This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the Copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject to Copyright or whose legal Copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that 's often difficult to discover.

Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken Steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.

We also ask that you:

+ Make non-commercial use of the file s We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for personal, non-commercial purposes.

+ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in Copyright varies from country to country, and we can't off er guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner any where in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's Information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books white helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the füll text of this book on the web

at|http : //books . google . com/

\ ' REESE LIBRARY

■^ ' Ol- 1 Hl-

c

] UNIVERSITY OF CALIFORNIA.

\ z.^c('L'Ssi\^n \()

CLiss \'),

r

r

rX

■ J

\

Zeitschrift

für

Mathematik und Physik

herausgegeben unter der verantwortlichen Redaction

Pr. O. Schlömilch, Dr. B. Witzschel

und

Dr. IC dtriUur.

Vierter Jahrgang*

Mit 4 Hthographirten Tafeln und Holzschnitten.

^ or jyii:

univl;koITY

-^^ CAi-FOH''

LEIPZIG,

Verlag von B. G. Teubner, 1859.

7^*•1*

Dcnck von B. erhabner in Dresden.

•' ■ ! !

-'■+

Inhalt.

Arithmetik und AnuGjyBiB. Seile

Stadien über Differentialgleichungen. Von Professor Spitzer • . 37 Einfachere Ableitung der früher mitgetheilten Sätze über die reellen Wurzeln

dreigliedriger algebraischer Gleichungen. Von Professor Dr. Drobisch. 66 Aufsuchung derjenigen Differentialgleichung, welcher durch eine gegebene Func- tion genügt wird. Von Professor Spitzer 78

Bemerkung über ein vielfaches Integral. Von A. Genocchi 75

Die Transformation und Auflosung der Gleichungen fünften

Grades. Nach Jsrrard und Hbrmite 77

Ueber vollkommene Zahlen. Von M. Cantor 160

Ueber die Discontinuität gewisser unendlicher Seihen. Von O. Schlöxilch . 161

Eine unbestimmte Aufgabe. Von M. Cantor 232

Ueber eine Determinante. Von Dr. G. Zehfüss 233

Studien über Differentialgleichungen von der Form (mx^-^nx-^p) y"-f (ya? + 7)y'-|-Äy ss 0.

Von Professor Spitzer 251

Neue Restbestimmung der Taylor'schen Reihe. Von Professor Dr. A. Wihcklbr. 291 Allgemeinste Auflösung der Gleichung a7'4-y"=:2* in relativen Primzahlen. Von

Dr. R, Hoppe 304

Bechnungmit rationellen symmetrischen Fnnctione n. Von Dem- selben 358

Ueber die Auflösung der Gleichung a^'^i^':=x — y in rationalen Zahlen. Von

Demselben ^ 359

Ueber Facultätenreihen. Von O. Schlöxilch .......... 390

Entwickelung einer neuen Reihe für die Gammafunction. Von Demselben , 431

Ueber eine transcendente Function. Von Demselben • . 433

Theoretasohe und pr^ktioehe Qeom^rie.

Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper.

Von Professor Dr. M* Drobisch 1

Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnun- gen. Von Dr. W. FiBDLRR 93

Ueber einen Satz von den Flächen ebener Curven. Von O. Schlömilgh . . 163

Ueber confocale £llipsoide. Von Dr.' G. Zbhfuss *- 100

Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen. Von

£. NosaoBRATH 171

Zur Lehre vom Viereck. Von Professor Baur 236

Ueber den mittleren Radius des dreiachsigen BUipsoids. Von O. Schlümilch . 242

Ueber eine Aufgabe der Elementargeometrie. Von Demselben ...... 244

Zur Axonometrie. Von Professor Mann ' 284

Das pythagoräische Dreieck. Von M. Cantor 306

Zur Quadratur der Epicjcloide und der H}rpocycl9ide. Von Professor Baur . • 311

Ueber die Krümmung der Flächen Von E. Bagaloglo 312

Ueber Fusspunktlinien beliebiger Ordnungen. Von F. Wktzig,

stud. math » 319

Elementare Theorie der axonometrischen Projection. Von O. Scblömilch . . 301

Noch ein Beweis des Völler'schen Satzes. Von Professor Baur . . .^ . . . 360

Auflösung einer geometrischen Aufgabe. Von E. Bacaloolo 306

Ueber die Gleichung der Borührungsebene an eine Fläche. Von Professor Baur 369 Eine Eigenschaft der conjugirten Diametralebenen des dreiachsigen Eilipsoides.

Von R. Dahlandbr . . . . ' 437

Ueber die Genauigkeit einer besondern Art von Nivellirinstmmenten. Von Prof.

Dr. A. WiNCKLBB 438

IV Inhalt

Q6flchiolite der Mathematik« g^;^^

Die Professar des Ramns. Von M. Cavtob 314

Einige Anfgaben aus dem Arabischen des Abraham AbenEzra. Von Dr.

SCBHITZLBB 383

Mechanik.

Entwickelangen über einCapitel aas Poissons Mechanik. Nach

M. J. Liouville von Dr. Fibdlxb 40

Vorlllafige Mittheilnngen der Ergebnisse vergleichender Versnche über den Aus-

fluss des Wassers und der Luft unter hohem Drucke. Von ßergrath Prof.

Wbisbach 264

Ueber die Steighöhe der Raketen. Von Lieutenant Kahi. 279

lieber die Bewegung eines schweren Punktes auf einer vertical stehenden Plan- '

curve. Von O. ScblÖmilch 300

Ueber eine Aufgabe aus der analytischen Mechanik. Von £. Bacaloglo . . 312 Zur Bestimmung des Querschnitts eines Körpers , dessen absolute Festigkeit in

Anspruch genommen wird. Von Dr. Zetzschb 341

Einige Theoreme der Mechanik. Von R. Dab lande b 443

Ueber die elementare Bestimmung der Trägheitsmomente. Von Dir. Dr. Zehme 445

Akustik. Beweis, dass die Combinationstöne objectiv sind. Nach Dovb 317

Optik.

Telescope von versilbertem Glas und Spiegel mit ellipsoidischen und paraboli- schen Um dreh ungs flächen. Nach Leon-Foucault 1Ö7

Das Stereomonoscop. Nach Claudet 169

Wärmelehre und Moleoularphysik.

Ueber die Diffusion von Salzlösungen im Wasser. Von Dr. Bebz 212 Eine neue Bestimmung des Verhältnisses der specifischen Wärme der Luft bc! gleichen Volumen sowie des mechanischen Aequivalents der Wärme. Von Bergrath Wbisbach 370

Blektrioit&t und Mafin^etismuB.

'Die Elek tricitätslehre vom Standpunkte der Undulations-

theorio. Von Dr. Zetzschb. 2. Art 131

Umgestaltung einer Formel von Ampere. Von G. Roch 295

Bewegungserscheinungen im Kreise der galvanischen Kette, welche nicht durch das Ampöre'sche Gesetz erklärt werden. Nach Paalzow, Gobb, Fobbbs

*undLBBOuz dl<)

Ueber magnetische Momente. Von G. Roch 374

Ueber Magnetismus. Von Demselben 415

VermiBchtes.

Ueber das Problem der Diamantbildnng. Nach Th. Siumleb '2 10

Ueber die Festigkeit des Aluminiums und der Aluminiumbronce. Nach A. v. Boro 248 Ueber die Ueberschwemmungen am Harze, Erzgebirge und Riesengebirge Ende

Juli und Anfang. August 1858. Nach Dove 240

Ueber das Aequivalent von Nickel und Kobalt. Nach R. Schneideb .... 378 Arabische Bestimmungen spccifiscljer Gewichte aus älterer Zeit. NachCLEMENT-

MULI.KT 381

c

I.

üeber die mitilereii Badien der Linien^ Flächen und Körper. Von Professor Dr. M. W. Drobisch.

(Ana den Sitzangsberichten der Königl. SAchs. Gesellschaft der Wissenschaften , ma- thematisch-physische Classe, am 1. Juli 1858.)

Die n&chste Veranlaissang zu den nachfolgenden Sätzen hat eine Be- merkung von B abinet im Comple rendu der Pariser Akademie (1857, Juni p. 121) gegeben, wo derselbe sagt, dass man den mittleren Erdhalbmesser nicht richtig bestimme , wenn man ihn als das Mittel zwischen dem Halb- messer des Pols und dem des Aequators ansehe , also , wenn letzterer = 1, die Abplattung = u gesetzt wird, durcb 1 — ^« ausdrücke, da der Halb- messer des Pols einem einzigen Punkte, der des Aequators unzählig vielen zukomme. Es sei vielmehr evident; dass, um den wahren mittleren Erd- balbmesser zu finden, man für jedes Element der Oberfläche des EUipsoids den demselben zugehörigen Halbmesser durch die Fläche dieses Elements multipliciren , das Produkt durch die ganze Oberfläche des EUipsoids divi- diren und von dem Quotienten das Integral nehmen müsse. Hierdurch fin- det Babinet, dass in Bezug auf die Erde, wo a = ^^,y, dieser Werth aber, nach Airy, nur bis auf ^^ seiner Grösse zuverlässig, daher die Berück- sichtigung der Potenzen von a obne wahren Nutzen ist, der mittlere Halb- messer des EUipsoids = i — ^a gesetzt werden müsse. Er hat jedoch nicbt bemerkt, dass dieser Halbmesser d^r einer Kugel is]:, die den gleichen Inhalt und die gleiche Oberfläche wie das Ellipsoid hat, und unter dem in der That häufig der mittlere Erdhalbmesser verstanden wird. Ist nun zwar insofern das Resultat nicht neu, so ist dies doch seine Ableitung. Das Prin- cip aber, auf dem diese beruht, scheint nicht so unmittelbar evident, um einer Begründung nicht zu bedürfen. Diese hat keine Schwierigkeit, sobald man von dem allgemeinen Begriff des mittleren Radius, als des arith- metischen Mittels zwischen den unendlich vielen Geraden ausgeht , die aus einem gegebenen festen Punkte nach allen Punkten einer begrenzten Linie, Fläche oder körperlichen Ausdehnung gezogen werden können. Die An-

ZelUehrifl fBr MAthematik n. Physilc. IV. ^ 1

2 Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper.

Wendung dieses Begriffes führt zu vielen merkwürdigen Resultaten. Der speciellen Aufgabe : die mittlere Entfernung aller im Umfaug und Inhalt einer ebenen geradlinigen Figur enthaltenen Punkte von einem in ihrer Ebene gegebenen festen Punkte zu bestimmen, hat Grüne rt eine eigene Schrift*) gewidmet, die man aber wohl, ohne im üebrigen den Verdiensten ihres Verfassers zu nahe zu treten^ ermüdend weitschweifig nennen darf.

1. Seien r, r ', .... r<"> die von einem gegebenen festen Punkt oder Pol 0 nach n gegebenen Punkten M'y M'\ .... M^**\ welche entweder in der- selben Ebene oder beliebig im Räume liegen mögen, auslaufenden Radien, so ist das Mittel ans allen

/ + r ' + .... + r(")

r c= : = •

n

Sind nun M\ M'\ .... die Theilpunkte einer in n gleiche Theile zerlegten

begrenzten geraden oder krammen Linie 8, so ist, wenn /is die Grösse jedes

Theils bezeichnet, n = — , daher dann

s oder auch , wenn r im allgemeinen die gezogenen Radien bezeichnet,

„rJ8

Wird nun s in unendlich viele gleiche Theile getheilt, so wird ^s = ds, daher dann

=/-f'.

oder da s einen constanten ' Werth , die Länge der Linie bedeutet,

1) sr^=.jrd8^

wo das Integral zwischen den den Endpunkten von s entsprechenden Gren- zen zu nehmen ist. Nennt man nun r^ den mittleren Radius der Li- nie 8 aus dem Pole 0, so hat die Formel 1) folgende Bedeutung. Ist 1) 8 eine Gerade, ^o lege man durch sie und den Pol eine Ebene und drehe in derselben sämmtliche aus 0 nach den Theilpunkten ihrer unter sich glei- chen unendlich kleinen Elemente gezogenen Radien am diese Punkte, bis sie senkrecht auf der Geraden stehen. Alsdann geht durch ihre Endpunkte (die zuvor im Pole zusammenfielen) eine Curve, von dej die Radien in ihrer jetzigen Lage die rechtwinkligen Ordinaten sind und deren zugehörige Abscissen auf der gegebenen Geraden liegen. Der durch diese Curve , die Ordinaten ihrer Endpunkte und die gegebene Gerade 8 eingeschlossene

*) Ueber die mittlere EntfemtiDg einer Figur von einem Punkte oder über die sogenannte Entfernung des Ackers vom Hofe. Greifswald , 1848.

Von M. W. Drobisch.

Flacheoranm ist nan gleich dem Rechteck aus der Lange von s und dem mittleren Radins r,. Ist 2) s eine Cnrve, so denke man sie in eine Gerade gestreckt und verfahre im Uebrigen wie zuvor, so ergiebt sich dasselbe Resultat.

Dnrch die Formel 1) ist die Bestimmung des mittleren Radius von $ abhängig gemacht von der Rectification von s^ sofern dies eine Cui*ve be- seichn^t, und von der Quadratur der Curve, deren Ordinate r und Ab- scissenincrement ds ist. Es bedarf aber zur Auffindung dieser Quadratur nicht der Entwickelung der Gleichung der zu quadrirenden Curve, sondern nnr der Kenntniss des Zusammenhanges zwischen r und ds.

Sei nämlich zuerst s eine ebene Curve und liege 0 in der Ebene der- selben , so mache man 0 zum Anfang der rechtwinkligen Coordinaton Xy y, dnrch welche die Curve gegeben ist; dann wird offenbar

2) s=jydx' + df und sr, =J /a:« + y« , j/dx" + dy«,

wodurch die Gleichung der Curve y als Function von x gegeben und die Integrale zwischen den den Endpunkten von s entsprechenden Grenz- werthen von x zu nehmen sind.

Sei zweitens wiederum « eine ebene Curve, der Pol aber ausserhalb ihrer Ebene in dem Abstand h von derselben gelegen. Dann mache man den Fusspunkt der Senkrechten h zum Coordinatenanfang , so wird

3) s = lydx^ + dy* und sr^z=: j -/h* + a^ + y* .j/da^ + dy^.

Sei endlich s eine Curve im Raum, von einfacher oder doppelter Krttm- mnng, so ist, wenn dieselbe durch die rechtwinkligen Coordinaten ar, y, z, deren Anfang 0, bestimmt ist, so dass durch die beiden Gleichungen der Curve zwei dieser Coordinaten als Functionen der dritten gegeben sind,

i) 8 = 1 }/dx^+dy^+dz* und *r, = / '/nc'+y^ + z^ . ydx' + di^ + dz^,

wo von den Grenzen der Integrale dasselbe wie zuvor gilt.

2.

Es ist unmittelbar einleuchtend, dass man durch dieselben Betrachtun- gen wie zuvor auf die nämliche Formel 1) geführt wird , wenn s ein be- grenztes ebenes oder krummes FlächenstUck bedeutet, das man in unend- lich viele gleiche Theile ds zerlegt, und nach jedem derselben aus dem beliebig gelegenen Pole 0 einen Radius , der im Allgemeinen durch r be- zeichnet werde, zieht. Die Formel hat alsdann folgenden Sinn^ Ist 1) s eine ebene Figur , so drehe man die nach ihren Elementen gezogenen Ra- dien um die Punkte, in denen sie diese treffen, bis sie auf der Ebene der Figur senkrecht stehen. Dann geht durch die Endpunkte dieser Radien (die zuvor im Pole zusammenfielen) eine krumme Fläche. Der Raum, wel- cher zwischen dieser Fläche, der Figur s und zwischen der oder den Flächen

4 Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen nnd Körper.

enthalten ist, welche eine durch den Umfangf von s geführte, auf der Ebene dieser Figur senkrechte Gerade beschreibt, ist gleich dem Inhalt des pris- matischen oder cylindrischen Körpers , der s zar Basis und den mittleren Badins r, der Figar s aus dem Pole 0 zur Höhe hat. Ist 2) s ein begrenz- tes Stttck einer krummen Fläche, so kann man immer auf unzählig ver- schiedene Weise eine ebene Figur a bilden, 'die aus denselben gleichen Flächenelementen ds wie s besteht nnd deren Flächeninhalt daher 4em von 8 gleich ist. Stellt man nun die allen diesen Elementen zagehörigen Ra- dien senkrecht auf die Ebene von tf , so geht durch ihre Endpunkte eine krumme Fläche , die zu dem mittleren Radius von s ganz in derselben Be- ziehung steht; wie die auf ähnliche Weise im ersten Falle erhaltene Fläche.

Durch die Formel 1) ist hier die Auffindung des mittleren Radius zu- rückgeführt auf die Complanation der Fläche s und die Cubatur der krum- men Fläche, von der ds die senkrechte Projection jedes ihrer Elemente auf eine Ebene darstellt, in Bezug auf welche die Werthe von r die senkrechten Ordinaten dieser Fläche ausdrücken. Auch hier bedarf es nur der Kennt- niss des Zusammenhangs zwischen r und ds^ um diese Cubatur durch Inte* gration auszuführen.

Sei nämlich 1) 8 ein Flächenstück, welches von dem Bogen einer ebenen Curve, einer durch den in der Ebene derselben liegenden Pol gehenden Abscissenachse und die auf dieser senkrechten Ordinaten der Endpunkte des Bogens begrenzt wird. Ist dann y = f{x) die Gleichung der Curve und bezeichnen a, ß die Abscissen der Endpunkte des Bogens, wobei der Pol zum Coordinatenanfang gewählt ist; sind ferner ^, y die Co- ordinaten eines innerhalb 8 liegenden Punktes und ist, wie zuvor, r| der gesuchte mittlere Radins von « , so ist

/ J /*>

5) 's=Jf{x)dx und «r, = / dxjdy ya^-\-y'*,

a a 0

oder wenn man in der zweiten Formel die Integration nach y ansftthrt, da

fdy j/^^TF* = 4 {y y^^^+V' +x'lgnW + V^^TV*] }

5

ß ,

.) „, = ,j!.{/w>.5+7py + ^«„[A£)±>:Jl±£W']},

wo zur Abkürzung f{xy für [f(pc)Y geschrieben ist.

Offenbar kann man durch Anwendung dieser Formel auch den mitt- leren Radius der Fläche einer in sich zurücklaufenden Curve bestimmen. Einfacher wird dies aber im Allgemeinen durch Benutzung von Polarcoor- dinaten geschehen. Denn gehe die Achse , auf welche sich dann die Ano- malie ip bezieht, durch den Pol, sei dieser der Coordinatenanfang und p = f(tp) die Gleichung der gegebenen Curve, so ist die Fläche eines See-

Von M. W. Drobisch.

tors, der von der Cnrve nnd den zn den Anomalien a, ß gehörigen Vectoren derselben /(«), f{ß) begrenzt wird,

. a

Sind nun q>^ r die Polarcoordinaten irgend eines innerhalb dieses Sectors liegenden Punktes, so ist das demselben zugehörige Flächenelement rdrdtp^ daher nach 1)

.6) sr,=jd<pjf^dr = ljn

JfWdip. a 0 ^

Liegt der Pol innerhalb der in sich zurücklaufenden Cnrve , so ist um den mittleren Radius ihrer Fläche zu erhalten, a = 0 nnd ßdSz2n zu setzen. Liegt er ausserhalb , so sind a, ß die Anomalien der beiden die Curve be- rührenden Vectoren. £s ist aber dann der dem Pole zunächst liegende, zwischen diesen Vectoren enthaltene Zweig zu unterscheiden von dem zwi- schen denselben Vectoren liegenden entfernteren. Wird jener durch f^ (g)), dieser durch ft{g>) bezeichnet, so ist, wenn dann r^ den mittleren Radius der von der Curve umschlossenen Fläche bedeutet,

7)

"^i=iJ\fzi<py-ri{<py]d'P-

a

Diese Formeln gelten auch noch, wenn /*, (9), /i(<)p) nicht die Vectoren von Zweigen einer und derselben, sondern von zwei verschiedenen Curven bedeuten, die entweder allein oder in Verbindung mit den zu a, ß gehöri- gen Vectoren die Fläche 8 einschliessen.

2) Liegt der Pol ausserhalb der Ebene von 8 in dem Abstand h von derselben, so wird, wenn man den Fusspunkt von h zum Coordinatenanfang macht, auf ähnliche Weise, wie in 5)

ß ß f(^)

8) 8=Jf{x)dx, 8r^^JdxJdyj/^T7^+^' . « «0

Bedient man sich polarer Coordinaten und bedeutet dann s den Sector, der zwischen der gegebenen Curve und den aus dem Fusspunkt von h gezoge- nen, %VL den Anomalien a, ß gehörigeq Vectoren enthalten ist, so wird, wie savor,

,=4/1

f{<p)d(p.

6- Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper.

Sind ferner <p, q' die Polarcoordinaten irgend eines innerhalb des Sectors s liegenden Punktes, so ist wiederum q dg dq> das zugehörige Flächen- element, der aus dem Pol gezogene Radius desselben aber r = ^^'*+/i*5 folglich

sr,=JJqdQdq>yjm^\

oder, wenn man zuerst nach q integrirt; das erhaltene Integral von ^' = 0 bis q' = f{(p) nimmt, und dann nach (p integrirt, mit Hinzufugung der Grenzen von g),

9) sr, = \J[f{fpr+h*]^dfp,

a welche Formel für ä =:^ 0 in 6) tibergeht. Ist die Curve eine in sich zurück- laufende und liegt der Fusspunkt von h innerhalb derselben, so ist auch hier, wenn rj der mittlere Radias der Fläche der Curve, a = 0, j3 = 2» zu setzen. Liegt dieser Fusspunkt ausserhalb der Curve, so ist mit derselben Unterscheidung wie unter 7) }

10) sr, = i/{[A(t^r + Ä*]»- [/;(9^)« + Ä«]* } d<p,

a wo s denselben Werth wie unter 7) hat. Auch dieser Formel kommt die

bei 7) bemerkte weitere Bedeutung zu.

3) Ist s ein Stück einer krummen Fläche und wird der Pol zum Co-

ordinatenanfang gemacht, so ergiebt sich

WO z und die partiellen Difierentialquotienten p-jö" durch die Gleichung

der Fläche als Functionen von x und y gegeben sind.

Ist s durch eine in sich zurücklaufende Carve begrenzt, so hat ihre Projection auf die Ebene xy einen dem Pol näheren und einen entfernteren Zweig, von denen jener durch y = /*, (a:), dieser durch y = f^{x) gegeben sei. Integrirt man dann in den vorstehenden Formeln, naoh Einführung

def Ausdrücke von 2, ^ und ~ durch a;,y, zuerst nach y, so hat man das

gefundene Integral zwischen den Grenzen /*, (x) und ft(x) zu nehmen. In- tegrirt man sodann nach Xy so hat man dieses zweite Integral zwischen den- .jenigen Werthen von x zu nehmen, welche die Abscissen der diese Curve berührenden Ordinatcn ausdrücken.

Die Anwendung polarer Coordinaten giebt complicirtere Formeln und scheint daher hier im Allgemeinen nicht angemessen.

Von M. W. Drobisch.

J^y^/W^w^^^^«rw^^^*w^M■^rf■l<^v^^*v*l<■^l***M^>rf'%^^^<'V*^<^^

3.

Endlich ist anch klar, dass man abermals die Formel 1) erhält, wenn s einen von einer krummen , oder mehreren ebenen oder krummen Flächen begrenzten Raum bezeichnet, der in unendlich viele gleiche Körperelemente zerlegt wird, wenn man ferner nach jedem dieser Elemente aus dem inner- halb oder ausserhalb des Körpers gelegenen Pole einen Radius r zieht und das Mittel rj aus allen diesen Radien sucht. Eine geometrische Deutung > lässt sich nun zwar in diesem Falle der Formel nicht geben , wohl aber fol- gende statische.

Alle Elemente des Körpers «, welche den gleichen Abstand vom Pole 0 haben, liegen auf einer Kugelfläche , deren Mittelpunkt 0 ist. Man kann demnach s in unendlich viele Schichten von Elementen zerlegt denken, von denen jede entweder eine vollständige Kugelschale oder einen Theil einer solchen bildet. Man kann ferner aus den Elementen einer jeden dieser Schichten eine ebene Schicht bilden und alle diese ebenen Schichten auf einander legen, auch jeder derselben eine Gestalt geben, die sich an die der nächsten Schicht stetig anschliesst Auf diese Weise bildet die 6e- sammtheit dieser Schichten einen Körper a von gleichem Inhalt wie s. Stellt man nun die Radien, die in s jedem Element zukommen, senkrecht auf die Ebenen der Schichten , in denen sie in a liegen , so fallen die End-^ punkte der Radien aller Elemente von <s in dieser Lage in eine und die- selbe den Ebenen jener Schichten parallele Ebene , drücken also die Ab- stünde der Elemente von dieser Ebene aus. Da nun s=^a und ds^^dö,

so ist auch 0ri=: j rda, und drückt nun diese Formel aus, dass der mitt- lere Radius r, der Abstand des Schwerpunkts des Körpers c von der Ebene ist, von welcher seine Elemente resp. den gleichen Abstand haben, wie die ihnen entsprechenden Elemente des Körpers s von dem Pole 0.

Noch kürzer ist folgende Deutung der Formel, Man kann sich die Radien der Elemente von s nach den Schwerpunkten derselben gezogen denken. Dreht man nun die Radien sämmtlicher Elemente mit diesen um den Pol , bis sie in eine und dieselbe gerade Linie«kommen , so bilden die Schwerpunkte der sämmtlichcn Elemente von $ eine begrenzte Gerade a, deren Länge die Differenz zwischen dem grössten und kleinsten Radius von s ist. Es fallen jedoch hierbei die Schwerpunkte aller derjenigen Ele- mente zusammen, die den gleichen Abstand r vom Pole haben. Die Zahl der Elemente, deren Schwerpunkte in jedem Punkte der Geraden a zu- sammenfallen, ist daher proportional der Grösse der Durchschnittsflächc der mit dem Halbmesser r beschriebenen Kugelfläche und des Körpers s. Denkt man sich nun die Elemente ds als schwer und legt ihnen, da sie, nach der Voraussetzung , alle gleich sind , gleiche Gewichte bei , so stellt ö eine ungleichförmig belastete Gerade dar. Der Abstand des Schwerpunkts dieser Geradon vom Pol ist der mittlere Radius des Körpers s.

8 lieber die mittleren Radien der Linien ^ Flächen und Körper.

Es ist leicht begreiflich, dass diese Deutang auch aaf die Fälle, wo s eine Fläche oder Linie beeeichnet, tlbertragen werden kann.

Wir können nun auch allgemeine Formeln zur Berechnung des mitt- leren Radius des körperlichen Raums s entwickeln.

Sei der Pol 0 der Anfang eines rechtwinkligen Coordinatensystems, und in Bezug auf dieses z = /*(«, y) die Gleichung einer krummen Fläche, 'die in Verbindung mit der a:y- Ebene, ferner mit zwei Ebenen, die der ^z- Ebene in den Abständen a, a parallel sind, endlich mit zwei, der xz- Ebene in den Abständen /3, ß' parallelen Ebenen, den Raum 8 begrenzt, so ist

^^J äxjf{xyy)dy, 12) ^ « P

^^=zjdxjdyjdzYö^

sr^ z=:ldxjdyjdzya* + y^+z^.

Auf ähnliche Weise^ wie es bei 5) geschehen ist, könnte hier in der zweiten Formel die Integration nach z ausgeführt werden, wodurch sich das drei- fache Integral auf ein doppeltes reducirt. Wir halten uns jedoch dabei nicht auf, da sich auch hier die Anwendung von Polarcoordinaten vortheil- hafter erweist.

' Sei nämlich q der Radiusvector der krummen Fläche aus dem Pole 0, ^ der Winkel, den derselbe mit der or- Achse macht, und ^ die Neigung der Ebene dieses Winkels gegen die Ebene xy, so ist die Gleichung der Fläche von der Form

^ = /'(^,'^), wo f eine gegebene Function bezeichnet. Dies vorausgesetzt, lässt sich das Körperelement ds, dessen von 0 bis q veränderlicher Abstand vom Pol, r, der Lage nach mit q zusammenfällt, ausdrücken durch d8^=^r* sin^ drd^d^. Hieraus folgt

s^^jjjf^sin^drd^d'^^

sr^ = l I I r^sin^drd^d^.

Integrirt man in beiden Formeln zuerst nach r, nimmt die Integrale von r = 0 bis r = (> = /*(0, tli) und bezeichnet die Grenzen der Integration nach O durch ßy ß\ die der Integration nach yp durch a, a', so wird

Ifi&.ilfysin^d^, 13) J « ^

t

lr, = iß

f{»,il>ysm»d».

Von M. W. Drobisch. 9

Sind a^ Oj ßy ß' constante Wertfae, so ist doroh diese Formeln der mittlere Radios des Körpers gegeben , der durch die krnmme Fläche , swei unter den Winkeln /3, ß' gegen die Ebene xy geneigte, durch die ar- Achse gehende Ebenen , und zwei Kegelöächen begrenzt ist , die durch Umdreh- ung der Winkel a, er' um die ar- Achse erzeugt werden. Man kann durch dieselben aber auch*den mittleren Radius des Körpers bestimmen, der ron der gegebenen Fläche und zwei Kegelflächen begrenzt wird, ron denen die erzeugende Gerade einer jeden durch den Pol und eine auf der Fläche lie- gende Directrix geht, welche letztere dann durch eine Gleichung zwischen ^ und ^ bestimmt sein muss. In diesem Falle sind a, a die Neigungen der beiden durch die a: Achse gelegten, die Kegelfläche berührenden Ebe- nen, ß und ß' die Functionen von v, durch welche für jede von beiden Kegelflächen die Directrix auf der Oberfläche gegeben ist.

Läuft die Fläche, deren Gleichung ^ = /*(0, ^), in sich zurück und umschliesst also einen körperlichen Raum i, so ergeben die Formeln 13) seinen mittleren Radius, sofern der Pol innerhalb s liegt, wenn a = 0, a'==2ff, ß = 0 und ß' = n gesetzt wird. Liegt der Pol aber ausser- halb «, so ist zuvörderst zwischen dem dem Pol näheren Theil der Ober- fläche und dem entfernteren Theil zu unterscheiden, welche beide durch die Curve gesondert werden, in der die Kegelfläche, deren Scheitel der Pol, die Fläche s berührt. Bezeichnen wir jenen durch AC^^i^), diesen durch fti^^if) und ist ^=9(^) die Gleichung der berührenden Kegel- fläche , so wird , da man die Achse x , auf welche sich ^ bezieht , immer so legen kann, dass sie s trifft ^

2« 9(^)

s = ljd^j[f,{^,i;y — f,{»,^y] sin Odd,

14)

2« w(^)

sr.

= iß^flft (^> *)* - ft (^> *)*] ^ ^äe .

Dass /*, und ^ auch hier zwei von einander unabhängige Flächen bedeuten können , wird kaum bemerkt zu werden brauchen.

4. Werde jetzt der mittlere Radius von zwei oder mehreren zusammen- hängenden oder nicht zusammenhängenden Linien , Flächen oder Körpern . aus einem gemeinsamen Pol gesucht.

1) Seien gegeben zwei von einander unabhängige Systeme von Punk- ten M\ M'\ . . . üft«) und ^^ iV", . . . iVW, und seien resp. /, r\ . . . r(-) und ^', q\ . . . ^^^> die. aus dem gemeinsamen Pol 0 nach ihnen gezogenen Radien, so ist das Mittel aus allen

j^_^r+r-+,.. + r<-') ()> (>^^+ > . . + gW n + V fi -I- V

10 Ueber die mittleren Radien, der Linien^ Flächen und Körper.

Werden nun sowohl M\ M" ... als N\ N'\ . . die Theilpunkte von zwei begrenzten Linien «, 0, welche resp. in n und v gleiche Theile As^=^Ac

zerlegt sind, so wird .n = — , v = --— , daher: n:v=5:tf, folglich auch

n + V = — ^^— ^ — ' = — 7 — , und ebenso « + v = -^— ! — '- = ;

8 Js ' c Ja

daher

Ä= (/+/'+/.. + r(-)) -^ + (p'+ 9"+ ... + pW)-^.

wofür auch abgekürzt geschrieben werden kann :

Werden nun n und v unendlich , so geht diese Formel über in (s+a)R:=zjrds + jqda.

Bezeichnen aber r|, ^i die mittleren Radien der einzelnen Linien s, e aus demselben Pol , so ist nach dem Vorigen

sri:= jrds^ opi =^ 1 ^ds]

daher ist

15) {s + c)R = sri+CQi.

2) Seien allgemeiner drei Systeme von resp. n, v und n Punkten ge- geben, deren von dem gemeinschaftlichen Pol auslaufende Radien resp. durch r', r", . . . r^'*\ q\ q\ . . . ^^•'^ t', r", . . . r^") bezeichnet werden mögen, so ist das Mittel aus allen

r'+ r"+ . • • + >^'^. g + »"+■■•+ »<"> ^ t'+ 1'+ . . . + 1<')

i» — — ; j "t" , . T" . ' , •

« + V + « « + v + n n + v + ii

Sind nun wieder diese Punkte die Theilpunkte von drei begrenzten , in die

gleichen Theile Js:=Jc = Af getheilten Linien 5, <y, f, so ist n = — , v = — , ti = -i-, daher n : V : n =s 5 : a : f, folglich

= TC + . + f) = '-±^

Z^tf

daher

7C+«+f)='-i^

Werden nun w, v und n unendlich, so geht diese Formel üher in

(s + a+OR^Jrds+Jfds+Jxdf.

Von M. W. Drobisch. 1 1

Es ist aber, wenn Tj, ^, , ti die mittleren Radien der einzelnen Linien ^, 0, f bezeichnen,

sr^^Jrds, CQt^jQds, \x^=Jxd\, folglich

3) Durch dieselben Schlüsse folgt völlig allgemein, wenn R den mitt- leren Badins von m begrenzten, von einander unabhängigen Linien i, /, s\ . . • *<••—*) ans einem gemeinsamen Pol^ und r,, r,', r/', . , . r^**"^^ die mittleren Eadien bezeichnen, die ihnen in Bezug auf denselben Fol einzeln zukommen, dass

17) (i+*'+i" + ...+*^""-^>) Ä==*r,+iV/+/V/'+...+«(— ^)r,(— »). Denn unterscheidet man zuerst m Systeme von resp. «, n, n", . . . «<*•-*' Punkten, so ist, wenn diese die Theilpunkte von m in gleiche Theile ds = /is = 4$' = . . . = ^^("»-i) zerlegten begrenzten Linien *, « , «", ...«<*"~^> werden,

daher

ds ,+«'+*"+..	. + »<"-')
	. + «<"-'>
^s"
*+.'+«"+..	. + «<»—')

folglich, da offenbar, wenn jetzt r, r , r", . . . r <*•""*) die veränderlichen Ra- dien der Theilpunkte der Linien s, / u. s. w. bezeichnen,

£r Er 2Jr <*»->>

(* + 5 + «"+ . . . + *<--^)) Ä = Xr^* + i:rds + . . . + 2;r<— 1)2/5(«— », woraus, wie man leicht übersieht, wenn n, n', «",... n^**""') unendlich werden , die Formel 17) sich ergiebt.

Es bedarf wohl keines weiteren Beweises, dass diese Formel auch gilt, wenn «, s\ s'.,. begrenzte Flächen oder körperliche Räume bedeu- ten , die der Reihe nach in n , n\ n ' . . . unter sich gleiche Elemente äs = ds' == ds" . . . zerlegt gedacht werden , da auch dann die unendlich werden- den Zahlen n , n\ n" . . . sich wie s , s\ s\ . , verhalten , und ebenso alle übrigen , zur Auffindung von R erforderlichen Bestimmungen sich wesent- lich gleich bleiben. Man kann daher aus der in dieser Ausdehnung genom- menen Formel folgenden Satz ziehen: Dreht man die mittleren Ra-

12 Ueber die mittleren Radien der Linien^ Flächen und Körper.

dien r^^ r/, r/' . . . r,(«— ^) der Linien , Flächen oder Körper Sy s\s'\ .. .s^^"^^ um ihren gemeinsamen Pol, bis sie in eine nnd dieselbe Gerade fallen, nnd denkt sich ihre Endpunkte als schwere Punkte, deren Gewichte resp. den Grössen s^ s\ 5" .. . 8^*^"^^ proportional sind, so ist der Abstand des Schwer- punktes dieser Punkte vom Pol der mittlere Radius des gan- zen Systems der «, «', 8'\ . . . 5^*~^).

Es darf nicht unerwähnt bleiben, dass die Formel 17) fdr den speoiel« len Fall, wo SyS%s" ,•• in einer und derselben Ebene liegende gerade Linien oder ebene Figuren bedeuten, schon ron Grün er t aufgestellt und erwiesen worden ist*).

Wir geben in den folgenden Artikeln eine Reihe von Anwendungen der vorstehenden allgemeinen Betrachtungen, bei denen wir es jedoch Jiä^* fig vorziehen werden, auf die allgemeine Formel 1) zurückzugehen, anstatt uns der daraus abgeleiteten unmittelbar zu bedienen, um für jede gegebene Aufgabe diejenigen Coordinatenbestimmungen zu wählen , die uns die kür- zeste Auflösung zu geben scheinen.

5.

Sei gegeben ein ebenes Dreieck ABC und werde gesucht ]) der mitt- lere Radius r, der Basis BC aus dpr Spitze A als Pol, und 2) der mittlere Radius r, der Fläche des Dreiecks aus demselben Pol.

1) Macht man die Basis BC=a zur Abscissenachse^ den Fusspunkt D der von der Spitze A auf die Basis gefällten Senkrechten AJ) = h zum Co- ordinatenanfang, und bezeichnet durch x die Abscisse eines beliebigen Punktes der Basis, so ist der aus A nach demselben gezogene Radius r = }/h* + a^. Ferner ist das Element der Basis rf* = Ar, daher, wenn überdies die Abschnitte 2>C, DB,, in welche AB die Basis zerlegt, durch p und q bezeichnet werden , nach Formel 1)

ar^^^ldxj/h^ + x',

folglich, wenn AB= c und ACz= 6, daher /Ä* + p» = b und /h* + q* = c,

Es ist aber

p=zhcnsC= — ; qz=ccosB= — ;

woraus folgt

pft + ?« = 4^-^^K+(*-0*l.

*) In der oben angefiihrten Schrift S. 34 und lil.

Von M. W. Dbobisoh. 13

b+ q g + fe+ c '

c — q h + c — a' oder , wenn a + 6+o = 2ti gesetzt wird ,

b + p_ u c — q u — a' Es ist femer y wenn J die Fläche des Dreiecks bezeichnet»

a Setzt man nun diese Aasdrücke in 1) ein , so ergiebt sich

WO, da ^• = w(i< — a)(u — b){u — c)> r, dnrch die drei Seiten des Drei- ecks gegeben ist. Dass durch die Vertanschnng von a mit b diese Formel den mittleren Radios der Seite b ans der Spitze Bj und ebenso durch Ver- tanschung von a mit e den mittleren Badius der Seite c ans der Spitze C giebt, erhellt ron selbst. Die vorstehende Formel hat auf andere Weise schon Grunert (a. a. O. S. 25) abgeleitet.

Nimmt die Höhe des Dreiecks ohne Ende ab nnd verschwindet sie zu- letzt gänzlich, so wird ^ = 0. 'Dann giebt die Formel den mittleren Ra- dius der Geraden a ans einem in ihr oder ihrer Verlängerung liegenden Pol an.

2) Zur Auflösung des zweiten Theils der Aufgabe kann unmittelbar die Formel 6) benutzt werden , wenn wir die Spitze A des Dreiecks zum Pol machen, nnd als die Achse, auf welche sich die Anomalie g> bezieht, die Senkrechte AD annehmen. Dann ist, entsprechend der dort angenom- menen allgemeinen öleichung ^=/'(<p), die Gleichung der Basis o= ,

cosip

wo, wenn ^ mit den Seiten AB^ AC zusammenQ&Ut, resp. 9 = — a und tp = ß sein mag, und giebt demnach 6), da hier 8^= \ah\st^ den mittleren Radius

ß

— « Es ist aber nicht nöthig, dieses Integral zu entwickeln. Denn bedient man sich für die Auflösung des ersten Theils der Aufgabe derselben polaren Coordinaten , so ist der aus A nach einem beliebigen Punkte der Basis ge- zogene Radius r = , und d* = rf . r wi g> = — ^, daher, da >=a,

cosip ^ C08*q> '

nach 1)

ß

— a Es ist demnach der gesuchte mittlere Radius der Dreiecksfläche

14 Ueber die mittleren Radien der Linien ^ Flächen .und Körper.

II) r, = }r,,

und damit der zweite Theil der Aufgabe durch den ersten gelöst. Man kann dieses Hesultat auch so aussprechen: Zieht man aus der Spitze des Dreiecks, als Pol, nach seiner Basis den mittleren Ra- dius derselben, r|,nnd durch den Schwerpunkt des Dreiecks eine Parallele zur Basis; so ist das zwischen dieser Paral- lele und der Spitze des Dreiecks enthaltene Stttck von r, der mittlere Radius r^ der Dreiecksfläche.

6.

Man sucht den mittleren Radius des Umfangs und den des Inhalts des Dreiecks ABC^ wenn der Pol 0 beider Radien, die wieder Tj, r, bezeichnet werden mögen , in einem beliebigen Punkte der Ebene des Dreiecks liegt.

Man ziehe aus 0 nach den Spitzen des Dreiecks die Geraden OA = o, OB^=ß, OCs=:yj nnd setze die Fläche des Dreiecks OBC^=sd\ ebenso 0€A^==J'\ OABz=^J"'\ nenne femer die halben Umfange dieser Dreiecke u\ u\ u"\ so dass also Ä + jS + y = 2t<', ft + a+ jr= 2m", c + « + jS =s 2 m'", und bezeichne die mittleren Radien der Orundlinien a, b^ c dieser drei Dreiecke aus dem Pole durch r,', r,", r/^, so ist nach I*) in der vorigen Nummer

'.•=t(^+r)[.+(S^')l-^'^('-v)

n-=*(.+«['+(^01-^V(-y»)-

£s ist aber vermöge der Formel 16), wenn daselbst der Reihe nach r,, ^|, t^ mit r/, r/', r,"', desgleichen 5, a, f mit a, fr, c, femer R mit r, vertauscht und zur Abkürzung a + 6+c = 2M gesetzt wird,

_art +br, + cTj

daher wird durch Substitution der vorstehenden Ausdrücke

_,(5^)V(.-^.)-.(h:)V(.-±)

_.e4)v(.-^)]

Was r^ betrifft;, so ist, wenigstens vorläufig, zwischen den zwei Fällen zu unterscheiden, wo der Pol 0 entweder innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks i^iSC liegt. In dem ersten dieser Fälle ist ABCs=Js=z^'+J^'+j"\

^ '•' = ^

Von M. W. Pbobisch. 16

daher, wenii r/, r,", r/" die mittleren Radien der Dreiecksflächen J\ J'\ ^"' ans dem Pole 0 bezeichnen, in ganz ähnlicher Weise wie zuvor, ver- möge der Formel 16),

'•• = ^ '

folglich, da nach dem vorigen Art. nnter II)

'•»+'>h(^')l+^"('+-'['+(^)']]

(¥)''^'(-J)-(^)"^»(-,^)

-(^")V(-.-i)

Liegt aber der Pol ausserhalb des Dreiecks, so sind in ^=^J'+^f'+J"[ immer ein oder zwei Glieder des Ausdrucks zur Hechten negativ. Denn man kann bekanntlich überhaupt die Fläche ^ von ABC dadurch erzeugen, dass man aus dem Pole 0, liege er nun innerhalb oder ausserhalb dessel- ben , einen Radiusvector zieht , und diesen um 0, nöthigenfalls verlängert, so dreht, dass er successiv die Seiten AB, BC, CA durchläuft und hierdurch die Dreiecke OAB, OBC, OCA beschreibt, zuletzt also in seine anfängliche Lage zurückkehrt. Bleibt nun der Sinn der Drehung in allen drei Drei- ecken derselbe , so sind alle drei als positiv anzusehen und ist ihre Summe die Fläche von ABC, Dies findet statt, wenn der Pol innerhalb des Drei- ecks liegt. Ist aber der Sinn der Drehung bei der Beschreibung des zwei- ten oder dritten Dreiecks, oder beider, dem im ersten Dreieck entgegen- gesetzt, so sind die Flächen dieser Dreiecke als negativ anzusehen, wenn man die des ersten als positiv nimmt, und ist dann die algebraische Summe der so bezeichneten Flächen J\ A'\ A'" die Fläche von ABC. Sei demnach zuerst üf = ^'+z^" — ^"', folglich A + ^"'= z^'+//'", wo das Gleichheitszeichen offenbar Congruenz anzeigt, so müssen auch die mittle- ieren Radien beider Summen von Flächen aus dem gemeinsamen Pol 0

A _L A"^ "' A' ' m^ A" "

gleich sein. Diese sind aber nachl5)resp. — ^ — - — -nfr— nnd V-^ it-^^

^ ^ ^ j +^J A + /i

Da nun die Nenner beider Ausdrücke gleich sind , so folgt aus der Gleich- heit dieser mittleren Radien

A r^ "T A ^t — A ^t

r._ - .

Sei zweitens d = a' — A'* — A''\ also -^-f z^' -f 2/"= /i\ so ist nach 16) der mittlere Radius der Fläche , welche der linke Theil dieser Gleichung

ausdrückt, * T . r^ 7" :,„ ''• , der von A' aber r.' = £-^5 folglich durch Gleichsetzung beider, vermöge der Gleichheit der Nenner,

16 lieber die mittleren Radien der Linien , Flächen und Körper.

..=.-= _ .

Hieraus erhellt nun , dass die Formel r, = ^ ^, mithin

auch die ans ihr abgeleitete unter II) , bei jeder Lage des Pols anwendbar ist, wofern man nur den Flächen ji\ d'\ A'" ihre dieser Lage entspre- chenden Zeichen giebt*). Liegt der Pol auf einer der Seiten von ABCy also entweder auf a oder h oder c, so wird resp. A' oder d" oder A'"=-^.

Durch die vorstehenden Formeln kann nun auch die allgemeinere Aufgabe : den mittleren Radius des Umfangs und Inhalts einer beliebigen n - seitigen geradlinigen Figur aus jedem in ihrer Ebene liegenden Pole zu finden, als im Weseiitlichen gelöst betrachtet werden. Denn die Fläche jeder solchen Figur wird immer durch die algebraische Summe von n ent- weder durchaus positiven oder zum Theil negativen Flächen von Drei- ecken ausgedrückt werden , deren Grundlinien die Seiten der Figur sind, und deren Spitzen im Pol zusammenfallen. Da nun die mittleren Radien der Umfange und Inhalte aller dieser Dreiecke sich finden lassen , sq kann hieraus durch Anwendung der Formel 17) auch immer der mittlere Radius der ganzen n-seitigjßn Figur bestimmt werden.

7. Werde gesucht der mittlere Radius r, des Umfangs eines Kreises vom Halbmesser a aus einem in der Ebene desselben liegenden Pol, dessen Ab- stand vom Mittelpunkte desselben == e ist.

Sei 9> der Winkel, welchen der nach einem beliebigen Punkt des Kreisumfangs gezogene Halbmesser mit demjenigen Halbmesser macht, auf dem, oder auf dessen Verlängerung der Pol liegt, so ist in Formel 1) der aus dem Pol nach demselben Punkt gezogene Vector

r = j/rt*-f-c' — 2aceo$g>, und ds±r^ad^\ daher, da für den halben Kreisumfang s = 7vay n

7vr^=^ j afp yd^-^-i? — ^accoT^

0 oder , wenn ^ 9 = if; gesetzt wird ,

= '^i<i^^c)jd.\fpy\^ jß^^co^\fp.

*) Grunert hat ewar ähnliche Formeln wie die vorstehenden aufgestellt , da- bei aber die Verschiedenen Lagen , die der Pol haben kann , nicht erörtert. Es ver- steht sich übrigens von selbst, dass diese Formeln durch Zugrundelegung anderer Bestimmungsstücke des Dreiecks und seiner Lage gegen den Pol mannig^fach trans- formirt werden können, was zu verfolgen jedoch nicht in unserer Aufgabe liegt.

Von M. W. Drobisch. 17

^i«

wr, = 2 (a -h cWdt^ 7/ 1 — ^^ eos* if;.

4 fl c Dieser Ausdruck von «r, bezeichnet aber, da immer 7 — ^ — r« <1> den hal-

{a+cy

ben Umfang einer Ellipse, deren halbe grosse Achse =a + c, deren Ex- centricität =2 j/^, folglich deren halbe kleine Achse, jenachden? c^«, = + {a — c) ist. Es ist daher der mittlere Radius des Kreis- umfangs aus einem beliebigen in der Ebene des Kreises lie- genden Pol der Halbmesser eines Kreises, dessen Umfang gleich ist dem Umfang einer Ellipse, deren halbe Achsen die Abstände des Pols von den beiden Scheiteln desjenigen, Kreisdurchmessers sind, in dem oder in dessen Verlängerung der Pol liegt.

Für c=a wird Trr, =4a. Liegt also der Pol im Umfang des Kreises, so ist der mittlere Radius des Umfangs der Halbmesser desjenigen Kreises, dessen Umfang gleich dem vierfachen Durchmesser des gegebenen Kreises ist. In der That stellt dann dieser letztere den Umfang der Ellipse dar, deren halbe Achse =2a, und deren halbe kleine Achse verschwindend klein ist.

Für c = 0 giebt die Formel, wie es sein muss, rj = a.

Der Flächeninhalt der obigen Ellipse ist, jenachdem c^a, =+«(a'— c'), also gleich der Ringfläche, welche zwischen dem Umfang des gegebenen und dem eines concentrischen Kreises enthalten ist, der den Abstand des Pols vom Mittelpunkte des gegebenen zum Halbmesser hat.

8.

Nicht ebenso einfach ist die Lösung der Aufgabe : den mittleren Ra- dius r, des Inhalts des Kreises vom Halbmesser a aus einem in seiner Ebene liegenden Pol, dessen Abstand vom Mittelpunkt =c, zu bestimmen.

1) Liege der Pol innerhalb des Kreises, so dass also c<,a^ und sei derselbe der Anfang der polaren Coordinateu r, 9? der im Kreise liegenden Punkte; die Ache, aufweiche sich g> bezieht^ sei der Halbmesser, in wel- chem der Pol liegt, in der Richtung von der Peripherie zum Centrum ge- nommen. Dann ist nach Formel 6)

wo 5 = ^^«* die halbe Kreisfläche und f{<p) der Vector des Kreises aus dem Pol , also , wie man ohne Mühe findet ,

/•(^) ^::^CCOSq> +aj/ i, j «V (f.

Hieraus folgt, wenn man zur Abkürzung

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. IV.

18 Ueber die mittleren Radien der Linien , Flächen und Körper.

setzt und nur das Zeichen + berücksichtigt,

i j f{q>f d(p^=\c^ j CQ^fpdq>^ac^ j Jcos^tpdrp+ä^e j J^cosqxiip+lcfi I /Pdip,

Es ist aber

/ cos^ fpd<p = sin g> — y sin^ 9 ;

/» /* c* dw

Aco^ (fdtp = / (1 2" *«"*9^) (* — sin*(p) —

/d<p fa* + c*\ Psin^ (pdq> ^ rsm*<pdq> /T cos q>dip = sin q> — J — j sin* fp ;

Pdtp c* Am* fpdq> _c^ f*sin^ (pdq>

Hieraus folgt zunächst

T I f{9>y rfg> = j^c (3a* + c') sin <p — Je* W/i'y

Es ist aber

/sin^tpdg) a* /V9 o* /*^j — 5^= ■? J ^ ~ "7 J ^'^'' '

Durch Substitution dieser Ausdrücke wird daher il fiSPfd(p = J(a* + c*) c ffin g) + f {ad cos q> — c sin* q>) c* sin 9

+ f a(7a«+ oy'z^rfy- j« (««— ^y*^.

Nimmt man dieses Integral von 9=0 bis g>=n und dividirt durch s^^na\ so erhält man, da

^ -kc-^-G)-'(^-(7)]-.

Für c = a wird f{g))^=z2a costp^ daher

i/ A9^)' ^9> = -3" (*'« 9> - i ^««' 9)-'

Von M. W. Drobisch. 19

-LTuui j» rx-x-ww*n-w-yw~ii'V><'V-x'^«n«-i<~¥~yv-i r>i~i^i—«--»f->i-> <-»<-i <- i-io <

Es kann aber in diesem Falle , da der Pol im Umfange des Kreises liegt, ^ die Grenze ^n nicht überscLreiten, daher wird

5r,= iy/'(g,)»rfg, = ^a»5 folglich r, = |^;

0 ein ResnltM, das auch die vorstehende Formel I) giebt.

Für c=0 wird r^^=:^ay was auch schon aas Art. 5 folgt, da man die Kreisfläche als ein Dreieck betrachten kann , dessen Basis gleich dem Um- fang nnd dessen Höhe gleich dem Halbmesser des Kreises ist.

2) Liege der Pol ausserhalb des Kreises, so kann in der Ol^ichnng des Kreises

/•(q)) z=:=ccos(p + aj/ l — -Y sir^q>^

a* da jetst c^a^ der Werth ron m*^ nicht grösser als --j werden. Es muss

aber hier die Formel 7) in Anwendung kommen , in dex

*=rjji5a*, « = 0, /3 = arc«/i— ,

f^ {ip) = c ro^ qp + ya^ — c^ sin* q>^ /i (9) z=zc cos q) — j/c^ — c* sin* (p zu setzen ist. Hierdurch erhält man

'~^^^J^

a arc #t» — •

[(c COS q) + "/a^ — c* sin* 9)' — {c cos q> — j/a* — c^ sin* q)y] dtp

a a

arc sin — • arc sin -—

— f d^ Y^ — c* sir^ ^ — ^~^t I ^•'** ^d<p j/a* — c* sin* tp. 0 0

3ää» _ 0

Man setze csinip^=^a sin tf; und 7/1 — -^ *in* tf; = ^', so wird

r ,- ««(«•+ 3c«) A/t/; a«(a»+3c«) rsin*^d^\f

{^+S^Jd<pV^-^6^sin^\p= ; ^J^ LJL_^j_p

/* ^-- — y— 4a* AiV-üi^f«); ^a* f*sin*^d^

Zieht man dieses Integral von dem vorhergehenden ab , so erhält man die Differenz

a*(a*+3c*) /Vt^ fl«(5fl*+3c*) Am'iprf^ 4fl* Psir^Jjdip

^^ JT" 3 J z^' ■*" c J ^' •

Reducirt man auf ähnliche Weise wie im ersten Theile dieser Auf- gabe die Integrale, so wird hieraus

i<^cJ'cos^sin tl, + ic {7a*+ <*)J ^' d^ + [ ^^ '-jj -jr.

2*

20 Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper.

a

Dieser Ausdruck ist zwischen den den Grenzwerthen 9 = 0, q)^t= aresin —

entsprechenden Grenzen '^ = 0, i/; = ^9s zu nehmen und vermöge des obi-

4

gen Ausdrucks für r^ , dann noch mit - — | zu multipliciren. Man erhält

onci

hierdurch

Für c = a geht auch dieser Ausdruck in den schon gefundenen r,= — über.

9.

Wenn in Art. 7 die Bestimmung des mittleren Radius des Kreisura- fangs auf die Rectification der Ellipse zurückgeführt worden ist, so kann auch umgekehrt die Länge eines elliptischen Bogens mittelst des Kreises durch Construction oder Rechnung 'ii^it beliebiger Schärfe annähernd be- stimmt werden, äei nämlich Tf der mittlere Radius des Kreisbogens fl (q>, — q>ö), welcher dem Winkel entspricht, dessen Schenkel mit dem Halbmesser, auf dem der Pol in dem Abstände c vom Mittelpunkt liegt, die Winkel g>o 1 9>i machen, so findet sich ganz auf dieselbe Weise wie in Art. 7

i9i ''1 = w \ / ^^ l/l — €* COS* rif ,

wo , wie dort, wieder ^ = ^9 und zur. Abkürzung «* = , >, gesetzt ist

(a + c)

und tp^,^ (pi in Theilen der Maasseinheit ausgedrückt zu denken sii)d. Setzt man 4 g>o = tf^o und ^ 9>t = t^i , so wird

Wl — Vo e/

und ist nun r^ der mittlere Radius des Bogens 2a(t^i — t^^,) desselben Krei- ses aus demselben Pole wie zuvor. Setzt man endlich a + ^ = <x ^^^

• /jf

a — c = /J, wodurch «* = — -j-^ wird , so erhält man

er

/' \

I) ajdn\f y\—^cos^^z=ir^ (tf;, — ipo)-

. ^' Diese Formel zeigt , dass der Bogen einer Ellipse , deren grosse und kleine

Achse 2«, 2/?, welcher durch die Amplituden \n — 1^0» 4« — '^\^ oder astronomisch ausgedrückt, durch die excentrlschen Anomalien ^0, ^, ge- geben ist, gleich ist dem Bogen eines Kreises, der dem Mittelpunktswinkel ^1 — ^0 entspricht und mit einem Halbmesser r^ beschrieben wird , der

Von M. W. Drobisch. 21

sich durcb folgende Constrnction finden lässt. Man beschreibe mit einem Halbmesser, welcher gleich der halben Summe der halben Achsen der El- lipse, also = ^{a + ß) ist, einen Kreis, nehme anfeinem beliebigen Halb- messer desselben in einer Entfernung, welche gleich der halben Differenz der halben Achsen der Ellipse, also = ^ (of — ß) ist, einen festen Funkt als Pol an, ziehe sodann einen zweiten und dritten Halbmesser, welche mit dem ersten die Winkel 2t/;o, 2*^1 bilden, daher auf dem Kreisumfang einen Bogen abschneiden , dein der Mittelpunktswinkel 2 (i^f — ^o) ^i^^- spricht. Man theile diesen Bogen in n gleiche Theile und ziehe nach den Tlieilpunkten , sowie nach dem Anfangspunkt des Bogens aus dem Pole, Radien, setze dieselben in gerader Linie an einander und nehme den nten Theil dieser Summe der Radien, so ist dieser um so näher der mittlere Radius des Bogens, je grösser n. Beschreibt man nun mit diesem mittleren Radius aus dem Mittelpunkte des Kreises zwischen den Schenkeln des Winkels 2(t^( — i/;©) einen Kreisbogen und halbirt denselben, so hat man je die genäherte Länge des gegebenen elliptischen Bogens.

Ebenso einfach erhält man einen genäherten Werth desselben durch

Rechnung. Sei nämlich — 5lL=:25, so machen die nach dem Isten,

n

2ten, 3ten, Xr-ten Theilpunkt des Kreisbogens gezogenen Halbmesser mit

dem Halbmesser, auf welchem der Pol liegt, der Reihe nach die Winkel

2(to + .«), 2(i/;o + 26), 2(tf;o + 3d).,.2(i^o + Ard).

Bezeichnen wir nun die nach diesen Theilpunkten aus dem Pol gezogenen

Radien der Reihe nach durch /, r\ r'\ . . . r(*), so ist

»•<*) = Vk (« + «* + i («-^)' - \ («»- f) cos 2 (to + *«) , was sich , da a* — /P = «*«*, auf

r (*) = « j/l — «« cos^ {jj,^ + kd) reducirt. Setzt man nun successiv /r = l, 2, 3, . . . n, so ist durch diese For- mel näherungsweise gegeben

Führt man noch den Hilfswinkel ^^^ ein , indem man setzt

B coS'{7lfo + kö) = cos ^<*), woraus folgt

r(*) = a Sin d<*>, so wird

^1

(sin ^' + sin ^" + . . . + sin ^(«)\

II) afd^ ^1 — €* cos^ t^ = a (t(;, — -^o) ("

n

Offenbar kann man in der Coustruction wie in der Rechnung statt des Mittels aus den Radion r , r ', . . . r^^-^^ der Theilpunkte und dem Radius r(">

22 üeber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper.

des Endpunkts des Bogens auch das ans jenen Radien und dem Radius r^ des Anfangspunktes nehmen, woduixh der genäherte Ausdruck des ellipti- schen Bogens , wenn 6 cos tpo = cos ^, wird

, , /m e^ + ^1« &' + sin ^"+ ... + sin ^<»-i)\ a (ti — i/;o) \^ —J .

Man kann endlich auch noch zwischen beiden Ausdrücken das Mittel

nehmen, wodurch sich, mit gleichmässiger Berücksichtigung der Radien

des Anfangs- und Endpunktes des Bogens, iPÜr seine Länge ergiebt

, /4 sin e^ + sin ff + sin d" + . . . + «Vi ^<«- ^> + 4 sin ^<")\ « (^1— t(;o) \^= j .

10.

Vorstehende Rectificationsmethode lässt sich noch weit einfacher ifnd ganz unabhängig von dem in Art. 7 enthaltenen Satze ableiten. Da nämlich

dib — lim ^^~^^ = lim 5y n

so ist unmittelbar klar , dass

aldrl/yT-

*=** tt/l — g* cos* {^0 +lcä)

■ «' co^ ^ = ((f;, — ^^) lim 2

woraus sofort, wenn man cos {>(*>= e ccs {ipo'^^^S) einführt, die Formel II) im vorigen Artikel folgt. Man kann hieraus nun auch rückwärts die dort angegebene Construction ableiten, wenn man bemerkt, dass

Die obige Formel hfit aber auch noch einen andern Sinn. In derselben ist nämlich a "/l — «* cos* (i|;o + kö) derjenige Halbmesser der Ellipse, welcher dem Halbmesser derselben conjugirt ist, der durch das Complement der Amplitude oder die excentrische Anomalie i^q +^^ bestimmt wird. Denn dieser letztere ist ^1 — «* sin* {^q + k d). Sein conjugirter Halbmesser wird erhalten, wenn man sein Quadrat von a* + ß* subtrahirt und aus dem Reste die Wurzel zieht, was den vorstehenden Ausdruck giebt. Hiernach führt nun die obige erste Formel auch auf folgenden Satz : Die Länge des durch die excentrischon Anomalien tf^o» ^Pi seiner Endpunkte bestimuten Bogens einer Ellipse ist gleich der^änge eines Kreisbogens, der dem Mittelpunktswinkel ^, — i/^o entspricht und mit einem Halbmesser beschrieben wird, welcher das Mittel von allen den Halbmessern der Ellipse ist, die den- jenigen Halbmessern des zu rectificirenden Bogens dersel- ben conjugirt sind, welche bei gleichförmiger und stetiger Aenderung der Anomalie aufeinander folgen.

Da jeder Halbmesser der Ellipse parallel ist der Berührenden am End- punkte seines conjugirten Halbmessers , so gehören im vorstehenden Satze

Von M. W. Drobisch. 23

die Halbmesser, ans denen das Mittel zu nehmen ist, einem Bogen, der von zwei Halbmessern abgeschnitten wird, die den Berührenden des An- fangs- nnd Endpunktes des zu rectificirenden Bogens parallel sind. Es wird jedoch vielleicht nicht überflüssig sein, zu bemerken, dass jenes Mittel keineswegs der mittlere Halbmesser dieses elliptischen Bogens ist, da durch die Theilung der DiETerenz der Anomalien der Endpunkte des gegebenen Bogens in n gleiche Theile weder dieser selbst noch jener, den die Halb- messer abschneiden, welche den Berührenden seiner Endpunkte parallel sind, in» gleiche Theile getheilt wird, wie es der Begriff des „mittleren liadius*' fordert Der Satz selbst ist nicht neu, sondern auf anderem Wege schon von Grüne rt gefunden*); die im vorigen Artikel enthaltene Con- struction der Länge des elliptischen Bogens mittelst des Kreises ist jedoch hier hinzugekommen.

Grunert, der den Satz durch Betrachtung von Polygonen erhftlt, die sich in und nm die Ellipse beschreiben lassen , giebt auch (a. a. 0. mit Be- zugnahme auf eine frühere Abhandlung) Grenzen an , zwischen welche für jedes endliche n die wahre Länge des elliptischen Bogens fällt. Da sie sich ohne grosse Vorbereitung ergeben und durch sie der Satz eine Ergänzung erhält, so möge ihre Ableitung hier noch eine Stelle finden.

Sei 8 ein Bogen der Ellipse , dessen Endpunkte durch die den Haupt- achsen 2o,.2/9 parallelen rechtwinkligen Coordinaten aus dem Mittelpunkte Xq , i/q nnd X| , ^i gegeben sind , so ist , wenn a die Sehne dieses Bogens ,

5 > ff und 0* = {xq — x^y + (yo — t/tY- Sind nun Uq, t/i die excentrischen Anomalien der beiden Endpunkte von 5, so ist

a;« = o cos Uoi yo= ßsinu^j Xi = aco8Ui^ yi=a5f>iUi. Hieraus folgt, wenn wie zuvor a* — /?• = a*€*,

0* == 4 a* [1 — €* CüÄ* 4 («0 — Mf)] sin^ ^ (u^ — Mo) , oder, wenn man a*[l — «* cos^ ^ (wo + W|)] = ^* setzt, wo nach dem Obigen Q den fialbmesser der Ellipse bedeutet, der der Berührenden an demjeni- gen Punkte parallel ist, dessen excentrische Anomalie =4 («0 + w,), also das Mittel aus den Anomalien der Endpunkte des Bogens,

a = 2Q siti 4 (wo — «i)« Es ist also erstens

I) «>2^ii«|(Mo — Mj).

Zieht man femer an die Endpunkte des elliptischen Bogens die Berühren- den , bezeichnet die Coordinaten ihres Durchschnitts durch x\ y und die zwischen diesem Durchschnitt und den Berührungspunkten enthaltenen Abschnitte der beiden Berührenden durch Po) Pd ^^ ^^^

*<Po+Pi und

*) Archiv, Bd. 30, S. 213.

24 Ueber die mittleren Radien der Linien ^ Flächen und Körper. Po* = (po — XoY + (/— yo)* , i>i* = (^'— ^o)' + (y — yo)'.

Es sind aber die Gleichungen der beiden Bertihrenden

y —yo — — -jT (^ — ^o) = — - CO' «0 • (^ — ^o) >

cryo «

0*0:, . / V /3 ^ , / .

o y, a

Eliminirt man nach diesen beiden Gleichungen y\ so erhält man nach ge- höriger Reduction

a;' — oTo = a sin u^ iang \ {u^ — W|) , x — o:, = a Sin u^ iang \ {u^ — m,). Hieraus folgt

Po' = («* sin^ K+ /3* cos^ w«) to«p« i («o — «i) > p,«= («« sin* w, + /?• coÄ* M,) iang* ^ (m^ — «,) , oder

Po = ^0 ^^f^g 4 K — w,) , Pi = ^1 towö' 4 K — w,) , ^^^ ^0 ) ^1 ^^^ d®^ Berührenden am Anfangs- und Endpunkte von s paralle- len Halbmesser der Ellipse bedeuten. Es ist also zweitens

H) * < {Qo + Qi) '««y 4 («a — «i);

Theilt man nun die Diiferenz ^i — ^^ der excentrischen Anomalien , durch die ein zu rectificirender elliptischer Bogen S {ii^^^ij/^) bestimmt ist, in

n gleiche Theile ^ ^ = ä, wodurch der Bogen in n Theile s\ $\ . . . *<*>

n

zerlegt wird , die nicht gleich sind , bezeichnet ferner die Halbmesser der Ellipse, welche den Bertihrenden an den durch die Anomalien tf'oi ^o~t* ^) t/Zo + 2Ä, . * *'^Q + {n — 1) Ä, ^, bestimmten Punkten parallel sind, der Reihe nach durch r*, r , r" . . . r<""~*>, r^"), ßo giebt die Anwendung der Formel II) auf die Bogentheile s\ s\ . . , *<''\ deren Summe ^= S («(/q, i/;i), wenn man in derselben u^ — m, = tf setzt, ferner successiv q^ mit r®, / . . . r<"*~^> und ^, mit /, r", . . . H") vertauscht , endlich die sämmtlichen hierdurch sich erge- benden Ungleichungen addirt,

SiVo.'^iX^ \\^+ ^+ r'+... + r(— 1)+ 4r(«)j fang ^d. Auf gleiche Weise giebt die Anwendung der Formel I), wenn man die Halbmesser, welche den Bertihrenden an den durch die Anomalien if/o + i^v

— )ö bestimmten Punkten parallel sind,

der Reihe nach durch q\ q\ q" . . . ^<"^ bezeichnet,

Ä^K, ^i) > 2 j^'+ ()"+ r+ • • • + e^'^j «>»4«-

Man kann diese beiden Ungleichungen auch schreiben

ls(t/^o,^o<(*,-*o)( JiV-(^'-*H-i7-Jiy'

Von M. W. Drobisoh. 25

welche Formeln mit den von Grunert gefundenen übereinstimmen. Da, wenn n ins Unendliche wächst, q\ ^'\ . , der Reihe nach mit r , /' . . . zu- sammenfallen, so nähern sich dann beide Werthe, zwischen denen ^(tf^o, tf^O liegt, einer gemeinschaftlichen Grenze und wird

S (ij'o» *i) — itm (i/;, — tpo) [—^ -^ )y

IJ.

' Werde gesucht: 1) der mittlere Halbmesser r^ der Ellipse, deren Ach-

sen 2a, 2b und 2) der mittlere Radius r, ihres Inhalts.

1) Wenn r der zu der Amplitude ifi gehörige Halbmesser, s der durch ^ = ^9s und ^ = ^' bestimmte Bogen der Ellipse, und ä* — b*=a*c\ so ist

r = a /l — c* co^ ^j d8=xadflf "/i — c" sin* ^ , folglich

Irds = (^ Id^ j/(l — 4c*)* — jt 0*005*21^, oder, wenn man 2^ = 4^ — Z »ö^t,

welches Integral, zwischen den den Werthen ^ = ^71; und iif=^0 ent sprechenden Grenzen % = — 4« und % = i^c genommen , gicbt

0 Andererseits ist, zwischen denselben Grenzen genommen,

s = — a I drl) yi — c* m' ^ , 0 folglich nach Formel 1) der gesuchte mittlere Halbmesser des Quadranten, daher auch des ganzen Umfangs der Ellipse,

4«'(2-0^'(^) ^ '■' = ^E^T)

In diesem Bruche bedeutet der Nenner die Länge des Quadranten der ge- gebenen Ellipse, der Zähler das Rechteck ans a in die Länge des Quadran-

a" + 6* ten einer Ellipse , deren halbe grosse Achse = ^a (2 — c*) = — ■; , und

deren halbe kleine Achse =6 ist. Bringt man daher in vorstehender For- mel den Nenner auf die linke Seite des Gleichheitszeichens und multiplicirt auf beiden Seiten mit 4, so ergicbt sich der Satz: das Rechteck aus dem Umfang der gegebenen Ellipse in ihren mittleren Halb-

26 lieber die mittleren Radien der Linien ^ Flächen und Körper.

messer ist gleich dem Rechteck aus ihrer halben grossen Achse in den Umfang einer zweiten Ellipse, welche dieselbe kleine Achse wie die gegebene hat, deren grosse Achse aber

= a-| , also um den halben Parameter der gegebenen El- lipse grösser ist als deren halbe grosse Achse. Errichtet man auf der Geraden , welche die Scheitel der beiden halben Achsen der gege- benen Ellipse verbindet, eine Senkreclite, so schneidet diese, genugsam verlängert, von ihrer grossen Achse ein Stack ab, welches die grosse Achse der vorgedachten zweiten Ellipse ist.

Ist c so klein, dass seine höheren Potenzen vernachlässigt werden können, so wird

2) Zur Auflösung des zweiten Theils der Aufgabe können wir uns der Formel 6) bedienen. Bezeichnet in ihr f{q>) den Halbmesser der Ellipse, der mit der positiven Seite ihrer kleinen Achse den Winkel g> macht, so ist

folglich

•/ «/ (1 — <r sm*q>) |/l — c" stn* q)

6' ( _ , . ^ sinw cos tp i

Andererseits ist •

2>^r

n beid nach Formel 6)

6« ( colq>\

Nimmt man beide Integrale von 9) = 0 bis 9) = — , so erhält man

Da der Halbmesser eines Kreises, dessen Umfang dem Um-

n

fang der gegebenen Ellipse gleich ist, so führt die vorstehende Formel zu dem Satz: der mittlere Radius des Inhalts der Ellipse be- trägt f des Halbmessers des Kreises, dessen Umfang dem Umfang der Ellipse gleich ist

12. Sei zu finden der mittlere Radius 1) des Umfangs, 2) des Inhalts einer Ellipse, deren Achsen 2a, 2b ^ aus einem ihrer Brennpunkte.

Von M. W. Dbobisch. 27

1) Sei der Brennpunkt der Coordinatenanfaif^ , so ist, wenn die Rich- tung von ihm aus nacli dem Scheitel -der halben grossen Achse , auf der er liegt, als die der positiven Abscissen angenommen und wieder a* — 5'^aV gesetzt wird , die Gleichung der Ellipse :

(^)+(f)"='-

Hieraus ergiebt sich für den Radiusvector der Werth-

r=za — c{ac + x), und für das Bogeuelement

f a* — {ac + xy

Setzt man aC'{'X = a8inq), was zulässig ist, Aaüc + x die Grenz werthe a und — a nicht überschreitet, so wird

r = a(l — csing>)y ds = adq>yi — c*«w*9; daher

ff rcffso* /(i — csinqi) y\ — <^sm*q> ,dtp

z=a* I dq>yi^r'C^sm*qf + ^e^ccosqf j/l — c*sm* g>

+ ^(^ {l — c*) lgn[c eosg) + -/i — c* sin* q>].

Nimmt man dieses Integral zwischen den zu x=z — a{i + c) und

x = a{l + c) gehörigen Grenzen q> = — ^» und 9 = ^jv, so erhiilt man

2a^ I dqi f/l — c^sin*q>i 0 folglich, da, zwischen denselben Grenzen genommen,

«rr=2a ff dqf

0

1) ri = a.

Der Mittelwerth aus allen Vectoren der Ellipse ist also, bei jeder Excentricität, der halben grossen Achse, d. i« dem Mittel aus dem kleinsten nnd grössten Vector a (I — c) und ö (1 +r) gleich. Die „mittlere Entfernung" der Planeten von der Sonne fahrt also auch in diesem Sinne ihren Namen mit Recht.

2) Bezeichnet ^ die wahre Anomalie irgend eines Punktes der El- lipse , so ist der zugehörige Vector

1 + cco8g>^ daher nach Formel 6); wenn r, der gesuchte mittlere Radius,

28 Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper.

u u

Es ist aber

^ e/ (1 + CC059>)" 2(l + C.C05g))* 2(1+CC059)

Nimmt man dieses Integral von 9 = 0 bis g) = ;k , so erhält man i7r(2 + c«)/r=^. Da nun zwischen denselben Grenzen s= J;rö6 = \na^y\ — c* ist, so folgt hieraus

r, = ifl(2 + c») = a — 1^-

Der mittlere Radius des Inhalts der Ellipse aus einem ihrer Brennpunkte, ist also um ein Sechstel ihres Parame- ters kleiner als ihre halbe grosse Achse.

13.

Sei a der Halbmesser der Ereisbasis eines geraden Kegels, dessen Höhe ::= h\ es wird gesucht 1) der mittlere Radius der Basis desselben aus der Spitze als Pol, 2) der mittlere Radius des Inhalts des Kegels aus dem nämlichen Pol.

t) Bezeichnet z den Abstand des Punktes, in welchem der veränder- liche Radius r aus der Spitze die Basis trifft, vom Mittelpunkt der letzte- ren , so ist

Ferner kann hier in Formel \) ds als die Ringfläche angesehen wer- den, deren Halbmesser = z, und deren Breite £= dz. Es ist dann

d8^=27C zdz. Da nun die Fläche der Basis ^ = 29iEa', so wird nach 1)

a

Ist h im Verhältniss zu a sehr gross, so wird ist umgekehrt h gegen a sehr klein , so wird

Von M. W. Drobisch. 29

Der erstere Werth hat also znr Grenze ^, der zweite f a, wie es sein massy da in diesen Fällen der Kegel bezüglich in einen Cylinder und einen Kreis übergeht.

2) Man mache die Achse des Kegels znr x - Achse , die Spitze zum Coordinatenanfang , so ist, wenn für irgend einen Achsenschnitt or, j^ die rechtwinkligen Coordinaten eines innerhalb des Kegels liegenden Punktes bezeichnen, der Inhalt eines kreisförmigen Kinges, dessen innerer Halb- messer = y, Breite ==dy, und Höhe = da:, gleich 2ny dy dx. Dieser kann als das Körperelement ds des Kegels angesehen werden. Da nun

so ist

lrds=:2n I f ydydxj/x^ + y^. lutegrirt man zuerst nach y, so kommt

ß

ax

Dieses Integral rauss von y = 0 bis yz=— genommen werden , und giobt zwischen diesen Grenzen

Ldtegrirt man diesen Ausdruck nach x und nimmt das Integral von x = Ö bis ar = A, so erhält man, nach Hinzufügung des Coefficienten 2n,

J»Är(Ä«+a«)*— Ä»]-

Dividirt man endlich diesen Werth durch den Inhalt des Kegels 8 = ^na*hy 80 erhält man den gesuchten mittleren Radius seines Inhalts

Vergleicht man diesen Werth mit dem von r, , so zeigt sich sofort, dass

in) r, = |r..

Hieraus ergiebt sich der Satz: Zieht man aus der Spitze des ge- raden Kegels nach seiner Basis den mittleren Radius der- selben, Ti, und legt durch den Schwerpunkt des Kegels eine seiner Basis parallele Ebene, so ist das zwischen dieser Ebene und der Spitze des Kegels enthaltene Stück von r^ der mittlere Radius des Inhalts der Kegelfläche, r,.

Dieser Satz ist dem in Art. 5 für die Basis und den Inhalt des Drei- ecks gefundenen analog, und es gilt daher hier von einem Strahlenbündel Aebnliches , wie dort von einem Strahlenfächer.

14. Seien die mittleren Radien 1) der Oberfläche, 2) des Inhalts einer Ku- gel, deren Halbmesser = a, zu bestimmen, wenn der Abstand des Pols vom Mittelpunkt der Kugel = c ist.

30 Ueber die mittleren Radien der Linien , Flächen und Körper.

^^^^^^^^^^^^k^^^k^ta^^N^>^^^^^'^'S^S^^''^^'^«\^V^

1) Bei der Pol der Coordinatenanf ang , seine Yerltindnngslinie mit dem Mittelpunkt die :c- Achse, so ist die Gleichung jedes grössten Kreises, des-

. sen Ebene durch diese Achse geht,

Das Fl&chenelement ds ilt hier die mit dem Halbmesser y um die d;- Achse beschriebene ZonCy deren Breite das Differential des Bog^ns des vorstehen- den grössten Kreises. Hieraus folgt ds = 2na dx, und da der aus dem Pol nach einem beliebigen Punkt dieses Elements gesogene Radius

I rds = 2na j dx'/x* + f^=^2na j dx^ä* — c* + 2cx

= — - (a*— c« + 2ca:)' . 3c

Wird dieses Integral von x = c--a bis x = c + a genommen und durch

8 = 4nc^ dividirt, so erhält man

Diese Formel gilt jedoch nur, wenn c>a, also der Pol ausserhalb der Kugel liegt. Ist dagegen c^a, liegt also der Pol innerKalb der Kugel, so wird

^^ • ! c« ( =""^*«.

Liegt der Pol auf der Kugelflache, wo c = a, so geben beide Formeln

Liegt er im Mittelpunkt, wo c = 0 wird, so giebt die zweite, wie es sein muss, r| = «.

2) Ganz auf dieselbe Weise wie in Nr. 13 2) findet man aucUiiier

/r(f5 = 2wl I ydydxya^+ f^^ und hieraus , wenn man zuerst nach y integrirt,

Dieses Integral ist aber jetzt von y = 0 bis y = j/a* — (c — x)* zu nehmen und giebt zwischen diesen Grenzen

Integrirt man diesen Ausdruck nach Xj so kommt

Von M. W. Dbobisch. 31

und nimmt man dieses Integral von x = c — a bis a? = e + a, so erhält man, nach Hinzufügung des Coefficienten 2n und Division mit 8 = ^n€^y

Diese Formel gilt aber wieder nur, wenn c>a, also der Pol ausserhalb der Kugel liegt. Liegt er innerhalb derselben, und ist also c<a, so wird

^j(4a-c)(« + c)*-(4a + 0(«-c)«j

i\T\ ) 2 . 4 . 5 . c a*

iBt c = a, liegt also der Pol auf der Kugelfläche, so geben beide Formeln

Ffir c = 0 endlich giebt IV) r, = |a, was auch schon aus dem vorigen Ar- tikel folgt,' da die Kugel als ein gerader Kegel angesehen werden kann, dessen Basis ihre Oberfläche uud Höhe ihr Halbmesser. Man findet leicht, dasfl r, für c == 0 ein Minimum wird.

15.

Werde gesucht: l) der mittlere Halbmesserri des durch Umdrehung der Ellipse, deren Achsen 2 a, 26, um ihre kl eine' Achse erzeugten Sphär* oids, und 2) der mittlere Radius r, aus dem Mittelpunkt, in Bezug auf den Inhalt desselben Sphäroids.

1) Bezeichnet 9> das Complement der excentrischen Anomalie, oder die Amplitude des Halbmessers r, so ist r = a y\ — & co^tp , und das Bo- genelement der Ellipse adq)/i — (^ sin* 4p. Dieses letztere beschreibt bei der Drehung der Ellipse um die Achse 2 b eine Zone dSy deren Halbmesser a$inq>. Es ist daher

ds = 2n^ sin q> dg> j/l' — €^sin*q>^ folglich

/ r (/s = — 2n(^ I dcosq) j/{l — c* sin* q>) {i — c* Cö^ tp).

Setzt man ccos(p = cos ^ , so wird

lrds=i / «m*^ diff '/2 — c* — 5i»*^ ,

oder, wenn man noch zur Abkürzung 2 — c* = 5 — ^^ "5 6i°^ö^**^i

wo 2^= ^1 — y* m*i^. Durch Reduction der Integrale ergiebt sich

32 Ueber die mittleren Radien der Linien , Flächen und Körper.

/r(fs = -^ 1(1 — ^)F(yy^)+ (^ E{yj^) — sin ^ cos.ij; j/l — y* sin* ^| •

Dieses Integral ist zwischen den Grenzen zu nehmen, welche q> = ^iü und 9?=0 entsprechen und daher, weil co5i/; =0^0*9, ^=^it und rfß^arccosc sind. Zwischen diesen Grenzen genommen, geben im vorstehenden Aus- druck von I r d$ die drei Glieder in der Parenthese der Reihe nach

1 I rd$

(1— c«) [F(y, 4«) — F{y; arc cos c)] , c* [E{y, \n) — E[y, arc cos c)],

ycj^l— c». Die beiden ersteren lassen sich aber durch Anwendung bekannter Sätze von der Addition der elliptischen Functionen noch weiter zusammen- ziehen in

(l — (?)F [jr, arc cos{\'- c*)] und

. Demnach ist, wenn noch zur Abkürzung arc cos (1 — c*) = ^ gesetzt wird, der Werth von j r ds zwischen den angegebenen Grenzen

^ j (l-c») F(y,#) + c» ^(y,<^) + yc (1 -<^)* ( • Dividirt man nun diesen Ausdruck durch die halbe Oberfläche des Sphäroids

so erhält man

Ist c so klein , dass seine höheren Potenzen vernachlässigt werden können, so wird

I rds = — 27C<^ j dcosq> (l — c^ + c* cos^q) — c*coS*q>)^ ,

= — 2nfi^ 1 dcosg>{l^ ^ c' — ^ ^ + i <^ co^q) — ^c* cos*q>).

Integrirt man, so findet sich zwischen den Grenzen 9 = 0, 9) = Jtt als der Werth des Integrals :'

2«a-(l — ic« — xl^c*). Andererseits ist dann

s = — 2 J5fl* I dcosq>{i — (^ + €^ co^q>y

= — 2na*Jdcos<p[l — lc^ — ld^+^{2c^+c*)co^q>-^}c*cos^<p], was, integrirt und zwischen den vorigen Grenzen genommen, giebt

Von M. W. Drobisch. 33

Hieraus folgt

wogegen das Mittel zwischen den beiden halben Achsen

i(« + 6) = «(l-ic'-TVc'), also kleiner. Für ein Sphäroid , dessen Abplattung (wie etwa die des Ju- piter) a = -^, i8tc*FÄ2a — <«* = i%^. Hieraus folgt, wenn a = i ge- setzt wird,

r, = 0,97704 und i (a -h b) = 0,92857. 2) Anf ähnliche Weise wie in Nr. 13, 2) ergiebt sich ; dass

I rds=i2iii I j X dx dy ]/x^ + y* ; daher ist weiter, wenn man zuerst nach x integrirt und das Integral von

x = 0 hh x = j/ a* 71- nimmt,

^ /-.=i.A{[«--(^0^]'-»'}-

Integrirt man nun nach y und setzt zur Abkürzung 80 kommt'

Nimmt man endlich dieses Integral von y = 0 bis y = b und dividirt dann durch den halben Inhalt des Sphäroids s = ^na^by so erhält man

n) r, = I ( 6 + ,A r arc cos — )'

Diese Formel hat einen geometrischen Sinh. Multiplicirt man sie nämlich mit 2nby so wird

n*) 27tbr^ = I . 2« (b* + --£L=:arc cos - ),

^ V j/a^^b* «/

wo der rechte Theil der Gleichung | der Oberfläche desjenigen Sphäroids ausdrückt , das durch Umdrehung derselben Ellipse , welche das gegebene erzengt, nm ihre grosse Achse entsteht, der linke Theil aber als die krumme Oberfläche eines geraden Cylinders angesehen werden kann, des- sen Höhe r^, und dessen Basis ein mit dem Halbmesser b beschriebener Kreis ist.

Hiernach giebt die Formel II*) folgenden Satz: der Mittelwerth von den aus dem Centrum eines Sphäroids, das durch Um- drehung einer Ellipse um ihre Ideine Achse erzengt wird, nach allen Punkten seines Inhalts gezogenen Kadien ist gleich der Höhe eines geraden Cylinders, dessen Basis ein über der kleinen Achse der Ellipse beschriebener Kreis,

Zeitschrift f. AUthematik a. Physik. IV. 3 M

34 Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper.

und dessen krumme Oberfläche gleich | der Oberfläche desjenigen Sphäroids ist, das durch Umdrehung derselben Ellipse um ihre grosse Achse entste'ht

Führt man in der Formel II) c^=- ein, so wird

a

II*») y-t == I a (]/l — c» + — arc sin c).

Entwickelt man diesen Ausdruck in eine Reihe, so erhält man, wenn man die höheren Potenzen von c vernachlässigt,

was mit c == 0 in \a übergeht , wie es , nach Art. 14, 2) a. £. , sein muss.

16. Sei zu finden : . 1) der mittlere Halbmesser r , des durch Umdrehung der Ellipse, deren Achsen 2», 26, um ihre grosse Achse erzeugten Sphär- oids , und 2) der mittlere Radius r\ aus dem Mittelpunkt in Bezug auf den Inhalt desselben Sphäroids.

1) Hier iat ds die durch das Bogenelement adtp j/l — c^ sin^g> mit dem Halbmesser h cos (p um die Achse 2a beschriebene Zone, daher

ds =^2nab cos (p dq>j/l — c^sin^g), folglich da wiederum

r = a y\ — c* cos^ <p ,

I rds = 2na^b j d sin q>Y{l — c* cos* (p) (1 — c* sin^ g>) .

Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem entsprechenden zu Anfang des ersten Theils der vorigen Nr., so sieht man, dass er aus diesem durch Mul-

tiplication mit und Vertauschung von cos <p mit sin g> erhalten wird.

Setzt man daher jetzt c sing) = cosrjf^ so wird

/2na^b r , ^ , / rj- r ds = I sm* ^ d^y2 — c* — «;r if;

und hieraus weiter , nach der vorigen Nr.,

/'

r ds ='

2na^h

{(1 — c*)jP(y,i/;) + c'-E(y,tf;) — 5m tf; CO* ^ ^1 — y'«w*i/;| ,

3yc

Nimmt man dieses Integral zwischen den <p = ^7i; und 9=0 ent- sprechenden Grenzwerthen t\} = arc cos c und tf; = 4^» so erhält man

^-^ f^^ - '*) ^('''^^ + "' ^(J''^) + yc (1 - ^)*( •

Dividirt man diesen Werth durch die halbe Oberfläche des Sphäroids, welche hier

s' = TT 6' ( 1 + — arc sin c )

V c/l—c* /

ist, so erhält man

Von M. W. Dbobisch. 35

I) r,' = ^^ f (^ '-^)^(>'''») + ^-g(y'») + y^O -0*1

^y\ cj/l — c* + arc sin c J

Vergleicht man diese Formel mit der Formel I) der vorigen Nr. , so erhält man die Proportion

d.i.: die Oberflächen der beiden Rotationssphäroide sind umgekehrt proportional den Rechtecken aus ihren mittle- ren Halbmessern in ihre Rotationsachsen. 2) Hier ist

Jrds = 2nJJydydx]/x'+y^,

also , wenn man zuerst nach y integrirt und das Integral von y = 0 bis

y = 7/ 6* -a^ nimmt,

Setzt man 6* -| 1 — ar* = A" und führt die Integration nach x a|i8,

so kommt

Nimmt man endlich dieses Integral von o; = 0 bis x==:a und dividirt dvrch den halben Inhalt des Sphäroids, s = f7iab*y so kommt

oder, nach Multiplication mit 2nay

m.) ,..v=ä...{^+^^C-±i^)},

woraus sich folgender, dem in dem vorigen Artikel a. E. erhaltenen , ent- sprechender Satz ergiebt: der Mittel werth von den aus dem Cen- trum eines, durch Umdrehung einer Ellipse' um ihre grosse 'Achse erzeugten Sphäroids nach allen Punkten seines In- halts gezogenen Radien ist gleich der Höhe eines geraden Cylinders, dessen Basis ein über der grossen Achse der El- lipse beschriebener Kreis, und dessen krumme Oberfläche gleich I der Oberfläche desjenigen Sphäroids ist, das durch Umdrehung derselben Ellipse um ihre Ideine Achse entsteht.

Hiernach ist also, wenn s die Oberfläche des Sphäroids «m die kleine Achse^ und s' die Oberfläche dessen um die grosse Achse bezeichnet, nach HI*) und nach 11*) in der vorigen Nr.

IV) 2jrarg'=|s und 2ÄÄr, ==|s'5

folglich

3*

36 Ueber die mittleren Radien der Linien etc. Von M, W. Dbobisch.

2r, 6 : 2rj|' a = 2*' : 25, d. i.: die Oberflächen der beiden Sphäroide sind den Recht- eckeD auB den Mittelwerthen der von ihren Centren aus nach allen Punkten ihres Inhalts gezogenen Radien in ihre Rotationsachsen umgekehrt proportional.

Combinirt man endlich die beiden Proportionen U) und lY) , so folgt

V) n:r/ = r, :r;,

d. i. die mittleren Halbmesser und die Mittelwerthe der Ra- dien aus den Centren nach allen Punkten des Inhalts ste- hen zu einander in beiden Sphäroiden in dem gleichen Ver- hältniss.

j/o« fct

Führt man in HI) c = ein , so erhält man

Dies giebt, entwickelt, mit Vernachlässigung der höheren Poteu^cn von c,

welcher Werth für c = 0 , wie es sein muss , sich auf } a reducirt.

u.

Studien über Differentialgleichungen.

Von Professor Simon Spitzer.

(Fortsetzung.)

§. 14. Ich habe im letzten Paragraphen jene lineare Differentialgleich- ung anfgesucht, welcher genügt wird durch + 1

+ 1

+ CjC«* /(I— ««)^-| to^[(l— M«)/^+^] rfll ^1 + 1

+ C,««' /(I— lO*- */op« [{i — t^)}/m + x]du

+

+ 1

+ Cr««' /(l — M«)«-*/o^-^[(l— tt*)/m + a:](fM,

woselbst ^ > 4 ist und C^yC^yC^..Cr willkürliche Integrationsconstante be- deuten. Es ist leicht zu zeigen, dass das eben aufgestellte Integral sich in folgender vereinfachten Torrn wiedergeben lässt :

welche giltig ist, wie auch immer das B beschaffen ist und woselbst iT, , K^^ K^. .Kr ebenfalls willkürliche Constante bedeuten.

§. 15. Die Integrale der Gleichungen

01 = 0, jp, = 0, ß, = 0, (?4 = 0, ©5 = 0. welche ich in $. 12 bestimmte, setzen durchgehends ein B voraus, das grösser als 4 ist , und werden unbrauchbar für ^ = ^ und für B<C\*

Ich glaube daher, -es dürfte nicht übei-flüssig sein, auch diese Fälle zu erörtern, und so betrachte ich denn jetzt vorerst denjenigen Fall, wo ^=^ ist. Die Gleichung

ft=(m+ar)y" + [i-2«(m + a;)]y +[^--^ + a*(m + a:)]y=0 hat zum Integrale

es fragt sich jetzt , wie ist das Integral der Gleichung :

38 Studien über Differentialgleichungm.

(m + x) [(m + x) 0,]"+ [4— 2«(« + x)] . [{m + x) Q,]'

+ ^ — | + «'(i» + a?)].(». + a;)ß,=0. Aus ihr folgt unmittelbar

(m + X) 0. = c, ,«-+2^=^^(=+^) + c^.'^'-ir^^nii+si

und wenn man statt Q^ seinen Werth setzt und beiderseits durch m + ^ di- vidirt , so erhält man :

{m + x)y' + [^—2a{m+x)]y+^A—j + a\m + x)^y

welche Gleichung linear , von der zweiten Ordnung und complet ist. Be- hufs ihrer Integration setze ich

dies giebt

57) (m+^)z" + i2' + ^z = ii^ P^^^ • ,

dann führe ich eine unabhängige Variable | in Rechnung ein , mittelst der

Substitution

^^(m + a:) = r finde dadurch

, __ A dz

und diese Werthe in 57) eingeführt , geben die Gleichung

Durch Multiplication mit e^^ wird dieselbe integrabel, denn es lässt sich die Gleichung

folgendermaassen schreiben :

und giebt integrirt :

Nun wird durch Multiplication mit er'^^ die jetzt erhaltene Gleichung auch iutegrabel, denn man hat:

Diese Gleichung gestattet folgende Schreibweise :

Von ProfcBBor Simon Spitzer. 39

und giebt integrirt:

folglicb ist

waß sieb aucb unbescbadet der Allgemeinbeit so scbreiben Jässt :

Demnacb ist das Integral der Gleicbung ^2==^^ ^^ ^^^ speciellen Falle als ß = 4 ist , folgendes :

«/m + a;''"* J tn+x

und es ist klar, dass sieb die Untersucbung ganz auf dieselbe Weise weiter ftibren Iflsst. — Ja nocb mehr, es lässt sich ganz derselbe Weg auch bei solchen Gleichungen von der Form

einschlagen, wo das B irgend eine, in der Form ^t + i enthaltene Zahl ist, unter n eine ganze positive Zahl verstanden , endlich auch dann , wenn Q von folgender etwas verallgemeinerten Gestalt ist : Qr=(m + x) [{m + x)^ 0^i] " + [i?— 2 « (m + a:)] . [(m + x)^Q^,] '

+ [A—Ba + ^{m + x)].{m + x)lQr^U nur muss n, wie schon gesagt, ganz und positiv oder Null sein.

§. 16. Ich werde jetzt jene lineare Differential - Gleichung aufsuchen, welcher genügt wird durch

/== Ci (m+o:)^-^-* /^•' ("•+^) (m — «)- * (m — /3)— ' d M a

+ C^ (m+a;)^--^--* /e«("H-*)(tt-«)---i?(M ^ß)-^log [{m+x) (w-a) (w - ß)] du a

58)^

' «('»+»)(m-o)-'(m-/J)— < Zop* [{tn+x) (m-ä) (u-ß)] du

+ Cr(.m+xy-^-^Je'

e«(»>+*)(a-«)--»(u-|J)-^%'-'[(m+a) («-«) {u-ß)] du 0

L

40 Studien über Differentialgleichungen.

woselbst ^ < 1 und B <^l ist , oder A und B solche imaginäre Zahlen be- deuten, deren reelle Bestandtheiie <1 sind, und nachdem mir dies gelun- gen sein wird , bestimme icli jene lineare Differentialgleichung , welcher genügt wird für

jy^C^im+xy-^e^' le«y^^+^{u^+4A)^''^ du

— 2jt^^=r5 +

yzyzTÄ

+ Crim+jcy-^e«' 1 r*'y^*+^{u'+ U)i-^ log'^^ [(\^+U)}/m+x\ du

unter B eine solche Zahl verstanden, die <C| ist. Die Differentialgleich- ungen , zu denen leb hier komme , sind , wie ich zeigen werd^ , genau die- selben, die ich in meinem frühereu Memoire mit

/>,=0, ^2 = 0, A = 0, /*4 = 0, Pi = 0 etc. und

i), = 0, A=r=0, 03 = 0, Ö4 = 0, 0^ = 0 etc. bezeichnete, mit dem einzigen Unterschiede, dass im frühem Memoire die in den Gleichungen

7>=0 vorkommenden Buchstaben A und fi positiv waren , hier aber Zahlen sind, die kleiner als 1 sind, mithin auch negativ sein können; femer sind die, in den Gleichungen *.

0 = 0 •

vorkommenden B im frühern Memoire als Zahlen vorausgesetzt, die grösser als ^ sind, während sie hier kleiner als ^ sind.

Ich habe noch eine andere Bemerkung zu machen. Sind A und B po- sitive Zahlen und < 1 oder imaginäre Zaiilen , deren reelle Bestandtheiie positiv sind und <1, so leisten den Glcichuugen

nicht nur Gentige die im früheren Memoire gefundenen particulären In- tegrale, sondern auch die, in diesem Memoire mit 58) bezeichneten, und man hat in diesem speciellcn Falle die comploten Integrale der Gleichungen

P=0

Von Professor Simon Spitzer. 41

gefanden; ebenso, wenn B zwischen \ und | liegt, so leisten den Gleich- ungen

0 = 0 nicht nur Genüge die im frühem Memoire gefundenen Integrale , sondern auch die , in diesem Memoire mit 50) bezeichneten , und man hat also auch in diesem Falle das complete Integral der Gleichungen gefunden. ß = 0

§« t7. Ich schreite nun zum Beweise der ausgesprochenen Sätze und setze zu dem Behufe

60) y= (m4<c)i-^--«^/e« <«•+')(«-«)--* (tt-/3)-^%'-[(m+ar) (ti-«) (w-/?)]dti

a und der Einfachheit halber

(m + x)(«-«)(tt-«=P, alsdann ist:

a

+ (m + xy-^-^Ju c"<«+') (tt — «)-* (u—ß)-^lo^ Udu a

+ r (m+a:)-''-" W^"<-+') (tt— a)-^(ti — /J)-^

'^lof-^Udu,

a femer

y' = {A+B^i){A+B){m+x)''^-^^ 1 c«<-^)(w~a)-^(tt— /J)--'%^r;(ffi

+ 2(l—A-'B)(m+x)-^-^j wc-(«+*)(tt- a)'^{u—ß)-^log'- Udu

a

«

a

+ 2r(m + a:)-^-^ /«c«<-'+')(m — a)-*(M--/3)--^%'--*irrfM a

/

42 Studien über Differentialgleichungen.

somit hat man , wenn man wieder wie früher

{m + x)y'+[A+B—{a + ß){m+x)]y+[—Aß — Ba + aß{m + x)]y=P,

setzt,

P^{m + xy-^^—im + xy j e''^'^'^^){u — ay-^{u — ßy-^log^ ü du

a

+ (m+or) /l-<«+*>[(2-^~^)tt-a(l-^)-l5(l~5)] {u--aY^{u-ß)-'^log^ ü du a

. + r (m + a:) /(?«<«-»■*) (2« — « - ß) {ii — ü)~^(u — ß)-^loQ''- ^ U du a

+ r(l— ^— ^) /e«(«+*>(M — a)-*(w-^)-^/oflr'— "^i/rfw a

+ r{r'^\)je''^'^+'){u — €i)-^{u—ß)-^log'"'^üdu.

a Das erste Glied dieses Ausdruckes , n&mlich

(w + ar)* /e"(-+*>(w -ay-*(M— |3)^-^/o^'- ü du a gestattet folgende Schreibweise :

{m + x)J{u—ay-^{U'-ßy-^logrU.—j^^du

a und giebt, unter der Voraussetzung ^<1, ^<1 nach der Methode des theiiweisen Integrirens behandelt

— (m+a:) /^«(«H^) [(2-^-^)« -a (l-.<) - ß (l-^)] (u-«)-^(ti- j3)-^%'- f7rfw a

^r^m^x) fe^^'^'^'\2u—a—ß){u--u)''^{ti — ß)''^log^'-^ü du,

er

folglich ist :

Von ProfesBor Simon Spitzer. 43

und diese Gleichung hat die grösste Analogie mit jener Gleichung , welche ich im vorhergehenden Memoire mit 21) bezeichnete.

§. 18. Es lassen sich daher aus derselben all dieselben Schlüsse ziehen , wie sie S. 4 bis $. 8 von mir gemacht worden sind. Die Ergebnisse dieser Schlüsse sind :

Der .Gleichung

P,=0 genügt

y = (7, (m + ar)»- ^-«/ e«<"+') (tt — «)-'»(« — /?)- ^ dtt

a oder

y=C,(m + ar)»-^-'» /««<"+')(«— a)-*(u-/J)-^dtt

+ C^(m + xY'^-^J e^^'^'>(u''a)'-^(ur^ß)-'^log [(m+x) {u-a) (u—ß)] du a jenachdem pämlich A + B^l oder A+B =zl ist. Ferner findet man für die Gleichung

i>. = 0 das Integral

oder

a

/

>+C,(«+x)»-'-*/e"<*+*)(M— «)-«(«— jJ)-'<toif[(wH-x)(tt— «)(«—/?)] d«

a iei

= C, (m+x)»-''-We»<"+')(tt— o)-*(«- ß)'^du a

/

+ C, {m+xy-^-^J e«<«+*)(tt_a)-Ä(M— /3)- ^ log[{m+x) (w-«K«-|5)] du a

+ (7, (m+xy-^^Je'^''^){u—a)''^{u—ß)-^log' [{m+x) (u-a) (u—ß)] du a jenachdem nämlich wieder A + B^l oder A + B = l ist etc. etc., und mit- bin ist der, zu Anfang des S. 16 ausgesprochenen Satzes bewiesen.

§. 1 9. Ich komme nun zu dem zweiten in S. 16 ausgesprochenen Safz and setze, um ihn zu beweisen

44 Studien über Differentialgleicbangen.

und der Einfachlieit halber alsdann ist:

y' = (1 — 5) (m + «)- « e«* re«K^^^+^(«' + 4 ^)4 - » /o^'- F dw

— 2K=r3

H-o(m + a;)«-*««*yc«^"+»(tt« + 4^)i-*toj/'-Fd«

+2?CT + 4(OT+a:)i-«c«*/«fi«?''S^+*(««»+4^)4-*/o^'-Fd« -2?'=r3

+ y (m + a;)-«'««*ye«^i+^(K» + 4^)1 -' %•- * F d«

-zyZTÄ ferner

y"===5(5— l)(m + ar)-»-ic«*ye«i(^^H^(tt» + 4^*-« toflrTd«

-2K^=1<

+ 2«(1 — Ä)(m+a;)-«c«*ye«>'^M^(«»+4^)i-*/oj'- Fdu

+ o» (m +a.)i-»c«*yc«?''^+^(j<'+4^)*--*/oi>'- Fdj«

+2r=n + (I _ 5) (m +a;)- '-i^Ju e" V^^ (u« + 4 ^)i - * /o^r»- Fd«

+ 2^^:11

Von Professor Simon Sfitzeb. 45

. +r(4-B)(m+a;)-*-ie«wye«f^M^(M« + 4^)i-*/o^-« V du

+ j {nf\-x)-J'-ief^Jue^y^+i{,^ + AA)h-Biogr-\ vdu

Setat man nun

(fn + x)t,"+[B—2u{m + x)]y+ld—Ba+^(m + x)]y=0,, so hat man nach gehöriger Reduction

f>« = (l — f ) (m+x)i-'e«'Juei'y^!^+^ (u*+4A)i-B lögr Vdu + i(m + xy-'e»'J^y^^n(tf + 4^)1--» log'' V du + '^ 7 (»»+«)~'«**/«"^'^+'(«*+4^)4-* log'—^ Vdu

-2^=4. Nun gestattet aber der Ansdrack

i(m + xy-' e^'J^Y»+* («• + 4A)i-'lo^rdu folgende Schreibweise:

46 Stadien Über Differentialgleichungen.

+2y=^

i(m + a:)4-«e«' /(«• + 4^*-'/op'r.-^-^^^ — du

und dieses giebt nnter der Voraassetzung , dass B<\ ist, nach der Me- thode des theilweisen Intogrirens behandelt

(j — ij (m+x)i~^ e<" /Me«K^H^(tt» + 4^)*-'» lo^ Fdu

— f (m+x)k-B «c* ju e>'V^+*(tf + 4^)*-« /op»--» Vau, demnach hat man, von dem eben gewonnenen Ausdruck Gebranch machend

+ 2K=3< + lÖiZ:!^ (m+a:)-*c«'/I-]^'S^^(,«» +4^)i-'tojr-' [(«*+4^) y^H^]du

welche Formel die grösste Analogie zeigt mit jener Formel, die im ersten Memoire mit 44) bezeichnet ist.

§. 20. Durch dieselbe Anwendung der nun schon wiederholt gemach- ten Schlüsse gelangt man unter der schon vorher gemachten Voraussetzung ^^^ zu folgenden Resultaten:

Der Gleichung

(?,=0 genUgt entweder

+2r=:rf

oder

y = C, (m +«)<-»««" /e«?'^'H^(«»-f 4^1)4-« dM -2^:^:5 "'

+ C,(m + a:)»-»e«* /e«?'^M^(tt» + 4A)i-^ log [(«*+ 4^) y^^Tx] du

jenachdem nXmlich B^ l oder B=l ist.

Von Professor Simon Spitzer. 47

Der Gleicliung genügt entweder

+ Ct(tn + xy-^e»' Ce^y^^^' (ti^ + 4 ^)i - ^ log [(w« + 4 ^) j/nT+x] du

-2K^=^ oder

+2K=^

y==r, {m + xy-^ c«^ I e«y^^^ {u^ + AA)i-^ du

+2fc:i

+ C, (m + a^)>-^^'yi-?^^H:^(tt« + 4^)*-^%[(w«+ 4^))/^^ </M

+ C, (/n + ir)«-^e«* /e«^^M^(f^ + 4^)J-^/o^[(u* + 4^) ]/w+^] rfu ~2/^'=r:5 jenachdem wieder ^<1 oder 5 = 1 ist, u. s. f., u. s. f.

§.21. Es Hessen sich hier noch mehrere specielle Fälle betrachten, doch finde ich für den Augenblick zu wenig Interesse, um die Sache weiter zu fuhren. Zum Schlüsse dieser Mittheilung stelle ich mir die Atffgabe, jene lineare Differentialgleichung zu bestimmen, welcher genügt wird durch das Integral

63) y = /^«("+') (m--o)^-» i^-ß)^^ (w- ^ß-Ba) log [{tn+x) (fz-a) (u-ß)] du

a '

in welchem A und B positive Zahlen bedeuten oder solche imaginäre , de- ren reelle Bestandtheile positiv sind, woselbst aber ferner noch die Be- dingung

A + B=l stattfindet. Aus 63) folgt:

/

y' = / M e«<M^) {u—ay- \u—ßy-^ (u—Aß—Ba) log [{m+x) (u-a) (u-ß)] du a « .

+ —\— le''('^'^'Uu~~ay-Uu^ßy-'Uu — Aß—Ba)du m-\-xJ

4S Studien über Difforentialgleicbungen.

y

= it^^m^) (u^ay-^{u—ß)^-\n—jiß—Ba) log [{m+x) (u -et) (u-ß) du u

+ ^^ rue^('^'^*)(u — ay-^(u—ßy-^(u—Aß—Ba)du a

1 y;«,.+x,(„_,

(m + x} a

'ay''^[u — ßy-^(u—Aß—Ba)du.

Setzt man nun in den Ausdruck

64) (m+a:)y"+[l-(«+^)(m+a)]y' + [-^/J— ^«+«/3(m+a:)]y=2; für y, y\ y" die eben entwickelten Wertbe , so hat man

L == (m+a:) /c«(«»+») (u—ay{u—ßy(u—Jß'-'Ba) log [{m+x) («-«) (m- ß)] du a

+ /e«'<«+*) (m— a)^-i (tt— /3)Ä- \u—Aß—Buf log[{m+x) (ti-o) (ti—jj)] du a

/

Nun ist aber

(m+ar)/c''<-'+»)(M— «)'* {u--ßy {u—Aß—Ba) /05f[(w+a:) (u— «) («— /J)]rfM = a

(u-ay{u-ß)B{u-Aß-Ba)log[{m + x)(u-a){u-ß)].^l-j^^

du

^ ' " au

und dies giebt, nach der Methode des theilweisen Integrirens behandelt, nach einigen Reductionen:

^^('^'){U'-^y-^{u—ß)^''^{u—Aß^Bayiog[{m+x){u—a) («—/?)] du a

a

— /e-(«+')(w- ay{u—ßyiog[{m + x) (« — «) (u—ß)] du a

_/!«(-+*)(« — a)^-K«—W^"^n«-^/5—^a)(2tt — a—|3)

du

a somit ist

Von Professor Simon Spitzer. "49

i = — yc"(-+«)(«— «)^(a — /S)-» %[(m+x) («-«) (u-ß)] du a and jetzt giebt S. 5 die Mittel an die Hand, die gesuchte Differentialgleich- ung aufzustellen. Setsst man nämlich

(m+x)r'+[3— (a+^)(m+a:)]Z'+[— (^+l)/3— (5+l)« + ai3(m+a:)]Z==Af unter L den in 64) stehenden Ausdruck verstanden, so hat man folgende lineare Differentialgleichung:

{m+a:) Jlf "+ [3-(«+/5) (m+x)]M'+[—{A+l)ß'--{B+\) a + aß{m+x)] ^=0 welche von der sechsten Ordnung ist und der genügt wird durch

y z=zJ^i'*^){u—aY-\u—ßY-\u—Aß—Bct) log[{m+x)(u—a){u^ß)]du

a unter den vorher für Ä und B gemachten Voraussetzungen.

IIL

Entwiokelimgen über ein Kapitel von Poisson's Mechanik.

Nach M. J. LiouviLLE. Von W. Fiedlee,

Lehrer an der Oewerbschule zu Chemnitz.

Der berühmte Herausgeber des „Journal de Mathematiques^^ hat diese Abhandlung kurz nach dem Tode Poisson's (1840) bereits geschrieben; er glaubte als Poisson^s Nachfolger am Längenbureau eine fromme Pflicht zu erfüllen, indem er eine Idee entwickelte, über welche Poisson oft mit ibm gesprochen und von deren Wichtigkeit er eingenommen war. Es han- delte sich darum, auf ein beliebiges System von materiellen Punkten, für welches das Princip der Flächen statt hat, gewisse analytische Transfor- mationen auszudehnen, welche die durch dieses Princip gelieferten Gleich- ungen stets annehmen, und welche Poisson in seiner Mechanik nur für den Fall eines Systems von unveränderlicher Form gegeben hat. Eben dies hat M. Liouville in der hier mitgetheilten Abhandlung ausgeführt und seinen Entwickelungen ein Beispiel von der Anwendbarkeit der erhaltenen Formeln hinzugefügt. Andere Anwendungen verspricht er später noch ' mitziitheildn. Bei der Redaction dieser Abhandlung hat er sich von dem

ZeiUchrift f. Malhematik u. Physik IV. 4

50 Entwickelungen über ein Kapitel von PoisBon's Mechanik.

Texte Poisson's so wenig als möglich entfernt und deshalb einige Verein- einfachungen in den Details unterlassen, denn es schien ihm, als erreiche er durch jenen genauen Anschluss seinen Zweck am besten. Der Abhand- lung geht eine historische Skizze voraus, welche wir dem deutschen Leser nicht vorenthalten wollen.

Man kennt die Methoden, welche die Geometer erdacht haben, um die Bewegung der Drehung eines Systems von unveränderlicher Form zu be- stimmen. Durch sein Werk über die ,,Präcession der Aequinoctien" (1740) hat d'Alembert hier den Weg eröffnet und niemals ist eine grössere schöpferische Kraft entfaltet worden,: unglücklicherweise fehlt überall in den Formeln und in den Details der Rechnung die Eleganz; ein wunder- licher Mangel oder eine Vernachlässigung, welche sich in den rein mathe- matischen Werken dieses ausgezeichneten Schriftstellers oft wiederfindet. Wenn man aber' die Zeit bedenkt, in der er seine Arbeit schuf, so muss man seinen Geist bewundern. Man besass damals noch nicht einmal die sechs allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts freier Systeme, nur die drei ersten kannte man, welche ausdrücken, dass die Summe der nach einer beliebigen Richtung genommenen Componenten der Kräfte Null ist, nicht die drei, anderen, die sogenannten Momentengleichungen, welche allein übrig bleiben, wenn man .einen festen Punkt in das System einführt. Diese hat d'Alembert zum ersten Male in eben dem Werke gegeben, von welchem wir sprechen, sie bilden die wesentliche Grundlage desselben. Von denselben geht d^Alenibert durch sein Princip {Traue de DynarniquCy 1743) zu den Gleichungen der Bewegung über, so dass die ganze Ueber- setzung des Problems in Gleichungen ihm eigenthtimlich angehört. Durch alle Schwierigkeiten einer noch wenig entwickelten, in ihrem Gange noch unsicheren Analysis führt er uns endlich ans Ziel , und wir sehen uns Meister eines Problems, dessen Schwierigkeiten alle Anstrengungen New- ton 's selbst nicht bewältigt hatten; und gleichzeitig erhalten wir die Ge- setze der Präcession der Aequinoctien und finden die Ursache und die ma- thematische Erklärung der nicht weniger merkwürdigen Erscheinung der Nutation, deren Existenz ein unsterblicher Astronom, Bradley, durch eine Reihe genauer Beobachtungen soeben bewiesen hatte. (Bradlejp machte seine Entdeckung öffentlich bekannt 1747, 1749 erschien d'Alem- bert's Werk.)

Nach d'Alembert folgte Eni er und mit ihm kam die Eleganz. Euler hat zuerst die Gleichungen der- Rotationsbewegung eines Sy^ems von unveränderlicher Gestalt in ihrer endgiltigen Form aufgestelt, auch zuerst die strengen Integrale derselben für den Fall aufgefunden, in wel- chem die äusseren Kräfte Null sind. Hier wie überall ist seine Ueber- legenheit im Calcul offenbar. Euler selbst hat die Priorität von d'Alembert's Arbeit über die Präcession der Aequinoctien anerkannt; er war .bis dahin durch Hindernisse aufgehalten worden, die ihm fast unüberwindlich er- *

Von W. Fiedler. 51

schienea waren , sobald aber d'AIembert die ersten Schwierigkeiten besei- tigt hatte, nahm er seine Revanche durch ausgezeichnete Veryollkomm- nnngen der Methode.

Nachher haben Lag ränge, Laplace und andere Geometer, Pois- son insbesondere diese Klasse von Fragen foi-tgesetzt behandelt und neue Probleme gelöst oder die alten Auflösungen vervollkommnet.

Sie hatten sich alle auf die analytische Methode beschränkt; aber nach ihnen ^at M. Poinsot in lichtvoller Weise den Gegenstand durch eine synthetische Methode behandelt in seiner Theorie nouvelle de la rotation des Corps. {Journal de Math. 1. ser. L XVl.) Die analytischen Auflösungen, welche man vorher besass, verlieren damit nichts an ihrem Werthe, sie haben ihre eigenthümlichen Verdienste, und die Belehrung, die man aus ihrem Studium schöpfen kann, wird noch lange eine Quelle von Fort- schritten für die Wissenschaft sein.

Poisson, welcher das Problem von der Rotationsbewegung eines Systems von nnyeränderlicher Form mehrfach behandelt hat, hielt mit Recht viel von der Methode, die er in seiner Mechanik zur Bildung der Differentialgleichungen des Systems gegeben hat; der von ihm angezeigte Weg ist wirklich sehr einfach , seine Formeln sind elegant und die darin vorhandene Symmetrie erleichtert die Rechnung und gruppirt die Resultate unter sich so, dass man in jedem Augenblick die einen aus den anderen durch ein geschlossenes System von Permutationen ableiten kann. Indem er sich dann in einem im 15. Hefte des Journal de VEcole polyiechnique auf- genommenen Memoire mit derselben Aufgabe beschäftigte , hat Poisson die Gleichungen der auf unveränderliche Ebenen bezogenen Flächen angewen- det und sie durch den Calcul in Gleichungen umgewandelt, welche sich auf bewegliche Achsen bezieben. In seiner Mechanik folgt er einem davon abweichenden Wege und wendet, wenn auch nicht die Gleichungen der Flächen, so doch wenigstens die Combination des Princips von d^Alem- bert und dei^ Gesetze des Gleichgewichts, welche sie liefern, direct auf bewegliche Achsen an. Diese Verfahrungsweise fordert einige Vorsicht und analytische Transformationen, welche Poisson mit Sorgfalt ent- %vickelt hat.

Aber das Princip der Flächen entspricht nicht allein den Systemen von unveränderlicher Form, es dehnt sich auf eine unbegrenzte Zahl an- . derer Systeme aus, für welche der Calcul von Poisson einigermaassen abgeändert werden müsste. Da wirklich die Hauptachsen der Trägheit in j^dem Augenblick ihre Lage ändern können, nicht allein im absoluten Raum^, sondern auch in Beziehung zu den verschiedenen Punkten des Systems, so müssen die Werthe der Trägheitsmomente ebenso veränder- lich sein.

Eben dies nun hatte Poisson vor, zum letzten Male auf seine Ana- lyse zurückzukommen , um sie auf den allgemeinen Fall auszudehnen , von

4*

52 Entwickelungen über ein Kapitel von Poisson's Mechanik.

/

dem wir soeben gesprochen haben. Andere Arbeiten haben ihn daran ge- hindert, und er hat dies Vorhaben, von dem er mich oft unterhalten , nicht ■ ausführen können. Ich will versuchen , hierin wenigstens das Stillschwei- gen des grossen Geometers zu ergänzen, welchen wir verloren haben. Meine Aufgabe wird übrigens leicht sein, denn ich werde, so zu sagen, nur ein Kacpitcl seiner Mechanik zu commentiren haben.

I.

Wir betrachten ein System von Moleculen oder materiellen Punkten ;n, m', m". . . , welches der einzigen Bedingung unterworfen ist, dass darin das Princip der Flächen für einen gewissen Anfangspunkt 0 Giltigkeit habe, so dass wir, indem wir das System auf drei rechtwinklige Achsen Oxy Oy^ Oz von festen Richtungen bezichen und durch mX. tnY^ mZ die Componen- ten der äusseren bewegenden Kräfte nach diesen Achsen gemessen be- zeichnen, welche auf jedes Molecul in der Masse wirken, die drei bekannten Gleichungen haben:

, welche sich, wenn ihre zweiten Theile Null sind, integriren lassen und dann das speciellere Princip von der Erhaltung der Flächen ergeben. Dieso Gleichungen drücken aus , dass immer die Summen der Momente der ver- lorenen Kräfte , im Verhältniss respective zur Achse Our, Oy^ Oz genommen, gleich Null sind. Man vereinfacht sie, indem man die zweiten Theile durch einen einzigen Buchstaben Z, ilf, iV^ bezeichnet; sie werden:

Uas Zeichen E erstreckt sich auf alle Molecule m, m\ m , . . Diese Mole- cule können frei oder unter sich verbunden sein und sie können in beliebi- ger Art auf einander wirken, wenn nur vorausgesetzt werden darf, dass Wirkung und Gegenwirkung einander gleich und direct entgegengesetzt seien, dass also diese inneren Kräfte in dem zweiten Theile unserer Gleich- ungen nicht in Rechnung zu ziehen sind , da die sie einführenden Glieder sich gegenseitig aufheben , weil sie paarweis einander gleich und von ent- gegengesetzten Zeichen sind. Der Punkt 0 kann fest oder beweglich sein, muss aber in diesem letzteren Falle mit ^^vcl Schwerpunkt des Systems zu-

Von W. Fiedler. 5'j

sammenfallen oder nur eine geradlinige gleichförmige Bewegung haben. Hiernach lege man durch den Punkt 0 drei andere nuter sich rechtwinklige Achsen Oa:,, Oy,, Or, , welche aber nach irgend einem Gesetz beweglich sind, and verlange , das Frincip der Flächen auf diese beweglichen Achsen zu beziehen. Man kann dies in verschiedener Weise ausführen, entweder. in- dem man die oben für Achsen von fester Richtung geschriebenen Gleich- ungen analytisch transformirt , so wie es P o i s s o n im XV. Hefte des Jour nal de VEcole polyiechnique gethan hat, oder indem man die Bedingung der Gleichheit der Momentesnmmen der verlorenen Kräfte mit der erforder- lichen Vorsicht direct auf bewegliche Achsen Öa:, , Öy, , Ozj anwendet, welcher letzteren Methode Poisson in seiner Mechanik gefolgt ist. AVir werden demgeraäss diese Methode hier zunächst entwickeln.

Wir nehmen natürlich die meisten der Poisson'schen Bezeichnungen an und nennen also mit ihm <?, ft, c, a\ b\ c *d\ h'\ c" die Cosinus der Winkel xOx^ , xOy^ , arOr, , yOor, , yOy, , yOzy , zOx^ , tÖy, , zOz^ , dann werden wir haben:

ar = «x, + 6y, + er, ,

y = rt'ar, + ft'r/i + c^\ »

ff I f " I " « = a o*, + ö y, + c «, .

Die Grössen a, 6, c, a' • • . sind in jedem Augenblick für alle Punkte des Systems m, m\ m" . . . dieselben , aber sie verändern sich während der Be- wegung und man muss sie als Functionen der Zeit t betrachten. Und da es sich hier nicht mehr um ein System von unveränderlicher Form handelt, welchem die Achsen Ox^ , Oy, , Ot, verbunden wären, so sind auch die Co- ordinaten a:, , y, , r, mit der Zeit veränderlich. Indem man die Werthe von or, y, z im Verhältniss zu t differentiirt , ergicbt sich :

dx da ^ db , de. , dx^ , , du, ^ dz^

* = ^' rfT + ^' dT + - -rfT + " rfT + * dT + '^ Ä- '

dy da db' de , da\ , dy^ , dz^

^ = ^. -^ + y . ^ + ^ , ^ + « ^ + ^ -^ + 0 -^ ,

di ' dl ^^^ dt ^ ' dl ^ dl ^ dl ^ dl Hier muss man an gewisse sehr bekannte Bedingungsgleichungen erinnern, welche zwischen den Grössen «r, 6, c, a' . . . stattfinden, und welche die einen von der Form

ö» + fr« + c* = l, a»+a'*-f tt"*=l u. s. w., die anderen von der Form

aft + aV + a'b" ==0, ««' + ^6' + cc' = 0 u. s. w. sind; indem man sie differentiirt, schliesst man daraus

ada + 6^6 + rrfc = 0, ada + ada' + a'da\=0 u. q, w. und auch

d {ab + aV + a' fe") = 0 u. s. w. ; man sieht hieraus , dass die beiden Grössen

54 Entwickelungen über ein Kapitel von Poisson's Mechanik.

bda + h'da + h"da' und

rt</6 + a'rfft' + a'db"

gleich und von entgegeDgesetztem Zeichen sind. Setzen vir demnach mit

Fof 8Son

da . ^,dd '„da* db , db' „db"

dl^ dt^ dl dl dt dt

und ebenso

^di^^TT'^^ dt~~ Tt~ dt~ 'dt~^'

de . ,dc , „de' da ,da „da"

di^ dt^ dl dt dt dt ^

Man weias, dass, indem mam die neun Cosinua <x, b^c^a ,,. mittelst der drei

Winkel 9, O, 1/; wie folgt ausdrückt:

« a = cos O . sin t/; . sin g> + eos ij; . cos q>f

b = cos O . sin ij; . cos tp — cos -^ . sin tp , c = sin d' . sin ^ ,

rt' = cos & . CO* t/; . «I« ^ — sin t/; . co« y , b' = C05 -^ . cos ^ • CO« g) + 51« 1/; . sin ip , c' =s sin ^ . C05 i(; , a" = — «'« d . «>i 9> , b" = — *i>i ^ . cos (f , c" = cos ^ , man findet

pdt = sin q> . sin &*. dif; — co* gp . £?d , qdt= costp , sin O . rfi/; + m 9 . (/O , rdt=z d(p — CO* ^ . diff. Mittelst der Ausdrücke von a, b, c . . . und &, tp, 1^ ist es auch leicht, sich zu versichern , dass

bc — b'c i= ö", ca — c'a = 6", «6' — a'6 = c" u. s. w. Endlich hat man die Differentialformehl

da ^ db de .

— ==0r — c^, —z=cp — ar, j-=zag — bp u. s. w.

Wir setzen voraus, dass alle diese Formeln dem Leser vollkommen be- kannt sind. Indem wir nun zu den Gleichungen, welche

dx dy dz

li' Tt' 'dt liefern , zurückkehren , multipliciren wir die erste derselben durch a , die zweite durch a\ die dritte durch a* und bilden die Summe, und alsdann noch zwei analoge Summen , indem wir 6, b\ 6" und c, c', c" zu Multiplica- toren wählen. So werden wir ohne Schwierigkeit finden

Von W. Fiedler. 55

dx ,dy ^ „dz , cLr,

''dl+''dl + '' 77 = *^»-'-«'« +77'

.dx w rfy . ./. dz . dyi

*d7+*rf7 + * rf7 = '-*'-''^'+d7'

dx . ,dy ^ „dz . rfzi

'Tt-^'Ti+' 57 = ^«"-*^' + 77-

Indem man ihrerseits die drei Gleichungen mit a, 6, c, a', 6', c' oder a\ h'\ c' maltiplicirt und die Summe in jedem Falle bildet, erhält man

-f = a {qz^— ry^) + b {rx^—pz^) + c {py^— qx,) + a -^ + b ^ + c ^, ^=a' (qz,^ry,) + b^ {rx.^pz^ + c {py^^qx,) + a ^l + b' g» + c' ^\ ^f^=a\qz,-ry,) + b''{rx,-pz,)+c\py,^qx,) + a-^^^

Daraus zieht man durch Differentiation die Werthe der drei Componenten der beschleunigenden Kraft nach Ox^ Oy, Oz^ welche der Bewegung des Punktes m entsprechen , d. h. die Werthe der drei Grössen •

d^x d^y d^z

d?' d?' d?' nämlich :

N rfa . / \^b , , .de

■^"^ di^^^di^^ dt' '^ di'di^ dt 'dt'^li'JC

darin entspringen die die Differentiale von Xj , ^i , ^i enthaltenden Glieder eben daraus, dass a:, , y, , z, in Function der Zeit sich verändern^ und man findet sie daher in den Formeln von P^isson nicht. Man hat ebenso ^y ,{ dq dr\ . ( dr ^P\ , »( dp dq\

. da , , ^ db' , , . de

+ (3«| — »-»i) ^ + (»-«i —P'i) Ji + {PVi — 9^i) -JJ

"^"^ dt* '^ dt* ^ dt* '^ dt' dt^ dt' di^ dt' dr

und

56 Entwickelungen über ein Kapitel von Poisson's Mechanik. if^z „( dq dr\ , ., / dr dp\ . „( dp dq\

^ da" , , . dh" , , . de'

+ (?*. — ry,) -j^ + {rxy, —pz,)—+ {py, — gx,) —

„ d^Xi „ (J^y^ „ d^z^ dxi da' dy^ db" dz^ de"

^"^ W^^ dF^'^ d?'^'dT'lu^lT''dT^7r''dT'

Gleichungen, deren zweite Theile sich übrigens aus dem zweiten Theil

der ersten Gleichungen ganz einfach durch ein - oder zweimaliges Accen-

tuiren der Symbole a, &, c ableiten lassen.

d*x Aus den nach den Achsen Ox^ Oy^ Oz geschätzten Componenten -7-^,

d^v (Pz

Tl« T~t ^^^ beschleunigenden Kraft, welche dem Punkt m entspricht,

erhält man die Componenton /?, , gt , r^ derselben Kraft, nach den Achsen Ox^ , Oyj , Oz, gemessen, in der Lage genommen, die sie in der gegenwärti- gen Zeit / einnShmen. Man hat

d^x , ,d^y , ,,d^z

d^x . .d^y , ,,d*z "-^^'dPr + 'äF + 'in^'

Die Substitution der oben für

d*x d*y d^z

dt^' li}' dl^ erl^altenen Werthe liefert uns nach der Reduction die Gleichungen

dq ^'' / • • »N . . . dz. dy. . d^Xx

dr dp , ^ , ^^ , , , dx, dz* . d*y,

g,=:x,--z,^-{r* + p')y,+jrz,+pgx, + 2r-^-2pjl + ^\

dp dq . ^ ^ ^ . , i ^ dy^ dx* , dFz,

Nun können wir mit Poisson die Gleichungen aufstellen, welche die Gleichheit der Momentsummen der verlorenen Kräfte, im Verhältniss zu den Achsen Ox^ , Oy^ , Oz^ in der Lage genommen , welche diese zur Zeit t einnehmen, mit Null ausdrücken. Diese Gleichungen sind

Sm(y^r, — z,q,) = L,,

i:m(zyp^ — x^r,)=zM^,

£m{^i^i — yiPt) = ^iy und PS wud in dieselben für Pi ^q^ , r, ihre Werthe zu setzen, und man hat

Von W. FiEüLEE. 57

um abzukürzen, die Momentesummen der äusseren Kräfte im Verhältniss zu den Achsen Oor, , Oy^ , Oz^ durch L^^ M^^ N^ bezeichnet , so <da8S

2m{z^X^ — XiZ^)~M^,

wenn mXiy rnYi^ mZi die Componenten der im Punkte m wirkenden be- wegenden Kraft bedeuten.

II. Es ist noch übrig, die ersten Theile der Gleichungen

Em(z,p^—x^r;) = M,,

zu entwickeln, indem wir statt Pt^ q^ r, ihre Werthe einsetzen. Wir finden alsbald , dass die Differenz

gleich ist mit

+ {^—f)yi^i +Prx^y^—pqx^z^ + 5''' (Vi*— «i*)

Man moss diese verschiedenen Glieder mit m multipliciren , aljfdann die Summe S bezüglich aller Punkte m, m', m^ . . . bilden und endlich das Re- sultat mit £| vergleichen. Wir setzen

J)=z£myiZi, E=:£mziXij F=zZmx^y^.

Bs ergiebt sich alsdann

^ f dz. dyA dD

Wenn man also

setzt, so schliesst man daraus

dzi JdD , \

Indem man setzt findet man ebenso

58 Entwickelungen über ein Kapitel von Poisson's Mechanik.

dz, , (dE A dyy ^ (dF , \ <te, , (dF \

Das Resultat der oben angezeigten Summirnng lässt sich damit einfach ge* nag schreiben und man erhält ohne Schwierigkeit

Dies ist eine unserer drei Gleichungen in endlicher Form und die beiden anderen gehen daraus durch einfache Buchstabenvertauscliung hervor , wie folgt:

i^i = ~/^r— J5p — 2>g + y) +1^(^*— p') + (^ — ^)py+^r-/>pr+p/5-ga.

Diese unsere Gleichungen vereinfachen sich sehr, wenn man die Achsen O^i, 0^1, Oz^ stets so wählt, dass man hat

d. h. so, dass dieselben in jedem Augenblick für den Punkt 0 die drei Hauptachsen der Trägheit des veränderlichen Systems nt, viiy fit" . . . sind ; dies ist stets möglich , weil die Bedingung der Rechtwink- ligkeit, die den drei Achseh Ox^^ Oy, , 0Z| einzig und allein auferlegt ist, wie man weiss, durch die drei Hauptachsen der Trägheit eines Körpers bezüglich eines beliebigen Punktes immer erfüllt wird. Man erhält alsdann

d{Ap + a)

dt d{Bq + ß)

dt

d{Cr + y) dt

+ {C—B)qr + qy — rß = L,, + {A—C)pr + ra—py = M,, + (B—Ä)pq+pß — qa = N,',

diese so einfachen Gleichungen werden, wie ich glaube, zahlreiche An- wendungen finden.

Indem man sie respective mit a, 6, c multiplicirt, dann addirt und sich erinnert, dass nach einem Theorem von Euler über die Momente der Kräfte

aZ, +6Jlf, +ci^i=2;, so leitet man daraus ab:

d(.<p + «) ,d(Bq + ß) d{Cr + y) ''-" dl — ■<"* di +" Tt

■\-{Ap-\-a)(pr—cq)-\-{Bq+ß){cp—ar) + {Cr + y){aq — bp).

Von W.Fiedler. 59

Indem man alsdann bemerkt, dass

da db . de

>r-cg = -, cp-ar = -, aq-bp = -,

schliesst man daraus:

Ebenso

und

L^j^[a{Äp + a) + h{Bq+ß) + o{Cr + y)\

M^jy{Ap + u) + b\Bq + ß)'^c{Cr + y)\,

N=j^[a'{Ap + a) + b'\Bq-^^) + c"{Cr+y)\.

Wenn man, anstatt mit den vereinfachten Formeln zn operiren, die allgemeinen zu Grunde gelegt hätte, so wäre das Eesultat, welches ich durch Vollziehung einer Integration in Bezug auf /, wovon Z, Af, N impli- cite Functionen sind, vereinfacht habe , gewesen:

fLdt=:a{Ap—Fq — Er+a) + b{Bq—Dr — Fp+ß)+c{Cr-^Ep^Dq+y), fMdi=a {Ap—Fq—Er+a)+b' {bq—Br—Fp+ß) + c {Cr—Ep - Bq+y\

ß

Ndl=a'{Ap--Fq-^Er+a)+b'\Bq—Br—Fp+ß)+c'{Cr—Ep^Bq+y). Wenn man hier differentiirte und die Derivirten von a, 6 . . . durch

ihre Werthe -— = 6r — cgr, 77 === <?P — ar u. s. w. ersetzte, die so erhal- dt dt

tenen Gleichungen mit a, a\ a* multiplicirte und die Summe bildete , her- nach dieselbe Rechnung mit den Multiplicatoren b, b\ b" oder c, c, c" wie- derholte , endlich sich erinnerte , dass

j|f, = aZ + 6'i«f +6"iV,

so würde man die Werthe von X| , Jlf, , iV, wiederfinden, von denen wir aus- gegangen sind , so dass , wenn die letzteren Gleichungen direct begründet wären , die anderen sich mit Leichtigkeit daraus ableiten würden. Diesen Weg hat Foisson für das Problem der Rotation der Körper im XV. Hefte des Journal de VEcole polytechnique eingeschlagen ; ich kgmme sogleich dar- auf zurück und man wird sehen, dass er sehr einfach ist. Gegenwärtig be- schränke ich mich darauf, bemerklich zu machen, dass, wenn die Momente- summen £, M, N Null sind, ihre Integrale einfache Gonstante /, l\ l" sein werden, woraus folgt, dass man diese drei Integrale haben wird / =ia{Ap—Fq—Er'{'€i) + b{Bq'--Dr—Fp + ß)'{'c{Cr—Ep — Dq + y\ /'= a(Ap — Fq-- Er+a) + b' {Bq — Br —Fp + ß) +c[cr — Ep — Bq + y), /"=a" {Ap— Fq — Er+ a) + //' {ßq —Br — Fp+ß) + c' {Cr— Ep — Bq + y).

60 Entwickelungen tibei^eln Kapitel von Poisson's Mechanik.

Es sind diese Integrale, welche hier natnrgemäss das Princip der Er- haltung der Flächen liefern werden. Man kann sie noch unter diese Form bringen :

Ap — Fq--'Er + a = al + aV + a'V\

Bq — Dr — Fp +ß—bl + 67' + &"/",

Cr — Ep—Dq + y = c/ + cV + c'7".

Die drei Constanten /, l\ /" beziehen sich auf Flachen, die respective in

den Ebenen der yz^ der xz und der ^^beschrieben sind. Wenn man setzt

so wird k die Maximalfläche ausdrücken, welche, wie man weiss, einer ge- wissen festen und leicht zu bestimmenden Ebene entspricht, die Laplace die unveränderliche Ebene genannt hat. Nichts hindert, diese un- veränderliche Ebene zur Ebene der xy zu wählen ; alsdann wird man haben

/ = o, r = o, V' = k, und unsere drei Integrale reduciren sich auf

Ap — Fq — Er'\'a= a'k^

Bq — Dr — Fp + ß = b"k,

Cr —Ep — Dq + y=zc'k. Indem man die Cosinus a\ V\ c" mittelst der drei Winkel 0", g>, '^ aus- drückt, deren sich Poisson nach Euler bedient hat, werden unsere Formeln :

sin ^8inq>:=^ — — (Ap — Fq — Er + a)^ sin^cosq> = — — {Bq' — Dr — Fp + j5),

C08^^= j(Cr — Ep—Dq + y).

Sie vereinfachen sich wesentlich > wenn man hat

j|!> = 0, E=Oy F=0 und noch mehr, wenn auch

« = 0, /5 = 0, y = 0, wie es in einem Problem, mit dem wir uns später beschäftigen werden, vorkommen wird. Sie reduciren sich dann auf

sm^ stnq>=z , stn &cos(p s^ r- » cos 0 = — ,

K K K

und stimmen also mit denen überein, die man für ein System von unver- änderlicher Form gefunden hätte, nur dass A^ B, Chier keine Constantea sind.

m.

Wir kommen nun auf die von Poisson im Journal de VEcole polylech- nique angewandte Methode zurück, um auch sie auf den Gegenstand un- serer Untersuchungen anzuwenden. Diese Methode nimmt ihren Ausgangs- punkt in den Gleichungen :

Von W.Fiedler. 61

« welche von der ersten Ordnung sind und deren Transformation nur Recli- nungen von geringer Ausdehnung erfordert, so dass dadurch die Incon* yeniens aufgewogen wird , nach welcher sie zunächst nicht zu getrennten Gleichungen zwischen p^ q^ r und t leiten. Mittelst der Formeln

ir = aa?, + by^ + czi,

z = a"x, + h"y^ +c"Zi , und der folgenden , die man , wie wir sahen , daraus herleitet,

dx dx* dy* dz.

— == ö (qz, — rfj^) + b (rx, —pz^) + c (py^ —qx,) + a—+b — + c-^,

— =a(qz,-ryi) + b(rx^'-pz^) + c(pyi''qx^)+a ■^+b -57 + ^"^»

^^=a'(qz,^ry,) + b'\rx,-pz,) + c-(py,-qx,)+a-'^^^

wird man die Werthe der drei Ausdrücke bilden:

dz dy dx dz dy dx

^dl~^dl' ^Ti~''Tr '^di~~''di'

der Werth von

du dx

z. B. lyird sein

(bc—b'e)\^py^*—qx^yi — rx,z,+pz^*+y, -^ — z.-^j

^-{ca—ca)yqz^^—ry^z^^py^Xy+qx,^ + z^ jl — x^-^J

+ {ab' — ab)[rxt*^pz,xi — qztyi + ry* + x^ __y, _J.

Man hat aber

bc — bc = a^ ca — c a^=-b ^ ab — ab^=^c und erhält somit für den vorigen Ausdruck

«" [p(yi* + 2^1*) —q^iyx — rx.z.+yi'^ — Zi'^^

[dx dz n

62 Entwickelungen über ein Kapitel von Poisson's Mechanik.

Indem man ihn mit m multiplicirt und die entsprechenden Ausdrücke für alle Molecüle tn, m\ m" . . . , für welche die Cosinus d\ b'\ c' nicht wech- seln , addirt , so erschliesst man daraus den Werth von

welchen man mit 1 N dt vergleichen muss. Wenn man setzt, wie oben

und

y

so wird der endliche Werth von

Zm

\ dt ^ dt)

sein

«"(^p — if'ör_i:r + «) + 6'.'(i9y— i>r~/'p + iJ) + c"(Cr— ^p-2)<y + y).

Man hat also

/'

Ndt = a' (Ap—Fq—Er + a) + b" ( Bq—Dr—Fp + ß)+ c\Cr—Ep—^Dq + y\ und ebenso JMdt = a (Ap—Fq—Er + a) + 6" (Bq—Dr—Fp + /J) + c' (Cr ^Ep—Bq + y),

ß

Ldt — a (Ap—Fq—Er + a) + b (Bq—Br—Fp + ß) + C (Cr—Ep—Bq + y).

Dies sind die Gleichungen, welche wir an letzter Stelle in dem Vorigen auch erhalten hatten, und sie können ihrerseits zu den von den Cosinus a, ^, c . . . befreiten Differentialgleichungen zwischen p^ q^ r und t führen. Wir haben Dem, was wir eben über diesen Gegenstand gesagt haben, nichts hinzuzufügen.

IV.

Um eine einfache Anwendung unserer Formeln zu geben » betrachten wir einen im Verhältniss zu drei rechtwinkligen Ebenen ^lOs, , z^Ox^ und x^Oy^ ganz symmetrisch gestalteten festen Körper, wie es z.B. ein Ellip- soid ist, aber eine unendliche Menge anderer Körperformen sein können. Wir setzen die ihn zusammensetzende Materie, die wir Übrigens homogen oder nicht homogen denken können, nach denselben Ebenen symmetrisch vertheilt voraus , so dass f^r die acht Massenelemente , welche den näm-

Von W.Fiedler. 63

liehen absolaten Werthen der Goordinaten entsprechen, die Dichtigkeit immer dieselbe sei, und wir nehmen endlich auch an, dass die Temperatur in gleicher Weise die nämliche sei, nicht in allen Punkten des Körpers, aber immer in den acht Funkten, die den Coordinaten {+^i^ i^i» i^i) entsprechen; dabei kann offenbar die Temperatur sich mit der Zeit in einer solchen Weise ändern, dass dadurch die angezeigte Gleichheit nicht gestört wird. Hiernach wird der Punkt 0 immer der Schwerpunkt des Körpers bleiben und die Achsen Ox^^ Oy, , Ozt werden immer seine drei Haupt- achsen der Trägheit sein, so dass wir, wenn wir sie für die unserer Formeln nehmen, haben werden ,

jP = 0, E = 0, F=0. Die Trägheitsmomente Jy B, C variiren offenbar mit der Zeit, weil die Form des Körpers in Folge der Temperaturveränderungen wechselt. Wenn man also diesen Körper auf' eine beliebige Art in Bewegung setzt und als- dann sich selbst überlässt , so kann seine Kotationshewegung nicht durch die gewöhnlichen Formeln bestimmt werden, welche ^, Bj C als constant voraussetzen; aber sie kann ausgedrückt werden durch unsere Formeln, indem man darin

und überdies *

a = 0, j8 = 0, y = 0 voraussetzt; das letztere, weil nach den oben angenommenen Symetrie- bedingungen die für die in den acht Punkten der Gruppe ( + ^r, , + y, , + z,) gedachten gleichen Massenelemente m gebildeten Summen der Grössen

dyt dar,

^^'di' "^^* IT '^•^•^• nicht anders als Null sein können , ganz ebenso wie die Summen der Pro- dncte m^iy, ,01^1?, u. s. w.

Dies reducirt unsere Differentialgleichungen zwischen Py 9, r und i auf diese

diBo)

^^^ + {A — C)pr = 0,

dl

d{Cr)

+ (B—J)pq = 0,

dt

and erlaubt, indem wir die Ebene« der Maximalfläche zur Ebene der xy wählen , sich der früher geschriebenen Integrale zu bedienen , nämlich

. « . ^P . <. ^9 ^ ^^

sin 9 . smq)=^ 7- , smd' . cos ^ = , cos O = — ;

fC K K

die Quadratsumme derselben liefert

ein erstes Integral der Differentialgleichungen zwischen p^ 9, r und i.

64 Entwickelungen über ein Kapitel von Poisson's Mechanik.

Wenn man zwei weitere Integrale derselben fände, so wären p, q^ r in Function der Zeit t ausgedrückt, also auch ^ und 9), und endlich ^ mittelst des Ausdrucks

r dt = dq> — cos^ dijß.

Die Winkelt, 9), «^ bestimmen in jedem Augenblick die Lage der Achsen Ox^ , O^j, Oz, , im Verhältniss zu welchen man sich die Lage der yerschiedenen Theile des Körpers selbst immer leicht vorstellen kann, da auch ihre Bewegung bezüglich dieser Achsen durch das bekannt gedachte Gesetz der Temper atnrveränderungen bestimmt ist. Bei den von uns ge- machten Voraussetzungen können die auf den Achsen Oxi , O^j, Or, selbst gelegenen Punkte des Körpers nur längs dieser Achsen gleiten ; die an- deren Punkte können complicirtere relative Bewegungen haben, aber die- selben üben, da sie nur von dem Gesetz der Temperaturveränderung und der Natur des Körpers abhängen, auf unsere Fymeln keinen anderen Ein- fluss , als indem sie nach einem Gesetz , welches wir als gegeben voraus- setzen, die Ihrägheitsmomente A^ B^ C veränderlich machen. Es bezeichnen also in unseren Formeln

J, Bf C bekannte Functionen der Zeit. Das Integral

welches oben durch ein weniger directes Mittel erhalten worden ist, leitet sich leicht aus diesen Differentialgleichungen ab, indem man sie respective mit den Factoren Ap^ Bq^ Cr multiplicirt und die Summe bildet , welche sich dann als ein vollständiges Differential erweist.

Man würde auf der Stelle ein zweites Integral haben , wenn zwei der Trägheitsmomente immer unter sich gleich wären , wenn man z.B. B = A hätte , welches für einen rings um die z - Achse sich vollkommen gleichen Körper der Fall wäre. Alsdann ist

folglich

Cr =: 00119/. = CoTo ,

wenn der Index 0 den Werth für f = 0 bedeutet. Also ist

^oro j ^ Cr C^rQ

r = ~--^ und coÄ O = -;- i= —r— = const. C k k

Der Winkel ^ ist also unveränderlich. Indem man ihn als solchen in der

Formel

Von W. Fiedler. 65

Ap = — k sin^ .srntp behandelt , schliesst ma» daraas

V. =5 — ksin^ , cos CD -^ dt ^ dt

und dieser Werth , sowie die von q nnd r , nämlich

k sin ^ cos w , k cos ^

q = ^ «ndr = -^

in die Formel

d{Jp)

+ (C—B)qr=^0

dt eingesetzt, liefert, da überdies B=A

woher

t

(p = (Po — kcos^J -j^

0 Endlich giebt die Formel

rdi^=dq) — cos^.d^

^ — 'H'o — fcJ -j, 0 nnd vollendet die Auflösung des Problems. Die Gleichungen

diCr)

^f +(B-J)pq=0,

können auch dann streng integrirt werden, wenn die Grössen A^ By C, ob- wohl einander ungleich, doch sich von einer Zeit zur andern tiach dem nämlichen Gesetze ändern, d. h. wenn die anfänglichen Werthe ^q, ^o) ^o sich am Ende der willkürlichen Zeit i gleichmässig geändert finden, so dass

A = A,f{t), B = B,f(f), C=Cof(t), wo die Function f(t) überall dieselbe wlUre. Wenn man nämlich dann setzt

und

so werden unsere Gleichungen

Zehs«hrin f. Mathematik a. Physik IV. 5

66 Entwickel. über ein Kap. v. Poisson'a Mechanik. Von W. Fiedler.

du

äx

sie sind also denen der KotationsbewegQng eines Systems von unveränder- licher Form gleich and lassen sich wie diese integriren. Man hat an- nächst die beiden Integrale *

* ^0«* + ^0»* + Con^ = const^

^oV + 5oV + C^^w^rrs consi., welche u nnd v in Function von w geben, worauf sich dann r durch eine Quadratur auch als eine Function von m ausdrücken lässt.

Kleinere Mittheilimgen.

I Emfitchere Ableitung der frtdier mitgetheilten Sätse tlber die reellen Wurzeln der dreigliedrigen algebraiadien Gleichungen. Von M. W. Dro- BI8CH. (Aus den Sitzungsberichten der K. S. Gesellschaft der 'Wissenschaf- ten, 5. Juni 1858.) Professor R. Lobatto in Delft hat in .den j,Verslagen en Mededeeli^gen der Koninklije Akademie van Wetenschappen , Afdeeling Nahtr- kunde'^ Th. VII S. 335 eine kürzere Ableitung der von mir in den Berichten vom Jahre 1856 , S. 21 vorgelegten Sätze , die reellen Wurzelq der drei- gliedrigen algebraischen Gleichungen betreffend, gegeben. Er bedient sich dabei der Cartesischen Regel, wonach eine algebraische Gleichung 'nicht mehr positive oder negative Wurzeln haben kann, als in ihr beziehungs- weise Zeichenwechsel oder Zeichenfolgen vorkommen , und weist die reel- len Wurzeln, welche die dreigliedrige Gleichung haben muss, durch Sub- stitution der reellen Wurzeln ihrer derivirten Gleichung in dem linken Theil der gegebenen und Vergleichung der Vorzeichen der dabei sich er- gebenden Werthe nach. Den Vorzug der grösseren Kürze dieser Ablei- tungsweise anerkennend , räume ich Herrn Lobatto auch ein , * dass die Zu- ziehung der Cnrven , durch deren Betrachtung sich mir jene Sätze ergeben haben, insofern dem Gegenstande etwas fremdartig erscheinen möge, als diese Curven nicht unmittelbar die Function , welche den linken Theil der Gleichung bildet, darstellen. Man kann jedoch, wie das Nachfolgende zei*

Kleinere Mittheilangen. 67

gen wird , sowohl den Oebranch von Curven vermeiden , als auch die Car- teaische Kegel entbehren, wenn man einzig und allein untersucht, nach welchen Gesetzen die Function, die für die Wurzelwerthe Null wird, sich Sndert, wenn ihre Variable alle Werthe von — ^^oo bis +00 stetig durch- Iftnft. Diese Untersuchungsweise , die überdies kaum weniger kurz ist als die des Herrn Lobattc^ scheint mir die natürlichste und directeste. Sie fiihrt sugleich zu einem vollständigen üeberblick über die Gesammt-- heit der Werthe der Function, die den, linken Theii der Gleichung bildet, und giebt, als eine zwar nicht nothwendige, aber immerhin wil)kommene Zugabe, die Gestalt der Curven an, welche die Werthe der Function in ihrem stetigen Znsammenhange veranschaulichen.

§.i.

Wir stelleii die vier Formen, welche eine dreigliedrige algebraische Gleichung hinsichtlich der Vorzeichen ihrer beiden Constanten haben kann, in folgender Ordnung auf:

L F{x) =s 4:*+" — ax^ + 6 = 0, II. jF'(ar)=a:«-^* — aa:~-rft = 0, m. fIx) = <«-•+- + aar« + 6 = 0, IV. F{x) = a^+» + ««•* ~ 6 = 0, und untersuchen zuerst, unter welchen Bedingungen diese Gleichungen po- sitive reelle Wurzeln haben.

Durch Differentiation erhält man ans I. und 11. :

ans m. und IV. :

Aus J) ersieht man, dass, sowohl für a:=^0 als für «=7/ — ; — , ^'{a:) = 0 ^ ^ y m+n ^ ^

wird, dass aber, wenn x ^ 7/ — j — , F' (x) ^ 0 ist. Da nun zugleich F{x)=:b,

also positiv ist, so nimmt F{x) von o: = 0 bis ar = 7/ — - — ununterbrochen

ir m '\' n

ab, von da an aber bis x= +00 ununterbrochen zu. Setzt man zur Ab- kürzung 7/ = tt , so erhält man .

n«)=*-(-)-(^)--

Es ist daher

n«)|o.jenachdem — |(^ . oder , wenn wir zur Abkürzung

5»

Kleinere MittheiluBgen.

.ji^

6» / a \'*+*_ .

setzen: es ist F(a) = 0, jenachdem ^^=0.

Ist nun in I. /'(a)<<0, so mnss, da F{x) von a;^=0 bis x^=za un- unterbrochen abnimmt, es zwischen diesen beideg Werthen einen, aber • auch nicht mehr als einen Werth von x geben, der F(x) Null macht; aber auch, da F{x) von ä;=a bis a:s= + cX) ununterbrochen wächst, n&d F{+ oo) positiv ist, einen zweiten Werth, grösser als er, der ebenfalls F(x) Null macht.

. Ist zweitens in I. ^(«) =0, so fallen die beiden vorigen Werthe, von denen der eine grösser , der andere kleiner als a ist , mit a zusammen.

Ißt drittens in I. i^(a)>0, so hat F(ß:) zwischen x = 0 und a: = + oo nur positive Werthe , kann also in diesem Intervall nicht Null werden. Alles zusammengefasst giebt das Jiesultat: „die Gleichung I.

a;«+» — aj:~ + 6 = 0 hat, jenachdem ^<0, /)der ^ = 0, oder ^^>0, respective zwei un- gleiche positive reelle Wurzeln, von denen die eine <<or, die andere >a, oder zwei gleiche positive reelle Wurzeln, die = er, oder keine positiven reellen Wurzeln^^

Was ferner die Gleichung IT. betrifft, so ist, da, vermöge A), F' (x) auf dieselbe Weise wie in I. ab- und zunimmt, hier aber F(0) = — 6, also negativ, F(a:) zwischen x==0 und x = a immer negativ. Da es' aber von da an ununterbrochen wächst und /"(-H od) positiv ist, so muss es einen^ aber auch nur einen Werth von a:, der >«, geben, für den F(x) Null wird. Hieraus folgt:

„die Gleichung IL

^m + n — -ax"^ 6 = 0

hat immer nur eine positive reelle Wurzel, die stets grösser als a ist". Weiter erhellt aus B), dass in III. und IV. F'(x) zwar für x = 0 ver- schwindet, aber für x>0 immer positiv ist. £s nimmt daher in III. und IV. F(x) von 07 := 0 bis a? =i= + oo ununterbrochen zu. Da nun in III. F{0) = bj also positiv ist, so bleibt auch F(+x) immer positiv. Hieraus folgt:

„die*Gleichung III.

hat keine positiven reellen Wurzeln"/-

In IV. endlich ist -^(0)== — b und F(H-oo) positiv; woraus, da auch hier F(x) im Intervall a: = 0, a: = -|-od ununterbrochen wächst, folgt, „dass die Gleichung IV.

immer nur eine positive reelle Wurzel hat".

Kleinere MittheiloDgeQ. 69

§.2.

Erst bei der Untersuchung Über das Vorhandensein negativer 'Wur- zeln der dreigliedrigen Gleichung, zu der wir jetzt übergehen, tritt die Nothwendigkeit ein, zu unterscheiden, ob die Exponenten von x gerade oder ungerade Zahlen sind. Es sind dann folgende vier Fälle möglich :

1 . w + n =='2 1 und w = 2 A:,

2, m + « = 2i und m =• 2/r + 1»

3. m + « = 2t+l und »i=2Ar,

4, m + Mi=2i+l und m = 2/r + l,

Jm ersten Falle ist nun offenbar in allen vier Formen L bis IV. der gegebenen Gleichung F( — x) = F{+ x). Hieraus folgt ohne Weiteres, „dass in den Gleichungen

1) a;2'^aa;2* + 6 = 0,

2) 0:2'— /ia:2* — 6 = 0,

3) x'^' + Ja:2* +6 = 0,

4) ' a:2'+ aa;2* — 6 = 0,

jeder positiven reellen Wurzel eine gleich grosse negative entspricht, diese Gleichungen also unter denselben Bedingungen negative reelle Wurzeln haben wie positive".

Für die übrigen drei Fälle wollen wir, um des kürzeren Ausdrucks willen, die vier Formen der Gleichung uqter I. bis IV. durch

F,{x)=0, F,{x) = 0, F,{x) = 0, F,\x)^0 bezeichnen.

Dann ist im zweiten Falle

F,{-^x) = x^' + ax^'^'^'+b^F.(+x), woraus sofort folgt, dass jeder positiven reellen Wurzel der Gleichung F^(x) =0 eine gleich grosse negative der Gleichung F, {x) = 0 entspricht, und daher vermöge des dritten Satzes in $. 1 sich ergiebt, „dass die Gleichung

5) or^'-^ax'^+i ^ ^_o

keine negativen reellen Wurzeln hat". Ferner ist in diesem Falle

/;(- x)=x^* + ax^K-^^ — 6 = F^{+ a). Es entspricht also jeder positiven Wurzel von F^(x) = 0 eine gleich grosse negative von i^,(a:) = 0, und folgt demnach vermöge des vierten Satzes hl S. 1,

„dass die Gleichung

6) 0:2« — fla:^*+i — 6 = 0 eine einzige negative reelle Wurzel hat".

Es ist drittens

^ i?3(_a;)=a:2._aa:2*+i+6 = F,(+a:). and bat also F3(x) = 0 die gleichen aber entgegengesetzten Wurzeln wie Fj (j:) = 0; woraus, nach dem ersten Satz in S. 1 folgt,

70 Kleinere Mittheilungen.

„dass die Gleichung

7) a-2' + aa:2*+> + 6 = 0,

jenachdem ^<0, oder ^=0, oder z/>(), resp. zwei ungleiche, oder zwei gleiche, oder keine negativen reellen Wurzeln hat, wo von den ungleichen die eine grösser, die andere kleiner als — «ist, und die gleichen = — a sind ".

Viertens endlich ist ' • ^

F^{—x) = a^^ — ax^'''^^'-b = F^{+a:), und hat also ^F4 (.r) = 0 die gleichen aher entgegengesetzten Wurzeln als F^{x) =0, woraus nach dem zweiten 8atze in S. 1 folgt, „dass die Gleichung

8) a:2«+ajr2Ä+i_ft = 0

eine einzige, negative reelle Wurzel hat,^dei*en absoluter Werth grösser als a ist^^

Im dritten Falle ist zuerst

J^,(— x)== — a:2«+i~ ax^^ + b = -^ F^l+x)-, daher haben die Gleichungen F^{x) = 0 und F^^xy^^O gleiche, aber ent- gegengesetzte Wurzeln. Hieraus folgt nach dem vierten Satze des S. 1, „dass die Gleichung

9) aj2«+i— aa;2* + e^ = 0 eine einzige negative reelle Wurzel hat*^

Es ist zweitens

F^i-'X) = — a:2'+i — öa:2* — 6 = — F^{+x), woraus auf ganz ähnliche Weise wie zuvor nach $. 1, dritter Satz, folgt „dass die Gleichung

10) a:2.+r_a^Ar_^^0 keine negativen reellen Wurzeln hat".

Ebenso ist umgekehrt drittens

i?'3(— ar) = — ar^«+» + ax^'^ + b=:^ F^{+x), daher, vermöge J. 1 , zweiter 'Satz, „hat die Gleichung It) x^'+i +0^:2*+ 6 = 0

eine einzige negative reelle Wurzel, deren absoluter Werth grösser als a ist".

Endlich ist viertens

F^{—x) = — x^*'^^ + ax^'' — b= — F^{+x), daher , vermöge S. 1 , erster Satz, „hat die Gleichung 12) a:2'+i + öx2* — 6 = 0

jenachdem J<,Oy oder ^ = 0, oder ^f>0, resp. zwei ungleiche, oder zwei gleiche, oder keine negativen reellen Wurzeln". Im vierten Falle ist zuerst

F,(— a:) = — a:2«4.i + aa:2A+i + ft__ j^^(+^)^

Kleinere Miitheilnngen. 71

,,daher hat die Gleichung

13) ^ ar^'+i — aa:2A+i^6_0

eine eins ige negative reelle Wurzel, deren absoluter Werth grösser als« ist '^

Es ist zweitens umgekehrt

ü',(— ar) = — Ä^'+i + aa:2*+i _ft = _ jpj(+ a:) ,

„daher hat die Gleichung

14) x'*-*-* — asc^^-^^ — 6 = 0,

jenachdem 2i<0, oder ^7=:0, oder \J>0, resp. zwei ungleiche, oder zwei gleiche, oder keine negativen reellen Wurzeln^^ Drittens ist

„daher hat die Gleichung

15) , «^f+i + fl^A+t + ^ = 0 eine einzige negative reelle Wurzel".

Viertens endlich bt umgekehrt

i?^(_a:) = — ar^'+i — aa:2*+i _ i, — _ F^{+x), „daher hat die Gleichung

16) • ar2'+i + aa:2*+i_6 = 0 keine negativen reellen Wurzeln V^

Hiermit ist die Untersuchung erschöpft und gezeigt ,' d'äss durch die positiven reellen Wurzeln der vier Formen I. bis lY. der dreigliedrigen Gleichungen in allen Fällen auch ihre negativen reellen Wurzeln bestimmt sind.

§.3.

Ebenso einfach lassen sich die Gestalten der Curven bestimmen , wel- che die Function F{x), je nach ihren verschiedenen Formen, darstellen und deren Durchschnitte mit der Abscissenachse den reellen Wurzeln. der Gleichung entsprechen. Wir folgen hierbei dem Gange der beiden vorigen Paragraphen und fügen den Formeln j£) und B) noch die durch Differen- tiation derselben sich ergebende Formel

C) F" {x) = {m + n) {m+ n—1) x''-^{a^ + ß)

hinzu, wo zur Abkürzung — ; — r- — j-^ 7: = 1* gesetzt ist, und sich das

(m + n) (m-f« — 1)

Zeichen — auf die Formen von F{x) in I. und II., dagegen das Zeichen +

wf die in III. und IV . bezieht.

Wir erörtern zuerst nach $. 1 die Gestalten der Curve für positive o:.

1) Da inl. -P,(0) = ft, F/(0)=0, ^,'(<«)<0, ^t'(«) = 0, F,\>a)>0, so ist die Cfurve bei x = 0 der Abscissenachse parallel und liegt hier ober- halb derselben ; sie sinkt sodann bis zu x =-. «, wo sie abermals der or-Achse parallel ist, und steigt von da ohne Ende.

Ist nun F|(a)<0, so schneidet die Curve die a:- Achse sowohl zwi- sehen 0 und «, als zwischen a und -|- oo.

72 Kleinere Mittheilungen.

Ist )F| o) = 0 , 80 berührt sie die AbsciBsenaehse bei o: =7 er« Ist i^t(o)>0, so bleibt die Curve ganz auf der oberen Seite der X ' Achse und erreicht bei o; = a ihren kleinsten Abstand von derselben.

Da aus C) erheUt, dass F,"(<W<0, F^"{ß)z=zO, F^\>ß)>0, so kehrt in allen drei Fällen die Curve zwischen x=:0 und x=^ß ihre eon- cave Seite, zwischen x=^ß und ars==: -f- oo ihre convexe Seite nach Un- ten und hat bei x = ß einen Wendepunkt« •

2) Da in H. Ft{x) = F^(x) —2bj so ist die Gestalt der Curve für Ff{x) YoUkommen dieselbe wie für Fi{p), nur dass bei der ersteren die Abscissenachse derjenigen der Curve für Fi{x) in dem Abstände 2b pa-. rallel ist. Die Curve für F^{x) liegt daher zwischen a? = 0 und x=i€t im- mer unter der s - Achse , schneidet dieselbe aber einmal zwischen x= a und 0? = + 00.

3) Da in III. F^{0)=zb, f','(0),= 0, aber jPa'OO) >0,. so ist die Curve von F^(x) bei'^a? = 0 der o?- Achse parallel, steigt dann aber ohne Ende und liegt daher ganz oberhalb der d;- Achse. Aus C) erhellt, dass immer F,"(>0)>0 ist; daher kehrt die Curve von j? = 0bisa:==+0'5 ihre convexe Seite nach Unten.

4) Da in IV. F^{x)=F^{x) ^ 2b, bo hat die Curve ftir F^{x) voll- kommen dieselbe Gestalt wie für F^{x), nur liegt ihre Abscissenaehse, der vorigen parallel, um den Abstand 26 höher. Sie wird daher zwischen o? = 0 und j? = + 00 von der Curve einmal geschnitten.

Ftir die negativen Werthe von x sind die in S. 2 bemerkten vier Fälle zu unterscheiden.

5) Ist nämlich zuerst m + w = 2i und m = 2Ä:, so ist in allen vier Formen I. bis IV. F{ — x) = F{+x). Die Curve hat also dann ftir die ne- gativen X dieselbe Gestalt wie für die positiven , und ihr linker Theil wird demnach erhalten, wenn man die Ebene ihres rechten Theils durch 180^ um die Ordinatenachse dreht. Die absoluten Werthe von F^ (0) und ^4(0) sind in diesem Falle Maxima, die von i^,(0) und i^,(0) Minima.

6) Wenn tn + n = 2i und m = 2i: + 1 , ^0 ist nach $. 2 a)F^{—x) = F^{+x). Der linke Theil der Curve von Fi{x) wird

daher erhalten , wenn man die Ebene des rechten Theils von F^ {x) durch 180^ um die Ordinatenachse dreht.

b) Ferner ist jF,( — x)i=zF^{+x). Man erhält also durch dieselbe Drehung des rechten Theils der Curve von F4{x) den linken Theil der Curve von ^t(*)-

c) Es ist F, ( — x) = F, (+»). Dieselbe Drehung des rechten Curven- theils von F^ (x) giebt daher den linken von F^ {x),

d) Ebenso giebt, da jP4(«)c=f*2(+x), dieselbe Drehung des rechten Curventheils von Ff{x) den linken von F^^x).

In allen vier Formen von F(x) hat hier die Curve bei x = 0 einen Wendepunkt.

Elleinere Mittheilungen. 73

7) Wenn m + « = 2t + 1 und m = 2Ar, ao ist nach S. 2

a) — F^{ — x)=F4{+x). Drebt man also den reichten Carrentheil von F^{x) durch 180^ um die Ordinatenachae , bo erhält man den linken Currentheil von — jPj ( — x), folglich, wenn man diesen abermals durch 180^ um die Abscissenachse dreht, den linken Curventheil von ^|( — x).

b) Da — F^{ — *) = ^8(+^)i so crhÄlt man durch dieselbe doppelte Drehung des rechten Curventheils von Fi{x) den linken Theil von Ff{x);

c) ebenso, da — F^{-^x) =sFf{+x)^ durch die doppelte Drehung des rechten Curventheils von Ff (x) den linken von F^ {x) ; und enHlich

dt) da — F^{ — x)=Fi{+x), aus der doppelten Drehung des rechten Curventheils von F^ {x) den linken von jP4(^).

In a) und d) hat die Curve bei x = 0 ein Maximum^ in b) und c) eia Minimum.

8) Wenn endlich m + n == 2i + 1 und m = 2A: + 1 , so ist nach S. 1

a) -F,{-x) = F,{+x),

b) -F,{—x) = F,{+x),

c) -F,{^x) = F,{+x),

d) —F,{—x)=:^F,{+x).

Es ergeben sich daher durch dieselben doppelten Drehungen der rechten Curventheile von Ff'{x)y ■^i(*)> ■'^4(^)» ^s(^) der Beihe nach die linken Curventheiie von ^,'(iP), Ff{x)j jPs(^)» -^4(^)- I« »^^ön vier Formen hat hier die Curve bei x == 0 einen Wendepunkt.

n. Au&uchung deijenigen Differentialgleichung, wddier genügt wird duroh die Quadrate der Gleidiung

11 ^.y' + ir^y + j^ey^o.

Von Professor SiMOH Spitzer. Wenn die abhangige Veränderliche der Gleichung, welche wir suchen, z heisst, so ist offenbar

2 = y*, mithin y = j/i" und folglich, ist die Gleichung , welche wir gesucht,

2) X, (y7)" + X, (/ly + x,j/I= 0.

Es ist also diese Gleichung ebenfalls linear, aber nicht bezüglich z, son- dern bezüglich j/z, und hat genau die Gestalt, wie die Gleichung 1). Man hat nun

2yz

2)[/« ^zyz und wenn man diese Werthe in die Gleichung 2) einführt , so erhält man nach einfacher Reductiou :

74 Kleinere Mittheilungen.

3) 2z {X^z" + X,z+ 2X^z) — 2;(273=0 und diese Gleichmig hat zum Integrale

4) « = [<?,1»(a?) + <7,t(x)]», wenn

5) y^C,q>{x)^C^^f{x) das Integral der Gleichung 1) ist.

Die Gleichung 3) giebt differenzirt: 6) 2z[X.z"^{X;^X,)z''MX,'+AX,)z+2X^z]-{X^'^2X,^^^^^^ und diese Gleichung wird offenbar auch erfüllt für t

4) z = [C,q,{x)-¥C,i>{x)f,

ist aber nicht das vollständige Integral der Gleichung 6); denn die Gleich- ung 6) ist von dec dritten Ordnung und muss somit zum vollständigen In- tegral einen, mit drei willkürlichen Constanten versehenen Ausdruck haben. Da nun die beiden Gleichungen 3) und e) durch den in 4) hingestell- ten Werth befriedigt werden , so wird auch jede legitime Verbindung der Gleichungen 3) und 6) durch den Ausdi^uck in 4) befriedigt. Eine solche legitime Verbindung der Gleichungen 3) und 0) erhält man aber, wenn man aus beiden Gleichungen (2')* eliminirt, und wird diese Elimination wirklich verrichtet, so kommt man zu der Differentialgleichung

■ [X^z"'^ZX,X,z'+{X^X,'+AX,X^—X,X^+2X,^)z'

^ \ +2(jr;^,— jroX;+2Zo-r,)t=o, ^

welche bezüglich z linear und von der dritten Ordnung ist.

Man kann somit folgenden Satz aussprechen: Wenn d^r linearen Diffe- rentialgleichung

t) ir,y"+x,y +jroy = o

genügt wird durch

5) y^C.q^ix) + C,^{a:), / so wird der Differentialgleichung:

^ \ +2{XiY^-X,X;+%X.Xi)z^0,

welche ebenfalls linear ist, genügt durch

4) « = [Ct9(x) + C,t(^)r/

unter C, und C^ willkürliche Constante verstanden. Aber die Gleichung 7) ist eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung, ihr vollständiges In- tegrale muss somit drei willkürliche Constante enthalten; ich behaupte nun, dass das vollständige Integral dieser Gleichung 7) folgendes ist: '8) z^A [9(a:)]«+ B^{x) , t(;(^) + C[^(^)r,

unter A. B. C willkürliche Constante verstanden.

Der Beweis dieses Satzes ist einfach. Denn offenbar genügt der Gleichung 7) der in 4) hingestellte Ausdruck für willkürliche C^ und Cg, folglich auch für C^ = 0, somit ist

ein Integral der Gleichung 7); eben so ist:

Kleinere Hittheilttiigen. 75

ein Integral derselben Gleichung. Da aber der Qleichang 7) der Ausdruck

genügt und das erste und letzte Glied dieses Ausdruckes ftlr sich genügen^ so muss auch

für sich der Gleichung 7) genügen, somit ist der in 8) hingestellte Ausdruck wirklich das vollständige Integral der Gleichung 7). Nehmen wir als Beispiel die Gleichung

woselbst

A', = «, + 6g* , JTj = «1 + 6, « , JT^j CS ö^ -|- b^x ist. Die Gleichung dritter Ordnung in z lautet :

i (a. + b^xft'" + 3(«, +6, jr) («. + h^x)z" 10){-h[^(a,+6,ar) + 4(ao + 6o^)(«, + ^^) — *2(fli+M)+2(a,+M)']«'

In dem speciellen Falle , wo

2(fli+*,;p) — 6, durch ag+ ^t^ theübar ist, d. h. in dem Falle, als

11) 2(a,6, — a,M = V

ist, iSsst sich mit der Gleichung 10) eine Division durch a^^h^x vollführen, and man erhftlt alsdann die einfachere Gleichung :

+ 2[*^ + y-'(«o + M)]^ = 0

deren CoefGicienten von eben so hohem Grade sind , als die Coefficienten der Gleichung 0).

nL Bemerkung ttber ein vieLbehes Integral Wenn in dem Ausdrucke

///••• /*{^» y^Zy...)dxdydz ,.,

die Integrationen auf alle diejenigen positiven Werthe der n Variabelen x, y, 2, . . . bezogen werden, welche der Bedingung h^x + y +z + . • • ^ 0 genügen, so ist der Betrag des Integrales u. A. von h abhängig, etwa = /*(A); diesen Betrag als bekannt vorausgesetzt; kann man das allgemeinere In- tegral

J J J ' " f{x,y,z, , . .) q>(T + y + Z+ ...) dx dy dz ...

auf folgende Weise aus dem vorigen ablisten.

Man setze q>(u) — (p{h) = ^(w) also iff' (u) = q> (u) und betrachte das (fi + 1) fache Integral

76 Kleinere Mitiheihiiigen.

^^JJJ' • A^' y^ ^' • •) *' (^—0 ^^^^ ^y • %• •

welches die Variabele i mebr enthält. Fängt man die Integrationen mit i an, 80 sind die auf t bezüglichen Grenzen < = 0, < = Ä — x — y — z — ..-, und es ergiebt sich wegen i/; (A) s= 0

5=— jj...f{x,y,z,..,)^{x + y+z + ,..)dxdydz

y erspart man dagegen die Integration nach / bis zuletzt, so hat man

S=Jrl/ (Ä — 0 <^njfi^y y,z,...)dxdydz....

0

Ä— /^a:+y + « + ...>a

d. i. zufolge der anfänglichen Voraussetzung

h k '

S=Ji\/{h--'t)dtF{h^t)=jF(u)^'{u)du

0 0

und durch theilweise Integration

h

S = — f F'{u) ^{u)du.

0

Die Vergleichung der beiden Formen von S^ worin ^ wieder durch q> aus- gedrückt werden kann, führt zu folgendem Resultate

k

JJ" fi^y y» • • •) 9(« +y + •••) ^^^y ...—Jf'{u) <p(u) du

h^x + y + z+.,,^0. Sind in dem ursprünglichen Integrale F(h) die Integrationen auf positive und negative Xy y^ z, , . . bezogen, so lässt sich der vorstehende Satz immer noch anwenden , wenn man die negativen Grenzen auf positive reducirt, wodurch ^/"C+a:, +^1 ...) an die Stelle von /(a:, y, ...) zu stehen kommt

(Briefliche Notiz des Herrn A. Gbvoccbi in Turin.)

IV.

Die Transformation und Anflösnng der Gleichungen fünften

Grades.

Nach Jebbard und Hermite.

Unter die bemerkensverthesten mathematischen Erscheinungen der neuesten Zeit gehört ohne Zweifel die Entdeckung, dass erstens die allge- meine Gleichung ftinften Grades

x^ + A^x^ + ji^a^ + J^a^ + ^^x + J^ = 0 auf die einfache Form

y^ + By+C=0 gebracht werden kann, und dass zweitens diese redncifte Gleichung durch elliptische Transcendenten auflösbar ist. Das nicht geringe Interesse, wel- ches dieses Seitenstück zur Cartesianischen Auflösung der cubischen Glei- chungen in Anspruch nimmt, legt uns die Verpflichtung auf, unseren Lesern eine Darstellung des Gegenstandes zu geben ; ihrer Natur nach zerfällt die- selbe in zwei Haupttheile.

L Die Beduction der Qleichungen fünften Grades.

Bereits anno 1683 zeigte Tsc hirnhausen in den Actis eruditorum ein Verfahren , um ans der allgemeinen Gleichung

J) ar + A,x^^ + J^x^''^ + ... + J^,x + J„ = 0

beliebig viele Glieder wegzuschaffen. Diese Methode kommt darauf hinaus, statt x eine Wurzel der Gleichung

zn snbatituiren oder, was Dasselbe ist, durch Elimination von x aus den beiden Gleichungen l) und 2) eine neue, nur die Unbekannte y enthaltende Gleichung zu bilden, und nachher über die vorläufig unbestimmt gebliebe- nen Grössen a^ , a^ , «2 t * * * ^» ^^ ^^ disponiren , dass in der neuen Glei- chung n Coefficienten wegfallen. Unter der Voraussetzung n < m kommen nämlich dem y in I^o. 2) ebensoviel verschiedene Werthe zu wie dem x in No. l); die ftir y resultirende Gleichung ifiuss daher vom m'** Grade sein, etwa 8) ir + S,y^^ + B^y--'^ + ..,+B^^,y + B^==0.

ZeUMhrin far Mathematik u. Physik. IV. 6

78 Die Transformation a. Auflösung der Gleichungen fünften Grades.

Die Coefficienten derselben sind aus ^^^ ^2) - - - ^mi ^o) ^i * ^21 - - * ^» zusammengesetzt; will man also n CoeMcienten , etwa j&^ , ^2 * * * • ^«f ^^^ Verschwinden bringen, so hat man die n Gleichungen £^=0^ ^2 = ^1 . . . ^^ = 0 zwischen den n + 1 Unbekannten a^ , a^ , . . . a^ aufzulösen, wo- bei eine der Unbekannten willkürlich bleibt.

Das erste Geschäft, nämlich die Elimination von x aus den Gleichun- gen 1) und 2) , kann auf verschiedene Weise erledigt werden , wie wir zu- nächst darthun wollen.

Wenn man die Gleichung

4) ys=:^a^+a^x + a^x^+, . . + rt^ar"

der Reihe nach auf die 2*% 3** . . . w*' Potenz erhebt, so kommen successiy alle die Potenzen x, x\ ar^, . . . x^ zum Vorschein , jedoch können x^^ ar""*"*, . . . a:"" mit Hülfe der Gleichung l) entfernt werden, weil a:*" = A^ af^ A2 x^ — ... — -^»»-i x — A^,

= W—^) ^' + (A ^2—^3) ^"~' + (^1 ^3— A) ^*-^ + • • •

U. 9. W.

es bleiben daher Gleichungen von folgender Form übrig: V^=b, + b,x + b,x^ + ....+b^^,co^},

y^ =<?o+ ^1 a:+ f2 ^'^ + — + ^".-i ^■■^

-5)

y-=Aro + Ari a: + /r2^^+ + K-\ a^*^^-

Darin sind ^0» ^1 ) ^2) ' - - ^m-i ganze und homogene quadratische Functionen der vorläufig unbestimmten Grössen Oq, «j, . . .a^; ebenso r^, q, . . . r„^, ganze und homogene cubische Functionen derselben Elemente n. s. w. Be- zeichnet man für den Augenblick die Wurzeln der Gleichung l) mit Jn Ij, . . . £„ und die correspondirenden Wurzeln der Gleichung 3) mit i7i» 172* • • • 17^, so kann man aus den Gleichungen 4) und 5) leicht Beziehungen zwischen den Summen

*^i=li +I2 +. •. + £«, ^1=1?! +172 +.- + ^-.,

«3 = ll' + 5«'+ •.+lm^ T^ = n^+^2' + '^+^J.

u. s. w. n. s. w.

herleiten , indem man für x und y der Reihe nach die verschiedenen | und 1} setzt; es ist nämlich nach No. 4)

6) ri = mflo + «i5,+Ä2S2 + --- + «n^«

und vermöge der Gleichungen 5)

V2 = m&o + ft,5i + ft2^2 + v + ^-i^-i>

^3 = »»^0 + ^f^l + ^2 ^2 + •'••+ '^m-l ^tn-t 1

7)

Wie man weiss, ist zur Berechnung der Summen S^j S^^ S^ etc. die Kennt*

Nach Jerbard and Hebhite. 79

niss der Wurzeln £i , £2 ) ^3 ®^^' ^^^^^ erforderlich , vielmehr können mittelst der Newton'schen Formeln

0 = ^2 + ^1 5i + 2^2, 0=53 + ^1 ^2 + ^2 ^1+34»

Sj, ^2, S3, . . . direct ans den gegebenen Coefficienten ^j, ^j» ^3» • • herge- leitet werden ; setzt man die gefundenen Werthe in die Gleichungen 6) und 7) ein, so hat man Tj, Tj, . . ^T^-i ausgedrückt durch ^1 , -^21 • • • ^m> «'o) ^t» . . . a«, und schliesslich dienen die entsprechenden Relationen *

8) ^0 = 72 + ^1^^ + 2^21

0=7^3 + ^1^2+ J?2^\ +3^31

znr successiven Berechnung der neuen Coefiicienten B^^ B2, . > . B^.

Ein etwas kürzerer Weg, auf welchem die Newton^schen Formeln nicht berührt werden, ist folgender. In den Gleichungen 5) betrachte man die m — 1 Grössen

als ebensoviel Unbekannte o-j , 0*2 .* . ^m^i und entwickele letztere daraus, was keine Schwierigkeiten hat, weil jene Gleichungen in Beziehung auf x^^ ^j) • • • ^M-i vom ersten Grade sind; die für a: , ar^, . . . o:" gefundenen Werthe braucht man nur in No. 2) zu substituiren , um sogleich die neue Gleichung 3) zu erhalten. Diese Methode hat noch den Yortheil , dass sie x^s^x ra- tional durch y ausgedrückt liefert, also zeigt, wie die Werthe von x (näm- lich $|, I2, • • • Im) gefunden werden, nachdem durch Auflösung der Glei- chung 3) die Werthe von y bekannt geworden sind.

Bei weitem das eleganteste und übersichtlichste Verfahren zur Elimi- nation von X aus den Gleichungen l) und 2) ist das folgende, welches ur- sprünglich von £ u 1 e r und B ö z 0 u t herrührt und in neuerer Zeit von Hesse wieder in Anregung gebracht worden ist (Crelle's Journal, Bd. 27, pag. l); es beruht auf einem bekannten Satze von den linearen Gleichungen. Wenn näm- lich zwischen den t Unbekannten ^p ^2» ** '^t ^^® ' Gleichungen ersten Grades «j a;i + a2^2 + + «< «:.==!/,,

^1 ^1 + *2 ^2 + + *. ^. = w<

bestehen , so giebt die Auflösung der letzteren die Werthe von ^^ , 0*2 ) • • - ^< in Form von Brüchen, welche einen gemeinschaftlichen Nenner besitzen, also etwa

Hier ist R unabhängig von u^, t/2» • • • t/< und bekanntlich die Determinante aus den Coefficienten der Gleichung nämlkh:

80 Die Transformation n. Auflösung der Gleichungen fünften Grades.

Multiplicirt man andererseits die gegebenen Gleichungen mit Factoren A^, ilj, . . . Aj, addirt nachher und denkt sich A|, Aj, . . . A, so gewählt, dass linker Hand die Coefficienten von 0*2 9 ^^3 , . . . o:,- verschwinden , so bleibt

(Ai ofj + ^2 /?,+... + A, X,) .r, =Ii Wi + Aj «2+ . . . + A. «,;

der Coefficient von x^ ist /?, rechter Hand steht Q^. Wenn nun alle u der Null gleich sind , so verschwindet Q^ und es muss daher entweder x^ und ebenso auch otj , • . • ^1 den Werth Null haben , oder es muss /? = 0 sein ; in allen den Fällen, wo man voraus weiss, dass otj, ij • • • ^< nicht Null sind, bleibt nur die Möglichkeit /{ = 0 d. h. wenn die Gleichungen

flfj ^^1+0^2 ^2+ • • ' -H-^tf^i^O,

«1 OTj + Xj 0:2 + + X, OCi ==0

durch andere Werthe als a^i^si^oTj • • • =^^* = 0 erfüllbar sein sollen, so muss die Determinante dieses Systems von selber verschwinden*).

Hierauf gründet sich folgendes Verfahren zur Elimination von x aus den beiden Gleichungen

K— y)+ «1«+ «2^^ + - • •+ ««^* =^0.

Man multiplicire die erste Gleichung der Reihe nach mit a*, ar^, . . . a:*, die zweite mit o:, a:*, . . . ar"* und stelle alle erhaltenen Gleichungen nnter ein- ander :

*) So sind c. B. die Gleicliungen

aas a X

+ ^y + « = 0,

•4- Äy + cz = 0,

nur dann mit einander vertrUglichy wenn

Ia, 6, c \

d. h.

Dasselbe erhält man natürlicherweise auch , wenn man — c=: £ , ^ c=: n setzt, von

den nunmehrigen Gleichungen

a| + *»? + "c = 0,

fl'l 4- *'^ \ c x=z ^^

die ersten zwei auflöst und die für \ und 17 gefundenen Werthe in die letite snb- stitnirt. Vergl. Baltser, Theorie der Determinanten, wo selbstverständlich der Gegenstand genauer behandelt ist.

Nach Jerrard und Hbrmite.

J^ a^ +^«-t a^ + + ^"^^

^« x^ + +«•"+»

(«0— y) ^ +«1 a:^ + «2 a:* + . . . . + «• a:»+'i

K~y) ^^ + a^a^ + + a^ a;*+'

(öo—y) a?3 + + a^ a;H-2

81

= 0, = 0,

= 0,

= 0, = 0, = 0, = 0,

betrachtet man jetzt .r, x^, . . . • a;"*~^" aU eben so viel Unbekannte x^ , o^ji • • • ^«-Hi ^i^d berücksichtigt, dass keine derselben verschwindet, so kön- nen die obigen Gleichungen nur unter der Bedingung

4»! -^m— 1 » ^m— 2> ••••! |0,0,... 0, ^m , ^m-1, 1,0,...

0, 0 , A^

0,^ 0 ,

0, 0 , flo— y,

• . ««»0, 0, . . . . . a^,0, .

fl«. .

= 0

0, 0 , . . . . «0— y> «

ausammenbestehen ; diese Bedingungsgleichung ist bereits die für y gesuchte Gleichung und es bedarf nur der Entwickelung der vorstehenden Determi- nante durch die gewöhnlichen combinatorischen Mittel*").

Hat man nach irgend einer der drei angegebenen Methoden die resul- tirende Gleichung

gefunden, so wird man die Gleichungen

^j = 0, ^2 = 0, . . • . i&H = 0 zur Bestimmung von ^o » ^i * * * • '^m benutzen , wobei eine dieser Grössen willkührlich bleibt und etwa a« = 1 gesetzt werden kann. Die vorstehen- den n Bedingungen reduciren sich , wie man aus den Newton*schen Formeln (8) erkennt, auf die folgenden

7^=0,7-2 = 0, r, = 0,

in denen die Werthe von T^ , Jji • • - ^a i^* ^o* 6 und 7) zu substituiren sind. Der blosse Anblick der Formel 6) zeigt, dass die Gleichung T^ = o in Beziehung auf die Unbekannten ^o» ^d ^2 ®^^* ^^^ ersten Grade ist; da- gegen ist die Gleichung T2^=i0 vom zweiten Grade, weil sie die quadrati-

*) Da viele Elemente der fraglichen Determinante Nullen sind, so verschwin- den auch viele ihrer Glieder und daher lässt sie sich in einer kürEeren Form dar- stellen, hinsichUich deren wir auf Balt^er^s Werk, pag. 45, verweisen müssen.

82 Die Transformation u. Auflösung der Gleichungen fünftort Grades.

sehen Functionen b^^ fe^, fcj etc. enthält, ebenso Tj = 0 vom dritten Grade u. s. w. Eliminirt man also a^^ , a„_2> • • • ^i *^^s den obigen Gleichungen, so erhält man fttr a^ eine Gleichung; die im Allgemeinen vom Grade 1. 2. 3 . . . « ist; doch kann sich dieselbe in specielleu Fällen noch reduciren. Um nach diesem Verfahren die vollständige cubische Gleichung

X^ + -1^1 X^ + ^2 ^ + ^3 = ^

auf eine rein cubische zurückzuführen , hat man

02X^ + 0^ x + Oq — y = 0 zu setzen und von den fünf linearen Gleichungen

^3 X, + ^2 ^2+A ^3 + ^1 = ^^

A.^ X^ + ^2 ''*^3 + ^V^A+^h = 0,

(«0— y) *^1 + «1 ^2 + «2 *'^3 = ^»

(«0 — y) ^2 + «1 ar3 + ^2 ^4 — <^»

(«0— y) ^3 + «1 ^4 + «2 ^5 = 0,

die Determinante zu bilden. Eliminirt man erst x^ aus der zweiten und fünften Gleichung, schreibt darunter die vierte und eliminirt a:^ aus der er- sten und dritten; so hat man nur noch die drei Gleichungen

^3 «2 ^'2 + (A «2 — «0 + y) ^3 + (^l«2 — «l) ^4 = <>«

K— y) ^2 + «1 ^3 + «2 «4 = Ol

(^3 01 — ^2 «0 + ^2 y) ^2 + (^3 «2 — ^1 «0 + A V) ^3 + (""«O + y) ^4 = <>,

deren Determinante leicht auszurechnen ist. Als Schlussgleichung R^=0 ergiebt sich

y^ + ^ll/^+i?2l^+^3 = 0,

und zwar sind die Werthe der beiden ersten Coefücienten:

B^ = — 3öo +A «1 —(^1^ — 2^2) «21 . .

i?2 = W + ^t «i' + W— 2^1 ^s) «2',

— 2^1 «0 «1 +2 (^i2_2^2) «0 «2 + (3^3 — ^1 ^2) «1 «2- Nimmt man willkührlich a^=zl und bestimmt Oq , a^ so , dass ^^ = J?2 = 0 wird, wozu nur die Auflösung einer quadratischen Gleichung gehört, so hat man als rcducirte Gleichung

y3 + 2?3 = o; diess ist die Tschimhausen - Euler'sche Transformation und Auflösung cu- bischer Gleichungen.

Bevor wir die allgemeine Theorie weiter verfolgen und speciell auf die Gleichungen fünften Grades anwenden, wollen wir erst eine Bemerkung einschalten , welche die homogenen quadratischen Functionen betrifft. Eine solche Function der k Variabelen 2^ , tji • - • ^t» otwa

F4=F(2:i,2:2> . ..«»), kann immer auf die Form

gebracht werden und zwar ist hier P eine Constante , Q eine homogene line- are Function der übrigen Variabelen 2| , z^ . . • • z^^^^ , und R eine homogene

Nach j£RRARD und Hermite. 83

qaadratiflohe Functioa der letztgenannten k — 1 Variabelen. Giebt man der Torigen Gleichung die Form

80 erkennt man , dass F^ aus dem Quadrate einer linearen Function Z^ der k Variabelen z^y Z2y * . . z^ und aus einem Beste besteht, der eine homogene quadratische Function der k. — 1 Variabelen z^, Zj» • • • ^i^i hildet und dess- halb passend mit Fj^-i bezeichnet wurde. Von V^^ gilt wieder Dasselbe, es ist nämlich analog

wo X^i eine lineare Function der Variabelen z^ , Zj , . . . z^^^ ) Fjk-a ^^^^ homogene quadratische Function von z^, Zj, . . . z^^^ bezeichnet. Dufch Fort- setzung dieser einfachen Schlüsse gelangt man am Ende zu der Gleichung

V, == x,2 + zVi + . . . + X2^ + V,

und in dieser liegt der Satz, dass jede homogene quadratische Function von k Variabelen als die algebraische Summe der Quadrate von k homogenen Linearfunctionen dargestellt werden kann , wobei die erste derartige Func- tion k Variabele und jede folgende Function eine Variabele weniger als die vorhergehende enthält. So ist z. B. bei zwei Variabelen u und v

wo a\ b\ a selbstverständliche Abkürzungen vorstellen; bei drei Variabe- len Uj Vjto hat man

Äu^ + Bv^ + Cux^+llDuv + ^Euw + ^Fvw

= i/u + B'v + Cfwy+ {au + Vv) 2 + {a\f

u, s. w. Nach dieser Digrcssion kehren wir zur allgemeinen Gleichung ar^A^ x^^ +^2 a;--2 + . . . +A^^x + A^ = 0 zurück und denken uns dieselbe durch Substitution von

y = «0 + «1 ^ + «2 ^^+ «s *^ + «4 ^* transformirt in

Aus den früheren Bemerkungen über die Natur der Grössen ^o » ^i » * * - ^■K-i» ^o> ^1» • • • ^m-i ®*^M ^^ Verbindung mit den Gleichungen 6) und 7) geht hervor, dass J, eine ganze und homogene Function p^^ Grades der f(inf Elemente ^o) ^n ^^f ^Si ^4 ^^M ehenso sind zufolge der Gleichungen 8) B^^ B^i B^ etc. ganze und homogene Functionen derselben Variabelen, und der Grad jeder solchen Function wird durch den Index von B angeseigt.

84 Die Transformation u. AuflöBung der Gleichungen fünften Grades.

Will man nun aus der neuen Gleichung die mit B^, Pji -^3 behafteten Glieder wegschaffen, so hat man die drei Gleichungen

^1 = 0, B^^O, B^ = 0 aufzulösen, von denen die erste linear, die zweite quadratisch und die dritte cubisch ist Der ersten Gleichung kann man den Werth von a^ ausgedrückt durch a^ , . . . a4 , entnehmen und diesen in die beiden übrigen Gleichungen substituiren , wodurch letztere die Formen

^'2 = 0, ^'3 = 0 annehmen mögen. Da die Substitution von a^ eine lineare war, so sind die Grade der Gleichungen ^2 = 0 und ^^3 == 0 nicht geändert worden ; es ist daher B'2 eine homogene Function zweiten Grades , ^'3 eine solche dritten Grades der vier Grössen 01,02,^3, a^. Zufolge des vorhin erwähnten Satzes, von den homogenen Functionen kann B'2 unter der Form

i?'2 = V + V + V + V dargestellt werden, worin X^, Xji ^3) ^4 lineare Functionen von a^, 031 ^3> a^ bedeuten; der Gleichung B'^ = 0 genügt man daher durch die Annahme

oder .

Diese Gleichungen sind linear und gestatten, a^ und dj in linearer Form durch a^ und a^ auszudrücken. Durch Substitution dieser Werthe in die noch übrige Gleichung j&'g c=: 0 wird der Grad der letzteren nicht erhöht; es geht daher ^3 =0 in eine neue cubische Gleichung B*'^ = 0 über, wo- bei B'\ eine homogene Function von ^3 und a^ bedeutet. Wählt man a^ willkührlich , etwa = 1 , so bestimmt sich Ö3 durch eine Gleichung dritten Grades und daraus folgen «2» ^i» «0 ^lit Hülfe der vorigen linearen Glei- chungen, also:

Die allgemeine Gleichung

^r-' + ^ja;— 1 + ^2*'^'+ .•• + ^n^ia: + ^« = 0 kann immer auf die Form

y"'+B,tr-^ + B,fr'^ + ... + B^,y + B^ = 0 gebracht werden, und zwar bedarf es hierzu nur der Auf- lösung einer cubischen Gleichung.

Ganz ähnliche Schlüsse sind für den Fall zu machen, dass man die mit ^1, ^2) ^4 behafteten Glieder wegschaffen will; man findet sehr leicht den Satz :

DieSeduction der allgemeinen Gleichung

auf die Form

r + ^3^"' + ^ r-' + . • . + i?«-, y +^« -= 0

ist immer möglich und zwar durch Auflösung einer biqua- dratischen Gleichung.

Hiemach kann die'allgemeine Gleichung fOnften Grades auf die Formen

Nach Jerrard und Hebmite. 85

y^ + B^y' + B^ = 0, gebracht werden , die bei Substitution von

V — - ^ — r ^^ -c ~-'-c

übergehen in

2S + (7iZ« + 6/5 = 0,

^^ + ^2 ^' + ^5=0; die allgemeine Gleichung fünften Grades kann demnach alle trinomischen Formen erhalten , deren sie ohne Aufgabe ihres Grades fähig ist *), Durch eiue passende Substitution für y oder z lässt sich auch noch einer der Coef- ficienten B oder C irgend einer willkührlich gewählten Grösse gleich machen ;

80 geht die erste Form für y = 1? yZT'ß^ über in

9) ^^-r'? — ft==0;

für 2 = — r- Ci ? wird aus der drilten Form o

10) Jö_|f4_^=0.

öie erste Gleichung (9) benutzte Her mite**), die zweite (lO) Br los- ch i***); dem letzteren folgen wir hauptsächlich, weil seine Abhandlun- <gen ausser der Auflösung der Gleichungen fünften Grades auch sonst man- ches Bemerkenswerthe enthalten.

n. Die Auflösung der redncirten Oleichnng. Aus den Untersuchungen Jacobi's ist hinreichend bekannt, dass der Ausdruck

auf die Form

1 dx '

gebracht werden kann, worin ilf eine constante Grösse bezeichnet; es ge- bort dazu die Substitution

g, j? -}» flj 0?=^ •■{- gft jr^ + . . . + <^ J^ U

unter n eine ungerade Zahl verstanden. Setzt man wie gewöhnlich

K = /• '^g *^__ /•_ ±^

j ny^') (1 -*»a-») • "" J y(i-3*) 11-*'« o.-«) •

y^,

*) Jerrard: Mathomatical Researches. Hamilton: Report of the sixt mee- tiog of the British Association.

••) Comptes rendus No. 11 (15. Mars), 1858. pag. 508. ***) Annali di Matematica 1858; fasc. 3, pag. 175; fasc. 4, pag. 250.

86 Die Transforination u. Auflösung der Gleichungen fünften Grades.

wobei m und m ganze Zahlen bedeuten, nn4 schreibt z ftir -, so hat man

tn

die beiden Formeln (Jacobi, Fundam. nova, § 2l)

yT= k* sin coarn 4ß> sin coam 86) ... . sin coam 2(w — J)©,

y— ^ v'izi sin am 4 CO sin am Sa» ... . sin am 2(n — l)a>

'^ ^ ^ ^ «Vi coatn 4 o> sin coam Sa , , , . sin coam 2(n — 1) ai Für den Fall, dass n eine Primzahl ist, ergeben sich hieraus » + 1 ver- schiedene Transformationen der n^ Ordnung, welche den folgenden n-j- 1 Werthen von w entsprechen:

K Kj K+K*i K+2/ti K+jn—DK'i

n* « ' » ' n » • • • ,1 ^ >

die Substitution derselben in die vorhin erwähnten Formeln liefert sowohl fiir X als fUr z ebensoviel verschiedene einander correspondirende Werthe Aj, Aj, . . . A,^, und z^, ^2, . . . ^»4.1* Denkt man sich diese als Wurzeln algebraischer Gleichungen , so sind letztere vom Grade n + i] die erste derselben heisst bekanntlich die Modulargleichung, für die zweite würde der analoge Name Multiplicatorgleichung passend sein. Den n+1 Werthen von A entsprechen » + 1 Werthe des Integrales

1

, r ^^

0 die mit ^|, ^2» * * * ^n+i bezeichnet werden mögen; ilir Zusammenhang mit z^ , ^2 » • • • ^n-hi wird durch die bekannten Gleichungen vermittelt

Wenn ferner die gewöhnliche Bezeichnung

nK' g:;=e K

beibehalten wird, so ist (Fundam. p. 184)

yii = i + 2^ + 2^* + 2(?» + — = 2:^,

wobei sich das Summenzeichen auf alle ganzen , von — joo bis + 00 rei- chenden Werthe des m bezieht; auch hat man nach einem von Jacob i*) gefundenen und von Sohncke**) bewiesenen Satze

y7,^{—\f^rr, ^r\ (m= — oo...m = + oo)

und die Werthe von jf^, if^, • • • V^n+v ergeben sich dadurch, dass man in dem Ausdrucke ,

der Reihe nach 1 < I. ^

*) Crelle'8 Journal, Bd. IH, pag. 193. **) Ebendaaelbflt, Bd. XVI, pag. 103-107.

Nach Jbrrard und Hermite. 87

seUt, wo m eine Wnrael der Gleichung a'^ — 1 «== 0 bedeutet. Diese Ei- genschaft der Mnltiplicatoren warde zuerst von Abel bemerkt, wenn auch nicht völlig genau bewiesen*).

Nach diesen Yorerinnerungen bemerken wir, dass die Beihe der Qua- dratzahlen 1, 4, 9, 16 etc. folgende Zerlegung- gestattet n^ (2n)2

I. («-o^ («+i)S (2«-l)^ (2n+l)^...

4, («-2)2, (« + 2)^ (2«— 2)^ (2n + 2)2, ...

9, («-3)2, (« + 3)2, (2« — 3)2, (2fi + 3)2, ...

/n -^ ly /« + ty /3«-liy /3w+iy /sn^ty

von deren Richtigkeit man sich augenblicklich Überzeugt, sobald man die

Colonnen wechselweis abwärts und aufwärts durchgeht; mau hat daher die

entsprechende Zerlegung

i- ± ± l + 2j* +2^'*+2^"+

= 1 4. 2^*1 + 2g^" +2q^ +

-L ("-0* (n+l)* (»»-!)' (tft+t)^

+ 2^* +2^ * +2^^ » +2^ »,+2j » +...

+ 2^">^ t / +2^"^ « -' +2^7'»^ • ^ +

oder kürzer

t

. . . . + 2^*" ^g*'»H-«^«+ ....

worin sich die Summenzeichen auf alle ganzen von — oo bis + oo reichen- den m beziehen , und r zuletzt den Werth ^ bekommt. Hiernach sind y^i^ y^tj Vtt etc. leicht auszudrücken; setzt man nämlich zur Abkürzung

so ist nach dem Vorigen

12)

if^ = ^^ + «^, + Ä4^,+ tT^ 'a,

**) Crello*s Joarnal, Bd. III, pag. 400. Oeorres compUtea, T. I, pag. 315.

88 Die Transformation n. Auflösung der Gleichungen fünften Qrades.

und hieraus ergeben sich ^ , ^ etc. , wenn man in der letzten Gleichung cr^, cfi etc. an die Stelle von a treten lässt. Diese wichtige Eigenschaft der Wurzeln der Multiplicatorgleichung bat Jacobi im 3. Bde. des Crelle'schen Joumales (pag. 306) angegeben«

4 4

Für « c= 3 ist bekanntlich , wenn }T=Uy yT 7=s v gesetzt wird ,

2tt*+» ' *' - — i'

die Modulargleichuug lautet

u^ — v* + 2uv (1— wV) ^ 0

und die Multiplicatorgleichung

{z—iy + '^{z — i)'^~i6uh=zQ oder

z^—ez^-hS (1— 2Ä^) 5; — 3 = 05

dem Vorigen zufolge sind die Wurzeln der letzteren

J^ = iT3"^o» ^ = ^o + ^i> ^ = ^o + «A> Fi: = ^o + «'^i- Mit Htllfe der bekannten Belationen zwischen den Coefficienten und den Wurzeln einer Gleichung findet man leicht folgende Beziehungen zwischen Aq und A^

Aq W + A,^) = 1,8 V — 20 V V— ^1' — 8 (l— 2^2). Bei d*er Transformation* fünften Grades ist die Multiplicatorgleichung

(2_1)6_4 (2 — 1)5+2^2^^^ = 0

oder

13) 2« — 10^5 + 352*— 60^3 + 5522 — 2(13 — 2^2 ^'2)^+5=0, und nach No. 12)

{VT, = n ^0. yi,^A,+A,+A^, . K^=^,+a^i+a%,

^*^ \^=A+«'^i+«'^2, VT,=A,+aU,+aU^, ^=^o+«'^i+«^2. worin a eine Wurzel der Gleichung a* — 1=0 bedeutet. Bildet man aus aus sr^ I ^2t ' ' • ^6 rückwärts die Coefficienten der obigen Gleichung sechsten Grades , wobei zur Abkürzung iL = A^) + A^ A2J

15) iilf=8V^i><2— aVV^l' + ^l'^j' — ^0 W + ^2*)»

- 4^0 ^2 V— 20 V^i ^2 + 5^i'^')K* + -^2*) + ^i'" + ^2" gesetzt werden möge , so erhält man folgende Gleichungen

— 10 = — lOZ, 35 = 35i^ — 60 = — 60i»+10ilf,

55 = 55i* — lOiiJf, — 2(13— 2UU'2) = — 26i* + 30i2il/— i^, ■5 = 5(Z;»— ilO*. Die erste , dritte und fünfte derselben liefern die Werthe 16) i=l, Jlf=0, N= — ^k^k\

durch welche die Übrigen 3 Gleichungen von selbst erfüllt sind.

Wir untersuchen nun weiter den Zusammenhang zwischen folgenden fünf Grössen

Kach Jerrard und Hermit£. Sd

J7) l «s = («4— «l)(«5 — 23)(«6 — 2^2). «4 = («6— «i)(^$ — ^4)(«J " «s).

l «5 = («6— «i) (.'2—h) ih^'i);

namentUeh Sachen vir diejenige Gleichung, deren Wurzeln otj , x^, . . . x^ sein würden. Zu diesem Zwecke drücken wir x^, x^, . • . x^ erst durch J,,, Ji , A^ ans , indem wir nach verrichteten Multiplicstionen in 17) ftir z^ , Zji . . . z« ihre Werthe aus Ifo. 14) einsetzen; wir erhalten hierdurch ftinf Oleichnngen von der Form

fa:,==Kö"(^o+ ^1+ ^2+ ^3+ ^4). x, = ^ (7?o + « ^1 + «'^2 + «'^s + «'^4).

18) -^ ^3 = Kö" (fio + «'^1 + «*^2 + « -B3 + «"-54) . L, = ^ (ßo + «'^1 + « ^2 + «^^3 + ««^,) ,

[^5 = ^ (i?o + «"^1 + «"^2 + «'^3 + « ^4) »

worin ^q, jP, , . . . J?4 zur Abkürzung eingeführt wurden und folgende Werthe haben

Bt = 8^o^i'^2*— 16^0* ^1*^2— 2-^1-^2*— '^^' + *A*^2^

^3 = 16 V^l^— J6^ü^^2^ +^1^^2^ — ^^0^1*^2-

Ist nun

19) ^^+P\ ^+P2 ^^+PZ ^+P4a^ + />5 = Ö

die Gleichang , deren Wurzeln x^^ otj , • • . ^'5 sein würden , bo bildet man die Coefficienten p auf gewöhnlicbem Wege aus x^^ ^^y-'^h^ wobei für die letzteren Grössen ihre in No. 18) angegebenen Werthe zu nehmen sind. Für die ersten vier Coefficienten erhält man

/^i = — 5^ 2?o» P2 = — 5^ ^2. />3 = - ö^^ P3, P4 = — b\P,—P^^), wobei zur Abkürzung gesetzt wurde

Pj = B.B^+B^B^, P,^B,^B^ + B^^B, + B,^B, + B,^B^,

P^z=B^^B^ + B^^B^ + B:,^B^+B,^B^ + 3B^B^B^B,. Drückt man B^^ B^^ B^^ B^ durch A^^ A^^ A^ aus und berücksichtigt die Gleichungen 15), so ist einfacher

/>, = 2(XiVr— 3^2)^ i>3 = 4^(ZJV— 5üf2); P4 = 15 ^* — Z2iV2 + 2Z iRf^iV. Man kennt aber aus No. 16) die Werthe von L^ M^ N, daher wird

P, = — 2U2^'2, P3 = 0, />4 = — 2^»)t4^'S und nach dem Vorigen wegen ^q ?=: 4ilf= 0,

pj = 0, P2 = 2»52^*'^ P3 =:=: 0, i)4 = 2^05* Ä^Ar'^ Um nochp5 zu berechnen, gehen wir auf die Gleichung 13) zurück und bil- den das Product aus den Differenzen ihrer Wurzeln , also das Product aus den Grössen

90 Die Transformation u. Auflösung etc. Nach Jerrard u. BermitB.

ih — h) (^3— ^l) i^A — h) («5 — «l) (^6— ^l)

(^3—^2) (^4 — ^2) (^5 — ^2) (h—^^)

i^i — ^3) ih — H) (h —-3) f = ^

dieses ist bekanntlich die sogen. Determinante der gegebenen Gleichung und kann auf verschiedene Weise aus den Coefficienten der Gleichung her- geleitet werden. Im vbrliegenden Falle giebt die Rechnung

TP = i^H^ßfik'^ (l— ^k^k"^y und da nach 19) und 17) p^ =^ a:, arg x^ .r^ 0:5 = — i7 ist, so hat man

Ps = — 22252^5: k*k'^ (i_4^2p) Zufolge der Werthe von Piy P2} • • • P5 gestaltet sich die gesuchte Gleichung zur folgenden

x^ + l^b'^k^U^ a^ + 2*8 5^ Ä:*^'^ x — 'i^^b^Yh.k^k'^ (l -4ä:U'2) = 0 oder

20) X (a:2 + 2«52^2Ä'2)2^ 2225^5:**^'^ (l— 4^2;t'2), welche mittelst der Substitutionen

21) 1 + 2'J5«*»V« ~ 5 ^' 2 (^ W ) — ^ auf die einfachere Form

zurückgeführt wird.

Die Auflösung der vorstehenden Gleichung ist daher verhKltnissmfissig sehr einfach. Bei gegebenem c liefert die Gleichung 1 /i — 4 jt« fr'rv 2

den Werth von A:/r'= Ar^i — *« , hieraus ergeben sich Ar, Ar', iT, A^, J, (>, mit- hin auch für n s= 5 die Werthe von ifi , ^2' • • • ^6 » nÄmlich

worin sich alle Summenzeichen auf die Werthe m=~<x>bi8m = + a be- ziehen und jede der Summen leicht durch die Transcendente B ausgedrückt werden könnte. Mittelst der Formeln 17) erhält man jetzt x^^ x^^ • • ^ x^ und nach No. 21) die entsprecheBden Werthe von iy welche die gesuchten Wurzeln sind.

Die Theorie der Pole und Polaren bei Corven h6herer Ordnung; mit einer Einleitung: Zwei Coordinatensysteme.

Von W. Fied;.er,

Lehrer der darstellonden Geomctrio a. d. K. Gewerbschule zu Chemnitz.

Bekanntlich ist die gerade Linie, die man in Bezug auf einen Kegel- schnitt als die Polare eines Punktes in seiner Ebene bezeichnet, mit jenem Punkte, ihrem Pol, durch diese Eigenschaft verbunden: sie ist der geome- trische Ort aller der Punkte, die auf den durch den Pol gehenden Transver- salen die zu diesem conjugirt Harmonischen sind im Yerhältniss zu den beiden Schnittpunkten der Transversale mit dem Kegelschnitt. Auch sind die Punkte, wo sie den Kegelschnitt schneidet, die Berührungspunkte der vom Pol aus an denselben zu ziehenden Tangenten.

In richtiger Verallgemeinerung der in diesen Sätzen niedergelegten mathematischen Gedanken sind die neueren Geometer zu der eleganten Theorie der Polaren bei Curven höherer Ordnungen gekommen. Diese Theorie erscheint mir eben sowohl als specielle Studie, wie in systemati- scher Beziehung von besonderer Wichtigkeit. Indem ich sie in ihren Haupt- sfigen hier vorlege, folge ich wesentlich den Ideen , die in dem ausgezeich- neten Werke des englischen Geometers M. George Salmon niedergelegt sind, welches unter dem Titel : „^ irealise on Ihe higher plane cttrves^^ im Jahre 1962 in Dublin veröffentlicht worden ist; jedoch berücksichtige ich dabei zugleich eine im Augnstheft des Journals von Liouville 1857 erschienene Abhandlung von M.E. deJonqui^res, in welcher dieser Gelehrte nach dem genannten englischen Autor die bezeichnete Theorie entwickelt, indem er sie jedoch im Geiste der anharmonischen Geometrie seines berühmten Lehrers, M. Chasles, darlegt. Es erscheint mir zweckmässig, beide auf verschiedene Principien fussende Behandlungsweisen zur Yergleichung ne- ben einander zu stellen ; dabei wird die Methode des englischen Autors als die eigentliche Quelle überall voranstehen und man wird hoffentlich finden, dass sie wohl die Mühe eines etwas ausführlicheren Eingehens belohnt. Die Oesichtsponkte des französischen Bearbeiters lassen sich leicht in kurzen Einschaltungen darlegen.

92 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnong«

Zwei Coordinatenqrsteme.

Angesichts der Bemerkung, dass eine Curve eben sowohl als der Ort eines bewegten Punktes wie als die Umhüllung einer beweglichen geraden Linie betrachtet und nach beiden Gesichtspunkten classificirt werden kann, indem man dort durch die Anzahl der Punkte der Ourve in der nämlichen geraden Linie den Grad und hier durch die Anzahl der Tangenten der Gurre Tom nämlichen Punkte aus die Classe der erzengten Curve bestimmt, legt Salmon seinen Entwickelungen hauptsächlich zwei verschiedene Coor- dinatensysteme zu Grunde, deren Gegensatz man durch die Bezeichnung Punkt-Coordinaten und Tangential-Coordinaten allenfalls be- zeichnen kann } denn in dem einen System wird ein Punkt, im andern eine gerade Linie durch Coordinaten und dafür im ersten eine gerade Linie, im zweiten ein Punkt durch eine Gleichung zwischen denselben ausgedrückt. Aber die Punkt-Coordinaten Salmon 's sind nicht mit den gewöhnlichen Cartesischen Coordinaten identisch, sie bilden vielmehr ein allgemeine- res System, von dem das des Cartesius ein specieller Fall ist; es hat nicht zwei , sondern drei Coordinaten zur Bestimmung des Punktes und gleicher- weise dienen im andern System drei Coordinaten zur Bestimmung der gera- den Linie; beide Systeme entsprechen gjnander genau und gewähren den wichtigen Vortheil, dass sie immer homogene Gleichungen liefern. Salmon stellt sie einander entgegen als Dreilinien-Coordinaten undDrei- punkt-Coordinaten, weil in jenem System die Lage eines Punktesdurch seine Entfernung von drei festen geraden Linien, in diesem die Lage einer geraden Linie durch ihre Entfernung von drei festen Punkten bestimmt wird.

Wenn der englische Gelehrte nur das eine . dieser Systeme in dem genannten Werke kurz entwickelt, da er das andere^ als den Lesern seiner Schriften bekannt voraussetzt, so halte ich es für zweckmässig, beide gleich- massig näher darzulegen ; diess soll im Folgenden zunächst gethan werden.

Man gelangt zu dem Dreilinien- Coordinaten-System auf fol- gende Art. Wenn

Z = 0, 3f=0, N=0

die Gleichungen dreier geraden Linien vorstellen , die ein Dreieck bilden, so kann eine beliebige vierte Gerade

Ax + By + €t=::0 in der Form IL + mM + nN=:0

ausgedrückt werden, wo /,»i,n Coefficientcn sind, die von den Grössen J, B^ C, a^byCj db'c, . . abhängen, deren letztere aus den Gleichungen

L := ax + by + c, M=: ax+b'y + c\ N =i a' + b" -f /' herkommen ; denn man wird zur Erfüllung dieser Form drei Gleichungen ersten Grades zur Bestimmung der drei Unbekannten /,m,n erhalten, nämlich

la + md+na'^=' A^ Ib + mb' + nb"^^^ B, Ic +mo'-|- wc"= C und bekommt daraus

Von W. Fiedler« 93

^ _ AibV-b^cH- B(ca^e'a)+C{ab"-ab')

fl(iV'— 6'V)+ b{ca" — c'V)+ ci^ab** — a*b')

_ Aib'*c — bc")^ Bjc'a-' ca)-\'C{a'b--ab")

*" a {b''c — b O + *' (c"« — cfl") + c\a'b — a b")

_ Aibc^b'c) + B{ca^ ca) +C{ab' --ab)^

a\bc — b'c) +b'\ca — ea) +c"(«6' — ab)

Aas diesen Werthen von /,fii,n erkennt man, dass die Herstellung der Penn IL + mM+ nN = o

nur dann nicht möglich ist, wenn die drei Geraden L^M^N durch denselben Punkt gehen, weil dann die Nenner in den Ausdrücken der drei Coefficien- ten Null und diese selbst unendlich werden. Dieselbe Möglichkeit bleibt auch für die Oleichnngsform

a b

oder die daraus mit der Bezeichnung der Figur (Fig. 1 , Taf. I) abgeleitete

xco8€i + ysm€i=p bestehen; sind die Qleichungen dreier geraden Linien in dieser Form durch die Zeichen Ij(m,,v repräsentirt, so kann die Gleichung jeder vierten Gera- den in der Form

II + fftfi + «V = 0

geschrieben werden. Welchen Nutzen dieses einfache Princip gewähren kann, mag ein Beispiel zeigen. Man habe* ein Dreieck ABC (Fig. 2) mit irgend drei von den Ecken ausgehenden und in einem Punkte 0 sich schnei- denden Transversalen ADyBE^CF\ dann lassen sich die Eigenschaften der daraus entspringenden Figur sehr leicht entwickeln. Die Gleichungen der Dreiecksseiten AB,AC^ BC seien respective dargestellt durch

y = 0, iJ = 0, « = 0; dann kann Ja — mß die Gerade CO, mj3 — ny die Gerade ^0 und n^ — Ja die Gerade BO darstellen, denn erstens charakterisiren diese Gleichungen die durch die Ecken C, ^, P gehenden und zweitens die in demselben Punkte 0 sich begegnenden Geraden. (Das letztere bekanntlich dadurch, dass ihre Somme verschwindet»)

Hiemach lassen sich auf Grund jenes Princips die Gleichungen alier andern Linien der Figur bilden« Die Linie EF^ die Verbindungslinie von E (Dnrchschnittspunkt von ß mit ny — /«) mit F (Dnrchschnittspunkt von y mit la — mß) wird dargestellt durch die Gleichung

mß + ny — /« = 0.

Ganz ebenso J>F durch

/« — mß+ny = 0 und 2>i? durch la + mß — ny = 0. ,

Ans diesen Gleichungen ergiebt sich sofort, dass die drei Punkte Z, M, N in derselben durch

dargestellten geraden Linie liegen; denn dieselbe enthält den Punkt N als

Z«lUcbria fUr Mathsiutlk n. Physik. IV. 7

94 Die Theorie der Pole und Polaren bei Cnrven höherer Ordnung.

Dttrchschniit von y mit Ja + mß — «y, den Punkt L als Darchschnitt Ton « mit mß + ny — la und den Punkt M als DnrchBchnitt von |J mit la-^mß + w y = 0.

Auch ist die Gleichung von CNy als einer durch C oder .er, ß und dorch N oder Ict'^mß'^'ny^ y gehenden geraden Linie

/or 4- mj3 = 0 und ebenso sind die Gleichungen von AL und BM

mß+ny = 0 und ny + 7a = o. Bekanntlich btlden vier solche Gerade, wie die Symbole

«=3 0, /3 = 0, «— /fj8 = 0, a— Ar'|5 = 0 sie darstellen, ein Büschel , dessen anharmoniscfaes Verhältniss -p ist und da- her für k= — Ic ein harmonisches Büschel.

Demnach ist ^iVin l'und A harmonisch getheilt, denn die Gleichun- gen der Linien CB, CA, CN,CF sind

a = 0, |S = 0, la + mß = 0, la — fn/3 r= 0; desgleichen AM in E und (7, denn die Linien BA, BC, BM^ BE haben die Gleichungen

y = 0, ac=0, «y + 7a = 0, ny — /a = 0;

und endlich auch CLinB und B^ da die Gleichungen yonAC,AB,AL, AD sind jS = 0, y = 0, mjS+«y = 0, mjS— f?y = 0. Auch sagen die schon geschriebenen Gleichungen aus, dass AL,BO^ CN sich in einem Punkte schneiden müssen, desgleichen AO^ BM^CN u.s. w* Wenn aber nach diesem Princip

Ak + Bß + Cy^^ die Gleichung einer geraden Linie bezogen auf die drei Fundamentallinien Uyß,y ausdrückt, so gelangt man augenblicklich zu den Dreilinien-Coordi- naten, sobald man ff,j9,y nicht mehr bloss als Abkürzungen für die Grössen

xcosa+ysina — p, xcosß + ymß — Pi, xcasy + y sm y — pj?

sondern als die einfache Bezeichnung der Länge des Perpendikels von einem Punkte (Xjy) auf die durch xcosa + ysmcesssp u. s. w. respective darge- stellte Linie betrachtet. Dann sind <r,j3,y die Entfernungen des nämlichen Punktes von den drei festen Fundamentallinien, d.h. die Dreilinien-Coor- dinaten desselben und die Lage einer geraden Linie bestimmt sich durch eine homogene Gleichung zwischen diesen Entfernungen von der Form

Aa + Bß + Cy^O Jede nicht homogene Gleichung kann leicht auf eine doppelte Weise in die homogene Form gebracht werden durch eine Einführung constanter Factoren; wären a, 6, c die Seitenlängen des Fundamentaldreiecks, so wird der unveränderliche doppelte Inhalt des Dreiecks, ilf, durch folgende Glei- chung ausgedrückt, wo auch der Punkt 0 liege, dessen Coordinaten a^ß^y sind :

Mr^aa + bß + ry.

Von W. FiEDLBiu 96

Und daher kann eine nioht homogene Gleichung, wie ß = by homogen ge- macht werden , indem man sie schreiht

Mß = b(a€e+bß+cyy Wenn man die Winkel des Fond^nentaldreiecks mit^, B, C bezeichnet,

so ist auch

amA + ßsinB + yshiC

eine zn demselben Zwecke brauchbare Constante, denn, ihr Werth ist stets

M sin A ^^

Und hier kann man erkennen, dass diess CoordinaiensyHtem mit dem Car- tesischen sehr nahe verwandt ist. Denn betrachtet man diese Constan- ten, a. B. die letzte, so erscheinen sie unter der allgemeinen Form der Glei* chnng der geraden Linie; es muss also auch die Gleichung

asinA + ß sin B + y «» C s= 0 eine solche darstellen. Gleichwohl kann diese aber nicht für einen endlichen Punkt wahr sein , denn für jeden solchen ist

a sin A + ßsinB + ysinC^=

und nicht gleich Null ; diese Gleichung kann nur eine unendlich ent- fernte Gerade in der Ebene des Fundamentaldreiccks darstel- len. Und auch ans der gewöhnlichen Cartesischen Form der Gleichung ^a:+ ^^+ ^ = 0 ergiebt sich leicht, dass die paradoxe Gleichung C=0 die Linie im Unendlichen ausdrückt. Deshalb wird auch eine Parallele zur Linie a == 0 durch a + C:= 0 dargestellt, d. h. nach einem bekannten Prin- cipe als durch den Durchschnittspunkt der Linien u und (7, d. i. den unend- lich entfernten Punkt von or hindurchgehend.

Alle Cartesischen Gleichungen sind nur der Form nach nicht homo- gen, wohl aber in Wirklichkeit, denn je nach den Anforderungen der Ho- mogeneität ist die der Gleichung unterzulegende Einheit eine verschiedene, sie ist für {^ = 6 eine lineare, für a:y = 4 eine Flächeneinheit ; wenn z die bezügliche lineare Einheit darstellt, so kann die Carte sische Gleichung der geraden Linie geschrieben werden ^

Ax + By ^ Cz=zi^.

Endlich kann man sagen, dass Gleichungen in Cartesischen Coordinaten nur die besondere Form sind, welche Gleichun- gen in Dreilinien-Coordinaten annehmen, wenn zwei der Fundamentallinien zu. Coordinatenachsen geworden sind, indess die dritte unendlich entfernt ist.

In diesen Dreilinien- Coordi^iaten ist die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts, wenn wie vorher durch aßy dX^ drei Fundamentallinien aus- gedrückt werden, offenbar « Aa^ + Baß + C/J« + Day + Eßy + Fy^ = 0,

*) Da«s auch Formen höherer Orade hierinit homogen zn machen sind, ist leicht sn ei^eimen; Näheres findet sich darüber bei dem «weiten Ooordtnaten-Systeni.

7»

96 Die Theorie der Pole und Polaren bei Ourven höherer Ordnung.

denn sie ist vom zweiten Grade und schliesst fUnf Constante ein, bedeutet daher einen Ort, der durch fünf beliebig gewählte Punkte bestimmt ist und kann also jeden möglichen Kegelschnitt darstellen. Sie ist die homogene Gleichung zweiten Grades zwischen drei Veränderlichen^ die vollstän- dige Gleichung zweiten Grades zwischen zwei Veränderlichen kann durch Einführung der Lineareinheit z in sie übergeführt werden; nämlich

in Aix?^ + Äa:y + Cy^ + Da:« + Eyz + Fx^ = 0. Auch findet diess nicht bloss bei Curven des zweiten; sondern bei Our- ven jeden beliebigen Grades statt; die vollständige Gleichung n^ Grades zwischen zwei Veränderlichen geht in gleicher Weise in die homogene Gleichung n^" Grades mit drei Veränderlichen über, denn die Anzahl der Glieder ist in beiden gleichmässig

(>»+i)(«+2) 1.2 • Beim Gebrauch dieser Dreilinien- Coordinaten ist es auch ein nicht gering

zu achtender Vorzug , dass man über drei Linien zum Vortheil der Einfach- heit der Untersuchung verfiigen kann , indess im Cartesischen System nur die möglichst zweckmässige Wahl zweier Coordinatenachsen frei ist- Als ein Beleg dafür kann die elegante Art dienen , in welcher dadurch der Be- weis der anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte geliefert werden kann. Es ist ein bekanntes und sehr fruchtbares Princip in der analytischen Geometrie , dass wenn 5=0 und 5' s= 0 zwei Oerter re- präsentiren, eine Gleichung der Form 5 = ArS* (wo k eine Constante) im- mer einen Ort darstellt, dem die jenen beiden Oertern gemeinsamen Punkte angehören; es ist von demselben schon im Vorigen Gebrauch gemacht wor- den. Nach ihm ist leicht ersichtlich , dass P. Q=^ 'R^ einen Kegelschnitt darstellt, welchen die geraden Linien P und Q tangiren, während B, die ent- sprechende Berührungssehne ist. Jrgend eine mit dem Kegelschnitt ver- bundene gerade Linie kann nun in Gliedern aus P, Q und B, ausgedrückt werden und diess geschieht im Grunde nach dem Princip des Systems der Dreiecks - Coordinaten* Wenn ftP = jß die Gleichung einer geraden Linie wäre, die irgend einen Punkt der Curve mit dem Punkte (P, Ä) verbindet, so ergiebt sich durch Einsetzen in die Gleichung der Curve

0 = |t»Äund|»2/>= jp für die Gleichungen der Linien, die diesen Punkt mit den Punkten (<P, Ä) und (P, Q) verbinden. Sicher werden zwei von diesen drei Gleichungen einen Punkt in der Curve bestimmen, man kann ihn nach der einzigen Ver- änderlichen, die zu seiner Bestimmung dient, den Punkt \i nennen. Wenn nun ft und fi^ zwei so bestimmte Punkte auf der Curve sind, so wird man die Gleichung ihrer Verbindungslinie erhalten:

f^^ti'— (^ + f*i)Ä^+i? = 0; denn diess ist eine Gleichung, die ebensowohl erfüllt wird durch die Vor-

Von W. FiEDLBR. 97

•uaBetsiuigen iiP-~ R und ^Rs=i Q für den Punkt ft, als anch durch die Mi^ = Ä und fijÄ = jp für den Punkt (i^. Hiernach drücken sich die Ver- bindungslinien von vier Punkten f*i, f^, f«3, fi4 eines Kegebchnitts mit einem fünften Punkte fi desselben folgendermaassen aus

(^iliP-B) + (Ö— fiÄ) = 0 fi3(fi/>— Ä) + {Q—iiR)^0 (i^iliP—R) + ((?— ^Ä) = o und das anharmonisofae Verhültniss dieser vier Geraden ist daher

d. h. unabhängig von der Lage des Punktes fi. Man hat daher den Satz : das anharmonische Verhältuiss des Büschels, welches durch Verbindung von Tier Punkten eines Kegelschnitts mit ir- gend einem fünften entsteht, ist constant.

Und ebenso leicht ergiebt sich die anharmonische Eigenschaft der Tan- genten; denn zunilchst geht die Gleichung der Verbindungslinie zweier Punkte fft und (i^ in die Gleichung der Tangente über, wenn ft und fc^ zu- sammenfallen, nämlich

Wenn aber in den Punkten f^i > f^ » 1^3 > f(4 feste Tangenten gedacht werden nnd ^ der Berührungspunkt einer beweglichen Tangente ist , so ist das an* harmontBche Verhältuiss, nach welchem diese von jenen geschnitten wird, mit dem des Büschels gleich, welches die Verbindungslinien der vier Schnitt- punkte mit dem Punkte (P, Q) bilden. Man erhält aber die Gleichung einer dieser Linien, wenn man aus zwei Gleichungen, wie

|»*P— 2|»Ä + 0 = 0 und ^j2/>— 2fti R + Q = o die Grösse R eliminirt, nämlich

flfl^P^Q=:0.

Das fragliche anharmonische Verhältuiss ist daher das der vier Linien ^iP— 0 = 0, fi(i^P—0 = 0, (iii^P—Q = o, iifi^P~Q = o

oder 66 gilt der Satz : Vier feste Tangenten eines Kegelschnitts treffen irgend eine bewegliche Tangente desselben immer in Punkten von demselben anharmonischen Verhältniss. Ich halte die zahlreichen an diese wichtigen Sätze sich anschliessenden Ent- wickelangen zurück» weil durch das Mitgetheilte das System der Dreilinien- Coordinaten für das Folgende ausreichend erläutert sein dürfte.

Die Idee der Dreipunkt-Coordinaten lässt sich ebenfalls sehr einfach an das gewöhnliche Cartesische System anknüpfen; denn wenn in demselben die Gleichung der geraden Linie geschrieben wird Ax-j-By+C^^Of

98 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

so ist durch die drei Ordssen A, B^ C (die sich allerdings auf zwei ünab- hftngige reduciren) die Lage der Linie vollkommen bestimmt; man könnte dieselben daher wohl die Coordinaten der Linie nennen. Wenn aber diese bestimmenden Coefficienten oder Coordinaten in der Weise veränderlich wären , dass sie immer durch eine Relation

(wo a, 6, c constant sind) verbunden bleiben, so geht die damit dargestellte bewegliche Gerade durch einen festen Punkt , denn wenn man zwischen beiden Gleichungen C eliminirt, so erhält man die Gleichung

A(x-^) + B(y-^) = 0

d. h. die Gleichung einer durch den Punkt x^ — ^y^^z — gehenden Geraden.

Darnach kann man sicher die Gleichung aA + bB + cC =- 0 Ale Gleichung dieses Punktes nennen und hätte darnach ein System, in welchem eine ge- rade Linie durch Coordinaten und ein Punkt durch eine Gleichung darge- stellt wird. Der Analogie nach muss dasselbe ein specieller Fall des wirk- lichen Systems der Dreipunkt -Coordinaten sein. Diess selbst ergiebt sich wie folgt.

Denkt man sich von zwei Punkten A und B auf eine gerade Linie Per- pendikel a und ß gefällt, so ist leicht zu erkennen, dass die Senkrechte von dem Punkte, der die Linie ^^ im Verhältniss l:m theilt,' auf jene

Gerade durch j^ ■ ausgedrückt wird ; in Folge dessen wird jede durch diesen Punkt selbst gehende Linie die Relation erfüllen müssen

la + mß = 0. Man darf diese somit als die Gleichung eines Punktes betrachten, der, in der Verbindungslinie der beiden Punkte a = o, ß = 0 liegend, dieselbe im Verhältniss von m:l theilt. Wenn nun der Punkt la + mß t= 0 mit y = 0 verbunden und die Distanz im Verhältniss n:l + m getheilt würde , so müsste die Senkrechte auf irgend eine gerade Linie durch den so gefundenen Punkt sein

Und wenn eine gerade Linie die Bedingung

/« + mß 4- »y = 0* erfüllt, so muss sie durch jenen Tlieilpunkt hindurchgehen. So repräsentirt also die Gleichung ersten Grades einen Punkt, indem sie zwischen den Drei- punkt-Coordinaten aller der geraden Linien besteht, welche durch densel- ben hindurchgehen. Man kann ihn nach dieser Gleichung sehr leicht eonstruiren; sind nämlich (in Fig. 3) ^, ^, C die drei Fundamentalpunkte, so findet man den durch die Gleichung /rf + m|3 + ny = 0 dargestellten

Von W. Fiedleb. 99

Punkt erstens: wemi man BC in B im Veiliältniss mm und AB im Verhält- nisfl n + m:l tbeili; zweitens: indem man CA nach dem Verhältniss l:n und ^i^naeh dem l + n:m theilt; oder endlich drittens: indem man AB nach dem VerhältniBs m:l und CF nach 1+ m:n theilt. Der letzte Theilpankt ist immer der Punkt 0., den jene Gleichung darstellt.

Diese Constructionen enthalten zugleich den bekannten Satz , diiss

BD CE AF_

DC EA' FB~^'

Die Gleichung des Punktes 0 kann auch durch die Flächeninhalte der ge- bildeten Dreiecke ausgedrückt werden:

• BOC.a + COA.ß + AOB.Y = 0\ und indem man die Dreiecksinhalte in Function zweier Seiten und des ein- geschlossenen Winkels einsetzt

tinBOC . ginCOA ^ , sin AOB

-öA^' « + -ö-T" ^ + —ÖC-' y = ^-

Einige Anwendungen und BrlHutentngen dieser Methode dürften nicht über- illlBsig sein.

Wenn zwei Punkte die Glcicbungea haben

/« + mj^ -1- »y = 0, ^a + m'^ + ny =?= 0, die zur Abkürzung durch fi =: 0, v =:: 0 Tortreten werden können, so be- zeichnet

. la + mß + ny , ta + mß + ny

A, — ; — j ; -f- If. —s — i ;; — r j — C= ü

einen Punkt, der die Entfernung der zwei ersten im Verhältniss B:A theilt und kurz ist durch (a + kv :=iO irgend ein Punkt in der Verbindungslinie der beiden ersten ausgedrückt. Die zwei Punkte fi-|*Arv = 0,|ti — kv =.Q bezeichnen Punkte, die die Linie ((iv) innerlich und äusserlioh in demsel- ben Verhältniss theilen ; demnach bezeichnen

li,v,fi + kv^(i—kv ein System von vier harmonischen Punkten einer geraden Linie. In gleicher Weise ist das anharmonische Verhältniss des Systems

(i,v,fi+kv,(i^iv das von k:l, und das des Systems

Es wird a + jJ =s 0 der Mittelpunkt der Linie AB^ tu — ß = 0 der unendlich entfernte Punkt derselben Linie sein; daher a — yz=^0 der nnendlioh entfernte Punkt der Linie AC und ß — y == 0 der von BC und diese dreiPunkte liegen in der durch a s= ß^=y dargestellten Linie, der u n • endlich entfernten Geraden; da8sa=s/}=y ihr Ausdruck sein müsse, hätte man schon aus der Betrachtung schliessen können, dass alle endlichen Punkte von der geraden Linie im Unendlichen gleichweit entfernt sein

j

100 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

müssen. Irgend ein Punkt im Unendlichen wird durch die Oleichung la+ mß +ny s= 0 bezeichnet, wenn zugleich die Bedingung 1+ m + n = 0 erfüllt ist; denn dann genügen die Coordinaten der geraden Linie des Unendlichen der Gleichung. Es ist femer klar^ dass drei Gleichungen wie diese l^ — m/3=:0; mß — ny=o, ny — 7a=0

dreiPunkte in geraderLinie bezeichnen. Diese Gleichungen liefern jetzt sogleich den wohlbekannten Satz, dass. wenn eine gerade Linie die drei Seiten eines Dreiecks ABC in den Punkten X, M, N schneidet, die Rela- tion stattfindet:

AM C/y ^jy_

MC' Lß' .VA

Man sieht schon aus diesgm Wenigen, dass zwischen beiden Coordinaten- Systemen vollständige Reciprocität stattfindet; dieselben Gleichungen, die dort zeigen, dass drei Linien sich in einem Punkte schneiden, sagen hier aus, dass drei Punkte in einer geraden Linie liegen. Wenn die Gleichungen

a + /J = 0,i5— y = 0, y+« = 0, als Gleichungen in Dreilinien-Coordinaten interpretirt, ausdrücken, dass die Halbirnngslinion irgend zweier Aussenwinkel eines Dreiecks sich in der HalbiruDgslinie des dritten inneren Winkels begegnen , so bedeuten sie als Gleichungen in Dreipunkt • Coordinaten , dass die Verbindungslinie der Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks der dritten Seite parallel ist.

Viele Sätze bedürfen bei Anwendung dieses Coordinaten-Systems kaum des Beweises; z. 6. dieHalbirungslinien der Seiten eines Drei- ecks schneiden sich in einem Punkte, nämlich dem or -f- /^ + 9^ = 0; denn dieser Gleichung genügen die Coordinaten der Linie von C nach der Mitte von AB, d. i. « -f- /J = 0, y = 0, ebenso wie die der Linie von A nach der Mitte von BC, d. i. /J-fyc=o, « = 0 und die der Linie von B nach der Mitte von CA, d. i. er + y = 0*^und ß =0.

Oder: die drei Winkelhalbirungslinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte. Denn der Punkt, wo eine dieser Halbirungslinien die Gegenseiten schneidet , kann , wenn a , fr , c die Seiten- längen, Cy Bj A die Winkel des Dreiecks bezeichnen , geschrieben werden entweder aa + bß=zO oder asinA + ßsin 5^=0,

weil die Gegenseite von der Halbirungslinie im Verhältniss der anliegenden Seiten getheilt wird. Die Gleichung

a« + bß + cy z^ 0 oder asinA + ßginB + ysinC == 0 genügt den Coordinaten der Verbindungslinie des vorher bestimmten Punk- tes mit der Ecke y und so nach ihrer symmetrischen Form auch den andern Winkelhalbirungslinien. Mit derselben Leichtigkeit beweist sich der Sats vom Durchschnitt der drei Höhen.

In Folgendem ist der Satz bewiesen: Die Mittelpunkte der Dia- gonalen eines vollständigen Vierecks liegen in einer gera*

Von W. Fiedler. 101

den Linie. Seien drei der Ecken Fundamentalpunkte, also ihre Glei- ebnngen «aso, /?==0, ^ = 0 und die der vierten Icc + mß+ ny = 0. Die Gleichung des Mittelpunkts einer Diagonale ist a + }^ = o; die des Mit- telpunkts der sweiten > ■ ^ ■

{l + m + n)ß + Qa+mß + ny) = 0. Die Gleichung des Durchechnitts der Gegenseiten A B and Ci) ist /ec + m /3 ;:= 0 und des von AD und BC,mß-\- nY = Q\ die Gleichung des Mittelpunktes der diese zwei Punkte verbindenden geraden Linie ist daher

^^^ + ^!!|^^ = Ooder(m + i.)(/« + m/J) + (/ + m)(«/J + «y)=0,

welches geschrieben werden kann

In (« + y) + ni[{l + m + n)ß + la + mß + «yj =0, . woraus man deutlich erkennt, dass die drei Mittelpunkte in derselben ge- raden Linie liegen.

Im Bereich der Curven erweist sich an Stelle des allgemeinen Princips, dass der Ort S ^=^kSf die gemeinschaftlichen Punkte der Oerter S = 0 und 5'= 0 enthält, hier das Folgende als gleich nützlich: Wenn (/=:0 und ir=0 die Gleichungen zweier Oerter in Dreipunktcoordina- ten bedeuten, so bezeichnet £/=:Ar£7' einen Ort, der von allen gemeinschaftlichen Tangenten jener beiden Oerter gleich- falls berührtwird; denn die Coordinaten jeder den Gleichimgen ^=0 und [/'=: 0 genügenden geraden Linie müssen auch die Gleichung 0=k ü' befriedigen. So bezeichnet dann aß'=ik. yd einen Kegelschnitt, der die vier Seiten des Vierecks beriihrt, dessen Ecken a, ß^ y^ d bezeichnen, und so aß = ky^ einen Kegelschnitt, der durch die Funkte a, ß geht und die Verbindungslinien dieser Punkte mit y zu Tangenten hat.

Wenn sonst eine Tangente als eine gerade Linie definirt wird, welche die Curve in zwei aufeinanderfolgenden Punkten schneidet, so wird im ge- genwärtigen System ein Punkt in ^er Curve als der Durchschnitt zweier aufeinanderfolgenden Tangenten betrachtet. Und daher ist ganz allgemein, wenn die Gleichung einer Curve aq>;=iy^^ wäre, immer a ein Punkt der Curve und die Linie, die ihn mit y verbindet, eine Tangente derselben. Es ist gewiss, dass alles früher in Bezug auf Kegelschnitte im System der Dreüinien - Coordinaten Entwickelte hierher passt, indem ohne Veräu- dernng des Rechnenwerks die Interpretation die des Systems der Dreipunkt* Coordinaten wird. Repräsentirt die Gleichung a ß =:=z y^ (analog dort P. Q=:R^) den Kegelschnitt, dem cc angehört und den (a, y) und (/), y) tangiren, so bezeichnen (in — y und ß — fiy irgend eine Tangente , und ft^a — 2iiy + ß = 0 bezeichnet den Berührungspunkt.

Wenn man in dem System der Dreiliuien - Coordinaten die Aufgabe Idst: Ein Dreieck ist-einem Kegelschnitt umschrieben; awei

102 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung«

Beiner Ecken bewegen sich in festen geraden Linien, es ist der Ort der dritten Ecke su finden; so entspricht ganz die näm« liehe Rechnung im Gkiste der Dreipunkt -Coordinaten der Aufgabe: Ein Dreieck ist einem Kegelschnitt eingeschrieben und zwei Seiten desselben drehen sich um feste Punkte; man soll die Umhüllungscurve der dritten Seite finden. Und in beiden Fällen ist die Antwort ein Kegelschnitt, der mit dem gegebenen eine doppelte Berührung hat, aber im ersten Falle in den beiden Punkten, wo die Tangenten vom Durchschnittspunkt der festen geraden Linien aus den Kegelschnitt berühren ; im zweiten in den Punkten, wo die Verbindungs- linie der beiden festen Punkte den. gegebenen Kegelschnitt schneidet.

Wenn die Aufgabe wKre, den Ort eines Punktes zu finden, der den Abschnitt der veränderlichen Tangente eines Kegel- schnitts zwischen zwei festen Tangenten desselben in einem gegebenen Verhältniss theilt, so möge y der Durchschnittspnnkt der festen Tangenten sein und die Gleichung des Kegelschnitts aß = k, y^. Dann bezeichnet fia := ky den Punkt, wo eine veränderliche Tangente die of, y verbindende Tangente schneidet, ß=:fiky dagegen den Punkt, wo dieselbe ß , / trifft und es ist nun

-^^(fia — ky) + rrr^d^ — ^^y) = o

die Gleichung des Punktes, der die Verbindungslinie dieser Punkte in dem gegebenen Verhältniss B:A theilt. Diese Gleichung wird, wenn man die Nenner entfernt und ordnet

1*2 (Ak€( + Bky) ~ (i^ [Aa + Bß + {A + R) k'^y] + Aky + Bkß^O.

Und um nun den gesuchten Ort zu erhalten , muss man die Bedingung bil- den , dass sie in ft gleiche Wurzeln besitze ; diese Bedingung aber und da- mit die Gleichung des gesuchten Ortes ist

4F {Aa + By) {Ay + Bß) = [^« +Bß + {A + B) k^y]\

Wenn man in dem System der Dreilinien- Coordinaten unterscheiden will, ob eine Curve zweiten Grades eine Hyperbel , Ellipse oder Parabel sei, so müssen die Winkel des Dreiecks aßy bekannt sein. In dem gegen- wärtigen System kann die Unterscheidung leicht allgemein vollzogen wer- den. Die Curve wird eine Parabel sein, wenn die Coordinaten der Linie im UnendHehen €c=sß = y der Gleichung in Dreipunkt-Coordinaten genih gen; und weil die Gleichung h(Hnogen ist, wird diess der Fall sein, wenn die Summe der Coefficienten Null ist; so stellt z.B. aß::=y^ eine Parabel dar und man sieht daraus sofort, dass das Product der Senkrechten von zwei Punkten der Curve auf eine Tangente dem Qua- drate der Senkrechten gleich ist, die man vom Pol der Ver- bindungslinie dieser Punkte auf dieselbe fällen kann.

Von W. FlEDLBR. 103

Um sn nntennchen, ob die allgemeine Gleichung

eine Ellipse oder Hyperbel darstellt, ist za zeigen, ob die Linie im Unend- lichen die Corvo in zwei reellen Punkten schneidet oder nicht; dazu wird man zuerst die Bedingung bilden, welche erfüllt sein muss, damit ein Punkt

la + mß + «y = 0 der Curve angehöre, dann diesen Punkt speciell als einen Punkt des Unend- liehen einführen, indem man /+ m = — n setzt und für /im auflösen; man wird damit die Gleichung der Punkte haben, wo die Linie im Unendlichen die Curve schneidet, und wenn man die Bedingung bildet, dass die Glei- chung in /;m reelle Wurzeln haben soll, so wird diess die Bedingung sein, dass die Curve eine Hyperbel sein soll. Man findet, dass die durch die all* gemeine Gleichung dargestellte Curve eine Hyperbel ist, wenn die.Coeffi* cientensumme

und die Function

AJ^ + CI^ + FB'^ — ACF—^BDE,

einerlei Zeichen haben. Wenn diese Grössen verschiedene Zeichen besitzen, so ist die Curve eine Ellipse. Ist die letztere Function gleich Mull, so ist die Gleichung in Factoren zerfallbar und reprftsentirt zwei Punkte.

Wenn man die allgemeine Gleichung des Kegelschnitts in der symme* trischen Form

a«^ + aß^ + «V + 2 6 jSy + 2 6V« + 2 b"aß = Q schreibt und zur Abkürzung durch S vertreten lässt, so drückt dieselbe Gleichung

im System der Dreilinien^Coordinaten die Polare irgend eines Punk- tes oß'y und im System der Breipunkt • Coordinaten den Pol irgend einer geraden Linie o ß^ y aus.

Denkt man im letzteren Fall diese gerade Linie im Unendlichen , so dass ihre Coordinaten a = ß' =^ y — was im ersten Falle dem Punkte im Unendlichen entspricht — so erhält man die Gleichung des Cent rums (denn es ist der Pol der imondlich entfernten geraden Linie)

dS dS dS

di'^ dß^ 5^ — ^'

und dieselbe Gleichung wird im ersten Falle die Gleichung eines Durchmessers sein, denn ein solcher ist die Polare eines unendlich ent- fernten Punktes.

Wenn z.B. der Regelschnitt einem Viereck eingeschrieben sein soll, von welchem drei Ecken die Fundamentalpunkte ci^ß^y sind, in- dess die vierte

l(t + mß + ny

104 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

kors durch i beseichnet wird, so ist »eine Gleichung

und sein Centrum mnss daher sein

a + y = k(ß + i)', woraus man ersieht, difss dasselbe immer in der geraden Linie lie- gen müss, die die Mittelpunkte der Diagonalen des Vierecks ▼ erbindet.

Diese Beispiele mögen genügen; nur das ist noch zu erörtern, wie in diesem Coordinatensystem nicht homogene GleichuDgen homogen gemacht werden können« Man darf voraussetsen , dass das Mittel dazu dem bei den Dreilinien-Coordinaten angewendeten ähnlich sein werde, dass es also hier bestehen wird in einer Relation zwischen den drei Senkrechten von den Eckpunkten eines Dreiecks auf eine gerade Linie. Ist also — indem wir Carte*sische Coordinaten in ihrer allgemeinsten Form anwenden

X cos S + y sin S + p =:0 eine gerade Linie , so sind

x^cos S + tfiSin ß + pi=ay X2eos S + y^'^ ^ + P^=ßi x^cos S + y^sinS + p==y^

und aus diesen Gleichungen werden S und p zu eliminiren sein. Indem man die erste dieser drei Gleichangen mit ^2 — ^3> ^^® zweite mit ^3 — y^ und die dritte mit y^ — yj multiplicirt und den doppelten Inhalt des Dreiecks

= ^1 O2 —y^) + ^2 (y^—yi) + ^3 d/i —yi)

durch M abkürzend bezeichnet, erhält man

McosB^a (yj— yg) + ß {y^ —y^) + y (y^—y^) und auf ganz analoge Weise

— Msin S = a{x^ — x^) + ß {ä:^—x^) + y(^i— 0:2) zwei Gleichungen, aus denen nun S aufs Einfachste versehwindet. Indem man in das Resultat der Elimination die Seiten des Dreiecks a, ö, c und seine Winkel Ä, B^ C statt der Coordinatendifferenzen und die drei Höhen p^y j»,» Ps für die Bezeichnung des doppelten Inhalts einführt, erhält man die folgende Gleichung

«* , ^ , _^ ^^ß^^O 'ißycotA 2yncosB

Pi" P^ Pa' PxPt PtPz PiPi ~ '

welche kurz Sls=: i

geschrieben werden mag. Mit Hilfe dieses Ausdrucks kann man jede nicht homogene Gleichung homogen machen ; man wird in einer solchen, wie z. B.

9>(Siyß,y) = consU zuerst durch Einführung irgend eines Factors z die Homogeneität herstellen und sodann diesen mit Hilfe der Gleichung z^=:Sl eliminiren.

Und hier ist nicht zu übersehen, dass diese Elimination von verschie- denem Erfolg ist, jenachdem die Constante in der Gleichung

Von W. Fiedler. t05

nur in geraden oder auch in ungeraden Potenzen enihaken ist; in jenem Falle ist die Oleichung nach der Elimination von demselben Grade wie vor- her, im andern Falle nachher vom doppelten Grade« So wird die Oleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt lu +mß + nyszso nnd dessen Halb- messer r ist

l + m + n ' ~ ' indem man sie homogen macht, zu dieser

(/« + mß + nyY = r^(l+m + n)'^ Ä; der Kreis ist also eine Curve der zweiten Klasse. Dagegen ist eine Curve

aßy=zconsL von der sechsten Klasse, denn sie wird durch die Einführung von Sl zu

Und wenn man jetzt endlich untersucht, welches die Bedeutung der Gleichung

— ^ IL JL JL ^fißcosC 2ßYcosA 2yacosB .

Pi* P^ Pi* PiPt PtPi PiPi

ist, so hat das den nämlichen Sinn und Erfolg, wie die entsprechende Unter- suchung bei denDreilinien-Coordinaten. Die Gleichung scheint znnächsteine Curve zweiter Klasse zu sein, allein sie zerfällt näher betrachtet in Facto- ren und bezeichnet zwei Punkte. Augenscheinlich ist , dass es keine end- lichen Punkte sein können, da man für alle diese immer A =: l hat. Ihre nähere Kenntniss ist aber nach dem Mitgetheilten leicht zu erlangen, denn wären diese Factoren kurz o, o , so ist die Gleichung eines Kreises vom Mit- telpunkte i in homogener Form

nnd man erkennt nun, dass 0,0' die zwei Punkte darstellen, wo die vom Centnun i an den Kreis gezogenen Tangenten ihn berühren, oder die zwei Punkte eines Kreises, in denen er die unendlich entfernte gerade Linie schnei- det*). Und so gelangt man zu der Einsicht, dass die Auffassung des Car- tesischen S7stems in dem Sinne der Tangential-Coordinaten etwas darin ▼om System der Dreipunkt-Coordinaten Abweichendes geben müsste, dass dort nur einer der drei Fundamentalpunkte endlich und reell erscheinen würde.

Ich schliesse hier die Entwickelung dieser Coordinatensjrsteme, auf de* reu Benutzung das Folgende gegründet ist; wenn sie etwas lang erseheint, 80 entschuldige man diess mit dem Wunsche, eine 'möglichst abgerundete und selbständige, will sagen von Citaten und dergleichen unabhängige Dar- stellung zu gehen. Dieselbe dürfte gerade dadurch um so gerechtfertigter erscheinen, als es keinem Kenner der deutschen Geometrie bis hierher ent-

*) Von diesen Punkten des Kreiset im Unendlichen und ihrer Bestimmung han- delt Chaslei, Trait^ de g^om^trie siip^rienre art. 651 und henachharte mit besonderer Deatliohkeit.

1 06 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung«

gangen Bein kann, dass bei aller Selbständigkeit der Darlegung die beiden erörterten Cocnrdinatensyfiteme selbst der zu Grunde liegenden Idee nach nicht wirklich neu sind; beide sind sie offenbar nicht wesentlich ver- schieden von dem System der Fundamentalpunkte und Fnndamentallinien — ich habe diese Namen absichtlich schon im Vorigen gebraucht, von der eng- lischen Bezeichnung abweichend — durch welches vor dreissig Jahren Herr Prof. MöbiuB zu einer so glänzenden Reihe geometrischer Entdeckungen gelangte. Wenn die rein geometrische Entwickelung und Durchführung und die klare Entgegensetzung der darin enthaltenen Systeme als Punkt-Coor- dinaten und Tangential- Coordinaten dem englischen Autor eigenthümlich erscheint, so zeigen die Entwickelnngen des gedachten klassischen deut- schen W Aks, dass sein berühmter Verfasser sich die Vorthoile dieser Beci- procität nicht entgehen liess. In der vollen Betonung dieser Umstände schmä- lert man, wie mir scheint, nicht im Entferntesten das Verdienst des eng- lischen Autors; und ich muss hinzufügen, dass aus Salmon^s Werken, so weit ich dieselben kenne, zwar eine sorgfältige Beachtung der Arbeiten der neueren deutschen Geometer (Cr eile 's Journal), aber nirgends sonst gerade eine genauere Kenfttniss der Arbeiten des Herrn Prof. Mob ins hervorleuch- tet ; vielmehr sagt derselbe in einer Note, dass sein System der Dreipunkt- Coordinaten ihm nach einem flüchtigen Ueberblick mit der Methode des barycentrischen Calculs zusammenzufallen scheine.

Und so gellt aus dem Allen ^ie für jeden deutschen Freund der Geo- metrie erfreuliche Wahrnehmung hervor, dass die wissenschaftlichen Ideen eines ihrer Vertreter noch immer auch im Auslande in fruchtbringender Wirknngsffihigkeit sich bezeugen; diess kann Salmon's ausgezeichnetes Werk beweisen, wie es — übrigens gleichzeitig — Ghasles's TrailS de geom. sup. allen Einsichtigen in überraschender Weise gezeigt hat. Und die volle Selbständigkeit der genannten Geometer thut dieser Freude keinen Eintrag.

Pole und Polaren.

Wenn eine Curye w'" Grades zuerst dargestellt wird durch die Glei- chung in der Form

A + Bx+Cy + Dx^ + Exy + Fy^ +

so geht dieselbe durch Einführung von Polar-Coordinaten, d.h. durch Snb- • stitution von i(cos% und ^ ^m 9 für o; und y in die neue Form über ^ + e {^^09 0 + Csin 0) + Q^ [pcos^S + Ecos 0sin0 + Fsrn^0) +

Q^{Geo^0+ )+ =0.

Man hat nun den wichtigen ven Cot es in seiner Harmonia mensurarum gegebenen Satz: Wenn man in jedem Radius vector, der von ei- nem festen Punkte 0 ausgehend, eine Curve tf^ Grades in den Punkten i?|,/^2*** schneidet, einen Punkt A so wählt, dass

Von W. FlEDLBR. 107

OH OR^ ^ OH^ ^ OR^^

80 ist der Ort von R eine gerade Linie,

Denn wenn man 0 zum Coordinatenanfang wählt, so ist die Gleichung, welche 0R^^0Jt2'*' hestimmt, von der Form

+ (D co8^ + E cos Ssm S + Fsin^9)'^ + . .., = 0

Darans ergiebt sich sofort

n Rcos9 + Csin9

0R~ A

oder, indem man zn gewöhnlichen ar,^-Coordinaten zurückkehrt, ^

Bx + Cy +«^ = 0.

Anf diese gerade Linie, der Polare im Falle der Kegelschnitte analog, die auch, der Ort der harmonischen Mittel der Radien vectorea durch einen gegebenen Punkt ist, kann man den Gebrauch der Worte Pol und Polare ausdehnen und sie die Polarlinie des Anfangspunktes der Coordinaten nennen*

£. deJonquiires schreibt, wie Salmon gleich nachher anch^ die Gleichnng dieses Ortes in der Form

J L + J L + J L+ -0

OR QRi ^ OR OR^ ^ OR OR^ ^ ' "

oder kürzer

[oR ok:)—^'

und schliesst, dass er eine gerade Linie bedeute, daraus, dass diese Glei- chung 0^ nur im ersten Grade enthält, also dem Punkte R auf jeder Trans- versale nur eine einzige Lage anweist, von der zugleich leicht zu sehen ist, dass sie nicht in 0 selbst sein kann, weil , wenn OR Null wäre, auch eine der Grössen OR^ es sein müsste, d.h. 0 selbst in der Curve läge, was nicht vorausgesetzt ward.

Auf ganz einfache Weise büdet man nun Polarcurven höherer Ordnung. Man setzt den Ort

\^ 9\/ \9 9t/

und fragt nach seiner Bedeutung. Die Zahl der Glieder in dieser Summe

ist die Anzahl der Combinationen zu zweien von n Dingen , also = "~ » so viel mal wird in jener Summe -y vorkommen , der Coefficient von — wird werden ~ (w — l) ^ ( — ) und daher wird obige Gleichung des Ortes gleichbedeutend sein mit der folgenden

108 Die Theorie der Pole und Polaren bei Carven höherer OrdniiDg.

Offenbar stellt sie einen solchen Kegelschnitt dar, dass das harmonische Mittel der Entfernungen vom Coordinatenanfang 0 zom Kegelschnitt gleich dem harmonischen Mittel der Entfernungen von 0 zur Curve ist' und der reciproke Werth des Products seiner Entfernungen vom Kegelschnitt gleich dem mittlem Product der Paare der reciproken Werthe seiner Entfernun- gen von der Gurve. Man kann denselben die konische Polare des Coor- dinatenanfangs nennen. Seine Gleichung erhält man, wenn man aus der * Oleichung der Curve fClr

ihre Werthe einsetzt; sie ist demnach

2 9«+^'**^ A . 9^ ^ A

Mit demselben Bechte wie vorher schliesst natürlich der französiache Mathematiker aus der Gleichung

\0H ohJ \oh ohJ ' dass der Ort von R nur ein Kegelschnitt sein kann, weil die Grösse OR nur im zweiten Grade in der Gleichung auftritt und R nicht mit 0 selbst zusam- menfallen kann, so lange 0 nicht der Curve angehört.

Es ist also eine dem Satze von Cotes analoge allgemeine Eigen- schaft geometrischer Curven, dass der durch die entwickel* ten Gleichungen dargestellte Ort immer ein Kegelschnitt ist.

Und so lässt sich die Polarcurve irgend einer höheren Ordnung k bil- den, wenn man die Gleichung setzt

Dieselbe ist gleichbedeutend mit

n(n-l).,..(n^k+i) A Y — (»-!) - ■ « ■ («-^+1) (±Y'' y {l\ 1.2....* \qJ 1.2....(ä-1) V^/ \^i/

^ l.2....(Ä-2) \qJ \9i9J

welche eine Curve A'*" Grades bedeutet, die folgende Eigenschaften besitzt (wenn immer OR einen Radius vector der ursprünglichen Curve und Or der Polarcurve bezeichnet)

n "^OHi k t>rj' 1.2 ^ 1 ' 1.2 ^ 1

n(n-l) Oä, .ÖÄ, Ar(A— 1) Or^ . Or,' 1.2.3 ^ l 1.2.3 „ 1

U. 8. W.

^ n(n— l)(n— 2) OH^.OR^, 0 R^ A?(A— 1) ^A:— 2) Or, .Or,.Ora

und man erhält die Gleichung dieser Polarcurve durch Einsetzen der Werthe für die Ausdrücke i^aus der gegebenen Gleichung der Curve, wie folgt:

Von W. FlEDLEK. lOÖ

i^'-m"

BcosS + CsinG A

k{k—l) /_L\*-* Dcos^e+EcosGsinB+Fsin^B ,

+ n{n--l)\q) A "^

oder wie Salmon sie kurz schreibt:

Man hat somit eine anbegrenzte Anzahl von Sätzen, die dem von Cotes analog sind.

Ans der Art, in welcher diese Gleichungen gebildet worden sind, folgt sofort, dfiss die Polarlinie des Coordinatenanfangs in'Bezng auf alle diese Polarcurven dieselbe ist, denn das harmonische Mittel der Radien vectorei^ ist für alle diese Curven dasselbe ; dass eben so d i e conische Polare des Coordinatenanfangs für alle die Curven unter jenen, die den zweiten Grad übersteigen, dieselbe ist, weil der mittlere Werth der Producte der Paare reciproker Werthe der Ent- fernungen vom Coordinatenanfang für alle diese Curven derselbe bleibt, und dass ganz allgemein irgend eine der Polarcurven des Coordina- tenanfangs auch in Bezug zu allen seinen andern Polarcur- ven höherer Grade eine Polarcurve desselben ist,

E. de Jonqui^res beweist diese merkwürdige Eigenschaft für den folgenden speciellen Fall : die conische Polare eines Punktes im Verhältniss sn einer Curve vierter Ordnung ist zugleich diiB conische Polare dieses Punk- tes bezüglich der im Verhältniss zur gegebenen Curve genommenen cubi- sehen Polare desselben Punktes. Aus der Gleichung

\0R orJ \or orJ

folgt nämlich, dass die zwei Werthe von OR^ die einer beliebigen Trans- versale Oi?|7?2'^3^4 entsprechen, die beiden Wurzeln der Gleichung sind:

J, OR^ (ÖÄi . OÄj + OÄi . Oi?3 + OR^ . OR^ + OR^ . OR^ + OR^ . OR^ *f

OÄ3 . OR^—^OR {OR^ . OR2 . Öi?3 + OR^ . OÄ2 . OÄ4+ OÄi . OÄ3. Oi?4

-f OR^.OR^ . OäJ+ö ORy . OR2 . OÄ3 . OÄ4 = 0.

Seien nun Or, Or^, Or^ die drei Werthe des Radius vectors der cubischen Polare des Punktes 0 auf derselben Transversale, so werden die beiden Werthe des Radius vectors der conischen Polare von dieser Curve dritter Ordnung die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades sein

'OP iftr + Or^ + Or^ — ^OP {Or .Or^ + Or. Or^ + Or^ .fir^)

Und Wenn man in dieser die Coefficienten durch die aus der Gleichung

^ \ÖR ~ ÖrJ \0R "" OWj \ÖR ~ OrJ ~ ^' ZeitMhrin f&r Matheroalik u. Physik. IV. 8

110 Die Theorie der Polo und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

welche die cubische Polare darstellt, entnommenen Wertbe ersetzt, so erhält man eine mit der Gleichung A identische Gleichung. Also sind die Werthe von OR und OP dieselben und die beiden conischen Polaren decken sich. Der Autor bemerkt dazu noch: dieser Beweis lässt sich ebenso auf jeden spe- ciellen Fall anwenden. Er besteht in einer einfachen Bewährung, die zwar beschwerlich aber nicht schwer ist, weil sie nicht die Bestimmung der Wur- zeln der aufeinanderfolgenden Gleichungen, die die Werthe der Kadiep vectoren der verschiedenen Polaren liefern, selbst erfordert, sondern nur die Kcnntniss der Summe der Froducte dieser Wurzeln zu einen, zweien, dreien U.S.W. genommen, Producte, die unmittelbar durch die Coefficienten dieser verschiedenen Gleichungen gegeben sind. — Gewiss bleibt die wirkliche Durchführung dieser Schritte von einer beschwerlichen Langwierigkeit.

Durch diesen merkwürdigen Zusammenhang werden alle Polaren der- selben Ourve und desselben Punktes zu einer wahren Familie der Polar- curven vereinigt.

Wenn der Punkt 0 in unendlicher Entfernung ist, so ändert sich die Form der definirenden Gleichungen

■ .(i-J-)=..e..(^-^) = .

-(7-7) (i- Jr)=-^'- fe-^) fe-sk) =»»-•

die man offenbar auch schreiben kann

^ /_ß^j_\ ^ ^ /_R ÄL. _J?A_.Wousw

wegen der Gleichheit aller Nenner, die darin vorkommen, in diese :

Z(Ä/?,)=0, 2:(Äi?i.ÄÄ2) = 0, 2'(/?i?i.ÄÄ2.ÄÄ3) = 0u. s. w., und diese Gleichungen besagen: die Polarlinie des unendlich ent- fernten Punktes besitzt die Eigenschaft, dass die Summe al- ler zwischen der Curve und ihrer Pplare auf den parallelen Sehnen, die nach ihm hingehen, liegenden Abschnitte ver- schwindet; seine Qonische Polare besitzt dieselbe Eigen- schaft hinsichtlich der Summe der Producte der paarweis genommenen Abschnitte u.s.w.

Seit Newton heisst die gerade Linie, die fiir ein System paralleler Sehnen der Ort der Centra der mittleren Entfernungen der n Punkte ist, wo , jede derselben die nämliche Curve n^ Ordnung schneidet, der dem gegebe- nen System paralleler Sehnen entsprechende Durchmesser der Curve. Und es grjindet sich dabei der Name ,4^entrum der mittleren Entfernung" auf den Umstand, dass, wenn man von irgend einem Punkt einer solchen Sehne aus nach den Punkten der Curve Radien vectoren ^1, (>2j ^3 • • • ?• zählt und den nach dem entsprechenden Punkte des Durchmessers 9 nennt, im- mer die Relation stattfindet

Von W. Fiedler. Hl

^ (Q — Qi) = 0, oder «^ = 2* (^j) oder ^ = ^^.

Genau diese Belation geht auch aus den obigen Formeln hervor, so weit sie sich auf die Polarlinie beziehen; aus den gegebenen Eritwickelungen folgt also unzweifelhaft, dass die Polarlinie eines Punktes in un- endlicher Entfernung der Diirchmesser des Systems paral- leler Sehnen ist, welche nach jenem Punkte gerichtet sind.

Es folgt aber auch daraus, dass jener New tonische Begriff des Durch- messers in der Art zu erweitern ist, dass es auch krummlinige Durch- messer*) giebt. Eine Curve n'*' Ordnung hat krummlinige Durchmesser aller Ordnungen bis zur (« — j)**". Der krummlinige Durchmesser irgend einer Ordnung ist identisch mit der Polarcurve der nämlichen Ordnung von dem unendlich entfernten Durch- schnittspunkt des Sehnensystems, dem die Diametral-Curve entspricht.

Es ist gewiss, dass zwei Punkte die gerade Polare bestimmen, und da- her auch sicher, dass wenn zwei gerade Linien durch 0 zwei Curven in den- selben Punkten Ä^, Äj • • • '^n ^2 • • • schneiden, die Polare von 0 in Bezug auf beide Curven dieselbe sein wird, weil zwei ihrer Punkte R und S für beide dieselben sind. Diess wird gleichmässig wahr bleiben, wenn die zwei Linien 07^, OS zusammenfallen, d.h. Wenn zwei Curven n**" Grades einan- der in fi Punkten einer geraden Linie berühren, so wird die Polare irgend eines Punktes in dieser geradenLinie für beide Curven dieselbe sein, man muss daher, Venu irgend ein Radius vector durch einen solchen Punkt beide Curven schneidet, die Relation haben

OR Or

Von diesem Satze ist ein specieller Fall das Theorem von Maclaur in: Wenn man durch einen Punkt 0 eine gerade Linie zieht, die eine Curve n*~ Grades in «Punkten schneidet und in diesen Pnnk'ten Tangenten an die Curve legt, dann aber durch 0 eine andere gerade Linie legt, die die Curve in Ä|, ^2-" ^^^ jenes System von Tangenten in r^, rj... durchschneidet, so besteht die Relation

'^OR — '^Or'

Und davon ist endlich Newton 's bekannter Satz ein specieller Fall: Wenn eine Sehne eine Curve und ihre Asymptoten schnei- det, 80 ist die algebraische Summe der Abschnitte zwischen der Curve und ihren Asymptoten gleich Null.

Allein in dem Bisherigen ist der Punkt 0, dessen* Polaren man aus- drückte, noch immer als Anfangspunkt der Coordinaten vorausgesetzt wor-

*) Diesen Begriff hat, go vlel4ch yreiss. Gramer eingeführt.

8*

Il2 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curveii höherer Ordnung*

den; diese specielle Voraussetzung ist aufzugeben. Gewiss könnte man dazu durch eine einfache Coordinatentransformation gelangen ; allein S a 1 - man zieht es vor, eine allgemeinere mehr symmetrische und für Anwen- dungen geeignetere Methode anzuwenden, in deren Entwickelung ich ihm nun folge. Er gebraucht Dreilinien - Coordinaten und bezeichnet dieselben durch X, y, z.

Die Gleichung der geradlinigen Polare ward gefunden, indem man die Gleichung

\<i oiJ \0ä . orJ

bildete, die man mit Hinweglassung des Überall voihandenen Factors im Nenner schreiben darf

Die Gleichung der conischen Polare wird dem entsprechend ausge- drückt durch

<i-i)a-i)=°^-(§*t4t)=»

die der cubiscfaen durch

Wenn man dann die Gleichung bilden kann , deren Wurzehi

? 2 VI. St W.

OH,' OÄ, sind, d.h. die Verhältnisse, in denen die Linie OR durch die n Punkte ge- theilt ist, wo sie die Curve schneidet, so würde der Coefficient des zweiten Gliedes dieser Gleichung, indem man ihn gleich Null setzt, die Gleichung der geradlinigen Polare liefern; der Coefücient des dritten Gliedes, der die Summe der Producte jener Wurzeln, paarweise genommen, ausdrückt, würde in derselben Weise die Gleichung der conischen Polare liefern u. s. w.

Eine solche Gleichung kann aber leicht gebildet werden; wenn nämlich oTj , yi , Zi die Coordinaten von 0 und a:,y, z die von R sind, so sind die Coor- dinaten eines Punktes R^^ welcher die Länge OR im Verhältniss l:(i theilt,

te = t) ausgedrückt durch «i£L+^, m±^y S^t^.

Wenn nun der Punkt R^ in der Curve ist, so müssen dies^ Werthe der Glei- chung der Curve genügen. Und' man kann dabei wegen der Homogeneität der Gleichung in xyz den gemeinsamen Nenner ii + X weglassen, lernt aber aus dem allen, dass man durch Einsetzen von (ix^ + lx^ f^^i + ^y» fiZj + ilz statt x^y^z in die Gleichung einer Curve

9)(a:,y,«) = 0 eine Gleichung des n^ Grades in (i:k erhalten wird , deren Wurzeln die Verhältnisse geben, in welchen die Linie OR durch jeden der n Punkte ge- theilt wird, wo sie der Curve begegnet.

Von W. Fiedler. 113

Und wenn man nun or, y, z, die Coordinaten von R^ veränderlich denkt, 60 liefern die CoeMcienten dieser Gleicbnng in -j , gleich Null gesetzt , die Gleichungen der verschiedenen Poiarcurven des Punktes 0 in Bezug auf die gegebene Curve. Die Differentialrechnung erlaubt, das Resultat dieser Sub- stitution einfach zu schreiben, denn für irgend eine Function von drei Ver- änderlichen liefert das Taylor'sche Theorem den Ausdruck

dy* ^ dz* ^ dxdy ' dy dz ^ dz dxj ^

und durch Einsetzen von ^ für Ä, ^ für k und ^ für / in diese Glei- chung muss man das Resultat der Substitution von /itarj + X.r, jityj + Ay, ^r, -1- Az für X, y, z in die Gleichung g? (ar, y, r) t=: 0 erhalten.

Wenn man zur vorläufigen Abkürzung des ohnediess noch zusammen- gesetzten Ausdrucks durch IT == 0 die ursprüngliche Gleichung und durch [ü]^=0

die transformirte bezeichnet, so erhält man das Resultat in folgender voll- kommen symmetrischen Gestalt :

+ . . . +

1.2

["(S),+''te).+"(S),+-'(^), +'-(^),+-'te),]

wobei ( — ) ( ^ ) ^- s. w. das Resultat der Substitution von x^, y,, z^ \dx/ 1, \dü^y 1

statt X, y, z in die Ausdrücke ^, J^"^' ^''^' bezeichnen.

Durch den Gebrauch von Operationssymbolen kann dieser Ausdruck wesentlich abgekürzt werden. Wenn J die Operation

rf , d , d

bezeichnet, so hat das Zeichen J^ den Sinn

('. h +<" f. + " Ä)' = "■ Ä + »■■ $ + "'Ä + ' " " JAP

114 Die Theorie der Pole lind Polaren bei Curven höherer Ordnung.

nnd man kann durch J^, J^, J^ u. s.w die Formen

{^^d^+y^d-y + "i dz) » (*^l di + y^dy+'^ Tz) «• «• ^- darstellen, diese selbst auf die in der Differentialrechnung gebräuchliche Weise verstanden. Um forner die Coordinaten der Punkte zu unterschei- den, welche in diesen Formeln vorkommen, kann die folgende Bezeichnung dienen

* ^ dx^^^ dy^ ^dz' * Vrf.r/i -^ Vrfy/i \dz/i,

SO dass der dem J angehängte Index sich auf die Coordinaten bezieht,

welche die Differential- Coefficienten multipliciren, dagegen der dem Ü an-

dU dx

gehängte besagt, dass die entsprechenden Coordinaten in -^ u. s. w. ein- gesetzt seien. Darnach würdj^ dann z. B. J^ t/^ bezeichnen :

oder dasResultat der Substitution von x^^y^^ ^2 ^^ ^1 ^1 ^2 ^1 dagegen würde das Resultat der Substitution derselben Coordinaten Xj , ^2 t ^2 ^^ ^ ^\ ^^^* drücken. In gleicher Weise werden die Symbole /l^ U^ und J^ ü verständ- lich sein und so die übrigen. Das allgemeine Resultat kann dann wie folgt geschrieben werden

A«(7 + A-V (^, 0) +. ^!|! (//i' ü) + i^ (^,» ü) + ....

Diese Gleichung giebt, wenn die Punkte 0 {x^^ y^ , Zj) und Ä (x,y, z) bekannt sind, die Coordinaten der n Punkte, wo OR die Curve schneidet, nämlich wenn A^ : fij eine der n Wurzeln der Gleichung ist, die Coordinaten A, a; + fti xx ity + ^i!/i ItZ + fLjZj \+i^i ' ^1 + ^*1 * Aj + f^i *

Weil nun j = ^ und das Product aller der Wurzeln j der Gleichung

= ^ , so hat man

/?/?! . RR^ ./?/?, ^

O/U . 0/^2. Oli^ L\'

d.h. das stetige Product der auf einer gegebenen geraden Linie von einem Punkt bis zur Curve gemessenen Entfernun- gen ist dem Resultat der Substitution der Coordinaten die- ses Punktes in die Gleichung der Curve proportional, welches ein Satz von Newton ist.

Da nach der allgemeinen Theorie der Gleichungen

und die Gleichung der geradlinigen Polare gefunden wird, indem man setzt

Von W. Fiedler. 115

8o ist die Gleichung der geraden Polare des Punktes oe^^y^^ z^ allgemein Eben so ist die Gleichung der coniscben Polare desselben Punktes

- ".=" (S), +V (0), + '' (S), +-» {£%),

Und so kann man in derselben Art die Gleichungen der Polarcurven höhe- rer Ordnungen schreiben. Jene letzten Glieder der allgemeinen Gleichung, die den ersten symmetrisch sind, lehren die Gleichungen der Polarcurven der höchsten Grade kennen ; dadurch ergiebt sich die Gleichung der Polare des (« — 1)**° Grades in den Formen

J-^ü^=^0 oder z/j ü=(e. ^ + y.^ J^ z. ^=0

* * ^ dx ^^ dy ^ dz

die des (n — 2)'*" Grades ist

J^'^ U^=0 oder J^^ U= 0 u. s. w.

Die Polarcurve des (n — l)'*" Grades, deren Gleichung gefunden wird, indem man die Operation ^^^ (/^ vollzieht, nennt Salmon die erste Polare; darauf die Polarcurve (n — 2)^" Grades, bei welcher man dieselbe Operation doppelt vollziehen muss, die zweite Polare u. s.f.; darnach wird denn die Polare ersten Grades oder die gerade Polare nichts anderes als die (n — !)*• Polare sein.

Und auch in dieser allgemeinen Entwickelung ist aus der Art, in wel- cher diese Gleichungen gebildet sind, vollkommen gewiss, dass die Polar- curve irgend eines Grades auch in Bezug auf alle diejenigen Polaren des nämlichen Punktes, deren Grad den ihrigen übersteigt, eine Polarcurve die- ses Punktes ist. Das Symbol für diese Eij^onschaft, für die Familienzu- samracngehörigkeit äer Polaren ist der Ausdruck

Die gewonnenen so sehr symmetrischen und einfachen Ausdrücke der allgemeinen Auflösung, Folge der zweckmässigen obgleich ganz allgemei- nen und unabhängigen Wahl des Coordinatensystcms, zeigen sich alsbald nützlich in der Untersuchung weiterer Eigenschaften der Polaren.

Die Gleichung

'(s),+«(^),+<ö,=»

drückt eine Relation zwischen x^ y, 2, den Coordinaten irgend eines Punktes der Polarlinie, und denen x^^y^j z^ des Pols derselben aus. Wenn man sich nun den ersten Punkt fixirt und den zweiten veränderlich denkt,^ so muss offenbar der Ort des letzteren Punktes sein /^^\ Tir> ^'^^^^

116 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

dU . dU _, dU ^2rf^ + y^^+ ^2-77 = 0

und diese einfache Ergehniss, richtig gedeutet, heisst offenbar: Der Ort aller der Punkte, deren geradlinige Polaren durch einen gegebenen Punkt gehen, ist die erste Polare dieses Punktes.

Man sieht wohl ,. dass dieselbe Reciprocität der Ausdrücke, wie sie zu der eben ausgesprochenen Beziehung zwischen^er geraden und der ersten Polare führt, auch zwischen der conischen und zweiten, der cubischen und dritten Polare besteht und dass man daher eine ganze Reihe von Sätzen hat, die dem zuletzt ausgesprochenen entsprechen und deren erster lautet : Der Ort aller der Punkte, deren conische Polaren durch einen gegebenen Punkt gehen, ist die zweite Polare dieses Punktes.

Jene Beziehung zwischen der geraden und der ersten Polare erlaubt die Beantwortung der Frage: Wie viel Pole entsprechen einer ge- raden Linie bei einer Curve w*'" Grades?

Man hat nur nöthig, zwei Punkte in der geraden Linie zu betrachten; die Pole aller durch den ersten Punkt gehenden geraden Linien liegen in einer Curve (n — l)*^ Grades

dU . dU , du

und desgleichen die Pole aller geraden Linien durch einen zweiten Punkt

in der Curve

dU , du , du

Die Polo der Verbindungslinie beider Punkte müssen offenbar in diesen beiden Curven zugleich liegen, also die Durchschnittspunkte zweier Curven (n — !)'•■ Grades sein; ihre Anzahl ist daher (n — 1)^. Eine gerade Linie hat also in Bezug auf einen Kegelschnitt einen Pol, in Bezug auf ^ine Curve dritten Grades deren vier, in Bezug auf eine Curve vierten Grades neun u. s. w.

Dasselbe Resultat Ifisst sich auch so aussprechen: Die ersten Pola- ren aller Punkte einer geraden Linie gehen durch diesel- ben (n — l)^ Punkte, nämlich durch die Pole dieser geraden Linie.

Es ist klar, dass auch dieser Satz nur einer ist von einer ganzen Reihe von Sätzen , die ihm. analog sind.

Wenn der Punkt, von dessen Polaren man handelt, in der Curve selbst liegt, so fuhrt die Theorie abermals zu wichtigen Ergebnissen. Wenn die allgemeine Gleichung der Curve in Cartesischen Coordinaten durch Zusammenfassung der Glieder gleicher Ordnung unter den beigefügten Ab- kürzungen wie folgt geschrieben wird

Von W. Fiedler. 117

A

(«2) 0, •

+ Px- + Qx^^y + + Rxy^^ + Sy^] <«,) ,

nämlich Wo + «'i + •'2 +••• + "•. = 0»

so kann die Gleichung der ersten Polare des Coordinatenanfangs unter der Form • Mi + t/o« = 0

geschrieben werden; wenn daher der Coordinatenanfang der Curve selbst angehört, so geht diese Gleichung über in u^ ^=^ 0 und ist nach deren Be- deutung zu fragen.

Am klarsten wird dieselbe, wenn man die obige allgemeine Gleichung nnter der Voraussetzung ^ =^ 0 in Polarcoordinaten umsetzt ; sie ist dann Q{BcosS + Csin S) + q^{I)cos^S + EcösSsin S + Fsin^S)

+ Q^(Gcos^e+ )+.... = 0

nnd an die Stelle von t^| = 0 tritt damit

Q {Bcos 9 + CsirtB) = 0 oder BcosS + Csin&=^ 0. Damit gewinnt aber jene altgemeine Gleichung die Form

if^{Dcos^9 + EcosSsinS + Fsin^S) + g^{Gcos^e+ffcos^Ssin Ä + )

+ =0

welche durch ^^ theilbar ist, also zwei Warzein p = 0 besitzt, und es muss daher die durch den Coordinatenanfang gehende gerade Linie

Bcos 9 + Csin 6 = 0 oder Wj = 0 mit der Curve in diesem Punkte zwei zusammenfallende Punkte gemein ha- ben, also ihre Tangente im Coordinaten- Anfangspunkt sein (sofern dieser nicht einer der merkwürdigen Punkte der Curve ist, wovon nachher). Es erweist sich also die geradlinige Polare eines Punktes in der Curve unter diesen besondern Voraussetzungen als die Tangente der Curve in diesem Punkte.

Und auch hier ist die allgemeine Entwickelung productiver. Die all- gemeine Gleichung einer Polarcurve irgend eines Punktes x^ y, z^ ist mit Benutzung der Operationsflym>>olo ^ '

(d , d , fiV TT ..

nnd diese reducirt sich für den Coordinatenanfang wegen x^= 0, yic=:Oauf

d^l/ dz^' Wenn aber hierzu die allgemeine Gleichung als

118 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

voransgesetst wird, so ist klar, dass in dem Resultat jener Differentiation noch immer u^ die niedrigsten Glieder in x und y repräsentiren wird ; ^aher dieselbe Folgerung wie vorher. Man hat daher die Sätze:

Die geradlinige Polare eines Punlttes der Curve in Bezug auf dieselbe ist die Tangente derselben in diesem Punkte.

Alle Polaren eines Punktes der Curve in Bezug auf die- selbe berühren die Curve in diesem Ppinkte.

Und dann schliesst sich nach dem Satze, dass die erste Polare der Ort aller der Punkte ist, deren gerade Polaren durch einen festen Punkt, eben den Pol der ersten Polare, gehen, sofort als evident noch dieses wichtige Ergebniss.an: Die Berührungspunkte aller der Tangenten, wel- che von einem gegebenen Punkte aus an eine Curve gezogen werden können, liegen in der ersten Polare dieses Punk- tes*). Im Rückblick auf das Verhältniss der Polaren zu den Diame- tral curven, wie es früher erörtert worden ist und wofern man auf diese das- selbe Princip der Classification anwendet^ wie es bei den Polarcurven durch- geführt .wurde, kann man hinzufügen: Die Berührungspunkte al- ler^ der Tangenten, die einer gegebenen Richtung parallel an eine Curve gezogen werden können, liegen in der ersten dieser Richtung conjugirten DiametValcurve.

Und da diese Polar- odelr Diametralcurve nach den vorhergegangenen Entwickelungen allgemein von der (« — !)*•" Ordnung ist, so beantwortet sich die Frage nach der Zahl der Tangenten, die man von einem Punkte aus an eine Curve n'" Ordnung ziehen kann, durch folgenden Satz: Durch einen gegebenen Punkt (a^lso auch durch einen unendlich fernen Punkt in gegebener Richtung) können an eine Curve «**■ Grades «(n — l)Tangenten gezogen werden. Es darf erinnert werden, dass diess zugleich die Beantwortung der Frage ist nach der Classe der Curve oder nach dem Grade der Reciproken einer Curve n'" Grades..

Hier erscheint es nützlich, wenn ich mit einigen Bemerkungen wieder speciell zu der Arbeit des französischen Gelehrten zurückkehre. Sein Be- weis dafür, dass die Tangente in einem Punkte die gerade Polare dieses Punktes sei, bezieht sich speciell auf eine Curve dritter Ordnung und ist kurz etwa folgender: die Gleichung

^(uR-m)'^^

giebt dann die Entwickelung

ÄÄi . Oi?2 • 0E^ + EB2 . OÄj . 0/?3+ ÄÄ3 . OR2 . OÄi =0,

♦) Poncelet hat »clion in Gergonne'a Annalea Vol. VIII, pag. 213 pczei^t, dass die Berührungspunkte auf einer Curve (n — !)**■ Grades Hegen, gegenüber der Angabe Waring's, dass ihre Anzahl auf n* kommen könae. Diese Curve (n— !/•' U?dnung ist Salmon's er^te Polare.

Von W. Fiedler. 119

welche sich, sobald 0 mit einem Punkte R^ der Curve zusammenfKllt, auf das Glied

RR . Oi?2 ÖÄ3 = 0

reducirt. Da aber OR^^OR;^ nicht Null sind, so besagt diess

RR^ oder i?Ö = 0,

dass also dip Polare durch den Punkt 0 selbst geht. Wenn man aber die Tangente in 0 an die gegebene Curve zur Transversale nimmt , so werden OR^ oder OR^ unendlich klein und in Folge dessen hat OR einen unbe- stimmten Werth, d.h. alle Punkte der Tangente können für R genommen werden und die Tangente selbst isj^ so lange der Punkt der Curve kein viel- facher Punkt ist, die gerade Polare desselben.

Den allgemeinen Satz über die Berührung sämmtlicher Polaren eines Curvenpunktes mit der Curve beweist deJonqui^res speciell für die co- nische Polare einer Curve dritten Grades und für die cubische Polare einer Curve vierten Grades ; die Beweisform ist wirklich einfach und fähig a\4f jeden andern Fall ausgedehnt zu werden. Ich deute sie an.

Für das erste Beispiel wird, die Gleichucfg •

\0R orJ \or orJ

für ÖÄi=0 zu

ORiRR^.OR^'^' RR^.OR^ = %

welcher durch zwei Voraussetzungen entsprochen wird , nämlich

Nach der ersten geht die conische Polare durch 0 und nach der zweiten sind alle ihre Punkte die conjugirt harmonischen von 0 im Verhftltniss zu den zwei Durchschnittspunkten der Curve dritter Ordnung mit der betreffen- den von 0 ausgehenden Transversale. Denkt man die Transversale in 0 tangirend an die gegebene Curve, so ist R^ dem 0 unendlich nahe, also i?, als dem 0 in Bezug auf R^ und R.^ conjugirt harmonisch, gleichfalls unend- lich nahe bei 0 in der Richtung der Tangente; womit gezeigt ist, dass die conische Polare einer Curve dritten Grades die Curve in dem Punkte be- rührt, zu dem sie gehört.

In dem zweiten Falle geht die charakterisirende Gleichung

\0R ~ orJ \öTi ~ orJ \ßR ~ önj ~ ® für 0/?|=2 0 in diese über

OR . Äi?2 (ÄÄ3 . OÄ4 -f- RR^ . OR^ + OR . RR^. RR^ . OR^ = 0

woraus erstens erkannt wird, dass die cubische Polare durch 0 geht, weil OR-TzzO ihr genügt; zweitens, dass sie die gegebene Curve in diesem Punkte berührt, denn wenn man die Tratisversale die Curve in 0 berühren lässt, so

120 Dio Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

verschwindet OR.RR^.RR^.OR^ wegen 0R^^=^0 und man hat nun die Bedingungen

d.h. die cubische Polare hat die Tangente der Curve vierter Ordnung in O selbst zur Tangente und der dritte Punkt, der ihr auf dieser Tangente an- gehört, ist im Yerhältniss zu den Punkten R^ und R^^ wo diese Tangente der gegebenen Curve von Neuem begegnet, conjngirt harmonisch zu ö.

Und so beweist er auch den Satz, dass die erste Polare eines Punktes der Ort der Pole aller durch diesen Punkt gehenden geraden Linien ist, für den speciellen Fall der Curve dritten Grades , doch so, dass man der Me- thode allgemeine Anwendbarkeit und deshalb wahre Beweiskraft nicht ab- sprechen kann. Die conische Polare eines Punktes 0 im Yerhfiltniss zu einer Curve dritter Ordnung ist auch der geometrische Ort der Pole aller durch 0 gehenden geraden Linien; denn es ist dazu nur nöthig zu zeigen, dass, wenn R ein Punkt dieses Kegelschnitts ist, die Relation

\R0 RRJ eine Folge ist von der andern

\0R orJ \0 r orJ ~ ?•

Entwickelt man aber jene und bezieht die Segmente auf den Punkt 0 als ihren Anfang, so dass man die Beziehung hat

R0+ OR^ + R^R = 0, so erhält man die Gleichung

'oWiORy^ + OR^^ OR^ — OR [OÄj {OR^ + OR^ + OR^ {OR^ + OÄj)

+ Oi?3(OÄi + Öi?2)]+3OÄi.OÄ2.OÄ3 = 0, welche allerdings aus

^ \Ur "~ WrJ \ör ~ orJ — ^ hervorgeht.

Das Schema des Beweises für jeden andern Fall besteht darin , dass man zeigt, wie die Gleichung

eine nothwendige Folge ist von der Relation

^ \0R ~ 'OrJ \ÖR ~ WrJ \0R ~ ÖWm) ~ ^"

Gewiss verdienen diese einfachen Beweismethoden der anharroonischen Geometrie für so sehr allgemeine Sätze alle Aufmerksamkeit.

Ich kehre jedoch zu Salmon's Entwickelungsmethode zurück, denn ich beabsichtige aus der allgemeinen Theorie noch zu entwickeln , wie sich vielfache Punkte einer Curve den Polarcm*ven gegenüber verhalten.

Von W. FlEDLEK. 121

Wenn man den Cbordinatenanfang *) als einen vielfachen Punkt vom Grade k voraussetzt, so werden die niedrigsten Potenzen der allgemeinen Gleicbnng in x und y vom Exponenten k sein ; dann müssen die niedrigsten Potenzen in der Entwickelung der ersten Polare

du , dU , du

nothwendig vom Grade {k — l) sein und der Coordinatenanfang wird daher in ihr ein vielfacher Punkt von dieser Ordnung sein; die Gleichung der zweiten Polare wird, da darein die zweiten Differentiale der Gleichung der Cnrve eingehen, x und y in keinen niedrigeren Graden als dem (k — 2)^*" enthalten können u. s. w. Daraus entspringt also der allgemeine Satz : Wenn eine Curve einen vielfachen Punkt vom Grade Ar hat, so wird dieser in jeder ersten Polare derselben ein vielfacher Punkt vom Grade (Ar — l) sein; vom Grade (Ar — 2) in jeder zweiten Polare u. s. f,; er wird zuletzt den {k — l)^" Polarcurven als ein- facher Punkt angehören und in den Polaren noch höheren Ranges nicht mehr auftreten.

Wenn ferner unter den Tangenten am vielfachen Punkt irgend ein Paar zusammenfallen, so muss das Glied U|^ der allgemeinen Gleichung, welches gleich Null gesetzt, die Tangenten a,6,c . .. des vielfachen Punktes liefert,

von der Form a^bcd ... sein und daher werden sowohl -r^ als auch -r^ den

dx dy

Factor a enthalten; es müssen deshalb auch die niedrigsten Glieder in der

Gleichung der Polare

duk , duk

den Factor a haben, während z^ — offenbar keine Glieder unter dem Grade Ar in a: uudy enthält. Daraus geht klar hervor, dass jene Doppeltan- gente der gegebenen Curve im vielfachen Punkt auch eine Tangente — doch nur eine einfache — ihrer ersten Polare in demselben vielfachen Punkte ist.

Und wenn bei einem vielfachen Punkte h^^ Ordnung das Glied u^ einen Factor im /**" Grade enthielte, welches einer / fachen Tangente entspricht, so wird dieser Factor in allen ersten Differentialen von m^ im Grade (/ — ]), in allen zweiten Differentialen vom Grade (/ — 2) vorkommen u. s. w., wel- ches ganz allgemein ausdrückt, dass eine vielfache. Tangente vom Grade / in einem vielfachen Punkte der Ordnung k der ur- sprünglichen Curve in allen ersten Polaren .derselben eine vielfache Tangente vom Grade (/ — l) an denselben vielfachen Punkt der Ordnung (A:*— l) sein wird; desgleichen in allen zweiten Polaren eine vielfache Tangente vom Grade (/ — 2)

*) Das« diese Yoraussetzang die Allgemeinbeit nicht beeintrUehtigt, brnaoht kaum bemerkt zu werden.

122 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

an den vielfachen Punkt (k — 2)'*'0rdnung u.6. w.; sie wird also zuletzt als einfache Tangente an der (/ — 1)**" Polare in einem vielfachen Punkt vom Grade (k + i — /) erscheinen und von da ab keine Polare mehr tatigiren.

Wenn die Curve einen Doppelpunkt hat, so ist es leicht, die Tangente dieses Punktes zur ersten Polare irgend eines andern Punktes zu construi- ren ; denn weun x und y die beiden Tangenten der Curve in diesem Doppel* punkte sind, so muss die Gleichung derselben von der Form sein

^y + W3 + «4 • • • • = 0 und die Glieder niedrigster Ordnung in a:,y in der Gleichung

dl/ , dU , dU

werden sein a'jy+aryi und in a:iy+yia; = 0 die Tangente der Polare in diesem Punkte darstellen. Nun ist die Verbindungslinie des Doppelpunk- tes mit dem Punkte x^ y^ , dessen erste Polare genommen ward, durch die Gleichung x^y — yjj: = 0 dargestellt und man erkennt daraus, dass die verlangte Tangente der ersten Polare die vierte Harmoni- kale sein wird zu dieser Verbindungslinie und den zwei Tan- genten der gegebenen Curve im Doppelpunkte.

Der specielle Fall, dass die zwei Tangenten im Doppelpunkte sich decken, dass er also eine Spitze oder ein stationärer Punkt ist, zeigt diesen Satz in Uebereinstimmung mit dem vorigen allgemeineren.

Hier brauche ich wohl nur daran zu erinnern , dass auch diese Eigen- schaften der Polaren bezüglich der vielfachen Punkte sehr einfach in ^en Grundgedanken der Beweisführung des französischen Autors eingehen, so- bald ein bestimmter Fall ins Auge gefasst wird.

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Beziehungen der Polare zu den vielfachen Punkten in dem Falle der Existenz solcher Punkte einen Ein- fluss üben auf die Antwort, die in dem Vorigen im Allgemeinen gegeben worden ist, auf die Frage nach der Anzahl der möglichen Tangenten oder nach der £!lasse einer Curve (dem Grade ihrer Reciproken).

Da in einem Doppelpunkte zwei aufeinanderfulgende Punkte zusam- menfallen, so hat jede durch ihn gezogene Linie zwei Punkte mit der Curve gemein und muss speciell jede gerade Linie durch ihn als eine Tangente der Curve in dem Sinne betrachtet werden, nach welchem eine Tangente eine gerade Linie ist, die eine Curve in zwei aufeinanderfolgenden Punk- ten schneidet. Wenn man aber solche uneigentliche Tangenten von der Zahl der Tangenten in Abzug bringen will , die man von einem Punkte aus an eine Curve n^" Ordnung ziehen kann, so erhält man, weil nach dem Vorigen zugleich auch jeder Doppelpunkt unter den Durchschnittspunkten der Curve mit ihrer ersten Polare für zwei zählt, den Satz: Wenn eine Curve n'*'^Gra4e9 ^Doppelpunkte hat, so ist die Zahl der von

Von W. PlEDLEH. 123

einem Punkte aus an sie zu ziehenden Tangenten, oder ihre Klasse oder der Grad ihrer Keciproken

= n(n— ,1) — 2^; treten dazu noch A:Spitzen, so reducirt sich diese Zahl, weil in diesem Falle die erste Polare nicht bloss durch die Spitze geht, sondom auch die- selbe Tangente wie die gegebene Curve hat und daher jede Spitze unter den Schnittpunkten dreifach gezählt werden muss, auf

n{n—l) — 2^ — 3A:. Wenn die Curve einen vielfachen Punkt von der Ordnung k enthielte, so würde derselbe in ihrer ersten Polare als ein vielfacher Punkt der Ord- nung k — 1 auftreten und daher den Grad der reciproken Curve um k{k — l) Einheiten vermindern; und in der That, wenn man sich ein System von k

geraden Linien denkt, so besitzt dasselbe im Allgemeinen -i— ^ — - Doppel- punkte, d.h. Durchschnittspunkte; wenn aber die Linien alle durch densel- ben Punkt gehen , so verschwinden die sämmtlichen Doppelpunkte und an ihre Stelle tritt ein einziger vielfacher Punkt der Ar*®" Ordnung. Man ist also anch so zu der Begel geleitet : Ein vielfacher Punkt der Ordnung k wirkt ebenso wie die Vereinigung von ^ — Doppelpunkten oder was das Näm- liche ist: Die Wirkung eines vielfachen Punktes der Ä**" Ord- nung im Grade der Keciproken ist dieselbe wie die der äqui- valenten Anzahl doppelter Punkte.

Und wenn der vielfache Punkt eine / fache Tangente besässe, so würde man der Zahl, um welche sein Einflass den Grad der Reciproken oder die Zahl der Tangenten vermindert, noch / — l Einheiten hinzufügen müssen.

Ich habe gerade diese Folgen der allgemeinen Theorie der Polaren hier entwickelt, weil sie so naturgemäss, so fast unvermeidlich aus ihr her- vorwachsen. Es ist begreiflich, dass diese Theorie noch die Quelle vieler anderweiten Sätze sein muss. Warum sollte sie z. B. nicht in der Theorie der vielfachen Tangenten einer Curve von demaelben Nutzen und Einfiuss sein, wie hier diese Excurse sie in Bezug zu den vielfachen Punkten gezeigt haben? Doch entspringt gerade hier dem weiteren Nachdenken eine an- dere und allgemeinere Frage, nämlich: Wie gestaltet sich und wel- che Resultate liefert die Theorie der Pole und Polaren in dem System der Tangential- oder Dreipunkt-Coordinaten?

Diese Frage entspringt auch aus der einleitenden Entwickelung beider Coordinatensysteme, von denen bis jetzt nur das eine ausführlich gebraucht und allen Interpretationen zu Grunde gelegt worden ist. Ich werde sie aus- führlicher als Salmon erörtern. Eine andere Frage aber ergiebt sich aus der speciellen Beziehung, in welcher die Theorie der Pole und Polaren hier zu den Problemen der Tangenten an Curven höherer Ordnungen gezeigt worden ist: Sollte diese Theorie nicht auch zur wirklichen Con-

124 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

struction dieser Tangenten in besonderen Fällen von höhe- ren Curven nützlich s^in?

Indem ich dem Schlüsse dieser Darlegung mich nähere, will ich anf diese beiden Fragen noch in aller Kürze eingehen ; ich fasse die letztere zuerst, da sie in dem Verhältnisse eines Beispiels zur bisherigen Entwicke- lung steht. Eben in diesem Charakter eines Beispiels bleibe ich, indem ich mich auf Curven dritten Grades beschränke.

Die Aufgabe, die Polaren einer solchen Curve in Bezug auf einen ge- gebenen Punkt zu zeichnen — denn auf diese kommt die Aufgabe der all- gemeinen Tangentenconstruction zurück — reducirt sich darauf, durch den Pol eine gewisse Anzahl von Transversalen zu ziehen, ihre respectiven Durchschnittspunkte mit der Curve zu bestimmen und endlich auf diesen Transversalen die Werthe aufzutragen, welche gewisse, den dritten Grad nicht übersteigende Gleichungen als Wurzeln liefern.

Sucht man die gerade Polare , so genügen zu ihrer Bestimmung zwei Transversalen durch den Pol, weil sie durch zwei Punkte vollständig bestimmt ist. Schneide die erste Polare die Curve in den Punkten a, d, c, so wird die gesuchte gerade Linie gewiss die erste Polare des Punktes 0 in Bezug auf alle möglichen Curven dritter Ordnung sein , die durch diese sechs Punkte hindurojigehen. Also muss sie auch dieselbe sein, wie für das aus den drei geraden Linien aa\bb\cc gebildete Dreieck.

Eine ganz einfache Discussion zeigt aber, wie diese abzuleiten und wie sie mit dem Lineal allein zu construiren ist. Ein Dreieck wird repräsen* tirt durch die Gleichung a/?y=3 0; die gerade Polare irgend eines Punktes ^1 ) /^i ' Vi ^^ ^ezug auf dasselbe ist daher

ftyi«f+yi«i^ + «ifty = ooder^ + |- + ^ = o

und diese ist mit der folgenden Construction identisch (Fig. 4). ABC int das Dreieck, 0 der Pol, LMN die geradlinige Polare desselben; denn die Li- nien AD.BE, CF sind

«i ßi Vi

xxndiCF, FD, D E Bm^ daher ist denn LMN

£4:1. — ^ l.j.«_£ ^ JL L^ L ßi ^ Vi «1' Vi ^«1 ßi' «t ßi 7i'

«1 PI Vi

Diese nämliche Construction also führt immer auch zur Bestimmung der geradlinigen Polare eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritten Grades.

Aus ihr muss daher auch die Construction des einer gewissen Richtung conjugirten geradlinigen Durchmessers einer Curve dritter Ordnung hervor- gehen, als die gerade Polare eines in dieser Richtung unendlich entfernten Punktes. Ist ABC noch immer das wie vorhin erhaltene Dreieck (erhalten also durch Bestimmung der sechs Durchschnittspunkte der Curve mit zwei

Von W. Fiedler. 125

jener Richtung parallelen Sehnen und paarweise Verbindung derselben) und C/" die Richtung, zu der man den entsprechenden Durchmesser sucht, so zieht man AD\\BE \\ CF und vollendet die Figqr wie folgt: LMN (Fig. 5) wird der gesuchte Durchmesser sein.

Wenn man sich die beiden von 0 aus gezogenen Transversalen unend- lich benachbart denkt (Fig. 5), so gehen die drei geraden Linien aa\ bb\ cc in die Tangenten der Curve in a, 5, c über und diese drei Tangenten , in Punkten auf einer Transversale an die Curve gelegt, bilden dann das bespro- chene Dreieck,

Denkt man sich an Stelle dieses Tangentendreiecks das Asjmptoten- dreieck, so entspricht diess dem Falle, wo die Transversale Oabc ganz im Unendlichen gedacht wird und man hat daher auch hier dann einen Durch- messer der Curve zu erwarten.

Es mag bemerkt werden, dass die Oleichung der conischen Polare des Dreiecks aßy = 0 in Bezug auf den Punkt cT] , |3| , yi

ist, ein Kegelschnitt, der durch die Ecken des Dreiecks geht und dessen Tangente in einer Ecke des Dreiecks a, ß die Oleichung hat

5; + ^=»'

SO dass man sie constmiren kann, indem man den Scheitel ccyß mit dem Punkte verbindet, wo die gerade Polare des Punktes die Gegenseite y schneidet.

Deswegen ist aber nicht zu übersehen, dass diese conische Polare des Dreiecks nicht zugleich auch die der Curve dritter Ordnung ist, aus der das Dreieck hergeleitet worden; denn zur Bestimmung eines Kegelschnittes gehören fünf Punkte, und da derselbe jede Transversale in zwei Punkten schneidet, so muss man drei Transversalen zu seiner Bestimmung benutzen, OabCy Oab'c, Oa'b"c\ Zur wirklichen Construction dieses Kegelschnitts fuhrt folgender Gedankengang. Der Polarkegelschnitt wird in Bezug auf alle möglichen Cu'rven dritten Grades, die durch diese neun Punkte abc ab'ca"b"c' gehen, der nämliche sein müssen. Wählt man daher die Trans- versalen so, dass durch drei dieser Punkte a'aa eine gerade Linie geht und deshalb die andern sechs bb'b"ccc" einem Kegelschnitt angehören, so wird die conische Polare des Punktes 0 in Bezug auf das System dieser geraden Linie und dieses Kegelschnitts genau dieselbe sein , wie in Bezug auf die vorliegende Curve dritten Grades. Nun ist aber, wenn S den Kegelschnitt bb'b^ccc' und L die gerade Linie aaa' vertritt,

d{SL) == LdS + SL\

Es geht also die verlangte conische Polare durch die Durchschnitte von L und S und auch durch die Punkte, wo S durch die Polare von 0 in Bezug auf iS geschnitten wird; und man hat zur Vervollständigung der Bestimmung

Zeitwhrifl far Malhematik u. Physik. IV. 9

126 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven höherer Ordnung.

des gesuchten Kegelschnitts eine fünfte Bedingung in dem nach dem Frühe- ren nothwendigen Umstände, dass die gerade Polare des Punktes 0 in Be- zug auf die gegebene Curve auch die Polare desselben in Bezug auf den verlangten Kegelschnitt sei. .

Kann man auf diese Weise die conische Polare in Bezug atif eine Curve dritten Grades einfach construiren, so 'erhält man ebenso für einen unendlich entfernten Punkt den Diametralkegolschnitt und erlangt damit die Auflösung beider Aufgaben der Tangentenconstruction ftir Curven dritter Ordnung: Construction der Tangenten von einem gegebenen Punkte aus — die coni- sche Polare dieses Punktes liefert die sechs Berührungspunkte — und Con- struction der Tangenten parallel einer gegebenen Bichtung — die dieser Richtung conjugirte Diametralcurve leistet das Nämliche.

Diese Andeutungen mögen für jetzt der beregten Frage genügen. Ehe ich zur zweiten gestellten Frage übergehe, führe ich hier, als einen merkwürdigen Beweis von den eigenthümlichen Vortheilen, welche die Theo- rie der Pole und Polaren gewähren kann, cdnen Satz von Salmon an, des- sen Beweis sich gerade hier vortrefflich anschliesst.

Man denke sich durch zwei aufeinanderfolgende Punkte in einer Curve dritten Grades die zwei Reihen von Tangenten an dieselbe gelegt

OA, OB, 00, OD, PA, PB, PC, PD, so durchschneidet irgend eine Tangente OA die darauffolgende Tangente PA in ihrem Berührungspunkte A. Die vier Berührungspunkte A^ B, (7, D liegen aber in der conischen Polare von 0, welche auch die gegebene Curve im Punkte 0 berührt. Es liegen also die sechs Punkte OPABCD in demsel- ben Kegelschnitt und daher ist das anharmonische Verhältniss des Büschels 0{ABCB) das nämliche wie das des Büschels P(ABCD). Weil nun diess Verhältniss immer dasselbe bleibt, wenn man von einem Punkt der Curve zum benachbarten geht, so ist es überhaupt constant für dieselbe Curve und man hat den schönen Satz: Das anharmonische Verhältniss des Büschels, welches die vier durch einen Punkt einer Curve dritten Grades an dieselbe gezogenen Tangenten bilden, ist für dieselbe Curve unveränderlich.

Dieses Verhältniss kann als eine unterscheidende numerische Cha» rakteristik der Curve dienen und da der Werth des anharmonischen Verhältnisses durch Projection ungebtört bleibt, so können irgend zwei Cur- ven dritter Ordnung nur dann aufeinander projicirt werden, wenn diese cha- rakteristischen Zahlen für beide dieselben sind.

Der geometrische Ausdruck dieses Satzes ist gleichfalls merkwürdig genug. Er besagt: Wenn 0 und P irgend zwei Punkte einer Curve dritter Ordnung sind, so schneiden die vier Tangenten von Oan die Curve die entsprechenden vier Tangenten von P aus in vier Punkten, die mit 0 und P auf demselben Kegelschnitt

Von W. Fiedler. 127

liegen. (Wie leicht zu sehen, giebt es flir jedes PunktopAar ö, P vier solche Kegelschnitte.)

Und nnn die andere Frage betreffend nach der Form und Bedeutung der Theorie der Pole und Polaren in dem System der Dreipunkt-Coordina- ten, 80 ist die Antwort im Allgemeinen leicht: Die Form bleibt die- selbe, die Interpretation ändert sich.

Mit ganz denselben Formeln, mit denen man in der entwickelten Weise von dem durch seine Coordinaten x^^ y|, Zj gegebenen Pol zur Gleichung sei- ner Polare ging, die wie die Gleichung der gegebenen Curve in Punkt- Coordinaten gegeben ward, gelangt man im System der Dreipunkt-Coordi- naten von der geradlinigen Polare — denn diese hi hier durch ihre Coordi- naten OTj, yi, «1 gegeben — zum Pol ; die Gleichung der gegebenen Curve wie die des erhaltenen Pols wird in Tangential-Coordinaten erscheinen.

Man erkennt aber sofort, dass das geometrische Gebild, welches jetzt als Pol SU bezeichnen ist, nicht mehr das einfach punktförmige ist, als wel- ches es vorausgesetzt wurde, da man von ihm ausging ; vielmehr ist die geo- metrische Natur des Pols jetzt so zu bezeichnen: dieselbe Mannichfaltig- keit, die vorher dem Begriff der Polare eigen war, in welcher sie als gerade Polare, speciell als Tangente, als conische, cubische Polare, genauer gespro- chen als Polare ^zweiten Grades, als Polare dritten Grades auftrat, alle For- mengrade durchlaufend, die im System der Dreilinien- oder Punki-Coordi- naten möglich sind, wird jetzt dem Begriff des Pols zu Theil werden; er wird alle im System der Dreipunkt- oder Tangential-Coordinaten darstell- baren Formen durchlaufen, der Pol einer geraden Linie wird vorhanden sein als Punkt / speciell als Curvenpunkt, als Curve der zweiten, dritten, vierten Classe n. s. w.

Man müsste jetzt, dem entsprechend, dass vorher eine Curve (n — l^*^ Grades die erste Polare war, eine Curve (n — l)** Classe als ersten Pol bezeichnen und 'würde den allgemeinen Satz haben, dass diese Curve der (n — 1)^ Classe von den fi Tangenten der gegebenen Curve berührt wird, die daran in den Punkten gezogen sind, wo sie die gegebene gerade Polare schneidet. Ueberall in allen Einzelnheiten wird diese vollständige Dualität oder Reciprocität gefunden werden, wie sie schon in den beiden Auffassungs- weisen einer Curve ausgeprägt ist, nach welchen dem System der Punkt- Coordinaten eine Curve der Ort eines beweglichen Punktes, dem System der Tangential-Coordinaten die Umhüllung einer beweglichen geraden Li- nie ist.

An einem Beispiele jedoch mag diese reciproke Auffassung etwas näher dargestellt werden ; ich wähle dazu die allgemeine Entwickelung der Polare eines beliebigen Punktes ^t^^n^i) ^^^ ^^^ durch Einführung der Wcrthe

Ar x,y, 2 in die allgemeine Gleichung der gegebenen Curve in dem Frühe- ren vorgelegt worden ist. Jetzt ist die Gleichung der gegebenen Curve nicht

9*

128 Die Theorie der Pole und Polaren bei Curven liöherer Ordnung.

mehr eine Belation, die die Coordinaten jedes ihrer Punkte erfüllen, son- dern vielmehr eine solche, welcher die Coordinaten jeder ihrer Tangenten genügen; Xi^t/i^^i sind nicht die Coordinaten eines Punktes, sondern einer geraden Linie. Wenn dort fi : X das lineare Verhältniss war, in welchem die Verbindungslinie des gegebenen festen Punktes ^dJ^i, ^i(O) mit dem ver- änderlichen Punkte X, y^z (Ä) durch einen Punkt in der Curve (Äj) getheilt wurde , nämlich „ „

l~ORi' so ist jetzt vielmehr diese selbe Grösse j das Sinusverhältniss, nach wel- chem der Winkel, den die gegebene feste gerade Linie irj,yi,Zj(0) mit der veränderlichen geraden Linie a:,y, z (Ä) bildet, durch eine Tangente der Curve

(Äj) getheilt wird :

jt sinRPRi

l ainOPR^

(wenn P den Scheitel jenes Winkels bezeichnet). Dort durchlief der ver- änderliche Punkt R die gesuchte Polare, hier umhüllt die veränderliche gerade Linie R den gesuchten Pol, dort war R^ ein Punkt der gegebenen Curve, hier ist es eine Tangente derselben, dort theilte er die Verbindungs- linie der zwei Punkte 0, Ä, hier den Winkel der sich schneidenden geraden Linien (>, i?.

Wenn daher — um gleich von den Kesultaten zu sprechen, denn alles Bechnungswerk bleibt genau das Nämliche — dort die Gleichung der gerad- linigen Polare erhalten ward,

SO Stellt hier genau dieselbe Gleichung vom ersten Grade den punktförmig gen Pol dar. Und wenn dort diese geradlinige Polare die Eigenschaft besass,

■(?)=-(§§)

so besitzt hier der punktförmige Pol die Eigenschaft

wobei der Punkt P die gegebene gerade Linie durchläuft; dort ist die cha- rakteristische Gleichung die gleich Null gesetzte Summe der Abschnittsver- hältnisse zwischen einem Punkt der Curve und einem der Polare zu dem von jenem Curvenpunkt bis zum Pol ; hier die gleich Null gesetzte Summe der Sinusverhältnisse zwischen dem Winkel , den eine Tangente der Curve und eine des Pols und dem Winkel, den dieselbe Curventangente und die gegebene gerade Polare bilden. (Der Scheitel des ersteren Winkels ist im- mer ein Punkt der geraden Polare; solches ist zu bemerken nützlich, weil der Pol in dem betrachteten Falle punktförmig und daher von Tangenten desselben nur uneigentlich zu reden ist.)

Von W. Fiedler. 129*

In ganz gleicher Weise ändert sich hier die Bedeutung der Übrigen allgemeinen Gleichungen nun bezüglich der Pole der verschiedenen Glas* sen. Nur an jene Gleichung des punktförmigen Pols mögen noch einige Be- merkungen geknüpft werden. Für' eine Curve zweiter Classe wird seine' charakteristische Relation

sinRPRj . sinRPR^

sinR^PO ■'" sinR^PO "'

welches den Satz ausspricht: Wenn man von irgend einem Punkte P einer festen geraden Linie OP Tangenten PR^^PR2 an einen Kegelschnitt zieht und dann den Strahl PR so legt, dass PiftR^ BR2) ein harmonisches Büschel ist, so geht PR durch einen festen Punkt.

Diess ist die fundamentale Beziehung zwischen Pol und Polare in Be- zug auf einen Kegelschnitt als eine Curve zweiter Classe betrachtet.

Aus der allgemeinen Gleichung des punktförmigen Pols und seiner fondamentalen Eigenschaft erkennt man, dass allerdings ein einziger Punkt als Pol einer geraden Linie in Bezug auf eine Curve höherer Classe gefun- den wird. Als man dagegen früher den Pol einer geraden Linie in Bezug auf eine Curve höherer Ordnung suchte, fand man, dass viele Pole der geraden Linie entsprachen, nur den einzigen Fall der Curve zweiter Ord- nung ausgenommen.

Wenn die gerade Linie im Unendlichen gedacht wird, so ist ihr Pol in Bezug auf einen Kegelschnitt das Centrum, der Mittelpunkt desselben ; nach Analogie dieser Bezeichnung würden bei einer Curve höheren Grades viele Punkte auftreten, die alle gleichberechtigt wären , Mittelpunkte zu heissen. Ich habe deshalb ganz vermieden, an der betreffenden Stelle des Früheren davon zu Fprechen, obgleich das über die Durchmesser Gesagte aufzufor- dern schien , von Mittelpunkten zu handeln. (Nämlich nach Analogie des Verhältnisses von Durchmessern und Mittelpunkten bei den Kegelschnitten.)

Jetzt kann erkannt werden, dass einheitliche Mittelpunkte den Curven nur insofern entsprechen, als man sie als Umhüllungeu bewegter gerader Linien betrachtet. Die vollkommene und nur hier vorhandene Ueberein- stimmung zwischen Grad und Classe bei den Kegelschnitten ist die Ursache des hier stattfindenden genauen Zusammentreffens beider Betrachtungsweisen.

Um so mehr ist es wünschenswerth, Jiier die interessante Frage zu beantworten, welche Eigenschaft einen solchen Mittelpunkt einer Curve höherer Classe charakterisirt.

Wenn man den Fusspunkt der von R^ auf die gerade Linie ÄP gefäll- ten Senkrechten M^ und den Fusspunkt der von demselben Punkte auf die Linie OP gefällten Senkrechten 0^ nennt, ''so kann die allgemeine Relation

^/sinRPRi\ . - ^ ^/^lÄA

^ (tS^Kp^J = Om der Form S (^^*j = 0-

geschrieben werden.

*130 Die Theorie der Pole und Polaren etc. Von W. Fiedleb.

Wenn nun die Linie OP in das Unendliche fortrückt, so werden alle Nenner in dieser Summe einander gleich nnd man hat als einfache Defini- tion eines wirklichen Mittelpunktes

d.h. es verschwindet die Summe der Senkrechten, die man von den Berüh- rungspunkten eines Systems pi^ralleler Tangenten auf eine durch den Mittel- punkt gezogene gleichgerichtete gerade Linie fallen kann, oder die Summe der Perpendikel von ihm seihet auf dieses Tangentensystem.

Chasles hat diesen Satz zuerst gegehen (Quetelet, Corresp. maih, IL 8.): Das Centrum der mittleren Entfernungen eines Systems paralleler Tangenten zu einer heliehigen gegehenen Curvo ist ein fester Punkt, der als der Mittelpunkt der Curve be- trachtet werden kann. In einem Kegelschnitt ist der Mittelpunkt der Verbindungslinie der Berührungspunkte zweier parallolon Tangenten dieser feste Punkt. In einer Curve dritter Classe ist es der Schwerpunkt des durch die Berührungspunkte gebildeten Dreiecks u. s. w.

Damit mag nun auch die Erörterung jener anderen Frage und diese Darlegung der Theorie der Pole und Polaren überhaupt geschlossen sein.

VI. Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der ündulationstheörie.

Ein Versuch von Dr. Ed. Zetzsche,

Lehrer a. d. K. Gewerbschule in Chemnitz. 2. Artikel.

In dem Vorhergehenden haben wir gezeigt, welche vielseitige Ueber- einstimmnng zwischen Schall , Wärme, Licht, Elektricität und Magnetismus vorhanden ist; daran reihen wir jetzt den Versuch, die elektrischen Er- scheinangen aus der Annahme von elektrischen Schwingungen zu erklären. Gerade wegen jener nachgewiesenen Uebereinstimmung aber schliessen wir uns enger an die Theorie des Lichtes an und suchen durch sie zuvör- derst eine Grundlage zu gewinnen, auf welche wir uns bei der Bildung un- serer Ansicht über die allgemeinsten Eigenschaften der elektrischen Schwin- gungen stützen können.

Da das Licht, abweichend vom Schalle, sich selbst durch einen luft- leeren Raum hindurch fortpflanzt, so nimmt man an, dass die Lichtschwin- gongen nicht Schwingungen der Körperth eilchen seien, sondern in einem überall verbreiteten, höchst elastischen I^fedinm, in dem Aether vor sich gingen. Die Theilchen dieses zur Erklärung der Lichterscheinungen zu Hilfe geaommenen Acthers sind im VerhHltiiiss zu den Körperth eilchen äus- serst klein und zwar in dem Grade, dass ihre lichtgebende Bewegung die Körpeitheilchen weiter gar nicht berührt, sondern Letztere bei derselben in Buhe bleiben *). Wohl aber übt die wägbare Masse der Körper einen ge- wissen Einfluss auf die Aethertheilchen aus, und desshalb ist die Fortpflan- zung des Lichtes im luftleeren Baume und in den verschiedenen gasförmi- gen, flüssigen und festen Körpern verschieden. Eben so gut nun, wie die Korpertheilchcn auf einander einwirken; thun es auch die Aetherpartikel- chen ; allein es wird die dadurch bedingte absolute Elasticität des Aethers

*) Wenn nicht etwa die cheniiBche Wirkung des Lichtes anf eine Ueberwin- dung^ der Trägheit der ruhenden Körpertheilchen durch den Hchwingenden Aetker hindeutet.

132 Die Elektricitätßlehre vom Standpunkt der Undulationstheorie.

darch jenen Einfliiss der Körpertheilchen abgeändert, und wir lernen somit immer nur die relative Elasticität der Aethertheilcben kennen. Für gewöhn- lich befindet sich die Gesammt Wirkung aller auf irgend ein Aetbertheilchen anziehend oder abstossend wirkenden Aetbertheilchen zugleich mit der von den Körpertheilchen auf^ dasselbe ausgeübten Anziehung oder Abstossung im Gleichgewichte. Wird dieses Gleichgewicht gestört, so streben die Aetber- theilchen in dasselbe zurückzukehren, und wegen der vorhandenen Elastici- tät beginnt zuvor ein Schwingen um die Gleichgewichtslage ; diese Schwin- gungen aber pflanzen sich dadurch fort, dass in Folge des zwischen den Aetbertheilchen bestehenden Zusammenhangs jedes folgende Theilcben eine Anregung bekommt, die Bewegung des vorhergehenden (um eine kurze Zeit später) nachzumachen. Werden auf diese Weise die entstandenen Schwin- gungen bis zur Netzhaut des Auges fortgepflanzt, so empfindet das Auge sie als Lichteindruck. Diese Schwingungen des Aethers erfolgen transversal auf die Fortpflanzungsrichtung, welche mit der Richtung der Strahlen zu- sammenfällt „In dem einfachsten homogenen Lichte bewegen sich die schwingenden Aetbertheilchen nach der Weise eines einfachen Pendels und beschreiben entweder geradlinige, kreisförmige, oder elliptische Bahnen. Diese Bewegungsformen sind der Grund der geradlinigen, der circularen und der elliptischen Polarisation. Die Farbe des Lichtes richtet sich nach der Dauer einer Schwingung; die Stärke desselben wird durch das Quadrat der Schwingungsweite gemessen" *).

Wenn wir nun ganz denselben Aether und in derselben Weise auch die elektrischen Erscheinungen vermitteln lassen wollen, nämlich so, dass er dieselben nicht schon durch sein blosses Vorhandensein , sondern erst dann vermittelt, wenn er in gewisse Schwingungen**) geräth, so finden wir uns doch besonders durch die Leitungserscheinungen und durch die so deutlich ausgeprägte, kräftige Einwirkung der Elektricität auf die Massentheil eben zu einer wesentlichen Abweichung von der eben kurz vorgetragenen Theo- rie des Lichtes veranlasst. Und desshalb stellen wir die Elektricität gleich-

*) EtUingshausen: die Principien der heutigen Physik, S. 10. '^*) Wir denken ans diesü Schwingungen ebenfalls transversal gegen die Furt- pflan Zangsrichtung. — Die vorliegende Abhandlung war in ihrem Uaupteiitwiirf schon za Ende 1856 fertig und wurde zuerst im Januar 1857 privatim roitgetheilt, im April 1857 aber der philosophischen Facultät der Universität Jena vorgelegt. Gegen Ende 1857 erschien von Professor Karl Robida in Klagenfurt eine ,,Vi. brationstheorie der Elektricität.'* Robida hat ^fSeit Anfang dieses Jahres (1857) die Vibrationstheorie der Fluidumshypothese substituirt*' und nach ihm „beruht die Elektricit^lt auf Longitudinalscbwingungcn der Theilcben eines elektrisclien Körpers, aus welchen Longitudinalwellen entstehen, die als positiv elektrische mit verdichtetem Vordertheile, als negativ elektrische mit verdünntem Vordertheile in der Fortpflanzungsrichtung der entsprechenden Elektricität fortschreiten/* Für die Richtigkeit dieser Behauptung werden directe Beweise aufgeführt. Die Be- weisführung ist aber locker und lückenhaft, und es herrscht in der ganzen Durch- führnog viel Willkühr und zum Theil Unbestimmtheit, wie wir in einem spätem Artikel nachzuweisen Gelegenheit nehmen werden.

Von Dr. Ed. Zetzsche. 133

säm als Uebergangsglied zwischen Schall und Licht durch die Annahme, dass die elektrischen Erscheinungen weder ansschliessend und allein aus Schwingungen der Körpertheilchen , noch ausschliessend und allein aus Schwingungen des Aethers, sondern aus beiden gemeinschaftlich hervor- gehen*). Damit sich also ein Körper elektrisch zeige, müssen in ihm beiderlei Schwingungen vorhanden sein, und so lange sie vorhanden sind, ist eben der Körper elektrisch. Es treten nun aber elektrische Schwingun- gen der Körpertheilchen nie allein auf, sondern sind stets von gleichen Schwingungen des Aethers begleitet; dagegen kann es geschehen, dass in besonderen Fällen blos die Aethertheilchen in Schwingungen gerathen, ohne zugleich die Körpertheilchen mit in Schwingungen zu versetzen. Es kön- nen nämlich die Wechselbeziehungen zwischen Aether- und Massentheilchen von verschiedener Art sein. Die Körpertheilchen werden immer ein gewis- ses Uebergewicht über die Theilchen des so äusserst feinen und beweglichen Aethers ausüben und desshalb gewaltsam und unwiderstehlich ihre Schwin- gungen stets auch auf den Aether übertragen , während ein Schwingen der Aethertheilchen sich den Körpertheilchen nur dann mittheilen kn^nn, wenn die Wechselwirkung zwischen beiden kräftig genug dazu ist und wenn über- diess die Starrheit der Körpertheilchen diese nicht hindert, dem erhaltenen Antriebe zu Schwingungen zu folgen. Werden also irgend welche elektri- sche Schwingungen bis zu einem Körper fortgepflanzt**), so wird es von dem in diesem herrschenden Verhältnisse zwischen Aether- und Körper- theilchen abhängen***), ob in ihm durch den von den ankommenden Schwin- gungen ausgehenden und desshalb in seiner Stärke bestimmten Antrieb blos der Aether, oder ob Aether- und Körpertheilchen zugleich in Schwingungen versetzt werden, d.h. ob der Körper blos die Elektricität als Strahlung durch aich hindurch wirken lässtt)« oder ob er selbst elektrisch wird. Im erstem

*) Robida nimmt blos Schwingungen der Körpertheilchen an; wir gewinnen darch unBcre Annahme eine leichte Erklärung für die inflnenzirende und induci- rende Fernwirkung der Elektricität und leiten ans ihr auch die Verschiedenheiten im Verhalten der Leiter und Nichtleiter ab. — ^ Dieselbe Annahme dürfte mit ähn- lichem Vortheil wohl auch für die Wärme beibehalten werden können ; ohnehin be- trachtet man ja die Verbreitung der Wärmestrahlen als ätherische Wellenbewegnng mit transversalen Schwingungen; während man sich andere Wärmeer8cheinun<?en als auf Schwingungen der Körpertheilchen selbst beruhend vorstellt. Vergl. dar- über Ettingshausen , die Principien der heutigen Physik, S. 14 und 15.

**) Viel Aehnlicbkeit mit dem vorliegenden Falle hat die Resonanz. — Die Luft über einem tönenden Körper schwingt ebenfalls mit, und es erscheinen die Chlad> naschen Klangüguren auch auf einer über einer tönenden Scheibe ausgespannten Membran. Eine Berührung des tönenden Körpers mit der Hand oder mit einem andern weichen Körper lässt den Ton verschwinden oder macht ihn unrein.

♦♦*) T3ecquerel, trait^ de physique 1,367: ,,DieLeitnng8fähigkeit kann von dem Molekularzustande abhängen; der Diamant isolirt, Anthracit und Coak leiten.*' — W^enn die Theilchen durch äussern Zwang in einer unfreiwilligen Span- nung erhalten werden, so werden sie an Beweglichkeit verlieren und sich ihre LeitungsfSbigkeit vermindern. Einfluss der Temperatur auf die Leitunigsfähigkeit.

f ) Bei der gestrahlten Wärme wird der Körper , duroh den hindurch die Strah- lung erfolgt, selbst nicht warm.

134 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Undulationstbeoric.

Falle nennen wir den Körper einen Nichtleiter oder Isolator, im zweiten einen Leiter*). In den Leitern überträgt sicli immer die Schwingung von einem Theilchen auf die andern und es werden so auch beide Arten der Schwingungen fortgepflanzt**). Ja selbst dann, wenn bis zu einem Leiter nur Schwingungen der Aethertheilchen gelangen, gerathen doch in ihm nicht blos die Aethertheilchen, sondern auch die Körpertheilchen mit in Schwin*- gungen und die zu ihm gelangte Strahlung wird in ihm (bei der Influenz oder Vertheiluog) ^ur Leitung, weil ja bei den Leitern die Aethertheilchen nicht allein schwingen können , die Strahlung nicht unverändert durch sie hindurchgeht. Anders ist es bei den Nichtleitern: da vermag kaum ein schwingendes Körpertheilchen seine trägen Nachbarn in Schwingungen zu versetzen und noch viel weniger kann daher ein Aethertheilchen durch seine Schwingungen die Körpertheilchen zum Mitschwingen anregen. Es ist viel- mehr in den Nichtleitern die Wechselwirkang zwischen den Aether- und Körpertheilchen so schwach, dass die Letztern den Erstem sogar gestatten, für sich allein zu schwingen. So tritt bei den Nichtleitern die Strahlung mehr oder minder frei von der Leitung hervor, deren Begleiterin sie übri- gens für gewöhnlich ist. Es braucht femer wohl kaum noch besonders her- vorgehoben zu werden, dass die Nichtleiter in Folge der durch sie hindurch- gehenden Strahlung noch nicht elektrisch werden, so lange nicht auch die Köi-pertheilchen in ihnen zu schwingen beginnen. Wenn aber ein Nicht- leiter einmal elektrisch wird, wenn bei ihm auch die Körpertheilchen schwin- gen , dann werden deren Schwingungen in der Regel sehr heftig sein ***). Die Strahlung muss als blosse Fortpflanzung der elektrischen Aetherschwin- gungen mit der geradlinigen Fortpflanzung der Lichtstrahlen mehr im Ein- klang stehen, als die Leitung, bei welcher sich die Schwingungen von Theil zu Theil mittheilen jind, ohne eine ursprüngliche Richtung der Fortpflan- zung festzuhalten, dem Leiter in allen seinen Windungen und Krümmungen folgen t)) so lange nur der Zusammenhang nicht unterbrochen ist. Die In-

*) In der Wirklichkeit dürfte es aber weder yollkoinmene Niebtleiter, noch YoUkommene Leiter, sondern blos gate und schlechte Leiter geben, wie es ja anch nicht voUkommen elastische oder unelastische Körper gibt. — Die besten Leiter der Elektricitjit und zugleich der Wärme sind die dehnbaren Metalle und die leicht beweglichen Flüssigkeiten; die besten Isolatoren sind spröde und zähe Substanzen. Trockene Gase isoUren so lange, bis die schwache Wechselwirkung zwischen Aether- und Körpertheilchen durch die mit zunehmender Verdünnung wachsende Beweg- lichkeit der Theilchen überboten wird. — Der harte Stahl hat eine grössere Coer- citivkraft, als weiches Eisen, dessen Coercitivkraft jedoch durch Kalthämmem und Verdrehen um seine Langsame wächst.

**) Mit gleicher Geschwindigkeit durch eine Art Ünlsoniren. ***) Bei gespannten Saiten und Membranen sind die Schwingungszahlen propor- tional den Quadratwurzeln aus den spannenden Gewichten. Vergl. Pouillet, übersetzt von Palmiefi, III. § 330.

t) Ganz ähnlich wie bei der geleiteten Wärme. Vergl. Zantedeschi II. I. S. 268 und die Note von Melle ni zn § 482 der Palmierischen tlebersetzung des 4. Theils der Physik von Pouillet.

Von Dr. Ed. Zetzsche. 135

tensiUt nimmt daher hier nicht mit dem Qnadrate der Entfernung ab,. sondern ibt lediglich dnrch die Anzahl der hintereinander in Schwingungen zu ver« setzenden Theilchen bedingt*), was das Ohm' sehe Oesetz über den Ein- flnss der LSnge des Leiters auf die Stromstärke bestätigt. Da es endlich eines kräftigeren Anstosses bedarf, um die gröberen Körpertheilchen in Schwingungen zu versetzen , so wird auch bei der Leitung mehr von dem Schwingungsmomente des ursprünglich elektrischen, abgeleiteten Körpers ▼erbraucht, als bei der blossen Strahlung**); dennoch schützt auch der beste Nichtleiter auf die Dauer nicht ausreichend gegen jeden Verlust an Elektricität.

Vielleicht werden durch die Schwingungen* der Körpertheilchen vor« wiegend die Veränderungen veranlasst, welche durch die Elektricität in den Aeusserungen der Molekularkräfte eintreten, während die leuchtenden und dynamischen Wirkungen auf Kechnung der Schwingungen der Aether- theilchen zu schreiben wären.

Auf eine Verdichtung im fortpflanzenden Mittel , weiche bei den blos im Aether fortgepflanzten Lichtschwingungen nicht stattfindet, scheint das Zickzack des Blitzes und die Verästelung der elektrischen Funken hinzu* deuten.

Und wie lassen sich nun aus diesen Voraussetzungen die Gesetze der elektrischen Erscheinungen entwickeln? Boi der Untersuchung darüber scheiden wir die Gesammtheit der elektrischen Erscheinungen in zwei Grup- pen und handeln zunächst von der Erregung der Elektricität und dann von dem Verhalten elektrischer Körper.

1) Unter den verschiedenen Arten der Erregung der Elektricität besprechen wir zuerst die Erregung durch Berührung. Wie sich in jedem, in allen seinen einzelnen Theilchen völlig gleichartigen Körper die wech- selseitigen Wirkungen der Körper- und Aethertheilchen auf einander im Gleichgewichte befinden, so ist es auch bei der Berührung zweier ganz gleichartiger Körper***); denn es erhält hier jedes Theilchen in der Berüh- rungsfläche zwei gleiche Antriebe nach entgegengesetzter Richtung. Dess- halb ist in beiden Fällen keine Ursache vorhanden, wesshalb die Theilchen aus dem Zustande der Ruhe in eine schwingende Bewegung tibergehen soll- ten. Sind aber die beiden sich berührenden Körper verschiedenartig, so

*) Die Grösse des Qnerschnitis dagegen ist hier eben so wenig von Gewicht, als bei der Verbreitung tönemlci* Schwingungen. Vergl. Potiillet, übersetzt Ton Palmieri, in. § 337. S. 82. •

**) Fär gewöhnlich ist die Influenz und Induction für den influencirenden und indiicirenden Körper nicht als Arbeit zu betrachten; wohl aber die Ueberwindung des Leitungswiderstandes (vgl. Ettingshausen, die Principien der heutigen Phy- sik , Ö. 18). Dass aber selbst bei der Influenz eine namhafte Menge Elektricität verbraacht and unwirksam gemacht werden kann, zeigen uns die Erfahrungen au ins Meer versenkten Telegraphendrähten.

«»*)- Andrer Meinung ist Robida, vergl. Vibrationstheorie 8. 14; allein auch in diesem Punkte können wir uns nicht zu seiner Ansicht bekehren.

136 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Undulationstheorie.

sind die von den entgegengesetsten Seiten kommenden Antriebe, wenn sie in gleichem Sinne erfolgen, sie also das davon ergriffene Tbeilcben aus der Gleicbgewicbtslage nach entgegengesetzten Riebtungen zu verschieben stre- ben, wenigstens nicht gleich gross, und es bleibt dann ihre Differenz wirk- sam übrig; oder die Antriebe wirken gar in entgegengesetztem Sinne auf ein und dasselbe Theilchen, und dann unterstützen sie sich gegenseitig in ihren Wirkungen. Es wird also in diesem Falle immer das Gleichgewicht gestört sein*) und zwar um so mehr, je grösser die Verschiedenheit oder der Gegensatz in den Eigenschaften der zur Berührung gebrachten Stoffe ist, d. h. je stärker deren chemische Verwandtschaft bt^). Aus dieser er- sten Gleichgewichtsstörung werden dann um so leichter elektrische Schwin- gungen hervorgehen können, je stärker die Wechselwirkung zwischen den Theilchen ist und je leichter sich dieselben in elektrische Schwingungen versetzen lassen. Daher liefert nur die Berührung guter Leiter merkliche Elektricität und zwar um so mehr, je verschiedenartiger dieselben sonst sind.

Die Theilchen in der Berührungsfläche haben aber gerade die entgegen- gesetzte relative Lage gegen die Theilchen des einen und des andern der beiden sich berührenden Körper, somit erfolgt die erste Ablenkung aus der Gleichgewichtslage für den einen Körper gerade in entgegengesetzten! Sinne, als für den andern Körper. Wenn nun die Schwingungen selbst von solcher Beschaffenheit sind, dass durch den eben genannten Umstand und seinen Einfluss auf die Gestalt oder die Lage der Schwingungsbahn die Schwingungsweise sich als eine andere herausstellen kann ***)^ so können die von den schwingenden Theilchen in der Berührungsfläche aus gleich- zeitig nach beiden Seiten hin fortgepflanzten Schwingungen in verschiede- nem Sinne erfolgen, einen gewissen Gegensatz zeigen und den einen der beiden sich berührenden Körper als positiv, den andern als negativ elek- trisch erscheinen lassen.

Die Schwingungen pflanzen sich also von der Berührungsfläche aus

*) Ganz gleichförmig werden wir auch alle andern ErregangBarten der Elcc- tricität, selbst Influenz und Induction aus Störung^ des Gleichgewichts ableiten. — Becxcfuerel, trait^ de pbysique I. S. 74: ,fAIle8, was das natürliche Gleichge- wicht der Moleküle zu stören strebt, wird Ursache einer Elektricitätserregung."

*♦) Wir möchten hier an die chemische Wirkung durch Contact (Mitscher- lich) oder die Katalyse (Berzelius) erinnern. Berzelius hält die katalyti- sche Kraft für eine besondere Aeusserung der elektrochemischen Thätigkeit, deren Wirkung eigentlich darin bestehe, dass sie ,,die Elemente der Körper zu einer neuen Anordnung veranlasst/' in welcher die entgegengesetzten Elektricitäten vollständi- ger neutralisirt d. h. die Verwandtschaften mehr ausgeglichen sind. Vergl. Ram- nielsberg, Lehrbuch der Stöcbioraetrie, Berlin 1842, S. 57. Diese Erklärung von Berzelius lässt sich mit der hier vorgetragenen Ansicht recht gut vereinigen.

***) Der Einfluss der Art und Weise, in welcher das zuerst schwingende Theil- eben abgelenkt wurde, anf die Scbwingungsweise der andern damit zusammenhän- genden Theilchen findet sich sehr deutlich ausgesprochen in den Resonanzerschei- nnngen von Platten , die mit gestrichenen Saiten in Verbindung stehen. Vergl. Pouillet, übersetzt von Palmieri III. § 350. S. 112.

Von Dr. Ed. Zbtzsche. 137

über beide Körper in deren ganzer Ausdehnung *) fort. Das dabei ver- brauchte Schwingnngsmoment wird stetig wieder ersetzt, so lange in der Berührung die erregende Ursache thätig bleibt. In Folge dieser Nachhal- tigkeit der Wirkung geräth der ganze Körper dauernd in elektrische Schwin- gungen, deren Intensität**) anfanglich zunimmt, bis sich ein neuer Behar- rungszustand herausgebildet hat und mit diesem das Maximum der Ekktri- cität erreicht wurde. Auch hierbei ist wieder (wie 8. 135 Note *) die Grösse des Querschnitts der Körper ohne Einfluss und demgemftss ist es auch gleich- giltig, ob in dem. Querschnitte, von welchem die Bewegung ui'sprttnglich ausging, nämlich in der Berührungsfläche, eine grössere oder geringere An- zahl von Theilchen aus dem Oleichgewichte gebracht wurden oder mit an- dern Worten : die Grösse der Berührungsflächen ist eben so ohne Einfluss auf die Menge der erregten Elektricität, wie die Grösse der Löthflächen bei der Thermdelektricität ***) ; vielleicht aber dürfte in beiden Fällen von dieser Grösse die Zeit abhängen, welche bis zum Eintritt des Maximums verfliesst. Wesentlich anders natürlich verhält es sich, wenn mehrere Be- rührungsflächen hinter einander thätig sind und in einem aus mehreren Theilen gebildeten Ganzen wirken. Daher kommt es auch , dass die elek- trische Di£ferenz zwischen zwei Gliedern der elektrischen Spannungsreihe gleich ist der Summe der Differenzen der Zwischenglieder, wobei man zu- gleich die Art und Stärke der ersten Einwirkung der sich berührenden Sub- stanzen nicht ausser Acht lassen darf; denn aus ihr erklärt sich einmal, warum die elektrische Spannungsreihe in so naher Beziehung zu den chemi- schen Eigenschaften t) steht, und andrerseits, warum derselbe Stoff positiv oder negativ elektrisch wird, jenachdem man den zweiten, ihn berührenden Körper wählt. Die Polarisation oder elektromotorische Gegenkraft bei den inconstanten Ketten liefert den schlagendsten Beweis, wie die Einwirkung sofort sich ändert, wenn die Körper ihre Eigenschaften wechseln, vornäm- lich wenn diess an den sich berührenden Flächen geschieht.

Wie in einem tönenden Körper, wenn er in Unterabtheilungen schwingt.

*) Gans ähnlich wie bei tonenden Körpern; vergl. Poaillet, übersetzt^ von Palmierilll. § 343.

**) Könnte auch bei der Elektricität, wie beim Liebte (S. 132), das Qnadrat der Schwingungsweite als Maass für die Intensität gebraucht werden?

***) Bei dem Elekirisiren eines Körpers darch Mittheilnng dagegen fehlt die Nachhaltigkeit der Wirkung. Hier besitzt der mittheilende elektrische Körper nur dn bestimmtes Schwingungsmoment , das sich, einmal verbraucht, nicht wieder er- setzt. Je mehr also hier mit der gesammten Masse des zu elektrisirenden Körpers die Anzahl der hintereinander in Schwingungen zu versetzenden Theilchen wächst, am so geringer nur kann der Antheil sein, welcher von jener gegebenen, anf Stö- rung des Gleichgewichts wirkenden Kraft auf jedes einzelne Theilchen kommt, desto geringer ist dann auch die Intensität der Schwingungen oder die Dichte der Elektricität.

t) Den Grund für das eigenthümliche Verhalten der tropfbaren und elastischen Flüssigkeiten möchten wir in ihren chemischen und physikalischen Eigenschaften suchen.

13S Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Undulationstlieorie.

ruhende Schwingungsknoten die Stellen bezeichnen, wo die entgegengesetzt schwingenden Systeme an einander grenzen, so zeigt sich die Berührungs- ßäche der beiden entgegengesetzt elektrisch gewordenen Körper als Indifie- renzzonc. So lange nun die beiden elektrischen Pole isolirt bleiben , wer- den die Schwingungen eines jeden der beiden Systeme durch die des andern beeinträchtigt*), indem hier eine Art Resonanz statt hat, ganz ähnlich wie bei einem System , das ans mehreren tönenden Körpern gebildet ist. Wird dagegen der eine Fol abgeleitet, so wird sein Schwingungsmoment durch die unendlich grosse Anzahl der von ihm aus in Schwingungen zu versetzen- den Theilchen verbraucht**) und die Intensität der Schwingungen des an- dern, nicht abgeleiteten Systems wird grösser, verdoppelt sich nahezu. Der Leiter, welcher den ableitenden Körper mit drra abgeleiteten Pole verbind det, wird im Augenblicke der Ableitung selbst von einem „elektrischen Strom*^ durchlaufen, d. h. es pflanzen sich die vom Pol ausgehenden elek- trischen Schwingungen durch ihn hindurch fort. Der im vorliegenden Falle ' entstehende elektrische Strom ist aber nur ein momentaner, eine einzelne elektrische Welle. Werden dagegen beide Pole gleichzeitig abgeleitet, so werden in jedem Augenblicke die Schwingungen, welche in der Berührungs- fläche entstanden, nach beiden Seiten vollständig abgeleitet und verbraucht, und es können von Augenblick zu Augenblick in ununterbrochener Aufein- anderfolge neue Schwingungen entstehen und sich fortpflanzen : es beginnt ein dauernder elektrischer Strom ***), eine beständige Erregung und Vernich- tung elektrischer Schwingungen, eine ununterbrochene Folge elektrischer Wellen t)- Dasselbe findet statt, wenn man die beiden Pole selbst durch einen Leiter mit einander verbindet; denn auch dann ist die Füglichkeit vorhanden, dass sieh in diesem Leiter, in dem Schliessungsbogen, die von den beiden Polen herkommenden Schwingungen gegenseitig beständig vernichten oder ausgleichen und so von der Berührungsfläche bestän-

*) Darauf scheint auch der in der Zeitechrift des Telegraphen-Vereins II. 7. S. 154 mitgetheilte- fünfte Versuch von Wheatstone hinzuweisen, bei welchem die in gleicher Entfernung von den Batteriepolen in den (060 englische Meilen langen) SühHessnngsdraht eingeschalteten Galvanometer gleichzeitig abgelenkt wurden, wenn der Bchliessungskreis in der Nähe eines Poles geöffnet war und dann wieder geschlossen wurde.

**) Vergl. die Note 133 **) auf S. 5. ***) Nach Gauss kann ein elektrischer Strom auch circuliren zwischen swei Körpern, welche bei hinreichender Grösse die Elektricität aufzunehmen Terinögen. Und in der That besitzen die momentanen Ströme, welche z. B. während der La- dnng einer Leidner Flasche den Ladungsdraht durchströmen, nach Bitter alle Eigenschaften gewöhnlicher Ströme. Vergl. Zeitschrift des Telegraphen- Vereins I. 5. S. 130. Die Wirkung solcher Ströme auf das Galvanometer wurde auch von Paraday (vergl. Zeitschr. des Tel.-Ver. I. 5. S. 127-— 130) und von Wheat- stone (vergl. Zeitschr. des Tel.-Ver. II. 7. S. 153) beobachtet. Aehnlich steht es mit den chemischen Wirkungen; vergl. Zeitschr. des Tel.-Ver. I. 5. S. 136 und 12. S. 288. Es ist somit die Erweiterung des Begriffes Strom wohl gerechtfertigt, f) Auch für das Licht nimmt Fresnel eine fortdauernde Einwirkung vom Ausgangspunkte des Lichtes an, also eine annnterbrochene Folge von Lichtwelleo.

Von Dr. Ed. Zetzsche. 139

dig neue elektrische Wellen ausgehen. Die Dauer des Stromes ist also, venn die Ursache zur Erregung elektrischer Schwingungen unausgesetzt thatig bleiht, blos bedingt durch eine ununterbrochene Fortleitung*) dor Schwingungen. Mit der Unterbrechung der Leitung wird der Strom unter- brochen; mit der Entfernung der erregenden Ursache entfernt man die Wir- kung; daher sind Keibungs- und Inductionsströme von so kurzer Dauer, während die galvanischen erst in Folge der Polarisation oder der Ablage- rung von Gasen an den Elektroden schwächer werden und aufhören. Deut- lich genug ist diess wohl auch im Ohm' sehen Gesets Über die Stromstärke ausgesprochen; denn dieses sagt, es sei die Stromstärke S proportional ein- mal dem Vermögen der Batterie, Elektricität zu erregen, d. i. der eloktro- motorischen Kraft ^ und ausserdem proportional der Fähigkeit Fdes Schlies- snngsbogdns, die erzeugte Elektricität abzuleiten. Diese letztere Fähigkeit F ißt aber der reciproke Werth der Summe der Widejrstände ff^ welche sich dem Abfliessen' der Elektricität entgegenstellen ; demnach finden wir die

JE

Stromstärke 5 = -=j . yy

In jedem der drei Fälle, wo ein momentaner oder dauernder Strom entsteht, zeigt sich die bewegte oder dynamische Elektricität wesentlich verschieden von der ruhenden oder statischen Elektricität, dadurch dass gerade sie magnetisirt, chemische Wickungen hervorbringt, Licht und Wärme erzengt. Die Erregung eines Inductionsstromes in einem benachbarten ge- schlossenen Leiter findet dagegen nur in den Momenten statt, wo die Wir- kung des Stromes beginnt, aufhört, stärker oder schwächer**) wird, weil nur in diesen Fällen eine Störung des elektrischen Gleichgewichtes in dem indncirten Leiter eintritt deren Folge eben die Entstehung des Inductions- stromes ist.

Wenn zwei gleichnamige Ströme in gleicher Richtung einen Leiter durchströmen, so verstärken sie sich in ihren Wirkungen ; haben die beiden Ströme entgegengesetzte Bichtnng, so heben sich bei gleicher Stärke die von ihnen ausgehenden Antriebe zu Schwingungen gegenseitig völlig auf und es verschwinden damit zugleich auch alle Stromwirkungen***); bei un-

*) Der in der Zeitschrift des Telegraphen -Vereins II. 7. S. 154 mitgctheilte rierte Versuch von Wheatstone zeigt, dass vom Pole erst dann eine neue Welle fortgeht, wenn die früheren weiter geleitet wurden. £s stand nämlich bei diesem Versnche das eine Ende einer OCO engl. Meilen langen Leitung in Verbindung mit dem einen Pole einer Batterie, deren anderer Pol mit der Erde verbunden war; wurde jetzt das andere Ende der Leitung mit der Erde in Verbindung gesetzt, so wurden die an verschiedenen Stellen in die Leitung eingeschalteten Galvanometer mn so früher abgelenkt, je nüher sie an diesem Ende der Leitung, je weiter sie also von dem Pole der Batterie entfernt waren. Ganz. analog ist der zweite Theil des fünften Versuchs ebendaselbst.

**) Durch Zu- oder Abnahme der Intensität des Stromes, durch Verminderung oder Vergrösserung der Feme , aus welcher er wirkt.

***) Das Ausbleiben jeder Erwärmung, wenn man durch die Spirale eines elek- trischen Lafithermometers zwei gleich starke gleichnamige Ströme iu entgegeuge-*

140 Die Elektricitätslehrfe vom Standpunkt der Undulationstheorie.

gleicher Stärke bleibt blos der Ueberschuss des stärkeren Stromes wirksam übrig; ähnlich ist es bei ungleichnamigen Strömen und gleicher Richtung; ungleichnamige Ströme in entgegengesetzter Richtung endlich müssen sich verstärken, und schon desshalb ist der Strom bei leitender Verbindung bei- der Pole im Schliessungsbogen kräftiger als jene Ströme, durch welche sich blos eine Elektricität fortpflanzt.

Bei dieser Anschauungsweise verliert der Einwand sein Gewicht, dass sich beim Volt ansehen Fundamental versuche die Elektricität ohne wahr- nehmbare chemische Veränderung an der Verbindungsstelle der beiden Me- tallplatten entwickelt *) , ein Einwand , welcher gegen die elektrochemische Theorie spricht, nach der man, wie Berzelius, Becquerel, Faraday U.A., die geweckte chemische Thätigkeit als Ursache der Elektricität be- zeichnet Im entgegengesetzten Falle aber, wenn man mit VolCa die Be- rührung als Ursache und die chemische Wirkung als Folge der Elektricität betrachtet**), erlaubt uns unsere Anschauung noch einen Schritt weiter zu thun, indem sie den Grund hinzufügt, wesshalb die Berührung das elektri- sche Gleichgewicht aufliebt. Obschon ferner unsere Theorie das Auftreten der Elektricität nicht durch das Dasein eines chemischen Frocesses bedingt erscheinen lässt, so schliesst sie doch keineswegs die Möglichkeit aus, dass durch chemische Processe gelegentlich Elektricität hervorgerufen wird. Denn da bei den chemischen Processen der Austausch der Stoffe nicht ohne Be- wegung der Theilchen erfolgen kann, so kann sich diese letztere unter Um- ständen wohl auch in elektrische Schwingungen umsetzen. Ein Gleiches müssen wir auch da voraussetzen, wo Elektricität durch Druck oder durch Lösung des Zusammenhanges erregt wird. In diesen drei Fällen würden also die Veränderungen in der gegenseitigen Lage der Theilchen desselben Körpers gegen einander und gegen die Aethertheilchen und die dabei etwa eintretende Veränderung der Beschaffenheit dieser Theilchen dieselbe Wir- kung hervorbringen , welche bei der Berührung das Hinzutreten der Theil- chen eines verschiedenartigen Körpers hervorbrachte. Von mehr Gewicht noch ist aber sicher der Umstand, dass sich auf ganz gleiche Weise nicht allein die Entstehung der Reibungselektricität und der Thermoelektricität, sondern sogar auch die Verschiedenheiten im Auftreten der verschiedenen Elektricitäten erklären lassen. Die kräftige Bewegung nämlich der sich berührenden Theilchen von zwei an einander geriebenen Körpern vermag selbst in Nichtleitern die Trägheit der Körpertheilchen (S. 134) zu überwin- den, und es bekundet sich dann noch der gewaltsamere Ursprung durch das

setzten Richtungen zu leiten sucht, spricht deutlich genug für die Kichtexistenz solcher Ströme; Petrina, in der Zeitschrift des Telegraphen-Vereins III. 8. S. 170. *) Vergl. ausserdem Zantedeschi, trattato di fisica elementare III. II. 457—465.

**) Wenngleich sich bei sehr vielen chemischen Processen auch nicht eine Spur von Elektricität nachweisen lässt, wofür freilich verschiedene Ursachen geltend gemacht werden können.

Von Dr. Ed, Z£t2SCH£. l4l

gewaltsamere Verhalten, durch die grössere Heftigkeit der entstehenden Schwingungen. Desshalb hat die Reibungselektricität eine so hohe Span- nung, desshalb ist sie schwieriger zu isoliren als die Berührungselektricität. Und auch bei der Reibungselektricität ist ja die Substanz, welche gerieben wird, durchaus nicht gleichgiltig; ihre verschiedene Beziehung zum Aether macht vielmehr das Vorzeichen und (um so zu sagen) die Menge der gelie- ferten Elektricität von den zum Beiben gewählten Stoffen abhängig , welche namentlich auch nicht völlig gleichartig sein dürfen. Der Einfluss der Form der Reibung wäre aus der Art und Weia^ 2u erklären , wie durch sie das Gleichgewicht gestört wird. Die Spannungsreihe für die Reibungselektrici- tät wird also cTurch äussere Einflüsse sehr schwankend gemacht, so durch Wärme, Farbe, Lage der Fasern, Druck, Oberflächenbeschaffenheit u. s.w., und ans diesem Grunde ist es auch kein Wunder, dass sie von der Span- nnngdreihe ftir die Berührungselektricität jso abweicht.

Temperatürdifferenzen zwischen den einzelnen Körpertheilchen oder allgemeine Bewegung der Wärme erzeugt endlich ebenfalls Elektricität und ea wechselt deren Vorzeichen mit der Umkehrung der Bewegungsrichtung. Die Ursache der ElektricitÜtse^egung kann hier eine mehrfache sein: es können zunächst die Wärmeschwingungen unmittelbar elektrische Schwin- gungen veranlassen, oder es kann die Reibung der durch die Wärme in Be- wegung gerathenden, sich dabei ausdehnenden oder zusammenziehenden Körpertheilchen, oder endlich die durch die Wärme verursachte Ungleich- artigkeit*} der sich berührenden Körpertheilchen und deren sich ändernde gegenseitige Entfernung den Anstoss zu elektrischen Schwingungen geben. Begünstigt doch eine sonst schon vorhandene Verschiedenartigkeit das Her- vortreten der elektrischen Polarität wesentlich, mag dasselbe nun in einer Ungleichheit der Form, der Substanz oder der Dichte nach verschiedenen Richtungen (krystallographische Axen) bestehen. Auch das Licht vermag einen Körper zu elektrisiren und zu magnetisiren, besonders dann, wenn bloss einTheil desselben dem Lichte ausgesetzt, der andere Theil aber ihm verschlossen wird"^*). Wenn aber eine blosse Aenderun^ des Aggregatzu- standes (bei Ausschluss aller sonstigen Ursachen) keine Elektricität erzeugt, so macht diess noch keineswegs die Annahme von elektrischen Schwingun- gen unzulässig, sondern beweist bloss, dass die hier vorhandene Bewegung der Art ist, dass sich die dabei eintretenden Gleichgewichtsstörungen aus- gleichen, ohne vorher in Schwingungen überzugehen , und es könnte dioss möglicherweise eine Folge von zugleich mit eintretenden Aenderungen in den Beziehungen zwischen Körper- und Aethertheilchen sein.

*) Vergl. Zantedeschi III, II 145: Die entgcgengesetzlen (Thermo-) Elek- triettftten entspringen ans dem Mangel an Symmetrie swiBchen den beiden Kry- alallenden. (Hauy.)

**) Yergl. Zantedesclii III, IIS. 199ff. und Ponillet, äberseist von Pal- mieri II § 187, 8. 208.

ZeitMhrin far Mathematik n. Physik. IV. 10

142 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Uudulationstheorie.

Ausser der Erregung von Elektricitiit durch Magnetismus und durch Elektricität, die wir sp&ter berühren werden^ bleiben uns jetzt bloss noch die organischen und atmosphärischen Processe als Elektricitätsquellen bu erwäh- nen. Diese Processe sind gemischter Natur, theils chemische, theils rein mechanische, und schon aus diesem Grunde könnten sie mannichfoch Gele- genheit zur Erregung von Elektricität bieten , ganz abgesehen von der na- mentlich im organischen Leben so vielfältigen innigen Berührang der ver- schiedenartigsteii Stoffe.

Schliesslich hätten wir nocl^ darauf hinzuweisen, dass die magnetisi- rende Einwirkung von Magneten auf benachbarte, des Magnetismus fähige Körper durch eine erschütternde Bewegung der Körpertheilchen oder durch Beiben befordert wird*), ja dass man einen schwachen Magnetismus selbst durch blosses Beiben hervorzurufen vermag, wobei aber freilich der Erd- magnetismus wohl einen Einfluss ausüben könnte»

2) Während wir uns bis jetzt über die Entstehung der Elektricit&t Re- chenschaft zu geben versuchten, wollen wir uns nunmehr mit dem Verhal- ten elektrischer Körper beschäftigen und die elektrostatischen und elektrodynamischen Erscheinungen zum Gegenstande unserer weitem Be- sprechung machen.

Mit Annahme der Undulationstheorie wird vor allem die Ansicht unhalt- bar, dass die Elektricität bloss auf der Oberfläche **) und auf dieser wieder an den verschiedenen Punkten je nach deren Krümmungshalbmessern in wechselnder Dichte abgelagert sei. Da wir aber dieThatsachen, welche rar Annahme dieser Ansicht geführt haben, nicht wegleugnen können, so mtls- sen wir sie auf eine andere Weise zu deuten trachten. Wenn nämlich auch alle Theilchen eines überall mit gleichnamiger Elektricität behafteten Kör- pers in gleichem Sinne schwingen , so werden doch schwerlich alle gleich heftig schwingen. Denn je weniger ein Theilchen in Folge seiner Lage und seines Zusammenhangs mit seinen Nachbartheilchen durch diese beeinflusst und um so zu sagen beengt ist , desto kräftiger kanh sein Schwingen und somit seine Wirknng nach aussen sein , sofern dieselbe von der Heftigkeit der Schwingungen abhängt ; desto leichter kann aber auch ein solches Theil- chen, wenn es selbst noch nicht elektrisch ist, einem von aussen kommen- den Antrieb zum Schwingen nachgeben und elektrisch werden. Nun haben aber die Theilchen an Kanten, Ecken und Spitzen offenbar die freieste Lage und eben desshalb müssen sie nicht nur am leichtesten, sondern auch am stärksten elektrisch werden und am besten dazu geschickt sein , ihre Elek-

*) Vergl. Pouillet, übersetzt von Palmieri II § 188. Becqüerel, trait^ de physique I, S. 88. — Die Keibungscoefficienten der Bewegung sind kleiner als jene der Ruhe. — Im Status nasccus ist die chemische Anziehung weit kräftiger.

**) Ohnehin setzt man ja schon jetzt von der galvanischen Blektricit&t yoraus, dass sie sich im ganzen Querschnitt des Leiters und nicht bloss auf dessen Ober- fläche fortpflanze.

Von hrr Ed. Zetzsche. 143.

trieität an andere unelektrische oder weniger stark elektrische Kürper ab- Bogeben *). Wenn ferner auch alle in gleichem Sinne schwingenden Theil- ehen eines elektrischen Körpers aaf einen Prtlfnngskörper oder ein Elektro- skop gleiche Wirkung äussern, so ist doch die Gesammtwirknng anf das £lektroflk<q[» die algebraische Summe der Einzelwirkungen und ^Is solche ist sie nicht allein von der Anzahl der wirksamen Theüchen, sondern auch Yon deren gegenseitiger Lage abhängig und von der etwa durch die letztere abgeänderten Wirkungsflähigkeit der einzelnen Theilchen **). Auch in die- ser Hinsicht sind^ wieder die Spitzen in einer weit günstigeren Lage, als die Flachen, und bringt man den Prüfungskörper gar in das Innere des zu prü- fenden Körpers, so sind die auf ihn wirkenden Theilchen ringsum vertheilt and die einzelnen Wirkungen heben sich wegen ihrer entgegengesetzten Richtung gegenseitig auf ***), Daher macht auch eine elektrische Hohlkngel eine andere in sie hineingesteckte Kugel nicht elektrisch t) ; nnd es kön- nen die Ooldplättchen eines Blektroskops im Innern einer elektrisirten Hohl- kugel nicht divergiren, wenn bei der Elektricität die Wirkung in die Feme dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist und zugleich von gleichgrossen Raumelementen gleichstarke Wirkungen ausgehen, weil ja das hierher beztlgliche Qesetz der Statik nur unter diesen beiden Voraus- setzungen gilt Dass beide Bedingungen erfüllt sind, lässt sich experimen- tell nachweisen; wenn man aber zuvor durch äas Experiment darthnt, dass die Goldplättcken des Elektroskops in dem oben angeföhrten Falle wirklich nicht divergiren, so kann man entweder experimentell zeigen, dass eine Kugel an aUen Funkten ihrer Oberfläche gleich stark elektrisch ist, und dann (wie Priestley) auf das Gesetz der Wirkung in die Feme schlies- sen, oder max^kann, da auch das letztere längst theoretisch und experimen- tell festgestellt ist, aus diesem Gesetze folgern, dass von allen in derselben Kngclschale gelegenen Punkten eine gleichstarke Wirkung ausgehen muss, was ja auch dem ersten Theile der gegebenen Erklärung gemäss der Fall sein müsste, weil alle Punkte derselben sich genau in derselben relativen Lage befinden.

*) Spitzen and.FUchen bilden also einen ähnlichen Gegensatz wie Leiter nnd Nichtleiter.

••) Auf die Einstellung im magnetischen Felde ißt die Dichtheit nnd die Ge- stalt von wesentlichem Einflass.

♦•♦) Auf einem elektrischen Körper, bei welchem die Elektricität im Gleichge- wichte ist, muss die Summe der Wirkungen auf einen innern Punkt 1= 0 sein, weil sonst durch Inflnenss in diesem Punkte die natürlichen Flnida zerlegt werden mUssten nnd das Gleichgewicht gestört wäre. Yergl. Pouillet, übersetzt von PalmieriII§ 203, S. 253.

f ) Wenn eine massive und eine hohle Kugel von gleichem Durchmesser durch 2 gleiche nnd gleich stark elektrische Kugeln gleich stark geladen werden (Pouil- let, übers, von Palmieri II § 203, 8. 250), so sind wir versucht, diess als eine anderweite ßest&tignng des schon früher über den Einfluss des Querschnitts Gesag- ten zn betrachten.

10*

144 Die Elektricitlitslehre vorn Stanclpunkt der Undulationstheorie.

Wenn aber so die als Beweismittel für eine eigeniliümliche und bloss oberflächliche Vertheilang der Elektricität gebrauchten Thatsachen andere zulässige Erklärung finden, dann können wir diese VertheUung selbst eben so gut fallen lassen, wie Hacker („zur Theorie des Magnetismus," Nürn- berg 1866, S. 190, 203 u. 229) die Ansicht von einer ungleichen Vertheilang des Magnetismus im Innern der Körper widerlegt hat.

Die Erscheinungen, welche wir beobachten, wenn ein elektrischer Kör- per mit einem unelektrischen in Berührung kommt, sind einfache Folgen der vorhin besprochenen Eigenschaften der Leiter und Nichtleiter. Wird ein elektrischer Nichtleiter mit einem unelektrischen Nichtleiter berührt, so tritt in dem Zustande beider eine merkliche Veränderung erst nach Verlauf einer längeren Zeit ein und es erstreckt sich auch dann die Einwirkung des elek- trischen Körpers auf den unelektrischen , sofern sie nicht blosse Strahlung ist, nur bis zu einer nicht beträchtlichen Tiefe. Sind dagegen beide Körper gute Leiter, so findet sehr schnell eine Ausgleichung in ihrem gegenseitigen elektrischen Zustande statt, ganz ähnlich, wie wenn sich zwei gute Wärme- leiter von verschiedener Temperatur berühren. Dadurch, dass die schwin- genden Theilchen die noch nicht schwingenden in Bewegung setzen, erlei- den sie selbst einen VerluBt an dem ihnen inne wohnenden Schwingungs- momente, und es stellt sich schliesslich ein durch die beiderseitigen Grössen- und Massenverhältnisse bedingter, beiden Körpern gemeinschaftlicher Gleich- gewichtszustand heraus. Ist aber der unelektrische Körper gegen den elek- trischen unendlich gross, so wird durch ihn das ganze Schwingungsmoment aufgezehrt und der elektrische Körper völlig entladen. Zwischen kine liegen die Erscheinungen bei der Berührung eines Nichtleiters mit einem Leiter; ein Nichtleiter wird durch den Leiter zunächst nur an der Btrührungsstelle geladen oder entladen.

Sind ein elektrischer und ein unelektrischer Körper durch einen Leiter verbunden, so ist es nahezu ebenso, als wenn sie sich unmittelbar berührten. Befindet sich dagegen zwischen ihnen ein Nichtleiter, so gestattet dieser, wenn schon er selbst nicht elektrisch wird , doch durch sich hindurch eine Einwirkung des elektrischen Körpers E (Taf. I, Fig. 6) auf den unelektri- schen ü^ ' welche wir früher als Strahlung bezeichnet haben. Durch diese neue hinzukommende Einwirkung werden in ü zunächst die Aethertheilchen aus dem Gleichgewichte gebracht, gerathen in Schwingungen und übertra- gen dieselben auch so viel als möglich auf die Körpertheilchen. Ist nun ü ein Nichtleiter, so erstreckt sich wiederum die Einwirkung auf die Körper- theilchen nur auf eine geringe Tiefe in U hinein*). Ist aber ü ein Leiter,

*) Wenn in diesem Falle bei kräftiger Wirkung von E wiederholte Abwechse- lungen im Vorzeichen der £Iektricität auf [/ erscheinen , so sind die als Grenzen der einzelnen , entgegengesetzt schwingenden Zonen auftretenden Folgepnnkte eben- falls mit den akustischen Schwingungsknoten zu vergleichen. Magnete mit Folge- pnnkten erhält man durch gewisse Arten des Streichens, oder durch Abwechselon- gen in der Umwickelungsrichtung des Drahtes der Elektromagnete. Das Auftreten

Von Dr. Ed. Zetzsche. 145

so geräth er vollständig mit in Schwingungen und es bilden fortan beide Körper bloss ein einziges, durchweg gleichförmig schwingendes System. Auch in diesem Falle ist eine Indifferenzzone vorhanden und rückt HIB so näher an ^ heran, je "kräftiger die von £^ ausgehende Wirkung ist, d. h. je stärker elektrisch und je näher E ist*) ; diese Indifferenzzone ent- spricht aber nicht einem Schwingungsknoten, sondern ist die Folge des schon 8. 142 erwähnten Einflusses, dendieNachbartheilchenauf die nach aussen sich kund gebende Wirkung irgend eines Theilchens ausüben. Dem elektrisi- renden Einflüsse von £ auf die Zwischenschicht arbeitet zwar der von U kommende gleichsinnige entgegen, weil seine Wirkungsrichtnng die entge- gengesetzte ist, wenn aber die Dicke der nichtleitenden Zwischenschicht klein genug ist, so werden doch in dieser ganzen Zwischenschicht auch die Rörpertheilchen mit zu Schwingungen fortgerissen werden**), und in dem Momente ***) , wo diess geschieht , springt ein Funken über t) > werden die elektrischen Schwingungen sichtbar ff)- Da aber durch das Ueberspringen des Funkens, gerade wie bei jeder andern Fortpflanzung durch Leitung, auf dem ursprünglich elektrischen Körper die elektrische Spannung ver- mindert wird , so ist nach dem Ueberspringen des Funkens die Zwischen- schicht für die noch vorhandene elektrische Spannung zu dick , die Mitthei- lung der Elektricität dadurch unterbrochen, und es müssen die beiden Kör-

▼on Folgepunkten an elektrischen Körpern ist indessen noch zu wenig stadirt, als dass wir hier weiter darauf eingehen möchten. Doch mag nicht unerwähnt blei- ben, daas das Auftreten von Folgepunkten, wenn es sich nicht als eine durch die Natur der Nichtleiter bedingte Eigenthümlichkeit derselben darstellen lässt, ans der Undnlationstheorie etwas schwierig zu erklären zu sein scheint und der gleich 7M entwiekelnden Ansicht über die elektrische Vertheilnng widerspricht. — Bei den (Lippen-) Pfeifen finden wir, dass die Stärke des Hauchs und die Dimensionen der Mündung ein Schwingen in Unterabtheilnngen herbeifUbren können (Pouil- let, abersetzt von Palmieri III, § 344, 8. 104) und es sind dort die als Ganzes schwingenden Theile um so kleiner, je höher der Ton ist.

*) Aehnlich beim Mag^netismus ; Pouillet, übersetzt von Palmieri II § IQl, 8. 140: „Ein Eisencylinder von einem Magnet getragen, ist in Wirklichkeit selbst ein Magnet, zieht daher Eisenfeilspäne an und hat eine Indifferenzone und zwei Pole; die Indifferenzzoue liegt indess nicht in der Mitte."

**) Dass in der Zwischenschicht sich stehende Wellen erzengen, ist wenig wahrscheinlich, weil ja die aus der isolirenden Zwischenschicht zum Leiter gelan- genden elektrischen Aetherschwingnngen sich in diesem leichter fortpflanzen können.

***) Auch bei chemischen Wirkungen, die yon Lichtentwickelung begleitet sind, dauert die letztere nur einen Moment.

f) Bei der Voltaischen Elektricität entwickelt sich das Licht nur, wenn sich die beiden Pole berührten und dann yon einander getrennt werden (Trennungs- fonken); ohne stattgehabte Berührung jedoch bei kleinem Abstände auch, wenn man vorher einen Funken aus einer Leydner Flasche durchgehen lässt. In beiden Fällen befördert und erleichtert also die schon yorhandene Bewegung im isoliren- den oder doch mindestens weniger g^t leitenden Mittel die Annahme der elektri- schen Schwingungen. Nicht gleichgültig als Prüfstein für die Theorie ist die Ge- stalt und Richtung des Funkens nach dem früher Gesagten.

II) Aehnlioh ist der Vorgang bei der Fluorescenz, vergl. Ettingshausen, die Principien der heutigen Physik, S. 13; hier in Licht umgesetzte Elektricität, dort in sichtbares Licht arogesetztes unsichtbares Licht.

146 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Undulationstheorie.

per sich einander genähert werden , damit ein zweiter Funken fiberspringe, ein Nachschlag erfolge u. s. f.

Da die Wirkung in die Ferne bei der gestrahlten ElektricitÄt dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist, so muss die Intensität der auf U durch Vertheilung erzeugten Elektricität ausser von der Intensi- tät der Elektricität auf J? zunächst von der Entfernung abhängen, in wel- cher sich ü von dem influenzirenden Körper E befindet. Je weiter IJ von j^ entfernt ist, desto schwächer ist der Anstoss, welchen die E zunächst liegenden Theilchen des influenzirten Körpers V überhaupt erhalten. Von der Gestalt, BeschaflFenheit und Grösse des Körpers CT hängt es dann ab, in welcher Weise und Stärke sich jener erste Anstoss weiter fortpflanzt und verbreitet.

Wir setzen also nicht erst auf den influenzirten Körper U ein ur- sprüngliches und gleichzeitiges Auftreten beider*) Elektricitäten voraus, um dann wieder die entgegengesetzte in dem E zugewandten Ende , weil sich ja durch kein Mittel ihre Anyesenheit nachweisen lässt, durch die Elektricität auf E binden zu lassen und ihr selbst die Bindung eines Thei- les der auf i? heflndlichen Elektricität aufzutragen, um daraus zu erklären, warum E auf dem nach U gewandten Ende jetzt weniger stark elektrisch ist , und warum E nicht vollständig entladen werden kann , so lange U rück- wärts darauf einwirkt**). Will man E entladen, so wird es ja gleich von ü aus wieder durch Vertheilung geladen. Wohl aber kann auf V die gleich- namige Elektricität am abgewendeten Ende abgeleitet d. h. die Ursprung-

*) Das Auftreten beider Elektricitäten konnten wir gar nicht einmal beibehal- ten, weil wir vergeblich nach einem Grunde für das Auftreten der entgegenge- setzten Schwingnngsweise am zugewandten Ende und für das Umspringen dersel- ben wieder .in die gleichnamige Schwingung am abgewandten Ende suchten , und auch nirgends in dem weiten Gebiete der Lehre von den Schwingungen ein Analo- gen für diese Erscheinung fanden, ausser etwa den von Poisson nachgewiesenen Verlust einer Wellenlänge bei Grenzübergängen. Auch hier ist Robida anderer Ansicht, und die von ihm versuchte Erklärung spricht wirklich für das Auftreten beider Influenzelektricitätcn ; unsere Zweifel und Bedenken gegen seine Beweisfüh- rung werden wir ein ander Mal begründen. — Das Abweichende bei der magneti- Rchen Vertheilung werden wir später zu erklären versuchen. — Nach den Mitthei- lungen von Farad ay (vergl. Philos. Magazine Ser. IV vol. IX, p. 161 und dar- aus übersetzt in der Zeitschrift des deutsch - österr. Telegraphen -Vereins II 5, S. 103) hielt auch Melloni eine Modification des Fundamentaltheorems der elek- trischen Vertheilung für nöthig*,,in dem Sinne, dass 2 durchaus verschiedene Wir- kungen auseinander gehalten werden — der elektrische Zustand während der Ver- theilung und der nach der Berührung und Entfernung von dem inducirenden Kör- per. Wir kennen den Vorgang im letztern Falle , nicht aber im erstem etc/' Auch glaubte Melloni, dass die Resultate , zu denen Coulomb, Poisson und Andere ihrer Zeit gelangten, mit den wahren Naturgesetzen nicht in Einklang stünden.

**) W^enn man jß ableitet, so sollte doch wohl (was ja auch bei der gänzlichen Entfernung von E geschieht) die Influenzelektricltät erster Art auf dem E zuge- wandten Ende des Körpers U steh eher mit der gleichstarken Influenzelekti'icitUt zweiter Art auf dem abgewandten Ende ausgleichen, als mit der entfernteren auf Ey welche letztere dann ungestört abfiiessen könnte.

Von Dr. Ed. Zbtzsche. 147

lieh Toa E ausgegangene Wirkung noch weiter fortgepflanzt werden. Dabei ▼ersehwinden die Schwingungen in U^ während E seiner Eiektricität durch die Ableitung von ü nicht beraubt wird , weil es von ü durch einen Nicht- leiter getrennt ist, also bloss durch Strahlung auf U einwirkt, w6bei, wie wir bereits festgestellt haben, nur wenig Schwingungsmoment verbraucht wird. Wird E entfernt, so stellt sich in beiden Fällen mit -dem Aufhören des störenden Einflusses auf U das frühere Gleichgewicht wieder her ; w\irde aber sugleich mit der Entfernung von E auf ü die Ableitung aufgehoben, 00 erscheint auf ü als Beaction die entgegengesetzte Eiektricität, weil der durch die Wechselwirkung der Körper- und Aethertheilchen im ganzen abgeleiteten Systeme und durch die Anwesenheit und Wirksamkeit von E bedingte and erhaltene Beharrungszustand mit der Entfernung des Körpers £ Dothwendig unterbrochen und durch die in dem gleichzeitig durch Aufhe- boag der Ableitung verkürzten Systeme noch wirksam bleibenden Antriebe ein anderer Beharrungszustand herbeigeführt werden muss.

Versuchen wir gleich eine Anwendung des eben Vorgetragenen zur Erklärung der Vertheilungserscheinungen beim Condensator (Leydner Flasche) und dem Elektrophor. Die Erklärung der Wirkung des Conden- sators und der Leydner Flasche zunächst ist schon fast vollständig in dem Yorfaei^ehenden enthalten und gestaltet sich sehr einfach (Fig. 7). Wird der leitende Deckel d mit einem elektrischen Körper k berührt, so wurd er durch Mittheilung elektrisch und seine Eiektricität elektrisirt durch die isolirende Zwischenschicht z durch Strahlung die Basis b und zwar be- kommt die Basis durchweg dieselbe Eiektricität wie der Deckel. Das Ganze: Ar, d, z,b bildet nur ein elektrisches System. Wird dagegen b ab- leitend berührt, so führt die Wechselwirkung der Theilchen und die gleich- seitige Einwirkung von d auf b einen Zustand der Beharrung herbei, in welchem bj so lange d anwesend bleibt, unelektrbch erscheint, aber ent- gegengesetzt elektrisch wird , sobald d entfernt wird. Rückwärts wirkt aber anch b in semem durch die Ableitung modiflcirten Zustande auf d ein und auch auf d entsteht dadurch , so lange es in der Nähe von b befindlich ist, ein Zustand des Gleichgewichts, welcher d befähigt, bei einer neuen Be- rfibrnng mit dem nicht stärker als früher elektrisirten Körper k von diesem eine neue Quantität Eiektricität, einen neuen Theil seines Schwingungs- momentes zu übernehmen. So wirkt das Ganze als Condensator. Dass nach der Ableitung von b der Zustand sowohl in & als in d ein erzwungener und wechselseitiger ist, deutet die Heftigkeit an, mit welcher die Aus- gleichung zwischen beiden erfolgt , sobald man b und d leitend verbindet. Durch eine solche Verbindung wird d seines Schwingungsmomentes be- raubt und dieses dazu verwendet, um auf 6 das Gleichgewicht herzustellen, welches ja durch eine von d ausgegangene , also dessen Eiektricität äqui- valente Wirkung gestört worden war. — Beim Elektrophor ist der ur- sprünglich elektrische Körper selbst ein Isolator , nämlich der durch Eeibon

14S Die Elektricitätslchre yom Standpunkt der Undulationstheorie.

mit dem Katsenfell negativ elektrisch gemachte Harzknchen, weldi«r den Deekel und die Schüssel hei unmittelharer Berührung durch Mittheilung und bei mittelbarer durch Vertheilung elektrisch macht Zudem spielen hier auch Deckel und Schüssel keineswegs genau dieselbe Rolle, als der Deck^ und die Basis des Condensators. Die mit dem Katzenfell geriebene Fläche des Harzkuchens ist negativ elektrisch; setzt man den Deckel auf, so wird er ebenfalls negativ elektrisch , so lange er auf dem Kuchen ruht ; auch kann er als guter Leiter diese negative Elektoicität weiter geben, und wenn er nach einer ableitenden Berührung von dem Kuchen abgehoben und zugleich die Berührung aufgehoben wird , so zeigt er sich positiv elektrisch. Dasselbe geschieht in der Schüssel oder Form, nur wirkt hier die auf der Oberfläche des Harzkuchens geweckte Elektricität aus grösserer Feme und vorzugsweise durch Vertheilung ; die Elektricität der Schüssel ist desshalb weniger intensiv« Werden daher in diesem Falle Deckel und Schüssel, ohne vorher ableitend berührt worden zu sein , leitend verbunden , so ent- steht zwischen ihnen, obwohl sie gleichnamig elektrisch sind, ein Strom, durch welchen der Ueberschuss des Deckels der Schüssel zu Gute kommt. An die Influenzerscheinungen schliessen sich eng die Inductions- erscheinungen an. Die Induction steht genau in demselben Verhältnisse zu der dynamischen (bewegten) Elektricität, in welchem die Influenz zur statischen Elektricität steht*), und offenbart sich ungeschlossenen Leitern durch eintretende Spannungscrscheinun^en , während in geschlos- senen Leitern momentane Ströme hervorgerufen werden. Indem wir übrigens an dem schon früher über die Induction Ausgesprochenen festhal- ten , haben wir hier bloss noch die Richtung der Inductionsströme aus der bisher entwickelten Ansicht über die Influenz herzuleiten. Stellen wir uns parallel zu dem Leiter A B (Fig. 8) ein Stück CD eines anderen geschlosse- nen Leiters vor und lassen durch AB plötzlich sich Elektricität in der Richtung von A nach B bewegen ; ist z. B. diese Elektricität in a angekom- men **) , so stört sie das elektrische Gleichgewicht in CD und zwar erhält das zunächst liegende Element a^ den stärksten Anstoss , die entfernteren schwächere. Die dadurch in diesem Elemente entstehenden gleichsinnigen Schwingungen (gleichnamige Elektricität) haben das Bestreben sich nach beiden Seiten hin fortzupflanzen , allein nur in der Richtung nach C können sie es ungehindert; in der Richtung nach D stossen sie bereits auf die — durch das inzwischen erfolgte Auftreten der Elektricität in b — in b^ er- zeugten , wegen der gleichen Entfernungen {aa^ = bb^ etc.) gleich starken, sich in der Richtung nach C fortpflanzenden Schwingungen und werden von ihnen vernichtet; ebenso die von 6^ nach D sich fortpflanzenden Schwin-

*) Doch xnuss nach S. 13 auch bei der Influenz meist schon ein Strom anf- treten.

**) a gelte als das erste Theilchen in AB ^ von welchem elue merkliche Ein- wirkang auf CD erfolgt.

Von Dr. Ed. Zetz6CHE. 149

gongen durch jene , welche von c aus in c^ hervorgerufen wurden und sich gegen C hin fortpflansen wollen. Ein gleiches Besultat liefert die Einwir- kung von a auf b^ , von b auf Cy u. s. w. ; von a auf c^ , b auf d^ u. s. w. So bleiben in CI> beim Beginn des Stromes in AB die in der Richtung nach Ü, beim Aufhören des Stromes , die in der Richtung nach D sich fortpflanzen- den Schwingungen übrig; erstere geben einen Strom in entgegengesetzter, letztere einen in gleicher Richtung mit dem in AB, Ist der Strom in ^^ nicht momentan, sondern dauernd, so vernichten sich, so lange er unver- ändert bleibt, in CJ)E die gleichseitig in den Richtungen nach C und nach D fortgepflanzten Schwingungen. Bewegen sich endlich entgegengesetzte Elektricitäten in ^^J? in entgegengesetzter Richtung, so ist auf jede das eben Gesagte anzuwenden und der Erfolg genau derselbe.

Sind zwei elektrische Körper durch einen Leiter verbunden , so stre- ben sie sich durch denselben hindurch ihre Antriebe zu Schwingungen mit- zQtheilen , genau in derselben Weise , als wenn sie sich unmittelbar berühr- ten. Haben beide dieselbe Schwingungsweise, so findet bei der eintreten- den Ausgleichung jeder in dem andern den Zustand schon vorhanden , den er selbst hervorrufen würde , und es vertheilt sich höchstens bei ungleicher Intensität der Schwingungen der einseitige Ueberschuss gleichmässig über das ganze System, in kürzerer oder längerer Zeit je nach der Leitungsfä- higkeit der beiden elektrischen Körper. Haben beide Körper entgegenge- setzte Elektricitäten , so findet jeder in dem andern den entgegengesetzten Zustand von dem , welchen er hervorrufen möchte , und es kommt jetzt auf die Stärke der Antriebe an; sind sie gleichstark, so müssen sie sich in ihren Wirkungen aufheben und keiner der beiden Körper zeigt sich nach der Vereinigung elektrisch; sind die Antriebe von verschiedener Stärke, so bleibt von dem starkem ein Ueberschuss und vertheilt sich wiederum über das ganze System. Sind zwei gleichnamig elektrische Körper durch einen Nichtleiter getrennt, so lassen sich beide ebenfalls als ein einziges System betrachten , bei welchem sich wieder die Wu'knng nach aussen z. B. auf ein Elektroskop an den beiden abgewandten Enden am stärksten zeigt, fUr ▼eiche sämmtliche wirksame Theilchen auf derselben Seite liegen, wäh- rend sie für jeden mittlem Punkt zu beiden Seiten desselben vertheilt sind. Umgekehrt ist die Wirkung bei ungleichnamigen Elektricitäten , deren Wir- kungen entgegengesetzt sind, also sich zum Maximum summiren müssen, da, wo sie nach entgegengesetzten Richtungen wirken d. h. an den einan- der zugewandten Enden der beiden entgegengesetzt elektrischen* Körper. Die Schlagweite wird in diesem Falle weit grösser sein, weil ja die von beiden Seiten her kommenden Wirkungen auf den Lichtleiter sich gegen- seitig unterstützen. Die Grösse der Schlagweite für einen elektrischen und einen nicht elektrischen Körper muss ferner in der Mitte liegen zwischen jenen beiden für zwei schon ursprünglich gleichnamig und für zwei entgegen- gesetzt elektrische Körper, da bei gleichnamig elektrischen Körpern die in

150 Die Elektricitätalehre vom Standpankt der Undulationstheorie.

der S, 146 «agedeateten Webe zur Wirkung gelangende Differenz kleiner sein moM , als wenn der eine Körper ursprünglich unelektrisch war. Beizen wir

nHmlich voraus , dass die durch Influenz erzeugte Intensität = — von der influenzirenden sei, und haben die beiden gleichnamig elektrischen Körper ^ und B die entsprechenden Intensitäten a und 6, so influenzirt Ä sxi£ B mit — , B auf A mit — ; diese Intensitäten zu den ursprünglichen gerecb*

net*), giebt am zugewandten Ende und bei guten Leitern von geeigneter Form überall

auf A die Intensität Az=za +^

n

- 2? . • 2? = 6 + £ n

Differenz der Intensitäten J = a -\ l*"*"^)

= ('-7)(«-») = ^ («-»)•

Um die Differenz positiv zu erhalten, setzen wir allgemein a>6, was offenbar erlaubt ist. a = 6 giebt Jqz^O; in diesem Falle wird auch kein Funken überspringen. Aus dem Falle a > 6 erhalten wir den Fall der ein- fachen Influenz , wenn wir d =: 0 setzen , und dann ist die Differenz der In-^

tensitäten -^j = -^^^ a; da aber ^/: z/j = -2^^^ < 1, so ist 2/ < J^. Ftlr

den Fall, dass die beiden Körper entgegengesetzt elektrisch wären, also der eine positiv, der andere negativ elektrisch, hätten wir nur b negativ zu

n — 1

nehmen und finden dann die Differenz der Intensitäten J2 = (<* + ^)i

da aber z/j : J^ = ■ ; < 1 , so ist J^ < J^ ^^^ allgemein :

^ < ^, < ^r Somit kann auch für z/j die Zwischenschicht am dicksten sein. Wir kom- men also auch ohne die Influenzelektricität der ersten Art auf das vorste- hende allgemeine Gesetz. Da n aus der Rechnung wegfällt, so brauchen wir für den vorliegenden Zweck auf seine Bestimmung gar nicht weiter ein- zugehen.

Achnlich verhält es sich beim Magnetismus , nur dass hier die Leitung wegfällt, also bloss Aetherschwingungen vorhanden zu sein scheinen. H-äcker fand, dass bei der Wirkung eines Magnetes auf einen andern der Erfolg wesentlich von einem „Qualitätscoefficienten der Masse der Magnete" abhinge. Dieser Coefficient ist für uns der Ausdruck für das Verhältniss der anziehenden oder abstossenden Wechselwirkung zwischen den Massen

*) a additiv wegen der S. 145 aufgestellten Ansicht; desswcgen rnttss zngleieh n eiue positive Zahl sein; übrigens ist auch jedenfalls <X)^n]>l, weil sonst bei der Inflaenz die Schlagweite = 0 sein müsste; in n steckt anch der Einfiuss der Entfernung zwischen A und ß^ vergl. S. 145.

Von Dr. Ed. Zbtzschb. 15t

und Aethertheileken. Je sUh-ker diese Weckselwirkang ist, desto leicktet können sick zwar die Sckwingungen eines Tkeilchens über den gaasen Körper verbreiten, in desto kürzerer Zeit müssen sie aber anck naek dem Aufhören der Einwirkung von aussen, dnrck welcke sie eben in Sekwin- gnngen versetzt wurden, wieder zur Rübe gelangen. So paart sich die Bckwerere Annahme des Magnetismus ganz naturgemäss mit dessen längerer Daner, und es stellen sick die permanenten Magaete auf gleiche Stufe mit den die Elektricitftt gleickfalls auf längere Zeit bekaltenden Nichtlei- tern der Elektricität; wird ja dock ikr Zusammengchöi^n durck den jetzt leickt erklärlicken Umstand angedeutet, dass der mit stärkerer Coercitiv- kraft begabte Stakl besser durch Keibungselektricität elektrisirt wird, welche, wie wir schon sahen, besonders durch Nichtleiter erregt wird. Wenn nun in einem an sich zwar starken Magnete die Wechselwirkung zwischen den Massen- und Aethertheilchen ein Ummagnetisiren , ein Umkehren der Pole leicht zulässt, so kann dasselbe selbst durck einen übrigens schwachem Magnet bewirkt werden, und darin eben besteht Häcker^s „Einwirkung eines Magnetes in die Masse eines andern'^ (vergl. P. W. Hacker, zur Tkeorie des Magnetismus, S. 185 und 19i).

Nachdem wir bis jetzt das Verhalten der elektriscken Körper in Bezug auf die specifisch elektriscken Ersckeinungen betrachtet haben, müssen wir noch einen Blick auf die Veränderungen werfen , welche durck die Elektri- cität in den Aeusserungen der Molekularkräfte der elektriscken Körper hervorgebrackt werden. Als Ursacke aller dieser Veränderungen möchten wir die Bewegung der Tkeilchen bezeichnen , also geradezu und unmittel- bar die elektriscken Schwingungen. Wie durch die Wärme oder das Licht nicht selten Veränderungen in der Structur und Krystallform im Innern fe- ster Körper herbeigeführt werden, so ändert sich auch im elektrischen Zu- stande und durch ihn die Anordnung der Körpertheilchen. So werden Stromleiter mit der Zeit spröde und brüchig*); häufig überwindet die Elek- tricität sogar die Cohäsion und löst den Zusammenhang. Wie ein leeres Glas auf dem heissen Ofen springt , wenn seine Theilchen nicht schnell und leicht genug die Wärmeschwingungen aufnehmen und weiter geben kön- nen **) , so zertrümmert ein kinreichend kräftiger elektrischer Sclilag die Nichtleiter, durch welcke er sick Bahn bricht. An Leitern zeigen sich diese zerstörenden Wirkungen um so weniger, je leichter die Theilchen der An- regung zu Schwingungen folgen können. Wohl aber beobachtete man wie- derholt an Blitzableitern , an denen heftige Blitze niedergingen, eine spiral-

*) Etwas Aehnliehes finden wir bei den eisernen Wagenachsen, deren Festig- keit ausser den Stössen noch durch die Verdrehnng bei der rotirenden Bewegung in Anspruch genommen wird.

**) Dessgleichen bei cu schneller Abkühlung des Glases. — Ausdehnung und Zusammenziehung durch die Wärme.

152 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Undulationstheorie.

förmige Drehung*), ein Umstand, welcher auf die Beschaffenheit der elek- trischen Schwingungen hindeuten dürfte**).

Ferner verstärkt oder schwächt der elektrische Strom die chemische Anziehung zwischen den Atomen eines und desselben oder auch verschiede- ner Körper und befördert oder hindert so chemische Zersetzungen und Verbindungen« Die Zersetzungen erfolgen nach den von Farad ay aufge- stellten Gesetzen mit solcher Regelmässigkeit und Gleichförmigkeit, dass Jacobi sogar als Maasseinheit für die elektrischen Ströme jenen Strom vorschlug, der in eper Minute ein Kubikcentimeter Knallgas liefert. Den- noch ist aber die Art und Weise , wie eigentlich der elektrische Strom che- misch wirkt, noch in ein tiefes Dunkel gehüllt. Da indessen Licht und Wärme ebenfalls ehemisch wirken***), und beim Lichte wieder die stark brechbaren, am schnellsten schwingenden Stock er* sehen Strahlen am be- sten, so liegt die Vermuthung gewiss nicht ferne, dass gerade das Bewegt- sein und die Fortpflanzung des Bewegtseins auch die chemische Wirkung herbeiführt, indem es die Beschaffenheit t), Lage und Anordnung der Theil- chen abändert. Veranlasst doch in einigen Fällen schon ein gewöhnlicher Stoss, eine Erschütterung des einschliessenden GefHsses eine chemische Wechselwirkung oder eine Krystallisationft).

*) Aehnlich selbst an weniger guten Leitern; vei^l. u. A. Zeitschrift des deatsch - österr. Telegraphen > Vereins II ^10, S. 230 and 231: „^" zeigten sich da- bei dieselben Erscheinungen, welche auch schon mehrfach beobachtet worden: das elektrische Flaidum ging meist aus der Leitung längs den 8tangen in spiralförmi- gen Bahnen zur Erde, indem es die ßtangen selbst bald spaltete oder gänzlich zersplitterte, bald nur spiralförmige Splitter aus denselben herausriss.'*

**) Die weitere Ausführung davon folgt später S. 45. Hier nur eine Stelle aus Becquerel, trait^ de physique, I p. 70: „von Marum hatte beobachtet, dass sich die Länge elftes Metalldrahtes von kleinem Durchmesser verkürzt, wenn man eine Leydner Flasche durch ihn entlädt; diess bestätigend erkannte Edmund Becquerel, dass der Draht einen welligen Zustand annahm (affectait une dispo- sition onduHe), welcher anzudeuten scheint, dass die Elektricität in einer Art Wellenbewegung durch den Draht geht. Eine ähnliche Wirkung war an Glocken- strängen beobachtet worden, welche der Blitz durchlaufen hatte/*

*♦*) Robida sagt S. 17 der Vibrationstheorie : „Alle sogenannten chemischen .Wirkungen des Lichts, darunter auch die Photographie, halte ich für Wirkungen der durch das Licht geweckten Elektricität. Zur Photographie präparirtes feuch- tes Papier wurde zwischen zwei Platindrähte, welche die Pole des elektrischen Stroms vorstellten, gelegt, und es schwärzte sich in kurzer Zeit am intensivsten zwischen den Polen, schwächer seitlich von diesen wie von verfliessender schwar- zer Tinte. Nach Unterbrechung des Stroms wurde ein einziger dieser Platindrähte auf das präparirte Papier gebracht, und er schwärzte es noch merklich; dagegen zeigte ein anderer im elektrischen Strome nicht gebrauchter Platindraht keine Ein- wirkting auf das Papier. Demnach haben die elektrischen Schwingungen im Drahte sehwach fortgedauert. Die Versuche, welche Grove in Pogg. Annalen B. 100, S. 345 erzählt, scheinen meine Ansicht zu bestätigen.** — Wir tragen diess nur als ein weiteres Beispiel fUr die Analogie zwischen den Wirkungen des Lichtes und der Elektricität nach; bei der obigen Anschauungsweise brauchen wir wenig- stens nic^t unsere Zuflucht zu einer so verwickelten und unklaren Hypothese über die Elektrochemie zu nehmen, wie Robida, d<er uns hier obendrein den Beweis dafür schuldig bleibt, wie die transversalen Lichtschwingungen longitndi- nale elektrische Schwingungen wecken.

f ) Ueberftthrung des Sauerstoffs in Ozon durch Elektricität. ft) Nach Plücker nehmen auch die krystallinischen Axen bei der Krystal-

Von Dr. Ed. Zktzsche. 153

Endlich ändert sicli im elektrischen Zustande auch die gegenseitige Anziehung oder Abstossnng der verschiedenen Körpern angehörigen Mas- sentheilchen. Die Ursache dieser Anziehung oder Abstossung wäre also keine neu hinzukommende Kraft*), sondern die in der Wirkungsweise der den Massentheilehen inne wohnenden anziehenden Kräfte eintretenden Yer- änderungen , welche eben durch den eigenthümlichen Zustand der Bewe* gung herbeigeführt werden, in welchem sich die Massentheilehen befin- den**). Werden zwei (leichte) Körper gleichnamig elektrisirt, so streben sie sich von einander zu entfernen , stossen sich gegenseitig ab und werden auch von der Elektricitätsquelle abgestossen. Elektrisirt man dagegen das eine Körperchen positiv, das andere negativ, so ziehen sie sich gegenseitig an und streben sich gegen einander zu bewegen. Daraus floss das Gesetz: gleichnamige Elektricitäten stossen sich ab, entgegengesetzte ziehen sich an. Nun zieht ein elektrischer Körper jeden andern , auf welchem er durch Influenz Elektrioität erzeugte, an , und desshalb setzte man auf demjenigen Ende des influenzirten Körpers, welches dem influenzirenden zugewandt ist , die entgegengesetzte Elektrioität (als Influenzelektricität erster Art) voraus , nannte sie aber gebunden , weil sie sich nicht durch das Elektroskop nachweisen lässt. Da wir jedoch auf dem .ganzen influenzirten Körper bloss die Erzeugung der gleichnamigen Elektrioität annehmen konnten (vergL S. 145) ; so nahmen wir dadurch zugleich dem Gresetze der elektrischen An- ziehung und Abstossung seine Allgemeinheit. Indessen , wenn wir somit auch gezwungen sind , ein nicht unter allen Umständen gleiches Verhalten zweier mit Elektrioität behafteter Körper voraus zu setzen , wenn wir dabei unterscheiden müssen , ob die Elektrioität auf dem zweiten von dem ersten durch Vertheilung oder durch Mittheilung erzeugt wurde : so sind wir dess- wegen nicht etwa schlimmer daran, als die Dualisten, welche — um gerade bei aufrecht erhaltener Allgemeinheit des Anziehungsgesetzes zu erklären, wesshalb die positive und negative Elektricität einer galvanischen Säule sich trotz ihrer so starken Anziehung nicht über die elektricitäterregende Berührungsfläche vereinigen, während sie sich doch so leicht und mit so grosser Heftigkeit durch den Schliessungsbogen vereinigen — eben jene Berührungsfläche zwischen den beiden sonst recht gut leitenden Elektro- motoren zu einer für die diesseits und jenseits abgelagerte Elektricität un- Überspringbaren***) Grenze machen. Die Ursachen, welche das verschie-

liMtion im magnetischen Felde eine bestimmte Lage gegen die magnetiscbeti Pole an.

*) Kach der dualistisclien Theorie ist diese Kraft vertreten darch die sich an- siehenden oder abstossenden Flnida.

**) Ueber eine durch die Wärme hervorgemfene anziehende und abstossende Kraft vergl. Zantedeschi, trattato di fisica II, I S. 285 if.

***) Vergl. Pouillet, übersetzt von Palmieri II § 220, S. 207: „ohne je die Grense überspringen und sich vermöge ihrer wechselsoitigen Anaiehang ver- einigen KU können.** — Wer erinnert sich dabei nicht an den abenteuerlichen Qlaa-

154 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Undulationstheorie.

dene Verhalten in den einzelnen FitUen bedingen , sind freilich noch anfza- fiuchen und werden sich vielleicht in dem verschiedenen Verhalten der Lei- ter und Nichtleiter gegen die Elektricität , in den verschiedenen Wechsel- beziehungen zwischen Aether- und Körpertheilchen finden lassen. Nament- lich dürfte das Verhalten des zwischenliegenden Nichtleiters in Folge der auf ihn ausgeübten Einwirkung massgebend sein; S. laO fanden wir ja J < J^ < J^ ^^^ ^ß ^ällt

2^2 zusammen mit kräftiger Anziehung zwischen zwei entgegen- gesetzt elektrischen Körpern,

z/| zusanmien mit schwächerer Anziehung zwischen dem inflnen- zir enden und influenzirten Körper,

z/ zusammen mit Abstossung zwischen ursprünglich gleichnamig elek- trischen Körpern. 4

Den Uebergang aber von der Abstossung zur Anziehung würde ein ein- facher Zeichenwechsel in der Besulti^nte der Abstossung andeuten. Ueber- diess steht jene Erscheinung auch keineswegs vereinzelt da; denn abge* sehen davon, dass der Magnetismus nicht auf alle Substanzen in gleicher Art wirkt, sondern man paramagnetische und diamagnetische Substanzen unterscheiden muss, begegnen wir in der Elektrodynamik bei den Amp^r er- sehen Gesetzen demselben Gegensatze nochmals und unter denselben äusse- ren Bedingungen in Bezug auf einen zwischenstehenden oder nicht zwi- schenstehenden Nichtleiter. Während sich nämlich die succesaiven Theile desselben Stromes abstossen, ziehen sich zwei parallele gleichgerichtete Ströme an*).

ben an einen — jedoch nur bis zu einer gewiss^i Höhe über der Erdoberfläche hinaufreichenden -- horror vacui der Natui', wie er vor Torricelli gelehrt wurde? Bei der Annahme der UudulationBtheorie hilft ans wohl der Satz von Fresnel über diese Schwierigkeit: dass bei von einem Punkte ausgegangenen Wellen eine Rückwirkung, eine Rückkehr nur da stattfinden kann, wo eine Verschiedenheit der Dichte und Elasticität vorhanden ist (Pouillet, übers, von Palmieri 111 § 437, S. 313). Die elektrischen Wellen entstehen aber in der Berührungsfläche selbst.

*) Hier wie dort sehen wir durch Mittheilung gleichnamig elektrische Theil- eben sich entschieden abstossen. Die Abstossung zwischen zwei Theilchen wird proportional sein dem Produkte der Intensitäten beider Theilchen und umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung. Dürfen wir nun annehmen , dass die S. 150 gefundene Differenz der Intensitäten der beiden elektrischen Körper A und B nicht aHein die Einwirkung auf den zwischenliegenden Isolator N bestimmen , son- dern zugleich als Maass für die elektrische Intensität auf dem ganzen Isolator zu gelten habe, so ist

auf A die Intensität A = aA

n

. B . - ^==6+2.

n

- JV - - ^^«+-— 6— -

II n

Stellen wir nns nun A nnd B als elektrische Punkte von der Masse i vor, ist ihre Entfernung = e und ist k die abstossende Kraft zwischen 2 gleichnamig elektri-

Von Dr. Ed. Zetzsohb. 155

Warum ein nicht elektriaeher Körper zwischen awei gleichstarken gleichnamig oder ungleichnamig elektrischen Körpern und ein elektrischer

sehen Körpern von der Masse 1 und der Intensität 1 in der Entfernung 1, so wird B Yon A abgestossen mit der Kraft

«=.4=[..+q±+^]i.

Ein Theilcben in N Ton der Masse du in der Entfernung u von B stösst B ab

du mit der Kraft pc=:BJk--j^ und die Summe aller Abstossungen der Theileben von

y g«geQ ^ ist:

Pr=iIlBdk^:=B/SkZ^z=zB/SS\ S=zkZ^\ QO>Ä>0

L n r? f? 1

Die Summe P=/? + /' ist die Totalkraft, mit welcher B abgestossen wird. Be- trachten wir die Summanden etwas näher in den schon S. 150 herausgegriffenen Fällen:

P>0

d. h. die Abstossang wird nicht = 0, wenn auch iioc= war. 2) 6 = 0 liefert:

''•==»• ?' R^ '^^ ""^'*' ^ >l>Ä>Äi

=[..(■- iy-.(-i)[.=(,-i)[.(,-i.)-.].* .

So lange in P der Werth h<^(\ J ö ist, ist also P^Pi und bestimmt /*> /*,.

Da aber R so beträchtlich grösser ist, als 72], so dürfte wohl allgemein P'^ Pi d. h. die Abstossang bei blosser Influenz geringer sein, als wenn B gleichnamig dektrisch mit A ist. 3)ö = --6fiefert:

fi,-Ä,= (-^'+««+^)p>Oi Ä,>Ä, n>l; a>ft fl>fl,

«6>fL*>i' Ä>Ä,>Ä.

= p(l-i)'+ft«(l -i] S>0; i>, >P,.

156 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt der Undulationstheorie.

zwischen zwei gleichstarken unter sich gleichnamigen weder angesogen, noch ahgestossen wird, während ein elektrischer zwischen zwei unter sich ungleichnamig elektrischen Körpern mit der Summe der heiden Wirkungen ahgestossen oder angezogen wird , das erklärt sich jetzt von selbst aus der Wirkungsweise gleicher oder entgegengesetzter Kräfte, deren Wirkungs- richtnngen in dieselbe gerade Linie fallen.

So hätten wir denn das weite Feld der elektrischen Erscheinungen mannigfach durchkreuzt und gefunden, dass uns nicht allein eine sehr be- stimmt ausgeprägte vielseitige Uebereinstimmung in dem Auftreten und in dem Wesen der Elektricität , des Lichtes und der Wärme die Anwendung der Undulationstheorie auf die Elektricität an die Hand giebt, sondern^ass auch, wenn man in der Elektricitätslehre diese Theorie zu Grunde legt, zunächst eine für alle Elektricitätsqu eilen gleichförmige Erklärung för die Erregung der Elektricität gewonnen wird , und dass in der Erklärung der elektrischen Erscheinungen selbst durchaus nicht mehr Schwierigkelten zu überwinden bleiben, als auch die dualistische Theorie noch unbeseitigt lässt, ja dass vielmehr so mancher gewichtige Einwand verschwindet. Zudem finden wir die Elektricitätserregung in der Regel von einer gleichzeitig auf- tretenden Bewegung begleitet und sehen die meisten Wirkungen des elek- trischen Stroms anderwärts häufig durch eine vorhandene Bewegung her- vorgebracht und namentlich auch gerade durch schwingende Bewegungen. Ein eben so wichtiges als schwieriges Gebiet, das des Elektromagnetismus, haben wir in unseren Betrachtungen nur wenig berührt und wollen desshalb hier noch einige Bemerkungen aus demselben einfügen, um an diese unsere Schlussbetrachtung anzuknüpfen.

Es ist also: Ä > Äj und P^/',; P^ P^ d. h. die Abstossung ist stets geringer, wenn B entgegengesetzt, als wenn es mit ^4 gleiohnamig elek- trisch ist. ^i!>^» und Px^ P^\ Pi'^Pf d. h. die Abstossung ist stets geringer,

wenn B entgegengesetzt , als wenn es gar nicht elektrisch war und bloss influensirt

wurde.

''.=(-+¥-S)^=-(-^)'l<» ,.„(_^_^+«j±^i±-_5-j>=_„(._i)'.<.

d. h. ivenn B eben so stark, aber entgegengesetzt elektrisch ist, wie Ay so wird es nicht ahgestossen , sondern angezogen mit einer Kraft , welche

=(-i)*-[?+«a'-

Von Br. Ed. Zetzsche. 157

Der Schliessungsdraht*) eines elektrkchen Stromes wird dorcli den Strom kräftig transversal magnetisch und tritt dann nicht nur mit anderen fertigen Magneten in Wechselwirkung, sondern er vermag. auch in Körpern, welche magnetisch werden können, Magnetismus hervorzurufen, und zwar liegt die magnetische Axe dha entstehenden Magnetes senkrecht zur Strom- richtung'^*). Umgekehrt zeigte Ampere, wie sich jeder Magnet als ein Tr&ger elektrischer Ströme betrachten lässt, die sich um ihn herum in Ebe- nen bewegen, welche senkrecht auf seiner magnetischen Axe stehen. Dess- halb muss denn auch plötzlich auftretender oder verschwindender, oder überhaupt seinen relativen Ort verändernder Magnetismus in seinem Wir- kungskreise ganz in derselben Weise störend auf das elektrische Gleichge- wicht einwirken, wie es Elektricität unter eben diesen Verhältnissen und Bedingungen thun würde. Unter Umständen überträgt sich bei diesen in- teressanten Erscheinungen die Bewegung des Magnetes , oder des Stromlei- ters durch Bnokwirkung auf den andern , oder hemmt dessen schon vorhan* dene Bewegung, sodass also selbst die Trägheit der Materie Überwun- den wird.

Wir hätten nun zum Schluss bloss noch einige Andeutungen über die Stellung des .Magnetismus zur Elektricität und über die Stellung, der beiden Elektricitäten gegeneinander zu geben, und zu diesem Behufe gehen wir nochmals auf die Polarisation***) des Lichtes zurück. Wenn ein gewöhn- licher Lichtstrahl unter einem schiefen Winkel an die Grenze zweier Mit- tel kommt, so wird er reflectirt und gebrochen f), und es stehen die trans- versalen geradlinigen Schwingungsbahnen des reflectirten Antheils senk- recht auf denen des gebrochenen Antheils. Aus den in einem Strahle des gemeinen Lichts angehäuften Schwingungen werden also bloss jene reflec- tirt, welche in der Reflexionsebene (= polatisirende Ebene) lagen, und blos jene durch Brechung fortgepflanzt, welche senkrecht zur Reflexions-

*) Gleicligiltig^ , aus welchem Metall; der Magnetismus wirkt nur auf wenige MeUille kräftig ansiehend und magnetisirend.

**) Auf die Stärke des durch eine Spirale erzeugten Elektromagnetismus ist ausser der Stromstärke und der Zahl der magnetisirenden Windungen die Masse des mag^etiAirten Körpers von wesentlichem Elnfluss, und es lässt sich für jeden Qoeracbnitt des Elektromagnets ein Maximum des Magnetismus durch eine noch so grosse YerBoelu'aDg der Stromstärke nicht üherschreiten. Vergl. Dub, die Gesetze des Elektromagnetismus , in der Zeitschrift des deutsch-österr. Telegraphen-Vereins IV Hft. 2 ff.

♦♦*) Fresnel; ein polarisirtes Büudel ist jenes, für welches die Schwingungen immer dieselbe Richtung haben, und dabei ist seine Polarisationsebene jene Ebene, zu welcher die kleinen schwingenden Bewegungen der Aethertheilchen immer per- pendikular bleiben. Vergl. Pouillet, übersetzt von Palmieri III § 465, S. 396.

f ) Ausserdem tragen die von dem reflectirenden Punkte* ausgehenden Kugel- wellen in beide Mittel das Bild dieses Punktes und machen ihn dadurch von allen Seiten sichtbar.

ZeitKhrift Tür Math«maUk n, Physik. IV. IL

158 Die Elektrieitätslebre vom ätandpuiikt der Unclulationstheone.

ebene lagen (die Eugleich aucb die brechende Ebene ist). Kommt jetzt der reflectirt'e oder der gebrochene Antheil an eine zweite Grenze des fortpflan- zenden Mittels, .80 wiederholt sich das eben Gesagte, und es kann hier keine zweite Reflexion oder Brechung eintreten, wenn die Schwingungen des ankommenden Strahls senkrecht stehen auf den Schwingungen , welche für diese Reflexion oder Brechung aus einem gemeinen Lichtstrahle herausge- nommen werden würden; in allen andern Fällen wird reflectirt und gebrochen zugleich , indem sich die vorhandenen Schwingungen z. B. in der Richtung cb (Fig. 9) nach zwei auf einander senkrecht stehenden Richtungen cb nnd cd zerlegen. Aber die Intensität des reflectirten und die des gebrochenen Strahles sind im allgemeinen nicht gleich ; wenn der eine Strahl im Maxi- mum seiner Intensität ist, so ist der andere im Minimum; das Maximum gebt in das Minimum über bei einer Drehung des Analyseurs um 90 Grad« Bei zweimaliger Reflexion und ebenso bei zweimaliger Brechung tritt das Mini- mum bei senkrechter, das Maximum bei paralleler Stellung der beiden po- larisirendcn Ebenen auf; umgekehrt ist es, wenn Reflexion und Brechnng mit einander abwechseln.^ Eine Ausnahme davon zeigt der Bergkrjstall (für in Richtung der optischen Axe durchgehende Strahlen) und alle dop- pelt brechende Mittel, von denen man daher sagt, dass sie die Polarisations- ebene um eben jenen Winkel drehen , um welchen man die eine der beiden polarisirenden Ebenen aus der eben angegebenen parallelen oder senkrech- ten Stellung herausdrehen muss , damit das Maximum oder Minimum der Intensität erlangt werde. Die Ursache dieser Drehung der Polarisation s- ebcne ist nach Fresnel das Vorhandensein zweier mit ungleicher Ge- schwindigkeit entgegengesetzt rotirender circular polarisirender Strahlen. Oircular polarisirte Strahlen entstehen aber bei der Interferenz zweier ge- radlinig und senkrecht auf einander polarisirter Strahlen von gleicher Ampli- tude und V4 Wellenlänge Gangunterschied.

Weil man nun eine Drehung der Polarisationsebene beim Durchgange des polarisirtou Lichtes durch durchsichtige Mittel auch durch Magnetis- mus herbeiführen kann , und weil hier die Drehung noch überdiess in Rich- tung der Am p^r ersehen Ströme erfolgt, welche in einem weichen Eisen- stück vorauszusetzen wären, wenn es an die Stelle der durchsichtigen Sub- stanz gebracht und durch die auf diese Substanz wirkenden Pole magneti- sirt würde : so liegt es doch gewiss nicht fem , im Magnetismus selbst eine ähnliche rotirend polatisirte Schwingungsweise zu suchen, wie sie im Berg- krystalle vorhanden ist. Die in einem circular polarisirtou Strahle hinter- einander liegenden Theilchen, welche nach einander in dieselbe Phase tre- ten und im Gleichgewichtszustande in einer dem Strahle parallelen Linie lagen, bilden ferner, wenn man sie in ein und demselben Zeitmomente be- trachtet untl durch eine Linie verbunden denkt, eine Schraubenlinie a6rJ^/* (Fig. 10); die Höhe eines Schraubenganges ist dabei der Wellenlänge gleich , und es erf(»1gt Avährend einer jeden Undulation scheinbar ein gan-

Von Dr. Ed. ZbtzschE. 159

cer UmgaBg der SQhraQbe*). Nan haben wir bereits früher Spirallinien anch durch Elektricität beschrieben gefunden, und wenn wir für diese Spi- rallinien eine gleiche Ursache gelten lassen wollen '^'^), so führen sie uns sur Annahme einer der magnetischen Schwingungsweise ähnlichen Beschaf- fenheit der elektrischen Schwingungen. Der Magnetismus ist endlich ein beständiger Begleiter der (d3mamischen) Elektricität, und Humboldtvjbe- zeichnet schon im Kosmos (Bd. I. S. 194) den Magnetismus nur als eine der vielfachen Formen , in welchen sich die Elektricität offenbart. Gehen wir noch einen Schritt weiter , nennen wir beide, Magnetismus und Elektricität, ,,ModalitätQn einer und derselben Undulation,'^ aus welcher sie sich in ähnlicher Weise herausnehmen lassen, wie die polarisirten Licht- strahlen aus den Strahlen des gemeinen Lichtes. Stehen doch die Azen- richtungen der gleichzeitigen Wirkung der Elektricität und des Magnetis- mus ebenso senkrecht auf einander, wie die Schwingungsbahnen des refiec- tirten und des gebrochenen Lichtstrahls, wie die Schwingungsbahnen des ordentlichen und ausserordentlichen Strahls bei der Doppelbrechung. Wenn wir aber hiemach die Schwingungsbahnen bei der Elektricität und beim Magnetismus nicht als gerade , sondern als in sich zurückkehrende krumme Linien voraussetzen, so wird sich das Auftreten des positiven und negati- ven Elementes aus der Möglichkeit einer Rotation nach rechts , oder nach links entwickeln lassen***).

Während nun der elektrische Zustand eben das Vorhandensein einer oder der andern jener rotirenden Schwingungen bezeichnet, so er^scheint der Magnetismus, und zwar beide Magnetismen zugleich, erst da, wo sich jene elektrischen Schwingungen von Theil zu Theil weiter fortpflanzen, ent- weder bloss die eine Art oder beide zugleich, und senkrecht zu der Fort- pfianzungsrichtung liegt die magnetische Axe. Desshalb magnetisirt ein einfach elektrischer Körper nicht, sondern erst die elektrischen Ströme,

*) Ueber spirAlförmige akustische Knotenlinien vergl. Pouiliet, übersetzt von Palmieri III § 3S7, S. 79ff.

**) Indem wir sie gewisserxnasBen als ein daguerreotypes Bild eines momenta- nen Zastandes betrachten.

**^) Der Erfahrung und der Rechnung bleibt es vorbehalten , diese Andeutungen za bestätigen oder su widerlegen. Wichtige Momente bei der entscheidenden wei- tern Durchführung dürften sich ans den Interferenzerscheinnngen des circular po- larisirten Lichtes verglichen mit denen bei der Elektricität und ans den Verschic- denheiten ergeben, welche sich zwischen der positiven und negativen Elektricität z. B. darch das Licht und die Lichtenberg''8chen Figuren offenbftren. — Da wir hier keineswegs schon eine bereits abgeschlossene Undulationstheorie der Elektri- cität zu geben beabsichtigten, sondern durch die Untersuchung über die Berechti- gung und Zulässigkeit der Anwendung der Undulationstheorie für die PHektricitäts- lehre mehr nur zur Erledigung einer Vorfrage beitragen wollten, so durften wir wohl anch nach der Feststellung der allgemeinsten Beschaffenheit der elektrischen Schwingungen uns mit einigen Andeutungen begnügen und die eigentliche gründ- liche Untersuchung über die Natur der elektrischen Schwingungen für eine spätere aasfUhrliebere Bearbeitung des Gegenstandes aufgespart lassen.

11*

160 Die Elektricitätslehre vom Standpunkt ete. Von Dr. Ed. ZßTZSCflE.

in welchen eben eine oder beide Arten der rotirenden Schwingungen fort- gepflanzt werden; desshalb hat beim Zerbrechen eines Magnetes jedes Stück seine zwei Pole, weil eb^p das Hervortreten der magnetischen Polarität die Folge der um jeden Theil circulirenden elektrischen Ströme ist; darin kann es auch begründet sein , dass die magnetische Vertheilung von der elektri- schen wesentlich verschieden ist,' dass bei ihr wirklich beide Magnetismen zugleich erregt werden, und zwar in Folge einer Art von Induction mit um- gekehrter Lage der Pole gegen die Pole des vertheilenden Magnetes. Dazu gesellt sich als weiterer Unterschied , dass es beim Magnetismus keine Lei- tung giebt, wesshalb wir schon früher die Annahme magnetischer Schwin- gungen der Körpertheilchen etwas bedenklich nannten ; damit fiele dann auch die Herabstimmung der Schwingungszahl bis zu sichtbaren Schwin- gungen durch den Widerstand eines Nichtleiters weg, und in der Tfaat wur- den auch noch keinerlei leuchtende Erscheinungen an Magneten beobachtet.

Kleinere Mittheilungen.

17. TTeber vollkommene Zahlen. In meiner Abhandlung über Ramus, Stifel und Cardanus habe ich (Bd. II S. 375 dieser Zeitschrift) einige Sätze über sogenannte vollkommene Zahlen zusammengestellt, d. h. über solche Zahlen, welche der Summe ihrer aliquoten Theile gleich sind, z. B.

6=1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Schon £uclid zeigte, wie solche vollkommene Zahlen aus der Formel (2"+i — i). 2* hervorgehen, .so oft 2'*"*'^ — 1 eine Primzahl ist. Unter der Voraussetzung, dass diese Euclidische Entstehungsweise die einzige mög* liehe ist, erwies schon Cardanus, dass alle vollkommenen Zahlen mit 6 oder 8 schliessen. Dieser letzte Satz lässt sich nun, wie Herr Staatsrath Maedler mir gelegentlich bemerkte, dahin ausdehnen, dass die vollkommenen Zah- len mit 6 oder mit 28 schliessen.

Der Beweis dieser Erweiterung ergiebt sich wohl am Einfachsten nach folgender Methode. Damit die vollkommene Zahl mit 8 schliesse, mnss 2" mit 4 und 2"+^ — 1 mit 7 schliessen. Alle Potenzen von 2, welche mit 4 schliessen, haben aber eine grade Zahl an der Stelle der Zehner, weil sie nur durch fortgesetzte Multiplication der 4 mit 16 entstehen. Diese Poten- zen können desshalb in den zwei letzten Zififern durch 20 m + 4 dargestellt werden, wo m einziffrig ist. Für den Factor 2"^"^ — 1 sind daher die beiden

Kleinere Mittheilungen. 161

Endziffern 40 m + 7 und die Mnltiplication der beiden Factoreu liefert

800 m^ + 300 m + 28, d. h. für die beiden Endziffern: 28 *)-

Cantob.

V. Veber die Discontinüitat gewisser unendlicher Beihen. Wenn eine unendliche Reihe

y = Wl + «2 + «3 + «4 + »

deren Glieder bekannte Functionen einer Variabelen x sind, für alle, ein bestimmtes Interwall x=:a bis xs=b nicht überschreitenden x convergirt, so scheint es unzweifelhaft, dass auch die Reihe

0 0 0

j u^dx + / «2 ^^'^ + / W3 dx

+

convergiren und

f

b ydx

cur Summe haben müsse. Man könnte nämlich sagen: Die Summe der Reihe «j + t/.^ + etc. lässt sich als Function von x^ etwa f{x\ und y =f(x) als Gleichung einer Curve betiachten; wegen der vorausgesetzten Conver- genz der Reihe sind alle von x=^a bis x = b vorkommenden Ordinaten jener Curve endliche Grössen, mithin ist auch ihre Fläche, d. h,fydx^ zwischen denselben Grenzen genommen, eine endliche Grösse. Diese Ar- gumentation unterliegt allerdings solange keinem Einwurfe, als die Gleichung y=sf{x) continuirlich bleibt; da man aber die Continuität oder Disconti- nüitat einer Reihensumme nicht aus dem blossen Anblicke der Reihe erken- nen kann, sondern erst bei deren wirklicher Summirung gewahr wird, so bleibt die Anwendung des obigen Satzes sehr misslich. Wie leicht man sich hierin täuschen kann , mag folgendes Beispiel zeigen. Die unendliche Reihe

y = xil—x) +x'^{l — x^) + c(?{\—s(?) +

convergirt für alle positiven acht gebrochenen x auch für o: = 0 und für X s= I , in welchen beiden Fällen y verschwindet; man wird demnach erwar- ten, dass die dturch obige Gleichung repräsentirte Curve die Gestalt von APB (Fig. 11) habe , worin AB £= 1 ist , und dass die Fläche

1 JPBMA= fydx

i'

*) Ich benntse diese Gelegenheit, nm auf eine mir erst kürzlich bekannt ge- wordene Abhandlung von Ter quem über die Elemente der Zafalentheorie aufmerk- sam zu machen. In derselben finden sich (K. ann. math. III. 219 und 337) auch mehrere interessante Sätze über vollkommene Zahlen. C.

162 Kleinere Mittheilungen.

von endlicher OröBse sein werde. Die Ausführung der Integration giebt aber 1

jydx — 273 + 3-7-5 + 477 + + („^.i)(2«+l) +

0

und da farn > 1

1

>ö

(»+1)(2»+1) -^2 n+2 ist, so folgt, dass die Summe der vorigen Reihe mehr beträgt als

2 \^3 ^1

+i + -

mithin der Werth des Integrales unendlich gross ist. Das Paradoxon , dass eine geschlossene Curvo einen unendlich grossen Flächeninhalt haben soll, klärt sich durch eine genauere Untersuchung sofort auf. Nimmt man die Reihe zuerst als ft-gliedrige und bezeichnet deren Sarame mit^^i ^^ i^^ y^ r= .T + a:^ + l . . + .T" — (a:^ + ic* + .T» + . . . 1 + a;*-)

Bei unendlich wachsenden n giebt diess unter Voraussetzung eines positiven, acht gebrochenen x

für x:^~l dagegen erhält y„ die Form — und als wahren Werth hiervon -fin- det man nach dem gewöhnlichen Verfahren

y« = 1 — («+ 1) — («+ 2) + (2fi + 2) = 0, wobei die Grösse von n gleichgültig bleibt; es ist daher auch y = Lim y^ in diesem Falle = 0, wie man ohnehin wusste. Zufolge der Gleichungen

y = I~t» für0^.r < 1,

y = 0 , f ür x — \,

hat nun die Curve eine ganz andere als die ursprünglich vermuthete Gestalt; die Ordinaton wachsen nämlich fortwährend und können jede beliebige Grösse übersteigen, wenn man x nahe genug bei der Einheit wählt; wird aber x:^=^l^ so ändert sich die Curve spmngweis und liefert den isöliiten Funkt B auf der Abscissenachse (Fig. 12). Dass eine solche Curve einen unendlichen Flächeninhalt besitzt, wird Niemanden befremden , auch ergiebt er sich unmittelbar, wenn man das Integral

jy dx =Jt^ ^'^

zAvischen den Grenzen a:=:0 und a; = I — d nimmt, wo i eine unendlich kleine Grösse bezeichnet.

Die vorhin bemerkte Discontinuität scheint übrigens den meisten Rei- hen von der Form

Kleinere Mittheilnngcn. 163

Ai X iX—x) + A^ x^ (l — «^) + ^3 x\ (1 — a:3) +

eigen zn sein. So ist z. B.

_ ^l+y^rd für 0 < .r < I ,

dagegen versehwindet die Summe für o; = 1; die entsprechende Curve hat daher eine ganz ähnliche Gestalt wie die vorige. Femer ist

\x{\—x)^\x'i\ — x') + i;r3 (i-nr») + . . . . = /(l+ar) ftirO<ar < J, f^r .T^= 1 dagegen ist die Summe der Reihe nicht = /2, wie es die Conti- nuität verlangen würde, sondern =0.

Der eigentliche Grund dieser Discontinuitä'.en liegt jedenfalls in dem einfachen Satze, dass schon die Gleichung

y ^=iLm [x^ , (w = oo) eine diacontinnirliche Curve giebt. Für 0 < a: < l fällt letztere mit der Ab- scissenachse zusammen ; an der Stelle o: = 1 hat sie einen isolirten Punkt in der Höhe ^ == 1 ; für or > 1 wird sie zu einer unendlich entfernten para- bolischen Linie.

Wie man sieht , haben die betrachteten Reihen eine gewisse Aehnlioh- keit mit den Reihen von der Form

B^ sin X + B2Sin ^x + B^ sin 3a: + . . , . deren Summen für a:=:Ound xt=7t verschwinden, aber innerhalb diesem lutervalles jeder gegebenen Function von x gleich gemacht werden können und daher an jenen Stellen discontinuirlich sind, wenn nicht zuföllig /'(0) = /*(7r) = 0 ist. Bisher lieferten diese periodischen Reihen das erste, elementar nicht wohl behandelbare Beispiel von discontinuirlichen Reihen- summen; die vorhergehenden Betrachtungen zeigen dagegen, dass solche Fälle von Discontinuität schon in den Anfängen der Reihentheorie vorkom- men können, und dass ebendesswegen bei der Behandlung unendlicher Rei- hen sowie überhaupt bei allen in's Unendliche fortgesetzten Operationen eine scrupnlöse Genauigkeit ganz am Platze ist.

SCHL.

▼I. üebtr einen allgemeinen Bati von den Fl&ohen ebener Curven. In Heft 4 , Theil XXXI des Grunert^scKen Archivs d. Math, findet man fol- genden, von Dr. Völler in Saalfeld angegebenen Satz:

Zieht man in einer ebenen Curve eine Sehne und legt durch deren Endpunkte Tangenten an die Curve , so nähert sich das Verhältniss des von der Sehne abgeschnittenen Flächensegmentes zu dem aus

164 Kleinere Mittheilungen.

der Sehne und den Tangenten gebildeten^ Dreiecke mehr und mehr der Grenze Vs* wenn die Sehne anendlich abnimmt.

Der Verf. ist durch die Parabel auf seinen Satz gekommen; für diese gilt nämlich das Verhältnisd 2 : 3 bei jeder beliebigen Grösse der Sehne; da man nun immer eine Parabel constniiren kann , welche mit einer gegebenen Curve eine Sehne und die Tangenten an deren Endpunkten gemein hat , ho war zu erwarten, dass jenes Theorem für beliebige Curven in soweit beste- hen würde , als deren Bögen für Parabelbögen gelten können , woraus die Beschränkung auf unendlich kleine Sehnen und Bögen sogleich folgt. Was den Beweis des Satzes anbetrifft, so ist derselbe sowohl bei dem Verf. als in der Grün er tischen Nachschrift ziemlich weitläufig ausgefallen; es be- darf aber hierzu weder analytischer Geometrie , noch der Integralrechnung, noch endlich des Tajlor^schen Satzes, sondern nur folgender zwei bekann- ter Theoreme (s. Fig. 13).

Bezeichnet q) (x) die Fläche zwischen der Abscissenachse, der Curve, der festen Ordinate AB und der beweglichen, zur Abscisse OM^=^x gehö- renden Ordinate MP, so ist der Differentialquotient

q>' {x)r=Lim ^(^+^)-^(^) . (k = MM, ^ Jx)

einerlei mit der Ordinate 3fP, welche y oder f{x) heissen möge; der Dif- ferentialquotient

bedeutet geometrisch die trigonometrische Tangente des Winkels il!frP=r, welchen die berührende Gerade am Punkte P mit der Abscissenachse ein- schliesst.

Hiernach betrachten wir drei verschiedene Grenzwerthe, aus denen der Völler' sehe Satz sehr leicht herzuleiten ist.

a. Das von der Sehne abgeschnittene Segment, welches S heissen möge, ist der Unterschied zwischen dem Trapez MM^P^P und der gleichna- migen Curvenfläche, mithin

folglich wenn q! für f gesetzt wird ,

S _ [y W + y (0^+^)] A -^2 [y (x+A) - <P(^)]. Ä» ~ 2 Ä» '

nach der bekannten Methode , die zur Ermittelung des wahren Werthea. un- bestimmt scheinender Brüche dient ,*erhält man für verschwindende h

1) Lirn^, = ^q>'\x) = ^^f{x)^^y'.

b. Der Winkel PS^, welchen die Sehne PP, mit der *t- Achse ein- schliesst , heisse <J; es ist dann LSPT^m-^^x und

Kleinere Mittheilungen. 165

- / N ___ tan 6 — tant ^ h I \ )

" ^ •^^~ l+tan a. tan t ~ ^ .^fi^ + h) - f{x) ^ , v

tan (ff - t) _ f{x + K)-^f(x) — hf{x) _\

h

h Ä« \^fJ^^±!iizJMf{x)

woraus man nach demselben Verfahren findet

Für L^^i^i =^1 — <y ergiebt sich auf die nämliche Weise

Zerlegt man die Tangente in Sinus und Cosinus und beachtet, dass bei ver- schwindenden h sowohl a — r als Tj — a in Null übergeht, so hat man auch

2) Lim fill^ =if^ >.in{r,-ö) ^ 1

h *" A ~" 2 1+y'«'

c. Für den Winkel TQT^t=:x^—x ist

tan ix —x\ = ^^"^' — ^^^ _ /"(a?+A)— /-^j:) ^1 ^ \'\-tanx^tanx~ \->^f{x'\-h)f{x) hieraus folgt

ebenso auch

d. In dem Dreiecke PP^Qy dessen Fläche Theissen möge, kennt man die Seite PP^ = Yda^+Ji/ und- die Winkel P=^(S — r,^j=rTj — <r, Q = 1809 — (r, — r) ; daher ist

j, 1 (djn^-^-Jy*) sin {a — r) sin {t^ — a)

2 sin {x^—r)

j=i['+(*n^')1

sin {(& — x) sin (tr, — <r)

«in (ti— t) h

Durch Uebergang zur Grenze für verschwindende h ergiebt sich sofort, wenn man die Gleichungen 2) und 3) beachtet,

e. Aus den Formeln l) und 4) erhält man endlich

welches der zu beweisende Satz ist.

f. Durch gleich einfache Mittel können viele ähnliche Grenzwerthe bestimmt werden, was wir en detail nicht auseinanderzusetzen brauchen.

166 Kleinere Mittheilangei).

Nur möge hier noch die Bemerkung Platz finden , dass sich aus der Gleichung 3) die Formel für den Krümmungsradius herleiten lägst.

Die Sehne PP^ hildet nämlich mit den Normalen in inind P| ein Drei- eck PRP^ , wovon eine Seite PP^ und die Winkel RPP^ = 90®— (tf — %), RP^Pz=qo^ — (T| — tf), PR -Pi = Tj — r bekannt sind ; man hat daher nach dem Sinussatze und för PRt=:rj P^R = r,

r _ yja^ + Jy* r, _ Vdx^ + Jy^

cos (a — t) sin {ti — r) ' co«(ti — ff) sitt {ti — r)

folglich

cos {a — t) CO« (tj — o) «V(tj — t) oder besser

i^(ay , , , ,

Beim Uebergange au verschwindenden Ja: = h wird t = ff= t„ gleichzei- tig nähern sich r und rj einem gemeinschaftlichen Grenzwerthe, der q heis- sen möge, mithin ist ,

Unter den strengen Ableitungen der Formel für q dürfte diess wohl eine der

kürzesten sein und sich beim Unterrichte vielleicht dadurch empfehlen , dass

sie weder analytische Gejometrie noch Doppelschnittsverhältuisse , scmdem

nur die einfachste trigonometrische Formel ih Anspruch nimmt.

Sohl.

Vn. üeber confocale EIIip«oide. Den neulich mitgetheilten Sätzen über confocale Ellipsoide Hessen sich meiner Ansicht nach die Beweise eini- ger bekannten Sätze anschliessen. Es werden nämlich in der Theorie der Attraction der Ellipsoide folgende zwei Sätze gebraucht (s. z. B. Duba- mePs Analytische Mechanik) :

1) ^yDie zwischen zwei ähnlichen und ähnlichliegenden Ellipsoiden eingeschlossenen Stücke einer geraden Secante sind einander gleich/*

2) „3.i<^d m,n zwei Punkte der Oberfiä^he einei» EUipsoides, und M,N die ihnen correspondir enden Punkte der Oberfläche eines demselben confo- calen Ellipsoides, so sind die Entfernungen Mn und Nm einander gleich.^*

Der erste Satz beweist sich wohl am einfachsten mit Zuziehung einer zur Secante durch das Centrum C des einen Ellipsoides gelegten conjugirten Diametral ebene. Es hängt nun die Richtung eines conjugirten Diameters nur von der Richtung der zugehörigen Diametralebene und dem Verhält- nisse der Hauptachsen ab. Da dieses in beiden ähnlichen Ellipsoiden das- selbe ist, so fallen in beiden Ellipsoiden die sur fraglichen Ebene eon^ngir-

Kleinere Mittheilungen. 167

ten Diameter hi dieselbe Gerade, was auch schon aus dem reinen BegriflTe der Aehnlicbkeit hervorgeht, und werden, wie alle ihnen parallele Sehnen, durch diese Ebene halbirt. Sind also ^jiV^clie Schnittpunkte der Secante und des ersten Eilipsoides, m^n diejenigen der Secante mit dem zweiten EUipsoide, c der Begegnungspunkt der Secante mit der conjugirten Diametral ebene, so ist Mc = Nc^ mc — nc, woraus durch Subtraction folgt Mm = Nn,^

Um den: anderen Satz zu beweisen, mache ich die Bemerkung, dass die Feststellung der correspondirenden Punkte, d. h. derjenigen, deren auf das Uauptachsensystem bezogene rechtwinklige Coordinaten sich ver* halten, wie die ihnen parallelen Hauptachsen beider EUipsoide, am ein- fachsten wohl geschehen könne dadurch, dass man

'X=AcosX^ Y=Bcos(i^ Z'=Ccasv X = acos X^ y = ft cos fiy z = c cos V setzte, wo A, fi, V drei Ililfswinkel sind, die die Richtung eines gewissen Radius concentrischer Kugelu besthnmen , was ich hier nicht weiter ans- führen will , weil die Sache vollkommen analog einer bekannten Construction der Ellipsenpunktc mittelst über den Hauptachsen beschriebener concentri- scher Kreise ist. — Jedenfalls folgt aber, da cosH + cos^(a + cos^v =1 ist:

^ + 2Z + ^'_i. f' + ?! + L*„i

A^ ^ B* ^ C^ — * > fl« ^ &» ^ c« — ^ '

X:XT=A:a\ Y:y =: B : b\ Z:z ^= C : c,

d. h. die Punkte -X", F, Z; a:, y, z sind correspondirende Punkte zweier

EUipsoide! Bezeichnen wir sie durch M und »i, und nennen -Y^, y, Z';

^1 y\ ^ ciii anderes System correspondirender Punkte JV, fi, so dass

X!-=z A cos X\ Y'= B cos h\ Z'= C cos v\

a:'= a cos X\ y'= b cos fi\ z= c cos v\

so ergiebt sich augenblicklich, dass die Quadrate der Entfernungen Mn und

iVm gleich sind, aus der Gleichung

{A cos 1. — a cos X'y + {B cos fi — b cos (lY + {Ccosv — c cos v'Y = {A cos X' — a cos xy + {B cos fi — b cos ^ )^ + {Ccos v — c cosvY, sobald man dabei, da die Hauptschnitte, beider EUipsoide confocal sein sol- len , berücksichtigt , dass

^2—^2 :^ ^2— 62, A'^ — C^ = ö2__ c2^ ß^—C^ = b'^ -^ c\ odcr

^2-_ «2 = B^—b^ = C^— c\ und

cos^X + cos'^fi + cos'^v = cos^X'+ cos^fi + cosh/ = 1 ist.

(Aus einem Briefe des Herrn Dr. Zkhfuss iu Darmstadi.)

Vm Teleskope von venübertem Glas und Spiegel mit eUipsoidischen mid paraboloidiichenümdrehungsilachen. VonLäoNFoucAULT. Die Antien- dang des versilberten Glases statt metallischer Legirungen in der Construc- tion der Spiegelteleskope hat recht deutlich die Schwierigkeit gezeigt, Fla- chen EU ersengen, die fähig sind, durch Reflexion einen genauen Brennpunkt

168 Kleinere Mittheüungen.

IT

BU bilden. Wenn man sich anf die Anwendung sphärischer Oberflächen beschränkt , so ist man wegen der daraus entstehenden Aberration genötliigt, die spiegelnde Fläche auf einen Umfang zu beschränken , welcher in dem Maasse relativ kleiner wird, als man die Grösse der Instrumente vermehrt. Wenn man aber die Sache näher untersucht , erkennt man , dass die durch den Optiker verfertigte sphärische Oberfläche selbst nicht so genau ist, um die Controle optischer Versuche auszuhalten.

Wenn man z. B. im Krümmungsmittclpunkt eines Hohlspiegels einen leuchtenden Funkt anbringt, welcher in demselben Mittelpunkte ein Bild ohne Aberration geben sollte, so findet man am häufigsten, dass dieses Bild von einem Lichtschein umgeben ist, dessen Wahrnehmung auf Fehler in der Oberfläche schliessen lässt. Durch diese Untersuchungsweise erkennt man übrigens, dass sich eine Fläche während der Dauer des Fdlirens auf merkliche Weise modificirt. Diese Bemerkung hat Foucault den Gedan- ken eingegeben, die polirten Flächen noch einmal zu überarbeiten und durch locale Verbesserungen ' zu verändern, bis* sich das Bild im Kriim- mungsmittelpunkt ohne Tadel erweist. Da diese Operation auf einer schon grossen Oberfläche gelang, so beweist Foucault, dass man auch sehr wohl die Kugel in ein Ellipsoid und hierauf in ein Paraboloid allmählich nach folgender Methode verwandeln könne.

Wenn man die Oberfläche des Glases genau sphärisch gemacht hat and man lässt einen leuchtenden Funkt , der sich ursprünglich im Krümmungs- mittelpunkt befand , stetig nach dem Hauptbrennpunkte rücken , so wird das Bild in entgegengesetzter Richtung ins Unendliche rücken und die Aberra- tion, welche anfänglich Null war, wird sich mit der Entfernung vergrössem. Nimmt man nun zuerst an , dass der leuchtende Funkt sich so wenig ver- rücke, dass das in einer benachbarten Stelle vom Mittelpunkte entstehende Bild bei der Untersuchung eine eben beginnende Aberration zeige, so kann man alsdann den Spiegel mittels eines Folirstahles von geeigneter Form so corrigiren, dass diese Abweichung verschwindet, und folglieh ist aus dem sphärischen Spiegel durch die Trennung des ursprünglichen Mit> telpunktes in zwei entsprechende Brennpunkte, welche durch den leuchten- den Funkt und dessen Bild eingenommen werden, ein ellipsoidischer ge- worden. Hat man diese Correction für die erste Entfernung der Brenn- punkte ausgeführt, so vergrössert man diese Entfernung, indem man den leuchtenden Funkt dem Spiegel nähert, wodurch neue, ebenfalls zu corrigi- rende , Aberrationen erscheinen.

Durch dasselbe Verfahren wie beim ersten Male vernichtet man sie aber- mals, und folglich vergrössert man die Länge des Ellipsoides , welchem die Oberfläche des Spiegels angehört. Setzt man diess allmählig von Stelle zu Stelle fort, so verlängert man progressiv das Ellipsoid, bis es endlich in ein Umdre- hungsparaboloid verwandelt worden ist, nämlich bis der Spiegel fähig gemacht ist, ohne merkliche Aberration auf unendliche Entfernung zu functioniren.

Kleinero Mittlieilungeo. 169

Diese Methode ist bei einem Spiegel von 33 Centimetern Durchmesser und von %1b Metern Brennweite in Anwendung gebracht worden und dessen Oberfläche ist dadurch schnell so umgeformt, dass dieser Spiegel jetzt, zu einem parabolischen geworden , in seinem Brennpunkte das Intervall einer halben Secunde noch angiebt«. Um übrigens über den Werth des Instrumen- tes, welches von einem solchen Spiegel gebildet wird, nicht in Zweifel zii bleiben, hat Foucault dasselbe nach dem wohlbekannten Stcra y iu der Andromeda am Himmel gerichtet. In der Nacht vo;n 21. zum 32. Juli hat rieh dieser Fixstern als Doppelstern gezeigt, so wie er in den Fernröhren von mittlerer Dimension erscheint ; gegen 3 Uhr Morgens , bei den ersten Strahlen des Tages, als die Luft ruhiger geworden war, theilte sich derje- nige der beiden Sterne, der sich blau gefärbt darstellt, seinerseits in zwei sehr kleine Funkte , welche ausserordentlich nahe bei einander waren. Die relativen Lagen, wie sie sich dem Gesichte dreier verschiedener Personen bemerklich machten, fanden sich in Uebereinstimmung mit den Angaben der Kataloge. Das ist genau das nämliche Resultat, welches Struve nur mit dem grossen Teleskop in Fnlkawa erhalten hat. Es ergiebt sich aus dieser Erfahrung , dass der blaue Stern y im Sternbilde Andromeda durch ein pa- rabolisches Teleskop von versilbertem Glas von 33 Centimetern Durchmes- ser und 2,25 Metern Brjennweite aufgelöst worden ist.

(Compt. rend., T. 47, p. 205.)

IX. Das Stereomonoskop von Claudet. Clan d et hat ein Instrument erfunden , welches er Stereomonoskop nennt und durch dessen Anwendung ein einfaches Bild eine stereoskopische Täuschung hervorbringt. Im Mit- telpunkt eines grossen schwarzen Schirmes hat man eine viereckige Oeffnung angebracht, die durch ein mattgeschliffenes Glas eingenommen wird, auf welches man, mittels einer optischen Vorrichtung, die hinter dem Schirme angebracht ist, das vergrösserte photographische Bild einer Landschaft, eines Portraits oder irgend eines anderen Gegenstandes fallen lässt. Wenn man dieses Bild betrachtet, natürlich mit beiden »Augen und ohne Anwen- dung eines Instrumentes , sieht man ein ausserordentliches Fhänomen ent- stehen. Das Gemälde erscheint mit vollkommenem Relief; als wenn man mit beiden Augen die beiden auf gewöhnliehe Weise in dem Stereoskop verbundenen Bilder betrachtet. Man kann es in einer Entfernung von 30 Cen- timetern oder in einer Entfernung von 3 Metern betrachten , wie man es mit einem gewöhnlichen Gemälde macht, ohne die geringste Ermüdung der Au- gen. Obgleich dieses Bild durch die Frojection auf den Schirm schon ver- grössert worden ist, so kann man es doch noch mehr vergrössem, wenn man es durch grosse Sammellinsen betrachtet. Diese neue Thatsache be- steht darin , dass das Bild auf dem mattgeschliffenen Glas der dunklen Kam- mer die Täuschung des Belief hervorbringt, während die Empfindung des

170 Kleinere Mittheilungeti.

Relief nicht existiren würde , wenn das Bild auf Papier aufgefangen würde. Wenn der Becipient des Bildes ein mattgegehliffenea Glas ist, so sind die durch die verschiedenen Punkte der Linse gebrochenen Strahlen, die das Glas erleuchten, nur dann sichtbar, wenn ihre Richtung mit der optischen Axe der Augen zusammenfällt, so, dass die vom mattgeschliffenen Gla^ austretenden Lichtstrahlen, welche das rechte Auge ersuchten , nur dieje- nigen sind , welche in dieser Richtung durch die linke Seite des Objectives schief gebrochen worden sind , und dass die für das linke Auge sichtbaren Strahlen einzig diejenigen sind, welche durch die rechte Seite der Linse gebrochen worden sind. Die beiden Augen erhalten folglich ein verschiede- nes perspectitisches Bild des auf dem mattgeschliffenen Glas dargestellten Gegenstandes, und das einfache Sehen ist in der Tliat das Resultat der Wahrnehmung zweier verschiedener Bilder, von denen jedes nur sichtbar für das eine und unsichtbar für das andere Auge ist. Das ist der Haupt- punkt der Entdeckung Claude t^s.

Das Stereomonoskop ist auf das nämliche Frincip gegründet; es ist in Wirklichkeit nur eine dunkle Kammer, vor der man eine doppelte stereo- skopische Platte angebracht hat. Mittels zweier Objective, die passend ge- trennt und von einander entfernt sind, werden die beiden Bilder durch Brechung auf demselben Theil des mattgeschliff^nen Glases projicirt. Vermöge des so eben erwähnten Gesetzes wird das rechte Bild nur durch das linke und das linke Bild nur durch das rechte Auge gesehen, so dass, obwohl es auf dem mattgeschliffenen Glas, wenigstens dem Anscheine nach, nur ein Bild giebt, die beiden Augen, indem sie auf denselben Punkt sehen, in Wirklichkeit verschiedene Bilder sehen , welche , da sie aus verschiede- nen Gesichtspunkten aufgenommen sind , ihre individuelle Perspective be- sitzen. Es werden folglich die optischen Axen, wogen ihrer unbesiegbaren Tendenz zum einfachen Sehen und bei ihrer natürlichen Anstrengung, die beiden correspondirenden Bilder eines nämlichen Punktes des Gegenstandes auf die Mittelpunkte der beiden Netzhäute zu bringen , mehr oder weniger convergiren, je nachdem die Entfernungen zweier Bilder eines nämlichen Punktes auf dem mattgeschliffenen Glas in horizontaler Richtung mehr oder weniger gross sind; diese horizontalen Entfernungen sind übrigens, wie man weiss , den bezüglichen Entfernungen proportional , welche die Punkte des Objectives von dem Orte trennen , wo die Bilder aufgenommen worden sind; und die Veränderung der Convergenz der optischen Axen in dem Uebergange von einer Ebene zur anderen der Landschaft, wird dieselbe Empfindung des Reliefs hervorbringen, als wenn wir die Landschaft oder den Gegenstand mit unsern beiden Augen oder als wenn wir die im Stereo- skop verbundenen Bilder betrachten.

(Cosmos, Vol. XII, p. 4d3.)

VII. Ueber den geometrisohen Zusammenliang der Maschinen.

Von Eduard Noeogerath.

§.1.

Die Bewegungen, welche au Maschinen vorkommen, sind äusserst re- gelmässig und unterscheiden sich auf den ersten Blick von den Bewegun- gen , welchen die Körper im Allgemeinen unterworfen sind. Immer siiid ea • Wiederholungen in denselben Bahnen mit denselben oder bestimmt ge- änderten Geschwindigkeiten , und stets ist der Zusammenhang der einzel- nen Bewegungsmechanismen ein derartiger, dass die Bewegungstibertrag- nng von den einen auf die andern erfolgt, ohne dass das Geschwindigkeits- ▼erhältniss derselben geändert wird, welche Veränderungen die Geschwin- digkeiten selbst auch erleiden. Man hat den Zusammenhang der Theile einer Maschine, welcher in der Nöthigung derselben besteht, nur innerhalb gewisser Grenzen Bewegungen vornehmen zu können, den geometri- schen Zusammmenhang der Maschine genannt und die Bewegung gen der Körper im Allgemeinen in freie und nicht freie Bewegungen eingetheilt Die freie Bewegung ist von den treibenden Kräften, den Be- wegungswiderständen und der Trägheit der Körper, die nicht freie Beweg- ung dagegen ausserdem noch von der Beziehung des bewegten Körpers zu nicht bewegten, welche seine Bahn bestimmen, d. h. also von dem geome- trischen Zusammenhange , abhängig.

Der geometrische Zusammenhang tritt demnach als vierte Bestim- mungsgrösse zu den dreien, denen die Bewegungen im Allgemeinen ge- horchen müssen. Er ist das Wesentlichste der Maschine^ inden^ er der Mannigfaltigkeit der Bewegungs Veränderungen enge Grenzen zieht und gleichsam als Zaum auftritt, mit Hülfe dessen die Kraftthätigkeit in der Maschine so gezügelt wird, dass sie nur in der beabsichtigten Weise mittelst des. Werkzeugs, gegenüber dem bearbeitenden Stoffe zur hauptsächlichsten Aeusserung gelangt. Eine Verbindung gegliederter starker Linien, die sich um Axen drehen oder zwischen festen Punkten hin- und herschieben, während sie ihre Bewegungen einander mittheilen, kann gleichsam als Rip-

Zeitschrifl f. Mathematik u. Physik. IV. 12

172 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

penwerk der Maschine angenommen werden, ans dem diese selbst hervor- geht, wenn jnan an Stelle der starren Linien feste Körper mit Formen tre- ten lässt, welche den vorliegenden Bewegungsbedingnngen in derselben Weise, wie die Linien, Genüge leisten, ausserdem aber den Anforderungen der Festigkeit, die in jedem Maschineutheil fortwährend berührt wird, ent- sprechend gebildet sind. Der Entwurf einer Maschine stellt deshalb zu- nächst jedesmal den geometrischen Zusammenhang durch Linien fest, deren Formen und Dimensionen den Bewegungen angepasst sind, und erst nach- dem dies geschehen , werden die Linien gleichsam mit Masse bekleidet, in- dem man die Maschinentheile, in dem Constructionsmaterial sie ausgeführt annehmend, in vollen körperlichen Formen aufseichnet und dabei allen Be- dingungen Rechnung zu tragen sucht, welche die Festigkeit des Materials erheischt. Dass dieser zweite Act des Entwurfs, die Formbildung, in den ersten, die Planbildung, nicht hinein greifen darf, liegt auf der Hand , und ebenso , dass in der ausgeführten Maschine die Bewegungen 80 stattfinden , wie in der Gliederung starrer Linien , die den geometrischen Zusammenhang repräsentirt, wenn dieselbe realisirt und bewegt werden könnte. Das Letztere ist darin begründet, dass alle Punkte der Maschine» welche mit den Punkten ihrer Gliederung zusammenfallen , wie diese sich bewegen, die Bewegungen aller andern aber in Curven vorgehen, die den Curven, welche die Punkte der Gliederung beschreiben, parallel oder äqui- distant sind. Daraus erhellt dann, dass alle Gesetze, welche für die Be- wegung von Liniengliederungen aufgestellt werden können , auch für die Bewegungen von Maschinen gelten , welche nach diesen Gliederungen ge- bildet sind.

Während die Formbildung der Maschinentheile, soweit sie sich auf die Verkörperung der festgestellten Linien des geometrischen Zusammenhangs bezieht, von einheitlichen Gesichtspunkten aus vorgenommen werden kann und wiederum erst in neuester Zeit durch die Einführung der Yerhältniss- zahlen auf allgemeineren Standpunkt gehoben worden ist, stehen bei der Planbildung wenige Gesetze zu Gebot, deren gemeinsame Ausgangspunkte klar vorliegen. Nur wenige Maschinentheile , z. B. die Zähne der Räder und die Daumen einer Daumenwelle , erfreuen sich in dieser Beziehung durchgehends begründeter Bildungsgesetze. Im Allgemeinen aber stehen die Gesetze des geometrischen Zusammenhangs noch ohne verbindende Ideen neben einander und man ist genöthigt, um eine Maschine kennen und dem- nächst con^truiren zu lernen, Theil um Theil zu studiren und jeden einzeln in seinen Beziehungen zu allen andern zu betrachten. Und dennoch liegt es nahe, der tiefen Gesetzmässigkeit halber, die im Spiele aller Maschinen, wie ihre Theile auch zusammengesetzt sind, stattfindet, anzunehmen ,\das8 aligemeine Bildungsgesetze für dieselben vorhanden sein müssen, und dass diese es sind , denen man bei der Planbildung allein zu folgen hat. Diese zu finden und zu begründen, werde analytisch vorgegangen, mdem man

Von Eduard Noegoerath. 173

in dem allgememen Bilde der Maschine eine eingehende Zerlegung der Be- wegungen und der bewegten Theile unternimmt, Gruppen bildet, und dem^ nSchst die Bestimmnngsgesetze dieser ermittelt.

Die Bewegung eines jeden Punktes einer Maschine ist eine in sich zn- rifckkehrende , d. h. jeder Punkt beschreibt eine geschlossene Curve oder Iftuft in der ungeschlossenen alternirend hin und her. Die Bewegungen sind entweder gradlinig oder kreislinig oder gehen aus grad- oder kreislinigen Bewegungen hervor, indem zwei Punkte des bewegten Theils in Graden , oder ein Punkt desselben in einer Graden und ein anderer in einem Sjreise, oder endlich zwei Punkte desselben in Kreisen geführt wer- den. Andere Ausgangsbewegungen, als die in graden Linien und Kreisen, pflegen bei Maschinen nicht vorzukommen, und im Allgemeinen liegen diese Führungslinien in einer Ebene. Dies wird auch hier zunächst angenommen^nnd soll es hervorgehoben werden, wenn Ausnahmen auftreten.

Ist der bewegte Maschinentheil durch eine Grade CD reprftsentirt , so wird, wekin zwei Punkte derselben in Graden geführt werden, unterschie- den werden müssen, ob diese Führungslinien zusammenfallen, parallel sind oder sich schneiden. Im ersten Falle wird jeder Punkt der bewegten Linie eine Grade beschreiben, die mit dieser Linie und den Führungslinien zu- sammenfällt (s. Taf. II, Fig. 1), im andern Falle werden alle Punkte der bewegten Linie Parallelen mit den parallelen Führungslinien beschreiben (s. Taf. II, Fig. 2) und im letzten Falle endlich Curven eigenthümlicher Art (s, Taf. H, Fig. 3).

In dem Falle, dass ein Punkt der beweg|en Graden CD in einer Gra- den, ein anderer aber in einem Kreise geführt wird (s. Taf. II, Fig. 4), be- schreibt der erstere Punkt eine Grade, der andere einen Kreisbogen, wäh- rend die übrigen in' Curven vorschreiten , die sich der Graden um so mehr nibern, d. h. um so zusammengedrückter sind, je näher der beschreibende Punkt an der graden Führungslinie liegt. Dabei kann die grade Führung den Kreis schneiden oder tangiren oder keinen Punkt mit ihm gemein haben.

Wenn zwei Punkte der bewegten Linie CD in Kreisen geführt werden, so beschreiben alle Punkte derselben Curven, welche zwischen beiden Krei- sen liegen und in der Lage ihrer Krümmungsradien mit dem einen oder andern übereinstimmen, je nachdem der beschreibende Punkt dem einen oder andern Kreise näher liegt (s. Taf. 11, Fig. 5).

Die beiden Punkte Cund D der Linie C D^ welche dadurch, dass sie in Graden oder Kreislinien geführt werden, die Bewegung der Linie be- stimmen, mögen Hauptpunkte oder bestimmende Pnnkte, alle übri- gen Punkte der Linie CD aber Nebenpunkte oder abhängige Pnnkte genannt werden. Die Bewegungen der Hauptpunkte mögen primäre oder Ursprüngliche Bewegungen, die Bewegungen der Nebenpunkte s e -

♦ 12*

i

L

174 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

cundäre oder abgeleitete Bewegungen helssen, nnd dem entspre- chend können die Grade und der Kreis primäre oder ursprüngliche Wege, alle anderen Curven aber, insofern sie sich auf die angegebene Art mittelst der Graden und des Kreises erzeugen lassen, secundäre oder ab- geleitete Wege genannt werden. Und da die Grade als ein Kreis mit unendlich grossem Radius angesehen werden kann , so ergiebt sich die Be- wegung im Kreise als die einzige primäre und der Kreis als die primäre Curve aller andern.

Von der secnndären Bewegung eines Punktes ist die zusammenge- setzte zunächst zu unterscheiden , welche derselbe annimmt , wenn ihm un- mittelbar Bewegungen nach verschiedenen Eichtungen ertheilt werden. Durch Zusammensetzung zweier Bewegungen in einer Ebene können alle ebenen Curven erzengt werden. Die Zusammensetzung einer gradlinigen und einer kreisförmigen Bewegung liefert unter Anderem ebene Spiralen und die Cycloiden, die Zusammensetzung zweier kreisförmigen Beweg- ungen die Epicycloiden undHypocycloiden. Die Zusammensetzung dreier Bewegungen, welche in verschiedenen Eben erfolgen , gewährt jede Curve im Räume und Flächen aller Krümmungen , wie das Abdrehen der Körper mittelst des Drehstahls auf der Drehbank zeigt. Alle Bewegungen aber erscheinen dadurch , dass man ihre Wege als aus unendlich kleinen gradlinigen Elementen von verschiedener Richtung zusammengesetzt denkt, selbst als die unmittelbare Aufeinanderfolge unendlich kleiner gradliniger Bewegungen von verschiedener Richtung. Auch die secundäre Bewegung eines Punktes muss so betrachtet und dadurch auf die primäre Bewegung eines andern damit zusammenhängenden Hauptpunktes zurückgefUhrt wer- den, dass man jedes secundäre Wegelement bei den Bewegungen in der Ebene nach zweien Richtungen zerlegt und dann in Beziehung setzt zu den gleichgerichteten Seitenwegen der zugehörigen primären Wegelemente. Die Seitenwege der secundären Bewegung werden also aus den zugehörigen primären Seitenwegen zusammengesetzt und demnächst unter sich verei- nigt, so dass das secundäre Wegelement selbst mittelst zweifacher Zusam- mensetzung erhalten wird«

§. 3. Die primären Bewegungen der Maschine erfolgen , da die Wege des Punktes stets in sich zurückkehren müssen, entweder in einer vollen Kreis- linie nach einer Richtung oder wechselnd nach verschiedenen Richtungen in einem Kreisbogen oder einer Graden. Erfolgt die Bewegung in einem Kreise nach einer Richtung, so wird sie eine drehende oder rotirende Bewegung genannt, erfolgt sie in einem Kreisbogen mit wechselnder Rich- tung, so heisst sie eine schwingende oder oscillirende Bewegung, und erfolgt sie in einer Graden hin- und hergehend, so heisst sie eine hin- und hergehende oder alternirende Bewegung. Die primären Be- wegungen sind daher einzutheilen in

Von Eduard NoEaGEKATa. 175

1) kreisförmig drehende (rotirende) Bewegungen,

2) kreisförmig schwiDgende (oscillirende) Bewegungen,

3) gradlinig hin- und hergehende (alternirende) Bewegungen,

und die Aufgabe der activen Maschinentheile ist es , diese Bewegungen der Art nach ungeändert, oder der Art nach ^e&ndert auf einander zu tiber- tragen. Geschieht die Uebertragung ohne Aenderung der Bewegungsart, wie s. B. bei einem Rade , das seine Bewegung einem andern Eade mit- theilt , 80 sagt man , die Bewegung werde fortgepflanzt, wohingegen, wenn die Uebertragung unter Aenderung der Bewegungsart erfolgt, wie z.B. bei einer Kurbel, die ihre drehende Bewegung mittelst der Schubstange an eine Kolbenstange, in eine gradlinige umgewandelt, überträgt, man sagt, die Bewegung werde umgeändert. Die actiyen Maschinentheile zerfal- len demnach in Fortpflanzungs- und Umänderungsorgane, und es sind einzutheilen :

die Fortpflanzupgsorgane

in Maschinentheile zur Fortsetzung

1) der drehenden Bewegung

(Zahnräder, Kettenräder, *Eiemscheiben, Frictionsräder, Schraube ' ohne Ende, Parallelogrammverbindungen),

2) der schwingenden Bewegung

(YierecksYerbindungen) ,

3) der gradlinigen Bewegung

(Keil, Gestänge, Ketten,. Seile); dagegen

die TTmändeningsorgane

in Maschinentheile zur Umänderung

1) der drehenden Bewegung in

a) schwingende Bewegung

(Vierecksverbindungen, wie Kurbel mit Schubstange und Ba- lancier, Hebedaumen und Hebearm, conische Kader mit un- terbrochener Zahnstellung) ,

ß) gradlinige Bewegung

(Vierecksverbindungen, Zahnrad und Zahnstange, excentri- sehe Scheibe, Hebedaumen und Hebelatte, Schraubenmutter und Schraube) ,

2) der schwingenden Bewegung in

a) drehende Bewegung

(Vierecksverbindungen, Sperrhaken und Sperrrad),

ß) gradlinige Bewegung

(Vierecksverbindungen mit Gradführung, bewegliche Drei-* ecksverbindungen, Schraubenmutter und Schraube),

176 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

3) der gradlinigen Bewegung in o) drehende Bewegung

(Vierecksverbindungen, Schraube und Schraubenmutter) , ß) schwingende Bewegung

(Vierecksverbindnngen, Schraube und Schraubenmutter). Die Anzahl der activen Masehinentheile ist indessen nicht so gross, als diese Uebersicht erwarten lassen könnte. Die Mehreahl der Organe ist geeignet, entweder die Bewegungen nach der einen oder andern Bichtung fortzupflanzen oder dieselben aus der einen Art in die andere und zurück umzusetzen. Masehinentheile dieser Gattung wollen wir Maschinendieile mit vollständigem geometrischen Zusammenhange nennen. Zu densel- ben werden Räder aller Arten, Schraube und Schraubenmutter, sowie sämmtliche geschlossene Stangenrerbindungen zu zählen sein Die andern Organe dagegen gestatten nur Fortpflanzung und Umänderung der Beweg- . ungen nach einer Hinsicht. Diese mögen Masehinentheile mit unvoll- ständigem geometrischen Zusammenhange genannt werden. Innerhalb gewisser Grenzen gehören zu denselben der Keil, die excentrische Scheibe, Hebedaumen und Hebearm, Sperrhaken und Sperrrad.

§.4.

Die vorstehende Uebersicht ergiebt, dass die Mehrzahl der Masehinen- theile zur Fortpflanzung und Umänderung derj^ Bewegungen bewegliche Stangenverbindungen sind. Die andern, wie Räder, Schraube, Hebedau- men und Keil , sind in ihrer Theorie hauptsächlich auf derjenigen der ein- fachen Maschinen begründet und deshalb in allen Punkten vollständig ent- wickelt.

Die Stangenverbindungen lassen sich, wie bei näherem Eingehen leicht erhellt, auf folgende einzelne Fälle beschränken.

1) Zwei Arme ^ i> und ßC (s. Taf. II , Fig. 5) drehen sich um die festen Punkte A und B und theilen einander die Bewegung vermittelst der um die Punkte D und C drehbaren Verbindungsstange D C mit. In diesem Falle ist die Verbindung durch ein Viereck AB CD repräsentirt , von dem drei Seiten beweglich, die vierte aber unverrückbar ist. Derselbe liegt in der Praxis bei der Bewegungsübertragung in einer zusammengesetzteren Dampfmaschine vor, indem hier das als^Gradführtmg dienende Parallelo- gram und der Balancier ein derartiges Viereck bilden. Ferner kommt der- selbe bei der Verbindung von Balancier, Schubstange und Kurbel, wie überhaupt bei allen Stangenverbindungen vor, mittelst derer schwingende und drehende Bewegungen fortgepflanzt oder in einander umgesetzt werden.

2) Ein Arm BC dreht sich um den festen Punkt B (s. Taf. II, Fig. 4) während ein anderer Punkt C desselben mit einer Stange CD drehbar ver- bunden ist, von der ein Punkt D in einer Graden fortschreitet. Unter An- derem kann diese Grade durch den festen Drehpunkt B des Armes BC

Von Eduard Noegoebath. 177

gehen. Dieser Fall liegt in der Verbindung von Kolbenstange, Schubstange und Kurbel vor , welche häufig bei liegenden Dampfcylindern angewendet wird und alsdann ein verschiebbares Dreieck BCD vorstellt, dessen Seite BD veränderlich ist. Diese Verbindung kann aber auch als specieller Fall der vorigen aufgefasst werden , indem der Drehpunkt Ä in der Unendlich- lichkeit liegt und der unendlich lange Drehann DA stets normal auf der Diagonale DB steht.

S) Ein Arm BC dreht sich um den festen Punkt B (s. Taf. II, Fig. 6), während ein anderer Punkt C desselben mit einer Stange DC drehbar ver- bunden ist, die sich um einen sweiten Punkt P^ durch den sie vorrückt, dreht. Dieser Fall kommt bei oscillirenden Dampfmaschinen vor, bei de- nen die Kolbenbewegung unmittelbar auf die Kurbel übertragen wird, während die Kolbenstange auf und niedergeht und um den Drehpunkt des Cylinders schwingt Derselbe wird durch ein verschiebbares Dreieck re- prftsentirt, von dem ein Eckpunkt B festliegt, ein anderer C sich im Kreise dreht und die Seite D(7 stets durch den Punkt P geht, kann aber auch auf- gefasst werden als ein Viereck ABCDj von dem eine Seite AD unendlich lang und in allen Lagen , welche durch die Punkte P und B bestimmt sind, normal auf 2>(7 gerichtet ist.

4) Eine Stange CD (s. Taf. II, Fig. 2 und 3) bewegt sich, während Bwei Punkte derselben in geraden Linien njn und pq parallel sein oder sich • achneiden können. Diese Verbindung kann als der Fall eines beweglichen Vierecks AB CD aufgefasst werden, dessen Seiten DA und CB unendlich lang und beziehendlich normal gerichtet auf den primären graden Wegen pq und nm sind.

Alle Stangenverbindungen , welche zur Bewegungsübertragung ange- wendet werden, lassen sieh demnach auf ein bewegliches Viereck zurück- führen, von dem zwei Endpunkte fest und die beiden andern verschiebbar sind. Ein derarartiges Viereck mag deshalb Bewegungsviereck ge- nannt werden. Die Seiten AD und BC derselben, welche durch einen fe-* eten nnd einen beweglichen Eckpunkt begrenzt sind, mögen Arme heissen, und Ewar derjenige erster Arm, von dem die Bewegung ausgehend ge- dacht wird. Der andere heisst alsdann zweiter Arm. Die Seite C D^ welche durch die beiden beweglichen Eckpunkte C und D begrenzt ist, heissen Schubstange oder Stange kurzweg, und die Seite ^J?, welche durch die beiden festen Eckpunkte A und B begrenzt ist, Basis des Vierecks«

§.5.

Die secundären Bewegungen der Punkte einer Graden CD, deren Hauptpunkte C und D auf irgend welchen ebenen Curven geführt werden, sind die Bewegungen der Stangenpunkte eines Bewegungsvierecks , dessen Arme die Krümmungsradien jener Curven sind. ^

178 Uebcr den geometrischen Zusammenhang der Maschinen. .

Wir erörtern zunächst den Fall, dass jene Curven Kreise sind, das Be- wegnngsviereck in seinen Seiten also constant ist.

Es sei (s. Taf. II, Fig. 7) die Länge der Stange Ci> = 6, und der Stangenpunkt P bestimmt durch den Abstand DP=::= p] ferner seien CP^= b — p:=^q, ÄD^=zr und BC= R, sowie die Winkel, welche diese Arme mit der Basis AB=sa bilden, beziehendlich o und ß. Dreht sich der erste Arm um den unendlich kleinen Winkel DAD'= da^ so schreitet der Punkt D um das Bogenstück DD' vor und der Punkt C bewegt sich von C nach (T', wodurch der Winkel ß nm dß verändert wird. Den primären Wegele- menten DD* und CC entspricht alsdann das seeundäre Wegelement PP\ d. h. während sich a und da verändert, hat der Punkt P das Wegelement PP* zurückgelegt.

Die primären Wegelemente DD' und CC lassen sich in Seitenwege Dd und D'dy Cc und C'c zerlegen, welche beziehlich parallel mit der Basis AB sind und normal auf derselben stehen. In gleicher Weise lässt sich das secundäre Wegelement PP' in zwei Seitenwege Pn und P'n zerlegen. Zwischen Dd, Pn und Cc, sowie zwischen D'd, P'n und C'c finden aber, da diese Linien gruppenweise untereinander parallel sind , folgende Beziehun- gen statt*):

*) Um flick Yon der Richtigkeit- dieser Fandamentalffleicliangen , die wohl nieht Jedem auf den ersten Blick einleuchten möchte, isu überseugen, kann man auf fol-- gende Weise erfahren :

Y Vit AB als X-Axe seien x und y die Coordinaton von 1>, x und y^ diejenigen von C, 5 und 17 diejenigen von P, Die Verrückung der Graden Z>C in die Lage D'C kann man sich nun dadurch entstanden denken, dass ihr zunächst ein für alle Punkte gleiche Verschiebung ertheilt wird, wobei D nach D* kommt, also die Coordinaten aller Punkte sieh um dx und dy ändern, und dass sie alsdann um den Punkt D' als festes Gentrum um den unendlich kleinen Winkel dfp gedreht wird, wo 9 den Winkel bezeichnet, den die Grade />C mit der X-Axe bildet. So findet man leicht

rfg = rfflj — pd(p sin (p

dx'= dx — bdq) sin tp

dri = dy '{' pd(p cos q>

dy' = dy '{' b dtp cos q>.

Wenn man die erste und dritte dieser Gleichungen mit b , die aweite und vierte

mitp multiplicirt , alsdann die zweite von der ersten, die vierte von der dritten sub-

trahirt, so ergiebt sich :

bdi=iqdx '{' pdx' bdTi=zqdy+pdy'. Dies sind die obigen Gleichungen 1) und 2), insofern nämlich Pn, Dd und C'c die Absolutwerthe von rf|, dx und dx'\ P'n, D'duiLd.C'c die Absolutw^rthe von drj, dy und dy' sind. Das doppelte Vorzeichen in der Gleichung 2) soll zugleich andeuten, dass dy und dy gleiche oder entgegengesetzte Zeichen haben können, wo- bei indessen zu bemerken ist, dass es auch Fälle geben kann, in welchen von den Punkten D und C der eine sich nach der Richtung AB, der andere sich nach der Richtung BA (abgesehen von der gleichzeitigen auf AB senkrechten Bewegung) be- wegt, in welchen also dx und dx' entgegengesetzten Zeichens sind.

Von Eduard NoEaoERATH. 179

1) b. Pn=:q.Dd + p. Cc,

2) b.P'n==q.D'd+p .C'c,

nod da, weil die Seitenwege normal auf einander stehen ,

3) PP' =:j/Pi^~+P^, 80 ergiebt sich hieraus :

Pi> = jj/iq .Dd+p. Cef + iq.D'd±p. Cef

4) { : ^ ^ ,

z^^y^.D'D^+p'.C'C + ^pqi^+D'd.Cc + Dd.Cc),

0

während die Eichtang des secundären Weges durch den Winkel y bestimmt ist, der von derselben mit der Basis AB gebildet wird. Derselbe ist, da

bestimmt mittelst

r> , q.D'd + p. Cc

^^ '^y=' q.Dd + p.Cc^

Es ist aber:

DD' = r.dix,

CC ^R.dß,

D'd =zDD' cos a=rco8a.da, ^

Dd = DD' sin a = r5i>i a. da,

Cc =±CC cosß= ±Jicosß.dß,

Cc = CC sin ß=^R sin ß dß. Snbstitnirt man diese Werthe in 4) und 5), so erhält man

iPP' =-rV^* '^^«' +P' ^* ^ß* + 2M^ ä da dß cos {ß—a) 6) / oder :

und

qr cos a da + » R cos ß dß

tg y = —

' qr sin a d a + p R sin ß d ß

I oder

7) < ^Rdß ^ qcos a+pcosß

tgy:

rda

q stn a ^p stn ß - —

rda wodurch das Wegelement PP' vollkommen bestimmt ist*)

*) Die obige Entwickelnng lässt einige Zweifel binBichtlich der Vorzeichen , na- mentlich was die Znlässigkeit der Formeln 6) und 7) für den möglichen Fall betrifft, wo da und dß entgegengesetzte Zeichen haben, d.h. die Arme AD und ^Csich in entgegengesetztem Sinn umdrehen, welcher Fall z. B. bei den zu Gradführungen die-

180 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen

tn.n n nn n nn ~i ~i ~i -i_r_n i~i 1" n 1

§.6.

Wird der erste Arm AD=sr in fortlaufender Drehung erhalten, so be- schreiben, wie schon gesagt, alle Punkte der Stange, mit Ausnahme Ton D und C secundäre Curven. Alsdann erscheint Winkel « als unveränderlich, Winkel ß als abhängig yeränderlich von ex, und die in den Formeln 6) und

7) vorkommenden Quotienten -^ sind ab Differentialquotienten von ß nach

a anzusehen«

nenden Viere cksyerbindungen yorkommt. Um diese Zweifel aafznklären , dürfte die folgende Darstellung sich empfehlen :

Während dx stets als absolut oder positiv angenommen werden kann, sei DD* r= rda mit ds, and C(f oder der Absolntwerth YonRdß mit d^' bezeichnet. Dann ist (siehe vor. Anmerk.) ^

PP' = ydi^^dn*= jy{3^^'^Pda:y'^(gdw'^pdy'^ = jVg* da» + p« ds'^ -f 2 p y (rf j? dx' + dy dy)

^ Y ^ ^P Vrf«/ ^^^\di d8 ^ dsds'J dB '

Der Ausdruck

dx dx' dy dy' ds ds* ds ds

ist der Cosinus des Winkels swischen den Richtungen DD' und CC'\ dieser Winkel ist := dem Winkel zwischen ^en JEUchtungen AD und BC^ d. h. = /} — a oder « — ß, wenn die Arme AD und ßC sich in gleichem Sinne drehen, dagegen unterscheidet er sich von diesem Winkel um 180o, wenn die Arme sich entgegengesetzt drehen. Demnach ist

ds ds ds ds' — \r • wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem dß positiv oder negativ ist. Weil nun aber auch

ds _^Rdß

ds — rda ist und hier gleichfalls das obere Zeichen zu nehmen ist, wenn dß positiv, das untere, wenn dß negativ ist, so ist unter allen Umständen

in Uebereinstimmung mit der oben entwickelten Gleichung 6) und wobei nur darauf zu achten ist, dass die Winkel a und ß stets beide in demselben Sinn herum gerechnet werden müssen.

Was femer die Richtung PP' betrifft , so ist ganz allgemein die Tangente ihres Winkels y mit der Richtung AB^ sowohl dem Absolntwerth als dem Zeichen nach richtig :

_dri pdy^pdy' _^ ds'^^lP ds, ^^'^di^pdx'^pdx'^ dx ^ dx ds'

'Ti-^^dTTs

Von EeUARD- NOEOOERATH. 181

«'W«^I^V%^V^^^<^^^r^%«S.«N^^^n^>^/N^W««^>^^^S^IM^^^^M^M^^VMMV^^M«^^kA^'^M^>n»\

Die Natur der secandftren Gnrye näher zn untersuchen, mögen die

Gleichungen derselben für ein rechtwinkliges Coordinatensjstem. gebildet <^^ i

} Jessen Anfangspunkt Ä (s. Taf. II, Fig. 8) ist und dessen erste Axe mit

der Basis A B zusammenfällt. Bezeichnen x und y die Ooordinaten des

Stangenpunktes P und ist A der Winkel , den die erste Axe mit der Stange

DC bildet, so gehen aus den Gleichungen ' .

X =if + Rcos ß — q cos t j .1

y =r sina + p sin ö

. , Rsmß — r sina stn 0 = sl— 7

0

_ a — r cos a + R cos ß

cosö^=^ 7 '

0

die Bestimmungsgleichungen

^ ap + rq cos a + Rp cos ß 8) x=

9) hervor, die, indem man differenzirt,

-. r qsina+ Rp sin ß

«) y— -^

10) dx rqsina+Rpsinß^J

da~ b

Nun Bind --r— und ^ bezüglich der Co», und Sin, des Winkels zwischen den Rieh-

tusgen DD' und AB\ und dieser Winkel ist immer = a -f—: x-> und -j- sind da-

2 dy ds

gegen beziehlich der Cos, und 5m. des Winkels zwischen den Richtungen CC und AB\ und di< Also hat man

AB\ und dieser Winkel ist = j? +-^ > jenachdem dß positiv oder negativ ist.

dx

57

cos la + -x) = — sina

^=««(«+-f)=«««

folglich, weil auch-p- =3 + — -^ ist und sftmmtliche obere oder sämmtliche untere ds — rda

Vorseichen zusammengenommen werden miissen :

^9V''

qcosa+pcosß;^

' '• . ^Rdß

'^ rda

•

182 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

11) ^^rqcostt+Rp^eosß^

da" b '

ferner,' welche Gleichungen durch Division

rfy rqcotu + Itpcosß^

12)

rq sin a + Ep sin ß -^

da /

ergeben, ein Resultat, das auch aus der zweiten der Gleichungen 7) unmit-

telbar hervorgeht, da /^ry = -^ ist.

Wird mit v die Geschwindigkeit des Hauptpunktes D und mit V die des Hauptpunktes C, mit v, aber die des Nebenpunktes P und mit dt das Diffe- rential der Zeit bezeichnet, so ist PP'

'• = -dT ^______

also

13) ". =|/s^ + ^* (7)' + 2^ * 7 <'«'» (^-«)-

Die Gleichungen 7), 8), 9) und 13) stellen die secandäre Bewegung und ihre Abhängigkeit von der primären Bewegung im Allgemeinen fest *).

§.7.

Zur Bestimmung des Quotienten — --^ oder des Differentialquotienten

d%

T-'werde beachtet, dass zwischen den Bestimmungstücken des Bewegungs-

Vierecks ÄBCL (s. Taf. II, Fig. 8) die Gleichung

6« =»(a + i? CO« /3 — r cos «)* + (Ä sin ß — r sin a)* stattfindet und dass diese Gleichung auf Null reducirt als eine Function von a und ß betrachtet werden kann, in der ß eine Function von a ist. Schreibt man daher

*) Durch die EntwickeluDgf in diesem Paragraph wird der Ausdruck 7) oder 12) von igf mit derselben Allgemeinheit und Strenge gerechtfertigt wie durch die Dar- steUung der vorigen Anmerkung. Was die Gleichung 13) betrifft, so bleibt sie richtig auch wenn der zweite Arm B C sich im entgengesetzten Sinne des ersten dreht ; nur muBS dann V negativ genommen werden , falls v stets absolut genommen wird«

•

Von Eduard Noeggerath. 183

f{a,ß) = {a +Ecos ß — rcosa)* + (Am ß — r sinay—b* and di£Perenzirt partiell nach a, 80 ergiebt sich

da nnd, indem man partiell n^ch ß differenzirt,

M^ = ^ 2Ä [a sin ß — rsin (ß - «)]. Da

dß .da 'j

dß

so ist im vorliegenden Falle

dß r a sin a — Rsin {ß — o)

da R ' asin ß — r sin {ß — a)

< 'V

and

14) sowie, da

aach

R. dß asina — R sin {ß—a)

r ,da asinß — rsin {ß — a)

V _ Rdß V rda^

V asina — R sin {ß — a)

V asin ß — r sin (jS — a)

§.8. Der Aasdmek a sin a — Rsin {ß — a) ist die Normale vom Hauptpunkt C des zweiten Arms BC auf die Richtung des ersten Arms AD^ und der Aus- druck asinß — rsin {ß — a) ist die Normale vom Hauptpunkt D des ersten Arms AD auf die Richtung des zweiten BC. Der Kürze halber werde die erstere Normale von C auf die Richtung von AB mit iV^, die leztere von D auf BC mit JV« bezeichnet. Alsdann erhält man statt des Ausdrucks 14)

15)

R.dß_ V_N,

t

r .da V Ni^

d. h. die Geschwindigkeiten der Hauptpunkte, oder die gleichzeitigen Wege derselben im Differential der Zeit, ver- halten sich wie die Normalen, welche aus ihnen auf die ge- genüber stehenden Arme gefällt werden können.

Wird (s. Taf. II, Fig. 8) der Viereckswinkel am Hauptpunkt B mit ]^ und der Viereckswinkel am Hauptpunkt C mit q> bezeichnet, so ergiebt sieh Nf = fr . ^ und Ni = b. sin q> , mithin

jgv ' F N^ sin^

V JV| sin g»

184 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

d.h. die Geschwindigkeiten der Hauptpunkte yerhalten sich ^'wie die Sinus der Winkel, deren Ecken sie bilden*

Für den Qaotienten — -^ werde der Oleichwerth . ^ in der Formel 12) ^ rda stnq>

welche die Tangente der secundären Curve des Punktes P bestimmt, sub- stituirt. Alsdann ergiebt sich in

q cosa + p cos ß -r-^

'^ stn tp

igy=i :-!:

qstna+ p stn ß ^—^

'^ Stflfp

^^ q cos a sin (p + p cos ß sin ^ ' q sin a sin q> + p sin ß sin rjf

eine Gleichung, die eine überaus bemerkenswerthe Bezieh- ung zwischen den Viereckswinkeln und dem Winkel darlegt, den die Tangente der secundären. Curve mit der ersten Axe bildet

§.9.

Wenn man in 13) den in 16) gegebenen Gleichwerth -r-^ des Quotien-

sing>

V

ten — einsetzt, so erhält man in *

V

18)^ oder

^ = Y^^V^^l *«*'» v)' + (P «»« 1/^)*+ 2 pq sin ^ sin q> cos {ß — «)

eine einfachere Beziehung zwischen der secundären Geschwindigkeit, der primären Geschwindigkeit und den Winkeln des Bewegungsviereoks.

Fällt man von dem Punkt P (s. Taf. II, Fig. 8) Normalen PE und PF auf die Richtungen der Arme , so ist psin'^^=s PFy qsin(p= PEy und da bsin^z=s N^, so ergiebt sich aus der vorstehenden Gleichung

».= ^ yPE* + PF* + 2.PE .PF.cos (/5-«) und weil Winkel FOE= /3 — «, sowie FPE= ISffi — FOE:

t^. = jyT J/PE* + PF* — 2.PE.PF.C0S FPE FE

oder, wenn die VerbiDdungsIinie PE der Fusspunkte der Normalen PE und PF mit s bezeichnet wird:

s

Die secundären Geschwindigkeiten der verschiedenen

Von Eduard Noeggbrath. 185

Stangenpnnkte rerhalten sich demnaeh an einander wie die graden Linien, welche die Fusspnnkte der Normalen aus jenen Pnnkten auf die Arme verbinden.

Vierecke, welche in dem Ergftnzungsdreieck CDO dadurch gebildet werden , daas man von einem Stangenpnnkte P Normalen PE und PF auf die Richtungen der Arme fällt, sind in Kreisen eingeschrieben; desshalb LFEP = LFOPvind

FE sin FPE

FP sinFEP' Da FP= OP.sin FOP, so folgt hieraus unmittelbar FE^=tOP.HnFPE oder, was dasselbe sagt, wenn 0P= /gesetzt wird,

s=:i sin {ß — a); und ebenso, wenn /' die Verbindungslinie OP' eines andern Stangenpunkts P' mit dem Scheitel 0 und s die^'Verbindungslinie der Fusspunkte der ent- sprechenden Normalen ist,

s'^=^V iin (ß—a).

Hieraus folgt dann — , = -r nnd weil -y^ = -7 »

st Vg s ,

19) ^_i

d.h. die secundären Geschwindigkeiten der Stangenpnnkte verhalten sich wie ihre Abstände vom Scheitel des Ergän- sungsdreiecks.

Der Sats gilt auch für die primären Geschwindigkeiten der Haupt- punkte. Im Allgemeinen verhalten sich daher die Geschwindigkeiten aller Stangenpunkte wie ihre Entfernungen vom Scheitel des Ergänzungsdreiecks.

Da der Scheitel 0 des Ergänzungsdreiecks durch dieses Gesetz von besonderer Wichtigkeit fttr die Bestimmung der secundären Geschwindig- keiten wird, wollen wir ihn Bestimmungspunkt und die Curve, welche er beschreibt, Bestimmnng8cu»ve der secundären Curven nennen^, welche von den Punkten der Stange des Bewegungsvierecks bei dessen Verschiebungen beschrieben werden.

Die Beziehungen der Winkel im Dreieck DOC ergeben, dass

q> — l8Xfi — '^ + ß—a

nnd daher cos {ß — «)= — cos (g>+t|;) geschrieben werden kann. Die Gleich-

nng 18) geht mit Berücksichtigung dieses Umstandes in

p . — . . — -

», = r— : y(q sin 9)* + (p sin ^)* — 2pq sinq) sin 1/; cos {<p + ij;)

über, welche Gleichung, indem man q=b — p schreibt und dann reducirt,

V

,20) r,=:— : — y{bsinq>y+ [psin (?>+ i^)]* — 2bpsinq>sin{(p + rif) cos^ ergtebt, ein Ausdruck, in welchem die secnndäre Geschwindigkeit nur noch

186 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

als Function der beiden Viereckswinkel (p und ^ auftritt, und ans dem die Gleichung 10) hervorgeht, weun man pt=sb setst.

§. 10. Die Normale einer ebenen Curve f{x^ ^) =0 in einem Punkte x, y ist

bestimmt durch die Gleichung ? — - = — -— unter | , v die laufenden Co-

dx ordinaten der Normalen verstanden. Die Gleichung der Normalen der se- cundären Curve des Stangenpunktes or, y, welcher durch die Abmessung p auf der Stange bestinunt ist, ist daher, weil nach 12) und 15)

qcosa+p cos ß — r=- dy ^ '^ rda

d^~ '. \ . ^Rdß

q stn a + p stn ß — ~

^ rda

qF^i , cos a+pNf ,cosß

q Ni.sina + pN^, sin ß geschrieben werden kann,

n — y qNi . sina + p . Nf.sin ß

5 — X q^i ' cosa +p ' N^. cosß^

und daher der Winkel jj, den die Normale mit der ersten Axe bildet, be- stimmt durch

^ _qN^.8ma + pN^.smß ^ ^* qN^,cosa'\-pN^.cos ß

Die Normale der secundären Curve und die grade Verbindungslinie des Bestimmungspunkts 0 mit dem beschreibenden Punkt P haben diesen letzteren Punkt gemein. Um die Lage derselben gegeneinander festsn- stellen, werde der Winkel % ermittelt, den diese Verbindungslinie mit der ersten Axe bildet. Sind or, y die Coordinaten des Punktes P und x\ y die des Punktes 0, so ist

/

Nun ist, wie leicht erhellt,

, asin ßsina

^ ~ 8in{ß—a)

, a sin ß cosa

sin{ß—a)

während nach 8) und 0)

rqsin a + ^P sin ß

y -

ap + rq cos a + Bp cos ß

*= j

ist. Diese Werthe in obigem Ausdruck substituirt ergeben

Von Eduard Noegöerath. 187

a sin ß sin or rq sin a + Rp sin ß

^ , sin{ß — a) b igX^

asinßcosa ap + rqcosut + Rpcosß^ stn{ß—u) b

woraus mit Berücksichtigung, dass b=p + ^ ist,

, q sin tt [a sinß — rsin (ß — a)] + p sin ß [a sing — R sin {ß — a)]

* qcosa[a sinß — rm(/3— a)] +pcosß [a sina — Rsin{ß — «)]

qNi . sina •]- pN^. sinß

qNi . cos a +P ^j • cos ß hervorgeht. Es ist daher tgi^^^ig^. Die Normale in P uud die grade Verbindungslinie PO sind daher parallel, und da sie den Punkt P gemein haben, so fallen sie zusammen. Aus alledem folgt dann aber, dass

1) die Normalen sämmtlicher secundären Curven durch den Bestimmungspunkt gehen, oder

2) die Tangenten der secundären Curven normal stehen auf den graden Verbindungslinien des Erzeugungs- punkts und des Bestimmungspunkts.

Diese Sätze legen äusserst wichtige Beziehungen der secundären Cur- ven anmittelbar vor Augen und gestatten einfache Constructionen der Hauptlinien derselben. So ergiebt sich z. B. die weiteste Ausdehnung der Curve (indem man erwägt , dass die Curvenpuukte , welche am weitesten von den Axen abstehen, in den Berührungspunkten der Tangenten erhalten werden , die parallel den Axen liegen) einfach durch die Lagen des be- schreibenden Punktes , in denen die grade Verbindungslinie mit dem Be- stimmungspunkt parallel den Axen geht. Die Bestimmung anderer beson- derer Fälle erfolgt eben so einfach und tibersichtlich.

§.11.

Da sich die Normalen der secundären Curven aller Stangenpunkte für jede Lage in dem Bestimmungspunkt 0 schneiden, ausserdem aber die gleichzeitigen Geschwindigkeiten jener Punkte sich wie die die Entfernun- gen derselben vom Bestimmungspunkt verhalten, so folgt, aass jede kleinste Bewegung der Stange als eine Drehung um den Be- stimmnngspunkt 0 zu betrachten ist.

Denn bezeichnen r, und v/ die secundären Geschwindigkeiten zweier Stangenpunkte , deren Abstände vom Bestimmungspunkt beziehlich / und t

sind, so ist die Winkelgeschwindigkeit des ersten Punktes -y und die des

andern J~ == y , so folgt auch y = ^' , d. h. die Winkelgeschwindigkeiten

der beiden Punkte in Bezug auf Drehung um 0 sind gleich , und desshalb die Drehung ein und dieselbe.

Die Drehung des Hauptpunktes D um den festen Punkt '^ ist desshalb

ZeitMhrirt fär Mathcnulik u. Physik. IV. 13

188 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

auch eine Drehung um den veränderlichen Bestimmungspunkt 0. Hieraus ergiebt sich die Grösse des unendlich kleinen Drehungswinkels , welcher beschrieben wird, während die Stange sich um 0 dreht, mit Hülfe der Gleichung

r.da=^DO.d{ß—u)y welche erhellt, indem man erwägt, dass LDOCs=ß — «ist und der Elemen- tarweg des Punktes 2> einmal als Bogenelement eines Kreises um A und das anderemal als Bogenelement eines Kreises um 0 aufgefasst werden kann.

Der Winkel d {ß — a) = dß — rf«, welcher bei der Drehung der Stange um 0 beschrieben wird, während der erste Arm den unendlich kleinen Winkel da beschreibt, ist die Differenz der Winkel beider Arme, die die- selben während dieses Vorgangs durchlaufen. Die Gleichung d{ß — a) = dß — da ergiebt daher unmittelbar , dass die Winkelgeschwindig- keit der Drehung der Stange um den Bestimmungspunkt gleich der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten der bei- den Arme ist.

Da der Abstand OD, wie aus Fig. 8 sofort ersichtlich, = . ' ' — = ist,

9tn ^p — — a)

so nimmt vorstehende Gleichung die Form

an , aus welcher , wenn tv die Winkelgeschwindigkeit des Arms AI> und ir,, die Winkelgeschwindigkeit der Stange mit Bezug auf Drehung um den Bestimmungspunkt bezeichnen, die. Gleichung

w,^d(ß---a)_rsin{ß — a) ^ w da iV,

hervorgeht. Andererseits ist aber, weil

d{ß—a)_dß dß _rsinif _ rJV,

da da da Rsinip RNi

auch

^ . w, r sin tp — R sin q> r . N^ — R.N^

'^ w iRsin g> R.N^

und ist damit die Kelation zwischen den Winkelgeschwindigkeiten des er- sten Arms und der Stange einerseits und zweien Yiereckswinkeln anderer- seits dargelegt.

§. 12. Wenn die Endpunkte der Stange I>C auf beliebigen Curven liegen und eine kleinste Yerrtickung dieser Punkte auf den Curven vorgenommen wird, so können diese Verrückungen um Bogenelemente jener Curven als Dreh- ungen betrachtet werden , welche um die Endpunkte der Krümmungshalb- messer jener Curvenpunkte erfolgen. Nach dem Vorhergehenden ist die Bewegung der Stange aber auch eine Drehung um den Durchschnittspunkt 0 jener Krümmungshalbmesser. Daraus folgt dann der allgemeine Satz :

Von Eduard Noeoöerath. 1 89

iii_wi >i.>iirii~ii->iii >r I nn iiT I ii n '^nri — ~ »~i~«~i~rif 1 — mn^-i-n — ii~i-n ~ nrnnnrinn ii'n — m -■-ii-ii-»-ii-inriniii-> ">inr»nr"»nr>ninrw>nir>f^>inrii'i ri<~iii"ir i »

Hat eine Grade mit zwei Carven beziehlich je einen Punkt gemein und wird die Lage dieser Funkte, welche auf der Graden unverrückbar sind, um einen unendlich kleinen Werth in den Curven verändert, so kann die dabei vor- gehende Bewegung als eine unendlich kleine Drehung nm den Durchschnittspunkt der Krümmungshalbmesser der Cur- venpunkte angesehen werden, welcho dieselben mit der Graden gemein haben. '

Es erhellt ferner , dass dieser Satz für jede ebene Figur gilt, von der zwei in ihr unverrückbare Punkte in Curven liegen, sobald diese Punkte ihre Lage in den Curven um unendlich kleine Werthe verändern.

Es muss bemerkt werden, dass Ponceletin seinem Cours de mecanique appUqu^e etc. (deutsch von S c h n u s e) dieses Princip erwähnt und dasselbe in einzelnen Fällen anwendet. Es ist von Bobillier im Jahre 1829 Pon- celet mitgetheilt und später von Chasles im 14. Bande des Bulletins der mathematischen Wissenschaften von Ferussac, S. 321 bekannt gemacht worden. Poncelet giebt das Princip in folgendem Satze:

Wenn eine ebene Figur ^on einer anveränderlichen aber beliebigen Form und Grösse irgend eine unendlich kleine Verrückung erfährt, ohne aus dieser Ebene gebracht zu werden, so strebt sie, ohne for tzugleiten, sich um einen festen Punkt zu drehen, welchen man vermittelst des Durch- schnitts der Normalen der Curvenelemente erhält, welche zwei beliebige Winkelspitzen der Figur gleichzeitig be- schreiben.

Der von Chasles ausgesprochene Satz hat mir nicht vorgelegen; die Notiz von Poncelet, welche bereits auf die Bedeutung des darin ausge- sprochenen Princips aufmerksam macht, kam mir erst nach Auffindung desselben zu Gesicht. Eine kurze Erwähnung des Satzes findet sich auch in der Ingenieur-Mechanik von Weisbach, Theil L Ausgänge und Fol- gerungen , welche die vorhergehenden Nummern enthalten , sind mir nicht bekannt geworden, und, so viel ich weiss, ist der allgemeinen Bedeutung desBewegungsvierecks för die activen Maschinentheile nirgends Erwähnung gethan *)*.

*) Es dürfte niclit anangemessen sein , hier darauf anfmerksam sa macheu , wie der im Obigen bewiesene interessante und folgenreiche Satz auf eine sehr elementare Weise sich rechtfertigen läset:

Da die Lage einer nnyeränderlichen ebenen Figur in ihrer Ebene durch die Lag^e zweier ihrer Punkte A und B bestimmt ist, so muss nur gezeigt werden , dass die un- abSnderlicho Y erhiudungalinio A B solcher 2 Punkte dadurch in irgend eine andere um unendlich wenig von AB abweichende Lage A' B* gebracht werden kann, dass man sie um den Dnrchschnittspnnkt 0 der geraden Linien AO und BO^ welche in A and B auf den als gerade Linien zu betrachtenden Wegelementen AA' JiJidBB' senk- recht stehen, nm einen angemessenen unendlich kleinen Winkel dreht. Dass jeder

13*

190 Ueber den geometriBchen ZuBammenhang der MaBchinen«

§. 13. Legt man (s. Taf. II , Fig. 0) durch den festen Drehpunkt Ä eine Pa- rallele äC' mit dem «weiten Arm J9 (7, so ist

Ebenso ist, wenn P und P' entsprechende Stangenpnnkte sind, welch« gefunden werden, indem man durch 0 und Ä Parallelen zieht,

PO:P'A = COiC'Ä.

Durch Zusammensetzung beider Proportionen folgt

DO:PO=^DÄiP'Ä.

Da nun — = -^^r, , so ergiebt sich aus der letzten Proportion

Es ist aber — gleich der Winkelgeschwindigkeit des ersten Arms und

MJA

dessbalb

11, = «^, P' Ä.

Dies ist offenbar die Geschwindigkeit eines Punktes X des ersten Arms, dessen Abstand von dem Drehpunkt A gleich P'A ist. Da der Abstand AX T=zAP* entweder auf dem Arm oder auf der YerlKngerung desselben über A hinaus angenommen werden kann , so erhellt, dass der Arm zwei Punkt« besitzt, welche sich mit der Geschwindigkeit des Punktes P bewegen.

Es ist ferner klar, dass das ftir den ersten Arm Erwiesene fEir dea zweiten gilt, und es giebt desshalb auch auf dem zweiten Arme zwei Punkte, deren Geschwindigkeit gleich der des Stangenpnnktes P ist. Nennen wir alle Punkte des Bewegnngsvierecks , welche sich mit der secundftren Ge- schwindigkeit eines Stangenpunktes bewegen, zugehörige Punkte die- ses Punkts, so lässt sich, wenn man erwägt, dass die beiden Punkte der Stange, welche gleich weit ab vom Bestimmungspunkt liegen , gleiche Ge- schwindigkeiten besitzen , folgendes allgemeine Gesetz aufstellen :

Innerhalb des Bewegungsvierecks haben je sechs Punkte

der beiden Punkte A and B allein durch eine Drehonf um 0 in die Lage A resp. iT gebracht werden kann, bedarf keines Beweises) zu zeigen ist nur, dass beide Drehun- gen um gleiche Winkel erfolgen müssen, d. h. dass LAOA'=^L^OB'i&i oder dass sich verhält

OA:OBz=AA' iBB', Zu dem Ende mag man bemerken, dass die Qrade AB in die Lage A'E^ offenbar dadurch übergeführt werden kann , dass man sie zunttchst in die mit AB parallele Lage A'B^' verschiebt und dann um den Punkt A' herum in die Lage A'B^ dreht. Be- trachtet man nun in dem unendlich kleinen Dreieck BB"B^ (eine Figur wird man sich leicht an den Rand zeichnen) das Bogenelement BB" B' als grade Linie, so erkennt man sofort, dass es dem Dreieck OAB ähnlich ist, weil die Seiten beider Dreiecke auf einander normal sind {fßA -1- BB\ OB -i- BB")^ wesshalb sich verhält

OA '. OB z= BB" i BB' inlTebereinstimmung mit der obigen zu beweisenden Proportion, weil die gegenüber- liegenden Seiten AA' und BB^' des Parallelogramms AA' BB" einander gleich sind.

Von Eduard Noeogerath. 191

^»^VM^ww^^«^^^^»^^^^^^>^^^«*^^^^^^^>*^*^^■*»^^^«^^»^*<^^^^o^*^^^»*^^^^>»^^^^^>^^»*^^<^'^^^^>^^^^^'^^■^^

einerlei Geschwindigkeit. Dieselben sind so vertheilt, dass je zwei und zwei auf den Armen nnd der Stange liegen, nnd zwar liegen sie auf den Armen zu verschiedenen Seiten der Drehpunkte, und auf der Stange zu verschiedenen Seiten des dem Bestimmungspunkt am nächsten liegenden Stangen- punkts in beziehlich gleichen Abständen, deren Grössen in jedem Augenblick sich ändern. ■

In Fig. 9 sind die Punkte, welche zu dem Stangenpunkt P gehören, mit 0, -T, Y und X', Y' bezeichnet.

Das Veränderungsgesetz der Lage der zugehörigen Punkte folgt aus der Gleichung :

AP' _0P_ 1

AD OD~a sin /3 — r sin {ß — a)' sin{ß—a) aus welcher, da AP' = ^X ist, hervorgeht:

jX=l rsin{ß—a)

asinß, — rsin^ß — a) 25) ^jrsiniß-a)

od« auch, weil nach 22) >■ 'i" (ß- -) ^üip^ i^t,

iVi da

26) ^^=<rf-0'

Hierdurch ist, wenn / ermittelt wird, die Lage der vier auf den Armen liegenden zu P gehörigen Punkte bestimmt , da ohne Weiteres ersichtlich ist, dass

oder

sein mu88.

§. 14. Die vollständige Bestimmung der zu P gehörigen Punkte erfordert die Näherbestimmung des Abstandes PO^=l des Punktes P von dem Bestim- mnngspunkt 0,

Es ist, wenn x und x' beziehlich die Abscissen der Punkte Pund 0 "bezeichnen und % der Winkel ist, den die Linie PO mit der ersten Axe bildet, bekanntlich :

t={x-x)yi + tgxK Da nun nach Früherem

ap + rg cos a + ^P cos ß

192 Ueber den gcometriBchen Zusammenhang der Maschinen.

/ a sin ß cos a

sin{ß — a)

q sin a . N,^ p sin ß . N»

igy- — -

q COS a . Ni+ p cosß . N^ ist, so ergiebt sich hieraus, indem man zunächst berücksichtigt, dass

ab cos a sin ß — ap sin (ß — a) — rq cos a sin (ß — o) — Rp cos ß sin (ß — a)

b sin (ß — o) q cos a [a sin ß — r sin {ß — a)] + p cosß [a sin a — R sin {ß —a)]

b sin {ß — a)

qcosa .Ni+ pcosß . N^

b sin {ß — a) ist, dann für x' — x diesen Ausdruck und für ig% den angegebenen Gleich- werth substituirt:

q cos a . Ni + p cos ß • N^

bsin(ß — ä)

/

{q cosa.Ni + p cos ß . N^y+ {q sin a .iV,+ p sin ß iV,)' {q cos aN^ + p cosß. N^y

27X _/g'^i' + P' - ^«' + ^P9 ^» » ^« cos iß—a) ^ bsin{ß — a)

oder, da b sin m=Nt, und —. = -rr ist,

^- stn tp iV,

/(g ^i>i q>y + (p sin ■»)' + 2 . y sin ip.psin^. cos {ß -> g)

^^^ '= siniß^a) •

£s ist aber der Werth der Wurzel nach den Entwickelungen in §. 9 gleich der Verbindungslinie s der Fusspunkte der Normalen vom Stangen- punkt P auf die Arme; nach jenem §. ist nämlich auch

29) ^ = -^-4 N-

^ sin{ß—a)

Da femer q> = 180<> — t/; + {ß — «), so ist si>i (ß — «) = — sin (q> + i/;) und cos (ß — er) = — cos{g> + tf;) und desshalb, wenn man Gleichung 20) berücksichtigt,

OAN , j/(ft sin q>y + [p sin (g^ + ^)] « _ 2 bp sin q> sin {tp + t^) cos ^

— Stn {<p + fjf) Hieraus erhält man für p=0 die Verbindungslinie des ersten Haupt- punkts mit dem Bestimmungspunkt :

bsin ip

/>0 = -

sin {<p + t^)

und für /> = — die Verbindungslinie des Stangenmittelpunktes M mit dem Bestimmungspunkt :

31) Mn = h y^^* (y + t^) — 4 sin tp sin '^^ cos (y + i^)

— sin {<p + ii) '

Von Eduard Noeggeeath. 193

«A^WW^IWWM^IWWWN^«AA^AA^^>^«M^>M^iA^^«M«>^«^>««^^«M^«^^«M^^»A^^«'N'>^N«

sowie darch entsprechende Einsetzung besonderer Werthe von p die Ver- bindungslinien der dadurch bestimmten Punkte mit dem Bestimmungspunkt ab Functionen von q> und ^.

§. 15.

Bestimmungspunkt und Bestimmungscurve drängen sich überall als bedeutungsvoll in Hinsicht auf die secundAren Curven des Bewegungsvier- ecks auf. In der That erscheint die Bestimmungscurve als der Ort für die Mittelpunkte von Kreisen, welche von den secundären Curven umhüllt wer- den und deren Radien die Entfernungen der betreffenden Stangenpunkte von dem Bestimmungspunkte sind. Diese veränderlichen Radien sind die Entfernungen Z, welche in ihrer Abhängigkeit von der augenblicklichen Ge- stalt des Vierecks und der Lage des Stangenpunkts auf der Stange durch 28), 29) und 30) gegeben sind. Jedem Stangenpunkt entspricht eine beson- dere secundäre Curve und ein besonderes System von umhüllten Kreisen ; diese sind nichts anderes als die Elementarkreise von Kreis-Coordina- ten, deren Axe r = 0 die Bestimmungscurve ist. (Druckenmüller, üebertragungsprincipien der analytischen Geometrie , Seite 89 u. f.) Die secundären Curven stehen also mit den Kreis- Coordinaten der Axe r = 0, wenn als solche die Bestimmungscurve gewählt wird, in innigstem Zusam- menhange, so dass man die Bestimmungen derselben mittelst solcher Coor- dinaten als die natürliche im vorliegenden Falle bezeichnen könnte.

Die Bestimmungscurve ist durch rechtwinklige Coordinaten, deren erste Axe AB (s. Taf. II, Fig. 10) und deren Anfangspunkt A ist, mittelst

i n sin ß cos a

32) '{"".^^-"'^ I astn ßstna

(^ ~ sin iß—a) gegeben. Indem man diese Gleichungen , unter der Annahme , dass a un- veränderlich und ß abhängig veränderlich ist, differenzirt, erhält man

da: f . ^ ^ . dß\ a

--- =^\s%nßcos8 — sm neos a-^- I-ttts

da \ '^ ^ . da/stn* (ß — i

da \ '^ da/stn*{ß — a)

und

hieraus aber durch Division

sin^ß — sin^a-r^ rfy dg

dx dß

sin ß cos ß — sin acosa^

,.. dß r , N^ ^ dß rsinip , ^ , .

Setzt man hierin -r-= ^ „ oder t^= „ . , so geht der Aus- da R.N^ da R stmp

druck in

194 Ueber den geometrischen Zusainmenhang der Maschinen.

dy R Nj sin* ß-^rN^ sin* a

dx BNiSinßcosß — r N^ sin tu cos ^ *

33} ^ oder

dy Rsinq> sin* ß— r sin t^ 5m* a

dx R sin tp sin ß cos ß — r sin i\) sin a cos a

über. Daraus ergeben sich für die Tangente und Normale eines Punktes

(x\ y) alsdann die Gleichungen :

«, V — y R sin* ß sin <p — r sin* a sin tD

Tangente: -. = ^ . ^ V, .. : ^ —

° X — X R sin ß cos ß sin q> -^ r sm a cos o wi ^

-._ - y — y r sin a cos asin^ — R sin ß cos ß sin w

N ormaie : ; = — - • a ="» : •

X — X R sm^ ß smq> — r sur a stn ^

Die Normale kann aber auch bestimmt werden mittelst des Winkels £ (s. Taf. II, Fig. 10), den die Normale ON der Bestimmungscurve mit der Normale OP einer zugehörigen secundären Curve einschliesst, danach der Lehre Ton den Kreis -Coordinaten*) der NeigungscoefBcient, d.h. der Co- sinus des Winkels, den der Badius eines Elementes mit der Axe bildet, be- stimmt ist mittelst

cos PO ff :=^ — ^ ds

worin dl das Differential des Radius OP=:l und ds das Differential des

Böge US der Bestimmungscurve bezeichnen. Es ist aber L P00'=90^ — |

und desshalb

«1« J = — _ a s

Das Differential dl ist äusserst zusammengesetzt. Das Differential ds

bestimmt sich mittelst

ds t= j/dy* + da^

- dß r sin tl;

und , wenn man -rr = -^7—: — setzt , da Rstng)

a . du ds-

Rsinq>sin^{ß — a)

. yR* sin* tp sin* ß + r* sin* ^sin* a — 2r R sin a sinß sintp sintl; cos{ß-a).

Wählt man als Anfangspunkt irgend einen bestimmten Punkt der Curve, welcher dem Winkel a des ersten Arms entsprechend ist, so ist der Bogen, welcher erzeugt wird, während der Winkel a in a'^tibergeht, mit- telst der Gleichung

*) Drackenmttller, Uebertragungsprincipien der analyt. Geometrio. Vier- tes Kapitel, §. 3.

Von Eduard Noeggerath. 195

Bjsii

da

[ sin q> sin^ {ß — «)

• j/ä* sinF (p 8in^ /5 + r» sin* t/; sin* a— 2r R sin a sin ß$ing> sin t/; cos {ß — «) gegeben. Ist S der diesem Bogen entsprechende Bogen der secundären Curve , so hat man , weil

dS=j/dy*+ da^

=^—j/ (rqsina + Epsinß\^) +\rq cosa + Bpcos ß-^j

da.r

= ^7^^/^' *"** <P + P* sinl lif -^2pq sin tp sin ^ cos {ß — cc) ist, zwischen den Grenzen:

S=-^J -^r-y^ sin* g>+p* sin* ^ + 2pqsinq) sin ^ cos {ß — a). a'

§. 16.

Die Geschwindigkeit des zweiten Hauptpunktes C folgt aus der Ge- schwindigkeit des ersten Hauptpunkts D mittelst Gleichung 16), nach welcher

sin ^

sm <p ist, und aus der hervorgeht, dass V dasselbe Vorzeichen behält, die Be- wegung des zweiten Hauptpunkts also in derselben Richtung erfolgt wie die des ersten, so lange sin^jß und sin q> dasselbe Vorzeichen besitzen. Daraus folgt dann aber, dass beide Hauptpunkte pich nach ein und dersel- ben Kichtung bewegen, so lange tf; und <jp gleichzeitig kleiner als zwei rechte Winkel sind, dagegen nach yerschiedenen Richtungen sich be- wegen, wenn der eine dieser Winkel kleiner und der andere grösser als zwei rechte Winkel ist, weil im ersteren Falle die Sinus der Winkel gleiche, im andern Falle aber entgegengesetzte Vorzeichen und desshalb

der Quotient -: — beziehlich positiv oder negativ ist.

Da die Richtungen der secundären Bewegungen der Stangenpunkte von denen der beiden Hauptpunkte abhängig sind und das Gesetz dieser Abhängigkeit nach 20) durch Gleichung

». = 7-4 — y{b sin (p)* + [p sin {q> + ilf)V — 2 bp sin q> sin {(p + ^) cos ^ u stn ^ * °

ausgedrückt ist, so lässt sich mit Berücksichtigung des eben ausgesproche- nen für diese Bewegungen im Allgemeinen folgender Satz aufstellen :

196 lieber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

Die secundfiren Bewegungen sind der primären Beweg- ang^gl(eich gerichtet, so lange der erste nnd zweite Arm hohleWinkel mit der Zugstange bilden, und derselben ent- gegengesetzt gerichtet, sobald der eine Arm einen hohlen und der andere einen erhabenen Winkel mit der Zugstange bildet. Der Uebergang aus einer Bewegungsrichtung zur andern findet jedesmal statt, wenn die Richtung eines Arms mit der Richtung der Stange zusammenfällt.

Das Gesagte ergiebt sich auch unmittelbar bei Erwägung der geome- trischen Eigenschaften des Vierecks, ^ie können die Richtungen beider AAne gleichzeitig mit der Richtung der Stange zusammenfallen, oder beide Arme gleichzeitig erhabene Winkel mit der Stange bilden. Ist das Be- wegungsviereck ein Parallelogramm, so ist für jede zusammeDgehörige Werthe von t/; und q>j sintj; = sinq> utid sin (^ + <jp) = 0; desshalb », = r, d. h. in der Stange eines Bewegungsvierecks , welches ein Parallelogramm ist, sind die Geschwindigkeiten aller Stangenpunkte von gleicher Grösse und Richtung.

Der Werth von a, bei dem sich die Bewegungsrichtungen der Stangea- punkte und des zweiten Arms ändern, während der erste Arm stetig fort- schreitet, möge Wende winkel heissen. Der Wendewinkel ist erreicht, wenn tf;=180^ oder ^=0^ resp. 360° geworden ist, und man sagt von dem Arme, er stehe im todten Punkte, wenn er einen dieser Winkel mit der Stange bildet. Der erste todte Punkt tritt ein, wenn beide Hauptpunkte D und C auf einer Seite des Drehpunkts A liegen , und der zweite tritt ein^ wenn diese Punkte auf verschiedenen Seiten von A liegen.

Der erste todte Punkt (s. Taf. U, Fig. 11) ist mittelst der Gleichnng des ersten Wendewinkels a :

, a' + (» + ry-Jg»

cos a = ^-r; r^— r

2a {b + r) oder

«'_ 1 lA^ + b + r + R) {a+ b + r~^=rB) "" 2~ 2^^ a{b + r)

bestimmt, während der zweite todte Punkt (s. Taf. II, Fig. 12} sich mit- telst des entsprechenden Wendewinkels u\ der durch

oder

2a {b — r)

"""'S ~ 2 '^ a{b — r\

a

"2 ~ 2 '^ a{b — r)

gegeben ist, finden lässt.

Wenn der erste Arm in seinen Bewegungnn ificht gehindert, er also befähigt werden soll , jede beliebige Winkelgrösse zu durchlaufen , so muss die Stange b bestimmte Grössenwerthe innehalten. Die Grenzen, zwischen

Von Eduard Noeggerath. 197

denen sich b überhaupt bewegen mnss, wenn die Vierecksverbindnng her- stellbar sein soll, sind

b>a — {R + r) und 6<a+ (Ä + r), was leicht erhellt, wenn man beide Arme in die Richtung der Basis AB ge- legt denkt, wo dann der Minimalwerth erreicht ist, wenn beide Haupt- punkte über den zugehörigen Drehpunkten A und B hinaus in der Verlän- gerung von AB liegen«

Die UnbeschrSnktheit der Drehung des ersten Arms erheischt, dass derselbe befähigt sein muss, die todten Punkte , d. h. diejenigen Armlagen zu passiren, in denen die Armrichtung mit der Stangenrichtung zusammen- fällt. Der Durchgang durch den ersten todten Punkt verlangt die Her- stellbarkeit des Dreiecks ACB (s. Taf. II, Fig. 11) aus den Seiten b + r^ a und j?; es muss also

a + R >b + r >a — R sein. Der Durchgang durch den zweiten todten Punkt verlangt die Her- stellbarkeit des Dreiecks ACB (s. Taf. II, Fig. 12) aus den Seiten b — r^a und jR; es muss also

a + R >b — r >a^R sein. Diese Bedingungen lassen sich auch folgendermassen schreiben : a+{R — r)>b>a — iR + r) a + {R + r)>b>a — (R—r) und sie reduciren sich auf die folgenden beiden , welche die Bedingungen für die Möglichkeit der Vierecksverbindung überhaupt in sich schliessen : a + {R — r) >b>a — (R — r). Wenn die Bewegungen vom zweiten Arm ausgehen, so erhält man die Bedingungen für die Znlässigkeit voller Drehungen dieses Arms einfach durch Vertanschung von Rm\\,r\ denn die Möglichkeit des Durchgangs durch den ersten, resp. zweiten todten ]^unkt ist an die Herstellbarkeit des Dreiecks ABB aus den Seiten b+r^a^r resp. b — R^a^r gebunden. Diese Bedingungen sind also :

a — (Ä — r) > 6 > fl + (Ä — r). Man sieht, dass der Durchgang des ersten Arms durch den ersten todten Funkt [a+ {R—r)'^b] unverträglich ist mit dem Durchgang des zweiten Arms durch den zweiten Punkt [6 > a + (^ — 0]) ansgenommen den Orenzfall , wo b ^=:s a + {R -- r) iut. Ebenso ist der Durchgang des ersten Arms durch den zweiten todten Punkt unverträglich mit demjenigen des zweiten Arms durch seinen ersten todten Punkt , ausgenommen den Grenzfall, wo6 = a — (Ä — r).

Daher ist es auch nicht möglich , dass beide Arme zugleich einer voll- ständigen Drehung fähig sind, ausser in dem ganz speciellen Fall, wo

l a + (Ä - r) = 6 = a — (Ä - r)

wo also Ä==r und « = 6 ist.

198 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

Die obigen Bedingungen für die vollständige Drehbarkeit des zweiten Arms sind offenbar unerfüllbar, wenn R — r positiv ist, sowie die Bedingun- gen für die vollständige Drehbarkeit des ersten Arms nicht erfüllt werden können, wenn R — r negativ ist.

Es ergiebt sich also, dass im Allgemeinen nur einer der beiden Arme, und zwar stets der kleinere, eine vollstän- dige Drehbarkeit haben kann; er hat dieselbe, wenn die Länge der Stange sich höchstens um die Differenz der Ba- dien von der Länge der Basis unterscheidet. Der einzige Fall, wo beide Arme zugleich vollständige Drehungen aus- führen können, ist der, dass die Radien gleich sind, falls gleichzeitig auch Stange und Basis gleich gemacht werden,, so dass das Viereck beständig ein Parallelogramm bleibt.

§. 17.

Bezeichnet im Allgemeinen P die treibenden Kräfte, welche auf einen frei beweglichen materiellen Punkt einwirken, und a deren Neigungswinkel gegen die augenblickliche Bewegungsrichtung, Q dagegen die Widerstände, welche jenen Kräften entgegenstreben und unter den Winkeln ß gegen die Bewegungsrichtung geneigt sind, so ist der Ausdruck

2Pcos€t — £Ocosß die die Bewegung bestimmende Resultirende sämmtlicher Kräfte. Je nach- dem der Werth dieses Ausdrucks constant oder variabel ist, wird die Be- schleunigung der Bewegung selbst constant oder variabel. Nur in dem Falle; dass die Veränderungen der Kräfte unter sich stetig einander auf- heben, kann mittelst veränderlicher Kräfte constante Bewegung erzielt werden. Ist M die Masse des bewegten Punktes nnA.dt das Differential der Bewegungszeit, so ist die Geschwindigkeitsänderung während dersel- ben, welche mit Jv bezeichnet wyde, bestimmt mittelst

ZPcosa — £Qcosß ^ M und ersichtlich, dass deren Grösse, da iRf constant ist, lediglich von dem Zähler des rechts stehenden Gleich werths abhängt, und positiv, Null oder negativ ist, je nachdem £Pcosa grösser, gleich oder kleiner eAs £ Q cos ß ist.

Auch innerhalb des geometrischen Zusammenhangs bleibt dieses Cre- setz, welches die Abhängigkeit der Bewegung von den Kräften, Widerstän- den und der Masse ausdrückt, in Gültigkeit, da derselbe nichts enthält, was dasselbe berühren könnte. Aber indem er die Körper nöthigt, innerhalb gewisser Bahnen Bewegungen vorzunehmen, bestimmt er die Neigungs- winkel , mit denen die Kräfte auf dieselben wirken und entzieht damit den Kräften die eigene Bestimmung ihrer Richtung. Nirgends wirkt der geo- metrische Zusammenhang direct auf die Intensität der Kräfte ein , aber in-

Von Eduard Noeggbrath. 199

^irect, indem er mit der Aendening der Neigung ancli die Bestimmung der Seitenkräfte mit übernimmt, welche in derEichtung der Bewegung zum Ausdruck gelangen. Daraus erhellt dann aber, dass in dem Ausdruck

Jv = — ^ S-. dt

M

innerhalb der Maschine den KrSften die Bestimmung von a und ß entzogen, dem Zusammenhange zugewiesen und dieser desshalb, wie in §. 1 ange- führt, als vierte Bestimmungsgrösse der Maschinenbewegungen zu betrach- ten ist. Vor allen Dingen aber sieht man, dass in den Maschinen die Bahnen der bewegten Körper und dass Verhältniss der Geschwindigkeiten derselben zu einander mittelst des geometrischen- Ziftammenhangs voll- ständig unabhängig von den treibenden Kräften hingestellt werden.

Erörtert man die Kraftverhältnisse an dem Bewegungsviereck, und nennt zu dem Ende die treibende Kraft im ersten Hauptpunkt P, während die tangential in der secundären Curve des, durch den Abstand p bestimm- ten abhängigen Punktes wirkende Kraft X genannt witd , so hat man nach dem Princip der virtuellen Geschwindigkeiten

X rda

wenn ds das Differential der secundären Curve ist. Mach 20) ist aber rda V bsintp

^* ^» j/b*sin* q> + p* sin^ {(p + '^) — 2bpsinfp sin (9 + ^) cos if; und daher

I^b $inq>

X—

f/b'^ sin* g) + p' sin* (9 + t|;) — 2b p sin 9 sin (9 + ^ cos ^

34) ^oder

PbN,

'y7~I^,*^p*N,* + 2pq'N,N,cos{ß—ay

vi X t

Da nach 19) ~ =-; , so ergiebt sich auch-rr7 = -r, d. h. die Kräfte

üg r A i

der Stangenpunkte, welche in der Kichtung der secundären Curven wirken, verhalten sich umgekehrt wie die Abstände dieser Punkte vom Bestim- mungspnnkt.

Die Gesetze, welche in §. 12 angeführt wurden, zeigen, dass in sechs Punkten des Bewegungsvierecks gleiche Geschwindigkeiten vorhanden sind und dass drei dieser Punkte auf der Stange und den Armen , die drei an- dern aber auf deren Verlängerungen liegen. Es ist klar ohne Weiteres , daas in diesen Punkten auch gleich grosse Kräfte wirken.

§. 18.

Da die Geschwindigkeiten der Stangenpunkte mit jeder Lage der SUnge andere werden, so ist die Wirkung s grosse der bewegten Stange

200 lieber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

w.rL»u<_r<_i»-^<'i'~ii-ii-ii-irii~if-«~iOnr-ii~ii — ^nnr>-»nnnrni)-ni-ir-i~iini-i~ ~i~ ■* -i ■*■ — i — i — r-i~ ni — i'- — n~irii-ni~i~ ~ ~rii~i'* -■-ni-inr-~'*- — '~-*~'*'"^**^^* Tr^

des Bewegongsvierecks offenbar veränderlich und abh&ngig von der Stel- lung der Arme. Wird der erste Arm als Ausgang zur Bestimmung dieser Wirkungsgrösse , die gleich fV aDgeuommen werden möge, angenommen, und ist wieder / der Abstand der Masse dp eines Stangenelemcnts vom Be- stimmungspunkt, sowie w die Winkelgeschwindigkeit des ersten Arms, so folgt zunächst

oder, wenn man aus §. 14 den Gleichwerth für DO entnimmt, 35) /«n(y + »)

und weil man für die Wirkungsgrösse die allgemeine Gleichung hat, im vorliegenden Falle

»•) '^=?^^±^/'-'.

in welchem Ausdruck das Integral über die ganze Masse der Stange zu er- strecken ist.

Ist T das Trägheitsmoment für den Schwerpunkt der Stange, deren Masse ilf ist, und bezeichnet /„ den Abstand des Schwerpunkts vom Be- stimmungspunkt, so ist bekaontirch

fl'dp = T+M.ll und desshalb für den vortiegeYiden Fall, bei dem der Schwerpunkt mit dem Stangenmittelpunkt als stets zusammenfallend angesehen werden kann, mit Berücksichtigung von 31)

j^^ ^* r*s*n^ (y + ^) fy , jf ^ ^'^** (y + 1^) — 4 sin <p $in » cos (q> + ^)"] 2 bUm*q> L "*■ 4 m' (y + ^) J

oder

37) W=j^^^^^(^T+Mj^sin'{g>^^^^

Für den Fall , dass man die Stange als Linie auffasst , wie bisher ge- schehen, ist, unter y die Dichte der Stangenmasse (Gewicht der Längen- einheit) und unter ^= 31,25 Fuss die Beschleanigung der Schwere verstan-

6» y V

den, T= — .^ und M=b^ und daher

12 g g

n^ r* r/6» ^\ ly

L\i2 "*" 4 / ***"' (^+ *) — ^""simpsin^fcosiip + ^) K

W = .

12 M m* (p I

^^^ "^ ? sii^ 1 1*'"* (9> + tf^) — 3 sin ff sin i/; cos {q> + ^)]. Zu diesem Resultate wäre man auch bei Erwägung, dass

rw

lg^~ y^* ***''* y + P' sin* (qp + t^) — 2bq sin q> cos ^ sin (9» + ^) ,

Von Eduard Noeogebath. 201

and daher die Wirknngsgrösse der Stange

^'= 2 ~ J y^^y^sir^^+^lii^^ dp

ist, gelangt Man erhält nämlich

b

— 2 b sinq> cos ^ sin {<p + ^)fp dp] • »• r* yf,, ., , bUin*{q> + fl,) ^, . . , , 1

f^ T^b

, - [3 {sin* <p — sin g> cos ^ sin (<p + ^)) + sin* (tp + 1^)]

V 2 ' sin* (p' g^ n^ r^b y ^ 6 '1M^ 'i \.^^^^ + ^) — 3 sin<psin ^ cos {<p + 1/;)].

Führt man statt der Winkel q> nnd ^ die Winkel a und ß ein, indem man berttcksichtigt, dass '

b sin^=zN^

#th (9 + ^) = — sin(ß'~a) cos (9 + ^) = — eo« (/3 — a) ut, 80 erhält man ans 87)

39) W^'^-^^.^i^T+Mj^^^

nnd für den Fall, dass die Stange als materielle Linie betrachtet wird : .

40) ^= ^. ^. I [b* sin* iß—a) + ^,N, . N, . cos {ß- a)]

Ausdrücke, die, der Bedeutung von iV, nnd N^ halber, complicirter als die in 37) und 38) gegebenen sind.

§. 19.

Bereits in §. 4 ist bemerkt, dass die Gesetze des Bewegnngsvierecks unmittelbar Anwendung bei den gebräuchlichen Gradführungen mittelst beweglicher Stangen und der Bewegungsübertragnng von dem Balancier anf den Krummzapfen nnd umgekehrt finden. Dies werde nunmehr näher dargethan.

Unter den verschiedenen Formen der Gradftthrungen sind der Ba- lancier mit Gegenlenker (s. Taf. II, Fig. 4), das Watt'sche Pa- rallelogramm (s. Taf. II, Fig. 14) und der Balancier ohne Dreh- nngsaxe (s, Taf. 11, Fig. 15) vorzugsweise zu nennen. Wie leicht er- hellt, machen die Punkte P und P' des Watt'schen Parallelogramms ent- sprechende Bewegungen , und da P nichts anderes ist , als der Aufhänge* pnnkt des Balanciers mit Gegenlenker ABCD, so lassen sich die Bewegun- gen des Auf^ängepunktes P' (Eckpunktes) im Parallelogramm mit Hülfe

202 Ueber den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

B C des Grundverhältnisses -^7^ leicht auf die des Aufhängepunktes P im 6e-

genlenker zurückführen. Es ist desshalb ausreichend, wenn hier nur von dem Balancier mit Gegenienker und dem Balancier ohneDreh- ungsaxe gesprochen wird.

Die Verhältnisse der Stücke des ersteren werden bekanntlich so ange- nommen, dass der Aufhängepunkt P bei der höchsten, mittleren und tiefsten Stellung der Arme in die Grade PP'P'* eintritt. In allen anderen Stellan- gen weicht die von dem Punkt P beschriebene secundäre Curve von jener Graden ab, und diese Abweichung ist offenbar am grössten, wenn die Tan- gente der Curve parallel der Graden ist. Dies bedingt, dass in dieser Stellung die Normale der Curve im Punkte P normal auf der Graden stehe. Daher ist die Seitenabweichung am grössten, wenn die Verbindungs- linie PO mit dem Bestimmungspunkt (> normal auf der Rieh - tnngslinie oder, was dasselbe sagt, parallel der mittleren Armstellung ist. Analytisch gelangt man zu diesem Resultat , indem man den Coordinaten der secundären Curve, als deren Anfangspunkt J und als deren erste Axe AB angenommen war, die Richtung AD' der mittleren Armstellung als erste Axe giebt. Sind a und ß die Winkel, welche die Arme beziehlich mit dieser ersten Axe bilden, und ist y der Neigungswinkel der Basis AB gegen diese Axe, so ist

ap cos y + rq cos a + Rp cos ß

ap siny + rq sin a + Bp sin ß^.

y ^ ;.

In der mittleren Stellung, in der die Arme parallel sind, befindet sich P in der Richtungslinie , und ist desshalb, wenn der Abstand dieser Linie vom Anfangspunkt A mit m bezeichnet wird, ftir diese Stellung

und da bei derselben « =s 0** und ß = 180^ ist,

apcosy + rq — Rp m -^ . •

Für irgend eine andere Stellung ist daher die Abweichung des Fflh- rungspunktes von der Richtungslinie, die mit ^i angedeutet sein möge,

*) Sind x'f y die Coordinaten des Punktes P für AB als erste Aze, tt und ^ die Winkel, welche die Arme AD und BC (nit dieser Axe AB bilden, so ist naeh §. 0: , ap-hrgcofi a ^Bp cokß' a.c=

, rq sin dt ^ Rp-sin ß^

^ ~~' l

Setzt man diese Werthe in die Coordinaten-Transformationsgleichungen:

a; = a?' cos y — y sin y

yz=zx' siny 'hy cos y, so findet man die im Texte angegebeneu Werthe mit Bücksicht darauf, dass

Von Eddabd Noeooesath. 203

A—^ ?r(co««— l)4.pa(co»/?.hl)

^ =s X — m = — 7 : .

b Um das Maximum der Abweichung au finden, differensirt man nach «r nnd findet die Bedingnngsgleiehung :

^ da

dß qrsina

— — ^ fff — —

da pR sin ß

Rdß q sina

rda q sin ß

JV, q sin a

N^ p sin ß oder mit Bückricht auf Fig. 13 :

CO q sin «

~DÖ~psinß was, wie suTor, bedingt^ dasß PO parallel mit BC' sei*).

Der Balancier ohne Drehungsaace (s. Taf. 11, Fig. 15) fblgt demselben Oesets. Auch hier ist die Abweichung des Ftlhrungspnnktes P von der Richtnngslinie PP'P" am grössten, wenn die Verbindungslinie PO mit dem Bestimmungspunkt 0 normal auf jener Graden, oder parallel der mittleren Armlage steht.

Die Verbindung von Balancier, Schubstange und iKnrbel (s. Taf. II, Fig. 16) wird gewöhnlich so angeordnet, dass der Drehpunkt B der Kurbel in der Normalen auf der mittleren Balaucierstellnng liegt, die in der halben H5he des Ausschlagebogens D' D*' errichtet wird. Diese Anordnung be- dingt, dass jeder Stangenpunkt bei entsprechenden Lagen der Kurbel nach rechts oder links von jener Normalen sich in gleichen Entfernungen von derselben befindet , und also die Bewegungen , sowie die Zug - und Stoss-

*) Man wird «ich erinDem dass mit Nt die Normale von C auf ADi mit Nt die Normale ron D auf BC bezeichnet warde, woraus

N^COnnCOD CO Ni^BOsinCOD^DO sich ergiebt. Bas Zeichen — rührt nnr daher, dass dß und du entgegengesetzten Zei- chens sind ; es ist wegzulassen, wenn CO und DO die absoluten LKngen bedeuten. Dass aber die letzte Oleichnng die Bedingung dafür enthält, dass OP mit der ersten Axe AD' parallel ist, sieht man folgendermassen ein:

Zieht man durch 0 eine Parallele mit AD^ und nennt X ihren Durchschnittspunkt mit CDy so ist Winkel XOD=a; XOC—lSG^^ß. Weil nun die Sinusse der Neben- Winkel OXC und OXD gleich sind, so hat man

COsinß^DOstna

CX "~ DX folglieh

CO_CXjnnß

DO^DXsina Dies mit der fraglichen Gleichung verglichen liefert

CX_ q _CP DX p DP nnd lehrt, dass PiMt X, folglich OP mit OX zusanunenf&llt.

Z«il^rif( r. Mathematik a. Phyaik IV. 14

204 Uebor den geometrischen Zusammenhang der Maschinen.

wirkangen der Sefanbstange auf den Balancier nach rechts oder links gleich gross werden. Dabei findet dann die grösste SeitenabweichnDg eines Stan- genpunktes Ton dieser Richtungslinie statt , wenn seine Verbindungslinie PO mit dem Bestimmungspunkt 0 sich parallel der mittleren Balaneierlage stellt. Auch erhellt, dass, wenn V die Geschwindigkeit des Balanciers und V die der Kurbel ist, die. Gleichung

sin q> stattfindet, und die todten Punkte eintreten, wenn nahezu q> = (f oder ip = 180* ist.

§. 20.

Nach 2) in S. 4 ist die Verbindung von Kolbenstange, Sebubstange und Kurbel als ein Bewegungsviereck zu betrachten, von dem ein Arm unend- lich gross und normal auf der Kolbenstange gerichtet ist.

Fig. 17 stellt diesen Fall dar. Es ist der zweite Arm BC^=R=co ^ ebenso die Basis AB ^=:co und Winkel ß r= 180^. Femer ist a = 90^ + d und daher 8ina=s cos 8 und cro« a = — $ini\ (p == QQP ^> g»', mithin $m^z= eo9 (p' und cos<p:s== — sintp. Daraus ergiebt sich der Abstand z der Punkte A und C:

z = Ad+ dC = r cos ö + j/b^ — r* sin* i und N^ = dC=:^yb* - r« sin* 8

JV, = 2 sin 8 + sin 8 (r cos 8 + }/b* — r* sin* 8). Die gleichzeitigen kleinsten Wege der Hauptpunkte D und C sind be- zieblich rd8 und Rdß^=zdZj und es ist

dz N^ . ^rcos8 + l/b* — r* sin* 8 rd8 N^ i/b^ — f*sin*8

Der Weg ä, den der Angriffspunkt C der Kolbenstange zurücklegt, wl&hrend die Kurbel den Winkel 8 beschreibt, ist 8 h7=:fdzz=zr + b — z

0

41) ~r{i~cos8) + b---}/b* — T*sin*8.

Setzt man, da b verhältnissmässig gross gegen r, gewöhnlich 6 = 5r

r* sin* 8

ist, }/b* — r*sin*8^b--'-~^, so ist

(- , rsin*8\

42) =2rH,^ut±S^^

0 .*•

Für d = », d. h, ftir eine halbe Kurbelumdrehung ergeben beide For- meln Ä=2r. ^

Von Eduard Nobogeiuth« 205

Die Geschwindigkeiten des StangenangrifPspunktes C nnd des Warzen-* ponktes D geben die Gleichung

V _ dh _ dz

V rdi rdö

• stn d . ^ -=

und daraus

43) r= vlstni + — r i;

Setzt man näfaernngsweise den Werth des Ausdrucks ^6* — r* sin* i gleich 6, wobei man, indem man das Glied r*sin* 8 vernachlässigt, im Falle

fr >5r ist, einen Fehler begeht, der kleiner als — des wirklichen Werths

ist, so ergiebt sich

44) r=.» sindfl-i- j cos a).

Zur Bestimmung des Winkels , um welchen die Kurbel von der Aus- gangslage abweicht, wenn die Kolbenstangengeschwindigkeit V den gröss- ten Werth erreicht, differenzi^t man die Gleichung und entwickelt als- dann aus

cosS + -r- «0* 2 d == 0

0

_ b + j/l^ + Sf* cos 0 = ■ "•" ^ .

4r

Wegen cos 8^1 kann hier nur das Mhnuszeichen gelten. Setzt man nähe-

4r*

rangsweise ]/^* + 8r* = 6 -h -^ , so ergiebt sich

cos8 =^ — -r . o

Snbstituiit man diesen Werth in der Formel 44), so erhält man die Maxi- malgeschwindigkeit F« des Kolbens in

Da gewöhnlich -,<(-■ j , so folgt, dass in der Regel das Maximum der Staagettgaschwindigkeit

r, > o,«4 V

■ein wird.

Die Gleichung der secundären Curve , die von einem Schubstangen- punkt P beschrieben wird, geht aus den allgemeinen Gleichungen 8) und 0) der secundären Curven des Bewegungsvierecks hervor | indem man für a und ß die dem vorliegenden Falle entsprechenden Werthe einsetzt, und be- rücksichtigt, dass Rsinß = z = rcos8 + }/b* — r^sin* 8 ist. Alsdann folgt :

14*

206 Ueber den geometrisohen Znaammenliang der Maschinen.

brcosd + p Vb* — r^sinFi

\y —

45)

x = -smd

0

nnd indem man die Fanctionen des Winkels 6 eliminirt:

q Bezeichnet y den Winkel, den die Tangente des Punktes {x^y) mit der ersten Aze bildet, so ist

woraus folgt» dass für o; = 0 die Tangente senkrecht auf der zweiten Axe,

d. h. der Kolbenrichtnng, nnd für j? = —- die Tangente gleich od , d. h. normal

auf der ersten Ax.e steht. Auch ergiebt sich aus 46), dass die Kolbenstangen- richtung Symmetriease der Curve ist, d.h. dass die rechts und links densel- ben Ordinaten entsprechenden Abscissen in absoluter Hinsicht gleich sind. Die allgemeine Gleichung 17) geht im vorliegenden Falle in

g sin 6 cos w +p sin lO

<&y== r— ^'■' — ^»

' qcos 0 cos tp

und weil ^ = 180° — (* + q>) ist, in

' q coso€osq>

^ q

über. Es ist aber auch tgtp ^=^ . — =r und desshalb

/b D rcosi \ 49) ^y = ,,,(_+|^^===.).

Auch hier ergiebt sich, dass für 4=^0 und ^=180*, tgy:=iif, d.h. die Tangente normal auf der Kolbenstangenrichtung und für 4=90^, ^y=ao, die Tangente also parallel der zweiten Axe sich einstellt. Die grösste Sei- tenabweichung der Stangenpunkte von der Kolbenstangenriahtong findet also statt, wenn die Kurbel normal auf dieser Richtung steht.

Die secundäre Geschwindigkeit des Punktes P ist nach 20) , unter Be- rücksichtigung, dass

b*sin*q> = b* — f^8in*t sin* {ip+ip) = cos •* .

(r cosi +Yl^ — f^sin^S) cos d — r

cos "W ■■ ■ ' ■' ' ' ...... )

Von Eduard Koegoebath. 207

r 0 0 fr« — r*sirrt

woraiu {fiti ^0 nnd d = 180^ sich

ergiebt.

Fürp = & erhält man bei weiterer Umformung die Kolbenstangenge- schwindigkeit und für p :?= -- die Geschwindigkeit des Schubstangenmittel- punkts. Die letztere, welche t^^ sei, ist

7/ . 1* . cos Si^cos9 + ^rsm*d 1/6« — r*5fnM

v^'^v^ sm^i+- ^nr^r^tg •

§. 21.

Der Mechanismus der oscillirenden Dampfmaschine, welcher in der Verbindung eines hin- und hecschwingenden Dampfcylinders mit einer Kurbel besteht, ist, wie bereits oben erwähnt, als ein Bewegungsviereck ABCD (s. Taf. n, Fig. 18) zu betrachten, dessen zweiter Arm CB unendlich lang und stets normal auf der Stange gerichtet ist, welche durch den festen Fahrungspunkt C geht. Dadurch wird der Winkel 9) constant und = 00^, die Länge der Stange DC=:b veränderlich, und es ist, wenn d den Winkel, den der Arm AD mit der festen Linie Aß'=^c einschliesst , bezeichnet, un- mittelbar

b = Yi? + r* — Icrconi^

während ans der Gleichung der Geschwindigkeiten: — = . , in Er-

V stn fß

wägung dass m 9 = 1 , sich

51) F=»#«ri^

ergiebt. Ist dt das Wegelement eines Stangenpunktes in der Richtung der

Stange und rdi das gleichzeitige Wegelement des Hauptpunktes J)^ so ist

dz^=rd6sini^f

nnd daher der Weg z, um den sich der Stangenpunkt in der Stangenrich-

tung bewegt, während die Kurbel den Winkel d durchläuft:

a

oder, weil

e sin 8 '^'^ * ~j/c* + r* — 2crco«d'

sinidd

y<^ + r* — 2 er cos d

V

52) =yf*+€^ — 2crcosi — {c-'r).

208 Ueber den geometrischen Zasammenbang der Maschinen.

Für eine halbe Umdrehung, also 4 = je, folgt hieraus

zz=z(r + c) — (c — r)s:=1tr. Die Oeschwindigkeit 51) der Stange geht, indem man stit^ elimiairty ia

c sin i

53) F=p /-TT-«

^ yc^ + r* — 2drcosS

über, woraus, wenn man differenzirt und den Differentialquotienten = 0

setzt, mittelst

{n^ + r^)co8i — rc cos M =a^rc

durch

2rc

r c

der Winkel bestimmt wird , bei dem die Stangengeschwindigkeit ihr Maxi- mum erreicht. Da nur derjenige Quotient jener Gleichung möglich ist, wel- cher ein echter Bruch ist, so ist für den Fall, dass C ausserhalb des vom

Warzenpunkt D beschriebenen Kreises liegt , cos d c=: — zu nehmen , also

die Stellung, in der die Stange normal auf der Kurbel steht. Dies Ergeb- niss folgt auch aus Betrachtung der Gleichung 51).

Die Gleichungen der secundären Curre, welche von einem Stangen- punkt i' beschrieben wird und allgemein in 8) und 9) gegeben sind, nehmen, weil ß = 180®, a = R= oo, a — r cos€t=R^ also

« — rcosa — Ä = 0

Rsinßz=:b — r cos tft ,

die Formen:

cosa

rqsintt + p {b — r cos %f)

"= 6

an, welche mit Berflcksichtigung , dass

cos a = — sin '^, Wn o = — cos -^

ist, in

« =s — r sin^

y =^p — r cos ^

übergehen , und in dieser Form sich unmittelbar aus der Figur verificiren

1 T%- ^.»j ccosS — r . ,

lassen. Da *in ^ = — «tn o und cos ^ = , so ist auch

er . x= — r- sm i

% b.

bp + r{ccosS — r)

oder, weil b veränderlich und gleich }/c^ + r* — 2 er cos ö ist,

\x =

Von EIduabd Noeggbkath. 209

er sin i

_-. . l/^+r* — 2 er cos 5

54) \

* p y<? 4- r* — 2 er eos h '\- r [e cosd — r)

y ~^' ' ■ , — ' •

j/i^ + r* — 2creosö

Verlegt man die Coordinatenaxe 80, dass AC zur ersten Axe wird, während A Anfangspunkt verbleibt , dreht also zn dem Ende das Azen- sjstem nm den Winkel CAB, welcher von der Normalen in A auf der Stan- genrichtung DC mit der Linie AC gebildet wird, so erhält man mit Bezug auf diese Azen :

ix=r:rco5<+ -r {c^r cos S) ^=sr C0S6 + ^^

- }/€^ + t^ — 2creos6

^ I rsiniib — p) . , prsind

* Yc*'k'r^—2crcosi

Die Gleichnng 17) der Tangente liefert mü Beäug aof <kui erste ange- nommene Azensyrtem

b

tgy:= — --igflf

reosiif -h i/c* — r" sin* ib

= : — y = tg fif*

r eos ^ + ]f/c* — f^ $in*^f — p

Nennt man fi den Winkel, den die Stange DC mit der Linie AC ein- schliesst, und y, den Winkel , den die Tangente des Punktes {x , y) mit der Linie AC bildet, so erhftlt man als Kelation zwischen den Winkeln y^ und y^^ die von der Tangente mit den ersten Azen der beiden Azensysteme gebil- det werden :

woraus nach einigen Reductionen

1 — br sin* ^ + qcos^ j/c^ — r* sin* ^

^^^~sintif qreos'^ + bj/^^ ^ „>,« ^

l q {cos ^ ^c* — r* sin* ^ — r siti* ii) — pr «»• ^

^if9}/c* — r* sin* ^ +reo^ ^) + P yc^—r^sin^^ hervorgeht, Hieraas erhftlt man dann die Tangente als Function des Win- kels i mittelst entsprechender Rechnungsoperationen in

-^. 1 C0ÄÄl^(c* + r* — 2cr cosd)* — p(c —rcosS^ic cos d — r)

w) ftFyi= 7-z \ ■■ ^ r ^ j-^ \

smd -/{c* + r* — 2 er cos öy '-' pr (r — c cos 6)

Dieser Werth ergiebt für /> = 0 in tgyi = — cotg i die Tangente des

vom Warzenpunkt beschriebenen Kreises und für 2=0, /^)ri = oDy d.h. die

Normale auf der Linie AC^ dagegen für d = 00^,.

per

igYi= .

/(c* + r*)«--pr«

Die secnndäre Geschwindigkeit geht aus der allgemeinen Gleichung

210 Ueber den geometrischen Zasammenhang der Maschinen.

20) hervor , indem man ^ == 90^ und sin (g) + !^) == cos ^ setzt. Es ist alsdann

r, = -- j/b* — p cos^ }p{2b — p)

. 7/ 2p cos* ^ (r cos ^f + f^c* — r*sin*ili) — p" cos^ ^

Oij zz^v y 1 —

^ 2rcos^(rcostlß + yc^ — r"«n*^) + c* — r*

oder, indem man v« als Function von S darstellt,

58)

(r — C€0sö)*{2b—p) 6«

(r — c co^ d) (2 ^^+ r* — 2 er cos ö — p) (? + r* — 2 er cos d "

Für den Fall , dass p = 0 und p = 2 ^c* + r* — 2crcos6 genommen wird, ist &, = v. Die letztere Bedingung giebt den Punkt der Stange, der über dem Führungspankt hinausliegend sich mit der Umdrehungsgeschwin- digkeit bewegt, und in seiner Lage veränderlich ist. Seine geringste Ent- fernung 2 (c — r) erreicht derselbe, wenn d=0, und seine grösste 2(c+r), wenn 6 = 180« ist.

§. 22.

Der Bewegungsmechanismus, bei dem die Endpunkte einer Stange CD (s. Taf. II, Fig. 19) auf zwei sich schneidenden graden Linien MC und MD vorschreiten , ist in §. 4 als der Fall eines Bewegungsvierecks nachge- wiesen worden, dessen Arme AD und BC normal auf jenen Bichtungslinien MD und MC stehen und unendlich lang sind. Die allgemeinen Gesetze des Bewegungsvierecks gewähren für diesen Fall nähere Resultate, wenn man zunächst annimmt, dass in dem Bewegungsviereck die von den Hauptpunk- ten C und D beschriebenen Kreise sich in einem Punkte M schneiden , als- dann die Coordinatenaxen nach diesem Punkte transformirt und zusammen- fallen lässt mit den Tangenten in demselben für beide Kreise. Nimmt man demnächst die Radien dieser Kreise unendlich gross , so erhält man M als Anfangspunkt und die Führungsliuien MC und MD als Coordinatenaxen zur Bestimmung der secundären Curven, welche von den Stungenpunkten unter den vorausgesetzten Bedingungen beschrieben werden. Wir betrach- ten den Fall , dass jene Führangslinien normal auf einander stehen , be- ziehen also die Curve auf ein normales Axensystem.

Ist 1/;' dar Winkel, welcher von der Stange mit der ersten Axe MD gebildet wird und tp der von desselben mit der zweiten Axe gebildete Win- kel, so hat man, weil ^' + '^' = 00' und 90* + V == ^ > sowie 90* + 9'= 9 ist, mittelst

V sin^

V sin q> unmittelbar

59) r= V coig ^.

Von Eduard Noeooerath. 2i 1

Hieraus folgt

•«) -:=^

d. h. die GeBcbwind-igkeiten der Hauptpunkte verhalten siclizit einander wie die Katheten des gebildeten Dreiecks, welche nicht an ihnen liegen. Dieses Gesetz wird verificirt durch den Satz , dass sich die secund&ren Geschwindigkeiten der Stangenpunkte wie die Abstände derselben Tom Bestiinmungspunkt verhalten , hier also

y__oc_DM

v~OD~CM' Der allgemeine Ausdruck der secundären Geschwindigkeit

r, = r— : — yb* sin* 9 + p* «>** (9 + ^) . 2 6p sin tp sin '{q> + ip) cos t/; b sin (p

modificirt sich , weil

sinq>s=s sin ^', cos^^^ — sinip' und m (9 + ^) = — 1 ist, in

/^ 6 \bcosq)J

Die Gleichungen der secundären Curve für Jlf als Anfangspunkt und MD und ifC als Axen ergeben sich als

x=qcostlf' yz=zpsin'^' oder, indem man die Functionen des Winkels tf;' eliminirt,

62) »»=-^(«*-^)

welches die Gleichung einer Ellipse ist, deren halbe Axen p und q sind. In diesem Falle ist also die secundäre Curve eine Ellipse, die für

h ^. b

p = q=2--^ in einen Kreis mit dem Radios —- übergeht, was sich auch

leicht in anderer Weise darthun lässt.

Die Bestimmungscurve , welche hier mittelst

xsszbcos ^' und y=bsin ^' gegeben ist , hat , indem man aus diesen Gleichungen die Functionen des Winkels ^' eliminirt, die Gleiehnng

ist also ein Kreis, dessen Radius 6 und dessen Mittelpunkt M ist. Für die Bestimmung der secundären Curven durch Kreis - Coordinaten ist also die Axe ein Kreis, während die Radien der entsprechenden Bertthrungskreise durch den Ausdruck 90)

212 Ueber d. geom. Zusammedh. d. Maschinen* Von E. Noeggerath.

yb^ sin* 9> + P* sin* (<P + ^0 — 2 6p sin <p sin (<p + t^) cos ^

~ — *m (g) + 1^)

bestimmt werden. Dieser geht in

/ == j/b^ *m»t/;'+ p* — 2bp sin* ^

= b sinif' l/ i — 2 ^ +(^ -^X ^ r b \b sinip /

über, während der zugehörige Bogen />'0 der Axe gleich

arc sin ^' ist, wodurch dann mittelst Kreis • Coordinaten die als Ellipse auftretende secundäre Curve ebenfalls und in überaus einfacher Weise bestimmt wer- den kann.

Saarbrücken, im März 1858.

üeber Diffosion von Salzlösungen im Wasser. Von Dr, Beez,

Lehrer an der K. Kealschule in Plauen.

§.1.

Sinleitiing* Wenn auf die wässrige Lösung irgend eines Salzes, Z.B.Kupfervitriols, reines Wasser mit der Vorsicht geschichtet wird , dass beide Flüssigkeiten durch eine scharf begrenzte Ebene geschieden sind, so wird allmählig von un- ten her, dem Gesetze der Schwere entgegen, Salz in das Wasser eindringen, die anfängliche Grenze verschwinden und nach Verlauf einer längeren Zeit selbst die oberste Schicht der Flüssigkeit salzhaltig sein. Den Grund die- ser freiwilligen Verbreitung eines löslichen Körpers in seinem Lösungsmittel, der sogen. Diffusion, sucht man bekanntlich in der chemischen Affinität des Wassers zum löslichen Körper* Das Endresultat des Vorganges, wel- ches genau genommen erst nach einem unendlich langen Zeitraum eintre- ten kann, ist die gleichmässige Ausbreitung des Salzes im Wasser, so dass zuletzt alle Schichten gleiche Concentration besitsen oder , wie man sagen könnte, im chemischen Gleichgewichte sich befinden« Eingehende Versuche über Diffusion hat zuerst der Engländer Graham angestellt, hauptsächlich zu dem Zivecke, die stärkere oder schwächere Verbreitung

Ueber Diffusion von Salzlösungen im Wasser. Von Dr. Beez. 213

j^>»/WVVWM*^rf*^r*irf->rf''M^ir^'*-.— >rf"^ ~ '"■~ '■■ir-i'^—ir-ii— !■-%<— ^r%i-'v*i»*vnj*><-Vrf->f>rw'V'W%/VXr-^

rerflcliiedener Salze im Wasser nachzuweisen; seine Versuche sind jedoch in quantitatiTor Beziehung nicht genau genug , wenn man aus ihnen das Gesetz ableiten will , nach welchem die Concentration irgend einer Schicht als eine Function :

1} ihres Abstandes von der ursprünglichen Berührungsschicht,

2) der seit Anfang des Versuchs verfiossenen Zeit,

3) der Concentration der angewendeten Salzlösung,

4) der Form des GefÜsses, in welchem die Mischung vor sich geht,

5) eines gewissen Coefficienten, welcher der Geschwindigkeit der Dif- fusion proportional und

6) der Temperatur der Flüssigkeit darzustellen ist.

Der einzige Physiker, der bis jetzt das fragliche Problem dem mathe- mstischen Oalcüle zugänglich zu machen gesucht hat, ist Dr. Fick (s. Pog* geadorfs Annalen, Bd. XCIV, p. 50 — 87). Er wird ron der Idee geleitet, diss die Verbreitung eines gelösten Körpers im Lösungsmittel , wofern sie uigestört unter dem ausschliesslichen Einfluss der Molecularkräfte stattfin- det, nach demselben Gesetze ror sich geht, welches Fourier für die Ver- Vreitung der W&rme in einem Leiter aufgestellt hat. Man darf nur, führt denelbe fort, in dem Fourier'schen Gesetze das Wort Wftrmequantitttt mit dem Wort Quantität des gelösten Körpers und das Wort Temjfieratur mit Ldsniigsdichttgkeit rertauschen $ der Leitungsffthigkeit entspricht dann eine ▼on der Verwandtschaft der beiden Körper abhängige Constante. Genau nach dem Muster der Fpurier'sehen Entwickelung für den Wärmestrom lei- tet nun Fkk für den Diffusionstrom die DifPerentialgleichung her:

dt Xdx^'^ Q dx'dxj'

in welcher y die Concentration einer Schicht, die von der anfänglichen Be- rfihrnngsebene den Abstand x hat, nach Verlauf der Zeit / bedeutet, Q aber den Querschnitt des Gefässes, in welchem der Diffusionsstrom vor sich geht, als Function desselben Abstandes x darstellt. Hat das Gefäss eine prisma- tische oder cylindrisehe Gestalt, so ist 0 constant und obige Differential- gleiebung wird einfacher :

^J. — — !/^ di~ dx"'

Wenn es nun auch Fick nicht gelungen ist, diese Differentialgleichung

mit Hülfe von Beobachtungen in eine Gleichung zwiadien endlichen Grössen

umzusetzen, so bleibt ihm doch das Verdienst, den speciellen Fall näher

erörtert zu haben, in welchem ein stationärer Zustand oder sogenanntes dj-

luunisehes Gleichgewicht (nach Analogie der Wärmeverbreitung) im Dif-

füsionsstrom eintritt. Dasselbe wird dadurch charakterisirt, dass jede

Schichk im Zeitelemente Ton der vorbeigehenden so viel Salz empftngt, als

sie au die folgende abgiebt, so dass die Ooncentration aller Schichten von

214 lieber DiflFasion von Sidzlösungen im Wasser.

der Zeit unabhbängig wird. Ueber die zn diesem Zwecke angestellten Ver- suche verweisen wir auf die oben angeführte Abhandlung. Die analytische Bedingung aber für das djnanüsche Oleichgewicht ist

di ^' also wird für ein cylindrisches Gefliss auch:

welcher Gleichung das lateral

yzz^ax + b entspricht; d. h. die Concentrationen müssen von unten nach oben abneh- men, wie die Ordinaten einer geraden Linie oder mit anderen Worten , sie bilden eine arithmetische Progression. Die Beobachtungen , die Fick aar experimentellen Begründung dieses Gesetzes gemacht hat^ liefern Werthe, die mit den berechneten siemlich übereinstimmen , ja bei der Unvollkom- menheit seiner Beobachtungsmethode nicht besser übereinstimmen konnten» Wenn wir nun auch die GesetzQ.der Difhsion denen der Wärmeyer- breitung für analog halten, so glauben wir doch, dass es aweckmässiger ist, erst das Diffusionsproblem in voller Allgemeinheit au lösen und die gefun- denen Resultate auf die Verbreitung der Wärme überzutragen, als den um- gekehrten Weg einzuschlagen. Denn während der Diffusion geht kein Atom des Salzes verloren und man kann die Concentration der verschiedenen Schichten mit hinreichender Genauigkeit bestimmen, während bei der Ver- breitung der Wärme stets ein grosser Verlust an di^ Umgebung zu befürch- ten ist und eine genaue Beobachtung derselben in den einzelnen Quer- schnitten des Wärmeleiters ausserordentlich schwierig ist.

§.2.

Ableitiing der Differentialgleichung für den Bifinsionistrom.

Denken wir uns ein Gefiiss von beliebiger Form, den unteren. Theil bis zur Horizontalebene yy mit Salzlösung, den obermi mit reinem destil- lirten Wasser gefüllt und nehmen eine auf yy im Punkte 0 senkrechte Linie Ox als die Aze der ^ an, so können wir die Fläche Q irgend eines der Horizontalebene parallelen Querschnittes MN als eine Function ihres Abstandes x von derselben ansehen. Nach Verlauf der Zeit f , in welcher der Diffusionsstrom bis zu einer gewissen Höhe gelangt bt, sei in der Schicht MNM'N\ welche die Dicke dx habe, die Concentration durchgän- gig = u. Sehen .wir zunächst von der Einwirkung der Temperatur ab, in- dem wir dieselbe für die Dauer eines Versuchs möglichst eonstant erhalten, so ist u eine Function von x^ Q^ i und einigen unveränderlichen Grössen, deren Bedeutung sich im Laufe der Untersuchung ergeben wird. Aendert sich nun t um das Zeitelement dt^ während x eonstant bleibt, so ändert sich

Von Dr, Bebz. 215

auch die CoDcentration nm i^)^^ ^^ ^^r Raameinlieit ^ folglich in der Schicht MNM'N' = Qdx um

Dieser Zuwachd an Salz lässt rieh aber anch berechnen ans dem Salz- gehalt der drei tibereinanderstehenden Schichten M^N^MN^ MNM'N\ M'N'M"N*\ welche wir kurz mit den Ziffern 0, 1, 2 bezeichnen und ist gleich der Menge des Salzes, die ans 0 in 1 tritt, TCrmindert um die Quan- tität desjenigen , welches ans 1 in 2 während derselben übergeht. Wenn wir nun annehmen, dass der Salzstrom in gleichen Zeiten gleich dicke Schichten durchfliesst, so wird die Menge des Salzes, welches aus einer Schicht heraustritt, um so grösser sein, je dttnner die Schicht ist, also dx umkehrt proportional* Zwei aBfeinimderfolgende Schichten aber von ungleicher Concentration haben das Bestreben , sich chemisch ins Oleich- gewicht zu setzen, d. h* so lange auf einander einzuwirken, bis in beiden gleiche Concentration eingetreten \a^. Diese 2<eit mag nun bei unendlich dünnen Schichten unendlich klein sein , indess wird sie bei verschiedenen Salzen nach dem Orade ihrer Affinit&t zum Wasser bald einen grösseren

bald einen kleineren Werth haben und wir können sie = ~ setzen , wenn

«

a einen Faktor bedeutet, der proportional der Diffusionsgeschwindigkeit eines Salzes ist, weshalb wir ihn den Diffusionscoefficienten des Salzes nennen wollen« Wenn nun 0 die Basis Qi und die Concentration «, , 1 die Basis & und die Concentration «, 2 die Basis Q' und die Concentration u\ alle drei aber gleiche Dicke dx besitzen, so wird, damit chemisches Oleich- gewicht eintritt, ans 0 in 1 eine Salzmenge:

Q,u, — Qu

a-

2dx aus ] in 2 eine solche

Qu—Q'u

= «-

dt

dt

2dx

abertreten müssen. Der Ueberschuss der ersteren über die zweite ist der Zuwachs, welchen die Schicht 1 an Salz in der Zeit dt erhält, also ist:

1) Q[^-yxdi = a ^^^ dt-u ^^^ du

Sei nun

du

' dx

Q^=Q-Ji.dx cx

so wird

2t 6 Uebor Diffusion von SftlslöBangen im Wasser.

^' = ^+11-+ 0-^- Setzt man diese Werthe in die Gleichung 1) ein, vernachlässigt die Glieder, welche die dritten nnd höheren Dimensiooen der unendlich klei- nen Grössen enthalten, dividirt endlich out Qdx dt^ so erhält omb die Differentialgleichung :

^ 8f<__ ttf^'«, 1 dQdu u 8«0i

^ dt ibx*^ Q dxdx'*^ Qdx^r

welche sich von der Fourier'schen durch das dritte Glied rechts unter- scheidet

§. 3. MwnMÜMLg das allgemeijien lategrali Ar dm SiftiiMittrom la «aan

Dyliiidrisdi«& flaftise Nehmen wir nun der Einfachheit halber, sowohl der Rechnung als der Beobachtung an, das Gefäss sei ein zylindrisches, so wird:

und es bleibt die bekannte , schon vielfach behandelte Gleichung zwischen partiellen Differential ien :

^ dt 2 da^

übrig. Wir könnten versuchen, wie es auch Fick gethan hat, diese aof theo'* retischem Wege gefundene Gleichung experimentell zu prüfen, indem wir für ein sehr kleines Zeitintervall Jt \n sehr kleinen Abständen ^x die Dichtigkeit der aufeinanderfolgenden Schichten bestimmten; dann miteste der Quotient

eine constante Grösse ergeben. Indessen führt dieses Verfahren selbst bei den sorgfältigsten Versuchen nicht zu dem gewünschten Resultat, weil der Einfluss der Beobachtungsfehler mit der zweiten Differenz sich so steigert, dass er das in der Gleichung au3ge8prochene Gesetz vollständig verdeckt. Wir versuchen daher das Integral der Gleichung 3) aufzustellen. Offenbar kann man bei der Aufsuchung desselben zwei Wege einschlagen, je nachdem man mit Hülfe des Maclaurin^schen Satzes u in eine nach steigenden Po- tenzen von i oder nach steigenden Potenzen von x geordnete Reihe ent- wickelt. Im ersteren Falle bleibt eine willkührliche Function q» (x) zu be- stimmen, in welche u für ^ = 0 übergeht; im anderen sind zwei ebenfalls willkührliche Functionen von / einzuführen , auf welche das allgemeine In- tegral und dessen erste Abgeleitete nach x sich reduciren, wenn x=0 ge- setzt wird. Den ersten Weg haben wir nach vergeblichen Versuchen, die

Von Dr. Bekz: 217

Natur der willkfiLrlicheD Function q>{or) für /=0 en bestimraen, verlassen und es ergab sich durcb eine einfache Betrachtung, d aas sie überhaupt nicht zu finden ist, weil für 1 = 0 eine Unterbrechung der Stetigkeit in der Function u stattfinden muss, indem dann zwei Schichten an ein- ander stossen, von denen die eine volle Concentration , die andere die Concentration Null besitzt. Wollte man aber den Taylor^schen Satz zu Hülfe nehmen und das Integral nach steigenden Potenzen von t — io ent- wickeln, wo /» eine bestimmte Zeit nach Anfang des Versuchs bedeutet, so würde auch dann die experimentelle Bestimmung von g>{x) unüberwind- liche Schwierigkeiten bereiten. Ebensowenig lässt sich von den beiden Functionen :

OD 00

"= -^ //«-** -''c«««('^-l)v(l)d|<»«

CO 00

oder

OD 00

welche beide allgemeine Integrale der Differentialgleichung

sind, Gebrauch machen, da, wie wir im Folgenden sehen werden, die Function u die Eigenschaft hat, für a:=0 einen constanten, von /unabhän- gigen Werth anzunehmen. Es blieb uns somit kein anderer Weg übrig, als die Funktion u mit Hülfe des Maclaurin^schen Satzes in eine nach steigen- den Potenzen von x geordnete Reihe zu entwickeln , was um so mehr ge- rechtfertigt erscheint, als für jedes />0 und einen beliebigen Werth von x zwischen der obersten und untersten Grenze des Diffusionsstromea keinerlei Stetigkeitsunterbrechung eintreten kann. Wir setzen demgemäss :

4) « = „.+ x(|^)^+j^g^) + ^(|^)^.....

Für £==0. werde u=:u^=^(t), dann erhalten vir mit BttcluUht auf Gleichung 3) :

\dt)~ 2 Vaw

Es lassen eich aber, wie man leicht erkennt, aus der Annahme Wo=9(0 ^^^ ungeraden Abgeleiteten von u nach x nicht bestimmen, sondern man hat

(;

218 lieber DiffnBion von Salslösungen im Wasser.

nocli eine zweite willkührlicbe Function ^ (l) einsuffihren; zwischen ihr und der ersten Abgeleiteten von u nach dP für a;=0 möge die Gleichung

G-:).=-*»

bestehen , dann wird mit Hülfe von 3)

(m=-|(äÄ-,)=-(.^)''"<')

Durch Einsetzung dieser Werthe in die Gleichung 4) erhalten wir das all- gemeine Integral der vorgelegten Gleichung:

-(7)'r!-.*"w+--

§.4. Bestimmung der wUlktthrliohen Funktionen fp{i) und ^(0 durch

Beobaehtnng.

Aus unsern Beobachtungen sowohl, als aus denen des Dr. Fick geht hervor, dass der Salzgehalt der Mittelschicht, für welche x=0 wird, con- stant oder von der Zeit i unabhängig bleibt und gleich der Hälfte des ur- sprünglichen Gehaltes ist. Nennen wir daher Ü die Concentration der an- gewendeten Lösung, so ist:

woraus folgt, dass qE>'(0» 9»''(0 6*c., d. h, alle Abgeleiteten von q>{t) Null sind. Hierdurch wird die Reihe 5) einfacher

6, .=,£ -.♦(,)+ii-|L»'(,)-.(iyjfio)+.....

Durch directe Beobachtung sind wir nicht dazu gelangt ^ {t) zu be- stimmen. Zwar würde in unmittelbarer Nähe der Mittelschicht ohne bedeu- tenden Fehler, wenn man nur x recht klein nimmt, nach Verlauf der Zeit /

nach Verlauf der Zeit t'

gesetzt werden können , folglich

sein. Beobachtet man nun nach verschiedenen Zeiten die Conoentrationen

Von Dr. Beez. 219

in einem der Mittelschicht sehr nahe liegenden Querschnitt, so könnte man hoffen, die Function ^(/) durch Induction zu finden. Aber die unvermeid- lichen Beobachtungsfehler haben auf die Differenz — ü — u , die natüflich

nnr klein sein kann, einen so grossen Einfluss, dass sich kein sicherer Sehloss auf die Natnr der unbekannten Function ziehen lässt. Wir such- ten daher auf einem Umwege zum Ziele zu gelangen und bestimmten die Menge des Salzes, welches in der Zeit t durch die Mittelschicht in das Wasser diffandirte; freilich war dieses nicht möglich, so lange Salzlösung und reines Wasser in demselben Gefässe sich befanden, weil sich die über der Grenzschicht stehende Flüssigkeit nicht genau abheben und wägen Ittsst« Die y^suche wurden also mit einer andern Art von Diffuisionsstrom

gemacht, dessen Gleichung von 6) nur durch die Constante — ü sich un- terscheidet. Füllt man nämlich ein cjlindrisches Gefäss genau bis an den Rand mit Salzlösung und setzt es in ein verhältnissmässig grosses Becken Toll reinen Wassers, so wird das Salz aus dem kleinen Cjlinder in das Wasser difiundiren , vermöge seiner Schwere aber alsbald niedersinken, so dass die oberste Schicht immer von reinem Wasser umspült wird. An der Trennnngsschicht für x=^0 können wir daher die Goncentration constant =0 annehmen; im Uebrigen gilt die vorige Entwicklung, weshalb wir für diese zweite Art des Diffiisionsstromes die Gleichung:

u = — x'^(i) +

aufstellen können, welche für jedes a:<0 gültig ist. Die ganze Menge S des diffnndirten Salzes aber ist gleich der Quantität Salz, welche die oberste Schicht passirt, also, wenn Q den Querschnitt des Gefässes , U die anfäng- liche Goncentration bedeutet:

t t

0 0

und wurde experimentell auf folgende Weise bestimmt. Wir verschafften uns einen oben offenen Glascylinder von etwa l" Höhe und I^" Weite; der obere Rand desselben wurde sorgfältig mitSmirgel und Gel auf einer Glas- tafel abgeschliffen, so dass, wenn das Gläschen mit Wasser angefüllt und mit einer Glasplatte bedeckt wurde, selbst innerhalb einiger Minuten nichts aus dem Inneren verdunstete. Dieser Cylinder wog mit seinem Deckel 23,060 gr. Er wurde mit Kupfervitriollösung gefüllt und mit der Glasplatte vorsichtig bedeckt, wobei namentlich darauf zu achten war, dass auch nicht die kleinste*Xiuftblase unter dem Deckel sich zeigte. Die ablaufende Flüs- sigkeit wnrde sorgfältig , jedoch ohne dem Cylinder die Wärme der Hand nitzQtheilen, durch Fliesspapier weggenommen, bis auch nicht die geringste

ZeiUrhrift T. Mathematik u. Physik. IV. 15

220 Ueber Diffusion von Salzlösungen im Wasser.

Spur von Feuchtigkeit aussen wahrgenommen werden konnte. Hierauf wurde der Oylinder mit seinem Inhalt, von dem nur ausserordentlich wenig durch Verdunstung verloren ging, gewogen, sodann in ein geräumiges 6e- fäss mit destillirtem Wasser gesetzt, so dass sein oberer Rand genau in der Horizontalebene lag und endlich der Deckel langsam in vertikaler Rich- tung abgerissen, nicht abgezogen, jedoch in unmittelbarer Nähe tiber dem Gläschen noch eine Zeit lang wagrecht gehalten, wodurch die mit dem Deckel abgerissene Flttssigkeit vermöge ihrer Schwere wieder in den C7- linder zurücksank. Immerhin wird ein kleiner Verlust von Salz statthaben und man daher die Menge des diffundirten Salzes stets etwas zu gross ' finden ; indess betrug nach unseren Versuchen dieser unvermeidliche Fehler noch nicht 1 Centigramm. Nachdem der Diffusionsstrom mehrere Stunden angehalten hatte, wurde der Glasdeckel vorsichtig auf den Cylinder ge- senkt und derselbe herausgehoben, abgetrocknet und wieder gewogen. Der Beobachtungsfehler , den man beim Herausnehmen des Cylinders begebt, ist kaum zu bemerken , da die obersten Schichten in demselben nach Ver- lauf einer längeren Zeit sich nicht viel von der Dichtigkeit der umgeben- den Flüssigkeit unterscheiden, ein Salzverlust also nicht zu befürchten steht. Wenn nun das Gläschen nach der ursprünglichen Salzlösung das Gewicht p und nach der Diffusion das Gewicht p"^ hatte , so war der Ge- wichtsverlust p — p' und diesem kann man ohne erheblichen Fehler die Menge des .übergetretenen Salzes proportional setzen. Denn es sei m das specifische Gewicht des Salzes , oc das Gewicht des diffundirten Salzes , so

X

wird an die Stelle desselben ein gleich grosses Volumen Wasser^ welches - wiegt, getreten sein, der Gewichtsverlust sich also ergeben

=p-p'=a:(l-l) und

^=(p-/):(l-i)

Hierbei haben wir von der geringen Volumänderung ganz abgesehen, welche stets bei der Mischung zweier chemisch verwandten Flüssigkeiten eintritt; wollten wir auf dieselbe Rücksicht nehmen, so blieb kein anderer Weg übrig , als durch quantitative Analyse die Menge des übergetretenen Salzes zu bestimmen, wobei wir uns aber nur der Gefahr aussetzten, durch neue Beobachtungsfehler das Gewicht der gefundenen Resultate zu ver- mindern. In der folgenden JTabelle sind die Werthe von : ' • ' t

S=ÜQ j ^{t)dt

0 *

zusammengestellt; die erste Oolumne enthält die specifischen Gewichte der angewendeten Lösungen von Kupfervitriol ; die zweite die dem Gewichts*

Von Dr. Bebz.

22t

verlunte proportionale Menge des difTnndirten Salzes; die vierte die seit Beginn des Versuehs verflossene Zeit in Minuten, die fQnfte die Temperatur der Flüssigkeiten, welche zugleich auch die der umgebenden Luft war; die dritte und sechste finden ihre Erklärung weiter unten.

					S — proportio- nal der Menge des in der ersten
Specifisches Gewicht der	Menge des diffundirten Salses.	Dieselbe auf gleiche aa- fängliche Concentra«	Verflossene Zeit in Minuten.	Temperatur nach Celsius.
Salzlösung.		tion reducirt.			Minute über- getretenen Salzes.
1,130	0,369	0,369 ,	373'	180	0,0191
1,120	0,418	0,421	475'	120	0,0193
1,127	0,668	0,684	1409'	110	0,0182
1,122	0,423	0,451	605'	70,5	0,0183
1,112	0,422	0,490	752'	120	0,0179
1,110	0,433	0,472	756'	70,5	0,0172
1,123	0,446	0,471	5ö5r	120,5	0,0198
1,123	0,524	0,554	853'	120,5	0,0190
1,122	0,939	1,001	2170'	140	0,0214

Sehen wir zunächst, nach dem bereits oben Bemerkten, von dem Ein- flnss der Temperatur auf die Diffusion ab , so müssen obige Werthe in der 2. Columne , wenn sie miteinander yerglichen werden sollen , auf gleiche anftngliche Conceniration reducirt werden. Wir nehmen zu diesem Zwecke an, dass die diffundirten Salzmengen dem anfänglichen Procentgehalt U proportional sind und legen die Concentration d^r ersten Lösung, welche das speeilisohe Oewieht 1,130 hat, allen übrigen zu Grunde. Die Zahlen der zweiten Columne von der zweiten an müssen daher alle in dem Ver- hältnisse erhöht werden , als der Procentgehalt der ersten Lösung grösser ist, als der ihnen entsprechende. Aus dem specifisohen Gewicht findet man aber den Procentgehalt nach dem Erfahrungssatze, der für unsere Beobach- tungen hinreichend genan ist , dass die Procentgehalte zweier Lösungen sich verhalten , wie die Ueberschüsse ihrer specifischen Gewichte über 1. Bedeuten also p, p' die Procent^halte zweier verschiedener Lösungen eines und desselben Salzes, «, s' die entsprechenden specifischen Gewichte, so ist

p:p=:=s — 1:*' — 1, I

Die rein theoretische Formel dagegen , die auf die chemische Verdichtudg keine Rücksicht nimmt, würde, wie man leicht findet, sein müssen:

, 8 — 1 s — 1

Jene stimmt indess mit den Beobachtungen viel besser überein , als diese

15*

222 üeber Diffusion von Salslöitangen im Wasser.

und nach ihr sind die Zahlen der zweiten Colnmne nmgerecbnet. Vergleicht man nun die neuen Werthe, die in der dritten Colnmne stehen, mit den verflossenen Zeiten, so erkennt man anf der Stelle, dass die Mengen dea diffandirten Salzes sich nicht einfach wie die Zeiten , sondern ziemlich ge* nan wie die Quadratwurzeln aus denselben verhalten, so dass also:

S=cüO}/J g zu setzen ist; der Quotient -;= gibt nahezu dieselbe Grösse, nämlich die

Quantität des in der ersten Minute übergetretenen Salzes. In der letzten Colnmne der obigen Tafel sind die ans den Beobachtungen sich ergeben- den Werthe zusammengestellt, die so gut untereinander übereinstimmen, dass man wohl keinen Zweifel an der Richtigkeit der Hypothese hegen

kann. Nun war aber : ,

t

0 folglich ist:

/-

0 woraus durch Differentiation nach t sich unmittelbar ergiebt :

1/^(0 = -^.

Bildet man weiter die Abgeleiteten dieser Function, intern man bedenkt, dass :

d* (<-*)_ . 1,3.5.. .(2n — l)t ^ dl" ^ ^ 2"

und setzt sie in 6) ein, so erhält man für den ersten Difibsionsstrom die Gleichung: -, 1 „ /x 1 a* , 1 a:* 1.3 1 «' 1.3.5, \

2 \yt «i.2.3j/^i «•i..5j//ft ft» 1...7 yr J

Die für den zweiten Diffusionsstrom sich ergebende Reihe unterscheidet sich von 7) nur dadurch, dass in ihr die Constante — ü wegfällt.

§. 5. ZorttokfUiniiig der Baihe 7) auf die Kramp'tehe Traatoendente.

f

Die unter 7) aufgestellte Reihe lässt sich ohne Mühe auf ein bestimm- tes Integral zurückführen. Es ist bekanntlich :

ynj yt

Von Dr. Bbbz. 223

worsiu) durch n malige Differentiation nach ( »ich ergiebt: d" (t-h) (—1)- /.* ,

OD

Setzen wir nun in Gleichung 6)

— 00

00

t'(0=--^y*«-'*Vdy

— 00 00

00

80 geht sie in folgende über : .

1.2.3 ' 1.2. .5

OD

Die in Klammem eingeschlossene Reihe ist aber folglich wird, wenn wir dieses statt der Reihe selbst setzen:

— 00

Um das vorliegende Integral auf eine einfachere Form zu bringen, be- nutzen wir die Gleichung :

OD

setzen darin:

wodurch wir ;

9)

r 1/' -il

— 00 ^ a« = <, h = xy^, x = y,

OD

J e-'y cosxyl/ — rfy=Sre-2ä7

erhalten, multipliciren beide Seiten der Gleichung 9) mit dx und integriren endlich zwischen den Grenzen 0 und x , indem wir links die Ordnung der Integration umkehren. Auf diese Weise finden wir:

224 lieber Diffusion von Salsidgungen im Wasser.

Setzen wir diesen Ausdrack in 8) ein, so kommt

^ ^

1 c /*-- ^

10) u=-U -=le ^«'dx

und ftir den zweiten DifPusionsstrom

11) u= ^ fe^'^^ds.

vi «/ ^ 0

Zur Bestimmung der Constante c in 10) berücksichtigen wir^ dass ffir a;=oo , während / endlich bleibt, die Concentration ti=0 wird, also:

^ 0 Hieraus findet man die Constante

_ V

folglich

oder wenn wir ' ■ mit y vertauschen :

2 \ y2^J /

Auf ganz ähnliche Weise bestimmen wir die Constante c der Gleich- ung 11), welche das Gesetz des zweiten Diffusionsstromes enthält, indem wir annehmen, dass ftlr a? = — oo, m = T der vollen Concentration wird; hier- durch erhalten wir:

ZU

und

13)

£s lässt sich aber ausser den angeführten beiden Diffusionsströmett noch ein dritter herstellen auf die Weise, dass man den Salzgehalt der

Von Dr. Beez. 225

Mittelsehicbt eonstant erhält. In diesem Falle ist für x=0, u=ü and ebenso für xsa» — 00,»=^, folglich können wir als Gleichung des dritten DiiTasionsstromes , dessen Gesetz experimentell jedoch schwer zn prüfen ist, folgende anfstellen :

14) u=u{x--^fe-^ä,).

^ 0

Bezeichnen w ir endlich die Transcendente :

^%

mit

so sind die Gesetze der drei verschiedenen Di£Easion88tröme in folgenden drei einfachen Gleich angen atisgesprochen:

.3). .=-.rir(^^.-

(X \ ' X

■ ^1 die Kramp'sche Transcendente für das Argument .

bedeutet«

§.6.

Prüfling der Oleioliaiig 12)* durch Versuohe.

Von der grössten Wichtigkeit für die experimentelle Bestätigung der abgleiteten Gesetze war nun die Auffindung einer Methode , den Procent- gehalt der verschiedenen Schichten der Flüssigkeit nach Verlauf einer bestimmten Zeit t möglichst genau zu ermitteln. Am geeignetsten er- schien uns hierzu der erste Diffusionsstrom , dessen Gesetz in 12)* enthal- ten ist. Das cylindrische Gefässj in welchem* derselbe vor sich gehen sollte, hatte etwa 1 Fus^ Höhe und f Fuss Durchmesser und war unter dem einen Arm einer Mohr'schen Wage ^it verschiebbaren Wagebalken so aufgestellt, dass ein von jenem frei herabhängender Körper in der Gleichgewichtslage mitten über dem Gefäss sich befand. Zuerst war es nöthig , die Grundbe- dingung de^ Versuches zu erfüllen, dass reines Wasser über die Salzlösung gebracht wird, ohne sich mit derselben mechanisch zu vermischen. Dies erreichten wir schnell und sicher auf folgende Weise. Der Cylinder wurde

226 Ueber Diffusion von Salslösungen im Wasser.

bis za einer gewissen Höbe etwa zor Hälfte mit destiUirtem Wasser ge- füllt und sodann die Salzlösung (Kupferritriol) ans einem höher stehenden GefÜss durch eine Röhre auf den Boden des Cylinders geleitet. Zar Regn- lirung des Ansfliessens, das nicht unter zu grossem hydrostatischen Drucke geschehen darf,, war an der Röhre ein Hahn angebracht, durch welchen dieselbe vollständig oder theilweise geschlo'ssen werden konnte. Die lang- sam einfliessende Salzlösung breitete sich vermöge ihrer grösseren Schwere ruhig am Boden des Cylinders aus und hob. das darüber stehende Wasser, ohne die geringste mechanische Mengung zu verursachen, in die Höhe. So- bald sie eine bestimmte Marke des Cylinders erreicht hatte, wurde der Hahn geschlossen und die Röhre vorsichtig heransgezogen. Das GefUss blieb nun mehrere Tage vollkommen in Ruhe, bis sich an der Färbung der oberen Flüssigkeit zeigte , dass der Diffusionsstrom zu einer ziemlichen Höhe ge- stiegen war. Hierauf wurde von oben nach unten das specifische Gewicht der Flüssigkeit in verschiedenen, gleichweit von einander abstehenden Querschnitten und zur Controle noch einmal in umgekehrter Richtung von unten nach oben in denselben Intervallen beobachtet. Wir bedienten uns zur Bestimmung des specifischen Gewichts eines Triangels von Glas, wel- cher aus drei gleichen , etwa i' langen und 2^" dicken Stücken eines mas- siven cylindrischen Glasstabes zusammengesetzt und an dem einen Arm der Wage mit Coconfäden dergestalt aufgehängt war, daSS er genau in ho- rizontaler Lage sich befand. Zuerst wurde er an der Luft gewogen, so- dann in die verschiedenen Schichten der Flüssigkeit eingesenkt und sein Gewicht in denselben bestimmt, woraus sich unmittelbar sein Gewichtsver- lust ergiebt. Ist derselbe in reinem destiUirtem Wasser v, in irgend einer

salzhaltigen Schicht von derselben Temperatur v\ so ist — für unsere

Zwecke hinreichend genau das specifische Gewicht der darin befindlichen Lösung, folglich der Procentgehalt oder die Concentration /> proportional

V V ^ ^'

d.h. denv Ueberschnss des Gewichtsverlustes in der Salzlösung über den im reinen Wasser. Mit Hülfe der Formel 12)*

wurde zunächst der Werth der Funktion *

berechnet und sodann aus :

Von I)r. Bbbz. 227

das Argument ermittelt, wobei wir uns der Kramp^schen Tafeln, die

ytat

ansser in Krampfs Werk über astronomische Befraction auch in Goumot's

WafarscfaeinlichkeitsrechnuDg und iii A. Meyer thäoHe des integrales definies

• oc

sich finden, bedienten. Aus dem Argument "^ wurde ferner für jede

y2at

einaelne Beobachtung die Grösse — , die der Zeit proportional ist , nach

^reicher zwischen zwei unendlich dünnen Flüssigkeitsschichten von ver- ichiedener Concentration chemisches Gleichgewicht eintritt, berechnet.

So ergiebt sich z. B. in der ersten Versuchsreihe, bei der ^==91^, - =0,145

rdra:=: — 11, « = 0,281

— 11

—iL= = 1,319, j/182 a

- = 2,616. . o

Ans jeder Versuchsreihe wurde endlich ein mittlerer Werth für — und

er

mit Zugrundelegung desselben der Procentgehalt sttmmtlicher Schichten theoretisch bestimmt. Bei allen drei Versuchsreihen sind die Differenzen der beobachteten und berechneten Wei-the nicht grösser, als die wahr* scheinlichen Beobachtungsfehler und es hartnoniren Beobachtung und Theo- rie so gut, dass an der Richtigkeit der aufgefundenen Gesetze nicht der geringste Zweifel stattfinden kann.

In den folgenden drei Tabellen enthält die erste Columne die Abstände ^ von der Mittelschicht von unten nach oben geordnet, jedes Intervall be- trägt 2,85****; die zweite das Gewicht des Glaskörpers in den einzelnen ßchichten; die dritte den Ueberschuss des Gewichtsverlustes in der Lösung über den im Wasser, welcher der Concentration proportional ist; die vierte

di$ Werthe von i^f — ^^ berechnet aus + (m — ^ ?7) : i U; die fünfte die \y2ai/

Argumente — , die sechste die umgekehrten Diffusionsgeschwiudigkeiten

— \ die siebente endlich die mit Zugrundelegung-eines Mittel werthes von - berechnete Concentration der aufeinanderfolgenden Schichten.

228

lieber Diffasion von SalzlöBangen im Wasser.

Erste Keihe.

Zeit des Versnchs 5. Juni 4 Uhr 30 Min. Nachmittags bis 9. Juni 1 1 — 12 Mittags, Daner der Difinsion 91 Standen. Temperatur 20 — 23® C. Gewicht des Glaskörpers in der Lnft 8,024 gr., im Wasser 5,443. Specifisches Ge* wicht der Lösung 1,109.

X	Oewicht des Glas- körpers.	Beobach- teter Pro- centgebalt	'(^)	X y2ae	2. a	Berechne- ter Pra- centgehalt für 1=2,62.
— 11	5,163	0,280	0,93793	1,3190	2,616	0,281
— 10	5,100	0,277	0,91034	1,20	2,744	0,277
- 9	5,172	0,271	0,86897	1,0677	• 2,561	0,272
— 8	5,180	6,264	0,82069	0,950	2,566	0,265
— 7	' 5,187	0,257	0,77241	0,8531	2,703	0,256
— 6	5,197	0,245	0,68966	0,7172	2,60	0,246
- 5	•5,208	0,235	.0,62069	0,6216	2,81	0,232
— 4	5,222	0,221	0,52414	0,5011	2,89	0,218
— 3	5,242	0,201	0,38621	0,3568	2,57	0,202
— 2	5,26	0,183	0,26207	0,2365	2,544	0,184
— 1	5,278	0,165	0,13793	0,1228	2,744	0,165
0	5,298	0,145				0,145
+ 1	5,319	0,124	0,14483	0,129	3,006	0,125
+ 2	5,336	0,197	0,26207	0,2365	2,544	0,106
+ 3	5,854	0,089	0,38621	0,3568	2,574	0,088
-f 4	5,367	0,076	0,47586	0,4504	2,307	0,072
+ 5	5,381	0,062	0,57242	0,5609	2,29	0,058
+ 6	5,391	0,052	0,64138	0,6988	2,128	0,044
-f 7	5,403	0,040	0,72414	0,7705	2,205	0,034
+ 8	5,41	0,033	0,77242	0,8531	2,058	0,025

Von Dr. Beez.'

229

Zweite Reihe.-

Zeit des Versuchs 24. Jnni 3 — 4 Uhr Nachmittag bis S. Juli 3 Uhr 30 Min. bis 4 Uhr 40 Min. Nachmittags. Daner der Diffasion 216 Stunden. Gewicht des Glaskörpers in der Lnft 18,083, im Wasser 12,738. Specifisches Gewicht der Lösung 1,079*

						Berechne-
«	Gewicht des Glas- körpers.	Beobach- teter Pro- centgehalt	'(y^)	y2at		ter Pro- centgehalt für 1=2,64.
			t
— u	12,281	0,457	0,74427	0,803	2,30	0,465
— 10	12,291 •	0,447	0,70610	0,742	2,38	0,454
— 0	12,302	0,436	0,66412	0,680	2,47	0,440
— 8	12,315	0,423	0,6145	0,6136	2,54	0,426
— 7	12,331	0,407	0s65343	0,5381	2,55	0,409
— 6	12,348	0,390	0,48855	0,4642	2,58	0,391
— b	12,367	0,871	0,41603	0,3871	2,58	0,372
— 4	12,388	0,350	0,33588	0,307	2,54	0,352
— 3	12,410	0,328	0,25191	0,227	2,47	0,330
— 2	12,432	0,306	0,16794	0,1499	2,40	0,308
— 1	12,454	0,284	0,08397	0,0745	2,39	0,285
0	12,476	0,262				0,262
+ 1	12,5	0,238	0,09160	0,0813	2,855	0,239
+ 2	12,526	0,212	0,19084	0,1708	3,15	0,216
+ 8	12,548	0,190	0,27480	0,2485	2,964	0,194
+ 4	12,508	0,170	0,35114	0,3219	2,797	0,178
+ 5	12,687	0,151	0,42867	0,3950	2,696	0,152
+ 0	12,603	0,135	0,48473	0,46	2,539	0,133
+ 7	12,619	0,119	0,54580	0,5291	2,473	0,115
•V 8	12,633	0,105	0,5t0922	0,5941	2,382	0,098
+ 9	12,647	0,091	0,65267	0,6644	2,354	0,084
+ 10	12,659	0,079	0,69847	0,7307	2,306	0,071

230

Ueber Diffusion von Salzlösungen im Wasser.

Dritte Reihe.

Zeit des Versuchs 5. Juli 4 Uhr 15—40 Min. Nachmittags bis 8. Juli 3 Uhr 15 Min. bis 4 Uhr 90 Min. Nachmittags. Dauer der Diffusion 72 St. Gewicht des Glaskörpers in der Luft 18,687, im Wasser 12,747.

						Berechne-
X	Gewicht des Glas- körpers.	Beol)ach- teter Pro- centgehalt	'04)	V2at		ter Pro- cent^ehalt für ~ = 2,68.
— 11	12,270	0,477	0,97107	1,5446	2,839	0,476
— 10	12,274	0,473	0,95454	1,4144	2,880	0,471
— 9	12,280	0,467	0,92975	1,28	' 2,912	0,464
- 8	12,289	0,458	0,89256	1,1381	2,914	0,454
— 7	12,304	0,443	0,83058	0,9716	2,799	0,441
— 6	12,321	0,426	0,76033	0,8314	2,764	0,424
— 5	12,342	0,405	0,67356	' 0,6938	2,772	0,403
— 4	12,369	0,378	0,56198	0,5483	2,706 ,	0,378
— 8	12,306	0,351	0,45041	0,4213	2,864	0,348
— '2	12,432	0,315	0,30165	0,2740	2,702	0,315
— 1	12,468	0,279	0,15190	0,1354	2,64	0,279
0	12,505	0,242				0,242
+ 1	12,543	0,204	0,15702	0,140	2,822	0,205
+ 2	12,577	0,170	0,29752	0,270	2,624	0,169
-¥ 3	12,608	0,139	0,42562	0,3971	2,523	0,136
4- 4	12,638	0,109	0,54959	0,5336	2,562	0,106
-f ö	12,663	0,084	0,65289	0,6648	2,546	0,081
+ 6	12,684	0,063	0,73967	0,7957	2,582	0,060
+ 7	12,702	0,045	0,81405	0,9352	2,570	0,043
•f 8	12,716	0,031	0,87190	1,0758	2,604	0,030
4- 0	12,726	0,021	0,91322	1,211	2,607	0,020
+ 10	12,732	0,015	0,93802	1,32	2,509	0,013
+ 11	12,737	0,010	0,95868	1,4426	2,433	0,008

Von Dr. Beez. 231

Fassen wir zum Schlnss die gefundenen Resultate noch einmal kurz snsammen, so lassen sich Hher Diffusionsströme folgende 6 Hauptsätze auf- stellen, von denen jedoch 1 und 2 nur für den ersten Strom gültig sind :

1) Die Concentration in der Mittelschicht einer Diffusionsreihe ist un- abhängig von der verflossenen Zeit und gleich der Hälfte des anfänglichen Salzgehaltes :

ü «0 = 7-

2) Die Summe der Concentrationen zweier Schichten , welche von der mittleren gleichweit abstehen, ist gleich der anfänglichen Concentration:

3) Die Menge des aus der Salzlösung übergetretenen Salzes ist dem Querschnitt des Cjltnders, in welchem der Strom vor sich geht, der anfäng- liclien Concentration und der Quadratwurzel aus der verflossenen Zeit di- rect proportional :

S=cOüj/i.

4) Der Ueberschnss des Salzgehaltes der ursprünglichen Grenzschicht über die nächstfolgende ist umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der verflossenen Zeit:

1 TT ^

5) Die Concentrationen bilden von oben nach unten eine abnehmende Reihe, deren allgemeines Glied eAe transcendente Function des Abstandes von der Mittelschicht und der verflossenen Zeit ist, welche sich auf die Kramp'sche Transcendente zurückfahren lässt. S. Gl. 12, 13, 14.

6) Die Geschwindigkeit des Üeberstromens ist proportional dem Diffu- sionscoefficienten o , welcher nicht von der anfanglichen Concentration ab- hängt , aber wahrscheinlich mit der Temperatur zunimmt. Dieser Diffu- sion scoefficient ist für verschiedene Salze verschieden und lässt sich zu- gleich als ein Maass für die chemische Verwandtschaft des Salzes zum Wasser betrachten.

Kleinere Mittheilimgen.

Z. Eine nnbestuiuiite Angabe. Da die Zahl 10 PrimitiTwursel von 7 ist, so bildet der Bruch ^ in einen Decimalbrnch verwandelt eine 68tellige Periode, und ebenso wird die Periode irgend eines anderen Siebentels eine 6 stellige sein, und aus denselben Ziffern, nur in immer anderer Reihenfolge, bestehen. Betrachtet man diese verschiedenen Perioden als ganze Zahlen, so hat man demnach 6 sechsstellige Zahlen, welche dieselben Ziffern be- sitzen, und in dem Verhältnisse 1:2:3:4:5:6 stehen.

Es liegt sehr nahe, die Frage aufzustellen, ob nicht diese Bedingungen genügen, um abgesehen von der Verwandlung gewöhnlicher Brüche in De- cimalbrüche, die Zahl zu 6nden, welche wir als die Periode von ^ kennen gelernt haben. In der That lässt sich a&ch ein ziemlich elegantes Verfah- ren dazu angeben, wenn man nur die BeAngung noch hinzufügen darf, dass die gesuchte Zahl keine Null enthalten soll. Darnach spricht also die Auf- gabe sich so aus: eine sechsziffrige Zahl A zu finden, welche keine Null enthält und die Eigenschaft besitzt, bei Multiplication mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 im- mer wieder sechsziffrige aus denselben Ziffern in verschiedener Keihenfolge bestehende Zahlen zu liefern.

Es ^ei A=^abcdefy wo die Buchstaben die Ziffern bedeuten mögen und die Rangordnung den Werth der einzelnen als Zehner, Hunderter u. s. w. bestimmen soll. Nun ist klar, dass a = l sein muss, weil sonst ^Ä eine 7 stellige Zahl würde. Ferner kann f weder 0 noch 5 noch 2, 4, 6, 8 sein, weil ja A keine Null enthalten soll und^sonst die Produkte 2A, 4A^ QA oder bA mit Null endigten, welche also schon in A vorhanden sein müssten. In Bezug auf/* bleibt also nur die Wahl

/'=1,3,7,9.

Wäre f=l 80 würden die Producte A,2AyZA . . .QA sich auf 1, 2, 3, 4, 5,6 endigen, und da diese 6 Ziffern alle verschieden sind, ferner alle in A vorkommen sollen, so müssten die Zahlen a, fr, c, (f, e in einer oder der an- deren Reihenfolge den 2, 3, 4, 5, 6 entsprechen (l ist schon durch f in Be- schlag genommen). Darnach wäre a von 1 verschieden, was einen Wider- spruch bildet.

Kleinere Mittheilangen. 233

Ebensowenig kann f=^^ sein. Die betreffenden Endziffern wären näm* lieh alsdann 3.6,9,2,5,8 unter welchen keine 1 vorkommt; und ganz das- selbe ist bei ^=9 der Fall, wo die Endziffern 9, 8, 7, 6, 5, 4 heissen würden. Kann also der Aufgabe überhaupt genügt werden, so rauss es durch ^=7 der Fall sein. In der That endigen sich alsdann die Producte :

lA, %A, 3^, 4^, bÄ, ^A, anf

7, 4, 1, 8, 5, 2, unter welchen eine 1 sich findet, welche =a sein kann. Die gesuchte Zahl heisst somit:

A = lbcdeTj wo 6, c, ef, e sich in 2, 4, 5, 8 zu theilen haben.

Nun ist e=4 unmöglich , weil sonst 2A mit 9 4 endigen würde, wäh- rend die 9 überhaupt nicht darin vorkommen kann; ß = 8 würde in dem Producte ^A die unmögliche Ziffer 6 ergeben; « = 2 endlich gäbe bei 4A die Ziffer 0. Wir erhalten demnach für e nur noch die Möglichkeit 5 und somit ist

A=zlbcdbl, wo fr, Cy d sich in 2, 4, 8 theilen.

Dasselbe Princip lehrt uns d=4 als unmöglich wegen 2Ay und d=2 unmöglich wegen 4^, also

^=l6c857, wo 6, c sich in 2, 4 theilen.

Da c wegen 2A unmöglich =4 sein kann, so mnss also

^ = 142857 sein, wenn überhaupt der gestellten Aufgabe Genüge geleistet werden kann.

Oantor.

XL TIebor die Determinante (?p=2;+(aa+6o)' (% + ^)P..,(a« + fr,)p von Dr. 6. Zehfuss in Darmstadt. Die obige Determinante ist für jd=p — 1 von Cauchy {Exercices danaL 2), und für p = — 2 von Borchardt (Crelle's Journal, Bd. 53) betrachtet worden. Nach Cauchy ist nämlich, wenn P das Product aller Differenzen gegebener Grössen bezeichnet, und il das bekannte Productenzeichen vorstellt:

Ö_i = P(öo, a, . . .; an) .P{bo... &„) : J7 («< + b^),

i,k

und ähnlicher Weise hat Borchardt gezeigt, dass

flo + ^0 «1 + *l «n + oft

wo die letztere Snmme fast wie eine Determinante gebildet wird , nur mit dem Unterschiede, dass die Glieder anstatt mit abwechselnden Zeichen sämmtlich positiv anzusetzen sind. — Ich bemerke hierzu, dass solche auch

234 Kleinere Mittheilnngen.

von Joachimsthal (Grelle, Bd. 53) betrachtete Summen ^Oo^i c,..., die aus Determinanten ^ + ^o ^i ^< • • * dadurch entstehen, dass man alle Glie- der mit positiven Zeichen ansetzt, eine einfache Darstellung durch be- stimmte Integrale gestatten. So ist z. B., wenn das Prodnct der vier Fac- toren

X (««1« + b,lß+c, ir + d, IS) (a, 1«+ b, iß + c,iy +rf, 19)

worin 1^ für cos 2 ;co + t Wn 2 9s a gesetzt ist, durch X bezeichnet wird:

. — l

-Sflo ^ ^« ^B = j j j Ixi-a-ß-y-^ da dß dy d8.

0

Joachimsthal beweist in seinem Aufsatze: De aeg, quarti ei sexii gradus etc, pag. 171, (ibid.), dass wenn man von einem Punkte aus 6 Norma- len auf eine Fläche zweiten Grades fttllt , und die Fusspunkte von dreien derselben durch (:p, y, z,), (a?, y, z,), (ar, y, r,) bezeichnet, die Fusspunkte der drei übrigen in einer Ebene liegen , deren Gleichung aus 24 Gliedern besteht. Setzt man aber das Product der 4 Factoren

{x 1« + arj«! ^ x^ l«t + ar, 1«») (y 1« +y, l«i + y, l«t + y, 1«.)

gleich r, so lässt sich jene Gleichung unter der einfachen Form 1

ffff'

^0 darstellen.

Wir kehren wieder zur Determinante Qp zurück. Ist der absolute Werth des negativen Exponenten/! grösser als 2, so ergeben sich keine einfachen Gesetze mehr. Wir wollen daher die Determinante Qp für po- sitive Werthe von/? betrachten, in welchem Falle ihr Werth stets durch P(a^. ., ün) -P(6o . . . bn) theilbar ist, weil Q offenbar verschwindet, wenn man z.B. a^=ai setzt, indem alsdann in der Determinante zwei Reihen oder Colonnen gleich werden, was bekanntlich ein Verschwinden von Q zur Folge hat. Wenn aber ß, ein ganzes Polynom, verschwindet, sobald ^0=^^« wird, so enthält es den B^actor öp — o, , also überhaupt sHmmtliche Factoren P («o • • • ö«) ^ (*o • • • *n)- — Nun ist Q in Bezug auf a^ vom /?*«", und P{ao. . . an) bezüglich a^ vom «*«" Grade; also kann unmöglich Q durch P theilbar sein, sobald p < n, d. h. man hat

Qp = 0^ wenn p < n.

So ist z. B.

^ ± K + boY («I + *i)* («t + hY {a, + b,y = 0.

Wenn dagegen p = n ist, so kann Q den Factor P enthalten , und der Werth von Q ergibt sich dann direct auf folgende Weise. MuUiplicirt man die beiden Determinanten

Kleinere Mittheilungen.

235

Ä =

S =

1 «1 ffo flf a^ «j «0* • • • ^o"

Oq ■'0 "o . • . J

br

V** ...1

6,» V""* V"'^ • . . 1

miteinander, wo «/ den ^•" Coefficienten der Entwickelnug von (j'+y)" be- zeichnet, so erhält man nach der Oauss' sehen Multiplicationsregel eine Determinante, deren allgemeines Element Cr, $ offenbar gleich

ftr« + «1 ftr*-* «,+ n, br''-^ «,* + ... + «,» = (^r + «,)"

ist, nnd die mithin mit Qn zusammenfallt. Es wäre daher On=Ii*S. Zieht man aber ans den Verticalcolonnen von R die gemeinsamen Factoren Wj , ff, . . . heraus , so entsteht

Ä =» «I w, n, . , , J? + «0* «'i* ö,» • • • ö«*, d. h. nach einem Satze von Vandermonde:

Ä = W| Wj «, . . . P («0 • • • «^) Um den Werth von S zu finden , nehmen wir in dieser Determinante solche Vertanschungen der Colonnen vor, dass die Diagonalreihen ihre Stellen wechseln, wodurch eine Determinante 2 + b^ b^* fr»*. . , zum Vor-' schein käme. Indem man aber in einer Determinante J?+ «o/'r/t • •• solche Vertan schnngen vornimmt, dass die Diagonalreihen ihre Stellen wechseln, verwandelt sich das erste Olied a^ ß^ • . • v»» welches nach Gramer kein Derangement darbietet, in das letzte Vn ßn-^\ Yh^2 • • • »'o» ^*8 t + 2 + 3. . .

-f n = -A-- — l Derangements besitzt. Durch die Verwechselung der Dia- gonalreihen geht mithin ein Factor («— 1) ^ ein, so dass man hat

»t(w-f 1) w(i»^l)

Wir hätten also endlich für jp = n den Werth

Oi.= (— 1) ^' P{a,...an)P{b,, So ist z. B.

bn).

Wenn endlich p>n, so ergeben sich wieder keine einfache Oesetze fUr den Werth von Qy obgleich sich, wenn man in' den einzelnen Elementen (ßr + bg)^sss Qr^ -I- pi . ür^'-^bg + ^tc. ausfährt, mit Anwendung eines von

Zeitschrift flkr BfathcoMtik n. Physik. IV. 16

236 Kleinere MittheiluDgen.

Jacob i in: De format et propr, det,%. 14. angeführten Satzes eine Zerleg- ung in eine Anzahl Aggregate anderer Determinanten ergibt, von denen einige einfache Bestimmungen zulassen.

Xn. Zu der Lehre yom Viereck. Im drittoi Heft des dritten Jahr- gangs dieser Zeitschrift hat H. Vorländer für die dem Qerl in gesehen Werke über „die Ausgleichungen der praktischen Geometrie" entnommene Aufgabe der Ausgleichung zwischen den vier Seiten und zwei Diagonalen eines Vierecks eine Auflösung mitgetheilt, welche im Gegensatz gegen die von Herrn Prof. Gerling selbst gegebene auf einer directen Entwickelang der Bendigungsgleichung zwischen den Verbesserungen der sechs gemesse- nen Längen beruht. Ein andrer Weg zu diofier Bedingungsgleichung wird hier nicht sowohl um der Aufgabe' selbst willen , als wegen der für die Lehre vom Viereck erheblichen Folgerungen , welche sich an dieselbe an- schliessen, veröffentlicht.

1. Wir bezeichnen die vier Seiten und die zwei Diagonalen, oder die vier Gegenseiten des vollständigen Vierecks mit a und a\ b und b\ c und c m solcher Auswahl, dass c einen hohlen Winkel zwischen o^nnd b theilt, a\ b\ c aber ein Dreieck bilden. Nach einer Schreibart, welche wir aneh für die anderen Winkel und Dreiecke der Figur in Anwendung bringen, heisst jener hohle Winkel (a, 6) , der Flächeninhalt des besagten Dreiecks aber («', b\ c).

Zur Entwicklung der Differentialgleichung zwischen den sechs Seiten stehen uns unter anderen Wegen die folgenden zwei offen: Die Gleichung

1) (^c) + (c,a) = («,6) gibt differenziirt:

2) d(6, c) + rf(o/a) — rf(a,6) = 0.

Ersetzen wir hier die Differentiale der Winkel durch ihre Ausdrücke in den Differentialen der mit den Winkeln in einerlei Dreieck vorkommen- den Seiten, so ist der Zweck erreicht.

Oder: aus der Gleichung ,

3) («', 6, c] + («, b\ c) = (fl, b, c) ± («', b\ c\

in welcher das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem die zwei letzten Dreiecke von c getrennt sind oder nicht, ergibt sich :

4) d (a , b,c) + d (a, b\ c) — d (a, 6, c) + d (a, b\ c ) == O5 ersetzen wir das Differential jeder Dreiecksfläche durch einen Ansdruck in den Differentialen der drei Seiten, so ist ebenfalls das verlangte geleistet.

2. Hülfsformeln für das Dreieck.

Liegen die Winkel ^, /?, y den Seiten eines Dreiecks vom Inhalt ^ge- genüber, so gibt die Gleichung:

Kleinere MHthoilungen. 237

« = Ä cos Y + c cos ß differenziirt:

da ==s db , cos y + d c . cos ß — bsiHy .dy — csinß.dß wird beiderseits mit bsmy^xcsinß dividirt und vermöge

a + j8 + y=« anch da unstatt — dß — dy eingeführt, so eeigt sich:

5) .j^ = — . CO/ y + — . co(ß + da.

Femer gibt die Gleichung:

2 F=bc sina differenziirt :

2dF=z(cdb + bdc)sina + bccosa . da. Wird hiervon die mit b c cos a mnltiplicirte Oleichnng 5) abgezogen, so folgt: 2dF — ada . ro<«= cd6 . (*fw« ^ coly. cosa) + bdc . {sinß — cotßcosti)

cdb , . . *<^<? , , /»x

= : — . cos (y '^ a) : — . cos (a + ß)

bdb ^ , cdc = -: — cos ß + -: — cos y. smy ^ smy '

6) 2 d F= ada . cöi a + bdb . cot ß + cde.coiy.

3. Differentialgleichung zwischen den sechs Seiten des vollständigen Vierecks.

Die Gleichung 5) auf die Dreiecke (a', 6, c), (a, b\ c) , (a, 6, c) ange- wendet gibt:

^^^-^^ = ^co({<^,^

[2(fl,6,r') a "•^ ' ^ • b

eder vermöge 2) nach einigen naheliegenden Umwandlungen :

^. a' da b' db' cdc

^ 2 (a, b.c)'*' 2 {a,b\ c)~2{a, b, c) ~

da sin {b\ e) db sin {c\a) »^^ **^ (^'» O

a ' sin{a,b').sin(c\a) b ' sin{a\b) sin(b^c) c ' sin (6', c) sin (c, «')

2 oder endlich, wenn mit > , ., ^ durchmultiplicirt und auf Null gebracht wird: {aybyC)

ada ada'

(«, b\ c) . (fl, 6, c') («' , 6, c) . (a , y, c )

g. . ^dd b'db'

^ ^ + (a', ^ c) . («, 6, o') («, 6, c ) . («', b\ c')

__ cdc cdc'

\ ~"(«',6,c),(ö,6',c)~(«, ^ c-) . («', 6', c) — '

16»

238 Kleinere Mittheilungen.

Andere Entwicklang. Formel 6) gibt anf die vier Dreiecke an- gewendet vermöge Gleichung 4) :

a da . cot (6, c) + 6 d* . cot (c, a) + cdc . cot {a\ b) + ada .cot (6',c) -f- h' dh' . cot (c,a) + cdc . eoi (a, b') — ada ,col{b,c) — bdb , cot (c\ a) — c de . col (a, b) + ada . cot {b\c) + b' db' . cot{c\a) + cdc . cot {a\b') = 0.

4 wird mit ■ . , ,/ ? durchmnltiplicirt, so folgt nach einigen naheliegenden

Umwandinngen :

da sin{{b,c) — {b\c)] da sin [(b\ c) + {b, c)\ V ' (a, b\ c) . (ö, 6, c) a ' (a\ 6, c) . («', 6', r')

10)

^ dfe ^m [(c , g) - (c, «-)] ^ rf6- ^m [(g; g ) + (r, a)] 6' ' {a\ 6, c) . (a, 6, c') ^ («, *'» <^) • («t *'» ^')

, de sin [(g, &') + (a\ b)] dc^ sin [(g , b') + (g, &)J

c" (g , 6, c) . (g, y, c) c * (ö,^c').(g',fr>') ~"

Die nothwendige Identität der Gleichungen 9) nnd 10) weist uns anf folgende Beziehnngen hin:

sin f(6, r ) - {b\ c)] ^ sin [{b\ c') + (6, c)] ad aa'

. ^ sin [(c , g) - (c, gp] ,^ 5»>i [(c\a') + (r,g)] ^ ] 6A' bb'

_ sin[(a,b') + (a\b)] _ sin [(g , b') ± (g, b)

-— ;? y .

c c c c

Handelt es sich am einen unmittelbaren Beweis dieser Beziehungen, so können wir ons , da die Gleichheit je zweier neben einander stehenden Quotienten aus einfachen geometrischen Betrachtungen folgt, auf die drei vorderen beschränken. Wird der Zähler des dritten derselben auf die Form

[sinia,b') — (n-(a\b))] gebracht, so finden wir in unseren Gleichungen den analytischen Ausdruck für folgenden :

4. Satz. Beschreibtman die vier Kreise umjedreiEcken eines vollständigen Vierecks, so sind die drei positiven Quotienten zweier Gegenseiten nnd dem Sinus des Unter- schieds zweier Peripherie-Winkel, welche anf einer von bei- den in zwei nicht von ihr getrennten Bögen stehen, ein an der gleich.

Beweis. Vermöge der 'Wahl unserer Bezeichnungen igt anter allen Umständen : b' c . sin [(b, c) - {b\ c)] = c sin (6, c) . b' cos (b\ c) — c cos (b, c) . b' sin (6', c)

r= g sin (g, b) . [c — g cos (r, «)} — [Ä — g cos (g , b)]a • sin (r, a) 1 2) b'c,sin[(b, c) — (b\ c)] =a.[ — asin(bj c) — fr*w(c, g) + csin (g,ft)].

Dessgleichen vermöge der hier stets zulässigen Vertausehung zwischen g und b :

Kleinere MittheÜtiDgen. 239

13) ca .gin[(c\a) — (c,a)]=^b.[ — atin(b,c)'^bsin{c,a) + csin{a,b)].

Ferner : —ab\sm[{a,b')'^{a\b)]z=t—b'8iH(a,b').aco8{a\b)~b'cos{a,b').a^^ = c sin (c, a) . [c cos (6, c) — b]

+ [c cos (c, a) — a] .c sin (6, c) 14) — ö' 6' m [(«, 6') + («', 6) = c . [— a sin (6, c) — c «tit (c, a) + c8in (a, 6)J.

Die Gleichnngen 12), 13), 14) stellen aber den Aasdruck — a sin (ft, c) — b sin (c, ä) + c sin (a, b) a 6 c ^Is gemeinschaftlichen Werth der drei Quotienten dar, deren Gleichheit be- hauptet wird, es ist diese also bewiesen.

Ftir den Fall des Sehnenvierecks sind die Qnotienten vermöge der Gleichheit zweier auf einerlei Bogen stehenden Peripheriewinkel alle Null, unsere Gleichungen bieten also eine Verallgemeinerung des betreffenden Satzes der Kreislehre dar.

Weil aber alsdann auch der gemeinschaftliche Werth der drei Quotien- ten Null sein muss, so ist für das Sehnenviereck (wie auch unmittelbar leicht nachgewiesen werden kann):

c sin («, ft) = a sin (ö, c) + b sin (c, a).

Mit anderen Worten : Vier Punkte liegen auf einem Kreise, wenn zwi- schen den Entfernungen r, r\ r" eines derselben von den drei anderen und den gegenttberliegenden Theilen er, a , u der vier Rechten , die Beziehung besteht:

r sm a '\' r sin ül '\- r' sin u = 0.

Eine andere Zerlegung des unter 4. ausgesprochenen Satzes, die hier nicht ausgeführt zu werden braucht, gibt noch eine weitere Verwandtschaft desselben mit der Kreislehre zu erkennen.

Bezeichnet man nämlich mit x^x und y^y die Entfernungen der Seiten b und b' vor ihrem Schnittpunkte, so dass für den Fall des Sehnenvierecks

XX ^=iyy nit o aber den Winkel, unter welchem der Schnitt stattfindet, so ist : cc Min [(b^e) — (6', c)} = (y y' — a? *') «h « = — a a' sin [(«, 6*)'+ {a\ b)\

Eine entsprechende Gleichung findet zwischen den Entfernungen der Seiten a und a vor ihrem Schnittpunkte statt.

5. Verallgemeinerung und Converse de» ptolemäischen Lehrsatzes. #

Endlich erinnerte ich mich bei Wahrnehmung der Analogie zwischen dem Satze in 4. und demjenigen vor der Gleichheit der Peripheriewinkel •sf einerlei Bqgen , an einen anderen Satz , der mir vor längerer Zeit von Herrn Oberstndienrath Rieeke*) als eine Frucht seiner Methode des Ge-

*) Blecke, die Rechnung mit Bichtongssahldn, Stuttgart, MeitBler 1856. Naeh einer erst neuerdings an mich ergangenen Mittheilang ist Herr Riecke bei derselben Gelegenheit auch auf die Gleichungen 1 1) gekommen.

240 Kleinere Mittheilungen.

iMrauchs der Richtungssahlen mitgetheilt wurde, und der eine Verallgemei- nernng des ptolemäischen Lehrsatzes für andere als Sehnenviereoke bildet. Anstatt ihn zu nennen , will ich ihn sogteich ans den &leiehangen 11) ab- leiten. Aus

(ö, b') + («', b) = (c , «) + {b\ c) + (6, c') + (c-, ü)

= (c , a) + (6, c') + « — (b\ c) — (c, a) folgt:

— sin [{a, b') + {a\ b)] = ^i« [(6, c) — (b\ c) + (ö\ a) -. (c, a% wird also:

(fr, c) — (b\ c) = ä und (c , a) — (c, a ) = c gesetzt, so können unsere Gleichungen so geschrieben werden:

aa bb' c c

sin ö sine sin {6 + «) und geben :

cc aa cos B + bb' cosd

sin (^ + «) sin öcosB+sinn cos 6 cc=aa cos [(c\ a) — (c, a)] -{- b b' cos [(6, c) — (b\ c)]. Wie aus dieser Gleichung der ptolem&ische Satz für den Fall des Seh- nenvierecks Termöge der Gleichheit der Peripheriewinkel hervorgeht, bt deutlich.

Auch für die Gonverse des ptolemäischen Satzes geben unsere Gleich- ungen einen bequemen Beweis. Ist nämlich :

cc=aa+bb\ so wird aucJi

sin (6 + b) = sin 8 + sin b oder cos == cos

^ ' 2 2

jt i jt i

— r— = + — r — , also 6 = 0 oder f = 0, 2 ' 2

beide Folgerungen schliessen sich nicht aus , sondern bedingen sich , inso- fern sie beide das Sehnenviereck zu erkennen geben. (Ein elementargeo- metrischer Beweis* dieser Converse ist bei Kunze, 2. Anfl* I. §. Id6, zn finden.)

6. Ausgleichung zwischen den gemessenen Längen der sechs Seiten des vollständigen Vierecks.

Wollen wir die Bedingung zwischen den Verbesserungen der durch Messung erhobenen, also nicht genau richtigen Werthe der sechs Seiten des vollständigen Vierecks nach Gleichung O) ansohreiben, so ist Tor allem das Absolutglied , das die Gleichung vermöge des Widerspruchs zwisckea den sechs Werthen erhalten muss, zu ermitteln. Hat man die Winkel in Gleichung l) aus den Seiten der betreffenden Dreiecke berechnet, und findet durch die gefundenen Werthe diese Gleichung nicht befriedigt, sondern den Widerspruch:

Kleinere Mittheiiungen. ^ 241

w = (d, c) + (<?, a) — (a, ^), so wird an die Stelle der Gleiehung 2), wenn man sich nnter den Differen- tialen endliche aber kleine Veränderungen denktj die folgende treten : w+d{b,c) + d (c, a)—d (ä, b) = 0. Datf Absolutglied der nach O) angeschriebenen Bedingnngsgleichung wird demnach mit Rücksicht auf den Uebergang vou 8) auf 9), und wenn w in Secunden angegeben ist, q aber den Halbmesser in Secunden bedeutet, folgendes sein:

2«;

Ich habe nach dieser, eine sehr bequeme und übersichtliche Rechnung gewährenden Bedingungsgleichung die Verbesserungen der sechs Seiten berechnet, nnd stelle die Resultate mit denjenigen Herrn Vorland ers sttsammen :

Seitenlängen in Millimetern. 4,06 90,03 3,85 30,13 30,21 30,08.

Bei Herrn Vorländer : Bezeichnung . «j a^ a, a^ 05 o,

Verbesserung + 0,0103, + 0,1281, + 0,0173, + 0,1274, — 0,1285, — 0,1310.

Bei mir: Beaeichnnng h a \> a c c

Verbesserung +0,0101 +0,1271 +0,0171 +0,1259 —0,1253 —0,1321.

Wenn auch die sich höchstens auf 0,003 Millim. sich belaufenden Un- terschiede zwischen beiderlei Ergebnissen für die Praxis des vorliegenden Falls ohne Bedeutung sein mögen, so mussten sie doch zu einer Nach- forschung nach ihrer Ursache auffordern , welche sich in folgendem Um- stand vorerst genügend zu erkennen gab :

Beim Uebergang von 7) auf 8) wurde {c',a) - («,0=-(ft',0; (*,c')-(«.6) = - (c',«'); (6',c) + (c,«')=(«',6') gesetzt, nnd zwar mit vollem Rechte, so lange es sich nur um die Differen- tialgleichung zwischen den sechs streng richtigen Seiten des geschlossenen Vierecks handelte; finden aber zwischen beiden Seiten der obigen Gleich- ungen Widersprüche statt , die sich in unserem Falle bis gegen acht Grade belaufen, so muss dadurch die Richtigkeit der Ooefficienten unserer Be- .dingnngsgleichung wesentlich beeinträchtigt werden. Auch die kleinen Differenaen zwischen Herrn Prof. Gerlings und Herrn Vorländers Re- sultaten mögen auf dem Umstand beruhen , dass ersterer die Verhältnisse zwischen den Ooefficienten der Bedingungsgleichnng an einer geschlosse- nen Figur entwickelt hat, welche fünf gemessene Längen mit der aus ihnen bereehneten sechsten Länge bilden. Erinnern wir uns nnn, dass, wenn un- ter solchen Umständen die Ooefficienten aus gemessenen Werthen der nicht schliessenden , anstatt aus den ausgeglichenen Werthen der schliessenden Figur berechnet werden , nichts anderes vor sich geht , als eine Vemach-

242 Kleinere Mittfaeilungen.

lässigUDg von Oliedern mit höheren Potenzen der Verbesserungen gegen solche mit der ersten Potene , so wird es nns nicht befremden , wenn auch die Rechnung nach Gleichung 10), bei deren Herleitung doch keine nur f9r das geschlossene Viereck gültigen Zusammenziehungen statt gefunden ha- ben, fehlerhafte und sogar noch fehlerhaftere Resultate gibt, als die obigen. Ist nämlich nach Ermittelung des Widerspruchs

w = {a\ b, c) + (fl, b\ c) — (a, 6, c) — (a , b\ c)

8 w

das Absolutglied mit — -, — tt? f hergestellt und man bereohneCnach der

, ^ aa ,b b .cc

bekannten Methode die Verbesserungen der Seiten , indem man alle in 10) ▼orkommenden Winkel nur den betreffenden Dreiecken entnimmt, macht sodann an den verbesserten Seiten nach 3) die Probe auf die Dreiecks- dächen, so trifft diese nicht zu. Vergleicht man nun die Aendernngen, welche in Folge der Verbesserung der Seiten in den Dreiecksfiäehen vor sich gegangen sind, mit dene» welche nach 16) hätten vor sich gehen 3ollen, so zeigt sich ein Unterschied, der sich sogar durch die Glieder zweiter Ordnung, wenn auch diese nachgerechnet werden^ beim Gebrauch fünfstel- liger Logarithmen nicht vollständig erklärt. Wenn im Vorstehenden somit* Ausgleichungsmethoden erörtert worden sind, welchen für den betreffenden Fall ein zweifelhafter Werth zukommt, so glaube ich doch den Freunden der Ausgleichungsrechnung mit der Hinweisung auf eine hier und da wirk- same Ursache von Störungen des Geschäfts einen Dienst erwiesen zu ha- ben. Schliesslich erlaube ich mir noch den zum vorhin erwähnten Zweck gebrauchten Ausdruck fQr das zweite Differential der Dreiecksfläche aa-

zusohreiben, in welchem u für -: r-3 — : — • gesetzt ist.

stn a .8tn p , Stn y °

d^F , . s{daY ^, ^

2 . = (cot tt + u) - — M cot a ,db .de

1.2 ^ ^1.2

+ {cot /? + ti) \—^ ~ ucosß.dc. da

(dcY + {cot y + u) - — - — u cosy.da . db.

Stuttgart, im November 1858. C. W. Baür.

zm Veber den mitUeren Badini des dreiaoluigeii Ellipioidas. In

den §§. 15 und 16 seiner Untersuchungen über die mittleren I^adien geo- metrischer Gebilde entwickelt Herr Prof. Drobisch*) zwei auf das Ro- tationsellipsoid beztigliche Sätze, die soviel Analogie zu einander besitzen, dass man ein allgemeineres, das dreiachsige Ellipsoid betreffendes Tkeoiem als deren gemeinschaftliche Quelle vermuthen kann. In der That ergiebt sich ein solches anf folgendem Wege.

*) S. Jahrg. III. d. Zeitschrift, S. i.

Kleinere Mittheibngen. 243

Die Halbachsen des Ellipseides mögen a, 6, c sein und a > 6> c; das Volnmen desselben heisse F, enSlick sei r das arithmetische Mittel aus den Radien, welche Yon allen Punkten des umschlossen Raumes nach dem Mit- telpunkte der Fläche gezogen sind. Es ist dann

• 0 0 0

und hierin bedeutet R den zu ^ und tf; gehörigen Radiusvector des Ellip- soides; derselbe findet sich aus der Polargleichung der Fläche, nämlich

oder

/cos ^Y_|_ A»« ^ cos t^ Y /sin ^ sin rftV

/?•=

m cos^ ^ + n sm* ^ ' worin zur Abkürzung gesetzt wurde :

cof'd sin*^ co^^ sin^d^

ar 6' a* c*

Nach Ausführung der auf q bezüglichen Integration erhält mau aus No. 1)

sin^d^df^f

Fr

=iffi

(m cos^ iU + n sin* ^)*' 0 0^ ^

hier kann wieder die Integration nach ^ ausgeführt werden «und zwar mit- telst der bekannten Formel

J {m cos* ij} + n sin* ^y \m «/^mn' diea giebt zufolge der Werthe von m und n

sin^dd'

rr=ü A-— L_-+

4 J iCO^d' , «>l"d

j cujr V y w fr co^ O^^ siti^ ^

^f^ \ a* '^n^JK a* ^ c* )

Ans naheliegenden Gründen darf man das Integtationsintervall auf die Hälfte (d=:0 bis ^=4^) reduciren, wenn man gleichzeitig den Factor ^n verdoppelt; substituirt man nachher cos^^=:: u, so wird 1

Vr= - (\—l— 4. _i_/ 1

um eine elegantere Form zu erhalten, bezeichnen wir mit a, ß^ y die numerischen Excentricitäten der Ellipsen aus den Halbachsen h und r, c und üy a und 6, nehmen also

244 Kleinere Mittheilungen.

2) «=*V-> ^-—v-^ y~—^'^

dies gfiebt

Unter einer ganz ähnlichen Form kann aber auch die Oberfläche eines dreiachsigen Ellipsoides dargestellt verden. Sind nämlich a\ b\ c dessen Halbachsen und a\ ^^ y seine numerischen Excentrieitäten , so ist, unter der Voraussetzung a > h''^ c\ seine Fläche*) 1

et c Nun wird aber für a==a^ ft' = — , c=zc die Excentricität /J' identisch

mit ß und gleichzeitig a^=y^ mithin

die VergleichuDg von Vr und S führt zu der Relation

die nach Substitution des Werthes von V übergeht in

6) nacr= ^^b S.

Die Bestimmung des mittleren Radius eines aus den Halbachsen ö, fr,

c construirten Ellipsoides reducirt sich hiernach auf die Complanatiou eines

ü c Ellipsoides mit den Halbachsen a , — , & , auch kann man die Formel 6)

leicht geometrisch interpretiren z. B. mittelst der Proportion

nac :^^ S=^bir, Für 6 = c wird das erste EUipsoid zu einem gestreckten, das zweite zu einem abgeplatteten Sphäroid aus denselben Achsen ; für 6=aist das erste ein abgeplattetes, das zweite ein gestrecktes; man komuit dann auf die an- fangs erwähnten Sätze zurück.

(Zuerst mitgetheilt der K. 8. GesellBchaft der Wissensohafien in der 8iUang vom 12. Februar 18ö9.) «

^ DCHLOMILGH.

*) S. Jahrg. I. d. Zeitschrift, S. 376.

ZIY. üeber eine Au^be der Elementargeemetrie. Bei der Tracir- ung von Eisenbalmlinien kommt nicht selten folgende Aufgabe vor (Fig. 20, Taf. II):

Kleinere Mitibeilttngeii. 245

Zwei Punkte A und B aind gegeben al« Apfi^ngspiiiikte zweier ge- radlinigen Strecken von beättmmten Richtungen \ man soll A und B durch eine aus höchstens zwei Kreisbögen zusammengesetzte Curve verbinden^ welche AA' in A und BB' in B berührt. Errichtet maa in A und B auf den gegebenen Strecken Normalen, die sich in C schneiden, so müssen die Mittelpunkte M und N der gesuchten Kreisbögen in ^C7und BC oder deren Verlängerungen liegen; den Halb- measer A M des ersten Kreises kann man willkührlich wählen uad ündet nachher dmi Badius des sweiten, wenn. man auf BC die Strecke BQ^^AM abschneidet und den Durchschnitt TV der verlängerten B C mit derjenigen Geraden SN aufsucht, welche MQ normal halbirt. Die beiden aus M und N mit den Radien MjfvtnA NB beschriebenen Kreisbögen stossen dann in einem Punkte T der verlängerten NM aneinander.*) Umgekehrt kann auch BN wUlkOhrlich gewählt werden; man nimmt dann AP =s BNy zieht die Gerade BMy welche NP normal halbirt, und bestimmt ihren Durchschnitt M mit ja

So einfach die Sache an sich ist, so bietet sie doch Gelegenheit zu einigen Bemerkungen von geometrischem Interesse. Die Geraden if i^mnd NS schneiden sieh nämlicn in einem Punkte 0, welcher aus sehr nahelie- genden Gründen der Mittelpunkt des in das Dreieck CMN beschriebenen Kreises sein muss. Dieser Punkt ist aber auch, wie man aus congruenteu Dreiecken leicht ersieht, ven A^ Tund ^gleichweit entfernt, mithin kann 0 ala der Durchschnitt zweier Geraden betrachtet werden, deren eine den Winkel ACN, und deren andere die Gerade ^^ normal halbirt; auch findet man leicht, dass 0 auf dem um das Dreieck ABC beschriebenen Kreise liegt. Man mag daher den ersten Badius ^^ wählen wie man will, so gebt doch die Gerade ^i^ immer durch den festen Punkt 0, und der Punkt T liegt jederzeit auf dem Kreise, welcher aus dem Centrum 0 mit dem Halb- messer OA=sOB beschrieben ist; endlich berührt die Gerade J^iV^ immer den unveränderlichen concentrischen Kreis, welcher die grössere Gerade AC und die Verlängerung der kleineren BC berührt

Lässt man die Tangente NT sich um den festen Kreis herumdrehen, so erhält man der Reihe nach alle Lösungen der Aufgabe. Für NT//BC füllt N in 's Unendliche, und der eine Kreis degenerirt in eine Gerade; die- sen Grenzfall, der nicht mehr im Sinne der ursprünglichen Aufgabe ist, kann man auch auf kürzerem Wege finden. Setzt man die Drehung (rechts herum) weiter fort, so kommt N auf die Verlängerung von CB zu liegen, und die Curve erhält dann die Gestalt rw mit einem Wendepunkte bei T« UUst man bei weiterer Drehung N zwischen C und B fallen , so geräth T an« dem Winkelramme ACB heraus, und die Curve bildet dann einen

*) Für den speciellen Fall, dass LACß=90oiat, hat bereits Herr Prof. Kunze dieselbe Construction zu einem etwas anderen Zwecke angegeben im Anhange zu Cap. y. seines rühmlichst bekannten Lehrbuchs der Geometrie.

246 Kleinere Mittheüungen.

Schnabel mit dem Rflckkehrpunkte Tu. s. w. Unter der Bedingung, dass die Kreisbögen A T und B T ihre concaven Seiten dem Scheitel C zukehren und da$s T swischen AC vcai. ^CMiegt, ist übrigens die Aufgabe nicht im- mer lösbar, sondern nur dann, wenn die Projection von A auf ^C in die Gerade von B nach iV hin fKllt. ^ei' einem stumpfen Winkel ACB versteht sich diess von selbst; bei spitzen ACB mnss jene Projection swischen B und C liegen {AC>B C> AC . co$C).

Da die Aufgabe unbestimmt ist, so kann noch eine Bedingung hinzu- gesetzt werden, um sie zu einer bestimmten zu machen ; so Hesse sich z. B. verlangen , dass die Curve durch einen gegebenen Punkt T des aus O mit dem Radius 0A = 0 B beschriebenen Kreises ginge. Von grösserem Inter- esse ist die Forderung, den Unterschied der Badien BN und AM zn einem Minimum zu- machen; da die Radiendifferenz durch die Gerade MN dar- gestellt wird, so genügt man jener Forderung, indem man die Kreistangente MN senkrecht zu der winkelhalbirenden Geraden CO legt.

Diese flüchtigen Andeutungen schliessen wir mit der Bemerkung, dass sich die vorstehende Aufgabe wohl recht gut zu einem kleinen Excurse beim Elementarunterrichte eignen dürfte und zwar hauptsächlich, weil sie zur graphischen Ausführung verschiedener Constmeuonen Gelegenheit bietet.

ScuLÖiui;.GU.

ZV« üaber das Problem dar Diamantbildnng naek Theodor Siaunler.*)

Im Jahre 1826 lenkte Brewster die Aufmerksamkeit auf die bisweilen io mineralischen Krjstallen eingeschlossenen, sehr expansiblen Flüssigkeiten, welche zwar meist im Topas, Quarz, Amethyst, aber auch in vielen anderen Mineralien wieKalkspath, Cölestin, Schwerspath, Flussspath etc. sowie auch im D i a m a n t vorgefunden worden sind. (Pogg. AnnaL Bd. 7, S. 4(19.) Die Un- tersuchung der Höhlungen und ihres Inhaltes beim Diamant fährt Brewster auf die Ansicht, dass dieser Edelstein ein erstarrtes gummiartiges Secretions* product einer Pflanze sein sollte (vergl. Pogg. Annal, Bd. 30. S. d64, Bd. 9t, S. 605). Ueber die Natur der in den Höhlungen genannter Mineralien äuge- troffenen Flüssigkeiten hat Brewster, obgleich mehrere physikalische Eigen- schaften derselben zum Theil auf sehr sinnreiche Weise von ihm beobachtet worden sind, keine bestimmte Ansicht ausgesprochen.. Herr Simmler stellt eine, gestützt auf mehrere der durch Brewster und andere Beobachter be- merkten Eigenschaften dieser Flüssigkeiten die Vermuthung auf, dass in den meisten Fällen diese Flüssigkeit liquide Kohlensftnse gewesen sei. ZunKchst wird diese Annahme bestätigt durch das übereinstimmende Ausdehnungsver- mögen der liquiden Kohlensäure und der fraglichen Flüssigkeit, das inner- halb der Grenzen 10® bis 27^0. nahe gleichmässig zu 0,01 9 für 1* C. sich erge- ben hat. Brewster hat diese Uebereinsümmung zur angegebenen Zeit nicht

*) Pogg. AnmL Bd. 105, S. 460 u. folg.

Kleinere Miitheilnngen. 247

benerken können, weil erat kurz vor seinen Untersncbnngen der liquide Zo- atand der Kohlensäure von Faraday entdeckt worden ist. Ausserdem hat Brewster beobachtet, dass die Flüssigkeit in den Höhlen der genannten Mi- neralien ein viel geringeres Brechungsvermögen als Wi^ser besitze ; ebenso bemerken Davy und Farad a 7 im Allgemeinen, dass auch die liquide Kohlensäure das Lieht sehwäeher als Wasser breche. Ferner beschreiben Thilorier und Mitchel die liquide KohlensHure als nicht mischbar mit Wasser und gleiehe Eigenschaft hatBrewsier an denjenigen eingeschlos- senen Flüssigkeiten der Kristalle beobachtet , welche sich in besonderem Onde expansibel selten , während die minder expansiblen Flüssigkeiten sieh als Wasser oder als wässrige Lösungen von festen und glasförmigen Körpern herausstellten. Diese versehledentliche Uebereinstimmung der genannten physikalischen Eigenschaften führten nun zunächst Herrn S. zu der Annahme, dass in den meisten Fällen die eingeschlossenen Flüs- sigkeiten, namentlich wenn sie mit bedeutender Spannung sich in den fiöhlangen befanden, liquide Kohlensäure gewesen sei, die übrigens ein nieht geringes Auflöaungsvermögen für mancherlei andere fbste Substanzen haben mag, so dase hieraus noch die biewelkn beobachtete Thatsehe zu er- klären ist, wenn nach Oeffnen der Höhle und Verdunsten der Flüssigkeit mineralische Niederschläge zum Vorschein gekommen sind.

Im Zusammenhange damit steht ferner die Vermuthung des Herrn S., daas insbesondere auch der Diamant ein Condensations • und Krystallisa- Uonsprodnct von in liquider Kohlensäut« aufgelöstem Kohlenstoff sei. Be- kanntiieh zeigt der Diamant nieht selten Höhlungen, in deren Innern allem Anaeheine nach ein nicht imbedentender Druck vorhanden ist. Diese Höbl- ungen , auch wenn sie mit einer Luftart erfüllt sind , können doch gerade gasförmige Kohlensäure unter hohem Drucke enthalten, eine Annahme, welche eine recht ungezwungene Erklärung der von Brewster beobachteten Farbenringe mit dem sehwarzen Kreuz im Diamanten rings um die bemerk- ' ten Höhlungen zuläss% macht. Der starke Druck der von dem eingeschlos- senen Oase auf die nächsten Wandungen der Höhle ausgeübt wird , setzt nämlich diesen Theil des Krystalles in einen ähnlichen Zustand und in ein ähnliches Verhalten zum Licht, wie das ungleich gepresste <}as zeigt. Die Kohlensäure wäre dann in ähnlicher Weise im Diamanten eingeschlossen, w)e die Flüssigkeiten oder Mutterlaugen in manchen andern natürlichen und künstlichen Krystallen. Die ausgesprochene Hypothese würde nun sehr wesentliche Stützen dadurch erhalten, wenn erstlich das Vorkommen grösserer Massen liquider Kohlensäure in dem Erdinnern und aodann die Auflösbarkeit des Kohlenstoffs in der tropfbaren Kohlensäure nachweisen konnte. Das erstere ist aber nicht unwahrscheinlich, wenn man den atarken Dmek und die ungemeinen Quantitäten der vielen Säuerlingen entweichen- den Kohlensäure erwägt. So führen nach Buusen die Nauheimer Bauerquellen jährlich 10,000 Centner, nach Bischoff eine einsige Gas-

248 Kleinere Jffitfiheiifmgen.

quelle beiBnrgbrohl 2617 Centner der Atmo^Ure zu. Was die A«f- lösliclikeit de« Kohlenstoffe in liquider KoUensftnre betrifft, so hat Herr 8. in Ermangelang eines Natterer'schen Condensationsapparats keine direrten Versuche machen können und fordert daher dif^jenigen Physiker, die besser ausgerüstet sind, zu den erforderlichen Versuchen auf. Die Kohlensäure in einer mit etwas Kohlenstoff gefüllten, stumpf umgebogenen, beiderseits geschlossenen starken Glasröhre iiach dem Vorgange von Faraday au ent- wickeln , ist Herrn Simmler nach mehrfachen vergeblichen Versuchen nicht gelungen, indem die Bohren jedesmal zersprangen.

So vielfach seit der Entdeckung der Allotropie des Kohlenstoffs auch Versuche über ktinstliche Diamantenbildung angestellt sein mögen, so wenig ist doch einVerhältniss davon bekannt geworden, wahrscheinlich, wie Hr. S. bemerkt, aus der Scheu, einen vergeblichen Versuch zu publieiren, der mit der berüchtigten Gokimacherei leicht in eine Classe geworfen werden könnte. Herr 8. bedauert dieses mit Recht aus dem Grunde, weil die Be- kanntmachung negativer Resultate insofern grossen Nutzen habe, ab dadurch andere von ähnlichen fruchtlose Berattbungen abgehaltmi werden. Man muss es mit Dank anerkennen, wenn Herr 8. anf der gegentheüigea Bahn in muthiger Weise mit gutem Beispiele vorangebt.

XVL Yenrnehe tbor die Festigkeit des AluBininau ud^er Alnsiiiiiui> bronie (Legirung von 90 Proc. Kupfer und 10 Proc. Alnminium). Von A. Ritter von Buna. Es wurden Prismen aus reinem Aluminium (blos eine Spur Eisen enthaltend) bei einem Querschnitte von j- bis ^ QuadralxoU den Versuchen unterworfen, und der Versueker erhielt für «bsolnte Festig- keit dieses Metalles folgende Resultate.

Für gegossene Stangen ergab sich die Festigkeit per Quadratzoll Quer schnitt beim ersten Versuch zu 13570 und beim zweiten Versuch an 13,610 Pfund, also im Mittel zu 13500 Pfund (10,06 Kilogr. pro Quadratmlllimeter).

Für ein kalt gehämmertes Prisma betrug die absolute Festigkeit 25120 Pfund (20,26 Kilogr.) und auf den zusammen gezogenen Querschnitt, wel- cher sich durch die Dehnung von 0,166 auf 0,117 reducirte, 35550 Pfund (28,67 Kilogr.).

Nachdem die abgerissenen Stacke lAermals umgegossen und kalt gehäm- mert Worden, bildete sich einOefäge, welches ungefähr in der Mitte zwischen dem blos gegossenen und stark gehämmerten Prisma lag. Der Versuch mit diesem letzteren Prisma gab in der That auch eine Festigkeit zwisehen den beiden vorher genannten, nämlidi in runder Zahl zu 16000 Pfbnd (13,62 Kilogr.). Auch zeigt der Querschnitt beinahe gar keine Zusaramenziehung.

Was femer jene Legirung aus 90 Proc« Kupfer und 10 Proo. Aluminium betrifft, welche ausser der schönen goldgelben Farbe noch so viele andere schätzenswerthe Eigenschaften, namentlich den geringeren Preis, besitzt,

Kleinere Mittheihingeii« 249

daas der Verfasser diesem Metalle vor Alietn die grdsste Zukunft prophe- seien zu können glaubt, so warde ein he\»$ gehämmertes Prisma von 0,106 Qnadratzoll Querschnitt bei einer Belastung von d050 abgerissen, was, auf den Quadratzoll bezogen, eine absolute Festigkeit von 80,000 Pfund (64,50 Kilogr. pro Quadratmillimeter) giebt.

Ein zweites Prisma aus derselben Legirung, jedoch blos gegossen, er- gab eine Festigkeit von 01530 Pfund (40,62 Kilogr.)«

Da nun die absolute Festigkeit der Metalle folgende ist :

Weiches Eisen . . .	40000 -	60000
Stahlartiges Eisen . .	80000 -	88500
Kupfer (gehämmert)	25000 •	34000
Kupfer (gegossen) . .	140D0 -	18000
Messing	. 14000 -	16000
Zink	7000 -	8000
Zink (gegossen) . . .	3500 -	4000

so fHUt die Festigkeit des gegossenen Aluminiums zwischen Zink und ge- gossenes Kupfer; jene des gut gehämmerten Aluminiums zwischen gegosse- nes und gehämmertes Kupfer ; die Festigkeit der gegossenen Bronce von der genannten Legirung zwischen jene des Eisens und Stahls; sowie end- lieh jene der gehämmerten Legirung nahe mit der Festigkeit von stahl- artigem Eisen zusammen. (Oestr. Ingen.-Ver.)

XVn. Veber die Vrsaolien der Uebersehwemmuage n in den Gegenden des Hnnee, des Bngebirges und Bieeengebirges am Ende des Jnli und m Anfing dee August 1856. Die heftigen Regeirgüsse, welche im Sommer 1858 die verheerenden Ueberschwemmangen am Harz, in Sachsen und Schlesien zur Folge hatten, sind von D o v e unter Benutzung gleichzeitiger Beobachtungen und Vergleiehung derselben mit den mittleren WerUien, welche demselben Zeiträume in einer längeren Jahresreihe entsprechen, auf ihre Ursaehen zurückgeführt werden. Diese Arbeit von Dove {Pogg.AnpaL Bd. 105, 8.490) zeigt wieder, wie wichtig die Bestimmung der mittleren W^rthe ist, da sie allein entscheiden können, ob das jetzt Beobachtete eine besondere Beobachtung verdient oder in den Kreis des Gewöhnlichen fällt. Gestützt auf die Beobachtungen des Berliner metewologischen Listituts, welche das ganze nördliche Deutschland — Sachsen ausgenommen — um- fassen, hat Dove schon früher nachzuweisen gesucht, dass die in Deutsch- land Ende Juni beginnende Regenzeit ihren Grund darin hat, dass im Sommer sich die Temperatur im Innern des Gontinents unverhältnissraässig steigert, während dagegen die des atlantischen Oceans auffallend zurück- bleibt, die Luft über dem Meere daher in die erwärmte aufgelockerte des Gontinents eindringt und durch die Verm'ittelung beider mächtige Nieder-

250 Kleinere Mittfaeilnqgen.

sehläge entstehen. Steigert sich in einem bestimmten Jahre durch anomale Temperaturverthejlnng dieser Gegensatz in dem angegebenen Sinne, so ist die notfawendige Folge eine Steigerang der dnrch diese Temperatur- Differenz heryorgernfener Niederschläge. Dies war nun im Sommer 1856 in nngewöhnlichem Grade der Fall. Dove stellt zunächst, um die Verbrei- tung der mächtigen Niederschläge zu beurtheilen^ die im Juli und August an 61 verschiedenen Orten im nördlichen Deutschland gemessenen Regen- höhen mit den mittleren Werthen derselben für diese Monate zusammen. Aus dieser Zusammenstellung ersieht man^ dass während von Trier bis Frankfurt am Main die gewöhnliche Wassermenge gefallen ist, diese am untern Rhein und in Westphalen entschieden grösser wird und am nord- westlichen Abhänge der norddeutschen Gebirge eine ungewöhnliche Höbe erhält. Der überall gleichzeitig beobachtete Nordwestwind deutet, sowie das frühere Eintreten der Erscheinung in den westlichen Gegenden, darauf hin, dass die Ursache nach Nordwesten hin zu suchen sei. Dove hat nun für 30 Stationen in Norddeutschland aus zehnjährigen gleicbaeitigen Beob- achtungen die mittleren Werthe der Temperatur der sechs fünftägigen Zeit- räume vom 5. Juli bis 3. August berechnet und damit die im Jahre 1558 für denselben Zeitabschnitt erhaltenen Werthe verglichen. Aus dieser. Yer- gleichung ergiebt sich, dass schon zu Anfang des Zeitraums vom 5. bis zum 0. Juli in Preussen', Pommern und Schlesien bis nach Sachsen hin eine Temperaturerhöhung, d. i. ein üeberschuss über die normale mittlere WärmO; am Rhein eine Abkühlung, d. i« ein Herabsinken unter den mittle- ren Werth des zehx\jährigen Zeitraums, stattgefunden hat, die sich in dem darauf -folgenden Abschnitt vom 10. bis 14. Juli etwas weiter östlich aus- breitet; im nächsten Asohnitt (15. bis 19. Juli) tritt eine neue starke Tem- peratur-Erhöhung hervtfr, die in Ostpreussen viel stärker ist als weiter westlich, denn in Memel ist sie 5 Vi in Trier nur 2%\ Vom 20. bis 24. Juli wird das Extrem noch grösser; Cöln zeigt schon eine Temperaturemiedrig- ung von fast einem Grade, während der Üeberschuss in Memel noch 5 Grad beträgt. Die schon in gewöhnlichen Verhältnissen das Einströmen der Luft vom atlantischen Ocean bedingende Temperatur-Differenz steigert sich also hier noch von der russischen bis zur holländischen Gränze hin um volle 6 Grade. Wird man sich nun wundem , sagt Dove , dass die kalte feuchte Luft des Oceans hereinbricht und in der Wärmeabnahme , die sie erzeugt, den Wasserdampf niederschlägt, der in einer vorher so ungewöhnlich ge- steigerten Verdunstung sich in dem Luftkreise verbreitet hatte? Diese Ab- kühlung tritt nun auch deutlich in den folgenden Abschnitten (25. bis 29. Juli und 30. Juli bis 3. August) hervor und zwar ist sie in der Mitte des Ge- bietes am stärksten, nur unbedeutend an der östlichen Grenze, da ein Nordwestwind es war, der sie hervorrief.

IX. Studien Aber DiflTerentialgleichungen von der Form

{mx* + nx'+p)y'+ {g a: + r) y + sy~iS.

Von Professor Simon Spitzek.

Die Differentialgleichungen der eben angeführten Form waren schon, namentlich in vielen speciellen F&llen , Gegenstand der Untersuchung von bedeutenden Mathematikern; ich erwähne nur die merkwürdige Art, wie Liouville im XIII. Band des Journal de Vecole polyt, diese Gleichung auf- löst, ferner die schöne Arbeit von Serret in Liouville's Journal torae IX. pag. 21], und im Cours (falgebre sup. sec. edü. pag. 190, dann Raabe's Arbeit im 3. Bande seiner Integralrechnung pag. 280, Wantzel in den Compte rendu tarne XV IL pag. 1191, Jacobi in Crelle's Journal Band 56, Seite 149, Weiler im selben Journal Band 51 etc. Dennoch hoffe ich, dass auch meine Arbeit, die ich mir hiermitzutheilen erlaube, von einigem Werthe sein dürfte.

Ich nahm mir zum Vorbilde Euler {Insiitutiones calc. integr. Vol. TL Secl. L Cap, JT.), der particuläre Integrale von bestimmter Form voraus- setzte, und Differentialgleichungen bildete, die durch diese vorausgesetzten Formen erfüllt wurden, und setze demnach voraus

/

1) y z= j(u - ay-^ {u — /J)^-* (fi + x)^ du,

a

Um nun die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung zu finden, welche durch den in 1) hingestellten Ausdruck befriedigt wird, bilde ich y und y" und finde

y = mj(u - a)^-^ (« — /J)^-» (« + a:)«— * du, a

y"--= m (m — 1) / (ii — «) ^-* (m —ß) ^-» (m + a:)"— 2 d i/.

Z^iUrhrin f. Malhenialtk u. Physik. IV. 17

252 Studien Über Differentialgleichungen.

Wenn daher

2) ^,y"+ Jr,y' + Aoy = o

die Differentialgleichung ist, welche 1) zum particulären Integrale hat, so muss dieser Wert^ 1) der Gleichung 2) genügen. Nun ist:

a

+ m{u + x)X^'^ (m + xyX,]dH und wählt man nun

dermassen, dass

^) f{u^ay-^(u^ßy'''^{u + x)'^-'^m{m'-'l)Ä\^fn(u + a:)X,

+ {u + xy Xo] du^{u — ay {u — ß)^ {u + j-)«— ^ wird , so ist alsdann gewiss dieses zwischen den bestimmten Grenzen or and ß genommene Integrale gleich Null, falls nur Ä und B positiv sind. Durch Differenziren der Gleichung 3) beztiglich u erhält man:

lu-^ay-\u — ßY-^{u + x)^-^[A{u---ß){u + a:)^B{u--'a){u + x)'\'

(«-!)(« — «)(«-/?)] und wenn man beiderseits durch (« — o)^~^(m — ^)^^'(tt + a:)"*~* dividirt m{m--l)X^ + m {u + x) X, + (t/+jr)« X^ = A {u -^jj) (« + x) +

+ B{u'—a) (« + x) + (m~l) («-«; (m-/5). Ordnet man beiderseits nach u , so hat man : [m (m — 1) ^, +»iar JT, + o:« X^] +u[mX, + 2xX^] + t^ X^ = [aß{m — l) - X {Aß + Ba)] +m [x (A+B)^ {Aß+Ba) — (m — 1) {a + ß)]

+ M'(^+Ä + m-l), folglich ist die Gleichung 3) eine identische, wenn

Xo = A+ B + m — l 4) mX, + 2xXo~x{A + B) — (Aß+Ba) — {m-l){a + ß)

m{m — l)X^ + mxXi + x?^Xo = aß{m — l)-'x(Aß + Ba)

ist. Hieraus folgen:

Xo = A + B+ m — l

^,=~[(x + a)(B + m^l) + {x + ß)(A+fn^i)] und die Differentialgleichung, welcher genügt wird durch

■ /

a ist somit folgende :

Von ProfesBor Simon Spitzer. 253

5) (x + a) {x +ß)'y'— [{B^m — l) (x + a) + {A + m^i) (ar + /S)]y

+ OT(/l + ^ + m — l)y=:0. Ich setze, um ein zweites particuläres Integral der Gleichung 5) zu er- halten, in die Gleichung 5)

unter z eine neue Variable und unter i und fi constante Zahlen verstanden; alsdann ist

y'=X(k — i)(x + a)l-^(x + ß)fz + 2kti(x+a)l-'(x + ß)f^-'z + fi (^ — 1) (x + a)^ (x + ß)f*-^ z^2i(.r + a)^-« (x + ß)** z

+ 2^* (x + a)k (a- + ß)ß-^ Z'\'{x + a)k {x + ß)f^z" und somit hat man

(x+ay'^'{x + ß)f''^^z' + {x + a)l{x+ß)f'[{2ii~ß^m+l){x+a) + [2X-A-m + l){x + ß)]z+(x + a)l-^(x+ßr-^[(i{(i^B—m){x+ay + ]2l(i — l{B + nfl) — fjL{A + fn-i) + m{A+B + m—i)\ix+a){x+a) ^ i{l- A—tn) {x + ßY] z = 0.

Diese Gleichung vereinfacht sich wesentlich durch verschiedene An- nahmen für X und fi, so z. B. ist, wenn man A und f« so wählt, dass

Ji = A + m fA= B + m wrid, obige Gleichung durch {x + a)X (x + ß)f* abkürzbar, und wird

6) (x + a)x + ß)z'+[(B+m + l){x + a) + (A + m + l)(x + ß)]z

+ (m + l)(A+B + m)z==0, und da diese Gleichung aus der Gleichung 5) dadurch hervorgeht, dass man in 5) btatt m, A und B respective setzt :

' — m — 1, I — A und 1 - B, so hat man für das Integral der Gleichung 6) in dem Falle , als 1 — A und i — B positiv sind

a somit ist das complete Integral der Gleichung 5) in dem speciellen Falle, wo A und B positive echte Brüche sind :

z=cJ{u-ay-^(U''ß)^-^{u+:

7) y'-=Cj {u-ay-^(U''ß)^-^{u+x)'« du

a

+C^(x+ay'^(x+ß)^'^J{u~a)-^{u — ß)''^(u^x)-'^-^du a unter C, und C, willkührliche Constante verstanden.

Es ist mir also gelungen , das complete Integrale der Gleichung 5) in dem Falle anzugeben , wo A und B positive Zahlen sind , von kleinerem

17*

254 Studien über DiffereDtialgleichungen.

Werthe als 1 ; ja es gilt das Integral 7) anch dann , wenn A und B imagin. sind , wenn nur die reellen Bestandtheile dieser Zahlen positiv und kleiner als 1 sind. '

Der specielle Fall, wo

^ = 4 B = \ in = — 4 ist, verdient Beachtung. Denn alsdann ist nicht mehr in der Formel 7) das complete Integral vorhanden, sondern man hat dann für die Gleichung

8) (^ + «)(^ + /J;y'+(2a: + « + ^)y' + iy = 0

das Integrale

J j/(u-a){u-ß){u+s) J " u + x y(u-u)(u-ß){u+x)

wie ich sogteielr nachweisen werde.

Ich nehme zanächst das erste particnläre Integrale J

10) y^f, '"'

vor; dies giebt differenzirt

Yy{u-u){u-ß){u+wy

und folglich hat man :

(!i!+tt)(s+ß)y"+(2x + a + ß)y'+iyr=

/[i(^+«)(x+/S) -\(u+x)(2x+a+ß)+ i(u+s)*] ,/",,, ^ ^

oder reducirt:

(x + u)(x+ß)y"^(2x+a + ß)y- + ^!,=

na + ß—2u)x + u*—2u(u + ß) + iaß^^^ y y(u-a)iu-ß){u + xy

Nun ist aber

r(a + ß—2u)x+u* — 2u(a+ß) + 3aß^^^__j/^u-tt){u—'(i) J j/(u — a)(n—ß){u + xy 2^(u+«)»

wie man sich durch wirkliches Differeneiren ttberseugen kann , folglich ist

ß . lXtt+ß—2u)x + u*—2u{tt + ß)+ 9aß _

V y{u~a)(u-ß)iu + xy '^"^'^

und die Gleichung

Von ProfeBBor Simon Spitzeb. 255

wird durch den in 10) stehenden Aosdrnck erfüllt, wie bewiesen werden sollte.

Ich wende mich nun zum zweiten particulären Integrale und werde nachweisen, dass auch

J

I— .a)(u — 13) du

]Au-a)(u-ß){u + x)

der Oleiehong 8) genügt. Ans 11) folgt:

Jt/I

^ yiu-a){u-ß)(u+a;y J « + x >^(«-«)(i«— j?)(tt+a:)»

und somit ist:

(« + «) (x + ß)y"+ (2* + « + ^)y + Jy=

^ , /(«—«)(«—/?) (i« + ^-2«)a? + «»— 2»(a + /?) + 3tt/?^^^ y « + « ■ ^(«— «)(«— /S)(u+a:)» '

fzjx+u) {x+ß)-{u + x) (2x + a + ß)^^

J /(M-«)(«-/S)(«+x)'

Der zweite Theil dieser Gleichung lässt sich aber auch so schreiben :

-i /L<" -"K"-P)./r?^(!lz;gL(^z:g)],,+

J u + o: d«[ /(tt + a;)» J

Ax-«)(«+^)+2(«/3-«a;),.. / y(u-a)(u-ß)iu+xy

und wenn man das erste Integral nach der Methode des theil weisen Inte- grirens bebandelt

(x + aXx+ß)y"+ (2« + « + /J)y'+ Jy

^ m.-a)(^<?)/_^ _j 1_X ^

V y(u + xy \«— « tt — /J u+x/

J r/tu~a)(u-ß)(u+xy

a oder reducirt

^>d«

256 Stadien über Differentialgleichungen.

{X + a) (x + ß) y" + (2a: + « + ^) y'+ 4 y =

V }/{u-a){u-ß){u + xf

was , dem frühem zu Folge, Null ist ; somit ist wirklich der in 0) stehende Ausdmck das complete Integral der Gleichung 8).

Unterwirft man die Gleichung 8) einer ft fachen DifEerentiation , so er- hält man :

und setzt man hierein

y'«) = z,

so kömmt man zu der Gleichung:

12) {x + a)(x + ß)z''^{n + l)(2x + a + ß)z + {n + \fz = 0, von welcher ich hehaupte^ dass ihr genügt wird durch

^ l/(u

/(m - o) (tt—/S) (« + *)*"+!

)/(«— !«)(« — iJ)(tt + a;)««+i

nnter n eine ganz beliebige, aber constande Zahl verstanden.

Um diese Behauptung zu rechtfertigen, werde ich wirklich die einzel- nen particalären Integrale in die Gleichung 12) Babstitnlr«n , und habe so- mit unter Annahme

ß

' y /(«' — a)(«-^)(«+«)2»+' für «' und z' die nachfolgenden Werthe:

. , _ _ 2« -f 1 r du

* 2 J y{u—tt) (u—ß) (k+x)*"+»

„_(2n + l)(2«-f 3) / du

*~ 4 J ^(„ _ „) („ _ |S) („ + a,-)2«-P '

daher ist:

{x +a){x + ß)y-+ (« + 1) (20! + « +|J) ,'+ („ + 4)»,=

f'[ '" r(2>. + l)(2n + 3)

- ^'*'^^^f" '^^^ (2a; + « + 13) {u + x) + {n + ^)' (« + ar)'] , oder reducirt:

,Von ProfesBor Sihon Spitzes. 267

(x+a)(x + ß) t"+ (n + l)(2x+a+ ß) z'+ (n + ^)* z = ^^^f-= '^" _[(„+ß-2u)i + {2n+l)ü'

4 J y{u - o) (tt - ß) (u + xy^ V ^^ / ^^ ^ '

—2(«t + /))(» +l)tt + «/J(2n+3)] . ^^ / , = [(« + |S— 2 m) Ä + (2n + 1) «»

NuD ist

-2(« + ^)(« + l)« + «^(2« + 3)] = -^y^^;^;^ was sowohl für u=a als auch (ür u = ß Null wird, somit ist ^r du

a ein Integral der Gleichung 12).

Ebenso erhalte ich nnter Annahme von ß

t/ tt + a;

^ ^(tt-«)(tl-/J)(« + ar)»"+i

fUr t and z" folgende Ausdrücke : ß

-/.

<fu

j/(u—a)(u—ß)(u + a:)2«+"3'

..^(2n + l)(2n + 3) / (ti~c)Oi— ff) ^ du

4 e/ W + a?

+2in+l)l--= "'''

/(u— «) (u— /J) (« + a:) »-+*

somit ist:

258 Stadien über Differentialgleichungen.

oder reducirt:

ß

und diess giebt weiter behaudelt :

(a;H.«)(a, + |J)z"+(n + i)(2a: + « + /S)z'+(n + |)»2 =

1 /g(« + /?— 2«) + t<'(lH|-2«)— 2«(«,+j3)(n + l) + a<?(3+2w)

was dem früheren zu Folge gleich Null ist. Die Gleichung

12) ix+a)ix + ß)z"+{n+l)(2x + « + ß)z'+(n+iyz=(i, deren completes Integral J

13) z=(7. f, ^"

y/(u-«) («-/?) («+x)j-+>

j

y « + a: ^(„ _ „) („ _ ^) („+a;)2-+i

ist, und welche ans der Gleichung 5) hervorgeht, wenn man in selber

setzt, gestattet eine Transformation , die ich noch durchzuführen beabsich- tige. Setzt man in 12)

so ist

dy

y'=(2^ + « + ^)||

dl" lind da alsdann

(2a: + a + j5)«=4S+(«-|3)« ist, so hat man :

H){f(4g + («-^«]g+[2S(2;,+3) + (« + l)(«+^)«]^+(«+t)*y=0,

welche Gleichung also ebenfalls ein Integral mit einem logarithniischen Be- standtheil versehen hat, ferner erhält man die Gleichung 14) beliebig oft differenzirend, Differentialgleichungen von ähnlicher Art.

Von Professor Simon Spitzer. 259

Ich habe bis jetzt von der Gleichung 5) in mehreren speciellen Fällen ein logarithmisches Integrale angegeben, und ich will nun die Gleichung 5) in dem, die früheren Fälle umfassenden allgemeinen Falle betrachten, wo

ist, A und B aber beliebige positive Zahlen bedeuten. Die Gleichung 5) ist alsdann

15) (x + a)(x+ß)i/'-[(B + m^l)(a:+a)+(A+m-l)(x+ß)]z+m'y = 0, und hat zum Integrale :

a

« unter C| und C, willkührliche Constante verstanden.

Dass das erste particnläre Integrale genügt, ist wohl von selber klar, ich habe daher nur darzuthun, dass auch

, =J{u-ay-^{u-ß)^-^ (u + aO- log ^"~J^^"^ ^^

a

der Gleichung 15) Genüge leistet. Es ist :

du

z^mJ{u—ay-\u—ß)^-^{u+x)^-Uog^'* jj^^ ^^ du a

— /(«— a)^-»(«-^)'»-» («+a:)— i du,

a

+ {l—2m)J{u-tty-\u—ß)^-^(u+x)''-'du, a und folglich hat man : (x+a)(x + ß)!f'—[(B + m^l)(x + a) + {A+m^i)(x+ß)]y+m^y=

J

^flog^JLZ^f'LZ^,^[(u^ay(u-ß)^{u+x)-^-^]du •J u+x rf«

a

J

+ (B+m-l)(x + a)ix + u)'\-{A + m—l)ix + ß)(x + u)\du,

260 Studien über Differentialgleichungen.

oder nach vorgenommener Reduction, unter steter Berücksichtigung , dass

A + B = l

ist,

{x + a){x+ß)y'—[{B + m^l){x + a)+{A + m — l){x + ß)]y + m'y= ß m fiog^^^^P^ . ^ Uu—ay{u—ßyiu + a;)"-i] du a

/

+ I {U''ßy-^(u--ß)B-^{u+x)'^^[x{Aß+Ba+2mu-u--am-'ßm)

a + {aß — 2aßm + Aßu + Boiu + aum+ßum — ßu — au)]du. Da nun für positive Werthe von ^ und B folgende Gleichung stattfindet: ß

a

— mj(u — ay-^ {u — ßy-i (u + ar)— » [(m — /?)(« + x) + (u — a) (u +x) a

~(u-a){u—ß)]du, so hat man, diess gehörig benützend und reducirend, {x + tt) (x + ß)y"— [(B + m-l) {x-i- a) + (A + m—l) (x + ß)]y'+m'y =

—j{u - ay-^ (u - /?)*-' (u + x)«-2 [A (u—ß) (u+x) + B{u - «) (u + x) a

+ {m — l){u — a)(u — ß)]du. Der zweite Theil dieser Gleichung ist Null , weil das unbestimmte In- tegrale den Werth

— {n — ay{u^ ßy {u + x)'^-^ hat, der sowohl für u = a als auch für u=ß verschwindet.

Bevor ich weiter gehe, bemerke ich noch; dass Differentialgleichungen von der Form

16) {ma^+nx)y'+{px' + q)y'+rxy==zO

sich durch Substitution von

in Gleichungen der eben untersuchten Form verwandeln, und dass die zwei Gleichungen, welche in der Theorie der elliptischen Functionen vorkommen:

X (1^ j?«)y"+ (1— 3a?*) y'— ojy =0,

x{l — x*)y"+(l-^x')y+xy = 0 specielle Fälle der Gleichung 16) sind.

Ich wende mich nun an die Untersuchung des speciellen, bisher noch nicht besprochenen Falles, wo der erste Coefficient der Gleichung ein voll- kommenes Quadrat ist, wo man also die Gleichung

Von Professor Simon Spitzes. 261

17) (x + ay y" + {qx + r)y + sy~0 zur Integration vorliegen hat.

Für a; + a = I geht dieselbe über in

18) ry"+(a5 + 6)y +cy = 0

und ist jetzt ein specieller Fall folgender, vom Herrn Petzval integrirten Gleichung :

a^y'+x{J, + B,x'^)y+(Ao+BoX'^ + CoX^'^)y=:zO (siehe dessen Werk 1. Band, Seite 105). Setzt man in dieser

tn = — 1 , Bq = Cq == 0 , so hat man

welche vollkommen mit der Gleichung 18) übereinstimmt.

Durch Einführung einer neuen , unabhängig Variableu / mittelst der Substitution

1

kommt man zu der Gleichung :

welche für '

y = /* 2

unter k eine Wurzel der Gleichung :

k^ + k{i — A,) + Ao = 0 verstanden, folgende Form annimmt:

somit eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, mit Coefficienten, die bezüglich der unabhängig Variablen der ersten Potenz angehören. Ich habe mich mit solchen Gleichungen vielfach beschäftigt, und Integrale der- selben unter verschiedenen Bedingungen aufgestellt. So ist z. B. in dem Falle, wo

k>0 und k + 2>At

ist

somit

Bx

z 0

I /• -

0 ein Integral der Gleichung 19).

262 Studien über Differentialgleichungen.

Wenn man umgekehrt y in folgende Form voraussetzt:

m

0 und die Dififerentlalgleichung zweiter Ordnung sucht, die durch diesen Werth befriedigt wird, so hat man:

m

0 m

- (j+^/'^* «^ (« - «)'-' ''»

0 m

0 2(^+1)

0 m

und somit:

0

0

+ ^(^+l)-r,(ar+a)« — (jr + a)«^,tt — ^(a?+ö)>Zi + (Jr + a)*^o]rf«• Setzt man

;r, = (:^ + «)^

so gestattet obige Gleichung eine Reduction in folgender Weise : m

0 + A {A + \){x + af — X^u -- A{x+u)X^+{x + o)« X^] d u

und lässt man einstweilen die Integrationsgrenzen ausser Acht, so kann

man den zweiten Theil dieser Gleichung gleich

2») ' (-^+^'^"«^("-"'>'

annehmen, und Xq X^ dermassen bestimmen , dass wirklich identisch diese vorausgesetzte Gleichheit besteht. Denn man hat die Gleichung

Von Professor Simon Spitzer. 263

— jC,u — A(x + a)X, + (x + ayÄo]du = ^^-^^^^

nach u differenzirend und alsdann redncirend:

t^+2(A+l)(x+a)u+A(A+l)(x+ay—X,u—A(x+a)Ä, + (x+ayXo=

u (u — m) + A(u — tn) (x +a) + B u (x + a) , woraus nach weiterer Rednction folgen:

2(A+1) (x + a) — X, = — m + (A + ß) (x + a) A (A + \) (x + a) — A Xt +.(x + a) X^= -^ Am. Es gehen hicrans hervor :

X, = m + (A -^ B + 2) (x + a) Äo = A(l--B), somit genügt der Differentialgleichung:

22) (x + ayy'+[m + (A—B+2){x+a)fy + A(i — B)p = 0 das Integrale:

m 1 r -^

(^ + «)v

0 nnr müssen A und B positiv sein, weil sonst der Ausdruck 21) für » = 0

and ti = m nicht Null würde. Sollte zugleich

A + B = l

sein, so hat man fUr die Gleichung 22) folgendes complete Integrale:

m -

y^j-^^re^u^-^(u — m)^-^du 0

m

0 Man kann nun auch sehr leicht für die Gleichung 22) in andern Fällen

das complete Integrale aufstellen , denn die Gleichung 22) geht durch die

beiden Substitutionen

X + a über in:

t-^^ + [A+B — mi]-^^Amz = 0, deren completes Integrale sich angeben lässt, und ist dasselbe

so hat man ftir das complete Integrale der Gleichung 22)

X.

Vorläufige Mittheilungen

über die

ErgebnisBO vergleichender Versuche über den Ausflnss der Luft und des Wassers unter hohem Ihrucke.

Angestellt im Sommer 1856

von

Bergrath Professor Julius Weisbach.

(Aus der Zeitschrift „Der Civilingenieur," Neue Folge, V. Band, I. Heft.)

lieber den Ansfluss des Wassers, sowie über das Ausströmen der Luft unter hohem Drucke sind bis in die neueste Zeit umfassende Versuche nicht angestellt oder wenigstens nicht veröffentlicht worden. Gleich- wohl ist es für die praktische Anwendung sehr wichtig, zu wissen, ob die durch Versuche bei kleinem Drucke erprobten Ausflussgesetze bei höheren Drücken ihre Giltigkeit behalten; ob namentlich hier noch die Contractionserscheinungen und Reibungsverhältnisse dieselben sind, wie beim Ausflusse unter kleinem Drucke. Insbesondere ist die Ausführung von Versuchen über den Ausfluss der Luft unter höherem Drucke deshalb besonders wichtig, weil nur durch dieselben darzuthun ist, welches Gesetz bei diesem Ausflusse obwaltet. Haben wir doch über den Ausfluss der Luft aus Gefässen dreierlei Formeln (siehe meine Ingenieur- und Maschinen- mechanik Band I, Seite 881 u. flg) , wovon doch gewiss nur eine richtig ist und den Erfahrungen entsprechen kann ! Auch weichen die von verschie- denen Experimentatoren gefundenen Ausflusscoefficienten der Luft so sehr von einander ab (siehe Hülsse's allgemeine Encyclopädie Band I, den von mir bearbeiteten Artikel „Ausfluss," Seite 622, 626 u. flg.), dass man in Zweifel geräth, welche von diesen Erfahrungszahlen in vorkommenden Fällen der Praxis anzuwenden sind.

Es war nun schon längst meine Absicht, diese Unsicherheit durch Aus- führung von neuen und umfassenden Versuchen zu beseitigen und dadurch dem Praktiker ein sicheres Mittel zur Bestimmung der Ausflussmengen der Luft unter gegebenem Drucke zu verschaffen, und ich hoffe, dass mir diese endlich durch die im Sommer 1856 angestellten und nun berechneten Ver- suclfe gelungen sei. Dieselben sind mit den verschiedenartigsten Mund- stücken und Röhren, sowie bei sehr verschiedenen Drücken von l^^^ bis zu

Von Bergratb Professor Julius Weisbach. 265

2| Atmosphären angestellt worden. Um die AnsflussverhältniBse der Lnft mit denen des Wassers direct vergleichen zu können , habe ich mit densel- ben Mundstücken und Röhren und unter fast gleichen Drücken auch Ver- suche über den Ansfluss des Wassers angestellt. Die meisten älteren Versuche sind bei viel kleinerem Wasserdrucke angestellt worden, da selbst bei den Versuchen der Michelottis die grösste Druckhöhe nur 21 Pariser Fnss betrug, und nur meine in Band I des Ingenieurs (Seite 558) veröffent- lichten Versuche bei 12 Atmosphären Druck machen hiervon eine Aus- nahme. Da die letzteren Versuche nicht umfassend genug ausgeführt wor- den sind, so möchten daher die 1856 ausgeführten Versuche über den Aus- fluss des Wassers unter l bis 2 Atmosphären Ueberdruck nicht ohne Werth und Interesse sein. Nebst diesen Versuchen habe ich auch noch mehrere vergleichende Versuche über den Lnft- und Wasserstoss, sowie auch solche über die Höhe springender Strahlen angestellt. Sämmtliche vergleichende Versuche über den Ausfluss der Li^ft und des Wassers werde ich ausführlich im dritten Hefte des schon im Jahre 1842 begonnenen Wer- kes „Untersuchungen im Gebiete der Mechanik und Hydraulik^* beschrei- ben und hiervon im Folgenden nur die Hauptergebnisse mittheilen.

A. Versnohe über den AnsfinsB des Wassers.

Die hierher gehörigen Versuche Über den Ausflnss des Wassers sind an einer eisernen Wasserleitungsröhre von 18j Zoll (sächs.) Weite mit circa 60 Fuss Drnckhöhe angestellt worden. Diese Röhre (siehe den Kalender für den Sächsischen Berg- und Hüttenmann, Jahrgang 1840, Seite 20) führt in der Nähe der sogenannten Altväterwasserleitnng pro Minute 200 Cubik- fuss Wasser aus dem rothen Graben quer über das Münzbachthal, und den Gehängen desselben folgend, in den oberen Aufschlaggraben der Grube Clmrprinz Friedrich August ErbstoUn. Der Theil dieser Röhre , welcher in der Thalsohle liegt, enthält ein Seitenrohr, und an dasselbe habe ich ein sich allmälig erweiterndes Ausflussrohr angeschraubt. Das weite Ende dieser Röhre wurde durch eine eiserne Platte verschlossen , welche in der Mitte ein Loch enthielt, worin sich, genau wie bei dem hydraulischen Ver- suchsapparat (siehe meine Experimentalhydraulik, Seite 5), die verschiede- nen Mundstücke und Röhren einsetzen liessen , während seitwärts in das- selbe ein bleiernes Rohr einmündete , welches nach einem als Piezometer dienenden Gefässmanometer mit Quecksilberfüllung führte. Dieses Instru- ment gab den Druck des Wassers unmittelbar vor seinem Ausflusse durch die Höhe einer Quecksilbersäule an, und es war daher nicht nöthig, die Tiefe der Ausflussmündung unter dem Wasserspiegel auszumessen und die in Abzug zu bringenden Widerstände in der Leitungsröhre auszumitteln.

Zum Schlüsse habe ich endlich auch noch mit denselben Mundstücken Versuche über den Aussfluss des Wassers unter kleinem Drucke in der Art, wie in der „Experimentalhydraulik* ' angegeben wird, ausgeführt.

266 Vorläufige Mittheilungen über dieTersuche über den Ausflnss etc.

Die Hauptergebnisse dieser Versnche über den Ausfiuss des Wassers unter hohem Drucke (bei circa 17 Meter Druckhöhe) sind folgende:

Bei Kreismündungen in der ebenen dünnen Wand von 1 bis 2,5 Centimeter Durchmesser ist der Ansflnsscoefficient

|Ä== 0,632 bis 0,604; bei einer Kreismündung in der conisch convergenten Wand mit dem Convergenzwinkel von 100 Grad, von 1 Centimeter Durchmesser, fiel

fi =r 0,710 aus, und bei einer solchen in der conisch divergenten Wand mit dem Divergenzwinkel von 100 Grad stellt sich

|[i = 0,564 heraus. Diese Ergebnisse sind ganz conform mit den Resultaten der Ausfluss- versuche unter kleinem Dri^cke und weichen von diesen auch nur wenig ab. Mittelst einer kurzen cjlindrischen Ansatzröhre von 1 Centi- meter Weite und 3 Centimeter Länge war ein Ausfluss mit gefülltem Quer- schnitte nicht zu erlangen, eben so wenig dann, als man durch eine gleiche Ansatzröhre die Länge dieser Röhre verdoppelt hätte.

Nachdem man endlich diese zusammengesetzte Röhre mittelst eines dritten cjlindrischen Ansatzstückes von 1 Centimeter Weite und 3 Centi- meter Länge neun Mal so lang als weit gemacht hatte , erhielt man zwar einen scheinbar vollen, jedoch mit starken Pulsationen verbundenen Aus- fluss, es fiel aber der Ausflnsscoefficient ii nur 0,732 aus.

Um einen Ausfluss mit gefülltem Querschnitte und ohne bemerkbare Pulsationen und in parallelen Fäden zu erlangen , musste die den Druck vor der Ausmüudungsebene messende Druckhöhe durch Stellung des Hah- nes in der Zuflussröhre von 17 auf 5 Meter vermindert werden. Es stellte sich dann

fi = 0,772, und, nach Abzug der Reibungen in den beiden Ansatzstücken,

fi = 0,818 heraus, wie auch ungefähr bei Versuchen unter kleinem Drucke , bei circa 1 Meter Druckhöhe, gefunden wird.

Eine einfache cylindrische Röhre von 1 Centimeter Weite und 3 Centimeter Länge mit inwendig abgerundetem Rande (siehe Experimontal- hydraulik Figur 46, Seite 83) ^ab, bei 17 Meter Druckhöhe, den Ausfluss- coefficienten

fi = 0,970. Ganz ähnlich verhielt sich der Ausfluss des Wassers durch eine kurze cylindrische Ansatzröhre von 1,41 Centimeter Durchmesser und der dreifachen Länge. Auch hier war bei 17 Druckhöhe ein voller Ausfluss nicht zu erlangen. Erst nachdem man diere Röhre durch ein gleiches cy- lindrisches Ansatzstück doppelt so lang gemacht hatte, erhielt man bei

Von Bergrath ProfeBsor Julius Weisbach. 267

Dnickhöhen unter 13,3^ Meter einen Ansflass mit gefälltem Querschnitt, und es ergab sich : fttr

Ä == H Meter, fi = 0,813, sowie für

Ä = 8 Meter, ^ = 0,822.

Eine cylindrische Ans atzr obre von 2,44 Centimeter Weite und 7,38 CeBtimeter Länge gab, nachdem man sie ebenfalls durch Ansatzstücke auf das Dreifache verlängert hatte, unter 17 Meter Druckhöhe vollen Aus- fluss und

M — 0,815.

Auffallend gross sind die AuBflusscoefficienten für conoidische und coaische Röhren ausgefallen ; es ist diesem zufolge anzunehmen , dass hier bei hohsen Drücken das Wasser fast ganz mit der theoretisehen Ge- schwindigkeit ausfliesse, also die Erfahrung der Theorie entspreche.

Ein CO neidisches Mundstück von 1 Centimeter Ausmündungs- weite (Experimentalhydraulik, Figur 22, Seite 41) gab einen schönen kry- ütallähnlichen Wasserstrahl und führte auf den Ausflusscoefficieoten

(14 = 0,994; ferner eine kurze conische Rühre von derselben Mündungsweite und 7 Grad 9 Min. Convergenz, wies

f4 = 0,981 nach , und eine ähnliche Röhre mit innerer Abrundung (siehe Experimen- tiilhydraulik, Figur 50, Seite 88) gab

^ = 0,989.

Eine längere conisohe Röhve, inwendig abgerundet, 10,5 Centimeter lang, in der Ansmündung 1,4 und in der Einmündung 3,8 Centimeter weit, fährte -auf den Werth

fl r=: 0,987 für den Ausflusscoefficienten.

An dieselbe Röhre ein conisches Ausmündungsstück von 1 Centimeter äusserer Wette und 5 Grad 44 Min. Convergenz angesetzt, gab den Aus- flasscoefficienten

jii = 0,994.

Um den Reibnngswiders tand des Wassers bei grossen Ge- Hch windigkeiten zu erproben, sind Versuche über den Ausfluss durch Glas-, Messing- und Zinkröhren, von verschiedenen Weiten und Längen angestellt worden. Durch dieselben wird die Richtigkeit oder Znlänglichkeit der in.. S. 395 meiner Ingenieur- und Maschinenmechanik aufgestellten Erfahrungs- formel und der hiernach berechneten Tabelle ($. 397) , sowie auch das all- mälige Abnehmen der Coefficienten der Wasserreibung bei wachsender Ge- schwindigkeit des Wassers nachgewiesen.

Für eine Glasröhre von 1 Centimeter Weite und 2 Meter Länge ergab sich, nach Abzug des Widerstandes beim Eintritte, der Widerstand scoefficient

ZeiUchrifi f. Mathematik u. l'hysik IV. 18

268 Vorläufiice Mittheilungen über die Versuche über den Aasflusa etc.

f = 0,01810, wobei die mittlere Geschwindigkeit v = 8,514 Meter betrug; sowie für eine solche Röhre von 1,43 Centimeter Weite und 1,700 Meter Länge,

t = 0,01865 gefunden wurde, wobei die mittlere Geschwindigkeit den Werth 9= 10,178 Meter hatte.

Bine glatte Messingröhre von 1 Centimeter Weite und 2 Meter Länge gab bei

V Ä 8,637 Meter, t= 0,018605, und dieselbe abgekürzt bis 0,685 Meter Länge, führte bei V =» 12,320 Meter, auf f = 0,01784. Die Hauptergebnisse der Versuche an den übrigen Röhren sind mit den vorstehenden Resultaten in folgender Tabelle srasammengestelli :

		Geschwindig-
Bezeichnung der Röhren.	Weite	keit des	Reibungs-
	der Röhre.	Wassers in der Röhre.	coefficient t
Engere Glasröhre . . .	1,03 Cent..M.	8,51 Meter.	0,01815
Weitere Glasröhre . .	1,43	10,18 „	0,01865
Engere Messiugröhre . .	1,04	8,64 „	0,01860
Desgl. kürzere ....	1,04	12,32 „	0,01784
Weitere Messingröhre	1,43	8,66 „	0^01710
Desgl. kürzere ....	1,43	12,40 „	0,01736
Weitere Zinkröhren . .	2i47	3,19 „	0,01062
Desgl. kürzere ....	2,47	4,73 „	0,01838
„ noch kürzere . .	2,47	6,24 „	0»01700
„ noch kürsere . .	2,47	«,18 „	0,01670

Es ist wohl kaum nöthig , zu bemerken , dass diese Ooefficienten der Formel

^ d 2g entsprechen, worin

h die Druckhöhe, /die Röhrenlttnge, d die Röhren weite und

V die mittlere Geschwindigkeit des Wassers in der Röhre be- zeichnet. Die Tabelle der Reibungscoefficienten auf Seite 740 meiner Ingenieor- und Maschinenmechaiiik, dritte Auflage, giebt für

Von Bergrath Professor Julius Weisbach. 269

t; = l Meter £==0,0239,

v^2 „ t==: 0,0211, V = 3 „ t = 0,0109, » = 4 „ f= 0,0191, »=5 „ t = 0,0187. Es ist also die üebereinstimmung eine ziemlich grosse. Endlich sind auch über die Widerstände in Knie- und Kropf- röhren einige Versuche unter hohem Drucke, odei* vielmehr bei grossen Ansflnssgeschwindigkeiten, angestellt worden.

Eine rechtwinkelige Knie röhre von 90^ Ablenkung und 1 Centimeter Weite (siehe Figur 84, Seite 151 der Experimentalhydraulik) gab, nach Abzug der übrigen Widerstände, den Coefficienten des Kniewiederstandes, f= 1,9597, wogegen er an jener Stelle der Experimentalhydraulik für

k = 0,899 Meter {:= 1,902 gefunden wird..

Für eine Kropfröhre von 90 Grad Ablenkung and 1 Centimeter Weite (siebe Figvr 92, Seite 158 dev Experimentalhjdraulik) ergab sich bei

Ä = 17 Meter f = 0,295, während die Experimentalhydraulik, Seite 158, für h = 0,899 Meter t= 0,378 aagiebt.

lieber mehrere andere derartige Versuche wird erst die angekündigte Monographie Bericht erstatten.

B. . Versnche über den Ausflnss der Luft. Zo den Versuchen über das Ausströmen der Luft wurde ein Dampf- kessel von eirca 1^ Meter Weite und 5 Meter Länge angewendet, welchen ich SU diesem Zwecke anf den Hof des Königl. Amalgamirwerkes zu Hals- brficke schaffen und vor dem dasigen Druckwerke aufstellen Hess« Dieses Druckwerk diente dazu , den Kessel vor jedem Versuche mit comprimirter Lnft ansnfttllen. Nach jedesmaliger Füllung wurde der Kessel durch ein luftdicht abschliessendes Ventil ganz von dem Druckwerke abgesperrt, der Manometerstand abgelesen, ferner die Ausflussmündung eine Zeit i^ z. B. 1 Minute lang, eröffnet, und, nachdem man diese Mündung wieder verschlos- aen hatte , der Manometerstand von Neuem beobachtet. Zu gleicher Zeit mass man auch noch durch ein in den Kessel hineinreichendes Thermome- ter die Temperatur der Luft im Kessel, sowie an einem in. der Nähe des Kessels aufgehangenen Barometer den äusseren Luftdruck. Mit Hilfe der Manometerstände h und /tj und des Barometerstandes b Hess sich aus dem Fassungsraume V des Kessels das in der Zeit / ausgeflossene Luftqnantum, gemessen unter dem äusseren Drucke,

18*

270 Vorläufige Mittheilungen über die Versuche über den Ausflnss etc. sowie das Ansflussquantum pro Secnnde

berechnen.

Bezeichnet noch (i den Ausflusscoefficienten , d. i. das Verhftltniss der effectiven Ausflussmenge öi zuni theoretischen Ausflussqnantnm 0, welches sich nach der zn^ Grunde zu legenden Ausfiussformel berechnen lässt, so kann man durch den Ausdruck

den dem ausgeführten Versuche entsprechenden Werth des Ausflusscoeffi- cienten berechnen.

Der Fassungsraum V des Kessels wurde durch Anfüllen mit Wasaer und Aichung des Füllwassers in einem besonderen Aichgefässe bestimmt.

Die in diese Formel einzuführenden Werthe der Hanometerstände liessen sich aber nicht ohne Weiteres beobachten ; da die Luft beim Ein- pressen in den Kessel eine namhafte Temperaturerhöhung, und dagegen die im Kessel zurückgebliebene Luft bei ihrer Ausdehnung während der Aus- strömung eine ansehnliche Temperatarverminderung erlitt, so blieb der Manometerstand sowohl nach dem Einpressen der Luft, als auch nach dem Ausflüsse nicht auf einerlei Höhe, sondern es sank der erstere durch Ab- kühlung an der Kesselwand so weit herab, und es stieg der letatere dureh Zuführung von Wärme an der Kesselwand so hoch, bis sich die Tempera- tur im Kessel mit der der Kesselwand, oder vielmehr der der äusseren Luft ins Gleichgewicht gesetzt hatte. Jenes Sinken nnd dieses Steigen des Manometerstandes der Luft im Kessel dauerte 20 Minuten und länger nnd betrug 2 bis 5 Centimeter. Es konnte natürlich der Ausflussversneh nicht eher beginnen, und ebenso jeder Versuch nicht eher als beendigt angesehen werden, als bis der Manometerstand ein constanter geworden war, und sich folglich das Gleichgewicht zwischen der inneren und äusseren Lufttempe- ratur hergestellt hatte. In der angegebenen Formel ist natürlich für A die Grösse des constant gewordenen Manometerstandes vor, und für Ä, die Grösse A, des constant gewordenen Manometerstandes nach dem Ausflüsse einzuführen. Zur Berechnung der Versuche war es aber auch nöthig, den Manometerstand h^ unmittelbar nach dem Verstopfen der Ausflujjsniündung zu beobachten.

Während des Ausströmens geht die Pressung der ausströmenden Luft ans der inneren Pressung

;,, = (6 + Ä) y in die äussere Pressung

über, und hierbei kann man nun voraussetzen,

Von Bergraih Professor Julius Weisbach. 271

1) dass die Dichtigkeit des Lnftstromeg const&nt, oder

2) dass die Temperatur desselben an'rerändert bleibt, oder

3) dass sich Dichtigkeit und Temperatur desselben zugleich ver-

ändern. Sind Tj und t die Temperaturen der Luft vor und naeh dem Ausströ- men, und bezeichnet 8 den bekannten Ausdehnungscoefficient, =0,00367 der Luft, so hat man unter der ersten Voraussetzung (siehe meine Ingenieur- und Maschinenmechanik, Seite 676, dritte Aullage)

l—i+J-L' iL -l + öt'pr

und daher

l + ^r=(l+dfr,)^. Pi

Wäre nun z. B. die Pressung der Luft vor dem Ausströmen doppelt so

Omen, also — ' = 2, so 1 P

l + ^T = 4(l+dt,),.

grobs als nach dem Ausströmen, also — ^ r= 2, so hätte man

P

daher

drr

- = ^ — 136,35,

: 26 2

und für r, =20 Grad:

t = — 126,25 Grad. Es würde also in diesem Falle die ausströmende Luft eine ansseror- dentliche Kälte entwickeln, oei welcher das Quecksilber zum Gefrieren käme. Durch Thermometer lässt sich die Temperatur einer bewegten Flüssigkeit nicht messefi , weil dieselbe durch die Wärmeentwickelung bei dem Stosse und der Reibung der Flüssigkeit an dem Thermometer sogleich wieder erhöht wird. Die Kälte der unter hohem Drucke ausströmenden Luft war jedoch bei unserer Luftausströmnngsversuchen daran zu erkennen, dass sich bei einer äusseren Lufttemperatur von 20 Grad, das Wasser so- gleich in Eis verwandelte, wenn es wahrend des Ausflusses mit der äusse- ren Wand der Ausflussröhre in Berührung gebracht wurde. Dieser erste- ren Voraussetzung zu Folge ist die Ausflussgeschwindigkeit der Luft :

wobei Yi die Dichtigkeit der inneren Luft bezeichnet.

Nun ist noch ^^ c= 7954 (1 + dt^), daher hat man auch Yi

V = 89,19 j^2 ^ (1 + «r) (l — ^) = 395^(1 + ix) {\ ~ ^j|

Meter (siehe meine Ingenieur- und Maschiuenmechanik, Seite 895).

Bezeichnet nun noch F die Grösse des Querschnittes der Ausfiuss-

272 Vorläufige Mittheilungen über die Versuche über den Ausfluss etc.

niündungy so erhält man für die unter dem Drucke p und mit der Dichtig- keit y^ ausströmenden Windmenge pro Secnnde:

und, auf den äusseren Luftdruck p reducirt,

oder

Cubikmeter, wobei h den Manometer- und b den äusseren , also fr -f* ^ den inneren Barometerstand bezeichnet.

Diese Ausdrücke gelten natürlich nur für den Ausfluss der Luft unter constantem Drucke; nimmt aber, wie bei unseren Versuchen, der Druck all- mälig ab, ist also auch die Ausflussgeschwindigkeit v variabel, so muss man nach der Methode der Quadraturen einen mittleren Werth von Q bestim- men, und denselben in die Formel: ' .

einsetzen, um mit Hilfe derselben den Ausflusscoefficienten ^ berechnen zu können.

Unter der zweiten Voraussetzung ergiebt sich für die Ausflussgeschwin- digkeit der Ausdruck

und daher die theoretische Ausflussmenge, gemessen unter dem äusseren Drucke,

y == ir^t; = 395 Fy {\ + « t) Z «. {^"^

=r.-. 395 Fj/{1 +dx)L n, (^-^)

Cubikmeter.

Für unsere Versuche, wo wir es mit einem variablen Manometerstande zu thun haben, ist natürlich ebenfalls erst ein Mittelwerth von v oder Q lu ermitteln, um hiernach den Ausflusscoefficienten fi berechnen zu können. *

Da beobachtet wurde, dass sich die Luft bei ihrem Ausströmen bedeu- tend abkühlt, so ist zu erwarten, dass die Rechnungsergebnisse nach dieser Formel bedeutend von der Erfahrung abweichen, wie auch durch meine Versuche nachgewiesen worden ist.

Der Wärmelehre zufolge, ist mit einer plötzlichen Dichtigkeitsverän- derung einer gewissen Luftmenge auch eine momentane Veränderung der Temperatur derselben verbunden, und zwar nach dem Oesetse,

Voö Bergrath Professor Jünus Weisbach. 273

l+öx \yJ ' worin t die der Dichtigkeit y, sowie

T, die der Dicbtigkeit yi entsprechende Temperatur und n eine Erfahrungszahl bezeichnet.

Da

Pi__l + ^Tj Yi

p 1 + ÖT ' y ist, so hat man auch

'?=(?)"■^(r'=(7)"

wenn man noch n + 1 = x setzt.

Die Zahl % ist das Verhältniss lj42 der specifischen Wärme der Luft bei gleichem Drucke zu der bei gleichem Volumen.

Endlich folgt auch

*— 1 0>42 21

i + it, \pj \p,/ \pj VpJ

Nimmt raan beiapielsweis« , wie oben und wie auch bei unseren Ver- suchen oft vorgekommen ist, p, = 2p an, so erh&It man

+ 0»— 20,29577 — 12275, '

und für die anfHngliehe Temperatur T| = 20*,

l + ,. = i^* = 8.744 1,2275 '

daher die Temperatur nach der plötzlichen Ausdehnung :

_0^»r44-l^ ?l»?^'__i?Ü' = _ 34,2 Grad,

0,00367 0,00367 367 \

wogegen oben unter der ersten Voraussetzung, für denselben Fall, der sehr unwahrscheinliche Wertb

T = — 126;25 Grad gefunden worden ist.

Aus diesem dritten Principe folgert sich für die Ausflussgeschwindig- keit der Luft:

6)

-=|/«.^^(.-a)"0.

(siehe meine Ingenieur- und Maschinenmechanik, Band I, Seite 821, dritte

Auflage).

Ist wieder F der Inhalt der Ausflussmüni^ung , so hat man das unter

dem äusseren Drucke Py unter der Dichtigkeit

1

MB'-

» — l

274 Vorläufige Mittheilungen über die Versuche über den Ausfluss etc. und mit der Temperatur

'= 4 —

ausstrÖineDde theoretische Windquantniu pro'Secunde:

,.=.,=.^a/-;.^(.-(£y"'),

folglich das unt^r dem inneren Luftdrücke P| bei der Dichtigkeit yt ^ud Temperatur t) gemessene Luftquantum :

und endlich das unter dem äusseren Drucke p bei der gegebenen Tempe- ratur Ti und der Dichtigkeit — . yi gemessene Loftquantum :

Pi

„.=^.,,=.(5)"^y,,^.^(._(2)-).

worin für das Metermass

zu setzen ist.

Wenn man nach dem letzten Principe beim Ausflnss mit variablem Druck , wie z. B. fdr unsere Versuche, die Ausflnssmenge bestimmen will, so muss man durch wiederholte Anwendung der letztern Formel einen Mit- telwerth von Q berechnen , sowie auch noch wegen der beim Ausströmen der Luft statthabenden Abkühlung im Kessel eine besondere Correction anbringen.

Führt man die Mahometerstünde und den Barometerstand in die Formel für 0 ein so erhält man den Ausdruck

Bei einem variablen h gilt diese Formel nur für ein Zeitelement di. Und es ist das entsprechende Ausflnssquantum

dO

=-y^(.+'.)(^ry.-{^r':«,

Von Bergrath Professor Julius Weisbach. 275

sowie umgekehrt, das ztiin Ansfluss von d Q nöthige Zeittheilchen :

dt —

X

Setzt man nnn noch in der Formel 1) zar Bestimmung des Ausflnss- eoefficienten :

(k~h\ V

statte — A, das Bl«ment rfÄ, und statt Qt das Element dQ &m, so erhält mao den Ausdruck fiödO^:=i Vdh, und daher für unsere Versuche folgende Differenzialformel £Ur Bestimmung der Ausflusszeit i:

oder

V dh

dtz=,

80 dass nun

/.-^(--'(^/•'/-(.i-i"'"

_ _ dk

•/— lET

dOdfi/'fr

/=5^^) c-^ry-(^.r''

und daher der gesuchte Ausflasscoefficient

X— 1_ / x—l

X

folgt.

Die hier vorgeschriehene Integration ist bei Berechnung unserer Ver- suche dadurch zu Stande gebracht worden, dass man h als Abscisse x und

1

als Ordinate y einer Curve angesehen und deren Quadratur j y dx durch

Anwendung der Simpson^schen Begel bestimmt hat. Da die Anzahl der Versuche eine sehr grosse war, so Hess ich hiernach eine Tabelle anfertigen,

und roi^i hatte dann zur Bestimmung des Werthes lydx

nur eine ein-

276 Vorläufige Mittheilungen über die Versuche über den Ausfluss etc. fache Interpolation zwischen den Ton der Tabelle gegebenen Werthen

nöthig.

21 . 5

Die Luftausströmungsrersuche selbst sind unter Pressungen von -- bis -

Atmosphäre augestellt worden, undjnan hat hierzu das bei den Versuchen über den Ausfluss des Wassers gebranchte Oefässmanometer angewendet, jedoch dasselbe bei den Versuchen mit kleinen Pressungen mit Wasser ge- füllt, um dadurch eine längere Flössigkeitssäule und daher auch ein ge- naueres Ablesen an der Scala zu erlangen.

Um vor Allem das Ausflussgeseta der Luft zu prüfen , war es nöthig, Ausflussversuche an gut abgerundeten conoidischen und conischea Mundstücken anzustellen, wobei die Contractiou der Luftstrahlea weg* fällt und daher auch nicht in Betracht zu ziehen ift. Wenn diese Versuche auf Ansflusscoefficienten führen , welche der Einheit sehr nahe kommen, dieselbe aber auch nicht überschreiten , so ist auch dadurch die Richtigkeit der Ausflussformel , wonach diese Versuche berechnet worden sind , nach- gewiesen.

Die Versuche mit dem conoidischen Mundstück von 1 Centimeter Weite (siehe Figur 22, Seite 48 der Experimentalhjdraulik) gaben, nach der ersten Ausflussformel 3) berechnet, bei Quecksilbermanometerständen von

0,18 Meter bis 0,85 Meter den Ansflusscoefficienten

^ = 0,653 bis 0,952.

Aus dieser grossen Verschiedenheit der Werthe von fi bei verschiede- nen Druckhöhen ist die Unrichtigtigkeit oder die Unzulänglichkeit der zu Grunde gelegten Formel 3) ohne Weiteres zu folgern.

In noch höherem Grade gilt dasselbe auch von der zweiten Ausfluss- formel 5), weil dieselbe auf Ansflusscoefficienten führt, welche die Einheit überschreiten. Die dritte Ausflussformel 7) giebt dagegen für die angege- benen Druckhöhen den Ansflusscoefficienten

IIA = 0,965 bis 0,985, und es ist sowohl aus der Annäherung dieser Werthe zur Einheit, als auch aus der unbedeutenden Verschiedenheit derselben unter einander auf die Eichtigkeit dieser Formel zu schliessen.

Innen abgerundete kurze conische und längere conische düsen formige Mundstücke von verschiedenen Weiten gaben nur wenig kleinere Werthe für den Ansflusscoefficienten, nämlich

fi = 0,95 bis 0,97.

Für das Ausströmen der Luft durch Mündungen in der dünnen Wand hat aber auch die letztere Formel bei verschiedener Druckhöhe sehr verschiedene Ansflusseoefficienten geliefert. Es ist daraus zu schliessen, dass die Contraction der Luftstrahlen beim Durchgange durch Mündungen in der dünnen Wand weit mehr veränderlich ist, als die der Wajserstrah-

Von Bergrath Professor Julius Weisbach. 277

len, dass namentlicb beim Ansflnsse unter kleinem Drucke der Conträctions- eoefficient am kleinsten ist, und dass dagegen derselbe um so grösser, als die Contraction selbst am so kleiner ausfällt, je grösser die Druckhöhe oder Ansflnssgeschwindigkeit wird.

Durch die mittelst der Formel 7) berechneten Versuche ist gefunden, dass bei den Druckhöhen von 0,05 bis 0,85 Meter in Quecksilber, fflr Kreis- mttndungen von 1 bis 2,4 Centimeter Durchmesser in der dünnen ebenen Wand, der dem Ausflusscoefficienten nahe gleichzusetzende Contractions- coefficient yon

fn r::^ 0,555 allmählig bis 0,787 wächst.

Bei Quecksilbermanometerständen von 0,25 bis OfiO ergab sich ferner für eine. Kreismündung von i Centyneter Durchmesser in der dünnen conischen convergenten Wand mit 100 Grad Convergenz:

fii =r 0,752 bis 0,703, dagegen für eine solche in der conisch divergenten Wand von 100 Grad Divergenz :

fi i=i 0,500 bis 0,663, Und dagegen unter gleichen Umständen für eine solche Mündung in der ebenen Wand:

fjt = 0,666 bis 0,723. Es hängt also hier, wie beim Ausfluss des Wassers, der Contractions- coefücient v(U) dem Convergenzwinkel der Wand ab , worin die Mündung ausgeschnitten ist.

Die Versuche über den Ausfluss der Luft durch kurze cjlindrische Ansatzröhren gaben mit den durch Mündungen in der dünnen Wand con- forme Hesultate; die Ausflusscoefficienten sind auch hier bei kleineren Drücken kleiner und bei grösseren grösser, ganz der Theorie entsprechend (siehe meine Ingenieur- und Maschinenmecbanik , Band I, Seite 764, neue Auflage).

Kurze cylindrische Ansatzröhren von 1 bis 2,4 Centimeter * Weite und der dreifachen Länge gaben bei den angegebenen Druckhöhen den Ausflusscoefficienten

^ = 0,730 bis 0,833. Eine kurze cylindrische Eöhre von 1 Centimeter Weite und 3 Centimeter Länge, inwendig massig abgerundet, gab dagegen

II =- 0,927. Es wird also nicht blos beim Wasser, sondern auch bei der Luft der Eintritt in Bohren durch Abrundung der Einmündung sehr erleichtert.

Eine conisch convergente Eöhre ohne Abrundung, deren Con- vergenzwinkel 2 Grad 7 Minuten betrug, und deren Durchmesser an der Ausmündung 1 Centimeter mass, gab

^ =:= 0,910 bis 0,964. .

278 Vorläufige Mittheilungen etc. Von Professor Julius Weisbach.

Die Versuche über die Bewegung der Luft durch lange Röh- ren weisen nach, dass der Coefficient i des Reibungswiderstandes der Luft in Röhren dem des Wassers nahe kommt, dass also derselbe nicht constant bleibt, sondern um so kleiner ausfällt, je grösser die mittlere Ge- schwindigkeit der Luft in der Röhre ist.

Eine Messingröhre von l Centimeter Weite und 2 Meter Länge gab für Geschwindigkeiten von 25 Meter bis 105 Meter den Reibung«- coefficienten

^ von 0,027258 allmälig abnehmend bis 0,014821. Ebenso eine Glasröhre von derselben Weite und Länge,

J;= 0,027378 bis 0,013808. Ferner eine Messingröhre von 1,41 Centimeter Weite J = 0,025777 Jjis 0,012137, und eine dergleichen Glasröhre:

{;= 0,020626 bis 0,009408. Endlich eine Zinkröhre von 2,4 Centimeter Weite und 10 Meter Länge für Geschwindigkeiten von 25 bis 80 Meter

i = 0,02302 bis 0,012956. Auch wurden noch mehrere Versuche tiber den Widerstand der Laft bei ihrem Durchgange durch Knie- und Kropfröhren angestellt.

Füi eine Knieröhre von 1 Centimeter Weite (siehe Figur 84, Seite 151 der Experimentalhydraulik) ist hiernach

£=1,61, und für eine solche von 1,41 Centimeter Weite

f=l,24. ' Ferner ftlr eine 1 Centimeter weite Kropfröhre von 90 Grad Ablenkni^

f = 0,485 und für eine solche von 1,4 Centimeter Weite

t = 0,471. Es sind hiemach diese Widerstandscoefficienten bei der Luft theils kleiner, theils grösser als beim Wasser.

XL Ueber die Beredmung der Steighöhe der Raketen.

Von Emil Kahl, Leutnant.

Eine Rakete ohne Versetzung besteht, wie bekannt ist, gew^nlieh aas einer Hülse Ton Eisenblech. oder Pappe, welche an dem einen Ende gay geischlossen , am andern Ende wenigstens vor dem Einbringen des Treib- satses ganas offen ist. Der Treibsatz, mit welchem die Hülse ausgeschla- gen wird , ist immer ein feingepnlvertes Gemenge von Salpeter , Schwefel und Holzkohle, entweder in den Verhältnissen , welche dem Schiesspulrer entsprechen oder in davon abweichenden Verhältnissen. Die Hülse wird mit dem Treibsatz so ausgeschlagen, dass concentrisch um die Axe der H6lse eine eonische oder cylindrißche Oeffnnng ungefüllt bleibt, welche vom offenen Ende an nicht bis an das geschlossene Ende reicht, so dass dem- nach vom geschlossenen Ende herein ein Theil der Hülse ganz^'mit Treib- satz gefüllt ist, von dessen Ende an nach der Vorderöffnung hin jedoch nur die Wände der Hülse dick mit Treibsatz bekleidet erscheinen. Der Stab, welcher die Stabilität der Lage der Rakete beim Aufsteigen sichern* soll, ist ein cylindrischer oder prismatischer Holzstab, welcher gewöhn- lich so an die Hülse befestigt wird, dass seine Längeaxe derjenigen der Hülse parallel ist, dass er über ihr geschlossenes Ende nicht hervor- steht, während er umgekehrt das offene Ende um Bedeutendes überragt. Behnfs des senkrechten Aufsteigens wird die Rakete in ein Gestell ge- bracht, wobei der Stab in eine mehr oder minder einfach constrnirte Füh- rung eingelegt wird, welche dem Stabe beim Aufsteigen die erforderliche Richtung aufwärts erth ei lt. Die treibende Kraft, durch welche die Rakete zum Steigen kommt, verdankt sie bekanntlich derReaction, welche mit dem aus der untern Oeffnnng nach der Entzündung des Treibsavtzes aus- strömenden Pulvergase in Verbindung steht und in einem der Htilsenaxe parallelen nach oben gerichteten Drucke besteht. Der angegebenen Con- fitruction zufolge verbrennt anfänglich eine grössere Treibsatzmenge, als in den späteren Momenten der Verbrennung, so dass die treibende Kraft vom Anfange der Verbrennung an bis gegen das Ende derselben hin im Allge- meinen im Abnehmen sein muss. Die treibende Kraft einer Rakete wird demnach eine Function der Zeit sein, deren Natur von der Construction der Rakete und von der Art des angewendeten Treibsatzes abhängig sein

280 Ueber die Berechnung der Steighöhe der Raketen.

muss. Welche Function der Zeit die treibende Kraft der Rakete , sowie die Menge des nach einer gewissen Zeit verbrannten Treibsatzes in einzel- nen Fällen sei, ist durch genaue Versuche bis jetzt noch nicht ermi^elt worden, sollte dies jedoch für einzelne Raketenconstructionen geschehen, 60 wurde man hierauf im Stande sein, die Steighöhe der Rakete beim senk- rechten Aufsteigen im lufterfüllten Räume zu berechnen, vorausgesetzt, dass die Rakete eine solche Construction erhalten habe, dass die Aender- ung der Lage ihres Schwerpunktes, welche beim Aufsteigen der Rakete in ^olge der Satzverbrennung stattfindet, keinen Einfluss auf die Steigricht- ung ausübt. Dies könnte vielleicht auf ähnliche Art wie bei den englischen Kriegsraketen geschehen, bei denen die Axe des Stabes mit der Axe der Hülse zusammenfallt. Die angedeutete Berechnung hängt von der Auf- ^ung folgender Aufgabe ab :

Es ist das Gewicht p der senkrecht aufsteigenden Rakete gegeben, femer ist durch Versuche die treibende Kraft q) (t) als Funktion dejr Zeit, sowie die Menge if; (t) des nach der Zeit t verbrannten Treibsatzes be- stimmt worden (s. Anm. 1). Es wird angenommen, dass der Loftwider stand a -^ bv + ci^ sei, wobei v die Geschwindigkeit am Ende der Zeit / bedeu- tet (s. Anm. 2). Es soll hieraus die senkrechte Erhebung y berechnet wer- den, welche ein beliebiger Punkt der Rakete am Ende der Zeit t über dem Fussboden erreicht hat.

Da afn Ende der Zeit t die Masse der Rakete

9 ist, sowie die Kraft, weiche dieselbe aufwärts treibt: <p (i) — p — a — b V — cü*, so ist die Difterentialgieichung der Bewegung:

Anmerkung I. Die Auffindung der Functionen ip und i(} durch den Versuch ist wegen der kurzen Brenn zeit einer Rakete sehr schwierig, aber jedenfalls nicht unmöglich. Man könnte sich von der Bestimmung der ge- nannten Funktionen folgende Vorstellung machen , Über welche ich jedoch ganz besonders bemerke, dass es eben nur eine Vorstellung ist, welche kei- neswegs durch irgend einen Versuch geprüft, noch irgendwie für practische Ausführung bestimmt ist.

Die Hülse der Rakete wird central in einem Blocke befestigt, welcher sich auf vollkommen horizontaler Ebene in einer Führung bewegen kann; Die Hülse wird den Block nach ihrer Entzündung fortbewegen , wobei die Bewegung wegen der Masse des Blockes und des geringen Restes von Reibung, welcher vermittelst Schnuren und Rollen durch Gegenwichte nicht ganz ausgeglichen ist , weit langsamer , als beim Aufsteigen vor sich gehen wird. Hierbei könnte die Curve s= ^(0» welche den Abstand s

Von Emil Kahl. 281

des Blockes von der Anfangslage angiebt, vielleicht durch den Apparat selbst aufgezeichnet werden. Ist nsn das Gewicht der zu bewegenden Masse P, die Reibung R, so ist die Beschleunigung der von der Rake{e bewegten Masse:

y (<)--«„

Die Grösse dieser Beschleunigung würde man aus der vom Apparat Aufgezeichneten Beweguogscarve 8 c^ W(i) finden, denn es ist :

^ p—i^{ty dt' ^ ^^;

p

Ist bei einem zweiten Versuche die zu bewegende Masse — \ die Reib-

9 ung /^i, wobei der Apparat die Curve s^ = ^/'(O aeichnen möge, so er- hält man:

Ans den Gleichungen 1) und 2), in denen P, P|, R^ R^^ YöUig bekannte 6rö8»en, IF" (<), ^/'(O ^^^ ^^^ Zeichnung des Apparates hervorgegangene Functionen sind, lassen sich um tp{4) und ^(/) bestimmen. — Die Bestim- mung von flf(i) und ip(l) dürfte wohl auf dem Versuchswege am Besten ge- lingen, sobald man einen rotirenden Apparat durch die Raketenhülse in Bewegung setzt.

Anmerkung 2. Es ist hier das Luftwiderstandsgesetz a + bv + cv' seiner Allgemeinheit wegen gewählt worden , in den nachfolgenden Rech- nungen kann es doch immer auf das quadratische zurückgeführt werden, indem man a = 0, 6 = 0 setzt. Es wäre übrigens wohl möglich, dass im Vorliegenden Falle Versuche dabin entscheiden könnten, dass man das Ge- setss a + bp + ct;^ auch hier acceptirte, da es z. B. die Hut tonischen Versucbsresultate an zweizöUigen Kugeln von 500' bis 2000' Geschwindig- keit sehr gut repräaentirte. Das vorliegende Gesetz kann übrigens für kleine Geschwiudigkeiten nicht ganz richtige Resultate geben, da nach demselben z. B. für t; =: 0 der Luftwiderstand a ist. Dies dürfte übrigens hier um so weniger schaden, als doch anfänglich die Führung der Rakete einen geringen Reibungs widerstand veranlasst.

D!e Gleichung A) lässt sich zunächst in die Form bringen :

Setst man zur Abkürzung:

4) ^ ^=^) = r,i[«+p-^(0] = r.,

so erscheint die Bewegungsgleichung in folgender Gestalt: dt* ^ c dt ^\dij^ '

282 Uebor die Berechnung der Steigliöhe der Raketen.

oder:

. I) T% + ^y-\-y*+T,^o.

at c

Die .vorstehende Gleichung kann durch die Substitution:

dz

5) y=^r=-i'r

ia eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordvung umgewandelt werden. Die Differentiation von 5)^ in welcher z eine neue abhängige Variable be- deutet, ergiebt:

6) . %=^^T+'^T+ ir.

' at TT z z

Führt man 5) und i) in I) ein, so ergiebt sich hieraas:

-+ r ^ II) ^^■^-Y-'^^p=^^

Das Integral von II) hat bekanntlich die Form ^ =s ilf ii + J^ v , wobei M und iV willkührliehe Constante , u und v die parttculftren Integrale der der Gleichung II) sind, demnach ist die Form von y :

tt — L T z.=z T

^ Mu + JVv ^ ^

mr

oder, wenn man -— = (? setzt:

M

. «' + 0 ^' ^

Man erkennt sofort, dass y das allgemeine Integral der Gleichung I) ist, denn sein Ausdruck enthält eine willkührliehe Constante (>, man würde dies übrigens auch finden, indem man 7) in I) einsetast, welche dadurch sa Null gemacht wird, indem, wie voran sgesotast wurde, u und v der Gleicfanng II) Genüge leisten. Der Ausdruck für die Ordinate y ist nun hiernach:

du , ^ du

rji + o-T-

wobei P eine zweite willkiflirliche Constante und u und v die particnlären Integrale der Gleichung II) sind.

Durch die Gleichung III) ist nun allerdings der Function von der Zeit i die allgemeine Form vorgezeichnet, welche die Erhebung y vom Fuss- boden angiebt, etwas Weiteres lässt sich aber auch überhaupt nicht than, so lange die treibende Kraft q> (/) und die Menge des verbrannten Treib- satzes t^(/) nicht durch den Versuch ausgemittelt ist und die Constanten a, 6, r, p, gy wie sie sich für irgend einen speciellen Fall ergeben haben,

Von Emil Kahl. 283

numeriseh in die erate Differeotialgleicbung eingeführt worden sind. Ist dies aber geschehen, so ist in Gleichung I) T, T^ und — yollkommen be- stimmt und die Integrationen, welche anf Gleichung III) führen, lassen sich wegen der linearen Form von II) jederzeit für eine etwaige numerische Berechnung ansfübren.

Beispiel. Eine Rakete lässt sich auch dann noch zum Steigen bringen , wenn ihre Hülse vollständig mit einem Satze ausgeschlagen wird, welcher hinlängliche treibende Kraft besitzt. In diesem Falle verbrennen, wie der Versucfi lehrt, in gleichen Zeiten Satzcylinder von gleicher Länge, oder, anders ausgedrückt, die Längen der verbrannten Satzcylinder verhalten sich, wie die zur Verbrennung erPorderlich gewesenen Zeiten. Man hat in diesem so eben in Betrachtung gezogenen Falle hinreichenden Grund , an- zunehmen, dass die treibende Kraft der Kakete constant sei, sie ist im Nachfolgenden mit k bezeichnet worden. Nennt man die Satzmenge, welche in der Zeiteinheit verbrennt, q^ so ist die am Ende der Zeit t verbrannte Satz- menge q L oder der früheren Bezeichnung gemäss : ip{t) =^q L Führt man diesen Werth und den Ausdruck q){t)-=^k in die Gleichung 3) ein, so er- hält man als Differentialgleichung der Bewegung :

^■> ~Vi-d? + r— + 7 dl + \dlj~^'

Vergleicht man diese Gleichung mit der allgemeinen Gleichung I), so findet man, dass im vorliegenden speciellen Falle

cg ^ c

ist. Macht man nun der Gleichung 5) entsprechend die Substitution :

z p — qt

z cg ' so erhält man folgende No. II) entsprechende lineare Gleichung :

^ P — qt {p — qty

Die eigenthümliche Form dieser Gleichung führt leicht auf die Idee, die Substitution:

zu versuchen, wodurch man erhält:

11) a{a—l)q'—{bg — q)aq + cg^a+p — k) = 0. Dieser Gleichung wird durch die beiden Worthe von a

12) ^ *«

« _*1^4.7/*V cg*(a + p-k)

c p* (o-j-p--*)

Qenttge leiatet.

ZciUebrin t. Malhenialik u. Physik. IV. 19

284 Ueber die Berechnung der Steighöhe der Raketen. Von E. Kahl..

Diese Ausdrücke sind stets reell, da in dem Ausdrueke des Luftwider- standes a eine sehr kleine Grösse ist, da ferner k beträchtlich grösser, als

p sein muss , folglich das Glied : ^-^ ^ -■ positiv ist. Der der

Gleichung 7) entsprechende Ausdruck giebt demnach för y':

^f" ^- a,{p-qt)^.+Q{p — qt)«t ' cg * man erhfilt sonach für y:

^ "~ cgj ip-qi)<^ + Q(p-gt)a, "'^ ^ ^

in welchem Ausdrucke P und Q die willktthrlichen Constanten sind , wäh- rend Ol und ctf an die Gleichungen 12; gebunden sind. Die Integration in Gleichung 14) Iftsst sich bei numerischen Rechnungen jederzeit durch Reihen ausführen, zumal, da man die Constante Q bereits aus Gleichung 13) be- stimmen und somit bei der Integration von 14) über ihren Werth nicht in Zweifel sein kann.

Kleinere Mittheilungen.

XVIIL Zur Axonometrie. Von Fribdrich Mann, Professor an der

Thurg. Kantonsschule. 1) Die Axonometrie umfasst bekanntlieh swei Hauptaufgaben:

a) Die Winkel, welche eine vom Ursprung des rechtwinkligen Coor- dinatensystems auf die Bildebene gefüllte Senkrechte mit den Coordinatenaxen bildet, so zu bestimmen, dass die Sinus (Verkür- zungsverhältnisse) sich zu einander verhalten wie drei gegebene Zahlen m, n und p (Rednctionscoefficienten.

b) Das Coordinatensystem auf diese Bildebene zu projioiren. Weissbach und Schlömilch lieferten zuerst auf analytisch trigo- nometrischem Wege das Material, das zur allgemeinen Lösung dieser beiden Aufgaben verwendet werden kopnte; und ersterer hat in jüngster Zeit im Anhang I. seines Werkes auch eine algebraisch geometrische Be- gründung gegeben. Largiad^r stützt sich in seiner soeben erschienenen Schrift auf den Satz: „dass in demjenigen rechtwinkligen Parallelepiped, dessen im Ursprung 0 znsammenstossende Kanten der Richtung nach in die Coordinatenaxen fallen und dessen Hauptdiagonale die von 0 auf die

Kleinere Mittheilnngen. 285

Bildebene gefüllte Senkrechte ist, — dass in diesem Parallelepiped sich die Seitendiagonalen en einander verhalten müssen wie die Reductionsco- efficienten m, n nnd p."

In nachstehender Entwickelung soll nur gezeigt werden, wie die Losnng der axonometrischen Probleme anch noch aus gana anderen Eigen- schaften des rechtwinkeligen Parallelepipeds hervorgeholt werden kann.

2) In Fig. 1, Taf, III sei 00^ irgend ein rechtwinkeliges Parallelepiped, dessen Hanptdiagonale wir in Bezug auf Länge durch £f bezeichnen wollen. Die Seitendiagonalen können wir dann offenbar so herstellen, dass alle drei vom einen Endpunkt 0, der Häuptdiagonale ausgehen. Verbinden wir die Ifndpunkte der so erhaltenen Linien OiA^ OiB und 0, C paarweise durch Gerade, so erhalten wir ein spitzwinkeliges Dreieck ABC^ dessen Seiten der Länge nach wieder die Seitendiagonalen unseres Parallelepipeds sind. Be- zeichnen wir die Längen dieser Seitendiagonalen durch d^ d, und ^,, so können wir den Satz aufstellen:

I) ifi </, nnd d, mttssen stets mögliche Seiten eines spitz- winkeligen Dreiecks sein.

Nennen wir die Winkel, welche die Hauptdiagonale 00 ^ mit den Kan- ten OA^ ob und OC bildet, beziehungsweise a, ß und y, so ist in den recht- winkeligen Dreiecken OO^A^ OO^B und OO^C offenbar: Idi=:d8incif df = dfinßy d^^=dsiny^ also di : (/| : d, =: 9in a : sifi ß : sin y.

Errichten wir in 0, eine Ebene E senkrecht auf 0 0, und legen wir durch OOj und O^A eine Ebene ilf, so steht M offenbar senkrecht auf £. Die von A auf E senkrecht gefällte Gerade AA^ muss daher vollständig in M bleiben; nnd durch das Verbinden des Fusspunktes A^ mit Oi gewinnt man ein rechtwinkeliges Dreieck A A^ 0|. Jeder der Winkel A 0^ A^ und 0x0 A ergänzt nun den einen Winkel 0 0, ^ zu einem rechten , und es ist somit:

Winkel ^ 0, ^, = Winkel c.

Bezeichnen wir daher den Abstand A A^ des Punktes A von der Ebene E durch a^ , so ist: a^ =? dy sin a. Durch ganz ähnliche Betrachtungen er- halten wir, wenn wir die Abstände der Punkte B und C von E beziehungs- weise a^ und a, nennen :

a^ SS cft sin ß nnd a^ =z d^ sin y, •

Substitutionen wie die für dt d, und d, in II) gefundenen Werthe , so gewinnen wir:

iai =s d . «*»* a^a^^=d . sin^ß und a, =s d . m* y, also a, : a, : Ol = sin^ a : sin* ß : sin" y. Beachten wir die Relationen II) und III), so erkennen wir augenblick- lich, dass

10*

286 Kleinere Mittheiltmgen.

IV) d:cli=d,:fl,, d:rf, = eig:ö,, d: d^^=zd^:a^^

dass mithin jode von 0^ ausgehende Seitendiagonale die mittlere geometrische Proportionale zwischen der Hanpt- diagonale und dem Abstände des Endpunktes jener Seiten- diagonale von der Ebene E vorstellt.

Durch Addition der drei ersten Gleichungen in III) erhalten wir:

«1 + «s + "a = ^ (««•« + 9in* ß + sin* y). Nun ist bekanntlich

cos* « + CO«* ß + cos^ y == 1 , mithin

V) sin* a + Wn* ß + sin* y = 2, also

«I + «2 + «s == 2 ^•

Wenn man daher die Abstände, welche die Endpunkte der drei von 0^ ausgehenden Seitendiagonalen inBezagauf die Ebene E darbieten, zusammenaddirt, so erhftit man das Doppelte der Hauptdia^onale.

Diese Sätze bilden nun den stereometrischen Hülfsapparat, der zu einer höchst einfachen Lösung der Aufgabe a verwendet werden kann.

3) Nehmen wir die Ebene ^ als Bildebene und lassen wir dieCoor- dinatenaxen längs OCy OB und OA fallen, so kommt alles darauf an, die Winkel a, ß und y so zu bestimmen, dass

sin a : sin ß :siny^=im:n :p stattfindet.

Halten wir aber diese Bedingung zusammen mit den Relationen in II) und III), so gewinnen wir augenblicklich:

d, :rf, :rf8 = i»:n:p*) und

C| : fl, : Ä, = m* : «* : p*,

Soll die Aufgabe möglich sein, so dürfen die Zahlen m,;t und p nkkt, beliebig gewählt werden, sie müssen vielmehr (nach I) als Zahlenwerthe von Dreiecksseiten aufgefasst , stets zu einem spitzwinkeligen Dreieck führen. Hat man sich , innerhalb dieser Bedingung , für die BeduetionS' coefficienten entschieden und stellt man drei Längen her, welche eine be- liebig gewählte Längeneinheit beziehungsweise m', n* und p* mal enthalten, so können die so gewonnenen Linien als die Abstände ^i a« und a, galten. Man darf hierbei nur bedenken , dass es bei der Gewinnung der Winkel- grossen or, ß und / nicht darauf ankommt, die absoluten Längen der unsere stereometrische Figur bestimmenden Linien festzuhalten, sondern dass es zu diesem Zwecke vollständig genügt, die Verhältnisse dieser Längen

*) Hierin liegt offenbar eine zweite Begründung des von Largiad6r beniititon Satzes, der indess bei unserer Construction gar nicht angewendet wird.

Kleinere Mittbeilangen. 287

zu wahren. Stellt man sich die halbe Summe der Abstände aj a^ nnd a, her, so hat man (nach V) das d, Ana ai und d gewinnt man aber cf}, indem man (siehe lY) die mittlere geometrische Proportionale sncht. Ist diese gefunden, so hat man den Winkel a zweimal. Erstens tritt er in dem durch d und <f| bestimmten rechtwinkeligen Dreieck auf und zwar gegenüber der Kathete df. Zweitens erscheint er aber auch schon in dem rechtwinkeligen Dreieck, das d^ zur Hypotenuse und aj zur Kathete hat und zwar gegen- überstehend dieser letzteren.

Setzt man beziehungsweise a^ und a, ^n die Stelle von a, und f^hrt im Uebrigea die Construction in völlig gleicher Weise aus, so gelangt man zu den Winkeln ß und y

4t) Der Figur, die bei Construction des Winkels a entstand , kann un-^ mittelbar auch eine Formel für sin a abgewonnen werden. Offenbar ist:

' . d,

stna=^-Ti a

also

. , rf,* ö, . d üi 2i«*

d* d* ~ d m«+/i«+//«' oder aueh :

stna = rr y

also

. , «1* öl* «1 2 m*

d,^~a,.d~d OT«+ «« + /?*' was mit den Endresultaten der Weisbach'schen Entwickelung vollstän- dig übereinstimmt.

In den Sätzen, die wir unter 2) über das rechtwinkelige Parallelepiped entwickelten, liegen auch die Mittel , die Aufgabe b (die zweite Hauptauf- gabe der Axonometrie graphisch zu lösen. Um dies einzusehen , genügt ein Blick in die Figur.

5) Wir gehen nun an die Lösung der zweiten axonometrischen Haupt- aufgabe, nämlich an die Herstellung der Projection des Axensystems auf einer Bildebene, der als Yerhältnisszahlen der Verkürzungsverhältnisse die ganzen Zahlen m, n und q entsprechen. Nehmen wir die drei in 0 zu- sammenstossenden Kanten OAyOB und OC des rechtwinkeligen Parallel* epipeds OOi als Coordinatenaxen , so ist, wenn das Parallelepiped gemäss der Bedingung

sin a: sin ß: sinY^=m:n:q hergestellt ist, die in Oj auf 00^ errichtete Ebene E die verlangte Bildebene, üis handelt sich lediglich darum, die Pyramide AB CO auf E zu projiciren. Nun ist leicht einzusehen, dass A^ B^ (nämlich die Projection der Dreiecks- Seite A B auf E) der Länge nach Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks >8t, das AB=O^C=d^ zur Hypotenuse und B Bi — AAi=zaf — a^ zur

288 Kleinere Mittheiluugen.

anderen Kathete hat. Wie man aber a^ , a, nnd d^ ans m, n und q herstel- len kann , ist schon bei der Constrnction der Winke] a , ß und y geseigt worden. In ganz ähnlicher Weise gelangt man zn den Längen der Linien Ai Ci nnd P| C| , nämlich zu den Projectionen der Dreiecksseiten A C nnd B C, Stellt man irgendwo in der Papierebene aus den Seiten A^ Bt , Ai C| und Bi C, ein Dreieck her, so hat man schon die Projection der Pyramiden- basis ABC nnd es handelt sich dann nur noch um die Gewinnung von 0, , nämlich der Projection der Spitze. 0, könnte im Innern des Dreiecks Ai B^ dl mittelst einiger Kreisbögen gefunden werden^ wenn man zwei von den Längen A^ 0^ , B^O^^ C^ 0^ hätte. Ein Blick in die Figur überzeugt uns aber, dass wir diese drei Längen schon haben, und zwar in derjenigen Figur, die wir entwerfen mussten, um die erste axonometrische Grundauf- gabe zu lösen. Denn Ai 0, z. B. ist nichts anderes, als die eine Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks , in welchem 0^ A=^di Hypotenuse und AA^=^ay die andere Kathete ist. Hat man, gestützt auf obige Bemerkungen, die Punkte Oj, A^^ B^ in 6\ gefunden, so darf man nur den ersten derselben mit den drei letzten verbinden, um das projicirte Axensystem zu haben.

6) Ein junger Fachgenosse (Herr Graberg in Zürich), der sich bei seinen Arbeiten der geschilderten Methode bediente, hatte die Güte, mir vom Standpunkte des Zeichners aus folgende Modificationen rorzuschlagen.

a) Wenn man vom Punkte Oj ausgeht (d. h. denselben in der Papier- ebeue beliebig annimmt) und dann erst die Punkte A^ B^ C, zu demselben bestimmt, so gewinnt man den zweifachen Vortheil, dass man von den Sei- ten des Dreiecks A^ B^ C^ nur zwei' durch Constrnction zu bestimmen braucht, (die drei Längen Oj ^j, Oj B^ nnd 0| Cj können ja unmittelbar einer schon früher entworfenen Figur entnommen werden) nnd dass man die eine der drei Axenprojeetionen O^A^^ ^i A und 0,0, der Richtung nach beliebig wählen kann. Namentlich letzterer Vor- theil ist für den Zeichner gar nicht unerheblich.

b) Es ist (^, BiY = d,* — («, — fl,)*. Bezeichnen wir o, — a, dnreh «, so können wir auch schreiben: (^, -P,)* = (rfj + m) (rf, — «)• Die Seite Ai B^ des Dreiecks A^ B^ (7, ist mithin mittlere geometrische Proportionale zu den Längen €?, + i< and d^ — ti. Eine beträchtliche Vereinfachung der zur Auf^ndung der Seite A\ B^ erforderlichen Construction tritt nun ein, wenn man sich bei der Herstellung der mittleren Proportionalen einer vom gewöhnlichen Verfahren abweichenden Constructionsweise bedient, welche, wenn wir nicht irren, durch Professor Gautier in Lausanne vor- geschlagen worden ist.*) Dieses Verfahren, aus zwei Längen r und 8 die mittlere geometrische Proportionale zn finden, besteht in Folgendem (Fig. 2, Taf. III) : Man trage die kleinere {s etwa) auf irgend einer Geraden auf.

*) DaHselbe findet sich bereits in der ernten Auflage des bekannten und sehr schätzenswertheu Lehrbuchs der Geometrie von l'rofessor Dr. K u n z e (Jena I8i"2; S. 170, §. 152. Anmerk. d. Red.

Kleinere Mittheilungen. 2S9

80 dass MN=$ wird, durcliscbneide dann diese Gerade mit einem Radius = r von M aus nach N hin und von N aus nach M hin , wodurch etwa die Punkte P und Q zum Vorschein kommen mögen. Sucht man dann die Spitae eines gleichschenkeligen Dreiecks, das PQ zur Grundlinie und r zur Schenkellänge hat und verbindet diese Spitze T mit einem der Punkte M^ Ny 80 stellt die so gewonnene Verbindungslinie die mittlere geometrische Proportionale zwischen r und s dar. Der Beweis springt sofort in die Augen, wenn man von T aus eine Senkrechte auf M N fällt.

7) Bevor wir das Verfahren in allen seinen Einzelheiten kurz vorfüh- ren, das bei der Lösung der beiden axonometrischen Hauptaufgaben ein- zuschlagen ist, wollen wir einige Bezeichnungen einführen, nfimlich:

ferner :

0, ^, =i Atj , ö| B^ = Ä-, und 0, C, = Ar,; endlich :

fl, — üi = t/i , a, — a, = tfi und a^ — a, = w,. Beschreibt man über der Hauptdiagonale d = l(m* + «* + g') einen Halbkreis, trftgt man auf derselben vom einen Endpunkte aus die Längen 01 , ff, und ffg (nämlich m', n* und ^) auf, und errichtet in den so gewonne- nen Auftragungspunkten Senkrechte bis zum Kreisumfang hin, so sind die- selben nichts anderes, als ii , Ar, und Ar«. (Fig. 3, Taf. III.) Verbindet man die oberen Endpunkte dieser senkrechten mit dem vorhin erwähnten End- punkt der Hanptdiagonale, so hat man die Seitendiagonalen </,, d^ und d^. Durch das Abtragen der Stücke ff|, a, und ff, sind ganz von selbst die Län- gen tf, , tt, und t/, zum Vorschein gekommen und es ist nun leicht, die Län- gen <^f + ti,, di — f/, , df + Ufjdji — ci, herzustellen und nach dem in 2 . 6 geschilderten Verfahren zwischen den beiden ersten und dann auch zwi- schen den beiden letzten Längen die mittlere geometrische Proportionale aufzusuchen. Diese Proportionalen sind dann p, und p,. Nun nehme man in der Papierebene den Punkt 0| , sowie die Richtung 0| Z, der einen pro- jicirten Aza beliebig an, und schneide von 0, u auf 0, Z| das Stück Ar, ab, so erhält man C,. Indem man dann von C, mit einem Radius :=p, und von 0| mit einem Radius = k^ Bögen beschreibt, gewinnt man A^ ; und B^ kommt zum Vorschein, indem man in ganz gleicher Weise*von den Punk- ten C, und 0| aus mit den Längen p, und Ar, operirt. In dem Umstände, dass- dann A^ B^ =^Pt werden muss, liegt eine Probe für die Richtigkeit der Zeichnung.

8) Wir wollen nun noch , gestützt auf unsere Constructionsweise , die Formeln für die Axenwinkel entwickeln.

Bezeichnen wir den Winkel A^ 0^ B^ durch tp , so ist im Dreieck A^Ot B^i

V + V-Pi*

cos g> = , ,

290 Kleinere Mittheilungen.

Da nun

/:,* = d,« — ö,* = a, d — öj«;

und

Pi* = ^3* — {at — aiy=zaj,d — a^* + 2ata^ + a/, so erhalten wir:

^^j _ rfK + fl, — «3) — '^tfjtft 2/a, ff, (er — «,)((/ — «,) *

Beseitigen wir nun «3, indem wir für dasselbe 2d — a^ — a^ einsetzen,

cos (p = •

2/rt, a, (rf— a,)(d — «,) (d — a^){d — a,)

]f/a, a,(d--ö,)(cr — «,)

=-/

(d--o,)(d — öj)

«1 ö« Bedenken wir nun, dass :

rf = 4(m« + n« + ^), rt, = m*, a, = «* und. a, = g' ist, so erhalten wir:

CO* g> = l/(n* + g^ — m*) (m* + 0* — n').

0) Legt man beim rechtwinkeligen Parallelepiped 0 0| durch 0 eiae Ebene JS^ senkrecht zur Hauptdiagonale, und setzt die Seakreefateiii J A^y B Bi und CC^ rückwärts fort, bis sie Ebene £| in den Punkten J^^ B^ und (7, treffen, so überzeugt man sich leicht, dasis die Summe dieser neu'en Abstände AA^^ ^ ^t ^^^ ^^s gjeich der einfachen Hauptdiagonale 0 0^ sein muss. D^nn: ^1 ^^ + ^1 ^2 "t^^f ^ =^ 3 . 0 0, und ^^, + Ä Ä, + C C, = 2 . 0 0,.

10) Das gleiche Resultat hätten wir auch noch auf folgende Weise fin* den können: Denkt man sich OA^ OB und OC seien der Grösse und Richt- ung nach drei in 0 angreifende Kräfte, so ist 00^ deren Resuldrende» Zer- legt man jede der drei erstgenannten Kräfte in zwei Seitenkräfte , yon de- nen die eine in Ö 0^ die andere in Ebene Ei fällt, so muss einem bekannten Satze der Statik gemäss die Summe der drei längs 0 0, fallenden Seiten- kräfte gleich der Resultirenden 0 0^ sein. Diese drei Seitenkräfte sind aber in Bezug auf Grösse auch durch die Abstände AÄ^^ B B^ und CC^ ausgedrückt.

11) 0 Afy 0 B^ und 0 C, stellen offenbar die bei jener Zerlegung in die Ebene E^ fallenden Seitenkräfte vor, und diese müssen, wie die Mechanik lehrt, unter einander im Gleichgewichte stehen. Fassen wir daher die Kräfte 0 A^ und 0 B^ mittelst des Parallelogramms der Kräfte zusammen, so muss die zum Vorschein kommende ResuUirende mit 0 C, in eine und

Kleinere Mittbeilungen. 291

dieselbe Gerade fallen; woraus hervorgeht, dasa die yerlängerung von OC^ genau in der Mitte der Geraden A^ B^ eintrifft. Ganz so lässt sich zeigen, dasa anefa die Verlängerungen von 0 A^ und 0 B^ beziehungsweise durch durch die Mitten der Geraden B^ 6Vund A^ (7, gehen. Der Punkt 0 ist mithin der Schwerpunkt des Dreiecks AfB^C^,

12) Die Pyramide AB CO muss sich auf Ei genau so projiciren , wie ^uf der durch 0| gehenden Bildebene £, woraus hervorgeht, dass der Punkt 0| Schwerpunkt des Dreieckes A^ B^ Ci sein müsse. 0,/> bt aber die halbe Diagonale des aus 0| A^ 0, Bi und Winkel A^ 0^ ß, con- struirten Parallelogramms (da ja 0^0^ der Resultirenden aus 0|^, und Of&, das Gleichgewicht halten muss) ; die ganze durch Ox gehende Diagonale dieses Parallelogramms ist somit = Oj C|. Die ganze Construction, durch welche man zu projicirten Axen gelangt, läuft daher darauf hinaus, ein Parallelogramm zu construiren, das O^Ax und O^B^ zu zwei in einen Punkt 0 zusammenstossenden Seiten und das ganze Oi (7, zu der durch 0^ gehenden Diagonale hat.

XDL Vene Seilbestimnmng der Taylor'sohen Beihe. Die Restbo- Stimmung der Taylor 'sehen Reihe, mit welcher sich zuerst d'Alembert beschäftigte und welche später Lagrange, Ampere und Cauchy auf verschiedenen Wegen , u. A. auch mit Hilfe der Integralrechnung durch- führten, soll sich aus der £ntwickelung der Reihe selbst und zwar so un- mittelbar ergeben, dass dazu die Definition des Differentialquotienteu aus- reicht. Denn nur alsdann lässt sich jene Reihe in den Elementen der höhe- ren Analyse frühzeitig genug begründen, damit aus ihrer Anwendung auf die zahlreichen Fragen, deren Lösung sie in anschaulichster und bequemster Weise vermittelt, zugleich ihr wahrer Nutzen erkannt werden kann.

Bei allen mir bekannten Methoden der Darstellung dieser Reihe fallen aber die Restbetrachtungen entweder sehr umständlich aus, oder sie werden (oft unter Voraussetzung der Form der Reihenglieder) in der Differential- gleichung erst sehr spät angestellt oder gar in die Integralrechnung ver- schoben , so dass mittelst anderer künstlicher Verfahrungsarten die Fälle bereits erledigt sind , aufweiche sich die, mit Berücksichtigung des Rest- ansdruckes streng gerechtfertigte Anwendung der Reihe am fruchtbarsten erwiesen hätte.

Die folgende Entwickelungsmethode scheint den oben bezeichneten Anforderungen genauer zu entsprechen, in dem sie auf kurzem, sich gleich- sam von selbst anbietendem Wege die Reihe und zugleich den Rest liefert, dabei aber nur der folgenden, unmittelbar aus dep Definition des Differen- tialquotienten hervorgehenden Corollarien sich bedient« Nämlich :

A. Eine Funktion ist mit zunehmenden Veränderlichen selbst im

292 Kleinere Mittheilungen.

Wachsen oder im Abüehmen begriffen , jenachdem ihr erster Differential- qnotient an sich positiv oder negativ ist.

B. Der Differentialqnotient /*<**) (or) kann innerhalb des Interyalla zweier Werthe x und x-\-y der Veränderlichen nicht endlich und stetig bleiben , wenn dies nicht bei den vorhergehenden Differentialqnotienten /^<'— i)(x), /•("-«) (a?) ... ./•' {x\ fix) der Fall ist.

C. Die Gleichung:

d X d y

findet immer statt, wenn man voraussetzt, es bleibe f{x + y) ftir alle zwi- schen X und X -^ y liegenden Werthe des Arguments endlich und stetig.

1.

Die verlangte, bis zur n — 1*®° Potenz des Zuwachses y der Veränderliehen X fortschreitenden £ntwickelung der Funktion f(x+y) sei:

f(x+y) = X^ + X,y + X^l/'+... + J«^iy«-^+ (/, wo Xo, X|. 2^2, . . . X^^i näher zu bestimmende Funktionen der einzigen Veränderlichen or, und ü^ der ebenfalls näher anzugebende sogenannte Restausdruck der Reihe, eine Funktion von x und y bedeutet.

Vorausgesetzt es bleibe f{x+y von ^ = 0 bis y^=y endlich und stetig, erhält man durch partielles Differentiiren nach x und y die Gleich- ung:

^o' + y ^i' + y* x; + . . . .+ y-^ x\^^ + y- ^ jr',., + ^

0 X

Dieser Gleichung geschieht identisch Genüge, wenn man über JT^, Zj, JT^. 1 , U dergestalt verfügt, dass :

1 ) Xi = Xq ; 2 X, = JTj' ; 3 X, = X „ . . . . (« — l) AT^^i = X^^^ und

dx dy Zunächst ist klar, dass 1) und 2) im Ganzen nur n- Bedingungen zwi- schen den n + 1 sn bestimmenden Grössen ausdrücken, und erst die wei- tere Bedingung, dass IZfürysO verschwinde, zur vollständigen Bestim- mung jener Grössen führen werde. In der That erhält nt^n von dem:

Dies vorausgesetzt, geht nun die Gleichung 2) in die folgende über :

1.2.. .(« — !)' ' dx dx'

Kleinere Mittheilungen. 293

oder, wenn man, um abzukürzen :

I.A..«

setzt, und bemerkt, dass:

dx~ 1 .2. .n'dx' aa:~1.2. ..(n — 1) " "*" 1.2. .n'd~y' so ergiebt sieb, wie leicht zu sehen, die Gleichung :

^ n \dy oxj Die Integration dieser partiellen Differentialgleichung würde unmittel- bar zu der bekannten Integralform des Restes führen. Man kann aber die Frage nach u von einem ganz verschiedenen Gesichtspunkte aus betrach- ten, indem man zwei Werthe von u zu ermittelten sucht, zwischen welchen der Ausdruck:

•'M="-^-'('>+f(i-:-i-:)

wenigstens einmal das Zeichen ändert, zwischen welchen also ein Werth von u liegen muss , wofür jP (ti) = 0 ist.

2.

In der soeben angeführten Gleichung setze ich für u einmal:

80 folgt:

und dann: gefolgt:

In Hinsicht der Zeichen dieser beiden Werthe von J(w) sind nun zwei Fälle zu unterscheiden : es können nämlich die Ausdrücke

/'t-+i> {x) und f^^^^x + y) - (^*\x) entweder gleiche oder entgegengesetzte Zeichen haben.

Sind, im erstem Falle, die Zeichen jener Ausdrücke gleich, so sind die Zeichen von F{u^ und F{}t^ einander entgegengesetzt Wenn man daber die Annahme macht, es bleibe F^'^^^x) von dem Werthe x bis zu je- nem a? + y der Veränderlichen endlich und stetig, so muss es noth wen- dig zwischen ti, =r /^»)(a:) und m, = {^*^{x + y) einen Werth von «, und so- fort von X einer entsprechenden zwischen x und x -{- y geben , wofür F («) verschwindet.

Hiernach kann man den Werth einer zwischen 0 und + 1 liegenden Zahl K 80 bestimmen, das«

294 Kleinere Mittheilungen.

u = F^^Hx + ky) und F(u) = 0. wird.

Sind, im zweiten Falle, die Zeichen der Ausdrücke: /<''+^> {x) und /^-)(a: + y) — /<"K*) einander entgegengesetzt, so muss /"('•+*) (x) zwischen den Werthen x nnd X + y der Veränderlichen wenigstens Einmal sein Zeichen wechseln , folg- lich/^*^(j?) innerhalb jenes Intervalls wenigstens Einmal vom Wachsen in's Abnehmen oder umgekehrt übergehen. (Satz A.)

Dies vorausgesetzt, seien nun a:,,, a?, , . . . die zwischen x und oc + y Hegenden Werthe der Veränderlichen, für welche /^*+*) (x) = 0 wird, nnd zwar sei :

a? < aro < iTj < . . . < a: + y.

Setzt man nun für u den Werth:

so folgt:

F(u,) = f(''){x,)^fi->{x), weil Xq eine von x und y ganz unabhängige, constante Grösse ist. Da ausserdem x^^ der kleinste der auf x folgenden Werthe ist, wofür /*<«+'> (x) verschwindet, so haben nothwendig:

/-C+i) (a:) und /X«)(x„) -/*<"> (x) = /• K) gleiche Zeichen. Der Voraussetzung nach sind aber die Zeichen von

fin+\) (x) und /•<«) (^ + y) — /•<«> (x) = F («,) einander entgegengesetzt: folglich müssen

-F(mo) und F(m,) entgegengesetzte Zeichen haben. Es muss also zwischen

«, = fin) (^,) und t/, = /*<*(ar + y) ein Werth von u , und sofort zwischen Xq und o; + y ein entsprechender Werth von x liegen, wofür -F(w) = 0 wird. Liegt aber dieser Werth zwi- schen .To ^^^ X •\* y^ BO ist es nicht minder gewiss, dass er auch in dem er- weiterten Intervall von a: bis o: + y enthalten ist, dass man ihn also wieder durch X + Ky darstellen, und sofort

ti = /•(")(« + »y) wie im vorigen Artikel setzen kann. Hierdurch sind die beiden früher un- terschiedenen Fälle erörtert und auf dasselbe Resultat zurückgeführt Ohne die ausdrücklich gemachte Voraussetzung, dass f(x)..{S» C.) . . und /*<*>(a) innerhalb des Intervalls von o; bis o; + y der Veränderlichen stets endlich und stetig bleiben, wären die vorangehenden Betrachtungen dnrchaua nicht statthaft. Jene Voraussetzung aber fände (8. B.) nicht statt, wenn nicht auch /'^'•~*K^)> /^"""^N ....f{x)y f{x) innerhalb des bezeichneten Intervalls endlich nnd stetig bleiben würden.

Fasst man Alles zusammen, so ergibt sich der Satz;

Kleinere Mittheihingen. 295

Wenn f{x), f'{x\.,.f^^^x) für alle zwischen s und x + y liegenden Werthe der Veränderlichen endlich und stetig bleiben, und wenn x einen zwischen 0 und +1 liegenden Brach von der Beschaffenheit bezeichnet, dass w=/^*)(a:+xy) gesetzt, der Gleichung:

"-/^■'w+^Gi-i-:)"«

Genüge leistet, so ist:

,rK^ + ^y)'

1 .2. . .n' Gratz, am 8. llÄrz 1^59. Professor Dr. A. Wincklbr.

XX. ITeter eine Umgestaltung der Amp^re'schen Formel. Von Gustav Roch, Schüler des polytechnischen Institutes zu Dresden. Die Verein- fachungen, welche die Dynamik, sowie die Lehre von der Anziehung da- durch erleiden, dass man die wirksamen Componenten ^, F, Z als Differen- tialquotienten einer Funktion (des Potentiales) betrachtet, machen es wün- schenswerth, auch in die Lehre vom Elektromagnetismus eine ähnliche Kräftefunktion einzuführen. Die Bestimmung derselben für die Wirkung von elektrischen Strömen ist der Zweck dieser Arbeit.

Die Amp^re'schen Formeln für die Wirkung zweier Stromelemente geben die Werthe der drei Componenten JT, F, Z der Wirkung und durch Integration einer totalen Differentialgleichung mit drei unabhängig Variab- len kann aus ihnen die Potentialfunktion V bestimmt werden. Im Allge- meinen aber existirt keine Lösung einer solchen Gleichung und diess ist auch der Fall für die Wirkung zweier Stromelemente. Es soll aber ge- zeigt werden, dass eine solche Funktion existirt für die Wirkung geschlos- sener Curven und es ist dies, streng genommen, auch der einzig mögliche Fall.

Als Grundlage für die folgende Rechnung diente der für viele beson- ders auf krummlinige Stromleiter bezügliche Entwicklungen sehr bequeme Ausdruck der gegenseitigen Anziehung zweier Stromelemente.

— lt^aSl r~"i — : — ds.

Es seien Xy y^ z und o:«, ^i, Zj die Ooordinaten des wirksamen und des afiicirten Elementes. Dann sind die Componenten X^ Y^ Z

296 Kleinere Mittheilangen.

=^ix,d8,r-i — ds.—

1) ^=ft, d^jr-i rf^.r— etc.

0 S OXi

wenn

,»=={x- x,y + (y - y.)* +{' — ».)». Man hat nnn :

df{r) r)ip{r)^df{r)dfp{r) drdr^dfjr) d ip jr) dx * dy dr dr 'dxdy dy ' dx '

Diese Formel darf aber nicht sofort in 1) angewendet werden, da

r~i— noch andre von x^ und s abhängige Grössen ansser r enthält. Es

ist q> (r) aber gleich r. Man mnss daher schreiben :

df{r,x,y)dr^dst^r .drfdr dx dy dx'dy dxdy

und hierin ist:

dj\r,x^dr _dyfdr drfd_r dy dx dy dx'^ dydx'

dxdy dydx und mithin allgemein :

df{r,x,y)dr_df{r,x,y)dr d^fdr dyfdr dx dy dy dx^dxdy dydx

Hiernach ist:

TT . . ^ ! 1 V dsj dr

d Xi ds

ds.

'^^ ^ ds . dx. dx, dsV

ds . dxt dXi

In den letzten beiden Diiferentialquotienten ist r als constant ansu* sehen. Man kann sie daher schreiben :

'^ s dx^ ds dxi o. o„

, \ dsjdr \ dsJ r

ds dx^ ds dxi ds dx^

d x^ ds dxi ds'

dr Es ist aber r— unabhängig von r. Man darf daher in den letzten

beiden Differentialquotienten auch r als veränderlich ansehen, und hat so nicht mehr partielle Differentialquotienten von der vorigen störenden Be- schaffenheit. Es ist:

Kleinere Mittheilnngen.

297

Die Glieder in der geschlangenen Klammer können noch weier reda- cirt wei'den su

*a*,a5 '" a« laoTi V^a^^a* a« /aar,'

Diesen Ansdrnck konnte man anch sehr hald aas : I coB Ö cos S* — cos B erhalten. Die Grösse

ist unabhängig von Xi, so dass man X schreiben kann :

,drdr r

r d s Der Eweite Theil der Klammer ist nunmehr ein Differentialqnotient nach Xf. Den ersten kann man schreiben:

= 4

* ^ l^ds^dsd x^ dXi

st nnnm^ ben:

AU)

^''dsi^'^d's dx^

dXf Man überzeugt sich, da

•ö)

A''rs)^sÄ''li)

ds d Xi ds^ dxy

d r drd X OS oxds dr drdXi

leicht, dass' <'U)	dx
nod 80 dws der erste Theil von X zu	— d~s' _ 8*, "■^8».'
.(ldrdr\	^'7a„	r dx

wird.

298 Kleinere Mittheilnngen.

Es ist daher

X =

Ebenso ist ein Ausdruck für 7 zu entwickeln und für Z. tfan sieht, dass eine Potentialfnnktion nur existirt, wenn man eine Funktion auffinden kann, deren Differentialquotient nach x^ der Ausdruck:

dxx r ox r

ist, und wenn ähnlich die nach y und z geformt sind. Dann aher müsste, da:

d X .dy d y ,d X ist, auch sein

fVä^, ds ds ds/) _ (\ds^ ds dsds/)

d yi d x^

Man überzeugt sich- leicht, dass dies nicht der Fall ist und es existirt demnach keine Potentialfunktion für die Wirkung sweier Stromelemente. Intcgrirt man den obigen Werth für X aber nach s und s^ innerhalb zweier geschlossenen Curven; so fallen die Glieder

weg, und es entsteht:

0 ü X die Componente der Wirkung zweier geschlossener Curven.

Die Bildung \les Differentialquotienten nach a:, aber wurde in einer Weise vorgenommen, die eine Aenderung der Schreibweise erlaubt. Denkt man sich innerhalb der geschlossenen Curven zwei feste Punkte x, y, z und ^1 ) Vi ) ^1 und misst von da ab die Coordinaten der Peripheriepunkte zu {, 1?, f, und Si, 12, , fi, so wird:

^^ = [(^ + 1)- (0^1 + £,)]•+ etc. und man darf die nach den früheren rc,, y,, z^ genommenen Differential- quotienten identificiren mit den nach den jetzigen genommenen. *Dann darf man auch die Differentiation nach der Integration ausführen und es wird:

0 0

Kleinere Hittheilungen. 299

Die Potentialfunktion V aber ist daher :

2)	F=M-, /
	yV^
3)	X-

Diese Form für V kann aber bedeutend vereinfacht werden. Man hat:

A'Fl) Kll)

r d sdSi r d$ ds

nnd durch die Integration fällt der letzte Theil weg, so dass entsteht :

V=-\ii^JJ\^^dsdB„ wobei-r|^^ =[^+|-(*.+l,)]|^+ etc. Demnach :

0 ü Dieser Werth genügt der Bedingung

Derselbe lässt sich noch besonders vereinfachen, wenn £^17, i nnd |,,

i^i, {;, immer sehr klein sind gegen r. Man kann dann — nach Potenzen

r

derselben entwickeln, wenn man die Entfernung der Punkte, von denen aus

i) ^9 ti It) ^n i^i gemessen werden, einführt. Sie sei r\ so ist:

, , ai al. ai,

r r dx , dy ' dz

ai, ai. al. . a'i, a'i a'A

r r r

a*i a»i a»i

ZaiUchrift für M«th«nu«ik o. Physik. IV. 30

300 Kleinere Mittheilungen.

Die sieben ersten Glieder fallen in dem Aiisdnicke'4) weg. Setzt man

nun:

/ * s s

5)

0 0 0

Ä, «I *|

u u

a; ai al>

SO wird :

Ich habe diese Formeln zunächst auf die Amp^re^scbe Theorie des Magnetismus angewendet und besonders die Wirkung der dem af&cirten Molekül sehr nahen Theilchen bestimmt.

XXI. lieber die Bewegung eines schweren Punktes auf einer ver- tical stehenden Flancorve. Beim Unterrichte in der analytischen Mecha- nik k-ann man folgende nicht übele Aufgabe benutzen, die ich in keinem der mir bekannten Lehrbücher finde :

Auf die Aussenscite einer gegebenen, vertical gestellten Plan- curve ist ein schwerer Punkt aufgelegt ohne Mittheilung einer Anfangsgeschwindigkeit; an welcher Stelle wird er, längs der Curve herabfallend, die letztere verlassen? (Fig; 4, Taf. III.) Die Achse 0 Z sei im Sinne der Schwere genommen, Pq die Anfangs- lage des beweglichen Punktes und die zugehörige Abscisse ÖiV= r©, fer- ner für eine andere Lage P die Abscisse ON ==z^ N P = y =sf{z) und der

Tangentenwinkel S P T^=r mithin ton t = --^ = y'. Von dem beweglichen

a z

Punkte, dessen Masse s= 1, dessen Gewicht daher =g=:PS sein möge,

erleidet die Curve in P den normalen Druck

PU = gsinr = ~-M==

jedoch nur dann, wenn LS PT<^9(fi also y positiv ist, weil im Gegenfalle der bewegliche Punkt ohnehin nicht mehr auf der Curve wäre ; da unter dieser Voraussetzung sinx gleichfalls positiv ist, so bat man in der obigen Formel die Wurzel mit dem positiven Zeichen zu nehmen. Andererseits

Kleinere Mittheilungen. 301

wirkt die Centrifugalkraft dem Drucke entgegen; sie ist, wenn v die Ge- schwindigkeit und Q den Krümmungshalbmesser in P bezeichnet,

PV= -=?liiZl52)

y"

Die genannte Gegenwirkung findet übrigens nur in dem Falle statt, wo die Curve ihre concave Seite nach der liichtung negativer y hinkehrt, d. h. wenn ^" negativ ist;* man muss daher, um den absoluten Betrag von PV zn erhalten, der Wurzel das negative Vorzeichen geben. Die gesuchte Stelle findet sich nun dort, wo -P [7 == P F wird , bestimmt sich also durch die Gleichung

gy _ 2(y.(t — Zo)y"

oder:

1) y (i+y'*)+2y-(«-^.) = o;

nach Substitution der Werthe y =^f (z) und y" = (" {z) ist hierin nur die eine Unbekannte z enthalten.

Bei der Parabel überwiegt die Normalcomponente der Schwere im- mer die Ceatrifugalkraft , wenn die Parabelachse vertical steht; dagegen wird die Aufgabe möglich, wenn man die Parabelachse A C horizontal legt (Fig. 5, Taf. ni). Nehmen wir den Ausgangspunkt* Pq zum Coordinaten- anfang und setzen 0 B = b^ OC^=Cy und nennen a den Halbparameter, so haben wir als Gleichung der Curve

-'-'^'. '.=«■

mitbin nach No. i)

t^ {c — z) + (c — zf —2 c^ z z=i 0

oder für c — z = w

ti^ + 3 a* M — 2 «• c = 0. Diese Gleichung ist mittelst der Cardan*8chen Formel auflösbar; man erhält:

2) z^c^ \fa^j/^^'c^+c) — Va^ {]/a^~+? — c) }

Da ein negatives z eine Unmöglichkeit anzeigen würde, so muss noch untersucht werden, ob z positiv ausfällt. Es ist nun ohne Weiteres klar, dasB der Ausdruck M* + 3fl'w — 2«'c mit u gleichzeitig wächst und über- lianpt nur für einen einzigen positiven Werth von u verschwinden kann ; für M = 0 wird er negativ, für m = c positiv, mithin liegt die gesuchte Wurzel zwischen 0 und c, folglich ist auch z zwischen 0 und c enthalten.

Als zweites Beispiel diene eine Ellipse, deren grosse Achse vertical steht (Fig. 6, Taf. III); es ist dann, wenn der obere Scheitel zum Coordi- natenaufang genommen, AC = a und B C=b gesetzt wird,

20*

302 Kleinere Mittheilangen.

y=— 1/2 az — z* a ^

und nach No. 1)

Die Gleichang vereinfacht sich mittelst der Suhstitntionen

i/a* — 6«

•und wird

3) «* JJ* — 3 a* o: + 2 «• ÄTo = 0;

setzt man weiter

■ » •«'0 • — 1

so wird noch hesser

6--3£ + 2fo = 0. Die einfache trigonometrische Lösung hiervon hesteht in den heiden Formeln

sinq> =go» 1 = 2 jf«!^), und dies kann mit Hülfe der Trisection des Winkels eonstruirt werden. Zieht man nämlich vom Brennpunkte F nach P^ und P die Leitstrahlen r, und r, so ist ^

g — Tq _ f ^0 _ fc « — ^_ t a a a

mithin nach dem Vorigen

, ü — r« 4) «« 9 = , r = Ä — 1ta$tnf^,

Dem entsprechend schneidet man auf B F die Strecke FQ^ = FP^ ab, heschreiht aus B mit Eadius ^jßo einen Kreis und legt an diesen eine hori- zontale Tangente, welche den um die Ellipse beschriehenen Kreis AB va R schneidet; von dem Bogen BR bestimmt man den dritten Tbeil 2)5, steht ST-^CB und nimmt BQ = 2ST, dann ist der Rest FQ der Leitstrahl des gesuchten Punktes P,

n % Diese Construction wird elementar, wenn 9 einen der Werthe -ti-t«

4 o

n o

— etc. erhält ; für Tq = a — rp ist z. B,

^ = 45^ r = a — 2 a sin lb\ doch setzt der für r^ angenommene Werth voraus , dass a mehr als b Yt beträgt.

Giebt man der Ellipse die umgekehrte Lage , indem man die kleine Achse vertical stellt , so kommt man auf eine ähnliche cubische Gleichang wie vorhin; doch lässt sich diese nur mittelst der Cardan^schen Formel auf- lösen.

Kleinere Mittheilangen. 303

Beim Kreise ist 6 = a, «=0, mithin nach No. 3)

Dieser Werth hängt vom Radius a nicht ab; hat man also für mehrere concentrische Kreise dasselbe Xo, so gilt anch für alle jene Kreise das- selbe X.

Ffir eine Hyperbel mit verticaler Hauptachse erhält man eine Gleichung , die änsserlich mit No. 3) übereinstimmt , worin aber

a ist. Da diese Gleichung keine positive Wurzel besitzt , so bleibt der be- wegliche Punkt immer auf der Curve , wie leicht vorauszusehen war. Bei einer gleichseitigen Hyperbel (Fig. 7, Taf. III), deren eine Asymptote BD vertical steht, sei C der Anfangspunkt der Bewegung, 0 C N // B D die 7- Achse, 0 B = b, OC=^c] die Gleichung der Curve lautet dann

6 c = (ft — y)z oder y = ( 1 j

und hieraus ergiebt sich nach No. 1)

6»C* + 4C2» — 3z* = 0 oder einfacher

^ :^ + 4«J: — 3a = 0,

wobei ,

c c^

'gesetzt worden ist.

Legt man die Basis einer Cycloide horizontal und nimmt den da- rüber befindlichen Scheitel zum Coordinatenanfang , so hat man als Diffe- rentialgleichung der Curve

'Z — >

z

worin a den Halbmesser des erzeugenden Kreises bedeutet. Die Gleichung 1) liefert sehr einfach

z = a + 47o. Für die Kettenlinie, deren Gleichung ist

,= l(e^+ ."') oder y = c/(i±i^). ergiebt sich ^

wie beim Kreise ist dieser Werth unabhängig von dem Parameter der Curve.

SCHLÖMILCa.

304 Kleinere Mittheiluügen.

XXn. Allgemeinste Auf Usnng der Oleichang a:' + ^ = z* in relatiTeiL Primzahlen. Von K. Hoppe in Berlin. Die Oleichang lässt sich zerle- gen in

P5r = 2«, p = x + yy g = {x + y){x — 2y) + Zy^, woraus erhellt, dass p und q keinen Factor gemein haben können ausser 3. Demnach ist entweder

pz=u^, q =zV*, 2 = UV oder

/> = 3u*, qz=Zi^y z = Suv. Erster Fall. Da hier

4v*z={2x — yy+Zy' oder

3^= (2t; — 2a: + y){2v + 2x — y) ist, 80 giebt es stets zwei relative Primzahlen y^ Sy welche die Gleichung erfüllen :

y{2v — 2x + y) — z8y, d {2v+2x — y) = yy, woraus nach Elimination von v

4y Äa: = (y — d) (y + 3^) y. Die Coefficienten von x und y können keinen Factor gemein haben ausser 3 und 4, nämlich 3, wenn er in y steckt; 4, wenn y und d ungerade sind. Daher hat man

1) BX={y — 8){y+^8), By'^4yd, « = 1,3,4,12,

woraus hervorgeht

su^ = y* + 6y^— 33*. Hat nun y, mithin auch e den Factor 3, so ist y* + 6yd theilbar durch 9, folglich

das ist die Summe zweier Quadrate , theilbar durch 3. Das ist unmöglich, weil d nicht durch 3 theilbar ist. So behält e nur die Werthe 1 und 4, und man hat

y« + 6yÄ — 35« = w,« oder

3(2y-ö)d = (tt,— y)(ti, + y), daher erfüllen zwei relative Primzahlen a und ß die Gleichungen

3/3Ä = «(e/.-y), a(2y-Ä) = ^(M, + y), woraus nach Elimination von t/| erhalten^ird

2a(a — /?)y=(o" + 3/3«)^. Die Coefficienten von y und S können keinen Factor gemein haben äIs 3 und Potenzen von 2. Man hat

fy = a» + 3/5*, i8 = 2a{a — ß), J: = 2* oder =3.2». Führt man diese Werthe in die Gleichungen 1) ein , so ergiobt sich nach leichten Reductionen

Kleinere Mittheilungen. - 305

. f •* = (« + ^) [(« + jS)' - 8 («_ (S)']

, t»y = 4 (« - ß) [(« + ßY +{«- ß)*].

Setzt man iir + /5=a, a — /3 = ft, so werden a und b alle Zahlen durch-

laufen, die zugleich gerade oder zugleich ungerade sind. In den geraden

Systemen sind aber alle Systeme enthalten, multiplioirt mit 2. Ohne

EinschrSnknng ist daher

^a: = a(«» — 86»), ^y = 4ft (a* + A»), ^==2« oder =9.2*.

Ist hier a gerade und man substituirt

26, a, y, X für a, 6, or, y,

so erhiilt man nach Division durch 4 dieselben Ausdrücke wieder. Man

kann demnach a auf ungerade Werthe beschränken, ohne Systeme der or, y

einzubüssen. Unter dieser Annahme behält ^ noch die Werthe 9 und 1,

welche offenbar eintreten, jenachdem a + b den Theiler 3 hat oder nicht.

Z weiterer all. Haben j9 und q den Factor 3, so ist

12»*=(2a: — y)«+3y«,

{2x - y/ = 3 (2v ~ y) {2v + y),

y(2ar — y) = 3Ä(2» + ^), ^ (2a: — y) ^ y (21;— y),

2 (y« — 35«) a: = (y» + 6yd — 3d') y.

Theiler ist 4, wenn y und ^ ungerade sind; 3, wenn es in y steckt, daher

ear = y*+6yd — 35% «y = 2 (y«— 35*), «=1, 3,4, 12,

woraus

eu* = f+ 2y5— 3d' = 3«i» oder — m,',

jenachdem y und € den Factor 3 haben oder nicht. Ist 3 nicht Theiler, so

kommt

,/,«=(y_a)(y + 3J), a(y — 5) = /Stt,, /3(y + 35) = aw,, ««(y_6) = /S'(y + 3d), («»-ny = («* + 3n(J,

€f'a; = «*+6«*j3»— 3/3*, E£«y = 3 j3* + 6a« /?« — «*. Ist 3 der Theiler, so setze man 3y für y, dann erhält man dasselbe, nur mit Vertauschung von x und y. In den zwei letzten Gleichungen ist 3 Theiler, wenn es in a steckt; 4, wenn a und ß ungerade sind. Da aber

3£j*t/,^=6£»(a: + y) = 12a«jS«, so kann s nicht den Factor 3 haben, da es den Factor 9 nicht hat, folglich behält der Coefficient von x undy nur die Werthe 1 und 4. Alle Auflösungen sind demnach in folgenden enthalten: L -^a: = a(a» — 86»), ^«y=46(a» + 6»), d"z=a» +20fl"6»— 8 6«, wo a ungerade, und -^ = 3 odex =1 ist, jenachdem 3 Theiler von a + b ist oder nicht.

IL ri*x = a* + QaH* — Zb\ tj*y=3 6H6«*^' — «*, »?'2 = 6a6 (a* + 3ö0, wo a nicht theUbar durch 3, und ly =^ 2 oder =1 ist, jenachdem a und 6 beide ungerade sind oder nicht.

306 Kleinere Mittheilungen.

yynT. Das pythagoräisohe Dreiedc Im Octoberhefte 1858 der Nou- velles annales de mathSmaliques (T. XV 11^ p. 395) löste H. Chrono die Auf- gabe, ein Dreieck zu finden, dessen drei Seiten und Flficheninhalt eine arithmetische Reihe von der Differenz 1 bilden, dahin, dass nur das so- genannte pythagoräische Dreieck von den den Seiten 3, 4, 5 nnd dem Flächeninhalte 6 dieser Bedingung genüge. Im Januarheft 1859 derselben Zeitschrift (T. XVIII, p. 44) bemerkte H. Lebesgue, dieses Dreieck sei überhaupt das einzige in ganzen und rationalen Zahlen, welches der Bedingung genüge, für die drei Seiten und den Flächeninhalt eine arith- metische Keihe mit irgend einer Differenz herzustellen. Wir wollen dies auf andere Weise zeigen.

Es sei zunächst das Dreieck ABC (dessen Flächeninhalt jä) ein ganz beliebiges. Wie gewöhnlich bezeichnen a, 6, c die den Eckpunkten A^ By C gegenüberliegenden Seiten, g den Halbmesser des eingescbriebenen Krei- ses und die Stücke, welche auf den Seiten zwischen den Berührungspunk- ten mit jenem Kreise und den Eckpunkten liegen, mögen durch die den zu- nächst liegenden Ecken entsprechenden griechischen Buchstaben o, /?, / benannt werden , so dass also

Nun ist bekanntlich

1) ^==k{a+b + c){b + c-a).tg^,

wie auf die verschiedensten Weisen abgeleitet werden kann. Ferner ist

a + c — 26 = 2/3 — (a + y)

tt A

und wegen — = cotg -- u. s. w. folgt daraus 9 2

Ist daher b das arithmetische Mittel zwischen a und c, d.h. ist -^ =0

BfA C\ B

so muss auch 2 colg ( cotg •— + cotg ~ j = 0 sein , es muss coig — das

2 \ 2 2 / 2

A C

arithmetische Mittel zwischen cotg — - und cotg — sein , oder

bilden die Dreiecksseiten a, &, c eine arithmetische Reihe , so muss

ABC dasselbe aijch für coig — , cotg — , coig — der Fall sein.

Z 2 <»

Um die Differenz dieser letzteren Progression anzugeben, kann man füglich folgenden Weg einschlagen. Es sei a = x — rf, 6 = ar, c = a: + rf, dann ist

sin A d sin C ^^ . d •

sin B o: ' sinB a: '

Kleinere Mittheilnngen. 307

also

und daraus

sinA + sinC^=:2sinB = 2sm{A + C)

ov 1 — 2cosA i — 2 cos C

sinA sinC

Nun ergiebt sich augenblicklich

f . AV / AV ( A\\ ( , A\

i-2 cos A v^"T;+r^?j-^^"2J+H^"7; • ^ . ^

-^Ü^Ä-^ 7-Ä 1 =l^J-lcotg^

2stn — .cos — 2 2

und 80 nimmt die Gleichung 3) die neue Gestalt an:

cotgj + colgj ^ ^

'^I + '^T

mithin

Aber in jedem Dreiecke ist

cotg-^ = Ztg-'

B A+C '^'^i + '^^J

coig — ^^tg

2^2 A C '

co(g-.cotgj—l

folglich in dem vorliegenden Falle

coig- = icoig-^ + lig-^^

Die drei Winkel sind demnach auf den Winkel A zurückgeführt und der oben ausgesprochene Satz lässt sich bestimmter so fassen:

Seien a = x — rf, 6 = o:, c = a: + d die drei Seiten eines Dreiecks, 80 folgen dessen Winkel dem Gesetze , dass auch die Cotangenten

ihrer Hälften in arithmetischer Progression stehen, indem cotg —

^ A B , A ^ ^ A C A ,

= cotg~, coig-^icotg^ + ltg-^, cotg- = Zlg- ist.

Für dieses speciellere Dreieck folgt aus 1) auch eine einfachere For- mel für den Flächeninhalt, nämlich

4) J==ix{x + 2(f)tg Y

Dieses Dreieck ist in so weit noch allgemein, als für x und d jeder positive Werth gesetzt werden darf, weichet nur der Bedingung x> 2rf entspricht, indem « + 6 > c sein muss. Der Winkel A hingegen hängt selbst von x

308 Kleinere Mittbei langen.

und d nach der bekannten Formel ab, welche die Winkel des Dreiecks nus den drei Seiten finden lehrt und welche hier die Gestalt besitzt:

Es liegt nun nahe, noch eine dieser zwei wenigstens bedingungsweise willkürlichen Grössen x, d dadurch zu bestimmen, dass eine Eigenschaft des Dreiecks hinzutrete, welche bei einem Dreiecke von arithmetisch fort- schreitenden Seiten wirklich stattfindet. Bei dem pythagoräischen Drei- ecke setzt die Maasszahl des Flächeninhaltes die arithmetische Reihe der Seiten fort. Soll also in unserer Bezeichnung J^^^x + 2d sein, so folgt durch Substitution dieses Werthes in 4) , dass

^ 2 ~Zx sein muss, und dieser Werth in Verbindung mit 5) liefert die Grösse

3 j'— 1607^

Ein solches Dreieck, dessen Seiten und Flächeninhalt in arithmetischer

lleihe folgen, entsteht daher durch die Annahme

^. 3a:'-f-48.T ^ 9x^+iQx

^) "=^«+32-* *^^' "=-6-^'-+32-*

In der That folgt aus diesen Seiten der Flächeninhalt

öx^

~Sx^+^

und für die Winkel folgen die Werthe:

A ^x B Zx ^ 2 C 4

cotg — = — , coig — = --- + —, cotg — = ■— , ^2 4' ^2 8*^0;' ^2 x'

welche den früher angegebenen Zusammenhängen gehorchen.

Die Werthe 6) sind aber keiner weiteren Bedingung unterworfen, als

o^8 16 37

dass die Differenz d positiv sei, d. h. ^ >0 oder a:>> J^48 also etwa

OX "T" 0/6

T» o . u. 225 ^ ^ 291 ^ 162

z.B. x = Z giebt « = -^» 6 = 3, <J = ^i -^ = "^'

Ganz anders verhält es sich, wenn man die Bedingung hinzugeftigt wissen will, dass a, 5, c, J nicht Mos rationale, sondern auch ganze Zah- len seien. Dann muss ausser x auch d eine ganze Zahl seinj d. h.

3a:'— 16« 6 a::* +32 muss in ganzen Zahlen aufgelöst werden. Aus dieser Gleichung folgt aber

16

Kleinere Mittheilungen. 309

Es rau88 also — ^ — eine ganze Zahl sein, oder durch Substitution des

Werthes von rf,

64a:

muss eine ganze Zahl sein. Das ist nur dann möglich, wenn

6ir»+ 32^640;

Da wir ausserdem wissen, dass in ganzen Zahlen x^Z sein musa, so sind nur die Wertlfe ic =:■ 3 bis a; = 10 zu probiren, und von diesen liefert nur x = 4 die ganzen Werthe a = 3, 6 = 4, c = 5, z^ = 6.

Endlich ist das pythagoräische Dreieck das einzige rechtwinklige

von den verlangten Eigenschaften. Denn bei C = 90® ist cofg — = — = 1,

also x = 4. Cantor.

XXIV. üeber eine Aufgabe aus der analytischen Mechanik. Diese schon bekannte Aufgabe lautet: Es wird eine Curve von der Beschaffen- heit gesucht, dass die Zeit, welche ein materieller Punkt braucht, um den Bogen zu beschreiben, in einem constanten Verhältnisse k zu der Zeit stehe, die derselbe Punkt brauchen würde, um die entsprechende Sehne durch- zulaufen, vorausgesetzt, dass der Punkt l) der Wirkung der Schwere, 2) der Wirkung einer Kraft unterworfen ist, welche von einem festen Punkte her- rührt und der Entfernung proportional ist (Fig. 8, Taf. III):

Diese Aufgabe wurde successive von Saladini*), Fuss*'^), Ser- ret und Ossi an Bonnet***) behandelt; allein es ist, so viel ich weiss, bis jetzt noch nicht bemerkt worden, dass man in beiden Fällen, nicht nur für Ar = 1, sondern auch für jedes k zu derselben Differentialgleichung

1) k.{dQ + Qiange.d&)=^ j/dQ* + qH»

gelangt, wenn ^, 6 die Polarcoordinaten der gesuchten Onrve bezeichnen. Dies führt ^zu dem merkwürdigen Resultate, dass vorstehende Gleichung, wenigstens für diese beiden Fälle, unabhängig von der wirkenden Kraft sowohl, als auch von der Lage des Wirkungsmittelpunktes (centre (Taclion) ist, und mithin zu der Frage, ob diese Independenz nicht allgemein sei.

Bezeichnen nun /( , /, respective die Zeiten, welche der materielle Punkt braucht, um den Bogen und die ihm entsprechende Sehne dnrch-

*) Memorie deW Irmtituto Niizionale Jtaliano. Bd. I, Th. II, S. 43. 1806.

*♦) Memoires de l'Academie des sc. de Sl. Peleisbourg 1824, Bd. IX, S. 9J

***) Jowruil de lAOHville, Bd. IX, S. 28, 116. 1844. x^^wS

UNIVJ I ..i

310 Kleinere Mittheilungen.

zulaufen; r und a die Entfernungen der Punkte M^ 0 vom Wirkangs- mittelpunkte A (wenn 0 der Anfangspunkt der Bewegung ist), F{r) diö wir- kende Kraft; setzt man jP, (r) = fF{r) dr, so ergiebt sich

Es ist dabei zu bemerken, dass, wenn man zur Auffindung der Gleich- ung 1) zugleich Q und 6 varüren lässt, (do) eine specielle Bedeutung hat. Denkt man sich nämlich zwei unendlich nahe liegende Vectoren OM^ OJV, und auf ON die Strecke OM' so abgeschnitten, dass derselbe materielle Punkt, unter der Wirkung der Kraft F{r) , die Strecken OM^ OM' in glei- chen Zeiten zurücklegt, so ist das Stück M'N = {do), und entspricht dem Zeitincremente dt^. Nun erhält man aus 2) die Werthe von ds und (do) als Function der Kraft F{r) und der Zeit :

ds=.j/i]/F,{r)-F,{a).di,, {dg) = ^2 yF;Cr)~-^l\(ä) . dt^,

und durch Division

ds _dt^

{d^)~di,''^ woraus die Kraft eliminirt worden und somit die fragliche Independenz der Gestalt der gesuchten Curve von der Kraft bewiesen ist.

Zusatz. Aus der Vergleichung dieser letzten Gleichung mit l) folgt ^ {d(f)r=dQ + Qde.tange = NM' = Nm + mM\ wenn Om^= OiKf gemacht wird ; daraus folgt aber

mM' z= Qd0 . fang Ö, also

LmM'M=^ ^e~SOMi 2

und wenn man sich einen Kreis durch die Punkte 0, M\ M denkt, ao er- giebt sich, dass OS die Berührende des Kreises bei 0 ist, dass also der Mittelpunkt desselben auf der Verbindungslinie von 0 mit dem Centrum Ä liegt. Nach der frühern Bestimmungsweise der Punkte üf, M* ist aber der geometrische Ort derselben nichts Anderes als die Synchrone (/a courbe synchrone) aller bei 0 zusammenlaufenden Geraden. Als End- resultat ergiebt sich also , dass diese letztere unabhängig von der wirken- den Kraft und der Lage des Wirknngsmittelpunktes , und zwar ein Kreis ist, dessen Mittelpunkt auf der Verbindungslinie OA liegt, und dessen Halb- messer gleich der in dieser Richtung , unter den Umständen der jedesmali- gen Aufgabe, vom materiellen Punkte zurückgelegten Strecke ist , wie dies für die zwei einfacheren Fälle der Schwere und einer der Entfernung pro- portionalen Kraft direct bewiesen werden kann.

Leipzig. . E. BACALoaLOw

Kleinere Mittbeilaogen. 311

ZZV. Zu d«r Qnacbatar der Ipioyeloide und der Hypoeyoloide. Von der Cycloide ist folgender Satz bekannt (ScUömileh'B Compendium der höheren Analysis Cap. XIV, $. 64d) :

Die Scheiteltangente schliesst mit der Senkrechten , welche auf sie ans einem Endpunkte einer zu ihr parallelen Cycloiden-Sehne ge- füllt wird , ein Flächenstück ein , welches halb so gross ist als der zwischen der Scheiteltangente und jener Sehne liegende Abschnitt des Bollkreises. An Formeln für die Quadratur der Epicjcloide und der Hypocycloide fehlt es zwar nicht, aber keine, der mir bekannten wenigstens, bietet irgend eine Analogie zu dem obigen Satze dar, während doch zu vermuthen ist, dass ein allgemeinerer ßatz von der Epicycloide giltig ist, welcher den- jenigen von der Cycloide als besonderen Fall in sich enthält. Die Ent- wickelnng dieses allgemeineren Satzes bildet den Gegenstand der folgen- den Zeilen.

Der Rollkreis habe seinen Mittelpunkt in M^ , wenn sich der beschrei- bende Pnnkt im Scheitel S^ der Epicycloide als dem einen Endpunkt des- jenigen Rollkreisdurchmessers befindet, dessen anderer Endpunkt Jq &^^ den um den Mittelpunkt N beschriebenen Bahnkreis tritt Der beschrei- bende Punkt habe die Epicycloide von S^ bis P erzeugt, wenn der Mittel- punkt des Rollkreises die Lage M einnimmt und der Endpunkt T eines Durchmessers ST auf den Bahnkreis tritt, so wird SMP den in der Folge mit S bezeichneten Rollungswinkel darstellen. Setzen wir ferner

so wird L TqNT=s m0, und der doppelte Inhalt des Epicycloidenaus- Schnittes S^NP durch I r^dq> angegeben. Zum Zweck der Ausführung des

Integrals ziehen wir aus der Betrachtung des Dreiecks NMP die Gleich- ungen :

\ = a sin 6,

: a C05 Ö + a + 6, di£ferenziiren dieselben und erhalten:

dr. sin {(p—^m0) + r cos {q> — mS) . {dtp — mdS) =^acosS. dSy dr .cos (9 — m6) — r sin{tp — mß) , {dtp — mdß) = — asin'B . rfö, durch Elimination von dr sodann:

r{dq> — mde) — a.cos {tp — (w + 1) ßj .dß oder:

r^^ = mr*+ ar.cos {<p — {m + l)ßy Die Gleichnngen 1) aber wiederum geben :

(rsin{q) — mß) = i ^ yrcos{(p — fnß) = i

r» ^^ = «' (m + 1) ^2 + ij (1 + C05 e)

312 Kleinere Mittheilungen.

r* = (a +6)» + ö« + 2 rt (ä + 6) eos^ r cos [<p — {m + 1) ®] = ö + (a H- 6) co« ö somit, nach einigeu Umwandlungen:

dB und der doppelte Inhalt des Epicycloiden Ausschnitts Sq N Pi

e

0

Dieser Ausdruck kann zum Zweck der geometrischen Deutung in fol- gende Gestalt gebracht werden:

^ (2 a + &)« . e — -^ (2« + ^)<9+ ~ (2 fl + b) sin 0 'i-a{2a + b) sin 6 b " _ *

= (2 a + 6)* . OT 6 + ö (2 a -f ^) 5t>i e — (2 ffi + 1) . ö* . (Ö — sin S).

Das erste Glied ist der doppelte Inhalt des Ausschnitts NS^S eines

zum Bahnkreis concentrischen Kreises, das zweite Glied derjenige des

Dreiecks N S P, und ö* (6 — sin B) derjenige des Abschnitts SP vom Eoll-

kreis. Es bleibt also, wenn Gemeinschaftliches angenommen wird:

Fläche SgSP~{2m+ l). Abschnitt SP,

In Worten , wenn bemerkt wird , dass S P Tangente der Epicycloide

ist, und 2m + 1 = — : Irgend eine Tangente der Epicycloide schnei- det von der Fläche zwischen dem betreffenden Curven-Ast und dem s&mmt- liehe Aesto in ihren Scheiteln berührenden Kreise, und als Sehne des HoU- kreises vor diesem, solche Stücke ab, welche im Verhältniss des grössten und kleinsten Abstands des Kollkreis -Umfangs vom Bahnkreis-Mittelpunkt stehen.

Für die Hypocycloide ist m negativ zu nehmen.

Für die Cycloide wird der besagte Berührungskreis Scheitel>Tangente,

ferner 6 = oo, somit m = -j- =0, also :

b

Flache S^SP= Abschnitt 5 P. Addirt man zu beiden Flächen die.congruenten rechtwinkligen Dreiecke, welche 5 P mit den aus P auf S T und die Scheiteltangente gefällten Senk- rechten bestimmt, so ergiebt sich der am Anfang vor der Cycloide ausge- sprochene Satz.

Stuttgart, 27. April 1859. ^ C. W. Baur. '

XXVL Heber die Krttsunnng der Flächen. Von der Gauss'schen De- finition der Krümmung der Flächen ausgehend, werde ich im FolgendeD, bei geringer Aendernng der Abl^itnngs weise , eine auf abwickelbare Fla-

Kleinere Mittheilangen. 313

chen gleichfalls anwendbare Formel zur Messung der Krümmung aufzu- stellen versuchen.

Man betrachte einen Flächenpunkt und eine diesen Funkt in sich einschliessende, auf der Fläche so gezogene Linie , dass auf allen durch den betrachteten Punkt gelegten normalen Schnitten , von diesem Punkte aus, der constante Bogen d s abgeschnitten werde, und sei o> die von dieser Linie begrenzte Oberfläche; man denke sich ferner durch alle Peripherie- punkte der erwähnten^inie die Normalen zu der Fläche, und von dem Mittelpunkte einer Kugel mit dem Aadius =1 Parallelen zu diesen Norma- len gezogen, welche auf der Kugel einen gewissen Flächenraum S begren- zen, und sei da der jedem ds entsprechende veränderliche Kreisbogen auf der Kogel; es bezeichnen endlich /2|, /?, die den beiden Haupt schnitten der Fläche Q den dem normalen Schnitte im Azimute (p entsprechenden Krüm- mungshalbmesser; so ist, da man die Flächen 0, o> an der Grenze als eben ansehen kann und d s constant bleibt, die gesuchte Krümmung 2«

Jda*.dq> 2« 2«

' (o 2« 2nJ Q 2nJ ^\ R^ ^ R. J

/ . 0 ^ U

Ids" .d(p

wenn 8 den Halbmesser der mittleren Krümmung darstellt. Für' ein nega- tives Ät ^i^d

*a-j.)+*a+i.)'=^.-*a+i)"

Ist überdies Ä, absolut genommen = Äj , so reducirt sich der Aus- druck zu —— , ; und für /?, = oo, zu g-^-

Ein von l) etwas abweichender, für den Fall, wo ri - 5* <0 aber nicht abwendbarer Ausdruck für die Krümmung ergiebt sich, wenn hiari vorstehende Voraussetzungen so umändert, dass da constant bleibt, indem d 8 variirt. Man findet alsdann

2) lim,

1

«»' /• /(?. ,^ X , . * ^«+^«

Man darf sich nicht' wundern , wenn sich für dieselbe Grösse verschie- dene Ausdrücke finden lassen. Da nämlich alle diese unter die gemein-

314 Kleinere Mittheiluiigen.

Bchaftlicbe Form -rr, gebracht werden können, so drückt M den Halbmesser

derjenigen Kugel ans , welche in der Umgebung des betrachteten Punktes mit der Fläche zusammenfallen, also dieselbe Krümmung mit dieser haben, und mithin die osculirende Kugel derselben sein würde. Da aber im All- gemeinen eine solche Kugel nicht vorhanden ist, so kann M weiter Nichts bedeuten, als den Halbmesser einer Kugel, welche sich der ge- gebenen Fläche, im betrachteten Punkt% mehr oder weni- ger genau anschliesst, und es wird durch die verschiedenen Formeln, wenigstens bei der Gauss'schen Anschauungsweise, welche sonst die geeig- netste ist, eine leichte Uebersicht der Krümmung der Flächen su geben, nur ein höherer oder niederer Grad von Annäherung erzielt Wenn ' nun

aber die Gauss^sche Formel für die abwickelbaren Flächen unbranch-

bar wird, so sprechen dafür einerseits die von Cournot^) angeführten Gründe, andererseits ist aber zu bemerken, dass in diesem Falle die auf der Kugel begrenzte Fläche I die Form -11 annimmt, also nicht durch ^ds^ .dsx ausgedrückt werden kann, wie dies im Falle I geschieht (siehe Fig. 0 u. 10 , Taf. III). Es . liegt also der Grund dieser scheinbaren Ano- malie in der Natur der Sache selbst, nicht aber darin, dass die Gauss^sche Methode, wie es von einem gewissen Dr. Renard vor l^urzem behauptet wurde, auf einer Formenanalogie eher, als auf einer inneren reellen beruht, und man wird gewiss nicht sehr geneigt sein, zur Unterstützung der von

Sophie Ger main gegebenen Formel ^ + ^, die Krümmung der Flächen, nach demselben Dr. Renard,**) als die Grenze des (offenbar nicht ho- mogenen) Verhältnisses -- zu definiren, in welchem ds dieselbe Bedeut-

ung hat wie im Eingänge dieses Aufsatzes^ a> aber den Fläehenraum be- deutet , der auf der Kugel mit dem Radius = 1 den körperlichen Winkel misst, welcher vor der Berühruugsebene und den durch die Extremitäten von (fj an die verschiedenen normalen Schnitte gezogenen Tangenten, unter der Voraussetzung, dass diese im betrachteten Punkte zusammen- laufen, gebildet wird. E. Bacaloolo.

ZXyn. Die Profeunr des Bamns. Zum Beweise der hohen Meinung, welche Ramus von deutscher Gelehrsamkeit hatte, führte ich Bd. 11, S. 357 die Stelle seiner SchoL maih. ap, in welcher er einen Gelehrten, vor Allen

*) Theorie des fonttion», sec. cdit, I vol. p. 403. **) Thise de doctarat aoutenue deoani la facuUi des sciences de Paris, 1856.

Kleinere Mittheilungeti. .315

einen dentscken Gelehrten auffordert, fern von Hypothesen die Astronomie rein auf Thatsachen und Bereehnungen zu gründen. Ich bemerkte damals, wfe komisch es erscheine, wenn ein Flüchtling über eine Stelle verfüge, die ihm selbst nicht mehr zu Gebote stehe, und zeigte die Alternative, dass man anneh^nen müsse, die bereits 1567 für sich erschienene Einleitung sei 1509 trotz total yerKnderten Verhältnissen den Scholis mathemaiicis in wört- lichem Abdrucke angereiht worden, oder aber, dass man die wahrschein- lichere Auffassung Raum greifen lasse, es habe Ramus die testamentarisch von ihm aus eigenen Mitteln gegründete Professur im Auge gehabt. Da über diesen Gegenstand nicht viel bekannt ist, so dürfte es von Interesse sein, einen inzwischen von Frisch veröffentlichten Brief Keplers {Joannis Kepleri nsironomi Opera omnia edidit Ch. Frisch, L pag. 34) anzuführen , wel- cher zwar auch jene Frage, welche Professur gemeint sei , nicht direct be- antwortet^ aber doch die Vermuthung sehr unterstützt, dass eine wörtliche Auffassung die richtigere ist. Kepler schreibt nämlich im September 1597 an seinen ehemaligen Lehrer Maestlin in Tübingen:

.... Non possum ie Clarhtime Domine praecepior non ceriiorem reddere, mihi pro .edito libeüo hunc honorem a Gaüis habere, ut Regius professor Lutetiae PaHsiorum ex pacto constitutus ego sim, aut certe iHum, qui haec ad me scripsii, siultum fuisse necesse siL Qui a vero is, qui mihi loco cedere vole- baij inier ea morluus est et procul dubio diver sae senientiae successorem Jam reliquiiy ideo decrevij quoad Deo placuerit, spreta regia professione in Styria manere. Exemplar epistolae ad me missae tibi Jransmiiterem, nisi mihi constaret, ie id pridem habere. Scripta est anno 1569 biennio ante me naium. Autor Ramus est in scholis suis (non Geomeiria) Goometricis folio 49 et 50. Quo loco Ramus praemium confirmate absque hypothesibus astrologiae spondei suae professionis cessionem. Si Ramus illas exterminalas cupit hypotheses, quae ui credantur poslulaniury non probaniur ^ et si hanc absque hypothesibus astronomiam laudai quae solius naturae apparaiu orbium coelestium contenta est, quod quidem ante et po$i omnino innuere videtur : vicinus vel Ego vel Copemicus, vel uterque simul, nobisque professio delietur Ramea. Sin auietn Ramus omnes omnino hypotheses rejicii seu veras et naturales, seu falsas, tum id est, quod supra dixi, stultus nempe, idque ut opinar vel te judice. Verum ut utriusque honori cousülatur, malo me professorem regium quam Romum stultum appellare. Hoc unum est.

Es ist fast überflüssig, zu bemerken, dass Kepler unter dem Werke, über welches er so siegestrunken scherzt, seine Erstlingsschrift, das Myste- rium cosmographicum , versteht. Die begeisterte Freude über seine Ent- deckungen, welche nur er selbst zu würdigen wusste, bildet einen treffen- den Zug seines Characters und spricht sich in den meisten seiner Werke aus, ganz besonders in der einigermassen mit mystischen Floskeln durch- webten Harmonica mundi (Lincii 1619). Cantor.

ZeiUchrin f. Malhciiiatik u. Physik IV. 21

316. Kleinere Mittheilungen.

jULViix. Bewegxuigsersöheiimngeii im Kreise der galTamschen Kette, welche nicht durch das Amp^re'sche Gesetz erklärt werden. Bereits im 104. Bd., S. 413 von Pogg. Annal, machte Paalzo w Mittheilangen über der- gleichen BewegungserscheinuDgen. Er legte auf eine Knpferplatte, velebe mit dem einen Pole einer galvanischen Kette verbunden war, ein dünnee Platinblech, hierauf setzte er einen cylindrischen Halbring von gutleiten- der Kohle so auf das Platinblech, dass derselbe, das Blech in einer geraden Linie berührend, leicht in Schwankungen versetzt werden konnte. In der einen der ebenen Schnittflächen ; welche durch die Halbirnng des ganzen concentrischen Cylinderringes durch einen durch dessen Axe geführten Schnitt entstanden sind, befand sich eine kleine Grube und in dieser Queck- silber, in welches ein dünner , mit dem andern Pol der Kette verbundener Platindraht eintauchte. Als nun durch das beschriebene Leitersystem ein elektrischer Strom von hinlänglicher Stärke geleitet wurde, gerieth die Kohle in eine andauernde wiegende Bewegung. Bei dem Versuche , diese Bewegung durch das Amp^re^sche Gesetz zu erklären, bemerkt uMin so- gleich, dass die Einwirkung des Stromes im Zu«- und Ableitungsdraht auf den Kohlenwieger nur sehr gering sein kann. Durch einige Versuche hat übrigens Paalzo w bestimmt nachgewiesen, dass bei seinen Versuchen, wobei die Kohle in eine wiegende Bewegung gerieth, die electrodynamische Abstossung zwisQhen Platindraht und Kohle viel zu gering war, um letztere niederzudrücken, indem er nämlich die Kohle durch ein leicht bewegliches Messingstück , leichter als die Kohle ersetzte , bei welchem ein Strom von gleicher Stärke, als der zum Wiegen der Kohle angewendete, keine electro- dynamische Abstossung hervorbrachte« Zugleich zeigte Paalzow, dass die von der Pole zum Platinblech übergehenden Funken das Platinblech an der Uebergangsstelle plötzlich so stark erhitzen, dass man daselbst eine Ausbiegung desselben sehen kann. In Folge dessen giebt er von dieser Erscheinung die Erklärung, dass an der Uebergangsstelle der Funken zwi- schen Kohle und Blech das letztere ausgebogen und so die Unterstützungs- stelle der Kohle gehoben wird, die Kohle bewegt sich^nun und berührt das Blech an einer andern Stelle , woselbst sie gehoben und wieder eine andre Stelle derselben zur Berührung mit dem Blech gebracht wird. So kommt dann auf ähnliche Weise wie beim Trevelyaninstrument eine regelmässige wiegende Bewegung zu Stande.

Aehnliche Erscheinungen, wahrscheinlich ebenfalls auf thermischen Wirkungen des electrischen Stromes beruhend, sind von Gore (siehe Pogg. Ännah Bd. 107, S. 455) mitgetheilt worden. Hierzu veranlasste denselben eine in ^einer Electro -Vergoldungsanstalt in Birmingham beobachtete Er- scheinung, nämlich die, dass eine Messingröhre (^" Durchmesser und 4' Länge) , die quer über zwei parallelen Schienen lag , zu wanken begann, als ein elektrischer Strom durch die Schienen geleitet wurde, indem jede Schiene mit dem Pol einer starken Batterie verbunden wurde, wobei der

Kleinere Mittheilungen. 317

Strom durch die eine Sebiene, hierauf durch dieR5hre and dann durch die andere Schiene zurückging. Nachdem die Röhre einige Zeit gewankt hatte, war sie auf den Schienen fortgerollt. Gore hatte, um diese Erscheinung BU Studiren, Schienen von verschiedenem Metall und verschiedenen Dimen- sionen angewendet, ebenso hatte derselbe Hohlcylinder und Hohlkugeln von verschiedenen Dimensionen probirt und war hierbei zu folgenden Re- sultaten gelangt. Eine fortdauernd rollende Bewegung (auf einer kreis- förmig geschlossenen Schienenbahn) zu erreichen ^ erfolgt weder bei sehr geringem noch sehr grossem Gewicht von Kugeln oder Röhren. Wo sie eintritt, bemerkt man auch immer ein knackendes Geräusch und oft Fun- kenübergang auf der der Bewegnngsrichtung abgewendeten Seite der Ku- geln oder Röhren, welche sich während des Rollens stark erhitzen. Bei starken Röhren, die bei Versuchen in grösserem Massstabe angewendet wurden, war die Erscheinung mit starken Vibrationen und musikalischen Tönen ähnlich wie beim Trevelyaninstrumeht verknüpft. Die Erscheinung tritt bei Strömen nicht ein, die so stark sind, dass das Metall an den Con- tactstellen zwischen Röhre und Schienen geschmolzen wird. Die Richtung, in welcher Kugeln oder Röhren sich zu bewegen anfangen, hängt nicht von der Stromrichtung ab, die genannten Gegenstände treten ihre Bewegung bald in der einen, bald in der andern Richtung an.

Gore selbst scheint geneigt zu sein, das Rollen der Kugeln und Röh- ren auf dieselbe Weise zu erklären, als den Paalzo waschen Versuch, nämlich durch fortwährende Hebung der Unterstützungspunkte der Kugeln oder Röhren. Ob diese Erklärung ausreichend ist, müssen spätere Ver- suche zeigen; bis jetzt sind über den Gegenstand Mittheilungen von For- bes (s. Pogg.JnnaL Bd. 107, S. 458) und von Lerouz (s. Pogg. AnnaL Bd. 107, S. 461) gemacht worden, welche jedoch wohl noch nicht zureichen, um ein entscheidendes Urtbeil über die Zulässigkeit oder Unzulässigkeit der Gore* sehen Erklärung abzugeben. E. Kahl.

XXDL Beweis, daas die Combinationstöne objeotiv sind. Dove (Monatsberichte der Berl. Acad. 1859. Mai, Pogg. AnnaL Bd. 107, S. 652) führt folgenden, in dieser Beziehung entscheidenden Versuch an. Von zwei Stimmgabeln mit dem Tonunterschied einer reinen Quinte wurde die eine vor das rechte Ohr, die andere im tönenden Zustande vor das linke Ohr gehalten. Hierbei wurde die den beiden Tönen als Combinationston ent- sprechende tiefere Octave nicht gehört, dieselbe trat aber sehr deutlich hervor, sobald beide Stimmgabeln gleichzeitig vor einem und demselben Ohre tönten. In ersterem Falle vernahm man gleichzeitig beide Töne, worauH man erkennt, dass nicht wie beim Auge ein gemeinsamer Eindruck hervorgebracht wird, sobald beide Augen, wie beim Stereoscop, etwas ver-

318 Kleinere Mittheilnngen.

scliiedene perspectiviselie Ansichten desselben Gegenstandes oder verschie- dene Farbeneindrücke erhalten.

Der Dovc'sche Versuch steht keineswegs mit der Hypothese von Helmholtz über die Combinationstöne in Widerspruch, indem er zeigt, dass die Combinationstöne nicht durch Vermischung von Toneindrücken im Ge- hirn entstehen. Nach der Ansicht von Helmholtz {Pogg, Jnnal. Bd. 09, , S. 497) entstehen Combinationstöne nur bei starken primären Tönen, bei denen die Elongationen der schwingenden Körpertheilchen so gros« sind, dass die elastische Rückwirkung nicht nur vom Ausschlag selbst, sondern auch vom Quadrate desselben abhängig ist. Hierbei findet die einfache Uebereinanderlagerung der Wirkungen nicht mehr statt, wenn Luftwellen, von zwei Tonerregern herrührend , zugleich auf einen Körper einwirken, welcher unsymmetrisch befestigt ist ; es tritt im Gegentheil anstatt der zwei ursprünglichen starken Töne allein von den Schwingungsmengen a und b das Aggregat folgender schwachem Töne auf:

üy h

2a, a — 6, ä + &, 2h

3ö, 2« — 6, 2a + &, a — 26, « + 26, Zh

etc.

Helmholtz, der den mathematischen Beweis dieses Satises nur für einen Massenpunkt mitgetheilt, nach seiner Angabe jedoch auch für ein System von Massen geführt hat, ist der Meinung, dass die Wahrnehmung von Com- binationstönen oft auf die Weise geschehe, dass die starken primären Töne das unsymmetrisch befestigte Trommelfell in Schwingungen versetzte, wel- ches statt derselben allein ein System von CombinationstÖnen (Summations- nnd Differenz tönen) in das Innere entsende — und mit dieser Ansicht steht Dove's Versuch vollkommen im Einklänge. E. Kahl.

XIL Heber Fnaspnnlytliiiien beliebiger Ordnnagrai.

Von Franz Wetzig,

Bind. math. in Leipzig.

Unter der Fusspnnktlinie einer gegebenen Curve, der Basis, in Bezug auf einen gegebenen Punkt, den Pol, versteht man bekanntlich den geo- metrischen Ort der Fusspunkte der von .dem Pol auf die Berührenden der Basis gefüllten Lothe. Die Basis wird hier als eine ebene Carve und der Pol in ihrer Ebene liegend vorausgesetzt. Construirt man zur Fnsspunkt- linie von demselben Pol aus wieder die Fusspunkflinie , so soll diese in Bezug auf die ursprüngliche Basis Fusspunktlinie zweiter Ordnung, deren Fusspunktlinie eine solche dritter Ordnung u. s. f. heissen. In Bezug auf die Fusspnnktlinie von der Ordnung + n als Basis soll die ur- sprüngliche Basis Fusspunktlinie — n genannt werden. Unter einer Fuss- punktlinie schlechthin ist die von der Ordnung + 1 gemeint.

L Von den Fustpiinktliiiieii n^"^ Ordnung im Allgemeinen.

1.

Die Grundformeln.

Ib Bezug auf den Pol 0 als Coordinatenanfang sei r« der Vector eines Punktes P« der Basis, dessen Anomalie q>o] sei a^ der Winkel der Berüh- renden in Pq mit dem Vector, d.h. die kleinste Drehung um Pq ^^ der positi- ven Richtung von q>o , durch die eine mit dem Vector zusammenfallende Gerade zum Zusammenfallen mit der Berührenden gebracht wird , woraus hervorgeht, dass stets «o <C^) also sin uq positiv ist. Der Krümmungshalb- messer der Basis im Punkte Pq heisse ^09 ®^ werde positiv genommen bei concaver Krümmung gegen den Pol, negativ bei convexer Krümmung. Der Fnsspunkt P, des vom Pol auf die Berührende gefällten Lothes 0 Pj heisse in Bezug auf P^ als Punkt der Basis der zugehörige Punkt der Fusspunkt- linie. Sein Vector 0P| sei r^, s^ine Anomalie 9>|, der Winkel der Berüh- renden der Fusspunktlinie in Pj mit Tj sei a,, der Krümmungshalbmesser ^c Analog soll für den zugehörigen Punkt P« der Fusspunktlinie »ter Ordnung,

ZeiUchriA f. Malhemalik u. Physik. IV. 22

320 • Ueber Fusspunktlinien beliebiger Ordnungen.

wo n eine positive oder negative ganze Zahl ist , der Vector Tu , die Ano- malie q>„f der Winkel der Berührenden mit dem Vector a«, der Kräin- mungshalbmesser Qn heissen.

Es sollen nun allgemeine Beziehungen zwischen r^j tp^^ «o, (« nnd r,, 9>ii7 ttjif Qn aufgestellt werden.

Nimmt man einstweilen OPo äIs Nulllinie, ist also r^V, = ^„ so ist

1) für cTo > — ofo der Aussen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks OP^Py mit dem gegenüberstehenden spitzen Winkel ^|, also

2) für «fo<— ist «0 der Ergänzungswinkel des negativen Winkels ^, zu einem rechten, also

«0 — y I = "^ ;

mithin ist in beiden FttUen

'•o^'i = <Pi = <»o— —•

Für Ti folgt unmittelbar

Tj == ro sin «0 = r© ro« 9,. Nun ist bekanntlich

1 är^

wofür man aus der vorhergehenden Gleichung durch Differentiation nach ^ den Werth erhttlt

coi ai = — ton g), = — ton f «^ — -r ) = ^o' ffo* Mithin ist

denn die Unbestimmtheit mn ein Vielfaches von n bewirkt keinen Unter- schied in der Lage der Berührenden. Ebenso ist nun aber

Of =: fff = «, =

allgemein

Es ist also in allen einem gewissen Punkte der Basis zugehörigen Punkten der Fusspunktlinien der Winkel der Berührenden mit dem Vector nach Grösse und Richtung derselbe. Diese Gleichheit lässt sich auch geometrisch sehr leicht sei- gen. Seien /\, ^^^ Po zwei benachbarte Punkte der Basis, ihre Vectorea To und ro\ ihre Berührenden to und io\ so ist die Verbindungslinie /, der

Von Franz Wetziö. 321

ihDeo entsprechenden Punkte P| und /^/, deren Vectoren r, und r/ seien, Berührende der Fasspanktlinie. Es liegen aber die Punkte 0, P^\ JP/, P^ am/ einem Kreise vem Durchmesser O/^o'^ dessen Berührende t^ ist, und folgt daraus einfach

oder, da man ro'% = r^\ setzen kann,

Wird dieser Winkel daher schlechthin a bezeichnet, so hat man r, = r, sin « = r© w«* a.

»••		r^iina	=	'•o'.	sin^a,
		u.	s.	w.
r-^x	=	sina		■'•o	sin	-1«
IT fk '	=	r-i		»»•o	sin	-2a
' — 2 '	sina
		tt.	s.	w.

allgemein

1 ) Tu s=: ro . ««* a.

Ebenso leicht ist< nun die Bestimmung von (pw Man hat für positive n

		roVi =	:« —	7'
		r,V, =	:a —	9S
	rn-	-!>» =	= a —	9S '7'
worj	ins durch Addition folgt:
		roV,r=	n(a-	-T>
Für	negative w ist:
		r-iVo	^= «	n

r_jr_, = «--,

r_,-r_,+i = «— j,

woraus durch Addition folgt:

oder

r.V— = -«(«-2)

•

22*

322 Ueber FuBspanktlioien beliebiger Ordnungen.

so dass diese Gleichung ans der vorhergehenden durch Yertattschnng voa + n mit — n hervorgeht.

Bildet nun r^ mit der beliebig anzunehmenden Nulllinie den Winkel

^0, 80 ist

V» == <?• + ^o'^ny

also für positive und negative n die Gleichung gültig

2) g>« = ^o + «(«— "l)-

Wegen der Constanz des Winkels a hat man dazu noch die Gleichung

gv 1 ^ = i ^

Aus Gleichung 2) folgt die Differentialgleichung d(pn = d(p^ + n.da. Die geometrische Bedeutung von da ergiebt sich durch Differentiation der Gleichung

1 dr^

nach ^0, wodurch man erhält Berücksichtigt man nun, dass

••+'C^:)--l^:«»

coiicavor die Bedingung Krümmung gegen den Pol ist, und daher die durch

° convexer o o ©

Einsetzung 'der Werthe von Qq und sin a in Polarcoordinaten sieh erge-

bende Gleichung

\d<Po/ dtp^ r„

'•■^(^;

^o^mo

auch hinsichtlich des Vorzeichens richtig ist, da sina stets positiv ist, so erhält man

da = (-A l)dtp^.

Diese Gleichung lässt sich auch geometrisch sehr einfach herleiten. Es ist

nämlich -V-^ das Bogenelement, daher ^^^-r^ der Contingeniwinkel zweier stna ° q^stna

benachbarter Krümmungshalbmesser, und ergiebt sich fär diesen sogleich

aus der Figur

Von Franz Wbtzig. 323

Seist man diesen Werth in die Gleichung dfpH = dfp^'^nda ein, 80 erhält man

4) ''P'-^pH^a-'h']-

In dieser Oleichnng ist r — das Yerhältniss des Vectors zur Projektion

^0 stn a

des Krümmungshalbmessers auf den Vector.

Für n = i folgt

in gleicher Weise muss aber sein

d <pn QnSin a

und folgt hieraas, wenn man das Verhältniss aus Gleichung 4) ent-

«9»-f 1 nimmt

^n sin u _

XQ^atna J

5) l welchem Ausdrucke man auch die Formen geben kann : \^ttnu Tq \ nf Tq

u « ^

Da nun rM=:roWn*a bekannt ist, so ist in diesem Ausdrucke durch Vector, Berührungswinkel und Krümmungshalbmesser der Basis des zuge- hörigen Punktes der Fusspunktlinie n*^*^ Ordnung, und somit überhaupt durch ein Element der Basis das zugehörige irgend einer Fusspunktlinie vollständig bestimmt.

Sei ferner <'/o= \ri ^^^ das von zwei benachbarten Vectoren einge- schlossene Flächenelement der Basis, df^^=^\r^ d tp^ das zugehörige der Fusspunktlinie n^^^ Ordnung, so erhält man unter Berücksichtigung der Gleichungen 1) und 4)

6) ''/'-»'^"«K^.-O + O''^-

Endlich sei d s^ das zum Bogenelement ds^ der Basis gehörige Bogen- element der Fusspunktlinie n^' Ordnung, so hat man wegen des constanten Winkels a die Proportion

ds^ : dsn = r^dip^ : r,. d tp^y woraus sich ergiebt

7) dsn=:8in^a\n(^ A + ll rf V

L \QQsma / J

824 ^ Ueber Fusspnnktlinien beliebiger Ordnungen.

Ans Gleichung 3) folgt noch die Relation swischeo den DifferentiAlen der Vectoren

8) drn = sin''a\n(-^ l)+lldro.

L \QoSma / J

Vermöge dieser Gleichungen sind nun, wenn die Basis gegeben ist, die Bertihrenden und Krümmungshalbmesser, die Quadratur und Kectifica- tion aller ihrer Fusspunktlinien bestimmt.

Wir knüpfen zunächst an die Constanz des Winkels a und die daraus sich ergebenden Formeln 1) und 2)

r„ = i'o sin" a und

9« = Vo + « (a — ^ j

an.

t) Die logarithmische Spirale ist die einzige Curve, bei welcher der Winkel a für alle ihre Punkte derselbe ist. Ihre Fusspunktlinien müssen daher gleiche, nur durch Drehung verschiedene logarithmische Spiralen sein. In der That erhält man, wenn man in Gleichung 1) ro = a • e^'^'^ einsetzt und fpn statt tp^ einführt

r^z=asin"ae ^ ^^ ^V. •««'«,

woraus eine Drehung um

(lg sin a , n\

n\ ~ « H — 1

folgt.

2) Ein bestimmter Winkel der Berührenden gegen den Vector kommt bei allen zusammengehörigen Fusspunktlinien gleich oft vor. Daher lassen sich auf alle vom Pol aus gleich viel Normalen fällen und an alle gleich viel Berührende legen. Die Fusspunkte dieser Normalen sind für alle Linien gemeinschaftliche Berührungspunkte. Jede Fusspunktlinie positiver Ordnung geht so oft durch den Pol und jede negativer Ordnung hat so viele unendliche Vectoren, als sich vom Pole Berührende an die Basis legen

lassen (d. h. so oft a=0 wird), und zwar berühren die positiver ,

Ordnung sich im Pol und stehen auf d^nen ^ . Ordnung senkrecht,

srerader während die unendlichen Vectoren der Linien negatrv'or - Ord-

° ungerader

nuns in eine Gerade fallen und auf denen der Linien , Ordnung

gerader

senkrecht stehen.

Von Franz Wetzig. ' 325

3) Die gegenseitige Lage der zQtfamnieDgehörigeii Elemente der Fues- panktlinien verschiedener Ordnang lässt sieh geometrisch veranschaulic&en. Ans Gleichnng 2) folgt nämlich

ffn — <Po

n

und wenn man diettcn Werth in 1) einsetzt, erhält man

« — -IT

oder

<p„ Ignina

ip^

n n

CC-— ~ « — —

Hieraus folgt:

Alle zusammengehörigen Punkte liegen auf einer und derselben logarithmischen Spirale, deren Mittel- punkt der Pol ist und deren e ons tanter Winkel )f der Berührenden mit dem Vector gegeben ist durch

Diesen Satz kann man umgekehrt als eine Eigenschaft der logarithmischen Spirale aussprechen, nftmlfch:

Bewegt sich der Scheitel eines rechten Winkels auf einer logarithtiii- sehen Spirale, während der eine Schenkel sich um ihren Mittelpunkt dreht, so bildet der andere Schenkel, wo er die Spirale zum zweiten Male schnei- det, mit ihr einen constanten Winkel.

Ist die Basis selbst eine logarithmiscbe Spirale, so liegen, weil der Winkel a fUr alle Punkte der Basis derselbe ist, alle die Reihen zusammen- gehöriger Fusspunkte auf logarithmischen Spiralen, die sich nur durch Drehung um den Pol unterscheiden.

3.

An die Oleichungen 4), 5), 7), 8) schliessen sich zunächst folgende Be- trachtungen an: *

1) Ist 7 — = 1 , d. h. oscnlirt das Element der Basis die berührend

Q^stna

daran gelegte logarithmiscbe Spirale, deren Mittelpunkt der Pol ist,*) so

erhält man

o sin tf *) Die Bedingung = 1 führt nämlich auf die Differentialgleichung

welche durch die Gleichung der lugaritbrniöchen Spirale rc=.tft'^-^ iutegrirt wird.

326 ^ Ueber Fusspunktlinien beliebiger Ordnangen.

Qn sin a _ rn ~ Die logarithmische Spirale ist daher die einzige Cnrve , bei welcher als Basis für alle Punkte der Basis den zugehörigen Punkten der Fasspnnkt- liuien Gleichheit der Winkeldifferentiale, und ein constantes Verh&ltniss

= -: — zweier in positiver Ordnung auf einander folgender Bogen - und

Vectorendifferentiale, sowie dasselbe Verhältniss -: — zweier auf einander

sma

folgender Krümmungshalbmesser zukommt.

Es liegt in diesem Falle, ? — = 1 , der llrümmungsmittelpunkt je- des Punktes Pn auf der im Pole 0 auf r» errichteten Senkrechten, und lie- gen alle diese Krümmungsmittelpunkte auf einer gleichen logarithmischeA Spirale, als die Puukte P^ selbst (vergl. $. 2, 3). Denn sei (^ der Vector des Krümmungamittelpunktes von Pqi ^n der von Pnj so ist i^^i^r^cot a und /„•= r„ coia^ woraus folgt

/„ = (^ sin** a, und da auch /^X =s V'"«» so ^o^gt die Richtigkeit der Behauptung.

2) In jedem andern Falle giebt es eine Grösse des absoluten Werthes von n, von welchen an die Anomalie d%r Fusspunktlinien mit wachaender Ordnung immer rascher wächst. Die Bogen- und Vectorendifferentiale

nehmen dann, da für a ^ — , lim,n sin" a = 0 wenn n = + oo, = oo wenn

n = — QO ist,'*') mit wachsendem positiven n beständig ab, mit wachaendem negativen n beständig zu; und zwar geschieht das Wacnsthnm von Ano- m{ilie, Vector und Bogen der Fusspunktlinie mit denen der Basis in glei- chem oder entgegengesetztem Sinne, je nachdem n ( — ? ^/ "'" ^ P^^^"

tiv oder negativ bt. Das Verhältniss zweier auf einander folgender Werthe des Winkeldifferentials näliert sich mit wachsendem positiven oder negati- ven n immer mehr der Grenze 1, das zweier Bogen- und Vectorendiffe- rentiale der Grenze , und das Verhältniss -^ ebenfalls der Grenze 1.

sma r«

Dies kann man nach dem Vorhergehenden so aussprechen:

*) Dies folgt einfach so: Für ^^ -^ lässt sich stets eine Zahl m so hesiimmen, dass lgn^=. — mlgninay und wird dann ». «üt»« a = ««*—«» «. Nun wird aber « — « = «-»-7-^; — mit wachBendem positiven n über alle Grenzen gross, also iimsiH**-*a=:0'

Von Franz Wetzig. 327

Die Fasspanktlinien nähern sich mit wachsender positiver oder negativer Ordnung in jedem Punkte immer mehr der Oscnlation mit der berührend an sie gelegten logarithmischen Spirale, deren Mittel- punkt der Pol ist. Und: die Fusspunktlinien belie- biger sich berührender Gurven nähern sich mit wach- sender Ordnung immer mehr der Osculation im Be- rührungspunkte.

3) Für a =: — geht diese logarithmische Spirale in den mit der Nor-

male OP^ als Halbmesser vom Pol aus beschriebenen Kreis über, und nähern sich die in P^ sich sämmtlich berührenden Fusspunktlinien mit wachsender Ordnung immer mehr der Osculation mit diesem Kreise. Da ferner dann

äsn=[n{l-l)-^i]äu.

also in diesem einzigen Falle von einem gewissen Werthe von n an das osculirende Bogenelement mit wachsender positiver oder negativer Ord- nung beständig wächst: so kann man den genannten Kreis als die Grenz- curve ansehen, welcher sic)i die Fusspunktlinien mit wach- sender Ordnung beständig nähern. Dies lässt sich noch strenger durch folgende Betrachtung begründen :

Giebt es überhaupt eine Grenzcnrve , an die sich die Fusspunktlinien immer näher ansehliessen, so muss sie eine solche Linie sein, die sich selbst als Fusspunktlinie erzeugt, d. i. ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Pol ist, und awar der mit der Normale als Halbmesser beschriebene, well nur mit diesem alle Fusspunktlinien sich berührend treffen, Die Normale sei daher NnUlinie und es wird gefragt, welcher Werth lim • r^ zu einem gewissen Werthe lim,fp^ gehört. Es gehört nun zu jedem Punkte der Basis, für

den a — — einen endlichen Werth hat, lim 9n = + QO und lim . r« = 0 .für

n = + OD, /im r„ = 00 für » = — oo. Soll dagegen lim tpn einen endlichen

Werth haben, so muss man sich a umgekehrt proportional mit n ab-

nehmend, den Punkt der Basis also immer näher an den Fusspunkt der Normale rückend denken. Sei also

80 hat man

wozu der Vector gehört

328 lieber Fusspunktlinien beliebiger Ordnungen.

r„ = r^ sin" a=^r^i cos" — ; n

Lässt man nun n über alle Grenzen wachsen, so bedeutet r^ die Länge der Normale vom Pol und hat man

lim r„ = Tfl hm cos" — n

== ro lim (l - J J* + • . .)*= ro/i« (l — i^'---) > also

/im Tn = To-

Es ist mithin limr^ unabhäugig von ^, d. i. constant, womit ebenfalls ge- zeigt ist, dass der aus dem Pol mit der Normale beschriebene Kreis Grenz- kreis ist; und zwar ist derselbe als Fusspunktlinie unendlich hoher Ordnung des Elementes der Basis anzusehen, auf dem sein Vector senkrecht steht.

Lassen sich vom Pole aus mehtere Normalen auf die Baais fällen, so giebt es eben so viele Grenzkreise, wenn keine, keinen.

Der Lauf einer Fusspunktlinie sehr hoher positiver Ordnung, z. B. der Ellipse, deren Mittelpunkt der Pol ist, ist demnach folgender: In nahesu kreisförmiger Windung, deren Mittelpunkt der Pol, Ittnft sie vom Endpunkt der grossen Axe aus; die Windungen entfernen sieh immer mehr von der Kreisform , indem sie sich immer näher an den Pol anschliessen und in je- dem Punkte nahe die an sie berikhrend gelegte logarithmisehe Spirale oe- culiren, deren Winkel der Berührenden mit dem Veotor wächst bis sum grössten Werthe, den er für die Ellipse hat. Von da an dehnen sich die Windungen wieder aus und nähern sich der Kreisform bis zum Anschluss an den mit der kleinen Halbachse beschriebenen Orenzkreis. Die Windun- gen der Fusspunktlinie sehr hoher negativer Ordnung entfernen sieh , vom Endpunkt der grossen Axe ausgehend, immer mehr vom Pol und der Kreis- form, um dann zum Anschluss an den mit der kleinen Halbachse beschrie- benen Kreis zurückzukehren.

4) Ist Qq negativ, d. h. findet in Pq convexe Krümmung gegen den Pol statt, so ist Qft stets positiv, die Krümmung in Pn also concav. Bei positi- vem ^9 wird Qn negativ, wenn Zähler und Nenner der Gleichung 5) entge- gengesetztes Vorzeichen haben, d. i. für denjenigen Werth von n, für wel- chen- — ? — zwischen den beiden Werthen und — ; — liecrt. Da-

QoStna n n + 1 °

her giebt es unter der unendlichen Reihe zusammengehöri- ger Fusspunktelemente eines, aber auch nur eines, welches gegen den Pol convex gekrümmt ist.

5) Hat — ?~ einen Werth so wird d«„ = o, rf5|, = 0, o« = 0

Von Franä Wetzio. 329

und bricht daher die Reihe nach der einen Seite mit einer Spitze ab. Hat

daher ? — einen der Werthe f , 4i f i i* • • • • so bricht die Reihe nach der

positiven Seite za mit einer Spitze ab, und zwar ist letzterer ein zugehöri- ger Wendepunkt vorangegangen, Weil für das vorhergehende w, — ? — den

Werth — ; — hatte, also ao=QO wurde. Hat daffegen — einen der

« + 1 ^ ^^ ^ Q^stna

für negative n sich ergebenden Werthe i, f, 4, | • • -i so bricht die Reihe pach der negativen Seite mit einer Spitze ab; ein Wendepunkt kann aber in dieser nicht und überhaupt nur in dem vorhin angegebenen Falle vor- kommen.

6) Es ist vielleicht die Bemerkung von Interesse, dass die Abhängig- keit, in der nach Gleichung 5) — von ^ steht , sich geometrisch

veranschaulichen lässt , wenn man n. — und ~ , oder einfacher,

durch eine parallele Verschiebung des Coordinatensjstems , W; 1 — ^^^-7- —

und 1 — ^^— als rechtwinklige Goordinaten einer Fläche betrachtet.

Setzt man nämlich n = ar, 1 so erhält man

oder

Diese Fläche kann man sich dadurch entstanden denken^ dass eine gleich- seitige Hjperbel , deren Scheitel vom Mittelpunkt den Abstand 1 hat, also «.2 = 1, sich so bewegt, dass ihre Ebene der xz Ebene beständig parallel ist und ihr Mittelpunkt auf einer gleichen gleichseitigen Hyperbel bleibt, welche die Axen der x und y zu Asymptoten hat. Die Fläche besteht aus 3 getrennten Theilen, die sich asymptotisch der über der gleichseitigen Hy- perbel in der o;^- Ebene auf dieser senkrecht stehenden Cylinderfläche nähern. Der mittlere Theil enthält die x Axe und hat noch die a;y-Ebene als asymptotische Ebene. Alle Schnitte parallel der Coordinatenebene sind gleichseitige Hyperbeln.

Endlich werde noch bemerkt, dass die Gleichung 5) sich auch als der n gliedrige Kettenbruch schreiben lässt

^,«11«	1 ^
ro -^'	l —
-_ y
l-\-xy'
1	1
SC SS3 — — »	— ,
z	y

Qh stn a

330 Ueber Fasspunktlinien beliebiger Ordnungen.

Qn 9tn a

2 —

^0 sm a

7) Die Gleichung 6} kann man mit BerUckBicbtigang von Oleiebung 4) auch 80 schreiben :

rf A = « i ^* ^9>i — (« — l)4r«*rf Vo. was man so in Worten aussprechen kann :

Trägt man auf jeden Vector der Basis und ihrer ersten Fnsspunkt- linie den entsprechenden Vector der Fusspnnktlinie n^^^ Ordnung auf und bezeichnet die so erhaltenen Sectoren F und ^i , so ist der Inhalt des ent- sprechenden Sectors der Fusspnnktlinie n^^^ Ordnung fn^n.F^ — {n — \)F.

4,

1) Aus den Gleichungen des $. 1 geht hervor, dass von besonderem

Interesse diejeniicen Curven sein werden, für welche ? — , d. i. das Vcr-

haltniss des Vectors aur Projection des Krümmungshalbmessers auf den Vector eine constante Grösse ist. Aus der Bedingung

(f stna erhält man die Dififerentialgleichung

d^ + ^'—^^TWJ + "'• = «•

welche vollständig integrirt wird durch

(~j —sin{%ip + b),

wo a und b die willkürlichen Constanten sind.

Für x = 0 genügt obiger Differentialgleichung, wie schon oben er- wähnt, die Gleichung der logarithmischen Spirale

welche Integralgleichung jedoch auch in der allgemeinen enthalten ist. Man setze nämlich in der letzteren statt der willkürlichen Constanten a

(sin 6\«

80 erhält man die für x== 0 identische Gleichung

sin b oder

Von Peanz Wbtzig. 331

1 * r = a (cot b ,sinx<p + cos x g))«,

woraus, wenn man zum Grenzwerth x = 0 übergeht, folgt 2) lieber die Natur der durch die Polargleichung

bestimmten Linien ist Folgendes zu bemerken. Durch Differentiation nach <p erhält man

d. i.

cot « = co^ (jt y + ft),

« = « 9> + ^» d. h. der um die Constante b verminderte Winkel der Berüh- renden mit dem Vector ist ein coiistantes Vielfaches der Anomalie.

Setzt man den gefundenen Wertb von a in — : — =r= l + x ein, so er-

Qsma

hSlt man den Krümmungshalbmesser ausgedrückt durch den Vector, nämlich

mithin ist der Krümmungshalbmesser proportional der Po- tenz 1 — X des Vectors.

n Giebt man der willkürlichen Oonstanten b den Werth ---> so lautet die

.2

Oleichnng der Linie

ond folgt:

So oft sich g> um — ändert, erhält r wieder denselben Werth (wenn

X

es nicht imaginär wird). Dah(^r besteht jede solche Curve aus einer von x abhängigen Anzahl congruenter Zweige; diese Anzahl ist endlich, wenn k rational, unendlich, wenn x irrational ist. Ist x positiv, so sind diese

Zweige geschlossen, berühren, da a = x ijp + — , für 9==^ ^ — ihren

Vector im Pol und stehen für o s= auf dem sie halbirendon Maximal-

^ X

vector r = a senkrecht. Ist dagegen x negativ, so erstreckt sich, jeder Zweig ins Unendliche ; er steht für w = auf seinem Minimalvector r=a

X

senkrecht, und nähert sich von da nach beiden Seiten immer mehr den bei-

332 lieber Fusspanktlinien beliebiger Ordnungen.

den gegen ersteren um - — geneigten unendlicb grossen Yectoren , welche

dt X

aber nur dann Asymptoten sind, wenn 1 -{ positiv, also x eine negative

Zahl ist, deren absoluter Wertb grösser als 1 ist.

Die Krümmung gegen den Pol ist entweder beständig concav oder be- ständig convex, je nachdem 1 + x positiv oder negativ ist. Da der Krüm- mungshalbmesser proportional der Potenz 1 — x des Vectors wächst, so wächst er, wenn x positiv und < 1 ist, mit r von ^=50 im Pol, welcher also

eine Spitze jedes Zweiges ist, bis q = für r^=a, Ist endlich x ne-

l + X

gativ, so wächst q beständig mit wachsendem r.

3) Nimmt man nun eine Curve von der Gleichung

als Basis für ein System von Fnsspunktlinien , so ist nach Oleichnng 5) für die Fusspunktlinie n^^' Ordnung

gnSina n x + 1

rn ~(n + l)x + l' dieser Werth also auch constant, und da durch die Bedingung der Con-

stanz von die Polargleichung der Curve in der angegebenen Form

bestimmt ist, so haben alle Fusspunktlinien positiver und negativer Ord- nung mit der Basis ( — j =sin{K(p^b) dieselbe Form der Polargleichung

und unterscheiden sich nur durch die Grösse der Constanten. Es geht nämlich, wenn man von der Basis zur Fusspunktlinie n^" Ordnung fort- schreitet, X über in 7 r 1, d. i. in — ; . Die Gleichung der

(w + l)x + l 1 + nx

letzteren hat daher die Form

WO a und 'b' leicht bestimmt werden, indem man in der Gleichung der Basis der willkürlichen Constanten b den Werth -• giebt. Alsdann bedeuten

m

( — j = cos xipz=zsinl%q>'\ — Ya und 6 = — die Werthe von r und a für q>=iO. Da aber die Berührenden dieses Punktes anf dem Vectora senkrecht stehen, so bleiben beide Werthe, a und ~-, für alle Fusspankt- linien an verändert und muss daher für 9>ibS=0 folgen

Von Franz Wetzig. 333

Die sor Basis

gehörige Fasspunktlinie n^^' Ordnnvg hat daher die Gleich- ung

iT"

'COS — : <»„•

1 +n»^"

b n Dreht man die Nulllinie um , so folgt hieraus:

Die zur Basis

gehörige Fnsspnnktlinie n**' Ordnung hat die Gleichung

Fttr diesen Fall Iftsst sich der in $. 3, 8 bewiesene Sats vom Grens* kreise direct ans der Gleichung der FnsspanktHnie selbst herleiten. Setzt

nXmlich in der für 6 = — sich ergebenden Gleichung

,.=«[,,,_iL_^.]

für den Cosinns die ersten beiden Glieder seiner Entwickelung ein , so er- hält man

4-*ä^] '

'(1 + «»)'

1 Da nun bekanntlich Um (1 + ^)^-o = ^, so folgt

limrn = a.lime 2(i+«x)^ d.i.

lim r„ = a,

4) Unter den sämmtlichen zu einer Basis f — j =^ cos nq^ gehörigen

Fusspunktlinien ist stets eine, und nur eine, beständig convex gegen den Pol gekrümmt; alle andern haben concave Krümmung. Dies folgt direet aus dem $.3, 4 gefundenen Satze, dass von allen zusammen»

33*4 Ueber FuBBpunktlinien beliebiger Ordnungen.

gehörigen Elementen stets eines, und nur eines, convex gegen den Pol ge- krümmt ist und jede dieser Linien stets dieselbe Krümmung gegen den Pol hat. Aus der Bedingung convexer Krümmung 1 + x<<0 folgt weiter, dass bei beliebig gegebenen x^ der Basis diejenige Fnsspunktlinie gegen den

Pol convex gekrümmt ist, deren Ordnungszahl n zwischen — und 1 H

Xq Xp

liegt. Diese Fusspunktlinie ist zugleich die einzige, welche sieh ihren unendlichen Vectoren asymptotisch nähert, denn es war »< — 1 daftir die Bedingung. Oeht man bun von dieser Linie als Basis aus, so haben,' da

für x< — 1 der Werth — — für alle positiven positiv, für negative ;i negativ

ist, alle ihre Fusspunktlinien positiver Ordnung geschlossene, die negativer Ordnung ins Unendliche sich erstreckende Zweige, die sich keiner Asymp- tote nähern, so dass zwischen beiden die Basis gewissermaasen den Ueber- gang bildet. Weil endlich alle diese Linien, die Basis allein ausgenommen, beständig convex gekrümmt sind , die Fusspunktlinie einer convexen Basis aber noth wendig ausserhalb der letzteren und die convexe Basis einer con- vexen Fusspunktlinie innerhalb der letzteren liegt, da ferner der mit dem Halbmesser a aus dem Pol beschriebene Kreis Grenzcurve sowohl für die Fusspunktlinie positiver, als die negativer Ordnung ist, so folgt :

Unter einem Systeme von Fusspunktlinien (— j

= co$—Y — fp stellen diejenige, welche gegen den

Pol convex gekrümmt ist, und ihre erste Fusspunkt- linie die äussere und innere Grenze dar, von wel- cher aus mit wachsender negativer und positiver Ordnung eine beständige Annäherung der Fuss- punktlinien an den Grenzkreis stattfindet. 5) Die Reihe der Fusspunktlinien geht nur nach einer Seite hin ins Unendliche, nähert sich also auch nur nach dieser hin dem Grenzkreise,

wenn — - — = l + x einen Werth hat, wo m eine positive oder ne-

Qq stna m

gative ganze Zahl bedeutet (vergl. $. B, 5). Sei zuerst m positiv, so bricht

die Keihe der Fusspunktlinien, weil die der Elemente, nach der positiven

Seite zu ab. Aus — - — = folgt « = ; jede Linie von der

1 + X m — 1 iw

-1 Gleichung ( — ) = sinl — — + 6 j ist aber , wie leicht zu sehen , Fuss- punktlinie von der Ordnung 1 — m einer Geraden , deren Gleichung von der Form ist — = sin {(p + b') ; die Fusspunktlinie der Geraden selbst re- ducirt sich auf den Fusspunkt des vom Pol auf sie gefällten Lothes.

Von Franz Wetzig. 335

Sei m negativ und schreibe man dafür — m, so wird x= H , und ist

m

die Linie (—j =W«(— +b\ Fasspmiktlinie von der Ordnung m — 1

eines Kreises, anf dessen Umfang der Pol liegt und dessen Gleichung daher

in Bezug auf diesen als Coordinatenanfang die Form hat — = sin (g> -)- ^')*

Für die auf den Kreis nach negativer Seite hin folgende Fnsspunktlinie wird » = oo. *

In welcher Beziehung nun beide Systeme zu einander stehen , ergiebt

sich am einfachsten, wenn man der Constanten b den Werth — giebt. Als-

dann hat man für das erste System

_ 1

— I z=zcOS-^,

aj m

und seine Basis, die Gerade,

für das zweite System

a

— == cos <p ;

r

und seine Basis, den Kreis, welcher obige Gerade in den FnsspunJct des

vom Pole auf sie gefällten Lothes berührt,

r

— = cos w.

a

Die Gleichung dieses Kreises folgt aber aus jener der Geraden, als die der Fnsspunktlinie zweiter Ordnung, indem man x = — 1 und n=2 setzt. Nimmt man daher als Mittelglied den Fusspunkt des vom Pol auf die Ge- rade gefällten Lothes, d. h. sieht man den Kreis als Fnsspunkt- linie des dem Pol diametral gegenüberliegenden Peripherie- pnnktes an, so gehören beide Systeme von Fasspunktlinien als ein einziges' zusammen, dessen Basis der genannte Punkt ist.

In der That ist ipan dazu berechtigt, indem die Berührende eines Punk- tes jede beliebige Lage hat, seine Fnsspunktlinie also der geometrische Ort der Fnsspunkte der auf alle durch ihn gelegten Geraden gefüllten Lothe ist. Noeh ansehavlieher wird dies, wenn man sich den Punkt als Kreis von verschwindend kleinem Halbmesser denkt. Die Fusspunktlinie eines Krei- ses vom Halbmesser A, von dessen Peripherie der Pol den Abstand a hat, ist nämlich , wenn die Gerade durch Pol und Mittelpunkt Nulllinie ist,

r:=^a cos 9 •+• Ä {cos q> — 1) , woraus für Ä = 0 sich r = acos q> ergiebt.

Man kann daher sagen :

ZeilKchnfl fdr Mathematik n Physik. IV. 23

336 Uebor Fnaspunktlinien beliebiger Ordnungen.

Die FusBpanktlinie m*^** Ordnung eines Punktes in der Entfernung a vom Pol hat die Gleichung

\a/ m

wo die Yerbindangslinie des Pols mit dem gegebenen Punkt Null-

linie ist. l)er durch den Pol und den gegebenen Punkt gehende Kreis vom Durchmesser gleich ihrer Entfernung und die denselben im gegebenen Punkt berührende Gerade sinä hier die innere und äussere Grenze, von wo ans eine bestfindige Annäherung der Fusspunktlinien an den Oreni- kreis erfolgt. Für m:= — 2 erhält man die Parabel, deren Brennpunkt

der Pol ist; ihre Basis ist also l — j = cos •— . Der Parabel entspricht auf positiver Sei,te die Fusspunktlinie des Kreises, die Cardioide , deren Gleich- ung ist I — I = cos -—•

Seien r und / zwei zu derselben Anomalie gehörige Vectoren zweier Fusspunktlinien entgegengesetzt gleicher Ordnung des Punktes , so ist für den einen

für den andern

(.)=

cos — m

/r \ "• <p

1-1 =cos-, \a/ m

woraus folgt

r ,r =:z(^^ d.h.:

Für zwei Fusspunktlinien entgegengesetzt gleicher Ordnung des Punktes ist das Product zweier zu der- selben Anomalie gehöriger Vectoren constant, näm- lich gleich dem Quadrate des Abstandes des Punk.» tes vom Pol. 6) Allgemein haben in einem System von Fusspunktlinien von der

Form ( — j = cosxq> je zwei dieser Linien entgegengesetzt gleiche- Werthe

von K, wenn für eine derselben , die man als Basis ansieht , % einen «olchen Werth hat, dass

1 — nx 1 + (w — *)k'

wo k eiiie beliebige ganze Zahl bedeutet. Aus dieser Bedingung folgt

2

Von Fbanz Wbtzig. • . - 337

^^^^^^^^^^^^^^^^^«^«^

Ist nun k eine gerade Zahl, so erhält man das vorhin betrachtete System von Fusspnnktlinien des Punktes. Ein angerades k giebt das System von Fnsspanktlinien , deren eines Glied die gleichseitige Hyperbel ist mit ihrem Mittelpunkt als Pol und der Hauptachse als Nulllinie. Die Gleichung dieser gleichseitigen Hyperbel ist nämlich

cos 2 <3P, daher die ihrer Fusspunktlinie von der Ordnung — n

ir-

\a/ 1 + 2«^'

die ihrer Fusspunktlinie von der Ordnung n + 1» oder, was dasselbe ist, die der Fusspunktlinie von der Ordnung» der Lemiscate, welche auf die gleichseitige Hyperbel folgt,

(7)"*=

cos-

l+2n^

Das Product zweier zu derselben Anomalie gehöriger Vectoren zweier solcher Linien ist daher ebenfalls constant = a*. Die gleichseitige Hy- perbel ist in diesem Systeme die convex gekrümmte Curve, und sie und die Lemniscate bilden die äussere und innere Grenze , von wo aus die übrigen Linien sich immer näher an den Grenzkreis anschliessen.

n. Von den PuAspunktUnien erster Ordnung insbesondere.

5.

Die Formeln des S. 1 ergeben für « = 1 rf<Po ^0^"* "

1)

r.

0

2) (,,= ^-T— ,

2r^^QoStna

3) df^ = ^ df^ = X^ rf^o»

4) dsi = ^ rf V

Hieran knüpfen sich folgende Betrachtungen.

1) Die Gleichung 1) heisst in Worten:

Das Winkeldifferential der Basis verhält sich zum zugehörigen ihrer Fusspunktlinie wie die Projection des Krümmungshalbmessers der Basis auf ihren Vector zu diesem Vector. Je nachdem die Basis concav oder con- vex gegen den Pol gekrümmt ist, haben der Vector der Basis und der zu- gehörige der Fusspunktlinie gleiche oder entgegengesetzte Drehungs- riehtnng.

2) Aus der Gleichung 2) folgt:

23*

33S üober Fusspunktlini^Ti beliebiger Ordnungen.

Die Kriiniinnng in P, ist c o n c a v , so lange der KrümmnngshalbineR- ser von P„ auf derselben Seite einer anf r^ in der Entfernang — r„ vom Pol errichteten Senkrechten liegt als .Pq, convex, wenn auf der andern Seite. Liegt der KrUmmnngsmittelpunkt von P^ anf jener Senkrechten , so ist we- gen p( = 00, P, «in Wendepunkt der FusspunkÜinie. Dieselbe hat so viele in 0 liegende Spitzen, so oft r^ = o ist, d. i. so oft die Basis durch den Pol geht. Jedem Wendepunkte der Basis entspricht eine Spitze der Fusspunkt- linie. Lassen sich vom Pol aus eine oder mehrere Berührende an die Basis legen, so liegt der Krümmungsmittelpunkt eines jeden zu einem Berührungs- punkte gehörigen Fusspunktes (der mit dem Pol zusammenfällt) , auf der Mitte des Vectors des Berührungspunktes.

3) Reducirt man die Gleichung 2) auf pg, so folgt

sm a\ p, /

Nimmt man als Fusspunktlinie die Gerade, d. i. ^, =qo, so folgt für ilire Basis, d. i. die sie im Scheitel berührende Parabel, deren Brennpunkt der Pol ist, die Relation

2r

sin a^

oder

2 r == p sm of ,

woraus sich eine sfehr einfache Constriiction des Krümmungahnlbmesse«

der Parabel ergiebt.

Auf gleiche Weise folgt für die Ellipse und Hyperbel, deren erste

Halbachse a ist, wenn man den Brennpunkt als Pol annimmt.

^ stn a\ aj

da bekanntlich die Fusspunktlinie der aus ihrem Mittelpunkte mit dem

HalbmcHser a beschriebene Kreis ist. Sei r der zu r gehörige Vector aas

r -\' r dem andern Brennpunkt, so ist für die Ellipse a= — , und folgt

l Irr % stn a r + r d. h. : der Krümmungshalbmesser der Ellipse ist gleich dem harmonischen Mittel der beiden Vectoren aus den Brennpunkten, multiplicirt mit dem re- ciproken Cosinus des halben von ihnen eingeschlossenen Winkels.

4) Die Gleichungen 3) und 4) kann man in den beiden Sätzen aus- sprechen :

Trägt man vom Pol aus auf jeden Vector der Basis

als Vector die Grösse r =r^j/ auf, so hat der

f^ Po von dieser Gnrve begrenzte Sector gleichen Inhalt mit dem entsprechenden Sector der Fusspunktlinie. Damit / reell sei, muss die Curve concav gekrümmt sein.

Von Franz Wetzio. 339

Und:

Trägt man vom Pol aus auf jeden Vector der Basis

r * *

die Grösse r'= -^, die dritte Proportionale zum Krüm-

mnngshalbmesser und Vector*anf, so hat die dadurch entstehende Curve gleiche Länge mit dem entspre- chenden Stück der Fusspunktlinie. Mittelst dieser Sätze lassen sich Quadratur und Rectification verschie- dener Linien auf einander reduciren. Als Beispiel diene Ellipse und Hy- perbel, deren Brennpunkt der Pol ist. Ist p ihr Parameter ^ c die nume- rische Excentricität, so ist die Fusspunktlinie ein mit dem Halbmesser ^

aus dem Mittelpunkt beschriebener Kreis. Ferner ist

sm a '

1 + € cos 9?o' 1 + £ cos <py

^l + 2 f cos gPo + «*

^1« a\ P ^

und urgiebt sich

pj/l-^-B cos tp

j -f. £* -)- 2 e CO« <p *

{l+B* + 2iC0S(p)i Es lässt sich daher durch eine einfache Construction mittelst des Kegel- aeknittes r^ der Sector der Linie r durch einen Kreissector, der Bogen der Linie r' durch einen Kreisbogen darstellen. Beide Linien sind geschlossen. Für c < 1, d. h. wenn die Basis eine Ellipse ist, ist der Inhalt der geschlos- senen Curve r gleich dem des Kreisses vom Halbmesser ,, der Um- fang der Curve r" gleich dem desselben Kreises. Für €> 1, d. h. wenn die Basis eine Hyperbel ist, gehen beide Curven für cos <p= durch den Co-

ordinatenanfang (Brennpunkt), ihre Bertihrenden in diesen Punkten sind also den Asymptoten der Hyperbel parallel. Die Curve r hat nur einen Zweig, dem nächstliegenden ^er Hyperbel entsprechend, die Curve r" hat

«*ei. Ist ß = arc cos — der halbe Asymptotenwinkel, so ist der ganae Inhalt von r gleich dem eines Kreissectors vom Oentriwinkel 2ß und Halb- messer j ivdie Länge des entsprechenden Zweiges von r" gleich die-

340 Ueber Fusspunktlinien beliebiger Ordnungen.

sem Kreisbogen , die Länge beider Zweige aber gleicb dem Umfange des ganzen Kreises.

Für i = 1 wird

die Gleichung einer Parabel, und wird

' '--^^

1/2 cos — '^ 2

2 COS — 2

und da die Fusspnnktlinte eine Gerade ist, so lässt sich der Sector dieser Linie durch ein geradliniges Dreieck und der Bogen durch eine gerade Linie darstellen. Noch werde bemerkt, dass in allen 3 Fällen zwischen r^, / und r" die Relation besteht

'•'• /

Nimmt man die gleichseitige Hyperbel als Basis und ihren Mittelpunkt als Pol , so erhält man für r" ihre Fusspunktlinie , die Leraniscate , selbst. Ihr Vector ist also die dritte Proportionale zum Krümmungshalbmesser und Vector der gleichseitigen Hyperbel.

6.

1 ) Aus der Betrachtung, dass der Vector der Fusspunktlinie sich stets parallel dem Krümmungshalbmesser der Basis, d. i. der Berührenden ihrer Evolute bewegt, ergiebt sich eine Beziehung zwischen Evolute und Fnss* punktlinie* Sei nämlich / der Vector der Evolute vom Pol aus , o' dessen Winkel mit der Berührenden der Evolute , die mit dem Krümranngsbalb- messer q^ der Basis, welcher den Bogen der Evolute darstellt, so hat man einfach

r, = Po + / cos a\ Nimmt man z. B. als Evolute einen Kreis vom Halbmesser a, seinen Mittel- punkt als Pol und lässt die Nulllinie durch den Anfangspunkt der Ab- wickelung gehen, so ist a'= •—, und

d. h.

Die Fusspunktlinie der Kreisevolvente in Bezug auf den Mittelpunkt des Kreises als Pol ist eine Archimedeische Spirale.

2) Verändert man die Lage des Pols, so bleiben die zu demselben Punkt der Basis gehörigen Vectoren der so entstehenden Fusspunktlinie

Von Franz Wetziö. 341

ciDftod«r parallel. Daraus folgt, dass, wenn die Gleichung der Fu§8punkt- linie einer gegebenen Basis in Beziehung auf irgend einen Pol kennt, dann auch die Gleichung der Fnsspnnktlinie in Bezug auf jeden andern Pol, dessen rechtwinklige Coordinaten gegen jenen g und h sind, bekannt ist« Denn sei r/ der mit r, parallele Vector vom zweiten Pol aus , so hat man einfach

r,' === r, — g cos g>, — h sin ^, . Daher ist z. B. die Gleichung der Fusspunktlinie eines Kreises vom Halb- messer 0, von dessen Mittelpunkt der Pol den Abstand b hat,

r j s= Ä — b cos 9i , wenn die Verbindungslinie des Pols mit dem Mittelpunkt Nulllinie ist.

Die Fusspunktlinie der Ellipse in Bezug auf den Brennpunkt als Pol ergiebt sich leicht als ein Kreis von der Gleichung

Tj = a (c cos qpi -^ j/l — «* sin* (jp,), wo a die grosse Halbaxe, e die numerische Excentricität bezeichnet. Setzt man A = 0, g = a.Sj so erhält man als Gleichung der Fusspunktlinie in Bezug auf den Mittelpunkt

r, = a yi — €* sin* <p,.

XIIL

Zur Bestfanmimg des dnenchnitts eineB Körpers, dessen alMolute Festigkeit in Ansprach genommen wird.

Von Dr. Edüakd Zetzsche.

Nennen wir (mit Weisbach) diejenige Kraft E^ welche ein Prisma vom Querschnitt 1 um seine eigene Länge ausdehnen oder zusammen- drücken würde (insofern diess ohne Ueberschreitung der Elasticitätsgrenze möglich wäre) den Elasticitätsmodul , so wird ein an dem einen Ende fest- gehaltener prismatischer Körper von der Länge a und dem Querschnitt F durch eine in seiner Achsenrichtung wirkende Kraft Q innerhalb der Elas- ticitätagrense um das Stück %

* F£

3^2 Zur Bestimmung des QuerschnitteB eines Körpers.

ausgedehnt oder zasammengedrUckt. Bei schwereu Körpern besteht Bttn die ausdehnende oder zusammendrückende Kraft Q entweder blos aas dem Gewicht G oder neben diesem noch aus eiuer mit ihm in gleicher oder ent- gegengesetzter Richtung wirkenden Kraft P und es ist dann

Da ferner innerhalb der Elasticitätsgrenze die Ausdehnung oder Zuaam- mendrückung der wirkenden Kraft proportional ist, so würden G oder P allein den Körper an derselben Stelle, wo ihn Q um dl ausdehnt, um dl^ oder dX^ ausdehnen, deren Werthe aus den Gleichungen

QxG = dX\dX^

0:P=:dk:dk^

P:G = dkt:dX, zu entnehmen sind, so dass also

G G 0 G

dl,= ^dk

dki + dk^ = ^dl+^dk = dl

ist. Während aber d Ag an jeder Stelle des Körpers für glcichlange Stücken desselben denselben Werth hat, also constant ist, wächst d kf in demselben Maasse, als die betrachtete Stelle M von dem freien Ende B gegen das fest- gehaltene Ende A hinrückt (s. Fig. 1, Taf. IV); denn es ist ja eben das für diese Stelle in Rechnung zu ziehende Gewicht stets das Gewicht dea Yon dieser Stelle aus gegen das freie Ende hin liegenden Stückes M B, Nur für eine unendlich kleine Erstreckung dz des ganzen Körpers AB bleibt die wirkende Kraft dieselbe. Ist nun das dz vom freien Ende um MB^=z entfernt, so wiegt das Stück MB des Körpers y Fz, wenn y das Gewicht der Volumeneinheit bedeutet, und es ist demnach

und

folglich :

V Fz

<^A.= + ^«'«

dK = dK-\-dX^=.~{yFz±P)dt

und die Gesammtansdehnang beträgt für die Länge AB = a:.

^^hß^

0 worin G=^yFa das Oesammtge wicht des Körpers bezeichnet.

Ist uns Torgeschriebeii , dass in dem zu conutruircnden prismatischen

Von Dr. Eduard Zstissohb. 843

Körper keine bleibenden Dehnnngen oder Zaftenniiendr&ckungen antreten sollen, dasB also die Elasticitätsgrenze nicht überschritten werde, so müssen wir dafür sorgen , dass das Maximam der relativen Aasdehnung oder Zu- sammendrüekung, d. i.

/äi\ hJ^AI)

\dzjmate. \ FE Jmax.

kleiner bleibt, als die relative Ausdehnung oder Znsammendrttekutig 0, welche der Körper (durch den Tragmodul T für die Flächeneinheit) an der Elasticitätsgrenze erleidet, und weil

c:l = T:E; <f = -

ist, so lautet unsere Bedingungsgleichung :

E — \ FE Jmuc. oder:

FT:^iyFz±P)^^, Nun ist aber:

I) für ein positves P der Ausdruck y/*x + P, ein positives Maximum =:i G + P für z =s a,

„ „ Minimum =-P£*r2 = 0;

II) für ein negatives P der Ausdruck y Fz — /*,

A) wenn G<P

ein negatives Maximum =.= — P fftr 2 £= 0, „ „ Minimum = — (/>— 6) für « = 05

B)wennC>i>

P

ein absolutes Minimum = 0 für z = — ;;=' ^o>

yF

„ positives Maximum = (? — P für z = er, „ negatives „ = — /> für z = 0. Für den Fall ^ i>= C ist

_ P _o '' — 2P~ 2' f a es ist dann auch nicht allein das positive Maximum und das negative gleich gross: G — PsszP^ sondern es wird zugleich selbst die Gesammtausdehnung A = 0; wäre dagegen fi?> 2 P, so ist das positive, wäre C <2 P, so ist das negative Maximum das grössere.

Damit also die Elasticitätsgrenze nicht überschritten werde, muss man nehmen :

I) für ein positives P\

FT^yFa + P

1) ^^;F-Ar:

344

Zur Bestimniung des Querschnittes eines Korpers.

und in diesem Ausdrucke ist natürlich T>ya^ weil das Tragyermögen

T

FT> G sein muss; wäre ya> T, a>— , so würe P< — F{ya — T) d.h.

man müsste die Festigkeit durch eine dem Gewicht entgegenwirkende Kraft wenigstens von der Grösse F (y a — T) unterstützen, sonst ist F in jedem Falle zu klein.

II) für ein negatives P und zwar: A) wenn G<P

P

2)

FT^P

.2?

P>yfa>-y«,

r>y«;

B) wenn Gy> P und genauer «) wenn P<G<2P:

FTZP

3)

4)

T

;;r ^F^ — , T — ya'

b) wenn G>2P:

FT^y^a — P,

^ya-^T

Weisbach giebt in der dritten Auflage seiner Ingenieur- und Ma- schinenmechanik; S. 320 für F blos die Grenzwerthe :

P

5) F=

T—ya'

6)

7)

F-^

ya — T

und selbst ohne die Bedingungsgleichung, welche angiebt, wenn man sich der Formel 6), und wenn man sich der Formel 7) zu bedienen habe. Ein Blick auf die Formeln 1) bis 4) zeigt aber zur Genüge , dass man 4) mit Vorsicht anwenden müsse. Während wir nämlich bei i) bestimmt T> y a voraussetzen mussten, haben wir für 4) nur die Bedingung:

i=t^>P^i^ra-T)F

y^>y<^

T,

welche erfüllt ist, wenn r>— und wenn ya — r<0 ist.

Wäre ya — T<0, — >a, so wird

Von Dr. Eduard Zetzschb. 346

F<

= T—ya'

da hier F^O, so ist der Querschnitt in jedem Falle mehr ausreichend, weil ja schon das Tragvermögen FT>y Fa, d. h. F T> G ist, der Körper also selbst dann nicht über die Elatiticitfttsgrenze ausgedehnt oder zusam- mengedrückt werden würde, wenn es sein ganzes Gewicht tragen müsste; um so weniger daher, wenn auch ( — 'F^ noch einen Theil des Gewichts auf sich nimmt.

Ist dagegen ya> T> ^ ; «> — >-r i »o sagt uns die Gleichung 4)

dass, wlihrend mau in 1) bis 3) sicherer geht, wenn man den Querschnitt grösser nimmt, als er sich aus den Gleichungen 5) oder 6) ergiebt, man in 4) besser den Querschnitt kleiner nimmt, als ihn Formel 7) liefert. So fiberraschend diess anfänglich erscheinen mag, so ist es doch wohl begrün- det. Ist nämlich

T

und wir setzen bei n > i der Sicherheit wegen darin — an die Stelle von

//

r, so findet sich

ya — ^—

^_^^ « _, «yg — y ^^. {n — i)T

Fy~ ya—T nya-nT n{ya—T)^

es ist also der sicherere Querschnitt kleiner. Oder ist beim Querschnitte p

f,=Ä das Gewicht = C« und beim Querschnitte F, ^^ F^ — d* das

ya — T

Gewicht = Gj, so soll

F^T=Go'- P==yF^a — P,

F,T= Fo T-PT> G, - JP=(/?;^««) ya-P,

F,T>{yF,a — P) — S'{ya — T),

sein, was offenbar der Fall ist, dawirjaya^T voraussetzten. Je kleiner man also F| wählt, desto besser thut man ; doch hat die Verkleinerung eine Grenze, die sie nicht tiberschreiten darf, durch die Bedingung :

G>2P

yFa>2P

F> —

ya

ttud somit ist

8) -<F^-

ya y

a^T

J

346 Zur Bestimmung des Quersehnittefi eines Körpers.

Wäre endlich P=\G,80 wftre nach 3) F-Z^^r ^T>ya,

nach 4) F^'klZ3. ^T^ya,

und nach beiden

und somit F gans beliebig , so lange nur — ^ — ist ; aber es ist dann

2 — y

P=iyFa, F= — . Wäre y a= J, so müsste ^ F</'^ ao sein; wÄre y «

r> y a, so ist genau wie bei dem Falle P<,\G unter derselben Beding- ung.

Wirkt blos das Gewicht des Körpers, ist also P=0 und natürlich zugleich auch £?> 2 P, so ist nach 1) {T — yfl)iP^O

T—fa>0

oder nach 4)

also ebenfalls

ya— r^O T^ya

T

zu nehmen, und F kann dabei jeden beliebigen Werth haben. Für a > —

r

ist wiederum kein F ausreichend.

Da in dem prismatischen Körper -j- == «-^(y P^ + P) veränderlich ist

und Ffttr ( t- ) bestimmt werden musste, so hat der Körper an den

weniger in Anspruch genommenen Stellen einen zu grossen Querschnitt. Diess ist mindestens eine Materialverschwendung nnd vermehrt zweckwid- rig das Gewicht des Prismas. Suchen wir daher das Gesetz auf, uach wel- chem der Querschnitt eines durch sein eigeneis Gewicht und eine am freien Ende in derselben Richtung wirkende Kraft P belasteten Körpers sieh än- dern muss, wenn er an jeder Stelle nnj: die daselbst nöthige Tragfähigkeit haben soll. Ist F ein beliebiger Querschnitt eines solchen „Körpers von gleichem Widerstände^^ in der Entfernung z vom freien Ende, nnd ist dieser Querschnitt in Anspruch genommen durch die Gesammtkraft Q^ so muss nach 1)

T—ySz sein, nenn wir das Volumenclement von der Uöhe dz ttber F als Prisma be-

Von Dr. Eduard Zetzsohb. 347

trachten (Fig. 2, Taf.IV); damit dies aber erlaubt sei, mass dz ein Differen- zjal sein, and wir sind berechtigt, das unendlich kleine ydz zu vernüch- lassigen , haben also

und die Qoersehnittszunahme

^=1

T

T

Q w&chst aber um das Gewicht des kleinen Prisma's über F von der Hoho (fr, und somit ist

T '

//=i/-=i/-.

wenn j3 = ~ gestützt wird,

log naLF= ßz + ConsUy

9) F=«''*.c^^«^

Dies ist die allgemeine Form, and aus ihr erhalten wir die einzelnen Fülle , wenn wir nach einander

i>>0, i>=:0 und P<{t setsen. '

I. Wirkt nun am freien Ende N die Kraft +P, so muss an ihm der Quer-

P P

schnitt Fo = — sein, und da Fo zu z = 0 gehört, so ist — = F^ = 1 . c ^^'^'

und allgemein

10) F=F.€P^.

Je grösser z, desto grösser wird F, und als Querschnitt am festgehal- tenen Ende erhalten wir

Fa = F^eß^. Hätten wir die Abscissen als t vom festgehaltenen Ende M ausgerech- net, also i;= a — z genommen, so wäre

^=i?;rf(«-6. F^eß''=Feifi, nnd

in (F^F^^ßi,

^^) {F^^Feßi.

Wählen wir endlich einen zwischen M und iV, in der Entfernung d von iV gelegenen Punkt als Ausgangspunkt für die £, , setzen wir also tt ==« — d, Bo wäre der Querschnitt an jener Stelle, wo f, ::= Q, 2 = d ist, nach 10)

F,=F^eß^, somit

12) F^F^eß^t^'^'^^F.eßii,

Qüd

348 Zur Bestinitnting des Querschnitts eines Körpers.

rf+d, =flr; in 12) wfichst ^, von — d bis </| = a — d, es sind also die beiden Fftlle 10) and 11) zugleich darin enthalten.

II. Wäre P negativ und sein absoluter Wefth grösser, als das Gewicht Ga des ganzen Körpers, so wären die spannenden Kräfte sämmtlich ne- gativ, und somit bewirkt dann das mit z zunehmende Gewicht eine Ab- nahme der spannenden Kraft (Fig. 3, Taf. IV); daher ist:

(lO = — YFdz, F—F^e-P\

F F

und F<F^, -^ — eP*, während früher -=r = eP' war.

r s Fq

Es ist demnach die Begrenzungsfläche umgestürzt; setsen wir aber z' ^=sa — Zy indem wir die z' von M aus zählen , so wird :

13) F= F^er-ß^—') -= F^e-ß'eß'^^ F^eß'\

III. Wäre der Querschnitt des Körpers von gleichem Widerstände an irgend einer Stelle = 0 , so müsste an dieser Stelle die spannende Kraft = 0 sein; dies ist aber für ein positives P nirgends der Fall, eben so wenig, wenn P negativ, aber sein absoluter Werth grösser als Ga ist. Wäre da- gegen P = 0, so wäre i^i = 0, F= eß* . e^*'«"-, 0 = 1. e^<^'

14) F=0.eß',

d. h. alle Querschnitte in endlicher Entfernung sind = 0.

Wäre endlich P negativ und sein absoluter Werth kleiner als Ga^ so ist an einer mittleren Stelle, etwa bei z = a, das Gewicht Ga^ := P^ also die Spannung = 0 und auch der Querschnitt Fa^ = 0. Von z = aj bis z = a sind die dQ als positiv einzuführen, und wenn Z|=a — z gesetst wird, so ist

FT

für z, = 0 ist -P. = 1 . c^»"-, also

15) F^Fae-ßiK

Von z==0 bis z=^a^ sind die dQ wieder negativ einzuführen, und wenn z, = z, so ist

FT für Zt = 0 ist jFi = l«^»*'-, also

16) ^ F~F^e-ß't.

Die Gleichungen 15) und 16) haben dieselbe Form wie 11) und lassen sich mit ihr in F^^^F^e^ß^ zusammenfassen, wobei die ( immer vom be- treffenden (festen oder freien) Ende nach der Mitte hin zu rechnen sind. Unter der Yoranssetsung, dass F^ and F^ nicht ^0, also dass F|>0

Von Dr. Eduard Zetzkcre. 349

18t, kann aber in -F-= F,e""rt nnr, wenn f= oo ist, F=0 sein, es sind daher alle Querschnitte in endlicher Entfernung vom einem Ende grösser als 0. Wenn wir aber in 15)

2/= z — a, = — 2| + a — a, nnd in 16)

«f'=fli — ^f=fl| — « setzen , so gehen 15) und 16) über in :

nnd da die Gleichung 17) mit 14) von gleicher Form ist, so müssten zu- gleich alle Querschnitte in endlicher Entfernung von F^^ gleich 0, und alle Querschnitte in endlicher Entfernung von einem Ende grösser als 0 sein« Da dies unmöglich ist, müssen in 15) und 16) Fq und F^ und alle übrigen Querschnitte mit Fa^ gleich 0 sein, und in 14) ist auch der Querschnitt in unendlicher Entfernung = 0. Es ist sonach weder für P= 0, noch für ein negatives P, dessen absoluter Werth <^Ga wSre, ein Körper von gleichem Widerstände möglich.

Nachdem wir einmal die Querschnitte eines Körpers von gleichem Widerstände bestimmt haben, lässt sich auch leicht das Volumen jenes Stückes bestimmen, welches zwischen dem freien Ende und dem Quer- schnitte F liegt ; es ist nämlich

dV=Fdz, und daraus erhalten wir:

I« nach 10) :

dV=zF.eß'dz,

1 TF

r= - F^ef' + Const. = h Const.,

ß Y

und weil für z = 0 auch F=:0, also

1 T F P

0 = - /'o 1 + Const.= + ConsU= — + Consl.

ist, 80 beträgt das Gewicht des in Rede stehenden Stückes

G~y F— T.F^eß'— TFo = T^F—F^) = p{eß'— 1), und das Gewicht des ganzen Körpers

Ga=^P{eP--^ 1) = T{Fa — F,)', II. nach 13) :

dr = F^eß'^dz\

1 TW

V= 4- Fa^'^ + Const. = — , P r

1 TF T F

0= -T ^« . 1 + ConsL = — - + Consi.= — e''ß'^+ Consl., ß 7 Y

abo das Gewicht des Stückes vom festen Ende bis zu F:

G — y F= T{F— Fa) =TF{\ — eß'^') = Perß^i,^^^ l), und das Gewicht des ganzen Körpers :

350 Zur Bestimniitng des Qaerschnitts eines Körpers.

C« = T{Fo— F^) ==/>(! — e-^'). • ' Wäre der Körper prismatLsch gemacht worden, so wäre sein Quer-

P

sclmitt F' = -; und sein Gewicht

T — ya

und weil

eß"— l = ßa + \ß*(^+ !/»'««+ Ä/J*a* ..-) = 1 — erß- ist, so haben wir in jedem der beiden Fälle an Material erspart:

Da der Körper blos rücksichtlich seiner absoluten Slasticität oder Festigkeit in Anspruch genommen werden soll, so stellen wir uns seine Querschnitte als ähnliche Figuren vor, deren Schwerpunkte in der Achse des Körpers liegen , und diese steht mit der ihr parallelen Kraftrichtung senkrecht auf jedem Querschnitte. Die allgemeine Form der Gleichungen 10) und 13) ist : F =^ Fi er «. Jenachdem nun die Begrenzungslinie der Quer- schnitte F und F^ für rechtwinklige oder für Polarcoordinaten durch Gleich- ungen von der Form 9)(x, ^) = 0 und 9 (o^i , ^i) =s 0 , oder von der Foiid ^(r,u) und ^(r|,ti|) gegeben ist, wird

F= I ydx^=^ I xdy

oder

und

18) oder

r«dtt,

\Jyäx=eß'JytdXi, ' lxdy=zeß'lxi dy^.

19) • kjf^du = \eß-Jr,*du,,

worin die Integrale bestimmte , ihre Grenzen aber eben dadurch gegeben sind , dass die Integrale begrenzte Flächen bedeuten. — Eine oder die an- dere dieser drei Gleichungen zusammengenommen mit ^(a:,y)=0 oder t|;(r,M)=0 bestimmt die Mantelfikche des Körpers vom glei- chen Widerstände. Die Horizontalschnitte derselben sind Linien , de- ren Gleichungen die Form (p (o?, y) ss 0 oder t/;(r, ti) =0 haben, und wenn man in 18) vor dem Integriren beziehungsweise .y und ^, oder ^.ttnd«:t *^

Von Dr. Eduard Zetzrche. 351

den Gleichnngen g>{x^ y) = 0 und ip(xg^yt) = 0 entnimmt und einsetzl, so erhSlt man •

Off. in^y^fioc.y.eß',

d. h. die Gleichungen der Verticalsparen in der Ebene ÄZ oder YZ^ oder allgem^ein die Gleichangen sämmtlieher Verticalschnitte parallel zur Achse der X oder der y, jenachdem in 20) für x^ und yi die Werthe fttr den Durch- schnitt der Begrenzungslinie in i^j mit der x- oder y- Achse oder andere [nach fp {xi , ^i) zulässige] Werthe einsetzt. Die Entfernung ifg oder x^ die- ser Schnitte von der x- oder y-A(^hse in Fi liefert die Gleichung 9)(^f ,^0=0 selbst, wenn man in sie den in /"(a:,) oder /i(yi) verwendeten Werth von Xf oder tfi einsetzt.

z.B. t) Es sei der Querschnitt ein Quadrat, dessen Ecken in den Achsen liegen, dann ist:

^(af, y) = j/7— V{± *) - (+ ^) = 0, h b

?^ ^j{b ~ x) dx , F, = Ajih, — X,) dx, ;

die Gleichung der Spur in der Ebene XZ oder ¥Z (Fig. 4, Taf. IV):

b = 6j e**^* = ft| n*, wenn « = e* '^, and die Gleichung der Yerticalschnitte :

a: = ar, ei*^ * = Xi «*, worin aber a?, nur von — 6j bis + 6| geht.

2) Es seien die Begrenzungslinien parallel zu den Achsen in den Ent- fernungen c und c" , dann ist

fp{x,y) = y + c" = 0 = a: + c', und die Gleichung der Verticalspur (Fig. 5, Taf. IV) c'

in XZ, F = ^jc'dx = 4cV = 4r,"c,' . ^'

c c =Ci r, er'

in FZ, F=aJc dx =^cc' — ^c^'c," . e^A

Die Gleichung der Yerticalschnitte dagegen lautet:

worin aber nach v(ari,yi)=0 nur die Werthe a:i = Cj' und y, = Ci" brauch- bar sind, so dass durchweg

ist, nnd in dieser Gleichung sind wegen der vorausgesetzten Aehnlich-

r

keit der Querschnitte e und c' gleichzeitig mit z variabel und zwar -;;

ZeiUehrift f. Mathematik «. Physik. IV. 24

352 Zur Bcstimmang d. Querschn. eines Körpers. Von Dr. Zetzsche.

= -77. Bei Cj' Ä Ci" = c, geht dieser Querschnitt in den unter 1) betrach- teten bei einer um 45^ geänderten Acfasenlage Über, und es ist dann:

wenn wieder « = eir ist.

Wäre c' für alle z gleich gross, so bestünde die Mantelfläche aus zwei Ebenen, parallel XZ^ und aus zwei Cylinderflächen von der Form + c^x = c^eß^.

3) Für kreisförmigen Querschnitt ist:^

^(r,M)=r — ^==0, 2n 2n

0 0,

F,= ijQ*du = 7CQt\

also

wenn abermals n =s e^r ist

Bei kreisförmigen Querschnitten sind also alle radialen Verticalschnitte congruente logarithmische Linien ; bei quadratischen ist 6, =c,]/2, &=c^2, also sind auch hier die Verticalschnitte durch die Diagonalen und parallel zu den Seiten unter einander sowohl, als mit den Verticalschnitten bei kreis- förmigem Querschnitte congruent , nur dass der Anfangswertfa fr| einem c gleich kommt, für welches 2=="/o^j/2 ist.

Sind die Querschnitte Linien höherer Grade , so ändert sich die Basis n der Logarithmen, so z. B. schon bei kreisförmigen Querschnitten för Ver- ticalschnitte durch Sehnen.

•(• -»(f 't

XIV.

fiechnang mit rationellen symmetriechen Functionen.

Von Dr. R. Hophe,

Pdvfttdocjetit jti ReHiru

BftTtanntlieli lÄsst «ich jede rationelle ajmmetriaclie Function der Wur- zeln eiTier alg^ebraischon Gleiclrang rational in deren Coefficienten aiia- drilcken^ Ibre indepedente allgemeine Daratelinug sei das Jetxtc Ziel der vodiogfinden Arbeit,

Da nach Verwandlung einer sjm metrischen Function in einen einzi- gen Bruch ZHhler und Nenner symmetrisch werden , so reducirt sich daa genannte Problem auf den Fall ganzer Functionen, Jede ganze Function lässt sieh in homogene Theüe verschiedener Grade Äerlegen, jeder homogene Theil wiederum in solche Therle, die ohne Aufhebung der Symmetrie nicht getheilt werden können, und welche geschlossene Functionen heissen mö- gpu. Die letztere erhält man, indem man ein Glied durch alle möglfehen Vertan »chungen der Elemente in eine Anzahl der übrigen Glieder über- gehen lässt: deren Summe n cimlich ist eine geschloesene Function. Die durch Vertausch nng der Elemente in einander übergehenden Glieder sollen gleichgebildete heissen.

Der Ausdruck einer gesclilossenen symmetrischen Functh^n sei

ff t 1

wo m,, »r,, . . . die Zahl der Elemente bezeichnen, welche in erster, zwei- ter u, 8- w, Potenz mit dem darüber bemerkten Exponenten erscheinen* Bezeichnet «die Anzahl der vorhandenen Elemente und / — Wi + "»i + - ' »*« Jie aller Terschieaenen Elemente, w^elehe in jedem Gliede vorkommen, m i^t

nl ^

{li — t)\ m^l m^l . . . m„\ die Ansah] der Glieder von C\

L Naf^h diesen Vorbemprknngen sei die erste Aufgabe, das Prodnct

ia eiiio Stimma geschlossener FnncLiouen zu entwickeln.

, 35'i Rechnung mit rationellen Bymmetrischen Functionen.

Da der erste Factor bei jeder Vertauschung von Elementen unverän- dert bleibt, so erhält man das Product, indem man ein Glied des zweiten Factors mit dem ersten Factor multiplicirt, und dann die Elemente derart vertauscht, dass jenes Glied in alle übrigen übergebt. Die Mnltiplication bewirkt, dass einige Potenzen um 1 erhöht werden. Es sei xa die Anzahl der j5**" Potenzen, welche in die {ß + 1)*® übergehen, und zur Abkürzung

/' = ar^ + a:, + . . . x^g dann ist

a +.1 ^ ^ ^

( a? , m^^ Xa + x„^u . . . m, — «, + a?, , m, — ar, + * — r) die Form eines Gliedes des Products. Alle Glieder, in welchen sämmt- liche X dieselben Werthe haben, sind gleichgebildet, alle verschiedenen Systeme vonWerthen der x gehören zu verschiedenen geschlossenen Thei- len. Folglich liefert die angedeutete Multiplicatian für jedeh geschlosse- nen Theil soviel Glieder , so oft dasselbe System der x vorkommt. Bei Yertauschung der ma Elemente, welche den Exponenten ß haben, bekommt nun Xß so oft denselben Werth, als Combinationen xa^^' Classe swiaehen ma älementeu möglich sind, d. L durch Binomialcoefficienten ausgedrückt

mal. Ebenso treten

(n — /)*-r mal k — t neue Elemente in erster Potenz als Factoren hinzu. Demnach ist ^

t ) Mx^ {<)x^ • • • (f^cdxa (" ~ ^*-^

die Anzahl der Glieder, welche die Mnltiplication für den durch Xi, . . .ar^ charakterisirten geschlossenen Theil liefert.

Vertauscht man jetzt die Elemente so , dass jedes Glied des zweiten Factors in alle übrigen übergeht, so kann kein Glied des Products aas einem geschlossenen Theile in einen andern übergehen. Folglich multipli- cirt sich die Gliederzahl eines jeden mit derselben Zahl 1). Setzt man also

a+1 • * 1

P=£AC{ fia+i, ..-^s»#»iX so ist

n\ n\

{n — I) ! |[i|! . . . fiff+i! (n — /)• «|1 • • • «a^ (»»i)ar, (»»t)«, • • • Wo?« (» — Ofc-/. wo

1*1 = Wf — a:, + A: — /'

l*jJ = "•/? — ^ß + ^p -1

l = Sm; r=Sx; X = Sfi gesetzt ist und S das Sumraenzeichen bedeutet.

Von Dr. R. Hoppe. 355

<Vx»/«^^^^/%^^^%^>^N^^WN*N^^^^>^^*S^^«^^>^^*^<^

Hieraus ergiebt sich der Werth J={m,—Xi + k — Sx)k^sx («2 — «t + «i)x, • • • (»»a— ^a+ ^a-dx^^y^ oder, wenn man

k — Sx^=Xq setst,

Der erste Factor bestimmt die oberen Grenzen der x, nämlich Sjc^k, die übrigen die untern, x> 0. Es hat sich ergeben

1 ä 1 Sx=k ß^=a

2) C(Är)C(ma,...m,)= 2... £ U {nto — Xß + XßA^^ X

;r^=Oa:,=0/?=l *^ *^ l* / jJ-1

^(^a >'"a — ^a + ^ff+t, . . . w, — o:, + ar« ) wo

a:^ = A: — 5 or.

IL

Es soll eine geschlossene Function vom höchsten Exponenten o + 1 auf solche vom Exponenten a zurückgeführt werden.

Setzt man in Gleichung 2) k nacheinander = 1, 2, 3, . . ., so giebt es auf der rechten Seite immer nur ein Glied, welches resp. 1, 2, 3, ... (a+l)*® Potenzen enthält; die Anzahlen der anderen Potenzen hingegen sind unab- hängige allgemeine Grössen. Man findet daher den gesuchten Werth von

/«+! 1 \

saccessive für Uf^^i = 1, 2, 3, . . .; und Q ist durch Gleichung 2) völlig be- stimmt.

Es soll demgemftss die Richtigkeit des Ausdrucks

Sc^Hazzzi 1 «

ö= 2? ... -r 2?C(OC(f*af+i + ^a +*«+!

« — 1 2 1

Pa— 1 — ^a—i + ^'a— 2» • • • f*t — <^t + ^n |"*i — <»i + 1»«— i — Sc) wo B Function der fi und der a ist, durch Einführung in die Gleichung 2) bewiesen werden. Sie giebt ^

Sx^k Sc=x„ i

/>= £...£ A S...£ BC(iS^)X

... »4 — Xt + x^ — ^t + ^tj^i — ä:, + A: — Sx — öi + x„ — S a). Hier treten in B an die Stelle der ^ die Werthe

356 Rechnung mit rationellen symmetrischen Functionen.

jHj = m, — a:, + k — Sx H2 = Wf — Xf + Xf^ etc.

Setzt man

<^i = Pi — ^1» ^'t = Pt — Xfy... C„^i = pjj_, — ^a^v ^« = ^a so kommt nach Vertaaschung der Summenzeichen S^^k 1 \

. . . m, — Qt + Qn ^i — Qi + k —Sff)M

M= £...£AB

Diese Gleichung wird befriedigt , wenn für (i« = A: , Jf = 1 , für jedes andere q^i M=zO ist. Dies ist der Fall, wenn

^ = <- »>'"-*-^""'" 2 ll^'*/' + "<»-).<,%!'•/' + ''^- - 'h-

gesetzt wird. Zum Beweise sei

fß = Qß. i — ^ = ^ß + ^ß — ^^^^ ß>Y'-K Dann erhält man nach Substitution der Werthe von A und B .

M=%(-if + ?« n%p - ar^ + ^<»_,)«^_i X

yssiaßz=ia

y=0 |J=:1^ r r r / ß^i p_i

Lässt man Xq statt o;« unabhängig variiren, so wird

X = Ar — • a:o — ^1 — • • • ^« 1 = ^ — ^ *

und man kann obige Summe folgendermassen ordnen :

iif=(— 1)*+*« z x r«-i £. . .T^ i: To,

wo

a — 1 •

Tß= (-l)*p (mp - orp + ^^'-^^^^l^i ^"P^ für |3= 1, 2 . • . a — *1 zu setzen ist. Zur Summation wende ich folgende Formel an:

X X

JS (— l)' (a + X), {b -. x)r c, = -S (— l)i «,.i (6 ~ rV.,+;i c^

Von Dr. R. Hoppe. 357

die Sammen zwischen den weitesten Grenzen genommen, eine Formel, welche man leicht durch partielle Differentiation der binomischen Entwicke- lang von

('-f)w

nach se und y erhält. Ihr znfolge ist

^1 = («1 — »• — «i)»,— », + j, l*r,P, = i(-l)*«i7,r,(r.)i,

u. 8. w. , schliesslich

^»—i =* ("•«-1 +'«— »~*«-»)»«_2— ««_i+»«_i

Die Indices der Binomialcoefficienten üg^, F, , F,, ... V^^^^ müssen sämmtlieh .=0 sein, weil ihr% Summe =^0, und keiner negativ ist. Daraus geht hervor

A|j = T|j — ^ß^ü ^^ = *^a -. 1 — »0-

Von der ganzen vielfachen Summe nach den X bleibt mithin nur ein Glied übrig , und man hat

Alle Glieder dieser Summe würden verschwinden , wenn nicht

wäre. Da in diesem Falle die Gleichung Jlf = 0 der Behauptung gemäss ist, so kann man die Grössenordnung der q zur Voraussetzung machen. Aus ihr folgt, dass, wenn ein ^ verschwindet, alle vorhergehenden ein Gleiches ihun. Ist also ^3 = 0, so verschwinden wegen des Factors

358 Rechnung mit rationalen «ymmetrischen Fanctionen.

alle Glieder der Samme M von y ==0 bis y = ^, ingleicben diejenigen, in welchen p= ^y.| ist. Der Ausdruck M behält seine Form, enthält hin- gegen keine einander gleichen q mehr , nachdem man alle Faetoren = 1 weggelassen hat.

Da nun Sq'^k ist , so verschwinden für ^^x = ^ &lle übrigen q , mit- hin alle Glieder von M bis auf das letzte, und man behält if = 1, wodurch die erste Behauptung bewiesen ist.

Es sei zur Abkürzung

also

y=0 '^-'*

dann ist die Summe der zwei ersten Glieder

daher (mit onTerändertem Vorzeichen) die Samme der drei ersten Glieder

= ± Äi JV. {(9.-1^,-1 + (9.^i)e. } = ± Ä.^.

u. s. w. , endlich die Summe der et ersten Glieder

= ± Ä«-iA;.-1 = (-1)* + ^« + ^«-! "" ^ Ä«.,

und das letzte Glied

= (-!)*+«« + *«-• Ä„_,, folglich iü/ = 0 , was allein noch zu beweisen war. Stellt man das Kesol- tat zusammen , so erhält man

^l f*«+ii •••!*.. f*ij= S...E C{9„):<

. = 0

t — 1

2 1_

wo 0„ = |»|^., — Sc gesetzt ist.

Von Dr. R. Hoppe. 359

Dieser Ansdmck ist etwfis undeutlich fif r a = 1 , wo die 21ahlen l^a + Ma+i + ^a— i ^°^ Mi — ^'i + l^tf+i — ^<f identisch werden müssen.

Ihr Werth ergiebt sich aus der Betrachtung ^ dass Ml + 2f*, + 3/A, + ...(« + 1) fia+i den Gradexponenten der linken, also auch der rechten Seite ausdrückt, und ist demgemXss =/i| + 2fi, — 0|. Für diesen Fall lautet daher die Formel

Hiermit ist die Aufgabe gelöst, die Grössen C, in welchen die Elemente die sMmmtlichen Wurzeln einer algebraischen Gleichung sind, durch Coef- ficienten dieser Gleichung auszudrücken. Jeder Coefficient ist von der Form C{k*). Durch wiederholte Anwendung der entwickelten Formel wird der höchste Exponent in C successive von a bis auf 1 reducirt, so dass zu- letzt nur Gleichungscoefficienten übrig bleiben. Die Ausführung besteht in einer blosen Substitution.

Kleinere Mittheilungen.

XXX. ITeber die AnfUsnng der Oleicbung a:*+ f^=ix — y in ratio- lalen Zahlen. Von R. Hoppe. Durch die Substitutionen

l—u 3» — 1

ergeben sich aus der genannten Gleichung die Werthe

yf ^ — ^ y 1 + 3M« 8/«(i + 3ti«)

beide rational , sobald u die Bedingung

«rfhlli. Der eine gebt durch Substitution von

i- für « 3u

in den andern über. Da nun offenbar u nur von der Form n* oder 3 w* sein

kann , so kann man ohne Beschränkung ti als Quadrat betrachten.

360

Kleinere MittfaeilmigeD.

Es sei jetzt

dann wird

w _ /l — 3i<*\'

ein Quadrat, wenn »^ es ist, und

l + 3u«\ 1— 3m»/ ein Quadrat, wenn ii der Bedingung 1) genügt. Hat man also eine Lösung der Gleichung 1), so wird dieselbe auch nach Substitution von i|;9(tt) für u befriedigt. Setzt man

so ist

das allgemeine Glied einer unbegrenzten Reihe von Lösungen.

Specialauflösungen sind z. B. u = 1, m = ( — j ; daraus ergeben sich folgende zwei Scalen :

w = l	2*
a;=l	10 7
y = o	_6 7
und
2. ^=3	13 14
1	11
^ = y	14

28 . 41 . 73 47 . 2593

28 . 25 . 57 47 . 2593

47 ; 4561 28.2593 47 . 11 . 13 28 . 2593

3.5.13 11.61

3.7.8 11.61

11 . 2 . 37

3«. 61 11.47 >. 61

/3.11.2.61Y \ 23 . 313 /

4026	.68034277
7199 4026	58941127 35616925
7199. 7199	58941127 . 100451629
3.4026.58941127 7199 . 3199573

3 . 4026 . 58941127

Die Inversion der Functionen 9», ip giebt

woraus hervorgeht

1-31^ = ?-^

Ist also w eine Lösung, so ist auch v rational; ti wird alsdann gleicfafaUs rational und eine Lösung sein, wenn %vn ein Quadrat ist. Andernfalls be- ginnt die Scale mit w, wie es der Fall ist mit den Werthen it^sl, w=(--), für welche

Kleinere Hittheikmgen. 361

>^S^N^^^i^^»^<

2»w = -,

8' 8.11» kehl Quadrat ist.

Zam Zweck der Eatwickelnng des allgememen Gliedes der Seala sei

dann wird nach 2 n maliger Fanctionimng

.r- («)=(_ !)-/*(«). Femer sei

WO Ä^ und B^ ganze Functionen von u ohne gemeinschaftliche Factor sind; dann ist, wie sich leicht ergiebt, A^ vom Grade 2*, B^ vom Grade 2" — 1, r. vom Grade 4*. Durch fortgesetzte Substitution von X{u) für u, durch welche

lim—, «».in^, r«in-^jj-, r/ m w r^^i

übergeht , findet man ohne Schwierigkeit

Setzt man dann wird

1 + oder

woraus hervorgeht

Hat man mittelst dieser recurrenten Gleichungen p^ und q^ auf » zurück- geführt, so erhftlt man

XXZL Blementere noerie der azonometritelieii Projeotton. Sind OAy OBj OC (s. Taf. IV, Fig. 6) die drei in einer Ecke zusammenstossen- den Kanten eines Würfels und 0'^, O'F', O'C' ihre Projectionen auf eine Bildebene ^ F, so bieten sich zwei Aufgaben dar hinsichtlich des Zusam* menhanges zwischen jener körperlichen Ecke OABC und ihrer Projection.

362 Kleinere Mittheilungeti«

Man kanD entweder die Würfelkante 0 Ä und die Stellang der Ecke gegen die Bildebene als bekannt ansehen and daraas die Grössen and gegenseiti- gen Lagen von 0' Ä ^ 0'B\ O'C herleiten; man kann aber anch umgekehrt annehmen, dass OV, Q'^^ O'C der Grösse, nicht aber der Lage nach, gege- ben seien und dann hat man zaerst die Winkel ÄO'lt^ ff O'C ^ CCÄ za er- mitteln, unter denen jene Geraden aneinandergelegt werden müssen, wenn sie überhaupt als Projectionen von OA^OB^ 0€ dienen sollen; ferner ist die Würfelkante 0 A und endlich die Stellung von 0 ABC gegen die Bild- ebene zu bestimmen. Die letztere Aufgabe ist das Fundamentalproblem der axonometrischen Projection; es wurde zuerst von Professor Weis- bach mit Hülfe der sphärischen Trigonometrie gelöst (Polytechnische Mit- theilungen Yon Volz und Karmarsch, Bd. I, S. 125), wobei freilich die Winkel ÄO'B\SCCyCCA nur berechnet, nicht aber geometrisch con- struirt wurden ; eine analytisch-geometrische Lösung des Problemes, die ieh im zweiten Bande der Zeitschrift „DerCivilingenieur, herausgegeben von Prof. Dr. Zeuner,'* veröffentlichte und auch in meine analytische Geometrie des Raumes aufnahm, führte dagegen zu dem bemerkenswerthen Satze, dass die Projectionen ffjty O'JB^^ O'C die Wibkel eines Dreiecks hal- biren, dessen Seiten sich wie die Quadrate von CJ^ O'By O'C verhalten, worauf eine Construction der nöthigen Winkel leicht zu gründen ist. Die Einfachheit dieses Resultates Hess erwarten , dass sich dasselbe auch mit elementaren Mitteln würde erreichen lassen, und in der That findet man be- reits in der „Anleitung zum axonometrischen Zeichnen von Bergrath und Professor J. Weisbach, Freiberg 1857" einen geometri- schen Beweis des vorhin ausgesprochenen Satzes. Wie mir scheint, kann aber die Sache noch weit einfacher gemacht werden , und dies ist es , wis ich im Folgendem zeigen will.

Die Würfelkanten OjL^ OB^ OC schneiden bei hinreichender Ver- längerung die Bildebene in Punkten Z, ilf, iV, die wir, dem Sprachgebrauche der descriptiven Geometrie gemäss, die Spuren der Kanten nennen ; ebenso sind die Geraden LM,MN,NL die Spuren der Ebenen AOB;BOC, COA. Da die Gerade OA normal zur Ebene BOG ist ^ so steht die Projection O'Ai senkrecht auf der Spur MNy und wenn daher 0*A' einerseits bis L^ andererseits bis zum Durchschnitte ü mit MN verlängert wird, so erscheint L ü als die zur Basis ilfiV^ gehörende Höhe des Spurendreiecks L M N. In gleicher Weise sind M V und N W die übrigen Höhen desselben Dreiecks. Fem er bemerkt man leicht, dass auch 01/^ senkrecht auf MN steht, mithin LOÜL der Neigungswinkel der Ebene B OC gegen die Projectionseben^ ist; dem analog würden sich die Neigungswinkel von COA und AOB ge- gen EF construiren lassen.

Wir betrachten nun erst das Spurendreieck mit seinen Höhen (s. Taf. IV, Fig. 7). Dasselbe zerföllt in drei Vierecke ffVLfF, CWMÜ, O'üHV, welche aus sehr naheliegenden Gründen Sehnenviereeke sind; zieht man

Kleinere Mittheilangen. 363

darin die Diagonalen FfF, WU^ ÜV^ und benutst den Satz von der Gleich« heit aller über demselben Bogen stehender Peripheriewinkel, so findet man leiebt die Oleichangen

• LVLW=LMO'W=LNO'V — LMüW^LNUr mithin aaeh

LLüfr=Lür,

denen noch zwei andere Gruppen von Gleichungen entsprechen. Ueber- haupt sind die in der Figur gleichmässig bezeichneten Winkel gleich. Hieraus folgt einerseits , dass die Geraden LÜ^MV^NW die Winkel des Dreiecks VVW halbiren , andererseits , dass die abgeschnittenen Dreiecke VLW^ WMÜj UNV einander ähnlich sind. Durch die erste Bemerkung sind Lü, MVy NW oder (fA^ (Jftf^ O'Cf ihrer Lage nach bestimmt, sobald man die Seiten des Dreiecks VVW kennt. Wir bezeichnen dieselben so, wie sie den £cken 17, F, W gegenüberliegen , mit m, r, w und haben dann aus der Aefanlichkeit der Dreiecke ÜMW nnd ÜVN

v:ÜM=üN:w oder v.w=:üM,UN. Beachtet man weiter, dass in dem rechtwinkligen Dreiecke MÖN die Gerade 0 ü das Perpendikel von der Spitze des rechten Winkels auf die Hypotenuse darstellt, so hat man statt der vorigen Gleichung die folgende

Die Gerade Oü kommt aber auch als Kathete in dem bei 0 rechtwink- ligen Dreiecke ÜOL vor, worin 00' senkrecht auf der Hypotenuse ÜL steht; es ist daher A OO'üo^^LO'O oder, wenn Ajf' parallel und gleich /(y gezogen wird, ^Offüo^^AA'O. Unter Einführung der Bezeich- nungen OA=iOB—OC=^ d, Off = Ä, O'Ä = AÄ' = a\ffB'= b\ 0'C= c liefern die genannten Ähnlichen Dreiecke

0ü:h = d:a oder 0ü~	dh "7»
mithin ist nach dem Vorigen	rf«Ä«
und analog für die übrigen Seiten
Hieraus ergeben sich die Gleichungen / dh , bc
^ ^ ca	ab'e" '
dh , f «?= TP C = \ ab	-a'b'c''
die unmittelbar das Verhilltniss

364 Kleinere Mittheilungen.

erkennen lassen. Die Oeradm 0'£, O'Äf, O'N halbiren alao die Winkel eines Dreiecks, dessen Seiten sind

^ ^ c^ k' k' k ' wobei k eine Gerade von willktthrlicher Länge beaeichnet. G^wdbnlteh nennt man c die grösste der gegebenen Projectionen; für k=^c wird dann die Construction am einfachsten.

Ans den ähnlichen Dreiecken TJO'O^ OÄ'A nnd OO'L erhält man noch

2) 0'/;=-=£i=, 0'^=-=£L=. 0'Ar=_£L=.

«v^- ^k -__ dh _,, dh

j/d'—a* j/d' — b'* y^—c^

endlich bemerke man, dass zwischen den Katheten MO^ NO irgend eines rechtwinkligen Dreiecks und dem auf die Hypotenuse herabgelassenen Perpendikel 0 ü die bekannte Relation

oder .

\oü)~\om)^\on)

stattfindet; im vorliegenden Falle wird hieraus zufolge der Werthe ron Oü^ OM, ON,

a*=2d* — b'*—c\ d. i.

4) d==^4(a'« + 6'« + 0.

Dass nun die ^^fg^be durch die Formeln 1) bis 4) ihre vollständige Lösung gefunden hat, ist leicht zn übersehen; wird nämlich die grosste der gegebenen Projectionen mit c bezeichnet, so gelten folgende Gon- structionen (s. Taf. IV, Fig. 8). Man nehme in beliebiger Lage die Ge- rade ü' V == c\ beschreibe über ihr einen Halbkreis , trage in diesen die Sehnen V'P=a\ ü'Q= b' ein und fälle von P und Q auf Ü'V die Senk- rechten PB. und QS, Ans den Seiten V'V\ VW* == V'R und ü'W'zznlTS bilde man das Dreieck ü'V'W''^ dieses ist dem früheren Dreiecke UV ff ähnlieh nnd daher geben seine Winkelhalbirenden ü'0\ V'Ö\ WH die Richtungen der Projectionen an. Nimmt man auf den Verlängerungen von V'0\ rO\ W'& die Abschnitte O'J =: a\ OB^ =»y, O'C = c , so hat man die Projectionen a\ b'j e' in die gehörige Lage gebracht. Die Projeetion des ganzen Würfels erscheint jetzt so, wie Fig. 9, Taf. FV zeigt, wobei der Ranmersparniss wegen a\ b\ c in halber Grösse gezeichnet sind. Die Kante d des Würfels ergiebt sich aus Formel 4), welcher die Constmction in Fig. 10 entspricht. Willman endlich die Lagen von 0^=s OJ? = OCssd gegen

Kleinere Mittheilnngen. 365

die Projeetionsebene bestimDen^ so wählt man OfO = h willkührlicli , con- sirnirt dLy O'M^ 0N nftch den Formeln 2) und schneidet diese Strecken WkVtiffAy (/B\ 0'(f ab; man hat jetzt das Sparendreieck , mithin auch OL^ OM.OH.

Wie man ^ieh der ebenen Trigonometrie bedienen kann um die Win« kel des Dreiecks ü'V'W mithin auch

5) L (a'O =00«+ i ^'> ^ (c «) =90« + 4 r,z. (6' c')== 90»+ 4 er

und die Winkel O'OL^ O'OMy O'ON oder deren Complemente zu berechnen, dasbedarf keiner näheren Auseinandersetzung; selbstverständlich kommt man damit auf die Formeln zurück, die a. a. 0. entwickelt worden sind.

Den vorigen theoretischen Erörterungen fügen wir noch eine prak- tische Bemerkung bei in Beziehung auf die Oonstruetion der Winkel zwi- schen den Achsenprojectionen; als Beispiel diene hierzu das beliebte Yer- hältniss

• a :6':c=9:5:10 also

u : p : MT rr: 81 : 25 : 100.

Es wäre nicht rathsam , ein Dreieck nach den letzteren Verhältnissen zu construiren und dessen Winkel zu halbiren, denn jenes Dreieck würde den stumpfen Winkel 134^0144" enthalten und daher zu keiner genauen Zeichnung taugen; vielmehr wird man die halben Dreieckswinkel berech- nen und hieraus nach No. 5) die gesuchten Winkel herleiten. Man findet l ü= ir 48' 53" 3, 4 F = 5» 10' 44" 7, ^ FF= 67« O' 22".

Die Werthe von ian ^V und ian\W sind nun bekannt und müssten soweit abgekürzt werden , als sie mit Hülfe eines Maasstabes aufgetragen werden können ; dieses Verfahren gewährt aber keine grosse Genauigkeit und es ist daher besser, jene Tangentenwerthe in Kettenbrüche zh ver- wandeln und deren Ndhemngsbrüche zu benutzen. Dies giebt folgende Constroction (Taf. IV, Figur 11). Man stelle die Geraden PO'Q und O'Z senkrecht zu einander, construire das rechtwinklige Dreieck O'PX' aus den Katheten

(rP=43, P-r'=i3,9 sowie das rechtwinklige Dreieck O'QY' 9Xk%

0'ö=28, (?F' = 9, 80 sind ffX\ 0'7\ ff 2! die gesuchten Achsenprojectionen, auf denen man a , b\ c in den Verhältnissen 9 : 5 : 10 abschneidet Den angegebenen Ka- theten zufolge ist nämlich

LPö'Ar' = 50 10'ö6"7, L.(?0'F' = 17«49'8"; mithin betritt der Fehler beim ersten Winkel 12, beim zweiten 15 Secun- den, womit eine für graphische Arbeiten f!»st übersohwängliche Genauigkeit erreicht ist. Schlömilch« .

366 Kleinere Mittheilnngen.

XZZU Hooh ein Bewms des y611er'Mlie& Sstsei. (Vergl. Jahrg. IV, Heft 2, Kl. Mittheil. VI.') Zieht man in einer ebenen Cnrve eine Sehne und legt durch deren Endpunkte Tangenten an die Curve, so nfthert sich das Verhältniss des von der Sehne gebildeten Flächenabschnitts sn dem von ihr tmd den Tangenten eingeschlossenen Dreiecksinhalt , mehr und mehr der Grenze f , wenn die Sehne nnendlich abnimmt. '

Bildet die Tangente Pi>'r=s r mit den Tangenten in P und P' die Win- kel ^ und 1} , so wird swischen r und ^ eine Beziehung bestehen , welche mit '&e=0 auch rr=2 0| aber für den unter der unbestimmten Form % anf-

tretenden Quotienten --ji einen Grenz werth' a liefern muss, welcher nach

der Regel über Ermittlung solcher Werthe auch den in folgender Gleichung genannten awei weiteren Quotienten zukommen muss :

3 Ir^d^

Nun ist das Integral nichts anderes als der doppelte Inhalt des Flächenab- schnitts zwischen Sehne und Curve, derjenige des Dreiecks zwischen Sehne und Tangenten aber :

r" _ f^

coi^ + cotn ^^ , dr *

also das Verhältniss des Abschnitts zum Dreiecke :

1 / ,^ . dr\ r.,^ . d^/^cos» ^ rdr ^\ o

U "^

mit d=0 geht dieses Verhältniss also über in:

Stuttgart, Juni 1850. C. W. Baür.

Axxhi, Anfltenng einer geometrisehen Anfj^abe^ (Aufgestellt im

Cr eile 'sehen Journale Bd. 51, S. 100, 1856.)

Aufgabe. Es sei eine krumme Linie C in einer Ebene 1? gegeben und in dieser Ebene ein Punkt P von bestimmter Lage gegen C Durch den Punkt Pgehe im Räume eine andere krumme Linie jD, von einfacher, oder auch doppelter Krümmung. In dieser Linie bewege sich der Punkt P mit der Ebene E und der Linie C stetig fort, und zwar so, dass die Ebene

Kleinere Mittheilungen. 367

£ entweder stets parallel mit sich selbst bleibt, oder auch so, dass sie mit den Tangenten an D stets denselben Winkel macht. Dann ist die Frage, von welcher Beschaffenheit die Fläche F sei, die von C im Kanme beschrie- ben wird ; Gleichungen Schnitte u. s. f. — Desgleichen ist die Frage, wie C beschaffen sein mnss , wenn D nnd F^ und wie D , wenn C und F gegeben - sind.

Auflösung. Es sei

1\ I (^) • • • ^(S> *?) = ö ^iö Gleichung der Curv« C,

* (/>) ;rj = <p (z,), y, = !(; (z,) die Gleichungen der Cnrve Z>,

auf ein Coordinatensystem bezogen, dessen Anfang 0 mit dem Punkte P und dessen X Y- Ebene mit der Ebene E in einem gewissen Momente zu- sammenfallen; o der Neigungswinkel der Tangente an die Curve D zur X F- Ebene, welche als fest betrachtet wird ; ß der Winkel zwischen einer auf dieser Tangente in der X 7- Ebene gelegten Senkrechten nnd der X- Achse. Man lasse die Ebene E parallel mit sich fortbewegen und zwar so, dass ff X' I/O X und ff T I/O F, indem der Punkt ff oder P auf der Curve D hingleitet; man drehe die Achsen ffX\ ffY (nicht die Ebene) um den Win- kel |) und alsdann die Ebene X'ffY* um die Gerade ffX' um den Winkel t — a; so folgt durch Anwendung der bekannten Transformationsformeln

|a?"= [y— * («,)J 9mß+[x — fp (2:,)] cos ft y'—\[y-"^{zA)]cosß—[x - 9>(z,)]«>i/?}co5(€ — a) + («-«,)«h(c— a), z"= — { [y — ^ («,)] cos ß — [x— (p (z,)] sin ß j sin («—«)+ (2— .«j) cos{e— a). Es ist aber auch vermöge der Relation {(f)

F(x"cosß — y'sinß, x" sin ß + y' cos ß) =^ 0, «" = 0. Also erhält man zuletzt die beiden Gleichungen

i i[x^^{z,)] [cos'ß+sin^ßsec {a-a)] + [y-f^z,)] [l-secie-a)] sinßcos ßl y[x-g,{z,)][l--sec{s—a)]snßcsß+{y-'ilf{z,)[sn^^ '

[y — ^M] cosß — [a; — 9(^1)] sinß =» {z — «,) cotang (e— o) worans z^ zn eliminiren ist, nachdem man zuvor die Werthe von er, /?, £ in z, ausgedrückt

4) Wltt = -;= ^ ^ , to«öf/J = 5ii?ii, F = ;f(a),

/i + [9'(^i)r + [T»;'(^.)]* *(^«)

eingefäbrt hat. Diese Rechnungen sind jedoch im Allgemeinen unaus- führbar. Für £ = a oder s = einer Constante erhält man die beiden in der Aufgabe anfgestellten Fälle; im ersteren Falle ist z = 2, und es folgt aus 3) für die Gleichung der gesuchten Fläche :

• 5) i^[« — 9(«), y — *W] = ö-

Ist f — « = --, so ergiebt sich

F\x — if («,) — (z — . «,) sin ft y — -^^ (^,) + (« — «i) cos ß\ = 0, [iT — <p (z,)] sinß^{y-^^ (z,)] cosß\ jedoch unterscheidet sich dieser Fall von dem früheren nur durch die Lage der Ebene E. ^

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik IV. 25 .

368 Kleinere Mittheilungen.

Ist endlich die Onrve D eben und gestatten es die Data der Aufgabe, die Ebene derselben senkrecht zur Ebene E ansunehmen, so ist jS, mithin

auch ,; y, constant, und man kann durch gehörige Wahl der Achsen be-

wirken, dass /3 = 0^ alsdann ergiebt sich aus 3)

gv iF\x — q> (Z|), [y — ^ («,)] sec (« - a)} = O,

^y — ^ {^\) = (« — «i) cotang (e — ä). Sind die Gleichungen nicht explicite, sondern unter der Form : qp (ä:„ «,) = 0, 1^ (yi, y,) =0 gegeben , so gelangt man bu der Gleichung der Fläche durch Elimination von a?|, ^j, Z| aus diesen und den Gleichungen 3), worin selbstTerständlich o^i, yi für 9» (^i), if; (z^) au schreiben ist. Ist D und F

gegeben und wird nach der Natur der Curve C gefragt , so ist in F, «, y, z respectlTO durch

X €08 ß — y sin ßeos{t — «) + «' ^ /J *w (s — ä), x'sin ß + y cos ß cos (« — «) — z' cos ß sin (e — «), y'm (« ^ «) + «' co*(t— «) zu ersetzen 9 vorausgesetzt, dass der Coordtnatenanfang auf der Curre 1^ liegt; und dann 2;'=0 zu setzen; demnach ergiebt sich als Gleichung der gesuchten Curve C

iF [x cos ßo — y sin ft cos (^ — o^)» a:' M« /3o + y co^ /3o cos (s — cfo), y sin (fo — oto)] = 0 Die Werthe von »o» ßoj h ergeben- sich aus 4) durch Hetzen von Z|=sO. Sind dagegen C und F

S{x\y') = 0, F(x,y^z) gegeben und nach, der Curve D gefragt, so ist die Aufgabe nicht immer möglich . Vertauscht man nämlich in F^ x, y, z respective mit

I + x' cos ß —y sin ß cos (e — a) + z sin /5 m (« — c), 71 + x' sin ß + y cos ß cos (e — «) — z' cos ß sin (« — o), i+ y ^n (« — c) + zcos (s — «),

worin

7/i4-li4-l5! ''^ ''^

und % eine der Form nach bekannte Function ist, und setzt in der sieh er- gebenden Gleichung t'= 0, so bekommt man

F[^ + x cos ß — y sin ß cos (a — a),

fj-^ X sinß + y cos ß cos (• — «),

t + y'«>i(e — «)]=0, welche Gleichung mit 0(a;\y) = 0, unabhängig von den speciellen Wer- then von x\y\ identisch sein muss; die diese Identität bedingenden Rela-

Kleinere Mitthciiungen. 369

tionen zwischen iy i/, i bestimmen die gesuchte Cnrve. Da zur Bestimmung von />, wegen den durch die Integration einzuführenden Constanten, hoch* tftens vier Bedingungsgleichungen nothwendig sind , die Anzahl derselben aber im allgemeinen grösser ausfallen wird, so erkennt man , dass die Auf- gabe nicht immer möglich ist.

Ist C oder D eine Gerade und bewegt sich die Ebene E parallel mit sich selbst, so entsteht eine Cylinderfläche, wie auch D oder C beschaffen sein mag.

C sei eine Ellipse — -f- — =1, deren Mittelpunkt auf der Ellipse a:=0,

~ + ^ ^ = 1 gleitet; e= c. Man findet für die Gleichung der er-

zeugten Fläche

^-"-'/^i'/Fi-

wenn man blos die eine Hälfte der zweiten Ellipse betrachtet. Die ebenen

Schnitte parallel zur XY- oder zur 2 F- Ebene sind zu den gegebenen

eongruente Ellipsen ; die Schnitte parallel zur XZ-Ebene sind Curven vom

vierten Grade; der Schnitt in der Entfernung B ist eine Hyperbel, deren

Ä C Achsen wie -r- : — sich verhalten. Das zwischen der so erzeugten Fläche b B

und den änssersten Grenzelementen enthaltene Volumen ist =:2nab C.

Leipzig. E. Bacaloglo.

X2UU7. Heber die Oleichnng der BerOhrnngsebene aa einer Fläohe. Der einfachste und — insofern er zugleich die Existenz der Berührungs- ebene nachweist — logisch richtigste Weg zur Entwickelung der genann- ten Gleichung dürfte folgender sein, den ich in keinem Lehrbuche finde.

Wenn eine Fläche durch die Gleichung

1 ) z — f(x, y) oder F{x, y, z) = 0

gegeben ist, so hat man als Gleichung einer durch den Punkt xyz an die Fläche gelegten Tangente

o^ dx _ dy _ dz

^^ i-x-fi-y-t-z^

dabei sind |, i}, i die laufenden Coordinaten der Tangente und es wird letz- tere als Verbindungslinie der Punkte xyz und x + dx, y + dy^ z + dx angesehen. Zwischen dXj dy, dz besteht aber zufolge Nr. 1) die Beziehung

3) dz = l^dx + y-dy

' dx dy

oder

4) |Z.. + ^_% + |£.. = 0;

' dx dy dz

25"

370 Kleinero Mittheilungen.

ersetzt man in 3) oder 4) dx, dy, dz durch die ihnen proportionalen Coor- dinatendifferenzen aus Nr. 2), so erhält man

oder

Jode (lieser Gleichungen zeigt, dass alle durch den Punkt 0:^2: gehenden Tangenten in einer Ebene, der sogenannten Berührungsebene liegen; die obigen Gleichungen sind die Gleichungen dieser Ebene.

(Briefliche Bemerkung von Prof. Banr in Stattgart.)

XXXV. Eine neue Bestimmung des Verhftltnistes der spadfliehen W&rme der Luft bei oon^aiitem Drucke zur speciflschen W&rme bei glei- ohem Volumen, sowie des meehaninohen Aequivalentes derWftniie. Von

Bergrath Professor Julius Wbibbach. (Aus der Zeitschrift „Civil -Inge- nieur", Neue Folge, V.Band, 2. Heft.) Bei meinen Versuchen über den Ansflu'ss der Luft, wovon im ersten Hefte dieses Bandes die Haupt- - ergebnisse mitgetheilt worden sind, habe ich auch einige Versuche über das in neuerer Zeit durch Regnault in Zweifel gezogene Verhältniss der specifischen Wärme der Luft bei constantem Drucke sur specifischen Wärme bei constantem Volumen angestellt. Die Ausführungsweise dieser Versuche war insofern eine andere als die be- kannte von Clement und D^sormes, als ich hierbei comprimirte Luft aus einem Reservoir in die freie Luft ausströmen Hess, während umgekehrt Clement und D^sormes atmosphärische Luft in einen mit verdünnter Luft angefüllten Kaum einströmen Hessen. Bei beiden Methoden ist es na- türlich nöthig , den Manometerstand der eingeschlossenen Luft 1) vor der Eröffnung, 2) unmittelbar nach der Eröffnung und 3) nachdem derselbe con- stant und folglich auch die Teinperatur der eingeschlossenen Luft der der äusseren gleich geworden ist, zu beobachten; bei der von mir angewende- ten Methode ist aber der Manometerstand ein positiver, wogegen er bei dem älteren Verfahren negativ ausfällt. Da ferner während des Ausströ- mens der Luft im Reservoir eine Verdünnung und damit verbundene Ab- kühlung, und dagegen während des Einströmens derselben eine Verdich- tung und damit verbundene Erwärmung der Luft im Reservoir statt hat, so wird natürlich nach dem Abschluss .der Mündung bei dem ersten Verfahren eine Erwärmung von Aussen und Steigen des Manometerstandes , und da- gegen bei dem letzten Verfahren eine Abkühlung von Aussen und ein damit verbundenes Sinken des Manometerstandes eintreten.

Zu meinen Versuchen diente derselbe Dampfkessel von 4% Cnbik- meter Inhalt, welchen ich bei den Versuchen über die Ausströmungsge-

Kleinere Mittheilungen. 371

schwindigkeit der Luft angewendet hatte. Anch wurde hierbei die Luft anf dieselbe Weise wie dort in den Kessel eingepresst , und es diente hier- . bei auch dasselbe Quecksilbermanometer zum Ablesen der Druckhöhen oder Manometerstände. Ebenso wurde an einem nebenhängendeü Baro- meter der Barometerstand b der äusseren Luft abgelesen.

Zum Ausströmen der Luft diente eine cylindrische Röhre von 4 Cubik- meter Weite, welche mittelst eines in ihr sitzenden Hahnes beliebig er- öffnet und verschlossen werden konnte.

Der Versuch wurde auf folgende Weise ausgeführt. Nachdem die Luft im Kessel durch diß Compressionspnmpe ungefähr bis auf die doppelte Dichtigkeit zusammen gedrtlckt worden war und sich so weit abgekühlt hatte, dass am Manometer ein bestimmter Stand abzulesen war , eröffnete ich den Hahn nur einige Secunden lang, so dass durch die gedachte Röhre ein Theil der Luft aus dem Reservoir ausströmen konnte. Nun wurde nicht allein der Manometerstand*^! unmittelbar nach Beendigung des Ausströmens, son- dern auch der Manometerstand h^ beobachtet, nachdem die durch das Aus- strömen abgekühlte Luft wieder die Temperatur der äusseren Luft ange- nommen und folglich das Zunehmen dieses Manometerstandes aufgehört hatte.

Ist 6 der bekannte Ausdehnungscoefficient 0,00367 der Luft^ t die Tem- peratur und p die Pressung der eingeschlossenen Luft vor und nach dem Versuche, sowie ti die Temperatur und p, die Pressung derselben unmittel- bar nach erfolgtem Ausströmen, und bezeichnet n das gesuchte Verhältniss

— der specifischen Wärme der Luft bei constantem Drucke m zu der bei

0»] •

constantem Volumen dOj y so hat man (siehe Bd. I, $. 430, Vneiner Ingenieur- nnd Maschineumechanik) :

«—1 «—1

l + öt~\pj \b + hj

Da sich nun während der Erwärmung der eingeschlossenen Luft un- mittelbar nach dem Ausströmen das Volumen und folglich auch die Dich- tigkeit derselben nicht ändert, so hat man auch

b + h,^b + h,

1 + d/i l+dT oder

l + St 6+Ät'

es ergiebt sich daher durch Elimination von [ ,

1 + ö«

K— I

^b + h,

b + h,' oder

(b + AA" \6i- hj

372 Kleinere Mittheilangon.

% —

-^(m)=-'(^.).

X

nnd folglich das gesnchte Wärmeverliftltniss

Wt Log{b + h) — Log{b + h^) Bei kleinen Werthen der Differenzen h — A, nnd h — ä, kann man

nnd

Ä — Ä,

b + h

setzen , so dass nun annähernd das gesuchte Verhältniss

o h — A,

09, h — Ä,

folgt.

Bei dem ersten meiner Versnche war der Barometerstand

b == 0,7a42 Meter,

der Manometerstand vor der Eröffnung der AusÜussmündung

h = 0,7180,

femer der Manometerstand unmittelbar nach Beendigung des Ausströmen^,

also im Momente der grössten Abkühlung

Ä, = 0,5890,

nnd der Manometerstand nach der erfolgten Ausgleichung der inneren

Wärme mit der äusseren

Ä,»= 0,6250 Meter.

Hiernach ist nun

b + h= 0,7342 + 0,7180 = 1,4522,

b + hi = 0,7342 + 0,5800 = 1,3232,

b + Ä,= 0,7342 + 0,6250 = 1,3582,

wonach

Log {b + h)— 0,16203,

Zo^(ft+Ä,) = 0,12163,

Xop (6 +Ä,) = 0,13328

folgt, und sich dfiher das Verhältniss der specifischen Wärme bei gleichem

Drucke zu der bei gleichem Volumen :

0,16203 — 0,12163 4040

X = -2 * =r= sss 1 405

0,16203 — 0,13328 2875 '

ergiebt.

Bei einem zweiten Versuche war

h = 0,6250 Meter,

Ä|= 0,4040 „

Ä^r.- 0,5300 Meter, folglich

Kleinere Mittheilungen. 373

so dass hiernach

Log (6 + Ä) = Xoflr 1,3572 =? 0,13328, Log (6 + Ä,) = Log 1,2282 = •0,08927, Log{b+h^)=Log 1,2642 = 0,10182,

13328 — 8027 4401

Ks=: ' ■ ■ ' ■' SS =3l 400

13327 — 10182 3145 *

folgt.

Das Mittel ans beiden Werthen ist

% — 1,4025. Da während der allerdings nur sehr kurzen Zeit des Ausflusses Wärme von Aussen in den Kessel dringt, so ist jedenfalls hierbei die Abkühlung der im Kessel zurückbleibenden Luft nicht so gross, als die Berechnung voraussetzt, und es giebt folglich die letztere noch immer einen etwas zu kleinen Werih.

Clement und Däsormes fanden

H = 1,848, nach Oaj-Lussac ist

K = 1^75. Bankine nimmt nach Thomson

« = 1,408 an, und Masson findet

X = 1,419. Aus der bekannten Formel für die Schallgeschwindigkeit berechnet sich endlich

« = 1,4122.

Aus dem als bekannt anzusehenden Verhältnisse « = — kann man

0»,

auch mittelst der in Bd. I, $. 490 meiner Ingenieur- und Maschinenmechanik

entwiekeHeB Formel

n — 1"

% 1

(f)

yp

1

für die mechanische Arbeit der Luft bei der Expansion das mechanische Aequivalent der Wärme berechnen.

Es Ist in dieser Formel V das gegebene Luftvolumen^ p die Pressung desselben vor nndp^ die Pressung desselbennach der Expansion. Bezeich- net noch t die Temperatur vor und 1^ die Temperatur nach der Expansion, 80 hat man nach der zu Anfang angegebenen Formel

K — 1

und daher auch

©•

p/ i + dt' »— 1\ I+Stj '^

% 8{t—t,)Vp

X — 1 l + 8l

374 Kleinere Mittheiinngen.

Nun ist aber die Dichtigkeit oder das Gewicht eines Cabikfasses der atmosphärischen Luft:

1,2575p

^~ l + öt' wenn p den Drack auf das Quadratccntimeter bezeichnet (siehe Bd. I^ S.9G1 meiner Ingenieur- und Maschinenmechanik), daher hat man hier, wo man für jD den Druck pro Quadratmeter einführen muss:

Ä — 1 ^ *^ 1,2575 '^ Setzt man noch dem bekannten Ansdehnungscoefficienten i = 0,00967 und das Wftrmeverhältniss » = 1,41 ein, so ergiebt sich die mechanische Arbeit , welche das Luftquantum Vy verrichtet , wenn es aus der Tempe- ratur t in ti übergeht oder wenn es sich um {t — /j) Grad abkühlt,

X = 100,24 (/ — /j) Vy. Da die specifische Wärme der Luft od = 0,2377 ast, so hat man den dem Temperaturverluste / — ti entsprechenden Verlust an Wärmemenge :

W=»{t—ii) Ty = 0,2377 (/—O Vy, und daher

100,24 „, Z = — ~- FV— 421,7 W. 0,2377

Die Zahl ^ = 421,7 ist nun das sogenannte mechanische Wärme- äquivalent, und drückt die mechanische Arbeit in Kilogrammmetem aus, welche einer Wärmeeinheit (calorie), d. i. derjenigen Wärmemenge ent- spricht, wodurch 1 Kilogramm Wasser um 1 Grad wärmer gemacht wird.

Joule fand für Wasser, Quecksilber und Eisen: J = 425 bis 426 Kilogrammmeter.

Mehrer es hierüber in der dritten Auflage des zweiten Bandes meiner Ingenieur- und Maschinenmechanik $$> 348, 349 u. s. w.

ZXZTL Heber magnetisclie Momente. Wirken zwei geschlossene elek- trische Stromcurven aus Entfernungen auf einander , iBO ist ihre Wirkung eine doppelte , Anziehung, Abstossung und ferner Drehung des losen Stro- mes um irgend eine Achse. Für die erstere Wirkung habe ich schon früher möglichst einfache Formeln entwickelt. Ich will jetzt dasselbe thun in Bezug auf Drehungen, d. h. die Momente berechnen , mit denen ein Strom einen andern um drei den Coordinatenachsen parallele Achsen zu drehen strebt. Es soll nur der Fall betrachtet werden, dass die Ströme sehr klein gegen ihre Entfernung sind und die Drehungsachsen durch Punkte x, y, i und 07], y,, 2| im Innern von wirksamen und afficirten Strome gelegt sind, von denen aus die Coordinaten der Peripheriepunkte zu |, 17, {;, ||, 171 1^ ge- messen werden. Führt man die Entfernung ein :

\)^ r« =, (« - X.)« + (y - y.)« + (z - *,)•,

Kleinere Mittheilangen.

375

and die je sweier Peripberiepankte «a r\ bo ist dann der zn benntzende Ausdruck für die x - Componente der Wirkung je zweier Elemente (s. Heft IV, p. 208):

a) ^ii^dsds^

d\\dr'dr ,l!v4vL.-,ww 6««^^ »5^^'^

Berecbnet man das Moment M^ um die s-Acbse, so ist mit i}f zu multipH- ciren und dann die Doppelintegration nacb s und 8^ ausznfübren. Dann mius ein äbnlieb gebildeter Ausdruck für y, die y- Componente multiplicirt mit ii , abgezogen werden.

Man erbftlt aus obiger Formel sehr bald , indem man

1 drdr

d

{'ft)

1t-

dsdSi

r ds ds^ r ds

setzt and die durch Integration offenbar wegfallenden Glieder weglttsst:

iü.rf,rf,.j_

Vi

dsdst ds ds, ds ds,

Für r benutzt man den schon in der früheren Abhandlung benutzten Werth, aus r hergeleitet, wobei im ersten Gliede nur die ersten Differentialquo-

tienten von -7 , im zweiten nur die zweiten hereinkommen und sich so die

r

Homogenität beider herstellt. Ist nun wieder :

s S 8

^=fndi, ß=ßdi, Y^ßdfi, 0 0 u

*r *i «1

»i=Jvidtiy ßi=Jiidl,, Yi~Jiidrit,

2)

Ü

0

dl ai dl

80 entsteht nach einigen Reductionen :

(Ebenso

ä)

Diese Gleichungen stehen in einem interessanten Zusammenhange mit den Werthen X^ F, Z für die Kraftcomponenten. Man sieht sehr leicht ein, dass diese Grössen durch folgende Gleichungen gegeben sind :

376 Kleinere Mittheilungen.

4)

dMg dM,

dx^ dzi ^ d Mx d My

Es iBt zu bemerken^ dass die Gleichungen 2), 3), 4), sowie die ftüher gegebenen Werthe von X^ F, Z ebensowohl för Ströme gelten, die doppelt gekrümmt sind, wie für solche , die in einer Ebene liegen« Es ist nur dann nöthig , die Bedeutung der Werthe «i , /^i , yi , or, /}, y etwas näher zu be- trachten.

Ist der Strom ein ebener, so sind diese Grössen die Producte der Fläche in den Cosinus der Winkel mit den drei Coordinatenebenen yz^xz^ xyj oder der Winkel der Normale mit den Achsen Xj y, z. Die Richtung der Normale soll so gewählt werden, dass von derselben aus gesehen die Strom- bewegung von links nach rechts geht. Ein negatives to, iß^ iy lässt sich dann auf doppelte Weise erklären : durch entgegengesetzte Richtung der Normale oder negative Intensität, d. h. entgegengesetzte Stromrichtung. Beides kommt auf dasselbe hinaus.

t selbst ist, da der Strom unendlich schmal in der Richtung der Nor- male ist, unendlich klein von der ersten Ordnung. Man kann aber die In- tensität auf die Einheit der Ausdehnung in der Normale beziehen , so ist anstatt t einzuführen idn.

adn, ßdn^ ydn sind dann proportional den Yoluminas, die der Strom umströmt ; es soll daher die Bezeichnung insoweit geändert werden , dass diese Volumina als v und Vf bezeichnet werden , während a, /?, y die Cosi- nus der Winkel mit den Achsen bedeuten. Dann wird :

/ai ai al \

während V deren Differentialquotienten nach o^i, y,, z^ die Werthe von JT, F, Z vorstellen wird :

6) r=,.,(,,.,,^+<,ft|l + ,„|l).

Die Gleichungen 4) bleiben dieselben. Das Moment in Bezug auf die Normale ist Null, woher es auch kommt, dass ans den Momentengleichnn- gen nur zwei Gleichgewichtsbedingungen folgen.

Doppelt gekrümmte Stromourven zerlegt 'man in lauter geschlossene ebene Elemente. In allen ist die Normale nach der früher fixirten Weise

Kleinere Mittheitangen. 377

zu rechnen. Projicirt man daher den ganzen Strom anf eine Ebene , und es fallen zwei Theile anf einander, bo ist die Wirkung derselben oder viel- mehr die Projection dieser Theile gleich Null anzusehen oder als das Dop- pelte, je nach der Stromrichtung in den Projeetionen. Die Werthe va^t^ßy vy erhält man dann wie folgt:

Man denke sich den bandförmigen Strom auf einen linearen reducirt, projicire diesen auf die Goordinatenebenen und trage über die Flächen die Länge dn auf gleich der Breite des Stromes. Rechnet man dann die Flä- chen der Projeetionen, sowie es angegeben ist, so sind die über ihnen stehenden Volumina die Werthe va^ vß, vy.

Diese Bezeichnung hat dann wenig Klarheit, doch soll sie beibehalten werden, weil es am bequemsten ist, sich ebene Ströme zu denken, i/elche die ränmlichen in ihrer Wirkung ersetzen.

Aus der Entwickehing der Formeln 2), 3), 4) geht hervor, dass die- selben nicht genau sind in Bezug auf €hrössen , die von derselben Ordnung sind , wie die Stromdimensionen , im Verhältnisse zu den übrigen Gliedern. Es liegt nun nahe, die Gleichungen 4) durch allgemeine Betrachtungen zu begründen, die sich darauf stützen, dass die Momente sieh ändern, wenn man vom Punkte ar, , y, , z^ zu einem sehr nahen ät, + «» ^i + W^i +<? über- geht. Die Aenderungen könnten einmal durch Xj 7, Z, dann durch die Differentiale von ^f^,, My^ M^ ausgedrückt werden. Nach der eben ge- machten Bemerkung ist dies nicht möglich.

Ist der wirkende Strom nicht klein in Bezug auf r, so kann man ihn immer so zerlegen nach dem schon von Ampere angewandten Satze, dass die Wirkung eines grossen Stromes vollkommen ersetzt wird durch solche, die ihn vollkommen erfüllen und nach derselben Richtung umlaufen, indem sieh die inneren Ströme gegenseitig vernichten (s. Fig. 12, Taf. IV). Die Summation dieser Wirkungen ist eine Integration, wobei auch die äusseren Ströme als rechteckig angesehen werden dürfen. Die Grenzen sind unab* hängig von x^^y^, Z|. Alle früheren Gleichungen werden daher noch gel- ten , nur wird für q die durch die Integration zu berechnende Summe ein- zuführen sein.

Die Wirkung zweier endlicher Ströme aus endlicher Entfernung kann ähnlich berechnet werden und zwar, wie man leicht einsieht, lässt sieh dies auch auf die Momente ausdehnen. Ich halte es nicht für nöthig , erst dafür allgemeine Formeln zu entwickeln. — In einer späteren Abhandlung gedenke ich diese Gleichungen für eine Theorie des Magnetismus nach der Ampere- sehen Hypothese zu benutzen.

Durch Vergleichung mit den Formeln, die Poisson (Annales deVAead. franf. Annäe 1821: Tome V) für die Wirkung eines mit magnetischem Flui- dum überzogenen Molecüls giebt, bestäfigt sich das schon von Ampere ent- wickelte Gesetz, dass die Anziehung einer geschlossenen Stromcurve genau » dieselbe ist, wie die einer geschlossenen magnetischen Fläche.

378 Kleinere Mittheilungen.

Die Oleiohun^en 4) beruhen darauf, dass

Dies ist nicht unbedingt nöthig , sondern es kann in gewissen Fällen , wie man weiss, dieser Werth eine Grösse k erreichen und dann ist:

7) ^F=^^_^+.-.^.*.

f ch erlaube mir schliesslich noch auf einen VorEng der Formel er) auf- merksam za machen , den dieselbe ror einfacheren Formen der Anip^* sehen Formel voraus hat; es ist dies der, dass man an ihr ganz besonders deutlich sieht , welche Glieder bei der Integration wegfallen und dass sie daher wohl am bequemsten eine Vergleichung zulässt der Wirkung von Stromelementen und magnetischen Tluidum. Wegen dieses Wegfallens einzelner Glieder darf auch die Bestätigung der Formel Ampere's durch die Versuche von Weber^keine ganz vollständige genannt werden, da eine Un- richtigkeit der Formel in diesen Gliedern auf die Wirkung geschlossener Ströme, mit denen Weber nur experimentirte , gar nicht influiren würde.

Dresden. Gustav Roch.

XXZYIL Heber das AequiTalent von Viokel und Kobalt. Die Be- stimmung chemischer Aequivalente gehört zu den Arbeiten, welche die grösste Umsicht erfordern, indem sowohl die Herstellung völlig reiner Prä^ parate fast immer mit ziemlichen Schwierigkeiten verknüpft ist , als auch die Analyse derselben behufs der Aeqnivalentbestimmung mit ganz beson- derer Sorgfalt geschehen muss. Abgesehen von der Befreiung von fremd- artigen Metallen ist es z. B. äusserst schwierig, Metallchloride herzustellen, welche gänzlich frei von Oxyd sind, und somit darf man nur mit grosser Vorsicht den früher oft versuchten Weg betreten, aus einer gewogenen Menge wasserfreien Chlorides das Chlor durch Silberl^ung auszupfen und zu bestimmen , um aus der Differenz zwischen Metallchlorid und Chlor die Menge des Metalls zu finden und hieraus dessen Aequivalent au be- rechnen. Andererseits gelingt es oft nicht, durch Glühen in einem Gas- strome das Metall, resp. Oxyd, ans einem Salze von völlig conatanter Zu- sammensetzung, z. B. einem Oxalate, völlig rein zu erhalten. Dergleichen Schwierigkeiten zu beseitigen und möglichst genaue Methoden zur Aeqni- valentbestimmung zu ermitteln, gehört nun um so mehr zu den verdienst- lichsten Arbeiten , als man von vielen Seiten bemüht gewesen ist , Gesets- mässigkeiten unter den Aequivalentenaahlen seibat oder einfache Besieh- •

Kleinere Mittheilnngen« 379

«ngen derselben zn anderen Constanten der Elemente aufzufinden. Unter die gelungensten Versucbe dieser Art gehören unstreitig die von B. Schnei- der zur Bestimmung des Aequiyalents von Kobalt und Nickel augestellten, von denen ein Thefl bereits in Pogg, AnnaL Bd. 101 , S. 367 veröffentlicht wurde y während eine zweite Versuchsreihe erst vor Kurzem {Pogg» Ann. Bd. 107, S. 616) zur Ausführung und Mittheilung kam. Beiden Aufsätzen entnehmen wir Folgendes.

Die ersten Versuche, die Aequivalente von Kobalt und Nickel zu be- stimmen, sind von Rothoff angestellt und von Berzelius im Jahre 1818 (Schweigg. Journ. Bd. 22 S.329) mitgetheilt worden^ Oewogene Mengen Ko* halt- oder Nickeloxjdul wurden durch üebergiessen mit Salzsäure und Ab- dampfen in wasserfreie Chloride verwandelt und hierauf der Chlorgehalt desselben durch salpetersaures Silberoxyd bestimmt. Bothoff hatte für Ko- balt und Nickel je eine Bestimmung gemacht, aus denen Berzelius folgende Aequivalentenzahlen ableitete:

0 = 100, ^=»1,

m 360,333, 29,55,

Co 368,65, 29,49. Berzelius und in seinem Gefolge Andere glaubten , dass die geringe Abweichung beider Aequivalente nur Beobachtungsfehler sei und dass demnach beide Aequivalente einander gleich seien. Theils Misstrauen in die Reinheit der von Bothoff verwendeten Nickel- und Kobaltpräparate, theils Kenntnissnahme von der Schwierigkeit, oxjdfreie Chloride darzu- stellen, bewogen R. Schneider, die Aequivalentbestimmung auf folgendem Wege zu wiederholen.

Da die neutralen Oxalate von Nickel und Kobalt leicht rmn zu er- balten sind , wurden diese aus völlig reinen Präparaten dargestellten Salze sur Analyse verwendet. Die längere Zeit im Wasserbade verbliebenen Balze , welche demohngeachtet noch chemisch gebundenes Wasser enthiel- ten, wurden zur Bestimmung ihres Kohlenstoffgehaltes nach Art der orga- nisehen Elementaranaljse in einem langen Rohre, mit Kupferoxyd gemengt, verbrannt Die Metallbestimmung geschah in einem Kugelrohr, in welchem das Oxalat zuerst in einem Strome trockener Luft, dann in einem Strome treckenen Sauerstoffs, dann in einem Strome von Wasserstoff stark geglüht wurde. Hierdurch wurde einerseits die vollständige Entfernung des Koh- lenstoffes, andererseits die völlige ReducdoU; resp. Zusammensinterung der Metalle erzielt, so dass man schliesslich, ohne Oxydation fürchten zu müs- Mn, wieder atmosphärische Luft in die erkcdteten Röhren eindringen lassen dnrfte. Bei diesen Versuchen sind die grössten Yorsichtsmassregeln an- gewendet, unter andern auch beim Wägen von Röhrenapparaten als Tara wieder Röhrenapparate — zur Compeusation der hygroscopischen Fehler ■^ verwendet worden. Durch diese Versuche wurde zunächst das Verhält- niss zwischen dem Aequivalente des Nickels und Kobalts zu dem des Koh-

380

Kleinere Mittheilungen.

lenstoffes, dessen Aequivalent völlig genau bestimmt ist, festgeaetst und hieraus die Zahlen berechnet, die in folgenden Tabellen ftir Co nnd Ni an- geführt sind.

Nr. des Versucha.	Angewandte Mengen.	Nickel. gehalt in Proc.	Kohlen. stoffgehalt in Proc.	Aeqoiva. lent Ton Ni
I. n. m. IV.	1,194^ Gra 3,208 ( 2,5555 (5,187 13,199 f 7,4465 5,020 , 9,977 ,	imm n n j 1 >	.29,107 20,082 29,066 29,083	12,055 12,022 12,004 12,016	1 28.974 1 29,028 1 29.056 1 29.043
1	Mittel 29,02& |

Nr. des Versachs.	Angewandte Menge,	Kobalt. gehalt in Proc.	Kohlen- stoffgehalt in Proc.	Aequiva- lent von Co
I. n. ni. IV.	( 1,6355 Gramm «2,3045 „ ( 1,107 „ ) 1,901 f 2,309 „ U,058 „ «3,007 „ { 5,350 „	32,552 32,619 32,528 32,523	13,024 13,041 13,005 13,014	\ 29,993 J 30.015 1 30.014 j 20.989
Mitte	a 30.003

Da R. Sehneider die Beobaohtnngsfehler für grösser hielt, als den aörostatischen Auftrieb , so wurden die Wägnngen nicht auf den luftleeren Raum reducirt , auch wurde die Methode der kleinsten Quadrate bei Aus- rechnung der Resultate nicht angewendet.

Obwohl nach der Darstellung der Oxalate deren Neutralität Gegen- stand mehrfacher Prüfungen gewesen und bei diesen bestätigt worden war, 80 hatte doch Marignac [Arch. ph. nai, (nouv»per.) J./, p. 373] Bedenken gegen die Neutralität derselben erhoben, indem er (jedenfalls ohne Oranil, da beide durch Ueber^chuss von Oxalsäure dargestellt worden waren) ge- meint hatte, dass das eine Sala zu viel Säure, das andere su riel Basis ent* halten haben möge. Wiewohl nun R. Schneider zu den im Vorigen mit- getheilten Versuchen Oxalate von verschiedenen Darstellungen verwendet hatte und dennooh zu übereinstimmenden Resultaten gelangt war, woraiis man schon mit ziemlicher Sicherheit die Unhaltbarkeit von Marignac's Ein- wurf folgern könnte, so stellte ersterer dennoch eine neue Veuuchsreilie,

Kleinere MittheihingeD. Sgl

wenigstens enr Ermittelang des Aequivalents von Ni an. Die früher an- gewandte Methode wurde beibehiilten, jedoch wurde das oxalsaure Nickel- oxydal nicht wie früher aus schwefelsaurem Nickeloxjdul durch Oxalsäure ausgefüllt, sondern durch Sättigung von kohlensaurem Nickeloxydul mit Oxalsäure erhalten. Die Versuchsresultate sind:

1) 2,085 Gramm oxalsaures Nickeloxydul geben 12,0832 Procent Koh-

lensto£F,

2) 2,2635 Gramm oxalsaures Niekeloxydul geben 31,4115 Procent

Nickel,

3) 5,2 Gramm oxalsaures Nickeloxydul ergeben 31,4038 Procent

Nickel. Als Mittelwerth dieser beiden Aeq[uivalentbestimmungen ergiebt sich iVi = 20,020, während der Mittelwerth aus der früheren Versuchsreihe M = 20,025 war. Die Richtigkeit dieser Bestimmungen von R. Schneider wird noch dadurch wahrscheinlich gemacht, dass nach Versuchen von Erd- mann und Marchand (1845) das Aeqnivalent von Ni zwischen 20,1 und 20,3 gefunden wurde, wobei Erdmann ausdrücklich bemerkt, dass er Ver- anlassung habe , die Zahl 20,1 für die richtigere zu halten.

Da nun auf die zweite und dritte Decimalstelle bei den Aequivalen- ten von Co und JVt kein besonderer Werth zu legen ist, so erscheint es un- bedenklich, Co = 30, Ni = 20 zu setzen.

Diese Zahlen zeigen übrigens die bekannte Beziehung zwischen Aeqiii- valent und specifischer Wärme recht evident. Nach Regnault ist die specifische Wärme von Ni 0,1100, die von Co 0,1060; dies giebt

20 . 0,1100 = 3,216, 30 . 0,1060 = 3,207, also eine sehr gute Uebereinstimmung.

E. Kahl.

ZjULVUi. Arabische Bestunsningen tpeeiflsoher Gewichte aus Älterer Zeit Unter einer ähnlichen Ueberschrift wird in Pogg, Ann. Bd. 107, S. 352 eine aus den Comptes rend. T. 48, p. 840 entnommene Tabelle specifischer Gewichte von älteren arabischen Bestimmungen herrührend, mitgetheilt und mit neueren dem Annuaire entlehnten Angaben verglichen , wobei sich " (mit Ausnahme der specifischen Gewichte von Bernstein) eine eigenthüm- Uehe Uebereinstimmung herausstellt. Diese aus» den CompL rend. entnom- menen Mittheilungen sind entlehnt aus dem 1858 in Paris erschienenen Werke von J. J. Cl^ment-Multet: Recherches sur fhisioire natureüe ei la physique chez les Arabes: pesanleur spicifique de diverses suhstances mind^ rales, proce'dS pour Toblenir, d'apris Aboul-Rihan-Albirouny, Extrail de T Ayin' Akbiry. Abul-Rihan soll im 10. oder 11. Jahrhundert gelebt haben und Ayin- Akb^ry ist eine auf Sultan Akbar's Befehl am Ende des 16. Jahr-

382

Kleinere Mittheilungen.

hnnderts verfasste Statistik von Indien. Folgende Tabelle giebt einen Aus- zug der in Pogg- Ann. mitgetheilten Angaben :

Gold .

Quecksilber . . .

Blei

Silber

Kupfer

Eisen

Zinn

Cameol

Bergkrystall . . . Bernstein (Amber)

Abal-Biban.

10.05 13,58 11,33 10,35

8,70

7,74

7,31

2,56

2,50

2,53

Nenere Be- obachtungen.

10,26 13,50 11,35 10,47

8,85

7,70

7,20

2,61

2,58

1,08

£. Kabl.

XV.

Xinige Au^ben aus dem Arabischen des Abraham

Aben Ezra.

Von Dr. Schnitzlee in Trier.

Libri hat in dem ersten Bande seiner Eistoire des sciences mathemu- Ugues en Italie pag. 304 (f, ein Mannscript veröffentlicht : „ Liter augmenti el dimtnuiianis vocaius numeraiio divinationis , ex eo quod sapientes Indi posuerunt, quem Abraham compilavH et secundum librum qui Indorum dictus esV-, welches eine im Mittelalter aus dem Arabischen ins Lateinische angefertigte Ueber* setznng ist und sich in der K^iserl. Bibliothek zu Paris befindet. Zu den einzelnen Capiteln: De censibus, de negoiiatione^ de donaiionibus ^ de pomis, de obviaUone^ de cambitione, de decenis et frumento et ordeo hat Libri die ma- thematische üebersetzung gegeben; zu Anfang des vorletzten Capitels (de mercaiis} jedoch bemerkt er: „Cest ä cause de cetle obscuriie du texte qu'ii nous a eU impossible de donner la tradudion algebrique de ce qui suii." Da über- dies eine Marginalbemerkung des Mannscriptes sagt: „Quod in hac quae- sHtme dicitur nimis est obscurum^y so scheint es, dass man das Verständuiss der C.apitel „de tnercatis^^ und „de anülis^^ seit langer Zeit für unmöglich ge- halten hat.

Ich will in dem Folgenden die Abschnitte, wie Libri sie mitgetheilf^), wiedergeben und deren mathematische Üebersetzung hinzufügen.

/. Capitulum de foris rerum venalium. Quod si dixerit: Duo viri intraverunt forum rerum venalium , quorum unus habebai decem caficios, et alter viginti ef, vendiderunt cum una misura et uno preciOy et recedenies habuit quisque eorum iriginta dragmas. Erit capitulum nu- merationis eius secundum augmentum et diminutionem ut dicas: divisisii de- cem in duas partes et multiplicasti unam partem in unum et alteram in quattuor,

*) Die mit Sperrschrift gedrnckten Wörter habe ich zogesetst, da sie o^enbar Tom Abschreiber ausgelassen; die in Klammern stehenden gehören dem L ihr loschen Texte an und sind jedenfalls versohrieben. Die eigentbümliche Interpunctlon ist die des Mannscriptes. ^

ZeiUchrift für Mathematik u. Physik. iV. 26

384 Einige Aufgaben aus dem Arabischen des Abraham Aben Ezna.

et aggregasii uiramque tnuUipHcationem, et quod pervenU fuii triginteu Portern tarnen secundam non ob aliud muUiplicas in quatiuor, nisi tU quod pervenit sit plus triginta, non enim opertet ut sit minus. Jssume igitur lancem ex unoy d mulliplica eam in unum; deinde multiplica residuum, quod est novem, in quattuor, et erunt triginta sex: postea adjunge eis unum, et erunt triginta Septem, Perea igitur oppone triginta, et tunc jam errasH cum Septem additis ; deinde accipe lancem secundam divisam a prima, que sit ex duobus, et eam in unum mtdtiplica, et per-, veniet duo; deinde multiplica residuum ex decem, quod est octo in qunttuor, et erunt triginta duo, Postea adjunge eis duo , et erunt triginta quattuor. Oppone ergo per ea triginta , et tunc Jam errasti cum quaUuor additis. Multipiica igitur lancem primam, que est unum, in errorem lancis secunde, que est quattuor, el erunt quattuor. Postea multiplica lancem secundam in errorem lancis prime, que est Septem, et erunt quattuordecim. Minue ergo ex eis quattuor, et remanebuni decem; deinde minue minorem duorum errorum' ex majore eorum, quod est tU demas quattuor ex Septem et remanebuni tria. Per ea igitur divide decem, et per- venient tibi tria et tercia. Hoc igitur est quod Habens decem vendidü in primo foro, scilicet tres caficios et tertiam (tertia) dando unumquemque caficiumpro dragma, et sie habuit tres dragmas et tertiam (Jteriia) : deinde minue tria H ter- tiam (tertia) ex decem, et remanebunt sex et due terUe. Vendat igitur ummr quemque ( unusquemque ) cafidum pro quattuor dragmis , et habebit viginti sex ä duas tercias, quibus adjunge tria et tertiam, et erunt triginta.

De viginti quoque facias*) quemadmodum fecisti de decem et invenies. In- teUige. Est propterea regula inveniendi hoc , sicut regula decem que dividitur in duas partes.

Ist X die Anzahl, welche zu Anfang des Marktes (tn primo foro) von demjenigen verkauft wurde, welcher 10 Stück hatte, also 10 — ar diejenigen, welche ihm zum spätem (igitur) Verkauf übrig blieben, ist überdies der an- fXngliche Marktpreis 1 Drachme für 1 Stück, dagegen später 4 Drachmeo, so wird:

1 . a? + 4 (10 — x) = 30, Setzt man x = l, so wird

1.1 + 4.9 = 30+ 1= 87, 37 — 30= + 7 = l. Fehler.

Für x=z2 wird

1.2 + 4.8=6=32 + 2 = 34, 34 — 30 = + 4 = 2. Fehler,

also der wahre Werth für a: = — = 34,

7 — 4 ^

1 . 3t + 4 . 6} = 30.

Bezeichnet nun x (De viginti quoque etc.) die Anzahl^ welche von dem

Zweiten anfangs verkauft wurde, so wird bei denselben Preisen , wie oben,

*) Et per viginti fac dutts lanees, unam ea duobtm et aUeram ew quatuor, et im*^- (Note marginale du numuscrii,) ^

Von Dr. Schnitzleb. 385

1 . ar + 4 (20 — a?) = 80, X = 1 gesetet, wird die linke Seite

1 . 1 + 4 . 19 = 76 + 1 = 77,

77 — 30 = + 47 = 1 . Fehler; wenn ar == 2 ,

1.2 + 4. 18 = 72 + 2 = 74, 74 — 30 = + 44 51=: 2 . Fehler;

, ,. 2 . 47 — 1 . 44 ^

also dieses x = = lOJ,

47—44 ^'

1. 16| + 4.3|^ = 30.

Derjenige^ welcher 10 Stück hat, verkauft also sra Anfang, wo 1 Stück

1 Drachme kostet, 3|, der andere aber 10|. Mittlerweile Ändern sich die

Marktpreise; 1 Stück kostet jetzt 4 Drachmen. Der Erstere hat noch 0|,

der Zweite S^^ Stück sn verkaufen. Der Erstere hat schon ^, der Zweite

16} Drachmen gelöst. Der Erstere löst jetzt noch 4 . 0} =3 26} und hat su-

sammen 30 Drachmen. Der Letztere löst noch 4 . 3| =:^ 13} und hat das

Oleiehe.

Wollten wir der Marginalbemerknng , abweichend von der Angabe des

Textes , folgen , so würden wir schreiben

1 . a: + 4 (20 — ä) = 30,

a: = 2,

1 . 2 + 4 . 18 = 74,

74 — 30 = + 44 = 1 . Fehler,

X = 4,

1 . 4 + 4 . 16 = 68,

68 — 30=::= + 38 = 2. Fehler,

4.44 — 2.38 ,^„

X = = 16 J.

44 — 38 ^

Es erhellt leicht , dass die oben angenommenen Preise 1 und 4 einer Reihe von Zahlen angehören, welche für x und y in die Gleichungen

za? + (10 — «)y = 30, «« + (20 — tt)y = 30, (wo z und u die Anzahl der im Anfang verkauften Stücke bezeichnen), ge- setzt werden können^ sobald sie der Bedingung gentigen , dass a? < } oder > 3, wenn x<y resp. > y. Es entsprechen z. B. a: = 11, y = 1, 2 = 2, ti=l.

IL Capitulum aliud de eodem. Quod 81 dixerit: Est census cujus quartam abstuUsti et quintatn (quinta) ejus quod remansit, et accepisti quartam ejus quod abstuleras et quintam ejus quod r ernannt y et quod pervenit fuü Septem. Erit capitulum numeratiams , ejus secundum augmentum et diminutionem ^ ut assumas lancem, que sit ex viginH, et auferas quartam eJuSy et remanebunt quindecim; deinde auf er quintam ejus, et remanebunt duodecim. Fo9tea accipe quartam octo que absiuUsii, que estduo,

20*

386 Einige Aufgaben aus dem Arabischen des Abraham Aben Ezra.

serva eam ; deinde assume guintam diMdecitn, que est duo et due quinie ; ea igHw adjunge duobus , ei erunt quattuor et due quirUe. Per ea igifur oppone Septem, et tunc jam errasti cum duobus et tribus quintis diminutis, et hoc vocaiur error pri- tnus; deinde accipe lancetn fiecundam divisam a prima, que sit ex quadraghUa, ei auf er ejus quarlam ei remanebunt triginta et quintam residui, que est sex, et üd- junge eam decem ablatis, et erunt sedecim, eorum Ha sume quartam, que est quat- tuor, Deinde accipe quintam ejus quod remansit, quod est viginti quattuor, et est quattuor et quattuor quinie, et adjunge eam quattuor ^ et erunt octo et quattuor quinie. Oppone igitur per ea seplem : tunc jam errasti cum uno et quattuor quinr tis additis. MuÜiplica ergo unum ei quattuor qumtas in lancem primam, et per- venient trigmti sex : deinde multiplica duo et ires q^intas in lancem secundam, et erunt centum et quattuor. Poslea aggrega duos numeros pervenierOes , ei quod perveniet erit centum et quadraginta : deinde aggrega duos errores, qui sunt unum et quattuor quinie ei duo ei ires quinie, et erunt quaUuar et due quinie. JHvide ergo per ea centum ei quadraginta, et quod perveniet erit census, qui est iriginia unum et novem partes undecime.

Bezeichnet a^ die Zahl {census = Qaadratzahl, res die Wurzel) ^ so iflt 'dasjenige, was er abgezogen hat, in Summe

die aufzulösende Gleichung:

»K+«(-^)]+i[--?-*(--T)]='.

und die angegebene Lösung :

.T* = 20 gesetzt, 20 — y = 15, lb—\^ — VZ,

2 + 2|=4f,

4} — 7 = — 2| = 1 .Fehler;

a7« = 40,

40— y=:30, 30— »5^=30 — 6=24,

V+ V = 16,

J.16 = 4, |.24 = 4^,

8j — 7 = + Ij = 2 . Fehler;

folglich

^_l|.20 + 2f .40 36 + lOj- jjg

ffoe quoque secundum regulam invenitur, que est ut ponas principium]ex quo consurgit quarta et quinta viginti, ei auferas ei quartam suam, ei remandumt quindecim et quintam residui, et renumebuni duodecim. Sume ergo quartam octo quam absiulisH et quintam duodecim remanentium, et quod perveniet erit quattuor ei due quinie. Ergo die: in quem ^mmerum multiplicantur quattuor et due quinU

Von Dr. Sghkitzleb. 387

donec pervemant viginü? Illud vero invenies qttntluor ei sex undecitnas. MnUi- plica igiiur hec quaüuor et sex undecimas partes in Septem que dixisii remansisse ex censu, et quod ex multiplicatione perveniet erit illud quod voluisii, quod est triginta unutn et nevem undecime partes , et est census. Diese Lösung ist also :

20 — V ~ 15» lö — »5* = 12 , i(V+ V) = |Ö = 2, J.12 = 2f,

77/. Capitulum de anulis.

1) Quod est ut dicas viro: Sume quod est inier te et anulum ; deinde die et äupla quod habes. Posten die ei: adjunge ei quinque ; deinde die : mulüplica ip- sum in quinque. Postea die ei, adde eis decem: deinde die: mulUplica quod habes in decem. Postea die: minue ex eo quod habes quadringenta (quadraginta). Cum ergo minuerit ea, accipe pro quadringentis {quadragentis) unum^ et unum serva> Deinde die ei: minue ex eo quod habes centum. Cum ergo diminuerit ea, assume tu pro eis unum. Deinde precipe ei ut ex eo quod habet, diminuat centum quoties poierit, ei tu pro unoquoque centenario diminulo assume unum. Postquam ergo non remanserit ei centum, considera iilud quod habes, fiet enim ut illud ad quod pervenerit numerus sit ille qui sumpsit anulum.

Wenn x die gedachte Zahl ist, p die Anzahl der einseinen sufatrahir- ten Hunderte und r der dann noch übrig bleibende Best, so ist die Beden- tttiig des Vorstehenden:

[5 {2x + 5) + 10] 10 — 400 _ r

lüÖ ^ iöö*

. a;-l + ,VJr=p + j^,

X—l=Py

x = p+ l. Das ZOT Ermittelung der gedachten Zahl angewandte Verfahren führt immer zum Ziele, jedoch darf x nicht gleich 0 genommen werden. Die einzelnen Fälle, wann das angegebene Verfahren anwendbar und wann nicht, werden nicht aufgezählt. Der Verfasser sagt nur: „Dubia est regula de anulo.^^

2) Alio quoque modo invenitur hoc, qui est ut dicas viro: Sume quod est inier te et anulum in una manuum tuarum et assume in alteram idem {iandem); deinde assume tu in manu tua unum : postea die ei: mulüplica quod habes in una numuum tuarum, in quemcumque numerum volueris. Postea mulUptica unum quem

388 Einige Aufgaben aus dem Arabischen des Abraham Aben Ezra«

ienuisii in manu iua in illum numerum in quem precipisti ülum mulUplicare^ ei posiea die ei: divide quod exivit ex multiplicalione per illud quod habes {kaäet) in alia manuy perveniei ergo unicuique quantum fuU quod pervenü ex muUiplica- iione ejus quod habebas in manu iua. Posiea die ei: divide quod eximi ex muUi- plicaiione per illud quod habes (habei) in alia manu tua^ Posiea die ei:' ecce (^eice) quod aitinei uni de eo quod accepisti. — Dubia est regüla de anulo, — El postea die mihi quod remansii. Et tu minue illud de eo quod ienuisii in manu tua aggregatum, et quod remanebit erit illud.

Bezeichnet x die gesachte Zahl, p die willkürlich angenommene, mit welcher mnltiplicirt wird, und r den Rest {El postea die mihi quod remansU), so wird

px

!='+«-• .

a: = 1 . p — r. Die gedachte Zahl Iftsst sich auf diese Weise offenbar unr dann finden, wenn p> x gewählt werden.

3) Et hoc alio modo invenitur^ qui est ui dicas viro : sume quod est inier U ei anulum , posiea die ei, adjunge ei duplum ipsius ; deinde die : adde ei quanium est medietas ejus quod aggregatum est. Deinde die ei: minue ex eo quod habes novem. Cum ergo minuerit ea, sume tu per novem duo ; deinde precipe ei ui ex eo quod habet minuat novem et assume pro unoquoque novenario diminuto duo. Cum ergo remanserii (remanseris) ei numerus novem ^ sume pro eo unum, deinde considera illud quod habes. Ipsum namque est ille numerus qui sumpsit anulum.

Nennen wir x die gedachte Zahl, p die Anzahl der abgesogenen Nen- nen (di» erste 9 nicht mitgerechnet), so ist die Bedeutung des Obigen:

^ =P,

ar = 2/? + 2. Hier darf x nicht < 2 gedacht werden.

4) Et hoc item alio reperüur modo , qui est ui dicas viro .- sume quod est inter te et anulum deinde die, müttiplica quod habes in iria, postea die ei; sume medieialem ejus quod übt pervenit. Deinde quere ab eo si estineo fractw. Quod si dixerit est: assume tu pro fractione unum: deinde die ei, serva fraciionem, donec Sit unum integrum. Deinde die ei: multipUca quod habes in Iria : et postea die ei: minue ex eo quod habes novem. Et tu, assume pro unoquoque novenario diminuto duo, et aggrega que habes, et tuum erit illud. Quod si dixerit, non est in eo fr actio, et cum dieis, minue ex eo quod habes novem, dixeril non est in no- vem, tunc die ei quod nihil accepit. — Expletus est Über.

Hier wird ein Unterschied gemacht, ob x gerade oder ungerade ist In dem ersten Falle wird, gesagt : „Wenn

Von Dr. Sühnitzleb. 389

3 ?^

80 ist ar = 2p ; ist hier p = 0, so ist auch x = 0* iD dem andern Falle : „Wenn

■(t-«)

. ='•

80 ist x = 2p + l ".

5) Si tre$ viri tenuerini ires res diver si generis, ei volueris scire quam ilia- rum quisque eorum teneat; noscas primus unamquamque earum, ei in corde iuo pone unam primanty ei alieram secundatn, ei aliam iertiam, ei voca similüer in corde iuo primam duo ei secundam novem ei ierciam decem. Deinde unum irium hominum nomina (non) duo, ei aliutn voca ires ei ieriium voca quinque, ei precipe mi eorum qui sciai quid quisque eorum ieneai, ut muliiplicei nomen fenenüs rem primam in duo , ei ieneniis rem secundam in novem, ei nomen ienenUs rem iertiam in decem, ei aggregei ea que ex muüiplicaiionibus pervenerini, ei summam inde pervenieniem tibi dicaL Quam iu assumens minue ex cenium ei residuum pariire per ocio, ei quod ex divisione pervenerii erit nomen ieneniis rem primam , ei quod remanserii erii nomen ieneniis rem secundam, ei alius ienebii ierciam rem.

Bezeichnen p, q und r je eine der Zahlen 2, 3, 5 in beliebiger Ordnung, 80 ist

eine identische Gleichung, auf welcher die obige Aufgabe beruht und deren Sichtigkeit sof^ort einleuchtet, wenn nur p-i-q + r =10 gesetzt wird.

£s ist leicht abzusehen , dass die vorstehende Gleichung ein specieller Fall von folgender allgemeineren Gleichung ist :

Bezeichnen p, q, r und i beliebige Zahlen und wird der Kürze halber p + q+r = S gesetzt , so ist :

S'-[ip + (S-l)q + Sr]^ q _

S—i P^s—i

Soll jedoch , wie zur Anwendung des obigen Verfahrens noth wendig ist, die rechte Seite eine gemischte Zahl bleiben , so ist offenbar nothwendig, dass S — / kein Factor von q und << 5-^2 genommen wird.

XVI. Ueber Facultätenreihen.

Von 0. SCHLÖMILCH.

(Aas den Berichten der Königl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften.)

In seinem Methodus differentiaUs sive tractatus de summaiione et irUerpola- iione serierum, Lond. 1730, zeigt Stirling, dass Reihen, die nach abstei- genden Potenzen einer Variabelen x fortschreiten, wie z. B,

X ^ x^^ or»^ J?*^

auf die Form

^ , *« _!. ^8 ^ *4

x^ X {x + 1) ^ X {x + 1) (x + 2)^ X {x + l) (x -^ 2) {x + ^) gebracht werden können. Er geht nämlich von der Gleichung aus

x^~ X {x + 1) . . . {x + n -^1)^ x{x + i) . . . {x + n -i) {x + n)

^x(x + l)...{x + n){x + n + l) ^""' worin A, B, Cy . . . gewisse Zahlencoefücienten bedeuten , wendet dieselbe für w = 2, 3, 4, . . . auf die einzelnen Glieder der ersten Reihe an und ver- einigt nachher die gleichartigen Grössen. Nach einer leichten Rechnnng, deren Detail im fünften Theile des Klug einsehen Wörterbuchs angegeben ist, findet Stirling

f^ J- f? J. ^8 -L fi 4.

X '^ x'^l^^ x'^

_fi g, + g, 2g, + 3^3 + ^4

~ x'^ x{x + l)'^ x{x + l){x + 2)

6a, + 11(18 + 6^4 + 05 24g, + 50^3 + 3504 + lOflg + a,

'^ x{x+i){x+2){x + S)'^ x{x+i){x + 2){x + Z){x + 4y"" Dieses Verfahren hat zwei schwache Seiten; man gelangt nämlich weder zur Kenntniss des independenten Bildnngsgesetzes der Coefficienten i|, ^if &,..., noch zu einer sicheren Entscheidung über die Convergenz oder Di- vergenz der neuen Reihe. Ausserdem hat sich bei Anwendung besserer

Ueber Facultätenreihen. Von O. Schlömilch. 391

Methoden noch eine Eigentfaümlichkeit gezeigt. Wenn nämlieh eine Func- tion, so EU -sagen, gewaltsam, in eine Reihe der ersten Form verwandelt wird, 80 trifft es sich nicht selten, dass die Reihe halbconvergent oder völlig divergent ist, aber es folgt hieraus keineswegs, dass auch die Reihe der zweiten Form (die Facultätenreihe) dieselbe Eigenschaft besitzen müsse ; in der That werden wir nachher Fälle aufzeigen, wo die erste Reihe diver- girt, die zweite dagegen convergirt. — Nach diesen Erörterungen glauben wir keine überflüssige Arbeit zu unternehmen, wenn wir diesen Gegenstand von Neuem und aus einem anderen Gesichtspunkte betrachten.

I. Die eigentliche Quelle der erwähnten Facultätenreihen dürfte in bestimmten Integralen von der Form 1

1) Je'"«f(u)du = g>{x), a:>0,

0 zu suchen sein« Mit Hülfe der Substitution

0"""^*= 1 — /, woraus m = /(- j, du =

erhält man nämlich

1

2) <p (0.) =y(i -- 0'- v[/ (fii)]^'» •

0

und wenn nun /" M ) nach dem Taylor'schen oder Maclaurin'schen

Satze entwickelt werden kann, also eine Gleichung von der Form

/«-l

t''^' + Rn

' 1.2...(/i — 1)

existirt, so lassen sich auch alle einzelnen Glieder, mit (1 — t)'-^ dt multi- plicirt, zwischen den Grenzen < = 0 und i = l iutegriren; unter Anwend- ung der bekannten Formel 1

1 .2.3. . . .m

3) f{i — t)'-^e^dt==^

x(x + l) {x + 2) . ..(a:+ m) 0 findet man

4) vW=^ + ^-+I)+^(^ + l)(^ + 2) +

1

^T^r=:i)+>-0'-^«^/

a? (a? -f- 1) . . . (;

also eine Reihenentwickelung der besprochenen Art. Wie man sieht, ist diese Herleitung ganz unabhängig von der Frage, ob 9 {x) nach absteigen-

392 Ueber Facultätenreihen.

den Potenzen von x entwickelt werden kann oder nicht; ferner bemerkt man, dass sich auf dem angegebenen Wege der Rest der Reihe bestimmen und mittelst desselben die Conrergenz oder Divergenz der Reihe entschei- den lässt.

Behufs der independenten Bestimmung von O^jOu Of ' difTerenziren

wir den Ausdruck f\l ( — ) 1 mehrmals nach einander in Beziehung auf i;

das Resultat stellt sich unter die Form

6)X^/[<(i)] =

■ =^i^.4'a)]+'.^['(i)]+-+M'G)]i.

mm m

worin /\, P„ . . . Pm gewisse Zahlencoefficienten bedeuten, die von der Na- tur der Function /* unabhängig sind. Ebendesshalb kann irgend eine Spe- cialisirung dieser Function zur Ermittelung jener Zahlen dienen, am besten

/'(M);=e«"', wodurch f\l /— j Iz^t""^ wird und die Gleichung 5) in die

folgende übergeht :

ä(a+l)(a + 2).-..(a + m— 1) = P,«+ ^,i^+P, «•+.... +P«o-. Man ersieht hieraus, dass die Coefficienten P mit dem sogenannten Facul- tätencoefficienten identisch sind. Nimmt man in Nr. 5) t = 1 — i und setzt nachher / = 0, so erhält man

6) Om=Pir(o) + p,r{o)+.... + p^f('-Ho)^

Was ferner den Rest anlangt, so ist nach dem Maclaurin'schen Satse

t 1

1.2,

0 das in Nr. 4) vorkommende Ergänzungsglied, welches vorläufig iS^ heissen

möge, erscheint demnach in Oestalt des Doppelintegrales

l 1

0 0

Um dasselbe zu reduciren, erinnern wir an die bekannte Formel 1 1-6 l

0 0 0

und nehmen |==1 — <,i} = / — w; dies giebt

f{l _ t)«-i dtß — »)*-» ü- (l — ») dw = ^^^^^1«+*- » F{f) dx.

Von O. ScHLöMiLCH. 393

Wir setzen ferner a = x, b s= der ganzen positiven Zahl n, und

worans folgt

die vorige Gleichung geht dann in die nachstehende über

1 t

ng geht dann in die nachstehende übe:

u ü

ü die QDmittelbar a^r Eednction von Sn führt nämlich

0 Der Gleichung 4) giebt man jetzt am zweckmässigsten die folgende Gestalt

. 7) , y(,) = ^o^_A^+ ^^ ^ -

x^ x{x + l) x{x+i){x+2)

»(a; + l)...(a: + n— 1) a:(a;+l) ...(a:+it — 1) und darin ist

1

0 oder auch, wenn die auf % bezüglich Differentiation nach Nr. 5) ausgeführt

and sefaliesslich die Substitution t = c^^ vorgenommen wird,

0 Durch die Formeln 1); 6), 7) und 8) oder 9) ist man nun im voUstftndigen Besitze der Mittel» um Reihenverwandlungen der besprochenen Art in aller Genauigkeit auszuführen. Wir geben hierzu einige Beispiele.

n. In dem sehr einfachen Falle f{u) = e-«»*, f U K ijj = t« wird

OD

0

Qm = (— 1)" B (« - 1) (« - 2) . . . (a — « — 1) ,

394 Ueber Facultätenreihen.

i

(fn = (— 1)" « (a — 1) . . . .(« — w — 1) |T^+""* r«-"

dl

= (— 1)» « (a — 1) . . . (a — n — 1) ■

diess giebt folgende Eutwickelung

10) -L-=i- ^— + ^(^-^)

^ a: + « or a: (^ + 1) • a? (a: + 1) (a; + 2)

4. f_ i^n-i €c{a — i) {a — 2) . . . {a ~ n — 2) '"^^ ^ x{x+l){x +2)...{x+n — l)

+ (- i)>«(«-i)(« — ^)--(« — » — 0 _i_

^^ '' x{x+ i){x^2)...{x + n — l)a? + a' die man bekanntlich auch auf elementarem Wege erhalten kann.

Wegen späterer Anwendungen untersuchen wir den im Erg&nzungs- gliede vorkommenden Ausdruck

tt (g — 1) (g — 2) (tt — n — 1)

x{x+ l){x + 2) (a? + « — 1)

etwas genauer. Wenn g eine positive aber keine ganze Zahl ist, so lassen sich immer zwei aufeinander folgende ganze Zahlen k — 1 und k angeben, zwischen denen g liegt; dem entsprechend zerlegen wir den vorstehenden Ausdruck in drei Factoren, nämlich, n>'Ar>g vorausgesetzt, (g-l)(g--2)...(g~A:-l) {a-k) {a--/^T)...{a-n^ 1.2. ... (yi-l)

1 .2 ; . . . ."(Ä — 1) • "F(Ä: + 1) {n — 1) * {x+l) (a:+2)...(a:+«-l)'

Im ersten Factor, welchem wir die Form

a ^- k — lg — g — 2 a — 2 g — 1

1 2 ' k—2 k—i

ertheilen, beträgt die Differenz g — k — 1 weniger als eiüe Einheit, mit- hin ist

a — /r— 1<1, tt— Ä — 2<2,...« — 2<ft — 2, a^l<k — l, also jeder Bruch ein ächter Bruch /und folglich auch der fragliche Factor ein ächter Bruch, der ^i heissen möge. Der zweite Factor ist einerlei mit

wo nun in jeder Parenthese ein ächter Bruch steht; der fragliche Factor kann daher == ( — !)*•*" *^j gesetzt werden, wenn 9^ wieder einen positiven ächten Bruch bezeichnet. Das Ergänzungsglied ist demnach

r_i>« Ä f_i>-*Ä 1.2. ...(n — l) l_

oder kürzer

eg 1.2 jn — l)

> x + a' x(x + \){x + 2)...{x+n—l)'

Von O. ScHLöMiLCH. 395

wenn 0 einen positiven oder negativen ächten Bruch darstellt. Statt der Gleichung 10) hat man jetzt die folgende

a? + « X X {w + i) X {cc + 1) {x -^ 2)

Sa 1.2 (n — l)

, ,_ ix„_i «(«-l)(«"-2),..(tt— fi-2) ■^ '^ ^ j:(ap+l)(jj+2)...(jr+n— 1)

ar + a' a: (j?+1) (a?+2)...(a:+»-iy und nach dem bekannten Satze, dass für a > ^ > 0 und n = oo

a{a + l) (a+2) («+« —2')

ist, ergiebt sich, wenn 0 = a?,+ 1 und 6 = 1 gesetzt wird, dass das Ergän- zungsglied der vorigen Reihe die Null zur Grenze hat, sobald x eine posi- tive Zahl > 0 bedeutet. Die Gleichung

40\ ^ —^ " I «(« — !) ...

'^^ x + a~ X x{x + a)'^ xix + 1) {x + 2) ^'

gilt daher für alle positiven x und er, während die Entwickelnng

Ml«

an die Beschränkung x^ et gebunden ist.

IIL Als zweites Beispiel diene die Annahme /'(w) = m*"*, wobei k als ganze und positive Zahl vorausgesetzt wird. Es ist dann

1.2 (it — 1)

<P{^)—Je

0 und nach Nr. 6)

Om~0, füri?i<Ar— 1,

m

Q^—{k- 1) (Ar— 2) ... 2 . 1 /'a-i für m > A: — 1; unter der Annahme n > Ar ergiebt sich nun aus Nr. 7) nach beiderseitiger Division mit 1 . 2 . . . (Af — 1)

fc-l k k^\

"•' n - 1

+

a; (ar + 1) (a: + 2). ., (a: + Ä — l) 1 ?«

1.2...(A: — l)';r(a? + l)....(a: + « — !)* Femer ist nach Nr. 9), wie man durch Ausfuhrung der angedeuteten Diffe- rentiationen und Integrationen leicht findet,

A * 1 *• 1 "1

1.2...(A:— 1) 'a:*-*^ "a:*-2 • • * **"* a: mithin

396 Ueber Facultätenrcihen.

^ X* a:(iF+l)...(a?+A:-l)^d:(a-+l)...(a:+Ä)^ir(a>fl)...(x+it+l)^"'

""•^ X {x + l) {x + 2). ..{x + n — l) ^ x^x{x+i){x + 2)..:.{x + n — i) Diese identische Gleichung scheint völlig unbekannt geblieben zu sein ; sie ist die eigentliche Quelle der Stirling^schen Formel und führt zu einem strengen Beweise der letzteren , wobei die Convergenz der Reihe nicht zweifelhaft bleibt. Das Ergänzungsglied ist nämlich gleich dem folgenden Aoadracke

1 a{a + l)...{a + n — l) P^ x + P^x^ + . . . + P^^^ ar*~^

worin a eine vor der Hand willkürliche Grösse bezeichnet; wählen wir die- selbe positiv und lassen im Nenner die mit a*» a*+^ . . • a" behafteten Glie- der weg, 80 beträgt der vorige Ausdruck weniger als

1 a{a + l).,.{a + n — l) fi a? + />, jr« + . , . + />^,t a?*^^ x^xlx + l)...lx + n—iyp^a + Pt €? + ... + />*.i o*-*' Nach dem bekannten Satze, dass der Werth des Bruches B,+B, + B, + ... + Bt^t

bei positiven A und B eine Mittelgrösse zwischen den einzelnen Brüchen

ist, folgt nun, dass der letzte Factor des obigen Ausdmckes zwischen der grössten und kleinsten der Potenzen

!■ (^)' (fr ,©*

enthalten ist. Nehmen wir endlich a < jp, so können wir nach allen diesen Bemerkungen das Ergänzungsglied unter der Form

1^ ir(tf + l) (g + n— 1) ^{^^± a (« + l) ..-(« + «— 1)

ir*'a:(a: + l) (j? + n - 1) * \«/ a*'ic(a: + 1) . . . (^ + n— l)

darstellen, wo ^ einen positiven ächten Bruch bezeichnet; hieraus ersieht man augenblicklich , dass bei unendlich wachsenden n der Rest gegen die Grenze Null convergirt und dass folglich die Stirling^sche Reihe in's Un- endliche fortgesetzt werden darf, sobald x die Null übersteigt. IV. Wir betrachten ferner das bestimmte Integral

15)^ q>{x)=Je-"^{i + u)-f'du,

0 welches mittelst der Substitution u = 1 auf die einfachere Form

rt

16) v{x)=^xi'-'e'J-e-'dv

Von O. Sghlömilch. 397

gebracht werden kann. Es würde keine Schwierigkeit haben, die allge- meinen Formeln des Abschnittes I anf den Fall /* (u) = (1 + t/)~^M anzu- wenden, man kommt aber etwas rascher zum Ziele, wenn man den nr- sprünglichen Integrale erst eine andere Gestalt verschafft. Unter Voraus- setzung eines positiven fi substitniren wir in Nr. 15)

0 und erhalten

h«)A* r(u)J

OD 00

0 0

0 0

d. i. bei Ausführung der auf u bezüglichen Integration

0 Wir benutzen hier die Formel 10) für « = t, setzen zur Abkürzung

Om = TTT-Tj» (t — 1) (r — 2) . . . (r — m — 1) r/*-» e-^ dt 0

00

r(^)J iP + T

• 0 und vergleichen den erhaltenen Werth von q>{x) mit dem in Nr. Ift) stehen- den Ausdrucke; das Resultat lautet:

00

17) fy^e- .. = ..-.e-ji _ -^ + -^_^.^L_^-....

a?(a?+l)....(;r-f«-l) "'■^7^^%(ar+l)..."(x+ii-l)« •

Um beurtheilen zu können, welcher Grenze sich das Grgänznngsglied bei unendlich wachsendem n nähert, setzen wir

18) Ä. ____ __ ^ ^„

*^^ '"~r(Ä/ 1.2 («-1) ar + r'

0

Und serlegen das vorstehende Integral in zwei Integrale, nämlich

398 lieber Facultätenreihen.

, 1 nT-l)(T-2)...(T — n — 1) T^

^"~r(/i)J 1.2 (ii^l) a: + r'' '''

0

00

+ -L- At-l)(r-2)...(T-n-l) «M

^r(^)J 1.2 (n— 1) x + ir* "*

n

Im ersten Integrale ist n > t and folglich der Ausdruck

(^_l)(^_2)...(T-n~:="r)

1.2 {n — 1)

ein positiver qder negativer ächter Bruch , wie schon in Nr. 11 bewiesen wurde; demnach liegt J^ zwischen

n n

• +777-, j-^e-^dv und —-z^r^ l-^e-^dx.

r{ji)jx + t r{ii)Jx + t

0 0 ^

Diese Orenzen werden weiter, wenn man im Nenner x + t das positivem; weglässt, und gleichzeitig das Integrationsintervall auf 0 bis ao ausdehnt; man kann daher

0 setzen, wo &• einen positiven oder negativen ächten Bruch bezeichnet. Diese Schlüsse gelten für jedes noch so grosse n und demnach ist auch Lim Jn zwischen — 1 und +1 enthalten.

Das zweite Integral stellen wir in folgender Form dar

, 2 . . . . (» — 1) X + t

' n

und verstehen unter a und ß zwei positive ächte Brüche, deren Summe = 1

ist. Lassen wir im Nenner x + r das positive t weg uod setzen statt t**«"^

den Maximalwerth dieses Ausdrucks nämlich f—j , so erhalten wir, da

die übrigen Factoren unter dem Integralzeichen positiv sind, einen vi grossen Integralwerth und es i^t daher

n

l>d'>6. Mittelst der Substitution x=^u + n wird hieraus *

wobei zur Abkürzung

Von O. ScHLöMiLCH. 399

22) C.= /^«' + l)(» + g)---(" + >'-l),-f>.^,

' J 1.2.3...n

0 gesetzt worden ist. Der vorstehende Ausdruck besitzt die Eigenschaft

J 1 .2 . . .n

wie mittelst der Substitution t< = v + 1 leicht findet. Zerlegt man das In- tegral in zwei andere von »=0 bis » = oo und von r= — 1 bis »=0, so ist das erste identisch mit Cm^-i; im zweiten kann man die Substitution & = — w anwenden und erhält

c^.-c. = .-^|c^,+/(i-^)(i-|)...(i-J>-^<'»..|

oder 23)

%ö=-^+-_L_/ri_:^)...(i_-W,„.

ü Aus Nr. 22) ersieht man, dass Cn mehr beträgt als

^, 1.2. ..(n-1) /5«'

der letzte Ausdruck auf der rechten Seite von Nr. 23) ist daher kleiner als 1

/r

;^/('-t)('-|)-(-?)''-

0 und hieraus schliesst man -leicht, dass sich derselbe für unendlich wach- sende n der Grenze Null nähert; es ist daher

und

Lxm -Q = —Q .

e-P'-C» <?P — 1

Wählt man den positiven ächten Bruch |3> / 2 (z. B. /J = 0, 8, « =0, 2), so

beträgt die rechte Seite weniger als die Einheit; nach dem bekannten

Satze, dass Lim it; (») = 0 wenn Lim , . < 1 ist, folgt dann

Lim{e-'f''Cn)=0 und nach Nr. 21)

24) Lim Bn = 0.

ZeitNchrirt.für Malheinatik u. Physik. iV. 27

400 lieber Facultätenreihen.

Die in Nr. 20) und 24) verzeichneten Gleichangen geben %a erkennen, dass Lim p« =^= Lim (An + B^) zwischen — 1 und -f- 1 enthalten ist; hieran» schliesst man nach Nr. 18)

XimÄ„ = 0 für a:>0, und daher ist nach Nr. 17)

X

Führt man in der für Q^ angegebenen Formel die auf x bezügliche Inte- gration aus und benutzt die Grell ersehe FacultAtenbezeichnung

fi (fi + 1) (^ + 2) . . . ( ^ + Af - 1) = (^, + 1)* , «o hat man für Q^ die vollstJindig entwickelte Formel

26) Ö« =(^,+ 1)- — '^m-i (fi,+ 1)-- -^ + ^-.-2(^,+ ir^ —

und z. B., nach Potenzen von /i geordnet,

05 = fA'^ + 10^» — 5^« + 8^ u.fi.w. Die Gleichung 25) enthält die Lösung einer Aufgabe, womit sich Le- gen dre in Cap. XVII des 2. Bandes seines Traile des fonctions elliptiques beschäftigt und von welcher er sagt, dass sie besondere Schwierigkeiten darbiete. Es ist dies die Entwickelung des Integrales

r(a,.)=f{iiy-'äu

u

oder, wenn ti = e^"' und a: = 6""y substituirt wird, des gleichgeltenden Integrales

J • X

y Man findet zwar leicht genug die nach steigenden Potenzen von y fort- gehenden Keihen

und*) - « la+1 1.2 a+ 2

•} Legendre gelangt zur zweiten Reihe mit Hülfe einer Differentialgleichnn^; ein kürzerer Weg ist folgender. In der Gleichung

r(a,a:)== yüa-«e--»rf»--/oa-ltf-»rf©===r(a)--.ro«— te-t

0 ü 0

' 1 — 1») ; diess giebt zunächst

l .

tzt t^ in die bekannte, nach Potenzen von yw fort linzeinen Glieder nach der Formel 1

/ a(« + l)(a + 2)...(« + m)'

Entwickelt man jetzt cf^** in die bekannte, nach Potenzen yon^w fortschreitende Reihe und integrirt die einzelnen Glieder nach der Formel 1

00 erhält man augenblicklich das erw&hnte Reaaltat.

Von O. SCHLÖMILCH. 401

aber man kann von diesen Entwickelungen in dem Falle keinen prakti- schen Gebrauch machen, wo x ein sehr kleiner JBruch, mithin y eine sehr grosse Zahl ist; Legendre sieht sich daher genöthigt, eine halbconvergente Reihe zu benutzen , die nur einen bestimmten , öfters ungenügenden Grad der Genauigkeit zulässt. (Vergl. S. 502 und 503 a. a. 0.) Diesem Mangel kann auf folgende Weise abgeholfen werden. Durch theilweise Integration findet man zunächst

ri,a,x)^x{l^y~'+ («-~l)r(« — l,.x);

wendet man diese Formel A:-mal nach einander an, so erhält man F^a^x) ausgedrückt durch

r(a— Ar,x)===yui)'' du ^iv^-^-^ e-^ dv.

0 y

Vorausgesetzt, dass man für k die nächste unter a liegende positive Zahl nimmt (Af<a<A:+l), ist a — k — 1 ein negativer ächter Bruch etwa = — fi , und nun giebt die Formel

00

y

oder

Diese Reihe convergirt immer und sehr stark wenn x ein kleiner Bruch ist. Aus Nr. 25) erhält man speciell für fi = 1

28) /-ie-M. = iHi-^+(^q:if^----|.

womit eine neue Formel zur Berechnung des Integrallogarithmus gegeben ist. — Für ft = i hat man

oder auch, wenn v == <' und a^ für x gesetzt wird

X

402 Uobnr Facultätenreihen.

Diese neue Formel zur Berechnung der Kramp'schen Tr'anscendente hat ' vor der gewöhnlichen, nach Potenzen von — fortgehenden halbconvergen-

X

ten Reihe den Vorzug der immerwährenden Convergenz; für jp = 3 geben die ersten drei Glieder

/

00

e-^»rfr = 0,00001958,

• /e-*««(l + tt)-^dw

was von dem genaueren Werthe 0,000019577 wenig genug differirt.

V. Mit einer kleinen Modification ist das bisherige Verfahren auch auf das Integral

0 anwendbar, worin t wie gewöhnlich }/ — 1 bedeutet. Durch die Substitution

M== 1 erhält man einerseits dafür

X

andererseits findet man durch dieselben Umwandlungen wie in Nr. IV, dass das obige Integral dem folgenden gleich ist :

/OD 00

xi + T r((i)Jx—ri^ "" "**•

Die Vergleichung beider Formen giebt

X X

und hieraus folgt durch Identificirung der reellen, sowie der imaginären Partieen

1 cos V , J?^*"^ A cos X — X sin x ... , , 32) J^äv = —J ^ + ^ ^'^-' ''•.

X 0

X 0

Zur Entwickelnng des in Nr. 31) vorkommenden Integrales

1

J X XX

0

kann man sich der Formel 10) für a = — xi bedienen, weil diese als eine identische Gleichung betrachtet werden kann und daher auch für imaginäre a gültig bleiben muss. Dabei erhebt sich aber eine kleine Schwierigkeit hinsichtlich des Restes, den man leicht auf folgende Form bringt

Von O. ScHLöMiLCH, 403

1 . 2 . 3 . . . (n — 1) Tl. q(cos^ + isind)

x(x + l)(x + 2)...(x + n — l) x — vi '

Wenn nämlich n in*s Unendliche wächst, bo convergirt der erste Bruch ge- gen die Grenze Null, ferner wird

nnd folglich hat der Hest immer die Null zur Grenze, wenn v eine endliche Grösse bleibt. Daraus folgt aber nicht, dass auch das Bestintegral ver- schwinden müsse ; in der That besteht dasselbe aus zwei Factoren , von denen der eine, wie vorhin, gegen die Null convergirt, der andere aber un* endlich wird wegen

JV'^^-"^"-

_ r Vir *

0

Es bedarf daher einer kleinen Modification^ des Verfahrens, wenn eine con- vergente Reihe erlangt werden soll.

In dejr Gleichung 31) nehmen x = kz und substituiren rechter Hand T = Xr/5 wir erhalten dann

34) /ie-d. = -'il^/-i^..^.e-... kz ^^^ Ü

Das Integral rechter Hand entwickeln wir mit Hülfe der Formel 10) indem wir

setzen; die Entwickelung ist

'tu

" z ■*' *'(V+1) '^z{z + l)(z + l)^"-^z{z + l)...(z+n — l)

1_ Ai(<t+l)...(<«+n — 1) «t-i g~*^ j W z{z+l),..{z + n — l) z-li

0 Das Ergänznngsglied, welches Rn heissen möge , bringt man leicht auf die

Form

_ l.a.3 (n — 1) p,

^"-*(t+l)...(z + «-l)T(M)'

404 Ueber Facultätenreihen.

und man erkennt hieraus, dass Lim i^« = 0 wird bei jedem positiven z, so- bald Lim Qn irgend eine endliche Grösse bleibt. Das Letztere iat aber der Fall wenn das Integral

endlich wird* Der Werth desselben beträgt nun '

nicht unendlich wird* Der Werth desselben beträgt nun weniger als

0 '^ 0

und der Werth des letzten Integrales ist ohne Zweifel eine endliche Grösse, sobald k mehr als \n beträgt. Unter diesen Bedingungen kann jetzt die Reihe in Nr. 36) zu einer unendlichen gemacht werden. Nehmen wir spe- ciell k = 2 und setzen gm+l ^*

roöe

37) ^y^ia^ + l)(^« + 2)...(/i+m-l)(U-ic^2/rf/=F«+i(^^^

0 ferner z = \x und

38) ?7«=i+ ^' - ^» ^ ^*

39) F=

x{x+%) x{x + 2)(X'\-A) ir(a:+2)(a:+4)(ar+6) so haben wir nach Nr. 34)

X

oder auch durch Trennung der reellen und imaginären Theile

.. i cosv /xX*'"'*

41) 1 ~^^^^^Vi) (^^<^*^ — Usinx).

X

OD

'*^> / ^ '^'' = (f y ~''(^«'«« .+ «^ cos X).

X •

Diese Formeln würden sich leicht auf ähnliche Weise wie die Formel 25) specialisiren lassen, wobei wir uns nicht aufzuhalten brauchen.

VI. Die in Nr. I auseinandergesetzte Methode zur Entwickelung des Integrales

43) q> (x) = /e-'« f(u) du

0 as eomplicirtere Integral

OD

0 kann auch auf das etwas eomplicirtere Integral

Von 0, SCHLÖMILCH. 405

angewendet werden nnd fährt dann zur Entwickelung des endlichen Inte- grales von g> (x). Die Function ^ (x) genügt nämlich der Differenzen- gleichung ^ (o? + 1) — ^(a;) = 9 (x) und ist daher eine von den unendlich vielen Functionen , die mit Zq>{x) zu bezeichnen sein würden; um aber jede Vieldeutigkeit zu vermeiden, wollen wir künftig unter £q>(x) aus- Bchliesslich die mit Hülfe der Gleichung

00 Ü

definirte Function verstehen, so dass bei ganzen positiven die Einheit übersteigenden x

2?g)(ar)=9>(l) + 9(2) + 9(3) + ... + g)(a: — 1) und für ar = 1, l^gp (a?) = 0 ist. Die Substitution er^ =1 — i giebt nun

44, .,(.)=/Ul^VK.-i-,)]«,

0 nnd man bemerkt auf der Stelle, dass hier ähnliche Transformationen , wie in Nr. I vorgenommen werden können. Wir wollen diese für einige der wichfigsten Fälle durchführen.

VII. Für f{u)=\ hat man 9 (a;) = — und

X

* X J 1 — e-

du

oder hiermit identisch

.00 ,0D

0 " a

du

. . »^du. 0

Der Werth des ersten Integrales hängt nicht von x ab und ist folglich eine numerische Constante , die J heissen möge ; der Werth des zweiten Inte- grales ist bekanntlich =lx] im .dritten Integrale substituiren wir er^=sl — f und erhalten i

■|f-^^

Zur Entwickelung des Ausdrucks

1 1

genügt die einfache Bemerkung, dass derselbe unter der Form

406 üeber Facultätenreihen.

U 0

dargestellt und dass (1 — t)" mittelst des binomischen Satzes in eine Reihe verwandelt werden kann. Demgemäss haben wir zuerst (I_A.— 1 % t;(i — t;) v(i^v)(2-v)

\ ^ 1 1.2 1.2.3

V (1— v) (2— 1>) . . . (n — l—v) 1 .2.3. . . .n

_.(!_,)... (.-.) ^^^^ß _ ^^, ^^ _^^__, ^^^

0 daraus erhalten wir, zur Abkürzung

1 46) a^^ f V (1 —v) (2 — v) . . . {m — i —v) dv

setzend, die weitere Entwickelung

n-l

ü . '" 0

endlich nach Formel 45)

47) £l^A + lx — ^^ — ^—^ i ^»

Ä? Ix 2j?(j? + 1) 3 a:(a? + l)(a:+Ä '*"

1 00

«"« (a: + 1) (a: + 2) . . . (a: + n — 1) ~''^*

Der Best En erscheint zunächst in Gestalt des folgenden dreifachen Inte- grales

/; 1 1

0 • •••» ^

und hieraus wird bei anderer Anordnung der Integrationen

-, A(i— t?)...(n— t;)^ r. . r

" V 1.2 ^ dvJ(l—wY daij .«(l— 0'-'(l— ©/)»— ^(/^.

0 ' '" 0 0

Da t die Grenzen 0 und 1 nicht überschreitet, so ist

1 <(i — mty""-^ < (1 — w)«'-*^* mithin liegt Ä, zwischen

-1 dt.

Von O. ScHLöHiLCH. 407

A(l-r) (,.-.) ^^ /Jj _ ^^, ^^ /; ^^_ ^^,_.^^

%J 1.2.. •/{ «/ e/

0 0 0

und

/'"~.l;.'r"-'°/<-'>-' ^"/('-')-'

0 0 0

Das erste dreifache Integral redncirt sich auf ein Prodact von drei ein- fachen Integralen und zwar ist sein Werth

flu-Hi 1_^ 1 .2 . . ..n _J g„4.i

1.2 nn + l'x{x + \)...{x + n) n + la:(a:+ l)...(a: + n)'

das 'zweite Integral geht nach Ausführung der' auf i und oo bezüglichen In- tegrationen über in

1

J X {x + 1) (x + 2) , . . {x-\-n)

Setzen wir 1 — » == «^ und zur Abkürzung i

48) / w (w + l) (w + 2) . . . (w + w — 1) rf«? = ^„ ,

Jfv(w+l)(w + 2)

so gelangen wir zu dem Resultate

1 a,,^ l D Cn

n + 1 x{x + l) . . . {x + n)"^ ''^x{x+l),..(x + n)' und haben Nr. 47) die folgende Gleichung

49) 2;i = ^ + /:r~i^-i «.1

X 1 a: 2 x(x+\) n x(x+l),.,(x+n — l)

£«

X (x + l) {x +2) . . . (x + ji) '

worin die mit Qn bezeichnete Grösse der Bedingung

w -j- 1 unterworfen ist.

Um über die Convergenz der obigen Heihe entscheiden zu können, bemerken wir, dass a^^i und Cm positive Grössen sind und dass folglich der Rest sicher verschwindet, sobald der Ausdruck

1

Cn 1 f <P ^ + ^ w + n — 1^^

— ; — =— I . — ■ — ... aw

x(x + i). . ,(x +n) xjx + i x + 2 x+n

für unendlich wachsende n die Null zur Grenze hat. Dies ist aber in der That bei jedem positiven x der Fall, weil der vorstehende Ausdruck weni- ger als

40S Ueber Facalt&tenreihen.

1

beträgt; man darf daher die obige Reihe in^s Unendliche fortsetzen. Die allgemeine Form der Coefficienten a ist nach Nr. 46)

im t m t m

■:j^

mithin

1 1 1 19/9

«1 = ^» ^'^"ö* ^»"^If» **^^ie^ a,= -j-u.s.w.

Die Constante A lässt sich auf doppelte Weise bestimmen. Man erhalt nttmlich einerseits für x^l^ weil dann 2 — verschwindet,

X

1 1 "^ aFTi"^ 3 1.2.3"^

anderseits, wenn man für x eine unendlich wachsende gftnze positive Zahl setzt,

x.„.(i + i + i+...+_L__,.) = ^,

worans hervorgeht, dass A gleich ist der Constanten des Integrallogarith- mus : 0,5772156 ....

VIII. Noch einfacher gestaltet sich die Sache in dem Falle f (u) = ti,

9> (^) = 3 ^J^d

--^=A^.'''-/'=^'f^<T^)

di

0

1

dt

0 0

Da die Reihe für /(-= ] mit / anfangt, so ist der Werth jedes der beiden

Integrale eine endliche Orösse; die erste derselben bezeichnen wir mit Jf und entwickeln den Logarithmus in die bekannte Reihe. Durch Integra- tion der einzelnen Glieder erhalten wir

50) X-3=^,-^-.-

a?« * 1 a? 2 a?(j? + l) Zx{x + l){x+2)

l 1.2.3 (n — l)

nx(x + l) (x+n — \) "'

worin der Rest durch folgende Formel bestimmt wird

1 1

ij.=/(i-0-^rf/iL_-^..

Von O. SCHLÖMILCH. 409

Braetzt man -^ durch die Einheit, so findet sich

1 — t»

«■>/<■ --^"'i/te^'-

(l-<a>)

d.i.

1 . 2 .... n 1

51) Bu>:

berücksichtigt man andererseits, dass

mithin anch

/ J — CD Y

l — t€

ein positiver ächter Brach ist, so erhält man

1 da

T»

1 i

Bn<J(} - 1)^' i"^' ^{t~!) '''•

0

Der Werth des hier vorkommenden Integrales ergiebt sich ans der Gleiclinng 1

1 .2 {n — \)

/'

^' ""^ x{x + \){x + 2)....{x+n^\)

dnrch Differentiation in Beziehung auf jt, wobei rechter Hand die bekannte Formel D, Ü^=^U . Dglü anzuwenden ist; man hat daher

52^ n ^ l.2...,(n — 1) (1 . _L_ . _J_. . ^ i

^''^x(x + i)...(x + n — \)^x^X'i-l ^x + 2^"'^x+n—V'

nnd kann nun die in Parenthesen stehende ^umme auf verschiedene Weise kürzer ausdrücken.

Da Rn eine positive Grösse ist, so hängt das Verschwinden von Ztmi^^ (für w = oo) lediglich davon ab, dass die rechte Seite der Ungleichung 52) die Null zur Grenze hat. Hierüber ist leicht auf folgende Weise zu ent- scheiden. Für jedes positive z gilt bekanntlich die Ungleichung

/(1+«)>|^ oder _-<^-rrr;

XX 1

aus dieser erhält man für z= —» -ri ■«- • '»»d durch Multiplication .

aller entstehenden Ungleichungen

a- + 1 o: + 2 jr + « — 1 Setzt man zur Abkürzung

410 Ueber Pacultätenreihen.

i+-~^ + -4-: + .

x + l x+2 * ^x + n — l '

so hat man sehr einfach

bei unendlich wachsenden n wird w = oo , Lim ((»e""») =0, und mithin auch Lim jR« = 0. Zufolge dieses Ergebnisses darf die unter Nr. 50) yer- zeichnete Reihe in's Unendliche fortgesetzt werden; ferner erhält man den

Werth von J^ aus der Bemerkung, dass i&— für a:=l verschwindet, näm- lich

^« = 7«+ ■? + 7« + ---'

was sich auch für j; = oo findet.

Auf ähnliche Weise kann man neue Formeln für

entwickeln, die sämmtlich den nicht unwesentlichen Vortheil bieten, dass die in ihnen vorkommenden Beihen für jedes positive die Null überstei- gende X convergiren.

Hinsichtlich der Formel 44) mag noch folgende Bemerkung Platz fin- den. Wenn /"(O) = 0 ist, so besitzt die Reihe für f\l ( ) j kein con-

stantes Anfangsglied und sei, abgesehen vom Reste,

'Hi^)]=?'+^."+i:f:ä"+-

in diesem Falle erhält man aus Nr. 44) durch Integration der einzelnen Theile

^,(.,=ii.+ii + ij^,+

1 c,

ix 2 a:(a:H-i) dx(x+l)(x+2) Weniger einfach dagegen ist die Sache, sobald f{0) nicht verschwindet, also die Reihe von der Form ist

'■['(r^.)]=«'+f'+Ä'' + r7ir"+-

Die unmittelbare Integration der einzelnen Theile würde hier auf die Diffe- renz zweier unendlichen Grössen führen; schreibt man dagegen ^1 1

2;<p(a:) = .o/^-Ili^=^^

0 0

und berücksichtigt die Bedeutung des ersten Integrales, so hat man

Von O. SCHLÖMILCH. 411

X 9> (.r ) = Co Z 1 + i ^ + i A + 1 ^

2.3 1 Ci 1 c, 1 r.

+ ...

Ix 2a:(a?+l) Z x{x+l){x + 2) "" und kann hier statt ^ — seinen Werth aus Nr. 49) substituiren. Wenn

demnach fll ( rZT/jJ *° ®^°® ^^^^ Potenzen von / fortschreitende Reihe verwandelbar ist, so lässt sich £(p (x) immer unter der Form

Yi _i Yt Ys ^

Z<p {x) = Const. + ~ +

X x{x+\) ' x{x + \)(x + 2y"' darstellen, wie dies nach Nr. I mit q>(x) selbst der Fall ist.

IX. Die in Nr. VII gegebene Entwickelung beruht eigentlich auf einer Transformation des Doppelintegrales

0 0

durch Ausführung der auf v bezüglichen Integration erhält man nämlich

oder auch

^=/ir=^.-i)^''« +/e-.-.->^

-/

o

00

du

d.i.

i — €'

0

X

Nimmt man dagegen in dem ursprünglichen Doppelintegrale die Sub- stitution er^ = \ — / vor und vergleicht nachher beide Formen von üy so gelangt man zu der Gleichung

1 1

53) -2?i = ^ + /j?— yr^ ^i ^^{l--l)'-^didv,

0 0 die mit Nr. 45) identisch ist. Zufolge dieser Bemerkung kann man sich veranlasst finden, überhaupt Doppelintegrale von der Form

S = j je-''' f{u,v)dudv

0 a nach dem in Nr. I auseinandergesetzten Verfahren zu behandeln; da hier-

412 Ueber Facnltätenreihen.

bei etwas principiell Neues nicht Torkommt, so wollen wir den Gegenstand nicht genauer untersuchen und nur einen, derartigen Fall betrachten , weil derselbe wieder auf eine Summenformel führt. Es sei nttmlich

QD.l

54) s=JJv^^^^^e-'''dudu

0 0 oder bei Ausführung der ersten Integration

0

Wir zerlegen dieses Integral folgendermassen :

Constante C; das zweite Integral kommt mit -T— überein (Nr. VII); das

0 0

Der Werth des ersten Integrales hängt nicht von u ab und ist daher eine

X

dritte ist

i 0 Ü

das letzte Integral hat den Werth

u 0

= ir(x+l)~lx + ir(x) = /or -+ Z/i?,

wobei Slx in dem Sinne genommen ist, der überhaupt für £(p(x) angege- ben wurde ; wir haben demnach

S—C — 1 — - 2;- —(x — l)lx + x + Zlx.

2 X ^ •

Substituiren wir ferner e^«* = 1 — t in dem ursprünglichen Doppelinte- grale 54) und vergleichen beide Formen von 5, so gelangen wir zu der Gleichung

£lx=i — C+(x — i)lx — x+-- E —

2 X 1 1

0 u

Von O. SCHLÖMILCH. 413

in dieser setzen wir noch iiir 2 — seinen Werth ans Nr. 53) und ziehen alle

Oonstanten sa einer einzigen B znsammen; dies giebt

1 1

55) Zlx = 5 +(^— 1)/* - * -Jfij-^) ^^=-1^(1-0'-^ dtdo.

0 0

Die Entwickelnng des noch übrigen Doppelintegrales hat nicht die min- deste Schwierigkeit, sobald man (1 — i)* nach dem binomischen Satze in ' eine Reihe verwandelt und deren einzelne Glieder integrirt, wobei der Best unter derselben Form wie in Nr. YII dargestellt werden möge. Setzt man abkürzend

1

56) 6„ = /(i- — oj r (l — v) (2— v) . . . (m — 1 - ») rfp,

0 klangt man auf der Stelle zu folgender Gleichung:

57) £lx^B + (x—i)lx—x—^!^ — ^ /\..~"- ^ \ 2/ 1 a? 2 x(x+l)

n X (X + l) (x + 2) . . . (x + n — l) worin der Rest Rn gleich dem dreifachen Integrale ist :

58) Ä„=yj(4-r)(l-0-->rf/rf.^^^^^ff^>/-

ü u

1

/<

(1 — Co)" (1 — /(d)*-"-i d».

Das Verfahren, mittelst dessen wir früher den Rest zwischen zwei leicht angebbare Grenzen einschlössen, bedarf hier einer kleinen Modification, weil unter dem ^ptegralzeichen ein Factor (^ — v) vorkommt, der innerhalb des Integrationsintervalles sein Vorzeichen wechselt. Aus demselben Grunde lässt sich auch nicht unmittelbar übersehen, ob bm positiv oder negativ sein wird; wir unterziehen daher bm und Ji^ einer genaueren Betrachtung.

Zerlegt man das Intervall v=sO bis^ = l in die beiden Intervalle 0 bis ^ und ^ bis 1, so zerfällt bm in zwei Integrale, wobei im ersten v=^u gesetzt und im zweiten v =1 — u substituirt werden möge; beide Integrale erhalten jetzt die nämlichen Grenzen u = 0, u = |^, und können daher zu- sammengezogen werden; dies giebt

bm=Jlk — u)u(l—u){(2 — u)(d-u)...(m -1 — «)

ü •

— (l + ti){2 + «) • • • (« •"2 + ti)j d«. n J>M ist nun 1 — m>m mithin auch 2 — tt>l + ii, 3 — ti>2 + ii

414 Ueber Pacultätenreihen.

U.8.W., woraus unmittelbar bervorgebt, dass unter dem Integralzeicbeu ein positiver Ausdruck stebt und folglicb bm positiv ist.

Durcb dieselbe Transformation erbält R^ folgende Gestalt

0 0 0

(1 — a))«^(l — f)*-*

du dm dt

(1— ^co)» Wie vorbin ist hier

1 — M>M, 2 — «>! + «, 3 — u'>^2 + u etc. mitbin

(2-«)(3-«)- . .(n-«)(^-^)''">(l+«)(2+«)...(«-l+«)(j3^)',

der Ausdruck

(2— ") (3— «)...(» — «) (l + u)(i+u)...(n — l + u) ^^'^~- (1 — <»)»— (1— /w)-

bleibt daher immer positiv and daher ist auch ü« eine positive Grösse. Durch Differentiation in Beziehung auf t ergiebt sich ferner .

P (0-»} (i_/«)2-« (1 _/„)'+« 1'

und bier lasst sieb ganz wie vorbin zeigen,' dass die in Parentbesen stehende Differenz positiv ist. Daraus folgt, dass F(t) mit t gleichzeitig wächst, also F{t) mehr als F{fi) beträgt. Setzen wir nun statt F {t) das kleinere ^(0) und zugleich statt (1 — tw)""" die kleinere Einheit, so erhalten wir

\ \ \ 1.2.^...n.Rn>JJJ(l — u)uil-^u)\(2 — u)...(n-^u) 0 0 0

— (1 + m) .-.(« — 1 + m)| (1 — i»)"/"(1—0'"^^« «'•<'< d. i. bei Ausführung der Integrationen

» ^_^ bji+i

. "'^n + l*(* + l)(* + 2),..(ir + n)* Um eine obere 6renze für Ii„ an finden, lassen wir in Nr. 56) } f&r ^ — " eintreten und ersetzen gleichzeitig (1 — 0»)'-»—^ durch das so grosse (l — (b)"-'^* ; damit gelangen wir zu der Ungleichung

1 11

d. i.

^<^

2 x(x+ i) {x + 2) . . . (x + ny wo Cn dieselbe Bedeutung bat, wie in Nr. VII. Die Gleichung 57) gestaltet sich jetzt zur folgenden

Von 0. SCHLöMlLCBf. 415

59) £ix = B+L^^)lx-x-l^-^ /« . ^ . \ 2/ l X , 2 x{x + l)

n x{x+l)...{x+n—l) n + \x {x + i) . . . {x + ny und darin ^H für ^n die Bedingung

Wie schon in Nr. VII gezeigt wnrde, ist bei nnendlich wachsenden n

88 verschwindet also in Nr. 59) der Rest für n= od , nnd daher wird die Beihe conyergent.

Znr Bestimmung der Constanten kann man wieder zwei Wege gehen. Man berücksichtigt entweder den Umstand, dass ^lxzssir(x) für a:== J den Werth Null erh&lt nnd hat dann

oder llisst man o; in's Unendliche wachsen nnd findet nach einer bekannten Methode B=^!{2n).

xvn.

*

Heber MagneÜBmuB.

Von Gustav Roch,

Schüler des polytechnischen Institutes in Dresden.

1. Die vorliegende Rechnung ist ein Versuch, die Hypothese Amperes über die Natur des Magnetismus in derselben Weise für eine Theorie des Magnetismus zu benutzen, wie dies von Poisson für die andre Hypothese geschehen ist, nämlich von den Gleichgewichtsbedingungen auszugehen. Es ist mir nicht bekannt, dass je ein Versuch der Art zu bemerkenswerthen Resultaten geführt bÄtte, wenigstens habe ich 'in Weber's Abhandlung über Diamagnetismus keine Notiz gefunden, die nur etwas davon vermuthen Hesse, nnd von neuerer Zeit ist mir auch nichts bekannt. Es wird sich zei-

ZeiUchrifl f. Malh«matik q. Physik. IV. 28

416 Ueber Magnetismas.

gen; dass die Gleichungen für das magnetische Gleichgewicht eine ganz ähnliche Form haben, wie die, die Poisson aafgefanden hat, und ich habe auch diesen Gang der Rechnung, so weit es möglich war, beibehalten. Eine andre Rechnung lag mir bei der folgenden Arbeit nicht vor.

2. Schon der Art des Gleichgewichts nach, welches ftlr den Magne- tismus gefordert wird, unterscheidet sich die Hypothese Amperes von der anderen. Letztere fordert, dass, ähnlich wie dies bei der Berechnung der Vertheilwng der Elektricität gefordert wird, die Vertheilung des Magnetis- mus über jedes magnetische Molekül in der Weise stattfindet, dass sich in keinem Punkte im Innern ein Streben, zeigt, weitere Mengen magnetischer Flüssigkeit su scheiden. Auf der Oberfläche j^des Molekül« findet dies Gleichgewicht nicht mehr statt und es wäre daher nicht nöthig, dass die magnetischen Moleküle, von denen dnrch seine Elasticität das Fiaidum sich immer mehr zu entfernen strebt, im Gleichgewicht wfoen. Umgekehrt wird im Folgenden angenommen , dass die geschlossnen Ströme , die jedes Molekül umkreissen, vermöge der Inductionskraft und den übrigen Strömen des Magneten im Gleichgewicht sind. Vermöge diesef Bedingung kommt auch ein Fall mit in den Bereich dieser Hypothese, der durch die Poisson- sehe, wie ich sie nennen will, ganz ausgeschlossen bleibt, näiniich, der eines ganz unmagnetischen Körpers. Offenbar sind Ströme von der In- tensität Null unter allen Bedingungen im Gleichgewicht.

3. Ueber die Gestalt der Moleküle und Ströme wird nicht die mio- deste Voraussetzung gemacht zu werden brauchen; dies dürfte wohl ein Vorzug dieser Rechnung vor der Poisson's zu sein.

Es lässt sich denken, dass jeder Stromebene sowohl in verschiedenen Richtungen um dasselbe Molekül sich bewegen kann, und die Stellnngs- winkel der Normale, wenn man sich den Strom eben denkt, und die Inten- sität müssen vermöge der Gleichgewichtsbedingijngen als Functionen der Coordinaten bestimmt werden, .

4. Man wird also zunächst die Bedingungen au&uchen müssen, dass sich der Strom in einer bestfmmten Richtung entwickelt, d. h. man wird die Momente in 3 rechtwinklige Achsen die durch einen Punkt im Innern gehen. Null setzen. Wie ich schon früher bemerkte (ß, über magnetische Momente) , liefert dies nur 2 Bedingungsgleichungen zur Bestimmung der 3 Unbekannten f er, iß, iy. Es wird nun gezeigt werden, dass die 3 Gleich- gewichtsbedingungen für Verschiebungen gerade die fehlende Gleichung ersetzen werde. Ich muss nun zunächst einige J3emerknngen machen über die Anwendung und resp. Richtigkeit der früher für Momente und Krä/le entwickelten Formeln, Bezeichnet man:

^^ ^' '\~ dx ' ''' dy

80 war frtther angegeben, dass :

Von Gustav Roch. 417

„. = V,,(.,|l_ft|i.),

wobei die MomeBte positiy gerechnet sind , die bei der frQher fixirten' RicJbtnng der Normale von links naeb rechts drehen. Dock sind dies nicht mehr die wahren Werthe der Momente, wenn die Str<)me sb nahe aneman^ der sind, dass

52! ^«1 a«i

einen endlichen Werth hat , indem dann zn jedem der Momente noch ein Correctionsglied hinzukommt, resp.

4) U«'t;,«t\(y«, — «yO ü ^

f^»», tt, (aft — j3a<) i/". Ist femer:

5) r=4.,<,(..|^ + A|^ + ,.|i).

80 war frtther angegeben, dass die Werthe der Componenten der Anziehung gegeben wären durch :

k^ K_^^. F-^^. 7-^^

Die wahren Werthe von T jedoch werden erhalten,, wenn diese Werthe vermehrt werden um die Differentialqnotienten nach ^1 , ^i , z^ von :

7) F'= -^ i vv, ii, (««1 + ^ft 4- yyi) ü.

5. Ich habe gezeigt, dass man ans den Momenten durch Differential^ gleichnngen die Kräfte herleiten kann für den Fall^ dass ü^=0 (s. über magnetische Momente). Schreibt man diese Gleichungen in der Form, wie sie durch No. 7) Jes a. 0* gegeben sind, setzt die Werthe 2) ein, so erhält man die Werthe 0) und hat daher die Correktion 7) noch hinzuzufügen«

Von der Richtigkeit der jetzt gemachten Bemerkungen wird man. sich leicht überzeugen durch aufmerksame Wiederholung der früheren Ent- wicklungen, und ich habe dieselben darum jetzt erst gemacht, weil sie wohl nur für diese Zwecke von Nutzen sein dürften, und weil diese Reihenfolge am wenigsten leicht ein Missverständniss über die Giltigkeit der entwickele ten Gleichungen eintreten kann. Man wird sich jetzt sehr bald überzeu- gen können, dass die Differentialgleichungen zwischen Momenten und Kräf- ten in der Form 3) d. a. O. nicht für die in der angegebenen Weise corri- ghrten Werthe gelten.

Die Gorrectionswerthe vereinfachen sich sehr bedeutend, da man die-

28*

418 Ueber MagnetUmns.

selben liur auf die Nachbarmoleküle auszudebnen braucbt. Es soll im Fol- genden von dem constanten Factor 4 ^i t, ganz abstrahirt werden, da er die Gleicbungen nicbt verändert. Anstatt des Volnmens v des magnetiscben Stromes fübren wir das räamlicbe Volemelement ein: dx^ dy ^ dz, oder ^* sin^ di^ dßdQy multiplicirt mit Ar; /r ist < 1 , da die Ströme den Raum nicbt stetig erfüllen. Da jeder Strom um ein Molekül kreist, so wird dies Verbältniss dasselbe sein, wie das Volumen der magnetiscben Moleküle cum ganzen Räume; es wird daber bei homogenen Körpern k constant sein. Diese Specialisilrung scbadet aber der Allgemeinheit gar nicbt, indem fftr variable k die Grösse ki den Gesetzen unterliegt, die für i entwickelt wer- den «ollten.

6. Die Nacbbarmoleküle des afficirten Punktes ^i mögen einen Theil B des ganzen Magneten ausmachen; der übrige Theil sei A, In der Aus- dehnung von B kann man aber z. B. to schreiben.

Führt man ähnliche Wei'the für iß und iy in 4) ein^ so sieht man, dass die vom constanten Theile dieser Grösse herrührenden Werthe gleich Null sind. Setzt man dann v^=q* sinji; diff dS^ was jedenfalls zu gross ist, so siebt man, dass vermöge der Potenzen von q, die U enthält, die Integrale dieser Ausdrücke von derselben Ordnung sind wie die Dimensionen von B, d. h. unendlich klein. £s ist daher gar nicht uöthig, auf die Correktion 4) der Momente Rücksicht zu nehmen.

F' reducirt sich nach 7) auf: — v i U, da a, (/«i + j3, rfft + y dy^ =0.

7. Sollen die bis jetzt aufgeführten Formeln auf B ausgedehnt wer- den, so ist zu berücksichtigen, dass innerhalb B die Dimensionen der Ströme nicht als verschwindend gegen ihre Entfernung angesehen werden dürfen. Die Volumenelemente müssen also sehr klein sein sogar gegen die Dimensionen der Ströme und es ist daher nicht erlaubt, für k einen Mittel- werth zu nehmen, da ja einige Volumenelemente ganz innerhalb, andre ganz' ausserhalb magnetischer Ströme fallen können. Es ist daher wohl möglich , dass man , mit einem constanten k auch innerhalb B rechnend, falsche Resultate erhält. Setzt man aber voraus, dass die Ströme mit einer gewissen Symmetrie um den afficirten Strom vertheilt sind, so werden die mit constantem k berechneten Werthe sich nur durch constante Factorea von den wahren unterscheiden, wie später gezeigt werden soll. Ehe näm- lich die Wirkung von B genügend bestimmt werden kann, müssen wir die Wirkung des ganzen Magneten auf einen äusseren oder inneren Punkt aof die einfachste Form bringen.

8. Diese Wirkungen sind im Allgemeinen durch dreifache Integrale gegeben, deren Grenzen die Oberfläche des Magneten liefert. Für einen äussern Punkt dürfen die Integrele ohne Weiteres über den ganzen Magna- ten ausgedehnt werden, und die Gränzen eind dalier unabhängig von x^^yi^h^

Von Gustav Boch. 419

den Coordinaten des afficirten Punktes. Man kann daher die Differentia- tionen, vermöge deren Momente und Kräfte aus q hergeleitet werden, nach aasgeführter Integration bewerkstelligen, und es wäre nur nöthig, einen einfachen Ausdruck für das Integral von q^ welches wir wieder mit q be- zeichnen wollen, zu erhalten.

=-»///('4+'4+'4)

^y • 'I ^^jdxdydz',

Da es ganz gleichgiltig ist, welche Coordinate als abhängige Variable an- gesehen wird , so kann im ersten* Oliede eine Integration bewerkstelligt werden, z. B.

y^

wo sich die Indices auf die einzelnen Durchgangsstellen des z durch die vielleicht vielfach gefaltete Oberfläche beziehen, dy dy aber ist gleich der Projection des Oberflächenelementes dw auf die Horizontale , und zwar ist sowohl dx dy als dw stets positiv. Der Cosinus des Winkels des äusseren Theiles der Normale mit der z- Achse ist für die Orte 0, 2, 4 negativ^ für 1, 3, 5 positiv, so dass man das dreifache Integral schreiben kann:

/ / — dw cosn^

und sind ebenso /, m die Winkel der nach aussen {;erichteten Normale mit den positiven Achsen, so ist :

8) y = — k I {iaco8l+ ißcQSm + iy cosn)— dw + P

9. Liegt der Punkt im Innern des Magneten, so dürfen die früheren Formeln nur über den Theil A ausgedehnt werden, oder man dehnt sie Über den 'ganzen Magneten aus und zieht die Werthe der Momente oder Kräfte I^ oder iC\ die nach diesen Formeln berechnet werden , ab. Die eigentlichen von B herrührenden Momente oder Kräfte M'\ K" müssen so berechnet werden, dass k nicht constant innerhalb B angenommen wird.

Vergleicht man die Ausdrücke für Kräfte und Momente, so sieht man, dafls die Kräfte ^*, die Momente ^ im Nenner enthalten, Setzt man

420 Ueber Magnetismus.

0 c=s ^* sinilf dt^f dß^ so wird klar, dass in den Ausdrücken für die Momente, ausgedehnt tiber B^ eine Veränderlichkeit von ta, i a, iy nur Glieder liefert von der Ordnung der Dimensionen von B\ und daher weggelassen werden «kann. Es ist aber evident, dass die Wirkung lauter gleich intensiver Ströme von gleicher Richtung, wenn dieselben in einer Kugel gleichmässig vertheilt sind, auf ihren Mittelpunkt gleich Null ist.

Berechnen wir nmi das Moment derselben Kugel bei constant gedach- tem k. Es ist dazu nun nöthig , tt^ , t^ i x-^ au bilden und die Integrati-

^ dxi dyi ozi

onen auszuführen. Da

r r

dx^ dx '

so ist z. B. :

a^ =*//Jvä^y + '^ ä7 + •> älf J -^^ ''«' '^*'

und die eine Integration kann man ausführen; schreibt man dann:

dw 1= Q* sinfp dtp dS, cosl = cosfjß^ cosm =sin tfi cos 6, cosn =^«m^ sin 6,

so sieht man, dass nur das mittelste Glied bleibt, und es kommt:

dq _ Ank ^--—Ußu

indem f a, iß, iy als constant angesehen werden. Es kommt ebenso :

dq 4nk .

dl^= — T**^*

10> J ^^ — ^"^^V R

1 ^ yt .0

d£ 4nk,

dT^~ ~ 3

wenn q über die Nachbarmoleküle ausgedehnt wird. Aeknliebe Wertbe hätte man auch erhalten müssen, wenn man B durch eine beliebige kramme Fläche begränzt dachte, is. B. eine gegen den afficirten Punkt excentrische Kugelfiäche.*) Dann könnte man q durch Integration bilden und die Werthe rechter Seite von 10) wären die Differentialquotienten dieses Inte- grales gewesen.' Es folgt daraus, dass auch iiOi, i,j}i, t\/| als Differential- quotienten eine Function (p^ geschrieben werden können :

oxi dpf dZi

»i/i,

11) < und ebenso:

'«^äi' *^-ry^ 'y=Tz-

*) Siehe hierüber das Ende dieser Abhandlang,

Von Gustav Roch. 421

Dieser Beweis wird durch eine bald zu machende Bemerkung noch etwas kräftiger gemacht werden, als er so zu sein scheint. Man könnte nämlich einwenden, dass bei der Bildung der Differentialquotienten von 9, die in die Momente eingehen, to, iß^ iy und ebenso t|Cri, i^ßx% hy\ ^^ unab- hängig von Xy y^ Z| angesehen würden und dass es frei stünde , jede Grösse W als parUellen Differentialquotient nach Z| z. B. von

anzusehen.

11. Werden dieWerthe 10) in die Momente eingesetzt^ so ergiebt sich M, = My:s^Mz=i 0. £s dürfen daher die Momente eines Magneten auf einen Strom i^i Innern nach den früheren Formeln berechnet werden. Rechnet man dazu das von der inducirenden Kraft herrührende Moment, welches jedenfalls auch durch die Formel 2) berechnet werden kann , wenn nur anstatt des Integralwerthes q ein q' eingeführt wird , das für jeden ge- gebenen Fall zu bestimmen ist, so sind die von den Momenten herrühren- den Gleichgewichtsbedingungen :

Man sieht sofort, dass sich diese Gleichungen auf 2 rednciren, oder auch wenn q + q'^=Q gesetzt vird, geschrieben werden kann:

12b) ä^==««.; äi;; = "^'' dir"^"

wobei u eine vorläufig ganz unbestimmte Function der 3 Coordinaten , die vermöge der Bedingungen des Gleichgewichts für Verschiebungen bestimmt werden soll.

12. Die Differentiationen , vermöge deren die Kräftecomponenten JT, r, Z aus den Momenten oder direct aus q hergeleitet werden , sind so zu nehmen, dass t'icrj, i'i^], u yt als unabhängig von Xi^ y^, z^ angesehen werden. Wurde nun das Integral q über B ausgedehnt, so war zu schreiben :

\.a = ua, + ^^i.-a:,) + -j-(y-y,)-^-^iz-z,)

^^) jiß=t,ft+etc.

(iy = »,y, + etc.

nnd offenbar sind ta, t ^, iy unbedingt unabhängig von j?|, j^|, 2|. Dies er- giebt sich auch aus 13), aber man sieht ein , dass bei der Berechnung von Xf J, Z ans q oder M wohl zu unterscheiden ist, welche ti «„ f, /}j, i^ y^ von ^ iit, iß, iy herrühren und welche ursprünglich sind. Die ersteren sind bei allen Differentiationen nach orj, t/j, z^ als variabel anzusehen.

Dies ist die Bemerkung, die zur Stützung der Gleichungen 11) ver*

422 Ueber MagnetiBmas.

sprochen wurde, indem sie zeigt, dass in der That die Grössen f,a,, ti/}|, i,yi bei der Bildung von 10) nicht als constant betrachtet wurden; diese Her- leitung der Formeln 11) hängt nicht mit den GleichgewichtsbedingUDgen zusammen, sondern ist durch die Form der Werthe Mx My M^ bedingt. Sie wird also auch im bewegten Zustande richtig bleiben.

13. Die eben gemachte Bemerkung soll nun zur Herleitung des Wer-

thes von 7; — ,+ ^r — ^ + t. — i benutzt und so ihre Anwendung gezeic^t wer-

den. Eine weitere wird später folgen.

Man sieht sofort ein, dass bei dieser Rechnung q gar nicht in Betracht kommt. Durch eine andre Anordnung aber erhält man für diesen Werth ^ die Form :

^J-k lia üdv + -—k lißüdv + ^-k fiy Udv,

wenn dv das Vplumelement. Vermöge der Eigenthümlichkeiten von V , (s. Nr. 4) und der in rf» eingehenden Potenzen von q bei Wahl der Polar- coordinaten ^, i(;, 6 sind die von der Veränderlichkeit von 10, iß, iy her- rührenden Theile (s. 13) gleich Null, und dayV/d«7 = — 4ä wie man weiss, so ist:

^^) äv^W"^äI?- ~^''* W + 'ä^ + W'

was mit dem von Poisson entwickelten Werthe stimmt, wenn man berttck- sichtigt, dass der Werth Q bei uns der negative Werth des Q ist was Poisson benutzt.

Ebenso kann der Werth V aus 7) durch Integration bestimmt werden:

r= - kji (« a, + ßß, +Yy,) Vdy\

oder

/ r= + 4ÄArfn

15) hv ^ .dt, dV ^ ,du dV ^ . ai,

\dx^ d Xi dyt c y^ cz^ ö Zi

14. Nach dem früheren ist es nicht richtig , die Werthe X^ F, Z die von den Nachbarmolekülen kerrühren, selbst unter Benutzung der Correk- tionen, mit constantem k zu berechnen, sondern man muss vielmehr erwar- ten, dass anstatt k eine Funktion von (>, 1/;, S eingeht, die periodisch nach allen ist und innerhalb 0 und R für q unendlich oft die Werthe 0 ood 1 passirt, nie dieselben überschreitend. Man hat aber nicht nöthig, eine der- artige verwickelte Funktion einzuführen. Aus den Formeln 10) folgt näoi-

lich, dass die Werthe von ^-^, :r — , ^ bezüglich B unabhängig von der

öx^ 0 y^ 0 Zx

Grösse des Kngelradius sind, den man B giebt, und dass man dieselbeo

Von Gustav Boch. 423

<*^W>#%/W»s* "

Werthe 10) auch erhalten, wenn diese Kugel in einem endlichen Verhältniss zum magnetischen Molekül stände, dem das Theilchen angehört, während es doch unendlich viele derselben umfassen sollte. Man kann aber im mag* netischen Molekül allemal eine Kugel construiren , die gana innerhalb des- selben füllt, und die das betrachtete Theilchen mit umfasst; für diese Kugel aber wäre A: =5 1 zu setzen und man sieht daher , dass die eigentlichen

Werthe von - — . . . aus den früher entwickelten hervorgehen , wenn man

darin 1 anstatt k setzt. Diese Betrachtungen gelten übrigens für alle mag- netische Theilchen, in die man das Molekül zerlegen kann , mit Ausnahme der in der Oberfläche liegenden , so dass schon auch hier ein Unterschied hervortritt zwischen Oberfläche und Innerem, nur braucht derselbe nicht be- rücksichtigt zu werden, weil die Oberflächen-Theilchen nur einen unendlich kleinen Theil vom ganzen Volum ausmachen.

15. Es ist jetzt leicht zu sehen, von welcher Form die Correktionen sind, die den Werthen ^, T, Z, wie sie aus den früheren Formeln folgen, beizufügen sind. £s braucht hier nur eine dieser Grössen, z. B. X, betrach- tet zu werden.

Man berechnet aus 3 Theilen : Die früheren Formeln werden über den ganzen Magneten ausgedehnt, dann der lutegralwerth X' bezüglich B sub- tiahirt, und zuletzt der wahre von B herrührende X'' dazugerechnet. Man sieht sofort ein, dass die Differenz ä" — X' unabhängig von der Wahl der Gestalt von B sein muss. Diese Bemerkung wird die Betrachtung der Correktionen bedeutend vereinfachen, und auch einige wichtige Relationen entwickeln lassen. Vergleicht mau die Formeln 10) mit 14) , so sieht man,

dass die Formeln 10) nicht die vollständigen Werthe von -^-^ . . . geben.

Es müssten nämlich zu diesen Werthen Glieder kommen , die die Diffe- rentialquotienten von rar, iß, iy enthalten, und Factoren von der Ordnung wie R enthalten. Bei Differentiation nach x^^ y^^ Sj werden diese Glieder endlich. Wählt man aber für B eine um das Molekül concentrische Kugel, so enthalten diese Glieder gar keine bei der Differentiation nach 2r,,y,, z^ ftls variabel zu betrachtenden Grö^ssen und sie brauchen daher nach der eben gemachten Bemerkung bei der Berechnung von X" — X' gar nicht beirück* sichtigt zu werden. Diese Berechnung aber kann auf doppelte Weise aus- geführt werden, einmal mit zu Hilfenahme der Differentialgleichung:

ttnd des zweite Mal direct aus F, welches durch 6) gegeben ist. Nach der eben gemachten Bemerkung aber ist es erlaubt, anstatt

a^ ag dq

iOy, iWg, -— , ^~1 ^~

0 x^ 0 qi o z^ die durch die Formeln 10) gegebenen Werthe zu benutzen, während für

x=.

424 lieber MagnetiBmuB.

derWerth 14) einsufUhren ist, and xticht ein Werth, wie er aus den Formeln 10) zu berechnen wäre. V kann geschrieben werden :

j ( ^7 ^'7 ^'7 A

/ 8.1 a«i a.i \

dz

tmd es ist daher :

da sich bei der Integration über eine um den ^betrachteten Punkt concent- rische Kugel die übrigen Glieder hebep. Bei der Differentiation nach «( ist in den Faetoren 0|*, ßi\ y^ nur ein «i, /^j, yx als yariabel anzusehen nach S 12) doch fällt dies hier nicht ins Gewicht, da

a, rf«i + ft rfft + yi dyy = 0, und wegen «|* + |5j* + yi* == 1 kommt:

Berechnet man jetzt X" — X' mit Hilfe der Momente ; so folgt:

+ 4»(i-*)|i.

Vermöge der Gleichungen 10) aber ist ^^ = -^, Ji-1 = -^ , and es entsteht bei Benutzung von 14) ;

Von Gustav Roch. 42&

Aas der Vergleichang dieser beiden Werthe folgt, dus sobald nicht Ar=l ist:

,6) ^ + ^ + ^=0.

^a?i ^yi 'dz^

16. Schreibt man :

80 erhalten die Gieichnngen 2r=0, 7=0, 2 = 0 die einfache Form :

^yi ^yi ^yi ^yi

oder, da

i. 1 . i... ^«^ ^^ ^" so folgt für 5—, ^-~, ^~: ^a:, ^yj ^2,

^ = -4.(Ar + ,)^

^yi ^yi

_-=_4»(Af + «)-^,

and diese 3 Gleichungen reduciren sich auf:

17) M = — 4«(^+*)f, + C,

wobei C durch nnsre Theorie gans anbestimmt bleibt. Bildet man den

Ausdruck ~ — i + ö — t + ä~^ °™^^ Beachtung von 12 b) und 17), so folgt wegen 16):

18) p + l^' + hi^o

dx^ dyx CZi Da {/Ol, uß^yuy^j Differentialquotienten einer Funktion Qy tfai, t,/?|, t,)F| aber solche einer Funktion ^j sind nach ll), so muss nach 17) auch sein:

im „--^*'. Ä-^. y-^Üi«

19) «'-ä^,' P'-gy,' ''•-az,-

Die Gieichnngen 14) tmd 19) lassen sich weiter combiniren zu interessanten Folgerungen,

426 Ueber Magnetismas.

Die Gleichungen:

^^i ö*t^i ^T/;, _ a>, a^t^, a'i^,

dx^di/i dt/idxi^ dXfdzt dz^dx^"^ dy^dz^ dz^dyi verglichen resp. mit

a^i^yi ^yi^a:,' dx^dz^ dzidx^^ dy^dz^ dzidy^ liefern die beiden Gleichungen:

20) ^ — :-— :-— = aj : pi : y, .

' ödPi oy^ oZi ^ '

Legt man die Achsen so, dass die o:- Achse die Normale zum Strome or, y^ Zj bildet, so folgt hieraus :

' ^Vi dz,

d. h. die Intensität ist constant in den von den Stromebenen umhüllten Flächen. Aus den Gleichungen 16) und 18) aber folgt auch :

was sich mit 20) nur verträgt, wenn:

23) |iL=o.|ii=o.|i'=o, ■

^ oxi dyi dzx

d. h. wenn die Intensität constant ist in der Ausdehnung des ganzen Mag- neten.

Daraus folgt, dass ci, wie es die Gleichudg 17) liefert, constant ist, und es soll der besseren Yergleichbarkeit wegen mit den Formeln von Poisson in der Form

24) « = ^(Ä-A:).-.

geschrieben werden.

Für diesen allgemeinsten Fall des magnetischen Gleichgewichts wer- den die Gleichungen 12 b) möglichst einfach. Ich werde später darauf zu- rOekkommen, dass nicht in allen Fällen diese einfache Form sulässig ist.

17. Wegen der Gleichung 16) vereinfacht sich der Integralwerth von q in 8) zu:

25) ^ = Ä 1 I r- CO*/ + r-^ C05 m + -i- CO* n ) — .

^ J \dx ay dz J r

Die 3 Gleichungen 12 b) lassen sich in eine sfus ammen ziehen :

26) i)=^(A-A)y, + C,

und die Constante C^ kann ausser Acht gelassen werden, wenn man sieb 9>, mit derselben behaftet denkt. Die Gleichung 26) wird dadurch zn :

^')*f(*-')»'+*/(ll""+r;"""+lf"")T-'='-

Von Gustav Roch. 4J7

^^■><-^s#^ni^i ß ^^ /wv^ 0-h

Man kann aach 25) noch einfacher schreiben. .Ist « der Winkel der nach aussen gerichteten Normale mit dem Radiosvector, so ist :

dw^= Q* sin^f d\U dS . ,

^ €09%

und setzt man:

28) k[-;r^cosI + :r^ cosm + :r^ cosn)= Ecosx , ^ \dx oy dz /

80 wird q zu :

29) q = — j j E^Q^sini^d'^dB, ond die Oleichnag 27) zu :

30) '^(^h'--k)<pt + I j- Q* sin^d^ dG — q^ 0.

18. Für As=l sind diese Formeln identisch mit den von Poisson ent- wickelten. Die Willktthrlichkeit von h zeigt, dass das magnetische Oleich*- gewicht auf unendlich viele verschiedene Arten eintreten kann. Jedenfalls aber steht dieser Werth in einem gewissen, durch diese Betrachtungen aber nicht eutdeckbaren Zusammenhange mit der inneren Beschaffenheit de» Körpers. Es ist aber wohl denkbar , das$ je nach der Beschaffenheit von q* auch ein anderes h bedingt wird und es braucht desshalb auch i'i propor* tional zu sein der Inteneitat der Induction. Man sieht nämlich leicht ein, dass fUr ein fest bestimmtes h die Proportionalität durch Oleichung 27) oder 30) verlangt wird, dass aber für variable h dieselbe nicht gefordert wird. Es erklärt also auch die Amp^re^sche Hypothese in ihrer einfachsten Form diese durch die Experimente bewiesenen Umstände ohne zu Hilf- nahme der von Weber in seinen elektrodynamischen Maassbestimmungea über *Diamagnetismus angenommenen Modification. Diese Verschieden- heit der Ampire'schen Hypothese und der von Poisson benutzten ist, wie ich glaube, desshalb bis jetzt nicht aufgefunden worden, weil man die Iden* tität beider Hypothesen schon daraus genügend dargethan glaubte, dass die Wirkung eines geschlossenen Stromes dieselbe ist, wie die einer gecchlos- senen magnetischen Fläche.

Ist gar keine inducirende Kraft vorhanden , ist q's=z o, so ergiebt die Theorie 9 =3 Oi, d. h. i ^=: 0. Dieses Letztere aber kann auch nach unsrer Theorie bei beliebigem q' eintreten. Es ist nämlich in allen Gleichungen der Factor ^ f , f| weggelassen, also seine Verschiedenheit von 0 angenom- men worden. Für t = f, r^o aber ist es nicht erlaubt, und es ist dann offenbar auch jedes Molekül des Magneten im Gleichgewioht , wie dies na* tttrlich auch bei ganz unmagnetischen Körpern stattfindet. Unsre Theorie umfasst nach Poisson auch das elektrische Gleichgewicht, indem für Ä = ^ die Gleichungen identisch werden mit denen, die von ihm für diesen Fall entwickelt worden sind. Wollte man die elektrische Vertheilung eben- so wie die magnetische, entweder durch eine Vertheilung der Fluide oder

428 Ueber Magnetismus«

4

durch elektrische Ströme in den Molekülen erklären, so würde nnsre Theorie noch einen bemerkenswerthen Vortheil gegenttber der anderen be- sitzen. Die von Poisson für das magnetische Gleichgewicht gelieferten Formeln gehen nämlich in die fürs elektrische über für k=i also für eine ganz specielle Beschaffenheit der Substanz , und es wäre sonach in einem des Magnetismus fähigen Körper keine elektrische Yertheilnng möglich; diesen Widerspruch enthält die Gleichung 27) und 30) nicht, wenigstens bis jetzt nicht, da noch kein Zusammenhang zwischen den inneren Eigen- thümlichkeiten der Substanz und h aufgefunden ist. Die Gleichungen 12a) zeigen übrigens, dass für h=k oder u=0 jeder beliebige Strom im Innern im Gleichgewicht ist, dass also ein elektrischer Körper ganz indifferent ge- gen innere Ströme sich verhält, wenn ä==1.

19. Die Entwicklung der Gleichung 27) oder 30) kann vermöge der Reihen geschehen, in die jede Funktion zweier Winkel ip S verwandeh werden kann. Die Funktion q) genügt der Gleichopg

wie sofort aus 16) folgt.

Man kann die Gleichung 31) in Polarcbordinaten umsetzen, indem man sehreibt :

Die Gleichung 31) wird so zu :

32) gl£j> V ^gW ._i_gV^,,

Die Funktion q> soU nun in eine Reihe '

33) g> = Äo + Ä, + Ä, + ...

verwandelt werden^ deren Glieder alle einer Differentialgleichung genügen, s. B. Rn der Gleichnng:

^ 7^^-4-S+"(''+i)«.=o.

diese Reibenentwicklnng ist für jede Funktion aweier Winkel ^ O in der ganzen Ausdehnung 0 bis it und 0 bis 2 9« und zwar nur eindeutig möglich. Vergleieht man diese Gleichung mit 32), so folgt :

und wegen der Eindentigkeit der Reihenentwicklung Iblgt hieraUB

woraus folgt, dass Ä« von der Form ist:

Von Gustav Rooh. 429

^*^^>^^^^f*^»t^S^»»^^'S^*>^^i^^^^0S^»i^^ß'i^^^^ß<i^>k,^^^'^^»t^'i^^^<i^^ß'^S^''i^^fS^^^

WO ffn und Gn der Difi'erentialgpleiebang genfigen mfissen, und keine Funk- tionen von Q sind.

20. Es ist also fp ganz eindeutig entwickelbar und es wäre eine Probe f&T die Theorie, dass der Werth von ^ den Gleichnngen genügte, die

früher für ihn entwickelt sind, dass er

-"=Anh^)'-(^J

einen constanten Werth ergiebt. Da es nicht möglich ist, die Oleichang 27) allgemein zn lösen , so Iftsst sich auch die Probe nicht allgemein an- stellen. Im Uebrigen lässt sich sicher erwarten, dass sie zutrifft, weil dies Resultat aus gewissen Eigenthümlichkeiten von Q selbst folgte. Wir wer- den übrigens auch Fälle kennen lernen, wo die Theorie diese Constanz nicht verlangt.

Man sieht aus dem Vorigen , dass ich die Wirkung der Nachbarmole- küle auch durch die Formeln 1) und rwar mit Zngrundelegnng rechtwink- liger Coordinaten berechne. Wenn auch dann die Formeln eigentlich un- bestimmte Ausdrücke --- geben, so sieht man doch, dass denselben ein ganz

bestimmter Integralwerth entspricht. So ist es ^. B. auch möglich , das Integral von

a«! ^ti ^ti

auf diese Weise sicher zu berechnen. Nun ist es dann nicht mehr erlaubt, die Elemente so gross zu nehmen, dass sie eine Anzahl gprösserer Moleküle umfasstea.

21. Ohne jetzt die Ausnahmefälle zu betrachten, in denen nach der jetzt entwickelten Analyse die aufgeführten Reultate flicht mehr zulässig sind, will ich ein ganz specielles Beispiel betrachten , welches zugleich als Ergänzung von No. 19) iaufzuiPühren nöthig ist. Aus der Beschaffenheit der Gleichgewichtsbedingungen ersiebt man, dass es viel leichter ist, das q zu bestimmen, das einer bestimmten Vertheilung des Magnetismus ent^ spricht, als umgekehrt aus q die letztere zu berechnen. Es soll daher be- rechnet werden , wie die influenzirende Kraft beschaffen sein muss , damtit ia einer Kugel alle Molekularströme in parallelen Ebenen liegen. Man wird aua diesem ganz speciellen Beispiele zugleich erseheu , wie in der That die Willktthrlicfakeit von h zur gleichzeitigen Erklärung des magneti* sehen und des diamagnetischen Gleichgewichtes genügen kann. Wegen der Eindeutigkeit «der Reihenentwicklung 33) kann dem so berechneten q' auch nur diese specielle Vertheilung entsprechen. Die constante Intensität sei t. Bie Ebene der Ströme werde zur ^r-Ebene genommen, so ist: d(p . dtp dip

dx^*' dl~Tz '

Also bis auf eine ganz einflussreiche Constante tp = lo:, oder

430 Ueber Magnetismus.

und ist a der Kngelradius, so ist

7 = -i+-§/>.+5'i'. + etc. r a a a' .

in 30) aber ist anstatt {f einzusetzen o*. Da nun cos ^ der Werth von P, ist für ^':^ Ö und da allgemein : » 2if

//

r« Pn siniißdnifdBszO

0 I»

n 2n

ff

Y^P,8in^dri,dB = ;^^Y,^,

u u

wo Fi^ der Werth von F, ist, wenn man ^ durch if;, ersetzt, so folgt, das»

aus 30) die Gleichung wird :

4?B ,, ,, . . 47r , . , -

y (Ä — Ar)ia:, +~ Ärio:, — j=0.

Es muss daher q von der Form sein

Dies tritt z. B. ein, wenn sich die Kugel in einer gegen ihren Durchmesser sehr weiten und langen Spirale, die von einem Strome durchflössen wird, befindet. Das Gleichgewicht besteht, sobald

— Äf = m.

Für A = l wird dies identisch mit der Formel von Poisson und man ersieht daraus, dass die Einführung von k nicht einmal genügt, nach der Poisson- schen Hypothese zu erklären , warum die Intensität in den verschiedenen Substanzen beim inducirten Magnetismus so verschieden ist Die Formel 35) zeigt übrigens, dass, da h willkührlich ist, das magnetische Gleiehge^ wicht fär jede beliebige Intensität eintritt, so dass es erklärlich ist, dass versohiedene Substanzen nach Aussen unter denselben Umständwi entgs* gengesetzte Wirkungen ausüben können, indem für ein h von entgegenge- aetzten Vorzeichen auch t von entgegengesetzten Vorzeichen wird; dies deutet dann entgegengesetzte Richtung aller Molekularströme an. Da «, =3 1, ^, = y, = 0 und ö (= g + tf) von der Form Ax^ ist, so nrass auch in der That das Gleichgewicht sowohl gegen Drehung als ^egen Verschie- bung für jede beliebige Intensität bestehen.

Bei der Berechnung- des von den Nachbarmnlekülen* herrührenden Momentes dürfen dieselben als parallel und gleich intensiv angenommen werden (s. Nr. 9 und 10), Da nun sowohl q als q einer so beschaffinM magnetischen Kugel für jeden beliebigen inneren Punkt nach der letzten

Entwickelung gleich i, rr, ist und bei beliebiger Lage der Achsen

3

Von Gustav Roc?h. 43 f

47Kk

— f'i («j a:, + /Ji yj + 7i ^t) söin würde, so folgt die Richtigkeit der For-

3

mein 10) aach für den Fall, dass B eine beliebige gegen die Punkte orj y^ z,

exzentrische Kngelfläche Bei,- nur rnnss sie alle Nachbarmoleküle umfassen

und sehr klein gegen die Dimensionen des Magneten sein. Es sind daher

bis auf Grössen von der Ordnung wie die Dimensionen dieser Kugel die

. - . , 4nk . ATck . 4Jtk _. _„ , dq dg dq

Ausdrucke i, a,, t— f| ft, -— die Wertbe von :5— , 5— » t-

3 O ö OJCi 01/1 OZx

für eine beliebige sphärische Gestalt von B und es sind daher auch nach Nr. 14), wenn nicht eben ^=1 ist, die Gleichungen 11) hinreichend be- gründet. .

Die Aasnahmefalle Yon den jetxt entwickelten Resultaten gedenke ich in einem späteren Aufsatze noch kurz zu erwähnen und dabei zugleich in Etwas auf die Zustände an der Oberfläche zu kommen.

Kleinere Mittheilungen.

***'>^ Entwickelung «ner Eeuen Reilie für die OammafdnctioiL In der bekannten Gleichung

nehmen wir zuerst 2 = 1 + y, wodurch

X

erhalten wird, und benutzen hierauf die fernere Substitution

2) (l+y)e-y = i — X*.

Dem Intervalle y= — 1 bis y = + oo entspricht das Intervall j* = — 1 bis X = + 1, und es ist nur noch dy durch dx auszudrücken. Zu diesem Zwecke^geben wir der vorstehenden Gleichung die Form

yi-{i + y)(rr bei welcher das Th<*0Tem von- Lagrange angewendet werden kann. Man findet mittelst dieser Umkehrungsformel

ZeitschriA f. Mathematik u. Physik. IV. 29

432 Kleinere Mittheilungen.

3) r 1 ^1.2 ^1.2.3 ^

and nach Cauchy^s Untersncbangen '^) gilt diese Entwickelang ftir jedes Xy dessen Modulus weniger beträgt als der Modalus des kleinsten or, welches darch Auflösung der Gleichungen

erhalten wird. Im vorliegenden Falle ist loicht so sehen, dass die genannte Entwickelung für jedes x gilt, dessen absoluter Werth unter der Einheit liegt; bestimmt man daher dy aus Nr. 3) und setzt den Werth von äy nebst dem, was unter Nr. 2) angegeben ist, in die erste Gleichung ein, so bat man die Gleichung

oder

1

pp ePj^^ \\*1.2 1.2.3.4 ^ /

Die Integration der einzelnen Glieder geschieht nach der Formel

_./ä 1.3.5...(2m — !)■ I P r(p)

"T* 2- ~"'{p+ i) (/»+ i) . . .Jim+i) • r(p + l)

und fuhrt zu folgendem Resultate

/<■

Für p=^q — 4> ^^ ^jedenfalls mehr als \ betragen muss, ergiebt sich hieraus

und es dürfte diese Gleichung insofern bemerkenswerth sein, als hier(9) durch eine FacultÜten reihe ausgedrückt ist.

Zur Berechnung der Coefflcienten «,, a,, a^ etc. empfiehlt sich die in* dependente Formel

L yi_(i+y)e-y/ J

nicht sonderlich und es ist daher besser, eine recurrirende Formel aafso-

*) Moigno, Leporu de calcui diffirentiel, l^on 18.

Kleinere Miitheilangen. 4H3

Sachen. Aus der Gleichung 2) erhftlt man zunächst durch Differentiation und Elimination von e-'V

(i-^)yy=2^(i+y),

femer durch n malige Differentiation dieser Gleichung

(1 — a^) D" {yy) ~2nx 2>»-« (yy') — 2« (n - l) />*-« (jyy)

fuhrt man linker Hand die angedeuteten Differentiationen aus, setzt dann 9=0 nnd berücksichtigt, dass für diesen Specialwerth y verschwindet und 3f<*") = Oot wird, so gelangt man zu folgender Recursionsformel (n), a, an + (w), a, a„_i + (n), («s — 3 . 2 a,) a^2

+ («)4K — 4.3Ä,)a,_-3 + («)»(fl»--5.4a,)a«_4+... = 2n a»_,.

Diese liefert der Reihe nach, wenn aö = 0 gesetzt wird,

/- 4 11 /- 344 2307 ,- a,=/2, «, = -, «.=^^^2, a,==-, «5 = ^/2

und es ist daher nach Nr. 4)

/— /«'— JV"*"*«! . 11 1 .2307 1 . J

0) rc) = ./2. {--^') I- + ^,-(^^^^) + üS,iH^(r+2) +•;•<

oder auch

Die in Nr. 2) benutzte Substitution ist übrigens nur ein specieller Fall der allgemeineren

(^-^y)e-l' = (^-^)^

worin q eine beliebige positive Grösse bezeichnet; nimmt man p = oo, so wird

und dies ist jene bekannte Substitution, welche zuerst von Laplace \n Nfr. 23) der Theorie analytique äes probabilites angewendet wurde.

O. SCHLÖMILCH.

XL. TTebar eine transoendente Function. Die bekannten Regeln zur Entscheidung der Convergenz oder Divergenz unendlicher Reihen geben sn erkennen, das» die Reihe

1 +

f -(■:)•>©'+ (t)'--

für jedes endliche u convergirt; ihre Summe ist daher eine bestimmte Func- tion von ti, die F{u) heissen möge. Bei kleinen u hat es keine Schwierig- keit , die Werthe von F (ti) mittelst der Reihe selbst numerisch zu berech- nen, bei einigermassen grossen u dagegen, wie z. B. für ti = 100, wird diese

20»

434 Kleinere Mittheiliuigeti«

Operation onaosfUhrbar, nad es macben sich dann andere Methoden noth- wendig. Hierüber mögen ein paar Worte folgen. Setzt man

verwandelt die Exponentialgrösse ^«^"* in die gewöhnliche, nach Poten- Ben von me~'* fortschreitende Reihe nnd integrirt die einseinen OKeder mittelst der Formel

A-e-*.d«=iii^j^,

so erhält man augenblicklich

2) /^(„) = n._ + _ + -+ ,

nnd es ist daher

2) F{u)=i + unu).

Um weiter f(u) zu. transformiren, nehmen wir in Nr. 1) z=-l + y nnd be-

zeichnen — znr Abkürzung mit v ; dies giebt

-1 Hier benutzen wir dieselbe Substitution wie im vorigen Aufsatze , n&mlich

woraus für alle ftcht gebrochenen x folgt

^ 1 ^1.2 ^1.2.3 ^ wir erhalten dann

+1

^("> = 7y'''^'^'**(^'"^>^' + T'^ + ft^+ t^^

oder

1

f(u) = 1 Ami-*-)(i _ ort) ja, + Jfl «:• + ^ — a^ + \ dx.

' ^ ^ e / ^ M ' ^1.2 ^1 .2.3.4 ^ '

0

Multiplicirt man die eingeklammerte Reihe mit I — a^ nnd setzt

so hat man nach dem Vorigen nnd nach Nr. 2)

I

3) F(tt) = l+2tte*-* ^--'*(6^ + Ä,ar«+fc4a^ + )dx.

Kleinere Mittheilungen. 435

Die Coefficienten 60, ^s, 64 etc. sind vermöge der obigen Formeln bekannt, nAmlich: ' ^

68 handelt sieb also nur noch am die Aasführnng der angedeuteten Inte* gration. Ist nun t/, mithin auch v, positiv, so setzen wir

t?a?* = /, 'a:= — =. j/v und erhalten

Die Integration der einzelnen Glieder liefert ein Resultat von der Form

1) ,(.)=. +^^-1».*+^+^+ -1.

worin

5) J^z^le-'U'^dt.

0 Das erste der vorkommenden Integrale nämlich

Vv X 00 ®

y,= je-^ dt = A""* dt—je-^ di = V^ "J^"'' ^^

0 0 y; ^ Vi

kann mittelst der Kramp 'sehen Tafel für die Transcendente

ß

-fdt

w sehr leicht berechnet werden; ferner giebt die theilweise Integration in Nr. 5)

'^-~ ;r+i

oder umgekehrt

und hieraus finden sich der Reihe nach Jf^ J4 etc. Zufolge der angegebe-

u nen Coefficxentenwerthe und wegen v=— hat man nun für positive u

.M = . + ,^.Hj.._i..(l)-ä'.(0- 1

Bei einigermassen bedeutenden u vereinfacht sich diese Formel. Weil nämlich

^<ß'-'<"<r.'^'

436 Kleinere Mittheilangen.

üo kommt der Werth dieses Integrales schon bei raXsstgen u (z. B. für ur=5) der Null sehr nahe, sodass J^^^ ^j/n gesetzt werden darf; gleichzeitig werden /ve^", ^v^er^ etc. sehr klein und es ist daher näherungsweis

mithin

So wird z. B. für 1/ — 100 e = 271,82818, v = 100, ^v = 10.

0 </.-'*..< l.—<(ij,

ferner haben 10 . g-^*^" und 10" . e~'^^^ noch keinen Einfluss auf die 40** De- cimalstelle, und es sind daher die oben angegebenen Nftherungswerthe von /q) *^i) *^4 ^^^ "^ Decimalen richtig. Dies giebt

F(lOOe) = 1 + 10 l/ili . c*^ jl ^' ^— } •

\ f ^ y \ 2400 11520000 ♦

oder

F(lOOf) — 1 =r= 10/2^^ . e^^ . 0,90958, log [F(IOO^) — 1] = 44,82836; demnach beträgt F( 100^) eine Einheit mehr als eine aus 4^ ganzen Ziäern bestehende Zahl, welche zwischen 67353. 10** und 67354.10** enthalten ist. Bei negativem u wird auch v negativ und nach Nr. 3)

l

F (— m) = 1 — 2 «i c-"-» /g+ «'*• (60 + 6, jr» + /J4 j:* + . . . .) «fx; 0 hier Usst sich zwar die nämliche Substitution v3^^=t anwenden, aber das Resultat ist von keinem Nutzen , weil man weder für

e-^^dl noch für g-"' /e+'*

dt

w w

eine Tafel besitzt. Wie gehen daher einen anderen Weg.

Durch Reihenentwickelung und Integration der einzelnen Glieder zei^t sich, dass auch

ü ist; lässt man hier — u an die Stelle von u treten und benutzt die Substi- tution «-* = 1 — X, so erhält man

1 1

f{-^u)=je - (-/(i -*))(!-*) dx ^jil^xY (1 — a?)--* dx.

Kleinere Mittheilangen. 497

Auf den Ansdruok (l — jr)-«* ist zunächst der Binomische Sat 8 anwendbar and zwar wird man die einzelnen Binomialcoeffieienten entwickeln und Allen nach Potenzen von x ordnen; dies giebt

V(-")=/(i— )"ji + «^+|^ + '-VT^*^ + \ä..

0 Die einzelnen Glieder können mit Hülfe der Formel 1

1.2.3 n

J

^ ^ ^ («+l)(« + 2)....(« + « + l)

integrirt werden, wobei zur Abkürzung

(m+ 1) (w + 2) (t/ +3) . . . . (M + m) = W(«) sein möge; man hat jetzt

^, . 1 2fi , 31/ , 8m +12?/* , 30w + 60r<*

«(1) «(3) "(4) W(5> W(6)

_ J_^ _2M 23«+ 15m' , 354 m4- TSOmM;- 180^1^

W(l) W(3) «(5) W<7) .

mithin

e, _, . , u 2w* 23w'+15m» 354 m* + 780 «"+ 180m* #

o) /* ( — w) == 1 —

"(1) «(3) W(5) W(7,

Man ersieht hieraus , dass F( — ti) bei unendlich wachsenden u sich der Grenze Null nähert. 0. Schlömiloh.

XIX Eine Elgenftchaft der coxgugirteii Diametralebeneii des Ellip- soids. Herr Le<!tor Lindmann bewies im Jahre 1853 das bemerkenswerthe and, wie es scheint, nicht beachtete Theorem, dass die Ellipse von conju- girten Durchmessern in vier gleiche Theile getheilt wird. Vermöge der zwischen den Eigenschaften der Ellipse und denen der Ellipsoide stattfin- denden Analogie lässt sich ein ähnlicher Satz für das Ellipsoid vermuthen.

Die Gleichung des Ellipsoides , bezogen auf drei conjugirte Diameter mit den Längen 2 a, 2 fr, 2 c ist

er 0* er

Bezeichnet man mit iL den Winkel zwischen den Achsen der ^ und z und mit fA den Winkel zwischen der Achse x und der Ebene yz^ so ist das Vo- lum eines der acht Theile, in welche das Ellipsoid durch die Ebenen i^Jj +**> +y getheilt wird,

sinlsinfn jdx j dy . jdz,

0 0 0

438 Kleinere Mittbeilangen*

sich die verscbiedeneii Vorzeichen der Orensen auf jene acht verschiede- nen Theile beziehen. Mit Htilfe der Formel

m 0 ml

I dir f f{x,y)dy =:i fvdx j f{x^vy) {v eine Fanction von x) • 6 u 0 0

erhält man das in Frage stehende Volnm, ohne Rücksicht auf die Zeichen

+ 11 +1

= sinlsinfibcjdx jU — ^Wi- = ^sinksiniinbc j (l -Jdx	-y*
sin X sin lA 7t ab c

6

Der absolute Werth dieses. Ausdracks ist anabhängig von den Zeichen der Grenzen; hieraas folgt, dass die conjagirten Diametralebenen das Eliipsoid in acht gleiche Theile theilen.

Gothenbarg. G. R. Dahlandbb.

XTiTT. Ueber die Genauigkeit einer besonderen Art von Sivellirin- stminenten. Das von dem Ingenieur • Obersten Hogrewe erdachte Xi- vellir-Instrament (welches jetzt in vorzüglicher Beschaffenheit vom Mecha- niker Starke am k. k. poljtechn. Institut in Wien verfertigt wird) hat, wie bekannt, die Eigenthtlmlichkeit, dass man aus den Umdrehungszahlen welche eine am Instrument angebrachte verticale mikrometrische Schraube angiebt, and welche der horizontalen Richtung der Fernrohraxe und deren Einstellungen auf zwei an der Nivellirlatte befestigte Zielscheiben entspre- chen, sowohl die Distanz der Latte vom Instrumente als die Lattenhöhe la berechnen im Stande ist. Die vollständige Besehreibung seiner Erfindung hat Hogrewe in dem 1800 in Hannover erschienenen Buche: „Praktische Anweisung zum Nivelliren*' nebst detailirten Zeichnungen und allen nöthi- gen Rechnungsvorschriften veröffentlicht. Die späteren Nachahmnngen so- wohl jenes Instrumentes als jenes Buches gaben zwar diesen beiden Dingen eine äusserlich verschiedene Gestalt, aber das Wesen derselben ist^dnrch sie nicht erweitert worden. Dies ist so richtig, dass, wenn Hogrewe (S. 113 seines Buches) nur den Fehler in der Distanz einer Berechnung unterzieht, welcher aus einer Unrichtigkeit in den Ablesungen an der Schraube entsteht, den aus gleicher Quelle entspringenden Fehler in der Lattenhöhe aber gar nicht untersucht, genau eben so weit auch in all^n späteren über diesen Gegenstand erschienenen Schriften und in derselben Weise vorgegangen wird, obgleich schwerlich Jemand verkennen kann

Kleinere Miitheihingen. 430

dass die* Fehler, welchen dfts Instrument beim Nivelliren unterworfen ist, viel stärker ins Gewicht fallen und darum weit eher eine genauere Un- tersuehuog erheischen, als jene, welche bei der Anwendung desselben In- strumentes als Distanzmesser zu befürchten sind. Ohne eine genauere Untersuchung ist aber nicht nur kein Urtheil über die Leistnngsfählgkeit ' jenes Nivellirinstruments an sich, sondern auch keine Vergleichung^ dessel- ben mit den gewöhnlichen Instrumenten möglich , und wenn Jemand , be- züglich des erstem auf die günstigen Resultate von Erfahrungen sich be- rufl, welche vermeintlich in der nahen «Uebereinstimmung zweier mit ver- schiedenen Instrumen ausgeführten Nivellements von recht langen Li- nien liegen, so ist es damit wohl nur auf ein „ rein praktisches ^* Publikum abgesehen.

Dass das mehrerwähnte Nivellirinstrument dem ^gewöhnlichen , bei sonst gleicher Beschaffenheit der Libelle und des Fernrohrs, nachstehe, lässt schon der Umstand vermuthen, dass bei ersterm die Bestimmung jeder einzelnen Lattenhöhe zwei Pointirungen und drei Ablesungen an der Schraube, somit fünf Fehler zu befürchten sind, während bei letsterm, unter sonst gleichen Umständen , nur ein Fehler beim Einstellen der Ziel- scheibe möglich ist. ^

1.

Indem es nun meine Absicht ist, die Oesammiwirkung jener fünf Feh- lereinfiüsse oder den mittleren Fehler des Instruments zu bestimmen, müssen nothw endig die beiden, bei jeder Pointirnng im Visiren und im Ab- lesen an der Schraube eintretenden Fehler vereinigt gedacht und ihr mitt- lerer Betrag als gegeben vorausgesetzt werden. Ebenso wird der mitt- lere Fehler in der Beobachtung der einspielenden Libelle und der ent^ sprechenden Ablesung an der Schraube, — womit, wie bekannt, keine *Pointirung in Verbindung steht, — als gegeben betrachtet. Dies vorausgesetzt sei nun :

.^0 die beobachtete Angabe der Schraube bei einspielender Libelle, 5| und $^ die beobachtenden Angaben der Schraube bei Einstellung

der Visirlinien resp. auf die untere und obere Zielseheibe, f*D; f*i 1 f's ^^^ beziehungsweise diesen drei Beobachtungen entspre- chenden mittleren Fehler, D die Entfernung der Zielscheiben,

A der Abstand der nntern Scheibe vom Fusspunkte der Latte, Z die aus den Beobachtungen berechnete sogenannte Lattenhöhe, IL der mittlere Fehler in L. Dieser Fehler fi nun wird durch einen Satz bestimmt, welchen Gauss in. der Theoria combin. observ. erroribus minimum obnoxiae {pag. 21, arL 18) begründet hat und welcher folgendermassen lautet:

Bezeichnete eine gegebene Function der Unbekannten $^^ ^j, f, und f«

440 Kleinere Mittheilungen.

den mittleren Fehler, welcher in der Bestimmung von L zn befürchten ist, wenn für ^0.5,,«; nicht die wahren, sondern die von einander nnabhfingig beobachteten Werthe, welche resp. den mittleren Fehlern ^, ^j , ^^ unter- worfen sind, gesetzt werden, so ist:

Für die Berechnung von L hat man, wie bekannt, den sehr genäherten Ausdruck :

s. — s.

folglich

womit man zu der Formel : D

gelangt, ans welcher sich die folgenden Bemerkungen ergeben. *

2.

*

Unter den Stellungen, welche die Latte, bei unveränderlicher Entfer- nung vom Instrumente, je nach der höheren oder niederen Lage des Aaf- stellungspunktes haben kann, giebt es eine, worin der Fehler fi sein Mini- mum erreicht. Um diese Stellung zu bestimmen ^ bemerke man , dass fBr eine und dieselbe Entfernung die Differenz s^ ^- «, als unveränderlich an- zusehen ist, und dass, wenn man für einen Augenblick

s, — «, = r also *j = r + ^, setzt, der Ausdruck für fi in :

t^ = JtV^' (^0 + (*o - ^i - r)* ^.« + {s, - *o)V*

übergeht. Darin kann sich allein noch 5, ändern, und wenn man nach

dieser Grösse differentiirt und -^ =0 setzt, so ergiebt sich als Bedingung

für das bezeichnete Minimum die Gleichung

(«0 -*- *i — 0 f*i* — (*t — *o) f*t' = 0 aus welcher man durch Elimination von r findet:

*0 t j 2

f*2 + f»i

oder , da in der Kegel die mittleren Fehler fi« , fi, als gleich anzusehen sind:

Wie sich hieraus ergiebt, ist der mittlere Fehler in der Lattenhöhe, bei jeder Entfernung vom Listrumente, am kleinsten, wenn die horiion-

Kleinere Mittheilongen. 441

tale Visirlinie die Latte in, der Mitte der beiden Zielschei- ben trifft. Obgleich sich dieses Ergebniss voraussehen Hess, so ist seine Begründung dennoch von Interesse, weil sich aus der Natur. des Minimums nun mit Sicherheit schliessen lässt, dass der mittlere Fehler um so stärker ausfallen werde, je mehr die Latte entweder nach der Tiefe oder nach der Höhe sfch von der bezeichneten Minimnmstellang entfernt.

Daraus folgt, dass das Instrument gerade unter den Umständen, unter welchen es, als die Arbeit fördernd und sehr bequem, besonders empfehl- ungswerth erscheint, nämlicb bei sehr starken Gefällen, die geringste Genanigkeit darbietet.

Ebenso wie bei starken Gefällen verhält es sich beBOglich des Nivel- Urens auf grosse Distanzen, denn wie ein Blick auf die Formel für fi zeigt, wächst diese Grösse sehr rasch mit der Distanz , welche durch den Aus- druck :

, {k eine Constante)

5j — $1

bestimmt ist.

Treten starke Gefälle und grosse Distanzen bei Anwendung dieses Nivellirinstruments gleichzeitig auf, so wirken diese beiden, die Genauig- keit beeinträchtigenden, Umstände zusammen und erhält der mittlere Feh- ler überraschend grosse Werthe. In welchem Maase dies der Fall ist, geht am bestimmtesten aus der nachfolgenden Betrachtung einiger besonderen Fälle hervor.

3.

Was zunächst die Zahlenwerthe der Fehler ^^ und f4 betrifft, welche fUglich einander gleich zu setzen sind , so hängen dieselben allerdings von mehreren , nicht allein durch die BeiSchaffenheit des Instruments bedingten Umständen ab. Man wird aber dem richtigen Werthe nahe kommen, wenn man für eine gewählte Distanz der Latte das Einstellen auf eine Zielseheibe sowie die entsprechenden Ablesungen an der Schraube öfter wiederholt, die Summe der Quadrate der Abweichungen der einzelnen Angaben der Schraube vom arithmetischen Mittel aller durch ihre um die Einheit ver- minderte Anzahl dividirt, und schliesslich aus dem Resultate die Quadrat- wurzel zieht.

Für die vom Mechaniker Starke verfertigten Instrumente wird häufig als Ablesungsfehler der Betrag 0,003 einer Umdrehung der Schraube ange- geben. Dagegen fanden Prof. Bauernfeind (s. Vermessungskunde 1. Bd. p. 967) und andere Beobachter , dass der Werth 0,005 der Wahrheit näher liegt. Für ein, allerdings schon seit mehreren Jahren in Gebrauch stehen- des Instrument bezeichneter Art ergab sich mir (bei einer Distanz von 80 Klaftern) der mittlere Pointirungs- und Ablesungsfehler zu 0,0055. Es ist daher im Allgemeinen eine der Genauigkeit günstige Annahme, wenn man

442 Kleinere MittheilungeD.

^i—ft = 0,005 setzt.

Für fio kann man , — die sorgfältige Jastirang der Libelle und des Fadenkreotzes vorausgesetzt, — in ähnlicher Weise wie oben für fi| durch wiederholte Beobachtungen einen mittleren Werth erhalten. Für das so eben genannte Instrument ergah sich immer ein über 0,004 hinausgehender Werth. Zwar stehen mir ähnliche Bestimmungen fEir andere Instrumente von derselben Construction nicht zu Qebote, jedenfalls aber dürfte der Werth

|»o =^ 0,004 im Allgemeinen eher zu niedrig als zu hoch gegriffen sein.

Dieses vorausgesetzt, sei nun beispielsweise:

#0 r^ 21,5, Sj == 4,5 , #, = 10,5, Z> = 1 Klafter. Hieraus erhält man aus der am Schlüsse des Art. 1 angeführten Gleichung den überaus grossen Werth (i = 0,0029 Kl. oder 0,21 Zolle. Der für ^ an- genommene Werth trägt hier so wenig zur Grösse von fi bei, dass, wenn man selbst (io=^0 gesetzt hätte, gleichwohl ^ = 0,0028 erhalten worden wäre.

Die Constante k hat für die hier vorausgesetzten Instrumente von Starke und für jD = 1 den Werth 324, die Entfernung derNivellirlatte'be- trägt also im vorliegenden Falle 54 Klafter.

Der Fehler fi ist somit der j^^ff Theil jener Entfernung!

Obgleich nun die für s^yS^^s^ angenommenen Werthe einen ziemlieh starken Gefälle entsprechen, so ist doch die Distanz nicht beträchtlich und beziehen sich jene Annahmen auf einen bei Anwendung dieses Instruments keineswegs selten vorkommenden .Fall.

Um eines zweiten Falles zu erwähnen, sei

5oC3 21,5, «, = 20,0, iPt==23,0, i>=l, so entsprechen diese Annahmen der oben gefundenen Bedingung für das Minimum des mittleren Fehlers, und man erhält fär ^ = 0,0018 Kl. Da die Distanz 108 Kl. beträgt, so ist der Fehler ^j^xF ^^^ Distanz, während beim Nivp Uiren nach der gewölinlichen Art, welches hier leicht hätte statt finden können, nur urg^tTTr* ^Iso-nur die Hälfte des oben erhaltenen Feh- lers zu befärchten gewesen wäre.

■ Es wäre leicht noch viel ungünstigere Fälle, welche häufig genug vor- kommen und in welcher der Fehler das gewöhnliche Maas weit Überschrei- tet, zu bezeichnen. (So ist z. B. wenn s^ = 21,5, «, = 36,5, f,ss38,5, i>s=sl gesetzt wird, die Distanz =162 Kl. ^ = 0,028 KI. oder ^^jf d. D.) Das Angeführte reicht jedoch schon hin, um die Behauptung zu rechtfertigen, dass die nach dem Princip von Hog re we verwendeten NivellirinstrumeDts gegen die gewöhnlichen, unter sonst gleichen Umständen, hinsichtlich der Genauigkeit bedeutend zurückstehen, so grosse Vorzüge sie unlängbar durch die schnelle Förderung der Arbeit, ferner bei manchen Terrain-

Eleiiiere Mittheiliingen.

443

Schwierigkeiten und in allen Fällen darbieten, in welchen es sich vor Allem nm Zeitgewinn , nicht aber um eine erhebliche Genauigkeit handelt, welche also zu jener Art yorläafiger Ermittelungen gehören, deren Aasführang Oaasa beaeichnend „den Horiaont abfegen'^ nennt.

Grata, Db. A. Wutckler.

zun. Einige Theoreme der Mechanik. 1) Wenn man über den Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks Quadrate constrnirt und die Schwerpankte derselben geradlinig verbindet, so bat das entstehende Dreieck den' nämlichen Schwerpunkt wie das rechtwinkelige zuerst erwähnte Dreieck.

Ist abc das rechtwinkelige und mnp das abgeleitete Dreieck, wobei die Schwerpunkte m, n,/» der über den Seiten des rechtwinkli- J

gen Dreiecks gezeichneten Quadrate verbunden sind, und» bedeutet ferner o den * Schwerpunkt des rechtwin- keligen Dreiecks, so bleibt SU beweisen, dass o der Schwerpunkt des Dreiecks mnp ist.

Der Schwerpunkt des Dreiecks mnp ist derselbe wie der Schwerpunkt dreier gleichen in den Punkten m, n, p angebrachten Massen. Es genügt dann zu erweisen, dass wenn man m, «, p auf die Seiten ab und bc projicirt, die Summe der Entfernungen der Projectionen der Punkte m, «, p von der Projection des Schwerpunktes =0 ist.

Bezeichnen rf, e, /*, g die Projectionen der Punkte m, o, w, p auf 6r, so ist

de= db + be = ^ab + ^bc

er=\bf=^bc

fg^hk:, wenn hk rechtwinklig gegen pg ist,

hkihpz=hf:hc^ und folglich

hk^hf^fg. Weiter ist

444 Kleinere Mittfaeilungen^

eg=ef±fg=^tbc + ^ab, folglich

de — ef — e^ = 0.

Auf gleiche Weise Iftsst eich zeigen , dasB die Summe der erwähnten Entfernung =0 ist, wenn m, n, p^ o auf die Linie ab projicirt werden. Das angegebene Theorem ist hierdurch bewiesen.

2) Wenn man aus dem Schwerpunkte eines Körpers als Mittelpunkt sphärische Oberflächen construirt, so ist ftlr jeden Punkt irgend einer dieser Flächen die Summe vonden Trägheitsmomenten des Körpers, hinsichtlich dreier gegen einander winkelrecht durch den Punkt gehenden Achsen, dieselbe. Jene Trägheitsmomentsumme ist ein Minimum für den Schwerpunkt des Körpers und wächst immer proportio- nal mit dem Quadrate der Entfernung von diesem Punkte.

Die Summe der Trägheitsmomente eines Körpers bezüglich dreier ge- genseitig rechtwinkeligen Achsen ist 2y*(a?* + ^ -f- z*) dm. Bezeichnet man mit r die Entfernung vom Coordinatenanfang bis zu jedem Partikel des Körpers, so ist die Summe ==:2j*r^dm. Bezeichnet r die Entfernung vom Coordinatenanfang bis zum Schwerpunkte des Körpers und r" die Entfer- nung von diesei^ bis zu einem beliebigen Partikel des Körpers, so ist •

r' = r'' -|- r"' — 2rr' cos (/, r"), oder, weil vermöge der Eigenschaft des Schwerpunktes cos (/, r") = 0,

r«= /» + /'• und

2/Vdm = 2/(r* + r"*) dm = 2r^M + 2fr'^dm, wenn M die Totalmasse des Körpers ist. Aus dieser Formel für die Summe der Trägheitsmomente findet man die oben erwähnten Sätze.

3) Der Oleichgewichtsbedingung i^r ein rotirendes Flni- dum geniigt ein unendlicher hohler Cylinder mit zirkeiför- miger Basis, welcher mit constanter Geschwindigkeit um seine Achse rotirt, sobald die gegenseitige Attraction der Partikeln nebst der durch die Rotation verursachten Cen- trif ugalkraft allein auf denselben einwirken«

Die allgemeine Gleichgewichtsgleichung eines rotirenden Fluidums ist dp = ^ \Xdx + Ydy + Zdz -f ip«(j?dj? -h ydy)], wenn p den Druck, p die Dichtigkeit, welche hier als con staut vorausge- setzt wird, X^ 7, Z die Coroposanten der auf die Masseneinbeit einwirken- den Kräfte und n> die Winkelgeschwindigkeit sind. Bezeichnet man den inneren Radius des hohlen Cy'linders mit r, den Radius eines beliebigen Punktes mit /, die Attraction zwischen zwei Massen, jede = i and in der Entfernung 1, mit fy so sind die auf die Masseneinbeit in den Punkten x^ y, z einwirkenden Attractionscomposanten :

Eüeinere Mittheilungen. 445

i- . -jqr

'1

r ' Z = 0. Durch Einsetzung dieser Werthe erhält man

Nun ist a:* + y* = r *, also

und

Durch Integration ergiebt sich

Nun ist p = 0, wenn r = r, folglich

Bezeichnet man mit R den Radius des äusseren Grenzcjlinders, so ist, wenn p =? 0 für / = Ä,

Als Bedingung für die Möglichkeit des Oleichgewichts wird daher er- fordert, dass

.-Sr^'(?)>..a»5.'-,(«J)>,.

Diese Bedingung ist immer erfüllt, da — imn|er grösser als 1 ist. Fer- ner ist es nöthig, dass die auf ein Partikel einwirkende Kraft an der Fläche gegen* das Innere der Masse gerichtet ist. Dieser Vorbehalt wird ausgedrückt wie folgt:

.,<e...£^ti2)«..„J[,_,(y)]:,, .

welche Bedingung immer erfüllt ist.

Gothenbnrg. G. R. Daülandek.

ZUV. XJaber die alaaientara Bettammnng dar Trftgheitamomante.

Wo es darauf ankommt, die Mechanik ohne Hilfe der höheren Analysis vorzutragen (wie z. B. an Gewerbschulen), benutzt man zur Bobtimmung

446 Kleinere Mittheilangen«

der Trägheitsmomente das bekannte elementare Sammations verfahren, wel- ches eigentlich eine verkappte Integration -ist und zuletzt immer aaf den Satz zurückkommt, dass der Quotient

i^ + 2* + 3* + ...+ n*

bei constanten ganzen positiven k und unendlich wachsenden n gegen die Grenae convergirt. Dieser Weg hat zwar keine Schwierigkeiten, ist

K ^7" 1

aber manchmal etwas weitläufig; man wird daher eine ktirzere Methode 'gern sehen, bei welcher der genannte Hilfssatz erspart und nur die Aehn- lichkeit geometrischer Gebilde in Anspruch genommen wird. Ein solches Verfahren findet sich in dem „Bericht über die königliche Provinzial - Ge- werbeschule zu Hagen, von dem Director Dr. Zehme, Hagen 1858*'; mit Erlaubniss des Verfassers theilen wir das Nachstehende daraus mit.

Sind Ml, M^y M^ etc. die Massentheilchen eines um eine Achse rotiren- den Körpers , x^, x^, x^ etc. die respectiven Abstände derselben von der Drehungsachse , so ist bekanntlich das Trägheitsmoment des Körpers T=Mi x^* + ilfjT/ + ij/jo:,* + . . . = 2; (Ufa:*).

Das Gewicht eines jener Massentheile sei G, sein Volumen F, seine Dichtigkeit y, und g die Beschleunigung der Schwere; man hat dann

mithin

9 9

r=-ii(yFx»),

und bei einem homogenen Körper, wie er künftig immer vorausgesetzt «v^nrd,

r=I E(Vx^).

9

Die noch übrige Summe enthält nur geometrische Grössen und kann demnach der geometrische Factor des Trägheitsmomentes heissen. Im Folgenden handelt es sich überhaupt um die Bestimmung dieses Factors und daher sollen künftig unter M^ , üf, etc. nicht die Massen selbst, sondern nur ihre geometrischen Factoren verstanden werden.

« Aus der Definition des Trägheitsmomentes folgt der bekannte Satz: Ist T das Trägheitsmoment der Masse M in Bezug auf eine gegebene Achse, U ihr Trägheitsmoment in Beziehung auf eine durch den Schwerpunkt von M gehende Parallelaehse , endlich d der Abstand beider Achsen , so gilt die Relation

T=ü'+Md\ deren Beweis wir füglich Übergehen können.

Wir betrachten nun zwei geometrisch ähnliche Körper , die um ähn- lich liegende Achsen rotiren, und nennen m das Verhältniss zweier ent- sprechenden* Linien in jenen Körpern; wir habep dann einerseits

Kleinere Mittheilungen. 447

Andererseits ist wegen der Aehnlichkeit M^^m^fi^ a: = m|, folglich

r=«i*2:(^|«), d.h. T=zm^r. Bei rotirenden Flächen ergiebt sich auf gleich einfache Weise :

T—mU and hei rotirenden Linien :

Diese Hilfssätze reichen aus , wie man sogleich sehen wird.

1. Das Trägheitsmoment einer Geraden / in Beziehung auf eine dnrch ihren Endpunkt senkrecht zu ihr gelegte Achse heisse T; in Beziehung auf eine durch ihren Mittelpunkt (Schwerpunkt) parallel zu joner gelegten Achse sei das Trägheitsmoment Z7, es ist dann

wo M die Masse der Geraden bedeutet. Denkt man sich eine zweite Ge- rade ^l, welche um eine durch ihren Endpunkt senkrecht zu ihr liegende Achse rotirt, und nennt t ihr Trägheitsmoment, so ist einerseits

l/==2r, weil die ganze um die Mittelachse rotirende Gerade / für zwei Gerade (jede ^/) gelten kann, die um eine gemeinschaftliche Endachse rotiren. Andererseits hat man wegen der Aehnlichkeit für w = 2

r=2*T==8T; aas den drei vorhandenen Gleichungen mit den Unbekannten T, U, x er- giebt sich

T=iMl* und U^^^Ml\

womit das Trägheitsmoment einer Geraden sowohl in Beziehung auf eine Endachse , als für die Mittelachse bestimmt ist.

2. Das Trägheitsmoment eines Rechtecks von der Breite 6, der Höhe h und der Masse M sei J, wenn die Drehung um b geschieht^ es heisse dagegen CT, wenn die zu b parallele Mittellinie als Rotationsachse gie- nommen wird; es ist dann

T^ü + M(\h)\ Man theile nun das Rechteck durch zwei Mittellinien in vier congruente Rechtecke, deren jedes ^b zur Breite und ^h zur Höhe hat^ und nenne r das Trägheitsmoment eines solchen Rechtecks , wenn es um die Seite \ ff rotirt; es ist dann einerseits

weil das kleine Rechteck um die Mittelachse des grossen viermal ebenso abgelagert ist, wie um seine Seite ^6. Andererseits giebt die Aehnlichkeit für m==2

and aus diesen drei Gleichungen folgt

3. Das Trägheitsmoment eines rechtwinkligen Parallel-

Ze'iUchrirt f. Mathematik u. Physik IV. 30

448 Kleinere Mittheilungen.

epipedes aus den Kanten a, &, c heisse T, wenn die Drehung um die Kante c geht, dagegen TJ^ wenn eine durch den Mittelpunkt des Körpers parallel zu c gelegte Gerade zur Rotationsachse genommen wird ; es ist dann

Zerlegt man den Körper durch Mittelflächen in acht congruente Pa- rallelepipede , deren jedes die Kanten \a^ \b^ \c besitzt, und nennt t das Trägheitsmoment eines solchen Theiles in Beziehung auf 4^ ftls Drehungs- achse , so hat man ähnlich wie vorhin

und zugleich wegen der Aehnlichkeit

r= 2*1 = 32t. Aus diesen Gleichungen finden sich die Werthe

Wie man mittelst der vorigen sechs Formeln die Trägheitsmomente geradliniger Gebilde tiberhaupt entwickeln kann, ist. bekannt genug und bedarf deshalb hier keiner Auseinandersetzung.

Noch wollen wir das Verfahren mittheilen , welches der Verfasser zur Bestimmung der Trägheitsmomente des Kreises, des Cylinders und der Kugel anwendet; dasselbe ist zwar nicht kürzer als das gewöhnliche, aber durch eine gewisse Eleganz bemerkenswerth.

4. Das Trägheitsmoment der Kreisfläche in Beziehung auf einen Durchmesser. Man denke sich den Durchmesser 2r, wel- cher als Momentenachse genommen ist, in 2n gleiche Theile getheilt, wobei

— = 5 sein möge , lege durch jeden Theilpunkt eine Senkrechte zu 2r und

ziehe durch die Punkte, in welchen letztere den Kreis treffen, Parallelen zur Achse; es entsteht dann ein Polygon mit abwechselnd ein- und aus- springenden Winkeln. Die Abscissen der Theilpunkte mögen der Reibe nach ^Ti , X, , . . . Xn == r, die zugehörigen Ordinateh yj , Vt ? • • • 2^<i =0 heissen ; irgend einer der entstandenen Streifen hat x^ — ^m— i = d zur Breite und 2yi^ = 2j/r' — x^ zur Höhe; seine Masse sei ft»,. Nun ist sein Trägheits- moment in Beziehung auf die gegebene Momentenachse = ^^ fi^ (2^./! mithin das Trägheitsmoment des halben Polygones

oder auch , wenn die Summirung auf die einzelnen Theile bezogen und die Masse des Halbpolygones =:Af gesetzt wird.

Man denke sich jetzt eine zweite Momentenachse durch den Mittel- punkt des Kreises senkrecht zur ersten gelegt; in Beziehung auf diese ist das Trägheitsmoment des vorigen Streifens = /*«, (a?i„ — ^d)* + yfi«^*^ folglich das Trägheitsmoment des halben Polygones

Kleiviere Mittheilungen. 449

Aas beiden Gleichungen erhftlt man dnreh Elimination von ^(fiar*)

3 T^+ Ty = Mi^ - ÖE[ii{x — \ö)\ + ^^Mö*. Dabei ist S{^{x — \S)\ die Summe der statischen Momente aller Streifen, also =sMl^ wenn | die Abscisse des Schwerpunktes vom Halbpolygone be- zeichnet*). Lftsst man nun in der Gleichung

3 7:^+ Ty = M t* — Mld +^^MÖ^ n ins Unendliche wachsen also 6 gegen die Null convergiren , so wird

3 7-^+7; ^= Mf* und es ist jetzt Ty das Trägheitsmoment des Halbkreises in Besiehung auf den ihn begrenzenden Durchmesser, T^ das Trägheitsmoment desselben Halbkreises in Beziehung auf den zu jenem normalen Durchmesser, M die Masse des Halbkreises. Bezeichnet U das Trägheitsmoment des Vollkreises in Beziehung auf einen Durchmesser und M' seine Masse, so hat man gleich- zeitig Tjt^^= j^üy Ty = J r, M :^- \^\ mithin aus dem Obigen

5. Das Trägheitsmoment eines geraden Kreiscylinders in Beziehung auf seine geometrische Achse kann auf bekannte Weise aus Nr. 3. abgeleitet werden und findet hier nur des Folgenden (Nr. 7.) wegen Erwähnung ; es ist, wenn r den Radius und M die Masse be- zeichnet,

6. Das Trägheitsmoment des geraden Kreiscylinders in Bezug auf eine durch seinen Schwerpunkt normal zur geo- metrischen Achse gelegte Momentenachse findet man auf eine ganz ähnliche Weise, wie in Nr. 4. das Trägheitsmoment des Kreises. Denkt man sich nämlich die dortige Figur als normalen Querschnitt des Cjlinders, dessen Höhe h sei und dessen geometrische Achse senkrecht auf der Ebene der Figur steht, so entsprechen den früheren Parallelstreifen nunmehr Parallelepipede , von denen irgend eines die Kanten i, y, h be- sitzt und dessen Masse fi heissen möge. Es, ist nun

T. = 2[^\fi (A« + 41^«)] = 2:[,i,^ (Ä« + 4r«-4x«)j

andererseits in Beziehung auf die j/- Achse

Ty^-:=£[(i{x-^^Sy + ^^^(,{h^ + 6')]

= 2;(^a:') + i'a-S^C^Ä») - ÖHltA (x - id)] - id'Zf.

*) Wir sind hier, wie auch bei den nachherigen Entwickelangen, dem Verfasser nicht wörtlich gefolgt; derselbe vernachlässigt nämlich das oben durch 4 ausgedrückte Glied, und dies ist deswegen ungenau, weil eine unendliche Menge unendlich kleiner Vernachläsaigangen möglicherweise einen endlichen Fehler zwc Folge haben könnte.

450 Kleinere Mittheilungen.

wo M die Masse des halben eingeschriebenen Parallelepipedes and | die Abscisse seines Schwerpunktes beseichnet. Man hat nun weiter

3 TV + ^y =^ l^f Ä« + iVA — iW|i5 — IM6\ mithin durch Uebergang 2um Cylinder

Ist nun V das ursprünglich gesuchte Triigheitsmoment und M' die Masse des ganzen Cylinders , so muss aus naheliegenden Gründen sowohl 7^, als Ty gleich 4 ü und M =^ '^M' sein; daraus folgt

7. Trägheitsmontent der Kugel in Beziehung auf einen Durchmesser. Denkt man sich den in Streifen zerlegten Kreis um die X-Achse rotirend, so beschreibt jeder Streifen einen Cylinder, dessen Masse ^ heissen möge; für jeden solchen Cylinder ist die x- Achse die geo- metrische Achse , daher nach Np. 5.

r, = i (4 fiy') = i ^ [ »» (r« - *»)] = i itf r» _ 4 i; 0.«»).

Ferner k»t man nach Nr. 6.

r, = ^ [^ (* - 4*)» + ^ (iy» + ^'»a«)] ,

oder vermöge des Werthes von y*

folglich

3 r, + 2 Jy = 2 ;if r« — 2 ^ I d — i ^ d », mithin für die Halbkugel

3 7, -f 2 7^ = 2 JJfr*. Nennt man ü das gesuchte Trägheitsmoment und M' die Masse der Vollkugel, so ist J, = 4 i/, Ty = \V, M:=:^\M\ folglich

0. SCHLOMILCH.

ZeiUdnrift für Mathematik uTI^^ic 1..

: '4 '.•.: r V M J-i-^'-ti^ips^ai.

•■ \

'^\ ^^

' \[ [■■

Taf.I.

Zettachritt fnr Mathenuiiik'

'i -^7"--' / •»

Literaturzeitimg

der

Zeitschrift flir Mathematik und Physik

herausgegeben unter der verantwortlichen Redoction

Dr. O. Schlömiloh, Dr. B. Witzsohel

und

Dr. M. Cantor.

Vierter Jahrgang.

LEIPZIG,

Verlag von B. G. Teubner. t859.

Inhalt.

Arithmetik und Analysis.

Seile

Kambly, L*, Die Elementar-Mathematik. »4 Theile 21

KöBLBB, Dr. H.G., Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch 53

WiTTBTBiH, Professor Dr., Fünfstellige logarilhmischc Tafeln 54

BiBBENB DB Haan, Tttbles d'intiffrales definies 54

ScHWABZ, Dr. H., Grandzüge einer Elementararithmetik 59

ScHBFFLBR, Baurath Dr., Die Auflösang der algebraischen nod transcendenten

Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten 09

SoHHCKE^s Sammlung von Aufgaben aus der Dififcrential- und Integralrechnung,

herausgegeben von Dr. Schnitzlbb 87

Ci^Ausius, Professor Dr., Das Potential tind die Potentialfunction . . . . . 103

LiÜBSEN, H. B., Ausführli6he8 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra .... 109

Geometrie.

Hbib, Professor Dr. und Ebchwbilbb, Dir., Lehrbuch der Geometrie für höhere

Lehranstalten 1

Kambly, L., Die Elementar-Mathematik. 4 Theile 21

Bebbhan, W., Die Anwendung der Algebra auf Geometrie 71

Bauebnfbihd, Professor Dr., Elemente der Vermessungskunde 107

MeohanilL.

SouBFFLEB, Baurath Dr., Theorie der Festigkeit gegen das Zerknicken ... 07

Phyaik.

A. Ganot*8 Lehrbuch der Physik und Meteorologie, herausgegeben von Dr.

Wbiske 4

Trappe, Oberlehrer, Die Physik , 29

Robida, Professor, Die Vibrationstheorie der Elektricität 35

Böttobb, Professor Dr., Das Mittelmeer ; eine Darstellung seiner physikalischen

Geographie 52

Spilleb, Ph., Das Phantom der Imponderabilien 89

Bibliographie Seite 9, 32, 55, 72, 104, 112

Mathomatisches Abhandlungsregister. Januar bis Juni 1858 . . . 10

Juli bid December 1858 . . 76

Literatnrzeitnng.

Recensionen.

Lehrbudi der Geratene nm CMmiieh« an bfllrami LehramtidlaiL .Von Dr. £*Hsis, ProfdMor an der Akademie au MQaster, nnd Th. J. Esoh- wsiLBB, Director der höheren Bttrgerschale zu Cöln. 2 Theile. Cöln, Dn Mont-Sohauberg. Die Verfasaer des vorliegenden Werkes gehen von der Ansicht ans, dass ein Lefarbuchdie Bchttler nach and nach an das Selbstfinden der Be- weise und AafUfoni^n gewöhnen mttsse und daher an beiden nnr Andea- tnagen geben dftrfe , welche an An&fiihrlicbkeit in dem Maasse abnehmen, wie die Erkenntniss w&chst, und dass xweitens ein Lehrbuch einen mög- lichst reiehen Uebnngsstoff darbieten zniidBe , am sowohl den Wissensdrang besonders strebsamer Schttler sa befriedigen, als auch dem Lehrer eine Erleichterung an verschaffen , so bald er es nöthig oder rathsam findet, mit dem Uebnngsmaterial zu wechseln. Offen gesagt, ist Referent mit dieser Ansicht dorchans nieht einverstanden, vielmehr hegt er, und zwar aus ganz empirischen Grttnden, die gerade entgegengesetzte Meinung. Bevor n&m- lich ftberhaupt die Bede davon sein kann, den immer nur sporadisch vor- kommenden besonders wissbegierigen Schülern etwas Besonderes darzu- bieten oder mit der vollen Ciasse Ezcurse zur Uebung vorzunehmen, muss ohne Zweifel erst das wirklick Nothwendige gelernt sein, jene Fundamen- talstttze , die sich von selbst ergeben , wenn man dfe Geometrie auf das Kusserste Maass der Kürze reducirt, müssen unerschütterlich fest stehen; aber schon Das ist nicht so leicht zu erreichen , und Referent gratulirt von Herzen jedem Lehrer, der wenigstens- drei Viertheile seiner Schüler dahin gebracht hat. Bleibt dann noch Zeit zu Excursen , so dürfte es wohl kei- nem Lehrer der Gegenwart schwer werden, das nöthige Uebungsmaterial zusammenzubringen. Nun wird man nicht leugnen, dass in einer Wissen- schaft, wo es auf Consequenz des Denkens und Präcision des Ausdrucks so sehr ankommt, gerade die Fundamenie nicht oft genug und zwar in der nöthigen strengen Form wiederholt werden können; verweist man zum Zwecke dieser Repetitionen die Schüler auf ein Buch, das nur Andentun- gen giebt, so schleichen sich unvermerkt , theils aus Unverstand, theils aus Flüchtigkeit, allerhuid schiefe Auffassungen ein, mit deren Correctur man

Literftlantg. d. Zeittchr. f. Bfath. a. Phyt. IV. 1

Literaturzeitung.

schliesslich seine Noth hat. Zufolge dieser Gründe , die dureh eine aehn* jährige Praxis mehr and mehr bestätigt worden sind, ist Referent der Mei- nung, dass ein Lehrbuch den Schülern ausführliche Beweise der Funda- mentalsätze darbieten muss; die Frage kann daher nur noch sein, ob auch die Excurse andeutungsweise mit aufgenommen werden sollen. Selbst da- gegen erklärt sich Referent; sind der Excurse wenige, so ist die Auswahl zu gering, sind ihr^t 'Viele, so vef grossem sie das Volumen, und es sieht nachher wunderlich aus und bringt den Lehrer in ein ungünstiges Licht, wenn ein dickes und theures Buch angeschafft werden musste-und am Ende nur der kleinere Theil desselben beim Unterrichte benutzt worden ist. Will man aber dem Lehrer die von den Verfassern beabsichtigte Erleich- terung Tersehaffien, so scheint es dem ReftBrettten praküseher, em basoodo- res Werk, Materialien für den geometrischen Unterricht enthaltend, her- auszugeben ; dieses sei dann fttr den Lehrer der Vorrathskeller , woraus er den Wissensdurst der wenigen eminenten Köpfe befriedigt und aus welchem er bei besotaderen Gelegenheiten ein hors dPoemre auftischen kann. Diese Differenz der Ansichten hat übrigens 'den Referenten nicht verhind^i, «di mit dem yorliegenden Werke näher zu befreunden ^ «od er bekennt gern,' dass ihm die Ansicht desselben viel Vergnügen gewährt hat. Logische An- ordnung des Materiales, Präcision des Ausdrneks und Strenge der Be* preise sind Vorzüge, die man nifehi immer beisammen findet, mid gerade durch diese drei Eigenschaften zeichnet sieh das Buch vortheilkaft aas. Der erste Theil desselben erschien bereits 1864 (in zweiter Auflage 1858) und wird den meisten unserer Leser wohl bekannt sein, da schon der Name des Herrn Professor Heis die Aufmerksamkeit erregen musste; unsere weitere Besprechung kann sich daher nur auf den neu erschienenen zwei* ten Theil (die Stereometrie) bezieben*

Was zunächst dm Definition und die Fnndamwitaleigenschaften der Ebene betrifft, so erscheinen dieselben in einer wohl nicht gut zn recht- fertigenden Art und Weise; im ersten Theile wird nämlich die Ebene als die Fläche definirt,Mie durch drei Punkte nnr auf einerlei Art gelegt werden kann, und als Grundsatz angenommen, dass die Verbindungslinie zweier Punkte derselben ganz in ihr erhalten ist; den Anfang Tom zweiten Theil macht eine genetische Erklärung, wobei die Ebene als Kegelfläche mit geradliniger Directrix angesehen wird, und die Verfasser soeben sn beweisen, dass die entstehende Fläche eine Ebene aei. Jene Definition läset sich allenfalls vom wissensohaftliahen Standpunkte ans yertheidigen, pädagogisch betrfbchtet ist sie aber nickt viel werth/ Wenn eine' Ebene durch drei Punkte gelegt ist wie eine Platte auf drei Stützen, no kann sie Immer noch gevchoben und gedreht werden, ohne die Punkte zu veriassen; bei einer unendlichen Eben« fallen zwar diese verschiedenen Lagen zu* sainmen, wer sieh aber die Ebene begrenzt vorstellt — und dies thun die Schüler anfangs immer, wie jeder Nichtmathematiker -^ der kann jeas

Literaturseitung,

Lagen sehr wblil nnterschetdeii, und für diesen ist di« Definition nicht gan« klar. Aumerdem liegt immeT eine Schwierigkeit darin, sich einen Gegen- stand zu denken, der eine vorher bestimmte Eigenschaft besitzen soll, wKh- read es unbedenklich ist, einem schon vorhandenen, durch Construetion ge- wonnenen Objecte irgend welche Prädieate beizulegen. Die Verfasser h«t- ien daher besser gethan , ihren Gedankengang umzukehren und die gene- tische Definition vorauszuschicken. — Der übrige Inhalt des ersten Ca- pitels (Linien, Ebenen^ körperliche Ecke) ist meistens auf die gewöhnliche Weise behandelt. Das zweite Capitel enthalt die Sphärik; diese Abweich- «ng von der gewöhnliehen Anordnung ist wohl ans dem Wunsche entstan- d«ii, bei den Polyedern Gebrauch von der Kugelflächß machen zu können, denn ausserdem wSre sie nicht nothwendig gewesen. Capitel III behan- delt die Polyeder, namentlich den Euler'schen Sat2, die Oberflächen (Com- planation), die Congruenz, Symmetrie und Aehnlichkeit der Polyeder und die regelmässigen Körper. Darauf folgen in Capitel IV die Schnitte der ' Cylinder und Kegelfl&chen, sowie die Complanation derselben nebst der Complanation der Kugelflftche; Capitel V enthält die Cubatur der Polyeder, Oapitel VI die Cubatur der runden Körper. — Dieser Anordnung, welche immer mit gerade und krumm wechselt, liegt offenbar folgender Gedanke %n Grunde : Wenn nach irgend einer Richtung ein Gebilde G untersucht werden soll (wie z. B. wenn die Oberfläche oder das Volumen von G zu bestimmen ist) , so hat man zu unterscheiden , ob G ein Polyeder oder ein von krummen Flächen begrenztes Gebild ist; daher z. B. die Eintheilung III, IV, V, VI:

A. Complanation (« Polyeder , b runde Körper)

B. Cubatur (ä Polyeder, b runde Körper).

Diese Anordnung ist zwar nicht unlogisch, aber unpraktisch , weil die ver- echiedenen Eigenschaften eines «und desselben Gebildes in ganz verschie- . denen Capiteln stehen. Will z. B. Jemand irgend eine Untersuchung über den Kegel vornehmen, so muss er bald Capitel IV, bald Capitel VI zu Rathe sieben , bei Polyedern dagegen sind Capitel I, III und V zu benutzen , da man im Voraus nicht wissen kann, welcher Eigenschaften man im Verlaufe der Untersuchung bedürfen wird. Es giebt aber noch einen anderen, mehr wissenschaftlichen Grund , der gegen jene Eintheilung spricht. Man frage doch die analytische Geometrie, wie sie ihr Material anordnet; hier ist der Gedankengang strikte durch die Natur der Gleichungen begründet. Erst kemmen die Gleichungen ersten Grades (die ebenen Gebilde)', nach- her die Gleichungen zweiten Grades (krumme Flächen) etc. , und es wird Niemandem einfallen, hieran etwas zu ändern. Dies giebt einen Finger- aeig, dass die Eintheilung nicht nach den Eigenschaften, sondern nach den Objecten zu mftchen ist, also im obigen Falle

I. Polyeder (1, Complanation, 2, Cubatur)

II; Runde Körper (l, Complanation, 2, Cubatur).

1*

Literaturzeitnng.

Bei solcher Anordnung , der auch Referent in seiner Geometrie gefolgt ist, bat man den pädagogischen Vortheil, dass der höhere Unterricht dem nie- deren parallel läuft.

An die sechs Capitel reihen sieh sehn Anhänge verschiedenen Inhalts. Der erste giebt einen Abriss der descriptiven Geometrie ^ wobei Referent bedauert; dass derselbe zu dürftig ausgefallen ist, um bedeutenden Nntsen stiften zu können. Wer den hohen Werth dieses Theils der Mathematik aus eigener Erfahrung kennt , wird dem Referenten in der Meinung bei- stimmen, dass die Verfasser besser gethau hätten, hier ausführlicher zu sein und dafür die Complanation und Cubatur der hufförmigen Abschnitte von Cjlindern und Kegeln ^ welche die Quadratur aller Kegelschnitte voraus- setzt, ganz wegzulassen. Auch der Anhang über Maxima und Minima ge- hört, trotz des sehr interessanten Inhaltes , unter die Luxusartikel, üeber- haupt will es den Referenten bedtinken, als wenn die Verfasser bei den An- ^ hängen den bekannten Unterschied zwischen multum und tnulia vergessen hätten.

Trotz dieser 'Ausstellungen ist übrigens Referent nicht im mind^8toll darüber in Zweifel, dass das vorliegende Werk unter die beachtenswerthe- sten Erscheinungen der geometrischen Literatur gehört, und hält es daher für seine Schuldigkeit, die Leser darauf aufmerksam zu machen. — Die äussere Ausstattui^ ist sehr gut, namentlich der Druck so elegant, wie : es von der Teubner'schen Of&cin gewohnt ist. Schi«ömilch.

A. Ganot's Lehrbuch der Physik und Meteorologie. Nach dem Standpunkte deutscher Wissenschaft für den Selbstunterricht und zum Ge- brauche an höheren Lehranstalten frei bearbeitet von Dr. Adolph Weiske, Docent der Physik an der Universität Leipzig. In zwei Bänden. Mit 582 in den Text eingedruckten Holzschnitten, (in 8. 1. Bd. 480 S., 2. Bd. 534 S.) Leipzig, Leopold Voss. 1858. Das Lehrbuch von Oanot, welches hier dem deutschen Publicum in einer freien Bearbeitung geboten wird , gehört zu jener Classe von Lehr- büchern der Physik, die sich mit einer Darstellung der Resultate der Wissenschaft und 'mit der Anwendung derselben, sei es zum Nutzen, sei es zur Unterhaltung, begnügen. Es führt in ziemlicher Ausführlichkeit die physikalischen Erscheinungen vor, nennt die Gesetze denen sie folgen, am sie hinterher, wo es angeht, durch das Experiment zu beweisen. Die Experimente werden durch eine grosse Anzahl sauber ausgeführter Hols- • schnitte von Apparaten nach Originalzeichnungen anschaulich gemacht Die Darstellung- ist einfach und klar. Das Zurechtfinden im Buche wird erleichtert durch Einth eilung in*einzelne Paragraphen mit^Ueberschriften und durch ein ausführliches Inhaltsverzeichniss. Von einem Bestreben, die Erscheinungen genau nach Zahl und Maaas zu bestimmen, um die für

Literatnrzeitung.

die Theorie unentbehrliche Grundlage zu gewinnen , von einer Aufstellung physikalischer Probleme, und von dem Versuche, dieselben zu lösen , ist in dem Ganot'schen Buche allerdings nicht die Rede. Eine tiefere Einsicht in den Zusammenhang physikalischer Erscheinungen zu eröffiien , scheint nicht in der Absicht des Yerfassers gelegen zu haben , wenigstens macht der Titel des Buches „Tratte elämenlaire de physique experimentale et appliquSe** in dieser Hinsicht keine Erwartungen rege. Was der Verfasser mit seinem Buche will, geht übrigens deutlich aus dem Titel hervor, denn es heisst auf demselben : d fusage des Elablissements ä*inslruclion$ des aspiranis aux grades des Faculies el des candidais aux diverses ecoles du GouvernemenL Das Buch ist ganz in die Organisation des öffentlichen Unterrichts in Frankreich ein- gepasst und den grossen Erfolg, den es dort gehabt hat, verdankt es neben der Klarheit der Darstellung und der schönen Ausstattung zumeist wohl diesem Umstände. Der Erfolg, den. ein Buch in Frankreich hat, recht- fertigt aber allein noch nicht eine deutsche Bearbeitung. Das deutsche Schulwesen ist von dem französischen gänzlich verschieden und ein Buch, welches für französische Verhältnisse zugeschnitten ist, muss eben dess- wegen den Zwecken unserer Lehranstalten nicht entsprechen. Die besseren deutschen Lehrbücher der Physik, mit dem Oanot'schen Lehrbuch ver- glichen, zeigen zudem deutlicli, dass man in Deutschland von ganz anderen Voraussetzungen ausgeht. Für den ersten Unterricht in der i^hysik, der wenig oder gar keine mathematischen Kenntnisse voraussetzt, bietet das Buch viel zu viel, und für den Unterricht an unseren höheren Lehr- anstalten ist es zu oberflächlich. Wir können uns eigentlich nur einen Kreis von Lesern denken, denen das Buch willkommen isf;, Leuten nämlich,^ denen es nur um die Anwendung der Wissenschaft zu thun ist und die zu bequem oder mit zu wenigen mathematischen Vorkenntnissen ausgerüstet sind , um einer theoretischen Erörterung folgen zu wollen oder zu können. Dass das Ganot^sche Lehrbuch für deutsche Lehranstalten nicht ausreicht, scheint der Bearbeiter auch gefühlt zu haben, indem er es nach dem Stand- punkte deutscher Wissenschaft bearbeitet zu haben vorgiebt. Ein Buch aber, das von Haus aus auf keinen hohen wissenschaftlichen Standpunkt steht, kann durch eine blosse Bearbeitung nicht zit einem Lehrbuche werden, wie wir es auf unseren höheren Lehranstalten gebrauchen. Sollte es ein wissenschaftliches und selbst nur ein elementares Lehrbuch werden, ein Lehrbuch, welches sich unsern guten deutschen Lehrbüchern an die Seite stellen könnte, so müsste es so umgearbeitet werden, dass von seiner ursprüng- lichen Gestalt wenig oder nichts übrig blieb , d. h. es müsste eine selbst- ständige Arbeit werden.

Gehen wir nach diesen allgemeinen Bemerkungen etwas näher auf die deutsche Bearbeitung ein, so finden wir, dass eine wörtliche Uebersetzung vor der freien Bearbeitung deu Vorzug verdient hätte. Wir können natür- lich nicht Schritt ftir Schritt eine Vergleichung zwischen der Bearbeitung und

6 Literaturzeitung.

dem Originale geben, and beschränken nns daher an einigen Beispielen das Verhältniss beider zu einander zu zeigen. Ueber den Schwerpunkt sagt Oanot: j,Lecenlre de gravtie cTun corp9 est un pointpar lequel passe constammeni ia rem/- tanie des aclions de la pesanteur sur les moldcules de ce corpSy dans touies les posi- tions qü'il peut prendre* On demonirey en statiquef ftte iotU corps a un centre de gravtie unique;*^ der Bearbeiter dagegen: „die an den einzelnen Moleculen eines Körpers wirkenden Schwerkräfte lassen sich alle durch eine einsige Resultante ersetzen. Den Angriffspunkt dieser letzteren nennt man den Schwerpunkt des Körpers. £s kann daher ein Körper nur einen einzigen Schwerpunkt besitzen.*^ Ueber die verschiedenen Arten des Gleichgewichts ' heisst es bei Ganot : „L'equilibre stable est Tetat d'un corps quiy detne de sa Posi- tion dtequilibrey y revieni de luitneme attssitdt quaucun obstacle ne s'y oppose, Cei eial se presente touies les fois qu'un corps est dans une posiUon teüe que son centre de gravite est plus bas que dans toute aulre position voisine. Si le corps est alors depiace, son centre de gravite ne peut itre que releve, et comme la pesanteur tend Sans cesse ä fabaisser, eile le ramene^ apris une suite ifoscillations^ ä sa posi- tion pr emier Cf et Vequilibre se retabliU — L'öquilibre ins table est Velat (fun Corps qui, devie de sa position ddquilibre^ ne tend qu^ä s^en ecarier davantage. Cet etat se presente touies les fois qWun corps est dans une position teile que son centre de gravite est plus haut que dans toute aulre position voisine ; car, par un depla- cement quelconque , le centre de gravitd itant abaissS, la pesanteur ne tend qu^a Vabaisser davanlage. — Enfin on nomme iquilibre indifferent celmquiper- siste dans toutes les positions que peut prendre un corps. Ce genre Vequilibre se renconire lorsque^ dans les diverses positions du corps^ son centre de gravitd n^est niirelevey ni abaissd, ainsi quHl arrive par une roue de voiture soutenue par son essieu, ou pour une sphere reposani sur un plan horizontaL*^ Ueber denselben Gegenstand lautet die deutsche Bearbeitung : „Im stabilen Gleichgewicht befindet sich ein Körper dann, wenn er freiwillig in seine Gleichgewichts- lage zurückkehrt, nachdem man ihn aus derselben entfernt hat, und ihn dann wieder sich selbst überlässt. ' Dies Oleichgewicht findet allemal dann statt, wenn der Schwerpunkt des fraglichen Körpers sich unterhalb seines Unterstatzungspunktes befindet, also z. B. bei allen frei an einem Faden herabhängendenKörpern. Die Verschiebung eines solchen hat zur Folge, dass er, nachdem das Hinderniss verschwunden, so lange um seine Ruhelage hin und her oscillirt , bis er wieder in derselbQ.n stehen bleibt. — Man kann auch einen Körper, der unterhalb seines Schwerpunkts unterstützt ist, in das stabile Gleichgewicht bringen, sobald man ihn nicht blos auf einen ein- zigen Punkt, sondern auf eine breite Fläche oder mindestens auf drei weit genug auseinander gelegene Punkte stützt. Das labile Gleichgewicht findet dann statt, wenn sich der Schwerpunkt eines Körpers senkrecht über dem Unterstützungspnnkte befindet. Verschiebt man in -diesem Falle den Schwerpunkt nur wenig seitwärts, so tritt ein völliges Umschlagen des Körpers ein. Beim indiffcronton Gleichgewicht endlich behant

Literatnrseitung.

der Körper in allen möglklien Lagen, in die wir ihn bringen, und zeigt kein Beatreben , von selbst in eine andere Lage sich zu begeben. Es ist dies dann der Fäll, wenn der Schwerpunkt mit dem Unterstützangspnnkt zusammenfällt, wie wir es bei einem Hade finden, das man um seine Axe drehen kann und das in jeder Lage stehen bleAt. Doeh kann aüeh der Fall vorkommen, dass der Schwerpunkt selbst nicht unmittelbar unterstützt ist, dass sich aber bei jeder Verrückung des Körpers immer wieder senk- recht unter dem Schwerpunkt ein Stutzpunkt vorfindet. Ein Beispiel für diesen Fall liefert eine Kugel, die auf einer horizontalen Fläche ruht."

Wollten wir alle Stellen anführen, wo die Bearbeitung zu ihrem Nach« tkeil von dem Original abweicht, so würden wir uns schwerlich den Dank UQsrer Leser verdienen. Wir erwähnen nur noch, dass auch in der An- ordnung der einzelnen Gegenstände die deutsche Bearbeitung hier und da vom Original abgewich^i ist. So lässt der Bearbeiter z. B. die Betrach- tang des Oleiehgewickts eines Körpers auf einer schiefen Ebene , die im Original bei Gelegenheit des Falles der Körper eine Stelle findet, auf den Satz vom Parallelogramm der Kräfte (der wie im Original ohne Beweis hingestellt wird) folgen, obgleich von der Schwerkraft erst viel später die Rede ist: aber es kam dem Bearbeiter darauf an T,eine der wichtigsten Anwendungen der Zerlegung der Kräfte" zu geben. An die Betrachtung der schiefen Ebene schliesst sich dieBetrachtung des Keils und der Schraube. Des Hebels und der Rolle wird in einem andern Abschnitte Erwähnung getfaan. Wenn der Bearbeiter über die einfachen Maschinen nichts Besse- res zu sagen wusste, als wir hier finden, so war es besser sie ganz mit Still- schweigen zu übergeben , wie es Oanot gethan hat. In dem Paragraphen über die Planetenbewegung, den die deutsche Bearbeitung hinzugefügt hat, findet man nach dem ersten Kepler^schen Gesetze die Bemerkung: „die Brennpunkte sind bekanntlich zwei auf dem grössten Durchmesser der Ellipse gelegene Punkte, die in den geometrischen Beziehungen dieser krummen Linie eine wichtige Bolle spielen.'^ Was diese Bemerkung soll wissen wir nicht; denn entweder setzt man voraus, der Leser weiss, was für Punkte die Brennpunkte sind, oder man setzt es nicht voraus, in welchem letzteren Falle man es ihm einfach zu jagen hat. — Aus dem Angeführten mag Jeder sich ein Urtheil bilden, was er von dem wissenschaftlichen Standpunkte der deutschen Bearbeitung zu halten hat Erwähnen wollen wii'.nnr noch, dass von den 228 Seiten, die die sogenannte mechanische Naturlehre einnimmt, eine Seite und sieben Zeilen auf die Wellenbewegung kommen. In der Akustik und Optik, wo es wünschenswerth ist die Schwin- guttgsbewegnngen durch Abbildungen veranschaulicht zu sehen, fehlen diese fast gänzlich , während sonst im Buche ein unwürdiger Luxus mit Holz- schnitten getrieben worden ist; denn wie soll man es anders nennen, wenn das Herabfallen der^Feder und der Bleikugel im luftverdünnten Baume, das Zerdrücken einer Membrane durch den Luftdruck, das vergebliche Bemühen

Literaturzeitang.

zweier Hände die Magdeburger Halbkugeln von einander zu reiBsen und ähnliche 'Dinge abgebildet sind. Die Holzschnitte Fig. 13. 96. 90. 100. 244 gehören aber geradezu in ein Bilderbuch.

Noch einen Punkt müssen wir berühren. Der Bearbeiter hält es, wie er in der Vorrede sagt, en#chieden für zweckmässiger die Lehre vom Mag- netismus als einen Theil der Electricitätslehre zu behandeln. Uns scheint zunächst die Frage nicht zu sein , ob es zweckmässig ist die Lehre vom Magnetismus als einen Theü der Electricitätslehre zu behandeln , vielmehr wünschten wir vorher die Frage entschieden zu sehen, ob die Wissenschaft überhaupt schon bis zu dem Punkte gelangt ist, alle magnetischen' und diamagnetischen Erscheinungen ans den allgemeinen Ausdrücken für die zwischen zwei Electricitätstheilchen wirkende Kraft ableiten su können. Diese Entscheidung ist im Buche nicht gegeben und in demselben nicht zu erwarten; man findet darin weder il as Amp^re'sche Fundamentalgesets noch auch die Verallgemeinerung desselben von Weber ausgesprochen. Oesetst aber den Fall, die Frage wäre entschieden, und man könnte oder mftsste die alte Hypothese der beiden magnetischen Materien fallen lassen, so könnte entweder von Zweckmässigkeit gar nicht die Rede sein oder doch nur insofern, als man es für den Unterricht erspriesslich hielt su zeigen, was die alte Hypothese leistete, und bei welchem Punkte sie auf- gegeben werden musste. Da die alter Hypothese so ziemlich alle magno* tischen Erscheinungen ungezwungen zu erklären vermag, so ist es gewiss zweckmässig sie im Unterrichte zunächst noch beizubehalten; der Unter- richt hat ja darzulegen, wie die Wissenschaft, von besonderen Hypothesen ausgehend, sich schrittweise zu allgemeineren Vorstellungen erhebt. Diese Ueberlegung ist wohl auch der Grund, warum in unsern besten Lehrbfichem die Lehre vom Magnetismus zunächst getrennt von der Elestrieitfttslehre vorgetragen wird.

Wir glauben von einem weiteren Eingehen in das Buch absehen su müssen, da eine derartige Bearbeitung der Physik einen zu geringen wis- senschaftlichen Werth besitzt. Bedauern müssen wir Übrigens, dass der Bearbeiter; der, Docent an einer Universität ist, die sofort an die Na- men Fe ebner und Weber erinnert, von dem Standpunkte deutscher Wissenschaft sowohl als von dem Bedürfnisse an unseren höheren Lehr- anstalten einen so geringen Begriff hat. Dem Referenten kommt unwill- kürlich der Gedanke, dass der Bearbeiter bei seiner Bearbeitung des Ganot- schen Lehrbuches an junge Mediciner eines gewissen Schlages gedacht hat, denen er für die Repetitorien der Physik ein Buch hat in die Hände geben wollen. Zu einem solchen Zwecke können wir es immerhin empfehlen und würden es noch lieber thun, wenn es Herrn Dr. Weiske gefallen hätte, eine reine gute Uebersetzung zu liefern. Der Verlagsbuchhandlung ist man hin- sichtlich der Ausstattung des Werkes jode Anerkennung schuldig.

Dr. Rudolf Hoffmank.

Bibliographie

vom 10, November biß 6. December 1858.

Periodiaehe Sohriften. Die Fortschritte der Physik im Jahre 1856. Jahrg. 12, 'redig.

von Krönio. 1. Abth. Berlin, Reimer. 2 Thlr.

Bulletin de la classe physico-mathematique de VAcademie de

Peter shourg. Tome XV JL Leipzig, Voss. ' 3 Thlr.

Melanges physiques et chimiques tiräs du bulletin physico-ma-

ihiimatique de VAcadSmie des sciences ä Petersburg, Tome

III, livr, 3. Leipzig, Voss. 1 Thlr.

Beine Mathematik.

ScBWARZ, H.f Orifndzüge einer Elementar-Arithmetik. Ha- gen , Butz. 24 Ngr.

Leoendbe's Elemente der Geometrie, übers, von Grelle. 5. Aufl. Berlin, Rücker & Pichler. 2 Thlr.

Zähbinoer, H., Leitfaden für den Unterricht in der Geometrie. 2. Aufl. Luzern , Kaiser. ' 18 Ngr.

WöCKBL, L., Die Geometrie der Alten in einer Sammlung von 850 A u f g a b e n. 5. Aufl. Nürnberg , Bauer & Raspe. 18 Ngr.

Magener, A., Cubatur des Fusspunktenkörpers eines Ellip- se i d e s. Posen und Berlin , Mittler. ' '^ Thlr.

Angewandte Mathematik.

Niederrist, J., Anleitung «zur Markscheidekunst. Brunn, Wi- niker. % Thlr.

ScHEFFLER, H. , Theorlc der Festigkeit gegen das Zerknicken nebst Untersuchungen Über die inneren Spannungen gebogener Körper und über andere Probleme der Bie^ gungstheorie. Braunschweig, Schul buchh. (Vieweg). 24 Ngr.

Wiese, F. K. H., Die Lehre von den einfachen Maschinenthei- 1 e n. 2. Bd., 4. Lief. Berlin , Ernst & Korn. 1 % Thlr.

Ri^ABE, J., lieber die fortschreitende Bewegung der Schwer- punkte der Planeten. Zürich, Orell, Füssli & Comp. %Thlr.

Eckhardt, C. L. P., Nene Sternkarte. 3 lithogr. Blätter mit Text in - gr. 8. 4. Aufl. Giessen, Ferber'sche ünirers. - Buchh. 1 Thlr.

Schubert, J. F. , Exposi des travaux asironomiques et geodS- siques exicutes en Russie dans un but geographique Jusgu^ä VanrNe 1855. Leipzig, Voss. 11 Thlr. 3 Ngr.

Phyiik.

Fechmer, G.J., Ueber ein wichtiges psycho-physisches Ge- setz und dessen Beziehung zur Schätzung der Steru- grössen. (Abb. d. Leipz. Ges. d. W.) Leipzig, Hirzel. % Thlr.

Dietrich, A., Die Elektricitätsverhältnisse der Atmosphäre unter dem Einflüsse der Eisenbahnen und der elektri- schen Telegraphier Dresden, Meinhold & Söhne. % Thlr.

RoBiDA,P. K., Magnetismus. Fortsetzung und Schluss der Vibrationstheorie der Elektricität. Klagenfurt, LiegeFs Buchhandlung. ^k Thlr.

Mathematisches Abhandlungsregister.

Das hier folgende Register enthält sämmtliche matbematisohe Abhandlungen, welche innerhalb der jedesmal anzugebenden Zeitperiode in Zeitschriften und Aka- demie berichten , so weit dieselben der Bedaction zugänglich waren , erschienen sind. Es schliesst sich eng an das Begister gleichen Inhaltes an , welches in dem ersten (einzigen) Bande der Kritischen Zeitschrift für Chemie , Physik a»d Mathematik ent- halten ist , und benutzt dieselben Abkürzungen. Nämlich :

Astr. Nachr. bedeutet : Astronomische Nachrichten 7on Schumacheri fortge- setzt von Peters. — Altona. Monatsberichte d. Academie der Wissenschaften zu Berlin. Comptes rendus hebdomadaires des siances de Vacadiaäe de$

Sciences. — Paris. Cr eile *s Jonmal für die reine und angewandte Mathema*

tik, fortgesetzt von Borchardt. — Berlin, Archiv für Mathematik und. Phjsik , herausgegeben von

Grüner t. — Greifswalde. Journal desmathOnaHques pures ei appUquies par M, Liou-

ville. — Paris, Noitvetles annates de mathimatique par M. Ter quem ei Gi- ro no, — Pttris. Bulletin de la classe physico -mathimalique de taeademie de

St. Petersbovry, The London, Edinburgh and Dublin Philosophkai Magazine and Journal of science\ condttcted by Brewster, Taylor, Kane, Francis and Tyndall. — Londou. The quarterly Journal of pure and applied mathemaües con-

ducted by Sylvester and Ferrers. — London, Berichte über die Verhandlungen der k. sächsischen Ge- sellschaft der fVissenschaftcn zu Leipzig. Mathema- tisch - physikalische Klasse. Sitzungsberichte der mathematisch - naturwissenschaft- lichen Klasse der Academie. der Wissenschaften an Wien. Zeitschrift für Mathematik und Physik, herausgegeben von SchlÖmilch und Witzschel. — Leipzig.

Berl. Acad.Ber. Compt, retid,

Crelle

Grün. Archiv

Joutm, Mathinu

N. ann. maih,

Peiersb.Acad.BuU,

PhU. Mag,

QuarL Jouni. Meth„ Sachs. Acad. Ber.

Wien. Acad. Ber.

Zeit8chr.Math.Phys. „

Erste Hälfte:

1858.

1. Jannar bis 30. Juni.

Analytiaeh« GMiMtrlt (dar Sbtfte).

1. Sur la courbe y a?« + & j? + c=^ 0. JV. ann, nudh. KVIl, 118.

2. Sur une certaine classe de cow-bes de troisieme degrd, rapporties ä ligues droiies, qm

d^aident de parameires donnös, BJerknes. Crelle , LV, 3 iO.

3. Theorems respecting the polar conics of curves of th& third degree, Smith» Quart*

Joum. Math. II, 208.

Lheratarzeitung« 11

\

4. Skr le9 ovales de Descarte». Sir e bor, N. atm. math. KVII, 234.

5. Awordonfoci, Roberts, Qwtrt. Jovm. Math. II, I9b.

6. Die orthogonale Transversale und die Brennlkiie der zarück geworfenen Strahlen

für die Cycloide und filr die logarithmische Bpirale. GanBs. Gran. Archiv XXX, 121. Yergl. Cycloide, Ellipse, Evolution, Hypetbel, Kegelschnitte, Kreis, Parabel, Quadratur.

^ Analytisehe Geometrie (des Banmei).

7. Stir le Heu giomitrique des centres des sections faiies dans wi cöne du second ordre par

Wie Stute de plans passant tous ou par un meme point, ou pttr wie mime droite. Mar-

quet et Dalican, N. ann. math. XVII, 172. & Zur Theorie der parallelen Curven. Hoppe. Grelle LV, 95. 0. Ueber die Enveloppe der Bahnen von nach einem Punkt gravitirenden Körper-

theilchen. Beer. Wien. Acad.- Ber. XXIV, 3 1 4.

10. Sur ta coiarbure faite dans wie sur face par tm plan Umgent, De la Gournerie,

Joitm. Mathim, XXIII, 73.

11. Sur Viquation du cylindre parahoUque. Gerono. N, ann, nuäh. XVII, 230. Vergl. Krümmung.

12. Note on ihe expansion ofthe true ano^alg, Cayley, Quart, Jornti, Math, II, 229.

ApprozhDMÜon.

13. Ueber den Fehler, den man begeht, wenn man den Winkel statt de)r Tangente

und des Sinus setzt. W ol f e r s. Grün. Archiv XXX, 359. Yergl. Bestimmte Integrale 27; Functionen 85; Gleichungen (numerische) 116;

Interpolation; Maxima und Minima 153; Methode der kleinsten Quadrate.

« Astronomie.

14. On the Um of Bode. Tebay. PML Mag, XV, 206.

15. NowTetle th^orie du moituement de la lune, Delaunay. Compt. rend, XLVI, 9[2,9bZ,

Jouni, Mathim. XXIII, 220.

16. Sur la ditermination des dicRnaisons et des ascensions droites des itoiles par des ob-

servations azwmtales. Emm, Li als, Compt. raid. XLViy 400.

17. Durch Beobachtungen am Passageninstrument ausserhalb des Meridians die Zeit

zu finden. Hansen. Astr. Kachr. XXiYUI, 113.

18. Referat über Hansen^s Mondtafeln (französisch von Pulse ux). Lionville«

Joxtrii Mathim. XXXIII, 209.

19. AVc? on the rotation of a heavenly body. Tebay. Phil. Mag. XV, 211.

20. Offenes Schreiben an Herrn Prof. Encke, Director der Sternwarte in Berlin.

Hansen. Astr. Kachr. XLYIU, 129.

^nOitlk. 2i. Ueber die geometrischen Eigenschaften der gravitas accelatrix Newton's.und ihre Consequenzen für die Atomenlehre. G e nsl e r. Grün. Archiv XXX, 1.

Attraktioi.

22. Ueber die Beduetion der Aitraktionskräfte zweier MoMen. So hall. Zeitsehr. Math. Phys. III, 80.

' /f TT /IV Ä 7

23. Sur la dimonstraihn de Viquation t- + -j- + 7^= — 4«e*o, C laust ns. Jourk,

ax ay az

Mathim. XXIII, 57.

24. Ueber Gravitation und Erhaltung der Kraft. E. Brücke; Wien. Acad. Ber.

XXV, 19. - Phil Mag XV, 81.

25. On the integral of gravitation and its consequents with reference to the ntfasta'e and

iransfer or cononunication of force. H'at er s ton. P/tU. Mag. XV, 329. 20. yote d Coccasian du memoire de M. Ilirst sur l'aitraction des paraboloides eUipliquea, Bourget. Joum. Mathim' XXIII, AI. Yergl. Analytische Geometrie des Raumes 9 ; Atomistik.

m.

BestimmtolatogTale. 27. Ueber die Gauss'sche Qaadratiu und eine Verallgemeinerung derselben. Chri- stoffel. CrcUoLY, 61.

12 Literaturzeitang«

28. Ueber die Ableitang des Differentials Ton logr{x). Claus en. Ornn. ArcliiT

XXX, 169.

29. Transformation eines bestimmten Integprals. 8chlömileh. Zeitschr. Ifaih.

Phys-lII, 115.

dx, wenn m und n positive ganze Zahlen nnd .m 2 n. M i n d i n g. Gnin. Archiv XXX, 171.

n 2

31 . Ueber den Quotient

ient i^ ^^ . f^ ^^ .Papin, jy.aw.

math. Xni 61.

32. Ueber einige bestimmte Integrale. Dienger. Gran. Archiv XXX, 250.

33. Uebor einige bestimmte Integrale. Zehfuss. Gran. Archiv 465, 469.

[/ j dxdy , , . dz.

34. Oh the mulHple irUegral j dx dy . . . dz. Sehlaeffli, Quart Joum. Math, II, 269.

35. Redaction eines vielfachen Integrals . Schl5milch. Zeitsch. Math. Phys. m, 22. Vergl. Anomalie; Elliptische Functionen; Functionen 80; Gammafnnctiondn ;

Gleichungen 112; Imaginäres 124; Reihen 207.

Binomialreihe.

36. Elementare Summirung einiger Reihen und daraus abgeleiteter Beweis des bino-

mischen Lehrsatzes für negative ganze Exponenten. G r u n e r t. Grün« Arehir XXX, 336.

37. Ueber die binomische Reihe. Heine. Grelle LY, 279.

C.

Capillarit&t ^. Sur la thiorie eapUlaire. Arthur. Compt. rend. XLVI, \W!b.

Comhinatorik.

39. Sur le nombre de valeurs que peut acquirir une fonction dß n fettres , guand on y per-

mute ses lettre» de toutes les monieren possiblea, Emile Mathieu. Compt, rend. XLVI, 1017, 1208.

Ootas'sdier Sali.

40. Der Satz von Cotes auf die Ellipse erweitert G r u n e r t Grün. Archiv XXX» KM.

OnbikwnneL

41. Notre sur Vextraction de la radne cubique. Forestier. N, ann. math, Xyil, 7. • A2. Extractian abrigie d'une racine cubique. Genocchi. N. arm.math. XFII, iifi.

Oabiteh« Tomitt vergl. Gleichungen 105; homogene Functionen 119, 120.

Qydoide» 4d. Lehrsate über einen rollenden Kreis. O. B öklen, Grün. Archiv XXX, 460. 44. Untersuchung der Evoluten der Cycloiden. Lang. Gran. Archiv XXX, 319.

PettTBuhiaattiL 45. Sur un certain systhne d*iquatton9 Uniaires, Painvin. Jaurn, Mathim. XXIII, 41. 46» Solution d^une iquation indeterminee d trois inconnuea, SouHlart, — E, Mathieu. N. ann, math. XVII, 192.

47. Rapport entre deux diterminants. E. Mathieu, N. ann. math. XVII, 187.

48. Th^hne sur les dStemdnants gauches. Cayley. Grelle LY, 277.

Determinanten (in gccmeMaelicr Anwendung).

49. Zu den Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung. Hesse. Grelle LY, 83.

50. Biscussion des lignes et surfuces du secand ordre. Painvin, N,ann.maih.XF'II,i90»

Literatarseitang.^ 13

^>I^^^S^^^^^^I^t^^^i^^^i^^^t^^^>^^^^^m^,^^L^^^^^S,m^t^0t^^^^^^ly^f^^^y^,^^

]Mfltar6EtlAlgltldni]i0WL

51. Integration verschiedener Differeatialgleichnngen. 8. S p i t z e r. Zeitschr. Math.

Phys. III, 100.

52. Note inr Integration der linearen Differentialgleichung

8. 8 p i t B e r. Oran. Archiv XXX, 76.

53. Bemerkung snr Integration der Gleichung

xt dx + xt dx\ + Xi dxf + d? Jxg = 0. 8. 8 p i t z e r. Grün. Archiv XXX, 83.

54. Integration der linearen Differentialgleichung

8. 8 p i t z 6 r. Zeitschr. Math. Phya. III, 55.

55. Integration der linearen Differentialgleichung

a^0^4-*fa;)y'H-a?(rtiH-Äia?)y + (ao + *oa?)y = 0. 8. 8 p i t z e r. Zeitechr. Math. Phys. III, 53.

56. Integration der Differentialfi^leichung

{flt^btx)y 4-(ai-»-*ia:)y +(öo + 6o«)y = 0. 8. 8 p i t z e r. Wien. Acad. Ber. XXV, 31 . — XXVI, 449, 479.

57. Bemerkungen über die Integration der linearen Differentialgleichung

8. 8 p 1 1 z e r. Zeitschr/ Math. Phys. III, 47.

58. Sur riniiffration de quelques iquati&ns diffirentieUes, Lobatto. Grün. Archiv

XXX,!a92.

59. Eine Bemerkung über Integration linearer Differentialgleichungen. Weiler.

Grelle LV, 274.

60. lieber Herrn Spitzer's Abhandlung: die Integratio^i mehrerer Differentialgleich-

ungen betreffend, und die darin erhobenen Prioritätsansprüche. Petzval. Wien. Acad. Ber. XXVIII, 253.

61. Infegration einer partiellen Differentialgleichung. 8. 8pitzer. Grün. Archiv

XXX, 335.

62. Aufstellung der linearen Differentialgleichung, von welcher ein gewisses particu-

läres Integral bekannt ist. 8. 8 pitze r. Zeitschr. Math. Phys. III, 178.

DÜbrentialquotieiiL

63. * EntWickelung des ^^«b Differeatialquotienten von y = e^^, 8. 8 p i t z e r. Grün.

Archiv XXX, 79.

64. Zur Theorie der höheren Differeatialquotienten. Schi (i^m i 1 c h. Zeitsohr. Math. . Phys. in, 65,

DüEsrentialreelmung.

65. Ueber einige Aufgaben von Bertrand. Mathieu. N. arm. nuUh, XVII, 12.

Differeniuigleiehuiigen.

66. Ueber die Auflösung der linearen endlichen Differenzengleichungen mit variabeln

Ooefücienten. G. Ze h f uss. Zeitschr. Math. Phys. III, 175.

B. * SlastiUdtät

67. Memoire sur te traväU des forces dfastiques dans un corps solide ilastique diformi par

Vactivn de forces extirieures, Clapeyron. Compt. rend. XLFI, 20^

68. Du traoaü des forces ilastiques dans Vinterieur d'un corps solide et particiäierement des

ressorts. Phillips. Compi. rend. XLVI, ZSZ, 440.

69. Etablissement iUmentaire des formules de la torsion desprismes ilastiques. DeSaint-

Venan t. Compi. rend. XL VI, 34.

70. Nouveau principe swr la distrihutüm des torsions dans tes systemes ilastiques. Mino-

bria. Compt rend. XLVI, um.

ZUips«.

71. Der 8atz des PtolemKus auf die Ellipse erweitert. Grunert Grün. Archiv

XXX, 109.

72. Ueber eine Eigenschaft der Ellipse. O. Böklen. Grün. Archiv XXX, 436.

73. Sur les diametres cor^uguis de teUipse. Oerono. N, amt. math. XVII, 125.

14 Literfttorzeitnng.

74. lieber den Flächeninhalt in oder um eine SIHpBe beBchriebener Dreiecke und

Vierecke. G r u n e r t. Grun.ArchIv XXX, 1 1.

75. Merkwürdige Constructlon des grössten in , und des kleinsten um eine Ellipse be-

schriebenen Vielecks von gegebener Seitenahhl. Grüne rt. Oran. Arcbif XXX, 84. - B.Spitzer, ibid. 352. Vergl. Cotes'scher Lehrsatz; Bectification; Trisection des Winkels 223.

EUiptische limottonen.

76. Transformation d^ Landen conaidMe geomdtriquement, Küpper, Grelle LV, 89.

77. On the cubic transformation of an elHptic function. Cayley. Phil. Mag. -Yf^, 36^

78. Star quelques formules relatives ä la transformation des fonctions ellipiigues,, Her-

mite. Campt, rend. XLVI, 171. - Jbwr/i. MaÜiim, XXIII, 26.

79. Swr quelques formules pour la Irtmsfor/nation des intigrales eUiptiques. Cayley.

Grelle LV, 15. Vergl. Gleichungen 105, 106, 107, 108.

'Eyohitioii.

80. Sur les cenlres successifs de (^urbure des lignes planes, ffaton de la Goupil-

liere. Campt, rend. XLVI, 930, 979. Vergl. Gycloide 44.

F. Tastoriall«.

81 . On the factoritd notation. Elphinstone, Quart. Joum. Math, II, 254.

Vnnotionalgloicliimgeii.

82. Ueber die Gleichung . ^ (o;) «f 9 (y) =: ^ (o; f{y) 4- y f(x)\ G 1 a a s e n. Gran. Ar-

chiT XXX, 170.

Fonotiondit.

83. Ueber die lineare Abhlingigkcit von Functionen einer einzigen Veränderlichen.

Christoffel. Grelle LV, 281.

84. Sur wie question du oalcui inverse des diffl^rences, Ter quem. N. ann. taath XVII, 1 22.

85. Ueber die approximative Darstellung gegebener Functionen. SchlÖmilch.

Zeitechr. Math. Phys. III, 124.

80. Ueber die Function f{n) = 1 — 0;; + ^^ — t^^"" Klausen. Grün. Archiv XXX, 166. — Schjömilch. Zeitsohr. Math. Phys. III, 130.

Oaininafiincttoit.

87. Einfache Herleitnng des Gauss^schen Ausdrucks für rQci). Zehfnss. Gnm.

Archiv XXX, 441.

OdodAsie.

88. Sur le diveloppement modifii de Flamsteed, A Tissot. Compt. rend. XLVI, 646.

Oaomotiie (höher«).

89. Ueber die Perpendikel beim Dreiecke. Oxamendi. N. ann. math. XVII, 19.

90. Vermischte Sätze und Aufgaben. Steiner. Grelle LV, 356.

91 . Propri^tes des figures homographiques dans Vespace. De Jonquieres, N. ann mtttk.

XVII, 51.

92. Note sur tat prahl eme de g^omitrie ä trois dimensions. De Jo'nquieres. Journ.

Mathen. XXIII, 53.

93. Sur un thiorkme de Brianchon, Mention, Petefsh, Acad. Bull XVI, 280.

OecoMohto der ITftthftmatlV.

94. Les coniques d'Appollonius. HouseL Joum, Malhäm. XXIII, 153.

95. Sur les Porismes d'Euclide. Breton (de Champ.). Joum. Mathim. XXIII, 89.

96. Ueber ein arabisches Astrolabium. WSpcke. Berl. Acad. Ber. 1653, 50.

97. Ramus in Heidelberg. Gan to r. Zeitschr. Math. Phys. ni, 133.

08. Ueber wieder aufgefundene Schriften Vieta's. Fillon. Compt. rend. XLVI, ö^« 99. Sur les kAles iogarühmiques dt Prony. Biot. Compt. rend. XLVIy 911. — ^' Verriet, ibid. 912. --Lefort, ibid. 994.

LiteratarseitQiig« 15

100. mcrotogue tTAuffUitm JUnd9 (kne^. Biot. Gnu. Arcfaiv XXX, 46.

101. StiT la directum des coordinies. Ter quem, N, ann. math, XVII, 121.

102. Otigine du mot calcuier. Ter quem, N. awi. math. KVII, Builetin de bibl, 33. Yergl. QuadratwurzeL

OMdiimgoii.

103. Auflösnng dreier Gleichungen mit drei Unbekannten. Grunert. Gran. Archiv

XXX, 470.

104. Sur quelques ih^orimes d'algebre et la räsolution de Vöquaiion du quairieme deffre,

Hermite. Campt, rend. XLVI, 961.

105. Sur la r^oluUon de Cequaiion du qttatrieme degr^, Hermite, CtMnpt. rend. XLVI,

715.

106. Sur la resolutian de tiquation du cinquieme degri, Hermite. Compt. rend. XLVI,

508.

107. Sur Ja risoMion de fäquatUm du citiqui^me degrS, Kronecker, Compt. rend,

XLVL 1150.

108. lieber Gleichungen des siebenten Grades. Krone ck er. Berl. Acad. Ber.

1858, 287. 100. Demonstration d'imeproposition relative aux iqiuaions trfmscendanies. G&rono, N,

atm.mtah. XVJI, 201. 110.' Von der Auslösbarkeit ganzer rationalen Functionen n'^ Grades in Factoren.

A m £ a d e. Gnin. ktthiY XXX, 443.

111. On certain researches of Euler. Cookie. PhiL Mag. XV, 389. ,

112. Auflösung der algebraischen Gleichungen in Form bestimmter Integrale. S«

Hoppe. Zeitschr. Math. Phys. lU, 1 78. Vergl. Oembinatorlk) Determinanten.

Oleiehungen, numerisehe. 118. Ueber eine von transcendenten Operationen nicht abhängende Formel zur Auf- lösung des irreduciblen Falls bei den cubischen Gleichungen. Grunert. Grün. Archiv XXX, 135.

114. Risolulion numinque des iquations du troisihne degri. 'Castrogiovanni. Compt.

rend, XLVI, 608.

115. Sur le nomhre des racines rielles de Viquution x:=z A . sinX'^ B. Vanuson. N.

ann, math, XVII, 108.

116. Ueber die Auflösung der Gleichungen durch Näherung. Grunert. Grün. Ar-

chiy XXX, 54. yergl. Methode der kleinsten Quadrate 171.

Homogene FiMtlentn.

117. Ueber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem.

Weierstrass. Berl. Acad. Her. 1858,207.

1 18. On the simultaneous transfvrmatum ofimo homogeneous functions bf the second order,

Cayley. Quart. Joirm. Math. 11, J92.

119. Sur la theorie des f&rmes cubiques ä trois indäterminSes:- Hermite. Joum. MalkÄm.

XXIIl .37.

120. Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veränderlichen.

Aronhold. Grelle LV, 93. ^

Hydrodynamik.

121 . Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen , welche den Wirbelbeweg-

.nngen entsprechen. Helmholt z. Crelle LY , 25.

Hyperbel.

122. Ueber die gleichseitige Hj^erbel und die ihr analoge Fläche zweiten Grades

Küpper. Zeitschr. Matll. Phys. III, 1 19. Vergl. Trisection des Winkels 223.

I.

Imagialres. 123; Ueber die graphische DarsteUung imagiik&rer Functionen. Sieb eck. Grelle LV, 221.

16 Lileratarseitung.

124. Note relative aux pMode$ tTtme intigrale d'ordre.quelcmigue, Marie. Combi. renL XLVJ, 738.

IiitognlrMliiuiik^. /» * ^^ 125.1 lieber das Inte^äl / Qan ss. Onm. Archiv XXX, 229.

126^ Star leg intigrales multiples. Blanckei. Ckmpt. rend. XLVI, 892.

lutexpolaftLon.

1 27. Sur VinterpoiHtion des vaieurs fotames pfir tes ohservations. Tchebychef. Pelenk.

Acad. Bali. Xri, 353.

Ihratioiialiat

128. Ott ihe incommensurability of the perimeter and area of »ome regsdar poiy^ms to the

rudiits' of the inscribed or drcumscrihed circle. Prouket, Quart. Jinm, Math, II, 202.

Xageliohnitta. 129* DHerminer les axes d'wie secHon eonique par certames condüions, Po u dra. N. OfOL

math. XVII 162. 180. Methode rapide pour icrire les iquations aux axes des ägnes et surfaces du secmd

ordre. Dostor, Gran. Archiv XXX, 202.

131. Uober einen Satz von Salmon. Laqniire. N.amutnatlL XVII, 11.

132. Sur la constance (Tun certain angle, dont le sommet est au foyer tCune eonique. Cor-

met. N. ann. math. XVII, 179. Sergis. N. ann. math. XVII, 180.

133. Sur le nombre depoints qui ditermmeni uke cow*be du second degri. Gerono. N.

ann. math. XVII, 77.

134. On the System ofconics tpjuch pass tkrough the same fbur points. Caytey. Quart.

Joum. math II, 20(5.

135. Ifeber homofocale Kegelschnitte. Pap in. N. ann. math. XVII, 55. 130. Sur la thäorie de deux coniques. G. Salmon, N. tarn. math. XVII, 83.

137. Ueber Unrichtigkeiten in einem früheren Aufsätze. Grunert. Gran. Archiv

XXX. 474.

138. Lamarle's Construction des Krilmmangskreises der Kegelsehnitte. Grnneri

Gnin. Archiv XXX, 296.

139. Einige Bemerknngen über die Fnsspnnktslinien , insbesondere die der Kegel-

schnitte. Drobisch. Zeitschr. Math. Phys. III, t .

140. On the area of the conic section represeuted by the general trilinear equaiion of the le-

cond degree. Ferrers. Cayley. Quart Joum. Math. 11,211^ 2AS. Vergl. Determinanten in geometrischer Anwendung 50; Ellipse; Hyperbel; Kreis; ParabeL

Kettenbrüdie.

f

141. Darstellung des unendlichen Kettenbruches x 4*

«4-1-«- l

x-«-24-

X + 34-...

geschlossener Form. S.Spitzer. Grün. Archiv XXX, 81.

142. Darstellung des unendlichen Kettenbruches 2 a; + 1 H ^ —

2« + 5 + ... geschlossener Form. S.Spitzer. Grün. Aaehiv XXX, 331.

Kreis.

143. Sur le cercle coupant orthogomüemmt trois autres cerdes. Laquikre. N. ann. mal^-

XVII, 238.

144. Note on the conditütns that the equation of the secofid degree shouid represent a cifde

or sphere, Ferr ers. Quart. Joum. Math. II, 267. Vergl Verwandtschaft 230.

Literatur zeituDg. 1 7

MünBOBSOxoDft»

145. Neue Darstellung der Theorif» der Berührung und Krttminnng der Carven. Grü-

ne r t. Grün. Archiv XXX, 36 1 . Vergl. Analytische Geometrie des Raumes 10; Kegelschnitte 138; Ober Ichen 179, 180.

Krystallographie.

146. Uebcr die graphische Kreismethode. L. Ditscheiner. Wien. Acad Ber

XXVI, 279.

147. lieber die graphische Parabelm* thode. L. Ditscheiner. Wien. Acad. Ber

XXVIII, 93.

148. Ueber die graphische Hyperbelmethode. L. Ditscheiner. Wien. Acad. Ber.

XXVHI, 134. 140. Ueber die ZonenflHchen. L. Ditscheiner. Wien. Acad. Ber. XXVIII, «Ol.

.Ii.

LogaritlLmen.

150. EfTews nombrt!USt:9 gm existent (Ums te9 tables de hyarit/nnes de Galtet. Lefort ei

Hoüel. N. ann. tnath, XVIIy Bulletin de bibl. 41.

151. 'On theformation of tables of logarithms of the tnyoHotnetrictä ratias, Klphinstone,

Qumt, Jouni, Math, II, 222. Vergl. Geschichte der Mathematik 99.

M. Xazima und Ifinima.

152. Bemerkungen zur Theorie der Maxima und Minima. Richelot. Ast. Nachr.

XLVni, 273. 15S. Sht le» questiofis de mini/na qid ae rattachent a la representation apptvanmaüve des fonctians. Tchebyehev. Petersb. Acad Bull. XVI, 145.

154. Revherches analytiques et expirimetittUes sut^ les räv^oies des abeütes. Brougham.

Coinpt, rend. XL VI, 1024.

155. Thivreme sur le centre du cercle inscrit ä un itiangle* Gerono. N.imn.maih,

XVII, 152. Vorgl. Ellipse 74, 45.

Xeehanlk.

156. Sur les conditions d'öqniHbre d'wte droite reposant sur tme ellipse, Laqniere. Fö-

ndon, N.ann. matk. XVII, 195.

157. Diveloppements sur un chapUre de la micnnique de Poisson. Liouville, Jown.

Mathfm, XXIII, 1 ; Connaissofice des Temps pour 1859.

158. On a class of dynamical probletns. A. Cayley, Phil, Mag. XV, 306.

159. Sur toi Probleme de micanique, J. Liouville, Joum. Mathim. XXXIII, 69. ^- Ad-

dit. d la Con. d, Tenips pour 18G0.

160. lieber die Bewegang eines schweren KSrpers auf einer Schraubenlinie. Schlö-

milch. Zeitschr. Math. Phys. III, 64.

161. Memoire sur wie nouvelle tkiorie de la g4om6trie des masses et sur celle des nxes prin-

cipaux d*inertie. Haton de la Goupilliere. Compt. rend XL VI, 92.

162. Dynamische Untersuchungen über den Stoss der Körper. P-oinsot. Zeitschr.

Math. Phys. lU, 143. — Phil mag. XV, 161, 263, 349.

163. lieber die Vertheilung der Elektricität anf Kugeln. Lobeck. Zeitschr. Math.

Phys. III, 89. 164 lieber Pendel mit Quecksilber -Compensation. J. Böhm. Wien, Acad. Ber.

XXVI, 345. 165. Sur laforce näcessaire pour mouvorr tme clefde rohinet, ou un axe conique maintenu

dans sa gdine par la pressiou de la vapettr. Muh istre. Compt rend. XLVI, 978. 160. On the general lams ofoptical instnonents. Maxwell, Quart. Jown. Math. II, 233.

167. Zur Theorie der Beugungserscheinungen. Ze hfuss. Grün. Archiv XXX, 92.

1 68. Theorie mtUhimatique du themunnultiplicateur, F, de la Provostaye. Compt. rend.

XLVI, 768.

169. Kleine Beiträge sur Undiilationstheorie der Wärme. Mann. Zeitschr. Math.

Phys. m, 67. Yergl. Atonüstik; Attraktion; Elasticität; Hydrodynamik; Schwerpunkt. Litaratantg. d. Zeitschr. f. Math, a« Phya. IV, 2

1 8 Literaturzeitung.

Kethode der UstautOA Oaadrate.

170. Zur praktischen Geometrie. Vorländer. Zeitschr. Math. Phys. III, 189.

171. Bemerkangen über das namerische £liminiren bei geodätischen Operationen.

Vorländer. Zeitschr. Math. Phys. III, 16. \12, SteHar Pkotogräphy. Bond, Astr. Nachr. XL VIII, 1. Vergl. Interpolation.

XittalgrÖMon. 173. Ueber das arithmetische, das geometrische nnd das harmonische Mittel. Schlo- milch. Zeitschr. Math. Phys. XII, 187.

Oberiächon.

174. Note 8itr hi tktorie des aurfaees rdgUes, D, Bonnet, Compi. reitd XLVI^ 906.

175. Sw le giissement et ie roulement (les corpe solides et sur quelques propn'Hes des mar-

faces. 11. Hesnl Compt. rend. XLFI, 801.

176. Note relative au metnoire de M. ResaL Bertrand» Compt»rend, XLVl, 819.

177. Sur une sur/ftce enve/oppe. Chanson et Chatliot* N. ann,nuith. Kk'II^ 113.

178. Ueber Flächen von gewisser Krümmung. Weingarten. Zoitschr. Math. Phyg.

UI, 43.

1 79. Sur les sur faces dont les lignes de courbure sont planes ou spheriques. Picart, Compt.

rend. XLFI, 356.

180. Sw la sm-face Heu des centres de courbure prindpaux d*une sur face courbe. Curtit,

Journ. Mathem. XXIII, 79.

181. Equation ginirale des sur faces , qui passent par un point dotm^ et per l'intersectton de

deux surfaces donnies Chol Hot. N. ann.math. XVII^ \^\.

Oberflädieii sweiten Grades.

182. Methode des sections planes pour la discusstons des lignes et sur faces du second ordre.

. Dotttor. Grün. Archiv XXX, 185.

183. Sur Vexistence du Systeme conjugui rretangulaire' dans les surfaces du second degri.

R Brassinnc. Journ. Mathem. XXIII, 230.

184. Ueber einige^geomctrischc dätze von Flächen. B Ö k 1 e n. Zeitschr. Math. Pbys.

III, 45.

185. Extension du theoreinc de M. Dandelin. Sa uze, N. aitn, matfu XVII, 33.

186. Ueber Focalpunkte. He 11 ermann. Berl. Acad. Ber. 1858, 270.

187. On the equation of the sur face of centres of an eUipsoid. Salmon, Quart- Journ.

Math II, 217.

188. Propositions diverses sur Vhyperboloide d une nappe. Poudra. N.ann.math. XVll,

158. 189.- Ditermination du sotmnet et des axes drincipaux d'un paraboloide, ff onset» N.am. math. XVII. 223. Vergl. Doternunninten in geometrischer Anwendung 50; Geometrie (höhere) 92; Kegelschnitte 130.

Parabel.

190. Ueber die Parabel, welche eine Ellipse berührt, mit* welcher sie einen Brenn-

punkt gemeinschaftlich besitzt. Pepin. N. ann. math, XVII, 60.

Partialbrfteh^.

191. «Sw la thiorie de la dicomposition des fractions rationelles» E,Rouch^. Cotnpt.rend.

XLVI, 540.

Perspeettve. 102. An exemple of the instinct of constructive geometry. Mo uro, Qtutrt. Journ. Math» II, 225.

Plaaiaetris. 193- Ueber einen planimetrischen Sata des Fermat. Lind mann. Gran. Arcliir

XXX, 120. — H e i n e n und 8 i e b e 1. Gmn. Archiv XXX, 246. 194. Ueber eine durch einen Eckpunkt eines Dreiecks gezotsfene Linie. Grunert.

Grün. Archiv XXX, 365. — König. Gmn. Archiv XXX, 479.

Literatorzeitung. 19

195. Thioreme svr le quadrilaih^e. Legrandais. N, am, math. XVII, 229. 190. TJiiorhme sur dcHX cercles se touduaU exUrieuremmt, Boißchevallier, N.ofm» maih, XVII, 177. Ycrgl. Maxima und Minima 155. PvteBlial Tergl. Attraktion; Hydrodynamik.

PotOTummmd. 197. Note an a foiimäa in ftnite differences, Cayley, Quart. Joum. Math, II, 196.

Onadratnr.

196. Elementare Herleitnng des Fläche ninhaltes eines elliptlBchen Sectors. Gra- ne r t. Gran. Archiv XXX, 472. .

109. Sw Faire eomprige enire deux paraboles du troitihne et du seetfnd ordre, Peilae. y. ann. math, XVII, 205. — Dupain. N. ami. mtUk, XVII, 207.

200. Quadratur der cubischen Parabel. Laqni&re and F^n^on. N. ami, math.

XVII, 5.

tnadratvniML

201. lieber zwei b'esondere Methoden der Ansaiehnng der Quadratwurzel mit beson-

derer Rücksicht auf Pietro Antonio Cataldi. Gr u n e rt. Grün. Arch. XXX, 275.

202. £a:traction abrig^e de laracme earrSe. Beynae, N, ann» math. XVII, Bulletin de

' bibl 11. — Catalan, N, ann. math. XVII, 282.

Qnotial.

203. Ein Analogon für die Taylor'sche Beihe. Zehf uss. Gmn. Archi7 XXX^'iOO.

BeefeULoatioa. 204. Neue Methode, die Ellipse au rectificiren. Gronert. Gmn. Archlr XXX, 218.

205. Ein neues mathematisches Paradoxon. Zehfuss. Gran. Archi? XXX, 229.

206. Sitr ie dSveloppement des fonctions en series ordormies stävant les dönominateurs des

riduites ttune fraction oontinue. E. Rouchi. Compt. rend. XL VI, 1221.

207. üeber die Reihe 1 + f. + ^ + --^-- -f Schlömilch. Zeitschr. Math.

Phys. in, 180. Yergl. Anomalie.

9. Schwerpnnkt.

208. Sur le ceutte de griwit^ d'un di. Chanson. N, ann. math. XVII, 18i.

Sphlrik.

209. Fimmdes fondamentales de tanaüyse sphärique. Vannson. iV. ann. math, XVII,

05, 99, 140, 163, 209.

Stereometrie.

210. Note sur la th^tie des polyhdres. Poinsot. Compt, rend, XL VI, 65.

211. Sur ie nombre possiöle de polyidret riguliers. Bertrand, Compt, rend, XL VI, 79.

212. Ueber den körperlichen Inhalt schief abgeschnittener dreiseitiger Prismen.

G r u n e r t. Grün. Archiv XXX, 118.

213. Neue Formel für den körperlichen Inhalt schief abgeschnittener Prismen. G r li-

tt e r t. Grün. Archiv XXX, 4.53.

214. Stereographische Projectibn. Heis. Gmn. Archiv XXX, 354.

Tabellen.

215. Hilfstafeln für die Berechnung der speciellen Störungen. Zech. Astr. Nachr.

XLVni, 241. Yergl. Geschichte der Mathematik 99; Logarithmen.

20 Literaturzeitung.

TrlgMioBitlrif.

216. Ableitung der Gnindformel der Trigonometrie in Yöllig allgemeiner Oiltigkeit

ans den Elementen der Coordinatenlehre. v. R i e s e. Gran. Archiv XXX, 143.

217. lieber die Relation , die zwiscben den Abschnitten der Seiten eines Dreiecks be-

steht, welche durch sich in einem Punkte schneidende Gerade gebildet werden. D u r fe g e. Grün. Archiv XXX, 24 1 .

218. Eine Aufgabe Yom Dreiecke. Challiot. Legrandais. N. wm, math, XVIi,

9, «3.

219. Thiorhne siar deux triangles semblabtes. Mulinvaud. N. ann. vmUK XV JL 123.

220. Theoreme fondamerital de fa trigotwnUtrie'Upherfqxte. Patry» *N. ami. nuUh. XVIL 2Ü8.

221. Rbgle miSmonique pour icrwe les fomiiäes de Öelumbre. G. Do stör, Gran. Archiv

XXX, 467.

iMseetioiL das Winkelt.*

222. Ueber drei geometrische Aufgaben. O. B ö k 1 e n. Gran. Archiv XXX, 4S4. 22d. Neue geometrische Auflösung der Aufgabe von der Dreitheilung des Winkels.

T ie t z. Grün. Archiv XXX^ 114«

IJ. • mtraalü^tiM^ FsnotioaMi. 224. Ueber die Substitution

(«Ä«+26x4-c)y«4-(aa?«-f2*'a:4-c')y-f«V-fy«-fc"=0 und über die Reduction der AbePschen Integrale erster Ordnung in die Nor- malform. C. G. J. J a c o b i. Grelle LY, 1 . 226. Sur tintigraiion des iquations ultra- elliptiques* Brioschu Grelle LY, 56.

T.

yariattoniredmuiig.

226. Ueber diejenigen Probleme der Yariationsrechnung, welche nur eine unabhängige

Yariable enthalten. C 1 e b s c h. Grelle LY, 335.

227. Ueber die Transformationen, welche in der Yariationsrechnung zur Nachweisung

grösster oder kleinster Werthe dienen. Min ding. Grelle LY, 300.

228. Ueber die Reduction der zweiten Yariation auf ihre einfachste Form. Cleb seh.

Grelle LY, 254.

Yerwandttohaft.

229. ThSorhnes homogrophiques. Lafitte. N. ann. madi. Xrh, 48.

230. Ueber conjugirte Kreise. Möbiu.8. Sachs. Acad. Ber. X, i. •^ , Yergl. Kegelschnitte 139.

Zahleniheorie.

231. Notnbre des sottäions entieres et positives de Viqmtiwi ax-^-by^-n. Ras sie od.

N.am.math.XFIl, 126.

232. Zwei ganfc Zahlen, deren Quotient ihrer Differenz gleich ist. Gr unert. Gmn.

Archiv XXX, 230.

233. Beweis des Fermat'schen Satzes nach Gauchy. G r u n e r t. Grün. Archiv XXX, 357.

234. Ueber einen Satz von ganzen Zahlen. Dur^ge. Grün. Archiv XXX, 163.

235. Zerlegung einer Zahl in vier gerade Quadrate. Z e h f u s s. Gmn. ArchivXXX, 466.

236. Sttr le prodtiit de quatve nombres entiers consicutifk. P.A.G. N. mm matk XV 11,^^

237. Du produit de plusietirs nombres consecutifs. B. Mathieu, N. ami, math. XVII, 235.

238. Sur les nombres pr emiers de la forme 8ft-f3. Liouville. Jomm . Mathim. XXIII, 84.

239. Ueber eine zahlentheoretische Function. Stern. Grelle LY, 193.

240. Gän&altsation d'wie formufe concemant la somme des puissances des ditiseurs dm

nombre. J. Liouville, Journ Matitim, X XIII, 63 .

241. Note sur la composition du nombre 47 par rapport aux vingt-troisihnes racfnes de

lunitS. Cayley, Grelle LY, 192.

242. Sur quelques formules g4ntrales qtä peuvent Stre utiles dtms la theorie des iombres,

J, Liouville. Journ. Mathim. XXIII, 143, 193, 201.

243. Ueber die allgemeineh ReciprocitStsgesetze der Potenzreste. Kummer. Berl.

Acad. Ber. 1858, 158.

Literatürzeitung.

Die Elementar- Mathematik für den Sclmlnntcrricht bearbeitet von Ludwig Kambly, Professor am Gymnasium zu St. Elisabeth in Breslau. Vollständig in vier Theilcn:

Erster Theil: Arithmetik und Algebra. Dritte, vermehrte und ver- besserte Auflagt. Breslau, Ferdinand Hirt's Verlag. 18j7. Zweiter Theil: Planimetrie. Fünfte, verbesserte Auflage. Mit vier

Tafeln lithographirter Abbildungen. 1868. Dritter Theil : Ebene und sphärische Trigonometrie. Dritte, verbesserte Aufläge. Mit einer Tafel lithographirter Abbildun- gen, 1867. Vierter Theil: Stereometrie. Zweite, verbesserte Auflage. Mit vier Tafeln litbographirter Abbildungen. 1868. Die vorliegende Elementar -Mathematik soll, wie der Verfasser selbst bemerkt, nicht ein ausführliches Lehrbuch für den Selbstunterricht oder für tiefer eingehende Studien, sondern nur ein Leitfaden für die Schule sein. Der Verfasser hat sich aus diesem Grunde auf das Unentbehrlichste be- schränkt und da er vorzugsweise die Bedürfnisse der Gymnasien im Auge gehabt hat, so war auch die Zeit, die auf diesen dem mathemjitischen Un- terricht eingeräumt ist, für die Menge des aufzunehmenden Stoffes maass- gebend. Mit der Einschränkung des mathematischen Unterrichts auf ein enges Gebiet kann man sich gewiss nur einverstanden erklären, nur muss das We- nige dafür um so genauer und gründlicher durchgenommen werden. Soll {1er Leitfaden dem Schüler die Ausarbeitung eines vollständigen Heftes er- setzen und er denselben mit Nutzen zur Vorbereitung auf die Standen und zur Wiederholung gebrauchen können , so muss er mit einer gewissen Aus- führlichkeit geschrieben sein. Der Verfasser hat hierbei jedenfalls das rich- tige Maass getroffen. Die Form der Darstellung ist in allen vier Thoilen die dogmatische. Wenn der Referent sich mit der Wahl dieser Darstel- lungsweise nicht ganz einverstanden erklären kann, so will er hiermit den Streit über die Wissenschaftlichkeit der dogmatischen Form und über die Zweckmässigkeit derselben in didaktischer Beziehung nicht erneuern, bu-

Liieialiirzl^. d. Zcilsrhr. f. Math. u. Phys. IV. 3

22 Literaturzeitung.

mal da bei der Anorduung des Inhalts ein heuristischer Gedankengang im Wesentlichen bestimmend gewesen ist. Aber man brancht kein Gegner der synthetischen Methode zu sein, um die bis zur Ermüdung getriebene Wie- derholung der Wörter : Lehrsatz , Behauptung , Beweis , Folgerung, Zusatz, Anmerkun^n. s. w. weder schön noch unbedingt nothwendig zu finden. Dass man auch ohne dogmatische Form kurz , wissenschaftlich streng und systematisch schreiben kann , und eine heuristische Gedankenentwickelung auch ohne eine unerträgliche Bccite oder einen ermüdenden Wortschwall möglich ist , davon geben die Üblichen Darstellungen der nicht elementaren Theile der Mathematik und der mit ihr verwandten Wissenschaften wie z. B. die Mechanik einen glänzenden Beweis. Freilich einen guten Styl zu schreiben ist auch in der Mathematik nicht leicht und das erklärt uns eini- germaassen die Hartnäckigkeit, mit der man in den Büchern über die Ele- mentar - Mathematik an der dogmatischen Form hängt. Auch können wir nicht zugeben , dass bei einem guten Style die individuelle Bedeutung der Sätze verloren gehe, müssen vielmehr behauptQ|^ dass gerade bei einer un- gezwungenen und ungekünstelten Darstellung die wichtigsten und frucht- barsten Sätze in ihrer Bedeutung sich am nachdrücklichsten hervorheben lassen.

Im ersten Theile, welcher die Arithmetik und Algebra enthält, ist der Verfasser seinem Vorsatze, dem Inhalt eine solche Anordnung zu geben, „dass man an ihr einen stetigen Fortschritt der Entwickelung, die nothwen- dige Bewegung des mathematischen Denkens nachweisen kann,'^ nicht im- mer treu geblieben. So wird die Untersuchung der Verbindung der (abso- luten ganzen) Zahlen zu Summen, Differenzen, Producten und Quotienten unterbrochen durch die Erklärungen von Potenz und Wurzel, die vor der Erklärung des Quotienten zu stehen kommen. Wollte man den Grund gel- ten lassen, dass die Definition der Potenz und deren unmittelbare Folge- rungen nur ei^en speciellen Fall der Multiplication betreffen und sich dieser eng anschliessen, so müsste ja auch das Product unmittelbar nach der Summe, als specieller Fall derselben, genannt werden, und damit wäre immer noch .nicht erklärt, warum Differenz und Wurzel vor dem Product und vor dem Quotienten erwähnt werden. Soll jede neue Rechnungsart zunächst als ein besonderer Fall der vorhergehenden erscheinen, was doch zu einem steti- gen Fortschritt der Entwickelung gehört, so wäre der Erklärung des Pro- ducts in § 12 die Auffassung desselben als Summe gleicher Posten vorzu- ziehen. Nachdem die Division auf eine Erweiterung des Begriffs der Zahl in der Weise' geführt hat, dass er auch gebrochene Zahlen umfasst, ist es natürlich nothwendig, die früheren Definitionen der Multiplication und Di- vision zu erweitern und die Gültigkeit der früheren Lehrsätze für gebrochene Zahlen zu erweisen und zwar in aller Strenge. Dass eine pädagogische Rücksicht es war, die den Verfasser veranlasste, die Erweiterung der ge- fundenen Gesetze auf eigentliche Brüche nicht in aller Strenge zu erweisen,

Literaturzeitung. 23

moss uns Wander nehmen. Wenn scbon hier in Bücksicht auf die jugend- liche Kraft der Schüler die Strenge aufgegeben werden soll, so fragen wir, welchen Zwecken der mathematische Unterricht dient? Nach der Meinung des Referenten treibt man mit einem Schüler erst dann allgemeine Arithme- tik , nachdem er in dem sogenannten Zahlenrechnen die nöthige Fertigkeit erlangt hat. Ist dies aber der Fall, so sind die Schwierigkeiten, welche der Eintritt in die allgemeine Arithmetik dem jugendlichen Geiste bereitet, wahrhaftig nicht so gi-oss, als dass er sie nicht bewältigen könnte. Und heisst es denn Schwierigkeiten entfernen, indem man die Strenge zum Opfer bringt? Sti-enge allein gewährt auf die Dauer dem Schüler volle Be- friedigung und man täuscht sich, wenn man glaubt, dass ihm eine sogenannte populäre Darstellung zusagt. Wir müssen noch einige Punkte anführeu, wo der Verfasser, ohne durch die Sache dazu genöthigt zu sein, von der mathematischen Strenge abgewichen ist. Nach der Erklärung des Quotien- ten in § 17 muss der Divisor immer eine unbenannte Zahl sein; gleichwohl ist in Anmerkung 2 desselben § von einem Quotienten die Rede, dessen Glieder benannte Zahlen sind. Die Strenge erfordert hier nicht nur eine Erklärung, was man unter dem Quotienten gleichnamiger Zahlen, sondern was man unter dem Quotienten gleichartiger Grössen überhaupt zu verste- hen habe. Diese Erklärung würde freilich zum Messen der Grössen oder zur Angabe ihres (geometrischen) Verhältnisses und somit schliesslich zu den irrationalen Zahlen geführt haben , vor denen aber der Verfasser, wahr- scheinlich aus pädagogischen Rücksichten , eine gewaltige Scheu zu haben scheint Dass es irrationale Zahlen giebt , erfahrt der Schüler erst in § 50, nachdem die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen und die ganze Lehre von den Potenzen und Wurzeln vorgetragen worden ist. Verweist man die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen in die Arithmetik, so folgt sie naturgemäss auf die Lehre von den Producten und Quotienten. DasVerhältniss incommensurabler Grössen führt dann auf die Irrationalzahl len und macht somit eine Erweiterung des Zahlbegriffs nöthig. Der Nach- weis, dass alle für Rationalzahlen bewiesenen Gleichungen auch für Irra- tionalzahlen gelten, darf nicht ausgelassen werden. Der Verfasser über- geht, wie schon gesagt, die Irrationalzahlen, und lässt sich in der Lehre von den Verhältnissen und Proportionen nur auf Zahlen , Verhältnbse und Zahlenproportionen ein. Der Bezeichnung und dem allgemeinen Gebrauch ent- sprechend wäre es gewesen, den Verhältnissexponenten dem Quotienten des Vordergliedes durch das Hinterglied gleich zu setzen und nicht umgekehrt; ein Nutzen erwächst jedenfalls nicht aus dieser Auffassung. Warum § 23 und § 24, die von der Null und dem Unendlichgrossen und Unendlichklei- nen handeln, zwischen die Lehre von den Producten und Quotienten und die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen eingeschaltet sind , be- greift man nicht recht; unsrer Ansicht nach gehören sie an die Spitze des zweiten Abschnitts, der von den relativen oder algebraischen Zahlen han-

3*

24 Literaturzeitung.

delt. Die Ansdrücke „algebraisclie Zahlen/' „algebraische Addition/' „al- gebraische Sabtraction" u. 8. w. zu vermeiden ist wohl wünschenswerth, in- dessen für die jetzigeTerminologieschwierigerdorchzufUhren, jedenfalls ist es aber thunlich den Namen Algebra nur für die Lehre von den algebraischen Gleichungen beizubehalten , wie es ja auch so ziemlich allgemein Gebrauch geworden ist. — In § 53 sagt der Verfasser : „Eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist unmöglich, weil keine positive und negative Zahl, ins Quadrat oder in eine andere gerade Potenz erhoben, eine negative Zahl hervorbringen kann/' Hieran schliesst er die Erklärung: „Solche gar nicht existirende, unmögliche Wurzeln werden imaginäre, und im Gegen- satz Bu ihnen alle übrigen Zahlen reelle Zahlen genannt" Nun ist es rich- tig, dass, so lange der Zahlbegriff blos reelle Zahlen umfasst, eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl- unmöglich d. h. keine reelle Zahl ist, ebenso wie es unmöglich ist, so lange man nur absolute Zahlen kennt, einen Unterschied anzugeben, dessen Subtrahend «grösser als der Minuend bt. In beiden Fällen liegt in dieser Unmöglichkeit die Aufforderung den Be- griff der Zahl zu erweitern ; obige Erklärung ist daher nicht statthafifc. Von etwas, was gar nicht existirt und unmöglich ist, lässt s^ch überhaupt keine Erklärung geben; aber in der That sind- die imaginären Wurzeln etwas £xi- stirendea und folglich Mögliches — unmöglich sind sie denn doch nur in- nerhalb eines zu engen Begriffs. — Im dritten Abschnitt, der von den Lc garithmen handelt , finden wir bei den numerischen Beispielen siebenstellige Logarithmen angewendet und entnehmen daraus, dass der Verfasser die gleichen Tafeln auch bei seinem Unterrichte anwendet. Man muss sich wirklich wundem, dass siebenstellige Logarithmentafeln noch so oft in un- seren Schulen angetroffen werden , da doch gegen ihr Beibehaltea so viele und gewichtige Gründe sprechen und auch oft genug schon geltend gemacht worden sind. Für die Schule zunächst empfehlen sich Tafeln mit möglichst wenig Bruchstellen nicht nur durch den geringen Umfang und die Ueber- sichtlichkeit, sondern auch durch den Umstand, dass der Schüler bei dem Gebrauch solcher Tafeln in das Wesen der Interpolation besser eindringen muss, was ihn beföhigt auch andere mathematische Tafeln von abweichen- der Einrichtung zu gebrauchen. Femer darf wohl die nicht unbedeutende Zekersparniss in Anschlag gebracht werden, die hierbei keineswegs anf Kosten der Gründlichkeit erkauft wird, da in den meisten Fällen Tafeln mit vier oder ftinf Stellen diejenige Genauigkeit geben, welche den einer Aufgabe zu Grunde liegenden Zahlen und somit der Genauigkeit des dar- aus abgeleiteten Resultates entsprechen. Bei jeder numerischen Rechnung kommt CS darauf an das Endergebniss mit dem geringsten Aufwand von Mit- teln zu. erreichen und solche einfache und ausreichende Mittel sind vier- oder fünfstellige Logarithmentafeln. Zuletzt ist für die Schule auch der ge- ringere Preis kleiner Tafeln nicht ausser Acht zu lassen.

Was die Logarithmen von Decimalbrüchen anlangt, so halten wir, mit

Literatarzeitune. 25

Rücksicht auf § 63, folgende Bemerkungen für die Praxis des Rechnens, obwohl sie nicht neu sind, nicht für überflüssig: Der Logarithmus eines De- cimalbruchs ist negativ. Uro negative Logarithmen zu vermeiden, kann man zwei Wege einschlagen. Der erste Weg besteht darin, dass man negative Charakteristiken einfährt; z. B.

' 25

log 0,26 = /(jgf 1^ = htg 2o—log 100 = 1,39794—2 = 0,39794—1.

Hierbei bleibt die Mantisse positiv. Diese Art die Logarithmen der Deci- malbrüche auszudrücken verlangt aber auch das Minuszeichen und fordert Aufmerksamkeit, um sich in den zwei entgegengesetzten Operationen, der Addition der Mantisse und der Subtraction der Charakteristik, nicht zu ir- ren. — Der zweite Weg, welcher auch' negative Kennziffern vermeidet, verdient allgemein befolgt zu werden. Da es in keiner Rechnung vorkom- men kann, dass man sich um 10000 Millionen irrt, so vermehre man, wenn es nöthig ist, die Charakteristik um 10 Einheiten, um sie immer positiv zu haben. Man sdireibe also

25 25

log 0,25 s= /ofir j^ = 9,39794, log 0,025 = log j^g^ = 8,39794,

25 log 0,0025 = log j^g^o ~ 7,39794

n. 8. w. Hieraus folgt die Regel: um die Kennziffer des Logarithmus eines Decimalbruchs zu finden, hat man nur nöthig die Anzahl der Nullen, welche im gegebenen Bruche unmittelbar hinter dem Komma stehen, von der Zahl 9 abzuziehen. — Hat man umgekehrt zu dem Logarithmus eines Decimal- bruchs diesen Bruch zu suchen , so schreibe man eine Null hin und lasse auf dieselbe das Komma und so viele Nullen folgen , als Einheiten an der Kennziffer fehlen , um sie zu 9 zu ergänzen; hierauf suche man , ohne Rück- sicht auf die Kennziffer, in den Tafeln die zur Mantisse gehörige Zahl und hänge diese den schon hingeschriebenen Nullen an. — Da der Logarithmus eines Decimalbruchs stets eine Kennziffer hat, die kleiner als *10 ist, so braucht man bei der Addition der Logarithmen von Decimalbrüchen auf die Zehner der Kennziffer der Summe nicht Rücksicht zu nehmen. Man kann dieselben stets weglassen. Diese Regel gilt auch noch, wenn unter den Lo- garithmen, die zu addiren sind, sich solche von Zahlen finden, die grösser als die Einheit sind ; z. B.

log (0,25 X 0,2) = log 0,25 + log 0,2; log (0,25 X 12) = log 0,25 + log 12

/0öf0,25= 9,39794 % 0,25 = 9,39794

^ logOfi = 9,30103 Jog 12 = 1,07918

Summe = 18,69897, Summe = 10,47712,

wofür man schreibt 8,69897 = log 0,05 ; wofür man schreibt 0,47712 = log 30.

Hat man zwei Logarithmen zu subtrahiren, so wird man, wenn es nöthig «ein 0olHe, die Kennziffer des Minuenden um 10 Einheiten erhöhen; e. B.

26 Literaturzeitung.

log I = /o^ 3 — log 4, log^ = 0,47712 log 4 = o,602()6 Unterschied = 9,87506 = log 0,75; log ^^ = log 0,06 — log 0,12, log 0,06 = 8,77815

log 0,12 = 9,07918 Unterschied = 9,69897 ^^ % 0,5. Hat man einen Decimalbruch auf eine gegebene Potenz zu erheben , seineu Logarithmus also mit dem Potenzexponenten zu multipliciren , so lasst man im Producte ebenfalls die Zehner der Kennziffer weg. Es ist z. B. (0,4)^ = 0,16 und (0,4)'* = 0,064. Mit Hilfe der Logarithmen i^ndetman %0,4= 9,60206; % 0,4 = 9.60206 2 log 0,4 = 19,20412; 3 log 0,4 = 28,80618 wofür man schreibt

2 log 0,4 = 9,20412; 3 log 0,4 = 8,80618 = log 0,16 = log 0,064.

Hat man aus einem Decimalbruch die m** Wurzel zu ziehen , also den Lo- garithmus derselben durch den Wurzelexponenten zu dividiren, so muss man zur Kennziffer des Logarithmus (rn^-l) Zehner hinzudenken; z. B.

t 1 s 1

log ^0,16 != "2 % 0,16 ; Jog yöflßi = 3 % 0,064

log 0,16= 9,20412 % 0,064 = 8,80618

( = 19,20412) ( c= 28,80618)

i % 0,16 = 9,60206 --= log 0,4 ; - log 0,064 = 9,60206 = log 0,4.

Da die Sinus und Cosinus, sowie die Tangenten unter 45^ und die Con- tangenten über 45^ stets echte Brüche sind , so gilt für ihre Logarithmen Alles , was wir von den Logarithmen der Decimalbrüche gesagt haben ; hier- nach erklären sich auch die in den Tafeln stehenden Kennziffern der Loga- rithmen der Winkelfunotionen. — Hat die zu einem Logarithmus gehörige Zahl das negative Vorzeichen, so zeigt man dies durch ein n an, welches man auf die letzte Decimale der Mantisse folgen lässt ; z. B. log cos 120^ = 9,69897..

Der vierte Abschnitt handelt von den Bestimmungsgleichungen und zwar von den algebraischen Gleichungen des ersten und zweiten Grades, von den Gleichungen mit mehren unbekannten Grössen, von den Exponential- gleichungen und von der Synthesis der Gleichungen d. i. von der Bildung der Gleichungen nach Bedingungen einer in Worten gegebenen Aufgabe. Im fünften Abschnitt findet man die arithmetischen und geometrischen Rei- hen und die Zinses-Zins-Eechnung und im sechsten Abschnitt die Coiflbi- nationslehre und den binomischen Lehrsatz. Der Binomialsatz konnte auch ohne die Aufnahme der Combinationslehre entwickelt werden, diese aber zugelassen, durfte der construirende Theil derselben wohl nicht ganz über- gangen werden. Die Decimalbrüche, die Kettenbrücbe, die Lehre von der

. Literaturzeitung, 27

Theilbarkeit der ganzen Zahlen und die Theorie der diophantischenGleicbaor gen sind auf 22 Seiten abgehandelt und in den Anhang verwiesen. Zweck- mässig und wissenschaftlich zu gleicher Zeit wäre es gewesen, die Rech- nungsoperationen mit Decimalzahlon auf die Rechnung mit Polynomen fol- gen zu lassen und an diese die Ansziehung der Quadrat- und Cubik- Wur- zeln anzuschliessen. Ebenso gebührte den Elementen der Zahlentheorie ein Platz vor der Lehre von den Potenzen und Wurzeln.

Der zweite Theil, die Planimetrie, geht von der Betpachtung einer Geraden , zweier einander schneidender Geraden und der parallelen Linien (1. Abschnitt) über zur Betrachtung von drei und mehren sich schneidenden Geraden und der hierbei entstehenden ebenen Vielseiten, insbesondere der Triangel und Vierseite (2. Abschnitt). Hieran schliesst sich die Entwicke- lung der Eigenschaften des Kreises und der regulären Polygone (3* Ab- schnitt). Der folgende Abschnitt enthält die Lehre vom Flächeninhalt ge- radliniger Figuren, ihre Vergleichung, Verwandlung, Theilung und Aus- messung. Im fünften Abschnitte ist von der Proportionalität gerader Linien und der Aehnlichkeit geradliniger Figuren und von der Proportionalität ge- rader Linien am Kreise die Rede; im sechsten von der Berechnung der Selten regulärer Polygone und der Rectification und Quadratur des Kreises. Der siebente Abschnitt enthält Aufgaben aus der rechnenden Geometrie und die Construction algebraischer Ausdrücke. Im Anhang endlich sind 156 Uebungsaufgaben zusammengestellt. Wir vermissen in diesem Theile, der es doch mit der Geometrie des Maasses zu thun hat, die Vergleichung der Längen gerader Linien und die Aufsuchung des numerischen Verhält- nisses zweier commensurablen oder incommensurablon Linien, ferner die Angabe der Kennzeichen der Proportionalität zweier zusammengehörigen Grössenarten. Die Behandlung mehrer Sätze würde dadurch an Strenge gewonnen haben. Dass die einer Geometrie der Lage angehörenden Sätze ausgeschlossen sind, können wir bei dem Zwecke des Buches nicht tadeln.

Dem planimctrischen Theile entsprechend ist der Lehrgang des vierten Theiles, der Stereometrie. Die drei Abschnitte derselben behandeln ]) die Lage gerader Linien gegen Ebenen und gegen einander (gerade Li- nien , welche eine Ebene schneiden, und gerade Linien, welche einer Ebene parallel sind) und die Lage der Ebenen gegen einander (zwei einander schneidende , zwei parallele und drei oder mehr durch einen Punkt gelegte Ebenen) , 2) die Körper in Beziehung auf ihre Grenzen und Durchschnitts- figuren, nämlich die ebenflächigen Körper (Prisma, Pyramide und die übri- gen Polyeder) und die krummflächigen Körper (Cylinder, Kegel und Ku- gel), 3) die Ausmessung des räumlichen Inhaltsund der Oberfläche der Kör- per, nämlich Prisma und Cylinder, Pyramide und Kegel und die Kugel. Den Anhang bildet die Constructipn der regulären Polyeder, die Berech- nung ihrer Volumina und der Neigungswinkel ihrer Seitenflächen und Kan- ten, und 127 Uebungsaufgaben. — Als einen grossen Mangel dieses Theiles

Literaturzeitang.

müssen wir bezeichnen, dass die Congnienz (nnd Symmetrie) nnd Aehn- lichkeit der Polyeder und der rnnden Körper ganz mit Stillschweigen über- gangen ist.

Was endlich die ebene undspli arische Trigonometrie betrifft, die den dritten Theil von R/s Elementar- Mathematik bildet, so finden wir zu- erst einen knrzen Abriss der Goniometrie (Erklärung der trigonometrischen Linien und Functionen spitzer Winkel; Abhängigkeit der trigonometrischen Functionen eines Winkels von einander ; Aenderung der trigon. Functionen durch Aenderung des Winkels, Functionen der Winkel über 90®; Functio- nen zusammengesetzter Winkel). In der ebenen Trigonometrie folgt auf die Auflösung der rechtwinkligen Triangel, die Auflösung der gleichschenkli- gen Triangel und der regulären Polygone und zuletzt die Auflösung der schiefwinkligen Triangel. Ein Anhang enthält eine Zusammenstellung der wichtigsten goniometrischen Formeln und Uebungsaufgaben , zum Theil mit Andeutung ihrer Auflösung. Die sphärische Trigonometrie behandelt zuerst die rechtwinkligen sphärischen Triangel, dann die sphärischen Triangel im Allgemeinen und schlicsst mit der Berechnung ihres Flächeninhalts. Ein Anhang enthält noch eine Anzahl Uebungsaufgaben. — In der Goniometrie genügt es nicht, wie es in § 10 geschehen ist, den Zeichenwechsel der gonio- metrischen Functionen als blosse Sache desüebereinkommens zu behandeln; vielmehr muss die Nothwendigkeit desselben nachgewiesen werden. Am einfachsten und anschaulichsten kann das*aber auf folgende Weise gesche- hen. Man denke sich in einem mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreis zwei aufeinander senkrechte Durchmesser AB und CD gezogen und die Bogen in dem Sinne von A nAch C positiv gerechnet Ist dann « ein belie- biger positiver oder negativer Bogen, der bei A anfangt und im Punkte E endet, so ist sein Complement, 90® — er, ein bei E anfangender und in Sen- dender Bogen. Bezeichnet man die Projection des Bogens <r auf den Durch- messer AB mit a, die Projection seines Complementes auf den andern Durchmesser mit b , so liegen die Werthe von a und b stets zwischen den Grenzen 0 und 2r. Bezeichnet man femer die Projectionen des beweglichen Radius auf die Durchmesser AB und CD resp. mit r und r", so stellen r und r" die Cosinuslinie und die Sinuslinie vor, und man hat für sie Ausdrücke

r=ir — a und r':=^r-'-^b. Aus diesen Gleichungen ergiebt sich , dass die Cosinuslinie r (und folglich cosa = —j positiv ist für a -^r^ d. i. für Bögen, deren Endpunkte im er- sten und vierten Quadranten liegen und negativ für a > r, d. i. für Bögen im zweiten und dritten Quadranten ; dass ferner die Sinuslinie /' (und folg- lich sin a = ~j positiv oder negativ ist, je nachdem b <r oder *> ^i ^* ^• für Bögen , die bezüglich im ersten und zweiten oder im dritten nnd vierten Quadranten liegen. Kennt man den Zeichenwechsel der Sinus undOosinitft 80 findet man ans den Definitionsgleichungen

Litcraturzeitung. 29

sin a s ^ M ^ 1

z=zig€c. - — s=3 cotoor, = 5«;«, -: — = cosec a

cosa ^ ^ tg a ^ ^ cosa ' stn a

leicht den Zeichenwechsel der übrigen Functionen. Am anachaulichsten tritt der Verlauf auch dieser Functionen, d. h. ihre Werth- und Zeichen -Aen- derung, in den entsprechenden goniomctrischen Linien hervor, deren Dar- stellung in einem Buche wie das vorliegende nicht fehlen sollte. — An § 12, wo die Formel für sin (« + /?) entwickelt wird, wollen wir schliei^slich noch die Bemerkung knüpfen, dass man die Herleitung allgemein geltender For- meln füglich wohl auch in die Elemente der Goniometrie verweiben kann,* zumal diese mit so wenig Schwierigkeiten verbunden, wie gerade hier. Am besten nimmt man hierzu die Formel

d% OC — ß CC "i- ß

co8(x+ cosp s= 2cos —~ cos ' ' zum Ausgangspunkt.

Wenn Referent an einem Schulbuche, von dem das Erscheinen mehre- rer Auflagen beweist, dass es seinem Zwecke als Leitfaden für den mathe- matischen Unterricht an Gymnasien entisprechend befunden w*orden ist, die obigen Ausstellungen nicht hat unterdrücken wollen, hat er damit lediglich im Interesse der Sache zu handeln gemeint und er würde sich freuen, wenn sein Referat in diesem Sinne auch von dem verdienstvollen Verfasser dieses Leitfadens aufgcfasst würde, eventuell bei einer folgenden Auflage des einen oder andern Theils einige Berück^jichtigung erführe.

Dresden. Dr. Rudolf Hoffmann.

Die Physik, für den Schulunterricht bearbeitet von Albebt Trappe, Ober- lehrer an der Realschule zu Breslau. Zweite, wesentlich verbesserte und bereicherte Auflage. Mit 206 in den Text gedruckten Abbil- dungen. Breslau, Verlag von Ferdinand Hirt, 1858. 8. 246 S. Die Verlagshandlung von Ferdinand Hirt in Breslau hat schon eine Reihe von Jahren der naturwissenschaftlichen Schulliteratur ihre Sorge ge- widmet und ist bemüht gewesen ftir eine den Forderungen der Gegenwart entsprechende Vertretung der Naturwissenschaften mitzuwirken. Die Vor- züge ihrer Unternehmungen sucht sie in dem inneren Oehalte, der prak- tischen Brauchbarkeit, der vorzüglichen Ausstattung und dem überaus wohl- feilen Preise. Was namentlich die naturgeschichtlichen Bücher anlangt, so hat sie kein Opfer gescheut, der Anschauung durch naturgetreue künstlerisch ausgeführte Abbildungen zu Hilfe zu kommen.

Die vorliegende Physik von Trappe bildet einen Theil dieser Schul- bibliothek. Sie macht keinen Anspruch auf den Namen eines Lehrbuches der Physik; sie ist nicht fUr den Selbstunterricht, sondern lediglich fttr den Schulunterricht geschrieben , und setzt einen Lehrer voraus , der des von ihm vorzutragenden Gegenstandes mächtig ist und, wie der Herr Verfasser

30 Literaturzeitunff.

ö"

selbst bemerkt , seine Kenntnisse nicht erst aus dem Schulbache zu schö- pfen braucht.

Ueber den Zweck und den Gebrauch des Buches spricht sich der Herr Verfasser in der Vorrede aus. Das Buch soll ^em Schüler zunächst das Ausarbeiten eines vollständigen Heftes ersparen; er^soU nicht daraus lernen, sondern das Gelernte danach repetiren. Uebrigens enthält das Buch reich- lichen Stoff, an welchem der Schüler unter Anleitung des Lehrers seine Kräfte üben kann. Der Menge des Stoffes nach, welche in dem Buche ver- arbeitet ist, kann es auch auf Anstalten benutzt werden, die dem physika- lischen Unterrichte mehr Zeit widmen als das Gymnasium oder bisweilen auch die Realschule. Da überall die Anwendung der physikalischen Gesetze auf das praktische Leben berücksichtigt wird, so dürfte das Buch sich viel- leicht auch auf Gewerbschulen als brauchbar erweisen, welche der Herr Verfasser bei Abfassung desselben allerdings zunächst nicht im Auge gehabt hat. Dem Zweck des Buches entsprechend, welches stets die Mitwirkung des Lehrers beim Unterricht voraussetzt , ist bei den Abbildungen der In- strumente alles Unwesentliche weggelassen und nur das Princip derselben dargestellt, welches der Schüler sich ja zunächst einprägen soll. Der Ge- sichtspunkt des Herrn Verfassers ist hierbei jedenfalls der richtige, denn Abbildungen von Instrumenten, wie sie meistens nur grosse physikalische Cabinete anschaffen können, lenken die Aufmerksamkeit des Schülers zu leicht von dem Wesentlichen ab und haben jedenfalls dann keine Bedeutung für ihn, sobald der Lehrer nicht mit ähnlichen Apparaten expcrimentiren kann. Dies wird aber wohl immer der Fall sein, denn ein und dasselbe In- strument hat in den verschiedenen Cabineten ein verschiedenes Aussehen.

Der Inhalt des Buches ist in folgende sechs Abschnitte vertheilt: I. Eigenschaften der Materie und Wirkungen der Massentheilchen auf einander; II. Ruhe unä Bewegung der Körper; III. der Schall; IV. das Licht; V. die Wärme; VI. Magnetismus, Electricität, Galvanismus. Dass der zweite Ab- schnitt, welcher von den Gleichgewichts- und Bewegungsgesetzen der festen, . flüssigen und luftförmigen Körper handelt, den andern Abschnitten gegen- über mit grösserer Ausführlichkeit bearbeitet ist, kann der Referent nur passend flnden. Besonders verdient hervorgehoben zu werden, dass der Er- läuterung der so wichtigen Begriffe der mechanischen Arbeit und der leben- digen Kraft einige Seiten gewidmet sind.

Nach der Einsicht, welche der Referent in die Physik von Trappe ge- nommen hat, kann er das Buch mit vollem Rechte der Beachtung der Schul- männer anempfehlen. Der billige Preis von 25 Silbergroschen, für Schul bücher ein nicht unwichtiges Moment, mag zum Schluss noch besonders hervorgehoben werden.

Dresden. Dr. Rudolf Hofpmank.

Literaturzeitung. 3 1

Lehrbuch der Stereometrie zum Gebrauche an höheren Lehranstalten und beim Selbststudium von Cabi> Spitz, Lehrer an der polytech- nischen Schule in Carlsruhe. Mit 101 in den Text gedruckten Fi- guren. Leipzig und Heidelberg. C. F. Winter^sc]ie Yerlagshandlnng. 1858. 8. JS2S. Dieses Lehrbuch stimmt in Hinsicht der Art der Behandlung, sowie in Betreff der Eeichhaltigkeit des zur Untersuchung gezogenen Materials mit des Verfassers Lehrbuch der ebenen Geometi!'^ überein, das im zweiten Jahrgange dieser Zeitschrift besprochen worden ist. Der erste Abschnitt, §. I — 60, handelt von der Verbindung der geraden Linien und Ebenen im Räume. Analog den Sätzen^der ebenen Geometrie findet man hier, und zwar Tollständiger als es in vielen Lehrbüchern der Stereometrie der Fall ist, die Sätze über den Parallelismns stereometrischer Gebilde und über die Keile. Der zweite Abschnitt, $. 51 — 73, entlfält in ziemlicher Ausführlich- keit die Lehre von den Ecken und berücksichtigt^nam entlich auch die Con- gruena und Symmetrie derselben. In §. 65 und 72 wird die Bestimmung der Grösse einer dreikantigen und einer n kantigen Ecke durch ihre Winkel gegeben und darauf in §. 75, wie bei Legendre, der Beweis des Euler^schen Satzes gegründet Der dritte Abschnitt, §. 74 — 128, umfasst die Lehre von den geometrischen Körpern und zwar in §. 74 — 107 c(ie Lehre von den eckigen Körpern oder Polyedern und in §..108 — ^128 die Lehre von den runden Körpern (Kegel, Cylinder, Kugel). Von dem an der Spitze des Abschnitts befindlichen Euler^schen.Satze ist ausser dem Legendre'schen Beweise noch ein anderer , so viel uns bekannt von J. H. T. Müller her- rührender. Beweis gegeben. An die Betrachtungen über die Polyeder im Allgemeinen schliesst sich die Betrachtung der regelmässigen Polyeder und an diese die Lehre von den unregelmässigen Polyedern. Letztere umfasst die Entstehung und Benennung der unregelmässigen Polyeder (Pyramide, Prisma, Obelisk), die Eigeuächaflten derselben und ihre Congruenz und Aehn- lichkeit. In gleicher Weise folgt in der Lehre von den runden Körpern auf deren Entstehung und Benennung die Entwickelung ihrer Eigenschaften und die Betrachtung ihrer Congruenz und Aehnlichkeit. Die Entstehungs- weise der regulären Polyeder durch^ Abgrenzung regelmässiger, um einen Punkt, als gemeinschaftlichen Scheitel, herumliegender Ecken , sowie die der übrigen Polyeder durch 'Abgrenzung der betreffenden, durch ent- sprechende Bewegung einer Geraden erzeugten halbbegrenzten Bäume ist mit Becht den übrigen Darstellungs weisen vorgezogen worden. — Die Aus- fährliehkeit, mit welcher die Lehre von der Congruenz und Aehnlichkeit, von der symmetrischen Gleichheit und Symmetrie, sowie von der Gleichheit der Polyeder überhaupt behandelt ist, darf als ein besonderer Vorzug dieses Buches hervorgehoben werden. Der vierte und letzte Abschnitt enthält die Berechnung der Körper (Berechnung des Prisma, der Pyramide, des schief abgeschnittenen dreiseitigen Prisma, des Obelisken; Verhältniss der ahn*

32 Literatarzeitung.

liehen Polyeder ; Berechnung des Cylinders , des Kegels und der Kugel). Jedem Abschnitte ist eine reichhaltige Samminng von üebungsaufgaben bei- gefügt, welche theils in zu beweisenden Lehrsätzen, theils in Aufgaben zu Constructionen und Körperberechnnngen bestehen. Die Auflösungen zu diesen Aufgaben, mit Andeutungen sie zu finden, sind iu einem besonderen Schriftchen unter dem Titel : „Anhang zu dem Lehrbuch der Stereometrie von Carl Spitz" erschienen.

Die Reichhaltigkeit des Inhalts, die knappe und fassliche Darstellung machen das vorliegende Buch zu einer sehr empfehlungswerthen Erschei- nung. Ob fUr ein Lehrbuch der Stereometrie zum Gebrauch an höheren Lehranstalten und beim Selbststudium, das Gebiet der Stereometrie nicht füglich etwas weiter auszudehnen wäre, so dass die Kegelschnitte und die Lehre von den Projectionen noch innerhalb desselben fielen, wollen wir hier nicht entscheiden, die Frage aber immerhin der Beachtung empfehlen.

Die äussere Ausstattung des Buches lässt wenig zu wünschen Übrig. Unter mehreren Druckfehlem machen wir nur auf folgende aufmerksam: Seite 54, Zeile 19 von oben muss es heissen 4R = j4 ER — etc. und Zeile 24: 4Ä =2 ffÄ — 2Jra + 2 FÄ.

Dresden. Dr. Rudolf Hoffuann.

Bibliographie

vom 7. December 1858 bis 15. Februar 1869.

Periodisohe Sohriftan.

Denkschriften der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Mathem. -naturw. Classe. Bd. 15. Wien, Gerold^s Sobn in Comm. 10 Thir.

Sitzungsberichte der Kaiserl. Akademie der Wissenschaf- ten zu Wien. Math.-naturw. Classe. Bd. 27, Heft 2. Ebendaselbst.

2 Thlr. 4 Ngr.

Abhandlungen der König]. Bayrischen Akademie der Wis- senschaften. Mathem. - phys. Classe. Bd. 8» Abth. 2. München, Franz in Comm. 2V3 T*'^'''

Melanges physiques ei chimiques tirSs du bulleiin physico-ma- ihematique de VAcademie ä Peiersbourg, Tome JII, livr. S- Leipzig, Voss. 1 Tblr.

Archiv der Mathematik von Grunert. Theil 32, Heft I. Greifs- wald , Koch. pr. compl. 3 Thlr.

LiteratarzeituDg. 33

Astronomische Nachrichten, fortgea. von P. Hansen imd F. Peters. Bd. 50 nnd 51 , Heft 1. Hamburg, Perthes Besser & Mauke in Comm.

pro Band 5 Thlr.

Wochenschrift für Astronomie, Meteorologie und Geogra- phie. Neue Folge, Bd. 2. (1859.) Red. ^ von Beis. No. 1. Halle, Schmidt. pro compl. 3 Thlr.

Beine Mathematik.

Recht, 6., Die Elemente der niederen Analysis und der Gleichungen. München , liter.-artist. Anstalt. 28 Ngr.

Schmidt, J. P., Auflösung der Gleichungen ersten Grades nebstAufgahen. Trier, Lintz. V3 Thlr.

Stbauch, G. W., Auszug aus der Abhandlung: Anwendung des Yariationscalculs auf zweifache und dreifache Inte- grale. Wien, Gerold's Sohn in Comm. 4 Ngr.

Becker, F. W., Lehrbuch der Elementargeometrie. Thl. I: Planimetrie. 1. Abth. Oppenheim a. R., Kern. V? Thlr.

Glasl, G., lichrbuch der Geometrie für ünterrealschulen. 4. Aufl. Wien, Braumüller. I Thlr.

NoEQGERATH, E., Leitfaden zum Unterrichte in der Elementar- geometrie. Thl. 2 , Abth. 1 . Saarbrücken , Neumann. V3 Thlr.

IsiNG, C., Leitfaden für den Unterricht in der Geometrie. 1. Tbl. Planimetrie. Münster, Brunn. 6 Ngr.

Wittstein, Th., Lehrbuch der Elementarmathematik. Bd. 2. Abth. J. Ebene Trigonometrie. Hannover, Hahn. V2 Thlr.

ScHEKiNG, E., Ueber die conforme Abbildung des Ellipsoids auf der Ebene. Göttingen, Dietrich. 12 Ngr.

Angewandte Mafhematik.

D1T8CHEINER, L., Ueber die graphische Ellipsenmethode. Wien, Gerold's Sohn in Comm. 14 Ngr.

Schmidt, R., Theoretisch-praktischer Lehrgang der Axono- metrie. Leipzig, Förstner. 1 Thlr. 18 Ngr.

Stoevesandt, C. H., Lehrbuch der Perspektive. Lief. 1. Berlin, Herbig. I Thlr.

Weisbach, J., I)ie neue Markscheidekunst. Abth. 2. Brannschweig, Vieweg & Sohn. 4 Thlr.

LüBSEN, H. B., Einleitung in die Mechanik. Thl. 4. Bewegung festerKörper. Hamburg , O. Meissner. V3 Thlr.

Ludwig, C. nnd J. Stefan, Ueber den Druck, den das fliessende Wasser cfenkrecht zu seiner Stromrichtung ausübt. Wien, Gerold's Sohn in Comm. V3 Thlr.

Sempbr, G., Ueber die bleiernen Schleudergeschosse der Al- ten und über die zweckmässige Gestalt der Wurfkörper im Allgemeinen. Frankfurt a. M. , Verlag für Kunst und Wissen- schaft 3 Thlr.

Sammlung ausgeführter Constructionen aus dem Gebiete des Wasser-, Strassen- und Eisenbahnbaues. Heft 4, 5 und 6. Carlsruhe, Veith. k 2 Thlr.

Oeltzek, W., Argelander^s Zonenbeobachtungen. Abth. 6, vom 19*" bis 2^^ Wien, Gerold's Sohn in Comm. 14 Ngr.

34 Literaturzeitung.

Sternkarten^ akademische. Zone 0^ und Zone IX^ Berlin, D&mm- 1er in Gomm. k 1 Thlr.

Beuteb, F., Der nördliche gestirnte Himmel. 2. Aufl. 4 Bl. Imp.- Folio. Gotha, Perthes. 1V2 Thlr.

All£, M., Ueber die Bahn der Leda. Wien, 6erold*8 Sohn in Comm.

3Ngr.

ScHiNz, C, Compendium zu: „die W^rmemesskunst etc. Stutt- gart, Macken. 1 Thlr.

Physik.

Encyclopädie der Physik, bearbeitet von Brix, Decheb etc., her- ausgegeben von EIabsten. Lief. 4. Leipzig, Voss. 2V3 Thlr. Physikalisches Lexikon von Marbach und Cobkelius. Lief. 69

und 70. Leipzig, 0. Wigand. pro Lief. V2 Thlr.

Die Naturwissenschaften populär dargestellt von Difpel,

Gottlieb, Koppe etc. Lief. 23 bis 27. Essen, Bädeker. k Vs Thlr. PoaGEKDORF, J., B iogr ap hisch - Ht oraris chos Handwörterbuch

zur Geschichte der exacten Wissenschaften. Lief. 2. Leip*

zig, Barth. 2V3 Thlr,

KüNZEK, A., Lehrbuch der Experimentalphysik. 6. Aufl. Wien,

Braumüller. 28 Ngr.

BÖTTasB, C, Das Mittelmeer; eine Darstellung seiner physi-

schenGeographie. Lief. 6--8. Leipzig , Meyer, pro Lief. 12 Ngr« HABTiNa, P. , Das Mikroskop. Theorie, Gebrauch, Geschichte

und gegenwärtiger Zustand desselben. Aus dem Holland.

übersetzt von Theile. Braunschweig, Vieweg & Sohn. 5 Thlr.

Blasebna, P., Ueber den inducirten Strom der Nebenbatterie.

Wien, Gerold's Sohn in Comm. 6 Ngr.

Gavabret, J., Lehrbußh der Elektricität. Deutsch von B. Arendt.

Leipzig, Brockhaus. 1 Thk.

Peterin und Weiss, Ueber das Tönen der Flammen flüssiger

und fester Körper. Wien, Gerold's Sohn in Comm. 6 Ngr.

Naumann, C. E., Ueber die verschiedenen Bestimmungen der

Tonverhältnisse und die Bedeutung des reinen Quimten«

Systems für unsere heutige Musik. Leipzig, Breitkopf & Härte).

% Thlr. YooEL, A., Experimentelle Beiträge zur Bourtheilung hygro-

metrischer Methoden. München , Franz in Comm. 3% ^S^*

Abaoo's Sämmtliche Werke, herausg. von Hankel. Bd. 9 Leipzigt

0. Wigaad. 1V5 Thlr.

Dieselben. Bd. 14. (Populäre Astronomie.) Ebend. 2V2 Thlr.

Abago,F., Oeuvre s completes publi^s par J, A,Barral. Tome VIII

Mimoires seieniifique$ (T. V.). Leipzig, 0. Weigel. 2 Thlr.

Zantedeschi, f., Della lege fondamentale delle vergke vibranii t

della canne a bocca. Wien, Gerold's Sohn in Comm. 5 Ngr.

Literaturzeitung«

Kecensionen,

Die Tibrationstheorie der Elektricität des Professor Robioa in Klagenfart. P. Karl Kobida, Professor am K.K. Gymnasium zu Klagenfart, hat im Jahre 1857 eine Vibrationstheorie der Elektricit&t veröffentlicht, SU welcher ein anderes 1858 unter dem Titel Magnetismus erschienenes Schriftchen*) die Fortsetzung und den Schluss bildet. In der ,',Vibrations- th^orie der Elektricität'* beschäftigt sich Robida ausschliesslich mit der Mikroelektricität , indem er nach der Darstellung und Begründung seiner Yibrationstheorie dieselbe auf die wichtigsten elektrischen Erscheinungen (im Kleinen) anwendet; im „Magnetismus** dagegen passt er dieselbe Vibra-. tionstheorie den kosmisch • elektrischen Erscheinungen an und modificirt dieselbe dann fQr den Magnetismus und für die Erklärung der magnetischen Erscheinungen. Beide Schriftchen sollen hier einer Besprechung unter- worfen werden, und zwar sollen nicht minder die Mängel , als die Vorzüge der in ihnen enthaltenen Theorie hervorgehoben werden, denn nur so kann die Besprechung dem gemeinsamen Zwecke förderlich werden.

A. Begründung der Vibrationstheorie. (Vibrationsth. §§. 1 ~ 7.) Nachdem Robida in der Einleitung ganz kurz auf die Schwächen der Fluid umstheorie hingedeutet hat, gibt er eine Definition der Elektricität, welche (mit Berücksichtigung der auf S. 50 des „Magnetismus** folgenden Berichtigung) so lautet: „Die Elektricität beruht auf Longitud inaisch wing- nngen der Theilchen eines elektrischen Körpers, aus welc*hen Longitudinal- wellen entstehen, die als positiv elektrische, mit verdichtetem Vordertheile als negativ elektrische mit verdünntem Vordertheile in der Fortpflanzungs- richtung der entsprechenden Elektricität fortschreiten.** Der directe Be- weis (§§. 1 und 2) dafür ist in 3 Theile getheilt:

1. Die Elektricität beruht auf Schwingungen. a) „Streicht man die angeschraubte (fixe) Zinkplatte des Fechner^schen Elektroskops (mit Condensator) mit dem Violinbogen, so schlägt das Gold- plättchen aus; entstand dabei ein Ton, so zeigte die mit Sand bestreute

*) Beide Druck von Leon in Klagenfurt. Literalarstff. d. Zeitschr. f. Math. a. Phyt. IV.

36 Literaturzeitung.

Zinkplatte eine 4 strahlige, die Kupferplatte eine 6 strahlige Klangfigur. Wurde die Platte während des Streichens mit dem Finger berührt, so gab sie keinen Ausschlag des Goldplättchens/^

b) „Jenachdem man in- einer auf der Plattenebene senkrechten Ebene, oder an der Peripherie der Platte parallel zur Peripherie streicht, hat das Goldplättchen die eine oder die andere Elektricitäf

c) „Wenn die auf der fixen Zinkplatte liegende Kupferplatte mit dem Violinbogen angestrichen wird, so schlägt das Goldplättchen. aus; wenn man aber die isolirt gehaltene Kupferplatte , oder diese und die fixe Zinkplatte mit dem Violinbogen in Schwingungen versetzt, und dann die Kupferplatte auf die Zinkplatte legt, so stellt sich das Goldplättchen in die Mittellinie, obwohl Zink und Kupfer, wenn sie abgesondert an das Electroscop ange- sehraubt, und mit dem Violinbogen gestrichen werden, die gleichnamige Elektricität zeigen/'

d) „Eine Zinnplatte vom doppelten Durchmesser der fixen Zinkplatte und von verhältnissmässiger Dicke wurde am gläsernen Handgriffe einen Schuh hoch über der Zinkplatte so gehalten, dass beide Plattenebenen nabe parallel standen, und mit dem Violinbogen in Schwingungen versetxt. Das Goldplättchen zeigte sich elektrisch und zwar stärker elektrisch bei grösse- rer Annäherung der Platten, blieb elektrisch beim Auflegen der Zinnplatte auf die fixe Zinkplatte, sogar noch nach erfolgter Berührung mit dem Finger."

e) „Wenn man die mit dem Violinbogen angestrichene Metallplatte des Elektroskops mit dem Finger berührt, so kehrt das Goldplättchen sogleieb in die Mittellinie zurück. Der Ausschlag des Goldplättchens vermindert sich auch, wenn man das Glasröhrchen, welches den messingenen Oold- plättchenträger umschliesst, mit dem Fingerlberührt, und somit die Schwing- ungen des Glasröhrchens dämpft/*

f) „Beim Condensator divergiren ebenfalls die Goldplättchen, wenn man die Collectorplatte, oder die daraufliegende Gondensatorplatte mit dem Violinbogen in Schwingungen versetzt."

Mit welchem Rechte nennt Robida dies einen directen Beweis*) da- für, dass die Elektricität auf Schwingungen beraht? Die unter d) und e) aufgeführten Fälle der Inflnenz und Ableitung durch Mittheilnng haben ffir den zu beweisenden Satz keine Beweiskraft, und die andern Versuche be- weisen nur, dass da, wo man durch Streichen (tönende oder nicht tönende)

*) Direct wäre der Beweis zu nennen, wenn Bobida das Vorhandensein tob SchwingruDgen da nachwiese, wo, beim Ansschluss aller anderen Ursachen YonBchwing:- nngeD, Elektricität auftritt Eine Gelegenheit dazu böte vielleicht das Entstehen Ton Tönen in einem vom ßtrom durchströmten Leiter, oder die elektrischen Lichterschein- ungen, ja vielleicht selbst die mechanischen Wirkungen der Elektricität. 8o z.B. sagt Robida (Vibr. Th. S. 20) : „Alle mechanischen Wirkungen der Elektricität deuten auf eine schwingende Bewegung der Leitertheilohen. An Isolatoren, deren Theilchen sich schwer in elektrische Scliwingungen versetzen lassen , sind diese Wirkungen beson- ders auffallend. Die durch ein Glas dringende Elektricität versetzt dieses in solche Schwingungen, wie jede andere gleichartige Stömng des moleknUren Oieiehgewichts.

Literatarzeitnnp;. 37

SchwingnDgen erregt, Elektricit&t auftritt. Das Streichen ist jedoch nicht das einzige Mittel, um Schwingungen zu erregen; der Beweis ist daher zu- nächst in dieser Hinsicht wenigstens nicht vollständig. Daraus ferner, dass gleichzeitig mit den durch das Streichen hervorgerufenen Schwingungen Elektricität auftritt, folgt noch nicht ohne weiteres, dass die Elektricität selbst auf Schwingungen beruht. Wir könnten es dann zwar gelten lassen, wenn, ßobjda (Vibr. Th. S. 13) sagt: die elektrischen Wellen entstehen aus Longitudinalschwingungen , doch verlangen wir gewiss mit Recht erst noch den Beweis, wenn Bobida damit sagen wollte: die electrischen Wellen bestehen aus Longitudinalschwingungen. Und selbst dann, wenn bestehen mit entstehen gleichbedeutend wäre, hätte Eobida den Beweis eben nur für die Reibungselektricität geführt, und es müsste wenigstens noch nachge. wiesen werden, dass die Elektricität aller übrigen Quellen sich in dieser Beziehung nicht von der Eeibungselektricität unterscheidet. Robida sagt in seinem Beweise davon kein Wort; dieser Theil des Beweises ist daher keineswegs vollständig oder ausreichend.

2, Das Schwingnngssubstrat sind die Theilchen elektri- sclier Körper.

a) „Dieses ergiebt sich schon aus 1., denn die Störung des molekularen Gleichgewichts versetzt die Körpertheilchen in Schwingungen. Die eine Klasse der Schwingungen ist die Quelle des Schalls; eine andere Klasse derselben ist die Quelle der Elektricität , für welche letztere keine nähere Ursache als die Theilchenschwingungen vorliegt. Die bei den angeführten Versuchen stattfindende Reibung ist wohl die Ursache der Schwingungen, aber keineswegs die letzte Ursache der Elektricitätserscheinung , welche Behauptung der Versuch unter 1.6) ausser Zweifel setzt.*^

b) „In eine 1 Zoll weite, 1 Schuh lange Glasröhre streute ich vom offe« nen Ende an bis nahe zur Mitte Lycopodiumsamen, fasste das geschlossene Ende mit der linken Hand , und führte mit der rechten gegen das offene Ende der Röhre das amalgamirte Leder. Ljcopodiumtheilchen bewegten sich springend gegen das offene Ende, und viele flogen aus der Röhre hinaus. Berührte ich nun das offene Ende mit der Hand, so bewegten sich Lycopodiumtheilchen rückwärts gegen die Mitte der Röhre. *^

c) „Aus angestellten Versuchen darf man nach Riess schliessen, dass ein elektrischer Körper in einem luftleeren (absolut leeren) Räume seine Elektricität für immer behalten würde.*'

Auch dieser Theil des Beweises ist nicht bindend. In a) liegt eben nur der Nachweis dafür, dass ein Körper, dessen Theilchen in Seh wingungen * versetzt wurden, elektrisch wurde; und wir wiederholen, dass damit noch nicht unbedingt gesagt ist, dass das Elektrischsein selbst im Schwingen der Körpertheilchen beruhe, wenn schon es durch das Schwingen derselben her- vorgerufen wurde. Ursache und Wesen einer Sache darf man nicht mit einander verwechseln. Wenn jedoch die Reibung die Ursache der Schwing-

4*

38 Literaturzeitung.

ungen ist, und wenn eben diese Schwingungen Electricitflt sind, so ist auch die Eeibung die Ursache der Elektricität. Zugegeben nun, dass überhaupt die Elektricität auf Schwingungen beruht, warum müssen es gerade und allein Schwingungen der Körpertheilchen sein? In b) und c) liegt wohl kaum die Antwort auf diese Frage. Während wir bisher nur gegen die Form des Beweises, nicht gegen das Bewiesene selbst sprachen , möchten wir hier mit dem Beweise zugleich auch die zu beweisende Behauptung zu- rückweisen, in Erinnerung der guten Dienste ^ welche uns die Anni^me leistete*), dass die elektrischen Schwingungen aus Schwingungen der Kör- pertheilchen und aus Schwingungen der Aethertheilchen gemischt seien**). Ohne Schwierigkeit haben wir aus dieser Annahme bereits eine Erklärung für die unter c) aufgeführte Erscheinung entwickelt , während Robida bei der Annahme bioser Körperschwingungen schwerlich eine genügende Er- klärung für das Ueberspringen des Funkens durch einen leeren Raum und für die vertheilende Wirkung elektrischer und magnetischer Körper auf andere Körper wird geben können, von denen sie durch einen leeren Raum getrennt sind. Robida leugnet zwar die Möglichkeit eines leeren Raums (Vibr. Th. §.2, 2) und hält jedes Vacuum für erfüllt mit losgerissenen kleinsten Theilchen der Materie. Wenn man aber an Stelle der letzteren den überall verbreiteten , höchst elastischen und unwägbar feinen Aether setzt und annimmt, dass der Aether sich nach aussen nicht elektrisch zeige, so lange er allein (ohne die materiellen Körpertheilchen) in elektrischen Schwing- ungen begriffen ist, so hat man in ihm ein bloses Fortpflauzungs- und Ueber- tragnngsmittel für die elektrischen Schwingungen, einen natürlichen Unter- schied zwischen Leitung und Strahlung, zwischen Leitern und Nichtleitern.

3. Die Schwingungsrichtnng der Theilchen elektrischer Körper ist eine longitudinale in der Fortpflanznngsrichtung der Elektricität und Wellen mit verdichtetem Vordertheile (mit dem Berge voraus) geben positive, Wellen mit verdünntem Vordertheile (mit dem Thale voraus) geben negative Elektri- cität.***)

Robida führt den Beweis gesondert für Metalle, Holz, Glas und elektro- negative Körper :

ä) „Ein 1 Schuh langer, geschmiedeter, ungefeilter Eisenstab (nicht Draht, dessen Theilchen durch den Zug in krumme Lagen gerückt worden sind) von der Dicke der messingenen Fassung des Goldplättchenträgers im Elektroskope wurde an diesen Träger angeschraubt und mit dem Violin- bogen vom obern Ende gegen das untere, oder vom untern Ende gegen das obere gestrichen. Um reine Longitudinalsch wingungen der Theil-

*) Vergl. S. 132 ff. des IV. Jahrg. dies. Zeitschrift.

**) Auch Spiller, Phantom der Imponderabilien, 8. 11, stellt eine Khnliche An- sicht anf.

♦*♦) Spiller, Phantom, 8. 46, statuirt keine Verdichtungen und Verdünnungen.

Litoraturzeitnng. 39

chen des Stabes zu erhalten, mnss der Violinbogen mit der Längen rieh tung des Stabes einen spitzen Winkel bilden, nnd dieser Winkel sowie die Streich- stelle des Violinbogens mnss während des Striches beibehalten werden. Ueb- rigens wird der Strich kurz nnd leicht geführt. Die dnrch den Violinbogen erregten Schwingungen des Eis^nstabes werden vor Beginn des Gegen- Striches mit der den Stab berührenden Hand unterdrückt. Wenn man die Versuche mit Beobachtung dieser Vorsichten anstellt, so gelingen sie sicher, und dasGoldplättchen zeigt beimAbwärtsstreichen positive, beim Aufwärts- streichen negative Elektricitäf

„Diesen Versuch betrachte ich zur Begründung meiner ausgesproche- nen Behauptung als den fundamentalen, weil die dabei erregten Wellen im Metalle bleiben, und bei den Beflexionen an den beiden Metallenden keine Umkehrung der Wellenform erleiden. Denn beim Uebergange der Welle aus Metall in Luft, nämlich aus einem für elektrische Wellen geeigneteren in ein minder geeignetes Medium wird der Wellenberg als Berg, das Thal als Thal reflectirt.''

b) „Ein Holzstab, welcher zu akustischen Versuchen bestimmt ist, wurde an den messingenen Träger des Goldplättchens angeschraubt und mit dem Violinbogen auf gleiche Art und mit gleicher Vorsicht gestrichen. Bei abwärts gerichteten Strichen zeigte das Goldblättchen positive , bei auf- wärts gerichteten Strichen negative Elektrieität. Der Scbwingungsvorgang im Holzstabe ist jedoch complicirter, als jener im Eisenstabe, weil das Holz zur Fortpflanzung elektrischer Wellen minder geeignet ist , als der messin- gene Träger des Goldplättchens. Daher wird die aus dem Holz in das Me- tall übergehende Welle*) an der Uebergangsgrenze mit .Umkehrung ihrer Wellenhälften reflectirt. Beim aufwärts geführten Striche bleibt die aus der Interferenz der reflectirten (verdichteten, +) und der directen (ver- dünnten, — ) Wellen resultirende Welle vorherrschend im Sinne der in- tensiveren directen, und das Goldplättchen zeigt negative Elektrieität ; beim abwärts geführten Striche dagegen, welcher den interferirenden Weilen einen grösseren Spielraum gestattet, bekommt die resultirende Welle leicht die Form der reflectirten (verdünnten, — ), und das Goldplättchen zeigt wieder negative Elektrieität, sobald der abwärts geführte Strich nicht reine Longitudinalschwingungen geweckt hat. Man sichert sich das Gelingen des Abwärtsstriches , wenn man auch diesen am untern Ende des Holzstabes führt'.''

Den Versuch ä) bezeichnet also Robida selbst als den fundamentalen, den entscheidenden. Aber was entscheidet er? Robida sagt Vibr. Th. S. 5: „bei den Versuchen mit Metall und Holz habe ich mich des Violinbogens als Schwittgungserreger vorzugsweise bedient, weil seine Anwendung am leichtesten modificirt wird, und weil man damit die störenden Transversal-

*) Nicht aach beim Uebergange aus Eisen in MesBing, da der Leitungswider- stand im Eisen sich zu d'era im Messing etwa verhält wie 2:1?

40 Literaturzeitung.

und Botationssch willgangen eines an dem Ende befestigten Stabes am sichersten vermeidet/' und bemerkt S. 12 ganz richtig; „Der angeffifarte Versuch mit dem Eisenstabe, welcher noch instructiver ausfallen wird, wean man jedes Ende eines gebogenen Eisen- oder Kupferstabes an ein Fechner- sches Elektroskop anschraubt , was mir wegen Mangel eines zweiten Elek- troskops unthunlich war, zeigt deutlich , dass das Gold plättchen beim Ein- tritte der verdünnten longitudinalen Welle negativ elektrisch, und beim Eintritte der verdichteten longitudinalen Welle positiv elektrisch wird/* Diess , aber auch nicht mehr beweist dieser Versuch. Robida erzeugte ab- sichtlich blos longitudinale Schwingungen und fand dabei die mitgetheilten Resultate; dass er dann abgesondert in Holz und Metall auch transversale Schwingungen, auch Rotationsschwingungen erzeugt und dabei andere oder gar keine Resultate erhalten habe, davon sagt er nichts, ebensowenig wider- legt er a priori , dass bei den beiden letzteren Schwingungsarten Elektriei- tat auftreten könne, worauf doch der Versuch 1. b) hindeutet. Wohl aber nennt Robida die Transversal- und Rotationsschwingungen störend and schreibt es ihrer Gegenwart zu, wenn der Holzstab auch abwärts gestrichen negativ elektrisch wird. Entscheidend scheint übrigens zwar das Auftreten der positiven Elektricität beim Abwärtsstriche und der negativen beim Anf- wärtsstriche. Indessen es ist der Versuch nicht bestimmt und ausführlich genug beschrieben ; es ist blos die Richtung des Striches mit dem Violin- bogen abwärts oder aufwärts angegeben ; ob aber die Haltung des Bogen« bei beiden Strichen dieselbe war, ob z. B. der Griff des Bogens dem fest- geschraubten Ende des Holz- oder Eisenstabes beide Male zugewendet, oder beide Male abgewandt war, ist nicht gesagt. Das aber ist gerade bei der verschiedenen Structur des Rosshaares in der Richtung gegen seine Wurzel und gegen seine Spitze von wesentlichem Gewichte, da bekanntlich - bei der Reibungselektricität das Vorzeichen von dem Unterschiede in der Structur, Faserrichtung u. s. w. abhängig ist. Dadurch könnte es selbst be- dingt sein y dass Holz- und Eisenstab gleiche Resultate lieferten , so lange reine Longitudinalschwingungen geweckt wurden. Die Betrachtung des „complicirten^* Schwingungsvorganges im Holzstabe hätte Robida füg- licli ganz aus dem Spiele lassen sollen; denn er erkennt ja nicht am Hols- stabe, sondern an dem Goldplättchen das Vorzeichen der Elektricität, hat es also nur mit den aus dem Holze ins Metall übergegangenen Wellen zu thun, und wenn auf diese der complicirte Vorgang im Holzstabe von £in- fluss ist; so wäre es klug, die Beobachtung abzuschliessen , bevor noch der complicirte Vorgang Einfluss gewann. Wie aber bei aufwärts geführten Strichen die direete Welle kräftiger ist, als die reflectirte, so sollte es doch wohl auch bei abwärts geführten Strichen sein? Warum und wie sollen die letzteren den interferirenden Wellen einen grösseren Spielraum geitatten? Mahnt nicht etwa der versteckte Einflass anderer, als longitudinaler Schwingungen zur Vorsicht und zu fortgesetztem Studium ?

Literat arzeitUDg. 4 1

Die beiden Versuche beweisen also weder, dass die Elektricitüt blos aus longi tudinalen Schwingungen entsteht, noch, dass Wellen mit verdichtetem Vordertheile positive, Wellen mit verdünntem Yordertheile negative Elektricität geben, am allerwenigsten aber, dass die positive and negative Elektricität ans solchen Schwingungen und Wellen besteht.

c) „Wenn man gewöhnliches Glas mit amalgamirtem Leder, mit Seide oder Katzenfell reibt und dem Elektroskope nähert oder mit dessen mes- singenem Träger des Goldplättchens in Berührung bringt, so zeigt sich das Goldplättchen positiv elektrisch; wenn man aber das elektrische Glas vom Elektroskope entfernt, so zeigt das Goldplättchen negative Elektricität. (In- fluenz z. Th.) Wenn man aber eine Glas-Platte , Röhre oder einen Glas- stab mit der kleineren Fläche auf den messingenen Träger des Goldplätt- chens aufstellt, das freie Ende mit der Hand hält, und zwischen Träger und Hand mit amalgamirtem Leder, mit Seide, Katzenfell oder Violinbogen in Längenschwingungen versetzt: so zeigt das Goldplättchen positive Elek- tricität, mag der Reiber auf- oder abwärts geführt werden. Bei mattge- schliffenem Glase dagegen erscheint nur beim Reiben mit amalgamirtem Leder positive, sonst ne|;ative Elektricität im Goldplättchen."

Um diese Resultate mit jenen beim Eisenstabe in Uebereinstimmung zu bringen, geht Robida wieder auf die im Glase stattfindenden Reflexionen und Welleninterferenzen ein und stützt die nochcomplicirtere Erklär- ung auf die Voraussetzung , „dass das gewöhnliche Glas nur verdichtete Wellen als wirksam fortpflanzt," deren Richtigkeit sich zum Theil daraus ergeben soll, „dass eine Glasröhre, welche man durch Reibung in starke Longitudinalschwingungen versetzt, in Trümmer geht.^^ Diese durchaus nicht gerechtfertigte*) Voraussetzung macht die vorhergehende verwickelte Erklärung noch verdächtiger und da Robida schon gefunden hat , dass ge- wöhnliches Glas bei einzelnen Strichen (aufwärts oder abwärts) blos posi- tive Elektricität giebt**), und bleich darauf sagt, dass beim mattgeschliffe- nen Glase die Natur der geweckten Elektricität von dem Reiber abhängt: so hätte er wohl eher noch der reibenden und der geriebenen Substanz einen Einflnss im Momente des Entstehens der Welle beilegen dürfen, nicht aber dem geriebenen Körper verdünnte oder verdichtete Wellen als bei der Interferenz vorwiegend octroiren sollen, jenachdem er die einen oder die andern behufs einer gekünstelten Erklärung des Auftretens der positi- ven oder der negativen Elektricität braucht. Während nämlich das ge- wöhnliche Glas nur verdichtete Wellen (positive Elektricität) als wirksam fortpflanzt, und die ursprünglich erregten, aber aus dem eben genannten

*) £lasticität8gesetze ! Es ist nicht abzusehen, warum das gewöhnliche Glas eich lieber erst verdichten und dann verdünnen , und das mattgeschliffene Gla» sich lieber erst verdünnen und dann verdichten lassen sollte. Robida nennt in §. 2 als Ursache davon „die starke Spannung der Theilchen im molekularen Gleichgewichte." **) Warum reibt R. das gewöhnliche Glas nicht auch mit Körpern, die es nega- tiv elektrisch machen?

42 Literaturzeitung«

Grunde nur schwachen verdünnten Wellen erst nach ihrer bei der Reflexion erfolgenden Umwandlung in verdichtete« Wellen kräftiger und ordentlich wirksam werden, soll das amalgamirte Leder die Glastheilchen in intensivere Schwingungen versetzen und so auch im mattgeschliffenen Glase die dem gewöhnlichen Glase eigenthümlichen Schwingungen*), die andern Keiber aber vorzugsweise die der matten Glasoberfläche eigenen Wellen (negative Elektricität) wecken. Die Scblussbenierknng über die Erscheinungen am Glas bekräftigt nur unser Urtheil; sie lautet: „bei zusammenhängen- den transversalen Gegenstrichen (d.h. aufwärts und abwärts in wech- selnder unmittelbarer Aufeinanderfolge) ist die Wirkung der eben beschrie- benen (bei zusammenhängenden 1 ongitudinalen Gegenstrichen) ganz gleich, was ebenfalls für die Eigenthümlichkeit des Glases nur gewisser Art Schwingungen als wirksame fortzupflanzen spricht. Bei wie immer gerich- teten Strichen über der das Glas haltenden Hand zeigt das Goldplättchen keine Einwirkung , weil die erregten Wellen von der Hand nach oben re- flectirt werden.'^

d) „Ganz ähnlich urtheilen wir über die von Robida angeführten Er- scheinungen bei „sogenannten-negativ-elektrischen Körpern*' als Harzstab (d. i. ein mit einer Harzlösung überstrichener Glasstab), Schel- lack, Siegellack, Harzkuchen , Schwefel.** Das Resultat dieser letzteren Versuche fasst Robida in folgende Worte zusammen : „Daraus ist ersicht- lich, dass dad' amalgamirte Leder und der Violinbogen im Harzstabe eine ähnliche Wirkung hervorbringt, wie das amalgamirte Leder im mattge- schliffenen Glase (d. h. positive Elektricität sowohl beim Auf- als beim Ab- wärtsstriche); dass beim Schwefel mit verdünnten Wellen das Auftreten der negativen Elektricität , mit verdichteten Wellen das Auftreten positiver Elektricität manchmal zusammenfallt; endlich dass beim Gebrauche der Seide oder des Katzenfells alle genannten Körper die ihnen eigenthümli- chen, verdünnten Wellen vorzugsweise lyBmerken lassen (natürlich eben- falls als Folge der Interferenz). Bei zusammenhängenden Gegenstrichen zeigt nur die Harzstange beim Gebrauche des amalgamirten Leders oder des Violinbogens als Wirkung des Anfwärtsstriches positive, beinf^ Ge- brauche des amalgamirten Leders oder des Katzenfells zeigen alle beim Aufwärtsstriche negative Elektricität im Goldplättchen; beim Abwärts- striche kehrt das Goldplättchen in allen Fällen zur Mittellinie zurück and zeigt nach Entfernung des Reibers jene Elektricität, welche beim Aufwärts- striche beobachtet worden ist."

*) Diess steht im Widerspruch mit Yibr. Tb. S. 13: ,,Nach Coulomb wird von zwei an einander geriebenen Flächen diejenige leicht positiv, deren integrirendo Theilchcn die kleinste Bewegung um ihre (Gleichgewichtslage machen. Dagegen wird diejenige Fläche leicht negativ , deren Theile durch die liauheit der andern Flache, oder aus einer andern l/rsache weiter von einander entfernt werden. Fochner rieb frische Hölzer an eitiander und kam zum allgemeinen Resultate , dass die dichteren, schwereren Holzarten mit leichteren gerieben negativ elektrisch werden.*'

Literaturzeitung. 43

Der Beweis von Kobida ist also kein directer Beweis und als Indacti- onsbeweis ist er nicht erschöpfend ; dass Robida die willkürliche and un- klare Voraussetzung, auf welche sichvder dritte Theil des Beweises stützt, beibehält, ist um so unbegreiflicher, weil er im Verlaufseiner Abhandlung mehrere Thatsachen aufführt, die deutlich gegen Longitudinalschwingungen sprechen. Kobida fühlt selbst die Unzulänglickeit seiner „wenigen** Ver- suche und findet deren Fortsetzung wünsch enswerth. In unparteiischer Anerkennung seines verdienstlichen Strebens zur Erforschung der Wahrheit theilen wir seine Hoffnungen auf den Erfolg fortgesetzter Versuche, wenn dieselben planmüssig erweitert werden.*) So lange aber derartige Erfahrun« gen noch fehlen, scheint es räthlicher zu sein, aus Analogien zu schliessen.

An den Beweis knüpft Robida eine „kurze Anführung der gewöhn- licheren Quellen der Elektricität,*^ nämlich der Reibungselektricität (§. 3), der BerÜhrungselektricität (§. 4) und der Therm oelektrici tat (§. 6). Sein Zweck dabei ist nicht deutlich ausgesprochen; doch scheint er das Ent- stehen der Elektricität aus Schwingungen in diesen 3 Fällen herleiten und erklären zu wollen. Dass das Auftreten der Elektricität in der Regel von Bewegungserscheinungen begleitet ist, lässt sich senr leicht und weit be- stimmter nachweisen. Neben der Unklarheit der Darstellung giebt uns aber Robida hier auch ein Paar Pröbchen seines Scharfsinns und seines Wissens, die nicht eben Vertrauen erwecken. Vibr. Th. 8. 14 behauptet er, dass bei der Berührung gleichartiger Metalle Elektricität entstehe, weil bei der Trennung der beiden Mctallplatten**) Elektricität bemerk- bar wird. S. 15 meint er, dass 2 Elektromotorplatten bei zwischengelegtem feuchten Leiter sich gar nicht berührten , und dass da dennoch der Strom (doch wohl in dem die Platten verbindenden Schliessungsbogen ? !) kräfti- ger werde, und betrachtet flottweg bei einer galvanischen Batterie diß in einer Zelle befindlichen Platten als ein zusammengehöriges Paar, bei wel- chem „die sorgfältig vermiedene Berührung der Elektromotoren durch che- mische Aetion mehr als ersetzt wird.** Mit seiner Erklärung der Elektro- lyse (in §. 5 der Elektrochemie) kann Robida jetzt schon desshalb kein Glück mehr machen, weil er sich z. B. die Sauerstoffatome und die Wasser- stoffatome in den Wasseratomen als deren Bestandtheile vorhanden denkt, welche entgegengesetzte Schwingungen haben; und an diese An- sicht schliessen sich in demselben §. noch obendrein andere ungereimte und unbegründete Voraussetzungen.

Das Gesetz der Fernwirkung der Elektricität (§. 7) steht ganz ausser Zusammenhang; Robida giebt keine Erklärung, sondern deutet nur. auf die

*) Welche Resultate erhält man z. B. , wenn man Schwingungen durch Klopfen mit einem Hammer in der Anenrichtuiig eines Stabes und senkrecht dazu erzeugt u. h. w.

**) Bei der Trennung tritt doch die Luft an die Stelle der einen Metallplatte. Voraussichtlich haben beide Platten dieselbe Elektricität.

4 4 Literaturzeitang.

Analogie der EleklriciUt mit Schall, Licht und Wärme rticksichtlich der Wirkung in die Ferne hin.

B, Anwendung der Yibrationstheorie zur Erklärung einiger elektrischer Erscheinungen. (Vibr. Th. §§. 8 — 17.)

§. 8. Mittbeilung und Vertheilung (Influenz) der Elektricität. Mit- theilung erfolgt bei der Berührung eines elektrischen Körpers mit einem unelektrischen ; der Influenz liegt eine Wirkung aus der Ferne zu Grunde. Da nun Eobida die elektrischen Schwingungen nur als Körperschwing- ungen betrachtet, so entsteht zunächst die Frage: wie hat man sich die Wirkung in die Ferne vorzustellen? Robida schweigt darüber. Sie kann jedoch keine gewöhnliche Fortpflanzung der Schwingungen sein ,- sondern unterscheidet sich von der Mittheilung dadurch, dass der zwischen dem in- fluenzirenden Körper liegende Nichtleiter (oder leere üaurn) selbst nicht elektrisch wird. Ferner treten auf dem influenzirten Körper beide Elektri- citäten auf; ausserhalb desselben lässt sich dafür keine Ursache finden ; desshalb sucht sie Bobida in ihm selber : er lässt die erste, von dem influen- zirenden in den influSnzirten Körper eintretende Welle in dem letztern nnr ein Stück vordringen, bis zu einem Theilchen A:, an welchem sie wirkungslos ankommt; die nachfolgenden intensiveren (?) Wellen gehen über k hinaus, treten bei k „gleichsam in ein elastischeres (?) Medium über als gleichnamige Elektricität und werden von k reflectirt als entgegengesetzte Elektricität; an der Scheidegrenze k liegt der Indifferenzgürtel.*' Abgesehen davon, dass die Lage von k ganz unbestimmt iat, und Ar sich wohl stetig gegen das ab- gewandte Ende des influenzirten Körpers hin, ja vielleicht über dasselbe hinaus bewegen miLsste, widerspricht die obige Annahme der Erfahrung, insofern k um so weiter vom influenzirenden Körper wegrücken müaste , je stärker der erste Impuls war, während doch die Indifferenzzone gerade um so näher an den influenzirenden Körper heranrückt, je kräftiger dessen Ein- wirkung ist. — Im Nachtrag (Magnetismus S. 50) ändert Kobida die Er- klärung der Influenz dahin ab, dass er die am zugewandten Ende auftre- tende entgegengesetzte Elektricität „durch die an der Grenze zwischen Luft und Metall mit Umkehrung ihrer Weilenhälften reflectirten Wellen hervorgerufen werden lässt, wobei an der Grenze zwischen den entgegen- gesetzt elektrischen Wellen des influenzirten Körpers der Indifferenzgürtel liegen soll.** Aber auch darin ist kein Grund für das gleichzeitige Auftre- ten der beiden Elektricitäten nebeneinander und der Indifferenzzone da- zwischen enthalten; man kann sich nicht darüber klar werden, wie die bei- den Arten elektrischer Wellen durch die Indifferenzzone auf die eine Hälfte des influenzirten Körpers gebannt bleiben können, und gerade auf derjeni- gen Hälfte, auf welche sie erst von der andern übergegangen sind.— Dass übrigens bei der Vertheilung die Elektricität auch anf dem nichtablei- tend berührten influenzirten Körper und auch bei der MittheiluQg auf dem

LiteratnrzeituDg.' 45

elektrisirten Körper bei der weitern oder gänzlichen Entfernung des elek- trischÄn Körpers in die entgegengesetate umschlägt (Vibr. Th. 8. 21) , ist neu und interessant; leider zeigen aber die Versuche mit dem Oondensator (Vibr. Th. S. 24) gerade das Gegentheill

Aehnlich steht es um die z.Th. auf die Influenzerscheinungen gestützte Erklärung des Elektrophors (§. 9) , des Condensators und der Leydener Flasche (§. 10), für welche wieder mehrfache Interferenzen durch Beflexion SU Hilfe genommen werden. Die Erklärung der Lejdener Flasche lautet kurz gefasst so: wird die innere Belegung positiv elektrisirt, so gehen die positiv elektrischen Wellen durch das Glas und die äussere abgeleitete Be- legung in die Erde ; durch Keflexion an der Grenze des Glases gegen die äussere Belegung entstehen im Glase negativ elektrische Wellen und diese gehen nun zwar in die äussere Belegung, aber nicht (!) in den Erdboden über. Auch die weniger starke Ladung der isolirten Flasche ist nicht ge- nügend erklärt.

Die Erklärung des elektrischen Stroms (§. 11) ist ihrem Wesen nach in der auf S. 138 ff. des IV. Jahrg. dies. Zeitschr. gegebenen enthalten und schliesst mit den Worten: „die Geschwindigkeit der elektrischen Wellen hängt von der Schwingungsdauer eines Theilchens , und die Intensität von der Schwingungsintensität und Menge der Theilchen des Erregers zunächst ab und wird überdiess durch die Beschaffenheit des Leiters modiflcirt. Da- her giebt die Reibnngselektricität einen vorzugsweise intensiv starken Strom; die Contactelektricität giebt einen intensiv starken Strom beim Ge- brauche vieler galvanischel: Elemente und einen quantitativ starken Strom beim Gebrauche eines Elementes mit grossen Elektromotorenfiächen.**

Die Erklärung der Induction (§. 12) ist ebenfalls unklar und leidet an denselben Mängeln, wie die Erklärung der Influenz, aus welcher sie herge- leitet wird.

In §. 13 führt Robida eine Reihe von mechanischen Wirkungen der Elektricität auf, unter denen er das meiste Gewicht auf die Erscheinung am Quecksilber legt, wenn es als Elektrode verwendet wurde :• „die kegel- förmige Hebung des Quecksilbers am positiven und die Senkung am nega- tiven spricht für verdichtete Wellen der positiven und für verdünnte Wellen der negativen Elekiricität." Die Anordnung des Versuchs ist nicht be- schrieben*) ; wenn nur nicht etwa eine Capillarerscheinung darunter ver- borgen steckt.

*) Zantedeschi beschreibt in seinem trattato difisica elementare III. II. 8. 46 das Verhalten des Quecksilbers über den beiden, in das Qaecksilber durch den Boden eingeführten Poldrähten in folgender Weise: „das Qaecksilber erhob sich über den Enden d^r Dräthe und bildete Kegel von ^^ bis ^ Zoll , von deren Spitzen Wellen nach allen Richtungen hin aasgingen, derart, dass nur der Punkt, wo die Wellen sieh trafen, in Ruhe war. Ging der Pol eines Magnetes in der Entfernung von einigen Zollen über einen dieser Kegel, so wurde er niedriger und breiter, auch die Wellen- bewegung nahm ab. Kam der Magnet noch nfther, so wurde die Oberfläoh« des Queck-

46 ■ Literaturzeitung.

Aus den §. 14 angeführten wärmenden und leuchtenden Wirkungen heben wir hervor:- dass die Temperatur, bei welcher der Leitungsdraht glüht, unter seiner sonstigen Glühhitze liegt^ und dass das Schmelzen durch gleichzeitige Zerkleinerung und Erhitzung erfolgt (Riess) ; dass materielle Theilchen durch den Strom stets (?) von der positiven Folspitze fortgeführt und auf der negativen Polplatte abgelagert werden*); dass Licht aus- schliesslich (?) dem negativen und Wärme vorzüglich dem positiven Pole angehöre, und dass desshalb die negativ elektrischen Schwingungen in Lichtschwingungen und die positiv elektrischen in Wärmeschwingungen Übergingen. Einen innern , aus der Natur dieser 3 Wellengattungen , aus ihren Verschiedenheiten oder ihrer Verwandschaft abgeleiteten Grund da- für giebt Kobida nic^t an; hält es auch nicht einmal für nöthig, nachzu- weisen, wie sich die longitudinalen elektrischen Schwingungen in transversale Licht- und Wärmeschwingungen umsetzen können. Dürfte man nicht auch rückwärts schliessen, dass Licht ausschliessend negative . uni Wärme vorzüglich positive Elektricität hervorrufen müsse ? Davon hat Robida an dem betreffenden Orte (§. 5 und §. 6) nichts erwähnt.

Bezüglich der Schall erregenden Wirkung der Elektricit fuhrt Robida (in §. 15) die Versuche von delaRivean; aber der Ton, welcher ent- steht, wenn ein eiserner Draht oder Stab der Länge nach von discontinuir- lichen Strömen durchflössen wird, entspricht dem Querton des Stabes oder Drahtes ; Robida fügt desshalb bei : „in manchen Fällen scheinen die elektrischen Längenschwingungen in Querschwingungen des Schalles tiber- zugehen," aber auch hier sagt er nicht, wie dies zugeht.**) '

Die physiologischen Wirkungen der Elektricität (§. 10) sollen eben- falls für elektrische Wellen in der von Robida angenommenen Form und Richtung sprechen, weil nach Ritter der Finger am positiven Pol eine

Silbers eben und das Metall begann ihn sa umkreisen, um so schneller, je näher der Magnet kam; wenn dieser endlich der Oberfläche des Quecksilbers ganz nahe gekom- men war," so erschien an der Stelle, wo früher der Kegel war, eine Höhlnog voll Wir- bel. Vergl. U. Daoff, Annale* de Chime ei Fkysique, T. XVI.

*) Aber Yibr. Th. S. 32 sagt Robida: „Neef sah ewar auf beiden Elektroden von Piatina sehr feine Spitzen auf rauher Oberfläche aufsitzen ; doch scheinen mir diese Spitzen nur an der Elektrode ans Snbstanzgewinn, an der positiven aus Sub- stanzverlust herzurühren. Denn die Beobachtung Moiguo*s stellt ausser Zweifel, dass vorzugsweise an der positiven Elektrode Wärme auftritt,^lso nur von dieser die Bohwingenden Theilchen in der Schwingungsrichtong fortgerissen und an der negati- ven Elektrode abgelagert werden können." (Wie so?!)

**) Werthheim erklärt den Ton aus Molecnlarveränderungen , nämlich aus einer geringen Verlängerung des Stabes; van Marum und Edmund Becqne- rel dagegen beobachteten eine Verkürzung (vergl. S. 152 des IV. Jahrg. dieser Zeitschr.). „Wenn ein weicher Eisenstab dorch einen starken elektrischen Strom magnetisirt wird, so giebt er, aber nur beim Oeffnen und Schliessen der Kette , einen deutlichen Ton (Page);Marrion fand, dass die Höhe dieses Tones stets d«m Lon^* iudinaltone entspricht, welchen der Stab beim Streichen giebt; der Querschnitt des Stabes ist dabei von keinem Einflüsse; Stahlstäbe tönen ebenfalls, aber nicht Stäbe von andern Metallen, oder gar Nichtleitern; wie Ulas, Holz n. s. w.; vergl. Ganot, Lehrbuch der Physik und Meteorologie, deutsch bearbeitet von Dr. Weiske (Leipzig 1858), 2 Band, S. 194.

Literatnrzeitung. 47

Einwirkung wie von innen nacb ausfien (Anschwellang), am negativen Pol aber w^e von aossen nach innen (Contractiou) erleidet. Mindestens mit gleichem Rechte könnte aber die Anschwellung nach der Spitze des'Fingers hin am positiven Pole als Zeichen einer in den Finger eintretenden Ver* dünnungs welle geltend gemacht werden.

Die §. 17 gegebene Erklärung der Anziehung und Abstossung paralle- ler oder gegeneinander geneigter Stromleiter ist zu verfehlt, als dass sie noch weitläufig widerlegt zu werden brauchte.

In der Anwendung der Yibrationstheorie zur Erklärung der elektri- schen Erscheinungen ist also Robida keineswegs glücklich gewesen. Dafür,- dass die elektrischen Schwingungen longitudinale sind, liefern die Erklär- ungen keinen entschiedenen neuen Beweisgrund, wohl aber eher Gegen- beweise. Transversale tönende, Wärme- und Licht-Schwingungen gehen aus den (longitudinalen) elektrischen Schwingungen nicht nur hervor, sondern Wärme und Licht wecken auch elektrische Schwingungen, und dass es auch transversale tönende ebenfalls thun können, ist nirgends widerlegt, ja es spricht dafür ebensowohl der Versuch 1. b) des Beweises als unter 3. c) das Resultat mit transversalen Gegenstrichen. Freilich ist es auch nicht un- ' denkbar, dass neben den longitudinalen Schwingungen transversale be- stehen, oder sogar durch sie entstehen können; denn die aufeinander fol- genden Verdichtungen und Verdünnungen werden abwechselnd eine Ver- grösserung und Verkleinerung des Querschnittes veranlassen, welche in ihrer Aufeinanderfolge ebenfalls Schwingungen bilden. Könnten aber nicht diese beiden , auf einander senkrechten Antriebe zur Längen - und Quer- schwingung die Theilchen veranlassen , in geschlossenen krummen Bahnen zu schwingen ? *)

Wenn aber scho^ bei den elektrischen Erscheinungen im Kleinen so viel noch zu wünschen übrig bleibt, wie wird es mit den elektrischen Er- scheinungen im Grossen stehen, bei denen die einflussreichen Bedingungen ausser unserer Gewalt liegen, wir sie nicht einmal kennen, geschweige denn nach Bedürfniss abändern können? Da nun Robida in seiner Vibrations- theorie durchaus noch nicht die unerlässliche Klarheit und einen so siche- ren Grund erlangt hat, dass selbst mit aller Richtigkeit und Deutlichkeit daraus abgeleitete Folgerungen auf unbedingte Glaubwürdigkeit Anspruch machen könnten , so glauben wir uns einer durchgreifenden Besprechung

*) Vergl. S. 159 des IV. Jabrg. dieser Zeitschr. Die dort ebenfalls erwähnten spiralförmigen Knotenlinien bei längsschwingenden Cylindern oder Röhren (Savart) stellt Robida als Analogien der Influenz hin. Wird nämlich eine Glasröhre mit einem feuchten Tuch gerieben, so entsteht beim Qrnndton auf der nicht geriebenen Hälfte eine spiralförmige Knotenlinie; die Knotenlinien beider Hälften sind nicht Fort- setzungen von einander, sondern beide scheinen von der Mitte anszagehen und sich beide nach derselben Weise , oder auch nach entgegengesetzter, herumzuwinden. Aber Savart erkennt in ihnen nicht einen Ansflnss der Longitudinalschwingnngen, sondern eher der durch das Zusammendrücken und Wiederausdehnen veranlassten, secundären seitlichen Bewegung der Theilchen. (P o u i 1 1 e t.)

48 Literatorzeitung.

des Inbaltes seines zweiten Schriftchens „ Magnetismus'^ um so eher über- heben zu dürfen , als in diesem selbst wieder vielfache Unklarheiten, ja selbst Verwirrung und Verwechselung der Begri£Fe auftreten*); doch wollen wir wenigstens einen Ueberblick über die die darin entwickelten Ideen zu geben versuchen.

C. Elektrische Erscheinungen im Grossen. (Magnetismus §§. 1 — 8.)

Wenn Robida auch in der Vorrede vorausschickt, dass er der grossem Deutlichkeit wegen die bisherige Terminologie beibehaltea wolle, so über- rascht es doch , dass er die elektrischen Erscheinungen im Grossen weit mehr nach dualistischen Principien erörtert, als nach seiner Vibrations- theorie erklärt, und wo sich ja neben den Beschreibungen Spuren von sol- chen Erklärungen finden, da sind sie zumeist ungeniessbar und unzu- länglich.

Chemische, thermische Vorgänge und die Berührung heterogener Stoffe wecken in der Erdkugel Elektricität , welche der Erfahrung gemäss negativ**) ist (§. 2); ihre Intensität nimmt von der Oberfläche nach dem Mittelpunkte hin ab, weil sich die freie Elektricität hauptsächlich ander Oberfläche lagert, sie nimmt aber wie die Temperaturdifferenzen vom' Aequator nach den Polen hin zu. In der Luft sind 79 Theile Stickstoff mit 21 Theilen Sauerstoff gemischt; Sauerstoff verhält sich gegen Stickstoff negativ, Stickstoff gegen Sauerstoff positiv elektrisch : jedes Lufttheilchen ist also ein galvanisches Element***); da aber die Anzahl der schwingen- den Stiekstofftheilchen grösser ist, und da bei der Ausgleichung sich gleich viel positive und negative Wellen (!) neutralisiren , so bleiben positive Wellen übrig, und die Lufl ist positiv, d. h. stets der Erde entgegengesetzt ' elektrisch (§. 1). Die Erd elektricität neutralisirt und bindet einen Theil davon ; der Ueberschnss strebt nach der Oberfläche der Atmosphäre und die Intensität nimmt daher mit der verticalen Höhe zu; dabei dient der Wasser- dampf hauptsächlich als Leiter der freien Elektricität welche z. Th. auch in den Weltraum****) ausströmt; die Luft elektricität wird durch die Erdelektricität modificirt und diese modificirte Elektricität ist die Totalelektricit&t der Erde (§. 3). Hier nun tischt uns Bobida ans Unverdautem einen unverdaulichen Brei auf, indem er Begriffe , die wohl von einer Kraft (Anziehung und Abstossung bei Magneten)' gebraucht werden können , ohne weiteres auf Schwingungen überträgt , die einer

*) Robida gesteht ihre Maogelbaftigkeit in der Vorrede selbst zu.

**) Wohin kommt denn die positive Elektricität, da doch durch die Berahmng immer beide Elektricitäten gleichzeitig entwickelt werden? Dass Bobida in seiner Beobach.ung (Magn. S. 7., 2) zwei Mazima aufzählt, zwischen denen kein Minimum liegt, fällt weiter nicht auf.

***) Hat die Berfibrung zwischen Erde und Luft, Meer und Luft keinen Einfluss?

****) Dieser kann also nicht leer sein, da die elektrischen Schwingungen nach Robida Schwingungen der Körpertheilchen sind.

LiteratQrzeitang. 49

allseitigen Fortpflanzung fähig sind; er sagt Magn. S. 10: ,;die in der ver- ticalen Richtong thätige, mit der Erdelektricität in Spannung stehende Lnftelektricität eines Ortes der Erde soll die verticaleComponente der Totalelektricität beissen. Ausser dieser giebt es noch eine horiion- tale Componente derselben. Die den einseinen Luftschichten zukom- mende freie Elektricitftt ist am Aequator die intensivste. Vom Aeqnator gegen die Pole nimmt die horizontale Componente der Totalelektricität ab und zwar schneller gegen, Norden als gegen Süden. Demnach muss die horizontale Componente der Totalelektricität vom Aeqnator gegen die Pole zur Herstellung des Gleichgewichts streben und dies in der Jlichtung des geographischen Meridianes, weil die seitliche*^) in der Regel gleich stark sein soll.^' Aus den beiden Componenten ergiebt sich natürlich auch *eineResultirende der Totalelektrität, und diese hat ihre „Normal« läge in der Ebene des geographischen Meridianes/* hat „die Lage der Inclinationsnadel," also eine bestimmte Richtung. Was für eine Bedeu- tung aber diese Richtung für die Schwingung und Wellenbewegung hat, behält Robida für sich ; die Fortpflanzungsrichtung der Schwingungen kann und soll es doch nicht etwa sein?

Nach einer Beschreibung (nicht Erklärung aus derVibrationstheorie) des St. Elmsfeuers, des Polarlichtes und der Gewitter (§. 4) folgt die Besprech- ung der Variationen der Componenten der Totalelektricität. (§. 5), der Va- riationen der Resnltirenden der Totalelektricität (§. 6) und der Perturbatio onen der letzteren (§. 7) eine fortlaufende Verwechselung mit den magne* tischen Componenten, mit der Intensität und Richtung der Resultirenden des Erdmi^netismus.

Endlich reicht auch die Elektricität noch über die kleine Erde hinaus (§. 8). Alle Himmelskörper bestehen ans heterogenen Stoffen u. s. w., er- zeugen also Elektricität; „diese Elektricität pflanzt sich theilweise, sowie die Elektricität der Erde auf den feinsten materiellen Theilchen von den Himmelskörpern in den Weltraum fort; also durchdringt die Elektricität, sowie die Schwere, das Licht und die Wärme den ganzen Weltraum.*' Die Photosphäre der Sonne ist eine sonnenelektrische Erscheinung. Aehnliche Vorgänge finden auf den Planeten statt.

/>• Der Magnetismus. (Magn. §§.9 — 16.)

Wesen des Magnetismus (§. 9) : „Der Magnetismus besteht in stehen- den Circulationswellen, welche an der östlichen Seite des Magnetstabes auf- steigend, an der westlichen niedersteigend, den Magnet entweder vom Nord- pol gegen den Südpol oder vom Südpol gegen den Nordpol umkreisen. Das Substrat magnetischer Wellen sind die Theilchen der des Magnetismus fähigen Körper.*' Ueber die Form und Art der Schwingungen, welche die

•) Was?

50 Literatnrzeitang.

stehenden (Magn. S. 28 : Verdichtungs- und Verdünnungs-) Wellen bilden^ sagt Robida nirgends ein Wort, ebensowenig, wie die magnetischen Wellen dazu kommen, sich inSchraabenlinien fortzubewegen. Ja noch mehr: bisher hat er die elektrischen Schwingungen sich in geraden Linien fortpflanzen las- sen, und jetzt auf einmal bewegen auch diese sich als Circulationswellen in Schraubenlinien , besonder» die Wellen der Resultirenden der Totalelektri- cität (Magn. S. 28, 30, 49), und es weckt jede elektrische Welle eine paral- lele, aber entgegengesetzt gerichtete magnetische Welle und ist mit ihr gleichbedeutend (Magn. S. 56). Die Veranlassung zum Entstehe» dieser Ansicht scheinen die schraubenförmigen Windungen des Leiters um die Elektromagnete gegeben zu haben*); ein Unterschied musste aber doch sein ; desshalb entgegengesezte Richtung. Da nun die Spirale selbst mag- netisch wird und ihre Pole ebenso liegen, wie im Eisenkern, so entstehen - natürlich in ihr zugleich auch den elektrischen Wellen entgegengesetzt ge- richtete magnetische, ohne alle Interferenz. Wie beim Magnetisiren beide Magnetismen zugleich entstehen, bedarf keiner Erklärung, o^er ist der Phantasie eines jeden Lesers überlassen. Dass die elektrischen Wellen sich „zur Herstellung des Gleichgewichts" (Rotation bei unipolarer magne- tischer Induction; Magn. S. 43) selbst wieder bewegen, dass die Wellen (als blose Formen einer Bewegung) sich anziehen und abstossen, wer kann daran zweifeln? Verlockend (doch nur beim ersten Anblick) lauten die Erklärungen für die Lage der Pole für die Durchwirkung und das Aufire* ten von Folgepunkten (§. 10) : „ das wirksamste Streben zur Weckung und Anziehung magnetischer Elemente des benachbarten Mediums tritt nicht in den Grenzelementen auf, sobald das angrenzende Medium für magnetische Wellen minder geeignet ist, als der Magnet selbst. Denn in diesem Falle werden die aus den beiden Grenzelementen austretenden magnetischen Wellen theilweise in sich reflectirt, daher die an den Enden des Magnetes liegenden Elemente durch Interferenz etwas geschwächt. Somit liegen die Pole eines unarmirten Magnetes nicht in den beiden Endquerschnitten, son- dern nach der grösseren oder geringeren Leitfähigkeit des angrenzen- den Mediums und nach der kleineren oder grösseren Länge des Magnet- stabes in einem geringeren oder grösseren Abstände von den Enden dessel- ben. Wenn zwischen einem Magnete und einem des Magnetismus fähigen Körper ein anderer, des Magnetismus unfähiger Körper liegt, so pflanzen sich in dem letzteren elektrische Wellen fort, welche in dem des Magnetis- mus fähigen Körper wieder magnetische Wellen wecken (Durch wi rkung).

*) Obgleich es „zur Weckung des Magnetismus in Eisen nicht absolut nothwen- dig ist, dass der elektrische Strom in isolirten Windungen das Eisen umkreise , son- dern derä(>lbe auch unmittelbar durch das Eisen geführt werden kann. Es ist aber ein Naturgesetz, dass der elektrische Strom, dem keine Bichtung um das Eisen aufgedrungen ist, an der nächsten getroffenen Stelle in das Eisen eintrete, dasselbe in Westen aufsteigend und in Osten niedersteigend umkreise und im Eisen seinen elektrischen Wellen parallele , aber entgegengesetst gerichtete magnetische Wellen wecke. (Magn. S. 29.)

Literaturzeitung. 51

Folgepnnkte entstehen , sobald in den einaelnen Quei^chnttten des Stahls ungleich intensive Schwingangen hervorgernfen werden." Wenn Kobida TOD einer Wechselwirkung swischen „Elektricität in der Spannung und Magnetismus" spricht (§. 11, L), so deutet er das Experiment*) ganz falsch und Terwechselt Anziehung in Folge elektrischer Influenz mit einer An- siehung zwischen elektrischen Körpern und Magneten. Die Erklärung der Wechselwirkung zwischen strömender Elekt^cität und dem Magnet (§. 11, II.) und die der magnetoelektrischen Indnction**) (§. 12) leidet an der ge- wohnten Unklarheit, wenn mau überhaupt eine Erklärung herauszufinden im Stande ist. Die Erklärung der magnetischen Declination (§. 13) und Inclination (§. 14) stützt sich auf die Annahme einer Besultirenden der To- talelektricität, steht und fällt mit dieser. Aber (§. 15, erdmagnetische In- tensität) „nicht nur eine freibewegliche, sondern auch die Declinations- Nadel wird tou der ganzen Intensität***) der Totalelektricität in di» Ver- tioalebene der Resultirenden (also nach den Früheren in den geographi- schen Meridian) abgelenkt und darin festgehalten, weil die Unterstützungs- art der Declinationsnadel die Wirkung der Resultirenden der Totalelektri- cität nur insofern aufhebt, als sich die magnetische Axe der Nadel mit der Richtung der Resultirenden in der Ebene des magnetischen (also doch nicht geographischen) Meridianes nicht parallel stellen kann." Zum Ueberflnse macht Robida noch ausdrücklich darauf aufmerksam (§. 16 , Erdmagnetis- mus) , dass in seiner Abhandlung die Totalelektricität der Erde dem Erd- magnetismus substituirt (in gutem Deutsch würde es heissen: mit ihm verwechselt) wurde und dann schliesst er mit den letzten Proben von Consequenz in der Willkür und von Klarheit im Ausdruck, in den Begriffen und Beweisen: — tarnen est laudanda volunias! Dr. Zetzsche.

*) „Der geladene Condnctor sieht ja stets den nächsten Pol an, and die Nadel stellt sich senkrecht auf die beiden mit dem Condnctor und dem Reibzeug verbände- nen Polplatten, ohne Unterschied, ob dem Kordpol der Nadel der positiv oder negatir geladenen Platte zugekehrt war.*'

**) Ueberraschend ist es, dass „die magnetischen Flüssigkeiten ger'adlinig fortschreitende Wellen haben, welche die Flnssigkeitstheilchen in der Länge nrichtung aneinander drüngen. (Magn. S. 48.)

***) Nicht blos von der horizontalen Componente ; „denn die Schwingnngsdauer einer Declinationsnadel wird um so kürzer, je näher man sie einem freundschaftlichen Magnetpole bringt. Also mfisste die horizontale Intensität des Erdmagnetismus um so mehr wachsen, je näher man zum magnetischen £rdpo1e kommt. An diesem strebt aber jede Magnetnadel ihre magpietische Axe vertical zu stellen. Somit ist die im Wachsen begriffene horizontale Componente des Erdmagnetismus ohne hinreichende Ursache plötzlich Verschwunden. Daraus scheint mir klar zu folgen , dass die De- clinationsnadel nicht von der horizontalen Componente allein gerichtet wird. Dem- nach kann die in Physikwerken angegebene Formel , in welcher die Intensität mit der Schwingnngsdauer des Ablenkungstabes im reciproken Yerhältnisse steht, zur Berechnung der horizontalen Componente des Erdmagnetismus im absoluten Maasse nicht geeignet sein, und wir sind einstweilen genöthigt, uns mit der relativen Totalelektricität, welche mittelst Schwingungen derselben Declinationsnadel ermittelt wird, zu begnügen.** Leider!

Lileralarxlg:. d. Zeittchr. f. Math. u. Phyt. IV

52 . Literaturzeitang.

DftB Mittelmeer. Eine Darfttellung seiner physikaKsehen Geographie nebst anderen geographischen , historischen and nautischen Untersuch- ungen. Von Dr. C. Böttoer, Professor am Ojmnasinm zn Dessau. Mit 6 Karten and 4 Holzschnitten. Leipzig, Verlag Ton Gustav Mayer. 1859. Seit den ältesten Zeiten ist das Leben der europäischen Calturyölker so eng mit dem Gestade des j^ttelmeeres verbanden, dass für historische, geographische und nautische Untersuchungen kaum ein reicherer und in- teressanterer Stoff gedacht werden kann, als jenes Meer, an dessen Kästen die Bildung einen Kreislauf von zwei Jahrtausenden zurflcklegte , um sich dann von alternden Nationen hinweg nach Norden zu wenden.' Gleichwohl existirt in der deutschen Literatur kein Werk, welches das genannte Thema einigermassen erschöpfend behandelt, und nur bei den modernen Phöniaiem finden wir ausser zahlreichen Monographien eine umfassendere Darstellung der physischen Geographie des Mittelmeers, nämlich: „The Mediterranean, Ä lUemoir Physical Bisiorical and NauHcal hy Rear-Admiral W, H. Smylk, London, Parker 1854. Es war daher jedenfalls ,ein sehr glücklicher Gedanke, aus den verschiedenen Quellen , sowie aus eignen Stadien eine möglichst vollständige Darstellung des Gegenstandes zusammenzuarbeiten , auch ist Ref. der Ueberzeugung , dass hierzu sich gerade der Verfasser besonders gut eignete, da ihm ausser seinem Fache (Mathematik und Physik) tdchtige philologische, historische und geographische Kenntnisse zu Gebote stehen, wi^ derselbe schon früher bei seiner deutschen Bearbeitang von Maury^s physikalischer Geographie des Meeres bewiesen hat«

Das ziemlich umfangreiche Werk (610 Seiten gross 8.) beginnt mit einer Einleitung („die geschlossene Thalassa und der offene Okeanos^') und zerHlUt im Uebrigen in acbt Capitel folgenden Inlialts. Gap. I giebt eine Eintheilung des Mittelmeeres in drei Hauptbecken und charakterisirt im Allgemeinen die Confignration der Küsten längs derselben. In Gap. 11 erhalten wir einen chorographischen Ueberblick des gesammten Littorals mit Berücksichtigung der Produkte und des Handels. Die historischen Verhältnisse sind hier ebenso gewissenhaft wie die geographischen behan- delt; bei jedem einzelnen Küstenstriche wie bei jeder Insel werden nicht nur Beschaffenheit, Gultur und Erzeugnisse des Bodens, Fischerei, Export- artikel und Handel der Bewohner geschildert, sondern auch genaue Nach- weise über die früheren (auch arabischen) Namen der Landschaft, der Städte, Flüssen, s.w. gegeben, desgleichen über Veränderungen in den Lagen der Wohnsitze u. dergl« Cap. III hat es mit dem Becken des Mittel- meeres zu thun,.al80 mit der eigentlichen unterseeischen Topographie, den Meerestiefen und den Veränderungen, welche das Becken theils durch nep- tunische , theils vulkanische Kräfte erlitten hat. In Cap. IV werden die Gewässer des Mittelmeeres betrachtet, nämlich Zufluss oder Flussgebiet und sonstige Quellen des Meeres, Wasserbestandtheile und deren Differen-

Literaturzeitung. 53

/

zen, Temperatur^ Farbe und Leuchten des Meerwassers, £bbe uod Flutb,

Strömungen, Strudel, Flora und Fauna des Meeres. Cap. V. bescbäftigi sich mit der Atmospb&re über dem Mittelmeere, wohin ausser Wind und Wetter auch das Küstenkliipa wadt die Krankheitserscheinungen (z. B. die malaria) gerechnet sind. Cap. VL schildert die Verhältnisse der Sehiff- fahrt und des Handels , zunächst die Wasserstrassen und die Dampfschiff- fahrtslinien, sowie die anliegenden Kanäle, Eisenbahnen und Garavanen- strassen. Geschichtliche Rückblicke auf den Handel von Phönizien, Orie- ehenland, Karthago, Kom, Araalfi, Pisa etc., sowie Notizen über den gegen- wärtigen Handel, Kriegs- und Handelsmarine^ Telegrapheulinien etc. sind gleichfalls gegeben. Cap. VU. enthält Beiträge zur Culturgeschichte des Mittelmeeres im Allgemeinen, sowie zur Geschichte der Messungen und geographischen Untersuchungen insbesondere; endlich Cap. YIII die geo- graphischen Ortsbestimmungen der neuesten Zeit. Noch finden sich einige Anhänge , welche einzelne Punkte betreffen , z. B. die Grahaminsel , den Suez-Kanal, die Strassen nach Centralafrika n. s. w.

Schon diese , bei weitem nicht yoUständige Inhaltsangabe bezeugt den Keichthum des Werkes ; rechnet man hierzu die &55 Noten unter dem Texte, in denen alle möglichen alten und neuen Schriftsteller figuriren , so glaubt man gern, wenn der Verfasser versichert, seit 20 Jahren Studien über das Meer gemacht zu haben. Wir halten es für unsere Pfticht , unsere* Leser auf dieses gediegene Werk aufmerksam zu machen, welches Gelehrsamkeit und anziehende Darstellung glücklich vereinigt. Die typographische Aus- stattung ist gleichfalls vorzttglicL Schlömim^h.

Logarithmifoli-trigoiiometrisöhes Handbuch von Dr. H. G. Köhler. Sechste # Stereotypausgabe. Leipzig, Tauchnitz 1850.

Ein in sichster Auflage erscheinendes Buch bedarf selbstverständlich keiner Besprechung und es bleibt daher nur zu erwähnen, worin sich die neueste Auflage von den früheren unterscheidet. Es betrifft diess hier nur eine Anzahl von Verbesserungen in der letzten Deoimale der Briggischen Logarithmen von 102001 bis 107000; die genannten Correctionen sind von den Herren Lefort, Ingenieur in Paris, und Dr. Hoüel in Caen durch Vergleichung mit den Catastertafeln der Pariser Sternwarte gewimnen wor- den. Für den Schulgebranch hat übrigens Ref. die Kdhler'schen Tafeln deswegen lieb gewonnen , weil sie Vieles enthalten , was in den übrigen Tafeln fehlt, aber beim Unterrichte grosse Erleichterungen verschafft, z. B. die Potenzentafel , die Tafel der Quadrat- und Cubikwurzeln, die natür- lichen Logarithmen, die Coefflcienten verschiedener unendlicher lieiheu u. dergl. m. Schlömilch.

54 Liieratnrseitung.

Ftofiitellige li^garitluiiiBoh • trigonom«tritelie Tafebi von Professor Dr.

Wittstein. Hannover, Hahn 1859. Gewiss nicht mit Unrecht bemerkt der Verfasser (in Uebereinstim- mang mit Schulrath J. H. T. Müller) , dass siebenstellige Tafeln für den Unterricht einen ganz überflüssigen und schwerfälligen Ballast bilden imd selbst in den meisten praktischen Fällen eine gans nnnöthige Genanig- keit darbieten. Ebenso wird man dem Verfasser beistimmen , wenn er für den ersten Unterricht in der Trigonometrie den Tafeln der natflTli- chen trigonometrischen Zahlen den Vorzng einräumt. .«Nach diesen An- sichten ist das vorliegende, nur 132 Seiten umfassende Werkehen snsam- mengestellt. Es enthält 1) die fünfstelligen Logarithmen der Zahlen von 1 bis d909, 2) die natürlichen trigonometrischen Zahlen von 15 zu 15 Minuten (entsprechend der Sehnentafel des Ptolemaeus;, 3) die Logarithmen der trigonometrischen Functionen von Minute zu Minute, 4) die Längen der Kreisbögen , 5) die Gauss'schen Logarithmen für Summen und Differenzen (nach einer neuen empfehlenswerthen Anordnung), 6) eine kleine Tafel der natürlichen Logarithmen , 7) eine Formelnsammlung. Zwei Vorzüge die* ser Tafein fallen auf den ersten Blick in die Augen, nämlich kleines Volu- men und eine ganz ausserordentliche Deutlichkeit der Ziffern, welche theils durch deren ungewöhnliche Grösse und Stärke, theils durch den akengli* sehen Tjpenschnitt, theils durch den reichlich gesperrten Satz erzielt wor- den ist. Sollten sich die Tafeln als correct erweisen , woran wir bei der bekannten Genauigkeit des Verfassers nicht zweifeln , so sind sie nach un- serer UeberzeuguDg in j ed er Beziehung die besten für Schüler, Techniker und tiberkaupt für Alle , deren Arbeiten nicht gerade unumgänglich eine Genauigkeit von sieben Decimalen erheischen. Schlömilcr.

Tablet d'int^lTalei d^finies. Par D. Bierens de Haan, FubUees par T Aka- demie Royale des Sciences ä Amsterdam. AmsierdHm,^Van der Post. 1858. Durch die Bemühungen einer ziemlich langen Reihe von Mathemati- kern aller Nationen ist die Theorie der bestimmten Integrale zu einem sehr ansehnlichen Theile der Analjsis ausgebildet worden, der sich haupt- sächlich durch eine grosse Mannichfaltigkeit von Methoden auszeichnet Dieser Beichthum hat freilich für den heutigen Leser auch eine Unbequem- lichkeit zur Folge; da nämlich zur Zeit kein besonderes der Empfehlung werthes Werk*) über jene Theorie existirt, so bleibt dem Leser nichts übrig, als das Studium der Originalquellen, die aber aus einer Unzahl von

*) In der allgemeinen Encyclopttdie von firsch und Grub er hat Ref. vor eini- gen Jahren den Artikel ,, Bestimmtes Integral^^ bearbeitet; derselbe enthalt imgeAbr soviel als man auf deutschen Universitäten in einem halbjährigen Collegium über bestimmte Integrale vorzutragen pflegt, macht aber auf Vollstftndigkeit durchaus kei- nen Anspruch.

Literaturzeitung. 55

AbhaHdlungen bestehen. Je schwerer demnach die Uebersicht fiber ein so grosses Gebiet ist, desto dankenswerther mnss es anerkannt werden, dass der Verfasser zunächst eine tabellarische Zusammenstellung der Resultate gegeben und bei jedem derselben die Quelle namhaft gemacht hat. Die Arbeit selber mag nicht gering gewesen sein , denn die Anzahl der vom Verfasser durchgegangenen Abhandlungen beträgt über 250, die Anzahl der Resultate gegen 3200 , gewiss Zahlen , nach denen man den Fleiss des Verfassers bewundem muss. Dass es bei dem enormen Umfange des Ma- teriales einer guten Anordnung bedurfte, um dem Leser den Ueberblick, mithin auch die Aufsuchung einer gewttnsehten Formel zu erleichtem, ver- steht sich von selbst, und Referent ist der Ueberzeugung, dass der Verfas- ser auoh in dieser Beziehung etwas Tüehtiges geleistet hat. Das Werk zer- fällt zunächst in drei Haupttheile, jenachdem unter dem Integralzeichen nur eine Function , oder zwei oder mehr verschiedene Functionen vorkom- men. Jeder Tfaeil ist wieder in Abschnitte getheilt, welche in den Ueber- Schriften die vorkommenden Functionen angeben; im ersten Theile findet man z. B. die Abschnitte: I. Algebraische Functionen, II. Exponential- grössen, m. Logarithmen u. s. w. ; im zweiten Theile sind die Ueberschrif- teu die Combinationen zu je zweien aus den Ueberschriften im ersten Theile u. s. w. Die Abschnitte endlieh zerfallen in die einzelnen Tafeln , von de- nen jede ihren besonderen Titel hat, welcher die vorkommende Specialität bezeichnet (z. B. rationale oder irrationale algebraische Functionen) und zugleich die Integrationsgrenzen angiebt.

Der vorliegende , 572 Seiten zählende Quartband enthält nur einfache bestimmte Integrale ; vielleicht bestimmt die Anerkennung, welche derselbe ttberall finden wird, den Verfasser zu einer Fortsetzung seiner Arbeit. Bei phjsikalischen und mechanischen Problemen kommen doppelte , drei- und mehrfache Integrale so häufig vor, dass eine Tafel fttr diese ganz besonders wünschenswerth erscheint; dieselbe würde übrigens von bedeutend gerin- gerem Umfange sein. Schlömilch.

Bibliographie

vom 15. Februar bis 5. Mai 1859.

Periodiielie Schxlfteii.

Berichte über die Verhandlungen der K. S. Gesellschaft der

Wissenschaften zu Leipzig. Mathem.-Physikal. Cl. Heft 2

und 3. . %Thlr.

Monatsberichte der K. Pr. Akademie der Wissens chaften zu

Berlin. Jahrg. 18d0. 1. Heft. Berlin, Dümmler in Gomm.

pro compl. 1% Thlr.

56 Literaturzeitung.

Zeitsch'rift des Vereins deutscher Ingeaieare; redig. von F.

Orashof. Jahrg. 1850. Heft 1. Berlin, Oftrtner in Comm.

pro compl. 6 Thlr. Annalen der Physilc and Chemie, faerausgeg; von Pogobndorp.

Jahrg. 18&0. No. 1. Leipiig, Barth. pro coml. 0% Thlr.

Nautisches Jahrbuch für d. J. 18dl. Herausgeg. von G. Bremikbr.

Berlin, 6. Reimer. % Thlr.

Bibliolheca kislorico-naiuraliSj phypieo-ehemiea ei maihematie€u

Herausgeg. von £. A. Zuchold. Jahrg. 1856. 2. Heft. Juli-December.

Odttingen, Vandenhoek & Knprecht. % Thlr.

Annales de Vobservaioire physique central de Rueeie^ pMiies

par A. J. KuPFFER. Annee 1855» 2 Vol. Pälersbourg, Leipzig, Voss.

7 Thlr. Correspondance meleorologique: publicalion annuelle de Vad-

tninisiration des mines de Russie^ redigee par A. J. Kupffbr.

Annie 1850. Peiersbourg, Leipzig, Voss. 5 Thlr.

Beine MaAematik.

Hirsch, Meier, Sammlung von Aufgaben etc. aus der Buch- stabenrechnung und Algebra. 10. Aufl. Berlin, Düncker & Humblot. 1% Thlr.

Sachs, S. Auflösungen der in M. Hirschs Sammlung enthalte- nen Aufgaben. 9. Aufl. Ebendas. 1% Thb.

LÜBSEN, H. B., Ausführliches Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. 4. Aufl. Hamburg, Meissner. 1% Thlr.

Weiss, A., Handbuch der Trigonometrie. 2. Auflage. Nürnberg, J. L. Schmidts Verl. 1 Thlr.

Schwarz, A., Orundzüge der ElementararlthmetTk. 2. Abthlg. Hagen, Butz. 1 l'hlr.

Wittstein, Th., Fünfstellige logarithmisch-trigonometrische Tafeln. Hannover, Hahn. % Thlr.

Köhler, H. G., Logarithmisch - trigonometrisches Handbuch. 6. Aufl. Leipzig, Tauchnits. 27 Ngr.

Sohmcke's Sammlung von Aufgaben aus der Differential- und

Integralrechnung. 2. Aufl. Herausgegeben von Dr. Schnitzler,

. Theil 2. Halle, Schmidt. 26 Ngr.

Loret, A., Der geometrieehe Anschauungsunterricht. Eisenach, Bftrecke. 2 Thlr.

Becker, F. W., Lehrbuch der Elementargeometrie. 1. Theil. Planimetrie. Abthlg. 2. Oppenheim a. R., Kern. 16 Ngr.

EscHER, P., Die Berechnung des Flächeninhaltes der Kugel* Zone. Ein Beitrag eu jedem Lehrbuche der Stereometrie. Zürich, Schnlthess." 8 Ngr.

Literaturzeitung. 57

Kramer, A. ,Compendiain der elementaren Mathematik (Arith- metik, Geometrie, ebene und spbär. Trigon.) 2. Aufl. Nordhausen, Förstemann. . 25 Ngr.

Balooh, J., De quadraiura circuiu Pestb, Pfeiffer in Comm. 2% Thlr.

Briot et BouQUET, Theorie des fonciions doubletneni periodiques ei en pariicutier des fonctions ellipiiques. Paris, Mallei-Bachelier,

6 Fr. Angewandte Mathemattk.

Stobvebandt, C. H., Lehrbuch der Perspective. Liefrg. 2. Berlin, Herbig.

Magnus, 6., Hydraalische Untersnchungen. Theil 2. Leipaig, Barth. 0 Ngr.

St£fan, J., Ueber die Trans Versalschwingungen eines elasti- schen Stabes. Wien, Grerold's Sohn in Oomm. 6 Ngr.

Sammlung ausgeführter Constructionen ans dem Gebiete des Wasser-, Strassen- und Eisenbahnbaues» Heft 7, 8 und 9. Carlsruhe, Veitb. k 2 Thlr.

WiEBfi, F. K. H., Skizzenbuch ftir den Ingenieur und Maschi- nenbauer. Heft 5. Berlin, Ernst & Korn. 1 Thlr.

BsRNOULLi, J. G., Yademecum des Mechanikers. 10. Aufl. Heraus- gegeben von AuTENHEiMER Stuttgart, Cotta. 1 Thlr. 14 Ngr.

Steinheil, A., Tafeln für d'Le Kadien von Fernrohrobjectiven, deren innere Flächen aneinander passen. Inauguraldissert. München, Kaiser. 6 Ngr.

Die mikrometrischen Maasse in Deeimalbrüchen und in ge- meinen Brüchen. Braunschweig, Vieweg. % Thlr.

LiTTROw, K. V., Physische Zusammenkünfte der Planeten (1 bis 42) während der nächsten Jahre. Wien, Gerold's Sohn in Comm. l*ii Thlr.

Weiss, E., Ueber die Bahn des Kometen VIII. des Jahres«1858. Wien, Gerold's Sohn in Comm. 2 Ngr.

Schultz, H., Declinationsbestimmungen mit dem Dollond- schen Durchgangsinstrumente auf der Berliner Stern- warte. Berlin, Nicolai^sche Sort. Buchh. in Comm. 1 Thlr.

Encke, J. £., Ueber die Existenz eines widerstehenden Mit- tels im Weltenraum. Berlin, Dümmler in Comm. % Thlr.

GoDiLLOT, J. B., Calcul de la resisiance des poutres en tdle em- ployees dans la construction des ponls et applications nu- miriques*de ce calcul ä divers exemples de ponls pour che- mins de fer, Chalons sur Sadne, Monialan, 3 Fr.

Roffiaen, E., Traite IhSorique et pralique sur la risistance des tnateriaux dans les constructions. Flenrus. (BrHxelles^Muquardt.)

1 Thlr. 24 Ngr.

58 Literaturzoitung.

LoYE, 6. H. , I>es diverses resisiances de la fönte ^ du fer ete, dans les consiructions. Paris, Lacroix & Baudry. S% Fr.

Physik.

Physikalisches Lexicon von Marbach nnd Cornelius. 2. Auflage. Liefrg. 71, 72. Leipzig, O. Wigand. k % Thlr.

MoiTSSON, A., Die Physik auf Grandlage der Erfahrung 2. Abtb. 1. Heft. Zürich, Scfaulthess. 28 Ngr.

Stamher, K., Lehrbuch der Physik, ßd. 2. Lahr, Schauenburg & Comp. 1 Thlr.

ZoLLiNOBB, H., lieber die Gewitter und damit verwandte Er- scheinungen im indischen Archipel. Zürich, Schnlthess in Comm. 16 Ngr.

Grailich und v. Lang, Untersuchungen über die physikalischen Verhältnisse krystallisirter Körper. 3. und 4« Abthlg. Wien, Gerold's Sohn in Comm. 17 Ngr.

LanG; V.nV., lieber die Minimalablenkung der Lichtstrahles durch doppelt brechende Prismen. Ebendas. 2 Ngr.

Kmochenhaüer, K. W., lieber den elektrischen Zustand der Nebenbatterie während ihres Stromes. Ebendas. 6 Ngr.

KreiL; K., Anleitung eu magnetischen Beobachtungen. 2. Aufl. Ebendas. 1% Thlr.

Faraday, M., Experimental Researckes in Chemistry and Physics. Reprinted frotn ike „Phüosophical TransacHons of 1821 — 1857, the y^Journal of the Royal lnsiiitUion'\ the ,,PhUosophical Magazine*'^ and oiher pubHca- tions. London, Taylor and F. Cloth. 15 sh.

TiMBS, J., The Year-Book of Facts in Science and Art; exhilntmg the most important discoveries and improtemenls ofthe past year in natural phihsophy, meteorology, astronomy etc. London, KenL Cloth. 5 sh.

Literaturzeitung,

Recensionen.

Onuidxftge «mer Elementar - Arithmetik. Ein Lehrbuch fflr Ojinnasieii nnd höhere BüTgerschnleii von Dr. Hebuann Schwarz. Hagen, Drück nnd Verlag von Gustav Bntz. 1859. Nach den verschiedenen Schriften, mit welchen der Verfasser die mathematische Literatur schon bereichert hat , nnd unter welchen gleich der „Versuch einer Philosophie der Mathematik/' Halle 1853 , beim ersten Erscheinen die regste Aufmerksamkeit erweckt hat, war es dem Eeferenten interessant, auch die elementaren Theile der Mathematik von derselben An- schauung aus bearbeitet zu sehen, welche in dem genannten Buche freilich noch in etwas geawungener Sprache durchdringt. Dieses vorläufige Interesse hat sich, wir beeilen uns es au sagen, bei der genauen Lecttire des vorlie- genden* Wer£chens im vollsten Maasse gerechtfertigt, und mit wahrem Ver- gnügen sind wir den logisch strengen Entwickelungen gefolgt, die in ange- nehmer, von Hegerschen Floskeln gereinigter Sprache dem Leser entge- gentreten. Referent glaubt deshalb auch nicht anstehen zu dtirfen, in eine etwas genauere Besprechung eines Buches einzugehen, welches bei der nur zu leicht begreiflichen , durchaus unwissenschaftlichen Aufregung , welche alle Theile unseres Vaterlandes erfasste und in Spannung erhält, gar leicht weniger bekannt werden dürfte, als es gewiss sollte. Es kann dabei der unparteiischen Würdigung des Werkchens keinen Eintrag thun , dass das- selbe, wie der Verfasser so freundlich war, gegen mich zu äussern, zum Theil unter Benutzung meiner Schrift desselben Titels entstanden ist. Im Oegentheil wird diese theilweise Uebereinstimmung , und um so mehr theilweise Abweichungen Gelegenheit bieten , manche Bemerkung auszu- sprechen.

Der reiche Inhalt des etwa !^ Bogen starken Buches umfasst weit mehr, als früher unter dem Namen Elementarmathematik vereinigt wurde. Die ' wissenschaftliche Behandlung der Elemente geht in neuerer Zeit mit Recht von der Ansicht aus, dass es nicht ein blos äusserlicher Unterschied ist, der zwischen niederer und höherer Mathematik existirt, dass die Ver- schiedenheit vielmehr eine in der Saehe selbst begründete ist, und deshalb

LUertttorit^. d. Zeitschr. f. Math. n. Phya. IV, 6

60 Literaturzeitung.

auch die Nöthwendigkeit bedingt, schärfer als sonst za trennen. Das sonstige Kriterium der Trennung des Leichteren von dem Schwierigeren ist geschwunden, und in Gefolge des neuen Sonderungsgrnndes der Be- trachtung des Gewordenen und des Werdenden, des Constanten und des Veränderlichen, des Discreten und des Continuums mussten ganze Capitel der früheren Analysis den heutigen Elementen eingefügt werden. Es gilt dieses namentlich für die Lehre von den complexen Zahlen, welche sieb ihre natürliche Stellung täglich mehr sichert, sowie auch von den zahlen- theoretischen Untersuchungen, welche kaum mehr entbehrt werden können. In beiden Beziehungen hat der Verfasser den strengsten Anforderungen genügt, in dem letzteren Capitel fast mehr als genügt.

Der Grundgedanke, von welchem der Verfasser ausgeht, und welcher gleichfalls ein den besseren neueren Elementarwerken gemeinsamer ist, steht im Wesentlichen in der allmäligen Erweiterung des Zahlbegriffes von der absoluten ganzen Zahl ausgehend , bis auletzt der Veränderliche erhalten wird, welcher jede Grösse sowie jede Kichtung annehmen kann. Es werden nämlich die einzelnen Operationen der Arithmetik in der Art an einander gereiht, dass je zwei inverse Operationen auf einander folgen, dass die zweite immer die Unzulänglichkeit des Zahlenbegriffes beweist, welcher in der ersten vorlag , dass somit eine Veränderung jenes Begriffes nothwendig wird, welche rückwärts wieder auf eine Verallgemeinerung jener ersten Operation drängt, so dass dieselbe an den neuen Zahlen ge- prüft werden muss. Unterscheidend dürfte für. das vorliegende Werk die frühzeitige Einführung des Begriffes der Incommensurabilität sein, welcher aus dem Verhältnissbegriffe hergeleitet wird, bevor die Ausziehung irratio- naler Wurzeln ihn nothwendig macht. Allein abgesehen von dieser prin- cipiell gewiss weniger bedeutenden Abweichung ist, wie gesagt, der Gang des Verfassers der seit einer Beihe von Jahren in der strengen Wissen- schaft eingebürgerte. Keferent selbst folgt diesem Gange , der in analyti- schem Fortschreiten vom Einfachen zum Complicirten seine grossen didae- tischen Vortheile besitzt.

Eine andere Frage ist alsdann die , ob nach der analytischen £nt» Wickelung es nicht zweckmässig erscheinen dürfte, sämmtliche Operationen der Arithmetik nochmals synthetisch zusammenzufassen, und wie sie jetzt in allgemeinster Form nach allgemeinster Definition bekannt geworden, sie alle gleichmässig aus einem Gedanken herzuleiten. Die Frage dieser Zweckmässigkeit schien mir aber immer nur mit der Frage der Möglichkeit zusammenzufallen , und seit mir diese letztere sich herausstellte , hatte ich mehrfach Gelegenheit, diese Art von synthetischer Recapitulation in mei- nen Vorlesungen zu benutzen. Es möge mir daher gestattet sein, hier wenigstens eine Andeutung dieser methodisch wohl neuen Auffassung zu geben. Die Bildung der Zahl wird dabei als erste Operation, als Indivi- dualisirung von einer oder mehreren Einheiten bezeichnet. Von diesem

Literaturzeitung. 61

Anfange ansgeliend, ergiebt sich die nächfite Aufgabe, aus zwei Zahlen eine neue au bilden, und awar entweder so, dass das Gesetz der Bildung, wie es in der ersten Zahl schon existirt, beibehalten wird; und die zweite Zahl dieses Gesetz nur in vorgeschriebener Ausdehnung weiter anwendet (Addi- tion) oder so, dass die zweite Zahl das Gesetz vorschreibt, wie mit der ersten verfahren werden soll. Dann kann aber mit der ersten Zahl ent- weder additiv so verfahren werden, wie. die zweite vorschreibt (Multiplica- tion) oder, nachdem dßese Operation zur Xenntniss gelangt ist, multiplicativ (Potenairung). Auf diese Weise erhalte ich sogleich die allgemeinsten Definitionen der .einzelnen Operationen nebst ihrer, in ihnen einbegriffenen Ittversen, ohne eine nachträgliche Erweiterung noch vornehmen zu müssen. Ich wiederhole übrigens ausdrücklic}i , dass ich diese Synthesis nicht der auch vom Verfasser benutzten Analyse substituire , sondern nur nachträg- lich ihr folgen lasse, ich benutze sie gewissermassen nur als mnemonischen Kunstgriff, um die allgemeinen Kegeln, die in ihr so prägnant als kurz ent- halten sind, in einem Satze vereinigt zu haben.

Mit Recht wohl hat der Verfasser sich erlaubt, einfache geometrische Begriffe bei der Darstellung der Arithmetik zu benutzen. Es kommt nur darauf an, dass man Zahllinie und Zahlebene als Bild, als Beispiel ge- braucht, und dann ist es sicherlich wahr, was in der Vorrede ausgesprochen wir : dass man , wenn die Einführung jener geometrischen Begriffe umgan- gen werden soll; ;,entweder genöthigt ist, denselben andern , gleichfalls der „Empirie entnommenen Begriffe zu substituiren oder den vermuthlich we- nig dankbaren Versuch machen muss , durch metaphysische Erörterungen den Gang der mathematischen Entwickelung zu unterbrechen.*^ Bei dieser Auffassung als blosses Beispiel fallen auch von selbst die Einwürfe, welche in neuester Zeit gegen die Theorie der complexen Zahlen erhoben werden voUen, welche indessen auch in anderer Weise zu entkräften öind. Ein bauptsäehlicher Einwurf bezieht sich nämlich darauf, dass eine conse- quente Weiterführung der Zahlenlinie und Zahlenebene nothwendig Baum- aahlen ergeben mtisste, dass aber die bisherigen Versuche, diese Verallge* meinerung wirklich durchzuführen, nur Widersprüche hervorbrachten. Da- gegen können wir nun füglich bemerken, dass einestheils bisherige Frucht- losigkeit nicht den Schluss auf absolute Unfruchtbarkeit einer Methode zu- lässt, dass aber überdies eine solche Ausdehnung nicht einmal nothwendig ist» um die Kichtigkeit der bisher erhaltenen Resultate zu erhärten. Kommt es doch so häufig in der Mathematik vor, dass bei Ausdehnung eines Be- griffes eine ganz andere Gedankenreihe auftritt, als man von vorn herein zu vermuthen berechtigt schien. So lässt sich ein einfaches, ein doppelt bestimmtes Integral durch räumliche Vorstellung versinnlichen; beim drei- fachen Integral muss schon der der Räumlichkeit fremde Begriff der Dich- tigkeit hinzutreten, wenn man eine Versinnlichung beabsichtigt ; bei noch mehrfachen Integralen endlich muss mau auf eine solche Versinnlichung

6*

62 Literaturzeitung.

ganz verzichten. Müssten unsere Gegner im Gebiete der complexen Zah- len, wenn sie consequent^sein wollten, nicht auch sagen: die Deutung, welche man dem einfachen, dem doppelten Integrale beilegt, kann nicht für gerechtfertigt gelten , weil sie beim dreifachen Integrale schon nicht mehr allein ausreicht, beim vierfachen uns ganz im 8dche l&sst?

Ich wende mich zu Einzelheiten, welche in nicht geringer Zahl eine Erwähnung verdienen, so dass ich nur eine knappe Auswahl des Wich- tigsten zu treffen gedenke.

Gleich am Anfange des Buches bei der Definition der Grösse und nicht minder im grössten Theile seines Verlaufs vermisse ich das ünendlich- grosse. Es ist sicher keine Yergesslichkeit des Verfassers die Ursache dieser Auslassung, allein mir wenigstens ist es nicht möglich, einen Grund abzusehen , wesshalb dieser der ganzen Mathematik so wesentliehe Begriff aus den Elementen entfernt gehalten werden soll; warum man seine Ent*

stehung aus der Division ---- ignoriren soll, wenn man ihn doch sp&ter

braucht, wenn man (8. 207) x'^ fät x> 1 bei wachsendem n eine unendlich grosse Grösse nennt, und auch den Begriff des sogenannten ünendlichklei* neu in Betracht zieht. Es klingt dieses ganz besonders wunderbar , wenn man besonders (S. 506 flg.) die Theorie der unendlichen Reihen in strengster Weise angebahnt findet, welche weit eher den Elementen fremd ist, wenn man besonders (S. 211) auf das vortrefflich ausgedrückte Fundamental- theorem der Reihenentwicklung trifft: „Bezeichnet J irgend einen ge- „schlossenen Ausdruck , und ist es durch irgendwelche arithmetisehe Ope- „rationen möglich, denselben in zwei Theile zu zerlegen, von denen einer „eine Reihe ist, deren Gliederzahl beliebig gross genommen werden kann, „und der andere eine Grösse, die mit wachsender Gliederzahl der Reihe an* „begrenzt abnimmt, so kann man den zweiten Theil vernachlässigen, sofern „die Gliederzahl der Reihe unbegrenzt angenommen wird, d.h. der Auadmck „X ist die Summe der auf diese Art resultirenden unendlichen Reihe.**

Hingegen kann ich nur beifKllig erwähnen , dass (S. 2) ausdrüeklieh besprochen wird, dass die Eins eine Zahl sei. Haben doch bis in die lotsten Jahre einzelne Autoren die Behauptung des Gegentheils wieder angestellt. Giebt es doch noch immer Leute, die mit dem Kopf gegen die Felswand an rennen versuchen und, während sie mit blutender Stirn zurücktaumeln, noch I&ugn'en, dass der Monolith eine Mauer gewesen, weil sie es mit Ge- mäuer verwechseln, weil sie nicht an den Unterschied von Anzahl und Mehrzahl denken. Es war deshalb wohl zweckmässig , mit klaren Worten jener unrichtigen Ansicht entgegenzutreten , deren ganze heutige Berech- tigung nur darin liegt, dass sie in früheren Zeiten berühmte Vertheidiger besass, von denen ich nur B o e t h i u s und ganz besonders LucasPaccioli nennen will. Letzterer sagt am zuversichtlichsten : Numero e tma muHHudme de unita coikposia, ei esea uniia non e numero: ma hen prmcipio de riascun numero.

Literatarzeitang. 63

Wenn (S. 8) die doppelte Auffassung der Subtraktion dahin ausge- sprochen wird, dass man entweder frage, wie viele Einheiten dem Minuen- dos abgezählt werden, damit der Subtrahendus ttbrig bleibe, oder wie viele Einheiten dem Subtrahendus zugezählt werden müssen, damit der Minnen- dus herauskomme, so ist diese Ansdrucksweise doch wohl nicht klar genug. Mir scheint die Unterscheidung präciser, wonach das eine Mal gefragt wird, wie viel Einheiten übrig bleiben, wenn der Subtrahendus von dem Minuen- den abgewählt wird und das andere Mal , wie viele Einheiten dem Subtra- henten sugeiäblt werden müssen, damit der Minuendus herauskomme. Jedenfalls ist aber überhaupt anzuerkennen, dass die doppelten Auffassun- gen der Subtraktion und der Division (S. 51) so ausdrücklich erwähnt werden. Letztere ist ganz besonders hübsch charakterisirt , wie die ganze Division zu den gelungensten Theilen des Buches gehört, mit einziger Aus- nahme einer Stelle (S. 60), wo irrthümlich angegeben ist, es sei nicht absolut nothwendig, Division und Dividend nach demselben Gesetze zu ordnen.

Im Gefolge der Subtraktion treten natürlich die entgegengesetzten Zahlen auf, welche auch au Betrachtungen über algebraische und über ab- solute Zahlen führen. Von dem vielen Vortrefflichen , welches in diesem Capitel sich findet, hebe ich die Bemerkung hervor, wonach die absolute Zahl die Einheit in einem bestimmten Sinne setzt, ohne dass man sich* dessen bewusst ward, dass die Einheit auch ein Setzen im entgegengesetzten Sinne zulasse, dagegen die positive Zahl das Bewusstsein dieser Möglich- keit einschliesse (S. 13, Anmerkung). Endlich erwähne ich noch den Be- weis, dass dieselbe Zahl durch die Differenz a — b wie durch die Summe des positiven a und des negativ^ b erhahen wird (S. 23), welcher die Be- merkung rechtfertigt, dass es gleichgültig ist, ob man die Zeichen H als

Rechnnngsseiehen oder als Vorzeichen fasst (S. 20, 22, 24). Nur mit dieser Rechtfertigung ist ein derartiges Schwanken der Bedeutung auch theore- tisch zu vertheidigen , während sonstige Autoren oft praktisch und unbe- wusst zu dieser Zeideutigkeit gelangten , welcher gegenüber es dann ge«

wiss vorzuziehen ist, wenn man die Zeichen H nur in einer einzigen

Bedeutung benutzt Analog zu diesem bei strenger Entwickelung also un- entbehrlichen Satz, den ich noch in keinem andern Werke in solcher Durchführung antraf, ist auch bei der Bechnung mit Brüchen besonders nachgewiesen (S. 140) , dass Multiplication mit einem Bruche der Division

gleichbedeutend ist, oder in Zeichen, dass a:n:=^ — =a. —, indem a : n

und ~ die zwei verschiedenen Auffassungen der Division bezeichnen, auf n

welche ich schon aufmerksam gemacht habe.

Eine eigenthümliche Stellung nehmen die zahlentheoretischen Unter- suchungen ein, welche noch vor der Bruchrechnung auftreten. Doch möchte

64 Literaturzeitang.

ich es nicht gerade ein Vorgreif en nennen, indem allerdings dieSätse von der Theilbarkeit der Zahlen die Ausführung einer Division , welche in ganaen Zahlen nicht aufgeht, nicht vorauszusetzen braucht , indem nur die Reste einer solchen Division berücksichtigt werden; und was von Potensresten gegeben ist, bezieht sich auch nur auf Potenzen mit ganzen positiven Ex- ponenten , wie sie schon (S. 42) als abgekürzte Multiplicationsbezeichnung eingeführt werden. „Das Unentbehrlichste aus der Zahlentheorie'* (S. 91 bis 135) dürfte demnach einen zwar weniger gewöhnlichen , aber deshalb grade nicht ungeschickten Platz einnehmen, und auch darüber wird mit dem Verfasser kaum zu rechten sein , was aus diesem Kapitel als unentbehr- lich, was als entbehrlich anzusehen wäre. Das zu Viel ist dem zu Weni^ sicherlich vorzuziehen , und so wollen wir dem Verfasser die vielen Kenn- zeichen der Theilbarkeit durch 9, 11, durch 7, 11, 13, durch 73, 137 u. s. w. (S. 190 flg.) nicht zum Vorwurfe machen , da sie ganz hübsche Beispiele eines Principes abgeben, welches dem Schüler eingeschärft ^u werden ver- dient.

Wenn ich soweit in voller principieller Uebereinstimmung mit dem Verfasser stehe, so muss ich mich jetzt über einen Punkt aussprechen, in welchem derselbe gegen mich zu polemisiren scheint. Der Begriff des Buches wird (S. 137, Anmerkung) aus dem der Veränderlichkeit der Einheit abgeleitet, wozu das ganz passende Beispiel gewählt ist, dass 42 sowohl als 42 Einsen wie auch als 7 Sechsen aufgefasst werden kann. Daraus er- gebe sich; dass bald die primäre, bald die secundUre Einheit als Einheit für den concreten Fall genommen werden könne, dass alsdann di^ secundäre Einheit entweder als Vielfaches der primären, oder die primäre als aliquo- ter Theil der secundären auftrete! Nun heisst es weiter: „dass nicht jede „empirische Einheit getheilt werden kann, kommt nicht in Betracht, ja „(wenigstens für die Theorie) nicht einmal , dass andere empirische Ein- „heiten die Eigenschaft unbegrenzter Theilbarkeit haben. Vielmehr be- „grifflich genügt es, dass die abstrakte Einheit sich im Verlaufe der wis- „senschaftlichen Entwickelung als veränderlich zeigt und daher als abso- „lute zu gelten aufhört/' Es scheint damit auf die Entwickelung des Bruchbegriffes aus der unendlichen Theilbarkeit der Materien angespielt zu sein, wie andere Autoren und auch ich sie geben. Ich darf dieselbe da- her wohl einigermassen vertheidigen. Zuerst könnte ich mich auf die schon angeführten aus der Vorrede des Verfassers beziehen, in welchen er die Nothwendigkeit zugiebt , Begriffe aus der Empirie zu entnehmen , um sie als Bild zu gebrauchen. Sodann aber muss ich besonders hervorheben, dass bei der frühzeitigen Berufung auf dje unendliche Theilbarkeit auch der Begriff des Continuums frühzeitig geweckt wird, und somit bei der Ent- wickelung des Bruches das Verständniss der Incommensurabilität von Gros* sen derselben Art vorbereitet wird, ein Vortheil, den man entbehrt, wenn mau das Verfahren einschlägt, welches den Inhalt der erwähnten Anmerk-

Literaturzeitunf. 65

ung bildet, nnd dem man an sich die scharfsinnige Erfindung nicht abspre- chen kann.

Aus demselben Capitel möchte ich noch lobend hervorheben, dass beim Reduciren eines Braches (S. 155) zuerst bewiesen ist, dass es wirklich immer einen reducirten Brnch giebt. Ferner den allgemeinen Satz , dass

. zwischen -- und I liegt (S. 172), welcher in dieser Fassung am lehr-

reichsten ist, weil er die Unterscheidung, ob a ^ 6 ttberflüssig macht. Die

a c Division der Brüche -j- : -— wird, wie gewöhnlich, so gelehrt (S. 161), dass

€ d

man sagt, um von ~ zur 1 überzugehen, bedarf es der Multiplication mit—.

Von 1 zw -7" führt Multiplication mit -r . Folglich führt von -^ ^^ y Mul- tiplication mit — . -r » welches daher der gesuchte Quotient ist. Etwas

natürlicher ergiebt sich vielleicht die Regel, wenn man auch hier wie bei ganzen Zahlen die Division als fortgesetzte Subtraction auffasst, wie ich auf die Bemerkung eines meiner Zuhörer es schon seit einigen Semestern zu thun pflege, und wie es namentlich mit. der Ansicht des Verfassers über Entstehung der Brüche übereinstimmen würde. Ich frage nämlich, wie oft

C (l

-r sich von -r- abziehen lä^at und bringe dazu die beiden Brüche auf ge- il o .

meinsamen Nenner: dann wird bei ;— . und 7—, der Nenner eben nur eine

bd bd

Benennung der Einheit sein, wie Fuss, Zoll u. s. w., es wird also der Quo-

ad , , tient 7— erscfaemen müssen. bc

Als speciellere Brüche werden in weiteren Paragraphen die Decimal- brüche, sowie die Kettenbrüche vorgeführt. Bei ersteren vermisse ich den Grund, wesshalb bei der Addition (S.174) nicht erst auf einen gemeinsamen Nenner reducirt wird, wie es doch bei Brüchen Regel ist; einen Grund, der eben so einfach ist, wie er selten angegeben wird, und der darin besteht, dass jene Zurückführung durch bloses Anhängen vod Nullen erreicht wird, welche alsdann bei der Addition irrelevant sind , und darum in praxi nicht geschrieben zu werden brauchen. Die abgekürzten Methoden, worunter F^ourier's geordnete Division, lehnen sich, wie der Verfasser ausdrücklich bemerkt (S. 190) an den bezüglichen Abschnitt von J. H. T. Müller^ s Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik an und verbreiten sich über diesen Gegenstand mit nothwendiger Ausführlichkeit. Die Theorie der Ketten- brüche (S. 215) ist mit ganz besondererer Vorliebe bearbeitet und findet auch später (S. 284 — 291) noch Anwendung auf Wurzelausziehungen , wie in Elementarwerken wohl selten gelehrt wird.

66 Literaturzeitung.

Die nächste Folge von dem tieferen Eingehen in die Lehre von den Kettenbrüchen ist aber die Erklärung der incommensurabeln Grössen (S. 235), welche als unendliche Kettenbrüche aufgefasst werden, deren Yer- hältniss zur Einheit also weder durch eine ganze Zahl, noch durch einen Bruch genau dargestellt werden kann« Auch hier herrscht durchaus die erforderliche Gründlichkeit, welche zumal in dem Satze (S. 245) an den Tag tritt, welcher die Ausdehnung auf incommensurable Verhältnisse aus- spricht, wofern Etwas für alle möglichen commensurablen Verhältnisse gilt

In Beziehung auf den ganzen folgenden Abschnitt (S. 247 — 833), der mit eigentlichen Irrationalzahlen, sowie mit complexen Zahlen sich beschäf- tigt, kann ich Nichts weiter bemerken, als dass der Verfasser hier durch- aus auf dem neueren Standpunkte steht, dass also dieser Theil sich wenig von den entsprechenden Theilen anderer Werke unterscheidet, die densel- ben Ansichten huldigen. Nur in Zusammenhang miit der Theorie der alge- braischen Gleichungen , welche bis zum vierten Grade genauer (S. 333 bis 378), dann für höhere Grade nach Fourier*s geordneter Division mit ver- änderlichem Divisor (S. 378 — 387) gelehrt wird, muss ich noch auf eine Vergesslichkeit aufmerksam mächen. Der Verfasser stellt nämlich (S.335) den Satz auf: „Durch eine Gleichung, sofern dieselbe keine identische ist, wird der Werth einer Unbekannten vollständig bestimmt,^' während er doch schon früher (S. 326) das Beispiel "/Zx — 1 — }/x — | = f/7* + J anführt, welches einen Widerspruch enthält .und deshalb keine Auflösung erlaubt, worauf er dann (S^. 336 und 347 flg.) nochmals zurückkommt. Es wäre daher auch bei dem Ausspruche jenes Satzes neben der Ausnahme identischer Gleichungen noch die widersprechender Gleichungen einzu- schalten.

Wenn ich mir hiermit erlaubt habe, Manches ans dem Zusammenhange zu reissen, mitunter auch Bemerkungen einfliessen zu lassen, welche nicht gerade direct auf das besprochene Buch sich beziehen , sondern nur an das Material desselben sich anschliessen , so wird doch die getroffene Auswahl schon genügen, um darzuthun , dass der Verfasser einen wirklich glückli- chen Wurf gethan , und ich bedauere nur , neben dem Inhalte nicht auch gleichmässig die Sorgfalt des Druckes loben zn können. Auf der letzten Seite ist eine stattliche Anzahl von Druckfehlern bereits angegeben und noch einen nicht unbedeutenden Zuwachs derselben wird Jedem das auf- merksame Studium des Werkes selbst liefern. Möge diesem Mangel bei späteren Auflagen abgeholfen werden. Caütor.

Litcraturzeitnng. 67

Theoxie der Fettigkeit gegen das Zerknioken, nebst üntersnchnngei) über die verschiedenen inneren Spannungen gebogener Körper nnd aber andere Probleme der Blegnngstheorie , mit praktischen An- wendnngen; von Dr. Hbrmakn Scheffler, Banrath. Mit 84 in den Text eingedruckten Holzschnitten. Braunsehweig , Verlag der Schulbuchhandlung, 1858. Die Yorliegende Schrift des durch mehrfache verdienstliche Arbeiten auf dem Gebiete der reinen und angewandten Mathematik bereits rühmlich bekannten Verfassers gewährt noch mehr, als der etwas umfängliche Titel verspricht; sie enthält auf 138 Seiten eine mit Bücksicht auf das praktische Bedflrfniss siemlich vollständige Theorie der Oleic^igewichtsfbrmen und Spannungsverhältnisse gebogener prismatischer Körper. Unter Zugrunde- legung der bei der Theorie der sogenannten relativen Festigkeit gültigen Annahmen werden die bei Einwirkung beliebig gerichteter Kräfte eintre- tenden Biegungen genauer untersucht , wobei sich eine Beihe zum Theil neuer wichtiger Fragen ergiebt, die mittelst der Grundgesetze der Elastici- tät ihre Erledigung ^nden. Die folgende Inhaltsangabe soll dazu dienen, die Beichhaltigkeit dieser Untersuchungen näher darzulegen.

Da die usuellen Formeln der Biegungstheorie hauptsächlich in dem Falle, wo prismatische Körper von Longitudinalkräften affizirt werden, mit den Erscheinungen der Wirklichkeit nicht nur nicht tibereinstimmen, son- dern theilweis damit in offenbarem Widerspruche stehen, so zieht der Ver- fasser zuerst die sogenannte Festigkeit gegen das Zerknicken unter An- wendung neuer Httlfsmittel in den Bereich seiner Betrachtung. Es wird dabei die gewöhnliche Voraussetzung, dass die neutrale Fiberschicht gebo- gener Stäbe durch die Schwerpunkte der einzelnen Querschnitte gehe, eine Annahme , die sich nur für den Fall , wo die biegenden Kräfte normal auf der Längenrichtung des Stabes stehen, aufrecht erhalten lässt, völlig bei Seite gelegt, nnd zunächst die Form der die Schwerpunkte aller Quer- schnitte enthaltenden geometrischen Axe genaueV untersucht. Die §§. 3—5 geben die Formeln für die geometrischen Eigensohaften dieser krummen Linie, sowie die darauf bezogene Lage der neutralen Curve und die Grösse der biegenden Kraft, abhängig von der Grösse der Biegung. Hierauf wen- det sich die Untersuchung zu dem Bruche durch Zerkniokung und führt zu dem Schlüsse, dass in allen Fällen der Wirklichkeit, wo der Bruch mit einer Biegung von fest bestimmter Grösse verbunden ist, die brechende Kraft nicht genau durch die Schwerpunkte der änssersten Querschnitte gehen kann (§. 6). Der Verfasser stellt daher rücksichtlich der Lage der Angriffslinie der biegenden Kraft , welche Lage wegen Compression der Enden des gebogenen Stabes mit der Länge desselben und der Grösse der Kraft veränderlich sein muss, eine Hypothese auf, durch welche die Be- sultate seiner rationellen Formeln mit den Ergebnissen der bekannten Hodg- kinson'schen empirischen Formeln in eine für die Praxis ausreichende^

68 Literaturzeitung.

Uebereinstimmung gebracbt werdea. Darcb vier für die am h^figsten vorkommenden praktischen Fälle berechnete Tabellen wird diese Ueberein- stimmung nachgewiesen (§. 7), so dass nan an die vorher berechneten For- meln die nöthigen Correktionen angebracht werden können (§. 8 — 10). In einer den vorhergehenden Betrachtungen analogen Weise werden in §.11 und 12 die Biegungen und der Bruch unter der Wirkung schräger Druck- kräfte (wo der Winkel zwischen der Richtung der biegenden Kraft und der Axe des Stabes <00^), und im §. 13 unter der Wirkung schräger Zugkräfte (fiir Winkel > 90®) untersucht, woran sich im §• 14 der für die Praxis wich- tige Fall eines durch zwei parallele Kräfle gebogenen Stabes anreiht, von denen die eine drückend, die andere ziehend wirkt. Endlich knüpfen sieh hieran einige Bemerkungen über den Fall , wo ein Stab von mehreren iso- lirten oder auch von stetig über seine Länge vertheilten schrägen und in beliebigen Richtungen wirkenden Kräften affizirt wird (§. 15). — Die bis hierher gewonnenen theoretischen Resultate werden in den §§. 16 — 19 auf die in neuerer Zeit zu £isenbahnbrücken so vielfach benutzten schmiede- eisernen Gitterbalken angewendet. Neu sind dabei namentlich die Unter- suchungen über die in den Gitterstäben vorhandenen Spannungen, aus wel- chen rationelle Formeln für die Dimensionen dieser Stäbe hervorgehen. Naturgemäss schliessen sich hieran die analogen Betrachtungen über die inneren Spannungen in gebogenen Körpern von zusammenhängender Masse^ z. B. in den beim Brückenbau ebenfalls häufig verwendeten Blechbalken (§. 20 — 25), woraus theilweis neue Resultate für die Dimensionen der Blech- wände gewonnen werden. Da bei diesen Untersuchungen die gebogenea Balken immer als in zwei Enden unterstützt angesehen wurden, so leitet der Verfasser noch in höchst einfacher Weise aus der bekannten Abhängig- keit des Elasticitätsmomentes und des Krümmungshalbmessers der neutrAien Linie eines gebogenen Stabes mehrere Sätze ab, mittelst deren jedes Hir einen Balken mit zwei unterstützten Enden gültige Biegungsgesetz anf einen Balken mit mehreren Stützpunkten erweitert werden kann (§. 20). Diese Sätze werden zur allgemeinen Bestimmung der Widerstände der Stützpunkte (§. 27), sowie zur Lösung der Aufgabe benutzt, die Kräfle zu bestimmen, durch welche die Biegung eines Balkens nach einer ge- gebenen Curve ermöglicht wird (§. 28). — Den Schluss der Schrift bildet eine Erörterung des Einflusses, welchen die Verschiebung der Längen- fibern eines gebogenen Körpers auf dessen Biegungs- und Brechungs- erscheinungen ausübt Da nämlich die Theorie der inneren Spannun- gen eines gebogenen Körpers von zusammenhängender Masse das Vor- handensein von Kräften nachgewiesen hatte, welche auf Verschiebung sei- ner Längenfibern wirken, so konnte die gewöhnliche Annahme nicht länger aufrecht erhalten werden, dass ein nach der Biegung normal zur neutralen Linie gelegter Querschnitt nur solche Punkte in sich enthalte , welche be- reits vor der Biegung in einer normal zur Axe gelegenen Ebene enthalten

Literatlirzeitung. 69

i?aren. Der Verfasser unterwirft deshalb die Deformationen , welche die Normalschnitte unter Verschiebung der Längenfibern erleiden , sowie die dadurch bedingten Abänderungen der Biegungs- und Brechungsverhältnisse einer strengen mathematischen Untersuchung (§. 20 — 34). Wenngleich hierbei das Resultat gewonnen wird, dass die Verschiebung der Fibern einen so unerheblichen £influss auf die Biegang und Tragfähigkeit der Balken äussert, dass dadurch die gewöhnliche Annahme als eine für die Praxis ausreichende Approximation gerechtfertigt ist , so behält doch dte hierher gehörige Untersaehung den hohen Werth , die Zulässigkeit dieser Annäherung an die Wahrheit zur Evidenz gebracht zu haben.

Man wird aus dieser Inhaltsangabe ersehen, dass der Verfasser einer- seits den ihm vorliegenden Stoff so vollständig beherrscht, dass wohl kaum irgend eine bedeutsame auf die fiiegungstheorie bezügliche Frage seiner Aufmerksamkeit entgangen sein dürfte, andererseits aber die Resultate seiner theoretischen Erörterungen in fortwährende Beziehung zu den An- forderangen der Praxis zu bringen weiss, so dass dem Inhalte seiner Schrift ein gleicher Werth in wissenschaftlicher wie in praktischer Beziehung zu- kommt. Für Leser, welohe den technischen Anwendungen der Mathematik näher stehen, hat Referent nicht nöthig, nach dieser Seite hin die Wichtig- keit des Scheffler^schen Buches besonders hervorzuheben, da sich bei ihnen der Name des Verfassers bereits einen guten Klang erworben hat. Aber auch der Theoretiker wird dasselbe nicht unbefriedigt aus der Hand legen; er wird darin neben vielen neuen Gesichtspunkten und einer durch Eleganz und Strenge sich empfehlenden mathematischen Analyse mancherlei An- regung zu weiteren theoretischen Untersuchungen finden. 0. Fort.

Die Auidsung der alfebraisohen und traasoendeiiten Oleiehuageii mit einer und melire(ren XTubekaanten in reellen und complezen Zahlen nach neuen und rar praktisohen Anwendung geeigne- ten Methoden. Von Dr. Hermann Scheffler, Baurath. Braun- schweig, Schulbuchhandlung (Vieweg), 1859. Unmittelbar nach dem Erscheinen des vorliegenden Werkes schrieb Herr Professor Spitzer an die Redaction, dass die Methoden des Verfassers im Wesentlichen mit denen übereinstimmten, die er im Jahre 1851 bekannt gemacht habe; gleichzeitig übersandte Herr Baurath Scheffler folgende

*) Nur gegen die Begründang der Formel (59), sowie der hieraus abgeleitete (130) könnten einige gedenken erhoben werden, die sich jedoch erledigen, wenn man, was wohl auch mit der Ansicht des Verfasser» übereinstimmt, erstere als eine blosse Hy- pothese ansieht, welche aufgestellt ist, um die theoretischen Resultate mit den Ergeb- nissen der Hodgkinsonschcn Versuche in Einklang zu bringen.

70 Literatarzeitung.

BrkUrang.

„Nachdem ich vom Herrn Regiernngeratb ▼. Ettinghansensa Wien benaohrichtigt bin, dass Herr Professor Spitzer daselbst sich darüber be- schwere, dass ich in meiner vor Kurzem erschienenen Schrift über die Auf- lösung der Gleichungen seiner früheren Arbeiten über diesen Gregenstand, wdche in einigen der K. K. Akademie der Wissenschafken überreichten Abhandlungen, insbesondere aber in der Schrift über die allgeraetae Auflösung der Zahlengleichungen vom Jahre 1851 niedergelegt seien, nicht erwähne, obgleich ihm doch für gewisse Operationen das Prio- ritätsrecht der Erfindung gebühre; so beeile ich mich, hierauf folgende Er- klärung abzugeben :

Die fraglichen Arbeiten des Herrn Professor Spitzer waren mir nicht bloss ihrem Inhalte nach völlig unbekannt; ich hatte auch nicht em- mal Kenntniss von ihrer Existenz überhaupt. Ob dies mehr durch eine nn- voUkommene buchhändlerische Verbreitung jener Schriften, oder durch eine ephemere Besprechung derselben in den Journalen , oder durch die allgemeine Ablenkung der Aufmerksamkeit in jenen politisch bewegten Zeiten veranlasst ist, muss ich dahingestellt sein lassen ^ und kann nur be- dauern, dass es unter solchen Umständen für mich eine Unmöglichkeit war, die Verdienste des Herrn Professor Spitzer hervorzuheben.

Was die Sache selbst betrifft, so überzeuge ich mich durch die mir jetzt vorliegende oben erwähnte Schrift, dass in Beziehung auf die Verall- gemeinerung der Homerischen Methode behuf Berechnung der complexea Wurzeln einer Oleichung mit einer Unbekannten und der Wurzeln eines Systems von Qleichungen mit mehreren Unbekannten dem Herrn Professor Spitzer die Priorität gebührt. Ob nun die Unbekanntschaft mit den Un- tersuchungen des gedachten Herrn hinsichtlich derjenigen Partieen meiner Schrift, welche mit jenen Grundgedanken kongruiren, für die Wissenschaft insofern von Nutzen gewesen sei, als zwei selbstständige Forschungen auf demselben Gebiete eigenthümliche Details der Entwicklung darbieten, über- lasse ich der kritischen Vergleichung der Sachkenner.

Braunschweig, den 9. Juni 1859.

Dr. H. Scheffler."

Hiernach durfte eine ausführliche Besprechung des vorliegenden Wer- kes überflüssig erscheinen. Dass von einem Plagiate nicht die Rede sein kann, versteht sich bei dem durchaus ehrenwerthen Charakter des Verfas- sers von selbst und es ist nur zu bedauern , dass die Spitzer^sche Schrift ausserhalb Oesterreich so wenig bekannt geworden ist,, wie dem Unter- zeichneten auch von anderen Seiten her mehrfach bestätigt wurde.

SCHLÖMILCB.

Literaturzeitung. 71

Dia Anwandiuig dar AJgebra auf OMiiatrie. Eine Anleitung aum Auf- lösen geometrischer Aufgaben vermittelst der algebraischen Ana- Ijsis. Von W. Bebkhan, Oberlehrer am Gymnasium au Blanken- bnrg. Halle, Schmidt. Der Natur der Sache nach wird man von einem Buche, welches „Leh- rern und Schülern hinlängliches Material liefern" soll, keine besondere Originalität verlangen ; stufenweiser Fortschritt vom Leichten cum Schwe> ren und gute Darstellung dürften die einzigen ganz berechtigten Forderun- gen sein. In der ersten Beziehung haben wir nichts gegen des vorliegende Werkchen zu sagen, mit der Darsteliung aber sind wir nicht durchweg ein* verstanden. Sehr häufig stellt der Verfasser mehrere ganz verschiedene Lösungen einer und derselben Aufgabe neben einander, wie es kommt, ohne den inneren Zusammenhang derselben nachzuweisen. Ein solcher Nachweis^ ist aber gerade das pädagogisch Wichtigste. Wenn bei der einen Behandlung eine complicirte, bei der andern eine einfache Endformel zum Vorsehein kommt, so ist dies doch kein Zufall und die Aufsuchung des Grundes dieser Erscheinung hat gerade sehr viel Lehrreiches; bei einiger Uebung darin lernt man nämlich eine Aufgabe geschickt anfassen. Auf 8. 88 erklärt der Verfasse^sogar bei derselben Aufgabe, die man auf S. 120 in Jahrgang L der Zeitschrift findet, die algebraische Auflösung sei zu eomplicirt und folgende geometrische einfacher. Das heisst freilich, sich die Sache compilatorisch leicht machen, während es Pflicht des Verfassers gewesen wäre, diejenige algebraische Auflösung zu suchen, welche der geo- metrischen Lösung adäquat ist. — Einen besondem pädagogischen Werth können wir hiemach der Berkhan'schen Schrift nicht zuerkennen , sie ent- hält indessen auf kleinem Räume ziemlich viel Material (86 Aufgaben), welches manchem Lehrer willkommen sein wird*

SCHLÖMILCH.

Bibliographie

vom 5. Mai bis 15. Juni 1859.

Periodische SolirifkeiL

Abhandlungen der mathematisch-physischen Classe der K. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften. 4. Bd. Leipsig, Hirzel in Comm. 7% Thlr.

Denkschriften der kaiserl. Academie der Wissenschaften in . Wien. Mathem.-naturw. Classe. Bd. 16. Gerold's Sohn in Comm.

8% Thlr.

Sitzungsberichte der Kaiserl. Academie der Wissenschaften. Mathem.-naturw. Classe. Jahrg. 1859, Nö. 1 — 5. Ebendas.

pro compl. 16 Thlr.

Astronomische Beobachtungen auf der Sternwarte zn Kö- nigsberg. 32. Abthlg. Leipzig, Kein*sche Buchhandlung. 2 Thlr.

Memoires de V Academie de St Peiersboury, Sciences maihSmatiqttes et physiques. Tome IX, et Tome VIL Petersbourg. Leipzig , Voss ia Comm. 10 Tblr.

M^langes mathemaiiques et nstronomiques de V Academie de Pe- tersbourg. Tome II, livr. 6. Ebendas. 12 Ngr.

Melanges physiques ei chimiques de VAcademie de Petersbourg. Tome III, livr. ^. Ebendas. 12 Ngr.

Beine Mathematik.

Heidenreich, A. y., Elemente der reinen ^rith-metik. 1. Cursus. Leipzig, Gräbner, % Thlr.

Dasselbe. 2. Cursus. Ebendas. 12 Ngr.

Breymank, K., Lehrbuch der Elementarmathematik für Forst- leute. 1. Theil. Arithmetik und Algebra« Wien, Gerold's Sohn.

l^ Thlr..

Sadebece, M., Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für Gym- nasien. Breslau, Aderholz. 16 Ngr.

Aschenborn, K. H. M., Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Berlin, Decker'sche Hof buchdruckerei. 1% Thlr.

WiEGAND, A., Lehrbuch der Mathematik. Allgemeine Arithmetik. 4. Aufl. Halle, Schmidt. 12% Ngr.

Heidenreich, A. y., Elemente der niedern Geometrie. 1. Cursus. Leipzig, Gräbner. " 12 Ngr.

Literatarzeittuig. 73

DiLLiKG, A!, Kesnltate der Beispiele 2a den Aufgaben über das rechtwinklige Dreieck. Halle, Pfeffer. % Thlr.

MsaLER, F. 6., Hauptsätze der Elementarmathematik. Berlin, Beimer. 12% Ngr.

Stubba, A., Lehrbuch der Geometrie. 3. Aufl. Leipzig, Kummer.

28 Ngr.

Fischer, J.-G., Leitfaden zum Unterrichte in der Elementar- geometrie. 2. Cursus. 2. Aufl. Hamburg, Perthes, Besser & Mauk.

6 Ngr.

Gräilich, J., Ueber symmetrische Functionen, welche zur Dar- stellung gewisser physikalischer Verhältnisse krystal- lisirter Körper dienen. (Acad.) Wien, Gerold's Sohn in Gomm.

4 Ngr.

LÖPFLER, A., Ueber die Methode, die grössten und kleinsten Werthe unbestimmter Integralfoxmeln su finden. (Ac$id.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. 6 Ngr.

Strauch, G. W«, Anwendung des sogenannten Variationseal- culs auf zwei- und dreifache Integrale. Ebendas. 2^ Thlr.

ScHEFFJLER, H.^ Die Auflösung der algebraischen und trans- cendenten mit einer oder mehreren Unbekannten. Braun- schweig, Vieweg. 24 Ngr.

Clausius, E., Die Potentialfunktion. und das Potential. Leipzig, Barth. 24 Ngr.

PfeTZVAL, J., Integration der linearen Differentialgleichun- gen. 6. Lief. (Akad.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. 2% Thlr.

Hechel, C, Die ebene analytische Geometrie; für höhere Lehr- anstalten bearbeitet. Stettin, Grassmann. 18 Ngr.

Schell, W., Allgemeine Theorie derCurven doppelter Krüm- mung in rein geometrischer Darstellung. Leipzig, Teubner.

24 Ngr.

Vega's logarithmiseh - trigonometrisches Handbuch. 43. Aufl. Herausgegeben yon Bremiker. Berlin, Weidmann. 1^ Thlr.

Rühlmann, M., Logarithmisch- trigonometrische Tafeln. 6. Ausg. Leipzig', Arnoldische Buchhandlung.' % Thlr.

Faa DE Bruno, Theorie generale de Velimination, Paris. (Leipzig, Brockhaus,) 2% Thlr.

Boolb, G. A., Treatise on differeniial equaUon$. London. (Leipzig, Brockbaus.) 5 Thlr. 18 Ngr.

Angewandte Mathematik.

Lang, V. v., Einige Bemerkungen zu Dr. Stefanos Abhandlung über die Transversalschwingangen eines elastischen Stabes. (Akad.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. 2 Ngr.

74 Litoratttneeitung.

Petzval, J., Ueber die Schwingungen gespannter Saiten. (Akad.) Wien, Oerold's Sohn in Comm. % Tfalr.

Stoevesandt, C. H», Lehrbach der Perspectire. 3. Lief. Berlin, Herbig. 1 Thlr.

Encke, J. f., üeber die Erscheinungen der Kometen. Ein Vor- trag. Berlin, Besser. % Thlr.

LöWY, M., Ueber die Bahn des Kometen V— 1858. (Akad.) Wien, Oerold^s Sohn in Comm. 2 Ngr.

ScHODER, H.^ Die Elemente des Kometen VI — 1857. (Akad.) Wien, Gerold^s Sohn in Comm. 4 Ngr.

RÜMKER, C, Neue Folge der mittleren Oerter von Fixsternen für denAnfang Ton 1850. Hora VL Hamburg, PertheS| Besser & Mauke. 8 Ngr.

Keplebi, J., Astronomi opera omnia ed, C. Frisch, VoLJJ^parst* Frankfurt a. M,, Heyder & Zimmer. 3 Thlr.

Sandes, E., Handbuch der mathematischen Erdkunde. Wien, Qerold*s Sohn in Comm. 2% Thhr.

Triangulation von Thüringen; ausgeführt in den Jahren 1851 — 1855 vom K. Pr. Oeneralstabe. Berlin, Dümmler in Comm. 3% Thlr.

Jones, D., Leibrenten- und Lebensversicherungen. Deutsch von K. Hattemdorf. Hannover, Hahn. 2 Thlr.

Dieterici, C. f. W., üeber den Begriff der mittleren Lebens- dauer und deren Berechnung für denpreussischen Staat. Berlin, Dümmler in Comm. 24 Ngr.

Reotbnbacher, F., Principien der Mechanik und des Maschinen- baue s. 2. Aufl. Mannheim, Bassermann. 3 Thlr. 2 Ngr.

WbisbacH; J., Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenme- chanik. 3. Aufl. Bd. 2, Lief. 11. Braunschweig, Vieweg. % Thlr.

Langer, J., Die bogenförmigen Oitterbrücken mit Trägern von gleichem Widerstände. * Wien, Seleh*s Bnchhandlong m Comm. 1 Thlr.

MoLiNOS etBRONNiER, Tratte de la consiruciion des ponis metalli- ques. Paris. (Leipzig, Brockhaus*) 30 Thlr.

KrafT; J., Baue hydraulique ä aubes CQurtes^ sysiime PonceleL ConsiddraUons theorigtses ei rigles praüques. Lüge, l^k Thlr.

Aricinjon, f. V., Essai sur les houlets creux ä percussion et ih^o- rie d'^une nouvelle fusSe ä percussion pour les projectiles sphiriques. Gines, (Leipzig, Brockhaus.) 1% Thhr.

Maxwell, J., On the stability of the motions of Saturn'' s rings; an essay which obiained the AdanCs prite. lAndon. (Leipzig, Brock- haus.) 2 Thlr. 20 Ngr.

Literaturzeitang. 75

Physik.

DieNatnrwissenscbaften, dargestellt von Dippel, Gottlieb, Koppe etc. Lief. 29 nnd 30. Essen, Bädeker. k % Thlr.

Encyclopädie der Physik, bearbeitet v. Brix, Decher etc. Heraos- gegeben von Karsten. 6. Lief. Leipzig, Voss. 2% Thlr.

Physikalisches Lexicon von Marbaou und Cornelius, 2. Auflage* Lief. 73 nnd 74. Leipzig, 0. Wigand. k % Thlr.

Crüger, f. C. J., Grundzüge der Physik mit Rücksicht anf Chemie. 6. Aufl. Erfurt, Körner. % Thlr.

Westberg, H., Grundzüge der Physik für die Kreisschulen des Dorpater Lehrbezirks. Reval, Kluge. % Thlr.

DovE, H. W., Anwendung des Stereoscops, um falsches Papier- geld vom echten zu unterscheiden. Berlin, G. F. W. Müller*s Verlag. % Thlr.

Btudbr, B., Einleitung in das Studium der Physik. Zürich, Schulthess. 24 Ngr.

Lang, v., Die Aenderungen der Krystallaxen des Arragonits durch die Wärme. (Akad.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. % Thlr.

Weiss, A. und E. Weiss, Untersuchungen über den Zusammen- hang in den Dichten und Brechungsexponenten im Ge- mengen von Flüssigkeiten. (Akad.) Wien, Gerold^s Sohn in Gomm. %ThIr.

MuRKANN, A. und L. Bo^ter, Untersuchungen über die physika- lischen Verhältnisse krystallislrter Körper. (Akad.) Wien. Gerold's Sohn in Comm. % Thlr.

Gavarret, J., Lehrbuch der Elektricitftt. Deutsch bearbeitet von K. Arendt. 2. Lief. Leipzig, Brockhaus. . 1 Thlr.

Hakkel, W. G., Elektrische Untersuchungen. 4. Abthlg. Leipzig, Hirzel in Comm. % Thlr.

Khochenhaubä, W., üeber den Strom der Nebenbatterie. (Akad.) Geärold's Sohn in Comm. 3 Ngr.

Holoff, J. F., Die Mechanik des Elektromagnetismus. 2. Aufl. Berlin, Springer in Comm. % Thlr.

Lamont, J., Untersuchungen über die Richtung und Stärke des Erdmagnetismus an verschiedenen Punkten des süd- westlicheti Europa. München, Eranz in Comm. 4% Thlr.

Büchner, 0., Die Feuermeteore. Giessen, Kicker. % Thlr.

Ballo, M. O., Einfluss der atmosphärischen Ebbe und Fluth auf den Barometerstand und die astronomische Kefrac- tion. Königsberg, Theile in Comm. % Thlr.

LiUraturzlg- d. ZeiUehr. f. Math. ti. Phys. IV.

Mathematisches Abhandlungsregister.

Ausser den früher bennUten Zeitschriften wurden in diesem Beg^ister noch die Annali di Matematica pttra ed appHcattt publicati da ßtimaba Torlolini, Aoma, berück- sichtigt, ftlr welche die Abkürzung: Annali mat. gebraucht ist. Da die Nummern der Abhandlungen immer während eines Jahres in fortlaufender Reihenfolge stattfinden, so sind die Verweisungen auf das frühere Register (Litcraturzeitung S. 10 flgg.) nur durch eckige Klammern unterschieden , z. B. [vgl. Nr. 209].

185©. Zweite Hälfte: 1. Juli bis 31. December.

Analytlieli« Oeomatrio (der Sbene).

244. Grundgesetze der Configuration der algebraischen Curven. A. Muller. Wien.

Acad. Ber. XXIX, 40.

245. Thiorbne gin^ral sur fes courbes planes ei sttr lea surfaces. Ter quem. N. am.

math, XVII, 441.

246. lieber ein elementares Theorem der analytischen Geometrie. Joachimsthal.

Grelle LVI, 280.

247. On ihe double tangents to plane curvea. Salmon. Phil, Mag. XVI, 318.

248. Ueber einen merkwürdigen allgemeinen Satz von den Curven. Völler. Gnm«

Archiv XXXI, 449. — Grunert ibid. 454.

249. Eiuige geometrische Sätze über Curven. O. Böklen. Zeitschr. Math. Phvs.

lU, 320.

250. Construction micanique de la parabole cubiqite. Fo ucaut. N. ttnn. nusth, XVII, 274.

251. Sopra ai&ime curve Algebinche, deUe quali /« lemniscaia i un ctiso pariicolare. Tor-

tolini. Annali mat. /, 1 78.

252. Biscussion de la coitrbe reprisentie par V6quation y = «in[(2«+ 1) «rcwiid?] + l.

De Foville. N. ann. math. XVII, 326.

253. De la courbe ä ^qitation polaire p«;= . Dupain. N. amt.maCA. XVIIt

Vi — c* sin o»« 315. Vergl. Determinanten in geometrischer Anwendung , Ellipse , ETolntion , homo- gene Functionen 371, Hyperbel, Kegelschnitte, Kettenlinien, Kriimmungs- kreis ,' Rectification. *

Analytische Geometrie (des Baumes).

254. Ueber die Transformation durch reciproke Radienvectoren. Böklen. Zeitschr.

Math. Phys. HI, 258.

255. Ueber die mittleren Radien der Linien, Flächen und Körper. Drobisch.

Bachs. Acad. Ber. X, 124.

256. Ueber geodätische Linien. Böklen. Zeitschr. Math. Pfays. III, 257.

257. Sülle linee del lerzo ordine a doppia curvatura Cremona Annafimat. /, 161, 278.

258. Ueber die Raum curven dritter Klasse und dritter Ordnung. Joachims thal.

Crelle LVI, 44.

Literaturzeitung« 77

259. Aufldeknmig eine« Satzes vom ebenen Vierseit auf ränmliclie Figuren. Her-

mes. Grelle LVI, 204.

260. lieber hpmologe Tetraeder. Hermes. Grelle L VI, 218.

261. Das Fünffach und Fünfeck Im Räume entsprechend dem Vierseit nnd Viereck in

der Ebene. Hermes. Grelle LVI, 247.

262. Proprittä dui centi-i conjugati principali e dd piani principaU conjtigati de dotta dalla

considerazione degli assi dei pennelli htnu'nosi, ed applicazione di essi al calcolo degli stromenti ottici composti dipiü lenti, delle cui gross ezze si debba teuer conto, Mos- sotti. Atmati mat, /, 205 . Vergl. Kegelschnitte 385, Oberflächen, Oberflächen zweiten Grades.

ApprozimatioiL

263. Einfache Ableitung von Ponceiet^s Theorem über Quadratwurzeln. Z e u n e r.

Zeitechjr. Math. Phys. UI, 383.

ArithmeÜsehe BeOien.

264. Tous tes nombres impairs ettmt livises en groupes gut successioetnent contiennent, 1, 2,

3 . . . . nombres, la sotnme ie chaque groupe est un cube, Girono. N, imn. molk. XVII, 353. 263. Determiner les valeta'S ntoneriques des trois cotis d'tm ti'iangle rectiligne tet, que ses trois cotis et sa surface soietit quatre termes consdcutifs d'vne progression oi'ühmi- tique ayimt pour raison t'ttnitä. Girono, N, atm, nuUh. XVII, 395. Vergl. Zahlentheorie 484.

Astronomie.

266. Bestimmung des Fadenintervalles an einem astronomischen Winkel-Instrumente.

W a» 1 1 e r. Grün. Archiv XXXI, 57.

267. Einige Beobachtungen und Bemerkungen über Personaldifferouz. J. Hart-

mann. Grün. Archiv XXXI, 1 .

268. Mötnoire sur les formutes propres fi determiner la parallaxe annueile des ctoiies sim-

ples ou optiquement doubtea. Plana. Astr. Kachr. XLIX, 373.

269. lieber die -Gonstante gm in Laplace^s Meumique Celeste I, 276. Peters.

Astr. Nachr. XLIX, 301.

270. Offene Antwurt auf das offene Schreiben des Herrn Director Hansen. Encke.

Aötr. Nachr. XLIX, 192 [vgl. Nr. 20].

271. Ueber den Streit, der sich zwischen den Herrn Professoren Encke und Han-

se n in Betreff der Theorie erhoben hat, welche den von Herrn Dr. B rün n o w herausgegebenen Floratafeln zu Grunde liegt. Peters« Astr. Nachr. XLIX, 197.

272. On the Problem of three bodies. Hargreave, Phii Mag. XVI, 46Q.

273. Sur les distances respeciives des orbites des planbtes. Reynaud. Compt,rend,

XLVII, 957, 1074.

274. Extension de la loi de Bode. Durand. N, ann. matk, XVII, 269.

275. Sur rhypothese du müieii risistant. ßncke. Compt, rend, XLVII, 763, 1050. —

Faye ibid. 836, 939, 1043. — - Leverrier ibid. 891.

0 Attraktion.

276. Anwendung des dritten Differentials d* s -=^ f" {t) d t^ der Function der gerad-

Jinigen Bewegung s = f(t) auf die Physik der allgemeinen Schwere. Gens-

1 e r. Grün. Archiv XXXI, 234 . 277 Sur les corps qüi exercent des attr actione Egales sur un point materiel. ffirst.

Compt. read. XLVII, 274. — Phil. Mag. XVI, 161, 266. 278. Sur Viquation de la trajectoire que däa'it un mobile soumxs ä Vaction de plusieurs

centres fixes. Desboves, Compt. rend. XL VII, 708.

4^

^osiorsebo Funetion.

279. Ueber ein It^gral der Differentialgleichung j~ + ~— 4./ = 0. Lipschit«.

Grelle l^VI, 189.

BestiBimto Integrale.

280. Rapport sur le Recueil d* integrales de M. Bierens de Haan. J. Bertrand. Compt.

rend. XLVII, 434.

78 Literaturzeitang.

281. Note tttr Vivaluaiion des int^greiies fxy dm,Jx% dm, fyzdm, fji^dM,f^dm,fMm

pour une pyramide tritmgulaire , doni la btise eH sUvie dtms le plan des xy, ume des aretes Hont prise pour axe des x. Lobaiio. Grün. Archiv XX XT. 24tt.

282. Sm* wie apptication de la fortnule du binome aux intigrales evltriennes. Caialan,

Compt. rend. XLVII, 545. 2S'^. Note Sftr une formule d'AbeL Bertrand, AnnaH mat. I, l^,

284. Sur des integrales definies doubles. Besge. Joum. Maikim, 324, 410. Yergl. Ealer'sche Summenformel, Beihen 450, 452.

C. ComMiuiUrik.

285. Thiorime sur le nombre des combvudsons sans ripitiHon, Faure. N, an», maik,

XVII, 348. 280. lieber eine Steiner^sche combinatorLsche Aufgabe (Grelle XLY, 181). BeisA

Grelle LVI, 326. 287. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten gelSst mittelst

der Permutationslehre. S i m e r k a. Wien. Acad. Ber. XXXIII, 277.

Gvbttar. Yergl. Stereometrie 459, 400, 401.

Deterwhiantwi.

288. Inoariants. ße Blerzy, N. ann. math. XVIt, 301.

289. Remarques Mstoriques sur unpoint de la thiorie des Squathns, TortolinL Compt.

rend. XLril, 598.

290. lieber die Zeichen der einzelnen Glieder einer Determinante. Z eh f ns s. Zeit-

schr. Math. Phys. III, 249.

291. lieber eine gewisse Determinante. Zehfnss. Zeitsah, Math. Phys. III, 298.

292. Sutlo soüuppo di un determinante. Brioschi. Annali mat. 1, 9.

Yergl. Differentialgleichungen 298, Functionen 331, Gleichungen, Methode der kleinsten Quadrate 412.

Beterminantea (in geometrisdior AmwMidiiay).

293. Application de la nouoeUe axuAyse aux surfaces du second ordre. Painvin, N. am.

foatli XVII, 370, 403, 457.

294. Transformation des proprietis mitriques des figures, Faure. N. ann.math, XFII,

270, 381.

295. Einige Sätze über die Tangenten algebraischer Gurven. Bischoff. Grelle

LYI, 100.

BüforantialglaiolraBgMi. 290. Studien über Differentialgleichungen. S.Spitzer. Zeitschr. Math. Phys. nl, 224.

297. Mimoire sur Cintigration des iquations differentieltes simuliatiees. Painoin. Compt.

rend. XLVII, 093.

298. Ein Satz über Differentialgleichungen. Z e h f u s s. Zeitschr. Math. Phys. III, 248.

299. Sur CintSgralioH de Viqualion diffhentielle {Aa^-^ Bxy -{^Cy^J^ Dx-^Ey^F)

<fa; + (^ja?» + -ffiy* + Cia;y + />i.r + iR:iy + /'i)rfy = 0. BJörling. Jown. Maih^m. XXIII, 417.

800. lieber die Ableitung der Grundformeln der Logarithmen und der Trigonometrie

aus der Differentialgleichung ,.. ■ -f ■ =0. Vnrhge, Zeitschr.

Matli. PhysJlII, 241.

801. Ueber die lineare Differentialgleichung (€tt 4- bt x) »^'+(01+ 61 x) y'4- (uq 4. box)w

= 0. S.Spitzer. Zeitschr. Math. PLys. lU, 393.

803. Zur Integration der linearen Differentialglei^hunir o* :; — r=aflii --JL^ Wei-

*» dt^ dx»

ler. Grün. Ardbiy XXXI,44. Yergl. Bessersche Function, Hydrodynamik ^73, Hypergeomeirische Beihe 375.

Literatarzeitnng. 79

BifferentidqvottMit ' 303. Sur le chtmgemeni de la vanable hidipendante dans les d&rioies <f une fonction, Sck/ö-

milch. Joum. Mathen, XXIII, 385. 201. Sopra due fonnuie di caicolo cUff'enmziale. Fergola, Annali mai, I, ZIO»

305. ^M differenziali a vidice qtuüunque. Tardy, Annali mat, I, 135.

BiAMreniMgleiclLiiiigAiL

306. Kene In tegprations- Methode fUr- Differensengleichangen , deren Coefficienten

g^nze algebraische Functionen der unabhängigen Veränderlichen sind. B. 8 p 1 1 8 e r. Wien. Acad Ber. XXIX, 53.

Bisoontisiiirliohe Timetioiien.

307. lieber die Schwingungen gespannter Saiten. Petsyal. Wien. Acad. Ber.

XXIX, 160. 306. Ueber die DarsteHung einer willkürlichen Function durch unendliche Reihen. D i e n g e r. Grün. Archiv XXXI, 274.

Boppeltangenten. VergL Analytiache Geometrie der Ebene 247.

B.

SUtttdttt. 300. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes. Kirchhoff. Grelle L VI, 285.

310. Ueber die Trans versalschwingungen eines elastischen Stabes. Stefan. Wien.

Acad. Ber. XXXII, 207.

SUminaÜon.

311. Bemerkungen über das indirecte £liminiren bei geodätischen Arbeiten. Ger-

1 i n g. Zeitschr. Math Phys. UI, 377.

znipae.

312. Verallgemeinerung des Fermat*schen geometrischen Satzes. A. K r ü g e r. Grün.

Archiv XXXI, 61.

313. Une propriet6 des normales de CMpst. O. BökUn, N. arm, math. XVIl, 356 [vgl.

Nr. 222].

314. Thiwemes ^Appoüonius sur les diamktres cor^ttguis» Roueki, N, aim. math, XVII,

436.

315. Ueber Sectoren und Segmente der Ellipse mit Büeksicht auf conjugirte Durch-

messer. Z e h m e. Zeitschr. Math. Phys. III, 311.

316. Une hyperhole äqnifaiere hotnofoctUe ä wte ellipse intercepte sur les cotAf d*un angle

droit vircofuicril ä V ellipse deux cordes dgales* A. Ter quem, N, ann, vuUh» XVII, 432.

EUiptisehe FuietlotteB.

317. On the geometi^ ofthe elHpiic equation. Merrifietd, Pkii, Mag. XVI, 198.

318. Sv^ diverses iqualions mutlogues aux iquations »todidaires dans la ih6orie des fonc-

tioils eUiptiques. Brioschi. Cot/rpt. rend. XL VII, 337. Jouberl ibid 341.

319. SiUle equaiioni del moUiplieatore per la iransformazione delle fwizioni elUliche. Brio^

seht Afoiafi fual. I, 175.

320. Nttove ricerche relative tdla sostituzione lineare per la ridutione delle funzunä eltitiche

di prima specie. Torlolini. Annati mal. /, 57 .

321. Ueber rationale Verbindungen der elliptischen Transcendenten. C. O. Meyer.

Grelle LVI, 314. 322 Sw les foticlitjns ellipltques et sur la thäorie des nombres. Kronecker. Jounu Muthein. XXIIl, 265.

323. U^ber einige Gattungen elliptischer Integrale. Eöthig. Grelle LVI, 197. Vergl, Gleichungen 360, Rectification.

Siiler*sehe SnmmeBltafiML

324. Ueber die Darstellung gewisser Functionen durch die EulerVche SummenformeL

Lipschitz. Grelle LVI, 11.

Evolntioii.

325. Equation des diveloppies en coordonnies liniaires, Denulf. N. ann. math. XVII, 428.

80 Literatonseitung.

F. FMtoriAUo. 32(5. Ueber den Quotienten zweier Facultäten. Schlömilch. Zeitschr, Math. Phjs. III, 322.

Functionen.

327. Sur le novibre des vitfews que peut ac^tdrir wie fonctUm quand oh permuie ses va-

riables de toutes les manieres possibles, E. Maihieu, Compt.rend. XLVII, 698.

328. Ueber den Grenz werth von n ^* — ij für n = oo. Schlo milch. Zeitschr.

Math. Phys. III, 387.

329. Versuch einer Erweiterung der Begriffe von cos x und smx, B e y 8 s e 1 1. Gnin.

Archiv XXXI, 299.

330. Sut* la niarche des valeurs d'une foncäon fmpücüe dä/lnie par une iquation aigebrique.

Marie. CompLrend, XLVII, 145.

331. Sur les fonclions X« de Legendr e, E, Roucki. Compt.rend. XLy II, ^ü [vgl.

Nr. 200). Yergl. Discontinuirliche Functionen , Elliptische Functionen , Kugelfunctlonen, Lam^'sche Functionen, Stereometrie 459 , Ultraelliptische Functionen.

Oeodaue.

332. Berichtigungen einiger falschen Behauptungen, v. Krusper. Grün. Archiv

XXXI, 50. Vergl. Elimination.

0eomelaie (deseriptire).

333. luterno alla questione: riportare in tma super ficie plana o sferica una figwro siluata m

. una supei ficie qualtmque di rivoluzione talmente che le purti delV inutgine e della figura abbirmo le aree in rapporto costante. Codazzi. Annali mal. I, 89. Vergl. Perspective.

Geometrie (höliere).

334. Vermischte Sätze und Aufgaben. Steiner. Berl. Acad. Ber. 1858, 419. N.

ann,matk.XFJIy4AS.

335. Note relative ä la construction de diverses courbes ä trois points multiples et th^-eme

relatif ä ces courbes. De Jonquieres. Annafi tnat. /, 1 10.

336. Ueber die Raumcurven dritter Klasse und dritter Ordnung. Schroter. Crelle

LVI, 27.

337. Note relative d une courbe du sixihne ordre qui se prisente en astronomie. De Jon-

q Ute res. Amiali mat. /, 1 1 2. Vergl. Determinanten in geometrischer Anwendung 294, Imaginäres, Kegel- schnitte 379 y Krümmungskreis 389.

Oesehichte der Xathematik.

338. Zur Geschichte der Zahlzeichen. Cantor. Zeitschr. Math. Phys. III, 325.

339. De l'application du pendule aux hortoges tnecaniques. Biot. Campt, reud. XLVII, 433.

340. Genialogie de BernouUi. Ter quem. N, ann. math, XVII. Bulletin de bibt. 85.

341. Fietro Antonio CtUaldi, malkämaticien du XFII'^f^ siede. Ter quem. N. ann. math.

XVIL Bulletin de bibum.

342. Sur Benjamin Brianer. Ter quem, N.atm, math, XVI I. Bulletin de bibl. 57.

343. Leonelli {Zechini), Bellavitis, N. ann. math. XVII. Bulletin de bibl. 88. Vergl. Astronomie 208, Determinanten 289.

Gleidhnai^.

344. On a proof of the existence of a root in eoery aigebraic equation. D e Mo rg a n, PhiL

Mag. XVI, 232.

345. Sopra i Covarianti delle forme bitutrie. Betti. Annali tma. I, 12^.

340. Sid Covarianti delle forme a piii variabili. Brioschi. Annali mat. /, 158. 347. La teoiica dei covariimti e degli invarumti delie forme binarie c la suc principtdi ap- plicazioni. Brioschi. Anttali mat. I, 2^, ^-Ü,

Literatarzeitung. 81

348. Ueber einigro Sätze von den ganzen rationalen alsrebraischen Functionen nach

Cauchy, RSsiwies analytiques, G r u n e r t. Grün. Archiv XXXI, 27.

349. Soprit le ftmzioni simnielriche delle soUuzioni commi a piu eqitazioni algehriche. Bei iL

Annali mat. I, lOH.

350. On tke theary ofmatiices. Cayley. Phil, Mag. XVI, 223.

851. Note 9ur ta theorie des iquations. Catalan. Compt.rcnd. XLVII, 797.

352. Einfachere Ableitung der früher mitgetheilten Sätze über die reellen Wnrzeln

der dreigliedrigen algebraischen Qleichnngen. D roh i 8 eh. Sachs. Acad.

Ber. X, 82. 363. iSur quelques moyens propres d übriger certmns calcuts dans la Solution manHiqiie des

iquations. Montucci. Compt. rend. XL VII, 655.

354. Sw les conditions de rialiti des trois racines de i*iqual\on ar' + pa^-f^ssO. Gi-

rono. y. ann. math. XVII, 281.

355. Ueber cubische Gleichungen mit rationalen Cocfficienten. Kronecker. Grelle

LVI, 188.

356. Sulla risoluzione algebrica delV equazioni del terzo 6 quario grado, Tortolini, An-

nali mat. I,Z 10.

357. Lagrange\s Auflösung der vollständigen biquadratischen Gleichungen. Grü-

ne rt. Grün. Archiv XXXI, 477.

358. Sur le double Systeme de valews qu'on obtient en risoloant Viquation du quatrieme

degri. V all es. Compt. rend. XL VII, 30.

359. Sw^ tiquation aux carris de diffirences des meines d*une iquation du quatrieme degri.

M Roberts, N. ann. math. XVII, im.

360. Sur la resolution des iquations du quatrieme degri. Lebesgue. N, ann. math.

XVII, 386.

361. Remarqne sw la risolution des iquations biquadrntiques. Aronhold. N. ann. math.

XV IL 391. 302. Sur la risolution de Ciquation du qmUrieme degri pttr les fonctions elliptiques. Le-' besgue. Joum. Mathim. XXIII, 301 .

363. Sulla determintnione del coeffieienti della trasformata dt Tschimhausi appUcazione

aila ridotta dt Jerrard delV equazione generale di qmnto grado. Lavagna. An- nali mat I, 238.

364. S^tr Ciquation au carri des diffirences des racines d'une iquation du degri n. M- Ro-

berts. Kann. math. XVII, 4 40.

365. Ueber imaginäre Wurzeln einer Gleichung des n^en Grades. Toeplitz. Gmn.

Archiv XXXI, 222.

366. SyUa risultante di due equazUmi di quarto grado. Fau di Bruno. Annali mat.

/, 362. 867. Sopra C Equazioni algebriche conpiü incognite. Bettu Annali mat. I, i. Yergl. Analytische Geometrie der Ebene 252 , Determinanten.

Homogene Funetionon. 868. Zur Theorie der ganzen homogenen Functionen. Hesse. Grelle LVI, 263.

369. Sopra i Combinanti. Betti. Annali mat /, 344.

370. Note sur mte fonction homogene entih-e. Catalan. Compt. rend. XLVII, \01Z.

371. On the algebraicnl theory of derivative points of curves of the third degret. Syl-

vester. Phü. Mag XVI, 116.

Hydrodynaiidk.

372. Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen. Glebsch. Grelle

LVI, 1.

Hyperbel.

373. Solution d'wi problhne sur les ondes permanentes. Popoff. Joiarh. Mathim. XXIII,

251. Vergl. Ellipse 316.

Hypergeometrisbhe Ueihe.

374. On a theorem relatitig to hypergeometric series. Cayley. PhiU Mag. XVI, 356.

375. Untersuchungen über die DiflferentiaTgleichung der hypergeometrischen Reihe.

C. G. J. Jacobi. Grelle LVI, 149.

82 Literaturaeitung.

■•

XmagialTM. 970. Noieoelie thiorie des foncHona de variables maginaires, Marie, Jounu Maihfwi, XXIIl 30 1. TcrgU GielchaDgen 365.

Xe^tchnitta.

377. Theorie der Ke^^elselinitte nach einer neuen Methode analytifioh entwickelt.

G ru n e r t. (iruii. Archiv XXXI, 67.

378. Ucher eonfocale Cnrven und Flächen zweiten Grades. Heilermann. Zeitaeh.

Math. Phys. III, 341. 870. Deiuß systemes de sept poinls qid se cwrespondeni sur un plane Hant doimis, trmner deux poinls qui soient les centres de faisceaux hotnoyraphiques. De Jonqui^res, N. ann. math. XVII, 309.

380. Beitrag zn den Sätzen über die einen Kegelschnitt doppelt berührenden Kreise.

Heilermann. Grelle LVI, 305.

381. Siar le cercle focal des sections coniques, /. Mention, , N, anm. math» XVII, 322. 882. Siir un thiweme focal. Dewulf N, trnn. math, XVIl^ 435 [vgl. Nr. 132].

383. Note snr les normales d*une coniqne. Cayley, Grelle LVI, 182.

384. Thiorime sur les cwiiques. Orouvelle. N. ann. math. XVII^ 286.

385. Gitiirfüisaiion du thioreme de Nemton sur le qucidriUUM*e inscrit dams wie conique,

Faur <f. N. arin. math, XV Ih 368. 380. Theorhme sur deux coniques touchtoU les trois cötes de deux Inangles a^acents. Faure. N. ann. math, XVII, 347. Vergl. Ellipse , Hyperbel.

KattenbriUshe.

387. Sur les frattiont continues. Tchebichef. Joum. Mathdm, XXIII, 280. Vergl. Beihen 451.

Ketteolinie. Yergl. Mechanik 400.

Krflmmimgskrtit.

388. lieber die Ghasles - Transon'schc Methode zor Gonstruction der Normalen nnd

Krümmnngsradten an gewissen ebenen Gnrven. Wiegers. Zeitsehr. Math.

Phys. III, 252. 380. Gonstruction du centre de courbto'e de la eourbe, Heu des poims dornt les distances «

deux courbes donnees sont dans un rapport eonstant, Mannheim, Annatimat,

/, 304. 3()0. Vom Krümmungshalbmesser. Schlechter. Grün. Archiv XXXI, 327«

391. Zitr Theorie des Krümmnngskreises. L. Z. Grün. Archiv XXXI, 218,

Krjstallographie.

392. lieber die graphische Linien - Ellipsen - Methode. Di t s c h e i n e r. Wien. Acad.

Ber. XXXII, 70.

393. lieber die Minimum- Ablenkung der Lichtstrahlen durch doppelt brechende Pris-

men. V. Lang. Wien. Acad. Ber. XXXIII, 1 55. 304. lieber symmetrische Functionen, welche zur Darstellung gewisser physikalischer Verhältnisse krystallisirter Körper dienen können. Grailich. Wien. Acad. Ber. XXXIII, 057.

KugtlftoietioneB. VergL Reihen 451.

395. lieber die Lamd^schen Functionen. Heine. Grelle LVI, 70.

890. Einige Eigenschaften der Lamt^^schen Functionen. Heine. Grelle LVI, 87.

Logarithmea. Vergl. Differentialgleichungen 300.

Literaturzeitung. S3

H.

Kazlma und Minima.

307. Solution dtt quelques pi-oblkmes de trigonomeirie, Gdrono. N.ann.nuUh.XVlly^M, Vergl. Approximation.

Heclumik. 398. lieber das Ganss'sche Grundgesetz der Mechanik. H. Soheffler. Zeitschr.

Math. Phys. III, 197, 261. 3W. Dynamische Untersnchungen ttber den 8tos8 der Körper. Poinsot. Zeitschr. Math. Phys. III, 274 [vgl. Nr. 162].

400. Memoire »ur leg turtttreliratioHS. H HesaL Campt, rend XL Vit, ^ZQ.

401. Memoire sur les integrales commioies ä pltisieurs problemes de mäcmiique rehitifs au

mouvement d'un point sur une sur face. Rouchi. Joum. MatMm, XXI 11^ 337.

402. Swr les equations de condition qui de/bnssent un Systeme depoints. Bourget. N.

emm. muih. XVII, 449.

403. De problemate quodam mechanico quod ad primam integraliüm ullraeUipticorOfn classem

revocatur, C, Neumann. Grelle L VI, 46.

404. Teoria de' moti piccoli d*un //alleggiante omogeneo. Codazzi. Annali mai. /, 205.

405. JSwperimental und theoreiical resettrches on ihe EquUibrium — figvres of a liquid chass

rvitkout weigkt. Plateau. Phil. Mag. XVI, 23.

406. On the mecktmical conditions of the Deposit of a Submarine Cable, A iry, PfuL Maa.

XVI, l. .

407. Sur la tkiorie de la rotte hgdrauHque en dessou» ä aubes planes. Rachmaninow,

Jottm. Mathim. XXIII, 395.

408. Minmire swr le* vouies en berceau portant une sureharge limitie d un plan horizontat.

Denferi. Compt. rend. XLVII, 003.

409. Sur la temperature des liquides en mou»ement. Duhamel* Campt, rend. XL VII, 5,

12«, 175.

410. Die Eleciricitätslehre Tom Standpunkte der Undulationstheorie. Zetssche.

Zeitschr. Math. Phys. III, 3(i5.

411. Sur la dLitribuiion de Cilectriciti d la surfate des corps conducteurs en partout de

Vhupotfiise d^un seul fluide. Renard. Compt. rend. XLVII, 414. Yergf. Bestimmte Integrale 281, Elastioitftt, Hydrodynamik.

Xetliode der l^einsten dnadrate.

412. Intamo ad aleuni punti della teoria dei thinimi quadrati» Casorati, Annali mat.

I, 32i). ^

418. lieber die Ermittelung des wahrscheinlichen Fehlers bei L&ngenmessnngen. D i e n g e r. Gran. Archiv XXXI, 225.

414. lieber drei durch Messung gefundene Grössen von theoretisch bekannter Summe.

Grün. Archiv XXXI^ 480.

IGttelgrSssan.

415. lieber die Vergleichung zwischen dem arithmetischen, d^m geometrischen und

dem harmonischen Mittel. Grebe. Zeitschr. Math. Phys. III , 297 [vgl. Ifr. 173].

416. üeber Mittelgrössen verschiedener Ordnung. Schlömilch. Sachs. Acad. Ber,

X, 77. — Zeitschr. Math. Phys. III, 301.

Vodnlargleiehnngen.

417. Sur la thidrie des iquatiatis moduUnres, Schroeter. Joum. Mathem. XXIII, 258.

O.

OberiMehra.

418. Note sur la §urface des ondes, J. Bertrand, Compt, rend. XLVII, 817.

419. On the sur face which is the envelope of planes thwugh the poinls of an ellipsoid at right

imgUs to the radü vectores fram the centre. Cayley, Phil. Mag, XV I^ 383.

ObtrUftahen iweiten €hrades.

420. Propriitis focales des surfaces du deuxihne ordre. Heilermann, N,ann.math,

XVII, 242.

421. lieber die Focalpnnkte der Flächen sweiten Grades. Heilermann. Grelle

LVI, 345. Literalurstgr. d. ZoiUchr. f. Math. u. Phys. IV. 8

84 LiteratttTzeilnng.

422. Stir/aces du second degre ; problemes, sobiiions, Vannson. N. atm. math. XVII, 334.

423. Trower leg condiiions qui doivent eire remplies par les coefficients de tequaHan getU-

rale du second degri ätrois variables poitr que cette ^qutäton reprisente i. lesg- Sterne de deux plaus paralleles \ 2. tme sur/ace de revolution. Girono* N.am. math. XVII 341.

424. Equaiiun d'une surface du deuxieme degri passani parneufpotnts. Poudra. N.

ann. mal: XVII, 297.

425. lieber die Linien gleicher Helle. O. Böklen. Zeitschr. Maih. Phys. III, 321.

426. Surface dicrite par la droüe , qui passe par deux posiütms simuUaiUes de poads f^r-

courant deux droiUs* Journeaux» N. ORn. jnalh, XVII, 264. Vergl. Determinanten in geometrischer Anwendung 293 , Qiiadr«tar 446.

F.

Fertpeotive.

427. Zur Theorie der stereographischen Projection. L. D. Grün. Archiv XXXI, 217.

Flanimeter.

428. Proof of ihe prindple of Amslers^s planimeier. A dams, PhiL Mag. XVI, 230.

Planimetrie.

429. ^in rechtwinkliges ebenes Dreieck zu bestimmen, dessen Seiten in stetiger Pro-

portion stehen, and worin eine Seite die gegebene Grösse a hat. Grunert Gran. Archiv XXXI, 475.

430. Ueber eine durch einen Eckpunkt eines Dreiecks gesogene liinie. Völler.

Gran. Archiv XXXI, 470 [vgl. Nr. 194]. 431 Beweis eines Satzes vom Dreiecke. A. Krüger. Gran. Archiv XXXI, 06.

432. Zum FermaVschen Lehrsatze. Blindow. Gran. Archiv XXXI, 295.

433. Constructlon der mittleren Proportionallinien zwischen zwei gegebenen. Linien.

Grunert. Gran. Archiv XXXI, 47Ö.

434. Erweiterang der Sätze über harmonische und onharmonische Proportionen.

H c i 8. Gran. Archiv XXXI, 30.

435. Aufgaben und Sätze über geometrische Oerter für Punkte, deren Summe der

Entfernungen von gegebenen geraden Linien oder gegebenen Ebenen eine constante ist. Heis. Gran. Archi>f XXXI, 228. 486. Thiorkme retatif A la droite qui Joint les eentre des cercles inscHt ei dreonscrit A m Mangle, ChallioL N. ann nuäh XVII, 441?

437. Sur Vkexagone inscrit Bergis. N, ann, math. XVII, 263.

438. On the treaimeni ofsome geometrical problems, Phil, Mag, XVI, 231.

Prodnktenfolge.

439. Ueber die elementare Entwickelung der unendlichen Produkte für die trigono-

metrischen Functionen. Schlömilch. Zeitschr. Math. Phys. III, 389*

440. Trouver la lindte du produit cqs a . cos — , cos -^ . , » . Giro tio, N. ami. maikem.

XVII, 283. Vergl. Factorielle.

Quadratisohe Formen.

441 . Auflösung ei ler Aufgabe in der Cbmposition der quadratischen Formen. Arndt.

Grelle LVI, 64.

442. Ueber die Anzahl der Genera der quadratischen Formen. Arndt. Grelle LVI, 72.

443. Bemerkung zu den Formeln von Dirichlet, durch welche die Kiassenzahl bei po-

sitiven Determinanten ausgedrückt wird. Arndt. Grelle LVI, 100.

444. Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. S i

m e r k a. Wien. Acad. Ber. XXXI, 33.

Quadratur. 44b. Quadratur es par approximaiion. Dupain. N, ann. math. XVII, 2%1, 446. Aires de deux ellipsoides de revolution, Grillo, N. om/i. mtUk. XVII, 272. Vergl. Plunimeter.

Literaturzeitnng. 85

Beettücatiim. 447. Ueber die Constrnction Ton Bögen rectificabler Differenz auf der gewöhnlichen Fassponktencurve der Hyperbel. W i e g e r s. Zeitsuhr. Math. Phys. III, 308.

Seihen.

448.' 8ammirang einiger unendlichen Eeihen. Zebfuss. Zeitechr. Math. Phys. III, 247, 24Ü.

449. Dicomposiiion d*tme fraction en serie /inte de fl^aclions, ßrault. De Virieu. N,

ami, tnath. XVll, 290, 393.

Xx + f*

450. Entwickeinng von e ' in nnendliehe Reihen. S.Spitzer. Zeitschr Math.

Phys. ni, 244.

451. Von den Coefficlenten der Reihen von Kugelf u netto nen einer Variablen. Bauer.

Grelle LVI, 101.

452. Zur Lambert'schen Reihe. S c hl <5 m i 1 c h. Zeitschr. Math. Phys. III, 248.

453. Notiz über die harmonische Reihe. Schlömilch. Zeitschr. Math. Phys. III,

251. Com et. Lebesgue. N. mm. math, XVII, 4Ö3, 405.

454. Ueber eine in zahlentheoretischer Beziehung interessante Reihe. Zehfuss.

Zeitschr. Math. Phys. III, 247. Yergl. Arithmetische Reihen, Discontinuirliche Functionen 308, Euler*sche Snm- menformely Hypergeometriache Reihe, Stereometrie 400, Taylor'sche Reihe.

H.

Bdhwerpunkt.

455. Si Von dimse d*une moniere quelc^nque un polykdre homogene en titra^dres et si Von

svppose la ma»se de cJutqtte litraedre väwne au centre de la sphh'e circonscnte n ce titraedre le centre de graoite de ce Systeme de points maläiieU est toitjaw^s le nieme. N. ann. math. XFII, 354.

Sphflrik.

456. Farmules fondamentale» de Vanalyse spMi*ique. Vannson* N.ann. math. XVII,

243, ä07 [vgl. Nr. 209]

Stereometrie.

457. Stereometrische Sätze entsprechend den planimetrischen Sätzen über harmo-

nische und anharmonische Proportionen. H e i s. Grün. Archiv XXXI, 37.

458. Sätze über das irreguläre Tetraeder. Heis. Grün. Archiv XXXI, 41.

459. Sachant que le volwne d*un Segment sph4rique ä tote base est une fonction entiere du

troisieme degre de la hauteter du Segment , determiner cette /bnvtion, G4rono. iV. ann. math XVII, 305.

460. Volwne d'un segment sph&rique. N. tom. malh, XVII, 438.

461. Ueber die Inhaltsbestimmung einer gewissen Klasse von Körpern. Grunert.

Grün. Archiv XXXI, 481.

T.

TltbeUeii. 402. MultipHcationstafeln zur Berechnung der Proportionaltheile zu den 7 stelligen logarithmischen- trigonometrischen Tafeln. J. Hartmann. Grün. Archiv XXXI, 63.

Taylor'sehe Reihe. 403 Note sur la formule de Taylor, Roche. Joitni, MatMm. XXIII, 271. — ÄcÄ/o- milch ibid. 384.

Trigonometiie.

464. Sur fe tHtmgle dont les cvt4s sont des multiples du rayon du cercle inscrit. Girono,

N. ann math. XVII, 360.

465. Ueber eine geometrische Aufgabe. Esche r. Grün. Archiv XXXI, 46.

466. Faire le calctd d*im qutidrilatere dont dettx cotis et une diagotuüe sont donnäs de

gr andern' et de position. Bardin. N. atin . math X VII, 319.

467. Quelques nouoeaux thSoremes sur les polygones, 0. Vern er. N. anti, math. XVII, 322, Vergl. Differentialgleichungen 300.

86 Literaturzeitung.

U. mtraaUiptiMlia Fnnrtloiita.

468. Sw* la Marie de la transfoifTnation des fimiUms abeäames. Brioschi. Comat read,*

XLVII, 310.

469. Sülle fuHzioTu Aheliane complete dt prima e seconda specie. Brioschi. AimoH mal,

/, 12.

470. Sopra ttletme proprietd deUe funziom Abeiimie. Brioschi, Annalimat. L 20.

471. Sopra una coslruzione del teorema di Abel. Genocchi, Annali wat- 1, 33.

472. Dimostrtiztone di una formola di Jacobi, Brioschi. Annali mai. /. 117. Yergl. Mechanik 403.

V.

^ Yariatioiiirechniing.

473. Ueber die zweite Variation vielfacher Integrale. Clebsch. Grelle L VI, 122.

474. Anwendung des sogenannten Variattonscaiculs auf sweifache und dreifache la<

tegrale. Strauch. Wien. Acad. Ber. XXX, 310. Vergl. Hydrodynamik 373.

Walirs6heiiillGlik«ittredmiuig.

475. Memoire sur la prohdbiliU des etreitrs dans ia somme ou dans la moyetme de plnsieurs

observalions, Jullien. Annali mal, I, li\, 149, 227.

ZaUeatheoriA.

476. (hl the eqiuttion in ntanbers of the ftrst degree beimeen any nttmber of variables nitk

positive coef/icients. Sylvester. PMl. Mag. XVI, 369.

477. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades mit zwei Unbekannten, gelöst mit-

telst der Congruenzlehre. Simerka. Wien. Acad. Ber. XXXIII, 282.

478. On the problem of the virgins and the genej*(ü theory of Compound partitian. Syl'

vester. Phü. Mag. XVI,n\.

479. Solubüit4 de Viqwttion ä» = y» ± z* •+■ w» ± . . . Faulet. Compt. rend. XL VII, 1 1 6.

480. Einfacher Beweis für die Irredactibilität einer Gleichung in der Krcistheilung.

Arndt. Grelle L VI, 178.

481. Ueber den Fermat'schen Satz. L. D. Grün. Archiv XXXI, 219.

482. Note sur une queslion de thiorie des nombres, Liouvitle. Joum. Mtähdm. XXIII,

357.

483. Sur quelques farmules g4n4rates qui pewent Stre utites dans la thdorie des nombres.

J. Liouville. Joum. Mathim. XXIII, 241, 273, 325.

484. Etant donnie une progression arithmetique dont le premier terme et la raison sont Pre-

miers entre eux, on y peut trouver un nombt^e üUmit4 de lermes premiers avec vn nombre dmm€ quelconque. Chanson. N. ami math. XVII, 396.

485. l^ne circonf4rence 4tant diois^e en m parties ou peut passer par tous les points de di~

Vision au mögen de cordes sous-tendanl n parties, pourvu que m, n soient premiert entre eux. A4rono. N.atm.math XW/, 351.

486. Ueber die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Beciprocitätsgesetzen. Kum-

mer. Grelle L VI, 270.

487. Tabellarische Berechnung der reducirten binären kubischen Formen und Glawi-

fication derselben für alle successiven negativen Determinanten ( — D) von />r=3 bis /> = 2000. Arndt. Grün. Archiv XXXI, 335.

488. Addition d la note sur la composiäon du nombre 47 par rappovt aux vingt-iroisiemes

racines de tuniii Cayley. Grelle LVI, 186 [vgl. Nr. 241]. Vergl. Elliptische Functionen 322, Gleichungen 355, Modulargleichungcn, Qua- dratische Formen , Reihen 452, 454.

Literaturzeitung.

Recensionen.

L. A. Solinoke's Sammlimg von Aufgaben von der Differential- and Integralreehnnng. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage, herausgegeben von Dr. H. J. Schnitzle^. Halle, Druck und Verlag von H. W. Schmidt, 1859. Schon die erste Auflage dieser Sammlung wurde bei ihrem Erscheinen mit einstimmigem Lobe der Sachkenner begrüsst« Sie wurde seither viel- fach als Lehrmaterial benutzt , zum Theil sogar , wie wir hören , in einer Weise benutzt, welche eigentlich das genauere Citiren des Werkes zur Ehrensache machen müsste, wenn nicht'mitnnter beim Abdrucken sich Irr- thümer einschlichen, welche es für das Original schmeichelhafter machen, nicht genannt zu werden. Die zweite Auflage konnte sonach nur erwünscht sein, zumal die Sorgfalt, welche der neue Herausgeber auf dieselbe ver- wandte, eine bedeutende Anzahl von Versehen und Druckfehlem besei- tigte, welche das erste Mal stehen geblieben waren. Man wird diese ver- bessernde Hand an vielen Stellen bemerken, wenn auch nur bei aufmerk- samerer Vergleichung.

Wenn nun Referent nach diesen allgemein anerkennenden Bemerkun- gen noch weiter über das vorliegende Werk sich aussprechen soll , so kann dieses nur in der Weise geschehen , dass eine Parallele zwischen dieser Sammlung und anderen ähnlichen Inhaltes gezogen würde. Unter diesen sind aber, wie es scheint, „die Materialien zum Gebrauche bei und nach dem Unterrichte aus der höheren Analysis von J, Eogner. Gratz 1853, zweite Auflage 1858" vor allen Anderen vorzuziehen, und es möge ein wei- terer Beweis für den Beifall sein, den wir dem vorliegenden Buche schen- ken, dass wir es nur mit dem zuletzt genannten in Vergleich bringen wollen. Ein mehr äusserlicher als innerer Unterschied ddr beiden Sammlun- gen besteht darin , dass Herr R. nicht von allen Aufgaben die Auflösung giebt und sämmtliche Antworten an das Ende zusammenstellt, während Herr S. an jede Aufgabe sogleich das Resultat anknüpft. In dieser Be- ziehung sind wir mit Herrn S. ganz einverstanden, indem der Bequemlich- keit der Benutzung doch auch Rechnung getragen werden ihuss , wo sie keinem sonstigen Einwände Raum bietet. Und ein solcher lässt sich hier

Literatarst^. d. Zcitschr. f. Math. u. Phys. IV. 9

88 Literaturzeitung.

kaam erheben. Wer das Eesnitat wissen wil]^ ohne selbst za rechnen, scheut auch die Mühe nicht, den Anhang noch aufzuschlagen. Ganz be- sonders aber müssen wir uns dagegen als un zweckmässig verwahren, dass Herr B. die betreffenden Auflösungen mitunter nicht blos wegen der Ein- fachheit der Aufgabe weglässt, sondern um dem Lehrer dadurch anzudeu- ten, dass er die Behandlung auf mancherlei Weisen unternehmen solle.

Der Inhalt beider Werke ist ein in manchen Thmlen verschiedener. Zunächst enthält die E.'sche Sammlung einige Kapitel , in welchen Aufga- ben aus der Gleichungen und aus der sogenannten algebraischen Analysis vorgelegt werden. Dass diese eigentliche Materialien der Analysis in einer Sammlung von Aufgaben ans der Differential- und Integralrechnung fehlen , kann der letzteren nicht zum Vorwurfe gemacht werden. Allein auch in den Aufgaben f welche der Tendenz beider Werke entsprechen, zählt die R.'8che Sammlung bei Weitem mehr Nummern.

Trotzdem dürfte ihr die S.^sche Sammlung an Reichhaltigkeit kaum nachstehen, indem in ihr die Beispiele unter sich wesentlicher verschieden sind und kaum Eines ein Resultat liefert ^ welches ans früheren Beispielen fast ohne weitere Rechnung sich darstellen Hesse, wie s. B. bei R., wo

unter einander die vier Differeuti^lquotienten von sx^,yx^ von — , von

CL 1/ SC

-^ und von —^ gesucht werden, denen dann zum weiteren Ueberfluss

Vx die Function —^ folgt,

xyx

Einen wirklichen Mangel bemerkte ich unter den sogenannten unbe- stimmten Formen, unter welchen bei S. nur 3 Beispiele von 0® (Aufgabe 70, 84, 86) angeführt sind ^ welche sämmtUch den Werth 1 besitzen , während man vergebens nach den freilich selteneren Fällen sucht, in denen ein an- derer Werth auftritt. Femer vermisse ich ungern jede Anwendung des Taylor'schen Satzes auf Reihenentwickelung, sowie endlich bei den Auf- gaben aus der Integralrechnung die Integration von Differentialgleichun- gen. Lauter Gegenstände, deren Uebung von unbedingter Nothwendjgkeit ist, und welchen anch Herr R. den gebührenden Raum gewidmet.

Andererseits sind die nicht minder wichtigen Anwendungen auf Geo- metrie nur in der S. 'sehen Sammlung in schönster Auswahl vorhanden, während sie bei R. gänzlich fehlen. Und anch die Auswerthung bestimm- ter Integrale bildet eine hervorragende Zierde unseres Werkes.

Man kann daher die Parallele wohl dahin zusammenfassen, dass beide Sammlungen einander vollständig ebenbürtig sind ; dass keine die andere unnöthig macht, indem sie einander ergänzen, und dass nur ein gemein-, samer Gebrauch die beiderseitigen Vorzüge, aber auch die beiderseitigen Schwächen erkennen und vermeiden lässt. Cantob.

Literatarzeitung. * 89

Das Phantom der Impondarabilien in der Physik. Von Ph. Bpjllsr in Posen.

Mit grösserer Umsicht and Klarheit als Robida (yergl. Literatnrzei- tong S. 35 ff.) tritt Ph. Spill er als Kämpfer gegen die Materialität der Wärme , der Elektricität und des Magnetismus auf in einem gegen Ende des verflossenen Jahres erschienenen Schrifteben, welches den Titel führt : Das Phantom der Imponderabilien in der Physik.*)

Die äussere Form der Darstellung könnte etwas strenger geregelt, die häufigen Wiederholungen vermieden und einzelne Ungenauigkeiten im Aus- druck beseitigt sein.

In einer kurzen Einleitung nennt Spiller den Zweck des angegebe- nen Schriftchens: einen Beitrag zu liefern zur Beantwortung der Frage, worin das Wesen des Magnetismus und der Elektricität be- stehe. Dann weist er darauf hin, wie die wunderbare Oekonomie der Natur, welche mit wenigen Mitteln so unendlich viel zu schaffen verstehe, dieAuf- findung der Gesetze und des Wesens der Erscheinungen so schwierig mache, wie aber das Käthselhafte an jeder einzelnen Erscheinung um so mehr verschwinde , je mehr wir sie im Zusammenhange mit anderen That* Sachen betrachten; wir müssen daher nach den gemeinschaftlichen Principien forschen, um Einheitin die Mannigfaltigkeit der Erscheinun- gen zu bringen. Nun haben wir aber Ursache, Zweifel an der Mate- rialität der Wärme des Magnetismus und der Elektricität zu hegen**); wir finden dagegen, dass Schall, Wärme, Licht, Magnetismus und Elektri- cität durch gleiche Mittel entstehen, dass eine innige Verwandtschaft***) zwi-

*) Poien 1858, bei Gebr. Scherk. -— Sckon 1855 hat Spill er seine Ansichten der Hauptsaehe nach niedergele|^ in: „Gemeinsohaftliche Principien für die Er- scheinungen des 'Schalles, des Lichtes, der Wärme, des Magnetismus und der Elek- tricität/« Posen, Mittier*sche Bachhandlang.

**) Die meisten, welche Spill er aufführt, sind anter denen enthalten, welche 8.B66— 968 des III. Jahrg. d. Zeitschr. besprochen worden sind; die übrigen, soweit sie nicht ihre Widerlegung durch den Einwand der Dualisten finden können, dass bei der Erregung der Elektricität die elektrischen Materien nicht erzeugt, sondern blos geschieden werden, lauten: Legt man Eis auf die LöthstcUe einer Wisinnth- Antimonkette, so erhält man in der Kette Magnetismus ; nimmt man statt des Eises eine gehende Kokle, so erhält man ebenfalls Magnetismus. — Die Wirkungen des elektrischen Stromes (und der Wärme) sind so gewaltige, als ron einem unserer Wahr- nehmung sich gänzlich entziehenden Stoffe wohl schwerlich ausgehen können. -^ Rein mechanische Vorgänge erzeugen zugleich oder nacheinander Töne, Wärme, Licht and unter Umständen Elektricität und Magnetismus ; wie können durch densel- ben rein mechanischen Vorgang (z. B. den der Bewegung , wie bei der Reibung oder beim Druck) verschiedene Stoffe zugleich entstehen? Das Körperliche kann man nicht schaffen, sondern nur in einen Zustand versetzen; wenn nun Bewegung am Ruhenden den Zustand ändert, ohne eine fortschreitende Bewegung zu erzeagen, 80 kann es nur ein Beweg ungsz US tan d der Moleküle sein. — Die Materiali- tät der Wärmie und Elektricität würde dem Geisetz der Undurchdringlictikeit seine Allgemeinheit nehmen.

***) VergU S. 369 — 377 des III. Jahrg. dieser Zeitschrift. Ausserdem heben wir noch hervor: werden Stahlstäbe durch einen elektrischen Strom discontinuirlich mag- netisirt, so tönen sie, ebenso die Flaschen einer Nebenbatterie , wenn die Ladung durch einen Funkenmcsser geschieht (wobei , weil das Glas in Longitudinalschwing-

9*

90 Literaturzeitung.

sehen ihnen hesteht, insofern , Jedes von ihnen nicht nur ^ich selbst gewis- sermassen als Resonanz, sondern auch die anderen mit oder ohne einen ir- dischen Zwischenkörper erzeugt, oder doch gleichzeitig mit anderen auf- tritt;'' es muss daher „etwas Gemeinsames in ihnen ezistiren, dessen tas- serliche Verschiedenheit nicht in dem Grundprincipe , sondern nur in der Verschiedenheit der Kdrperwelt und der Intensität der erregenden Kräfte zu suchen ist/^ es kann auch in den verschiedenen Mitteln der Erzeugung für jedes Einzelne die Verschiedenheit nur einie scheinbare sein, und weil nun Töne nur dadurch entstehen, dass die kleinsten Massentheilchen eines Körpers in schwingender Bewegung sind, und da durch Wärme, Magnetis- mus und Elektricität Töne erzeugt werden , so sind diese Erscheinungen unstreitig auch Bewegungs- und, weil keine fortschreitenden, so Moleku- larbewegungserscheinungen.*) Das rege Molekularleben können wir sehen bei leuchtenden Körpern, hören bei tönenden und fühlen bei warmen. Wenn eine der fUnf Erscheinungen die anderen erzeugt, so ist dies nur als ein „Umwandlungsprocess**) für die Veränderung des Zustandes anzusehen. Die Verschiedenheiten sind nur durch die Körper, welche die Uebertragung vermitteln, bedingt. „Bei jedem Körper haben nämlich die Massentheilchen im Gleichgewichtszustande eine be- stimmte und bei verschiedenen Körpern eine verschiedene Lage. Bei

un^en g^eräth) das Ohr am besten in der Richtang der Glasflächen in halten jut); der Schall wird in der Nähe eines kräftigen Elektromag'neten verstärkt. — Sowie, in verschiedenen Gasen die Schallgeschwindigkeit verschieden ist und daher eine be- stimmte Pfeife mit verschiedenen Gasen erfüllt auch verschiedene. Töne giebt, so ist auch das elektrische Licht in verschiedenen Dämpfen und Gasen verschieden gefärbt (d. h. hat verschiedene Schwingnngszahlen) , s. B. im Alkohol- oder Aetherdampf grünlich, im Kohlensftnregas lebhaft grünlich blan, im WasserstoiFe karmoisin und matt, im Stickstoffe porporroth oder intensiv blau, in Salzsänre fast weiss« -* &o wie die Luft den fiehall entweder nur fortpflanzt oder selbst schallt (in Pfeifen) , so ist es auch in Beziehung auf das Licht im Aether der Fall: er pflanzt z. B. das Sonnenlielit im Weltenraame und in allen für weisses Licht durchsichtigen Körpern fort , aber er leuchtet auch selbst im elektrischen Funken, wie im elektrischen Eie, oder bei der Compression von Luft, Wasser u. a. In beiden Fällen sind dort fortschreitende, hier stehende Wellen. Selbst die kurze Dauer (^7^99 Secunde) des Blitzes ist hinreichend, eine grosse Menge (800 Millionen) äusserst rasch aufeinanderfolgender Schwingungen geschehen zu lassen. Dass in elektrischen Funken der Aether selbst lenohtet, d.h. in stehenden Schwingungen begriffen ist, geht daraas berror, dass der elektrische Funke sich auch da zeigt, wo eine eigentliche Verbrennung unmöglich ist, z.B. im Stickstoffe, im kohlensauren Gase , in Aetherdämpfen (mit den bekannten Schichtangen), im Wasser.

*) Die Molekularkräfte äussern sich ohne Bücksicht auf die Schwere und stehen zu den Schwerkräften, denen alle Körper ali^ solche unterworfen sind, nur insofern is einer gewissen Beziehung , als sie sich dann nicht auf messbareEntfernungen wirksam äussern können (?), wenn ihre Summe die Samme der Schwerkräfte der Atome des afficirten Körpers nicht übersteigt. (Elektrische und magnetische An- ziehung. ) Die Wirkungen auf nnmessbare kleine Entfernungen sind oft bedeu- tend ; sie sind theils mechanische (Capillarattraction sprengt Felsen), theils chemi- sche. Vergl. Jahrg. IV d. Zeitschr., S. 151 ff.

**) Die S. 17 angeführte „Umwandlung der Wärme in SpannnngselektricitSt*' zeigt nur, dass die Wäitee das Auftreten der Reibnngselektricität in dem auf eine heisse Ofenkachel gelegten und mit der trockenen Hand gestrichenen Papiere er- leichtert.

Literaturzeitung. 9 L

Körpern mit krystallinischem Geftige läset bIcIi dieses an dem Blätterdorch- gange leicht äusserlich sogar warnehmen und ist bei anderen aus den Licht- brechnngs- und Polarisationsgesetzen zu schliessen/' nach welchen „die Lage der Molekel eine solche sein mnss, dass sie den Liehtschwingongen bei der Brechung den Eintritt gestatten, was nur geschehen kann, wenn die Schwingungen in der Richtung der Lagerungen, also mit ihnen parallel geschehen, wälirend bei der vollständigen Polarisation durch Ko- fi exion die Lichtwellen senkrecht auf jene Schichtungen (nicht auf die Begrenzungsfläche des Körpers) treten müssen, um vollständig polarisirt*) au werden. Bei jedem krystallinischen Körper müssen also die Schichtun- gen der ans Atomen bestehenden (?) Molekel gegen die natürlichen Grenz- flächen stets einen Winkel bilden, der die Ergänzung des Brechungswinkels zu 90 Graden ist.**) So wie nun eine Kraft die natürliche Anordnung der aus Atomen bestehenden Gruppen der Moleküle bei irgend einem Körper, mag er in seinem natürlichen Zustande erscheinen , oder durch künstliche Mittel dargestellt worden sein (Glas, Papier, Siegellak, Stahl) vorüber- gehend ändert, so treten je nach den Umständen und der Natur der in Wechselwirkung stehenden Körper die Erscheinungen des Schalles, der Wärme, der Elektricität und des Magnetismus auf und sind unter allen Umständen wesentlich eine Folge des Bestrebens aller Massentheilchen einer jeden constituirten Masse, in der Gleichgewichtslage zu 'verharren, woraus sich nur einfache oder zusammengesetzte oscillato- rische Erscheinungen ergeben können. Je gleichmässiger ferner ein Medium ist, und je weniger von fremdartigen Körpern unterbrochen, desto besser pflanzt es eine Erscheinung fort. In den schlechten Leitern sind die Moleknlarbewegnngen einem häufigen Wechsel ausgesetzt, wo- durch sie abgeändert werden^ in den guten nicht. Dort werden stehen deBe- wegungen gebildet, hier sind nur fortschreitende.^****) Der Aether kann seine Schwingungen durch eine fortdauernde Einwirkung auf dieTbeil- chen der verschiedenen Körper übertragen ; der Grad aber , in welchem dies geschieht, hängt von der Natur des Stoffes, von der inneren Struktur und von der Oberflächenbeschaffenheit wesentlich ab; je rauher besonders die Oberfläche ist, desto leichter nimmt der Körper von aussen kommende

*) Da nun Elektricität and Magnetismus die Polarisationsebene drehen, so be- weisstdiess, dass sie die Gleichgewichtslage der Molekel ändern«

**) „ Die merkwürdige Erscheinung , dass eine Glasscheibe doppelt brechend wird, wenn sie durch Longitndinalschwingungen zum Tönen gebracht wird, lässt sich ans diesem Gesichtspunkte leicht erklären. Die durch das Tönen der Scheibe er- zevLgien Schwingungen der Moleküle gestatten dem auf sie fallenden Lichtstrahle ausser dem gewöhnlichen Wege der Kefraction noch auf einem zweiten den Durch- gang."

***} Und doch sollte im elektrischen Funken der Aether selbst (für sich oder in Nichtleitern?) in stehenden Schwingungen begriffen sein. — Damit bringt Spille r auch das Auftreten der magnetischen (am Stahl) und elektrischen (am Harz) Zonen in Verbindung und leitet es aus der Unfähigkeit des Stahls und des Harzes zu lei- ten ab.

92 ^ Literaturzeitnnpf.

Schwingungen auf, desto leichter giobt er aber auch seine eigenen nach aussen ab. Nach Massgabe seiner Natur also wird jeder Körper die an ihn gelangenden Schwingungen aufnehmen oder nicht , ungeändert lassen oder in andere umwandeln. Für den Schall sind nur die irdischen Körper Träger, fär die übrigen Erscheinungen aber ist auch der kosmische Aether ein Fortpflanzungsmittel ; demnach ergeben sich ausser dem Schall bereits folgende Schwingungsarten: '

Licht ohneWftrme,d. h. blose Aetherschwingungen; WärmeohneLicht,d. h. Schwingungen irdischer Körper mit einer für Licht noch unzureichenden Schwingungszahl des den Körper durch- dringenden Aethers.

Lieht mit Wärme, d. h. vereinte Schwingungen des Aethers und der von ihm durchdrungenen Körper.

Als Träger der Lichtschwingungen kann nur der Aether angesehen werden; als der der Wärme der Aether und die irdischen Körper; die Ver- breitungsweise der Wärme in jenem nennt man Strahlung, in diesem Leitung.*) Der leere Raum kann also nicht leiten, Sondern nur strahlen. Der Unterschied zwischen der Wärme, der Elektricität und dem Mag- netismus liegt in der Form der Schwingungen; die Gestalt der Schwing- nngsbahn aber ist dabei nur insofern von Einfiuss, als sie eben die Bahn einer einfachen Schwingung oder einer zusammengesetzten ist. Während nämlich beim Schall und beim Lichte nichts über die Lage des Punktes Torausgesetzt wurde, um welchen die Theilchen schwingen (wir wollen ihn mit Spiller den Gleiehgewichtspunkt nennen), so kommt ftir Wärme, Elektricität und Magnetismus die Bedingung hinzu, dass der Gleiehge- wichtspunkt ausserhalb der natürlichen Gleichgewichtslage des Körper- oder Aethertheilchens Ijege , in welcher das Theilchen zur Ruhe gelangen würde. Wenn nun der Gleiehgewichtspunkt mit dem Theilchen zugleich um die Gleichgewichtslage schwingt, so ist jede Schwingung des Theilchens eine Wärmeschwingung; macht der Gleiehgewichtspunkt mit den um i4in schwingenden Theilchen selbst eine Yiertelschwingung, so bedeutet jede Schwingung der Theilchen einen vorübergehenden, momentanen, die Aufeinanderfolge der Schwingungen aber einen dau- ernden elektrischen Strom; schwingen endlich die Theilchen um den in ii^end einer Lage ausserhalb der Gleichgewichtslage fixirten Gleiehgewichtspunkt» so sind dies magnetische und statisch elek-

*) Dieser Unterschied zwischen Strahlung und Leitung lässt sich auch f3r <lie Elektricität beibehalten, indem man zugleich annimmt, dass das Elektrischsein ein Schwingen der Körpei-theile voranssetze, während in der elektrischen Strahlang our die Aethertheilchen schwingen. Weil, aber bei letzterer die elektrischen Nichtleiter nii- elektrisch bleiben, so muss man wohl die durchsichtigen Körper mit den Nichtleitern auf gleiche Stufe Stellen, nicht mit den Leitern , wie es Spiller (8. 12) thut. Für das Lieht giebt es in diesem Sinne keine Leiter, da bei ihm stets blas der Aether schwingt. Vergl. 372 des Jahrg. JII d. Zoitschr.

Litcraturzeitung. 93

irische SchwiBgungen, welche unter sich ganz gleich bedeutend sind.*) Schall, Licht und Wärme beruhen also auf Schwingungen uro die Gleich- gewichtslage, der Magnetismus und die Spannungselektricität auf Schwing- ungen um einen ausserhalb der Gleichgewichtslage fixirten Gleichgewichts- punkt und der elektrische Strom auf Schwingungen um einen selbst wieder am die Gleichgewichtslage schwingenden Gleichgewichtspunkt. Hören wir nun aunächst, wie Spill er aus diesen Erklärungen die Einzelnheiten ab- leitet, um daran einige Bemerkungen zu reihen.

1. Wärme. Unter Zurückweisung der Annahme besonderer Wärmesphären, welche die ruhenden Atome wirbelnd umkreisen, giebt Spiller folgende Er- klärung: „Durch Druck oder Reibung kommen die Molekel der Körper aus ihrer natürlichen .Gleichgewichtslage und vollführen, indem sie wieder in dieselbe zurückkehren wollen, so lange oscilla torische Bewegungen nicht üm'^*) ihre Gleichgewichtspunkte, sondern mit diesen Punkten, bis das

•) Spiller gicbt weder eine ZusammenstelluDg der Verschiedenheiten , noch für jede Schwingting>Bart eine ausführliche und erichöpfende Angabe ihrer charakte- riitiscbeu Merkiuäle ; die obige Zusammenstellung ist den an verschiedenen Stellen mit nicht allzugrosaer Klarheit zerstreuten Andeutungen über die Eigenschaften der Schwingungen angepasst worden und hoffentlich der Ausdruck der Ansicht Spill crs, abgleich sie von den, in seinem um 1 Jahr früher erschienenen Gmndrisse der Physik (Triest 1857) aufgestellten Erklärungen etwas abweicht. Dort sagt Spill er: bei dem Schalle, dem Licht und der Wärme sind die Schwingungen fortschreitend; daher ist in dem fortpflanzenden Medium ein Widerstand vorhanden; es entstehen Maxima und Minima der Verdichtung (?); die Fortpflanzung ist eine allmälige. Bei dem Magne- tismus und der Elektricität sind stehende Schwingungen der untrennbaren Massen- theilchen um ihren Schwerpunkt; daher ist der Widerstand unendlich klein, und die Schwingungen müssen sich in einem Körper , welcher ein ununterbrochenes Ganze bildet, fast momentan fortpflanzen. Cohäsionsverhältuisse und die Natur eines Stof- fes können es bewirken, dass die in ihm beginnenden Oscillationen fizirt worden; so ist es beim Magnetismus ; er ist eine fizirte J Oscillation sämmtlicher Massen- tbeilchen um ihren Gleichgewichtspunkt nach einerlei Richtung, so da»8 die Oscillationen aller mit ihren gleichgerichteten Enden nach einer gewissen Richtung dort den Nordpol, die Oscillationen nach der entgegengesetzten Seite den Südpol ge* ben. Die Weite der Schwingung bedingt die Stärke des Magnetismus. Der Zustand bei Magnetismus und elektrischen Spannangserscheinnngen i«fc ein statischer; in den elektrischen Stromerscheinungen findet ein fortwährendes Oscilliren jen- seits und diesseits der Gleichgewichtslage statt, es ist ein oscillatori- sches Erzittern jenseits und dieser Lage, eine theilweise und zeitweise Fizirung der einseitigen Lage und desshalb erfolgt auch ein Magnetisiren.

**) Ich vermnthe fast, dass Spille r hat schreiben wollen: nicht allein um etc. . . . Was sollte man sonst unter einer Schwingung eines Theilchens mit seinem Gleichgewichtspunkte verstehen? Und welche Lage haben dabei die Thcilcben gegen ihre Gleichgew iehts punkte? S p ill er giebt zwar im „Phantom" keine Erklärung des * Wortes Gleichgewichtspunkt, doch geht ans der Erklärung der Form der elektrischen Schwingung (S. 34) deutlich genng hervor, dass der Mittelpunkt der Schwingung daruur ter zu verstehen ist. Wenn aber die Theilchen nicht auch u m ihre Gleichgewichtspnnkte schwingen, so ist es ganz überflüssig, zu sagen, dass sie mit ihren Gleichgewichts- punkten schwingen, denn dann treten eben überhaupt keine Gleicbgewichtspunkte auf oder sind wenigstens von den Theilchen selbst nicht zu sondernl Wenn ferner „die Wärme in Schwingungen der Moleküle jenseits und diesseits ihrer natürlichen Gleiche gewichtslage, Elektricität in Schwingungen jenseits oder diesseits dieser Lage be- steht** (S. 46) und bei den elektrischen Schwingungen „die Moleküle um ihre Glpich-

94 Literaturzeitung.

Gleichgewicht aller desselben Körpers nnd selbst der umgebender Körper wieder hergestellt oder bis Temperaturausgleichung erfolgt ist« Die Er- scheinungen am Thermophon dienen zu einem directen Beweise davon, dass die Wärme in Schwingungen der irdischen Körper be- steht, wobei die Gleichgewichtspunkte der Molekel selbst nach jenseits und diesseits der Gleichgewichtslage in allen beliebigen Ebenen schwingen/' Allein die Coincidenzstosse und Töne, welche am Thermophon entstehen, beweisen nicht unbedingt, dass die Wärme aus Schwingungen besteht, sondern nur, dass sie Schwingungen veranlasst; denn die Ursache der Stösse und Töne könnte auch eine ab- wechselnde Ausdehnung und Zusammenziehung, Hebung und Senkung der von den kalten Theiichen zunächst berührten warmen Theilchen sein, wo- durch eben die kalten in Schwingungen versetzt werden. Die Schwing- ungsform aber lässt sich vollends daraus nicht entnehmen, wenn man nicht etwa die Wärmeschwingungen als mit den tönenden gleichbedeutend gelten lassen will, sie nicht als zusammengesetzte, sondern als einfache Schwing- ungen betrachtet.

Nun folgen die Erklärungen der Wärmeerscheinungen.

a) „Der Temperaturgrad ist proportional der Schwi'ngungszahl.*'

c) „Die Amplitude der Wärmeschwingungen ist bei einer bestimm- ten Temperatur von dem Stoffe abhängig und wächst mit wachsender Tem- peratur an einem bestimmten Stoffe, d. h. dehnt ihn mehr und mehr aus."

c) „Jeder Körper befindet sich nach der Natur seines Stoffes und nach seinem Aggregatzustande in einem gewissen thermischen Schwing- zustande, oder er hat einen gewissen Grad gebundener Wärme, d.L er hat, wenn auch die Wärmeschwingungen in ihm ruhen, eine gewisse Fähigkeit durch eine gewisse Wärmequelle zu verschiedenen Wärmeschwinguugen angeregt zu werden."

Da jeder Körper immer irgend eine Temperatur hat, so ist er demnach

gewichtspnnkte jenseits oder diesseits der Gleichgewichtslage*' (8. 36) schwingen, wenn endlich kanm irgendwo mit Bestimmtheit die W&rmeschwingiuigen als einfache bezeichnet*werden, so liegt es nicht eben fern, bei den „doppelseitigen Wärmeschwinif- ungen mit wachsender Elongation" (S. 45) auch an ein Schwingen der Theilchen nm die Gleichgewichtspnnkte zu denken , weil sonst nicht Schwingungen jenseits und Schwingungen diesseits, sondern nur Schwingungen nach jenseits und diesseits der Gleichgewichtslage vorhanden wären, die sich in Nichts TOn den Schall- und Licht- schwingungen unterschieden. Auch stimmt die Erklärung mit der Lesart: nicht allein um besser zu dem daraus gezogenen Folgerungen besonders zu S. 37: ,,der elektrische Strom enthält femer die Bedingungen zu Wärmeschwingungen; denn die ausserhalb des Gleichgewichtspunktes der Molekel liegenden Atome schwingen jedes für sich jenseits und diesseits; ja es lässt sich denken , dass bei einer bedeutenden elektromotorischen Kraft die Gleichgewichtspunkte selbst auch in Schwingungen ge- rathen, wodurch die Temperatur erhöht wird;** zu S. 48: „bei der Abgleichung der elektrischen Gegensätze (+ und — ) schwingen die Moleküle zu beiden Seiten der Gleichgewichtslagen der Act der Neutralisation ist daher eine Umwandlung von Elck- tricität in Wärme ;** und zu Seite 51 : „so dass die ausserhalb der Gleichgewichtslage schwingenden Atome der Moleküle (!) die Wärmeerscheinungen hervorrufen , welche sodann die Moleküle mit ihren Gleichgwichtspunkten erfasst.**

Literaturzeitung. 9b

beständig in Wftrmescliwingnngen begriffen, gelangt nie zur Ruhe, höch- stens zur Beharrung, und dann bedingen die Temperatur und die Beschaf- fenheit des Stoffs durch ihren Einfluss auf die Amplitude das Volumen und bei Temperaturverftnderungen die relative Ausdehnung. Bei yer- schiedenen Körpern ist also bei gleicher Temperatur das Volumen und bei gleicher Temperatnränderung die durch deren Einfluss auf die Amplitude erzeugte relative Ausdehnung verschieden. Bei gleichen Körpern von ver- schiedener Grösse und bei gleich grossen verschiedenen Körpern wird also auch durch eine bestimmte ihnen zugeführte Wärmemenge (d. h. darch ein bestimmtes auf sie übertragenes Schwingungsmoment) die Schwing- ungszahl in verschiedener Weise abgeändert, also eine verschiedene Tem- peraturerhöhung hervorgebracht werden, es haben also die Körper ver- schiedene W&rmecapacität,*) aber die Atome der chemischen Ele- mente haben alle dieselbe Wärmecapacität. Der Einfluss des Stoffes auf die Füglichkeit der Fortpflanzung von Wärmeschwingungen in ihm bedingt die L e i t e n g s f ä h i g k e i t ; Strahlung und Leitung unterscheiden sich in der früher angegebenen Weise und der Grad der Leitungsf&higkeit wird nach der Geschwindigkeit bemessen, mit welcher die Fortpflanzung erfolgt. Obwohl Spill er den ursächlichen Zusammenhang zwischen Am- plitude, Schwingungszahl, Temperatur, Ausdehnung u. s. w. nicht weiter begründet hat,' so ist es doch leicht denkbar, dass ein solcher vorhanden sein kann, und dann sind die daraus gezogenen Folgerungen richtig. Miss- licher steht es um die Erklärung der gebundenen Wärme. Zuvörderst, wie soll man sich den thermischen Schwingungszustand des Körpers vor- stellen, wenn die Schwingungen in ihm ruhen, weil der Körper irgend eine Temperatur haben muss? Fällt die Erklärung der gebundenen Wärme nicht mit jener der Wärmecapacität zusammen? Es Hess sich aber die Schwierigkeit wohl umgehen, wenn man etwa sagte : jeder Körper bedarf zu seinem Bestehen in einer gewissen Form (Grösse und Aggregatzustand) einer gewissen Amplitude und Schwingungszahl seiner Wärmeschwingun- gen und diese sind gebunden , d. h. sie können ihm nicht genommen wer- den, so lange er in dieser Form bestehen soll und muss; wird ihm Wärme genommen oder neue zugeführt , so muss sich seine Form ändern ; wird durch äussere Kräfte seine Form geändert, so wird durch die äusseren Kräfte das Volumen und mit diesem die Amplitude vergrössert oder ver- kleinert, und, da das Schwingungsmoment im Körper nngeändert geblieben ist, so wird die Schwingungszahl vermindert oder vermehrt, d. h. die Tem- peratur föllt oder steigt, und es wird entweder von der Umgebung aufge- nommen oder an sie abgesetzt, was der Körper an Wärme bedarf oder überflüssig hat, es wird Wärme gebunden oder frei. So ist es auch bei der

*) Die Körper von grosser Wärmecapacität ähneln den elektrischen Isolatoren ; beide lassen sich schwer in Schwingungen versetzen , schwingen dann aber auch am so länger.

96 LitcraUirzeitung.

Aenderung des Aggregatzustandes und zwar in erhöhtem Maasse ; desglei- chen bei chemischen Verbindungen und Zersetzungen , bei Lösungen , bei Auscheidung oder Aufnahme von Wasser bei der Krystallisation oder bei chemischen Vorgängen (Krystallisations- oder Constitntionswasser). Daran schliesst sich endlich ganz natürlich der Einfluss der Wärme auf das Za- standekommen oder die Lösung chemischer Verbindungen; es regulirt n&m* lieh die Wärme theils die Entfernung, theils die Geschwindigkeit der Be- wegung der einzelnen Theilchen und macht sie für die chemische Verbind- ung mehr oder weniger geeignet«

2) Der elektrische Strom. Der thermoelektrische und ebenso der contactelektrische Strom entsteht „durch den Conflict der einander entgegenkommenden Wärme- schwingungen der beiden Metalle miteinander und mit der in dem Behar- rungsyermögen der Moleküle des Leiters liegenden dritten Kraft und be- steht aus zusammengesetzten Schwingungen der Moleküle ausserhalb (d. h. diesseits oder jenseits) der Gleichgewichtslage um ihre Gleichgewichtspunkte. Es entfernen sich also zunächst die Gleichgewichtspunkte aus der Gleichgewichtslage ab (s. Taf. I V, Fig. 13) in eine neue Lage cd (Hauptschwingung), um welche dann zwischen mn und op die Moleküle schwingen (Nebenschwingung), „wobei die Erlangung der von ab entfernteren Lage mn die Ladung und die der näheren op die angestrebte Entladung bedeutet, indem ab die voll- ständige Entladung ist.** Diese Erklärung*) ist o£fenbar der Erklärung der Wärmeschwingungen nachgebildet. Dort fehlte die Begründung und selbst die Erläuterung des Schwingens der Gleichgewichtspunkte um die Gleichgewichtslage. Hier findet sich eine anderweitige Unbestimmtheit. Das Wort „ausserhalb" scheint nämlich anzudeuten, dass cd eine, we- nigstens für eine gewisse Zeitdauer bleibende Lage sei, und S. 47 sagt Spill er, dass „bei der Reibungselektricität die Spannung (Hauptschwing- ung) grösser sei, d. h. die Moleküle auf die Dauer weiter aus ihrer Gleich- gewichtslage gebracht seien, als bei der durch Berührung erzeugten.** Da- gegen lässt die Bezeichnung als „Hauptschwingung** und die Bemer- kung, dass dieselbe mit der Wärmedifferenz der Löthstcllen wachse (S.35),

*) Eine Art Beweis folgt S. 36: „Davon, dass der elektrische Strom wirklich in einer lebendigen Oscillation der Moleküle um ihre Glelchgewiehtspunkto jenseits oder diesseits besteht, giebt die Erscheinnng der Elektricität an den Knotenlinien der Klangfigaren einen klaren Beweis , indem zwei dnrch eine Knotenlinie geschie- dene Theile entgegengesetzte Schwingnngsphasen besitzen, die für die Moleküle in der Knotenlinie durch Bückwirkung der Cohäsion und Elasticität des Stoffes nicht blos einfache Oscillationen (Hauptschwingung) bleiben können , sondern ansserdem in (Neben-) Schwingungen ausserhalb der Gleichgewichtslage übergehen müssen/* — Hier fehlt es wohl an Klarheit, Die Knotenlinien sind doch in Ruhe, da sich in ihnen die entgegengesetzten Antriebe zu Schwingungen auszugleichen , oder sind sie blos rücksichtlich der tönenden Schwingungen in Kühe und zugleich in elektrischen Schwingungen begriffen?

Literaturzeitung. 97

▼ermutheD, dass cd selbst um ab schwinge. Da ferner y^äer elektrische Strom in Bewegung begriffener Magnetismus sein/' und da er „ durch die während des Stromes einseitig bleibende Hauptsehwingung dargestellt werden^' soll, da endlich im Magnetismus eine Vierteloscillation (Haupt- schwingung) fixirt ist, so dürfte auch während der Dauer des Stroms j> d e r Hauptschwingung vollendet' werden. In Fig. 13 wurde cd in zwei ver- schiedenen Lagen gegen ab gezeichnet, um damit die Existenz von posi- tiven und negativen Strömen anzudeuten; denn wenn di^ Massen- theilchen auf entgegengesetzten Seiten der natürlichen Lage schwingen, so sind die Ströme entgegengesetzt. Auf Seite 40 ist ein momentaner elek- trischer Strom*) als eine einzelne Schwingung ausser der Oleich gewichtslage und auf S. 41 als eine einseitige (d. h. ^) Oscil- lation (der Hauptschwingung) bezeichnet. Endlich scheint aus der Stelle: ,,bei der Untersuchung der Wirkungen eines solchen Stroms kommt es auf die Elongation der Hauptsehwingung an, oder wie weit sich jedes Molekül um den Gleichgewichtspunkt dreht, und auf die Amplitude und Schwing- ungszahl der Nebenschwingungen **) um diese neue Lage. ^ Jene bedingt die sogenannten Intensitäts- (mechanische, physiologische Wirkung), diese die Quantitätserscheinnngen (chemische Wirkung, Licht, Wärme)** fast zu folgen, dass Spill er weniger jedem Theilchen eine selbstständige Schwingung zugesteht,***) als vielmehr in Uebereinstim- mung mit der bildlichen Darstellung in Fig. 13 sich eine Reihe hinterein- anderliegender Theilchen wie ein Doppelpendel schwingend vorstellt; dann würde aber wohl jedes solche Doppelpendel beide Elektricitäten an seinen Enden und dazwischen im Dnrchschnittspunkte c eine Indifferenzzone zeigen.

3) Magnetismus.

Auch die Erklärung des Magnetismus leidet an Unbestimmtheit ; sie lautet: „Endlich liegt in den Schwingungen des elektrischen Stromes noch ein sehr wichtiges Moment. Die Atomgruppen oder Molekel schwingen nämlich nicht blos um ihre Gleichgewichtspunkte, sondern theils jenseits, theils diesseits derselben t) und sind, wie lange der elektrische Strom durch den Leitungsdraht geht, so lange entweder nur jenseits undft) nur

*) Eine Erklärung des continuirlicben Stromes findet sich nirgends , blos die Andentong, „dass die Moleküle, so lange der Strom daroh den Draht geht ,^ entweder nur diesseits oder nnr jenseits schwingen." Wie soll man nach dem Obigen einen danernden Strom definiren?

**) „Dass sn jedem Strome ancih eine gewisse Schwingungssahl der Neben- Schwingungen gehört , beweist der Umstand , dass nicht die Länge des von disconti- nnirlichen Strömen darchflossencn Drahtes , sondern die Intensität des Stromes die Höhe des Tones bestimmt/*

***) Doch haben wenigstens „alle Moleküle gleichzeitig dieselbe Elongation der Hauptschwingang und dieselbe Amplitude in der Nebenschwingnng."

t) Wessen? der Gleichgewichts punkte, oder der Gleichgewichtslage?

tt) Soll wohl heissen : oder.

98 Llteratarzeitung.

diesseits jener Lage« Diese vorübergehend fixirte Schwingung ist der Thermo- oder Elektromagnetisrnns, und wenn die Fixirung die- ser Yierteloscillation auf die Dauer geschieht und nach der Natur der Körper ohne neue Erregungen in ihnen festgehalten wird, der gewöhnliche Magnetismus, der sich aber seinem Wesen nach von jenen nicht unter- scheidet. Die Grösse der Elongation bedingt seine Stärke/' Dass hier nur von Fixirung einer Vierteloscillation der Haupt Schwingung die Sede ist, zeigt S. 39.*) Ist denn aber eine fixirte Schwingung überhaupt noch eine Schwingung?**) Oder fallen die Nebenschwingungen weg? Dann wären aber Magnetismus und Elektricität wesentlich verschie- den, was sie aber nach S. 42 nicht sein sollen. Sie stehen vielmehr in folgender Wechselbeziehung : „Der elektrische Strom ist in Bewegung be- griffener Magnetismus und Magnetismus ist zur Ruhe gebrachte Elektrici- tät.***) Diesen Satz sucht Spill er aus den Inductionserscheinungen zu beweisen ; allein es kann auch dieser Versuch nicht ab gelungen und gentt- ' gend bezeichnet werden. Zuerst nämlich wird doch die „ zur Ruhe ge- brachte magnetische Vierteloscillation** bei der magnetomagnetischen In- duction nur dadurch inducirt, dass sie eben gemacht wird; bevor sie fixirt werden kann , mnss sie gemacht werden ; während sie aber gemacht wird, ist sie Magnetismus in Bewegung, d. h. ein momentaner elektrischer Strom. Wenn dabei ferner in der angegebenen Weise durch rasche Umkehrung der z. B. den durch Erdmagnetismus magnetisch gewordenen Stange aus einer Lage in der Inclinationsrichtung in die entgegengesetzte, die Theilchen der Stange selbst „eine einzelne Schwingung ausserhalb der Gleichgewichts- lage machen, d. i. einen momentanen elektrischen Strom zeigen," so müsste eben dieser, sowie der in der Stange beim ersten Auftreten des Magnetis- mus entstehende Strom , wieder in einem benachbarten Leiter zwei StrönA wecken, einen bei seinem Beginn und einen zweiten bei seinem Verschwin- den; darüber ist nichts bekannt; vielleicht heben sich beide bei ihrer schnellen Aufeinanderfolge wegen ihrer entgegengesetzten Richtung auf, sonst müssten sie wenigstens einen modificirenden Einfluss auf den im Lei- ter durch das Entstehen des Magnetismus hervorgerufenen, freilich eben-

. *) „Man kann sich vorstellen, dass die am eine Vierteloscillation ans der Gleich-

gewichtslage gebrachten Moleküle in dieser nenen Lage gewissermassen arretirt wer- den;** „die während des Stromes einseitig bleibende Hanptschwing^ng stellt den Magnetismus dar/* „Die Wärme lockert die Fiximng und gestattet eine Rückkehr aus der erzwungenen zur natürlichen Gleichgewichtslage ;** „die zum Magnetiamus nöthige Vierteloscillation.**

**) Spill er scheint selbst daran gedacht zu haben, weil er S« 46 sagt: „der starre Magnetismus ist einer Hemmung oder Ableitung durch Berührung unfähig/* und S. 47 : „Beim Magnetismus kann nicht, wie bei der Elektricität, von der Geschwin- digkeit der Fortpflanzung die Bede sein, sondern nur insofern, als er nach den allge- meinen Gesetzen eine momentane Wirkung auf die Entfernung in einer beschränkten Sphäre ausübt.** Der letzte Zusatz war nöthig wegen der magnetischen Influenz und Indtiction.

***) Ein ähnlicher Ausspruch, aber in etwas verschiedener Bedeutung findet sich im IV. Jahrg. d. Zeitschr. S. 159

Literatarzeitung. ^ 99

falls nur momentanen Strom äoBsern. Bei der Erklärung der magneto-elek- trisoben Indnction stört der Machtsprach, dass die durch den bewegten Magnet aus der Gleicbgewichtslage or (Fig. 14. Taf. IV) in eine neue cd gerückten Theilcben des Leiters gerade nur mit einer % Schwingung cof und drg in ihre natürliche Gleichgewichtslage zurückgehen*); und wenn „dies auch einen vorübergehenden Strom geben könnte, indem bei dieser % Schwingung die Beweguugsrichtung der ersten V^ eine andere , als die des letzten % ist, was einer einseitigen Oscillation entspricht", so firagt man doch gewiss mit Recht, warum der Strom „erst beim Aufhören der Be- wegung des Magneten durch die rückwärts, also entgegengesetzt gerichtete Oscillation eintritt", und warum „die durch das Hinbewegen des Magneten entstandene Yierteloscillation von or bis ee/ nicht der Strom, sondern suur die Yorübergehende Spannungslage" sein soll. Eine Oscillation ist doch sonst keine Lage!

4) Spannungselektricität. Das Wesen der Spannungselektricität erklärt Spiller wie fojgt: In den Bchlecbten Leitern stauen sich gewissermassen die elektrischen Schwing- ungen oder werden zu fixirten. Wenn z. B. die beiden Poldrähte eines elektromagnetischen Liductionsstromes nach einander mit den beiden Be- legungen einer Lejdener Flasche in Berührung gebracht werden , so hin- dert der zwischenliegende Isolator die Fortpflanzung und Ausgleichung der beiden Bewegungen, es haben die Moleküle in den beiden Belegungen eine entgegengesetzte , aber zur Ruhe gebrachte Schwingung erhalten : „es ist eine Spannung vorhanden, die aufhören muss, sowie die beiden Beleg- ungen durch einen guten Leiter verbunden werden. Dieser Zustand ist vollkommen der beim Magnetismus, bei welchem die Aus- gleichung der Spannungen der beiden Pole durch den Anker aus weichem Eisen geschieht, während Luft und andere Körper sie isoliren. Der Unter- schied wird nur durch die Natur der Körper hervorgebracht ^ an welchen die zur Ruhe gebrachte oder in Ruhe gehaltene Yierteloscillation erscheint. Der Nordpol eines Magneten verhält sich wie positive, der Südpol wie ne- gative Elektricität. Die innige Verwandtschaft^ ja Identität des Magnetis- mus und der Elektricität zeigt sich auch darin, dass die Tragfähigkeit eines Magnetpols in der Nähe eines geladenen Conductors geschwächt oder ver- stärkt wird, wie wenn man ihm beziehungsweise den ungleichnamigen oder gleichnamigen Pol eines anderen Magneten nähert. Stellt man die Glas- scheibe der Elektrisirm aschine in den magnetischen Meridian (um den Ein- fluss des Erdmagnetismus zu beseitigen) und dreht sie von Süd nach unten,

*) Avch bei der elektro- elektrischen Induetion soll nur eine % Schwingung ge- schehen ^ desgleichen bei der Fonkeneniladung in dem zwischen den beiden ^ und — elektrischen Körpern liegenden Körper , es wird hier aber wenigstens den Theilcben noch eine unmerkliche Schwankung um die Gleichgewichtslage erlaubt*

100 Literaturzeitung»

•

n9Lch Nord a. 6. f. , so bekommen die Massenthcilchen des Glases doreh die Reibung in der Südhälfte der Scheibe sowohl, als auch an der Ost- nnd Westseite eine Richtung, die der in der Nordhälfte entgegengesetst ist In dieser durch die Natur des Glases fixirten Spannungslage müssen die beiden Quadranten der Süd hälfte auf der Ost* und Westseite gegen eine mit ihnen parallel gehaltene kurze Magnetnadel ein anderes Verhalten zeigen, ab in den beiden Seiten der Nordhälfte; jene ziehen den Südpol, diese den Nordpol der Nadel an* Dreht man die Scheibe umgekehrt, so ist auch die Anziehung umgekehrt*). Bringt man einen Tropfen heissen SiegeUacks auf den elektrischen Conductor einer in Thätigkeit versetzten Maschine, so bilden sich Fäden von verschiedener Jfeinheit, die man durch Wegziehet mit einer Siegellackstange verlängern kann. Die feinsten zeigen unter dem Mikroskope hohle Spiralen , die stärkeren nur an der Oberfläche, und zwsr gehen sie auf dem positiven Conductor von links nach rechts, auf dem ne- gativen umgekehrt; die äusseren Spiralen zeigen dort breitere eingedrückte, hier breitere erhabene Windungen **). Wird geschmolzenes Siegellack dem electrischen Conductor gegenüber gehalten und zieht man Fäden aus, so sind natürlich die Windungen denen im vorigen Falle entg^engesetzt ge- richtet« Erwärmtes Siegellack wird negativ, Glas positiv ; daher giebt jenes in ausgezogenen Fäden äussere Spiralen von rechts nach links , dieses um* gekdirte/^

Wenn die eben mttgetheilten Thatsachen streng wahr sind, ao gewinnt die Ansicht Spiller*s über die Identität des MagnetiBmus und der Elektrieitit eine grosse Wahrscheinlichkeit. Experimentell nachzuweisen bleibt aber z. B. immer noch , dass der Erdmagnetismus nicht allein auf vom Strome durchflossene Leiter , sondern auch auf positiv elektrische oder negatit eleetrische, oder wenigstens auf Körper, welche positive und negative £lek- trieität zugleich (mit einer Indifferenzzone dazwischen) haben, seine Richte kraft eben so gut äussert, wie auf bewegliche Magnete*

Obgleich demnach im Vorhergehenden sattsam nachgewiesen wurde, dass Spiller seine AuBtcht über die Natur d^ Wärme, der elektrisehen asd magnetischen Schwingungen nicht allein in bestimmteren und erschöpfen- deren Definitionen hätte niederlegen, sondern dass er sie auch mit grösse- rer Oonsequenz, besonders rücksichtlich des Unterschiedes zwischen Haupt- und Nebenschwingung, hätte durchführen sollen; obgleich die dynamische

*) Es ist aber doch die Scheibe tiberall gleichnamig electrisch. — Die Scheibe scheint also nicht von dem Erd^iagnetismus magnetisch influenzirt worden in sein.

**) Bpiller erklärt dies als nattirliehe Folge der Ton allen Theilchen nack der- selben Bichtnng hin ausgeführten einseitigen Schwingungen; die Rotation aber einer Flüssigkeit um den Leitungsdraht, durch welchen der Strom geht, als Folfre der einseitigen Stdsse nach derselben Biehtong. Da hierbei die Stosse im Querschnitte des Leiters tangential sein mnssten, so lassen sich beide Erscheinungen als weitere Stutzpunkte für die im IV. Jahrgang dieser Zeitachrift S. iö9 ausgesprocheo« Aasiebt benutaen.

Literaturzeitnng. ^ 101

Ursache fttr die Angenommene Form der Sehwingnngen nicht angegebefii die Kräfte nicht bezeichnet wurden, welche die Theilchen yeranlassen, ge- rade 60 zn schwingen ; obgleich selbst die auf die Definitionen gestützten Erklärungen noch so Manches zn wünschen übrig lassen und sogar manche Erklärung hinzüEufttgen wäre (z. B. über die Beziehung der positiven und negativen Elektricität, des Nord- und des Südmagnetismus zu einander; über das Auftreten beider Elektricitäten bei der Influenz ; über den Grund» weshalb ,,die elektrischen und magnetischen Erscheinungen nur an der Ober- fläche der Körper zur Wahrnehmung und Wirkung gelangen" können und dennoch die magnetischen Pole nicht in den Endflächen liegen, u.s. w.); obgleich daher die (indessen auch keineswegs direct widerlegte) Ansicht Spiller's noch nicht gegründeten Anspruch auf allgen^eine Anerkennung machen darf: so liefert dieselbe doch gewiss manches neue gewichtige Mo* ment für die Behauptung, dass die Undnlationstheorie zur Anwendung auf Elektricität und Magnetismus nicht allein berechtigt, sondern auch berufen ist Ich meinestheils habe mich gefreut, als ich in „dem Phantom der Im* ponderabilien^' rücksiehtlich der Begründung der eben wiederholten Be* faauptung und selbst in Hinsicht auf manche allgemeinere Eigenschaften der elektrischen Schwingungen eine so grosse Uebereinstimmung mit den kürzlich in dieser Zeitschrift über denselben Gegenstand veröffentlichten Artikeln fand. So wenig, als Spiller in Posen von dem Entstehen meiner Arbeit wusste, so wenig war mir während meines Aufenthalts in Italien, wo ich jene Artikel schrieb , etwas von seinem bereits erwähnten Schriftchen : „Gemeinschaftliche Prtncipien u» s. w." bekannt geworden, und das Erschei- nen des „Phantoms^ flllt erst nach dem Abschluss meiner Arbeit. — Wenn aber einmal die Berechtigung einer Anwendung der Undulationstbeorie auf Elektricität und Magnetismus zur Gi^nüge dargethan ist, so dürfen wir um BO getroster an die nächste Aufgabe gehen : die Natur der Schwingungen SU erforschen, aus welcher sich die elektrischen und magnetischen Erschei- nungen ungezwungen erklären lassen. Die Lösung dieser Aufgabe hoffen und erwarten wir von der Zukunft.

Nicht unbemerkt jedoch möge es bleiben , wie günstige Folgerungen sich machen lassen, wenn man die Erklärungen etwa so formuUrt:

1) Wenn jedes Theilchen um einen ausserhalb der Gleichgewichtslage fixirten Gleichgewichtspunkt schwingt, so bedenten die Schwingungen Mag* netismus oder Spannungselektricität.

2) Wenn aber jedes Theilchen nicht blos um den Gleichgewiehtspunkt (Nebenschwingung), sondern dieser selbst zugleich mit um die Gleich- gewichtslage schwingt (Hauptschwingung), so bedeuten die zusammen- gesetzten Schwingungen :

a) WärmO; sobald die Gleichgewichtspunkte volle Schwingungen vollbringen ;

b) einen elektrischen Strom, sobald nur ein Stück der Amplitude.

102 ^ Literaturzeitung.

bis höchstens % Seh wingong umfasst , welche nach einer bestimmten « un- verändert beibehaltenen Richtung erfolgt; die eine halbe Sch^ngnng (Hergang) ist der positive, die andere halbe Schwingung (Hingang) ist der negative Strom; mit jedem Richtungswechsel in der Hanptschwing- ung schlägt also das Vorzeichen des Stroms in das entgegengesetzte um.

Jeder Körper ist nun zwar stetig in Würmeschwingnngen begriffen, allein die dadurch erzeugten Ströme von verschiedenem Vorzeichen wedi' sein so schnell , dass der Körper unelektrisch erscheint , so lange er fiber und über gleiche Temperatur hat. Hat dagegen eine Stelle eine höhere oder niedere Temperatur als die andere, so bewegt sieb die Wärme von oder zu ihr , d. h. die Amplitude der Hauptschwingung wächst in dieser Richtung, daher zeigt sich ein (thermo-) elektrischer Strom. — Wenn ein Strom entsteht, so dauert er so lange als die % Hauptschwingnng; wird der Gleichgewichtspunkt in seiner änssersten Lage fixirt, so ist nicht der Strom mehr vorhanden , sondern Spannungselektricität oder Magnetismus (Polarität des Leitungsdrahtes). Ist diese £xirte Elongation der Haupt- schwingung so gross , dass die Elasticität der Theilchen ein Zurückgehen veranlasst, so entstehen ganze Hauptschwingungen, d. h. der Strom er- wärmt. Dabei ist der Strom selbst nicht mehr vorhanden. Magnetismas und Spanüungselektricität können nur die ihnen innewohnenden Schwing- ungen induciren, elektrische Ströme aber erst dann wecken, wenn die Bewegung des magnetischen oder elektrischen Körpers oder die Bewegung des Schwingungszustandes über den Körper eine Hauptschwingung hinsu- fagt. Magnetismus und Spannungselektricität müssen alle Wirkungen des dauernden (galvanischen) Stromes hervorbringen können, so die chemi- schen; Anziehung oder Abstossung in die Ferne; — parallele oder gleich- gerichtete Ströme verhalten sich zu einander wie zwei Magnete mit analo- ger Lage der Pole , (vergl. Fig. 15 Taf. IV) ; andere Wirkungen bringt nur der momentane (Reibungs - , Inductions- , Thermo-) Strom hervor, z. B. die mechanischen, physiologischen. Nur die letzteren Ströme induciren wieder Ströme; jedes Nachlassen in der Intensität ist ein Strom nach entgegen- gesetzter Richtung. Beim Aufhören des dauernden .Stroms machen die Theilchen zunächst % Hauptschwingung rückwärts; die folgenden Viertel- schwingungen heben sich je zwei und zwei auf und die Elongationen neh- men dabei nach und nach bis auf Null ab (vergl. Fig. 16 Taf. IV). — Licht- erscheinungen treten auf, wenn die (Haupt- oder Neben-) Schwingungen schnell genug auf einander folgen. — Zonen entstehen , wenn die Haupt- schwingung von verschiedenen Punkten in verschiedenen Schwingungs- stadien fixirt wird (vergl. Fig. 17 Taf. .IV); bei Isolatoren pflanzt sich ja die Elektricität sehr langsam fort. Dr. Zetzschb.

Literaturzeitung. 1 03

Sie Potentialftuiction und das Potential. Ein Beitrag zur mathematischen . Physik ; von Dr. Clausius, Professor an der Universität und am

eidgenössischen Polytechnicum zu Zürich. Leipzig, Verlag von

J. A. Barth. Je mehr es gelingt, die physikalischen Erscheinungen aus den Wirk- ungen von Elementarkräften zu erklären und damit auf einfache mecha- nische Principien zurückzuführen, desto wichtiger wird auch die specielle Untersnchung solcher Functionen, die hei jenen Arbeiten eine bevorzugte Rolle spielen. Hierher gehören besonders das Potential und die Potential- function, und es bedarf nur einer flüchtigen Ansicht der älteren Untersuch- ungen von Green und Gauss, sowie der neueren von Neu mann, Rirchhoff, Helmholtz, Thomson u. A., um sich von der Richtigkeit dieser Bemerkung zu Überzeugen. Andererseits ist nicht zu leugnen, dass das nöthige Material zu einer Theorie jener Functionen etwas zerstreut um- herliegt, und man muss es daher dem Verfasser Dank wissen, dass er eine geordnete Znsammenstellung gegeben hat. Der Vorrede zufolge macht der Verfasser keinen Anspruch darauf, peue Resultate mitzutheilen , und be- zeichnet nur die Art der Zusammenstellung und einen grossen Theil der Beweisfahrung als neu; Referent erlaubt sich, hinzuzusetzen, dass auch, wenn letzteres nicht der Fall wäre, das Sehriftchen immerhin eine sehr willkommene Erscheinung gewesen sein würde. Der Verfasser bemerkt femer, dass er hier und da, den Physikern zu Gefallen, etwas breitere Aus- einandersetzungen gegeben habe, als es für Mathematiker von Fach nöthig gewesen wäre — wir glauben aber , dass sich der Verfasser darüber voll- ständig beruhigen kann. Referent wenigstens ist mit jener Ausführlichkeit und Weitläufigkeit, die in den Werken maneher bekannten Schriftsteller dem Leser zum Ekel wird, ebensowenig einverätanden, als mit einer neuer- dings Mode gewordenen Vornehmthuerei, die absichtlich an schweren Stel- len mit einem „man findet leicht" sich den Schein der Genialität geben will. Die Mittelstrasse , wie sie z. B. in Euler's Abhandlungen dem Le- ser so wohlthuend wirkt, ist freilich nicht leicht einzuhalten , der Verfasser des vorliegenden Scbriftchens dürfte sie aber recht gut getrofi'en haben.

SCHLÖMILCH.

Liicraturztg-. d. ZoU<ichr I. iMalh. u. I'hys. IV. 10

Bibliographie

vom 16. Juni bis 15. August 1859.

Periodisclie Schriften.

Crjblle's Journal für reine und angewandteMathematik, fortge- setzt von BoRCHABDT. 57. Bd. L Heft. Berlin, Reimer.

pro conipl. 4 Thlr.

Astronomische Nachrichten, begründet von Schumacher, fortge- setzt von Hansen und Peters. 51. Bd. No. 1. Hamburg, Perthes, Besser & Mauke. ^ pro compl. 5 Thlr.

M^moires de la Societe royale des sciences de Liege, Tome XIV. Bruxelles, Leipzig, Gand. 9% Thlr.

Monatsberichte der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Jahrg. 1859. Berlin, Dümmler in Comm.

pro compl. 1% Thlr.

Archiv der Mathematik und Physik, von Orunert. 33. Theil. 1. Heft. Greifswald, Koch. pro compl. 3 Thlr.

Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Aus dem Jahre 1854. 2. Supplementband. Berlin, Dümmler in Comm. 6% Thlr.

Beine Mathematik.

Hoffmann, L., Mathematisches Wörterbuch. 8. Lieferung. Berlin,

Bosselmann. % Thlr.

Salomon, J., Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. 6. Auflage.

Wien, Gerold's Sohn. 2% Thlr.

Simerka, W., Lösung zweier Arten von Gleichungen. (Akad.)

Wien, Gerolds Sohn in Comm. 2 Ngr.

Stubba, A., Sammlung algebraischer Aufgaben nebst Anlei-

tungzur Auflösung de^rselben durch Verstandesschlüsse.

4. Aufl. Sagan, Julien's Buchhandlung. % Thlr.

Herschel, J. f. W.^ Aufgaben aus der endlichen Differenzen-

und Summenrech.nung. Deutsch von Schnuse. Braunschweig,

Leibrock. 1% Thlr.

Mann, F., Das rechtwinklige Parallelepiped. Eine Monographie.

Frauenfeld, Huber in Comm. 6 Ngr.

Literaturzeitung. 1 05

BoYMANN; J. R., Lehrbuch der Geometrie. 2. Theil. Ebene Trigo- nometrie und Stereometrie. Schwanij's Verlagshandlung in Cöln und Neuss. % Thlr.

KiEBER, F. V., Die ebene Geometrie. 4. Auflage, umgearbeitet von BoHNENBERGEB. Stattgart, Oetinger. % Thlr.

Bummer, F., Lehrbuch der Element-argeometrie mit Sammlung von Aufgaben. 1 Th. Ebeii,e Geometrie. 4. Aufl. Heidelbergs Mohr. i4 Ngr.

Spitz, C, Lehrbuch der ebenen Trigonometrie. Leipzig, C. F. Winter'sche Verlagshandlang. 14 Ngr.

Anhang dazu, Resultate und Auflösungen enthaltend. 4 Ngr.

NoBGGEBATH, E,, Leitfaden für den Unterricht in der ebenen Trigonometrie. Saarbrücken, Neumann. % Thlr.

Adbrholdt, A.E., Lehrbuch der analytischen Geometrie. Wei- mar, Böhlau. % Thlr.

Hechel, C, Die ebene analytische Geometrie. Riga, Leipzig, Volkmar. . 18 Ngr.

A. DüPRifi, Examen d^une proposilion de Legendre relative ä la iheorie des nombres, suivi d^un memoire sur la resoluiion des equaiions numeriques. Paris^ Mallet-Bachelier. 4 Frcs.

Angewandte Mathematik.

Hessel, J. f. C, Die merkwürdigen arithmetischen Eigen- schaften der wichtigsten Näherungsreihe für die Son- nenabstände der Planeten und die ihnen entsprechen- den astronomischen Entdeckungen. Marburg, Elwert'sche Universitäts-Buchhandlung. % Thlr.

Atlas des nördlichen gestirnten Himmels, für den Anfang des J. 1855 entworfen auf der K. Sternwarte zu Bonn. 4. Lieferung. Bonn, Marcus. 3 Thlr.

Murmann, A., Ueber die Bahn der Europa. (Akad.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. . 3 Ngr.

Encke, J. f., Ueber den Längenunterschied zwischen den Sternwarten von Brüssel undBerlin, auf telegraphischem Wege abgeleitet im Jahre 1857. (Akad.) Berlin, Dümmler in Comm. 22 Ngr.

Prbstel, M. A. f.. Das astronomische Diagramm, ein Instrument zur Bestimmung der Mittagslinie, der Zeit etc. Braunschweig, Yieweg & Sohn. 3% Thlr.

Stoevesandt, C. H., Lehrbuch der Perspektive. 4. Lief. Berlin, Herbig. 1 Thlr.

Wiebe, F.K.H., Skizzenbuch für den Ingenieur und Maschinen* bau er. 7. Heft. Berlin, Ernst & Korn. 1 Thlr.

J 06 Literatnrz^itung.

Physik.

Fortschritte der Physik im Jahre 1856. Dargestellt von der phy- sikalischen Gesellschaft in Berlin. Redigirt von A. Krönio. 2. Abtb. Berlin, Reimer. 2% Thlr.

Bericht über die 32. Versammlung deutscher Naturforscher zu Wien im September 1856. Herausgegeben von Htrtl und ScHUÖTTER. Wien, G-erold's Sohn in Comm. 5 Thlr-

Lamont, J., Untersuchungen über die Richtung und Stärke des Erdmagnetismus in Norddeutschland, Belgien, Hol- land und Dänemark, im Sommer 1858 ausgeführt. München, Franz in Comm. 2% Thlr.

DovE, H. W., Optische Studien (als Fortsetzung der „Farbenlehre"). Berlin, G. W. F. Müller. % Thlr.

Hagen, G., Ueber Ebbe und Fluth in der Ostsee. (Akad.) Berlin, Dümmler in Comm, 8 Ngr.

Lachmakn, W., Die Jahreszeiten in ihrer klimatischen nnd thermischenBegrenzung. Ein Beitrag zur Meteorologie. Braun- schweig, Leibrock in Comm. 12 Kgr.

Arago^s sämmtliche Werke, herausgegeben von W. G. Hankei.. 10. Bd. Leipzig, O. Wigand. 1% Thlr.

Arago, f., Oeuvres complete$j publiees de J. A. Barral. T, XU. Leipzig, O. Weigel. 2 Thlr.

Becquerel, M., Recherckes sur les causes de V electriciie atmo- spherique et terresire. ( ExtraU des Me'moires de CAcademie^ T. 27, 2. partie.) Paris.

Literaturzeitung.

Recensionen.

Elemente der Vennessnngskimde. Von Dr. C. M. Bauernfbimd. 1. Band. München. Cotta. 452 S. 2 Thlr. 24 Ngr.

Naclr der Einleitung zerfällt dieses Werk in folgende drei Haupt- abtheilüngen: I. Mittel zur Messung oder die Messinstrumente, II. Die Anwendung dieser Mittel oder Berechnung der Messungen, III. Herstel- ung der Pläne und Charten. — Die erste Abtheilung bildet den ersten Band, die beiden andern fallen dem zweiten zu.

Der erste Band, von welchem hier zunächst allein die Rede sein wird, erörtert in der vom Verfasser gewählten Reihenfolge in einzelnen Kapi- teln: 1) Die Bestandtheile der Messinstrumente; 2) die Mittel zur Bezeichnung der Punkte auf dem Felde; 3) die Instrumente zum Winkelmessen, 4) zum Längenmessen (Nivellirinstrnmente, Barometer) und 6) die Instrumente zu Oeschwindigkeits-Messun - gen. Was zunächst die Bildung der drei Hauptabschnitte des ganzen Werkes betrifft, so entspricht dieselbe durchaus der praktischen Natur des Gegenstandes , welche bei der stets wachsenden Menge der Materien eine strengere Scheidung derselben erheischt und selbst im Unterrichte die bis- her nahezu in allen Büchern dieser Art gebräuchlichen Mischungen nicht mehr zweckmässig erscheinen lässt.

Bezüglich der Unterabtheilungen, in welche die Materien des vorlie- genden ersten Bandes zu bringen sind , kann man von verschiedenen An- sichten ausgehen, je nachdem man den Zweck eines eigentlichen Lehr- buches mehr oder weniger scharf ins Auge fasst. Man kann, wie in an- gegebener Weise der Verfasser thut, alle diejenigen Instrumente in die gleiche Kategorie bringen, welche für denselben Zweck oder zur Lösung einer und derselben Art von Aufgaben dienen , also z. B. alle Instrumente, welche zum Winkelmessen, sodann alle, welche zum Längenmessen dienen, zusammenstellen. Und dieser Gang lässt sich ganz gut befolgen, obgleich es schwer zu vermeiden ist, dats in der Darstellung Instrumente von ganz verschiedener Genauigkeit und wesentlich verschiedenem Bau, z. B. die Messschnttre und der Distanzmesser sich begegnen , oder dass gewisse An- ticipationen vorkommen , indem von manchen Instrumenten die Rede sein

Lilcraturzlg-. «I. 7.p\\*chr. f. Math. n. Phy». JV. ]]

810 LitcraturzeituDg.

muss, welche erst später beschrieben werden, dass die Maasstäbe, Messkette etc. nach dem Messtische und Theodolithen zum Vortrage gelangen etc. Obgleich Eeferent selbst die Erfahrung machte , dass viele dieser kleinen üebelstände wegfallen, wenn man überhaupt nur insoweit an einem Ein- theilungsprincip festhält, dass stets die einfacheren den complicirteren In- strumenten* vorangehen und mit der Beschreibung , Prüfung und Berich- tigung die praktische Anwendung jedes einzelnen Instrumentes zur Lösung der elementaren Aufgaben, für welche es vorzugsweise dient, unmittelbar verbunden wird ; so ist gleichwohl über diesen Punkt nicht zu rechten : wer es je unternommen hat, eine praktische Disciplin , wie die vorliegende , ja selbst nur eine besondere Parthie, wie z. B. das Fernrohr, vollständig und als Lehrgegenstand so zu bearbeiten, dass ebenso den wissenschaftliehen Anforderungen wie den nothwendigen Rücksichten auf den Lernenden ent- sprochen werde, hat ohne Zweifel die hierin liegenden eigenthümlichen Schwierigkeiten wahrgenommen. Nun scheint das vorliegende Werk sei- ner ganzen Anlage nach keineswegs als Lehrbuch bestimmt zu sein nnd es mochten daher die für andere Leser besonders wünschenswerthe Ueber- sichtlichkeit und grössere Vollständigkeit wichtiger erscheinen, als gewisse pädagogische Subtilitäten.

Beziehen sich diese Bemerkungen auf die Anordnung des Werkes im Allgemeinen, so muss bezüglich der Darstellungs weise der einzelnen Mate- rien anerkannt werden, dass dasselbe durch Vollständigkeit und Gründlich-^ keit, sowie durch seine vorzügliche und in Hinsicht der in den Text ge- druckten Abbildungen durchaus musterhafte Ausstattung alle bis dahin in diesem Zweige der Literatur in Deutschland erschienenen Werke über- trifft, und dieses Urtheil erscheint um so mehr gerechtfertigt, als die sorg- fältige und erschöpfende Behandlung der Einzelheiten sich nicht auf be- reits vorliegendes Material beschränkt, sondern , wie der Verfasser in der Vorrede mit Eecht bemerkt , ein grosser Theil des Textes , wie z. B. die Artikel über das Prismenkreutz , Winkelprisma, den Spiegelkreis, Distans- messer^ Stromquadrant und die Pitot'schen Köhre als Original- Abhandlun- gen über diese Gegenstände betrachtet werden können. Hierunter kann io vieler Beziehung auch der von der einzelnen Linse und dem Fernrohr han- delnde Abschnitt des Buches gezählt werden, denn in keinem Werke dieser Art findet sich in solcher Ausführlichkeit die elementare Dioptrik, wie sie Jeder kennen muss, dessen Beruf es mit sich bringt, dass er optische In- strumente zu beurtheilen und richtig zu behandeln im Stande sei. f2s lic^t indessen in der Natur der Sache, dass über manche Punkte der Lehre von den Instrumenten, insoweit sie deren Genauigkeit, oder die Würdigung ihrer praktischen Brauchbarkeit oder die daran noch möglichen Verbesse- rungen betrifft, die Akten keineswegs geschlossen sind und gar Manches zn wünschen übrig bleibt. Wenn wir also in dieser Hinsicht auf die Metho- den für die Theilung der Latte eines Distanzmessers mit festen Fäden,

Literaturzeitnng. 109

oder auch die Untersnchang des voii Hogrewe erfundenen (sogenannten Stampfer'schen) Nivellirinstrumentes etc. hinweisen , so liegt darin nichts weniger als ein Tadel gegen das vorliegende Werk.

Die vorzüglichen und bei Weitem der Mehrzahl nach neuen Zeichnun- gen über Instrumente, wie solche von Ertl in München in grosser Voll- kommenheit hergestellt werden, sind wohl jedem für die Sache sich näher interessirenden Leser um so willkommener, als in fast allen bisherigen Publicationen nur die Abbildungen der aus den Werkstätten norddeutscher Mechaniker hervorgegangenen Instrumente berücksichtigt worden sind.

Ein in solchen Werken ganz neues Kapitel ist jenes über die Instru- mente zum Messen der Geschwindigkeit des fliessenden Wassers, und es wird ohne Zweifel vielen Lesern schon darum erwünscht kommen , weil in den betroffenden Zeichnungen zugleich auch die Art der Aufstellung resp. Befestigung jener Instrumente bei ihrem Gebrauche angedeutet ist.

Wir schliessen diese Bemerkungen, worin aus Rücksicht auf den Kaum die ausführlichere Besprechung mancher anderen Punkte , in welchen sich dieser erste Band vor ähnlichen Werken wesentlich zu seinem Vortheil un- terscheidet, vermieden wurde, in der Ueberzeugung , dass dieses Buch so- wohl für Studirende als praktisch ausübende Geometer, Ingenieure und Ma- schinisten, überhaupt für Alle, welchen an einer genaueren Kenntniss der Messinstrumente gelegen ist, die vorzüglichste Empfehlung verdient.

Dr. A. WiNCKLEE.

Antfährlichefi Lehrbnch der Arithmetik und Algebra, zum Selbstunter- richt und mit Rücksicht auf die Zwecke des praktischen Lebens bearbeitet von H. B. LtJBSEN. Vierte Auflage. Hamburg, O. Meiss- ner, 1859. Die verschiedenen Lehrbücher des Verf. haben theilweis mehrere Auf- lagen erlebt und scheinen sich in gewissen Kreisen einer grossen Beliebt- heit zu erfreuen; von ihrer Einführung in höhern ünterrichtsanstalten hat zwar Ref. nichts gehört, desto häufiger findet man sie dagegen in den Hän- den von Architekten, Technikern etc. und besonders bei solchen, denen es an gründlicher Vorbildung für fach wissenschaftliche Akademien , polytech- nische Schulen u. dergl. gefehlt hat. Für solche Schüler dürften sich jene Lehrbücher auch vorzugsweis eignen und zwar hauptsächlich durch die im Ganzen sehr klare Darstellung und eine behäbige Breite , die selbst Ex- curse in fremde Gebiete und nöthigenfalls auch schlechte Witze nicht ver- schmäht. Weit geringer ist andererseits der wissenschaftliche Werth der Lübsen'schen Bücher; immer nur geleitet von dem Bestreben ^ es dem , Leser so bequem als irgend möglich zu machen , kommt der Verfasser nicht selten zu wunderlichen Anordnungen des Stoffes und zum Gebrauche von Methoden , welche der Forderung nach mathematischer Strenge nur in sehr

110 LiteraturzeituDg,

beschränktem Maasse genügen. Dieses allgemeine Urtheil hat Ref. ans der 6esammtan»icht der Lübsen'schen Lehrbücher abstrahirt und es wird durch die Recension des vorliegenden Bandes, sowie der übrigen Werke seine Bestätigung finden.

Der Verf. erklärt im Anfange die Mathematik für eine Wissenschaft aus reinen Begriffen und meint, ihre Schwierigkeit liege in der ununter- brochenen Aufmerksamkeit, die sie verlange. Von diesen Behauptungen dürfte keine mehr als halb wahr sein Ein Begriff ist der Inbegriff aller nothweudigen und hinreichenden Merkmale einer ganzen Classe von Ob* jecten; seine Bestandtheile sind jene Merkmale und diese können mög- licherweise wieder Begriffe sein , setzt man aber bei mathematischen Be- griffen diese Zerlegung fort (etwa wie der Chemiker seine Analysen), so kommt man zuletzt auf einfache Vorstellungen sogen, reine Anschauungen (figürliche in der Geometrie, schematische in der Arithmetik) und gerade diese sind das Fundament der Mathematik. Eine Wissenschaft aus reinen Begriffen allein ist nur die Philosophie ; die Mathematik erfordert Begriffe und gleichzeitig reine Anschauungen. Darin liegt auch die Schwierigkeit unserer Wissenschaft ; mit der Virtuosität, Begriffe zu analysiren , logisch sicher zu schliessen etc., kann man wohl ein guter Jurist werden, aber bei combinatorischen oder stereometrischen Untersuchungen würde man damit allein nicht weit kommen, vielmehr ist hier die combinatorische oder stereo- metrische Anschauung gerade die Hauptsache.

In den ersten 9 Büchern des vorliegenden Werkes ündet sich das ge wohnliche Zahlenrechnen abgehandelt, was wir nicht näher besprechen wollen; darauf folgt X. Gleichungen ersten Graden mit einer Unbekann- ten m Zahlen, XL Eingekleidete Aufgaben, die zu derartigen Gleich- ungen führen , XII. Die vier Species in Buchstaben , XIU. Von den Func- tionen und Formeln, (zugleich lineare Buchstabengleichungen enthaltend), XIV. Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten, XV. Vor- läufige Begriffe von Potenzen und Wurzeln, Ausziehung der Quadrat- und Cubikwurzelu, XVI. Potenzen und Wurzeln im Allgemeinen, XVII. Die quadratischen Gleichungen*), XVIII. Die Progressionen, XIX. Die Logarithmen , XX. Logarithmische Rechnungen, XXI. Zinseszinsen. Den Beschluss macht ein Anhatig mit Zusätzen und Bemerkungen verschie- denen Inhalts. Wie man sieht, ist die Anordnung des Stoffes eine ziem- lich willkührliche , nur aus äusserlichen Motiven entsprungene; nament- lich vermissen wir jene streng wissenschaftliche Auseinandersetzung der

*) Hier kommt auch ein Witz vor. S, 172 behandelt der Verf. die Aufgabe: „Eine Dame wurcle um ihr Alter befragt und sie antwortete: das 53 fache meiner Jahre übertrifft die Zahl 696 um gerade »oviel als das Quadrat meiner Jahre beträgt. „Wie alt war die Dame?" und bemerkt zu der Auflösung

« = 4 (53 ± V'ib) hier muss aus Höflichkeit das untere Zeichen genommen werden/'

Literatnrzeitnnc:. 1 1 1

'b

Stufenfolge der'Operatioueu und den damit verljundenen Nachweis der Nothwendigkeit, das Zahlengebiet za erweitern. Im Vergleiche mit an- dern Werken der neueren Zeit scheinen d-ie Belehrungen des Verf. mehr eine praktische Abrichtung als eine wissenschaftliche Erkenntniss zu be- zwecken; in letzterer Hinsicht könnte der Verf. z. B. von Th. Wittstein, J. H. T. Müller (s. Jahrg. I. d. Zeitschr.) sehr viel lernen.

Gänzlich verunglückt erscheint uns das vier Seiten lange Gerede über die Gleichung i + y + g + . . . i>i inf, = 1, wo der Verf. beweisen will, dass die Glieder der Reihe am Ende „wirklich Null werden" und uns u. A. auch belehrt, dass das Differential eine Sache ist, „die eine Grösse sein oder werden will,. es aber nicht ist." Hier liegt der Fehler einfach darin, dass der Verf. den Begriff der Grenze nicht kennt; das allgemeine Glied der Reihe convergirt gegen den asymptotischen Werth Null, die Summe der Reihe convergirt gegen die asymptotische Grenze Eins, und mit diesen zwei präcisen Ausdrücken ist die Sache abgemacht und klar. Das ganze Raisonnement des Verf. , wonach die Reihe mit den vorletzten Gliedern exspirirt u. dergl. , dient keineswegs dazu, jene angeblich über- sinnlichen (!) Vorstellungen zu erläutern, sondern höchstens, um einen guten Kopf confns zu macken; der Verf. dürfte sich nicht wundern, wenn Jemand aus dieser Verworrenheit schlösse, dass Herr Lübsen zwar ein guter Elementarlehrer aber keineswegs zum Unterrichte in der höheren Mathematik befähigt sei. Schlömilcu,

Bibliographie

vom 15. August bis 1. November 1859.

Feriodiftclie Schriften.

Denkschriften der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Mathem. - naturw. Classe. 17. Bd. Wien, Oerold's Sohn in Gomm. 16 Thlr.

Sitzungsberichte der Kaiser!. Akademie der Wissenschaft ten zu Wien. Mathem.-naturw. Cl. Register zu den Bftnden 21 — 30. Ebendas. % Thlr.

Abhandlungen der S enckenbergi seh en^natur forschenden Ge- sellschaft. 3. Bd. 1. Lief. Frankfurt a. M. Brönner. 3 Thlr.

Repertorium für Meteorologie. Herausgegeben von der Kaiserl. geographischen Gesellschaft zu Petersburg, redigirt von F. Kämtz. 1. Bd. 1. Heft. Dorpat, Leipzig bei Köhler, pro 1.— 4. Heft. 6 Thlr.

Annales de Vohservaloire physique centrale de Rtissie, publiees par A. T. Küppper. Annec 1856. Petersbourg, Leipzig, Voss. 7 Thlr.

Correspondance me'ieorologique. Publication annuelle redigee par A. T. KuPPPER. Annee 1857. Ebendas. 5 Thlr.

Bibliotheca hislorico-naiuraliSy physico-chemica et'maihema- iica. Ed. E. A. Zuchold. 9. Jahrg. 1. Heft. Januar bis Juni 1859. Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht. 11 Ngr.

Beine Mathematik.

RuLAND, N., Auflösungen der in Dr. Heis* Sammlung von Bei- spielen enthaltenen Gleichungen 1. und 2. Grades nebst den diop hantischen Gleichungen. Bonn, Henry & Cohen.

1 Thlr. 18 Ngr.

Kamblt, L., Elementarmathematik. 1. Theil: Arithmetik und Al- gebra. 4. Aufl. Breslau, Hirt. 12^Ä Ngr.

Decker, A., Lehrbuch der Algebra für Obergymnasien und Oberrealschulen. Troppau , Schüler^s Buchhandlung.

1 Thlr. 24 Ngr.

Thomas, K., Das pythagoräische Dreieck und die ungerade Zahl. Berlin , Herbig. 1 Thlr.

Literatorz^itung. tt3

Kambly, L., Theorie der Harinonikalen. Breslau, Hirt. % Thlr.

HoFBR, J. , Anfangsgründe der Stereometrie. Wien, Sallmayer & Comp. % Thlr.

Pfaff, H., Die ebene Trigonometrie. Erlangen, Bläsing. ^% Thlr.

LuBSEN, E. H., Ausführliches Lehrbuch der analytischen Geo- metrie. 4. Aufl. Hamburg, O. Meissner. 12 Ngr.

Hoffmann, L., Mathematisches Wörterbuch. 9. Liefrg. Berlin, Bosselmann.

Stürm, K., Cours d'analyse de Vecole polytechniqüe^ publie par E. Prouhet. Tome IL Paris. 2 Thlr.

Lam^, H., Lecons sur les cordonnees eurvilignes et Jeurs diver- ses applications. Paris, Mallei Bachelier, 5 Frc».

Angewandte Matbematik.

ScHNEDAR, K., Grundzüge der darstellenden Geometrie nebst Schattenbestimmung, Linear- und Parallelperspective. 2. Aufl. Brunn, Winiker. t Thlr. 4 Ngr.

Jäg;br, L., Die Polygonometri« und deren Anwendung auf die Vermessung grosser Waldungen, nebst Anleitung zum trigo- nometrischen Höhenmessen. Marburg, Elwert'sche Uni versitäts- Buch- handlung. ^ 25 Ngr.

Baurmeister, G. A., Die Ursachen der zunehmenden Fallge- schwindigkeit bei Körperbewegungen. Leipzig, E. H. Majer.

% Thlr.

LÜB8EN, H. B., Einleitung in die Mechanik. 4.-6. Theil. Ham- burg, 0. Meissner. 1% Thlr.

Wernickb, A., Lehrbuch der Mechanik in elementarer Dar- stellung mit Uebungen und Anwendungen etc. 2. Theil. Mechanik flüssiger Körper. Braunschweig, Vieweg. 1% Thlr.

Fairbairn, W., Die eisernen Träger und ihre Anwendung beim Hochbau und Brückenbau, gestützt auf Versuche über die rela- tive Festigkeit das Gusseisens und Schmiedeeisens. Nach der 2. Aufl. des Originals bearb. von Dr. Brauns. Braunschweig, Vieweg, l Thlr.

Fink, P., Construction der Maschiuentheile. Wien, Gerold^s Sohn. 4 Thlr.

Wiese, K. H., Skizzenbuch für den Ingenieur und Maschinen- bauer. 8. Heft. Berlin, Ernst & Korn. 1 Thlr.

Herbart, J. F., Die metaphysischen Anfangsgründe der Theo- rie der Elementarattraction. Aus dem Lateinischen übersetzt von K. Thomas. Berlin, Herbig. * % Thlr.

WiEGAND, A., Mathematische Grundlagen für Eisenbahnpen- sionskassen. Halle, Schmidt. 1 Thlr,

Adh^mar, J., Nouvelles ^iudes de perspective, Paris.

114 iiitoraturzeitung.

Phydk.

PooOENDORF, J. G. , Bi ographlscfa - ] itera^ Isc hes Handwörter- buch zur Geschichte der exacten Wissenschaften. 3. Lief. - Leipzig, Barth. 1% Thir.

Fortschritte der Physik im Jahre 1857. Dargestellt von der phy- sikalischen Gesellschaft in Wien, lledigirt von A. Krönio nnd O. Hagen. 1. Abthlg. Berlin, G. Reimer. 1% Thlr.

Die Naturwissenschaften, bearbeitet von Dippel, Gottlieb, Koppe etc. 2. Aufl. 1. Bd., 1. Abthlg. Essen, Bädeker. 1 Thlr.

Physikalisches Lexicon von Marbach und Cornelius. 75. — 78.-Lief. Leipzig, O. Wigand. ■ K% Thlr.

Arago's sämmtliche Werke, herausgeg. von W. G. Hankel. 7. Bd. Leipzig, 0. Wigand. 1% Thlr.

EiSENLOHR, W., Lehrbuch der Physik. 8. Aufl. 1. Hälfte. Stuttgart, Krais & Hoffmann. pro compl. 2% Thlr.

P18KO, F. J., Lehrbuch der Physik für ünterrealschulen. 4. Aufl. Brunn, Winiker. 1 Thlr. 4 Ngr.

GavarreT; J., Lehrbuch der Elektricität. Deutsch bearbeitet von Arendt. 3. Lief. Leipzig, . Brockhaus. ' 1 Thlr.

Pbrger, A. V., Ueber die Lichtempfindlichkeit des Asphalts. (Akad.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. 3 Ngr.

KoHRER, Ueber Regentropfen und Schneeflocken. (Akad.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. 5 Ngr.

Jbitteles, L. H., Bericht über das Erdbeben am 15. Januar in den Karpathen und Sudeten. (Akad.) Wien, Gerold's Sohn in Comm. 18 Ngr.

DovE, H. B., Ueber die nichtperiodischen Aenderungen der Temperaturvertheilung an der Erdoberfläche von 1729 — 1855. e. Theil. Berlin, Diimmler in Comm. 2% Thlr.

Lamont, J., Monatliche und jährliche Resultate der an der Königl. Sternwarte bei München von 1825 — 1856 angestell- ten meteorologischen Beobachtungen. 3. Supplem. 2u den Annalen der Münchener Sternwarte. München, Franz in Comm.

1 Thlr. 23 Ngr.

PoüiLLET, M., Memoire sur la densite de Valcool sur celle des milanges alcooligues et sur un nouveau mode de graduatioti df rareomelre ä degres egaua\ Paris , Dido( fr eres , ßs & Comp,

l^A Thlr.

THI8 BOOK IS BUB OK THE IA8T DATB 8TAMPED BSLOW

AN INITIAL FINE OF 26 CENTS

WILL BE ASSESSED FOR FAIUURE TO RCTURN THIS BOOK ON THE DATE DüE. THE PENALTY WILL INCREASE TO BD CENTS ON THE FOURTH DAY AND TO $100 ON THE SEVENTH DAY OVERDUE.

REC. CIR.JUL 5 77

-FEffT^nast-

liD 21-1001H-7/88

■IIIIIIIW

■ B0002BSBW0

UNIVERSITY OF CAUFORNIA UBRARY