlek ^ü.W. van y Aqnilaet om de methode op de proef te kunnen stellen. Door verschillende omstandigheden kon de definitieve bewer- king van deze platen eerst voor korten tijd afgesloten worden. De platen zijn 20 > 20 cM., het centrum ligt bij x Aqiiilae, en het opgenomen gebied is 6° lang en breed. De platen, die onmid- dellijk voor het doel gebruikt zijn, zijn : Nr. 328 2 Sept. 1910 Expos. 600, 600, 190, 60, 19, 6, 2 sec. (plaat A) Nr. 329 2 Sept. 1910 Expos. 1900, 1900 sec. (plaat S) Nr. 1260 24 Aug. 1911 Expos. 40"‘, Halbgitter Noord (plaat (7,) Nr. 1261 24 Ang 1911 Expos. 45’^\ Halbgitter Zuid (plaat 6'J Voor het aftellen van de platen A en B was niet een net op de platen zelf afgedrukt, maar was op een afzonderlijke glasplaat een net gephotographeerd van 673 mm. interval ; deze netplaat werd gedurende het tellen op de tel platen geklemd. 1. De tellingen. Op plaat A werden in elk hokje geteld de aan- tallen sterren met slechts 2 gelijke heelden, met bovendien een 3^’® beeld (190® exp.), met 4 beelden (dus voor 60® nog een zichtbaar beeld), met 5 en met 6 beelden. De grenshelderheden verschillen ongeveer 1 grootteklasse en bedroegen naar eenige voorloopige ver- gelijkingen met een poolopname 13,0 .... 9,0. De onzekerheid en de subjectieve opvattingsverschillen, die gewoonlijk bij het tellen van sterren voorkomen, doordat de zwakste sterbeeldjes niet van toevallige vlekjes in de plaat zijn te onderscheiden, vallen hier grooten- deels weg, omdat elke ster tw'ee gelijke beeldjes op bekenden afstand moet vertoonen, of het zwakke beeldje zich op een bekende plaats naast helderder beelden moet vertoonen. Toch is daardoor bij het tellen de onzekerheid niet geheel verdwenen ; op plaat B zijn sommige 1328 TABEL I. Aantallen sterren. 121 98 123 97 83 113 100 112 127 118 35 36 44 27 24 44 i 33 46 1 51 34 18 1 15 5 19 8 17 7 11 5 17 7| 18 7 27 11 22 13 15 9 1 0 2 0 5 1 5 1 1 0 0 0 2 0 3 1 6 2 ^ 1 0 135 88 64 96 101 96 84 107 85 ' 94 40 34 28 38 36 28 24 46 31 37 n 7 14 3 17 8 13 6 13 5 13 5 12 8 14 6 20 5 13 2 1 0 1 0 3 0 4 0 2 2 1 0 5 2 4 2 2 0 1 0 83 96 97 123 115 91 90 90 77 111 27 33 27 36 40 28 34 35 26 44 14 6 15 6 12 5 20 7 16 8 15 6 20 11 21 7 13 7 21 8 2 0 1 1 4 0 3 0 3 2 4 1 5 1 5 2 3 1 1 0 76 76 102 105 77 87 95 120 144 117 25 23 49 32 35 49 35 1 35 47 53 13 4 12 4 25 8 14 6 19 8 19 8 15 6 14 6 16 5 25 13 0 0 1 0 5 2 2 1 3 1 3 1 0 0 1 0 0 0 4 1 52 87 76 94 59 69 92 103 97 127 27 30 23 44 30 30 34 40 46 39 18 8 12 4 9 3 19 8 18 10 13 7 21 8 18 8 21 12 18 9 3 0 2 0 0 0 2 1 4 3 1 0 6 1 4 1 3 1 5 0 52 78 92 IV 72 84 82 111 110 84 118 18 , 25 31 22 33 39 32 33 34 40 9 3 8 4 9 3 10 5 19 6 j 20 7 17 7 21 5 16 6 11 3 1 0 2 0 2 0 1 0 1 0 2 1 3 2 2 0 2 0 0 0 55 73 88 55 58 99 95 [ m'' ' 106 88 13 21 30 16 21 35 49 41 55 36 8 3 11 2 10 4 4 1 13 7 16 9 25 10 15 5 24 9 17 8 2 0 1 0 l' 0 0 0 3 0 5 2 4 1 2 0 4 2 2 1 45 52 54 19 i 28 72 89 ; 88 1 87 94 20 25 25 12 10 24 29 : 34 32 27 9 6 10 2 12 5 6 0 5 0 12 6 15 5 i 20 6 : 10 2 12 3 2 1 1 0 2 0 0 0 [ 0 0 3 0 3 0 2 0 : 1 0 2 1 53 51 38 38 21 29 84 63 6T 16 10 10 9 5 9 26 35 33 30 9 3 6 3 6 5 5 2 2 0 5 1 14 8 16 9 15 7 14 6 3 2 2 2 1 0 1 0 ! 0 0 i 1 0 2 2 ' 5 0 4 1 5 2 ”39 ~ ~24 35 53 34 39 39 60 46 . 61 19 13 8 15 11 15 18 30 20 31 12 1 8 2 6 4 8 2 6 3 10 4 8 1 15 8 14 5 1 17 9 0 0 ! 1 0 1 0 0 0 2 1 2 1 * 1 0 2 0 2 1 3 0 1329 dichte melkwegstreken alb hel ware fijn gespikkeld met nauwlijks merkbare vlekjes, waarbij het vaak willekeurig schijnt, welke en hoeveel men, door ze twee aan twee als bijeenbehooreiid te beschou- wen, als sterren kan meetellen. Bij de beoordeeling, of naast de helderder beelden een uauwlijks zichtbaar 3'''‘ of beeld aanwezig is, was de subjectieve zekerheid aanmerkelijk grootei'. Bij de heldere stei'reu trad een andere onzekerheid op. Soms kwam het \'oor, dal van een ster, die in de groote beelden beslist zwakker was dan een andere, toch meer zwakke beelden zichtbaar waren, doordat de zwakste beelden bij haar klein en scherp, bij de andere groot en flauw waren. De oorzaak daarvan ligt in de eigenaardige achrornaliseering van het Zeissiriplet '), waardoor de gele sterren groot en wazig', de witte sterren scherp en klein zijn. Deze omstan- digheid, die misschien bruikbaar is voor de klenrbepaling van zulke zwakke sterren, was bij deze tellingen hinderlijk ; als regel werd getracht alleen de zichtbaarheid van het zwakste beeld tot maatstaf van de indeeling te nemen. Het afgetelde gebied omvat iüO hokjes (in R.Kl. van — 7 tot 4-3, in deel. van -|-5 tot — 5). Het centrum van de plaat ligt op 279°30' 4- ; de zijde van elk hokje is 15', 28, dus het opper- vlak 0,0649 = Vi5 ii vierkante graden. De hoekpunten van het onder- zochte gebied liggen op •277°40'6+12°44',8: 277°41',6 4- 10°12',4 ; 280°17',0 + 12°46',3; 280°16',5 + 10°13',6. De tellingen zijn verricht met het mikroskoop van het Repsold- toestel voor l•echthoekige coördinaten oi> de sterrevvacht te Leiden, dat daartoe van het zwakste oculair werd voorzien ; de vergrooting was 10 maal, eigenlijk nog iets te sterk voor dit doel. De uitkom- sten der tellingen zijn in Tabel I samengesteld; in elk hokje bevin- den zich achtereenvolgens het aantal 0|) plaat B, hel aantal op plaat A, de aantallen o[) A met minstens 3 en 4 beelden, en de aantallen op .! met minstens 5 en 6 beelden. 2. De keldeelieidsschaal . Om de grenshelderheden te vinden, waai-voor deze aantallen gelden, moest de grootte van een aantal sterren bepaald worden. Dit gedeelte van het ondei'zoek gaf de grootste moeilijkheden, omdat het met eenigszins primitieve hulp- middelen moest worden uitgevoerd. Een vergelijkingsschaal werd b De brandpuntsafstand is minimum voor 894^^ (Hertzsprung A. N. 4951. bd. 207. 88). 1330 gevormd door een stukje uit een opname van Coma Berenices te | snijden, waarop naast elkaar exposities van 12, 15, 19, 24, 30, 38, i 48, 60, 76, 95 en 120 voorkomen, dus van elke ster 11 beelden, | die 0'’\2 in helderheid opklimmen. Door dit plaatje achter tegen de 1 plaat A of B te drukken, film tegen film, eu met een 5 maal ver- ! grootend oculair de beelden te vergelijken, kon elke ster op A of ! B door schatting tnsschen de termen van de schaal ingevoegd i worden. De getallen van de schaalwaarden zijn ongeveer de grootten j van sterren, die dezelfde beelden op plaat B zouden hebben. j Met behulp van deze schaal werd in een aantal gelijkmatig ver- j spreide hokjes van alle duidelijk zichtbare sterren op plaat B de helderheid bepaald, en evenzoo op A van alle goed zichtbare en meetbare beelden. Daaruit zijn de helderheidsverschillen tusschen de verschillende exposities te vinden, uitgedrukt in de voorloopige schaal. Om de eenheid van deze voorloopige schaal in de absolute schaal der grootteklassen uit te drukken, werden op de beide platen C (wee strooken. Noord en Zuid, uitgemeten, zoo, dat elke strook I op de eene plaat geheel door het Halbgitter bedekt, op de andere geheel vrij was. Door hieruit het verschil in helderheid der beelden me( en zonder Halbgitter in de \ oorlooige schaal af te leiden en te vergelijken met de bekende absorbtiecoefficient van het Gitter, vindt men de reductie op absolute schaal. Uit eenige bekende hel- der-e sterren is dan de absolute grootte te vinden. Bij de uitvoering en herleiding der metingen, bleek dat bij de heldere sterren met groote beelden tusschen de x'erschillende platen systematische verschillen bestonden, die het ongewenscht maakten, deze verder te gebruiken. Bij de zwakkere sterren van de schaal traden andere fouten op. De zwakste beelden \'ertoonden zich als eenigszins onregelmatige vlekjes, die ook niel steeds 0'”,2 in grootte verschilden. De oorzaak kan deels in plaatselijke variaties van ge- voeligheid en niet geheel regelmatige verdeeling van de zilverkorrels liggen, die het uiterlijk van deze kleine flauwe vlekjes beïnvloeden, deels in het toevallig samenvallen van beelden van andere onzicht- bare sterren met schaalbeelden. Het bleek daarom noodig, van alle beelden der dikwijls gebruikte sterren de grootte afzonderlijk te bepalen. Dit werd gedaan, door ze lusschen de beelden op een poolplaat in te schatten, die ook met een theoretisch interval van 0'",2 op elkaar volgden; doordat elk schaalbeeld in meerdere pool- sterreeksen ingevoegd werd, gingen de fouten van deze reeksen slechts zeer verzwakt in de grootten van de schaal over. Zoo werd gevonden voor de grootte van het zwakste (0) tot het sterkste beeld (10) van de slerreii ?c, .v en : 1 J381 OJ 23456789 10 w onzichtbaar 14,4 14,15 14,0 13,8 13,6 13,4 13,2 .S> 14,2 14,05 13,9 13,85 13,45 13,15 13,0 12,85 12,7 12,4 12,25 r 13,25 13,0 12,8 12,5 12,25 11,9 11,75 11,75 11,5 11,35 11,15 Deze waarden werden gebruikt om de grootte van de sterbeeldeJi in de behandelde hokjes op plaat B en A af te leiden ; de kortere exposities geven kleinere, ongeveer met 1'" afdalende helderheden, waaruit het grootteverschil van de opeenvolgende exposities B, A^, A^, .4j, enz. te viiiden is. Rangschikt men deze verschillen naar de helderheid, dan vindt men: B -1, B-A, Gecorr. A, A, .4, Gecorr. 11,40 12,32 0.92(18) 0.98 11,46 12,40 0,94(5) 1,01 11,88 12,76 0,88(1 7) 0,96 11,85 12,81 0,96(11) 1,04 12,41 13,35 0,94(30) 0,91 12,30 13,49 1,19(17) 1,15 12,70 13,84 1,14(18) 1,00 12,76 13,95 1,19(17) 1,03 0,95(83) 1,07(50) A. Gecorr. 12,28 13,35 1,07(8) 1.05 12,81 14,02 1,21(11) 1,04 1,04(19) De verschillen tusschen deze uitkomsten zijn niet enkel toevallig; dat bij alle de laatste waarde het grootst is, bewijst, dat de schaal nog eenigszins verloopt. Door opeenvolgende benaderingen werd als afwijking van een gelijkmatig loopende schaal gevonden : 11,42-12,32 —0,06 11,87 -12,73 -0,10 Hieraan wordt voldaan door aan te brengen : 11,2 de 12,36—13,35 +0,03 12,75—13,86 +0,15 volgende correcties aan de schaal 11.8 0 13,0 + 0,07 12,0 +0,02 13,2 + 05 12,2 + 04 13,4 + 03 12,4 + 07 13,6 00 12,6 + 08 13,8 — 04 12.8 + 09 14,0 — 08 Door deze correcties aan te brengen, vindt men voor het helder- heidsverschil B — .4, =0,95; .4, — A^ = 1,07 ; A^—A^ =1,04. Voor de kortere exposities konden alleen de helderder sterren gebruikt worden ; zij gaven als resultaat A^ — A^ = 1 ,16 (7) ; A^ — A.;, = 1,09 (14). De middelbare fout van 1 helderheidsbepaling is 0"',14. Met deze zelfde schaal werden ook een aantal sterren in de N. J332 en de Z. -strook op de Halbgitterplaten 6', en vergeleken. Daarbij werd gevonden : Z. -strook : gewoon beeld 6\ — verzwakt beeld 6’,= = 13,78—11,63 = 2,15 (75) N. -strook- gewoon beeld — -verzwakt beeld 6’, = = 13,78—11,48 = 2,30 (38) Hiernit volgt voor de absorbtie va)i liet Halbgitter in eenheden van de voorloopige schaal 2,22. In absolute maat van grootteklassen werd voor deze absorbtie te Potsdam, volgens opgave van Prof. Hertzspkung, gevonden 1,963 gi-kl. Dus moeten alle hier afgeleide intervallen met den factor 0,884 vermenigvuldigd worden, om ze in grootteklassen uit te drukken (d.w.z. een 10 X grootere expositie geeft een winst van 1,77 grkl.). Ze worden dan - 4, = 0'",84 ; 4, 4, = 0'»,95 ; 4, — A, = 0'«,92 ; 4, — 4^ = 1»',02 ; 4^ --- 4^ = U’«,96. Om ook de grootten zelf in absolute maat te kunnen uitdrukken, werden 16 meest heldere sterren gebruikt, die in de Göttinger Aktinometrie voorkomen; uit de helderheid van hnn 5^^^' en 6*^*' beeld werd gevonden : m 11,55 -- 0,884 (voorl. m — 11,55). 3. De grenshe kier heden. De verschillen in gi-enshelderheid zullen gelijk zijn aan de hier gevonden verschillen in helderheid van dezelfde sterren bij verschillende exposities, wanneer de waar- nemingsomstandigheden volkomen identiek zijn. Maar deze zijn niet identiek. Bij de opnamen B en 4, vertoont elke ster twee gelijke beelden ; men telt dus alle dubbele beelden, die nog juist zichtbaar zijn. Bij de opnamen 4, 4< en 4^ daarentegen moet men een zwak, nog juist zichtbaar beeldje zoeUeii, dat zich op een bekende plaats naast helderder beelden bevindt. Is de kans, dat een sterbeeld in de buurt van de zichtbaarheidsgrens door de fluctuaties in de omstandigheden nog juist zichtbaar is = a, dan is de kans, dat twee gelijke beelden beide zichtbaar zijn = «X dus in dit geval blijven meer sterren onzichtbaar. Bij tellingen als op B en zal dus systematisch minder geteld worden dan op de wijze, bij A, enz. gebruikt. Voor het verschil in grenshelderheid 4, — 4, zal dus niet het boven gevonden verschil in helderheid gebruikt mogen worden. Om het te vinden, waren reeds bij de telling van plaat 4 van die hokjes, waarin later van alle duidelijk zichtbare sterren de grootte zou worden bepaald, kaartjes geteekend met aanduiding van alle sterren, die 2, 3, 4, 5 en 6 beelden toonden. Men zoekt nu op, welke grootte, gemeten op B, de grens vormt tusschen de sterren. 1338 die op J onzichtbaai-, en die welke zichtbaar zijn ; dit is de grens- helderheid voor Aj. Evenzoo welke grootte de grens vormt tiisschen de sterren met 2 en met 3 beelden op .1 ; dit is de grensheldertieid voor yl,. Uit het eerste volgt, met het verschil de grenshelder- heid voor B ; uit het tweede op dezelfde wijze de grenshelderheid voor A,, A, en TABEL m Ux «2 1 n\° rio® Pi S2 5, i 1 m 1 n-, «3 «2° «3® Pi S3 S2 14.5 14.45 14.4 14.35 14.3 14.25 14.2 14.15 14.1 14.05 14.0 13.95 13.9 13.85 13.8 13.75 13.7 13.65 13.6 13.55 13.5 13.45 13.4 13.35 13.3 13.25 2 0 4 1 0 5 3 5 8 11 17 10 21 9 6 2 2 1 13 10 3 0 14 17 2 3 5 10 48 18 37 17 29 12 21 13 18 11 30 27 3 21 19 20 21 30 59 9 13 59 9 26. 74 4 17 3 6 8 9 9 12 21 39 56 171 68 142 81 121 92 103 119 73 139 54 169 33 24 15 11 8 5 2 14 13.2 13.15 13.1 13.05 13.0 12.95 12.90 5 12.85 7 12.8 12.75 i2.7 12.65 12.6 12.55 12 5 12.45 12.4 12.35 12.3 12.25 12.2 12.15 12.1 12.05 12.0 12 21 24 27 1 31 1 14 2 17 4 13 100 100 100 96 86 79 76 75 80 78 71 52 48 40 53 55 50 28 23 12 6 0 0 13 21 26 112 30 96 34 82 41 65 53 52 65 41 74 35 81 27 86 21 94 13 107 8 1834 Iti de toepassing bleek deze methode nog zeer bezwaarlijk, omdat de grootten van de op A zichtbare en de onzichtbare sterren, oven- zoo die van de sterren met 2 en met 3 beelden, ver over elkaar heengrijpen en bovendien nog onregelmatig verdeeld zijn. Is de gemeten grootte op B, die van de ware grootte rn door ongelijk- heden van de plaat en meetfouten afwijkt; is de eveneens van 771 afwijkende helderlieid op de telplaat m,, dan zal de ster zichtbaar- of onzichtbaar zijn, al iiaai’ /7i, of j> 77ig, de grenshelderheid is. Volgen nu de afwijkingen 777,^ — ???. en 771, — 777. de foutenwet, en zijn de sterren over de verschillende helderheden gelijkmatig verdeeld, dan heeft rnen twee criteria ter bepaling van : 1". voor is het aantal onzichtbare sterren > het aantal zichtbare; dus is die waarde van ?//j, waarvoor 50 “/o ''^n de sterren zichtbaar, 50 onzichtbaar is; 2°. voor 7771 > 77i„ is het totale aantal helderder onzichtbaie sterren > het totale aantal zwakkere zichtbare sterren; dus is die waarde van 777-1 waarboven evenveel zichtbare sterren voorkomen, als er onzichtbare beneden voorkomen. Nu neemt bet aantal stei'ien voor grooter 777 toe; daardoor zal de gemiddelde 7/7. die met een gemeten 777^ correspondeert, wat grooter zijn dan deze ; en de naar hel 1ste criterium gevonden grenshelderheid heeft een positieve coi'rectie noodig, die echter door de afwijkingen 777^-7/7 wat verkleind wordt. Daarentegen wordt de grenshelderheid ///„ naar het 2de criterium juist gevonden, wan- neer het aantal sterren een lineaire functie van de grootte 777 is '). En wamieer deze functie en de nau wkeurigheidsmodulus voor 1"‘ uiteenliggende grootten als gelijk te beschouwen zijn, is bij het b Men kan dit op de volgende wijze aantonnen. Het aantal sterren van werkelijke grootte 771, dat op de eene plaat in de grootte Wj gemeten wordt, en evenzoo het aantal, dat op de andere plaat de grootte vertoont, is resp. /’(to) exp. ( — A, ’ (>7/ j — m)^) dm dr7i-, en /'(m) exp. ( — /i,’ (m, -- m^)‘^)dm drn^ waarin /"(m) het aantal sterren van de grootte m voorstelt ; deze f (m) heeft den vorm a -f- bTn. Hieruit vindt men, wanneer men stelt ; + A/ Aj’ + h, voor het aantal sterren, dat op de eene plaat de grootte Wj, op de andere Wj heeft ƒ (jWj) exp. ( — A’ (OTj — «i,)’) dm^ dm^. Is w,| de grenshelderheid, zoodat mg ^ m^ onzichtbaarheid of zichtbaarheid be- 1885 1ste criterium de correctie voor beide grenslielderhedeii even groot, dus liet helderheidsverscliil wordt ook op die wijze correct gevonden. In tabel II bevinden zich in de 2de en 8de kolom de aantallen sterren met 0, met 2, met 3 beelden (vi, n^). Om de zeer groote toevallige ongelijkmatigheden van deze aantallen te vereffenen, zijn in de volgende kolommen de sommen van telkens 3 opeenvolgende getallen geplaatst (n/ /i,’). In de kolom staat, hoeveel procent u,“ van het totaal uitmaakt ; waar dit in het stijgen 50 bedraagt, ligt de grens tusschen onzichtbaarheid en twee beelden ; waar dit in het dalen 50 "/o bedraagt, ligt de grens tusschen twee en drie beelden, volgens het 1ste criterium. Daarnaast bevinden zich de sommen s van de zwakkere zichtbare en de helderder onzichtbare sterren ; waar deze gelijk worden, ligt volgens het 2de criterium de grens- helderheid. Uit de waarden /j, vindt men als grenshelderheden 18,67 en 1 2,54; hieraan moeten nog de correcties van blz 1331 worden aangebracht, en dan worden ze 13,65 en 12,62. Uit het 2de criterium vindt men evenzoo 13,72 en 12,63, ot' gecorrigeerd 13,70 en 12,71. Het ver- schil van deze grenshelderheden en H, is volgens het eei'ste criterium 1,03, volgens het 2de 0,99 ; het is dus wel kleiner dan het helderheidsverschil 1,07, maar verschilt daarvan toch minder. teekent, dan is het aantal onzichtbare en het aantal zichtbare sterren van de grootte Wi gegeven door dm^ J/(m,)exp.(— (m,) exp. (— — oo Voor Wi=mo ziin deze beide niet gelijk, door den factor f{m)—a-\-h ^ ■ Het aantal heldere onzichtbare sterren, die dus nii < m^, Wj > mo hebben, en het aantal zwakke zichtbare sterren, die m-^ > Wq en hebben, is mo +® ^ dm^ I dm,f(m,) exp. ( — A’ Ou,— rn,)’) en dm, /(«?,,) exp. ( — A’ (m, — m,)). Deze beide dubbelintegralen zijn, daar en rn^ hier volkomen verwisselbaar zijn, aan elkaar gelijk. 1386 dan te verwachten was. üe goede overeenstemming van deze twee waarden is geen maat voor hun zekerheid, daai- zij uit hetzelfde materiaal volgens verwante methoden zijn gevonden. Het onregel- matig verloop van het materiaal zelf, de getallen /i,” n/ maakt het twijfelachtig of de ge\onden waarde wel tot op 0,1 zeker is. Nemen wij het gemiddelde 1,01 aan, en voor en zelf 13,71 en 12,70, dan vinden wij voor alle grenshelderheden (alles in de voorloopige schaal) ; 5 14,66; ^,13,71; .4,12,70; .4311,66; ^,10,50; ^3 9,41. Herleid tot werkelijke grootteklassen wordt dus de grenshelderheid: 5 14,30; .4i 13,46; .4,12,57; ^311,66; 4,10,62; 4,9,66 en de verschillen in de grenshelderheid worden ; 0,84 0,89 0,92 1,03 0,96 gr.kl. 4. Uitkomsten. In het onderzochte vierkant zijn de sterren niet gelijkmatig verdeeld. De grootste dichtheid vindt men aan de N. zijde en de W. zijde; het is alsof twee sterwolken, een van boven en een van rechts in dit gebied reiken, gescheiden door een eenigszins min- der dicht gebied, dat zich naar het Z.0. uitstrekt. Onderaan ligt een eenigszins driehoekig zeer ijl gebied. Hierin bevindt zich, als een soort kern, de driearmige leegte, die zich op de melkwegphoto’s van Max Wot,F en Barnard als een zwarte plek of opening ver- toont '). Verdeelt men nu het veld in 5 even groote gebieden, ieder van 20 hokjes (waarvan de grenzen in Tabel 1 door dikkere lijnen zijn aangegeven), zoo, dat I en 11 de dichtste streken, 111 en IV de overgangsgebieden en V het ijlste deel omvat, dan vindt men voor de steraan tallen : I II III IV 1 V Totaal j tog N , m d logN dm B 2169 2100 1571 1513 1 801. 8154 3.099 ! 14.30 0.52 4| 746 181 601 584 279 2997 2.665 13.46 0.36 42 336 360 297 283 145 1421 2.341 12.57 0.43 43 136 142 127 116 48 569 1.943 11.65 0.39 Ax 55 51 49 47 22 224 1 .538 10.62 0.63 45 14 13 12 9 7 55 0.928 9.66 De hieruit volgende waarden voor het aantal per vierkante graad, en voor den gradiënt, vindt men voor het geheele vierkant ‘) Men vergelijke b.v. Max Wolf, Die Milclistrasse, Fig. 33 en 34. 188' in de laatste kolommen, voor de \ ijf kleine gebieden in de volgende lijst. log N ci log N dm , 11 lil IV V I 11 1 III IV V 3.22 3.21 3.08 3.07 2.79 0.55 0.51 0.49 0.50 0.55 2.16 2.18 2.67 2.65 ^ 2. ,33 0.39 0.37 0.35 0.35 0.32 2.41 2.44 2.36 2.34 2.05 0.41 0.42 0.39 0.41 0.52 2.02 2.04 1.99 1.95 1 .57 0.38 0.44 0.40 0.38 0.33 1.63 1 .59 1.58 1.56 1.23 De gradiënten voor het geheele gebied vei'toonen eenige onregel- matigheden. De verschillen tusschen de 8 laatste waarden kunnen aan toevallige ongelijkmatigheden en fouten toegeschre\’en worden ; maar niet de beide eerste. Dat l)lijkt daaruit, dat in alle \ ijf ge- bieden de 2'^*^ gradiënt kleiner en de eerste grooter is dan de andere. Waarschijnlijk moet de oorzaak voor de kleinheid van den tweeden gradiënt daarin gezocht worden, dat het werkelijke verschil dei' grenshelderheden nog kleiner is, dus de invloed van het over het hoofd zien \'an zwakste sterren op ö en nog sterker is, dan boven gevonden en aangenomen werd. Dan worden dus alle tweede gra- diënten wat grooter. Het interval B — Hj, dus de eerste gradiënt, verandert in dit geval niet, omdat de tellingen op en geheel gelijksoortig zijn. De eerste gradiënt is grooter dan de andere. Hier treedt dan de invloed vnn de, vernnjderde raelkioeycondev.saties te voorschijn, die dus eerst vaimf de 18,5(/ö grootte in de gradiënten merkbaar wordt. Het feit, dat de gradiënten in het gebied V niet wezenlijk ver- schillen van die dei- andere gebieden, laat eenige belangrijke conclu- sies toe. Dit gebied is als een verzwakte uitbreiding van de drie- deelige donkere holte te beschouwen, die zijn kern vormt ; de oorzaak voor het ontbreken van sterren in deze holte breidt zich verzwakt over een wijdere omgeving uit. Men kan als eerste verklaring aan- nemen, dat deze oorzaak een plaatselijke geringere ruimtedichtheid is, dus dat er een reëele holte is tusschen en in de dichte sterwolken, die den melkweg vormen. De dichterbij gelegen sterren worden daardoor dan niet beïmloed, dus moeten geen vei-dunning toonen, de heldere sterren zullen relatief talrijker zijn dan de zwakke en de gradiënt moet kleiner zijn, dan in de dichtere gebieden. De 86 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A^. 1918/19. 1338 getallen tooneii niets liiervan ; de sterren van de tot de 14'^^'^ grootte ' zijn alle in gelijke mate verminderd. Men zon dus moeten aannemen, ' dat deze heldere sterren meerendeels reeds tot de melkweg- i condensatie behooren en op denzelfden grooten afstand staan ; dit wordt ! eehter uitgesloten door het bedrag van de gradiënten tnsschen de j en de 13'^® grootte. 1 Een tweede verklaring ligt in de aanname van absorbeerende : nevelmassa’s. Lag znlk een nevel in het gebied van de melkweg- i condensaties, dan zouden alleen de verderafgelegen sterren verduisterd | worden, en de verschijnselen waren dezelfde als in het vorige geval, r een relatieve overmaat van heldere sterren. Uit de gevonden getallen i volgt dus, dat de nhsorbeereiide donkere nevehnassa, die de driedeeUqe holte veroorzaakt, zoo dichtbij is, dat zij ook reeds het meerendeel van de sterren van de en grootte verduistert. Zij staat niet in organisch verband miet de melkwegwolken, maar wordt slechts toe- j xallig tegen dien helderen achtei-grond geprojecteerd. i 5. Vergelijking niet andere idtkomsten. Onze vroegei'e onderzoe- kingen L gaven voor het melkweggebied in Aciuila een sterke toe- jiame van den gradiënt tot ver boven 0,6. Deze uitkomsten zijn | echter niet onmiddellijk vergelijkbaar met de nu gevondene, omdat ! een andere grootteschaal gebridkt is. De daar gebruikte schaal van Groningen Publ. 18 heeft positieve stijgende correcties noodig ter j herleiding op de visueele Harvard schaal ; om de photographische i grootten te krijgen, die bij dezelfde log .ISf behooren, moeten nog | weer stijgende [)Ositieve correcties toegevoegd worden, omdat de i gemiddelde kleurindex voor de zwakkei'e sterren toeneemt ’). Met deze correcties krijgt men : m (Gr. 18) m vis. m phot. log N dlog N dm vis. d log N dm phot. 1. B. D. 9.24 9.35 9.76 0.898 2. C. d. C. Catal. 11.73 11.97 12.52 2.249 1—3 0.47 0.44 3. Epstein. 12.51 12.89 13.51 2.557 2—4 0.54 0.51 3-4 0.76 0.72 4. C. d. C. Krt. 13.20 13.74 14.41 3.205 3-5 0.79 0.74 4 5 0.82 0.76 5. Herschel. 13.90 : 14.65 15.39 3.948 1) Onderzoekingen over den houw van den melkweg. Vei'slagen K. A. v. W. 25 Juni 1910. -) P. .1. VAN Rhun. On the number of stars of eacli pliotographic magnitude. Publ. Groningen N'k 27. 1339 Hier is een stijgen van den gradiënt vanaf de 13'^''-’ grootte (pliot.) merkbaar ; dit stemt dus wel met de Jin verkregen uitkomst over- een. Maar de waarden van de nn verkregen gradiënten z,ijn aan- merkelijk minder, dan die nit liet vroegere onderzoek volgen tnn 0,52 van 13,5 tot 1-1,3, toen 0,72 van 13,5 tol 14,4), en die duidelijk op de aanwezigheid van groote verder atliggende stei- condensaties wezen. Nn zijn de photographisclie schalen geheel onafhankelijk van elkaar en daardoor misschien niet direct verge- lijkbaar. Wanneer b.v. de gebruikte reductiefactor 0,884 nog wat te groot was, (dus een lO-vondige expositie nog wat minder dan 2 X 0"’,884 zou doen winnen) zouden in het onderzoek \'an nu alle ?n’s en al hun verschillen kleiner en de gradiënten grooter worden. In hoevene zooiets werkelijk het geval is, is niet met zekerheid te zTeggen. In elk geval zijn wij met deze tripletopnamen minder diep in de zwakke sterren doorgedrongen, dan bij het vroe- gere onderzoek. Toen het plan voor deze o[)namen ontworpen werd, scheen het niet al te moeilijk om verder te komen dan llEKSCHKr.’s peilingen, waarx'an de grenshelderheid toen 13.9 ge\onden werd. Door de sedert gevonden schaalreducties, is, zooals uii Idijkt, dit doel niet bereikt kunnen woi'den. Daartoe was een instrument met grooter opening of een veel langei'en expositietijd noodig geweest. Om nog wat verder te komen, zijn door Prof, Hektzspruno o[) mijn verzoek nog een paar opnatnen met den 80 cM. refractor te Potsdam gemaakt. Om de helderheidsschaal dadelijk op de i)laat vast te leggen, werd een grof traliescherm voor het objectief ge- plaatst, waardoor het centrale beeld 0,"'748 verzwakt wordt en het lst« en 2'*® buigingsbeeld 2, "'242 en 3,"’317 zwakker wordt dan het centrale beeld. 0|) een plaat, met centrum op 4B Aquilae (19''37,"'5 -)- 11°57') werden 0[) 0,343 kwadraatgraden 858 stei'ren geteld, waai'van 101 het eerste en 24 het tweede buigingsbeeld vertoonen. Daaruit volgt voor m„ m,— 2,24 m,— 3,32 lo;/N 3,398 2,409 1,845 dlogN waaruit de gradiënten -- - = 0,41 en 0,58 volgen. Deze plaat dm dringt wat verder door dan het Triplet, want uit vergelijking met de boven gevonden aantallen londom 46 Aquilae ^'olgt = 14,8. Hier blijkt nn de gradiënt van 12,6 tot 14,8 slechts 0,41 te be- dragen. Vermoedelijk ligt de oorzaak voor dit kleine bedrag daarin, dat veel zwakkere nevenbeeldjes meegeteld zijn, dan hoofdbeelden, omdat hun plaats nauwkeurig bekend was. Hier blijkt dus ook ' 86* 1340 weer, lioe geniakkelijk door niet gelijke omstandigheden systemati- sche verschillen in de getelde aantallen sterren ontstaan, waardoor ze voor het atleiden van gradiënten onbruikbaar worden. Een ander middel, om verder te komen, geven de platen, die door Frankt.in-Adams opgeiiomen zijn ; volgens Chapman en Mklotte gaan zij tol beneden de gi-ootte photographisch, en dit blijkt ook nit de door hen opgegeven aantallen. Voor de melkwegzone was het aantal N voor de grootte 15,0 16,0 17,0 naar hun oor- spronkelijke opgaven 650, 1300, '2050 ; deze aantallen zijn door ver- keerde vorming van middelwaarden te klein, en Dr. Chapman gaf naderhand vooi' de beide eerste 840 en 1700 (/ut/ /V 2.92 en 3.23) ‘), dus 297o en 317„ meer; neemt men het laatste dus 33‘’/„ grooter, dan wordt voor 17.0 het aantal xV = 2800. De tafel \ an van Rhijn geeft voor deze iV de photographische gi'enshelderheden 15,2, 16,2 en 16,9, waai-nil blijkt, dat de sterren tot 17,0 onvolledig geteld zijn. Uit de waarden van N, die in Gron. Pnbl. 18 voor Herschel zijn afgeleid, nl. A = 175,6 373 1023 voor de 3 zones 40 —90,20 — 40 en 0 — 20 galactische breedte, \'olgt als photographische grensheldeilieid voor Herschel 15,30 15,18 en 15,47. Dè tellingen, die Chapman en Melotte met 17,0 aangeven, gaan dus 1' j, grootteklasse verder in de zwakke sterren dan Herschel’s peilingen. Dé afzonderlijke lellingen op plaat 136 (RKl. 20''0 ; deel. -^15°) die de Aqnilastreek bevat, zijn mij door Prof. Dysün welwillend tei' beschikking gesteld. Voor deze plaat zijn de grenshelderheden niet photometrisch d loq A' bepaald, men kan dus - d))i niet streng atleiden. Neemt men voor de m de gemiddelde waarden, dan vindt men (als gemiddelde van 6 plaatsen, die in den melkweg in Aqnila en Sagitta liggen) m=144 15,3 16,3 17,0 A^= 965 3445 11883 14310 d log N dm 0,61 0,53 0,12 Het laatste verschil bewijst weer, dat de zwakste sterren bij Ch. & M. zeer onvolledig geteld zijn, in deze dichte melkwegstreken nog meer dan elders. Overigens is ook in de andere verschillen weinig van den stei'ken gradiënt te bemerken, die naar Hkrschei/s getallen te verwachten was. Chapman heeft ook de dichtste gedeelten van de melkwegzone afzonderlijk behandeld en vindt daarvoor ') S. Chapman. The number and galactic distribulion of tbe stars. Table A Monthly Notices 78 pag. 70. 1 1841 1 voor m =13 14 15 16 logN— 2,63 3,07 3,37 3,60 dus voor den gradiënt ü,44, 0,30 en 0.23. In deze cijfers is ook niets van een ruimtelijke condensatie in verre melkvvegwolken te bespeuren. De tegenstrijdigbeid, die in al deze uitkomsten te voorschijn treedt, en telkens de hoop, om verder te komen dan Herschel, teleurstelt, kan aldus samengevat worden : in de heldere melJaveq- vlekken vertoonen de Franklin-Adams platen nauwlijks meer sterren dan de peilingen vaji Herschel, hoewel zij naar de gemiddelde j aantallen veel dieper gaan. Op het gebied van plaat 136 geven de j tellingen van Ch. & M. 9340 sterren per k wad raatgraad en Herschel j 7500, terwijl het gemiddelde over de geheele melkwegzone bij den i een meer dan 2800, bij den ander 1023 is. 1 Het is niet onmiddellijk duidelijk, wat hiervan de oorzaak is. De j eene voor de hand liggende verklaring is, dat de tellingen van de j zwakste sten-en op de Franklin-Adams platen in de dichtste melk- I wegvlekken veel onvollediger zijn dan in andere streken. Een andere ! verklaring zou zijn, dat in de heldere dichte melkwegwolken de j kleurindex hooger, de sterren dus gemiddeld rooder zijn daii in het ! gemiddelde vati de galactische zone. In dit geval komt men door ! nog zoo volledige tellingen op photographische platen veel minder ver, i dan door tellingen visueel met een kijker met groote opening. I Wij kunnen dus in de diepten van de melkwegwolken nog steeds iniet verder indringen, dan Herschel ; ons materiaal reikt nog nauw- i lijks verder, dan wat Herschel meer dan een eeuw geleden ver- j zamelde. Dat in de geheele 19'^'^ eeuw niets gedaan is om zijn jwerk te completeeren en te verbeteren, ligt ongetwijfeld daai'aan, [dat de photographische methode op hel gebied van stertellingen zoo- jveel meer beloofde, maar deze belofte nog niet gehouden heeft. De jvele systematische ongelijkheden, die de photographische methode iaankleven — de afname van de sterdichtheid naar de randen, de jgrootere invloed van atmospherische absorbtie, de \'ariatie in grens- ihelderheid — maken het reeds zeer moeilijk, om uit een photo- graphische opname van den hemel een homogeen materiaal af te leiden. Komt hier nu nog bij, dat de zwakste sterren, waai' het om Ie doen is, gemiddeld een hoogen kleurindex hebben, dan blijkt nog sterker, hoe wenschelijk visueele tellingen met zeer lichtsterke instrumenten voor de studie van de melkwegcondensaties zijn. Natuurkunde. — De Heer Jultus biedt eene niededeeling aan van den Heer H. Groot: ,,Over de effectieve Zonnetemperatuur.” Benige o[)merkingen naar aaideiding van een aidikel van Dkfant : ,, Diffusion wul Absorption in der Sonnenatniosphdre.” (Mede aangeboden door den Heer Van der Stok). ScHWARZSC'HiLD heeft in een verhandeling: ,,üeber Ditïnsion nnd Absorption in der Sonnenattnospliare” (Sitz. Ber. d. Berk Akad. 1914) het probleem behandeld der straling van een, als absoluut, zwart lichaam te denken, vlakke laag waarboven zich een absoi’beerende en versti'ooiende atmosfeer bevindt. Valt op een laag (zie tigunr 1) begrensd door de vlakken .r = 0 en .i; = H nit alle richtingen straling van intensiteit S, uitgaande van het zwarte lichaam ZZ', dan noemt Schwarzschild in een vlak .r de straling, welke ’t vlak doorloopt, in een zin met de straling *S’ mee en onder een hoek i met de normaal op de gi-enslagen, bff,i) en tracht een formule voor b{0,i) te vinden. ( I Zwart lichaam. i>{0,i) is dus de totale intensiteit van licht dat onder een hoek i aan de grens van de atmosfeer nittreedt en is opgebonwd uit direct licht en licht dat éénmaal, tweemaal enz. verstrooid is. ScHWARSCHiLU slaagt er in, dit probleem voor twee spe(‘iale ge- vallen op te lossen, en wel vindt hij: a. Grensgeval van uitsluitende absorptie {a = 0) b (OS I r rr k J343 I I b. Grensgeval van uitsluitende verstrooiing [k = 0) ^40,1)== 0 . o -1“ co j i 1 ^oU + 0.5 — cos i p—'ytiseci l\oH (2) Hierin is: ^- = absorptiecoëfficiënt, (J = diffusiecoefficient, H = hoogte van den dampkring, a en b twee numerieke cojistanten. 1 In zijn artikel: ,,Ditfnsion nnd Al)Sorption in der Sonnenatmospliare” [ (Sitz. Ber. d. K. Akad. zn Wien Abt. II''. Bnd. 125 (1914)) tracht i A. Defant aan de liand van gegevens, die hij ontleent aan de waar- i nemingen van Abbot over de afname der stralingsintensiteit op de ! zonneschijf van het midden naar den rand (Annals of the Astr. I Observ. of the Smithsonian Inst. vol. lil. Washington 1913, p. 158), i uit te maketi welke der beide oorzaken, absorptie of verstrooiing, 1 op de zon het meest werkzaam blijkt te zijn. I Door een soort ,, trial and error” methode slaagt hij erin een I formule af te leiden : 6(0,1) = 0 54- cos (0.5 — cos i) — 0.3804 + 0.31 36 cos i (y) 1+0.0405 A -4 die het midden houdt tnsschen (1) en (2) en nnmerisch juiste waardeji geeft. Deze schijnt ero|) te wijzet) dat het ditfusie-effect verreweg overweegt, maar toch beinvloed wordt door een geringe absorptie. In hoeverre de beschouwingen, waardoor hij tot formule (3) geraakt, waarde hebben, zij hier in het midden gelaten. Zeker is, dat de numerieke waarden vrij Juist zijn, zooals tabel 1 overtuigend aan toont. TABEL I. cos i A = 0.433 fx, A : = 0.604 fx. A : = 1.031,14 6(0,0 b (0,0 1 Waarge- X355i Zarde 0(0.0 b (0,0 X375 Waarge- nomen waarde 6(0.0 6(0,0 xin Waarge- nomen waarde 1.0 1.2752 453 456 1.0643 399 399 0.9486 111 111 0.9 1.1906 423 419 1.0164 381 380 0.9175 107 107 0.8 1.0996 390 384 0.9656 361 360 0.8838 103 105 0.7 1.0006 355 348 0.9097 341 337 0.8491 99.4 100 0.6 0.8932 317 309 0.8476 318 313 0.8137 95.2 95.8 0.5 0.7764 276 277 0.7764 291 288 0.7765 90.9 90.0 0.4 0.6506 231 238 0.6917 259 265 0.7366 86.2 86.2 0.3 0.5180 184 192 0.5863 220 230 0.6912 80.9 80.9 1 1344 Verklaring van tabel I: i In deze tabel is voor drie verschillende waarden van '/. met behulp van (3) b{Q,i) ! berekend voor de waarden van cos i, aangegeven in de 1ste kolom. In kolom 3 j zijn de gevonden waarden van ö(0,/) met een factor vermenigvuldigd, teneinde ver- i gelijking met de getallen van Abbot, die in de 4de kolom staan, mogelijk te maken. Met beliiilj) van (3) en de getallen van Abbot, welke ik hieronder j laat volgen, wil Defant nu echter een conclusie trekken over de effectieve teniperatnnr van de zon. Golflente in Straling in het midden van de zonneschijf 0.323 144 0..-Ï86 338 0.433 456 0.456 515 0.481 511 0.501 489 0.534 463 0.604 399 0.670 333 0.699 307 0.866 174 1.031 111 1,225 77.6 1 .655 39.5 2.097 14.0 (Getallen van Abbot). Zijn redeneering is de volgende: De fortnule (3) geeft voor < = () 6(0,0) d.i. voor elke golflengte A de in hel midden van de zonneschijf uittredende stralingsintensiteit, wanneer die van de folosfeeroppervlakte voor deze A gelijk aan 1 wordt gesteld. Wat wij meten is achter niet de grootheid 6(0,0), maar de werkelijk uittredende straling ó, die met 6(0,0) samen hangt door de formule: h = i) 6(0,0) (^) waarin /> de stralingsintensiteit in het spectrum van de fotosteer (lieschoii wd als absolmd zwart lichaam) voor de golflengte A is. 1 345 AJet behulp van (3) en (4) eu de ^elallen va)i Abbot kan dus de volgende tabel berekend worden voor T, (tabel II). Volgens onder- stelling straalt de fotosfeer als een absolnnt zwart litdiaatn, zoodaf de fortnnle van Pbanck mag toegepast worden, volgens welke; 7.211X10* i; = / 2,1.563 X2890'\ Hio (5) 10 —1, De grootheden l, uit de tabel zijn nitgedrukt in een onbekende eenheid. Beschouwt men deze eenheid en T als onbekenden, dan kan uit twee waarden van /, (voor A, en bijv.) 7^ opgelost worden. Indien de opzet juist is, moeten wij uit alie comhinaties twee anti ttvee van 1, dezelfde temperatuur vinden. Defant berekent T uit de combinaties: T = 8900O /, = 0.5 l, 700 A, = 0.9 ii 00 o = 0.6 l, = 350 K = 1-2 ƒ; = 90 en vindt de overeenstemming ,,genügend”. TABEL II. 7’ = 8700° c. pag. 517). Golflengte z 1 + 0.0405 ^ 6(0,0) ij h 0.323 4.721 0.299 144 481.8 0.386 2.824 0.479 338 705.7 0.433 2.152 0.593 456 769.5 0.456 1.937 0.644 515 799.8 .0.481 1 .757 0.682 511 748.9 0.501 1 .646 0.710 489 688.7 0.534 1.498 0.737 463 628.1 0.604 1 .304 0.816 390 500.2 0.670 1.201 0.853 333 390.5 0.699 1.170 0 . 864 307 355.2 0.866 1.072 0.903 174 192.8 1 .031 1 .036 0.918 111 120.9 1.225 1 .018 0.926 77 6 83.8 1.655 1.0054 0.931 39.5 42.4 2.097 1.002, 0.932 14.0 15.0 J346 Jammer genoeg scliijnt hier echter een fatale vergissirig ingeslopen te zijn. Immers bij J = 0.6 behoort niet /;, = 350, maar — (grafisch interpoleerend) — i; = 506, hetgeen 7^=6600° inplaats van 8700° geeft, zoodat van overeenstemming geen spiake meer kan zijn. Een ernstig bezwaar tegen de geheele methode schijnt mij dan ook voor het grijpen te liggen en wel dit: De onderstelling dat alle lichtsoorten tot ons komen van uit één fotosfeeroppervlak, m. a. w. dat licht van alle golflengten uit één- zelfde diepte van de zon afkomstig zou zijn, blijkt in het licht van nieuwere onderzoekingen (zie bijv. de dissertatie van J. Spukerboek ,, Verstrooiing van licht en intensiteitsverdeeling ovei' de zonneschijf" (^191 7)) hoe langer hoe meer onhoudbaar. Indien' echter in werkelijk- heid licht van verschillende golflengte afkomstig is uit verschillende deelen der zon, dan wordt hel zéér de vraag of wij nog wel de formule van Planck mogen toepassen zooals wij dit Dbeant zagen doen. Want dit zou dan gaan beteekenen, dat wij onderstelden, dat iedere lichtsooi't als het ware een soort ,,eigenfotosfeer’’ zou hebben, die straalt als een zwart lichaam, terwijl de fotosfeer voor de grootere golflengten dieper zou liggen dan voor de kleinere. Men mag dan verwachten dat de temperatuur, bepaald met de formule van Pj.anck, een functie van A wordt en wel zou T des te ^rooter zijn naarmate 1 toeneemt. In deze laatste opmerking hebben wij een middel om te onder- zoeken of de hypothese der schaalsgewijze over elkander liggende fotosfeeren een schijn van rechtvaardigijig kan vijiden. Uit de waarden van tabel 11 grafisch interpoleerend construeerde ik tabel III: TABEL III. ! A ; h A- A Ij A ! /; 0.40 109 0.70 342 1.00 1 134 1 1.60 46 0.45 791 0.75 284 1.10 104 1.70 39 0.50 714 0.80 239 1.20 87 1.80 32 0.55 604 0.85 201 1.30 74 1 .90 25 0.60 506 0.90 174 1.40 64 2.00 19 0.65 418 0.95 153 1.50 55 Otndat wij de eeidieid waarin h is uitgedrukt niet kennen, heb- ben wij, zooals reeds opgemerkt werd, telkens twee waarden van (nj en «,) noodig om T te vinden. i:u7 De berekening komt op liet \’olgende neer; Zij J = 7.210X10*, /?= 2,1563 X 2890, en de waarden van Ij belioorend bij en f een onbekende factor, afhankelijk van de eenheden waai'in l, gemeten is, dan gelden de volgende vergelijkingen ; .1 A = — ; r- X en »,./ ^ ... (6) f ^ Cll «tj / f — ') Als wij de waarden van X zóó kiezen, dat A, = 2P.i en wij stellen J0--^ = .f, dan volgt nit (6) gemakkelijk: OCJ • ■ ■ ■ (7) De wortel x = 1 geeft 7' = cc , dns heeft geen physische betee- kenis, zoodat wij 7’ vinden nit: h Op deze wijze vond ik : A2 = 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1 3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 T = 7200 8800 8900 8500 7900 7200 6300 5800 5500 5100 5000 5200 5700 dns gemiddeld een (i fnaine van T hij toename van ^ (zie diagram 1). 1348 Overigens is ook deze manier nog niet geheel bevredigend, immers wij weten nn niet bij welke A de gevonden T^eigenlijk moet behooren, aangezien de beide waarden van A (A, en Aj, die noodig zijn, bij deze rekenwijze tamelijk ver nit elkaar kunnen liggen. Behoort bij (Aj = 0.9, A, = J,8) T bijv. bij A,, bij A^ of bij een waarde die ergens tusschen Aj en A^ in ligt? Willen wij dit bezwaar uit den weg gaan, dan kunnen wij de vergelijkingen (6) als volgt behandelen: Zij Aj ; A, = w : m of A -■ dan vindt men gemakkelijk 10'°^’- 1 lo'^— 1 Stel nu 10"^’= ^ «, \/ m «iA« (9) (10) (11) (12) dan gaat (10) ovei- in + (C— 1) = o Zorgen wij nog dat = w -)- 1 is, dan wordt de^ gedaante nog iets geschikter \’Oor numerische benadering en wel; z>‘(z -C) + (C— 1) = 0 (12a) Heeft men z voldoende nauwkeurig benaderd, dan volgt 7’ uit: () Ig z (13) Op deze manier kan men A, en A, dicht genoeg bij elkaar brengen om aan een onbepaaldheid in de keuze dei' A waarbij T behoor! te ontkomen. Zoo werd gevonden ; 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1 .5 1.8 A. 0.5 0.6 0.1 0.8 1.0 1.2 ! .5 1.8 2.0 T (6400) 9000 10.000 9600 8000 5500 3800 5400 , - zoodat gemiddeld : 0.7— 1.2 1.2- 1.8 7’ = 9500 6000 4600 1 349 dus weer een dergelijk resultaat als bij de 1ste methode (zie diagram 11). De onderlinge afwijkingen zijn nu veel grooier, hetgeen ook te r )000 1000 / 1 Di agram II. 1000 1 / 1 tooo / 1 1 4 , 5000 1 5000 1 ✓ 1 y iOOO 1 5000 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 verwachten was, daar op de kleine intervallen P.j — de onver- niijdelijke fouten in l, (een experimenteele grootheid!) zich zeer sterk doen gevoelen. ! ;i. = 1.8i ZüO geven een 1 onbestaanbare waarde voor T, maar neemt men bij P..^=2,0 22 inplaats van 19, dan zon ! l'= 1 8t)üü° worden ! Bij deze n anier zijn vooral de kleinere waarden van 1, ongun- stig, dus verdienen de waarden bij = 1,5 en P., = 1,8 niet al te veel vertrouwen. Verder zijn de waarden van /, voor < 0.5 eigenlijk ook onbe- ; trouwbaar, daar de grafische interpolatie en iedere andere overigens I ook — hier zéér onnauwkeurig wordt. Laten wij al deze twijfelachtige waarden van T buiten beschou- wing, dan komen wij tot het resultaat, dat juist in het gebied der j betrouwbare waarden van T (de doorgetrokken lijn in het diagram) j er onmiskenbaar neiging van T bestaat om aj te nemen bij hei aan- ! groeien van l, dus juist kei omgekeerde van mat mij a priori meen- I den te mogen vermachten. j In een volgende mededeeling stel ik mij voor de vraag te behan- j delen, waaraan dit onverwachte resultaat toegeschreven kan worden. I Utrecht, Maart 1919. ! ! T Natuurkunde. — De Heei' van der Waals biedt een mededeeling aan van den Heer J. D. van der Waai.s Jr. : de theorie der vloeistofiorijvbui II.” (Mede aangeboden door den Heer H. A. Lorentz). ^ 4. Dichtheuhverdeelmg in een vloeistof, strooniende in een krach- tenveld. Alvorens over te gaan tot de ,,wrijvi)ig door groepvorming” zidlen wij een eenvoudiger probleem bes|)reken. Wij zullen ons namelijk voorstellen, dat een gas stroomt in een kraelitenveld en dan nagaan welke wijzigingen de strooming teweegbrengt in de diclitheidsverdeeling, zooals die in het krachtenveld zou ontstaan, wanneer er geen strooming was. Wij zullen ons daarbij weer het eenvoudige geval denken, dat de stroom valt in de .r-iichting en , dat de snelheid kan woiden voorgesteld door u = az. Wij zullen ! verder ondei-stelleri itiet een stationairen stroom te doen te hebben, i zoodat in een in de rnimte stilstaand pnnt de dichtheid en de stroomsnelheid constant zijn. Om nu de diclitheidsverdeeling na te gaan, die dat stationaire karakter zal vertoonen, zullen wij aannemen, dat er twee oorzaken zijn, waardoor de dichtheid in een gegeven pnnt zou kunnen ver- anderen ; de ,,molaire” strooming en de diffnsiestroom. Het is niet te ontkennen, dat deze onderscheiding artificieel is en dat de veran- dering der hoeveelheid stof in een rnimteëlement natnnrlijk altijd kan gevonden worden nil den totalen stroom, die door de begrenzings- vlakken naar binnen stroomt. Ik zal echter onderstellen, dat deze totale stroom kan gedacht worden samengesteld te zijn nit een molairestrooming, waaraan ik de ongewijzigde snelheid u = az zal toekennen en een stroom, die het gevolg is van de ongelijkmatige dichtheid in verband met de warmtebeweging. Deze laatste zal ik met den naarn ditfusie- i stioom aanduiden. Verder zal ik aannemen, dat men de verandering, j die door elk van deze beide oorzaken in de dichtheid wordt teweeg- j gebracht, kan berekenen onafhankelijk \'an de andere oorzaak. i Wat er door den molairen stroom per seconde in een volume- ! element naar binnen komt is: dn Ö« 1 ' (/.?; dy dz — — ti ----- dx dy dz , ....(10) | dl ■ èx ■ i Om de bijdrage van den difïiisiestroom te berekenen zullen wij 1851 aaniiemen, dat de siielheidsverdeeling der gasiitoleeulen 0[) ieder punt op de volgende wijze te vinden is. Wij zullen namelijk aan- neinen, dat de snelheden der moleculen, die in zekere laag gebotst hebben, uit twee componenten bestaat ; de stroomsnelheid der laag, waarin zij gebotst hebben, en de theimische snelheid, van welke laatste zal worden aangenomen, dat zij volgens de wet ''an Maxwki.i, over de verschillende moleculen verdeeld is. Ongetwijfeld maken wij door deze dingen te ondeistellen een font, maai' wij mogen ver- wachten, dat dit slechts een fout zal zijn in een getallencoëfticiërit en dat de aai'd van het verschijnsel alsook de orde van grootte door de met behulp van deze onderstellingen afgeleide formules juist zal worden voorgesteld. Om nu den diflfusieslrooni door een vlak A na te gaan zullen wij twee vlakken beschouwen aan weerszijden van het vlak .1 gelegen j/ 3 op een afstand ^ /. (/ = gemiddelde weglengte der moleculen). En wij zullen de moleculen, die door het vlak A gaan beschouwen als ,, uitgezonden uit” een dier beide vlakken, waaronder wij verstaan, dat zij daar hun laatste botsing hebben gehad. Beschouwen wij nu eerst de moleculen, die botsen in het -|- vlak ') en die een snel- heidscomponent loodrecht oj) het vlak A bezitten tusschen ir en lu -1- (hn. In het vlak A aangekomen hebben deze moleculen een normale snelheid ?/d gekregen, bepaald door de vergelijking; öf /i/3 Het aantal moleculen dezei' gi'oep, die per seconde en |)er opper- vlakte-eeidieid door het vlak A gaan, is, als 'ii de dichtheid dei ón l[/ö moleculen in A voorstelt : n -1- , die in hel -1- vlak ; Oi 3 1 l/.T = n -f ön /j/3 IT 1 dl ly'A I 11 V UI ^/.■7’d: 3 d d d . (11 (i a a Let men alleen op de uit het vlak uitgezonden moleculen, dan de ly 3 moet vd steeds een waarde hebben, waarvoor . In de richting \an naar — gaan echter ook moleculen, die er 1) D. w. z. het aan A evenwijdige vlak op een afstand i/g /t^3 aan de zijde, waar de potentieele energie c der moleculen grooter is dan in A. Het aan de andere zijde gelegen vlak zal het — vlak heeten De 2-as zal loodrecht op A staan de in de richting van het - vlak naar het + vlak, zoodat ^>0. 1352 eerst iii tegengestelde ricliting zijn doorgegaan met zoo geringe snelheid, dat zij het vlak niet konden bereiken, maar tengevolge Öf van de kracht — — hnn snelheid omkeerden alsvorens het bereikt 02^ te hebben. Telt men ook deze molecnlen mee, dan vindt men den totalen dilfnsiestroom van naar — door uitdrukking (II) naar M en V te integreeren tusschen — oo en -j- 6” tusschen O en — 00. De omgekeerd in -j- richting door het vlak stroomende moleculen vindt men door te nemen een uit het — vlak uitgezonden groep moleculen 'v(’‘ bn /J/ 3 3 ^ _ 1^ d-: U- 3 ^ iv'e kTo-. 3 d - d d a u en hierin en v tusschen — oo en -f oo en ir' tusschen O en ^ te integreeren. Zoo vindt men, dat het vlak A per seconde en per oppervlakte- eenheid gepasseerd wordt in de — richting door het volgende aantal moleculen ; , 1 Ö£ / 1/3 1 d£/ 1/3 2 /.!(" + dn/ 1/3' kTdz 3 ( bil lyS\ jcTdz 3 ) dz 3 1 « |/ 3 « y S / 1 bn d f 1 \ 3 |/ nr n d^ d^ kJ'J 3 y jx 0/ kTj Hierin zullen wij ii.l = constant nemen, ofschoon dit eigenlijk alleen voor ijle gassen geoorloofd is. In het geval van tliermodyna- misch evenwicht moet deze diffusiestroom door ieder vlak nul zijn, zoodat men dan stelt /{n) -j = constant, wat de bekende ver- kT deeling der molecnlen in de ruimte aangeeft. Wij zullen van de waarde van den diffusiestroom in vergelijking (12) gebruik maken om te berekenen hoeveel er door de zes zijden van een ruimte-element (lr.dydz naar binnen komt. Wij vinden daarvoor : «1/3 ( f i zoodat wij voor de voorwaarde voor een stationairen toestand vinden in vei'band met vergelijking (10): «1/3 I f 3i/.t f kl Ik zal hier afzien van de kwestie, welke correcties aan den (13) 1353 j getal len-fac tor zouden moeten worden aangebracht en vergelijking j (13) verder ongecorrigeerd gebruiken. l{n) “i" ^ grootheid, die door Gibbs door /n wordt voorge- steld en met den naam thermodjnamische potentiaal wordt aangeduid. In het geval van thermodynamisch evenwicht is zij constant en wel 1 gelijk aan wanneer de dichtheid is in het punt, waar de ! potentieele energie nul is gesteld. In het door ons gedachte niet- evenwichtsgeval zal ik stellen : I i . (14) I of in aanmerking nemende, dat wij xü klein onderstellen : ; * * i ?2 = n,e (I -f-2ü) = ntv, , . • . (Ha) I zoodat niü het aantal moleculen voorstelt, dat tengevolge van den stroom in overmaat boven het normale aantal n^e in een ruimte- element aanwezig is. Volgens vergelijking (13) wordt to gevonden als de potentiaal van denkbeeldig agens, waarvan de dichtheid zou V' 2>JX 072 “ d.' Om de beteekenis der gevonden formule te illustreeren, zullen wij haar toepassen voor het volgende eenvoudige geval : het krach- tenveld is afkomstig van één enkel krachtscentrum, waarin wij den oorsprong O van het coördinaten-systeem leggen, terwijl de kracht alleen een functie van r zal zijn. Was er geen stroom, dan zou dit krachtenveld in een gas een dichtere wolk om O tengevolge hebben, waarbij de dichtheid alleen een functie van r zou zijn. Denken wij nu het gas in strooming gebracht met een constante snelheid u in de negatieve ^r-richting en denken wij, dat dit een geringe verande- ring in de dichtheid ten gevolge heeft, zoodat wij bij wijze van Ö72 eerste benadering in vergelijking (13) de waarde van bx mogen nemen, zooals zij zonder stroom zou zijn, dus Ö72 1 Ö8 — ^ Q hl da; “ kT^x ■ waardoor vergelijking (13) overgaat in, V 3jr 72 de = a.nt KI Ox Het denkbeeldige agens is dan negatief i Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A°. 1918/19. (15) (13a) den kant van de 87 1354 positieve .c-as en heeft gelijke, doch positieve waarde aan den kant | der negatieve x-"ds. De potentiaal to van dit agens zal dan, zooals I uit synimetrie-over wegingen gemakkelijk is af te leiden, in het yz- \ vlak nul zijn en aan weerszijden daarvan hetzelfde teeken vertoonen als het denkbeeldige agens. De overmaat nw vertoont dus ook deze ! teekens, wat daarop neerkomt, dat de wolk in de richting der nega- j tieve a'-as is verschoven, zooals te verwachten was. • I Denkt men nu niet langer u = constant, maar u = ^az, dan zal } lü een positief teeken krijgen in het 1® en 3® quadrant, d. w. z. de j wolk zal uitgerekt worden in de richting van een lijn, die een hoek I van 45° ra'et ° dé oorspronkelijke assen maakt en in het 1® en 3® j quadrant ligt. I 1 § 5. Dichtheidsverdeeling in een stroomende vloeistof bij het kri- tisch punt. Gaan wij na deze voorbereiding over tot het vraagstuk van de dichtheidsanomalieën in een stroomende vloeistof, dan zullen wij eei’st te berekenen hebben volgens vergelijking (13a). Daartoe merken wij vooraf op, dat de door die vergelijking gegeven waarde van alleen een gevolg is van de beweging van het gas relatief het krachtscentrum. Dachten wij u = constant en lieten wij dan j het krachtscentrum meebewegen, dan zou het natuurlijk op hetzelfde neerkomen, alsof alles stilstond. Wij zullen in vergelijking (13a) voor u dus steeds deze relatieve snelheid hebben te nemen. De waarde vaji in een volume-element dx dy dz ■= do) zal nu berekend kunnen worden als de som van bijdragen, geleverd ten- gevolge van de krachten, uitgeoefend door de stof in de verschillende i omringende ruimte-elementen. Noemt men een van deze omringende j ruimte-elementen dx' dy' dz' = doi' en de dichtheid erin n' , dan ' zijn de n'dm' moleculen, die zich erin bevinden op te vatten als | een krachtscentrum. Denken wij weer u = az dan zal de snelheid I van de stof in doi relatief dit centrum bedragen a {z — z'). Stel j verder de potentieele energie van twee moleculen op een onder- ' lingen afstand ?’ voor door y(?-), dan wordt de bijdrage tot in d(o, die toe te schrijven is aan de stof in do)' : i V 3jr n « . nl kl —z') ndoi , dcp(r') dr' waarin r' den afstand der ruimte-elementen da> en dto' voorstelt. Draaien wij de assen 45° om de y-as en noemen wij de nieuwe assen f , rj, ?, dan vinden wij voor de totale waarde van xj'iv. 7’tü = — g r ,ay(g— gr-G--)» al kT J dr' 2r' dai' . . (16) 1355 Deze vergelijking geeft de verdeeling van het denkbeeldige agens in de ruimte. Men vindt eruit voor de waaide van in een volume- element (/$, wanneer men den afstand van een element da> tot dw, door voorstelt : l/3.Tr kfS’ dr 2r' dojdoi (17) Indien n' constant was, zou men natuurlijk vinden xj'^w = o en w = o. Is echter in een bepaald gebied n' grooter dan in de omringende ruimte-elementen, dan zal in een lijn evenwijdig aan de ^'-as door het centrum van dit gebied gaande negatief zijn en in een lijn evenwijdig aan de 5-as positief. Het denkbeeldige agens en hebben dan het tegengestelde teeken, zoodat ook hier de verdichte groep uitgerekt zal worden in een richting, die een hoek van 45° met de oorspronkelijke assen maakt. § 6. De toepassing der virinal-stelling . Om nu uit de voor ge- vonden waarde den spanningstensor te berekenen, zullen wij gebruik maken van de viriaal-stelling. De toepasselijkheid van deze stelling vöor het geval, dat ons bezighoudt, zullen wij echter vooraf moeten aantonnen. Beschouwen wij daartoe een bepaald volume in de ruimte, waarin het stroomende gas zich bevindt. Wij zullen er de gedaante van een recht parallelepipedum aan toekennen endecoördinaat- assen evenwijdig aan de ribben kiezen. Aangezien wij den toestand stationair denken, zal de uitdrukking .T a' a-, waarbij over alle mole- culen in het volume gesommeerd wordt, constant zijn. Het feit, dat er door de begrenzingsvlakken moleculen in en uit de beschouwde ruimte treden, doet hieraan niets af. Wij besluiten eiuit, dat: — -(.2’ m X x) = 0 =■ 2 m -f- 2" w X-\- Om (.^j — -a’,) f {^) dx . (18) dt J Hierin is X de a-component van de op een molecuul wei’kende kracht, zijn a, en a, de abscissen van de begrenzingsvlakken van het parallelepipedum loodrecht op de a-as, en is O de inhoud dezer vlakken, /(a) dx geeft het aantal moleculen per c.c.M. aan, waarvan de a-com ponent der snelheid ligt tusschen a en .a dx. De laatste term heeft betrekking op de verandering in de waarde van2'??iaa, die een gevolg is van de door de vlakken aj = c en a, = c in- en uittredende moleculen. De door andere begrenzingsvlakken in- en uittredende moleculen zullen gemiddeld een bijdrage nul tot d — 2?naa leveren. Stellen wij nu: dt X = Xth -f M, 1356 waarin u de stroomsnelheid en Xiu de snelheid der warmtebeweging voorstelt, en nemen wij in aanmerking, dat: ‘Imu xth = 0. 2 u Xih ƒ (a;) d.v = 0 2 mu* -|- Om — x^) ii^ J'f{x) dx = 0 dan neemt vergelijking (18) den volgenden vorm aan : ^ m x'th + ^ a? X-|- O — .r,) x^th /(^) da; = 0 Splitsen wij nn nog X in en X,, waarin Xj betrekking heeft op de onderlinge krachten der moleculen in het beschouwde volume en X, op de krachten door buiten het volume liggende lichamen uitgeoefend op de erin bevatte moleculen. Wij zullen alleen krachten X, hebben in aanmerking te nemen, die in de vlakken x^=c en x^ — c aangrijpen; de andere zullen gemiddeld nul opleveren. Verder zullen wij mogen stellen : (.S" + m O J vih^ f{x) dx — pxx O voorstelt de som van alle krachten (19) waarin voorstelt de som van alle krachten X,, die in het vlak a-j = c aangrijpen en op de bekende wijze een element van den spanningstensor. Immers het linker lid van (19) geeft aan de totale verandering van hoeveelheid van beweging, die, zoowel tengevolge van transport door de moleculen bij hun thermische beweging, als tengevolge van krachten, door hetgeen links van het vlak a, = c ligt in de stof, die rechts van dat vlak ligt, wordt veroorzaakt. Daar — a,) = Y vinden wij : Pxx V=^mx'-\-Xi^^\ of wanneer het aanduidt over Pxx — teeken in alle moleculen Rt — x:' X (20) de laatste vergelijking een sommatie in een c.c.M. § 7. De spanningstensor in een stroomende vloeistof. Gaan wij thans Pil berekenen volgens vergelijking (20) dan vinden wij UT rr dep i§-è^r vil Ri r r dep dto, . . . (21) 1357 waarin do)^ en dta^ twee ruimte-elementen zijn, wier afstand door rjj wordt voorgesteld en waarin de dichtheid der moleculen respec- tievelijk n, en bedraagt. Wij kunnen nu stellen = n + A, + tü,(n-l- Aj) n, = n -f A, + ?ü,(n + A,). n stelt hierin de gemiddelde dichtheid voor, A de afwijking, zooals wij die ook zonder stroom zouden kunnen verwachten, terwijl in Vi) volgens § 4 de afwijking van de gemiddelde dichtheid voorstelt, die door den stroom wordt teweeggebracht. Hierbij zijn termen, die zouden bevatten, verwaarloosd. In het product n, zal de term {n -j- A,) {n + Aj dezelfde waarde op- leveren voor alle coördinaatrichtingen. Deze term zou ook voorkomen, als er geen stroom was, en de integraal ervan in vergelijking (21) a zal den term — van den hydrostatischen druk volgens de toestands- r’ vergelijking opleveren. Merken wij nog op, dat «Aj = 0 en nA, = 0, dan kan (21) als volgt geschreven worden ; PU — P ~ — ff ~ + n^w^n^w^)dm^ dw^ (21a) JJ Orj, r-j, Den derden term zullen wij verwaarloozen, terwijl de en 2'^^® gemiddeld gelijk zullen zijn, zoodat wij twee keer den 1®^*^" zullen mogen nemen. Wij zullen er de waarde voor lo^ in substitueeren, die wij in vergelijking (17) gevonden hebben, waarin wij, daar, wanneer A' overal nul is, ook = 0 wordt, n' door A' mogen vervangen. Zoo vinden wij ; dr' r' 1 r, dr,„ r,. dio'dvi rftOjdo), (21&) en op dezelfde wijze V' 3jr a PU~P = - dl kT, ISIS- A„A' arp(g-^r-(g-g> Ör' r' 1 óy(g,-C,)= r, dr,„ r,. dui'dui doj.d(o„. Het zal bezwaarlijk gaan de waarde dezer uitdrukkingen nauw- keurig te berekenen. Ik zal mij ertoe bepalen een ruwe taxatie te geven van de orde van grootte en aan te toonen, dat pn — en P?ï — P gelijk® doch tegengestelde waarde verkrijgen, wat, in ver- 1358 band met de eigenschappen van den spanningstensor ook het geval moest zijn. Indien voor twee verschillende ruimte-elementen de waarden voor A steeds onafliankelijk van elkander waren, zou A^A' = 0, behalve als wij het element do) met du)^ laten samenvallen. Lieten wij dan de grootte van du)^ tot nul naderen, dan zou het rechterlid van (21è) nul worden. De A’s voor verschillende ruimte-elementen zijn echter niet onafhankelijk, maar wanneer A, b.v. positief is, zullen de A’s in de naastbijgelegen elementen waarschijnlijk ook positief zyn, zoodat het product A, A'c/to, c/(ü' niet alleen voor d(a' = du)^ maar voor een eindig gebied rondom c?u>, gemiddeld positief is. Ik zal in dit gebied aan A' niet alleen hetzelfde teeken, maar ook dezelfde waarde als aan A, toeschrijven en aannemen, dat de grootte ervan met de attractiespheer van een molecuul overeenkomt. ') Verder zal ik aannemen, dat wij een voldoende benadering voor — p krijgen, wanneer wij aan de waarde n toekennen en dan voor ^ duj', waarbij wij de integratie over het zooeven bedoelde gebied uitstrekken, v schrijven, r stelt dan het gemiddelde aantal moleculen in een attractiespheer voor. Bij de kritische dichtheid zou ik geneigd zijn aan r een waarde tusschen 5 en 25 toe te schrijven, hoewel over dit getal niet veel met zekerheid is te zeggen. Hierdoor gaat (216) over in: ^ - ff Cl '■ ^ cd kTjJj ’ dr. - ~ — d(D do),dv)^ (21c) r, Om het teeken van deze uitdrukking na te gaan brengen wij den oorsprong naar het punt over en gaan eerst het teeken na der grootheid = Q. De lijnen, die de hoeken tusschen de verplaatste § en ? assen middendoordeelen, verdeelen het vlak in vier quadranten ; twee daarvan bevatten de §-as en twee de S-as. In de twee quadranten, die de §-as bevatten, zal (Q > 0 i]i de andere Q < 0 zijn. Gaan wij vervolgens het teeken na van j' Q ~ dio = I dan zal dit teeken van de ligging van het punt b Niet onwaarschijnlijk is het grooter; maar daar elementen dw' en c^wo, die veel grootere afstanden krijgen, toch niet merkbare bijdragen tot de waarde van het rechterlid van (216) leveren, is de beperking tot deze grootte misschien ge- rechtvaardigd. 1359 ïjj Cj afhangen. Ligt dit pnnt in de quadranten waar dan zal ook 7^0 en omgekeerd. Vormen wij nu ten slotte 1/3 rttOj en integreeren wij eerst .langs een c*irkel = J orjj ï’j, constant dan zullen de positieve waarden van / met grootere waar- den van ('$2 — vermenigvuldigd worden dan de negatieve waarden, zoodat het positieve teeken i-esulteert. Hadden wij — p berekend, dan hadden wij met (?, — vermenigvuldigd, zoodat dan de nega- tieve waarden van 1 met een grooteren factor waren vermenig- vuldigd en het negatieve teeken geresulteerd was. Om tenslotte tot een taxatie van de orde van grootte van {p^^ — p) te geraken merken wij op dat : ’d«' a (22) ƒ waarin a de bekende grootheid a van de toestandsvergelijking en N het aantal moleculen per moleculaire hoeveelheid voorstelt. 1 Verder nemen wij aan, dat in den factor — voor 7\ de straal van de attractiespheer der moleculen (q) mag geschreven worden, en dat de invloed van de factoren (ê-i, )■-(?-?,)■ daarin zal bestaan, dat de waarde, die wij met weglating dier factoren zouden krijgen, met een matig getal fi, kleiner dan 1, vermenigvuldigd wordt. Zoo vinden wij, als wij nog opmerken, dat JSf/cT = RT'-. a\/^ — (a)’ 1 Pi?-p- — .... (2L/) cd RT Hadden wij p berekend, dan hadden wij in het viriaal der attraktiekrachten ook een term met gevonden. Noemen wij dien p' dan is: zoodat : PÏK—P a a ?>7T a 1 -rp = ± 10-11. N Q p' 3a I R2' Daar het slechts om een ruwe taxatie te doen is, is hierin genomen : a = 1 en « = 3.104 1= 10-7 0 = 5.10-8 vp = l 1360 6.10’» Nemen wij voor pk — 70 atm. bij CO, en i] = 0,000678, dan vinden wij : — = ± 10-11 P A’ a 1 a Nu is i)]c = rond en »' = — — , wanneer dus bij het j 8 I’ifc" n n' kritisch punt de middelbare A wat kleiner, maar van dezelfde orde ; van grootte wordt, als n dan zal — p voor een snelheidsverval j a = 1 van dezelfde orde als t] worden en dus zeker in aanmerking moeten worden genomen. Op grond hiervan zou men moeten ver- | wachten, dat men bij de kritische dichtheid een abnormaal groote j waarde van p zou vinden, wanneer men bij 7^ de waarde p als j functie der dichtheid naging. Warburg en Von Babo hebben p \ voor COj bepaald bij 32,6° bij verschillende dichtheden, p neemt met de | dichtheid toe. Eenige onregelmatige stijging bij de kritische dichtheid ! blijkt niet uit hun waarnemingen. Interressant zou het zijn, wanneer | dergelijke waarnemingen voor een temperatuur dichter bij Tk kon- | den gedaan worden. j 1) Wiedemann’s Annalen. XVII p. 390. Anno 1882. Natuurkunde. — • De Heer P. Zeeman biedt mede namens Mej. A. Snethlage een mededeeling aan over: ,, Proeven over de voortplanting van het licht in bewegende, doorschijnende vaste stoffen” . (Deze mededeeling zal in het volgende Zittingsverslag worden opgenomen). De Voorzitter deelt mede dat met het oog op het Natuur- en Geneeskundig Congres, dat van 24 — 26 April a.s. te Leiden zal bijeenkomen, de algenieene vergadering der Akademie vastgesteld is op Woensdag 23 April a.s. en stelt voor de gewone vergadering der Afdeeling voor de maand April te houden op Zaterdag 3 Mei a.s. Aldus wordt besloten. De vergaderir.g wordt gesloten. 27 Augustus 1919. KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN TE AMSTERDAM. VERSLAG VAN DE GEWONE VERGADERING DER WIS- EN NATUURKUNDIGE AFDEELING VAN ZATERDAG 3 MEI 1919. Deel XXVII. N“. 10. Voorzitter: de Heer H. A. Lorentz. Secretaris: de Heer P. Zeeman. INHOUD. Ingekonien stukken, p. 1362. Hulde aan den Heer D. |. KORTEWEG bij zijn aftreden als bestuurslid, p. 1362. L. E. J. BROUWER: „Opsomming der periodieke transformaties van den torus”, p. 1363. J. F. VAN BemmeleN: „De onderlinge verhouding der soorten van het geslacht Saturnia, beoordeeld naar de kleurenteekening harer vleugels", p. 1368. (Met één plaat). FRED. SCHUH: „Algemeene definitie van limiet met toepassing op limietstellingen”. (Aangeboden door de Heeren J. Cardinaal en W. KAPTEYN), p. 1378. Fred. SCHUH: „Algemeene definitie van gelijkmatige convergentie met toepassing op verwissel- baarheid van limietovergangen”. (Aangeboden door de Heeren J. Cardinaal en W. KAPTEYNi, p. 1380. H. B. A. Bockwinkel: „Opmerkingen over de ontwikkeling van een funksie in een fakulteitsreeks”. III. (Aangeboden door de Heeren H. A. Lorentz en J. C. Kluyveri, p. 1383. H. B. A. BOCKWINKEL: „Over de noodzakelike en voldoende voorwaarde voor de ontwikkeling van een funksie in een Binomiaalkoëffisientenreeks”. (Aangeboden door de Heeren H. A. LORENTZ en J. C. KluyveR), p. 1395. H. P. Barendrecht: „Urease en de stralingstheorie van enzym werking”. IH. (Aangeboden door de Heeren J. BöESEKEN en J. P. Kueneni, p. 1406. A. W. K. DE JONG: „De truxillzuren”. (Aangeboden door den Heer P. van Romburgh), p. 1424. H. L, VAN DE Sande Bakhuyzen : „Fotogroeireactie en lichtsteniming bij Avena sativa”. (Aange- boden door de Heeren F. A. F. C. WENT en J. W. Moll), p. 1427. P. H. VAN ClTTERT: „De opbouw der zonnestraling”. (Aangeboden door de Heeren W. H. JULIUS en H. HAGA), p. 1444. P. ZEEMAN: „De voortplanting van het licht in bewegende, doorschijnende vaste stoffen. I. Toestel voor de waarneming van het FlZEAU-effect in vaste stoffen”, p. 1453. (Met één plaat). P. ZEEMAN en Mej. Dr. A. SnethlagE: „De voortplanting van het licht in bewegende, doorschijnende, vaste stoffen. H. Metingen over het FlZEAU-effect in kwarts", p. 1462. A. SMITS: „Metalen en Niet-metalen”. (Aangeboden door de Heeren P. ZEEMAN en S. HOOGEWERFF), p. 1470. L. S. ORNSTElN en F. Zernike; „De hystercsis-kromme voor kristal-aggregaten”. (Aangeboden door de Heeren H. A. Lorentz en W. H. JULIUS), p. 1477. j. A. SCHOUTEN: „Over reeksontwikkelingen van algebraïsche vormen met verschillende rijen van variabelen van verschillenden graad”. (Aangeboden door de Heeren J. Cardinaal en H. A. Lorentz), p. I48l. H. J. PRINS: „Over de condensatie van formaldehyde met eenige onverzadigde verbindingen”. (Aangeboden door de Heeren J. Böeseken en A. F. HollemaN), p. 1496. Q. NORDSTROM: „Opmerking over het niet-uitstralen van een kwanteus bewegende elektrische lading”. (Aangeboden door de Heeren H. A. KAMERLINGH Onnes en H. A. LORENTZ), p. 1502. ERNST COHEN en G. HetterschY: „Toetsing der wet van BRAUN langs electrischen weg”, p. 1502. 88 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. A». 1918/19. 1862 P. VAN Romburgh : „De Onverzadigde alkohol uit de aetherische olie van versch gefermenteerde theeblaren”, p. 1502. Ernst COHEN en A. L. Th. MoesvelD: „De invloed van druk op de oplosbaarheid van stoffen”. V, p. 1502. P. Ehrenfest: „Opmerkingen omtrent de electronen-theorie der metalen”. (Aangeboden door de Heeren J. P. Kuenen en H. Haoa), p. 1502. L. S. OrnsteiN: „Over de verbreeding der spectraallijnen". (Aangeboden door de Heeren H. A. LORENTZ en W. H. JULIUS), p. 1502. Aanbieding van een boekgeschenk,- p. 1502. Het Pfoces-verbaal der vorige vergadering wordt gelezen en goed- gekeurd. Ingekomen zijn : • 1". Bericht van den Heer H. Kamkht.inoh Onnks, dat hij ver- hinderd is de vergadering bij te wonen. 2". Een, met verzoek om berielit en raad, door Zijne Exe. den Minister van Onderwijs, Kunsten en Wetenschappen, bij renvooi van 2 April 1919 N". 1102 Afd. K. W. aan de Afdeel ing gezonden missive van Zijne Exe. den Minister van Biiitenlandsche Zaken, i waarbij deze doet toekomen een schrijven van het ,,Ramsaj Memorial Comitlee” dd. 30 Januari 1919 met daarbij gevoegd memorandum, den Minister overlegd door Harer Majesteits Gezant te Londen en waaromtrent gaarne vernomen zal worden welk antwoord er op te geven zal zijn. De Voorzitter stelt de stukken in handen der leden-cheraici, de Heeren F. van Hombuhgh, E. M. Jakgrh, J. Böeseken, Ernst Cohbn, en E. A. H. Sohrkinkmakers met verzoek om prae-advies, uit te brengen in de volgende vergadering, welke opdracht door de aan- wezige leden wordt aanvaard. Aan den Heer Schreinemakers, niet ter vergadering tegenwoordig, zal het verzoek sehriftelijk worden overgebracht. 3". Eene missive van Zijne Exe. den Minister van Onderwijs, | Kunsten en Wetenschappen dd. 29 April 1919 n°. 1674, Afd. K. W. met bericht dat H. M. de Koningin bekrachtigd heeft de be- noeming van den Heer H. A. Lorentz tot Voorzitter en van den Heer A. E. Hoeleman tot Onder- Voorzitter der Afdeel ing. j Aangenomen voor kennisgeving. | De Voorzittei- brengt naar aanleiding van hel aftreden van den | Heer D. J. Kortewf.g als Onder-Voorzitter een woord van hulde aan i den aftredende. In hem verliest de Afdeeling een bestuurslid, dat j steeds de warmste belangstelling in het werk der Afdeeling toonde, ; voor wien moeite en arbeid nooit te veel zijn geweest en wiens j helder en overwogen oordeel altijd zeer op prijs werd gesteld. Door | applaus geeft de vergadering instemming met het gesprokene. i I Wiskunde. — De Heer Brouwkr biedt een inededeelmg aan : ,, Opsomming der periodieke transformaties van den torus”. § 1. Transformaties met invariante indicatrix en aiva riante cgclose. We znllen zeggen, dat een transfortnatie de cgclose invariant laat, [ wanneei- zij iederen cgkel (d. w. z. iedere niet sainenirekbare enkel- voudige gesloten kromme), ook mat den zin betreft, aeqnivalent tram- \ formeert. Een /?-|)eriodieke transformatie t met invariante indieati-ix j en invariante cjclose van den torus R kan dan geen punt invariant ! laten '), zoodat baar modnnioppervlak op grond \an de formnie j van Hurwitz ’) een torus 7’ moet zijn. De beide oppervlakken /f en T j bezitten een gemeenscliappelijk enkelvoudig samenhangend ovei'ge- j wikkeld oppervlak S. Dit op[)ervlak S kan o[) zoodanige wijze I topologisch (d. w. z. eeneendnidig en continu) worden afgedeeld op i een Cartesisch vlak C, dat op 6' de translatie ir) ix' =2 x -j- a {a geheel) i .v' = y beantwoordt aan t, en de translatiegroep, voortgebracht door de translaties (;c' = a; + 1 ix' 2= X \i/=y "" \y' = y + ^ aan de transformatiegroep van S, die alle punten van T invariant laat. Nu correspondeeren twee punten /\ en van C dan en slechts dan met hetzelfde punt van 7’, als ze hetzij met hetzelfde punt van R correspondeeren, hetzij P, door een macht der trans- latie T wordt overgevoerd in een pnnt Pj, dat met hetzelfde punt van R correspondeert als P,. Hiei-nit \olgt ten eerste, dat een trans- latie van C van den vorm ix' = x + b (b geheel) \y' — y f 1 kan worden aangegeven, die alle punten van R invariant laat, tweede, dat, als n de minimale waarde is, waaiwoor de tianslatie van C h Deze Verslagen XXVII, p. 609—612. 2) Ibid., p. 1201. 2) Math. Annalen 41, p. 404. 88* 1384 x' -j- « y = y alle pmiteii van R invariant laat, a en n onderling ondeelbaar zijn. Derhalve wordt \'oor een passend systeem van ringlioekcoördinaten op li de transformatie t voorgesteld door de formules: iff = 4- [a en n onderling ondeelbare geheele getallen). ^ 2. Transformaties met invariante indicatrix en variabele cyclose. Zij t de bescdionwde ??--periodieke ti-ansformatie van den torus R, t' een met t corres|iondeerende transfoimiatie van het enkelvoudig samenhangende overgewikkelde 0[)pervlak S van R. Door een pas- sende afbeelding van S op een Carlesisch vlak C gaat t' over in een transformatie t" van 6', die van een periodieke, homogene line- aire transformatie mei geheele coëfficiënten en een determinant 1 slechts begrensde afwijkingen vei'toont, dus zich, evenals de laatste transformatie, periodiek, eeneendnidig en continu over den oneindig veri-en cirkel van C laat uitbreiden, waarbij op dezen cirkel de omloopszin invariant is, dus geen invariant punt optreedt, zoodat f in het eindige van C, dus ook t op R een invariant punt bezitten moet. Daar derhalve hel modnuloppervlak van t door R nietoxwQv- takt wordt overdekt, is dit modnuloppervlak op grond van de boven geciteerde formule van Hurwitz een bol B, waarovei' R als een i-egel matig Rieraannsch oppervlak van het geslacht één, ?i-bladig en met een ?/-bladig vertakkingspnnt in het zooeven aangetoonde voor t invariante punt ligt nitgebreid, zoodat slechts \ier gevallen moge- lijk zijn '): 1. n = 2 ; R bedekt B met viei- tweebladige vei'lakkingspnnten. II. n = 6; R bedekt B met een tweebladig, een driebladig en een zesbladig vertakkingspunt. III. ?i = 4 ; R bedekt B met twee vierbladige en een tweebladig vertakkingspunt. IV. n = 3 ■, R bedekt B met drie dilebladige vertakkingspunten. In elk dezer vier gevallen is dooi' de aangegeven structuur van het Rieniannsche oppervlak de transformatie t volledig gekarakteriseerd. ^ 3. Jnvolntorische transforniaties met omkeerende indicatrix. Zij y de verzameling der voor de beschouwde transformatie ^ van h Appell el Goursat, Théorie des fonctions algébriques. Paris, Gauthier-Villars, 1895, p. 241. 1 865 j den torus R iiivariaiito punten, dan zijn drie gevallen te oiidersclieiden : { <(. De complemeiitairverzameling van / in R he.staat uit meet' dan één gebied. Daar geen dezer gebieden door t in zielizelf met invariante randpunten kan worden getransformeerd, worden ze door t twee aan twee verwisseld. Beselionwen we twee zulke door t verwisselde gebieden g^ en ' = xp + (p. 7. De verzamelitug / valt weg. In dit geval bezit t een eenzijdig, gesloten moduulop|)er\'lak M. Zij k een cykel van A/, h zijn beeld op R, dan correspondeert met een omloop van h hetzij een dubbele, hetzij een enkele omloop van k. In het eerste geval is k eenzijdig, in het tweede geval tweezijdig. Indien M geen twee elkaar niet snijdende eenzijdige cykels bezat, zouden, als we het beeld op R van een willekeurig gekozen eenzijdigen cykel van M door .s’ voor- stellen, twee voor t aeqnivalente punten van R niet zonder snijding b Math. Annalen 71, p. 321. *) Ibid. 80, p. 36-41. 1366 van 5 verbonden kunnen vs'orden, zoodat R door s in twee voor i aeqnivalente, dus dezelfde topologische structuur bezittende gebieden i zou worden verdeeld, wat ónmogelijk is. We kunnen dus op M 1 twee elkaar niet snijdende eenzijdige cjkels en 7\ kiezen. Daar ; • r, en )\ de resteerende punten van M niet in gescheiden gebieden i verdeelen, verdeelen ook de beelden .y, en op R van 7\ en /•, de resteeiende paren van voor t aeqnivalente punten van R niet in 1 i gescheiden gebieden, m. a. w. .y, en a', verdeelen R in twee voor t | aeqnivalente gebieden, zoodat t voor een passend systeem van ring- I hoekcoördinalen wordt voorgesteld door de formules; ! ~—(p i|>' = lp + Ji. ^ 4. N iet-invohUoriscke transformaties met omkeereiide indicatrix. Zij t de beschouwde 2/i-periodieke transformatie van den torus R. Daar voor n j> J geen 2/i-|)eriodieke, homogene lineaire transformatie in twee variabelen met geheele coëfficiënten en een determinant — 1 i bestaat, laat d de cyclose van R invariant, bezit dus als moduul- oppervlak een torus T, waarop t als een involutorische transformatie q met omkeerende indicatrix wordt afgebeeld. Voeren we op T de volgens ^ 3 bij q behoorende ringhoekcoördinaten (p en i(> in, beschouwen we twee door de vergelijkingen (p = a en (p = — a bepaalde cjkels i\ en van T, en stellen we de beeldcykels van ?•„ op R voor door ,.y,,, ,.y, Daar alle cjkels ^^.y,. voor t aequivalent zijn en hnn cjklische volgorde door Mvordt omgekeerd, i kan hun aantal slechts ttree bedragen, zoodat m = 1 moet zijn. De 1 transformaliegroep van het enkelvoudig samenhangende overgewik- i kelde oppervlak S van R en T, die alle punten van R invariant | laat, wordt dus voortgebracht door de translaties I (p -rjr rp -j- 2jt if’' = ijy -f 2 A .r. Cp =(p tf/ = 2 71 .T en Kiezen we cp en — hf als nieuwe ringhoekcoördinaten (y.il’j op T, dan worden deze translaties terwijl t^ wordt voorgesteld door formules van den vorm j lp' f ^ (p I ij/ = i|) -j.. k (p d- n, dus t in dezelfde coördinaten door formules van den vorm i:-:g7 d. w. z. in ieder geval door formules van den vorm W = — V j lp' = + A: + gn, eji in correspondeerende ringhoekcoördinaten van H door formules van den vorm Cp' = — (p , k q ip=ip4--^ + -7r, n n k waarin de eenduidigheid van t op R eiseht, dat ~ gelijk is aajt een 11 geheel getal e, dat, door elkaai- afgebeelde getallen verzamelin- gen V en W met bijbehoorende toevoegingswetteii. Deze wetten onderstellen we zoodanig, dat voor ieder positief getal <\ de bijbe- hoorende deelverzamelingen Vs en IF, in de afbeelding van Fop TF met elkaar correspondeeren. We vormen nn een verzameling U door correspondeerende ele- menten van F en TF op te tellen, waarbij ook de toovoegingswer op ü is over te dragen. Heeft nu bij deze toevoegingswetten een limiet L„ en W een limiet L^, dan heeft ook U een limiet, en wel L„ -j- Lw, zooals zonder moeite uit de definitie van limiet is af te leiden. Ook andere bekende eigenschappen betreffende limieten kunnen op deze wijze algemeen geformuleerd worden. 6. We onderstellen nn, dat de elementen der verzameling V reëele getallen zijn, maar laten in het midden of V een limiet bezit. Men kan dan beschouwen de onderste grens van de bovenste grenzen der deelverzamelingen V^. Deze heet de bovenste limiet der getallen- verzameling V ten aanzien van de beschouwde toevoegingswet. De bovenste limiet B is -|- oo, als alle verzamelingen Fj naar boven onbegrend zijn, en oo, als de verzameling van de bovenste grenzen der verzamelingen Vs naar onderen onbegrensd is. Evenzoo wordt de bovenste grens O van de onderste grenzen der verzamelingen Vs de onderste t.imiet van V ten aanzien van de beschouwde toevoegingswet genoemd. Deze onderste limiet kan weer ± 00 zijn. Het blijkt gemakkelijk, dat steeds O^B is. De verzameling V heeft dan en alleen dan een limiet L, als O en B gelijk en eindig zijn; men heeft dan L=0—B. Zijn O Qn B beide -f' spreekt men van een oneigenlijke limiet -j- 00, zijn O en B beide — oo, dan van een oneigenlijke limiet — oo. 89* Wiskunde. — De Heer Cardinaal biedt eene mededeeling aan vaii j den Heer Fred. Schuh : „Algeineene definitie van gelijkmatige \ convergentie met toepassing op vermisselhaarheid van limiet- 1 overgangen.” | (Mede aangeboden door den Heer W. Kapteyn.) ! 1. We denken ons twee verzamelingen V en W met bijbehoorende toevoegingswetten (zie mijn opstel ,, Algenieene definitie van limiet,” blz. J378). Hierdoor Avordt aan ieder positief getal rf een deel Dj van V en een deel IFj van W toegevoegd zoodanig, dat Fj en IFj minstens één element bevatten en Vs' een deel is van Vs en IFj' een deel van Ws voor V s. 1882 E een element vati Hs^ is, dus bij een element van Vs^ behoort. ' Verder kan men d, zoo bepalen, dat ' La — Z/l ie is, als G bij een element van Vo\ behoort. Door de verzameling G bij een ge- meenschappelijk element van Tö'j en Vo^ te laten behooren, vindt men \ - L\ ie voor iedere verzameling H, die bij oen element van behoort. 6. Ten slotte bewijzen we, dat de yetallenverzameling K {ten annzien van de bij V W behoorende toevoegingsivet) eveneens hei getal L tot limiet heeft. Men heeft: \E-L\<\E~Lq< 4- \Lg-ia, waarin E een element van fr is. Wegens de gelijkmatige convergentie kan men ö\ zoo bepalen, dat \E — Lg\ van een funksie in een fakidteitreeksO IH. (Mede aangeboden door de Heer Kluyver). JO. We willen deze derde mededeling beginnen met definitief te bewijzen dat het teorenia vati Niei.sen onjuist is. Daartoe tonen we eerst de volgende hulpstelling aan: Als de reeks On divergeert, zodanig dat de bovenste limiet van o de grootheid S„ 1= ^ m 0.,ii . (35) 0 voor n = ao equivalent is met waarin 6 zeker pozitief getal is, dan konvergeert of divergeert de reeks. (86) o al naarmate men heeft af>0 of a 6 is, volgens de onderstelling, de limiet van de groot- heid gelijk aan nul voor n = (X>. Verder is de bovenste limiet van de algemene teim van de reeks in het recditerlid voor m = oo equivalent met j als d' zeker pozitief getal is; hieruit volgt dat die reeks konvergeert voor n = oo. Dus konvergeert ook de reeks in het linkerlid voor n = cc. Eveneens vindt men, als men stelt (36') 1384 door partiele sommatie N»i a„, — m=' — =: Sy, „ — \ m [(m -(- 1)°'' — . (38) 0 0 o Uit deze gelijklieid volgt dat voor a <^6 de bovenste limiet voor n = 00 van Sy^n oneindig groot is, en wel zo dat die minstens equivalent is met Was dit niet zo, en was eindig of zijn bovenste limiet voor n — x equivalent met een kleinere pozitieve macht van n, zeg dan zon de eerste terra van het rechterlid van de orde zijn, terwijl de termen van de reeks in dat lid van de orde hun som dns insgelijks hoogstens van de orde n®-® zon zijn. Dit is in strijd met de aanvankelike ondei'Stelling dat het linkerlid van de gelijkheid van de orde n® is. De stelling is hiermee bewezen. Een gevolg dat vei'melding ver- dient is dat de reeks (36) vooi' h <^6 zodanig divergeert dat de bovenste limiet van de som (36') voor 7i = cc presies equivalent is met n®-* (in het tweede deel van ons bewijs vonden we dat hij er niinsteiis equivalent mee was). Immers, was die limiet equivalent met een hogere macht van ii, zeg yi®”='+'’, dan zou de grens van kon vergentie en divergentie van de reeks o o volgens de zo juist bewezen stelling geleverd worden door /? = (9 -j- d, en niet door /> = (9. Men kan ditzelfde gevolg trouwens ook afleiden dooi’ op te merken dat uit de gelijkheid (37) volgt dat voor a <^6 het linkerlid hoogstens: equivalent is met Dezelfde hulpstelling als boven bewezen is geldt voor de fakul- teitreeks o n ! Uil r{(t -f n p-l) (39) zoals men op volkomen analoge manier bewijzen kan. Beide stel- lingen \loeien trouwens uit elkaar voort, omdat de reeksen (38) en (39) tegelijkertijd konvergeren en di\ ergeren, tenminste zolang yt niet juist de grenswaarde & tussen kon vergentie en divergentie heeft. il. We konstrueren nu een rij van koeffisienten . . . Um (40) waarvan de bovenste limiet voor 'ii = cc equivalent is met n", terwijl de bovenste limiet van de som (35) equivalent is met w®, waarin 6 1385 nn een pozitief getal kleiner dan 1 voorslelt. Het is jiiet moeilik dit op allerlei wijzen te doen ; we zullen er evenwel bovendien voor trachten te zorgen dat ook de tweede sonireeks minder dan één orde hoger wordt dan de voorgaande, minder dns dan de orde We doen dat op de volgende manier. Uitgaande van zekere waarde n = p van n, waarvooi’ we aanneinen met deze notatie hetzelfde bedoelende als kj{p^), dat is het grootste gehele getal dat in p^ bevat is, laten we nu de sommen naar rechts zo schielik mogelik afnemen door de eerstvolgende koëfïisienten alle gelijk aan — 1 te kiezen. Als we zo // termen in de rij verder zijn, is Sn gelijk aan nnl geworden. Graan we nog termen verder, dan is Sn gelijk aan — het rangnummer n is dan gelijk aan p-\-1p'^. Het kan zijn dat hiervoor n® nog gelijk i.s aan In dat geval kunnen we zeggen dat we met weer de benodigde bovenste grenswaarde bereikt hebben en nemen we nu de eerstvolgende koeffisienten alle gelijk aan -j- J aan. Is echter u® \'oor n — />-}- 2/)® grooter dan p® dan gaan we door met de a’s gelijk aan — 1 te nemen, net zo lang totdat .s‘„ zoveel afgenomen is dat weer gelijk is nan n®. Een dergelijke a-waarde moet bereikt worden, als O want op de duur zou, als men maar steeds a.„ = — 1 nam, .s‘„ van de orde n worden. Ook nu nemen we, als de bedoelde n.-waarde bereikt is, daarna de eerstvolgende koeffisienten a„ gelijk aan -|- 1 en gaan daarmee door totdat Sn opnieuw gelijk aan ?i® geworden is, enz. De bovenste limiet \ oor n = oo van de sommen ,?,i is dan equivalent met a® en die van de koeffisienten a„ met Bewaarden van n waarvoor gelijk wordt aan id noemen we kritiese waarden en duiden we aan door de notatie Als we een bepaalde waarde n = p als kritiese waarde willekeurig aanneinen, dan zijn daardoor zoals uit de beschouwing van zo even volgt, alle volgende kritiese waarden bepaald. We zouden dezelfde konstriiksie ook naar de kant van (ie kleinere n- waarden kunnen voortzetten, maar dit is onver- schillig, aangezien het op het azimptotiese gedrag van de betreffende grootheden aankomt. De grafiese voorstelling van de koeffisient a„, H We kunnen schrijven (p + 2p®)® = p®-l-2i5p26i^i waarin lime = 0. /)=oo Hieruit volgt dat voor ö < 1, en grote p, (p® + 2p®i in 't algemeen gelijk is E(p% 138fi beschouwd als funksie van n, bestaat uit een aantal lijnsegmenten evenwijdig de horizontale as, afwisselend daarboven en daarbeneden, op de afstand 1 ; de wisselingen hebben plaats in de kritiese punten De grafiese voorstelling van de sommen bestaat in aaneen- JT 7Ï sluitende lijnsegmenten die afwisselend hoeken van -] en met de »-as maken; en de afwisseling vindt weer in de kritiese punten plaats, waar de toppen van de lijnsegmenten op een afstand kleiner dan de eenheid binnen d« paraboolaehtige kromme y = -h n'^ liggen. We zullen nu echter aantonen dat de bovenste limiet voor /2= oo van de tweede sommen (41) equivalent is met De sommeji nk rik + 7^^ ^ en SI nk—nj nTv\ zijn rekenkundige reeksen, die uit louter termen van gelijk teken bestaan ; hun gezamenlike waarde is, zoals men gemakkelijk verifieert, juist gelijk aan ± (wp^ Men krijgt zo, afgezien van een konstante. waarvan de waarde er, voor het azimptoties gedrag van deze sommen, niet toe doet. - (n,ö)> + . . . ± o Daar de termen van deze som in absolute waarde hetzij toenemen, hetzij over enige rangnummers konstant blijven, is de som zelf in absolute waarde kleiner dan de laatste plus de eerste term. Men heeft dus i>™ , ,i<(«4V+(M,T<(»C)'(l+e) 1 nk + r^\ — waarbij e een pozitief bedrag is met nul tot limiet voor k = cc. Verder is voor een waarde van n gelegen in het interval tussen nk ~ Uk-i en iik de waarde van gelegen tu.'i- sen de beide waarden die voor deze uitersten gelden, omdat tussen deze twee hetzelfde teken houdt en ^us /no/mtoon verandert. Men heeft dus ook voor alle n-waarden van het genoemde interval (!+«)• Voor het deel van de ?j-waarden groter dan geldt dus a /brtïon < n29 (1 -f e) (42) 138' Voor het andere deel heeft rneii n > Uk — >u‘'. Nii is {nk — nj^ + (i ; waarbij weer 6 willekeurig klein is bij genoegzaam grote k. Dus is ook voor de laatstbedoelde w-waarden :4f’l < nk^o (1 + _ ,y)29 (1 |_ „29 (1 + . (42') De ongelijkheden (42) tonen aan dat de bovenste limiet vati voor 7? = 00 inderdaad hoogstens equivalent is met 772^. Aan de andere kant is het geraakkelik in te zien dat presies de macht van n is waarmee de bovenste limiet van 5(2) \'oor n = 00 equivalent is, maar dit laatste is voor ons doel van geen belang. Konstrueien we nu een funksie 7 (t) met behulp van de aldus bepaalde koeffisienti'eeks (40) o Hiervoor kunnen we ook schrijven f/i (O “ (1 — t) \n s„ t' z= (1 — <)’ • • (43) O O Het laatste lid van deze gelijkheid toont aan van welke orde van grootte

^<(l, is echter in beide gevallen <<9. Uit de in liet vorige nummer bewezen hulpstelling volgt nu, daal- de bovenste limiet van Sn voor n = co equivalent is met 77®, de divergentie van de fakulteitreeks 1388 rix + n + 1) n ! a,. (6) o voor R{.v) O. Dus is het hier niet waar dat deze reeks konvergeert voor R{x)^ l' {■=()) en R{.c)^l, laat staan dat zekere integraal van de vorm (1) voor al zulke waarden van iv in die reeks ontioikkeld kan ivorden. Het teorema van Nielsen is dus onjuist. J2. We maken van de gelegenheid gebruik om op te merken dat met behulp van de stelling van N“. 10 uit het eerste deel van formule (43) \'alt af te leiden dat nooit konvergentie van de fakul- leitreeks (6) plaats \'indt voor R{x) een waarheid die we in N". 9 van de vorige mededeling al langs andere weg hebben aangetoond. Immers, is de bovenste limiet van .y» voor n = oo equivalent met )d, dan is de fnnksie, voorgesteld door de reeks o voor t—i hoogstens van de orde 1/(J — 1)^+^, en dus y {^) hoogstens van de orde 1/(1 — tf, zodat het getal ?. niet groter is dan (9, terwijl de grens van konvergentie en divergentie van de fakulteilreeks (6) volgens de bedoelde hulpstelling door R{x) = O wordt geleverd. 13. Aan het slot van de eerste mededeling zeiden we dat, als zekere, daar vermelde en door Nielsen gebezigde redenering niet onjuist was, door die redenering nog een zeer algemeen geval van ontwikkelbaarheid van de integraal (1) (7) in een fakulteilreeks bewezen zou zijn, id. altijd dan, wanneer de met die integraal korresponderende fakulteitreeks konvergeert. We willen nu aantonen dat dit geval, hoewel dus door Nielsen niet bewezen, inderdaad juist is. Daarloe hebben we nog een paar hulp- stellingen nodig. 1. Konvergeert de fakulteitreeks (6) voor zekere waarde w = c, dan konvergeert hij voor iedere ivaarde van .r met een reeel deel R{x) groter dan dat van c. Stellen we — r(c + mH--l) (44) 1889 dan vinden we door partiele sommatie I I 23 m / r(^ + 1) ^ r{c i r(c m 1) “-Tï)' + «i-H) 1 ^ + 1) r'ic -j- »l '1" 1) r(;c + / + 1) r(.v f 7n f 2) n Wegens de onderstelde eindigheid van .v„ <» is, indien R(^v) 3> R(c) de limiet van de eerste term van het tweede lid gelijk aan ni)l,als / onbepaald toeneemt, en konvergeert de reeks in dal lid absoluut. De reeks in het êei’Ste lid konvergeert dus ook en men heeft m! a„ r {,v m l) = (x—c) S , .m D(c + m 4- 1) r(.r 4- m 4-17^ ' (45) De stelling is hiermee bewezen. Er volgt nit dat de grens van het konvergentiegebied en het divergentiegebied van een fakulteitreeks ge- vormd ‘Wordt door een rechte lijn evenwijdig aan de imaginaire as. Uit de gelijkheid (45) volgt tevens onmiddellik deze andere stel- ling: II. In elk eindig deel S van het halfvlak /f(.'r) > /f(c) -f- 5, waarin d een vast maar ivillekeurig klein reeel en pozitief getal is, konvergeert de fakulteitreeks uniform. Immers, men kan n zo groot kiezen, bij willekeurig klein \oor- geschreven e, dat voor alle m > n I «)i,m D(c 4“ wi -4 1) I ^ e I r{x 4- m +- 2) ' ^ en dus {x — c) Sti.m -j- W 4“ 1) r{x -4 m -f 2) < ^ i i R (x — c) (46) Daar R{x—c)><^ is het rechterlid van deze ongelijkheid vooreen genoegzaam grote waarde van n, die onafhankelik is van de nmarde van X in het gebied S, kleiner dan f. Dit was te bewijzen. Uit de ongelijkheid (46j volgt ook deze stelling: Ila. Tndien de fakulteitreeks (6) konvergeert voor zekere waarde x = c, dan konver- geert hij uniform op de halfrechte die begint bij x c en de richting heeft van het pozitieve deel van de reele as. Hiervoor is nl. R{x — c) = x — c; het rechterlid van (46) gaat dus over in ^), en dit is, onafhankelik van het punt x op de genoemde halfrechte, kleiner dan f. De stelling beantwoordt aan een bekende stelling van Abel over de uniforme konvergentie van een 1390 machtreeks op een straal van zeker pnnt van de konvergentiesirkel, indien die machtreeks in dat punt kon vergeert. Uit stelling II volgt, in verband met het feit dat de termen van de fakulteitreeks (6) kontinue funksies van x zijn, dat die reeks in het gebied S een kontinue funksie van x voorstelt, ook dan als S geheel of gedeeltelik in de strook van eventueel slechts voorwaarde- like konvergentie ligt; mits natuurlik op een van nul verschillende afstand van de linkergrensvertikaal van die strook. We willen nu nog aantonen dat die fakulteitreeks in zo'n gebied ook een analiiiese funksie voorstell. Daartoe zullen we bewijzen, wat voldoende is, dat de reeks gevormd door de differentiaalquotienten naai’ x van de termen van de eerste reeks in hetzelfde gebied als deze konvergeert, en wel eveneens uniform in ieder eindig deeLS als bovenaangegeven. De reeks van de differentiaalquotienten kan worden voofgesteld door — r (x) n r(x + « + 1) [if' (.r f n f 1) - (.Dl . . (47) waarbij, in de notatie van Nielsen ’), tfj(a;) het logaritmiese differen- tiaalquotient van de Gammafunksie voorstelt: d log r(x) r’ (x) (48) dx r (x) Partiele sommatie geeft, als men weer gebruik maakt van de notatie (44) I I (ii;-t-m+ 1) « -t m! /^(c-f-m-f- 1) i)) {x-\-m f 1) > 7 ?n — - ^ r r(A’ -b m + 1) r(c-l-m+l) r(. 1) j r(c 4 I -i-l)t|;(.r + i!-|- 1) r{x^i+\) 1—1 _ V r(c->r m -j- 1 ) r(.r + m+^ [ {x—c)-\\)(x -f w -f 2)- I ], waarbij gebruik is gemaakt van de differentievergelijking waaraan t(j(.r) voldoet : 1 xp (.^’ + 1) — if? (a;) == - - . X Daar q'(.^■) voor .r = co in hoofdzaak gelijk is aan log .v, is, indien H{.r. — c)>(f, de eerste term van het tweede lid gelijk aan nul voor / = GO, terwijl de reeks in dat lid absoluut konvergeert. De reeks in ’t eerste lid konvergeert dus ook en men heeft ^ m! a,n (a’ + m 4 1) {c 4- m 4- l) ^ r(A + m+ 1) “ ..W r(x + m f 2) [ 1 —(x—c) ifj (a 4- m 4- 2)1 . ) Handbuch der Ganimafunktion, p. 15, Leipzig, Teubner. 1891 Uit deze gelijklieid volgt geinakkelik dat er bij iedere e een van X onafhankelik getal N is zodanig dat voor n ^ N, en voor alle X in het gebied S, V i|> (.1; + m 4- 1) n.r + m + 1) < e log Tl (f)i« of ook s, daar loy nln° nul tot limiet heeft voor n = cc. Hiermee is de konvergentie van het eerste deel van de differentiaalqnotienten- reeks (47) bewezen en tevens de uniforme konvergentie in S. Het tweede deel behoeft niet nader onderzocht te worden, want dit vormt een reeks die op de van het rangnummer n onaf hankelike faktor na gelijk is aan de fakulteitreeks zelf. Wegens de in S uniforme konvergentie van de reeks van ditfe- rentiaalqnotienten en de kontinniteit van de afzonderlike termeji van deze reeks, stelt hij in het genoemde gebied het dilferentiaalqnotient voor van de fnnksie die door de fakulteitreeks wordt bepaald. Dit ditferentiaalquotienl is dus in ieder punt van S bepaald, en onaf- hankelik van de richting: de fakulteitreeks stelt dus in S een anali- tiese funksie voor. 14. Om nu het in ’t begin van het voorgaande nummer aangeduide vraagpunt te beslissen, denken we ons vooreerst weei' het gevat dat = 0 is, dus dat de bovenste limiet van a„ voor n = 00 equivalent is met n°; verder dat de grens van konvergentie en divergentie van de fakulteitreeks (6) gegeven wordt door R (x) =z 8, waarbij 6 een pozitief getal kleiner dan 1 is. We hebben nu bewezen dat het getal ). in ieder geval niet groter is dan d. M.a.w. men heeft lim (1 — ty (p (t) = 0 voor R (.v) f> & . /=! Hieruit volgt dat de integraal (1) absoluut konvergeert voor R{x)f>8. Tevens is die konvergentie uniform in ieder gebied aS dat geheel ligt in het eindige deel van het halfvlak R{x) f> 8 d, waarin d weer een willekeurig klein pozitief getal is. Hetzelfde geldt van de integraal 1 ƒ ü en de grens van konvergentiegebied en di vergen tiegebied van de reeks (6) gegeven door R {x) = a' + 6. dan is weer / < A' zoals insgelijks in de vorige mededeling bewezen is, en dan gelden analoge waarheden als zo even met be- trekking tot de integraal (J), die dus ook dan in het voorwaardelik konvergentiegebied A' + (9 < ii! (;r) < A' + 1 van de faknlteitreeks aan deze gelijk is. Is eindelik a' <] 0 en evenzo de grens A' -]- O tussen kon- en di\'ergentiegebied van de reeks, dan bestaat de integraal (1) in ’t algemeen slechts voor ^ 0, maar dan vormt de reeks in de konvergentiestrook a' + (.r) < 0 de analitiese voortzetting van de integraal. Ook kan men zeggen dat dan een zeker restdeel van de reeks (6) in het hele konvergentie- gebied van die reeks door een integraal van de vorm (8) (i) ....... (8) o wordt voorgesteld. Keznrnerende vitiden we dns de stelling; Een fakuleitreeks loaar- van het konvergentiegebied het halfvlak rechts van de lijn R{x) = § is, mordt, als ^ >0, in een eventueel be.üa.' -j- 1 . Verder kan, zoals Hadamard aantoont’), een funksie u> — 1 = 7J in een faknlteif- reeks worden ontwikkeld. Verder kan de integraal. J q, (0 F-l dt 0 c.q. een integraal met qf'^Kt) in ieder geval voor R{x) cu„ in een fakulteitreeks worden ontwikkeld. Dus kan de integraal (1), die de som is van deze twee integralen, of een integraal met (^"{0 in een zodanige reeks worden ontwikkeld voor R {x) O oj „ of R (x) O X, al naarmate het eerste of het tweede getal de grootste waarde heeft. In het eerste geval kon vergeert de reeks voorwaardelik voor a)„ R {x) A' ] , in ’t laatste voor < R (x) < A’ + 1. Iti alle gevallen kunnen we dus deze stelling uitspreken ; Is O) de orde van (p (t) op de hele konvergentiesirkel, dus 7' — lo — 1 q „Essai sur l’étude des fonctions”, Journ. de Malli., 1892, p. 172. 9ü Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A”. 1918 19. j394 de karakteristiek van zijn koeffisienten, en de orde in het punt t =z 1 van die sirkel, dan kan de integraal (1) [resp. de integraal {8)) in een fakulteitreeks worden ontwikkeld voor zodanige waarden van X dat tegelijkertijd aan de heide voorwaarden R (x) j> X en R (x) a>„ voldaan is. We kunnen ecliler niel zeggen dat deze stelling «i ^'on/M'an die van Niki.sp^n, omdat liet niet v^'^aar is dat nooit kon vei-gentie van de fakulteitreeks plaats vindt voor R{x) Beschouw bv. de funksie van Wb'jkrstrass V' (0—1 + ’h t"* -t- O -p -b . Deze heeft de konvergentiesirkel als coupure, en wel omdat feitelik alle boogdelen daarvan gelijkwaardig zijn, zoals blijkt uit de substitutie 2n ih waarin k en h willekeurige gehele getallen zijn. De orde a>„ in het punt t = 1 kan dus geen andere zijn dan die op de hele sirkel- omtrek en deze is gelijk aan 1, omdat de karakteristiek A' van de koeffisienten nul is. De grootheid A is echter eveneens gelijk aan nul en de met (p {t) korresponderende fakulteitreeks konvergeert ook voor R{.x) 0, en is voor al deze waarden van gelijk aan de integraal (!)')• b De konvergentie van de fakulteitr eeks is in dit geval ook in de strook 0 < i^tx) < 1 absoluut, wegens de grote afstand tussen de koeffisienten die van nul verschillen. Als we dus in ’t voorgaande voortdurend gesproken hebben van eventueel voor- waavdelike konvergentie voor i2(a")(.i;) de reeks (2) atleiden. Daarna moet men onderzoeken of de hierdoor voorgestelde fnnksie ^{t) de vereiste eigenschappen heeft : regulier te zijn buiten de sirkel (1,1) en op de omtrek daarvan van eindige orde. Men zal dus de genoemde reeks trachten te transformeren in een andere naar negatieve gehele machten van t — 1 fp d) = V). {t—\)n+r (3) Het verband tussen de koeffisienten van beide reeksen wordt, zoals bekend is, geleverd door de beide vergelijkingen — to (7i 4' 1) C) co (n) + . . . + (_1)« co (1) = A» [co (1)1 4 (4) en co (« + 1) = 4- ^ C, + . . . + c„ . . . . (4') Met behulp van (4) moet men nu nagaan of de reeks (3) buiten de sirkel (1,1) konvergeert, en of verder de karakteristiek 'd van de koeffisienten c„, die bepaald wordt door de gelijkheid d = Hm log I Cn I log n (5) niet pozitief oneindig groot is; het laatste is nl. de voorwaarde er voor dat if{t) op de omtrek van (1,1) van eindige orde is. De relatie (4) is echter tamelik ingewikkeld, zodat het heel lastig, zo niet ondoenlik kan worden, het laatstgenoemde onderzoek uit te voeren. Maar gesteld al dat dit nog gaat, en dat d van -f- oo ver- schilt. Dan moet nog worden nagegaan of de gegeven funksie (x){x) nu werkelik ook de koeffisientfunksie van (f{t) is. Want er zijn talrijke funksies die tot dezelfde voortbrengende funksie (f{t) aanleiding geven, nl. al degene die bevat zijn in de vergelijking £i{x) = oi (cc) + F (x) waarin i'^(a’) een funksie is die voor gehele pozitieve waarden van b Hiermee wordt het n® verschil van ^(x) op de plaats :c = l, bij argument- toename Ax = l, bedoeld. 1897 X nul wordt. Het is dus nodig, de definitie van Fincheklic voor de koeffisientfunksie te raadplegeji, en deze op de verkregen <; [t) toe te passen en te zien of tu (.(•) er weei' uitkornt. Maar ook dit is gernakkeliker gezegd dan gedaan. Als de door (5) bepaalde karak- teristiek kleijier is dan — 1, dan is ip (t) ook op de om trek van de sirkel (1,1) eindig en doorlopend. De koeffisientfunksie wordt dan gedefinieerd door de integraal • <"> n,i, langs de ointrek \’an genoemde sirkel, en in het halfvlak van x rechts van de imaginaire as is deze integraal bij bepaalde afspraken omtrent de waarde van B. K.R. (l i. Men moet dus onderzoeken of hij tevens gelijk is aan co (x). Dit kan wel weer lastig zijn. Maar bepaald moeilik wordt hef, als 1' )> — 1 is, vooral als het \'erschil met ~ \ wat erg groot is. Want de koeffi- sientfunksie van cp {t) wordt in dat geval door middel van een veel- j term, die uit een zeer groot aantal termen bestaat, in verband j gebracht met die van een andere voortbrengende fnnksie, waarvoor I — 1 is. j Men is dus wel gerechtigd tot de vraag, of het mogelik is, een- I voudiger karaktereigenschappen Ie vinden die volcloende zijn voor I de ontwikkeling van een funksie in een B. K. R. Dit is inderdaad I het geval en zelfs kan van de gex onden eigenschappen wel zo onge- j veer gezegd worden dat ze noodzakelik zijn '). We kunnen n.l. de ! volgende stelling bewijzen : ; Is een fnnksie co [x) in iiet eindige deel van een halfvlak R (a') > y ’) I (y reëel) regulier, en voldoet hij in dat hele gebied, dns ook in ’t , oneindige, aan de voorwaarde co (x) \ M \ (x bf I (7) b Ter vergelijking merken we op dat voor de onlwikkelbaarheid in fakulteit- reeksen X (.r + 1) . . . {.r -f n) 0 een door Nfelsen opgestelde en door IbNCHERLE vereenvoudigde noodzakelike en voldoende voorwaarde geldt, die vee! overeenkomst heeft met degene die Pincherle voor de B. K. R. heeft gegeven. Maar voor fakulteitreeksan lukt het niet, om een- voudige karaktereigenschappen aan te geven, die voldoende en ook noodzakelik zijn, om een funksie er in te kunnen ontwikkelen. De enige eenvoudige voldoende voorwaarde hiervoor is, dat een funksie in het oneindige regulier en gelijk nul is. Maar deze voorwaarde is verre van noodzakelik. b R (x) betekent het reële deel van x. 1398 waarin M een pozitief, I en b reële getallen zijn, het laatste zodanig (lat + y ^ O j, en a een kompleks getal op de omtrek van de sirkel (1,1), veranderlik met het argument if? van x — y, zodanig dat het argument n van a gelijk is — ip en men dus heeft <( = 2 cos lp (8) dan kan to (.c) stellig in het gebied R{x)yi-^ d-h, (^ = reëel>r) .... (9) in de B. K. R. o ontwikkeld ivorden, indien I d — k > 7^ anders in het gebied R {x) > y. De spesiale waaide —ip van liet argument n van a is zó, dat de uitdrukking a^~'^, bij gegeven x — y, een zo groot mogelike modulus heeft, vergeleken met die voor andere a-waarden op de omtrek van de sirkel (1,1). Wanneer de ongelijkheid (7) geldt bij vaste a op deze om trek, dan is ontunkkeling mogelik in hel gebied R{x)j>l-\- ........ (9') indien / + — 1 > y, en anders meer in R (x) > y. De in bovenstaande stelling bevatte voldoende voorwaarde voor de ontwikkeling van een funksie in een B. K. R. schijnt inderdaad zeer eenvoudig. Neemt men een funksie die voorgesteld kan worden door de gelijkheid w (x) = (x -|- b)kc^p{x) ...... (11) waarin c een vast getal is binnen de sirkel (1,1) en p (.■r) een funksie die in R (x) > y binnen eindige grenzen blijft, dan is aan de onge- lijkheid (7) voor een algebrales willekeurig kleine waarde van I voldaan en dus ontwikkeling van m (x) in een B. K. R. mogelik in het gebied R{x)>y- Voor c=i levert (11) een uitdrukking die doet zien, dat alle in R(x)>y reguliere funksies. die in ’t oneindige verdwijnen, in dat gebied in een B. K. R. kunnen worden ontwik- keld; verder alle funksies die voor x = (x> oneindig groot worden van lagere orde dan zekere eindige macht van x, dus ook alle wortel- en logaritme uitdrukkingen. De manier waarop we lot bovengenoemde stelling gekomen zijn is in beginsel analoog met die waarop men in de funksieteorie de ') Dit dient om er voor te zorgen dat {X -|- bp niet eventueel een singulier punt heeft in R(x)y'y. 2) Deze reeks is ter wille van de algemeenheid in plaats van (1) genomen. K^99 oniwikkeling van een fnnksie in een niaclitreeks aileidt ; liij berust op toepassing van de integraalstelling van Cauchy. Volgens deze heeft men (O (;c) 1 l'oj (z) dz 2jiiJ z — SC W (12) waarbij de integraal genomen wordt langs een gesloten kromme W, waarbinnen en waarop tü(.r) regulier is, en die het punt z = x insluit. Wanneer men uit deze integraal een ontwikkeling naar pozitieve gehele machten van x — a wil atleiden, waarin a een getal binnen W is, dan gaat men uit van de bekende ontwikkeling met 1 bekende restterm van in zulk een reeks. Zo bereikt men ook Z X het hier gestelde doel, wanneer men gebruik maakt van de bekende B.K.R. met bekende restterm waaiin men de laatstgenoemde fnnksie kan ontwikkelen, nl. 1 _ ■ • .(.r— — mfl) jx — d) • • • (^ — li— n+1) 2; — X {z—^)...(z — d—ni) {z — d)...{z — l3 — n-|-l) — x o Substitueert men deze uitdrukking in de integraal (12) en laat men de integratieweg, behalve om c = x, ook om de punten c = /?, ^ -j- 1 , . . . ^ 71 — 1, heen lopen,') dan vindt men de uitkomst U — 1 (O (j;) = ^ ^ ^ A’" (O ((?) ~f ^11 • • • . (lil) o met 2zri J (z — /^) . . . {z — — n f 1) z — x ir (13') Formule (13) is de gewone interpolatieformule van Nkwton, met toevoeging van een restterm en geldig voor alle kom plekse .r- waarden die binnen W liggen. Wil men aan de eis voldoen dat alle pnnten z = binnen de integratiekromme TF vallen, dan zal deze in ’t algemeen met toenemende waarden van n gewijzigd moeten worden. Het is nu de vi’aag om IF zo gunstig mogelik te kiezen, d.w.z. zó, dat de ') Sluit men enige punten /?, /? + 1, . . ., uit, dan ki ijgt men een uitkomst waar van de nadere beschouwing tot de zogenaamde ?^^^iontwikkelingen in B. K. R. aan- leiding geeft, die door Pincherle op elementaire wijze in Rendic. d. R. Accad. d. Lincei, 1902, 2^ Sem. behandeld zijn. 1400 i-esttenn (13') bij toenemende n tot nul nadert, maar toch het funksionele ensemble van funksies (o(.v) waarvoor dat nul woi'den plaats vindt, zo uitgebreid mogelik is. Gaat men nu van de onge- lijkheid (7) als norm voor deze funksies uit, waarbij het getal a voorlopig als onbekend beschouwd wordt en het getal y, om een bepaald geval te hebben, gelijk aan nul genomen (zodat d O 0 is), ^ dan vindt men leu slotte na een tamelik uitgebreid maar prinsipieel ! niet moeilik onderzoek: 1°. dat de gunstigste integratieweg een sirkel I is, die door de oorspi'ong gaat en tot middelpunt z = n heeft; 2". dat voor a een kompleks getal genomen kan worden gelegen op de omtrek van de sirkel (1,1), met de biezonderheden over de geldig- heidsgebiedeu die al in de uitgesproken stelling vermeld zijn. Op te merken valt nog dat, in geval in formule (11) het getal c reëel en gelijk aan of kleiner dan 1 is, een yas’fó integratieweg voor de restintegraal (13') kan worden aangenomen, zodra het getal n een zekere grootte bereikt, en wel de imaginaire as. Het bewijs dat Urn Rn — 0, voor n oo, is dan zeer gemakkelik, zodat de boven afzonderlik vermelde gevallen van ontwikkel baarheid in een B.K.R. op koj^te wijze uit de integraal van Caüchy kunnen worden afgeleid. Wat nu verder de vraag beti'eft, in hoeverre de ongelijkheid (7) noodzakelik is vooi* de ontwikkeling van een funksie in een B.K.R., door de manier, waarop de voldoende voorwaarde is afgeleid, heeft men w'el de overtuiging verkregen dat het door deze voorwaarde omvatte ensemble van ontwikkelbare funksies zo groot inogelik is. Om dienaangaande zekerheid te krijgen is het nodig te onderzoeken, hoe een funksie, die door een B.K.R. wordt voorgesteld, zich in het konvergentiegebied van die reeks gedraagt. Dit onderzoek kan worden uitgexoerd met behulp van de in de stelling van Pincherle bevatte uitspraak dal een B.K.R. noodzakelik een koeffisient funksie voorstelt, tenminste in het gebied van absolute konvergentie van die reeks, want daaiwoor alleen bewijst Pincherle zijn stelling. We nemen eenvoudigheidshalve voor de B.K.R. de oorspronkelike, door Pincherle beschouwde vorm (1) aan. Is de karakteristiek P' van de reekskoeffisienten c„ kleiner dan — 1, dan kan, zoals gezegd is, de B.K.R. in het halfvlak Ri^x) > 0 door de integraal (6) worden voorgesteld. Men kan nu bewijzen dat deze integinal in het genoemde gebied aan de voorwaarde (7), met y = 0 voldoet, *en dat daarbij de eksponent / de voorwaaide A + d, (20) als men heeft A=:;i' 4- 1 (21) Dat wil zeggen: het geldigheidsgebied van de ongelijkheid (7) is op willekeurig weinig na het halfvlak van absolute konvergentie van de reeks (1). Voor het hele rechterlid van (19), d. i. voor (o (ic), volgt hieruit de ongelijkheid <0 (.c) ; M I {x hy (f ‘ j . . . . . (22) met ^ ^ i + d, + d (23) Is eindelik de karakteristiek /' van fp {t) groter dan — 1 of gelijk daaraan, dan kan men volgens Pincherlk de koeffisientfunksie uit- drukken in die van een andere voortbrengende funksie ff\ [t), met karakteristiek kleiner dan — 1. Zij ten eerste 1 < / < 0, dan beschouwt Pinchekle als hulpfunksie 1403 (0 = - i)-i die een karakteristiek A' — J kleiner dan — J heeft, zodat de bijbe- horende koeftisientfiinksie coj (a’) in het gebied R X — J -|- tfi aan de ongelijkheid I (^) I (.?;) = A [(.« — 1) CU, (a’ — 1)] en daaruit volgt dat w {x) juist weer in het gebied (20) aan de onge- lijkheid (22) met voor / de ongelijkheid (23) voldoet. Op deze manier kan men achtereenvolgens voor de intervallen (0,1), (1,2)... van A' dezelfde ongelijkheid aantonen. Bevredigt A, een fnnksie oj (x) voor die de eqidvalentievergelijking (24) bevredigt ; de eksponent f voldoet daarbij aan de ongelijkheid (25). Vergelijkt men nu deze stelling met degene die op de voldoende voorwaarde betrekking heeft, dan ziet men vooreerst tussen de majorantwaarden (7) en (22) een volkomen overeenstemming in vorm. Deze majorantwaarden zijn dus zowel noodzakelik als voldoende. Wat verder meer presies de geldigheidsgebieden betreft, de ongelijk- heid (9) gaat hier, daar f — I is, over in R{x)j>l-\-^, of ook in ') PiNCHERLE, 1. C , p. 64. 1404 als we /, weer de benedenste grens van /-waarden noemen, die voor de gegeven fnnksie in aanmerking komen. Uit (25) volgt voor liet absolute konvergentiegebied presies dezelfde ongelijkheid. Daar het gebied van eventueel voorwaardelike konvergentie zich hoogstens over een strook ter breedte 1 links vaji het absolute knnvergentie- gebied uitstrekt, laat het door ons uitgevoerde onderzoek de moge- likheid open dat een B. K. R. soms ook nog in een strook bepaald door of iu een onderdeel daarvan een fnnksie voorstelt die aan de voor- waarde f24) voldoet. Om dienaangaande zekerheid te krijgen, zou men een onderzoek moeten instellen naar de wijze waarop een fnnksie die door een B. K. R. wordt bepaald zich gedraagt in het gebied \'an eventueel voorwaardelike konvergentie. Tot zo’n onder- zoek zijn we nog niet gekomen, maar nu kunnen we alvast wel inzien dat dit de kloof, die, wat de geldigheidsgebieden betreft, als- nog tussen voldoende en noodzakelike voorwaarde bestaat, niet geheel zou dempen. Ten eerste: Voldoet een fnnksie o) (x) aan equivalentievergelijking (24) bij vaste a op de omtrek van de sirkel (1,1), en met een zekere minirnumeksponent /„, dan voldoet hij. wegens hetgeen omtrent de uitdrukking ^ <7*-/, onmiddellik na formule (10) is opgemerkt, ook aan diezelfde ongelijkheid, wan- neer a op de aangegeven manier met het argument i(:> van ,v langs genoemde omtrek verandert. De ekspoiient /„ kan daarbij echter niet verkleind worden, want die komt in ieder geval voor tf? = — or te pas, als u het argument van het oorsproid^elike vaste getal a is. De uitspraak die bij de ongelijkheid (9') behoort leert evenwel, dat in dit geval ontwikkeling van lo {x) in een B. K. R. mogelik is voor ld (-r) )> /»• De fnnksie o waarvoor a = 2, en /„ = 0 is, levert hieiwan een voorbeeld, want de ontwikkeling geldt inderdaad voor //(«))> 0, en deze is voor- waardelik konvergent zolang E{x)<\. Hieruit volgt dat men nooit als noodzakelike voorwaarde /f (a-) > /„ + 2 kunnen vinden, ter- wijl onze stelling over de voldoende voorwaarde het, zonder nadere spesializatie, niet verder brengt dan tot de uitspraak dat ontwikke- ling mogelik is in het gebied dat door die ongelijkheid bepaald wordt. In de tweede plaats geldt laatstgenoemde uitspraak ook nog slechts als i-o{x) in het gebied R{x) j> /„ -J- è geen singuliere punten in het 1405 eindige heeft; anders komt voor dit laatste gebied datgene in de plaats waar (ü(.r) reguliei' is en dat we bepaald hebben door de ongelijkheid R(x) y. Dus leert ^ i«, maar omgekeerd is het niet waar dat in het door deze ongelijkheid bepaalde gebied ook stellig absolute konvergentie van de betreffende B.K.R. plaats vindt. Een eenvoudig voorbeeld hiervan levert de funksie 1 CU (.v) — X op. Hiervoor is /, = — oo, terwijl de funksie toch slechts in het regulariteitsgebied ^ 0 in een B.K.R. van de vorm (1) kan ontwikkeld worden. Uit deze opmerkingen blijkt wel dat men de kloof, die tussen de j hier gegeven noodzakelike en voldoende voorwaarde nog blijkt te j bestaan, slechts zou kunnen dempen, door voor beide voorwaarden i meer gedetailleerde stellingen uit Ie spreken. M.a.w. het zou moeten j gelukken het funksionele ensemble van alle funksies die aan (24) I voldoen door spesiale karakterizeringen te splitsen in groepen ; evenzo i het ensemble van binomiaalkoeffisientreeksen, zodanig dat tussen beide I kategorieën van groepen een één-aan-éénkorrespondentie bestond, i waarbij funksies van de groep k ontwikkelbaar waren in reeksen i van de groep k en in geen andere. Maar het probleem, om zulke I karakterizeringen te vinden, zal wel zeer moeilik zijn, aangezien er ' toe behoort, om uit het karakter van de reekskoeffisienten het ‘ karakter van de door die reeks voorgestelde funksie af te leiden, j iets wat voor de meer bekende machtreeksen pas in de laatste tijd ; enigermate gelukt is. Scheikunde. — De Heer Böeseken biedt eeiie mededeeling aan van den lieer H. P. Bahendrecht : ,, ürease en de stralings- theorie van enzymwerking y (Mede aangeboden door den Heer Kuenen.) III 8. De invloed van vreemde sto ffen op de werkzaamheid van urease. De vraag rees, of in deze geconeentreerde oplossingen van ureum de H-ionen concentratie wellicbt verminderd was door de geringe alkaliteit van de ureum zelf. De electrornetrische bepaling van de pn in de 8“/, pbospliaat op- lossingen vertoonde inderdaad een duidelijke toename na toevoeging van 8“/, ureum. Het werd echter spoedig vastgesteld, dat deze toe- name niet te wijlen was aan een verschuiving van de ware reactie naar de alkalische zijde, maar aan een vermindering van zoowel H als OH ionen, of, in andere Avoorden, aan een verminderde dissociatie van HjO in deze geconcentreerde oplossingen van ureum. Deze conclusie was het resultaat van de volgende experimenten. De pH werd wederom bepaald in 8"/, phosphaat oplossingen. Daarna een tweede keer in dezelfde oplossingen na toevoeging van S'/o ureum en een derde maal na toevoeging van een kleine hoe- veelheid ammonia (1 c.c. van yV^)- Voor elk van deze bepalingen werd 10 c.c. van 9,67o phosphaat met water of verdunde ammo- nia tot 12 c.c. gebracht. De resultaten waren de volgende: pH in : Phosphaat -f- 8 % ureum jVerschil Phosphaat alleen Verschil Phosphaat -f- 1 c.c. NH,^N 6.79 0.11 I 6.68 0.03 6.71 6.97 0.08 1 6.89 0.03 6.92 7.59 0.10 7.49 0.07 7.56 7.93 0.10 7.83 0.18 8.01 8.20 0.10 8.10 0.34 8.44 Zooals blijkt uit Sörensen’s bepalingen van p^ in zijn standaard 1407 phosphaat mengsels, neemt de buffer-waarde van deze oplossingen belangrijk af, als p„ tot 8 nadert. Daarom zal dezelfde kleine hoeveelheid alkalie, die een van matige hoogte praktisch onver- anderd laat, een merkbare rijzing in een p^ van ongeveer 8 ver- oorzaken. Dit komt duidelijk uit in de resultaten, verkregen bij toe- voeging van ammonia. De ureum echter doet de met een gelijk bedrag toenemen, wat ook zijn oorspronkelijke waarde zij. Deze toename is dus blijkbaar niet toe Ie schi-ijven aan een alka- liteit van de nreum. Een stof echter, die geen alkaliteit bezit, kan de H-ionen concentratie slechts verlagen, indien het de OH-ionen concejitratie juist evenveel verlaagt. Dit effect kan verwacht woi'den van alle neutrale stoffen, toege- voegd in zulk een bedrag, dat de concentratie van H^O aanmerke- lijk verlaagd wordt, mits hun ioniseerend vermogen veel kleiner zij dan dat van watei-. In zulk een geval zal het dissociatieproduct Ch X ^OH of> zooals het gewoonlijk genoemd wordt, de dissociatie constante van water, een vermindering vertonnen. Dergelijke verandei'ingen van de dissociatie constante \an water zijn reeds vroeger bestudeerd, b.v. door Lövvknhertz ') in een ver- verhandeling over ,,De invloed van de toevoeging van ethylalcohol op de electrolytische dissociatie van water”. Met het oog op dezen invloed op k^^ beloofde de studie van nrease werking in oplossingen, gemengd met alcohol, interessante resultaten. De alcohol, gebruikt in deze experimenteti, was bevrijd van kool- zuur door koken in een kolf aan een terugvloeikoeler. Dezelfde 8°', phosphaat butfer-mengsels en Soja extract werden gebruikt als vroeger bij de bepaling van m. Het bedrag aan alcohol, dat van te voren met het phosphaat gemengd moest worden, werd zoo berekend, dat ten slotte in de oplossing een concentratie van Ö'/o bereikt zou worden. Ten einde te kunnen vergelijken werd hetzelfde Soja-meel gebruikt als in de vroegere experimenten. Die boonen waren ruim een jaar geleden gemalen en het meel had al eenige teekenen van verslapping getoond. Speciaal in alkalische oplossing bleek de constantheid van activiteit verminderd te zijn. Daarom werd in de alcohol experimenten met hooge p^ de m van de eerste periode genomen in plaats 'van het gemiddelde. Deze waarde werd dan vermenigvuldigd met de verhouding van de acti- viteiten bij dezelfde vroeger en thans gevonden. De zoo verkregen resultaten zijn grafisch voorgesteld in figuur 6/, b Zeitschr. physik. Ghem. 1896, 20, 283. 1408 waarin ter vergemakkelijking van de vergelijking ook de oor- spronkelijke lijn voor m van figuur 3 is weergegeven. De dei'cie lijn II van deze figuur lieeft de volgende befeekenis: Figuur 6. m 10 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 pH Volgens onze interpretatie van het loenemen van ipH met 0,10 door 5“/„ alcohol, was loegenomen met 0,20, ™et 0,10. Zooals in het 5e deel dezer^ verhandeling is aangetoond, kan m als functie van voorgesteld vvorden door: 4828 m = 18 -4- 132,6 X 10-8 2170 X 10-* 1 + _ ^ _ (^) Nu hio door de alcohol verminderd was van 10— ^8, 78 iot 10-^8,98^ was het mogelijk Hoor middel van deze formule een nieuwe kromme 1409 II voor m te berekenen. Het verscliil tusschen I en II kan, althans ten deele, toegeschreven worden aan de waarnemingsfouten, die zeer groot waren bij het gebruik \an dit oude Soja- meel. In een vroeger stadium dezer onderzoekingen was de invloed van neutrale stoffen als alcohol 0[) de ureasewerking leeds onderzocht met behulp van het mengsel van ammonium-carbonaat -j- koolzuur als buffer, door proeven als die, welke beschreven zijn in deel 6. Zoo gaf b.v. de proef van 25 Mei 1916, waarin 0,5 7o nreum in ammonium-carbonaat (= 2 ^ „ ureum), met en zonder 5 "/o alcohol onderzocht werd, de resultaten, voorgesteld iu figuur 7. Het gemid- Figuur 1. 50/0 alcohol 10 0/0 alcohol delde van m zonder alcohol was 0,00381, met 5 “/, alcohol 0,00335. Voor de berekening van rn werd aangenomen, dat de door 5 7» alcohol evenveel verhoogd werd in dit geval als in de phosphaat- oplossingen. Uit figuur 6 blijkt, dat tusschen p„—l op de oorspronkelijke kromme en />h=7,1 op de kromme 11, de theorie een afname in in zou voorspellen van 51,3 tot 44,5, dat is van 1 tot 0,87. Volgens bovenstaande resultaten werd een afname gevonden van 38,1 tot 33,5, dat is van 1 tot 0,88. Nadere overweging zoowel als verder experimenteel onderzoek toonde echter, dat het probleem gecompliceerder is dan het tot nu toe is voorgesteld.. 91 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVll. 1918/19. 1410 x41cohol vermindert niet alleen de dissociatie-constante van water door vermindering van de concentratie ChCoh — maar daar zijn ioniseerend vermogen xeel kleiner is dan dat van water, zal liij ook de dissociatie-constante van een opgelosten elec- trolyt verminderen. Daarom moet men verwachten, dat de dissocia- tie-constanten van de amphotere electrolyt urease ook verminderd worden door alcohol. De gevolgen van den eerstgenoemden invloed van alcohol zijn, als aangetoond in fignnr 6, een verlaging van de kromme en een verschuiving van het maximum naar links; het gevolg van den tweeden invloed, de vermindering van ka en ki in dezelfde mate, Figuur 8. m " 80 - 70 60 50 40 30 20 10 9 . I ; .1 I I I , , I ^ ; I . . . . ' . . . . I . I 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 pH 1411 is blijkbaar een vermeerdering van in, de ongedissocieerde fractie, zonder verandering van de abscis van liet maximiun. Wat wij waarnemen is daarom de opeenstapeling van een positief en een negatief effect, waarbij in dit geval de afname van de dis- sociatie constante van water de bovenhand heeft. Herhaling van het experiment van 25 Mei 1916, maar nn met 10“/, alcohol, gaf op 30 Mei de resultaten, weergegeven in flgnnr 7. Zonder alcohol was = 0,00326, met 10*, „ alcohol = 0,00267. De elektrische bepaling van de in 8 “/„ phosphaat-ofilossingen met 10"/, alcohol had gegeven met 10 "/, alcohol 7,13 7,53 zonder alcohol 6,89 7,29 verschil 0,24 0,24 dns een constante toename, die beteekent een verandering in van 10 -'3-^8 tot 10-i-*-26. Fignnr 8 vertoont, tegelijk met de oorspronkelijke kromme van figuur 3, de kromme B, berekend voor _io I ~ 132,0 X 10^ 2170 X 10-* met de waarde lO-^^-^s voor kjv De resultaten van deze berekening zijn samengebracht in kolom 3 van de volgende tabel. TABEL 19. pH 108 Cow m ^ 1 m (indien ka en kb 20 o/q kleiner waren) 8.13 74.13 i 41 46.8 8.03 58.88 44.8 51.4 7.80 34.67 50.8 59.— -7.64 23.99 50.3 58.3 7.52 18.20 47.4 54.7 7.21 8.90 36.1 40.7 7.- 5.495 29.8 32.7 6.67 2.57 23.7 25.— 6.40 1.38 21.— 21.8 8.5 173.8 29.2 32.— 9. - 1660.— 21.6 22.5 91* 1412 Deze tabel eii kromme B van tigunr 8 zouden een afname in m \'(»orspellen van 51,3 voor = 7 (ot 37,1 vooi- = 7,24, dat is van 1 tot 0,725, terwijl experimenteel gevonden werd een afname van 1 tot 0.82. De intei'pretatie van dit verseliil is, dat de ka en ki, ook aanmer- kelijk verlaagd zijn door 10 alcohol, dat daarom de ,,rest-kromme” van urease in deze oplossing geplaatst moet worden hoven de kromme B van tignnr 8. De kromme C in figuur 8 en de vierde kolom van tabel 19 stellen voor de waarden, die )n zon hebben, indien en beide 20 7o waren afgenomen, terwijl /r,,. evenals in de ki'omme B de waarde 10-’-* zou hebben. Ei‘ moge hier de aandacht gevestigd worden op het feit, dat, indien een nenti’ale stof als alcohol de dissociatie constanten van urease zoowel als xan water verlaagt, de nieuwe kromme voor m de oorspronkelijke snijdt, wat beteekent, dat in zidk een geval een duidelijke afname van activiteit te vei-wachten is bij lage />H(hi het onderhavige ge\ al beneden pf^ = 7 ,Sb) en door dezelfde oorzaak, een toevoeging van alcohol, een toename bij hooge De invloed van neutrale zouten moge duidelijk gemaakt worden door het voorbeeld van 5 ° KCl. Hier, als in alle vorige gevallen beteekent 5 5 gram in 100 c.c. van de oplossing. In 8 phosphaat-oplossingen bleek de niet verhoogd, maar \ erlaagd te worden met een constant bedrag door 5 7o KCl. zonder KCl Ph 6,13 6,89 7,29 met 5 */, KCl 6,00 6,79 7,19 verschil 0,13 0,10 0,10 Niettemin had KCl in de ammonium-carbonaat oplossing een aan- merkelijke afname van de urease-activiteit teweeggebracht. Zonder KCl was hier ???, = 0,0031, met 5 7» KCl = 0,0022. De conclusie, die uit die feiten getrokken moet worden, is, dat een neutraal zout als KCl alle dissociatie-coustanten doet toenemen, zoowel die van urease als van water. Wij hebben hier dus weer, en wel in sterke mate, een verande- ring in de natuur van de urease, een algerneene afname van zijn activiteit, teweeggebracht door een toename xan zijn dissociatie- coustanten. Het toenemen van de dissociatie-consfante van water door zouten xvas reeds xvaargenomen in deze studie bij de bepaling der hjdroxyl- ionen concentratie in 8 phosjdiaat-oplossingen, waar de dissociatie- 1413 constante van water bevonden is 10 te zijn, in plaats van IQ 13,825^ als in zuiver water. Daarenboven wordt de gunstige werking van neutrale zouten op de catalytisclie activiteit van waterstof-ionen al sinds lang toege- schreven aan een verhooging van de dissociatie-constanten van zuren door zouten. Een ander voorbeeld van zulk een effect is onlangs gegeven door Kolthoff *), die aantoonde, dat de dissociatie-constanten van indica- toren verhoogd worden door de toevoeging van neutrale zouten. Manniet gedroeg zicb evenzoo als kalium chloride. In 8 7o phosphaat-oplossingen werden de volgende waarden voor Pfi bepaald zonder manniet 6,89 7,29 met 5 manniet 6,84 7,24 verschil 0,05 0,05 Dus weder een constante afname van pfj, dat is een toename van de dissociatie constante van water. In ammonium-carbonaat oplossing veioorzaakte 5 7, manniet een geringe afname van de activiteit van urease {m nam af van 0,0029 tot 0,00275), waaruit is af te leiden, dat de dissociatie constanten van urease ook door deze neutrale stof verhoogd worden. Figuur 9. 5 ‘/o Manniet. 5o/o Glucose. I) Ohem. Weekblad 1918, 394. 1414 Glucose, tot een bedrag van 5 7o toegevoegd aan anmionium- carbonaat oplossing, gaf slechts een zeer geringe afname van urease activiteit. De gevallen xan manniet en glucose zijn weergegeven in figuur 9. Men ziet, dat de algerneene aard van de kromme niet veranderd is door de toevoeging van neutrale stoffen, waai uit de gevolgtrekking gemaakt kan worden, dat alleen m in onze grond-vergelijking ; ,v — diV = m — dt ,v nc gewijzigd wordt. Indien andere stoffen de straling absorbeerden evenals waterstof- ionen, zou de loop der krommen veranderd zijn, en wel zoo, dat met toenemende omzetting de logarithmische kromme genaderd werd. De hierboven medegedeelde feiten en theoi-etische afleidingen zouden, althans voor een deel, een verklaring kunnen geven van de waar- nemingen van Onödera ’), dat alcoholen de werking van urease zoowel kunnen verhoogen als verminderen. De experimenten van dezen auteur echter werden uitgevoerd zonder bufïermengsels en zonder eenige bepaling van de die bij afwezigheid van buffers zeer sterk zich gewijzigd zal hebben. Daar de lange duur van de urease- werking in deze onbepaalde, maar stellig wel alkalische condities een schadelijke werking op de urease moet gehad hebben, des te meer naar mate de pfi hooger was, is het onmogelijk verder een scherpe interpretatie van deze resultaten te geven. 9. Onikeering van de kydrolytiscke werking van urease op ureum. De algemeen aangenomen opvatting van de synthetische werking van enzymen, ook door schrijver dezes gedeeld, is, dat een en het- zelfde enzym het werkzame agens is bij het ontleden zoowel als bij het ophouwen van zijn specifiek substraat. De omstandigheden echter, die een van de twee tegengestelde werkzaamheden de overhand doen krijgen, zijn tot nu toe nog niet duidelijk geworden. Eenige waarnemingen, gemaakt in den loop van deze studie, tezamen met een algerneene beschouwing van de werkzaamheid van enzymen in levende weefsels, brachten schrijver dezes er toe de volgende hypothese op te stellen : Rondom een enzy m-molecunl wordt het substraat ontleed zoover de werking, uitstralende van het enzym, krachtig genoeg is. Verzwakt b Biochem. J. 1916, 563. 1415 door verspreiding of door andere oorzaken, verooizaakl dezelfde enzyin-straling liet omgekeerde verschijnsel, de synthese. In levende planten en dieren gaan beide vvei-kzaamheden van de enzymen voortdurend voort onder gewone condities, wat betreft concentratie van het substraat, temperatuur en zuurgraad. Zoodra echter het weefsel door mechanische middelen in een homogeen mengsel of oplossing is overgevoerd, verdwijnt nagenoeg alle syntheti- sche kracht van het enzym. Zoo als b.v. wel bekend is, is het bij de extractie \an glucosiden uit planten noodig eerst de enzymen te dooden door zaden of bladen in kokend water te dompelen, vóór dat de cellen verbrijzeld worden ter extractie. De glucosiden en hun enzymen zijn bevat in verschillende naast elkaar liggende cellen, zooals Guignard reeds heeft aangetoond. De hy[)Othese, dat enzymen hun synthetisch vermogen slechts op een zekeren afstand uitoefenen, geeft dadelijk een verklaring van deze feiten. Door de celwanden heen veroorzaakt de straling synthese in de nabijliggende cellen; zoodra enzym en substraat tezamen gebracht zijn, overheerscht de hydrolytische werking bijna uitsluitend. Deze opvatting van de werkzaamheid van enzymen wordt door het experiment bevestigd op verschillende wijzen. De verzwakking der straling kan, als boven opgemerkt, veroor- zaakt worden, ïiiet alleen door verspreiding, maar ook door andere factoren, b.v. de nadeelige werking van temperatuur en zuren of alkaliën in korter of langer tijd. Zooals zal blijken uit het volgende werd meermalen een omkeer van de hydi-olyse van ureum waar- genomen, die verklaard kan worden door een verval van de urease. Den Nov. 1915 werd een experiment uitgevoerd met am- moniumcarbonaat als l)uffer, waarbij die terugloop van de omzetting op het einde zeer duidelijk voor den dag kwam. (Zie figuur 10 op de volgende pagina). Het is te verwachten, dat de enzy mmoleculen niet alle op den- zelfden tijd in verval zullen komen. Op het einde der liydrolyse, wanneer de inwerking op de rest van de ureum zeer langzaam geworden is, en aan de andere zijde de concentratie van de reaclie- producten overeenkomstig is toegenomen, kan het voorkomen, dat een voldoende gedeelte der enzymmolecnlen in het stadium van verval is om aan de synthetische werking, daai- die nu een hooger concentratie van substraat ter beschikking heeft, de bovenhand te geven over de langzame werking van het onveranderde enzym op de betrekkelijk zeer verdunde ureumoplossing. Gedurende zulk een periode zai het totale effect omgekeerd zijn en pas tot zijn normalen loop terugkeeren zoodra de onveranderde enzymmolecnlen de ver- 1416 vallende overtreffen, wat veroorzaakt kan worden door een verdere verzwakking of dooi’ totaal verval. Figuur 10. Figuur 11 geeft de resultaten van de proef van 2 Jan. 1916, o[) dezelfde wijze uilgevoerd als die van 28 Nov. 1915, die hetzelfde verschijnsel vertoont in wat kleinere mate. (Zie figuur 11 op de volgende pagiga). In de phosphaatoplossingen van hooge kwam soms ook die omkeering voor den dag. 141 Figuur 11. Eerst moet vermeld worden een experiment van 6 April 1917, dat regelmatig verliep. TABEL 20. 0.25 gr. Soja + 50 c.c. water + 3.64 op //P04 2 aq. 4 1.16 gr. KH-iPO^ 10 c.c. nitraat gemengd met 11.52 gr. Na2HPOi2aq. + 120 c.c. water. pH=S.\3 0.01% ureum t (minuten) y 0.0073 /05 ® / 80 o.n 0.000029 140 0.305 0.000030 200 0.39 0.000027 260 0.52 0.000028 321 0.625 0.000030 1418 Figuur 12. Iii dit geval had weinig of geen vernietiging van enzym plaats gegrepen gedurende dit interval; want 10 c.c. van het extract, gedurende 320 minuten in het bad van 27° gelaten en dan gemengd met 2 c.c. ureum (0.06%^ gaven in 80 min. 0.3 c.c. NH, N, wat beteekent m = 0.000026. 10 April 1917. Dezelfde opzet als 6 April, maar nu met langeren reactietijd. Een gedeelte van hetzelfde niengsel werd in liet bad van 27° gelaten tot den volgenden dag, toen 10 c.c. met 2 c.c, ureum- oplossing (0.06 '/J in 260 minuten slechts y = 0A gaven (tegen y ongeveer 0.45 oorspronkelijk). Dus duidelijk had een aanmerkelijk verval van het enzym plaats gegrepen. 16 April en 23 April 1917. Herhalingen van het experiment van 10 April. De resultaten van deze drie experimenten zijn weergegeven in tiguur 12. Zooals duidelijk blijkt, is er in de krommen van 10 en 23 April eerst een afname, waarna de reactie weer normaal gaat loopen. Als boven aangestipt is de verklaring hiervan deze, dat gedurende eenigen tijd de vervallende enzym moleculen, die de synthese veroorzaken, de boveidiand kunnen hebben en dat na hun totaal verval (of misschien herstel) de normale enzym werking weer optreedt. Om deze opvatting meer direct te toetsen werd het volgende experiment uitgevoerd. 1419 Iii één rij reageerbuizen werd liet verloop der liydrolyse van een 0.01 7o ureum oplossing' in 8“/, pliospliaat van = 8-13 onderzocht als te voren. Een tweede rij buizen, elk ook met 10 cc. van dezelfde soja- extract-phospliaat-oplossing was met al die andere buizen terzelfder lijd in hetzelfde bad van 27° geplaatst. Onmiddellijk na het uitnemen van een buis der eerste rij voor de analyse, werden 2 c.c. ureum oplossing van 0.06° „ in een buis van de tweede rij gebracht en der reactie hierin 120 minuten haar loop gelaten. Op deze wijze was het mogelijk eenige inlichting te krijgen over de snelheid van verval van het enzym. In figuur 13 ziet men, dat het nagenoeg horizontale deel van de kromme samenvalt met de T’s van afnemende activiteit volgens Figuur 13. minuten. tabel 21. Tusschen 7’= 120 en T = 230 schijnt er in het begin een andere periode van eenig verval geweest te zijn, gevolgd door een normaal verloop van 7’ = 230 tot 7' = 360. Dit eigenaardige type van kromme, eerst een vertraging en dan weer een normale loop, werd meermalen opgemerkt bij herhaling 1420 TABEL 21. rtminuten) y 1 y (in 120 minuten na het tijdstip T) 120 0.255 0.175 230 0.385 0.130 300 0.465 0.115 360 0.535 0.08 420 0.53 0.075 450 0.575 0.08 480 0.585 0.075 540 0.625 0.075 van hetzelfde experiment bij Ph=8.13. Bijvoorbeeld den 19‘ien j^ji 1917, figuur 14. Figuur 14. 10. Invloed van de concentratie van het enzym. Bij voortzetting van de ondei-zoekingen, vermeld in Deel 4 dezer 1421 studie, met kleinere enzym-eoncentraties werd al dadelijk opgemerkt, dat in dezelfde condities dezelfde hoeveelheid Soja-meel niel altijd hetzelfde resultaat gaf. Bij de bereiding van de noodige oplossingen was het gedistilleei'de water bevrijd van koolzuur door koken in een vertinde koperen kruik. Nadat deze zuiveringsmethode vei-vangen was door overdistilleeren van het water in een Jena-kolf met glazen koeler, waarbij het eerste deel van het distillaat weggeworpen werd, bleek grootere regelmatigheid bereikt te zijn. Toch scheen, afgewogen in zoo kleine hoeveelheden, het Soja-meel niet geheel homogeen te : zijn. Een verklaring hiervan zal verderop gegeven worden. I Niettemin konden op dezen weg belangrijke nieuwe resultaten verkregen worden. I De concentratie van de ureum in deze experimenten was weer ter wille van de noodzakelijke onveranderlijkheid van de slechts 0,01 7„. De concentratie der urease, nitgedrukt in onze vroegere maateen- heid, was 2^. I Om zooveel mogelijk zeker te zijn van vergelijkbare enzymcon- j centraties in de oplossingen werd ook twee keer een serie van 4 j experimenten bij vei-schillende op denzelfden dag uilgevoerd met 1 één zelfde Soja-meel-extract. 1 De geringe enzymconcentratie bracht natuurlijk de noodzakelijk- ' heid mee van lange reactie-tijden (tot 3200 minuten), i Om te onderzoeken of gedurende de zoo lange blootstellingen aan de H-ionen concentraties dezer proeven bij 27° eenige verzwakkirig van ; de activiteit van het enzym had plaats gegrepen, werden de over- I blijvende deelen van de vier phosphaat-enzym-oplossiïigen 24 nnr ! in het bad van 27° bewaard. Op den volgenden dag werden hier- I mee de noodige proeven herhaald. j j Het bleek zoo, dat de gezamenlijke invloed van H-ionen-coficen- ! tratie, temperatuur en tijd hier, binnen de grenzen van de experi- menteele fouten, geen merkbaar effect had gehad op urease in de zure oplossingen. Indien echter de H-ionen-concenti-atie bij 27° aan j de atidere zijde van het neutrale punt gehouden was, was de acti- viteit langzaam maar onmiskenbaar afgenomen. In de alkalische oplossingen moesten dus ter berekening van m, evenals vroeger, weei’ alleen de metingen van de eerste intervallen gebruikt worden. De zuurgraad, in deze experimenten aangewend, had zelf geen hydrolytische werking op ureum, zooals werd vastgesteld door monsters van 10 c.c. van de vloeistoffen met />h = 6,67 en Ph= 7,52 te koken, gedurende 24 uur in het bad van 27° te plaatsen, dan aan elk toe te voegen 2 c.c. A an 0,06 7» m eum en daarna deze 1422 mengsels weer 24 nnr bij 27'" Ie laten staan. Er bleek geen ammo- niak gevormd te zijn. De resultaten, verkregen voor de specifieke activiteit m van lage nreaseconcentraties zijn bijeengebracht in fignnr 15, waarin ter vergelijking ook de kromme van figuur 3 is weergegeven. Figuur 15. 80 10 eo m 50 40 30 20 10 I I . j . . . . I . . . . . . . 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 pH De interpretatie van deze resultaten, gebaseerd op de theorie, ontwikkeld in deel' 9, is de volgende: Overwegende dat een enzym-molecuul het middelpunt is van twee concentrische bollen, een binnenste, waarin het substraat wordt afgebroken en een buitenste spherische schaal, waarin de omge- 1423 I keerde werking teweeggebracht wordt, is het duidelijk, dat, iiidien j de concentratie van het enzym groot genoeg is om de binnenste bollen elkaar te doen snijden, er geen plaats in de oplossing is, waar de voorwaarde voor synthese, dat is verzwakte straling, ver- wezenlijkt is; ten minste, zoo lang het enzym zijn oorspronkelijke ! activiteit behouden heeft. I Een voldoende verdunning van de urease zal echter tusschen de I enzym moleculen een afstand scheppen, groot genoeg om de buitenste ; schaal vrij te maken voor de omgekeerde werking. Het totale ver- j mogen van urease om ureum in ammonium-carbonaat om te zetten, i voorstellende het verschil tusschen de hydrolyse en de synthese, die het veroorzaakt, moet daarom verwacht worden verminderd te zijn door de urease concentratie te doen afnemen beneden een zekere waarde. De waargenomen feiten zijn duidelijk in overeenstemming met deze theorie. Boven een zekere hoogte van urease concentratie constante specifieke activiteit, daar beneden een afname. De bizonderheid, vermeld in den aanvang van dit gedeelte, dat kleine concentraties van urease minder constant van vermogen bleken te zijn dan grootere, wordt nu niet alleen verklaarbaar, maar geeft zelfs nieuwe bevestiging van de theorie. Want het is duidelijk, dat in regionen, waar de specifieke activiteit aan het afnemen is, e-n geringe, verandering in de concentratie van de urease veel grooter effect zal hebben dan bij hoogere concen- traties, waar de specifieke activiteit constant is. ( Wordt vervolgd). Scheikunde. — De Heer van Romburuh biedl eene mededeeiing aan van Di*. A. W. K. dk Jong, Correspondent te Buitenzorg, over ,,De trux iU zuren” . Scheiding der truxilhuren van kaneehuur. Daar bij liet beliclilen \'an de zouten van kaneelznur mengsels van dit zuur en de (rnxill- zuren verkregen worden, was het noodig een goede scheidings- methode te bezitten. Volgens den natten weg is deze scheiding tot nn toe niet qnan- titatief gelukt, ofschoon verschillende pogingen hiertoe werden aan- gewend. De oorzaak hiervan ligt voor een deel in de vergrooting van de oplosbaarheid van de trnxillzuren door de aanwezigheid van andere truxillzuren en vooral door kaneelzuur en voor een ander deel in de geringe hoeveelheid van de ti nxillznren t.o.v. het kaneel- zuur. Zoo kan men met benzine, zeker een van de beste scheidings- vloeistoffen, geen quantitatieve scheiding krijgen, omdat /?-cocazuur en A-truxillzuur zeer merkbaar oplossen en des te meer naarmate er meer kaneelzuur aanwezig is en ook de anderen dit, ofschoon in mindere mate, doen. Ook werd getracht de scheiding door het in alcohol moeilijk op- losbare zure kaliumzout van kaneelzuur te bereiken, hetgeen niet mogelijk bleek, daar sommige ti'uxillzuren ook gedeeltelijk neerge- slagen werden. Er blijft dus voor het oogenblik alleen de scheiding door middel van sublimatie over. Met het toestel van Riiber gaat dit echter zeer langzaam, waarom het sublimeeren bij gewonen druk in een luchtstroom bij 130° werd uitgevoerd. Hiertoe werd de stof in een schuitje gebracht en dit in een glazen buis geplaatst, die zich in een zandbad van 130° bevond. Het sublimeeren had zoo lang plaats lot de rest een constant gewicht vertoonde. Scheiding der truxillzuren onderling. Zij worden opgelost in de berekende hoeveelheid KOH 7io normaal bij verhitten en bij deze oplossing wordt watervrij calcinmchloride gevoegd n.1. 1.5 gr. voor elke 10 cM* oplossiïig. Na 24 uur wordt het neerslag, dat de cal- ciumzouten van /l-, d- en t-trnxillzuur kan bevatten, gefiltreerd en met een calciumchloride oplossing (1.5 gr. per 10 cM') uitgewasschen. Uil het filtraat worden de zui-en door middel van HCl en aether afgezonderd en gewogen. Zij worden nog eens in de berekende 1425 hoeveelheid KOH 7io opgelost en hieraan weer caleinmehloride, n.1. 1.5 gr. voor elke 10 cM', toegevoegd Na 24 nnr wordt het neerslag gefiltreerd en gewasschen met weinig ealeiumehloride oplossing (1.5 gr. per 10 cM*). Het neerslag wordt bij het reeds verkregene gevoegd. Scheidin;/ van [S-, (f- en f-trnxillznni-. De caleinmzonlen worden met HCl en aether behandeld en de zuren in de berekende hoeveel- heid KOH 7io o. opgelost. Hieraan voegt men het dnbbele volume water toe en evenveel BaCl^ 7io ”• KOH 7io ". gebruikt werd. Na 24 iinr wordt het neei'slag gefiltreerd en nitgewasschen met water; het bestaat uit barinmzoiilen van ,1- en f-ti'uxillziinr. Uit het ültraat worden met HCl en aether de zuren afgezonderd ; zij worden nog eens in KOH '/j,, n. opgelost, hieraan het dubbele volume water toegevoegd en evenveel Bat'bj ii. als KOH 7io *'• gebruikt werd. Men krijgt ‘zoodoende nog een weinig /■?- en f-ti'uxill- ziiiir als bariiimzouten. Het nu verkregen filtraat geeft met HCl en aelher it- tiuxillzuur, dat zoo noodig door omkristalliseeren uit kokend water gezuiverd kan worden. De neergeslagen bariumzouten worden met water gekookt, afge- koeld en koud getiltreerd. Aan het filtraat wordt zoutzuur gevoegd ; ontstaat er een neerslag dan worden deze bewerkingen herhaald tot dit niet meer het geval is. De tilt raten leveren met HCl en aether e-truxillzuur, dat zoo noodig uit kokend water wordt omgekrislalliseerd. Het in water niet opgeloste bariiimzout geeft met HCl en aelher /1-truxillzuur. Sckeidiny van a-, y-tmxillznnr en d-cocazttuv. Aan het liltraat van de neergeslagen caleiumzouten voegt men nog 8.5 gr. watervrij cal- eiiimehloride per 10 cM’ toe, filtreert het neerslag na 24 uur af en waseht het uit met een calcinmchlorideoplossing, verkregen door in water evenveel CaCl.^ in grammen op te lossen als ei' eM’’s water zijn. Uit het filti-aat worden de zuren afgezonderd en deze ondei-- gaan nog eens overeenkomstige bewerkingen om een geringe hoeveel- heid (1-cocazuur als ealcinmzont af te zonderen. Het neergeslagen calciiirnzout geeft met HCl en aether /5-eoeazuur, dat zoo noodig uit kokend watei- wordt omgekristalliseerd. Het tillraat van het neergeslagen ealciumzout geeft met HCl en aether a- en y-truxillzuur. Om hen te scheiden wordt het zuur- mengsel met water (25 cM’ pei- 0.1 gr.) aan een opgaanden koeler gedurende 7-2 'i”'' gekookt en daarna kokend gefiltreerd. De rest bestaat uit n-truxillzuur. Het tiltraat levert bij afkoelen y- truxillziiur, dat zoo noodig nog eens uit kokend water wordt om- gekristalliseerd. 92 ' Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A". 1918/19. 1426 Oni de bruikbaarheid van de scheiditigsinethode na te gaan w^erd een mengsel van de 6 Iruxillzuren op de aangegeven wijze behandeld met het volgend resultaat. Gebruikte hoe- veelheid in gr. Gevonden hoe- veelheid in gr. Smeltpunt. Smeltpunt na omkrist, uit water. a-truxillzuur 0.119 0.086 j even 270° 1 /? « . 0.100 0.096 202° — 204° - r 0.134 0.099 200° — 215° 220° - 226° 0.106 0.132 gomachtig 172° _ 174° £ 1. 0.078 0.079 i 208° — 220° 230° /?-cocazuur 0.106 0.120 165°- 175° 189°- 190° Totaal . . 0.643 0.612 1 Voor de som van en y- truxillzuur werd 0.224 gr. gevonden. De methode is dus in staat de verschillende truxillzuren naast elkander aan te toonen. Zijn er maar 2 truxillzuien in het mengsel dan gelukt het tot op zekere hoogte een vrijwel quantitatieve scheiding te bei-eiken. Uit de gegeven scheidingsmethode volgen reeds enkele eigen- schappen van de truxillzuren. Hieraan mogen nog de volgende toegevoegd worden. (i-cocazuur ’) vormt met kaneelzuur een goed gekristalliseerd (luhhehuur bestaande uit gelijke hoeveelheden van de componenten. Men verkrijgt het bijvoorbeeld door een bij gewone temperatuur met kaneelzuur verzadigde benzineoplossing met een weinig ji-cocazuur te koken tot dit opgelost is (op 500 cM. 0.1 gr. d-cocazuur). Na afkoelen zondert het zich dikwijls eerst na eenige dagen in lange naalden af die bij 139° smelten. Het tiltraat levert opnieuw dubbel- zuui' wanneer er 0.1 gr. van elk der zuren kokend in opgelost wordt. Door sublimatie bij 130 — 140° werd de samenstelling bepaald. De oplosbaarheid van y-truxillzuur in chloroform wordt zeer merk- baar vergroot door de aanwezigheid van [^-cocazuur. De ammoniumzouten van de truxillzuren verliezen bij uitdampen van hun waterige oplossijigen op een waterbad langzamerhand hun ammonia en gaan ovei' in de vrije zuren. Het ammóniumzout van kaneelzuur vertoont deze eigenschap ook. b Het vroeger uil de splitsingszuren der cocaalkaloiden afgescheiden zuur van 190° smeltpunt is gebleken /?-cocazuur te zijn. Plantkunde. — De Heer VV^knt biedt een niededeeliiig aan van den Heer H. L. van dk Sanük Bakhüyzun ; „Fotogroeire, actie en lichtstemniing bij Avena eativa”. (Mede aangeboden door den Heer J. W. Moll.) In de laatste jaren is onze kennis over den invloed van liet licht op den lengtegroei der planten aanmerkelijk nitgelireid en verdiept. Waar men zich vroeger er meestal mee tevreden stelde, zijn eerste waarneming pas eenige uren na het begin der belichting te doen, zijn in de laatste jaren onderzoekingen gedaan, waarbij getracht werd, van het begin der inwerking at“, de veranderingen, die de groei ondergaat, zoo nauwkeurig mogelijk te bestndeeren. In J914 publiceerde Bi.aauw zijn onderzoekingen over de ,,Photo- groeireactie” bij Plij^comyces ’), terwijl Vogt in 1915 een dergelijke reactie bij de coleoptielen van Avena vond. Daarna verschenen er van Blaauw nog twee stukken over deze reacties bij kiemplantjes van Helianthus*) en bij eenige wortels^). Deze onderzoekingen werden alle uitgevoerd onder den invloed van de nieuwe gezichtspunten die Blaauw en FroschuI; in 1909 geopend hadden op het gebied der fototropie ; er werd dns niet uitsluitend gelet op de intensiteit, doch er werd een be[)aalde liclit- energie toegediend, in sommige gevallen werd er doorbelicht. Terwijl Vogt niet ingaat op de theoretische waarde van zijn resultaten, legt Blaauw zijn fotogroeireactie ten grondslag aan de \'erschijnselen, die we bij de fototropie waarnemen. Nn was het vroeger wel bekend, dat de futotropische krommingen tot stand kwamen, doordat de groei op de een of andere wijze veranderd werd door het een- zijdig invallende licht, doch daar men niet wist, dat een kortdurende alzijdige belichting invloed had op den lengtegroei, kon men zich geen vooi-stelling maken van de veranderingen, die de gi-oei direct na de eenzijdige belichting onderging. Dit was een van de i'edenen, waarom men de fototropie als iets op zich zelf staands beschouwde. 9 A. H. Blaauw. Licht und Waclistum. I. Zeitsch. f. Botanik. 1914 E. Vogt. Uber den Einflusz des Lichts auf das Wachstiim der Koleoptile von Avena sativa. Zeitschrift f. Botanik. 1915. 9 A. H. Blaauw. Licht und Waclistum. II. Zeitschr. f. Botanik. 1915. 9 A. H. Blaauw. Licht und Waclistum. lil. Mededeelingen van de Landbouw- hoogeschool. Deel XV. 1918. 92* 1428 Blaauvv nu verdedigt de oude theorie vau Dk Candollf. weer eii vat de eenzijdige belicliting op als een bijzonder geval van alzijdige belichting; de eenzijdige zon dus geen S[)ecitieke werking hebben. Geeft een alzijdige belichting een alzijdig gelijke fotogroeireactie, een eenzijdige belichting zal hiervan alleen daarin verschillen, dat ze een ongelijke fotogroeireactie geeft aan voor- en achterkant. Hierbij oefent niet het lichtverschil, maar het licht zelf, als energie, een invloed uit op den lengtegroei van elke cel ; doch daar de voorkant anders belicht wordt dan de achterkant, zullen beide ongelijke groeiveranderingen vertoonen. Het gevolg van deze ongelijke groei- veraruleringen aan voor- en achterkant zal zijn, dat er een kromming op kan treden naar de lichtbron toe of daarvari af. Dit is de foto- tropische kromming. Door deze beschouwingen is de fototropie uit haar isolement verlost en toegaiikelijk geworden voor dieper en nauwkeuriger analyse. Een belangrijk punt is ook, dat Bi.aauw den achterkant een rol laat spelen, die geheel overeenkomt met die van den voorkant. Niet de achterkant of voorkant alleen veroorzaken de kromming actief, doch beide doen mee: het verschil in groeiverandei'ing aan voor- en achterkant is het, dat de plant fototropisch doet krommen. Waar de mogelijkheid aan de hand werd gedaan, dat de een- zijdige belichting een bijzonder geval van de alzijdige zou zijn, d. w. z. elke lengtestrook van de plant onafhankelijk van de rest van den omtrek een fotogroei-inductie ontving en een fotogroei- reaclie uitvoerde, lag het voor de hand na te gaan of dit eenig licht kon werpen op verschillende fototropische verschijnselen, die in de literatuur bekend waren. Het bleek mij nu, dat de fotogroeii'eactie ons het middel geeft, vele schijnbaar tegenstrijdige verschijnselen bevredigend te verklaren. Daar de fototropie van Avena sativa het uitvoerigst onderzocht is en bovendien Vogt hierbij een fotogroei- reactie heeft gevonden, heb ik over dit object een literatuurstudie gemaakt. Terwijl ik bezig was deze beschouwingen om te werken voor een voorloopige mededeeling, verscheen een publicatie van Brkmkkamp die mij geen aanleiding gaf mijn meening te wijzigen; ik hoop hierop in een later stuk uitvoeriger terug te komen. Vogt heeft coleoptielen van Avena van boven belicht met bepaalde inleitsiteilen gedurende veischillendet) tijd. Hierdoor zijn echter zijn energiegetallen niet te vergelijken met licht, dat horizontaal invalt. De planten zullen op de eerste manier veel minder licht ontvangen. ‘) C. E. B. Bremekamp. Eine Theorie des Phototropismus. Recueil des Travaiix bot. néerlandais. V. Vol. XV. 1918. 1429 daar liet absorbeerende oppervlak veel geringer is. We zullen, iiidien bet licht horizontaal invalt, veel minder lichtenergie lielioeven toe te voeren, om dezelfde reactie te verkrijgen, dan wanneer het licht verticaal van bo\'en invalt. De intensiteits- en ook de energie- getallen moeten dus door een be|)aalden coëfficiënt gedeeld worden. VoGT vond nu, dat reeds na eenige minuten de groeisnelheid begon te dalen. Dit voerde na ongeveer 25 min. tot een minimum, terwijl na 30 — 40 min. het 0-punt weer gejiasseerd weixl. Hierna trad er een groeiversnelling op, de groei steeg tot een maximum, zoodat ongeveer 60 min. na het begin der belichting de eerste groeisnelheid weer bereikt werd. Daarna schommelde de groei nog langen tijd met eerst nog sterke, doch langzamerhand geringer wordende minima en maxima. Ik heb nu uit de tabellen van Vogt ') uitgerekend, hoeveel p’s de planten gedurende de eerste vertragingsperiode minder gegroeid zijn, dan wanneer ze in hel donker waren blijven doorgroeien. De volgende cijfers geven dus weer, hoeveel ft’s de groei in het geheel vertraagd is, totdat het 0-punt weer bereikt wordt en de groeiversnelling begint, waarbij steeds in het oog gehouden moet worden, dat de intensiteitsgetallen door een coëfficiënt gedeeld moeten worden, wil men ze vei'gelijken met horizontaal invallend licht. TABEL 1. Intensiteit. Belichtingsduur. 1 min. 3 min. 15 min. doorbelicht. 16 M.K. 39 1 83 64 M.K. 53 100 M.K. 102 104 90? 500 M.K. ! 122 123 1000 M.K. 294 76 147 1500 'M.K. 1 89 i Daar nu l)ij eenzijdige belichting de voorkant steeds stei-ker belicht woi-dt dan de achterkant, zal, indien de groeivertraging met toenemende intensiteit grooter woidt, de voorkant sterker ver- traagd worden dan de achterkant. Het gevolg hiervan zal zijn, dat een positief fototropische reactie optreedt, als het groeivertragings- b VoGï l.c. Tabel 8, 9 en tl. 1430 \erscliil lïiaar aanmerkelijk genoeg is om een zichtbare kromming te geven. Indien evenwel de groeivertraging met toenemende intensiteit weer afneemt, zal er een negatieve reactie optreden, daar in dit geval de achterkant sterker vertraagd wordt dan de voorkant. Men ziet uit de tabel, dat de eerste en tweede verticale kolom positieve krom- mingen zullen geven. Uit de derde kolom is moeilijk op te maken of de getallen stijgen of dalen, ze zijn daarvoor niet zeker genoeg. Wanneer we de eerste en tweede kolom echter rangschikken volgens de boeveellieden energie, stijgen de getallen; we zouden in de derde kolom dus veel hoogere getallen verwachten. Waarschijnlijk bevinden we ons hier voorbij bet maximum der groeivertraging. Daarentegen stijgen de getallen bij doorbelichting weer met de intensiteiten; dit komt volkomen overeen met het feit, dat belichtingen, langer dan 25 min., steeds positieve krommingen geven. Daar nn bekend is, dat de fototropische kromming reeds binnen 25 min. met een microscoop zicbtbaaar wordt* *), moet dus reeds na 25 min. een zoo groot groei- verschil tusschen voorkant en achterkant opgetreden zijn, dat een microscopisch zicbtbare kromming kan résulteeren. Indien dus de fotogroeireactie te beschouwen is als basis der fototropische kromming, moeten de getallen, die de groeivertraging tot ongeveer 30 min. na het begin der belichting weergeven, hierover uitsluitsel geven ^). Het oi)treden van krommingen aan den uitersten top binnen 25—30 min. kan dus voldoende verklaard worden door de groeivertraging alleen. Er zijn echtei' nog meer punten, die er op wijzen, dat de groei- versnelling, die op de groeivertraging volgt, niets te maken heeft met het tot stand komen der kromming. Als de groeiversnelling is afgeloopen, vertoont de groeikromme nog sterke stijgingen en dalingen. Deze zijn echter zeker niet te be- schouwen als schommelingen om een evenwichtstoestand op dezelfde plaats, te vergelijken met het uitschommelen van een slinger, doch moeten stellig beschouwd wordeti als de reacties van lager gelegen zones. Evenals bij een fototropische kromming de eerste reactie aan den uitersten tO[) zichtbaar wordt, moet ook de eerste groeiver- tragingsperiode de i-eactie van den uitersten top voorstellen; later pas zal de fotogi’oeireactie bij de lager gelegen zones optreden. Dit M E. Pringshelm. Studiën zur lieliotropisclien Stimmung und Prasentationszeit. Zweite Mitteilung. Colin’s Beilrage zur Biologie der Pflanzen. Bd. IX. 1909. W. H. Arisz. Onderzoekingen over Eototropie, Diss. Utrecht. 1914; Ree. trav. bot. Néerlandais. Vol. XII. 1915. *) Ik zie liier af van de negatieve krommingen, die soms na eenigen tijd op de positieve volgen ; deze kunnen, zooals ik in mijn uitvoerige mededeeling uiteen zal zetten, op een geheel andere wijze verklaard worden. 1431 is dus geheel te vergelijken met het voortsclirijden der tülo(ro|)ische kromming van den top naar lager gelegen zones. De grootte van de latere groeivertragingen is evenwel nit de tabellen niet te berekenen, daar de gemiddelde groeisnelheid niet constant blijft, hetgeen ten deele op rekening komt van de groote periode, die buitendien zelf ook door het licht beïnvloed wordt'). We hebben hier dus te doen met een prikkelgeleiding van de fotogroeireactie ; de grootte van de groei- vertraging in de lager gelegen zones zal eveneens afhankelijk moeten zijn van de toegevoerde energie. De kromme nu, die weergeeft de afhankelijkheid van de groei- vertraging (ordinaat) ten opzichte van de energie, binnen 5 tnin. toegevoerd, (abseis) noemen we groeiverirayiiufskromnie. Uit de ge- tallen van Tabel I kunnen we deze kromme niet goed constrneei’en, daar hiervoor te weinig gegevens zijn en bovendien de tijd, waarin de energie is toegevoerd, nogal sterk wisselt. Ei- is echter alle reden om aan te nemen, dat er een stijgend deel is, dat positieve krom- mingen en dat er daarna een dalend deel is, dat negatieve krom- mingen kan teweegbrengen. Er is dus ergens een maximum; de ligging hiervan zullen we later op atidere wijze bepalen. Daar nu de productregel binnen zekere grenzen ook voor de fotogroeireactie zal gelden, behoort bij elke energie (.r) een bepaalde groeivertraging (//). Nu ontvangt bij eenzijdige belichting de voorkant de volle eriei’gie ’) ; de achterkant, die met een veel geringer intensiteit belicht woidt, krijgt dus minder energie. Bevinden we ons nn op het stijgende deel der kromme, is dus de groeivertraging aan den voorkant (?/„) grooter dan aan den achtei-kant (;y„), dan zal er alleen een positieve kromming op kunnen treden. Nn is 20 M. K. S. de practische drempel- waarde voor een gemakkelijk zichtbare kromming; wanneer men deze energie dus toedient, zal er een verschil in groeivertraging aan voor- en achtei’kant optreden, dat juist groot genoeg is, om een macroscopisch gemakkelijk zichtbare kromming te veroorzaken. De drempelwaarde 20 M. K. S. geldt echter alleen voor planten, die in het donker gegroeid zijn, dns een lichtenergie 0 ontvangen hebben. Dit wordt anders, indien de planten alzijdig voorbelicht zijn. Men kan dit nu doen, door de planten te laten draaien voor de lichtbron, zoodat successievelijk alle kanten belicht worden (1 omdraaiing in eenige secunden); hierdoor ontvangen dus alle punten van den orntrek evenveel licht. Indien men hierna eenzijdig belicht, ziet tnen, dat de ') H. SiERP. Ein Beitrag zur Kenntnis des Einflusses des Lichts auf das Wachstum der Koleoptile von Avena sativa. Zeitschr. f. Botanik. 1918. *) De reflexie enz. laat ik hier buiten bespreking. 1432 drempelwaarde voor eeu positieve Urominiiig veel hooger wordt. Ik zal hier iiu proeven l)esj)reke]i, die Arisz over de zoogenaamde „Hcht- steniming bij de haver” iiilgevoerd heeft en behandel in de eerste plaats de alzijdige voorbelicht.ingen met minder dan 2000 M.K.S., toegediend binnen 3 minuten met een intensiteit beneden 25 M.K. De eenzijdige nabeliehting heeft steeds oogenblikkelijk na het einde der alzijdige voorbelichting plaats gehad. Het bleek mij, dat alle veranderingen, door de alzijdige voor- belichting teweeggebracht, voldoende kannen verklaard worden door aan te nemen, dat op ieder punt van den omtrek de energie van de eenzijdige nabeliehting eenvoudig gesommeerd wordt bij die van de alzijdige voorbelichting. De groeivertraging op een bepaald punt van den omtrek zal dus afhangen van de som der energie, die het bij de voor- en nabeliehting samen ontvangen heeft. Indien het energie- verschil van voor- en achterkant dan aanmerkelijk genoeg is, om zulk een groeivertragingsvefschil te geven, dat een zichtbare kromming resulteert, zal de drempelwaarde bereikt zijn. Ik heb hier nergens een verandering van gevoeligheid aangenomen, in tegenstelling met Bkembkamp ’), die het stijgen der drempelwaarde wil verklaren door de hjpothese, dat de plant door de alzijdige voorbelichting onge- voeligei' zon geworden zijn en daarbij denkt aan een vei'andering van perceptiebasis. Indien we eenzijdig b M.K.S. toedienen, zal de voorkant h, de h achterkant hiervan M.K.S. ontvangen; m is grooter dan 1, daar in de achterkant minder krijgt dan de voorkant. Zoo we echter met a M.K.S. alzijdig voorbelicht hadden, zou de latere voorkant hiervan a a M.K.S., de latere achterkant everreens — M.K.S. gekregen hebben; n n Irelichten we nu eenzijdig na, dart ontvangt de voorkant er 6 M.K.S. a bij, ontvarigt dus in het geheel -|- b M.K.S., de achterkant in het n a b geheel -j- 71 771 vei'schil aan M.K.S. N n if: a f h a n k e I ij k M.K.S. In beide gevallen blijft het absolute energie- b m — 1 voor- en achtei'kani even gi’OOt n.1. b— =b 771 T7l ^ de kromming, die er zal optreden, geheel van het g i-o e i v e r t i-agi n gs v e r s c h i 1, dat met B Arisz l.c. Tabel 24 eii 25; zie ook Arisz. Lichlslemmiiig bij de liaver. Versl. Kon. Ak. V. Wet. Amsterdam. 1913. Bremekamp l.c. 1433 eeti e n e i-g i e V ers c li i I h M. K. S. overeenkomt. Indien m de groei vertragingskrom me een rechte lijn was, zon met een energie- — 1 ^ verscliil b M.K.S. steeds eenzelfde groeivertragingsverscliilover- m eenkomen, waar we ons ook o|) de ahseis bevonden ; de drempelwaarde zon dan steeds gelijk moeten blijven. Indien echter de groeiverlragings- kromme een kromme lijn is met afnemende helling, zal het groei- vertragingsverschil, overeenkomende met een abscissen verschil van h M.K.S., des te kleinei' worden, naai'inate de helling van de m kromme geringer wordt, d. w. z. hoe grooter de x wordt. We noemen de energie aan voor- en achterkant x„ en Xa, de groeivertragingen i/u en groeivertraging Bij een rechte lijn blijft, indien — Xa constant = b ^ M.K.S. UI. is, het groeivertragingsverschil y„ — y/„ steeds gelijk =q (Fig. 1). Bij een kromme lijn met afneniende helling, wordt, indien x,. — m — 1 constant = b M.K.S. is, het groeivertragingsverschil y/,, — y/o kleiner, rn ' ‘ naarmate .f„ grooter is. (Fig. 2). Nu zal x,, grooter worden, als de voorbelichtingsenergie a grooter wordt, immers ,c„ = — b M.K.S. Het absolute energieverschil b — n m M.K.S. of wel de eenzijdig toegevoerde energie 6 M.K.S. zal dus een 1434 des te kleiner groeivertiagiiigsverschil en ook des te kleiner krom- ming geven, naarmate de voorbelichtingsenergie a grooter is. Om in dat geval toch een constant groeivertragingsverschil te krijgen, dat m — 1 een juist zichtbare kromming geeft, zal h en dus ook b grooter m moeten worden.. Indiej) de voorbelichtingsenergie grooter wordt, zal de drempelwaarde stijgen, zoodra d e g r oe i v e r t r ag i n gs- kromme een kromme lijn is met af nemen de helling. H i e r b ij behoeft nog niets gezegd te worden over het verdere verband tusschen de grootte der helling en x. In ons geval kunnen we echter nog nauwkeuriger het verloop \an de groeivertragingskromme nagaan door n.1. te zien, of we de functie van de drempelwaarde ten opzichte van de voorbelichting groeivertraging kunnen opsporen. Indien we uit de genoemde tabellen van Arisz de verhouding van de eenzijdige nabeiichting ten opzichte van de alzijdige voorbelichting uitrekenen, vinden we, dat, als nabeiichting; voorbelichting = 1 : 11, er geen kromming optreedt; is de verhouding =1 ; 10,9.9, of 9.2, dan krommen zich eenige planten zwak positief, is de verhouding =: 1 : 7.2, dan krommen alle planten zich positief. Dit gaat, zooals boven reeds gezegd is, alleen op voor een voor- belichting van minder dan 2000 M.K.S., toegediend binnen 3 min. met een intensiteit beneden 25 M.K. We moeten dit echter omrekenen op de hoeveelheden, die de voor- en achterkant krijgen. Waar we 1435 zien, dat er een zwakke [)Ositie\'e kioinniing optreedt, wanneer de verhouding van iiabeliclitijig : voorbelioliting (/> : a) een bepaalde grootte, n.1. 1 : 9.7, bereikt heeft, moet dus ook de x erhonding van het 771 — 1 energieverschil b ten opziclite van de energie van den voorkant 777 (-6 constant zijn, welke waarden i/i en 7i ook hebben. Om dit 71 nu aan getallen te kunnen demonstreeren, ga ik \’eronderstellingen maken betreffende //< en n\ principieel doet het er niet toe, welke waarden wij nt en n toekennen. Voor m heb ik 4 aangenomen ; de achterkant wordt dus met van de intensiteit, die de voorkant h krijgt, belicht, ontvangt dus bij de eenzijdige nabelichting - M.K.S. 4 Daar de alzijdig toegevoerde eneigie a M.K.S. over den geheelen ointrek gelijkmatig vei-deeld is, zal iedere helft van den omtrek, resp. latere voorkant of achterkant, ten eerste de helft der energie ontvangen; ^ a M.K.S. Bovendien krijgt elk punt, dat van de licht- bron afgekeerd is, gedurende de rotatie nog \ van de energie van de belichte zijde erbij; iedere helft krijgt dus tenslotte f X io = M.K.S. Hier volgt een tabel, overgenornen uit de tabellen 24 en 25 van TABEL 11. Energie van de alzijdige voorbelichting inM.K. S. Energie van de eenzijdige nabelichting in M. K. S. 22 1 44 60 120 500 1000 0=0 75 + 75 ++ 75 ++ 75 ++ 75 ++ 75 + + lOX 5.5= 55 29.5 + 42.3 + + 47.9+ + 58.4 + + 70.2 + + 72.5++ 10X121 = 121 17 + 27.7 + 33.3++ 46.2++ 65.2++ 69.8++ 36X12.1 =435 ( 5.6 0 10.4 +? 13.6 + 23 + 48.6+ + 58.9+4 100 X 5.5 = 550 4.5 0 8.5 0 11.1 -t ? 19.4 1- 44.4++ 55 8++ lOOX 12.1 = 1210 1 2.1 0 4.1 0 5.1 0 10.3 +? 30 + + 42.7+ + Verklaring: f- f alle planten-sterk positief gekromd. -f- alle planten duidelijk positief gekromd. + ? enkele planten zwak positief gekromd. 0 alle planten niet gekromd. 10X5.5 gedurende 10 sec. met 5.5 M. K. alzijdig voorbelicht. 1X22 29.5 = 100X — - =100Xi . l+ö I-X55 + 22 143B AkIöZ ; JOOX hieraan heb ik toegevoegd de eiiergieverschil voor- en achterkant energie voorkant getallen, die weergeven (^= 100 X Ik neem hier -|-?als drein[)elwaarde aan. We zien nu, dat voor deze hetquotient lüOX ' — “=10.4,11.1 en iO.3, dus voldoendeconstantis. X,, Dan is y„ — zoo groot geworden, dat er een zwak positieve kromming optreedt. Wanneer men dus veronderstelt, dat de kromming kan worden 'X„ Xn vooi'gesteld door ƒ (.tv) — f [x„) en ook door (p x^, dan ƒ noodzakelijk c log x, gelijk dooi- een eenvoudige mathematische beschouwing gemakkelijk kan worden aangetoond. Daar de energie- zone, waarover de cijfers uitsluitsel geven, loopt van d= 300 — 900 M.K.S., mogen we zeggen, dat dit deel van de groeivertragings- ki'omme logarithinisch loo|)t. Indien het quotiënt voor de drempelwaarde niet constaïit was gevonden, hadden we alleen mogen conclndeeren, dat de groei vertragingskromme een kromme lijn met afnemende helling was, daar immers de drempelwaarde grooter wordt met stijgende x. Ook dan hadden we misschien iets naders omtrent de functie kunnen te weten komen. Ik leg er hier den nadruk op, dat aan het logarithmisch verloopen van dit deel tusschen 300 en 900 M.K.S. in het geheel geen principieele beteekenis te hechten is. Bovendien loopt de kromttie van 0 — 100 M.K.S. zeker niet logarith- misch ; in een volgend stuk hoop ik hierop uitvoeriger terug te komen. Arisz vat de alzijdige voorbelichting, gevolgd door een eenzijdige, op als eeji combinatie van eenzijdige belichtingen, een kortere aan den achterkant (voorbelichting) en een langer voortgezette aan den voorkant (\ oorbelichting -)- nabelichting). Daar dus de latere achter- kant gedurende de voorbelichting ook energie ontvangen heeft, zou er een tegengestelde krommingsneiging overwonnen moeten worden : ,,Het is geenszins verwonderlijk, dat het surplus, dat aan een der zijden moet gegeven worden, om een kromming naar dezen kant te x erkrijgen, grooter moet zijn, naarmate de prikkeling van den anderen kant sterker is.” Aarsz verklaart dus het stijgen van de drempel- waarde eveneens zonder een verandering van gevoeligheid aan te nemen. Echter, zooals we boven uiteengezet hebben, bestaat deze ,, tegengestelde krommingsneiging” ook bij zuiver eenzijdig belichte planten, itnmers de kromming hangt af van het verschil in groei- vei-traging aan voor- en achterkant; daar nu bij een gecombineerde alzijdige vooi'- en eenzijdige na-belichting de groeivertraging aan den 1437 achterkant relatief grooter wordt, wordt het groeivertragingsverschil en dus tevens de reenlteerende kromming kleiner (Fig. 2). Arisz beschouwt de fototropische inductie en dus ook de krommingsneiging als een primaire i'eactie, doch daar volgens de theorie van Ht,aau\v, die hier door mij verder uitgewerkt is, de groeivertraging primair is en de ki-ommingsneiging secundair, is het beter dit laatste woord niet te gebruiken, maar te spreken van een grootere of kleitiere groeivertraging. De eenzijdige belichting is een bijzonder geval van de alzijdige en niet omgekeerd. We zien dus, dat het van groot belang is, liet verloo[) van de groeivertragingskromme vast te stellen. Uit de getallen van tabel I konden we dir niet goed doen ; bovendien moesten de enei-giegetallen door een coëfticient gedeeld worden, wilden ze vergelijkbaar zijn met horizontaal invallend licht. We zullen nu trachten op een andere wijze de ligging van het maximum van de groeivertragingskromme op te sporen. Een tweede verschijnsel, dat zich voordoet bij de combinatie van een alzijdige voorbelichting en een eenzijdige nabelichting, is dat, wat Clark') noemt: het gevoeliger worden voor de negatieve reactie. Ook hiervoor kunnen we een eenvoudige verklaring vinden, als we aannemen, dat de groeivertragingskromme een dalend deel bezit. Indien de voorkant bij eenzijdige belichting een lichtenergie ontvangt, die juist j over het maximum heen is, zal de achterkant, die 4 deel hiervan I krijgt, nog op het stijgende deel liggen. De ordinaat van den voor- j kant is hier echter nog grooter dan die van den achteikant, er treedt I nog een positieve kromming op. Wanneer we nu méér energie een- ! zijdig toevoeren, zullen we de punten, die de energie aan voor- en j achterkant voorstellen, langs de groeivertragingskromme moeten 1 schuiven, zóó, dat steeds x,, = 4a’H. Er zal dan pas veel verder een negatieve kromming kunnen optreden, door den betrekkelijk grooten afstand, die er tusschen en bestaat d. w. z. zal het maximum ver gepasseerd moeten zijn, voordat de kleinei- wordt dan de ya ; de Xa behoeft het maximum dan nog niet voorbij te zijn. Wanneei' dan het negatieve groeivertragingsverschil — ya groot genoeg is, om in een kromming zichtbaar te worden, zal er een negatieve kromming optreden (± 5000 M.K.S., indien deze binnen 5 minuten toegediend zijn). Indien beide op het dalende deel liggen, zal er, zoodra Xa het maximum voorbij is, een negatieve kromming op kunnen treden, ook al liggen de en x„ minder ver van elkaar verwijderd ; de voorkant behoeft hierbij veel minder dan 0 O. L. Clark. Uber negativen Phototropismus bei Avena sativa. Zeitsch. f.. Botanik. 1913. 1438 4.i’a te ontvangen, om toch nog een zichtbare negatieve krom- ming mogelijk te maken. We kunnen nu door een kunstgreep maken, dat en ofschoon beide op liet dalende deel, toch dicht bij elkaar komen te liggen. Deze bestaat hierin, dat we alzijdig voorbelichten met een lichthoeveelheid, die zoo groot is, dat voor- en achterkant daardoor beide een energie ontvangen, die oveieenkomt met het maximum van de groeivertragingskromrne. Indien we daarna een energie eenzijdig toevoeren, die alleen toegediend, een sterk positieve kromming zou gegeven hebben, zal er nu, indien althans .r„ — x„ zoo groot is, dat y„—y,; een zichtbare kromming kan geven, een negatieve kromming optreden. Ook hier zal de grootte van het groeivertragingsverschil, dus de drempelwaarde voor de negatieve kromming, afhangen van de helling van de groeiverli-agingskromme, evenals dit bij de positieve kromming het geval was. Hier volgen eenige gegevens uit de tabellen 25 en 26 van Arisz; ik heb hieraan toegevoegd de getallen, die de lichthoeveelheden in M.K.S. weer- geven, welke de voor- en achterkant ontvangen bij de alzijdige voorbelichting -|- eenzijdige nabelichting. TABEL III. Energie der eenzijdige nabe- lichting in Alzijdige voorbelichting. 12.1 M.K. ged. 180 sec. 25 M.K. ged. 100 sec. M. K. S. Energie (vóórkant in i M. K. S. Energie achterkant in M.K. S. ! ! Reactie. Energie voorkant in ; M.K.S. Energie achterkant inM. K. S. Reactie. 44 1405 1372 0 1606 1 1573 0 60 1421 1376 0 ' 1622 ! 1577 0 120 1481 1391 9 1682 1592 0 500 1861 1486 ? 2062 i 1687 9 1000 2562 1812 ? Verklaring: Energie voorkant 1405 M.K.S. is berekend uit = ^12.1 X + 44^ K- S. Energie achterkant 1372 M.K.S isberekenduit^^ ^ “h ^ Arisz bedoelt mei : ,, sommige planten krommen zich zwak positief, maar steeds zijn er enkele, die zich negatief krommen”, dit is met proeven op den klinostaat gecontroleerd. Hij brengt dit verschijnsel van het ,, gevoeliger worden voor de negatieve reactie” in direct verhand met het feit, dat na 300 — 600 M.K.S. de sterkte 1439 vjln de maximale kromming vermindert en acht het mogelijk, dat ,,door combinatie van een liclithoeveelheid, die een kromming geeft, die over de grootste maximale krojnmingssterkte heen is en een, die maximaal of vrijwel maximaal is, een kromming naar de zwakste belichting te verkrijgen” is. Maar evenmin als we het ,, ongevoeliger worden voor de positieve reactie” in direct verband mochten bren- gen met de tegengestelde ki'ommingsneiging, mogen we hier het ,, gevoeliger worden voor de negatieve i-eactie” in direct verband brengen met de sterkte van de maximale kromming, doch moeten I dit verklaren uit den loop der groeivertragingskromme. Immers de maximale kromming zal dan het steikst zijn, wanneer het verschil der ordinaten, die bij .Cy en|.ry behooren, maximaal is. Het dalen van de grootte van dit verschil hangt pi’imair samen met do ver- mindering van de helling van de groeivertragingskromme en atleei\ de snelheid, waarmee de kromming bij hoogere energie afneemt of het negatief worden van de kromming, hangt samen met het feit, of de groeivertragingskromme een maximum heeft of niet. De groei- vertragingskromme zal dus nog blijven stijgen, hoewel de sterkte der kromming (d.i. het verschil der ordinaten, die bij en|^a’,, behooren) al bezig is te dalen ; het maximum zal dus veel hooger liggen dan 300 — 600 M.K.S. Uit bovenstaande tabel blijkt nu, dat, indien de achterkant ongeveer 1400 M.K.S. krijgt, er negatieve krommingen kunnen optreden. Hier ongeveer moet dus het maximum van de groeivertragingskromme liggen. Dit zal nogal variabel zijn bij de verschillende individuen; als het iets hooger ligt, zal er nog een zwak positieve reactie mogelijk zijn; indien het op of onder I 1400 M.K.S. ligt, zullen er negatieve krommingen kunnen optreden, dit hangt af van de grootte der helling van het dalende deel. Ook uit tabel II kan men door omrekening vinden, dat er nooit een negatieve kromming optreedt, als de achterkant minder dan 1400 M.K.S. krijgt. Zoo geven 1756 M.K.S. aan den voorkant en 1006 M.K.S. aan den achterkant nog een sterk positieve kromming; hier moet dus de y van 1756 M.K.S. grooter zijn dan de y van 1006 M.K.S. We mogen dus de ligging van het maximum van de groei- vertragingskromme op ± 1400 M.K.S. stellen. De achterkant zal bij eenzijdige belichting dan pas maximaal ver- traagd worden, wanneer de voorkant m X 1400 M.K.S. krijgt (pro- ductregel). Deze energie moet natuurlijk voorbij de drempelwaarde voor de negatieve kromming liggen, anders zou ya nooit grooter dan y„ kunnen worden «n zouden er geen negatieve krommingen kunnen optreden. Hieruit kan men de waarde van m. benaderen. Ik wil nog een derde manier aangeven, waarop men het verloop j44() van de groei vertragingskroniine kan leeren kennen. Dit kan men doen door de grootte van de maximale kromming evenredig te stellen aan hei groeivertragingsvei’scliil van voor- en achterkant. Wanneer men de maximale krommingssterkte dan nitzel in een kromme, met alsabseis de energie, zal dit de versohilkromme voorstellen van de groeivertiagingen \'an voor- en achterkant, althans lelatief. Door een eenvoudige wiskun- dige berekening kan men dan nit de verschilkromme de groei vertragings- kromme van den voorkant beiekenen, waarbij weer aangenomen is, dat de achterkant | krijgt van de energie van den voorkant; hierbij stellen de grootten der groeivertragingen natnnrlijk geen absolute waarden voor. De punten van de groeivertragingen aan den achterkant vindt men door van de voorkantkromme de vei'schilkromme af te trekken ; men kan deze ook vinden, door de voorkantkromme op 4 X zoo groote abscissen nit te zetten. De sterkten van de maximale krommingen bij verschillende energie heb ik ontleend aan Arisz tabel 1 en 3 ; de energie is bier steeds in 10 sec. toegediend. Dam- de voorkant door de volle energie bestraald wordt’), hebben we hier weer den loop van de groeivertragingskromme geconstiueerd. Langs dezen weg komen we tot het volgende resultaat ; van 0 — 100 M.K.S. is het vei loop van de groeivertragingskromme ongeveer recht- lijnig, daarna neemt de helling af, zoodat ze van 300 — 700 M.K.S. vrijwel logarithmisch wordt, terwijl een maximum op ± 1600 M.K.S. gevonden wordt. Dit komt dus op voldoeiide wijze overeen met het reeds vroeger gevondene. Tenslotte wil ik nog mededeeleii, dat het mij gelukt is, ook het verdere verloop van de groei veitragingskromme theoretisch \ast te stellen, waardoor èn de verschijnselen bij langere eenzijdige belichting èn die van eenzijdige belichting, voorafgegaan door langere alzijdige, duidelijk worden. Hier is de groeivertraging niet als functie van de energie voor- gesteld, doch als functie van den lijd, gedurende welken met een- zelfde intensiteit belicht is geworden. Daar bij een eenzijdige belichting, die volgt op een alzijdige voorbelichting, welke langer dan 5 min. duurde, weer een positieve kromming o[)lreedt, moet de y„ dus weer grooter worden dan de ;?/«■ Dit komt tot stand, doordat de groeivertragingskromme weer gaat stijgen, indien de plant langer dan 5 min. belicht wordt. Daar hiei- de helling toeneemt, zal de drempelwaarde voor de positieve kromming moeten dalen. Dit laatste feit komt overeen met dat, wat Clark en Arisz gevonden hebben nl. dat de drempelwaarde daalt, indien de planten langer dan 5 min. ') Zie noot 2 p. 1481. 1441 en korter dan 20 min. worden vooi belicht. Indien langer dan 20 min. groeivertraging Fig. III. Schematisclie voorstelling van de groeivertragingskromme voor een intensiteit 4. de groeivertragingskromme voor een intensiteit 1 . de krommingssterkten, die optreden wanneer men eenzijdig belicht met een intensiteit 4. voorbeüclit wordt, is de groeivertragingskromme een rechte lijn geworden, daar de drempelwaarde nu constant blijft, hoelang men ook met die intensiteit vooibelicht; er is geen stemmingsverandering meer. Omgekeerd, zal er geen sprake z ij n van ,,s t e m- ming”, ..verandering van gevoeligheid” bij een proces, waarvan het effect rechtlijnig stijgt met toenemende prikkelsterkte. Daar nu bij eenzijdige belichting gedurende langer dan ± 5 min. ook weer een positieve') kromming verkregen wordt, zal de groei- vertragingskromme voor een intensiteit m X zoo groot, steiler loopen, dus voor dezelfde abscis (tijd) een grooter ordinaat (groeivertraging) hebben. Indien men echter de groeivertragingen van verschillende intensiteiten bij gelijken belichtingsduur neemt en deze in een kromme ten opzichte van de intensiteiten uitzet, zal van deze kromme bij hboger intensiteiten de helling natuurlijk sterk afnemen, gelijk een eenvoudige beschouwing leert. Hiermee stemmen twee feiten o\ ereen : >) Zie noot 2 p. 1430. Verslagen der Afdeelmg Natuui-k. Dl. XXVIl. A“. 1918/19. 93 1442 ten eerste, dat de drempelwaarde na langdurige voorbelichting met sterke intensiteiten hooger komt te liggen dan na langdurige belich- ting met zwakke intensiteiten; ten tweede, dat lange eenzijdige belichting met een sterke intensiteit eeii geringere kromming geeft dan belichting met een zwakke intensiteit gedurende dienzelfden tijd. We zien dus, dat de fototropische kromming bepaald wordt dooi- de reacties van de afzondei-lijke lengtestrooken, resp. voor- en achter- kant. Vroeger beschouwde men de kromming als het directe effect van één prikkelingstoestand, de fototropische, die als zoodanig ge- ïnduceerd zou worden. Volgens het door Bj.aaüw en mij ingenomen standpunt moet men de kromming beschouwen als de resultante der etfecten van de prikkelingstoestanden, die bestaan aan den kant, naar welken de latere kromming zal plaats hebben en aan den tegenover- gestelden kant. Deze prikkelingstoestanden uiten zich in fotogroeireacties. Het vei-schil van beide reacties uit zich in de fototropische kromndng. De oorzaak van dat, wat men vroeger ,, stemming” noemde, is gelegen in eigenaardigheden van de groeivertragingskromme. Deze eigenaardigheden doen zich tendeele voor bij elk proces, waarbij de reactie niet rechtlijnig toeneemt met het agens. Ook een galvano- meter of tangentenboussole wordt ,, ongevoeliger” bij grooter stroom- sterkten. De ,, stemming” op een bepaald punt van de groeivertragings- krommo, hetzij men als abscis de energie, hetzij men den lijd neemt, is dus afhankelijk van de grootte en van het teeken (-[- of — ) van den hellingshoek en van de richting waarin ze verandert. Men kan dit teeken leeren kennen, door te maken dat Xo en Xa dicht bij elkaar komen te liggen; dan is aan de kromming te zien, ofy^ — ya positief (positieve kromming) of negatief (negatieve kromming) is. Bij eenzijdige belichtingen liggen .r,, en .r„ te ver uit elkaar en kunnen elk op een ongelijknamig deel van de ki-omme liggen, waardoor men deze zeer lastig kan construeeren. Hoe dichter men a-y en bij elkaar brengt, des te nauwkeui-iger kan men den hellingshoek leeren kennen. Daar we gevonden hebben, dat de groeivertragingskromme een stijgend, een dalerid en daarna weer een stijgend deel vertoont, moet dns de ,, stemming” drie phasen doorloopen ; tenslotte is na 20 min. door vei-dere belichting met die intensiteit geen „omstem- ming” meer mogelijk. Deze drie phasen zijn in de literatuur her- haaldelijk besproken en verklaard door stemmingsprocessen; men dacht hierbij aan een verandering der perceptiebasis. Door boven- staande uiteenzetting blijkt echter, dat het begrip stemming niets specifieks heeft, doch eenvoudig een uiting is van eigenaardigheden vati de groeivertragingskromme. 1443 Elke groei vertfagingskroin me bezit een maximum op i 1400 M.K.S. en een minimam op ongeveer 5 min. De groeivertragingskrommen van twee intensiteiten, die zich verbonden als 1 : tn en waarmee 5000 M.K.S. binnen 5 min. kan worden toegediend, snijden elkaar 0[) twee punten, het eerste snijpunt is de drempelwaarde voor de negatieve kromming (± 5000 M.K.S.), liet Iweede is de tijddrem- pel voor de tweede positieve kromming (5 min.). Men zal echter de groeivertragingskromme, de energiekromme zoowel als de tijd- kromme gemakkelijkei’ en jnister kannen constrneeren nil getallen i van fotogroeireacties dan nit interpolaties volgens bovengenoemde methode, die wel qnalitatief', doch niet absolnnl qnantitatief is. De fototropie blijft echter haar waarde behouden, daar de bestn- j deering der fotogroeireacties in zooverre moeilijkheden Ihedt, dat we hier zeker te maken hebben met pi-ikkelgeleiding, terwijl we alleen de reactie van de geheele plant waarnemen. Doordat bij de fototro- pische kromming de verschillende zones na elkaar gaan krommen, I krijgt men deze prikkelgeleiding hiei' niteengelegd in haar opeenvol- I gende phasen. Ook het groeivertragingsverschil zal als fototropische I kromming constanter zijn, dan wanneer dit gevonden woi'dt, door I bij twee verschillende planten de fotogroeireacties, bij de eene voor I een energie 1, bij de andere voor een energie m, te onderzoeken, j Bij de eenzijdige belichting vinden de twee proeven n.1. in dezelfde I plant plaats, een aan den voorkant, de andere aan den achteikani. j Het verschil, de resultante der twee reacties, zal dns minder onder- i hevig zijn aan individneele variabiliteit. I Utrecht, April 1919. j i ! 93* Sterrenkunde. — De Heer Juliüs biedt eene niededeeling aan van den Heer P. H. van Cittert : „De ophouw der zonnestraling” . (Mede aangeboden door den Heer Haga). Zooals bekend is, neemt de liclitsterkte op de zonneschijf van het centrum naar den rand zeer melkbaar af, en wel voor verschillende kleuren in verschillende mate: de rand van de zonneschijf is duidelijk roodachtig tegenover liet centrum. Met behulp van een spectraalphotometer bepaalde Vogel ’) die intensiteits\'erdeeling voor zes golflengtegebieden in het zichtbai’e gedeelte van het spectrum. De intensiteitsvermindering naar den rand bleek voor licht van kortere goltlengte sterker te zijn dan voor licht van langere goltlengte, de vermindering verloopt echter niet O continu met de golflengte, maar vertoont in de omgeving van 5000 H een anomalie; het contrast van den rand tegen het centrum is voor dat golflengtegebied geringer dan de contrasten voor de overige goltlengtegebieden zouden doen verwachten. De waarnemingen van Vogel zijn in 1906 door Abbot ’) herhaald met behulp van een bolometer. Abbot bepaalde de intensiteitsver- mindering voor een groot aantal golflengtegebieden in het infrarood en het zichtbare specti'um. Ook hij vond een sterk uitgesproken golflengteëffect : het contrast naar den rand nam naar het violet zeer sterk toe. Ook zijn waarnemingen vertoonden in de omgeving van O 5000 A een anomalie, al is deze minder geprononceerd dan die in de waarnemingen van Vogel. In fig. 1 is voor plaatsen, die op 0.65, 0.825 en 0.95 van den straal der zonneschijf van het centrum verwijderd zijn, als functie van de golflengte Aveergegeven, welke waarde aldaar de intensiteit heeft, wanneer zij in het midden voor alle kleuren gelijk JOO gesteld wordt. De gegevens zijn ontleend aan de tabellen van Abbot. Men ziet, dat de intensiteit naar den b Waar gesproken wordt van den rand van de zonneschijf worden bedoeld gebieden in de buurt van den rand, bijz. van den straal der schijf van het centrum verwijderd. De verschijnselen vlak aan den rand laten wij buiten be- schouwing. ») H. G. Vogel, Berl. Ber., 1877. b G. G. Abbot. Ann. of the Obs. of the Smiths. Inst., 2, 205, 1908 ; 3, 153, 1913. 1445 1‘and snel afneeiut, en wel des (e sterker, naarmate de golflengte kleiner is, maar tevens valt in het oog, dat in het gebied 6000- 4000 A deze intensiteitsvermindering een schommeling vertoont. Ir Opgemerkt dient te worden, dat op dezelfde plaats in het S[)ectrnm het energiemaximum der zonnestraling is gelegen. (De waarnemingen O o van Abbot liepen van 21000 A tot 3800 A ; het gedeelte van 2J000 — 9000 A is echter in de tignnr weggelaten, omdat de kromme O lijnen daar geen onregel matigen gang vertoonen, maar naar 21000 ^4 toe de lijn 7,. = 100 geleidelijk naderen.) Om déze intensiteitsvermindering naar den rand te verklaren hebben vele onderzoekei'S de zon beschouwd als een zeltlichtende, gelijkmatig stralende kern, omgeven door een sterk absorbeerende atmospheei’. Nn moet natnnrlijk de toestand in de zonneatmospheer gemiddeld stationnair zijn : de hoeveelheid energie, die de atmospheer absorbeert, moet, zij het in anderen vorm, weer nitgestraald worden, en wel voor de helft tiaar buiten. Nu is uit de waarnemingen bij de ringvormige eclips van 17 April 1912 ') overtuigend gebleken, dat van de totale hoeveelheid energie, die de aarde van de zon ontvangt, hoogstens het duizendste gedeelte afkomstig kan zijn van 1) W. H. JuLius. Verst. Kon. Ak. v. Wet., 21, 1499, 1913. 1446 (Ie zoniieatraosplieer. Het is des ónmogelijk, dat absorptie de lioofd- oorzaak is van de intensiteitsvermindering naar den rand. Voortbouwende 0[) de onderzoekingen van Raylkigh '), Schuster’), King’) en Schwarzschild H over de moleculaire verstrooiing van het licht heeft Spijkerboer ‘j het vraagstuk behandeld, hoe de lichtver- deeling over de zonneschijf voor de verschillende kleuren zon zijn, indien nitslnitend molecnlaire verstrooiing in een niet absorbeerende en niet zeltlichtgevende atmospheer de oorzaak was, waardoor de in alle richtingen gelijkmatige straling van een zeltlichtgevende zonne- kern werd gewijzigd. Hij kwam daarbij tot een lichtverdeeling, die zeer veel overeenkomst vertoont met de verdeeling door Abbot waargenomen. De invloed der diffusie wordt bepaald door het product H = s.t, waarin i= de dikte der verstrooiende laag en s = = de verstrooiingscoëfüciënt van Rayleigh. Indien men nn aanneemt, dat t voor licht van verschillende golflengte dezelfde waarde heeft, dat dus ,,de kern” voor alle kleuren even diep ligt, wordt het golf- lengteëffect uitsluitend bepaald door de afhankelijkheid van s van /k daar, indien men lichtsoorten in de nabijheid der eigenfrequenties Iniiten beschouwing laat, (n — 1) zeer weinig over het spectrum zal varieeren. Het blijkt echter, dat de waargenomen afhankelijkheid van de golflengte iets minder sterk is, dan de theorie doet verwachten. Dit kan het gevolg zijn van het feit, dat naast de diffusie nog een ander verschijnsel optreedt, dat een dei'gelijken invloed op de licht- verdeeling heeft als de diffusie, maar dat niet zoo sterk van de golflengte afhankelijk is, bijv. onregelmatige brekingsverstrooiing en mogelijk een zeer geringe absorptie. Nu is het zeer waarschijnlijk, dat, voornamelijk in de diepei'e lagen der zonneatmospheer, onregelmatige breking een merkbare rol speelt. Immers aan het bestaan van een zeei' ongelijkmatige dicht- lieidsverdeeling in de zonnegassen kan men niet twijfelen, de voort- durende veranderingen in de granulaties en flocculi 0|) de zonneschijf wijzen in ieder geval 0|) een ingewikkeld stelsel van stroomingen in die gasmassa, en deze zijn zonder drukverschillen en daarmee ') Rayleigh, Phil. Mag., (5). 47, 375, 1899. ScHUSTEK, Astrophys. Jouni., 21, 1, 1905. k King, Pliil. Trans. R.S., A (212), 375, 1912. ScHWARzscHiLD, Berl. Ber., 47. 1183, 1914. “) J. Spukeuboer, Verstrooiing van licht en intensiteitsverdeeling over de zonne- schijf. Proefschrift. Utrecht 1917. Arch. Néerh, (3A), 5, 1, 1918. 1447 gepaard gaande onregelmatige diehtlieidsgi'adiënten niet denkl)aai’. De gemiddelde grootte dier gradiënten, die gering is in de buitenste lagen der zon, moet, naarmate men dieper komt, aanvankelijk toe- nemen. Op zekere diepte zullen dan de onregelmatige diclitlieids- gradiënten gemiddeld van dezelfde orde van grootte zijn als bijv. de vei'ticale gradiënt van onzen aardschen dampkring. Een gasmassa nu, van de afmetingen der zonneatmosplieer, geheel doortrokken met onregelmaiige gradiënten van zoodanig bedrag, zou, gelijk door JuLiüs^) is aajigetoond, de lichtstralen, die haar doordringen, zoo sterk naar alle kanten buigen en verstrooien, dat het gas zich aan den verwijderden beschouwer zou vertoonen als een troebele midden- stof; immers, de volumedeelen, waarin de dichtheid als constant en dus het licht als rechtlijnig beschouwd kan worden, zouden te klein zijn om op zoo’n grooten afstand afzonderlijk waargenomen te kunnen worden. Daar nu de grootte der brekingsverstrooiing bepaald wordt door {n — 1) en dus beti-ekkelijk langzaam met A varieert, zal het optreden dezer verstrooiing het gemiddelde golflengteëffect verzwakkeji. Tevens zal de vermindering van de intensiteit van het centrum naar den rand sterker zijn, dan het geval zou zijn, indien alleen diffusie de oorzaak dier vermindeiing was. Door het optreden der onregelmatige breking zal dus het verschil in de verzwakkirig voor de verschillende golflengten verminderd, daarentegen het contrast van het centrum naar den rand versterkt worden. Als tweede mogelijke oorzaak van het feit, dat het waargenomen golflengteëffect geringer is dan het theoretische, noemt Spi.ikerbokk de mogelijkheid, dat het licht van de langere golflengten, daar het minder sterk door diffusie verzwakt wordt, uit diepere lagen der zon tot ons zou kunnen komen dan het licht van kortere golflengte. Deze onderstelling breekt dus met de hypothese, dat de zon zou zijn op te vatten als een goedgedefinieerde kern, omgeveu door een streng gescheiden atmospheer. De opvatting, dat licht van verschil- lende diepte tot ons kan komen is meei- in ovei-eenstemming met de voorstelling van de zon als te zijn een gloeiende gasmassa, waarvan de dichtheid en de temperatuur naar buiten toe geleidelijk afnemen. Daar nu het licht van grootere golflengte veel minder verzwakt wordt dan dat van kortere golflengte, zal dat dus uit diepere lagen van de zon tot ons komen. Het infraroode licht zal daardoor dus relatief sterker vei'zwakt worden, dan het geval zou zijn, indien het uit even diepe lagen (ot ons kwam als het \ iolette licht. Uit welke diepte het licht tot ons komt, wordt echter niet alleen >) W. H, JuLius, Versl. Kon. Ak. v. Wet, 17, 198, 1908; 18, 182, 1909. 1448 bepaald door de sterkte der ditfusie, maar ook door de onregelmatige breking. Daar deze van de golflengte weinig afhankelijk is, zullen de vei’schiilen in diepte voor de verschillende kleuren niet zoo groot zijn als in het geval, dat alleen diffusie een rol speelde. Indien, zooals zeer waarschijnlijk is, in de diepere lagen de onregelmatige breking de hoofdrol speelt, zal dus het verschil in diepte betrekkelijk gering moeten zijn. Vragen wij ons nu eens af, hoe, uit dit oogpunt bezien, de straling, door de zon in een richting w i^fig. 2) uitgezonden, moet zijn opge- bouwd. De buitenste lagen der zon zullen zeer weinig energie uit- stralen; naar binnen neemt de hoeveelheid uitgezonden energie toe, eerst langzaam, daarna sneller, ten gevolge van het toenemen van temperatuur en dichtheid. Onderstellen wij, dat d e f de laag is. waarbuiten geen merkbare hoeveelheid energie wordt uitgestraald. Beschouwen wij nu eerst de straling, door het oppervlak d e f \\\ de richting lo uitgezonden. De verstrooiing in de atmospheer buiten d e f zullen wij dan naderhand in rekening brengen. Uit het gebied om g, in hel centrum der zonneschijf ontvangt w een betrekkelijk 1449 geringe hoeveelheid straling van betrekkelijk lage teniperatunr, uit een grootere hoeveelheid van hoogere teinperatnnr, enz. , Aan- Ivankelijk zal de hoeveelheid energie, die uit de verschillende diepten ontvangt, naar binnen toenemen ; hoe dieper we echter komen, hoe meer de uitgezonden straling door absorptie, brekings- t verstrooiing en diffusie verzwakt wordt. Uit bijv. zal weer minder straling ontvangen dan uit e^, maar van hoogere temperatuur, uit eg zeer weinig, enz. Onderstellen wij, dat w uit lagen dieper dan j gelegen geen merkbare hoeveelheid energie ontvangt, (Opge- j merkt dient te worden, dat 'W uit e ook straling ontvangt afkomstig ;] uit gebieden e' en e" in de omgeving van den \oerstraal je, welke 'I straling door diffusie en onregelmatige breking ten slotte in de j richting e lo terecht is gekomen). Beschouwen wij nu de energiekrommen van de stralijigen, uit die verschillende gebieden afkomstig, als functie van de golflengte. Alle zullen ongeveer het karakter hebben van de stralingskromme j van het absoluut zwarte lichaam ; langzaam toenemen der energie I van het infrarood tot een maximum, en dan betrekkelijk sterk j afnemen aan de violette zijde van het maximum. De plaatsen der I maxima van de verschillende krommen worden riiet alleen door de j temperatuur der bijbehoorende stralingen bepaald, maar ook door de i relatieve grootte van de vei'strooiing door diffusie tegen die door j onregelmatige breking. Immers, daar het licht van kortere golflengte I veel sterker dooi' diffusie verzwakt wordt dan dat van langere I golflengte, zal door de diffusie het maximum naar de zijde der I langere golflengten verplaatst worden; de onregelmatige breking j daarentegen verplaatst het maximum uiet, omdat zij van de golf- I lengte vrijwel onafhankelijk is. Hij de krommen behoorende bij de j straling uit diepere lagen afkomstig, zou het maximum meer naar I violet liggen dan bij de krommen behoorende bij de buitenste lagen, I indien de hoogere temperatuur de eenige factor was, echter meer naar het rood, iiidien uitsluitend de diffusie invloed had. De grootte van het maximum wordt bepaald door de temperatuur van de straling, de dichtheid op de [ilaats van uitzending en de verzwakking, die de straling door de diffusie, onregelmatige breking en absorptie heeft ondergaan. Als resultaat mogen wij dus aanuemen, dat uit het centrum der zonneschijf in de richting w een hoeveelheid energie geëmitteerd wordt, wier euergiekromme van het infrarood eerst langzaam, daarna sneller toeneemt tot een vlak maximum, en dan zeer steil naar het violet afvalt (fig. 3 I). Niet ver van den rand van de schijf, bijv. bij c (fig. 2) zal men 1450 tot een grootere diepte k {ck^bj) kunnen inkijken, echter tot een minder diepe laag. Aan den rand ontvangt men uit ƒ dus slechts straling uit de meer naar buiten gelegen gebieden om De hoeveel- heid energie, die w van den rand der schijf' ontvangt is dus voor alle kleuren geringer dan die welke uit het centrum ontvangt. De energiekromme van den rand van de zon zal dus in haar geheel lager liggen dan die \'an het centrum. Was het energieverschil voor alle kleuren hetzelfde, dan zou de samenstelling van het licht aan den rand voorgesteld worden door een kromme, die hetzelfde verloop had als die van het centrum tfig. 3 II). Nu is direct in te zien, dat dit niet het geval kan zijn, immers, de straling aan den rand zal niet zoo’n verscheidenheid aan temperatuur, onregelmatige breking, diffusie, enz. vertoonen als die in het centrum, daar aan den rand slechts straling uit een geringer aantal lagen tot de totaalstraling bij4 n, cosn'^i' ....... (1) In de staaf o, cosn — ^-j- Rechts van B «5C0S n' ....... (2) v' voortplantingssnelheid, behoorende bij n' Men vindt gemakkelijk (P'a — /i) = Door de relativiteitstransformatie b .v' =■ a.v — h et , t' = at x a’ — 6’ = 1 . . (4) c en , b , X = ax' b ct' , t = at -j c kan men tot een stelsel overgaan, waarin de staaf zich beweegt, en wel met de snelheid b c u> = ~ (5) 1469 Uit (1) en (2) ontstaan n — (a -{- b) n' (7) Het phaseverscliil tussciien (1) en (2), d. w. z. de phaseverandering die de aanweziglieid der staaf teweegbrengt, wordt door (3) in hoek- maat gegeven, en ditzelfde phaseverscliil bestaat ook nog tusschen de uitdrukkingen (6). In golflengten of perioden uitgedrukt, is liet Wij moeten hier nu echter n' en v' uitdrukken in 7i en de daarbij behoorende v. Uit (4) en (5), als wij termen van de tweede orde verwaarloozen, volgt a = 1 , b = dus volgens (7) dv w dv d' = t; (n' — li) — ~v - -n - dn c d7i V — I Na substitutie in (8) vindt men voor het deel van A, dat van tv af hangt, nl ii; I I 1 n dv i 2n c I r c dn\' 2jtc c of, na invoering van ?i = — “ A fi met behulp waarvan dadelijk (9) van § 9 volgt. ( Wordt vervolgd). Scheikunde. De Heer P. Zeeman biedt naiTiens den Heer A. Smits een mededeeling aan over; „Metalen en Niet-metahn" . (Mede aangeboden door den Heer S. Hoogewerff). Inleiding. In een paar vroegere inededeelingen besprak') ik reeds de onaan- tastbare electroden en linn bruikbaarheid als gas-eleetroden. In het bijzonder wei-d echter alleen gesproken over de waterstof-electrode. Er werd op gewezen, dat de onaantastbare electroden tot de aller- traagste metalen behooren, daar zij zóó traag zijn, dat zij zelfs in contact met een electroljt zich niet in innerlijk evenwicht stellen, zoodat zij bijna altijd in verstoorden toestand verkeeren, en de potentiaal van het werkelijk nnaire metaal ons zelfs niet bekend is. Wordt zoo’n metaal in de watei-ige oplossing van een zuni* gedompeld, terwijl watei-stof wordt doorgeleid, dan wordt de elec- tronen-concentratie van het metaaleven wicht in den electroljt, dat wij voorstellen door de vergelijking: gelijk aan de electronen-concentratie van het waterstof-evenwicht : overeenkomstig den druk van de doorgevoerde waterstof, hetgeen zeggen wil, dat de waterstof-phase en, de walerstof houdende metaal- phase den zelfden potentiaal bezitten, daar de electromotorische kracht van den keten metaal-electroly t-waterstof gegeven wordt dooi- de vergelijking; RT E— in (1) «2 De waterstof-electrode geeft dus de potentiaal aan, die behoort bij het driephasen-evenwicht metaalphase waterstofphase + electroljt, overeenkomstig den heerschenden druk, temperatuur en totaal-ionen- concentratie [H') + (3/’' ). Daar nu echter, zooals reeds bij de be- spreking der E,X-üg. werd opgenierkt, genoemde electroljt een geheel verwaarloosbare concentratie aan ionen van de zoogenaamde onaantastbare electrode bevat, kunnen wij de woorden ,,totale-ionen- concentratie vervangen door waterslof-ionen-concentratie.” >) Kon. Akad. v. Wet. 26, blz. 1398 (1918). „ , „ , 27, blz. 152 (1918). 1471 Beschouwen wij nu liet geval, dat een onaantastbare electrode geplaatst wordt in een electrolyt, terwijl chloor wordt doorgeleid, dan krijgt men in zoo verre weer hetzelfde, dat de electronen-con- centratie van het metaal-evenwicht in den electrolyt zich geheel regelt naar de electronen-concenlratie van het ehloor-evenwicht : Cl, r2^:^2C/' ........ (2) overeenkomstig den druk van het doorstiljkende chloor, waaruit volgt, dat de chloorgas-phase en de chloorhoudende metaal-phase den zelfden potentiaal t. o. v. den electrolyt zullen bezitten. Onze nieuwe be- schouwingen omtrent de electroraolorische even wichten voeren tot de aanname van een electro-ionisatie-evenwicht in chloorgas, al is dan ook de concentratie aan ionen en electronen in deze gasphase uiterst gering. Dat er zoo’n electro-ionisatie bij chloor bestaat bewijst het uiterst kleine electrisch geleidingsvermogen. Nu kunnen wij echter niet volstaan met het hier boven aangeduide evenwicht (2), want in electrisch neuli'aal-chloor kan dit evenwicht niet alleen voorkomen, daar hier slechts sprake is van negatief electrisch geladen deeltjes. Buitendien zou de chloor-electrode t. o. v den elecfrolyt geen positieve lading kunnen aannemen. Ongetwijfeld is deze moeilijkheid ook bij’de vroegere opvatting omtrent het electromotorisclie even wicht gevoeld. De negatieve lading, die het zink bij dompeling in een electrolyt vertoont, verklaarde men als volgt: Het zink streeft er naar als zinkion in oplossing te gaan en men heeft zich blijkbaar steeds voorgesteld, dat dit geschiedde door een gelijktijdige splitsing van het zinkatoom in zinkion -f- electronen, waarbij echter de zinkionen alleen in oplossing gingen en de negatief geladen electronen op het metaal terug bleven. Wil men nu op analoge wijze de positieve lading, die de chloor- electrode t. o. V. een electrolyt aanneemt, verklaren, dan geraakt men in groote moeilijkheden, die er toe hebben geleid, dat sommigen hebben aangenomen, dat er behalve de vrije negatief geladen electronen ook nog vrije positief geladen .electronen bestaari, en deze konden dan als redders in den nood bij de chloor-electrode, en bij de andere niet-metaal-electroden gewichtige diensten verrichten. Want zooals men bij het in oplossing gaan van zink de splitsing Zn Zn " -\-28 aannam, liet men bij het in oplossing gaan van chloor aan de chloor-electrode hel proces Cl,^2CV -f 2 0 verloopen. De gevormde Chloor-ionen gaan in oplossing en de posi- tieve electronen zouden in de chloor-electrode terug blijven. 1472 Aan deze oplossing moet echter alle beteekenis worden ontzegd, omdat tot heden vrije positieve ionen nog nooit zijn aangetroffen en alles er op wijst, dat er slechts ééji soort van electronen bestaat n.l. de negatieve. De moeilijkheid stond dus, ondanks een wanhopige poging, nog zéér belemmerend in den weg. De chloor-electrode. Bij overweging van de zooeven besproken moeilijkheid ben ik tot de conclusie gekomen, dat men noodzakelijkerwijs moet aannemen, dat het chloor-atoom het vermogen bezit electronen af te splitsen en op te nemen, en dat beide processen naast elkaar verloopen, hetgeen wij door de volgende vergelijkingen kunnen voorstellen. ') XCl,^^2XCV^ f (1) en Yci,^ -f 2^(9^ ^2 ra;, ...... (2) , waarin X en Y de fracties van het oorspronkelijk aantal mol. 67, aangeven, die een positieve resp. negatieve ionisatie hebben onder- gaan. Daar nu de electronen, die volgens verg. (2; worden opgenomen afkomstig zijn van de electron-ionisatie (1) is het duidelijk, dat r ^ X. In het limiet-geval Y= X zou het chloor een gelijk aantal positieve en negatieve ionen bevatten, en in het geheel geen electronen. Daar wij hier te doen hebben met een niet-metaal zullen A en Y uiterst klein zijn. Het is nu de vraag, hoe men het tot stand komen van de posi- tieve lading der chloor-electrode moet veik laren. Het is duidelijk, dat wij daartoe moeten aannemen, dat bij het niet-metaal, chloor, het de negatieve-ionen zijn, die practisch uitsluitend in oplossing gaan, en dus een zéér veel grootere oplosbaarheid bezitten dan de positieve. Metalen en Xiet-metalen. Deze beschouwingen omtrent het niet-metaal, chloor, die nood- zakelijkerwijs voortvloeien uit de consequente toepassing van de beginselen van de theorie der allotropie op de electromotorische evenwichten voeren ons tot een gezichtspunt, waarvan uil wij de metalen en niet-metalen op zéér bevredigende wijze kunnen overzien. Het is toch duidelijk dat, daar de metallische en niet-metallische q Wij nemen hier eenvoudigheidshalve aan, dat de positieve ionen ook eenwaar- dig zijn. 1478 eigenschappen in het periodiek S3'steem der elementen geleidelijk in elkaar overgaan, de theorie zal moeten doen inzien, dat er tnsschen den metallischen en den niet-metallisehen toestand slechts qnantita- tieve verschillen bestaan, en dat er dns allerlei tnsschen-loestanden mogelijk zijn. Aan dezen eisch is inderdaad te voldoen door een alleszins plau- sibele uitbreiding. Wij moeten daartoe aannemen, dat de atomen van alle elementen, dns metalen zoowel als niet-metalèn, electronen kunnen afs[)litsen en opnomen, zoodat naast elkaar verloopen de reacties : XEn-^lx'-^ ÉX-\- x ''- v,e . ..... (3) m, m, en y"" (4) m, waarin het molecuul van een element, en E',n^ en de ionen beteekenen. Bij metalen is zooals t)ekend nq meestal = 1 en zal vermoedelijk iUj ook wel in den regel = 1 zijn. Bij niet-metalen is m dikwijls = 1, maar daarnaast ook meerdere malen grootei' dan 1 gevonden. Van den factor zal hier dan ook wel hetzelfde verwacht kunnen worden. Met volkomen zekerheid is echter alleen dit te zeggen, dat n j< F— — iq (5) waaruit volgt, dat wanneer het aantal positieve ionen grooter zal zijn dan het aantal negatieve. Wanneer men nu de vraag stelt, in welke opzichten metalen en niet-metalen zullen verschillen, dan is het antwoord het volgende: In de eerste plaats is de factor A" voor metalen betrekkelijk groot en voor niet-metalen uiterst klein, zoodat voor niet-metalen ook de factor Y uiterst klein is. Dit is in overeenstemming o.a. met het groote electrisch-geleidings- vermogen van metalen en het uiterst kleine van niet-metalen. In de tweede plaats bezitten bij de metalen de positie\e en bij de niet-metalen de negatieve ionen de gi-ootste oplosbaarheid. Dit verklaart o.a. het verschil in electromotorisch gedrag tnsschen metalen en niet-metalen. Hierbij moet dan nog worden opgemerkt, dat het 95 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XX Vil. A". 1918/19. 1474 verschil iii oplosbaarheid tnsschen de positieve- en negatieve-ionen, bij de elementen met uitsluitend metallische resp. uitsluitend niet- metallische eigenschappen, zóó groot is, dat men in de koëxisteerende 0|)lossing slechts met de positieve res[). negatieve-ionen behoeft rekening te houden. Bij de tnsschen liggende, twee-slachtige-elementen, zooals Jodium, Zwavel, Seleen, Telluui', Arseen en Antimoon moet echter ter ver- krijging van een dieper inzicht wel degelijk met het bestaan van positieve en negatieve-ionen, ook in oplossing, rekening woixlen gehouden, en zoo ligt hier nog een omvangiljk terrein, ter nadere studie aan de hand der nieuwere beschouwingen omtrent de electro- niotorische evenwichten. Polarisatie hij niet-metalen. Geven wij het niet-inetaal aan met N, dan kunnen wij de vor- ming van negatieve-ionen voorstellen door de verg. Nn + nv 6 .... ... (6) Passen wij nu de bekende thermodynamische afleiding voor den poten tiaalspi'ong toe, dan krijgen wij ; RT, In vh (iV-) (7) waarin (iVp) voorstelt de concentratie van de negatieve-ionen in de phase, waaruit de electrode beslaat, dit kan dus zoowel een gas, een vloeistof of een vaste phase zijn. Gaan wij uil van de electronen formule F {Sl) (B) die algemeen is, omdat het elektron het gemeenschappelijk bestand- deel van alle materie is, dan kunnen wij voor {() i) de waarde sub- slitueeren, die uit (6) volgt voor de vloeistotphase, bij toepassing van de wet van de chemische massawerking, waarbij men komt tot de reeds bekende vergelijking: R'l' ( n;: )“ (9) Om nu het polarisatie-verschijnsel na te gaan kunnen wij ons niet bedienen van verg. (9) maar wel van de nieuwere verg. (7). Voor het goede begrip is het nn gewenscht, dat wij de evenwichten in de electrode volledig aangeven; wij moeten dus ook nog de afsplitsing van electronen weergeven en schrijven derhalve: 1475 ^ Xnv0^^ ..... (6a) en FA',. + r«r(9 ^ FnA''" ...... (6/>) P P Maken wij nu de niet-nietaal-eleclrode iV" tot anode, dan ontti'ekken wij de electronen. Hadden wij met een metaal te doen, en was dus N een metaal, dan zon de eleetrode haat- potentiaal kunnen handhaven, doordat de onttrokken electronen door de reactie (dr/,) tijdig' worden nageleverd, terwijl de daarbij gevormde positieve- ionen in oplossing gaan. Nn N echter een niet metaal is en de positieve-ionen A'' practisch niet in oplossing gaan, zal de reactie (6n;) ook niet noemenswaard kunnen plaats vinden, De eenige manier waarop het niet-metaal N zijn [»otentiaal in het hier onderstelde geval kan handhaven is dan ook deze, dat nit den electroljt negatieve-ionen iV'’' op de electrode neerslaan en daar, door afsplitsing van electronen, het tekoi't aan electronen weder aanvullen. De plaatsgrijpende processen zijn dns voor te stellen als volgt: t t nNl' Daar nn het heterogene evenwicht in de grenslaag tnsschen de negatieve-ionen in de electrode en in den electroljt zich mei zéér groote snelheid moet instellen is het duidelijk, dat het van de snel- heid der electronen-afsplitsing van de negatieve-ionen zal afhangen, of de electrode haar potentiaal handhaaft of niet. Boven een be- paalde stroomdichtheid d. w. z. boven een bepaalde snelheid van electi'onen-onttrekking zal dit niet meer het geval zijn, en een gevolg hiervan zal wezen, dat de electrode te weinig electronen en te veel negatieve-ionen zal bevatten. Uit verg. (7) volgt voor dit geval, dat de potentiaalsprong sterker positief worden zal. Dit polarisatieverschijnsel noemt men bij gassen ,, overspanning' , doch is niet essentieel verschillend van het vei'schijnsel van anodische polarisatie bij metalen. Het is duidelijk, dat, wanneer wij thans overgaan tot de kathodische polarisatie bij niet-metalen dit verschijrisel daaraan moet worden toegeschreven, dat de toegevoegde electronen jiiet snel genoeg dooi- de ongeladen moleculen of atomen worden opgenomen, zoodat de electronen een te hooge concentratie aan electronen en een te geringe 95» 1476 aan negatieve-ionen bezit. Volgens onze verg. (7) geeft dit aanleiding tot een minder positieve waarde van den potentiaalsprong. Daar wij niet den potentiaalsprong, docli de experinienteele eleetrische potentiaal meten is liet aangewezen, de polarisatie-verseliijnselen te bespreken aan de hand van de formule, die voor de „exp. eleetrische potentiaal” geldt voor het geval men met een niet-metaal te doen heeft'). Deze formnle Inidt; waarin 0.058 E = loq + 2,8 ■ (10) Q = Nu volgt uit (7) en (8) (^) {&,y' (Ay ){^J K (11) Verder is zooeven aangetoond, dat bij anodisehe polarisatie [6p) af en [Np) toeneemt ; hieruit volgt dus, dat in dit geval het oplos- baarheidsquotient moet toenemen, en de exp. eleetrische potentiaal van het niet-metaal dus sterker positief zal worden. Bij kathodische polarisatie neemt het oplosbaarheidsquotient af en wordt dus de exp. eleetrische potentiaal van het niet-metaal minder sterk positief. Txüeeslachiige elementen. De tweeslachtige elementen zijn, zooals reeds gezegd, daardoor gekarakteriseerd, dat zij zoowel positieve als negatieve ionen in oplossing zenden. Wordt zoo’n element tot anode gemaakt, dan kunnen dus positieve- ionen in oplossing gaan, of er kunnen negatieve-ionen uit den electroljt op de anode neerslaan of beide pi-ocessen kunnen gelijktijdig verloopen. Maakt men het element tot kathode, dan kunnen positieve-ionen op de electrode neerslaan of negatieve-ionen in oplossing gaan of beide processen verloopen naast elkaar. De verdere studie vaii deze tweeslachtige elementen, die wij spoedig hopen aan te vangen, zal aan de hand der nieuwe theorie omirent de electromotorische even wichten vermoedelijk een dieper inzicht geven in het karakter van deze zoo merkwaardige elementen. Amsterdam, 10 April 1919. Ijahoratorium voor algemeene en anorganische chemie der Universiteit. ’) Versl. Kon. Akad. v. Wet. Natuurkunde. — De Heer Lork.ntz biedt eene tnededeeling aan van de Heeren L. S. Ornstein en ¥. Zernike over: „De hysterem-h'omme voor h'istal-agy regalen ' . (Mede aangeboden door den Heer Juuus) Weiss‘) heeft de liysteresis-kroinrne van ijzer tlieoretis('li afgeleid door het als een aggregaat van kleine kristallen o[) te vatten. Aan de elementaire kristallen heeft hij daarbij de eigenschappen van pyrrothine toegekend. Dat wil zeggen; hij heeft ondersteld dat zij een ,, magnetisch vlak” bezitten, waarin twee onderling loodrechte richtingen voor de magnetisatie liggen, van welke richtingen de een de andere verre in magnetiseerbaarheid overtreft. In de richting lood- recht op dit vlak gedraagt het kristal zich niet feiromagnetisch. De hysteresis-krommen die Weiss aldus vindt voor de aggregaten, vertonnen overeenstemming met de waargenomene, doch zij vertoonen knikken. Het komt ons voor dat deze afleiding verbetering behoeft door de ontmagnetiseerende kracht in aanmerking te nemen. Wij zullen de hysteresis-kromme voor een kristal-aggregaat afleiden. Daarbij zullen wij ons bepalen tot het geval dat de elementaire kristal- len slechts één richting van magne- tiseerbaarheid bezitten ; op andere gevallen is intnsschen de beschouwing gemakkelijk uit te breiden. Wij onder- stellen dat de hysteresis-kromme vooi- lange staatjes (waarvan de lengterichting in de voorkeurrichting ligt, rechthoekig is füg. 1). De ver- zadigingsmagnetisatie zij il/„, de cor- rectief kracht Nu kan men zich voorstellen dat de stof niet uit staatjes bestaat, doch uit kristallen, 1) Journal de Physique 4 Série Tomé VI. 1478 b.v. uit rlionibendodekaeders. Inplaats van dezen vorm aan de elemen- taiie kristallen toe te kennen, kunnen wij ze bolvorrnig denken. In deze bolletjes kan nu de hjsteresis-kronime gemakkelijk ge- construeerd worden, als men bedenkt dat er een ontmagnetiseerende kracht — ^ Af in werkt (waarin AI de magnetisatie voorstelt). Stellen wij nu de magnetische kracht waarin het bolletje geplaatst is ///,, dan is de ki’acht binnen in het bolletje ^ AI, en dan zal de magnetische kracht Hg, die wij voor een staafje moeten nemen om het verband tusschen Hi, en Al te vinden, zijn Hg — Hb — \ M. Men ziet dus onmiddellijk dat de maguetisatie-kromme voor de bol een scheefstaand p.g. wordt, zoodat de afstand BB' { be- draagt (tig. 1). Het beschouwde lichaam bestaat nu uit bolletjes die de gevonden maguetisatie-kromme bezitten en waarvan de voorkeurrichtingen naar het toeval over alle hoeken verdeeld zijn. Wij denken ons nu het lichaam uitwendig door een bol begrensd, en bepalen de hysteresis-kromme. Is deze gevonden, dan is het gemakkelijk haar te bepalen voor hel geval dat de slof een latig- gerekten staafvorm heeft. Wij beginnen met den terugloopenden tak van de hysteresis kromme, nemen dus ƒ/ = go, en verminderen nu H gaandeweg. Indien de voorkeurrichting voor een deeltje met de magnetische kracht een hoek xY vormt, is de magnetische kracht in de voorkeurrichting H cos xY. Zoolang H cos xY grooter is dan y 4/„ — Hc, blijft het be- schouwde deeltje verzadigd gemagnetiseerd. Is H cos iY kleiner, dan is de magnetisatie kleiner dan Al„\ wij bevinden ons dan op den tak CD' van de magnetisatiekromme en hebben M — = H cos d Ho 3 Onverzadigd zijn dus de deeltjes, waarvoor t) grooter is dan iV,. waarbij xY^ gegeven is door 71/, = 3//c -r 3// cos i4,. Het resulteerend moment in de veldrichting is voor deze deeltjes cos YY — SlJc cos xY 3// cos’ xY, terwijl het voor de verzadigd gemagnetiseerde deeltjes AI^cosxY bedraagt. De fractie van het aantal voorkeuriMchtingen waarvoor '7 tus- schen O en >'/ f//> ligt bedraagt 1479 ain i) dd . De bijdrage der onverzadigde deeltjes is dus J 3 sin x> {Hc cos i> -|- H cos* ih) d\} = | fic cos' -\~ H cos* th„, ^0 en voor de deeltjes die verzadigd gemagnetiseerd zijn sin' n o Voegen wij deze beide stukken te samen en gebruiken wij de voor cos gevonden waarde, dan vinden wij voor bet magnetisch moment 2 64 H' Deze betrekking geldt nn van af H oo tot H = \ 4/„ - Immers indien H kleiner dan deze waarde is, zijn alle magneetjes onverzadigd gemagnetiseerd. De berekening van de magnetisatie kan dan geschieden door 71/ c’Os’ it- van ü tot - ^in plaats van van .7 ^ tot te integreeren. Men vindt op deze wijze voor de magnetisatie 3 — //o + H. De H . M kromme is in dit gebied dus een rechte lijn. De be- trekking die wij zooeven hebben afgeleid geldt ook nog voor negatieve waarden van H en wel tot dat — H= \ -j- //^ geworden is Dan toch bevinden zich een aantal magneetjes in zoo sterke negatieve velden, dat zij verzadigd gemagnetiseerd wordem De totale magne- tisatie is dan weder uit twee stukken op te maken, die op de verzadigde en de onverzadigde magneetjes betrekking hebben, en die door integralen voorgesteld worden welke de grenzen o . . .7j en »>i . . . V2 bezitten. De hoek is daarbij gegeven door de betrekking M, + 327, cos Men vindt op deze wijze voor M : M =1 M, + (>/„ + 3/7,)' 54/7' De heetdoopende tak van de hysteresis-kromme kan op analoge wijze bepaald worden. Opmerking verdient dat het rechte en liet kromme deel van de hysteresis kromme wat de richting betreft continu aan elkaar sluiten. De richting der kromme is n.1. gegeven door 1480 dM _{M,-ZHcY dH~ 21 H* In het punt H = 3 ’ waar het rechte en het kromme stuk aaneensluiten, is dit één, terwijl de tg van den hoek van de rechte met de abscis ook één is. Hetzelfde is in het tweede punt het geval. Om nu uit de gevonden hysteresis-Uroinme voor den bol die voor een lange staaf iti het veld H af te leiden, moet men in de formules H door vervangen. Wij krijgen dan voor het rechte stuk 3 2 H. Voor de kromme stukken (d/, — ^Hc) 54 (// + i My M = --~ M, + {M\ -f 3//,)’ 2 ' 54(£? 4 \My De rechte stukken raken nog steeds aan de kromme. De coercitief- kracht is | Hc de verzadigingsmagnetisatie | M Het is niet moeilijk ook voor enkele andere vormen der korrels, en voor andere onderstellingen omtrent hunne magnetische eigen- schappen, deze beschouwing door te voeren. De nevensgaande figuur geeft een voorstelling \’an de verkregen hysteresis-kromme. Natuurkunde. — De Heer Cardina.^l biedt eene iiiededeeliiig aan van den Heer J. A. Schouten: „Over reeksontwikkelingen van algehraische vormen met verschillende rijen van variabelen van verschillenden graad j”. (Mede aangeboden door den Heer H. A. Lorentz). Notaties. Wij leggen het systeem ’) ten grondslag met de kovariante en kontravariante grondeenheden 6; resp. e’;, = a,, . . . , a,,, en de grond- verinenigvnldigingen A (uitwendige verm.), o (algemeene verin.), ^ (alterneerende verin.) en ^ (symmetrische verm.) ex A = njn- X = (-l) 2 0 voor X = n M ^ 7^ (I e; . . . eA= e . . . 6^^.= kovariante grootheid v.d. Aden trap (i-vector) A ' e’;...e’>. = e’)...e’;.= kontravariante ,, ,, ,, ,, ,, ,, 1 I 1 J ' Ca ...6a =E =kovariante scalar; e’o ... e’a = E’ = kontravariante scalar In In ■■■6a E’= e’a 1 ^ I X’'e’a2--.e’a^E = eaJ r o Onder i-de {meeloopende) overschuiving van m = m, . . . . ni/. = Q nii . . . . rup en r’ = r’, . . . worde verstaan ') Zie ook : ,Over reeksontwikkelingen van ko- en kontra variante grootheden van hoogeren graad enz.”, Versl. der Kon. v. Wet. Dl. XXVI, bldz. 1272—1292, hier verder geciteerd als Rj, waarvan deze mededeeling een vervolg en een toe- passing s. " ontstaat nit R^ door weglating van alle grootheden die alleen bij de ortho- gonale groep bestaan. Zie voor deze stelsels: Over de direkte analyses der lineaire grootheden bij de rotationeele groep enz.. Versl. der Kon. Akad. v. Wet. Dl. XXVI, bldz. 567 — 580; Ueber die Zahlensysteme der rotationalen Gruppe, Nieuw Arch. voor Wisk. Dl. XllI, 1919; Die direkte Analysis der neueien Relativita,tstheorie, Verh. der Kon. Akad. v. Wet. Dl. XII N». 6 blz. 29. 1482 p a m . r’ = (m, A r,’) . . . . (m, A n’) m,-)-] . . . . mp r’,4-1 . . . t’q ') t Bijgevolg is, indien vrijgemakslialve . schrijven voor . : m . r’ = m . r’ = m A r’ = M + • • • + ^ ) p Onder i-cle uitwendige overschuiving ❖ van m affinoren u= Uj . . .u^,, 9 p <1 v = V, . . . v,^, enz. worde de grootheid verstaan die uit u v ... ontstaat door de ideale vectoren Uj, Vj, . . . , vervolgens u,, v,, . . . , enz. tot Uj, V,-,... tev plaatse te vervangen door de ideale factoren van hun alterneerend product. Worden de overige factoren tegelijkertijd ter plaatse vervangen door de ideale factoren vaji hun alterneerend resp. symmetrisch product, dan ontstaat de i-de uitwendige alterneerende overschuiving a, resp. de i-de uitivendige sgmnietrische V. i ' i P Affinoren en algebraiscke vormen. Wordt van m de P-de over- p schiiiving gevormd met een product r’ van P verschillende kontra- variante grondelementen r’i, . . . . , r’p, dan ontstaat de vorm; p p Pm = ni.r’,....r’p = (mj . r\) (mp . r’p) = p P ^ = K ^ ^ ... rp)^. Een bijzonder geval is, dat r\ ....r’p alle reaal zijn, Fm is dan een vorm in P rijen van n reale variabelen. De kentallen van een kovarianten aftinor (en dus ook van een kontravarianten) kunnen dus altijd worden opgevat als de koefficienten van een dergelijken algel)raischen vorm. Zijn de rijen r’^ , . . . , r’p gegeven en is hunne p p volgorde vastgelegd, dan is Fm eenduidig bepaald door m. Zijn p p alle rijen verschillend, dan is ook m eenduidig bepaald door Fm, pp p in het andere geval niet, daar m -f- n, waarin n een willekeurig aftinor is, alterneerend in twee factoren, die correspondeeren met p p twee gelijke variabelenrijen, met r’ overschoven eveneens P’m vormt. p In het algemeene geval zijn r’, , . . . , r’p ideaal, r’ is echter gelijk /' 7 ;> 7 aan x’^ y’, , waarbij pQ . . . = P, en waarin x’, y’,... reaal zijn. ') Het teeken . is ter vervanging van i,y voor de o verschuivingen der invarian- tentheorie het eerst ingevoerd door Waelsch. 1483 p Fm is dan een vorm van de gi’aden q, n, . . . . \n variabelenrijen, die zelf als koefficienten van variabele vormen in p, q, ■ ■ ■ rijeO van n kovariante variabelen kunnen worden opgevat. Zulke varia- belen noemen we variabelen van de graden p, q, . . . Zijn de rijen x’,y’, ... en de volgorde hunner ideale factoren gegeven, dan is rm p eenduidig be[)aald door m. Gemakshalve kiezen wij de volgorde zoo, dat r’ = x’ y’. . . . Teneinde ook omgekeerd m eenduidig te kunnen vastleggen, bewijzen we eerst de volgende stelling; HoofdstelUng A. Iedere algebraïsche vorm van den totalen graad F, homogeen en van de graden q, o, . . . in verschillende rijen van variabelen x’, y’, . . . die elk zelf als koefficienten van variabele vormen r 1 . . Fm’, Fy’, , lineair en van de graden p,q, . . . in rijen van n verschillende kovariante variabelen kannen morden opgevat, kan ge- schreven loorden als een product van P ideale lineaire vormen. Is voor de variabelenrijen x’, y’, . . . voorgeschreven, dat x’, y’, . . . elk door bepaald aangewezen geordende elementaire operatoren of van de eerste of van de tweede sooit geannidleerd worden, terwjl de variabelen overigens alle waarden kunnen aannemen, dan behoort bj den gegeven vorm bij een bepaalde keuze der volgorde der rijen één enkele bepaalde affnor van den graad P. Zijn de kentallen der rijen x\, . . . . , x’a \ g\ g’^r, . . . ., waarbij (t = np, g = nq, .... dan heeft iedere term van den vorm F óe gedaante : p (>. + + (>a = () -j- .... — (— ffjf zrz (T, Zijn nu p p q q e,’, , Ca’ ; Cl’ e,?’ ; ... . de producten van p,q, . . . . der grondeeidieden e’„^ e’„ , be- p q hoorende bij de kentallen van x’, y', . . . . en p p q q Cl e« ; e,, e,? ; . . . . b Zie Ej bldz. 1288. 1484 de op dezelfde wijze uit ^ men den affinor : P P n=KP2:n„ Pi- Daar de overschuiving , Oa gevormde producten, dan voru.e p P p ^ - e, Ce. • • • Cip p e’;i • • • e’>p i,, . . . , zp = a,, . . . , a„ i,. • • • . .. ,a„ gelijk is aan voor het geval dat = jg, e = i, . . . . , P en nul in ieder ander geval, volgt dan : P p q = n . x’ y’ . . . P ► P p <} Worden nu eenerzijds n, anderzijds x’, y’ als produkten van ideale grondelementen geschreven, dan is inderdaad F tot een product van p p P ideale lineaire vormen herleid. Ten einde uit n den affinor m af te leiden, die eenduidig bij i^behoort, bewijzen we eerst de stelling : Stelling l. p Is q een geordende elementaire af/iiior van de eerste {tweede) soort p ' en, r’ een dito van de tweede {eerste) soort '), dan is de P-de over- schuiving van heiden nul, indien de beide geordende elementaire opera- p p p p toren f/; 6/„, J'jp, toaardoor q en r’ (r’ en ci) ontstaan kunnen, niet toegevoegd zijn, d. w. z. indien niet I = j, ni = i en a = (k Daar : is : q ^r’ = e, j et,,, (a^'’ Alf'’ q)^ A\n d = = f,-,; 6/„. {mT Af d = = etj Bi,„ (Af mf Af Mf q)^ . De overscliuiving is dus inderdaad md, indien niet (dus ook ni = i) en a=d- Hetzelfde bewijs geldt m.m. bij verwisseling van eerste en tweede soort. Zijn nu de sommen der geordende elementaire operatoren der 1) Zie Rj blz. 1288. 1485 eerste soort, die x’, y’, . . . . niet anmilleeren, .... en de sommen der toegevoegde operatoren enz. In liet bij- zondere geval, dat een som is van elementaire operatoren, is p p blijkbaar = ^L. Uit n vormen we nn eerst een affinor rii door P de Q gebieden van p factoren, correspondeerende met x’r, evenzoo de 9 O gebieden van q factoren, correspondeerende met y’^ enz. o[) alle q!öf.... wijzen te permuteeren, op te tellen en te deelen door p q!o!.... Dan laat zich n, schrijven; ^ /'p n, = Ha: riy • , • t waarin bij de machtsverheffingen op de uit de invariantensymboliek bekende wijze o, <>, .... verschillende gelijkgerechtigde grootheden P 9 rij., n,/ . . . . in te voeren zijn om dubbelzinnigheid te vermijden '). De p p gegeven vorm wordt dan ook verkregen door n, met r’ te over- schuiven : Z' = n, . r . X Mn,/ . yj... P P • I P P q' Tengevolge van stelling II is nu : P / 9 9 P = (n^ . J. x’) (n,/ . ,/L y’) . . . = P 9 PP 9 9 = i^L nx . \’) diL n,/ . y’) • • • P 9 p P , ^ P P 9 Schrijven we — u, ^ Ln,/ = v, enz. en m := u v dan is PP pp q q P = m . r’ = (u . x’) (v y’) • . . P p q p P P m is de eenige affmor van dezen vorm, die met r’ overschoven hm p geeft. Inderdaad is iedere aftinor m,, die in den vorm P p q nii = d'L ma-) (’/L itiy) . . , p geschreven kan worden en met r’ overschoven nul geeft, identiek p nul. Daar toch krachtens onderstelling x’ alle waarden kan aanne- p men, die aan de vergelijking xLs. = x’ voldoen, kunnen we voor b Verg. Die direkte Analysis zur neueren Relativitatstheorie, blz. il, 17. 1486 p x’ nemen : r . X = s 1 . . . Sp, waarin s'j . . . , s’^, reale verschillende variabelenrijen zijn, en liet H overeenkomstige verrichten voor y’, enz. Dan is; P P p q 0=ni, . r’ = \(fL mD • xl^ s,’ . . . s^/jr j {iiL m^) . yL t/ . . . t,/|^ . . . P p q ' — \ m,) . s/ . . . \{'iL my) . t/ . . . P ' 9 P = m, . (s/ . . . (t/ . . . iq’Y . . . p Vnlt men liierin voor de s, t, . . . alle mogelijke combinaties van p e’o^ , • . , e’a^^ in, dan volgt, dat ieder kental van m nul is. We maken van de bewezen eigenschap gebruik door een alge- braisclien vorm te noemen niet bijzonder, alterneerend, syninietrisck, plaatseljk alterneerend, syninietriscli of perniuteerbaar, een elementaire vorm of een geordende elementaire vorm van de eerste of tweede soort indien overeenkomstige aanduidingen gelden voor den correspon- deerenden affinor. Verder worde onder toepassing van een operator 7/i a VI a K, A, M, A, J/,A, AI, A, AI, */, fd, of toepassing van dien operator op den correspondeerenden affinor van den vorm verstaan. Met behulp van den correspondeerenden affinor is men nu iii staal een groot deel der eigenschappen van vormen terug te voeren op de in Rj behandelde formeele eigenschappen der operatoren K, A, enz., waardoor een belangrijke vereenvoudiging van de behandeling van vormen bereikt wordt. De in de lineaire factoren optredende kentallen zijn identiek met de symbolen van Ahonhold en Ci.kbsch. Is een der rijen bijv. x’ p symmetrisch, dan is ook u symmetrisch en beide kunnen als p-de macht van een ideaal grondelement geschreven worden : ;'u . r\’ = u/' . \'r = (u , ,)r. p p ^ Ook in dit geval zijn de optredende kentallen symbolen van p p Aronhold en Clp-bsch. Is x’ alterneerend, dan is ook u alterneerend en beide kunnen ook in dat geval als /ede machten geschreven worden : ;,U . y,x’ == U'' . XV' = (U . X’V'. P '> 1487 De optredende kentallen zijn nii echter identiek met de door Waelsch en Weitzenböck ingevoerde komplexsjmbolen, welker ver- p p menigvuldiging- anticommutatief is. Is x’ en dns ook u meer algemeen, dan blijft de schrijfwijze als machten soms bruikbaar, de ideale wortels p p x’ en u bepalen dan echter niet meer de isomeren van x’ en u. Beide kentallen zijn ideale getallen van gecompliceerderen aard, in wier produkten commutatie op geene wijze meer geoorloofd is. Met behulp der komplexsjmbolen heeft Weitzenböck') het eerste gedeelte van hoofdstelling A bewezen voor vormen in variabelenrijen, die alle alterneerend zijn. Het hier gegeven bewijs is hiervan een uit- breiding voor vormen met variabelenrijen van meer algemeenen aard. Pooloperatoren. Zij p = q... = l. Daar d X = >f y' XV ...=xp(xV y’) y’ p . = m. {x’P y’O y’ = m . x’.^~' y’''+' . . , F .9— n-i) is dus j’de pooloperator van x’ naar y’. Door toe- p passing van dezen operator gaat de vorm Fm over in een vorm met de rijen van variabelen x’i°- j y’''+‘. De correspondeerende aftinor p p van dezen vorm is niet meer m, maar ontstaat uit m door toepassing van een operator waai van hot permutatiegebied de met y’^+' p correspondeerende ideale factoren van m omvat. Toepassing van dezen operator staat dus gelijk met toepassing van gecombi- neerd met een verandering der rijen van variabelen. De (jAPELLi’i'c/ié? operatoren Is weer ^ . 1 en noemen p we de variabelenrijen van Fm x\, . . . , x’,„ en de bijbehoorende expo- ') Beweis des ersten Fundamentalsatzes der symbolischen Methode. Sitzungsber. der Wiener Akad. 122 (13) 153 — 168, blz. 155 e.v. 1488 nenten 9»,, zoodat dus (», -f- . . . . + q,,, = P, dan is de door Capelli ingevoerde diflferentiaaloperaloi’ in onze schrijfwijze: waarbij de sommatie uit te voeien is over alle ^ ^ kombinaties van F s der cijfers van 1 Bij toepassing van op ontstaat: p p m . r’ = (Ui . ... (uw . .s/ (xS^'T. x’, ). P ^ s ' I -«V, waarin de niet tot i^, , r, behoorende indices van l,...,7n zijn en de sommatie over alle ^ mogelijke kombinaties is uit te voeren. Daar : Hs F m= s! 2 (x’i, ) . (u/, r:Ui^)(u; ■ * U I' h (U., • Daar verder : ^'i— 1 /'T A ^ 5i ‘ Ij-— 1 ' ly ‘ ty — ^ 1 ' sA m = Uy . - u,v-i Ui, ViU,-+i ...U; V, ... V, = U/, ... u,^ , wanneer het permntatiegebied van ..xd juist van u,^ , . . ,u.*^ elk den I 1 is laatsten factor bevat, is: _ P Qii ■ ■ • Qi, P :^sAm \ s/ waarbij de sommatie over alle ^ ^ wezenlijke verschillende permu- tatiegebieden is uit te voeren. Daaruit volgt: P pp\ - P //(') /’m = ( d. w. z. de CAPEM.rsche operator is identiek met den opera or 1489 s! sA. De door Capel],i ontdekte lineaire onafhankelijkheid der operatoren en hunne cominntativiteit onderling en met andere uit pooloperatoren sainenstelbare operatoren ligt dus als tdjzonder geval opgesloten in de in bewezen lineaire onafhankelijkheid der operatoren A en hunne coinmutativiteit onderling en met alle operatoren M, A, M, K en F. Daar de operatoren A, M, A, M, 'J, K alle als veelvoudensommen van producten van operatoren .,/l, s = 1, . . . , en den identischen operator 1 geschreven kunnen worden, hebben deze operatoren voor een vorm de beteekenis van bepaalde differentiaaloperatoren. Zijn de vaiiat»elenrijen van hoogeren graad, dan hebben deze operatoren de beteekenis van differentiaaloperatoren van meer gecompliceerden aard. De velschil- lende op blz. 1486 opgenoemde soorten van vormen onderscheiden zich dus, doordat zij kunnen ontstaan door toepassing van bepaalde differentiaaloperatoren, en door toepassing van bepaalde differentiaal- operatoren worden geannuleerd. De Operator £1. Voor m = n is / d ^ d n/>c’‘E’,; j-, de bekende operator 12 (12-proces). Blijkens het voorgaande is 22 = — A H{u) (Xi’ en de uitoefening van (2 staat dus gelijk met uitoefening van .^ (^) „.<4 gecombineerd met deeling door de determinant der variabelenrijen, Men kan dus ook zeggen, dat een niel reduceerbare vorm in n rijen van n variabelen een vorm is, die geannulleerd wordt door 22 '). Een vorm in n rijen van n variabelen, die een factor — — ’L bevat, kan nooit nietreduceerbaar zijn. De korrespondeerbare aftinor p m toch bezit een lineare kovariante van den graad F—n. Een dergelijke vorm wordt dus door den operator 22 niet geannulleerd. ’) Reeksonhoikkeling van een vorm in rijen van hvee variabelen. p p Zij Fm een vorm in m rijen van 2 variabelen en m de corres- 1) Verg. Ri blz. 1290. *“) Verg. blz. 1492. 96 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A'1 1918/19. 1490 poiideerende afdnor. Daar n = 2, is de reeksontwikkeling van m naar elementaire at'ti noren identiek met die naar nietrednceerbare kovarianten ^). Passen we deze ontwikkeling toe, dan resulteert p voor Fm een ontwikkeling; waarin elke terra een som is van producten van één enkelen niet- reduceerbaren vorm met een zeker vooi‘ dien term karakteristiek aantal determinanten van den vorm Fa f/'h — ^\ y\, kort geschreven (x' y'), als gebruikelijk (Klaramerfactoren). De mogelijkheid en eenduidigheid eener dergelijke ontwikkeling is het eerst aangetoond door Goküan. Voor het speciale geval, dat er slechts twee variabelen rijen zijn, leert toepassing van permutatieregels : zoodat de reeksontwikkeling voor dit speciale geval wordt: Deze ontwikkeling van F u? blijft gelden voor n^‘1, daar, tengevolge van het feit, dat er slechts twee rijen variabelen zijn ook hier alleen alternaties van den vorm ^2 ^ niet idetitiek nul geven. Dit is de zoogenaamde tweede reeksontwikkeling van Gordan ’). De termen der ontwikkeling naar niet-rediiceerbare kovarianten kunnen nu op verschillende wijzen verder gesplitst worden. Ten 711 eerste kan iedere operator «.2^4 gesplitst worden in eenvoudige ge- p mengde alternaties. Er ontstaat dan een omwikkeling van /i’m naar plaatselijk alterneerende vormen, voor welke in eiken term de macht van een determinant der variabelen dezelfde is als de in dienzelfden term voorkomende macht van den determinant der met die varia- b Verg. Ri blz. 1291. ~) Study, Methoden zur Theorie der lernaren Formen § 3 en § 4. De zooge- naamde eerste reeksontwikkeling van Gordan correspondeert met een reeksontwik- keling van een gemengden af'finor en wordt hier niet besproken. J491 belenrijen correspondeerende ideale factoren van m. De inogelijklieid en eenduidigheid eener dergelijke ontwikkeling is het eerst aange- toond door A. Reissinger ’). In de tweede plaats kan iedere elementaire aftinor gesplitst wor- den in geordende elementaire aftinoren van de eerste soort. Daar- mede correspondeert een ontwikkeling van den \’orm ; 2: 2=^ — 7^— 2a+l 2AW MQ-) m . x’'^ y’^ . . ’) ‘ p De in eiken term optredende factoren van den vorm (,r’ //’) vol- doen dan aan de voorwaarde, dat zij behooren lot de permntatie- gebieden van een bepaalde voor dien term karakteristieke alternatie werkende op De mogelijkheid en eenduidig- heid eener dergelijke ontwikkeling is het eerst aangetoond door W. Godt’). In de derde plaats is het mogelijk iederen elementairen aftinor te splitsen in geordende elementaire aftinoren van de tweede soort. Daarmede korrespondeert dan de eenduidige ontwikkeling: 7^ m = -2’ f ; Mf' 1 E. Waelsch ! .X y ... p lieeft een andere, eveneens eenduidige, ontwikkeling p aangegeven, die correspondeert met een ontwikkeling van m in termen van den vorm |(ur VvD V W^{ V. . . Kj a, «4 met coëfficiënten, die bij een bepaald gekozen volgorde van u,=, v", . . . functies van zijn. Het is opmerkelijk dat het aantal tei-men dezer ontwikkeling voor een P-lineairen vorm gelijk is aan dat van de ontwikkeling naai' geordende elementaire affinoren van de eerste soort, dus bijv. l-]-5 + 9-l-5 = 20 voor P = 6. ‘) Ausgezeichnete Form der Polaren-Entwicklung eines symbolisclien Produkles. ProgT. Realsch. Kempten 1906-07. 2) Zie Ri' bldz. 1289. 2) W. Godt leidt deze ontwikkeling af langs een geheel anderen weg, en daaraan is wel toe te schrijven dat hem bet verband met de groepkarakters vanFROBENius en de mogelijkheid van een overeenkomstige ontwikkeling voor 11 > 2 ontgaan is. „Ueber die Entwicklung binarer Formen mit mehreren Variabelen”, Arch. f. Math. u. Phys. 13 (08) 1-.12. 9 Ueber Reihenentwicklungen mehrfachbinarer Formen. Sitz.ber. der Wiener Akad. 113 (04) 1209 — 1217. Waelsch heeft voor hel eerst de reeksontwikkelingen der binaire invarianten-theorie gebruikt ter splitsing van gerichte grootheden in bij de orthogonale groep kovariante deelen, (bijv. de splitsing van den affinor der vormverandering in skalar, vector en deviator), ,, Ueber höhere Vectorgröszen der Kristallphysik etc.” Wien- Ber. 113(04) 1107 — 1119; Exlension de l’algèbre vectorielle etc., Gompies Rendus 143(06) 204—207. 96* 1492 Reelsontwll'keUny van een vorm in m rijen van n variabelen. Zij p = u.® . . . . xV y’^ . . . p p een vorm in de ?n variabelenrijen x’, y’, . . . en m = urv^. . . de oorres- p pondeerende afïinoi'. Men kan m ontwikkelen naar nietrednceerbare kovaiianten. Iedere term is dan een som van geordende alternaties, die ieder bestaan nit een doordringend product van een voor dien term karakteristiek aantal (' factoren E met een lineair homogeen nietrednceerbaren affmor van den graad F — an. Daarmede corres- p pondeert een ontwikkeling van den vorm Fm in een aantal termen, waarvan ieder een som is van producten van een inetrednceerbareji vorm met een zeker voordien term karakteristiek aantal determinanten gevormd uit n der variabelenrijen. Voor in = n is deze ontwikkeling het eerst aangegeven door Capelli ') en voor het algemeene geval door J. Deruyts ’') en K. Petk “')• Zoowel Capelli als Petr leggen aan hun bewijs de op blz. 1489 vermelde eigenschap ten grondslag, dat een vorm in n rijen van n variabalen, die den determinant der variabelen als factor bevat, niet door 12 geannulleerd wordt. De afleiding van Capelli, die aan de hier aangegevene het meest verwant is, berust op de theorie der differentiaaloperatoren /^* *>. Deruyts gebruikt zijn theorie der semi-invarianten en dcovarianten en Petr maakt gebruik van diffe- rentiaal-operatoren, die met behulp van hulpvariabelen worden samengesteld. De termen der ontwikkeling naai- nietrednceerbare kovarianten kunnen weer op verschillende wijzen gesplitst worden. Ten eerste p kan iedere term van m gesplitst worden in algemeene gemengde alternaties, en deze weer in eenvoudige. Daarmede correspondeert p een ontwikkeling van m in een som van termen, die elk bestaan ’) Fondamenti di una teoria generale delle forme algebriclie. Mem. dei Lincei (82) § 74 ; Sur les opérations dans la théorie des formes algébriques, Math. Ann. 37 (90) 1-37. *^) Kssai d’une théorie générale des formes algébriques. Mém de Liège. 2. 17 (92) 4. 1 — 156; Détermination des fonctions invariantes de formes a plusieurs séries de variables. Mém. couronnés et mém des sav. étr. de Bruxelles 53 (90 — 93) 2. 1—23. *) Ueber eine Reibenentwicklung für algebraïsche Formen, Buil. Intern, de Prague J2 (07) 163—191. 9 De vormen, die bier niet-reduceerbaar genoemd zijn, heeten bij Gapelu : , formes impropres" en bij Deruyts : ,covariants de formes primaires”. 1 493 uit een som van producten van een aantal i'ijige determi- nanten, gevormd uit kentallen der rijen x’, y’,... met één enkelen symmetrisclien vorm. Alle termen zijn kovarianten, de ondertermen alleen dan, wanneer = n. In eiken onderterm is de maclit van een determinant der kentallen der variabelen dezelfde als de macht van de determinant der ken- /> tallen der correspoudeerende ideale factoren van m. Onder deze voorwaarden is die ontwikkeling eenduidig en een uitbreiding van die welke door Rktssingkr voor n = 2 aaiigegeven werd. p In de tweede plaats kan iedere term van m gesplitst worden in geordende alternaties van den vorm «.„A. De in eiken onderterm optredende detei-minanten voldoen dan aan de voorwaarde, dat zij beliooren tot de permutatiegebieden van een bepaalde voor dien onderterm karakteristieke geordende alternatie «.„A, werkende op xV y’<^. Deze ontwikkeling is eenduidig, daar de c.oi'respondeerende p ontwikkeling van m eetiduidig is ‘), en een uitbreiding van die welke door Goüt voor n = 2 aangegexen werd. Wij hebben dus de stelling verkregen : Hoofdstelling B. Iedere algebraische vorm, homogeen en van de graden q, o in vi rijen van n variabelen x', y', . . . ., kan op ééne en slechts éène wijze ivorden ontioikkeld in een reeks van termen, die ieder bestaan uit een product van een voor een bepaalde groep dier termen karakteristiek aantal <( determinanten, elk gevormd uit de variabelen va.n n der rijen met een niet reduceerbaren vorm van den graad. P — an, zoodanig, dat de determinanten in eiken tewn behooren tot de permutatiegebieden van een bepaalde voor dien term karakte- ristieke geordende alternatie «.„A, werkende op den affinor x.’py’w.. In de derde plaats kan men de splitsing zoover voortzetten, dat p m een som wordt van geordende elementaire affinoren van de eerste of ook van de tweede soort. Daarmede correspondeert een ontwik- p keling van y^in naar geordende elementaire vormen van de eerste resp. van de tweede soort, die als volgt kan worden gekarakteriseerd : Hoofdstelling C. Iedere algebraische vorm, homogeen en van de graden p,o, . . . in m rijen van n variabelen x’, y’, . . . ., kan op ééne en slechts ééne wijze in een reeks van geordende elementaire vormen van de eerste resp. tweede soort worden onttuikkeld. 9 Rl blz. 1291 1494 Voorbeelden ; De 6-lineaire vorm 6 Fm = mi . . . me . x’i . . . Xe e kan gesplitst worden in 76 geordende elementaire \ormen van de eerste soort, correspondeerende met de affinoren. 6 1) 6^11 W m 2, . ..,6) öaS fi m, A = 1 , . . . , 5 7, . ...15) 4,2^41;’ 2, 6 m, A = 1, . . . , 9 16, . ... 25) e m, A = 1, . . . , 10 26, . . . , 30) 2.34'’ 3 fi m, A=l, . , . , 5 31, . , . . , 46) 3,2^g’ 6 m, X = 1, . . . , 16 47, . . . , 56) 3^4?’ W? 6 m, A = 1 , . .. , 10 57, , ...,61) 3.2^1? 2.3^'^^) G m A = 1 , . . 5 62, . . . , 70) G m, A = 1 , . . . , 9 71, . ,..,75) 2^2’ -Wio 6 m, 76) odi mn 6 m, voor 11 = h wordt 1 nul, voor « = 4:1 ,6, voor « = 3 : 1, , . . , 25 en voor n = 2 : 1, . . . . , 56. De ontwikkeling naar elementaire 6 vormen correspondeeid met een ontwikkeling van m, die uit de vorige ontstaat door samenvatting der horizontale rijen 1 ; 2, . . . . , 6; 7 .... 15; enz. Uit deze ontstaat weer de ontwikkeling naar niet- reduceerbare ko varianten. Voor « j> 6 : 1 . . . . , 76; voor « = 6 : 1 ; 2 76; voor na 5 : 2, . . . . , 6; 7, . . . . , 76; voor = 4 : 7, . . . 25 ; 26, , 76; voor « = 3 ; 26, , 30; 31, , 56; 57, , 76, en voor 7i = 2 : 57, . . . . , 61; 62, . . . . , 70; 71, , 75; 76. Ter ontwikkeling van een vorm van den zesden graad in een aantal rijen van variabelen, minder dan 6, bijv. ^ 9 O 9 )9 9 O i^n = m 112 ns X 1 x’2 x’3 merke men op, dat x’U x’U x”, ontstaan kan door een bepaalde een- voudige menging In de ontwikkeling van n vervallen dus alle geordende elementaire operatoren van de eerste soort, welke 1495 een alternatie als eersten factor liebben, die door -‘ -J/sC*) wordt gean- nnlleerd. In de eerste plaats dns 1, ‘25. Van 26 — 30 blijft één term over, van 31 — 46 blijven negen termen, waaronder drie ver- schillende, van 47 — 56 vier gelijke tertnen, van 57 — 61 twee gelijke termen, van 61 — 69 zes termen waarondei' drie verschillende, van 70 — 75 vier termen, waaronder twee verschillende, terwijl 76 blijft. Totaal blijven er dns voor ^ 3 twaalf termen, en voor /i = 2 zeven termen. Dit laatste cijfer geeft ook hel aantal termen aan in de ontwikkeling volgens Waelsch *). Reeksontunkkelhujf van een vorm in in rijen van n variabelen van nnUekenrigen graad. p HoofdsieUing D. Iedere algebraische vorm Fm, homogeeii en van de gradem p, a, . . . . in m verschillende rijen van variabelen x’ y’, . . . ka7ï op eéne en slechts ééne roijze ivorden ontivikkeld in een reeks van geordende elemeoitaire vormen van de eerste resp. Uoeede soort. p De ontwikkeling wordt verkregen dooi- m Ie ontwikkelen in geor- dende elementaire aftinoren. Ook de ontwikkeling naar niet-rednceerbare kovarianie vormen (Hoofdstelling B) kan voor dit algemeenste geval verkregen worden p door ontwikkeling van m naar niet-rednceerbare kovarianten. De in de ontwikkeling van W 5‘(i^>v, ()*",'/ . ^. ;’.;'i Vt.,1 .. r..;,v.!:^'Vuto '. ',M». t ,’. !> ‘ »,.:v 4 ^ ;v •■ ., -i it'! >y ■ V V « «<“- \' itf*