(EUVRES
(EUVRES
COMPLETES
DE NIELS HENRIK ABEL
NOUVELLE EDITION
PUBLIEE AUX FRAIS DE L'ETAT NORVEGIEN
PAR MM. L. SYLOW ET S. LIE
TOME PREMIER
CO-TENANT EES MEMOIKES PUBLIES FAR ABEL
CHIUSTIAXIA
IMPRIMEBlf! DE G RONDAHL & S0N
M DCCC LXXXT
university)
PREFACE.
L edition des (Euvres d'Abel fkite par Tlolmboe et publiee en 1839,
ettiit devenue tres rare trente ans apres. C'est pourquoi plusieurs matke'ma-
ticiens Strangers, surtout allemands et francais,*" en demandaient une nouvelle
edition a leurs confreres norvegiens. O'dtaient MM. Clebsch, Kronecker et
Weierstrass qui firent les premiers cette proposition, dont la Societe Mathe-
matique de France declara hautement l'ntilite par son president Chasles.
Dans ces circonstances, le Gouvernement Norvegien, sollicite par la Societe
des Sciences de Christiania, crnt devoir inviter le Corps Legislatif a voter
la sonnne necessaire pour faire une nouvelle edition revue et complete des
(Euvres d'Abel. Le Storthing accorda promptement la somme voulue, et
conformement a la proposition emise l'edition nous f'ut confiee. Pendant
l'exe'cution de cette tache importante, nous avons profite des sages conseils et
du precieux concours de beaucoup de personnes autorisees. Outre les matlie-
maticiens deja nommes nous devons remercier speeialement M. 0. J. Broch,
de Christiania, M. 0. Jordan, de Paris, et M. E. Schering, de Gottingue.
L'illustre Academic de Berlin mit a notre disposition, avec une bienveillance
extreme, les manuscrits de plusieurs menioires, imprinu's dans le Journal de
Crelle, et les dates de publication des menioires d'Abel inseres dans les tomes
II— IV dudit Journal, nous out ete obligeamment fournies par Borchardt.
11
PREFACE.
Nous avons cru de notre devoir d'admettre tout travail publie par Abel
dans notre edition; a ceci nous n'avons fait qu'une seule exception, dont
nous parlerons aussitot. En outre nous avons cherche a recueillir tous les
manuscrits et toutes les lettres d'Abel encore existantes, en les soumettant a
un exanien minutieux pour en extraire tout ce qui put avoir de l'interet
scientifique. La Bibliotheque de notre Universite avait acquis quelques-uns
des manuscrits d'Abel; d'autres, nioins importans, il est vrai, etaient devenus
la propriete de quelques mathematiciens norvegiens. Sollicit^e par nous, la
veuve de Holmboe a revu soigneusement les papiers de son defiint mari, avec
l'lieureux resultat que toute une serie des manuscrits d'Abel fut retrouvee et
donnee a la Bibliotheque de l'Universite. Neanmoins beaucoup des documens
qui etaient sous les mains de Holmboe nous manquent, etant probablement
d&ruits par un incendie survenu peu apres sa mort. Cependant il nous semble
probable que la plus grande partie de ce qui date des dernieres anndes d'Abel
est encore conserve. Dans ces manuscrits nous n'avons releve, il est vrai,
aucun resultat nouveau k la science; cependant ils ont montre que plusieurs
theoremes importans, trouves plus tard par d'autres, etaient dej^i connus a
Abel et se cachaient dans ses papiers quand ils furent publies pour la
premiere fbis. Outre les theoremes, deja connus par l'e'ditioii de Holmboe,
sur les' equations resolubles par radicaux, nous pouvons mentionner comme
tels: un theoreme fondamental sur les relations qui peuvent avoir lieu entre
des integrales de ditferentielles algebriques, qu'Abel avait bien enouce dans
une lettre adressee a Lege/ndre, mais flont il n'avait pas donne la demonstra-
tion; en outre une proposition tres-generale sur la convergence des series,
laquelle fut publiee pour la premiere fois par M. Berirand.
Le Tome 1 de notre edition contient, dans l'ordre chronologique, tous
les memoires publies pur Abel, a l'exception d'un opuscule iinprime dans le
Magasin des Sciences Naiurellcs, annee 1824, dans lequel il s'etait glisse, par
inadvertance, une faute gi-ave. Or comme Abel a expressement retracte ce
memoire, nous croyons avec Holmboe devoir l'exclure des (Euvres Completes.
Notre edition contient quatre memoires publies par Abel qui manquent k celle
de Hohnboq savoir le.s memoires III, V, XII, et XIII de notre premier volume.
PREFACE. Ill
Lea deux premiers furent Gratis par Holmboe, parce que le contenu s'en
retuouve dans d'autres travaux d'Abel. Le memoire XII, presente par Abel a
L'Academie des Sciences de Paris en 1826, ne put etre insere dans l'edition
de Holmboe; ce n'est qu'en 1841 qu'il fut imprime dans les Memoires des
Savans Strangers. Le memoire XIII semble avoir echappe a 1' attention de
Holmboe.
Les memoires publies par Abel dans les revues norvegiennes, furent r^diges
en norvegien; par eg-ard a la plupart des lecteurs nous les rendons en
francais. Tous les autres travaux d'Abel furent, d'apres ce que nous dit
Holmboe dans sa preface, rediges en francais ; mais les memoires publies dans
les deux premiers volumes du Journal fur die reine und angewandte Mathe-
maiik, furent traduits en allemand par Crelle, a l'exception des Recherches
sur les fonctions ellipiiques. Pour ce qui est des memoires imprimes dans le
quatrieme volume du meme journal, il existe encore, comme il est dit plus
liaut, des copies des manuscrits originaux d'Abel; elles font voir que Crelle
a fait plusieurs corrections du style en partie inutiles; il y en a meme qui
out modifie le sens. Ainsi les traductions allemandes de Crelle ne pouvant
etre considerees comme des versions absolument exactes du texte orioinal,
nous avons cru, avec Holmb®e, devoir rendre ces memoires en francais afin
de conserver 1'unite linguistique de notre edition.
Le Tome II de notre edition comprend les CEuvres posthumes, des ex-
traits de lettres d'Abel, et les notes des editeurs. Tout en reconnaissant le
grand merite de Holmboe, comme l'habile maitre et le fidele ami d'Abel, et
aussi comme le zdle editeur de ses CEuvres, nous ne pouvons nous empecher
de faire observer qu'a notre avis l'^diteur n'a pas toujours traite les manuscrits
laisses pai- Abel avec toute la critique desirable. En effet, dans le second
volume de son edition, il a imprime, a cote de plusieui-s memoires pre'cieux,
un certain nombre de travaux de jeunesse, datant d'une periode ou la cri-
tique d'Abel ne s'etait pas encore completement developpee. Et meme quand
Abel parle plus tard des faux resultats auxquels conduit un raisonnement
peu rigoureux, il nous parait evident qu'il pense, entre autres, aux erreurs
auxquelles il avait ete porte lui-meme dans ses anciens travaux, depuis long-
IV PREFACE.
temps 'rejetes par ltd; or ce sont ceux-la qu'a adniis Holmhoe, apres la mort
de l'auteur, panni ses (Euvres Completes. Si nous avions a, faire la premiere
edition des (Euvres d'Abel, nous aurions renonce a publier plusieurs travaux
imprimes dans le second volume de l'edition de Holmhoe. Cependant, comme
ces travaux sont deja connus an public et souvent cites, nous ne nous som-
mes decides a omettre que trois des travaux publics par Holmhoe, lesquels
nous semblent n'avoir plus aucun interet meine historique. D'autre part
nous avons cru devoir mettre au jour plusieurs parties inedites des manuscrits
d'Abel, dont quelques-uns oft'rent un grand interet.
Tome II, p. 283- — 289 nous donnons un apercu de tons les manuscrits
d'Abel encore existans. Ici nous nous bomons a faire remarquer que dans un
protocole rempli depuis aout 1826 h la fin de la meme annee ou au com-
mencement de 1827, nous avons trouve des endroits qui prouvent qu' Abel
s'occupait de la Theorie de la transformation des fonctions elUptiques h Paris,
a la tin de 1826, ce qui d'ailleurs s'accorde avec ce qn'il a dit a Holmhoe,
cite par nous dans le second volume.
Des lettres d'Abel nous donnons des extraits plus complets que ne le
faisait Holmhoe. Nous signalons a l'attention des lecteurs la premiere lettre
d'Abel a Holmhoe. Cette lettre prouve que, deja en 1828, Abel avait con-
sidere la fonction inverse de i'intdgTale elliptique de la premiere espece, ma is
elle fait voir aussi qu'a cette epoque il ne savait pas encore maitriser les
paradoxes apparens qu'il avait rencontres dans ses recherches.
A l'edition nous avons ajoute quelques notes, dans lesquelles nous don-
nons tantot des renseignemens sur les divers memoires, tantot sur les endroits
on nous avons cru devoir nous ecarter du texte original, pourvu toutefois que
ce ne soient pas de simples corrections de fautes de calcul ou d'impression ;
tantot nous faisons observer des inexactitudes que nous ne nous croyions pas
autorises a corriger. Quelquefois nous donnons notre intei-pretation de pas-
sages obscurs, ou bien nous indiquons comment selon nous Abel a deduit des
propositions qu'il a avancdes sans preuve. Nous faisons observer express^-
ment, que si dans les notes nous citons quelquefois des auteurs post^rieurs,
ce n'est que pour ^claircir le texte, et nullement pour montrer comment les
decouvertes d'Abel out 4st6 ddveloppdes par ses successeurs.
PREFACE. V
An moment oh nous achevons cette edition, M. Bjerknes, professeur a
l'Universite de Christiania, vient de publier une biographie detailleV, d'Abel,
fondee mv des recherches etendues, dans laquelle il a tenu compte des mate-
riaux recueillis pour cette edition. Dans ce travail interessant on trouve
reuni a pen pres toutes les donnees accessibles de la vie d'Abel. Tout en
exprimant le vceu que cette biographic soit bientot traduite dans une langue
plus generalement connue, nous devons faire observer que nous ne partageons
pas toutes les vues de l'auteur, bien que nous reconnaissions avec lui que
c'est k Abel- en premiere ligne que la science doit la decouverte des Amo-
tions elliptiques proprement dites.
En presentant, un demi-siecle apres la mort d'Abel, cette nouvelle edi-
tion de ses (Euvres an public mathematique, nous osons esperer qu'elle con-
tribuera fortement a ce que ces travaux qui out taut guide" le mouvement
mathematique de notre temps, soient etudies dans l'original par la genera-
tion actuelle de mathematiciens. Abel a eu de grands successeurs; mais
pour qui veut continuer dans la, voie frayee par lui, il sera toujour* profitable
de remonter a la source meme: les immortelles (Euvres d'Abel.
Christiania, acmt 1881.
Les Editeurs.
TABLE DES MATiEllES DU TOME 1'REMIER.
I. Methode generale pour trouver des fonctions d'une seule quantity
variable, lorsqu'une propriete de ces fonctions est exprimee par une
equation entre deux variables
DL Solution de quelques problemes a Faide d integrates definies .... 11.
TIT. Memoire sur les equations algebriques, on Ton demontre 1 impossibility
de la resolution de lequation generale du cinquieme degre .... 28.
IV. L'inteorale linie Znrp.i- exprimee par une integrate definie simple. . 34.
V. Petite contribution a la theorie de quelques fonctions transcendantes 40.
i VI. Recherche des fonctions de deux quantites variables independantes as
et y, telles que f(.r. y), qui ont la propriete qW f(z, /(*, y)) est
une fonction symetrique de z, x et y . . . . . «V ^*
/VIL Demonstration de l'impossibilite de la resolution nlgebrique des equa-
tions generates qui passent le quatrieme degre .... . . 66.
Appendice. Analyse du memoire precedent «*«
VIII. Remarque sur le memoire N° 4 du premier cnhier du Journal de
M. Crelle . . •. S$ • * ' * t * *\ 95'
IX. Resolution d*un probleme de mecanique (,)^-
X. Demonstration d'une expression de laquelle la formule bindme est an
cas particulier
XI. Sur Integration de la forinule differentielle Q'j[ . It et q vUmt des
fonctions entieres < . . . . 1^4.
XII. Memoire snr une propriete generale d une classe tres etendue de fonc-
tions transcendantes '
VIII
l'AHLE DES MATIKHKS.
TALKS
XIII. Recherche de la quantite qui satisfait a la Ibis a deux equations al
gebriques donnees 219
J XIV. Recherches sur la serie 1 + ™ x + ~ S 9i J otq
/, 1 ^ 1.2 ^
XV. Sur quelques integrates definies 251
U XYI. Recherches sur les fractions elliptiques 263
Y*XVH. Sur les fonctions qui satisfont a l'equation ipx + qyz=. \\ixf,j + yf$) 389.
Hi XVIII. Note sur un memoir© de M. L. Olivier, ayant pour titre "Remarques
sur les series infinies et leur convergence" 399
XIX. Solution dun probleme general concernant la transformation des fonc-
tions elliptiques 4^0
XX. Addition au memoire precedent 429
XXI. Remarques sur quelques propriety generates d'une certaine sorte de
fonctions transcendantes 444
\ 1 I XXII. Sur le nombre des transformations differentes qu'on peut faire subir
a une fonction elliptique par la substitution d'une fonction rationnelle
dont le degre est un nombre premier donne 457
J V XXIII. Theoreme general sur la transformation des fonctions elliptiques de la
seconde et de la troisieme espece 4^}
* XXIV. Note sur quelques formules elliptiques 457
XXV. Memoire sur une^lasse particuliere d'equations resolubles algebrique-
|Hfcti&k . .... 4*8*
508.
ment
JV V>1 XXVI. Theoremes 6ur les fonctions elliptiques
XXVII. Demonstration d'une propriete generate d"une certaine classe de fonc-
tions transcendantes 515
4 • ■ /XXVIII. Precis d'une theorie des fonctions elliptiques 518
XXIX. Theoremes et problemes ^31^
St
0* L'i>^„
VV OF TBI !»/- V
NITIRSIT71
I.
METHODE GENERALE POUR TROUVER DES FUNCTIONS D'UNE SEULE
QUANT1TE VARIABLE, LORSQU'UNE PROPRIETE I)E CES FONCTIONS
EST EXPRIMEE PAR UNE EQUATION ENTRE DEUX VARIABLES.
Magazin for Naturvidenskabenie, Aargang I, Hind 1, Christiania 1823.
Soient x et y deux quantites variables independantes, a, /?, y, <\ etc. des
fonctions donnees de x et ?/, et f, F etc. des fonctions cliercliees entre
lesquelles une relation est exprimee par une equation V= 0, contenant d'une
maniere quelconque les quantites x1 y7 (pa, fft, Fy etc. et leurs ditferentielles.
On pourra, en general, a l'aide de cette seule equation, trouver toutes les
fonctions inconnues dans les cas oil le probleme est possible.
Pour trouver Tune des fonctions, il est clair qu'on doit cherclier uire
equation ou cette fonction soit la seule inconnue et par consequent ehasser
toutes les autres. Cherchons done d'abord a cliasser une fonction inconnue
par exemple cpa et ses differentielles. Les quantites x et y etant indepen-
dantes, on pent regarder Tune d'elles, ou une fonction donnee des deux,
coinme constante. On peut done differentier l'equation V = 0 par rapport
k l'uue des variables x, en considerant a coinme constant, et dans ce cas
l'autre variable y doit etre consideree coinme fonction de x et de a. Or en
ditterentiant l'equation V— 0 plusieurs fois de suite, en snpposant a constant,
il ne se trouvera pas dans les equations resultantes, d'autres fonctions de a
que celles qui sont comprises dans l'equation Jr=0, savoir (pa et ses ditfe-
rentielles. Done si la fonction V contient
(f tt, <l(f or, <t'<\ a, . . . <l"(f ft,
1
2
MKTHODE GENERALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc.
on obtiendra, en differentiant 1'equation V=0 n~\-l fois de suite dans la
"supposition de a constant, les n-\-2 equations suivantes:
V*jj4l;i F=0, <1V= 0, d*V=(\...d"+1V=0.
:rlm"mna;ut .de: ces n-\-2 equations les quantites inconnues
d(pa, (Pcpa etc.,
il en resultera une equation V1 = 0 qui ne contiendra ni la fonction rpa ni
ses differentielles, mais seulement les fonctions fft, Fy, etc. et leurs diffe-
rentielles.
Cette equation F, = 0 pourra maintenant etre traitee de la nieme
maniere, par rapport a l'une des autres fonctions inconnues fp, et Ton ob-
tiendra une e'quation V2 = 0 qui ne contiendra ni (pa on ses differentielles,
ni f(i ou ses differentielles, mais seulement Fy etc. et les differentielles de
ces fonctions.
De cette maniere, on peut continuer reliniination des fonctions inconnues,
jusqu'^ ce qu'on soit parvenu h une equation qui ne contienne qu'une seule
fonction inconnue avec ses differentielles, et en regardant maintenant 1'une
des quantites variables comme constante, on a, entre la fonction inconnue et
l'autre variable, une equation differentielle d'ou Ton pourra tirer cette fonc-
tion par integration.
On peut remarquer, qu'il suffit d'eliminer jusqu'a ce qu'on ait obtenu une
equation qui ne contiemie que deux fonctions inconnues et leurs differentielles;
car, si par exemple ces fonctions sont cpa et ffli on pourra, en supposant p
constant, exprimer x et y en fonction de a a l'aide des deux equations
a = a et p — c, et arriver de cette maniere k une equation differentielle entre
(pa et «, d'ou Ton pourra par consequent deduire (pa. De la meme maniere,
on trouvera une equation entre fp et p en determinant x et y par les
equations « = c et P = p. Ces fonctions etant ainsi trouvees, on trouvera
aisement les autres fonctions h l'aide des e'quations qui restent.
De cette maniere, on pourra done en general trouver toutes les fonc-
tions inconnues, toutes les fois que le probleme sera possible. Pour sen
rendre compte il faut substituer les valeurs trouvees dans 1'equation donnee,
et voir si elle est satisfaite.
Ce qui precede depend, comme nous venous de le voir, de la differen-
tiation d'une fonction de x et y par rapport k x, en supposant constante une
fonction donnee de x et y) y est done fonction de x et dans les differentielles
METHODE UENERALE POUR TROUVEU DBA FONCTIONS etc.
3
se trouvent les expressions ~ , ^ , ^ , etc. Ces expressions se trouvent
aisement en differentiant 1'equation a = c par rapport a as, et en supposant y
fonction de x. En effet, on obtiendra les equations suivantes:
da . da dy ^
dx ' dy dx '
d'ou Ton tire
(Pet , - Q d2a % I ^ I ^ _ q etc
d*2 ' d# % d# ' dy2 d#2 ' d#2 ~ '"'
da
dy dx
dx , da '
dy
d2a d2a da d2a / da \2
d2y d#2 dx dy dx dy2 \dx ,
dy \dy) [dyj
La metliode generale de resoudre 1'equation V=Q est applicable dans
tous les cas oh relimination peut s'effectuer, mais il peut arriver que cela
ne soit pas possible, et alors il faut avoir recours au calcul des differences;
mais pour n'etre pas trop long, je passerai ce cas sous silence, d'autant plus
qu'on peut voir dans le traite du calcul differentiel et du calcul integral de
M. Lacroix t. Ill, p. 208, comment on doit s'y prendre.
Nous allons appliquer la theorie generale a quelques exemples.
1. Trouver la fonction cp qui satisfasse a 1'equation
(pa= f(x, y, cpfa cpy),
f e*tant une fonction quelconque donne'e.
En differentiant cette equation par rapport k x, en supposant a constant,
on aura
o =/<* +ry % +fmfi | + f t) +m 1 §
or nous avons vu que
da
'dy dx
dx da '
dy
cette valeur etant substitute dans l'equation ci-dessus, on obtiendra, apres
1*
4 METHODE GENERALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc.
avoir multiplie' par :
Faisant maintenant y constant, determinant x et y en ft par les deux equa-
tions y — c, ft = ft et substituant leurs valeurs, on obtiendra entre (pft et ft
nne equation differentielle du premier ordre, d'oii Ton tirera la fonction (pft..
Soit
/fo y, <pfr n) = <pl* + n,
on aura
fx = 0, fy = 0, f(<pfl = 1, fM = 1.
Liquation deviendra done
0 = (fi'ft(d(i- d~— dc^d^\A-w'vldL(lcL_ ttedy]^
\dx dy dx dy)\ * ' \dx dy dx dy />
on tire de la en integrant
/da dy da dy
d^d^_da^d£a'5'
dx dy dx dy
On voit ais^ment que sans diminuer la generality du probleme on.peut faire
ft — x et y — }f\ on aura ainsi
Done, ayant
on en conclut
it— i i^—o * —n ^
<£r ' dy — U> ^ — U> ~dy
da
f da
dy
ou // est suppose constant apres la differentiation.
Appliquons cela a la recherche du logaritlnne. On a
log (xy) = \og xJr logy,
done
da da
tt=xy< -<s=y~ -dy=^
METIKtDi; GENERALE POUR TROUVER DES FONCTIONS .-tc
substituant cos valeurs on obtient
cpx = cf/jj dx = r,J^
done
loo* x
Si Ton veut trouver arc tang* xy on a
arc tang t _ ^ = arc tang 25 + arc tan& .V-
done
et par suite
On tire de la
•'7/
1 —
^« 1_ , yQ + y) _ 1 +y2
& ~~ 1 — «y T (1 — xyf (1 — •'■// >' '
da _ 1 , x{y-\-x) 1 -\-a?
da
par consequent
d'ou
yx = <p'yf\+lx dx,
r dx r dx p .
arc tang- x = cj -yq^-j- =J jo, en faisant c
Supposons maintenant
/(a;, ?/, y/?, y/) = ^ • # = f& • »
en faisant ft = 05, / = ?/. On aura
f'x=f!J = % f(vx) = <P>M f(w) = <Px,
dx di) ' </y ^a'
L'equation deviendra done
. <Za , da n
MUTIIODE GKNKKALK POUR TROUVEll DE8 FONCTIONS etc.
done
da
rfx (f 'y dx
et en integrant
(pX rpy da '
dy
Soit
da
log (px = -H. I dx\
<( y J da^
dy
f
da
dy
on aura
(px = ecT.
Soit par exempte a = x4- y. on aura ~ = 1 = . , done
fdx = x,
(px =ecx.
da da f dx
(px = eclo,Jx1
et
Soit « = ajy, on aura
done
e'est-a-dire
ya; = a?c.
Si Ton cherche la resultante B de deux forces egales P, dont les direc-
tions font un angle e*gal a 2a;, on trouvera que li = P(px, ou est une
fonction qui satisfait a l'equation
(px.(py = tp(x + y) + y(a; — ?/).*)
Pour determiner cette fonction, il faut differentier l'equation par rapport a x,
en supposant y-\-x = <xm&, et Ton aura
(p'x . (py + . ^ J| = (p\x - y) |l - ^ )•
*) Voyez ft&Mn traite de mecanique t. I, p. 14.
METHOD E OENEI.'AI.E POUB TROUVER DES FONCTIONS etc.
7
Mais de l'equation x-\-y = c on tire ~- = — 1; substituant cettc valeur,
on obtient
' ip'x . if if — (px . if)'y = 2<p (x — y).
Pifferentiant maintenant par rapport a x, en supposant x — y = const.,
on aura
<p"x-<PV + ¥x'Vy % — <p'x.<p'y — ipx.ip"y^ =0;
or l'equation x — y === c donne ~- = 1, done
</)".t . ify — (px .(p"y = 0.
La supposition de y constant donne
ip"x-\- GipX — 0,
d'ou Ton tire en integrant
tpx = a cos (fix -\- y\
a, ft et y dtant des constantes. En determinant celles-ci par les condi-
tions du probleme, on trouvera
done
tpx = 2 cos a;, et par suite B — 2 Pcos a;.
2. Determiner les trois fonctions if, f et iji qui satisfassent & l'equation
fa = F(as, ?/, mx} ip'x, . . .fy, f'y, . . .),
on a est ime fonction donnee de x et de ?/, et nne fonction donnee des
quantites entre les parentheses.
Differentiant l'equation par rapport a a;, en supposant a constant, et
da
ecrivant ensuite — -t- au Hen de , on obtiendra l'equation snivante
da dx 7
dy
da
dx F'x -f F'((fx)(f'x + . . .
— F'y + fy)f'y +-••_•"
8
METIIODE GENERATE POUR TKOUVER DES FONCTIONS etc.
Si dans cette equation on fait y constant, on a une equation ditferentielle
entre (fx et x, d'oii Ton peut tirer cpx, et si Ton fait x constant, on a
une equation ditferentielle d'ou Ton peut tirer fy] ces deux fonctions etant
trouvees, la fonction se trouvera sans difficulte par l'equation prdposee.
Exemples. Trouver les trois fonctions qui satisfassent a l'equation
ip(x + y) = (fx .fy +fy . ip'x.
On a ici
ih <p%Jy, fy) == <p*-fii +fy-Yv,
done
F'x=F'y = Q, F;(<px)=fy, F(,P'x)=fy,
de plus
Cl = x + Ui
done
da ^ da
dx ' dy
Ces valeurs etant substituees, on aura
<p'x -fy + fPx - f"y 1
ou bien
<px.f"y—fy.(p"x = Q.
Faisant y constant, on trouvera
(px — a sin (bx -J- c),
et si Ton fait x constant,
fy = a sin (by-\-c).
On tire de la
(p'x= ab cos (bx -j- c),
f y=a'b cos (by -\-c').
Ces valeurs etant substituees dans liquation proposee, on obtiendra
lKx + U) — aa'h (sin (&< + •) cos (by -\- c') -f- sin (by -f c) cos (bx -f e)
= aa'b sin |o(a; -(- y) ~\- c -|- c'j .
METIIOOE C4ENEKALE POUR TKOUVEK DES FONCTIONS etc.
9
Les trois fonctions cliercliees sont done
(px — a sin (bx -j- c),
xpa = aa'b sin (ba — |— c — |— c').
Si Ton fait a = a = b = 1 et c = c = 0, on aura
yas == sin if, fy = sin ?/, =s sin a,
et par suite
sin (x -\- y) = sin x . sin'?/ -)- sin y . sin' j&
Tronver les trois fonctions qui sont determinees par l'equation
yj(x + y) =f(xy) + y(aj — ?/).
Ditferentiant par rapport a x, en snpposant ^-f~~y constant, on aura
, 0=f'(xy)(y-x)+?<p'(x-y).
Maintenant pour trouver (/), soit xy — c et x — = OB aura
(p'a — ha.
done
2
Pour trouver /, soit xy = ft et x — y = c, on aura
EL'-' •/ «T-,. • ■ »»'■•"
done
//» = „» +«'/».
Ces valeurs de if a et /jtf etant substitutes dans l'equation donnee, on obtiendra
fix + y) = c" + c'a# + fc' + 2 (* ~~
Pour determiner ip, soit aj-(-y==«, d'ou Ton tire y = a — as, d'oii
Pour qne cette equation soit possible, il faut que s disparaisse; alors on aura
2k — c' — 0, et c' = 2&.
Cette valeur etant substitute, on obtient
f* = fc' + c" + * a\ ffi = c» + 2k/i <Py = k' + \ 7\
qui sunt les trois fonctions clierchtes.
10 METHODE GENERALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc.
Comme dernier exemple je prendrai le suivant: Determiner les fonctions
(p et f par l'equation
vix +u) — <px -fy +fa •
En supposant x-\-y — c, et en differentiant, on obtiendra
0 = (f/x .fy — ipx.fy -\-fx . cpy —fx . y'y.
Supposons de plus que f(0) = 1 et y(0) = 0, nous aurons en posant y — 0\
0 = tp'x — cpx . c -\-fx . c',
done
fx = k(px-\- h '(p 'x.
Substituant cette valeur de fx, et faisant y constant, on aura
(p"x~\- cup'x -\- b(px = 0,
et en integrant,
(px — c'eax-\-c" ea'x.
Connaissant (px, on connait aussi fx, et en substituant les valeurs de ces
fonctions, on pourra determiner les valeurs des quantitds constantes. On
peut supposer
ce qui donnera
exy~i — e-xV-t ■
<fx — 2V—1 — since, fx = cosx.
I
II.
SOLUTION DE QUELQUES PROBLEMES A L'AIDE D'lNTEGRALES
DEFINIES.
Magazin for Naturvidenskaberne, Aargang I, Bind 2, Christiania 1823
1. -
C'est bien conim qu'on resout a l'aide d'integrales definies, beaucoup
de problemes qui autrement ne peuvent point se resoudre, ou du moins sont
tres-difficiles a traiter. Biles out surtout ete appliquees avec avantage a la
solution de plusieurs problemes difficiles de la mecanique, par exemple, a
celui du mouveinent d'une surface elastique, des problemes de la theorie des
ondes etc. Je vais en montrer une nouvelle application en resolvant le
probleme suivant.
Soit CB une ligne horizontale, A un point donne,
AB perpendiculaire a BO, AM une courbe dont les
coordonnees rectangulaires sont AP=x, PM=y. Sort
de plus AB — a, AM=s. Si Ton concoit niainteuant
qu'un corps se meut sur Fare CM, la vitesse initiale
etant nulle, le temps T qu'il emploie pour le pareourir
depend™ de la forme de la courbe, et de a. 11 s'agit de determiner la
courbe KCA pour que le temps T soit egal a une fonction donnee de a,
p. ex. if>(i.
Si Von designe par h la vitesse du corps an point M, et par t le
temps qu'il emploie pour pareourir l'arc CM, on a comme on sait
h^BP=^a — X, dt = —
ds
2*
12 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D1NTEGRALES DEF.
done
dt=- 7
et en integrant
r da
J Ya — x
Pour avoir T on doit prendre l'integrale depuis x = a jusqu'a x = 0y on
a done
T= fx=a ***
J*s=p Ya — x
Or eonnne T est egal a ipa, l'equation devient
Cx=a ds
ya=l -7=.
Aii lien de r&oudre cette Equation, je vais montrer comment on pent tirer s
de l'equation pins generale
fx=a ds
oh n est suppose moindre que l'unite, afin que l'integrale ne devienne pas
infinie entre les limites donnees; ya est nne fonction qiielconqne qui n'est
pas infinie quand a est egal a zero.
Posons
8 = ^a(m)xm,
oh 2a(m)xm a la valeur suivante:
^a(m)xm ±± a(m V'' -j- V" _|_ a{m"')xm'" -f- . . . .
En diffeYentiant on obtient
ds = 2maim)xm-xdx,
done
g _ iwa^V^-1^ ' !
En integrant on a
Or
SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INThG RALES DKF.
18
ds
itm = 2ma(m> / ? Vn
La valeur tie Integrate
s:
se trouve aisement de la maniere suivante: Si Ton pose x = at, on a
xm = ami *, mxm-xdx = mami m^dt
(a — af = (a — a£f = a"(l — l)%
done
et en integrant
mx
*-Hx mam-ntm~ldt
Or on a
(«—#)» (1— 0n '
I Ffsrr-r Jo W
r1 tm-xdt r(l — w) fro
Jo (T^_ 7r(m-«+l)'
ou F«ra est nne fonetion determined par les equations
r(m+l) = mrm,, f(l)~l.*)
En snbstitnant cette valenr ponr l'integrale / et remarquant que
mrm= I'(m-\-l) on a
« xm-xdx r(i — ») r(i» -f-1)
~r(m^+i)
xm~xdx
En snbstitnant eette valeur dans l'expression pour ipa, on obtient
Soit
on a
♦) Les proprietes do cette fonetion reniarqnable ont ete largement developpecs par
M. Legend** dans son ouvrage, Exetcioea de calcid integral t. I et II.
14 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTEGRALES DEF.
Pour que cette equation soit satisfaite il faut que m — n = k, done m = n -f - k,
et que
done
0
r on a
par consequent
r(i— n) r(«+Hi)
r1 <*<ft _ r(ifc + i)
Jo
r1 tkdt
En multipliant par xm = xn+k on obtient
a(m>xm = x" f 1
rn.r(i—n)JQ (i — ty-»->
d'ou
rn.r(i-„)J0 (i-ty-»'
Mais on a ^«f*V, = s, 2j&(^kz=y(xt\ done
~~ rn. r(i—n)J0 (i — ty-«-
En reniarquant ensuite qu'on a Tn.ril — ri) — . yr — , on trouve
sin . xn C 1 ?// <ft
De ce qui precede decoule ce theoreme remarquable:
Si Ton a
fx=a ds
on a aussi
sin me
s = — — x"
Appliquons maintenant cela a liquation
SOLUTION DE QUEEQ. PROBE. A E'AIDE DTNTEGRAEES DEF.
15
On a dans cc cas « = done 1 — n = \ et par consequent
YT=7t'
Voila done l'equation qui determine Tare s de la courbe cherchee par
l'abseisse correspondante x; on en tirera facilement one equation entre les
^coordonnees rectangulaires, en remarquant que Ton a ds2 = dx2 ~\- dif.
Appliquons niaintenant la solution precedente k quelques cas speciaux.
1) Trouver la courbe qui a la propriete, que le temps qu'un corps
emploie pour parcourir un arc quelconque, soit proportionel a la nihme puis-
sance de la hauteur que le corps a parcourue.
Dans ce cas on a fazsseany oh c est une constante, done \p{xt) = cxnt'\
par suite:
ncxntndt .n+$±_ C 1 tndt
■t
done en faisant
on a
on tire de la
et
c Cl tndt £,
s = Cxn+t;
ds == (n -j- $)Cxn-2 dx,
ds2 = (n + ifC^-'dx2 = dif + dx\
d'ou Ton deduit en posant (n -\- \yC2 — k
dy = dx\/kx2n-r—li
l'equation de la courbe cherchee devient done
y = fdx\ 'kj?H-T^i.
Si Ton fait «=ff, on a x?*~y = 1, done
« == fdx fh^ 1 =F=fc' -j-x yk— 1,
la courbe cherchee est done une droite.
16
SOLUTION DE QUELQ. PltOliL. A L'AIDE DTNTEGKALES DEE.
2) Trouver l'equation de l'isochrone.
Puisque le temps doit etre independant de l'espace parcouru, on
ifj(i = c et par consequent
ix ri dt
n Jo Vl-t
done
v . * '•
Oil
c C1 tit
ce qui est l'equation connue de la cycloide.
Nous avons vu que si Ton a
ds
3in?<?r /' 1 ib (at) tit
Jo
on a aussi
On peut aussi exprimer s d'une autre maniere, que je vais rapporter
cause de sa singularity savoir
s — r(i _«) J ^ • ^ — 7(T-^) ,
c'est-a-dire, si Ton a
ipa—j ds(a — x')^,
on a aussi
_ 1 dn ifm
en d'autres terines, on a
,/m ~ W+ «) J*'-9 W**: {a ~ X)
Cette proposition se deniontre aiseinent comnie il suit. Si Ton pose
fx = ^a(m)x'\
on obtient en differential it:
^ = Za^ m(m - 1) (m - 2) . . . (m - k + 1)
mais
m - 1)(„ _ 2) . . . (,» _ fc + 1) = * ,
SOLUTION UE QUELQ. PKOBL. A L AIDE DTNTEGliALES DEF.
done
Or on a
d*<p# __ M r(w+l)
jfe-f l)
1 r1
rp + i) _ i r
r(w_* + i)— r(-k)J0 (i-ty+*>
d*ifH6 _ 1 fl 2afm>(M)m<Um
par consequent
— xkT(— k)JQ
mais j£e^(se*y,==^(as<)! donc
dkipx _ 1 f1
dxk
En posant = — «, on en tire
d-n ipx x* f 1 ty(xt)dt
dx-n Tn (l—ty-n
Or nous avons vu que
done on a
_ xn f1 ip(xt)dt
1 (Z-n i/ac
si
*~? — n) dar-« '
rx = a ds
c. q. f. d.
En ditferentiant n fois de suite la valeur de f, on obtient
dns 1
dxn r(l — n)
V v A Q '
et par consequent, en faisant s = (px,
dn(pa 1 Ca <p'x • dx
'd^~~Y(U:rnjJ0 (a—x)n '
On doit reniarquer que, dans ce qui precede, n doit toujour* ■ etre moindre
que^ l'unite.
Si Ton fait *==-)-, on a
r*=« <ls
18 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTEGRALES DEF.
et
1 d-iWas 1 Ci
$ =^7= -g — f— ='-7= / Wx.ckc*.
Ytt oner* yn J T
C'est la l'e'quation de la courbe cherchee, quand le temps est egal a yja.
De cette equation 011 tire
done:
Si l'equation d'une courbe est s = <px, le temps qu'un corps eniploie
/ 1
pour en parcourir un arc, dont la hauteur est a, est eo-al a l/^ -~V .
' da *
Je remarquerai enfin que de la meme maniere, qu'en partant de
liquation
rx=a
~ J.=o ..
j'ai trouv^ s, de meme en partant de l'equation
j'ai trouve la fonction y> et / etant des fonctions donnees, et l'inte-
grale etant prise entre des limites quelconques; mais la solution de ce pro-
bleme est trop longtte pour etre donnee ici.
2.
Valeur de V expression rp(x -f- y V — 1) -f- fp(x — yY 1).
Lorsque (p est mie fonction algebrique, logarithmique, exponentielle ou
circulaire, on peut, comme on sait, toujours exprimer la valeur reell$ de
<f{x+y]f— l) + (p(x — 1). sous forme reelle et finie. Si au contraire
(p conserve sa generalite, on n'a pas que je sache, jusqu'a present pu rex-
primer sous forme reelle et finie. On peut le faire k l'aide d'integrales
definies de la maniere suivante.
Si Ton developpe <f(x + yf— 1) et ^(x — y^—l) d'apres le tlieoreme
de Taylor, on obtient
1) =
(px-\-ip'x.y^—
1 .2J 1.2.3^ '
1 -i- '/""•'• ^
T.1.2,3>4* T
<p(x—y\> —
=
<{■>■ — ty'jc.y}1 —
l.2!J ^1.2. 3# *
' 1.2.3.4"
SOLUTION DE QUELQ PBOBLr A L'AIDE DTNTEGRALES DEF. 19
done
<p{x + yf- T) + <f(x - ?/y^T) = 2(Vx - |C| * + ,/-...).
Pour trouver la somme de cette serie, consideYons la serie
(p{x + t) = (px + t(p,x+^cp,,x-\-i:^(p,,'x + ...
En multipliant les deux membres de cette equation par e~vHldt, et prenant
ensuite. l'integrale depuis. t = — oo jusqu'a f=z-j--co, on aura
n+OC p+oo p+oo p+oc
f ffx+t)<r*'*'dt=z<px.f e-^dt + q'x I e-vH2tdt + $(p"x / e~-v,ttt*dt+. . .
/ _oc J — oc J — oo J — oo
p+oc
Or / e-vH'-t2n+1dt = 0, done
J —oc
J — oo J — oo J — oo J — oc
Considerons l'integ'rale
/+OC
-OO
Soit * = *. on a e-^ = <ru\ ^ = ^, Afe— , done
+ oo ■> f'+OO 1
/+oo -J p +oo J I —
e-vH!.t2"dt == —-r- / e-a2a*lda =
-oo — oc
2
,2n + l '
e'est-a-dire
. f - — •--•-(2w ~ ^ = ^ .
«y — oc
Cette valeur etaht substitute ci-dessus, on obtient
t/ — oo '
En multipliant par e^'^vdv, et prenant l'integrale depuis « = — oo jusqu'a
y = ~j- oo, on obtiendra
1 p+oc p+oc , , p+oc Ai(f"x r -
JLf p-^y'vdvl (p(x+t)e-ltldt=(fx e-vt»'dv+-±±— ev»-^+...
' lr J — OC J - oo J —oc ~
3*
20 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE DINTEGKALES DEE.
Soit vyz^fii on a
/ c-v-yv-2ndv = ifn~x I ft-**df$.
J — OO J —OO
Orfy-^= ^) = J^^ = ^, done
J — OO «
et par suite
An I e-v^v~2ndv =c (— If tfn~x y^r.
J — OO
En substituant cette valeur, et divisant par on obtiendra
i/ — OO t/ — oc '
Le second membre de cette equation est egal a
<p(x _|_ ?yy_ i) _|_ ^ _ /yy_T) ,
done
. . 2w f'+oc p+oo
<fix + ?JV—1) + <P(X — yV— 1) = -~ / e-v^vdv / y(a; -j- /)
«/ — OO J — OO
Posant # = 0, on a
J —OO J — OO
Soit par exemple q)t = et, on aura
ifiyY^l) + y(_ >?yy=T) = e-»V-~>= 2 cos y,
done
y. /» +00 ^ /l +00
cos#=^/ e~V!/vdv e'-v''r'dt--
J —OO J —OO
/+oo / — 1
e'-^-.^e4^ done
-oo v
=•1 <? 4v
r /
«/ — oc
y 7r
Si Ton fait 0==s — , on aura
.V
SOLUTION DE QUELQ. PBGBL A L'AIOE DIXTKORALES DEF.
21
i r+oc ~-ti+*-'9 m
cos w === — p= J e 'at.
r 1/ — (Xi
En donnant d'autres valeurs a grf, on pent dednire la valenr d'antres
inteo-rales definies, niais comme mon but £tait settlement de determiner la
valenr de tp(x-\-y'f^ T) + q>(x — y f—l) j« ne ni'en occnperai pas.
3.
Nomhres de Bernoulli e.rprimes par des integrates definies, d\rii Von a ensuite dednit
V expression de V integrate finie 2(p£.
Si Ton developpe la fonction 1 — yCot-| en serie snivant les puis-
sances entieres de u, en posant
u u A ** j_ a u" I I A — I
1 — YC0 Y"" 2T7374 " 2.3.4., 2w ' '
les coefficiens A, A, etc. sont, comme on Bait, les nombres de Bernoulli.*)
On a**)
u u oil 1 JL - J - U
• 1 — YCOtT^ \4^=^i"4.4^ — w* 1" 9.4/r2 — «» ' *
et en developpant le second membre en serie:
1-TC0tT^"^(1 + "^ + +
1 -j- 94 ~f" M T *•*
23tt4 \ ' 24 1 34
«! (l4- 1 + 1
25tt6 T 2(i ' 3
■ "2" (1 I 1 . 1 4-...]
I 2in-i7tin \ ' 22" ~ 32n r /
+
En comparant ce developpement an precedent, on anra
An __ 1 U - 1 , J__|_ .t
TT2 . 3 . . . 2w ~~ " 22"-17r2« \ " 2-" •* 32n /
*) Voyez Mrt Institutiones calc. diff. p. 426.
**) Voyez Eideri Institutiones calc. ditf. p. 423.
22
SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTEGRALES DEE.
Considerons maintenant Fint^ffrale / ° *(- On a
Jo et — 1 "
lp±T = e-< + e-* + e-* + ...,
done
j TFzrr = y e * * +y *-*t*^dt +...+/ e~H^dt +
Or f*^t~dt=lg±*), done
mais d'apres ee qui precede, on a
14- 1 1 4- 22"-1 22"-1 7C2»
2-" ~T" 3«« 1* • • • 1.2.3.. . 2w " ~~ " r(2w. + 1) " '
done
J0 e'-l ' - r(2» + l)4 77 2T~^
et par consequent
j _2n Ch t^dt
" 2Sh-17r2" J0 1 '
En mettant frr an lieu de t, on obtiendra enfin
A.
Ainsi les nombres de Bernoulli peuvent etre exprime's d'une maniere tres
simple, par des integrates definies.
D'un autre eote on voit aussi, lorsque n est un nombre entier, que
V . T" ttn-Xdt . 92n-l
1 expression ^— j est toujours rationnelle et egale a An, ee qui est
assez remarquable. Ainsi on aura par, exemple en faisant n = 1, 2, 3 etc.
(h tdt _i
/ i^dt i23 i
) Cette expression deMuit de l'equation fondamentalc /7<.= J * d.r (\og —J* \ en
y faisant « = 2« et * = «-**. Legendre, Exercices de calc. int. t. I, p. 277.
SOLUTION !>E QUELQ. PROBL. A L'AIDE DTNTEGRALES DEF. 23
/
tSdi 1 2' 8
erct I 4 2 * 6 "63
etc.
Maintenant a l'aide de ce qui precede, on pourra tres facilement expri-
mer la fonction 2 (px par line integrale definie. On a
2<px=J,(px.dx — J (px -\- Ax — A2 ^ 2 3.4 + • • •
En substituant les valours de A1, A21 A.6 etc., on aura
r , ' , qt* ('h Ot CV t3(k 1
Zcpx^J (px.dx — i^ + -172jo T^^r- T727372yo T^T-^-"
c'est-a-dire
Or
* i - , rh dt i , t (fx tA .
Z(px=J (px.dx — i(px-\-J ^ 7«ZT\V.aj:T""~.i.«.:3 2*""*"
</>".*
e* l
*1.2
2* 1
1
.2.3.4 24
+V-
1 {(p'x
2~
1.2.3
«3
2s"
+...)
" 1.2
22 1
1
.2.3.4 24
-v-
1 [(p'x
t
<3
t -i
2
1.2.3
23
On tire de la
Cette valeur etant substitute dans l'expression de ^(px, on obtient
f*
dt
2V-1 gT'-1
Cette expression de l'integrale nnie d'une fonction quelconque nie parait tres
reniarquable, et je ne crois pas qu'elle ait ete trouvee auparavant.
De 1'equation precedence on tire
2 dt
2V— 1
. — - = ^(px — J (px . ax -\- \ (px.
24
SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE DINTEGRALES DEF.
On a ainsi J'expression d'une integrate definie tres generale. Je vais en faire
voir l'application a quelques cas particuliers.
1. Soit (fx = ex. Dans ce cas on a
<f (* + \ f^) — e' e^'1 = e* (cos & + |Sl sin M 9
done
— e sin = ,
2V— 1 2 '
et par consequent
/•* sir
Jo
sin — a*
2
-j— =e~*2e* — e~xjexdx + \:
niais
5 2£e*= , et / exdx = exy done
♦ • 8 j.
sin — at
2 : 1 _ i
— 1 e— 1 **
Si Ton fait (px^=emx, on obtiendra de la nieme nianiere
smT^ i i
— 1 m
Si Ton met 2t k la place de t, on aura
r° sin tut. dt
Jo
& 1 l
foraiule trouvee d'une autre maniere par M. Legendre. (Exerc. de calc. int.
t. II, p. 189.)
2. Soit (px — -^-, on trouvera
f Iff + t|- v- 1 - f « - -i- v-1
2V-1 2(>* + ^)'
et
jyx.dx-^j ~ =logx- + C,
SOLUTION DE QUELQ. PKOBL. A L'AIDE DTNTEGRALES DEE.
25
done
On determine C en posant x = 1, ee qui donne
p q _|_ / ' t
3. Soit (px = smax1 on aura
.sin|atf lj— sm|asc — -^V— l) = 2 cos oas . sin-|-|/— 1— cos
cos (a*1 — la) /' . j 1
2 sm ax = 0V . * J , / sin ax.dx = cos ax ,
2sm^a 7 t/ a
done
at at
cos ax e
cos cue C ^ £2 — « 2 cos(a.« — 4a) ,1 i i •
, I — eft *== ,v . 2 y H cos «x 4- 1 sm ax ,
2 I 1 2sin|a 1 a 1 ^
et en ecrivant 2a au lieu de a, et reduisant
e«t_ e-at i
I =-r == cote; a.
Jo « ^
En supposant d'autres formes pour la fonction y>x on pourra de la meme
maniere trouver la valeur d'autres integrates definies.
4.
■
Summation de la serie injinie 8=(p(x-\-l) — (f(* + 2) -f gp(* + 3) — qp(« -f- 4) + . . .
« ZVtwfc d'intSgrales dejinies.
On voit aisement que £ pourra etre exprime conime il suit,
S == i </ot -|- Ax (p'x -f ^ (p "x + ^3 £'"fls + . . .
Si Ton suppose cpx^e™ on obtient
S = $eax -|- (Ata + A2a* + 4,a8 + . . .).
Mais on a aussi
g ax ga
Q „ax + a „ ax -Via _\ ax + 3« ,
£=^e — e -\-e ... — '
26
SOLUTION DE QUELQ. PKOBL. A L'AIDE DTNTEGRALES OEF.
done
iqpJS — i -^Al(i + A2a2 + A3a3 -{- . . .
En faisant a^=c]/ — 1, on tronve
T^S^r - i = V-"i (Ac -A^+A^-...) + P,
oil P designe la soninie de tous les termes reels. Mais
gcV-l *>2 0 2
done
i tang £c = — 4,c3 ^ ^5c5 — . . .
Or on a {Legendre Exere. de cale. int. t. II, p. 186)
done, puisque
on obtient
i tang iC-^AlC — A3c3-\-A.0c5 — ..
I
On en conelut,
A =2/ -
A,
thlt
2 _n
5 2.3.4.5 Jo — e-
ete.
En substituant ces valenrs dans l'expression pour £, on trouve
mais on a
SOLUTION DE QUEL.Q. PROBL. A L'AIDE DTNTEGRALES DEF. 27
t* ~. JjL'' y (m + * V-T) - gfr - < V- 1)
done
y (.r + 1) - $3 + 2) + #e + 3) - + 4) + . . .
i 19/' * ^ y (g + <V=l)--y (*— *V— 1)'
Si Ton pose x 0, on obtient
y (1) — </>(2) + y (3) — if (4) + . . . in inf.
Supposons par exemple y a; = g _j_ f ? on a
y (f y~i) — y (— < y^T) _ <
i — i + i — 4 + • • • ~~ i — 2 J o "(i + «») (e-*' — '
done
or on a
par consequent
J„ (T-H2)(^-^)
III.
MEMOIKE SUR LES EQUATIONS ALGEBRIQUES, OU L'ON DEMONTRE
LTMPOSSIBILITE DE LA RESOLUTION DE L'EQUATION GENERALE
DU CINQUIEME DEGRE.
Brochure imprimec chez Grmndahl, Christiania 1824.
Les geometres se sont beaucoup occupes de la resolution generale des
equations algebriques, et plusieurs d'entre eux ont cherche a en prouver
l'impossibilitd; mais si je ne me trompe pas, on n'y a pas reussi jusqu'a
present. J'ose done esperer que les geometres recevront avec bienveillauce
ee memoire qui a pour but de remplir cette lacuue dans la theorie des
equations algebriques.
Soit
f — wf + ty — cf + dij — e = 0
l'equation generale du cinquieme degre, et supposons qu'elle soit resoluble
algebriquement, e'est-a-dire qu'on puisse exprimer y par une fonctiou des
quantites a, />, c, d et e, formee par des radicaux. II est clair qu'on pent
dans ce cas inettre y sous la forme:
m (Stent un nombre premier et B, p, pu p2 etc, des fonctions de la meme
forme que yr et ainsi de suite jusqu'a ce qu'on parvienne a des fonctions
rationnelles des quantites a% b, c, d et e. On pent aussi supposer qu'il soit
impossible d'exprimer Bm par une fonction rationnelle des quantity a, b etc
• j£
Pi Pn P2 etc., et en mettant — - au" lieu de B il est clair qu'on pent fairs
p1—l. On aura done,
MEMQIKE SUB LES EQUATIONS ALGEBKIQUES etc
29
> . 1 ,» TO— 1
y L- p -f g^jfc R"> -f . . . +^,_,
En substituant cette valeur de ?/ dans l'equation proposee, on obtiendra
en reduisant im resultat de cette forme,
£*= q + ?i ^" + 2. ^m + • • • + o** #T*fi o ,
(Z? <Zn 2a e*^- etant des fonctions rationnelles et entieres des quantites
o, ft, ic, tZ, e, etc. et R. Pour que cette equation puisse avoir lieu il
i
faut que q=0, ql = 0, q^ — O etc. qml = 0. En eifet, en designant Rm par
g, on aura les deux equations
zw — 2? = 0 et ^ + 2i 3 + • • • + q.«-x z"""1 — 0.
Si maintenant les quantites ^, q1 etc. ne sont pas egales a zero, ces equa-
tions ont necessairement une ou plusieurs racines communes. Soit k le
nombre de ces racines, on sait qu'on peut trouver une equation du degre k
qui a pour racines les k racines mentionn^es, et dans laquelle. tous les
coefficiens sont des fonctions rationnelles de R, q, qx et q,^_t. Soit
r + ri z + r2 z2 + . • • + rk zk =± 0
cette equation. Elle a ces racines communes avec l'equation zm — i?=0;
or toutes les racines de cette equation sont de la forme aflz1 designant
une des racines de l'equation a™ — 1 == 0. On aura done en substituant les
equations suivantes,
r -\- rx z -f- r2 z2 -f- . . . -f - rk 3* = Q,
r -\- ai\ z -\- a2rt ^2 — | — . . . —J — akrk zk === 0,
r -(- ak_2 7\ z -\- «|_a r2 z2 -f- . . . -f- «L« rkzk = 0.
De ces k equations, on peut toujours tirer la valeur de z exprimee par
une fonction rationnelle des quantites r, rn r2 etc. rm et comme ces quan-
tites sont elles-memes des fonctions rationnelles de <7, />, c, <7, <?, R . . . V>
etc., il s'en suit que z est aussi une fonction rationnelle de ces dernieres
quantites; mais cela est contre l'hypotliese. II faut done que
2 = °> 2ir---=0 etc. qm_1 = 0.
Si maintenant ces equations ont lieu, il est clair que l'equation proposee
est satisfaite par toutes les valeurs qu'on obtiendra pour y, en dormant a
i -. f * • •
Rm toutes les valeurs
.MyV'. ,-Jt ± i •,•>' Ju«rf'*m*m % A ;
R"\ aRm, a2 It", a8ffw, etc. 7*"";
30
MEMOlRE SUR LES EQUATIONS ALGEBRIQUES etc.
a etant une racine de l'equation
• ar1 -f- «"'~2 -f... -f«-f 1 = 0.
On voit aussi que toutes ces valeurs de y sont differentes; car dans le
cas contraire on anrait une equation de la meme "forme que l'equation
P — 0, et une telle equation conduit comme on vient de le voir a un re-
sultat qui ne peut avoir lieu. Le nombre m ne peut done depasser 5.
En designant done par g^j yti y3, y4 et yh les racines de l'equation propose,
on aura
1 2 TO— 1
i_ * m— i
■ 1 ^ m— 1
y> +' 5* + «w,-2^2 If -f . . . -f pjp^, # • ".
De ces Equations on tirera sans peine
in — 1 ^
^ = ^ tt + «y» + • • • + «^ &
■ t .
On voit par la que p% etc. pm_x, B et Rm sont des fonctions ration-
nelles des racines de l'equation proposee.
Considerons maintenant l'une quelconque de ces quantites, par exemple
II Soit
B=S + v« + Siv» + ... + Sn_1v^.
En traitant cette quantity de la meme maniere que ?/, on obtiendra un
i
resultat pareil savoir que les quantites vn\ v, S, S2 etc. sont des fonctions
rationnelles des differentes valeurs de la fonction et comme celles-ci
sont des fonctions rationnelles de pt, y2 etc., les fonctions y*% r, £, S% etc.
le sont de meme. En pour sui van* ce raisonnement on conclura que toutes
MEMOIRS 3UR LES EQUATIONS ALGKBR1QUES ct«-.
31
les fonctions irrationnelles contenues dans l'expression de y sont des fonc-
tions rationnelles des racines de liquation proposee.
Cela pose, il n'est pas difficile d'aeliever la demonstration. (Jonsiderons
d'abord les fonctions irrationnelles de la forme Rn\ R etant une fonction
i *
rationnelle de a, 6, c, et e. Soit Rm—r, r est une fonction rationnelle
U*i Ihi V* et Voi et ^ une f°ncti°n symetrique de ces quantites. Mainte-
nant comme il s'agit de la resolution de l'equation gen^rale du cinquieme
degre, il est clair qu'on peut considerer ytJ ?/2, y3: y4 et yh comme des
variables independantes; l'equation Rm = r doit done avoir lieu dans cette sup-
position. Par consequent on peut echanger les quantites yu yf J ys, y^ et yb entre
elles dans l'equation Rm = r- or par ce changement Rm obtient necessaire-
ment to valeurs differentes en remarquant que R est une fonction syme-
trique. La fonction r doit .done avoir la propriete qu'elle obtient TO valeurs
differentes en permutant de toutes les manieres possibles -les cinq variables
qu'elle contient. Or pour cela il faut que ra=^5 ou m = 2 en reniar-
quant que m est un nombre premier. (Voyez un menioire de M. Cauchy
insere dans le Journal de l'ecole polytecknique, XVIIe Cahier). Soit d'abord
m = 5. La fonction r a done cinq valeurs differentes', et peut par conse-
quent etre mise sous la forme
i
JB* = r =p + px y\ -f pi y\ ij\ -{-p, y\,
jj, px, p.2... etant des fonctions symetriques de yu y.2 etc. Cette equation
donne en cliangeant yx en y.,
v +Pi yi +ih f% + ps y\ +^ fx = aP + m $ + f* + <fy ti + aP* &
ou ' . ,
r/ + «3 + «2 + a + l = 0;
mais cette equation ne peut avoir lieu; le nombre m doit par consequent
etre egal a deux. Soit done
R*=r,
r doit avoir deux valeurs dilierentes et de signe contraire; on aura done
(voyez le memoire de M. Cauchy)
R * = r = v (y, — y,) % — y3) . . . {y2 — y3) • . ■ ty« — ft) = * 8 8 ,
v etant une fonction symdtrique.
32 MEMOIRE SUR LES EQUATIONS ALGEBRIQUES etc.
Considerons inaintenant les fonctions irrationnelles de la forme
Vi Pn Pi etc., If, B1 etc. etant des fonctions rationnelles de a, 6, c, d et e
et par consequent des fonctions syinetriques de yt\ yai y^ yt et yb. Comme
on Fa vu, on doit avoir v = fi= etc. = 2,B = v2S1 B1==vlS etc. La fonc-
tion precedente peut done etre niise sous la forme
Soit
r = [p+p1S2)1",
>\ = [p-p1SY)"J
on aura en multipliant,
i-rl==[p*— pis)™.
Si inaintenant it, n'est pas une fonction symetrique, le nombre ra doit etre
egal a deux; mais dans ce cas r aura quatre valeurs differentes, ce qui est
impossible; il faut done que rr, soit une fonction symetrique. Soit v cette
fonction, on aura
r + >'i = (p + Pi & + v (p + p, S^)~>» = z.
Cette fonction a m valeurs differentes, il faut done que ra = 5, en remar-
quant que m est mi nombre premier. On aura par consequent
z = a + % y + & y* + y3 + q*y4 = [p +p, sj)"+ v[p+ Pl
<!•> ^1? #2 etc. etemt des fonctions syme'triques de ?/2, y.A etc. et par con-
sequent des fonctions rationnelles de a, b, c, d et e. En combinant cette
equation avec l'equation proposee, on en tirera la valeur de y exprimee par
une fonction rationnelle de z, a, b, c, d et * Or une telle fonction est
toujours reductible a la forme
i
oh P, B, P2, P3 et P4 sont des fonctions de la forme p -\*pt >ST, p, pu et S
etant des fonctions rationnelles de o, i, c, d et e. De cette valeur de y
on tire
Ml.MOlKK SUE LES EQUATIONS ALGEBEXQUE8 etc
33
Bb = i (yt + «4*/2 + aAy, + a% + ayh) = [p +px S* )*
oh.
Or le premier membre a 120 valeurs cUflerentes et le second membre seule-
ment 10; par consequent y ne peut avoir la forme que nous venous de
trouver; mais nous avons demontre que y doit necessairement avoir cette
forme, si lequation proposee est resoluble; nous concluons done
qu'il est impossible de resoudre par des radicaux l'equation
generale du cinquieme degre.
II suit immediatement de ce theoreme qu'il est de meme impossible de
resoudre par des radicaux les equations generates des degres superieurs au
cinquieme.
5
IV.
L'INTEGRALE FINIE 2n<px EXPRIMEE PAR UNE INTEGRALE DEFINIE
SIMPLE.
Magazin for Naturvidenskabeme, Aargang III, Bind 2, Christiania 1825.
On pent conime on sait, an moyen du theoreme de Parseval exprimer
l'integrale finie 2ncpx par une integrale ddfinie double, mais si je ne me
trompe, on n'a pas exprime la meme integrale par une integrale definie
simple. C'est ce qui est l'objet de ee memoire.
En designant par (px une fonction quelconque de x% il est ais^ de
voir qu'on peut toujours supposer
(!) (px = f evxfv.dv,
l'integrale etant prise entre deux limites quelconques de v, independantes
de x. La fonction fv designe une fonction de v, dont la forme depend de
celle de cpx. En supposant Jx=l, on aura en prenant l'integrale finie
des deux membres de l'equation (1)
(2)
Z<px=fe-1J^Idv,
ou il faut ajouter une constante arbitraire. En prenant une seconde fois
l'inte'grale finie, on obtiendra
dv.
r J (V-i)*
En general on trouvera
(3) Z»<px=J e-'-^yJv.
I. IXTEGRALE FINIE 2n<fx EXPRIMEE PAR UNE IXTEGR. DEF. SIMPLE.
35
Pour completer cette integrate il faut aj outer au second meinbre une f'onc-
tion de la forme
C'-j- <V + C.2x* + . . . + Cn^xn-\
C, Cl7 C2 etc. etant des constantes arbitraires.
/fv
evx ^v_^y dv.
Pour cela je me sers d'un theoreme du a M. Legendre (Exerc. de calc. int.
t. II, p. 189), savoir que
x ev-\-l 1 _ f * dt.sinvl
T ev—l ~~ ~2vJQ e^—l '
On tire de cette equation
, . 1 , 1 1 ■ ' f* dt.zmvt
(4) -^rrr — V 2 i" J0 e2<»— 1 '
En substituant cette valeur -de. v^_^ dans l'equation (2), on aura
Ztpx =J e™ tjL dv — \j er*fv . dv + %J '^^i/e*ft ' sin vt ' dv'
L'integrale f evxfv . sinvt . dv se trouve de la maniere suivante. En remplacant
dans l'equation (1) x successivement par se-f - t}f — 1 et x — — 1, on
obtiendra
y (x _|_ tY^i) = f evx evt ^fv . dv,
cp(x — t Y—l) ~ff e~vt ^fo • dv ,
d'ou Ton tire, en retranchant et divisant par 2 ^ — 1,
I e sin vt . fv .dv = — — ,
Ainsi l'expression de 2<px devient
Maintenant pour trouver la valeur de Tintegrale generate
M ■ . Zncpx=Je»*fv (eV^1)n,
posons
36
L'INTEGRALE FINIE 2n<fx EXPRIMEE PAR UNE INTEGR. DEP. SIMPLE.
ou p est egal 'a gV_^ , A0nJ Aln... etant des eoefficiens numeriques qui
doivent etre determines. Si Ton differentie Tequation prec&lente, on a
Or
^ —( IV I A fa I A <*2P , , A dUP\
nev
done
(«•_!) n+1 (g»_l)n T (g»_l)n + l »
En comparant ces deux expressions de ^,_^w+1 , on en ddduit les equations
suivantes:
-^0,n
0
o:
o,
-^l/rc —
1
n
o:
1 ^
/J
-™-2,n + l
A2,n —
1
w
o:
J4*.n =
1 ^
^4„_i<n+i An_ln — — An_2n o: JAn_ln = — An_2 #J
d'ou Ton tire
. 1 1
(i
etc.
n n
1 n — 2 2 * 1
Cette demiere equation servira a determiner les constantes qui rentrent dans
les expressions de Ain1 A2n, A3n etc.
Ayant ainsi ddtermine les eoefficiens AQtn, Am A2n etc., on aura, en
substituant dans Tequation (3) au lieu de
mamtenant on a
L INTEGRALS FINIE 2nfx EXPRIMEE PAR UNE INTEGR. DEF SIMPLE. 37
1 1 Ch dt.s'mvt
P = ^~~ 2"+ Jo
d'ou Ton tire en differentiant
d» 1 | of t dt. cos vt
—f- = — -r2 | — ^ — j
1 , f" £^£.cos ttf
Jo
^ 2 9 f*t2dt. sin
^3J0_ _213_
^4 Jo el7W — 1 *'
done en substituant
7
dv
^=/(A-,,^-A-,„-^+---+(-i)"-1A,^+(-ir4)«™>.*
+2(-i)"-f;^^.*+2(-i)-f;$^^>.^.
De liquation <px = fe"xfv.dv on tire en integrant:
f(fx.dx=fe"fv-^-
fyx.dx^fe-fv^r etc.;
de plus on a
/ sin v£ . era/v . dv = — 2^— H
/ cos v£ . evxfv . cfo = — 2 7
done on aura en substituant
, , rh Pdt w(x+ti^-i) — cr{x—ti/—i)
+(_ir.i^+2(-iy-Jo ^rr^ — fjdf^
oil
38 I. I NTEGRALE FINIE 2n<fx EXPRIMEE PAR UNE INTEGR. DEF. SIMPLE.
Eii faisant p. ex. n = 2, on aura
Jo ^2Tt-l 2
Soit p. ex. cpx = eax1 on aura
^y^T) = eaa:e±at>/:::i, feaxdx=;~ea% ffeaxdx2=~ea%
done, en substituant et divisant par eax,
1 J_ 1 I 1 Q f " dt. sin at /** tdt. cos a*
— 2 a "I a2 J o ~ 2 J o T^^T *
Le cas le plus remarquable est celui ou %=1. On a alors, comme
on l'a vu preeedeniment:
En supposant que les deux integrates 2<px et f (px dx s'annulent pour
x = aJ il est clair qu'on aura:
Cr-4«i __ 2 f* rt« + 'V--i)-y(«-«y=i).
Jo ^'-1 2V=T '
done
_2 /* ^ yfo'+tV^l) — y(q —
Jo «2/,<-i 2V-I :
Si Ton fait # = oo, en supposant que cpx et fcpx.dx s'annulent pour
eette valeur de x, on aura:
(pa-\-(p(a-\-l)-\-(p(a-{-2)-{- <p(a -f 8) + '. . . in inf.
LINTEGKALE FINIE 2nfx EXPRIMEE PAR UNE 1XTEGK. DEF-. SIMPLE
39
Soit p. ex. (fx = — |- , on aura
y(a + «y^T) — (p(a— ty^-i) — 2 at
done
+ + + • • • = 2S* + 4 + 4 °/„ + '
et en faisant a = 1
* + f + 14^ iV ~t~ tV ~r * * * ~ 6" =*'~^~^J0 (e%at + '
v.
PETITE CONTRIBUTION A • LA THEORIE DE QUELQUES FONCTIONS
TRANSCEND ANTES.
Presente a la societe royale des sciences a Throndhjem le 22 mars 1826. Imprime dans Det kongelige
norske Videnskabers Selskabs Skrifter t. 2. Throndhjem 1824 — 1827.
1.
Considerons l'integrale
/qdx
q £tant une fonction de x qui ne contient pas a. En differ enti ant p par
rapport a a on trouve
dp C qdx
da J (x — a)2' 0
— puisse etre exprime' par l'intd-
(X a)
grale j on trouvera une Equation diffeYentielle lineaire entre p et a
d'ou Ton pourra tirer p en fonction de a. On obtiendra ainsi une rela-
tion entre plusieurs integrates prises les unes par rapport a x, les autres
par rapport a a. Comme on est conduit par ce proceYle a plusieurs theo-
renies interessants, je vais les developper pour un cas tres dtendu oh la re-
Jo cLoc •
y — rj- est possible, savoir le cas oh Ton
(x a)
a q === (px .efxj fx etant une fonction algebrique rationnelle de £c, et (px
e'tant determine par l'equation
(px = Jc (x -f af (x + «y (x -f ay . . . . (x + a(ny(n)
PETITE CONTRIBUTION A LA THKOHIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND
41
oil a, a\ a" ... sont des eonstautes, /?', (3" ... des HOiabr^S rationnels
quelconques, Dans ce eas on a
V e-fx<px . dx
! x-a~'
dp
C e->x(px.dx
da J
' (A._a)2 '
2. •
La deraiere de ces integrates peut etre reduite de deux manieres.
a) Si Ton differentie la quantite ^ on trouve
ef*(px.dx , (eSx(p'x + efxfx,qx)dx i I e-fx(px \
(x — a)* *r" x — a \ x — a)
En integrant cette equation de sorte que les integrales s'annulent pour
a?== Cj on obtient
/e-f* (fx . dx e-f* rpx eJc rpc ' , Cef* (q>'x-f- (fx . fx) dx
(x — a)2 a — x a — c J <v — a
Si Ton differentie l'expression de cpx on obtient
I- I 4
0' 1
\ X -f- «
(p X
ou la somme doit etre etendue aux valeurs p = 0, 1, 2, 3 . . . n. On tire
de la ♦
« — a " * (« f aW) (> — a) V '
or on a
(*+^fr>).(*--<*j — "~ (x + aW) (a + «'>') ~" a) (a + a^) '
done
fx _ _ " gg I ^ _??!__.
— a"~ f/)J^ (H«*,)(«T«Wj1"J,-fl «+BW
Considerons niaintenant la quantite ^ Comme j& est une fonction
rationnelle de x on peut faire
dip) • • ■
42 • PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND
la sonnne etant etendue a toute valeur entire de />, et designant un
nombre entier. En differentiant on obtient
fx = Spy®®*-1 — 2
done
?* = ^ py if) ^ _ £ gjggg
* — « ' * — « 0 — a)-(a? + e<W)^+i
Or on a
done
Spy® _^LL — 22 py(r)ap'Xp-p'-2 _J 1 ^ pv^a*-1 .
Four reduire 1 expression 2 1 nosons
(x — a)(x-{-e(P>)fl(p)+1 *
1 — A l M I ^2 | , !2
r f« _l M\i ~r • ■ • n
(* _ a) (a + c) ni * — a ~ « 41 c X -f^T" • • *&p*fft» '
si Ton multiplie de part et d'autre par x — a, et qu'on fasse ensuite x = a,
on obtient
A = 1
(a-\-c)m '
Pour trouver AT, on multiplie les deux membres de l'equation par (x + c)n,
—=(—+—+■ r A^}(x \ 1-
+ A¥+ c)m-p' + + <u**^ + • • • ,
puis *on difierentie m — p' fois de suite, ce qui donne
(_ ir_, 1,2^^) = (x + e)li+1.2.S...(m -p')Af.
En faisant x = — c, on tire '
~ A - 1 ■ - - - -
y (a -f- c) "•->''+ 1 '
done
1 1 1 •
— a) 0 + c)« ~ (a + c)m (x — a) (a + c)"-^! (* + '
PBT1TB CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
43
En ecrivant maintenant e (p) au lieu de o, fi$r^-\ au lieu de m, et niulti-
pliant par fi^.d^ on a
(x — rt) (* + e (a + e W)/* w+» (as — a) (a + £W).«(p)-p'+2(# -j- e«)F' '
done
_ rt) (a? -f w+i # — a (a + e«) (a + £ «)f (a -f '
En substituant dans l'expression de J cette valeur, de nieme que celle
trouvee plus liaut pour 2py(r) ' , on obtient
x — a x — a
-|- 22py(p)ap'xp~p -2 -)- iSS
Si Ton multiplie les deux membres de cette equation par (px7 et qu'on
remarque que le coefficient de r ^ a es* egal a fa on a
(fx. fx wx.f'a . M _j p,_2 , ftw<Jw
2 — ^— =- 2 — L L (px 22 py wap xp p -\- wx 22 ■ £r— — —
x — a v — av' #* 1 ' ■ (a-\-e(P))f(r,)-p'+*(x-\-£(P)y
En y ajoutant la valeur trouvee pour , multipliant ensuite par e/x6Zse
et integrant, on en tire
ft(p) Cefx<fx . da j ii(p) d(p} C e-fj(j,r.il,r
Si Ton substitue cette valeur dans l'expression de j' ^!^(ly 011 ^> et <lu'()n
, . t. , /* efx(px.dx
ecrive au lieu de / — 3 , on trouve
j x a t
j£ _ | /'„ i (&] a = _ ffft _1_ i_ skpyMa^ fe-f*wx . x"-''-2 dx
(1m \J 1 r/Yt j1 x — a 1 c — « 1 »
* ' /?M Cefrcpx.dx (*(p)d(p) f ef'qu.dx
6*
44 PETITE CONTRIBUTION A LA THEOKIE 1)E QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
b). Je vais niainteiiant exposer. la seconde methode de reduction; niais
comme celle-ci est assez longue et compliquee quand fx est. ime fonction
rationnelle quelconque de a?, je me bornerai au cas ou fx est une fonction
entiere. On a done
fx z=zjgy
En differentiant l'expression ^ ou
x — a
yx = (x ~\- a) (x -\- a) . . . [x--j- a (n)\
on obtient
, , efxwx ip'x -4- ipx { 4- /v.t- I
efxffx.\}'x ^ , 7 [y ■ ' r ( y# 1 /J _ W ^* g • V'* V
(.r — a)2"~t~ # — a ' \ * — « /
Pour reduire cette expression, considerons l'equation
.7'
_ 1 ' ' ' 2 ' ^2.3' T'"^2,.3"...w>
« — a .?! — a r
ou 2^, .F', F" ... designent les valeurs que prennent Fx, F'x, F"x... quand
on fait x = 0. On a ainsi
F(p) »
.Fx „ F<W «v ~2.3...j> , J«&
J . o . . . p x — a x — tit 1 2 . 6 . . .p
ou, en remarquant que ^-^-^ ap = Fa,
Fx Fa , ^fp+p'+i;
— U jv^. . ap x p
x — a x — a 1 2 . 3 . . . ( p -(- p' -)- 1) '
ou Ton a mis -{-1 au lieu de p. En differentiant cette formule par
rapport a « on obtient
Fx Fa ' F'a . , ■
ssa — A L 2£JE ^rjP 1*iP
(x—ay (x— ay < ^ — a ^^^2.3. ...Q> + j/ + l) x'
Si dans cette formule on pose Fx = \px , on a
. ■ a)2 — a)2T a~r*^^2.3...(^+y + 2)
En mettant dans la premiere formule, pour Fx la fonction entiere
y'x-\- At on obtient
i'KTlTK I'ONTKI 151'TlON A LA TIIEOIUE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 45
t-"2. 3. ..(,. + ,>'+!)
V' nV
arx
m — a
I (r+p'+i)
ap'xp.
-T^2.3...(^+/>' + l)
Si Ton .substitue ces valeurs dans ^expression do d\: r_a J, on obtient
Eii integrant cette. equation, divisant tie part et d'autre par fa, et ecrivant
P au Ueu $ * on tronve
' ~^2..3...G> + p' + 2) V*1^
on bien
(2) - , [n>^ + r\
on y (p, J> >=*/£... fp+jpr'-f S)"t"2 . 3 , . . + i)
3.
• LeS equations (1) et (2) deviennent immediatenient inteoraldes qnand on
le» innltiplie par g'j on obtient.de eette n.aniere, en mnarquant qu'on a
7(*-(f+/''i>*)>°==-?' • ■
4G PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
les deux foimules suivantes:
<Pa T J (a — x)(fa * J(a—e)(fa
+JEJBn» . fe^cpx.x^dx - Sp* j .
1 ' J („_J_ e<W) J + ap5 37 W?
-— - - = efx(px.yjx ? r efcwc.wc , —
La quantite c etant arbitraire, nous ferons dans la premiere fbrnmle
e/c — 0, dans la seconde e-fc cpc . ifrc = 0. Si de plus on suppose que les
integrates prises par rapport a a s'annulent pour — = 0, on voit aisement
tpa 4 1
qu'on a C(x) = 0; on obtient ainsi, en remettant pour p sa valeur f e/X(fx'(Lx
J * — a
les deux formules suivantes: '
g- fa f'e^wx.dx ,„ /' e~fada ',\ C />-f«np' da C
(3) —2I&} f e~fa <la fefxW -dx
V 'J (a + ff«) y ft -f a«
I yy^jwf g~/ac?a /W«ffft.dft ^
1 1 J (a -(- ^a J 0 '
e-f»fefxcpx.dx ■ . T <r-/«da
^^Cf^p^J^^^cpx.x^dx^
Si dans la premiere de ces formules, /c est une fonction entiere, on a
<*<W==0, done
. g-/g T ef*cpx.dx fx r e-Sada
(fa J x~a % 'J (a -±as) fa
(5) =ZZ(p+p' + 2)r<^>f.e^^.L'.lf3i.xrdx
^o(p) f e~~fa da C eS* cpx dx
PETITE CONTRIBUTION A LA THEOKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
47
Je vais maintenant appliquer les formules generales a quelques cas
speciaux.
a) Si Ton fait (pa = 1 , la formule (3) donne
e_fa J ef^ _ eJ,J e^da = -jjgfofr Je~f«ar> da . jef* x& >dX.
4- 22 u<*>$<*i f e~~/a(la . f eUdx • .
~ 1 J (a -f e«) J (as + e*>)»'
Si de plus esf une fonction entire, on a (T^ = (); dans ce cas la for-
mule devient
(6) e-'a j^^a — afx j:^~ = ^(p+J) ' + ^)y(p^'^) je^a^da.je^x'dx.
En developpant le second niembre, on obtient
e-fa f^±_er,f = 2y*> fe-J-da • I>dx
J x — a J a — x v J
-f 3/3j (J0-Jaada .je^dx -f je~fada .jefxx dx^j
Jr4:/i)^fe--faaisda Jefxdx + je-Jaada . jefxxdx
4r J e~Ja da .JeJxx2 dx^j
+
+ nyin) (^ Je-/aan-2da.Je/xdx + j e~Ja a,n~* da .jefxxdx -f . . .
-f je-^da.je^x^db^.
Si par exemple fx = x% on a ^« = = . . . = 0, ^w==lj
la formule ci-dessus devient
e~a I ex I — — n / e~n a11 2 da . / ex dx
J x—a J a — x \J J
' + fe-«u an~» da . fex'1 xdx + ...-{- J'e~a" da .j'e^x'^dx^ \
par exemple pour 7* = 2, w = 3, on a respectivement
e~a I ex I — = 2 / e~a da. ex dx,
J «: — « J a — * . J J
e'ai f~ ~ " 3 feti da = 3 U'e~n*a da dx ^ J'e'ai da '
48 PETITE CONTRIBUTION A LA T1IEOKIE DE .QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
b) Posons maintenant dans la fbrmule (3) /x = 0, nous aurons
(7) wx fr-Ar 1 [ yx'dx == !s/& f -— -- - I ******
J {a — x)(fa (f a J x — a 1 J (a-\- ct^)(fa' J x + a^'
oil bien, en developpant le second niembre,
1 f (px . tlx __ „ f da r%c.dx
■J {a—x)tpa (fa J x—a 1 J (a + a)qu'J x + a
I ft' f f± /' ^ • dx I JL.ft<*)f ' da. fffW'dx
r ' J (a + a')(fu'J x-\-a' ~J~ ' ' ' ' J (a+ a^jya J as+a<*j
oh il faut se rappe^er qu'on a
(fx = (x + ft)'9 (x- -f a'f . . . . (x -f
ya= (a -f «)/» (a + a'f .... (a -f- .
c) En faisant dans la formule (4) fx==6, on obtient
(«) u^-^H^^^^S^^-^
d) Posons dans la fbmmle (8) ft = (3' — ...z=ftM=zm1 nous aurons
== (^) ■ , (pX . — (
^'aj i= m(ipx)m'-x\i)'x1 Vs — my'x.
done en posant
ym==;k -f + a + ..-. + & f"; ^ n,
nous avons
<p(p,i>') = *frs ^rr^+F+^ — - = (* + 1 H" 2)) **H|
En substituant ces valeurs, on trouve *
W + 1 + ^ +/ + 2)) I (yxyxr dx.
PETITE CONTRIBUTION A LA TH -OKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
49
Le cas ou m = — ^ a eela de remarquable, que les integrales par
rapport a x et a a prennent la menie forme; en effet on a
done
Si Ton suppose, par exemple que ipx = 1 -\- ax'\ on a k(n) = a;
sera egal a zero, a moins que ^-2 e'est-a-dire que jj=n — p'— 2;
done
VTW f - - VT+axr f %
a , 9, f aVda fx-~^dx
En developpant le second niembre, on a
1=8 3 V ^ [J yi_L.aa«'J Vl + a*-' J Vl + aa» ' J Vl + a*»
a T f ada C x^dx _ T a^da C xdx
a 2 da
yi+.
Par exemple si n = 3 , on a
a [ f da C xdx _ /' ada C dx
Comme second exemple je prends
yx = (l— — ax\
alors on a k'^&^&% h" = h* (1 + «), &"" = <*■ $ ^rit
— a pour a, la formule devient
7 .
50
PETITE CONTRIBUTION A LA THEOKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
W- o (i - «<»*) J- iU
Eii posant
(x -f a) V(l — x2) (1 — ax2)
- ni-x^v-a*) [ :
J (« + «Q V(l — « ) (1 — «a
C x2dx
V(i— a2) (1 — aa2) 'J V(l — *?) (l^Z
/* * a2aa C dx
!)
# = siny, a = sini//,
on a
V(i-
— ax2) =
cos cp y 1 — a sin2a;
y(i-
— a a2) - -
cosi//|/l — a sin2i//
dx
— C1
— ««2)
V 1 — a sin2<jp '
da
dip
V(i
-«2)(1
— aa2)
V 1 — a sin2{/>
«,'?/ dtXj
sin2r/> aty
V(i
-x*)(l
— a#2)
yi — a sin2^'
a"2da
sin2*// di//
V(i
-a2)(l
— a a2)
yi — a sin2<//
En substituant ces valeurs, on trouve
cos wVl — a sinV /
r j
dcp
(sin cp + sin iff) Vl — cc s'm2<p
— cos <pyi — «sinV / .
J (sin i/; -f- sin <p) yi — « sin2«//
= « f =. sin Vzy f sitfipdxp- r d(p
J Vl — asm3ip J Yl — aBm*<p "J Yl^ti^p 'J yi=^
sin2^
Cette fonnule repond a celle que M. Legendre a donnee dans ses Exercices
de calcul integral t. I p. 136, et elle peut en etre deduite.
e) Si dans la forniule (5) on pose fx = x, on obtient
(10) £ f _ e* cpx [J?*L ~ _ ^tf f «-ada /•>
PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE L)E QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
51
d'ou en developpant le second membre on tire
/e-ada e~a C excpx.dx ~ C er-ada C ex(px.dx
(a— a-) qu ~~ fa j x — a ~~ ' J (a + «)</>« 'J a; -fa"
f e-°da { excpx.dx , ■ R(n) f e-ada C e-yxAx
Par exemple si ipx^Y^--!, on a = = «' = — 1, done
, , ' f g~a re*dxVx*—l
e*fx — 1J(a_^ya^_1 y^mj- -r— a
f) En posant dans la formule (4) = /?" = ..*. =/3W^=w, on a
= ( w , cpx.ipx = (ipx) " + 1 , done
r*f*($x)*dx fx( )m+1f e-'*da
\ m + 1
(ID
— yy
Or on tronve
done, en faisant
jfe - 7 + 7'* + 7"^ + '■' +7(n')*n',
7/,T ^k+k'x +iy% h — (- fcf
on a
'+2;
y ±± + p' + 2) 7*** + + 1 + m (p + ;/ + 2) j mf
«•
Par consequent on a
(t/»«)
(12) esOjft (;>+/ + 2) /'J+"'+2;
52 I'ETITE CONTRIBUTION A LA THEOR1E DE QUELQ. EONC'T. TRANSCKN I >.
Si Ton fait m = — on trouve
e~- f* da
' ' J (.r-«) V.,te " Jl
(a — x) ~V\J>a
dx
L JJ Yif'a J Yi/w
Soit par exemple fx — x et ipx=l — a?2, on a
done
e-°}fT^ra-* f e*dx = e*VT^ f .
J (.v — a)Yl—x* ' J(a — x)Yl—a*
En dcrivant — a au lieu cle a, on obtient
<>n~)/ 1 -a* f- e*d* =e*Yl-x* f
eada
+ Vl — a2
en posant se = sin<jp, et « = sini//, on trouve
cos We 1 \ ■ — t — 7 = COswe v -. , — i — ,
J sin cp -f- sin ij.) J J sm t/< -f sin (f.
les integrales devant s'annuler pour <p = - J , — -J- .
Je vais maintenant faire une autre application des equations general es.
Nous avons jiisqu'a present regarde x et a comme des indeterniinees, sans
nous occuper des valeurs speciales de ces quantites qui simplifieraient les
formules. Nous allons maintenant chercher de telles valeurs.
a) Considerons en premier lieu liquation (5). Le premier membre de
cette equation contient deux integrales, mais comme chacune d'elles est
multiplied par une quantite dependant respectivenient de a et de x. il est
clair qu'on peut donner a ces quantites des valeurs telles, que les integrales
disparaissent, on Tune, ou toutes les deux, -pourvu seulement que ch'acune
des Equations — = 0, efxcpx = 01 ait au moins deux racines differentes; car
nous avons deja suppose que les integrales s'annulent pour des valeurs de
x et de a qui satisfont a ces Equations.
Supposons d'abord efx(px = 0, nous aurons apres avoir multiplie par
efa(pa,
1'ETITE CONTRIBUTION A LA TIIEOKIIi DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 53
/,0n , „ f e~fada Ce^x(px.dx
(13) ■ -•ft**l*] (aZ&}9ij -*&ST
(x = x', x = x" , a = a'),
les equations entre parentheses indiquant tes limites entre lesquelles les inte-
grates doivent etre prises; ces limites doivent satisfaire aux equations
esx'cpx'=0, efx"cpx"—0', ^=0.
De la formule prececlente decoule le theoreme suivant:
"La valeur de l'integrate J entre des limites <lui annulent la
"fonction e/x<px peut etre exprimee par des integrates des formes suivantes:
/Ce-faaP' da Pef*fX.dx f eSada
e'*(px.xpdx, J — — J-^qr^sr* J (?+<*<*>)
"les integrates par rapport a x etant prises entre les memes limites que la
"premiere integrate."
Ce theoreme a cela de remarquable, que la meme reduction est impos-
sible, quand l'integrate |" est prise entre des limites indeterminees.
En posant fx = Q, on obtient
fcnx.dx _iflW f da f cpx.dx
{M) J «--a=~ J (aT^' J
(x = xf, x = x", a — a!).
Si Ton pose (px = 1 , on aura
v-w p\ v> ! 2) y<p+p'+*> fe-faap'da. fefxxrdx.
(15) J'r-a ' J J
(x = x', x = x", a = a'). •
Sftppdsons maintenant qu'on donne en meme temps a a une valeur qui
aimule la quantite* — , et soit a" cette valeur, la formule (13) donnera
1 (fa
f ^/a^ feSyx^dw
o1 Ctrl* a?' da f fx „ j?
(16) ' ~^2{p+f'+Zte*V*)—9; Je"<fx.x-dx.
(x = x', x = x"; a = a', a = a").
54 PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
En supposant fx — hx, on en tire
2 fl(p) C (r-kada C cpx . dx __
(17) ' Jla + a»>)<ra'J «T«W ~
(x = x\ x = x"- a — a' , a — a").
En faisant & = 0, on obtient *
(18) ' J (a + aM)<ra'J «+««
(a5 = aj', # = a — a', a = a").
Posons par exeniple </).t = y.T2 — 1 — - ]/(^ — 1) — |— 1) 7 on a
P=ir=l- « = — 1, a'z^l; a/=l, x"=— 1; ff'sroo, r/"z=-oo;
done
f da Cdxjx*—\ . r da rdxVx* — l_
J (a — \)Ya*^l J * - 1 ~*~J (a + 1) y£i _ 1 'J ~~
(X'=l; aj'V = tf'==:-|-00, a"= — oo),
ce qui a lieu en efiet, ear on a
\, ,w, ,=-^7 = ° («' = +°°, «"=-«>),
J (a— l)Ya2— 1 r « — 1 v 1 ;'
A ,w = ° K = + oo, a" = -oo).
J(«+l)Va2— 1 r «+l V T ' '
Si dans la fommle (16) on fait ya?=l, on obtient
^ ^(p+p, + 2)/^'+2>Je^aap,da.j>xJ'dx==()
(x = x\ x = x"; a = a', a = a"). '
b) Considerons en second lieu la formule (4). En supposant efx(px.yx=0,
on trouve apres avoir multiplie* par &fa(pa
(20) J * — a r W^/J pa.^a J ^
«, = £ = « = «'),
on a
fjc* . ^ — 0 , e fx" <px" . ipx" = 0 , e~ === 0 ,
PETITE CONTRIBUTION A LA THEOKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 55
Cette formule se traduit en theorem e comme suit:
6 J—a ^ ' pi*Se 6Iltie fleS lmUteS amm~
"lent la quantite ef*<pc.ipx, ' pent etre exprimee par des integrales de ces
"formes: ff^±, \e»<px;&<H»
Pour des valeurs indeterminees de x au contraire, cette reduction de
I ef (fx . ^ impossible.
J a? — a
En faisant /? = ft' = .... = ft(n) = m, on obtient la formule suivante
oil
y&=~(j^a) + •••(^ + C(f'0)-
Si de plus on suppose /aj==0, on obtient
(a; = 25', £ = 23"; a = #').
On a done le tlieoreme suivant, qui n'est qu'un cas special du pre-
cedent:
__a > prise entre des limites qui satis-
"font a l'equation (yx)m+1 = 0, peut etre exprimee par des integrales des
"formes {"'y^i' j^T'^dx, ipx etant une fonction entiere de X."
En faisant m — — \ , on obtient
(23) J 0~ 2Vi/'a J J A"-*
= # = a=d )j
d'ou le theorem e suivant:
"La valeur de ttntegrale / '''''' > prise entre des limites qui a
6 J(.,_a)V«/a-
anmi-
56 PETITE CONTttlliUTION A LA THEOKIE DE QUELQ. EONCT. TKANSCEND.
"lent la fonction fx, peut etre exprimee par des integrales de la ibr-
"me f xV ^x "
J Yip®
Faisons par exemple \px={l — x2)(l — ax2), nous aurons x=l, x'=—l,
*> = \/I, *> = -V±-, *<=!, -1, f/f, done
V(l - «*) (~i -aa*) f d*
'J (« — a) V(l — **) (1 —
/da C x*'dd
J V(l — a»)(l^~^*) J V(l— x*)(l^c^*)
x— 1, l= — 1 ; a = + 1 , +
.*=-». •=±V\\ «=±i, ±1/4)
I .-• I 1 ; «=+!, • I 1 i.
r « r a — 7 — f a I
Si dans la formule (22) on suppose ipx~l — x2r\ on trouve
(a; = 1 , • £C = — 1, a=l),
011 m-)-l doit etre inomdre que l'linite, e'est-a-dire que w<[0. On a
y (|», »') = (p -)- 1 -f m _|_ 2)) fefr**-**? :
puisque k(p+p'+*> ==0, a moins que p -j-p' -f 2 = 2n, et comme ==. —
on en tire
<P(PiP')== — (p-\-l-\-2mn).
L'integ-rale f(l — xin)mxv dx peut etre exprimee par la fonction /'. On a
en effet
PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 57
f \ 1 — x-H) *x* dx——[ (1 — x2n)mxp dx-\-C (1 — x2n)mxp dx .
J +1 J o Jo
Mais on a
/ *(i _ xiu)mxpdx = (— (\l — x2n)mxpdx,
Jo Jo
comme on le voit en mettant — x an lien de x. Done
_ x**)mxpdx=((— — l) j\l—x2")mxpdx,
e'est-a-dire qn'on a
/ \\ x*n)mx*"dx = — 2 f\l — x2n)x2pdx,
J +i Jo
f \l—x2n)mx2p+1dx = 0.
J +i
Or on dednit aisement d'nne formule eonnne (Legendre Exereices de calcul
integral t. I p. 279) 1'eqnation snivante
r>+i)r(i±*)
1 - x*r x2p dx = — : ;
on a done
c/ 0
| (i - x*r ^ dx = - - - r \ |y .
En snbstitnant cette valenr, et eerivant ensuite — m ponr m, on obtient
(.r=l, x— — 1; (7 = 1).
Si Ton fait m=.\, on trouve
1 -f 2p
(' wo -L.1 s fa*-*-*
V 2 2 w J
(x=l, x= — l; a=l, o = ct).
-*da
58
PETITE CONTRIBUTION A LA THEOIUE I)E QUELQ. FONCT. TRANSCEND-
Par exemple si n = 3 , on trouve
J (a — a) Vl — .r« 3 l\$)Vl — a6 J H — aG * r(|)Vl — a6 J yi — a°
(.r=l, aesss; — 1; a=l).
Or on a .T(^) — jAr, en substituant cette valenr on obtient
(cc = 1. , x = — 1 ; a = 1).
Dans ce qui precede nous avons suppose e/2 ya? . ipx = 0 ; supposons
maintenant qu'on ait en meme temps — — = 0, et designons par a" une
valeur de a qui satisfait a cette condition. I/equation (4) devient dans
ce cas:
___ / i\ f. eSaaP' da C . „ 7 „
(/) (p,p) I — — / e'x wx . x> dx = ()
(25) J f/a-V'« J 7
(05 = 35', # = a = a', a = a//).
Si yir = 0 , on a
(26) ' ^f(P,P')J~a-f<f^-^dx = 0
(x = x'1 x = x"- a — a, a = a").
Supposons que ft\ ft" ... soient negatifs, niais que leurs valeurs ab-
solues soient nioindres que l'unitd, nous aurons cpx . \fjx = 0 pour x = — a (v\
et — r = 0 pour « = — a(q) . Oil obtient ainsi la formule suivante
cfa
/ '\ f aP'da f n
(27) J ^ J fPx ■
(x— — a(p)1 x= — a(ty)- a= — a(,l), a = — a(,,')'),
oil Ton a fait .
tpx = (x-\- aY (x -\- a'Y' (x -\- a")1"'". . . .
ya = (a a)1-? (a + a')1^1' (a -f a")1-''"'. . . . ,
/J, /?', ft" ... etant positifs et nioindres que l'unite.
PETITE CONTRIBUTION A LA THEOK1E DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
59
En faisant /? = ft' = = • • • = on obtient
J Vfpa J Vgw
(28)
(ft = — a(p\ X= —
a(p'>: a
a(,1K a
Dans cette formule on a
(px = (xJra) _)-«') (x + a").-> = k-{-k'x-\-k"x*-{-...
Par exemple si Ton pose qwc== (l — ; a;) (1 0?) (1 — cx) (1 *■}- cjc) , on
1, «' = — 1, a" =■ — ? a'
j done
C da (' x2 dx f a2 da C dx
J V(l _a*) (U^a~*) J Vfl— .r2) (1— ~~ J V(l — a2) (1— c2a2) 'J V(l — #2) (1— c*x*)
^ — X ^ — ■ —
x
= 1, iC ==
= 1 , iC =
1 , £C =
& ■ 1 ^ t/y
1
X = — j X
(t
= 1
a == 1 , a =
« — 1 , a == —
_ 1
c '
a ===• 1 } <&===
a = 1 , a = —
a = — ? a
c
5 a =
1)
1 \
c J
1
c
X
c
1
c
1
c
1
c
1
c
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(«)
(7)
(8)
Designons par i^x la valeur de Tinteg-rale ^
prise de-
puis e = 0, et par jEb celle de /-= = depuis 31 = 0, nous
,r- dx
aiirons
I
dx
a y(i-x2)(i-c2^2)
= Fa' — Fa,
dx
m V"(i-.e2)(i-c2^)
= Ea' — Fa.
8*
60 PETITE CONTRIBUTION A LA THEOKIE DE QUEEQ. FONCT. TKANSCEND.
Eii substituant ces valeurs, on aura La formule suivante
On n'obtient pas d'autres relations quel que soit le systeme de limites qu'on
emploie, excepte seulement les systemes qui donnent des identites, savoir
le ler, le 5ifeme et le 8ifeme.
fei Ion designe en general par F(p,x) la valeur de lmtegrale
J v<f
prise d'une liniite inferieure arbitraire, on a
En substituant cette valeur dans la formule (28), on obtient la suivante:
(29)
De cette formule on pent en deduire beaucoup d'autres plus speciales en
supposant ipx paire ou impaire, mais pour ne pas m'etendre trop au long
je les passe sous silence.
II faut se rappeler que «, cc\ a", a'" peuvent designer des racines
quelconques de liquation <px = 0. On peut aussi supposer « = «', a" = a'".
VI.
RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANTITES VARIABLES INDE-
PENDANTES x ET TELLES QUE /(#, y), QUI ONT LA PROPRIETE
QUE /(a;, ?/)) EST UNE FONCTION SYMETRIQUE DE g, x ET y.
Journal fur die reino und angewandte Mathematik, herausgegeben von Crelle, Bd. I, Berlin 1826.
Si Ton designe p. ex. les fonctions x-\-y et xy par f(x, y), on a
pour la premiere, f(z7 f(x, y))=zz-\-f(x, y) = z-^-x-\-y, et pour la se-
conde, f(zy f(Xj p)) = zf(x, y)=zzzxy. La fonction f(x, y) a done dans
Fun et l'autre cas la propriete remarquable que f(z, f(x, y)) est une fonc-
tion synietrique des trois variables independantes z1 x et y. Je vais cher-
clier dans ce niemoire la forme generale des fonctions qui jouissent de cette
propriete.
L'equation fondamentale est celle-ci:
(1) f(z, f{x, y)) — une fonction synietrique de x, y et z.
Une fonction synietrique reste la menie lorsqu'on y echange entre elles
d'une maniere quelconque, les quantites variables dont elle depend. On a
done les equations suivantes:
(2) ' A*,Ax,y))=f^, /(!/,*)),
ft*, /(*! #))=/(//, *)T>
Az,f(xyy))=f(y,f(z,x)).
(i2 RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDEP. etc.
La premiere equation ne peut avoir lieu a moins qu'on n'ait
c'est-a-dire que f(x, y) doit etre une fonction symetrique de x et y. Par
cette raison les equations (2) se reduisent aux deux suivantes:
( , Ah f(xi y)) =*/(*i /(y> z)) »
Soit pour abreger f(x, y) = r, /(?/, z) = v, /(z, = on aura
(4) f(z,r)=f(x,v)=f(y,S).
En differential^ successivement par rapport a x, y^ z, on aura
rfr ds
dx
ds J., dv .
^ dz r
Si Ton multiplie ces equations nienibre a menibre et qu'on divise les pro-
duits par f'r.f'v.f's, on obtiendra cette equation
(5)
ou bien
dr dv ds dr dv ds
dx dy dz dy dz dx
dv ds
dr dy __ dr da;
dx dv dy ds
dz dz
Si Ton fait z invariable, ^ se r^duira a une fonction de y seule.
Soit (py cette fonction, on aura en nieme temps : ~- = cpx; car s est la
meme fonction de z et x que v Test de z et y. Done
>_* " dr dr
On en tirera, en integrant, la valeur generale de r,
r=zip(j <px .dx-\-f (py . dy) ,
RECHERCHE DBS F0NCTI0NS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDEIV at*. 63
i// etant une fonction arbitraire. En ecrivant pour abreger (px pour f yxdx,
et (py pour Jtpydy, on aura
(7) r = i//(ff|rt, on fix, y) = v{<px + (py).
Voila done la forme que doit avoir la fonction cliercnee. Mais elle ne peut
pas dans tonte sa generalite satisfaire a l'equation (4). En effet l'equation
(5), qui donne la forme de la fonction f(x, y), est beanconp pins g^nerale
que l'eqnation (4), a laqnelle elle doit satisfaire. II s'agit done des restric-
tions anxqnelles l'eqnation generale est assiljettie. On a
/(z, r) = y((pz + (pr).
Or r — \p ((px -\- (py) , done
/(z, r) = ty((pz + (py((px -f yy)).
Cette expression doit etre symetrique par rapport a x, y et z. ■ Done
-f- -f- (py) =(px-\- cpip{(py + <pz).
Soit (pz = 0 et yy = Q, on aura
<^<px = ya; -f - (py{ty — <PX + c5
done en faisant (px=p,
(pxpf =p -\- c.
En designant done par q>x la fonction inverse de celle qui est exprimee par
(p, de sorteaqne
(p(ptx =■ x,
on tronvera
La forme g&rirale de la fonction cherckee f(x, y) sera done
/(a?, y) = <px(c + (px + g>y) ,
et cette fonction a en effet la propriete demandee. On tire de la
(pf{x, y) = c + (px + (py
on, en mettant xpx-c a la place de (px, et par consequent i/>y - e a la
place de (py et ipf{x,y) — c. a la place de (pf(x, y),
.^/(a;, y) = i{>x-\- ipy.
64 RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANT VARIABLES IN DEP. etc.
Cela doime le tkeoreme suivant:
Lor 'squ 'tine f auction f(x, y) de deux quantite's variables independantes
x et y a la propriete que f{z, f(x, y)) est une fonction symetrique de x,
y et z, il y aura toujours une fonction \p pour laquelle on a
La fonction f{x1 y) etant donnee, on trouvera aisement la fonction if>x.'
En effet on aura en differential l'equation ci-dessus, par rapport h x et
par rapport a ?/, et faisant pour abreger f(x,y) = r
i dr ,
done en eliminant i//r,
d'ou
/ dr ,
dr , dr
dr
, . dx
dy
Multipliant done par dx et integrant, on aura
dr
yx = xp'y J-^-dx.
dy ;
Soit par exeiuple
r=Ax,y) = xy,
il se trouvera une fonction \p pour laquelle
y(xij) = ipx + yjy.
Comme r = xyJ on a : ,—])•, r —xi done
yjx = xp'y J^-dx = y xp'y . log cx,
on, puisque la quantite y est supposee eonstante,
ipx — a log ex.
RECHERCHE DES FUNCTIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDEP. etc. 65
Cela dotme \py==alog cy, \p(xy)== a l°g* GX1J'i 011 cloit clone avoir:
a log cxy = a log cx -j- a log cy ,
ce qui a effectivement lieu pour d= 1.
Far un precede semblable au precedent, on pent en general trouver des
fonctions de deux quantites variables, qui satisfassent a des equations don-
nees a trois variables. En effet, par des differentiations successives par rap-
port aux differentes quantites variables, on trouvera des Equations, desquelles
on pent eliminer autant de fonctions inconnues qu'on voudra, jusqu'a ce
qu'on soit parvenu a une equation qui ne contienne qu'une seule fonction
inconnue. Cette equation sera une equation differentielle partielle a deux
variables indepenclantes. L'expression que donne cette Equation contiendra
done un certain nombre de fonctions arbitraires d'une seule quantity variable.
Lorsque les fonctions inconnues trouvees de cette maniere seront substitutes
dans l'equation donnee, on trouvera une equation entre plusieurs fonctions
d'une seule quantity variable. Pour trouver ces fonctions, on doit differentier
de nouveau et Ton parviendra ainsi a des equations differentielles ordinaires,
an nioyen desquelles on trouvera les fonctions, qui ne sont plus arbitraires.
De cette maniere on trouvera la forme de toutes les fonctions inconnues, a
moins qu'il ne soit impossible de satisfaire a l'equation donne'e.
9
VII
DEMONSTRATION DE L'lMPOSSIBILITE DE LA RESOLUTION ALGEBRIQUE
DES EQUATIONS GENERALES QUI PASSENT LE QUATRIEME DEGRE.
Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 1, Berlin 1826.
On peut, connne on sait, resoudre les equations generales jusqu'au
quatrieme degre, niais les Equations d'un degrd plus eleve, seulement dans
des cas particuliers, et, si je ne nie trompe, on n'a pas encore repondu
d'une maniere satisfaisante a la question: "Est-il possible de resoudre en
general les Equations qui passent le quatrieme degreT' Ce memoire a pour
but de repondre a cette question.
K&soudre alg^briquement une equation ne veut dire autre chose, que
d'exprimer ses racines par des fonctions algebriques des coefficiens. II faut
done considerer d'abord la forme generale des fonctions algebriques, et cher-
eher ensuite s'il est possible de satisfaire a liquation donnee, en mettant
l'expression d'une fonction algebrique au lieu de l'inconnue.
§ i-
Sur la forme gSnerale des functions tdgebriques.
Soient x, x", x'" ... un nombre fini de quantites quelconques. On
dit que v est une fonction algebrique de ces quantites, s'il est possible
d'exprimer v en x', x", x!" ... k l'aide des operations suivantes: 1) par
l'addition; 2) par la multiplication, soit de quantites dependant de
x', x", x'" . .., soit de quantites qui n'en dependent pas; 3) par la divi-
sion; 4) par l'extraction de racines d'indices premiers. Parmi ces ope-
DEM0NSTR. DE LTMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS 6te.
67
rations nous n'avons pas compte' la soustraction, 1'eleVation a des puissances
entieres et l'extraction de racines de degres composes, car elles sont evidem-
ment comprises dans les quatre operations mentionn^es.
Lorsque la fonction v peut se former par les trois premieres des
operations ci-dessus, elle est dite algebrique et rationnelle, ou seulement ration-
nelle; et si les deux premieres operations sont seules necessaires, elle est dite
algebrique, raiionneUe et entiere, ou seulement entihre.
Soit f(x\ x", x'" . . .) une fonction quelconque qui peut s'exprimer par
la somme d'un nombre fini de termes de la forme
Ax'm' x"m*
oil A est une quantite independante de x', x" etc. et ou mx, m2 etc.
designent des nombres entiers positifs; il est clair que les deux premieres
operations ci-dessus sont des cas particuliers de l'operation designee par
/(#', x", x'" ...). On peut done considerer les fonctions entieres, suivant
leur definition, comme resultant d'un nombre limite* de repetitions de cette
operation. En designant par v\ v", v'" etc. plusieurs fonctions des quan-
tites x\ x" x'" de la meine forme que f[x', x" ), la fonction
f(v\ v" ) sera evidemment de la meme foiTne que f{x', x" ...). Or
/(?/, v" ...) est l'expression generale des fonctions qui resultent de l'opera-
tion f(x', x" ) deux fois repetee. On trouvera done toujours le meme
resultat en repetant cette operation autant de fois qu'on voudra. II suit de
la, que toute fonction entiere de plusieurs quantitds x\ x" peut etre
exprimee par une somme de plusieurs termes de la forme Ax'™1 x"m'-
Considerons maintenant les fonctions rationnelles. Lorsque f{x', x" . . .)
et <p(x', x" ...) sont deux fonctions entieres, il est evident, que les trois
premieres operations sont des cas particuliers de l'operation designee par
y(x',x" ...)
On pent done considerer une fonction rationnelle comme le resultat de la
repetition de cette operation. Si Ton designe par v\ v", v'" etc. plusieurs
f(x' v" ) . IP- f(v'> v" • • -)
fonctions de la forme • ;'/'„" '( > on voit aisement que la fonction , „ — r
ff\X, X ...) f\V tV '")
pent etre reduite a la meme forme. II suit de la, que toute fonction ration-
nelle de plusieurs qnantites x\ x" pent toujours etre reduite a la forme
ou le numerateur et le de'nominateur sont des fonctions entieres.
9 *
68 DEMONSTR. DE LIMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
Enfin nous allons chercher la forme generale des fonctions algebriques.
Designons par f{x\ x" ...) une fonction rationnelle quelconque, il est clair
que toute fonction algebrique peut etre composee a l'aide de l'operation
d&signe'e par f{x\ x" ...) combinee avec l'operation |/r, oil m. est 1111
nombre premier. Done, si p\p"... sont des fonctions rationnelles de
Pl =/(*', fa fa...) J
sera la forme generale des fonctions algebriques de x', x" ... , dans les-
quelles l'operation exprimee par j/r affecte seulement des fonctions ration-
nelles. Les fonctions de la forme pl seront dites fonctions algebriques <!n
premier ordre. En designant par pf, px" ... plusieurs quantites de la forme
ply l'expression
P,=/(x',x'... j/p... 1^7...)
sera la forme generale des fonctions algebriques de x', x" dans les-
m
quelles l'operation ]/r affecte seulement des fonctions rationnelles, et des
fonctions algebriques du premier ordre. Les fonctions de la forme p%
seront dites fonctions algebriques du deuxieme ordre. De la meme maniere
l'expression
V^f{x>,x»... fa fa... fev.. ^7
dans laquelle p2\ p/ . . . sont des fonctions du deuxieme ordre, sera la forme
generale des fonctions algebriques de x', x" . . . , dans lesquelles l'operation
m
fr n'affecte que des fonctions rationnelles, et des fonctions algebriques du
premier et du deuxieme ordre.
En continuant de cette maniere, on obtiendra des fonctions algebriques
du troisieme, du quatrieme . . . du iiiime ordre, et il est clair, que l'expression
des fonctions du taiime ordre, sera l'expression generale des fonctions alge-
briques.
Done en designant par u l'ordre d'une fonction algebrique quelconque
et par v la fonction meme, on aura
v =/(»•',«•"... ik w---),
DEMONSTR. DB L'lMPOSS. DB LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS , u. (J9
oh //, p" ... sont des fonctions de l'ordre ft — 1; r\ des functions
de l'ordre u — 1 on des ordres moins eleves, et n" . . . des nombres
premiers; f designe toujours une fonction rationnelle des quantites com-
prises entre les parentheses.
On pent evidemment snpposer qu'il est impossible d'exprimer l'nne des
quantites ^p'^^p" ... par une fonction rationnelle des autres et des quan-
tites r', r" . . . ; car dans le cas contraire, la fonction v aurait cette forme
pins simple,
W- -v=^/(r',r'..:ypr,WF-),
oil le nombre des quantites \/p" ... serait diminue an moins d'une
unite. En reduisant de cette maniere l'expression de v autant que pos-
sible, on parviendrait, on a une expression irreductible, on a une expres-
sion de la forme
EL «=/(/, r",r"'...');
mais cette fonction serait seulement de l'ordre fi — 1, tandis que v doit
etre du jLtiime ordre, ce qui est une contradiction.
» >«•• * . n' n"
Si dans l'expression de v le nombre des quantites ~Sp\ ^p" ... est
egal h w, nous dirons que la fonction v est du fiih"e ordre et du mihmt
degrS. On voit done qu'une fonction de l'ordre ft et du degre* 0 est la
meme chose qu'une fonction de l'ordre // — 1, et qu'une fonction de
l'ordre 0 est la meme chose qu'une fonction rationnelle.
II suit de la, qu'on peut poser
. ' ... v=f^'r""f^&^:^. t^IJS
ou /> est une fonction de l'ordre u — 1, mais r'j r" . . . des fonctions
du uiime ordre et tout au plus du degre m — 1, et qu'on peut toujours sup-
n
poser qu'il est impossible d'exprimer \'p par une fonction rationnelle de
ces quantites.
Dans ce qui precede nous avons vu qu'une fonction rationnelle de
plnsieurs quantites peut toujours etre reduite a la forme
7'
oil s et t sont des fonctions entieres des memos quantites variables. On
70
DEMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS , i,
conclut cle la que v peut toujours etre exprime comme il suit,
n
<f(r', r"... Yp)
v — i
T(r'; r* . . . )
n
oil 99 et t designent des fonctions entieres des quantites r', r" . . . et "[/p .
En vertu de ce que nous avons trouve* plus liaut, toute fonction entiere de
plusieurs quantites .s, r" . . . peut s'exprimer par la forme
'o + ^ + ^2 + ;-- + Um,
f0, tx . . . tm etant des fonctions entieres de r', r", r'" . . . sans .<?. On peut
done poser
_1 2 m -.• •
r_ ^+<ii>" + *,/>"-! hjggV _ g
m' y '
0.+V,"+rtP1H r-«VP"
ou f0, £w et v0, . . . vm, . sont des fonctions entieres de r', r", r'" etc.
Soient I7! , F2 . . . F„_x les w — 1 valeurs de V qu'on trouve en met-
1 x t i" v' i 1 *f|
tant successivement a2/?", a*pn... an~x,pn au lieu de ce etant une
racine differente de l'unite de l'equation an — 1 — 0; on trouvera en multi-
pliant le numerateur et le ddnominateur de y par Vx V2 V3... Vn_x
, TViVj... V„-\
f
Le produit VV1,.. Vn_x peut, comme on sait, s'exprimer par une fonction
entiere de j) et des quantites r' , r" . . . , et le produit T Vx . . . Vn_x est,
n
comme on le voit, une fonction entiere de J/^ et c^e T\ v" En suppo-
sant ce produit egal a
L _i *_
-% + ^Pn + ^PnJ[ b^ffS
on trouve
— - !l
„ so +*, Pn + g2 pvH h skPn
V >
m
ou, en dcrivant q(), q., q.,... au lieu de — > --1 > — etc.,
DEMON STR. DE L'IMPOSS. DK LA RES. ALGEBli. DES EQUATIONS etc.
71
p = (b + &p" + ^y* h — i- &p* >
ou ^o, q_x"'<lk sont des fonctions ratioimelles des quantites r', /•"... etc.
Soit fi un nombre entier queleonque, on pent toujours poser
ju — an~\- a ^
a et a etant deux nombres entiers, et a<^n. II suit de la, que
fx an-\-a a.
A*
En mettant done cette expression au lieu de pn dans l'expression de », on
obtiendra
1 2 n — 1
» = <z<> + ftp" H h
ft? ft etant encore des fonctions rationnelles de r', r" . . . , et par
consequent des fonctions du uiime ordre et au plus du degre* m— 1, et
i
telles qu'il soit impossible d'exprinier pn rationnellement par ces quantites.
Dans l'expression de v ci-dessus, on peut toujours faire q± = 1. Car
si qy n'est pas nul, on obtiendra, en faisant Pi=p<lii
i
^ 3? ^ ?i
done
p — ft -rjpi -r — j^i -1 r Pi '
7 1 "
expression de La nieme forme que la precedente, sauf que gr, — 1. Si
& = <), soit qu une des quantites qly ft...ft_i, qui ne soit pas nulle, et
aft ol
soit qlp^—px. On deduit de la q£p*^Pt*- Done en prenant deux
nombres entiers a et /?, qui satisfassent a liquation au — ftn = //'
etant un nombre entier, on aura
fi?" " = Pi" ^ p» = q«"p->ipin.
En vertu de cela et en remarquant que qtlp" =fh" , 0 a,ini la t°rme
» = ft + ft?*" H h i--*^ " •
72 DEMONSTR. DE L'IMPOSS DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
De tout ce qui precede on conclut: Si v est une fonction algebrique
de l'ordre ji et du degre m, on peut toujours poser:
1 3^ 3 n— 1
v = <lo + pnJr<hpn + q3Pn-\ h/*-iPw>
n etant mi nonibre premier, q0j q2...qn_i des fonetions algebriques de
l'ordre ft et du degre m — 1 au plus, p une fonction algebrique de
i
l'ordre a — 1, et telle que p* ne puisse s'exprimer rationnellement en
§ H.
Propriete's <te>- fonetions algebriques qui satisford a une equation donite'e.
Soit
(1) Co + clV + c,y* + . . ; + c^y-'+y = o
une equation quelconque du degre r, oh c0, cA . . . sont des fonetions ration-
nelles de x\ x" . . . , x\ x" . . . etant des quantites independantes quelconques.
Supposons qu'on puisse satisfaire a cette Equation, en mettant au lieu de y
une fonction algebrique de " .... Soit
1 2^ n— 1 v
(2) y = </o + p" + ftp " H h 11
cette fonction. En substituant cette expression de ?/, dans l'equation pro-
posed, on obtiendra, en vertu de ce qui precede, une expression de la forme
1 2 n— 1
(3) * + rlP" + r2pn rn_xp^ = 0 j
oh r0, r1% r2...rn_i sont des fonetions rationnelles des quantites p, </0, qx. . .</„_!•
Or je dis que l'equation (3) ne peut avoir lieu, a moins qu'on n'ait
separement
r0 = 0, r*==0 ^n-i = 0.
En effet, dans le cas contraire, on aurait en posant p"=zz les deux
equations
zn — p = 0
et
r* H h ^-i^-1 = o ,
DKMOXSTK. DE LTMl'OSS. DJS LA liES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
73
qui auraient une ou plusieurs racines communes. Soit k le nombre de ces
racines, on peut, comme on sait, trouver une equation qui a pour racines
Ks k racines mentionnees, et clout les coefficient sont des fonctions ration-
nelles de p, r0, r1...rn_1. Soit
s0 -f Slz -f ,s2z2 -| (- .s-^z*-1 + z* = 0
cette equation, et
t+^-b^H
un facteur de son premier nienibre, ou f0J ?\ etc. sont des fonctions ration-
nelles de p, ?*0, ?'1...rn_1, on aura de nieine
U -f ttz + t2z2-\ \- t^z"-1 + z" = 0,
et il est clair qu'on peut supposer qu'il est impossible de trouver une equa-
tion de la meme forme d'un degre moins eleve. Cette equation a ses fi
racines communes avec l'equation zn — p = 0. Or toutes les racines de
l'equation zn — p = 01 sont de la forme «z, ou a est une racine quel-
conque de l'unite. Done en remarquant que u ne peut etre moindre que
2, parce qu'il est impossible d'exprimer z en fonction rationnelle des quan-
tit&s p, r0, 7\... il s'ensuit, que deux equations de la forme
<o + ^ + Uz* -| h k-i^1 + # = 0 >
et
,0 -f a^z -f «%z2 -| [- all -n^l-x + «"z^ = 0
doivent avoir lieu. De ces equations on tire, en eliminant z",
fo(l - a") + - a") z-| 1- ^(tf^1 - a") == 0.
Mais cette equation etant du degre ft — 1, et l'equation
etant irreductible, et par consequent t0 ne pouvant etre egal a zero, on
doit avoir afl — 1 — 0, ce qui n'a pas lieu. On doit done avoir
>\> = 0, rt = 0 . . . >V.t = 0.
Maintenant, ces equations ayant lieu, il est clair que l'equation proposee
leva satisfaite par toutes les valeurs de y qu'on obtient en attribuant a
/>" toutes les valeurs em*, «2pn ... a^p*. On voit aisement que toutes
10
74
DEMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
ces valeurs de y seront differentes entre elles; car dans le cas contraire
on anrait une equation de la meme forme que (3), mais une telle equation
conduit, comme on vient de le voir, a des contradictions.
En de'signant done par y%, y2...yn n racines differentes de 1'equation
(1), on aura
■X % n— 1
. y^%+ pn + %vn H h<z»-^n ,
L 1 . n— 1
qo+ «p" + «*tf,p" -\ h^JMP* i
Vn = 2* + "^P' + V-'top* H h
De ces n equations on tirera sans peine
$0 = -^+ yt '+ y3 H hR),
P*= V ^ + + «n-23/3 + • • • + «y„) ,
n— 1
— 1
^-iP" = - (& + + «27/3 h«n~\*/»)-
1
On voit par la que toutes les quantites pn, <io, ft . . . ^ sont des
fonctions rationnelles des racines de 1'equation proposee. En effet on a
q A+^g* + "~*y* + • • • + "-^y*
i9x^^y%-¥^yt H f- yny '
Considerons niaintenant 1'equation generale du degre m.
0 = a-[-a1x-\- a2x2 -| \- a^x"** -f xm ,
et supposons qu'elle soit resoluble algebriquement. Soit
' 1 A «-i
x = s0 + vn + s2v"-] b v*?/ 5
en vertu de ce qui precede, les quantites v, s01 s2 etc. peuvent s'exprimer
rationnellement en xti x2...xm, en designant par x1, x2...xm les racines
de 1'equation proposee.
DKMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA KES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
75
Considerons Tune quelconque des quantites v1 s0, s2 etc. par exemple
v. Si Ton designe par vll v2...vn, les valeurs differentes de v, qu'on
trouve lorsqu'on echange entre elle les racines xtl cc2 . . . xm de toutes les
manieres possibles, on pourra former une equation du degre n' dont les
coefficiens sont des fonctions rationnelles de a, ax... am_x , et dont les ra-
cines sont les quantites vx , v2. .. vn, , qui sont des fonctions rationnelles des
quantites xx , x3 . . . Xm .
Done si Ton pose
E - - ' > i • . _t v— i
v = t0-{-uv-\- t2Uv -| 1- v ,
t
toutes les quantites f0, £2 K-\ seront des fonctions rationnelles de
v2 vn,, et par consequent de ac1? x% xm. En traitant les quantit&s
w, t0, L2 etc. de la nieme maniere, on en conclut que
si une equation est resoluble algebriquement, on peut toujours donner
a la racine une forme telle, que toutes les fonctions algebriques dont
elle est composee puissent s'exprimer par des fonctions rationnelles des
racines de Inequation proposee.
§ m.
Bur le nombre des valeurs differentes quune fonction de plusieurs quantites peut acquerir,
lorsquon echange entre elles les quantites quelle renferme.
Soit v une fonction rationnelle de plusieurs quantites independantes
Le nombre des valeurs differentes dont cette fonction est
susceptible par l'echange des quantites dont elle depend, ne peut surpasser
le produit 1 . 2 . 3 ... n. Soit // ce produit.
Soit maintenant
Mr*.-.
\ab cd . . .
la valeur qu'une fonction quelconque v recoit, lorsqu'on y substitue xa, xb1 xc1 xd
etc. au lieu de Xki Sfy, xy1 xs etc., il est clair qu'en designant par At, A2...A„
les diverses permutations en nombre de fi que Ton peut former avec les
indices 1, 2, &...», les valeurs differentes de v pourront etre exprim^es par
76
UEMONSTR. DE L IMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
Supposons que le nombre dee valeurs ditferentes de v soit moindre que M
il faudra que plusieurs valeurs de v soient egales entre elles, eu sorte
qu'on ait par exemple
Si Ton fait subir a ces quantity's la substitution designee par M1 ], on
\ -Am + i j
aura cette nouvelle serie de valeurs egales
valeurs qui sont ditferentes des premieres, mais en meme nombre. En clian-
geant de nouveau ces quantites par la substitution designee par [Ai )
on aura un nouveau systeme de quantites egales, mais ditferentes des prece-
dentes. En continuant ce procede jusqu'a ce qu'on ait epuise toutes les
permutations possibles,, les u valeurs de v seront partagees en plusieurs
systemes, dont chacun contiendra un nombre de m valeurs egales. II suit
de la que si l'on represente le nombre des valeurs ditferentes de v par (>,
nombre egal a celui des systemes, on aura
= 1 . 2 . 3 . . . n ,
c'est-a-dire:
Le nombre des valeurs ditferentes qu'ime fonction de n quantites peut
acquerir par toutes les substitutions possibles entre ces quantites, est neces-
sairement un diviseur du produit X.2.$...n. Cela est comm.
Soit maintenant |/jx J une substitution quelconque. Supposons qu'en
appliquant celle-ci plusieurs f'ois de suite a la fonction v on obtienne la
suite des valeurs •
V, 0,, v2 . . . vp_x, pp,
il est clair que v sera necessairement repete plusieurs fois. Lorsque v
(A \
\ 1 est une
substitution recurrente de Vordre p. On a done cette aerie peViodique
ou men, si Ton represents par v K J la valeur de r qu'on obtient apres
DEMOXSTK. Dfi L'IMP088. DE LA RKS. ALOKHU. DKS EQUATIONS < tc
avoir repete r fois de suite la substitution designee par j^1)* on a Na
serie
II suit de la que
[A]
ap + r
uq
i Am J
Ul]
<AA
{ AM J
Or soit p le plus "grand nombre premier contenu dans n, si le nonibre
des valeurs differentes de v est moindre que p, il faut qu'entre p va-
letirs quelconques, deux soient egales eritre elles.
11 faut done que des p valeurs,
deux soient egales entre elles. Soit par exemple
• ■ »(ifHl
on en conclut que
viA„) = v[a,
Kcrivant r an lieu de r'-\-p — r et remarquant que ^jjj
tire
AiV
— on en
v = v
A '
oil r evidennnent n'est pas multiple de p. La valeur de v n'est done
pas changee par la substitution (j^J-'j ni Par consequent non plus par la
repetition de la meme substitution. On a done
a etant an nonibre entier. Maintenant si p est un nombre premier, on
pourra evidennnent toujours trouver deux nombivs entiers a et ft tels que
ret — pfi -f- 1 ?
78 DEMONSTR. 1>E LIMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
done
V = V
et puisque
on aura
V = V
V — V
Am)
A, \pfi
A,
A,
A„,
La valeur de v ne sera done pas changee par la substitution recurrente
( V ) ^e ^oro-re P-
Or il est el air que
lapyd...iy\ Ipyde ...ya\
\Pyde...r{a) [yapd . . .ty)
sont des substitutions recurrentes de l'ordre _p, lorsque p est le nombre
des indices a, /?,/... 17. La valeur de 0 ne sera done pas changee non
plus par la combinaison de ces deux substitutions. Ces deux substitutions
sont evidemment equivalentes a cette unique
tafiy)
\yapy
et celle-ci aux deux suivantes, appliquees successivement,
La valeur de v ne sera done pas changee par la combinaison de ces deux
substitutions. Done
de meme
d'ou Ton tire
V — V
v = v
a(1\ h1y\
§a) [y(l)i
y{i) [dyb
!a(i\ I yd
Jaj \dy
On voit par la que la fonction v n'est pas changee par deux substi-
tutions successives (le La forme j^J, a et ft etant deux indices qnelcon-
DEMONSTU. DE LTMPOSS. DE LA RES. ALGEBK. DES EQUATIONS etc.
79
ques. Si Ton designe une telle substitution par le nom de transposition,
on peut conclure qu'une valeur quelconque de v ne sera pas changee par
un nombre pair de transpositions, et que par consequent toutes les valeurs
de v qui resultent d'un nonibre impair de transpositions sont egales. Tout
echange des elemens d'une fonction peut s'operer a 1'aide d'un certain nom-
bre de transpositions; done la fonction v ne peut avoir plus de deux va-
leurs differentes. De la on tire le theoreme suivant:
Le nombre des valeurs differentes que peut obtenir une fonction de n
quantites, ne peut etre abaisse au dessous du plus grand nombre pre-
mier qui ne^sui-passe^ .pas n, a moins qu'il ne se reduise a 2 ou a 1.
II est done impossible de trouver une fonction de 5 quantites qui ait 3
ou 4 valeurs differentes.
La demonstration de ce theoreme est prise d'un memoire de M. Cauchy
insert dans le llVeme caliier du Journal de l'ecole polytechnique p. 1.
Soient v et v deux fonctions dont chacune ait deux valeurs diffe-
rentes, il suit de ce qui precede qu'en designant par vu v2 et vt\ v2' ces
doubles valeurs, les deux expressions
et vxvx' -\- v%
seront des fonctions symetriques. Soit
v1-\-v2 = t et v1 vx -f- t'i v./ = tt ,
on en tire
tv' — t.
Soit maintenant le nombre des 'quantites xt, x2 . . . Xm egal a cinq, le produit
p — (Xl - as,) {xl - xz) (a?x - x4) (xx - xs) (as, - x3) (as, - as4) (a?, - xb) (as, - as4) (as, - x5) (x4 - xb)
sera evidemment une fonction qui a deux valeurs differentes; la seconde va-
leur etant la meme fonction avec le signe oppose\ Done en posant vl' = o1
on aura Vt' = — o. L'expression de vx sera done
ou bien
ou est une fonction symetrique; o a deux valeurs qui ne different
que par le signe, de sorte que est egalement une fonction symetrique.
80
DKMONSTK. 1)E L'lMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS ,u
Done, en posant %tz=p et '\, — </, il s'ensuit que
toute fonetion de cinq quantites qui a deux yaleurs differentes pourra
etre mise sous la forme i> -)-</(>, ou V et g split deux fonetions
symetriques et p = (x4 — — x3) . . . — xb).
Pour atteindre notre but nous avons encore besoin de la forme generale
des fonetions de. cinq quantites qui out cinq valeurs differentes. On peut
la trouver comme il suit:
Soit v une fonetion rationnelle des quantites xu x%l x3, x4, xb, qui ait
la propriete d'etre invariable lorsqu'on echange entre elles quatre des cinq
quantites, par exemple #2, x31 x4J xb. Dans cette condition v sera evidem-
ment symetrique par rapport a xa, x3, cc4, xb. On peut done exprimer v
par une fonetion rationnelle de xl et par des fonetions symetriques de
x2i 2*3? xa Mais toute fonetion symetrique de ces quantity peut s'expri-
mer par une fonetion rationnelle des coefficiens d'une equation du quatrieme
degre, dont les racines sont x^ x31 x-4, xb. Done en posant
(x — x2) {x — x3) (<c—xA) (x — xb) = x*—2)x3 + qx* — rx-lrs,
la fonetion v peut s'exprimer rationnellement en x^ p, </, r, s. Mais si
Ton pose
(x — xx) (x — x2) (x~x3) (x — x4) (x—xb) = xh — ax4 -\- bx'6 — cx* -\-dx — e,
on aura
{x — (x4—px3-\-qx2 — rx-\-.s) = xb — ax^bx3 — cx2^-dx — e
= xh — (p + xl)xi-\- (q ^-px,) x3 — (r -f qxjx2 -f (« + rx,) x — sx^
d'ou Ton tire
p — a — sc, ,
q = h — axx -|- x\ , . .
r = c — bxt -)- ax\ — x\ ,
* s=zd — cxx ~\- bx\ — ax'3 -f - a:} ;
la fonetion v peut done s'exprimer rationnellement en xn a, />,
II suit de la que la fonetion v pent etre mise sous la forme
= - — - > '
oil ' et $Xi sont deux fonetions entieres dv a ] A, r, J. Kn nniltipliant
M-:MONSTK. &JE L'IMPOSS: 1>K LA RES. ALGEBK. DES EOLATIONS etc
81
le nunierateur et le deuoininateur de cette tbnction par (f .>\, . yaJa . </./•., . </./-6,
on aura
Or wxt . (px3 . (pjii . (f xb est, comme on le voit, une fonction entiere et symetrique
de xs x31 x4, xb. On peut done exprinier ee produit en fonction entiere
de p, r, s et par suite en fonction entiere de xu a, b, c, cZ. Le
nunierateur de la fraction ci-dessus est done une fonction entiere des meines
qiiantites; le deuoininateur est une fonction symetrique de x1, x8, x3, xA1 xb
et par consequent il peut s'exprinier en fonction rationnelle de a, 6, c, </, e.
On peut done poser
En multipliant l'equation
x\ = ax i — bx\ -\- cx\ — dx t -|- e
siiccessivenient par xl, x\ . . . XT'*, il est elair qu'on obtiendra m — 4
equations, desquelles on tirera pour x\, x\ . . . des expressions de la
forme
a -f- -f- yx\ + (fcc? -f m\ ,
oil i/, /, fV, f sunt des fonctions rationnelles de a, />, c, c/, e.
On peut done reduire v a la forme
(a) v = «p -|- + + r*x i ~f" r*x'i J
oh /•„, ?-3 etc. sont des fonctions rationnelles de a, b1 c, </, 0, e'est-a-dire
des fonctions synietriques de Xt1 a?8) X91 a?4, u*5 .
Voila la forme generale des fonctions qui ne sont pas alterees lorsqu'on
y ecliange entre elles les quantites x91 X$, .r4, Xs. On elles out cinq va-
leurs difterentes, on elles sont synietriques. .
Soit maintenant r une fonction rationnelle de xY, X41 qui
ait les cinq valeurs suivantes ru r,, Vm vAi ft. Considerons la fonetion
En y ecliangeant entre elles de toutes les manieres possibles les
quatre qualities x2, x31 x41 x5, la fonction xfv aura toujours une lies va-
leurs suivantes
xlvx, qg% x'lcs, x\"v4, xtvh.
Or je dis, que le nombre des valeurs distinctes de xfv resultant de
ces changements sera moindre <,ue cinq. En eti'et, si toutes les cinq valeurs
82
JJEMONSTK. DE L1MPOSS. DE LA RES. ALGEliU. DES EQUATIONS , tr
avaient lieu, on tirerait cle ces valeurs en echangeant xim suceessivenient
avec xs, x3, x4, xb1 20 valeurs nouvelles, qui seraient necessairement ditfe-
rentes entre elles et des precedentes. La fonction aurait done en tout 25
valeurs diflerentes, ce qui est impossible, car 25 n'est pas diviseur du produit
1.2.3.4.5. En designant done par u le nombre des valeurs que peut
prendre v lorsqu'on y echange entre elles les quantites x^ x3, xi9 xb de
toutes les manieres possibles, ta doit avoir l'une des quatre valeurs suivantes
1 9 3 4
i, o, tt.
1. Soit /' = 1, d'apres ce qui precede v sera de la forme (a).
2. Soit // = 4, la. somme -j- v% -\~ v8 -f- z?4 sera une fonction de la
forme (a). Or on a v-0 = fa + v2 + v3 -f vi -f- y5) — fa -f- w8 -|- w8 -[- w4) = une
fonction symetrique nioins (v1-\-v2-{-v3-j-vi)- done v5 est de la forme (a).
3. Soit /t = 2, Vx-\-vt sera une fonction de la forme (a). Soit done
i\ -jrvi = r0 -j- -f- raa5? -|- *V»i + = </^i .
En echangeant suceessivenient xx avec jc8, cc3, 054, £C5, on aura
^ -J- ^2 = <p%i ,
V2 + V3 = </^2 7
ou ra est un des nombres 2, 3, 4, 5. Pour raz=2, on aura (px1 = <px9,
ce qui est impossible, car le nombre des valeurs de ya^ doit etre cinq. Pour
m = 3 on aura
vl-\-V2 = <pX1J v2-{-v3 = (px2, v3-\-vx = (px3,
d'ou Ton tire
2vx — (pxx — <px2 -f- .
Mais le second membre de cette Equation a plus de 5 valeurs, car il en a
30. On prouvera de la memo nianiere que m ne peut etre egal a 4 ni
a 5. II suit de la que fi n'est pas egal a 2.
4. Soit u = S. Dans ce cas v1-\-v2-\-v3 et par consequent i\-\-vb
= fa + ^2 + »| + ^4 + v6) — 4~v2 + vs) aura cinq valeurs. Mais on vient
de voir que cette supposition est inadmissible. Done fi ne peut non plus
etre egal k 3.
DEMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
83
De tout cela on deduit ce tkeoreme:
Toute fonction rationnelle de cinq quantites, qui a cinq valeurs diffe-
rentes, aura necessairement la forme
r0 + rix + V2 + rsx3 + r±x\
ou r0, rl7 r2 etc. sont des fonctions symetriqucs, et x l'une quel-
conque des cinq quantites.
De l'equation
r0 -j- i\x -f r2x2 -j- r3x3 + i\x* = v
on ddduira aisement, en faisant usage de l'equation proposee, pour la valeur
de x, une expression de la forme suivante
x = s0 + sxv 4- s8tfa + <^3 + 'S4^S
ou s0, 8U s2 etc., de meme que r0, r1? r2 etc., sont des fonctions syme-
triques.
Soit v une fonction rationnelle qui ait m valeurs differentes v„ vt,
vH . . . vm . En posant
(v — v,) (v — v2) (v — v3)...(v — vm) ■
= qo + <hV + W+ - ■ • +qm^"-1 + v™ = 0,
on sait que q0, qiy q9 . . . sont des fonctions symetriques, et que les m ra-
cines de l'equation sont vu v2, v3 . . . vm. Or je dis, qu'il est impossible
d'exprimer la valeur de v comme racine d'une equation de la meme forme,
mais d'un degre' moins eleve. En effet soit
une telle equation, f0, tt etc. <5tant des fonctions symetriques, et soit vl une
valeur de v qui satisfasse a cette equation, on aura
V*1 -f H ==(f — #*) Pi ■
En ecliano-eant entre eux les (Siemens de la fonction, on trouvera la serie
suivante d'equations:
. vi -\- t^v*1-1 + • • • = (v — m) p* ?
W + t^v*-1 -)-...= (v — O P3 ,
+ V-I^-1 + • • • = (v — v>») p»< •
. 11*
84
DK.MONSTi; RE L'iMPORS l>K LA RKS. ALOKMR l>KS EQUATIONS etc
On en conclut que- v — /',, r — r — r, . . . r — vm seront des facte ur>
de -f~ ttt_li,>u~1 -{- • ■ • et que par consequent u doit necessairement elw
eo-al k m. On en tire le theoreme suivant:
Lorsqu'une fonction de plusieurs quantites a m valeurs differentes, on
pent toujours trouver une equation du degre m , dont les coefficiens
soient des fonctions sym&riques, et qui ait ces valeurs pour racines; niais
il est impossible de trouver une equation de la meme forme d'un degttf
moins el eve qui ait une on plusieurs de ces valeurs pour racines.
§ IV.
D&monsbration de. V impossibility de la resolution gSnSrale de I' Aquation </>i cinqui&me degrt.
En vertu des propositions trouvees plus haut on pent enoncer ce theo-
reme:
"II est impossible de resoudre en general les equations du cinquienie
"degre."
D'apres le § II, toutes les fonctions algebriques dont une expression
algebrique des racines est composed, peuvent s'exprimer par des fonctions
rationnelles des racines de l'equation proposee.
Comme il est impossible d'exprimer d'une maniere generate La racinc
d'une equation par une fonction rationnelle des coeftictens, on doit avoir
i?w = V,
on m est un nombre premier et H une fonction rationnelle des coefficient
de l'equation proposee, c'est-a-dire une fonction symetrique des racines; r
est une fonction rationnelle des racines. On en conclut
v * — B =z 0.
En vertu du § II, il est impossible d'abaisser le degre de cette equation; la
fonction r doit done, d'apres le dernier theoreme du paragraphe precedent,
avoir m valeurs differentes. Le nombre m devant etre divisenr dn pro-
duit 1.2.3.4.5, ce nombre pent etre egal a % <»u a g «»u a 5. Or (§ II h
il n'existe pas de fonction de cinq variables qui ait 3 valeurs: il faut done
qu'on ait »» = &, on /»=z2. Soit m, = 5, on aura, ainsi qui! resnlte du
paragraphe prececlent
DKMONSTR DE L'lMPOSR. I>K LA IUS8. ALG KI51J PES KQl'A TIONS .to. 85
fcL "- i 2 3 4
On en tiro (§ II)
ou a5=l. Cette equation est impossible, attendu que le second membre a
120 valeurs et que pourtant il doit etre racine (rune equation du cinquieme
desrre zb — s::lt=z 0, On doit done avoir «/ = 2.
On aura done (§ II)
JF**"1 ys=P+qs, .
on j> et 7 sont des functions symetriques, et
8 — (xj — Xt) . . . (x4 — a%).
On en tire, en echangeant .rx et .r2 entre eux,
• Toil Ton deduit 7>=0 et \/jt = </s. On voit par la, que toutc fonction
alg-ebrique du premier ordre qui se trouve dans l'expressiou de la racine,
doit necessairement avoir la forme a -j- ft }V2 = a -j- fa, oil a et ft sont des
t'onctious s\ lnetriques. Or il est impossible d'exprimer les racines par une
fonction de la forme a. -\r ft \fB', il doit done y avoir une equation de la forme
Va-\-ftYs*=v,
oil « et ft ne sont pas mils, m est un nombre premier, a et ft sont des fonc-
tions symetriques, et r est une fonction rationnelle des racines. Cela domic
Va + fa^r^ V« — fa = r4,
ou p, et P2 sont des t'onctious nitionnelles. On aura cn multipliant p3 par »a,
m
r^^a' — ft^.
m
Or a* — ft*s* est unc fonction syme>rique. Si maintennnt |/«* — /?V
S() nEMONSTll. DE L'IMPOSS. I)E LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
n'est pas une fonction symetrique, le nonibre ra, d'apres. ce qui precede, doit
etre egal a deux. Mais dans ce cas v sera egal a Ma -(- /? Vs2 ; v aura done
quatre valeurs differentes, ce qui est impossible.
m
II faut done que ~f^-ft2s2 soit une fonction symetrique. Soit y cette
fonction, on aura
= 7, et y2 = *
Soit
m
= m 1 m — 1
a + fi V.s2 + _ =p==yji_jr _r_ == fiirv
Designons par Pi, p2, P$ • - • pm les valeurs differentes de ^? qui r&sultent
L 1 1 1
de la substitution successive de aRm, a2Rm, a3Rm . . . an~lRn h la place
i
de Rm, a satisfaisant a l'equation
„«-!_)_„«- 2_| . _|_a_|_l=(),
et faisons le produit
(P—Pi) (P—P2) • • • pm)=pm — Ap^ + A.p^2 =0.
On voit sans peine que A, A1 etc. sont des fonctions rationnelles des coef-
ficiens de l'equation proposee et par consequent des fonctions symetriques des
racines. Cette equation est evidemment irreductible. II faut done d'apres le
dernier thdoreme du paragraph e precedent que p, considere comme fonction
des racines, ait m valeurs differentes. On en conclut que m = 5. Mais dans
ce cas p sera de la forme (a) du paragraphe precedent. Done on aura
5
-J- 4— — r0 -(- rxx -f- r2x2 -\~ r3x3 -j-r4x4 =p ,
d'ou
X = S0-\- S,p -\- S2p2 -\- S3p* -f S4Jj\
1
y
e'est-a-dire, en mettant Rh R Rh a la place de p,
L — 3
x = t0-\- u B? + U BT + 1, R" + u B
DKMONSTi; DE L IMl'OSS. DK LA ItES. ALGEBK DES EOL A TIONS etc 87
<>u ^05 hi ctc- S01lt C^es fonctions rationnelles de H et des coefficiens de
1'equation proposee. On en tire ,(§ II)
— I* o
t1B6 =± (xx -|- a4#2 -|- cc3^3 -. j a2xA -j- a.r5) —
ou
De 1'equation p ~ ttB& on tire p'r;>=ii\E. Or ^ etant de la forme
k{~\-U,nfi? on aura p'6 = u-\- ce qui donne
Cette equation donne par une equation du dixieme degre, dont tous les
coefficiens sont des fonctions symetriques; mais d'apres le dernier theoreme
du paragraphe precedent cela est impossible; car puisque
j/ === J -j- «4it'2 -(- cf3^ -|- cc2d?4 -J- axb)1
p' aurait 120 valours ditferentes, ce qui est une contradiction.
Nous concluons done qu'il est impossible de resoudre algebriquenient
1'equation generale du cinquieme degre.
II suit inimediatement de ce theoreme, qu'il est de meme impossible de
resoudre algebriquenient les equations generales des degres superieurs au cin-
quieme. Done les equations des quatre premiers degres sont les seules qui
puissent etre resolues algebriquenient d'une maniere generale.
APPENDICE.
ANALYSE DU MEMOIRE PRECEDENT.
Bulletin des sciences math., astr., phys. et chim. public par le Bon de Ftrtissac, t. 6, p. 347; Paris
L'auteur demontre, dans ce memoire, qu'il est impossible de resoudre
algebriquenient liquation generale du einquiemc. degre; car toute fonction
doionstk. m: i/imi-oss de la res. aloou. des equations »•«.-.
algebrique des coefficieiis de la proposee, etant substituee a la place dc 1'in-
connue, conduit a une absurdite. Dans an premier paragraplie, l'auteur
cherclie l'expression generate des fonctions algebriques de plusieurs quantites,
d'apres la definition qu'une foriction algebrique resulte, 1° d'additions, . 2° de
multiplications, 3° de divisions, et 4° d'extractions de racines dont les' expo-
sans sont des nonibres premiers. Les soustractioiis, les elevations aux puis-
sances et l'extraction des racines avec des exposans composes rentrent dans
les operations precedentes. D'oii il resulte, 1° que toute fonction rationnelle
et enti&re des quantites x^ xi} x3 etc. c'est-a-dire, toute fonction qui peut etre
formee au moyen des deux premieres operations mentionnees, peut s'exprimer
par une somme d'un nombre fini de termes de la forme Ax ™' x2m°- . . . . , A
etant une cqnstante et ml5 mi1 . . . des nombres entiers; 2° que toute fonction
rationnelle des memes quantites, c'est-a-dire, toute fonction .qui peut etre for-
mee au moyen des trots premieres operations, peut s'exprimer par un quo-
tient de deux fonctions entieres: 3° que toute fonction algebrique peut etre
formee par des repetitions des operations indiquees par
(1) p' =f(x1, a*, x3 . . . . p*nti ....),
oh f designe une fonction ratio nnelle des quantites entre les parentheses;
Pi, p^ ... des fonctions rationnelles de aj1? x2 . . . , et n^ ?i2 . . . des nombres
premiers. On nonnnera, pour abreger, fonction algebrique du premier ordre.
une fonction telle que p . Si maintenant on forniait une nouvelle fonction
dans laquelle des fonctions du premier ordre entrassent de la meme maniere
que jpi, p2 . . . entrent dans p\ on aurait une fonction algebrique du second
ordre; et, en general, une fonction de l'ordre a serait celle qui pourrait
contenir des fonctions de tous les ordres, jusqu'a l'ordre a — 1, combinees
entre elles algebriquement. Bien entendu que cette fonction de l'ordre a ne
peut pas s'abaisser a un ordre inferieur, par des reductions des fonctions qui
la composent. En outre, si cette meme fonction de l'ordre a contient in
quantites de cet ordre, on dira qu'elle est du mie"le degre: et en la designant
par r, on pourra poser
(2) v — q9 -f-JP" + + * ' ' ' +(ln-ip *
c'est-a-dire que Ton a ce premier theoreme: Toute fonction algebrique v de
I1 ordre g et <ln degre >n, pent Sire represented yax la for mule (2), oh n est
un nombre premier^ </UJ 7,, . . . </lt , des fonctions cdg&riques de l'ordre a et
<ln degr4 in — 1 tout on ji/us, et p une fonction algebrique de l'ordre u — 1,
DihlONSTK bE L'IMPOSS. DE LA KKS ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
89
telle qail est impossible d'expriiner pn par une fbnciion ration) telle de p, q^
<b ■ • • fr-i;
Apres avoir ainsi trouve 1'expression genera I e des fonctions algebriques,
1'auteur considere, dans nn deuxieme paragraphs, une equation queleonque
dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles des quantites xiy x.2 . . . .
et qu'on suppose resoluble algebriquement. En designant done par y l'in-
connue, et par
(3) ay; x3 .... y) — 0
l'eq nation meme, il taut que le premier nienibre se reduise a zero, en inet-
tant pour y une eertaine fonction de la forme' (2). Par cette substitution
1 'equation (3) se cliangera en une autre de la forme
1 2 n— 1
(4) r0 + Hjpr* + rf>; H (- ■• = 0,
on r0, r17 r^, r3 . . . sont des fonctions rationnelles de a?17 a;2, x*3 ... et de q01
'hi (h - ' • ^ette equation entraine les suivantes:
(5) >'o = 0, — r»==0, r^ = 0;
i
car dans le cas contraire, l'equation (4) pourrait donner la valeur de p* en
fonction ratiourielle de p, r0, rx . . . rn_11 ce qui est contre l'enonce du the-
oreme precedent. Si les equations (5) out lieu, l'equation (4) et par suite
l'equation (3), seront de meme satisfaites par toutes les valeurs de y qu'on
i. ■ • 1 h 1
obtiendra en mettant, an lieu de pn les n — 1 valeurs «//', «2/>", • • • • an~xpn,
ou a est une racine imaginaire de l'unite. Par la on aura les valeurs de n
racines de l'equation (3), savoir
h = </<> +P n + <hl> " + '. h ffi p " ,
L 3 "~ 1
i - . ; •
ces equations donnent les n quantites p*, </0, q2 . . . <[H__X en fonctions ration-
nelles des racines y^ y2 ■ • • yH>
Si maintenant fx = 0 est une equation algebrique generalc, resoluble
aty&riquertient, et aj1? a;a . . . les racines de cette equation, on doit avoir
12
90
DEMONSTK. DE L'IMPOSS. DE LA KES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
— 1. n— 1
x = s0 + vn + s2v"^ \-
cette formule etant analogue a la formule (2). D'apres ce qu'on vient de
i
voir vn, «s0, ,s2 . . . seront des fonctions rationnelles des racines de l'equa-
tion proposee. Cela pose, considerons Tune quelconque des quantites vy s01 s2 . . . sn_i5
par exemple v] en designant par n' le nombre de toutes les valeurs diffe-
rentes de v, qu'on obtiendra en ecliangeant entre elles de toutes les nianieres
possibles les racines de 1'equation proposee, on pent former une equation du
degre n' qui ait toutes ces valeurs pour racines, et dont les coefriciens soient
des fonctions rationnelles et symetriques des valeurs de v1 et par suite des
fonctions rationnelles de En faisant done
1 ^ V— 1
V = t 0 -|- uv -)- 12 uv -\- • • ■ -\- tv_x u 9 ,
toutes les quantites u, t0, t% . . . tv_x seront des fonctions rationnelles des
valeurs de v, et par suite de xt, . . . En poursuivant ce raisonnement,
on etablira le theoreme suivant:
Deuxieme theoreme: Si une equation algebrique est resoluble algebrique-
ment, on peut toujours donner a la raeine une forme telle, que toutes les
expressions algebriques dont elle est composee pourront s'exprimer par des
fonctions rationnelles des racines de V equation proposee.
Dans le troisieme paragraplie on d^montre, d'apres un memoire de M.
Cauchy, insert dans le cahier XVII e du Journal de VEcole Polytechnique,
que, 1° le nombre des valeurs d'une fonction rationnelle de n quantites, ne
peut s'abaisser au-dessous du plus grand nombre premier contenu dans tl
sans devenir egal a 2 ou a 1; 2° que toute fonction rationnelle qui a deux
valeurs diffeYentes aura la forme
V + 9. (*s — x*) xz) ' ' ' (x2—xs) ■ ' • • • •
et que, si elle contient 5 quantites, elle deviendra
p ~\~ (]_ {xi x%) y&i ^3) xi) (ph ^5) (f^s — ®$) (x*2 — xi)
(x2 ^"5) (x3 u?4) (x3 x-^) (x4 —
ou p et q sont des fonctions invariables.
On d&nontre ensuite que toute fonction rationnelle de cinq quantites
qui a cinq valeurs difierentes peut etre mise sous la forme
DEMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
91
v = r0 -\-i\x-\- r2 x2 -\- r3 x3 -\- r4 as4,
on ?'0, i\ . . . r4 sont des fonctions invariables, et x une des cinq quantites
en question.
En combinant cette equation avec l'equation
(x — Xt) (x — xs) (x — x3) (x — xA) (x — x&)
= x6 — ax4 -|- bx3 — cx2 -\-dx — e = 0,
on en pent tires les valeurs de x sous la forme
x = s0 -f- sxv -f- s2v2 -\- s3v3 -\- s4v\
s0l Sj . . . etant des fonctions invariables de xt1 x2 . . . Finalement on ar-
rive a ce tlieoreme connu: Troisieme theorems: Si une fonction rationnelle
de plusieurs quantites xu x2 . . . a m valeurs differentes, on pourra toujours
trouver une equation du degre m dont tons les coeffieiens sont des fonctions
invariables de xx, x2 . . . et qui ont les m valeurs de la fonction pour ra-
cines; mais il est impossible de trouver une equation de la meme forme oVun
degre moins eleve, qui aura une ou plusieurs de ces valeurs pour racines.
Au moyen des theoremes etablis dans les trois premiers paragraphed,
l'auteur demontre ensuite, dans le quatrieme, qu'il est impossible de resoudre
algebriquement l'equation generale du cinquieme degre.
En efFet, en supposant que l'equation generale du cinquieme degr£ soit
resoluble algebriquement, on pourra, en vertu du tlieoreme (1), exprimer
toutes les fonctions algebriques dont une racine est composee, par des fonc-
tions rationnelles des racines; done, puisqu'il est impossible d'exprimer une
racine d'une equation generale par une fonction rationnelle des coeffieiens,
il faut qu'on ait
B™ = v,
oh Rm est une des fonctions du premier ordre qui se trouvent dans l'expres-
sion de la racine, li etant une fonction rationnelle des coeffieiens de l'equa-
tion proposee, e'est-a-dire, une fonction invariable des racines, et v une
fonction rationnelle des memes racines. Cette equation donne vm — 7i? = 0;
et pour v, m valeurs differentes, resultant du changement des racines entre
elles. Maintenant le nombre des valeurs d'une fonction rationnelle de cinq
variables, doit etre diviseur du produit 2. 3. 4. 5; il faut done que W, qui
est un Qombre premier, soit un des trois nombres 2, 3, 5; maifl selon
12*
92
DEM0NSTR. DE LIMI'OSS. DE LA RES. ALGEIJR. DES EQUATIONS etc
tkeoreme cite de M. Gauchy, le nombre 3 sera exclu, et par consequent il
ne restera pour que les deux valeurs 5 et 2.
1. Soit d'abord m = 5; on aura, d'apres ce qu'on a vu precedemment,
X
v=B '° = r0 ~\- )\x -)- r2x* -\- r^x3 -)- r4x4,
et de la
s0) etant, de meme que Ry des fonctions invariabies des racmes.
Cette valeur donne, selon ce qui a ete etabli dans le deuxienie paragraphe,
pour .Sj/i*5, une fonction rationnelle des racines, savoir:
sjl 5 — £(xt ~\- a*x2 -f- a3x3 -\- «2.e4 -|- ctSEs) = z,
a etant une racine imaginable de l'equation a8 — 1 = 0; mais cela est im-
possible, car le second membre a 120 valeurs differentes, tandis qu'il doit
etre racine de l'equation z'° — ,s-J7^ = 0, qui n'est que du cinquieme degre.
Le nombre m ne peut done etre egal a 5.
2. Soit m = 2. Alors v aura deux valeurs qui, selon ce que M* Caucky
a demontre, doivent avoir la forme
V =p -J- qs =
oh
8 = (X, — X2) (fl5, — ^3) . . . _ fl^
et ^ et ^ sont des fonctions invariabies.
En echangeant entre elles les deux racines xx et x,,, on aura p — qs = — J 7/,
et par consequent ^ = 0, et par suite
^lt = qs.
De la il suit que toutes les fonctions algebriques du premier ordre qui
se trouvent dans l'expression de la racine, doivent etre de la forme a -)- ft \
on a at ft sont des fonctions invariabies. "Maintenant il est impossible d'ex-
primer une racine de l'equation general c du cinquieme degre, par une fonc-
tion de cette forme; par consequent il faut qu'il y ait, dans l'expression de
la racine, des fonctions du deuxieme ordre, et qui doivent contenir un radi-
cal de la forme
DBMONS.TR. I)K L'IMI'OSS. DK LA KKS. AUJKliK DKS KQUATIONS et«.
93
oh. ft n'est pas egal h zero; m est mi riombre premier et v une fonction
rationnelle des racines. En cliangeant xx en x% on aura
m
m
ce qui donne vi\=^a2 — /?V. Maintenant a2 — /?V est une fonction in-
variable; si done vvx n'est pas de meme une fonction invariable, il faut que
m soit egal a 2 ; mais alors on aura v — ce qui donne pour v
quatre valeurs differentes; or cela est impossible: done il faut que vvl soit
une fonction invariable. Soit cette fonction representee par on aura
= Cela pose, consiclerons l'expression
Cette valeur de p peut etre racine d'une equation du ml™e degre, et,
comme cette equation sera necessairement irreductible, p aura m valeurs
differentes; done m sera egal h 5.
Alors on aura
i_ l
Rh -\-yB 5 = r0 -(- r, x -j- r2£c2 -(- r3a^3 -)- r4£r4 =~p,
d'ou
* = *0 + sp h \- ,%v* = /0 + fc#Hr ^
/„, /i . . . /4 etant des fonctions invariables. De la on tire, comme aupara-
vant,
i
as I (.rA -f- «4.>-2 -f - a\ra -|- «2.r4 -f flK%) as ?/,
et
94
DEMONSTR. DE LIMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
Cette equation, dont les coefficiens sont des fonctions invariables, est
du dixieme degre par rapport a y\ mais cela est contraire au theoreme (3),
parce que y a 120 valeurs differentes.
Nous concluons done en dernier lieu, qu'il est impossible de resoudre
algebriquement requation generale du cinquieme degre. De la il suit innne-
diatement qu'il est, en general, impossible de resoudre algebriquenient les
equations generales d'un degre superieur au quatrieme.
VIII.
REMARQUE SUR LE MEM01RE N° 4 DU PREMIER CAHIER DU JOURNAL
DE M. CRELLE.
Journal fiir die reiue und angewandte Matheniatik, herausgegeben von C'rellc, Bd. I, Berlin 1826.
L'objet du memoire est de trouver 1'effet d'une force sur trois points
donnes. Les resultats de l'auteur sont tres justes, quand les trois points ne
sont pas places snr une meme ligne droit e; mais dans ce cas ils ne le sont
pas. Les trois Equations, par lesquelles les trois inconnnes Q, Q\ Q" se
detenninent, sont les suivantes
(1) < Q'h since = /' c sin fa
[ Qa sin a = — Q" c sin (a -j- fa.
Celles-ci ont lieu pour des valeurs queleonques de P, a, 6, c, a et fa Elles
donnent en general, comnie l'auteur l'a trouve,
q _ _ 6c- ship + ft) p
(2) - (Q'=^?P, <f^
q„ ah sin« j j
ou
/• — ah sin a -j- ac sin/? — be sin (« -f- /?).
Or les equations (2) cessent d'etre determinees lorsque Tune ou l'autre des
96
REMARQUE SUB US MEMOIRE 1>U JOURNAL DE CRELLE.
quantites Q\ Q" prend la forme jy> ce qui a lieu, coninie on le voit
aisement pour
f, = /?z=180°.
i
Dans ce cas il faut recourir aux equations 'fundamental es (1), qui donneirt
alors
?=Q + Q' + Q",
Q'b sin 180° = Q"c sin 180°,
Qa sin 180° = — §"csiii3 600.
Or les deux dernieres equations sont identiques puisque
sinl800 = siii3600 = 0.
Done dans le cas ou
il n'existe qu'une seule equation, savoir
P= Q + Q' + Q",
et, par suite, les valeurs de Q, Q ', Q" ne peuvent alors se tirer des
equations etablies par 1'auteur.
IX.
RESOLUTION D'UN PROBLEME DE MECANIQUE.
Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegebeu von C'relle, Bd. I, Berlin 1826.
Soit BDMA uue courbe quelconque. Soit BC une
droite horizontale et CA une droite verticale. Supposons
qu'un point sollicite par la pesanteur se meuve sur la
courbe, un point quelconque D etant son point de depart.
Soit t le temps qui s'est ecoule quand le mobile est
parvenu a un point donne A, et soit a la hauteur
EA. La quantite % sera une certaine fonction de «, qui dependra de
la forme de la courbe. Keciproquement la forme de la courbe dependra
de cette fonction. Nous allons examiner comment, a l'aide d'une integrate
definie, on pent trouver 1'equation de la courbe pour laquelle x est une
fonction continue donnee de a.
Soit AM—s^ AP—x^ et soit t le temps que le mobile emploie a,
parcourir Fare DM. D'apres les regies de la mecanique on a — l^z=ya—x,
done dt= ds II s'ensuit, lorsqu'on prend l'integrale depuis x — a
V a — X
jusqu'a x=zQ^
f'° ds f* ds
J a V « * J 0 V« *
J.
designant que les limites de l'integrale sont x = a et x = /3. Soit main-
tenant
t — cpa
13
98
RESOLUTION D UN PROBLEMS DE MECANIQUE.
la fonction donnee, on aura
Ca ds
(pa= i
Jo ya — x
equation de laquelle on doit tirer 8 en fonction de x. Au lieu de cette
equation, nous allons considerer cette autre plus generate
fa ds
de laquelle nous chercherons a deduire l'expression de s en x.
Designons par I' a la fonction
on a couune on sait
r 1 y « -1 dy __ Ta . T(l — n)
oil a et ft doivent etre superieurs a zero. Soit p—1 — n, on trouvera
•)
d'ou Ton tire, en faisant z — ay^
rz-^dz = Ta.r(l-n)
Jo («-*)" r(a + l-») ' *
En multipliant par ^ n e* pi'enant l'integrale depuis a = 0 jusqu'a
a = Xj on trouve
fx da raz«-i dz _ Ta.T{l — n) f* a"~* da
En faisant a — xy^ on aura
rxa«-"da _„f1 y"~ndy _ T(a-n+l)Tn
done
f da faz«-idz Ta
RESOLUTION D UN PUOBLEME DE MECAN1QUE. 99
Or d'apres une propriete connue de la fonction J\ on a
on aura done en substituant:
/ - — / = — rn.lil — n).
En multipliant par a (pa. da, et integrant par rapport a or, on trouve
fX da r</3*;*~'¥* F« . r(l - ») /W . *• (*«.
Soit
/ . ==
on en tire en differentiant,
^ tpa . axa~xda —fx,
done
J^cpa. aza~lda = f'z\
par consequent
on, puisque . r(l - **) = »
sinw/r f* da ra . cfe
(!) > - ~^-J0 55^Jo (« - * '
A l'aide de cette equation, il sera facile de tirer la valeur de s de
liquation
Ca ds .
Qu'on nmltiplie cette Equation par ^frj^fij et &™ Pro,me jj*
grale depuis a=eQ jusqu'a a = x, on aura
sin «?r
7t
t f* (fa . da _ sinwTT f* da f° d* ?
done en vertu de I'equation (1)
13*
100 RESOLUTION DUN PKOBLEME 1)E MECANIQUE.
_ siiwi7g Cx (fa. da
Soit maintenant n — ^^ on *obtient
h ds
a = j
Jo va — x »
cpa =
et
^ 1 px cpa .da
-f
V
x — a
Cette equation donne Pare s par l'abscisse se, et par suite la courbe est
entierement determinee.
Nous allons appliquer l'expression trouvee a quelques exemples.
I. Soit
cpa = a0a^" -f- a^' -[-... -J- ana^ = 2aafl,
la valeur de s sera
e 1 fx da 1 / f Wa \
7TJo ix — a ™ \ Jo ya? — aj .
Si Ton fait a=z xy, on aura
f x atlda , = ^ + i f 1 y^y =x,+i JV + iK (i)
JoV^^ J0yi_y r&e-fcf) '
done
ou, puisque 3T(-J)x=|G?
-}=n + • • • + -mM
Si Ton suppose p. ex. que m = 0, fi0 = 0, e'est-a-dire que la courbe
cherchee soit isochrone, on trouve
S—r 7Za«T(£) — lT(^V^r—-TrVXi
2a r—
or s = — ■£ y x est l'equation connue de la cycloide.
II. Soit
RESOLUTION D UN PKOHLEME DE MECANIQUE.
(pa depuis « = 0 jusqu'a a = a0l egal a (p0a
(pa depuis a = a0 jusqu'a a = a^ egal a tp^a
(pa depuis a — a± jusqu'a a = a2, egal a (pta
(pa depuis a = am_1 jusqu'a a = amJ egal a (pma,
101
on aura
7TS
c(p0a. da
oVa — x
aa(p0a • da
> depuis x = 0 jusqu'a cc
o?
j depuis x — a0 jusqu'a x = ai,
ITS
o V« — * Ja„Ya-
rao q> ..a.da ■ Ca'w^a.da . Cxmc.a.da , ...
s= / T " -f- / y -|- / T 2 j depuis 2" = jusqu h x = a2
Jo ya — x JaaVa — « JaxYa — x
71S
fa°(p0a.da
Jo Ya — x
(pxa.da
a0Ya—x
depuis x — am_1 jusqu'a x = a
| r a™— 1 (pm—\a . da , T x cpma . da
J«TO_2 Ya — x Jam_^a—x
ou il faut remarquer que les fonctions y>0a, (pxa, (p2a . . . (pma doivent etre
telles que
(p0a0 — (pxa0l (pxax — (p2a^ (p2a2=z (p3a21 etc.,
car la fonction (pa doit ne'cessairement etre continue.
X.
DEMONSTRATION DTJNE EXPRESSION DE LAQUELLE LA FORMULE
BINOME EST UN CAS PARTICULIER.
Journal fiir die reine und angewandte Matliematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 1, Berlin 182C.
Cette expression est la suivante:
• . (x + «)" = x' + f a (x + fif-* + a (a - 2/5) (x + 2/9)-2 + • ■
4^^^ ...
+ ~a (a - (ft - [m + (n - 1) jfl + a (a - np)^ ;
x, a et p sont des quantities quelconques, n est un nombre entier positif.
Lorsque n = 0, l'expression donne
(x + a)° = x\
qu'il fallait. Or on peut, comrae il suit, demontrer que si l'expression sub-
siste pour »zs=m, -elle doit aussi subsister pour v=-in-\-\, e'est-a-dire
qu'elle est vraie en ge*neYal.
Soit
(x + af = + 1 a(x + PT~> + ^%^%(« ~ m + WT~* +- '.
+ | a (a — fa ~ l)P)m~* + (w — + «(« — w/?)n,-\
En inultipliant par (w -|- l)dx et integrant, on trouve
DEMONSTRATION D UNE EXPRESSION DE LAQUELLE LA FORMULE 1JINOME etc. 103
{x + aT+> = tf* + K+* a (* + (If +(jnT^ « (« - m ¥ + W + * ' *
_j_ a(a- jnfiy-1 (x + mft) + C,
C etant la constante arbitraire. Pour trouver sa valeur posons x — —
les deux dernieres equations domierout
(a _ (m + I)/?)- = (_ i)» \{m + 1)7?'" — mTaft^1
+ - {m _ i)-v (a - m*m-2- — fa - 2)- ~a<* (« - +
(« _ (m _|- 1 = (_ |"(m _|_ iy+*/9.-t* — (m + l)ro"a/?"
(m -f-
+
(m _ l)— V (a — 2/?)/?""1 —
+ C.
Multipliant la premiere de ces equations par {m -\- I) ft et ajoutant le produit
a la seconde, on trouve
ou bien
C= (a - (m -f + (m + 1)/? {a - (m + l)ft)m,
C=a(a — {m + 1 )/?)'".
11 s'ensuit que l'equation proposee subsiste de meme pour n = m-\-l.
Or elle a lieu pour n = 0; done elle aura lieu pour n = 0, 1, 2, 3 etc.
e'est-a-dire pour toute valeur entiere et positive de n.
Si Ton fait ft = 0, on obtient la formule binome. Si Ton fait a = — x,
on trouve
0 = x- - £ x(x + /3)'-1 + '^^'x{x + 2/?)-'
- "(m ~ i I v~- + 3^"' + • • •
ou en divisant par
O^-'-f (x + /?)-+ + 2^-
ce qui est d'ailleurs connu; car le second membre de cette equation n'est
autre chose que
en faisant la difference constante egale a ft.
XL
SUR ^INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENT1ELLE ^t, R ET
YR
ETANT DES FONCTIONS ENTIERES.
Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 1, Berlin 182G.
1.
Si Ton differentie par rapport a x Texpression
(1) ' z,,^+9±", \
p — qVR
oil jh 3 et R sont des fonctions entieres d'une quantite variable &\
obtiendra
dz = dP + d{<rf%) _ <tp — d{qYR)
p -f qiR p — qYll
OU
fh _ (p-qYR) [dp + d(qVR)] — (p + qjR) [dp — d(q\/R)]
p* — q*R '
c'est-a-dire,
dz = 2Pd(^)—2dP-^
pt — qiR
Or
done par substitution
^z_pqdR-\-2 (Pd9 — <ldp)R
(p2 — q*R)YR '
105
SUK L INTEGRATION DB LA FORMULE D1FFERENTIELLE y~ etc.
par consequent, en faisant
on aura
. , , M dx .
(3) dz —
oil, coimne on le voit aisement, M et N sont des fonctions entieres de x.
Or, z etant egal a log , on aura en integrant
P — q~v R
II s'ensuit que dans la ditferentielle — ^ on pent trouver une infinite
yR
de formes differentes pour la fonction rationnelle (>, qui rendent cette ditfe-
rentielle integrable par des logaritlimes, savoir par une expression de la
forme log f^AiL? • J^a fonction ^ contient, comme on le voit par les
p — qVR
equations (2), outre R, encore deux fonctions indeternrinees p et q\
c'est par ces fonctions quelle sera determinee.
On pent renverser la question et demander s'il est possible de supposer
les fonctions p et q telles, que (> ou ^ premie une forme determinee
donnee. La solution de ce probleme conduit a une foule de resultats interes-
sants, que Ton doit considerer comme autant de proprietes des fonctions de
la forme / Dans ce menioire ie me bornerai au cas ou -j^ est une
J VR A
fonction entiere de x, en essayant de resoudre ce probleme general:
„Trouver toutes les ditf'6-entielles de la forme > ou (> et H sunt
yR
„des fonctions entieres de x-, dont les integrates puissent s'exprimer
p + qVR
„par une fonction de la forme log •
14
106 SUK L INTEGRATION J)E LA FORMULE lUKFEltENTIELLE etc.
V*
2.
En differentiant l'equation
N=p* — q2R,
on obtient
dN= 2p dp — 2qdq . R — (fdR;
done en multipliant par -p,
p dN= 2p*dp — 2pq dq . R — pq'dR,
e'est-a-dire, lorsqu'on reniet k la place de p2, sa valeur N-LqUt,
p dN= 2Ndp -f 2q2dp .R — 2pqdq. R—pq2dR,
p dN= 2Ndp — q[2(pdq — qdp) R + fgdfi] ,
done, puisque (2)
2 (p dq — q dp)R -\-pq dR — M dx ,
on a
ou bien
done
p dN= 2Ndp — qMdx,
qM^2N^-ptj^-,
da * da
(k\ M la
(5> N=[2dj-Pm«):«-
M
Maintenant ^ doit etre une fonction entiere de x\ en designant cette fonc-
tion par (>, on aura
a dp dN
11 sensuit que p ^— doit etre une fonction entiere de u.-. En fiaisanl
on aura
SUU L'lNTEGKATlON 1)E LA PORMULE DIFPERENTIELLE etc. 107
yW
done 1' expression
I m I mi I | \
*^ \ « -|- a ' x -f- a, « + /
cloit de meme etre une fonction entiere, ce qui ne peut avoir lieu a moins
que le produit (as -\- a) • • • (x -4- an) ne soit facteur de p. II faut done que
p — (x-{-a) • • • (a? + an)i?u
2>, etant une fonction entiere. Or
N=p2 — q2R,
done
(x + a)m • • • (* + <f«=i^ + «)2 + • ' • (x + any- q%B.
Comme R n'a pas de facteur de la forme (x-\-a)% et comme on peut
toujours supposer que p et q n'ont pas de facteur comniun, il est clair que
m = mx = • • • = mn = 1 ,
et que
=sa ■(»•+■ '«) + «l) ' * * (3 + an) ^1 7
R1 etant Tine fonction entiere. On a done
, N=(x + a) (x-f<h) • • • (x + an), B = NB11
e'est-a-dire que iVT doit etre facteur de R. On a de meme p = Np^ En
substituant ces valeurs de R et de p dans les equations (2), on trouvera
les deux equations suivantes
plN-qUi^l,
(6) M dR j 0/ dq dp] p
La premiere de ces equations determine la forme des fonctions py, q, N et
Si] celles-ci etant determinees, la seconde equation donnera ensuite la
fonction (>. On peut aussi trouver cette derniere fonction par l'equation (5).
3.
Maintenant tout depend de l'equation
(7) plN-qUt^l.
Cette equation prut bien §tre visolue par la me*thode ordinaire deg coeffi-
14*
108 siTR L IN TEGRATION I)K LA PORMULB DIFPERENTIKLLE ^ ftt©.
V*
ciens indetermines, niais l'applieation de cette method e serait ici extremement
prolixe, et ne conduirait gufcre a un resultat general. Je vais done prendre
une autre route, semblable k eelle qu'on eniploie pour la resolution des
equations indetenninees du second degre a deux inconuues. La seule diffe-
rence est, qu'au lieu de nombres entiers, on aura a traiter des fonctions
entieres. Comme dans la suite nous aurons souvent besoin de parler du
degre d'une tbnetion, je me servirai de la lettre <? pour designer ce degre,
en sorte que ftP designera le degre de la fonction P, par exemple,
d (xm axm~x -\ ) =.m,
+ k
P'ailleurs, il est clair que les equations suivantes auront lieu:
<y(PQ) = ()p-\-<yQ,
<y(P>») =mdP;
de plus
()\P^-P')^dP,
si dP' est moindre que $P. De meme je d&signerai, pour abreger, la
partie entiere d'une fonction rationnelle u par Ev, en sorte (pie
u = Eu -\- u\
oh. f)V est negatif. 11 est clair que
done, lorsque <h' est negatif,
Relativement k ce signe, on aura le theoreme suivant:
„Lorsque les trois fonctions rationnelles z/, V et z ont la propriete que
SI'H ^'INTEGRATION DE LA FOUMULE DIFFERENTIELLE s ete
1"
„<m aura, si rV.-j<^V,
Eu = ± Ev.
En effet, on a par definition
u sss Eu -\~ u\
v — Ev -|~ v',
109
du' et (h/ etant neo'atif's; clone en substituant oes valeurs dans l'equation
(Eu)2 + 2u'Eu + n'2 = (Ev)2 + 2?//^ + w'a + 2.
II s'ensuit
• jjg^y z _(_ _ M'> _|_ 2?/ jgk — 2m' #w = /,
ou bien,
-f Ev) (Eu — Ev) = 1.
On voit aisenient que (V/<[(5V;; ail eontraire ()\Eu -\- Ev) (Eu — Ev) est au
moins egal a $Vj si (Eu -\- Ev) (Eu — Ev) n'e.st pas egal a zero. 11 faut
done necessairement que (Eu-\-Ev)(Lu — Ev) soit nul, ce qui donne
Eu=±Ev c. q. f. d.
11 est elair que l'equation (7) ne saurait subsister a moins qu'on n'ait
d(N1/f) = <)\B,iq2),
e'est-a-dire,
d'ou
£ = 2 (<fy — SPl + M^).
Le plus grand exposant de la fonetion 11 doit done etre un nombre pair.
St lit (ViV— n — m , #2^ = w -f~ w .
Cela pose, au lieu de liquation
|e vnis proposer la suivante
(8) plM-tf&==»r
11^ 8U8 l/INTKOK ATIOX DE LA FORMULK DIFFERENTUELUS Ate.
ou v est une fbnction entiere dont le degre est moindre que \ ^ ' •
Oette equation, conime on le voit, est plus generale; elle pent etre resolue
par le nieme procede.
Soit t la partie entiere de la fbnction fractionnaire -~ ? et soit t* le
reste; cela pose, on aura
(9) B^Nt + t',
et il est clair que t doit etre du degre 2?/? , lorsque dN=?i — m et
f^j = n -\~ m. En substituant cette expression de Bx dans l'equation (8),
on en tirera
(10) (|?;^gH)iYP-.g,tf«=s«:
Soit maintenant
(11) - *-*J~K',
on pent toujours determiner tA de maniere que le degre de t/ soit moin-
dre que m. A cet effet, faisons
/ = a^&^x 4 4" "a*^
*i ==A+"ftM-
cela pose, l'equation (11) donnera
a,mx2m + d^aj*-1 + «2w_a.^m-2 H h H h M + «0
+ ^-iz1"-1 + v^sp-^ H h yi» + ;v
I)e cette equation on de*duira, en comparant les coef'ficiens entre eux,
®"im — — /f* ?
fe-i = «Ui — 2&—i£« — 2/?OT_,/V
SUR L'lNTKfiKATION DE LA FOUMULK OimiRKNTlKLLK "'' Btfe HI
r ^
PV-S = «m-2 — SgtiX ft — 2ft„._3 ft • ,
ft = «*— 2ftft-/?!, '
/i = «i :— 2ft ft ,
Les -4- 1 premieres equations donnent toujours, comme il est aise* de le
voir, les valeurs des quantites ft, ft_, • • • ft, et les m dernieres
equations donnent les valeurs de y0, yu yt . . . ^'equation supposee
(11) est done toujours possible.
Substituant dans l'equation (10), au lieu de t, sa valeur tiree de l'equa-
tion (11), on aura
(12) &l-Z,Pt)N-q>(Ntl' + t')=v;
d'ou Ton tire .
(y) — + jy + g*N '
En remarquant que
on aura, par ce qui precede,
done
i>i = ± *» '/ + ft ou ^ < %
on bien, comme on pent prendre tx avec le signe qu'on voudra,
Pi = tiq + (L
En substituant cette expression, an lieu de pt dans l'equation (12), elle se
cliangera en
(13) - (fl* + 2ptlq)N-qt8 = v1
ou, pour abreger, on a fait
J)e eette expiation il est facile de tiiv.r
H2 SUK L'lXTKGKATlON l)E LA FORMULE D1FFEKENT1ELLE etc
yn
ou, puisque s = 5, (car J% =s ?iV-f- /', 8 == A7/ -f- /', et t = fj-f
7 »
Soit inaiiiteiiant
^=r2 + r', oil $r'<#r,
on aura
(/ I^A^1 [ r \2 , v c
/? s j \ S J 1 s2 s/?2
Or, on voit aisement que
done
et par suite
done en faisant
on aura
En substituant eette expression de q dans l'equation (13), on aura
/?2iV+ 2ftUN{2uft + ft) - 8 (4„2/?2 -f 4^ ft + #) = H,
e'est-a-dire,
4*j**)t + 2 2//«)/?ft — ,s/i2 ==
Faisant pour abreger
1.^-2^=-^,
on obtient
(15) :,v V s1fi*-2r1Wi- sp*= v.
Puisque j = 2,», on a
SUli L INTEG RATION DE LA FOKMULE D1FFEUENT1ELLE etc.
r -f- tlN= 2*-tt -(- f , ou <^ ()\s,
par suite la derniere des equations (14) donnera
i\ = r — t.
En multipKant ^expression de sk par s, on obtient
94 = 26 + 4^i#» - = #5 + ^2 ~ (2^" - ^v)*-
Or Styfc — ttN=ru done
SSl = ^' + /^V2-n, et rJ-f-f4=3T(« + «J20;
de plus on a
done
(16) rJ 4. «4==
D'apres ee qui precede on a it? = r2 -f- rr, done
jfi _ ^ _ 6.tSi _ r * jy _|_ rj (y __ ri) — g5l _ r
Or puisque $r' <<<L & ^e cette equation que
<y (ss,) = <J (r + >\) (r — ,
e'est-a-dire, puisque r — i\ = ou fV* << dr,
Or (V.s ^> done
iISi <d <Vv.
On a de plus « = jVV + '', ou dY < rTlV et <j*i'< done
J [ais H = jV (s -|- fcj jV) , par consequent,
et puisque fTjK = 2()V = 2()V1 , on aura
On en eonelut
^9<^t,
114 SUB L INTEGRATION DE LA FOR MULE DIFFKKEXTIELEE '"" . r» .
\K
L'eqnation p\N — « V est done transformer en celle-ci:
Oil
On obtient cette equation, comme on vient de le voir, en faisant
(17) *=*« + A
fi etant determine par liquation
t = + oh r)Y/<^,
et par l'equation,
oil
r^-f.r'ssJKjJY, * = ^1/ + Jff1 — iV/.
De pins on a
(18) < Sl = ^4- ^iV— 4*^*,
II s'agit niaintenant de l'eqnation (15).
o.
EewUttion de CSquatimi: 8iP*< — 2rippi — sp*zzv, 0?V ds<Ofa, £*i <
rfy <()'/•! , dpi < dp.
En divisant l'eqnation
(19) srf*- 21^-8/11^,
par srA^Jj on obtient
2 *** ? a ?
. Pi h pi % ~ *ip\ '
done
[JL ill* — s__i_._^_.
_.<:,]
:::)
sru L IN T K ORATION DE LA PORMULE DIFFERENTIELLE ^= etc. H5
8
1 v
Pi *l j — \ »1
done
§ \ _
oh You doit prendre le eigne -j-, car Fautre signe donnerait ^("^J — 0;
dune
par consequent, en faisant
on aura
ft, oil
Substituant cette valeur de (3 dans l'equation proposee, on a
* on + mm + t$) - *?*a (ft + wo - = * -
ou bien
(20) ^ - 2r2ft ft - 8lfil = - v,
ou
r2 = 2/ / , *, — r, , ^ = .9 -f - 4r, ,w i — 4*i ? •
L'equation j^f—J == f*t donne
On obtient par ' la,
r2 = r1 — 2e11
done, comme il est facile de le voir,
L'equation (19) a par consequent la meme forme que l'equation (20); on
pent done appliquer a celle-ci la meme operation, e'est-a-dire en faisant
15*
110 SUR ^'INTEGRATION DE LA FORMUEE DIFFERENTIELEE j"^ etc.
on aura
oil
r3 = 2//2.s2 — rf = r2 — 2f2,
*a = *i + 4r2^2 — 4s2j* a = »r+ 4f2 w2,
En continuant ce procede, on obtiendra, apres — 1 transformations,
cette equation:
(21) sHpl_, - 2r„ft_1fl, - = (-
ou *&<e>£u;
Les quantity's s„, rMV sont determinees par lcs equations suivantes:
u. = E\
2i
Sn = ,S'n— 2 H-" 4 rn— 1 A'n-l •- 1 '
A ces equations on pent ajouter celles-ci:
— Sn -2 ~T~ ^en—l ,U7i—l '
Or7 les nombres rV/?7 d)3.2 . . . (\j3in etc. formant une serie decroissante,
on doit n^cessairement, apres un certain nombre de transformations, trouver
un fin egal a zero. Soit done
l'equation (21) donnera, en posant n—nt,
• (22) "jii^i-ir-'v.
Voila l'equation general e de condition pour la resolnbilite de l'equation
(19); ,sw depend des fonctions .v, .s,, rl1 et doit etre pris de maniriv
k satisfaire k la condition
odx 117
SUR L'INTKO RATION DE LA FOR MULE DlFFERKNTIELLE ; etc. 1
\ ■
L'equatiou (22) fait voir, que pour tons les «, .s, et ru on pent trouver
uue infinite tie valeurs de «, qui satisfont a l'equatiou (19).
Eu substituant dans l'equatiou proposee, au lieu de v, sa valeur
(— l)",_1.sM^_n ou obtiendra
* ^ - - = (- l)'"-1^/^:-!,
equation toujours resoluble. On voit aisement que ft et ft1 out le facteur
comnmn ftm_x. Done, si Ton suppose que ft et ft, n'ont pas de faeteur
comnmn, ft^ * sera independant de a. On pent done fake ft,_i = l, tl'ou
resulte eette equation,
- 2rx/?ft - 0\ = (- I)"-1*..
Les fonctions ft ft, ft . . . sont determiners par l'equatiou
ft— 1 := ^ftnftn ~\~ ftn + ll
en posaut suceessivement n=l, 2, 3 . . . w — 1 et en remarquant que
ftm=zO. On obtient par la
0m- 9 — 2/',„_2 ftn-2 ~f~ ft»-l 5
ft„^4 — 2/',„_3 ft„_3 "j" ftm-%1
ft =2/r4ft + ft,
ft =2//, ft + ft,
ft = 2/ia /*, + /?.,
4 ^2^ft+ft.
Ces equations donnent
L INTKOUATIOX DE LX FOUMELE IMEFKUENTIELLE etc
| K
lj<*-> — 9„ V 1
ftm—l
f*£± q
On en tire par des substitutions successives:
£ _9„ i __JL
1
1
On aura done les valeurs de .(3 et de (3, en transformant cette traction
tinue en fraction ordinaire.
0.
En substituant dans 1 'equation
pour v sa valeur (— l)"-1.^, on aura
on
done
or
par consequent,
q =2^/9 + ft,
# = '></ + A
— t 4-^-/4- 1 •
£ — * 4- - i-
*■ + 2g + .
L'equation
2f*« i
mix 1 1 O
SUR L INTEGRATION UE LA FORMULE DIFFERE NTIEL LE ; ; etc.
donne
q j N 1 q2A
q V N \ q-l\
f »
done en supposant >m iufiui
Pi l/A>i .
y—r AT'
done
2j'i -t- « , -
2^ "r + etc.
On trouve done les valenrs de J7j et de </ par la transformation de la
fonetion |/^ en fraction continue**)
7
Soit niaintenant o == a, Ton aura
Done si l'eqiiation
y^jjV — </" A\ = «,
est resoluble, il f'ant qn'an nioins line des qnantites,
$ .s-17 .s\, . . . SM ete.,
soit independante de x.
D'antre part, lorsqii'nne de ees qnantites est independante de X, il est
toiijonrs possible de tronver deux tbnetions entieres iJt et '/ flin Bftttsras-
sent a cette equation. En effet, lprsque on aura les valenrs de
et de q en transt'orniant la fraction continue
*j L'eqnation ci-dessus n'exprime pas unc egalite absolne. Ellc indiquc settlement
d'nne maniore abregee, comment on pent tronver les qnantites tA , ft, f.tly ,t(j . . .
Si tontetois la traction continue a unc valour,, colle-ci sera toujours eg&le a
120 SUU I/INTEOKATION DE LA FORMULE DIFFER E N T IEEE E ~ etc.
*± — t4--1 1
<l + -9- 1
en traction ordinaire. Les fbnctions s, »n etc., sont en general, connne
il est aise de le voir, du degre n — 1 , lorsque jVJZj est dn degre §*f
L'equation de condition
donnera done it — 1 equations entre les coet'ticiens des fbnctions N et Bx-
il n'y a done que n -\- 1 de ces coefficient qu'on puisse prendre arbitraire-
nient, les autres sont determines par les equations de condition.
l)e ce qui precede, il s'ensuit qu'on trouve toutes les valeurs de Bt et de
iV, qui reudent la differentielle $== integrable par une expression de la
yRiN
forme
l()g i ,
en faisant successivement les quantites .s, ,sl7 s2 . . . *„, independantes de .r.
Puisque p^jtiN, on a de meme,
ou bien
I — > — = lou' — - ■- ;
on
(23) < *='.+i+ i i
'■ + 9 i
en supposant .s,;i egal a une constante.
Ijes ((iiantites Jix , A', et 7 etant ainsi determinees, 011 trouve (>
SUB L'INTEGRATION DE LA FOKMULE DIFFjOREKTIELLE ': ~% etc. 121
par l'equation (5). Cette equation donne, en mettant pxN au neu de Pi
et (j au lieu de
|. ;: f*fc1£+,jr*);*.. .
II s'ensuit que
fly = -[- (LV — 1 — r)V/ = dp — dq — 1.
Or on a vu que ftp — dq = w, done
^ = w — 1.
Done si la fonction B ou I^N est du degre 2??, la fonction (> sera
necessairement du degre n — 1.
9.
Nous avons vu plus liaut que
mais on peut toujours supposer que la fonction N est constante. En effet
on a
f e<Lv — 100. j^yy-f-gVs
et par consequent,
[jj*L - J loo- ( piVy+gV*i \2 i b rt^+g'fr +»igVgy
ou, en faisant p \N -{- ^ 2-ftx = p ' et 2pxq = q' ,
V- = loo- ----
Vi? ° v'
p'-q'YR
II est clair que p' et n'ont pas de facteur commun; on peut done
toujours poser
N= 1.
Au lieu de l'equation p\ N — q2Ki — 1? on a alors celle-ci,
16
122
SUR L'INTEGRATION DE LA FOKMULE DIFFERENTIELEE etc.
dont on obtient la solution en faisant N= 1 et niettant R an lieu de Rv
Ay ant N= 1, on voit aisement que
done
l}'- = r-\- - 1
2'" + 2* +
i^ = r* + s,
^=^(t)' r = «A* + «i
r, = r — 2f, «!-=1-{--4c/i4
+
(24)
;1 7
r,=r1 — 2«u 4=«-|-'**iMm
\ 6 n / •
Ayant determine les quantites R1 r, pj . . . <rm_1 par ces equations, on
aura
(25)
Oil
= log ^ti^
2 dp'
q due
ce qui resulte de liquation (5) en y posant N= 1.
SUU L' INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFEKENT1ELLE 1% etc
128
10.
On peut donner a l'expression log- l>x^' ' ^ 1 une forme plus simple,
savoir.
loo- — — ^—p= - = loo- — —
ce qu'on peut demontrer comme il suit. Soit
is — /J_ — L i
2^,n— 1
on a par la theorie des tractions continues,
(a) ** === «„,_* + 2/'m_! «m_! ,
(b) jft == + 2/1 M_i Pm-i .
De ces equations on tire, en elinmiant //,„_!,
done
• ce qui est comm.
Les deux equations (a) et (b) donnent encore
aj — a'i_., -f- 4«)„.„1 am__2um^ -\- 4u fB_x ,
11 s'ensuit que
<N- PUh = «;-2^- ffki*i
Or on a
flu* = (- tir***~»
16*
124
SUR ^INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE ^= etc.
V*
done, en snbstitiiant,
** = *m-2 + 4(— l)""-1 ^ («„_! «m_2iV— ft^Sj) — 4/1 *_1 5m.
Mais, d'apres ce qui precede, on a
Sm =z Sm—2 ~~\~ 4)» m_1 ?*m_i 4Sm_1 // 1 ,
done
Soit
zw = «my^+/?,;^, et zm' = amyN-l3mYR11
on aura en inultipliant,
mais on vient de voir qu'on a
— /?« = (— 1)*^, <*m<*m-xN— /?m/^_1/?1 = (— l)"!>-,n;
on tire de la
^^1 = (- l)™(^-f f#),
et de la nieme maniere,
zm'*n-, = {- l)m{rm- YE)-
on en tire en divisant,
Zm Z'm-l rm-\-YB m
zm ~m— 1 rm y M1
on, en inultipliant par 7"-1 >
^to ~ f- Y R Zm_\
% rm — YE Z'm-l '
En faisant successivement w=r 1? 2, 3 . . . m, on aura,
«i' n — Ye z0'
H _ _ r2-\-YR tj
V r2 — Vi? *i
SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE etc. 125
d'ou. Ton tire
rm — z'm-i '
Or on
et
_ zp n + VR rt + VR r3 + V~R rm + VR
zm' z0' rx — iR rt — YR r^—l/R rn — YR
Z0 = a0}/N+ /90VA = ,
*m amVN—^mVRt '
done
«TOyiv — pmiRx~ hYN—YR, ' n—YR ' n — YR ' ' rm-Y~R
et en prenant les logaritlimes
CCmYN+PnYR!
(26) log
Oni'N—pnYRi
= log frVjH-y^ + 1^ 5L±Vg + iog !v±^ + • • • + log
^y^v— ~ 8 ri — YR ■ 8 ra — YR ■ ' to r, — y^
ce qu'il fallait demontrer.
11.
En differentiant l'expression z — log "'""^^ P™^^ 0n aura, apres les
* b amyAr-/?my^7 ' F
reductions convenables,
dz
2 (am dpm — dam ) NRt — «m /?w dN — NdRt )
(a* A7-/?*^^7^
Or on a
done en faisant
(27) (-1)^=2 (^-^) m-^fi. ( )
126
SIR LIN TEG RATION DE LA FOKMULE DIFFEKKNTIELLE '''X etc
fa
on aura
et
done
ou bien
sm
'Qm da-
Sm I ,\ /,'
Dans cette expression sM est tout au plus du degre (n — 1) et q„, est
necessairement du degre (n — 1 -|- ()V>jn), ce dont on peut se convaincre de
la inaniere suivante. En difterentiant l'equation
(29) ^^-/^^-(-l)'"-1^,,
on trouvera la suivante
2am da„N+ al dN— 2fiM dfim . Bt - $ dlix = (- l)m-xd*m ,
ou, en multipliant par «miV,
a-mN(2Ndam + amdN)-2a,jindliHKl{l - ^NdH, = (- t)*~* amNdsvl.
Mettant ici a la place de a'fnN, sa valeur tiree de l'equation (29), on aura
(- l)"'~\sm(2Ndaw + am dN) + fim [2Nh\ftm dam + amflmh\ dN - 2am d^Nli,
-tinamNdh\] act (- ly^a^ds,,, ,
e'est-a-dire,
ft [2 (*n Mi - ft *W) - *ift (ft
= (- l)-1 & (2 + *„ tfJV) - aniNds„] .
En vertu de l'equation (27) le premier nieinbre de cette equation est egal
a i%( — l)ra_1 {>mdx; done on aura
2i\dam , a„,dN\ N</*„
( . a t 2Ndam | cc„,dA \
f/.t-
127
SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFPERENTIELLE V etc.
Puisqtie ^,<C1*j ^e second membre de cette Equation sera necessairement
du degre (ftsm -[- $N»^- &am — 1), comme il est facile de le voir; done
fym = + — ^A, — 1.
Or de liquation (29) il suit que
done
()i)m = dsm-\ 2 1;
ou, puisque cTiV-f- cWSt == 2re,
f^m = -f- w — 1,
e'est-a-dire que (>m est necessairement du degre ((hm -\-n — 1). II suit de
la que la fonction — est du degre* (n — 1).
Faisant dans la formule (28) Nsszlj on aura t1 = r^ et par consequent
(31) />^ = l0g^^ + log^£+ • • • +log
oil, suivant l'equation (30),
Mm — *** "fa — «« dx
L'equation (28) donne, en faisant s^=5=a,
OU
et lorsque iV=l,
(33) J = log ^ + log + • ■ • + log -
2 t£a„
D'apres ce qui precede, cette formule a la merae generalite que la for-
128 SUR L1NTEGRAT10N DE LA FORMULE D1FFERENTIELLE ~= etc.
mule (32), et doune toutes les integrates de la forme J > oh (> et R
sont des fouctious entiei
mique de la forme log
sout des fouctious entieres, qui sout expriinables par uue fouctiou logarith-
p—qVR
12.
Daus l'equation (28) la fouctiou — est donnee par l'equation (30).
Mais on peut exprinier cette fouctiou d'une maniere plus commode a l'aide
des quantites f1? r1? r8, etc. («, //17 etc. En effet, soit
on aura en differentiant,
i i i ** i 1 dR
rn + ifB rm-Y'R '
ou en reduisant,
/qqa 7 rm dR — %R drm 1
[66 } dZm — K-R yl> "
Or nous avons trouve plus haut
,s'to —— Sm—2 ~~\~ 1 'm— 1 flm—l j
done en multipliant par ,
,S'm 'Sto— 1 == *'m— 1 Sm— 2 ~f" ^,Um—l Sm-1 ^A*— 1 /'w 1 7
e'est-a-dire,
5m«Sm— 1 == **to— 1 2 "j- 'm l (2s„,— 1 1 >'m— l) •
Mais on a
done en substituant cette quantity,
d'oii Ton deduit par transposition,
rm ~\~ Sm Sm— 1 == ~\~ tS'm -1 'S'm-2 •
129
SUK L IN TEGKA I ION DE LA FORMULE J ) 1 F FE HE N TIE L L E j^g etc.
11 suit de cette equation que -|- sMI .s-m_i a la nieme valeur pour tons
les m et par consequent que
or nous avons vu plus haut que r\ -\- ss{ = et par suite,
(34) tt = rZ,-\-sm
Substituant cette expression pour R dans l'equation (33'), on aura apres
les reductions convenables
■m==~YE v y/jj- y^'
niais puisque ?•„ = 2j»w _t — leterme — ^ y| 86 transforme
eu _ 1%1 -j- On obtient done
' VR 1 VR
et en integrant
Cette expression est, comme on le voit, une formule de reduction pour
les integrates de la forme / ----- Car elle donne l'integrale / -f- '/'
* J a* VR J *« VR
par une autre integrate de la j^tffijfeft^it par une integrate de la forme
/ — on t est une fonction entiere. M errant dans cette formule a la place
J VR 2f»w +
de w successivement ///, /// 1, ?/i — * -2 . . . ■ 3, 2, 1, on obtiendra >//, equa-
tions semblables, dont la somme doniicra la : formule suivante (en remarquant
(pie r0 = 2su — r1 = t1N en vertu de TeVjua'tion /•, -|- /, A — 2* if )
+ J 2(^ + ^-1 hrfr« — ,«*^ — »S'l
On pent encore reduire integrate / ' ' y., ' Ku ''itterentiant re-
pression ^
SUK L'INTEG NATION DE LA FORMULE I >1F F E 1» E H TIE L LE etc
.2 = loo- 1 1 s-A. ,
8 i1vn-vr1
on aura apres quelques reductions,
r. _ — 2dt1NRJ — tx (RxdN—NdRx)
(t\N—Rx)YR
Or on a
substituant done cette valeur de Rx dans l'equation ci-dessus, on trouve
dz = (2Ndtl + tt dN) -L — — ^£ ,
done en integrant
L'expression de / — - - se transfornie par la en celle-ci,
+/vl + * rfjV+ (/'-. H V dr» - ," * - ,«. *. ,«-■
ou, en niettant a la place des quantites 2, 28 . leurs valeurs,
(36)
=/ 7S (Ndt' + 5 '' ''''' + " ' : " '/n ~ ■"> '<*• ."-i <&«
'.VA-V«, ",,-■,// *,,-y'Vi '°g r.-Yi
Cette formule est entierement la lneine que la fbrmule (28); elle donne
+ 2(Ndt1 + ittdN+drlMk. • -[-,/,„ -ftds um ld»M .,).
Mais l'expression ci-dessus dispense dn calcul des fonctions am et
(tdx 1Q1
si i; [/INTEGRATION I>K LA FORMULE DIFFKKENT1ELLE " etc. 1,u
Si maintenant est independant de x, l'integrale / — - dispa-
j -s'h) y a
rait et Ton obtient la formule suivante:
(38) f -JL ( dN4- Ndt, + fir, + • • • + dr« !' ds — ■ ■ ■ — ft^ ds^)
= log *1 + l0g. 1 log U±& + • • • + log
Si dans l'expression (56) on fait iV===l, on a f1 = r, et par suite
(39) / ^ v% = J?I {dr + dVl +'"+ *■ -'tds^
— log ,- — loff ?=r — • • • — log = 5
et si Ton fait .s,„ = a :
(40) f-2^ (dr -f- <2r, + • ■ • + rfr« " /' ds ~ /'i c?-^ — • • • — //„,_, tfo^)
En vertu de ce qui precede, cette formule a la meme generalite que
/'td.r y
y==i oil
/ est une fonction entiere, qui peuvent etre exprhni'es par une fonction de
la tonne loo-
13.
Nous avoBS vu ci-dessus que
]/R>-i4-1 l
+ ,
1
2u
done, lorsque Ar=l,
17*
vA2
132
SUR ^INTEGRATION DE LA F OH MULE DIFFKRENTIKLLE *~ etc
En general les quantites //, u1 , </3 . . . sont differentes entre elles.
Mais lorsqu'une des quantites s, sl7 s2 . . . est independante de p? la frac-
tion continue devient pirvodique. On pent le demontrer conmie il suit.
On a
'1°m + l ~\~ f>m ^m + l === ^' == ^ ~f~ «*>5
done, lorsque sm = r/ ,
— >'2 = * — asm+1 = (>Hi+1 -j- r) (r„+j — r).
Or ffrWi = <5y, ds<^dr, dsm+i << J1?', done cette equation ne pent subsister
a moins qu'on n'ait en meme temps,
'»+l==:?*) === ~~ '
Or, puisque um+i = E on a de meme
mais E | — J — u , done
On a de plus
done ayant rm+i==jM^+1 = au , on en eonelut
or .Sj = 1 -4- 4//v — 4/r.s, done
On a de meme
rm+t — 2^(M — rw+, = 2//.<? — r,
done, puisque rx — 2/m* — r,
SUR L' INTEGRATION DE LA FORMOLE DIFFERENTIELLE ^= etc. 133
V"
<r<m l'on tire
done
,««+»— a •
En continuant ce procede on. voit sans peine qu'oli aura en general
( Pm+n = z ?'n— l •) 'S')ii + » *— " a ' 1 &n~ 1 >
(41) <
Le signe superieur doit etre pris lorsque n est pair et le signe inferieur
dans le cas contraire.
Mettant dans l'equation
a k la place de .<?„,, on aura
(ft — f) (rk -\- r) = s — asm_x .
II s'ensuit que
Or on a nm — E\ ??" |j done
e'est-a-dire
1
U rzz: — 7*.
On a de plus
c'rsi-a-dire, puisque r_,==3r, .s-OT„i
' I ' »» — i — - „ t*'n-4
Mais /•-)-/•, = 2spi , done
2s
- {<<», > — ",")•
134 SUR L' INTEGRATION I)K LA KORMULE D1FFKRENTIELLE '"^ etc.
On a
c'est-a-dire, puisque s„ t = - »
(f«_i + ri) K -i — ri) = „ (^i — V*)'
Or nous avons vu (jue
2s
— rt = — — a//) ,
done en substituant,
2 + rt) — an ) = ^ — sm__2 .
Cette equation donne, en reniarqiiant que & (f»_i -J- fi) ^> —
et par consequent
Par un procede semblable on trouvera aisement,
, 1 7*i
'm— 2 '8 ) *S'?»— S _ S2 ? 2 '
et en general
(42)
I* . /}• o — — fi itl o
' m — )( ? m — n w — 1 ?
14.
A. Soit w un nombre pair, 2&.
Dans ee eas on voit aisement, en vertu des equations (41) et (42), que
les quantites r, rxi r2 . . . .s, «1? sa . . . a, jit8 . . . fornient les series sui-
vantes:
0 1 .
,2&—
2 27c—
1 2k 2fc+l 2fc-|-2 .
.4&— 1 4fc
47.; -fl 4fc-f2 4&+3 ete.
r rt.
h
?*
rt etc.
8 *j ,
. aftl
8
a
*
a
. *, s
1
■ . s
•s'j etc.
a
an
r
au
a 5
a
it
etc.
SIR L' INTEGRATION DE LA FORMULE D1FKERENT1KLI.K \'" etc.
V R
136
B. Soit m mi nombre impair, 2k — 1.
Dans ce cas l'equation
*„_„ = (l±l OH = (l±i
domie, pour
',±L Sk_t , done a == 1
Les quantites r, rt etc. s, s4 ete. //x ete. forment les .series suivantes:
0 i . . k — 2 A;— 1 & fc-fl .. 2A; — 2 2fc— 1 2fe 2fc-fl etc.
,S g.
it <r
£—2
A;— 2 j A; — 3
r
s
iii
etc.
etc.
etc.
On voit par la que, lorsqu'une des quantites 81 8t , s2 . . . est indepen-
dante de £C, la fraction continue resultant de ]/B est toujours periodique et
de la forme suivante, lorsque smz=za:
2'<+2,,1 +
+ 7
2«/< + -- x
— -I =_ 1
«+2^ + ^-
+
+ ^ + 2 +
Lorsque r» est impair, on a de plus a = l, et par suite
La reciproque a egalement lieu; e'est-a-dire que, Lorsque la fraction
continue resultant de. ][R a la forme ci-dessns, sm sera independant de x.
En effet, soit
136
SLK L1NTEG14ATION DE LA FORM CLE D1FFEKENT1ELLE etc.
on tire de l'equation rm = smfim-\-em,
Or, ptoisque rm = rm_1 — 2€m_t1 oil (hn !<r)V, il est clair que
On en tire
et par consequent nm = aj ce qu'il fallait demontrer. En conibinant cela
avec ce qui precede, on trouve la proposition suivante:
"Lorsqu'il est possible de trouver pour une fonction entiere telle, que
i
\'n ' n /7— i ft
"la fraction continue resultant de est periodique, et a la forme suivante:
2//, + etc.
"et reciproquement, lorsque la fraction continue resultant de 1(22 a cette
"forme, il est toujours possible de trouver pour une function entiere <|iii
"satisfasse a 1 'equation,
"La fonction y est donnee par l'expression suivante:
2'^ + - .,
+ s + £
SUR L' INTEGRATION I)E LA FORMULE DIFFERENTIELLE etc. 137
Dans cette proposition est contenne la solution complete dn probleme
propose au comnieneenient de ce menioire.
15.
* -
Nous venons de voir que, lorsqne est independant de x, on aura
toujours sh==8k_tj et lorsque a2k est independant de on aura sk = csk__1 ,
ou c est constant. La reciproque a egalement lieu, ce qu'on peut demontrer
con une il suit.
I. Soit d'abord sk = sk_2, on a
rk— 1 ~~\~ Sft— 1 *'ft -2 Z— rk ~\~ Sk Sk—\'l
or done
De plus
Tk — /'ft Sk ~\~ f ft 5
'''ft— 2 == /^ft— 2 5ft— 2 "j- f A— 2 ?
done
r/t 'ft— 2 Sft (/'ft /'ft-2) ~\~ h f ft— 2 •
Mais
rk == 7 ''ft— 2 ~ '"ft— 1 H |~ 2«A._2 ,
done, en substituant, on trouve
• 0 == Sk ( llk — Uk_2 ) + f A + €*-> *
Cette equation donne, en remarquant que <fe*<C Ssk^ $ek—a <C )
== (tfcft— 2 ? * & — fft— 2 •
Or rk+1 = rk — 2«s , done, en vertu de la derniere equation,
y'ft + l— ''ft— 1 ~f~ %ek—2 7
et, puisque rj_, = — %ek j , on en conclut
''ft + 1 ^ ''ft-2-
18
138 SUII L'INTEGliATION DE LA FORMULE DIFFEKENT1ELLE etc.
V*
On a
'"it + l ~\~ Sk 6'/t + l := f'k— 2 "j- Sk— 2 3 ?
done, puisque rfc+1 = r*_2J sJfc = 5jfc_2, on a aussi
i>k + l==:Sk— 3* »
En combinant cette equation avee eelles-ei,
on bbtiendra
rA-3 — 'Sk+1 {flk+i flk~s) ~\~ {k+i — fk-a-
Or on a rk+1 = rk_9, et r*_2 = rfc_8 — 2ek^ , par consequent
II s'ensuit que
flk + l :== f'k-3 J + l — " f£— 3*
En continuant de cette nianiere, on voit aisement qu'on aura en general
1 k + n ' k—n—1 •) ,llk + n /W<fc— n— 2 1 Sk + n = ~ tS'/t— n— 2 ■
En posant dans la derniere equation n — h — 1, on trouvera
Or il est clair que s_, est la nieuie chose que 1; car on a en general
done en faisant m = 0,
lt= r 2 -j- ss_x 5
mais H= /,2-|-ts, done ls_1=l, et par consequent
*2/t— 1 == 1 •
II. Soit en second lieu 8h = c%_j , on a
''k — /^/t S* ~f~ bk 5
— !lk— i ,sV-i ft* f *-i i
SDK L'lNTEQRATION DE LA FORMULE D IFFERE N TEEL L E ?^ etc. 139
done
rk — rh_x — 8^ (culc — fit_x) -\- ek — .
Or rfc— ?■*_, = — 2e*_i? done
0 == ( — ) + f * + f •
Cette equation donne
1
Done des equations
rj — = — , — r, = — 2f, ,
on deduit en ajoutant
rk + l — rk— f
On a de plus
et, puisque rt+1 = et s^^cs^, on en conclut
1
En continuant de cette maniere, on aura,
e'est-a-dire que sSk est independant de x.
Cette propriete des quantites ,9, .s,, s2 etc. fait voir que l'equation
s2k = a est identique avec l'equation sk = a±1sk_1 et que l'equation = 1
est identique avec l'equation ,^ = ts;._2. II s'ensuit que, lorsqu'on eherche
la forme de it qui convient a l'equation 8t*t=a$ on Peut au neu c*e cette
equation poser sk = a±xsk__^ et que, lorsqu'on clierche la forme de B qui
convient a l'equation % -,= 1, il «ufnt de faire ,% = sk_2, ce qui abrege
beaucoup le calcul.
16.
En vertu des equations (41) et (42) on peut donner a i'expressioltl (40)
ane forme plus simple.
18*
140 SUR L'INTEGRATION I)E LA FORMULE DIFFERENTIELLE etc
a) Lorsque m est pair et egal a 2/s, on a
) jTTl ^ f" + i ^ - J* & - "fh 'd*i d8klx )
(43) {
b) Lorsque ra est impair et egal a 2& — lj on a
(44)
17.
Pour appliquer ce qui precede a un exemple, prenons 1'integrale
/QClx
t4+«a?s+/?.r2 + y« + d
On a ici #i? = 4, done les fonctions s, st, «8, s, . . . sont du premier degnS,
et par suite 1 equation sm == const, ne donne qu'une seule equation de condi-
tion entre les quantites, «, ft, y, (J, f.
Faisant
* + ax5 + ftx2 + rx + (y=(x2 + ax + by + c-\-ex,
r = x2 -\~ ax-\-b, s = c-\-ex.
Pour abreger le calcul, nous ferons r, = 0. Dans ce cas on a s=zex, et
par consequent,
e'est-a-dire
x
on aura
II = > 6 = ft.
De plus
n = r — 2* =
SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE % etc
141
«1=l + 4t^ = l+4i -^- = — x+ e +1,
11 V », I « .r , , i ~~ 4/> X 16 A* '
e * e '
o« , e2 7
f1 = r1-/.1.s-1 = lA + u,A2-/,, .
■ . / a^2 , «3 \ £2 / ae , e- 7 \
Sj = , + 4fl ,„, = { jp + m J x - Jp I -4>; + jjjj - b j .
Soit maintenant en premier lieu .s^ constant. Alors l'equation
4/> | 4ah |
= - — 2C -J k 1
donne
/> = 0,.
par consequent,
r = xi-\- ax,
[JL (dr-i fids) = log r + VM
,r 4- a
ou, puisque fj — — — j =
/(3# -|- a) ^ j a'2 -j- +
Cette integrate se trouve aussi facilement en divisant le numerateur et le
denoniinateur de la difFerentielle par ~]/x.
Soit en deuxieme lieu .% constant. Dans ce cas la fonnule (43) donne,
k etant egal a l'unite,
Or Tequation .% = const, donne %==c*7 done
4A , 4rt/> , .
— #H \- 1 =3= ce.r.
142 SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE etc.
L'equation de condition sera done — -|- 1 = 0, e'est-a-dire
e = — 4ab,
done
R= (x~ -f- ax -|- by — 4abx.
De plus, ay ant — > r — x2 -\- ax -J- ft , rt = a?* -}- a./- — ft .
la formule,
on aura
/
(4.?; + a) tlx jQ /c2+^ "N-^Hh VS i j i «f + — 6 + tfB
-j/ (#8 _|_ ax -f6)8—4 abas .r-' + <sc -\-b — V 5 tt + OW — A — V A*
Soit en troisieme lieu s3 constant. Cette equation donne s = s2, e'est-a-
dire
On en tire
e= — 2b(a± f^ + U) .
La formule (44) donne par consequent, puisque h — 2 ,
(5.r -f f a + | Va2 + 4i ) <fo
/
]/(>2 4- a.* + by— 2bx (a±Va8 + 4//)
— l0o- ! ! ' — -U loo- . i V — —
& <r2 4_rt.r4_/,_yA> ' »
Si par exemple f7 = 0, /> — 1, on aura cette integrate:
• (5.r — l),/.,- . g» ^ 1 4- y (g* 4- 1 )••— 4a; J_] Vj> » -j- 1 ) * — 4 ,r
y(.r* 1)2 _ 4<r — °g p _j_ 1 _ Y(yi Zp 1)2 _4.r °" ^—V—f^ 4- 1)* — 4*'
Soit en quatrieme lieu .% constant. Cela donne 8*= csx , e'est-a-dire
f^4___*Mx_ *2 [ — 1 — — /> | — ^ ^ gj 4— ( — a^ 4~ tic
On en tire, en comparant les coefticiens et eliniinant ensuite c,
l«A»^+4"'')' = - T ( 4A + icl= -*|»
, . II (IX
SI K 1/ 1 NTKO NATION DE LA FORMULE DIFFERS NTIELLE \ etc.
143
(e -f lab)'1 = Wb6 — e(e + lab),
e =. — *6ab+y§bA + a*& = — i (3 d±f¥ -f 8b),
En vertu de cefte expression la fbrmule (43) donne,
(6.t. _|_ la — i Va*+M)ile _ , . iC* + <ue + !> + V~R
\'(,r^ cue -\- ft)*— b(Sa-k y^-f 86 ) m f + « + 6 — V#
Si Ton fait par exeniple a = Q, b = \, on obtiendra
(* + *)«** srJLW ^ + i + V^ + ^+^-R
y^ + ^ + x + i ^ ^ + i_ytC4 + ;,2 + ;, + i
/
On petit eontinner de cette nianiere et trouver mi plus grand nonibre
d'integrales. Ainsi par exeniple l'integrale
f,
14
peut s'exprinier par des logarithnies.
Nous avons ici cherclie les integrales de la forme / qui peuvent
s'exprinier par line tbnetion logarithniique de la forme log — i^^=« On
ponrrait rendre le probleme encore pins general, et ehercher en general tou-
fcea Les integrates de la tbnnc ci-dessus qui pourraient s'exprinier d'une ma-
144 SUR LINTEGRATION DE LA FOUMULE DIFFERENT1ELLE ~ etc
V*
niere qnelconqne par des logaritlnnes; mais on ne trouverait pas d'integrales
nouvelles. On a en eftet ce tlieoreme reniarqnable:
„Lorsqu'une integrate de la forme I ^ , oil (> et R sont des
„fbnctions entieres de x, est expriniable par des logarithnies, on pent
„toujours 1'expriiner de la maniere snivante:
J Vi? 6 P-qVlt
„ou J. est constant, et p et des fbnctions entieres de x.u
Je deniontrerai ce tlieoreme dans line autre occasion.
XII.
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE D'UNE CLASSE TRES-
ETENDUE DE FONCTIONS TRANSCEND ANTES.
Prcscntc a l'Academie des sciences a Paris le 30 Octobre 1826. Memoires presents par divers savants
t. VII, Paris 1841.
Les fonctions transcendantes considerees jnsqu'a present par les geome-
tres sont en tres-petit nombre. Presque toute la theorie des fonctions trans-
cendantes se rednit a celle des fonctions logarithmiques, exponentielles et
circnl aires, fonctions qui, dans le fond, ne foraient qn'ime seule espece. Ce
n'est que dans les derniers temps qn'on a anssi commence a considerer qnel-
ques autres fonctions. Parmi celles-ci, les transcendantes elliptiques, dont
M. Legendre a developpe tant de proprietes remarqnables et elegantes, tien-
nent le premier rang. L'antenr a considere, dans le memoire qn'il a l'lionnenr
de presenter a l'Academie, one classe tres-etendne de fonctions, savoir: tontes
celles dont les derivees penvent etre exprimees an moyen d'eqnations alge-
briqnes, dont tons les coefficients sont des fonctions rationnelles d'nne meme
variable, et il a tronve ponr ces fonctions des proprietes analogues a celles
des fonctions logarithmiques et elliptiques.
Une fonction dont la derivee est rationnelle a, comnie on le sait, la
propriete qn'on pent exprimer la sonmie d'nn nombre quelconqne de sem-
blables fonctions par nne fonction algebriqne et logaritlmiiqne, qnelles que
soient d'ailleurs les variables de ces fonctions. De meme nne fonction ellip-
tique quelconqne, c'est-a-dire nne fonction dont la derivee ne contient d'antres
irrationnalites qn'nn radical dn second degre, sons leqnel la variable ne passe
pas le quatrieme degre, anra encore la propriete qn'on peut exprimer nne
146
MEMOIRE SUR UNE PROPRItTE GENERALE etc.
somme quelconque de seniblables fonctions par uue function algebrique et
logarithmique, pourvu qu'on etablisse entre les variables de ces fonctions
line certaine relation algebrique. Cette analogie entre les proprietes de ces
fonctions a conduit l'auteur k chercher s'il ne' serait pas possible de trouver
des proprietes analogues de fonctions plus generales, et il est parvenu au
tlieoreme suivant:
„8i Ton a plusieurs fonctions dont les derivees peuvent etre racines
„d'une meme equation algebrique, dont tous les coefficients sont des fonctions
nrationnelles d'une meme variable, on peut toujours exprinier la sonnne d'un
„nonibre quelconque de seniblables fonctions par une fonction algebrique et
^logarithmique, pourvu qu'on etablisse entre les variables des fonctions en
„question un certain nombre de relations alg ebriqu.es. ^
Le nombre de ces relations ne depend nullement du nombre des fonc-
tions, mais seulement de la nature des fonctions particulieres qu'on considere.
Ainsi, par exemple, pour une fonction elliptique ce nombre est 1; pour une
fonction dont la d^rivee ne contient d'autres irrationnalites qu'un radical du
second degre, sous lequel la variable ne passe pas le cinquieme ou sixieme
degre\ le nombre des relations necessaires est 2, et ainsi de suite.
Le meme tlieoreme subsiste encore lorsqu'on suppose les fonctions mul-
tipliees par des nombres rationnels quelconques positifs ou negatifs.
On en deduit encore le tlieoreme suivant:
„On peut toujours exprinier la somme d'un nombre donne de fonctions,
„qui sont multipliees cliacune par un nombre rationnel, et dont les variables
„sont arbitraires, par une somme semblable en nombre determine de fonctions,
„dont les variables sont des fonctions algebriques des variables des fonctions
„donnees.a
A la fin du m&noire on donne l'application de la theorie a une classe
particuliere de fonctions, savoir, a celles qui sont exprimees comme integra-
les de formules differentielles, qui ne contiennent d'autres iiTationnalites qu'un
radical quelconque.
1.
Soit
(}) 0 =i>o +piy +p*y* H VPn-sf-1 + yn = xy
une equation algebrique quelconque, dont tous les coefficients sont rles fonc-
MEM01KK SUB UNE I'KOPUIETE GENKHALE etc.
147
tions rationnelles et entieres d'une meine quantite variable x. Cette equa-
tion, supposee irreductible, donne pour la fonction y un nombre n de for-
mes diffeYentes; nous les designerons par y\ y" . . . y(n\ en conservant la
lettre y pour indiquer l'une quelconque d'entre elles.
Soit de meme
(2) % = ^o + §a + + + z^-iy*-1
une fonction rationnelle entiere de y et x, en sorte que les coefficients qQ1
qtl q% . . . qM_1 , soient des fonctions entieres de x. Un certain nombre des
coefficients des diverges puissances de x dans ces fonctions seront supposes
indetermines ; nous les designerons par a, a', a", etc.
Cela pose, si Ton met dans la fonction #?/, au lieu de ?/, successive-
ment y\ y" . . . y(n)7 et si Ton design e par r le produit de toutes les fonc-
tions ainsi formees, e'est-a-dire si Ton fait
m "r^&y' .By* J.::$y<*>,
la quantite r sera, comme on sait par la tlieorie des equations algebriques,
une fonction rationnelle et entiere de x et des quantites a, a\ a" ', etc.
Supposons que Ton ait
(4) r = F0x.Fx, '
F0x et Fx etant deux fonctions entieres de sc, dont la premiere, F0x1 est
independante des quantites r/, «/, a", etc.; et soit
(5) . Fx=zQ.
Cette equation, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quan-
tites «, a\ a" , etc., donnera x en fonction de ces quantites, et on aura,
pour cette fonction, autant de formes que 1'equation Fx = 0 a de racines.
Design'ons ces racines par xx , a?s . . . a; , et par l'une quelconque d'entre
elles.
L'equation Fx ----- 0, que nous venons de former, entraine necessairement
la suivante r = Q? et celle-ci en aniene une autre de la forme
(C) Oy-^0.
En mettant dans cette derniere, au lieu de .r, succossivement xx , .r2 . . .
19*
148
MEMOIRS SUIl UNE PROPRIETE GENERALE ft*o.
et designant les valeurs correspondantes de y par y^ y2 . . . ;/<t, on aura
les u equations suivantes:
(7) fyi = 0, %, = ().. ..fly^O.
2.
Cela pose, je dis que si Ton de\signe par fix, y) une fonction quelcon-
que rationnelle de x et ?/, et si Ton fait
(8) dv =zf(xt , yt)dxx +/{x2 , y*)dx, -| hf(** i Vt*)dxn j
la differentielle dv sera une fonction raiionnelle des quantites a, a', etc.
En effet, en combinant les equations 0y = Q et /?/=0, on en pent
tirer la valeur de ?/, exprimee en fonction rationnelle de x et des quantites
a, etc.; en designant cette fonction par (>, on aura done
(9) y = v et f(x, y) ==/(«, (>) •
Mais en differential^ l'equation Fx = (), on aura
F'x.dx-\-dFx^O,
en designant, pour abreger, par F'x la derivee de Fx par rapport a a; seul,
et par <fFx la differentielle de la memo fonction par rapport aux quantites
a, a', a" , etc. De la on tire
(10) dx= — j^; .
et par consequent
(11) ym y)dx=,- $Fx = ^x,
ou il est clair que (p2x est une fonction rationnelle de x, a, a', a" , etc.
An moyen de cette expression de la differentielle /'(./•, y)d.r, la valeur de
dv deviendra
dv (p^Xi -j- (f^x., -j- .... -j-'/^^V
Or, le second nienibre de cette equation est une fonction rationnelle des
MEMOlRE SUR UNE P110PR1ETE GENE RALE etc.
149
quantites a, a', a" . . . xv, x.2 . . . et en outre symetrique par rapport a-
xx, . . . x^ done c/?j> pent s'exprimer par une fonetion raiwnnelle de a,
(iy a" . . . et des coefficients de 1'equation Fx = 0] mais ces coefficients
sont eux-memes des fonctions raiionnelles de a, a', etc.; done dv le sera de
1 urine, comme on vient de le dire.
Si maintenant dv est une fonetion differentielle rationnelle des quan-
tites a, a' a" ... son integral e ou la quantite v sera une fonetion algebri-
que et logarithmique de a, a', a" . . . . L'equation (8) donnera done, en in-
tegrant entre certaines limites des quantites a, a', a" . . .
(12) h//fe>^)^=»>
ou bien, en faisant
(13) fjlx^y^dx^i/j.x,- ff(x,,y,)dx,==ip,x, . ..ff(xfl,yfl)dxfl = iptlx,t,
(14) yxxx -f y^j H- 4 h '/V'V —
Voila la propriete generale des fonctions \pxxx, ip.>x,^ etc., (pie nous
avons enoncee an commencement de ce memoire.
3.
Les formes des fonctions ? ? ete-5 dependent, en vertu des
equations (13), de celles des fonctions yxi y2 . . . yfl. Ces dernieres ne peu-
vent etre clioisies arbitraireinent parnii celles qui satisfont a liquation xy = 0]
el les doivent en outre satisfaire aux equations (7); mais comme on a plu-
sieurs variables independantes, a, r/', a" . . . il est clair qu'on pent etablir
entre les formes des fonctions ?/, , y., . . . y , un nombre de relations egal k
celui de ces variables. On pent done clioisir arbitraireinent les formes d'un
certain nombre de fonctions yx , y% . . . yfl] mais alors celles des autres fonc-
tions dependront, en vertu des equations (7), de celles-ei et de la grandeur
des quantites a, .... 11 se peut done que la quantite constante d'inte-
gration contenue dans la fonetion v change de valeur pour des valeurs
differentes des quantites a, a', a" . . .; mais par la nature de eette quantite,
elle doit rester la nieme pour des valeurs de a, a" . . . contenues entre
certaines limites.
Les fonctions xx , ;r, . . . x„ , sont determinees par 1'equation F&£=0;
150
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
cette equation depend de la forme de la fonction Oy; mais conime on peut
varier celle-ci d'une infinite de manieres, il s'ensuit que l'equation (14) est
susceptible d'une innnite de formes differentes pour la meme espece de fonc-
tions. Les fonctions xx , x2 . . . asl , ont encore cela de tres-remarquable que
les memes valeurs repondent a une infinite- de fonctions differentes. En effet
la forme de la fonction /(x, y), de laquelle ces quantites sont entierement
independantes, est assujettie a la seule condition d'etre une fonction ration-
nelle de x et y.
Nous avons montre dans ce qui precede comment on peut toujours for-
mer la differentielle rationnelle dv ; mais comme la metliode indiqu^e sera
en general tres-longue, et pour des fonctions 1111 pen composees, presque ini-
praticable, je vais en donner une autre, par laquelle on obtiendra immedia-
tement l'expression de la fonction v dans tous les cas possibles.
On a par l'equation (3)
r = ey,.$y" . . . 0y(n\
done, en differentiant par rapport aux quantites «, a', a'\ etc., on ob-
tiendra
By ■' 1 Hy" •' 1 1 0yC*> •' '
or, on a #?/:=0, done le second membre de l'equation precedente se re-
dnira h ^^dOy, et l'on aura par consequent
Sr== I (Uy.
0y
Maintenant on a
r = F()x.Fx,
oh F0x est independante de a, a\ a" , etc.; done, en differentiant, on ob-
tiendra
fir = F()x . dFx
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
151
ct, par consequent, en substituant et divisant par F0&3 on trouvera
Par la, la valeur de
deviendra
_ dF.r
dx —
dx = — 1 '
F^x.F'x Hy
et en nuiltipliant par f(x, y)
ffa y) dx = — F(jxF,x y) S By.
En remarquaut niaintenant que s'evanouit, car autreuient on au-
rait y{k) — y^ il est clair que l'expression de f(x1y)dx pent s'eerire conune
il suit:
f(x, y) dx=
Pour abreger, nous designerons dans la suite par I\y toute fonctiou de
la forme
|L . " *,4f'+«y'+f.^+.* • • i .
et par la la valeur precedente de f(x, y)dx deviendra
(15) y)dx= — p—rF'x 9) i)y dey-
Cela pose, soit x'y la derivee de yjj prise par rapport a y seul, le pro-
duit f{j'iy)x'y sera une fonctiou rationnelle de x et On pent done
faire
oil P et /J! sont deux fouctions entieres de x et y. Mais si Ton desigue
par T le produit Py' .Py" . . . P#w, on aura
Lfi ' If ft MOIRE BUfl i n B PROPRIETY OENERALK »tc.
or p- pent toujoura B'exprimer par une fbnctioti entiere de x et //, h V
par hih' fonotion entiere do. ce, done <>u aura
/'// ~~ T '
ufi 7', est une fouctioti entiere de x et //; inais tbute fonotion entiere dr
r et // peut se mettre sous la forme
( 1 6) >o + ky + Uy* H h t^r 1 =/i
oil /„, /,.../„ soul, des fonclions outioros do x seul. On pent done,
supposer
/ r 6tant une fonotion entiere de as sans y,
De la on tire
bin substituant maintenant oette valour do ,/'(.**, //) dans ['expression do
,/'(.'•,//) f/.r trouuv plus haul., il vioudra
Dans lo second inoinbro di' oottc equation la quantite ,/,(/, //) OBt
ane fonotion entiere par rapport a x et //; <>u prut done supposer
ufi R ■"// esi dne fonotion etitiere de as et y, dans laquelle les pnissancei
de y ne momteut qu'au "JV dogre; /»'.»■ oiani une fonotion entiere do
a; Bans y. On aura done
x> "." x!»
MEM01KE KL'ft L'NE i'KOl'KJETE GfcSEKALE etc 153
Or, on a
xY={jr^rW"~m ■ ■ ■ <>/->/*),
' xy =(y" -,/)(,/—/") ■ ■ ■ W-V»), etc.;
done, d'aprft* <1ck formulea connuen,
y. u r. 'j
(19) sf-^^9«y = RX.
Par coriHeVjuent
La fonction jgM*'*) ' <)0y peut done s'exprimer par une fonction entibre
de x seul 8an« y. Les quantites a, a7, a'' etc. d'ailleurs y entrent ration-
nellement.
Par lk 1 'equation (18) donnera
99) U^Hy ftx.F9x.F'x
En uiettant dan* cette equation au lieu de x succe»Hivement xx , xt . . . x^ ,
on obtiendra fi equations qui, ajoutees ensemble, donneront la suivante:
Bxt R*p
~~ ftxl.F0xi.Frxi ftxt.F9xt.F'xt ' ' ftX^.F^.F'x^
Bi done on designe par 2 Fxx une somme de la forme
Fxxx + Fxxt + Fxx^ \-Fxx^
I'expreBKion de dv pourra s'ecrire comrae il suit:
Ex
(22) *r^*jgJgys
Cela pose\ Koient
jP0a; = (x — A)M' — A)'4* • • • — A)'tf>
(2$) J = A)- . . . (z — A)"a^
Bx = {x — ft)*' (* - A)*' • • • (x - P°Y"Bix>
20
«
154 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
A i A • • • A, etant des quantites independantes de a, a', a" etc.;
5 ,w2 - • • mi j ^2 • • • \ i hi etc. , etant des nombres entiers, zero y com-
pris; et Rxx etant une fonction entiere de x.
En substituant ces valeurs de F0x, f2x, Ex dans l'expression de dv,
elle deviendra
dv^= — 2 RlX
A F'x . 0 — ft)**. +». (tf_/?2)^ ... (tf — ^-"a+^a-^'a '
ou bien en faisant, pour abr^ger,
(24) fj,l^-mi — kl = vl1 u2 -f m2 — k2 = v2 , . . . ^ -|_ Wo _ ka = va ,
(25) ^(» — A)r,(»— A)*' • ' • (x-pa)»« = 6tx:
(26) ri^-i
. _b x
Maintenant on peut toujours supposer
R\X . ij^tf
0i# 2 I 6xx
oh R2x et i?3x sont deux fonctions entieres de xy le degrd de la demiere
etant plus petit que celui de la fonction Bxx\ en substituant, il viendra
done
(27) dv = — 2~^ — Z
F'x diX.F'x
La fonction —2^^- peut se trouver de la maniere suivante.
Puisque xx, x2 . . . x^ sont les racines de l'equation Fx — 07 on aura,
en designant par a une quantite indetermine'e quelconque,
J_ = _l 1 I 1 1 I , 1 1_
Fa a —xt F'xx T" a — xt F'x2 » • a — Xft F'x,, '
e'est-a-dire
(28) F^ = 2a~^F%B'
d'ou Ton tire, en developpant — — suivant les puissances descendantes de «,
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
155
1 „ 1 , 1 „ X i j 1
2
Fa a F'x
. _] _ . V" _____ _L_
d'oii il suit que -^j^ est <%al an coefficient de gM+1 dans le developpe-
ment de la fonction ou, ee qui revient au meme, a celui de — dans
le developpement de Jr-- En designant done par JJFxx le coefficient de
3- dans le developpement d'une fonction quelconque Ftx, suivant les puis-
sances descendantes de x, on aura
De la il suit que
— 77 — -
^ F'x — U Fx
^ Fxx Fxx
^F^ — 11 Tx'
en designant par Fxx une fonction quelconque entiere de x. On aura done,
en mettant B2x,
* Fx— 11 Fx '
mais ayant
on aura aussi
Rxx R%x , R%x
B^x . Fx 6ix.Fx~\~Fx'
SiX.Fx BiX.Fx 1 Fx
Or, le degre de B3x &ant moindre que celui de 0ta^ il est clair qu'on
aura
done
Btx.Px
^ R*x .. Rix
F'x ft* . Fat
20*
156
MEM0IRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
Le second terme du second membre de 1'eqiiation (27), savoir la quan-
* :<r~
Soit
tite 2 ^3f, , se trouve comme il suit:
Oi.x . r x
ft* ~~ /?i~f~(> — ft)2 ' ' +
A2w . jjg 4^
• - ft 7" (* - ft)2 ~i r- _ p2y, + ;
ou bien, pour abreger,
M j * — /? i~ 0 — py ~r • • ' T (ai — py
on aura
ou
pour x = (3- c'est-a-dire
r(v + i)B3p
P
S^p
en designant par O^x la re derive'e de la fonction Bxx par rapport h x.
et par T{y -f- 1) le produit 1. 2. 3 . . . [y — 1) . v.
En substituant ces valeurs des quantites At, A.2 . . . Av , il viendra
Maintenant on a, en designant — r— par q,
1 ^ 1 JL ^ 1 1 d'-1?
done l'expressiou de pent s'ecrire comme il suit:
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc. 157
/ dv~xp . v—1 dv-ap dq
, 1 ) TdJ^.I;}
B,X ~~ Vv y (y^lj^^jMy &f fjr-Xg
[ I ~ 1.2 " il/?""3 ^2 V ' ' ' ^ Pdpr-l
dy~~1(pq)
Or la quantite entre les accolades est egale a jfey-t ' done
etx vv dp*-* '
d'ou Ton tirera, en substituant les valeurs de p et </, et remarquant que
En substituant cette expression an lieu de 4r~ dans 1R fonetion Jig. fL
il viendra
fam & _ „ j. „ , m j ^ < .
* ^11 ^ — ^ F'x ^V dp *=* | OJ'ip . (>—/?) ( '
on bien
^^1 1
< ^ 61x.F'x~^ ? | ij*>4 {x—p)F'x
Or, connne nous avons vu plus liaut (28),
3. 1 L L
- (x — p)F'v ~ .Fp1
done
I #2 « I R*P
M . F'x - dpv~x j 6Lwp . Fp j '
niais l'equation
dix Oix
donne, si Ton nmltiplie les deux niembres par (x — ft)1', et qu'on fasse en-
snite x = ft,
158 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
done, en substituant,
(32) 3JL=-rr*^ **
S^r . F'x dp | 6^p . Fp
Ayant ainsi trouve' les valeurs de 2^^- et 2 ^ ^^'a: » l'equation (27)
donnera, pour la differentielle dv, l'expression suivante,
(33) dv = -U + 2 v
Sxx.Fx 1 dp'-1 ) O^p.Fp
ou bien
(34) rf1) = _/r__ + ^K__j_^:5s
Maintenant on a (19)
iy toy J xy ®y
et (23)
22^ = ito . (a; — ft)-*- (a; — ft)-*' . . . (* — ;
done en faisant, pour abreger,
(35) . F0x . (x - (x - ^ . . . (a - /?„)-*«
s£(aj — ffy*^ . . . {x — /3ayi^=zF2x:
R1x=,F2x.Fx^-^^^,
et en substituant cette valeur de RYx dans l'expression prdcedente de dv,
on obtiendra
(36) ^^B&xfm%-+*'* & .
v ' Oyx yjy By 1 dx*-1 \6Jv)x % y By \
Sous cette forme la valeur de dv est immediatement integrable, car
F^Xj Qxx, fi(x, y) et x'U sont toutes independantes des quantites a, a', a" ... ,
auxquelles la differentiation se rapporte. On aura done, en integrant, pour
v l'expression suivante:
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc. 159
ou bien en faisant, pour abreger,
jg-MhA w Oij = cpx,
(38)
et remarquant que d'apres (23), (24), (25) et (35),
(39) v = C-n9x + 2'r^f;
voila l'expression de la fonction v dans tous les cas possibles. Elle con-
tient, corame on le voit, en general, des fonctions logarithmiques; mais dans
des cas particuliers elle peut aussi devenir seulement algebrique et meme
constante.
En substituant cette valeur au lieu de v dans la formule (14), il vi-
endra
(40) iplXl + ip2x2-\ f =c—n(px+ Xv '
ou bien pour abreger:
(41) Zfx^C-nyx + Xr^^
lorsqu'on fait
(42) ^ra* + VMyH ^ ip^ = ^ipx et 2' = 2.
5.
Nous avons suppose dans ce qui precede que la fonction r aurait pour
facteur la fonction
F0x = (x-p1y>tx-p2y> . . . (x-pa)u«.
Sinon tous les exposants fit , fi2 . . . fiu sont egaux a zero, il en resultera
160
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
necessairement certaines relations entre les coefficients des fonctions q0, qt1 q%
. . . qn_t , relations qui peuvent toujours s'exprimer par des equations lineai-
res entre ces coefficients; car si r = 0 pour as £==/?, il faut aussi qu'on ait
une equation de la forme 0yz=Q pour la meme valeur de x\ mais cette
equation est line'aire. En general done la fonction r n'aura pas de facteur
comme F0x, e'est-a-dire independant des quantity a, a', a" . . . . Ce cas
merite d'etre remarque:
Ayant (19)
on aura en general, si F0x = 1, kx = h2 = h3 = • ■ • = ha = 0 (on peut faire
la nieme supposition dans tous les cas); on aura done en vertu de (35)
et (25)
1 2x ■ 1 , Q ±x F2x ■ f2x ■ j%x ,
la valeur (38) de <pyx deviendra done (en remarquant que y1==miy r2 = m21
etc., et designant v par m)
et par consequent la formule (41) (en designant par B la valeur de y pour
x = (3)
Pour le cas particulier oil f2x = (x — /?)m, on aura f2(m)(3=1.2
done en substituant
( C- riZ /i(*'y\ log By
{ + l?j2...(m-l) ^ I 8 )'
Si ra = 1 , il vient
et si m — 0 ,
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
161
(46) zf^^ = C-Zn^log0y.
Dans la formule (43), le second niembre est en general line fonction
des quantites «, a', a'', etc. Si on le suppose egal a nne constante, il en
resultera done en general certaines relations entre ces quairfcites; mais il y
a aussi certains cas pour lesqnels le second membre se reduit a une con-
stante, quelles que soient d'ailleurs les valeurs des quantites a, a' a", etc.
Clierclions ces cas:
D'abord il est evident que la fonction f2x doit etre constante, car dans
le cas coutraire le second membre contiendrait necessairement les quantites
a, a', a" . . . , vu les valeurs arbitraires de ces quantites.
En faisant done fix=l, il viendra
. CM*,
J x'y
y±dx = C— 2nfl(*'^ log Oy.
y xy 6 J
Or, en observant que ces quantites a, a', a", . . . sont toutes arbitraires, il
est clair que la fonction J^^^~log0?/, developpee suivant les puissances
descendantes de a?, aura la forme suivante:
E\ogx + Ax*- + A*i--1+ ■ ■ ■ +4, + ^ + %^+ • • •'
R etant une fonction de x independante de a, a', a" , etc., tu0 un nombre
entier, et A0, Aly ... A^, ^0+i, etc., des fonctions de a, a\ a", etc.;
done pour que la fonction dont il s'agit soit constante, il faut que //0 soit
moindre que — 1 ; et par consequent la plus grande valeur de ce nombre
est — 2.
Cela pose, en designant par le symbole hB le plus liaut exposant de
x dans le deVeloppement d'une fonction quelconque B de cette quantite,
suivant les puissances descendantes, il est clair que ,//„ sera egal au nombre
entier le plus grand contenu dans les nombres:
xy xy xy(n)
il faut done que tous ces nombres soient inferieurs a YmdU prise negative-
ment.
Or, si 5- est une fonction de x, on aura, comme il est aise de le
voir,
21
MEMOIKE SUE UXE i'U< H'KIKTE GENEKALE ete.
h -i- = hli—hltx
R
h
par consequent
(47) V^/Xtt'-i, Vi(x,y")<hxY-h
• • • Wi(?,yM)<hzyt) — i.
De ces inegalites on deduira facilenient dans cliaque cas particulier la
forme la plus general e de la fonction fx(x, y).
(Jonime on a
*'</ = {>/ -u")(y' ->)'")■■■ in' -v(n))
xY = (f -!/')('/-'/")■■■(>/'■ -y"0), etc,
il s'ensuit qne
m W=Hy'-y")+h(y'-y"')+ • • • + %'_^)
^xY = Hy"-y/)+Hy,,-y,,,) + • • ■ + Hy"-y(% etc.
Supposons, ce qui est permis, qne Ton ait
(49) %'2>%", hy"^hy"\ hy"'^liy"", . . . hy^^hy^
de sorte que les quantites hy', hy'\ hy"\ . . . snivent l'ordre de lenrs gran-
deurs en commencant par la plus grande. Alors on aura, en general, ex-
cepte quelques cas particuliers que je me dispense de considerer:
Hy'-y")=hy% h{y' -y'") = hy' , h(y> ~y"") = hy'
• • • Hy '—y(n))=hy',
Hy"-V') = W, h(y»-y"') = hy», h{y" - y"") = hy"
(50) < . . . h(y» — y(n>) = hy",
] Hy'"-y')=hy', Ky'"~y") = hy\ h{y>"-y"") = hy>"
...h(y'"-y(»)) = ky"\
etc., etc.
Si ces equations out lieu, on se convaincra sans peine, en supposant
(51) iti^U + ky + Ui/^ f- W1-1,
que les inegalites (47) entrainent necessairement les suivantes:
(52) My/'m)<W-l, ^(VM)<W-1,
Htmy"'m)<iiyi'y"'-^, ...
m etant Viffi quelconque des nombres 0, 1, 2, ... n — 1.
MEM01RE SUR LINE PROPRIETE GENERALE etc.
163
D'ou Von tire, en remarquant que
h(t»y*) = K + hum = * i +
lea inegalitds
* tm<^x'y' - mty - 1 , Hn<?<zY - - I ,
. . . htm<Chx'y(n) — — 1 .
Or, ail moyen des equations (48) et (50), on aura
hx'y' — mhy' — 1 = (n — m — 1) hy' — 1,
Uy'f _ mhy" — l=(,i — m — 2)hy"-\-hy'—l1
hx'y'" — mhy'" — \ = {n — m — 2>)hy'" ' + hy' + hy" — 1,
etc.,
li%'y(n-m-l) — mhy{n-m-* — 1 == luf-^ -f hy' + hy" -| 1- i/^— « — 1 ,
— ™hy(n~m) — 1 H \-hy(n-»-x) — 1,
h%'y(n-m + 1) — mhy(n-m+1) = — hy("+1) + hy' + hy" -| f- % fB—J — 1 ,
etc.,
jlx'yO — mhy(n) —l = — mhy(n) + hy' + hy"^ ^Hy^—l.
En remarquant done que les quantites hy', hy" , . . . suivent l'ordre de
leurs grandeurs, il est clair que le plus petit des nonibres
kz'y' — mhy'—l, hx'y" — mhy" — 1, etc., hX'y(n) — mhy(n) — 1
est egal a
W + + ; ' • +hy<—1)- 1.
Done la plus grande valeur de htm est egale an nombre entier innne-
diatenient inferienr a cette quantite, et on aura
(53) htm = hy' -f- hy" -| \- fyft^f — 2 + i
ou est le nombre positif moindre que l'unite qui rend possible cette
equation.
Cela pose\ soit hy' = ~-, m' et u' etant deux nombres entiers et la
fraction reduite a sa plus simple expression, alors il faudra que 1 on ait
m'
hy' = hy" = hy"'= ■ ■ ■ = fyw = --7
21*
164
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
Car si une equation de la forme /?/ = 0 est satisfaite par une fonction
de la forme
m'
!/ = Ax/l'-\- etc.,
cette meme equation est aussi satisfaite par les p* valeurs de y qu'on ob-
i
tiendra en mettant au lieu de x? ,
— J- 1
1, «17 «2, ... etant les a' racines de l'equation a"' — 1 = 0.
Parmi les quantites hy' , hy" , . . . hy(n\ il y en. a. done ft' qui sont
eg-ales entre elles. De meme le nombre total des exposants qui sont egaux
a une fraction reduite doit etre un multiple du denominateur.
On peut done supposer
hy' = ky» = • . . = hy^ =
(54)
hy(X" + V = hy(x~+V=: . . . = hy (><"') = ,
etc.,
oh
(55)
k'=r.n'[i'; k" = ny + n"u"- h'" - = ny + n" u" + n"'u"'; etc
n = »V -f -j-V -| (- ;
les fractions ^? • • • ~}- sont reduites a leur plus simple expression,
et n', n" , . . . n(f) sont des nombres entiers.
Supposons maintenant dans l'expression de ^,„, que m — n — h(u) — 3 — L
P etant un nombre moindre que k(a+1) — kM, e'est-a-dire moindre que
n("+1\u(a+1>, il viendra alors
KEMOIRE SUR UNE PKQPRIETE GENKKALE etc. 1(15
hy' _|_ hy" -|
if hy'(k' + 1) -f -| [- ty*?
+ etc.
-^_i = <j +%^ + t) + %r^ + 2)+ .. , . + %(**") .
_|_ + i + + « -| ^hy^+V
or, les equations (54) et (55) donnent
hy' _j_ Jiy" _|_ ^ hy{k,) = k'^- = rim',
■tyP+H fjr H h hy<k"} = {%* — ==
etc.,
done, en substituant
i n'm'-j-w^rw" -f-ra"W'-|- • • • -\-n(ct)m(ct)
Quant a la valeur de ej^ ^ j il est clair qu'en faisant
r«+o — A(«+v
cette quantite sera le plus petit nombre entier positif, qui rend le
nonibre fim(f<+1) -\- A(£+i) divisible par on aura done
( — 2 -j- n'm' -f n"m" + rc" W" -| \-n Mm (a)
(57) htn-kW-p-\ = | _j_ /»wfo+y + ^g'+,> '
En faisant dans cette equation c/ = 0, il viendra
done si - m ~\ ^ <[ 2 , htn_p_A est negatif, et par consequent il faut f'aire
f„ -/? _1==(); car, pour toute fonction entiere t, lit est necessairement positif,
zero y compris. Or, en faisant fi = 0'1 on a toujour* T — ^,<C^j (^onc
106 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
tn_x est toujouvs egal a zero, c'est-a-dire que la fonction f^x, y) doit etre
de la forme
(58) /,(*, . . . +t^,_l9-r-\
ou /?', etant plus grand que zero, est determine par l'equation
~~ '
d'ou il suit que ft' est dgal au plus grand nombre entier contenu dans la
fraction —. ~\- 1.
in '
line fonction telle que ft(x, y) existe done toujours a moins que ft'
ne surpasse n — 1. Pour que cela puisse avoir lieu, il faut que
^-+1=^ + 8,
m 1 17
on f est une quantite positive, zero y compris; de la il suit
1
fi' n — 1 + e
Or, la plus grande valeur de fj' est ?z, done cette equation donne
1 m! 1
ou
ji' n — 1 n' n
Or, je dis que dans ces deux cas l'integrale J* f(x, y) dx peut s'exprimer
au moyen de fonctions algebriques et logarithmiques. En effet, pour que
in
—ri qui est le pins grand des exposants hy\ hy", . . . hy(n) , ait une des
deux valeurs — — j> — -> il faut que Tequation %y = Q1 qui donne la fonc-
tion ?/, ne contienne la variable x que sous une forme lineaire. On aura
done
Xy = P+xQ,
ou P et Q sont des fonctions entieres de ?/; de la il suit
et
P , _ PdQ—QdP
X 7=r ? Cti£ — * ?
MEMOlKi: SUli UNE PKOPlilKTE GKNERALE oU. lf>7
on il est clair que R est line fonction rationnelle de //; par consequent
l'integrale fMcttfj et par suite jfix^.y)d,Xj peut etre exprimee an moyen
de fbnctions logaritl uniques et algebriques.
Excepts ce cas done, la fonction existe toujours; en la substi-
tuant dans l'equation (46), elle deviendra
(59) ^J(to + ti!/-\ h t^p-iyf*-P-») tic c
Un cas particulier de cette equation est le suivant:
oil k et m sont deux nonibres entiers et positifs, tels que
W) \. > m<n- -1;
k < — 1 -f »y + H 1- + 5
m = n — k(a) — /? — 1 ; /? < u(«+1) ?i(a+1) ;
et il est clair que cette formule peut remplacer la forniule (59) dans toute
sa generalite.
Puisque le degre de la fonction entikre tm est egal a It tm , cette nienie
fonction contiendra un nombre de constantes arbitraires egal a htm-\-l. La
fonction fx{x^ y) en contiendra done un nombre exprhne par
*<+*M \- A w-i + * -
ou bien, connne il est aise de le voir,
htv+ht^ \-h t^pZi H Vh fe? + » — 1 •
En designant ce nombre par y, on trouvera aisement, en vertu de
l'equation qui donne la valeur general e de htm1
A0' ■ m' -f AS , 2 m' -f- A2' , , (n'fi' — l)m' -f ^V-i
T 7<" itt" ^ r • • • -r -
-j- nm'n'' it"
+
168
MEMOIRE SUK UNE PROPRIETE GENERALE etc.
or, en remarquant que m et u' sont premiers entre eux, on sait par la
theorie des noinbres que la suite A0\ Ax\ A/ . . . A'n.^,_x^ eontiendra
ri fois la suite des nombres naturels 0, 1, 2, 3, ... — 1, done
A' + A' + A' H [- A'n,lC__x = r/(o + 1 + 2-1 +/''-!)
A*V-1) .
de inenie
A" + A" + a/' H K^"»>--i = ^"(0 + 1 + 2-1 h /< " - i)
_ -..iiV^-i)
~~ 1 2 '
ete.
En substituant ces valeurs et reduisant, la valeur de y deviendra
I — n + 1 + \m'n'(n'ii' — 1) + f<rfg»< — 1) + 1 ra'V»" — 1)
+ |^>/'-l)
7 = ( -| 1- in(e)m(€>(n(*ye> — 1) + J n<e)(fi(e) — 1) -\
I + • • • + (wW + ra"wi/'-f [-72^-1Jmrf-i;)y^fVw;
ou bien en remarquant que
n ±z n'u' + n"fi" ^ ji ,
(62)
n a
y = I -j [-18 w/t w ( »V + » V H +
2
mWwW_ l \
1 2
n'(m'-\-l) n"(in"+\) ■■ n'"(m'"+ 1)
2 2 2 2
Connne cas particuliers on doit reniarquer les deux suivants:
1. Lorsque
hS' = h!," =...=%«="','.
Dans ce cas t — 1 , et par consequent
/««\ ' /«W — l ,m' + l ,
(63) v =z n ft g n —J^ + 1 .
Si en outre a —n, on aura tt^== X, et
(64) y = (n—l)M 1
2
MEM01UK SUK UNK l'KOI'KIETE GENEHALE etc. 1C>9/
2. Lorsque toutes les quantites hy', hy", • • • ky(n) sont des nornbrei\\r- ^' • ;'.
entiers. Alora on aura
et si Ton fait de plus ^
n=n" = . . . dJr.#=l,
on aura t = ?i, et par consequent en substituant,
(65) / = 0— IK + (w— 2)m" + (n—i)m"' -\
_j_ 2 m (n-2) -|- m — n -f- 1 5
e'est-a-dire, en remarquant que m' — hy', m" = hy"1 etc.
(66) y = (« - W + (« - 2)%" + in - 3)%'" -j
4- 2 hy (n~2) + hy (n~l) — n -f- 1 .
Dans le cas ou tous les nombres hy', hy" ', . . . hy(n~l) sont egaux
entre eux, la valeur de y deviendra
(67) 'r = «±=Hhy^n+l = {n-l)[^f-l). ,
L& formule (59) a generalement lieu pour des valeurs quelconques des
quantites «, a, a", . . . toutes les fois que la fonction /• n'a pas un fac-
teur de la forme F0x', mais dans ce cas elle a encore lieu, sinon F0x et
- * y . s'evanouissent pour une meme valeur de x. Alors la formule dont
il s'agit cesse d'avoir lieu, et on aura au lieu d'elle la formule (40), qui
deviendra, en faisant f2x = 1 ,
e'est-a-dire, en remarquant que
/y^/,(-,y)log^==0j
A u
Maintenant on a (19)
22
170 MEMOIRE SUli UNE PROPRIETE GENERALE etc.
d'ou il suit que si conserve une valeur rinie pour x = fii, la fonc-
tion entiere Bx aura (x — /?i)^' pour facteur, done
hx = fit et vx = f.ix — h% — 0 .
Par la on voit que, dans le second menibre de l'equation precedente, tons
les tennes relatifs a des valeurs de /?, qui ne rendent point infinie la va-
leur de '^fj^ ' s'evanouiront ; par consequent ledit nombre se reduit a
une constante, si F0x n'a pas de facteur connnun avec
Mx>y)
6.
Reprendns maintenant la formule generale (14), et considerons les func-
tions £C17 x2, cc3, . . . Xp. Ces quantites sont donnees, par l'equation Fx = 0,
en fonctions des quantites independantes a, a", etc.; soient
»i=/i(a7 a'i a\ ••..)» °k a\ a", • - •)] • • • ^==/4»j a'i «"j ■ • •)•
Si maintenant on design e par a le nombre des quantites a, a', -a", . . .
on peut en general tirer de ces equations les valeurs de a, a\ a", ... en
fonctions d'un nombre a des quantites xl7 x2 . . . x^ par exemple, en fonc-
tions de En substituant les valeurs de a, a', . . . ainsi
deterniinees, dans les expressions de xa+1, xa+21 . . . xfl1 ces dernieres quali-
ties deviendront des fonctions de xx, x2, . . . xu\ et alors celles-ci seront
indeterminees. La formule (14) deviendra done
+ • • • +</V*7o
ou a^, a:a, ... xa sont des quantites quelconques, xa+1J xa+2J . . . x des
fonctions algebriques de , ay , . . . xa , et » une fonction algebrique et
logarithmique des memes quantites.
Les qualities a, a', a", ... et xa+n xa+2, . . . x/l se trouvent de la
nianiere suivante. Les equations (7) donnent les suivantes:
(71) fy, = 0, 0yt = 0, ...0tJa = 0,
qui toutes sont lineaires par rapport aux quantites a, a\ a" j .... Elles
donneront done ces quantit&s en fonctions rationnelles de x11y1- x2,y%\ x31y3-
(70) »=J
MEM0IRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
171
• • • xai ?Ja' Maintenant si Ton substitue ces fonctions an lieu de a, a\ a" ', ...
dans 1'equation Fx = 0, la fonction Fx deviendra divisible par le produit
(x — xt)(x — x2) • • • (x — xa)\ car on a
Fx — B{x — x^){x — x2) • • • (x — xa)(x — xa+1) • • • (x — x^).
En designant done le quotient ^ (.r— ^) • • • (>—■<> ^ ^
quation
(72) J^a^O
sera du degre // — a, et aura pour racines les quantit&s xa+1, . . . x^.
Quant aux coefficients de cette equation, il est aise de voir qu'ils seront
des fonctions rationnelles des quantite's
De cette maniere done les tu — a quantites xa+1 , . . . xfl sont determines
en fonctions de fl5n x2, . . . xu par une meme equation du (// — a)e degre.
Les Equations (71) sont en general en nombre sufnsant pour determiner
les a quantites a, a', a", . . ., niais il y a un cas ou plusieurs d'entre elles
deviendront identiques. C'est ce qui arrive lorsqu'on a a la fois
ajj'==a^W'. ♦ ytj=y%±=z • • •
car alors
0yr = 0y2= • • • =
Or dans ce cas on aura, d'apres les principes du calcul differentiel, an lieu
des k equations identiques,
tjb^o, oIh = o, . . ., %ft = o,
les suivantes
qui, jointes aux equations
%+i = 0, . . . OlJa = 0,
detennineront les valeurs de a', . . . a(a~~l).
La fonnule (70) inontre qu'on pent exprimer une somme quelconque
de la forme
v.^ + ^^H H/v*"
22*
172 MEM0IRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
par une fonction connue v et une somme semblable d'autres fonctions ; en
effet elle donnera
(74) ^i^+^i^H = — • • • +
7.
Dans cette formule le nombre des fonctions ^c+i£Ca+1, V«+ax«+2? • • • VV7'."
est tres-remarquable. Plus il est petit, plus la formule est simple. Nous
allons, dans ce qui suit, clierclier la moindre valeur dont ce nombre, qui est
exprime par u — a , est susceptible.
Si la fonction F0x se reduit a l'unite, tons les coefficients dans les
fonctions <2o 7 ^i ? 2*5 • • • <Zn-i seront arbitraires; dans ce cas done on aura
(en remarquant que, d'apres la forme des equations (71), un des coefficients
dans les fonctions q0l qx , ... pent etre pris a volonte sans nuire h la ge-
nerality
u — hq^hq^hq,-^ • • -\~hqn^-\-v —I .
Si F0x n'est pas egal a Tunite, il faut en general un nombre h F0x
de conditions differentes pour que l'equation
F0x . Fx — r
soit satisfaite; mais la forme particuliere de la fonction y pourrait rendre
moindre ce nombre de conditions necessaires. Supposons done qu'il soit
eo-al a
(75) hF0x — A,
le nombre des quantites indeterminees r/, a\ n" , . . . deviendra
(76) a = It q{) -f li qx +hq2^ j- hqn_x -f v — 1 — h F(lx -f A ;
maintenant on a
h r = hF^x -\~hFx = hF0x -)- u ,
done
(77) u =hr — hF^x,
et par consequent
(78) u—a=J,r — (kql) + I>qi+J>q.2-\ 1- hqM , ) — n + 1 — A .
MKM01RE SUR UNE PROPR1ETE GENERALE etc. 173
/
Mais comme on a (3)
r = By' .By" . . . By(n),
il est el air que
(79) hr = hBy' -\-hBy" -f
done
(80) u — a = hBy' + hBy" -| \-h By(n)
— (% + % + • • • — w-f 1 — A.
Ayant maintenant (2)
h = r/o + ch!J + fhf H h ft -»3f"T? 7
on aura necessairement, pour toutes les valeurs de m ,
ou le signe > n'exclut pas l'egalite.
Done en faisant
.'/=?/',.'/",.'/'",■••?/"",
et remarquant que
on aura aussi
(81) h By' > hqm -f mhy' ; > %, + m^", . . . hBy(n) > hqm + mhy<*> .
Cela pose, designons par n\ m\ h' \ n" ?/?/', ,«.", fc"; etc. les me-
mes choses que plus liaut dans le numero (5), et supposons que h(q9tyf^)
soit la plus grande des n'fi' quantites
en sorte que
(82) % + > h<ln-t'-i + (n-P-l)ky'.
En designant, pour abreger, hqm par et niettant an lieu de
hy\ il est el air que cette tbrmule donne
(83) ./>,-/(»-/?-l) = (»-/?-l-p1)^+^ + ^
(depuis /? = 0, jusqu'a /? == h' — 1) ,
oh A.! est un nonibre positif moindre que l'unite, et ^ un nombre entier
positif, zero y compris.
Solent de meme
174 MEMOIRE SUR UNE PROPR1ETE GENERALE etc.
{ fto -/(» - ft - 1 ) = (n - ft - 1 - * ) j£ + V + 4»"
(depuis ft = k\ jusqu'a ft = k" — 1),
/ft _/(* - /? - 1) = (n _ /? _ 1 - ^ ) ^ + *tr + a;-
(depuis jusqu'a ft = k'"—l),
etc..
(84)
A. -/(» - ft - 1 ) = (» - /» - 1 - ) gj + f/"J + V
r*
etc.,
(depuis ft = h{m"x\ jusqu'a ft = k(m) — 1),
fye-f(n-ft- 1) = (j. - 1 - <,,) ^ + ^ + ^
(depuis /? =± jfc*-«, jusqu a /? = n — 1) .
• • • ^/s) etant des nombres positifs et moindres que l'unite, et
e/', tp"f, etc. des nombres eutiers positifs, en y comprenant zero.
Considerons Tune quelconque de ces equations, par exemple la (m — 1)';
en donnant a ft les k(m) — k0'1^ valeurs,
ftz=h(m~l), h<m- k(m-1)~\-2, . . . k(m) — 1,
on obtiendra un nombre h(m) — k(m~1} d'equations semblables; et en les ajou-
tant il viendra
\ {2n — k(m) — — 1) (k(m>— k(m-x)) ~
+ A0(m> + A1<">+. h-i(fi \ n
-f f(n — k(m)).
Or
W 0"— 0 _ ?? On) u (m)
done en substituant,
i (2w — fcw — — 1)
n(m)„(m) 1
+ + H h
+/(« - i - -| -
MEMOIRE SUR UNE PROPR1ETE GENERALE etc. 175
Or, en reniarquaut que AJm) est le noinbre, moindre que I'mute, qui, ajoute
^ fn — ft — l — p?n)__-, rend eette quantite egale a un noinbre entier, on
voit sans peine que la suite
A N _1_ A ('n) 4- .... 4- A (m) '
qui est composee de n(m) ^i(m) tennes, contiendra n(m) fois la suite des nom-
bres
0 12 — /
done
(85) A -f-A H r^nW^)-!-
ii (m) i, (in) ( (m) 1 "\
n< V ^ ; 1) i W ( „ M _ 1) .
En substituant eette valeur, et faisant pour abreger,
. W I , (m) _j _J_ i (W , , , , /7
f o ~r f i i ' i £ n(m)fi(m)-i — vm ,
il viendra
f -i(2w — few — k0'1-1* — l)/<("'J#iw
(86) ( + ^ ) = + KmV"° - 1) + 0.
( +f(n-k<-»- 1)+ • • • +/(»-*«).
Maintenant on a, en designant hOy(m) par ym,
(87) • <p(k(m~l) + 1) = (p{k(m-1) + 2) ^ + 3) = ' ' ' =s*(feW) 5
en reniarquant que %w conserve la menie valeur pour toutes les valeurs
de m, de k(m~l) ~f- 1 a Les inegalites (81) donneront done
(p (k(m-v + 1) + 9$*** + 2) +-90^ + 3)H h
> fffc + ^) (*w - ^) > (ft + *- ) '
done on aura, en vertu de l'equation precedente,
• (fl(ko»-v -f 1) -f- (<p (k<+~» + 2) + <p(V"-» + 3) -| h y W")
i no»)mo»)(2n — k(m) — k(m-l) — 1) + i &{m) tp* — 1) + K
+ f(n-k^>- 1) + f[n - k{m~i} — 2)-| (-/(*—
En faisant dans eette formule successivement m= 1, 2, 3, . . . . et puis ajou-
tant les equations qu'on obtiendra, il viendra
>
MEM0IRE SUR UNE l'ROPRIETE GENERALE etc.
> <
rMl) + ^(2) + ^(3)H h<K")
f(n-l)+f(n-2)+f(n-S)+ . . • +/(l)+/(0)
+ |wW(2w — — l)-J-£n'(p' — l) + ft
+ ^w/w/(2w — fc'— iv'O"— iy+ft
+ 4 -w,,w,/(2^— z^'— i) + i) + c;
+
I -f|w « m w (2 n — k (e) — h — 1) « ( W — 1 ) -f ft .
En substituant les valeurs des quantites h'\ k"\ . . . savoir,
fc'=wy; r=ny+w>"; r=»yf fty^wy, etc.,
et pour sa valeur (55)
w=»y + rc>*-| |~.n'Ve)i
on obtiendra
%'+%"+%"' -| • • • +%-.)
ou Ton a fait pour abreger
n'm' ("V^X + ">" + "">"'yf '• • ' +»"V '")+»'
4- „' v ( 'iVp.1. +»">' "+»">' '"H h« ) +»' -'ip
(88) /=( + . ; ... ^ri--.W^&£'i-!-*
De cette forinule conibinee avec l'equation (80) on deduira
(89) iU — a>y' — n+l — A+ ft + C2-\ \- ft.
Or, je remarque que le nombre y' — u-\-l est precisenient ggaj
celui que nous avons designe precedemnient par equation (62), done
(90) ^ - « > y - a + ft + ft h 1- ft .
Cette forinule nous niontre que ju — a ne pent etre moindre que y — A
or je dis qu'il peut etre precisenient egal k ce nombre.
En effet c'est ce qui arrive lorsqu'on a
MEMOIKE SUR CNJE PKOPK1ETE GENEUALE etc. 177
| et c, + c2+c3h hc«=o;
or on peut demontrer de la maniere suivante que ces equations pourront
avoir lieu.
En se rappelant la valeur de Cm1 il est clair que l'equation (91) en-
traine la suivante:
t(f = 0 (depuis fip=k<!*-*\ jusqu'a p = k(m)— 1);
done en vertu des equations (83) et (84)
m (m)
(92) ' f(ii-P-\)=fym--tri-p-l-<>m)^-Af,
(depuis ft = h(m-l\ jusqu'a fi = k(m)— 1),
II s'agit maintenant de trouver la valeur de .
Or l'equation (91) donne
(93) y (fm + & >/<>« + <>« (
pour toutes les valeurs de m et de a.
De la on tire, en designant pour abreger
(94) . -^-par<rB,
(95) fym—fyu > {(fa — <*m •
En faisant m = a — 1, et cliangeant ensuite a en w, de nieme que «
en m — 1 , on obtiendra les deux formules
Par la on voit qjie la difference entre la plus grande et la plus petite va-
leur de /(>„,—/(>,„_! ne peut surpasser (<>,„_i — (>»>) K-i — P** conse-
quent on doit avoir
f(fm —fym-l =((fm-l~ (fm ) °m + 0 m-1 ((fm-1 ~ (fm ) ~ <*m ) 7
oft 6/,, , est une quantite positive qui ne peut surpasser l'linite.
Cette equation peut s'ecrire coumie il suit:
(97) fyn—fy^ = ((fm-i~(fm) B*rlM + (i ~ * ^ °-]'
23
178 MEMOIRE SUR UNE PROPRIKTE GENE KALE etc.
De la on tire sans peine
(98) +(i>*-i>s)[0^ + (l-62)o,]-\
( • • • +(pm_i — <O[0*_iff*_i + (l — 0 am].
Si f(jm a cette valeur, il n'est pas difficile de voir que la condition
fym—fQa > fe. —
est satisfaite pour toute valeur de « et m, quelle que soit la valeur de fqx
et celles des quantites dn 0a, • • • 0M_t, pourvu qu'elles ne surpassent pas
l'unite.
Connaissant ainsi la valeur de /(>,„, on aura celle de f(n — ft — 1) par
1'equation (92).
Apres avoir de cette maniere determine les valeurs de toutes les quan-
tites /(0), /(l), /(2), .../(»— 1), voyons a present si elles satisfont en
eftet a 1'equation (91)
7 (m) r I m(m) r i
Pour que cette equation ait lieu, il est necessaire et il suffit que 1'equation
(") fym + P*0* >fa + aom
soit satisfaite pour toutes les valeurs de a et m. 11 faut done que
(100) Pm*> =fy. -fa, + (Vm- as) > 0. J
Soit a$ = n — ft — 1, oh ft a line valeur quelconque comprise entre k(S~i}
et k(S) — 1 inclusivement , liquation (92) donnera
f<*fi=fys — — to)os — Af ;
et par consequent
(101) Pi* =fyn-fys _f (^-«,)<7ni + (as-Qd)o3 +
En mettant -[- 1 au lieu de ?n, il viendra
•^■Ai T« —fVm+i — + (>)„+i^,1+i — f^tt* -)- — ) •
On a par 1'equation (97)
JV.n+i—fym =■ ((>« — [Bmam -\- {l — 0m)om+1]',
done, en substituant et rdduisant,
(102) g% - P^> = («,,- [(.„(!- «.) + P«tl <y ) K-<J.+1) ;
MEM01RE. SUR UNE PEOPRIETE GENERALE etc.
179
or, en reniarquant que a a est compris entre n — 1 — k{,) 1} et n — k(,)\ que
^(1 — 6m) + Qm+iK rest entre et c'est-a-dire entre n — Wm-»— 1 et
n — h(m+1\ il est clair que le second niembre de cette equation sera toujours
positif si j»5>-£-|- 1, et toujours negatif si m <z d — 2.
De la il suit: 1° que Pra+1+^>0 si P(Ul>0; 2° que P^_m>0 si
P5 l> 0. Done pour que P^} soit positif pour toutes les valeurs de w, il
suftit qu'il le soit pour m = d-\-l, ()\ d — 1.
Or, en faisant dans l'equation (102) m = ()\ fri=±d — lj il viendra
1% - Pf =={«,- [^(1 - $,) + Qt+M )
Jf) _ J^, = ( a, - [^(1 - + *^t] ) -
Mais l'equation (101) donne pour m = d,
done Pft est toujours positif, et en substituant cette valeur, les deux equa-
tions prdcedentes donneront, en mettant & -\- 1 an lieu de d dans la derniere,
'$% = [«i - pa + ^te- + 4^
De ees equations on tire (en remarquant qu'on doit avoir pour P$j_i et
Pf+1) des valeurs positives),
QS — as ^f? jd
^ — ?f5+i (.QS — QS + i) (PS — W+i)
{106)
Q,l — aa + i I
7\ — ft 7
$J — £ J + 1 ' — QS + i) — ■ <7*+i)
Maintenant On est compris entre 0 et 1 ; par consequent il faut que B$ ne
surpasse pas l'unite, et que soit positif. Or e'est ce qui a toujours lieu.
En effet on trouve •
1 — Ba =
a/t — QS+i
* QS — QS+\ "J" ^ ~~ ^ ~~ '
done 1 — B$ est toujours positif en remarquant que to* Par conse-
quent Vi,v ne pent surpasser l'unite. De menie pa>«j+ij (mnc ft est tou"
jours positif.
La condition
tf > o
23*
180
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENE RALE etc.
est done satisfaite pour toute valeur de J et m- d'ou resulte l'equation
On aura done, comme on vient de le dire,
(104) u — a = r — A,
qui est la moindre valeur que peut avoir // — a.
Si Ton suppose que tous les coefficients dans les fonctions q0J qx , . . . a j I
soient des quantites indeterminees, alors F0x=l, et par suite A — 0- done
dans ce cas
(105) fi — a = r.
C'est ce qui a lieu generalement, car c'est seulement pour des fonctions
d'une forme particuliere que le nombre A a une valeur plus grande que
zeVo.
Dans ce qui precede nous avons suppose que tous les coefficients dans
q0l qxi ... qn_i , etaient indetermines, excepte ceux qui sont determines par
la condition que r ait pour diviseur la fonction F0x. Dans ce cas on a
toujours, comme nous l'avons suppose plus liaut (87),
90*+ + 1 ) = 9(¥^ + 2) = • • • = <f(Jc">) =fy, + 9.a. , .
et par suite
n 06} ]ir = j w>'(/fc + + » VOfy +
C'est la valeur de hr en general. Supposons maintenant que les quantites
a, a', a", ... ne soient pas toutes indeterminees, mais qu'un certain nombre
d'elles soient determinees par la condition que la valeur de hr soit de A'
unites moindre que la valeur precedente. En general, un nombre A' des
quantity's a, a', a", ... sera determine par cette condition, et alors a — a
ne change pas de valeur; mais il est possible que, pour les fonctions d'une
forme particuliere, la condition dont il s'agit n'entraine qu'un nombre moin-
dre d'equations differentes entre a, a', . . . Soit done ce nombre A' — B.
la valeur de ft — a deviendra
(,u-A')-[a-(A'-B)]~A,
c est-a-dire
(107) u — a==r — A-B.
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETY 0 EX Eli ALE etc.
181
, • 8.
Pour donner un exemple cle Fapplieaticm de la theorie precedente, sup-
posons que /?=^13, en sorte que y soit determine* par liquation
et
% = <zo + m + + — H
Supposons que les degres des fonctions entieres
fnPii P*>&i'P* P*>lP»&iP*i 'fr$f*i 'P&iPm
soient respectivement
2, 3, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 1,
D'abord, il faut cherclier les valeurs de hy\ hy" . . . hym. Or, pour cela,
il suffit de faire dans l'equation proposee,
y =± Axm1
et de determiner ensuite A et m de maniere que l'equation soit satisfaite pour
X =.oo.
On obtiendra l'equation
•j -| \-B9A*xim+* + BlAxm+* + B(tx*.
Pour y satisfaire il faut qu'un certain nombre des exposants soient
egaux et en meme temps plus grands que les autres, et que la somme des
termes correspondants soit e"gale a zeVo.
Or on trouve qu'en faisant
1° 13 m = 10 m -\~ 4, d'ou ift= les deux exposants 13?w, 10 «?.-[- 4,
seront les plus grands;
2° 10m + 4 = 5?«-f 5, d'oii m= gr.i 10w-f-4, 5wi-f5;
3° 5w + 5= m +3, d'ou m = — fc< 5m-f-5, w,-f3,
4° IH + 3 = 2, d'ou ?w = — 1, w'-f 3, 2.
On a done
y = Ax\ A" + B10Au> = 0,
182
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
done
A = — YB10 et hy' = hy" = hy"' = m~ = i- , n' = 1 ;
done
y = Ax\, B^-^B.A^O,
5
^ = — f/ 74 et ^ ^ = hy f« = ^ » = % f* as h y * = 3j£ = >- ■
done
done
i
y = Ax~ Y, B&A&-\- B1A = 0, -
4
y = 4ar-\ £14 + JS0 = 0, *
A=—% et /i2/<»' = ^7r=-l, «""=1.
Ay ant ainsi trouve les valeurs des nombres m', u', ri, m" (u",
m"', //"', rc"', m"", ,/"", rc"", on aura
fc"" == »y + »>" + »">"' + n">' '" = 13 = 72.
Maintenant le nombre (>! doit etre compris entre ?2 — 1 et n — fc', y.2 entre
n — h' — 1 et n — k" , etc.; done on trouvera pour ces quantites, les valeuvs
suivantes :
^ = 12, 11, 10, 8, 7, G, 5, <>3 = 4, 3, 2, 1, 9i = Q.
Connaissant pj, p3, p4, on aura 4/j 4}SM -^/'^ 4/'" par l'equation
(92); ensuite 0X1 02, 03, 64 par les equations (103); fy21 fy3, fy4 par l'e-
quation (98); et enfin /(0), /(l), /(2), . . . /(12) par l'equation (92).
La valeur de y, qui est toujours la meme, deviendra par l'equation (88)
et la relation y = y' — n -\- 1 ,
7~K +2.(-1).(4-1 + 1| + 2.271
MEMOIRS SUR UNE PR0PR1ETE GENERALE etc.
183
c'est-a-dire, en reduisant,
Pour pouvoir determiner nunieriquement les valeurs de a et de ft,
supposons, par exeniple,
= U:
i & -
= 6,
l'equation (92) donnei
ra les
suivantes :
/(12) =/(!!)■■
4
An
done
a:
= !,/(12)
=/(!!)
—2
/(10)=/(U) + |-
done
= i , /(io)
=Aii)+"
/(») = A«) '
_ 3
done
A"
=1, /(»)
= A«)
- 1
/(8) = /(«) -
2
5
done
a:
= t, /(8)
=M
— 1
/(?) = /(6) :
1
A "
done
A,"
==.f , /CO
= A«)
— 1
/(5) = /(«) -
A "
done
A"
= A«)
/(3) =/(4) ■
1
¥
A "'
done
•
= i, /(3)
= /(4)
— 1
/(2) = ./(4) -
- 1 —
A "'
done
A "'
=o, A2)
= /(4)
— 1
/(I) = -
3
Y
i ///
^•11 }
done
A "'
=i, /(I)
= /(4)
— 2
Pour trouver maintenant /(0), /(4), /(6), /(ll), il faut chercher les
limites de 61J 02, 631 #4.
Or les equations (103), qui determinent ees limites, donnent
11— a, 34£ j, . A 1 2 1 1
. 11 — a, , SAa" , /, 2 , 6 3,9
4 | 12 6 | 3
"5~~i~5.17 ' ' 5 "T5.17 "
II suit de la que
On trouve de la mime nianiere
^ > 1°4 ' °2<1i °d> l ' 03<1'
Maintenant l'equation (97) donne
fi>m—fQm-\ > — $») + i1 ~ ^"m-l)^m] J
1S4
MEM01RE SUR UNE PROPRIETE GEMERALE etc.
ou 0" m_l est la plus petite ct la plus grande valeur de 0m_x\ clone on
trouvera, en faisant,
2. 3, 4,
/(«) -/(ll) > 5 ,[j j . | + (1 - |f) . j] (= 1 + If)
/(B) -/(ii) < 5 . [w . -I + (i - w) ■ i] i= » + 1)
/(4)-/(6) >2.[-1V.i-(l--A).l] (= — I)
/(4)-/(6) <2.[l.f-(l-l),f] (=1)
/(<>) - /(4) > 4 . [ i .(—!) + (! — !).(— l)] (=
3)
/(0)-/(4) <4.[ 1 -(— l)-h(l — 1).(— 1)] (=-2);
done on aura pour /(6) — /(ll), /(4) — /(6),/(0) — /(4), les valeurs sui-
vantes :
/(0) -/(ll) = 2,3, /(4) _/(«) = 0, /(0) -/(4) = - 3, - 2 ;
d'oii
/(f.)=/(ll) + 2,/(ll) + 3, /(4)=/(ll) + 2,/(ll) + 3; .
/(0)=/(ll)-l,/(ll),/(ll)+l;
/(12) =/(l 1) - 2; /(10) =/(ll) + 1; /(9) =/(ll) + 1, /(ll) + 2;
/(8)=/(ll)+l, /(ll) + 2; /(7)=/(ll) + l, /(ll) + 2;
/(5)=/(ll) + 2, /(ll) + 8; /(3)=/(ll)+l, /(ll) + 2;
- /(2)=/(ll)+l,/(ll) + 2;/(l)=/(ll),/(ll) + l.
En exprimant done toutes ces quantites par /(12), on voit que les fonctions
(Z125 ?io 2io? ' - ' 9.01 son* respeetivement des degres suivants
(12) (11) (10) (9) (8) (7)
0, 0 + 2, 0 + 3, [0 + 3, 0 + 4], [0 + 3,0 + 4], [0 + 3,0 + 4],
(6) (5) (4) (3)
[6,_j_4,0 + 5], [0 + 4, 0 + 5], [0 + 4,0 + 5], [0 + 3,0 + 4],
(2) (1) f>
[# + 3,0 + 4], [0 + 2,0 + 3], + £ J +
oil 0 est le degre de la fonetion q12.
De la suit que
« =/(0) + • ■ • • +/(12) + 12 = 130 + 47,130 + 48,
130 + 57, 130 + 58,
MEMOIRE SUli UNE PKOPiilETE GENEKALE etc.
185
et
P = »>' (/ft + ft ~r ) + [fi>, + y2 ^ )
+ " (/ft + ft ) + »" >"" (/ft + ft "fr )
= 3(/(ll)+U.|) + 5.(/(6) + 6.|) + 4(/(4)-4.i)+l.(/(0)-0);
c'est-a-dire,
j*=130 + 85, 130 + 86, 13(9 + 95, 13(9 + 96.
La valeur cle fi — a deviendra done
/Li — a = 38,
comme nous avons trouve plus haut pour la valeur de y.
9.
Par les equations (92) et (98) etablies precedemment, on aura les va-
leurs de toutes les quantites /(0), /(l), /(2) . . . f{n— 1), exprimees de la
maniere suivante :
(108) fm=f^ + Mm,
oil Mm est independant de Cette derniere quantite est entierement ar-
bitrage. Le nombre des coefficients dans q0 , qt1 qn_y , sera done egal a
(109) n fy, + M0 + J£ + M2 -| f- ifn_x 5
mais a, ou le nombre des quantites indeterminees a, a, est egal au
lion il»re des coefficients deja mentionnes diminue d'un certain nombre. On
aura done
(110) a^nf^ + M,
oil M est independant de f(jt.
De la il suit qu'on peut prendre a aussi grand qu'on voudra, le nombre
a — a restant toujours le meme.
L'equation (74) nous met done en etat d'exprimer une somme d'un
nombre qiielconque de fonctions donnees, de la forme ipx, par une somme
d'un nombre determine de fonctions. Le dernier nombre peut toujours etre
suppose egal a qui, en general, sera sa plus petite valeur.
De la formule (74) on peut en deduire une autre qui est plus generate
encore, et dont elle est un cas particulier.
24
186 MEMOIKE SUK UNE PKOFKIETE GENEKALE etc.
En effet, soient
(111) \pxxx + ip2x2-\- • • • -\- ipaxa = v — (ipa+1xa+1-\- ipu+ixu+s-{- • • • +Wa>)>
Vixi'+ H h ==
^ — Wf**'*+t + ^V+2^+2 H h vV*>')>
ou i//2', . . . sont des fonctions semblables a ip1 , ytt1 ...
Supposons, ce qui est permis, que
jy a, Uy^j Jy ^—lj *^ u'—2 ' • ' ^ /u+a + 1 + 1 1
et
^ a'X a' — ^ nXfil y u'-lX u'-l — ^m-I^V-I 5 • ■ • V «'-/* + a + lX'u'-,u + « + 1 = '/'u + 1 + 1 j
les equations precedentes donneront
^x, + ^ H Hpa — ft'*i' — Wx2 — n>'a--^nx,a._fl+a
=v — v' + ^v+i^+i H h vv^V 5
done en mettant F au lieu de v — v\ a au lieu de a — /t + cc,
i/V', tff/, . . . xpk" au lieu de . . . i/V,
a;/, afc«, . . . xk" au lieu de x'^u x'u,+2, . . . V„,,
et enfin & au lieu de //' — a', il viendra
(112) V'i^ + H h 1M. — Vi V — V*>s' —
= F+ jy^jtf + + -| h ^ay|
Le nombre fc, qui est egal a tu' — a\ est independant de « et a', qui
sont des nombres quelconques.
Si Ton suppose
(113) x2" = c*, ...xk" = ckl
c1? c2, . . . ck etant des constantes, alors la formule (112) deviendra
(114) + y2x.2 H h v„sB — — ip2'x2' ip'a,x'a, = C+ V,
ou mi nombre k des quantites arx, a^, . . . sa, se/* a^', . . . x'u, sont fonc-
tions des autres, en vertu des equations (113). 11 est claiv qu'on peut
prendre c15 c2, . . . ck de maniere que C deviendra egal a, zero.
Supposons niaintenant qu'on ait dans la formule precedente
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
187
(115)
/ ^2 XZ ' ' ' xsx
+1 =*'= ^,+« =FS =^ ' ' ' =zXel + e, Z2 j
— ^f,+«-2+2 — ' ' ' ~ ^f, +f3 + f, — Z3 ?
/ + l — + ' " ' — Xa = Zml
\ ^1=^2= ' * * = %x = n% 1
— fa = ™m 5
en sorte que
Supposons les memes choses relativement aux quantites x\ , x\ , .. . . ,
i//2 , ... en accentuant les lettres f 4 , f 8 , . . . em , zx , 38 , . . . 3m , ^ , tt2 j
. . , nm et m, Alors la formule (114) deviendra:
tit i > „i
^2 -^2 ^2 " ' " »»' ^ »' '
oil un nombre 7*3 des fonctions ?r2z2, ... MiW, • • • dependent des for-
mes et des valeurs des autres.
En divisant les deux membres de cette equation par un nombre quel-
conque A et designant les nombres rationnels
(116) V=
A ' X'
~A
A
par hu h,, ... ha, et mettant y> an lieu de nr x an lieu de z, et v an
lieu de -j-i il viendra:
(117) Kfi*\ + k H h Ky*<*i = v i
oh il est clair que Kly h2, ... ha peuvent etre des nombres rationnels quel-
conques, positifs on negatifs.
En remarquant que k des quantites xx, x^ r , *x0 sont determiners en
fonctions des autres, on peut ecrire cette formule comme il suit:
(118) ^^1 + ^2^2+ • • •
in
= v _|_ iCl -f 7b2 v'2 V H h fc* ^* V,
, A2 , ... hm , fej , 7c2 , . . . &fc
24*
188
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENE RALE etc.
etant des nombres rationnels quelconques ;
of '7* *y
•^1 1 • • • •
etant des quantites indeterminees en nombre arbitraire;
etant des fonctions de ces quantites, qui peuvent se trouver algebriquement,
et h etant un nombre indepeiidant de m.
Si Ton prend, par exemple,
h == h = • • • === h = i ,
on aura la formule
(119) Jh qxxx -f h2 f2x2 -| \-hm ipmxm
= v -f y/, V 4 V* V H h
10.
Apres avoir ainsi, dans ce qui precede, considere les fonctions en o-e-
neral, je vais maintenant appliquer la theorie a une classe de fonctions qui
meritent une attention particuliere. Ce sont les fonctions de la forme
(120) ff(x,y)dx,
ou y est donne par l'equation
(121) zy=ynJrPo=-o,
p0 dtant une fonction entiere de x.
Quelle que soit la fonction entiere j on pent toujours supposer
(122) —Po — 'jf, r»°. . . . r^ , -
ou . . . iie sont des nombres entiers et positifs, et 1\, r2, ... re des
fonctions entieres qui n'ont point de facteurs egaux.
En substituant cette expression de — p0 dans l'equation (121), on en
tirera la valeur de ?/, savoir:
Jh. Jh. Jh. 0l_
n f n <*> 71 v, n
(123) v = Vx
Si Ton de'signe cette valeur de ?/ par et par 1, oj, u>2,
les n racines de l'equation ion — 1— 0, les n valeurs de y seront
(124) i, wi?, o>2i?, m% • . . aiT^J
MBMOIRE SUR UNE R ROPIJIETE GENERALE etc.
189
on aura, par consequent,
(125) r = By'.0y". . . Oy<*> = (q0+ qjl + qJi2 -{ h?-^"-1)
X & + ioqx It + oAhlP -\ h io^qn_xR^)
X (q» + ttfefi + H h w2-2^-!^"-1)
x (</o + + H h ^3n-3^_1^n-1)
X fa + ^%*J* + H h •^^gp1) ;
attendu que
/ + qJt2 H (4UV^
) - ft + + "2<Z^2 + • ' ' + «^i^S
) %"'== + »^ + H h ^2'^ \n- Jin-\
\ etc., etc.
Cela pose, soit
et supposons
on /2x et f9x sont deux fonctions entieres de x- alors on aura, en vertu
de liquation %y = yn -\-p0 , qui donne %'y = nyn~x1
^8)t ".' •".* ^^=^; .,:-':
d'ou
L'une quelconque des valeurs de y est de la tonne weB, done
(130) ':;.<^^tt ' *x = m-~fi£&' " ' .' •
■j', ' - • toutes lea fonctions
)/',.'', ipsX - • ■ VJfix seront de la forme (o~em\f/x. Soient done
(131) yiX — w-'^ifrx, if>.,x=zar'iV'i{>x, . . . ■ifjftx = io-">'m~if>x,
on
da
f .h%-(
Maintenant lea equations (88) donnent pour q>x fet les expressions
sui v antes:
190 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
if x = 2 J^- log By. w,x = 2 -hx log By ,
c'est-a-dire
^fl. _ SSM« ~ log fly _ F*.r.f3x log fly
ou il est clair que
log% = logfliZ , _ logfl(c^) j , \oge(co^B)
ym ftm ~T ftm \ \ ](m
ou bieu
^logfly 1 I log OR + co- log- B (coB) + io~*» log- B (to 2i?)
— R™ j _| _|_ i0-(n-1)m log 0 .
En faisant done, pour abreger,
_y3^ i log-^+^iog^^ + ^iog-^^^) j
1 } <p*x— r» ) _| — -\-to-(n-i)m\oge(«)*~iB) f
on aura
(133) cpx = ^, cp1x=-^^(p2x.
La formule (41) deviendra done
(134) i^ajj -)- aret*yxi + • • • + y»V
— 0-/7 7^ + ^1 ^
Les equations
qui out lieu entre les quantites a, a', a", . . . fl^, £2, . . ?/2, .
peuvent, dans les cas que nous considerons, s'ecrire conime il suit:
6(xx, w'1^) == 0, 0(.'r2, toe'i?2) = 0, 0(tf3, «/si?3) = 0,
. . . c»Vi^) = 0,
ou
= <?o + + <m2 H j- qn-iyn~\
et i?! , i?2 , i?s , . . . i?^ ddsignent les valeurs de 2£ pour ,t = ^ , a?2 , jc3 , .
Cela pose\ supposons d'abord que tous les coefficients dans q0, qXl . . . qn_x
soient des quantites ind&erminees, en sorte que le nombre des quantites
«, a", ... serait
(135) a = hq0-\~hql-{~ hq.2-\- . • • -\-hqn ^n—l,
et cherchons la plus petite valeur de fi — a.
x .
MEM01RE SUR UNE PROI'KIETE GENERALE etc.
191
Comme toutes les functions y\ y", y"\ . . . y(n) soot dn meme degre,
on aura
W hy' = hy" =*/"= • • • =%") = ^ ; '""^PH
par consequent
5=1, n = » |tt — .
L'equation (92) donne done
(136) /m =/(»i + — m) y — 4» >
ou w est un nombre entier quelconque depuis zero jusqu'a n — 1 , et AJ
une quantite positive moindre que l'linite.
On a de meme par (106)
a — hr = n'fi (/& + ~ j >
done
(137) ,u = w/ft + n'm'(jx ,
et par 1'equation (62) la valeur de qui sera celle de /* — «, savoir:
(138) [i — a = y = n'fi' 1 » — j-j + 1 ,
ou bien en remarquant que n = n \ll ', w'm' = w/Ji:
(139) — a = */ = ^— Y~+X'
C'est la la moindre valeur de u — a lorsque toutes les quantites a, a',
a" 1 ... sont indeterminees ; mais dans le cas qui nous occupe, on peut ren-
dre ce nombre beaucoup plus petit en determinant convenablenient quelques-
unes des quantites a, a', a'', . . .
Designons, pour abreger, par EA le plus grand nombre entier contenu
dans un nombre quelconque A, et par «i le reste, on aura:
(140) A = EA-\-eA1
ou il est el air que f A est positif et plus petit que l'mute.
Cela pose, soient
(141) 0m = E & + E + E 4 h K {n~l^-n >
et
<r.., = #.-£(^---^|.
192
MEM01KE SUli UNE PROPKIETE GENERALE etc.
uii m est Tun quelconque des nombres 1, 2, 3, ... i nn des nonibi
0, 1, 2, . . . n— 1, et des nombres entiers positif's.
Supposons
(143) q^v^rf^ . . .r?<-\
vx etant une fonction entiere de x.
De on tire
/) 7j> t , , n l'1 ,. n -> T n ' e' J •
or
7t/il
n
mais en vertn de l'eqiiation (140),
K
Kf*n ctm \ yq*m am ( nefa — a„
— b
u n j it n
done en substituant :
en faisant done, pour abreger,
(145) 'vS&k&j^
on aura
m, Jt J
0,+ -' 0,+ ^- o£+— i t ^
(146) q^B1 =vTri " r, "... r# " *&r*r«*£ • • • fa*'**
on bien en faisant
(147) /y1' ' . . . r?^ M A>r'7) :
(148) q ffi=zv„ft n ra " . . . re " ;
Par la il est evident qn'on aura
( Vo-f'/,^+'/2^+ • ■ • +<^'H Y-'L-Ji"1
n : n *
v''- X»i r2 ...re
et en general (126)
MfclMOIKE SUR UNE PROPKIETE GENERALE etc. 193
6y('> = q0 + (»'qiB + io2eq2B^ HyM,Vi^n_15 •
, .)( ( . = (v<>B® + + H h
I 1 1 n - n * n
[ Xrt r2 ...rs ;
Soit, pour abreger,
(151) v0R(0) + + u>2ev.2lt(2) H h ^'^X-i^^ = O'fa
il est clair que
(152) r = 6y'.0y" . . . 0y(n)
= 0>(:x,O)0'{x,l)0,{x,2) . . . 0\x,n-l)rf^rf^ . . . re-
done en supposant que tous les coefficients dans v01 vu ... vn_x soient des
quantites indeterminees, on aura
(153) Fx = 6'{x,Q)0\x,l)0/{x12) . . . 1).
Maintenant 1' equation (19) donne, en substituant les valeurs de fx{x,y)
= 7ifax.yn-m~L et de tfy=.nyn-\
y ®y
or, par l'equation (150),
By® 6'(x,e) '
done, en substituant et mettant au lieu de r sa valeur,
r == F0x . Fx :
^ f** Fx.dti'(x,e)
(154) Bx = F0xS^r ^> > ,
ou
or, on a par (123)
done
fir — 1 1 '2 • • • 1
n n n n n
(155) r2 . . . f> Xrx
en faisant done pour abreger
2 • • • 1 S 1
m/Ug
e e
(156) „ = n • • • n ^
25
194 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENE KALE etc.
et posant ensuite
(157) fzxzz=fx.r\ n r2 M ... rf " ,
on aura
fax « /*
done
et par consequent la valeur de ifo deviendra
(158) Rx^^^Zw^J^dB'fae)
sm B(x,e) v y
Maintenant il est clair que
qui est egal a (153)
0'{x,l)0'(x,t) . . . O'(x,n—l)fi0'(x,0)
et par consequent une fonction entiere de x et de Rm, R(1\ . . . R(n-1}7 peut
etre mise sous la forme
M0 + + M2s2 -| -\-Mmsm-\ f- i/B_lS„_x ,
ou Jf0, Jf1? ... sont des fonctions entieres de x.
De la il suit que la fonction Rx, qui doit etre entiere, sera egale a
nF0x .fx . ifm .
La fonction F0x est done tin facteur de ifo, et par consequent
(159) Rx = F0x.RiX.
Par la il est clair, en vertu des equations (23), (25) et (35), qu'on
aura
(160) F2x=l, d%x=zfix> •
Cela pos£, la valeur (132) de (f2x deviendra, en mettant — au lieu
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE* GEN ER ALE etc. 195
de , substituant lea valeurs de #(-#), 0(ioE), etc., donnees par l'equation
(150), en remarquant que
1 _|_ (l)->» _|_ or* _j _|_ w- (n-1)m = 0 :
nrn ) log^,0) + oi-log^, lj + or^log*'^) J
et les valeurs (133) de et </)j£r::
et par suite la formule (134) donnera
(162) w-'^ipx^uy-^yx^ • • • 4^«*~Vtyfl!>
on a
fax = (x—p1y>(x-piy* • • • 0*-&r*.
II nous reste a trouver la valeur de it et le nombre des quantitds in-
deternnnees; or, on a par l'equation (153)
(163) hF0x = (n$1 -f a^hr^ -f- {n02 -\- a2)hr2 + • ■• + + a$&fi J
mais
done
.« = w/p, -|- w'wi'ft — -f - a^Aft -f- (nO} -\- a2)hr2 -| \- (?iOe -\~ ae)hre] ;
or
»W = n . == 7z f ^ hr, + £ -I h — ^ )
= i'J"\ + lu2hr2 + • • • -f-//fZ<>v,
done en substituant,
(164) // == J U^h + ~ ndl ~ a^h'1
\ — w02 — a2)hr2-\- • ■ • -\-{ne{>i — nOe— a€)hrs.
Maintenant l'equation (143) donne
(165) hq, =/tt = fihn . hr, + f\.T %kr9r\ h ft,* • + ftt%, ,
done, en dcrivant au lieu de p17
(/ / = * ^ ?>e -f - (« () — w a; -f- (>(< < ! — ) £ ?-! -f (*$ ^-w^+c^-^l^'H — 5
25*
190 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
mais en vertu de (144) on axtfa
nvn,<> — n6m -f- $[im — am = n.e — ,
done
(166) fi — nhVq + n . c Ul h\ -\-n.t — 2 Ar2 + • • • -)-??.« giUc^ ftf /* re .
Cherchons maintenant la valeur de a ou le nombre des indeterminees.
On a
a = li vQ -\-hvy-\- h vs -j- • • • + + w — 1 ?
done en vertu de (165)
hq0 -f- % -f- hq2 -(-... .-}- + ft — 1
— (<?i,o + #i,i + <*m + ' • * +A«-^)*ri
(167) « = < - (<T2, 0 + + *M H h *m-i)^
On a d'apres (136) et (85)
(168) hq^hq^ . . . -\-hqn_x
= ^.%+[(> + (^-i)H h^-^+^l^-W+A'H MUiiJfj
= »(A.f + Vr.+^^-f • • • + ^krF) + [n<>- Sfejfl ] £ - j
et d'apres (142)
(169) + h*.,-i = "*.
En designant le seeond niembre par
^0 p
on aura
p,
or, la suite
(n — l)jt/m — «,„
£ — -|— £ ""-I U
n
("— l)A'm — «.i
«ro I /'m «7n | | (* — typm — a„
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
contiendra hm fois la suivante
Mm "t$ "tl
si Ton suppose
il=L=<- et n = hm7im
n nm
et
(170) am = emkm,
em etant un n ombre entier.
La somme dont il s'agit sera done
nm — 1
et par consequent
p I n — 1 _ nm — 1 ,
En faisant am = Q, on aura d'apres (141) Pm = 8m, done
/j w — 1 nm — 1 j <
"m 2 '<,,n 2 "l '
de la il suit:
<L,o + H h — « • + (w — !) ;
la valeur de cc deviendra done
+ [W^S.O— (^— ^?>2+ ' * '
or
et
— nOm = n.s^ ()[{m, nu =n
done en substituant
198 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
mais nous avons vu que
n * — 1 Hm — If n — 1 v — k„
"m « rt K— ?i .11.
done
2 i" m g ™ 2 2
nhv0-\- [n.e — 1 % — n* nk*- \ hr,
" \ n 2 j
(171) a=l ' + |n.tw,»~"»-^=^Urt-f
Ayant ainsi trouv6 les valeurs de a et a on aura eelle de fi — a ,
savoir :
(172) ,u-a = ^kri + ^hrs + ^hr3+...
— « est done, comme on le voit, independant de y et at
En vertu des equations (1*45) et (147), il est clair qu'on aura aussi
(173) p = n.hvf-\-n.kRQ,
(174) a^n.hv^ + n.hRW — e.
Les quantites hv0, hvxi . . . hvn_1 peuvent s'exprimer en hvq au moyen
des equations (136) et (165).
On a
/» = KJ** + 4«*ri H h tr,Jk( + ^
/? = KM + <^r*H 1-^,^+^
et
fm =z fy -f- ((> — m) —r — A/ ;
done en eliminant fm et
L _s j H+(e .- «*) £ + ft; - *«..) *»•, + pM- +
iivm \ ft
Or,
y- = — fc^i + H h ,">v) ,
et par (142)
MEM01RE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc. 199
= (» - „) & ■+ . 2^5 - , = (,« - ,) f + fc, f - & : i
done en substituant et reduisant
e'est-a-dire en remarquant que AJ est positif et plus petit que l'unite,
(175) ^=H,+E \ [.
D'apres l'equation (147), qui donne la valeur de jRw, on peut aussi
ecrire
(176) hv^hVt + Eh^.
Cela pose, soient
( Xa + 1 = ZH Xa + 2 — Z2') Xa+3 ==Z Z3 5 • * • Xfi-l=zZ0—ll XfiZ^Z6t
(177) {
et pour abreger
(178) cu ~V = , «r** = ^ .
La formule (134) deviendra, en mettant sm{x) au lieu de sm1 et ' ^ au
lieu de (£>2#,
(179) <</^i + «t**b H h -f 4- *• H \-nov*o
-c n fx-(px 1 ^> ^ '
Dans cette formule on a
(i8°) tmlilt'
ou est une fonction entiere queleonque, et
f,x=A(x-piy>(x-p,y* . . .
Les quantites x17 #2, ... ajB'j sont des variables independantes ; tox, w27
. . . coa, des racines queleonques de liquation
w" — 1=0.
200 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE otc.
Les fonctions zxi z2, . . . ze, sont les 0 racines de 1'equation
(181) ^0)^1)^2). ,(,,,-!)
Les quantites a, a', a", ... sont detemiinees par les a equations
(182) O'^eJ = 0, «0 = 0, e3) = 0,... 0'{xa1ea) = 0 J
et les nombres e1? f2, . . . par les 0 equations
(183) %,O = 0, ^(a»>^) = °i ^3,O = 0, . . . 0'(z*>**) = O-
La fonction 6'(x,e) est donnee par 1'equation
(184) <9 V, e) = w^0J -f m'v^ + -| 1- w^t^JRf^,
et la fonction (px par
(185) y (x) = log 0) + to-m log d'(a?, 1) + a)-2m log ^'(a?, 2) -|
+ co-{"-1)w log e\x, n — 1).
Si les fonctions v01 »n . . . sont detemiinees d'apres 1'equation (175),
les quantites 0, u et a auront les valeurs que leur donnent les equations
(172), (173), (17-1), et dans le nieme cas la valeur de </ — « ou le nombre
des fonctions dependantes est le plus petit possible. Mais si lej fonctions
v0 , vt , ... vn_i ont des formes quelconques, alors on a toujours
(186) 6 = 11 — «, u = k[0'(x,Q).0'(x,l).d'{x12) . . . 0\x,n— 1)];
a ou le nombre des indeterniiiiees a, «' a", . . . est arbitraire, mais sa va-
leur ne peut pas surpasser le nombre
hv0 -\- hi\ -|- hv2 -f- • • • -|- hc,^ -\-n — 1 ,
ou celui des coefficients dans i"0, r17 . . . v9_1 moins un.
Comme cas particuliers on doit remarquer les suivants:
1° Lorsque f%x = {x — (3)".
Alors la formule (179) deviendra, en faisant pour abreger,
n\*\pzx + TilipZi -| 1- 7iMetyze = 2.7>z,
et
c— /?)''*m(.r),'
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
201
2° Lorsque ftx — x — /?,
(188) ' 2^ + 2.^ = 0- ff^^^ + ^f,
ou
/fx . dx
3° Lorsque f2x=l.
Alors on aura la formule
(189) 2l>JM 1{JX -f- Z7lm l(JZ =C— U '
Si le deo-re de la fonction ^ ' ^ est moindre que — 1 , alors 77^ f .
s'evanouira, et on aura
(190) £w?yx -f- Snmtpz = C.
D'apres la valeur de (fx1 il est clair que le degre de la fonction
■ ' ^ ou le nombre h * v. est toujours un nombre entier; or (px est du
degre zero en general, et ne peut- pas etre d'un degre plus eleve, done
h * * ne peut pas surpasser le plus grand nombre entier contenu dans
h , , i e'est-a-dire que, d'apres la notation adoptee, on aura en general
h £gL *BkJjfe<i E(hfx) + E[-hsm(x)] <S hfx + E[-hsm(x)].
Si done
(191) hfx < - E[-h»m(x)] - 2,
le nombre h ^ ' ^ sera toujours moindre que — 1, et par consequent la
formule (190) aura lieu.
La determination de la fonction (px, qui depend de celle des quantit&s
a, a\ a", etc., est en general assez longue; mais il y a un cas dans lequel
on peut determiner cette fonction d'une maniere assez simple; e'est celui oil
Ton suppose
(192) 0'(x1()) = vtB(t) + B(t>).
En eff'et, en faisant
(193) P,W**1 ^-=—Bxx,
26
202
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
les equations
6'txl,e1) = Q, O'(x.2,e2) = 0, . . . 0'(xaJea) = O
peuvent s'ecrire coninie il suit:
(194) $x1 = a)[,~t01x1, 0x2 = io2'~t01x:!, . . . 0xu = wt(i~tOxxu.
En supposant maiutenant que tous les coefficients dans Ox soient des
quantites indeternrinees, la fonction Ox sera du degre a — 1; il s'agit done
de trouver une fonction entiere de x du degre a — 1 , qui, pour les a va-
leurs particulieres de x : xt , x% , . . . xa , auront les a valeurs correspondantes
tol'-'^a?!, col'-' 0xx2j . . . wt/;-t0ixa,
Or, coninie on sait, la fonction Ox aura alors la valeur suivante:
(x— x.2)(x— xs)..-(x— Xa) ^t tQ ^
En designant cette fonction par la fonction la plus generale qui
peut satisfaire aux equations (194) sera
(196) Ox = O'x -f (x — (x — x2).--(x — xa)0"x ,
0"x etant une fonction entiere quelconque.
Ayant ainsi determine Ox, on aura 0'(x,m) d'apres l'equation
(197) 0(x, m) == totm0xB(t) -f
et la fonction (px par l'equation (185).
Dans ce qui precede nous avons expose ce qui concerne les fonctions
/fx dx
-f— — - en general, quelle que soit la forme de la fonction sm.
Jt x . sm
Considerons maintenant quelques cas particuliers :
A) soit d'abord n= 1.
Dans ce cas, le nombre des functions «s0, bX} s%} . . . 8n_1 se reduit a
l'unite, e'est-a-dire qu'on aura la seule fonction s0J qui, d'apres l'equation
(156), se reduit a l'unite.
ME MO I UK SUli UNE PKOPK1KTE GENEKALE etc.
On aura done
C fx . die
L'equation (147) donne R(0) = 1 , et l'equation (184)
6'{x,0) = vQB(0) = v0(x)-
on aura ensuite la fonction cpx par (185), savoir:
ifx = log t?o(a?j .
Les equations (182) qui determineront
seront
(198) f0(«i) = 0, v0(x2) = 0, . . . »0(aJa) = 0,
et celle qui donne zx , z%1 . . . Zq1
(199) ? 7 ^=0'
Cela pose, la formule general e (179) deviendra, en remarquant que
m = 0,
(200) ^sb, -f~ v«»a + • • * + fx« + V72! + V;z2 + • • ' + fze
= C- fT^logv^ + Zv^ |^logt,0(/5)).
Les equations (198) et (199) donnent
v0(a-) = a(x — xi)(x — x2)(x — xs) . . . (x — xa) . (x — zx) (x — z,) . . . (x — z0).
D'apres l'equation (172) il est elair qu'on pent faire 0 = 0. Alors on
aura, en faisant en meme temps v = 1 ,
j C- n ^[\oga + \og(x-xl)-\-}og(x-x,)^ *->J
( log a + log (/J -«H).+ log 09- q) H h log 0» - *.) ]•
En faisant f/ = 1 , il viendra
(201) fif^ = C- /7£;log(*-*,) + \0&&$lf>
formule qu'il est aise de verifier. Elle donne, comme on le voit, l'integrale
de toute diffeVentielle rationnelle.
20*
204
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
B) soit en second lien n = 2, R = r^i\^ ax — 1 , «2 — 0. Dans ce cas
on aura
6\x, 0) = v0r* -f- v} r! , 0'(x, 1) = v0r? — v% r/ , m = — 1 .
La fonction (px sera, en faisant m = 1 ,
= log «'(*, 0) - log 0\x, 1) = log fjffi , I
done
i^ i
= log- 0 1 1 ' *— ^ •
V'*2 — Va*
Cela pose, en mettant vQ(x) et vt(x) an lieu de v0 et ?;l7 et faisant
la formule (179) deviendra, en faisant m=l,
+. — fP loo- f ^ Vyj + ^WVy^ )
^ /^wjj . ^ * i «.09-yf^ - Yep j I '
/ /# . dx
Les functions v^ix) et 2>j(aj) sont determinees par les equations:
y f/'o ^ + («2 ^ fe) y ^ = o , etc.
et zn z2, . . . par l'equation (181), qui deviendra
Les quantites <&t , oj2 , ... w„ sont toutes egales a -\- 1 on a — 1 , et
7r2, . . . qui sont aussi de la meme forme, sont determinees pus-
ou
MEMOIRE SUR UNE PROIMUETE GENEHALE etc. 205
La plus petite valeur de 0 se trouve par liquation (172), en reniar-
quant que
— 1 , — — - 1 5
on aura
ou »' est le plus grand connnun diviseur de 2 et ln\-\-hr.z^ si done
Z> (</)0# . c/^) = 2m — 1 ,
ou
h(cp0x.(f1x) = 2m1
on aura pour 0 la meme valeur, savoir:
0 = m— 1;
quant aux valeurs de w0 et w1? on aura l'equation (170), savoir, si ?-== 1,
fo>0 -= At?, -f - Eh ^ = h\ -f #| (A^a — %0a;) ;
done dans le eas ou h{tpQx.(p1x) = 2m — 1,
hv0 = h i\ -\- J (Ay, ai — %a?) — | ,
et dans le eas ou J/(cp()x . (plx) = 27n,
Jw0 = -j- ^ {hfyxx — h(p0x).
Pour tea valeurs de tu et a on aura, d'apres les equations (173) et (174),
jU ' - 2hi\ -j- h(p1x1
a = 2hvx -J- /^.r — ??? -j- 1 .
Si m = 1 , on a 0 = 0 , done alors :
j£ to ipx = V .
Dans ce eas
/fx . da
fsx.VR
ou jtf est du premier ou du second degre.
Cette integrale peut done s'exprimer par des fonctions algebriques et
logarithniiques, connne on le voit, en faisant
(p0x — t()x -|- \ , ip^x === 6xX-\- $i , f*x == (x — /?)'',
206
MEMOIRE SUR UNE PKOPltlETE GENEUALE etc.
on aura
CO
a= LjS =^o(-r),
done en substituant et faisant wx = 1 ,
{204) . -'ik=
/i)"y(€o^+ao)(«i^+^)
i n I f* iog ^(*f + S + do + v (gp^i + Jo) + Ji)
_ JL i!!1 / //* • = loo. V M + Jo) («i jti +JQ + V M+JQ (^7+Jo)
iv ^//i"-1 iv(^?+ <y0)0i/?+ jo °yw+Jo)(^1+j1)-y(^+Ji)(^i+j1).
soit, par exemple, r = 0, fx1 = l, on aura, en mettant z an lien de xt,
r dz _
J V(£o2+Jo)(ei2+Ji) ~~~
e + // ( 1 _ ! v^±j>)(g^± AHjSjjj* + *o (»* + Jo) i
\ y^ + Jo) (%« + jo 8 y(£o.r- + Jo) + jo — y^M + jo o»* + j0) |
=c+/7if- in ) ioo- / y^o" v «i* + Jx + y^ y^+j , w
1 1 * y«oci / ° i y£o y** + jx - y + j0 1 if
r dz =C4- L ioo- y«o v ci* + gj + y** + j0 .
J v fa,* + Jo) Oi* + jo y«0£! y«0 Yeiz + ^ — yCoz + <?0 '
Si m = 2 , on anra 0 = 1 ,
h((p0x.(f1x) = 3 on 4.
Dans ce cas on anra done
2iDipx = v — n1 ifz, = v), ipx, -f- tu, ipx., -J- . ... -far,
et la fonction sera line fonction elliptiqne.
On aura immediatement la valenr de zx par l'equation (203).
En effet, en faisant
(v0zY(p0z — (v1z)*<p1z = A-±- ■ • • ~\-Bza+\
done
on aura
or. -. . . . nr ? . —
B
xtx2 . . . xaz1 = ~(—lY+\
done
„ _ * (-1)"+1 .
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
207
il est elair que -=- est une fonction rationnelle de x^ , x2 , . . . xa , ']/q>0x1
y^, . . . y<p0xa, y^, y^2, . . . y^«-
Soit, par exemple,
on trouvera les Equations:
= — mi V<Pixi j vox2 = — W2 ^1^2 7
i;0(a;) = — — Vyh&i — ~ ~ S Wix* 1
°V ' Xy #2 X-l #1
a.
+ «t
— ~ a h t — \t v v — ">* z — v y <p i x* = — - _ », 5
X-2 V-2 Xy ' ' Xi X-2
on trouve de meme:
A = al — a0 , Bz= — a3,
done
2, = ' — ; — 1 7 W0 5
^!^2 a3 a3XiX2 \ {xi — x2)z j
si Ton fait
f)1 = 1 , o>2 = + 1 ,
l'equation (205) deviendra done
(206) yxx ± ipx2 = ± fz -f- C
- // ( U~ log Fx)+Zr^\[ ^J£±* log iff ) ,
ou
. y a0 -f a^x -f- a2a;2 + a3^'
(x* V y^i ± -fi V<fX2 Y — «o (^'i — #Q 2
aA Xi x-2 (xi — x2) 2
ou bien
*» __ (»t — x) (x, — x,) — (a», — «) "* (« — »>) #
V<pxl , Vyxg Vy^
(XjL— X) («»-*«,) — (X3— X) (X2— Xj) (x — xr) (x— xa)
208 MEM01KE SUR UNE PBOPBIETE GENE KALE etc.
Pour f2x = x — on a
et pour f2x = 1 , fx = 1 ,
ipx^ + \px2 = + if/z -j- C, ou =s / — =^ •
Soit encore m = 3, on aura 0 = 2, et 7* (</)0cc . ^a?) = 5 ou 6. Dans ce
cas done on a
/fx . dx
ou. i? est un polyno'me du cinquieme ou sixieme degre, et
o^ ipXj^ -\- w2ipx2 -\- • • • -\-wayjxa = v — ^i^i — ^2^2-
Ces fonctions a1> s2 sont les deux racines d'une Equation du second
degre, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de xx1 x2, xs . . .
et y ltx , J/_R2 , |//4 . . . , en designant par Bx , i23 , E3 . . les valeurs de jft
correspondant
Comme cas particuliers je citerai seulement les suivants:
1° Lorsque fx = A0~\-Alx1 f2x = 1. Alors on aura
= f (^ + ^«)*».
J Veto + Cfl^ + • • • + «5^'5 + «6^6
et
i ipxi i v35* i V35* i '• • • i xPxa — i ^1 i yz* -f- c.
2° Lorsque (p0x = 1 , ^sg = a0 -j- cc^ -(- cc2a;2 -|- ec3:r3 -|- a4034 -f- ahxb ==
v0a? = a0 -|- axx-\- a2x2, v1x = l.
Alors on trouvera facilement
i y«% i ^^2 it v^s — i i H- ^'
et
ou
(' fx . dx
MEM01KE SUR UNJfi PKOPRIETE GENEliALE etc.
209
et
+ )/ya;1 , ± Vy^a i + iV^s i VV*
jFft* (a;1-a;)(a;1-a;2)(a;1-a;3) (x2 -a;) (xa -xx) (x2 -x3) ' (a?8-a;)(a!8-a;1)(x3-x2) ' fx-x^ (x-x2) (x-x„) t
Fi* .+ VfXi | + Vyx* | + Vyxs Vfx '
(x1-x)(x1-x2)(x1-x3) (x2-x)(x2-x1)(x2-x3) (x3-x)(x3-x1)(x3-x2) (x-x1)(x-x2)(x-x3)
zx et z2 sont les racines de l'equation
(vozy — cpz __ a
(z — X]) (z — x2) (z — x3)
En faisant dans la formule generale (202) vx=l, on aura s
' (x — x2)---(x — xa) 1 / yi^i (.r — — a?3) • • • l/yi^a
1 (a'i — #2) • • : — ' f/o #i 2 (#2 — *i) (#a — #s) • • • (*a — #«) ' <jPo *a
et d'apres cela
[c-:n( — £= =iog^]
I \/2A-.yg)o-«- <jpi^ ^iXl
• /7y— l / //•?
I £0
fas 1 i'o*
log -JRT-X
I + ^^1 f§ log
ou
1/55
r y^i _i r y0ga r
~T „\{,> v.\ . . . (m* r \
) (a?! — a-) («i — flfc) • • • (#1 — 1 — a-) (#a — *i) ■ • • (x2 — xa)
/ 1 r yoga I V ?
r y^i _i r y0ga * 1
f m. m \ ( .m>^ m>.\ . . . ( .Va — re... I
(sbi — x)(xi — x2) • • • (si — ««) 1 (x2 — a?) ($| — • • • (a?2 —
, s2 , ... 2^ sont les racines de liquation
En feasant dans la meme formule generale f2x= l1 on aura
x u> ipx 4- 2 n wz = C — n . r-. ■ . log a— -7=
\ Ycfo X . (fi X Vo X y Cp0X — t\Xy (fiX I
27
210
MEMOIKE SUK UNE PliOPKIETE GENEUALE etc.
OU
/fx. dx
y(f0x.rpLx
Si fx est du (/M — %y (leg-re, on aura
^ to ipx -(- n ipz = C ;
Si Ton fait f2x = x — (31fx—lJ on aura
^ oi ^ + 2 n xpz = C + 1 - loo- ^M^t^M ,
Oil
r <ix
C) Soit en troisieme lieu 7z = 3, R = r?rf, «2 = 0.
Alors on aura
£ 2 2 1
12 2 1
2 1
.3
'2 »
12 2
1) = v0 -f w?;^3 r23 -f- lo^v^r? r]
0>(x, 2) = yfl + »^r« r/+ u>vtr} r},
cpx = log 0) + to'" log 0'(a;, 1) -|- (o2m log 0'(aj, 2),
°) i) % 2) = v; + ^ + ^ - 3z,0 Wl>-2 .
En faisant done m=l, r,==:^, r2=(Aa;, t^s=flj,(«); ^ '3^(4$
v2 = y2(^), la formule (179) deviendra
2u}ipx-\- ^Tiyjz
= C-/T- ~*TT~ -T [log (Jfji) + W log (j&ft) + (u2 log (#,«)]
f2X.((pQx) 3(cpix) 'i
+ ^rds^\- ~I V°S(Fol1) + ai log (jfy*) + log(*i/?)] ,
ou
/s*-(9Po*)8(9Pi*')'
1_
~3
MEMOIKE SUU UNE PROPRIETE GENERALE etc. 211
12 i_ %■
F0X = V0(x) + V%(x){<p^xY {ip^Y + V2(x)((p0x)3 (cp.x)3 ,
1 2
F.x^v.ix)^ mv^^xY {q)xxy + m*%{x) {(poX)* (<pAx)
. 12 t
F%x = v^{x)-\- m*i\{x) {(f0x)3 (</v^)3 -f- wv2(x) (y0^)3
Pour les m ernes valeurs de xx , sfy, cc3, . . . zx , z2? . . . F9x, Fxx, Ftx, on
aura aussi
2 oj ipx -j- 2 nipz =
0-/7 ^ r [log (Jfia?) + to2 log + co log (F,*)!
+ |£U r Llog iftfl + -2 log &0 + c» log (F,/9)] j .
Les functions zu z2, ■ • • sont les seines de liquation
K(z)]3+[^(z)]>0z(<^ ^ 0.
(z — a^) (z — a%) (z — x3) • • • (z — se^) (z — a;0)
D'apres l'equation (172), la plus petite valeur sera
-* . , i _ 3 -f- n'
O^hr^hvz+l ^— ;
en remarquant que hy — 1 , \ = 1 , n' est le plus grand cominun diviseur
de 3 et hi\-\-2hi\2.
Soit d'abord ln\ -f 2/*r2 = 3m, on aura «/==3 et 6 = h((p0x.<p1x) — 2.
Si kr1-\-2hr2 = 3m— 1 on 3m — 2, on aura et par suite
0 z= h ((p0x . (piX) — 1 .
Ainsi, par exemple, on aura pour
h((p{)x.(pxx) = l, 2, 3, 4, 5, 6 . . .
0=r=O, 1, 2, 3, 4, 5 . . . lorsque h(p0x ^r2h(flx = Sm± I
et 0= 0, 1, 2, 3, 4 . . . lorsque h(p0x + 2h(p1x = 3m.
27*
XIII.
RECHERCHE DE LA QUANTITE QUI SATISFAIT A LA FOIS A DEUX
EQUATIONS ALGEBRIQUES DONNEES.
Annales de Mathematiques pures et appliqiu'es redigees par M. J. D. Geryonnc, t. XVII, Paris 1827.
Lorsqu'une quantite satisfait, a la fois, a deux equations algebriques
donn&s, ces deux equations ont un facteur connnun du premier degre. En
supposant quelles n'ont pas d'autre facteur commun que celui-la, on peut
toujours, comme Ton sait, exprimer rationnellenient rinconnue en fonction
des coefficiens des deux equations. On y parvient d'ordinaire a l'aide de
l'elimination ; mais je vais faire voir, dans ce qui va suivre, que, dans tous
les cas, on peut calculer imniediatement la valeur de l'inconnue, on, plus
generalement encore, la valeur d'une fonction rationnelle quelconque de cette
inconnue.
Soient
(1) (f y =p0 -\-pxy +p2lf -j Y-p^ y±-t _j_ jjm _ q ■
(2) fy = q{) + q.y if- q,if -] 1_ qn_xy^ + y* = 0j
les deux equations proposees, la premiere du mih"e et l'autre du nilme degrd,
Desig-nons les n racines de (2) par ih yu y%, . . . yn l . en les substitu-
ant tour a tour dans (1), on aura les n fonctions
RECHERCHE DE LA QUANTITE QUI SATISFAIT A DEUX EQUATIONS. 218
Soient
/ E = (pyx . ftf% . (py3 .... (pyn__2 . cpyn_, ,
I E, = cpy . (pij, . (f 7/3 . . . . cpyn_2 . cpyn_x ,
Mi = cpy . jfjfi .(pys (pVn-s • min-i ,
w <
/ Bn_2 = cpy . cpy, . cpy2 cpyn_z . cpyn^ ,
I 55#.fjfi4^ TO>-3 • ¥>&^a •
Cela pose, soit fy la fonction rationnelle de ?/ dont on vent determiner
la valeur, et designons par Oy une autre fonction rationnelle quelcbnque de y.
On aura 1'equation identique
lm fy.ey.B=fy.ey.R.
Maintenant, ayant cpy === 0 , on aura
A = 0, #2 = 0, B3 = 0, .... /4-i = 0,
et, par suite, -
t.R + tA + t2E2 + t,n, -| h W^.-a + tn-iK-i = tR ,
oil fx, f2, ... ^..3, ^| sont des quantites quelconques.
En feasant done d'abord
t = 0y, ttssafa) L=--0y2, . . . tn_x = 0yH_x ,
et ensuite
on obtiendra les deux Equations
j % . 12 = % . 5 + $Ui • A + • ^ H h • ,
(6) fy.0y.Ii=fy.0yJi+fy1.0y1.B1+/y2.0y:!.B2 + ■ . .
par la, 1'equation (5) deviendra
fy (Oy . 5 -|- Oy, . 7A + . It -| h *mi •
= 0y.fy.E + 0!h ,fyt . 7?, + ty, .fy2 .E,-\ [- 0yn^ . B,^ ;
equation qui, en posant, pour abreger,
i oy . 12 + % ■ ft + -AH h I*-* • *Ui s^tr % . *,
(7) /)/ . 0/y . +^ . 0g . Et +fy2 . 0y2 JL-\
214 RECHERCHE DE LA QUANTITE QUI SAT1SFA1T A DEUX EQUATIONS.
deviendra
fyZ0y.R = Zfy.0y.B,
et de la
<8> .•' *=%*ir> ' 1
Maintenant il est clair que le numerateur et le denominateur de cette
valeur de fy sont des fonctions rationnelles et symetriques des racines ?/,
Vi > V% { V* j • • • yn~\ ; on pent done en vertu des formules connues, les ex-
primer rationnellement par les coefficiens des equations (1) et (2). II en
est done de meme de la fonction fy.
La fonction rationnelle Oy etant arbitraire, on peut en disposer pour
simplifier l'expression de fy. Pour cela, soit
/,=•■&•,
oh Fy et %y sont deux fonctions entieres; on aura, en substituant,
Fy __ _ x(y) .
IV 2By.lt '
si done on suppose 0y = x]Ji on aura
(9) Fy -= 2Fy-R .
Xy 2iy.R '
et alors le numerateur et le denominateur de cette fonction seront des fonc-
tions entieres des coefficiens des equations proposees.
Si on aura, pour une fonction entiere quelconque Fy%
(10) ; . ■ ^=Z^^ J:
ou bien
Fv _ Fy-K + Fy1.R1 + Fy^R2Jr...JrFyn_x.Rn_l
J R + R^R^.^+R^
Mais on peut encore simplifier beaucoup l'expression de Fy de la maniere
suivante :
Designons par ift'y la de"rivee de ynj, par rapport a ?/, et faisons
l'equation (8) donnera
KECHEKCIIE DE LA QUANTITE QUI SATLSFAIT A DEUX EQUATIONS.
215
(u) ^TjL'
Cela pose, on peut d'abord exprimer 11 par une function entiere de y. En
effet, si Ton fait
(z-yx)(z-y2) • • • {z-yn^) = z^ + vn_2zn-^vn_zz^^ K = 0,
on peut transformer li, qui est nne function entiere et symetrique de yt , ya ,
y3 j ... , en function entiere des coefficiens v01 vt , v3 , ... v7J_a .
Maintenant, on a
v0 + v,z + v2z* -| h + (2 - r)
= <Zo + ft* + ft* H h + 8" = 8" + K_a - y) a""1
+ K_3 — J vn_2)zn-2 -f (>n_4 — ?/ vn_3)zn~3 -|
done
2>»-s = <Z«-s> +
d'oii il suit que y0, o8, ... t?„_a sont des functions entieres de ?/; la
function li Test done anssi; elle est done de la forme
(12) B^9i+9it^tof+WlP*\ h G-Jf*
oil il est evident que ft , px , pa , ... ^t seront des functions entieres des
coefficiens des equations (1) et (2).
La function li sera d'mi degre snperienr a — 1 ; mais il est clair
qn'on pent, en vertn de l'eqnation (2), en eliminer tontes les puissances de
y superieures a la (n — \y'eme } et de cette maniere mettre li sons la forme
R = ft + (hy-\- ft if -f ft f -| h J/"-1 ,
oh p() , ^ , pa , ... sont toujours des fonctions entieres de ^0 , jpj , p2 ,
• • • pm 1 5 '/o > (h t & 7 • • • 2»- 1 •
En rnultipliant R par la function entiere Fy on aura la function Fy.Ii,
qui est de meme nne function entiere de y. On pent done la mettre sous
la meme forme que E1 e'est-a-dire qu'on pent poser
(13) Fy.li=t0 + tiy + t2y* + t3y»-\
216
KECIIEUCHE DE LA QUANT1TE QUI SATISFAIT A DEUX EQUATIONS.
^07 ^17 ^7 • • etant encore ties fonctions entieres de p0 , px y jpt . . jpM_.
20 7 <ll 7 2a 7 • • • </«-! •
Des que 2£ sera determine par l'equation (12), il est clair qu'on aura
j% — & + + + rim H h c>k-i ,
On aura de meme
Fyx . bx = f0 + ^ + ty! + r) h CiSt* ,
jfc . it> = t0 + fa + uy\ + ky\ H h t-iiW ,
• Rn-i = k + UVn-i + t,yi-i + hyl-i + • • • + dsC* .
Maintenant je dis qu'on aura
J Qn-l
Eii effet, on a d'abord
— Vy ^ Wi T V'y. ~} h < '
done, en substituant les valeurs de i£, i?A , i?2 , ... 7
r £_ = (J , J J L _! L_]
4_0 (_y__i__£i LLJ^-L . . . ±J&k )
~ Vl I H>'y ~ ip'y, ~ V'y, T ~ ip'yn-i I
1 o2 { £. 4- 'ML X M 4- ... 4- a£L )
+ :
+ [ Yy + ff, + + I" Wytx ) '
Or, ?/, ... etant les racines de l'equation (2) on a
¥y = (y— 0 {y — yd (if — • • • — iu<) j .
y'yi = (yi—y)(yi—y-2)(yx~y*) • • • {yi—yn-i),
y'y2 = {y*—y){ih—yi)(y*—}h) • • • (y*—yn-i),
RECHERCHE DE LA QUANTITE QUI SAT1SEAIT A DEUX EQUATIONS. 217
done, d'apres une fornmle coinuie, les coefficients de p0, ^, ... p„_i,
dans l'expression de ^ > s'evanouiront tous, excepte celui de , qui
se reduira k l'unite; on aura done
On prouvera exacteinent de la meme maniere que
- tn— i ?
^R^Fy _
done, en vertu de Tequation (11),
Fy =
on bien, en eerivant t et an lieu de f„_i et pn_i,
Soit maintenant F'y une autre fonction entiere de y- en supposant
(15) F'y.S=tY-' + t\,_1y"-' + t'^3,f--'+.--+tl',j + tll',
t\ t'n_21 ^'B_s, . . . etant des fonctions entieres des quantites ^?0, jpn
• • <Zo, 2», &j • • • <h-n on aura
d'ou, en comparant (14) a (16),
(17) Fy_ J, _
V* > F'y t'
Ainsi on aura la valeur d'une fonction rationnelle quelconque -j^- par le
developpenient des deux fonctions
• Fy.B et F'y.li.
La fornmle (17) pent facilement etre traduite en theoreme.
Le cas le plus simple est celui oil Ton cherclie uniquement la valeur
de y. Alors on a
t
y= —
oil
^=-^"-1 + ^Vi-aH et %=^1 + ^i/"-2H
28
218 RERCHECHE DE LA QUANTITE QUI SAT1SPAIT A DEUX EQUATIONS.
On pent exprimer t en (j et (/. En effet en substituant la valour de
Kj il viendra
Xy=wn+i>Y-1J[ ;
or, en vertu de l'equation (2), on a
yn = — tfn-i?/""1 — (in-2yn~* — • • • j
done, en substituant
%=(/-(>^)^H
Dans le developpement de Ry, le eoeffieient de yn~l est done
done.
// ~ 5
ou bien
(18) y = -2.-i+^-
De eette maniere, on n'a besoin de connaltre que les eoeffieiens de ijn~x et
?/M~2 dans le developpement de
r = ^y—1 + ^y-2 H • y*/3 • • • <pyn-i •
Paris, le 2 novembre 1826
XIY.
RECHERCHES SUR LA SERIE l -f — x + ^ 2 a?8 + i.2.3 ®* + • • •
Journal fiir die reine und angewandtc Mathematik, herausgegcben von OreUe, Bd. I, Berlin 1826.
I.
Si Ton fait subir au raisonnement dont on se sert en general quand il
s'agit des series infinies, un examen pins exact, on trouvera qu'il est, a tout
prendre, peu satisfaisant, et que par consequent le nonibre des theoremes, con-
cernant les series infinies, qui peuvent etre considered comme rigoureusement
fondes, est tres limite. On applique ordinairement les operations de Tanalyse
aux series infinies de la meme maniere que si les series etaient finies, ce
aui ne me semble pas permis sans demonstration particuliere. Si par ex-
ample on doit multiplier deux series infinies Tunc par I autre, on pose
00 + ux + u.2 -f u3 ^ ) -f vx + v2 + v, H ) = + K*'i + ui vo)
+ + + 4 h Kw» + uivn~i + &*v*tH h H
Cette equation est tres juste lorsque les series i/0 — |— 4- • y et ty'T^fT" ' ' '
sont finies. Mais si elles sont infinies, il est d'abord necessaire qu'elles con-
vergent, car une serie divergente n'a pas de somme; ensuite la serie du
second membre doit de meme converger. C'est seulement ayec cette restric-
tion que l'expression ci-dessus est juste; mais, si je ne me trompe, jusqua
present on n'y a pas en egard. C'est ce qu'on se propose de faire dans ce
memoire. II y a encore plnsienrs operations semblables a jnstifier p. ex.
28*
220 REG'HERCHES SUR LA SERIE 1 4- — x 4- — as*. H •
' 1 T 1.2 ~
le procede ordinaire pour diviser une quantite par une serie innnie, celui
de l'elevation d'une serie innnie h une puissance, celui de la determination
de son logarithme, de son sinus, de son cosinus, etc.
Un autre procede qu'on trouve frequemment dans l'analyse, et qui assez
souvent conduit a des contradictions, c'est qu'on se sert des series divergentes
pour 1'evaluation des valeurs nume*riques des series. Une serie divergente
ne peut jamais etre egale a une quantite determined; c'est seulement une
expression jouissant de certaines proprietes qui se rapportent aux operations
auxquelles la serie est soumise.
Les series divergentes peuvent quelquefois servir avec succes de sym-
boles pour exprimer telle ou telle proposition d'une maniere abregee; mais
on ne saurait jamais les mettre a la place de quantites determinees. Par
un tel precede* on peut demontrer tout ce qu'on veut, l'impossible aussi bien
que le possible.
Une des series les plus remarquables dans l'analyse algebrique est
celle-ci :
1 I m v J Hm~ 1)^2 I m(m — l)(m—2) B ■
1~r ixT 1.2 x « 1.2.3 '
j — 1) (m— 2) . • . [m— (n— 1)] ^„ ,
-a
1 1 . 2 . 3 ... n
Lorsque m est un nombre entier positif, on ^sait que la somme de cette serie,
qui dans ce cas est tinie, peut s'exprimer par (1 —J— ^) m. Lorsque m n'est
pas un nombre entier, la serie ira a l'infini, et elle sera convergente ou di-
vergente, selon les differentes valeurs qu'on attribuera a m et a x. Dans
ce cas on pose de meme l'equation
mais alors l'egalite exprime seulement que les deux expressions
out certaines propiietes communes desquelles, pour certaines valeurs de m
et de ^, depend l'egalite nunierique des expressions. On suppose que
l'egalite nunierique aura toujours lieu, lorsque la serie est convergente;
mais c'est ce qui jusqu'a present n'est pas encore demontre. On n'a
meme pas examine tons les cas on In se'rie est convergente. Lors meme
vi , vi (m — 1 ) , , O O 1
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + yH V - + • • • ^^1
au'on suppose l'existence de l'equation ci-dessus, il reste encore a cliercher
la valeur de (l-\-x)"\ car cette expression a en general une infinite de va-
leurs ditferentes, tandis que la serie 1 -|- mx -[-••• n'en a qu'une seule.
Le but de ce memoire est d'essayer de remplir une lacune par la> so-
lution complete du problem e suivant:
"Trouver la somme de la serie
1_TT ~> l72~~ ' 1.2.3 '
"pour toutes les valeurs reelles on imaginaircs de a* et de m pour
"lesquelles la serie est convergente."
2.
Nous allons d'abord etablir quelques theoremes necessaires sur les series.
L'excellent ouvrage de M. CaucJiy "Cours d'analyse de l'ecole polytechnique",
qui doit etre lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches
matkematiques, nous servira de guide.
Definition. Une serie quelconque
^0 + ^1+^2+ ' ' ' +Vm~\ '
sera dite convergente, si pour des valeurs toujours croissantes de m, la
somme v0-\-v1-\- ■ • • -\-vm s'approclie inddfiniment d'une certaine limite.
Cette limite s'appellera la somme de la serie. Dans le cas contraire la serie
§era dite divergente, et elle n'a pas de somme. D'apres cette definition, pour
qu'une serie soit convergente, il est necessaire et il suffit que pour des va-
leurs toujours croissantes de m, la somme vm-\-vm+1-\- • • • -\-vm+n s'approche
hiduriniment de zero, quelle que soit la valeur de n.
Done, dans une serie convergente quelconque, le termc general vm s'ap-
proehera inddfiniment de zero*).
Theorems I. Si en designant par p0 , , p2 . . . une serie de quantites
positives, le quotient pour des valeurs toujours croissantes de my s'ap-
Qlll
proche indefiniment d'une limite a plus grande que 1, la serie
*) Pour abreger, on rcpresentera dans co memoire par Qi uno quaiititt- qui pout etre
plus petite que toute quantite donne'e.
222 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- — x 4- U ^ + • ■ •
1 1 ~ 1.2 '
^0?0 + fl(>i + f2(>2+ • ' ' +fm(>,„+ * ' •»
ou f„, est une quantity qui pour des valeurs toujours croissantes de m ne
s'apnrocke pas indefiniment de zero, sera neeessairement divergente.
Theoreme II. Si dans une serie de quantites positives ^>0 — [— — | — — | — • • •
| | • • • le quotient s5±i, pour des valeurs toujours croissantes de m,
Qm
s'approche indefiniment d'une limite. a plus petite que 1, la serie
«o(»o + fi(>i + f2(>2 + • • • + + • • • >
ou *0, «17 f2 etc- S011t des quantites qui ne surpassent pas l'mute*, sera ne*-
cessairement convergente.
En effet, d'apres la supposition, on peut toujours prendre m assez grand
pour que Qm+1<aQm, pw+2< apB+1, . • • (>«+«< • H suit de'laque
P»+i<alC« et Par suite
P* + (W + * ' ' +(W«< ^>m (1 + of + «2+ • • • +«n)<j|^'
done, a plus forte raison
Or, puisque Qm+k < a*Qm et a < 1, il est clair que ft, et par consequent
la somme
aura zero pour limite. La serie ci-dessus est done convergente.
Theoreme III. En designant par /0, tt% t2l . . . tm .. . . une serie de
quantites quelconques, si pm = t0-\- t1 -\- t% -\- ...-}- fm est toujours nioindre
qu'une quantite deterniinee on aura
r = *ft + *1 *1 + H \~fJn,< ^|
ou f0 , f j , f 2 . . . sont des quantites positives decroissantes.
En effet, on a
done
t = foPo + h (jS — Po) + f2 —]h) H K> (i?. —7^-l)7
ou bien
* =i?o(*o — h) +Pi(fi ~ **) H h7?w-i — O + #X •
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- — x A- -i x'2 -J 223
T 1 1 1.2 T
Or les differences f0 — f ! , — e2 , ... etant positives, la quantite r sera evi-
demment nioindre que df0.
Definition. Une fonction f x sera dite fonction continue de x entre les
limites x = a et x = b1 si pour une valeur quelconque de x comprise
entre ces limites, la quantite f(x — /?), pour des valeurs toujours decrois-
santes de s'approehe indenniment de la limite fx.
Theoreme IV. Si la serie
fa^v0 + v%a-^%tos ±\- • • • + V**+ • • •
est convergente pour une certaine valeur $ de cc, elle sera aussi convergente
pour toute valeur nioindre que J, et, pour des valeurs toujours decroissantes
de /?, la fonction f{a — ft) s'approchera indenniment de la limite fa, en
supposant que a soit egal ou inferieur a a.
Soit
v0 + vi«+ • • • +zv-iccm~1=::</5CC>
V"+*w<*'"+1H = y«,
on aura
a £S P designant la plus grande
des quantites vjm, vJm + vn+1dm+\ vjm + vm+1dm+1 + vm+2dm+2 etc. On
pourra done pour toute valeur de a, egale ou inferieure a d\ prendre m
assez grand pour qu'on ait
Or fa — (pa-\-\pa, done jr« — /"(a — ft) = (pa — (p(a — ft)-\-(o.
De plus, (pa etant une fonction entiere de a, on peut prendre ft assez
petit pour que
(pa — (p{a — ft) = cy ;
done on a de meme
ce qu'il fallait demontrer.
Theoreme V. Soit
^H^v^-f^-f • • •
une serie convergente, dans laquelle v0, y17 v2 . . . sont des functions conti-
224 RECHERCHES BUR LA SERIE 1 + --■ x + ^i? - A* 4
TT I ' 1.2 T
/
nues d'une meme quantite variable x entre les limites x = a et x = b, la
serie
= y0 -f- ^cc -|- v2«2 + • • • '
ou a <d, sera convergente et fonction continue de x entre les menies limites.
II est deja deniontre que la serie fx est convergente. On pent de-
niontrer comme il suit, que la fonction fx est continue.
Soit
v0 -f vva + • • • + vm_lam-1 = ipx ,
V" + *W«"i+1H =V*i
on aura
fx — {f>x-\~ ipx.
Or
( )m+1^+^"i+1+(T]ni+2^+^"i+2+
done en designant par 0x* la plus grande des quantites ^(T7", vmr)Vm -|- vm+1d"' + \
vmdmJr vm+lifm+1 + ^,i+2^"i+2 etc., on aura en vertu du theorenie III:
ipx < J-^-J Ox.
II s'ensuit qu'on peut prendre m assez grand pour qu'on ait ipx = co, et
que par consequent on ait aussi
fx = -j- cu,
ou <y est moindre que toute quantite assignable.
On a de menie
f(x-ft) = <p(x-ft) + a>,
done
fx—f(x — ft) = (px — cp{x — ft) -f- a>.
Or d'apres la forme de cpx il est clair qu'on peut prendre ft assez petit
pour qu'on ait
(px — (p(x — ft) == m ,
d'ou l'on tire
fx—f(x — ft) = to.
Done la fonction fx est continue*).
*) Dans Touvrage cite de M. Cauefy on trouve (p. 131) le theoreme suivant: "Lors-
"que les differens termes de la serie, u0 + u1 -\- ut -f • • • sont des fonctions d'une
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- ~ x 4- *{* }} x* -f . . . 225
^ 1 ~ 1.2 ~
Theorems VI. Lorsqu'on designe par (>0, p1? p., etc. (></, (>/, p2' etc. les
valeurs numeriques des membres respecting des deux series convergentes
^o+^i + ^H —ih
si les series
po' + ci'+cVH
sont de meme convergentes, la serie r0 -\- 1\ -\- r2 -}- • • dont le terme ge-
neral est,
sera de meme convergente, et aura pour somme
(». + «i + *,+ ■••) « + +<+•••)•
Demonstration. En faisant,
JPU = t>« + fc, -1 + ,
iV = ?v + ?'i'H
on voit aisement que
(a) ?o + ^i + ^2+ • • • + rim =pmj>m' + [pQvJ +p1v\m^x + • • ■ +iV-i<«+i(:=0
+ jV^™+^iX»-i + • • • +P'm-lVm+i (=*')]•
Soit
(>o+ ft + Pa H = »>
Co'+sV + ^H
il est clair que, sans egard au signe, on aura,
t < 4-?'a*-i + • • • +(/,„+i)
t' < fi'Cfe, + (>2m_i + • • • + CWi)-
"meme variable .r, continues par rapport a cette variable dans le voisinage d'une
"valeur particuliere pour laquelle la serie est convergente, la somme s de la serie
"est aussi, dans le voisinage de cette valeur particuliere, fonction continue de a?.'
Mais il me semble que ce theoreme admet des exceptions. Par exemple la serie
sin jo — 4 sin 2.r -f- \ sin 3a- —
est discontinue pour toute valeur (2 m + de a?, m etant un nombre entier. II
y a, comme on sait; beaucoup de series de cette espece.
29
226 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 -f ? a: 4- 5 " ** 4- • • •
' 1 T 1.2 ~
Or les series p0 -[- ^ -|- ^ -|- • • • et p0' -(- -|- • • • etant convergentes,
les quantites t et t' , pour des valeurs toujours croissantes de m, s'approche-
ront indenniment de la limite zero. Done en faisant dans 1 'equation (a) m in-
fini, on aura
^+n+W+r.+ • • ■*-{%+v1+v,+ + < + + • • •)•
Soient t0 , fx , f2 , . . . , t0' , f/ j t2' . . . deux series de- quantites positives
on negatives, dont les termes generaux s'approchent indefininient de zero, il
suit du theoreme II que les series t0 -|- t^a -\- tsa* -\- ■ ■ ■ et t0' -]- f/a -|- t/a2
-}-••• j ou. « designe une quantite inferieure a l'unite, doivent etre conver-
gentes. II en sera de nieme en attribuant a cliaque terme sa valeur nunie-
rique, done en vertu du theoreme precedent:
(b) | = W + (W + W)« + (W + W + fc$£) «4 H
Maintenant si l'on suppose que les trois series,
'o + 'i + *H —
^ r; + v + yj + ft + c + tfj + • • •
Solent convergentes, on trouvera, en vertu du theoreme IV, en faisant dans
1'equatioii (b) a converger vers l'unite :
= t C + (tt + u txf) + j£ ^ + fx -J- ff f/) -i
3.
Examinons maintenant la serie proposee,
i+T-+-"*(f':i1)- +
En la designant par ym, et faisant pour abreger, 1 = m0 ,
m(m — 1) , , , m(m — 1) . . . Cm — m-4-1)
Y 2 — ~ m- 1 et eu g'eueral — r 12 — — - = mu
m
= i/l,
i j
on aura
KECHEKCHES SUB LA 8 KB IE 1 -f- ■ x -f - - | »3 -(-... J J <
(1 ) (f in = m0 -\- n^ x - j- w,*2 + • • • + «^ + ■ • •
II s'agit d'abord de trouver less valeurs de m et de x pour lesquelles
la serie est convergente.
Les quantites m et x etant generalenient imaginaires, soit*)
x = a-{-bi, m = k-\-k' t,
ou a, S, fc, fe' sont des quantites reelles. En substituant ces valeurs dans
l'equation (1), elle prendra la forme
ou p et q sont des series dont les termes out des valeurs reelles. On pent
trouver ces series de la maniere suivante: Soit
(aA + b2)'=a, -- = cosy, — =±si&y,
Ton aura
x = (cos </:> -f- ?* sin (/>),
ou a et sont des quantites reelles, a etant en outre positif. Si Ton fait
de plus
' m — u + 1 » / | • • v £ + // / — ;a+ 1
ju ^ ^C0S r" + ? 8111 W = ^ '
on trouvera
V.. =
Si dans Texpression
on fait successivement ti egal a 1, 2, 3, . . . ,w, on obtiendra u equations
qui multipliers ternie h terme donneront
m _m(m-l)(m-2)...(m-^ + l)
"~ 1.2.3....^
== *? d\, d\... (); [cos ^ + jr. H h 7«) + '*! (Ti +/pvH K^M;
On tire de la, en nmltipliant par
h Pour abreger les formules nous ecrivons partout dans ce memoire » au lieu de Y—l.
Note des ed.
29*
228 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + ~ x 4- T1? -I
1 1 1.2 ^
^ === a " (cos ip-\-i sin </)) " s= « p (cos u </) - j- z sin p qf) :
** = «* *i 4 ^ • • • ^ [cos (py -f ^ + 1- 7f()
ou bien en faisant ponr abreger
&t d2 J, . . . ^ = ^ , -f + f- yfl = 0tt :
mtl x" = a " (cos ^ -\- i sin 0^) .
L'expression (1) se change par la en celle-ci,
(p m = 1 -|- lt a (cos 0, -\- i sin 61 ) ~\- L2 a 2 (cos 0, -f- » sin 02 )
„ . H b^«^(cos^-f ««in^)-j ,
on en celle-ci,
y //i = 1 -)- X, « cos By -\- a2«2 cos 0S . . • -|_ /uC£ •« cos 0l( -j- • • •
-f-*(*ia sin^-(-A2cc2 sin^-[- • • • -f- sin 0/f -)- . . .).
On a done
| i> = 1 + M cos 0j L2a2 cos 0, -|- • • • A<t«'' cos 0U -)-•••
| ^ =z lxa sin 0j + A2«2 sin 0., -(-••• + V/W sin 0„ -f- . . •
Or je dis que ces series seront divergentes on eonvergentes, selon que a est
superieur on inferieur a l'unite.
De l'expression de /.„ on tire ^t+1 = ^t+1^, done
et
mais on a
done ponr des valenrs toujonrs croissantes de ^ s'approchera de la limite
1, et par suite de la limite a. Done en vertn des theoremes I et
A u (X
II du paragraphe precedent les series p et q seront divergentes on conver-
gentes, snivant que a est superieur ou inferieur a l'unite. II en est done
de meme de la seYie proposee cpm.
Le cas ou a — 1 , sera traite plus bas.
Comme la serie cpm est convergente pour toute valeur de a inferieure
, m , m (in — 1 ) . , 999
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + — x -| .r2 -f • • •
h l'unite, la sonmie en sera une certaine fonction de m et de x. On pent,
comme il suit, etablir une propriete de cette fonction a l'aide de laquelle
on pent la trouver: On a
<pm = m0-\-mlx-\-mix* -f- • • • -\- m^x" • • • »
ipn = n0-\- nxx -f- n2x2 -\- • • • -{- nflxu -\- • • • »
ou » designe la valeur de mp pour m = n. On en conclut d'apres le theo-
reme VI:
q>m .(pn= U' + (*0V + M0') + (W + Mi' + W) H
+ (V/ + MV-i + MV-H bWH '
ou L = m„£C/*, tll' = n^xfl, en supposant que la seYie du second membre soit
convergente. En substituant les valeurs de tfl et on aura
cpm .ipn — m0n0 -f- (m^ -f- m^n^jx -f- (m0n., -J- mtnx -f - m2n0)x2 -f- • • •
+ + + %^-2 H h ^«o)^ H
Or, d'apres une propriete connue de la fonction m^n on a
(m -f rijp = m0nH -f- mxn^ -\- m2nu_2 ' * W/A >
demgnaat la valeur de m/t lorsqu'on y substitue m-\-n Jjour m.
On aura done par substitution <►
p m .ipn = (m -\- n)0 -\- {m -f- «)i a + (m + ^2 + • • • + (m + n)f* <*f -j~ • . r •
Or d'apres ce qui precede, le second membre de cette equation est une serie
convergente et prexisement la meme chose que (p(m-\-n)] done
(3) (pin .(pn — ip {m -J- n).
Cette equation exprime une propriete fondamentale de la fonction (pm. De
cette propriete nous deduirons une expression de la fonction sous forme finie
a l'aide des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires.
Comme on l'a vu plus haut, la fonction (pm est de la forme p-\-qi,
p et q etant toujours reels et fonctions des quantites &, h\ a et </), et
m = k-\-h' ' / , x = a (cos (p-\-i sin (p). Soit
p -[- q i =r r (cos s -|- i sin s) ,
on trouvera
230 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- ~ x 4- Ufa* 4- • • •
1 1 1 1.2 ~
r etant toujours positif et a une quantite reelle. Soit
r=f(k,v), s=y(k,k'); ■ ' ■ : . " _ "J
on aura
(3') p -f- qi— (p (k -f h' i) =/(&, W ) [cos xp (k , V) -f z sin ?/' (fc ,&')].
On en tire, en mettant successivenient /, V et k-\-l, h' -\-V h la place de
k et & ,
y[/b+/+(/,'+n/]
= f{h + 7, fc' -f V) [cos ^(t-f - /, fc'-f-J') + i sin v (A +7, &'+?')]•
Or en vertu de l'equation (f,m.ipn = (.p{in-\-n)1 on a
¥[&+z+(fc'+0*l=9(&+fc'*M'+r?-),
en f'aisant //i = A; -f- w = I -J- 7' z . Done en substituant, on obtient
f(k + 7, h' -f 7') [cos V> (& + Z, k' + + I sin f (k -f 7, k' -f /')]
=/(M0/(M0[cos(i^ 0)].
Cette equation donne, lorsqu'on separe les ternies reels des termes iniagi-
naires,
J(k + l, h' + V) co.s f (h + 1, V + V)=f\k, k')f(l, I') cos [y,(k, V) + ^ (/, 1')],
/(fc + ?)fc' + r)Sii.V'(fc+?,fc'H-/')=/(*,«'')/^0«in[V'(^*') + ^(','')]-
En faisant les carres et ajoutant les equations membre a membre, on aura
d'ou
(4) f(k + l,k' + l')=f(k,k')f(l,l'). 1
En vertu de cette equation les preeddentes se transforment en celles-ci:
. cos v/ (h + /, K + V) = cos fy(jfe, fe'.) + fik V)] j
d'ou Ton tire,
(5) . y,(k + l,k'-\-l') = 2m7i + y>(k,k') + y(l, 7'),
wi etant un nombre entier positif ou negatif.
Maintenant il s'agit de tirer les fonctions f(lt,k') et \p(k,k') des
KECHKRCHES SUR LA SERIE 1 + x 4 x* + • • • Jol
T 1 ' 1.2 T
equations (4) et (5). D'abord je dia qu'elles sont des fonctions continues de
k et k' entre des limites quelconques de ces variables. En effet, d'apres le
theoreme V, p et q sont evidemment des fonctions continues. Or on a
f(k1k') = (p* + q*)\ cos ffafik,V)^j^i
done f(k, h'\ de meme que cosip(&, fc') et sin est une fonction con-
tinue. On peut done supposer que \p est aussi une fonction continue.
NOus allons d'abord examiner F equation (5). etant une fonction
continue, il faut que m ait la meme valeur pour toutes les valeurs de k, //,
/, /'. En faisant done successivement 1 = 0, fc = 0, on obtient
f(Jc, hf + /') = 2m* -\-yik, h') + y/(0, V),
, f(f, h> + V) = 2m.-i + ip(0,k') + ip(I, I').
En elhninant entre ces equations et l'equation (5) les deux quantites \p(k,k')
et ip{l,V), on trouvera
f{k,k' + l') + ip(l,k'^
Soit pour abreger
( w(k1k' + r) = 0k,
((>) <
( 2m-T. + ip(Q1k')+y(0ir)=a,
on aura
(7) Ok + 01 = a^-O(k + /).
En faisant ici successivement Z = &,2&, . .-. oA;, on aura
20fc = a7}-0(27c),
0k-\-6{2k) = a + d(3k),
0& + 0(<» — l)& = « + 0(pfc).
En ajoutant ces equations, on trouve
(7") = ((i— l)a + 0(<i&)-
On en tire, en faisant
232 KECHERCHES SUK LA SERIE 1 4- — x 4- . l} a-* 4- • • •
n 1 n 1.2 '
ou bien en faisant 0(1) — a = c,
(8) 0p = c<> + rt.
Voila done la valeur de la fonction lorsque k est un n ombre entier.
Mais la fonction 0& aura la nienie forme pour tonte valeur de A', ce qu'on
pent demontrer aisement coinme il suit. Si Ton pose dans 1'equation (7')
h = — ) it etant un nombre entier, on en tire q . $ |— 1 = — 1 ) a -j- Ou . Or
en vertu de l'equation (8)
Ou == cfi -f~ rt>
done en substituant et divisant par on trouve
/
0
(7) + "
L'equation (8) a done lieu pour toute valeur positive et rationnelle de p.
Soit / = — A:, l'equation (7) deviendra,
$k + 0(— &) = a-|-0(O).
II s'ensuit, en posant k = 0,
0(0) = a,
et par consequent
0 (— k) == 2a — Ok.
Or k etant rationnel et positif, on a Ok — ck-\-ay done
0( — k) = — ck + a.
L'equation
(9) Ok = ek + a,
a done lieu pour toute valeur rationnelle, de k et par consequent, puisque
Ok est une fonction continue, pour toute valeur reelle de k.
Or 0k = »//(&, fc'-f-i'), et a — 2mn-\- ip(0,k') -f- *p{0, V) ; faisant done
c = 0 (fc', T), on obtient
(10) l/;(fc,A;' + /') = ^(A;/,^).^ + 2w.T-^-<//(0,//) + ^(0,/,).
On tire de la, en faisant & = (),
V(0, fe' + O = 2mn -f f$&) + /')•
Cette Equation etant de la nienie fonne que l'equation (7), elle donnera de
la meme maniere
BECHERCHES SUK LA SEK1E I 4- "' x -f - — 1 ' .r - + • • • 233
n 1 n 1.2 ~
y>(0,k') = ft'k' — 2mn,
ft' etant one quantite independante de //.
En mettant V a la place de on obtient i/;(0, /') = — 2mn-\-ft'f. En
substitnant ces valeurs de ^(0, 7c') et de i/'(0, /') dans l'equation (10) on en
tirera
y(k,k' + I') = 0(k',l') .k + ft'(k' + !') — 2 m n.
On voit par la que d(k'1/') est tine fonction de k'-\-f. En la designant
par F {k' -\- I ') , on aura
y(k,k'-\-r) = F(k' + V)Je + ft\k' + /') — 2 wwr,
et par consequent, en faisant /'==0,
k') = Fk' . k -f t3'k' — 2m n.
En remarquant que
ytjfc &' + /') = 2m, + fffr, fcT) + yr(0, I'),
l/,(0, /') = ft'/' — 2W77,
l'equation precedente donne
c'est-a-dire :
Done faisant &' = 0, on obtient F!'=F(()) = ft=zFk'. Par suite la valeur
de ipik^k') prend la fonne,
(11) y% k') = pi + ppW — inn \
ft et ft' etant deux constantes. Cette valeur de yj(k,k') satisfera a l'equa-
tion (5) dans toute sa generalite comnie il est aise de le voir.
Maintenant, examinons liquation,
f(k+i,k'+i')=Ak,k')f(i,n.
Puisque f(k,k') est toujours une quantite positive, on pent poser
/<&,&') = fe^?
F(k,k') designant une fonction reelle continue de k et k'. En substituant
et en prenant les logarithmes des deux membres, on trouvera
F(k + l,k' + l') = F(k1k') + F(l,l').
30
234 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- * x A- ™— - x*U
T 1 ' 1.2 ~
Comme cette equation coincide avec Tequation (5), en niettant F a la place
de ip, et 0 a la place de wi, elle donnera en yertu de l'equation (11)
(12) F(k,k') = dk-{-d,k\
<V et (?', de meme que [3 et /?', etant deux quantites independantes de k et
de h'. La fonction /(&,&') prendra clone la forme,
Les fonctions <//(&,&') et /(&,&') etant trouvees de cette maniere, on
aura, d'apres 1'equation (3'),
(13) cp(k -f k' i) = eM'* [cos (fik + ,3' k') -f i sin (£jjb 4-#'fe')jj
ou il reste encore a trouver les quantites d\ tV', /?, /?', qui ne peuvent etre
que des fonctions de a et de (p. On a
(f(k-A~k'i)=jj-\-qi,
p et # etant donnes par les equations (2). En separant les quantites reelles
des imaginaires, on aura
Ie3k+*v CQS (pfc Jrfi>jc>j = 1Jr )iU G08 0i _j_ ^ fta cog Qi _|
+ //t«"cos^t-|
e**+**' sin = a,« sin^-[-A2«2sin(92-)
+ sin 0^-1
Nous allons d'abord considerer le cas ou m est reel, e'est-a-dire ou
&' = 0. Alois les expressions (14) prennent la forme,
cos /9A^ = 1 — |— ^ « cos (f -j- / a1 cos 2 </)
(15)
+ 1.2.3 -«8cos3y-| =fu
eSk sin = -j « sin y -|- ^ « 2 sin 2 </>
V
Pour trouver cV et /?, posons & = 1 , on aura
e'^ cos (3 — 1 -{- « cos </> 5 e'5 sin (3=. a sin </? .
On en tire
• ef> = (l-^2«cos</.-f «2)*,
m(m — 1) „ , 235
KECHEKCHES SUB LA SEK1E 1 -f — x -j \~2~~ X%~^ ' "
9 1 -j- a cos y . q cc sin <f
cos/* = p + 2«co8.y + ' Sm/ (1 + 2a"^os~f + gSJl ?
~ a sin cr
tariff /5 == 1 . •
° ' 1 -f- a cos r/>
Cette derniere equation donne, en designant par s la plus petite de toutes
les valeurs de p qui y satisfasse, et qui est toujours renfermee entre les
limites g et ^ ?
P = S-\-
ii etant un nonibre entier positif ou negatif. Done les equations (15) se
cliangent en celles-ci:
fa = e?k cos k(s -f- [i w) k= e^' cos ks cos fc^tfi — e(% sin &ts- . sin hp n,
Ba = eSi sin k(s -f- it n) = efk sin fc.s cos &/* tt -\- e9k cos . sin ku n.
De ces equations on tire
cos kit it == e-^ (fa . cos k s -\~ 0 a . sin ks) ,
sin kfi 7i = e (0 . cos fcs — /a . sin ks) .
Or, d'apres le tlieoreme IV, da et fa sont des fonctions continues de a ;
par consequent il faut que GO&k/un et sin conservent les memes valeurs
pour toute valeur de a. II suftit done pour les trouver, d'attribuer a a une
valeur quelconque. Soit a — 0, on aura, en remarquant qu'alors. e*=l,
/«=1, 0a = O, s — 0,
cos ku7T= 1 , sin & // .7 — 0.
En substituant ces valeurs dans les expressions de fa et 6a, et en se rap-
pelant que eh 1 = (1 -|- 2 « cos (p -\- a2)^ r, on obtiendra
= ( 1 -\- 2 a cos (/) -f a2) 2 cos ks, 0a = (1 -(- 2 a cos (f -f <* 2) 2 sin
Done ennn les expressions (15) deviendront:
1 + * Bcoay + 'MaWy -f-^1) «3 cos 3 ^ + . • •
— _|_ 2 a cos y i rf- «2) 2 cos
A- . . k-(k— 1) 2 . a | £(*— 1)(*— 2) , • « ,
^siny-l- Y9 « slll2(/"+ 17273 V TV'
= (1 -\-2a cosy-j-w8)2 sinfcs,
30*
(16)
236 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 -f x + Xl x* .
1 ^ 1.2 ~
s etant renfemie entre tes limites 1- et -f~ y et satisfaisant a l'equation
a sin cp
tang s1 = -5— ; *
° I e cos r/)
Les expressions (16) ont ete etablies pour la premiere fois par M. Canrhj
flans l'ouvrage cite plus haut.
On a suppose ici la quantity a nioindre que l'unite. On verra plus
bas que a peut aussi etre egal a 1'unite, lorsqu'on donne a la quantite h
une valeur convenable.
Dans ce qui precede nous avons trouve les quantites 8 et /J. Mainte-
nant nous allons montrer comment on peut trouver les deux autres quantites
inconnues d- et /?'. Faisant a cet effet dans les equations (14) k = 0 et
k' = n1 on obtiendra
e'y'1 cos ft'n — 1 -)- lxa cos Bx -\- 1.2 a2 cos 02 -f- • • • ■>
e'Vn sin ft'n — lxa sin 01 -j- L2 a2 sin 6.2 -[-... ,
oil ^ = ^^(^3 . . . 0^ = 11^ J^-y^y^ . . . -{-ytn (?u et yt( etant deter-
mines par les equations
( ? ) +U J ' co*-=- -^->Mn^= ft;
De ces equations on deduit les suivantes:
^'"cos^'m— 1 L . I
= a cos 0XA L cr cos 09 4- • • • ,
n n 1 w 1
= « sm 0X A — 2 cr sm 6.2 A- • • • •
Or en supposant positif on a a1 = J1 = «, done ^ = . . . <?w, et par
suite
= a cos 0j -)- ^2 « 2 cos 02 -(- ^ (?3 3 cos 03 -|- • . . ,
i . sin ti ' u
— =fc a sin 0j -)- #a a2 sin 02 -|- ^ tJ9 a:i sin 03 -|- . . . .
Ces series sont convergentes pour toute valeur de », zero y compris, ce qu'on
voit aisement par le theoreme II. En faisant done converger n vers la li-
mite zero, et remarquant que, d'apres le thdoreme V, les series sont des fonc-
tibns continues, on obtient
(I, =
RECHKKCHES SUR LA SER1E ^— - — a2 -f • • • ^3
0 ' = a cos 0/ 4- <V « 2 cos 0/ + S# ijf a 3 cos 0S' -| ,
/?' = « sin 6»/ + £4'<*f MS ft! + <V<V«° «P ft'H '
€^'nco&$fu 1 sin 8'?i
puisque (V et sont les linrites des quantites — ^— et —
0W' est la limite de 0U et ^/ celle de Or, d'apres l'expression de
— 1
cos 0/ = cos -f- yx + y2 H h ft) = + Ml? W • (—
sin.^/ = sin (w + ^ h r#0 = — cos w • (—
on il fant se rappeler qu'en verttt de liquation
it i= d\ (cos Vi -f- i sin y\ ) >
on a cos yx = 0, sin j'j == I. Done les valenrs de /?' et 8' seront celles-ci:
/J' == a cos y> — | a2 cos 2 </; -|- J a3 cos 3 </) — • • • >
on a = - j done cos^= — 1; sin;^t = 0 (lprsqne fi > 1), done
= — r/ sin </> — 1«2 sin 2(/) -)- i«3 Mn 3 y
De cette nianiere on a trouve les quantites ft' et #f par des series infinies.
On peut anssi les exprimer sous forme finie. Car on tire de l'equation (15):
^cosM— 1 i k— 1 2 0 i (&— l)(/c— 2) 3 ■ j
£ == a cos -} — j- 9 - « 2 cos 2cp -f- * — ^ — a cos 3 y -(-••• >
■ = <* sin <p + 1T2 r/2 sin 2 y + v 4 /2. a " sm 3 H
On en deduit, en faisant converger h vers zero,
!d = # cos qp — • -|-«2 cos 2 </) -)- -J- a 3 cos 3^> — * • • 1
ft — « sin cp — sin 2(p -\- sin 3 9? — • • • >
done ft' — ft, (V — — ft. Done les expressions (14) prennent la forme
(17)
1 1 -\- /.! a cos -|- lt a2 cos 02 -f- • • • ~\- >v< a'1 eos 0<t -(-•••
cos + = p,
(18) <
) ;.i a sin 6/ j -|- /.2 « 1 sin 6ly -(-••• -)- lu a " sin ^ -f- • • «
oil
a sin
j»oo • . »* m (in — 1) .
ZOO RECHERCHES SUB LA SERIE 1 H x A - -f- • • •
1 1 ' 1.2 '
or la soninie de la serie proposee etant egale a p-}-^ 011 aura
i I™ „ [ m(m — l)vi , ■ m(m— 1) . . . Qi — ^ + 1) ■
ATT^"» 1-2 ' >" 1.2.. .ft * ' "l
= e*^? [cos -j- <W) + z sin (fik -f <M')] .
Mainteiiant on a
= h -\r k' i , £C = « (cos 95 — |— z" sin </)) = a -\- b i ;
done
a = -j- 6% «cosy = a, a sin =
,V = I log ( 1 + 2 o + « « + ft 2 ) = I log- [ ( 1 + a) * + b>] , /? = arc tang -f-J- - ■
En sub'stituant et en ecrivant m pom* k et w pour k\ l'expression ci-dessus
prend la forme:
(19)
1 + ^ (a + ft •) + 0(^-1+^) ( a + 6 • j .
(m_|_ ?t i) (in — 1 + n i) (m — 2 + nt) . . . (ro— p+l + nt) _|_ k q\" _L_
• 1 ; 2"7^ 3 7 . . ^ i«-t-ft?) i
= cos ftn arc tang ^ +| wlog[(l.+a)a+ft8]^+i sin ^ arc tang--^+|n log [(l+«)2+''2])]
x[(1+ay+l,^f-"""""e^'.
Cette expression a lieu comine nous l'avons vu, de raeme que l'expression
(18), pour toute valeur de a = y a2 -\-b2 inferieure k l'unite.
En faisant p. ex. 6 = 0, n — Q, on a l'expression
(20) 1 + <»a + »*£=Va>+...=(l+ay,
de laquelle nous tirerons parti ci-apres.
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + — x 4- 5^ — x* 4-
' 1 1 1.2 T
239
Dans ce qui precede on a trouve la somme de la serie proposee toutes
Lea fois que a=^a2-\-b2 est inferieur a l'unite. II reste encore a examiner
le cas ou cette quantite est egale a 1.
Nous avons vu par le theoreme IV que lorsque a s'approche indefini-
ment de l'mute", la serie
v0 -|— ^x cc — [— v2 cc 2 — ]— -• • •
s'approcliera en meme temps de la limite vQ -j- 9, — | — — | — • • • > en snpposant
que cette derniere serie soit convergente. En faisant done converger a vers
l'mute* dans les equations (18), on aura
( 1 -f- ^ cos 0,4-/2 cos 02-| [-amcos0,(-| =es>k-e>*' QOfsifck+W),
f ^ \ ^sin^ + ^sin^-l ^^sin^-j z=e*>*-^ single
oh et /?! sont les limites des quantity (T et /?, en supposant que les series,
contenues dans ces equations, soient convergentes. Or il est clair que
^ log (2 -\- 2 cos cp) est la limite de <T, et que
sin fp 2 cos I qp sin £ w . t .
arc tang — ; — - — = arc tang — ~ , ■ , — dr~L = arc tans* (tano- -&-</> )
fel-|-COS</> & 2(cOs£<jp)2 ttV to2YV
est celle de ft ; on a done
(22) d\ = ^ log (2 — (— 2 cos (p) , ftl = arc tang (tang \ (p).
Nous n'avons done qu'a examiner dans quels cas les series sont convergentes.
A cet effet il feut distinguer trois cas: lorsque k est e*gal a — 1, ou coni-
pris entre — 1 et — oo 5 lorsque k est egal i\ zero ou compris entre 0
et -f~°°> et lorsque k est compris entre 0 et — 1.
On
Premier cas, lorsque k est egal a — 1 ou compris entre — 1 et — 00.
<l,=
k-11 + l
+
En faisant done k = — 1 — /?, on a
n -\- f.i
+
240 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- - - x A- "M"' V- «« -f • • •
1 1 n 1.2
d'oii Ton voit que ^ est toujours egal ou superieur k l'unite. Or on a
= $2 $3 . . . d\t1 done pour des valeurs toujours croissantes de // , iL ne
convergera pas vers zero, done en vertu du theoreme I les series (21) sont
divergentes.
Deuxieme cas, lorsque k est positif. Supposons que c soit une quantite
positive inferieure a k, on aura
( „ _ fc — 1 + c)2 = (p — k — 1)' + 2c ( </ — k — 1) -f c2,
done
(u — k— iy + k,s = (fi — k— 1 -^cY + k'-2 — c- — 2c(u— k— 1).
Si Ton fait
il s'ensuit que k'f — c2 — 2c — & — 1) est negatif; par consequent
(„ _ j, — iy + (u — k — l + c)2,
e'est-a-dire :
» — k — 1 4- c ^ 1-4-& — c
<)„ < — 5 <)„ < 1 ^ •
Si dans l'equation (20) on fait ft — ~ ' — n-> on aura
i+ir=i- !L+»a+-)J_ ... • J
1 ft / << ) 1.2
_ i - JL. w(w+ *) A ( i _ 2 +1* I I
— p ~* 1.2 \ 3^ / i ' " '
Done en faisant 7i=l-\-k — c, on voit aisement que
par consequent
done
<>, < ( fj| I'""' 0« > fc + 1 - + 2" (= P).
En posant successivement jU = 1, 2, 3 . . . /t, et en faisant le produit des re-
sultats, on obtiendra
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 -4- ™- x 4- " - ^4-... 241
1 1 r 1 . 1 '
1+k—c
5
6* A,, + t, = <y, ,ts,f, . . . clone
par consequent lorsqu'on fait it = 0, 1, 2 . . . //,
+
' (e + ^-fl)1^-
Si maintenant dans l'expression (20) on fait a= — — —,m = — fe-j-o,
on aura
1 1 \c-*_ I k — c ■ (£— c)(k — c-f-1)
done en se rappelant que h > c :
I ? + ^ + 1 / 1 ? + A* + 1
II s'ensuit, en divisant par (A* — c) -[-/<■ -J- l)*~"c,
1 1/1 1
<
Cela donne, en faisant /f = 0, 1, 2 . . . /< et ajoutant,
1/1 1 \ 1
< T J -T-T— TT-T <
II s'ensuit que
lQ H~ V* + • • • + V« < ^ ^ ^3 • • • A^LyV^; '
pOur toute valeur de ji. Done la serie 1 -|- /0 -\- £, ~\- L • • •* dont tons
les termed sont positifs, est convergente, et par consequent, d'apres le theo-
rhme II, les series
1 -j- Ax cos $! -\--L2 cos 02 4- • • • -f- ^ cos # -|~ ' * *
^ sin Bx -\- /2 sin 0L> -\- • • • -j- ^ sni ~h ' ' '
seront de menie convero-entes.
31
242 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- x A J x* 4- • • •
I ' 1.2 1
Troisieme cos, lorsque k est egal a zero ou compris entre zeVo et — 1.
Dans ce cas les series ci-dessus seront convergentes pour toute valeur de A',
pourvii que tp ne soit pas egal a (2?z-)-l)5T. Cela pent se demontrer comme
il suit: Soit
m = k -\- k' iy x == cos cp-\-i sin ip ,
1 -\- x -\- m3 x* -\- rag x3 -\- • • • -\-mnxn — pn.
En multipliant par 1-j-a;, on obtient
1 + -f- 1) x -j- (raj + ra, ) x2 -| -|- (ra, + ???,,_,) a*" -f mn xn+x =pn (1 -f a-).
Or on sait que
ra, -|- 1 = (ra -f 1), , w2 -)- ra, = (»?, -[- 1)2 . . . , ra, -f ??in_1 = (ra -)- 1)„ ,
done en substituant:
1 +(m+ l)1>r + (ra+ l),:r2H 1- (ra + 1)„*» = - m,txn+l + + *).
Maintenant, si Ton fait n = oo, le premier membre de cette equation sera,
d'apres le cas precedent, une serie convergente. En la designant par .<?, on
aura
s =P» (! +x) — mn [cos (n + l)q> -|- t sin (?? -f 1) y ] ,
oil n est infini. • Or on pent demontrer comme dans le deuxieme cas que
ra, = 0 pour n = oc . On a done
s =p (1 x), oil p = 1 -|- ra, x -\- w2 ce2 -\- • • •
Cette equation donne, si x -j- 1 n'est pas egal a zeYo,
8
P = T+7r-
La serie p est done alors convergente, et par consequent les series ci-dessus
le sont egalement.
Si x-)-l = 0, on a 1 -|- cos cp -\~ i sin cp — 0, done siny = 0, 1 -|- cos <y)=0,
d'ou cp = (2n -\- 1)tt, 7i etant mi nombre entier positif ou negatif. Done les
series en question sont convergentes pour toute valeur de k egale a zero on
comprise entre 0 et — 1, si cp n'est pas egal a (2n-\-\)n.
Lorsque cp = (2n -j- 1)jt, les series sont necessairement divergentes, car
si elles etaient convergentes, elles auraient pour somme les limites des fonc-
tions
[cos (kft -f k'd) -f i sin (kfl -f V&fti
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 -f- x 4- — x* 4- ■ ■ ■ 243
' 1 ' 1.2 '
en y faisant converger a vers 1'iiiiite, et faisant (p — (2n-\- 1) ji. Or
d= l \og(l + 2acoH(p + a*)1 (3 = arc. tang ^ ^""^ >
done pour y = (2rc -j- 1)ti on a
t)v = log(l — a), /? = ().
La function en question prendra done la forme
(1 — «)* [cos (# log (1 — a)) -f- t sin (&' log (1 — «))] .
Or, k etant egal a zero ou negatif, il est el air qu'en faisant converger a
vers 1'unite, on n'obtiendra pas pour cette fonction une limite nnie et deter-
minee. Done les series sont divergentes.
De ce qui precede il s'ensuit, que les series (21) out lieu pour toute
valeur de </), lorsque k est positif, et pour toute • valeur de (p pour laquelle
cos *~ n'est pas zero, lorsque k est egal a zero ou conipris entre — 1 et 0,
^quelle que soit d'ailleurs la valeur de k ' . Dans tout autre cas les series
sont divergentes. Dans le cas que nous examinons, la serie generale (19),
lorsqu'on y fait &2 — )— a2 = 1 , ou b = yi^— a2, prend la forme:
X J. • u
+ (,„+,, i) (,»- 1 + , j) (,,,-2 + n Q (g + y^f— j y _| -
= {2 + 2af e—""'-^ihr. cos jmare,tang|/^-f|«log(2 + 2a))
(23)
-|- i sin | m arc. tang y \z^~a H~ $ n "I- ) J
Voici un resume des resultats precedents:
I. Lorsque la serie,
1 + (a + * 0 + ('" + 1 0 ("' ~g +"i\a + biy +
est eonvergente, elle a pour somnie
[(1+ a)» -f b'] ■ e B arC'Ung »+• [cos ( m arc. tang ~- + j log [(1 + a)2+ 62] J
-|- 1 sin | ?rc arc. tang -(- y log [(1 -f - a) 2 -|- 62] J
244 KECHERCHES SUli LA SERIE 1 4- — x 4- x1 A- ■ ■ ■
^1 ' .1.2 T
II. La serie est convergente pour toute valeur de m et ft) lorsque la
quantity y a* est inferieure a l'unite. Si ^a2-\-b2 est egal a l'unite,
la serie est convergente pour toute valeur de m comprise entre — 1 et
-{-co, si Ton n'a pas en meme temps a = — 1. Si a= — 1, m doit etre
positif. Dans tout autre cas la serie proposee est divergente*.
Comme cas particuliers on doit considerer les suivants:
A. Lorsque n === 0. On a alors
(24)/ hi b \1
| = [( 1 -f- a) 2 -\- b 2 ] 2 Cos J m arc. tang ^tp* J -f- i sin j W arc. tang y^_~ J » j
Cette expression donne, en faisant a=zao,os(p, b = a sin y et en separant
les termes reels des imaginaires :
1 I m I W(t» 1) o Q |
1 —J — -j- ce cos (p -j i 2 08 P\ ' ' '
(25)
= (1 -4- 2ce cos <p -|- a2) 2 cos m arc. tang ^ sin —
17 \ °l-f- « cos cp J
tn . i m(wi — 1) 2 . a |
Y « sin </) -| i~~2 a sm " *P ~T~ ' ' '
= (1 -j- 2 a cos (f -j- a2) 2 sin | m arc. tang ^ J *
B. Lorsque b = 0 .
Dans ce cas l'expression generale prend la forme suivante:
( „ ■ m 4- n i . (m -\- n i) (m — 1 —I— n .
I H j a + * 1.2 CT H
j =(l-f«)* [cos (n . log (1 -f- a)) -^ f sin (w . log (1 + «))].
C. Lorsque = b'=().
Alors on a
(27) l + ^a + '^-)^ + m^-^l'-2\l=+ ■ ■ ■ =z(l + a)». -3
Cette expression a lieu pour toute valeur de m lorsque la valeur numerique
de a est inferieure a l'unite, de plus pour toute valeur de m comprise entre
(26)
KECIIEUCHES SUli LA SER1E t -4- — x + — S x* 4-
1 1 ^ 1.2 1
245
— 1 et -jhoo, lorsque a = 1 , et pour toute valeur positive de m, lorsque
a — — 1 . Pour toute autre valeur de a et de m le premier membre est
une serie divergente.
Faisant p. ex. 1 , a= — 1, on a
m , m(m — 1)
1 —
1.2
• • = 0.
La premiere equation a lieu pour toute valeur de m comprise entre — 1 et
-|-c», et la seconde pour toute valeur positive de m.
D. Lorsque j/«2 -|- 62 = 1.
Alors on a
l+^^(a+y^-l)
(28) / =(2 + 2a)¥e
5 — »t arc. tang l/^ — ?
* * r 1+a
1 . 2
cos I m arc
tangj/^ + f iog(2+2a)),
-f - • sin | m arc. tang -f~ ^~ (2 -f -
Si Ton fait ici a = cos y , on obtient
1 -| j — (cos (p -\- 1 sin if) -f- * — - — ^ — (cos 2(p -j- & sm 2q>) -f-
(29) / =(2 + 2cos</))2e
en remarquant qu'on a
arc. tang = JUfC. tai
— n(l<p — Q7t)
cos \m (-J-y — C71) + -9" l°g (^ -f~ 2 cos
-j- £ sin m({(/) — qji) -\- ~ log (2 -(- 2 cos
= arc. tang (tang \<p) = \tp —
i/l— cosy
' |/ l+COS(jp
si Ton suppose £9 compris entre — -x- et
246 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + — x + a;2 -J
1 1 ~ 1.2 ~
E. Lorsque |/«2 -|- b2 = 1, a = cos 99, 6 = sin 99, w=0.
Dans ce cas l'expression precedente donne
II -\- "~ (cos (p-\-i sin y) -|- — ^ (cos 2y> -j- 1 sin 2y) -j- • . •
= (2 —J— 2 cosy)2 [cos m <p — p^r)-}-* shimmy — (m)]
depuis I (p = Q7i — ^- jusqu'a, | 99 = (jji -|- - J ,
on, en separant la partie reelle de 1'imaginaire,
!1 -[- y cos cp -\- m ^ ^ cos 2 y — |— • • • = (2 cos y)* cos m ($<p — qn)
r -j V TO
y sin 99 -|- m Y ^ sin 2 99 -)- • • • = (2 -\- 2 cos cp) 2 sin m (-J-y — (m)
depuis J if = Q7i — -H- jusqu'a -j 99 = oti 4- 3-'.
F. Lorsque a = 0 , 6 = tang y .
Dans ce cas on obtient, lorsque cp est conipris entre -j- ~ et — - J- >
(32)
1 -| j— 2 tang cp -f 2 (* tanS H
= (cos cp)~m e~n(p [cos (w^) — n log cos 99) -|- i sin (my — w log cos cp)].
Des expressions precedentes on peut, par des transformations conve-
nables, en de*duire plusieurs autres, parmi lesquelles il s'en trouve de tres
reniarquables. Nous allons en developper quelques lines. Pour plus de de-
tail on peut consulter l'ouvrage cite" de M. CaucJiy.
A. .
Sotnmation des sSries a cos cp — ^ a 2 cos 2 cp -J- ^ a 3 cos Sep — • • • ?
a sin <p — £ a 2 sin 2 9) -J- a 8 sin Sep —
Lorsque a est superieur k l'unitd, on voit aisenient que ces series sont
divergentes. Si a est inferieur a l'unite, nous avons vu plus haut qu'elles
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- * x 4- * *3 ^2 i . . . 247
' 1 v 1.2 '
sont convergentes; leurs soninies sont les quantites /? et $ du § 3, c'est-k-
dire, en mettant pour ft et cJ leurs valeurs donnees par les equations (18),
( i (1 ~h ^ a cos <p -f- «2) = « cos f/) — 4- «2 cos 2 <p -f~ -J- a3 cos 3 <p — • • • >
(33)
i arc. tana; ^ — ; ^— = a sin <p — 4- a sm 2 cp 4- ± a3 sin 3 w —
[ n 1 -f- a cos <p i i *
Pour avoir les sommes de ces series lorsque « — -|- 1 on — 1, il faut seu-
lenient faire converger a vers cette liniite. La premiere expression donne
de cette maniere
( i (2 H- 2 cos <p) = cos <p — £ cos — |— -J- cos 3 (p — • • • >
(34) <
( log (2 — 2 cos y) = — cos cp — \ cos 2 cp — £ cos 3 y — . . . ,
en supposant que les seconds membres de ces Equations soient des series
convergentes, ce qui a lieu, d'apres le tlieoreme II, pour toute valeur de (/),
excepte* pour cp = (2(« .-J- 1) jt dans la premiere expression, et pour cp = 2ujr
dans la seconde, a etant un nombre entier quelconque positif ou negatif.
La seconde formule donne, en supposant (p compris entre jt et — tt, et
en se rappelant qu'on a alors
arc. tang ^ = arc. tang (tang %f) = -j- (p :
(35) ^ <p = sin (p — \- sin 2 </) -|- -J sin 3 cp — • • • (depuis cp=.-^-n jusqu'a qp= — jt).
Lorsque cp — jr ou = — tt, la serie se reduit a zero, comme on le voit aise-
ment. II s'ensuit que la fonction:
sin cp — ^- .sin 2 cp -j- ^ sin 3 (p — • • •
a la propriete remarquable d'etre discontinue pour les valeurs c'p = jr et
cp— — n. En effet, lorsque (f> = + tt, la fonction se reduit a zero; si an
contraire (p — + (jt — r/), a etant positif et moindre que sf, la valeur de la
fonction est
_l_ / tc a
— \2 ~ Y
La fonnule (33) contient comme cas particulier la suivante:
(3(5) arc. tang a = a — J- a3 -\- ^ a6 — • • •
ce qu'on trouve en faisant cp— -g— Cette formule sera applicable pour toute
valeur de «, depuis — 1 jusqu'a -f- 1, les limites y comprises.
248 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- — x 4- — x* 4- • • •
' 1 ~ 1.2 '
R.
JMveloppenieut de cosmcp et de sunny suivant les puissances de tang cp.
On pent dednire ces developpemens de l'expression (32). En effet, en
faisant n = 0^ et separant les parties reelles des parties imaginaires, on ob-
tient, apres avoir multiplie par (cos cp)m,
I cos mcp = (cos (f>)"' 1 1 — ^12 (*an& wY
(37) +m(TO-l)(m-^-3)(tepgy>t_:;A
f sin m<p = (cos cp)m | m (tang cp) — 7-^-^ — — ^ (tang </>)3 -f- • • • J >
depnis cp = ^ jusqu'a cp = — ~ > et ces equations ont lien ponr tonte va-
lenr de m lorsqne tang</) est moindre que 1. Si tang</> = +l, elles ont
lieu pour tout m compris entre — 1 et -}-oo. Elles sont alors:
(38)
1 ) * / , (n»— 1) . m (m — 1) (m — 2) (m — 3)
1 \ 2 / m (m — 1) (in — 2)
III 1 f#r X I I lit — I ■
i! *Tj = lT| I*" 17273 +
c.
Developpemenl de (cos.v)n et (sin ,ii)n en series crrdomu'es suivant les cosinus et les sinus
d#s arcs multiples.
Depuis quelque temps plusieurs analystes se sont occupes du deVeloppe-
ment de (cos x)n et (sin x)n. Mais jusqu'a present, si je ne nie trompe, ces
efforts n'ont pas entierement reussi. On est bien parvenu a des expressions
justes sous certaines restrictions, mais ces expressions n'ont pas ete rigou-
reusement fondles. On peut les dednire assez simplement des expressions-
di'montrees ci-dessus. En effet, si l'on ajoute les deux equations (31), apres
avoir multiplie la premiere par cos« et la seconde par gin a, on obtient
RECHEKCHES SUR LA SER1E 1 -4- x 4- — x* 4-
» n 1 ~ 1 . 2 ~
249
cos
m , \ I in Cm — 1) i o "V i
s « — f — j— cos (a — (f) -j ]~~2 — cos (r/ — *^ y) \
= (2 -f- 2 cos <p) 2 cos | a ^ _|_
| depuis ^ = jusqu'a -J- y = pft -f- y J •
Or puisque 2 -(- 2 cos y = 4 (cos | y)2, on aura, en faisant tp — 2x,
cos a + — cos (a - 2 35) H V-j= — -cos (a- 4a;) -f- • • • = (2 cosa;) cos {a-mx-{- zmqn)
TC TC
depuis x = 2 y iz - jusqu'a x = 2qti -j-
cos cos (a - 2a;) + w(w cos (a - 4a;) H — (- 2 cos x) m cos [a - mx + w (2 (j + 1) ti]
depms a; = 2(>tt + -g- jusqua a; = 2p7r + -2— •
Si l'on fait ici 1) a = mx \ 2) a = -j- -5- 5 3) ce = m?/, x — y — ;
7t
1 on obtiendra
(m-1)
(2 cos x) m cos 2 m^n = cos mcc + y- cos (w- 2) x-\ — ^ ycos(m-4)a; + • • • >
v„ a . in / |j.v iii(m- 1) . ,
(2 cos a;) sm2m(>jr= sm?7ia; + -j-sm (m-2)a; -| — 12 sm(m"4)^+ - • • j
depuis x = 2(>7r-^ jusqu'a a; = 2(m + -^-;
m \™ /*» 1 \ in , ~N w(m-l)
(2 sina;) cosm(2(> + -|-)7r==cosraa; - -y-cos (ra-2)aH — ^ ^ y cos
(2 sin x)m sin ra (2 ^> + \) n = smmx - sin (m- 2)x -\ — ^ y sm
depuis a; = 2 p/r jusqu'a a; = (2 (> + 1) n •
(- 2 cos a;) cos m[z y + 1)tt = cos ??ia; + cos (m-2)x-\ — \ % cos
(- 2 cos x) sm m(2 Ij.t = sin mx + p sm (m- 2)^; -j — ^"9 sm
depuis x = (2 y -)~ -J-) 71 jusqu'a £c = (2p + f)7r;
(-2 sma;) cos m (2^ + |) .1: = cos - -j-cos (m-2)a;+ ^2 C0S
(- 2 sin " sin ?/i(2 q + = sin mx - y sin (m- 2)a; + m^n^ s[n
depuis x = (2^+1)ti jusqu'a x = (2(> + 2)7r.
m-4t)x - • • • ,
ra-4) a; - • • • 5
m-4:) x + ■ ■ ■,
m-4:) x + • • •;
m -4) a; - • • • ,
?7i-4) a; - • • • ?
32
250 ltECIIEUCIIES SUR LA SERIE 1 4- — x 4- x1 4- • • •
' 1 ~ 1.2 j "
Ces formules out encore lieu pour les valeurs liinites de x#, lorsque m
est positif. Lorsque m est compris entre — 1 et 0 ces valeurs sont exclues.
Comnie cas particuliers on pent considerer les deux suivants :
(2 cos x)m — cos mx -\- y cos (m — 2) x -\- — ^ ^ cos (m — 4) x -[- • • • »
A • I m • / tt\ I WlOW 1) . / j \ I
0 = sin -j- -p sin (ra — z)x-\ y-^ — £ sin (w — 4) a? -fjr • • • »
depuis ^ = — -jt- jusqu'a sc == J •
XY.
SUR QCELQUES INTEGRALES DEFINIES.
Journal fur die reine und angewandtc Mathematik, lierausgegeben von Crette, Bd. II, Berlin 1827.
Lorsque line integrale definie contient une quantite constante indeter-
mine'e, on pent souvent en deduire, par differentiation, une equation differen-
tielle par laquelle 1'integTale definie peut se determiner en fonction de la quan-
tite constante. Le plus souvent cette equation differentielle est lineaire ; si elle
est en meme temps du premier ordre, elle peut, comme on sait, s'integrer.
Quoique cela n'ait pas lieu en general, lorsque l'equation est du second ordre
ou d'un ordre plus eleve\ on peut pourtant quelquefois deduire de ces equa-
tions plusieurs relations interessantes entre les integral es definies. Montrer
cela sera l'objet de ce memoire.
Soit | -\- p -~ - -}- <iy ~ 0 une equation differentielle lineaire du se-
cond ordre entre y et «, jp et q etant deux fonctions de a. Supposonis
qu'on connaisse deux integrates partioulieres de cette equation, savoir y = i/i
et ?y = ?/2, on aura
I >c ces equations on tire, en eliminant </,
h du l ~ & da* — ~ d~c~ : — * [ ]h du * da
32*
252 SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES.
done en integrant
(°)
e etant la base des logaritlimes Neperiens.
Supposons que les deux fonctions y1 et yt soient exprimees en integrales
definies, de sorte que yl = l*vdx1 yt=-^iidx, v et u etant des fonctions de
x et de a, cette relation entre yt et y2 donne en substituant,
(1) judx j'^dx—J vdxj ^dx = e-^d\
Cette equation exprime, comme on le voit, une relation entre les quatre inte-
grales Judx, jvdx, J -—dx, J ^ dx. II s'agit niaintenant de trouver
des integrales qui puissent satisfaire a une equation differentielle du second
ordre. II y a plusieurs integrales qui jouissent de cette propriete, et que
nous allons considerer successivement.
[.
± — (y JL I) f1 — I *\ h (x + a)r-xdx-
le signe J denotant que I'integrale est prise depuis x = 0 jusqu'a x=\.
En differential^ la quantite (x-\-a)yxa(l — x)ti = r par rapport k x, on
obtient
dr=zdx.x " { 1 — x) P- 1 (x -f a) M [ y x ( 1 — x) -f - a (x -f a) ( 1 — x) — ft (x + a) x] .
Or
yx (1 — x) -f- a (x -f- a) (1 — x) — ft (x -j- a) x
= - y («2+«) + IHfifr) +(•+*) («+/)] (*.+«) - («+fi+r) (*+«)2,
done en integrant entre les limites x — 0, x=l, on obtient
Jo * (1— -r)w'
SUR QUELQUES INTfcGIiALES DKFINIES.
253
T)e cette equation on tire, en divisant par e* substituant a la place
des integral es leurs valeurs en ?/,
/ a + y , dy , (y + 1) (« + /?+?) . _ L
W do* [ — "Tl + a/rfrt"1" a(a+l) /7 ~~ "
Si Ton met h la place de «, /?, y respectivement 1 — /?, 1 — a,
« -|- /? -f~ / — ^ ' 011 aura ^a in^ine equation, done
sont deux integrates particulieres de cette equation.
Or p = — — fX^' et Par consequent e"Arfa = CV+r (1 +.a)^,
done l'equation (0) donne
(*) y.7j£-*^=cf«*+r(i+«)'tr-
Pour determiner la quantite constanto 0, soit a =200, on trouvera facilement
C= — (a + /? — 1) fdx . x"-x (l—xy-'.f dx . x^1 (1 — x)-%
Jo Jo
e'est-a-dire
C = n [cot (cct) -j- cot (fin)].
Par suite l'equation (4) donne
(5) i i j, -. \ r1 o*(« + q)r r1oVr(g + a)>Wy
J l/ * Jo ^1_a(l— 'Jo ^(1— •^)fl(
I == — n [cot («?*) 4. cot (fin)] aa+y (1 -f a)^r.
Le cas oh ;/— — « — /? merite d'etre remarque. On a alors, comme on le
voit aisement,
f1 dx 1 f1 dx
J0 Ic^l—xy-fitx + ay+ti ~ aC (1 + a)" J 0 .^-"(l— .r)l~/>' '
Or
/• 1
254 SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES.
poo
Fm, etant egal a I x™'1 e~~xdx, done
Jo
r1 dx _ Ta.Tp 1
I m 1 — a
J 0 •
(l— vy-v (/*•+«) u+f> — r(a+(i)
Soit p. ex. (3=1 — «, on aura
f1 dx . _ ra.T(l—a) 1
or m)=l, Ae.m — «)==-^— , done
sin a/r
7T 1
r
Jo (•'■ + «>-r-«(l-.r)« ~ «i
sin an a1—" (1 -)-«)'
II. Soit y = I -7=— ■. — N/a/ ' , — r— • En differentiant on obtient
C°° x~a dx
J o
fa* / v/ l (l+,«)/»(,r + a)y+*
Lorsqu'on differentie la fonction £1_f' (1 — |— a:) 1 ^ = r, on obtient
^=riT^w^t(1"c)(1+x)(x+o)+(1_^)3;(-r+r')""(;'+1)a:(1+3;)1
xr~a dx
— (i + .r)/»(*-|-a)H-* 2»
done, puisque
5 = (y + 1) (i -«)"-[(« +y) (i -«)-(/+ ft) a] (« + a) .. J
7 +(i-«-/?-/)(*+«)2:
dr = (y + »a(l - a)(1+j*,*^g)H« • -
-[(«+/) (i -*)-(fl+r) A $+$&4*+0>-«-(irr) (r+^+ajr ■
On tire de la en integrant
En mettant respeetivernent 1 — /?, 1 — r/, ^ -j— a ~j- /9 • — 1 h la place de
a, /?, ^, il en resulte la meme equation, done
SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES.
255
^ Jo (!+.«)'(•+«)* ^ Jo (iTR'^HHr-1 '
sunt deux integrates particulieres de cette equation.
Or, puigque p = a-±l-^±l et par suite dftSfr^ftSffift
on a en vertu de l'equation (0)
En faisant a=l, on trouve (7==0j et par consequent
c'est-a-dire ?/x = Cya , C etant une constante. Pour la trouver on fera a = 1 ;
on aura
Or
done
Jo FR**"~ Jo +
r°° a?-«^e _ r(i— «)r(«-f/?+/— i)
J0 (l+^F^- "
Jo i^rwf!
r r(i-c)r(«+/>+y-i)
Par consequent l'equation ?j1 = Cy2 donne
x~adx _r(l — a)r(a-{-(J-\-y—l)foc x^dx
f
J o
- Si dans l'equation (6) on met (1 — a) a la place de a, ft et a a la
place de « et ft elle ne change pas de forme.
II s'ensuit que
1Ji~Jo (l + *)B(*+l-«)y"
est de menie une integrale particuliere de la m£me equation. On a done
d y1 d y3
1/3 ~da ~yi~da ~- a«+y(l — a)fi+Y '
256 SUK QUELQUES INTEGRALES DEFINIES.
En mettant xa a la place de x dans l'expression de y4, on obtient
On trouve de nieme, en mettant (1 — d)x a la place de ic,
y,-{L -a) (l+aJ)y[l + (l _«)*]■'
dya y- \— y r°° x-Pdx ■
. Jo (l+^tl + a-a)^"
En substituant ces valeurs, nmltipliant par au+Y(l — a)^+Y et ecrivant C an
lien de — > on trouve
y
(. /- v T00 x~P dx r°° x~a dx
±[ ~a)Jo (l+^[l + (l-«)*]''Ji + +
Pour trouver 6', soit a = 0, on aura
Si Ton fait p. ex. fi=l — a, on aura en remarquant que
7T
/ . sin a?r
r°° x-«dx r°° x*-*dx
■ n_ x f°° x~«dx (,oc x^dx
a)Jo a+^HH**)^ 'Jo m
Lorsque a — y = \ on a
dx
— f°° dx f°°
n aJ0 y*(i+*)(i+a^"'J0 v^(i+^)3[i + (r— «h
4-fl-a) [°° f°° dx
SUK QUELQUES 1NTEG KALES DEPINIE8.
257
Toutes ces int^grales peuvent s'exprinier par des functions elliptique.s.
En effet, soit x = (tang <p)* , on aura apres quelques transformations legeres
7C
2
dcp Cy dcp.cos2(p
Jo Vl — (1 — aJsinV/) J0 Vl — «.sin2<jp
Vo Vl— «sin> Jo VI.— (1— a) Bin V
'est-a-dire, lorsqu'on fait « = c2, b2=l — c2,
^ = ^'(c)£'(A) + ^1(6)i?'(c)-i'"(<')*n(*),
ii, d'apres la notation de M. Legendre,
F' (c) = f1,, *\ , E'(c) = dv . y 1 _«•■»•».
Jo yi— c-sm-qp Jo
La forniule ci-dessus se trouve dans les Exercices de Calcul integral par
I. Legend?-e, t. I, p. 61.
Dans la forniule generate (7) les integrates peuvent s'exprimer par
• /vi v
d'autres dont les limites sont 0 et 1. Soit h cet effet x^-^- — : on aura
1 — v 1
I
a
+ (!-«)
Nous avons vu plus liaut que
dx
0 tr[i-(i-a)yy j0
1 % (1 - y) "+P+Y-1 f ^(l-y^/Hr-
0 Jo
fa. r#
(l_tt.)i-A,(tC-L.a)«+^ " jT(a + /*) a£(l-f a)'
On pent trouver, comnie il suit, une expression plus generate de la-
quelle celle-ci est un cas particulier. En differential l'integrate
rxd.v.x«-i(i— xy-1
par rapport a a, on obtient
33
258
SUK QUELQUES IN TEG KALES DEF1N1ES.
II s'ensuit que
4- _Jf L Ji \u = _ * I-
(2a rjj _j_ «~ a /* a (1 + a)
En multipliant cette equation par fl^(l -)-«)% le premier niembre devient
une ditfeYentielle complete, egale a d[ij . a? (1 -\- a)a], on aura done en inte-
grant
Pour trouver C, qui peut etre une fonction de x] nous ferous « = oc.
On aura
?/ . a?' (1 + a)a= f'dx. x"~l (1 — a;)/*-1,
J o
et par consequent,
Jo '". T A ; jo (a+^)«+^
Si Ton fait a = ~ et par suite w = ?^h™ 0n trouvera
y — a " a-\- x 1
J0 . -=-x (l~x)-'l dy-y-'^-yY-1
=,x-«(i-x)-^-f^ dx.x"-i(i-xy-i+ J\ix.x«-i(i - xy-i\.
En substituant cette valeur, on obtient
C= fdx . x^ (1 - x)%* = -r~A \
Jo v } n"+W
et par consequent
r(« + fi ~ a^ + a) J0 - + f (1 T *)'J0 ^*+^ *
Si p. ex. a -}-/?= 1 7 on aura
sin a™ - a""1 J0 * + « l~ (l-_a.)«-iJo
Si de plus « = 4 , ou obtient
Jo O + a) V^?— ** Jo + V« + a2
SUK QUELQUES INTEGKALES DEFINIES. 259
co qui est juste, ear
dx 2
f £ = , 2 are. tang l/?E« .
71
•2
, 1 JT
et arc. tang* 2 -J- arc. tang- — — -
St
a* a
a — -
a —
III. Soit y= I e-axxa~\\—xy-xdx, oil a>0, /3>0.
J 0
En differentiant par rapport a a on obtient
-^- = — e-axxft(l — xy^dx,
=J\-a*xa+i (1 — a;)^-1 <fa.
Lorsqu'on difterentie la fonction r. = e~°*lcca(l — se)? par rapport a cc
on obtie.nt
dr = ae-°*xa-x (1 — x)1^ dx — («-(-# + a) I1 — ^
-|-ae-ax^"+1(l — a;)'9-1^, ,
done en integrant depuis a; = 0 jusqu'a £C=1, et substituant pour les int£-
grales leurs valeurs en ?/, -=? et 4~ir:
17 7 da da2
On satisfait aussi a cette equation en faisant
a etant positif. Or on a ^ = ^±-^+1, done D(mc
quation (0) donne
dy dyt _ O
7ia ~y ~da ea«"+^
33*
2C>0 SUB QUELQUES INTEGRALES DEEINJES.
Si dans ['expression de yx on met a la place de x, on tronve
J 0
^ = — e-af e-axx^-1 (l-\-x)"dx,
J 0
on bien, en mettant — a la place de
^, =e~° / e-xxt-1 (a -(- x)"^ dx,
En substituant ces valeurs de yt , -J^- de meme que celles de ?/, ~ ^ en nml-
tipliant par eaa"+t}, et faisant a = 0, on tronvera
n oo n 1
C= / e~'dx.xfi+a-4 . / ete.a?5^^ — as)*-*;
Jo Jo
c'est-a-dive
On aura done
Jo Jo
n 1 /ioo
— a e-axdx.xa {l—xy-1 . I e~* dx.x?-1 (a-\-x)—Xi
Jo Jo
Lorsque (3=1 — a , on a
^_=/,,.ff.<-( * ]-.re^(i +-«-)" ' 1
sin (X7t J0 .r I 1 — ■'•/ J() \ 1 .r /
IV. Soit
y = I eax~x* xa~l dx , on «>0.
J 0
Eii differentiant on aura
SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES 261
Or
d(eax-x"-x") = dx . eax-x,-x"-1 (a -|- ax — 2.r2),
done en integrant depnis x = 0, jusqua x = oc, en substitnant les valeurs des
iuteg-rales en ?/, — et et divisant par — 2, on aura
Cette Equation conserve la meme forme lorsqu'on remplace r/ par — r/, done
yz=i/1= I e~ax~xl x(l~x dx
J o
est de meme une integrate particuliere de cette equation. Puisque p est egal
h — on a e~fpaa = Ce* , et par consequent,
Si, pour trouver la quantite constante 0, on fait « = 0 , on trouvera
V=J e~x"'xu~x dx = \v\^ ^ J j
iji= I e~x" xn~x dx=.\T [- -j
done en substituant:
a )
et par suite
_[_ / e*~**4&*x".l e-ax-xtdx.xu-\
262
SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES.
Si Ton met a~\j — 1 a la place de a, on obtient la formule suivante:
Note. Les quantites constantes (exposants), qui se trouvent dans les integrates de
ce memoire, doivent avoir des valeurs telles que les integrates ne deviennent pas intinies.
Ces valeurs sont faciles a trouver.
XYI.
KECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Journal flir die reiue und angewandte Mathctnatik, herausgegeben von Crelle, Bd. 2, 3. Berlin 1827, 1828.
Depuis longtemps les fonctions logarithmiques, et les fonctions exponen-
tielles et circulaires, ont ete les seules fonctions transcendantes, qui out attire
l'attention des geometres. Ce n'est que dans ces derniers temps, qu'on a
commence a en considerer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer
les fonctions nominees elliptiques, taut pour leur belles proprietes analytiques,
que pour leur application dans les diverses branches des matliematiques.
La premiere idee de ces fonctions a ete donnee par l'imniortel Elder, en
demontrant, que l'equation separee
_ das | dy __ Q
Va + (ix + yx% + dx* + ex1 * -f yy* + dy* + fiy4
est integrable algebriquement. Apres Euler, Lagrange y a ajoute quelque
chose, en donnant son elegante theorie de la transformation de l'integrale
~—= =^= > ou li est ime fonction ration nelle de x. Mais le pre-
V(l — p*x*)(l— q*x*)
mier et, si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces
fonctions, est M. Legendre, qui, d'abord dans mi memoire sur les fonctions
elliptiques, et ensuite dans ses excellents Exercices de matliematiques, a de*-
veloppe nombre de proprietes elegantes de ces fonctions, et en a montre
1 'application. Depuis la publication de cet ouvrage, rien n'a ete ajoute a la
2fi4 " RECHERCHES SUR LES F0NCT10NS ELLIPTIQUES.
the'orie de M. Legendre. Je crois qu'on ne verm pas iei sans plaisir des
reclierclies ulterieures sur ces fonctions.
En general on comprend sous la denomination de fonctions elliptiques,
toute fonction comprise dans l'integrale
j Va
R da
Ya -\- fix -f- yx2 -j- d.v'd -f- fi#*
oil R est une fonction rationnelle et a, /?, (T, 6 sont des quantites con-
stantes et reelles. M. Legendre a demontre que par des substitutions conve-
nables on pent toujours ramener cette integrate a la forme
Pdy
I
Y a + bif -f- cy4-
ou P est une fonction rationnelle de if. Par des reductions convenables,
cette integrate peut etre ensuite ramenee a la forme
A + By* dy ■
C+TJy* Ya + by* + cy1'
et celle-ci a
'A-\-Bsin26 d6
f
f
6'-f7Jsin20 Yl—c2 sin* 8
ou c est reel et moiudre que l'unite.
II suit de la, que toute fonction elliptique peut etre reduite a Tune des
trois fonnes:
de
J yi— c»sinV J r ' J i
(1 +«sin20)>/l — c2sin20
auxquelles M. Legendre donne les noins de fonctions elliptiques de la pre-
miere, seconde et troisieme espece. Ce sont ces trois fonctions que M. Le-
gendre a considerees, surtout la premiere, qui a les proprietes les pins re-
marquables et les plus simples.
Je me propose, dans ce memoire, de considerer la fonction inverse,
c'est-a-dire la fonction (pa, determinee par les equations
(16
Yi — c2sin20
sin 0 = (pa = x.
La derniere equation domic
dO (/ 1 — sin 8 0 = d ((pa) = d.r ,
KECHEKCHES SUK LES FUNCTIONS ELLIPT1QUES.
265
i
done
die
y^rx*) (i — c2^2) '
M. Legendre suppose c2 positif, mais j'ai remarque que les fonuules devien-
nent plus simples, en supposant c2 negatif, egal a — e2. De meme j'ecris
pour plus de symetrie 1 — c2x2 au lieu de 1 — x2, en sorte que la fonc-
tion (p(x = x sera donnee par l'equation
— f dic
a ~Jo V(T— 6-2^(1+^) '
ou bien
Pour abreger, j'introduis deux autres fonctions de «, savoir
/« = yr— cV«; ^0=1/1"+ e>*o.
Plusieurs proprietes de ces fonetions se deduisent innnediatement des
proprietes connues de la fonction elliptique de la premiere espece, mais d'au-
tres sont plus cachees. Par exemple on demontre que les equations (pa = 0,
fa = 0 , Fa — 0 out un nombre infini de racines, qu'on peut trouver toutes.
line des proprieties les plus remarquables est qu'on peut exprinier ration-
nellement (p(ma), /(ma), F(ma) (m etant un nombre entier) en (pa, /a, Fa.
Aussi rien n'est plus facile que de trouver (p(ma), /(ma), F(ma), lorsqu'on
connait (pa, /a, Fa', mais le probleme inverse, savoir de determiner cpa,
/a, Fa en (p(ma), /(ma), F(ma), est plus difficile, parcequ'il depend d'une
equation d'un degre eleve (savoir du degre w**).
La resolution de cette equation est l'objet principal de ce memoire. D'a-
bord on fera voir, comment on peut trouver toutes les racines, au moyen
des fonetions (p, / F. On traitera ensuite de la resolution algebrique de
"equation en question, et on parviendra a ce resultat remarquable, que
V~> /— i F~ peuvent etre exprimes en (pa, /a, Fa, par une formule
qui, par rapport a a, ne contient d'autres irrationnalites que des radicaux.
Cela donne une classe tres generale d'equations qui sont resolubles algebri-
quement. II est a remarquer que les expressions des racines contiennent
des quantites constantes qui, en general, ne sont pas ex}>rimables par des
quantites algebriques. Ces quantites constantes dependent d'une equation du
degre* m'2 — 1. On fera voir comment, au moyen de fonctions algebriques,
34
266
KKUIKKCJIES SUU EES EONCTIONS ELLimQUES.
on pent eii raniener la resolution a celle d'une equation du degre m-\-l.
On donnera plusieurs expressions des fonctions y(2w-[-l)«, f(2n-\-l)a,
F(2n -j- l)a en fonetion de cpa, fa. Fa. On en deduira ensuite les valeurs
de 1* m en fonetion de a. On demontrera, c[ue ces fonctions peu-
vent etre decomposers en un nonibre infini de facteurs, et menie en une in-
finite de fractions partielles.
§ I-
Pi'opriStes fondamenbcdes des fonctions (pa, fa. Fa.
\.
En supposant que
(1) (pa — £C,
on aura en vertu de ce qui precede
dx
(2)
a =
Jo y(i — c2#2)(i-hv2)
Par la on voit que a, considere connne fonetion de £C, est positif depuis
X — 0 jusqua x = - • En faisant done
dx
rs) if. =_ .
2 Jo ^(1 — c»**)(l-f
ll est evident que (p a est positif et va en augnientant depuis a = () jusqu'a
to ,
ajff ~sti e* (pi on aura
(4) ■ <,(()) = 0, ^(f]=i.
Comme « change de signe, lorsqu'on ecrit —it; a la place de a?, il en est
d,e meiiie de la fonetion qp« par rapport a a, et par consequent on aura
I equation
y( — aV== — i»a,
En niettant dans (J) xi au lieu de x (ou /, pour abreger, represente la
quantite i.naginaire et designant la valeur de * par fii, il viendra
xi=ip(fti) et /?— f d*
KE01IERCIIES SUK LES F0NCT10NS ELL1PTIQUES. 2<i7
ft est reel et positif depuis x — Q jusqu'a x—^, done en faisant
i
(7)
2 J9 V(l — (1 +
x sera positif, depuis ft = 0 jusqu'a ft= ^ ? e'est-a-dire que la fonetion
\ cp(fti)- sera positive entre les niemes liniites. En faisant ft — a et
cp(ai)
y \ ? on a
Xj,^ . ■■ % ' *•
dy
o V(i-«V)(i + «V)
done on voit, qu'en supposant c an lieu de e et e au lieu de c.
o>(a«) n
j >se enangera en
Et eonnne
y« = } 'l — <p*a '9
on voit que par le eliangement de c en e et <? en f{ai) et F(ai) se
ehano-eront respeetivement en .Fa et /«. Enfin les equations (3) et (7) font
voir que par la nienie transformation oj et to se eliano-eront respeetivement
en uj et oj.
D'apres la formule (7) on aura x= - pour ft=z™, done en vertu
de l'equation xi =.if>(fti), il viendra
i
2 e
2.
En vertu de ee qui precede, on aura les valeurs de (fa pour toute va-
leur reelle de «, comprise entre — et + 2"' et P()Ur toute valeur ima"
o-inaire de la forme fti de cette quantite, si ft est line quantite contenne
entre les limites — % et -f- °' • 11 s'agit maintenant de trouver la valeur
de cette fonetion pout line valeur qiie]con(|nr? reclle oil imagklUiJ©, dti In
34*
0(Jg HECHE RCHES SUR EES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
variable. Pour y parvenir, nous allons d'abord etablir les proprietes fonda-
mentales dee fonctions cp, / et F.
Ayaut
f2a=l — r2cp2a,
F2a — 1 -\-e2cp2a,
on aura, en diffeYentiant
fa .f'a = — c2 (pa . cp'a,
Fa . F'a — e2cpa. cp'a.
Or d'apres (2) on a
cp' a = V(l—e2<p2a)(l + e2<p2a) =fa . Fa,
done, en substituant eette valeur de cp'a dans les deux equations preceden-
tes, on trouvera que les fonctions cpa, fa, Fa sont liees entre elles par les
equations
( (p'a =fa. Fa,
(9) I f'a = — c2 cpa. Fa,
[ F'a = e2cpa .fa.
Cela pose, je dis qu'en designant par a et (3 deux indeternrin^es, on aura
/ ,„/„ ■ ^_<p*.fP-Fp+<pp.fa.Fa
(MJ /(«+«= ^^0^^,
\ v 1 -\- elctcpia . ff*p
Ces formules peuvent etre deduites sur le champ des proprietes connues
des fonctions elliptiques {Legendre Exercices de Calcul integral); mais on
pent aussi les verifier aisement de la maniere suivante.
En designant par r le second inembre de la premiere des equations
(10) , on aura, en differential par rapport a a,
cp'a . fp .Fp + cpp.Fa .fa -f epp .fa . F'a
da 1 -|- e2 c2 cp2 a . cp2 /?
_ {(pa .fp .Fp-\-cpp. fa . Fa) 2 e2c2cpa . cp2p . cp'a
(i^e2c2cp2a7frp)2~
En substituant pour cp'a, f'a, F'a leurs valeurs donnees par les equations
(9), il viendra
RECHERCIIES SUR LES F0NCTI0NS ELLIPTIQUES.
269
dr fa . Fa .ffi . F£ _ 2*2c2r/)2a . (f>*p.fa ,f§ . Fa . FJ
ila 1 -(- e'2 c- (f1 a . qpjl (1 -f- e*e*<p*a . <p*(?j*
, (fa. (pp. (l + *2c2</>2a.r/)2/?) (— c2 F^a-^e^Pa) — 2*2c2y«. (fp . r/>2/? ./*« . F*a
(1 + «*ca*/>*« . <y>*/^*"
d'ou, en substituant pour f~ a et i^2« leurs valeurs 1 — c,-cp2a, 1 — [— ^ 2 y 2 « ,
et en reduisant, on tire
dr _ (1— e2c2(f2a. r/>2/?) [(e2— c2)y« . (pp + fa . ffi . Fa . F(1] — 2e2c'2(fa . (fft (y2a + y2/?)
~da (1 -\-e2c2(p'2a.(p*(fy2
Maintenant a et ft entrent symetriquement dans l'expression de r; done on
aura la valeur de ? en permutant a et /? dans la valeur de ^ • Or
par la l'expression de ^ ne change pas de valeur, done on aura
dr dr
~da=~dp'
Cette equation aux differentielles partielles fait voir que r est fonction
de «-[-/?; done on aura
r = ip(a + ft).
La forme de la fonction ip se trouvera en donnant a ft une valeur particu-
liere. Ep supposant par exemple ft — 0, et en remarquant que y>(0) = 0,
/(0) ±= ] , F(0) = 1 , les deux valeurs de r deviendront
r — (pa et r = ifa1
done
a = f/) a ,
d'ou
r = xf> (a-\- ft) = (f (a -f /?).
La premiere des formules (10) a done effeetivement lieu.
On verifiera de la meme maniere les deux autres formules.
3.
Des formules (10) on pent deduire une foule d'autres. Je vais repor-
ter quelques-unes des plus remarquables. Pour abreger je fais
(11) 1 Jre2r*(p'2a.(p2ft=R.
En changeant d'abord le signe de ft, on obtiendra
270
(12)
KECIIERCHES SUR EES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
_ 2<pa.f(3.F(]
— i '
_ 2(f(1 .fa. Fa
R
_2JaJl
" It '
_-*go8. r/>« . gr>£ . Fa . Ffi
— E '
2 Fa. F{1
_ 2 . (ja . cpp.fa.fft
En formant le produit dc qp (<*.+#) et (p{a~-ft), on trouvera
^ (« . y (a —p)= W-fP- El ± VP •/« • F<* . craJlLF^p—yJ^fia.Fa
II R
cm, en substituant les valours de /»/?, /*«, .F3« en et g>a,
y*a — (p*p — e^-ehf* a . q^i -f e2c2cf2fi . cp*a
<P{« + P) + </>(»
-/?)
<f'(" + P) — 9>(«
-/?)
/(« + /*)+/(«
-0
/(« + /?)-/(«
-/?)
i^o + +
-0
v(« + /*).y(«-/*) =
.ft2
(y2« — ^/*KH- ^y«.y2/?)
#2
or 7j* = 1 -)- e-c-(fj2a . (p-ft, done
(is) * («+/*).?(« -/?)=^--^.
On trouvera de menie
(14)
' /(« + ft) ./(« - ft) = As ~~ s^Sg • F*a m m - °M&£*&
_ 1 _ ^« c*<p*p-c*e*<p*a.<p*p = fiay*F—ji$% **j g*g !
+ /?) . F(« - ft) = ^g^W-/'« uj. Q +
-ft i2
— 1 + * V« + * V/? — <?2c 2ya« . y V _ F*a . F*$ — e* + e*) q>*# .
UECHERCUES SUli LES FUNCTIONS ELLIPTIQUKS.
4.
En farnmi dans les tommies (10) fi = ±\2 » — ±2 «, et remar-
0
quant que /|±^| = 6, i^| + ^zj = 0, on aura
2 <jp«
7<«
(15)
O) .
<p\a±9-i]=±<P\-9l
Fa m
fa '
a ± ^ i \
<-/"«
/cT'
/If-
ou bien:
/
(16)
Vea+6-a 1
2y I a ± 9
,2 .
,./ cd .\ v^+c* 1
^ r% « fee
De la on tire snr le champ
'/ I « — «
(17)
2 «
KECHEKCHES SUK LES FUNCTIONS ELLll'TlQUES
(18)
V*2 +
(19)
En faisant a = y et 2~*i °U 611 d^uit
En mettant ensuite dans les trois premieres equations (17) a-f-^ auj lieu de
«, et dans les trois dernieres a-|-yi au lieu de a, on obtiendra les sui-
vantes
y(a + w) = — /(«+ a») =— /a; F(a-{-ai) =
y(a + a>»)= /(«-[-d)/)= /a; F(a -f-6H)= — Fa ;
et en mettant a -[-to et «-j-fin' au lieu de a:
ftp (2w-|- a) = (pa\ (p (2u)i -f- a) = 9a ; </? (to -f- 8F» -f- a) = (pa ;
/(2a» + «) = /a; /(art +«) = /«;
F(c> + a) = Fa 5 F(26>t-f a) = Fa.
Ces equations font voir que les fonctions </)a, /a, Fa sont des f'onc-
tions periodiques. On en deduira sans peine les suivantes, ou m et n sont
deux nonibres entiers positifs ou n^gatifs:
(p [(m -\- n) iu -\- (m — n) wi -\- a] = (pa ;
y [(m -J- w) a) -J- (m — w -|- 1) toz 4- a] = — ip a :
f2 1) 1 i»
f(2mio -\- n€Si-\- a) =/a ; /[(2m -(- l)to-f- w (Dz -j- a] = — /a.
[ F(nuu-{-2nG)i-\-a)=:Fa; F[mio -f (2w -f 1) wi-\- a] = — Fa.
Ces fbrniules peuvent aussi s'dcrire coniine il suit:
!(p (mio -f- nwi ± a) — ± (— l)m+n(pa,
f(mv) *f ratOi + a) =± (— l)mfa,
F(roro-|-wfl>i±a) = (— 1)"F«.
On peut remarquer conime cas particuliers :
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELL1PT1QUES. 273
iif [moj ± a) = ± (— l)m<pa ) (p {riwi± a) = ±(— l)'l(pa ;
f(mm ± «) = (- l)mfa ; f{nWi± a) =fa ;
F(miQ ±a) = Fa ; F{nWi± a) — (— 1)" Fa.
5.
Les formules qu'on vient d'etablir font voir qu'on aura les valeurs des
functions (pa, fa. Fa pour toutes les valeurs reelles ou imaginaires de la
variable, si on les connait pour les valeurs reelles de cette quantite, com-
prises entre ^ et — g^""6^ Pour ^es valeurs imaginaires de la forme fti,,
ou ft est compris entre -3- et ~ •
En effet, supposons qu'on demande la valeur des fonctions (p(a-\- fti),
f {a -\- ft i) F(a-\-fti), oh. a et ft sont des quantites reelles quelconques.
En mettant dans les formules (10) fti k la place de ft, il est clair qu'on
aura les trois fonctions dont il s'agit, exprimees par les fonctions (pa, fa,
Fa, (p(fti), f(fti), F(fti). II ne reste done qu'a determiner ces dernieres.
Or, quelles que soient les valeurs de a et ft, on peut toujours trouver deux
nombres entiers m et n, tels que a = mu)±a', ft = nw±ft/, oh a' est une
quantite comprise entre 0 et -f--|r> et ft' entre 0 et ~\"^-' Done on
aura, en vertu des equations (22'), en substituant les valeurs precedentes
de a et ft,
(pa =
(p (mw ± a')
= ±(- l)m(pa',
fu =
/(mw + a')
Fa =
F(mu) + a')
= Fa',
■V (/»»") =
(p (nu)i± ft'i)
= ±(- iy<p(p'i)
m) =
f{nmi±ft'i)
F{nmi±ft'i)
= (- iyF(ft'i).
Done les fonctions (pa, fa, Fa, (p(fti), f(fti), F(fti) seront exprimees comme
on vient de le dire, et par suite aussi les fonctions (p(a-\~fti), f(a-\-fti),
F(a + fti).
Nous avons vu precedeimnent, que (pa est reel depuis a = 2 jusqua
35
274
RECHBKCH&8 8U8 EES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
a = -f- \y i et que est reel depuis a = — ~ jusqu'a a = -(- • Doric
en vertu des equations (22) il est clair
1) que (pa et 9\ ) sont reels pour toute valeur reelle de a; y« est
1 , 1 QPfaO I i 1
coinpns entre et -{ ? et . 7 entre et -h •
x c 1 a s e 1 « '
2) que (pa s'evanouit pour a=.mco3 et V pour a = mw, m etant
un nonibre entier positif ou negatif; niais (pa n'est pas nul pour aucune
autre valeur reelle de a.
En remarquant, que fa^ l — c2(p2a , Fa ==j/l-f-eay8a, il suit de
ce que nous venous de dire
1) que les fonctions fa, Fa, /(at), F(ai) sont reelles pour toute va-
leur de «;
2) que fa est conipris entre les liniites - 1 et -j- 1 et Fa entre les
hmites +1 et + j/l+^r' de sorte que Fa est positif pour toute valeur
reelle de a :
3) que /(at) est positif et conipris entre les liniites -)- 1 et j/i
et F(ai) entre les liniites —1 et -f 1 pour toute valeur reelle de a;
4) que/« s'dvanouit pour a = (m -}- 1) to et i^(at) pour a = (7)1+1)10;
niais que ces fonctions ne sannulent pour aucune autre valeur de a.
On remarquera ce qui suit, eomme corollaires des formules (22):
1) Sort a=zO. Dans ce cas, en remarquant que y(0) = 0, /(0) = 1,
F(0)= 1, on aura
\ /(raw -f- won') = ( —
( F(mu) -\-nmi) = ( — 1)\
2) Soit * = y' En vertu des equations:
on aura
^[(m + l) w + wfflt] = (— 1)"+«Jl ,
{ /[(™ + i)«» + »©t] = 0,
-J- |) w -J- *jptj — (__ iy ^
RECHERCHES SUR EES K0XCT10NS ELLIPTIQUES.
275
3) Soit u= i. En vertu des equations
on aura
(/) [mto -|~ (« -[- asi] = ( — ! ,
/[ww + (% + 1) fi>z] == (— 1)'" ^- ,
F[?W(w + (n -f- 1) «jz] =5 0.
4) Soit a = g -|~ z . En vertu des equations ci-dessns on aura
(26) /[(m + t ) a, + (n + *) mi] =
C.
Les equations (23), (24), (25) font voir que la fonction (pa s'evanouit
toutes les fois que a est de la forme a = ma>-\-nu}im, que fa s'evanouit
toutes les fois que a est de la forme a = (m -\- ^)co -\-nu)i, et que Fa s'e-
vanouit toutes les fois que a est de la forme a — mio-\-{n-\-^)Gii. Or je
dis que pour toute autre valeur de r/, les fonctions (pa, fa, Fa auront ne-
cessairement une valeur differente de zero. Supposons en etfet qu'on ait
(f(a+(3i)=:Q,
a et ft etant des quantites reellcs. En vertu de la premiere des formnles
(10), cette equation pent s'ecrire comme il suit:
q*.ftfi)F((ii) + <r(fli)fa-.Fa _ Q
1 -J- e*c*ff2a . cf^Qii)
Maintenant les quantites (pa, /(/??'), F(ft't') sont reelles et <p0i) est
de la forme %At on A est reel; done cette equation ne pent subsister a
moina qu'on n'ait separement
(pa .f{fti) F(fti) = 0 ; (f (fti)fa . Fa = 0.
35*
27C> RECHEROHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Ces equations ne peuvent etre satis.faites que de deux manieres, savoir en
faisant
y « — 0 , (pQ3i) = 0,
ou
f(fii)F(pi) = 0, fa.Fa = 0.
Les deux premieres equations donnent a = mio-, (3z=nffi. Les deux
dernieres, en reinarquant que Fa et f{fii) ne peuvent jamais s'e'vanouir,
donnent
/« = <>, F(/9i) = 0,
d'oft
« = (ra + i>, /5=(^+|)fi>.
Mais pour ces valeurs de a et ft la valeur de <p(a-\-fti) deviendra infinie;
done les seules valeurs de a et /? sont a = mio et [3 = 7,0), et par conse-
quent toutes les racines de l'equation
cpx = 0,
peuvent etre representees par
(27) a? = into -|- ??,«>?'.
De la meme maniere on trouvera que toutes les racines de l'equation
fx = 0,
peuvent etre representees par
(28) x = (m -\- 1 ) to -f- nmi,
et celles de l'equation
Fx = 0.
par
(29)
7.
Les fonnules (26) font voir qu'on satisfait aux trois equations
*i /* = *,. =
en donnant a * une des valeurs de la forme
(30) * = (m + i) to -f (n -f !)«)/.
RECHERCHES SUR LES F0NCTI0NS ELLIPTIQUES.
277
Or on peut demontrer que les equations en question n'ont pas d'autres ra-
cines. En effet, ay ant
i 1 , h 1 h 1
' Jx — r~T' Fx= -. —
les equations en question entraineront celles-ci:
mais en vertu de ce qu'on vient de voir dans le numero precedent, ces
equations donnent respectivement
x — ~ — -fy i = mm -\- nvj i • x — -5- i = (m -j- ^) m -[- ?? u)Y,
x
= mio -[- (w -j- \) to?';
ces trois equations sont equivalentes h la suivante:
x = (w. -f- y) w + (n +1) • h
c. q. f. d.
8.
Ayant trouve connue ci-dessus toutes les racines des equations
(px = 0, fx = 61 Fx = Q,
<Px = i)i fo==h Fx = h\
je vais maintenant ckercker les racines des equations plus generales
(px = cpa1 fx=fa, Fx = Fa,
011 a est une quantity quelconque reelle ou imaginaire. Conside'rons d'abord
l'equation
(fx — (pa = 0.
En faisant dans la seconde des fornmles (12)
x -J- a Q k — a
on trouvera
278 UECIIERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIFTIQUES.
Cette equation ne peut subsister que dans l'un des cinq cas suivants:
1) si y *g a j = 0, d'ou x = a-\- 2nuo -\- 2nG)?\
2) si /f^^J — O, d'ou x= — a + (2m+\)(o-\-2nwi,
3) si F^a]j = 01 d'ou x= — a + 2mu> + (2n+l)mi,
4) si y>('-~Lrf) = Jr, d'ou x = a + (2m-{- 1) <a + (2» + 1) mi,
5) si ?>(^L? J = f, d'ou a = — o-f(2«+ l)w + (2w+ l)ffl/.
La resolution de ces cinq equations est contenue dans les formules (27)
(28), (29), (30).
Des valeurs trouvees de x il font rejeter celles que donne la formule
x = — a -f (2m -f- 1) w -f (2??, -f 1) mi ,
car une telle valeur de a; donne, en vertu de l'equation (22),
(px = — (pa,
tandis qu'on doit avoir <px = <pa; mais les autres valeurs de x, exprimees
par les quatre premieres formules, peuvent gtre admises. Elles sont, comme
on le voit, contenues dans la seule formule:
(31) (— l)m+n a + mm -f
Telle est done l'expression generate de toutes les racines de l'equation
(px ----- (pa.
On trouvera de la meme maniere que toutes les racines de l'equation
fx =fa
sont representees par la formule
(32) x = ±a-\-2 mu) ~f- vCu?\
et toutes celles de l'equation
i e Fx = Fa
par la tormule
x = ± a -)- wfy -|_ 2 ??to/.
BECHEKCHBS SUR LES FONCTIONS ELLM'TIQUIvS.
279
§ n.
Formules qui douneut les valeurs de (p(na), /(****), F(na) exprirrtites en foudions ration-
nelles de (pai fa, Fa.
9.
Reprenons les formules (12). En faisant dans la 1% la 3R et la 5e
a = il viendra
(34) J /(»+W=^/(»-1)/* + */(l,ft'/':
^+1)/?=-^(m-1)/H
R
2F(np)Fp
R
oil B=:l + c2e2(p2(n(3)<p2(3.
Ces formules donnent la valeur de y(»i-J-l)/3 en </)(?£ — l)/i et ip{n(i)\
celle de en f(n—l)(3 et /(/*/?), et eelle de en
i^(?2 — 1)/? et F(nfi). Done en faisant successivement n=l, 2, 3 . . . ,
on trouvera successivement les valeurs des fonctions:
!P(2/S), »(3J8), «jP (4/3).,. #(n/J)i
/(2/3), /(3/J), /(4/S) . . . /(»/J),
*W5 **(M>. W • • •
exprimees en fonctions ratiormelles des trois quantites
ffi, Ffi.
En faisant p. ex. n — 1 , on aura
(35) <|/(2^) = _1 + ^^_, V- ^
Les fonctions (p{nft), f(nft), F(nfi) etant des fonctions rationnelles de
y>/?, //?, Ffi, on pent toujours les reduire a la forme () > oil P et $ split
280 BECttCBCftES SUR LES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
des functions entieres cle f/3, Fj3. De inenie il est clair que le deno-
minateur Q aura la meme valeur pour les trois fouctions que Ton considere.
Soit done
(35') vW)={:' fm=% > F(nP)=%> '
on aura egalement
<p(»+ i)/} = J^ , /(„+i)/?=^±j, F{n+ i)ii=F'»> ,
Vn— 1 Sin— 1
£11 substituant ces valeurs, la premiere des formules (34) deviendra
p , j
ou bien
Q»+l Q»-l(Qn + ^'V£-P»)
Eii egalant les numerateurs et les denominateurs de ces deux fractions,
on aura
(36) P.« = -P^(Ql + c'e'<p>l}.Pl) + 2fl3.,Fp.P.Q.Q^,
(37) Q,+,= Q^Ql+e'c'ip'p.Pi).
La seconde et la troisieme des equations (34) donneront de la meme maaiere
(38) P'ntl = - Fw (« + c'eV/?.^)+ 2//?. P„' <?„<?„_,,
(39) P"»> = -P\-AQl + e*e*<P*p.Pl) + 2Fl1.Pn"Q„Q„_1.
En faigant dans ces quatre formules »=1, 2, 3 . . ., et remarquant qu'on
aura
Gt=i, = p0 = o, p^^,
P„'=l, P/=//?, P," = i, PS^Ffl, . J
on trouvera successivement les fonctions entieres Q , P P " P " DOur
toutes les valeurs de w.
Soient pour abreger:
(40) 9?=*, fP=y,
(41) K=Ql + e*c.*x*Pt,
RECHEKCHES SUli LES FONCTIONS ELL1PTIQUES. 281
les tommies precedeiites doniieront
49) ) *U = - A + 2yz Pn Qn ft_, ,
Eii posant n= 1, 2, on aura
. 4 =^2 + r'V./-2P2 = 1 -f eVa;4,
(43) ^ ft — T'T<>$ + %VzPi Qi Qo=2xyz,
' - P<>| + 2yl>' ftft = ~ 1 - « V*4 + 2//2,
- + »*Pa" ft Go = - 1 - V + 2z\
h>, = Q2 + e2c2x2P\ = (1 + eVa4)8 -f sVaiUs'iV,
p, = - PA + 2y*P*Q*Qt - - »A + tyVsft
ID = *(4^Vft-74),
Ps'= - Pi' * + 2^/P/ftft = -yIt9 + 2yP9'Q%
= y(2Q2P2' -R2),
P3" = z(2Q2P2"-B2).
En continuant de la sorte, et en remarquant que ?/2 — 1 — c2x2,
z2 = 1 -J- e2x2, on verra aisenient que les quantites
-^2n p2n + \ p / -P'an+l p // P 2n
sont des functions entieres des trois quantites a;2, y2, z2r et par consequent
aussi de V une quelcoiique de ces quantites, pour une valeur entiere quelcoii-
que de n.
Cela fait voir que les expressions de <£>(??/?), F(nft) seront de
la forme suivante:
(45) f(2n/3)=Ti, f^n+l)^/^.^,
( F(2nft) = %\ F{2n+l)P = Ffi.T",
ou Y1 etc. representent des fonctions rationnelles des - quantites (<p/?)2, (//?)fj
{F(1)2. 36
282 KECHEKCHES SUE LES FUNCTIONS ELL1PT1QUES.
§ m,
Resolution des equations
"10.
D'aprfcs ce qu'on a vu, les fonctions (p(nft), f(nft), s'expriment
rationnellement en x, y, z. La reeiproque n'a pas lieu, car les equations
(35') sont en general d'un degre tres-eleve. Elles out par cette' raison un
certain nombre de racines. Nous allons voir comment on peut aisement
exprimer toutes ces racines au moyen des fonctions 99, /' F.
A. Considerons d'abord l'equation <p(nP) = ^L, ou Qn.(p(nft) = Pn, et
cherchons toutes les valeurs de x. II faut distinguer deux cas, selon que
n est pair ou impair:
1) Si n est un nombre pair.
D'apres ce qu'on a vu dans le paragraplie precedent (45), on aura
dans ce cas
ou, en vertu des tommies
■e'x
Done l'equation en x deviendra,
<p* (2nft) = x* (yxy (1 _ c^2) (1 -f e'x").
En designant le second membre par" %-2), on aura
<p\2nft) = 0(:x2).
(fft etant one des valeurs de x, on aura
(46) / <p\2n(1) = 0(<f/i1),
^nation qui a lieu, quelle que soit la valeur de ft. On trouvera connne il
-utiles autres valeurs de x. Soit x = (pa one racine quelconque, on doit
. <f/\2nft) = 0(<p*a).
. RECHERCHES SUR LKS FONCTIONS KLLIPTIQUES. 283
Or, en mettant dans (46) a an lieu de /?, il viendra
(r2(2na) = 0((f*a)1
done-
equation qni revient a oes deux que voici:
(f(2na) = (fj(2n[S) et <p(2na)==z ~ y> (tnfi).
La premiere donne, en vertu de (31),
2 na = (— 1) ? +" 2 nft -f m m -f- //. u>
on m et /*. sont deux nombres entiers quelconques, positifs on negatifs, zero
y eompris.
La seconde donne les memes valeurs de 2na, mais de signe contraire,
eonnne il est aise de le voir, en l'eorivant eonnne il suit:
cp ( — 2na) = (f{2 nfi) .
Toute valeur de 2na qui satisfait a lequation (47) pent done etre repre-
sentee par
2 n a = ± [ ( — 1 ) ■ + f 2 nfi -f - m m -f / / & i ] .
De la on tire la valeur de «, en divisant par 2n, savoir
« = ±((- l)-",J+£<» + ,„,
Avant la valeur de «, on aura
(48) yo = ±v[(_ 1)^/9+ ;";<«+|„a":) = ^
Done toutes les valeurs de x sont eontenues dans eette expression, et on Irs
trouvera en donnant aux nombres m et u toutes les valeurs entierex depnis
— jnsqn'a Or pour avoir toutes eel les qui sont ditterentes entire
elles, il suftit de donner a /// et u des valeurs entieres moindres que 2*W.
En efi'et, quels que soient ees nombres, on pent toujour* les gupposer rtfdfiits
a la foruie:
m — 2 n h -f m* , u = 2 n
on /»', h' sont des nombres entiers, et w\ u' des nombres entiers moindres
que 2 it. Ln substituant oes valeurs dans Pexpression de .r, elle deviendra:
80*
284
RKCHERCHES SUR LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
or en vertu de (22) cette expression se reduit a
(49) *=±*((- ir*'p:+£*+&»i).
Cette valettr de x est de la meme forme que la precedente (4*8), seulement
m et u sont remplaces par m! et ///, qui, #tous les deux, sont positifs. et.
moiudres que 2n\ done on obtiendra toutes les valeurs differentes de .r, en
donnant seulement a m et u toutes les valeurs entieres depuis zero jusqu'a
~2n exelusivement. Toutes ces valeurs sont necessairement differentes entre
elles. En effet, snpposons par exemple qu'on ait .
±y((-ir+-/»+^»+^)
il s'ensuivrait, d'apres (31),
(- + £>'=±((- *> + £®«)+fco +
ket k' etant des entiers. Cette equation donne
ji' = k'.2n±[i, m'=ik.2n±m, ( — — + ( 1)"'+".
Les deux premieres equations ne peuvent subsister a moins qu'on n'ait k'—l,
k = 1 , u' — 2n — u , m! = 2n-~ m, et alors la derniere deviendra
^ I)4"— p == ^ i y»+u
d'oft Ton tire
(_ !)*•+»/'=_ i5
resultat absnrde. Done toutes les valeurs de eontenues dans la formule
(48) sont differentes entre elles, si m et // sont positifs et moindres que L2».
Le nombre total des valeurs ■ de x est, eomme il est aise de le voir,
elgal a 2(2w)2=z8^; or l'equation <p*(2n(3) = 0(x2) ne pent avoir de raeinrs
egales, car dans ce cas on aurait ^2=^0, ce qui donnerait pour x une
valeur independante de ft. Done le degre de liquation (p*(2n/?)) = 0(x*)
est egal au nombre des raeines, e'est-a-dire k 8/r. Si par exemple 1 ,
on aura liquation
*um = o(x*) - ^-^3 (i ± £53
BECHERCHES SUB LES FONCTIONS BLLIPTfQUES „ 285
on bien
(1 +<>*c*xy<r*(2i3) = 4x*(l — $x*}(\ -fe***)i
et, d'apres la fornmle (48), les racines cte eette equation, au nombre cle liuit,
seront :
1
2) $?' n est un nombre impair, egnl a 2 n -4-1. .
Dans ce cas n * est, conune nous l'avons vn, une fonction rationnelle
de .r, et par consequent Tequation en as sera:
(50) v(<2n+l)/}'=
2n + l
!<8m + 1
On trouvera, preciseinent comme dans le cas precedent, que tontes les
racines de cette equation peuvent etre representees par
ou il faut donner a m et u tontes les valeurs entieres depuis — n jusqu'a
-J- ??, inclusivement. Done le nombre des racines difterentes est (2 ??. — |— I)2,
(''est anssi le degre de Tequation en question. On pent aussi exprinier les
racines par
*=(-ir^(/?+^,0+24iaH): •;; 7pL£
Si par exeniple n == 1 , on aura une equation dti degre' 3'~9. La
tin-mule (51) donne pour x les 9 valenrs suivantes:
'lift);
■JSC,
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
»("-*+;»■).
■ ,(/»+;-+?•<).
B. Considerons maintenant 1'equation
et cherchons las valeurs de y qui satisfont h cette equation. La fonction
Pnf
^ etant, comme on l'a .vu plus hant, rationnelle en ?/, 1 equation en ?&
pi . '•
en faisant — —tyy, sera
line des racines de cette equation est y ==//?, done, quelle que soit la
valeur de
Pdur trouver les autres valeurs de ?/, ddsig-nons par a une nouvelle in-
connue, telle que y=fa- on aura
f{n(])=y(fa);
or, en vertu de (53) le second niembre est egal k f(na); done pour deter-
miner «, on aura Tequation
f(na) = £(*/?).
Ell vertu de la formule (82) cette equation donne pour expression g^ale
de ??«:
v%« = + nft -f- 2ww -f-
J» et etant deux nombres entiers positifs on negatifc, zeYo y eompris. De
la on tire .
et par consequent:
C'est la valeur generale de y.
KECHEKOHES SUK LES KONCTIONS KLLIPTIQUES,
287
Maintenant pour avoir les valeurs dift'erentes de //, je dis qu'il suftit de
prendre ft avec le signe -j- et de "dormer a, m et // toutes les valeurs cn-
tieres, moindres que- u. En effet, connne on a f(-\-a)=f( — a), on aura
d'abord
Done on pent toujours dans l'expre.ssion fie y prendre ft avec le signe -)-•
Ainsi toutes les valeurs de y sont contenues dans ['expression
n
(54) ,,=/j,H;> r
Maintenant, quels que soient les nombres m et /f, on peut toujonrs supposer
m = k . n -\- m', / r = & . w -jf-
oil A;, k', m\ a sont des nombres entiers, les denx derniers etant en nieine
temps positifs et moindres que n.
En substituant, il viendra
Or, en vertu de la formule (22), le second membre de cette equation est
egal a
(55) ^.+ M(9+£af4j==j,)
quantite de la meme forme que le second membre de (54); seulement m
et f(' sont positifs et moindres que n. Done etc.
En donnant a m et // toutes les valeurs possibles, moindres que », on
trouver'a n2 valeurs de y. Or, en general toutes ces quantites sont ditBreii-
tes entre elles. En effet, supposons par exemple
on aura en vertu de la formule (32), en designant par k, U denx nombres
entiers,
fi+l?.m+i'Hs>{==±h+2™'m+ £ mi) + 2 to + k'mi.
Puisque ft peut avoir une valeur quelconque, il est clair que cette equation
288
UECHEKCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
in- prut subsister a Moilifi qu'on ne prenne dans le .second niembre le signe
superieur. Alors il viendra
Sf»« i J* _ • £mf | (i4 _ . - i •
w+ a) i— vj -+- w i -4- zhoj 4- A; to fc,
n 1 n n ' n 1 * < * >,'MH*ft,lB
d'oii Ton tire, en egalant les parties reelles et les parties iniaginaires,
m = ra' -{- few , u = ((r ' -j- }
equations absurdes, en reinarqiiant que les nonibres m. m.\ it et **' sont
tons positifs et inferieurs a n. Done en general 1'eqnation
a ir raeines differentes entre elles et pas davantage. Or generaleinent tou-
tes les raeines de cette equation sont differentes • entre .elles. En effet, si
deux d'entre elles etaient egales, on aurait a la fois
et eela est impossible, car on reniarquera que les coefriciens de y dans ijjy
ne contiennent pas (3. Done generaleinent l'equation (52) est necessairement
du degre n'\
C. L'equation
P "
(56) F(np) = ~±->
etant traitee par rapport a z, absolunient de la menie nianiere que l'equa-
tion /(»/f)a= ^ l'u e*te par rapport a y1 donne pour expression generate
des valeurs de z
(57) z = F[ftJr^u)+i^ coi
n ' n
oil m et p sont entiers, positifs et nioindres que n. Le nonibre des valeurs
de z est n\ et elles sont en general toutes differentes entre elles.
Done generaleinent l'equation (56) est du degre n\
11.
Nolls
B av.ms trpuve* ci-dessus toutes les raeines des equations
BECHESCHES SLR LES FONCTIONS ELLll'TiyUES.
289
racines, qui sunt exprimees par les formules (48), (51), (54), (57). Toutes
oes racines sont ditferentes entre el les, excepte pour ties valeurs particulieres
de f$\ mais pour ces valeurs, les raciues difterentes sout couteuues dans les
memes formules. — Dans ce dernier cas un certain nonibre des valeurs des
quantites y, z seront egales ; mais il est clair que toutes ces valeurs
egales ou inegales seront neanmoins les racines des equations dont il s'agit.
Cela se fait voir en faisant converger ft vers une valeur particuliere qui
donne pour x, ou y, ou z des valeurs egales.
En faisant dans la fonnule (48) (}=z-^-, on aura Tequation
dont les racines sont
(58) . = ±»((-ir'^+^» + |;**j,
ou m et ft out toutes les valeurs entieres et positives moindres que 2n.
En faisant de nienie dans la fonnule (50) ft = ^ ^ > on aura l'^qua-
P*
tion (pa = q*H+1 ' dont les seines sont
m et tu ayant pour valeurs tous les nonibres entiers depuis — n jusqu'k -\- n.
Enfin en faisant dans les formules (52), (56) /?== — > on aura l'equa-
tion ja — y j dont les racines sont
7-r P "
et l'equation Fa — > dont les racines sont
n
ou m et (u sont renfermes entre les liniites 0 et n — J inclusivement. Si n
est impair et egal a 2w-f-l, on peut aussi supposer
a7
290
KK< 'HKKCHES SUR LES FONCTIOXS ELLJPTIQUE8.
Z = (- lVjl £fl + 2nT 1 W + A mi | ' '
m et ,i« ay nut toutes les valeurs entires de — n a, — j— r*. -
Dans toutes ces equations la quantite a peut avoir une valeur quel-
conque.
Connne cas particuliers on doit remarquer les suivants:
1) En faisant dans (58) et (59) cc = 0, on aura les equations
(62)
(PL = 0, dont les racines sont x = + w\-Zr-v)-\- J
\ 2n 1 2n J
(les liniites de m et fi etant 0 et 2n — 1),
j PiK.l=Q dont les racines sont x = q> I s — — a) -Ps-^ —
I ' \2n-f-l 1 2w-|-l
(les limites de w et ^ etant — w et -^-n).
CM
2) En faisant dans (60) a = y et dans (61) a = ^-«, et reniarquant
flue /( y) — ^i yA = 011 °t>tiendra les deux equations
(63) P„' = 0, dont les racines sont yz=f\^m^\)~^^mi\
(64) P/ = 0, dont les racines sont %=zF\^w -f -(fj»4f£^j
(les liniites de w et ,tt etant 0 et ^ — 1).
3) En faisant dans (58) B==~-f-_t9 et en reniarquant
que
i \ 1 rvr, IV X* .
2^2
y + o M = o ) 011 aura l'equation
dont les racines seront
Les valeurs de aj doivent etre egales deux a deux, et l'on verra aisd-
ment que les valeurs inegales peuvent etre representees par
(65) * = + +
en donnant a m et a tu toutes les valeurs entieres depuis 0 jusqu'a 2n— 1.
Done ce sont les racines de l'equation par rapport a
x
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUER.
291
En faisant de meme dans (59) a — ■■ -(- = t, on aura liquation
dont les racines seront
I z = (_ir+>((™ + i)^ + (,, + i)^),
w et ^ ay ant pour valeurs tons les n ombres en tiers de — v k -\-n.
Parmi les valeurs de .r, ?/, s, il faut remarquer celles qui repondent
a m —n, u =n. Alors on a
* = ^(f + =
* = (-i)'/(f + #•■) = *.
2 12"/ — ^
Ces valeurs infinies font voir que le degre" de l'equation Q2n+1 = 0 est
nioindre d'une unite" que celui des Equations dont elle sort. En ecartant ces
valeurs, celles qui restent, au nombre de (2 t? — |— 1 )2 — 1, seront les racines
de l'equation Q2n+1 = 0.
RAsolviicni algehriqve den equation*
^2n + l - ' -Jn+1 & 2n+l
v2n + l v2» + l v2n + l
12.
Nous avons vu dans le paragraplie precedent, comment on peut aise-
ment exprimer les racines des equations en question au moyen des functions
(p, /, F. Nous allons maintenant en deVluire la resolution de ces memes
Equations, on la determination des fonctions u " > f~r^ F- eri fonctions
de (pa, fa, Fa.
;V7*
292
BECHEEGHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Coninie on a
a I 1 a
on pent supposer que n est un nombre premier. Nous considererons d'abord
le cas ou n = 2, et ensuite celui oh n est un nombre impair.
A. Expressions des /(motions cp " > f—i F ar .
13.
Les valeurs de cp | /| , F~ peuvent etre trouv^es tres faeilement
de la maniere suivante. En supposant dans les formules (35) fi = ~~, et
en faisant
x=<p 2 ' y=f2 ' z==Fit'
il viendra
ou bien, en substituant les valeurs de y2 et z2 en x2 ,
J i + <?«ca* * ' ra~ qiT^i —
Ces equations donnent
d ou 1
et par suite, en remarquant que y2=l — r2x2, z2=l -{~e2x2,
De ees equations on tire, en extrayant la racine carrel, et en rempli
cant x, y, z par leurs valeurs <p | , / 1 , ^| ,
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUE8
Telles sont les formes les plus simples qu'on puisse dormer aux valeurs des
fonctions cp " ■> rZ-^J De cette maniere on pent exprimer algebrique-
£ £ £
merit </) " » / J' ^IT 6n ^6 ^a m®me maill^re (P ~£ '
s'exprimeront en / " > F ~ j et ainsi de srrite. Done en general les fonctions
<P oh ' f 1 " & Jl peuvent etre exprim^es an moyen d' extractions de racines
carrees, en fonctions des trois quantites yrc, /«, .Fa.
Pour appliquer les fornmles trouvees ci-dessus pour la bissection a un
i to * i /> to ^ w + c* ^
exenrple, supposons « = * Alors on aura / ^ - = l), r ^ = j aonc
err substituant,
« V i+ ■ ...»
ou bien
to
4 fc*T^v&-+°i
ec
flL — _J^f!_i5*__ = —Ve*4-c* — e \e' -f- e' ,
294
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
B. Exvressioiifi </<'* ftmcfions cp — -t — « f — ^— • » F-- — en fonction alaSbriatte des
' • 72«-j-l" 2n-j-l 2 w -j- 1 • ^ I
qnantites qa, fa, Fa.
14.
Pour trouver les valeurs de w a. > f a 1 , F^-"-^. en «xx, /'«,
il faut resoudre les Equations
,„„ fW^ /» -P'gn + l jp F/f2n + l
qui toutes sont dn degre (2n-\-iy. Nous allous voir qu'il est toujours pos-
sible d'effectuer algebriquement cette resolution.
Soient
(08) ^ = %^+^t '
et
(69) V',/? = 5>>^-2^),
ou 0 est une racine imaginaire quelconque de liquation 02n+1 —1=0. Cela
pose, je dis que les deux quantites
yP-VxP et (vW^+fafi)***1
pourront etre exprimees rationnellement en (p(2n -\-\)ft.
D'abord, en ecrivant ipxft comme il suit:
2<pl>-f
( 2 Mto \
>'(2»Ti)
****** (350
on voit que (p.ft peut s'exprimer rationnellement en (pp. Soit done
= X((f'ft), on a de nieme
1 1 +"•*.»" d^)^/»
KK( HEKCHES SUB LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 295
ou bien, en faisant
et en substituant ponr //J et Fp leurs valeurs ^1 — c?xl et |/l -j-e2^":
* ( /* ± 2^+1 ) - * \ 1 + ) '
or, / designant nne function rationnelle, le second membre de cette equation
pent se niettre sons la forme
oh R. et R' sont des fonctions rationnelles de x. Done on a
* ( ? ± Si ) = B* ± *>' ^ -^(i+M-
En substituant dans les expressions de et il viendra
fff = £ + V (i-cV)(i + <^s) % vr;,
— n
(70)
\ — n — •
Maintenant, 2L et JJ ' etant des fonctions rationnelles de les quantites
^ O^R, et l£a0*Bj le sont (Wlement. En elevant done yft et \pxp a la
— n — »
(2n+l)iime puissance, les deux quantites {ipp)2n+1 et {ipxPYn+i pourront se
mettre sous la forme:
tyPf*1 = t + t' Y(l — c2x2) (1 + eV),
^#**+' = t — t' Y(% — ~cVy(l +eV),
f et <' etant des fonctions rationnelles de x. En prenant la somme des va-
leurs de (W?)2tt+1 et {>hftY"+1i 011 aura
Done la quantite (t^)*"*1 + (Vi/*)*"^ Peut gtre exprimee ^tionnellement
en a. II en est de meme du produit ffi-ftfl> eonime on le voit par les
equations (70). Done on peut faire
(yPYn+1 + MYn+1 = l>x>
(71)
206 REt'HERCHEK SUR LES EONCTIONS ELLIPT1QUES.
Ix et de\signant des fonctions rationnelles de x. Or ees fonctions out
la propriete de ne pas changer de valeur, lorsqu'on met a la place de x une
autre racine queleonque de 1'equation
y(2«+l)/J=^+'.
ConsideVons d'abord la fonction Ix. En reniettant la valeur de x — tpfi,
ou aura
d'ou l'ou tire, en mettant /?4- 2kt" 4- ~ au lieu de /j,
' z ?< -f- 1 1 2 ?< -f- 1 ' '
if™//? 4. 2X" , n / 21tor , 2Aw \ , 2k'ai . 2kv, \
A [ ^ ( ^ + 2 , + 1 + 2 ,T+-1 j J - ^ ( + 27, + 1 + ) ' ( + 2^j=T + 2 .-+1 ) '
Cela puse, en reniarquant que
+» +» k
(72) vm + k) = 2n q(m) -f [,/,(„* _f_ »)•__ ww i\i
— » — « 1 /J*
on aura, en faisant, dans l'expression de r/^/?, ($ — /? j 2^ ,
=ft/»+£[,(/»+?^)-T(/»+?i!£*a»
or / \ -T- /-j
done
(73) 4'+StH^-.
En mettant dans l'expression de ffi, + ^ + 2^ atl lieu de
on trouvera '\mrt
or en veitu de la fommle (73) on a
KECHEltCHES SUlt LES FUNCTIONS ELL1PTIQUES.
297
done
lQ %W , 2ho \^ ft [R v 2{*+p)ai\
En vertn de la formule (72) on a
done, en remarqijant que #".+r* == « *~* et que
il viendra
(74)
On trouvera de meme
Oes deux equations donneront
I . , 2*'<3i I 2iw \ _ a-*,,,/?
V 3
2fct<H- 2&/(5&
~2w+l
2n + l
+ vi /H — 2«+r~
2n+l
2n + l
En vertn de ces equations on obtiendra, en mettant, dans les valenrs de
*&> et iM wigs* - ueu de ^
r / „ . 2kio-\-2k'Gi
r I a i i*»4^*
Or ^[p + ^^+i**) exPrime mie racine (luelconqUe de
38
298
KECHERCHES SUR LES FONCTIONS EEL1PTIQUES.
Done, comme nous l'avons dit, les fonctions Ix et lxx auront les menies
valeurs, quelle que soit la racine qu'on mette a la place de x. Soient x0,
xtj x2 . . . x2v ces racines, on aura
lX = 2^fl(lxo + lxi H h . •
^x = 2^71 (*i ^o + ^i^'i H h *i *2 v) •
Or le second membre de ces Equations est une fonction raiionnelle et syme-
trique des racines de l'equation <p(2n-\- l)/9=±5?±i, done Aa; et Las pour-
rout s'exprimer rationnellenient en y (2 1)/?. En faisant
lx = B, X1x = 2A,'
les equations (71) donneront
(VW+J (V>i/?)9B+1 = £2'i+1 , (yftyn+1 + a/?)2'i+1 == 24,
d'ou Ton tire
(75) yp = fA + fW^W^ = Zlo^cp, f /J -J- ) .
— \ 2 /< -\~ 1 I
15.
Ayant trouve la valeur de yfi, on en deduira facilement celle de pt$
En etfet, en prenaiit pour 0 successivement toutes les racines imaginaires de
1 equation 62n+\— 1 = 0, et en d&ignant les valeurs correspondantes de A et
B par ^4n £1? A21 B2 etc., on obtiendra
2n-fl •
2n+l
— w \ ^ W -J- 1 /
— n \ 6i -j— 1 j
On connait de menie la sonime des racines:
V
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 299
qui est egale h (2n ■ -j- 1) (p(2n -\- 1)/?, comme nous le verrons dans la suite.
En ajoutant ces equations membre a membre, apres avoir multiplie la pre-
miere par 0^*, la seconde par 6jk, la - troisieme par 0^k ... et la (2n)ihne
par 02~A', il viendra
= (2 n + 1 ) <p (2 » + 1)/? + 4 * ,7' -Vvf PI^^1 ;
1
or la sonime
2n
i+'0r*+0r*H I- 02,
se reduit a zero pour toutes les valeurs de h1 excepte pour k=u. Dans
ce cas elle devient egale a 2n-\-l. Done le premier membre de l'equation
pr^eddente devient
(2« + l)^I(/? + ^r),
done, en substituant et divisant par (2w-|-l)7 on a
Pour fc = 0, on a
2n+l 2n+l
2n+l
+ ...Jr6T^A1, + ]/Al-B
2n+l 2«+1
2« + 1
2n
(77) ^=y(2„+i)/?+g-i-I[ y^+y4:"=5p+ A+yzs-ur-
2n+l
16.
Ayant ainsi trouv<5 la valeur de il s'agit d'en tirer celle de if ft.
Or cela peut se faire aiseinent comme il suit. Soit
(78) ^5t »"^i^r), ^-%*'9l^0j)'
38*
300 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
on a
II suit de la'qu'on peut faire
oh r et s sont des fonctions rationnelles de (/)/?. De la on tire
(79) I %P-f,ft=x(<pp),
I (V»/?)2"+, + (V3/3)8,'+I = ^(^),
/(</>/?) et /,(</)/?) etant deux fonctions rationnelles de (pft.
Cela posd, je dis que %((pft) et ^(y/?) pourront s'exprimer rationnelle-
ment en y^S. On a vu que
(80) . ,Plfi = cpp + k
( 2 rata \
\F\
( 2 ma) \
V2«+lJ
1 -j-e2
c2cp2 1
En faisant (pft = x, on aura une equation en x du degre (2ra-f-l). Une
racine de cette Equation est x = cPl3y or, en mettant y?-f Jkt'\ au lieu de
1 2 n -\- 1
A ft/9 ne change pas de valeur; done x^^fi'^^^J sera une racine,
quel que soit le nombre entier k. Or, en donnant a 7c toutes les valeurs en-
tieresdepuis-^jusqu'a+^^^ + ^i-) prendra 2n+l valeurs diff^-
rentes, done ces %n+l quantites seront precisement les 2n+l racines de
l'equation en x.
Cela pose", en mettant P+~~ de /? dans 1'expression de
V>2/?, il viendra en vertu de l'equation (72)
= 0 ->./* + « -+-»,, j ft + %g±&± )
done, puisqiie §«-*-i*p t / * r 2(m— n— 1) j / 2(m + w)w\
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
301
on en tirera
(81)
De meme on anra
2kto
On voit par ces relations que les equations qui donnent les valeurs des
fbnctions %{<pft) et Xi(fpfi)j conduisent a ces deux egalites:
X
Xx
2hm
De la on tire
x(<p£)
Xt(<pfi)
+n
+11
2kco
2n-fl /_
2 ho
2w+l
Or, ces valeurs de xityfi)- et Xiiffft) son* des fbnctions rationnelles et sy-
metriques de toutes les racines de liquation (80). Done elles peuvent etre
exprimees rationnellement par les coefficiens de la meme Equation, e'est-a-dire
rationnellement en (f^ft.
Soit
. . ^==4 Xi(<Pfl)=**A
les equations (79) donneront
2»+l
d'oii, en remettant la valeur de t^a/?,
(82) y^+y^^^^X^^l^+^i)-
De la on tire, en mettant 6fl au lieu de 0, et en designant les valeurs corre-
spondantes de C et D par Cu et Z^,
En y joignant liquation
302 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
+" / n ■ 2mw
— n \
on en tirera facilement
2« + 1
2w+l
(83) (2n + 1) + jjgfj.,) = y,/* + f , ^ }C, + V Q - 2)««! '
En supposant & = 0, il viendra
<84) ^-iHi ( ^Q + Vcf^r1 + • ••' + 75 +yc?.-2>;:^) .
Cette equation donne </>/? en fonction algebrique de (p^- or nous avons
trouve precedemment (pxft en fonction algebrique de q>(2n^l)8. Done en
mettant ^qzy au lieu de Pi on aura •y(2n^1 j en fonction algebrique
de (pa.
Par une analyse toute semblable on trouvera f\ - ] en fonction de
et ^ 2n+ 1 en fonction de Fa-
ll.
Les expressions que nous venons de trouver des quantity (pxft et (pfi,
la premiere en <p(2n+l)p, et la seconde en <ptfa contiennent chacune la
somme de 2n radicaux differens du (2n + i)«" degre\ II en rdsultera
pour (pft, (Pi(3, (2rc-f valeurs, tandis que chacune de ces quantity est la
racine d'une Equation du (2n-f-l)«~ degre\ Mais on peut donner aux ex-
pressions de (pfi et (prf une forme telle que le nombre des valeurs de ces
quantity soit prdcis^ment egal a 2».+ 1. Pour cela soit
^cos^T + z.sin-lf_;'
2« + 1 1 2w -f- 1 '
on peut faire
Soient de merae
(85) / — V 1 2m + 1 /
V — n \ Z n — j— 1
BBCHERCHES SUli LKS FONCTIONS ELL1PT1QUES.
on aura en vertn de l'equation (74)
2v(bi
303
fit /i
2w+ 1
2v&i
*>;(>+
2w+ 1
2vQi
2n-\-l
2 v(bi
2w+ 1
Soit maintenant
(86)
L & - 0(w/3)
P((pft) et Q{(pP) seront des fonctions rationnelles de y/?; or en niettant
0 | 2mio-\-2uG)i i . . ;T • i i • t <• i / /i
' ' 2n-r{-'l au U ' ' 1 est °^air' en vertu des tommies preceden-
tes, que P et Q ne changent pas de valeur; done on aura
-\-n -\-n
2 2 P
(2n+l)« ^
2mw -f- 2fltik
2w+l
or, le second niembre etant une fonction symetrique et rationnelle des raci-
P
nes de l'equation (p(2n -\- l)/3 = -^1^ ? P(spft) pourra s'exprimer rationnelle-
merit en (p(2n-\~ II en est de meme de Q((pft)> Ces deux quantites
etant connues, les equations (86) donneront
or
done
(^ j/?)2^1 = ^ — yif — ,
Done on aura
^ = wpy . + Hk]fA{ - BV'+l ),
ou Fk et Z7/; sont des fonctions rationnelles de y(2w-J-l)/?. En rempla-
304 KEC1IEKCHES SUR LES EONCTIONS ELLIPTIQUES.
cant Ax et Bx jjar A et B et substituant les valeurs de \fjkfi' et (y1/?)**
il viendra
8w+1 a
\Ak^- ^A\ — B*n+1 = (A + fA2 — B2n+1 yn+l (Fk+ Hh fA* — B2n+1 ),
done la valeur de <px($ deviendra
(87) <l>ip=<p(2n+l)P+ [(A + )fA* - B*»"
+ (Fa + B% VA* — B**+1 ) (A + yP^W**1 j**1
H h {F%m + y^2 — ^2n+i ) (a + yA*—B*«+i)£* ] .
Par un precede tout semblable on trouvera
+ (ic + £2 yc* — ) (o+ yc2—
H h + A. y G^W^1 ) (C + y (J3 — j92*+1 _ .
oil 7T2, Z2, . . . KSn1 L2n sont des fonctions rationnelles de (pxft.
Ces expressions de et y>/3 n'ont que 2n-\-l valeurs differentes,
qu'on obtiendra en attribuant aux radicaux leurs 2n-\-l valeurs. II suit
de notre analyse qu'on peut prendre }A2 — B2n+1 et yC2 — D2n+l avec tel
signe qu'on voudra.
18.
La valeur que nous avons trouvee pour w/3 ou w { n a, A contient
T \ 2n-\- 1 )
encore, outre la fonction (pa, les suivantes:
e, c, 0,
^s^+tJ' /(is+t)'
^(^+rj' ^2^+1)' fJkw
pour des valeurs quelconques de w depuis 1 jusqu'a 2n. Maintenant, quelle
que soit la valeur de m, on peut toujours exprimer algdbriquement V^^^l'
RECHERCHES SUR LES F0NCT10NS ELL1PTIQUES.
305
en (p J 2T~py ) ' T°ut est done eonnn dans l'expression de (p | ^ ^ J i ex-
cepte les deux quantites independantes de a, (p | 2w^j_ 1 j ' y | 2 ^ 1 ) * ^es
quantites dependent seulement de c et e, et elles peuvent etre trouvees par
la resolution d'une equation du degre (2n-\-l)2 — 1, savoir de l'equation
p
> ■ = 0. Nous allons voir dans le paragraphe suivant Comment on peut
en ramener la resolution a celle d'equations moins elevees.
§ v.
C. Sur I'Squalioii -P2«+i = 0.
19.
L'expression que nous venous de trouver pour (p J 2W^_ \ J contiendra,
comme nous l'avons vu, les deux quantites constantes (p | 2?/_!j_ \ ) et 9 ( 2n-\-l ) '
On trouvera ces quantites en resolvant l'equation
P 271 + 1 — ^7
clout les racines seront representees par
/ mco -I- uG)i\
(89) .^(-^J^-j,
ou w et ft pourront etre tous les nombres entiers depuis — n jusqu'a -\-n.
Une de ces racines, qui repond a wj==0, u =0, est egale a zero. Done
P2nfl est divisible par x. En ecartant ce facteur, on aura une equation du
degre (2n-\- l)2 — 1,
(90) fis=4.
. , . (2n+l)2— 1
En faisant x2 = r, l'equation en f, H= 0, sera du degre -g-
= 2w(w-f-l), et les racines de cette equation seront
/ni\ 2lmi0±^ai\
(91) r'-=(P
a et m ayant toutes les valeurs positives au dessous de n -f- 1 , en faisant
abstraction de la racine zero. 39
306
KECHEKCHES till 11 LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Nous allous voir mamtenant, comment on peut ramener la resolution
de liquation lf = Q a celle de deux equations, l'une du degre n et l'autre
du degre 2n-\-2. D'abord, je dis qu'on peut representer toutes les valeurs
de r par
mo)
(92)
en donnant a /t toutes les valeurs entieres depuis zero jusqua 2n1 et a H
toutes celles depuis 1 jusqu'a w. En efiet represente d'abord
n valeurs de r; or les autres peuvent etre representees par y»f m K
Soit, pour le demontrer, mfi = (2n + l)fc-f-m', oh m' est mi nombre entier
compris entre les limites — n et -fw. En substituant, on aura
2n+T
= 9
r I m 7 + f ) = <p* ( ka, + +
I 2m + 1 / M ' 2» + 1
2 / jtlto -f- *3/ \
2^+T"j est donc lllie valeur de r; maintenant, a cliaque valeur de
ft repond une valeur different© de m' . Car si Ton avait
max = {2n-\-l)k1~\-m' ,
ii s'ensuivrait
?<" — M= (2n + l){k — kl),
ce qui est impossible, puisque 2n+l est un nombre premier. Donc
V [m2^fT]' combme avec ^——j, represente toutes les valeurs de r.
Cela pos^, soit
2io
(93)
2« + 1
2n -f-1
2n+ 1
• Pn-i , seront des fonctions rationnelles et symetri-
n+T/J ces Unctions peuvent
etre trouvees au moyen d'une equation du degre 2^ + 2. Soit p une fonc-
tion rationnelle et symetrique quelconque de cp
Les quantites p0j pn
que.** de (p
2n + 1
V
_2w^
2n+l
RECHERCIIES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
307
<p2 ( n0) ___] , oil designe la quantite mto -|- /mot. En vertu des formules
que nous avons donnees plus liaut pour exprimer (p(nfi) en <p/?, il est clair
qu'on pent exprimer y*| ] en fonctiori rationnelle de ^(g^Vl )'
Done on peut ftiire
(94) j> = ? ^(^+l)J = ^ V*
2n+lJ' ^ \2n + l
V
2w-fl [_
0 designant une fonction symetrique et rationnelle. En mettant no' au lieu
de «/, il viendra
(95) y
voj
2// + 1 j _
= 0
VOJ
<f
2 via'
or en faisant
ar = (2n+l)h; + ka,
oh. ka est entier et eompris entre — n et -\-n, la serie
H/j , Zj^ 5 • • • "-'w
aura au signe pres les niemes ternies que celle-ci :
1, 2, 3 ...
done il est clair que le second niembre de l'equation (95) aura la nieme
valeur que p. Done
(96)
2«+ 1
<(
10'
2w + 1
equation qui, en faisant oteca et «/ = ma> + «»\ donnera les deux suivantes:
VltT
(97>
= 1//
2n+ 1 f.
- rncti -\- &i
v "2^+r
done, en faisant, pour abreger,
il viendra
(99) ipr„=Afn\; yrv>m = yn\
Cela pose, soit
39*
308 RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES.
(100) I ^P ~ Wl r ?&f) <3P - (P ~ fr1)2) ...(p- yrh2n)
I - t: -JP + •>? H h q2n+i.p2n+1 +p2n+\
Je dis qu'on peut exprimer les coefficiens q0l qt etc. rationnellement en e
et c. D'abord, en vertii des formules connues, on pent exprimer rationnelle-
ment ces coefficiens en £n *2 . . . f2n+2, si Ton fait, pour abreger,
(101) ^=(^4-(^m>*+.(^*H N^'cv^
II s'agit done de trouver les quantites , . . . ■ or cela pourra aisement
se faire an moyen des relations (99). En effet, en y faisant successivement
v=l, 2 . . . n, apres avoir eleve les deux membra k la kiime puissance, on
en tii-era sur le champ:
(102)
(¥"•0* = ~ [(fnY + (yr2y h [_
Done en mettant pour m tons les nombres entiers 0, 1 . . . %n et en sub-
stituant ensuite dans l'expression de tk, il viendra:
i.tk= (yrj* -f fyrs)* -j [_ ^rn)k
+ + (yrM)* + ••'•+ (^rM)»
(103) i +(^m)*+(^i)*H P^.J*
+ : .
+ (Vrhzny + &r2>2ny-\ Ktff^*
Cette valeur de est, comme on le voit, une fonction rationnelle et syme"-
tnque des »(2» + 2) quantites rt, r2 . . . r r r r r \
, 1 ' 2 rMl '2,0 • • • ?„,o • • ■ » l 2„ ) ? 2 2«
qui sont les n(2n + 2) racines de liquation E=0.' Done,
comme on sait, tk pourra s'exprimer rationnellement par les coefficiens de
cette equation, et par suite en fonction rationnelle de e et c. Ayant ainsi
rouve les quantity, on en tire les valeurs de ^ ■ . , ^ qui seront
egaiement des fonctions rationnelles de e et c. v
20.
Cela pos£, en faisant
(104) () = qo + q>p + q2p*+ • . . +q2n+ip*n + l+pzn+%
RECHERCHES sur les fonctions elliptiques. 309
on aura une equation du (2n-]~2)Veme degre, dont les racines seront
La fonction \fji\, c'est-a-dire une fonction quelconque rationnelle et symetri-
que des racines rx , r2, r3 . . . rn pourra done etre trouvee an moyen d'une
equation du degre 2 72- — |— 2 . Done on aura de cette maniere les coeftieiens
Poi 2h • • »P*-ij en resolvant n equations, cbacune du (2n -)- 2)i>me degre.
Ayant determine p0, pt . . . , on aura, en resolvant l'equation
(105) 0 =Pn -f ptr -| hjfc-i r*~l + r">
les valeurs des quantites
dont la premiere est egale a y2 f ^ j • Done la determination de cette
quantite, ou bien la resolution de l'equation 7?— 0, qui est du degre (2ti-[-2)??,
est reduite a celle d'equations des degres (2 72. — |— 2) et n.
Mais on peut encore simplifier le procede precedent. En effet, conime
nous le verrons, pour avoir les quantites p0, px . . ., il suffit de connaitre
l'une quelconque d'entre elles, et alors on peut exprimer les autres ration-
nellement par celie-la. Soient generalement p, q deux fonctions rationnellex
et symetriques des quantites i\ , r2 . . . rn , on pent faire, conime nous Fa-
vons vu,
p = ipr11 q = eru
ipr1 et 07\ designant deux fonctions rationnelles de i\ , qui ont cette pro-
priety de rester les memes, si Ton change ry en une autre quelconque des
quantites r, , r2 . . . rn . Supposons maintenant
Sk = {yrl)k Oi\ + (yrii{yc 0i\>« + tipri>iy 0rhX^ \- 0/'rM„)* 0rh2n ,
je dis que 8h pourra etre exprime rationnellement en e et c. En effet, on ;i
• {H>rhn)kerx>m = {iprVimyerv>m = |[(w)*ff*> + (fr*-)*^« H
En faisant m = 0, 1, 2 . . . 2n, et en HiiKxtitmmt dans ['expression de on
verra que sk est une fonction rationnelle et symetrique des racines ?•, ,
310
RECHEKCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQlfES.
. . . 7*1 o . . . de l'equation R = 0 ; done sk pourra s'exprimer rationnellement
en e et c.
Connaissant st, on obtiendra, en faisant fc = 0, 1, 2 . . . 2», 2?i-)-l
equations, desquelles on tirera aisement la valeur de 0 r, , en fonction ration-
nelle de ipi\. Done, nne fonction de la forme p etant donne'e, on peut ex-
primer nne autre fonction quelconque de la meme forme en fonction ration-
nelle de p. Done, comme nous l'avons dit, on peut exprimer les coefficients
Poi Ihi • • • Pn-i rationnellement par l'un quelconque d'entre eux. Done enfin,
pour en avoir les valeurs, il suffit de resoudre une seule equation du degre
2 ?z -|— 2 , et par consequent, pour avoir les racines de l'equation i?=0, il
suffit de resoudre une equation du degre 2 ?z — [— 2 , et 2n-\-2 equations du
degre n.
21.
Maintenant, parmi les equations dont depend la determination des quan-
tites (p | 9n°^_ | J ' <P | 2n\- 1 ) ' ce^es cm degrd n peuvent etre resolues alge*-
briquement. Le proedde par lequel nous allons effectuer cette resolution est
entierement semblable a celui qui est du a M. Gauss pour la -resolution de
l'equation
0S"+1 — 1 = 0.
Soit proposed liquation
( 1 06) 0 =p0 +Pl r +p2 r2-| (- pn_^ -f r\
dont les racines sont:
ou io' a une des valeurs cu, wito -|— wi. Designons par a une des racines
primitives du nombre 2 7Z — |— 1 , e'est-a-dire un nombre entier tel que u =
2n-\- 1 soit le nombre le plus petit qui rende a^~x — 1 divisible par 2w-f - 1:
je dis que les racines de liquation (106) peuvent aussi etre representees par
(107) ^(e), ip\at), cp2(ah), (p2(ah) . . . ^(a-1*),
ou f = —
Soit
BKCJBEHCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 31 X
oil k est eutier, et am eutier, positif et moindre que n'-f-lj je dis que les
termes de la serie
1 , «! , a2 . . . an_x
seront tons differens eutre eux. Eu effet, si Ton a
il eu resulte, ou
a
ou
am + a^(2n+l){km + kfl).
II faut done que l'uue des quantites a"1 — a'*, am-[-a« soit divisible par
2»-f- 1 j or supposous m>/t, ce qui est permis, il faut que a^—l ou
tf^+l soit divisible par 2w-(-l; or cela est impossible, car ra — ^ est
moindre que n. Douc les quantites 1, a1? a2 . . . sont differentes eutre
elles, et par consequent elles coincident, mais dans un ordre different, avec
les nombres 1, 2, 3, 4 . . . n. Done, en remarquant que
on voit que les quantites (107) sont les memes que celles-ci:
e'est-a-dire les racines de liquation (106) c. q. f. d.
II y a encore a remarquer, qu'ayant
an = (2n -f l)kH—l,
on aura
an+m _ {2n-\- l)knam — am,
done
et
(p2(an+mt) = (p\amt).
Cela pose, soit 0 une racine imaginaire quelconque de l'equation
Q» —1=0
et
(108) ffy as -f + • • •
En vertu de ce que nous avons vu precedemment, le second menibre de
312 RECHEKC1IES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
cette equation pent etre trausforme en uue fonction rationnelle de y2(«).
Faisons
(109) yt = x((p2t).
En mettaut dans la premiere expression de «/>(*), a'"t an lien de il vien-
dra
y(am6) = (p*(ame) + <p>(am+is) 0 + y 2(«m+2f) Q'2 -\
+ ^(a*-1*) on-m-1 -f 952(«"f) 0" h |- ^£?*t"4f7! ;
mais nous avons vn qne (p2(an+"'t) = cp2(amt) , done
,//(«"'*) = 0""" + <9"-'"+1 </) ■(«) + 0"-m+ V(«2*) -|
+ 0n-1 (p'ia—H) + y2(«"'f) + 0(p2(am+1e) -| |- ••"*^fa(«!^*)j
En multipliant par 0m, le second menibre deviendra egal a done
(110) ip(amt) = 0-mipe,
on bien
d'ou Ton tire, en elevant les denx membres a la niime puissance, et en tenant
conipte de la relation 0"m=lJ
(in) ■ (v«)*=[x(y'(«"0)]"-
Cette formule donne, en faisant successivemeiit m = 0, 1, 2, 3 . . . n — 1,
n equations qui, ajoutees menibre a menibre donneront la suivante:
(112) n(yf)« = [X(<P**)y+ IX(<P°-(™))V + [X(<?' («'-*))]"+ ' ' 1
or le second membre de cette equation est une fonction rationnelle et symd-
trique des quantites <p2«, y2(«f) . . . y*(aM'-1e), e'est-a-dire des racines de l'e-
quation (106); done (</^)n peut etre exprinie en fonction rationnelle de pQ1
Px ' * • Pn-i 5 Par consequent en fonction rationnelle de 1'une quelconque de
ces quantite\s. Soit v la valeur de (^*)n, on aura
(1 13) fv = <ph + Sip* (at) + fy(*'*) H h 0»-xif\an-U).
Cela pos£, soit 0 = cos — ? — f- i 'sin • Les racines imaginaires de l'equa-
tion 0n — 1 peuvent etre representees par
0, 0% . . . 0"-1.
RECBEBCHES SUR LES FONCTIONS ELLIl'TlQIKS. 313
Done en faisant successivement 0 egal a chacune de ces racines ct en desig-
nant les valeurs correspondantes de v par vlf . . . vn^ , il viendra
V*i =y"W+ 0?>2(«*) -) f- On~lip\an-H),
V** =<P2{*)+ 02(p-\ae) -| h^-V^""1^ i
= <jp*(e) + 0- V(««) -I (- ^VC**"1*).'
En combinant ces equations avec la suivante:
— j&-4 = '(«) + y V) H h y V-1*),
on en tire aisement
(iu) <^(«»{) = +»— ys; + + v«3-| —
+«-<—>• fey,
et pour ra = 0,
■j n , n n ♦
(115) y-(e) = (_^_, +y^+y^+ . . . ^yiZ).
22.
Toutes les racines de liquation (106) sont contenues dans la forniule
(115), mais puisque leur nonibre n'est que n3 il reste encore a donner a
<pz{t) une forme qui ne contienne pas de racines etrangeres a la question.
Or cela se fait aisement comme il suit. Soit
n
Vvk
St =
En posant ici a'"t an lieu de fVk se changera en 0~km^vkl et v1 en
0~mvt1 done st se changera en
n n
n n
La fonction coninie on le voit, ne change pas de valeur, en mettant a"'f
40
314 KECHERCHES SUR LES F0NCTI0NS ELL1PTIQUES.
au lieu de e. Or sk est une fonction rationnelle de <p2(t). Done, en desig-
nant sk par /-[^2(f)], on aura
quel que soit le nombre entier m. De la on tirera, de la meme nianiere
que nous.avons trouve (»//«) B, la valeur de sk en fonction rationnelle de
l'une des quantites pQ , px . . . pn_x . Connaissant sk, on a
Done en niettant v au lieu de vx, 1'expression de (p2(amt) deviendra
i / — — n— 1 \
(116) (p 2 («"•«) = — — + 0-m y " 4" s2 0~2m v " H h ^"("-1)m j
pour m = 0 :
(117) 9 2 (« ) = i ( - pn^ -{-V"+s2v"+s3v"-\ h ^ ) •
Cette expression n'a que n valeurs differentes, qui re'pondent aux n valeurs de
i
v*. Done en dernier lieu la resolution de l'equation P2n+1 — 0 est reduite
a celle d'une seule equation du degre* 2 ?z — |— 2 ; mais en general cette equation
ne parait pas etre resoluble algebriquement. Neanmoins on peut la resoudre
completement dans plusieurs cas particuliers, par exemple, lorsque
e = c"|/3 , e = c(2±j/3) etc. Dans le cours de ce memoire je m'occuperai
de ces cas, dont le premier surtout est remarquable, tant par la simplicite
de la solution, que par sa belle application dans la geometric
En effet entre autres theoremes je suis parvenu a celui-ci :
"On peut diviser la circonference entiere de la lemniscate en m parties
"egales par la regie et le compas seuls, si m est de la forme 2n ou
"2 w — |— 1 , ce dernier nombre etant en meme temps premier; ou bien si
"ra est un produit de plusieurs nombres de ces deux formes."
Ce theoreme est, comme on le voit, precisement le meme que celui
de M. Gauss, relativement au cercle.
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
315
§ VI.
Expressions diver ses des fonctions (p(n(i), f(n(f), F(nfi).
23.
En faisant usage des formules connues, qui donnent les valeurs des
coefnciens d'une equation algebrique en fonction des racines, on peut tirer
plusieurs expressions des fonctions (p(nft), f{nP), F(n(3) des formules du pa-
ragraphe precedent. Je vais considerer les plus remarquables. Pour abreger
les formules, je me servirai des notations suivantes. Je designerai
1) Par ^mipm la somme, et par TTmipm le produit de toutes les quan-
* *
tites de la forme ipm, qu'on obtiendra en donnant a m toutes les valeurs
entieres, depuis k jusqu'a k\ les limites k et k' y comprises.
k' v' k' v'
2) Par 2m 2fl \fj{m^i) la somme, et par I7m IT^ip (m1 jti) le produit de
k v k v
toutes les quantites de la forme \p{m^,C) qu'on obtiendra en donnant a m
toutes les valeurs entieres de k k k\ et a les valeurs entieres de v a v\
en y comprenant toujours les limites.
D'apres cela il est clair qu'on aura
(119) 2.vW =v{fy+v(k+i)-\ V
(120) r7mip(m) = f(k).ip(k+l) . . . ip{k'),
k
(121) sm irffa !<) = k v(ki + hn>$ + 1 »>) H h sMh'i tii
(122) nmnflip(muu) = rTft^(kuu) . ff;^(&4a,rt ^f(k»-
Cela pose, conside"rons les Equations
(123) I /(2»+l)/3 = ^T'
Nous avons vu que P2ll+, est uue function rationnelle de X do uegre
4H*
316 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
(2 7Z — [— l)2 et de la forme x.ifj(x2). De raeme P'2n+1 et P"8B+1 sont des
fonctions de cette meme forme, la premiere par rapport a y et la seconde
par rapport a z. Enfin Q2n+l est une fonction qui, exprimee indifFeremment
en x, y ou z, sera du degre (2n-\-l)2 — 1, et contiendra seulement des
puissances paires. Done on aura
p —
-L 2n + l
^£C(2n + l)2
+ •■
• +Sx,
P' —
+ ••
■ +B'9,
P"
x 2n + l
+ •
■+B"z,
^2n + l ===
Cx®n+1)2-
$2n+l =Z
Qfy{2n + \)*-
■■+D',
Qin + l ==
Qf ^(2n + l)»-
-'+•
■ ■ +£»".
En substituant ces valeurs dans l'equation (123), il viendra
{AaP*+* H 1- Bx) =(p(2n+ lyp.iCx***1*-1 -+ \~D),
(A'y**+» + • • • +B'y) = f(2n+l)p.(C'y*+»-*+ • • • + D'),
^ z(2»+d« _| 1_ B" z) = F(2n + 1)/? . (C" 3(2n+1>2-1 -| 1- 2)") .
Dans la premiere de ces equations A est le coefficient du premier terme,
— cp(2n-\- .C celui du second, et — q>(2n-\-l)ft . D le dernier terme.
C D
Done —(p(2n-\-l)P est egal a la somme, et -j-(p(2n-\- 1) (3 dgal au pro-
Aviit des racines de liquation dont il s'agit, equation qui est la meme que
celle-ci :
(124) . *(2* + lj£=§*!.
'«62m + 1
Done en remarquant que ^4, 6' et D (et en general tous les coefficiens) sont
inde'pendants de /?, on voit que cp(2n -\- 1)/? est (a un coefficient constant
pres) £gal a la somme et au produit de toutes les racines de l'equation (124).
De la meme maniere on voit que f(2n-\-l)(3 et F(2n-\- sont re-
spectivement egaux au produit ou a la somme des racines des equations
/(2n + 1)/? = , F (2» + 1)/? = '//"•' -
"<2n + l %i2»j+l
en ayant soin de multiplier le resultat par un coefficient constant, clioisi
convenablement.
Maintenant d'apres le n° 11 les racines des equations (123) sont re-
spectivement :
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUB8.
317
x = (- vr »<p [ft + 2-^r - + *f) i
Wt
= (— 1)" 2? /?
2rc + 1
cu
an
2n+ 1
ou les limites de m et fi sont — w et -\-n. Done en vertu de ce qu'on
vient de voir, et en faisant usage des notations adoptees, on aura les for-
nmles suivantes :
— n — n \
(125)
-n — n
— n — n
-\-n -\-r,
b nmn^P\ft
— n — n
2n + l
WW -(- |U<3i
2n+l
into -\- [A&i\ t
cp(2n + l)ft
+n +» J: , met 4- uai\
— n — M «
F(2n+l)ft
F(2n+l)P
-{-n -\-n l
iB* nmn,f[p
— n — n \
■.B"umnMft
—n — n \
2n-fT~
rnio -\- f.idii
2w+ 1~
mto -\- iiGi
2n+l~
Four determiner les qnantites constantes A, A', A", B, B', B" , ll fau-
dra donner a ft nne valenr particnliere. Ainsi en faisant dans les trois
premieres formules /9 = -| -ffV, apres avoir divise les denx membres par
cpft, il viendra, en remarqnant que (p I 2 ~f 2 * j — fr»
_ y(2n + l)/> \
,_^(2, + l)^
1/1 —~~~~Fj~ t
on a
318
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
A z=
_ 9> ((2n + l)o + nco + n&i + J + f *|
y ((2n + !)« + -" +
? ° + it + t*
y(2n+l)cr
4'
/ (2n + 1)« + no, -f nOf-t-T + f *
/(« + f + V
= (- 1)"
/((2«+l)« + f+*»
/. / . CO . (b .
/(° + T + T'
= (- 1)"
/(•+t)
pour r/ = 0.
/ ((2» + l)a +
F((2n + !)« + *<* + + * t)
_( 1),J,(P»+1)g + T + TQ
*(« + T + T<
= (- 1)"
^(2»-fl)a-ff*)
Ces expressions de A, A\ A" deviendront de la forme -g- en faisant
a = 01 done on trouvera d'apres les regies connues
A=*,A' = A» = t=£.
2n-\-l 2w-J- 1
D'apres cela les trois premieres formules deviendront
f$n + W = sir % % {~ ( i + iSr ) •
(126) I /(2«+l)^=^|„g(-l)v(/?+'™^').
•F(2»-f l)/9:
( 1)» +n +'»
Pour avoir la valeur des constantes B, B' , B\ je remarque qu'on aura
-f-n -(-«
(127) nnn^(m^) = ^0)nmxp(m10)f(-?nJ0)riftyj(0^)tij(0>-u)
— n — n 1 i
X /7ra rTMtp(m,?t)y>(—m, — /*) /7m /7„y(™, —ft) ip(—m,u).
l i
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
319
En appliquant cette transformation aux formules (125), en divisant la premiere
par la seconde par f(3 et la troisieme par Fft, en faisant ensuite dans la
premiere /? = 0, dans la seconde ft==Y et dans la troisieme /?=yt, et en
remarquant que = 2«+ 1 , pour /? = 0, que (&±M=^- !)•
(8n+l), pour fi=$, et que = (_ l)"(2n+ 1), pour fi=*i,
on trouvera
/
f.l6>i
(128)
2w+l "
Hi)*(2«+i)=3'fl./'(f+^r)^/'(|--
ty - into -f- judh' \ /.2
2
(3 .
2n+l
rnto — /.<ct>*
(3 .
"7^
1 2n+l )
2w+l
~2l~\ 2n+l
2n+ 1
En tirant de ces equations les valeurs de i?, B', B", et les substituant en-
suite dans les formules transformers, il viendra
320 - RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
( a m.(o-\-uioi\ ( n ina)-\-uu>i\ I mio — ud)i\ I n mco — ucoi\
j j n ^ / mco-\- fid>t\ 0 2 / mco — ftuit
r[ 2w+1 ) v\ 2w+1
(129)
/(?»+l)/fc=
/\d±mJL„ t j — — —
V2 2n + l ) * \% » 2n+l
N /X ' ' ' ///J. DIM \ " /ill ///?>/ \
2n-f-l/ \'2 2n-|-l
77./ # , i»ai + ^o>t\ 771 / Q mco-\-ftu)i\ „/ mco — [ia>i\ „/ mco — fitbi
^ 2 2rc+l / 1^2 <+ 2n+l j
On peut donner a ces expressions des formes plus simples, en faisant
usage des formules suivantes:
y(/? + tt)y(/? — «) _ ' y2«
- /*£+■)
+ S +
iT2
RECHERCHES SUR LES F0NCT10NS ELLll'TIQUES.
qu'on verinera aisement au moyen des formules (13), (16), (18).
En vertu de ces formules il est clair qu'on peut mettre lea equations
(129) sous la forme:
g>.(2«+i)£=
(2n-fl)^i7„
9>V
2n+l
0 / w (B . , mot
1 1
»'0
r
> -j- /uu)i\
2 / mm — ftufi \
~2n+l /
1 1
„ / <« d> . mco + /<«>1'
, ,'(t> a> . Mflf — fubi
/(sr*+i)/j=
i
2n+ 1
(- l)-(2w+l)//?77.-
1 1-
li"1" 2n-fl
(130) <
/ IT ? a + 2«+i
1 i
J (,T + T* + 2»+i
X /7m IIlt
to men \
Y+ 2n+l j
1 m /t
1 1 1 rr
7*0
/2 U+Ti+-r«Tr
r—
J \2 + 2n+l J
- ft
* I 2 +T
2»-H
mi \
2?X2w+l)/* =
i—
(-l)*(2?*+l)i^/7m^
1 —
' 1
l —
1 —
x r/m /y„
^4.
41
322
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
Ces formules donnent, comme on le voit, les valeurs de (p(2n-\- 1)/?,
f(2n-\-l)(3 et F(2n-\-l)fi, exprimees respectivement en fonction rationnelle
de cp[3. f[3 et F(3 sous forme de produits.
Nous donnerons encore les valeurs de f(2n -j- 1)/?, F(2n-\-l){3 sous
une autre forme, qui sera utile dans la suite.
On a /»#=i — flVA done
x _ /V _ c2((p2(1 — cp*a)
f*a
pa
et
c2
-<p2
+ «)
/2
or en vertu de 1'equation (18) on a
+ a =
e2 + es
Pa
done
1
f2n
1 e2 + c2
J±a e2
cfa
cp * a
On trouvera de meme
1 9*0
ay
V/*
i' -f- &
F* a
1 —
i<12/?
1 e2 + c2
i<^a c2
(jp2a
f7
'/ :
En vertu de ces formules, et en faisant (3 — 0 pour determiner le fac-
teur constant, il est clair qu'on peut ecrire les expressions de f(2n-\-l)(31
F(2n -f- 1)/?, comme il suit:
RECHERCHES KUR LES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
9'P
1 1-
mm
y \ 2~ + 2n-f 1
<r2ft
CO m . VIV)
1 i
V 1,2 T2»-fl/
I1?
X /7m 77
2 / »iw -f- /MM
2»-j-l
9>V
(130')
<W ttf . TRW -4- UU)i
1 H ^ —
2 2 ~ 2n+l
9>V
^(2w+l)/9 = jp/9/7.
m . m ay
— lA
2 2»-j-l
r
0 m , mm
— I i H
2^2 T2n+1
1 1 1
r
t9 . wo -j- [imi
2 lJr 2n-\-l
2- + T1
m vim — fiibi
2" 2n+l
1 —
<r'2P
r
m m . mm
— fttbi \
1 i
& . u mi \
Tt+2~» + l j
V
+
2 ^2n-fl/
v1
rt» . mm
F*+-?
9»V
I ±J- —
2 2 2»+l
Dans ce paragraphe nous n'avons consider^ les fonctions q*(nft), fin ft),
que dans le cas des valeurs impaires de On pourrait trouver des
expressions analogues de ces fonctions pour des valeurs paires de n ; maid
eomme il n'y a a cela aucune difficulty et que d'ailleurs les fommles aux-
quelles nous sommes parvenus sont celles qui nous seront les plus utiles dans
la suite, je ne ni'en occuperai pas.
§ VII.
Developpement des fonctions (pa, fa, Fa en sSries et en produits infinis.
24.
En faisant dans les formules du paragraphe prece*dent ft = 2n -f- 1 ' 011
obtiendra des expressions des fonctions (pa, fa, Fa, qui, a cause du nonibre
indetermine n, peuvent etre varices d'une infinite de nianieres.
41*
324
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Parmi toutes les formules qu'on obtiendra ainsi, celles qui resultent de
la supposition de n infini sont les plus remarquables. Alors les fonctions
(p, f, F disparaitront des valeurs de cpa, fa, Fa, et on obtiendra pour ees
fonctions des expressions algebriques, mais composees d'une infinite de ter-
mes. Pour avoir ces expressions, il faut faire, dans les formules (126), (130),
(X
ft — 2n-\-l ' e* ensui*e chercher la limite du second membre de ces Equa-
tions pour des valeurs toujours croissantes de n. Pour abreger, soit v une
quantity dont la limite est zeYo pour des valeurs toujours croissantes de v.
Cela pose, considerons successivement les trois formules (126).
En faisant dans la premiere des formules (126) (3 = 2n-\- 1 ' et remar"
quant que
(131) %%B(m? u) = 0(0, 0) + i; [0(m, 0) + 0(-m, ())] + [0(0, u) + 0(0, -a)]
— n — n 1 1
n n
+ 2m2„ [0(muu) + 0(-m, -a) + 0(m,-u) + 0(-m,fi)} ,
i i
il est clair qu'on peut mettre la formule dont il s'agit sous la forme.:
(132) (fa =
2n+l
<(
(f
2n +
2n+l
a+mto
(- f(n - m, n - ,,)
1 1
f:£ 2* K (- !) m+fX fi (n - m > » - $ ;
, a—LUoi \
oh Ton a fait pour abreger,
1 I
. 1
2«+l
(133)
'/
+ ^ -f V{>
2«-f-l
r^-Ji
on\ i fa — (m-\- *)» —
7
2n-f-l
I xfj, (rn , u) = ^— -r • J — ; - 1 1 \
I " ' 2« + l \ /« + (m + i)co— ^-f-£)«>t\ ~ + + l
I I 1 \ 2«+l ) V[ 2n+l
Maintenant, en remarquant que
9 / a \ -f ( mi° \ T?( mco
^l2„+lj-t-*>Un+lj - ' 1+<1<>, ,/_-_\ ,(_^_-
2w+ 1 '
RECHERCHES SUR LES FONCT10NS ELLIPTIQITES 325
o (' g \ »/ /^iN w(j^i \
ou 4* et sont des quantites finies, le second membre de liquation (132)
jusqu'au terme qui a le signe — > prendra la forme
or la limite de cette quantite est evidemment zero; done, en prenant la li-
mite de la formule (132), on aura
(pa = — -■ lim. SM JSp (— l)m+fttp(n — m, n — fi)
+ - lim. lra 1„ (— l)m+fl Vi(n — m, 7/ — </),
I Of* f *
«c 1 1
ou bien:
• n — 1 n — 1
(134) fa = - ~ lim. Sm ^ (-
+ Mim.X^(- lr+'^K/O-
0 0
n — 1 n — 1
II suffit de connaitre Tune de ces limites, car on aura l'autre en clian-
o-eant seulement le signe de t. Clierchons la limite de
n — 1 n — 1
0 0
Pour cela, il faut essayer de mettre la quantite* prdcedente sous la forme
oil P est independant de n, et" v une quantite qui a z^ro pour limite; car
alors la quantite P sera precisement la limite dont il s'agit.
25.
Considerons d'abord l'expression
Soit
326 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
et faisons
(136) V%*> ?*) — Qfyh = (2n+l)* ^ ' •
on aura
(137) % (- 1)" f (m,>) iili (- 1)" «K /') = 2 « f !. (- 1)" .
Cela pose, je dis que le second membre de cette equation est une
quantite de la forme s — r-s- •
an -f- 1
D'apres les formules (12), (13) on aura
1 , 1 _ <p(p + e) + q?(p — e) _ 2(f(i.fe.Fe
done, en faisant ^ = 1^ et , = ^t^g + ^ + *>*'' = et
' -j- 1 2?i -f- 1 2n -J- 1
y« .Ft — Ot, on a
Or on a
2»+l/ \2n+l
^ ~9« _1_ 1 9«_L1 r
done
0
2n+l / 2ra + l I (2rc+l)3
f 2« . 2,4a3
*C»i/»)— -/ *_\ _\ l(2n+l)* 1 (2« + l)<
et par consequent
u) - B(m, fi) = 2ft J K^Ti)
|V \2n-\-lJ f \2n-\-lJ \2n+l/ \2n+l/
I 2yl«3
(2»+l)< ./_«
Done la valeur de RM deviendra
HECJ1EIU I1KS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUKS. 327
Cela pose, il j a deux cas a considerer, suivant que €" a zero
pour limite ou nou. *
rt) Si JrAl a Z^r0 P°Ur limite7 011 aura
y \ 2n+lj (2rt + l)2^(2w + l)i'
Jf « j — I />a'
7 I 2n+l| (2«+l)^(2n + T)*'
oil CM, D ont des limites finies; done, en substituant,
(139) n^Ad*.-^- -^J^L
^(2r>+l)*.€* ^(2n + l)»
a2 i> a4
Q« TF Ti C'fi 4
J " ' "
or que ^ soit fini ou intini, il est clair que cette quantite converge™ tou-
jours vers une quantite fiiiie pour des valeurs toujours croissantes de n.
Done on aura
mm ^ ; " ^=^+^,^l3BHEs *"'?M)
ou est une quantite finie independante de n.
b) 8i 2~j~£ a pour limite une quantite finie, il est clair (|uYn dom-
inant eette limite on aura
(141) M _|_ 1 .4. v '.
Cela pose, considerons l'expression J§V ( — 1)" ^w-f *)n a
+ (- 1)— b,_, + (- - fc, + - %i 4 1- (- 1)"-'-' «m&
328 RECHERCHES SUR LES F0NCTI0NS ELL1PTIQUES.
Supposons d'abord que \}~^_ jr ait pour limite uue quautite* liiiie, quelle que
soit la valeur de /i. Alors, eu remarquant que
on aura
done
n— 1
V ( 1\>
(2u+ iy~ + i)
% f2„tiP = ("V - + * " +
ou k — n ou — 1, selon que n est pair ou impair. La quautite B a tou-
jours pour limite une quantity finie, savoir B = 0 si n est pair, et B = Bn_x
si n est impair.
Maintenant on sait qu'une somme telle que
< ~ < + < ~ h — Vk_x ,
peut etre mise sous la forme kv, v ayant zdro pour limite. Done en sub*
stituant
V/ n» & - + * .
7 V A; (2m + 1)2 — (2m+1)2'
or, k etant eo-al a 'w ou a n — 1 , et B fini, la limite de ^ , , sera zero,
- 2m -f- 1
done
Supposons maintenant que ^ — r~r ait zero pour limite. Alors * — ^~
1 2m-)-1 * 2m + 1
a egalement zero pour limite, a moins qu'en meme temps ^Jjl. 3. Pour
limite une quautite finie. Soit dans ce cas v le nombre entier inmiediate-
ment inferieur a ^n, et considdrons la somme
B0-B1 + B2-Bs + . [-(-ly^B^.
En supposant que a soit mi des nombres 0, 1, ... 7/, il est elair que
etl (m 4» *W 4- 6* 4- ' t • i -i
(2m -(- 1) ~ 2w+ 1 a Z6r0 Pour nmite* done, selon ce qu on a
vu, sera une quantity finie, et par consequent
B0-Bl + B2 (- I)"-1 aWrtBj;
JIECI1EKCHES SUB LES F0NCT10NS ELLIPTIQUES. 329
ou R est Qgalement une quantite time.
Consid^rons maintenant la somme
f ' (- i)y - *+i + By+2 1- (- !)-*-« . jjj)]
Si 2«4- l a 1)0llr limite Ulie quantity dirf'erente de zero, on a, comme on
l'a vu,
Rr — K + i = »,/ — o^+ii
si an contraire ^~ETi a Pour llnnte zero, on a
ft =
or, si en meme temps /f>]/w, il est clair qu'en vertn de la valeur de R ,
7 V* — A* — C> ;
or il est clair que i?^ et 6^, tons deux, out pour limites des quantites in-
dependantes de //, done en nommant ces limites B et 6', on aura
et par suite, aussi dans ce cas,
Done, comme dans le cas ou « — r aurait une limite diff'e'rente de zero
2 -J- 1
pour toutes les valeurs de ft, on deniontrera que
(2n+l)» ^ H I" ^_ ^ ^ ^"-^ = (^T+Tj "
Maintenant en combinant les equations ci-dessus, on en tirera
Ji (2n+l)*~-(2n+l)» ^ ' 2n + l'
i>
or
2W_|_ i a z^ro pour limite, done
n-l />
1)/i(2n+ l)2 ~" 2n+ 1
Done cette formule a toujours lieu, et par consequent la formule (137) de-
viendra
n— 1 «— 1
(144) ±„(- 1)"*(W'.") = 2^+T'
0 0 1
42
330 KECHERCHES SUK LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
Cela pose, il s'agit de mettre 2 {— l)^e(m7lu) sous la forme P4- p . 1
o 2?i-{-l
Or c'est ce qu'on peut faire comme il suit. On a
(145)
-2; (— 1) " 0 (m, //) =; (— 1)» [0 (m, w) — 0 fan + 1) + 0 (*,* + 2) ]
\ n
Or d'apres une formule comme on a
6(m,n) — 0(m,n-\-l)-{-0(m,n-\-2)— • • •
oh A, B . . . sont des nombres; or
done en substituant
Q{m,n) — 0(ra, 1) -|- • • •
a I ±Aa6>i [(m 4- |) w -f- (n + (3 i] ,
— a 2 _ [(m + 4) w + («+ |) > i- [a2_ ((m_|_ g^-p („ + ^)ffl7)i]i H
De la il suit que
Done en vertu des equations (145)
n— 1 OO
f*«(- l)"»(m„«) = ^,(- l)".0(m„«)+
et par consequent
n— 1
(146) ^(- l)*#(«,^J==:s l)".0(m,^)
' rv 7' ' y •^""'^ ' 2n+l
26.
n— 1
Ay ant transform^ de cette sorte la quantity ^ ( — 1)^ . xp(m,ji), on tire
de liquation (146)
RECHERCIIES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 331
(147) 1)m-^+'^2nTT'
v oo o o4W_rA
en faisant
oo
(148) . ^^V'^Ml
L i ' ■ '. ' I • 0
or
^ _«, + »i + PaH \~Vn-X_ nv V
f 2n + l~~ 2n-fl 2m + 1 2'
t? ayant zero pour limite. Done l'equation (147) donnera, en faisant n in-
tini,
n— 1 n— 1 OO
(149) lim.J^J^- l)~»y(m,r) = £(- l)".^.
De nieme, si Ton fait, pour abreger,
2a
* ^ ' <" ' — a»-[(i» + iK-(P + *) *q 8
(150)
on aura
n— 1 n— 1 00
(15.1) Km. Sm Spi— lY^yMip) = x(— i)"
0 0 0
Ayant trouve les deux quantites dont l'expression de cpa est composee, on
aura en substituant
y« = -jL|(- i)-f.+±2(- I)" P.' = • f t- 1)" ft? - C).
ou bien, en remettant les valeurs de ffj et
(152) ya =
i oo roo / 2« ?f! 11.
- ^ (- 1) - fa (- iy[ ^n^y^i^^ \ : (C*****^ *''H J
Maintenant
done
2« 2a
332 RECHEKCHES BOS LES FONCTIONS EELIPTIQUES.
done Fexpression de (pa prendra la forme reelle:
(153) (pa =
1 % (_ry»% U1J (2^+1)0 (2/1 + 1)18
« o"V oM lfa-(ro+f)€»]*+(ji+i)*0* [o+(«,+|)«]*+fri + J)*0'
e'est-a-dire qu'on aura
(154) <fa= |-(*.— *.+#,— #,H h(-l)"*. •••)
--§(<V-<V + <V-<V + •••+(- I)"*.'.--),
J> * »» , M
" ~~ [a-(m+i)W]*+^ [a_(IJI+±)w]»+^! [a_(m+i)w]2+?£^!
(155) <
• *V = 1 3
^ [«+(m+i)«]»+^- [a+^+^oj]^^ [a+(„,+|)t.,]2+25f4
Si Ton commence la recherche de la limite de la fonction
h — 1 n — 1 n — l
2£m -2"^( — l)'"+,t ^(nijjLt) par celle de 2( — l)"^(m,/i) au lieu de celle de
0 0 0
»— 1
X.( — 1)" comme nous l'avons fait, on trouvera, au lieu de la for-
0
mule (153), la suivante
(156) (fa =
1.1 f n«j (2f + l)g (2/.+ l)ffl. \
o"V o"V \[a-(m+A)w]2+(^ + |)3dj2 [a+(w+i)w]«+^+i)2<Ii2)'
e'est-a-dire
(157) <p« = " — 3*\ -f btt — 7^ -| [- (— 1 )" (2(« + IUU + . . . )
- ~ (V - + 5*/ - !%* + • • • + (- D" (2 ,« + 1)V + •••),
" (°-ZY+Q.+iy»* L-lff+^+iy* f«-^)'+6.+*)»««
(158) <
* f 1 1 1
(«+£),+&"H),«' (a+^+^+J)'^
KKCUKKCKES SUR LES FONCTIONS KLLIPTIQUES.
333
27.
Cherchons maintenant l'expression de fa an moyen de la deuxieme des
tommies (12G). En vertu de liquation (131) le second membre prend la
forme suivante:
(-i)n
uo)i
« 2»+l 7"
En v faisant ff = 5 c , > et en remarquant qu'alors la limite des quantity
J 1 2 h . -f- 1
contennes dans les deux premieres lignes devient egale a zero, on aura
(159) /«=Bm.(— lj-ix^c-r i)".f (^r^i »—
4- lim. (- 1)" 1. i; (- 1 r • ft (# - "?> f _ tf»
ou Ton a fait, pour abreger,
tp^n — m, n — tii) = ^Ip-|^/^ — 2n+l J "t"/ \ 2»+l /.
Maintenant on a
2f(i.fe _/? ?/? '
/(/? + 0 +f(P - 0 = i '+**?rw ~ «f «V« w+^c.
Suit
on aura
f = 2n -f 1 '
334 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Done on aura, en snbstitnant et en mettant m et ft respectivement an lieu de
n — m et n — u ,
»/>(ra,//) — —
■ ' V 2«+l J
I 2« + l J
•/(
" -1
2 n -f 1 J
(2« + l)[V
f « >
^ 2«+l J
On aura la valenr de ip1{m1ji)i en eliangeant senlement le signe de i. En
faisant uiaintenant
Oim «)— (2™+l)<» + (2g + l)fl»
et
et en eherchant ensuite la limite de la fonetion
0 0
de la meine maniere que prdeedemment, on trouvera
* — 1 n— 1 -I oo / oo \
lhn. Zm 2, (- 1)"' . y (», ^) *± Jl . ^ X (_ l)« . 0 (m /t)
0 0 e 0 \ 0 /
et
n— 1 n— 1 i oo / oc \
Km. X* SJ, (- ^(m, ft) = • X ^m (- 1)-. ^(m, ,,) ;
0 0 e 0 \ 0 /
done en snbstituant dans (159), et en remettant les valenrs de 0(muit) et
61(mun)J on a
(160) /« =
— — ^ 1 f iv( (2wt+1)^ + (2ju + l)^ . (2m+l)q» — (2fi + l)ffl» 1
« o^owV ^ l«a-[(^+i)w + (i" + i)^^?^«2-[(m + ^)W--(^ + ^)^]^'
La quantity renferme'e entre les erocliets pent aussi se mettre sous la
forme
2[c — (m + j)q>] 2[a+(m + *)u]
I « - (« + f ) * + G« + $ ' *" [« + (* + *) to] a + "fr + |) * d>>
RECHER€HES SUR LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
335
done on a aussi
(161) fa =
1 ? (.* ( IV* 2[a+(m+i)''] _~ , ^ 2[g-(m+i)q>]
« o^\7ml ' [o+(ti»+i)w]>+&i+i),08 T'"V ' •[a-(m+|)W]»+(Ai+J)ao»
On aura de la raeme maniere
(162) Fa =
1 ^ / ,m, (2^+1)^ , ^ / 1V< (2/i + l)<&
1 .i I f_iy WW* + 5 (-iy< -
a-
28.
Venons maintenant aux formules (130). Pour trouver la valeur du se-
cond membre, apres avoir fait /9=t= 2w!i.i et sllPP0S^ n v&my nous aliens
d'abord chercher la liniite de l'expression suivante:
0 r mto 4- uwi 4- k ~]
(163) t = nmnfl — r 7 -, i
1 1 !_ y L™
0 r »n<y 4- -f- £ "1
ou h et Z sont deux quantites independantes de n, in, u.
En prenant le logarithme, et en faisant pour abreger
i—
(164) f(mllu) = log
1 —
a r into -j- /«&* + k 1
2["2»T+t]
r 4- «*B*i -Ml
on aura
(165) log -2; tf'K/O- .
Considerons d'abord l'expression .2, ****
336
RECIIEKCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
(166)
on aura
0(m,fi) = log
(HM0 -(- uii)i-\-l)'2
i/>(ra, — 0(m,ii) — log
(jp2
I « -1
_2« + l J
ff2
2»-f 1
1
a .
_2n-f 1 _
" R0 -(- //an"-|- i
2w+1
Cela pose, je dis que le second membre de cette equation est pour toute
valeur de m et ii de la forme
tfj(m, fi) — 0(111, u) a ^n ^ Xy •
Pour le ddmontrer, il faut distmguer deux cas, suivant que la lhnite de
mw-\-fxQi quantite differente de zero, ou egale a zeVo.
2«-J- 1
a) Dans le premier cas on aura, en nommant a la lhnite dont il s'agit,
„ / mo -\- u&i 4- k\ o |
y / trau -f- Ll6)i a I /
» .£+1 .r=-»a + ,l'
'r
+
done
2n + 'l j ~~ (2n+l)a_r(2ri+l)a'
== 1
(2n + l)2f/2a^(2rt+ 1)
9 '
9
2[ 2»+l]
2n -f 1 J
1 —
On a de meine
1 —
= 1
(2/H 1 )LV" F(2n-f 1):
=3 1
(mw+^'+it)2-1 (2n + l)2[^±^^]2 (2n+l)2a2~(2ra+l)2
1 — ,
(mw-^d)* + /)2 — -1 (2n + l)2a2 ' (2n + 1):
RECHERCHES SUR LES F0NCT10NS ELLIPTIQUES.
337
Eii substituant ces valeurs, F expression de y>(m,u) — 0(muti) prendra
la forme:
1 1 1 2fc
I \ At \ 1 (»•+*)* (2n +
( (2«+l)2
(2n+l)»
les quantites i>, vx , ayant toutes zero pour limite. On a
loo- 1 -
par consequent
(2n+iyj — (2»«+l)
— • = (2n+l)s
etc. ;
done
b) Si la limite de la quantite ^n+l" est ^g'ale * Z^r°' 011 aUr*
9 | _l ptf + & V {nrn + jw<3i + *)3 I i (wo + pdtf + ky
»*\ 2«+l (2»+l)> ■ (2n+l)*
"2 + ^'(2»Ti7
0 r wiw -4- fiuii -j- &
(mw + ^ wi + A) + ^ .p^jj,
Si maintenant mco + ^ ne va pas en augmentant indefmiment avec
n, on aura
fr*\irTi\ «3 L 3 •
1 r + A 1 = 1 ~~ + ^ + *)■ "T" (*» + l)a ' .
de meme
Mr-I
2n+l J
done dans ce cas
1 —
ip{m,ft) — 0(m, ft) = log
1 (2n + l)1
/i' ct C ayant des limites tinics, on bien
43
338
ItECHEKCHES SUE LES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
ip (to , tt ) — 0 (to , /,) = pJ+iy '
la liniite de D etant egalement une quantite finie.
Si au contraire. la quantite m& -f- fiMi augmente indetiniment avec
n. on a
vl »■+' J — 3
(2n + l)8 1 i J rmo + yMjat' + t 1 2 1
(ma>-f- + L 2«-f- 1 J (mu> fiibi -\-Js)*
i y 1 mio A- uwi -\- k , .
or les quantites . — -r^p , ' — ont zero pour limite: done la
1 mto -f- jt/ftJi -(- k 2n-\-l r '
quantite pr^cedente sera de la forme
14- g2 . a "
' (2« + l)2 '
ayant une quantite miie pour liniite. En changeant k en /, et designant
la valeur correspondante de A" par At" , la valeur de \p(m,u) — 0{m1fi)
deviendra
«2
' / \ a/ v , 1 + (2n + i)2^'/ a2M"— A") : e
\U(m. ii) — 0(m. u) == log- - T — — = — ±- _ t-l J :
1 | g (2n+l)2 l^(2«+l)2
Maintenant la limite de A" est la nieme que celle de A; or il est clair que
cette derniere limite est independante de to, a (elle est en effet egale au
coefficient de «4 dans le developpement de (p*a). Done on aura
A" =M+v,
et en changeant h en Z,
AS = M+v',
d'ou ^4" — Ax" = v — v' — v. Done J." — ^4/ a zero pour limite, et par
consequent on a
VK /0 — *(*\ /<) = (2W + 1)« *
Done nous avons demontre, qu'en faisant
(167) -«K^) = ^^)-a,
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
:;:',!)
la limite de Am>ll sera egale a zero toutes les fois que mw uuii augmcnte
indefinhnent avec w, et qu'elle sera egale a une quantite time dans h cas
contra ire.
29.
Cela pose, considerons la quantite 2My(m,fi). En substituant la va-
i
leur de y(muii), il viendra:
n n 1 "
(168) ^(w,^>==^ ^(w,/0 + (2n + l)2'f^
Soit ?/ le plus grand norabre entier contenu dans on pent faire
^4.,,* = h4.,,
~i~ An, j' + l ~f" 4»i V+2 ~f" ' ' ' "{"An,**
Or, d'apres la nature des quantites Am>fl1 la sonmie contenue dans la pre-
miere ligne sera egale a. et la seconde egale a 4B'(»--r), ou 4,
est une quantite finie et AJ une quantite qui a zero pour limite, done
M* Am,f=rAm + (n-r)Am' = (2n+l)Bm,
i .
oh
n — v
Done la quantite Bm a zeYo pour limite, v ne surpassant pas ]/ n. Par
la ['expression de Zflil>{m,u) se change en
i
(169) ^ = 61 I***? + 2«+T '
Pour avoir la limite de rfi j'ecris
i
_~ OO 00 . , s
£ „) = s, «k - X #Kf) = f , - ?■ + 1 .
Or on pent trouver la valour de % +») «»'»»'e 8 suit" °" »
340
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
1
0 (m , u -|- w) =z log-
[»Jft> -J- ( ft -j- m) <&t -|- A] 2
1 —
[t«ft> -f- if* ~f~ n) '5*"-f- 1 ] 2
1
« r
De la on tire
on
[mw -J- 0" + M) 0* + ^ ] 2 [mw + (/t + n) idi -f A] 2 /
~l~^a ( + 0 + n)ai + l]*~ [mio + + w) 0i + yt] 4 ) +
>'
0 ^ =
BMW 4- Z . /< ,1 i r men -
— f- dfc-f- ' ■
re 1 7i J 1 re
»«W -j- ^
^ l / «
Or on sait one la lhnite de 2!„ — 0 —
etc.
-j- c3/ -4- — wi
n
est egale a / Ox. tlx, done
f^V^( =/o OiV'dv + Vi, etc.,
et par consequent en snbstitnant
or
■ va2
. »i«4 1
' n
1 2n3
ex
done on aura
Ox.dx-
[ vuo-\-l "12 r»»<y-|-Jfc" i-j .
L ■ re 1 1
etc.
1
| — ^ btf*+.rc5i 71 — \-uji-\-3-ioi
_ ^l-k 1
l i
\-Gi+x(bl J — \-Gl+a:<bi
+6* \m">~
J L n
RECHEltCIIES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. .*> 1 1
La limite de cette expression <lc Ox.dx est zero pour une valeur
queleonque de x. De meme on trouvera que la limite de j Qxx.<l.r est
zero, done
>l aa i «
a2 I | a2 , . *4 \2n+l_ t>
done aussi, en faisant /./. = oc,
d'ou
et
i i
(170) irfimyp) = ^^K^ + WtT'
vm ayant zero pour limite. De la on tire
11 1 V 1
En prenant la limite des deux membra et remarquant que
f 2n+T~ ~ 2»+l
on aura
(171) fim. X. X, = f-(f- ) •
En remettant to valeurs de y(™„«) <* •(»,/•), « P""** <les
airs nombres, on en tire
342
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Par une analyse toute semblable a la precedente, mais plus simple, on
trouvera de meine
(173)
(174)
]im. TTm
i
lim. 77„
ff2
1
ft
_ In -f- 1 _
(p2
711(0 — j— h
in -{- 1
cp2
1
(i
_ 2n + 1_
ff2
Cf2
1
HU9 -j- I "
_ 2n -f- 1 _
«
2n + 1 _
Cf2
//«>* -|- &~
_ 2w -(- 1 _
ff2
1
a
_ 2«+ 1_
(p2
//on -(- V
_ 2« -j- ly
00 1
1 1
(»!« +
/7
i" 1
30.
Maintenant rien n'est plus facile que de trouver les valeurs de cpa, fa.
Fa. Considerons d'abord la premiere formule (130). On a
e cztp
done
2w+l
1 —
» -j- fuTri <o u> .
-r-l
2n -f 1 2 2
]
9>
9»V
n n i
nm nM ) l
a YmiD 4- non 1
1 1 ) 0
(» — to -f- 1) w -)- (n — + -j ) «>*'
2w -f- 1
]
n n
//., n
r
mco
2
» + i J |
9*P
(n — m-|-^)<w-f-(» — /W + i)**
. ; 2»+i t
9?V
1
7) n
== Hk U„
mot -f- fiioi ~|
2n -J- 1 j
i !' 1
'/V
wie> -j- /i to i
2» -f- 1
Cell
pose, si Ton fait /?— g t et qu'on suppose n infini, il viendra,
RECHERCHES SUR EES E0NCTI0NS ELLII'TIQUES.
343
en feasant usage des formules (172), (173), (174), et en reinarquant que la
liinite de (2n-\- 1) (f j j-j est egale a «,
(175) ^ = 0ff.(l-^].tf,(l+-^),]
1 —
A/ ^ '
A Um \ U u a ' ,Jfi
I i 1 11 —
[<ro — + (//— 4)d>i]» * [(in — J)fl» — (/< — J)«iJ" J
Les deux formules (130') donneront de la merne nianiere, en faisant
(3 == • ^ ? et reinarquant que /(0) = 1 , F(0) = 1 ,
(176) /« =
% [ -, ** \ Tr \fr ' [(to— |)W + ^o>i]a ^ [(M_i)w_^r
*** \ -ft.
(177) i<"a ==
[(to— J)tt> + (^— Jf)A*Ja ■ [(»» — |) io — (/t — J)*t]!
X> I ff [wo + ^-^fli]' [too + (/h— jjd>>]a
[(to — £) « -f (^ — \ ) tbi ] 2 [(to — |) w — (ft — \) u>i ]'
On peut aussi donner une forme reelle aux expressions precedentes
comme il suit,
Ob / a2 \ OO I 2 \
(178) ^ = a.rT,[l +■-,--,). 17.(1--,^)
i (g -f-Mo)» 1 . (« — tow) 2 f . , (to — |) » g 2 ^ a
OO OO
X /7m //„
1 1 1 _1_ 2 1 , ["— (™-£M2 I J I «
(179) /^^(l-^^j •
7)t 2 tO 2
OO oc
[«+,',«_.»)„,] a [„_(,»_.$)„]* i <> — |->awa
// // ^a<&' . j "l"(A»-i)ad>*
X JJm Up [« + (»— |)H2 ' i , [«— (to— j)^]a J - , («— Ja »-
A"+" — *)a«>a (/*— i)2<»2 I /*2<»a
(180) Fa=rffl[i+-(F^)
1 , (« -[-•»««) 9 , , (a — mo)9
j *m ' ^ 1 . [«4-(m— |)Ha ' 1 , [« — (to— j)<y]a
1 I (m~ i)3f',2l2
T-^ — 4)a«>2 ( _
^ - TO2W2 |
+ (^ — 1)2^ J
344
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLII'TIQUES.
Ges transformations s'operent aisement mi moyen de la formula
a
a + bi
(a — bi)2
(a + a)2 + b2 (a—ay + b
a2 + b2
a2 + b2
1 +
a — oi
(a + a)
a
a + bi
1 -
a — bi
(a — a) 2
-t u
31.
Dans ce qui precede nous sommes parvenus a, deux especes d'expressions
des fonctions cpa, fa, Fa\ les unes donnent ces fonctions decomposes en
fractions partielles, dont la totalite forme des series infinies doubles, les au-
tres donnent ces memes fonctions decoinposees en un nombre infini de fac-
teurs, dont chaeun est a son tour compose d'une infinite de facteurs. Or
on peut beaucoup simplifier les formules precedentes au moyen des fonctions
exponentielles et cireulaires. C'est-ce que nous allons voir par ce qui suit.
Considerons d'abord les equations (178), (179), (180). En vertu de
formules connues, on a
done
siny
n..
-77 li-
f,t27C2
J; C0S# = /7"„ (l
r z2 ~
1
ft* 71 2
sin z
1
zcosy '
(ft — V*7Z*_
oc
II.
COS z
cosy
En vertu de ces formules il est clair que les expressions de cpa, fa.
Fa peuvent etre raises sous la forme
(pa =
i9
7tl
sin
a —
V)
m- to'
X/7,
j sin (a -f- w«y) ^ • sin (« — mi°) ^ • cos 2 (m — i) w ^
1 | cos [a -f - — w] ~~ • cos [a — (in — i) w] ^ ' 81X1 a 1,110 ^ (a + *nCt)) (a —
r ?rn2
L * J
r/J i —
X ff« I tang[a+(»/<--J)w] ~ ■ tang[a-(m-|)w] ^- cot2 • ^^If,
ItECHERClIES SUR EES FONCTIONS ELLIL'TIQUES.
345
• oo cos (a -I- mw) cos (a — moj) — • cos 2 (m — A) w - —
i< a — cos a — • //„
1 cos [a -(- (m — j) w] • cos [a — (m — £ ) w] - j- • cos 2 ma —
On trouvera des expressions reelles, en substitnant au lieu des fonetions
eirculaires leurs expressions en fonetions exponentielles. On a
sin (a — b) . sin (a-\-b) = sin2 a — sin8 6,
cos (a -|- b) . cos (a — b) = cos 2 a — sin26,
done
la 4- ww • sin (a — mw) - sin - a —
sin
sinJr/iw- — Bin" ww
cos [« +. (m - i) w] • cos [a - (m - J) w] ~- ^ sin2 a ^
cos 2 O — 1) W 4* cos 2 (wi — I ) w
tang [« + (m — J)a>] n~ • tang- [« - (m — £)a>] -CJ- . eot2 (m — -J )ai ~
sin-a^
1 ^-^
sins(w*—
sin - a -—
1 1 r
cos2(m — |)w —
D'apres cela, et en remarquant que
m*w* 1 0+ (w_ |)2w2____ J -
^=^f^ = "7 ?I et «2-(w-i)3^ i-zr^5i
1 = o (m —
i l est clair qu'on aura
sin- a — «
71 ;
sin-wf> — *
w 11 a) » »
sin oo 8111 ""%•)
(181) <pa -
m
it •
cos2(?n — i)0*-^1
44
346
liECHEUCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
(182)
1
sin - a
oc sin - (wi -\- V) to — *
/« = n* . : n . "
sin - a — i
u>
cos 2 (m + -J) w - — »
sin- -7CL
1 —
(183)
— - cos
i\ rr,
m
COS'ltl — 7TI
sin- — 7Ci
m
COS2 (»W 1) — Tti
En substituant au lieu des cosinus et sinus d'arcs imaginaires leurs
valeurs en quantites exponentielles, ces forniules deviendront
. u a
J h* — h *w
I
(184)
(pa — \ — I h
oc
nm
i
h *
h° — h, ®
1 —
u
a a
h 10 ' — h ^
<" -f-/i w
(185)
/« = -7
°
14-<
(m-hi ) --- 7T — — /r
A » — h w
_ 71
(m+l)
a -\-h a
fa a \
(186) Fa==£U* +/*
oc
77™
TO — /t
/i ■ -\-h
™ 1 a a
1 4- { ?
. (m— j) -_ -» : (">— i) jff"*
ou A est le nombre 2,718281...
On peut encore transformer ces formules -de la inaniere suivante. Si
l'on reniplace a par ai, on aura les valeurs de (p(ai), f(ai), F(ai). En
cliangeant maintenant c en e et e en c, les quantites
RECIIERCIIES SUR EES EONCTIONS ELLIPTIQUES.
:>> IT
(«, to, (piai), f(ai), F(ai)
se changeront respedavement en
u>, CO , ?'(/)«, /V*,
done les formules preeedentes donneront
4shv>[-^]
(187)
(188)
(189)
14
9
w . arc jZ.
a = — sin — ii„
7T to ,
mu),T wicD.T ~| 2
h~»~ — h »~
4 sin1
(2m— 1)<3,t (2?n— l)(3/r ~| 2
2(0
+ /»
2«J
4 sin
1 +
0
(2m+l)a)/r (2m+l) i5/t '
h *" — h *w
4 sin'
" (2m+l)a>/T (2m+l)(3/r ~|2
4 shv
[v]
/»=cosl^l A7«
/l 5 + /r
jh(S f ~1 2
V- J
4 sin:
1 —
[(2w— l)(3/t _ (2m— l)<3/r ~| 2
/t 2«, 2«
32.
Considerons maintenant les formules (160), (161), (162). On a
(2,1+1)* _
(— i) pqr^ + i)^* A»+A
done, en faisant
—y
=*> (2,t + 1)0 .-^ : —
44*
348
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELEIPTIQUES.
En vertu de cette formule il est ais^ de voir que les expressions (153),
(162) de (pa et Fa deviendront
(190) (pa =
2 _i - ^- M
0 I ,(«-(«4-i)w)^ ; , — (« — (m + D'o)7^ 7 (a + (m + i)w)~ i , — (a-f(m-K)ai)— *
h
a -f A
(191) jFa=:
2 7T 00
c <3 m
0 "' f («_(«,+ •)(«,)— (a — (m-K)«)-^ , . ,— (a+(M+4)w)^ 1
A w -|- A " A w -f- A w
Les expressions precedentes de (pa. Fa, peuvent etre mises encore sous
beaucoup d'autrCs formes; ]e vais rappeler les plus remafquables, D'abord
en reunissant les termes du second membre, on trouvera
9 7r 00
an an
h~*—%~~*
A w A
2 «/t
2 air.
ion ion
, (2»i4-l) — , ,— (2m+l) —
(193)
Si, pour abreo-cr, on suppose
11
h a + A
an
~<3
A w -fA
11
c a 0 ro 1 2ftT
W/f. w/t
A o -f A ffl +// 18 + /i 45
tore
f et % — r
(194) &a
ces fonuules, en developpant le second membre, deviendront
(195) (pa =
2 7C
ec (0
■■+*'■'+ r<i + £3 + a + £ -l0-Ma+ ^ + ~
(190) .Fa =
c (3 1 £
r + 4
' A.
r ■ I
1~7~T"T-
^5 + i
^ + «2 + ^ + ~ ^ + «2 + 7^ + ^ -10 + «2+~ + ^
r +
En niettant ai au lieu de a dans les formules (192), (193), en changeant
ensuite c en e et e en c, et remarquant que les quantitds
RECHERCHES SUR EES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
W
, to, y(«z), F(ai), li1* —h *, A • + A *,
so changeront respectivement en
«}, to, i(p{n)i fa, 2?'. sin a — »
2 cos a
il viendra
(197) V« = |^f »(-!)'
I?
h ,0 — h w
-f- 2 cos 2a— -|- A
(198)
fa —
e (o
cos
. . Sot , i iv*7*
a(-+4)» - + /r("+i)-
771 \
• (a"
En faisant pour abreger
<° 4- 2cos2« 4- /*
(199) /*2w = (>,
et en developpant, on obtiendra
(200) v («f) =
4 7T . 7T
sm « „
'r — -
^+2coS(«7r) + <712 e«+2coS(«7r) + i), 2 cos («,r) + ^
(201) f(a~]
4 7C / 7C
cos a s
<>* + 2cos(«*)+^ "r^+2cos(Wr) + ^ elH»C«H+^i
r +
En substituant dans les formate (190), (191) au lie. d, *]JJ et
leurs valours * et r, il viendra
(202) <pa == £ -| 2. (- 1 )" ( ^^^TfT^^ " .^+.^*^?rw)
9 r 00 / 1
(203) Fa = - Zm [ ^=q^^ + i^^^^-*--!
En supposant main ton ant «< jfj on' aura
350
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
gr— 2n»— 1 I 1 ?,2m + l 1 | c2y — 4m-
g— lr— 2ro— 1
— 2 „, — 4m — 2
5.,— 10 m— 5
done
2 tz;
#c a (
2 ?r
tfc (J)
y« = ± £ Zm (- f"1) r-2—1 - (*3 - 6-3) r-Gn!-3 + (£5 - f-5) r
oc oo
Or
Zn (_ l)m r-2™-1 — r-] _ r-3 _[_ r-'° ■
0
oo
^ ( l)mr"~ 6m— 8 = t~ 8 r~9 | r~~15
1 + r-a ra + 1
T+7^« = rc + 1
etc.,
done
(204)
71 £ £"
—5
' ec Q \r -\- r~ 1 r'A -\- r~ 1
De la meme maniere on trouvera
(205)
Fa =
2 71 I £ -f- £— 1 «3 + S
c tjj \r — r
—3
rp 5 j rji* 5
£5-f- £~5
,—5
En mettant a^i au lieu de a1 et changeant ensuite e en c et c en e,
se cliangent en
<3
+
Wi , 771
tw, to, up la g I >
(3
done
(206) y «-=- =
4 7T
to
4 7T
e to
W« 2 cos | ma ~ j > 2 t sin | ?w« J J ;
fBin[af]
[cos[«|]_
[3gf] ■ sin[5ftf]
. . 1 ' . . 1
1
9—7
r
Ces quatre dernieres fornmles offrent des expressions tres simples des
fonctions (pa, fa, Fa. Par differentiation ou integration on pent en deduire
une foule d'autres plus ou morns remarquables.
LtECHERCHES SUlt LES F0NCTI0S8 KLLIPTIQUES.
353
33.
Dans le cas oh. e = c, les fornrales prdc&Lentes prennent unc forme plus
simple, a cause de la relation = qui a lieu dans ce cas. Soit pour
plus de simplicity e — c—\. On a
done, en substituant, et faisant dans (204), (205) a — a-^i il vient
9. «f
a a an San _3"j? 5flt7r
7t | AT _ fcjT h~* -h~ 2 , A a -A
lj ±C* h* +h 2 A 2 +h 2
f a/i «/r 8«7r 3«/t 5«/i _5<^
r I tt ^ | = J \ — ^ %n 3/r \ 5;i 5/i
2 w
| kJr-h 2 A 2 — A 2 A2 —A ■
J 1 + A3*
4- sin
2 j
I 1 + A**
71
3 —
I A 2
4- cos |
5«
fl
5-
A '
) A3" — 1
A571 — 1
Les fractions <p, /, F sont determines par les equations
2.,
Si dans les deux dernieres formules on feit a = 0, et qu'on «m-n,uo
»ii i rip ^ est eo-ale a - , et celle de -V^l
qu alors la valeur de f — est egaio » ^ ^ ^ .t
sin a L 2 J
a wi, on trouvera
I hT *T \$ / / f '^=,
Y = 2jl jp~IT — /t37T^l"t"A^ — l I JoVi — ^4
* = «■ - + 5p4+T- • ••!=(]„ 7W) •
352
RECHERC1IES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
§ VIII.
Expression algebrique de la fonction dans le cas oil e — e—1.
Application a la lentniscate*).
34,
Dans le cinquieme paragraphs nous avons traite l'equation Pn = 0, d'oii
depend la determination des fbnctions ^(v) et ^e**e equation,
prise dans toute sa generalite, ne parait guere resoluble algebriquement pour
des valeurs quelconques de e et c; niais neaninoins il y a des cas particu-
liers, oil on peut la resoudre conipletement, et par suite obtenir des expres-
sions algebriques des quantites (p J ~ J et (p | ^ J en fbuction de e et c.
C'est oe qui arrive toujours, si <p | J peut etre exprime rationnellenient par
(p | — | et des quantites connues, ce qui a lieu pour une infinite de valeurs
de — • Dans tous ces cas l'equation Pn = 0 peut etre resolue par une seule
et meme nietliode uniforme, qui est applicable a une infinite d'autres equa-
tions de tous les degres. J'exposerai cette nietliode dans un nienioire separe,
et je me contenterai pour le moment a considerer le cas le plus simple, et
qui resulte de la supposition e — c=l et n = 4v-\-l. Dans ce cas on
aura
/' dx v
a = I ? ou x = wa .
(208) JoVl-^4
fa — yi — y2«, Fa =]/ 1 -f- <p*tt'
De menie
(209) (p(a i) — i . cpa ,
ce qui se fait voir, en niettant xi au lieu de x. Cette formule donne en-
suite
*) La premiere partie de ce memoire contestant to) sept premiers paragraplies a paru dans le detixieiM
tome du Journal fur die reine und angewandte Matliematik, la seeonde partie se trouve dans le troi-
sieme tome.
Note des editcurs.
KECHEUCHES SUR LES F0N0T10NS ELURTIQl I s. U|
<21°) f(ai) = Fa; F(ai)=fa.
Us deux quantity e et c etant egales entre elles, il est clair eu w
de meme des deux^uantites que nous avons desigufe par u, et Co E„
efiet on aura
(211) j* a _ f1 dx
V 2 ~~ 2 "
en
fo Vl —
35.
En posant clans les formulas (10) fit au lieu de ft on en tirera,
ayant egard aux equations (209) et (210),
<p(a + fit) -^f&'W+i^M'**
(212) / y(a^fii)=z fa'FP-i fr**-<rP-F<*:fP .
F(a 4- == Fa-fP + i'<ra-irP-fa-FP
Done, pour trouver les fbnetions /, ,F pour une valeur iinaninaiic
quelconque de la variable, il suffira d'en connaitre les valeurs pour des va-
leurs reelles.
En supposant a = m<$1 fi = fi$, on voit que (f (m -|- // i)#rf (m -f- u ?') <)\
F(m-\- pourront etre exprimes rationnellement par les six fonctions
Buivantes :
(p(md), ?>(//(?), /(«<J),
/(;,<?), F{md\ F(u<J),
et par suite aussi par des fonctions rationnelles des fcrois fouctioiu
Fd, si m et ft sont des nombres entiers. En suivant ce developpement, on
voit egalement, et sans peine, que dans le cas oil m-\-[i est un nnmbiv im-
pair, on aura
(f (in -4- it i) d '= ipft . 2\
ou T est une fonetion rationnelle de (<pd)%, {F$)\ e'est-a-dire de (ytf)8.
Done en faisant tpd = x, on aura
<p ( /// 4- u i)d = x. if (x -) .
45
354 RECHERCHES SUR LES FONCT10NS ELLIPT1QUES.
Eii chaiigeant (T en ipd se cliangera en <p{di) = i . cpd — ix, et la
fonction ip (in -f - ft i) d en i(p (m -f- tu i) d1 done
tp(m-\- [ii)dz=x.if)( — x2)-
par consequent on doit avoir ?//( — x2) = *p(x2)y ce qui fait voir que la fonc-
tion ip(x2) ne contient que des puissances de la forme xin. Done on aura
(213) ip(m+fii)d = x.T,
ou T est une fonction rationnelle de x4.
Cherchons par exeniple l'expression de <p(2-\-i)& en x. On a d'apres
les foraiules (212), en faisant « = 2(T et f} = d,
, (2 + o j = *&> •* • »+% ■ ■
Or les formules (10) donnent
e'est-a-dire, en remarquant que ipd = x, fd = ^l — x2 et i^<^ = y 1 — |— x2,
rm=2*ytt. /m=i^g.
En substituant ces valeurs et en reduisant, il viendra
ri&i A3 i ft* 2 — 2tf8 + i(l — 6.<c* + «8) • . 1 — 2i — *4
Expression algebrique de cp
,4
4f + 1
36.
On peut, connne on sait, decomposer le nombre Av-\-l en deux carres.
Done on peut supposer
«2-f /9* = 4j/+ 1 = (« + pi) {a — pi).
Nous chercherons d'abord la valeur de w\ t° „.]: car celle-ci etant trouvee,
on en tirera facilement la valeur de (p |^y^|_-j| •
RECHERCHE* SUR EES F0NCTI0NS ELL1PT1QUE8. 355
La somme des deux carres «2 et ft* etant impaire, 1'un des nombres a
et ft sera pair et l'autre impair. Done la somme a -\- ft est impaire. Done
pn vertu de la forinule (213), on aura
(216) </>(«+ = a;
oil T et S sont des fonctions entieres de x*?=(<tpd)*. En snpposant (? =
gji le premier membre de l'equation (216) se reduit a zero, et par con-
sequent x = (p | a~^j~pi | sera une r{lcilie (le l'equation
(217) T=0.
Done on aura la valeur de (/)|fr^^| au moyen de la resolution de cette
equation.
D'abord on peut trouver toutes les racines de l'equation T= 0 a l'aide
de la fonction (p de la maniere suivante. Si T= 0, on doit avoir
<$(a 4-^)^ = 0,
d'ou Ton tire, en vertu de (27),
(« -\- fti) <f === mw -j- fi&ki = (m -f- jftiQ to ,
et de la
*=^±£«,
et
(218) ' *M(?££4
Dans cette expression sont consequemment contenues toutes les racines de
l'equation T= 0. On les trouvera en dormant a m et /* toutes les valours
entieres depuis — r oo jusqu'a -|-oo.
Or je dis que les valeurs de x qui sont ditferentes entre elles penvent
etre representees par la formule
ou p a toutes les valeurs entieres depuis Jusqua -f- 2
Pour le demontrer, soient X et /' deux nombres entiers qui satist'ont a l'e-
< [nation indeterminde
— P.k=l]
356
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
soit de plus t un n ombre entier ind&ermine', et faisons
k = ul-\-ta, k' = — ul' — ifiy
on en d^duira sans peine
tu-\-(3Jc-{- ak' = Q,
et si Ton fait
y = m -\- ok — file',
on veriliera aise'ment 1'equation
De la on tire
* ( £pf " ) = 9 [ - k"> ~ k '•»»" )
or d'apres la relation (22) le second menibre se reduit a
done
Maintenant F expression de p deviendra, en y substituant les valeurs de k et k',
i> = m + fi (ka r/f) + 1 (a2 + /?2) ,
d'ou Ton voit qu'on pent prendre t tel que la valeur*de (>, positive ou ne-
gative, soit inferieure a — ^ — Done etc.
Toutes les racines de 1'equation T=0 seront representees par la for-
mule (218'); or toutes ces racines sont ditferentes entre elles. En efi'et si
Ton avait par exeniple
on aurait d'apres la formule (31), (en remarquant que w — io)
= (- 1)"' + (* + ™>,
d'ou Ton tire
an + (3111 = 0- q = (— 1)™+W -f- am — fin.
RECHEBCHES SUU LES FONCTIONS ELLIPTIQl.'ES.
357
La premiere de ces Equations donne n = — $t\ <>h / est un
entier indetermine. En vertn de ces relations, Impression de (> deviendraii
d'ou. Ton tire
a2 -f jP '
ce qui est impossible, car on reinarqnera que p' sont tons deux inferieurs
a + Done les racines differentes entire elles de l'equation T=() sont
25
an nombre de I. II fant voir encore, si l'equation en question a
des racines egales. En differential l'equation (216) on en tirera, en remar-
quant que d (pa = da .fa . Fa ,
(« + ,80 ./(« + aw . F(a + .s+[ f ) • ?(« + ft*
= x'lJ-f».n + T.f!l.F».
ax ¥
Si maintenant 77 a des facteurs egaux, il faut que T et s soient eganx
a zero en nienie temps; done l'equation precedente donnera
-8 ./(« + /**) * • + W* — 0 5
or on a y(« + /?tV = 0, done /(« + ± 1 = + et
consequent
1 5 = 0,
ce qui est impossible, car nous supposons, ce qui est permis, que T et 8
n'aient point de facteurs communs. Par la on voit (pie l'equat.on
27= 0
est dn degre par rapport a «, et aura pour racines les qnan-
tites :
ivlif^r ±»(s+^),---±,pl— "» •+'•'
En faisant x2 = r, on aura une equation
(219) U = 0
dn degre-°^f-~ = 2r, dont les racines seront
358 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
(220) cp*(d), (/>2(2r?), y>2(3<?) . I . y2(2;/fV),
% i / / » to
ou pour abreger on a suppose a = ^ .
Cela pose, on peut, aisement resoudre l'equation 7^ = 0, a l'aide de la
nietliode de M. Gauss.
Soit f une raeine primitive de a2-}-/?'2, je dis qu'on peut exprimer les
racines coninie il suit:
(221) y2((V), y2(^), (p*(*y)y 9>*p*$ • • • (f2{^-1^).
En effet, en faisant
(222) £» = ±«w + /(«2 + /?2),
a2 -f- S2
oh am est momdre que — 011 ilura
if (• - rf) = * ( + «„ J + y^ff » ) = v E± «l * + « («-/*>] ,
ou, en vertu de la formule (22),
et par suite
cp\z™d) = <p\aj).
Je dis maintenant que tous les nonibres 1, axi o2, a3, . . . atv_x sont inegaux
entre eux. En effet soit par exemple am = an, on aura
Des deux equations (222) et (223) on tire, en eliniinant am,
gin _|_ gn
^ = un nombre entier.
«a -f (P
€2m £2n
Done en multipliant par tm-\-en1 on trouve que a2 _|_ est ©ntier, et par
suite i tfif > ce es^ impossible, ear « est une racine primitive de
a2-)-/?2, et 2m — 2n est moindre que «2-j-/?2 — 1. Done les 2r nonibres
1, a, etc. sont differens entre eux, et par consequent, pris dans an ordre
different, ils sont les niemes que les suivans:
1, 2, 3, 4 . . . 2r — 1.
On voit par la formule tp\tmd) = (f\aj), que les. quantites (220) et (221)
coincident, mais dans un ordre different.
RECHERLHES SUR LES FONCTIONS KLLIPTIQUKS.
359
Maintenant on pourra r^soudre l'equation E=0 exactenient de la menu-
maniere que l'equation (106). On trouvera (116)
Pv ' «• i 1 8
(224) <p2{iMd) = jv [ + A + 0 -\ v** + s, 0-*m .vTy-\
oil 0 est une racine imaginaire de l'equation 6»2r — 1=0, et s2, »3, . . .
siv__x\ A seront determines par les expressions
_ T^(d) + e^9,*(«J)+■fl»^g)»(«"d)^-...4•»^1)*•9,Vr~1<,) .
?* — "[^(d) + 0 . + 0 V(e3<>) H h fl*^"1. g> V"1 W
i = + -f- y«(«»,J) -1 f- y*^'-1*),
qui, par le precede* p. 312, 313, 314, peuvent etre expires raiiotmellemerU
par les coefficiens de l'equation £ = 0, qui seront de la forme A + Bi, oil
A et £ sont des nombres rationnels. Done la formule (224) donne l'expres-
sion algebrique de toutes les racines de l'equation lt = 0, et par consequent
les valeurs des fonctions
I co \ ( 2o> \ l(2v-l)co\ fl)/"g*» V
37.
Ayant trouve par ce qui precede la valeur de fjj^ji °H * ^
eelle de la fonction
I'll
comme il suit. La valeur de J^'U dmmera <*lle * *[t=!*,
ehangeant element i en - f. De la on tire la valeur de f(ST?J+B_^J
par la formule (10), savoir
300
RECHERCHES SOR LES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
or
mo | mo) 2mao) 2inato
a~+~(H ~T a — ffi *"'*" a* + jj* 4v-f 1 '
done on aura la valeur de la fonction
Maintenant pour avoir la valeur de cp | j—pj J » oh n a une valeur dd-
terminee querlconque, il suffit de determiner in et t de la maniere que
n = 27na — (4k -(- IV,
ce qui est toujours possible, en remarquant que les deux nombres 2 a et
4 7/ -[- 1 sont premiers entre eux ; car alors on obtiendra
f { 47+T ) = f [ 47+ 1 + ) = (~ ? J f [ 4, + i ) •
En posant par exemple n = ly on aura la valeur de cp | ^ i j '
38.
Le cas, ou 4k-[~1 a la forme l-f-2n, est le plus remarquable; car
alors rexpression de cp | ^ ^ ^ | ne contient que des racines carrees. En effet
on a dans ce cas 2v — 2"_1, et par suite la formule (224) fait voir qu'on
peut ddduire cp(tmcf) de 6 et v, en extrayant settlement' des racines carrees.
Or v est une fonction rationnelle de 0 et de Y~ 1 , et 0 est determined par
1'eYpiation 02" =1, d'ou Ton tire 0 par des racines carries; done on trouve
aussi v ' et la fonction
Connaissant de cette maniere «q •, ■ J ? on aura de meme wl- """ . et de
la, par la formule (226) la valeur de f j'^t*^»J — ^(4^ 1 ) ' en extrayanr,
des racines carrees.
EU5CHERCHES SUli LES K0NCT1ONS KIXIPTIQUES.
:;<;i
39.
Un autre eas, oil la valeur de Peu* ^tre determiner par dee
rat ines carrees est celui ou n est une puissance de 2, corame nous l'avons
vu n° 13. Done on connait la fonetion et ''on commit de nieme
la fonetion (p f ^2*) ^ 0,st un uoniDre premier.
Soient maintenant 1+2", 1+2"', 1 + 2%...1+2V plnsieurs
noinbres premiers, on connait les fonctions
et par suite la fonetion
j HHs- +
2»" 1 2M> ' 1 + 2»« 1 1 1 + 2
= <P
m
m to
2n(l + 2».)(l + 2"0-"(1 + 2V)
ou m! est un nombre entier, qui, a cause des inde'terminees w,^, wi,, . . . w»„
pent avoir une valeur quelconque. On pent done etablir le tlieoreme sui-
vant: "La valeur de la fonetion <p(~) pent etre exprimee par des racines
Carrees toutes les fois que n est un nombre de la forme 2" ou un nombre
"premier de la forme 1 + 2", ou meme un produit de plnsieurs nombres de
"ces deux formes."
40.
En appliquant ce qui precede a la tem-
niscate, on parviendra au tlieoreme enonce
n° 22.
Soit Fare AM=a, la corde AM=x et
I'angle MAP=0, on aura
da =
40
362
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
En efi'et, 1' equation polaire cle la lemniscate est
x = y cos 2 6 ,
(I Oil
da . Yco& 2 6
dO— . —
sm 2 0
et
da1 == da;8 -|- a;2 c/02,
done
7 a 72/1 i a*2 cos 20 \
in2d)a /'
mais de l'equation a: = ]/ cos 2 0 on tire cos20=z:tj2, cos220 = £c4, 1 — cos2^|
= 1— x* = (sin 2d)2, done
e/cc2 = tfa;2 1 1
et par suite
yi—
et
1 — ^4 /
as
= (pa,
Si Ton suppose a? = 1, on aura a == A MB = ~ . Done la cireonference
AMBN=uj. Supposons niaintenant qu'il s'agisse de cliviser cette cireonfe-
rence en n parties egales, et soit Tare AM = — AMBN = — to, on aura
Done on aura la corde, et par suite le miime point de division, si Ton con-
nait la fonction or e'est ce qui a toujours lieu lorsque n est decom-
posable en nonibres premiers de la forme 2 et 1 + 2", comme nous Favons
vu dans le numero precedent. Done dans ce cas 011 pent construire les points
de division a l'aide de la regie et du compas seulement, 011 ce qui revient
au meme, par Pinter-section de lignes droites et de cercles.
UECHERCHES. SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
3(>3
§ IX.
tfape ii» /auctions <p, /, F dans la transformation des /auctions eUipa,Vu>s.
41.
M. Legendre a fait voir dans ses Exercices de calc. int, comment l'in-
tc'omle /yi_y ■> qui, en faisant sin^s, se change en
Kl-^)(l-«-'.^)' pCUt gtre transfom>ge en d'autres integrales de la meme
forme, avec nn module different. Je suis parvenn a o-enc'raliser cette theoric
par le tlieoreme suivant:
/
Si Ton designe par a la quantite + («— fQ<rt oft r,ln ;
hi
moins des deux nombres entiers m et est premier avec 2n-fl, on aura
/ f dy —+a f ^
ou
(227)
2/
= f-
1
= r
~<P
c,
c
1
= r
el
e
X
a
= f.(<pa
*-2)'(l -f e*v*)
(ff2a — x*) (r/>2 2« — .g2) . . . (y2Wq — -g»)
f + «)-y(f + 2«)...y(f + ««
2
(3 s
f etant une indeterminee, de sorte qu'il n'existe qfc'une seule relation entre
les qnantites cn en c, e. Les qnantites e8 et <?2 pourront etre positives on
negatives.
Par ce the'oreme on pent trouver une infinite de transformations difift-
tentes entre elles et de celles de M. Legendre.
42.
Soietit m et u deux nombres entiers, et faisons pour abreger
(228)
(m -\- n) to -f (?« — f*)&i
2n-}-l
4(1*
364 RECHERCHES SUR LBS FONCTIONS ELLIPTIQUES.
ou Ton suppose que run des deux nombres ra, /u, soit premier avec 2n-\-l.
En designant par 0 une quantite quelconque, il viendra, en vertu de
la formuie (22)
(229) <p[0 + (2n+l)a] = cp0.
En mettant 0 — na au lieu de 0, on obtiendra
(230) cp [0 + (n -f 1) a] = (p(0 — na).
Cela pose, considerons 1' expression suivante
(231) <px0 = cp6 + <p {0 + a) -\ 1- <p (0 + na) -| \-<p(0 + 2»4
En mettant 0 -[- a au lieu de 0, il viendra a cause de l'equation (229)
(232) tp1(0 + a) = <f>iei ^ 1
done si ra designe mi nombre entier quelconque,
(233) cp1(0^rma) = ip1O.
En vertu de l'equation (230) on peut ecrire l'expression de </)x0 , comme
il suit:
(234) <pl0 = <p0 + <p(0 + a) + y(6 — a) + <p(0 + 2a) + (p(0 — 2a)-\
-f- <p (0 ~\- na) -{- (p (6 — 7ia) ,
ou, en vertu de la formuie
/v 1 y 1 +g2c2(f/)#)=!(f/)m)2
(235) cp^^cpO
■ 2cpB.fa.Fa 2cfO.f2a.F2a 2cpB.fna.Fna
I l + e2c2cp2a .cp20*l + e2c2cp22a.cp2B > ' ' ' ' I" 1 -(- e2c2cp2na Tcp^B '
En faisant cpO — x, cpxQ devient une fonction rationnelle de sc. En la de-
signant par on aura
(236) ym = x.li + —&i*?_
r I 1 1+ c2c/cp2a. x* I ' 1 + e2c2cp2na . .v2 J
43.
Maintenant soit « une quantite* quelconque, je dis qu'on aura
RECHERCHES SUR LES FUNCTIONS ELLU'TIQUES. .,<;;>
/qq7\ i */W fs ) ("^ 9°(£ + «)) (*~" + ' ' ' (*~ y(e + 2n«))
^ ' (l + e*c*(p*a.a:*)(l+e*e*(p*2a.x*)...(l+e*c*(i>*na.x*)'
En eft'et il est el air que la fonction
(238) i*=( 1— -^£)(l-|-e2cVa..T2) ... (1 + e'c'y'na . x2)
sera entiere et du degre' 2 ?z — |— 1"; mais en faisant x = (pe, ipx deviendra
= (ple, et par suite R se reduira a zeYo pour cette valeur de x. De meine
en faisant x = (p(e-\-ma), ou m est entier, on aura \px = (pt(e -)- ma), on,
en vertu de liquation (233), ipx — cp^. Done 1 — ~ — 0, et Par conse-
quent x — (p (f -f- met) sera une racine de Tequation 7i = 0 , quel que soit le
nombre entier m. Or generalement toutes les quantite\s
(239) </>£, 0>(e-fa), y(e + 2a), . . , y (« -)- 2rca)
sont differentes entre elles. En effet si Ton avait
<p (s -\- m'ec) =</>(« -f- ,
il s'ensuivrait en vertu de la formule (31)
£ _|_ m'a t= (— 1) A+/i' (e + /<•'«) + + M® h
d'ou
k = k"+l, k' = k" — U
(m' — p')«e= (fc* + l)<*+ (** — 0®*-
( w
De la, en substituant la valeur de a = - 2«-f 1 " _'
(m' - //') (m + //) =? (2« + 1) + f.);
(m' - /*') (m - //) == (2n + 1) (k" - I)
et #
l'un des deux
equation contradictoire, parce que nous avons suppose que i
nombres m et a soit premier avec 2n+l, et que est toujour*
moindre que 2»+l. Maintenant les 2*+l quotes (239) etant d, Ren-
tes entre elles, elles sont preeisement les 2n+l racines de 1 equation A - 0.
Done on a
306 RECHERCHE S SUR LES FONCTIONS EEL1PTIQUES.
(6
(240) R = A 1— — 1- ( , A • • • 1 , " ,
oil ^4 est un coefficient constant, qu'on trouvera en attribuant k x nne va-
leur particuliere ; par exemple en faisant x = 0, on a 7? = i; or l'equation
(238) donne pour x = 0: .8=1, done A=l, et par consequent l'equation
(237) a lieu.
P]n multipliant cette equation par tps et faisant ensuite f = 0, il viendra
i l. . . 1
(24 1) tfj(x) = nx -A V"' ^ r2a
oil <7 est la valeur de pour e = 0. En faisant, dans la formule (235),
0 = 0, apres avoir divise" par cp01 on trouve l'expression suivante de cette
constante
(242) g = 1 + 2 fa . Fa + 2/2 a . F2a-| f- 2/nm . Fna.
En faisant dans la formule (230) 0 = na — (ra'-f-l)a, on trouve
(p(2na — w'a) = c/)[ — (ra'-f- l)a] = ~ (p{mr -(- 1)«.
Done on pent ecrire l'expression de comnie il suit:
(243) ipx=gtx
1 —
(1 + e*c*<p*a . a?8) (1 -f eM^fft. **) ••■(! + e2c2^2«a . .r2)
44.
Maintenant faisons dans l'expression de 1 — > « = ? • En sunno-
sant pour abreger
(244) (> = (l+e2c2<p2a.x*)(l-Jre2c2<p*2a.x2) . . ■ (1 -f- eVy'fctt . a2),
on aura
1 _ »/w _ j _ f_
ij^-j i ^— !!i f (A. !i * 1. 1 •
or, en faisant dans la formule (230)
2
on a
RECHKRCHES SUli LES FONCTIONS ELLll'TlQUES. 362
0 = 77l' 1)«,
done en vertu de la fornmle (17),
2
^l^ — a )=(P\ % + f/"
il viendra
Cette equation fait voir qu'on peut ecrire l'expression de 1 — -
9* ,
eonnne il suit :
(245) 1
<f>1 T
= a _ ox) ( i - r i 1 - r • • • i 1 - i ; ;
En mettant — x au lieu de +a?, on aura semblablement
(246) 1 1
Done si Ton fait
1
(247) y = k.ipx, Ct = --
oil /c est indeteriiiine, et
— >
(248)
i i
&1
9-1
£+"»))
S68 RECSEKCHES SUR LES FONCT10NS KLL1PTIQUES.
on aura
(249) = l+Cly = (l+cx)-%-
De la meme maniere, en faisant
(250)
I
ft) . '
^
et
(251) e1==±-
k.cfl
on trouvera ces deux equations:
(252) l^e1ty = (l — eix)-^ ; 1 + e1zy = (l -|-eza;)y
Les equations (249) et (252) donneront
(i -«!y*)=(i -^V-^; (i+«!y,)=(i+e,*!)9! '
et par consequent
(253) y (1 - clj,") (1 + e\,f) = + (1 _ c V) (1 + e'x>) .
p
Maintenant l'expression de y donne dy = — dx, oh P sera une fonction en-
tiere de x du degre 4w, done
P d#
Or je dis que la fonction — — se reduira a une quantite constante. En
t C j S S j
eftut on a
1 — c^ = (l —
en differentiant, et niettant pour c/?/ sa valeur > on aura
KECUERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
369
On voit de la que P est divisible par t. De la meme maniere on prouvera
que P est divisible par les trois fonctions fn s, *v Done si deux quelcon-
ques des quatre fonctions t, tlt s, sx n'ont point de faeteur commun, P sera
divisible par leur produit. Or e'est ce qu'on peut voir aisement a l'aide
1* p
des expressions de ces fonctions. Done est une fonction entiere de x.
-*- Z Z j s s ^
Or P est du degre 4w, et cliacu.ne des fonctions t1 tt, s, s, est du degre
Done il est prouve que — est une quantite constante. En la designant
par a, il viendra
dy dx
(254) y(i _ 6.2 y.) (i ± a y(T^- «,!*■) (i -i--^) '
Pour determiner a il suffit d'attribuer a une valeur particuliere. En foi-
sant par exemple & = 0, on aura
Or en differential l'expression de yx, et faisant ensuite * = 0, il viendra
yf'x==g1 done
(255) a = h9>
On peut donner aux expressions de en elS //, « ^'autres formes plus
simples, et qui mettront en evidence plusieurs propriety reman, uables de ces
^Par'la formule (240) on voit que le coefficient de dans la fone-
7, . j » or d'apres les equations (238) et
tion A est -^^T^(^2,«)' 1
(243) le meme coefficient sera
izM -1 ,
((pa.(f2a.. .if net)'
done, puisque A = 1 ,
«, fci _ C-1)^ -ti <p . y (* + «) • ^ (H- 2«) • • • ft + 2"«)-
47
S70
KECIIEKCIIES SUR LES FONCTIONS ELLil'TlQUES.
Eii faisant dans les equations (236), (243) x = ^, apres avoir divise
• • •
par sc, on obtiendra deux valeurs de — j savoir
. 1 et g(~ !)"
(W)2" (fpa .q>2a . . . qvia)*-
done, en les egalant,
(250) 9 = {— l)n(eCyn((pa.(p2a . . . tpnaf,
et par consequent
(257) (pL(e) = (ecyn (tpa .ipta . . . tpna)2(pt . <p(e -f • a) . <p(e -f- 2a) . . . y (* -f~ 2raa)
= f/)(t) + y(£ + cc) + y(£ + 2cc)+ ' ' ' +y(e + 2wa).
Cette equation exprime une propriete reniarquable de la fonction cp. En y
posant e = ~ et t = ^i, on obtiendra
(258)
id
(3 .1
2*j
1*1
if
+ «]
(f-1
1
.(/)
(?) .
+ «)
-\-2na
oh. Ton a fait pour abreger
(259) d — cpa ,cp2a .(p2>a . . . tpna.
En remarquant que
*(f + (2n-OT>]=y(-£ + (m'+l)„)
et
et en faisant
(260)
on tire de ces equations
y(|z + (2^~m')a)=^(|-z + (m'+l)«)
%V)W(T = /;
(261)
±i
e
<(
+
to
+ 2,
to
n-9. +
7i a
Co .
+ •y(-^* + 2a) . . . 91J ==r*-|- net
Multipliant et remarquant qu'on a (18)
<>n obtiendra
KECIIEHCHES SUR LES FONCTIONS ELUl'TIQUiSS.
871
+
(2G2)
De menie en divisant on obtiendra
(-l)«r
w3
2n + l '
(263)
± f; = (- iryW » 1 « U ( 2 «'+ 2o
t3 .
Prceedemment nous avons trouve a — kg, et g = (— 1)" (ec)2nd\ done
(2r>4) «=(— *)*/*. 0*
r
Bgalement nous avons y = k.yjx, done en vertu de I'equation (243)
(2r>5) ?/=(— \Yf x (y2^— ^Kyj2« — **) (y23« - . . . _ ,r8)
. ' '* (l+«3cV«-^2)(l + ^2r/)22a..^)...(l4-^c»^.^-
Done, les valeurs preeedentes de c,, e1? a et y donncront
(206) a<^
d'ou
(2f,7)
V(l — cf y2) (1 -J- e\y\) ± Y(l — c*ar») (1 -f '
f * — ± rr T *
45.
Les formules (261) donnent les valeurs des quantites cA et <>, , exprimeVs
en c et e a l'aide de la fonction (p. Or on peut aussi les determiner a
1 ;iido d'une equation algdbrique. En eftet on a
2 _ 1 I fa \2_ 1 1 — g»ya«
et
<p[~2+a
9 ( o • + a
47*
372
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
done il est clair que les valeurs de ct et ev pourront etre exprimees en func-
tions rationnelles et symetriques des quantites cpa, <p2a, ... (pna. Done si
2n-\-l est an nombre premier, on pent, en vertu de ce qu'on a vn (§ V),
determiner Cj et e, a l'aide d'une Equation algebrique du (2n-\- 2)ieme degre.
On pent encore deniontrer que la meme chose aura lieu dans le cas ou
2?i-\-l est un nombre compose. Alors on peut meme determiner ct et eY
a l'aide d'une equation d'un degre moindre que 2n-\-2.
Done on aura un certain nombre de transformations correspondantes a
cliaque valeur de 2n-\-\.
46.
On a suppose dans ce qui precede que e et c soient des quantites reelles
et positives; mais ayant exprime cx et et en e et c par des equations alge-
briques, il est clair que la formule (266) aura lieu egalement en donnant a
e et c des valeurs reelles et imaginaires quelconques. Dans le cas ou 62,
c2 sont reelles, on peut meme se servir des expressions (261), (265). Mail
alors to et to ne seront pas toujours des quantites re*elles. Au reste 1'une
des quantites ct et e, , a cause de l'indeterminee /*, peut etre prise a volonte;
seulement il faut excepter les valeurs zero et l'infini.
47.
Si Ton suppose c et e reels et 2 n -\~ 1 premier, les valeurs de c, et &
seront imaginaires, excepte deux d'entre elles, dont 1'une repond a
2 m to
et l'autre a
2«+I
2f.t(oi
2ra + l
A. Supposons d'abord
2rc-j-l
. I to . 2mio \ I to , ^ 2mto \ I to
'l'\-2 +2^+t)"/,(t + 22,7+t) • • • +
Dans ce cas on aura (261)
1 _ f
KEOIIERUHKS SUlt LES EONCno.-is EI.I.NTKJI !>. «-»
Soit £ 2m ==(8» + !)< + «„, of, ( est entier, et «„ entier positif ct info
que.
> on aura
/ to , 2v/?rr; \ / M a f„ \ , .
»( T + =»( S ±i^T+'-) = (- ')' f ( ; ±2^)
— + (J2n + l-2«„ to
M 2«+l 2
Or les nombres an «2, rr,, . . . geront les memes que les suivaus 1, 2,
3, . . .w, mais dans un ordre different; done l'expression de 1 pourra &re
mise sous la fonne 1
De meme liquation (203) donnera
Soit maintenant c=l, ^ = 1, on aura, en posant ±(— l)n=l,
I2n— 1 f->
2
(209') ^ = e«
(270) J
n + l
d,,
1 to
0J
V(i-y2)(i + ^
2n + l 2 j 7 l2n + l 2
== =±a f —=
\y*) J V(i-
. . . <p
2« — 1 w \ "I*
ar2)(l +e*.r«)
2w-f-l 2
-f- Const.
(271) y =
(- 1)7-^ r
(272)
ou bien
(273) « = (—!)•
y(i^)-y(¥^TT)---y(^Ti)
Si l'on suppose e moindre que l'unite <m egal ;\ ['unite, r, sera toujours
374
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
nioindre que e, et lorsque 2n-\-l est un tres grand nombre, ev sera extr«
mement petit.
48.
Le signe du second membre de l'equation (270) depend de la grandeur
de x. II pourra etre juge aisement conmie il suit. On a par ce qui pre-
cede
tt ss
En supposant x reel, (>2 sera toujours fini et positif, de nierae que ]/l-j-e^2
et yi-j-<32£ca. Done le signe du second membre de l'equation est le memo
que celui de la quantite
mamtenant on a
sst = f 1-
T 1 T" * + »
tt1ss1 y ^ 5
...fi
rp 2 ( ~ i -J- ma
or yjy t-f-«] = i-.HH etc., done
■ c /wa . .-r \ 2
done, en rcmarquant que a est reel dans le cas que nous considerons, on
voit que sst sera toujours une quantite positive; or ttx est reel, done la
quantite y j -5 sera positive e*galement, et par consequent le signe dont
il s'agit sera le meme que celui de la quantite" ltx. II n'est pas difficile de
voir qu'en se servant de la formule (248) et en mettant pour a sa valeur
2mco
> on aura
2n + l
1 —
LI.
quantite qui est positive depuis x = 0 jusqu'a x — (p j 27^3 2 I
liEClIEKlHES SUK LES KOiNCTlONS ELLII'TIQL ES. i '.)
depuis ^=^2^ii) jusqu'a ^f^y)' positive depuis
Si x est plus grand que l'unite ttx aura toujours le mvuw signe, suvoir
(_ Done, dans ce cas, liquation (270) donnera, en integrant a partir
de x = 1 ,
2 1 1 i, 7(^-i){i+.f^) a j t y (*■ - i)"(i
Si la valeur de x est moindre que 1'unite, on aura
L.-. f ^ _ a f dt; -j- Const.
(275) JVF^(i+^ J V(i-*2)(i + *2*!V
entre les lmntes ^ = ^2^11] et ^ = ^2^+1 ■
(97P\ f dlJ —af ** + O&OSt,
( } ~J y(i_^)(i + ^3)"" J V(T=^y(rqr^)
/4m+l w\ /4m + 3 to \
entre les limites x = <p\ ^n _|_ ^ "2" ) e 33 — ^ \ 2n + 1 2 /
Si par exemple on suppose x renfenne entre les limites
on aura, en integrant a partir de & = 0,
/•» (iy r llx
(277) • iyF^"'^^'
En faisant SB = y(^Ip), on aura y = (-!)", <* 8nite
T1 <*y _ *"" (_ i)",
d'oii
4n + 2 /" % f,
(278) (-ly^-^-^^^p^^
Cette expression de « est tres commode pour le ealeul. Kn ne.li^ant les
quantites de Tordre e*, on obtiendra
370
KECnKRCHKS SUli LES FONCT10NS ELLIPTIQUES.
7t
CO
(279) (— l)"a = (2w+ 1)
En substituant et negligeant toujours e2, la formule (277) don
nera
/ ~r~ 1 - — 77^ — , ^ arc. sin ( ?/) ,
Jo + (2fi+l)7r W
(280)
y=(-l)-(2»+l)i*
' ii — L.fi —
B. Dans le cas oil « = } on trouvera de la raeme maniere la
Ztt -Jr 1
f'orniule suivante
dx , C* dy
n x
(281) „ ^
V(l — *r2) (1 + «2a?2)
J 0
V(i-y2)(i + ^y2)'
on
1 «>
2»-fl 2 V ' ^ \2n+l 2 V7 V2re+1 2
2 w
3 <&
9
2m+1 9 /J
2«4-l
La forniule precddente a lien pour tontes les valeurs de x moindres
que l'mute.
49.
1 - - + \
I 'our avoir line theorie complete de la transformation des functions
clliptiques, il faudrait connaitre toutes les transformations possibles; or je
suis parvenu h demontrer qu'on les obtient toutes, en combinant celle de
M. Legendre avec celles contenues dans la formule ci-dessus, meme en cher*
chant la relation la plus generate entre un nombre quelco?ique de foncttoni
elliptiques.
liECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
377
Ce tlieoreme, dont les consequences embrassent presque toute la theorie
des fonctions elliptiques, m'a conduit a un tres grand nombre de belles pro-
prietes de ces fonctions.
§ x. •
Sur Vintegration de ['equation separee
dy dx
50.
On peut toujours, comme on sait, presenter l'integrale complete de cette
equation sous une forme algebrique, lorsque la quantity constante a est un
nombre rationnel, quelle que soit d'ailleurs la valeur resile ou imaginaire de
p. Mais si a nest pas un nombre rationnel, cela n'a pas lieu. A cet egard
je suis parvenu aux theoremes suivants:
Theoreme I. En supposant a rdel, et l'equation integrable alge"brique-
ment, il faut necessairement que a soit un nombre rationnel.
Theorhm II. En supposant a imaginaire, et l'equation integrable
briquement, il faut necessairement que a soit de la forme m±Y^l.l/n, oh
m et n sont des nombres rationnels. Dans ce cas la quantity f* n'est pas
arbitraire; il faut qu'elle satisfasse a une Equation qui a une infinite" de ra-
cines reelles et imaginaires. Chaque valeur de fi satisfait a la question
La demonstration de ces theoremes fait partie d'nne the\me tres Vendue
des fonctions elliptiques dont je m'occupe actuellement, et qui paraitra aus-
sitot qu'il me sera possible. Je me borne ici a considerer un cas particular,
qu'on peut tirer des formules du paragraphe precedent.
Si dans la formule (270) on pose
1
* = T'
et si Ton remplace y par % j il viendra
. - dx
ou 48
378
IiECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELL.IPTIQUES.
(283) y = ±y— l.enx
(f :
2n-f 1
2 n -\- 1
e est determine par l'equation (269'), qui deviendra
to
(284)
et a par
2n+l 2
'/
0
2w — 1 co
2n-\-l ~2 J J ,
2»-fl
2ra-f-l 2
f 71(0 1
^2« + l j
• 9"
/2w— 1
^2»+l
Done on commit une integrale particuliere de liquation (282) et par
consequent on en pourra trouver 1'integrale complete.
Dans le cas que nous considerons, la valeur de a est |/2ra-|-l, ce
qu'on deniontrera aisement comme il suit:
En mettant dans l'equation (282) y = z^ — I, et integrant entre les
liniites zero et cp
to
4w + 2
&
5 il viendra
i
v dz
a
le menie
V(l+2a) (1— e2?J) 4w + 2
en reniarquant que les limites de z seront zero et — • En faisant dt
a?" V — 1 = z, et integrant entre les limites zero et — , on trouvera que
les limites de y seront zero et I'unite' et par consequent
dy
V(l-y2)(l + ^V)
Done on a
r
dz
V(l + z3) (1— «22a)
et
d'ou Ton tire
(285^1
(286)
&
~2
to
~2
a
10
2n+l 2
(o
--a~2'
V2w+1,
y2w+i.
(287)
RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES.
Done Tequation difFeVentielle deviendra
dy
379
= = V— l.V2n+l -7-
</.!•
V(l — .**) +
51.
Pour dormer un exemple, eonsiderons le cas ou et n = 2,
A . Si 7z = 1 , on aura
V(i— y«) (i + «y) V(i — *2) (i + g2 *2)
e est determinee par liquation
( 8
f)
On a
done
Maintenant on trouvera, en combinant ees equations et remettant pour
a sa valeur |/3,
done
10 \ V3
et par suite
is*
380 KECHERCHES SUll LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
d'oh
e2 — 2^.e= 1,
et
e = y3 + 2.
Ayant trouve e, on aura
w«] = _v?_ = 21/3-3.
r I 3 j 2 + V3 r
Done on aura l'equation differentielle
(288) — dy == V=~3 . dx ,
V(l -y2) [1 + (2 + V3) V] V(l - *2) [1 + (2 + V~3)2*2]
qui sera satisfaite par 1'integrale algebrique
,/ T V3-(2 + V3)^
II = V 1 .X t=> ■ -d-
J r 1 + V3(2 + V3)^2
Si Ton pose x ]/2— V3 au lieu de x, et y^2 — ^ 1 au lieu de
?/, on obtiendra l'equation
(289) j | — =V* , dx
X 1 — 2V3 .y2 — y4 H -f 2V3 !. #2 —
qui sera satisfaite par
Y~3 — x2
i _{_ ys .
B. Si n = 2j on aura l'equation differentielle
dy -., — dx
V(l - y2) (1 + «2y2) ' /(l _ x») (1 +
ou
,=y=n .... yfc; —
(290) 1 = e»ys|-.)y!(3„j. r5=eVj.jy2j^|.
On a
•
RECHKKCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
381
, to 2 to ,
(2911
/2
2 / 3 to \ 3 / to CD ^ -'V 5
/(Jr + T) = /(^r) = /(Jf)/(y) - » (nr) f (i) f (¥) ^(t)
/("-t)= /(t) =/(if)/(y) + gM^MfliMi)
f(T-t) js© ^)'(T)-M^)r(f)/(xWf)r'
En ltmltipliant ces valeurs de — ' et — entve elles, et remarquant
que
on obtiendra
oh Ton a fait pour abreger
j_/(^)/(t)
Cela pose* les equations (290, 291) donneront
2 to] V5
done, en substituant,
1 j/~5 _
382
RECHERCI1ES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
d'ou
1— eib
e — V 5
6s_ l_(5 + 2f5)e(e— 1) = 0.
Les racines de cette Equation sont
e=l, c = 2 + y5 — 2"|/2 + V5, e = 2 +f5 -f 2^2 +V5,
La demiere de ces racines,
e = 2 + y 5 + 2 yi+p = [ + 2 ,
repond a la question, car l'equation
i=ey
0)
10
r
3 w
To
fait voir que e doit etre plus grand que 1'unite. Connaissant e, on
la valeur des quantites cp | ~ J et cp I | comme il suit.
Nous avons
, .p, 3/'(f)/2(-2f)
1 = e3P2 — ed — )— t ^— r ;
8 a
5
or en
faisant cp | ~ J = a et cp j ^ J = on aura
/•l"i=i-a«, />
2(u
done
' (1 + e2a") (1 + e2ft2) = e3 (1 — a2) (1 — ft2) ,
1 _|_ e2 (a2 -|_ /?2) + e4a2/?2 = e3 — e3 («2 -f ft") -f- e8«^
e3 _ 1 _ e3 (e _ ^ ^2^2 _ e2 (e _J_ ^2 _|_ ^2) .
V5
or nous avons trouv£ plus haut, a2ft2 = -^-i done
e3 — 1 — e (e — 1) y 5 = 1 ) («2 + ft2) .
RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELL1PT1QUES.
:;s:;
Done on connait cc2/?2 et rc2-|-/?2, et par suite a2 et /?2 par la resolution
d'une equation du second degre. On a done aussi la valeur de y, qui sa-
tisfait a l'equation
dy
(292)
V(i - y2) [i + (2 + V 5 + 2 V2 + yg)y]
= V— 5
V(l-**) [1 + (2 + V 5 + 2 V2 + y 5)2<l
Si Ton pose -jL au lieu de a;, et y 1 au lieu de y, on obtiendra le-
y « y «
quation
(293) : dJL= =^=yi-
y i _ 4 y2 + y 5 . y 2 - V i + 4 jfe'+ys . #a — ■
ou
y 5 — y io + io y 5 . x2 +
1/ — — r£ .
i + y i o + 1 o ys . x 2 + y 5 . x*
52.
Dans les deux cas que nous venons de considerer, il n'e'tait pas difficile
de trouver la valeur de la quantite e, mais la valeur de n etant plus grande,
on parviendra a des Equations alg&riques, qui peut-etre ne seront pas re-
solubles alg^briquement.
Neanmoins on peut dans tous les cas exprimer la valeur de e par des
■series, et comme leur forme est tres remarquable, je vais les rapporter ici.
En faisant dans la formule (200) a = l, on aura, en remarquant que
c = 1' *(f) = 7
(294) ea, = ±n ( ? ^ j + ^ + ^ + ' ' * ) '
on
<3 n
En faisant de meme dans la formule (204) «=^f *, «■ ****
==-; « = ^'=oos£ + »Bn| = i, done
384
KECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Z 7t I I'
e 6> \r-\-i — 1 r'd-\-r~
+
c'est-a-dire
m
471
p I r3 ■ r5 |
r24- 1 ' rG-\-l X r10-hl ~T
ou
Maintenant dans le cas que nous considerons, on a
et par consequent
(295)
to
= 4:71^271-^1
h 2
+
Cette formule donne la valeur de
uj = 2
+
dx
V(i — x*) (i-H2;r2)
Ensuite on aura la valeur de e par la formule (294) qui donne, en substi-
tuant pour y sa valeur ht0 2 = h V2n+i 2 ,
4tc
(296)
71 1
If
37T 1
A 2 V*»+i /i 2 V2»+i
7T ' 1 ATT I
k est le nombre 2,7182818 .
Additiufi au memoir e precedent.
Ayant terniiue le memoire precedent sur les fonctions elliptiques, nne
note sur les menies fonctions par M. C. G. J. Jacobi, inser^e dans le n° 123,
ann£e 1827, du recueil de M. Schumacher qui a pour titre "Asinonomiscke
Nachrichten", m'est venue sous les yeux. M. Jacobi donne le theoreine
suivant :
, Soit p un nombre impair et 0' an angle tel qn'on ait, en dormant
1 n,te8Ta,e J yraro' pnse de 0 jus^ Par
K- ^(M0 = ^(Mo°),
et en general 0(m) un angle tel qu'on ait
soit determine encore l'angle if par I'e'quation .
tang (45 0 - * = ^W-J) . tangj- (6T' + (?) tang * + #)
7/; tang + tengi<<T'-g) frag^*^ + g(45 ^
on aura
II faut admettre le signe superieur si p est de la forme 4w-)-l, et le
signe inferieur, si _p est de la forme 4n— 1. ^ doit etre pris entre -| n et
-g— 7r, si 0 tombe entre 0W et 6(m+1). Lea constantes ^ et A se determi-
nent de differentes manieres. On a par exemple
1
" 2 (cosec 8' — cosec 6"' -{-••• + cosec 6^— s> + |) '
A == 2 V (sin 0' — sin 0"' -| + sin 6^ ± }>
Ce tlieoreme elegant que M. Jacobi donne sans demonstration est ron-
tenu co.mme cas particulier dans la formule (227) du mt'moiiv precedent, et
au fond il est le meme que celui de la formule (270). Nous aliens le deV
Qiontrer.
En faisant dans Fintegrale
• I* dx
a ~~ Jo v5-*«) a -*■*■)'
x — sili on aura
~Jo yr=Fi
mais
/•-sin2//
x = (pa,
49
386
RECIIERCHES SUR LES F0NCTI0NS ELLIl'TIQUES.
done
a = F(k,0) donne sin 0 = (pa.
Si 0 = 90°, on a £B==1? done
Done en faisant 0 — B(m\ on aura
in to
F(k,0(m)) = ~~ et tan^^yf-
Cela pose, faisons dans les fonnules (269') et (270),
x = ( — l)nsin#, y = sin yj, 2n-\-\=p1
il viendra
0
0) ,
V ' J Vl— Psin20 ■ J Vl—l*sin*ip
oh les quantites /<, A, ip sont determiners par les equations
k = k*H+1(sm0\Rm0"' . . . ris*******)*,
sin O'.smO'" . . . sinfl^-'M2
, sin 0". sin 0"" . . .sin0(2"J
(2) sin \p
£+j . (sin 2 0" — sin 2 0) (sin 2 0"" — sin 2 0) . . . (sin20^ — sin20)
_ 8111 (1 — &2 sin2 (9" sin2 61) (1 — k2 sin2 ^"'"shi2 ~0) ... (1 — P sin2 0'2«J sifa2 0) '
Nous supposons k moindre que I'unite, car dans le cas contraire co serait
une quantity iinaginaire.
Cela pose, considerons les Equations (249). En remarquant que cA = e
== 1 , on en tire
ou
\*
-\-2aj—.v
< (0
RECIIERCHES SUB hW FONCTIONS ELLIITIQUES.
387
{2n—3 m\
!-
^2«+l 2 j
( 2n — 3 co \
\ 2 n -f- 1 2 )
p • 2 into
on, on faisant « = ^ — — - et m = — 1
aw -j- 1 '
Maintenant on a
* = (- l)'mn9, et>(-^T =
done en substituant :
]/ Lz!11^' ] / l^Izri)" sin A , sin fl' — sin fl sin fl"'-f sing sin(9^»-^ + (— l)»sin«
' 1 + sin »// f 1 + (— l)"sin 6 ' sin 0' + sin 0 ' sin 0"' — sin 0 ' " sin «(*— " — (— 1)» sin 0 '
et de la
teng(450-iv)
_tangK^-^) tang|(0"' + 0) tangj[0^4-(-l)«0]
tang|(0'+0) tangj(0'" — 0) tang| (_ ta11^ L4° *»|-
C'est precisement la formule de M. Jacobi.
Dans la fornnile (1), on pent toujours supposer le second ineinbre po-
sitif. En efi'et, en differentiant, on aura
yi_ A2 sin2*/' M
_' f VI— Fsin20
En supposant 0 toujours croissant, le second membre sera toujours posit it'.
Done en determinant la valeur \p de sorte qu'elle soit croissante et decrois-
sante en nieme temps que 0, on doit prendre le eigne superieur. On a
done
Jo Vl—k*am*0 Jo
Vl — A2sin-'»/>
ou bien
En reniarquant que \p doit etre croissant et decroissant en meme temps
que 0, et en ayant egard a la formule (2), on tirera aisement la conse-
quence que y doit tomber entre -Jtt et "* fr, si 0 tombe entre
et 0f"*+J\
49*
388
RECHEttCHES SUli LES EONCTIONS ELLIPTIQUES.
Quant aux quantites I et il est evident qu'elles out necessairenient
lea nienies valeurs que celles de M. Jacabi. Mais les expressions que j'ai
donnees seront plus connnodes pour Implication, et font voir clairenient
que I est extremement petit, si n est un peu grand. Au reste on pent sans
difficulte demontrer leur identite a l'aide de la formule (257).
xm
mm LES FONCTIONS QUI SATISFONT A LIQUATION
Journal fiir die reinc and angewandte Mathematik, her.ausgegeben von CreUe, Bd. 2, Berlin 1827.
Liquation
(px -f cpy = xp {xfy + yfx),
est satisfaite lorsque
fy = YU et <px=z\px — logx;
car cela donne
loft- a; -f- log- ^ = log- ;
de meme lorsque
fy = y^ — If* et (px = ipx = arc sin xy
ce qui donne
arc sin x -\- arc sin y = arc sin (xfl — if -\- y~\ 1 — x*).
II serait possible qu'on put encore satisfaire k la meme equation damn ■>
manieres. C'est ce que nous allons examiner. Soit pour abreovi-
xfyJryfx=r,
l'equation de condition devient
(1) (f> x -J- <py — V"'-
En differentiant cette equation par rapport k x' est h y, on aura, en faisant
usage de la notation de Lagrange,
390 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'EQUATION CfX -f- Cpy = if'Qvfy + yfx)-
i , dr , , dr
De ces equations on tire, en eliminant la fonction ^»V,
, dr , dr
Or l'expression de r donne
(2) ^=/2/ + 2/A et + I
done en substituant,
(3) cp'y (fy -f- y/'jc) = ^p/a; (fx +
En donnant maintenant a la quantite variable y la valeur particuliere zero,
ce qui est perinis parce que x et y sont des quantites independantes entre
elles, et en faisant pour abreger
V'(0) = «, /(0)=«, /'(0) = a'f •'• 1
l'equation (3) prendra la forme
aa — cp'x (fx -\- a'x) = Q ,
d'ou Ton tire, en ecrivant y an lieu de x,
aa — <p'y{fy+a,y) — °-
Ces deux equations donnent
W ^ X = 7 — : — r et cp w = t — . — r ;
done en integrant,
(5) (px = aa / , , ■
J fx -f- « *
De cette maniere la fonction r/># est determinee par fx. II s'agit done'
de trouver la fonction fx. En substituant dans l'equation (3) les expressions
(4) des fonctions (p'x et (p'y, et reduisant, on trouvera
(6) (fx + a^ify + yf^^ify + a'ififx + xf'y)
d'ou Ton tire, en developpant,
(7) fx-fy + a'xfj + yfx .fx -f a'xyfx
— /* — «'yfx — xfy -fy — «.'xyf'y = o,
SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'EQUATION CfX -f (fy = r/»(.r/// -f ///.r). 391
ou bien
(8) x (a'fy -fy .f'y - a'yf'y) - y {a' fx- fx .fx - a 'xf'x) = 0,
on en divisant par xy
(9) j{«'fy-fy-f'y- «'yf'y) — i-(«7*-/*-/'«-«V«)=o.
Les quantit&s x at y etant independantes entre elles, cette equation ne peut
avoir lieu a nioins qu'on n'ait
y (« 'fy -fy-f'y-" 'yf'y) = ~ (« '/■" -fx. fx- a 'xf'x) = cw
Soit done
(10) ~{a'fx — fx.f'x — a'xfx) = m;
on aura
(11) fx {fx + avaj) + (m - = 0.
Tar cette equation la fonction fx est deterniinee. On peut l'integrer en
faisant
fx = xz ;
car alors on a
fx .dx = zdx-^-xdz1
d'oii Ton tire en substituant,
(z dx + z eZz) + « + — « = 0 >
ce qui donne, en divisant par a:,
(z ^ _(_ x dz) (z + « ' ) + (f» — o 'z) ^ = 0 ,
ou ' .
[z{z-\-a') + m — a'z]dx-\-xdz {z--\- a ) = U ,
on bien
(2*^w)dx- + :cdz(:3 + cc ) = <>,
ou en divisant par (z2 -f- w),
dz(z + a') | .
V ** + ™
done en integrant,
392 SUK LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'EQUATION (px -f- (fy = \p(.xfy + // /.'•).
Soit 7/1 =
— = log ^, J -¥-_r2 = ilog(3 -» ), J ^^-log —
done en substituant et en ajontant une constante c,
log c — log s = £ log (z2 — n2) + Tn log — ; ,
ou
d'ou
— =(z2 — n2y\— —
x - ' \ z -j- n J -
fx .
Mais on avait fx = xz] done z = ^_-, et par suite en substituant,
C [ W2 #*] * / /A fc* \ 2n
.r a; -f - nx J 7
ou bien
— 4-— —
c = (fx — n x) 2 2n (/a;-|-wfl;)
2 2n
7
ou en elevant a la 2n^me puissance,
(12) c2w = (/a; — wa;)B+a' (jfa + rccc)n-"';
= 0 donne c == a, a cause de J^(0) — « .
Voila l'equation de laquelle depend la fonction fx. Elle n'est pas en
general resoluble, parce que n et a sont deux quantites indeterminees, qui
peuvent menie etre imaginaires. L'equation (12) contient la forme la plus
generale de la fonction fx, et on peut demontrer qu'elle satisfait a l'equa-
tion de condition donnee dans toute sa generalite. En effet la fonction fx
satisfait a l'equation (11), et on voit par la forme de l'equation (9) qu'elle
satisfait aussi a cette equation. Or l'equation (6) est l'equation (9) sous
une forme difterente. Done la fonction fx satisfait aussi a l'equation (6).
De l'equation (6) on tire l'equation (3) en faisant (p'x=z * , > et l'equa-
tion (3) donne, en faisant xfy-\-yfx = r,
SUE LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L EQUATION (fX -\- fpy = lp(xfy -f- yj x). 393
En integrant cette equation differentielle partielle par les regies connues, on
trouvera
r = F((px-\-<pij),
d'ou
on bien
<px-$-<py = vWy+yfx),
ce qui est liquation de condition donn^e.
II reste encore a trouver la fonction *//. A cet etf'et suit ?/ = 0, on
aura, en remarquant que f(Q) = a1
cpx === ijj{ax) — cp (0),
ou, en mettant — au lieu de x,
On trouve done, en resumant, que les formes les plus generates des
fonctions satisfaisant a 1'equation de condition
<px+(py=yj (xfy + yfx)
sont les suivantes:
/dx
Jx~+*x
et d
ou /.r depend de 1'equation
«»- = {/x - nxy+°' (fx + nxy-°:
Soit par exemple
n = «' = i 7
on aura
« =/a5 — i * 1
done
et par suite
v* = a«/J£; = ««l<*(« + *) + *. •
= V (0) + p ( | ) = 2fc + "" loS « + "° U* ( " + S )
60
394 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'EQUATION ffX -j- (py = lp (x j y -j- y f X).
ou
xp x = 2 k -\- a a log [a 2 -j- x) .
L'equation de condition devient done
k-\-aa log (a -\- x) -\- k -\- aa log (a -f- y)
= 2k-\-aalog [a2 -\-x(a -\~iy) -fy(a + ;
ce qui a effectivement lieu, car les deux membres de cette equation se re-
duisent a
2k -j- aa log (a2 -j- ax -{-ay -j- #?/).
La fonction <^:r est trouvee ci-dessus sous forme d'integrale. On peut
aussi trouver une forme finie pour cette fonction par des logarithmes, en
supposant la fonction fx connue. Soit
fx-\-nx = v et fx — nx — t,
l'equation (12) donne
a2n = vn~a' tn+a',
done
tn+a' = a*nva'-n,
d'ou
2» or' — n
Or fx — \{v -\~ t) et nx = \{v — £), done
/ 2n a' — n \
fx = \[v + a^'v^rn),
et
2n a' — n
1 1
n + a' „,a' + n
x=~v — a v
zn in '
d'ou Ton tire en diffeVentiant
i 1 a! — n --- i
= L±- — * , " «"+»' »«'+-
On trouve de meine
ou bien
2n 2n
done
^ v 1 ' \ zn zn{a -f- n) i t
SUll LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'EQUATION cpx + (fy — ty(xf y -f yfx). 395
dx ^ dv
fx + a'x (n-\-a')v
ce qui donne en integrant,
r dx i t 9* .
/ r~= — i — ; log == -2—
J fx -{-a'x n+a' & aa
oil c est une constante arbitraire. En mettant done pour v sa valeur
fx-\-nx, on aura
(13) y * = -qr^ loS + c'fx) '
Dans les deux cas a' = oo, et n = 0, la fonction /a prend une va-
leur particulate. Pour la trouver, il faut reeourir k l'equation ditferen-
tielle (11). ,
Soit d'abord ti = 0, l'equation (11) donne, a cause de 7/1= -n ,
/^(/a + a'a;) — a'fx = 0.
Soit
/a; = za;,
on trouvera
et en integrant
tog«' + l<Iga;=-log«+|. "» log(«'^)=7'
011, puisque z
— >
log = 011 «'2=/*-log(c'/x)-
Pour x = 0, on a 0 = « logo's, done = ! et e'=i. done
(14) «'x = /*-l°g(v)'
ou
fx y
Cette Ration dfcennine done la fonction /* dan, le cas ou n_0.
L'equation (13) donne dans ce cas ■ ■
396 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'EQUATION (px -J- Cpy — ifjQe J 'y -f- y f ' x).
en vertu de (14) on a
l0g ( fjL \ _ ,
done
/-, m x . (tor -, , rtaar
(15) cpx = ^ log *a rf-y-f '
De plus
(16) ' ^ = ^(^)+v[~) = ^^ogeaJrj^^
L'equation de condition devient done
aa ,
— log ca -4- -j r log ca 4- = — - log c
e'est-a-dire qu'on aura
(it)
^ 2aa , a(xfy + yfx)
a
Pour examiner cette equation, nous mettrons au lieu de # et de ?/ leurs
valeurs ^log ^ et ^J- log ^ tiroes de l'equation (14), ce qui donne
(18) «/{ Si^r-5— }=/y./a; = a/r,
en faisant pour abreger
i A/ . log; fx'fy
(19) ^ 11 8 "2 ^ r
a a'
II s'ensuit
2 log a -f log ~ = log (fx.fy).
Or en vertu de l'equation (14) on a log ^- = ~~ , done en substituant,
° a fr '
(20) 2 log « + £ = log (/*./,,).
Mais puisque fr = ^™- (18), on a en vertu de (19) — L^!_Z =
a v / a'
d°nc 77 = 1°g(^^)' et par consequent: 2 log a + log [ J
— ^(fx-fy)j ce qui a effectivement lieu comme on le voit aixement.
SUR LES F0NCT10NS QUI SAT1SFONT A L'EQUATION CfX -\- (fy — l/'(.r fy -\^yfx). \\\\ t
Soit ensuite a = 00. En mettant dans ce cas l'eqnation (11) sous la
forme
il est clair qu'on doit avoir xf'x—fx — 0, lorsque m est nni. II faut
.done que
fx . dx dx r
J — = — , ou fx— ex.
fx X
m — — pa
xf'x — px — fx = 0.
fx = xz,
x (x dz -|- z dx) — (px -f *«) dx = 0,
xdz z=.pdx\
fx
z=p\ogcx = ~,
Si
on a
Soit
on aura
ou
done
et par suite
fx — px log ex.
Pour trouver cpx, on substituera la valeur de la fonction fx dans l'e-
quation (3); on aura, a eause de f'x=p log cx +p,
<P''J (Py logcy + yp log cx +py) - y'x ( px log cx + xp log cy +px) = 0 ;
done, en divisant par p (\ogc*xy +
yep'y — xcp'x = 0,
done . ;
K I E . I '
X(p'x = h et dipx— x 1
d'ou
ya: = fc log
L'eqnation de condition donnee deviendra done
klogmx + k\ogmy = ip(xpy\ogcy + ypx\ogcx),
OU , 2 \
fc log m'xy = f (l>xy log c
ou, en faisant pxy\ogc*xy = r et xy~v,
398 SUE LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L' EQUATION CfX -)- (fy = l/> (xfy-\- yfx).
yjr = k \ogm2v.
Par le meme procede, qui a donne ci-dessus les fonctions qui satisfont
a l'equation
(px + (py = ip(xfy-\-ijfx),
on peut trouver les fonctions inconnues dans toute autre equation a deux
quantites variables. En effet, on peut, par des differentiations successives
par rapport aux deux quantites variables, trouver autant d'equations qu'il est
necessaire pour eliminer des fonctions quelconques, de sorte qu'on parvien-
dra a une equation qui ne contient qu'une seule de ces fonctions, et qui
sera en general une equation differentielle d'un certain ordre. On peut done
en general trouver chacune de ces fonctions par une seule equation. II
s'ensuit qu'une telle equation n'est que tres rarement possible. Car, comme
la forme d'une fonction quelconque contenue dans l'equation de condition
donn^e, en vertu de liquation meme, doit etre independante des formes des
autres fonctions, il est evident qu'en general on ne peut considerer aucune
de ces fonctions comme donnee. Ainsi par exemple l'equation ci-dessus ne
pourrait plus etre satisfaite, si la fonction fx avait eu une forme differente
de celle qu'on vient de trouver.
XVIII.
NOTE SUR UN MEMOIRE DE M. L. OLIVIER, AYANT POUR TITRE "REMAR-
QUES SUR LES SERIES INFINIES ET LEUR CONVERGENCE."
Journal fur die reino and angewandte Matliematik, lierausgegeben von CrclU, lid. 3, Herliu 1828.
On trouve p. 34 de ce memoire le the'oreme suivant pour reconnaitre
si une seVie est convergente ou divergente:
"Si Ton trouve que dans une serie infinie le produit du niime terme, ou
"du ntlme des groupes de termes qui conservent le meme signe, par n, est
zero pour n = oo, on peut regarder cette seule circonstance eomme uue
"marque, que la serie est convergente; et reciproquement, la seYie ne peut
"pas etre convergente si le produit n.an n'est pas mil pour n = oo."
La derniere partie de ce theoreme est tres juste, mais la premiere ne
semble pas l'etre. Par exemple la serie
1 ■ 1 • 1 -L . . . j L l ^MLvmt,
2 log 2 ~3 log 3 ""4 log 4 "r" n log
est divergente, quoique nan= ^ ^ soit zero pour w = oo. En ettbt les
logarithmes byperboliques, dont il est question, sont toujours moindres que
lenrs nombres moins 1, c'est-a-dire, qu'on a toujours log (1 -)-»)< x. Si
x > 1 cela est evident. Si x < 1 on a
\og(l + x) = x-x*(i-%x)-x*(i-jix) ,
done aussi dans ce dernier cas log(l -\-x) < x, puisque \ — JflJ, i~ix
. . . sont tous positifs. En faisant x — -i > cela donne
400 NOTE SUR UN MEMOIRE DE M. OLIVIER
1 \ 1 | . . 1 + 7* 1
log 1 < on bien logi+i* <
ou
log (1 +«) < I + log» = ( 1 +^) log « ;
done
log log (l + h) < log log n + log ( 1 + -ji— ) •
Mais puisque log (1 -)-«) < x, on a log 1-1 J—) < -i — , done, en vertu
° \ 1 n log n / // log n
de r expression prec&lente,
log log (l+n)< log log n -f -J— ,
En faisant successivenient w = 2, 3, 4, . . . , on tronve
0
log log 3 < log log 2 + 2j^2
log log 4 < log log 3 -f
log log 5 < log log 4 -f >
5
log log (1 + «) < log log * + »
done, en prenant la soinine,
loglog(l+„)<l„glog2 + ^p + 31i-3 + JTL3+ . . .
Mais log log (1 -\-n) = oo pour n = &o, done la somrae de la serie proposed
S^+^jp+ITSP + ' • * + nfc£^ H est infin™ent grande, et par
consequent cette serie est divergente. Le theoreme enonce dans Tendroit
cite est done en defaut dans ee cas.
En general on pent deniontrer qu'il est impossible de trouver imo func-
tion (pn telle qu'une seVie quelconque a0 -|- Og -j- at -f- a3 -)- • • • -^-an-^- • • • »
dont nous supposons tous les termes positifs, soit convergente si (pn.an est
zero pour w = oo, et divergente dans le cas contraire. C'est ce qu'on peut
feire voir a l'aide du thdorenie suivant:
Si la serie a0 -f- ax-\- «2 — ]— - - - — |— «„ — |— - - • est divergente, la suivante
NOTE SUR UN MEMOIRE DE M. OLIVIER.
401
»j_J gg_ I "» I -1- 1
% ~«.+«i + as «0 + «iH
le sera aussi.
En etiet, en remarqtiant que les quantites «0? an a2, ... sont positives,
on a en vertu du theorenie log (1 -f a;) < X, demontre ci-dessus,
log («o + «i + <h + ■ • • + a«) ~~ lo8' K + + ^ H h a-^») '
c'est-a-dire
/ aw \ an ^
log [1+«o-f ch + a2-\ h««-J «0 + «i + tt2H
done, en faisant successivement 72=1, 2, 3, . . .,
i°g K + «i) — log ao < — '
log (flo + flj + - log (* + »l) < '
log + a, + * + a,) - log (a0 + a, + a2) < ^j^Z^ '
log (f o + «i H h an) — log («o + «i H r < ao + ftlH h«n-l '
et en prenant la somme,
log K + «i H Ir O - los a« < ^ + ^ vH=at+>--+a»-1 '
Mais si la serie a0 + at + a,2+ • ■ ■ +an+ • • • ™t divergente, sa somme
est infinie, et le logarithme de eette somme Test egalement; done la somme
, . , . a, , a2 | j __^!L_- U • • • est aussi infiiii-
de la serie + hao + ai_| |-a„_i 1
ment grande,°et eette serie est par consequent divergente, si la serie +
+ «+ ...+«+... l'est. Cela pose, supposons que soit une fonc-
-\-<h-t -Tan-T I _i r A J Soit convergente
tion de n, telle que la serie l^T
on divergente selon que pt.* est zero on non pour »=*=oo. Alois Usui
1,1. J h — +""
sera divergente, et la serie ■
402
NOTE SUR UN MEMOIKE DE M. OLIVIER.
1 r«v / 1 1 \ I 1 J IN"
+
I y(2) 1 «jr(3) ' 1 y(» — 1)
convergente; car dans la premiere on a ancpn=l et dans la seconde
an(pn = 0 pour n = oo. Or, selon le theoreme etabli plus liaut, la seconde
serie est necessairement divergente en merae temps que la premiere; done
une fonction (pn telle qu'on l'a supposee n'existe pas. En faisant q>n = n,
les deux series en question deviendront
et
+ •■•+ i ;^r +
2.1 . 3(l + i) • 4(1 + * + *) ' ' + * + 1 + . ..+^-)
qui par consequent sont divergentes toutes deux.
XIX.
SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Astriinoinisflio Nachrichten, herausgegeljen von Schumacher, Bd. C, Nr. 138. Altona 1828.
Dans le n° 127 de ce journal M. Jacobi demontre un theoreme tres
elegant relatif a la transformation des fonctions elliptiques. Ce theoreme
est un cas particulier d'un autre plus general, auquel je suis parvenu depuis
longtemps sans connaitre le memoire de M. Jacobi. On en trouve la de-
monstration dans un memoire insere dans le journal de M. OteUey et qm a
pour titre "Kecherches sur les fonctions elliptiques." Mais on pent envisage!
cette theorie sous un point de vae beaucoup plus general, en se prpposant
comme un probleme d'analyse indeterminee de tronver toutes les transforma-
tions possibles d'une fonction elliptique qui peuvent s'effectuer dfune oertaine
maniere. Je suis parvenu a resoudre completement un grand, nombre de
problemes de cette espece. Parmi eux est le suivant, qui est d'une grange
importance dans la theorie des fonctions elliptiques:
"Trouver tons les cas possibles dans lesquels on pourra satisfairc a IV-
"quation differentielle :
"en mettant pour y une fonction algebrique de x, rationnelle on irra-
"tionnelle."
Ce probleme, vu la generality de la function ft pnrait an premier
404 SOLUTION DUN PROULEME GENERAL CONCERN ANT LA TRANSFORMATION etc.
coup d'oeil bien difficile, mais on peut le ramener au cas oh Ton suppose y.
rationnelle. Eu effet on peut demontrer que si l'equation (1) a lieu pour
une valeur irrationnelle de ?/, on en pourra toujours deduire une autre de
la meme forme, dans laquelle y est rationnelle, en ckangeant convenablement
le coefficient a, les quantities cl7 e%1 c, e restant les memes. La methods
qui s'offre d'abord pour resoudre le problenie dans le cas oil y est rationnelle
est celle des coefficiens indetermines ; or on serait bientot fatigue a cause de
l'extreme complication des equations a, satisfaire. Je crois done que le pro-
cede suivant, qui conduit de la maniere la plus simple a une solution com-
plete, doit peut-etre meriter l'attention des geometres.
En faisant
(2) 0=[ r ^ \
la quantite x sera une certaine fonction de 0; nous la designerons par 10.
De meme nous designerons par et les valeurs de 0 qui repondent
respectivement a x = — et a = — ? et par JO la fonction
— c2£C2) (1 — e2x2). Cela pose, on pourra demontrer les theoremes sui-
vans :
Theoreme I. En designant par 0 et 0' deux quantites quelconques, on
aura toujours
(Voy. Exercices de calcul int., t. I, p. 23).
rrheor^me II. On satisfait de la maniere la plus generale a 1 'equation
10' = 10
en prenant
0' = {— l)m+m' 0-\-mio-\-m'to ,
ou m et m sont des nombres entiers quelconques positifs on negatifs. On
aura done
(4) I [(— 0 -f- mm + mW] = 10.
Ce theorem e a lieu generalement, quelles que soient les quantites e et $
reelles ou imaginaires. Je l'ai demontre pour le cas ou e2 est negatif et c2
positif dans le memoire cite plus liaut (Crelle's Journal fur die reinc mid
SOLUTION D UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 405
angewandte Matlieinatik, Bd. 2, p. 114). Les quantites co, to' sont toujours
dans mi rapport imaginaire. Elles jouent d'ailleurs dans la theorie des func-
tions elliptiques le meme role que le nombre n dans celle des functions cir-
culaires.
Nous allons voir comment a l'aide de ces deux tlieoremes on pourra
determiner facilement l'expression generale de ?/, et les valeurs qui en resnl-
teront pour cx et ey.
Soit
(5) • y = y(x)
la fonction rationnelle cherchee. Si Ton considere x comme fonction de y,
sa valeur sera determinee par l'equation (5), qui aura un certain nombre de
racines. Or il existe entre ces racines des relations qui nous conduiront a
l'expression de ip(x).
Si l'equation (5) passe le premier degre par rapport a x, designons par
s& une autre racine, et par 0X la valeur correspondante de 0, de sorte que
En vertu de la formule (2), l'equation (1) deviendra, en designant le
radical du premier membre par
± = + ad0.
En changeant x en x^ on, ce qui revient au meme, 0 en 0X, la valeur de
y reste la meme, et par consequent ^| reste le meme, ou se change en
— ~= • On aura done
iR
in
et par suite d01 = ±d01 d'oii l'on tire en integrant 0l = a±0, a dtant une
quantite independante de 0. On aura par consequent xx = X{a±0). U soffit
de prendre 0 avec le signe +; car «»n a, d'apres la Formule (4) en yfai-
sant pi=l, m'=*0, l0 = l(io-0) et par consequent l(a-0) = l(u> +
oil m-a est une nouvellc constante. On pourra done laire ^ = A(0 + «).
On a ainsi etabli ce theoreme.
Theorhne III. „Si une racmc de lunation if**^-* ™lf»>»*>
„par IB, une autre racine quelconquc .sen. ft U forme itf+a), <* «
„une quantite constante."
406 SOLUTION DTJN PROBLEMS GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc-.
Si Ton pouvait parvenir a trouver toutes les valeurs de a, rien ne se-
rait plus facile que de determiner ensuite celle de y. Or c'est ce que nous
allons faire a l'aide du Theorems II. Les qnantites XO ct X(0-\-a) etant
des racines, on aura a la fois:
y = ip(XO) = ip[X(0 + a)],
equation qui doit avoir Ilea pour une valeur quelconque de 0. On en tire,
en mettant an lieu de 0 successivement 0-\-a, 0 -|- 2 a , . . . 0 -\-ha ,
y>(lO) = ip[)L(0 + a)] = y>[k(O-\-2a)]= • • • = y\X(0 + ha)},
done on aura
y = ip[X(0 + ha)l
h designant un nombre entier quelconque. On voit par la que, non seule-
ment 1(0 -\- a), mais toute quantite de la forme X(0-\-ha) sera une racine
de l'equation yz=z\p(x). Or, h pouvant avoir une infinite' de valeurs dirTeren-
tes, il faut necessairement que plusieurs des qnantites X (0 -j- ha) soient egales
pour des valeurs differentes de car l'equation y = ip(x) n'a qu'un nombre
limite de racines.
Soit done X(0 -\- ha) = X(0 -J- &'«), oil nous supposons h plus grand que
h'. En mettant 0 — h'a au lieu de 0, il viendra: X[0-\-(h — h')a]= X0 , ou
bien, en faisant h — h' = w,
(6) X(0-\-na) = X0.
Cette equation determine la valeur de ec, car en vertu du theoreme II on
en tire
Q Jrna = (— l)m+m' 0 -\-mio-\-m'(u' ,
ce qui donne, en remarquant que 0 est variable, ( — \)™+™' — \ e^ na — vnn
-j-m'o/; m-J-m' doit done etre un nombre pair, et alors on aura
VI m . m' ,
( 7 ) a = — (oh 10 ,
V / 7i 1 n 7
~ e* ~~ pouvant designer des quantites rationnelles quelconques; on voit
done que, pour que la quantite X(0-^-a) puisse etre racine de l'equation
y=z\fj(x) en nieme temps que XO, il faut que la constante a ait la forme
(8) a = uu) -\- ft 'io' ,
ou // et fi sont des quantites rationnelles positives ou negatives. La quan-
SOLUTION DUN PliOBLEME GENERAL CONCERN ANT LA TRANSFORMATION etc. 4„7
m * ayant une telle valeur, lexpression 1(0 + ka) n'aura qu'un n ombre
We de valeurs differentes, ear ayant M***-***, m mm de ln,]llr
l[0+{n+l)al=:l(e + a)- l[0 + (n + 2)a] = X(0 + 2a) etc.
Oela pose, si le degre" de l'equation y = f{x) surpasse le nombre t,,.s
valeurs megales de + sort une nouvelle racine, differente
des racmes A(0 -(-&«); on doit avoir de la meme manure: a =„ co + u 'to'
et ^p(A0) = y,[l(e + kia1)]. En mettant 0 + an lieu de o\ il viendra'en
remarquant que y>[X(0-\-Jka)] = ifj(XO)=y1
done A(0 + fca + VJ *se™ imc racine quels que soient les nombres entiers
h et fc^ Si mairitenant le degrd de l'equation y = y,(%) surpasse le nombre
des valeurs inegales de lexpression Up + ka + \aJ, soit 1(0 + «,) une
nouvelle racine; on doit avoir S = /*>+^>' et y(A0) == ^(tf+VJ],
dou Ton tire, en mettant 0^-ka-{-klal an lieu de 0,
et par consequent toutes les quantity contenues dans lexpression X(0 -\-lca
-r'*iai + *i*i) seront des racines, quels que soient les nombres entiers
«, \ , &a . En continuant ce raisonnement jusqu'a ce qu'on ait epuise' toutes
les racines de lequation y = y(x), on aura le the'oreme suivant:
Tlieoreme IV. Toutes les racines de l'equation y—ip(x) pourront etre
representees par les valeurs inegales de Pexpression :
Ke +Kai + ha2 + h"* + • • • +
en donnant a kL , k2 , . . . toutes les valeurs entieres, et les quantitr>
«l 7 «8, . . ♦ &y etant de la forme
ft to -J- //to',
ou /fc et u' sont des quantites rationnelles.
Cela pose, designons ces valeurs de 1 'expression / (0 — |— « t -\-ksa%
+ • • ■ -\-hrat) par X(0% /(0-f-r/J, • • ■ *(0 + ««-i)> et bisons
V/(aj)== ™» i; et etant des fonctions entieres de # sans diviseur comnmn,
on aura
p-qy = A(x-M)[x-l(O + ai)}[x-)\0 + «^] . . . [a - a (0 + «„_,)],
equation qui a lieu pour une valeur quelconque de x. A est le coefficient
408 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERN ANT LA TRANSFORMATION etc.
de xm dans p — <Hfi 2 est done de ^a f°rme / — 9Vi ou f et 9 sont des
constantes. On aura par consequent
(9) p-qy = {f-gy)[x-iO}[x-i(p + al)-] . . . [x- 1(0 +
De la on deduira une expression de y en 0, en attribuant a x une va-
leur particuliere, ou bien en comparant les coefficiens d'une nieme puissance
de x dans les deux membres. Une telle expression de y contiendra trois
quantites constantes inconnues, et le probleme se reduit niaintenant a trou-
ver tous les cas dans lesquels ces trois quantites pourront etre deterniinees
de telle sorte que l'equation proposee soit satisfaite. Or nous allons voir
tout-a-l'lieure que cela sera toujours possible, quelles que soient les quantites
a , a , . . . aK, en determinant convenablement deux des quantites a, ea, ct.
Mais avant de considerer le cas general nous allons commencer par celui
oil p et q sont du premier degre, car un theoreme qui en requite nous sera
utile pour parvenir a la solution du probleme general.
Soit done
r+f*
9 9 + 9*
on en tire
J 9 +9X ~~ 9 +9*
Par lk Tequation (1) deviendra, en substituant,
fy* —ff9
yfr^rw^ vi^m-) wm*) h=#*
dx
= + a
V(l — c2x2) (l—e*.v2)
On trouve aisement que cette formule ne peut etre satisfaite que de Tune
des manieres suivantes:
(10) y = ax, *l =
,2
SOLUTION O'ON PRORLKMR GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION m. 409
(12)
y = m - -— , Ci—A_ ¥ c Y e
1 + xVee m yc jl Ye
• 1 Vc+Ye mY—l,
On peut prendre les quantites c, e, Y~c, fe avec le signe qu'on voudra.
^ Cela pose, reprenons liquation (9). En d&ignant par / et o' les
coefficiens de x"-1 dans p et q, on aura
f'-9'y=-(f-9y)[M + Ko + «i) + W +«,)+'• ■ • +K0 + «--,)],
d'oii 1'on tire, en faisant pour abreger
(13) 9* = A* + A(0 + «1) + A(0 + «,)•+ . . . Jrl{B + am^
J 9'+9-<f0
equation qui pourra servir a determiner la fonction y, excepte dans' le cas
oil (p$ se reduit a une quantity constante.
Selon l'hypotliese, y doit etre une fonction rationnelle de a?, done la
fonction cpO doit l'etre de meme. II faut done examiner d'abord dans quels
cas cela pourra avoir lieu.
Soit 1(0 -\- a) une quelconque des quantites 1(0 -\-a^), 1(0 -\-a^), . . .,
il suit de ce qui precede que 1(0 -\- ha) sera de meme e'gale a Tune d'entre
elles. Or soit 1(0 -\- na) = 10 1 ce qui a toujours lieu en determinant con-
venablement le nombre entier n, on aura, en mettant 0 — a au lieu de 0,
— l)a] — l(0 — «); done 1(0 — a) sera encore contenue parmi lea
quantites dont il s'agit. II suit de la que si 1(0 — aA est ditferente de
~f" ai)i Ul quantity 1(0 — aj sera e'gale a l'une des quantites 1(0 -\- <
k(0-\-a3), .... Cherchons done d'abord les valeurs de a <]iii donneroni
1(0 — a) = 1(0 -J- a) ; e'est-a-dire 1(0 -\-2a) = 10. D'apres ['equation (7) on
aura
in - in ,
-g-w-j- ^ to,
ou 7)1 -j- ra' est un nombre pair. En donnant k in et m a partir de zero
toutes les valeurs entieres telles que m-\-m soit pair, 1(0 ~\- a) prendra les
valeurs suivantes:
410 SOLUTION D'UN PROBLEMS GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.
1(0 -\- (o -\- a)'), etc.,
mais, d'apres le tkeoreme II, il est clair que les seules de ces valeurs qui
soieut differentes entre elles sout celles-ci
16, !(« + «.), + ^ +
done, puisque 1(0 -\- a) doit etre different de 10, 1(0 -\- a) ne pourra avoir
que Tune de ces trois valeurs
En exceptant ces quantitds, il repond done toujours a 1(0 -\- a) un autre
terme 1(0 — a). De la il suit qu'on pourra ecrire 1' expression de cpO coninie
il suit:
(15) y0 = ;i0 + fc.A(04-c„)4^^
+ l(0Jra1) + l(0-a1) + l(0 + a2) + l(0-a2)^ ^k(0 + an) + k(0-an)?
oh k\ k" sont egaux a zero on a l'unite.
Pour avoir maintenant l'expression de cpO en a?, il faut recourir a la
formule (3). En y faisant d'abord 0' = ^) on aura 10' = — -■> done 4(0')
£ C
— 0 , et par consequent
or JO = V(1 — eV) (1 — cV), done
On aura de la nieme maniere, en faisant 0 ' = >
• f a i <»M 1 l/l —
La premiere formule donne
(16) . . -\o-l)= *(*-ff), V
SOLUTION D UN PROHLEME GENERAL CONCEKNANT LA TRANSFORMATION etc. 4H
done, en mettant 0-\-~ au lien de 6
(17) l(0 + m) = -M=:~x.
En nmltipliant J, ( 0 — ~j par a|^ + ^-J, on aura
(18) ^-fj.^ + l^-J,,
d'ou Ton tire, en mettant B^~~ et 0 4-^ an lien de 0
(19)
an
1
1
|=— !-
*)
1
1
1
ec
ec
La formnle (3) donne encore, en faisant 0' = a,
2x . Ja
(20) X(6 + a) + l(e — a) = T
On voit par la que l'expression de cp6 sera toujours nne fonction ra-
tionnelle de a;, savoir
(21) ytf = (l_fe)z + *!=*:.l + ^ „
en employ ant pour abreger le eigne de soinmation £.
Cela pose, il faiit considerer plnsienrs cas, selon les valeurs differentes
de 7^, fc', k".
Premier cas. Si k — h' — k" — 0.
Si les trois quantites 7c, k\ fe", sont egales a zdro, l'expression de (p6
deviendra
(22) (f>& = M + k(0-{- «0 + x(0 — «*) + A(0 + o») + *(0 — «s) -j
+ a(0 + «„) + ;i(0-O
ct
(23) <P0 = x + 2xZ1-eJ-,r3—,-
Done la premiere condition, qne y soit rationnelle en x, est remplie. II taut
52*
i
412 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERN ANT LA TRANSFORMATION etc.
maintenant substituer son expression dans l'equation proposee et voir si elle
pourra etre satisfaite.
On tire d'abord de l'equation (14)
l±y— g' + gcpt)
Cela pose, elesignons par rT, (T, e, e' des valeurs de 0 qui repondent
1.1 ,1 1 i •
respectivement a y=-\ » ]) — » V— i ' V — ' 011 doit
avoir
\ 9' — eJ" +(ff~eif) *>« = <>, / + «,/' + (<7 + e,/) =0.
(24)
En vertn de ces equations les valeurs de 1 — l-j--e ?/, 1 — ••e1|^, l-j-^?/
deviendront, en faisant pour abreger
(25) ^'-|-^ = r: '
(26) I r \ crdf
En substituant dans 1 — ^ l'expression de (p0 en x, on obtiendra un re-
sultat de la forme
q>0 _ • H-i^ + ^t^H M2„+i*2n+1
2 xi —
^ (l-eV^a^l-eWa,^ • • • (1— e^^V*)'
En faisant 6 = 3 le second membre s'evanouira, niais il est clair par
ce qui precede que cp(0) ne change pas de valeur si Ton met au lieu de 0
l'une quelconque des quantites 0 ± at , 0 ± a2 . . . 6 ± an . Done le numera-
teur du second membre doit s'evanouir toutes les fois que x a l'une des va-
leurs Id, k(d±a1), . . . k($±-am). Done, puisque le nombre de
SOLUTION D'UN PROBLKME (JliXEBAL CONCEBNANT LA TKAX.SFOBMATIOX etc 413
ces valeurs, en general toutes differentes cntre elles, est 2n -f- 1 , il s'en-
suit que
i 4*4*4- • • • +^+i*-=(i-£) (i-SlI)
done en substituant et faisant pour abreger,
(27) p = (1 — eWo^e?) (1 — eVil* ... (1 — e*c2l2anx*),
il* viendra
...ii- "
^(^ + «») / \ A(df — aM)
formule qui a lieu pour des valeurs quelconques de et 0.
A l'aide de cette formule il sera facile de trouver les cas dans lesquels
on pourra satisfaire a, l'equation proposee. On peut ecrire cette equation
comme il suit:
(29) y(i-cy)(i-ey) = i-^ ya~cV)(i-,v) , :
ce qui nous fait voir que Tune des quatre fonctions 1 + l±ely doit
s'evanouir en attribuant a x une des quatre valeurs ± - - » + — > e'est-a-dire
a 0 une des valeurs ±^-i i-^"'
Supposons d'abord 1 — cx ?/ — 0 pour 0=~i 1 -\- c^y =■() pour 0 =
2
y) 1 — ely = 0 pour 0 — "a" ' ■* r ei ^ = 0 Pour ^ = 2" ' °n P0U1T{1
prendre ^=1^, — e = -^-j e' = — En substituant ces va-
leurs dans les equations (24) et remarquant que y| — <jr)==' — ^(~2~)'
y I — 2 ~ — J? 1 ~2~ I ' 011 en *ire
On satisfait a ces equations en prenant
414 SOLUTION D UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.
(30) g=f = 0, jr^ m^ffi e-^—
ou h est arbitraire.
La valeur de y deviendra
(3i) y = T<P°
et I on aura en suite
9\T) V
Cela pose, faisons dans la formule (28) ^ = i^-» p+£-9 on obtiendra
• • • 1-
1 1 — — a,.
l(j + «»)
or A | y | = i j et d'apres la formule (16) on aura I -J- u j == l — a J j
done
(33) i— 4%=i(i_^)h — r-^-T!2|i — ^— -A'
• 1-
On aura des expressions analogues pour 1 -j > 1 + — ^ >\ en faisant
En faisant done pour abre'ger
SOLUTION D UN PROBLEM E GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 415
on trouvera
(35) l-df = (l-cV)^,
et de la
(36) yfi-c'^a-^^) = + £ ya~cV)(i-«v).
Maintenant les deux equations (35) nous montrent que est une fonc-
tion entiere de x, qui est divisible par les deux fonetions entieres t et
done, puisque ces fonetions n'ont point de diviseur comniun, il en resulte
que Q2-^ sera divisible par leur produit; mais le degre de la fonction
est precisement le meme que celui de la fonction tt\ savoir An. Done
l'expression x se reduit a une constante. En la designant par a, on
aura done
tt'
(37) • dy — a-^dx,
et par suite l'equation (36) donnera
(38) dy — = ±n *
e'est-a-dire liquation proposee.
Pour determiner le coefficient a faisons dans (37) x mfini, on obtiendra,
d'aprks les valeurs des fonetions t',
dy a
* = (-«•.•)-• *'«. • • ■ • (r -«•)•■• ** (y - «») • Ki (t -«.)• • 4,(t-*5 '
niais d'apres la formule (18) on a W-J1 — «J.A2| 9 aj = Jijp
done
(39) = A^a, .^a2 . . . A4a„ ' (7Vp
or, en differential^ l'equation
(40) //•■-,'.-/« • '. ^ii^;;,,
416 SOLUTION D UN PROBLEMS GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.
et en faisant ensuite = -i- ? on aura -7^ — t"' En egalant cette valeur
U tlx Jc
a la precedente on en tire
(41) a = (e2c2)n~Xia1.Xia2 . . . X*an.
On pourra dormer a l'expression de y une autre forme pins simple a
quelques egards. En mnltipliant les deux membres de l'equation (28) par
(pd et faisant ensuite ()v = 0, il viendra
^ A tV i - OS ^ '\ f ^ b0
<p0 = —- I —
011 A est une quantite constante. En attribuant a a; la valeur ^ , apres
avoir divise par on trouvera
(42) A = (e2c2)n.X4ai.Xia^ . . . X*an = ah.
L'expression de y deviendra done
'l —
(43) u-a- * ^ V
y*Q) y__a^— etciXia^ (X _ e2c2A3«2^2) ... (1 — e2c2A2anA-2)
II y a encore une autre maniere d'exp rimer y qui est tres simple. En
faisant dans (28) x = ^y apres avoir divise les deux membres par cc, on
trouvera
(44) cpd =
(c2c2)nX2al.X2a2 . . . X2an . Xd . X{ai -\- (?) l(a± — d) . . . X (a, + $) X («„ — d)
= Xd + X{<5 + a,) -f-A((T — 1^)4] h + + - «*) >
formule qui a lieu pour une valeur quelconque de d.
En mettant done 0 au lieu de d et multipliant par i t 011 aura y ex-
prime corame il suit:
(45) y=^r(ecynb.XO.k(al-\-0).X(a1 — 0) . . . X{an -f 6) . X(an — 0),
oh. Ton a fait pour abreger
(46) b = X2a1 . X2a2 . X2a.A . . . X2an.
SOLUTION U'UN PROBLEM E GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 417
En faisant 6 — -)- ~ > 6 = -\- -~ - » les valeurs correspondantes de y
seront i et -i done:
(47)
e".c'-1
l y — aj. A
Si done les quantites cn e, , «, y ont les valeurs exprimees par les
Equations (41), (43), (45), (47), l'equation (1) sera satisfaite en determinant
convenablement le signe clu second membre. II faut remarquer que ce signe
n'est pas le meme pour toutes les valeurs de x\ mais il sera toujours le
meme pour des valeurs de x comprises entre certaines limites. On doit
prendre le signe -|- si x est tres petit; et alors on doit conserver le meme
signe jusqu'a une certaine limite. Dans tons les cas le signe qu'il faut
prendre se determine par l'equation (36).
Le theoreme de M. Jacobi est contenu comme cas particulier dans ce
2 co
qui precede. En effet on l'obtiendra en faisant ax = 2w_|_ i ' 0 == 1 ' Cl = 1 '
Alors on trouvera a9 =
k = b.ei
,2?j + l
4 co
6co
• • «»:
2nco
—
2w + l
~ 2n+ 1 '
~~ 2« + l '
CO
[ 3 co\
• • • 1
/2n — 1 co ]
2n + l
Y
t2n + l 2 J
\2« + l 2 j
E'l
CO
[ 3 co\
/2n — 1 co \
2n + l
^2« + l 2 J
\2w + l 2 j
(48)
7 1 2n + 1
2 »t — 1 to
2n + 1 2
n+1 2^J
V(l-y2) (1-e?*/2)
2?i +12
s= + a
2 n + 1 2
II faut prendre le signe superieur si a; est compris entre les limites
53
418 SOLUTION DUN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.
-I~ 1 1 2?^^i y) et + ^(1^+ r t) et le si^ne m^rieur si x est comPris
, . .(4m 4- 3 id \ /4m + 5 (a
entre ies hmites X — r- r- -h- et X 1
2w+ 1 2 j \2w + 1 2
Eii faisant dans notre formule generate ofj = — 2n4-l ' °U m_rm est
un norabre pair et oil les trois nombres ra, m', 2n-\-l ne sont pas divisi-
bles par un merae facteur, on aura une formule plus generate que celle de
M. Jacobi, savoir celle que j'ai demontree dans les „Recherches sur les fonc-
tions elnptiques." On aura dans ce cas, en taisant a — — j — ' «1=:«,
a2 = 2ec, a3 = 3a, . . . an = na, ce qui suffit pour determiner les quantites
d, et, a et ?/.
Dans ce qui precede nous avons demontre qu'on aura une valeur con-
venable de la fonction ?/, en prenant, dans 1'expression generate de cette
fonction y = ^t~^~ ^? f' — q — Q. On peut aisement trouver toutes les
autres solutions possibles a l'aide des formules (10), (11), (12). Soit
_r-f/-yfl
(49) yx
9' + 9-<r°
et designons par c_, e9, les valeurs correspondantes de ct et e1? on doit
avoir
(50) - =±a.-
V(i-^lKi-i^) .. V(i-*2<)(i-^2)
mais en faisant = le second membre sera, d'apres ce qui precede,
^o-al a + dy — j done on doit avoir
(51) % ==±a- <hj
V(i-«iy?)(i— «jy?) a V(i-c?r9(i-^2)
ou
1/1 g' + gy
D'apres les equations (10), (11), (12) on satisfait de la maniere la plus ge-
nerate a ces Equations en prenant
(52)
SOLUTION D'UN PKORLEME GENERAL CONCERN ANT LA TRANSFORMATION etc. 419
1 if 1 a\ 1 a*
J
c. yi = m u — 1 1 , c2=z — [ ¥ — 1
ft. m
a ' 2
Ces trois formules, en y faisant y = ^-(pB, contiendront done tontes
les manieres possibles de satisfaire a 1'equation (50).
On peut sans nnire a la generalite faire k—1. La premiere de ces
formules est la meme que celle qui resulte de y = -^(pd. La secoiide en
r&sulte en mettant 4-— 4- an lieu de y. Les modules restent par cette
eici y r
substitution les memes. La troisieme est en general differente des deux pre-
mieres.
Deuxihne cas. Si k est egal a zero, et Vwne des quardiies k', k" Sgale a VwutS,
Si, k etant egal a zero, l'une des quantites k\ k" est egale a l'unitg,
il faut necessairement que l'autre soit egale a zero. En effet si Ton avait
k' = k" = 1 , les racines X j 6 -f- ^jp^ j > 1 1 0 -\- 3ft> + 10 J donneraient celle-ci
/ „ , 3 o) -\- io' to -4- tat \ , / „ i x . 7 . , , . ,
/ 0-j g — = l{p -[- (Dojj done & ne serait pas egal a zero
eomme nous l'avons suppose. Designons done par ft rune des quantity's
— 2 — ' 2 ' expression de deviendra
(53) <pe = 3ie + 3L(e + p) + }i(e + al)-{-x(e — al)-\
+ a(0 + <)+a(0-«„),
ou, en rexprimant en fonction.de £c,
(54) ^ = a;±ii + 2x^I^^i.
Soit comme dans le premier cas 1 — 0^ = 0 pour # = on anra
53*
420 SOLUTION D UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc,
(55) l-c\f=9 JJ
Maintenant, de la meme maniere qu'on a d&nontre precedemment la formule
(28), on etablira la suivante:
(5«) i-5=-^^-^(i-i7^(i-fe#i-
(fd~ ffd.Q \ Xdj\ l(d-\-(i)}\ l^+ajjy W—aJ
... 1
oil l'on a fait pour abreger:
(57) (j = ±ecx(l — eVi'a^Kl- e2c2A2«2.x2) . . . (1 — eWa,, .z2).
En faisant J = ± -g- j on aura les valeurs de 1 -| et 1 5 qui
multiplies entre elles donneront celle de 1 — ( — - — r ) • Cette valeur substi-
tuee dans l'expression de 1 — c\y2 (55) donnera
V
1_ia(f-«-)^
et par consequent, si Ton fait
(58) «=(i-^uui- ^k&^i
0 s^psjH*-
on aura
(59) V^lf = VC*C~ * V (1 - c*x*) (1 - e V).
Cette valeur, mise dans l'equation (29), donne
(60) Vi -«;,,» = zg.jL
On voit done que \l — e{y* doit etre une fonction rationnelle de x.
SOLUTION D UN PROBLEMS GENERAL CONOERNANT LA T It A N SFO RM A TIO N etc. 421
II n'est pas difficile de demontrer qu'on satisfera a cette condition, en sup-
posant qne 1 — e\y2 s'evanouit pour sc = ± 1 1 — g-^ Jj on aura alors
... 1
Les equations (24) donneront dans ce cas
0'^/?(y) = «i/y(— 2
anxqnelles on satisfera en prenant
f~9'=0,
9 ci V
De la il resulte:
(62) Ci=fc.y(f); e^k.cp^0^)
1 ,ec
y = Tye' a=z±T'
Connaissant ainsi une solution de l'eqnation proposee, on aura toutes les
autres a l'aide des formules (10), (11), (12). Le cas le plus simple est
1 q 3 10 ■ io'
celui oh n == 0. Alors on aura, en faisant et = c 1, p — -g- IT '
^0 = /0 + /(0 + /?) +
( V(l_,«)(l-«iy^ — l ^ Ml-**) a -••*')
422 SOLUTION D'UN PUOI5LEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORM ATION etc.
Troisihne cas. Si k — 1.
Dans ce cas l'expression (15) de (p0 deviendra,
q>$ = XO + )L(p-{-(o)-\-k(0 + a1) + l(0 — a1)-\ 1- 1(0 -f an) -f 1(0 -
Or cette quantite se reduit a zero pour une valeur quelconque de 0, ce
dont on pourra se convaincre aisement, en remarquant que <f>0 doit rester
le meme en changeant 0 en 0 -\- id.
La fonction cpO etant eg'ale a zeYo, si Ton designe par \(f — g'y) le
coefficient de cc'"-2 dans le premier membre de l'equation (9), on aura, en
faisant pour abreger
Fd = X'0 + ^(0 + a)-\ 1- 1\0 + «._,): I
f'-o'y = -{f~gy)F6,
d'ou Ton tire,
Maintenant il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions relatives
a ce troisieme cas en se servant de l'expression (64). Je ne m'arreterai pas
ici a developper les formules memes; je vais seulement faire connaitre un
theoreme plus general que celui exprinie par les formules (48).
Theorhne. On aura
/ dy — ± adx — + adQ
V(l— ys) (1— e\y*) V(l— — e*.r2) '
ou
a = k.l A A- y— , e1 = en\l — . I- U^—iV- ,
n n n \ 2n 2n v 27 ii J
(65) / , j . w . 3w , , . . w
2n 2 n v ^' w
% dtant un nombre entier quelconque, ~ = / —
2 Jo ya— .-c!
V(l — .r2)(l —
En supposant impair, la formule (65) est la meme que celle que nous
avons trouvee (48).
Si Ton fait x = siri(p, y = sin ip, on obtiendra
SOLUTION D'UN l'KOHLEME GENEKAL CONCKKNANT LA TKANSFOliM ATM »N
(66) : — r, dff
a —
ou Ton pourra exprimer la quantite ip counne il suit:
(67)
1 — e2l*\
[f
+ arc tang J tang- <p . j/l^- eV(^)|
+ • • • '
-f- arc tang- j tang (p .]/ 1 — e2vl2 j -
En supposant n — 2 on aura
V = <p -\- arc tang- (tang (p . YT^— e2 ) ,
ou bien
tang (ip — (p)~— tang xp . y 1 — e2 .
(Voyez Legendre Exercices t. I, p. 84).
Si Ton suppose n tres grand, on aura a pen pres 6^ = 0, done
= 2m arc tang- j tang- ip . j/l — e2A2 j ~ J | •
ncp
= a I
Jo
r sin'
ri 7t TC - TP ft) , 1 1 to
r50it cp = s ? on aura w = n ■> done n = a » done — = —
it
? i on aura \p — n-^
la il resulte, en faisant n infini,
Jo VT
*r sin'1 <jp
= I arc tang* (tang- y> . |/l — e8A2£C )
^ Jo
De
Nous avons vu preeddemment que le nombre des valeurs ineg-ales dc
l'expression 1(6 -\-kial -\-\a„ -j- • • ■ -\-kyav) est toujours fini. On pent dans
tuns les cas trouver ces valeurs corame il suit.
Soient
(68)
I (0 -{- nt a2) = / (0 -\~ at) ,
X(Q — J— ?^3 as) = /, (0 -\- «x + w* «a) >
424 SOLUTION D'UN PROBLEM E GENERAL CONCERN ANT LA TRANSFORMATION etc.
ou Wj , n2 , 7?3 , ... nv sont les nombres entiers les plus petits possibles qui
puissent satisfaire a des Equations de cette forme, wn m2, . . . mv_x etant
des nombres entiers, qui pourrout etre differens dans les differentes equations.
Cela pose, je dis qu'on aura toutes les valeurs inegales de l'expression
1(0 -\-1c a -(-&., cc2-|- • • • -\-kyar) en attribuant a k9J) . . . ky toutes les
valeurs entieres et positives respectivement moindres que nt, w8, . . . n„.
En effet, si Ton avait
a(0+V«i+V«,H hV«r)=*(*+*i«i+MiH h^«r)>
sans avoir a la fois
Jct Jc^ , 5 • • • ^j/ ^> j
en mettant 0 — — k2a2 — • • • — — — &m+iam+i — * ■ ■ — kvav
au lieu de 0, on en tirera
/ [0 + (km - hj)an] = X[6 + (W —&,)«* H h ~ ^-iK-iL
ou Ton a suppose que km — JeJ est la premiere des quantity hv — kv_x
— k'v_t , . . . qui soit difierente de zero. Or en supposant, ce qui est per-
mis, que km — kj soit positif, ce nombre sera en meme temps moindre que
7Zm, ce qui est contre l'hypothese. Le nombre total des valeurs inegales
de l'expression 1(6 -\-k2a2 -{- • • • -\-kyav) sera done dgal a
car il est clair qu'on n'aura pas de valeurs nouvelles, en attribuant a 7^,
fc2, . . . ky des valeurs respectivement plus grandes que tt^ . . . ?v
Le degre* de l'equation _p — qy=iQ est done
w =s n^n^n^ . . . fry.
Si done ce degre doit etre un nombre premier, on doit avoir v — 1 et m — nx.
Les racines de l'equation p — qy =s= 0 deviendront done dans ce cas
XO, A(0 + a), it(0-f 2a), . . . l[0 + (n—l)a],
X(0 -(- wee) = X0, et « = — >
?ft et m! etant deux nombres entiers dont la somme est un nombre pair et
qui n'ont pas un meme diviseur conmiuu avec n.
On doit remarquer qu'a la meme valeur de m respondent toujours plu-
sieurs solutions differentes du probleme general. Le nombre total de ces
solutions est en general egal a 3 m.
SOLUTION DUN PKOBLEME GENERAL CONCEKNANT LA Tit A N SFO It M A TION etc. 425
On peut de ce qui precede d&luire un grand nombre de thdoremes re-
marquables sur les fonctions elliptiqnes. Parnii ceux-ci on doit distinguer
les suivans.
a. Si l'equation (1) peut etre satisfaite en supposant y—ip{x) = ~
oil le degre des fonctions entieres p et q est egal a un nombre compose
inn, on pourra toujours trouver des fonctions rationnelles cp et f telles
qu'en faisant
Xl =z(px -= }j » on ait y=f{x?) = ^-,
*
(69) { V(i ^Wfii^ei^l ) ~ a' Y(l^cW) (l - '
dyx __ n <K
Wo
le degre des fonctions entieres p et q' etant egal a 1'un des facteurs m, n,
et le degre de px et </i etant egal a l'autre.
b. Quel que soit le degre de l'equation p — qy = 0, on en pourra tou-
jours tirer la valeur de x en y a 1'aide d'operations algebriques. Voila done
une classe d'equations qui sont resolubles algebriquement. Les racines au-
ront la forme suivante:
/ 111 I
(70) x = fonct. ration, [y, f& r,- • • •
, rc* , . . . w„ etant des nombres premiers entre eux dont le produit est
e^al an degre de l'equation en question, et les rn r2, . . . r„ etant de la
forme
(71) ,+ ^(1_c^)(i_e^),
oil £ et f sont des fonctions entieres de y.
c. II y a un cas remarquable du probleme general; e'est celui ou l'on
demande toutes les solutions possibles de l'equation
y (iZ^*-y*j(T^T*y*) V(i - c2*8) (1 - *2*2)
On aura a cet e^ard le theoreme suivant:
54
42C) SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.
Si l'equation precedente admet une solution algebrique en x et ?/, y
etant rationnel en & on non, la quantite constante a doit necessairement
avoir la forme
ou /t' et u. desio-nent deux nombres rationnels, le dernier etant essentielle-
ment positif. Si Ton attribue a a une telle valeur on pourra trouver une
infinite de valeurs differentes pour e et c, qui rendent le probleme possible.
Toutes ces valeurs sont exprimables par des radicaux.
Si done on suppose que a soit une quantite reelle il faut qu'elle soit •
en nieine temps rationnelle. Dans ce cas on sait d'ailleurs qu'on pourra
satisfaire a l'equation differentielle dont il s'agit, que lies que soient les va-
leurs des quantite's c et e.
d. Du tlieoreme precedent, on peut par un simple cliangement de va-
riables deduire celui-ci:
Si l'equation
dy dx
V(l - */2) (1 - b*y 2) _ a V(l - **) (1 -~^)
ou b2=l — c2, admet une solution algebrique entre x et ?/, le coefficient
a doit avoir la forme suivante :
fjb* et fjt ayant la meme signification que pr^cedemment. Si done on veut
que a soit r^el il faut qu'il soit dgal a la racine carree d'une quantite ra-
tionnelle. Cette condition remplie, le probleme a une infinite de solutions.
Comme cas particulier on en d^duit ce thdoreme:
Si en supposant cp et \jj rdels et le module c inoindre que l'unite, l'e-
quation
(72) - ^ _ = a -*? ,
yl — b2sm*ip yl — c2sin2<jp
a une integral e algebrique en sin (p et sin tp, il faut necessairement que a
soit egal a la racine carree d'une quantite rationnelle et positive.
Ainsi par exemple, si dans la formule (05) on suppose e\—l — e2,
on aura a = Vn comme nous allons voir. En faisant 6= ™ dans l'ex-
2n
SOLUTION DUN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 427
pression de ?/, on trouvera, en vertn de la valenr de 7<s, y=l1
done
T1 dy __ fA(^) dx
Jo VCl-y'Kl-^) ~~ a Jo V(T=^) IT-eW) 2n '
en remarquant qu'on doit, dans le second membre de liquation (65), pren-
dre le signe superieur depuis x = 0 jusqu'a a = ;,|-|^j- Cela pose, en re-
marquant que A 0 -f- — = A ^— BU il est clair qu on aura
en multipliant cette valeur par celle que donne la formule (65), on aura,
en faisant usage de la formule
qu'on obtiendra k l'aide du theoreme 1 :
n »
En faisant maintenant x=p^~^l, y = zf^l, on aura, en supposant p
reel, pour toutes les valeurs cle cette quantity
dz fp *P
z=z a
a 10
K V(fT^WTW) Jo +^2) (r+ ^
mais si Ton fait j> — -J-, on aura de meme z = -jr, done
f
J o
dz _ f*
ct
y(l + ^)(l+Tp5 J o V (T+p)(T + * V)
Le premier membre de cette equation est la inline chose que y, et le se-
, -, r fc ^ f1 dy , ce qui est facile a prou-
d la meme chose que a -^==-==^' «■ 4 i
con
ver, done
">4*
428 SOLUTION D'UN PROBLEMS GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.
l0=aC *
Jo
2 Jo V(l-y2)(l-02)
Cette equation combinee avec (73) donne
tt; aco
crest-a-dire
a = yn .
Christiania le 27 mai 1828.
XX.
ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT.
Astronomische Nachrichten, herausgogeben von Schumacher, Bd. 7, n° 147. Altona 1820.
Dans le numero 138 de ce journal j'ai fait voir comment on pourra
trouver toutes les transformations possibles, reelles ou imaginaires, d'tme
fonction elliptique proposde. Les modules c, e, c , ei pourront etre des
quantites quelconques. Le cas le plus remarquable est eelui ou Ton sup-
pose les modules reels. Dans ce cas le probleme general pourra se r&oudre
par une metliode particuliere, entierement differente de celle que nous avons
donnee dans le memoire cite. Puisque cette nouvelle nu'thode est remar-
quable par sa grande simplicite je vais l'indiquer ici en pen de mots.
Le probleme general que nous allons completenient resoudre est le
suivant :
„Trouver tons les cas possibles ou Ton pourra satisfaire a lV'jjU.uiou
„differentielle :
/jx dy da
1 ' y^r^^(T^7f72) ~~ a y(i - **) (i -
„par une equation ahjehrique entre les variables x et ?/, en supposant
„les modules c et ct moindres que l'unite et le coefficient a reel on
„imaginaire."
En designant par W la fonction inverse de celle-ci:
430
ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT.
de sorte que x = M, on aura, en vertu de la formule (4) du numero 138,
/[(— l)"1+ffl^-fm(» + mV] = ^,
oft les quantites constantes to, m' sont determinees par les formules
dx
(2) W.?h=s
V(l — .z2)(l— c2*2)
1
uf C c dx
2" ~J o y^r^^f^^2)'
Dans le cas que nous considerons, la quantity w est rdelle, niais to' est ima-
ginaire. On aura en effet
w' r1 dx . r 6 dx
c'est-a-dire :
i
dx
V(^2_l) (l_c2^2)
ou il est clair que le coefficient de y — 1 est une quantite reelle. En fai-
sant x — * _= , oft b = V 1 — c2 , on trouve
2 2 X r 1 2
oft
2 — Jo Vff— o(i — 6*^)' .
Le the'oreme II du numero 138 donnera done celui-ci:
„On satisfera de la maniere la plus generale a l'equation
W ==
„en prenant
(4) 6»'=:(— l)'»^-(-moj + w'tS ) — f ,
„oft m et m' sont des nombres entiers quelconques, et to et C3 deux
„quantites reelles donnees par les formules (2) et (3)."
Cela posd, soit
(5) /(sr. «j == o
liquation alg^brique entre y et x qui doit satisfaire a l'equation differentielle
AUDITION AU MEMOIUE PRBCKDEHT. 43l A ^
(1). Si ron fait = A<9 et y = Xx6\ oil 0 et 0' sunt deux nouvelles va-
riables, et Xx la fonction elliptique qui repond au module cM de sorte q^b^»4^
(6) ~ w -= = d0' pour y = ).0\
l'equation (1) deviendra
d6' = ±ad01
d'oii l'ou tire en integrant: O' — t + aO, oil s est une constemtc. On a
done
y — M£ ± <iO),
ou bien, en mettant -\-a pour + «,
(7) y = i1{e + a,0).
Liquation (5) entre x et y donnera done celle-ci
p fMe + aO), 10] = 0
qui ne eontient que la seule variable 0, et qui aura lieu quelle que soit la
valeur de cette quantite.
II ne serait pas difficile a l'aide de la formule (8) de trouver la fonc-
tion mais pour notre objet il suffit de connaitre le coefficient a et
une certaine relation entre les fonctions completes. Voici comment on y
parviendra. En mettant 0-\-2mco au lieu de 0, et en remarquant qu'en
vertu de l'equation (4)
on obtiendra cette autre equation
(9) f[h{£ + 2 maw + (10), 10] = O.
On aura de meme, en mettant 0-\~mG)t pour 0, ou z = 1,
(10) /[X^t + mam + aO), X0] = O.
Dans ces deiix equations m pourra etre un nombre entier quelconque.
En faisant x = X0 on voit done que l'equation algebriqur
est satisfaite en mettant pour y une quantite quelconque de l'unc des deux
formes:
lx (e -f 2 mact) + aO) , Xt(f -f- mawi + a*) ;
mais m pent avoir une infinite de valcurs, tandis que L'^uation do* il
432
ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT.
s'agit n'a qu'un noinbre limite de racines; il faut done qu'on puisse trouver
deux n ombres entiers k et k' tels que
(11) \ [e + 2 k'aco -f «0) == ^(e-f 2 &S«J -f a0) ,
et deux autres v et v' tels que
(12) -|- v'ami-\-aO) == ^(f rj- mcDz -|- a0).
En vertu de la formule (4) ces deux equations donneront respectivement
!2&'ac» — 2kam -f- 2muj1 -\~ m'ffit ~\/ — 1 ,
v'awi = rami -\- 2fi(oi -\- f^^.V — I,
oil mt et Cv1 designent les valeurs de co et w qui respondent au module c ,
e'est-a-dire qu'on a
(13)
(14)
2 ~ Jo V(l —
Cela pose, les equations (13) donneront, en y mettant v pour k' — k et v'
pour v' —
| a = -f- 1 V — 1
(15) \
I a = ^ &1 — CJl V^l
\ v' (j) v' CO ' '
d'oii, en comparand les parties reelles et imaginaires,
? w / <3 ' 2v co P~ co >.
Ces deux equations donneront celles-ci:
Qy\ _ 1 mm' y'2 1 f»V
0* ~~ 4 lili' ~v* ' tff . ' 4 m^r '
Maintenant est une fonction continue de c, done les equations (17) ne
sauraient avoir lieu que pour des valeurs particulieres des modules c et c .
Si done on suppose c indeterniine il faut que Tune des equations
(18) m = fl = 0,
ADDITION AU MEMOIKE PRECEDENT.
I . > . i
(1S)) » = ,.' = <>
ait lieu. Les equations (15) et (16) se rfdulront dans le
premier ens a
( a = — !*£ — E 3:
(20) v 10 v' Q '
ffi r/t' w
^x v'ui co '
et dans le second cas a
(21)
« = - [/ — 1 — — it i
2v co 1 „' a r
_ 1 m'v' co
®t 4 /(j; ~co
Mais si la valeur du module c est telle que la premiere des equations (17)
ait lieu, on doit avoir en meme temps
(22) * — 1 y; ]/ <*i 1 1/ ^7?
et alors a est 01011116' par Tune des equations (15).
Quant aux nombres m, m', //, y, v' il font les prendre tels que <o,
Wi, to, wx soient, selon leur nature, des quantity positives. Si done on sup-
pose, ce qui est permis, v et v' positifs, il faut que m et //' soient de
m&ne signe et m' et // de signe contraire. On pourra d'ailleurs sans di-
mmuer la generality supposer m\ m et //' positifs et // negatif.
De ce qu'on vient de voir on deduit imme'diatement ce the'oreme:
Theoreme I. Pour que 1'equation (1) ait une integrate algebrique en x
et ?/, il faut ne'eessairement que les modules c, et c soient lies entre eux de
telle sorte que Tune des deux quantites ^- et ^- soit dans un rapport m-
tlonnel avec — ; e'est-a-dire qu'on doit avoir Tune des equations
(23) ^=k^; °'=k^
Co 1 at, CO
011 k et k' sont des nombres rationnels. Si la premiere de cos dq nations a
lieu, mais non la seconde, on aura en meme temps
(24) iWiJf'i
CO
55
434
ADDITION AU MEMOIllE PRECEDENT.
oil d est nn nombre rationnel. Si la seconde equation a lieu mais non la
premiere, on aura en nieme temps
(25) « = <y^y=rT.
Enfin si les deux equations (23) ont lieu en meme temps, les modules c et
Gx seront tous deux determines, savoir respectivement par les equations
(26) *=Vkk', ^ = 1/?,
v ' to ' tot f k
et alors le coefficient a doit avoir la forme
(27) o — jA+J'AfCTL
v ' CO 1 to ' 7
oil J1 et (T sont des nombres rationnels.
Les conditions indiquees dans ce thdoreme doivent done necessairement
etre remplies pour que l'equation (1) ait une int^grale algebrique. II reste
encore le point le plus important, savoir de determiner si ces conditions
sont suffisantes. Or e'est ce que nous allons faire voir a l'aide de la for-
mule (65) du numero 138. Cette formule pent facilement etre demontree
en faisant effectivement la substitution de ?/; mais il existe une autre de-
monstration, tiree de considerations entierement difFerentes et que nous allons
donner ici, en nous servant d'une formule demontree dans les „Recherches
sur les fonctions elliptiques." II s'agit de la formule (185) de ce memoire
(Crelle's Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 2, p. 176),
savoir
(28) fa = nn~ r
0 14. ? ?
1 I rm + i _|_ r— m— I
oh
art to' 7t
(29) V = e*i r = e^,
les quantites to et to' &ant doimees par les equations
ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. | .",.')
(81) /« = Vl-
oil x est lie a a par l'equation
dx
Si Ton fait e = . ° - = x ' ^ = V 1 — */% 011 troiivera
yl — c2
to' j 10 a)' , <3 w' (O
IT = T' ~2r"~ Y' a7- ¥'
da — — b — <Zy i
V(i-y) (1-cV)
d'ou
maintenant l'equation x = yi — if donne y = Vl — a2 =/«, done
R'jl'..r. 4' /« = *(|- — £")»
d'ou, en mettant b~ — ba a la place de a,
(33) —
Cela pose, si l'on pose dans la formule (28) b^—ba an lieu de «,
on trouvera, apres quelques reductions faciles,
n _ m (1 _ (1 _ (1, - *V) (1 - ff^ . , ■ ?
(34) = J. (i ^^)(l^<4^(lv4^7 (1 + <3,,<l) (X + '"^ ' ' *
ou
(35) , < = « *i r = e °
et A une quantity independante de a. Si l'on fait pour abreger
(35') 1+7^ = *H
on aura done
(36) X« = 4.V(«f)-.K<« + «)f-V'('«-«)|-^2u'+")^-V'(2",_")^''
Si Ton fait maintenant sueoesmvemewt
56*
430
ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT.
2 CO „ , n — 1
= 0, 9+ 0 + --, • 0 +
CO
n 1 w w
on aura les valeurs de X j 0 -\~~^ j • • • * j 0 + ~^7~ 10 ) ' <lu* multiplies
ensemble donneront sur le champ
(37) M.x[8+^\x(e + ^)...x[o + ^(o)
= i'.^i.y.K + <l)^?h-<^-y(2»,+<>)^' •-
oil Ton a fait ponr abreger
(38) 6 = ^-6, ^ = ^4;
V ' CO COy 11 CO
or si l'on pose dans la formule (36) le module cx an lieu de c% et si l'on
designe les valeurs correspondantes de
Id, co, (w, A
respectivement par
il viendra
X,a = A. .\l> a Mb Uo, -\- a) - ip (w, — a) — ....
1 1 f cox rx 1 1 ' a± ry 1 ' cdl
Le second membre de la formule (37) est done la meme cliose que ~j-X%0
— et par consequent on aura la formule suivante:
cette equation a done toujours lieu si le module c, est tel que
(40)
v ' (by n Co
quel que soit d'ailleurs le nombre entier n.
Si Ton fait IB = x, 6^ — ?jy on aura l'equation
r.-v codii co.dx
(41) J = , 1 — d». ,
y(l — i/2)(l — c^ya) V(l— #2)(1 — c2#2) '
qui par consequent est satisfaite par l'expression algebrique
At
ADDITION All MKMOIKE IMJKCKDKNT. |;',7
(42) y=^e.x{e+^)...,(e+'^-lli)).
La valeur de y est toujours une function algebrique de x. En etf'et, si n
est un nombre impair, on a
(43) y=T»-:
et si ?z est un nombre pair
2 M
(44^ y=^h_,Xt w # < # v 2 »/ yi — x*
Considerons maintenant les trois cas de notre probleme general.
Premier cas. Si a est reel.
Dans ce cas on doit avoir, comme nous l'avons vu, a = d
7 ' c3 v Q
% __ f
oil u et k sont des nombres entiers; l'equation proposee deviendra
(45) dy ^ ®i dx
V(i— ya)(i_c^2) v o y^-^xi^c^'
On doit avoir de plus =&-— = — w, et w etant entiers. Si Ton
x t3, w n oj
fait a} = l(vG)0) et ?/ — ^(//u^fl), 0 etant une nouvelle variable, l'equation
(45) sera satisfaite, car les deux membres se reduiront a ft u)l JO. Pour avoir
une integrale en x et ?y il faut done eliminer 0 des deux equations
(46) x = l(rwO); y = /.(i/d)^).
Nous allons voir que le resultat de Felimination sera one ^qufttioti algebrique
en x et ?/.
Soit c' un nouveau module et design ons par
x'0, a/, (V, j4'
les valeura correspondantes de
Cela pose, si Ton suppose le module c' tel que ™, — ~ » on aura
en vertu de la formule (3d), en mettant urOu) au lieu de 0
438 ADDITION AU MEMOIUE PRECEDENT.
(47) X%rW*0)=£k&ra#}^fi^f>^ . . . ^/z^ + ^w);
• i j w' 1 w to. m to . to 1 to,
mamtenant, ayant — = — — et — v — , on en tire = — *- •
to n a Ql n (3 & m '
done la meme formule donnera
(48) n<^'0) = ^A^ • • . l1[luv«>16 + m-1
-co
En e'galant entre elles ces denx expressions de h'(iLivG)'0) et faisant pour
abreger
(49) ym$=4, p®te^#%,
il viendra
(50)
Ml — 1
to.
Le premier membre de cette equation est une fonction algebrique de
et le second une fonction algebrique de X^vdi)] niais est a son
tour une fonction algebrique de ld = x, et ^(v^) une fonction algebrique
de X1^1=y. Done enfin les deux membres de 1'equation (50) sont respecti-
vement des fonctions algebriques de x et de y. Done cette equation exprime
l'integrale cherchee en x et y de l'equation differentielle (45). Pour en avoir
l'integrale complete il suffit d'ajouter a <T ou a dt une quantite constante
arbitraire. Quant aux quantites A et At on doit remarquer qu'on a
(5i) a= * , A=± . 1 : il
V e ycx
Pour donner un exemple, supposons qu'on demande une inte'grale algebrique
de l'equation,
~dy &x dx
y (i - fj (i _ c fy «) & y(i— *«)(i-c«^
dans le cas ou - x= £ -jj . On aura alors ^ = ^=1, m = 2, n— 3. Li-
quation (50) deviendra done
ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 4^<J
c'est-a-dire :
Second cas. Si aY — 1 est rdel.
Dans ce cas on doit avoir, d'apres Pequation (25), a^s— — \\ u
et v etant entiers. On doit avoir de itieme — — — • Liquation pro-
6il ji to
posde (1) deviendra
(52) ZZ1=i-
dy dx
ft &x Y(l — tf*)(l — c\y*) V(l— *a)(l— cs*»)
Pour reduire ce cas au precedent, il suffit de faire x = — > z etant
r Vl— 22
une nouvelle variable : on aura alors dx = V — 1 .
y(i-^2)(i-c2^2) r ' v(i-z*)(t-b*z*)
b etant egal a yi — c2, et par suite l'equation (52) deviendra
dy _ ju w1 <fe
dont l'integrale algebrique est exprime' par la formule (50) en y faisant
z == )a)x = — et mettant to au lieu de o.
Yx* — 1
Supposons par exemple qu'il s'agisse de trouver une integrate algebrique
de l'equation
dy (Oj y J dx
dans le cas ou ^ = 2. — . Ayant u = p = l et ?w = 2, »=1, lcquation
(50) deviendra
y^.^=Cl./1(<v1).AI(j1 + ^ ) 7
ou, en reniettant les valeurs de fa) et
Vl — y2 _ VTi ^
•
440
ADDITION AU MEMOIRE PRECEDEN T.
Troiuhne cas. Si — = Ykk' , — — 1/ —. •
oj ' w1 f k
Dans ce cas on doit avoir, en vertu dn theoreme I, a = — -£A- ^r— V — 1 ,
Uj v, u\ v' etant des nombres entiers. L'equation proposed deviendra done
/53\ dy = ijL&4Jt£vzrr\ dx
et cette equation sera toujours integrable algebriquement. En effet coinnie
on a
£!> = 7c » et ^ = i-ffl ,
d)x cD A; w
fc' et etant des nombres rationnels, on pourra, en vertu de ce que nous
venons de voir dans les deux premiers cas, satisfaire algebriquement aux
equations
dz ft (T)1 dx
y(i—z*)(i-*€*z*) ~~ ~* "# y(i _ *2) (i — c2^2) '
(/c (Tj1 ./ - dot
y(i _ v*y (i —<.*«*) ✓ Sn— V(i— «2)(i— caO '
Par la l'equation (53) deviendra
dy dz \* dv
V(i_y»)(l_ c*y2) y(i_^)(i_c?32) 1 y(i_r2)(i_c^2)
on y satisfera, comme on sait, en prenant
_ * V(i - 1>2) (l - c; ,») + « V(l - «») (l - <^2)
^ ' y — l — c\z*v*
En substituant les valeurs de i; et z en sc, on aura une integrale de l'e-
quation, algebrique en x et y.
Nous avons ainsi de'montre' que les conditions necessaires exposees dans
le theoreme I sont en meme temps suffisantes.
D'apres ce qui a ete expose dans le premier cas, on a immediatenient
ce theoreme:
Pour que deux fonctions elliptiques reelles F(c\ 0'), F(c, 0) puisse'nt
etre reduites l'une a l'autre, il est necessaire et il suffit qu'on ait entre les
fonctions completes i^(c), F1^), i^(c'), F\b') cette relation:
ADDITION AU MEMOIRE PUKCEDKNt. 44^
(55) . 1 • 4? (<0 .F\b) = m. F1 (b') . (C) ,
qii fit et tz sont des nombres entiers. Si cette condition est remplie, on
pourra etablir une relation algebrique entre sin0' et sin $ telle que
w ' F^n=kggF{c^ • .
oil h est un nombre rationnel. On pourra ajouter que dans le cas ou fe=l
0' est lie a 0 par l'equation:
(57) f °' + ar° tang ^' taDg 1~~ arc tan£ tang e')
\ =°+ arc tang (a, tang (?) -] 1_ arc tang tang 0) ,
ou at> a, ... a/, a2' . . . sont des quantity constantes donnees par les for-
mules
(58)
apres avoir determine 0^ et 0,/ de telle sorte que
(59)
F(c,
j n ' , v 7
de
lo Vl
— c2 sin2 6
a
n n
dB
m
L Vi-
— c'*sin20
En prenant n—\ on aura la formule (67) du numero 138.
II y a un cas du probleme general qui m'erite d'etre remarque; c'est
eelui ou Ton suppose les deux modules egaux entre eux, en d'autres termes,
ou Ton demande tous les cas dans lesquels il sera possible d'integrer alge"-
briquement l'equation differentielle
(60)
dy dx
V (1 - y*) (1 - e V2) V(l - *") (1 - o*Z*) '
On a dans ce cas (o/ = (01 a>' = a>, et par consequent les Equations (15)
deviendront
m . m' to -./ j fi' 2(.i Q) -./ r-
et de la
v $? . 2v to v' <3
56
442 ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT! '
Si Ton veut que a soit reel, on a a — ™ , m' — f t == 0 ; dans ce . cas on
n'aura aucune condition pour la valeur de c, qui pent etre quelconque, mais
on voit que a doit etre un nombre rationnel. Si au contraire on admet des
valeurs imaginaires de a. le module c doit etre tel que ~ • -— = — . — •
on tire de la
II
t-j 1 i /
~<S 2" r
En vertu de cette expression la valeur de a deviendra
1/ wtV ( |C7j
Soit — = y , on aura
6>
=^+^/y^.y— i,
7c, (T pouvant designer des nombres rationnels quelconques. On voit que
pour que l'equation (60) soit integrable algebriquement en supposant a inia-
ginaire, il est necessaire et il suffit que Ton ait
h est essentiellement positif.
On pourra exprimer le module c en produits infinis comme il suit:
y- 1 — e-^V^ l — g-3.7 yr i e-5n yf
On tire cette expression de la formule (34), en y faisant a==-^ et remar-
quant que — - = "J
par cette formule
iet A =
Vc
On
aura
en
meme
71
_ l-e~^
1 — e
~vf
1 —
71
1 -J- <? Y
1 + e
3/r
yf
1 +
5/r
e 7*
II suit encore de ce qui precede que si le module c a la valeur ci-dessus,
l'equation
d'J —h'Vh dx
ADDITION AU MEMO I RE PRECEDENT.
■1-13
sera toujours integrable alg^briquement, quels que soient les nombres ration -
nels h et k\ pourvu que k soit positif.
II y a encore beaucoup de choses a dire sur la transformation des
fonctions elliptiques. On trouvera des developpemens ulterieurs sur cette
matiere, ainsi que sur la tbeorie des fonctions elliptiques en general, dans
un m&noire qui va paraitre dans le Journal de M. Crelle.
Christiania le 25 septembre 1828.
66*
XXL
REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENE RALES D'UNE CERTAINE
SORTE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES.
Journal fiir die reine und angewandte Mathcmatik, hcratisgegebon von Crelle, Bd. 3, Berlin 1828.
1.
Si \px designe la fonction elliptique la plus gdnerale, c'est-a-dire si
/r dx
7T
oil r est une fonction rationnelle quelconque de x, ct R une fonction entiere
de la meme variable, qui ne passe pas le quatrieme degre, cette fonction a,
comme on sait, la propriete tres remarquable, que la somme d'un nombre
(pielconque de ces fonctions peut etre exprimee par une seule fonction de la
meme forme, en y ajoutant une certame expression algebrique et logaritli-
mique.
II semble que dans la tlidorie des fonctions trancendantes les geometres
se sont bornes aux fonctions de cette forme. Cependant il existe encore
pour une classe tres dtendue d'autres fonctions une propriete analogue a
celle des fonctions elliptiques.
Je veux parler des fonctions qui peuvent etre regarde'es comme integra-
tes de differeniielles algebriques queleonques. Si Ton ne peut pas exprimer
la somme d'un nombre quelconque de fonctions donn^es par une seule fonc-
tion de la meme espece, comme dans le cas des fonctions elliptiques, an
moins on pourra exprimer dans tous les cas une pareille somme par la
somme d'un nombre determine" d'autres fonctions de la meme nature que
REMRRQUES SUR QUELQUES l>RO!>Kl K 1'HS GKNKKALK8 etc. 445
les premieres, en y ajoutant une certaiae expression alo-ebrique et lo-arith-
mique*). Nous demontrerous cette propria dans Tun des cahiers suivans
de ce journal. Pour le moment je vais conside.vr un cas particulier, qui
embrasse les fonctions elliptiques, savoir celui des fonctiona conteuues daus
la formiile
(i) n^^f—
J YB
R etant une fonction rationnelle et entiere quelcouque, et r une fonction
ratioimelle.
.2. '
Nous allons d'abord etablir le theoreme suivant:
Tkeorhme I. Soit (px une fonction entiere de x, decomposee oVune ma-
mere quelconque en deux faeteurs entiers cptx et cp^x, de sorte que ipx =
ip^x.ip%x. Soit fx une autre fonction entire quelconque, et
(2) *=(Cf"-?*r->
J [as — a) ycpx
ou a est une quantite constants quelconque. Designons par a0, an a.z . . .
Goi Gn c2J . . . des quantites quelconques, dont Vune au moins soit variable.
Cela pose, si Von fait
(3) I (ao + atx-\ \-anxny(Plx — {c0-\-Clx-\ \-cmxm)2(p3x
| =A(x — xt)(x — x2) (x — a^) ... (as — xj ,
oh A ne depend pas de x, je dis qtCon aura
(4) e1\f/xi + £2ipx2 -f- -| |r e^x^
fa loo. (% + «! « H h Yf^+ 0o+ci«+ • • ^»m) i r , c
Y(f>cc to(a0+axaH \- anan) Ycptcc — (c( + c,«H 1- cma*) Y(p%a
oh C est une quantite constante, et r le coefficient de -r- dans le developpe-
ment de la fonction
f x | (aB+o1a?H h «»^") V<P7* + (g, + ci g H h fr^") VgV;
0— a)V^x g (ao-j-ai*H V^^ — (c„ + ci*H h^*")Vg»a*
suivant les puissances descendants de x. Les quantites tl, f2, . . . sont
:) J'ai presente un memoire sur ccs fonctions k racadcniie royale des sciences de
Paris vers la fin dc Pannee 1826.
446 REMARQUKS SUIi QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc.
egales a -j- 1 ou h — 1 , et leurs valeurs dependent de celles des quantiies
*1 j ^2") ' • ' "fi '
Designons le premier membre de liquation (3) par F.x, et faisons pour
abreger
j Ox — a0 -\- atx -\- a2x2 -\- • • • -\- anxn,
i o I i
j 0±x =c0-\- C^-Jr c2x2-\- • • • -\-cmxm,
nous aurons
(6) Fx — (Ox)2 q>xx — (0.x)2 (p2x.
Cela pose", soit x l'une quelconque des quantises xx , x21 . . . x^ , on aura li-
quation
(7) Fz = 0.
De la, en differentiant, on tire
(8) F'x.dv + dFx-^0,
en designant par F'x la derivee de Fx par rapport a a;, et par 8 Fx la
differentielle de la meme fonction par rapport aux quantites aQ , ax , a2 , ...
co? ci7 c2 7 • • • Or, en remarquant que (/^cc et cp2x sont independans de
ces dernieres variables, l'equation (6) donnera
(9) dFx = 2Ox.<p1x.$Ox — 20tx. cp2x . d6tx,
done en vertu de (8)
(10) F'x.dx = 201x.(p2x. $0f® — 26x.(p1x. &Bx.
Maintenant, ayant Fx = 0 =.{0x)2(.pxx — {01x)2(p2x1 on en tire
(11) Ox }/ <pxx = eOxx y (p2x ,
ou f = + 1 . De la il vient
02? . cpxx = tOxx y cptx . (p2x — sOxx \ (px,
0xx . cp2x =zz eOx ]/ 1 (p2x . cpxx = Ytyx,
done l'expression de F'x.dx pourra etre mise sous la forme
(12) F'x .dx=z2e(0x. dOxx — 0xx . dOx) flpx.
fx 1 1
Cela donne, en multipliant par « -™ »
V cpx ^ * * — c<
/-jo\ f.r.dx _2fx(8x.dBlx — B1x.d8x)
\x— a)i^x~~ (x — a)F'x
KE MARQUES SUU QUELQUES IMJOI'KIETES OENEKAEES ,-n-. 447
En faisant pour abreger
(14') *(*) = 2fx(6x.<>01x - QiX.dOx),
il viendra
(14) /g • A#
|[« — a) V^w — a) i^'d? '
Ax etant une fonction entihre par rapport a x.
De'signons par 2Tx la quantity
t remarquons que l'equation (14) subsiste encore, en mettant iune quelcoii-
que des quantites x±1 x2, . . . Xfi au lieu de x- cette Equation donnera
(15) Ze-f^X= = Z7-J± =
(x — a) V cpx — «) F 'x
Cela pose, on pourra ehasser sans difficulte les quantites xt, x2, ... a? <ln
second nienibre.
En effet, quelle que soit la fonction entiere Ax, on peut supposer
(16) lx — {x — ajAjaj-f-Anf,
At' Ao
Axx etant une fonction entiere de x, savoir — — , En substituant cette
? x — a
valeur dans (15), il viendra
(16') *v = i M + 4 \ •
£ 1 (a* — a) i< a;
Maintenant on aura, d'apres une fonnule connue,
n 7\ 57 1 _L
^ } - {x — a)F'x~ Fa'
en remarquant que Ton a
Fa = A(a — xt) (a — x2) . . . (a — x^) ;
done
(18) dv = - v
v 7 Fa ^ h x
A x
II reste a trouver -S"-^— • Or cela peut se faire a l'aide de la fonnule (17).
En effet, en developpant - — - selon les puissances descendantes de a, il
viendra
448
KEMARQUES SUll QUELQUES PKOPEIETES GENEKALES etc.
^19) Fa ~~ a 2 F'x ~^ a* 2 F'x ^ l~ a"*1 2 F'x + ' ' ' '
d'ou Ton voit que 2 i- est egal au coefficient de dans le develop-
1 . . 1 o*
pement de ^r^> ou bien a, celui de — dans le deVeloppement de • De
, Xxx
F'x
la on voit aisement que ou Xxx est une fonction quelconque entiere
de cc, sera egal au coefficient de — dans le deVeloppement de la fonction
X x . • 1
-p— selon les puissances ascendantes de — • Si pour abreger on designs
ce coefficient relatif a une fonction quelconque r, developpable de cette ma-
niere, par /7>, on aura
(20) zh^^n.hj£.
v ' F'x Fx
Or la formule (16), en divisant par (sc — a) Fx, donne
(21) 777 if_=:llM^
v ; (x — a) Fx Fx
Xa
en remarquant que 77 — a^jrx est toujours ^gal & zeVo. Done l'expression
(16') de dv deviendra
(22) <fv = — -~+n-
Fa 1 (as — a) Fx
Maintenant on a (14')
Xx = 2fx. (Ox . dOxx — Bxx . &6x),
done, en niettant a au lieu de cr,
Xa = 2 fa . (0a .SO^a — 0xa . (?#«).
En substituant ces expressions dans la valeur de J^y, et niettant pour
sa valeur (da)2 y^a — {O^a)2 ip2a, on obtiendra
. _ 2/g.(te.dfl1g-fl1«.,(lte) ■ 2/#
(0a)2. a — (61ay.<f2a 1 a- — a ($x)*.ep1x — (0X x)2 . cp2x
On trouvera aisement Tintegrale de cette expression; car, en remarquant que
/a, (p^a, (p^ct, fx, x — a, cpxx, (p2x sont des quantites constantes, on aura,
en vertu de la formule
IiEMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETIES GENERALES etc- AAQ
J psm-q*n 2Vmn gpYm-qY~n' ^JiT ^ I
(23) i> = C — log- ^K«±i1«V^«
Y'(fa SaY cpxa — Bxai (p2a
-f 77 t _ loo- dx^W + ^*Y]w
Or 1 equation (15) clonne ' T"
^, f fx. dx
2L El : — —V,
J (a — or) v cpx
v
done en faisant
(24) . Hx)=f^±
et d&signant par sx , «2 , . . . eM des quantit&s de la forme ± 1 , on aura la
forniule
= c- log *°Yw+*i*Vw
(a — a)Ycpx BxY^x — QxxY
qui s'accorde parfaitement avec la forniule (4).
Les valeurs de en e2, . . . ne sont pas arbitraires; elles dependent
de la grandeur de xx , x2 , . . . xfn et celle-ci est de'termine'e par l'equation
Oxy cpxx — t6xx \(p2x,
dquivalente aux Equations
(26) 0xx y<piXx = exOxxx } 1 <p2xx ; 0x2 } 1 yxx2 = e2 0xx2 }f(p2x2 ; . . .
ox^Y^x~xfl=€flexxf,f^xft.
D'ailleurs les quantites e1? es, » . . conserveront les memes valeurs pour
toutes les valeurs de xt, xiy . . . xM, comprises entre certaines limites. 11
en sera de meme de la constante C.
3.
La demonstration preeddente suppose toutes les quantites xx , x3, . . . x^
differentes entre elles, car dans le cas contraire F'x serait e*gal a zero pour
57
450 KEMAUQUES SUK QUELQUES PKOPRIETES GENEKALES etc.
un certain nombre de valeurs de x, et alors le second membre de la for-
nmle (14) se presenterait sous la forme £. Ne'anmoins il est evident que
la formule (25) subsistera encore dans le cas oh plusieurs des quantity xn
x2l . . . x^ sont egales entre elles.
En faisant x2 = x1, on aura (26)
Ox, y^Kj = e&Xy y^a;, == e8 fl^ ^ ,
et cela donne, en supposant que O^.^x et Ox.cpxx n'aient pas de diviseur
connnun,
^2 — ei ■
En vertu de cette remarque on aura le theoreme suivant:
Theoreme II. Si Von fait
(27) (Ox)2(Plx — (01xy(p2x = A(x — x1)m>(x — x2)m> . . . (x — x^"^
les fonetions entires Ox.yxx et Bxx.ip2x n' ay ant £>as de diviseur commun,
on aura
_l_ jj fx QxYw + o^Y^x
(x — a)V (fx S.vYcpiX — Oxxy 1 (ftx
4.
Si Ton suppose fx divisible par x — a, on aura /a = 0, done en
mettant (x — ct)fx au lieu de fx, il viendra:
Tlieorlme III. Les choses St ant supposees les memes que dans le The-
oreme II, si Von fait
f fx.dx
J Yfpx
fx etant une fonction entiere quelconque, on aura
(29) ^m^ajj-j-fgTWgy/Og-f- ■ • • -f f^m^^
n I n fx -i Ox Y Cf>t x + (9, a- V rr,
REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc.
451
5.
Si dans la formule (28) on suppose le cleg-re de la fonction entiere
f(x) moindre que la moitie de celui de cpx, il est clair que la partie du
second membre affectee du signe IT, s'evanouira. Done on aura ce theoreme :
Theoreme IV. Si le degre de la fonction entiere (fx)2 est moindre que
celui de cpx, et si Von fait
/fx . die
■ — - — :
(x — a) y cpx
(x — a) v cpa
on aura
(30) f,TO,^, -|- e2m2yjx2 -(-...-[- e^m^xpx^
= C — -^L • l0gflg"|/^j + gitt't^°.
V (fa & daV^cc — d^y^a
6.
En faisant fa — \ dans le theoreme precedent et difterentiant It — 1
fois de suite, on aura le theoreme suivant :
Theoreme V. Si Von fait
/dx
(x — «j*y (fx
on aura
£€ L_ f*"1 ( l_ hvea^w+^«Vw)
1.2... (A;— 1) dak-iyy~ya' ° OaV r^a — S^Y (f3a J
7.
Si dans le theoreme III on suppose le degre* de (fx)2 moindre que ce-
lui de (px diminue de deux unites, le second membre se reduit h one con-
stante. Cela donne aisement le theoreme qui suit:
Theoreme VI. Si Von designe par ipx la fonction
}0 4. d,x + d2x* H \-dsx"')dx
y^0 + /?l^ + ^^2H h^r*'
1 1 •
1 si 1/
2
ow j/' = — ^ — 1 s» v est impair, et v' = — 2 II v est pair, on aura
toujours
J 57*
452
RE MARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc.
(31) e1mlyx1 -\re2m2\px2 -\- • • • e^m^yjx^ — consiante.
On voit que v a la nieme valeur pour v — 2m — 1 et pour ;/ = 2ra, savoir
v' = m — 2.
8.
Soit maintenant
/rdx
y cpx
r e"tant une fonction rationnelle quelconque de x. Quelle que soit la forme
de on pourra toujours faire
(32) r=fx + f A\k +7 A\k H K7 %v| >
/ic, y2a:, . . . ^cc etant des fonctions entieres. Cela pose", il est elair
qu'en vertu des theoremes III et V, on aura le suivant:
Theore'me VII. Quelle que soit la fonction rationnelle r exprimee par
la formule (32), en faisant
(33) yx = f^tL et j^jSjji^gjSg
otz aara toujours
^m^xx + e2m2yjx2 -| -)- e m^yjx = C-\- 77 -£= log #e
y gvc
era representant par Th le produit 1 . 2 . 3 . . . (k — 1).
9-
Nous avons considere precedemment les quantites xt , x2 , . . . x^ comme
des fonctions de a01 a^ , a2 , . . . c0 , Cj , c2 , ... Supposons maintenant qu'un
certain nombre des quantites xx , x2 , . . . x^ soient donnees et regardees
comme des variables independantes ; et soient xn x2l . . . x . ces quantites.
Alors il faut determiner a0 , ax , . . . c0 , et , . . . de maniere que le premier
membre de liquation (3) soit divisible par
REMAKQUES SUR QUELQUES PliOPRIETES GENKHALKS etc. 453
(x — Xl)(x — x2) . . . (x~X/x).
Cela ce fera a l'aide des Equations (20). Les p* premises equations,
iBx, Y<hVi = h • 0lXl ]/<^ •
donneront ,u' des quantites a0, a1? . . . c0, Cj . expires en fonction
rationnelle des autres et de . ay, y^, y^, . . .
Le nombre des indetermine'es a0, a, , . . . da, c0> c, , . . . cm ortegal a
w-f«-}-2; done, comme il est aise" de le voir par la forme des equations
(35) , on pourra faire fi' = m + n+.l. Cela pose, en substituant les valeurs
de a0, aiy . . . e0, cl7 . . . dans les fonctions Ox, 0xx, . . . , la fonction en-
tiere (Ox)2 (plX ~ (6lX)2 (p2x deviendra divisible par
(x — x1)(x~x2) . . . (x — Xp).
En designant le quotient par R, on aura
(36) fi = A(x-xfl,+1)(x-xft,+2) .... (x-xj.
Done les fi — p' quantites ay+1, ay+2, . . . X/l, seront les racines dune
Equation, i? = 0, du degr^ tu — tu\ dont tous les coefficiens sont exprime's
rationnellement par les quantites xt , x2 , x3 , . . . ay , y (pa-, , y qxc2 , . . .
y^- •
Faisons
*1 = *2 = *3= ' • • = l'»
*/K, +1 — +2 — ' * ' —Efi'— 1 5
/ / t
■*! 7 H*i +2 2 J • • • •*>' «° fi, 7
/v (toe
7
V(p.v
(37) I VXl + ^2 "I 1" ~~ — ^ V^/
I z= V — V + 1 f^, — V + 2 » — V+« W« 7
ou v est une expression algebrique et logaritliniique. Les quantites xx ,
454 REMARQUES SUU QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc.
. . . xfl> ; cc/, x2\ . . . Xg,* sont des quantites variables quelconques, et yx , ?/2,
. . . yv, seront de*terminables a l'aide d'une Equation du degre v' .
Maintenant nous verrons qu'on pourra toujours rendre v' independant
du nombre ftx-^fh des fonctions donnees. En effet, cherchons la plus petite
valeur de v' . En supposant indeterminees toutes les quantites a0, Oj , . . . %|
cL , . . . , il est clair que fi sera dgal a Tun des deux nombres 2 n -\- 1\ et
2m-|~r2? v\ et ^2 representant les degr£s des fonctions yxx, (p2x. Soit par
exemple
on doit avoir en meme temps
fA,= ou > 2 ra -)- ?/2 ,
d'ou, en ajoutant, on tire
^ = ou > m -j- w -| — ~z — = ;
or
Vf = jLi jLl' =z jLl m 7Z l ,
done
1/' = ou > 1 ^ 2 — 1
ou bien, en designant le degre' de cpx par v,
(38) y'=0»>|---.}.
On voit par la que la plus petite valeur de v' est v~ * ou ^ — 1 selon
que v est impair ou pair. Done cette valeur est independante du nombre
fh~{-jh des fonctions donnees; elle est precisement la meme que le nombre
total des coefficiens tf0, J\, (?2, . . . dans le sixieme theoreme. On aura
maintenant ce theoreme:
Theoreme VIII. Soit fx = / X— , oii r estf Mwe fonction rationnelle
%j v (px
quelconque de x, et cpx une fonction entiere du degre 2v — 1 ou 2y. et
soient xu x21 . . . a^(, xx' , x2 , . . . x^' des variables donnees. Cela pose,
quel que soit le nombre fa -{-fa des variables, on pourra toujours trouver,
au moyen dune equation algebrique, v — 1 quantites y y2j ... yyl tel-
les que
(39) J + ^ "i i~ ~ y*1' ~ vx*
I = v + fi Wi + H h ^-i^-i j
REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GKNEItALKS etc. 455
v etant algebrique et logarithmique, et hs *■„ . . . f>._1 Syaux h + 1 ou
h — 1.
On pent ajouter que les fonctions yt, . . . yv_x restent les memes,
quelle que soit la forme de la fonction rationnelle r, et que la fonction v
ne change pas de valeur en ajoutant a r une fonction entiere quelconque
du degre v — 2.
10.
Les equations (35) qui determinent les quantity o0, a17 . . . c0, c17 . . .
deviendront
(40)
Pour determiner e1? «a, . . . on aura les equations:
( % y«^ = — y^r,
(41)
^ y w ==— *2^2 y«2,
> [ i
Les fonctions yly yt1 . . . sont les racines de liquation
(42) W-yiy — (^y)'-y»y . 0
Le degre de la fonction 0?/ est n — *ll~*r*l%~^* et celui de est
11.
La formule (39) a lieu si plusieurs des quantites ajj, £C2, ... a*/, a;,', . . .
sont dgales entre elles, mais dans ce cas les equations (40) ne suffisent plus
pour determiner les quantites «„ ? ? • • • ro > ci > • • • 5 car Par exemple
xlz=x2 = • • • —xkl les k premieres des Equations (40) deviendront iden-
tiques. Pour avoir les equations ne'eessaires dans ce cas, posons pour abreger
456 REM ARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc.
Ox . ^(pxx — 0xx . }^q)2x = Ix.
L'expression lx doit avoir une valeur finie en faisant x==x,. On en
deduit, d'apres les principes du calcul differentiel, les h equations
(43) ^==0, r^=o, r^~'o, . . . ^^ = 0,
et ce sont elles qu'il faut substituer a la place des equations
lxx = 0, kx2 = Q, . . . lxk = 0,
dans le cas ou ajj = #2 = • • • =xk.
XXII
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES QU'ON PEUT
FAIRE SUBIR A UNE FONCTION ELLIPTIQUE PAR LA SUBSTITUTION
D'UNE FONCTION RATIONNELLE DONT LE DEGRE EST UN NOMBRE
PREMIER DONNE.
Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 3, Berlin 1828.
Soit pour abre'ger
(1) (1 — ^(IWfi1^ ^'2 = (l_ty2)(l_c'y)
et supposons qu'on satisfasse a l'equation differentielle
m dy — n dx
en y substituant pour y une fonction rationnelle de x de la forme
M*.+i*a,,+1
(3) y =
Bo + Btx-\ h^+i^+1
oh 2n-\-l est mi nombre premier, et oil Fun au moins des coefficiens Agn+1
et B2H+1 est different de zero. En supposant, ce qui est permis, la fraction
precedente reduite a sa plus simple expression, nous dirons que ~7 se trans-
forme en adj par la substitution d'une fonction du degre* 2n-\-l.
II s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs differentes de y qui res-
pondent a la rnenie valeur de 2n-\-l. Si Ton fait
to CX dx .to' [<dx
58
458
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc.
et qu'on designe par 10 une fonction de 0, telle que
dx
(Los
dO = —-p pour x=zkO.
et en outre
1(0) = 0,
il suit inimediatement de ce que j'ai dit sur le probleme general de la trans-
formation des fonctions elliptiques dans le n° 138 du journal d'astronomie
de M. Schumacher*), qu'on satisfera de la maniere la plus generale a l'equa-
tion ~- — a^- dans le cas ou B2n+1 = 0, en prenant
a) \ /22«/ \ X*na,
V ~ tt (1 — c2A2a . #2) [1 — cH2(2a) . x2] ... [1 — cU2(W) . x2] '
(5) < c' = ctn+x
Mllr + a • a t + 2cc • • • A^-\~na
a = —^=- [Xa . 1(2 a) . . . A(W)]2,
ou a est une quantite de la forme
mo)-\-m'co'
(6) " = 2„+l '
m et m' etant deux entiers. Maintenant, ayant trouve cette solution, il suit
encore de .la formule (51) du memoire cite que toutes les autres valeurs de
y seront de la forme ' » y etant donne* par (5) , f \ f, g, g' etant
des quantites constantes qui doivent satisfaire a l'equation
= (l — x2)(l — c'2x2).
Cette equation donne vingt-quatre systemes de valeurs differentes. On trouve
ainsi qu'a cliaque valeur de a repondent 24 valeurs de y et douze valeurs
du module c . Mais comme les valeurs de y spnt deux a deux egales, mais
de signes contraires, nous n'en compterons que douze. Par la meme raison
nous r^duirons le nombre des valeurs de c' a six. Cela pose\ si Ton fait
pour abreger:
*) Memoire XIX de cette edition.
(8)
SUE LE SOMBRE DES TRANSFORMATIONS D1FEERENTES ote. 459
)p=a:(1-^)---(1-p^)); "=(i-^!«.^)...[i-cV(««K];
« = c
on trouvera aisement ces valeurs correspondantes des trois quantitds c', a, y:
(9)
c —
II.
III.
IV.
V.
VI.
1
— 2" '
It-:)"
11— ei\2
[83"
«=±7> ± ^-(1 + .)'*-, -.)•.-, ±5(l + .0'f,T^(l-W)«fI
e „ ' d ;, ^ 1-f-e t>±dj> 1— e p + fy 1-f C8- t> + d;n 1 — e» r + fy.
"hi, $6£. X~ € » + -1 + e" t> + V 1 — «i* 0 + l-he*'r + <J|pi'
()'£ v
(ou i=y~T).
On voit qu'a chaque valeur de c' correspondent deux valeurs ditferen-
tes de la fonction y. Maintenant si Ton attribue aux nombres m et m' des
valeurs entieres quelconques, on aura toutes les solutions possibles de notre
probleme. Or parmi ces solutions il n'y aura qu'un nombre fini qui soient
difterentes entre elles. Cherckons d'abord les solutions difterentes qui repon-
dent au premier cas, savoir c' = s2 et y=-r • Pour les trouver, soit
a une valeur de a et designons les valeurs correspondantes de ?/, p, r, fV,
e par y\ <p\ v\ (T, e'. Cela pose, il est evident que si y' doit etre egal I
+ ?/, on doit avoir
p =p1 v =V, y = ±~-
Or en vertu de l'equation (8) on ne pourra avoir p' =p, a moinfl que lea
quantite's A2«, /2(2«), . . . X2(na) ne soient, quoique dans un ordre different,
egales a celles-ci:
AV, A2(2«'), • • • l\na').
Soit done
ou fi est moindre que n. On en tire Aa' = ±A(//a), d'oii, en vertu du the-
oreme II du n° 138 du journal d'astrononiie,
r>s*
460
SUR LE NOAIBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc.
a — kio -(- k'io' ± it« ,
ou h et h' designent des nombres entiers quelconques. Cela donne
et puisque k[0 + (2?i -f- l)a] = M, et que 2w-f-l est iln nombre premier,
il s'ensuit que
Pone les solutions qui repondent a « et «' sont precisement e*gales en-
tre elles.
Soit d'abord m' = 0 en sorte que a = ■• . Si Ton fait £' = 0, et
qu'on determine les nombres & et « de maniere k satisfaire a l'equation
7c +
f.tm I
2n+l 2«-j- 1
on aura
2m +1
On voit par la que la solution qui repond k a = a est la raerae que
2n + 1 1
celle qui repond a g = 2n4-l ' quel ^ue soit m'
Supposons maintenant m' different de zero, on aura
/ iM 17//, niuw + m'uLo'
an + 1
Si l'on determine les deux nombres entiers ft et &' par l'equation
y + l*
- 2n+l — 2^+1.'
et A; par celle-ci:
h ■ W
~ 2rc + 1 — 2^ -f 1 '
ou ^ est positif et moindre que 2n-\-ly on aura
O)' +
2w+l
On voit par la, que pour obtenir toutes les valours diffe'rentes de v et p,
il sufnt de donner a « les valeurs:
(10) 10 ft/ cc/ + ftj ff+jg w' + 2nco
2n+l' 2*1+1* 2n+l ' . 2r*+l ' ' ' * 2n + 1" '
SUK LE iNOMmtE DES TRANSFORMATIONS DIFFEKI MKS etc. 40]
Or toutes les solutions ainsi obtenues seront effectivement differentes entre
elles; ear si l'on attribue a a et k a' deux valeurs differentes de la Bene
(10), il est clair qu'on ne pourra satisfaire k liquation
a = ho -\~ k'co' ± fia ,
qui exprime une condition necessaire de l'identite des deux solutions qui
repondent a a et a a .
Done le nombre des solutions differentes qui repondent a u = — .Z est
E V
2n-\-2. Maintenant si Ton attribue k a toutes les valeurs (10), les fornm-
les (9) donneront 12(2w + 2) solutions, et il est evident que toutes les
12(2rc-|-2) valeurs correspondantes de y seront necessairement differentes
entre elles. Cependant il ne repond k ces 24(w-f 1) solutions que 12(w+l)
valeurs du module. II faut observer que la conclusion precedente n'a pas
lieu pour le cas particulier ou n = 0. En effet, dans ce cas y n'aura que
douze valeurs differentes, car les deux valeurs a = w, « = auxquelles
dans ce cas se reduisent les quantity (10), donneront pour y% una meme
valeur, savoir y==x. II faut remarquer egalement que le module c ne doit
pas avoir les valeurs zero ou un. Dans ces cas la fonction j -y n'est plus
une fonction elliptique, mais circulaire ou logarithinique.
On pourra mettre les huit dernieres valeurs de y (9) sous une autre
forme qui est k quelques eg'ards plus elegante. En effet on pourra ddmon-
trer qu'on a
i v — dp = (l— x:fc)(l — 2klx]/~c-\-c.x2)(l — 2kixfc^-cxi) . . .
1 v-dpY^ = (l-xy^)(l-2k/xY^c-cxi)(l-2h/xy^-cxs)...
. • • {l-2kn'xY^~c-cx3).
En changeant le signe de a;, on aura des expressions seniblables pour
-\-dp et v-\-3p~y — 1. Les quantites hx , ksi k3, . . . kn sont donnees
v
par la formule
On a pareillement
designant la quantite
k' =
l(ua)
'* — l-\-cJ2(ita)
462
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFE RENTES etc.
Done le numerateur et le denominateur de la fraction (3), qui exprime
la valeur de ?/, se trouvent decomposes en facteurs dans tous les cas.
Dans le cas ou le module c est moindre que l'unite, les equations (9),
nous font voir que generalement les modules des transformees sont imagi-
n aires, excepte ceux qui respondent a
co . co' — CO
et a a =
2n+ 1 2n-f 1
et en meme temps a Tune des solutions I, II, III, IV. II n'y a done que
liuit modules reels. .Si Ton ne desire que ceux qui sont moindres que l'unite,
on n'en aura que quatre. Cependant il pourra arriver, c ayant des valeurs
particulieres, qu'un plus grand nombre des modules transformed soient reels.
Je ferai voir dans une autre occasion, comment on pourra trouver toutes
ces valeurs particulieres. Pour le moment je ferai connaitre une maniere
d'exprimer toutes les valeurs du module c a 1'aide de produits infinis.
Si c est moindre que l'unite, to sera une quantite reelle, co' au contraire
dx
CO
Jo J r r Jl V(*J
(1— C2^2)
e'est-a-dire que, si Ton fait
Co f 1 dx
ou
on aura
co' = co -j- Co Y — 1 ,
to etant une quantite reelle comme co. Cela pose, les 2n-\-2 valeurs de a
deviendront :
to coi -\-co Coi-\- (2n -j- 1) co
2n + l ' 2rc+ 1 ' ' " ' 2n+l
A la place de ces valeurs on pourra aussi mettre celles-ci:
co coi coi -f- 2 co Gi-\-4co coi-\-4nco
2w + 1 ' 2«-f- 1 ' 2n+l ' 2n-f 1 ' ' * ' .2n+l '
ou t"=s V— 1.
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS M 1 I KUKNTES etc.
-h;;5
Eii faisant c=l, e = | (formule 189 t. II, p. 177*), et mettant en-
suite bto et Z>co au lieu de w et a>, et enfin a = ft| flj, on trouvera
10= fa, et la formule donnera apres quelques reductions faciles,
[l-2^co8(^d)+^][l-2^co8(^-e)+/ ...
(12) X0 = -^Yq
sin
[l-2?.co8(^e) + ^][l-2j»cos(-^«) + ?l
ou. q = e w .
Pour calculer la valeur de s d'apres Tequation (8), il suffit de chercher
les valeurs de + *(y +"2«) , . . . A^ + wa ) an moyen de la
formule prece"dente, et de les multiplier ensuite entre elles. Si Ton fait d'a-
bord a =
2«-fl
(13) e=:2.Yq
De meme si Ton fait
on trouvera aisement
1 _|_ ^2(2n + l) I _|_ ^4(2n + l)
2n + l
a
et si Ton pose pour abreger
(5\ = cos
on parviendra a cette formule:
l_|_^2n+l l_J_^3(2n+l)
_ G)i-\- 2f.lO)
~ 2n+l '
iv 27/T , -,/ - . 2jt
(14)
— fi.F • j ~T~ 7 l \ 3
Done on voit que pour avoir toutes les valeurs de f, il suffit de substituei'
dans l'expression
(15)
1 _|_ ^
1 1 ' 1 1
au lieu de q, les 2w-|-2 valeurs q2n+\ q*n+\ ^qin+\ &lq*n+i, . . . (T?
1) • • • e'tant les racines de liquation J2"+,= l. Deux settlement
') Voyez p. 347 de cette edition.
464
SUR LE NOMBRE DES TRATSFORMATIONS D1FFERENTES etc.
des valeurs de e sont reelles, savoir celles qui repondent a la substitution
i
de q2n+1 et q*n+\ c'est-a-dire a
et a
2n'+l 2n+l
II suit encore des formules precedentes que toutes les 2n-\-2 valeurs
de s sont necessairement differentes entre. elles, excepte peut-etre pour cer-
taines valeurs particulieres du module c. Ayant trouve les valeurs de c, on
aura celles du module c! a l'aide des equations (9). II est h remarquer que
l'expression (15) est precisement la valeur de [/c7 comme on peut le voir
OJ $
en faisant Q = Dans le cas oil Ton suppose y de la forme — — ? le
module c' sera egal h t2 d'apres les formules (9), done \c?==.e. Par con-
sequent dans ce cas le module c se changera successivement dans toutes les
valeurs du module c', si Ton remplace dans la formule
2n+l 2n+l 2n-fl 2n+l
q par 28»+\ fq, dj'q, 9{fq, . . . dffq.
Ce theoreme s'accorde parfaitement avec le theoreme enoncd par M.
Jacobi dans le tome III. p. 193 de ce journal. Seulement a l'endroit cite*
la fonction de qui exprime la valeur de }Ac, est presentee sous line autre
forme. Done on trouverait immediatement le theoreme de ce geometre, si
Ton pouvait parvenir a demontrer 1'identite des deux fonctions
25
(17) Vi fl+i!.l+i_4 . . )2- g4 + ?M-<TM--
On pourra encore demontrer qu'on aura les 2 ?2 — [— 2 valeurs de c', en
mettant dans la formule
G ~~ T+r ' 1 + r-3 " ?-5 ' ' '
2n+l_ 2n-j-l 2n+l 2n+l
les quantites r2n+\ fr , d.fr, 9\fr^ . . . &?tfr, au lieu de r, la lettre r
(O
7K
designant la quantite e 0J . Cette quantite est liee a q par l'equation
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFEREX PES etc.
n;r>
Pour avoir la valeur du coefficient a il faut connaitrc celle de (8).
Or on pourra la deMuire aisement de la formule (12), en y faisant 0 = a,
2a, . . . na. On trouve de cette maniere que les valeurs de d qui repondent
respectivement a
co Coi (oi -f- 2 10 Coi + 4tW
tt==S2n-f 1' 2n+l ' 2n+l ' ' ' ' 2f»-f 1 1
sont eg-ales a celles que prend l'expression
(19) '='Sfc(£f £$■■'•)"•
2n+l 2n+l 2n-fl 2n-f4
en y substituant an lieu de £ les valeurs q2n+1, }/q, fi^q, JfVj, • . • ^"Vtf-
59
XXIII.
THEOREMS GENERAL SUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIP-
TIQUES DE LA SECONDS ET DE LA TROISIEME ESPECE.
Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 3, Berlin 1828.
Si une integrate algebrique f{y,x) = 0 satisfait a liquation
dy dx
a .
V(l— — c'V) ' V(l— .*2)(1 — c2*2)
on aura toujours
on ^4, B, n sont des quantites donnees, A\ B w, & des quantites constantes,
fonctions des premieres, et ^» une certaine fonction algebrique de y et x. II
est tres remarquable que les parametres m et n sont lies entre eux par la
nieme equation que ?/ et x, savoir f(m,n) = Q. Dans le cas oil n est in-
fini, le premier membre deviendra seulement une fonction de la seconde
espece, et dans ce cas on pourra demontrer que
(a) f (A + Bx2) f* = f(A' 4- B'y2) dy 4- v ■
oil v est une fonction algebrique des variables et y.
Au reste il est aise de demontrer la formiile (a). II n'y a qua ditfe-
rentier l'equation
dx f dy
V(l — — J V(i_y8)"(f^7v5
par rapport an module c. Je me reserve de donner dans un autre memoire
des developpemens plus etendus sur le theoreme ci-dessus.
XXIV.
NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES.
Journal fur die reine und angewandte Matllematik, lierausgegeben von Crellt, Bd. 4, Berlin 1829.
,8
Dans le second tome de ce journal j'ai donne* plnsienrs fonnules pour
le developpement des fonctions </>«,/«, Fa, dans le cas oil les modules e
et c sont reels. II sera facile d'en deduire des fonnules analogues pour le
cas ou e2 est une quantite negative, comme nous allons voir.
Soit pour plus de simplicity c=l. Cela pose, si Ton fait
(1) !.=/(-_».), oi, b = ^ei
on trouvera aisement, par la definition de la fonction /, qu'on a
(2) a=f-=JL=,
Jo V(l— c«jr»)
en faisant
-> e
x — ka et c = — — = — - •
Yl + e*
Done le module c est plus petit que 1 'unite, et comme on a h = ^\ — e8, b
sera son complement.
On trou vera aussi
(3)
~2~~ J0 yn — #*) (1 — A**8) ~~ Jo yi — AtBin,«*
468 NOTE SUIi QUELQUES FOKMULES ELLll'TIQUES.
Si Ton fait
(4) x'a = yi — X*a, I" a = V 1 — cV«,
on aura encore
(5) X'« = y(y — r« = &^(|~ ftaj,
et en faisant
on a, en vertu de (3)
(7) --7 =■ j a> = bio\ to ~- btu ' .
10 to 7
Considerons niaintenant d'abord la formule (185) p. 176*), qui donne
la valeur de fa. Pour en deduire celle de la fonction la, il suffit de
mettre ^ ba a la place de a. Faisons done a ~ ~ — bO, et posons pour
abreger,
0:i to'
(8) p = e ®', r = e~*,rV :
alors la formule (185) donne sur le champ
)Q—A fj (1— ^2ra + 1)2 — (^r™ — ?-1r™ + 1)2
• — ' o (1 _|_ r*m+iy + (Qr» _ ?,MTiya '
oil
V ' ~~ (1— »•»)... "
Or on a
(1 _ r2m+iy - (yrm — i--1 r"!+1)2 = (1 — p2 r2*) (1 - (>-2 r2"!+2)
et
par consequent l'expression de deviendra, en developpant,
(9\ 10 = A 1~g2y'2 1 ~ g~2y2 1— g2?'4 1 — g~2r4
W *l + (>2 1 + Q*r* ' 1 + Q-*r*' 1 + <,*r* • x + • • '
Avec la nieme facilite on tirera des deux formules (184) et (186), en y
faisant a = -5- — b 0 ,
*) P. 340 de cette edition.
NOTE SUli QUELQUES FOJiMULES ELLIPTIQL i;s. 46g
(10) i'O = 4' . 2fl • (*— V*) (l-g~3r) (1-gM) (1 - .
i-f*?2 (1+<>2r2)(i+<r2^
(11) r0 = ^" _l^.(i+^2,')(i + ?-20(i + ^3)(i+^-2r3)...
ou ^4', ,4" sont donnds par les formules
(12) i/17_(l + ^)(l + ^)(l + ^)...
r -(l-.,) (i-r«Kir^r,'
(is) yjy^ibhlU^^litti6)-
r u+^a+^ci+r-5)...-
On pourra trouver pour A, A', A" d'autres expressions beaucoup plus sim-
ples et qui donneront des formules tres remarquables.
Si I'on fait, dans la formule (9), B=.^-\~~i^ on aura
2 l 2
9* W * -1 Vl + «* 1 9 -n-^.r
done en substituant
0 .' \ 1 — r 1 — r3 1 — r5
c'est-a-dire, en vertu de la formule (8'),
±-A*
e — A '
d'on
I" 4 = ^
to' Co'
En faisant, dans Texpression de /.'#, d= -= — I— on a
,a [&%\ i • Vl — c* 2
done
z . — = 4,4 zy r ^ ~-
c I 1 — »• 1 —
p4
d'oh Ton tire, en vertu de l'equation (12),
2Vr
470 NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES.
Enfin si Ton fait dans la formule (11) 0 = ^-, on tronvera
done
et par suite
4' = ^
4 .
2Yr
En comparant ces valeurs de A, A', A" h celles donnees plus haut, on en
deduira ees fornmles:
— ^ y 1 /j> 3 5 •
t ° ~ ' 1 + r3 ' 1 + " ' ' '
dont l'une est une suite des deux autres.
Si dans l'expression de 10 on fait 0 = 0, apres avoir divise* les deux
membres par
l-o2 = 2^H 1
n to 1
et qu'on remarque que ——1, pour 0 = 0, on obtiendra
(17) Vc ]/*' _(l-r'2)(l-r*)(l-r«)..<
^ ' ' * 7C — (l + r*)(l + r*)(l-f r«)..V
4
De la on tire, en substituant la valeur de |/c:
(%M \fK- V+t) (l-rt)(l + r«)(l-r*)...
VAO; P 7C — (1 — r) (1 H- ♦■») (1 — r») (1 H- ... '
= (1 + r)2 (1 + r3)2 (1 + r*)2 ... X (1 - r2) (1 - r4) (1 - rfi) . . .
= t(l + 9 (! + ^ (i + ^) • • • f • (1 + r) (1 + r2) (1 + r3) . . .
X(l— r)(l— r2)(l — r3)...
A l'aide des formulas (16, 14, 18) il est facile de trouver l'expression des
produits infinis
NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELL1PTIQUES. 471
(1 + r) (1 + r») (1 + r3) . . . , (1 _ r) (1 - r2) (1 _ r3) ....
En effet, si Ton fait pour abreger
( P'=(l+r2)(l + r')(l+r°)...,
et qu'on ait egard a la formule
(l-rjfl,,^^,^ = (1 + '■) (1 + '•*) (1 + . . . = P. P',
les forniules (14, 16) donneront sur le champ
(19)
d'ou Ton tire
24 6 24
(20) P=f2.l/--, p> — 1h^r. J_,
On connait done les produits P et P'. En les niultipliant entre eux, il
viendra
(21) (1 + r) (1 + ,-2) (1 + r») (1 + A • • • =
13
6 24_
De meme la formule (18) donne, en substituant les valeurs de P, P',
V/|=P3.P'.(l-r)(l-r')(l-r»)...>
et de la:
12 3 _
(22) (!_,)(] _,')(! _,3)...=^VI.J/|,
formule due a M. Jacobi (Tome III. p. 193, ou ce geometre en pi&ente
plusieurs autres tres remarquables et tres elegantes).
Des formules demontrees precedemment on peut aisement en tirer un
grand nombre d'autres. En voiei quelques unes des plus remarquables.
Si Ton fait pour abreger
a'
(23)
on aura
472
NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES.
(241 ll*-x\— 2 .V~a sinx 1 -2^cos 2* + ^ 1 - 2g*cos 2;r + g8
^ \^Xj — ZV-c M'cosx-1_2q coB2ar + ?*,l-2?»coB2a; + j« ' ' *
(26) W * g) = ys . j + !^ *i *«'••• 1
v 7 ^ n ) 1 1 — 2grcos2a? -j- g-2 1 — 2<?a cos 2# -f- #6
Ces fonnules ont ete deduites respectivenrent des forrrrules (11, 10, 9), en
cliangeant c en Z>, et en faisant ensuite
En comparant ces valeurs a celles que M. Jacobi a donnees pour les
merries fonctions a l'endroit cite, on parviendra a des resultats renrarquables.
Ainsi, en faisant dans la formule (3) de M. Jacobi, k = c, on aura
( 1 -j- 2q cos2&'-{- 2q* cos4#-|- 25-° cos 6^ + • • •
j 1 — 2^ cos2^-j-25'4 cos4« — 2qd cosG^-f- • • •
j _ (1 + 2q cos 2x 4- g2) (1 -f 2g3 cos 2^ + g6) (1 + 2g5 cos 2x + g10) • • •
( (1— 2q cos2x + q2) (1 — 223cos2o; + 26)(l — 2^5cos2^ + 210) • • •
formule qui doit avoir lieu pour des valeurs quelconques re'elles de x et q,
en supposant q moindre que l'unite.
En prenant les logarithmes des valeurs de 1 1 ~ x j etc., on trouvera apres
quelques reductions faciles:
(28) log;, [~x^ = log 2 — ilogc — ^-^Tr-j-logsirra;
(29) Iogy(^*)=log2 + |log6-llogc--||:1 + logcosz
,3
r
+ 2 ( cos 2 z . j-L + 1 co8 4 x . + J cos 6 1 . j-2L. +
(30) log x" ( £ x ] = | log b + 4 ( cos 2x . jj^j + 1 cos 6x . j-^U +
En faisant x = 0, on trouvera:
(31) log(l.) = 8.(r47! + i.rl!? + i.r:i^+..
NOTE SUR QUELQUES FOHMULES ELLll'Tl^UES. 473
(32) lqg(-) = |.4* — 2W2 + 4L ^ _i g' it ?3 I
*UJ 2 » n x U + ff "i + <z3 }
I, =8-(r^«+*-r^6+i.T^:roH — )• -
En posant dans les formules (206) et (207) t. IJ, p. 180*): a — l — 2x, on
trouvera les expressions suivantes:
(33) *(4*) = ^-l^-(^-T^ + ^8*.^ + ^6*;rSlI + ...),
Ces formules sont peut-etre les plus simples qu'on puisse trouver pour ex-
primer les fonctions elliptiques en quantites connues.
Voici encore deux autres formules qu'on deduira des equations (204)
et (205) t. II, p. 179*), en y faisant « = y — (ox:
. * 2?c I rx — r1—* r3x — r3-'dx , rbx — r6-5* \
(35) I (<^a!) = ^.J_T_ ^_T^_ + _r__ j,
(36) x (« *>=-*'(- 1— r + i _ 1 '
r designant la meme chose que precedenunent.
II est a remarquer que les quantites r et q sont li^es entre elles par
l'equation :
(3 7) log- t . log q == n 2.
A l'aide des expressions des modules c et /> donnees pins hant, on
pourra trouver une relation generale entre les modules de deux fonctions,
elliptiques qui sont reduetibles l'une a l'autre. En etfet on pourra demou-
trer, connne je l'ai fait dans un des demiers numeros des „Astronomische
Nachrichten"**), que si deux fonctions elliptiques reelles
<88> w)=/oVlJln,,.
*) P. 350 dc ccttc edition.
'*) Memoire XX dc cctte edition.
00
474
N0TJ5 SUli QUELQUES FOUMULES ELL1FT1QUES.
dont les niodules c et c sont moindres que l'linite, sont reductibles 1'une a
l'autre a l'aide d'une relation algebrique entre sin0 et sin#', on peut trou-
ver deux nonibres entiers m et tels que l'equation
(39) n.r . f
Jo Yl — 6-2sin^ Jo
de
Yl— 6'2sin20
= 111
Jo Yl — l>2sin*6 Jo
o Yl — J* fan* 9
soit satisfaite; b' est le complement de c\ savoir b' ' — V 1— c'J.
Si cette condition est remplie, on pourra toujours determiner sin 0' al-
gebriqiiement en sin 0 de sorte que
(40) F{c',0') = a.F{c,Q),
oil a est un coefficient constant.
Cela pose, designons par to", ®", r', q' les valeurs de a/, m\ r, q qui
repondent au module c', on aura en vertu de la fbrmule (14)
to = (1-^(1-0(1-^)...
r (T+r')(l + ^)(l+r^)...'
to"
r' etant egal a e Mais 1'equation (39) donne
done
to _ n to
&" In' ~& '
n to
• 55 *
e'est-a-dire que
n
r' = rm.
Done on a ce tkeoreme:
Une fonction elliptique reelle etant proposee, si son module c est donne
par la formule:
(4i) i^-^a-^a-^q-^)...
v ' f (i+^)(i+^)(i+^)...
on aura le module de toute autre fonction elliptique reelle, reductible a la
n
premiere, en mettant au lieu de r la puissance r", oil n et m sont deux
nonibres entiers et positifs quelconques; autrement dit, on aura, en design ;mt
par c le module de la nouvelle fonction,
NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 475
(42) -ft? = \l~r»)\i^rS»)[i^ri
En faisant
(43) Vc=y2.k I + ^.L+i4 i + tf6
on aura encore la formule suivante:
* / 8 \ »» „ , 2- 4- ft *
(44) y? = f2. i^)^.i±£_:. i±?_: 1+/n
Dans le cas particulier oh le module c est }r|, on a to'^w', done
r = e~r = 2-
De la il suit que le module c de toute fonction elliptique re"elle, qui est re"-
ductible a la fonction / . , est donne par la formule:
(45) y^ = ix
1 — e~ 1 — e rfr*? 1 e -pP*
= V2.<T^ i±i_Z. I+fZZ . I±JLZ
' » _ 3.x 5/» * * * ?
1 + e * 1 + e~ 1 _j_ g~ 7«"
ou // est un nombre rationnel quelconque.
Dailleurs, dans ce cas c pourra toujours etre exprime en termes finis
s"i l'aide de radicaux.
Si Ton suppose b' = c, on a c' = b, io" = u)', 0)" = iu'- mais
to" n at _ a'
Co" m Co' to'.
done
a' ' n r '
De la nous concluons:
Si deux fonctions elliptiques reelles dont les modules sont compU'iiu'iis
Tun ae l'autre, sont reductibles entre elles, Le module sera donne par la
formule :
(4C) Vc= hzT^l 1-^^ l-e->»Vt ;
476 NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELL1PTIQUES.
et son complement h par celle-ci :
71 3.T 5.T
(47) y& = — — E — — . . . ,
ou (it est un nombre rationnel quelconque.
Nous ajouterons qu'on a en meme temps
(48) F(b,0') = kYp.F(t,0),
oh Jc est un autre nombre rationnel. Cela donne immediatement le tlieoreme
suivant :
Si 1'equation difFerentielle
(49) & = a *
I
VA — By2+ty iA~+Bx*+Cx*'
est integrable algebriquement, il faut necessairement que le coefficient a soit
egal a la racine carree dun nombre rationnel et positif, en supposant que
les quantites A, B, C, a soient reelles; et si a est de cette forme, on pourra
trouver une infinite de valeurs convenables pour A, B1 C.
Nous terminerons ces remarques par la demonstration d'une formule
curieuse, qu'on tire de la premiere des equations (20), savoir de la formule
24 _
(l + r)(l+r»)(l+r«)...=V2.
En y changeant e en Z>, b se changera en c, et r en q, done:
24
a+^(i+^3)(i+^----y2.^.
ibc
En comparant ces formules, on voit que l'equation
m ^ • (1 + r) (1 + r3) (1 + r*) •^^(1^(1 + 2») +
a lieu toutes les fois que les quantity's r et q sont moindres que l'unite et
li^es entre elles par l'equation
log r . \ogq = 7i2.
NOTE SUK QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 477
II existe un grand nombre de relations semblables entre q et r, par
exemple la snivante :
4 . 4 J
Vh± •(l+''+'''+'-9+ • • •) = V^s \ ■(i+<i+i'+i,+ ■ ■ ■),
qui est due a M. Cauchy (Exercices de mathematiqnes). On ponrra la &6-
dutre de la formule m
j/Z=i + 2? + 224 + 299+...,
donnee par M. Jacob?] en y changeant c en b.
XXV.
MEMOIRS SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS RESOLUBLES
ALGEBRIQUEMENT.
Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von CreUe, Bd. 4, Berlin 1829.
Quoique la resolution algebrique des Equations ne soit pas possible en
general, il y a neanmoins des equations particulieres de tous les degres qui
admettent une telle resolution. Telles sont par exemple les equations de
la forme xn — 1 = 0. La resolution de ces equations est fondee sur certai-
nes relations qui existent entre les racines. J'ai chercke' a gdneraliser cette
methode en supposant que deux racines d'une equation donne'e soient telle-
ment liees entre elles, qu'on puisse exprimer rationnellement Tune par l'autre,
et je suis parvenu a ce resultat, qu'une telle Equation peut toujours etre re-
solue a l'aide d'un certain nombre d'equations moins elevees. 11 y a menie
des cas ou Ton peut resoudre algebrujuement liquation donnee elle-meme.
Cela arrive par exemple toutes les fois que, l'equation donnee etant irreduc-
tible, son degr^ est un nombre premier. La meme chose a encore lieu si
toutes les racines d'une equation peuvent etre exprimees par
x, Ox, 02x, 0zx, . . . en-xx, ou 01lx = x,
Ox £tant une fonction rationnelle de x, et 02x, 03x, . . . des fonctions de la
meme forme que Ox, prise deux fois, trois fois, etc.
L'equation — = 0, ou n est un nombre premier, est dans ce cas;
car en designant par a une racine primitive pour le module ??, on peut,
comme on sait, exprimer les n — 1 racines par
MEMOIKE SUli UNE CLASSE PAUTKJUL1EKE INEQUATIONS etc.
479
ft u- a* nn~ a & f*n— 1
•/y^ ±Kj ^ %Kj y %aj j • • • t/y ^ W LI t/y 5
e'est-a-dire, en faisant #a = Ox, par
as, fee, 02#, 03x, . . . 0"-2x, ou d—1a; = a;.
Jja meme propriete appartient a une certaine elasse d'equations a la-
quelle je suis parvenu par la theorie des fonctions elliptiques.
En general j'ai deuiontre le theorem© suivant:
„Si les racines d'une equation d'un degre queleonque sont liees entre
elles de telle sorte, que ioutes ces racines puissent etre exprimees rationnel-
lenient an nioyen de Tune d'elles, que nous designerons par x\ si de plus,
en designant par Ox, O^x deux autres racines quelconques, on a
00lx = 010x,
liquation dont il s'agit sera toirjours resoluble algebriquement. De meme,
si Ton suppose Tequation irreductible, et son degre exprime par
oil a17 a8, ... al0 sont des nombres premiers differens, on pourra ramener
la resolution de cette equation a celle de vx equations du degre ax, de vt
equations du degre ct2, de v3 equations du degre «3 etc."
Apres avoir expose cette theorie en general, je l'appliquerai aux fonc-
tions circulaires et elliptiques.
§ !•
Nous allons d'abord considerer le cas oil l'on suppose que deux racines
d'une equation irreductible*) soient liees tellenient entre elles, que Tune puisse
etre exprimde rationnellement par 1'autre.
Soit
(1) cpx=0
une equation du degre u, et x et x, les deux racines qui sont liees entre-
elles par Tequation
*) Une' equation y*=0, dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles d'un
certain nombre de quantites connues a, b, p, . . . s'appellc irrtdudiUe, lorsqu'il est im-
possible d'exprimcr aucune de ses racines par une equation moins elevee, dont les eoef-
nciens soient "dgalement des fonctions rationnelles de a, l>, c . . . .
480
MEMOIRE SUR UNE CLASSE PART1CULIERE D EQUATIONS etc.
(2) x' — Qx^
ou Ox designe une fonction rationnelle de x et de quantites connues. La
quantite x! etant racine de liquation, on aura cp(x') = QJ et en vertu de li-
quation (2)
(3) (f(0x1) = 0.
Je dis maintenant que cette equation aura encore lieu, si an lieu de xx
on met une autre racine quelconque de liquation proposei. On a effective-
ment le theoreme suivant*).
Theoreme I. „Si une des racines d'une Equation irreductible cpx — 0
satisfait a une autre equation fx — Q^ ou fx designe une fonction ration-
nelle de x et des quantites connues qu'on suppose contenues dans (px ; cette
derniere equation sera encore satisfaite en mettant an lieu de x une racine
quelconque de liquation (px=zv.u
Or le premier membre de l'equation (3) est une fonction rationnelle de
x, done on aura
(4) (p(0x) = 0, si (px = 0,
e'est-a-dire que si x est une racine de l'equation (px=0, la quantite Ox
le sera egalement.
Maintenant, d'apres ce qui precede, 0xx est racine de liquation (px = 0,
done 00xx le sera aussi ; 000xx , etc. le seront egalement, en repetant Fope-
ration designee par 0 un nombre quelconque de fois.
*) Ce theoreme se demontre aisement comme il suit:
Quelle que soit la fonction rationnelle fx, on peut toujours faire fx — ^, oil M et
N sont des fonctions entieres de x, qui n'ont pas de facteur coraraun; mais une
fonction entiere de x peut toujours etre mise sous la forme P-\-Q.cpx} ou P et Q
sont des fonctions entieres, telles que le degre de P soit moindre que celui de la
fonction (px. En faisant done M — P -f- Q . cpx , on aura fxj=F-®'JfX, Cela pose, soit
Xi la racine de cpx — 0 qui satisfait en meme temps a fx — 0 ; xt sera egalement une
racine de liquation P=0. Or si P n'est pas zdro pour une valeur quelconque
de x, cette equation donnera xx comme racine d'une equation d'un degre moindre
que celui de cpx — 0, ce qui est contre Phypothese; done P—0 et par suite
fx = cpx — j diii lin voit que fx sera egal a zero en meme temps que cpx c. q. f. d.
MEMOIKE SUli UNE CLASSE PARTKJULIEKK DEQUATIONS tie 4gl
Soit pour abreger
oox^o^x,- ee-x^e'x^ W*xi=J$*x\ etc.,
on aura ime serie de quantites,
(5) ffa Ox^, 6*Xl, d"xn 0"xXl
qui toutes seront des racines de l'equation cpx = 0. La serie (5) aura uue
infinite de termes; mais l'equation (px = 0 n'ayant qu'un nombre rini de ra-
cines differentes, il faut que plusieurs quantites de la serie (5) soient egales
entre elles.
Supposons done
e^x, =
. ou bien
(6) 0'l(0'"x1) — 0"tx1 = QJ
en remarquant que 0m+nx1 — On0mx1.
Le premier membre de l'equation (6) est uue fonction rationnelle de
9mXl) or cette quantite est uue racine de l'equation tpx = 0, done en vertu
du theoreme enonce plus haut, on pourra mettre xt au lieu de 0"'x1. Cela
donne
(7) O^x^ = xx ,
oil l'on peut supposer que n ait la plus petite valeur possible, de sorte que
toutes les quantites
(8) ex,, 0*^, . . . en-1xi
soient differentes entre elles.
L'equation (7) donnera
0k0'lxi = 0kxl, on 0n+kxl = 0kxl.
Cette formule fait voir qua partir du terme O'^x^ les termes de la
suite (8) se reproduiront dans le meine ordre. Les n quantites (8) seront
done les seules de la aerie (5) qui soient differentes entre elles.
Cela pose, si ji>ji, soit #3 une autre racine de l'equation proposee,
qui n'est pas contenue dans la suite (8), il suit du theoreme 1 que toutes
les quantites
(9) • ay, Ox,, 0*x2, . . . O'^x^ . . .
seront egalement des racines de l'equation proposee. Or je dis que cette
61
482
MEM01KE SUlt UNE CLASSE PA 14T1C U L I E B E D'EQUATIONS cti-.
.suite ne contiendra que n quantites ditferentes entre elles et des quantites
(8). Eu etfet, ayant Qnx^ — x± — 0, on aura en vertu du theoreme 1,
0nx2 = x21 et par suite
Done les seules quantites de la serie (9) qui puissent etre ditferentes entre
elles, seront-les n premieres
(10) a%, Ox,, 02x2, . . . O^x,.
Or eelles-ei seront necessairement ditferentes entre elles et des quantites (8).
En etfet, si Ton avait
0mx2 = 6rx2,
oil m et v sont moindres que n, il en resulterait #mxt = 0"xi1 ee qui est
impossible, ear toutes les quantites (8) sont ditferentes entre elles. Si au
contraire on avait
0"lx2 = e,x11
il en resulterait
eu-wey~x, = on-'"6mx2 = e,i-",+,"x2 = eux2 x2 ,
done
x2 = 0H-"l+,,x1,
e'est-a-dire que la raeine x2 serait eontenue dans la serie (8), ee qui est
eontre l'liypothese.
Le nombre des raeines eontenues dans (8) et (10) est 2n, done ft sera
ou egal a 2n, ou plus grand que ce nombre.
Soit dans le dernier cas x3 une raeine ditferente des raeines (8) et (10),
on aura une nouvelle serie de raeines
xd1 Bx31 02x.d, . . . 0n~ 1x3, . . . ,
et Ton demontrera, precisement de la meme maniere, que les n premieres de
ees raeines sont ditferentes entre elles et des raeines (8) et (10).
En continuant ce procede jusqu'a ce que toutes les raeines de 1 equation
ipx — Q soient epuisees, on verra que les u raeines de eette equation seront
partag^es en plusieurs groupes, composes de n termes; done ft sera divisible
par n, et en nonnnant m le nombre des groupes, on aura
(11) ft ■=. in . n.
Les raeines elles-memes seront
MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS -t, . .{*;>
Si m= 1, on aura n = u, et les a racines de l'equation = 0 seront ex-
primees par
(13) a&, . . . e^x,/
Dans ce cas l'equation (px = 0 est resoluble algebriquement, comme on le
verra dans la suite. Mais la meme chose n'aura pas toujours lieu lorsque
m est plus grand que 1'unite. On pourra seulement reduire la resolution de
l'equation (px = 0 a celle d'une equation du nihl,e degre, dont les coeffieiens
dependront d'une equation du mihne degre; c'est ce que nous allons demon trer
dans le paragraphe suivant.
§ 2.
Considerons un quelconque des groupes (12), par exemple le premier,
et faisons
,( (as - xx) (x - Ox,) (x - B'x,) . . . (x - 0^Xl)
] \ =xn + Al'xn-i + Al"xn-»-Ji [-A\-»x-t-A™ = 0:
les racines de cette equation seront
xx , Bxy , O^x, , . . . 0"~V, ,
et les coeffieiens At', A/', . . . A*?* seront des tbnetions rationnelles et sym4-
triques de ces quantites. Nous allous voir qu'on pent fairc dependre l.i
determination de ces coeffieiens de la resolution (rune settle equation du
degre m.
Pour le montrer, considerons en general une function quelconque ration-
nelle et symetrique de xt\ 0xt, $*X„ . . . 0" la\, et soft
(15) /A=/(^, &n • • • fe&i
cette function.
En mettant an lieu de Xj successivemcnt la fonction //,
ill*
484
MEM01RE SUR DUE CLASSE PARTICULIERE D 'EQUATIONS etc.
prendra m valeurs differences, que* nous designerons par yx , y2 , y3 , . . . ym . Cela
pose, si Ton fonne line equation du degre m :
(if,) ym+Piym-1+mm-*-\ \-&-iy+p»=9r
dont les racines soient yt , y9 , ys , . . . ym , je dis que les coefficiens de cette
equation pourront etre exprimes rationnellement par les quantites connues,
qu'on suppose contenues dans l'equation proposee.
Les quantites $x11 62x11 . . . 8n~1x1 etant des fonctions rationnelles de
xx , la fonction yk le sera egalement. Soit
nous aurons aussi
y2 = Fx2, y3 = Fx31 . . . ym = Fxm.
En mettant dans l'equation (15) successivement 0x\, 0zxtJ 6zx , . . .
0n~1x1 au lieu de asl? et en remarquant que ■6Hx1 = x1, 0n+1x1 = 0xl1
0n+2xl = 02x1 etc., il est clair que la fonction yx ne change pas de valour;
on aura done
y1 = Fx1 = F($x1) = F(e^))= • • • ^F(6n-lxl).
De nieme
y2 = Fx2 = F(0x2) = F{62x2) F($^x,),
ym = Fxm == F(0xm) = F(02xm) = • • ■ = F(0^xm).
En elevant cliaque membre de ces equations h la puissance, on
en tire
« = I • tt«4)' + + • • • + (^-a^'j , J
3,;= )1i-.[(ft;!)- + (^x8)"H \-(F0-xsy),
f. = ~ ■ [W + (^.)' + • • • + (w-l*„)'l.
En ajoutant ces dernieres equations, on aura la valeur de
V i + 0« + y\ H h ^
M K.MO] RE SUR UNE CLARSE PARTICULIERE D'EQUATIONS fgg
Ktprimee en fonetion raUommlh et spn&riqm de toutcs & memos do IV., na-
tion cpx—O, savoir:
(19) yvi+yl+yl+ ••• • +^=i-2-
Le second membre de cette equation pent etre exprhne rationnellement
par les coefficiens de ipx et Ox, c'est-a-dire par dea quantites connues. Done
en faisant
on anra la valenr de rv , ponr nne valenr quelconque entiere de v. Or,
connaissant r1? jy, . . . rw, on en pourra tirer rationnellement la valenr de
toute fonetion symetrique des quantites yx, y„ . . . ym. On pourra done
tronver de cette maniere tous les coefficiens de l'equation (16), et par con-
sequent determiner tonte fonetion rationnelle et symetrique de xx, 0xx, 02an
. . . 6n~1xl h l'aide cfune equation du mihne degre. Done on aura de cette
maniere les coefficiens de l'equation (14), dont la resolution donnera ensuite
la valeur de
On voit par la qu'on peut ramener la resolution de liquation <px = 01
qui est du degre fi = m.n7 a celle d'un certain nombre d'equations du degre
m et n. II suffit nieme, connne nous allons voir, de resoudre nne seule
equation du degre m, et m equations du degre' n.
Soit yjXi Yxm quelconque des coefficiens ^4/, Ax" , . . . A<?]- faisons
(2 1) tv = y\. + y \ . yjx2 -f yl .yx3-\ [~ifm. yxm .
Puisque y\tpxx est une fonetion symetrique des quantites xl, $xl, . ... $t"~lxi.
on aura, en remarquant que &*Xs = x , On+1xl = 0x1 etc.
piiftx^iFxJ" .^ — (FOotf .y0xt=z • • • =(FO"-\riy. i}>0n-1x1,
done :
y\yxx = i. [(Fxyxpxl + (FOxiyifj0x1 -| (£ (jW*^ *,)" v>0"-VJ .
On aura de semblables expressions pour y\\px2, yly^x3J . . . yvmyxn, en
mettant #2, #3, . . . #m a la place de xt . En substituant ces valeurs, on
voit que tv deviendra une fonetion rationnelle et stpnelrit/iir do toutes les
racines de liquation <f.r = (). En effet, on aura
(22) t„= I Z(Fxy<!>x.
48fi MEMOIKE SUIl UNE CLASSE PAKTICULIEUE D EQEATIOXS etc.
Done on pent exprimer rationnellement par des quantites connues.
Cela pose, en faisant *'=0, 1, 2, 3, . . . m — ■ 1, la formule (21) don-
nera
\pxl -\- ipx2 -(-...-[- qxm —t{), •
.ViV*i + y&*i H h y™yx* <M*h
yrv*, H h^/r1 p£ == •
On tirera aisement de ces equations, lineaires par rapport a tyx , %ffx% , . . .
, les valeurs de ces qnantites en fonction rationnelle de ?/, , \jt , y3 , . . . // .
En effefr, en faisant
(23)
= if'-1 + J?^_a ir* + ym~> H \-R, V + #o ,
on aura
(24) l/^i
Les quantites i?0, R11 , . . Rm_2 sont des fonctions rationnelles de ?/,,,
y3J ?/4, . . . ?/,„, mais on peut les exprimer par ?/, seul. En effet, en multi-
pliant l'equation (23) par y — yx , on aura
(y — y^iy — y*) • • • (3_i — y*)=yw+Viym-1JrP*ym~~* H hp—
== jT + (iSU yO r _1 + - y, ._,) y-8 -| ,
d'ou Ton tirera, en comparant les puissances egales de y :
Mm-* — Vi Rm-* +ih = y ? + + P* »
(25) < K,-.i=yJL-z+}h=y* + £>a ,
1 « = +Pi//rs +/>2Z/T3 H •
En substituant ces valeurs, l'expression de \pxx deviendra une fonction ra-
tionnelle de yv et de quantites connues, et l'on voit qu'il est toujours possible
de trouver y>xA de cette maniere, a condition que le denominateur
n0 + Riyi + ii2yi-{ +y?(i)_^r-+vr^
MfiMOlRE SUK USE CLASSE PAUT1UUL1EKK DEFLATIONS ct,.
ae sera pas zero. Or on pent dormer a la fonction $ une infinite de for-
mes qui rendront impossible cette equation. Par exemple en faisant
(26) y, = (« — — 0*0 (r/ — ...(«_ fl""1^),
ou « est une indeterminee, le denominateur dont il s'agit ne peut pas >"»•-
vanouir. En effet ce denominateur etant la meme chose que
on aurait, dans le cas oil il etait mil,
& = Hm
e'est-a-dire
(« — xx) (a — Ox,) ...(« — O'^x,) = (a — xk) (a — $xk) ...(« — fl""1^),
ce qui est impossible, car toutes les racines xx, Qx^ , . . . 0H-1xl sont
differentes de celles-ci: xkJ 0xk, 62xk, . . . 6H~lxk.
Les coefficiens At', Ax" , . . . A[H) peuvent done s'exprimer rationnelle-
ment par une meme fonction y1J dont la determination depend d'une equa-
tion du degre m.
Les racines de l'equation (14) sont
£Dtj 6xl , Q*xt . . . 0 H ~lxt .
En remplacant dans les coefficiens At\ Ax" etc. ijx par y9i . . . ym,
on obtiendra m — 1 autres equations, dont les racines seront respectivement :
Xj , Q x.,^ . . . 0H~ £Cj.
x-3, 0.r3, . . . 0 x9«
Thevreme 11. L'equation proposee = peut done etre decomposer
en m equations du degre u, dont les coefficiens sont respectivement des
fonctions rationnelles d'une meme racine d'une seule equation du degre m,
Cette derniere equation n'est pas generalenient resoluble algebriquenn-nt
quand elle passe le quatrieme degre, matt l'equation (14) ei lea antics sem-
blables le sont tou jours, en supposant connus les coefficiens At', A/' etc.,
connne nous le verrons dans le paragraphs BUivant
488
MEMOIliE SUK UNE CLASSE PAliTICULIEUE I) EQUATIONS etc.
§ 3-
Dans le paragraphe precedent nous avons considere le cas on m est
plus grand que l'unite. Maintenant nous allons nous occuper du cas ou
m=l. Dans ce cas on aura u = ?ij et les racines de l'equation (px — Q
seront
(27) o*xx, . . . e^xx. ' ":M
Je dis que toute equation dont les racines peuvent etre exprhnees de cette
nianiere est resoluble algebriquement.
Soit a une racine quelconque de l'equation a>l — 1 = 0, et faisons
(28) yx = (x-{-a0x-{-a262x + ad03x^ \- a^O^xy ,
\px sera une fonction rationnelle de x. Or cette fonction peut s'exprimer
rationnellement par les coefficiens de cpx et Ox. En mettant 0"'x an lieu
de x, on aura
ip0mx = (6"'x-{-aO,"+1x-h • • • +a"-mOflx + au~"'+10fl+ix+ • • • + a^e^^x)'1.-
maintenant on a
6>lx = x1 0>l+1x = 0x, . . . 0>l+"'-1x = 0"l-1x,
done
ipOmx —
(a>l-mx + atl-"l+10x+ • • • +a>l-lem-1x + Omx-\-aOm+xx+ • • • -f a^^O^x)^
Or aM = 1, done
xp 0 m x = [a ( x -f a Ox -f a 2 0 *x -| + a 0 ^ x) ] "
= a»Ut-m)(x + aOx+ ■ ■ • -\-afl-x6fi-lxy,
done, puisque a Mi,l~"] = 1, on voit que
ipO"'x = »//u;.
En taisant W2==0, 1, 2, 3, . . . /* — 1, et en ajoutant ensuite, on trouvera
(29) ipx = 1 (ipx + xpBx -|- i//^2^ _)_..._)_ qO'^x).
'/'•' sera done une fonction rationnelle et symetrique de toutes les racines de
l'equation cpx = 0, et par consequent on j)ourra 1'exprimer rationnellement
par des quantites connues.
MEMOIKE SUft UNE CLASSE PAKT1CULIEKE D'EQUATIONS etc. 489
Soit yjx = v, on tire de l'equation (28) *
f
(30) Yv = x-\- aOx + a26*x-\ f- a^O^x.
Cela pose, designons les fi racines de l'equation
au — 1 = 0
par
(31) * h «ij «2, as, ... ^t_x,
et les valeurs correspondantes de v par
(32) Vo, Vi, vt, va, . . .
l'equation (30) donnera, en mettant a la place de a successivement 1, a,,
a2 5 a3 ? • • • 8^—1
(33)
y»„ =x+ ex + 0^ -) 1- «*~*x,
f*
j/^ =x+ ax0x -f «202£ -] l-ttf-^^x-,
'\/v2 ==a;-f- 4- «202.l- -f- • • . -f a^O^x,
]fib~i==z +<v-*te h«jU?*~1*?
En ajoutant ces equations on aura
(34) *=i[_^+ fs; + yV, + f; h h V _.] ,
oil Ton a remplace' [/v0, qui est une quantite congtante, par J.
On commit par la la racine x. GdneYalement on trouve la raciue 0"'x
en niultipliant la premiere des equations (33) par 1, la seconde par a] ', la
troisienie par afm etc., et en ajoutant; il viendra alors
(35) 0"x = - \-a-{- «rM • h\ + «r* < Y»> H h *?4 • FS^] •
En donnant a m les valeurs 0, 1, 2, . . . a — 1, on aura la valeur de tou-
fees lev racines de l'equation.
L'expression prec&lente des racines contient generak'inent // — 1 nwli-
/* i Mm
caux different de la forme '^v. Elle aura done it1'-1 valeurs, tandis que la
02
490
MEM01KE SUK UNE CLASSE PARTICULIERE D EQUATIONS etc.
racine de l'equation (px = 0 n'en a que fc. Mais on peut donner a 1' expres-
sion des racines une autre forme, qui n'est pas sujette a cette difficulte.
En erfet, lorsque la valeur de est flxee, celle des autres radieaux le
sera egalement, connne nous allons le voir.
Quel que soit le nonibre /*, premier ou non, on peut toujours trouver
une racine a de l'equation afl — 1 = 0, telle que les racines
puissent etre representees par
(36) a, a2, o«, . . . a*-1.
Cela pose, on aura
]/vk = x + ak.0x + a2k02x-\ \- a^~1)k . O^x,
}^ = x -\- a . 0x -)- a2 02x -) \-a^ . O^x,
d'ou Ton tire
i» fi
f»u • (Vvi y~k = (x -f- a* 0x + a2k02x -| + a^1)k 0»~1x)
X (x-\- a Ox -f- a2 02x -| 1- #^a|*~*'
Le second niembre de cette equation est une fonction rationnelle de x, qui
ne cliangera pas de valeur en mettant au lieu de x une autre racine quel-
conque 6nx, comrae on le verra aisement, en faisant cette substitution et
en ayant egard a liquation 0fl+vx = 0vx. En designant done la fonction
dont il s'agit par \px, on aura
Yvk.{yviyi-k=ipx = yj0x = ip02x= • • • =ipO'l-1x,
d'oii
(39) . (\/Viy-k= — {ipx+ip0x + ip02x-\ t-fO^x).
Le second membre de cette equation est une fonction rationnelle et syme-
trique des racines, done on peut l'exprinier en quantites connues. En le
ddsignant par ak1 on aura
(40) fc(fe)>-=<h, -'k:--Jm
d'ou
MEM0IRE SUR UNE CLASSE PA RTICUL IE RE D'EQUATIONS etc. 491
(41) fe=^(fe)..
A Faide tie cette formule l'expression de la racine x deviendra
(42) x=l [-A + k + ±(fcy+*<fc)'+...+^(fc)~y
Cette expression de x n'a que fi valeurs ditferentes, qu'on obtiendra en met-
tant au lieu de j/^ les fi valeurs:
La methode que nous avons suivie precedemment pour resoudre Teq na-
tion cpx = 0 est au fond la meme que celle dont s'est servi M. Gauss dans
ses „Disquisitiones arithmeticae" art. 359 et suiv. pour resoudre une certaine
classe d'equations, auxquelles il etait parvenu dans ses recherclies sur l'equa-
tion xn — 1 = 0. Ces equations ont la meme propriety que notre equation
(px = Q-, savoir que toutes ses raeines peuvent etre representees par
x, Ox, 02x, . . . O^x,
Ox dtant une fonction rationnelle.
En vertu de ce qui precede nous pourrons enoncer le theoreme suivant:
Theorems III. Si les raeines d'une equation algebrique peuvent etre
representees par
x, Ox, 02x, . . . O^x,
oh O^x^x, et oh Ox designe une fonction rationnelle de x et de quantity's
connues, cette equation sera toujours resoluble algebriquement.
On en tire le suivant, comme corollaire:
Theoreme IV. Si deux raeines d'nne equation irrediiciihle, dont le de-
gre* est un nombre premier, sont tellement li^es entre elles, qu'on puissc ex-
primer 1'une rationnellement par l'autre, cette Equation sera resoluble alge-
briquement.
En effet cela suit innnediatement de lYquation (11)
u = m . n ;
car on doit avoir m = 1 , si u est un nombre premier; et par consequent
fea raeines .s'ex])riment par Ox, 02x, . . . 0" X.
i\2*
492
MEMOIRE SUR UNE CLASSE P ARTICULIE RE D'EQUATIONS etc.
Dans le cas ou toutes les quantites connues de (px et Ox sont rielles.
les racines de l'equation q)x=zO jouiront d'une propriete remarquable, que
nous allons demontrer.
Par ce qui precede on voit que a^_x pent etre exprimee rationnellement
par les coefficiens de cpx et Ox, et par a. Done si ces coefficiens sont reels,
au-i doit avoir la forme
oh ]/ — 1 n'entre qu'a cause de la quantite r/, qui en general est imaginaire,
et qui generalement peut avoir la valeur
2tt - -./ r . 2/r
a = cos h \ — 1 • sin
P 1 T
En changeant done dans a le signe de y — 1 et designant par la
valeur correspondante de a/J_1 , on aura
a'p-i — a — b y~ 1 .
Or d'apres la formule (40), il est Evident que a! ^ = a j ; done b ~ 0 et
(43) = a.
Done a/t_: a tou jours une valeur reelle. On demontrera de la meme
maniere que
vt c -\- c?y — 1 et w^, = c — d y — 1 ,
ou c et d sont reels.
Done
De la, on tire
(44) ^ = c + y — t . y — ,
et par suite ]/ 'a1" — c2 = d; d'ou Ton voit que }^a11 — c2 a toujours une va-
leur reelle.
Cela pose, on peut faire
(45) c = (y<>)wcost?, y^ — c2 = (y(>)'<sinr)1,
ou q est une quantite positive.
On en tire
MEM0IKE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc. 493
c'est-ii-dire :
par consequent (j sera egal a la valeur numerique de a. On voit en outre
que a est toujours positif, si tu est un noinbre impair.
Connaissant (> et on aura
^ = (yjf)^ . (cos £ -f J0I , sin
et par suite
= y e . [cos ( ) + y=rr . ( £±?= ) " .
En substituant cette valeur de j/^ dans ^'expression de x (42), elle
prendra la forme :
(47) z = l + cos ^+|^ + y=TT , sin ' + *«» j
+ (/+9y— 1) (cos2^-^2-'^ + y^Tl . sin ^±2'"Lt)j
+ (F+ G f=l ) y p . ( cos ^±£^E) + yizi . sin « (' + >■") )
+ {fi+9x \— l)[co8 l.Bin-^— ^ yj
+
2/r 2 /c
oh A, f, F, G etc., sont des fonctions rationnelles de cos — > sin —
et des coefficiens de (px et Ox. On aura toutes les racines, en donnant a
m les valeurs 0, 1, 2, 3, ... /* — 1.
L'expression pre'cedente de x fournit ce resultat:
Tlieorhme V. Pour resoudre l'dquation (px = Q, il suffir:
1) de diviser la circonference entiere du cercle en // parties egales,
2) de diviser un angle qu'on peut construire ensuite, en u parties
egales,
3) d'extraire la racine carree d'une seule quantitd (>.
Ce thooreme n'est que Textension d'un tlieoreme semblable, que M.
Gauss donne sans demonstration dans l'ouvrage cite* plus liaut, art. 3G0.
II est encore a remarquer que les racines de lequation <f>X — 0 sont
494
MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc.
ou toutes reelles ou toutes imaginaires. En effet si une racine x est reelle,
les autres le sont egalement, comme le font voir les expressions
Ox, o2x, . . . e^x,
qui ne contiennent que des quantity reelles. Si au contraire x est imagi-
naire, les autres racines le sont aussi, car si par exemple 0mx etait reelle,
0tl-m($mx) = O>ix = x, le serait egalement, contre l'hypotliese. Dans le pre-
mier cas a sera positif et dans le second negatif. Si fi est 1111 nombre im-
pair, toutes les racines seront reelles.
La methode que nous avons donnee dans^ce paragraphe, pour re*soudre
l'equation (px = 0, est applicable dans tous les cas, le nombre fi etant
premier ou non; mais si ji est un nombre compose', il existe encore une
autre methode qui donne lieu a quelques simplifications et que nous allons
exposer en peu de mots.
Soit ii — m.n, les racines
x, Ox, 02x, . . . O^x
pourront etre groupees de la maniere suivante:
x, 0mx, 02mx, . . . 6(n-X)mx,
Ox, 6m+1Xi 02m+1x, . . . 6{n-1)m+lx,
02x, 0m+2x, 02m+2x, . . . 0(n-1)m+2x,
$m-1x, Q2m~xx, QZm~xx, . . . Bmn~xx.
En faisant pour abreger:
(48) 0mx = 61x,
on pent ecrire les racines comme il suit:
il ) a?,, 01xi1 0'[xl, . . . 0" 1x1,
2 ) x% , OyX%. 0^X2, . . . 0] ^x».
Done en vertu de ce qu'on a vu (§ 2) on pent decomposer l'equation
(px — 0 , qui est du degrt' m.n,j en m equations du degre" n, dont les coef-
MEM0IHE SUli UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc.
495
ficiens dependront d'une equation du degre m. Les racines de ces m Equa-
tions seront respectivement les racines 1', 2', . . . m'.
Si n est un nonibre compose 7%%, on peut decomposer de la meme
maniere chacune des equations du degre n en mx equations du degre" nx ,
dont les coefficiens dependront d'une equation du degre mx . Si nx est encore
un nombre compose, on peut continuer la decomposition de la meme maniere.
Theoreme VI. En general, si Ton suppose
(51) ft, = rax . m2 . ra3 . . . mn ,
la resolution de l'equation proposee (px = 0 sera ramen^e a, celle de n equa-
tions des degres
m1, w2, w3, . . . mn.
II suffit meme de connaitre une seule racine de chacune de ces equa-
tions, car si Ton commit une racine de l'equation proposee, on aura toutes
les autres racines, exprimees en fonctions rationnelles de celle-ci.
La methode prec&lente est au fond la meme que celle donnee par M.
Gauss pour la reduction de l'equation h deux termes, x^ — 1 = 0.
Pour faire voir plus clairement la decomposition prece"dente de liqua-
tion (px = 0 en d'autres de degres nioins eleves, supposons par exemple
tt = 30 = 5.3.2.
Dans ce cas les racines seront
x, Ox, 8*x, . . . 6™x.
Nous formerons d'abord une equation du 6*"* degre, dont les racines
seront
x, 0bx, 6l0x, 015x, 6*°x, 0r°x.
Soit E=0 cette equation, on peut determiner ses coefneiens, rationnellenient,
par une meme quantite ?/, qui sera racine d'une equation du cinquieme de-
gre: P=0.
Le degre de l'equation B = 0 etant lui-meme un nombre compost, nous
formerons une equation du 3"",e degre: ft===0, dont les racines seront
a*, 010x, 0*°x,
et dont les coefneiens sont des fonctions rationnelles de ?/, et d'une meme
quantite z, qui est racine d'une equation du second degre I\ = 0, dans la-
quelle les coefficiens sont exprimes rationnellenient par y.
496
MEMOIHE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc.
Voici le tableau des operations:
y'» + A1.y* + A2.y» + A3.y* + Ai.y + A6 = 0.
On peut aussi commencer par une equation du 2Veme degre en a;, ou
bien par une equation du 5"me degre.
Eeprenons liquation general e cpx = 0. En supposant [i = m.n, on
peut faire
(52) x»+fy.x»-l+fiy.x«->-\ =0,
ou y est determine par une equation du m%tmt degre:
(53) y-' + A.y'-1^ =0,
dont tous les coefnciens sont exprimes rationnellenient en quantites connues.
Cela pose, soient
a = mx .m2.m3 . . . mt
(54) I et
a ~mxnxi ix=. m2 n2 ;
a = in n
10 ' "io 1
plusieurs manieres de decomposer le nombre fi en deux facteurs, on pourra
decomposer liquation proposee (px = 0 en deux autres des id manieres sol?
vantes :
Ft(x, &) = 0, dont les racines seront x3 6m'x, 62m'x, . . . 0(n>-1)m>x
et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une quantite yx , ra-
cine d'une equation f1y1=zQ, du degre mx.
&(a>,yt)==0, dont les racines seront x, 0*M*x, . . . 0<n*-Vm*f
(1)
(2)
et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une menie quantite
y2l racine d'une Equation f2y2 = 0, du degre m2.
| FM(x, yw) = 0, dont les racines seront x-, . . . 0("w
(a>) I et les coefnciens des fonctions rationnelles d'une meme quantite
( ?/fU, racine d'une equation floylo°—0, du degre mt0.
Supposons maintenant que mx , wi2, . . • pris deux a deux, soient
premiers entre eux, je dis qu'on pouiTa exprimer la valour de x rationnelle-
MEM0IRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D EQUATIONS etc.
497
ment par les quantites y1J y21 y3, . . . y(0. En effet, si mxi m21 . . . mm
sont premiers entre eux, il est clair qu'il n'y a qu'une seule racine qui
satisfasse a la fois a toutes les equations
(55) life &) = <), F2(x, y2) = 0, . . . FJx, yl0) = 0 ;
savoir la racine x. Done, suivant un theoreme connu, on peut exprimer x
rationnellement par les coefficiens de ces equations et conse'quemment par
les quantites y1, y2l . . . yM,
La resolution de l'equation proposee est done ramenee a celle de to
equations: f1y1 = 0] f2ij2 = 0; . ../wyw = 0, qui sont respeetivement des
degrees: m17 w2, . . . raw, et dont les coefficiens sont des fonctions ration-
nelles des coefficiens de cpx et Ox.
Si Ton vent que les equations
(56) /iyi = 0, /*& = 0? . . .floylo = 0
soient les nioins elevees possibles, il faut clioisir m^-, m2, ... ml0 tels, que
ces nombres soient des puissances de nombres premiers. Par exemple si
l'equation proposee (px = Q est du degre
(57) ,11 = 8*'.*? . . . C%
oil «l7 . . . «w sont des nombres premiers ditferens, on aura
(58) m, = ^ , m2 = ey2*, . . . ww = 0°-
L'equation proposee etant resoluble alg^briquement, les equations (56)
le seront aussi; car les racines de ces equations sont des fonctions ration-
nelles de x. On peut aisement les resoudre de la maniere suivante.
La quantite y est une fonction rationnelle et symetrique des racines de
l'equation (52), e'est-a-dire de
(59) ar, 0% 0imx, . . . 0(n-l)mx.
Soit
(60) y = Fx=f(;x, 0mx, 6*'»x, . . . O^x),
• les racines de l'equation (53) seront
(61) Ifc; F{0x)i F(6'x); . . . F(0»^x);
or je dis que Ton peut exprimer ces racines de la maniere suivante:
(62) 2/, ty, • • • I*4** £
498 MEM0IRE SUR UNE CLASSE PARTIC'ULIERE D'EQUATIONS etc.
oil hj est une fonction rationnelle de y et de quantites connues.
On aura
(63) F(0x)=.f[0x, 0(0mx), 0(02mx), . . . 0{0{n-i)mx)'\,
done F(0x) sera, ainsi que Fx, une fonction rationnelle et symetrique des
racines x, 0mx, . . . 0("~1)W£C, done on pent, par le procede trouve (24) ex-
prinier F(0x) ratiomiellement par Fx. Soit done
FOx = iFx — ly, ■
on aura, en renipla^ant (en vertu du theoreme I) x par Ox, 02x, . . . 0w~1saj
F02x = iFOx = l2y,
F03x =z lF02x = fry,
FOm~xx = lF0m~2x = r'-'y,
c. q. f. d.
Maintenant les racines de l'equation (53) pouvant etre representees par
y, tej, Vy, . . . r~xy,
on peut resoudre algebriquement cette equation de la meme maniere que.
l'equation (px = 0. (Voyez le theoreme III).
Si m est une puissance d'un nombre premier, m = s ' , on peut encore de-
terminer y a l'aide de v equations du degre e. (Voyez le theoreme VI).
Si dans le theoreme VI on suppose que a soit une puissance de 2, on
aura, comme corollaire, le theoreme suivant:
Theoreme VII. Si les racines d'une equation du degre 2W peuvent etre
representees par
x, Ox, 02x, . . . oh 02"x = x,
cette equation pourra etre resolue a l'aide de l'extraction de id racines
carrees.
. 1
Ce theoreme, applique a l'equation — ^ — = 0, oil 14- 2l° est un
K • — J.
nombre premier, donne le theoreme de M. Gauss pour le cercle.
All! MOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc.
■I'M)
§ 4.
Des Equations dont torttes les racines peuvent etre exprimSes rationnellement. par
Vune d'entre elles.
Nous avons vu prec&lemment (theoreme III) qu'une equation d'uu degre
quelconque, dont les racines peuvent etre exprimees par
x, $x, 02x, . . . O^x
est toujours resoluble algebriquement. Dans ce cas toutes les racines sont
exprimees rationnellement par l'une d'entre elles; mais une Equation dont
les racines out cette propridte, n'est pas toujours resoluble algebriquement;
neanmoins, liors le cas considere precedemment, il y a encore un autre, dans
lequel cela a lieu. On aura le the'oreme suivant:
Theoreme VIII. Soit %x = 0 une equation algebrique quelconque dont
toutes les racines peuvent etre exprimees rationnellement par l'une d'entre
elles, que nous designerons par x. Soient Ox et 0tx deux autres racines
quelconques, l'equation proposee sera resoluble algebriquement, si Ton a
OO1x = Ol0x.
La demonstration de ce theoreme peut etre rdduite sur le champ a la
theorie exposee § 2, comme nous allons le voir.
Si Ton connait la racine x, on en aura en meme temps toutes les au-
tres; il suffit done de chercher la valeur de x.
Si l'equation
(64) %x = 0
n'est pas irre'ductible, soit
(65) (px=0
l'equation la moins elevee a laquelle puisse satisfaire la racine x, les coef-
nciens de cette equation ne contenant que des quantity connues. Alors les
racines de l'equation (px — 0 se trouveront parmi celles de liquation ££ = 0
(voyez le premier theoreme), et par consequent elles pourront s'exprimer ra-
tionnellement par l'une d'entre elles.
Cela pose, soit Ox une racine difterente de x\ en vertu de ce qu'on a
vu dans le premier paragraphe, les racines de l'equation (fx = 0 pourront
etre exprimees comme il suit:
6S*
500
MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc.
x, Ox, 02x, . . . O^x,
xx, Ox,, 0%xx, . . . &*-x%t1
*^m— 1 i 0xm_x , 0 Xm_1 , . . . 0 Xm_x ,
et en forraant l'equation
(66) xn + A' xn'x -f- A"xn-2 -f A"'xn~* -] f- A^x -f = 0,
dont les racines sont a;, da;, 02#, . . . 0n~xx, les coefficient J.', A" , ... ^4(w)
pourrorit etre exprimes rationnellement par une nieme quantite ?/, qui sera
racine d'une equation irreductible*):
(67) jr4 -fft H hiC .y+i^ = o,
dont les coefficiens sont des quantites conuues (voyez § 2).
La determination de x pent s'effectuer a l'aide des deux equations (66)
et (67). La premiere de ces equations est resoluble algebriquement, en sup-
posant connus les coefficiens, c'est-a-dire la quantite y (voyez le theoreme
III). Quant a l'equation en y, nous allons ddmontrer que ses racines ont
la meme propriete que celles de l'equation proposee cpx = 0, savoir d'etre
exprimables rationuellement par l'une d'entre elles.
La quantite y est (voy. 15) une certaine fonction rationnelle et syme-
trique des racines x, Ox, 02x, . . . 0n~xx. En faisant
, y=f{pc, Ox, 02x, . . . 0n~xx),
\ les autres racines de l'equation (67) serout
(68) / ton ^ ■ ■ • f*?*&
Vm— i — f {xm— i ? 0xm_ x, #2a?TO_l7 . . , 0n 1xm_1).
*) On demontrera aisement que cette equation ne pourra etre reductible. Soit
.R=:0 l'equation irreductible en ?/, et v son degre. En eliminant >/, on aura une equa-
tion en .i' du degre" nv\ done nV^>ft:* Mais on a
ft — m . n,
done
ce qui est impossible, car v est moindre que m.
MEMO I RE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc. 501
Maintenant, dans le cas que nous considerons, xx, ... sont des fonc-
tions rationnelles de la racine x. Faisons par consequent
les racines de l'equation (67) auront la forme:
yt~f(elX, ee.x, o*exx, . . . en-xexx).
D'apres l'hypotliese les fonctions 9 et 0l ont la propri&e que
OOiX^OJx,
equation qui, en vertu du theoreme I, aura lieu en substituant a la place
de x une autre racine quelconque de l'equation <p- — 0. On en tire sueces-
sivement
eie1x == ooxox == ej'x,
0nl 0xx = 6O10n^x = 0X 01lXx.
L'expression de yx deviendra par la
u^f{$tx\ oxQx, 0,0'x, . . . exen-xx),
et Ton voit que yn comme y, est une fonction rationnelle et symetrique des
racines
x, ex, o*xj . . . en-'x.
Done
nues
ic (§ 2) on pent exprimer yx rationnellement par y et des quantity's con-
st Le mime raisonnement s'applique k toute autre racine de liqua-
tion (67).
Soient maintenant ly, Ky deux racines quelconques, je dis quon win.
En effet, ayant par exemple
Xy=f(01x, MtX, . • .
y=f(x, Ox, . . .
on aura, en mettant 02x an lieu de x,
oil
502
MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc.
y,=f(62x, 00,x, . . . 6n~x6%x) — X1y1
done
iity==f{0t0&, oo&x, . . . e^e^x)
et egalement
k1ly=f(0201x, OO^iX, . . . B^O^x),
done, puisque d162x — 0261xJ
Les racines de l'equation (67) auront done pr^cisdment la meme pro-
priete que celles de l'equation cfx = 0.
Cela pose, on peut appliquer a liquation (67) le meme procede qu'a
l'equation cpx = 0 • e'est-a-dire que la determination de y peut s'effectuer a
l'aide de deux equations, dont Tune sera resoluble algelbriquement et l'autre
aura la propriete de l'equation cpx = 0. Done le meme procede peut encore
etre applique a cette derniere Equation. En continuant, il est clair que la
determination de x pourra s'effectuer a l'aide d'un certain nombre d'equations,
qui seront toutes resolubles algebriquement. Done enfin l'equation (px = 0
sera resoluble a l'aide d'operations algebriques, en supposant connues les
quantit^s qui avec x composent les fonctions
(px1 Ox, 6xx, 02xy . . . 0m_xx.
II est clair que le degre de chacune des equations auxquelles se reduit
la determination de x1 sera un facteur du nombre ft qui marque le degre
de l'equation yx = 0; et:
Theor^me IX. Si Ton designe les degres de ces equations respective-
ment par
n , nx , n2 , . . . n(0 ,
on aura
li — n.n^.n^^ ... nw.
En rapprochant ce qui precede de ce qui a ete expose (§ 3), on aura
le theoreme suivant:
Theorhne X. En supposant le degre ,u de l'equation (px — 0 decompose
comme il suit:
(69) fi=t?.f?.el' . . .
ou «j , ^ , f3 , . . . sa sont des nombres premiers, la determination de x pourra
s'effectuer a l'aide de la resolution de r, equations du degre f , , de v., equa-
MKMOIUE SUU UNE CLASSE PART1CUL1ERE D'EQUATIONS etc.
503
tions dti degre £2, etc., et toutes ces equations seront resolubles algdbrique-
ment.
Dans le cas on. tu, = 2v1 on pent trouver la valeur de x a l'aide de
l'extraction de v racines carrees.
§ 5.
Application aux functions circidaires.
En designant par a la quantity — > on sait qu'on peut trouver line
equation algebrique du degre ft dont les racines seront les tu quantites
cos a, cos 2 a, cos 3a, . . . cos(a«,
et dont les coefficiens seront des nombres rationnels. Cette equation sera
(70) x'-itix^ + ^^^.x*-* =0.
Nous allons voir que cette equation a la meme propriete que l'equation
%x = Q, consideree dans le paragraphe precedent.
Soit cosa=zx, on aura d'apres une formule connue, quel que soit a,
(71) coswa = 0(cosa),
oil 0 designe une fonction entiere. Done cosma, qui exprinie une racine
quelconque de l'equation (70), sera une fonction rationnelle de la racine x.
Soit 0xx une autre racine, ]e dis qu'on aura
ee.x^e^x.
En effet, soit cos m'a, la formule (71) donnera, en inettant m'a an
lieu de a,
cos (mm' a) == 0 (cos m'a) — 00 \x.
De la meme maniere on aura
cos {id ma) = 0X (cos ma) — 0t0x,
done
ti0xx = 0x0x.
Done, suivant ce qu'on a vu dans le paragraphe precedent,
x on cos a = cos -—
r
pourra etre determine algebriquenient. Cela est connu.
504
MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIONS etc.
Supposons maintenant que /i soit un nombre premier 2 n -\- 1 , les raci-
ues de l'equation (70) seront
2n 4jt 4ri7c _
cos^ — r^r? cos ~ — r^r> • • • cos — — =- > cosztt.
2/l-f-l zw-j-1 2«-|-l
La derniere racine cos2rc est egale a l'unite; done l'equation (70) est divi-
sible par x — 1. Les autres racines seront toujous egales entre elles par
, 2m7t (2n +1 — rn)2?r ,
couples, car on a cos^ — — r:=cos- W — r^— — > done on peut trouver une
A zn -\- 1 zn -(- 1 r
equation dont les racines seront,
/new 2 7C 4/c 2mt
COS ; COS o _■ -. ? ' ' • COS 7
2n+l' 2n-fl 2n+l
Cette equation sera
(73) xn -f- i xn-1 — I (n — 1>"-2 — i{n — 2)xn^
(n-2)(n-3) 4 ■ | (n-3)(n-4) 5 _
~T~ 1 6 X Til " J72^ x * " " — u •
Cela pose, soit
2?c
cos 7j — — r = a? — cos a,
2w -f- 1
on aura d'apres ce qui precede
2 //i?r ^
cos ,„ — |— = Ox = cos ma.
2n -f- 1
L'equation (73) sera done satisfaite par les racines
(74) .x, Ox, 02x, 63x, . . .
On a, quelle que soit la valeur de «,
0 (cos a) == cos ma.
De la on tire successivement :
02(cosa) = ^(cosma) = cosm2£t,
03(cosa) = #(cosm2a) =cosm3a,
0M(cos a) — 0(cos m^l~la) = cos w^a.
Les racines (74) deviendront done
(75) cos a, coswa, cosra2a, cosra3a, . . . cosw^a, . . .
MEM01RE SUK UNE CLASSE PAUTICULIEKE D EQUATIONS etc
505
Cela pose, si in est une raeine primitive pour le module 2n-\-\ (voyez
Gauss Disquis. arithm. art. 57), je dis que toutes les racines
(76) cos a, cos ma, cos7W2a, . . . cosran_1<z
seroiit differentes eutre elles. En effet si Ton avait
cos m^a = cos7nva,
ou fi et y sout moindres que on en tirerait
m^a — -\[mva -}- 2 kn,
ou k est entier. Cela donne, en remettant pour a sa valeur ^ — rri
7 A zn+ 1
■ m'i = ±ra''-|-A;(2rc-|- 1),
done
m** + mv '= mv '{mfl~v + 1) = k(2n-\- 1)
et par consequent, m 2 (*l~v) — 1 serait divisible par 2 tz — j— 1 , ce qui est impos-
sible, car 2(fi — v) est moindre que 2n, et nous avons suppose que m est
une raeine primitive.
On aura encore
cosrana = cos«,
car m2n—l ou (ran — 1) {inn -f 1) est divisible par 2^+1, done
mn=— l-f-&(2?*-|-l),
et par suite
cos w n a = cos (— a -\- k . 2 n) = cos a.
Par la on voit que les n racines de l'equation (73) pourront s'exprimer
par (76); e'est-a-dire par:
' x, Ox, 02x, 03x, . . . oil 0nx = x.
Done, en vertu du theoreme III, cette equation sera resoluble alge"brique-
nient.
En faisant n = mx.m^ . . . mMl on pent diviser la circonference entiere
du cercle en 2n-\-l parties egales, a l'aide de a) equations des degres
»L vh, . . . ml0. Si les nombres nh, m3, . . . m„ sont premiers entre eux,
2707 iv \ * 9
les coefficiens de ces equations seront des nombres rationnels.
.En supposant n = 2'% on aura le theoreme connu sur les polygenes
reguliers qui peuvent etre construits geometriquenient.
En vertu du theoreme V on voit que pour diviser la circonference en-
tiere du cercle en 2?z+l parties egales, il suffit G4
506 MEMOIHE SUK UNE CLASSE PARTICULIEKE D EQUATIONS etc.
1) de diviser la circonference entiere du cercle en 2ri parties egales,
2) de diviser un arc, qu'on peut construire ensuite, en 2n parties
egales,
3) et d'extraire la racine carree d'une seule quantity (>.
M. Gauss a enonce ce theoreme dans ses Disquis., et il ajoute . que
la quantite dont il faut extraire la racine, sera egale a 2n-\-l. C'est ce
qu'on peut d&nontrer aisement comme il suit.
On a vu (40, 38, 46) que y est la valeur nunierique de la quantite
(^x + aQx + a^O^x^ [-an-1dn-1x)(x-\-an-10x-\-an-202x-\ h***7^
oil « = cos \-y — 1 . sin — • En substituant pour x. Ox, . . . leurs va-
ra ■ r n ' -
leurs cos a, cos ma, cosm2a, ... on aura
+ p = (cosa-j- a cos ma -\- a2 cos m2 a -}-••• -f- «n_1 eosra'i_1a)
X (cos a -)-c£,l~1cosm«-[-c{n_2cosm2a-J- • • • -|- a cos mn_1a).
En developpant et en mettant + (j sous la forme
± l> = to + *i« + t2a2-\ 1- an-\
on trouvera facilement
t ^ = cos a. cos m^ a -\- cos ma. cosm^+1a-|- • • • -|-cos
in
n— 1-u
-j-cosm" Ma . cos a-\- cosmn ^+1a .cos ma -j- • • • -j-cosm" 1a.cosw/< la.
Maintenant on a
cos mva . cos mfl+ya = ^ cos (m^+ra -\- mvd) -|- \ cos (mw+va — mva) ,
done
tft = i [cos (m^ -)- 1) a -\- cos (w" -\- l)nia -)-...-(- cos (m* -)- l)mw_1a]
-|- \ [cos (m^ — l)a-)-cos(m^ — l)ma~\- • • • -j-cos(ra^ — l)mM_1a].
Si Ton fait (m*1 -\- l)a = a', (m^ — l)a=:a" ', on aura
^ = |[cosa' -f 0(cosa') -f 02(cosa') -] f- 0w-x(cosa')] ,
-f- 1 [cos a" + 0(ces a")-f #2(cos a")-\ (- ^-'(cos a")].
Cela pose, il y a deux cas, savoir: a est different de z£ro ou non.
Dans le premier cas il est clair que cos a' et cos a" sont des racines
de liquation (73), done cosa'^0^, cosa" —0ex. En substituant, il vien-
dra, en remarquant que 6nx = x:
MEM0IRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'EQUATIOXS etc
507
i/l=^(dax-{-e'',+1x-\ ]ren-ix+x+o'x+ • ■ • + e*-xx)
+ ±(0€x-\-0£+1x-\ 1- O^x + x + dx-l \-9***)i
done
tfi = x + Ox -f- 62x -| f- Qn-lx,
e'est-a-dire que t„ est egal k la somme des racines; par suite, en vertu de
l'eqnation (73),
Dans le eas ok tu = 0 , la valeur de deviendra :
f0 = -J-(cos2a-|-cos27na-|- • • • -f- cos 2mn~1a) -\-%n ;
or cos 2 a est une racine de l'equation (73), done en faisant
cos 2 a — 6s x,
on aura
cos 2 a -f- cox 2 ma -\- • • • -\- cos 2m"_1a
= 0^._^+i^_| [-O^x + x + Ox-] H*-*qj=F_^ i,
par consequent
f0= 171 — |.
En vertu de ces valeurs de f0 et ^ , la valeur de ± p deviendra :
mais «-f-a2-[-«34- • • • -j- a71"1 = — 1, done
± 9 = 4 • + i i
et puisque p est essentiellement positif,
2«+l
? = "4—-
Cette valeur de (j donne
done la racine carree qu'il faut extraire est celle du nombrc 2ra+l, conime
le dit M. Gauss*).
Christiania, le 29 mars 1828.
*) Dans le eas oil n est un nonibre impair, on pent meme sc dispenser dfi l'ex-
traction de cette racine carree.
64*
XXYI.
THEOREMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Journal fiir die reine und angewandte Matliematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 4, Berlin 182 9.
La formule donnee par M. Jacobi dans le tome III p. 86 de ce journal
peut etre etablie f'acilement a l'aide d'un tlieoreme que nous allbns demontrer
dans ce qui suit.
En faisant cpO = x, on aura,' £Q vertu de ce qu'on a vu dans le § III
du memoire n° 12 tome II de ce journal*)
(X) <p(2n-{-l)6 = R,
oil R est une fonction rationnelle de x, le numerateur etant du degre (2 |— l)a
et le denominateur du degre (2n -\- l)2 — 1. L'equation (1) est done du
degre (2w-|-l)2 et ses racines peuvent etre exprimees par la formule:
/o\ In i 2mco-\-2f.uDi\
(2) x = f[° + ^^+T-j'
en donnant a m et u toutes les valeurs entieres depuis zero jusqu'a 2 n.
Soit pour abreger
l'expression des racines sera
(4) x = tp(o 4- m + 0). . •
*) Memoire XVI de cette edition.
THEOREMES SUR LBS FONCTIONS ELLIPTIQUES 509
Cela pose, nous allons deinontrer le theorem e suivant:
Theoreme I. Soit \p0 line fonction entiere quelconque des quantites
cp {0 -j- vna -|- fip) qui reste la meme en cliangeant 0 en 0-\-a et en 0
Soit r le plus grand exposant de la quantite (p0 clans la fonction ipO, on
aura toujours
(5) f§ =p + q . f(2n + 1)0 . + 1)0,
© et # &ant deux fonctions entires de <p(2w -+ 1)0, la premiere du degre
v et la seconde du degre v — 2.
Demonstration. En vertu de la formule (10) tome II p. 105*) on a
y + m« + ft?) = 2 l-f^.y*^^..^, v
d'ou il suit qu'on pourra exprimer t/;0 rationnellement en ipO et fO.FO.
Or le carre de fO.FO est rationnel en </)0, car
(/<? .JFd)2 = (l — cy 0) (1 + e V*)>
done on pourra faire en sorte que l'expression de \p0 ne contienne la quan-
tite fO.FO qu'a la premiere puissance. On pourra done faire
(7) ipO = ip^yO) + %0ff) ./0 . F0,
oil tpi((p0) et ips((p0) sont des fonctions rationnelles de cp0.
Si Ton met to — 0 h la place de 0, on aura, en remarquant que
(p(to — 0) = (p0, fUo — 0) = —/0, F(u3 — 0) = F6:
(8) xp{m -0) = - ffifttf) -fe • F0-
Des equations (7) et (8) on tire
(9) ^((p0) = i. [^0 + ^^-6)],
(10) • ^ = i • &° - - *)]•
Considerons d'ahord la fonction ^((fO). En y mettant 0 + « an lieu
de 0, il viendra
ft [<p(o + «)] "= 4 • M* + *) + ft® — « — *)];
or on a -|- «) = i//<9, et par con^quent aussi, en mettant in — a — 0 an
lieu de 0,
*) P. 2C8 de cette edition.
/
510 THEOREMES SUR LES FONCTIONS ELE1PTIQUES.
yj(w — 6) = \p(io — a — 0) ;
done
e'est-a-dire
On aura de la meme maniere
La premiere de ces equations donne, en mettant successivement d-f-cr,
0 -[- 2 a , . . . au lieu de 0 ,
(11) ^ vi[y(^+w«)]=vi(^y,
oil m est un nombre entier quelconque. De meme la seconde equation donne
d'ou, en mettant 6-\-ma au lieu de 6, et en ayant dgard a l'equation (11)
on tire
(12) v>i fop(4 + ™« + /<</?)] =f Vi •
Done la fonction ip^cpO) reste la meme, en y substituant au lieu de (p0 une
autre racine quelconque de l'equation (1). En attribuant a m et fi toutes
les valeurs entieres depuis zero jusqu'a 2??, et en ajoutant, la formule (12)
donne
(13) yj^cpO) = j^rjy • |. fat [<K* + mt+mi
Le second membre de cette Equation est une fonction rattonnelle et srjme-
trique des racines de liquation (1), done on pourra l'exprimer rationnelle-
ment par les coefficiens de cette Equation, e'est-a-dire par (p(2?i -\- 1)0 . Soit
done
la quantite* p sera une fonction rationnelle de cp(2n -)- 1)0. Or je dis que
p sera toujours entier. En effet soit (p(2n-\- 1)0 = y et p=.-~, ou p' et
q' sont des fonctions entieres de y sans diviseur commun. Soit y = cp (2??-}- 1)3
une racine de l'equation ^' = 0: la quantite p — \\yj6-\-\p(io — 0)] sera in-
finie en faisant 0 — (5\ done on aura ipd-\-\fj(io — d) — ^; maintenant il est
evident par la forme de la fonction ipdy que cette equation ne peut subsiater
a moins qu'une quantite de la fonne
</) (r? -|- ma -\- u (3) ou (f (to — (J -j- ma -f- ft ft)
TIIEOKEMES SUK LES FONCTIONS ELLUniCJUES. 511
n'ait une valear intinie. Soit done ip {d ma -\- a(3) = ^ ^ on aura en vertu
de l'equation (30) tome II p. 113*)
J = {m' -\~ £) w -\- in' -\- 1 ) SSi — ma — u/?,
ou m' et n' sont des nonibres entiers; or eette valeur de d donne
(p (2 n + 1 ) (T = (p [ (2 n + 1) in' + n - 2 m] w + [ (2 n + 1) + « - 2 fi] G)i + + ~ i
e'est-a-dire (26 p. Ill*):
(p(2n + 1)<T
Mais cela est impossible, car line racine quelconque de Fequation q =.{)
doit etre finie. On trouvera egalement que (p(w — d -\- ma -\- ^ ft) ~ ^ donne
<p(2n-\- l)(J=z^. La quantite p est done une fonction entiere de <p(2n-\- 1)0.
Considerons maintenant l'equation (10). En divisant les deux membres
par f(2n-\-l)0.F(2n+l)0, on aura
% (<Pe) -fe Fe _ _ i ipo — ip(io — e)
f(2n+l)6.F(2n+l)0 ~ Y ' f(2n + 1) d . F(2n + 1) 6 '
En vertu de ce qu'on a vu (45) tome II p. 117*), on aura f(2?i-\-l)$=f0.u,
F(2n-\-l)0 = F0 .Vj u et v e'tant des fonctions rationnelles de (p0\ done le
second membre de l'equation pre'eedente sera Line fonction rationnelle de (pO.
En la designant par /(yd), on aura
X W* ) — y ' f(2 n + 1) 6 . F(2n + 1) 6
En niettant 0 -\- a au lieu de 0, il viendra
yj(O-\-a) = y0, ip[u) — (0 + a)] = i}j(u) — 0),
f(2n + 1) (0 + a) = f[(2n + 1)0 + 2ma, + 2 nidi] =f(2n+ 1)0,
F{2n +1)(0 + a) =F[{2n + 1)0 + 2mm + 2/i*t] s*F(2ii + 1)0,
done on aura
X[<p(0 + a)] = z(<pO).
De la meme maniere on trouvera
On en deduit, comme plus haut pour la fonction H\{(f0), que xW) Peut
etre exprime* par une fonction entiere de y (2 m +1)0. Boil done
*) Les formules citees se trouvent p. 275—281 de cette edition.
512 THEOKEMES SUK EES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
011 aura
fr(<pO) .fO .F0 = q .f(2n + 1)0 .F(2n +1)0,
et enfin
(14) ipO =p + q . f{2 n + 1) 0 . F{2n +1)0,
oh p et q sont des fonctions entieres de <p(2n+ 1)0.
Pour trouver les degres de ces fouctious, soit ((p0)v .%0 le ternie de ipO,
dans lequel (pO est eleve a la plus haute puissance, on aura, en supposant
cpO infini,
ye = a . (tpoy,
A etant une constante. De nienie on aura
f {w — 0) — • A' . ((p0)%
et par suite:
, p = i(A + A').(<p8)-,
mais pour ipO infini, on a cp {2n + 1)0 = B. (pO, B dtant une constante. 11
suit de la que p sera du degre v par rapport a (p(2n+ 1)0. On demon-
trera de la meine maniere que la fonetiqn g sera du degre v — 2, tout au
plus.
Notre theoreine est done demontre.
Dans le cas ou la quantite tpO ne monte qua la premiere puissance
dans on a v=l] par consequent q sera du degre — 1, e'est-a-dire
q — 0. Done on a dans ce cas
(15) ifjO = A + B.cp(2?i+l)01
ou A et B sont des quantites constantes, qu'on detenninera facilement en
faisant 0 = 0 et (p0 = ^.
Soit par exemple tiO le produit d'un nombre quelconque des racines de
^'equation (1), et faisons
2n 2n
i/jO = ZmZun(0 + ma + tu(3),
0 0
il est clair qu'on aura if){0) = ip(0 + a) = if>(0 + /?), en reniarquant que
n [0 + (2n + l)a + = n{6 + ///?)
et - • . '
7i [0 + (2 n + 1)(1 + ma] = ji(0 + ma) .
Done
THEOREMES SUR LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
2n 2n
(16) ^B(^7r(« + m«+Ai/3) = il + J5.y(2W+l)tf.
0 0
II faut remarquer que l'une des quantites A et B est toujours egale a zero.
On a = 0 si le nombre des facteurs de ti0 est un nonibre impair, et
B = 0 si ce nonibre est pair. Dans ce dernier cas la quantite \p0 est in-
dependante de la valeur de 6- par consequent, en faisant 0 — 0, on a
2n 2n 8n 2»
(17) Sm 2, n(0 + ma + fi[3) = 2m 2fi n (ma + pft) .
/V ' ' o o oo
Si Ton fait par exemple
<p#\ <p{6 + ha +k'P) ,
on a
^ 9) (0 + m« + (u/?) .<p[0 + (m + k)a + (f t + fc') /?]
(18)
= Sm ZMma + PP) -<p[(m + k)a + (}i + h')P] ,
' 0 0
oil k et 7c' sont des nombres entiers quelconques, moindres que 2w+l.
Cependant on ne pent pas supposer a la fois & = Q, Car alors
n0r=((pey et par suite v = 2, tandis qu'on doit avoir
r=l.
De la meme maniere que nous avons deniontre le theoreme precedent
on pourra encore etablir les deux suivans:
Theorlme II. Soit \p0 une fonction quelconque entiere des quantity de
la forme f(0 + ma + ,»/?), telle que
on aura
xp0 my f q.cp(2n +1)0. F(2n + 1)0,
oil p et ^ sont des fonctions entieres de f(2n+l)0, la premiere dn degrd
v et la seconde du Megre v— 2, tout an plus, en designant par r le plus
grand exposant de fO dans ip0.
llieoreme III. Soit une fonction quelconque entiere des quanta's
de la forme F(0 + ma + ,«/?), telle que
lp(0) = ip(0-\-a) = ip{0 + ft),
on aura
xp0 =I) + q.cp(2n+l)0 .f{2 n+l)B,
05
514
THEOREMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
oil p et q sont des fonctions entieres de F(2?i -j- 1)0, la premiere du degre
v et la seconde du degre v — 2 , tout au plus, en designant par v le plus
grand exposant de F6 dans ipO.
En vertu du premier tkeoreme on voit sans difnculte que la valeur de
(p f 2n^_ 1 j? exPrmi^e en function de </)#, sera
oil pm et qm sont deux fonctions entieres de (pO, la premiere impaire et du
degre 2rc-|-l, la seconde paire et du degre 2n — 2. D'ailleurs ces fonc-
tions sont determinees par l'equation
oh am est une constante.
Christiania le 27 aout 1828.
XXVII.
DEMONSTRATION D'UNE PROPRIETE GENERALE D'UNE CERTAINE
CLASSE DE FONCTIONS TRANSCEND ANTES.
burnal fur die reine und angewandte Mathomatik, herausgegeben von Crelle, Bd. 4, Berlin 1829.
Theorlme. Soit y une fonction de x qui satisfait a une equation quel-
eonque irreductible .* de la forme
(!) 0 =Po +ihy +P2U2 H Y-Pn-iir1 + y\
ou JPo» Pi j p2, • • • Pn-i sont de* functions entieres de la variable x. Soit
de meme
(2) 0 = q0 + qly + q1y'+-.-+q^ly"-',
une equation semblable, q0J qt1 q21 . . . qn_t etant egalement des fonctions
entieres de sc, et supposons variables les coefnciens des diverses puissances
de x dans ces fonctions. Nous designerons ces eocfficiens par a, a\ a" . . .
En vertu des deux equations (1) et (2) x sera une fonction de a, a", . . .
et on en determine™ les valeurs en eliminant la quantite y. Designons par
(3) e = o
le resultat de l'elimination, de sorte que p ne contiendra que les variables
x, a, a', a" , . . . Soit ^ le degre* do cette equation par rapport a a;, et
designons par
(4) xt , x., , x3 , . . . xft
b'5*
516 DEMONSTRATION D UNE PROPR1ETE GENERALE etc.
ses fi racines, qui seront autant de fonctions de a, a', a", . . . Cela pose,
si Ton fait
(5) yx=jf(x,y)dx,
oh fix, y) designe une fonction rationnelle quelconque de x et de y, je dis
que la fonction transcendante xpx jouira de la propriety gendrale exprimee
par liquation suivante:
(6) ^1 + ^2+ • • • +yxv = uJrJc^°gvi + hlogv2-\- ■ • • -{-knlogvn1
u, vt, vSl . . . vn etant des fonctions rationnelles de a, a', a", . . ., et ht,
k2l . . . hn des constantes.
Demonstration. Pour etablir ce theoreme il suffit d'exprinier la diffe-
rentielle du premier membre de l'equation (6) en fonction de a, a\ a" ', . . .;
car il se reduira par la a une differentielle rationnelle, comme on va voir.
D'abord les deux equations (1) et (2) donneront y en fonction rationnelle de
x, a, a', a", . . . De meme l'equation (3) y = Q donnera pour dx une ex-
pression de la forme
dx = a . da -j- a' . da' -\- a" . da" -]-•••?
oil «, a", . . . sont des fonctions ' rationnelles de . . De
la il suit qu'on pourra mettre la differentielle f(x,y)dx sous la forme
f(x,y)dx = (px. da -)-- (pxx . da' -\- (p2x . da" -[-•••>
oil (px, yYx, . . . sont des fonctions rationnelles de x, a, a', a", ... En
integrant, il viendra
ipx — y (cpx . da -(- (pxx . da' -)-•••)
et de la on tire, en remarquant que cette equation aura lieu en mettant
pour x les fi valeurs de cette quantite,
(7) v^i + H H-v2*
= f +<p*s-\ h <pxv) da + (y^i + f&i H — + ^i^) ^' H — ] •
Dans cette equation les coefficiens des diffdrentielles da, da', . . . sont des
fonctions rationnelles de a, a', «", . . . et de xx, x2, . . . xfn mais en outre
ils sont symetriques par rapport a xx , x2 , . . . x^ ; done, en vertu d'un tlie-
oreme connu, on pourra exprimer ces fonctions rationn el lenient par a, a',
a", . . . et par les coefficiens de l'equation ^ = 0; mais ceux-ci sont eux-
DEMONSTRATION D'UNE PROPRIETE GENERALE etc.
517
memes des fonctions rationnelles des variables a, a', a", . . ., done enfin
les coefficiens de da, da\ da'' , . . . de l'equation (7) le seront egalement.
Doric, en integrant, on aura une equation de la forme (6).
Je me reserve de developper dans une autre occasion les nombreuses
applications de ce theorenie, qui jetteront du jour sur la nature des fonctions
transcendantes dont il s'agit.
Christiania le 6 janvier 1829.
XXVIII.
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Journal fur die reine und angewandte Matliematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 4, Berlin 1829.
Introduction.
La theorie des fonctions elliptiques, creee par M. Legendre, forme une
partie des plus interessantes de l'analyse. Ayant cherche de mon cote* k
donner de nouveaux deVeloppemens a cette theorie, je suis, si je ne me
trompe, parvenu a plusieurs resultats qui me paraissent meriter quelque at-
tention. J'ai cherche' surtout a donner de la generality a mes recherches?
en me proposant des problemes d'une vaste etendue. Si je n'ai pas etc
assez heureux pour les resoudre completement, au moins j'ai donne des
moyens pour y parvenir. L'ensemble de mes recherches sur ce sujet formera
un ouvrage de quelque etendue, mais que les circonstances ne m'ont pas
encore permis de publier. C'est pourquoi je vais donner ici un precis de
la methode que j'ai suivie, avec les rdsultats generaux auxquelles elle m'a
conduit. Ce memoire sera divise en deux parties.
Dans la premiere je considere les fonctions elliptiques comme integrates
indefinies, sans rien y ajouter sur la nature des quantites replies ou imagi-
naires qui les composent. Je me servirai des notations suivantes:
J (x, c) = ± Z2)(l — cV*),
PRECIS D UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
519
n(x,c,a)= I ~ ,
J (l-^)^,c)
de sorte que
w (a*, c) , ffi0 (x, c) , IT (x, c, a)
remplacent respectivement les fonctions de premiere, de seconde et de troi-
sieme espece.
Cela pose, je me suis propose ce probleme general: „Trouver tous les
cas possibles' dans lesquels on peut satisfaire a une equation de la forme:
-f «/ WoO*/, c/) + «8' a?o«? c2') -| |- «m' ©0(a5w', ej)
+ < i7«', c/', a,) + c2", 0-| 1- < c/, a„)
= w-|-A1logi71-|-4,log0s-|- • • • -\-Ay\ogvv1
(a)
on
at , ot2 , . . . ctn 5 , a2 , . . . aM ;
a/, cc2", . . . a/'; Au A21 . . . Ay
sont des quantites constantes, a^, £c8J. . . xnj #2', . . . xj; xx" , x/, . . . x^"
des variables liees entre elles par des equations algebriques, et u, vx, v2, . . . #x
des fonctions algebriques de ces variables."
J'etablis d'abord les propriety fondamentales des fonctions elliptiques,
ou ce qui concerne leur sommation, en employant une me*thode particuliere,
qui est applicable avec la merae facilite a une infinite d'autres transcendan-
tes plus compliquees. En m'appuyant sur ces proprie'tes fondamentales,
je considere ensuite liquation dans toute sa generality, et je fais le premier
pas en demontrant un the'oreme general sur la forme qu'on pourra donner k
l'integrale d'une fonction alge*brique quelconque, en supposant cette integrale
exprimable par des fonctions algebriques, logarithmiques et elliptiques, theo-
reme qui est d'un grand usage dans tout le calcul integral, a cause de Eta
grande generality.
J'en deduis, conime corollaire, le theoreme suivant:
Jgi / r x , olx }- est une fonction rationnelle quelconque de x, est
J J(x,c)
exprimable par des fonctions algebriques et logarithmiques et par des fonc-
tions elliptiques ip, f9i . . ., on pourra toujours supposer
520
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
oil toutes les quantites p, qx, q2, . . . qt\ q2J ...?/, yx , y2 , . . . sont des
fonctions rationnelles de xu*).
De ce the'oreme je tire ensuite celui-ci:
„Si une equation quelcpnque de la forme (a) a lieu, et qu'on designe
par c l'un quelconque des modules qui y entrent, parmi les autres modules
il y en aura au moins un, c', tel qu'on puisse satisfaire a l'equation diffe-
rentielle :
dy dx
en mettant pour y une fonction rationnelle de cc, et vice versa."
Ces theoremes sont tres importans dans la theorie des fonctions ellipti-
ques. lis ramenent la solution du probleme general a la determination de
la solution la plus generale de l'equation
dy dx
ou a la transformation des fonctions de premiere espece. Je donne la solu-
tion complete de ce probleme, et j'en cleduis ensuite la transformation gene-
rale des fonctions de premiere espece. Je fais voir que les modules doivent
necessairement etre lies entre eux par une equation algelnique. On peut se
contenter de consideVer le cas oil le degre' de la fonction y est un nombre
premier, y compris l'lmite. Si ce degre est d^signe par c' pourra avoir
6(,u-|- 1) valeurs differentes, except^ pour u = 1, ou ce nombre se reduit a 6.
La seconde pariie traite des fonctions a modules rdels et moindres que
l'unite. Au lieu des fonctions tD(cc, c), ty0(a?, c), 77 (a?, c, a) j'en introduis trois
autres, savoir d'abord la fonction 1(0), determined par l'equation
• 10 7
dx
J (x, c) '
C'est la fonction inverse de la premiere espece. En mettant x — lO dans
les expressions de O0(a:,c), n'(x,cra), elles deviendront de la forme:
w0(Xj c) = y k20 . dO ;
J 0
*) Ce theoreme a egalement lieu, si J(x, c) est la raeine carree d'une function
entiere (l'un degre quelconque.
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES. 521
Sous cette forme, les fonctions elliptiques offrent des propri&es tres remar-
quables, et sont beaucoup plus faciles a traiter. C'est surtout la fonction XO
qui merite une attention particuliere. Cette fonction a £te l'objet d'un me-
moire qui est insere dans les tomes II et III de ce journal*), oil j'en ai
de'niontre le premier quelques-unes des proprietes foudamentales. On en trou-
vera davantage dans ce memoire. Je vais indiquer rapidement quelques-uns
des resultats auxquels je suis parvenu:
1. La fonction W jouit de la propriete remarquable d'etre periodique
de deux manieres differentes, savoir non seulement pour des valeurs reelles
de la variable, mais encore pour des valeurs imaginaires. En etfet si Ion
fait pour abre*ger
Q f 1 dx w _ f1 dx
IT J0 J&7y T-J0 JfcV)'
oil b = ^l— c2 et y — 1 = i, on aura
2. La fonction 16 devient egale a zero et a l'infini, pour une infinite
de valeurs replies et imaginaires de 0
(c) k{mm^rniQi) = 01 l[mw -}-- (n -\- = £ ,
oil m et n sont des nombres entiers quelconques, positifs ou negatifs. De
meme on a
W = IB,
si
Q' — (— 1) m 0 -\- mw -j- mm ;
cette relation est necessaire.
3. La propriete fondamentale de 10 est exprimee par l'equation
oil 0' et 0 sont des variables quelconques, reelles ou imaginanvs.
4. La fonction 10 pourra se developper en facteurs^ et en fractions de
beaucoup de manieres; par exemple si Ton fait pour abrtger
q = e S , p = e
*) Memoire XVI de cette edition.
66
522
PRECIS D UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
on a
/ _0 _ . \ _ 1 (1 — pe-^e) (1 —Pe2*6) (1 _p3e-2^ _;,3e2/r0) _ ;
\ 2 J ~~ y~ ' (1 + pe-*"6) (1 -f Pe'^) (1 + pH-2^) (1 + p3^) . . . '
On pourra exprimer d'nne maniere analogue les fonctions, de seconde et de
troisieme espece. Les deux formules precedentes sont au fond les memes
que les formules (c).
5. Une des proprietes les plus fecondes de la fonction kO est la sui-
vante: [On a fait pour abreger: JO = ± Y(l — l20) (l — c2l20)].
,,Si l'equation
(ioyn + anj,iioyn~" + • • • + ch(ioy + a0 == [b0xo + b,(ioy +..■. + ^(M)8*-8] ^
est satisfaite, en mettant pour 0 2n quantites 01? 02, . .. . 02nl telles que
k201 , /,20.j, . . . k202n soient differentes entre elles, on aura toujours
»{*»•+ «»H h W = °>
les coefficiens a0 , a, , . . . , b0 , b1 , . . . pourront etre quelconques, et il est
facile de voir qu'on pourra les determiner de sorte que 017 02, . . . 02n_x
soient donnds."
Voici une autre propriete plus generale:
„Si Ton fait
f — q2(l — x2)(l — c2x2) = A(x — le^ix — 102) . . . (^-Af9/t),
ou p et q sont des fonctions entieres quelconques de V indeterminee x, on
pourra toujours prendre les quantites 0X , 0, , . . . 0^ telles que l'expression
Hm|H^^ ^- + 03 + • • •* + <y . iat^: v j^H
soit egale a zero ou a l'infini*"
Ainsi par exemple, si
(d) p2-~q2(l—x2)(l -c2x2) = A[x2 — k20)%
PRECIS D UNE THEORIE DES FO^CTIONS ELLIPTIQUES.
523
l'une des fonctions p et q etant paire et l'autre impair©, on aura
1) si p est pair:
X(ji0) = O, si fi est pair et
X(f4ff) = fa, si it est impair;
2) si p est impair:
X^ad) = 01 si a est impair et
X(jU0) = i, si fi est pair.
De la il suit 'encore que, si l'equation (d) a lieu, on aura toujour*
. / ma -\- \ntoi \
**=H V )'
oil m et n sont entiers et moindres que (a.
6. II existe entre les quantites I \-^TT ) racmes (2,n + l)
de l'unite des relations bien remarquables, savoir si Ton fait pour abreger
fV = COS r 4- V ■ — 1 • Sin a j— r '
v — cus 2jU + 1 ' r 2,it + 1
on aura, quels que soient les nombres entiers m et // :
+ ...+„- f^F)-
D'aillem-s t„uto, lea quantity i{^£r) S°nt 1<5S ^ ^
tion du degre (2,«+l)8, doBt les' coefficiens sont des fonctions rationncl-
les de c2.
7. Si la fonction
/da?
dont le module c est reel et moind.-e que lnnite, pent etre transform,* dan.
tine autre
f dy
524
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
dont le module c' est' reel ou imaginaire, en mettant pour y une fonction
algebrique quelconque de xy il faut ndcessairement que le module c! soit
determine par Tune des deux equations
[G -y2'^-(i+^(i+^)(i+^)---'
\f7' — l — ch 1 — q\ 1 —
* — 1 + -i + g;'i + ?Bx " '
ou qlz=zqfl1 jn etant rationnel; ou, ce qui revient au meme,
fl \- fl * I 7t
ft et a etant des n ombres rationnels quelconques.
8. La theorie de la transformation devient tres facile a l'aide des pro-
priety's les plus simples de la fonction 10. Pour en donner un exemple,
soit propose le probleme: satisfaire de la maniere la plus geneVale h l'equa-
tion
dy dx
~~ " 8 J(x,cy
en supposant c et c moindres que l'unitd et y fonction rationnelle, reelle ou
imaginaire, de x.
Soit x = X$, y = l'0\ en designant par l! la fonction qui repond au
module c! . L'equation differentielle se cliangera dans ce cas en dO' — tdO,
d'ou
= «<9 + a,
a etant une constante. Cela posd, soit
on aura
En mettant 0-|-2(«, 0-\-iai au lieu de 0, 16 ne change pas de valeur et
par consequent on doit avoir
I' (80 -f 2e(o -\- a) =~± I' (eO +- a),
i'(eO-\-eioi -f a) = ^(ed-f a).
Done, si Ton designe par a)' et a/ les valeurs de W et to qui repondent au
module c', on aura en vertu de liquation (2) :
PRECIS D UNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
525
ce qui donne
done
ou bien
2eW — 2mu) ' -\- nto'i1
e wi — 2m' to' -j- n ta' 8,
Co' , n to' . , to' „ , Co .
= m. U— .— -z=zw 2m — i]
to 1 2 Co to to
Co' , to' n to n , Co'
m — = n — , 0 — = — 2 m — ,
to to Z to to
Co' n' Co n to
to' ~~ m to 4 m' Co
Maintenant, si c est indetermine, cette equation ne pourra Bubsister a moins
qu'on n'ait ou n = 0, ro' = 0, ou »' = ©, m = 0. Dans le premier cas e
est rdel et egal a
Co , to
m — — n —
to to
et dans le second cas s est imaginaire et egal a
n to . , to .
— 1 — — 2m — i.
2 Co io
Supposons s reel. Alors on aura ce tbioreme:
„Si deux fonctions reelles peuvent etre transformees l'une dans l'autre,
il faut qu'on ait entre les fonctions completes u>, co, a)', m\ cette relation:
Co' n' Co
to' m to
ou n' et m sont des nombres entiers."
On pourra d&nontrer que si cette condition est remplie, on pourra ef-
fectivement satisfaire a l'equation
r_^_ = m— f M.j*
J J{y,c') a J J(*,c)
Rien n'est plus simple que de trouver l'expression de y. fl snffil pour cela
de chercber les racines des deux equations (px = Q, fx—0.
Designons par hi et W deux racines quelconques appartenant respec-
tivement a ces deux equations, on aura, pour determiner d et cT , ces deux
equations :
^(f(X-)-a) = 0, lf(*#*£*)**h
ce qui donne
526
PRECIS DUNE THE OKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
c'est-a-dire :
d=—a +-w + ~toi- cJ' = - — j— — w -J— (h' -I— -A-)
& et etant des nombres entiers. Pour determiner a, il suffit de remar-
quer que ne change pas de valeur en niettant CO — 0 au lieu de 0. On
aura done
I' (eCS — eO -j- a) = r (ed + a),
ce qui donne
a = |.[(2/*-f - 1 — -f gV*).
Dans le cas ou w est impair, on pourra toujours faire a = 0.
Connaissant les valours de J et $\ on aura immediatement les racines
des deux equations cpx = 01 fx = 0, et par suite l'expression des fonctions
<px et fx en produits de facteurs. Les forinules les plus simples repondent
aux cas de m=l ou et elles sont les seules necessaires, comrae il
est aisd de le voir par l'equation — — — On pourra aussi se servir
A A co m co A
des expressions de la fonction 10 en produits infinis rapportees plus haut.
Je l'ai fait voir dans un memoire qui a ete envoye a M. Schumacher pour
etre insere dans son journal*).
9. Le cas oil un module c peut etre transforme en son complement
V 1 — c2 — b1 merite une attention particuliere. En vertu de liquation
Co' n Co ,
— T = — ? on aura alors
co m co
-- = ]/- et dy =\^n dx
co * n J(,v7c)
Le module c sera determine par une equation algebrique, qui parait etre re-
soluble par des radicaux; au moins cela aura lieu si — est un carre par-
* n
fait. Dans tous les cas il est facile d'exprimer c par des produits infinis.
En etTet, si — = I/— ,
' to " n
on a
to
*) Mchnoire XX de cette edition.
PRECIS D UNE THEOUIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 527
Yc = ]/2.e
, ( • 1
i/ *
I / , -,
1/ m \
) •
i/wT )
IU+« 1
/ml
/•I
m
1
tn
Si deux modules c et c peuvent etre transformed Tun clans l'autre, ils au-
ront entre eux une relation algebrique. II ne parait pas possible en general
d'en tirer la ^valeur de c' en c a l'aide de radicaux*), mais il est reinar-
quable, que cela est toujours possible si c peut etre transform^ en son com-
plement, par exemple si c2 = ^.
Les equations modulaires jouissent d'ailleurs de la propridte remarquable,
que toutes leurs racines peuvent etre expriniees raiionnellement par deux
d'entre elles. De meme on pourra exprimer toutes les racines par Tune
d'elles a l'aide de radicaux.
10. On pourra developper la fonction 10 de la nianiere suivante:
^ — 1 _[_fc'0A_|_.fc"06_| '
oil le nunierateur et le denominateur sont des series toujours convergentes.
En faisant
(p0==0-{-a6s + a'66-\
fO = lJrb'0i + b"6(i-\
ces deux fonctions auront la propriete exprimee par les deux equations
*) Dans le cas par exemple oil y est cle la tonne :
_ 1 /c* ig(oa— a;8) (of — x*)
'!J ~~ f V ' (1 — c?aaa:*) (1 — c»of ~x*) '
Pequation entre c et c est du sixieme degre. Or je suis parvenu a drmontror rigou-
reusemcnt, que si une equation du sixieme degre est resoluble a l'aide de nu/inm.r,
il doit arriver l'un de deux, ou cette equation sera decomposable en deux autres du
troisieme degre, dont les cocfficiens dependent d'une Equation du second degre, ou elle
sera decomposable en trois equations du second degre, dont les coefliciens sont deter-
mines par une equation du troisieme degrd. L'equation entre c' et C ne parait guere
etre decomposable de cette maniere.
528 PRECIS D UNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
»p(8' + $).,f(0'-6) = (f$ .fey - f/ff .fey,
f(e'+0).f(0'-6) = (f6.f6'y-c*(<p0.<f0'y,
ou 0' et 0 sont deux variables independantes. Ainsi par exemple si Ton
fait Q' — Q, on a
f(20)=(/0y-c*(<p0y.
Ces fonctions jouissent de beaucoup de proprietes reniarquables.
11. Les formules presentees dans ce qui precede out lieu avec quel-
ques restrictions, si le module c est quelconque, reel ou imaginaire.
PREMIERE P ARTIE.
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN GENERAL.
CHAPITRE I.
Proprietes genSrales des fonctions elliptiques.
Les fonctions elliptiques jouissent comme on sait de cette propria re-
niarquable, que la somme d'un nombre quelconque de fonctions peut etre
exprimee par une seule fonction de la ineme espece, en y ajoutant une cer-
taine expression algebrique et logarithmique. La decouverte de cette propriete
est due, si je ne me trompe, a M. Legendre. La demonstration que cet il-
lustre geometre en a donnee, est fondee sur l'mtegration algebrique de liqua-
tion differentielle
<ty dx
V« + fy + yy% + <ty3 + fi^4 ' Ya+pas + ya:* + dx* -f '
L'objet de ce cliapitre sera de demontrer cette propriete des fonctions ellipti-
ques, mais en ' nous appuyant sur des considerations differentes de celles de
M. Legendre.
Demonstration (Vun thSoreme fondanmdal.
Nous allons commencer par etablir mi theoreme general qui servira de
PRECIS D UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
529
fondenient de tout ce qui va etre expose dans ce memoire, et qui en nieme
temps exprime une propriete tres remarquable des fonctions elliptiques.
Theorlme I. Soient fx et cpx deux fonctions quelconques entires de
x, Tune paire, f autre impaire, et dont les coefficiens soient supposes variab-
les. Cela pose, si Ton decompose la fonction entiere paire
en facteurs de la forme xl — x\, de sorte qu'on ait
(1) {fx)2 - (cpx)* (Jxy = A (x2- x\) (x* — xl) {x* - xl) . . . {x* - a#,
oil A est independant de rindeterminee x, je dis qu'on aura
„ „ a , fa-\- rpa . Ja
(2) n.X. + n^ + nx^ h^^-^^/a-ya.z/a'
a designant le parametre de la fonction JTac, de sorte que
• [* dm
La quantite C est la constante d'integration.
Demonstration. Supposons d'abord que tous les coefficiens des diverses
puissances de x daus les "fonctions fx et cpx soient les variables independan-
tes. Alors toutes les quantites x\, aj„ . . . ^ aeront evidemment inegales
et fonctions de ces variables. En designant par x l'une quelconque d'entre
elles, liquation (1) donnera
(4) •• {fxy-{<pxy{Jxy=o,
d'ou
(5) fx + (pX.Jx=:0.
Cela pose, faisons pour abreger
ipx={fxy-(<pxy(Jxy1
designons par ip' x la derivee de cette fonction par rapport a X seul. De
,lwme designons par la caracteristique la ditferentiation qui *e rapporte
aux seules variables inddpendantes. Alors on tire de l'equation (4) en dine-
rentiant
y'x.dx + 2fx.dfx--2<px.d<f>x.{.Jxy = ()i
mm en vertU de liquation (5) on a
1 G7
et
meme
530
PKECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
fx — (px . JXj
cpx(Jxy = — fx.Jx,
done, en substituant,
\p'x .dx — 2 Jx(cpx . dfx — fx . d(px) = 0.
I x* \
De la on tire, en divisant par 1 — — |- 1 Jx7
dx _ 2 {cpx . dfx — fx . d(px)
et en integrant
rix
/2 (q>x . dfx — fx . d<px)
En faisant maintenant x = xtJ x2y . . . x^, en ajontant les resultats et en
faisant pour abreger
2 (cpx . d fx — fx . depx) = Ox,
on obtiendra "
(6) iixx+nx%-{ yn*t
Bxt . 6x2 . . 8xp
r 71 5r\ ; i ' ' ' ~r
Maintenant 0# £tant une fonction entiere de x dont le degre est evidemment
inferieur a celui de la fonction ipx, le second membre, d'apres un theorenie
connu sur la decomposition des fonctions fractionnaires, se re'duit h
a da
2xpa '
ou, en substituant la valeur de 0a et celle de ya, a
/
/• cpa.dfa — fa.dcpa
(fay -(^y (Ja)^
Cette integrate se trouvera facilement; en efi'et, J a etant constant, on aura
en integrant d'apres les regies connues,
.q «1_ i fa + <pa.Ja
2 Ja ° fa — (pa . Ja '
C etant la constante d'integration. Cette fonction mise a la place du se-
cond membre de l'equation (6), donne pre'eisement la fonnule (2) qu'il s'agis-
sait de demontrer.
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
531
La propriety de la fonction II (x), exprim^e par la formule (2), est
d'autant plus remarquable, qu'elle aura lieu en supposant la fonction Jx
racine carree d une fonction quelconquc entiere et paire de x. En effet la
demonstration precedente est fonde'e sur cette seule propriete de la fonction
Jx. On a ainsi une propriete generale d'une classe tres Vendue de fonc-
tions transcendarrtes*).
La formule (2) etant demontree pour le cas oh. les quantites cc1? x2,
. . . Xp sont inegales, il est evident qu'elle aura encore lieu en e'tablissant
entre les variables independantes des relations quelconques qui pourront ren-
dre egales plusieurs des quantites xt , x2 , . . . x„.
11 faut observer que les signes des radicaux Jxt1 Jx21 . . . Jx^ ne
sont pas arbitraires. lis doivent etre pris tels qu'ils satisfassent aux Equa-
tions
(7) fx1J^cpx1.Jx1~01 fx2^-(px2.Jx2 = 0, . . . fxv-{-(fx>./fxfl = 0,
qu'on tire de V equation (5), en mettant pour x les valeurs £Cn x2J . . . x^.
La formule (2) exprime une propriete de la fonction de la troisieme
espece II(x). Or rien n'est plus facile que d'en deduire des proprietes sem-
blables des fonctions:
j- et CO0x=J —
D'abord si Ton fait a innni, on a IIx = CQx] mais il est clair que la partie
logarithmique de la formule (2) s'evanouira dans ce cas; le second membre •
se reduira done a une constante, et par consequent on aura
(9) mxl -\- ujx2 -(-•••+ ">a^ = C.
De meme si Ton developpe les deux membres de Tequation (2) suivant lee
puissances ascendantes de on aura, en comparant leS coefficient tie
— =- dans les deux membres,
(10) tD0^i + «>o#2 + • • • -\-(D0Xfl = C — p,
oil p est une fonction algebrique des variables, savoir le coefficient de
dans le developpement de la fonction
*) Voycz sur co sujot un m&noirc insere dans le tome III, p. 313, dc ce journal.
On trouve un theoreme beaucoup plus general t. IV, p. 200.
07*
532
PRECIS D'UxNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
a , fa 4- cpa. da
eTT- H L— ' T~
2 da ° / a — cpa.da
suivant les puissances ascendantes de —
a
En vertu des foramles (2, 9, 10) il est clair, qu'en design ant par ipx
une fonction quelconque de la forme:
-P
ipx
l-x4
dx
f dx
(ii)
on aura
+ V** + ■ ■ • + H>x„ = C-B.p - log -f+^f
^^/a ° fa — cpaJa
aiai i fai + (pa1Jax _
2dax ° /ax — (faxdax
avav j fav-\- q)avdav
On voit que cette equation a lieu quelle que soit la constante A.
§ 2.
Propriete fondamentale des fonctions ellipliques, tiree des formules precedentes.
Dans ce qui precede les quantity xt\ x2, x3, . . . XfA sont regardees
comme fonctions des coefficiens variables dans fx et (px. Supposons main-
tenant qu'on determine c'es coefficiens de maniere qu'un certain nombre des
quantites xx , x2 , . . . x^ prennent des valeurs donnees mais variables. Soient
xx , x2 , . . . xm
des variables independantes. Alors les coefficiens dans fx, cpx deviendront
des fonctions de ces quantites. En les substituant dans l'equation
(fxy~(<pxy(dxy = o,
le premier membre sera divisible par le produit
^^itSI^^Sm xVi (x* ~ xl) ' ' ' {x*~x^ M
et le quotient, egale a zeYo, donnera une Equation du degr£ fi — m par rap
port a x2, dont les racines seront les fi — m quantite's
X2 r2 -r2
•^wi + l 1 + 2 5 * ' I* J
qui par suite sont des fonctions alge'briques de xx, x2, . . . xm.
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
533
Le cas le plus simple et le plus important est celui ou le nombre a — m
a la moindre valeur possible. Pour avoir ce minimum, il faut dormer aux
fonctions fx et cpx la forme la plus generate pour laquelle le degre de Y6-
quation (fx)2 — (cpx)2 (Jxf = 0 est egal a 2/t.
II est facile de voir que le plus grand nombre de coefficiens qu'il soit
possible a introduire dans fx et cpx, est a. Mais, puisqu'en vertu de la
forme des equations (7) on peut supposer un de ces coefficiens e"gal a l'unite,
sans diminuer la generalite, on n'aura reellement que tu — 1 indeterminees.
On pourra done faire m = fi — 1 , en sorte que toutes les quantites xx , x2 ,
. . . excepte une seule, seront des variables independantes. Par la on
aura immediatement la proprtete fondamentale des fonctions elliptiques dont
il a ete question an commencement du chapitre.
II y a deux cas differens a considerer, savoir fi pair ou impair.
Premier cas, si fi est pair et egal h 2n.
A. Si la fonction fx est paire et (px impaire, il est clair que fx doit
etre du degre 2 n, et (px du degre 2n — 3. Faisons done
j fx^a. + a^ + a.x^ \- a^x2-2 + x2%
\<Px = (b0 + bxx2 + b2xl -| h K-,^>
et
(13) (fxy-^xYil-x^l-c^^ix'-xDtx'-xl) ... (x'-xl^ix2-*/),
oil nous avons mis y au lieu de x2ny qui sera une fonction des variables x„
. . . a^,_t. Les coefficiens a0, «n a2, . . . a„_x, b0, 6M . . . K_2 aofil
determines en fonction de xn x2, . . . a l'aide des ji — 1 equations (7),
savoir :
(13') fx, + cpx, .Jxt = Oy fx2 + cpx2 . Jx2 == 0, . . . fx2n^ +^^2„_i • <4*tn-i = °-
Ces equations, etant Hndaires par rapport aux inconnue.s, d„n.H>n>nt celks-ci
en function rationnelle des quantites
tfj, x2, . . . ajt*i yd , • • • ^w-
II est clair qu'on pourra donner aux radicaux ydx, , ,dx2 , . . . ydxtn_x des
signes arbitraires.
Pour avoir la valeur de faisons dans 1 equation (13) x = 0. Cela
donne . 2
al = x\xi . . . *i-t JH-f
(12)
(Ton Tun tire
534
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
(14) y =
La quantite y est done une fonction rationnelle des variables xx , x2 , . . .
et des radicaux correspondans. Si maintenant y a cette valeur et si Ton
fait de plus
Jx2n = — Jy,
les formules (2, 9, 10) donneront
WXy -j- wx2 -|t • • • -J- ivx2n_1 = wy -j- C,
(15)
Tlx, -f ITx, -| h ff«W^i =ITy-YJa i-^a.^a + #
Quant aux fonctions CD?/, tu0?/, Tly, il faut bien observer que le signe du
radical dy n'est pas toujours le meme. II est dans tous les cas determine
par la demiere des Equations (7) qui, en mettant pour x2n et Jx2n leurs va-
leurs y et — //y1 deviendra
fy — (py.Jy=z 0.
On en tire
(16) Jy = ^L,
ce qui fait voir que le radical /Jy, comme ?/, est une fonction rationnelle
des quantites xx , x2 , . . . Jxx , //x2 . . .
La fonction // a la propriete d'etre zero en meme temps que les vari-
ables xx , x2 , . . . x2n_x . En effet si Ton fait
xx — x2 — • • • — 3^2,1—1 — 0 ,
liquation (13) ne pourra subsister a moins que tous les coefficiens «0, «j ,
. . . «„_i , &0 1 ^15 • • • ne soient egaux a, zero, done cette equation se
reduit a
x*n = xin-*(x2 — y%
done on aura y = 0.
On pourrait donner le signe contraire au second membre de l'equation
(14). Celui que nous avons choisi est tel que le radical Jy se rdduit a
-|-1, en supposant xx = x2 = x3 = > > - = x2n_x = 0, et en meme temps
Jxx = //x2 = • • • = /lx2n_x = -J- 1. Pour de*montrer cela, supposons xXl x2,
• • • x2n_x innniment petits; on aura alora
PRECIS D UNE THEOHIE DES FONCTIONS ELL1PT1QUES. 585
Jxt = Jx2 = • - • — 4x,,n_x — 1 j
et par consequent les equations (13') font voir que xt, xs, . . . xtn_x satisfont
a liquation
(17) x*n + an_,x^ + 6n_2^2"-3 H h b0x + a0 = 0.
Cette equation etant du degre 2w, doit avoir encore une racine. En la de-
signant par z, on aura
d0 Z . Xi . x% . . . x2n__ i ,
done en vertu de liquation (14),
z--=—y.
L'equation est done satisfaite en faisant x—~y. Or cela donne
y*n + an__xV^ H 1- <* ?/2 + oo = (6o + ^2 H h hn-.ytn-A)y,
done en vertu de l'equation (16):
(18) ^y==+l.
On pourra encore remarquer que y se r&luit pour des valeurs innniment
petites de xu x„ . . . a *+*lH h^-i- On le voit Par J*
quation (17), qui, n'ayant pas de second terme, donnera la somme des raci-
nes egale a zero, e'est-a-dire
^1 + ^2+ ' ' ' -\-X2n-l — y = 01
done
(19) " y = xt-\-x2-{- • • •
B. Si fx est impair et cpx pair, fx doit etre du degre" 2n-l et ^
du degre 2n-2. Done on aura dans ce cas 2n-l coefficiens mddtermi-
nes, et on parviendra a des formules semblables aux fommles (15); maw la
fonction y aura une valeur differente. II sera facile de ddmontrer quelle
sera e>ale a — , la valeur de y etant determinee par l'equation (14).
Second cas, si a est un nombre impair et egal h 2»+l.
A. Si fx est impair et cpx pair, on aura
j fx = (a0 + + «2z4 + • • • + <M*^ +
(20)
ya; = 60 + M2 + MH h.M
(21) (fxy-(<pxY(l -x*)(l-c*x*) = (x>-xi)(x*-xi) . . . (x>-xl)(x>-f-).
536
PRECIS D'UNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Les coefliciens «0, . . . an_lf b0J b1J . . . bn_x sont determines par les 2n
equations lineaires
(22) fx1 -\- yxx . Jxx = 0 , fx2 -{-(px2.Jx2=:0, . . . fx2n -f (px2n . Jx2n = 0.
La fonction y le sera par l'equation
(23) y=- ^— ,
qu'on obtiendra, en faisaiit dans (21) x = 0. Enlin le radical Jy est deter-
mine par
Cela pose on aura
wx1 -J- wx2 -}-•••-(- = (joy -f- t7,
(25) J wo^i + wo^2 + • • • + wo^2« = WoV — 4* Gf
f flxi 4- 77^ 4- • ■ • 4- TTajfc. = 77?/ — loo- /a 4- ya • ^a i
Les fonctions y et ^/?/ sont, conime dans le cas precedent, des fonctions ra-
tionnelles des variables xt1 x21 . . . x2n et des radicaux Jx17 Jx2l . . . Jx2nJ
et on demontrera de la meme maniere, qu'on aura pour des valeurs infini-
nient petites de £en a?2, . . . x2nl
(26) y = Xl + x2-\- • • • -\-x2n, Jy = + l1
si Ton suppose en meme temps que les radicaux Jxxi Jx2, . . . Jx2n se
reduisent a -J- 1 ; done y s'eVanouira simultanement avec les variables.
Les formules (25) pourront d'ailleurs etre deduites sur le champ de
celles du premier cas, en y faisant x2n_1 = 0, et changeant ensuite n en
B. Si fx est pair et (fx impair, on parviendra a des formules sembla-
bles. La valeur qui en resultera pour la fonction ?/, sera egale a — j oh. y
est determine par la formule (23).
On voit par les formules (15, 25), qu'on pourra toujours exprimer la
somme d'un nombre donne de fonctions par une seule fonction de la meme
espece, en y ajoutant, pour les fonctions de la premiere espece, une constants,
pour celles de la seconde espece une certaine fonction algSbrique, et pour
celles de la troisieme espece une fonction logarithmique.
PRECIS D UNE THE0R1E DES FONCTIONS ELLIFHQUES. 537
Eii reniarquant qu'uae integrate quelconqne de la tonne
6x . dx
Jx '
pent etre reduite aux fonctions fax et uj0x et a un certain noinbre de fonc-
tions de la troisienie espece, en y ajontant nne expression algebrique et lo-
garithuiique, il est clair qu'en faisant
/Ox . dx
-Jx-'
on aura la relation
(27) fXt + ipx2 -f xpx, -( = W + v + 6''
on v est expriniable par des fonctions algebriques et logaritliniiques.
En vertu des formules (15, 25) il est clair que la fonction v ne change
pas de valeur, si Ton ajoute a la fonction rationnelle Ox une quantity con-
stants quelconque, de sorte qu'on peut supposer egalement
Je dis maintenant que la fonction \p est la seule qui puisse satisfaire a li-
quation (27). En effet si Ion differentie cette equation par rapport a 1'une
des variables independantes x„ 0», .. . . , par exemple a xt1 on aura
Cela pose, si Ton suppose toutes les quantites x3, a?4J . . . y egales a des
constantes deterininees, on aura, en mettant X pour £&,, et en faisant
, A d v dy
f'9-A> dx^ d*\-(l-
\p 'x . dx = A qdx -\-pdx,
d'ou Ton tire
ipx= f (Aq-\-p)dx.
La fonction ifix ne pourra done contenir qu'une seule constante indetennincV
A, et par consequent
est son expression generate.
Les propriety exprini^es par les formules de ce paragraphe appartien-
08
538
PRECIS DUNE T1IEOKIE DES FONCTIONS ELL1PT1QUES
nent done aux seules functions elliptiqne.s. C'est pourqnoi je les ai nominees
fondamentales.
Dans les formules que nous avons donnees, y a une valeur unique,
mais on pourra satisfaire aux niemes formules, en mettant pour y une ex-
pression algebrique contenant une constante arbitraire. En effet, pour avoir
une telle expression, il suffit de supposer une des variables xx, x21 ic3, . . .
egale a une constante arbitraire, et la valeur de y qu'on obtiendra ainsi, sera
la plus generale possible, comme on sait par la tlieorie de l'integration dea
equations difFerentielles du premier ordre, dont l'integrale complete ne con-
tient qu'une seule constante arbitraire.
A l'aide des formules (15, 25) on pourra exprimer la somme d'un nom-
bre quelconque de fonctions par une seule fonction. II est facile d'en tirer
les formules suivantes:
/ & BXi +^-2 (ox, -| mxn =C-\-wy,
■ f.i f.i f.i
(28) / ^fi)0a;1-|- '~2<B0a;,-|- • • • -f- ^' SVC,, = 0>0y — p -j- C,
* nx, + % m-s-\ h nxn = ny-^T- w fefcf£ ia- + c,
\ p • 1 p 1 1 J 2Ja fe fa — cpa.Ja 1 '
oil («2, . . . (un, a designent des nonibres entiers queleonques, et on y
est une fonction algebrique des variables xt1 x2, . . . xn, de meme que les
coefficiens de fa et (pa. Pour avoir ces formules, il suffit de supposer dans
(13) et (21) an certain nombre des quantity's xx, x21 . . . y egales entre
elles.
Pour determiner y, fx, <px, on aura cette equation
(29) (fx)2 — (cpxy (1 — x2) (1 — c2x2)
= {x2 — x2Y> (x2 — xty* . . . [x2 — afjy (x2 — y2y%
qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de x.
§ 3.
Application au cas oil deux /unctions sont donnees.
Pour reduire deux fonctions a une seule, il .suffit de supposer, dans
les formules (25), n=. 1. On aura alors
fx = a0x-\-x3, (px — b^,
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 539
et pour determiner les deux constantes a0 et b0, on aura les deux equations
aQxx -f- a?? + h4t&t = a*x2 + xl + &o ^ = 0 >
qui donnent
Connaissant b0, on aura la valeur de y par la fonnule (23), savoir pour
» = 1
bo .
?/ =
•> x^
done
— x\
(30) 2/ — ^J^-x.Jx, '
ou bien, en multipliant haut et bas par xx /ixt -\- x2 Jxt ,
_ xxJx2 -f- x%4*\
(31) 1— c2^.r|"'
Si Ton exprime a0 et 60 en a;3, on aura ces expressions tares simples:
(32) K = x,x2y, a« = \-(c2x\xly* — x\ — x\ — ?/).
L'expression de a0 se tire de l'equation
{aoX + xy bi (i - x2) (i - c2*2) = (*2 - $ (*2 - *i) (*2 - $
en egalant entre eux les coefficiens de x" dans les deux membres.
Les fonctions a, et y etant determined connne on vient de le voir, lite
tommies (25) donneront, en faisant w= 1,
mx1 -\- u>x2 = wy + <2>
a>0tf, -|- cD0^2 = — +
Quant a la valeur du radical Ay, elle est donnee par l'equation (24)
e'est-a-dire
A «0 4- y*
'(34) ^ = .
Pour reduire la difference de deux factions a une seule, il suffit de chan-
<;s*
(33)
540
PRECIS D UNE THEOHIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
ger le sig*ne de x2 dans les formules precedences. La valeur de y deviendra
alors
/o5\ ?/ Xl ~^X% XS ^xi X\ ^2
K > >* l-c*x\x\ — x.Jx. + x.Jx,'
Si dans les formules (33) on fait x2 egal a une constante arbitraire, on
aura la relation qui doit avoir lieu entre les variables de deux fonctions
pour qu'elles soient reductibles 1'une a l'autre. En faisant
on aura
(36) et mx = wy-]rC.
En difFerentiant, il viendra
/q7n . dy dx
^6l) ~Jy ~Jx'
L'integrale complete de cette equation est done exprimee par l'equation alge-
brique (36), e £tant la constante arbitraire. Farmi les integrates particulie-
res on doit remarquer les suivantes:
1) ?/ — a;, qui repond a e = 01 Jy=Jxy
2) y = ± — , qui respond h e = %, 4y = + ~,
]/ 1— X* • , , S , j (c* — l)x
8) y = V % ' (im rePond a e = 1 > Jy= '
; 1 l/l - W 'IV 1 v (1— C2)X
§ 4.
Application an cas oh toides les fonctions (kmrnies 80ni Sgale*
Si Ton fait dans les formules (15, 25).
xx = x.2 = x3 = ■ • • ±= x, s4x± === Jx2 = Jx3 = ••*'== Jx,
on aura celles-ci:
! u ujx = my -|- C,
fiwox^w.y— p + G,
u nx » JJy - log ? + + G\
PRECIS D'UNE TIIE0RIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
541
ou
(39) (fz)2 — {(pz)2(l — z2) (1 — cV) = (z2 — xy (z2 — y2) ,
z etant indetermine.
La fonction y est determinee par les equations (14, 23):
(40) y=- ^> v=-r
x x
La premiere a lieu si [i = 2n — 1, la seconde si u = 2n. Les Equations
(13', 22), qui doivent determiner les coefficiens a0J , a2 , . . . , h01'btJ 58, . . .>
se reduiront dans le cas que nous considerons a une seule, savoir
fx -j- . z/x = 0 ,
mais d'apres les principes du calcul differentiel, cette equation doit encore
avoir lieu, en la, differential par rapport a x seul un nombre quelconque de
fois moindre que //. On aura done en tout ft equations lineaires entre les
u inconnues; on en tire leurs valeurs en fonction rationnelle de la variable
x et du radical Jx. Connaissant a0, %, «2, . . ., b01 b^ &8) . . ., on aura
ensuite la valeur de Jy par l'equation
J <py
On pourrait ainsi determiner toutes les quantites necessaires, mais pour mieux
approfondir les proprietes de la fonction ?/, nous allons traiter le probleme
d'une autre maniere, qui conduira successivement aux valeurs de ?/ qui r&-
pondent aux valeurs 1, 2, 3, etc. de ft.
Designons par la valeur de y qui repond a //. On aura
tD^ = C~\- ftftX,
done
C0(x>l + m) = C -\- G)Xfl + G)Xm,
mais si Ton fait
xmJxfl-]r XpJxM
y— '
on aura, en vertu des equations (31, 33)
&xm-\-wxfl = uty ,
done
(41) mx^^C+wy.
La valeur la pins o-<menile de .r/<+,„, qui satisfem a cette equation est
542 PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
(410
X,
_ y Je -{- e Jy
on e est line constante. Pour la determiner, soit x infiniment petit; on aura
alors
xm = mx, xM=fix, x/l+m = (m-\-/j)x, Jxm — Jx^=l-
done
L'equation (41/) donnera done
done e = 0, /fe=l et par suite xm+/l = y, e'est-a-dire' que
l
On aura de la nieine maniere
^43) ^, x^/lxm xmAx^
La premiere de ces formules servira a trouver ^w+m, lorsqu'on conn ait xm et
33^; on pourra done former successivement les fonctions
ry /•/» ry»
1 -^3 ) ^4 ? 7 • • • ?
en remarquant que x± = x, 4x1 = /tx.
Si Ton fait m= 1, on trouvera
(44) se — — a; I 2j>^* ,
■ "ft
En remarquant que
Xq — 0 , x^ — — x .
cette formule fait voir que x^ est une fonction rationnelle de ac, si // est
un nombre impair, et que x^ est de la forme pJx, oh p est rationnel, si u
est un nombre pair. Dans ' le premier eas ~ * est rationnel, et dans le se-
cond Ax^ le sera. On voit e*galement que x^ s'eVanouira en meme temps
que z/x, si u est un nombre pair. Les quantitds
*+f* Jx ' Jx'
sont done des fonctions rationnelles de x.
Si Ton nmltiplie entre elles les deux formules (42, 43), il vieiulra
l'KEL'lS D L'iU TIIE0K1E DES FUNCTIONS BLL1PTIQUE8
543
(44')
-'fi + m • "^fi — m ^
equation qui parait etre la relation la plus simple qu'on puisse etablir entre
les fonctions x^. En y faisant m = tu— 1, on aura
(45) _ 1 - C2^^_!
De menie si dans la fbrmule (42) on fait ra = (u, on aura
(46) 1 —
Ces deux formules paraissent etre les plus commodes pour ealculer successi-
vement les fonctions #2, x3, a?4, ...
Pour trouVer les expressions les plus simples de x^, supposons
oil t>'. a sont des fonctions entieres de x sans diviseur commun. En met-
L ft 7 J. ft
taut ces valeurs dans l'equation (46), on aura
P2fi _ . ^ p tig ft1' in t
Or il est evident que la fraction du second membre est reduite a sa plus
simple expression; done on aura separement
(48) = > 2* p — •
En faisant les memes substitutions dans l'equation (45), on obtiendra
(49) ~~" qtq%-i - **pM-i
Or je dis cpie la fraction du second membre est necessairement reVluite a 8$
plus simple expression. En effet si Ton avait pour une menu? valeur de x
on aurait encore
Mais on a en general
done aussi
544
PRECIS D UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
ou bien
ce qui est impossible, car il fallait
< = + -'
Cela pose, l'equation (49) dounera
(50) iv~i = (#* iJU ~ sfJj^Sfi q^i=tiql-i — c2pIpI-i •
Si done on determine successivement les fonctions
par les equations (48, 50), — sera toujours reduit a sa plus simple ex-
pression.
On pourra faire px = a;, ^ = 1. D'apres la forme des expressions
(48, 50) il est clair que
1) Vtu-i est im® fonction entiere et impaire de x du degre (2fi — l)2,
2) pifl=p' Jx, oh p' est une fonction entiere et impaire du degre
(2iw)8— 3,
3) ^ est une fonction entiere et paire du degre ft* — 1 ou (</2, selon
que [i est impair ou pair.
Les fonctions xift_t et x2/u auront done la forme suivante:
+ At** + • • • + J^-D^Lf^-1)'2-1)
(51) x^_x
_ xJx(B0 + B2x2 + -| 1- Bif.+xW-*)
\ + A\x* + A\x^ 1- ^(V-d^i.^^4-1
(52) ^
1 + B \ x* + B I x* + . • • + Bfr
On aura par exemple
,ro\ 2xJx 3 — 4 C1 4- <) A'2 + 6c*^4 — <^8
11 est facile de voir que les coefficiens A0, A21 . . . A}21 A\, . . . B0,
B21 . . . B\, B{, . . . seront des fonctions entieres de c\ On a toujours
A0 = 2fi~ 1, B0=2tu et Al = B}2=zO.
La fonction x2jU est, comme on le voit, irrationnelle ; or on peut facile-
ment trouver une fonction rationnelle y qui satisfasse a liquation
du _ dx
PRECIS D UNE THE0K1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
545
Une telle fonction est la suivante
(54) j, = 1/1=^ = ^-,
J f 1 — C2^ 1— C2^
car on a, en vertu de la relation (37),
dy dx^/i
Jy Jx2fl '
et y est rationnel, puisque les fonctions Jx2fl et x\L le sont. On se con-
Vaincra aisement que cette fonction y aura la forme
_l + Cfl.» + ... + ^'
\bb! y—l + a'x2-\ \-p'x^
Pour ju=1, on aura
l_2,y2-[-c2a;4
(56) # — 1— 2c2tf2 + c2#4 '
Nous verrons dans la suite comment on pourra decomposer les fonctions x^
et y en facteurs et en fractions partielles.
Nous montrerons de meme que les equations prec&lentes sont toujours
r&olubles algebriquement par rapport a a?, de sorte qu'on peut exprimer x
en Xp h l'aide de radicaux.
CHAPITRE II.
Sur la relation la plus gSnSrale possible entre un nombre quelconque de
fonctions elliptiques.
Apres avoir etabli dans le chapitre precedent les proprietes fondamenta-
les des fonctions elliptiques, nous allons maintenant en faire Implication an
probleme general que nous nous sommes propose. Nous ferons voir qu.n
pourra en ramener la solution a celle de quelques autres problemes plus
simples.
§ t
«„, la forme a«on )m,rra ,W A *f^.*,^:f?***
et elliptiques.
Solent ^ViA"* des variables en non.bre quelconque, life
entre elles par de. equations algebriques dont le n„n,bre est momdre que
546 PRECIS D UNE TIIEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
celui des variables. Soient yly tfa, . . . des fonctions algebriques quelcon-
ques de ces variables et supposons que la ditferentielle *
yidxx-{-y^dx^-\ • -j-y^dx^
soit complete et que son integrale soit exprimable a l'aide de fonctions alge-
briques, logaritlimiques et elliptiques, de sorte que Ton ait
(57) / (U1^1+!/2dx2 -| ky$&k
= U + Ai log % + A v2-\ f- Av log vv
+ ai « VA + «2 • %fa H 1" & • tn% >
At1 A2, . . . Avl «rJ cc2, . . . an etant des quantites constantes, w, v #
• • • fy> ^, . . • tn des fonctions algebriques des variables 'a?1? x%1 . . . x^
et tyi, lP-2i ^37 • • • V» des fonctions elliptiques quelconques des trois especes
avec des modules et des parametres quelconques. Designons respectivement
par cl7 c2, . . . cn les modules de ces fonctions, et faisons pour abreger
(58) ±y(iTx%i-cw'±Zx4
de sorte qu'on ait en general
(59) y.*=(-^
j —»»»««'
0' etant une fonction rationnelle de x2 de 1'une des trois formes
1
1 , x ,
9-2
1— ~
selon que y^a; est une fonction de la premiere, de la seconde on de la troi-
sieme espece. Nous pouiTons meme supposer que 0' soit une fonction ration-
nelle quelconque de x.
On pourra regarder life certain nombre des quantite's xt, x2, . . . xfl
comme des variables independantes. Soient celles-ci les m premieres:
(60) {gj, x21 x31 . . . a^i
alors toutes les quantites
(61) Xm + 11 Xm + .2J . . . Xtl- f2, . . . tn- Ot, V2, . . . Vy] ^jj, . . .
seront des fonctions algebriques de a?, , x,z , . v" Xn .
Cela pose, hnaginons une fonction algebrique 0 telle qu'on pome ex-
primer toutes les fonctions
(62) ' u, {> , vM, . . . vv; ^ . . . £ ^(g, ^2(g, — j^y
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUF.S ',) | 7
* • • • • $ v J* M 5
rationnellenient en
(63) 0, ^, x2, agy ~. ."• ?/17 ?/2, 'yi','7-"- %-
II existe une infinite de fonctions 0 qui jouissent de cette propriete. Une
telle fonction sera par exemple la somme de toutes les fonctions (02), nmlti-
pliees chacune par un coefficient indetermine et constant. C'est ce qui est
facile a demontrer par la theorie des equations algebriques. La quantite 0,
etant une fonction algebrique des variables xt , as, , . . . , pouiTa done satis-
faire a une equation algebrique, dans laquelle tons les coefficiens sont des
fonctions rationnelles de Or au lieu de supposcr ces coefficiens
rationnels en xt , x2 , . . . , nous les supposerons rationnels en
(04) aib %, x3, . . . gefo yi, y*, jhi • • • ftri
car cette supposition permise simplifiera beaucoup le raisonnenient. Soit
done
(05) V=0
Liquation en 0; designons son degre par d et supposons, ce qui est perniis,
qiill soit impossible que la fonction 0 puisse etre racine d'nne autre equation
de la meine forme, mais dont le degre soit moindre que A
Imaginons maintenant qu'on differentie l'equation (57) par rapport, aux
variables independantes xx, £*V, • • • «U- 11 cst facile de voir VlQ la (liffd"
rentielle qu'on trouve sera de la forme
(oo) ih dx\ +p* dx*-\ hjpu dx» = °'
on pn ps, ... pm seront des fonctions rationnelles des quantities
Xl1 x2, . . . xn, xm+u . . . xfn fc, yv • • • «f, vt, v„ . . .
h, m ! • • i\ *Mi • • • AW:
Done en introduisant la fonction 0, fa • • deviendront des fonctions
rationnelles de
(07) 0, flfa . . . «„, /A, 2«i ■ • • //»•
Cela pose, requation (66) donnera sdparement
(08) Pir=r% i>2 = °7 = • • • ^ = 0'
et il est clair que si ces equations sont satisfies, 1 equation proposee (57)
le sera clement. Maintenant les equations ((58) sont autant dequat.n.s en
0 de la mcme fonne qg* 1=0, ou pourront aisnncnt ctrc n, mtcs a cette
548
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
forme; mais, d'apres l'hypothese, V— 0 est une equation irreductible en 6>,
done il suit d'un theoreme connu, que toutes les equations (68) seront encore
satisfaites, en mettant pour 0 une quelconque des racines de l'equation V=0.
Done l'equation (57) aura lieu quelle que soit la valeur de 0, pourvu qu'elle
satisfasse a liquation V — 0.
Ddsignons par
(69) 02, . . . 0s
les racines de l'equation V= 0, et par
(70) u", . . . V, . . . t#; C, <L"i • • • *2>
les valeurs correspondantes des fonctions u, vml tm. Alors l'equation (57)
donnera, en substituant dans le second membre d'abord les expressions des
quantites uy v%1 . . . £M t%1 , , . , .d^t^), 42(t2), ... en fonction rationnelle
de 0, £17 #2, . . .a^, yn ?/2, . . . et ensuite au lieu de 0 successivement
les d valeurs 0M 02, . . . $s, l'equation (57) donnera, dis-je, J1 equatio«8
semblables qui, ajoutees ensemble, conduiront a celle-ci:
j / (y1dxi + yidxi + • • • + y^dxfl) = u' + u" + • • • +u{'h
(71) J +41(logi;1/+ logV+ • • • + log w?> ) + • • • +Ay(\og vv' + log w/ + • • • + log )
( + * (v^' h- + • • • + + • • • + k (Wn + 1&* + • • • +
Le second membre de cette equation pourra etre reduit a une forme beau-
coup plus simple. Considerons d'abord la partie algebrique
(72) ^irukJi \-u^=u.
Cette fonction est exprimee rationnellement en
xly x2l . . . Xp, yx; ?/2, . . . 0X , 02 , . . . 0,? ,
mais elle est en nieine temps symetrique par rapport a 011 02, . . . 0fV, done
en vertu d'un theoreme connu sur les fonctions symetriques et rationneTles,
on pourra expriiner la fonction U rationnellement en fonction de
(73) „ x2, . . . Xj, jf4, y,, . . . y
et des coefficiens de l'equation F=0; mais ceux-ci sont eux-memes des
fonctions rationnelles des quantites (73), done la fonction U le sera egale-
ment.
Soit maintenant
(74) log Vm = log vj -f log vm" -| 1- log v<£\
PRECIS DUNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIC) I IKS.
549
on aura
V =v ' v "
done la fonction Vm est aussi une fonction rationnelle des quantites (73, 69)
et synietriqne par rapport a 017 02, . . . done on demontrera de la nu-iiic
maniere que Vm pourra s'exprimer rationnellement par les quantites (73)
seules.
II reste a considerer la par-tie elliptique de l'equation (71): or d'apres
les formules du chapitre precedent, on pourra ton jours faire
J tf.C-fy.CH htf.*?
\ = tf . Tm +p + Bt log qi + B% log qt + • • • + Bv log qy
ou toutes les quantites
(76) Tn, Jm(Tn)\ p, q%y . . . qv
sont des fonctions rationnelles des fonctions
f ' f " /I (f '\ ,1 it "\ /I (tiS))m
or celles-ci sont des fonctions rationnelles des quantites (69, 73), et il est
clair qu'elles seront symetriques par rapport k 61 , 62 , . . . 0S , done enfin
on pourra exprimer les fonctions (76) rationnellenient par les quantites x%,
a?2 , . . . \ yt , y2 , . . • y^ .
En vertu de ce que nous venous de voir, on pourra done inettrc le se-
cond membre de liquation (71) sous la forme:
r -f A! log (/ + A" log (- A™ log ^
+al.%rl+a2.f/r2 + . ... +v£«5;
Nous sorames ainsi parvenus k ce theoreme general:
Tlieorlme 11. Si une integrate quelconque de la forme
f{yA-ci+y*dx*-\ hfr*#'
ou y , y , ... ^ sont des fonctions algebriques de ^ , zs , . . . xfl , ces der-
mere&ant lids entre eux par un nombre quelconque d'equations dg&rigues,
peut etre exprimee par des fonctions algebriques, logarithniiques et elliptiques
de sorte qu'on ait
fa**; +9,**.+ ■ ■ ■ +//,*<>) = » + 4 >»g ». + ^. % % + ■ ■ ■ +^.'og",
+ «,-'/',', + tVV's'3H h «..■'/'..'.,
550 PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
oil A , A2 , . . . al , a2 , . . . sont des constantes, it, v 1? t?2, . . . t , .^^ „
des fonctions algebriques de ^ , a?2 , . . . , et tp1 , y/9 , . . . des fonctions ellip-
tiques quelconques, alors je dis qn'on pourra ton. jours exprinier la meme in-
tegrate de la maniere suivante :
*/ (y,dxx + y,dx* H h = r + A' l°s *' + A" hs e" H
+ A™ log f« + «1.Vi^i + «>-^1H h «« • ,
r? etant un nombre entier; a . a9, . . . les memes que dans l'equation
donnee; A\ A", . . . des constantes, et
»t, ^t), #2, 4(^2), . . . en, jn(Q^ ^ ■ • • • ij
des fonctions raiioniielles des quantites
^1 ? ) • • ' Xfi 5 ^i ? ? • • • j&> *
Ge tlieoreme est non seulement d'une grande importance pour la solu-
tion de notre probleme general, mais il est encore le fondement de tout ce
qui concerne 1'application des fonctions algebriques, logaritlimiques et ellipti-
ques a la theorie de 1'integration des formules differentielles algebriques. J'en
ai deduit un grand nombre de resultats nouveaux et generaux que je sou-
mettrai an jugement des g^ometres dans une autre occasion.
Gomme corollaire de ce tlieoreme on doit remarquer le suivant:
llieoreme III. Si une integrate de la forme
/ O/i^i+^^H
pent etre exprimee par une fonction algebrique et logaritlimique de la forme
u + A loS l\ + A, log v2 -) \-Ar log vv ,
on pourra toujours supposer que v , »t? . . . vv soient des fonctions ra-
iionnelles de x2, . . . xnJ yt1 y2, . . . y^. Si done on a l'integrale fydx,
oil y est liee a x par une equation algebrique quelconque, on pourra suppo-
ser que u, vx , v2 etc. soient des fonctions rationnelles de y et a;*).
•j J'ai fonde sur ce tlieoreme une nouvelle theorie de ^integration des formules
differentielles algebriques, mais que les circonstances ne m'ont pas permis de publior
jusqu'a present. Cette theorie depasse de beaucoup les resultats connus, elle a pour
but d'operer toutes les reduction* possible* uVs integrates <les formulas algebriques, a Taidc
des functions algebriques et logaritlimiques. On parviendra ainsi a require an plus
petit nombre possible les integrales necessaires pour representer sous forme finie toutea
les integrales qui appartiennent a une meme classe.
I
l'KKCIS D UNK THEOEIE DES FUNCTIONS KLUl'TlQU-> 551
§ 2.
Applicatimi da theoreme da paragraph precedent a la relation generale entire (Us functions
algebriques, logarvthndqaes et elliptiqaes.
Dn theoreme general demontre dans le paragraphe precedent on pent
dednire inimediatement plnsienrs propositions importantes, relatives a la theorie
des fonctions elliptiqnes.
Soit
(77) at tp1x1+at %x2-\ 1- aflipflxf = u+Al log i\+A2 log v,-\ [-Ay log vy ,
line relation qnelconque entre les fonctions elliptiques
vxxn igifti • • •
dont les modules sont respectivement cx, ca, . . . c^. Si pour abreger on
fait ±Y(T—xs) (l — clx*j = Jmx, le premier membre sera la meine chose
que
ou r r . . . r seront respectivement des fonctions rationnelles de xlX %,
X / Doikj en vertn dn theoreme III on ponrra enoncer le snivant:
Theorhne IV. Si 1'eqiiation (77) a lien en snpposant que m, l\,
. . . vv soient des fonctions algebriqms des qualities xx, x2, . . . ty* on ponrra
tonjonrs, sans diminner la generality snpposer que If, V V* . • • *, «oient
exprimees rationnellement en 2t, 2,, -»• • • 1 1 '
En ecrivant l'eqnation generale (77) de cette maniere:
(78) + • +^)
= M _|_ ^ logW ^2 log tf,H h 4* y" - ^tfUwf^ ft*f '
on aura, en vertn dn theoreme 11, le snivant:
Theorhne V. Si l'eqnation (77) a lien, on en ponrra tonjonrs tirer nne
autre de la forme:
(79) fa </> xt + tafia* H H '/',^ + Wift^ H + '/'" *J
j ■ 1 ^/-+^iog(>' + .riog(>''+...+^'iog^,
etant nn nombre entier et les qnantites
552 PKECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
des fonctions rationnelles de
Xn ' ' • Xml 4\Xx-> ^2X2l ' ' ' ^mXm'
On aura encore comme corollaire:
Theorhne VI. Si une relation quelconque entre les fonctions elliptiques
¥ixn ty^-) • • • W2^ des tr°is especes a la forme exprimee par l'equation
(77), on en tirera une autre de la forme:
(80) dam . ipmx = — al.ipi01 — a2.y2O2 . ifjn_x Bm_x
— <Xm+i>ym+iOm+i— • • • — <wv^
r + A' log <>' -f A" log p" -j 1- log p<*>,
8 etant un nombre entier et toutes les quantites
des fonctions rationnelles de la variable x et du radical correspondant Jmx.
Toutes ces fonctions pourront done se mettre sous la forme:
p + q • Jmx,
ou et sont des fonctions rationnelles de x seul.
Voila le theoreme qui nous conduira, comme nous le verrons plus bas,
a la solution de notre probleme.
Si Ton suppose que toutes les variables xl7 x2, . . . x^ soient e'gales
entre elles et a x, et en outre que les fonctions ipt , yj2 , . . . yj aient le
meme module, que nous designerons par c, alors le premier membre de l'e-
quation (77) sera la meme chose que J ou r est une fonction ration-
nelle de x\ done en vertu du theoreme III on pourra enoncer le suivant:
Theorhne VII. Si entre les fonctions Cox. C00x, FT^x, Uax, . . . TI x.
* * X » 2 * r* *
ou 77^ /72, . . . 77^ designent des fonctions de la troisieme espece, avec des
parametres quelconques, mais avec le meme module c que les deux fonctions
de la premiere et de la seconde espece CO x et Cu0x, on a une relation quel-
conque de la forme:
(81) J cmx + ao^>x + ainix + a2rf2x-\- • • • +a/lf/ftx
| = a + Ax log vt + A2 log v2 -| log t>, ,
on pourra toujours supposer que les quantites
PRECIS D UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
553
u, v21 . . . vv
soient cle la forme p + qJx, oh p et q sont des fonctions rationnelles de
x seal.
Ce theoreme est aussi d'une grande importance dans la theorie des
fonctions elliptiques. Nons en developperons dans le chapitre IV les conse-
quences les plus importantes pour notre objet.
§ 3-
Reduction du probleme gSnSral.
Reprenons la formule du theoreme VI. En la ditferentiant, le resultat
sera de la forme
P+QJmx-=0,
oil P et Q sont des fonctions rationnelles de x; done on doit avoir separe-
ment P=0, Q = 0, et par suite P-Q.Jmx = Q, done la formule (80)
aura encore lieu en changeant le signe du radical Jmx. Or en faisant ce
changement et en designant par 0/, 0/, etc. les valeurs correspond antes
de 01? 02, . . ., on aura
-damipmx=-Zaip6' + v\
ou pour abreger nous avons mis le signe de sommation V etant la partie
algebrique et logarithmique. En retranchant cette equation de Equation
(80), on obtiendra
(82) 2 9a.y>„x = 2a + »-»'•
Cela pose, d&ignons par c le module dc la tbnetion , et par Jx 1* tbne-
tion ±V(l-^(l-.eV); alors on aura, d'apres ce qu'on a vn dans le
chapitre I (35) - „
F v ; ipe' — y>o = w — v i
en faisant
v" etant une expression algebrique et logarithmique.
Soient maintenant
0— $ + J0 = r + «Jmx,
ou p, j, r, «, sont des fonctions rationnelles de x . En changeant le signe
du radical on aura les valeurs de 0' ct 4* , —
554
PliECIS D UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
0'=p — qJmx, jef — r — ^Jmx.
En substituant ces valeurs dans l'expression de ?/, il est clair que cette func-
tion prendra la forme
(83) y = tJmx,
oil t est rationnel en x. En vertu de la fornmle (34) on voit de meme
que Jy sera rationnel en x.
Si Ton fait maintenant
z __ yJe + eJy
1 — c2e2y2
oil e est constant, on aura encore
xpy = yjZ _|_ v'"^
done
f$' — ipO = xjjz-\-vx.
Or je dis qu'on pourra faire en sorte que z soit une fonction rationnelle de
x. En etfet il suffit pour cela d'attribuer a la constante e une valeur qui
annule de.
Soit par exemple e = 1 , on aura
(84) *=r^!b d'oh ^z=^^-,y,
' 1 — c-ij1 1 — ca?/2t/'
mais, comme nous venons de le voir, y* et Jy sont des fonctions rationnel-
les de £c, done z le sera de meme.
La fornmle (82) prendra done la forme suivante:
(85) 2<Jamipmx = Za.xfjz+V,
ou V est une fonction alg^brique et logarithmique, qui en vertu du tlu'»>-
reme II pourra se mettre sous la forme
u -f Ax log ^ -f- A2 log v2 -f • • • ,
toutes les quantites u, vu v21 . . . etant de la forme /> + 7 /,„.'".
En developpant le second niembre de liquation (85), on aura aussi la
formule
(86) J 2 ^ " ,pmX = * ' ^ + * * ^ ^ 1" CC"'-1 ' V^-i^-a
I + • V«+iz«+i H h <V f A + Vi
oil en vertu des deux equations (84, 83) toutes les quantites
„ ^2C2 J ^3~3 - ^//^M
PRECIS D'UNE THEOUIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
555
sont des fonctions rationnelles de la variable x. Cette formule est done une
suite necessaire de la formule generale (77). II faut faire attention que d
est un nonibre entier et que les coefficiens at} c^, . . . «^ sont pr^cisement
les memes dans les deux formules. C'est une remarque essentielle.
A l'aide de la formule (86) on pourra maintenant reduire la formule
generale (77) h une autre plus simple. En effet, en eliminant la fonction
fmx entre ces deux equations, on trouvera une equation de la meme forme
^que la proposee, mais qui contiendra un nombre moindre de fonctions ellip-
tiques. Faisons m — a et mettons pour x dans la formule (8C). On
aura
2 ^ . tfj^ = «! . ViZi + «, . -\ (- a^.i • VV-i^-i + V'
En eliminant la fonction entre les deux equations il viendra
(87) a^dip.x, — xp,zx) -| h "r4i**f*-&*r* — = V''
M&k 2d etant un nombre entier, on pourra, en vertu de ce que nous avons
vii dans le chapitre precedent, trouver des fonctions algebriques xt\ xjt . . .
x' fl-\ telles que
2 (Jxp^ — ip2z2 = y2x2' -f- r,
etc.
done la formule (87) donnera celle-ci
j a1.q1x1'-\-a.2.q2x2,-\ h"/-i-^-^V-i
Cette Equation est precisement de la meme forme que l'equation proposee;
seulement elle ne contient plus la fonction yV On pourra la traiter de la
meme maniere et en chasser une autre fonction, par exemple On
continuant ainsi, on parviendra enfin a une equation qui ne contiendra que
des fonctions algebriques et logaritliiniques, et qui ne n aura pas de dmiculte.
On voit done que le probleme general pourra etre reduit a celui-ci:
Saiwfaim de la manure la phis generale h Vequation
j tftx = ft . Vi ?yi + A • v*y* + • • • + P» •
(89) j u + 4 log p, + A, log & + • • • + Ay log vv ,
ok % . . . ft, decent des forums rlli^s Je> to* eapte*
en swpposant que _)):!.
556
PRECIS D'UNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
!Jl> • • • Vn
soient des fonctions rationnelles de x\ et que y11 42y2y . . . Jn yn soieni de
la forme p//x, ou p est rationnel en x, et ou dx designe le radical qui
figure dans la fonetion xpx.
Soient
^iyi—Pi^x, J2y2=p2Jx, . . . Jnyn=pnJx.
Supposons que ces equations soient satisfaites, et soit
/Ox . dx f 6.x. dx C Bn x . dx
ST' ^X=J -JjT' ■ ■ ■ ^x=\ -J^T'
Ox , Qxx, . . . 0nx e*tant toujours des fonctions rationnelles suivant la nature
des fonctions y/, \px , . . . \pn , on aura
fh f emVm dym dx_ .
Ym^m —J pm • dx ■ Jx ,
0 v (t v
or ^-^ • est une fonetion rationnelle de x, done l'inteoTale du second
pm dx ' o
membre pourra etre reduite a la forme
V»y« = r + Amx -\- A0Gj0x -f- A' n (x, a') -f- A" n(xt a")-\ ,
ou r est une expression algebrique et logaritlimique. En transformant toutes
les fonctions yx, ty^y^ . . • de cette maniere, l'equation (89) prendra
cette forme
awx^a0w0x-\-airT(x1a1)-\-a2fT(xJa2)-\- • • . -j- a/t FT (x , atl)
= u-]~A1\ogvi-\-A2logv2^- ■ • •
En vertu de ce que nous venons de voir il est clair que la solution du
probleme (89) pourra etre reduite a celle des problemes suivans:
Probleme A. Trouver tons les cas possibles ou Ton pent satisfaire a
liquation
(91) (1 - f) (1 - c'V) =P*(1 ~ x*) (1 - c*x*),
en supposant y et p fonctions rationnelles de l'indeterminde x, c et c' etant
des constantes.
Probleme B. L'equation (91) etant satisfaite, reduire les trois fonctions
»#»fcO» n(yic',a)
a la forme
r + Amx -f A0w0x -\~A' n (a, a') -\-A" n(x, a") -]
PRECIS D UNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
557
oil r est mie expression algebrique et logarithmique.
ProbUme C. Trouver la relation la phis generale entre les functions
qui ont le meme module et la meme variable, c'est-a-dire : trouver les con-
ditions necessaires et sivffisantes pour qu'on puisse exprimer une fbnction de
la forme
amx^a0m^x-\-ain{x1a^-\-a2n{x1a^)-\- • • • >
par des fonctions alg^briques et des logarifchmes.
La solution complete de ces trois problemes sera l'objet principal de
nos reclierclies ulterieures. Nous allons conimencer par le dernier qui est
le plus simple.
CHAPITRE III.
Determination de la relation la plus gSwrale possible entre un nombre quelconque de fonctions
elliptiques de la meme variable et du meme module; on solution du proUfrne C.
Soit comme precedemment
mx, w^x les fonctions des deux premieres especes et /7«x, /7a,,.. . . Ua,,
des fonctions de la troisieme espece, ayant pour parametres «!,«,,...
de sorte que
Cdx _ C^dx „ C dx
Wj -XT' na—J^j,
Cela pose, il s'agit de satisfaire de la maniere la plus generale a t^uation
j (3 u>x + ftajo* + A u <h + H 1" & rla"
(92) \ = u + A, log vx + A, log VH Mr log v„ •
En veitu du tlidoreme VI on pent supposer que u, v„ vtJ . . . * W# <fo
la forme » + ^, ou p et g sont rationnels en x.
Nous supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible de trouver une
relation semblable, qui ne contienne pas toutes les fonctions W«„ A/a,,
TTan. Nous supposons encore qu'aucun des parametres ax , «s, . . . «„
ne soit egal a ± 1 ou a ± ^ 5 «" **» ce cas (m lM""Tftit» t'(,mlue 00 SJlit'
reduire la fonction corresponds de In ttoMme espeee aux functions Cox
wx
558 PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Cela pose, designons le premier nieinbre de Tequatioii (92) par ipx et
le second par u -|- 2 A log v. On aura
(93) yjx = u-\-^A\ogv.
II est clair que cette equation aura encore lieu si le radical Ax change
de signe. Done en designant par u' et v' les valeurs correspondantes de v
et on aura
— ipx = u' -\- 2, A log v' .
Cela donne
2ipx = u — u' -\-JLA\og^ •
Mettons ici — x au lieu de -\~x, on pourra supposer que Ax reste invari-
able; la fonction yjx changera de signe, et par consequent on aura, en de-
signant par u", u"\ v", v'" les valeurs correspondantes de u, u', v, v' :
— 2 ipx = u" — u'" -f 2 A log •
De la on tire
Soit
v =p — I — — I — (p' -|~ Q.'x) '^xi
Vi <7? V' i 9.' ^tailt c^es fonctions paires, on aura
v' =p -|- qx — (p' -\-q'x)Ax1
v" — p — qx -j- (p' — q'x)Ax,
v'" = p — qx — (j/ — q'x)Ax,
done
v v'" =zp* — q2x2 — (2/2 — q,2x2) (Ax)2 -f 2x(pq' - qp') Ax,
v'v" = p2 — q2x2 — (p'2 — q'2x2) (Ax)2 — 2x(Vq' — qp') Ax,
par consequent on aura
w'" fx -f- (fx . Ax
v'v" fx — (fx. Ax
fx et qx etant des fonctions entiercs, dont l'une est padre et 1'autre impatre.
Nous lea supposerons, ce qui est pernris, sans diviseur oommun.
La partie algebrique \(u — u' -^v'" — est eVidennnent de la forme
r fx, ou r est line fonction impaire de x. En eerivant A au lieu de \ A,
['expression ytx prendra la forme auivante:
PRECIS D UNK TI1E0RIE DES FUNCTIONS ELLII'TIOUES ftAQ
(94) yx = rJx + ZA log ?* + & : * .
°-jf* — CfX.Jx
Qaant aux coefficiens 41? 4g, . .. .,4^ nous pourrons supposer qu'il suit im-
possible d'avoir entre eux une relation de cette forme
(95) *i% + m2A2 -| 1- mvAv = 0,
ou m2, . . . mv sont des nombres entiers. En effet, si cette equation
avait lieu, on aurait
BA log, = _ J A log g- + A, log + • • • + ^ ^ j ,
c'est-a-dire :
2 A log v = A1' log Vl' + A2' log v2'-\ f. A'v_, log ,
equation dont le second membre contient mi nombre moindre de logaritlnncs
que le premier. On pourra repeter cette reduction jusqu'a ce qu'une equa-
tion telle que (95) soit impossible. Cela pose, il faut prendre la dineren-
tielle des deux membres et comparer entre elles les fonctions algebriques qui
en resultent.
Considerons d'abord la partie logaritlimique du second membre de la
formule (94). Soit pour abreger
(96) \ t* + <r*J*
N ° J.V (fX . Jx
on aura, en difterentiant, un resultat de la forme
(97) d{> =
<>u v est une fonction paire et entiere de x, savoir
(98) v = 2 {fx . <p'x — (px .fx) (Jx)2 — 2fx . <px . [( J + c2)x — 2c2x>].
Et) faisant
(99) Ox=(fxy-(<pxy(jxy\
on pourra aussi niettre v .sous cette forme :
(100) V(fx = 2 fx . Ox— fx . 0'x,
equation facile a verifier.
Cela posd, decomposons la fonction entiere Ox en facteurs de la forme
(x2 — a'2)"'-) et faisons en consequence:
(101) (fx)* — ((pxy(.Jxy = (x* — *jh (x2 — <it)°'> . . . (x* — a*)** 5= Ox.
560 PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
Maintenant liquation (100) fait voir que si Ox a le facteur (a;2 — a2)"', v
aura necessairement le facteur (x2 — a2)"-1; done la fonction fractionnaire
— pourra etre decomposed de la maniere suivante:
a,. — X'
ou t est la partie entiere, ft', ft', • • • /V des constantes. D'abord je dis
que t est une constants En effet l'expression (98) de v fait voir que le
degre de cette fonction ne pourra jamais surpasser celui de Ox. Pour trou-
ver les coefneiens ft', ft', . . . , appelons ft l'un quelconque d'entre eux,
correspondant au facteur (x2 — a2)m de Ox. On aura
n. v(a* — x2)
ft' =z -A — — — 1 pour x — a,
mais si Ton fait
Ox = B(a2 — x2)"1,
on aura en vertu de l'equation (100)
Bx (fx K ' cfx R.dxK 71 (px
done en faisant x = a
/?' = 2ma^-
' (pa
Or on a (fa)2 — ((pa)2 (J a)2 =.0,' done
fa -j- (pa . Ja = 0,
et par suite
On a done
, 2m1aLJa1 2m2a2Ja2 2m/laflJ<>ll
fC ~ 7x ■ « o * " _ 2 .. 2
(108) "SST — ' a»— a§-.*2 a£-tf5
En niultipliant par -r- on aura la valeur de dy. La formule (94) donnera
done, en ditterentiant,
r i r* 4- -t- -"M2 + . • . 4- = $ (JxY - r r( 1 + c*)x- 2c2x'd]
(1 + p0X +a2_A.2 + a2_.r2^ «,2,— x2 dxK > LV ; J
44^
-|- etc.
af — x2 a| — x'
a"i — x
1'KEOIS D UNE THBOfiEB DES FUNCTIONS ELLll'TlQUES. .",(,]
Eii sitbatituant pour r line fbnction ratiunnelle quelcunque de x, on voit
sans peine qu'il sera impossible de satisfaire a cette equation, a nioins que
/• ne soit egal a zero. En se rappelant que nous avons suppuse* qu'il soit
impossible de trouver une relation entre un nombre moindre des fonctions
/7f/x, . . . Ilanl et en ayant egard a l'mipossibilite d'une equation
de la forme (95), on se convaincra aisement que tous les coefriciens A , A ,
. . . Av doivent etre mils excepte un seul. Soit done
A^ — A.,— ...=Ay = 0 et At == 1 ,
on aura
done
flU ft r8 I 1 I j_ rtPn
' 1-/ 0 -T a*-*^ a\-x* 1 '«»—«■
i 2wi1a1z/a1 2m2a2_/a2 2mflaflJafl
1 af — x2 a| — #2 a* — a;2
ft — K, A = «! = «,, cc2 = a2, . . .
^ 2 '/^^ ~ ffm^q,
1 ax ' 2 «g '
(Via pose, la forniule generate (94) prendra la forme
(104) /?.»* l-J //«, fJa„ = log ^ + 6,
oil les parametres ax, ce2, . . 1 a„ doivent satisfaire a liquation
(105) (/^)2_ (yiC)2(l _ .^2) (1 — 0*3*) == (x2 — af)m'(x2 — alY'< . . . (x* —
1'une des fonetions fx, (px e'tant paire et l'autre impaire.
Telle est done la relation la plus generate entre des fonetions rappor-
fcees an meme module et a la meme variable. II est reman (liable que la
fonetion de la seconde espeee n'entre point dans eette relation. Quant a la
quantite constante (3 qui multiplie la fonetion de la premiere espeee (Sx,
elle pourra dans certaines eireonstanees se reduire a zero.
L'equation (105) qui donne les relations necessaires entre les parame-
tres «17 «2, . . . an est precisement de la meme forme que cefle que nous
avons considere dans le eliapitre L En regardant «,,«,,... «„ eomme
• les variables, elle donnera en vertu du theoremc J,
a . fa -f- tfa . Ja
m> n'a, + m, H a, -| 1- mm U an = C - 2 Ja U >g ^ _ ^ •
mxi»al -J- m2wa2 -\- • • • -f- ninioa,t =6,
5g2 PRECIS D UNE T1IEOK1E DES FONCTIONS ELLIFT1QUES.
da
, „, P da
Les parametres «1? «8, . . . satisfont done a l'equation ditferentielle
m.da. i m9da<, , , mndan n
Pour avoir toutes les fonctions de la troisieme espece qui soient r&lucti-
bles indefininient a la premiere espece, il faut faire »== 1. En posant at = a,
m1 = m, on a
(108) /7« = ^ «W - log £ /.,. •
Pour determiner le parametre a, on aura dans ce cas l'equation
(109) (»2 - (cpxy (1 - z2) (1 - c V) = (z2 - a2)'",
ce qui fait dependre a d'une equation qui est generalement du degre* ra2.
Le cas le plus simple est celui oh m = 2. On aura dans ce cas
(px == — }/ — 1 , f x — ax ,
done
^-fV^ *• - 1 - "2 ) *! + £ = ( ± 4
done a pourra avoir les deux valeurs i, %V-t* • Les valeurs correspon-
dantes de a sont 1— 1 5 1 4- 1 • aura anisi
oil Ton pourra changer le signe de c.
Si m — 3 , on aura dans le cas oil fx est impair,
y# = x3 -\- ax, (pxz=zbj
done
• (£• _|_ — 62(1 — (1 — c2x-2) = (x2 — a2)3.
De la on tire
a3 = l>, 0^.«a + i/csO, 2a — = — 3a», a2 + (1 + c2)62 = 3«4,
done en eliminant a et b on trouvera
f{=i(cV-3«2),
PRECIS D'UNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5(53
/1a = $(l — c2«4).
Si done a est une racine de ectte Equation, on aura
Generalement la quantite « sera, pour un ?/z quelconque, racine de rune
des deux equations
(110) ^ = 0, xm=*y
on a;,,, est la fonction de x que nous avons considdre dans le paragraphe 4
du cliapitre I, et qui est telle qu'on ait
d.vm dx
m
Jxm dx
et en meme temps
xm — 0 pour x = 0 .
On pourra encore remarquer que si Ton designe par a une racine de xm = 0,
~- sera racine de l'equation #m = ^ . Pour prouver que a satisfait a Tunc
des equations (110), il sufrit de remarquer qu'on a (39):
(111) p2 — (i\/lxY = (x2 — a2)m(x2 — «2),
ou am designe la meme fonction de «, que xm de x. En multipliant les
deux equations (109, 111) menibre a membre, il viendra
(111') [pfx±q(px(Jxyy — (pcpx±qfx)2{Jx)2 = {x2 — a2)2m(x2 — a2n).
Or on tire des memes equations
p\fx)2 — q2((px)2{Jxy = (x2 — a2)n .
U etant une fonction entiere. De la il suit que 1'une des deux functions
pfx-\-qtpx(/1xy, pfx — q(px(Jx)2
sera divisible par {x2 — «2)ra; done en divisant l'equation (111') par (x2 — a2)8",
on aura un resultat de la forme
oil l'une des fonctions r et (> sera paire et l'autre impaire. On doit done
avoir d'abord (> = 0, et ensuite r2 = x2 — a2, d'oii «,„ — 0, on a,=£. Ke-
ciproquement, si l'une de ees ^illations a lieu, il est clair par la forme de
71*
564 PRECIS D UNE THE0R1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
»
I'equation (111) qu'on pourra satisfaire a I'equation (109). 11 est a remar-
quer que dans le cas que nous considerons, (3 ne pourra jamais etre zero.
Done il n'existe pas de fonction de la troisieme espece, exprimable par des
fonctions algebriques et logarithmiques.
Le cas particulier le plus reniarquable de la formule general e (104)
est celui oh n = S et m1 = m2 = m3=l. Dans ce cas, en faisant as = a1
^a3 — — z/a, on aura
(i 12) ^ n« +^rTai^J?na + ii.wx-$ log f»+<f*-f ,
on
fx — x3 -\- aXj cpx = b.
(113) I de sorte que
d'ou Ton tire, couime dans le paragraphe 3 du chapitre I,
1 ■ — c2a\a\
(114) / b=aa1a2'1 a = \(c? a2a{al — a2 — a\ — a!j),
J a a3 4- a n 9 - .
— — — ; i = — era a, «...
a 7 '
Les deux parametres ax , a2 sont done arbitraires.
Comnie cas particulier on doit remarquer celui oil a2 est infini. On
aura dans ce cas
a =. +
ca
On pourra done reduire 1'une a l'autre deux fonctions, dont les parametres
sont respectivement ai ~~' Ija formule correspondante pour effectuer cette
reduction est:
(ii5) na+n{^=mx+i^-\og^+^^.
v ' ' \ ca j 1 * Ja ° xJa — aJx
Pour trouver toutes les fonctions reductibles 1'une a l'autre, il suffit de faiiv
dans la formule (104), n = 2. Cela donne
die) », g* m + = ,»..«_* iog£±ff^,
oh les parametres al at at sont lies outre eux par l'eqnatioi)
PRECIS D UNE TI1EORIE DBS FUNCTIONS VAAAV TIQUKS. 5(i5
(117) (fx)* - {<pXy ( 1 - x*) (1 - c*xh) = (o>? _ «})<!■■ (*? -
cc ({iii donnera une seule equation outre «x et a .
CHAPITRE IV.
7)e l' Aquation (1 — (1 — = ij-l (1 — .r2) (1 — c2.?-2).
Considerons maintenant le probleme (A), savoir de satisfaire de la ma-
niere la plus generale a l'equation
(118) (1 - f) (1 _ «V) = r\l - x2) (1 - «V),
?/ et r etant des fonctions rationnelles de x. La methode qui s'offre d'abord
pour resoudre ce probleme est celle des coefficiens indetermines, mais cette
methode ne parait guere applicable si le degre de la fonction y est un peu
eleve; du moms son application serait tres penible. Je vais en indiquer une
autre qui conduit assez siniplement a la solution de ce probleme, qui est,
ce me semble, le plus important dans la theorie des fonctions elliptiques.
Reduction du probleme a eekd de mtisfaire a VSqyation:
du dx
= €
J(y, c') J(x, c)
Nous allons voir d'abord que si l'equation (118) a lieu, on doit avoir
necessairement
, _ 1 dy
e the
ou t est constant.
II est facile de voir que les deux facteurs 1 — ?/% 1 — c'2y* ne peuyent
s'evanouir en meme temps, car cela donnerait e'* = J? mais ce ens est ex-
clu. On doit done avoir separement
(119) l—tf=*rU+ i-c'-y = ?-av,
r, et ft etant des fonctions rationnelles dont le produit est egal a r. On
aura egalement
= _^)(l-rrV).
Or, en ditferentiant les deux equations (119), on en tirera
( — 2?/ dy = r, (r, dy + 2{> rfr,),
(120} (
; I — 2c'*ydy = r3(r,d(>,+ 2<>'dr,),
566 PRECIS D'UNE THEORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES.
Mais il est clair que y ne pourra avoir aucun facteur conmiun, ni avec rx
ni avec r2, done il faut que le numerateur de la fraction rationnelle ^ soit
divisible par r, et par r2; mais ces deux fonctions ne pourront s'evanouir
en raeme temps, done on doit avoir
(121) ^ = rir2v = rv,
v etant une fonction rationnelle de x, qui ne devient pas infinie en attri-
buant a x une valeur qui donne r = 0. Soit y = | -, ou ^ et q sont deux
fonctions entieres de x sans diviseur connnun, on aura evidemment
6
r -
(122) < done
r
2 n qdp—pdq
0 ~T~ = 0V = — ,
1 d,v da-
Cela fait voir que v est une fonction entiere. Or je dis que v se reduira
k une constante. Designons par m et n les degres des fonctions p et q, et
par tu et v ceux de 0 et v. Cela pose, il y a trois cas a considered
1) Si m > n. Dans ce cas liquation
(123) (q* -p2) (q2 - r'Y) = 02(l- x2) (1 - cV)
fait voir qu'on doit avoir
4ra = 2/i-|-4;
mais comme on a
il s'ensuit que
done
ou, puisque 2m — <*=2,
done
cut
,, -j-pezz m -\-n — 1
v < 2m — fA — 1 ,
¥ < 1,
v = 0,
et par consequent v constant.
2) Si n > m. On aura de la memo maniere
PRECIS D UNE TI1E01UE DES FUNCTIONS ELLIFITQUES.
567
4n = 2u -\- 4, 2n — fi = 2,
v <2n — fi — 1, r<l, */ = (),
done aussi dans ce cas v sera egal a une constante.
3) Si n — m. Dans ce cas il peut arriver que le degre de l'une des
fonctions
soit moindre que n = m. Soit done par exemple
ou le degre de (p1 que nous designerons par m — ne pourra surpasser m.
On aura en vertu de l'equation (123)
4m — k = 2u 4~ 4,
d'ou
2m — fi = 2 -\-%k\
niaintenant si Ton substitue la valeur de cj==p -J- on aura
0^ _ pdq — qdp __ pdy—cpdp ^
dx dx
done
|tt -|- y == »i m — k — 1 = 2 oi — k — 1 y
si k > 0, et
liA^-v — ni -\-m — k — 2 = 2m — k — 2 ,
si k = 0. Dans le premier cas on a
v — 2m — tu — k— I = l—ik = 0,
et dans le second
v = 2m — ft, — 2 = 0.
he degre de la fonction entiere v est done dans tons lee cas egal a zero,
et par consequent v se reduit a une constante. En la designant par on
aura
Cela pose, l'equation
(l-y')(l -c<y) = (^)V'(l -*")(! -«'*')
donnera celle-ci:
5(58 PKECIS D UNE THEOK1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
dy € . d.n
le probleme est ainsi ramene k celui de satisfaire de la maniere la plus
generale a cette equation en supposant y rationnel en x. En integrant, on
aura
(126) «%, o') = e . w(x, c) -f- C.
En comparant ce resultat a ce que nous avons demontre dans le cliapitre II,
on aura ce theoreme:
Theoreme VIII. „Si Ton a une relation quelconque entre un nombre
quelconque de fonctions elliptiques, et qu'on designe par c le module de
Tune d'elles prise a volonte, parnii les autres fonctions on en trouvera au
moins une, de module c', et telle qu'on ait entre les fonctions de la premiere
espeee, correspondantes respectivement aux modules c' et c, cette relation
tres simple
oh y est une fonction rationnelle de x et e une quantite constante."
Ce theoreme est de la plus grande importance dans la theorie des fonc-
tions elliptiques.
II s'ao-it maintenant de trouver toutes les valeurs de y et des modules
c et c propres a satisfaire a l'equation (125). Si la fonction y contient des
puissances de x superieures a la premiere, elle jouira d'une certaine propriete,
qai condnira a son expression generale, en supposant connue la solution
complete dans le cas oh y ne contient x qu'a la premiere puissance. C'est
ponrquoi nous donnerons d'abord la solution pour ce cas.
§ 2.
Solution du jn-ofdeme dam U cas ou y — --, p'x'
En substituant cette valeur de y dans l'equation
^(l-2/»)(l-c'V) = (l-^)(l-^I)(^f-
Tien n'est plus facile, que de trouver toutes les solutions possibles. Je vais
seulement les transcrire:
I. c' = ±c, y = ±x, y = ±^> &*±h
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PT1QUES. 569
II. o = ± - 1 j y=± cx, !J=-± ~- > t = + c,
U + V— cl J 1— V— c l+.vV—c ~~ 2 r 1 T' "
U_y_J J l + V— c l+orV— c v r 7'
On voit que le module c a six valeurs ditt'eVentes. La fouctiou y en aura
douze, car a cliaque valeur de c' repondent deux valeurs ditterentes de y.
Oes forinules nous seront utiles pour la solution du probleme general.
PropriStS (jeuerale de la fouctiou rationnelle y, qui satixfait ck line equation de la forme:
dy dx
J'y dx
Soit pour abreger
y(l _ ^(l — c'*y>) = J'y et - x*)(l- S5) Bt= Jx,
lequation (125), a laquelle il s'agit de satisfaire, prendra la forme
<>u y est suppose fouctiou rationnelle de a?. Hoit
(128) .y = '^'
la fouctiou cliercliee. 8i, en reduisant ifuc h sa plus simple expression, la
variable x y entre elevee jusqu'a la puissanee inelusivemeiit, nous dirons
pour abreger que ifJX est line fouctiou rationnelle de X du degre u. 8a
forme generale sera done
(129) y» = ^ + ^ + + . . . + z^.,"
le numerateur n'ayant pas de diviseur commun avee le denominates, et les
deux coefficient Am et B,t n'etant pas nuls a la tins.
72
570 PRECIS DUNE TIIEO'UE DES FUNCTIONS ELLIPT1QUES.
Cela pose, si l'on considere x comme fonction de ?/, l'equation y — ipx
donnera pour x, ,a valeurs, qui serout necessairenient iuegal es, en supposant
y arbitraire. II est evident que toutes ces valeurs de x satisferont egalement
a l'equation differentielle
dy dx
J'y Jx
En designant done par x et x' deux d'entre elles, on aura en meme temps
dy dx'
Done, en eValant ces deux valeurs de j on aura
' © J'y
dx' dx
Jx' Jx
Une telle relation aura done toujours lieu entre deux racines queleonques de
liquation
y — ifjx.
II est facile d'en tirer une equation alg^brique entre x' et x. En effet l'in-
tegrale complete de cette equation est en vertu de l'equation (36)
rv\ , xJe-\-eJx
(130) x = lrJkw .
e etant une constante. Maintenant x et x' etant tons deux racines de V4q na-
tion y — ipx, on aura
y=npx1 y = \fjx\
done
(131) ipx' = tpx,
et puisque y est variable, cette equation doit necessairenient avoir lieu pour
une valeur quelconque de x. On aura done immeVliatement ce theorenie:
Theorhrie IX. „Pour qu'une fonction rationnelle y de x, du degre u,
puisse satisfaire a une equation differentielle de la forme
dy dx
J y Jx
il faut que cette fonction y reste invariable, en mettant pour x, u valeurs
ditferentes de la forme
x Je -\- e Jx
1 — c*e2x2
e e^ant constant."
PRECIS D'UNE TI1E0R1E DES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
571
Ce tlieoreme nous conduira, comme on va voir, de La maniere la plus
simple a l'expression generale de y. 11 s'agit seulenient de determiner les
v.ih urs eonvenables de la constante e- car celles-ci etant trouvees, rien n'est
plus facile que de determiner ensuite toutes les autres conditions necessaiivs.
Dccupons-nous d'abord de la reclierche de cette constante.
§ 4.
Determination de Unites lea racines de I'eqvafion y — ifw.
Faisons pour abreger
nous aurons d'apres ce que nous venons de voir (131),
(133) f(fob)szyx,
ou le signe du radical Jx est evidennnent arbitraire. Je remarque mainte-
nant que cette equation, ayant lieu pour une valeur quelconque de x, sub-
gistera encore en mettant Ox pour x. On aura done
En mettant de nouveau 6x au lieu de x et ainsi de suite, on aura
y=yx = ttj(dx) = il>{02x) = ip(03x)= • • • = y(0"x) = e,tc,
ou Ton a fait pour abreger
ftV==0#B, $*x==40*x, . . . etc, 0nx = 00n'\e.
De la il suit que toutes les quantites de la aerie
(134) x, Ox, 0*x, . . . 0nx, . . .
seront des racines de l'equation y = if.>x. Maintonant cette equation n'ayant
qu'un nombre limite de racines, savoir //, il faut necessairement que plu-
sieurs des quantites de la sene (134) soient egales entre elles. 11 s'agit de
savoir si cela serait possible. Four cela il faut d'abord avoir l'expression
generale de 0nx en fonction de x et e. Regardons pour le moment e comme
variable independante. Alors on aura en vertu de l'equation (132),
_ O—ix.Je + eJte*-1*)
de
d(0*.v) d(6n-xx) |
J(fi".r) ~~ J(H"-l.r) ' Jc
572 PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
En mettant dans cette equation successivement n — I, n — 2, ... 2, 1 an lieu
de », et en supposant, ce qui est permis, que les vadicaux J(Onx), A{tin~Ax)
J (Ox), Jx ont les memes signes dans deux equations oonsecutives, on
aura sur le champ
d(Bnx) dx , de
J(6nx) ~Jx~\ Je
Cela pose, determinons d'apres les regies du paragraphe 4 du cliapitre I
une fonction rationnelle cn de e, telle que
den de
Jen Je
on aura
Mais si Ton fait
on a
done
d(6nx) dx^ . den
J(6nx) Jx * Jen
, xJen + enJx
X ~~ l—c*e*x2
dx' dx | den
Jx' ~Jx ' Jen '
d(Bnx) _ dx'
~J(6nx) Jx' '
Cette derniere equation donne la suivante:
x'Je' -\-e'Jx'
" ' 1— cV2.r'2
ou e' est une constante.
Pour determiner cette constante, faisons e = 0; on aura alors r„ — 0
et Jen=zl. Done la valeur de x' deviendra: x' = x, et par suite eefte de
0nx sera
° 1— cW
Mais ayant 0x = x, on aura encore Onx = x, done
_ x Je' -f- e'^.r
Cette equation devant avoir lieu pour une valeur quelconque de .r, ne
pourra subsister a moins qu'on n'ait separement / = 0, //ssl| done on
aura
0\r = SB',
PRECIS D'UNE TI1E0RIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 573
c'est-a-dire
( 135) 0nx = + e-zLx .
Telle sera l'expression de 0"x pour une valeur quelconque du nortbre entier
7i. Gomme on le voit, elle a la forme que doit avoir une racine quelconque
de l'equation y = yx.
Cela pose, soient 0mx et 0m+nx deux quantites de la serie (134), egales
entre elles; il en existera toujours d'apres la remarque faite plus haut. On
aura done
0m+nx = 6r*x,
raids 0m+nx est evidemment la meme chose que 0"(0mx), done en mettant x
pour 6 m x , il viendra
(136) Onx = x.
Tine telle equation doit done toujours avoir lieu, quel que soit x. Si elle a
lieu effectivement, il est clair que la seVie (134) ne contiendra que n termes
differens, car, passe 6n~1x1 les ternies se reproduiront dans le meme ordre,
puisqu'on a On+1x=z Ox, 6n+2x = 02x etc. Si Ton suppose, ce qui est per-
mis, que n1 dans l'equation Onx = x, a la plus petite valeur possible pour
la valeur donnee de e, il est clair egalement que les n quantites
(137) x, Ox, 6*x, . . . en~xx
seront necessairement differentes entre elles. Car si Ton avait par exemple
emx = 0m+f,x,
il en resulterait 0>lx = x, ce qui est contre l'hypothese, attendu que // est
moindre que n.
11 s'agit done de satisfaire a l'equation
0nx = x.
En y substituant l'expression de 0nx, donnee par la formule (135), il vicudra
.<?•. ten -f- en l.r
X — ~T— c*eZ.r*
Or il est impossible de satisfaire a cette equation pour une valeur quelcon-
(|ue de x, a moins qu'on n'ait separement les deux equations:
(138) = Jf*=?}i
et reciproquement, si ces equations sont satist'aites, l'equation 0"x = x le sera
egalement. Or je dis qu'il sera toujours possible de satisfaire a ces deux
equations a la fois.
574 PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. .
D'abord si n est impair, les deux quantites en et seront des func-
tions rationnelles de e} comnie nous 1'avons vu chapitre I § 4. Si done on
designe par e une racine quelconque de ['equation
(139) e, = 0,
il suffit, pour satisfaire h l'equation Jen = l, de determiner 1c radical Je
de telle sorte que
(140) Je = £' '"'-yu^m
apres avoir mis le second membre de cette expression sous la forme d'une
fonction rationnelle en e. C'est ce qu'on voit en rcmarquant que si e„ = 0,
la quantite Jen = ± — el) (1 — c*el) ne pourra avoir que l'une des deux
valeurs -j- 1, — 1.
Si au contraire n est un nombre pair, on a vu que Aen sera une fonc-
tion raiionnelle de & de meme que ). \ a- En designant cette demise
par f„, on doit avoir, en vertu des equations (138),
(141) en=l.
Or je dis que si e est une racine quelconque de cette equation, on aura a
la fois en = 0, Je„=l. En effet ay ant
1— c*el Yl — c*e*
on en tire en carrant,
i •-<;- i - •
et cela donne
% = o,
car c* est different de l'unite. Or ayant ew = 0 et e„=l, on aura evidem-
ment i^<£==l-j done etc.
On pourra done satisfaire a la fois aux deux equations
en = 0, Jen=l1
et Ton aura toujours n* valeurs differcntes et convenables de e, car en vertu
des formules (51, 55) les equations e}1 = 0, f„=l seront du degre n2 en e.
II s'agit maintenant de clioish* les valeurs de a qui rendent toutes les
n ((iiantites x. Ox, . . . 0n~lx differcntes entre elle.s, car cela est une seconde
condition a laquelle doit satisfaire e.
PRECIS D UNK THEORIE DBS FUNCTIONS ELUPT1QLKS. f, 7 5
Or pour cela il suftit de rejeter toutes les valeurs de 6 qui pourraient
donner 0"x = x, oil a est moindre que n. On pourra toujours supposer it
facteur de n. En eti'et soit h le plus grand commun diviseur de it et n,
on pourra trouver deux nombres entiers p! et ri tels que
a' jn — n ' n -|-
Or liquation 0^x = x donne
= x,
done
0n'n+kx = x = 6k0n''tx;
mais en vertu de 6nx — x, on a encore
done enfin
0*ic = a?:
done, si O^x — x, on aura encore 6kx = x, oil & est diviseur de rc. Done
il suftit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient satisfaire en nienie
temps a ces deux equations
V=0, . a= 1,
on a est mi facteur de n\ et il taut necessairenient les rejeter toutes, car si
Ton a 8ILlx = x, on a necessairenient 6nx — x.
Ainsi on detenninera aisement une Equation en e, dont toutes les raci-
nes donneront des valeurs convenables de cette constante. Si n est un noni-
bre premier impair, on a a = 1 ; done la seule racine qu'il faut rejeter de
celles de l'equation en~0, est celle-ci
e = 0.
On aura done n* — 1 valeurs convenables de e. Car liquation eH — ^ est
du degre n*.
II y a une remarque essentielle a faire sur les quantitcs
Xj Ox^ 0ix, . . . 0a 'x*,
e'est qu'on aura toujours en nienie temps
(142) frx^'f^ifi*, 0>-'x = *f'-X'"-
En ett'et, on a (43)
(-'it - J^m I'm — » #
en—m 1 r*?*7* '
mais en = i), Jen=\, done
576
PRECIS D UNE T1IE0R1E DES FONCTIONS ELL1PT1QUES.
On aura egalement (42)
f m & £n—m ~f" en—m -J^m /\
6n 1 »2^/,2 •
J- ^ tm"n — m i
done a cause de ea_M = — e„0 on aura
En substituant ces valeurs de en_ra, ^/en_TO dans lequation
on aura precisement la seconde des equations (142).
Si Ton multiplie entre elles les valeurs de 0mx et 0"x, le produit
sera rationnel, et Ton trouvera
.r3 — e
(143) °"*-(>,-"'* = T^e>«>
On aura de nieme
(144) • •-* + »~* = -raS?- J
Ces tbnnules nous seront utiles dans la suite.
D'apres ce qui precede, les n quantites
x, ex, o2x, . . . en-xx
sont (linerentes entre elles, et racines de liquation y=ipx, Le degre a <U'.
cette equation est done egal a », s'il ne surpasse pas ce ifbuibre. Nous
verrons plus bas qu'il sufnra de considerer le cas ou fi==n. On pourra
nienie supposer n premier.
Determination de toutes les valeurs de ;j qui pourrotd rcpondre MIX manes valeurs des racines,
lorsquon en coimait une seule.
Pour simpliner la solution du probleme general, voyons d'abord si plu-
sieurs valeurs ditierentes de la f'onction y et du module c pourront repondf e
aux memes racines de l'equation y=ipx. Eieri n'est pita facile que de &6?
terminer toutes les valeurs de y et c. En en'et, soit y/» = — -i ou p et q
sont des tbnetions entieres de z sans diviseur commun. En designant par
PRECIS D UNE THEORIE DES FUNCTIONS ELL1FTIQUES.
577
x, x', x" . . . x^~l)
toutes les racines de l'equation
ij = \px,
on aura
Lj — qy — (a — by) (a — x) (z — x') (z — as") . . . (a — as^1*),
oil a et b sont des constantes. Soit iiiaintenant y' une autre valeur de y
qui repond aux merries valeurs de x\ as', cc" . . . , on aura, en designant par
p et q' les valeurs correspondantes des f'onctions jj et
— gy = (a' — &y) (2 — as) (z — a') (z — as") . . . (z — x*~l)),
done
P — <iy a — ty
JZlYy' — a'-b'y''
En attribuant a 2 une valeur constante, il est clair que cette equation don-
nera pour if une expression de la forme
011 «, /?, a', sont des constantes. En designant maintenant par c" le
module qui repond a ?/', on aura en meme temps
du' , dx du dx
done
^} V(T^r2)(i-«''y') .£ V(i-3/8)(i-^2//2)
En substituant l'expression de en y, on aura les equations n&essaires
pour determiner ?/', c", Ce probleme est precisement le meme que celri
du paragraphe 2. On voit done qu'une.seule solution de l'equation
dy dx
Jy /■''
en donnera sur le champ cinq autres, qui seront en general dinerentes eatre
elles. La tbnetion y aura toujour* deux valeurs correspondantes an menu-
module c. savoir ?/ et y - •
' J * <J
7a
578
PKECIS D UNE THEOlilE DES FONCTIONS ELLIL'TIQUES.
§ 6.
Solution complete da problbne dans le cas oil n — n.
Supposons maintenaiit que l'equation y = ipx n'ait d'autres raeines que
celles-ci :
x, Ox, 02x, . . . en-xx,
ce qui arrive toujours lorsque a est un nombre premier, comme nous le
verrons plus bas. On aura alors, si p et q signifient la meme chose qu'au
paragraplie precedent,
(147) p — qy = (a — by) (z — x)(z — Ox) (z — 02x) . . . (z — 0n~lx).
En attribuant a z une valeur particuliere, on aura une expression de y dans
laquelle tout est determine, excepte trois quantites constantes. Nous allons
voir qu'on pourra toujours les determiner de sorte que l'equation differentielle
proposee soit satisfaite. Pour cela considerons deux cas selon que n est un
nombre impair ou non.
Cas I. Si n est un nombre impair. Faisons dans ce cas n=z=-2fi-\- 1.
Alors l'equation (147) donne, en attribuant a z la valeur particuliere zero,
a' — b'y=. — {a—by)x.Qx.Qtx . . . 62flx,
d'ou
(IA&\ _ a' -\- a . x .Ox . 02x . . . 6*f*x
{ ' V ~~ V + b . x . Ox . 6'2x . . . B^x '
En remarquant maintenaiit qu'en vertu de l'equation (143)
0"'x \ e^+l-mx = -/v*~f . i
1 — c2e^xz
il est clair que l'expression precedente de y sera une fbnction rationnelle de
x du degre -\- 1 ; done, puisque cette fbnction reste invariable, en met-
tant pour x les 2ji-\-l valeurs
x, 6x, 02x . . . 02»x,
ce qui est evident k cause de 02,x+1x = x, on conclura que l'equation (-147)
a lieu en mettant pour y cette fbnction et pour p et q les valeurs corre-
spondantes en z. Cette equation pourra s'ecrire coinme il suit:
(149) p — qy = (a — by) (z — x)(z — Ox) (z — B^x) (z — 02x) (z — 02^lx) . . .
. . . (z — Oflx)(z — 0^lx).
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 579
Cela pose, faisons
x=l, — 1, — ,
et designons les valeurs correspondantes de y par
«, /?, ft d.
Comme on a pour ces valeurs de x1 Jx = 0, il s'ensuit en vertu des deux
equations (142) du paragraph e 4, que
1 — c^x^e^
d'ou Ton voit que les facteurs du second niembre de 1'equation (149) seront
egaux deux a deux, en faisant abstraction du premier facteur z — x. On a
done
p — qa = (a — ba) (1 — z) . p2,
p-qp = (a-hp){\ + z).«'\
p— qy = (a — hr){1 — ^)-*>"%
p — q(f = (a — M) ( 1 -f cz) .
ou (/, (>", (j'" seront des fonctions entieres de z du degre u. Mais puis-
qu'on doit avoir
(151) (q2 —p2) (q2 — c'2p2) == r2(l - z2) (1 — c V),
les equations precedentes font voir que les quatre constantes «, /?, y, (T doi-
vent etre les memes que celles-ci:
(150)
+ 1, "I, +
1 1
et si cette condition a lieu, les quatre equations (150) en donneront cvidnn-
ment une de la tonne (151), et par suite on aura
du dx
en vertu de ce qu'on a vu dans le paragraphe 1 de ce chapitre.
Comme il suftit de connaitre une scale valeur de //, nous pourrous faire
par exemple
(153) «=1, /? = -l, r=y> <>=-y-
Cela pose, il nous reste a satisfaire I ces equations. Or si l'on fait
pour mi moment
73*
580 PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
/
l'expression de y deviendra
(155) V ^ = V^iTpi'
d'ou Ton deduira, en remarquant que <p(- — x) = — tpx, et faisant £==1,
1 1 1
— 1, — j >
g_g- + gy(i) „_l±!*(ii j-lZ^l) , !
K-ft' + %(i)' r— , ./iy .
done en vertu des Equations (153), on aura
a' — b' + {a— ft)y(l) = 0, + — (o + ft)y(l) = 0,
»'-^+(»-|&(IJpS «' + ^-(« + ^).(i) = o.
II est impossible de satisfaire a ces equations a moins que l'une des
quantites a', b' ne soit zero. Faisons done a' = 0, on aura en meme temps
b = 0. Done deux des equations precedentes donneront
d'ou Ton tire la valeur de c'? savoir
<>- 2-® •
La valeur de y deviendra
Quant aux valeurs de cp(l) et de q> | J :- J > on aura en vertu de l'expression de q).r,
/ -j \ 1 — 8 2 1 — #1 1 g^
— l_cV 1— c2*! ' ' ' 1 — c2^ '
/ 1 \ _ 1 1— c*e* 1 — c2<?| 1 — c2i*
lP\~c'j c^+* l--e2 T— eg 1— e% '
done
et
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 5^1
Pour avoir enfin la valeur du coefficient f, il suffit de faire x = (), apres
avoir differentie l'expression de y. On aura
d.r — - 6363 • • f<p(iy
mais comme on a
dy _ J'y
C
dx dx
il en resulte, en faisant x = 0,
dx
done on pourra faire
e:
D'apres ce qui precede on pourra maintenant enoncer le theoreme suivant:
TJieoreme X. „Soit e une racine quelconque de l'equation e2ft+1 = Q,
mais qui ne puisse etre racine d'une autre equation de la meme forme
^m+1 = 0, oh 2m-\-l est diviseur de 2jti-\-l. Cela pose, si Ton de'termine
la fonction ?/, le module c,\ et le coefficient f, d'apres les formules
cfi+i x(e* — x2) Of — x*) (e* — x2)... fej — x*)
y =
(l — e*e2x2)(l — c2elx2)(l—c2elx2) . . . (l—e2eftx2y
*»tt (i-o(i-^)a-^)--a-^) y
(1 _ c*e*) (1 - c*e |) (1 - c*e\) ...(!__ •) ) >
on aura ton jours
dy , &
= + f -
V(l - y») (1 - c' V) - V(l - .*■) (1 - e2x2)
en determinant convenablement le signe du second niembre."
Connaissant ainsi un systeme de valeurs de y, c', -e, on en aura cinq
autres, d'apres ce qu'on a vu dans le paragraphe precedent, a l'aide des
formules du paragraphe 2. A chaque valeur de e respondent done six sn-
stemes de valeurs de ?/, c', e. On aura meme douze valeurs de ?/, car a
chaque valeur de c' repondent deux valeurs ditferentes de cette function.
Nous reviendrons plus bas a la question du nombre total des solutions qui
repondent a la meme valeur de u.
Pour donner un exemple des tommies ri-desxus, suit // = 1. Puisqne
582 PRECIS D'UNE THKORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
dans ce cas 2a-\-l = 3 est mi nombre premier, on pourra, en vertu de ee
qu'on a vu plus kaut, prendre pour e une racine quelconque de l'equation
e3 = 0, except^ la racine zero. Cette equation est, en vertu de la formule
(53), qui donne l'expression de x3, du huitieme degre, savoir:
0 = 3 — 4(1 + c2)e2 -f 6c V — c V.
La quantite e etant une racine quelconque de cette equation, on aura
dy . dx
= + €
y(i-2/*)(i-c'V) _ V(i-^)(i-c^2)
Fuisque e2 est determine en c par une equation du quatrienie degre\ le mo-
dule c' pourra l'etre egalement. Cette equation est
(c'_ c)2 = 4>/cc7(l— Vcc7)2.
L'expression generale de ?/, donnee plus haut (156), est sous forme de pro-
duit. Rien nest plus facile que de decomposer cette fraction en fractions
partielles. En effet, puisque les racines de l'equation
Q = c^±z(z*-e*)(z*-el) . . . (z2 - $ + y(l - r2e V) . . . (1 - c2e2z2)
sont les 2 t / -|- 1 quantites suiv antes
ft, Ox, e2x . . . 02".T,
la somme de ces quantites sera egale an coefficient de z2f\ divise par celui
de z2M+1 et pris avec le signe — , done
done, en vertu de l'equation
on aura l'expression suivante de y ;
l 2Je..v , 2Je2.x , . 2z/y# \ Vc
( i o7 ) ?/ _ i * -i- -t- x _ i • i — c*^8 / - ^ y? • • • «; '
II. >SV w c.<tf nombre pair. Faisons n = 2u. Puisqn'on a
I'ltECIS DUNE T11E0K1E DES FUNCTIONS ELL1PT1QUES.
583
on aura, en faisant m = a
1 — c*e*.v* ~ l — c*e*x*
Cette egalite ne peut subsister, a nioins que q n'ait une des deux valeur.s
zero oil l'infini. Cela donne lieu a considerer separement ces deux cas:
A. Si e^ = ^, on aura
GX
En substituant 6"lx au lieu de x, on aura
e^mx = +
Les racines de l'equation y = ipx deviendront done
i, ±— > • • • O^x, O^'x, O^x, . . . e^ 'x,
par consequent on aura
(158) p - qy = (a - ty) (« - «) ( 3 + i ) (, - Ox) (z - O^x) . . .
. . . (z — 0^1x)(z — Ofl+xx).
En designant par a' et b' les coefticiens de z2fl~l dans les deux f'onc-
tions entieres p et </, on aura
a' — — (a — b?j)l[x±^ + 0x + O^-lx-\ |- 0^x +
= - «) [ 25 ± ,t6< + i _ cw + 1^7^ H r r_c"««U*f ]
L'expression qu'on en tire pour y sera evidennnent une fonction rationnelle
de x du degre 2tu, et puisquelle reste invariable en mettant pour x Lea -//
quantity*)
x, Ox, 0lx, . . . (P^dS,
l'equation (158) aura lieu en mettant pour y cette valeur et pom- r et q
les valeurs correspondantes en z.
Nous allons voir qu'on aura une valeur corn-enable dc y en t'aisanr
a = // = 0.
*) On a
a'4-a(x + ex + 0*x+ ■ ■ • + 0*" l») ^
J y + b(x + 0x + 0*x-\ ^
584 rauteis d une theokie des fonctions elliptiques.
Cela donne
a
•*±ca.+ i _<.*«* as* " f*t — •NJ^JI*
expression qui est evidenmient de la foraie
Pour determiner la valeur de 4* remarquons que si Ton fait x=l, y
doit avoir une des valeurs: +1, ± Soit Par exemPle V^1^ Pour x=li
on aura
(160) A = WY
Cela pose, faisons dans l'equation (158) x=l. En remarquant que a = 0-
on aura
y etant une function entiere de 3, car pour x=l on aura
En changeant le signe de z dans l'equation preeedente, on aura, en remar-
quant que q est une fbnction paire et p une fonction impaire,
Cela donne
(/-/ = (l-z3)(l-CV)(^)l
Maintenant, puisqu'on doit avoir
(161) (q2 -p*) (q> - c'*p*) = (1 - z2) (1 - c V)r",
cela fait voir que la fonction q1 — c 'p* doit etre mi carre parfait. Or on
pourra toujours determiner c de maniere que cette condition soit remplie.
Faisons dans l'equation (158)
' " .1 "
on aura •
IA / 1
e^mx = 0,b(0^) = 0M|± — ) = 0M[ y+
done
fl^a; = 6"'x.
PRECIS D'UM TUE0K1E DES FUNCTIONS ELL1PTIQUES.
585
Si done on designe par a la valenr de y qui r^pond a x=z > les
racines de lequation a—ipx, e'est-a-dire de
p — aq = 01
seront egales entre elles deux a deux; done p — aq .sera mi carre parf'ait.
En changeant le eigne de z, on aura p-\-aq, qui par consequent sera ega-
lenient un carre; done en nmltipliant, on aura
jfl — a2q2 = t%
ou t est une fonction entiere de z. En faisant done ■
a
('equation (161) aura lieu, et par suite on aura
dv dz
E—ri OU
J'v Jz
e'est-a-dire, en changeant z en x
dy das
J'y Jx
Pour determiner le coefficient s on aura d'abord, en vertu de la der-
niere equation,
8 = > pour x = 0.
Mais l'expression de y donnera
dy _ a _ _J_ ,
das — y(l)
done
1 .
Le numerateur de la fraction qui expriine la valeur de y est decompose
en facteurs; savoir si Ton fait y — -^r, on a
*' = X a - c*e*x') (1 - c^**2) ... (1 - c^e^x*).
On pourni facilement decomposer de la meme maniere le denominateur q\
conmie on va le voir.
En divisant les membres de la formule (147) par y, il viendra a cause
de a = 0\
74
5gf, PRECIS DUNE THE0K1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
P--q^-b(z-x)(z-0x)(z-6*x) . . . (z-O^x).
y
Cela pose, soit (V une valeur de x, qui rende y mfini, c'est-a-dire une des
racines de l'equation q=0. On aura
q = b{z — *) (z - 6$) {z — 0»<T) ...{z- mr1^
II suffit done de connaitre une valeur de & Or une telle valeur est
En effet, puisquon doit avoir y = h, et remarquant que
V— f, ,v-\-0a:+0*x-\ j- 0*tP* i
on aura
r=,x-\-6x + 02x-\ \-$»^x=Q.
Soit pour une valeur quelconque de x
Prn — emx + e^-mx -\- e^+mx +
on aura evidemment, en remarquant que Qtflx — x,
Po+Pi + P*~\ hlV-i = 4r-
Or je dis que si Ton fait
1
X — 3== i
V + 6'
on aura
pour une valeur quelconque de m. En effet on a d'abord
done en mettant au lieu de a;, et remarquant que 0flx — ±^,
A- 9 Ae
1 c#(l-— e^x-z)
En faisant maintenant
V+C
on aura
9 A*
emx~\- e^-mx = m — = — (om+fXx + e^-mx),
V(+<0(i±c«£)
et par suite
PRKCIS D UNK TIIKOUIK DBS KONCTIONS ELLTPTIQUES.
587
On pourra done faire
V + <<•
Eii reriiarquant que q' — 1 pour a? = 0, on aura, en mettant dans Vexpres-
sion de </, x au lieu de 2,
0 \ / _ x \ / _ A*
D'apres ee qui precede on pourra enoneer ce theoreme:
Theoreme XL „Soit e une racine quelconque de l'equation e = mala
qui ne satisfait pas en meme temps a deux equations de la fornie em = 0,
dem—l, ou 7?2 est facteur de 2a. Cela pose, si Ton determine les trois
quantites ?/, c', € par les formules
e \ 1, 2Je.x , 2z/e2.# I , 2Jeft^1.x
±~c rY~X «« ' 1— «,«,*> 1 — c*«|".k« ~T ' ' ' ~r l—c^sr ^s
(162)
±f^cl1±V + T^^ + r=:"^i +
on aura toujours
V(l _ yi) (1 _ c'ty*) f^i — *«) (1 — C3*2)
Le cas le plus simple de eette fornmle est celui on //.= !. On aura
alors
dx
^ X , 2V+C
Apres avoir determine par le theoreme precedent un systeme de valeurs
pour y, e\ 6, on aura einq autres solutions a l'aide des formules du deuxieme
paragrapke de ce chapitre.
B. Si e^Wo, le radical d% ne Poumx avoir flue rune (les deux V{1"
leurs +1 on' — 1; mais il faut ici prendre ^e„ = — 1, car si Yon avait
en meme temps cf=Q, J^=h 3 «■? r&ulterait 0»x = .r, ee qui n'est pas.
Mais comme on a
74*
588
PRECIS D UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
0 x— l — e*e*a:* '
cela dorme
Qf*x == — cp,
et en mettant 0mx au lieu de .t,
Qt* + ™x __ _ QmXm
Les racines de l'equation y — \px seront dans ce cas egales deux k deux,
inais de signe contraire, et par consequent \px sera une fonction paire de x.
En faisant
P
ipz = — >
on aura
(164) p-qy = (a- by) (z2 - a2) [z2 - {Ox)*] [z* - (tf2*)2] . . . [*a - (0^)2].
Si Ton fait z = 0, et qu'on designe les valeurs correspondantes de p et
q par a' et ?/, on aura
a' — 6'# = ± (a — %) (x.0x.62x . . . e^x)%
ce qui donne pour y une expression rationnelle du degre 2u. Comnie dans
les deux premiers cas, on demon trera aisement qu'il sera toujours possible
de determiner les constantes a, a', b' de telle sorte que l'equation
dy dx
J'y dx
soit satisfaite, en attribuant au module c' et au coefficient f des valours
convenables. Je vais considerer seulement le cas le plus simple, oh ft = 1.
On aura alors
a' — b'y = ( — a -|- by)x%
et par suite
_ «' -f- ax2 -
y — P + hat* '
En mettant cette valour dans l'equation
dy dx
, /'// dx '
on trouvera facilement une solution, savoir
(165) " y = i±^. «' = ^> « = (l+e)V±T.
Connaissant ainsi une solution, on en dednira les cinq autres par les for-
mules du deuxieme paragraphe, de sorte qtie l'equation
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
du dx
~ s
J'y Jx
pourra etrc satisfaite des six manieres suivantes:
(166)
, • V±e l±Vl— c* c + YcS — l
1 + c 1+Vl
■+y«"— i
§ 7.
Reduction du probUme general au cas ok le degre de la fonction rationnelle y est un
nombre premier.
Soit maintenant y = ipx une fonction rationnelle quelconque qui satisfait
a Tequation differentielle
dy dx
J'y Jx i
Comnie on l'a vu dans le paragraphe 3. l'dquation
aura toujours n racines de la forme
(167) x, Ox, 62x, . . . 6n~lx, oil 0"x = x.
Cela pose, designons par x' une nouvelle racine, differente de celles-ci, de
sorte que
ipx' = ipx = y.
On a
xfj{Omx) = y>x,
done aussi
y($mx') =yx' = y.
II suit de la que lcs n quantites
(168) x\ Ox', 0 V, . . . 0n~lx',
qui sont differentes entrc elles, seront racines de l'equation dont il s'ftgii Or
toutes ces n racines sont differcntes des racines (167). En effet, 91 1 on
avait 0mx' ==0flx, il en resulterait
0n-m6mx' = 0n~m+flr,
c'est-a-dire
x ----- 0n-n+flx,
ce qui est contre l'hypotluXse. Le degre // de ['equation y =^\f>x est done
590 PKECIS D UNE TllKORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
egal a 2n, on plus grand que ce nombre. Dans le dernier cas, si Ton de-
signe par x" nne racine differente des 2n racines precedentes, on aura en
meme temps celles-ci:
x", Ox", 02x" . . . O^x",
qui seront differentes entre elles et des racines (167, 168). Done a sera
egal a 3 n ou plus grand que ce nombre. En continuant jusqua ce qn'on
ait epuise toutes les racines, on voit que fi doit etre un multiple de w, et
si Ton fait en consequence >
a = m.n,
les tu racines se distribueront en m groupes de n termes cliacun, savoir
x, ex, e2x . . . on-xx,
x\ Ox', 0V . . . fl—V,
(169)
x{m~x\ 0x(m~ly, 02£°"_1) . • . ^'l""1ic("!_1).
Cela pose\ soit
V
ipz ss= --
p et q etant des fonctions entieres de z, sans diviseur commun. On aura
(170) p — qy = {a — by) (z — x)(z — Ox) (z — 02x) . . . (z — 0n^x)
X(z-x')(z-0x')tz-O2x') . . . (z-O^x')
X (z — x«*~ 1>) (S - tfz^) (^ - 0 V"-") .-."(»—
et d'apres ce qui a ete expose dans le paragraplie precedent, on pourra
trouver une fonction rationnelle, y1 = iplx, telle que les racines de l'equation
soient les n quantities
x, Ox, 02x, . . . 0n-xx,
et que yx satisfasse a une equation differentielle de la forme
dyx d#
( 1 7 1} vW^W^c^\) f 1 V(i--*8)(i-<^2) "
Faisons
PRECIS D UNE THEORiti 1>ES FUNCTIONS ELL1FT1UUES 591
l> et q etant des functions entieres clu degre w; on aura
(1 72) ;/ - q'y, = (a' - b%) (z - x) (z - Ox) ...{z- 0-1*),
a et b' etant des constantes.
En niettant au lieu de x successivement les m valeurs
rr „>' efjf rr(m—i)
et puis nmltipliant entre elles les equations qui en resultent, on obtiendra,
en ay ant egard a l'equation (170),
/17ox p—qy __p'—q'yi p'—q'y* p'-q'ym
a — by a — b yx a — b y2 a — b ym
^•i ys, • • • ym
sont les valeurs de la fonction y11 qui respondent aux valeurs
rr' ry." rf («— 1)
%KS y *kj y • • •
de x.
Cela pose, attribuons a x deux valeurs particulieres «, /?, telles que
en designant par
«1 i «2 5 • • • arm fill ftil • ' • Pm
les valeurs de yt , y2 , . . . ym , respectivement correspondantes aux valeurs «
et ($ de £, l'equation (173) donnera
. j i? = ^,(y-«l2/)(/-«2?,)---(^-«^,)5
oil 4' et 4* sont deux constantes. En divisant p par on voit que
~ — Wz sera fonction rationnelle de £j-=.\t)xz. En niettant x au lieu de 3,
q r q
on aura
7 = ^'
done
(175) y _ ^ R _ ^ . . . fa _ ^
A ss: etant constant.
gn voit done que p pourra etre exprinie par line fonction rationnelle
de yx du degre ra.
592
PKIXIS D UNE THE0RIE DES FONCTIONS ELLIPT1QUES.
Eii combinant niaintenant l'equation (171) avec celle-ci:
dy dx
^Fy = f Jx '
qui doit avoir lieu, on aura
dy € dyt
(176) va-2/2)(i-*7v) ^ va-yDa-"^)'
done la fonetion 7/, rationnelle en yx et du degre >w, doit satisfaire a eette
equation. Reeiproquement, si eette equation a lieu, l'equation
dy dx
J'y =t J*
subsistera egalement, ear la fonetion yx est determined en \ de maniere a
satisfaire a la fonnule (171). Ainsi le probleme general est reduit a satis-
f'aire de la maniere la plus g^nerale a l'equation (176). Or ee probleme
est prdcisement le meme que celui que nous traitons ; seulement le degre de
la fonetion y en y, sera m1 tandis que ?/, comme fonetion de est du
degre m.n, qui est plus grand que m. On pourra done appliquer a l'equa-
tion (176) le nieme proeede* qu'a l'equation J^ = £^' et ^ est evident
qu'on parviendra ainsi a l'expression generale de ?/, ear les degres cles fone-
tions suceessives vont toujours en decroissant.
Supposons maintenant que le degre jn de la fonetion y en x soit mi
nonibre premier. Puisque fi = m.n1 on a necessairement m=l, jti — n.
Par suite
y = A
yi — «i
On eonnait l'expression de yt en x par les fornmles du paragraphe preee-
dent. En substituant l'expression de y en yx dans l'equation (176), on de-
terminera a l'aide des formules du paragraphe 2 toutes les solutions pos-
sibles.
En vertu de ce qui preeede on pourra done enoncer le theoreme suivant:
Theoreme XII. Soit y une fonetion rationnelle de x d'un degre quel-
eonque u, qui satisfait a l'equation ditferentielle
dy . dx
on pourra toujours deeomposer fi en deux facteurs n et m, dont l'lni ji est
un nombre premier, tels qu'on ait
PRECIS D'UNE TI1E0KIE DES FONCTIONS KLLIPTIQ0EB 593
d9t _ fa •
V(i-y;)~(i-c;y;) 1 ^pm**')
et
% __ £ ^
V(i-^)(i-c'v) £i V(i-^)(i-*M)'
y etant une fonction rationnelle de y1 du degre* w, et yx une function ration-
nelle de x du degre* n.
Si done on designe par , %, . . . w,, des nonibres premiers dont
le produit est (a, et qu'on f'asse pour abreger
J(x, c) = — — cV),
on pourra faire
(fy _ e dyv __ ^ dyv_r _f dyx __ ^dx_^
J(y, c') v J(yv, cv) y-1 J(yv^i , Cy-t) 1 , ct) '
?/x etant une fonction rationnelle de x du degre ?^J
En vcrtu de ce theoreme la solution du probleme general est ramenee
an cas oil le degre de la fonction y est mi nonibre premier. On aura tou-
tes les solutions qui repondent k ce cas par les formules du paragraplie pre-
cedent, et ainsi le probleme que nous nous sommes propose" au commence-
ment de ce chapitre pourra etre regarde conime resolu.
§ 8. .
Gut /« forme <le la fmetkm //.
Designons par g, x' x" . . . x(^ les racines de l'equation
y = xpx. ■
Si l'on fait tpZ = ^-\ p et q etant des fonctions entieres de 0, on aura
(177) p-qy = {a- by) (z - x) (z - x) (z - x") ...(z- x***fi
75
594 PKECIS D'UNE THE0R1E DES FONCTIOMS ELLIl'TIQUES.
a et b etant des constantes. Oela pose, soit a une racine de i'equation
y r= 0 j cm aura en faisant x = a,
(178) p = a(z — a)(z — a'){z — a") . . . (z — a^).
Soit de nieiiie (3 une racine de TeqUation y = %.. Cela donnera, en faisant
x = p apres avoir divis^ les deux membres de I'equation (177) par ?/,
(179) 3 = 6(2-/?)(z-/3')(z-^")...(2-/?<^11).
Ces valeurs de p et q donneront, en mettant x au lieu de z,
(im y - a (*-«)(*- «Q ■■>(«- ggfjj
oil A est un coefficient constant, qu'on determine en remarquant que si Ton
fait x—\,y doit avoir une des valeurs ± 1 , ± ~ •
Mais il y a deux cas h considerer separement: savoir, il pourra arriver
que 1'une des deux quantites a et b soit egale a zero, et dans ce cas l'une
des racines des equations y = 0, y = ^ sera nulle ou infinie.
Cas premier, si b = 0. On aura
(181) p — qy — a{z — x) (z — x') . . .{z —
et p sera du degre et q seulement du degre ji^r 1. En egalant le coef-
ficient de z1"-1 dans les deux membres, on aura
(182) a' — b'y = — a{x + x' + x" -| [- x(^1}),
a7 et 6' £tant des constantes. Maintenant si
, x Je -}-
X — l — c*e\v*
est une racine de tpx, la quantity
— e/lx
l—C*e*X*
le sera egalement; done si ces deux quantites sont differentes entre elles
pour toutes les valeurs de e, (i sera un nombre impair, et en faisant
fi — 2n-\- 1, on aura
(183) a*-Vy=-a[X + y^^i + ^e,ly +■!■+ ) ■
Maintenant si Ton fait x = ±l, ± — -, on doit avoir y = ±l, y = ±^, ,
.PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 595
d\m il est facile de conclure que a' sera egal a- zeVo. Done y sera une
fonction impaire de x, et de la forme
(184) ,^.(i+TJj£+j •'• +r^r)-
Cela fait voir que
q = (l—cte\zK) ... . (l-c2e2nz2). .
Pour avoir j>, il suffit de faire dans . liquation (181) x = Q, ce qui donne
done on aura
K ' J~ (1— «V^2)(1 — c2e*.r2) ...(1 — c*elx*)'
Telle est ^donc la forme de la fonction y dans le cas ou le degre de son
numerateur est impair et pins grand que celui du denominateur.
Si pour quelque valeur de e les deux quantites
xde-\-eJx xJe — eJx
1 — c2e2#2 ' 1 — c2e*x*
etaient egales, on aurait
e = 0, ou e = i.
Soit d'abord e==^, on aura x =± et par suite le second membre de
l'equation (182) serait une fonction impaire de x, dont le elegit serait un
nombre pair. On trouve que cela donne a' = 0; done en faisant fii = 2r?,
(18G) u = A[x±rr + l_ciJ*^+ ' * ' +l-c*e*_1x*)'
et par suite y sera exprime en produit de facteurs comme. il suit:
Ao7N ' a(l-d*x*)(l-dix*)...(l-d*x*)
\liil> — x(l-c*e*x*)(lL- c*e\x*) . . . (l—c'e*-!**)
Si au contraire e = 0, on aura en meme temps
x' = — x.
Done dans ce cas y sera une fonction paire de x. Mais alors le degre" du
numerateur doit etre le meme que celui du denominateur, comme il est fa-
cile de s'en convaincre; par consequent l'expression (187) appartient a y
toutes les fois que le degre da numerateur est un nombre pair et en meme
temps plus grand que celui dn driioininatcur.
596
PRECIS D UNE THEORIE DES FONGTIONS ELLIPTIQUES.
Cas second, si a = 0. On aura alors
p — qy = by(z — x)(z — x')... (z — x^).
En raisonnant comnie ci-dessus on trouvera aisement que dans le cas
ou a est un nombre impair, y sera* une fonction impaire de x de la forme
(1 _ c*e\ jQ (1 - eU\ x*) ... (1 - c*e*nx*) _
(188) y — a _.^) . . . j^j _ x*)
Si (tf est pair, y sera une fonction impaire de x de la forme
(189) .y=" (T^M^o^^ —
§ 9.
A? /« fonction
Nous avotis vu (chapitre I paragraphe 4) que l'equation dirferentielle
Jy V ' 1 ' Jx
peut etre satisfaite, en mettant pour y une fonction impaire de x du degre
(2/f-f-l)2 qui s'evanouit avec x. En la designant comme nous 1'avons fait
a 1'endroit cite par x2fl+1, et faisant pour abregcr (2u -f- l)2 — 1 == 2n, cette
fonction, en vertu de ce que nous venons de voir dans le paragraphe prece-
dent, doit avoir la forme suivante:
(19()) — a\i-c*e*.r*j(\—c*e%.v*) . . . (1 6Hla*)'
et on aura en meme temps
/ 2Jet.x ■ 2Je2.x , , 2Je,n.x \
(191) x2fl+ , — ^ a- -f - y^-^p -f - 1 _ -r ' ' ■ "T i _ *i ) '
Pour determiner les coefficiens a et ^4, faisons x = ±. On trouvcra alors
,4c2" e2e2 . . . el = a.
Si Ton fait x infmiment petit, la premiere formule donne
x>2ft+1 = aelel . . . e*x,
mais liquation dirferentielle donne dans ce cas
^2/,+i = (2/' + lK
par suite
PRECIS DUNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES. 597
ae\el . . . e2n = 2u-\- U
De meme si Yon fait £C infiniment grand, la seconde expression de aJ8 , ,
donne a?2jM+i = mais dans le meme eas l'eqnation diffeVentielle donne
!?5S!±i= * =(2„ + 1)%
e&fy+i v ' 1 'est*
done
Connaissant A, on aura ensnite
(193) ^«j..'a;6t'ate3fi±il «=^=r^/'2+2".
Les qnantites etJ ei1 m , . en ont entre elles des relations remarquables
que nous allons developper. Considerons l'eqnation
x2fi+i =z y •
Les racines de cette equation sont les (2/f -j- l)2 qnantites
x
> 1 _ a-2 1 — e*e\ x* 1 — 0**2**
Soit ftg: = ^^^gijs l'nne quelconque de ces racines, les 2// -f- I qnantites
0x, O'x . . . 02"tf
seront encore des racines et differentes entre elles, si Ion prend pour e one
quantity qui n'est pas racine d'une equation
nil 2w-f-l est facteur de 2// + 1. Soit de meme
. xJe! -\- J Jx
une autre racine, on anra encore les racines suivanii-s:
0,x, 0\x, . . . #*x,
((iii seront differentes entre elles.
Cela pose\ f'aisons
on anra &n general
598 PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
quels que soient les nombres entiers m et h. En niettant 6mx pour a?-, on
aura
done toute quantite de la forme
e\emx
sera racine de l'equation ij=.yx. Je dis niaintenant que si l'on attribue a
k et m toutes les valeurs entieres moindres que les valeurs qui en
resultent pour la function ' Q\Qmx, seront toutes differentes entre elles. En
etfet, si Ton avait
6\0mx = 0k;0m'x,
il en re'sulterait, en mettant 02fl+1-m'x pour £ et remarquant que 02>l+1x=x1
0\en'x ==
en posant 7?/ = m -\-2jn-\-l — m'.
Cela donne
en posant 7c'' = 2 </ -)- 1 — k c'est-a-dire
et par suite
Maintenant, puisque 2a-\-l est un nombre premier, on pourra faire
done
e'est-a-dire que serait une des quantite\
x, Ox, . . . 02^,
ce qui est contre l'liypotliese.
L'expression 0\0mx a done (2// + 1)2 valeurs differentes et par conse-
quent ces valeurs seront les racines de liquation
... . • &2/i+i ~~z V'
Soit niaintenant
d ' = 6\x, x" = Q\timx, x"' = emx.
On aura, en regardant e et e' comme variables,
PftBOfS D UNE TllEOKIE DES FUNCTIONS EI.Ul'TIQUES.
590
dx'" cLe ' . de
Jx'" Jx 1 Je
+
m
En mettant dans la premiere formule x'" au lieu de x' se cliangera en
x" , done
done
et si Ton fait
Si done on fait
(194)
on aura
dx" dx'" . , de'
17' ~ Jx771 ' 1e~' '
^A'" dx , 7 ,
z/a- 1 1 Je
, ^e' de^i >
dlj/' - <Z<?&' - dem
17 = ~17 "T" ~1e~k'~ "» '
emJek -\-ek Je„
''w'k~ l — c*e*ek'*
dx" dx . dem>k
~7> ~TZ, \
Jx" Jx 1 Jem>k
d'ou, en supposant que em et ek s'evanouissent avec e et e'?
(195) • x" = Kje™'k + l">« fv J, fl*
Toutes les racines de Tarnation y = xi/x+x pourront done &re representees par
cette meme formule.
Done pour eonnaitre toutes les raeines, il sufrit d'avoir la valeur des
deux quantity e et e', qui sont deux racines de l'equation
^2 « + l z=
Toutes les raeines de cette equation
lesquelles, par ce qui precede, sont les (2(t/ +l)2 quantity's
0, ±en ±e8, • • • ±enj
sont done exprimees par la formule
en donnant a W» et k toutes les valeurs moindres que 2//+1. 11 est facile
de voir qu'on pourra exprimer em>k en function rationnelle des deux quanti-
600
PRECIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
tes e, e'; done on voit que toutes les . racines de l'equation x2fl+1 = 0, pour-
ront s'exprimer rationnellement par deux d'entre elles et par le module c.
Si Ton veut exprimer x2fl+l a 1'aide des fonctions 0xx et 6x, uii pourra
le faire d'une maniere fort simple. En effet, en remarquant que le dernier
terme d'une equation est le produit de toutes ses racines, on aura sur le
champ
(196) 'x^„^e*"»» . x . Ox . 0*x . . . 6^x
xe.x.e.ex.e^x . . . exe^x
X0\x.6\0x.0\0*x . . . e\e^x
On a aussi
(197)
§ 10.
Ue r equation x2jU+i — 0.
D'apres ce qui precede les racines de l'equation x2fX+1 = 0 sont exprimees
par eWik en donnant a m et k toutes les valeurs moindres que 2^-)-l. Une
de ces valeurs est zero, savoir e0 0.
En divisant le numerateur de la fraction x.,^+1 par x} on aura, en ega-
lant le quotient a zero, une equation
(198) P=0,
du degre 4/t2-f-4w. Je dis que cette equation peut etre resolue a l'aide
d'equations du degre 2[i-\-2 et du degre 2 p.
Soit p une fonction quelconque symetrique et rationnelle des quantites
el7 ea, • • • <V En mettant pour e2, e3, . . . ^ leurs expressions en fonc-
tion rationnelle de exi p deviendra de meme une fonction rntioimelle de cette
racine. Faisons
(199) P = y%|
on aura evidemment
(200) (pel = (pei = (pe.i = • • • = (pe2fi1
equations qui auront lieu quelle que soit la racine a. Cela pose, mettons em>i
au lieu de e, il est clair que
AO^x.eYdx.o^o^x . . . efe^x.
* r* \ 0 0
(202)
PRECIS DUNE THE01UE DES FUNCTIONS ELL1PT1QUES. (>01
e2l e3i ' • ' e2fi
se changeront respectivement en
62m, 2 ^ e3m, 3 ) ■ • • e2,u»i, 2,u •
Done on aura
(201) = ' ' ' = (PG^m,2fl-
Formons l'equation
{p — (pe1){p~(pe0il)(p — (pelii)(1j — cpe2il) . . . {p~<fte£,t)
= 1>2"+2 - q^+t • P2" +1 + ft* • 4i-P+4» — <>\
q01 qt1 . . . seront des fonetions symetriques et rationnelles cle yeM
>(pe01, . . . (pe2 A. Or 011 pourra Iss exprimer rationnellement en c. En
etfet, il suffit d'avoir la valeur de
(203) (<p etf + (cpe0>iy -| f- a* (fe
En vertu des equations (200, 201) cette quantite pourra s'ecrire comme il
suit :
2^fc = (yetf + ((pe2y + (ye,)* -| +(<*><)*
+ fo-^y + (<peo,2y + (<pe9A)k h \-(<fe»*y
+ + A + (fVi)*H h
Or le second inembre de cette equation est une fonction rationnelle et sy-
metrique des racines de l'equation P— 0; done on pourra exprimer pA ra-
tionnellement par les coefficiens de cette equation, e'est-a-dhv par c.
On voit done que les coefficiens de l'equation (202), </0, qn qs, . . .
seront des fonetions rationnelles de c. Done une fonction symetrique quel-
conque des racines
e17 e2, e3, . . . et/i
pourra se determiner par le module e% a l'aide d'une equation du degre
2/# — (— 2. Cela pose, faisons
(204) (e — ex) (e — e9) . . . (e — e2/t) =
^ _|_ iVl . + /Va . ,2"-4 H f-** . e1 +i>0 = o.
Les coefficiens ft, p,, lh, • ■ • iV-i seront des f"()llctiolls rationnelles et syme-
triques de en . . . e2/1; done, comme nous venous de le voir, on pourra
602
PRECIS D UNE T11EORIE DES FONCHONS ELUPTIQIES
les determiner a l'aide d'equations du degre 2fi-\-2. Ainsi, pour avoir les
racines de l'equation P=0, il suffira de resoudre des equations du degre*
2 [i et 2/fc-)-2.
Ce qui precede est susceptible d'une application importante. Le module
c', exprime par la formule (156), est, corarae on le voit, une fonction ration-
nelle et sym&rique de e, e2, e3, . . . e2fl. Done, en vertu de la propriete
demontree precedenmient, on pourra determiner le module c en c a l'aide
d'une equation du degre 2u-\-2. Cette equation ne parait guere resoluble
algebriquement, excepte lorsque 2(«-f-l=:3. Dans ce cas elle sera du qua-
trieme degre.
En appliquant le theoreme XII a l'equation
^±L=(2a + l)^L,
on aura, en reniarquant que le degre de la fonction x2fl+1 est (2 // — |— 1) 2, et
2 ^t*. — |— 1 un nombre premier,
y etant une fonction de x du degre* 2 / 1 — |— 1 , et #2/W+1 une fonction de y du
meme degre. On aura
_ ci+i x(e* - x*) Q2 — g») ...(e*—x*)
V — y/ ' (1 — c2eV2) (1 — c2el.v*) ... (1 — c2^.*2)
et
2/,+1— i~c '(i-c'vy)(i-c'Vf^)...(i-c'vyj
1_,2 1_e2 i_ei
,'2^ + 1
1 — e'* l—e'l 1—e'l
c'2g'2 i_c'V| l — c'V*
t=v? . ...
e' est determine de la meme maniere en c' que e l'est en c. Done si Ton
change c en c', e se changera en e'. De la il suit que l'equation entre les
modules c! et c doit rester la meme si Ton change simultanenient c en c'
et c' en c.
Puisque c' depend d'une equation du degre* 2// -(-2, on pourra dormer
a la fonction ?/, 2 /.t — [— 2 valeurs differentes.
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
608
§ It
Pes transformations differentes qui rtpondent a un meme degre de la foitction y.
Soit
_ Ai+A^ + A^-j
J- Bn + Bx* + B%x*-{ fEJT*
et
(205) dy =c *"
Supposons jit premier et d'abord u = l. Dans ce cas le module c'7 en
vertu des formules du paragraplie 2, aura six valeurs differentes, et la fonc-
tion y en aura douze.
Si /a = 2, on aura toutes les solutions possibles en combinant les deux
formules (163, 165) avec les six formules du paragraplie 2, ce qui doune
18 valeurs differentes du module c.
Si Ton fait
1 — c 2i~c 2Y—C
ces 18 valeurs s'obtiendront en mettant dans les six fonctions
±c' ±T'. ±lr=v^
les trois quantites c1? c2, c3 au lieu de c.
Si /t est un nombre premier impair 2 71+1, on aura d'abord 2rc + 2
valeurs du module c' qui repondent a la forme suivante de y:
cn+i 9fa _ («■ _ «*)...(««—««)
I = y^T (T~^i^ (1 - ^:*") (1 - Cels*) '
Or de chaque valeur de y de cette forme on deduit, en vertu des six for-
mules du paragraplie 2, cinq autres valeurs de la forme:
r-y,'T+yVo'' i+ v?'i+yVC'' i+v^ rtfpz*
i yzTc' ' l + y i— c'
auxquclles repondent, respec^ement lea modules:
76*
(J04 PRECIS DUNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
On aura done en tout 6(2w -f- 2) = 6(/i 1) valeurs differcntes pour
le module c'. On cn aura un nombre double pour la fonetion y.
§ 12-
Resolution de V equation y — ifttc.
L'equation algebrique y = ipx, ou \px est une fonetion raiionnelle quel-
conque de sc, satisfaisant a une equation differentielle de la forme (205),
jouira de la propriety remarquable d'etre resoluble par rapport a x a l'aide
de radicaux. C'est ce qu'il est facile de demontrer a l'aide de la forme des
racines de cette equation. D'abord si le degre a est un nombre compose
= n . «, . n2 . . . nv1 on pourra faire comme nous venous de le voir dans
le § 7:
ipy-i, • ' ' ^pi ? V7 designant des fonctions rationnelles respectivement des
degres nv1 Wy_i? . . . «n n, ces derniers nombres dtant premiers. On aura
done la valeur de x en y a l'aide de la resolution de v-\-l equations des
degres re, w17 . . . nv respectivement. II suffit done de resoudre l'equation
y — ipx dans le cas ou le degre fi est un nombre premier. Si /< = 2, on
aura l'expression de ^ par les regies connues. Soit done fi impair = 2/f-|-l.
Alors les racines de l'equation y = ipx seront les 2 /«■ — [— 1 quantites
x, Ox, e2x . . . 0*»x.
Cela pose, soit d une racing imaginaire de l'equation
+ 1 =fc 1,
et faisons
v==xjrd ^ sx + r . e2x + - - - +r*".o*>iXi
v'^xJr(y.e^x + (J2.e^-1x+ . . . -)-^.^.
En substituant pour les quantites 0mx leurs valeurs
n m xJem-\-enJx
et remarquant que
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELL1PTIQUES (J05
I If . •
il est elair qu'on aura
v—p-\-q4x, v'=p — q,dx,
p est q etant des fonctions rationnellcs de x. Cola fait voir que vv' et
v2// + i_J_ gont (\es fonctions rationnellcs de .7;; or je dis qu'on pourra
expriiner ces quantites en fonction rationnelle de y. En effet, en vertu de
la forme de v et v' , il est clair que si Ton fait
vv' = (px, v^+1-\-v'^'+1=fx,
les deux fonctions (px et fx ne cliangcront pas de valeur si Ton met pour
x les 2/u -j- 1 quantites
aj, Ox, . . . 02f*x.
Done on aura
^ - w+i {fx +fex ^ w*) = *2/i+1 + v'2fl+1-
Ces expressions des quantites vv\ v2f*+1 -\-v'2fl+1 sont des fonctions raiion-
nelles et symetriques des racines de l'equation y s= ; done on pourra
les exprimer rationnellement par les coefficiens de cette equation, e'est-a-
dire en y.
Faisons done
vv' — s
_|_ ^ + 1 = f ,
s et / seront des fonctions rationnelles de y. On en tire
V+i =====
On connait done la fonction v. Oela pose, si Ton ddsigne par v0, vx , P, .
. . . v2 les valours de v qui repondent respeetivement mux racines 1. (V. «V\
rP, . . . $** de liquation (T2fl+1 = 1 , on aura sur le champ
* = sxi (w° 1" ^ '
ce qui est l'expression generate des racines.
PRECIS D'UNE TIIEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
On aura ainsi une classe tehs Vendue d'equations algeViques de torn
les degres qui seront resolubles algebriquement. Nous n'entrerons pas ici
dans des details sur ce sujet, mais nous renvoyons nos lecteurs a la se-
conde partie de ce memoire, ou nous en donnerons des developpemens
etendus a cause des belles propriety des fonctions elliptiques qu'on en peut
deduire.
Comme cas particulier on pourra remarquer liquation
ou a; designe la fonction rationnelle de x du degre fi\ qui satisfera a l'e-
quation
dXfj, _ dx
dap ' dx
On en pourra done toujours tirer la valeur de x en y a l'aide de ra-
dicaux. Si fi est un nombre impair, on pourra donner aux racines cette
forme tres simple:
1 i i ,; 1,3
£C = — ■ [ay + + JyY + (jp2 + fc^y)". H h (lV-i + ] i
ou jpt , , p$ . • • sont des fonctions entires impaires de ?/ du degre // , et
2n 5*» & • *• • des fonctions paires de ?/ du degre tu — 3. pw et seront
determines par l'equation
Pi - ql c'f) = to" - <*)*, J
ou e„, est une constante, savoir une racine de liquation xfJ = 0.
CHAPITRE V.
ThAorie generate de la transformation des fonctions elliptiques par rapport
au module.
A l'aide des theoremes que nous avons etablis dans les chapitres prece-
dens, nous pourrons maintenant donner la solution de ce probleme:
vEtant proposee une fonction elliptique oVun module quelconque, ea - prune r
cette fonction de la maniere la plus g&nfrale en d'autres fonctions.u
PRECIS 1> UNK TIlIiOKIE DES FUNCTIONS BLLIPTIQUKS:
§ *
Condition generate pour la tvansiornndion.
Soit proposee une integrale de la forme
/
r dx
Jx
on demande s'il est possible d'exprinier cette integrale par des fonctions al-
gebriques, logarithmiques et des fonctions elliptiqnes, dont les modules soot
c2, . . . cm , en sorte qu'on ait:
/
r^ = A1.ip1x1-\~A2.ifj2x2-\- • • • -f- Am . ipmxm -f V,
oh. Au A21 . . . An sont des constantes, xx , x2 , . . . xm des fonctions alge-
briques de x, et V une fonction algebrique et logaritlimique ; . . . V«
designent des fonctions elliptiqnes ayant respectivement cn c2, . . . cm pour
modules.
Cela pose, cette equation donnera en vertu de la formule (86):
/
les quantites
de meme que
4^ ^2 ^sys t ( t 4»y»
ijte ' z/a; ' ^ ' Jx
etant des fonctions rationnelles de x.
Si Ton suppose, ce qui est permis, qu'il soit impossible d'exprinier
rdx
Jx
par un nombre moindre des fonctions fu . . . fm1 il est clair qu'aucune
des quantites yti y9l . . . ym ne pourra etre constante.
On doit done avoir separement, en vertu du theorenie deniontre dans
le premier paragraphe du chapitre precedent,
dy% dx dy« dx dym _ dx
JxVx 1 Jx J2y2 Jx -A»ym ax
ou . .-. Bm sont des constantes. Cela donne en integrant,
()()8 PKECIS D UNE THE0R1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
sauf Tine constante qu'il faut ajouter a cliacune de ces equations. On pourra
done enoncer ce theoreme:
Theorems XIII. Une relation quelconque entre des fonetions elliptiques,
ayant c, cn c2, ... cm pour modules, ne pourra subsister k moins qu*on
n'ait entre les fonetions correspondaiites de la premiere espece, cette relation
(206) ®{x, c) = y m{yx , et) = ) <*) == • • • m{ijm , cm) ,
1 2
oil fn f2, . . . sm sont des constantes et yx, ?/2, . . . y„ des fonetions ration-
nelles de la variable x.
On pourra done encore satisfaire aux equations suivantes:
, m{xx , c) == d tufa, Cj),
w(x2 , c) = e" £D(aj, c2),
(207)
8>(a;w, c) = 6(n!)w(.T,cm),
a?!, £B87 . . . aJTO etant des fonetions rationnelles de x\ ou bien, si Ton designe
par c et c' les modules de deux quelconques des fonetions entre lesquelles
on a une relation, on pourra toujour* satisfaire a l'equation
(208) w(x\ c') — 8w(x1 c),
en supposant x fonction rationnelle de ou x fonetion rationnelle de x '.
Cette Equation donne
dx' dx
(209) ■> ■> = *
Soit maintenant fonetion rationnelle de a?; si r' designe une fonetion ra-
tionnelle queleonque de x\ on pourra transformer r' en une fonction pareille
de x. En la designant par r, on aura done r' = r. Done en multipliant
l'equation differentielle ei-dessus par r', on aura, en integrant
/r'dx f rdx
Quelle que soit la fonction rationnelle r, on pourra toujonrs, comma on sait,
exprimer
/rdx
par des fonetions -elliptiques des trois especes avee le module c. On aura
done ee theoreme:
PKEC1S D UNE TI1EOK1E DES FONCTIONS ELLll'TlQUES.
(509
T/teo rente XIV. Si unc function elliptique quelconque c/vj, ayant c
pour module, peut etre exprhnee par d'autres fonctions dont les modules sunt
e, , c8 , . . . cm , on pourra toujours exprimer la meme fonction (px par des
fonctious elliptiques d'un meme module c, c etant l'un quelconque des mo-
dules Cj , c2 , . . . cM , et cela de la maniere suivante :
. ' -^=/^-' -JR^fg
on *y et /• sont des fonctions rationnelles de x.
La continuation d'apres un manuscrit inidit.
En vertu de ce tlieoreme tout ce qui concerne la transformation des
functions elliptiques par rapport au module se reduit a exprimer 1'integTale
/¥ (I>tV • •
.( ' par des fonctions elliptiques.
§ 2.
Transformation des fonctions de la premiere et de la secomle espece.
Snpposons d'abord que cpx soit une fonction de la premiere espece, de
sorte qu'on ait
f da-
Dans ce cas la fonction /• se reduit a une oonstante, et on aura par suite
(212) w(!J,c') = t.io(x,c),
oil >j est rationnel en x. Cette equation est la meme (pie celle-ci:
dy dx
Nous en avons donne la solution dans le chapitre prudent. Passons aux
fonctions de la seconde espece:
77
PRECIS D'UNE THEOIUE DBS FUNCTIONS ELLIPT1QUES.
On aura alors
(2i3) *^ey-*j;iffi\
Conmie y est une foiictkm rationnelle de x, 1'integTale dtt second membre
parait contenir des functions de la troisieme espece, mais nous verrous qu'on
peut toujours la reduire a une expression de la forme:
A . Gi (», c)-\-B. iS0(x, c)-\-v1
oil o est une fonction algebrique de x. II y a un uioyeu bieu simple de
prouver cela, savoir en differential 1'eqiiatioii
(d(y, c) = e . B{x, c)
par rapport au module c. Cette equation revient a celle-ci:
rdy(l -y2f^(l - e'*y*f* = *f dx(l - x>) — >&f\
En la differentiant par rapport a c et remarquant que les trois quantites y1
c', £ contiennent cette quantite, on aura
, dc' f y2dy ,dy 1 de f dx ■ f ***** *
C ^ J 0^^*)4{y,c')^ do' J(y,c') — dc] J(x,c)^CtJ (l-c***)J(x,<!)>
mais on a
f „ 1 *(!—*') ■ 1 f'(l—x2)dx
J (1 _ C2<2?2) c) — c2 — 1 ' z^0,c) ' 1— c*J ~ J(&;c) '
f ,y2<*r 1 y(l-y2) , _J_ r(l-y2)^.
En substituant on aura
c' . dc' I ef« c'i - tD r* ^ - ^ 7$ I 4- 4 • - -
= £ 4 + i ._ c* j ®fo c) ~ ^ c) - 7(<(. ,;)- ( I
et de la en mettant pour (o(y,c/) sa valeur bW(x,c),
(214) fi>oO, c') == i&fo e) -f /?<o00, c) +jt>,
ou Ton a fait pour abreger
PRECIS D UNK TI1E01UE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 611
A_ | cdc(l-c>*){ de(l-c'*)
= (l-c'*)dc < % i 1 , ^(1-Q y(l-y2) t
** c'dc' dc J(y,c')~* J(x,c) J(y,c') .
Or on pourra parvenir plus directement a l'expression de tw0(?/, r;'), sa-
voir en decomposant la fonction rationnelle y2 en fractions partielles.
Soit x — a un facteur du denoininateur de ?/7 on aura
(210) f = + ~- + 8,
oil A et 7i sont des constantes. En faisant y== — j on trouve d'apres les
regies connues
Or si Ton met dans l'equation
% dy dx t
4(y,c') J(x,c)
au lieu de ?/, il viendra
cfx J1
(218) (1 - x2) (1 - c2x>) {cp'x)2 = t2 [((fx)2 - 1] [{cpx)* - c'*]
= t\cpxy - 1 2(1 + c'2) (^)2 + f V2.
En y faisant x = a on a (px = 0, done
(1_^)(1 _cV)(yV)2 = *V2.
De inenie si 1'on differentie l'equation (218) par rapport a x et qu'on fosse
en suite x = a, on aura
2(1 _a^)(l_ c2a2)<p'a.cp"a— [2(1 + c»)a — 4c2a3] ((//a)2 = 0 5
on a done
) WW eV*
(219) ) g>"« _-(l + C2)a + 2c^ = ^
I ~~ Way - ^ "~
En vertu de ces valeurs de A et de B il est facile d'avoir l'expression de
I-"-,, ..IV..1 ...nltinlinnt IV X 1 nvsslul I (V '/ par ( rT^J 1
77*
7 dy ax
if , ■ En effet, en multipoint l'expression de y par j^rf — 8 jfce)'
012
PRECIS D UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
il viendra
,99m f V*dy - 1- H(l-«,)(l-c»a») 2c»_a^l_+f»)_a(_jgL.
jf J&?)~ ec'* J j (*-a)2 T .r-a ( ^,«)
Or si l'oji differentie la fonction
— ?
a? — a
on trouvera
done la premiere des integrales du second niembre de l'eqnation (220) est la
meme chose qne
f,e*x> _ * - ^4 = - a a) + e\o0(x, r).
J v ' J(x,c) x — a a — x
Done l'expression de \ *L^.\ deviendra
En designant done par a1? %, . . . ap toutes les racines de Teqnation
1 A
— = 0, on aura
y
(221) t^mM O = (MHfc-fc 3 - WfS + «5 H h - sV'tf}*^ e)
-j- ^(jfij c) | — ^ HF" ^ — # "I- "I- afl — x \ '
oil 7g est une quantite constante, savoir la valeur de y pour x— x(i.
Cette forniule repond a une fonction rationnelle y du degre savoir
y — & (g ~ "l) ~ — "»)•' • — «aQ .
^ (# — ax) (# — «a) (« — a3) . . . (* — a^) '
mais il y a deux cas qu'il faut considered separement: il pourra ar-
rive? que Tune des quantites au et mp sera infinie. Soit d'abord afl = ±.
Alors on aura k = 0. Dans ce cas la fonction y sera une fonction inipaire
de sc, dont le nunierateur sera d'un degre nioindre que celui du denomina-
teur. Si p est pair, on aura en mettant 2fi pour //,
x(l - jg *2) (1 - /9f .*2) . . . (1 - z^2)
•7 ~~ (1 — <5? .r2) (1 — df .r2) . . (1 - <J » .r 2) '
PRECIS D UNE THEOKLE DES FONCTIONS ELLIPT1QUES ■
et la formule (221) deviendra
(222) ^co„{y1e') = 2^m0{.r,<>)-2c* M + ^ + . . . + _Ha(a.>c)
+ 2x.j(x,c)\ : % , 4- , *f. „ j I *L_ j .
Si (/ est un nombre impair, on aura en mettant 2// -(- 1 pour u.
(223) v — (l-c2a>*)(l-<;2<x2)- ■ .(i-^a^ . a*
V } 9 x{a* — **)(a| — *«)... (a«— .r2) £c' '
et la formule (221) deviendra
(224) f c'2fi>0(,y, c') = (2,1 + l)c*®Q(x, c) — 2c,\a\ + al^ \- a%G>(x, c)
+ 2xJ(x, c) j — J*, + — - J 1 j .
Supposons maintenant 0^ = 0. On aura alors k = -}T. La function y sera
impaire, mais le denominateur sera d'un degre plus petit que celui du mi-
meYateur. Four avoir les formules qui repondent a ce cas, il saint de mettre
dans les deux equations (222, 224), — au lieu de x. Cela donne
m(x,c) = -\-j -J^ = -J- m(z, c),
c'a>.(*,«) = +/ = + «•«*.(*,«) -
Done en substituant dans la formule (224) et mettant z = x,
(225) a^ipufc cf) = (2u + l)<?*fa e) - 2r,\ai + a:^ \- <)«)(*, c)
-\- 2xJ(x, c) | j z:^2^2 ^ T-c2a£tf2 + ' ' ' + 1 — „*£*JH
[/expression de ?/ sera, en vertu de la formule (223),
?/__ « . ^(a2-^)K-^)---K-^)
•7 "~ ' aj.aj * (T= ■ «2af ./■-) (1 - e*af .*») ... (1 - e*a*.r2)
Pour donner mi cxemple suit
(}14 • PRECIS D UNE THEORIE PES FONCTIONS ELE1PTIQUES.
alors on a « = 2, et la formule (222) donnera, pour (i/-=l,
Transformation des fonctions de la troisieme espece.
Soit maintenant
yy= A ^ 7=TT(y,c\a').
J(l-I,2)^)
En mettant pour sa valeur y' on aura
/dx
Pour reduire le second membre aux fonctions elliptiques il taut decom-
poser la fraction rationnelle en fractions partielles. Soit done d'abord
1 __ y i A _] h. ~ J I — ft ~ fr' % 2 A ,
aT^y ' a2 — # • 'aM-« 1 a-*
ou il est clair que ¥ est une constante. Pour determiner Atl A2, . .
aura d'abord
. (a — x)
A = ~ pour X — CL,
a' — u r
on
y
done
. dx
A = s 5
or on a
done en faisant x = a et remarquant que la valeur de ?/ deviendra alors a\
on aura
^(«V') = ^(a,C),
et par consequent
PRECIS D UNE TlIEOlilE DES FUNCTIONS ELL1 ITIQLF.S. fi!5
Eii subst Ltiiant on aura par consequent
(227) 1 — k' A 1 ) Jt&>'6) _i_ 'J(af>c) _i . \ (
«' — y ' tJ{a', c') ) at — as "T~ «2 — x ' ' ' ' ~1~ a/4 — # j *
En designant de menie les racines de 1'equation a'-\-y = 0 par 6,, . . .
/>M , on aura
a' + y~^V J(a', c'). ) kt - x T - * " i T ^ _ Jj j '
a 11 2a'
En ajoutant ces valeurs de — - — et , , on aura celle de -zn Mais
« — y <* +y
il suffit de considerer la formule (227). En la nmltipliant par ■ ^ et in-
tegrant, il viendra
(228) J«c') f , y/r--s==fe1cD(a;,C)+ v^(fl C) f
Cela pose', ayant -7— — ^ > on en tire
a — x a* — x'
ydy
/dx 1 ft* n 1 / and*
De meme on aura
f r> " - w, ' i = t a') + A
J (« —y)-i{y,«) a w ; 1 J (« " —
Done la formule (228) donnera en substituant
| = ') + * " (* «. c) *M-4fr •> /pi - It/,,, ,, •
Ees integrates qui entrent encore dans cette formule seront, comiiie on le
voit, exprimables par des logarithmes.
On aura par consequent
(230) U % C, a') = h m{x, e) + 2 ^ TI{x, c, a) +
II est a remarqucr cpie cette formule ne contient pas de fonctions de la
seconde espece.
La fonction de la troisieme espece //(//, c',«') est done ainsi reduite a la
fonction de la premiere espece Gi(x,c) et a p fonctions de la troisieme espece.
QIQ PRECIS DUNE TIIEOIUE DES FONCTIONS ELLll'TIQUES.
Or je dis qu'on pourra toujours exprinier les a fonctions du second membre
par une settle, O'est ce qui est facile a prouver a l'aide des forniules etablies
dans les cliapitres preeedens. D'abord si Ton determine une quantite a de
sorte que l'equation
(fx)* — (tpx)* [Jfa c)]* = {x* — ai) [x* — al) . . . (a;2 — a*) (x* a2)
soit satisfaite, /* et (px etant des fonctions entieres de x, dont l'une est
paire et l'autre impaire, on aura sur le champ, en vertu de la formule (104),
n{,,e,a) = h0M + ^n{«,e,«) - J log |£±f^gf }•
Done en substituant:
(231) n (y, c\ a') = % + h)*(*h *j + <h «)
Quant aux coefHciens des puissances de x dans les deux fonctions fx et q>x,
ils sont determines par les a equations suivantes:
fa, -f (pa,.J(a^ c) = 0,
fa2-{-(pa2.J(a21 c) = 0,
/^ + y^.^(^oc) = 0,
auxquelles il faut ajouter celle-ci:
fa -\- (p a . J(a, c) == 0,
pour determiner le signe du radical J(aAc).
On peut encore reduire les fonctions du second membre de l'equation
(230) d'une autre maniere: on pourra les exprinier par l'une quelconque
d'entre elles, comme nous allons le voir.
Soit a l'une quelconque des quantites ax, a21 . . . au. Alors comme
elles seront les racines de 1'equation
a' =y — ip(x),
dies auront, en vertu de ce qui a etc demontre dans le troisieme parai- ra-
phe, du chapitre precedent, toutes la forme
a l(e,e) -\-eJ(a,c)
■ 1 — c*e*a* '
PRECIS D'UNE THE0R1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 617
ou e est une constitute independante de a. Soit done
[ ] °" — l-c*e*a* '
on aura en vertu de la formule (112)
4(am,c) , , JfatA rr( \
P» in (I
+ fi. w(x, c) + fT(x, c, e.) + log iS. .
La formule (230) deviendra done en substituant
(233) /7(2/,c>') = (fc,+/91 + A+ • • • +/?„_,)«>(*, C)
+ ,« «{*, c, a) + 2 %4 n(x, c, e.)
+«'+iogs1+iogs!-| \-iogS^.
Je dis maintenant que 2 J(e">c) fj^x^ Cj ej se j-^uit a zero. En effet, si
l'expression de am est racine de 1'equation a' — y — 0, elle le sera encore en
mettant — em pour em. Si done a est un nombre impair, les termes qui
J(e c)
composent l'expression 2 ' K m' 1 IJ(x, c, em) sont deux-a-deux egales et de
signes contraires. Si u est on. nombre pair, l'expression dont il s'ag'it se reduira
a un seul terme ■ ilfx^ c, e), oh e est zero ou Tinfini. Si e est nul,
ce terme le sera de meme. Si e = i, la valeur correspondante de am est
+ — , done en vertu de la formule (115) :
78
XXIX.
THEOREMES ET PROBLEMES.
Journal fur die reine und augewandte Mathematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 2, Berlin 1827.
Theorems. Si la somme de la serie infinie
a0-\- axx -|- atx% -f- a3x3 -f- • • • -\-amxm~{- • • •
est egale a zero pour toutes les valours de x entre deux limites reelles a et
/?, on aura necessairement
a0 = 0, a1 = 0, <22 = 0, . . . a„ = 0 . . . ,
de sorte que la souiuie de la serie s'evanouira pour une valeur quelconque
de x.
Problhme. En supposant la serie
fx = aQ-\-alx-\-a^x'i-\- - • -
convergente pour toute valeur positive moindre que la quantite positive «,
on propose de trouver la limite vers laquelle converge la valeur de la fonc-
tion fx, en faisant converger x vers la limite a.
Theoreme. Si V equation differentielle separee
a dx dy
ya + (ix+ya;2 + dx3+~e^i ~~ i a + (i y + yy* -f dy* + ey^ '
oil «, /?, (V, f, a sont des quantites reelles, est algebriquement integrable,
il faut necessairement que la quantite* a soit un nombre raiionnel.
THEOREMES ET PROBLEMES. ft 19
ProbRme. Trouver une integrale algebrique des deux equations separees:
dx V3 dy
dx V 3 dy
Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von CvtUe, Bd. 3, Berlin 1828.
Probleme. Le nombre a*1 1 — 1 peut il etre divisible par //% // etant
un nombre premier, et a un entier moindre que u et plus grand que l'unitd?
ERRATA.
Page 50. Dans la premiere et l'a\ ant-derniere formule les signes des seconds raera-
bres doivent etre changes.
Page 154, derniere ligne, au lieu de a]_ x , l**ez
a — x
')
Page 163, derniere ligne, au lieu de hy<m\ lisez ftyW
Page 185, ligne 3, en descendant, an lieu de 3[/(ll) + 11 . fc], lisez 3[/"(ll) + 1 1 . | ].
Page 192, ligne 13, en descendant, an lieu de e — m n m , lisez e •
Page 237, ligne 12, en descendant, au lieu de d' = - a sin cf - i a2 sin 2cf + \ a3 sin 3</>
lisez d' — — (a sin cf — | a2 sin 2 cf -f a3 sin 3qi — • • • )
Page 239, ligne 0 et 7, en remontant, au lieu de lorsque k est egal a zero ou compris
entre 0 et -f oo, et lorsque k est compris entre 0 et — 1, lisez: lorsque k
est compris entre 0 et -(-oo, et lorsque k est egal a zero ou compris entre
0 et — 1.
Page 265, ligne 13, en remontant, au lieu de Fa, lisez Fa.
Page 277, ligne 3, en descendant, au lieu de cfx—^
lisez cp x —
(O 10
to to
<P[ ^-y-y'
Page 313, lignes 3 et 4, en remontant, au lieu de t>, en 8-mv1, lisez l/vx en Q-m~^x\ .
Page 343, ligne 10, en descendant, le numerateur du dernier facteur doit etre
1_ «!
[mm — (ft — \) id i] 2
n 2 I a 2 i
Page 357, ligne 8, en descendant, au lieu de — , lisez a2-|-/?2 — 1.
Page 419, ligne 3 et 4, en descendant. Effacez les exposans 2.
Page 458, ligne 9, en remontant, au lieu de c', lisez partout c" .
Page 582, ligne 12, en remontant, au lieu de y(l — c2 e* z2) . . . (1 — c* e'^z*),
lisez (— 1)>*+1#(1 — c2 e* z*) . . . (1 — c2 z2).
Page 582, ligne 7, en remontant, au lieu de ^ — 1)"+ ct*e
.. c^«« ««....««
Page 582, ligne 3, en remontant, au lieu de g 2 ^ 2 , lisez
e°e;...e*M' ««*...«»
Page 586, ligne 5, en remontant, au lieu de — , lisez
Page 586, ligne 3, en remontant, au lieu de , lisez
Y(+c)(l±ce>m)' y+c(i
Page 589, ligne 3, en descendant, cm lieu de * + ^ — , c—^c _ j; }
Vi+yi — cv W Vc2 — i
Page 613, ligne 9, en descendant, au lieu de a^=:0, £uez a^rf
(EUVRES
COMPLETES
DE NIELS HENEIK ABEL
TOME SECOND
(EUVRES
COMPLETES
DE NIELS HENRIK ABEL
NOUVELLE EDITION
PUBLIEE AUX FR'AIS DE L'ETAT NORVEGIEN
PAR AIM LftYLOW F,T S. LIE
{vv TILE '
[university,
CONTENAKT LES MEMOIKES POSTHUMES D'ABEL
I HlilSTIAXiA
] MPEIMEEIE DE GE0NDAHL & S0N
M DCCC LXXXI
TABLE DES MATIERES DU TOME SECOND.
PACES
I. Les fonctions transcendantes ^ — , ^ - , 2 — , . . . 3
a1 a'6 «4 ' a11
exprimees par des integrales definies 1.
,,i ii \a-l
II. Sur 1 integrate definie j xa-1 (1 — x'y 1 / j dx 7.
III. Sommation de la serie y — ff(0) + fp(]).v + fp(2)x'2 + q(3)xa-\ \-(pMxn,
n etant un nombre entier positif fini ou infini. et ip(ii) une fonction
algebrique rationnelle de n 14.
IV. Sur lequation differentielle dy -\~ (/> -f qy -j- ry2) dx — 0, ou p, q et r
sont des fonctions de .« seul 19.
V. Sur lequation differentielle (g -\- s) dy -(- (p -f qy -j- r</2) d.v — 0 . . . 26.
VI. Determination d'une fonction au moyen d'une equation qui ne con-
tient qu'une seule variable 36.
VII. Prdprietes remarquables de la fonction y — (px determinee par l'equa-
tion /// . dy — dx V(a — y) {at — y) (a2 — y) . . . (am — y) = 0 , fy etant
une fonction quelconque de y qui ne devient pas nulle ou infinie
lorsque y — a, ax , a2 , . . • «m 40.
VIII. Sur une p-ropriete remarquable dune classe tres etendue de fonctions
transcendantes 43.
IX. Extension de la theorie precedente 47.
X. Sur la comparaison des fonctions transcendantes 55.
XI. Sur les fonctions generatrices et leurs determinantes ...... 67.
XII. Sur quelques integrales definies 82.
XIII. Theorie des transcendantes elliptiques 87.
TABLE DES MATIEBES.
PAGES
XIV. Nate sur la fonction iM = #-f- o^ + ijH ^7?^'" * * ' 189'
XV. Demonstration de qnelqnes formules elliptiques 194.
XVI. Sur les series 197.
XVII. Memoire sur les fonctions transcendantes de la forme fi/iLc, ou y
est une fonction algebrique de .r 206.
[XVIII. Sur la resolution algebrique des equations 217.
XIX. Fragmens sur les fonctions elliptiques 244.
XX. Extrnits de quelques lettres a Holmboe 254.
XXI. Bxtrait d'une lettre a Hansteen 263.
XXII. Extraits de quelques lettres a Orelle 266.
XXIII. Lettre a Legendre 271.
Apercu des manuscrits d'Abel conserves jusqu'a present 283.
Notes aux memoires du tome I 290.
Notes aux memoires du tome II 324.
Table pour faciliter la recherche des citations 339.
*
I.
LES FUNCTIONS TRANSCEND ANTES 2 — , 2 — , . 2-
a'2 a '6 ' «4 ' a"
EXPRIMEES PAR DES INTEGRALES DEFINIES.
Si Ton difterentie plusieurs fois de suite la fonction J£ — ? on aura
1 a
d2~ 2d- 1
a
a
da
da
d*2-
a
da2 ~
da2
d*2-
a
da'6
da3
.! a6
a4
d»2-^ 2d*'
tL^t + 2.3.4 . . . n.Z
dan dan _ an+i
oh. le signe -|- a lieu, lorsque n est pair, et le signe — ? lorsque n est
impair.
On en conclut reciproquement
1 i d\S\ ' j
Tome II. 1
l l
l.ES FONCTIONS TRANSCENDAMTBS 2~t ' — ' re 3 * * * etc-
~a«~± 1.2.3.. .(n-l)da*-1 X 2 . 3 . . . (n - l)<la— 1
Or 011 a ^ 1 =L(a)=l X* X~ll dx. On en tire, en ditferentiant par
0 Jo x~ 1
rapport a a,
1
ri22
da-
d*2 1
= r mm dx,
Jo *— 1
Jo x~l
1 Jo 1
En substituant ces valeurs, on aura
1 C x*-xlx 1
Jo *r— 1
oa 2J0 a'— 1
^4=
1 - f1^-1^21-1 7
^=1) Jo —1 '
a2" • 2.3.4
1 1 x—1 (!*)** 1.
~ + 2.3 4...2nJ0 *— 1
En general, quel que soit «, on aura
a* /\a) J 0 * — 1
Designons' 2 ~ par L(a,a), nous aurons
1458 FUNCTIONS TRANSCEND ANTES 2 p ? 2' -j, • • • etc.
3
% L(aJa) = ^)J% & +
a — 1
En developpant r en eerie infhiie, il viendra
or J xa~k~x \l — j J# = ^ j par consequent
= (a 'J i). + + (^=3)H hC>
oil C est une constante independante de a. Pour la trouver, faisons dans
(1) a=l, ce qui donne £(l,a) = 0 et a?"-1 = a>° = 1 ; par consequent
C
On tire de la
Jo * - 1
i(a,«) = ^-)/o1^rr1- (4P<&,
ou a peut ctre positif, negatif ou zero. On a
Substituant cette valeur, on aura
ission I j~
Consid&onfl l'expression / \ fa. En developpant j— on aura
\Al 1 r<fo = ..?.(*+4. done
LES FONCTIONS TRANSCENDANTES J?sfj \JS~x • • • «te.
, fell ' * = 7 '(* + 1 ]{ 1 + 2W + + 4^. + • ■ ' )
clone enfin
(g-l)».r(a + 2) / .1.1. JL_ , \
2.r(a) [iT2«+3T3«+!! X 4«+2-T j
(g-l)».r(«+3) / 111 \
• 2.3. T(a) \ T2"+:i « 3"+3 ' 4"+3 ' )
or on a r(a-f l) = af(c), /'(a + 2) = a(« + et en general /^a-fA;)
= «(a -|- 1) (a -|- 2) . . . («-)-& — l)Y'(a). Substituant pes valeurs, on obtient
L (a, a) = - = 1 a 1 1 -f- ^+ t + p+T + 4^1 H )
4. 1 -
. 1
P2« + 2
1 + 2
+3
+ -b : j a (" + 1 ) (K + 2) ( 1 + 2^ + 3^ + 4^
Si Ton pose « infini, on aura
£(«:,«)== J- l-^-^ -l j
done en design ant L(pc,a) par L'(a)
L(a., a) =
«.(a- + 1)- "fe+y £«- + + «^a+2> („- l)'L'(« + »)
Si dans la formule (1) on met — - au lieu de a, on aura
L\ — > a — —— / ) '- dx.
\ a J T{a) Jo x—i
Faisant xa=.y1x devient =ya-, dx = ayn~\ y ~TJ ==a"~1 \~y) et
suite
-,«——/ l — ~'i M
par suite
L
LES F0NCTI0NS TRANSCENDANTES £-\ , J?4- - • • etc 5
On tire de la
Si maintenant m — 1 < a, ce qn'on pent supposer, la fraction
ya — i
est resoluble en fractions partielles de la forme On aura done
l — cy
L[m,a)=[A f ^) + r^ldyA-
\a I \ Jo i— »y Jo i-^ yi |
Si Ton developpe ^ * en serie, on voit que
°rr(^)"^^=(*+^' d°nc
done en designant 1 -|- -f -f- -|1 -)- . . . par L'{a,c\ on aura
on obtiendra done enfin :
La fonction 2>(-^-j «J pent done, lorsque m et a sont des nombres en-
tiers, etre exprhnee sons forme finie a l'aide des fonctions J'(a) et L'(afc).
Soit par exemple w= 1, a = 2, on aura
On a par consequent ^4 — — 1 et c= — 1, done
Xa,a) = _2«.L'(«,-l) = -2«(l-21„ + i-l+...).
„ 11-
O LBS FONCTlONS TRANSCENDANTES 2 1 2 ^ etc.
Lorsque a est un nombre entier, on sait que la somme de cette serie
peut s'exprimer par le nombre n oil par le logarithms de 2. Soit « = 1,
on a l_| + |_^+...=log2, done 1) = £t&) = - 2 log 2.
1,1 1 I j
En posant a = 2, on a 1 — ^ -|- -p — -f- ■ • ■ = 12 r» clonc
On pent en general exprinier L(\,2n) par —Mu*n, ou if est un
nombre rationnel.
II.
SUR L'INTEGEALE DEFINIE (I — *y-^l -^a~\lx.
Dans les Exercices de calcul integral de M. Legendre on trouve
pression suivante
done
log f^xa-1(l — xy-1dx = \ogra-\-log Vc — logY'(a-f c).
En differentiant par rapport i\ a et a c, et remarquant que
dl r(a) _
da
on aura
x ( 1 — .r) c~! &c . c&i
La — G
f* x (1 — at) t'-1 dx
f?**^(l — x)c-l!(l — x).dx
■ La — L (a -j- c) ,
= Ac — /> (a -)- <?),
^ ■4r»*i"1(i -x)c- 1dx
Ces deux equations conibinees avec l'equation (1), donnent
8
SUB L'INTEGRALE DEFINIE etc
fV*(l - x)~> 1(1 - x)dx = [Lc-l. (a + ej] ■
La derniere equation pent aussi se deduire de Tavant-derniere en echan
geant a et c entre eux, et mettant 1— x a la place de
Lorsque e=l, on a, a cause de L(l +a) = — + et /'(«■+ 1)
r 1 i
/ Ix.ax — » 5
/ a"
J o
resultat connu, et
/ V"1 1(1 - x) dx=— L(^~-a) »
J 0
done
(1 -J- «) = — a Px—H(l — a?) cfc.
t
En developpant (1 — x)e~l en serie, on trouvera
°r i.** '(i) ^==(5TT?' donc
1 , „ 1 , (c—V)(c—2) 1 (o— 2)Q-3) 1
— a» — ^— 1)(^+TJ2 + " 2 '(a+2)* 2.3 (a+3);
mais
j-X-> (1 - a)*** ( | ) <&=^t A (a + c) - La] , donc
(2) [/.(a + c)-/^]-^ .
t . f . f. 1 - (c-l)(c-— 2) 1 2)(c- 3) _4 ,
— ^"^(o+T)5"1"" 2 '(«+2)2 2.3
Soit par exemple c— 1 — a, on a
/.(a-[~c) — = — i7(a-|-c)=l,
/a . 7'c == 7"a . Y'(l — a) =
it
~ 5
sin a/c
done
SUR L 'INTEGRAL E DEEIN1E etc. 9
— La • = i- 4- 4- <^±ii _L <^+iKi+2)_L
sin a/f a* » (a + l)2 ' 2 (a + 2)2 ' 2. 3. (a +"3)2" •
Suit a = -J-, on a — La = 2 log 2, sin 5 == I, done
2:t1oq'2 — 224----t--3- -1 85 I 3'5-7 4_
g ^3* ^2.5*^2^3.72^2'COT9* ~"
Soit a=l — a?, c=2:e- — 1, on aura en remarquant que L(l — x) — Lx
— 71 COt TlX,
T(l—x).r(2.v—l)
71 . COt 71X ' — J „ v
LX
^ 2J_ 2a — 2 . (2a — 2) (2 a — 3) (2a — 2) (2a — 3) (2a — 4)
(i-a)2 {2-xy ~r 2(3— *)■ 2.3.(4 — I
En echangeant a et c entre eux dans l'equation (2), on obtient
XT i l \ T Ta. Fc 1 1 («_!)(«_ 2)
[/.(« + e) - £C] =_r - (a - 1) (7TI? + i 2(en2)> ;
En divisant l'equation (2) par celle-ci membre a membre, on aura
1 c— 1 (c— 1) (c— 2)
X>(a-f- c) — L(a) g- (g + iy*i~ 2(«-|-2)a
L(a -f- c) — L(c) ][ a~— 1 (q — i)(a— 2)
De cette equation on tirera, en y faisant c = l,
a (a — 1) ,
a (a — l)(a— 2)
22 1
2.32
a,
. «(«+!)
, a(a+l)(a + 2) ,
' 1 22
2.32
done en ecrivant — a
i(1_a) = _|a + ^ + <fcM^+_2)+ . . .)
et en mettant a — 1 au lieu de a,
(q-l)(a-2) . (a-l)(a-2)(a-3)
L,a — [a— 1) ^2 1 -j/s» 1
on tire de la
L(l — a) — La = n . cot na
= (2a l l "(«+!)-(«— !)(«— 2) , tf(q+l)(q+2) + (q-l)(q— 2)(o--3)
22 \ 2.32
Si dans l'equation (2) on pose a = 1 , on aura
^C+l) — i/(l)J r(c+1) — c — 1 22 + 2.32
Tome IL 2
1Q SUR L'INTEGliALE DEF1N1E etc.
comme auparavant. En faisant c = 0, il vient
i± 1 .+ 1 4-JL_| = ^!.
0 — 0 — » 22 T 32 ' 42 ^ 6
Nous avons vu que
En differentiant cette equation logarithmiquement, il viendra
fi ,//l\a7 dL(a + e) dL(n)
Or on a d~ = — 2 soit vJ.^^), 0n aura
(to a fit
a;""1 (1 — x)6-1 1 2 -i- j* . dx
= [(L'(a + c) - L'a) + (L(a + c) - La)*] •
Si Ton designe par Z/a, L-^ par //"a etc., on obtiendra par
des differentiations repetees
fx*-x(l — x)'-1 1 1— ),cfc = [2(2/(a + 0) Ulr*a)+
lb ft
3 (Z,'(a H-c) — L'a) (i(a + c) - La) + (L(a + c) - La)3] •
j xa~x (1 — xy-1 | Z -i- J^dz = etc.
En differentiant l'equation (2) par rapport a a, on aura
jy-\-i-xy^[i^dx
i\ o-l 1 i (e-l)(c-2) 1 (c-l)(c-2)(c-3) 1 _■ \
= J ll? i^'Ca+l)^ 1.2 '(«+2)3 ~ 1.2.3 "(a + 3)3_r j'
,7 1 c-1 1 , (c-l)(c-2) 1 (c-l)(c-2)(c-3) 1 ■
— ^•5i"^_~r"'(a+l)4_t:" 1.2 '(a+2)* 1.2.3 '(a+3)*'
et en general «
SUR L'INTEGRALE DEFINIE etc. 11
dx
11 | Q— 1)0— 2) 1_ (c— l)(c— 2)(c— 8) 1
1 («+!)" ^ 1.2 *(a+2)« 1.2.3 ' (a+3)«
Or la fonction J xa *(1 — x)c 1|^~J dx est exprimable par les fonctions
jP, L\ L'\ . . . done la somrae de la serie infinie
_l__c— 1 1_ (c— l)(c— 2) 1_
o° 1 '(a+l)«~l 1.2 (a+2)a
est exprimable par ces memes fonctions.
II y a encore d'autres integrates qui peuvent s'exprimer par les memes
fonctions. En effet, soit
J xa-1(l — x)c-1^l~J^dx = (p(a, c),
on obtiendra par des differentiations successives par rapport a c,
1 \ a— 1
dx=(f" c,
et en general
0
-1(1-
0
-'(1-
-x)'->[l(l
0
-'(1-
-»)]•( i
0
-'(1-
1-1)
Or on a </)(«, c) = ( — l)a-1 — da"-^^ ' C*°nC 611 su^,st^tuant cette valem*
on obtiendra l'expression generate suivante,
f xa-\l—x) c~] [ / ( 1 — x)] " (to) m <fo =
J 0
^m + n
r(g+c)
et cette fonction est, comme nous venons de le voir, exprimable par les fonc-
tions 1\ L, L\ L", . . . L(n-1} . . . L(m-i}.
2*
12
SUR L'INTEGRALE DEFINIE etc.
On sait que
(A) jc^r^f
En differential^ par rapport a a on aura
da
r — = La — C, done
/o,(4riH(T)<fo=r°-ci«-^
en differential^ encore, on aura
Une expression generale pour la fonction
peut se trouver aisement conime il suit. En differential 1'equation (A) n
fois de suite, on aura:
Ta
or — r— = — C^s done
lr*=f(La-C)da et /V = ,/['— q<*\
done
L M [ujj <fa= — ¥ — '
fonction qui est exprimable par les fonction s 7', L, Z/, . . . Lnrl
Si l'on met
dx = e? dy, done
Si Ton met ey a la place de on a / Jr— — .V? ^~ = ^( — Uh
f (-y)a-'V (->/)]" ""<1>J =
J — oc
on en changeant y en — y
/ j/*"1 (W e~3 dv = —
J (La —C)da
da11
SUR L'INTEGUALE DEFINIE etc
13
Faisant y — z", oil a y"~x dy = d(y)tt
et par suite
— dz, /?/=- k, e-^r=e-(**)
a 1 9 a '
(h)ne-\*a)dz = aH+1
d»eJ (Ln~C)dn
da"
Si Ton met « an lieu de - , on aura en posant n = 0,
/ C
J 0
a a
en posant 7? = 1,
— e~x<x dx —
-(7
Si par exemple a = 2, on aura
J[ = f ^'(i) = t et 7 (-J J er* dx = J )£ (C + 2 log 2),
en remarquant que Z(|) = — 2 log- 2. 11 faut so rappeler que la eonstante
0 est egale a 0,57721560 . . .
Si dans l'equation (A) on pose x = y'\ on trouvera
r1 / l \a— * r<x
I ^ XT) d?J= n« ' lors(lue n est Positif?
/' / 1 \flf-1 Ta
^ |*"^~J dy = — — ? lorsque ??. est negatif.
En ditferentiant cette equation par rapport a «, on aura, lorsque n est positif,
/„ 1,r' t? i F " ( y N = $ {La ~ 0 ~ ]ogn)'
Soit y — p-*^ on trouvera
c 00 ret s~t
I e-nx xa-l lX (lx—^_(lia_Q_ ]Qg w J .
resultat qu'on pent aussi deduirc aisement de l'equation
— C
III.
SOMMATION DE LA SERIE y = q>(0)-\-(f (1) as + y (2) x2 + cp (3) x* -\ \-cf(n)x«,
n ETANT UN NOMBRE ENTIER POSITIF FINI OU INFINI, ET y(n) UNE
FONCTION ALGEBRIQUE RATIONELLE DE n.
La fonction etant algebrique et rationnelle, elle est resoluble en ter-
mes de la forme An" et- f .P ; y est done resoluble en , plusieurs series de
la foraie
^ = i.0a-l-i^-fi.28a;2-|-l3^3+ • • • + An"xn et
_ £ . Bx . , Bx3 .
? — + (a+iy *~ (a + 2)/» "T" (a + 3)/» ' ' * ~r (a + n)/»
La sommation de la serie proposee est done reduite a la sommation de ces
deux series.
Considerons d'abord la quantity p. A.0a etant une quantite eonstante
et A facteur de ehaque ternie de la serie, nous poserons
— =y («,a?).
On a done
f(a,x) = x + 2"x9 + Saxi + 4ax* + • • • + n"xn;
divisant par x7 on a
SOMMATION DE LA SEKIE y = <p (0) -f <p ( I) x -j \- f (n) a;", etc.
en multipliant par <£e et integrant, il vient
en coniparant eette serie a la precedente, on voit que
differentiant et multipliant par x, on tire de la
f(a,x) = -ig
ou en ecrivant fa au lieu de f(a,x),
fa= .
dx
Connaissant la valeur de f(a — 1), on pent en deduire celle de f(a).
Mettant a — 1 au lieu de a, on aura
en substituant cette valeur dans l'equation precedente, il vient
j. _ x .d[x . df (a — 2) ]
Ja — ~ dx2 '
mettant de plus a — 2, a — 3 etc. au lieu de a, on obtient
j., ON x.df(a — 3)
r x.df(a — 5)
Substituant ces valeurs on trouve
_x.d{x.d{x ..d(x.df(Q)...)))
Ja— dx"
On a ainsi la fonction fa deterniinee par la fonction f(0). Or on a
/(0)==.x+^+x3+^h +x'=-'(lzf> ■
16 SOMMATION DE LA SEKIE y = tp (0) + <jp (1) x -| y (n) x11, etc.
done
f(a) = x + 2«x2 + 3»x*Ji h»u*" = k -
On connait ainsi la fonction /(«), et par suite on connait de meme la fonc-
tion^. Si la suite va a Tinfini, on a /(0)= et Par consequent
x .d[x .dix . ..d
X
+ 2" x2 -|-3" xA + 4ft x4 -) =
i — «
En faisant successivement a = 0, 1,2, 8 etc., on aura
x-\-x* -\-xs-\-x*-\
xJr2x2 + idx3 + 4:Xi-\ =
X
+ 2*x* + S*x* + 4*x'-\ =
(!-•)■
Considerons ensuite l'autt*e serie, savoir
Fa = lia~^ (a+l)« +"(o + 2)« + (a + 3)« l~"(a + n)« '
en niultipliant par &a et differentiant, on aura
d(Fa.xa) _ a-"-1
xa
.^■n+a — 1
1 (a +l)«-i
1 (a + 2)«-* 1
1 (a_|_n)«-i'
ou bien
d(Fa.x*) _ xl 1 ■ g | jg! | I *w \
On voit par la que
en niultipliant par c&c et integrant, on obtient
xa
On pent done determiner Fa par F{a — 1).
En mettant maintenant a — 1, « — 2, etc. au lieu de a, on aura
f(n_1)=/^-*-f(«-2), . -
SOMMATION DE LA SERIE y = f ,0; -j- f (l) x-\ 1_ f (n) xH etc. 17
On peut done determiner .F(a) par -F(O), ear on aura par substitution:
JfJ)^ jf| 0 0 . . f±fd*.*~F(%
or i*\0)=:i-|-z-f-a;2-| [~a?"= , done
2^ 1 fda Cdx Cdx Cdx . (x^ — xn+a)
Xa J X J X J X J 1 X
Si la serie va a 1'infini, on a 2^(0) = -=——, et par suite
Fa=± fin [*a . . . f^fdn^rL.
Xa J X J X J X J 1 X
Les quantites eonstantes dues aux integrations successives doivent etre des
valeurs particulieres des fonctions J^(0), F(2) . . . i^(ct).
Ayant ainsi determine les fonetions fa et Fa, on en tirera aisement la
somme de la serie proposee
cp(0) + <p(l)x + (p(2)x2-\-(p(3)x3-\ \-<pin)x\
Le procede dont on a fait usage pour trouver la somme de cette serie
a l'aide de la serie l-\-x-\-x2-\ \-xn, peut aussi servir a la determi-
nation de la somme de la s£rie
z = /(0) cp (0) +f(l) <p{l)x +/(2) <p(2)x2-\ h/W 9 W x"
a l'aide de la serie
f(0)+f{l)x+f(2)x'-\ +M<ff
oh. fn designe une tbnetion queleonque, et (pn une fonction rationnelle. En
effet la serie z est resoluble en plusieurs series de la forme
A(f(l)x-\-2af(2)x2 + 2>af(2>)x3 + • • • 4-</(«)*>), et
A,\m i i&* i f^L.
* \ a« ~r («+!)« ^ (a + 2)«
1 \
1 (a + n)«J
Tome II.
18 SOMMATION DE LA SERIE y = f < 0) -{-</■{ I) x-{ \-f (n) x " etc.
Si Ton pose f(0)+J(l)x + f{2)x2-\ ^f(rt)xn = s, on trouvera
precisement de la meme maniere que ci-dessus:
„ . , x.d(x . d (x ...d (x . ds)))
/(l) x + 2 »/(2) + 3 ■/(«) + • • • + *VW *" = — 1 ^ ~
"li-+(a+l)« (« + 2)« ^ + ^ (« + «)«
Xa J X J X J x J
Soit par exemple s = ex = 1 -J- x -f- -y + g-g -|- 2.3.4 1 ' ' *'
e* I (a-1) . (a-1) (a -2) (a- l)(a - 2) (a - 3) . | t
= "~ir 1 z 1 zr~ -* ' P" *°
on aura
IV.
SUR L'EQUATION DIFFERENTIELLE dy + (j> + qy + ry*) dx = 0 , OU p,q ET r
SONT DES FONCTIONS DE x SEUL.
On pent toujours reduire l'equation dy -\- (p -|- qy -\- ry2) dx = 0, a une
autre de la forme
dy + (P+Qy2)dx = Q.
Premiere methode. Soit y = z-\-r\ on aura
dz -f- dr' + (p + q_r' + r'2 r) t& + z (q + 2rr') cfo -f rz2 dx = 0.
Pour que le terme multiplie par z disparaisse, il faut poser q-\-2rr' = 0,
d'ou Ton tire r' == • Cette valeur etant substitute pour r', donne
m *+(,-£-£±+££+"')*=o;
done
dz-\-(P-\-Qz*)dx = (),
«* P^-il-^-^ et
Seconds methode. Soit y = zr' et par consequent dy = r'dz zdr' ,
on aura
Pour que z s'evanouisse, on fera dr' -f- r'qdx = 0, d'ou Ton tire
20
SUR L'EQUATION DIFFERENTIELLE dy + ( p + qy-\- ry*) <fcc = 0 etc.
En substituant cette valeur pour r' on aura
(2) dz + (pefqdx + re-fqJxz2)dx = Q.
Si done on peut resoudre les equations (1) on (2), on pent aussi resoud:
proposee, et reciproquement.
L'equation (2) est resoluble dans le cas oh. Ton a
car on a alors
done
et de la
mais y = zrf =
I 'qdx — f qdx
peJ =are J ;
arc tan
dz p ^Jqdx
dx:
z = — Ya tang- ^ ~= Jp dx e
J qdx
I* qdx
z e
fqdx- done
— — / qdx
a . e tang*
V
7= \ eJqdXpdx );
a J
maintenant pe^qdx = ar e ^qdx ; done
2 J qdx CIV J qdx
e = — i e
V
-V
r
dr
1 dp L t 1 dr 1 dp \
Liquation d// -)- (_p -)~~ ^ H~ r!J2) ^x = 0, deviendra done
dx = 0 ,
4/ + [z> -H ( ^ - SrJ ?/ + '7/
et son integrate sera
y = — ]/ f tang (/ V ?P ) 7
ou bien, en mettant pour la tangente son expression exponentielle,
12 Idx l/ — pr
2 J'dx Y—pr
Soit par exemple p = — r == » on aura
SUli L'EQUATION DIFFEKENT1ELLE d>j + ( p + qy -\- ry* ) dx = O etc.
1—e 1 — cx2
'J ~~ 2 [*L ~ 1 + cx2 '
En supposant » = et r = xn. on aura ~z=— et ^ =
rax x pdx
done
1 fv ^ C y C ^ 2
I/— = # " , \dx\pr—\x 2 dx — cA jb*o»+«+o
<Zy+ |a;- + |(w — m) ^- + ^?/2) = 0,
m — n
y= — x* tangfcH 2 xum+«+2)\
^ \ ' m-j-n-\-2 J
Soit n — — m — 2, on aura
7/ = — xm+1 tang (& -f - log x) = — tang (log ft* a;),
d'ou Ton tire
]c'x== e-arc tans (> _
Si dans l'equation (2) on met — a la place de z, on aura
dz -f (f erJqdx -f # z3) dx = 0,
et puisque fy= ~ -e~JqiXx, on a
(fy + O + w + rif) (lx =4 o.
Lorsque ^> = 0, on a dy -\- (qy -j- ry2) dx — 0,
dz — — r . e~Jqdx dx, z — — f\ re~^qdx dx,
1
V
eJqd* feSqdxrdx
Telle est done l'mtegrale de l'equation
4y + (</// + >7/V-r== °-
Si dans l'equation proposee on fait — = ^-ssr, on ol)tient
22 SUK L'EQUATION D1FFERENTIELLE dy + (p -f g» + »?/2 > 0 etc.
done
^2_j_2ay+c 2Va2— c \y'-\-a — V«2 — c 3/ + a+ Va2 — c 7
A? da = v-/=r [ loS (y + a - V«2 - G ) - loS (< + a + V«2 -
2V.
011 bien
et de la
lpdx=\og
y+a — VaS — cyV*'—*
y -f- a -f- Va2 — 1
y -f- a — Va2 — c ^— — Va*-—cfpiix
y H- a H~ V« 2 — c
u= — a A- \ar — c — «
1 — <? c r ^
Dans ce eas, l'eqnation (2) devient
cdz+\ce'J +e cJ z*]pdx=0;
mais on a
z = y = !Je =ye >
done on aura
1/V - — c /pcZx I
1— e c r ^ J
Si Ton fait p = 1 , ce qui ne diniinue pas la generalite, on a
x-\-k, et par la
4*+$ 1
cdz-j-\cee c z2)dx = 0\
- I (x + k)Va*-c]
Lorsqu'on commit une valeur de ?/ qui satisfait a l'eqnation
<k + (P + <PJ + rif) dx — °>
SUK L EQUATION DIFFERENTIELLE dy + ( p -\- qy -\- ry* ) dy = 0 etc. 23
on pourra aise'nient trouver l'integrale complete. Soit y' eette valeur parti-
euliere. On fera y = y,-\-z1 et on aura
dz -f dy' + (p + -f n/'a) <fo -f [z (2 -f + »f] cfe = 0.
Or par l'hypothese on a dy' -f- (jp -f- ^ -)- fy'*) dx = 0; done
_]_ [(<? + 2^')z -f rz*] dx = 0,
d'oii Ton tire en integrant
1
2 —
JXl + 2ry') dx C ~- J\q + 2ry')dx " '
niais y = z-\-y\ done
— / (<Z + 2ri/') <ia;
/ e rax
Soit par exemple
Faisant w,= — on trouvera
— 6 -(- 1 4- -f- c^2 = o,
et de la
— 1\2
2c- c '
done ^' — | * go ^ — |/(~2c~~) <T | ~v 6St Une "lt^8Ta^e partieuliere, et
eonnne on a q — ~ , r = c, 1'integrale complete de l'equation proposee est
et en etteetuant les integrations,
| 1—1,1 . i 1 | 1 , t«- 1 '±Vd-)^!
— |/,i_„)2~4c*
oil & et C sont les constantes arbitraires dues aux integrations.
Qnoiqu'on puisse, eonnne on vient de le voir, resoudre plusienrs eas en
eniployant des substitutions convenables, il semble pourtant pins commode pour
l'inte'gration des equations ditferentielles de chercher le facteur par lequel Y6-
24 SUK L'EQUATION DIFFERENTIELLE dy ~\- ( i> -{-qy -f ry- ) dx == 0 etc.
quation doit etre multiplied pour devenir integrable. Soit z ce faeteur, de
sorte que Fequation
zdy -\- z (jj -f- qy'2) — 0
soit uue diflerentielle complete. On doit avoir, comme on sait,
dz __ d[z(p + qy*)}
dx dy
et en effectuant la differentiation,
-£; = (i> + '^2)| + 22^.
Soit z = er, on aura
Quoique cette equation en general ne soit pas moins difficile a resoudre que
la proposed, elle peut neanmoins servir a decouvrir plusieurs cas particuliers
dans lesquels celle-ci est resoluble.
Supposons par exemple que r = a log (a -f- fty) » oil a est une quantite
constante, et a et ft des fonctions de x seul. En substituant cette valeur
de r on obtiendra
aa'+afiy aP(j>'-\-qy*) O/wi — 0
ou a' = <l- et /?' = df • En multipliant par a -\- (3y on aura
dx dx
aa' _ app _|_ ^ _ 2«^) | - {aftq + 2/?2) */2 = 0,
d'oii
aa' — aftp = 0, aft' — 2aq = Q, aftq + 2ftq=&
La derniere equation donne a = — 2, et en substituant cette valeur dans les
deux autres equations, on obtiendra
a' — ftp = 0, ft'-\-aq = 0.
Si de ces deux equations on tirait a et ft en _p et </, on parviendrait a une
equation differentielle du second ordre; niais on trouve P— f et</ = ;
si done ces deux conditions out lieu, on a r = — 2 log (a -f- /fy) , et par suite
r_ 1
2-e'- (a + '
II suit de la que l'equation differentielle
SUK L'EQUATION DIFFEKENT1ELLE dy + (p qy -f ry*) dx = 0, etc. ' 25
peut etre integree, et que le facteur qui la rend inteo-rable est -, — —
(a + /fy)2
L'integrale sera
c'est-a-dire
(i(a+fy)—0-
Pour trouver fx1 il faut differentier, ce qui donnera
niais dy = — ^x ^onc
J aft '
P2 (a + #/)2 " «/? (a + ~ U'
d'ou en reMuisant,
L'integrale de l'equation
sera done
d'ou Ton tire
a i
ISupposons ft' =za = ~ , on aura
dp
y =
Voy. Memorie della societa Ttaliana t. Ill, p. 236.
Tome II.
4
V.
SUR L'EQUATION DIFFERENTIELLE (y + *) dy + (p + qy + ry2) dx~ 0.
Cette equation peut toujours etre rdduite a la forme
zdz + (P+Qz)dx = 0,
A cet effet je pose y = a-\-(3 z\ done c&/ = da -\- (3dz -\-zd(3, done en sub-
stituant:
(a+*-|-/?z) + + + + ^
ou bien
, , Q + a) dec + [p H- qa + ra*)dx
H
0 /
■0s
+ g (« + s)dp+p[da + (q + 2ra)dx] + t f ^ +
z2=o.
Pour que cette Equation soit de la forme zdz -|- (P-\- Qz) dx = 0, on doit
avoir les deux equations suivantes:
^-=0, et rdx+ df = 0,
done
a — — s, (3 = e
— J rdx
P = — qs -\- rs2)
2 frdx
q — 2rs
ds
dx
frdx
Si done dans l'equation (y -\- s) dy -\- (p -\- qy -\- ry2) dx = 0, au lieu de
y on met a-\- (3z = — s-\-z e~ ^rUx , on obtient
SUR L'EQUATION' DIFFERENTIELLE (y -f s) dy -f O + qy + »7/2) = 0.
27
zcfe -f- (jj — qs -\- rs2) e "^rdx -\-[q — 2rs —
dx
f rdx
eJ z
dx = 0-
Done, si cette dquation est resoluble, celle-la Test de meme. Cela a lieu si
V — qs-\-rs2 = 0,
on bien si
Dans le premier eas on a
ds
q — 2rs — -j- = 0.
d'ou
dz + [q—2rs — ^efrdxdx==0,
l**+-jp--«Ja
et dans le second cas
zdz -f- ( p — qs -f- rs2) e 2^rdx dx = 0.
d'ou
z = |/2 y [qs — p — rs2) e^rdx dx .
L'equation differentielle
-|- s) dy -j- (<£S — rs2 -\- qy -\- ry2) dx = 0
a done pour integrale
et celle-ci:
,j = -s+e J'-J^rs + ^-q]
— q I e^rdx dx :
a pour integrale
2 frdx 7
; ,=_.+6-/-y ■/"(«■-*+£
On peut aussi donner une autre forme a liquation
zdz + (P+Qz)dx = 0.
En mettant ?/ -f- a an lieu de 2 on a
(y + «)(^ + cZ«) + L^+^(^ + «)]^ = °5
e'est-a-dire
(?/ -)- ct) J?y -|- aria -\- Pdx -\~ Qadx + y (Qdx -f- da) == 0.
28 SUR L'EQUATION DIFFERENT1ELLE (y -J- a) dy -f (p -f qy + *y«5 <Zas = 0.
En posant maintenant
Qdx -j- da — 0, on a = — J*Qdxy
on aura
(y — J* Qdx) dy -\- Pdx — 0,
et en faisant — J Qdx = R et par consequent Q = ?
(y + R)dy + Pdx = 0, d'ou dy+^^dx^O.
Si Ton fait Pdx = dv, on a
Je vais maintenant chercher le facteur qui rend l'equation
une differentielle complete. Soit z ce facteur, on aura
d(zy) __ d[z(p-\-qy)]
dx dy ■ '
ou bien
Soit z=rer, on aura
Done
<fe <ir
<ia? fZy dy
Supposons r = a-\- /%, on aura
y ( % + v t )-(p+w) 0 - 1= °>
c/est-a-dire
On en tire
y't +y(^-«»)-«9-s=o.
et par consequent
/? = — c, « = — c f qdx, — CJ) -\-q — 0.
Le facteur cherche sera done
SUR L 'EQUATION DIFFERENTIELLE (y -\- s) dy + (p + <iy + ry*) dx = V.
Soit maintenant r = a -\- fiy -\- yy\ on aura
done en developpant
On en conclut
d'ou
y — c, {3=2cfqdx, q^r2cpfqdxz=0,
a = 2cf dx(qfqdx = 2c fqdx f qdx —J Jd* .
L'equation deviendra done
et la faeteur sera er, oil
r — 2cfqdxfqdx—J-j^^2cyfqdx^rcij%.
Faisant ^=1 et ecrivant — c au lieu de 2c, on a _^_==__^_
et le faeteur deviendra
-|- a
Lorsque a = 0, on a
1 — ~-(x+y)*
et le faeteur sera e 2 . L'inteo-rale sera done
ou bien
1 r -i-<y+*r-
30
SUR L'EQUATION DIFFERENT1ELLE (y -f s) dg -f (p -f ft + »-y8) <7x = 0.
j'y e 2 * } dy -f- F« = 0.
Supposons en general
r = ce + «1?/ + «2?/a + «3?/3+ * ' • +«»2/n5
on aura en differentiant successivenient par rapport a x et a ?/:
da . dai , das das..*\ |
-^-=z«1 + 2«27/+3«3.?/2H h^n
En substituant ces valeurs dans l'equation
y^-t(i»+ff)J-«=o.
et reduisant, on obtiendra
+(%--(»- 2) — (»- i)?"— ) y"~' +■■ ■
On a done les equations
£ = 0, %±-Wl = 0, da^ - (n - I) qa^ - npan = 0 ete,
Voila 72-)- 2 equations, mais comme le nombre des quantites inconnues n'est
qUe w+lj il restera apres l'elimination de celles-ci, entre p et q une Equa-
tion de condition, qui par consequent doit avoir lieu pour que le facteur
puisse avoir la forme supposee. En integrant on aura
an = c, an_x = njanqdx, an_t= (n— l)f a^qdx^ n f anpdx,
«M_3 =(n — 2)f an.__2 qdx -f - (n — I) J a^pdx, . . .
an_m = (n — m-f 1) fan_m+1qdx-\-(n — m + 2)fan_m+2pdx, . . .
a^ — ^^a^qdx^^ja^pdx, a—^axqdx-\-2 fa^pdx, q-^rpa1 = 0,
ou bien
« n = c, «„_1 — ncf qdx, a„_2 r=s » (n — 1) ejqdxji qdx-\- nc i jpdx,
SUK L'EQUATION DIFFEKENTIELLE (>j -f a) ihj + (p + <pj + vy2) dx = 0.
31
(n — 1) (n — 2) c y^c^ic y</6&c jqdx -f- n (« — 2) c y^cfo 7p<foj
-j- W (w — 1) c jpdx jqdx, etc.
Soit par exemple az = 3, on aura
a3=.Cj c2 = 3cjqdx, ax = §cJqdxjqdx-\-?>c jpdx,
a = Qc jqdx jqdx J qdx -j- 3c y^cfo; y^cfo; -[- 6c Jpdx jqdx.
L'equation de condition deviendra done
q -\- (Sep jqdx Jqdx -j- 3cp Jpdx = 0.
c, 1 #r ~daT ' y~dx dr 8 .
boit r — — — -- , on a — — - , — = — 7 — : on aura done'
f da , dp \
g^yj _i_ p(p+w) _a— o
(« + /%0a ~r (« + &/)2 2 '
d'ou en reduisant
» 2 ( f + ) + »f£ - * + 2 K/? 2 ) + " ' 2 - * = ° ;
done
done
, 1 _i / /?~ da __ t l/ g/g<fa? <Z
~ jqdx' qjqdx ' d» * * V ' d* gfadx*
et par suite
\/ qfqdx ; -U 2 l/
i> <7 _
0.
Si Ton fait q = > 011 alu'a
da , dB A dti rt
1 pdx (idx
d'oii Ton tire successivement
a
32 SUE L'EQUATION D1FFERENTIELLE (y -j- s) dy -f O + 22/ + ry*) dx = 0.
±
mais p = -n 1 done
Jqdx
P =
On rendra done l'equation
C
C
8 | 2
1 j
cfe = 0
integrable en la multipliant par le facteur ea+A', oh
Faisant 2=1 on aura
c
H(*4-«)s
et le facteur deviendra e (x+a)i . Si o = 0 et C=o, ou a
et le facteur sera e
4-+-+*
r.z r. &
Supposons maintenant r = a log (a -j- (3y) , on aura
_ a^ + °^^" _ aft
par consequent
et en reduisant
done
done
dx
da
0, a — a(3q — (3q = 01 apft -\- aq = 0;
SUli ^'EQUATION DI FFEUENTIELLE ty -(- «) dij -j- (p -f & -J- tfa = 0. 33
I/eqnation devietidra done
udy — ( 3 y — 2? )^ °i
et le faoteur sera
| («+ 1)6' /' . \«
< = ( A— 5 — 7 + j •
Soit = 1, on aura
— | - ^ (a? -|- A) — //J — et le faeteur sera | ^a ~^ ^ (tc -\- b) -\-y j ;
niais l'equation etant hoinogene, la resolution ne presente aucune diffieulte.
Soit ensuite r = a log (y -\- a) -j- a' log- (?/ -j- a') ; done
da , da'
dr a ~dx | a ~daT «V _ a . a'
— 1: "T-r t~ - ■ '
done en reduisant
dx y -\- a * y -\- a' dy y -j- a ' y -f- a
a
y
da , da' |
dx , % dx \ /i \ / (I | & \ /v
+ * ( ar/ ' ^ + a' a iix ~ (a + a' — s + «'« + «+«') )
— (a«; -j- a'a) — qaa' == 0.
On aura done les trois equations suivantes
da . , da'
a
tfo; 1 dx
(m' dx + a'tt tx Y ^ ^ ^ ~~ ^ ^ + a + a + ? 1 = °'
^9 (cm' -|- a'a)-\- qaa = 0.
La premiere equation donne
aa -f- «V = (a -f- a' -j- 1) 7
done
(a -f *' + 1) — aa /' l -f a \ /' a
En substituant eette valeur dans la seeonde et la troisieme equation on ob-
tiendra
Tome II. °
84
SUB L'KQUATION DIFFfi&FMTIKLIJS (9 \ t)dy \ (j> \- <ju \- vf1) dx =0.
{ . + a + •> ) /«* - ? « ] £ + « ( « + - + d I - » 4 )-<•+
(a + 1 ) ( 1 + ' ± " ) /«* - (a + 1) I « + (a' + !).«] = <»,
on bien
dx
(•+i^I)/i*--(7+-13
et
(« + ;; a + ») )/</</.• - ;; « + *'« ]+<?«[( i + y 1 - ;; «
Soit a-|-a' = 0, ou a' = — a, on aura
!/" 7 '/(/,/; + m/ ~~ "HST" q Jqdx = °'
done
et en integrant
da 1 0 « -h i n
1 + <* r 1 ! <l — "i
dx 1 jqdx a x
/• qdx f qtlx
a + 1 ■'/a* /' •'/««fa 7
/ e </</.<■;
a — - e
orjf,X=Xos{J'iilx)>
done
e'est-a-dire
oil bien
done
(a -\- 1 ) /gOB ) qdx
a Jqdx
{a+\)[C+\{jqdaV\ a+l
2a
a Jqdx
fqdx +
k
jqdx
k
fqd.r 1
lnamtenant on a
SUB L'KQl/ATION MY II- UKXTIKLLK <y -\- t) dy -f- ( p -j- qy -| ,?/*,,/* o.
II suit de la que liquation
* + ! 4 y§E [ (A* + yv" )? - ^ {ft** ] + W j *
devient integrable quand on la muMplie pur le factenr
En faisant. 1, I'eVjiiation deviendra
*+!£[(■+? .
ct le facteur sera
VI.
DETERMINATION D'UNE FONCTION AU MO YEN DTJNE EQUATION QUI
NE CONTIENT QU'UNE SEULE VARIABLE.
1.
La function fx etant donnee, trouver la fonction cpx par l'equation
Soit x = ipy et fx = if/ (?/ -j- 1), on aura
on bien
c'est-a-dire
done en integrant
oh. XV designe une fonction periodique quelconque de ?/, de sorte que
zdiJrl) = zy>
Or \py = x, d'ou Ton tire y = '\fjx1 et par consequent
(1) <px = 'tpx -f- % ('yx).
II s'agit maintenant de trouver la fonction ftffX. Cela se fait connne il suit.
On a x = ipy et fx — tp(jj -[- 1); done
(2) </'(.'/ + 1)=/W
DETERMINATION DUNE FONCTION etc. 37
Voila une equation aux differences finies, d'ou Ton tire «//?/, et cette fraction
etant connue, on a
x—\py d'ou y — 'yj x.
Par ce qui precede on voit que le probleme est toujohrs resoluble, et qu'il
a meme une infinite de solutions.
Supposons par exemple fx~xn, 1 equation (2) deviendra
</'(//+ =
En niettant ici successivement y-fcl, f/-\-2, etc. a la place de ?/, on aura
V (y + 2) = [f (y + 1)]" = j>y)"',
et en general
En faisant y = 0 et i//(0) = n, on a ip% = an*, et par suite fy = a»v; or
tpyz=x' done anV — x, d'ou w^-r0^-, et
log a
log log # — log log a
log n
y
done
log log x — log log a
ipx —
L'equation (1) deviendra done
log n
log log x — log log a | / log log x — log log a
cpx — V- X
log n \ log n
cc qui donne la fonction cliercliee.
Si Ton met xn au lieu de a?, on aura
log log #n — log log a , / log log xn — log log a
(f) (Xn) = 5 6 8 1 y
v y logw 1 " \ log-
log n -J- log log * — log log a | / log n -|- log log .r — log log a
\-x
log« 1 I log
— 1 _|_ log log ^ — log log" _■_ / 1 i log log *r — log log a \ _ j ,
' log w ~ [ ' log n J ' '
La fonction a done la propriete demandee. Le cas le plus simple est celui
on /tj = 0 et a = €, loge etant =1; on aura alors
^ log log,/- ^ log log .7; . j log log .r"
' logw ' 6 log?/ logn
3$ DETERMINATION DUNE FONCTION etc.
v
2.
Considerons en general l'equation
oil F, f et ip sont des fonctions donnees, et oil Ton cherclie la fonction (p.
Soit fx — yt et tpx = yt+u l'equation devient
F(x,<pyn<pyt+i)=zO.
Soit (pyt==un on aura (pyt+l = ut+1, et par consequent
F(x, un ut+1)=zO.
De l'equation fx — yt on deduit x—'fyt\ done en substituant cette valeur
dans l'equation ipx = yt+1J on obtient
(1) y»i=y('M
De cette equation on tire yn et par consequent aussi x — 'fyn en fonction de t.
Cette valeur etant substitute dans l'equation F(x, un ut+1) = 0, donne
(2) F('Jy„ un ut+1) = 0.
De cette equation on tire ut — 0t = (p(yt). Faisant ytz=zzt on trouvera
t=.'yz\ done en fin
«p* =*('?.)•
Exemple. Trouver la fonction (/) ddterminee par l'equation
(cpx)2=^cp{2x)-\- 2.
Soit (px — ut = q>yn et <p (2x) — ut+1 = (p (yt+1)^ on aura
(?z,)2 = ^+1-|-2.
On en tire
Snpposons
done
et en general
— ut 2.
■ 1
ux — a-\ 1
1 a
2 i 1
1 az
4 1 1
W3 = «4 + - ,.t
a.
DETERMINATION DUNE FUNCTION etc. 39
Ajmt a?=pg^$ 2x = yt+l, on u fjt+1 = 2?jn d'oii Ton tire
done
6"
Cette valour etant substitute dans 1'ecniatioii
~ • 9t—l I 9<— 1
donne
*; / Ui / 1 V— x
y x = a c -\- a c — U c' j -\- \a c\ .
on bien
cpx = bx-\-b~x .
On a en etfet
(£* _j_ j»« _|_ 2.
VII.
PROPRIETES REMARQUABLES DE LA FONCTION y-q>x DETERMINEE PAR
I/EQUATION fy dy — dxY {a—y){ax —y) (a2—y) . . . (am—y)-0, fy ETANT UNE
FONCTION QUELCONQUE DE y QUI NE DEVIENT PAS NULLE OU INFINIE
LORSQUE y — u, alf a27 . . . am.
Soit pour abreger (a — y){a>\ — y) • • • — y)="^y^ on aura
En differentiant on aura un resultat de la forme
d*y _ P _ p
dx* dx fy '
ou P est une fonction qui ne devient pas infinie lorsque \fjyz=z§. En diffe-
rentiant de nouveau, on aura
d3i/ -r, du Pt ./
,u>=p> ,i, = f!/ Km
de menie
#U _ P, dy_ _ P, d*g __p dy _1\ -r—
da* ~~ yxpy ' dx ~~ fy ' dxr-> ~ 8 dx ~ fy * FU'
etc. •
ou P, Pn P2, P, etc. sont des fonctions de y qui ne deviennent pas inti-
nies lorsque = 0.
PKOPRIETES KEMAliQUABLES DE LA FONCTION etc. 41
Cela pose, considerons l'equation
cp (x + v) = y + v2 Q, + ffiQi 4-*'<M
+ Vw(vQi + v*Q* + v-°Q^ ),
ou Qt^ Qai §3j Qi etc. sunt des functions qui ne dcviennent pas infinies
lorsqne ^y = 0. Supposons que y ait nne valeur qui rende tf/y egale k
zero, par exeniple ?/ = «, on aura
Q2, etc. sont ici des constantes, et a est la valeur de x qui repond a
y — a, et qui est deterniinee par l'expression
,a fy.dy
■f
La fonction cp(a-\-v) est done une fonction paire de v. On a par conse-
quent
. . cp(a-\-v)=zcp(a — o),
d'oh Ton deduit, en niettant a — v an lien de
y> (2a — v) — <pv.
Cela pose, on a de meme
cp {2a1 — v) = cpv,
en designant par a, l'expression / ' '/,y'//y, done aussi
J
cp{2a-, — v) = <p(2a1 — »),
d'oii Ton tire, en mettant 2a j — v au lieu de
(p (2a — 2aj = yy,
ce qui nous montre que la fonction (p est periodique. De la on dednit en-
suite sans peine
cp[±2n(a — a1)-f-0] = yw,
n etant un nombre entier quelconque.
On a de la meme maniere
(p [± 2n{a — a2) -j- v] = (pVj
done
(p [± 2n(a — at) -\-v] = cp [± 2nA (a — a2) -\-v\
d'ou
cp\v±2n(a — a1)±2nl(a — a2)] = (pv.
Tome H. 6
42 PROPRIETIES REMARQUABLES DE LA FONCTION etc.
Eii general on aura
<pv = (p[v-\-2n(a — ai)-\-2n1(a — ff ,)'4"2»1 (a — a3)-\ 1- 2nm^ (a — «»)],
w, nu n2 etc. etant des nombres quelconques entiers positifs oil negatifs. *
Ou bien
cpv — (p(v-{-2na-}-2n1a1-{-2n2a2-{- • • • -\-2nmam),
ou » -t-n4 + -; + »«=: °-
Si Ton suppose que <pk = 0, on aura, en faisant f?=~&,
y(fc-|-2?ia + 2wicti + " ' ' 2 Q.
On pent done trouver une infinite de solutions de lequation
savoir
x = k-\-2 (na -\- nxax -f" • • • -\-nmam),
oil »-j-^ + TC2+ ' • ' -f-rcw — 0.
On pent aussi trouver une infinite de valeurs de a; qui rendent ysc
iiifmie. En ett'et il suffit pour cela de changer y en — dans l'equation
et de chercher ensuite par la niethode precedente les valeurs de x qui ren-
dent z = 0.
Pour eclaircir ce qui precede je donnerai un exemple. Soit fy = 1 ,
y2 = {± — y){l+y), on aura
, == arc sin ?/ ,
Vi-y2 ■
done
?/ = sin x =
Dans cet exemple on a a=l^ 0^ = — 1, a — 2»i at=s — ^ , on a done
y — -y) = cpv , r/pv ess <£> (v ± 2 nn) , 0 = <p (± nn).
*
VIII.
SUR UNE PROPRIETE REMARQUABLE DTJNE CLASSE TRES ETENDUE DE
FONCTIONS TRANSCEND ANTES.
Soit y une fonction de sfc, determined par l'eqnation
8 et t etajit deux fonctions entieres de x. Soit de meme
f rydx = ivy,
on aura en differential
/ dt | <iv\ | %
or / g = — .s?/, done
Cela pose, soit v= — - — , on anra
A x — a
at
dx »
^ « (* — rt)2
ou, en faisant t=z(px et s=.fx,
q>' x — fx (fx
~(x^f'
6 *
44
SUE UNE PR0P1UETE REMAKQUABLE D'UNE CLASSE TRES ETENDUE etc.
Or on voit sans peine que
g!g£ = + cp»a- fa + (f)'''a-f''a (x - a) + ^^f^ (x - a)2 + ■ • ■ |
(x—ay (x—ay x — a 2 1 2.3 ^ ; 1 2.3.4
done on aura
q>a fa
(x — «) 2 x -
d'ou Ton tire, en multipliant par ydx et integrant,
vty = - <paf -/a j" ,;"'•"„ +/■%&■
Cela pose, soit z —J^^^ , on aura en differentiant
/ydx
(x^-ay2'
dz
da
done en substituant
vty = — ^ —/a . z + ^ %cfo.
Soit z = qp, on aura en substituant
Soit
on aura en faisant y = ipx.
djy
da
/*r R.xbx 7 7 /' dfx. axe da
V—W , dxaa — / ,
J JJcPa- H,a J l!'a • (fa x — a
/1N 1 fxUx.dx C da f fM. iteu v 7
( 1 ) / -2— il>x ,qx \ , — I I dx da,
x ' if>a J x — a 1 J {a — x) tf>a . cpa J J (pa . ipa 7
done
done
on Ton a
Le second membre de 1'equation (1) pent ton jours, comme on le voit,
etre deVeloppe en plusieurs ternies de la forme:
SUll UNE PROPRIETY REM A RQUABLE D'UNE CLASSE TRES ETENDUE etc. 45
4 P am.da r m ,
En faisant
cpx = a -4- a yx -\- a2x2 -\- a3x* -[-...,
E«E j^=/^+A^+^2+A^H .
il est facile de trouver
on aura done la fern ml e a'enerale:
1 / i/w . Ac r (2a
(2) — / Wx . / -. r
v ' xpajx — a - 7 J (a — x)cpa.il
= 2 [ t« + !) — Ai+.+i] f ~^laJxn •
II taut remarquer que les integrates par rapport a a; doivent etre prises de-
puis une valeur de as qui reduit a zero la fonction ipx.cpx, et celles par
rapport a « depuis une valeur de eette variable qui reduit a zero la func-
tion
La fonction ij — \px etant determinee par l'equation
•y.fx + yx^^Q,
il est clair qu'on a
J (fx
y = <> ;
done y est de la forme
e.v
\(JX :
W, w.1? etc. etant des nombres positifs moindre que l'unite. p est une fonc-
tion rationnelle, qui s'evanouit lorsque tons les facteurs de (px sont inegaux,
si en nieme temps le degre de fx est moindre que celui de (px.
Supposons maintenant qu'on premie les integrales entre deux limites do
x qui rendent egale a zero la fonction (px.ipx, on aura
(3) j ^ = i)ttm^l.-n.^l]J^xdiC.f^-.
Si Ton donne de meme a a une valeur telle que - deviennc eo-;d h zc'r«»,
1 • i!>a 0 '
on aura
(4) 0 =X[(»+ l)«.+.„ - /i+„+,] jx-fxJx.J^^a
46 SUR UNE PROPRIETE REMARQUABLE D UNE CLASSE TRES ETENDUE etc.
II y a un cas remarquable qu'il est important de considerer k part,
savoir celui ou
1
— = wx . wx :
on a alors
1
y cpx
done
_ i ¥*
dx * (V^)3 '
L'eqnation y .fx -\- (fx ^ = 0 devient done
fx — $<p'xz=0,
done
A. = £ (™ + 1) <*»+!•
L'eqnation (2) devient dans ce cas:
(5) & /' - r . -sun-my^Z \'Tr fP-
J (a* — a)ycpa J (a—x)Y<pa J Ycpx J Vcpa
Pour verifier cette. formule dans un cas particulier, soit (px—1 — ce2,
on aura a = 1 , a x == 0 , a8== ■ — 1,
j/]— ^ f ^=_fT=^ f * _ = 0,
f J (« — a)Vl — a-2 F J(a-.r)Vl— a2
ce qui est vrai, car on a
a
r dx 1 j .a« — 1 + Vl — a2Vl — ^2
Si Ton fait = — £e2)(l — c2x2), on a a=l, «i = 0, — (1 — |— ^2),
: 0, «4 — c2, done
y(T-<?) (1-cV) f - ^ (i-cv) /"_
J (.T-a)y(l-.t-)(l-6"Jx2) y (a-;
2 r #2d# c da 2 r dx r c
c J y(i-tf2)(i-c2<)J y(W)(^ ~~ c J ya-^ci-c2.^ J y(i-a
(a-.r) i(i-a?)(\-c*a?)
a2 da
i2)(l-c2a2)
Cette formule contient impkcitement les propriety remarquables des fonc-
tions elliptiques que M. Legendre a donnees dans ses Ex. de calc. int. t. 1.
p. 134 et sq.
IX.
EXTENSION DE LA THEOR1E PRECEDENTS.
Soit y mie function qui satisfasse a Tequation
s, Sjr, Sjj . . . etant des functions entieres de x.
Soit de nieiiie
Jw** = vy + vi £ -I f ^-2^ + ^^?
ou aura en differentiant :
n/ _ * y , L , M * , L . **) d V , . . . + / I 1 *<M \ dm~xy 1 ts dmy •
ry — ch- y + \ v + dx ) dx + \ v 1 + dx \ a* + + [ Vm-* + J + r • '
or
d™ y <fy rZ2y ' d™-1?/
Sm ^ ~~ ~~ S1J ~ Sl dx ~S2dx^ 1 dx~^ '
done on aura en substituant et egalant ensuite a zero les divers coefficients
dv
48
EXTENSION DE LA THEOIUE PKECEDENTE.
De la on tire aisenient
(2)
Ceh
a pose, soit — — ? et supposons que
(3)
«./ = — —+B,,
s\ 8 \-> s 2 etc- etant des constantes et 1^, lt^ li2 . . . des fonctions entieres
de x- il est clair que «' est la meme fooction de. a que s,, Test de £c. En
differentiant on trouvera
done la valeur de — r devient
(4) _ r = _L j^SL_ -I- m) J L y(wl _l n _|_ o.
en faisant
_N_dB1.d*B2_ _ dmRm
Cela pose soit
J x — a '
on aura en differentiant par rapport a a,
EXTENSION DE LA THEOKIE PKECEDENTE. 49
dmz , . , f ydx
dam — 1 [m -h 1 ) J 5
or en multipliant la valeur de r par ydx et integrant, on obtiendra
en faisant ponr abreger
On a done l'equation suivante en z
(5) -/-f(fydx = s'z + s^ + s^ + ...+s^.
Supposons maintenant qu'on connaisse l'integrale complete de l'equation
differentielle qui determine la fonction ?/, et soit
y = Ciyi + c2y2 + c3y3 ~\ \~ cmym
cette integrale. On trouvera alors, comme on le voit sans peine,
* =y'i Jpi d°>+y\ Jp2 da+y'a Jps da~\ \-y'mfpmda,
ou y' ft est la meme fonction de a que Test de et j^-, Pi • • • des fonc-
tions rationnelles de y'lf y'tJ y'3...et de leurs derive'es, et des fonctions entie-
res de -f- y de la forme
Pr = ~ ~,
On a done
(c^fydx_ , Cda.e^'+jQijdx) f rda.et(x'+fqydx) f Cda.em{x' +fqydx)
Quant aux quantites 017 02, etc. on pent remarquer qu'elles sont deter-
miners par les equations suivantes:
o = ft ft + y\ 02 + y'3 0s + • • • + y% K ,
(7)
cZa"-a "|" «la»-2 a2"T" da—* 3 1 r <&— 2 ""
_ 1 ****** i d'—Vta I I ^M»A
da»~*- 1-T- -rfo--! 2 r ^m-i ^3-1 r rfa— i
Tome II. 7
50 EXTENSION DE LA THEORIE PKECEDENTK.
Les quantites 0U 02, 03...SQnt done des fonctions de a seul. Pour
appliquer ce qui precede, supposons m == 1 et m=2.
1. Si m=l. on aura
1 H • ' 9
— 1 =y'ldl, done — ;
de meme en supposant /0 = 0
/ j «iy
7 = Z = slty = — — ,
done l'equation (6) deviendra
e'est-a-dire
la meme equation que l'equation (1) du niemoire precedent.
2. Si ?>i = 2, on aura
d'ou Ton tire
Or des deux equations
~d^-r s'2 da ~T~ — V
on tirera
done
* 2 da 1Jlda~e '
par consequent
/ V d« f—r da
J I I. J J « o
O^—y'^e ; ea = y\e . •
On a de meme
/ = ^ + Vx;
d#
tie .v — a 1 (.i- — a)2 1 a# 7 # — a 1
EXTENSION DE LA TIIEOK1E PB ECEDENTE.
51
52
EXTENSION DE LA THE0R1E PKECKDENTE.
(8) •
*P J s\ x*-a y ^ J b\ x°-a
4- v' ax f-1- • — — v' a0 f 6-1 ■ da
+ » »«Jv, "».« J ^
2a
Si Ton suppose = 0, s2 — 0 pour x = xl et x = x°, on aura la formule :
f — da J— da
(9) J ~Ta = c ( y'i JJ'I'! e 2 W Jrt 6^ — y'2Jfel e ' ' Wr<fa ^r
Dans la formule (8) on pent faire y — ^ p -\-~\/p2 — qn-\-
Soit
-J \x—a ' {x — af » (a; — a)3 ~T~ (* — a)* ' (ar— a)« /" 5
a , a2...am etant des fonctions de a, cherchons s'il est possible de faire en
sorte que z satisfasse & 1'equation
Pz + r a? =y + »y + «, f + • • • + jgsd + • as=4 •
En differentiant l'expression de z par rapport a a, on aura
daa / , daa\ -^os / ■
da
done en substituant on obtient une equation de la forme
J rydx = x,
EXTENSION DE LA TUEOR1E 1'RECEDENTE.
53
ou
(*-«)*
+ / + to
(x — af
yam r(m+l)
(as—a)"*1
Or on a vu que
1 ° * ' V'V _j
s'CTro+i).
on a done les equations suivantes:
Done
ou bien
n + l
£0
n + l
da
dan+1
da
en faisant pour abreger — et / ^e ^ 011 **re
t» I dan+2
an + l ('n + l ~P £ tt» + 2 j
done
== & + rfft+j + ( — ^ ) «» + 2
qc ^«n + 2
« + 2
Comme on a m -\- 1 equations et m-\-2 indetenninees, on peut faire e con-
stant; alors on a
54
EXTENSION DE LA THEOK1E PRECEDENTS.
11 est clair que an est de la forme
ddn+i
a
da
+ e8*w+8-3« -^_+-3€-^ ^-
En faisant 72 = 0, on aura
12V O I ^2<'2
8^3 I o ^3 dSSS
rZa3
Cette equation determine la fonction ^.
*'
En substituant au lieu de (T„ sa valeur — — — ,s'Mto
Y
equation lineaire en w.
Ayant ainsi trouv£ toutes les inconnues, on a
r x+f (/yd*,
d'ou Ton tirera la valeur de z.
X.
SUR LA COMPARALSON DES FUNCTIONS TRANSCENDANTES.
Soit y une fonction algebrique quelconque deterininee par l'equation
(!) 0 = « + «iy + H h
a, a1? a2 . . . etant des functions entieres de a:. Soit de meme
(2) ° = 2 + tfiy + fr/ + 2syH hfcM IT"? ,
7^ 2 a etc- etant des fonctions entieres de a? et d'nn nombre quelconque
d'antres variables, savoir les coefficiens des di verses puissances de x dans les
fonctions q, qt, q21 etc. Soient a, a1? a2, «3 . . . ces coefficiens. Cela pose,
on peut tirer des deux equations (1) et (2) la fonction y exprimee rationnel-
lunient en x et en a, a2 etc. Soit r cette fonction, on aura
(3) y = r.
En substituant cette valeur de y dans Tune des equations (1) et (2),
on aura une equation
(4) » = 0,
s etant une fonction entiere de a;, a, a1? a2 . . . .
Cette equation donne cc en fonction des quantity's a, au a2 etc. En
diffeVentiant par rapport a ces quantites on aura
4- dx -f- = 0,
la caracteristique cZ' etant uniquenient relative aux quantites «, a17 a2 etc.
56 SUU LA C0MPARAIS0N DES TUANSCENDANTES
De la on tire
7 d's
dx — 5— ?
as
et en multipliant par f{y, a?), ou / designe nnc function rationnelle de y et sc,
(5) f(y,x)dx=-&jfU's,
dx
ou on a mis r au lieu de y dans le second membre. On aura done, en
developpant la differentielle d's, une equation de cette forme:
(6) /'(?/, x) dx = (fx . da -\- if x . dat -\~ if%x . da2 -[-••• ,
ipx, ipxx etc. etant des fonctions rationnelles de cc, a, a1? «2 etc.
Cela pose, soient xx, x2: xs . . . xn les racines de 1'equation s = 0; on
aura, en substituant ces valeurs au lieu de x dans liquation (6), w equa-
tions semblables qui, ajout^es ensemble, donneront celle-ci:
• a5i)^i+/(^s., H \-f(Um '^n)dxn
+ [^1^1 + Vi^a + 4 h <Pi^«]
+ [<p2«i + <P*X'9 + H h <^«2
+ \
e'est-a-dire
, a^) dx, +/(?/2 t&^$k* 4 (r/(& , a^) dfo = + -Jr.J%<fc,H >
ou i2, JBj, R2 . . . sont, comme il est aise de le voir, des fonctions rationnel-
les de a, al5 a2 . . . .
Maintenant le premier membre de cette equation est une differentielle
complete; le second membre est done aussi imniediatement integrable. En
de\signant done
y [R da -j- Rx dat -j- R2 da2 -)-•••)
par (), il est clair que y est une fonction algebrique et logaritlmiique de
a, &n a2 . . . .
On aura done, en integrant et designant j,f{y, x)dx par »//#,
(7) 1pXiJrlpX2Jrlpx3-\ \-ipxH = C^-().
Cette equation exprime, comme on le voit, une propriete de la fonction
qui en general est transeundante.
SUR LA COMPAKAlSOfi DES TRANSCENDANTES.
57
Les quantites xly x21 x3 . . . xn etant des fonctions des variables inde-
pendantes «, an a2 . . . ,% il est clair qu'en supposant que le nombre de ces
variables est /r, on pent regarder un nombre ft des quantites xu x21 x3 . . . xn
comme indeterminees, et les n — ft. autres conime des fonctions de celles-ci.
On peut trouver ces fonctions de la inaniere suivante.
Soient donnees, et faisons
p = (x — xt) (x — x2) (x — xs) . . . (x — a;^),
on aura, en divisant l'equation s = 0 par une equation
s' = 0,
dont les racines sont les quantites x/ll+2l . . . xn.
Dans cette equation les coefficiens contiendront les quantites a, a1? at
• • • aix-i 5 il f&ut done exprimer ces quantites an moyen des quantites xt , xt a;3
. . . o^. Cela peut se faire de la nianiere la plus facile en mettant dans l'e-
quation (2) au lieu de x successivement xiy x21 x3. . .x„. En effet, on ob-
tiendra alors ft equations lineaires en a, a17 a2...o^ qui serviront a les de-
terminer. En substituant ensuite ces valeurs dans l'equation s — 0, on aura
une equation du degre n — n , dont tous les coefficiens sont des fonctions des
quantites x11 x2, #3...cc^; par cette equation on peut done determiner les
fonctions xfi+11 xjU+2...xn.
II n'est pas difficile de se convaincre que, quel que soit le nombre ju,
on peut toujours faire en sorte que n — ft devienne independant de //. Au
moyen de l'equation (7) on peut done exprimer la somme d'un nombre quel-
conque de fonctions de la forme tyx par un nombre determine de fonctions
de la meme forme, savoir:
xpx, -f ipx2 -f • • • + yxM = C+(j — (rp2t -f \pz2 -j- yz3 -f • • • -f- yzv),
en faisant
= ^ et n — u = r.
On peut determiner la constante en donnant h cliacune des quantites
valeur particuliere. Alors la formule devient
(8) \pxx -f- \px2 -|- • • • 4- yjx^ =ssi (> + + + • • ' + PWi*
— $ — — tpz2 — • • • — \pzv
+ 'K+,KH + v2'^
en designant par z' ,. la valeur de zk lorsqu'on donne aux variables x^ x21 . . .
Xp les valeurs x\, x\. . .x' IJL.
Tome II. 8
58 SUli LA C0MPAKA1S0N DES TRANSCENDANTES.
Dans le cas oil u est plus grand que v on peut trouver une formule
beaucoup plus simple. En effet supposons qu'on ait entre les quantites
aJi, xt . . . x„ les relations suivantes:
(9) Gy^=-ZXl C2 = Z2) C3 = Z3,. . . CV=:ZV,
on aura aussi
ipxi -f - y/Xs -\ \- yjx^ = c -(- p,
on bien
yjxt -\- yjx2 -| 1- = y — (j7 -f- 1//^ -f- ^a?', + • • • + V^V
Parmi les quantites a?1? ajg...^, ft — y sont des variables independantes,
les autres sont des functions de celles-ci, deterniinees par les equations (9).
On pent done faire
(10) ^c'y+1 = 0, yx'v+i = 0...y>x'fi=0,
et alors on aura
(11) xpx1 -f- \fjx% -| 1- xpXp = q — q' -f- ^/ai'j -|- i/^2 -)-... -)- ^/a;V.
Les quantites ccl7 ic2, a% . . . xM sont liees entre elles par les equations (9),
mais comme ees equations contiennent a -\- v indeterminees, savoir
a^ , x21 xs . . . Xp , Cj , c2 7 C3 . . . Cy j
il est clair qu'on peut regarder les fi quantites xt1 x2, x3. ,.x„ comme varia-
bles. Les quantites determinent par les equations (10).
Four cela soit
Zk = (pk (xly X2j X3 . . . 2^),
on aura les Equations
Cj = <p x {x l , 9/ 2 . . X ^t), c2 = (p2(x 1} x 2 . . . x . . . cv = (py(x ly x 2 . . . # ^)
Cj = <Pi\xn ^2 • • ••*>)? c-2=: (Pzfan X2 ' - ' - • Cv tyv fail X2 • • •
Or les equations (10) donnent
X ft ) ^ y + 2 = ft, . . .X fl=- ft,_,,}
en substituant done ces valeurs, on aura les r equations suivantes:
/ (a^, a?2 . . : a?^) = (px (x 1? a; 2 . . . a; y, ft, ft . . . ftt_y),
I (/)2 (a?!, a?2 . • . a^) 1= (p2(x tJ x 2 . . . x y, ft, ft . . . ft_(,),
< y3 (a^, a;2 . . . a^) = </>3 (a/17 a/2 . . . x'„ ft, ft . . . ft_),
I ^(^, a;2. . .^) = ^(a;,1, a/2 . . . ft, ft. . .ft_„),
qui donnent les valeurs des quantites
SUtt LA COMPAltAISON DES TKANSCENDANTES. 59
Ces equations sont tres complique'es ; il est plus simple d'employer la
methode suivante.
En supposant dans Fequation (7)n = [i-\-v et x„+1 = c1) ^+2 = c2,
. . .xn = crJ cette equation deviendra
yjx1 + yx2^r • • • -iripx^ = C^-(j,
oil les quantites a%, x2 . . . x^ sont lides entre elles par les equations suivantes :
(13) 0x, = O, 0x2 = O, Bx3 = 0, . . . 6x^ = 0,
(14) 0^=0, Bc2 = 0, Bcs—O, . i . 0c„ =0.
Cela pose, si Ton fait a?1 = ce/1, xa = x's, . . . xv = x'v1 et x'y+1 = pi,
4i=Aj • • • ^ = &-#■» on aura
C? = — p'-j- V/a;/i + V^'sH- ■ • ■+V/a5'»'
^1 + ^2+ • • • +v/^ = C — s>, + V^/i + V/a;/2+ • • • +Vaj«
ou aj'u £c'2 . . . a;',, sont determines par les equations
(15) 02^ = 0, Bx'2 = 0, Ox' 3=0, . . . Bx'v = (),
(16) *A = 0, 0ft = 0, 0/?s = O, . . . 0(3fl_y = Q,
(17) 0^=0, 0c2=O, 0c3 =0, . . . Bcy = 0.
Designons maintenant la fonction 8 par B±Xj il est clair qu'on aura aussi
^^',=0, 0sft=*=o,
pourvu que a, a2 . . . a5/i_1 soient determines par les equations (16) et (17).
On aura done
0tx = (x — x\)(x — x'2)(x — x'3) . . . (x — x'y)
X {x- ft) (x - f%) (x — ft) ... (x - /V_„)
X — «i) (a: — c2) (a; — c3) . . . (a; — cv).
En divisant 1'equation 01o; = O par le produit
C* — A) — A) • • • (s — A-,) (« — c0 (* — c2) . . • (x — c„),
on aura one equation du degre v dont les differentes racines sont les quan-
tites x'u x'2 . . . x'v.
Dans ce qui precede il faut remarqucr que si plusieurs des quantites
ft, ft2 etc. sont egales, par cxemple si
. . =a,
8*
(',() SUK LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES.
on aura, au lieu des equations
celles-ci :
La meme chose a lieu, si quelques-unes des quantites xu x2 . . . x^ sont
egales entre elles.
Ayant ainsi determine les quantitds x\, x'21 x\...x'v en fonction de
cn c2, c3 . . . c„, il est clair qu'on pent regarder ces quantites conime des va-
riables et determines par les equations (13) et (14). Les quantites x^
deviennent alors independantes et x\, x\ . . . x'M des fonctions de ces variables.
Application de la iheorie precedente.
Je vais maintenant eclaircir la tlieorie precedente par plusieurs exemples.
Soit
0 = cc — |— axy.
Dans ce cas on a m = 1 , et par consequent liquation (2) devient
(18) 0 = q = a -f atx -f- a2x2 -| [-a^x71'1 -f- af ==s,
d'ou Ton tire en differentiant
da-\- adax-\- a2<la-2-\ \- xn~ 1 dan—\ a
(19) ytfo =
da;
P]n designant done par ipx, liquation (7) devient
ou
ISUlt LA COMl>AKALSOM DES THANSCENDANTES. 01
Comme le nombre des variables xu x2, x3...xn et celui des quantity
a, au as...a^_1 est le meme, toutes les quantit&s x2...xn sont des va-
riables independantes.
De l'equation que nous venons de trouver, on pent deduire deux for-
niules qui seront d'une grande utilite" dans ces recherclies. Soit d'abord
y=.xn\ on aura
La forniule (20) deviendra done
(21) ' — j^r+^+.-.+o
= — / \P« da + pm+i da, + Pm+2 da,-\ f-p™+»-i
en faisant pour abreger
(22 P — - 1 -4- 2 -l_ JULi- _| \-~n-.
<fa;2 daj8 daj«
Maintenant le premier membre de l'equation (21) peut s'exprimer par
une fonetion rationnelle et entiere des quantites a, oj, . .o^. En desi-
gnant done cette fonetion par — -j-j Qm+1, il est clair qu'on aura
p _ 1 dQm + l
En faisant m == 0, on aura
Or ^ + ^"2 + ^3+ • • • -|-j;B= — a,,.!. La fonetion ft ne contient
done que la variable an_v On aura par consequent
P0 = 0, P, = 0, P2 = 0, ...Pn_, = 0, P_1=l.
c • 1 ^ " |r!
feoit maintenant y — 7 r- , on aura
done
_*,| i + 1 1 I 1 I
m — 1 \ (at — a)"'-1 1 (.r2 — a)™-1 * ~ (xn — a)m~l J
=f(PZ)da + Py(!al + P(»da,-\ \-P^dan_,),
en faisant pour abreger
62
SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES.
pm __ zi l x* l . . . j *
Si Ton fait
1 ,
1 ,
1
(.vi — a)™-1
(se%— a)m-x '
1 (#„ — «)«- 1
on aura
1 dQ'm_x
m — 1 dak
Si m=l, cette equation devient illusoire; or dans ce cas on a
J^ydx = log (x — a),
done si Ton fait
t = (x— a) (x— a)... (x — a) = (— 1)" (a + a1a + a,a^ \~ an_xan'x + a%
on aura
pot) ^_ JL
x 1 — J„ * * —
rfa^ £ a-f- ax a-f- a2 «2 -) • -j- an__i aw— an
Dans l'equation (20) la fonction y est en general une fonction logarith-
mique et algebrique, mais on peut toujours etablir entre les quantites a^, x2
ete. des relations telles que cette quantite devienne egale a zero.
En effet soit
o = d 4- ^ x + j>2 -| h «i (a + »i :r + H h x't_1 + fff) =f 8 ;
on aura en differentiant
0 = | ^ J cfe -|- «! (J« -[- sc dav -j- cc2 6Za2 -[- • • • ~\- xfl~l da^^)^
done
j a (da -j- # c/^! -f- A'2 da2 .-f- 1- .w""1 dafl_^
ydx=: ^
- <fa;
et
xpx1-\-tpxi-\ [-^—ft
y £tant en general une fonction entiere, qui s'evanouit lorsque le degre de
a est moindre que celui de av Dans ce cas on a done
(23) V^i + V^H \-%pxnr=C.
Les quantites xxi x21 x3. . .xn sont liees entre elles par les equations
fx
a -f OiXt + a.x\ h Vi^ 1 + *S = =C '
SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 63
As
a -f axx, -f a,x\ -\ p a^xf1 -f|^= ,
a + ^^h- MM h ^_^rx + «i = >
ou Ton a fait pour abreger
et — (d + ^x + ^x2-] p'^af-^=/a?.
En faisant dans l'equation (23) 3% ==x\, x2 = x'2 etc. on aura
v«i + H h ^ = + ^ H h yx'n.
Dans cette equation on peut regarder (T, ^ etc. comme des variables;
par consequent on peut regarder x17 x21 x3... connne des variables indepen-
dantes, et faire en sorte que y>x'n — 0, yx'n_x = 0. . . . fx,fl+1 = 0.
On aura done la formule
(24) ipx, -j- f x, -| f- fxu = ^ + y/a;'a H h V^V
Soit par exemple « = 1, %=aJ, on aura ipx = — J~ = — log*,
0 =?= #4" ^+ ^i35* H h v-i^- 4 +
done si Ton fait x'^^x'.^ • • ■ =x'fX+1~ 1, on aura
*° i — -v2 • • • 1 5
par consequent
log ^ -flog*, -| h^g^+i^log^^^. . .XfX+1),
connne on sait.
Soit main tenant c« = 1 , ai = 1 -[- on aura
^*ga — — arc tang x,
0 = * + fi1xl + (l+x*)(a + x,\
0 = <y + <yix,2Jr(lJrxl)(a + x,),
0 = <T + (5^ + (J + (« +
arc tang xi -)- arc tang cc2 -[- arc tang #3 = G';
*x z2 *3 = — (? — a ; .tx -(- x2 -j- *3 = — « ; ^ *2 -|- xx x3 -f- x2 x3 = -f- 1 J
done
()4 SUIi LA C0MPARA1S0N DES TRANSCENDANTES.
( Xl 1 iCo I «C« X± X% Xq 3
[ xx x2 — \- x± X3 — |— X2 X3 1 u j.
Soit pour determiner 6", x3 = x'2J a^ — — x'2, xY — x'xl on aura
67 = arc tang x\ , x\ -\- x\ (x'2f = (?, 1 -f- (^'a)2 — —
Des deux dernieres equations on tire, en eliminant x'2,
A— '
- 6i —^n
or les equations (25) donnent
d «] -\- x2 -f- *j — #1 «(J #3
Si 1 #1 #2 #1 &3 X2 sia
done en substituant on aura
«i + .r2 + X3-.r1«2A'3
arc tano- cc, ~\- arc tans; x.> -4- arc tana* x~ = arc tang •=
& 1 1 ° 3 1 & n ° 1 XiX-i — Xi x$ — x% xs
Pour trouver la valeur de dp, il faut, selon ce qu'on a vu, exp rimer
en fonction de a, ax . . des fonctions symetriques de xyi x2. . .xn de la forme
<fe, "I <foa l ' ' ' ~t~ »
mais comme cela est en general tres laborieux par les methodes ordinaires,
je vais deVelopper quelques formules qui sont d'une grande utility dans ces
recherches, et qu'on peut deduire de la theorie prdcedente.
Soit, dans ce qui precede, y une fonction rationnelle fx, on aura m = 1,
et par consequent
0 = q — a -|- at x -\- a2 x2~\- • • • -|- an xn = s — (px,
d'ou Ton tirera en differentiant
, 7 da 4- x dav 4- x2 da2 -| \?7i'n dan r
fx.dx= ; / X
J (fx f
dune l'equation (20) deviendra
SUR LA COMPARAISON DES TliANSCENDANTES.
65
f/Xi . dxt -f ffx.2 .dx2-\-J*fx.d.dx3-\ (- J>fxH . dxn = ou
fas% 1
| fxn \
fp'x.y 1
+ • •
A'n . fx,
9
1 '^n ' f^n
Cela pose, soit
J fx dx = ipx -j- 2 A log — (?),
on aura
y = ^a?, + ^ajj -| f- xfj xn -f- 2 A log (x-i — d) (osg — (?) (&-3 — J1) . . . (#„ — d).
La quantity j//^ -|- \pxt -f- ■ • • -|- ^/a5w est une fonction symetrique de
xt1 xs. . .xn\ on peut done exprimer cette fonction par une fonction rationnelle
de a, (7.15 a.2...an. Soit p cette fonction. La quantite [xl—d){x. — d)...{xn—d)
est la menie cliose que ( — 1)" — ; on aura done
cin
q=P\l2A (log (p d — log an) ,
d'ou Ton tire
on aura aussi
dq dp_
ctdm dctm
depd
yd daTl
dq
dam
done
Qm
I x™.fx2
1 da„
1Mm dctfft
xn . fxn
</([()
dOm
X^fXy . X™fxt
cp'xi ' (p'x%
= J* done
(26) + *3/~* +
v y cpxi 1 g>.r2 1
cp'xn
* (p'Xn
cp XTl
dp
dam
dp
da,,,
1 depd 1 dan
(fd da
da-
Le signe -f- a lieu, si fl»==», et le signe — , si m<n.
Si Ton fait m = 0, on aura
fxi | fa%
(fXn
t . _ ^ ^ ^
(27)
01 #j ' tp x2 1
De l'equation (26) on tire aisement celle-ci
Fxi , F.r2 . fx% , jF#s ./*■
if ,r,
(/) X -i
+ ■■■ +
fpd
Fxn .fxn
tp'x„
Tome II.
66
SUE LA COMPARAISON DES TRANSCEND ANTES.
dp A . Fd ; (L
'da ' 1 OOi ' J da.2
1 * da.
yd
oil ^*) = /* + A* + AaM Ypnx\
En faisant fx—1, on aura \px — x, done
V = xi + x* + xs H h = — °~
done
, ^ = 0;
Zfi _|_ F'X'2 I I fin-l fin «n-l
II suit de la que
(28)
si m est moindre que n — 1 ; que
^ + ••• + ^=0,
(29)
et que
(30)
,.w — 1 r,,n — 1
Cf #i 1 (f Xt
cp xn a „
I Xn
(31)
Si l'on fait fx =
on aura jp = 0, ^4=1, done
2^3
De cette equation on deduira, en differentiant m fois de suite par rap-
port a
/32\ I Fas* I | ^ i dm(w)
ou bien, en developpant le second membre de cette equation,
W*\ I i^2 I | i^J.
(33)
(a*!— d)m+1 ' (.'tr2— d)m+1 q>'x%
dm(~) d<»-
m(m-l)...(n+l) d»Fd ^
1.2.3... (ni— n) ' ddn ' dd"-"
Par exeniple, si m = 1 , on aura
_ .F'J . Fd . y' J
(.r „— t)')2 . y'.fn ydf * (cfd)2
XL
SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINATES.
Soit (p(x, y, z. . .) une fonction quelconque de plusieurs variables %, y, z. . . ,
on peut toujours trouver une fonction. /(w, v, »..«.) telle que
(1) <p(x, y, 2. . .)=fexu+yv+zp+-'f(u, v, p...)dudvdp.
Dans eette equation j'appellerai y la fonction generatrice de /, et / la de*ter-
minante de </>, et je ferai usage des notations suivantes:
Cela pose", consideYons d'abord les fonctions dune seule variable, et soit
(3) (px—J* evxfv . dv,
on aura
(4)
Soit de meme
on aura
done
fv =D (px.
cptx = J* exvfxv . dv,
(px-\-(Plx=f exv (fv dv,
D((px-\~ (pxx) =fv +fv ;
9*
QS SUR LES F0NCTI0NS GENERATRICES ET LEURS DETERMINATES.
or fv — D q> x , fx v = T)(p1x, done
D((px -\~ (fix) = X)(f)X -(- Dq)^.
On aura en general
(5) D((px -\- (p^ -\- cp2x -\- (p3x -\- • • •)~D(px-\-J)cp1x-\-J)(pi!x-\-'D(p.ix-\-' • • %
done aussi
(6) % (/» +/,« +f,v +••■) = + fg/.» + %/.» + • • • '
{D(a<p£c) = aDcpx,
fg(afv) = a.fgfv.
En mettant cc -|- « an lieu de x, on aura
(p(x-\-a) = f exv eTfv . dv,
done
[ D (p [x — ( — ct^) = ea' 1) cp x,
(?)
(8)
I fg (e*0 a;) = y (a; -|- a) = fg (e" "/V).
En differentiant l'equation (3) on aura
done
(9)
fg (?;» =r fg (t> D (px)=z(l^
L)e la meme maniere 6n aura, en differentiant l'equation (3) n fois de suite,
das*
: f evx vnfv . dv
done
(10)
De meme:
(ii)
%K/»)=%(»"i^^)='';.:/;
{D ( plipxdxnS)-=^v~nfv = v~n D(px,
fg (v~nfv) i== fg (w_nDya;) :== pl(pxdxn.
En prenant la difference finie de l'equation (3) w fois de suite, on aura
Jl(fX — f evx (eva — 1 )nfv . dv ,
ami EES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERM1NANTES.
69
(12)
en designant par a la difference de X] done
J) J* cpx — (eva — ty fv,
fg[(e™-iyfv] = J:<px,
D 21 (<px) = (eia —
fg[(e'"-iynfv]=z:cPx,
On tronvera de la meme maniere
1 fg[e'V'(e'« — l)*(e"'-_ iy'(ew' — 1)"". . ./«?] = J»a J« J% . . . dm<p (x + /?).
Soit en. general
(14)
on aura
done
Soit
(15);,/ f .
on aura
(16)
Soit de meme
(17)
#(<px)= An>a y ; + 4,., j + . . .
J(ya:)=/^/«(4.,««"erB+^.f0.w"'e,'w'+- ■
D(<hpx)=fv(An>avne™+An,>a.v"'e™'+.. •)•
vnevtt-\-An.>tt.vH'eva'-\ —
]) (dcpx) = ipv .fv = \pv .Dcpx,
1 ) (#a y a?) == ij'., v . !)(/);>•,
on tronvera aisement
D(<5fl<px) — i/>flv.I)(px,
1) ((TfTj (px) = yjv .y^v f
D (rM^ (/)&•) = tpv . ipxv . ifr9v .fv,
et en o-dneral
(18)
D (££t£, . . . f^ya) = 0 . ft* . fcv . . . y;flv .fv,
D{dncpx)z=z{xpv)n .Dcpx,
7() SUE LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES.
Application de la theorie precedente.
La theorie precedente des fonctions generatrices est tres fdconde pour le
developpement des fonctions en series.
Supposons par exemple qu'on veuille developper cp(x-\~a) suivant les
coefficiens differentiels de cpx. La determinante de (p(x-\-a) est evafv1
(ln CP X
et celle de vw" sera vnfv> II s'agit done settlement de developper er" en ter-
mes de la forme Anvn] or on a
done
<?"fv =fv + av/v -f ~-2 v2fv -f ^-g-g v3/v -|
En prenant la fonction generatrice de cliaque membre de cette equation, on
dn (fig;
aura, en remarquant que fg {evu fv) = (p(x-\- «), et fg (vnfv) = *w ?
y(a;-)_a)=ya: + a-^+-1>2.-^- H >
comme on sait.
Supposons en general qu'on ait une relation quelconque entre plusieurs
fonctions de la forme \pv, \f)xv , . . . etc., composee de termes de la forme
Al)n„«2...v(^^(V^)"'---(^^)>7
et designons cette relation par
(19) zKn^...n^vy(ipvy< . ..(xpVfl)>=o.
En multipliant par fv et prenant la fonction generatrice, on aura
^„,„1,nl...v%[A.(r^^(^^)",• • .(^M = 0; .
e'est-a-dire
(20) ^%.^.v^^':^ . ..^-9W5==0.
Cette equation exprimera une relation geneVale entre les ditferentes opera-
tions indiquees par les lettres $u (^3, . . . .
Probleme I. Soit d(px = (p (x-\- a)-\- aipx, et proposons-noiis de deve-
lopper ^"yce en termes de la forme Am tp (x -\- ma). La determinante de
(p(x-\-a) etant evafv, et celle de cpx, fv, il est clair que
SUR EES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINATES. 71
done
Ddn(px = (evu-{-a)nfv;
ayant de meme D<p(x-\- ma) = evmafv, il faut developper . (eea-f a)'1 suivant
les puissances de eva- or on a
(a -f eTf = an -f mn-x -f n(n~1) a»-a ^ _| ,
done
2
dn<px = a*<px + w a'4"1 y (» + a) + "fe^"1) a-> (a; -f 2a) +
Liissi
(a -f- = enva -f rca £^-*>«" _|_ !l(w~ *) «2 e<»-W _| ,
done
^^-^(^^-f-M^x-ftw- l)«] + w(w^1)a8y[g? + (^ — 2)«]-|
En faisant a= — 1, on a (Jn (px = J^yx, done
i^a = 9(a;-|-Ba)-»9,[a; + (»- l) «] ^ y [gl^ (w — 2) a]
Problhne II. Soit $yx = (p (a?^«)+«^a;, <^&— ^(aJ+aJ + Oiya;
et proposons-nous d'exprimer l'operation S\ par J4"1. On a
II faut done exprimer (e™<-]-a1)n en termes de la forme Am(evu a)m. Soit
eva > -\-ax—y, eva -\- a = z , on aura
done
a,
done
d\yx = 2Amdm(px.
Soit par exemple = «, on a
if = (Oi — a + z)'1 — (a, — a)'1 -f to (a, — ay-'z -) = 2" -f- n (a* — a) z"-1 -J ,
done
d\ (px = (a, — ^ + « («, — «)»-* dyx-\- 71 (n-^ (ai _ a)»-2 £f y x _| ,
72
SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES.
91 <px = d»<px + n (a, - a) &-1 <px + _ af 9»~*<px -\
En faisant ax = 0, on aura d\(px = (p (x-\-ntt\ done
(p (x-\* w«) — — na 9*~xq>x + ^fepJ „2 <r'-2<^ ;
si a = — 1 , on aura
cp {x + na) = Jnacpx + n Jf1 <px + ^L1) Jf*q*x-\
Prublhne III. Soit 9<px — (p{x-\-a) — a<px et £1^ap=cy3-r|-&-j^
et proposons-nous de determiner J* par (V. On a
D <)\ y x = (c-\~kv) fv ,
done
D<?tyaj = (c-f-fa>)"/t>;
or
Dd(px = (eva — a)fv;
il faut done developper (c-\-hv)n suivant jes puissances de eva — a. Soit
c-\-kv = y, eva — a = z , on aura
» = -^l°gM-a), 2/ = c+^log(z + «)-
y==c+Aloga + ^(^-i^+i^— •
c + Aloga+ ^
5 „s
done
9l<px = 2A9t9m(px.
d*(px
Soit c = 0, a=l, fe=d, on aura Jlya; = -^1; done
da"
ou
^„z-= -V(2-i^ + i28 )";
en faisant n = 1 , on aura
^ == ^ iJ(fx — i * + iJ*<Px ) '
Probleme IV. Developper la fonction (p(x-\-a) en terraes de la forme
1 dxn
SUR LES F0NCT10NS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES. 73
On a T>cp(x + a) = e«°fv, et B = vnfv. II s'agit done de
developper eav suivant les puissances de ve?". Or on a (Legendre Exerc.
de calc. int. t. 2, p. 2 3 4)
b' = 1 + ft . «f + ft (ft - 2/C) + ft (ft _ 8fo)i ^ + . . .
Soit 6 = e", c = er', on aura lb = a, lc = fi, done
^=l+««*+«(«-2,9)^+0(0_W^ + --.,
done
■ - - ^ T* 2 rf^2 T" 2.3 ^ I
■ g(c — n/g)— 1 d»y(a? + w/?) .
1.2. 3. ..w rfa- I '
En posant a = 0, et ecrivant ensuite x au lieu de «, on aura
Soit </?^ = xn', on a y (a;-|-ra/?) =:(x-|-rc/?)'", done
y(B) (a; -f = m (m — 1) (m — 2) . . . (m — n -f- 1) (ju -f- ^JP-»,
et par suite
(.x- + ojr = x™ + ™ a {x + + a (« ~ 2/9) (s + 2(3)^ -f . . .
-h — 1 — i.2.9...» — ° (« - »/?) (* + nP)m~" +■■■
Soit = log x, on aura (f(x-\- nfl) = log- (a; -j- ft/?) ; done
^+^)=±1-y;ngr1);
done
log (*• + «)=: log *H ^ + 4- V'^^ + l— —
Soit a;=:l7 on aura
i /-ii \ « i i « 2/J — or | ; a / 3/f — a\2 ,
log(l -fa) =1T? + i- + + ' - • '
Soit a — 2/?, on aura
log(l + 2/3) = T^ + |-(T^ + i +
Tome n. 10
74 SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINATES.
9 1 /ii-9\«-l
iog(3)=i+ia)3+f-i-(i)3+t4K!)4+i--i-(f)5+---+~^i(^T) +
Probleme V. Developper J^cpx suivant les puissances de n. On
done
I) Al <px =fv (l+njog «- 1) + y [log ("™- + • • ') '
d'ou Ton tire, en prenant la fonetion generatrice ,
j;Vx = Vx + nfg[log(<f"- !)/«]+ 2 %[0og(«™- l))S/"]+- • •
Soit
% [log (em — l)fv] = & <px,
on aura
fg[(log(e--l))"/y] = ^^;
done
J „ <p x = (p x-\- ndcpx -|- • -g- <y2(/)£C -)- -g— ^ c?3 </)£ -|- • • • •
Pour determiner depx il faut developper la quantite log(eia — 1). On
loo- (eva — ♦) = log [ ecfl ( 1 — e~ ' " )] = we — e"^ — £ e^" — £ e^3"*
done
ihpx = a — (p(x — ft) — j (/> (as — 2ft) — J <p (a; — 3a) — j r/> (x- — 4a) -
En difterentiant cette expression par rapport a a, on aura
d (depx) = da | igjZ- -f (p'{x — a) -f f'. [x — 2a) -f — 3a) -) )
Soit
ipx -j- cp (x — a) -j- (p (x — 2a) +f- * • • ==0|
on aura
l)q9£ -|- 1) y (as — a) 4~ D<p(# — 2a) -(-•••= D()\ (pa;;
done
(1 +«-"+ e-2"" +■■•)/" = r~=sr = m <px;
done
D J, £ = 0l = [1 -f (*» - l)~l]fv ;
done
(px = ipx -j- J~l(px •
done
^ (pfx-\- J~x(p'x ;
SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEUKS DETERMIN ANTES. 75
done
et
dep x = atp'x -\- I* la 2lu cp'x.
Si Ton veut exprimer depx par ^* , il faut developper log (em — 1)
suivant les puissances dc On aura
done en posaot
/ «2 \
log I or # T^-tr -\- * • • I == log » -j- log a -|- « 4, ?; -j- a2 A2 v2 -f- • • • j
on aura
dcpx = fg (log v .fv) -j- log a . <p -]— « (p'x -j- rc2 ^42 (p''x~\- a3 ^L3 y>'"£e
Problemc VI. Developper -Jw suivant les puissances de tz. On a
D ( -S ;j = => ( i + » » + j (log »)2 +•••);
done
=(fx + n. ihpx -\- n2 d*(px-\- 2n | <?VH '
oil
1) (d(px) = log y ./tJ ;
or
log*- = - log [ 1 + I ) + log(l +v)=v - I - i (v* - j ) + i (•» - J)+ ■ • ■ .
done
$cpx=±l
| — fax .dx-{-lj ^(px.dx* — \j 3(px . cZa:3 -{-••>
On peut exprinier d(px de plusieurs autres manieres. Soit par exemple
iogV = iog(i +v-i)=v- i-t\v- iy + i(v-iy
on aura
dyx^d.ipx — ^dlyx + ^dlcpx
oil
dx (p x — ip'x — (px.
Problems VII. Developper ^*(g*9*f) suivant les puissances de It, On a
10*
done
7(5 SUE LES F0NCTI0NS GENERATRICES ET LEURS DETERM1N ANTES.
Vyx=[l + nv + n-(^v* + -.^fv = (l+vyfv,
iffx = (f>x -\- nd<px -f- y <PX ~\~ 2?"a &*9>x-\- ' ' • '
D e> ^ = log (1 + o) ./» (y-ttf + i*- • • ) ;
(T^: = y'a; — J y -f- J y>"'a! —
done
done
on
done
On a
Df(*-f«) = ^j
done
l)y(a;-f «V— I) = efl^=T/y et D y> (a; — « V— 1 ) =
d'oh Ton tire
D — — ! o — eos av 'Jvi
D— — 1 y J —<*x\\ av.fv.
2V— 1
Or on a, comme on sait,
^ = cos — cos 2av -\- cos 3 av — - • • • j
done en multipljant par fv et prenant la fonction generatrice,
i _ 9> (# + « V117!) + — «V — I) y Q -f 2a V— 1) -f y (g — 2a V^l)
i y + 3a V ^l) -f y (a- — 3a V — 1) ' y 0 + 4a V^T) -f y (a; — 4a V^l)
i g 2
-(-etc.,
SUR BBS E0NCT10NS GENERATRICES ET LEURS DETERM I NANTES. 77
on bien
(px = (p (x -f a) -\- 9 {% — a) — (p (x -\~ 2a) — (p (x — 2a)
+ f (x + 3a) + </> (* — 3a) — (p (x -f 4a) — 99 (a; — 4a)
-|- etc.
Supposons qu'on ait
pi) ■ , fv=ff(v,t)dt,
et soit
on aura, d'apres la definition de la determinante,
d(px = ^ evx ipv .f v . dv
c'est-a-dire
fiyx = . faff fa t) dt = fdtf evxfv ,f(v, t) dv.
Cela pose, soit
on aura
= era/v ./(v, f) cfo,
done
(22) (Jcpx =. fdt . (px;
or on a D&<px=jDd1<px.dt1 done
(23) Dfdt.^yx^fV^yx.dt, et ^ . fg [fv.ffa l)] = fg[fdtfv.ffa /)].
Ces equations peuvent servir a exprinier ^ cpx par uno autre operation d^px
an moyen d'une integrale dermic
On a par exemple
... . /Nil, o f ^fft . sin (votf)
(e- _ („„)-* J = 2j ^ ^ ;
done cn prenant la fonetion generatrice,
7S SUR EES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES.
On a
f
1 — cm 1 — crt'
c'est-a-dire
fa el e~ avt dt =5 «a (e-"ai; + «w e""" + a2 v2 e~aav-\ )
J a' •
— ea' (e~aa'v -f- av e-(ta'v -\~ a2 v2 eraa'v -\ ) •
En multipliant par fv, et prenant la fonetion generatrice, on aura en re-
marquant que %(«"«—/»)= *S.fc=f?) , fg (e— <» = y (x- at), I
/el (f (x — at) dt
a'
==e"[(p(x — aa)-\-a<p'(x — aa)-\-a?<p"{x — aa)-\-a*<p'"(x — aa)-\- • • •]
— ea' [cp (x — ad) -f- a(f'(x — aa')-\-a2(p" (x — aa')^\-a?(p"'(x — aa') -f- • • • ]
done en faisant a = 0 et a' = —
(px -|- a(f'x -\- a2(f"x -f- a3(p"'x -j- • • • = I el(p(x — at) dt ;
done en differentiant par rapport a x et mettant — a a la place de a,
(p'x — a(p"x -f aV"23 — as(p""x -| = / e( 9>'(aj + «/) & ;
en multipliant par da et integrant, on aura
atp'x - I- a2 cp/'x + 1 a8 — J a4 y>"" a; -| = 6'+ T il£(*±g>j* .
En faisant a = 0, on aura C= — / 99a; ; done
a(p x — \ a2(p"x -\~ -\ a3(p"'x — ^ «4 (p""x -\- • • • == / - — [</) (x -\- at) — (px] ,
et lorsque a — 1 ,
(p'x — \(p"x + J- (p"'x / 2-^ [9 (z+f) — </>a:].
De la il suit qu'on aura
dn{ex(px) I «2 1 «3 va 1 1
== e + wctya; + j (5>a+ 2 . %$fr*f\ ) ' .
('° e-'dt
on o yaJ = / (a: — /) — g?2j].
SUlt LES FUNCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES. 79
On a
= / eaotdt,
av av .
*J a'
done en prenant la fonction generatrice,
J (p (x -\- aa) dx — J \p (x -f- aa) dx — a f (p(x-\- at) dt.
J a' s
On a (Legendre Exerc. de calc. int. t. II, p. 176)
C * dt . cos (avt) 'it
Jo '
done
dt w(x-\-atV — i)^-tp(a; — atY—i) u ,
J0 T + ^ 2 Z = T9(*±«>
Soit par exemple cpx =z — , on aura
J0 (l + «»)(«» «q^*)— 2//
En effet,
71 I
Jo (1 +«f)(«,«i + **)"" *,-«,U, i + ^2 Jo ^+^2)_
2 (»p -j— ' a)
Soit — — , on aura, en faisant at = z sin (p, ce = ?! cos
[a? + at V — 1 ) + tp (as — at Y — 1)
*^ — 2 - = z cosm/),
or 2 = ya;2-[-a2^, <p = arc tang— , done
0 T (;t;* + a*«*)» ; J*
Soit par exemple 71=. -}%, on aura cos | -tp = j/~ ^°-^ = j/i | ^ + y^f=^|)
done
cos «<jp cos .] cp y \ (x -\~ Vx* -{-a- 1-)
done
80
SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES.
On a z — * = f* , done t = — tango?: on tire de la
cos y sin ff 7 a ° • '
(ft ax dtp
done
done
1 -|- 1* a 2 cos2 rp -j- .i' sin2 r/>
(cos fl>)"
2 cos 7299 = v ^ ■ cos ;
dt „ a (cm cp)n cos ncr . d<p
7— i — 5 2 COS 7UD = ■ -± . Y i-
1 -f < - r a a 2 sin2 f/> + a 2 cos2 y
jt a"-1 _ /' 2 (cos r/0" cos w<?> •
2 a (a* -}- a)" J (as sin y)2 -f- (« cos r/>)2
? a (a* -j- a)" J (a- sin y)2 -f- (« c(
Soit cc = .£ , on aura
7T
2 n+ 1 == J (cos y)" cos w9 • d(p.
On trouve encore chez ]\L Legendre les deux integrates suivantes
ft . sin at n , -. _as
(1 _j_ — "2" V1 — e )>
2C"
I' "» /(ft . sin a/
Jo ^-H2""
done on aura, en faisant a — an et prenant la fonction generatrice,
J0 *(i + *2) 2Y=i ~ 2 Lyx ^l'c±«)J
_fcft y (a + at V^l) - y (a - at j -1) _ tt
J0 l + f« 2V-1 -2^^±«j.
En ajoutant, on aura une troisieme formule,
C * fft (f(x-{-at V^l) — qp (a — <rf V^l) n
Jo^'~ ~2Y=i ~ - 2 ^'
ou bien en faisant a = 1 :
cft g (a + * V — l) — y (.« — * V — 1 ) « „
j0 v TT^r -2^
hoit par exemple <px = n , t = -.c. tang y, on aim
done
SUR LES FUNCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES. 81
dt _ dep
I COS (f . sin<jp '
ff(.v4-tV — l) — wU — tY^l) lcosw\n .
1 sin%<^,
2V— 1 I x
I dcf> , g wY-1 sin nw = ~
Jo *m(f ^2
Tome II.
11
XII.
SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES.
On a vu precedemment que
:c
C 2 (cos (f)n cos ncp. dcp it xn~x
j0 .r2sin2 cp -f- a2 cos2 cp 2 a (x -{-«)"'
or
n2
(cos (p)n= l-\-n log cos cp -\- -g- (log cos cpf -\- • • • ,
n 2
coswy=l — -j- y2 + 2X4^4 >
done
(cos ^))n cos ncp = 1 -[- n log cos ^ -f - [(log cos </))2 — cp?~\
+ O [(% cos y)3 — 3y2 log cos cp ] -\ f- r(^1} ^m + • • • ,
ou Ton a, en faisant pour abreger log cos y = ^,
Am tm tn'2 cp2 , tm-ACfi tm~6 Cf6
r(m+ 1) — r(m+ 1) r(3) l) T r(5) r(»n— 3) ~~ 7(7) r(m— 5)
0r ^^=1 + ^log^ + ^(%^«f + ---, done on aura
^.-Iflog- x Y=F A"d(?
2 <*x \ oaj-j-o/ J0 ^2 sin2 9) + a2 cos2 9)
SUE QUELQUES INTEGRALES DEFINIES
Ainsi Ton aura
it
it 1 C 2 dcp
2 xa
2 .ra JQ x2 s'm2q) -\^cc2 cos2rp
n
1 j _ at C 2 log cos cp . d(p
:a °^ x -\- a J 0 x2 sin2 9) -|- a2 cos2 9)
* . JL / W * f — f 2 [(logcQ8«)p)8-ya]rfy
2 #cr \ <t' — j— of J J x2 sin2 r/) -J- a2 cos2cp
En faisant x = a on aura
7t
par exemple
7T /» 2
y log i =y o • log cos (p.
Soit cos (f=y, on aura o?c/5 = ^ , done
yi— /
log 4- r1 .^-^ rv,
7t
En effet on a
f1 sev-idx f^xP-1 —
J 0 *m — ...w„ J 0
0 1/0 V(l—
clone
or
84
SUR QUELQUES 1NTEGKALES DEFJN1ES.
On a
Soit <px = (log cc)n, on aura
rt * . nog c, + g t^i)]. + [iog(, _ gy^ai! = * [Iog (. + „«.
Or on a
log (x + at Idl ) = log * + log ( 1 + A ( )
= log a; -j-
iogfi + -«y — i)_iogfi— -ti— i) i .
= log.^+|log(l + ^/2) + y-l.arctang(-|
= i log {x% + <* 2 12) + • arc tang j ~ j .
at
Soit — = tang (p1 on aura
log (x~\~at\/ — 1 ) = log x — log cos if -\- (p ]/ — 1
dt , ax . dcp
done
71
Jo *S
dtp
1 — j— ^2 .c2sin2y-f- as ' cos? (p> '
(^-^ + ^^)"+(log^-^"l)'
;2sin2<jp+a2cos2y 2
En faisant x = « = 1 7 on aura
1
2xa
r 2
/ d(p
J 0
loe*
cosy
- v f=T )" + ( iog _L + <f y _ j )" ] _ „ (Iog 2).
On a aussi en general, en faisant ? = tangw,
7t
J0 duW {^-\-ctY—^ tangw) -\-(p(x — «y — 1 tangw)] =7itp(x -[-«):
done en faisant & = a = 1 , on aura
71
tangw) -\-<p (1 — y — 1 tang?/)] = 7i(p{2).
SUK QUELQUES INTEGltALES DEFIMES.
85
Soit wx -— ^ — : -, on aura
' 1 -fr a:i;n 7
(p(l-{-^^lt'dngu) _ (1 + l/~ l^ng^)CT _ (cos mu -f V^l sin mu) (cos n)«
! + V— 1 tangw)" (cos u)» + a cos nu-\-a V^TT sin
(COS u)n — M
= [(cosu)» + acosH2 + «2sin^M ^ kT C0S mw + « cos (» — *)«
+ K — 1 ( (cos m)m sin mu, -f - a sin (m — w) m) ] ;
on tire de la
it
C 2 (cos «)»-»» [cos mu (cos w)n -j- a cos (w — w) u] _ tt 2m
J0 (cos ufn + 2a cos nu (cos w)» -f a2 TTfc^'
Soit m=:0, on aura
C 8 (cos w)ra [(cos w)n -j- a cos ww] rfa 7t 1
J0 (cos ?t)2n + 2a cos wit (cos w)» -j- a2 ~2~" 1 -j- a 2"'
Soit m = n, on aura
T2 cos (cos u)" -f- « 7 ?r 2W
J 0 (cos w)2" -}- 2a cos ww (cos u)n -f a2 2 ' 1 -j- a 2 " '
Si par exemple rc=l, on aura
_ r"3" (cOS uf-^a _ /' 1 y2 + «
l+2«— J0 (cos w)2 (1 +To) — J0 y2(l + 2a)+a2Vl^2"
Rep reuons la formule
71 v
Y ' ji, —j (cos ff 608 ^ • ^V3-
boit ??, = — on aura
w 7
7t_ 1
2 •
2«
r 2 n ?«
: / (COS if) COS — if) . C<ty>.
Soit (£- — Q on aura
w 7
Tt m
, 71 1 Z*2" *
— • — — = / (cos nO) cos mO . dOj
2 n ^ 0
or
cos
gg SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES.
dy
done en faisant cos 6=y, dB —
„COS— n
2n ^ Jx ^yi-y
ou
w=y--!^^(i-^ + "(»-1)2C»8-f(»-8)^(i-y'y
/jf= jr - ^^(i-/)+m(m-^r42)('"-3)y-(i-/y
Soit par exemple wi=l, tz = 4, on aura
Si Ton fait ^2 = 1 — z\ on trouvera
7C_ J_
V2
^ Sin — 4
= / dz^l — 8z2-f8z4.
J 0
XIII
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES.
CHAPITRE I.
RSduct'wn de Viniegrcde f Pdx par des fomtions cdqebriques.
J + + yx* -f 8x* + ex* J VI
1. Pour plus de simplicite je designe le radical par fB, on a done a
considerer l'integrale
rPdx
P d£signant une fonction algebrique rationnelle de x. On peut, comme on
sait, decomposer P en plusieurs termes de la forme
Axm et i A \ ,
(x — d)m
j> I Pdv
m etant un nombre entier quelconque. L'integrale proposee / est done
immediatement decomposable en plusieurs autres integrates de la forme
/xmdx C dx
Ye e J (*— *y*.V&'
Cherchons les reductions qu'on peut faire avec ces deux integrales, en
les considerant d'abord separdment, et puis ensemble.
88
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
2. Pour trouver la reduction g&idrale dont cette integrale est suscep-
tible au moyen de fonctions algebriques, il s'agit de trouver la fonction alge-
brique la plus generale, dont la differentielle puisse se decomposer en termes
Axmdx
de la forme _ ; car apres avoir integre la differentielle ainsi decomposee,
il est clair qu'on obtiendra la relation la plus generale qu'on puisse obtenir
/x mdx
Or on sait par le calcul differentiel qu'en differentiant une fonction qui
contient des radicaux, ces meines radicaux se trouvent aussi dans la differen-
tielle; il est done impossible que la fonction cliercliee puisse contenir d'autres
radicaux que \R\ elle est done de la forme fix, Y-R), f designant une fonc-
tion algebrique rationnelle de x et de Une telle fonction est, conime on
sait, toujours reductible a la forme Q' -\-Q ^R, Q' et Q designant deux fonc-
tions rationnelles de x. Or il est clair qu'on peut faire abstraction du pre-
mier terme Q\ puisque sa differentielle ne contient que des quantites ration-
nelles; on a done
f{x4li) = Q^B.
En differentiant Q [//?, on voit au premier coup d'oeil que la differen-
tielle contiendra necessairement des termes de la forme — A.dx gj q est
(x — a)mYR
fractionnaire; car supposons que Q contienne un terme - — — r^, on aura, en
( tV CI J
differentiant , ^N ,
(x — a)m
d
i i dR
YR \ mR
(x — a)MJ — a)m
m + l
dx
it
Or, quel que soit m, il est impossible que le coefficient de ~~ dans l'expres-
sion prec&lente puisse devenir entier, a moins que R ne contienne deux ou
plusieurs facteurs egaux; mais ce cas doit etre exclu, puisqu'alors l'integrale
proposed serait de, la forme f=j=L ; done, comme la differentielle ne
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 89
j • • l Axm dx
doit contenir que des termes de la forme ■ , il faut que Q salt uue
fonction algebrique entiere de x- on a done
e=/(0)+/(i)x+/(2)x8H h/(»K-
3. DifFerentions maintenant la fonction trouvee Q YE, On obtiendra
d'abord
done
d( QVii)= SdQ+-*Q<& .Jl^s—-,
' ' dx -i/K> i/T>
dx yjz YR
dx ~* Y ^ dx
ou S = B(^+4,QdE
On a
R = a + fix + yx2 -f cfe;8 + ex\
Q =/(0) +/(1) * +/(*) + • • • +/(») *•
done en differentiant
^ =/W + 2/(2) 0 +.8/(8) *>+ •••+»/(»)
En substituant ces valeurs dans l'expression de S, on obtiendra
S = (« + fix + yx' + fe3 + ra4) [/(l) + 2/(2) aH (- nf(n} x->]
+W+ + 8«fc' + 4fx3) [/(o) +/(i) x + • • • +/w x"].
Soit
£ = y(0)-f-y (l)a?4- • • • +(p(m— l)x,"-1-{-<p(?n)xm.
On obtiendra, en developpant et comparant les coefficiens, l'equation ge-
nerate
<f(p)^(p + l)/(p + 1) • o +p/(p) . /» + (y - i)/(j? - 1) . y +(jp-2)^ - 2) . ,y
+ (P ~ 3 )/(y - 3 ) . , + fcflp ) . /? +/(JJ - 1 ) . y + |/(p - 2)'. J + 2/(j; - 3) . ( ,
e'est-a-dire
j V(p) = (p+l)/(p+l).a + (p + i)/(p).fl+p/(p-l).r
I +(i'-i)/(^-2).J + (^-l)/(p-3).f.
Tome II. 12
90 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
En faisant successivement jo = 0, 1, 2, 3 . . . ra, on obtiendra tontes les equa-
tions qui resultent de l'egalite des deux valeurs de S.
Quant a la valeur de n1 on trouvera n-\^S =m, done
n — m — 3.
/ — d\Xj
4. De l'equation d{Q\R) = S -7=, on tire en integrant
YR
et en substituant les valeurs de Q et de S,
/ *-\\ C dx . fxdx , - / ,v f xm'-l.dx . t s fM
= P[/(0)+/(l)^+/(2)^+ • • • +/(■».- 3). a—].
(b)
Cette Equation contient la relation la plus g&ierale qu'on puisse trouver
/' xm dx
et e'est de cette equation qu'il faut tirer toutes les reductions dont les inte-
grals de cette forme sont susceptibles. Le premier membre de cette equa-
/Pdx „
designant une fonction entiere de x, qui est integrable par des fonctions al-
gebriques.
5. Considerons maintenant l'equation (b). Comme la fonction multi-
pliee par ^R du second membre doit etre entiere, il faut que m soit £gal ou
plus grand que 3. II suit de la qu'il est impossible de trouver une relation
entre les integrales /— — » / — — , I — — , et que par consequent ces trois
J YR J YR J YR '
integrates sont irreMuctibles entre elles par des fonctions algebriques. Si au
contraire m est £gal ou superieur a 3, on voit qu'il est toujours possible de
/x m dx '
— =- a des inteVrales de la meme forme dans lesquel-
VR & 1
les m est inoindre ; et il est evident que les seules integrales irreductibles
sont les trois suivantes
I' dx Cxdx fx2dx
J YR ' J V R ' J YR '
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 91
Ces integrates sont done les settles fonctions transcendantes contenues dans
— ^ , P etant une fonction entiere.
6. lour reduire l'integrale J y|r> faisons dans I'equation (b), cp{in)
— — 1 , nous aurons
- V* [/(0) +/(1) x +/(2) x2-| \-f(m - 3) «-•].
D'apres ce qui precede on peut faire
tp (to — 1) (to — 2] ±= • • • == <p (3) == 0,
on a done
(c)
- P E/(0) +/(2) »2H h/(™ - 3) x-'] .
II reste a determiner les coefHciens
<f (0), ftfft 4 (2). /(0)> /(1)> /(2) • • • /(•» - 3).
Pour cela faisons dans l'e'quation (a) p — 0, =5= 1, . . . p — ra, on obtiendra
les equations suivantes, au noinbre de to -J- 1 :
y(0)= /(l).a + i/(0).ft
rfl)= 2/(2) . a + . /9 +/(0) . y,
9 (2) = 3/(3) • a + f /(2) . /? + 2/(1) . y + 1/(0) . $
0 = 4/(4) . a + 1/(3) . ft + 3/(2) . r + 1/(1) . 9 + 2/(0) .
0 = 5/(5). a+ |/(4)./? + 4/(3). y + 1/(2). * + 3/(1).,,
0 = (to — 3)/(to — 3) . a + (to — |)/(m — 4) . /? -j- (to — 4)/(w — 6) . f
+ (m-^f(m-6)^ + (m-6)f(m-7).81
0 =(to— | )/(to-3) . /?+(w-3)/(to-4) . /+(wi-D/(w-5) . <?+(to-4)/(to-6) . f ,
0 =(??i-2)/(to-3) . / + (w— §-)/(to-4) . <?+(?/i-3)/(to-5) . f ,
0 =?= (to— f )/(to-3) . J+(to-2)/(to-4) .
- 1 =(to^1]/(to-3) . * ^ £^ £m*»*bh
en reniarquant que tp (to) = — 1 , y (3) = y (4) = • • • — (f (to — 1) = 0.
12*
92 THEORIK DES TRANSCEND ANTES ELL1PTIQUES.
Aa moyen des m — 2 dernieres Equations on peut determiner les m — 2
quantitds / (0), f(l), . . ./(w — 3), et les trois premieres sefviront ensuite a,
determiner y(0), y(l), <f (2). En eliminant on trouvera
/(OT_3) = ^-T'-'
' m — 1 e
/ (m — 4) = ^^iy(J— 2) " 6T '
f(m — & -2) . X - (^-|)(^-f) . *
/Ym rv (^zj) g (m-|)(m-3) (m-2)(n»-j)
(m-l)(m-4) e2 (to-1)(to-2)(to-4)' £3 (to-1) (to-3) (to-4)' fi3
(to-1)(to-2)(to-3)(to-4) £4
(m— 3) a (m—\
-1)(to-5) * £2^ ~~ (m-l)(«
(to— 2) (?»— 4) /2 , (to— -f) (to— $=) (to— 4) /()'!
(to-3) a ^_ (TO-f)(TO-f) /M
■' K ~ (m-1) (to -5) ' £2 (m- 1) (to-2) (to-5) ' £3 (to- 1) (m-4) (to-5) ' £3
(to — 1) (to — 3) (to— 5) £3 1 (to— 1) (to— 2) (to — 3) (to — 5) £ 4
, (to— f) (m-3)(m— f) yd2 . (m-2) (m— |) (m-f) yd2
' (m-1) (to-2) (to-4) (to-5) ' £4 *■ (to - 1 ) (to - 3) (to - 4) (to - 5) ' "e4"
(ro-f ) (to-| ) (m- 1) (m-f ) ^4
(to - 1) (m - 2) (to - 3) (m - 4) (to - 5) * '
7. Pour exprimer en general le coefficient j{m — p\ faisons £ = £(0),
^ = £(1), y — ^\ /? = £(3), cc = £(4). Cela pose, on peut aisdment se convaincre
que f(m — p) est compose de termes de la forme
(-1)
k + 1 \ / k'+k\ f hin) 4- k^-v \ ( k(n) 4- P — a
m £ — TO • • • TO TO
,+1 V 2 / V 2 J \ a ; \ 2
(to — 1) (m — k) (to — A;') ... (to — ifet"-1)) (to — &<»>) (to — p -f 2)
fi(*— 1), jfc)_ — A;') ( ^ t (»)_*(»— 1))^ €(p_;fc(«)_2)
X
£« + 3
ou les quantites fc, h\ 7c", etc. p — 2 suivent l'ordre de leur grandeur, de
maniere que A;' > 7c, 7c" > 7c', etc. p — 2 > &(w).
En donnant avec cette restriction toutes les valeurs entieres aux quan-
tity fe, 7c', 7c" etc. 7c(n), et a w toutes les valeurs entieres depuis le p\m
grand nombre entier compris dans *? 2 jusqu'a p — 5, et en remarquant
que chaque denominatenr aura n -f- 3 facteurs binomes, on obtiendra tons les
termes dont f{m—p) est compost. On a done
y
THEOKIE DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES. 93
Jf(m -P) = ,£=2£2 . (-^)(-^-(-^ h ^)
W(Jy /; «"+3 (»»— 1) (»«-*) — *>)... (m — *<»))(m — p + 2)
Ayant ainsi trouve les quantity /(0), /(I), /(8) . . ./(to — 3), on a ensuite
U(0) = «./(1) + W(0),
W v(l) = 2«./(2) + |/?./(l) + /,/(0),
( 9(8) = 3 « ../ (3) + f /? .J (2) + 2 r ./( 1 ) + 1 J ./(0).
8. Appliquons ce qui precede h xm exemple, et proposons-nous de re-
duire Fintegrale
/
x*dx
in
On a m=4, n = m — 3 = 1, done
-ys[/(o)+/(i).*].
Par les equations precedences on a, en faisant m=.4,
fM = ~ v ' /(°) = if* - -A2) =^(3) = etc- = °-
En substituant ces valeurs dans les equations (e), on aura
cp(0)
*(2)=* -^-f-y
En substituant ces valeurs, on aura
+
w
/(J
+
J2
£2
-1
(J
/#4 / 5 (id . a \ C dx
£ \ fx*/,-
94 THEORIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
9. Dans le cas ou = j/ = (T = 0, la valem* de jira — p) se simplifie
beaucoup, et se reduit h un seul teraie. En effet, comme — = g(3) — 0,
f(4) = a, il est clair que tous les termes s'eVanouiront dans l'expression de
f(m — p), excepte ceux dans lesquels on a h — l=k' — h = h" — lc' = - • •
==^_2 — fe<»>=4. On a done &=5, fc' = 9, fc"= 13, . . . fc(B) = 4rc-f-&,
- ii
2>=4w-|-ll, d'ou «=- — -p-. Chacune de ces quantitds », 7c, Jc(n) n'a
done qu'une seule valeur, d'ou il suit que / (m — p) ne contient qu'un seul
terme. De plus comme on a trouve jp = 4w~}-ll, il est clair que toutes
les quantites f(m — p) s'eVanouiront, excepte celles de la forme
/ (m — 4n — 1 1), dont la valeur est
i\n+i (m — 3) (m — 7) (m — 11). ..(m — 4n— 7) «"+2
(~ ) (m — 1) (m — 5) (m — 9) . . . (w — 4n — 9) " «"+3 '
ou bien en mettant ?i — 3 an lieu de »,
r/ a i i \ / , v - O — 3) (m — 7) (in —11)... (> _ 4 w + 5) a1'-1
f(m— 4n-\- 1) = (— lr^ £± ^ M i . —
l/ v (ra — 1) (m — 5) (ro — - 9) . . . (m — 4n -{- 3) t"
Pour determiner </>(0), y(l), y(2), il faut distinguer quatre cas:
1) si m = 4r, 2) si m = 4r-)-l, 3) si m=4r-|-2, 4) si m — 4r-j- 3.
Dans le premier cas on a
/Y4 • _ 4 J_ n r 1 V (4r — 3) (4r — 7) . . . (4r — 4n + 5) a*-1
En faisant n — r, on a
f(\\ — ( 1V5.9.13...(4r-3)
; V ' 3.7.11...(4r — 1)' e* '
y(0) = «./(i), y(i) = y(2)=o; I
Dans le second cas on a
tf4r - 4rc -1- 2^ - I IS* (4r-^2)(4r-6)...(4r-4w + 6) a-1
En faisant ?2 = r, on a
^ _ , nr 6.10.14. . . (4r - 2)
/W — (— 1) 4.8.127.T4r P7"'
y(l) = 2a./(2), y(0) = y (2) = 0.
Dans le troisieme cas on a
f (At 4?? -1 Vi — ( IV ftr— l)(4r — 5)...(4r-4n+7) a—1
^ > -(4r+l)(4r— '6)...(4r — 4w + 5) ' e» '
En faisant = r, on a
THE0R1E DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES. 95
_ / iy7.11.15...(4r-l) afr*
J \6) \ A/ 5. 9.13...(4r + I)'~^'
I y(2) = 8a%/(8), y(0) = y(l) = 0.
Dans le quatrieme cas on a
/a —4 -L/Ti — r— n« 4r (4r — 4) (4r— 8) . . . (4r— 4n + 8) a"-1
47l-f-4]_(^ 1J . (4r + 2)(4r— 2)...(4r — 4« + 6) ' e" '
done
f(l) =/(2) =/(3) = 0, <P (0) = ? (1) = y (2) = 0.
10. On a vu que trois fonctions transcend antes sont necessaires pour
intea'rer la differentielle / — '■=. P etant une fonction entiere. Done si Ton
veut reduire ce nombre, il en resultera necessairement certaines relations
/Pdx
integrable algdbriquement, on doit faire (p(0) = e/)(l) = y(2) = 0, d'oii il
resultera, entre les cinq quantites ec, d*, f, trois relations, par lesquelles
on en peut determiner trois en fonction des deux autres. Deterniinons par
■ devienne integrable algebrique-
v 11
nient.
On a vu precedemment que dans ce cas
•>(0)j=*"S— 1
€2
fc, (J2 V
V(8)= I 'p— *-7-
Comme ces quantites doivent etre egal^es a zeVo, on trouvera
d* d'2
V 3 . 5 . _ 15. _ ,
done
vr5 <53 d3
/9 O 5 .jCL 5.15._ 25.-—,
M = HI • S + » ■ > * + if • | «4 i
96
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
done lorsque Ii a cette valeur, on a
dx _ I - 6 1 \ | rjj
En faisant $ = 4 et « = 5, on obtiendra
TV(^ — l)Vl + 2a;-(- 3«2 + 4z3-|-5
Redaction de l inteqrale I —
J (x — a)mV.
11. Pom* reduire cette integrate il faut, d'apres ce qu'on a vu prece-
demment, differentier QYB en supposant Q fractionnaire. Faisons d'abord
V a? — a ~l~ (a? — a)2 ~T O — a)3 ■ ' ' ' T* (A._a)m-i »
d'oii Ton ddduit en differentiant
^ _ _ ^(l)rfa? _ 2i//(2)^' _ %\p{3)dx _ _ (m— 1) ift (m— 1)
O— a)2 (a? — a)3 (a; — a)4 ' (x—a)m
Pour rendre les calculs plus faciles, faisons
R=a^Px + yx2 + dx^ex' = a' + p\x~a) + y\x — a)2 + ^\x~a)i + 8,(x~a)\
Pour determiner a\ /?', ;/, mettons sc-f-a au lieu de a;,' nous aurons
a>+ fx + rV + d'x3 + € V = a Jr(3(x + a)+r(x + ay + d(x+aY+t(x + a)i.
On tire de la
a ' = a + (3a -f- ^a2 -f Ja3 -f- m4,
/3' = /3 -f- 2ya -f- 3 (5a2 -f 4ra3,
= 3(?a -j- 6 m2,
En differentiant B on aura
^=:^ + 2/(x-a) + 3^(:r-a)2 + 4^^-a)3.
Maintenant la differentielle de Q^R donne
d{QyE)=ItdQ+iQdB; j
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 97
done en substituant les valeurs de B, Q, dR et dQ on obtiendra :
Supposons
S = y'(0) + <p\ 1) (a — a) + <pp) (x - af + AW _|_ ^I2! _| 1 *1™L .
T w 1 T v y v 3r v /.v ' 1 tf — a • (« — a)2 1 1 — a)m
Cela pose, on obtiendra aisement
K y'(2)= Mi),
„ | xCp) = — «'{p — i) vtp — i) — F (p — i) f(p) — r'p f(p + 1)
I ' -<*'(i>+i)V(i>+2)-«'(i>+l)V(i>+3).
Faisons
y'(0) + V'(l) (* - a) + 9»'(2) (* - «)' = ?(<>) + <f(l) x + v(2) x>,
nous aurons
cp(0) = y'(0) _ a _|_ a2 ^(8) = - *>(3) - i - (i ad' - «V) tf<l),
^(1) = cp'(l) - 2a cp>(2) = (£(?'- 2 a,') ^(1),*
_g<2) = ^(2) = aV(l),
on bien, en substituant les valeurs de J" et e',
J y(0) = -(|«<y + ea2)^(l)-i(<y + 4a6)./.(2)-{V/(3),
(8) < <*>(!) = HV(1),
( rt^Mi)-
dv •
12. Si Ton multiplie la valeur de S par — ~ et qu'on prenne ensuite
Tinteg-rale de eliaque membre, on obtiendra en substituant la valeur de
[ a* — a — ot)2 (.r— a)3 T T (^-a)™"1 j
Tome II.
13
98 THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
/>
{x ; d j"1 y R
/dx
- — : m - peut done
etre exprimee par les trois integrales J , J —= , J -^=- et par l'integrale
; mais celle-ci est en general irreductible. Je dis en general,
(x — a)VR
car on concoit qu'on pourrait determiner les quantites a, a, y7 f, de
telle sorte qu'elle devint reductible, ce qui a effectivement lieu, comme on
le verra ci-apres.
En faisant dans l'equation (h) /(ra)= — 1, /(2) = /(3) = /(4) — • • •
— yi{m — 1) = 0, on obtiendra
f * = v.(o) + 9 a) + y (2) r ^ + / (i) r — -
Vg f gfl) I gffl I g@ I i il>(m-l)
' I ^ — a — a)2 ' (a- — a)3 ' ' (x — a)7"—1
13. Pour determiner les coefficiens, faisons dans l'equation (f) p = 1,
2, 3, . . . m, nous aurons les equations suivantes :
X(l) = -i W) - />(2) - 1 <>>(3) - 2*>(4),
0 = 2«>(2) + f /9>(3) + 3/^(4) + 7 j^5) + 4e>(6)) j
0 = 3« >(3) + 1 /?>(4) + 4r>(5) + 1 *>(6) + 5e>(7), ,
0 = (m — 3) «>(m — 3) -f - [m — f ) — 2) -f (m — 2) ;/> (?» — 1),
0 = (m — 2) (m — 2) -f (m — f ) fi'yj (m — 1),
1 = (ra — — •!)•
En eliininant on trouvera
11
\p[m — 1) =
m — 1 a'
V> } (m-l)(m-2) a'*
u,(m-$)— ("-*)("-*) £2 (m— 2) £
rV 7 (m— l)(m — 2)(m— 3) a'3 (m— 1) (in —3) ' a'2 '
Pour exprimer le coefficient general, faisons R—fx. On tire de la
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES.
99
/ r o> d fa , d%fa y d%fa ,_ d*fa
a ~~Ja' 1 ~~d~a~> 7 ~27da~^ ° ~2.3. da*' € ~ 273.4. do*
Cela pose, on aura en general
.(«) i D\ /.
V I'" 1^ (/«)»+» (m — 1) (ni — k) O — k') . . . (ro — (w — p)
rf*-Va d*-*/a dt-k{n)fa
X T72 ...(*— 1) da*"1 ' 1.2 . . . (k' — k) dak'~k ' ' ' 1 . 2 . . . (p— jfe(»>) daP~k{n) '
le signe 2 ayant la meme signification que dans l'equation (d).
Ayant ainsi trouve' ip(m — on aura </>(0), qp(l), (p(2) par les equa-
tions (g), et /(l) par l'equation
f"a f"'a f""a
(i) = - i/'<*v(i) - o - 1 <K3) - 2 roi **)■
— . On a m = 2, done
<Ki)
^' /a ~~ a + /?a + ya2 + da3+£a4'
X\l) — TJ a.ip{i)— t ^ — i^^i^i^i^'
En substituant ces valeurs, on obtiendra
f dx _ («a2 + \ da) f ' dx . C xdx , S C x%dx
\ ,\r > J V/r~2/«J y/x 1 fa J i fx
f a, f\ dx Vfie ;
Si a — 0 on a
f js (5 ('xdx , e fx*dx l fj** ~^ Ti .
J w5 ~" 2a J Vi? « J W Y a J * YR ax '
100
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
15. Par la forme qu'on a trouve'e pour les quantites ty(2) etc.,
il est evident que I'equation (i) peut toujours etre employee si a'^rO; mais
dans ce'cas elle devient illusoire h cause des coefnciens infinis. II faut done
considerer ce cas separement. Or a etant egal h zero, on a x(m) — 0»
done I'equation (h) prend la forme suivante:
oh Ton a mis m-\~l a la place de m. Dans cette equation on peut faire
m=l. Done il est dans ce cas toujours possible d'exprimer 1'intdg'rale
= par les trois integ'rales
/dx Cxdx Cx2dx
yl' jyl' JyS'
Pour acliever la reduction, faisons %(m) = — 1, ^(1)==^(2) = - ■ • = 0.
Par la on obtiendra
f #1)
4>(m
\ x — a
(x — a)2
(x — a
r)
(10
x2dx
t/<l) . v<2) , , #»)
(# — a)2 1 1 [« — a)m J
En faisant maintenant dans I'equation (f) p.= 1, 2, 3 . . . m, on obtiendra
les Equations suivantes:
0 = * /?>(!) + r>(2)+|(y>(3) + 2£>(4), ' I
0 = 1 /?>(2) + 2r>(3) + f ,?>(4) 4. 3*>(5),
0 = 4 /9>(3) + 3y >(4) + 1 + 4*>(6),
0 = (m-|)/?> (m-3)+(m-3) ;/> (m-2)-f(ra-f ) J> (m- l) + (m-2)«>(w),
0 = (m-f ) p'y (m-2) + (m-2) ftp [m- 1) + (wi-f) (5> (w),
0 ss O— !) (wi-l) + (w- 1) ^> (m),
1 = (m-i)/?>(w).
De ces Equations on tirera en eliminant:
THEOUIE DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES.
(«._!)
i//(m — 2)
(m— l)(m — 2)
(m-|) &
(m- i)(m-|)(m— 1-) ^» " ~ (m _ j) (m_ f) ' ^ :
etc.
Lc coefficient general pent s'exprimer de la maniere suivante:
i\ / k'-\-k-l\ I 1<»)-1_*<»-1>_1\ / jfc<»>4-»
1 ' ?/l 1
2
(m)
^ ^ (/'a)»+s (*»—*) (#» + j — A) (m-j-^- — k') . . . (m+|— jfe(«>)
X
1 2...k.dak 1.2... (A;' — &-|- 1) daP— *+« ' ' i , 2 . . . (p — /fc(n>+ 1) do'— *(M)+1
16. L'dquation (1') a lieu si a' — 0, c'est-a-dire si a -\- fta -\- ya2 -\-
da3-\-sai = 0. II suit de la que x — a est facteur de i?. Done:
"Toutes les fois que x — a est facteur de B7 on peut exprinier l'inte-
-i C dx , , , C d.x Cxdx Cx2dx
2*rale / — - — par les trois integrates 1—7=1 1-7=1 I ,— . Dans
6 J (jc—drVR J YR J YR J YR
tout autre cas cela est impossible, car l'equation (li) suppose m > 1
Proposons-nous de reduire l'integrale / *~z~7&'i x — a ^tant facteur
J (x—a)yB
de R. Comnie m= \1 on a
J(x-a)YR " J YR J VR J YR f *— a
l/equation (m) donne == t7^~f?^ ? et ^es equations (g) donnent
y(0) = -K+i,y«)»Ki)
2e
y(2) = . |Kf)=y»s-
En substituant ces valeurs on obtiendra
C dx _ _ (2co2-f ad) C dx , _d Cxdx ■ 2e /Vcfo 2_
J (* _ a) — fa J YR *~f'aj YR f'aJ YR f'« *~ « '
102
Soit
THEORIE DES TRANSCEND ANTES ELL1PTIQUES.
R=(x — a)(x — a') (x — a") (x — a'") = fx,
on aura
fiz= — (a + a'+ a"+ a!"\ s = 1, fx = (x — a') (x — a") (x — a'") -|
fa = (a — a') (a — a") (a — »*"),
En faisant ces substitutions, on aura
T da? a? — a(a'-\-a"-\-a"') Cdx aJra>J\-a'>Jra"> Cxdx
J{x-a)YR~ "(«-«')(« — 0(«-0 J >^ ~ r«— «')(«— O («- O J 71
Vi2
(a — a') (a — a") (a — a'") J -y/ft (a — a') (a — a") (a — a'") x — a
17. Cherchons maintenant a trouver une relation entre des integrates
C dx
de la forme / ■== • Pour cela faisons
C dx
rme /
J{x-b) YR
dx
(x —b)YB 1 • x w J (x — b')YR 1 7 v 'J (x — b") i/R
En differential, on voit aisement que la forme la plus general e qu'on
puisse donner a Q est la suivante
q_ 4 i 4' i A" , A'"
x — a ' x — a' ' x — a" x — a'" '
x — a, x — a', x — a", x — a'" etant les quatre facteurs de R. On a done
TV 'J(m—$VB 'J (a-oOVS ~ V 'J (.v—a")YR ~ V 'J {x-a'")T/R
=r etc. trouvees plus haut,
y(3) /-a- Jjya
71 4
A'
1 A"
4'" \
.r — a 1
x — a'
1 .r — a"
x—a'")
(x—a)YR
^0)"~7^ — ^ h<K2)
fa'
fa"
~H fa ~T /V -T /V, ~t-/V" | J
, /2ey(0) , 2«g<l) ■ 2£y(2) ■ 2€y(3)|
~H /'a X /V i- -T-f'a'" )J >
+ /'« . ^+7v~ | ^ + 7^ | +7V77
a*— a x—a' ' x — a" ' or — a'"
THEOME DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 103
On a done
, _2jr<0) ,,__2jp(1) _ 2cf(2) _ 2y(3)
fa ' fa' » * — ~7V^"' A — —/V77 '
4(2«a8-f- a*) + ^,(2ea,, + a,J) + A"(2ea">+ a" d) + ^,//(2£«///2 + a/,/(T) = 0,
On voit par la qu'on peut faire l'une quelconque des quantites A, A' etc. egale
a zero. Soit par exemple A!"— 0, on aura
A" — — A — A\
A [26 (a2— a"2) + d {a — a")] + 4' [2t (a'2- a"2) + tf(a'— a")] = 0;
done
4 '= - ^$^90^9) ^=2f(«2-«"!) + *(«-«")=(«-«")(a+«"-«'-«"'),
en faisant
A = 2£ (a"2 — a'2) -f J (a" — a') = (a" — a') (a* -fa'— a — a'"),
et par suite
4"= 2e («/2~ a2) -f £ (a'— a) = (a'— a) (a'+ a — a7' — a'").
On en deduit
y(0) = i (a — a') (a — a") (a — a'") (V — a") (a' -f a" — a — a"'\
(p(l) =i(a'— a) (a'— a") (a— a'") (a"— a) (a -f a" — a'— a'"),
q>(2) = | (a" — a) (a" — a') (a" —a") (a — a') (a -f a' — a" — a"'),
J' 4"
Cette equation contient, eomnie on le voit, une relation entre trois quelcon-
ques des quatre integrates
/dx I' dx /' dx /' dx
_ a) Yli ' J (x — a') VB ' J \x—a") YE ' J {x—a'")Ylt '
d'ou il suit qu'on peut en determiner deux par les deux autres.
18. Proposons-nous maintenant de trouver les relations qui doivent
exister entre les quantites y(0), y(l), pour que l'expression
soit reductible a des integrates de la forme J —
dx
i)Yu
104 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
On voit aisement par ce qui precede que x — a doit etre facteur de R.
On peut done a cause de liquation (n) faire:
,,2dx
J{x — a)-]/R ' J (x-a')YR 1 ' \»~~* 1 x—aj
En substituant les valeurs de / ^ et / ^ donnees par l'equa-
J(x-a)lR J (x-a')VR r 1
tion du n£ lf>, on obtiendra:
/ //\\ i a 2ea2+ad , A,2m'2+a'd\ f dx , / ,,N , d (5 \
On a done
A=-l-B.fch A> = -\B'.fa',
<p(0) — \B (2ta2+ ad) — J J5'(2 m,2-f a'd) = 0,
9(l) + i*(5 + iT) = 0, J
(p(2)-\-e(B + B') = 0.
En elhninant entre les deux dernieres equations, on aura
2ey(l) — <Jy(2) = 0, d'ou y(2) = -^-^(1).
Voila done la relation qui doit avoir lieu entre (f{2) et (p(l). En faisant
(p[l)==0 et y(0)=l, on aura
y(2) = 0, B' = — B, l=z$B[2e(a*—a,*) + #(a — a')],
done en substituant
71 g TV
— (a_a')(a_j_a'_a"_a'")— 4 »
j
(id.*
r rfar _ (a — a') (a — a'") C dx , (a'— a") (a'— a'") C dx
J yR— {a"+a"'-a^)J {x _ a) + («'+«'"-«-«") J fe'L2o0
(x-a)Y'R {a"-\-a"'—a—a')J (x — a')YR
2YR
I (a + a'_ a" — a"') (a? — a) ^ — a')
Si Von fait y(0) = 0 et y(2)=l, on aura
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 105
B [2e (a*— a") + & (a - a')] - j 2a" + a' 1 ) = 0,
a' (a'— a — a" — a"')
{a _|_ a' — a" — a'") (a — a') '
d'ou Ton tire
a' (a' — a — a" — a'")
B'.
(a — a' — a" — a'")
(a + a' — a" — a'") {a' — a)
En substituant ces valeurs, on obtiendra
/;v2dx , d Cxd.v _ a' (a' — a — a" — d").f'a C dx
~7n + 2 J yw ~ W^Yta + «' - - o J c^o)
(a- — a) V^K
I a (a — a' — a" — a'"), fa' C dx
~"~ 2 (a — a') (a -f a' — a" — a'")J (x_ a')
, VI \a'{a'—a—a" — a'") a (a — a' — a" — a'")
' (a — a') (a -f- a' — a" — a'") \ # — a # — a'
19. Par ce qui precede on voit qu'on peut exprimery'™^ par les in-
tegrales / et / ; mais cela n'a pas lieu pour les inte-
J (x — a) V R J (x — a') Y R
, Cx2dx Cxdx ~, , -t i . Cx2dx , d C xdx ,
grales / — — et / —r=r ■ (Jest seulement 1 expression / -4--^- / —r= quon
* J YR J YR * J YR ~ 2 J VR H
peut exprimer de cette maniere. Dans le cas ou a -4- a' = a" -f- a"', les
deux Equations du nume'ro precedent deviennent illusoires. Dans ce meme
cas on peut trouver une relation entre deux des integrales / ^ ,_ etc.
F J (x—a)VR
En eft'et, en multipliant une des equations du nuniero precedent par
a -\- a' — a" — a"' on obtiendra
i f'\/ >"\ f dx , £ t „»\{ni >n\ f dx 2YR
(a— a )(a—a ) I — -\-(a — a)(a—a ) \ -————== — 7 ^ K,
V A JJ (x-a)YR ^y n ' J (x-a') YR (x-a)(x-a )
ou bien, puisque a — a"'=a" — a' et a' — a!" = a" — a,
f dx i f dx — ayjz
J (x— a)YR 'J (x— a') YR ~~ (« ~ «) («"- 5 ~ a) — a') ?
— a) (x — «') (a — a") (jfc — a — a'+ a").
20. Nous avons maintenant epuise le sujet de ce chapitre, savoir de
—^r autant que possible par des fonctions algebriques,
et nous avons donne des equations par lesquelles on peut, avec toute la
Tome II.
14
IQQ THEORIE DES TRANSCEND ANTES ELLIPTIQUES.
facility possible, reduire une integrate proposee quelconque de la forme pre-
c^dente.
Reprenons les resultats generaux:
C Pdx
1. Lorsque P est une fonction entiere de cc, / est toujours reductible
J YB
, , C dx C xdx Cx2dx
aux integrates / -7= ? / -7=- > / .-— •
g J YB J YB J YB
/Pdx
— = > I —= 1 I — t=- et a des integrates de la
r dx
tornie / j= •
J (x - a) YB
3. Lorsque — a est un facteur de R, l'integrale / — est reductible
H ' 6 J(x-a)mYB
— = ? / — =r > / . j raais dans tout autre cas cela est
YB J YB J YB
impossible.
4. II est impossible de trouver une relation entre plusieurs integrates de la
/dx . PfoJ iilj • U
— -= , a moins que x — a ne soit facteur de i?, mais alors
[x — a) YB
on peut trouver une relation entre trois integrates de cette forme ; si de
plus a -(- a' = a" -\- a"\ on peut trouver une relation entre deux d'entre
elles.
Jdx C dx
—= peut s'exprimer par deux integrates de la forme / -= i
YB J {x—a)YB
x — a etant facteur de i?7 si a-\-a' differe de a" -f- a'". Les inte-
, C xdx f x2dx . I . . ,
gral.es J et J au contraire ne peuvent pas etre exprimees de
cette maniere.
CHAPITRE 11.
Reduction de VintSgrale J p^f des fonctions logarithmiques.
21. Dans le chapitre precedent nous avons r&luit l'inte'grate Par
des fonctions alg^briques, et nous avons trouv^ que son integration exige les
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES.
107
n . • f dx Cxdx fx2dx r dx . , ,
quatre ionctions smvantes / — = , \ —= > / — — et / — , qui en g-ene-
4 JVR JVB JVR J{x-a)iR'^ te
ral sont irre'ductibles par des fonctions algebriques. Dans ce chapitre nous
chercherons les relations qu'on peut obtenir entre ces quatre integrates par
des fonctions logarithmiques. Pour cela il faut trouver la fonction logarith-
mique la plus generate dont la differentielle soit decomposable en termes de
la forme
Axndx Adx
iR ' 0— afViT
car en integrant la differentielle ainsi decomposed et faisant usage des reduc-
tions du chapitre precedent, on obtiendra la relation la plus generale qu'on
puisse trouver par des fonctions logarithmiques entre les quatre integrates
proposees.
22. On peut se convaincre aisement que la fonction logarithmique
cherchee doit avoir la forme suivante:
T = A log (P+ Q]/B) + A' log (P' + Q'MR)
-f 4"log(P"+<?" \R) -\ fA&h^im+QMyM),
P, P', Q' etc. etant des fonctions entieres de x% et A, A' etc. des coeffi-
ciens constants.
Considerons un terme quelconque T= A log (P-\- Q~fR). En differen-
tiant on aura
d T=A ^ VR ,
P+ QVR
ou bien, en multipliant en haut et en bas par P — QYB,
it— a Pdp- Q {RdQ + i QdR) 4- A ipQdR+(pdQ-Qdp)R ,
P*—Q*R 'T (P*—Q*R)YR
d'ou Ton tire
w A -t i t)2 rfl m i i f i PQdR +(pdQ~ QdP^ R
T=Y\og(P*-QR) + Aj {P2_Q2R)VB
II est aise* de voir qu'on peut faire abstraction du premier teime de dT qui
est rationnel, et qui donne, dans la valeur de 1\ le terme y log (P2— Q2 R) ;
en retranchant done ce terme de T, il restera
A log (P + QYB)- 4 log(i»- Q'jt) = 4 log f±||f
14*
108 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
On peut done faire
T = A log g+gg + A' log t + Q ^ + ■ ...
La diffe*rentielle de cette expression ne contient aucune partie ration*
nelle; on aura en differentiant
dT,_ APQdR + 2{PdQ—QdP)R ■ ^ P'Q'dR + 2 (P'dQ' — Q'dP') R
(P2—Q*R)YR {P't—Q'ZR^R r • ' •
gt/ dx
~ 75'
Pour trouver considerons le terme
A PQ dR + 2 (PdQ — Q dP) R M dx
~(P2- Q2R)VR ~~~ X'Yr'
De la on tire
m_ rQ§+»(r%^<i§)»
A
N~ P2—Q2R
En differentiant N=P2 — Q2R on aura
dN= 2PdP — 2QdQ.R—Q2 dR,
d'ou
PdN= 2P2dP — 2PQ dQ.R— QaPdR,
et en substituant pour P2 sa valeur N-\-Q*R,
PdN= 2NdP+ 2Q2RdP — 2P QRdQ — Q*PdR;
e'est-a-dire
9N— PdN
*Ly dx ~rl[x _PQdR + 2 {PdQ — Q dP)R t
Q ~ dx '
done
2N*^-P™
M=A n=zP*__qHI
23. Par la valeur qu'on vient de trouver pour Jf, on voit que si
{x — af est un diviseur de % (x — a)7"-1 doit etre diviseur de if; done I
ne peut contenir aucun terme de la forme , m etant plus grand que
(x — a)m f & M.
l'unite. Les termes fractionnaires contenus dans la fonction ^ sont done tous
de la forme . Si de plus x — a etait faeteur de R, il le serait aussi
de P, done dans m eas M et N auraient x — a pour faeteur commun. Done
THEORIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 1()9
'[[ ne pent contenir aiicun terme de la forme B , x — a etant facteur
J\ x — a 1
de R.
M
Four tro uver la forme de la parti e entiere de ^ , supposons que P soit
uu polyuome du degre m, et Q du degre n.
II faut distinguer trois cas:
1) si m>n-\-2, 2) si m<w-J-2, 3) si wa = rc.-{-2.
1) Si ra>?z-|-2, JV est du degre 2w., et du degre m -}-?*-)- 3, done
^r est tout au plus du degre 0, done la seule partie entiere qui puisse y
etre contenue, est une quantity constante.
2) Si ra <??,-}- 2, N est du degre 2w-(-4, et M du degre rc-j-wi-f-3,
done est tout au plus du degre 0, et par consequent sa partie entiere
est une constante.
3) Si m = n-\-2, N peut etre d'un degre quelconque moindre que 2m.
Soit done N du degre* on voit que M est du degre tu-\-m — 1 — n =
*r ■ - i m
ft -(- 1, si a n'est pas egal a 2»-j-4; car alors est du degre jU et
M .
du degre 0. Done dans ce cas est tout au plus du degre 1, et sa partie
entiere est de la forme Bx-\-B'.
M
De ce qui precede il suit que ^r est toujours de la forme
1 =I3x + B'-\ 2*. +.-^'-; + " „ + •••,
N 1 ! « — a 1 81 — a 1 a — a 1
£ — a, a; — a', — n'etant point des facteurs de i?.
De la il suit que l'integrale est i1T^ductible dans tous les cas;
elle constitue done une fonction transcendante particuliere.
D'apres la valeur de ^ il est aise de conclure que —j— a la forme
d'ou
71/ 7 f dx . 7 , Cxdx , r f , _i /"()-) / <^
7 =kjYR+lJy8+LJr*-l^+'''+L J(—*«)Y*'
HO THEOR1E DES TKANSCENDANTES ELL1PTIQUES.
Voila done la relation la plus generale qu'on puisse trouver entre les
integrales proposees.
24. Four appliquer l'equation precedente, je vais resoudre les cinq pro-
blemes suivants:
/dflS I ( tC — I— G ) dsc
et / — — — par le plus petit
/dx
— •
(x — a) yR
('Pdx
2. Rdduire l'integrale J — ==- au plus petit nombre possible d'integrales
/dx . , t tt .
— — , P dtant une fonction fractionnaire de x. et l'inte-
(x-a)YR '
f dx
grale decomposable en termes de la forme / — •
J (x—c)yR
3. Quel est le nombre le plus petit d'integrales elliptiques entre les-
quelles on peut trouver une relation.
4. Trouver toutes les integrales de la forme J ~~ (lui son*
grables par des logaritlimes.
/dx
j=r qui peuvent
(x — a) VR
/dtJC ( *v dec
Probldme I.
Exprimcr VvntAgrale J — iA-^— x par le plus petit nombre possible d'integrales de la forme
y1 dx
(x — a) yii
25. Soient P, Q, P', Q\ P% Q", . . . P(r), Q(r\ respectivement des degres
w, ?2, ra', n' ra", n" . . . m(r), w(r), ces quantites contiennent m-\--n-\-m/-\-n>
-)-••. -[-ra(r)-|-w(r)-|- r-j- 1 coefficiens indetermines. De plus les coefficiens
-4, ^4/, . . . A(r) sont au nombre de r — (— 1 . On a done en tout m-\-n-\-m'-\-
n'-\- • • • -f-m(r)-|-7z(r)-|-2r + 2 = a' coefficiens indetermines.
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. HI
Supposons qu'on ait
rn = n-\-2j m/ = n'-\-21 . . . m(p-1)=nip-1)^r2.
m(p)>w(p)-f 2, m(p+1)>n(p+1)-Jr21 . . . mip+v'-V)> n(p+p'-1) -)- 2,
m(p+p'y<n(p+p')Jr21 . . . m(r)<n(r)-\-2.
II suit de la que
N est du degre 2m,
N' 2m',
JV" 2m".
^'-^ 2m(^-1},
N<* 2m(p),
N(p+p--v est cm degr<5 2m(*+*''-1),
jff*+#0 2n(p+p,)-\- 4,
jyr(^+i',+i) 2/£(i'+;''+1)-)-4,
JV(r) 27i(r) + 4.
Par la on voit que
A 1V1 I A ' 11 I A " J_..._i_ /IWIZ
— K-T-Kx~r d + A* + A*»H '
ou
y = 2w-f 2w,-f2w" + • • • +2m(p+p'-1)+2nip+p')-\-2nip+p'+1)-\- . • • + 2rc(r)
-|-4(r — — _p'-f- 1), et lf'.<;jf.
Puisqu'on a a' coefficiens indetermin&s, on peut faire en sorte que S
devienne de la forme:
0 _ ■ -j- a x -f- D + ^ j _j j_ Dy_a,+i ; ^-.'-m
& et etant quelconques.
On peut done exprimer par r — «'-(-2 integrates de la
112 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
forme / — — =-* II faut maintenant determiner ra, <h\ m', n* etc. et r de
J (x — a) VB
maniere* que la quantite v — a'-)- 2 devienne aussi petite que possible.
On a
a'= 2m + 2m' -f- 2m" -| 1- 2m<*-1>— 2p
_|_ n<*+1>-\ 1- n<r) -f 2r + 2.
Done
n(p) n(pJrl) n(p+2> . . . n(p+p'—v
— m(r+p,) — m(p+p'+1)— • • • — m(r)
_|_ n(p+p')-ir n(p+p'+1) -\ ^w
+ 4 (r — p — i>'-f - 1) — 2r -f- 2p.
On voit sans peine que cette expression devient minimum, en faisant p' = 0
et r = p — 1. On obtiendra done v — ccr— [- 2 = 2, r restant arbitraire. II
s'ensuit qu'on peut faire
A' — a 1 & — a
. . dx
En multipliant par et integrant, on aura
/(k -f- k'x) dx rp, r C dx jj C dx
26. Conime r est arbitraire, il est le plus simple de faire r = 0, ce
qui donne
8P- QYB
De plus, comme w est arbitraire, soit n — 0, d'ou m = ra -|- 2 = 2. Faisons
done
P=f+fx+f"A et © = 1,
on aura
n= p2 - <?2p = (f+fx +f-xy - is,
Soit ■
„2
/ \ dx /
7
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
113
on aura
D =f - a,
t.' 0 = 2/'/" -J,
6=/**—*
De ces equations on tire f— {/f, /' = | • On a de plus
1/= 4 [2 (D + A * + A *2) (/ + 2/'' - (A + 2A*) (/+/'* +f"x2)]
= c+c1x+a2x2+c3
X
On tire de la
Cx = 4ADf" -f- AD,/' — 2AD2fj
0i = 3 AD, f" = 3 AD, fa,
C3 = 2AD2f'=:2AD2fi,
done
iif_(7+Cr1,'B + <72a!2+6^-3__ C3 j G"27>2- C3 A j C" +
lv~ J9 + A« + A«* A "Tyj + A^ + A^5
ou Ton a fait pour abreger
— a 5>r ~~ v1'
; n D(C2D2 — C3A) ^
et C a jjt = o .
Soit
C3 7 , Co l)-> — 63 A 7
On aura, en substituant les valeurs de C3, C2, A et A 7
• 2^y;=2^yt = ^ done A = -k~,
A 2ye
A 2 a~" 2 7'*+2//"-r
En substituant les valeurs de /' et de /", on en tirera
&(d*-46y) + 2A:'6/3
J~ ' 2{dk' — ±ek)Ye
Tome II. 15
114 THEOKIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
Connaissant f, on aura
T)=P-«,
= &/3 — &'« — ^ — f— k'f,
O =ak— ^k'4-^f—kf\
Soit maintenant
6" -f C'j * Z . L'
D -\- i^i a? -f- D2 x2 x — a * x — a' '
on obtiendra
/(k -\- k'x) dx j- f dx jj f dx
x — a) YR J (x — a) yji
ce qui est la reduction demandee.
27. Appliquons cette equation au cas oil k = Q et k'=l. Dans ce
cas on aura
U — P '
A = o,
ad
done
c — £L
Cv_ B /w /?2«, fir.
THEOKIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 115
oil Ton trouvera
En substituant ces valeurs, on obtiendra
J YR K ~ r 'J (x-VK)VB rK f }J (x-\-YK)YR
Oil
1 | p ° 2V s
2Vfi ' °g 4 V7+ -4= . .x + y 7 . x* - YR
r_ 4ad2 e + ffi3+ 4/22 €2— 4/?y Je
2(<f*+8/?(fe8— 4yd*e)
JBT=s== — i j
4e
4e e/?2 — ad2
28. II faut considerer separement les cas dans lesquels quelques-uns
des coefficiens Ky II deviennent infinis. Si D8 = 0, on aura
£ +2/^-^0, donc/^i^f,
| = = fe, done U = SA V7, fe^g
r» 7 k' 6 x k' I> a .v X>
On trouvera . 4--s , • Soit -=r- = u. on aura
A
15*
116
C .,. Ad D
THEORIE DES TRANSCEND ANTES ELLIPT1QUES.
A
37-^ donc
k>8
~3t
on trouvera de plus
f — a
M
fd — pVe
De la valeur de il suit qu'on a
/
N
Yr
/,:'
3/<
/-lis-"
)»]/,
4- — — 1 ■
oil l'on a
/=
2 ]/<
4ey — c52
8e V "e
6fo — jfe'd _ (/» — g)V7
2^'£ ~" fd — pY~e
Si Ton fait & = 0, A/=:l, on aura
r3ye ) i*_ _i *L
f VT ^ 2 ^
(,;+^o y^
/f_l_y €A.2_|_ yj?
,r_^ye.r2_y^
Oil
f_4ey—d* <j
^ ~ " 8e ' ~~ ~~ 2e ~~~ ju't? — (Je '
On a donc la relation suivante entre les coefficiens ct, /?, f:
(4«y — J12)2 + 4(T (4ey — #) — 32/W — 64«63 c*= 0.
M
29. Dans ce qui precede nous avons reduit -t* a la forme
° +D+^x!?+££* * » en faisant ^2-02^ = £, + A* + A*2. On pent
aussi le faire de la maniere suivante. Soit
R = -)- qx -\- rx2) (p' -J- q'x -|- &2)
THEOHIE DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES. 117
on aura
N=P'--QHi=f{ p> + q'x + *> )' - (p' + </* + x2 ) ( p + p + ru? ),
on bien
N=(2)' -\-q'x-{-x2)[f2 (p' ~{-q'x-\-x2) — ( # -(- qx -\- rx2 ) ] .
Soit
ir*B + q'x -fx2)(/j-|-D1x+ a x2),
on aura
' A •/ "•/'- '7, '
Or M=A{p^t — 2i?~|; clone
if = 4 (p' + g'x + xs) (/g - 2 (p + 2X + rx*) *£) ,
c'est-a-dire
M= A (p'+ q'x x2) [fft -f - 2//x + 3/(T.x2+ 4 /kc3— 2 (p + spe + ra2) (/^+2 /c)] .
Soit
(p' + ^ -f ,T2 ) (C + ft * + Q, + G, *3),
on en tirera
I C8 = ^(3/J- ifq-2fr<f),
C3 = A (4ft — 4/r) = 0, a cause de r = f .
Puisque (?8=0, on voit qu'il est impossible de reduire 1'integralc j.^tf^!:
de cette maniere, mais connne / par la devient arbitraire, on peut le deter-
miner de maniere que / — soit reductible a nne seulc integrate de la forme
JVli
* .—- . Pour cela faisons
J) _|_ x _|_ ]\ x* = ]\ (x — a)2,
d'oii il suit que
Dl = 4;DI).2.
En substituant les valeurs de /), 7)n 7)2, on obtiendra
(/2'/-^-4(/V-/>)(/2-'-),
c'est-a-dire
118 THE0RIE DES TRANSCEHDANTES ELL1PT1QUES.
f* ( f _ 4^') _/2 (222# — 4p — 4jpV) -f </ — 4^r = 0.
Cette equation servira a determiner f. Connaissant f9 on aura aussi D, Dy
Z)2 et a.
Corame J/ doit etre divisible par x — a, soit
C -f d x + C, x2 = (x — a) (k + k 'x) ;
de la on tire
Cz= — ak, C^k — ak', G2 = k\
et en eliniinant les quantites k et k\
ft= — — aft, on Caa* + Cla+C=Q,
d'ou Ton tire la valeur de a, savoir
a— — r
26'2- ^ 46'* C2
On a
M _ C+ dx+ C2^ _ (H-j^^ — a)
Ar _ i> + A .* + A «2 ~~ D2{x—~af~ »
done
Soit ^ = 1, on aura k' = D2, done D2 = C2; ou Jrien, en substituant les
valeurs de ees quantites,
/*_). = 4(3ya_4^/_2/r2');
d'ou Ton tire
or d = r^' -)- , done
firq'-q)
c
Nous avons trouve' k = , done en substituant
k=~A/{i3-2P,/),
or (3=pq' -f~.p'<Z, done
% = Af(pq'- qp') = ^r^/!'- t&
done
THEOKIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 119
k __pq' — qp'
D2 a(rq — q)
et
En substituant cette valeur dans F expression de on obtiendra
done
on
t — =Z if ^f' * 1 A loo-/,(/>/+g/,</' + '^ + l/^>
J Vi? J O — a) YR ' VO' + tf* + <j — YR '
| • B=(p + qx + ra?)(p' + q'x + xS),
j __ P<l'—<1P'+ (rq' — q)a*
(rq'—q)a
a _ /2 — r • *2 — <z'/2
/* (<L,2—4P) —P (2<I<1 — ¥ — 4/r) + (f— ±Pr =r °-
30. Appliqnons cette formule au cas oil r=l, g'=== — <2 et p' = p-
On aura
-- -[- qx -[- #2) (/> — qx -[- x2),
/* tf - 4p) +/s (2g" -f 8p) + a* - 4p = 0.
On tire de la
, q±2Yp
J Y4}>—q*'
On a
„_<?-?72_ 1+/2 i_
" — 2(/2— r,)"~ 1— /2* 2
En substituant ici la valeur de J\ et reduisant, on trouvera
On aura de meme
P—r /«_ 1
~f(rq'-q) — ~^2fq ~~ i^pT-q*'
La valeur de Z donne
a 1 —
En substituant les valeurs trouvdes, on obtiendra
120 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
dx
f— dx =-2fp f
JV(P + <F + A'2) ( P — <LX + **) J 1
V(p + 2* + o <> — + J (? — "vW ^ + ix + *r2) (? — +
g + 2>/* V/> — ^ + y^ + g£ -f~3j
log
]/4p — q
32. On peut par la supposition de P=f-\-f'x-\-f"x2 rdduire l'in-
tegrale de plusieurs autres manieres, savoir en faisant les suppositions
*
suivantes :
B=aJr(3x-{- yx2 -\- dx* -f- zx\
1. N=P* — B=k(x — ay.
2. N=P2 — B = k(x-\-p)(x — a)3, x-\~p e'tant facteur de B.
3. N=P2 — B = h (x2 -\-px -\- q) (x — a)2, x2 -\-px -f- q etant facteur de B.
Le troisieme cas est celui que nous avons traite; considerons encore le
premier. On a
(f+fx + fx2)2 — (a + fix + yx2 -f dx' + ex4) = k(x — a)\
done
f2 — a = kef,
2ff '-(]=- 4ka%
2f'f" — d= — 4,ka,
Par ces equations on peut determiner les cinq quantites fc, a, f, f\ j " ;
mais on peut les trouver plus facilement de la maniere suivante. Soit
B = e (x — p) (x — p') (x — p") (x — p"'\
En substituant dans l'equation
/+/* +J "* = P (* - a)i+B
pour x les valeurs p\ p'\ p" on obtiendra
■ f+P'f +P'T =i(p'-affk,
f+p"f+p"V" =i'(p"- «YVk,
. /+P"'f'+p"y"=i" (P'"- «)! Pi
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 121
z, i' et i" designant le double signe ± . De la on tire
(p-p')f+(p'-p°)f" = Kp - «)*- Hp'- «)3] fk-
Eii divisant par p — p\ on aura
l r+ (p +p')r ={v" afp-_!{/ -a)Yk
De la meme maniere
/'+ iP+P")r=lp-ayriy-ayyk.
De ces equations on tire de meme
d'ou
(p-p')(p-p") (p-p')(p'-p") 1 0-p")(i>'-i>")
De la meme maniere
. / (p-af Kp'-*)* , i"{p'"-J? \n
J ~~\{p-p'){p-p"') (p-p')(p'-p"')^{p-p"'Xp'-p"')I '
Done ennn
(P a¥{(p-p')(p--p") (p-p')(p-p"'))
~l(p'~a)2[(p-p')(p'^F) ~ (p-p')(p'-p"')) l °'
-T(p-p»)(p>-p>') (*-//")(*>'-/>'")
ou bien
(p-a)* " ■ i-ip'—a?
5 - p') (p -p") (p -p'") * (p' -p)(p' p ) t? - p'")
i>.{p»-af i».(p"'-af
= 0.
+ ( p»-p) (p»-P>) {p"-P'") ~t {p"'-p) (p"'-p') tp"'-p") .:
Done
ou
° = tp ~P' ) (P - P") (P ~P") + (P'-P) iP'-P") iP'-P'") ^ '
P l -4-
Cl=z (p-p'){p—pn(p-P''')~^ip'--P)(P'--P',KP'-P'") '
r i I ; l .
°2 — (js— p")0»— *>"') ^(pt—p)ip'—p")(p'—p'")
Tome H. 16
122 THEOlilE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
Quant a la valeur de i% de i' et de i" on ne peut faire que *=ls
»'== — 1, i" = — 1, car dans tout autre cas on aura f'='^kJ ce qui donne
€ = 0. Soit done i== 1, iv= — 1 et zv' = — 1, on trouvera sans peine
G = -2 W +lO
Ci = — 2
CL = — 2
(p
-p"){p-p"'){p'-
-p")(p'-
-p"')
pp'—p"p"'
(p
-p"){p-p'"){p'-
-p")ip'
-p'")1
p-\-p' — p" —
-p"
(p
-p")(p-p"')(p'-
-p")(p'-
-p'")'
done
tp +jp'-i> — in «2-2te'-/y") «+i>p,(^,,+p///)-p,y//(p+y) = %
Connaissant a, on aura
= /?+y + p^ + p///-4a l/r.
p-\-p'—p"—p"' r '
done liquation /"2 — « = & devient, en faisant § = 1,
'P+P' + p"+p"'-4a
done
jo -j-p' — p" p'
h = s= 1,
x.= (p+p'-p"-/")2
[2 (p" + p'") _ 4a] [2 (p + p') - 4a] '
f — yi x £ = p+p'+p^+p^— 4a
V[2 ( p + p7) 4a] [2 (J? + j/"") = 4a]
f _ P + p'+p» + p'"+4*tt
J 2yr+&
II reste maintenant a determiner A et Z. On a
\ da j
done
Jf= - 4fe (x - af [2af'+ 4f+ (%f'+ 4<>],
et par suite
M _ _ A (2a/ ' 4- 4f) + ^ (2/ ' + 4q/ ") a
a — a
N
= — A (2f'+4af") — AW + + + W)
a — a
L
THE0RIE DES TRANSCENDAJS'TES ELLIPTIQUES.
123
done
ou bien
A —
L =
A =
2(/' + 2a/")
1
L
2 V(p + v' — 2a) p'" — 2«)
1 /(a — p) (a — p') (a — p") (a — p
y [2a-(p + p')][2a-(p"+p'
-V'")
)]
Connaissant ces valeurs, on aura
— p) (# — p') — p") {x — p'
L
J c# — «) y
(* — a) y{x — p) (* — p') (a? — p") (a? — p"')
\A log 7 + ^ +-r ** + V (* ~ P>(* - ^ t ~ B (* = v'"]
' to +//,«2 — y c* — p) po (* — p") (« — p'")
32. Appliquons cette equation aux cas suivans :
. p = — p — — p .
C» // III I
2. p = —p, p =—p.
Dans le premier cas on aura
4a ' a
/"=-l, f=0, f=pp", a = 0.
Done A et L sont infinis. Dans le second cas, on aura
a = ^pp\
yia* — (p + p')s
2(p-p')y-l
f
(p+py
2 pp' ypp'
Done
Done
et enfin
(p-p')y-iw (?>-p')y-i (p-p')y-1
i
(p-p')Y-i
[2pP' y^pf — (p +pj x+2 ypp' x2]
p+t/r i ye
A . log _ = - -77. arc tang
p — ill p — p
PY—1
16*
124 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
f. * ' . - "YrFf — ; ; dx
U . arc tang (p-p')Y(*>-p>) .
V — V 2pp' Vpp' — ( V + P'f x + 2 Vpp • *'2
On a
(a2 — p2) (x2 — p'2) = (x — p) (x — p') (x -\-p) (x -\-p')
= ft— (p +p') x +ppf] lx*+ (p +p') x +pp'l
Soit p-\-p/=q1 e* pp' ' — rj 011 aura
p2 — qp -}-?• = 0,
P = i4 + il/<f— 4r> Pf=zH— iW—%r
p — p'—]/(f- — 4r, ypp' =^r.
Done
dx
f- & =-2^/*-
J v {x2 + <z# + r) — <LX + r) J
V r ) V (.r2 -|- <p -{- r) (a-2 — -f r)
arc tang ~~ 4r ^ + + r) ^ ~ qx + r)
la meme formule qu'on a trouvee plus haut, mais sous une autre forme.
33. II est a remarquer qu'on peut toujoiirs supposer que P n'ait aucun
facteur commun avec P; car soit B = R'r et P — P'r, on aura
loo* — ! — = log ' , =
to p— q y# & pv — q yi?v .
= w p/v^+<>y^ = ' , (p-yr+Qy^7 )2
top'y».— Q-yK' Y g(p'yr_ gy^y
Y &P'V+ Q2R'—2P'QVrE'~Y °g'p"_ Q'yi'
expression dans laquelle P" =zP'2r-\-Q2R et Q/=2P'Q- et il est evident
que P" n'a point de facteurs communs avec P; done etc.
Voila la raison par laquelle nous avons trouve' la meme formule de re*-
/ dx
~ , soit en supposant P facteur de P, soit non.
Neanmoins il est utile de supposer P facteur de P, car les calculs devien-
nent par la plus simples.
THE0KIE DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES.
125
/
Problhme II.
Trouver les conditions n^cessaires pour que
-B»_|_jfef«-i;a*i-i_| \-Ux + k dx P-\~ QYR
a»+ic*-D 1_| + i ' yl — A ' [oS p^qy-R
34. On peut se convaincre aisement par un raisonnement analogue a
celui qu'on a employe dans le probleme precedent, qu'on doit faire
Q — e-\-e/x^-e"x2^- • • • -f- e(n-1} x11'1 + xn,
Pt=/^f x +f"x2-\ 1- fn+1) xn+1 4- f(n+2) xn+2,
n etant un nombre entier quelconque qui satisfait a la condition:
2 92 -|- 4 ;> w.
Soit
af -f- xm~x -) 1- /'a; -f- J = (a; — ■ a) (x — a') (a — a" ) . . . (a — a0""1*).
Pour que ~ soit reductible h la forme:
^m -f fc**-1) a-"1-1 -) 3/'
i_j \-l {x — a) (as — a') (x — a") . . . (x — a*1"-1)) '
il est clair, selon ce qu'on a vu precedemment, qu'on doit faire
(1) N= P2 — Q2B = C(x — af (x — a'f . . . (x — a^f^ =
oil 272 -f 4 = p + + h .u(m~1K
II s'agit maintenant de satisfaire a cette equation.
35. Premiere methode. Supposons que
{x-afix-aY . . . (x-a^-Y^^+r/'x+y''*2-! h ff(2n+3)x2n+5+x*"+\
on aura
126 TIIKOKIE DES TUANSCENDANTKS ELLIPTIQUES.
P2 — Q*B = G(g -\-g'x+g"x2-\ \-g****> xw + x2n+i)
= (/+//^+/"^+---+/('i+2)^+2)2
_ (e _|_ e' x ^ 1_ e(»-D a;—1 + a;")2 (a y*1 + <Ta;8 + *£4).
En developpant et comparant les coefficiens, on trouvera l'equation generale:
ff* +/'/""" +f"f"-2' +/"'/"-" +
(2)
— a(ee(p)
-■>+*'
■*+
— p(ee(p~
e(*>-
-*) _j_e"ec-
-4,+
— y(ee(p-
'2) + e/
-"+
— d(ee<p-
e(p-
»&r
-*+
— t{ee{p~
"4)-f e'
e(p~
-6>_l_ev*-
"e(p-
-7> +
(*>)
En faisant dans cette Equation successivement ^? = 0, 1, 2, 3, 4 . . .
2??- — |— 3, 271-)- 4, on obtiendra 2n-\~5 equations, et ces 2n-\-6 equations
contiennent les conditions qui resultent cle l'equation (1).
On pent par ces Equations determiner les coefficiens e etc. /, f\
f'j etc. en fonction de 0, a, a', a", etc.
De'terminons maintenant la valeur de g(p). En prenant le logarithme
on a
log (gJr9'xJFg"x1^ y x'n+i) == /< (* — «) + J*' log (x — a')-\ ,
done en differential
g' + 2g" «-j 1- (2n -f 4) /i'2w+3
_ ^ l _ r L
g + g' x-\- g" x% -| f- x2n^ x — ci x — a!
done
g' + 2g"x-\ 1- (2n -f 4) x2n+3 =
it
Xiin + i _|_ ^(2n + 3) x2n + 3 _| h ,r + <7
+ ,«'
+ • •
x — a
A,2n + 4_|_^(2n + 3)^,2?i + 3 _f_ .
x — a'
,c2n + 4_|_^(2n + 3),l,2tt + 3 _|_ .
• + g'* + g
a- — a"
Le coefficient de xp dans — - —
a
est aise* de voir qu'on aura
x — a
est —
,(p)
r(p-D
+
Done il
THE0KIE DES TRANSCEND ANTES ELLIPTIQUES
I ^ + ^ + ^ + ■■■))
~\~ ' ZS ~\~ T7z ~\~ Tvs ~f~ ' '
127
(3)
+
_L g'lh. _)_ .
a l «p 1 of* 1 1
+>1
I
En faisant p = 0, 1, 2, 3 etc., on determinera aisement les quantites g' ', <7",
etc. en fonction de et celle-ci est egale a a1" a'fi'a"fl' . . . (a("I-1)yt("!-1).
36. Seconde methods. Soit P=Fx1 Q z=fx, R—cpx, on aura d'abord,
en faisant = a', a" etc., les m equations suivantes:
(i<a)2 — (faf (pa =0,
(la')* — (fa')1 (pa' = 0,
(Fa")2 — (ja")2 (pa" = 0,
(Fa{m~iy — (fa(n~iy (pa(m~l) = 0.
De ces equ^ons on tire
Fa = ±fa \^(pa —i fa ^(pa,
Fa' = ±fa' Y<paf = i' fa \'(pa',
Fa" = ±fa" ^pa" = i" fa"
(4)
En differentiant la premiere a — 1 fois, la seconde fi — 1 fois etc. par
rapport a a, on obtiendra des equations qui deviennent toutes de la forme:
(5) d?Fa=± f&/a Yya + pdj^fa . d fya +^-- d*-2/" . Vy«H \-fa • # V<jT«) •
On aura des equations semblables par rapport k a" etc., et en fai-
sant dans ces Equations
128
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
p = 0, 1, 2, 3, 4 . . . ft— 1,
2> = Q, 1, 2, 3, 4.../-1,
^ = 0, 1, 2, 3, 4 . . .,u"-l,
etc.
on obtiendra les equations necessaires pour determiner e, e', e", etc. /, f\
f % etc.
Ces equations ont l'avantage d'etre lineaires par rapport a e, e\ e'\ . . .
fi f i /'•••■) ce <lui facilite beaucoup la determination de ces quantites.
37. II reste maintenant a trouver les coefficiens k\ k" , ... et .4,
On a
M=A± — ~ ^
et
/o _ p ^ \
or
et
a"
r—^~\ > donc
dN /.i i ^'
A7 a; — a ' x — a' ' £ —
dN _ h-\-h' x + h" x*-\ ^(m-1)*m_1 t
Ndx / + 1' x + I" #2 -| 1- J**-1) ■z™-1 -f xm ^ '
/9 dP Q, Pt\ m-
M__ A^Qte* ~~~q ) k-\-k'x-\-k"a?-\ 1- A+ xm
~n~a w ~~ ' M 7 '
done
(6) k + lc'x-\ f- &(— * a"-1 + a:7" = 4 g
En deVeloppant le second membre, on aura aisement les valeurs des coeffi-
ciens fc, A;', etc. et A
Ces coefficiens peuvent aussi etre determines comme il suit. Soit cc = a,
on aura S' = 0 et £ = /ti(a — a') (a — a") (a — a") . . . , donc
k + k'a + k"a2-{ \-am = — uA^a — a')(a — a")(a — a") . . . ,
ja
or y- = ±y(pa = tY(pa- donc
k-\-k'a + k" a2-\ \-am = — iuAYipa.(a — a'){a — a"). . . ,
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELUPTIQUES. 129
ou bien, en faisant t=ipx,
k-\-k'a-{-k"a*-[-k"'as-{- • ■ • -f am = — lA^ya . ipa.
En mettant au lieu de a successivement a, a', a" etc., on aura les equations
Biiivantes :
ti+Va +k"a* -I f-fc^a*-1 + a» — %A M^pa.ya,
k _|_ fcV + /b"a'2-| 1- ^>4i a'" = - i_, . ya\
(1)\k + k'a"+k"a"2^ h^w"1)«,,(M-1)+«,'",= — i"A^. ipa%
\ k+k'a«*-1)+k'*a<m-1*+ • • • + U^a^1){m-\dm- ^ = -/^Jj^5^ . ^a<— »>.
Au moyen de ces equations il est aise de determiner k, h\ h" lc"', etc.
en fonction de A, a, a\ a" , etc. On trouvera
1
or
done
on tire de la
a — —
/("+2> [(2n + 4) H™—1) — (2n + 2 — A<«-D) '
fc<*-» == # -f- / + -| = 2ra + 4,
h{m~2) = - «" + H ) j j + a)
~ P>\« +a" + a'"-^ ) ( = ! + ^'(l^ + a>)
-^>(a+a> +a"+ • • •) | ~ j ^^(^^)
&(*_t) __ ^2w _|_ 4) H»~ U _|_ wa _|_ + i**a* -| ;
1
(8)
(jia + |u'a' -f #"5* -j )/(n+2) + 2/C+1)
38. Appliquons ce qui precede au cas oil iu = u'=jit"= • • • = 1.
Dans ce cas on a m — 2?i-\- 4. Les seules equations qui sont ne*cessaires
dans ce cas, sont les equations (4) et (7). (JonsideYons d'abord les equa-
tions (4)
/+/'« +/*«" H =ifa
/+/v +/'v2 H h/(n+2)«/n+2
/_|_/V'-|- /"a"2-] f- /(n+2) a""+2 2= i"fa" f<pa/' ,
Tome XL 17
130
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLII'TIQUES.
On peut aisement eliniiner les quantites f, f\ j" etc. de la maniere sui-
vante :
On a, comme on sait,
am-p-2 a'm-p-2 a//m^_2
= 0,
. . (a7*— a)(a' — a*)7~ ' (a" — a) (a" — a')7.\ > '
j) etant un nonibre entier positif; on bien
av . a'P , a"P . , a^"1)* ^
ipa * if)a' * ipa" ' ~*~ xpa^-V '
lorsqne p<m+hl, c'est-a-dire p<2?i-\-3. Done si Ton nmltiplie la pre-
miere des equations precedentes par — , la seconde par ^7 etc. , et qu'on
les ajoute ensuite, il est aise de voir que la somme des premiers membres
devient dgale a zero si p<n-\-l. On a done
(9) % a^-fa + i! a'rif fa' A =0.
v ' ipa J 1 ipa J 1
Eii faisant dans cette equation successivenient ^ = 0, 1, 2, 3, . . . ?z, on ob-
tiendra n -\- 1 equations par lesquelles on determine™ les n quantites e, e',
e", . . . e("_1), et on trouvera de plus la relation qui doit avoir lieu entre les
quantites a, a', a", a" etc.
39. Supposons que n = 0. Dans ce cas on aura
fa =zja' =fa" =■■■=!;
done liquation precedente devient
iVcpa . i' ^cpa'
(a — a') (a — a") (a — a'") ' (a' — a) (a' — a") (a' — a'")
l (a" _ a) (tt" _ a') (a" _ a"') (a'" _ a) (a'" _ a') <y." _ a")
C'est la relation qui existe entre les quatre quantites a, a, a'\ a".
Les equations (4) deviennent
■ ... L. /+./> +/"«* y^, . , k% .
f+fa' V^7,
/+//«//'+/,/«"/2-^'|/^777.
THEORIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 131
En nmltipliant ia premise par ^■_a.)(a^a.)(a_0 etc., et en ajoutant
ensuite, on aura
f\a(a — a') (a — a") (a — a'") + a' {a! — a) (a! — a") (a' — a'") + ' ' ')
— a (a — a') (a — a") (a — a"') ' ^ _ a) ^ _ ^ <y _ jfij + 1 ' ' '
d'ou
_ • a'a"a"' y — . ., a a" a'" > ;
/ — 1 (a _ a') (a - a") (a - a'") "T 4 (a' _ a) (a' _ a") <y _ a-)
//[•/// (XCL (X
(a"-a)K-a')K-0F</,a "t"* (a"'- a) (a'"- «')(«'"- a") ^
De la meme maniere
/■// I'V^a I i'Ycpa' . i"Y(pa"
J — (a — a') (a — a") («' — a) {a' — a") ' (^ZT^)(^Zv) '
et ensuite
/•/ iVcpa | i'Ycpa' , . A -
Connaissant /, f\ on aura aisement la valeur de A par Fequation (8),
qui devient dans ce cas
A- 1 • .
— (a + a\-\- a"+ a"') f " -f 2/ ' '
A;', k" et fc'" se determinent par les equations (7).
On pent aussi determiner les coefficiens de la maniere suivante. Soit
R—(x — p) (x — p') (x — p") (x — p'") ;
si dans les equations
P= -f C. S, S = l + l'x + V'x* -f- V"x* -f x* = fce,
on fait x=p, p' , p" , p"\ on obtiendra'
f+p f'+p3 f=Yc.fep,
f+p'f'+p°J"=VC-W,
f+P'T+p"'f"=Vc.yw,
/+p"7,+p""/"=yc.wr'-
En £liminant f, f et il restera Fequation:
17*
132 THKORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
_ Vfr, - «) (p - a') (p - a") (p - Q ■ V(p' - a) jg ^ a') g o») (g - a'")
(p - pi 0' - :"") <p - in ^ (? - p) (p' - r5 (p' - P'")
Vg - a) (g = g) & - Q ft, » - «'") , - a) ft/" - aQ g - a") ft/" - a'")
(v"-v)(v"-v')(p"-v'") ^ (p'"-p)(p'"-p')(p'"-p//)
qui exprime la relation entre a, a', a", a'", et qui est plus simple que celle
trouvde plus haut.
40. Supposons uiaintenant que m = 2. Dans ce cas on peut faire les
suppositions suivantes :
1)
F- —
Q2R =
C{x-
-a) (x —
2)
pi
Q2R =
C(x-
- af{x —
3)
P2 —
Q2R =
C(x-
-af(x —
aJn+\
n + i)
P2 —
Q2R =
C(x —
a)n+2.(x-
-aji+2
Dans tous ces cas les equations (7) deviennent
k -\- k' a -{- a2 = — Aa (a — a') . ^cpa,
k + k' a'+ a'2= — Aa' (a' — a) . fipa\ .
d'oii Ton tire
h' — — (a -\- a') — A(fi ^(pa -[- fi' Vya'),
k = ad -\- A(a'[i ]/ya -j- aa' \/(pa'),
Les autres coefficiens se determinent par l'equation (5). Je vais les evaluer
dans les cas ou n = 0 et n=l.
» 1. Lorsque n = 0, on peut faire
a) P2~R = C(x — a) (x — a')\
b) P2—R = C(x — a)2 (x — a,')2.
a) Si P2 — R = C(x — a)(x — a')3. Dans ce cas l'equation (5) donne
Fa = j/ya,
Fa'^^pa7,
} 1 V<paT
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 133
ou bien
/+/'«+/'v=y^,
f + 2f'a' = i
cp a
Ycpa'
done
Y Ycpa' T Y\cpa'f'
r„ j 2 ya' . cp"a' — (fp'a'Y ■
cpa y cpa
/'=T
1 cp'a' a' 2(pa'.cp"a' — ((p'a'Y
cp'a'
Ycpa'
1 8
et la relation entre a et a' devient
fti - - i (a - tf) £L - i (a - a')' = 0,
V cpa y cpa
Oil
V^- . ya' ++(«- «') + i (a - «? .
On aura ensuite A par I'equation
jjjl 1
A— (a + ba')f'' + 2f
41. On pent aussi trouver ces equations de la maniere suivante. On a
P= yB -f C(x — a)(x — ay.
Soit
B = (x —p) {x — p') (x—p") (x —p'") ;
si nous faisons x=p, p', p" p"\ nous attrona
f+fp +J'Y =MG .}f{^a){p-a').{p-a'\
f+fp' +f"'P'2 =VC.W-a)(p'-a').(p'-a'),
/+/>/,/+/>,,,2= yC . W - a) {p'" - a') . (f>'" - a1).
Ed eliminant /, /' et /", on aura entre a et a' la relation suivante:
134 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES.
0.
(p-Q V(p-<i)(p-a') ■ (P' — a')V(p'-ajip'-a') J
5 - V) (p - v") (p - v'") T i? - (?' - v") W - p'") ( _
x fr»W)V(p^a)(p»--a') | (p--g-)l/(p777^-a)(?>--a-)
(p" - ?>) - v') (p* - V'") ^ W' - v) V" - p') P - p")
b) Si P2 — R=C(x — a)2 (x — a')2. Dans ce cas 1'equation (5) donne
+/"«2 =v^>
/+/'«'+/"«" =y^7,
Vcpa
/' + 2fV=f
(f'a'
V (fa'
Des deux dernieres equations on tire
(« — a') Vya (a' — a) Vqpa'
,., . a' . gp'a , t a(f' . a'
' Y ' (a/ — a) ~^ Y ' (a — a') V^a' '
En substituant ces valeurs dans les deux premieres equations, on en tirera
aa' (f'a ( . aa' (f'a' a' 'y '(fa — aYcpa'
a — a' 1 T a' — a y^,a'
et
On a ensuite
1
/ (f'a
(f'a' \
Yqn'l
A =
2(a -f a')f" +2f'~ <p'<* ■ ?'«'
Yfa V<pa'
En substituant ces valeurs dans les expressions cle h et k', on obtiendra:
7 / 4 o! Vcpa -f- a Ywa' , , o7
k — aa — 4 — 1 — ^4- =2 aa 4- 2b ,
w a . w a
(p a ^, y>'a
ft- = - (a + a') + 4 = - (a + ,<) + 2//.
Par ces valeurs on a
TIIEOIUE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 135
k-\-k'as-\- u2 gg' — (a -f a') x -f + 26 + 26'a;
(# — a) (# — a') (# — a) (.r — a')
2b + 2***
=ds 1
Done on aura
{as — «) {as — a')
J ~ J (* — «) (* — «') ' y^- ' og p— '
La relation entre a et a' peut aussi s'exprimer de la maniere suivante:
(p-a) (p-a') , (p'-a) (p'-a') (p"-a) (p"-a') jp" ' -a) ( p" ' -a' )
(P-P')(r-P")(p-P'")^~ (P'-P)(P'-P") (P'-P'") {p"-p){p"-p')(p"-p"') (p"'-p)(p"'-p')(p"'-p") ~ '
on
(p + v'-f-v'") aa' - W-v"v") («+0 ±pp\p"+p"')-p"p"\p + pO = o,
d'oii Ton tire
J fry' - v"v"') + + g) " - (?>" + g^) ^
42. Supposons mainten'ant que
P2 — B = % — p) (as — a) (aj — a')2,
# — p etant facteur de R. On a done
^=(*-p) (/+/'*),
done
f A ft* = (*-?')(*-?>")(*■-?"') _j_ ^ (*-<»)(« -a')8 (
V TV / x — p ~ • a; — p
Faisons x=p' p'1 , _£>'", on aura
iv'-
V
p"-
a'
iv"-
-v
v'"-
a'
iv'"-
-v
(I .
En eliminant f et f\ on aura
(p'.a')V^ (p"-a')Vpf7^a_ (p"'-a')Vp"'-a ^
(p'-p'W-p'") VF^p (i>"-pW-p"') ^v"-p (p"'-pf) (p"'-p") Vp'"-p
d'ou Ton tirera
, _ Bp' ij^a + Bp" jf^a + B"p"' Vp'"-a
a ~~ B y^ — a + B' y p" - ~a + 2*" Vp'"
136
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
en t'aisant pour abreger
B = . : — , B' 1
O' v") (p'-p'") • W - p ir" - p') {p" - />'") • Vp" - p
{p"-v'){p'"-p")ip"r-p
43. Dans les trois nume'ros precedens nous avons considere le cas ou
m = 2. Supposons niainteiiant m = 1. Dans ce cas on a
P2 — Q2B=C(x — a)2n+\
I
x-\-k dx . . P-f QiR
• , — — A. . log" — — r •
x — a yfi & p_ Qy/E
k se determine inmiediatement par l'equatiun (7)j qui donne
h = — a — ii A . ^(pa.
Les quantites A, a, /, etc. e, e e", etc. se detenninent par l'equation (5),
qui donne les suivantes:
Fa = fa . y^a,
d Fa z=z dfa . ^cpa -\-ja . d ^cpa,
d2Fa = d2fa . \7pa + 2dfa.d]/^a+fa.d2 ]/(pa,
d2n+3Fa = d*»+*fa . Ifct + (2n -f 2>)d2n+2fa . d^
+ (2, + 3H2,-f2) . . . I
Par ces equations, qui sont toutes lineaires par rapport a /, /", etc.
e, e, e" etc., on peut determiner ces quantities et a, mais par des calculs
assez longs. Je donnerai dans la suite vine methode sure et directe de deter-
miner ces qualities dans tous les cas. Four le moment je vais resoudre le
probleme en supposant
0=1, et P2 — B=C(x — p)(x— a)3,
x-p itnnt facteur de B, et B = (x — p) (x — p') (x — p") (x — p'"). Soit
P=(x-20 (/+/'*),
d'ou
fxy — (x—p')(x—p")(x—p"') V q i* — «)3 ,
# — » * X — v
THE0RIE DES TRANSCEND ANTES ELLIPTIQUES. 137
En faisant succ'essivement x = p'1 p" : p'", il viendra
f+f'p' =yC.(/-a)|/^,
/+/Y =yC-(p"-a)\/p^,
f+f'p'" = Ye . (p"'-a) }/fr~p ■
On a de plus, en faisant ic = 0,
p _ v'v"v"'
V P
En eliminant / et f entre les trois premieres equations il viendra
(? - p) W - v'") ^ (p" - pO (p" - p'") (p'" - p') <p'" ~ p")
De cette equation on pent tirer la valeur de a, et celle-ci etant connue, on
aura aisement les valeurs de /, /' et G, que je me dispenserai d'ecrire.
44. De l'equation f • -~ = A . log on tire, en substitu-
ant la valeur de h = — a — tuA ^cpa ,
Cdx M%r— T dx A , P+QV?.
done
r dx _ i i_ w p+QlAR .
J (* — a) VR ~ M iya ' J Vr a* Y$k* ' p— Q VR
/dx
r-f-~
\x—a) v R
/dx
— a l'aide d'une fonction logaritk-
mique de la forme A . log ^±-^£ :. Je dounerai dans la suite la resolti-
1 B P— QVR
tion de ce probleme dans toute sa gene"ralite\ Elle depend, comme nous
\ i nous de le voir, de la resolution de l'equation
P* — Q*B = C(x — afn+\
Pour le moment je remarque qu'on pent lui doimer la forme
Tome n. 18
138 THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIL'TIQUES.
En effet, soit
P=f1+f1'(x-a)+f1"(x-a)2 + • • • ,
Q= e1-\- et'{x — a) -f- e/(x — a)2 -\- • • • ,
R=a' + p{x — a) -f- ;/ (x — a)2 -f d'(x — af + t'(x — a)\
et faisons v — — — , on aura, x — a = — : done
° x — a 1 ' y '
y y y y y
et en substituant et multipliant par ?/2'i+4,
P'2 — Q'2R'=zC.
Done si Ton peut resoudre cette equation, on peut aussi resoudre la proposee.
La resolution de l'equation precedente sera donnee dans le cours du pro-
bleme suivant, qui consiste a determiner k et R de la maniere que l'integrale
/(x -\- k) dx , , , • p\ q -i/^
— -= — devienne mtegrable par la fonction loararitlimique A . log- ^ ^ K .
45. Nous avons vu, dans ce qui precede, que si Ton a
ram+kt*- V-J + ^ j P+Qi/i?
J (* - a) (« - a') . - . (« - a (-D) V y£ T " A°g P^qVM '
il en resulte necessairement m-\-l conditions entre les 2m quantites a, a',
a", . . . a(m_1), . . . fc(m_1); on peut done prendre m — 1, mais non pas
un plus grand nombre de ces quantity, a volonte', et puis determiner les
autres. II suit de la qu'on peut faire
\-k'x+k _ ^ + Jfc(—i) j 1- $ _|_ *
0 — a) (as — a') ... (« — a&>-»>) ~ (« — a) (a? — a') / . . (x — a^-1))
I L ■ 1/ , i>-i) £W
~.«r — c ' £ — c' ' * x — c(n-1> ' « — c<"> '
fcr-]), &<*-*>, . . . 4', fet, a, a", . . . a«"^ etant quelconques, d'ou il resulte
qu'on peut exprimer l'integrale
/
x« + k[»-» x»~i -] l-^-j-jfc, dlK
(x — a)(x — a') . . . (x — a<n-x)) '
THEOUIE DES TRAN8CEN DANTES ELLIPTIQUES 139
/dx
7= '
{x-c)YR
On voit de meme qu'on peut exprimer l'integrale J ^ par n integrales
de la forme / — , dont n — 1 sont arbitraires par rapport a a.
J {x-a)iR F FF
Problem e III.
Trouver toutes les integrales de la forme J — "^-^ ^ peuvent tire exprimSes par
p+qYr
la function A . log
p — qVr
4G. ruisque / * — -=± — = A . lop* — ' — , on aura en diner entiant
1 J VE d P—QYR
OATdP PdN
x-\-h=-w , M=A
— 5
N ' Q
N=P2 — Q2B.
Pour que liquation ^ — x-\-h puisse avoir lieu, il faut que N= const. —
on a done les deux equations :
dP
c(x + k) = 2Ac^,
c=zP* — Q*R;
on bien en supposant c = 1 ,
17 OA dP
x + k = 2AQ:dx>
1=P*—Q*R.
La premiere equation n'a aucune difficult^ Elle donne aisement les
valeurs de A et fc, quand P et Q sont connus. En effet, soit
P=f+fx^ |-/<"+2V+2,
Q = e + e'x + • • • -fe^z",
18*
140
THE OKIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
on a en substituant
_i 7, a A 0 + 2)/("+*> + * + (fi + !)/*»+*> jg +
d'ou Ton tire
1 =
2 A (n -f 2)/<"+2^
2^1 r
done
(1)
4 =
«(»)
(2n + 4)/<»+2>
(n _|_ 2)e /<"+*>
Considerons maintenant l'equation
et cherchons a trouver les valeurs de P et Q.
Premih'e methode.
47. La m&hode la plus simple qui s'offre est celle des coefficiens in-
determines. Substituant les valeurs de P et Q on obtiendra
(f+f*+f*+ • • • +/(n^x^y ■
(c + e' x -| f- ew cc'1)2 (« -f /9a; -| [- *r4) === 1 .
En developpant et comparant les coefficiens, on aura les equations suivantes
an n ombre de 2ra-|-5:
f
ae
(2)
>fXp-3) |
f/(p) +f/(p-i) +r/(p-*)+r
_ tt(ee<t) e> e(*-« e'V*-2) _|_
— ft(ee(p-l) -f e' e(*-2) + e'V»-3) -f
— ^(ee(p-2) -f e' e(p'3) -f e'V~4) +
— (y(eeip-Z) + e' e(»-4> e'V-5) -f
_ £(ee(^)_|_e'e(P-5)_|_e^(^-6)_|_
En faisant dans cette Equation successivenient p=l, 2, 3, etc. jusqu'a
2n -\- 4, on aura les Equations necessaires pour satisfaire a l'equation
P2 — Q*R=1. Ayant 2n-\~6 Equations mais seulement 2n-\-4 coefficiens
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES. 141
indetermine's, il est clair qu'on obtiendra ime relation entre les cinq quanti-
ty cf, /?, y, d, f.
En faisant dans liquation (2) p = 2n-\-4:, on obtiendra
y(n + 2)2 _fe(»)2_0)
done
y(«+2)=ze(n) y~
En substituant cette valenr dans les expressions de A et de fc, elles deviennent
HP • ' - (4=_i=1
(3) { V , ;
\ (« + 2)y£ *
48. Avant d'aller plus loin je vais appliquer la me'tkode precedente
en supposant n = 0. On a dans ce cas Q — e, P=^f-\-f'x-\-f'x2. Les
Equations (2) deviennent done
W- /»-««■= 1,
K '. 2ff'-pe*=0,
2f'f" — (Je2 = 0,
«,«__().
On tire de ces equations
f = e [/f —
V/*2£ — ad'-
d2
%fl 2Y(r2e*—a£di
6 f yp*e—ad*
e ==
. V/^e— ad2
En substituant ces valeurs dans liquation /" + 2ff" — ye2 = 0, il viendra
4£ + "r~/ — U' /~ 4e^ 6
Celle-ci est done la relation qui doit avoir lieu entre les quantites ft y, d
et f. II est remarquable que a ne s'y trouve point.
142 THEORIE DES TRANSCEND ANTES ELLIPTIQUES.
Par les equations (3) on a ensuite
On a done
* + 1 , p+QVi?
log
An reste cette integrale est facile a trouver; car en faisant ^ — ] — ^ — = ?/,
on aura
yty
u
integrale facile a trouver par les metkodes connues.
49. Les equations (2) ont l'inconvenient de ne pas etre line'aires. On
peut trouver un systeme d'equations line'aires qui les remplacent de la ma-
niere suivante. En mettant — au lieu de x dans l'equation
P2 — Q*R=1,
on obtiendra une equation de la forme
dans laquelle
^=/y+2+/y+iH v.fw\
fy=«yn + ey-^ f-->,
tpy = ay' -f fitf -f y;/s -f rfy -f- f .
II est clair que l'equation
Fy=fy.y<py
aura lieu dans la supposition de ;/ = 0, en la differenfciant 2w-|-3 fois de suite.
On a done les Equations suivantes:
dFy = tf/y . -fjfy • dV<Pyi
d*Iy = d\fy . Y<py + 2dfy . d }f<py +Jy . d* fepy,
c72"+3 Fy = dwfy . y^j + (2* -f 3) c72"+7?/ . rf}^
THKOlilE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
143
En faisant dans ces equations y = 0, on aura
De meme
dtf
d*Fy
1 . 2 ./W,
1.2.3 .. . p.Jw~r\
dyP
!L-^=1.2.3...(» + 2)./,
d»+*+PFy
~dy~n+P + 2~
e(n\
dy
d*fy
:1.2.er"-^,
dnfy _
dyn
L . 2 . 3 . . . n . e,
dn+pfy
dyn+P
<),
'foy=
dVqy
defy d
dy
2dy.Yyy 2Ve
d2Vfpy
dhpy (dcpy)* _
dy' ~
My*.i(fy IdytyyYqy
y« 4eYe
d3 V(fy _
1 ' f d3cpy 3d(py . d^cpy j
3(d<py)* \
dy*
dys\2V^y kyyiyy
S((py)*Y<ry)
d* Vcpy
dy* —
3/S 3yd , 3d3
De la nienie nianiere on trouvera ^ etc- en KUpposant y = ()- Bail pins
de simplicity je designe par c<r) la valeur de —-J^f" en J faisant y — 0.
144 THEOKIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
Eii substituant les valeurs trouvees, on obtiendra les equations suivantes
(*+l) _1_
fin) __ cefn-2) _j_ C>e(n-X) _|_ i c»e(n)^
2.3
2 1 2.3
r(k) r(P)
C p(n-P + k)\ , I CUV
2.3. ..A; ' r.2.3...p
r" ft'" r(n)
n
. e
(»)
/' = <» + <" + V "" + Oe'"+---^ 2.3..
r" r'" r"" /•(»+*)
J 2 ' 2.3 ^2.3.4 ■ ^2.3...(w+2) '
ft — — 1 c"" ' 1 c""' " — L | cC»+3) w
2.3e"T~2.3.4e > 2.3.4.5e ' r 2 . 3 . . .(n+3) 6 '
ft- 6'"" _L c""' '_L _J_ cfW+4; to
°""2X4e + 2^471 \6 H ^2T3T^(n + 4)en'
~"2.3.../)e"r273...(p + l)e t'7 +2.3...(n+j9)e '
~ 2.3...(« + 3)e+2:3.:.(n + 4)e ' f 2. 3 . . . (2n + 3) 6 " *
50. Ces equations sont, comnie on le voit, tres commodes pour deter-
miner les coefficiens e, e', e" etc. et /, f" etc. Les n-\-l dernieres don-
nent les coefficiens e', e", ... e(n) en e, et de plus une relation entre les
quantites c'", c"" etc. Les n-\~2 premieres donnent ensuite immediatement
les coefficiens /, /', /" etc. en e. Celui-ci est arbitraire et disparait du re-
sultat, comme il est aise de le voir. Si Ton fait fc = 0, on aura /'= 0, d'ou
il resultera une seconde relation entre les quantites e\ c" etc. Au reste cette
supposition ne diminue pas la generalite du probleme; car en faisant dans
le resultat x — y-\-h, on aura la meme integrale que si Ton n'avait pas
suppose* h = 0. Soit done /' = 0, on voit que
THE0K1E DES TRANSCEND ANTES EELIl'TJQUES.
145
I
xdx
Va + ~(tx + yx* + "Ac3 -f exi
peut s'exprimer par des logarithmes, toutes lcs fois qu'on a enire les quan-
tity «, ($\ d\ e les deux relations qui resulteut de L'&imination des quan-
tites e, e\ e" etc. des n -}- 2 equations
„'" n"" /•fn + 3)
n— c_ e ! « g' _1_ ... J ?! ew
u — S.8.4a " T 1.2. ..(* + «)a '
C(n + 3J c(2n + 3)
-57 ew.
°~2.3...(n + 3je~l~ ' " ' + 1.2.3. ..(2« + 3)
51. Appliquons ce qui precede aux cas ou 72 = 0 et n=l. Dans le
premier cas on aura
f" = ce, f'=ce, f=:C2 e, 0 = e"'.
La derniere equation donne
() _ 3// 3yd , M«
d'oh v _ I coinme nous avons trouve plus haut.
d 1 4« ' * >
Soit maintenant n=l. Dans ce cas on a
0 = c'e _|_ *L *>, d'ou 0 2c' + i
r\ C I, C f r\ ti„"" I „">"
0 = OTJe + 2^7475 e' 0 = 5c +c V
En eliminant - il viendra :
e
c>c"» —2c"c"' =0,
2c V"" — 5c"c""=:0.
De ces deux equations on tirera, en faisant f = l et />'= — «, ce qui
est permis:
()" = 2 et y= — 3.
On a done
7,* = xx -f 2x3 — 3x2 — ax + «.
Tome II. I9
146 THEORIE DES TRANSCEND ANTES ELLIPTIQUES.
On trouvera de meme
c=l, c'=l, c"= — 4, c"' = — 3a -f 12,
done e' — — — y- e = ye — lj en faisant « = 2,
1 /// / a
2.3 C 'e — — 2
done
/
, -*3 + 3^2 2 ~ |— {x — j— 2) V«* + 2a»— 3a;2- cur + a
y^ + 2^— 3^2 — a*+« ° ^+3^— 2— |- -(*+2)y**+2*»— 3*2- c^+^
52. De l'equation P2 — 1 = 02P on tire
(P+ 1)(P— 1) = Q2R = P'2Q'2R'R%
en faisant Q — P'Q' et R = R'R". On aura done
P+1=P'».#',
P— \ = Q'2R\
d'oii Ton tire
P=: | (P'2P' -f 0'2P"), 2 = P'2R' — Q'2R".
Cette Equation est plus simple que l'equation P2 — Q*R=1.
En multipliant par R' on aura
{P'RJ— Q'2R = 2R'.
On peut done mettre P'R' et g' a la place de P et Q dans 1* expression
P~l~ Q V-K
l°g p_ gy^ ' ma*s ^ *aut 0Dserver que A change de' valeur.
Pour montrer l'usage de liquation
2 = P'2R' — Q'2R",
soit
^^Jc' + g^+j?; R" = x2 + 2q'x-\-p',
et P' et deux constantes. On aur/i
2 jppP" -p'Q» -f 2(<ZP'3 - q'Q>>) x + (P'2 - Q'2) x%
P'* = Q'2, q = q\ 2=pP"-p'Q", % .
THEOBIE DKS TKANSCENDANTES ELL1PT1QUES. 14T£> O^,
P= P'2W - 1 =r= - 2 - (x2 + 2gx + p) - 1 = fe^+fo + y + P'
/>— p v l> ■ f i h*J p—p'
P — V (' £ 2 * ' 4?
done
ee qu'on pent aisenient verifier en f'aisant ic-)-^z=?/.
Soit maintenant
On aura
2c2 = (x2 + 2mz + m2) (z2 -f 2<p +^) — (a2 + 2m'x + m'2) (z2 -f 2^ + p'),
d'ou Ton tire
2c2 = m2p — m'2p\
0 =r: m2^ — t?2/2^' -f- m_P — ra
0=p — p -j- — 4r/i/^/ -|- m3 — ra'2,
0 = <2 — 2' ~h m — m' •
Soit ^-j-^'rr^r, on aura
2q = ?• -j- m' — m,
2^' == r -j- m — m',
^> =2 ^ r (3m' — m) -|- 1- m2 — 4 m'2 — mm\
p' = Yr (?j7n — m ) ~~h y m'2 — y 7/2,2 — wm',
2r;2 =2= ^- r (in' — raf -\- \ (m — m') (m3 — m2m' — m'2m -\- w'3).
Par la on obtiendra
p_ p* j>> _ ] 0** + 2mx -f w2) (a2 + 2g# + j>) — <-'2 .
q _ p/^' _ x*+ (m + m') .v + mm'
done
ou
mm' £/ 2mp -f- 2/n2^ g
-prr/ =? Jt i n — *i
1 /' 2mp 4- 2rtt*g
(n+2)"/e 'T « WW'
19*
148
THEORIE DES TUANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
or
2mp ----- r{2)mm' — m2) -|- m3 — m'*m — 2m2m/,
2m? q = rm2 -j- mW — m3,
done
2mp -\- 2m2q = Srmm' — m/2m — m2m
h=z\ (3r — m' — m).
L'inte^rrale eherchee a done la forme
[a -f- k) dx
2^/
7/7 _ L_ fYl
Soit 7^ = 0, on aura r —'- — ^ — , done
d'ou
2<2=:-f?ft</ — |-m, 2<2,/ = 4m — f-to^
m = 2^' -j~ 5 5 m' = 2</ -J-
3m' — m — hq -\- q\ 3m — m' — hq' -\-q,
i ^ = + %qq' + 1 <l\ i ™" = 2g2 + 2^' + 1 2»,
mm
' ±=bqq' -\-2q2-{-2q'2, r = q-[- q'
done
e'est-a-dire
= '' t ~ (52 + 20 - * 2" — 1 2*- 5*Z' I
de meme
I/^~q'2~2qq'.
On a done en substituant
+ 2<p — ga — 2qq') (x2 -f 2$^ — tf'2 - - 2^/),
/• x . dx , • P+ QVM
J V(.r * + 2?# — — 2^') (.r2 -j- 2^'.t — q'* — 2qq') ~~ T °g P— QY* '
oil P= (x2 -f 2r/x — if — 2<?<z/) (.r -fr g -f 2^'),
0 = 3 + 0' + 2q;
ou bien
V(^+"2^ — q* ^2qq~') (x* + 2q'x — 9'2 -^2^)
=4- log (* + g + 2g/} + 2^ ~ <? ~ 2^ + + 9' + gg) v** + - y"-y/
(* + q + 2?') V**+ 2qX — q2 — 2qq' — (x -\- q' -{-2q)Yx*+ 2q'x— q,*~ 2qq'
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 149
53. Seconde methods.
Dans ce qui precede nous avons reduit la resolution de l'equation
g"JK=s= l
a la resolution d'un systeme d'equations lineaires; niais comme l'eliniination
des inconnues entre ces equations est assez laborieuse, et qu'on a de la peine
a en deduire un resultat general, je vais donner une autre methode pour la
resolution de cette equation, qui n'ait pas les inconveniens de la prec^dente,
et qui donne une relation generate qui doit avoir lieu entre les quantites
constantes dans B, pour que liquation proposee soit resoluble.
Soit ra le plus grand carre parfait contenu dans i?, on peut faire
i?=:r2 + ,s,
ou r est du second degre et s du premier. En substituant cette valeur de
R dans l'equation proposee, elle deviendra
II est clair que le premier coefficient de P doit etre le meme que le pre-
mier coefficient de Qr\ on peut done faire
; P=Qr+Qt1 - uJ
le degre de &ant moindre qui celui de P. En substituant cette valeur
de P on aura
Soit Q du degre w, il est clair que ft est du degre n — 1. Soit mainte-
nant v la plus grande fonction entiere contenue dans ? , il est clair qu'on a
r — sv T-j- ?/,
v etant du premier degre et u une constante. En mettant cette valeur an
lieu de r dans l'equation ci-dessus, on obtiendra
Q\ -f- 2QQxu + Qs (2vQx — Q)=\.
On voit sans peine qu'en faisant
Q==2t>Qt7fcQ%i
le degre de Q.2 devient moindre que celui de Q.
En substituant on aura
(1 Auv) Q\ -|- 2Q, Q, (v — 90) - 8 Q\ ±± 1 ,
ou bien
150
THEOK1E DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES.
s1Ql-2r1QlQ2-sQl=l,
en faisant
sx == 1 —J— 4mv , r, = r — 2u.
Puisque le degre de ft est moindre que w, il est ais^ de voir que ft est
du degre n — 2.
Cela pose, soit
ux etant une constante, on aura
*i ft (ft - 2*, ft) - 2ft — sQ\ = 1 ;
done en faisant
ft = 2^0, + ft,
ft sera d'un degre moindre que celui de f\. En substituant on aura
SlQl 2?*2ft ft S2.^2 — 1?
en faisant s2 = s -f- 4w1i?1, r2 = i\ — 2w1? ft &ant du degre n — 3.
Cette equation est semblable a la precedente, d'ou il suit qu'on peut la
reduire de la meme maniere a liquation
S3 Ql 2?'3 ft ft S2 $4 = 1 ,
dans laquelle on a
r2 — v2s2-\-u21 a 2 etant constant,
ft = 2v2ft-|-ft, $4 etant du degre ?z — 4,
En rdduisant cette equation de la meme maniere, et ainsi de suite, on
parviendra enfin a une equation qui, dans le cas oil n est un nombre pair
2«, sera de la forme:
S2a-1 Qta + 1~\~ %r2a ft« ft« + l '%« Q\u — 1 \
si n est un nombre impair 2cer -f- 1 , elle sera de la forme : •
S2a' + 1 $L' + 1 2r2a< + 1 fta/ + j ft„'+2 S2c('ftL' + 2 = l«
fta+i est d'un degre moindre que celui de ft„, et fta,+2 est d'un degre
moindre que celui de fta,+1. Maintenant Q2u est du degre" »— 2a = 0,
done Q2u est une quantite constante; done Q2u + l = 0; on a done
— *2« ©L = 1 •
TIIEOIUE DES TRANSCEND ANTES ELMl'TIQUES. 151
Si ra = 2a'-j-l, on aura de nieme
S2a' + 1 Q 2a' + 1 z=z 1 5
done en general
*,<>:=(- i)h+i,
Qn dtant une quantite constante. De la il suit aussi que sn est une quantite
constante. Done
"Toutes les fois que l'equation
P3 — Q*B=1
est resoluble en fonctions entieres, il faut que Tune des quantites
8j s17 s2, s3, s4, etc.
soit constante, et reciproquement. De plus, si sn est la premiere des quantites
s, sn sa, etc. qui est constante, P est du degre n-\-2 et § du degre ntt.
II suit de la que pour trouver toutes les valeurs que R peut avoir,- il
faut f'aire successivement s, sn s2, ss, etc. egal a une quantite constante.
54. II s'agit maintenant de determiner les quantites 8U s2, .v3 etc. rn
r2, r3, etc. vti v31 etc. m17 w2, w3, etc. Les equations desquelles on doit
les deduire, ont, comme on le voit par ce qui precede, les formes suivantes:
( 1) . Sm ~ Sm— 2 ~f~ 4^ m_x Vm_x ,
(2) r«==^i — 2«*-4j
(3) rm = smvm^-um.
On peut de ces equations en deduire une autre qui est de la plus grand e
utilite dans cette recherche.
En multipliant la premiere des equations prdcedentes par sm__u on aura
•Sm— 1 Sm — - '^m— 2 t<?m— 1 ~~f~ ^Um—l ^m— 1 Sm— 1 •
De la seconde equation on tire
2wOT_1 = ?'m_i rCT 5
done en substituant
De l'equation (3) on tire en mettant m — 1 au lieu de m, et en multipliant
par 2,
2r„,_1 = 2sm_ vm_x -f 2w,„_x.
En ajoutant cette equation a l'equation (2), on auni
2Vm—l 1 S*3 rm— 1 ~\~ rm-
152
THEOKIK DES TKANSCENDANTES ELLIl'TIQUES.
On aura done
Sm A Sn — Sm-t *"m--2 + (}'m-l ~\~ ''/«) v*HI 1 _ ''m) 1
e'est-a-dire
II suit de la que la quantite
est independante de m\ done on aura
mais .Vj = 1 -f- 4uv, et r, = r — 2u ; done
s«j -|- r\ — s — |— ?' 2 — |— 4 ^ (vs — r -(- ;
mais vs = r — done
Done on aura quel que soit m
(4) V-i «». + ' « = + s — 5 7
ce qui est bien reniarquable.
55. Faisons dans l'equation prdeedente m = n, on aura
en supposant sn = const. = De cette equation on tire
s
On a de meme
6'n— 1 • Sn— 2 "I- r«— 1 ~ "f" 5S1 ~ ~\~ S 5
done
•/ \ 2 2
TT \Sn— 2 iWSlj ==: ^1 ?'n-l 5
r*
done
Cela a effectivenient lieu, car on a
>'« = SnVn -f M, =3 («Vn + Un ,
d» 1 • ,
ou
Maintenant
or rn_1 = 7-B + 2^B_1z=:r4-2^n_1, done
THE0H1E DES TRANSCENOANTES ELLIPTIQUES.
153
~r vn-i — uR_r,
mais r — sv -|- u , done
V^ — flV, un_x = — u,
done
tJJx === st? — u = r — 2w = rx ,
et par consequent
On demontre de la meme maniere que
*'n_A; z= sk—l fl X ?
Le signe superieur a lieu si k est pair, et rinferieur si k est impair.
Soit n un nombre impair 2 a -j- 1 , on aura, en faisant k — a-\- 1 ,
6'a = Sa ft — ,
Va=Vall + \
done fi=\. Done, si n est un nombre impair, on a
Sn—k — • 6V- 1 5
On a aussi ua = 0. Done:
"Toutes les fois que l'equation P2 — QHi-—l est resoluble en sup-
posant § une fonction d'un degrd impair 2a -\- 1 , on a wa = 0".
L'in verse a aussi lieu, ce qu'il est aise" de voir.
Lorsque n est un nombre pair 2a, on a
+ W« = 0
pour condition de la *resolubilite de l'equation P2 -Q2B=h On voit aise-
ment que ces conditions sont bien plus simples que la condition mentionnee
plus haut que sn doit etre une quantite eonstante.
56. Connaissant la valeur de Qn par l'equation
Tome II. 20
154 THEORIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
on aura les valeurs de P et Q par les Equations suivantes
Qn-3 — 2Vn_3 Qn—2 \ Q*—l 1
Q1 = 2v1 & +
Q = 2vQl + Qi1
P=rQ + Qx.
P
La forme de ces equations conduit a exprimer la quantite -~ par une frac-
tion continue.
En effet il est aise" de voir qu'on a
P L 1 1
— — v —\
2^ + 9^X
^3 -f • 1
On a done P et $ en transformant cette fraction en fraction ordinaire.
De cette expression on peut aussi deduire la valeur de ijR en fraction
p
continue. En effet, en posant n infini, on a = fR, done
YM=r
2i>2
2t 3 +
Dans le cas ou liquation P2 — Q2R=1 est resoluble, cette fraction prend
une forme remarquable, car elle devient dans ce cas periodique; ce dont il
est aise de se convaincre par ce qu'on a vu pre'eedemment.
On voit aussi que si Q est du degr^ les quantitds v, va, vs etc.
sont du premier degr£,. excepte*
Vm ^2n + l} W3n + 2? • • • Vkn—k + l ^tC. ,
qui sont toutes du second degre\ En effet
r
Vn —— V3n + 2 z= ' ' ' =z ^(2/fc + l)n + 2fc =: T~ '
r*
^2n + l == V4n + S ==z ' ' ' == V2itn + 2/fc— 1 z= *%
THEOKIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
155
57. Je vais maintenant determiner les quantity vm, u„n .<?,„ et rm pour
toute valeur de m. Soit pour cela
rm = x2 -\-ax-\-bm,
,<?m == Cm ~\~]?mXl
I'm
a est le meme pour toute valeur de m, ce qu'il est aisd de voir. En sub-
stituant ces valeurs de rm, sTO, et vm dans les Equations (1), (2) et (3), on
aura
c>m ~\-pmx = cm_2 -\-Pm-* x -f 4t^j (x-\-gn_x) — — ,
Pm — 1
x2 -\-ax-\-bm = x2-\- ax -\- bn_t — 2u„_x ,
x2 -|~ + bm = (cm -\-pmx) (gm -f x) — -f-
De ces equations on tire sans peine
Gm-
1 i ^m — 1 £tm — 1
-2 ~r 4 '
= Vm
' Pm-l
K
= K-
9m
= a
Pm
Urn
Cm ffm
Pm
K
1 \
Au moyen de ces equations on peut successivement determiner toutes
les quantit&s
G+\ um1 gm, pm et bm-1
mais en les combinant avec l'equation (4) on les determinera de la plus .
simple maniere. Cette Equation donne
(c*-, +Pm-ix) (cm + p.*) + + ox + bmf = (x2 + ax + b)2 + c+px,
d'ou Ton tire
x cm-i-Cm = c + b2 — b2,
Pm-! 'Pm = 2(i — iQ ,
»*Li -Pm + Cm -Pm-l =P + Mb ~ bm)l
20*
150
THEOR1E DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
en multipliant la derniere equation par cm_xpm__x, on aura
<>L-lP*Pn-l + Pi-i C'm C,n-\ — [P + 2«(ft — hm)] Cm__x •
en substituant dans cette equation la valeur de pm pm_t et de cm cm_1 , il
vient
et en divisant par pt-xi
2 (« - 6.) + « + !>"- ~ M ==[i> + - *-)] y >
^m— 1 Pm—1
c'est-a-dire
2 ( 0 - "f*. ) ( 6 - W = 0 + &i - *2 - # sE? •
/'to— 1 \ J'm— 1 / Z7™— 1
mais on a
/'»! — 1 \ /'ill — 1 /
done
(ft. + K-,) (ft - ft.) = e + -ft*- 52 -jp ,
ou bien
7> = c + />2 — 6 ft*_, — 6 6. 4- 6. ft.__, ;
/'ra— 1
d'oii
JJm— 1
En substituant cette valeur dans l'equation
f'm—l \ i'm—l I
on obtiendra
P\K .+ ft^ - 2[, + (ft - 6^) (ft L y] [op _ c _ (ft _ (b - ft.).].
Cette equation donne une relation entre bm et bm_ x et des quantites constan-
tes. On pent done determiner bm par ftw_M et ainsi trouver la valeur de bm
par des substitutions successives; mais connne bm dans cette equation inonte
au second degr£, il est plus facile de se servir de la methode suivante.
En mettant m — 1 au lieu de m, on aura
^(Ci + = 2 [c + (ft - ftOT_2) (ft - ft..,)] [op _ c _ (ft _ bn_2) (ft - b^)],
ou en developpant
jfaw + K. _2) = 2 (ap - 2 c) (ft - ft,„_2) (ft - />_1) + 2^-c)-2(ft~ft_2)2(ft-ft„1_1)2;
en retranchant cette equation de celle-ci
THE0R1E DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
157
Ah + bm_,) = 2{ap~ 2c) (b - bm) (b - + 2c(ap - c) - 2(b - bmf (b-bm^f,
on obtiendra
et en divisant par bm — bm_2 ,
tf=- 2(ap - 2c) (b - bm_x) - 2(6 - bm_xY (bm + bm_2 - 2b),
d'oii Ton tire
i _ 2i _ /, _1 (4 — iP2
Voila l'eqnation qui determine
Si l'on fait b — bm = q^ , on aura
i ap — 2c , ^ jo2
on bien
2.
<lm— 1 </?»— 1
58. Avant de donner 1' expression explicate de qml je vais montrer com-
ment on pent exprimer les quantites um, pm1 cnn et gm par qm1 qm_t etc.
On a d'abord
— K — K+i — 1 / v
£ TViw + l '/in/I
on a de meme
Cffl-i c-j- qm-\qm
Pm-i P
done
©ii <■-{- qmqm+i
mais gm = a -, done
y ■
c + qmqm+i
p
On a de pins pmpm^ = 2(b — bv) = 2qm, d'oh Ton tire
done
_ 2?„ 29m
jPm— 1 1
" ^-'«-t </2«-3 </2«-5 ?1
158
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
Ay ant pm on a aussi cm , car
Reprenons maintenant Tequation
jp2 + (aP — 2c) — g«»-2 ql-i
<±m — 1
On peut par cette equation determiner qUJ si Ton commit q et qx. Cherchons
done d'abord ces quantites. On a qm — b — bml done q = b — b = 0, et
q1 — b — bt. Maintenant on a
K = - bm_i + 2 — a - —
done en faisant m=l,
b1 = — b-\-2—(a—-
done
q1==2
b--a^ + lc~Y] = 2br2-a? + C
p \p1 J jt
Determinons maintenant <2TO. On voit que </m est une fonetion ration -
nelle fraction nai re de «, ft, c et p- Soit done
zm
ym et zm etant deux fonctions entieres des quantites «, ft, c et En sub-
stituant cette valeur on aura
ym £ p2 zm_* z*_x -f (ap — 2c) ym_x zm_2 zm-i — ym-n yl-\
Done on aura
ym = 2TO_2 «Lt + (op — 2c) ym_x zn_x zm_2 — ?/m_2 .
Au moyen de ces Equations on determinera sans peine zm et ym par des sub-
stitutions successives. De la premiere equation on tire
Zln == ym— 1 ^/m— 5 • ' • 2A. + 1 2 wi -2i 7
done
Z2« + l — #L */2a-4 • • ' y"t ' Z\ 1
deux equations qui donnent zm en fonetion de ?/, , y31 . . . ?/„,_!.
DeVeloppons les valeurs de quelques-unes des quantites z, Uj, z8, etc.
JJi //n .Va et(>- En faisant m = 2 , 3 etc., on aura
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
159
ft = \&A + (ap — 2c) Z, ,
z2 = 4(bp* — acj) -\- c2)2,
7/a = -i-^0 -)- 2(ap — 2c)_p8 (ftp* — acp -)- c2),
ft = iP* Zi *\ + {ap — 2c) y8 zx z2 — ?/2 ,
U2 = ip" + ^P = ^P{P + ^)^
Zs = yl = i:P*{p + ±ab)\
y3=ip2zl+ «j — ,
ft = i bp9[Ub9 -p(p + ±ab)] ,
Zi = z2l/l = b*p* [16b* -p(p + fab)]*,
yi=ip*z2zl+amz*z*— y*y**i
y4 = ±bbpb{p + 4o6) [(jp + 2a&) (p + 4a6) — 863] ,
etc.
Au lieu de faire c == 0, supposons maintenant op — 2c = 0, on aura
ip2 — qm-2 ql-i <
Si Ton fait m = 2, 3, 4 etc. on aura
etc.
Z2=yl = ±b21
pa — ! »
2* =
p*{pi-(2g\-p
160 THEORIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
(2q\ — p2)
==(2g;-^)(4g;-2g;P»-p*)
59. Appliquons maintenant ce qui precede a, l'mtegrale
(x -f-
l/(#2-{- ax-\- 6)3-f c-\-px
Pour rendre les resultats plus simples, je fais c = 0, ce qui est permis,
coniuie on le voit aisement. On a
(x + fc) <&> _ 1 j P-\- Q YM
i{x* -\- ax + by + px 2w + 4 & f— QyR
ou bien, puisque P2 — Q2R = 1,
(# -{- A;) 1
Y(x* + cue + ty* + pa: » + 2
Pour que cette equation soit possible, il faut avant tout que
P* — Q*R = 1,
done on aura pour condition de l'integrabilite' :
x sn = const.
Or on a sn — cn -{-pnxn. II faut done que
#. = 0.
Si cette condition est remplie, on peut toujours determiner h de ma-
niere que / fo + ^jg devienne e>ale a — ~ 0 loo- (P4- Q]/E).
J Y(x2+ax + by-\-px 6 n ~\~ 2
Cherclions cette valeur de 7c. On a vu qu'en faisant
i^Z+ZH
Q — e -j- e'a: -)-•••>
Ac est eg-al a (ng. 47). n g'agit done de trouver J— . On a
0l= ft + §3,
THEOK1E DES TRANSCENDANTES ELLIfTlQUES
' 2
ft = — + + ft,
161
2
Qn = const.,
d'ou Ton tire sans peine
#<»=A. A.A.I L o
J? Pi Pt Ps Pn-1
(n t\ 2 2 2 2 2,. I . . \^-v
6 » T" V 'v ~v~i \9 + 9i+9*~\ V9n-x)Q«\
t Fl F% -T3 pn—i
done
e(n-l)
-jw-=9 + 9i+9*+9»-\ h <7«-i-
Maintenant on a
X l /.= 2.1(W+2)^/'("+2)•^^n+l + (?^+l)^/'(W + l)^^+••••
I g(n) xn _|_ g(n-l) _j )
done
(aj + k) (e(n) xn-\ • ) = 2 A (n + 2),/(,1+2) zn+1 + 2 A (n -f l)/<"+1> -f
done
01. yc+i) = e(«-i)_|_aec») (no 49) j done
el») h _L_ — *<»-d _L w + * „ „(«)
done
1 n -(- Z 1 w -|- 2 7
et par suite
c
On pent aussi exprimer & d'une autre maniere. On a gm — a — — ; done
Pm
en substituant et remarquant que cn_t — c = 0,
n + 2 1 n + 2 1 p2 1 JP3 1 1 />„_2
60. On a vu que l'equation
pn = 0
Tome II.
21
162
THEORIE DES TKANSCKNDANTES ELLIPT1QUES.
exprime la condition pour que
j t^+i^ _ 2A log (P + ^ yg^ ,
Cette condition equivaut a celle-ci :
car on a pnpn^.i = ~2qn (n° 57). On a aussi dans le meme cas
Qn—k == 3V
En combinant cela avec ce qu'un a vu precedemment, on en deduira
la regie suivante pour trouver toutes les intdgrales de la forme
/(x -\~ k) dx
y(x* -|— <xx -j— by + + c
qui puissent s'exprimer par la fonction logarithmique
2A log [P-f § V(x2 -f -f 6)2 -f -f c
savoir :
"On calcule toutes les quantites gy, q3, q±, etc. d'apres la formule-
/y ip2 + («P — 2c) gv-i — jw-a qL-i
(lm ~i '
?771— 1
en supposant et qi = 2 bp ~^~^C- . Puis on fait successivement
2, = 0, 2, = 0, ^ = 0, ...^n = 0 etc.,
oil en general
en donnant a toutes les valeurs possibles. Cela pose, on aura toutes les
valeurs que R peut avoir en eliminant une des quantites a, p, b et c par
une de ces equations. Ay ant trouve' R on a
k
1 1
a
+ ^ + ? +
n + 2 ' n + 2 [ p ~Pl ■ p2 ■ ■ ^
ou Ton a
cm c -f" <lm Qm + 1
« . . Pm~ P
I'aisant ensuite
i^2a ; ~ ' * ' * . Pi
<?2a-l <72a-3 <?1 *
lJ-2u+i — & -3 — • = • • • - — • — j
<?2a ^2a-2 <22 P
THEORIE DES TRANSCEND ANTES ELLIPT1QUES.
163
P
on aura les valeurs de P et de Q en transformant la fraction continue
1
4r = 4- ax -4- b A -: —
Q 1 1 1 2 x + g
+
2^' +
1
2 * + 1
en fraction ordinaire, savoir en supposant qnk = qk. Ces valeurs trouvdes,
on a enfin
/
(x -4- k) dx 1 i
K 1 ' = log
l/(x*-\-ax + bf + c-\- px nJri
p+Qy(x* + ax + b)* + c+px
La resolution du probleme depend done du calcul des quantites qu
<?3, q±, etc. Les valeurs de z1? yt1 za, ?/2, z3, #3, etc. trouvdes dans le
numero 58, donnent immediatement, dans la supposition de c = 0, quelques-
unes de ces quantites. Les voici
2i = 25,
2«
24
862
26(16 63— pQ + 4a5))
4iJ9(/> _j_ 4a6) (p2 + 6aty -f 8a2 b* — 863)
(1663— p(p + ±ab)y
61. Prenons maintenant quelques exemples.
1. Soit Dans ce cas on a qt = 0', e'est-a-dire b = 0; done
Jc = $a, g = a-
On a par la
P 2 , ,1 (a? + «)2^+ If .
^ = ^2 + ax + -^ = — ^ ;
done enfin
P=(x + a)2x + ^p, Q = x + a-,
f - (* + *«)<** _ _ i log [(a. V fl). a. + 1 ? + L + a) V (s» + a*)2 ] .
164 TIlEOftlE DEiS TRANsCEftDANTES EELIPTIQUEK.
!. Soit n = 2. On a ^2 = 0; done p — — 4 aft, on aura
done
done
J V(«8 + a.* + b)* — 4abx T hy }
Soit n = 3. On a 28 = 0, done ^ -f- 4aftp = 16ft3, d'ou Ton tire
p= — 2b(a±ya* + 4b),
7T
Pi p p i
On aura done
[a + r>„ (3a — Va* X 4b)] dx
Nous avons suppose dans ces exemples c = 0, mais il est clair qu'on obtien-
dra les integrates les plus generales en mettant sc-j-a au lieu de a, a etant
une quantite indeterminee.
Probleme IV.
Trouver tautes les inUgrales de la forme J . * qu( peuvent Jexprimer par la fi
loqaritlimique A . log P~^~ ® ^B •
1 to p-qVr
bnction
62. (Je probleme est dans le fond un cas particulier du probleme II,
mais comme sa resolution est tres importante dans la theorie des fonetions
elhptiques, je veux en donner une autre au moyen du probleme precedent.
Soit
J iw ' ° p'— q'Yr
THE0RIE DBS TRANSCEND ANTES ELLIl'TIQL'ES 165
l'integrale la plus genera le de cette forme qu'on puisse exprhner par l'ex-
pression
En substituant au lieu de ?/, on aura
i h' — h'\ 1 - jfe + m + 1 — k' (* + 1 + j ) — *(g + *)
en faisant h=-l -j- -p- . On a de meme dy == — ^ ^2 . Soit
li^iy' + ay + bf + c+py,
on aura
*,= (^Lra+. -!,+*)' + « 1 '
done
(x + iy 1 .1: + / 1 J 11 .* + /
_ + ^ + Q + 0']'+/<* + 0', + c(* + 04 .
ff>— £ + 0*
1/-57 _ Vfl 4- + 1) + + 02]2 + + 03 4- «(* 4- 0* _
r 7£ — r,._j_/vT~ f.r_L/
HM? 0 + 02
Designons par ^+ ^ ^ ce que deviendra en substituant -L
au lieu de ?y, on aura
^4'
ou, en faisant — -vr = ^ 7
J x
Cette integrate est maintenant l'integrale cherche'e la plus generate, ce qa'il
est aise" de voir.
II faut maintenant determiner /. On a
B = [lJr(x + /) a + (x + Ifbf +p(x + /)3 4- a(* + 1)\
e'est-a-dire
R = 1 + 2a(s + 1) + (a2 + 25) {x + /)2 + (2«& +^) {x + + (/>2+ c) (a + /)4,
ou
166
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES.
Oil
& = [4(62 + e)l+ 2ab + p] : (6a + c) ,
y = [6(b2 + c)l' + 3(2a/> -f_p)/+ a2 + 2b] : (/>2 + c), .
/J = [4(/>2 + c) /3 + 3(2a6 +p) P + 2(a2 + 26) / + 2a] : (o2 -f c),
a = [(&' + c) /4 + (2ab + ^) /3 + (a2 + 2b) /2 + 2al + 1] : (/>2 + $
De ces equations on tire
2ab +p = (/,2 + c) (J — 4/),
a* _^ 26 = (7>2 + c) — Ml + 6Z8),
2a = (b2 -f c) (/?— 2;4 + 3M2 — 4/3),
l = (/>2 + C)(a-/9/ + r/2-^ + /4);
d'ou, en faisant
on tire
«' = « — /?/ + rZ2 — rW8 + /4,
/?' = /?_ 2^ + 3^* — 4/3,
/=/ — 3o7-fG/2,
= — 4/,
a = 4- • 5
1 a
'2
a' ■ I a' * a'
4 /v' * /v'*
7y „' T I «/ T „'2
En substituant maintenant ces valeurs de a, a, c et dans l'equation qui
exprinie la relation qui a lieu entre ces quantity, on aura une equation
entre /, a, /?, j/ et rl, dou Ion tirera la valeur de /. On aura done enfin
f ~AW+iA -F+QVW
J {a -f- 1) Vx4 -f <to3 -fy^-f^ + fl r 1 fe P— Q Vii
De cette Equation on tire ensuite
J YJt ' V 'J(x + 1)iR r ~ * p—qYR
d'ob
P+ Q \ E
QYR
THE0RIE DISS TRANSCENDAN TES- ELLII'TIQUKS. 167
i t de cette maniere on obtiendra toutes les integrales de la forme
f dx
/dx
et la fonetion logarithniique
En mettant — I au lieu de on aura
r dx 1 rdx . AVb*+c* , p+
J (x—i)Vl~ T+k'JvB ' 1 ogp-Qy^'
ou bien (n° 44),
r -Ac 1 f i j . p+ qyr
Si Ton suppose fc -|- Z = -77 = 00, ou = 0, on aura
f * _ = 1 1-P+Q^-
J {x—l)YR (2n + 4)V« + ^ + ^2+^3 + /4 & P-QYR
Prenons un exemple. On a (n° 51)
r xdx 1o,p,+ q/V^7
J V^i + 2a;3 - 3a2 - a'O - 1) ~~ * ' °g P' - Q' fR' '
Soit £C == — — -, , on aura
y — '
xdx — — _ ^3 »
p 1 + 2fa - Q - 3fr - - «'(y - Q3 + «'(y Q4
,n ~~ 0-04
done
d'oii Ton tire
rf= — 1 — 4Z,
y = ( — 3 + 3«7 + 6«72) : a',
^ = (2 _|_ M — 3«72 — 4«73) : a',
a = (l _2/-3/2 + «73-f-«7*): a';
done
168 THEORIE DES TKAMSCENDANTES ELLIPTIQUES
I = T , «'== 7. ,B ■ or , etc.
En faisant / = 0, on aura
dx t , P+QV^
= — i-.Iog
or
done
+ a'(^3 — ^) b P— QYR
P=l_|_3a;— |2+-|-ja;8, §=l + 2x.
Dans le troisieme probleme j'ai donne une me'thode pour trouver toutes
les integrates de la forme J ^ ^ qui peuvent etre exprimees par la fonc-
tion loffarithmique A . log- ® . Dans la suite de la theorie des trans-
P— QYR
cendantes elliptiques je montrerai comment on peut trouver une infinite* d'au-
tres integrates de la meme forme, integrables par d'autres fonctions logaritli-
miques, qui sont toutes composees de termes de la forme A . log ^ 1
comme nous l'avons vu a la tete de ce chapitre.
CHAPITRE III.
tiur une relation remarquable qui existe entre plusieurs integrates de la forme
/' dx Cxdx fx2dx f dx
YHjVSj YE ' J (x — a)VR '
63. Nous avons vu dans le chapitre precedent qu'il est en general im-
possible d'exprimer rintegrale / d^—=z par les integrates / -y , / >
I x*dx
J -y=£ 5 neanmoins si 1 on prend cette integrate entre des limites convenables
«
THI'OKIE DES TRANSCKNDANTES ELLIPTIQUES. 169
/dx
— — par les trois intd-
(x — a)yR
grules ci-dessus. Ces limites sont, comme on le verra, les valeurs de x qui
rendent 11 — 0. Soit
/dx
[x—a)YR'
En differentiant p par rapport a a, on aura
dp _ C dx
da ~J (x — afiR '
ri ~L j . f dx .
Maintenant on a vu dans le premier ckapitre que / est toujours
J (x — afyR
/dx
— . En effet on a (n° 14)
[x—a) yR
J{x-a)*VR f* JiRK ~ Yf«J(x-a)l/R
— *R -f- const. ,
(x — a) fa
ou
A = — m2 — \da, B = \<% C=«, B=fx.
Done en substituant pour f = et \ — ~ leurs valeurs, p
r J (x — a) Y R J (* —a)2 YR
et , et prenant les integrates de maniere qu'elles s'evanouissent lorsque
a? — r, r etant une valeur de £ qui rend B=fx = 0, on aura
<fa+T fa* (a-x)fa^ fa J ^fxK J. ~ '
Cette equation devient integrable en la nmltipliant par ]/fa.da; cur 011 a
alors
En integrant on aura
Si m prend l'integrale de a = r, on a: const. = 0, en remarquant que
A + Bx + Cx* = ifix + *x* — ($da + ta*). .
22
Tome II.
170 THEOR1E DES TKANSCENDANTES ELLIPT1QUES.
Maintenant on a
/da [' dx -\- ex2) dx (' dx C ' da ~\- ea2) da
Y% J ifx ' ~~J ifx J ' ~~YJaT
Done en substituant cette valeur et remettant la yaleitr de on aura li-
quation suivante:
J (x — a) yfx J (a — x) y fa
/da /' (\ dx -\- ex2)dx C dx C (4 da -\- ea2) da
Yfa 'J ifx J Yfr J Yfa
Cette equation donne la difference entre les deux integrales \~fa . I —
J {x-a)Yfx
et V/X. I — — exprimee par des integrales de la forme / ~.- et
J (a — as) Vfa J yfy
(a)
/
(id// 4- ey2) du , ,
y J — , ce qui est tres remarquable.
Yfy
dx
Supposons maintenant qu'on premie l'integrale J
de x = r a
(x - a) Yf
x r', r' etant une autre valeur qui rend fx — 0. On a dans ce cas
IR\ l//' fT dx C da Cr (%dx-\-ex2)dx Cr dx C (}da-\- ea2)da
J r {x-a)Yfx ~~ JrYfa 'J , ifx ~~JrYfr Jr Yfa
— x
r (x — a) Yfx
par des integrales de la forme J -~= et j Q^tp* ^dy ? ce qui est tres im-
portant dans la theorie des transcendantes elliptiques.
Soit r" une troisieme valeur qui rend fx = 0, et supposons a = r",
on aura fa — 0, et
/yj da f""($dx + ex*)dx - (' r" (j da + sa*) da
J r YJa ' J r Yfx ~J rYfx Jr Yfa
equation qui exprime une relation entre quatre integrales definies.
Supposons, dans l'equation (a), que x ait une valeur telle que l'integrale
/da . f da
(a _ A.) Yfa Pmsse etre exPrim^e Par des integrales de la forme j ~= < t
/ada
-7= , et SOlt
Yfa
THEOR1E DBS TRANSCKNDANTKS KLLII'TIQUKS 171
f da = r(A + Ba)da fe
w &ant une fonction logarithmique.
En substituant cette valeur, on aura
f da r^dx+ex^dx Cwdx^ r^da + ea^da
fees integrates sont prises depuis z = r jusqu'a a; = ctf, w etant une valeur
telle que
f da ^_ r(A + Ba)da , ^
J(a--<a)ija J V/a
Supposons de plus qu'on assigne a a une valeur a = a>' qui donne
C dx _ r(A' + &ri)dx , ^
J (x—(0')ijx J v>
.a?7 &ant une fonction logarithmique, on aura
<K^?-»?(^ = ^ ^^y^ V> Jr y^
rw' da rw (i Ite + ™*)dx ■' CMdx_ r'^da + Ba^dd _
+ Jr ifa Jr IT* ^ ^ 'h V-fa
64. On pent trouver une relation encore plus geneVale entre plusieurs
inteo-rales definies de la maniere suivante.
Spit 8 une fonction logarithmique quelconque de la forme
J • log' ^oyl +AA°gP'- Q> YR +
En prenant la diffeYentielle de cette expression on a, suivant ce qu on a vu
prdcedemment, un r£sultat de la forme:
done en integrant
• 22*
172
THEOK1E DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
Prenant ensuite Tintegrale depuis x — r jusqu'a x~r', on a
— r'Cg+ Cx)dx
Jr Yfx
L
S ,9
oil bien
s' — a
■ L_ | C da^ m r (jSx-\-ex*)dx Cr' dx r($da + ea*)da
Vfa\JrVfa'Jr ijx JrYfx'Jr Yfa
, JJ_ I r da' r'($dx + Ex*)dx CT' dx f^da'+ea'^da'
Yfa' \ Jr Yfa' jr Yfr Jr Yfx Jr Yfa'
+
Jr Yfa
da + ea*)da , L' f '(.J da' + ca'2) da' \
_ rdx^i L r(A
Jr YfxXYfaJr Yfa 1 Yfa' J,. Yfa'
, r\jdx+ex*)dx /_i r da ". 'L* f !
Jr Yfx . Wfa Jr Yfa^Yfa' JrVM "? J"
Toutes les integrates qui se trouvent dans cette formule, sont, comme on le
voit, de la forme
f dy_ fydi t f y*dy
J Yfy J Yfy J Yfy '
et l'equation exprime par consequent une relation tres generale entre un sy-
steme d'integrales de cette forme.
// * (I i'
f (sin 2 flp) . flfap
sin - (|)
Voyez Legendre Exercices de calc. int.
THKORIE DES TRANSCENDANTES ELUPT1QUKS
173
aux in
Reduction de Vintegrale f ^(3in y)jjy__
J V 1 — c2 sin2
'nteqrales f ^ ? fdcpVl — e2sin2(/> /- — . ^ — -
J V 1 — c*<em?g> J J (1 + n sin2^) V 1 — cW(/>
Voyez Legendre Exercices de calc. int.
Comparaison des iranscendantes elliptiques.
Voyez Legendre Exercices de calc. int.
Evaluation des iranscendantes elliptiques par approximation.
Voyez Ijegeiidre Exercices de calc. int.
Reduction des iranscendantes elliptiques de iroisieme esphce
par raj)port au parametre.
Considerons l'expression
PVR
arc tang — ^— = s •
en la differentiant, on aura
( pY'h\ r.£ dR I R{QdP—PdQ)
ou bien
Q* + P*R ' VR *T VR
Soit
- N=Q-2-^ P*lt = k(l+tu*)(l +nlx,y,
P=l, et Q = x[n + />./•*).
174
THEORIE DES TRANSCEN DANTES ELLIPTIQUES.
En substituant on aura
x\a + bx2f + (1 - x*) (1 - c*x*) = k(l.+ nx*) (1 -f n^f.
En faisant x = 1 et aj= — , on aura
c 7
d'ou l'on tire
_i_/>==(i-[_w1)yi+7i.ys
4\i /
done
('-
1 )
C2 j
('--
1 '
(1 -fn^yi + w -j- c
"(]+^||/i+^-^(i+».)yT+« is.
On a de meme
ft2 z=Jcnn\,
h t= y^ y&.
En substituant cette valeur, on a
- ». y» ( ^- )=(i+».) vh-^ - £ ^ + ». > i^h.
ou
done
^ ( — (i - c2) y™ — ^ y i + n + y?+^) = <? (y 1 + n — yc2 + ■») ;
c2(viH-«--yc2+n)
_ (i _ c«j y c2 yi + w + Vc2 +
ou bien, en multipliant en haut et en bas par -]-«-)- ~\c 2 -f-rc, et en
duisant.
e'est-a-dire
y^ . y« + 1 + V(l + n) (c2 + n) — Yn(c* -f n)
(Vw — Vl + «)(Vn— Vc2 + n)
et en multipliant en haut et en bas par (fa — )— -\-n) (fa-{- fa< 8 -\-n)t
THEOKIE DES TRANSCEN DANTES ELEIl'TIQUES.
175
on aura
ou enfin
On a
n
1 = «(|/^ + l)(l/l+?+1)
k=l, b z=niyn, a = {\ -\-n^\ -\-n — n^n.
On trouvera de meme
Clierchons maintenant la valeur de M.
On a
Q* -f R = (1 -f ?zx2) (1 -f w^2)2;
done en difierentiant
2#d# + c?.# = 2(l -f-w^2)[(l -fra2) 2rc1a-f-(l -f n^)mc\dx,
d'ou
2# § + s = 2( 1 + 7^'2) (2M1 + n + 18
En niultipliant par $ et substituant pour Q2 sa valeur (l + nx2) (l-f-r?,ie2)2 — i£,
on obtiendra
2(1 +r^2)(l +7i^2)2 ^ - 2£^ + Q <l~ == 20(1 +11^) (2nv + n + 3/m^2) &
Maintenant on a
... ,
done
Or ^aa + te3, done ^ = a + 3^2. On tire de la
J/ (1 -f », a2) [(2 n n% a — (»4 + 2n) A) x-4 -f (*, fl — 36) x2 — «].
Done
If [2niH a — (wi + 2n)6] + (wi a — 3*0 ** — a
iv~~ ni+rc.»2)(i+«i*8)
4 j X | L'
I- 1 $ nx2 ' 1
-|- ni«j
176
THE0RIE BBS TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES.
Oh
A = 2a - | 1 + 2 | ft
t \ a a
L' = ~— 2a^2^fn — 2a.
arc tg
done
I7(»)
On anra par consequent
Q
2a-[l- + l)b]F+[^-a)n(v) + (2fn-2a)n(ni)-
yr 2a-(l + 7rr^ . (2a— 2Vn)y;
arc tg. -~
Wi — ayw v _ii a
Yn
a Yn
77(Wl)
On trouvera
2 i
y —
Done on aura
Yn
a Yn
Yl + n.y/c2+i
rr(n)=
ou
. YR 2aVn-(2w + n1) ^ , (2a-2 "j/n ) , , ^
nx = ± ( V^+T + yW) (^n-\-c2± fn) = f{n\
h — ^rnl =f(n)
a — (ni -\- 1) )//2 -(- 1 If nl fn = x(n).
Ou bien, en faisant pour abreger
+ Yn
ni + a Yn
+ 2a Yn — 2n — n {
n x + a Vw
±(2o + 2Vn) Vn
on obtiendra
+ « vV
« = <P M,
/ eg et C ■
ax-\- bx3
THEORIE DBS TRANSCENDANTES ELL1PT1QUES. 177
Soit main tenant
«i = y(0, A = 0M> n=v(wi)j
on aura de la meme maniere
n(ni) = ^ f7(n.) + a, arc tang .
En derivant les quantites n3 a2, (321 y2l a2, 62 de la meme maniere, on aura
n (?z2) == A F-f- ;'2 /7 (»8) + «2 arc tang a^^__ 2^ ,
et ainsi de suite.
En faisant des substitutions successives, on aura done
n{n) ='(/?+ A y + A yyi + A m h A-i ^ • • • F
(a -j- for*) A'
-j- a x ^ . arc tang
-j- cfg^! . arc tang
(ax -j- bx #2) x
(a2 + 62 #2) a;
+ ^-iTTi^ • • • r*-i • arc tang —
Considerons maintenant la loi que suivent les quantites tz, w17 w2 etc.; rcx a
les quatre valeurs suivantes:
i) Ul= (}^+"i+y^)(y^P+y^),
3) ^1=-(y7T+T+y^)(yn+^-y^),
4) r^-c^+i-y^
Soit d'abord
»; = 1 + y») cy^1 + #o 5
on voit aisement que w1>4w, car comme y + 1 > V n et VHFc*>Vw»
on a
C^+yn)(|/^+yn),
Tome II.
178
TIIEORIE DES TRANSCEjSDANTES ELL1PTIQUES.
c'est-a-dire
nx ^> 4?? ;
de meme
nt ^> 4:n1 ^> 42rc,
rc3>4rc2>43rc,
^m>4wm_1>4mw.
On peut done faire en sorte que nm devienne aussi grand qu'on le voudra.
D'oii il suit qu'on peut exprimer la fonction II{n) par la fonction IT(nm) dans
laquelle nm est plus grand qu'un nombre donne quelconque.
Considerons niaintenant les quantites a, b, cc, ft etc. On a b — n^n^
b est done positif et tres grand, si n est grand. La valeur de a est
a=z(n{-\-l)\n-\-l — n^n,
d'ou Ton voit sans difficult^ que a croit en meme temps que w, et que par
suite les quantites a, a17 a8, ete. vont en croissant.
On a de meme
'm—l
En substituant les valeurs de nm et de am_x en nm^ on verra que «„_, est
une tres petite quantite de l'ordre — - — .
Vwm-i
On a
O _ (Vg2+^m-l — V^m-l) (Vl +»»,,_! — Vnm_x)
lJm—i — ; . =as 5
d'ou Ton voit sans peine que ft est toujours contenu entre les limites 1
et 0, et que la serie des valeurs de ft tend continuellement vers la derniere
limite, lorsque n est positif.
Enfin on a
n i — a Yn Vl + n . Y c% -\- n
On conclut de la que la suite des valeurs de y tend continuellement vers
la limite 4 en croissant.
Considerons niaintenant la seconde fbrmule
n
l = $n -f 1 — fa ) (\/n + c* )•
THEORIE DES TliANSCENI) ANTES ELLIPTIQUES 179
Supposons d'abord que n soit tres grand; alors on a*
done
c2
wi — I- '
Done a mesure que w devient plus grand, nx devient plus petit, si n
est plus grand que l'unite. La meme chose a lieu si n est moindre que
l'unit^, ce dont on peut se convaincre aisement, en differentiant la valeur de
n n car on trouve
j f t , 1 \ dn
done, la differentielle etant negative, il est clair que nx croit si n diminue,
et reciproquement.
Cherchons maintenant si la serie des quantites nu ??2, . . . a une
limite. Si elle en a une, cette limite est la valeur que recoit n en faisant
nx — n. Soit k cette valeur, on aura
h = (fk+1 — fk )tfk+? — y&).
Faisons n=zk-\-ay on aura
nx — k
done
I ■ -»-* (*+*)•+•••• ,
maintenant 4 f ^k A- \ <! 1 > done
Done w, differe moins de A; que n\ done & est la limite des quantites w, »17
w2, etc.
On peut done reduire 77(w) a la fonction U(nm% oh. nm differe de k
d'une quantity aussi petite qu'on le voudra. La fonction I7(k) peut s'expri-
mer par la fonction F et des logarithmes, car on a
( (X I l> V ^\ V
{l—y) n(k) = (3F+ a . arc tang ^ i
ft = - nx = - fc* *±=(&rf 1)! + **■
23*
180 THEOIilE DES TRANSCENDANTES ELUPTIQUES.
, 2a + 3Yk •
1 — y = 3, a~
done
mn 2a-\-3Vk j-, 1 a*- — k* x3
TJik) = ! — r — . arc tang — — :
h est determine* par l'equation
Considerons maintenant la troisieme formule:
nx = — Q/n+1 + Yi) — yS);
72x est done toujours negatif. En differential on aura
dnx = — i nt ( - 1 1 ^ dn :
l'accroissement de nx est done positif.
Soit d'abord n tres grand; on a alors
Done lorsque n est tres grand, nx est tres peu different de — c2, qui est
aussi la plus petite valeur que puisse recevoir n1. La plus grande est — c,
qu'on obtient en faisant n=z0. Toutes les valeurs de nx sont done renfer-
me'es entre — c2 et — c.
On peut done toujours supposer n negatif et conipris entre ces deux
limites tres etroites.
La derniere formule est
nx = — (V^+T — fn) $^n+? -f fn).
Si n est tres grand, on a
Done, lorsque w est tres grand, w4 est tres peu different de — 1. C'est la
plus grande valeur que puisse avoir nt. On obtient sa plus petite valeur
en faisant n = Q, et on aura alors nx — — c. Done nx est contenu entre
— 1 et — c.
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
181
Dans ce qui precede nous avons suppose* n positif. Considerons niainte-
nant le cas oil n est negatif. Soit n= — a, a etant positif, et soit d'abord
n
done
«.=«(1+|/]-^)(1+V/l-")-
On voit par la que a!^>a, et si a est extremement grand, on a
ax = 4a.
Lorsque
ax ■=. a I 1
(^lA^)('-lA^)
on a a t <^ a , et si a est tres grand, a 1 est tres petit.
Lorsque
«1=«(i-jATT)(i+jA^i),
on a, si a est tres grand,
a. = a -s— . 2 = 1,
ou plus approcke' *
"' = "(2^ + 8^) (2-^) = 1+LT^- a
done la plus petite valeur de a1 est egale a 1; aj recoit sa plus grande
valeur en faisant a = 1 ; alors on a *
a^l+yi — c\
Lorsque
toutes les valeurs de ax sont renferniees entre les limites
l_yi_c2 et c\
Cherchons maintenant la valeur de n en nt. En faisafit le produit des
quatre expressions suivantes :
nx - (^+y^+ i)(V£+y»+o>
ni _ (yw _ y^fr )(yw - yw+c»),
»i - (fn- }^+ l)(fn + Vn+c'),
182
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELL1FTIQUES.
on aura
n* _ 4nnl _ [2c2 -f 4(1 -f c*)n] n\ — 4c2 nnx + c4 = 0,
d'ou Ton tire
Cette valeur est tres remarquable parce qu'elle est rationnelle en nx et
en c2. Elle est aussi tres commode pour le calcul logarithmique, car on a
log??. = — log 4 + 2 log(??x — c) + 2 log (7?^ + c) — log??! — log^ + 1) — log^ + c2).
La formule trouvee dans ce qui precede, peut aussi servir a trouver une in-
finite de fonctions elliptiques de la troisieme espece qui sont indefiniment
reductibles a la premiere espece. II suffit de faire
n=nm,
et on aura une integrale U(n) de*terminee par des logarithnies et par la
fonction F.
Soit par exemple nx=.n, on aura
(n2 — c2)2
?*"-4rc(ra+l)(n + ^2) '
ou
3??4 + 4(1 -f c2) ns -f- 6c2 ??2 — c4 == 0,
d'ou Ton tire quatre valeurs de n.
Lorsqu'on connait une valeur de. ?? telle que TT(n) puisse s'exprimer par
la fonction elliptique de la premiere espece, on en peut trouver une infinite*
d'autres qui jouissent de la meme propria ; ce qui est bien Evident, car
connaissant TT(n) on connait aussi
n(nx), 77(wg), n(n3), etc.,
77(??_1), /7(??__2), /7(??_3), etc.,
en continuant la suite ??, nxi ??2 . . . vers le cote* oppose\
Ainsi Ton a par exemple
77(c) = 1F+ arc tang + ,
done on connait aussi /7(??x), ou
1) »I=(|/c-+T+y^)(y?+^+^),
2) n^iy^+i-^y^iY^j^-Yc),
TUE0H1E DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
183
4) nx = - + V c ) - Vc ).
De ces valeurs on deduit ensuite de nouvelles.
On connait aussi
77( — 1 — | — |/l — c2), done aussi /7(?zx), oil
1 4(- i + yi— c2).vi-c2.(c2— l + yi-c2) '
mais cette valeur rend la for mule illusoire paree que 1 — x2 est facteur de R.
Methode pour trouver une infinite de formules de reduction pour les trans-
eendantes elliptiques de la troisieme espece.
Pour trouver une formule de reduction pour les transcendantes ellipti-
ques de la troisieme espece, il s'agit de trouver une relation entre deux de
ces fonctions qui ne different que par rapport au parametre. Cette relation
doit etre de'duite en differential une fonction logarithmique de la forme
AAogF+QVB:+A'.logP'+Q'V* •■
P_ qYr 1 & P' - Q'YR 1
expression qui peut aussi etre mise sous cette forme
. . QYR | A, , Q'YR ,
A . arc tang- -^-p f- A . arc tang — ^ 1- • • • •
Buivant ce qu'on a vu dans le chapitre second, il est aise* de voir que la
relation entre les deux fonctions doit avoir la forme:
L [— dx + U f *' /- = G(dx +ZA. arc tang fig ,
En niettarrt — x au lieu de £c, on aura
L f * + 2/ /' = C - « • arc tang « £ •
II faut done que — soit une fonction impaire, on de la forme x F(x').
QYR b
Considerons seulement la fonction A . arc tang — p- — o.
184
THEOKIE DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES.
En differentiant on aura
nQVB , pn dR n( pdQ ndP\
Coinme ~T doit avoir la forme C -\- H , — 5 -\- — r— — = , il faut que
A7 1 1 -J- nx2 1 1 + n1x2 r 1
P2 + Q2R=(1 -f r^2)" (1 -f Wl a2)"' = JV;
// et //' etant des nombres entiers et positifs quelconques.
En differentiant on aura
2PdP-\- 2QRdQ + Q*dIt = dN,
et en multipliant par P et reraettant la valeur de P2,
2(#— QUI) dP+ 2PQE dQ -f PQ'dR = P^/iV,
e'est-a-dire :
en substituant la valeur de jV, on aura
M=~(l + nx2)"-1 . (1 + nx x'f'1 ( 'P[pnx(l + a2) +
fi'n^l + iw»)] - (1 +^2) (1 -frc^2) *?) ;
done
3/ ^ ( [CM" + * + 0" + fO nth **3 ^— [i- + (w + Mi) *'2 + nwi ^ )
Le numerateur de cette fraction doit etre de la forme:
II y a deux cas a examiner selon que Q est une fonction paire ou hnpaire.
Si Q est une fonction paire, P est une fonction hnpaire. Dans ce cas,
si fi-^ a =2v, la fonction Q est du degr£ 2v — 2, et P du degre 2v — 1;
si au contraire ft -\- fi\ ==. 2v -\- 1 , la fonction Q est du degre 2v — 2, et P
du degre" 2v -\- 1.
Si $ est une fonction impaire, P est une fonction paire. Dans ce cas,
si ft . -[- u' — 2v, Q est du degre 2v — 3, et P du degre zv\ si au con-
traire tt -\- }i' = 2r -\- 1 , Q est du degre 2v — 1, et P du degre 2j/.
Determinons maintenant les quantite\s k et
THE0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPT1QUES.
185
On a, en faisant Q=zfx et P=(px,
1
M=j^ [(/tin -\- fi'n^ x -f- (//. -f- ft') n n1 x3) (px — (1 -|- nx2) (1 -f- », x2)(p'x]
= (7c^rk'x2-\-xi)A.
En faisant x2 — et x'
n
on aura
A;
«i
Mais on a
it
n
(<^)2 + {fx)2 (1 - z2) (1 - cV) == (1 -
done en faisant x2 = — et a;2 =
»i
0
4Fi
done en substituant,
l
«1
V- 1,
V=fT;
i +
ou bien
A:
1 + .1 = !L . »=5 y( 1 + n) („■ + »),
1 (X' «!
n i
»lV»l
On tire de la
i i /Wa + »)(c2+w)~ . ^yi+**o(o,+'»i)))
1
Tome II.
24
186
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES.
k,= 1 I _L + i + n)(«' + n) f*'nV(l + ni)(c* + nt)\
n "T ni "T" J \ yw » yWi y
Soit pour abreger,
7 1 i 1
k= [~— ,
nnx 1 A
on aura en substituant ces valeurs
c'est-a-dire
(fc + fey + ^ = g ± «»') a + ».*') ^ + ; + ;V
Done
Soit
on aura
(1 -fw#2)(l -f riiX2) 1 -j-ra#2 ~T 1 -j- nxx'
T In — V Tf lnt — /'
Li = j Li = 5
n — nt — n
et, en substituant les valeurs de I et de Z'
done
V»* yWl
iV niti' y^ ' l + nar8 I" y~ ' l+m*!
En multiplianc par — et integrant, on aura
V R
are tang = ± F 1 ^1 + »)(<***) m j V g VP + »Q («' + «i) rft
ou bien, en de'signant + "X0* + w) par
y^
Q VH A
arc tang JL^- = ^(w) /7(w) + /7(Wl).
THE0KIE DUB TRANSCENDANTKS ELLIPTIQUES.
187
On tire de lk
n(n) = — — • ~rr ^(wi) rr^ -r H 7r\ arc tang — =— >
ce qui est la formule de reduction demandee; nt est une fonction de n\ je
la designe par %(n).
En mettant nx au lieu de w, il faut niettre x{ni)=^n2 a la place de
w17 on a done
flM = - ■ nin,) '-4-— F+ -4~, are Q'# •
En substituant cette valeur, il vient
nni ii\ii2
F
-I — arc tano- — ^
En general on aura
A"
- arc tang ^-p^
1
ft \p(n)
1
(*
n2n3
\ £
A*
+
F
arc tang -=-p — . arc tang p,
' \ 2
Q"VP
arc tang — —
• • +
arc tang
Soit par exemple P=zl + fo2, # = on aura
(1 _|_ ia;i)t _|_ x2) (1 - c2 x*) = (1 + nx*) (1 -f»,
d'oii Ton tire
l+6 = (l+n1)Vl + w,
c» = (J + %) J/ 1 + £ '
done
24*
188
THEORIE DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES.
ce qui donne
ou en reduisant,
c (c— Vcg 4- n) (i — yr+^)
XIY.
NOTE SUR LA FONCTION ite = •>' + 4 + -5 H h H
La fonction \fjx = x -f- r + -p- + • ■ • + ^ + ' ' ' J0Ult °-e phisieurs
proprietes remarquables, que je vais e^ablir dans cette note. On trouve quel-
ques-unes de ces proprietes dans Legendre Exerc. de calc. int. t. I, p. 244 et
suiv. Les autres, si je ne me trompe, sont nouvelles. Conime la serie
2 3
x _|_ * _|___|- . . . n'est convergente que lorsque x ne surpasse pas l'unite',
il s'ensuit que la fonction ipx n'a de valeur que pour les x compris entre
les limites — 1 et +1. Pour toute autre valeur de x, la fonction n'existe
pas, parce qu'elle est exprimee par une serie divergente. Nous supposons
done toujours x compris entre les limites — 1 et -|- 1.
En differential on obtient
d \px= dx 1 1 -|- -| - + Y ' ' ' ~rT + '**)'
e'est-a-dire
dyx= log (1 — x)i
done
(1) ipx=—J ~ log(l-z),
l'integrale etant prise depuis x = 0.
De cette expression de ipx il est facile de de"duire les proprietes de
cette fonction. En mettant 1 — x au lieu de x, on obtient
2 xs
NOTE SUR LA FONCTION l/W — X -f- + +
190
et par suite
clone
l//£C -)- x) = C log X . log' (1 — X).
Si Ton fait ici a;=0, log x. log (1 — a:) disparait, et Ton a y/(l) = C; mais
(2) f(l) = l + y+i+y+---=J- 1
On en conclut
(3) -]- «//( 1 — x) = -g log a? . log( 1 — x).
Cette formule donne la valeur de la fonction yx pour toutes les valeurs de
x comprises entre \ et 1 , lorsqu'on connait la valeur de la fonction pour les
x qui sont compris entre 0 et j. Lorsque as==^, cette formule donne
(4) *<*) = T8 -i(log2)«.
Si dans l'expression de on met — x au lieu de on obtient
32 + 42 — ' '
yj(—x) = — x-\-^ — o2 + "
done
e'est-a-dire, puisque x2 ~\- ~ -\- ~ -\- . . . = yj(x2),
(5) yj(x) + x) = $ y(x2).
Cette formule donne la fonction ipx pour les valeurs negatives de a?, lors-
qu'on connait la fonction pour les valeurs positives de la variable. Dans le
cas parti culier ou Ton fait x = 1 , on obtient
(6) v(-i) = -±v>W = -^> * ifl
e'est-a-dire
_1 - ...
12: 22 TT 32 42 n-
ce qui est connu.
NOTE SUli LA FUNCTION l!)a =3 X -4- 4- Z~ J
Si dans Tequation (1) on met au lieu de x, il viendra
191
[x+lj
i=/l
j X X -j- 1 /
Or on a evidemment
/
/
— l°s(1+x) = — n>{— »),
r^log(l+x) = l[log(l+a;)]>
done, en remarquant que la constante arbitraire due a 1'integration est zero,
(7) v(r^:) + V(-^) = -l[log(l+^)]!.
En eliminant la quantite \p{ — x) des equations (5) et (7), on obtiendra la
suivante :
(8) ^ = i[log(l+x)]!+|^) + v(^i)- '
Par cette formule on pent exprimer une fonetion donnee ipx par d'autres
fonctions, dans lesquelles' la variable est aussi petite qu'on voudra. Car lors-
que x est positif et moindre que l'unitd, on & x* <^x et ^ ■ ^ Si I'011
fait par exeniple x = \ et x = , la formule donne
= ±G°g 1)' + i + vtt) -
• V(i) = i(logi)! + iVti) + V(i)-
En combinant ces deux equations avec celle-ci
W£t - 1 , '• \ . ^ = i(log2),+.v(i), •, i. V * U
on trouvera
V/(i) = £ + 2 log 2 . log 3 - 2(log 2)« - 1 (log 3)' - 1
18
18
De cette maniere les fonctions %M) et ip(}) sont exprime'es par des quantites
connues et la fonetion \p{\ -). Si dans l'equation (8) on fait x = ^ , on obtient
= iOog V)2 + V(tV) + 1 vWr)-
etc.
1^2 NOTE SUR LA FONCTION l/'tf = * + y2 + 32 + ! ' "
Toutes les formules demontrees ci-dessus se trouvent dans l'ouvrage cite
de M. Legendre. Elles ne contiennent, coniine on le voit, qu'une seule
quantite arbitraire. Je vais maintenant en demontrer quelques autres, qui
contiennent deux quantites independantes entre elles, et desquelles les for-
mules precedentes doivent etre considered corame des cas particuliers.
Si dans liquation
ipx = — J~ log(l —x)
on met — H y a la place de x. on aura, en considerant a comme con-
1 — a l—y
stant,
[ a y }
1=-/'
Idy
dy \
\l-a' 1-yj
\y 1
c'est-a-dire
Toutes les integrates du second meuibre de cette equation peuvent s'exprimer
par la fonction \p. En effet, on a
/
/
y log (l— y) = —
done
boit 1 = 2 ou, ce qui revient au meme, 1 — y = — ? ay = -^-, on aura
/r^4(i-~)=/^io8-(i-2)=-^(z)= --v(r" ■-); aonc n.
quation ci-dessus donnera
v(r-a-^)=V'(r^a] + ^r2-)-w-^a--)H(i-2/) + c.
Pour determiner la constante arbitraire, soit y — 0, on aura C = — ip{a).
On aura par consequent, en ecrivant x au lieu de <7,
NOTE SUR LA FONCTION XpX — X -f ~ -j- ~ -|_
(9) V'^"^^^^^
Dans cette formule x et ?/ doivent avoir de telles valeurs que les quantites
y
' ' IZT^ ' Y^y •> y-> x ne surpassent pas runite*. C'est ce qui
aura lieu lorsque x et y sont positifs, si x-\-y<l. Si y est negatif
et egal a — ra on doit avoir a-|-ra<l; et si a? et y sont tous deux
negatifs, il suffit qu'aucune de ces quantites ne surpasse 1'unite.
Tome H.
25
XV.
DEMONSTRATION DE QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES.
1.
Soient a0, a„ a2 . . . &0> &15 &a • • • des quantity quelconques dont Tune
au moins est variable. Soit
p = a0-\-a1x-\-aix2 -\- • • • >
et supposons
(1) f— q2{l — cV) (1 + e2x2) = A(x — <pQl)(x — (P0,)...{x — ip
ou A est une constante. Alors je dis qu'on aura
9>(±0i±0»±*.± ••• ±^) = Q
en determinant convenablement le signe des quantity's 017 #2, . . . 8^.
Demonstration. En posant dans Tequation (1) x egal a Tune des quan-
tity (pOXl (p021 . . . (pO^ on aura,
(2) p2 — — cV) (1 + eV) ts= 0,
d'ou Ton tire
2? = + 2 V(l — cV) (1 + e2x2) ;
ou bien, en faisant x — (pO,
p=±q.f0.F0.
Designons le premier membre de Tequation (2) par R, on aura, en difteren-
tiant par rapport a x et a0, ax . . . &0, bt . . . ,
(3) %dx + »R = 0,
DEMONSTRATION DE QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 195
oh. le signe (5* se rapporte seulement aux quantites a0, at . . . b01 bx . . . ; niais
dE =2pdp — 2qdq (1 — cV) (1 + eV)
= 2pdp — 2qdq (f$f (Fey.
J)
Done en mettant pour p sa valeur + qfO . F0, et pour q sa valeur + ^ ^ >
&R= ± 2/6 . F6 (qdp — p&q).
L'equation (3) deviendra done
g dx ± 2/0 . W (dp -^2) = 0.
Or x = (pd, done dx = d6.fO.Fd] par suite
— <<it
Le numerateur 2(pdq — qdp) est une fonetion entiere de a; en la d&signant
tf.fi
par yjx et faisant = on aura
Ax
Soit pour abreger <pOm = xm, l'equation preVidente donnera
Done
±*,±«.±...±*,=£+£+"-+S-
Maintenant le degre de la fonetion entiere ipx est necessairement moin-
dre que celui de vUr; done, d'apres mi theoreme connu, le second membre
de l'equation precedente s'evanouira. On aura par consequent
±d01±d6t±dd9± . . . ±d6fX = 0.
De lk on tire en integrant,
+ ex ± e2 ± es ± . . . ± ^=cdn*t,
et par suite
cp{±ex±e,±e,± . . . ±0„) = c,
c. q. f. d.
Le signe des quantites 0^0,... n'est pas arbitraire. II est le meme
que celui du second membre de l'equation,
p = + qf0.F0.
r ~ 25*
190 DEMONSTRATION DE QUELQUES FOKMULES ELLIPTIQUES.
2.
Je suis parvenu a ces deux formules:
i — ftjr *t |
, -y) = — *V **" ' I
(1)
2 "'"1"" f/jcqn
I
f — ** i
f\a 2 J = -aT jC0S(irJ ^1 -«-(teT) ,^=T+ ' * ' '
0U 2 ~ J0 yiZT^i ' J[a~2)==y V \aT} 1 a Unction cp determi-
nee par la formule,
0 — f* - }lx
.A, yi— *4 '
en faisant x = (p0.
Si Ton developpe la fonction (p6 suivant les puissances de 0, il est clair
qu'on aura un re\sultat de la forme:
wO — 0-1 Al°a 1 A*09 1 1 A04n+1 1
* "r1.2.3.4.5"T"l.2.3...9"" hl .2. 3. ..(4^+1) J] '
ou ^41? ^ . . . . . . sont des nombres rationnels et meme entiers. On aura
de meme, en developpant la fonction fQ,
je-i-Yo +0-T^_r¥T__+... ±____+ ....
En vertu de ces formules les deux equations (1) donneront, en develop-
pant suivant les puissances de «,
3ti 5zr
e71 + 1 -j- 1 r a ebn _j_ ! — • • • — u.
71 3/r 571:
e2 I to ^4n+2
-— 3*»+* __^L_ 1 g j A
71
37T bjt
,2
e«-i 6 ^rzn+ 5 >F^n =^B"[^
La premiere de ces formules a etc trouvee par M. Cauchj dans ses Exercices
de mathematiques t. II. p. 267.
XVI.
SUR LES SERIES.
Definition. Une serie
u0 + Ux -y v* + • • • + un + • • •
est dite convergente, si dans
on peut prendre ?2 tel que sn+m est different d'une quantite determined .s
d'une quantite aussi petite qu'on voudra. Dans ce cas s sera appele* la
somme de la serie, et on ecrit
Si sn, pour toutes les valeurs de est conteuu entre des limites finies,
la serie est dite indeterminee, et si sn peut surpasser toute limite, la serie
est appelee divergente.
De la il suit:
Theorlme. Pour qu'une serie soit convergente, il est necessaire et- il
Sttffit que la somme • ■ • +un+m, Pour une valeur quelconque
de m et pour toute valeur de n plus grande qu'une certaine limite aussi
grande qu'on voudra, soit contenue entre des limites aussi resserrees qu'on
voudra.
1. Sur la convergence des series dont tous les termes sont positifs.
Theorlme. Si la seYie
?i0 + ux + u,-\ \-u„-\
198
SUR LES SERIES.
est divergente, la serie suivante:
Qa I ofl£ I ea I
'n-1
le sera de meme, si « ne surpasse pas l'unitd.
On a
log = log ( 1 + -~) <-^=- >
done
s« ==t:H"7"H h jt: > loe + log ^z; H r log — '
*»' > log sn— log s0;
done en remarquant que sn peut surpasser toute liinite, s' est divergente, et
a plus forte raison celle-ci
Oil C£ <<^ 1.
Theorhne. Si la serie .^X, est divergente, la seYie ^ a"x est conver-
gente, si a est positif.
par consequent la serie
est convergente.
Application. Supposons que un = 1 , on a s„ =s= ffc. Par consequent
la serie
est divergente, et celle-ci
1 . ' K ai£uLn.ti*ti& 4&» ~f.^ ,!,JB
J
est convergente.
Si une serie Jyw .est divergente, il faut pour qu'une serie quelconque
2un soit convergente, que la plus petite des limites de soit zeYo.
SUR LES SERIES.
199
En effet, dans le cas contraire
ou pn ne sera pas moindre que a. Done
2un ^> Jlch . (pn — a^ipn,
par consequent divergente.
On a vu que 2 — est divergente, done pour qu'une s^rie 2un soit con-
vergente, il faut que la plus petite des limites de nun soit zeVo.
Mais cela ne suffit pas. En general on peut demontrer qu'il n'existe
pas de fonction (pn telle que toute autre serie Zun sera convergente, si
lim. ((pn . un) = 0, et divergente dans le cas contraire. En effet, la seVie
(pn
sera alors divergente d'apres l'hypothese, et la suivante
convergente; mais nous avons vu que cette serie est divergente en menie
temps que la pre'eedente. Done M. Olivier s'est tronipe' serieusement.
La serie
^+^(TTT)+4(i+i+i)+'''+''(i+i+v+-+^i)+'"
est divero-ente. Or
/ 1 \ 1
log(l+w)-logw==log[l+- 1<-,
done
Par consequent la serie
est divergente.
J | I I I I j L_ +
2 log 2 ' 3 log 3 ' 4 log 4 ' 1 wlogw
200 SUE LES SERIES
Soit cpn une fonction continue de n inddfiniment croissante, on a
(p(n + 1) = <p(n) + (p'n -f 9 ,
<p(w -j- 1) <^?2 <^ ^'w,
</(()) + y'(l) H H 9>'M > *« + 1) - y(0);
la serie
¥,'(0)+9.'(i)+ •••+»'(»)+••'•
est done divergente.
Soit
ym7i = logm(?z-^a),
on a
, 1 .
V * + a), log (n + a), log2 (w + «)... log"-1 (w + a)'
done la serie
2 1
ti . log n . log2 n . log3?* . . . log™- 1n
est divergente.
= . r ^(logmrc) _ Qogmny-«
* J a (log"n)« 1-a
r, 1 1
a — 1 (logm n)"-1
^ e£ra (logro?i)a '
y(w + 1) - cpn = <p'(n + A) > g>'(* + 1), (X < 1),
^ 71 ^ a — 1 ) [log™ (w — l)]"-1 (log"1 rc)*-1 j '
«,'(«_ !)<-_!_) i ; \
^v ;^a— l)[log-(n— 2)]"-1 [log"1 (n—
+ $P%0 + 4) H h 9>'w < -^-t • n r^-m— i >
/I:rv 1 ; 1 1 ^ ^a— 1 [logm(a— l)]"-1
y'(a) -f y '(a -[_ 1) -)_... _|_ (p'(n) _[_... convergente.
La serie
s I
n . logn . log2 n . log3 n . . . log"1-1 n . (logm
est done convergente, si «^>0.
SUR LES SERIES.
201
Si
log
lim. M>n-n. log n.. log— j
[0gm + ln
la serie est convergente ; si < 1 , elle est divergente.
En effet, dans le premier cas on aura
1 —■ i r- > (Wmw)1+a,
un . u . log n . . . log™-1 n v ° ' 1
1
Un ^ n . log ii . . . log"1-1 n . (log"1 n)1+a '
etc.
Si
lim. ^ — — - > 1 , convergente ;
< 1, divergente;
= 1 , tantot convergente, tantot divergente.
Si la serie 2anxn est convergente entre — a et -\-a, on aura las
ditferentielles en difierentiant chaque terme. Ces ditferentielles seront toutes
des fonctions continues entre les limites — a et -\-a.
8i <?oM + vidi) • x + <p2(y) .x* h h . »• H =/(y)
est convergente pour toute valeur de x moindre que «, et toute valeur de y
depuis /? inclusivement jusqu'a une autre quantite quelconque, on aura
lim. f(y)= lim. (p0(y) + x. lim. ^iQ/)H
y = 0 — io y — fi — w y = fi — (0
asii+i.H M«*nH =*<
toutes les fois que cette derniere serie est convergente.
[/(/?_«,)_.#] — [y0(/9-w)-il0] 4- [y^T^jh^] W/J-W)-4J x" + ' ' *
== [<pJ$-a>y-A<] + [xsp^-wj-A^] x, + • • • + [ya(/?-w) • x'i-Anxnt] xnt + , . • i
OU £Ci < «, x2 < 1.
Tome EL 26
202
SUR LES SERIES.
Soit [<cpm(ft — co)x" — Amx™] le plus grand des termes
(p0(ft — ai) — A0, (p1{p—(o).xx — A1xl, ... ,
on aura
f{fi co) = R+I±- . [<pjfi — to) . ^] , J
oh k est compris entre -|- 1 et — 1. Le coefficient de k converge pour
des valeurs deeroissantes de cu vers zero, done
lim. f(y) = B = A0 -f ^a? -f- ^ x> -|
De la on aura encore ce theoreme:
Si </)0?/, (fi^/, . . • sont des fonctions continues de y entre /? et a, si de
plus la serie
/to = Vo (y) + <pi(y)-x + <p*(y) • ^ H
est convergente pour toutes les valeurs de x moindres que ot, /(?/) sera de
meme une fonction continue de y.
Par exemple, la serie
f(y)= V .x-\-2'J .x2 .x* -\- A" .x* + • • • -{-ny.xn-\- • • •
est convergente si £<1, quel que soit y- done f(y) est une fonction con-
tinue de y depuis — oc jusqu'a -\-oc.
f(y) = sin 7/ . & -)- 1 sin 2y . x* -\- -J- sin Sy .x3-\- • • -
est fonction continue de ?/, si x<l. Si 1, la serie est encore conver-
gente, mais dans ce cas f(ij) est discontinue pour certaines valeurs de y.
est convergente si x < 1 , quel que soit y. Done J(y) est fonction continue
de y. Si par exemple y converge vers -J, /(?/) convergera vers zero. Si an
contraire 8=1, la seVie est encore convergente, mais pour des valeurs crois-
santes de ?/, f(y) convergera alors vers ~ , et non vers zero.
Remarque L Si une serie
<Po(y) + <fi(y) • x + . x2 -| f- yB(y) .xn-\
est convergente pour x<a et y<fi, la serie suivante n'est pas toujours
convergente :
A9 + A1.x + A^.x*-\ h^-^H !
SUR LES SERIES. 203
par exemple
y y y *
est convergente, si x < 1 , ?/ > 0 ; la serie
Aq-\-Axx-{- • • • ou a-(-a2a; + ' * * +a"+lxn+ ' * '
est divergente, si ax>l.
Remarque II. Lim. [<£>0(j/) + <Pi(j/) • ^ + ' ■ " +9Dr.W-iC"+ ■ ' *] ^nie sans
yr=p — to
que la serie ^40 -f- ^jc -|- ■ • • -\- Anxn -\- • • • soit convergente; par exemple
l+a+... + a._[l + 2a+...+(#+lK^^
Nous avons vu que
lim. (a0-f al3: + a2x2-| ) = a0 + a, /? + r/,2/?2 + a3/53 -| ,
x = /S + w
si la derniere serie est convergente; je dis que si a„xn finit par etre positif,
P= lim. (a0 + «i^+ ' ' •)— o '
x — a — oj
si a0-|-«i« + a2«2+ • • ' est divergente.
[Posons]
R= lim. K^ + a^^-'^ + ^+^-'^H h^+^m+").
x — a — io
oil aM, am+„ ... sont positifs, [et soit]
(« — w)» = «"<*,
c«=«(i-y^),
[on aura]
«9F>«-#S+^+f«,B-+1# " H hW^^
j > + am+1 «m + 1H h «"'+") f" J
done etc.
26 *
204 SUR LES SERIES.
Soit
fx = « + < x-\-a^x2-\ ) + («<? + «<? i + a<J> ) -f
+ (a('0i) + <a--(-^)cc2 -| )
une serie convergente, si x<l.
Soit
= Hm. K + a<J> + «<J> -| 1~
» = A
A, = lim. « + a? _f of _| ^ etc. ,
on aura
>fc=^+A*d-<4t^-J +^-aJ"H '
si la derniere serie est convergente.
[Posons]
fnx = Ay + A¥x-\
done
fx=zAt-\-Axx-\ h^-^H
Developpement de J(x-{~w) suivant les puissances de to.
fix -f o>) = «0 ai(ic -f to) -f- a2 (a; -|_ w)2 -|_ . . . ? ^ _|_ w < i .
Ax + <*>) = ao + {alx + al(jo) + (aix* + 2aixa)-\-astu)*)-\- • ■ . ,
done
/(a; + ctt) = a0 + a1a;-|-a2a;8-| |- (at -f 2a2 x -| )»-)
e'est-a-dire :
»+££'»'+ • • •
si cette serie est convergente. Or elle le sera toujours: On a
X" 1 =*"«» + (n+ 1) a„+1 1 4 + &±|i| a„+2 +
^ -[- to — ,
SUR LES SERIES.
205
1.2. .«<?;" (l — '
w7
as1 — x1x%\ 1
1 — x,
\fnx J
— \ = zero , done etc.
XVII.
MEM 01 RE SUR LES FONCTIONS TRANSCEND ANTES DE LA FORME fyd.v,
Oil y EST UNE FONCTION ALGEBRIQUE DE x.
§ 1-
Sur la forme de la relation la plus generate possible entre un nombre quelconque
d'integrales de la forme Jydx.
Soient fyxdx, fy2dx, . . . fyudx, un nombre quelconque d'integrales et
supposons qu'on ait entre ces fonctions liquation suivante:
(p^Jy^x, Jy*dx, . . . Jy^dx, a;J=0==#,
oh (f d&signe une fonction entiere de fy\dx, Jy^dx, . . . et d'un nombre
quelconque de fonctions algdbriques.
En diffeYentiant il viendra
fi' = ?.;(rl).»+9.'(r,)ft+ ■ • • +<f'(r,)y„ + <f'(x) = 0.
Nous pourrons supposer que B = 0 est irreductible par rapport a
alors on aura
B=r>+Pr^ + Ptff*~\ =0,
Ii> = rl >(kyf, + P') + [(k-l)Py^ + P1']r>-*+ . • • =0,
flhtdx = — ~ . P=rfl,
done
R = r^ + P=0.
MEMOIKE SUR LES FONCTIONS TRANSCENDANTES DE LA FORME j'y dx etc.
207
P'— ^
done
+ ^ + & • % . r£j 3^) = — ,
& = 0,
de la:
ft, + + (k vk + a^J r Jj H =0
0»'=O$ k^ + ^-i^0? si 11011 fc=L
ce qui est impossible, done
k = 1 , et P= vt x-\-Px.
^= V +
Done
En general on aura done
!> + V-i • ^-i + • CM "I h ' + *>o== 0
ou w8 . . . y t sont des eonstantes. Done entin
TJieoreme I.
e» jfj y, ^ + c,/ yt dx + c$fp9dat-\ 1- c„ & = P,
ou P fonction algebrique de a?.
Soit
pa+^paiH =o,
irreductible, Pj ete. etant des tbnetions rationnelles de
*j #i Sto J&1 • • • 9*
On aura
(k dP+ dU,) Pk-X + [(k - 1) ft c/P+ d«J P*~8 H =0;
dP I I
208 MEMOIRE SUR LES FONCTIONS TRANSCENDANTES DE LA FORME Jy dx etc.
kdP+dR^O,
par suite P= — P. Done
Theor&me II.
Cifytdx-^Csjysdx + • • • + cpfyf*dx = P,
oh P fonction ratioimelle de cc, ?/27 z/37 . . . y^.
§ 2. ■
Trouver la relation la plus generale possible entre les irctegrales Jyxdx; Jy%dx\ . . . Jy^dx;
log^; logu2; ...log«m.
On doit avoir d'abord
Ci fytdx-\- c2 f y9dx-\ \- c^f yM dx = P+ a4 log t>, -f- a2 log v2 -| 1- aJogvn ,
ou
P= fonet. rat. (aj, yn ?/2, . . . ^, wn »„■.".. wM).
Supposons que z;m soit une function algebrique des quantites x1 yu yt1
• • • Vfxi vii v2i • • • vm-\ de l'ordre n, et soient vm\ vm" , . . . les n valeurs,
on aura
Ci*/! + c22/2+ • • • + ^?/„==fonct.rat.(z, yiy ft,'.*. #M, «fc-.V. O,
equation qui aura lieu pour une valeur quelconque de vm1 done
Cl fyidx + c,fy2dx+ • • • +c^c& = i(P' + p-+ . . .
+ «ilog ^+ • • ■ +a«-ilogw«-i+ — ««log . . . v<S).
En general
Theorerne III.
Ci fyidx-\-csfy2dx-}- ■ ■ • -^rcflfyfldx = P+ai log ^-|-«2log /2+ • • --[-«mlog^,
ou P, £17 . . . fm sont des fonctions rationnelles de xy yt1 ya, . . . y^.
Tkeorhme IV.
/ ft (#j Ik) dx +f % (^2/2) dx-\ Vfv* dx
= P+a1logf1 + a2log^+ • • • -j-amlogfm.
MEMOIRE SUR LES FONCTIONS TRANSCENDANTES I)E LA FORME fy dx etc. 209
Theoreme V. S'il est possible d'exprinier y ip(x, y) dx par une fonction
algdbrique de as, y, logi^, \ogv2 . . . \ogvm, on pourra toujours exprimer la
meme integrale comme il suit:
f ffa y)dx = P-\-al log tt + «2 log t% -) 1- am log t. .
Theoreme VI. Supposons que
et qu'il soit impossible d'avoir /*(?/, as) = 0, je dis que
f y(x, y) dx = 12, , y ^ (as, yx) dx = B2.
En effet
dx
equation qui doit avoir lieu en remplacant yx par l'une quelconque des valeurs
de cette fonction: ?//, y/', . . . z/f, done
n . f (as, y) <fc + [ ^ (as, y/) + yr, (as, y/) -| |- ^ (as,
jj-B'-| h#(n))>
done
fip(x, y) dx = i (fl* + /r-| h *") ^ ~ *i i
et par suite
f tyi (xi Ui) dx — li — lix — Lit .
Theorlme VII. Soit
1 8 1
ou pQi px, . . 8 sont des fbnetions algdbriques quelconques telles qu'il
i
soit impossible d'exprinier sn rationnellement en p01 $t, . . . pn_xi 8, je dis que
^ydx = H
entraine les suivantes:
»/ J sn J Sn J S n
En effet, ayant
^£ ±3 <ii? = «tfj> " ) = <MS " )
on doit avoir en meme temps
27
Tome II.
210 MEMOIKE SUK LES FONCTIONS TKANSCENDANTES DE LA FORME J'ydx etc.
1'V ^
df(asn)— ip(asn )dx
i i
d /(a*"1 sn )— sn)dx j
done
i^o+^+^H h^-i =/(^)i
74 -|- a"1 22, + a-2 22, H (- a-<-1) 2^.? = /(« # " ),
i?0 + « ^"-^YA + a'^B, -| [- «-<— V = /(a-4
done
» R« =/(*T ) + «w/(« « " ) H h ),
et
J sn
La forme de la fonction rationnelle et logaritkmique / peut etre queleonque.
§ 5-
/» "V.._ m2 mn_
tiur les integrates de la forme y — J f{x, Y R\, YR*, • • • YRn)dw-
Nous pourrons d'abord supposer
C JL _L 1
et de Ik
(a; — ax) mi — a2) . . . (x — an)mn
ou ~ ' ~ » — j • • • sont moindres que runite et reduits a leurs plus aim-
//i 1 //1 2 Hi 3
pies expressions, et p une fonction rationnelle. On en tire
fdx.p.(x-ai) w>-«2) ..(x-flj '""=P.
MEMOIRE SUR LES FONCTIONS TRANSCE N I > A N I KS l)E LA FORME fy dr. etc. 211
1. P etant une fonction alg^brique.
Alors on aura
P= v (x ■ — «i) m' (x — a2) ™~ . . . (x — a)t) , ™"
on v est rati 0111 lei.
On tire de la
l-h.\ ll--"
dP dv
P v ' a; — ai ' a? — a 2 ' ' a — a„
do (x — ai) (a? — a») • . • {x — a,) -\- v(A0-\- AjX -\ j- An^xn-X)
P v (x — «i) (x — a^) ... (x — a„)
dP pdx
P v (x — Oi) . . . (x — an)
p = v{A1i + A1x'-\ ^An^xn-x)+d^{x — ax){x — a,) . . . (x — an).
A) v = xm.
' p=xm(A, + 41x-] (-A..^"-1)
-f m x'"-1 (J?0 + ^ H f- Bn_x fr* + x%
p = mB0 xm-x + (A0 + mA) zm + + mJB2)x™+1 H
h(^-i + w')^+""1-
^x^dx.ix — a,) . . . (a — a„) — Bfl ,
x™ j (a. _ ai) ' "> . . . (a- _an) w" | = mB0 Rm_x + (A. + mBx) Rm-\
n + m— 1 1
A — n— f-1 !-4- k'2 4- ■ • ■ tt-— 1 positif, done A^ + m jamais egal a
^ mi ' ma ' 1 Wi I
zero. Par consequent on aura
! _ i- "
E . , = — As — (z — O • • • (x — a»)
mB0 t> ^w_-2 + fflff— i »
^s^an-*^ "+"2*
On pent done exprimer
IL+n-i ^ *i 7l>n «n • ' • U«-*'
27*
212 MEM 01 RE SUR LES F0NCTI0NS TRANSCENDANTES DE LA FORME j'y dx etc.
B) v = 7— •
' (iC — «)m
A + ^i^H hA-i-c-1 _ w (ff0 + Bi x j L. ^w-1 a-n-1 _|_
p =
(x — a)m (x — a)
,m + l
A() -f At x -)- h a;"-1 = ^ ,
j^+^h h*n=/^
^ = ^ + («_«)^« + (*-«)Pj£ + . . . +{x^aT->_^^
y.r my.?;
^ (.r — «)"• (a? — a)™*1
' m f"a 9>(n-1)« f(n)a
rn fa cpa — mf'a <Pa 2 , i . 2 . . . (w -^1) ~ m i . 2 . . . n
— cr)"^1 (« — a)w ' (as — a)™-1 ~l ' ' T~ ^ _ 1
Soit
on aura done
= — m/« • + ((pa — mfa) Sm +
~f"ll.2...(n-l) ~~ TTtTTnj * ^
l- w + l
Done, si non /o;==0, on pourra exprimer Sm+1 en Sm, £m_2, . . . S,
i?0, ... i?„_2, done
#m+1 en R0J R^ . . . Rn__2.
Si fa = 01 on aura par exemple: a==ait Done, si non (pa — mfa = 0
on pourra exprimer £m en £m_x, , . . 8U R0, Ru . . . i?„_2, done
£m en i?0, R1 . . . Rn 2.
Or on a •
^H1_^r)(a;_a2) • • • (*-<*+(2\-^)-',
done
MEMOIRE SUR LES PONCTIONS TRANSCENDANTES DE LA FORME fydx etc. 213
<P «i = ( 1 — ^ ) (a, — ... (a, — a.),
/'(a0 = («i .— *■)•• ■ («i — «J.
Done
<p a, — OTj^a, == 1 1 — » ) («i — «i) • • ■ {a i — «„) ,
qui ne saurait jamais devenir egal a zero. Done etc.
Supposons maintenant
* *„
1 1
(\ Wl- .• v 771..
a; — ... {x — an) ,
ou
on aura
Co + d x A 1- cn_2 H ^ 1 E*- (- 1 ^-
= t>(4. + 4l!B + • • • +A^1x-i) + d£(B0 + Blx+ ■ ■ ■ +Bn_1x-' + x").
v = r(x — P)~v,
(c0 + Clx+ • • • -I — e-^- + • • .)<r4r**mt(>h0)*>+ l&lr-fihrAfif*
\ OS CC i / \ /
x — ft = 0, f(x) = 0, impossible. Done v entier, mais cela est de meme im-
possible. Done nous concluons que les integrates
sont irreductibles entre elles.
(co^o + c^H h c„_2 i?„_2 + «i'i + *^H h ** *J
est done toujours une fonction transcendante.
On voit que le nombre des transcendantes eontenues dans l'intdgralc ed
independant de la valeur des nombres.
214 MKMOIRE SUR EES FONCTIONS TRANSCENDANTES DE LA FORME f y dx etc.
Reduction des intSgrales R0, Rl7 . . . _R„_2; $1 & Vaide de functions
logarithmiques et algebriques.
Soit
== P-f- log 0, -f a2 log v2 -| \-am log
(a; — rA,)'"i . . . (x — ajn« = a
i
a = #v
A x , A 2 , . . •
«/— 1 = 0,
ou les racines sont
1 , (/J, w2, . . . to1'- 1 .
dx
2 rk K a>* + 2 a log (3Zsk lk o/) = -~ f
/./•
^ r4 a, + * a log ^ A, pitt^) =
+ ZaZ f log (s, A, «,*'*)] = r
vrv, a,
MEMOIKE SUK LES FUNCTIONS TRANSCENDANTES 1>E LA b'OKME fy dx etc. 215
/fjc doc
= log Oo + *i K + *t h + • • • 4- **-3 K-x)
-\- lo log (,s0 -f- co S, Ax t|n *>* 6'2 A2 • • • ^"^"^V-i^-i)
-|- (o2 log (.s0 -\- u>* $ kt + (o4 A2 + ' • • + wa"~2 *r-l ^-1 )
+ ••
+ co"-1 log (s0 + a/"1 ^ X, + s, ^ H h V-i k-i )
= $(x, Kx) = log 0(1,) + co log d(co^) + co'log Oiufk,) + • • • + to""1 log 6(0/-%).
tout au plus du degre — 1,
fx tout au plus du degre (cUj — 1),
done :
Degre de /jg tout an plus egal a E ( — -\- — --f- • • • -I — —1 — 1.
Fx = (x-{\){x-[\) . . . (a -/?„),
i; (J? + ^ ) = k;- + ™ #*o + •••+" iry^ 5J" '
= ipx,
O(coki/J ft) = 0.
Si Ton fait se = /?, on aura, si non^ = 0,
M iok (x — (i)d e(o)k ipx) _ cok d 6(tok ipx) -j-iok(x — /?) d* #(>* xpx)
"fg ~~ 6(wk xpxy d 0(w* if'x)
done
M=wk tf>(fi).
Done si
0(w*< yfc) = 0, 6(toe> ipfc) = 0, ... 0K« VA) = °i
on aura
216 MEM01RE SUR LES FONCTIONS TRANSCENDANTES DE LA FORME Jydx etc.
et par suite
9(x, id=J^+,*fW.nw+*iW.nw+. • • + <»vv,(/?„)./7 (/?„).
II reste a determiner la fonction entiere p. Soit
<t>x ^ M , , 2 , , ,. . M
;k=P-s^=p=e* + e>x+c*x H +
XVIIL
SUR LA RESOLUTION ALGEBR1QUE DES EQUATIONS.
Un des problem es les plus interessans de l'algebre est celui de la reso-
lution algebrique des equations. Aussi on trouve que presque tous les g^o-
metres d'un rang- distingue ont traite ce sujet. On parvint sans difficulte a
l'expression generale des racines des equations des quatre premiers degre's.
On decouvrit pour resoudre ces equations une methode uniforuie et qu'on
ci'oyait pouvoir appliquer a une Equation d'un degre quelconque; mais malgre'
tous les efforts d'un Lagrange et d'autres g^ometres distingues on ne put
parvenir au but propose. Cela fit presumer que la resolution des equations
generales etait impossible alg-ebriquement ; mais c'est ce qu'on ne pouvait
pas decider, attendu que la methode adoptee n'aurait pu conduire a des con-
clusions certaines que dans le cas ou les equations etaient resolubles. En
eftet on se proposait de resoudre les equations, sans savoir si cela etait pos-
sible. Dans ce cas, on pourrait bien parvenir a la resolution, quoique cela
ne fut nullement certain; mais si par malheur la resolution etait impossible,
on aurait pu la chercker une eternite, sans la trouver. Pour parvenir inf'ail-
liblement a quelque chose dans cette matiere, il faut done prendre une
autre route. On doit donner au probleme une forme telle qu'il soit toujours
possible de le resoudre, ce qu'on peut toujours faire d'un probleme quelcon-
que. Au lieu de demander une relation dont on ne sait pas si elle existe
ou non, il faut demander si une telle relation est en etfet possible. Par
exemple, • dans le calcul integral, au lieu de chercher, a l'aide d'une espece
de tatonnement et de divination, d'integrer les fonnules differentielles, il faut
plutot chercher s'il est possible de les integrer de telle ou telle maniere.
Tome H. 28
218
SUK LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
En presentant mi probleme de cette maniere, 1'enonce raeme contient le gernie
de la solution, et montre la route qu'il faut prendre; et je crois qu'il y aura
peu de cas ou Ton ne parvient a des propositions plus ou moins importantes,
dans le cas meme ou Ton ne saurait repondre completement a la question
a cause de la complication des calculs. Ce qui a fait que cette me'tliode,
qui est sans contredit la seule scientifique, parce qu'elle est la seule dont on
sait d'avance qu'elle peut conduire au but propose^ a ete peu usitee dans les
mathematiques, c'est Vextreme complication a laquelle elle parait etre assu-
jettie dans la plupart des problemes, sourtout lorsqu'ils ont une certaine
generalite; mais dans beaucoup de cas cette complication n'est qu'apparente et
s'evanouira des le premier abord. J'ai traits plusieurs branches de l'analyse
de cette maniere, et quoique je me sois souvent propose* des problemes qui
ont surpass^ mes forces, je suis neanmoins parvenu a mi grand nombre de
resultats generaux qui jettent un grand jour sur la nature des quantites dont
la connaissance est l'objet des mathematiques. C'est surtout dans le calcul
integral que cette methode est facile a appliquer. Je donnerai dans une
autre occasion les resultats auxquels je suis parvenu dans ces recherches, et
le procede qui m'y a conduit. Dans ce memoire je vais traiter le probleme
de la resolution algebrique des equations, dans toute sa generalite. Le pre-
mier, et, si je ne me trompe, le seul qui avant moi ait cherche a d^montrer
l'impossibilite de la resolution algebrique des equations generales, est le geo-
metre Ruffini; mais son memoire est tellement complique* qu'il est tres diffi-
cile de juger de la justesse de son raisonnement. II me parait que son rai- *
sonnement n'est pas toujours satisfaisant. Je crois que la demonstration que
j'ai donnee dans le premier cahier de ce journal*), ne laisse rien a desirer
du cote de la rigueur; mais elle n'a pas toute la simplicite dont elle est
susceptible. Je suis parvenu a une autre demonstration, fondee sur les
memes principes, mais plus simple, en cherchant a resoudre un probleme
plus general.
On sait que toute expression algebrique peut satisfaire a une equation
(run degre plus ou moins elevd, selon la nature particuliere de cette expres-
sion. 11 y a de cette maniere une infinite* d'equations particulieres qui sont
resolubles algdbriquement. De la derivent naturel lenient les deux proble-
mes suivans, dont la solution complete comprend toute la theorie de la reso-
lution algebrique des equations, savoir:
*) T. I., p. 06—87 de cette edition.
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
219
1. Trouver toutes les equations d'un degrd determine' quelconque qui
soient resolubles algebriquement.
2. Juger si une equation donned est resoluble algebriquement, ou non.
Cest la consideration de ces deux problemes qui est l'objet de ce m6-
moire, et quoique nous n'en donnions pas la solution complete, nous indique-
rons neanmoins des nioyens surs poar y parvenir. On voit que ces deux
problemes sont intimement lids entre eux, en sorte que la solution du pre-
mier doit conduire a celle du second. Dans le fond, ces deux problemes
sont les memes. Dans le cours des reclierches on parviendra a plusieurs
propositions geneYales sur les equations par rapport a leur re'solubilite' et a
la forme des racines. Cest en ces proprietes general es que consiste verita-
blement la theorie des equations quant a leur resolution algebrique, car il
importe peu si Ton sait qu'une equation d'une forme particuliere est resoluble
ou non. Une de ces proprietes gendrales est par exemple qu'il est impossible
de resoudre algebriquement les equations generales passe le quatrieme degre.
Pour plus de clarte nous allons d'abord analyser en peu de mots le
probleme propose.
D'abord qu'est ce que cela veut dire que de satisfaire algebriquement a
une equation algebrique? Avant tout il faut fixer le sens de cette expres-
sion. Lorsqu'il s'agit d'une equation gendrale, dont tous les coefficiens peu-
vent par consequent etre regardes comme des variables independantes, la
resolution d'une telle equation doit consister a exprimer les racines par des
functions alg^briques des coefficiens. Ces fonctions pouiTont, selon la con-
ception vulgaire de ce mot, contenir des quantites constantes quelconqurs,
algebriques ou non. On pourra y ajouter, si Ton veut, comme condition
particuliere que ces constantes seront de meme des quantites algebriques; ce
qui modifierait un peu le probleme. En general, il y a deux cas ditferens
selon que les coefficiens contiendront des quantitds variables, ou non. Dans
le premier cas, les coefficiens seront des fonctions rationnelles d'un certain
nombre de qualities x, z, z\ z'\ etc., qui contiendront au moins une vari-
able independante x. Nous supposons que les autres sont des fonctions quel-
conques de celle-la. Dans ce cas, nous dirons qu'on peut satisfaire algebri-
quement a l'equation proposde, si Ton peut y satisfaire en mettant au lieu
de l'inconnue une fonction algebrique de x, z, z\ z" , etc. Nous dirons de
meme que l'equation est rdsoluble algebriquement, si Ton peut exprimer tou-
tes les racines de cette maniere. L'expression d'une racine pourra, dans ce
28*
220
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
cas de coefficiens variables, contenir des quantites constantes quelconques,
algebriques ou non.
Dans le second cas, oil Ton regarde les coefficiens comme des quantites
constantes, on peut concevoir que ces coefficiens sont formes d'autres quan-
tity constantes a l'aide d' operations rationnelles. Designons ces dernieres
quantite's par «, /?, . . . , nous dirons qu'on peut satisfaire algebriquement
a l'equation proposee, s'il est possible d'exprimer une ou plusieurs racines
en «,/?,/,... a l'aide d'operations algebriques. Si Ton peut exprimer tou-
tes les racines de cette maniere, nous dirons que l'equation est resoluble al-
gebriquement 5 «, /?, y1 . . . pourront d'ailleurs etre quelconques, algebriques
ou non. Dans le cas particulier 011 tous les coefficiens sont rationnels, on
peut done satisfaire algebriquement a l'equation, si une ou plusieurs de ses
racines sont des quantites algebriques.
Nous avons distingue' deux especes d'^quations, celles qui sont resolubles
algebriquement, et celles auxquelles on peut satisfaire algebriquement. En
eftet, on sait qu'il y a des equations dont une ou plusieurs racines sont al-
gebriques, sans qu'on puisse affirmer la merae chose pour toutes les racines.
Cela pose*, la marche naturelle pour rdsoudre notre probleme se presente
d'elle-meme d'apres l'enonce, savoir il faut substituer dans l'equation propo-
see, a la place de rinconnue, l'expression algebrique la plus generale, et en-
suite cherclier s'il est possible d'y satisfaire de cette maniere. Pour cela il
faut avoir l'expression generale d'une quantity algebrique et d'une fonction
algebrique. On aura done d'abord le probleme suivant:
"Trouver la forme la plus generale d'une expression algebrique."
Apres avoir trouve cette forme, on aura l'expression d'une racine alge-
brique d'une equation quelconque.
La premiere condition a laquelle cette expression algebrique doit etre
assujettie, est qu'elle doit satisfaire k une equation algebrique. Or, comme
on sait, elle peut le faire dans toute sa general ite. Cette premiere condition
est done remplie d'elle-meme. Pour savoir maintenant si elle peut etre par-
ticularised de sorte qu'elle satisfasse a l'equation proposee, il faut cherclier
toutes les equations auxquelles elle peut satisfaire, et ensuite comparer ces
equations a la proposee. On aura done ce probleme:
"Trouver toutes les Equations possibles auxquelles une fonction alge-
brique peut satisfaire".
11 est clair qu'une meme fonction algebrique peut satisfaire a une infi-
nite' d'equations differentes. Done lorsque liquation proposee peut etre satis-
SDR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS. 221
faite algebriquement, il y aura deux cas; ou cette Equation sera la moins
elevee a laquelle elle puisse satisfaire, ou il doit en exister une autre de la
meme forme a laquelle elle puisse satisfaire, qui est d'un degre* nioins eieve,
et qui est la plus simple. Dans le premier cas, nous dirons que l iquation
est irreductible, et dans l'autre, qu'elle est re\luctible. Le probleme propose
se decompose ainsi en ces deux autres:
1. "Juger si une equation proposee est r^ductible ou non".
2. "Juger si une equation irreductible peut etre satisfaite algebriquement
ou non".
Consid^rons d'abord le second probleme. L'equation proposee etant irre-
ductible, elle sera l'equation la plus simple a laquelle l'expression algebrique
cherchee puisse satisfaire. Done pour s'assurer si elle peut etre satisfaite ou
non, il faut chercher liquation la nioins Elevee a laquelle une expression
algebrique puisse satisfaire, et ensuite comparer cette equation a l'equation
proposee. De la nait le probleme:
"Trouver l'equation la moins elevee a laquelle une fonction algebri-
que puisse satisfaire".
La solution de ce probleme sera l'objet d'un second paragraplie. On
aura ainsi toutes les equations irre'ductibles qui puissent etre satisfaites alge-
briquement. L'analyse conduit aux theoremes suivans:
1. "Si une equation irreductible peut etre satisfaite algebriquement, elle
est en meme temps resoluble algebriquement, et toutes les racines ponr-
ront etre representees par la meme expression, en donnant a des radi-
caux qui s'y trouvent, toutes leurs valeurs".
2. "Si une expression algebrique satisfait a une equation quelconque, on
pourra toujours lui donner une forme telle qu'elle y satismsse encore,
en attribuant a tous les ditferens radicaux dont elle se compose, tou-
tes les valeurs dont ils sont susceptibles".
3. "Le degre d'une equation irreductible, resoluble algebriquement, est
necessairement le produit d'un certain nombre d'exposans de radicaux
qui se trouvent dans l'expression des racines".
Ayant ainsi montre comment on peut parvenir a l'equation la moins
elevee a laquelle satisfasse une expression algebrique quelconque, la marche
la plus naturelle serait de former cette equation, et de la comparer a l'e-
quation proposee, mais on tombe ici dans des difficult^ qui parakgent ...su.-
montables. Car quoiqu'on ait assigne* une regie generale pour former dans
chaque cas particulier l'equation la plus simple, on est lorn d'avoir par la
222
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
l'equation menie. Et quand merae on parviendrait a trouver cette Equation,
comment juger si des coefficiens d'nne telle complication peuvent en effet
etre egaux a ceux de l'equation proposee? Mais je suis parvenu an but pro-
pose en suivant une autre route, savoir en generalisant le probleme.
D'abord l'equation etant donnee, son degre le sera de meme. II se pre-
sente done tout d'abord ce probleme:
"Trouver l'expression algebrique la plus generale qui puisse satisfaire
a une equation d'un degre donne".
On est conduit naturellement a considerer deux cas, selon que le degre
de l'equation est un nombre premier ou non.
Quoique nous n'ayons pas donne la solution complete de ce probleme,
neanmoins la marche naturelle de la solution a conduit a plusieurs proposi-
tions generales, tres remarquables en elles-memes, et qui out conduit a la
solution du probleme dont nous nous occupons. Les plus importantes de ces
propositions sont les suivantes:
1. "Si une equation irreductible d'un degre premier fi est resoluble al-
gebriquement, les racines auront la forme suivante:
A etant une quantite rationnelle, et Eiy R2, ... R x les racines d'une
equation du degre a — 1".
2. "Si une equation irreductible dont le degre* est une puissance (Tun
nombre premier /xa, est resoluble algebriquement, il doit arriver de
deux choses 1'une; ou l'equation est decomposable en p*-* equations,
chacune du degre pP, et dont les coefficiens dependront d'equations
du degre* fi"-*\ ou bien on pourra exprimer l'une quelconque des raci-
nes par la formule
oh A est une quantite rationnelle, et BX1 B2, . . . 11 v des racines d'une
meme equation du degre v, ce dernier nombre etant tout au plus egal
a p« — l«.
3. "Si une equation irreductible de degre* divisible par des nombres
premiers differens entre eux, est resoluble algebriquement, on peut
toujours decomposer ft en deux facteurs ax et tu21 de sorte que l'equife-
tion proposee soit decomposable en iui equations, chacune du degre
^jf, et dont les coefficiens dependent d'equations du degre* fa".
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
'2'2't
4. "Si une equation irreductible du degre //", oil u est premier, est reso-
luble algebriquement, on pourra toujours exprimer une quclconque des
racines par la formule:
y=/{VB1, yw„ ... ye.),
oh f designe une fonction rationnelle et symetrique des radicaux entre
les parentheses, et R21 ... 11 a des racines d'une meme equation
dont le degre est tout au plus egal a — 1".
Ces theoremes sont les plus remarquables auxquels je sois parvenu, mais
outre cela on trouvera dans le cours du memoire une foule d'autres proprie-
tes generales des racines, proprietes qu'il serait trop long de rapporter ici.
Je dirai seulement un mot sur la nature des radicaux qui pourront se trou-
ver dans I'expression des racines. D'abord le troisieme theorenie fait voir
que, si le degre d'une equation irreductible est represente par
i/"' ua- u"" lla'°
il ne pourra se trouver dans I'expression des racines d'autres radicaux que
ceux qui pourront se trouver dans I'expression des racines d'equations des de-
gres ft*', pS-, ,u£, . . . fO°>
Des theoremes generaux auxquels on est ainsi parvenu, on deduit ensuite
une regie generale pour reconnaitre si une equation proposee est resoluble ou
non. En effet, on est conduit a ce resultat remarquable, que si une equation
irreductible est resoluble algebriquement, on pourra flans tons les ens trouver
les racines a l'aide de la m&hode de Lagrange, proposee pour la r6»Iutton des
equations; savoir, en suivant la marche de Lagrange on doit parvenir a des
equations qui aient au moins une racine qui piusse s'exprimer rati. amel lenient
par les coefficient II y a plus, Lagrange a fait voir qu'oii pent raniener la
resolution d'une equation du degre a celle de Equations respec-
tivement des degres ^ l'aide d'une equation du degre
Nous demontrerons que e'est cette equation qui doit ndcessairement avoir au
moins une racine exprimable rationnellement par ses coefficiens pour que 1 e-
quation proposee soit resoluble algebriquement.
Done, si cette condition n'est pas remplie, e'est une preuve incontestable
que liquation n'est pas resoluble; mais il est a remarquer qu'elle pent etre
remplie sans que l'equation soit en effet resoluble algebriquement. Pour le
reconnaitre, il faut encore soumettre les Equations auxiliaires au meme exanien.
Cependant dans le cas ou le degre de la proposee est un nombre prenuer, la
premiere condition suffira toujours, comnie nous le montrerons. De ce qui
224
SUE LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
precede, il a ete facile ensuite de tirer coinme corollaire qu'il est impossible
de resoudre les equations generales.
§ 1-
Determination de la forme genSrale d'une expression algebrique.
Comme nous l'avons remarque plus haut, il faut avaut tout connaitre la
forme generale d'une expression algebrique. Cette forme doit se deduire d'une
definition generale; la voici:
"Une quantite y est dite pouvoir s'exprimer algebriquement par plu-
sieurs autres quantites, lorsqu'on peut la former de ces dernieres a l'aide
d'un nombre limite des operations suivantes:
1. Addition. 2. Soustraction. 3. Multiplication. 4. Division.
5. Extraction de racines avec des exposans premiers".
Nous n'avons pas parmi ces operations compte' l'elevation a des puissances
entieres et l'extraction de racines avec des exposans composes, parce qu'elles
ne sont pas necessaires, la premiere etant contenue dans la multiplication, et
la seconde dans l'extraction de racines avec des exposans premiers.
Si les trois premieres operations ci-dessus sont seules necessaires pour for-
mer la quantite 7/, elle est dite rationnelle et entiere par rapport aux quanti-
tes connues, et si les quatre premieres operations sont seules necessaires, elle est
dite rationnelle. D'apres la nature des quantites connues nous ferons les di-
stinctions suivantes :
1. Une quantite qui peut s'exprimer algebriquement par l'unite s'appelle un
nombre algebrique; si elle peut s'exprimer rationnellement par l'unite,
elle s'appelle un nombre rationnel, et si elle peut etre formee de l'unite
par addition, soustraction et multiplication, elle s'appelle un nombre entier.
2. Si les quantites connues contiennent une ou plusieurs quantites variables,
la quantite* y est dite fonction algebrique, rationnelle ou entiere de ces
quantites selon la nature des operations necessaires pour la former. Dans
ce cas on regarde comme quantite connue toute quantite constante.
A l'aide de ces definitions on ^tablira sans peine les propositions suivan-
tes, connues depuis longtemps:
1. Une quantite y exprimable entierement par les quantites
peut etre formee par 1' addition de plusieurs termes de la forme
A ^tant un nombre entier et wil7 ms, . . . mn des nombres en tiers en y
comprenant z^ro.
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DM EQUATIONS. 225
2. Une quantite y exprimable mtionneHemeilt pur «n «2 . . . an pourra tou-
jours se mettre soils la forme
J ft
ou ?/x et //2 sont exprimes entierement pur les memeS quantity.
3. Un nonibre ration nel pourra toujours etre reduit a la forme
ou yl et 7/a sont des nombres entiers positifs, premiers entre eiLx.
4. Une fonction entiere y de plusieurs quantity variables xt1 . . . .<•„
pourra toujours etre fomiee par l'addition d'un nonibre liniite de tennes
de la forme
A . x™1 . x™* . . . asj" ,
ou A est une quantite constante et mn m2, . . . mn des nombres entiers
en y comprenant zero.
5. Une fonetion rationnelle y de plusieurs quantites .r17 x2 . . . xn pourra
toujours se reduire a la forme
ou y et y sont des fonctions entieres qui n'ont point de faeteur eonunun.
Cela pose, il nous reste a determiner la tonne des expressions alge*briques
en general.
Quelle que soit U forme d'une expression algebrique, elle doit d'abord
contenir un nombre limite de radieaux. Deagnous tons les radieaux difte-
rens par
/*, f*2 W3 f**
yg>\ yw„ prv . .
il est clair que la quantite proposee pourra s'exprimer rationnellement par ces
radieaux et les quantites connues. Uesignons eette quantite par
Les radieaux qui eomposent une expression ali-vbrique peuvent etre de
deux espeees: ou ils sont neoessaires pour former I'expression, ou non. S'ils
ne sont pas necessaires, on pent les chasser, et alors Impression proposed eon-
tiendra un nombre moindre de radieaux. De la il suit qu'on pent toujours
o<)
Tome II.
226 SUK LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
supposer que les radicaux soient tels qu'il soit impossible d'exprimer l'expres-
sion algebrique par one partie cles radicaux qui s'y trouveut.
Cela pose, comme le nombre des radicaux est limits, il s'ensuit que parmi
les radicaux, il doit se trouver au moins uu qui ne soit pas coutenu sous un
Pi &
autre radical. Supposons que \^E1 soit uu tel radical, la quantity Rx pourra
toujours s'exprimer ratiouuellement par les autres radicaux et les quantites
connues.
Maintenant y est uue fbuctiou ratiouuelle des radicaux et des quantites
connues; done on peut faire
J y*
oil yl et y2 sont des expressions entieres. Done on pourra d'abord faire
J y*
oh P0, P,, . . . Qoy Qt1 . . . sont des expressions rationnelles des quantites
connues et des autres radicaux. Or on peut encore simplifier beaucoup cette
expression. D'abord designons par
y% j • • • y2
»i
les valeurs que prendra y2 en niettant au lfeu de fjft les valeurs w}/22~,
eryWi. • • w^-1]//^, uj etant une racine imaginaire de l'equation aA — 1 = 0:
** ■
on sait que le radical }/R1 et la quantite w disparaitront de l'expression du
produit
et que l'expression y^J^' y2" . . . y{£~l) sera ratiouuelle en fSt sans w.
On aura done
ls^yi-yt-y*"- -y(t-l)z:^ z
oil 2, est une fonction entiere des quantites connues et des radicaux Rfi ,
>*1
'V-.+pj
jft y
vVPj
fx \
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS. 227
7?3% . . . , et z une fonetion entire des quantites commas et des radicaux
JL J_ J_
En faisant done
on aura
Or on a
P„ + P, . ll «■ -f&.iJAH h ^, • ,
f = + f •«.'■+•••+ £ • *'* •
ft, ft,-\-l J_
jRi'»' = JBr, Jfcj.J?/' etc.,
done on pourra enfin supposer
yc=P# + P1.51^ + P,..B1£+ • • • +P„1„1.#1^\
oil P0, P1? . . . PM_i et 1?! pourront s'exprimer raitomieHement par les quan-
tites connues et les radicaux It^- , B3"' , etc.
Maintenant les quantites P0, . . . Rx etant des expressions algebriques,
mais contenant un radical de moins, on pourra les mettre sous une forme
semblable a celle de y. Et si Ton designe par un radical qui pe w
trouve contenu sous aucun des autres radicaux, les expressions dont il s'agit
pourront se mettre sous la forme
P- + P1'.R,* + P,'. R,\+ ■■■+ P'„,-. • -
oil i?2 P0' Pj' ,'P' _! pourront s'exprimer rationnellement par les quan-
tites connues et les radicaux" Mf1 , P/4 ? etc-
En continuant ainsi, on doit parvenir enfin a des expressions qui 06 oon-
tiendront aucun radical, et qui par Conseq iient teront rationm-lles par rapport
aux quantites connues.
Dans ce qui suit nous avons besoin de distinguer les expressions alge-
briques selon le nombre des radicaux qu'elles contiennent. Nous nous servi-
rons de l'expression suivante. Une expression algebrique qui, outre les quan-
tites connues, ne contient qu'un nombre n de radicaux, sera appetee expres-
sion algebrique de l'ordre n. Ainsi par exemple en supposant connues les
quantites ^2 et j^, la quantite
29*
228 SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQ^UE DES EQUATIONS.
p + 1/3 - ~fi + p + 1/5 + y^ + y 3 - p + y*
.sera une expression algebrique du second ordre, car outre" les quantites |/2,
y?T, elle ne contient que les deux radicaux
Ys-fi+'fii, j/Vif -fa +yi ys + is
Determination (le U Aquation la moins elevee a laqmlle pnisse satis f aire vne
expression algebrique donnAe.
Pour simplifier les expressions, iioils nous servirons des notations suivantes:
1. Nous designerons par Ann Bnn G'm, . . . des expressions algebrique^ de
l'ordre m.
2. Si dans Am=2hJrVi^ + ■ • • +iV-i(y^v 011 sobstitae a la place
de yS successivement c»y2?, £u8ySB, . . . o^-1)^, <m «j est une ra-
cine imaginaire de l'equation pt> — 1=0, nous designerons le produit
de toutes les quantites ainsi fbrmees par TTAm.
3. Si tous les - coefficient d'une equation
yn + A^ + AJlf-*^ =0,
sont des expressions algebriques de l'ordre m, nous dirons que cette equa-
tion est de l'ordre m. Nous designerons son premier menibre par m\
et le degre de cette equation par (J (f(y1 m).
Cela pose, nous allons successivement etablir les theoremes suivans:
Tkeorhme L Une equation telle que
W 'o+^+WM
oil fft, /n . . . tft _t sont exprimes rationnellement par co, les quantites eonnues
-L _L
et les radicaux y/> , yz^ , .. . . , donnera separement
(/*) *0 = 0, = 0, f2 = 0, ... = 0.
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE 1>ES EQUATIONS. 229
• 1
Demonstration. Soit = z, on aura les deux equations
W Hf**H M**«^=»ft
Si done les eoefficiens £0, tll etc. ne sont pas egaux a zero, $ sera one
r; i cine de liquation (#). Supposons que liquation:
soit une equation irreductible a laquelle puisse satistaire 3, ,s0, .Sj, etc. etant
des quantites de la meme nature que t01 ttJ . . . et & un noinbre qui
est necessairement moindre que ux. Toutes les racines de cette Equation doi-
vent se trouver panni celles de liquation
Z"< — yi = 0.
Or si z est une racine, une autre quelconque pourra etre representee par
mv z\ done, si k est plus grand que 1'unite, l'equation doit encore etre satis-
faite en niettant wr z au lieu de z. Cela donne
0 = s{) -f s, w v z -| [- sk^ ioik-i)y zk~x + U)kv zk,
d'ou Ton tire, en la combinant avec la precedente,
0 = s1(uf— 1)H hK"~
Maintenant cette equation, qui n'est que du degre' k — 1, ne pent sub-
sister, a moins que toiLs ses coefneiens ne soient separe'ment egaux a zero. 11
faut done qu'on ait
1 =z0, on (Okv= 1,
ce qui est impossible, en reniarquant que est un nombre premier. 11 Www
done que h == 1 , or cela donne
s0 + z = °>
d'oii
Pi
2 = fii = — So ,
ce qui est de meme impossible. Les equations (/?) auront done lieu.
Theorems VL Si une equation,
w) = °»
est satistaite par une expression algebri<|iui :
230
SUE LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS
!/=2>o+P1}/?J1-\ «
de Tordre n, ou n est plus grand que m, elle sera encore satisfaite en met-
tant an lieu de ]/y toutes les valeurs to]/?^, io2 yy1 etc.
TJieorhme ILL Si les deux equations:
(«) w) = 0 et ^(t/, w) = 0,
desquelles la premiere est irreductible, et ou n^m, ont une racine com?
mune, il faut que
En effet, quel que soit (fjjy, n)1 nous pourrons faire
(fx (y> w) =/(& • H?/, m) + m),
011 le degre de j^y, m) est nioindre que celui de (/)(?y, m). II faut done, a
cause des equations (f), qu'on ait en nieme temps
A(y, m) = °7
ce qui ne pent avoir lieu, a moins que tous les coefficiens de cette equation ne
soient separement egaux a zero. Done, quel que soit ?/, on a f (y, ???) — (),
et par suite
TJieor^me IV. Si Ton a
(0 y 1 bi ») =/(//7 w0 • to
on doit avoir encore
^ **
En effet, en changeant dans 1'equation (£) le radical exterieur |/y succes-
n p
sivement en to')/y1, ^yx etc., elle sera encore satisfaite. En designant les
valeurs correspondantes de (p(y, m) par <//(?/, ra), </)"(#, »»), ... m), la
fbnetion ^(.y, ??) sera divisible par toutes cas fonctions; done aussi par leur
produit, si elles n'ont point de facteurs communs. Or si Ton suppose par
exemple que les deux equations (p'(y, m) = 0, (p"{y1m) — () aient lieu en
meme temps, on en tirera
. y' + Amy'-* + Bmy-*-\ =0,
y' + AJy^ + Bji/-^ =0. . s
SUK LA RESOLUTION ALGLBltlQUE ]>ES EQUATIONS 2'M
Or si elles out une racine commune, elles doivent etre identiques. Done
les functions (p(y, ra), (p'(y, m) etc. n'ont pas de facteurs communs, par suite
la fonction tpx{y, n) sera divisible par le produit
<p(y, m) . . . <ffcriyth m),
c'est-a-dire par //<£>(?/, m). Done
<Pi(Ui n) =A (U • m') ' n V^h m\
Theoreme V. Si l'equation
</)(?/, m) — 0
est irreductible, celle-ci:
n <p{y, m) = 0 = (p^y, m),
le sera de meme.
En effet, si elle ne l'etait pas, supposons que
suit une telle equation. Alors les deux equations y2(//, ra') = 0 et (p(y1m) = 0
auraient une racine commune, et par suite
ra') =f(y) . n (f(y, ra) =f(y) . (pt(y, ra'),
ce qui est impossible, car le degre de yt(y, ra') est moindre que celui de
(p^y, ra'). Done etc.
Cela pose, rien n'est plus facile que de trouver l'equation la moins elevee
a laquelle puisse satisfaire une expression algebrique.
Soit am l'expression dont il s'agit, et
et
l'equation irreductible a laquelle elle doit satist'aire.
La tbnetion doit d'abord etre divisible par y-am. Or, si elle est divi-
sible par y — am1 elle est encore divisible par
ri{y — an) = (p(y, m,).
Mais <p(y, mt) est irreductible, done ftyj est de meme divisible par
/I<p(y, ml)--^(pl(y, r*9)i
ensuite par
232
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
etc.
Maintenant les nombres m\ mI7 m2, . . . forment une suite deeroissante,
on doit done enftn parvenir a, une fonction
oil mv+l = 0. Alors les coefHciens de cette fonction seront rationnels, et coinme
elle doit diviser la fonction ip(y\ l'equation ✓
sera precisement l'equation cherchee.
Le degre de cette equation se trouve aisement. En effet on a successi-
venient
d y,(y, m2)
Done le degre de l'equation
est
flm • [lm, • /'to, • • • ,limr •)
dans le cas oil 7nv+l — Q.
De ce qui precede on pent niaintenant deduire plusieurs consequences
importantes :
1. Le degre de l'equation irreductible a laquelle satisfait une expression al-
gebrique, est le procluit d'un certain nombre d'exposans radicaux qui se
trouvent dans l'expression algebrique dont il s'agit. Farnii ces exposans
se trouve toujours celui du radical exterieur.
2. L'exposant du radical exterieur est toujours mi diviseur du degre de l'e-
quation irreVluctible a laquelle satisfait une expression algebrique.
3. Si une equation irreductible pent etre satisfaite algebriquement, elle est
en nienie temps resoluble algebriquement. En effet, on aura toutes les
racmes en attribuant dans am aux radicaux yw*», » • • • Rou-
tes les valeurs dont ils sont susceptibles.
SUK LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
233
4. Une expression algebrique qui peut satisfaire a une equation irreductible
du degre u, est susceptible d'un nonibre ft de valeurs differentes entre
elles, et pas davantage.
§ 3-
Bur la fwnie de I 'expression algebrique qui peut satisfaire a une Equation
irreductible d'un degrS donrtS.
Supposons maintenant que le degre de l'equation
v(y)=o,
a laquelle satisfait l'expression algebrique amJ soit exprime par u ; on doit
avoir, comme nous avons vu,
ju =fjm./nm .ftmt . . . tumy.
Premier eas : si tu est un nombre premier.
Si u est un nonibre premier, on doit avoir
t"m = !',
et par suite
am--=po+i>iymfl +ptVm" H ^Pr#i+* •
i
On trouve les autres racines en niettant an lien de yj1 les valeurs
On aura ainsi, en designant par 3,, z2, . . . les racines de l'equation, et
en faisant pour abreger ym = s^
j_ ±
z , =i>o+ ft « p + P2 *" H hiV-i « i >
l ^ f«— 1
22:=^4-|J1Wls'' +^t«8.v'1 H hlV^rfa " I
1 > ^— 1
^^^-f^co^-1^ +^2(^-2.^ H VP,-*"** * •
Maintenant pour que ces quantites soient en effet des racines, il taut qu'on
n'ait aucune nouvelle valeur en attribuant a tons les nulicaux qui se trouvent
dans les quantity p0, j*, p2 . . . ^ et 0, les valeurs dont ces mdiraux sont
susceptibles.
Tome II. 30
234
SUK LA RESOLUTION ALGEBKIQUE DES EQUATIONS.
Soient p0\ px', p9', . . . p' ^ , s* un systeme de valeurs ainsi formees,
on doit avoir
i^'-I-j^vV^h hj>V-*<D-'*-V * =^o+^i w*" H h^-i"^"1* )
et a une valeiir ditterente de «/ il repond une valeur differente de oj. En
faisant done to' — 1, a>a, ... on aura, en designant les valeurs cor-
respondantes de cd par a>0^ cuM cu2? . . . w x ,
12 12
1 _8 12
i?0+i?i«>i^ h — =Po+Pi to/M +pa'u>*s'^ + • • • ,
+ Pi «V-i * * + p% w*_x s " -\ +
En ajoutant il viendra
tup0—tup0' e'est-a-dire p0'=p0,
u p's"1 =p0 (1 -f w-1 + w-2 H -f-
+Pl 6' " K + t»i W"1 + W"3 -| • 4- U)^x (D->* + 1) +
De la on tirera
=Al», 1>> Pi Pi, • • • A
_V J ^— l
= 'Zo + ^i^ H + ^-i* ? j
- ^-(?o+^i^H f'q^f'f,
H h W * ;
or je dis qu'on doit avoir
en etfet dans le cas contraire on aurait
• t-
(a) sfl =f/fa» fi Pi p\ Pi, Vx, • • • Pu-ii Pv-i),
et par la
Zi=/{S, Pi^ Pi, ■ • • ppj Pi, • • • )•
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
0 ********
Cela pose* on ne pent pas exprimer .s', p()\ p/ . . . rationTiellem^^^^^^^^^^
fonction de s, p{)1 piy pt, . . . ; car cela domierait en fonction rationnelle
de .s, p0. Pi • • • i ce °iui est impossible. Mais si Ton clierche l'equation irre'-
ductible a laquelle pourra satisfaire 21? on tronve que son degr^ doit etre un
nombre compose, ce qui n'est pas. Done liquation (a) ne peut avoir lieu,
et par suite on doit avoir £j=0, fa = 0, . . . t ^ = 0.
Cela donne
(q„ + q,w »>-| (-</„_, a."-1*')
Done
Si + 2i « + 2. "2 «7 H h 2#-> * " = w" 77
^qoto'+tiprs'+q,*'** H h«,-i«'* " »
d'oii Ton tire
<?, = 0, </, = (), . . . qr_t = o, £r+,==o, . . . ^-! = 0.
^ m ^ % *' * = ql • * * , etc.
aZ^^o, «r«i=»«n fa .Wq^Wq,, . . . rfq^^a*" lq^K,
p0'+pi's^+P>'s'*+ • • • ^o + WJM" H h<Pr*" + * * ' 5
par suite
de la
Maintenant puisque v ne pent avoir que l'une des valour* 2 ^
il s'ensuit que "'aura qu'un nombre - 1 de vaK-urs d.n.rentes; y>, .
doit done satisfaire a une equation qui est tout an plus du de^re u - 1.
30*
236 SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
On peut faire p1=l1 et alors on aura
J_ _2_ n—l
^i=Po + ^ +p2s» -] hlV-i*" ,
— — '
Z^Pt + W^SP -\-pif0^8f -| +j?MWS F .
Je dis maintenant qu'on pourra exprimer les quantites p21 p3 .. . ration-
nellemeut en fonction de s et des quantites connues.
On a
po — ~ (zi~hzs~\~ " ' ' ~\~zu)~ ime quantity connue.
l
2
a."-'*, -(-.., if «,„.),
iV=^ (z. + ^-^H h«'%),
De la on tire
p* * = ( 7 P* 6 + w~2^ H h »~^"%) (*i H-^-^H h
^3 8 = ( 7T T 2 (Zl + w~3^ H 1- w~3("~%) + *H h
<Zi + ?2 H f-gr
2i*i+2t*iH h^^^^i,
ffi'J + S'iJ'H h«r*; = a«,
ft *r< + & w# h h f ^ = j
ri Pjri + *r2 H \-riSi+b0)
cWa-dire ' = ^ + + *? S + " ' ' + +
tant quon n a pas
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
237
Si-1 H h = (*i — *,) (*, — ss) . . . (*, — »r)"=: 0.
Or soit
^|-^ei--12jl-f«|-«zs-| >* = (*r+iMt + «MiH
us" =p0-^-sfl +p3sfl + ■ • .
1 1
+ wi^o + to s ^ — |— jt>2 to, co2 «*-[-...
■^-a^Po-^ -\- to2 to4 s * + • • •
+ • •
1 7-J— tOj co — |— to2 co2 —J— • ■ • -f- co^_i to'1-1 = u ,
ce qui est impossible; done
q1z=zpms rationnel en .s et en quantites eonnues.
Done
1 » 3^ 1
*, ^« + *> +/■ « • +/s*.«" n h/#M ■ • * " •
Soit P=0 1'equation la moins elevee en .<? du degre k, les * racines
de cette equation seront de la forme
m', w", . . . m(v~X) se trouvant parmi celles-ci
2, 3, 4, ...u-l.
s2 =pi ^7,
w en tier,
fc = faeteur de 0* — 1,
& = on k<*V
Soit M une vaeine primitive pour le module it, on ponrra repr&enter
zx par
238
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
1 m m1 m^~2
9t^Pt + S*+Pl9* ^\ Hft-M * >
ttoient ,s,, .s2, .s3, ... sv_x les valeurs de s, on doit avoir
1 TO0
1
62 /'a *M ?
1 ra«
,s Pa 1 5
1 • «*
w°* — 1
rentier,
k — facteur de (t/ — 1 ,
ak = (jit — l)w,
A; ' '
a = w/?.
i ^
s2fl =p1s1 * =plpmnfls fl ,
0«
Soit q*s une autre racine,
s = qt s
en sera encore une.
J] taut done que
k"(nfi -j- 7i'ft') — n"(ju — t);
ft — ] = e aa ft'' ;
k"(na -f »#) /?" = w"e ««'/?",
k"(na -j- w'cr') as ««' ;
SUK LA RESOLUTION ALGEBKIUUE DES EQUATIONS
289
k" == aa'.k"\
k"'{na -\- ri'a') —
1 ,»(»« +"'«')/'"
?^a -\-n'a — 1 ,
i
s' * =qts * ;
)l-l=k'(i',
[t — l=k"(V,
mais /*"</*'; clone fc">fc, > k\ ce qui est eontre l'hypothese ;
done les raeines de liquation
Sl = (fsy.s>»a,
•s" v-i = (J s v-*Y • 9 j
jU — 1
a V
Le degre de l'equation P=0 doit done etre un t'aeteur de ft
Designons (/^.*^ par 0*, les raeines deviendront
h #4 o*«, o3*, l*? »u £15**
On a eneore
,s=(/Sl)'.(/«r^"".
pourront etre representees par
ou
1.
.iir ,u3a
240 SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS.
1 m« m*« m^-1**
m m »+i TO2«+1 ra(f-l)4l
+/.'».«*+/,',.« " +/,v.« " H f-/'v-.«
8
»
+/.*«•*." +/."*•* * ""+/.'». • • • "T
+
m"-1 m2"-1 ra3"-1 mva-
1
.a
• /? * • (/.*)-' . «. " =/* « . *~ .
3,=Po + ** + + *f* -j
m m m m
+ <px 8 . 8 " + S, . S, ? + <^ ,s2 . 8t* -| ' *V_i^
m* m2 ml
+ 9>,«. »* + 9P,«,. -f 4M.".»1* -| -f ft^-i-W'
+ ■
+ * .* + cpal «i . *r "~ + yB-1 . iif^ -| ^ ya_, AV_X . r^,
1
1 ma
***
„,(v-l)«
a* .a~> 1 .a
1
ma m2of
V
1
=3,
a,
/«
1
m*«
/»
a f1
• y- 1 7
1
1
A* -
'— 1
=4*
A* t
a,"
SUK LA RESOLUTION ALGEBKIQUE 1)ES EQUATIONS. 241
V log- s = log A + ? log«-f-£ log-a1+"^ 1oga2-|
1 logs, ^ log ^ -)--'" log« + '", .-loga1 + ~- loga2-|
y ^ = o
Qi Cn P:m • • •
,. J o
Ri «s ? 5 ? ... a
Pi) 1=0
* 1 7 M ' 1 > " * " 1
«S 2 J An 8 2 J • • • ■ 2
Ay, *> *>f=o
/(y, ci) = o
/(if, «>, Ipt)35^
|^ .s, s1? • • • »r-t, C) i'n Cn ••• er-i) = 0
«V-u
fonctions rationnelles de
*, *}\ si} • • • K+i ('» *n P11 • ' * **M
Tome II.
31
242 SUK LA RESOLUTION ALGEBK1QUE DES EQUATIONS.
F{y1 s, sn s2, . . . (>•, y 11 (>27 • • • sera facteur de ip(y) poitr toutes
les valeurs de s, »1? s2, ...
Done le degre" de ip{y) est divisible par (ae.
II y a deux cas:
si (ty(y)=t«*
si dip(y)=f,e .
Dans le premier eas:
Dans le second cas :
6-, sn ...(>, <>,,. . .)==gr'+/{#, *n ...(>, pi j • • Oy"'"4
*n pi, . . .)^'-2
+
Soit
z-=F(a, s, st1 . . . <>, pt, . . .)
2 n'obtiendra pour les difierens radicaux qu'un nonibre jl* de valeurs ditfe-
rentes; done z sera racine d'une equation du degre [i*. Par suite
donne
2/"+/(2).^'-'+y».2/"'-»+ ... = o,
ou z est determine par une equation du degre uf.
SUR LA RESOLUTION ALGEBRIGUE DES EQUATIONS. 243
/(?/, *)
/(.v, % f>, <z, ...) = o
far,** ft,. '.;)^0
• • • = VS^Ti ^v-i , 2,-1 ,.-•) = 0
f(y, p, ys^, yw„ . . . vf~, P, 3, . 3,, . «iu. 2*-J*=°
31 •
XIX.
FRAGMENS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
I.
RECHERCHE S SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
SECOND MEMOIRE.
Dans le m&noire sur les fonctions elliptiques insere dans les tomes II
et III de ce journal*) j'ai developpe plusieurs proprietes de ces fonctions
tirees de la consideration des fonctions inverses. Je vais continuer ces recher-
ches dans ce second memoire,
§ I-
Soit
(1) a _ (m + f*) w + 0* — ft)<»*
ou m, //, n sont des nombres entiers tels que m'-\rp, m — {i, 2n-\-l ne
soient pas divisibles par le nieme facteur, il resulte de l'equation (31) du
memoire cite quon aura
(2) <p(e + (2n-\-l)a) = <p6,
et que toutes les quantitds yO, (p(6 + a), <p(0 + 2a\ . . . cp(d + 2na) seront
*) V°ye2 i I, P. 2(i;{ de cette Edition.
FRAGMENS SUR LKS FONCTIONS ELLIPTIQl KS. 245
ditferentes entre elles, en representant par 0 une quantite indeterminee. Gelli
pose\ faisons
(3) (pl0 = (pO.(p(a-\-O).(f(a-6).cp(2a-JrO).(p(2a-O) . . . ip(na + 6) . (p(na - 6)
il est clair qu'on aura en vertu de l'equation (2)
(4> <pfi = ± a) = Vl(6 ± 2a) = • • • .,
En vertu de la formule (13) tome II, p. 107 :
(5) «. -fcfl ■ <f («-/*) = I \
on *pourra ecrire l'expression de (p10 comme il suit:
/i_ q?a — q?6 <f2a—(f6 (p*na — cp*B
(6) (pfl — yV i^_ete%yam^ f) ' l _j_ et ca ^ 2« . (fH ' ' ' 1 + * 2 c8 y2na . « '
(^0 sera done une fonction rationnelle de (pO. Faisons (pd = x, on aura
l'equation
| 0 = x (y2a — x*) {(p*2a — x2) . . . (cp2na — x2)
fy I — <pt 0 . ( 1 + e% c2(f2a . x>) (1 + e2 c2 y22a . *-2) . . . (1 + e* c2y2na . x*),
qui est du degre 2n~\~l par rapport a x. L une des racines de cette
equation est x = cp0, or d'apres la formule (4) (px0 ne change pas de valeur
en mettant 0 -\-va au lieu de 0, ou v est un nombre entier quelconque;
done <f{0 + va) sera encore une racine. Done puisque les 2n -f- 1 quantites
yd, <p{6 + a), y(0 + 2a), . . . <p(6 + 2na)
sont ditferentes entre elles, ces quantites seront les racines de l'equation (7).
Maintenant nous allons demontrer le theoreme suivant:
Toute fonction rationnelle des quantites
(pO, <p(6-\-a), . . • <p(0-\-2na)
qui ne change pas de valeur en mettant 0 + « au lieu de 6, pourra etre
exprimee par:
on p et q sont des fonctions rationnelles de <^0.
Soit ipO la fonction dont il s'agit et qui soit telle que
(8) </'(# + ")= I'6'
246 FRAGMENS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Comnie on si, en vertu de la formule (10) tome II, p. 105,
on voit que yd ponrra s'exprimer rationnel lenient en yd etfd.Fd] or on a
(fO.Ftiy = (l — c2(p20){l+e2(p*O),
done if '6 ponrra etre mise sons la forme
(10) ^ yd = ytd + y2d.fd.Fd, • ' <
ou 1/^0 et y^d sont des fonctions rationnelles de yd.
Mettons maintenant, dans la fonction yd, — a an lieu de cf, et clesi-
gnons par 'yd la valeur eorrespondante de yd, il suit de 1'equation (9) qu'on
aura la valeur de 'yd en ekano-eant, dans l'expression de yd, le signe du
radical fd.Fd. Done
( 1 1) 'yd = y1d — y20 JO . F6.
II est clair de meme que la fonction 'yd ne change pas de valeur en met-
tant d-\-a au lieu de d, de sorte que
(12) 'y(6 + a) = 'y6.
Les equations (10), (11) donneront
| y2d.fd.Fd = ^(yd-'yd),
Considerons d'abord la fonction yfi. En vertu des equations (8), (12) on
aura yjfi -\~ a)= yfi ; done en mettant au lieu de d successivement d -f- a,
d + 2a, ... ,
H'fi = yt(e + a) = y1{$ + 2a)= l • • =y1(6 + 2na)1
d'ou Ton deduit
^0 = 2r7+ i | P + + «) + ^ + 2a)~\ h ^ + 2^«) [ •
Maintenant yfi est une fonction rationnelle de yd, done le second membre
de cette equation est une fonction rationnelle et symetrique, done en vertu
d un theoreme connu d'algebre on pourra exprimer yxd rationnellement par
les coefficiens de 1'equation (7), e'est-a-dire que yfi sera une fonction ration-
nelle de yj).
En prenant le carre de la fonction y d.fd.F6, on aura une fonction
FKAGMENS SUK LES FONCTIONS ELMPTIQUES.
247
rationnelle de ip0 qui ne change pas de valeur en mettant 0 -\- a au lieu de
0, done (ipfi .f'0 . Fdy pourra, de meme que ipfi, s'exprimer ratioimelleineut
en (pfi. On voit done qu'on ponrra faire
oil p et q' sont des fonetions rationnelles de (pfi.
Or on peut extraire en partie la racine earree de la t'onetion q. Soit
X6 = (<pBf(p(B +«)" + [(p(6 + a)Y tp{0 + 2a) + [<p(0 + 2«)]» y(0 + 3a) -\
\- [<p(6 + (2n — l)a)Y(f(0 + 2n a) +t [cp{0 + 2na)]* <p0,
et design ons par ' yfi la valeur de %0 qui provient du ehangement de « en
— « ; on aura selon ce qui precede
X0 = Xi0+x2o..f0.Fe,
oil / 0 et sont des fonetions rationnelles de y
On en tire:
(14) i(x^-'xO) = XiO../e.F0 = ±yj;
oil r sera one fonction rationnelle de (pfi. Connaissant }V, on pourra trou-
ver ]/q' coinuie il suit.
Les equations (13), (14) donneront
xuh — 'il'H i!'.2H _t i
oil Ji0 est une t'onetion rationnelle de <f0, qui teste la meme en chaiigeanl
0 eil <9 + «; done on pourra exprimrr .10 rationnellement en (pfi. On aura
done , „
l/,O — 'lp0 = q(y0— yfi),
oil q est une t'onetion rationnelle de (pfi Done en vertu de liquation (H)
^^,0-'ip0) = ±q\'r,
et par suite
La function r, qui aura la meme valeur quelle c,ne soit la tonne * h t'om-
tion w«, peut etre trouvee tie la maniere smvante:
D'aborcl je dis qne r doit etre ..ne fonetion entiere de •>,«. En enet,
1 l'on avait r^$'j of. r* et / *m» des fonetions e..tieres de fjf, K anrait
248
FRAGMENS SUR LES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
an facteur (px0 — f/yV, on qy? n'est pas infini. Or si r' est divisible par
(pt0 — la fonction r sera infinie pour 0 = $- c'est-a-dire on aura en
vertn de l'equation (14)
0 7
mais l'expression de %0 nous niontre que cette equation ne saura avoir lieu,
a moius qu'une quantite de la forme (p($ ± va) ne soit infinie. Or, en vertu
de l'equation (3), cela donnerait ^f^J, ee qui est impossible. Done nous
conchions que /• doit etr'e une fonction entiere de (fi 6.
Cela pose\ soit (p6 = x, et concevons qu'on developpe les fonctions q> 9
et yfii yfi suivant les puissances descendants de ic, il est clair par les ex-
pressions de ces fonctions qu'on aura
oh a et A sont constans, et oil t et t ne contiendront que des puissances
respectivement inferieures a x et x%. En supposant done que r soit du degre*
v par rapport a ^0, on aura en vertu de l'equation (14)
a' .xv-\ =z±A\x*-\ ;
done J/ = 4, et par consequent r sera du quatrieme degre. Maintenant l'e-
quation (14) fait voir que la fonction r s'evanouira en attribuant a 0 une
quelconque des quatres valeurs: ™ •
m
2 '
(?>
En eftet on a
,/|± 2 ) = *\ et F^± ^ /J — (). En remarquant done que T^J — ^ j = — « j *
</Y 2 M~ ( ^ ?')' °n ^Ue r Sem divisible Par W fonction
car (pt ~ i est different de y ™ •
Puisque done /• est du quatrieme degre\ on aura
V 'A 2 J
ou C est une constante. Ainsi notre theoreme est demontre'.
FRAGMENS SUR LES FUNCTIONS ELMPT1QUES.
249
Dans le cas ou i{j0 est une function entiere des quantites (p0, q{0 -\- a),
(f>(6 -\- 2a), . . . q>{0 -f- 2na), p et q seront de menie des functions entieres de
(p 0. Kiii effet c'est ce qu'on pourra demontrer entiereinent de la nianiere
que pour la function r. De menie, si l'on designe par v l'exposant qui aftecte
la puissance la plus elevee des quantites cp0, q)(0-\-a)1 . . . dans la function
if)0, un verra, en developpant suivant les puissances descendantes de ip0, que
les functions p et q seront respective! nent tuut an plus du degre v et v — 2
par rapport a ipj). On aura done ce tkeoreme:
Une {miction quelconque entiere P des quantites
<p0, (ftB + a), • • • y(0 + 2wa),
qui lie change pas de valeur en mettant 0-\-a au lieu de 0, pourra etre
expriinee par
1 —
tt> .
on p et q sont des fonctions entieres de (pfi, la premiere du degre* v et la
secunde flu degre v — 2, en suppusant que P soit du degre v par rapport a
une des quantites
q>0, <f{0 + «\ • • • ft* +
Si Ton suppose v = 1 , q sera egal a zero. Dans ce cas P sera done
une fonction entiere de la lonue
P= A + 11.^0,
oil A et B sont des constantes. On aura la valeur de A en faisant 0 = 0,
et celle de B en faisant <P0 = & apres avoir divise par <p0.
Soit par exemple
p= km + ji{0 + «) + rtfi + 2«) H h "(0 + 2™0>
ou
ji0 = (p0. <p(B + >',a) . <p(0 + vta) . . . (f{0 + W),
oh r, k . v sont des nonihres entiers inegaux et moindres que 2*-f t.
En faisant 0 = 0, on aura
A = n{a) + 7i(2a)-\ j-*(2H-
On trouvera la valeur de B en ditferentiant et faisant ensmtc 0 = 0, savoir
pour 0 = 0.
Tome II.
70
32
250 FKAGMENS SUR LES FUNCTIONS ELLIPTIQUES.
II est a remarquer que Tune des quantites A et B est toujours egale a zero,
savoir on aura B=0, si to est un nombre impair, et A = (), si w est un
nombre pair. Ainsi par exeniple si w = 0,
y0-|-y(0-|-a)-]-y(0 + 2a)H |-y(» + 2wa) = Jfi.y1^,
et si to = 1 , vx — 1 ,
y0 . y(0 + a) + <p(0 + a) . (p{0 + 2a) -\ h + 2wa) <p0
= y>a . (/) 2a -|- <p 2a . (p 3a -f- • • • -f- (p(2n — 1) a . (p 2na.
II.
On pourra encore trouver d'autres relations entre les quantity de la forme
(f | m i°2^_^1^ 1 1 ^ l'aide de la formule
En etfet, en y mettant pour y et / leurs valeurs tpJjaO) et ffi (fr
/ mdi \ . ,
= yi\2^+TaJ' 11 vieildra: "
d'ou Ton tire, en f'aisant 0 = J" f * - ,
2rc -J- 1
wi <5 i nt ft) i ..
c'est-a-dire :
0 = f (Kp^ (|fH * j£ (il H * • • • + + H !
en determinant convenablement le nombre entier m.
En faisant pour abreger 0n pourra ecrire la formule pre-
cedente comme il suit:
() = y(0i) + «r^ | £ _0/J_(y | £ + 0/) -^^-61/)+^^^ + ^/)+. • •
FRAGMENS SUR LES KONCTIONS ELLIPTIQUES.
251
Si Ton fait nu = t(2n -\-l)-\-v, on a
= V [k 8 ■ ± 2n + T ■« t * *»" % + T }"■<+■*) »(* ¥ * 2n+T ) i
done en substituant,
oil F peut etre un nonibre entier quelconque.
En changeant c en e, et e en c, on en ddduira cette autre fonnule:
+ ...+(_ ir|^(^)+^(^)i-
Si Ton fait par exemple »\==1^=>, on aura
in.
Nous avons parle" ci-dessus d'une maniere particuliere de deVrmiin-r
functions entieres V et q dans la fonnule . Nous allons l'exposer dans
qui va suivre.
Si l'on fait, pour abrdger, f(2n+ 1)0 . F(2n+ 1) 8 = r, on aura
(yOyn+l=p + qr,
et de la, en mettant w — 0 au lieu de 0,
lf(u> — 0)Yn+1=p-<F,
par consequent en multipliant,
[^.^(a>-^)]2n+1=^-^''-2-
32*
252
FRAGMENS SUR EES PONCTlONS ELLIPTIQUES.
Maintenant on a yj(0 -(-«) = . done en mettant (o — a — 0 an lieu
de 0, xp(*> — 0) = <f-k . ip(a) — (19 + a)) , d'ou ^ — + a)) as ** ^(tt) — 0),
et par suite
tf>(6 + a) . y/(oi — {0 + «)) = . ^(w — 0!
De la meme maniere on a
f(6 + fl.f(w -(«• + /?)) = f0 . Urn - 8).
La fonction \p0 . ip(w — 0), qui est, comme il est aise de voir, une fonetion
entiere des racines de l'equation , a done la propriety de ne pas changer
de valeur par le changement de 0 en 0 + a ou en 0 + ft. Par consequent
on aura, en vertu du theoreme ler,
y$ . ^(cy _ 0) = v + v' .f(2n +1)0. F(2n +1)0,
oh v et v' sont des fonctions entieres de ip{2n + -1)0, la premiere du degre'
2, et la seconde du degre zero, v' est done constante, et v de la forme
'A + B(p(2n+1)0 + C[<p(2n+ 1)0]2. En changeant 0 en at — 0, on a
y(at — 0).y0 = v — v,.f{2n+ 1)0 . F(2n + 1)0,
done v' = 0. On a encore i//(a> -[- 0) = — \p0, et y/( — 0) — — t/^(a> — 0),
done v doit rester le meme en changeant 0 en — 0. Far consequent on
aura B = 0, et
. yO.y(U>-0) = C{[V(2n+l)6y-f'},
C et f £tant deux constantes.
Cela pose, l'equation donne celle-ci:
_ g*r = C"l+1 { [(p(2n +l)0f —f }2n+i-
Les fonctions entieres p et q doivent done etre telles, qu'elles satisfassent a
cette Equation pour une valeur quelconque de (p(2n+ 1)0. Or cette condi-
tion suffira pour les determiner, si Ton connait seulement la valeur de C.
Celle-ci se trouve en faisant, dans l'equation , (p0 = ^ apres avoir divise
les deux membres par (cp0y. On obtieiidra alors, en remarquant que
(fB cpB ' (fti 2n + 1 '
C=(2n+\)2.
Connaissant C, on aura / en faisant 0 = 0, savoir
y/0 . yjto = — Cf2 = — (2n .+ Iff*.
FRAGMENS SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES 253
Maintenant il est clair par la fornmle que
2n 2n
ip0 = — ipw = 2m2/, <p(m a-f-a/?). ^mA+^',
0 0
-
done, en substituant et extrayant la racine earree,
"T" 1 0 0
Oela pose\ reprenons l'equation ; en y faisant (f(2n -\- 1) 0 = y, on aura
p = a0y + a1ys + aiyb-\ ^any*"+1,
q = b0 +b1y* + biy*-] VQjPty
r = (l-c^8)(l + eV),
done
(a„y + a,f+ ■ ■ ■ + a„f"f -(*. + + ■ ■ •+''.-.. +«V)
^ (2» + !)*(«* -/T"-
XX.
EXTRAITS DP: QUELQUES LETTRES A HOLMBOE.
3
Copenhague, Tan 1/0064321219*)
(en comptant la fraction decimale.)
Le petit memoire qui, comme tu te le rappelles, traite des functions in-
verses de transcendantes elliptiques, et dans lequel j'avais prouve une chose
impossible, j'ai prie" M. Degen de le parcourir; mais il ne pouvait trouver
de vice de conclusion ni comprendre ou etait la faute. Du diable si je sais
comment m'en tirer.
J'ai ctierche a demontrer l'impossibilite de l'equation
an = bn-}-Gn
en nombres entiers, lorsque n est plus grand que 2, mais je ne suis parvenu
qu'aux the'oremes suivans qui sont assez curieux.
Theor^me I.
Liquation a" = bn -j- c", ou n est un nombre premier, est impossible,
m m
lorsqu'une ou plusieurs des quantites a, b\ c, a-\-b, a + c, b — e, }/a, ^b,
m
\c sont des nombres premiers.
*) Le g aoflt 1823.
EXTRAITS DE QUELQUES EETTKES A HOLMBOE.
255
Tkeorbme II.
Si Ton a
an=bn-f-cn,
chacune des qualities «, c sera toujours resoluble en deux facteurs, pre-
miers entre eux7 de telle sorte qu'en posant a — a.a\ b — ft.b\ c — y.c,
l'un des 5 cas suivans aura lieu:
1. a= -^2, -» ft= 2 ~> fi= 2
nn-l a'n I //n _|_ c'n „« -1 a'» I //» _ c'n u — 1 «'» -f- C'» — W
2; a = i^^, >> = 2 ' " = " 2-
a'n 1 _i_ c'» a'» 4- n"-1 //» — c'» a'n + c'" — 1 * "
3. d =± , . 2 ' /> = ' 2" ' C= ~~2~~
4. a = -v— 2 — , b^ — 2 , c— 2
a'» + nn~l (b'* + c'») 7 a'n + n»~l (7/» - _ a'»-n"-* (b'» - c'»)
5. ^ 6 — 2 » C— ~2~
Theoreme III.
Pour que l'equation «»=:&» + c" soit possible, il fa.it que a ait une
des trois formes suivantes:
xn + !/n + zU
1. a = 2
2. '^J; — '
3. a = 2
ij et z n'ayant pas de facteurs coinmuns.
Theoreme IV.
La quantite a ne petit etre moindre que 9 +5+ 4 , et h plus petite
9»_f>"-f4"
des quantity a, b, c ne peut etre moindre que 5
256
EXTKAITS DE QUELQUES LETTRES A HOLMBOE.
Le ltj janvier f820s
Depuis inon arrivee a Berlin je me suis aussi occupe de la solution du
probleme general suivant: Trouver iouies les equations qui sont resolubles
alyebriquement. Je ne Fai pas encore achevee, mais autant que j'en puis
juger, j'y reussirai. Tant que le degre de l'equation est un noinbre premier,
la difficulte n'est pas si grande, mais lorsque ce noinbre est compose, le diable
s'en niele. J'ai fait application aux equations du cinquieme degre, et je suis
heureusement parvenu a, resoudre le probleme dans ce cas. J'ai trouv^ un
grand nombre d'equations resolubles, outre celles qui sont connues jusqu'a
present. Lorsque j'aurai temiine le niemoire ainsi que je l'espere, je me
flatte qu'il sera bon. II sera general, et on y trouvera de la nietliode, ce
qui me semble le plus essentiel.
Un autre probleme qui m'occupe beaucoup, c'est la sommation de la serie
cos mx -\- tii cos(m — 2) x -J- ^ — — cos(m — 4) x -j- • • •
Lorsque m est un nombre eutier positif, la somme de cette serie est, comme
tu sais, (2cosic)"', mais lorsque m n'est pas un nombre entier, cela n'a plus
lieu, a moins que x ne soit moindre que . II n'y a pas de probleme qui
ait plus occupe les niathematiciens, dans les derniers temps, que celui-la.
Poisson, Poinsol, Plana, Crelle et une foule d'autres out cherche a le res(ju-
dre, et Poinsol est le premier qui ait trouve uue somme juste, mais son rai-
sonnement est tout faux, et personne n'en est encore venu a bout. J'ai ete
assez heureux pour la demontrer rigoureusement.
J'ai trouve
m
cos mx -j- m cos(m — 2)x -)- • • • := (2 -|- 2 cos 2x) 2 cos mkn
i m
sin mx -\- m sin(m — 2)x -\- • • • = (2 -\- 2 cos 2x) 2 sin mien.
m est une quantite comprise entre les limites — 1 et -)- ^ , h est un entier,
et x une quantite comprise entre les limites (k — \)n et (k-\-\)n. Lorsque
m est compris entre — 1 et — -v , les deux series sont divergentes, et par
consequent elles n'ont pas de somme. Les series divergentes sont en general
quelque chose de bien fatal, et c'est une lionte qu'on ose y fonder aucune
EXTRA ITS DE QUELQUES LETTKES A HOLMBOE.
257
demonstration. On pent demontrer tout ce qu'on veut en les employant, et
ce sont elles qui out fait taut de malheurs et qui out enfante taut de para-
doxes. Peut-on imaginer rien de plus horrible que de debiter
0=1- 2" + 3" — 4"-f etc.,
n etant an nombre entier positif? Enfin nies yeux se sont dessilles d'une
maniere frappante, car a l'exception des cas les plus simples, par exeniple les
series geometriques, il ne se trouve dans les mathematiques presque aucune
serie intinie dont la sonnne soit determined d'une maniere rigoureuse, c'est-a-
dire que la partie la plus essentielle des mathematiques est sans fondement.
Pour la plus grande partie les resultats sont justes, il est vrai, mais c'est la line
chose bien etrange. Je m'occupe a en cliercher la raison, probleme tres in-
teressant. Je crois que tu ne pourras me proposer qu'un tres -petit nombre
de theoremes contenant des series infinies, a la demonstration desquels je ne
puisse faire des objections bien fondees. Fais cela, et je te repondrai. La
formule binome elle-meme n'est pas encore rigoureusement demontree. J'ai
trouve qu'on a
pour toutes les valeurs de m, lorsque x est moindre que l'unite. Lorsque x
est egal a la meine formule a lieu, mais settlement si m est plus grand
que — 1, et lorsque x est egal a —1, la formule n'a lieu que pour des
valeurs positives de m. Pour toutes les autres valeurs de x et de m, la serie
l_|_wx._|_etc. est divergente. Le theoreme de Taylor, base de tout le calcul
infinitesimal, n'est pas mieux fonde\ Je n'en ai trouv^ qu'une seule demon-
stration rigonreuse, et celle-ci est de M. Caueky dans sun R&HmS des lerons
sur le calcul infiniiesimal, on il a demontre' quon aura
q(x + «) = tpx + a (f x + 2 V "X ' ' '
taut que la serie est convergente; mais on l'emploie sans faVon dans tous
les cas. Pour montrer par un exemple g&eral (*i7 venia verba) comme
on raisonne mal, et combien il taut etre sur ses gardes, je choisira, le sui-
vant. ' Soit
i +„ laia nn'nne maniere tres ordinaire pour en
une seVie mhme quelconque, tu sais qu unt. r
trouver la somme c'est de cliercher la som.ne de celle-ci :
33
Tome II.
258
EXTRA ITS DE QUELQUES LETTRES A HOLMBOE.
a0 -J- at x -j- a2 x2 -}- • • •
et faire ensuite #=1 dans le resultat. Cela est bien juste, niais il me
semble qu'on ne doit pas I'adniettre sans demonstration ; car quoiqu'on ait
demontre que
(px = a0 4" «i x -f~ aa ^2 ~\~ ' ' '
pour toutes les valeurs de x qui sont inferieures a l'unite, il ne s'ensuit pas
que la nieme chose ait lieu pour x egal hi. II serait bien possible que la
serie a0*4~ «i#-f- dsx3 -\- ■ • • s'approchat d'une quantite toute differente de
«o ~f~ ai ~\~ a* ~\~ ' ' ' ' l°rs(lue x s'approche indefiniment de l'unite. G'est ce
qui est clair dans le cas general on la serie est divergente; car alors elle
n'a pas de somme. J'ai demontre que ce procede est juste lorsque la serie
est convergente. L'exemple suivant montre comme on peut se tromper.
On peut demontrer rigoureusenieiit qu'on aura pour toutes les valeurs de x
interieures a n
' = sin x — \ sin 2x -\- ^ sin Sx — etc.
II semble qu'on en pourrait conclure que la meme for mule aurait lieu pour
x = 7i • mais cela donnerait
2 = sin 7T — jr sm 2tt -\- ^ sin 'Sir — etc. — 0 ,
resultat absurde. On peut trouver une infinite d'exemples pareils.
La theorie des series infinies en general est jusqu'a present tres mal
fondee. On applique aux series infinies toutes les operations, comme si elles
etaient finies; mais cela est-il bien permis? je crois que non. Oil est-il
demontre' qu'on obtient la differentielle d'une serie intinie en prenant la
differentielle de cliaque terme? llien n'est plus facile que de donner des
exemples oil cela n'est pas juste; par exemple
- = sm x — \ sin 2x -f- -| sin 3 x — etc.
En differential^ on obtient
^ = cos x — cos 2x-\- cos 3 cc — etc. ,
resultat tout faux, car cette serie est divergente.
La meme chose a lieu par rapport a la multiplication et a la division
aea series infinies. J'ai commence a examiner les regies les plus importantes
qui (a present) sont ordinairement appro'uvees a cet egard, et a montrer en
quels ca,s olles sont justes ou non. Cela va assez bien et m'interesse muniment.
EXTRAITS DE QUELQUES LETTKES A HOLM HOE.
259
Paris, le 24 octobre 1826.
Comme il me tarde d avoir de tes nouvelles! tu ne saurais t'en faire
idee. Ainsi done ne va pas me tromper dans mon attente, fais-moi parvenir
quelques lignes eonsolatrices dans 1'isolement oil je me trouve; car, a te dire
vrai, eette capitale la plus bruyante du continent mo fait pour le moment
l'effet d'un desert. Je ne connais presque personne; e'est que pendant la
belle saison tout le monde est a la campagne; ainsi ce monde n'est pas
visible. Jusqn'a present je n'ai fait connaissance qu'avec MM. Legend /v,
Cauchy et Hacheite, et quelques matliematiciens moins celebres quoique fort
habiles : M. Saigey, r^dacteur du Bulletin des Sciences, et M. Lejeune-Diriclihl,
Prussien qui vint me voir l'autre jour me croyant son compatriote. C'est un
matliematicien d'une grande penetration. II a prouvd avec M. Legendre
I'impossibilite de resoudre en nombres entiers liquation xb -\- ?/5 = z5, et
d'iiutres fort belles choses. Legendre est d'une complaisance extreme, mais
mallieureusement fort vieux. Cauchy est fou, et avec lui il n'y a pas moyen
de s'entendre, bien que pour le moment il soit celui qui sait comment les
matlie'matiques doivent etre traitees. Ce qu'il fait, est excellent, mais tres
brouille\ D'abord je n'y conipris presque rien; maintenant j'y vois plus
clair. II fait publier une serie de me'moires sous titre d' Exercices de mathe-
matiques. Je les achete et les lis assidument. II en a paru 9 livraisons
depuis le commencement de cette annee. Cauchy est a present le seul qui
s'occupe des mathematiques pures. Poisson, Fourier, Ampere etc. x'occuprnt
exclusivement du magnetisme et d'autres sujets physiques. M. Laplace n'ecrii
plus rien, je pense. Son deniier ouvrage fut un supplement a in 1%Sorte
des probahilites. Je l'ai souvent vu a Tlnstitut. (''est mi petit liommG fcres
gaillard. Poisaon est un petit monsieur; il suit ae comporter avec beaocotip
de dignite*; M. Fourier de meme. Lacroix est bien vieux. M. Uackette \a
me pr&senter a plusieurs de ces messieurs.
Les Francais sont beaucoup plus reserve's avec les etnmgcrs (pie les
Allemands. II est fort difficile de gagner leur intimitc, et je nW pousser
mes pretensions jusque-la; entin tout conmu'iicant a bien de la peine | ftfe
33*
260
EXTRAITS I)E QUELQUES LETTRES A HOLM HOE.
f'aire reniarquer ici. Je viens cle finir mi grand traite sur une certaine classe
de fbnctions transcendantes pour le presenter a l'lnstitut, ce qui aura lieu
lundi prochain. Je l'ai montre a M. Cauchy, niais il daigna a peine y jeter
les yeux. Et j'ose dire, sans me vanter, que c'est un bon travail. Je suis
curieivx d'entendre l'opinion de l'lnstitut la-dessus. Je ne nianquerai pas de
t'en faire part. J'ai £crit plusieurs autres memoires surtout pour le journal
de M. Crelle, dont 3 livraisons out paru; de nieine pour les Annales de
M. Gergonne. Un extrait de mon memoire sur l'impossibilite de resoudre les
equations alg^briques a ete insere dans le bulletin de M. Ferussac. Je l'ai
fait moi-meme, J'ai fait et je ferai d'autres articles pour ce bulletin, (/'est
un travail bien ennuyeux quand on n'a pas 6crit le traite* soi-menie, niais
enfin, c'est pour M. Crelle, 1'liomme le plus honnete du nionde. J'entretiens
avec lui une correspondance soutenue. Je travaille en ce moment a la theorie
des equations, mon theme favori, et me voila enfin parvenu a trouver le
moyen de resoudre le probleme general que voici: Determine!- la forme de
ioutes les equations alg^briques qui peuvent eire resolues algebriquement. J'en
ai trouve un nonibre infini du 5me, 6me et 7me degre qu'on n'a pas flaire jus-
qu'a present. J'ai en nieine temps la solution la plus directe des equations
des 4 premiers degres, avec la raison evidente pourquoi celles-ci sont les
seules resolubles et non pas les autres. Quant aux equations du 5mo degTe
j'ai trouve que quand une telle equation est resoluble algebriquement, il faut
que la racine ait la forme suivante:
5 5 5 5
oil &, E\ R", 11" sont les 4 racines d'une equation du 4me degrd qui
sont exprimables par des racines carrees seules. Pour les expressions et les
signes, ce probleme m'a fait bien des difficultes. En outre je m'occupe des
(juantitds imaginaires, ou il reste encore beaucoup a faire ; puis du calcul
integral, et sui*tout de la theorie des series infinies, si mal basee jusqn'ici.
Cependant je ne puis m'attendre a en voir un resultat satisfaisant avant d'etre
installe chez moi, si cela se realise jamais. Je regrette d'avoir fixe deux ans
pour mes voyages, un an et demi aurait suffi. J'ai le mal du pays, et des
a present mon s^jour k l'etranger, ici ou ailleurs, ne m'otfre plus taut d'avan-
tages qu'on croirait. Je suis maintenant au fait de tout ce que les mathe-
matiques pures offrent de plus ou moins essentiel, et il me tarde seulement
de pouvoir consacrer mon temps exclusivement a rediger ce que j'ai recueilli.
II me reste tant de choses a faire, niais tant que je serai en pays Stranger,
EXT RAITS L)E^ QUELQUES LETTKES A HOLM MOB. 261
tout cela va assez mal. Si j'avais moii professorat uyutwKj M. Jfeftt* a le
sien! Ma position n'est pas assume, il est vrai, mais je n'en suis pas en
peine; si la fortune m'abandonne d'une part elle me sourira peut-etre de
l'autre.
[Paris, decembre 1K26.]*)
Tu ni'apprends que tu as hi les deux premiers fascicules du journal
de M. Crelle. Les memoires que j'y ai fait inserer, k l'exception de celui
des equations, ne valent pas grand'chose, mais cela viendra, tu verras.
J'espere que tu seras satisfait d'un long me'moire sur une integrate qui se
trouve au 3me fascicule; mais celui qui me fait le plus de plaisir c'est un
me'moire, actuellement sous presse pour le 4me fascicule, sur la simple serie
1 -|- mx -[- m^m ^ x* -f- •"• • • J'ose dire que c'est la premiere demonstra-
tion rigoureuse de la formule binome dans tous les cas possibles, ainsi que
d'un grand nombre d'aUttes formules, en partie connues, il est vrai, mais bien
faiblement demontrees. Dans le fascicule prochain (janvier) des Annales de
M. Gergonne il paraitra un petit me'moire de moi sur l'elhnination. C'etait
pour voir s'il le publierait. Un de ces jours je lui en enverrai un meilleur
sur le deVeloppement de fonctions continues ou discontinues, selon des cosinus
vou sinus d'arcs multiples. J'y demontre une formule connue, mais jusq'ici
prouv^e assez nonclialamment. De meme j 'enverrai a M. Gergonne un grand
memoire sur les fonctions elliptiques oil il y a bien des choses curieuses, qui
ne manqueront pas, je m'en flatte, de frapper quelques lecteurs par-ci par-la.
Kntre autres choses il traite de la division de Tare de la lemnisrate. Tu
verras comme c'est gentil. J'ai trouve* qu'avec le conqms el La regie on pent
diviser la lemniscate en 2"-(-l parties egales, lorsque ee nomlnv est premier.
La division depend d'une equation du degre (2"-(-l)i— 1; mais jVn :ii
trouve la solution complete a l'aide des racines carries. Cela ma fait jxmo'-
trer en meme temps le mystere qui a regne sur la theorie de M. Gfaum sur
la, division de la eirconference du eercle. Je vois elftir comme le joor n.m-
ment il y est parvenu. Oe que je viens de dire de la lemniscate est un des
*) Cette lettre e:-t shiis date.
262
EXTRA1TS DE QUELQUES LETTRES A HOLMBOE.
fruits de mes reclierclies sur lu theorie des Equations. Tu ne saurais t'ima-
giner combien j'y ai trouve de theoremes delicieux, par exemple celui-ci: Si
vine equation P=0, dont le degre est uv, a et v etant des nombres pre-
miers entre eux, est resoluble d'une maniere quelconque par des radicaux, on
P sera decomposable en jit facteurs du degre* r, dont les coefficiens depen-
dent d'une seule Equation du degre" //, ou bien en v facteurs du degre" w,
dont les coefficiens dependent d'une seule Equation du degre" v.
Berlin, le 4 mars 18'27.
II y a un mois environ que je t'ai fait parvenir par M. P. le 3me fas-
cicule du journal de M. (Jrelle et un peu plus de la moitie du 4me, main te-
nant fini. Que penses-tu de mon memoire qui s'y trouve insere? J'y ai
tache d'etre tellement rigoureux qu'il sera impossible d'y faire aucune objec-
tion fondee. J'ai deja prepare un memoire developpe, ou il y a bien des
choBes curieuses (fonctions elliptiques). Ainsi j'ai trouve qu'avec la regie et
le compas on pent diviser la circonference de la lenmiscate dans le meme
nombre de parties egales que l'a montre M. Gauss pour le cercle, p. ex. en
17 parties. Ceci n'est qu'une consequence tres speciale, et [il y a] une foule
d'autres propositions plus generales. Ce sont mes reclierclies generates sur les
equations qui m'y out porte. Dans la theorie des equations je me suis pro-
pose et j'ai resolu le probleme suivant, qui en renfernie tons les autres:
Trouver toutes les equations d'un degre determine qui sont resolubles algebri-
quement. Par la je suis parvenu a une foule de theoremes magnifiques.
Mais le plus beau de tout ce que j'ai fait c'est ma Theorie des fonctions
trancendantes en general et telle des fonctions elliptiques en-particulier;
mais il faut attendre mon retour pour t'en faire part. Entin j'ai fait un
grsmd nombre de decouvertes. Encore si je les eusse arrangees et mises
par t'crit; car la plupart n'en sont encore qu'a l'etat de projet. 11 ne faut
pas y penser avant que je sols bien installe chez moi. Alors je travail I erai
comme un piocheur, mais avec plaisir s'entend. II me tarde maintenant
d'etre chez moi, comme je ne vois pas de grand profit a prolonger mon
st'joiir ici. Chez soi on se fait souvent des illusions sur l'etranger, on se
figure tout plus grand que la realite. En general le monde est un peu bete,
mais pas trop malhonnete. Nulle part il n'est ])lus facile de faire son chemin
qu'en France et en Allemagne. J'apprends que tu es alle a Upsal et a Stock-
holm; pourquoi pas plutot k Paris? II faut que j'y revienne une fbis avant
de mourir.
XXL
EXTRA IT mjNE LETTRE A HANSTKEX.
Dresilo, le 29 mars KH-JH.
Je .serai bien aise de revenir chez moi travailler a nion aise. d'espc-re
fpie mes travaux iront bien; ce ne sont pas le.s niateriaux qui me nianqiic-
ront, j'en ai pour plusieurs annees, et d'autres me viendront probal (lenient en
route, ear preeisement en ee nionient-ei j'ai des idecs plein la tete, 11 taut
que les matliematiques pures, au sons plus propre du mot, deviennent l'etude
de ma, vie. Je consacrerai toittes mes forces a repandro de la lumieiv MV
l'imniense obscurite qui regne aujourd'liui dans l'analyse. Kile est tellement
depourvue de tout plan et de tout systeme, qu'otj s'etonne seulement qu'il y
ait tant de gens qui s'y livrent — et ee qui pis est, elle manque absolumcnt
de rigueur. Dans 1' Analyse Superieure bien pen de propositions sunt dcmon-
trees avee une rierueur definitive. Partout on trouve la malheureuse maiuere
de eonelure du special au general, et ce qtt'il y a de merveilleux. <•'< jg(
.'in apres un tel procede on ne trouve que raremenl ce qu'on appelle des para*
doxes. U est vraiment tres-interessant de reohereher In canon de eeri. Oette
raison, k mon avis il faut la voir dans ce que les functions dour s est jus-
qu'ici occupee l'analyse, peuvent s'exprimer pour la plupart par des puissances
Quand il s'y en mele d'autres, ce qui, il est vrai, n'arrive paa souvent, on ne
reussit pins guere, et pour peu qu'on tire de faiisses conclusions, il en nait une
infinite de propositions vicieuses qui se tiennent les unes les autres. .J'ai examine
plusieurs de celles-ci et j'ai ete assez lieureux ])our en venir a bout. Quand on
procede par une methode generale, ce nest pas trop difficile; mais j'ai du rtre
tres circonspect, car les propositions une fois acceptees sans preuve rigoiuvu-
264
tXTKAlT D UNE LETTKE A HANSTEEN.
(i. e. sans preuve aucune) out pris tellement racine chez moi, que je risque
a chaque moment de m'en servir sails exainen ulterieur. Ces petits travaux
paraitront dans le journal publie par M. Crelle. Dans cet homme j'ai fait line
connaissance precieuse, et je ne puis pas assez loner l'heureux destin qui ni'a
porte a Berlin. Decidement, j'ai de la chance. II est vrai qu'il y a peu de
personnes qui s'interessent a moi, mais ces quelques personnes me sont infi-
ninient cheres, parce qu'elles m'ont temoigne taut de bonte. Puisse-je repon-
dre en quelque maniere a leur attente de moi, car il doit etre dur a un bien-
faiteur de voir sa peine perdue. II faut que je vous conte une off're que m'a
fait M. Crelle avant que je partisse de Berlin. II voulait absolument me
persuader a nie fixer a Berlin pour toujours, et s'etendait sur les avantages
d'un tel arrangement. II ne tenait qu'a moi de devenir redacteur en chef
du journal, entreprise qui sera avantageuse aussi au point de vue economique.
II semblait vrahnent y tenir beaucoup; naturellement j'ai refuse. Pourtant
j'y ai donne une forme adoucie, en disant que j'accepterais (ce que je ferai),
si je ne trouvais chez moi de quoi vivre. 11 finit par dire qu'il repeterait
son otf're quand je voudrais l'accepter. Je ne nie pas que j'en fus tres-flatte;
mais vrai, c'etait gentil, n'est-ce pas? II fallut absolument lui promettre de
revenir a Berlin avant que de retourner chez moi, et cela ne pourra que
m'etre tres-avantageux. C'est qu'il s'est engage a trouver un editeur pour
nies memoires developpes et hgurez-vous ! on me payera rondement. D'abord
nous soimnes convenus de publier a nous deux de temps en temps un
recueil de travaux developpes, a commencer tout de suite. Mais reflexion
faite et ayant consulte un libraire auquel nous roflrimes, nous trouvames
mieux d'attendre que le journal fut en bon train. Quand je- serai de retour
a Berlin, j'espfere que notre plan se realisera. Tout cela n'est-il pas beau?
et n'ai-je pas raison de me louer de mon sejour a Berlin? II est vrai que
je n'ai rien appris d'autres personnes pendant ce voyage, mais je n'ai point
vu la le but principal de mon voyage. Faire des connaLssances, c'est la ce
qu'il me faut pour l'avenir. N'etes vous pas de mon avis? A Freiberg je
suis reste un mom. J'ai fait, chez M. Keilhau, la connaissance d'un jeune
mathe'maticien tres-zele, frere de M. Naumann qui fut autrefois en Norvege.
C'est un homme trfcs-aimable ; nous nous convenons parfaitement.
Dans votre lettre a M. Boeck vous demandez ce que je vais faire k
Lcipsic et sur les rives du Rhin; mais je voudrais bien savoir ce que vous
allez dire quand vous saurez que je vais a Vienne et en Suisse. D'abord
j'avais compte aller tout droit de Berlin :i I'aris, heureux de la proiiK'ssc de
EXTRA IT DUNE LETTKE A HANSTEEN. 265 J? n
M. Grette de m'y aeeoinpagner. Mais maintenant M. Oretle en est empech£,
et il m'aurait fallu voyager seal. Or je silk ainxi fait que je ne puis pea
supporter la solitude. Seul, je m'attriste, je me fais du mauvais sang, et j'ai
peu de disposition pour le travail. Alors je me dis qu'il vaut mieux aller
ave<% M. Boeck a Vienne, et ce voyage nie seinble justitie par le fait qu'a
Vienne il y a des homines ebmme LdUrow, Burg et d'autres encore, tons en
verite des lnatlieinaticiens excellens ; ajoutez a cela que je ne ferai que ee
seul voyage dans ma vie. Peut-on trouver rien que de raisonnable a ce que
je desire voir aussi un peu de la vie du niidi? Pendant inon voyage je pour-
rai travailler assez assidument. line fois a Vienne et partant de lk pour
Paris, c'est presque tout droit par la Suisse. Pourquoi n'en verrais-je pas an
peu aussi? Mon Dieu! J'ai, moi aussi, un pen de gout pour les beautes d<-
la nature, tout comme un autre. Tout ee voyage me fera venir k Paris
deux mois plus tard, voila tout. Je rattraperai rite le temps perdu. Ne
croyez-vous pas qu'nn tel voyage me ferait du bien?
Tome IX,
XXII.
EXTRA ITS DE QUELQUES LETTRES A CRELLE.
1.
Freiberg, le 14 mars 1S20.
►Si mie equation flu einquieme deg-re dont leg eoetficiens sunt des nom-
bres miwnnels, est resoluble algebriquenient, on pent donner aux racines lu
forme suivante:
} _ * £ 3 i_ A. * ~ *
x=c + A.a 6 . a? . a./ . «35 -\-At..atb. a/ .a./' . «•»
i s 4 ^ L L 1 *
on
a = m + » [/] + ^ + yk(l + e'+fFf ? ) ,
a, = m + 72 yiqi 7^— ^ e» 4- y 1
A = K + K'a + K»a, + K"'aa.2, A, = K+ K'a, + + K"'ax a, ,
^s = /f+A:^+ AT*a + £ = K'a, + ff'a, + IT"*, a, .
L's M"»»tfok c, : ;, m, n, jg; K\ K" , K'" sont des nombres ratimnefo
M;ii.s de eette immiere 1 equation jc» ^- oa: -f J = 0 nest pas resoluble,
tent (pie « et b sunt des quantity quelconques. J'ai trouve de pareils theo-
ivincs pom- les equations du 7;i"% 13;'»,e etc. degre.
EXTRAITS DE QUELQUES LETTKES A CKELLE
2(i7
2.
Paris, le 0 aout 1826.
Une propriete generate des fonctions dont la differentielle est algebriqne,
consiste en ce que la somme d'un nombre qudeonque de fonctions pent f nv
exprimee par un nombre determine des memes fonctions. Savoir:
(^)+?(*a)+9(&i)H +■ <p(x,<)=v—[<p(zi)+(r(,z^+<f>(z3) H h v(z-)l-
aj1? JCS, ...^ sont des quantites quelconques, Zn z,, . . . 2. des fonctions
alg£briques de ces quantites, et v nne fonction alggbrique et logarithm ique des
memes quantites. n est an nombre determine independant de //. Si par
exemple <p est une fonction elliptiqne, on a, comme on sait, n=\. Si la
fonction n'est pas elliptiqne, on n en connait jusqu a present ancnne propriety.
Comme un des cas les plus remarquables je vais rapporter le suivanf
En designant la fonction
(a -f gj . dx
ya _|_ a l x + a* .** + a3 x3 + a4 *4 + ** *" + *
par (fx1 on a
(1) jpQig + + = Q— fify) + 9$$ '
•r t x etant trois quantites variables indt'pendantes, C uuc constante et
ylf ?/, les deux racines de l'eq nation
Us quantity e, »„ 0, «oat cletenninees p« 1« trofe equation* lmeai.vs:
c + Klx,-\-c,x\ + x\=\/° + «^ + a'x'>-\ 1"*?.
r + ^^ + ^^ + X^V^+^i^ + ^^H h*}'.
Tonte b theorie .le la Motion f est eom,,rise d-» le.|HMtio„ <!,, ear h
prcpriete exprimee par eette equation .letern.ine, .„,„„„• o„ ,,eut le
cette fonction eompletement.
34'
268
EXTRAITS DE QUELQUES LETTttES A CKELLE
3.
Paris, le 4 decembre lS2(i.
Quand on d^crit une courbe AMBN, dont liquation est
x = y cos 2 q> ,
oti
x = AM, (p = MAB,
alors Tare AM est donne par l'expression suivante
et depend par consequent des functions ellintiques.
Or j'ai trouve qu'on pent toujours diviser la peripheric, AMBN o-eome-
triquement (c'est-a-dire par la regie et le compas) en n parties eg-ales, quand
n est un nombre premier de la forme 2 m -\- 1 , ou quand
n==2fl(2m + l)(2m'+ 1) . . . (2",(*>+ L')j
2 '" -|- 1 , 2 m' -\~ 1 etc. etant des nombres premiers.
Comme vous voyez, ce tlieoreme est exactement le meme que celui de
Gauss pour le cercle. On peut de cette maniere diviser la courbe susdite
par exemple en 2, 3, 5, 17 etc. parties egales. Ma tlieorie des equations,
combined avec la tlieorie des nombres, m'a conduit a ce tlieoreme. J'ai
lieu de croire que Gams y a e*te porte aussi.
Christiania, le la novembre ls-27.
J'ai trouve' la somme de la serie suivante
a et (p sont des quantites rdelles (juelconques. Elle peut s'exprimrr par des
functions tdliptiques.
EXT RAITS L)E QUELQUES LKTTUES A CKE1XE. 269
Christiania, \c is octobre is-jw.
TJteorfones sur les Aquations.
A. Soient a?,, sc87 . . . xn des quantites inconnues quelconques et
cp(xiy x2 . . . a;w) une fonetion entiere de ces quantites du degre* mi n etsmt
un nombre premier quelconque; si Ton suppose entre x],x2,...xu les n
equations suivantes :
x9, ... a?,) = 0,
(p(x2, x31 ... a^j) = 0,
^(*», x-4, ... a?w1 a?,, a?i) = 0,
(p(xn, x^ x2, ... x*-a)s^Q,
on en pourra general em ent eliminer n—l quantitds, et une quelconque x
sera determined a l'aide d'une Equation du degrd m*. II est clair que le pre-
mier membre de cette equation sera divisible par la fonetion (p(x, x, x, ... x)
qui est du elegit m. On aura done une Equation en x du degre in* — m.
m p ^
Cela pose, je dis que cette equation sera decomposable en — — equa-
tions, chacune du degre* n, et dont les coetficiens sont determines a l'aide
d'une equation du degre" m*~"f/1 . En supposant connues les racines de cette
equation, les equations au degr® w seront r&olubles algebriquemenl.
Par exemple si l'ou suppose n = 2, w = 3, on aura une equation en x
du degre 32 — 3 = 6. Cette equation du sixieme degre sera resoluble alg6»
briquement, car en vertu du theoreme, on pourra la decomposer m bK>ia
Equations du second degrd Pareillement si l'on cherchc les ratam tatfgftlefl
de xtf SGt, x3 propres a satisfaire aux equations
on aur
m pour determiner *„ *, une Equation du sixieme degre, nmis
elle sera decomposable en deux equations du troisieme degre", les coefficient
de ces equations etunt determines par une equation du second tfegrf.
270
EXTRA ITS J)E QUELQUKS EETTRES A CRELLE.
B. Si trois racines d'une equation quelconque irreductible dont le degre
est un nombre premier, sont liees entre elles de sorte que l'uue de ces raci-
nes puisse etre exprimee rationnellenient par les deux autres, l'equation en
question sera toujours resoluble a l'aide de radicaux.
C. Si deux racines d'une equation irreductible dont le degre est un
nombre premier, out entre elles un rapport tel qu'on puisse exprimer une des
deux racines rationnellenient par l'autre, cette equation sera toujours resoluble
a l'aide de radicaux.
XXI1L
LETT HE A LEUENDRE.
Monsieur. La lettre que Vous avez bieu voulu m'adresser eu date du
25 octobre m'a cause la plus vive joie. Je compte parmi les mometis les
plus heureux de ma vie celui oil j'ai vu mes essais meriter l'atteiition de
1'uii des plus grands geometres de notre siecle. Cela a porte au plus hunt
degre moii zele pour lues etudes. Je les coutiuuerai avee ardeur, uiais si je.
sins assez heureux pour t'aire quelques decouvertes, je les attribuerai a Vous
plutot qua uioi, ear certaiuemejit je n'aurais rieu fait satis avoir ete guide
par Vos lumieres.
.J'aecepte avee reconnaissance l'exemplaire de Votre traite des timet ions
elliptiques que Vrous voulez bieu ln'ortrir.
de m'empresserai de Vous donner les eVlaircissemeiis que Voiw m awz
fait l'lionneur de me deiuauder. Lorsque je dis que le nombre de transfor-
mations ditferentes, eorrespoudautes a uu noiubre premier //, est 6(«-f-l)»
j'entends par eela qu'oii pent trouver 6(n-\-l) valeurs ditferentes pour le
module c', eu supposaut 1'equation ditterentielle
dy da
et eu mettaut pour y uue fonction ratiouuelle de la tonne:
_ A{)-\-Atx-{-As^-\ HMjl*"
V— B.+ Bis + Bsx^ \-Bn>r» '
272
LETTKE A LEGENDKE.
C'est en effet ce qui a lieu; mais parmi les valeurs de <•! il y en aura w. + 1
qui repondent a la forme suivante de y:
Axx-\- Aiafi-\- A*xh-\ \- Anxn
a — r+jrt««H-j&4jr*H \- * '
Ce sont ces n-\- \ modules dont parle M. Jacobt. lis sont en etfet racines
d'une meme equation du degre Ces n-\-l valeurs etant suppose'es
connues, il est facile d'avoir les 5(w,-j-l) autres.
En etfet, en designant par c lift quelconque des modules, on aura en-
core ceux-ci:
auxquelles repondent les valeurs suivantes de y:
i t 1 + je' % 1 ±y V'c' 1 — \'c' 1 ± y Vc 1 -j- l/ — c' \±y' V^c7
1 — V— 7 l±y'l/— c'
1 + V- * ' 1 '
ce qu'il est facile de verifier, en faisant la substitution dans lequation diffe-
rentielle.
Toutes les 6(w -|- 1) valeurs du module c sont ditferentes entre elles,
excepte pour quelques valeurs particulieres de c. Dans ce qui precede, n est
.suppose impair et plus grand que Punite. Si n est egal a deux, c aura
encore 6(n-f-l)=18 valeurs ditferentes. De ces 18 valeurs il y aura six
qui repondent a une valeur de y de la forme:
_ « +
y— a' + b'.r* '
ce sotit:
i ± r, i ± yi — c* 0 x y c* ' — t
II y en aura quatre qui repondent a une valeur de y de la forme y = , ,
* u \-\-bst*
savoir :
2y±7; l±c . *
c — 1 ' - / 5 y = ( 1 + i * etc.
Enfin pour les huit autres modules, y aura La tonne:
LETTKE A LEGENDKK.
273
A + Bx+Cx*
a A — Bx+Cx* '
Ces huit modules seront
Vi±c±V±2y±
. 2
c
vi±6-+y±2v±c
.J'ai dbtme des developpemens plus etendus sur cet objet dans uu me-
moire imprime dans le cahier -4 du tome III du journal de M. ('rrllr*).
Peut-etre en aurez-vous deja connaissanee.
Les t'onctions elliptiques jouissent d une certain e propriete bien remar-
qiiable et que je crois nouvelle. Si Ton fait pour abreger:
jx =±)/(i -l?)7i -=v^),
C dx _ fdx _ f'x*(i*
on aura toujours:
(oxA -j- (7>xa -|- • • • -f- u)xfl=C,
G>0xiJrw0x.2-)r • • • +«B0a>= <J+1>,
oh /> est une quantity algebrique, et
Uxx + //^ rt h = 6 - 2 _/,, l0« \ fa - ,fa . Ja J '
si l'on suppose les variables xti x, . . . x)t bees entre elles de maniere a
satlsf'aire a une equation de la tonne:
(/;«)* — (^#(1 — aJ*)il;T-/*r)^4(^— xi)(x*-xl) . . . (^-4);
fx et y ./• etant deux tonetions entieres quelconques de VindSiermnie x, mais
dont I'une est p&tM, 1'autre impaire. Cette propriete" me parait d'autant plus
remarquable qu'elle appartiendra a toute fonetion trans.vndante
/dx
7"- mt-\ ' s ,
^ .(1T^"--.1,
en wppo8a.it (.Ixf function entiere (jwJoottq»« *l »' ,l""">; 1:1 *f
monstration dans mi petit inenmire insere dans le cahier i du tome 111 da
journal de M. ( !rMe**). Vons verrez fae rien n'est plus simple qtft d ctal.lir
*) T. 1, p. 1'iT de cette edition.
**) T. I, p. 444 de cette edition.
Tome XL 35
274
LETTKE A LEGEN DUE.
cette propriete generate. Elle m'a ete fort utile dans mes recherches sur les
fonctions elliptiques. En eftet j'ai fonde sur elle toute la theorie de ces
fonctions. Les cireonstances ne nie permettent point de publier iiti ouvrage
de (|iiel(|ue etendue que j'ai compose depuis pen, car ici je ne trouverai per-
sonne qui le fasse imprinter a ses frais. Cest pourquoi j'en ai fait un ex-
trait, qui paraitra dans le journal de M. Crel/e*). La premiere partie, dans
laquelle j'ai considere les fonctions elliptiques en general, doit paraitre dans
le cahier prochain. 11 me serait infiniment interessant de savoir votre juge-
ment sur ma methode. de me suis surtout attache a donner de la general ite
k mes recherches. Je ne sais si j'ai pu y reussir. La seconde partie qui
suivra incessament la premiere, traitera principalement des fonctions avec des
modules reels et moindres que 1' unite. Cest surtout la fonction inverse de la
premiere espece qui est l'objet de mes recherches dans cette seconde partie.
Cette fonction, dont j'ai demontre quelques-unes des proprietes les plus sim-
ples dans mes recherches sur les fonctions elliptiques, est d'un usage infini dans
la theorie des fonctions elliptiques en general. Elle facilite a un degre in-
espere la theorie de la transformation. Un premier essai sur cet* objet est
contenu dans le menioire insere dans le No. 138 du journal de M. Schu-
macher**), mais actuellement je puis rendre cette theorie beaucoup plus simple.
La theorie des fonctions elliptiques m'a conduit a considerer deux nou-
velles fonctions qui jouissent de plusieurs proprietes reniarquables. Hi Ton fait
ou
— r ~ dy
\(x) sera la fonction inverse de la premiere espece. J'ai trouve qu'on peut
developper cette fonction de la maniere suivante:
jj v _ g-f- Axx* + Atx* + A^x1^
v ; l + 52^ + iy3.r6 + jB4^8.H '
on le numerateur et le denominateur sont des series ioujours (xmvergenies
quelles que soient les valeurs de la variable x et du module c, reelles ou
imaginaires. Les coefficiens At, A», B3, ... sont des fonctions en-
tires de c\ Si Ton pose
*l T. I, p. ."UN de cette edition.
*) T. I, p. 40:< de cette edition.
LETTRE A LEGENDRE 275
(px = x-^A.x'-^A.x'^ ,
ix=l + Bix* + B,x« -\ J
oil tpx et fx sont les deux fonctions en question, elles auront ta propri.V
exprimee par les deux equations:
+ y) • fi* ~y) = (yx.fyY - {mi ;
Ax + !/) • /(;<• - y) = (A .fyf - c-2 (y z . cpyf,
x et ?/ etant des quantites quelconques. On pourra representer ces fonctions
de beaucoup de manieres. Par exeniple on a:
K
) =^e"x'!
sin 1 —2 cos 2a* . q2+ q4)(l
-2cos2z.^+^)(l-2cos2x.26+0
[x *
| =A'en'-
tS(e* — <r*)(l— ;>V*)(1 .
_^--) (i _y ^ (i _y ^ ( ; ?
A
| = Bonx'
(1 — 2 cos 2.r.</ + ,/)(! -
- 2 cos 2a . + <76) . . . ,
A
it J
= B'e'l'J
\\ — pe*x)(\ —p
on .4, A\ B, B\ a, a' sont des quantites independantes de x, q = c '"
p = e "J • ^ et enfin sont les fonclions complies correspondantes aux
modules b — j^l — c2 et c.
Outre les fonctions elliptiques, il y a deux autres branches de Tanalyse
dont je nie suis beaucoup occupe", savoir la theorie de» Integration des for-
i miles differentielles algebriques et la throne des equations. A l'aide d'une
methode particuliere j'ai trouv^ beaucoup de resultats nouveaux, qui surtout
jouissent d'une tres grande generality. Je suis parti du probleme suivaur de
la theorie de integration:
"Etant propose un nombre quelconque d'integrales fydx, fy^l.r, / y^dx
etc., ohyny ?/2, . . . sont des fonctions algebriques quelconques de sc, fcrouver
toutes les relations possibles entre elles qui soient exprimables par des func-
tions algebriques et logarithmiques".
.J'ai trouve d'abord qu'une relation quelcouque doit avoir la forme sui-
vante :
A jydx -f A t fax dx f A , fy,dr *| = u + #, log », + /is log »f\ ,
276
LETTRE A LEGENDRE.
ou A, A i , A. 2, . . . Bx , i?2, . . . etc. sont des constantes, et u. i?a, . . .
des functions aJgebriques de Ce theoreme facilite extremernent la solution
du probleme ; mais le plus important est le suivant :
"Si une iutegrale fydx, oh. y est lie a a; par une equation algebrique
quelconque, peut etre exprimee d'une maniere quelconque explicilemenl ou
implicitem&nt a l'aide de fonctions algebriques et logarithmiqties, on pourra
tou jours supposer :
Jydx = u-\-Al\ogvl-\- A,, log- v., + • • • + Am log vm ,
ou A17 ilg, . . . sont des constantes, et i'1,-y2, . . . t?„ des fonctions ra-
tionnelles de a: et y\
P. ex. si ?/ = , ou r et i? sont des fonctions rationnelles, on aura
9 in '
dans tons les cas ou / 1 est inteVrable
°'1 Pi P\i Vi 7 • • • 7i? '/i > • • • son* des fonctions rationnelles de .t.
.J'ai reduit de cette maniere an plus petit nombre possible les fonctions
transcendantes contenues dans l'expression :
/rdx
VR
ou 11 est une function entiere, et r une fonction rationnelle. J'ai decouvert
de meme des proprieties generales de ces fonctions. Savoir:
►Soient p+rPm jp*, . . . pm_i des fonctions entieres quelconques d'une
qnantite indeterminee et regardons les coefficiens des puissances de ./• dans
ces fonctions comme des variable*. Solent de meme a{\ &\ ... «!" 1 les
racines de 1 'equation a"'=l, m etant premier on hod, et faisons:
. 1 2 re— 1
sk ^0j-'a*Plll* H f.«^*R* .
(Via pose, en formant It', produit:
sera comme vous voyez uhe fonction entiere de sc. Maintenant si l'on
di'signe £ar xu ....''„ les racines de ('equation |r=0, la fonction
transcendante
LETTRE A EEGENDRE
277
yx= I ,
J (.r — a)R»
ft • ■» i • * •
ou <1, et a line quantite quelcoiique, aura la propriete suivante:
C- etant une constante, et
les valeurs que prenriront respectiveiiient les fonctioiis
en ecrivant simplenient a an lieu de
Hien n'est plus facile que la demonstration de ce theoreme. Je la don-
nerai dans un de mes memoires procliains dans le journal de M. ( Wile. Tn
coroll aire bien remarquable du theoreme precedent est le suivant.
Si Ton fait w(x) = f- "''f , on r est une fonction qiielconque entire de
J Rm
x, dont le deg-re est nioindre que ^ t ~ 1 > ()U v c'st le $0 de & hl
fonction u)(cr) est telle (pie
gfa) -f ffl(a:,) H h ^) = <*onst.
Si par exemple m = 2, n=\, (fcf=i4, on aura r=\, done
C'est le cas des fonctioiis elliptiques de la premiere espece.
Les belles applications que vous avez donnees des foliations effiptiques a
rinteo-ration des formules ditterentielles, m'ont enga# a bolwldeW «m pro-
bleme tres o-t'neral a cet egard, savoir:
Trouver s'il est possible d'exprimer une integralc M la forme ///,/,-,
oh V est une fonction algebrique qiielconque, par des functions algebriques,
loo-arithmiques et B&^ptea de la niauiere smvante:
/),dx = t\mvt. alg-eb. de (.r, log Vx , k**i, lo&*" ' ' ' '/3'3' ' ' '}'
278
LETTRE A LEGENDRE.
Vn v2i v3i - • • z\i zzi -37 • • • etant des fonctions algebriques de x les plus
generates possibles, et //j , H% , /73 , etc. designant des fonctions elliptiques
quelconques en nombre fini. J'ai fait le premier pas vers la solution de ce
probleme, en demontrant le theoreme suivant:
"S'il est possible d'exprimer fydx comme on vient de le dire, on pourra
toujours donner a son expression la forme suivante:
fydx=t+A1\ogtl+Ai]ogti^ i-Bir/1(Ul)JrB,rT2(ys)-hB3na(y3)^ ,
ou /,/,, ^ ,...?/!, ?/2 , y3, . . . sont toutes des fonctions raiionneUes de x
et i/' mais en conservant a la fonction y toute sa generalite, j'ai ete arrete
la par des difficultes qui surpassent mes forces et que je ne vakicrai jamais.
Je me suis done contente de quelques cas particuliers, surtout de celui on y
est de la forme —j= , r et H etant deux fonctions rationnelles quelconques
de x. Cela est deja tres general. J'ai reconnu qu'on pourra mettre l'inte-
r dx
grale j
sous cette forme
\-B, 0&t) + B2 ntiyt) + B3 fffa) k •tl
ou toutes les quantites yl , yt , y3 , . . . jy, p\ p" , . . . sont des fonctions raiion-
neUes de la variable x".
J'ai demontre ce theoreme dans le memoire sur les fonctions elliptiques
qui va etre imprime dans le journal de M. Crelle*). II m'a ete extremement
utile pour donner la generalite la plus grande possible a la theorie de la
transformation Ainsi j'ai non seulement compare entre elles deux fonctions,
mais un nombre quelconque de fonctions. Je suis conduit a ce resultat
remarquable :
Si Ton a entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques des trois
especes avec les modules c, <■', c," , c"\ . . . une relation quelconque de la
forme:
a rix ^A nx Xl + a " ntx, + A'" n3 x3-\ \- a^ nn xn = «,
*) T I. \>. :,]H ,le cette edition.
LETTKE A LEGEND RE.
279
ou x1? x2, x9, .\ . xn sunt des variables liees entre elles par un nombre
quelconque d'equations algebriques, et v une expression algehriqui- et logarith-
mique: les modules c', c", c"', . . . doivent etre tels qu'on puisse satisfain-
aux equations:
V(T— a;*) (l^c* a*) ~~ a V(V-^^(C^&*x'*) ~~ a V(l — x"*) (1 ~~ 6
en niettant pour x', sb", x", . . . des functions raliorxnellea de x*; a', a", . . .
etant des eonstantes. (Je theoreme reduit la theorie jrenerale des fonctions
elliptiques k celle de la transformation d'une function en une autre.
Ne soyez pas fache, Monsieur, que j'aie ose vous presenter encore une
fois quelques-unes de nies decouvertes. Si vous me permettez de vous ecrire,
je desirerais bien vous en communiquer un bon nombre d'autres, tant sur les
fonctions elliptiques et les fbnctions plus generates, que sur la theorie des
equations algebriques. J'ai ete assez lieureux pour trouver une regie sure a
l'aide de laquelle on pourra reeonnaitre si une equation quelconque proposes
est resoluble a l'aide de radicaux ou non. Un eorollaire de ma theorie fait
voir que generalement il est impossible de resoudre les equations superieures
au quatrienie degre.
Agreez etc.
Christiania, lc 25 DOTembre IH-2S.
II me tarde beaucoup de connaltre l\>uvrage de M. Jacohi. II doit s'y
trouver des choses merveil lenses. Certainement M. Jacohi va perfectioiiner
a un degre inespere non seulement la theorie des fonctions elliptiques, mais
encore les mathematiques en general. Je l'estime on ne peut plus.
N 0 T E 8.
Tome II.
36
r
APERgU DES MANUSCRITS D'ABEL CONSERVES JUSQU'A PRESENT.
Apres la publication des "Oeuvres completes" Holmhoe resta proprietaire des manu-
scrits kisses par Abel. En 1850 sa maison tut ravagee d'un incendie; c'est a cet accident
qu'il faut attribuer la perte d'un grand nombre de manuscrits d'oii IMmboe a tire la
plus grande partie de son second volume. Ce qui nous reste consiste en cinq livres
manuscrits et quelques feuilles, que nous allons enumerer en indiquant sommaireinent le
contenu.
• A la-folio de 202 pages, portant la marque d'un magasin de Paris; sur la pre-
miere page on trouve le titre: "MSmoires d, mad^atiy** Par N. II. AM avec la
date: "Paris le 9 aout 1826". k -.jr.
Pages 3-57 contienncnt une ebaucl.e du memoire presente par Abe a I Academe
des Sciences de Paris; p. 53 et 54 on trouve «n morcean intitule : •§ 11. &r
gnJr fj*-e~f£'"=f -, ce qui fait presume.- qu'Abel a pense un moment a don-
ner a son "memoire „n onaieme paragraphe sur la permutation dn parametre ct de
''arSUZ- 63-74 traitent encore de la permutation du paWtre et de 1'arguu,,,,, :
pour la popart il n'eat question que de ens specianx. 11 est re „,, Ic ,,„ AW sup
£ p la variable de ffak l~e par une suite de valours nnug.na.res : en
faisant „ ~
il considere l'integrale
t0 et h <Hant des quantites belles.
284
NOTES.
Pages lb — 79 on trouve une suite de calculs sous le titre "Sur une esphce parti-
XV
culiere de f emotions entires nAes du dSveloppement de la fonction _ e 1~v suivant les puis-
sances de v".
En faisant
XV
e 1— v = 2 wmx.vm,
1 V '
Abel trouve
, m(m — 1) x2 m(m — 1) (m — 2) a;3 .
tpmx=l vnx — (- — —R 5~a -I-'"
n— 1
m — — +
2 . 3 . . . (m — 1) 2 . 3 . . . m
En multipliant Fequation
XV XII
1
(l — «)
de part et d'autre par e~~xdx} et integrant de X—0 a x — oo , il trouve
= 22um.vn e~x cpmx .wnx .dx,
1 — vu J o T
d'ou il conclut que lmtegrale
e~x cpmx . q>nx . dx
est egale a l'unite si m.— n} mais nulle si m^n. En faisant
a?/* = AQ <po x + At fp±x -f-'. • ApWpX
il trouve
A -(— IV r('" + a . Jfr+i) ;
Pogres 80 — 100 sont remplies de calculs sur des integrates dont les variables passent
par des valeurs iniaginaires ; p. 100 Abel ecrit l'equation
V— 1 ) = ;* + ? V— l,
et en deduit les suivantes
d2p d2p d2q d2q
dx2 ~~ dy 2 ' dx2 ~ ~ d;r '
Ces pages ainsi que la page 63, dont nous avons parle plus liaut, indiquent sans doute
qu'Abel s'est occupe du "Memoire sur les integrates detinies prises entre des Iimites
iniaginaires",. de Ca\tehj.
Pages 102 — 115 traitent de la resolution des equations par radicaux. '
Pages 117 — 118 contiennent une ebauche du memoire XIII du 1"' tome.
Pages 119 — 121 traitent de la transformation des integrates elliptiques. Voici le
commencement :
MANUSCR1TS D'ABEL.
285
done
"SUR LA TRANSFORMATION I) E L • I N T K G R A I f
f pdx f Jdy
dy — ^ 1/ — . Sdr — d8 i *dr — rds
' r s ■ s]/rs
1 nt „a— s~ c*r 1 * * s — e*r
i — <' >/" — , 1 — e* li2 —
y(/y) = (1 - C V) (1 _ = i° -^JJ^jlr)
dV _ i «<fr— -r<fo _ t ^ da; _ A tlx
VfV ~ — e»r) (* — «*,•) ~~ 7 ^(1 — ro» **) (1 — „» *^ ~~ *
ffl (a — c*r) (s — e* r) - v2 (1 — m8 .?•*) (1 — »8 j,-8)
A-
v ax
r = vl(l—m2 .r2) , s — c2 /• = t*o
V=VoVi % h
srzv'Kl — n*x*)} s — e*r = t*}
s dr — r ds = [c* r-j-t*) dr — r (c2 dr + 2 tQ dtQ) = t0(t0 dr ~2rdtj
sdr — r ds — tQt1v0vl B—B t oil B fonction etdihre
B est constante".
Le reste traite de la transformation des integrates de la seconde espece.
Pages 124 — 127 traitent de la convergence des series, pages 129 — 133 des • <jua-
tions abeliennes. Page 135 on trouve notes les resultats d'Abel sur la division de la
lemniscate.
Presque tout le reste du livre est rerapli de calculs par lesquels Abel parait avoir
prepare la redaction de ses "Recherches sur les functions elliptiques"; il s'agit prineipiile-
ment de tout ce qui est necessaire pour arriver k la resolution des equations traitees duns
le memoire mentionne, surtout de lequation dont depend la division de la lemniscate; on
n'y trouve rien sur les developpemens en series. D'ailleurs en ecrivant ces pages Abel
s'occupa aussi d'autres functions elliptiqucs singulieres: on y trouve inentionue l'integrale
j* ~^ — - , le module c = ^ 1 ±*^? ) et Tequation v/ — m W -\- n w V a . i.
En soinme le livre A traite precisement des choses qui d'apres les lettres d'Abel
l'occuperent pendant son sejour k Paris. Probablement il fut reinpli j)endant Phiver
182G- 1827.
286
NOTES.
B. In-folio de 178 pages; en le comparand dans les archives, a des registres de la
merae epoque, on a pu constater qu'il est fait par un relieur de Christiania.
Pages 3—11 contiennent le commencement d'un memoire intitule "JMoeloppemnd
de (cos.r)* et (sin x) n en series", dont le but est indique par la phrase suivante:
"JJobjet de ce memoire est de trouver la somme des series counties:
i / o\ i m(m — !) / A\ I
cos mx ~\- m cos [m — z) sc -\ — - — cos [m — 4) .r -j- • • . .
sin m x -\- m sin [m — 2) x -| sin (w — 4) as -J- • • • >
sans aucune consideration de quantitSs imaginaires; m et x sont supposes d'etre rSdles".
La methode est celle des "Recherches sur la seVie 1 4- — x 4- m(m ~ 1) .r2 4- . . . " .
1 1 1 1.2'
Pages 13 — 38. Ebauche du memoire XXV du premier tome.
Pages 47 — 81 contiennent une suite de notices sur les series infinies dont nous
avons donne un extrait t. II, mem. XVI. Pages 47 — 50 on trouve a la marge une
ebauche du memoire XVIII du premier tome, qui fait voir qu'Abel eut primitivement
le dessein d'y inserer une suite de theoremes sur la convergence des series. Nous
croyons qu'en y renoncant il se proposait d'y revenir plus tard dans un memoire plus
developpe\
Pages 85 — 178 Abel fait lebauche d'un traite en allemand des fonctions elliptiques.
Les vingt premieres pages seulement ont re9u une redaction un peu complete; le contenu
en est a peu pres celui du "Precis d'une theorie des fonctions elliptiques" chap. I, II et IV.
Le reste n'est pour la plupart que des calculs sans texte. Page 107 — 120 Abel con-
sidere l'integrale
eaidr
f
J o
0 V(l — e*air*) (1 — c2*2«'>2)
ayant separe" la partie reelle de I'imaginaire, il les discute dans plusieurs cas differens;
mais nous n'avons pu saisir aucun resultat de quelque importance.
Depuis la page 125 il est question de la fonction A0; surtout la theorie des trans-
formations rationnelles est etudiee d'une maniere tres complete p. 125—163.
Pages 164 — 178 traitent des cas oil le module est transforme en lui meme. Abel fait
a to — ju w-f v to',
a, to' — jti'w'-f- v'to,
to et to' etant les periodes, a le, multiplicateur ; il en conclut
% = h - # + ^-t*y+±w'],
«=i [/< + ."' + Y{(* -(*')* + 4w'),
Plus has il prend pour exemples les modules i(2-\-Y3), V~2 — 1.
MANUSCR1TS D'ABEL.
287
C. In-folio de 215 pages, qui porte la marque d'un relieur de Christiania; il est
ecrit en francais.
Pages 2—12 traitent de la transformation des integrates elliptiques de la aecondc
et de la troisieme espece. C'est une continuation de la derniere partie du livn- B.
Pages 14 — 56 traitent presque exclusivement des equations algebriqucs. Jusqua la
page 28 il s'agit de la resolution des equations par radicaux en general. Le restc OOK-
siste pour la plupart de calculs sur la division en sept parties egales des periodes de la
fonction elliptique IB definie par les equations
= 0, x-lti.
C'est Tune des fonctions mentionnees dans la derniere partie du livre R Pages 51, 52
on trouve une ebauche de l'introduction et une table des matieres du memoire XXV du
premier tome. 11 faut croire que ces deux pages furent ecrites vers la tin du mois il<
mars 1828.
.Pages 64 — 83 contiennent le morceau intitule "Memoire sur les fonctions transcen-
dantes de la forme fyda:, oil y est une fonction algebrique de .r", que nous avons ini-
prime t. II, p. 206—216.
Pages 88—107 sont remplies de calculs qui paraissent etre iaits pendant la redac-
tion du memoire XIX du premier tome, "Solution d'un probleme general" etc.
Pages 128—164 contiennent le "Memoire sur la resolution algebrique des equa-
tions", imprime au second tome.
Le reste du livre contient des calculs concernant les fonctions elliptiques, qui
semblent faites a l'occasion des derniers travaux d'Abel, surtout du -Precis .dune theoric
etc." II y a aussi quelques calculs sur les equations differentielles qui sont satisfaites par
les periodes des fonctions elliptiques, et de plus Febauche de la lettre a J^ulrr qu'on
trouve t. II, p. 271—279.
Les livres B et C embrassent le temps depuis le rctour d'Abel en Norvege au mo.s
de mai 1827 jusqu'a sa derniere maladie, qui survint en janvier 1829; le. premier parait
etre termini et le second entail a pen pres au commencement de l'annee 1828.
D. Cahier in-quarto de 136 pages, ecrit en francais. La premiere page port, I,
titre "Remarks sur divers point* * /Wy.* f* W « AM> «** > et '* date
3 sept. 1827".
Pages 5, 6 on trouve indique le theoreme suivant: Tout, faction alg.briqu, deter-
minee une equation du degre m satisfait a une equation dlff,r,ntn 1- l.m-a.n- d,
l'ordre l-L Page 66 contient un ealcul par lequel Abel deternunc la tonne d, la
, ,,. in An(rvi> ost un nombre pr,mier donnr, ,t clmit le>
racine d une equation abehenne dont le (tcgre esi m r ,. , , , •
renin uuue 14U0 cab er « >t reumli .1, calculs sur l,s
coefficiens sont des nombres rationnels. Le reste tin 1
288 NOTES.
series infinies, les equations abeliennes et les integrates dont les variables passent par des
valeurs'imaginaires. II parait ecrit en meme temps que le livre B.
E. Cahier in-quarto de 192 pages ecrit en norvegien. II contient ce qui parait
etre des extraits de traites de mathematiques lus par Abel etant encore eleve du gym-
nase de Christiania. Ce sont pour la plupart des developpemens en series, mais on y
trouve aussi d'autres choses, par exemplc la resolution des equations binomes au moyen
des fonctions trigonometriques, celle des equations du troisieme et du quatrieme degre.
Le cahier parait etre fini deja en 1820.
Des feuilles libres la partie la plus interessante consiste de dix morceaux qui trai-
tent des ionctions elliptiques, en conservant la premiere notation d'Abel: (pa, fa, Fa.
Ce sont des feuilles in-octavo d'un papier mince, ou des iragmens de telles feuilles,
remplies d'une ecriture serree; elles semblent faites pour etre envoyees par la poste.
Voici leur contenu
N° 1 contient le commencement d'un meinoire intitule: Recherches' sur les fomtwtis
elliptiques. Second rnemoire.
W"' 2, 6 traitent des relations qui ont lieu entre les quantites cp — ^ _^ - — •
N°* 4 — 8 sont des iragmens d'une theorie de la transformation moins generale que
celle de la "Solution d'un probleme general etc."; les deux periodes m et di
sont divisees chacune par un nombre different.
N° 9 traite de la resolution de Fequation de division des periodes.
N° 10 le theoreme d'Abel applique a la fonction cpa.
Nous avons imprime les nos 1, 2, 9 sous le titre "Fragmens sur les fonctions ellip-
tiques"; le n° 3 ne contient que les dernieres lignes d'un paragraphe et le commencement
du suivant; n° 10 a conserve la place qu'il avait dans l'edition de llolmboe (Demonstra-
tion de quelques formules elliptiques).
Des autres feuilles nous avons publie deux, t. I, p. 609. Une feuille est peut-etre
un fragment d'un memoire qu'Abel presenta en 1824 au Senat Academique de l'Univer-
site" de Christiania; il y traite de l'integration des differentielles de la forme au
moyen des fonctions algebriques, logarithmiques et exponentielles. Le reste offre moins
d'interet; il y en a des feuilles d'ont nous n'avons pu deviner le sens.
De ces manuscrits le cahier D appartient a M. Bjerknes, et le cahier E a M. Brock.
L^8 autres appartienncnl a la biblioth^qne de l'Universite de Christiania, qui possede en
outre onze lettres d'Abel a Hohnboe et deux lettres de Crelle a Abel. La seconde des
MANUSCRITS D'ABEL.
289
deux lettres qu'Abel a adressees a hegeiidre est aussi conservee; elle appartient niainte-
nant a M. Weierstrasg.
11 existe bien quelques autres lettres d'Abel, raais excepts une lettre a lltutsfrm,
clles ne contiennent rien d'un interet scientinque.
L' Academic Kuyalc des Sciences de Berlin possede les manuserits qui out scrvi a
l'impression des cinq memoires d'Abel qui furent publics dans le quatrienie tunic dn
Journal de Crelle (t. I, mem. XXIV— XXVIII de la presente edition), et a celle des
extraits des lettres d'Abel qui se trouvent dans le cinquieine tome. Ce sont des copies
des originaux d'Abel que Crelle a fait prendre, et sur lesquelles il a fait un grand nom-
bre de corrections, sans doute sur la demande d'Abel, qui n'etait pas sur de son fran-
cais. Ces corrections se distinguent aisement de l'ecriture du copiste. Dans les notes
suivantes, quand nous aurons a parler de ces copies, nous les nommerons simplement les
copies de Crelle.
Tome II.
37
290
NOTES. TOME 1, p. 1— 2*.
NOTES AUX MEMOIRES DU TOME I.
he mSmoire 1 fat public en norvegien dans le Magasin des Sciences naturelles,
tome I, fascicule 1, Christiania 1823.
Le memoire. II fut publie en norvegien dans le Magasin des Sciences naturelles,
tome II, fascicules 1 et 2. Dans ledition de Holmboe les numeros 1 et 4 ont ete sup-
primes, le premier, sans doute, paree que le meme probleme a etc traite depuis par Abel
(t. I, mem. IX.)
Page 11, ligne 16. Au lieu de AM — s on lit dans le Magasin KM — s, ce qui
est en contradiction avec Inequation :
Cette inexactitude est corrigee vers la fin du numero (p. 18 ligne 8) par la phrase: *m
point le plus has est fixe", que nous avons supprimee, en effectuant la correction.
Comme Fa remarque M. Bertrand (Annali di matematica pura ed applicata, serie 1,
t. 1), les formules du numero 2 sont inexactes, rintegrale double qui exprimerait
^(.i' + z/V — \)-\-rp(x — yY — 1) etant evidemment nulle. Au sujet du numero 3
M. Bertrand fait une observation historique: que Fexpression des nombres de Bernoulli
etait deja trouvee en 1814 (Memoires des Savants etrangers t 1, p. 736, an. 1827), et
que la fonnulc qui exprhne Sipa: appartient a Plana (Memoires de Turin t, 25, 1820).
iSylow.
Memoire 111. En 1821, avant de quitter le gymnase, Abel crut un moment avoir
tr<tii\Y la insolation par radicaux de Fequation generale de cinquieme degre, et chercha
llteme a faire presenter par Fintermediaire de Hansteen un memoire sur ce sujet a la
Societe Koyale des Sciences de Copenhague. Mais quand on lui demanda une deduction
plus detaillee et l'application a un exemple numerique, il decouvrit lui meme Ferreur
notes TOMB i, p. _'s— :;<i.
291
qu'il avait commise. Loin de se rebuter il se proposa de trouver cette resolution mi
d'en demontrer Fhnpossibilite. Le nietnoire III tut ivdigo en i'rancais, et Abel le tit ua-
priroer a ses t'rais.
Syloic.
Jj' m&rtofiire IV tut public en norvegien dans le Magasin des Sciences naturelles,
tome III, fascicule 2, Christiania 1825.
Page 34, ligne 10. La tbnnule (1) n'est pas gcneraleinent juste. Aussi les ibr-
nmlcs trouvees dans le meinoire ne valent qu'en des cas particuliers.
Paq<> 35, ligne 12. Apres cette ligne llohidnw avait intercale dans son edition la
pbrase suivante:
" Mairdenaid on tire d<> I'Squatkm (1) (nttigramt
j'q .r . da = JJe™ </-r /r ,,r - I * :
dour
2f* = fp* d.r - I W.T, + 2 jf j jfV-/i • Bin W d»r
gam 39, ligne 6. Dans son edition llolmhoe avait ajoute a la tin du nuauoire le
mt que nous reproduisons, parce quil est pent -etre tin' d'un manuscrit d'Abel.
inorccau sui\
u Oh pod aussi par iw qui pr&Me trouver la valeur de la s£ru
(f(a + 1 ) + (f(a + 2) - <f{a + 3) + • • • ■
En <fri, en mttant q(2x) an lieu de <jp«, et, $a au lieu <b> a, on ol,M,«
f^rt-f ^(a + 2) + ^(« + 4)H
,.i ft A ,U <f(a + 2t Y^i )— y(« — 2* »
^ j y*dx + \<ra-2j^
2^a + 2fK" + 2) + 2(r(a + 4)"^ —
#1 r*raW*OM« /V^riicm (6) de cette Aquation, on obtmulra, louto* reductions faiths :
y a _ (p(a + 1) + cf(a + 2) - qr(a + 3) H
_ /4 <ft fMj- l ) - y(o - « V- 1 ) t
&»* par ?*ff 1 ™ a?"'"
f(a + , yCl i^-y^-^^^n = _ 4 «
done ,.i t<ft
7 - „t, + . i . 7 ff« + ' ' ' = * + <«* + '*>
37*
292
NOTES. TOME I, p. ?,*)— 72.
et en. faisant a — 1 ,
log2-J = 2 /*— - '* .»
d 0 (1 + t-) (e —e )
Voyez au reste le memoire II, n° 4 (tome I, p. 25).
* Lie.
Jj> inAmaire V, insere en norvegien dans les Memoires cle la Societe Royale Nor-
vcgienne des Sciences, tome II, Throndhjem 1824 — 1827, n'a pas vtv imprime dans
l'edition de Hdmboe, comme il dit lui-meme, parce que les resultats en sont contenus
dans deux memoires posthumes, t. II, p. 43 — 54 de notre edition.
/ a' \(P+P' +1)
Page 45, ligne 2. Le numerateur y il> - +/' ) doit etre remplace par
(iff V _|_ tyf'^9** + \ de sorte que la valeur correcte de ff(pp') devient
<p{p> P ) — 2 . s. . . d»H-j»4+ 2) 2 . a . . . (p + p' + i)
Nous n'avons pas corrige cette faute, qui affecte plusieur.s des fonnules suivantes, parce
qu'il aurait fallu refftire entierement les fonnules de l'article /, p. 51 — 52.
Lie,
Le memoire VI, redige en francais par Abel, fut traduit en allemand par Crelle et
insere dans le Journal de Crelle, tome I, fascicule 1, qui fut public a ce qu'il parait au
mois de fevrier on mars 1826.
Le memoire VII fut ecrit pendant le sejour d'Abel en Allemagne en 1825; il ('tait
redige en francais,. mais en finserant dans le premier calner de son Journal, ('relic le
traduisit en allemand. La publication eut lieu dans les premiers mois de fan 1826.
Page 67, lignes 24 — 29. Voici le texte du Journal de Crelle:
Wenn /(.*', .i'", • • • ) *rtd> cp(j)'' a?", . . . ) zivei gauze Functioncn s/'ud, so ist ktdr, da&S
i lev Quotient
/(«', *",>..)
<p(x', X* , . . . )
ein hesonderer Fall der Result ate der d-rei ersfen Operathnen ist, -irelrhe rationale Function' n
geben. Man harm also eine rationale Function als das Result at der Wiederliolung dt'eser Ope-
ration betrachten.
Ce passage est sans doute le resultat d'une inadvertance du traducteur. Ce qu'a
voulu dire Abel nous parait si evident que nous avons cru devoir corriger le texte.
Page 72. La proposition qui termine le § I a ete critiquee par Hamilton (Trans-
actions of the R. Irish Acad. Vol. XVIII, Part II, p. 248, Dublin 1839) et par M, Konigs-
berger (Mathematische Annalen herausgegeben von Clebsck und Neumann, Bd. I, p 168,
Leipzig 1870). En effet, si la fonction algebrique v est primitivement de Fordro u, elle
sera apres la transformation generalement de Pordre (.i -\- 1 et du degre 1. M. Kdnig»-
berger ajoute avec raison que cela n'infirme pas les conclusions suivantes.
NOTES. TOME I. p. 298
•
Page 83. Un autre point que //ami/ton trouve obscur est la demonstration du thv-
oreme de la page 83. II taut avouer qu'elle aurait pu etre plus courts et plus dam-:
mais quant a la riguew elle est a l'abri de toute objection serieuse. Le Bed point qu'on
pourrait revoquer en doute serait les equations «y -f r2 afx, , r, -j-r3=^x etc. Pour
les justifies il suffit de faire voir qu'il existe une substitution des cinq quantities qui
transforme », en v%} en remplacant par une autre lettre *t. Or dans le cas con-
traire il faudrait que cliaque substitution qui change ?>, en vi laisse x a sa place, mais
on se convaincra aisement que dans cette supposition le noinbre de valeurs de v serait
un nombre pair. La meme chose aurait encore lieu, si la function {p.rJ etait symetrique
par rapport aux cinq quantites jtt , & . . . .rr .
Page 87. L'article du Bulletin de FArussac que nous avons place apres le memoire
n'est pas signe, mais Abel s'en est declare auteur dans une lettre a Hoknboe (voyez
t. II, p. 260). L'article fut suivi de quelques lignes du redacteur, Saigey; les void :
"Note du rAdacteur. Dans un MAnwire mr finsolubilitA des Aquation* edgAln'iques gAuA-
" rales d'un degrA supArieur an quatrihne (SociAtA Italienne de* Science* tome 9) et dans sa
" ThAprie gAnArale des Aquafions ( ibid.), Ruffini, geometre italien, mort . il y a quelques
"annees, a demontre la proposition qui fait le sujet de cet article; un second memoire
"du meme auteur sur VinsolnhiliiA des Aquations algAbrique* gSnSrates d'un degri tutpSrieur
uau quatrihne, soil algAbriquernent, soit d'une mafiiere tramcendattte, se trouve dans les Me-
" moires de l'Instit. nat. italien, t. I, part. 2. Ce dernier memoire avait ete lu le 22
•'novemb. 1805. Dans les MAmoires de /' Institut imp. et roy. de Milan, tome 1, un autre
"auteur fait voir que l'impossibilite de la resolution de l'equation generale du cinquieme
"degre est contradictoire avec une proposition que nous ne pouvons rapporter ici, ou du
"moins il demande la solution d'une difficulte qui n'avait pas ete prevue. M. Ca itchy a
"revu la demonstration de Ruffini, et il en a fait un rapport favorable a VAeadSnti Hu
"sciences, il y a quelques annees. D'autres geometres avouent n'avoir pas compris cette
"demonstration, et il y en a qui out fait la remarque tres-juste que Ruffini en prouvant
"trop, pourrait n'avoir rien prouve d'une maniere satisfaisante; en effet, on ne coneoit p&s
"comment une equation du cinquieme degre, par exemple, n'admettrait pas de racines
■'franscendantes, qui equivalent a des series infinies de termes algdbriques, puisqu'on <!«'•-
"montre que toute equation de degre impair a necessairement une raeine quelconqw.
"M. Abel, an moyen d'une analyse plus profonde, vient de prouver que de telles raein.-s
"ne peuvent exister algebriquement ; mais il n'a pas resolu negativement la question de
"l'existence des racines transcendantes. Nous recommandons cette question aux geome-
"tres qui en ont fait une etude speciale".
Le point faible du raisonnement de Ruffi'id, e'est qu'il suppose, sans demonstration,
que les radicaux qui concourent a la resolution de l'equation s'expriment rationneUemeol
par les racines. Ce defaut de son raisonnement, ou plutot un defaut analogue, a con-
tribue a produire le resultat faux dont parle Saigey ; il v a d'ailleurs aussi d'autres ob-
jections a faire a cette partie de ses travaux, au reste si pleins de nn'ritc
ISylotp.
294 NOTES. TOME ], p. Of. — 1 T>4.
Tjis mSmoires VIII, IX et X rediges en francais furent publics en traduction alle-
mande dans le deuxienie fascicule du premier tome du Journal de (Jrelle. La publica-
tion eut lieu a ce qu'il parait en juin 182G.
La formule developpe dans le memoire X est un cas special d'uiie formule donnee
anterieurement par Conchy dans ses Exercices de Mathematiques, ]P,ne livraison, page 53
equation (36).
Lie.
Le memo/re XI redige en francais fut public en traduction allemande dans le .Journal
de Crdle tome I, fascicule 2. La publication eut lieu a ce qu'il parait en juin 1820.
• i
Page 133, lignes 7 — 9. Voici le texte du Journal de Crel/e:
+i
f* m + n — a A' «— 1 •
Das JZeichen -\- imtss genommen werden, wetm n gerade ist, una das Zetchen ■ — , wetm ><
wngerarte ist.
Page 141, ligne 6 — -7 en remontant. Voici le texte du journal de Crelle:
Wemi man Zahler und Nenner den Differentials mif ,v vm/li^lieirf.
Lie.
Memoire XII. Dans le Recueil des Savants Etrangers le memoire est suivi d'une
note de IJbri que nous reproduisons :
"L'Academie m'ayant fait l'honneur de me charger de surveiller Timpression de ce
"Memoire, je me suis applique a corriger, autant que possible, les fautes d'impression.
"Cependant, n'ayant pas le manuscrit sous les yeux au moment ou je livrais les epreuves,
"je ne saurais me flatter d'avoir toujours reussi. 11 m'a semble que dans certains endroits
"(notamment dans les consequences et les developpements numeriques tires de l'inegalite
"103), il y avait quelques inexactitudes de calcul: mais je ne me suis pas cru autorise
"a rien changer dans ce beau travail. J'ai done obtenu de PAcademie la permission
"d'inserer ici cette note, que je ne saurais terminer sans exprimer encore une Ibis mon
"admiration pour l'illustre geometre de Christiania, dont la science deplorera toujours la
"fin prematuree".
II nous a paru tres desirable de pouvoir collationner le memoire imprime avec
l'original, et M. Lie obtint en 1874 de 1'Academie des Sciences de Paris la permission
de consulter le manuscrit d'Abel; mais il fut constate dans les archives de l'Academie,
que le manuscrit ne s'y est pas trouve apres l'impression du memoire. Quant a la
remarque de Libri, nous renvoyons aux notes suivantes.
Pages 153, 154. Les formules (23) doivent etre interpreters de la maniere suivante :
Les lettres fa, ft.,, . . . fia designent les valeurs de a qui annulent Tune ou l'autre des
ionctions F^x, ftx; les exposans jtii, f.i-2, . . .f.iu, mXy rn2, . . . ma sont done nuls ou
positifs; ensuite kl} k.2, . • .ku designent aussi des nombres nuls ou positifs, mais on
suppose que fci^/^ -j- m1? k., ^ ft , -f- ms , . . . ka ^ ju „ -f- m „ . En posant
NOTES TOME I, p. 154— 15ft,
295
Hx _B,x
Ax. F0x~~elx
on u done opere une reduction quelconque de la premiere fraction, sans toutefuis sup-
poser que la seconde suit irreductible. Ce dernier point resulte de la remarque take
p. 160: "on peut faire la meme supposition dans tous Ies cas".
Page* 156—159. La determination des coet'ficiens Ax A >
incorrection qui influe sur une grande partie des t'ormules suivantes.
. A v souffrc d une
En effet, on trouve
jiL a — r
_ r a (*
da
~0^x ~
dy~l (x-(i)rJlsx
dx"-1 *i*
tandis qu'Abel ecrit
^Ar + i)B9fi dp
A y_2
_ d*V
~ r 3 Ttf/af* '
^1=
JP
1
II y a deux manieres d'interpreter ces formules. D'abord on peut regarder 1
connne un symbole qui designe successiveinent chacune des quantites fa fa .../?„; e'est
ce qui est le plus naturel, mais dans ce cas la differentiation par rapport a z oe peut
etre remplacee par une differentiation par rapport a fa a moins qu'on n'ait le soin de
regarder les coefficiens de la function RA.v com me constans lors meme qu'ils eontiennent les
quantites fa } fa} . . .fa. Si au contraire on regarde (i connne une quantity tutierement
indeterminee, qu'on n'egale aux constantes fa, fa, ...fa qu'apres la differentiation,
cet inconvenient est ecarte, mais alors il iaudra remplacer tt(*hr par l\v + 1) °x*
e'est-k-dire qu'on fera
pour (i = fa , e^x = r{vv + 1) (« — fa) r« (* — fa) . . . (« - fa) *.* ,
pour (i-fa,, r(i'2+i) (a- — fay >(x- fay — fay*
etc.
11 est a peine neeessaire d'ajouter qu'avec la premiere interpretation les formules
finales seront correctes, si les functions f\(x, y) et H >j sont independantes des quantites
II parait qu'Abel a mele les deux manieres de voir, car dans la formuie (o4) il
remplace la lettre 8 par at. et dans la suite du memoire il emploie tour a tour ./• et (t.
Pour ecrire les formules d'une maniere currecte, le plus commode serait pout-etre
de renresenter la fonction °l- par une nuuvelle lettre, par exempli.- en p..sant
on aura alors, en regardant fl comme une indeterminee, qu'on remplace apres la differen-
tiation par fa , faj , . . fa ,
296
NOTES. TOME I, p. 159—162.
OiX.F'x /V apy— 1 V (x-fi)Fx
Par la on aura, au lieu des forraules (33) et (34), les suivantes :
= — H hi + 2' 1 dlZ\ ( JhJL )
ou bien
Aii lieu des equations (38) et (39) on aura done
F2x „ .^(a;, y) ,
4- 2" — c
II nous parait superflu do repeter ces reniarques pour les tommies plus speeiales
qui se trouvent en grand n ombre dans la suite du memoire.
Fage 161, lignes 13 — 16. Le texte du Reeueil des Savants Etrangers est:
"Or, en observant que ces quantites a, a', a", . . . sont toutes arbitrages, it est clair
"que la fonetfon log By developpSe suivant les puissances descendantes d£ x, on aura
"la formule suivante : 1
j A0x?*» -f 4i a-'4"-1 4- • • •
#fog*==| A A ^
C'est evidemment une faute d'ecriture, ou d'Abel ou de Libri.
Page 162, lignes 1 — 6 en remontant. On peut justifier cette assertion par le raisonne-
ment suivant, qui coincide avec celui dont M. Elliot a fait usage dans son memoire sur
les integrates abeliennes (Annales scientifiques de PEcole Normale superieure, annee 1876,
p. 404-406):
Si les inegalites (52) n'avaient pas lieu, il t'audrait que, dans le developpement de
fi(a> y) suivant les puissanees descendantes de x. les termes les plus eleves se detruisissont.
Soit fx(x, y) — 2ZAxry'l, et eonsiderons les termes Ax'' y(' et les valeurs de y pour
lesquelles la difference '
h(Ax'yC)-(hX'y—l)
est maximum. Adoptons les notations employees par Abel aux paragraphes 5 et 7, seu-
lement en designant par y; une quelconque des valeurs
y i y } - • u )
et soient
\
NOTES. TOME I, p. 182.
297
(«) Ax'y<i+A"r'^ + --'+ArxrVyV'
les termes en question, ordonnes suivant les puissances descendantes de t/i. Cela pose,
il taudrait en premier lieu que la valeur de
n'augmentat pas en remplacant y{ par y±-\ on par Or, puisque
h X'ifi — h xVi + i -{n-k;— 1) (<Ji — +
cela donne pour Qj les limites suivantes :
Qj i 3> « — — I?
ft ^™ — — 1 }
• done on aurait
En second lieu il iaudrait que le polynome (a) s'annulat en taisant yi = ai.c^. On
aurait done d'abord
n = r -f fh vi t , *t — r + /»2 nh = r + /V mi t
Qi = Q — pipi, Q^Q — PtPi* ■ ■ Qv — Q — Pv 1**1
pi, pit > ■ Vv etant des nombres entiers et positii's, et puis
Oet.e equation devrait toe satisfaite par les valeurs de a, qm par hypothec sent
toutes distinctes, de sorte que f, serait au moina egal a „„ eest-a-du-e quon aura,.
11 faudrait done que
Q — U Iff— | — i }
Qvz=:n — ki — 1.
On en tire , „ , , 1N
La lonction contiendrait done aussi les termes:
jfe/rffr-4r A*"'/'' + • ' • + ^K^/U
ot nn n —v — fc*«li — l« &> continuant
, qui se detruisent en faisant j,i + 1 = a,+i* «+S et ou *, -» Nil
ce raisonnement on parviendrait a un dernier groupe de termed
cVy ' + ..- + cv*r""Vv,
qua devraient se detruire dans la supposition de y = afx°< , et ou Ion aurait
g'^n — k^— l=nefie— 1.
jn nPJ?re n,u, — 1, qui serait satisfaite par les
On aurait done une equation en *, du clegn . 1
n£ne valeurs differentes de «., ce qui est absurde. ^
Irome II.
298
NOTES. TOME I, p. 1 (Hi— 179.
Pages 166, 167. En cherchant le nombre (f , Abel ne parle pas des cas oil ~ -f 1
est egal ou superieur a v' ft'. Mais si Ton examine ces cas, on verra que la valeur
trouvee de /?'. est correete toutes les tois que la fonction cherchee y) existe reelle-
ment. Si elle n'existe pas, l'equation /,y = 0 est, ou lineaire en ou de la forme
yi + (Aa + B)y -4- C'.r2 + Dx + E= 0.
Page 169, lignes 9, 10 en remontant: uAlors la fornmle (/wit il s'agit cesse d avoir
lieu". Abel a voulu dire que si Fequation r=rO a des racines constantes, l'equation (43),
dont il est parti, eesse d'avoir lieu, et doit etre remplacee par la formula (40); il se pro-
pose de demontrer que la fornmle (59) a toujours lieu, pourvu seulement que la fonction
fl{x) y) reste finie pour x = (i1} ft, . . . /*«.'
Page 1-73, ligne 16. En ecrivant l'equation
Kqmym) = hqm-\- mhy
Abel suppose que la fonction qm ne soit pas nulle; le cas oil Ton voudrait omettre quel-
ques-unes des puissances de y n'est done pas traite.
Page 179, lignes 2 — 4. On lit dans les Memoires presentes par divers Savants:
ucest-a-dire entre n — 1 — k(m) et u — 1 — k(m + l); il est elair que le second mernbre de cette
equation sera toujours positif si >n^>d-\-l, et toujoui's nSgatif si m <^ d — 1".
Ce sont evidemment des fautes d'impression ou d'ecriture
Page 179, inegalites (103). Libri a remarque qu'il y a quelques inexactitudes dans
les consequences tirees des inegalites (103). En effet, il ne suffit pas que le nombre 8 s
y satisfasse; il faut en outre que la quantite
(qs — qs+i) [6s os + (1 — %) as+i]
soit un nombre entier, condition qu'il n'est pas toujours possible de remplir pour des
valeurs donnees de qs et qs+i ■ Mais on voit aisement qu'en prenant pour Qm les
valeurs les plus grandes possibles, savoir Qm — n — 1 — &(m— 1), on peut faire = 1 ; de
memo, si l'on prend qm — n — k(m) , on peut faire 6s =0.
Remarques sur les nombres y et ft — a.
En determinant au cinquieme paragraphe le nombre y, Abel n'a eu qu'a caleuler
le nombre des integrates de la forme J "~^t^— , independantes les unes des autres, qui
conservent des valeurs finies pour une valeur infinie de x. Done, si la courbe repre-
sentee par l'equation xy — ^) n'a pas de point multiple dans le fini, si les points multiples
situes a l'intini sont compatibles avec les equations (50), e'est-a-dire si la courbe a seu-
lement deux points multiples situes a l'intini sur les axes des coordonnees, si de plus les
developpemens des diverges valeurs de y suivant les puissances descendantes de x se
distinguent par leurs premiers termes, le nombre y est celui que Eiemann a depuis de-
signe par p (Journal f. d. reine u. augew. Math. t. 54).
NOTES. TOME 1, p. !<>(>— 171).
299
Au septieme paragraphe au contraire, ou il cherche la valeur dn nombre ^ — a,
Abel a du avoir egard aux singularites que puisse presenter la courbe pour des valeurs
finies de x. 11 suppose en effet que le nombre des equations de condition a satisf'aire
pour que la fonction entiere r soit divisible par le polynome independant des parametres
F0x, soit egal a h Fi}x — A. Dans le calcul de /.t — a il ne fait plus expressement les
memes suppositions sur les developpemens des valeurs de y; mais ayant trouve d'abord
(x — a~y — A (104), il ajoute que dans certains cas speciaux on peat reduire le degre
de la fonction r de A' unites, en etablissant entre les parametres un nombre A' — B
d'equations de condition, et que dans ces cas la valeur minimum de fx — a sera
y — A — B. Cela arrive evidemment quand deux ou plusieurs valeurs de y, develop-
pees suivant les puissances descendantes de .?•, commencent par un meme terme. On
peut done dire que dans lequation (107)
a — a — y — A — B,
la lettre A designe la reduction que subit la valeur minimum de jU — a par la presence
de singularites situees dans le fini, tandis que — B designe la correction qu'il faut ajouter
a la valeur trouvee de y (02), dans le cas ou deux ou plusieurs valeurs de y ne se
distinguent pas par les premiers termes de leurs developpement suivant les puissant'cs
descendantes de x.
Eo somme Abel a completement determine la valeur minimum qu'on peut ordinaire-
ment donner au nombre f.t — a pour une equation fondamentale %y = 0 d'un degre
donne, dont les coetneiens sont des polynomes entiers de * de degres donnes; il a indi-
que seulement la reduction quelle peut subir pour des valeurs speciales des coefficiens
de ces polynomes.
Mais la portee de la . formule (62) est beaucoup plus grande : elle suffit pour trouver
la valeur du nombre A dans un cas tres etendu. En eflFet, si Ton suppose qu'il n'y ait
pas de points multiples situes a l'infini sur l'axe des y, l'ordre de la courbe sera n ou
n-\-\. Admettons qu'il soit n (l'autre cas donnera le meme resultat par un raisonne-
ment semblable), et que par suite m^^fj.^, et faisons, pour avoir la valeur de y
dans le cas ou il n'y a aucune singularity, e—l, in' — u' = 1 , it' — n, nous aurons
r_(w-1)(w~2) .
On aura evidemment la meme valeur, si Ton fait w(i> — u(i> = \ , et qu'on remplace
ensuite w(t'> par done
(»-!) (— »_)=wy j.3fc! _|_ w>"-f -f • • • + n^^\ — v'n' + 1
+ *V y&f^ + n"'hi"' H h *tof#4 — »V"
+ •
l „<* ) „<f ) _ 1 1
38*
300
NOTES. TOME I, p. 1 86— 188.
ce qui est d'ailleurs facile a verifier. Done si Ton designe par J la reduction du nom
bre (J. — a causee par un point multiple situe a Tinlini sur l'axe des v, on a
• 'J-n'iii' — m') j"-''"'-— t»V't«7"H h «(fV(e)j — n'(fl'~ l)
_|_ n"Qi" — m") j + *">'" H h w (e\" (f) j — *'V g~ 0
+
2 2
formule qui a lieu toutes les fois que les divers developpemens de y se
distinguent par leurs premiers termes. Si m' — f.i'—\, les n valeurs correspon-
dantes de y n'appartiennent pas au point considere, mais dans ce cas les termes con-
tenant m'f ft', ri disparaissent. On peut done admettre que les nombres m(i), p&j w&
n'ont rapport qu'aux valeurs que prend y dans le voisinage du point singulier. On en
deduit par une transformation la formule analogue pour un point singulier a l'origine
des coordonnees:
(/') J - rim' j + » V + + • • • + « j - n'lf'-l)
<*)„,.(*)
.(*>
I;] designe l'exposant de * dans le premier terme du developpement d'une
valeur de y suivant les puissances ascendantes de .v., et Ton a
fx m' in" m'" wi(f)
)<y< ? <7777 <,,,<^"
7%^ 183 — 185. Dans la determination numerique de 8X , 0-,, 03 il s'est glisse
quelques f antes de calcul, indiquees dans la note de Lihri. En redressant ces f antes,
qui influent sur presque toutes les valeurs numeriques du reste du paragraphe, il est
devenu necessaire de supprimer la phrase suivante: aLa /(motion q pent, etrt de Irois
degr& <lijfrm<i« H, 0+1, (9 + 2" qui se trouvait apres les mots "<« H est U degri de hi
f&ndkn qim" au bas de la page 184. D'apres le ealcul d'Abel toutes les Amotions q
seraient de degres complement determines, hormis seulement <jo .
/'«/» 188, equation (122). Abel dit que les fonctions rif r.,, .. re ne doivent pas
avoir de facteurs egaux. Mais puisqu'il dit page 200 que la valeur trouvee (172) de
fi — a est la plus petite possible, il faut croire qu'il suppose encore la decomposition telle
NOTES. TOME I, p. 188—200.
301
qu'il n'y ait pas de f'acteur coraraun a deux de ces fonctions. Ce n'est que dans cette
supposition que l'equation (172) donne reellement la valeur minimum de ju — a, comme
il est aise de voir par une discussion de la formule.
Page 191, equation (141). Pour utiliser la singularite que presente la lbnction y
pour les valeurs de x qui annulent le polynome rm, Abel veut rendre tous les termes de
i
la lbnction H y divisibles par une puissance de rm ■ . En designant cette puissance par
0 +~ $ e r,lm~am
fm m " , il taut pour cela que q , soit divisible par rm " n . L'exposant
Tift ft
0* — E — r — devant etre un nombre nul ou positif, il faut que
(n — 1) «_ — «
eM>E - ■
n
C'est la seule condition a imposer au nombre l'equation (141) n'est pas en verite
necessaire, quoique Abel en ait fait usage a la page 197 (ligne 12). En effet, si en cal-
culant a (pages 196, 197), on substitue pour dmf 0 -f" dm> i -f- • • • -j-dm, «-i la valeur equi-
valente :
„ i n — £ ,
n «m T" am — 2 — ^n "1 9 '
et qu'on elimine les quantites dm>(, [equation (168)] par l'equation (142), on trouve la
formule (171) sans avoir recours a la relation
a 1 %~ 1 #
issue de (141).
Page 193 equations (153) et page 197 equation (170). En designant par — la
plus petite des fractions km>1, l'equation (146) fait voir que Hy est divisible par
rm " " Done si Ton veut que nOm -4- «OT soit l'exposant de la plus grande puis-
sance de rm qui diviso le polynome ce qui est exige* par les equations (153), il faut
que (im soit nul; en d'autres termes, il faut que am soit divisible par le plus grand fac-
teur commun aux nombres fim et n.
Page 2(X), lignes 12—15. Abel dit que hi valeur de f.i — a, donnee par la formule
(172), est la plus petite possible. On peut verifier Inexactitude de cette assertion au
moyen de la formule (I>) page 300.
On a en effet le cas ou le nombre B est neeessairoment nul, et ou hi formule dont
nous parlous est applicable. Pour avoir le nombre J pour une valeur de qui annule
le facteur rm, il faut faire e=rl, ni'z=.fi,„', u —n.m, n'=km, d'ou il resulte:
l > K w»» ~ 1 /!"'("'« ~ l) — n~ 1 _
Zl — tc m (X m 2 2 — f*m% 2 *
En faisant la gomme des notnbres J pour toutea les valeurs do a qui annulont la lbnc-
tion y7 on obtient
#02 NOTES. TOME I, p. 200— 223.
2 J — ~- Qa i A r, -f « a ft r2 -f • • • -f * *>)
~ { ~2 h'1 ^ 1 hr~ H 1 2~ '
D'autre part on a par la formule (139)
7 — —j— (M i h ri + C t hr* + • 1 ' + H e * **) — " "t^- + 1 •
Done
y — 2J=ft — a= - h r, + - A r4 -\ 1 — A r, £ - - + 1 ,
ce qui est lequation (172).
Page 201, ligne 11 — 20. Puisque est un n ombre entier, il est evident
que Wit n'est pas generalement du degre zero, mais cette circonstance n'infirme pas les
conclusions suivantes.
Pages 203 — 208. Nous avons change les a designant dans les Memoires presen-
ted les coefficiens du polynome r0.v en des a, pour les distinguer des a designant les
coefficiens de yx; en outre nous avons redresse quelques fautes insignifiantes decriture
ou d'impression.
Sylow.
Le memoire XIII, qui ne se trouve pas dans 1 edition de Uolmboe, fut publie en jan-
vier 1827 dans les Annales de Mathematiques pures et appliquees de Gergonw, tome X VII.
Le memoire XIV fat insere dans la quatrieme livraison du Journal de Crelle,
laquelle parut au mois de fevrier ou de mars 1827, comme nous l'apprend une lettre
d'Abel a Uolmboe (voyez t. II, p. 262). II fut redige en francos pendant l'hiver 1825 —
1826 et puis traduit en allemand par Crelle.
Page 223. La demonstration du theoreme IV a ete" trouvee difficile a cornprendre
(Voyez Journal de mathematiques pures et appliquees publie* par Joseph Liouville, annee
1862, p. 253), mais elle nous semble tout a fait rigoureuse. En efFet on peut prendre
m assez grand pour que p soit numeriquement moindre que \ e\ cela fait, si Ton deter-
mine (i de sorte que la valeur absolue de rpa — cp(a — jfif) soit moindre que \ e, celle de
fa — f(a — ou de
(pa — qy(a — /?) -j- if>(a) — if>(a — (f)
devient inoindre que e, e designant une quantite donnee, aussi petite qu'on voudra.
II est meme possible que la redaction originale d'Abel (lignes 11 — 14 en remontant)
ait ete la suivante:
" On pourra done prendre tn assez grand pour quon cdt, pony Untie valeur di> a t'gale
uOU i/i/Ayiniir a d,
l/'a = w".
NOTES. TOME I, p. 224— 2M . 303
Page 224. La demonstration du theoreme V a un point faible. En effet il no
suilit pas que ipx = w, il taut encore qu'on ait xl>(x — /J) = w; or il est possible que la
valeur de m qui satisfait a cette condition soit dependante de /?, et qu'elle depasse tout
nombre donne a mesure que (i converge vers zero; si cela a lieu, on ne peut admettre
la supposition de
cpx — (f(a: — /?) = (o,
puisque la forme de la function cf depend de
Toutefois le theoreme subsiste pourvu que le tenne general vmdm, pour toutes
valeurs de x depuis x — x' jusqu'a x -\- x" , reste moindre qu'une raerae quantite posi-
tive M, independante de rn, Dans ce cas, en effet, les valeurs absolues de \px et de
(\ m
uures que m — ; on peut done prendre m assez grand pour qu'on
ait
iltx<le, ip(x — (i)<\e.
Maintenant /// est un nombre determine, on peut done prendre (i assez petit pour que
(fix) — (p(x — /J)<-Je,
ce qui entraine
f(X)-f(x-ti)<€.
Plus tard Abel a senti rinsuflisance de sa demonstration, car il y est revenu dans
un de ses livres manuscrits, voyez t II, p. 201. M. Paul da flois-Reymcmd a generalise
le theoreme, et l'a muni d'une demonstration rigoureuse (Mathcmatisehe Annalen t. IV,
p. 135).
Page 225. Le theoreme VI est du a Cauchy, inais la forme nouvelle qu'il a recue
page 226 appartient a Abel.
Page 231, lignes 2 et 3: uEn ejfet, tfaprfo le theorhnc V, p et a evidetmnent
des fmietims continues". Cette conclusion reste legitime malgre la restriction a laquelle il
taut soumettre le theoreme V. En effet, s'il s'agit de demontrer que p et q sont des
fonctions continues de k et k' pour des valeurs donnees de ces variables et pour une
valeur donnee de a, moindre que l'unite, prenons trois nombres positifs q, r, «, tels qu'on
ait, sans egard aux signes,
a<.Q<l, r>k, s>k'}
et remplacons «, k, k! respectivement par q, — r, & En designant par d^' , lu' los
valeurs de dp, ainsi obtenues, nous aureus
Or, la serie
1 +?A1' + ?U3' + ?U/H
304
NOTES. TOME I, p. '231—247.
etant convergent^, il est possible de choisir un nombre M plus grand que tout terme de
cette serie; on a done a plus forte raison
M>1„qv cos 0M
pour toute valeur de (.1, et pour toutes les valours de k et k', numeriquement rnoindres
que /• et s\ cela etant, le theoreme est applicable. De la nieme maniere on pent justi-
lier l'emploi du theoreme V p. 236, 237.
Page 233, ligne 13. Nous avons conserve la fbrmule
tfk} k' -f /') = imn -f ii>(k, k') + </>(0, /')
intercalee par Holmboe,
Page 239, lignes 6—8 en remontant. Le texte du Journal de Crelle est le suivant:
"Zu dent Ernie, wolf en wir drei Fade unterscheiden: wenn k — — 1 1st, oder zwischeii
"— 1 und — oo liegt; wenn k zwisclten 0 nnd -\- oo liegt, and wenn k zwisclten 0 and
" — 1 eingescMossen ist".
Cette redaction, qui laisse incertain auquel des cas il iaut compter la valeur k — 0,
doit etre attribute a une inadvertance, ou d'Abel, ou peut-etre de son traducteur. Nous
avons cru devoir corriger le texte, mais par une i'aute d'impression, qui malheureusement
est restee inapercue pendant la correction des epreuves, les mots intercales, "egal a zero
ou", ont ete places a tort. Lisez:
"vl cet ejfet il favi disfinguer trots cas : lorsque k est egal a — 1 , ou oompns entre
" — 1 et — lorsque k est compris entre 0 et -\- oc, et lorsque k est egal a zero on cont-
"pris entre 0 et — 1"'.
Page 240 premiere ligne, les mots "$gal ou" sont intercales par nous.
Page 242, ligne 6 en remontant. Nous avons intercale les mots: "egale a ztro
ou". De meme page 243 ligne 12, ou nous avons en outre change sin | en cos 2 .
Page 245, ligne 9. Nous avons supprime la parenthese (a = cos (p, h — sin q>) qui
se trouve dans le Journal de Crelle apres lequation Ya*-\- b* — 1 .
Page 247, lignes 10—13. C'est par inadvertance, sans doute, qu'Abel cite le theo-
reme II pour prouver la convergence des series (34). Vraisemblablement il s'est servi
du theoreme III; en effet, puisqu'on a
cos m rp - cos (,n + 1) cf -f • • • 4- cos (m + u) ct = ?*&ZZM * «"s «» + !L± M .
' / / 2 cos J y l
expression dont la valeur numerique ne pent surpasser celle de - , on conclut d'a-
pres le theoreme III que la valeur numerique des // -f 1 termes
m cos rn ff — _i_ cos(w + 1) ff H ± j-SL cos(™ +
est moindre que celle de l'expression ^— . Done la premiere serie (34) est conver-
m cos 3 y r V /
gente, si Ton n'a pas fp = (2p -f- i)7C.
NOTES. TOME I, p. 250—204.
305
Page 250, lignes 1, 2. Voici le texte du Journal de Crelle:
"Diese Ausdrilcke gelten fur jeden Werth von x, wenn in positiv ist. Liegt m zwischen
" — 1 und 0, so muss man 1) unter d^n Werthen von x in den Formeln (1), (2), (5), (6),
udie Werthe x — 2o7t — y und x — 2q7t-]~ ^ , 2) in den Formeln (3), (4), (7), (8), die
" Werthe x — 2qjc und x, — (2q-\- l)7r ausnehtnen.
aln jedem anderen Falle sind die in Rede stelwudeu Reihen convergent" .
Sylow.
Le memoire XV iut publie le 5 juillet 1827; vraisemblablement il f'ut ecrit avant
le retour d'Abel en -Norvege, c'est-a-dire avant le mois de mai de la meme annee. 11
etait redige en francais et rut traduit en alleraand par Crelle.
Memoire XVI. La premiere partie contenant les sept premiers paragraphes fut
publie le 20 septembre 1827 dans le second cahier du second tome du Journal de
OfeUei la seconde partie qu'Abel fit parvenir a Crelle sous la date du 12 fevrier 1828,
iut publie le 26 mai 1828.
Deja en 1823, Abel avait considere la fonction inverse des transcendantes ellipti-
ques (voy. torn. II, p. 254). Dans une lettre datee Vienne, le 16 avril 1826, il dit:
u Quand je serai venu a Paris, ee qui aura lieu en juillef on en aout a peupres, je commeneerai
a travailler furieusemetit, a lire et a Scrire. Mors je redigerai mes Integrates, ma Theorie
des fonctions elliptiques etc." De ses lettres (T. II, p. 261, 262, 268), ainsi que des manu-
scrits qu'il a laisses (T. II, p. 285), on peut voir que pendant son sejour a Paris et a
Berlin a la fin de 1826 et au commencement de 1827, il s'est occupe de la theorie des
fonctions elliptiques. Comme on le voit, dans ses niannscrits il est question aussi de la
theorie de la transformation. Comme Abel parle a plnsieurs reprises, dans ses lettres
de cette epoque a Holmboe et a Crelle, de la division de la lemniscate, on peut regarder
comme assure qu'il ne Pa trouvee qu'a Paris. Abel lui-meme a dit a Holmboe "que deja
lors de son sejour a Paris en 1826, il avait acheve le plus important de ce qu'il a
expose depuis sur ces fonctions etc." (Magasin des vSciences Naturelles, tome IX, Chri-
stiania 1828 - 1829). Dans la preface de son edition des Oeuvres d'Abel, publiee et)
1839, Holmboe cite les paroles d'Abel un p«U differemment: "Abel me dit que lors de
son sejour a Paris en 1826 il avait deja acheve la partie essentielle des principes qu'il
avanyait dans la suite sur ces fonctions etc." Probablement c'est la version la plus an-
cienne qui est la plus tidele.
Page 265, ligne 3 en remontant. Plus bas (p. 314, ligne 11, 12 en remontant)
Abel s'exprime d'une maniere moins (decisive sur le meme sujet. Voyez au reste p. 527,
ligne 4.
Page 294, ligne 9. Plus bas (voyez les formules 234, 236, 247, 254) Abel dem<m
tre que la fonction est elle-meme une fonction elliptique de (i et des nouveaux
modules ct , »i . Le symbole rpt nous semble meme choisi puur indiquer l'analogie
qui existe entre les denx fonctions rp(i et cp^. Nous ne croyons done pas qu'Abel ait
passe par "le medium des transformations" sans le soupyonner (voyez Annales de l'Ecole
Tome II. 39
306
NOTES. TOME I, p. 204—379.
Normale annee 1869, p. 154, ou Journal fur die reine und angewaudte Mathematik,
tome 80, p. 247, Correspondance mathematique entre Legendre et Jacobt).
Page 306. Entre les formules (92) et (93), les lettres m et (.i sont coniondues
plusieurs fois dans le journal de CreUe et aussi dans Fedition de Holmboe.
Page 314, ligne 11 en remontant. Comme on le voit, Abel parle deja dans la
premiere partie de son memoire de modules singuliers. Dans la seconde partie (§ X,
p. 377) il s'occupe d'une classe etendue de tels modules, qu'il trouve par la theorie de
la transformation.
Page 323 et suiv. La methode dont se sert Abel pour deduire les expressions des
fonctions (fa, fa et Fa en series et en produits infinis ne nous semble pas satisfaisante
dans tous ses details.
Page 333, ligne 2. Nous avons intercale le passage:
En vertu de 1' equation (131) le second membre prend la forme suivante
(- i)
(- 1)
+
n n r
ft ai i
2ra -J- 1
2n + l j
I (— *) V V / 1\« f a i rnm + fimi
r 2« + 1 7* ~* V ^ L-'V -T' 2n+l
» n
+ L -fl f "l f w ( l)
M ID I
2n -j- 1
+ /0
M M -f« (i m i
2n -4- 1
mm — fi m i \ ~]
TT/J
2n -f
Page 352, ligne 13 en remontant. Abel a en vue le memoire XXV, ou cependant
l'application aux fonctions elliptiques ne fut pas faite.
Page 356, ligne 8 en remontant. Entre le morceau qui nnit par: "Done etc." et le
morceau suivant qui commence par: " Toutes les raci?tes'\ nous avons supprime avec
Holmboe le passage suivant qui se trouve dans le journal de Crelle:
"Cela pose: soit q plus grand que — ^ ~ 1 — 1 (= v — 1) et fatso ns
Q = v-\-H".
I 'age 366, ligne 8. Nous avons intercale les mots: *dm» la fonnule (235)".
thge 372, lignes 5 — 7. Ces deux phrases sont incorrectes ou du moins incorrecte-
meni formfdees. Le degre de lequation dont il s'agit peut etre deduit de ^expression
de l'ordre du groupe lineaire de substitutions a deux indices (voyez le Traite des Sub-
stitutions par M. C. Jordan, p. 95).
I '>t<tc 373, ligne L Holmboe a intercale les mots: uus adier.
Paige 379, ligne 7 en remontant. Holmboe a intercale lequation
NOTES. TOMK f, p. 37ff— 42fc
307
a— — ; r — ?
»'(f ) '
que nous avons gardee.
Page 383, lignes 10 — 13 en remontant. Voyez page 426, ligne 8 et page 526,
lignes 4 — 5 en remontant. Lie.
Le mhnoire XVII, redige en francais, fut publie en traduction allemande le 12 Jan-
vier 1828 dans le journal de Crelle, tome II, fascicule 4.
Page 396, ligne 11. Pour demontrer d'une maniere plus satisfaisante que la f'onction
f determines par l'equation (14) satisfait a 1'equation de condition, introduisons dans
lequation identique /*/=/>/ la valeur rj = ~ / rj . log & tiree de (14). Cela donne
Or cette equation doit subsister identiquement pour chaque valeur de la quantite f)j}
done aussi en faisant
ce qui donne
/»«./> _ /•
« •
e'est-a-dire 1'equation de condition cherchee. Lie.
Le mtmoire XVIII fut publie le 25 mars 1828 dans le journal de Crelle, tome III,
fascicule 1.
he mSmmre XIX fut publie au mois de juin 1828.
Page 404, lignes 2 — 5. Pour la reduction des transformations algebriques aux
transformations rationnelles voyez Precis d'une theorie des fonctions elliptiques chap. II
(t. I, pages 545—557).
Page 417. Nous avons ajoute" aux seconds membres des formules (47) le facteur
(_ 1)«? parce que — et 1 sent definis comme les valeurs de y pour 0 = y et T *
Pages 420, 421. Dans la formule (56) nous avons retabli le facteur — ^ , omis
par Abel; par consequent la valeur de 1 — c\y* et les seconds membres des equations
(59), (60), (61) different des expressions correspond***** des Astr. Nachr. par des i'ac-
teurs constans.
Page 42 1 . On ne pent supposer que 1 — e\ if s'annule pour .r = l - j - que
dans le cas oil le degre de la transformation est un nombre impairment pair. Si par
,ple OH l(<* + m + «st U11C des nicines, on aura <f <0^ = + (f~ ,
39*
exemi
308
NOTES. TOME I, p. 421—42").
de sorte qu'on aura 1 — c\ y* = 0 pour x — I & P . Pour avoir des formules genera-
les on supposera que X(0 -f /?) fasse partie d'un cycle de racines d'ordre 2V , mais qu'il
ne soit contenu dans aucun cycle d'ordre 2r+l . Les racines seront representees par les
expressions
A(0 -\-ps), 1(6 + ?>e + a,), k(p + pe — aq),
0X1
pz=0, 1, 2, ...2"— 1 \
' } , A((9 + 2"e) = A(9.
^ = 1, 2, . . . wi I
Le degre de l'equation p—qy—0 sera par consequent 2v(2m+l). Cela pose 1 — — tu_f
sera un carre parfait ; on pent done supposer que 1 — e\ y'2 s'annule pour 6 — '
Les equations (62) subsisteront avee la seule modification qu'on aura
0, — k . CP • .
On aura de plus q>^~\ — 0, ce qui permet de decomposer le numerateur de la fonc-
tion q 6 en facteurs lineaires, en se servant de la formule (56).
Page 422, lignes 3 — 6. Voici le texte des Astr. Nachr. :
(f6 - U + X(H + (o) -f A(# + oj + 1(6 — oJ.H h A(0 + a„) + A(# — a„)
uow cefte quantity se rSduit a z&ro pour une valeur quef.con.que de 6 d'oii Von pourra se con-
"vaincre augment que (p6 doit rester le meme en ehangeaid 6 -f- w en 6 e'est-ci-dire -j- 6 en
La formule (65) fut plus tard demontree par Abel au moyen du developpement de
la fonction X en produit (t. I, p. 434—436).
Page 423. Dans le livre manuscrit C Abel demontre la formule (67) en decom-
posant le second membre de l'equation
dip _ Vl — e\ sin2 y>
dtp ~ yx _ e*sin*<p
qui est une fonction rationnelle de sin2c/), en fractions partielles et integrant par rap-
port a (p.
Page 425. a) Pour la decomposition des transformations on peut voir Precis
d'une theorie des fonctions elliptiques, chap. IV, § 7 (t. I, p. 589—593).
b) La resolubilite de l'equation p — qy — i) est demontree dans le Precis d'nne
theorie des fonctions elliptiques, chap. IV, § 12 (t. I, p; 604 — 606).
Pour demontrer la proposition indiquee par les formules (70), (71) on peut etablir
les deux lemmes suivans: 1) Quelle que soit la transformation dont il s'agit, il est tou-
jours possible de choisir les quantites at, a2, . . . av telles que dans les formules (68)
les nombivs wi j, nt» , . . . mv^x deviennent egaux k zeVo. 2) Toute fonction ration-
nelle des quantites 1(6 -f- ki ax -j- &| «•> -f • • • -f- ky av) qui ne varie pas, quand on
NOTES. TOME I, p. 42">— 4<>."..
309
remplace 8 par 0-j-cti, par 8-\-a.2, ... et par 0-\-av, s'exprime sous la forme
V + <i V(l — c\ 2/2) (1 — «* y*) , P et </ etant deux fonctions rationnelles de y (voyez t. I,
p. 508, t. II, p. 244). Cela pose, on achevera la demonstration par un procede analogue
a celui qui est expose t. I, p. 496, 497. C'est par inadvertance evidemment qu'Abel dit
que les exposans n1}n2, .. . nv sont des n ombres premiers entre eux; l'equation de divi-
sion de l'integrale elliptique donne Fexemple du contraire.
Pages 425, 426. Le theorems contenu dans Particle c) peut etre demontre par les
equations (13) t. I, p. 432, en supposant Ci — c.
Plus tard Abel s'exprima d'une maniere moins decisive sur la possibility d'exprimer
les modules en question par radicaux. Voyez t. I, p. 526.
Sylow
Le mSmoire XX fut publie dans les Astronomische Nachrichten au mois de no-
venibre 1828 sous le titre "Addition au me moire sur les /mictions dliptiqueti, insert dans le
Nr. 138 de ce journal".
Le me'moire XXI fut publie le 3 decembre 1828 dans le journal de Crelle, tome
III, fascicule 4.
Page 451, ligne 6 en remontant. Nous avons intercale les mots udiminue de deux
unites". Lie.
Le me'moire XXII fut publie dans le Journal de Crelle le 3 decembre 1828. Le titre
y semble altere par une correction de Crelle; le voici:
u8ur le nombre des transformatums diferentes^ qrion peut /(are su/ur ft me four/ion
" elliptique par la substitutioti (Tune fonction donnte du premier degrA".
Nous avons conserve celui de Sedition de Holmboe.
Page 461. Les equations -(11) se deduisent de la formule (28) du memoire XIX
(t. 1, p. 413), en remarquant qu'on a
- = pour X = le-y^;
— — — - — , pour X — X8— •
seulement on aura dans le premier membre de la premiere des equations (1 1) o — ( — 1 )"<$/*
au lieu de v — d />.
Page 465. L'equation (19) est en defaut pour la premiere valeur de d, connne Fa
. to
remarque llohnboe. Ln ettet on trouve, pour u _ -
o) i -4- 2 /' 0
et pour a= -^qpy-
310
NOTES. TOME I, p. 465— 47ft
i
d-(— 2
X
III
( - !
he memoire XXIII fut publie le 3 decembre 1828 dans le journal de Crelle,
tome III, fascicule 4.
Le memoire XXIV fut publie le 25 janvier 1829. Dans plusieurs endroits nous
avons retabli le texte primitif d 'apres la copie de Crelle.
Le mimoire XXV, date le 29 mars 1828, ne parut que le 28 mars 1829. Autant
que nous savons, Abel s'occupa pour la premiere fois de cette theorie a Paris dans
les derniers mois de Fan 1826. Dans le livre A, qui date de cette annee, on trouve
quelques pages de notices qui contiennent tout ce qui est expose dans la premiere partie
du memoire jusqu'a l'equation (35).
En 1827 (livre B) il voulait rediger ce qu'il avait trouve, mais il ne possedait pas
encore toute la theorie. On lit en effet dans une ebauche de ^introduction du memoire
une proposition erronee que voici:
u8i Unites les raeines d'une Aquation d'un dee/re" qiieleonque sont liAes entre eiles de la
"maniere quoit puisse exprirner Unites les racines rationnellemen t en /'une d'elles, cette Aquation
uest nScessairement resoluble algSbriqwrnent".
Mais il ne tarda pas a decouvrir l'erreur commise, car immediatement apres il
recommence, et cette fois il fait une redaction complete de sa theorie, qui jusqu'au theo-
reme IV ne differe que peu de la redaction finale, excepte seulement l'introduction. Le
reste est moins acheye, quoique les resultats sont les memes.
Dans le livre C on trouve un brouillon de l'introduction du memoire, et immediate-
ment apres une sorte de table des matieres. II n'y a aucun doute que cette derniere
n'ait ete ecrite apres la redaction finale du memoire, puisqu'on y trouve les theoremes
et meme des formules avec leurs numeros definitifs. Elle embrasse, outre ce qui fut
hnprime dans le journal de Crelle, encore un sixieme et une partie an moins d'un
septieme paragraph e, qui y sont mentionnos dans les termes suivans:
"§ 0. Fonetions ellipliquj>s : o — (b V2w, -f- 1 —a <?)*). Si — jjj^T~j~~ est vn
•'•iiomhre cutter, on trouve q?2 (in — aV) — ete. «• 1'a.ide. d'une Aquation du degri [tf
) Dans 1 'original on lit a }'ln -\- 1 ; c'est t'videinment une (ante dVcriture.
NOTES. TOME I, p. 478— 4!U.
311
(144)
mi e\—em. (sin 8y . sin 8d . . . sin 8tm_yf
sin 03 . . . sin 89
a —
sin 0, . . . sin 0.
'1 • • • "Jin— 1
( 1 45) ?/> = 8 -f- arc tang (tang 8 . Ay) -f- • • • -f- arc tang (tang 0 . -d,,^)
(146) A^Vl-e'im'O^. F , e.)
(151) ^(i//? o = °Wc); ^=Vf^f; «=yr^
i j <,;n 1 — < sin 0'
tang (45° - * *) = tang (45° - i_ ff) **£ • • • v+f^ •
Dans le sixieme paragraphe Abel voulait done traiter le probleme de la division des
periodes des fonctions elliptiques dans le cas oil l'on a 0) — <xi Y~2n -f- 1 . Les formules dn
dixieme paragraphe des Recherches sur les fonctions elliptiques lui en donnait le moyen.
Notaimnent on en deduit sans difnculte Fexistence et la resolubilite de liquation r = 0. En
effet, supposant que le nombre m soit pair, ce qui est permis, on trouve pour (f(in -f- ai)8
P
une expression de la forme (p8 . , P et Q etant deux fonctions entieres de cp28, dont
les coefficiens sont rationnels en e, et qu'on peut supposer sans facteurs communs; pour
ff(2/.i -\- 1) 8 on a une expression analogue: (f(2f^i -\- 1) 8 =.fp8 . . Or si l'on fait
(p28 — x, et qu'on designe par v le plus grand facteur commun des polynomes P et P',
ll est facile de voir que les racines de 1 equation v — 0 sont les f.t quantites rpz — 2 t '
ou bien 8-m^ ~"^^0J } r et % ayant les valeurs 1, 2, 3, . . . jit.
Les formules (142), (144), (145), (146) ont passe dans le memoire "Solution d'un
probleme general etc.", qui tut ecrit apres celui dont nous nous occupons, quoique il fut
imprime le premier (voyez t. I, p. 422, 423). Sans doute Abel comptait faire d'autres ap-
plications aux fonctions elliptiques, pour lesquelles les formules de transformation des
"Recherches" ne lui auraient pas sufti. On ne peut faire que des conjectures sur l'objet
de ces applications ulterieures.
Dans les passages oil Abel cite les Disquisitiones Arithmetics de Gamn, nous
avons remplace les chiffres des pages par ceux des articles pour faciliter Pemploi des
Oeuvres de Gauss.
Page 491. L'equation (42) devient illusoire si r, est mil. Mais puisque dans le
calcul precedent on peut remplacer v{ par r, pourvu que i s.tit premier a fx, il est ftvi
dent que, si /< est un nombre premier, le precede indique conduit toujours a une expres-
sion de x qui n'a que \i valeurs differentes. Si an contrairc // est un nombre compose,
la quantite v;, pourrait etre nulle pour toutes les valeurs de i qui sont premieres a ft.
Pour avoir dans ce cas une expression qui a la propriete voulue, soient
x = 1 ( — A + vn f ' + v t ? : H h v^J )
i
Vmt* - st -j- an 8x -f a*a 8* x -| 1- a<r~l» 8" 1 x, .
312 NOTES TOME I, p. 401—507.
vb <* =* + o* toe + a26 02 -H 1- a^-D* fl^-i
a = cos [- V — 1 sin — •
" fi
En faisant de plus
Iran p
F^t'/ » • • • V** i
il est facile de voir qu'on pourra choisir les n ombres in, n, . . . /> telles que les radicaux
i i i
i'o1" , vbM ) • • • vk^ s'expriment comme il suit:
1 a, 1 6, ft,
eaA< = y V r , vjl - - V r* , . . . vk = * K * .
I'ikji' 4:93. Theoreme V. Dans le manuscrit dont nous avons parle plus haut
(livre B), Abel fait l'observation suivante:
".Darns le cas ok fi est an nombre Impair on pent matte tse dispenser de (extraction de
ula racine earree".
Un a en effet
Q — a,
»x = e + d V— 1 = (Va ) * (cos d + V — 1 sin d) ,
done f
H-i p+i
_/- a 2 cos # « 2 sin $
Dans la copie de Crelle cette remarque n'est faite que pour lequation qui determine la
quantite cos j-jrpj '
Page 506 en haut Abel parait repeter lenonce de Gauss sans se souvenir qu'il
traite un probleme un pen different. 11 vient en effet de prouver que pour determiner
les quantites cos ~ _^ - il suffit
1) de diviser la cireonference entiere du cercle en /* parties egales,
2) de diviser Tare d en n parties egales,
3) d'extraire la racine carree de la quantite q.
Dans les Disquisitiones Arithmeticse art. 360 ^expression "sectio circuli" signitie la
determination des quantites cos — et sin lh:r . Toutefois, si n est un nombre im-
» 2m -f 1 In -f- 1 '
pair, les operations indiquees ci-dessus suffisent aussi pour la determination des sinus, et
de plus le radical Yq peut etre elimine.
Page 507. La copie de Crelle contient encore quelques lignes du commencement
du sixieme paragraphe:
NOTES. TOME I, p. 507-^)22.
§6-
Application aux fonctions elliptiques.
" Don* fe« reeherahes sur les /mictions elliptiques insSries dans le cahier I J, tome II tie
•'cr Journal j'tii .deniontre que les deux quantitSs
-srront racines d'une merne equation -
(77) R = 0
"du degr6 (2n+l)8— 1".
" La f miction (fa — x est determinee par la formule
(78)
p dx
J V(\ -cax8)"(i 4-V
— a.
Cela est raye par un trait de crayon qui enleve en meme temps la note qui sc
trouve au bas de la page 507, et qui ne fut pas imprimee dans le Journal. La date
" Christiania, le 29 mars 1828", parait etre de la main de Crelle.
A la fin du memoire on trouve dans le Journal la note suivante:
"L'auteur de ce memoire donnera dans une autre occasion des applications aux ,
"fonctions elliptiques. (Note du red.)" Sylow.
Le memoire XXVI fut publie le 28 mars 1829 dans le Journal de Crelle, tome IV,
fascicule 2. La copie nous a servi en plusieurs endroits a retablir le texte original
corrompu par des corrections de Crelle. Voyez tome II, page 251—253.
U menu,; re XXVII fut publie le 28 mars 1829 dans le Journal de Crelle, tome
IV, fascicule 2. Dans la copie la date parait etre ajoutee par Crelle. Le 6 janvier
Abel etait a Fi nland et vraisemblablement deja malade.
MAmoire XXV11I. A la mort d'Abel le u Precis d'une theorie des fonctions ellipti-
ques" etait encore inacheve. Les trois premiers chapitres furent publies le 10 juin 1829,
le quatrieme et le commencement du cinquieme chapitre le 31 juillet 1829. Nous y
avons pu ajouter quelques pages d'apres un fragment du manuscrit d'Abel retrouve en
1874. Ave'c cela il faut croire qu'on possede i)resque toute la premiere partie du me-
moire. Nous n'avons rien trouve dans les papiers d'Abel qui nous paraisse appaftenir
a la seconde partie.
A plusieurs endroits nous avons retabli le texte primitif d'apres la copie de Crelle.
Page 522, ligne 3 en remontant, (''est par inadvertance, sans doute, qu'Abel dit
qu'on pent avoir + H, + • • • + 6¥) egal a Knfioi En effet on a (voyez t. II, p. 194)
dii^daH h^=°;
or en faisant
Tome M.
40
314 NOTES. TOME I, p. .V22—.V23.
les quantites A^^ , . . . IH^ s'annulent toutes, d'ou l'on conclut:
»i + »H h^ = o,
A(#, + »>H h^) = o.
Cela n'est nullement en disaccord avec ce qui est dit p. 535, article B.
Page 523. Dans les formules du n" 6 nous avons corrige quelques fautes d'ecri-
ture. On obtient ces formules comme corollaire quand on traite de la resolution de
l'equation de transformation du degre 2(.t -f- 1. En faisant
2m u> -j- m' at i
^ !l a (i — c*z* /.'2«) ( 1 — p*x*l*2a) ... (1 — e*x*k V«)
on a
dy dx
— adA
V(l — y2) (1 — c2 y%) V(l — x*){l — c*x*)
Pour resoudre l'equation (a), on est porte a considerer la fonction
il>re = 2drPl(f)-\-pa), (p = 0, 1, 2, ... 2ft)t
Or puisqu'on a ^r(0 -\- a) = d~r il'r Q, les fractions (</v0)^+1, (ri'__r(9)^+1? i/>r0 . »/>_r 0
s'expriment en fonction entiere de y et du radical V(l — #a)(l — c\y*}i (voyez t. II,
p. 244 — 250), et Ton voit aisement qu'on peut faire
(^«)^^(ft;')^+,[^ + (7).JCy,<;i)],
fou^**1 = ( -f )°"+ 1 - qr J(y, H%
(ft) M.^M(=f*l (y2-/r2);
d'oii l'on tire
II est facile de voir que pr est une fonction impaire, qr une fonction paire de y\ on
peut done conclure que la valeur de la constante fT est contenue dans ^expression
a m j <«, -J- w/Wj i
en designant par lx , 2c5x, to^i respectivement la fonction elliptique et les periodes rela-
tives au module ev En faisant dans l'equation (t>) H — on trouve pour fr cette autre
expression ■
MOTES. TOME I, p. b2&
315
Si Ton fait a ~ — — — , la constante fr devient reelle : on a done dans ce cas
2ft . -j- l ' ■ • '
fr — lx ^ ■ Maintenant l'equation (/>) montre que Tune des fonctions f/»r0, */>-r0,
s'annule pour y — 11 ^p-j i e'est-a-dire pour $ = ~p^. D'ailleurs, a des valeurs difte-
rentes de r repondent evidemment des valeurs differentes de m,; on a done, pour une
valeur quelconque de m1 et pour une valeur convenablement ehoisie de r,
En faisant a = 2<& , on trouve la seconde formula Nous avons generalise ces resul-
2 m -J- 1
tats dans un raemoire insere dans les Comptes rendus de la Soci&e des Seiences de
Christiania, annee 1864, p. 68, dont voici la conclusion:
Si Ton pose
Cj' — mO -J- nioi,
to' — in' 6) -f- n'toi,
m et n n'ayant pas un meme facteur commun avec 2/j -f 1 , on a pour un module quel-
conque
.8jw&f+8^- = 0.
■ 2« + 1
O = 0, 1, ...2,1).
II n'y a pas de doute que e'est de la maniere indiquee ci-dessus qu'Abel a trouve ces
relations remarquables ; les fragmens qu'on trouve imprimes \. 11, p. 250, 251 le demontrent
assez clairement. La maniere la plus expeditive de les verifier est pourtant le develop-
pement en series. Voici une verification que 11 Kramcker » eu l'obligeance de nous
communiquer dans une lettre datee le 25 mai 1876:
"Nach Jacob** Fundam. pag. 101 Formel 19 ist:
sin am — ~ ~ </ 5 \e 1 )
(ju, v=l, 3, 5, 7...)
2e " sin am — — — - 7
(r = 0, 1, . ..n— 1)
"Hierbei ist urn die Convergenz zu wahren .<A vorauszusetzen wenn . positiv, oder
«_,<i wenn . negativ ist. Bei der Summation liber , = 0, U .J N*»» »*>
40*
316
NOTES. TOME I, p. 52:$— .">27.
"diejenigen Glieder iibrig, bei denen 2s^-v und resp. 2 s — v durch n theilbar ist,
"also wo
2s -4- v — I n und resp. v — 2s — X'v
win
d. Dabei sind I und V positiv (da **<^-V und jene Sunnne wird also
(fin +2.-,) dn -Ss)^- ttfm^m&n+tk) —
n 2; q — n _ ^
"und diese DifFerenz ist offenbar Null, da u' — k und V — fi gesetzt werden kann, da
UX, V ebent'alls alle positive ungraden Zahlen bedeuten. Also ist
ArK -f- 2s K'i \ _q
(r = 0, 1, ...n-1)
n — 1 n — 1
"und zwar fur die Werthe s — — — - — • • • ,H 2 - . Durch Vertauschung von K und
" K' etc. folgen die anderen. Aber auch diese konnten direct abgeleitet werden".
Les forraules du n° 6, ainsi que la formule (c), peuvent encore etre deduites d'une
1'orniule de Jacobi qu'on trouve dans le Journal fur die reine und angewandte Mathe-
niatik t. 4, p. 190, ou bien de la formule qu'a donne M. Hermite dans le vneme journal
t. 32, p. 287.
Pages 526, 527 (n° 9). A cet endroit, le dernier ou il parle des modules singuliers
qui admettent une multiplication complexe, Abel ne maintient qu'avec une certaine
reserve la proposition qu'il avait dejk avancee (t. 1, p. 426) sur la possibility de les ex-
primer par des radicaux; il ne l'affirme avec certitude que pour le cas ou le rapport
des periodes est un nombre ration nel. Mais dans ce cas Fintegrale elliptique pent etre
transformee en une autre dont le module est egal a V| , ou bien si Ton veut a ~|/ — 1;
ce n'est done qu'une consequence presque immediate de la theorie de la division de la
lemniscate. Cependant les previsions d'Abel ont ete pleinement confirmees par les travaux
de M. Kronecker (Monatsberichte der Konigl. Preuss. Akad. der Wissenschaften, an nee
1857, p. 455 et annee 1862, p. 363).
La resolubiliti' de l'equation modulaire est une consequence immediate de celle de
l'equation de division des periodes; la resolution de cette derniere equation, pour le cas
des modules singuliers, devait etre traitee dans la continuation de ce memoire (voyez t. II,
p. 310 en bas et p. 313 en haut). Sans vouloir entrer en details dans cette ma-
tiere, nous exposerons aussi brievement que possible comment cette resolution pent etre
reduite a des principes poses par Abel. D'abord, puisque tout module peut etre trans-
forme en son complement, on peut definir les modules en question comme ceux qui se
transforment en eux-memes (par une transformation differente de la suivante, yrr^J •
Done on aura, en vertu des deux premieres fornmlos d<; la page 525 (nous eliangerons
seulement les signos des lettres n et n'),
NOTES TOME I, p. 537.
817
£ . 2d) in . 2(3 — ?/ (*»,
£ . c<n ///' . 20 — n'wi,
ce qui donne pour le rapport des periodes et pour la quantite £ les equations suivantes:
£2 -f- (»' — w) £ -f- nm' — m i>' =0,
n(ctf 0 2 - (»' + m) (W) (2w) + m' . (2 (5) 2 = 0.
On voit qu'on peut se borner aux deux cas suivans
m — v', £ — Y — (mn — >rt 2) - V — «>
1 -f ]/— [4 «i'm — 4w»(»i — 1)— 1] _ 1 + V_— «
W . = »/ . -f 1 , £ = * — 2
Cela pose, on aura la transformation d'apres les regies du memoire "Solution d'un pro-
bleme general etc.", en faisant dans les formules (68) (t. I, p. 423)
_ „' 2w 4- n to i _ — ■»>' 2(» -f m m i
v = 2, a, = s , «.2- d ■
d designant le nombre necessairement positit m'n — m ri ; on aura ainsi un resultat de
la forme
(d) A(e0 + «)=/(*«),
f denotant une fonction rationnelle. «
En remplacant dans Equation (d) 0 par 0-0, on voit que la quantite a sera de
la forme
|5 to i to
(2r+l) 2 | -« 2 •
Cela pose, on tirera de l'equation (4) la valeur de A2(£0) on fonction rationnelle de X*tt
et du radical J H.
Soit maintenant un nombre premier impair, et faisons
le radical 7 " est exprimable en function rationnelle de A2 ? • de sort.' qu'on aura
•f*
A2 — eh function rationnelle de X2 -• :
L m m "\ i • ^ * + «^ 2,a - (pjl±j^ = cp i a2 + ) •
A2 " = ff t V2 -J , on bien Za — — ^— > V
Or nous pouvons supposer les nombre* p et , tellement eboisis <1»- * P'™ier
de cette equation diffore des C±i quan.it*. X' ■• *.an« un nombre e».ier (le »«l
eas d'exeeption, eelui on „ divise k la ft* les trois nombre. n .• + *, nous «*
sans imporunee, puisque alors le module adme. une trans.o— plus -*M»
etant, toutes les raeines de lequation propo.ee s„„t eontenues dans l'expreauon I' —
318
NOTES. TOME I, p. 527.
En designant par F et i}< des fonctions rationnelles, on a
A2 77 , (fir
;t»(r+'«)g=Wjl»g, A2 £77>1 = F
f \ ?' !' / L /' ' ' \ /' / J
Or en faisant de la meme maniere
■tg(r1 + «»e)/r_ /^JTN #
il est facile a voir qu'on a
IP ^ ( A2 5 ) = ft 0 ( V l[ ) = V (r±°±(r> .
egalite qui entraine la resolubilite de l'equation proposee par les regies du "Memoire sur
une classe particuliere d'equations etc." § 4 (t. I, p. 499).
Dans le cas ou (A est de la forme ~t — , q et t etant des nombres entiers, l'equa-
tion de division des periodes est reductible; Abel a effectue cette reduction pour le
module V— 1 dans les Recherches sur les fonctions elliptiques (t. I, p. 353 — 355); voyez
de plus t. II, p. 310, 311.
Si au contraire ju n'est pas de la forme ^ ~^~a , toutes les racines peuvent etre re-
presentees par l'expression if)k (^l2 ~ , en prenant pour r-\-se une racine primitive du
module y.. Si nous ne pouvons pas assurer qu'Abel a connu l'existence des racines pri-
mitives parmis les nombres de la forme r-\-se en general, au moins le livre manuscrit
A le montre cherchant, deja en 1826, la racine primitive 2 — |— z a l'occasion de la
division de la lemniscate en 7 parties egales.
Le dernier alinea du n° 9 est assez etrange; Abel aurait done cr.u que toutes les
racines de l'equation modulaire etaient des fonctions rationnelles de deux d'entre elles, et
ce serait de cette proposition erronee qu'il conclut qu'on peut exprimer toutes les
modules transform es par un d'eux a l'aide de radicaux. Mais nous croyons plutot qu'en
ecrivant la premiere des deux phrases, il a momentanement confondu l'equation modulaire
avec l'equation de division des periodes, qui a precisement la propriete en question,
voyez t. I, p. 599 et 600. La seconde proposition fut confirmee par les recherches de
Galois (Journal de Mathematiques pures et appliquees, annee 1846 p. 410 — 412), dont
les resultats ont ete retrouves et demontres par MM. Betti, llermite et Jordan.
Page 527, n° 10. Les fonctions cpx, fx sont sans doute les memes dont parle
Abel dans la lettre a hegmdre (voyez t. II, p 274, 275), et qui ont ete traitees depuis par
M. Weierstrass (Journal fur die reine und angewandte Mathematik t. 52, p. 339 — 380).
Le livre manuscrit C contient vers la fin un calcul qui a pour objet de deduire les
equations differentielles auxquelles satisfont les fonctions cpx et fx, en partant des
equations
(f(x + y) (f(x — y) - ((fx)* (fyf — ((fyf ( fx)*,
/0'+ pfflli - y) = (f*f (hf - cX<f<^
NOTES. TOME I, p. .V27— ">35.
319
En differentiant la seconde equation deux tbis de suite par rapport a w, et faisant = 0,
il trouve
f"!J ■/>/ - ( f'yf = * ifyf - o2 b {yyf,
ou par consequent
de meme il trouve
- <f"y ■ <?y + (y»2 = • ( fit - ■ far?.
Puis il ecrit les equations
(<r'yY — fp"y-vy=(fyY,
soit que les constantes a et b fussent connues d'avance, soit qu'il les suppose determinees
pour que ces relations aient lieu.
II deduit de la meme maniere l'equation
2/lvy -fy - *f"'y f'y + 6( f"yf = - 2c*( ftf + 8c«(l + >) (<^)2,
en se servant, pour determiner les constantes, des developpemens
1 4- e2
(pa; — x — x'A -(-... ,
fx -I — — x^A •
•' 12 '
Cost a pen pres tout ce que nous avons trouve sur ce sujet dans les manuscrits d'Abel.
Page 528, n° 11. Nous avons cherche en vain dans les manuscrits d'Abel une in-
dication de la methode dont il comptait se servir pour etendre ses resultats aux modules
imaginaires.
Page 531. La note au bas de la page contenait primitivement la demonstration du
theoreme appele par preference "Theoreme d'Abel", dans une redaction presque identique
a celle du memoire XX VII (t. 1, p. 515). 11 parait qu'Abel ne s'est decide a en iaire
un memoire a part qu'apres avoir expedie son manuscrit a Crelle, et que celui-ci, sur
sa demande, a substitue a la demonstration une citation du memoire XXVII.
Page 535, lignes 6, 7 en remontant: "// sera facile <ie dSmontrer quelle sera ('gale a
, la valeur de y 6tant d6termin&e par liquation (14)". Voici comment le demontre
M. Broch dans son Traite elementaire des i'onctions elliptiques: Si Ton fait
ifxy - (<Pxy (jxy = (*« - ,,.■») (*> - *«) . . . («■ - ^ _^);
(/,«)' - (w? (j*y U - o ■ ■ ■ («* - - **),
en supposant les fonctions fx et (pl.r paires, fas et t\.r impaires, les equations
fx -j- rpx Jx — l ), /x x -(- (fxx . Jx — ( )
320
NOTES. TOME I, p. 53.")— 5*7.
seront satisfaites en substituant pour x une quelconque des quantites xx, x2, ■■.<*■>»— i-
En eliminant Jx on en tire
fx . (px x — fx x . (fx — 0.
Or puisque le premier merabre de cette equation est une fonction paire de x du degre
4:7i — 2, ses racines seront ±X\, ±x->, . ..±**»_i, done on a
/(0).<jPi(0)= 1 ^^..:xl_^
mais on a
/(0) = — xtx2 . . . x.,n_i y, tpi(G) — ± i#| #a • • • z ,
done
l
2 — + — •
cy
Page 537, ligne 11 en remontant. Dans le Journal, ainsi que dans la eopie de
Crelle, on lit:
" Cela pose, si I' on suppose totites les quantites x , x , x , • • • <J egales a des cormtan-
utes deter niinees"
Nous croyons rendre la pensee d'Abel en effaeant la lettre at . En eft'et, si Ton
fait varier x^ et x% en supposant xs , ,r4 , . . . y constans, x 2 sera une fonction de x1
ainsi que les derivees partielles de y et de x par rapport a x1 ; au contraire devient
une constante.
Page 548, lignes 10 — 15. Dans le Journal ce passage est gate par une correction
de Crelle; nous avons retabli le texte d'Abel d'apres la copie.
Page 563, lignes 12, 13. En designant par a une racine de 1'equation xm — 0,
— est racine de 1'equation xm = lf ) si m est un nombre impair; au contraire, si rn est
un nombre pair, — ■ est racine de 1'equation xm — ().
Page 568. Theoreme VIII. Ce he sont que les modules qui rcsteront apres l'em-
ploi dn theoreme VI qui satisferont necessairement a 1'equation w(y, c') — e «)(x, oj -\- C.
11 taut en effet remarquer que quand on fait usage du theoreme II, on d'un des theore-
me* qui en derivent, quelques-unes des i'onctions i'\ Ht , ifL 02 , ... pourront bien se
reduire a des constantes. Cela arrive, notarnmont si a des valeurs donnees de
.ii, x.>, . . . Xp, i/i, y.,, . . . y^, et a une raeme valeur de t,„, repondent deux valeurs
de J„,tm- car dans ee cas les membres de l'expressiwn
/ dt ' At. " 4*—
777 + irm» t ' ' * + j?
se detruisent deux a deux, d'eii l'on conclut que dans la tbrmule (75) p. 549 la quantite
Tm (ou Hn comme elle s'appelle dans l'enonce du theoreme VI 11) est une constante.
Payes 584 — 587. Pour qu'on puisse fairc e' — -* (p. 585), il faut que a ne soit
ni nul, ni intini, ni egal a ±1. 11 est facile de voir que dans le cas qu'on considere, a
NOTES. TOME I, p. 587 *-597;
321
lie saura eftre mil ou inlini; an eontraire a sera necessairement egal a ±17 si f.i est ud
nombre pair. Pour avoir des formules generales on determinera la quantite d par les
equations
ds=e, Jd2 = Je;
en faisant de plus
on aura
x J 9U 4* (fc. ^ * as <J fl_ — S„ J x
x-Hmx : # = s , * = :
' i — ' i — c2 8* x* '
p—qy = — l, y(z — x){z — (t — ...(« — fr**"**).
En laisant dans cette equation tr = #(1), p — qy sera un carre- parfait ; on peut done
supposer que y devienne egal a ~ pour x — i){i).
En faisant x — #(0) == d, on a
x+6x^ h * = + ^ 3(°) H h *^7J (°) = °;
d'oii Ton voit que ^' s'annule pour a? =: ()'. Cctte quantite 6* est done precisement celle
qui doit figurer dans l'expression de q qu'on trouve au commencement de la page 587.
Les formules (162) sont exactes dans tous les cas; la valeur de e' sera rjg^j '
Page 588. Valeurs de a, a, b, h'\
En faisant S2=ze, Jd^—Je, on peut toujours supposer que y devienne egal a
1 -1 % _JL
pour x egal a (
ce qui donne
a' = //=l; 6==±Cf, u = + c",
_ 1 -)- y * /
1 CpX
(fx denotant la function (x . 8x . H*x . . . Of1'1 x~f . On aura
i%e 597. Le signo de la quantite A pourrait paraitre incertain. Pour lo deter -
miner on fera dans les formules (13) et (if) (t. I, p. 533) toutes les variables *t, . ..xn^
intinics, en supposant Jx{= -f ex* ; en raisonnant comme le fait Abel p. 535 pour les
valeurs intiniment petites, on verra qu'on a Jy — ^ey2, e'est-a-dire
Tome It 41
322
NOTES. TOME I, p. 597—013.
Le signe de la constants a peut etre determine au moyen des formules (48) et (49)
p. 543. On trouve
Page 599 a la fin, et page 600. On sait que em est une fonction rationnelle de e
pour toutes les valeurs impaires de //<; de plus on a e% — — , e^ — — e2fi—3,
. . . e%a — — ei- La formule »
2emJ em
^2m —
1 r'2 f 4
donne
Jem — \ (1 — c2ei),
par suite em>k ou — k * ,a m s'exprime en fonction rationnelle de « et de
Le second membre de la formule (196) doit etre precede du facteur ( — 1)^.
Page 608. Dans l'enonce du theoreme XIII Abel suppose evidemment qu'il n'existe
aucune relation entre les memes fonctions elliptiques qui ne contienne pas toutes les
modules c, C\ . . . cm .
Page 609. La partie du memoire qui fut publiee dans le Journal de Crelle termine
par la ligne qui suit la formule 211; elle fut accompagnee de la note suivante de
l'editeur :
"C'est jusqu'ici que cc memoire est parvenu a l'editeur. Mr. Abel est mort sans
"Favoir fini".
Ce que nous avons ajoute est la reproduction de deux feuilles ecrites de la main
d'Abel, qui farent retrouvees avec d'autres manuscrits en 1874. Le contenu et les
numeros des formules font voir que c'est la continuation immediate de la partie imprimee
dans le Journal de C'relle*y
La redaction parait etre parfaitement achevee; Tunc des feuilles porte memo un
avis au compositeur.
Page 613. Si le degre de la fonction y est un nombre pair, le degre du numera-
teur etant plus grand que celui du denominateur, la fonction y a la forme suivante
(i _ s ■ x2) (l-^^)...^- 8 * **)
V~ BC'*(1 - (I » *«) (1 - ft I X*) ... (1 - ft »
dans ce cas on ne peut trouver la valour de <E0(y, «') par le procede indique par Abel,
•) Nous avons d'ailleurs change les numeros des formules it partir du n° H>7 p. ">S!> pour remedier
a une faute d'ecriture et a quelques omissions.
NOTES. TOME I, p. 6*3.
Si-
323
mais on trouve, soit directement, soit en faisant y — — , y' etant la valeur de y qui
c y
repond a la formule (222) :
9& ro0(y, C) = 2,< $Jms c) - 2c* j £ + s\ + • • • + £ \ c)
+ 2 * . ** , A \ - ~ + + ■ • • + T^^i | •
Sylow.
41*
NOTES ATTX MEMOIRES DU TOME IT.
D'apres lc temoignage de( Ilolmboe les memoires 1 — XIII du second tome furent
ecrits avant les voyages d'Abel. lis datent done d'un temps anterieur au reveil de sa
critique dont il parle dans ses lettres a Hansteen et k Ilolmboe, voyez' t. II, p. 257, 2G3.
Dans ces lettres il desavoue fortement la methode peu rigoureuse dont il s'est servi dans
plusieurs de ces memoires. Nous ne parlerons, dans les notes suivantes, des erreurs que
nous y avons remarquees, que quand nous aurons a rendre compte de corrections ou de
suppressions.
Les originaux sont tous perdus; il n'existe done pas pour ces memoires d'autre
source que l'edition de Ilolmboe.
Mrmoire II. Entre la troisieme et la quatrieme ligne p. 13 nous avons supprime
deux formules issues d'une differentiation incorrecte.
M6moire V. Nous avons supprime la derniere partie du memoire, une page a peu
pres, oil Abel pose r — a -f- $y + a l°g {y~\-y)i parce que tout ce morceau est gate des
le commencement par une faute de calcul.
Les mSmoires VIII et IX ont ete commentes par Jacobi (Journal fur die reine und
angewandte Mathematik t. 32). En faisant e = 0; les dernieres formules du memoire
IX conduisent immediatement a l'equation (2) de Jacobi Plus tard les recherches
d'Abel et de Jacobi ont ete" poursuivies par M. Fucks (Journal f. d. reine und angew.
Math. t. 76), et par M. Frobenius (t. 78 du meme journal).
Sylow.
NOTES. TOME II, p. 94—193.
325
MAmoire XII L J ' toe 94, lignes 2, 3. Voici le texte de l'edition de Holmhoe: "En
"effet, comme €a) = e(-2) = e<-3) = 0, et comma = a est la settle quantitA qui a une vcdeur
" difArente de zero, il est clair etc."
Page 105, ligne 11 en remontant, apres le mot "Ulusoires" nous avons supprime la
phrase suivante: "et alors cest settlement f 'Aquation, da. nunu'ro 17 qui pent avoir lieu".
Le n° 17 est le n° 16 de notre edition par suite d'une correction des numeros faite
plus haut.
Page 109, ligne 13 en remontant, apres les mots "on voit que M est" nous avons
supprime les mots "tout au plus".
Ligne 4 en remontant, le texte de l'edition de Holmhoe est le suivant:
" jy apres la valeur de — il est aisA de conclnre que a. la mfme forme. Soil
done".
Page 125, ligne 9, nous avons mis "2??. -f- 4 :> m" au lieu de "2w-|-4>ra".
Page 138, ligne 4 en remontant, nous avons ajoute au second membre le terme
L(n)
7-7 ; par suite nous avons mis, p. 139, ligne 1, n -f- 1 au lieu de n.
X — c.'
Page 146, ligne 9 en remontant Dans l'edition de Holmhoe la phrase "ma is il
faut observer que A change de valeur" est suivi des mots "a moins que R' ?ie soit cons/an/,
comme dans Vexemple prAcAdent".
Pages 176 — 180 il a fallu corriger quelques fautes de calcul; par suite de ces cor-
rections il a ete necessaire de mettre, p. 178 lignes 8, 9 en remontant, les mots "contenu
enlre les limites 1 et 0" au lieu de "contenu entre les liniites — 1 et — $". De plus nous
avons supprime la phrase "En diffArentiani la valeur de y par rapport an, on verra que
^ est toujours positif, lorsque n est positif", laquelle dans l'edition de Holmhoe se trouve
apres la valeur de y, p. 178 ligne 5 en remontant.
Page 181, ligne 12 et 13 en remontant, nous avons corrige la valeur approchee de
a, , et change le texte de l'edition de Holmhoe, qui est: "done la plus grande valeur de
<(t est =1. a recoit sa moindre valeur en faisant crrrrl".
Sylow.
Le mAmoire XIV fut traduit en francais d'apres un original ecrit en allemand, qui
maintenant est perdu. 11 fut, croyons nous, ecrit a Freiberg au inois de mars 1826.
Voici notre raison: 11 est, d'apres ce qui dit Holmhoe, le sail memoire qu'Abel <vrivit
en allemand. Or nous savons par une lettre d'Abel a Holmhoe, qu'il avait ecrit a Frei-
berg un memoire en allemand qui devait etre imprime dans le Journal de Crelle; niais
puisque Holmhoe dit dans la preface de son edition que tous les memoires d'Abel imprimes
dans le Journal de Crelle, etaient redigds en francais, il faut croire que le memoire de
Freiberg n'y fut pas insert; cela s'accorde avec un passage d'une lettre de Crelle a Abel
826
NOTES. TOME II, p. 1 i)!*— 20.").
qui fait presumer que les memoires qu'Abel avait ecrits pour le Journal n'y furent pas
tous imprimes.
Memoire XV. L'original du premier numero est conserve, celui du second est
perdu. Nous ignorons pourquoi Hohnboe a reuni ces deux morceaux sous un memetitre;
le manuscrit conserve n'en porte aucun.
Le mtmoire XVI est un extrait d'une suite de notices intitulee: Sur les series qui se
trouve dans le livre B, et qui parait ecrite dans la seconde rnoitie de l'an 1827.
Page 201, lignes 9 — 11. Abel donne une serie de regies successives pour decider
si une serie infinie a termes positifs est convergente ou divergente. Ces regies, identiques
a celles publiees pour la premiere fois par M. Bertrand (Journal de Mathematiques public
par Jjiouville t. VII, p. 35 — 54) s'accordent au fond, comme le remarque M. Bertrand,
avec celles donnees par A. (le Morgan dans son Traite de calcul differentiel et integral
imprime a Londres en 1889.
Le theoreme au bas de la page 201 est a peu pres le meme que le theoreme V
du memoire XIV, t. I. Le texte etant ecrit apres la publication de ce memoire, comme
le montre le passage qui se rapporte a Glider, on peut sans doute conclure qu'Abel a
senti lui-meme lmsulnsance de sa demonstration anterieure du theoreme dont il s'agit.
La demonstration que notre texte reproduit peut facilement etre completee, si Ton admet
qu'on puisse indiquer une quantite finie M telle que l'inegalite
\(fn{(} — to) — An]a'l<M
subsiste pour toute valeur de l'entier n, pour toute valeur de a0 moindre que a et plus
grande que xx , et pour toute valeur suffisannnent petite de ft). En effet, en designant
par e une quantite infinitesimale, on peut choisir un entier ft si grand que l'inegalite
a lieu pour toute valeur de n cgale ou plus grande que /li. Depuis on peut prendre
w, si petite que l'inegalite
[</>„(/? — to) — An].
subsiste aussi pour toute valeur de n moindre que /j , en supposant w < w, . Done
l'inegalite
f(P—co) — R< e
aura lieu pour toute valeur de to moindre que w, . M. P. Du Bois-Reymond a demontre
d'une maniere decisive (Alathematische Annalen, Tome IV, p. 135) un theoreme plus
general. Plus bas (p. 204, ligne 14) Abel applique le theoreme dont nous parlons, en
supposant que la quantite y represente l'ensemble des nombres entiers, et que /? soit
e'eaj a oc.
Les mots places entre accolades sur les j)ages 203 et 204 sont intercales par nous.
v "iUuj >>xpjh >**«m"J\ -»74 H-.i -em Lie.
NOTES. TOME II, p. 20(5— '210.
327
Memoire XVII. Ces notices sont tirees du livre manuscrit C; d'apres la place
qu'elles y occupent il est a croire qu'elles furent ecrites au printemps 1828.
Pages 206, 207\ En lisant la demonstration du theoreme I il faut sousentendre
qu'il est suppose impossible de trouver une relation algebrique ne contenant qu'une partie
des integrales ri} r2} . . . r^; c'est de cette hypothese qu'Abel conclut (p. 207) que
lequation y^ -\- P' — 0 est identique en r„_i .
Apres l'equation R — r^ -f- P— 0 (p. 206) nous avons supprime le passage suivant :
" En differential on en tire :
"done
dP
d 5>-i
= S".
Page 208. Apres l'enoncc du theoreme II nous avons supprime les deux equations
jydx— fonct. rat. (x, y).
J ip{y, dx — fonct. rat. (x, y).
Page 209. Dans le theoreme VI nous avons mis ipjx, yj au lieu de yf).
La phrase: "Supposons .... qu*U soit impossible d' 'avoir f(y, yt, x)=:0" veut dire, sans
doute, que l'equation algebrique qui definit yx en tbnetion de x reste irreductible apres
l'adjonction de la quantite y.
Page 210. Apres la demonstration du theoreme VII le manuscrit contient quel-
ques lignes du troisieme paragraphe intitule: "§ 3. Reduction des integrales f il>(x , y) dx
a I'aide des fonetions algebriques". Mais ce commencement a ete abandon ne. La page
suivante contient des formules elliptiques; vient ensuite le § 5, sans qu'il y ait aucune
trace d'un § 4.
Apres les dernieres lignes de la page 213, Abel a commence de traitor l'exemple
suivant :
"Trouver #a en St, RQ, Rt, ..."
mais le calcul n'a pas ete acheve.
Dans le dernier morceau, qui commence p. 214, Abel designo par E(n) le plus
grand nombre entier positif ou negatif qui est moindre que la quantite n, par A*(/<) le
reste, qui est par consequent nul ou positif, et par Xp la function
(x-a,) V m> \x-a2) Kn*} ... (x-an) A J •
les lp sont done les memes que les s„, du "Memoire sur une propria generale etc." n" 10
(T. 1, p. 193). Par le raisonnenient de la page 214 il est demontre que, s'il existe entre
les integrales R0, Riy ... Rn-2, fit • • • un0 relation:
c0 R0 + • • • -f- c„_a Rn_-, 4* 4:*! -f h V'/*23 /J+ «1 "1 + ' • * + «m ,0g vm j
NUTKS. TOME II, p. '210— 21 (i.
il est pcrmis de supposer quo le second membre soit de la forme
rV-i K-i + XaXW log jbrfNk il W")f,
oil ('vidcmment on peut supposer les fonctions s0, sl7 . . . sv_i entieres. C'est la forme
analogue a celle
r^ + ^log{* + y"-g,
"fx — <px . Jx
qu'Abel a donnee au second membre pour le cas des fonctions elliptiques. Le raisonne-
ment peut etre poursuivi en parfaite analogic avec le troisieme chapitre du "Precis d'une
theorie des fonctions elliptiques"; on demontrera ainsi qu'on a rr_i — (J, et qu'en sup-
posant tous les coefficiens a nuls excepte un seul, on a les relations d'ou toutes les
autres se deduissent par voie d'addition.
Aux pages 215, 216 il paratt qu'Abel regarde les constantes des fonctions
s0, 8i} ... 6v_i comme des quantites indeterminees Le reste de ces notices est trop
inacheve pour etre reproduit; il faut nous contenter d'indiquer ici le contenu. Abel a
d'abord cherche une expression de la fonction p\ s'il n'y avait pas une faute de calcul,
le resultat aurait etc que p est egal au terme constant dans le developpement de
j~ • ~~rx suivant les puissances descendantes de a. Plus bas il a determine le nombre
8 des coefficiens indetermines qu'il est possible d'introduirc dans la formule. Si Ton fait
v — m ! . nil — w2. m2' = • • • = mn .mn' ,
H — — — jr , V — VV' ,
v" et v'" etant premiers entre eux, on a
0 = ^ — 1 + fiaafii i 2 ftt .
de sorte qu'en designant par 8' le nombre des parametres qui dependent des autres,
on a
0 - ft - 8 - \ [(n — 1) v — vi — rm' — m2' m*\ + I
Le calcul contient quelques fautes et aboutit a une valeur inexacte, mais le resultat cor-
rect est annote a la marge. Cette valeur de 8' est precisement celle qu'on deduit de la
formule (172) t. I, p. 198 pour le nombre ju — a, en appliquant ccttc formule a l'inte-
i C fx . dx ,
Enfin il note ce theoreme:
U&'.J ~| — ) ou P est une fonction entiere, est iidAgrable par di's logarit/irnes, le degrS
"de Aj doit etre an nombre entier, et le degre p moindre d'une unite que celui de I , et
on aura
f1,;l* = A8{x,l1)"}
et il se propose de traiter l'exemple suivant:
NOTES TOME II, p. 216 243.
329
" Trouver Unites les diff Arentielles de la forme ^>dx — xn (1 — a;)'' ok*; scptf
* graties a Vaid,e den f auctions algebriques et logarithnuques"
sans toutefois lc terminer.
Syloio.
1a1 memoire XVIII est la reproduction du dernier morceau des mauuscrits d'Abel
qui traite de la theorie des equations resolubles par radicaux. II date de la seconde
moitie de Fan 1828, et fut imprime pour la premiere fois en 1839 dans Pedition de
Holmboe.
Le passage qui commence p. 234 par les mots: "De la on lirera", et finit par la
formule (a), est raye dans le manuscrit et se trouve immediatement apres la troisieme
ligne de la merae page. En intercalant ce passage plus bas, nous avons suivi Holmboe,
mais en conservant, ici et p. 235, les termes q0 , qu'il avait supprime a tort. C'est le
seul changement du textc d'Abel que nous avons fait, sauf quelques fautes de calcul ou
d'ecriture.
La premiere partie de rintroduction, jusqu'a l'enonce du probleme " Trouver VSqua-
tiort la moins Slevee a laquelle une function algebrique jndsse satisfaire" (p. 221), a ete rema-
niee par Abel; la redaction nouvelle et abregee se trouve a la marge du manuscrit a
cote de la premiere. Comme Holmboe nous avons cru devoir preferer la premiere, sur-
tout parce qu'Abel s'y prononce sur la methode qu'il faut suivre dans les recherches
mathematiques. Toutefois la seconde redaction ne laisse pas d'avoir certains avantages
sur la premiere, c'est pourquoi nous la reproduisons ici:
NOUVELLE THEOKIE DE LA RESOLUTION ALGKBKIQUE DES EQUATIONS.
"La theorie des equations a toujours ete regardee comme une des plus interessantes
"parties de l'analyse. Des geometres de premier rang s'en sont occupes, et l'ont beau-
"coup enrichie. C'est surtout aux travaux excellens de Lagrange qu'on doit une con-
"naissance proibnde de cette partie des mathematiques. On s'est beaucoup attache a
"trouver la resolution algebrique des equations, mais on n'a pu y reussir generalement
"pour des equations superieures au quatrieme degre. Tant d'efforts inutiles des geome-
"tres les plus distingues ont fait presumer que la resolution algebrique des equations
"generales etait impossible. On a cherche a en dormer la demonstration, mais il parait
•'que l'impossibilite de la resolution n'est pas encore rigoureusement etablie. L'auteur de
"ce memoire s'est occupe pendant longtemps de cette question interessante, et il croii
"etre parvenu a y repondre d'une maniere satisi'aisante. H a donne un premier essai
"sur ce sujet dans un memoire imprime dans le premier cahier de ce journal, mais
••quoique le raisonnement qu'il a employe paraisse etre rigoureux, il faut cependant
"avouer que la methode dont il a fait usage laisse beaucoup a desirer. J'ai repris de
"nouveau la question dont il s'agit, et en me proposant des problemes beaucoup plus
"generaux, je suis, si je ne me trompe, parvenu a montrcr clairement a quoi tient veri-
"tablement l'impossibilite de la resolution des equations generales".
"S'il est impossible de resoudre les equations grin'- rales, il est du moins tres pos-
sible d'en trouver une infinite de cas particulars qui jouiront de cette propriete. II en
Tome II. 42
330
NOTES. TOME II, p. 217—24:5.
"existe une infinite pour chaque degre. Cela est etabli depuis longtemps, mais personne
"n'a considere le probleme sous un point de vue general. C'est ce que je tacherai de
"faire dans ce memoire, en traitant la solution de ce probleme:
Une equation d'un degre quelconque etant proposee, reconnaitre si elle
pourra etre satisfaite algebriquement, ou non".
"La solution complete de ce probleme loit necessairement conduire a tout ce qui
"concerne la resolution algebrique des equations. Une analyse raisonnee nous conduira
"comme on va voir, a des theoremes importans sur les equations, principalement relatii's
"a la forme des racines. Ce sont les propositions generates plutot que la solution elle-
"meme qui sent le point le plus important, car il est une question de pure curiosite que
"de demander si une equation particuliere est resoluble ou non. J'ai donne au probleme
"la forme enoncee ci-dessus, parce que la solution ne peut manquer de conduire a des
"resultats generaux".
"Je vais d'abord donner l'analyse du probleme avec les resultats les plus importans
"auxquels je suis parvenu".
"D'abord nous devons fixer precisement ce que nous entendrons par la resolubilite
"algebrique d'une equation. Lorsque Fequation est generale, cela veut dire, suivant la
"conception generalement adoptee de cette expression, que toutes les racines de fequation
"sont exprimables par les eoefficiens a Faide des operations algebriques. Les racines
"sont alors des fonctions algebriques des coefficiens et leur expression pourra contenir
"un nombre quelconque de quantites constantes, algebriques ou non. Mais si Fequation
"n'est pas generale, ce qui est le cas que nous considerons, j7ai cru devoir, pour avoir la
"plus grande generality possible, faire les distinctions suivantes :
"Etant donnees un nombre quelconque de quantites a, /9, y, d . . . , indeterminees
"ou non, nous appcllerons expression radicate de ces quantites toute quantite qu'on en
"pourra former a Faide des operations suivantes: Addition, JSoustraction, Multiplication,
"Division, Extraction de racines avec des exposans qui sont des nombres premiers".
"Une equation algebrique quelconque est dite pouvoir etre satisfaite algebriquement
"en des quantites quelconques, a, ft, y, d, . . . , si on la satisfera, en mettant pour l'in-
"connue une expression radicale de a, y, d, ... ."
"Une equation algebrique est resoluble algebriquement par rapport aux quantites
"a, fi, y, d, . . . , si toutes les racines peuvent etre representees par des expressions ra-
"dicales de a, ft, y, d, ... ."
"Nous avons distingue les equations qui pourront etre satisfaites algebriquement de
"celles qui sont resolubles algebriquement, puisqu'il y a, comme on sait, des equations
"dont Fune ou plusieurs des racines sont algebriques, sans qu'on puisse affirmer la meme
"chose par rapport a toutes les racines".
"Cela pose, le probleme qui va etre Fobjet de nos recherches est le suivant:
Etant proposed une equation algebrique quelconque, reconnaitre si cette equation
pourra etre satisfaite par une expression radicale des quantites donnees a, (i, y, d, . . . ."
"La marehe naturelle pour resoudre ce probleme sc prete d'elle-meme. En effet il
"faut substituer a la place de Finconnue Fexpression radicale la plus generale de
NOTES. TOME II, p. 217—243.
331
"«, (i,' y, d, ... et voir ensuite si elle pourra etre satisfaite cle cette maniere. De lk
"nait d'abord ce probleme:
Trouver l'expression radicale la plus generate en a, /?, y, d, . . . .
"La solution de ce probleme doit done etre Pobjet de nos premieres reeherches. Nous
"la donnerons dans un premier chapitre".
"On peut; comme on sait, donner a la meme expression radicale une infinite de
"formes differentes. De toutes ces formes nous chercherons celle qui contient le nombre
"le plus petit possible de radicaux, et qui est par la en quelque sorte irreductible".
"Cela pose, la premiere propriete de cette expression doit etre de satisfaire a une
"equation algebrique; or cette condition est, comme on salt, remplie d'elle meme; car
"toute expression radicale de cr, /i, y, d, . . . peut satisfaire a une equation algebrique
"dont les coefficiens sont rationnels en a, /?, y, d, . . . . Or une meme expression radi-
"cale peut satisfaire a une infinite d'equations differentes; il y a done deux cas a con-
"siderer: ou l'equation proposee est la moins elevee a laquelle puisse satisfaire l'expression
"radicale, ou cette expression peut satisfaire a une autre d'un degre moindre. Done le
"probleme general se divise en ces deux-ci:
1. Etant proposee une equation quelconque, reconnaitre si une de ses racines pourra
satisfaire a une equation moins elevee dont les coefficiens sont rationnels en
a, (i, y, d, . . . . Si cela est impossible, nous dirons que l'equation est irreductible
par rapport aux quantites a, y, d, . . . .
2. Reconnaitre si une equation irreductible pourra etre satisfaite algebriquement ou non".
"Nous ne considerons dans ce memoire que le dernier de ces problemes comme
"celui qui est incoinparablement d'une plus grande importance".
"Cela pose, on aura d'abord ce probleme:
Trouver ^equation la moins elevee a laquelle une expression radicale puisse
satisfaire."
Quoique en commengant Abel eut evidemment l'intention d'ecrire un expose com-
plet de sa theorie des equations resolubles par radicaux, son travail n'est pour la majeure
partie devenue qu'une ebauche. 11 faut bien avouer que cette ebauche contient quelques
expressions peu exactes, quelques notions un peu vagues, et qu'il y a meme quelques
lacunes dans les demonstrations ; mais ces imperfections ne sont pas essentielles, et les
difficultes qui en naissent peuvent facilement etre levees, ce qu'il n'est pas aujourd'hui
difficile de faire voir.
Observons d'abord que le but du § 2 etant de determiner lequation irreductible
qui est satisfaite par une expression algebrique donnee, il n'est dans ce paragraplie ques-
tion d'autres expressions algebriques que celles qui peuvent etre formees par les memes
radicaux qui se trouvent dans l'expression primitive, ou plutot par les differentes valeurs
qu'ils peuvent prendre. Soient
ces radicaux, ranges de telle sorte qu'ils peuvent etre evalues ntimenquement dans I'ordre
' oil ils sont ecrits; "le radical exterieur" d'une expression tilgebrique est le dernier des
42*
332
NOTES. TOME II, p. 21 7— 243.
radicaux enumeres quelle contient; il f'aut en effet supposer, comme le eas le plus geue-
ral, que la quantite Rm contieune les radicaux VRi, ...VSto_i. L'ordre dune expres-
sion n'est pas precisement le nombre de radicaux quelle contient; mais plutot le noinbre
marquant le rang qu'occupe son radical exterieur. Si Ton voulait prendre la definition
d'Abel a la lettre, le tlieoreme III serait en defaut dans beaucoup de cas.
Dans la demonstration du tlieoreme I (p. 229) Abel declare impossible l'equation
i
- — \ ■
En effet, dans le cas contraire z satist'erait a une equation irreductible dont les coefficiens
ne contiendrait pas w, et dont le degre lc serait moindre que f.i1 . En designant le der-
nier terine de cette equation par a, on aurait
mais ^n faisant
on en tirerait
i
0)k"r y1 — + a y~h ,
ce qui est contre l'hypotliese.
Les demonstrations des tbeoremes IV et V supposent non seulement que l'equation
f/>(y, rn) = 0 soit irreductible, mais encore que la fbnetion (/">(//, m) n'ait aucun facteur
i j_
dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles des radicaux y^1, fy.2-"2... , des quan-
tites connues et de io. Dans le cas contraire il arrive quelquefbis que l'equation
1I(f>(y , m) — 0} est une puissance de l'equation irreductible; par exemple pour 1 equation
<p(y> l)=y2 + a'y + «l = 0.
Nous f'erons voir plus bas qu'on peut to uj ours diriger les operations necessaires pour
chasser les radicaux de maniere a eviter les cas d'exception.
Enfin le passage qui commence par les mots: uEn ajoutant il viendra" p. 234, et
finit p. 235 par les mots: uptfs doit done satisfaire a, une Equation qui est tout au phis du
degre /n — 1", n'est pas a l'abri d'objections fondees. En effet, de la circonstance que
t
sf* s'exprime rationnellement par s, s', Pl , pt' , . . .Pfl-i, jp^fj sans que Pl' , . . .p'^,
soient des fonctions rationnelles de s, p, . . . p^-i , il ne s'ensuit pas immediatement que
A
le degre de l'equation sera un nombre compose. Mais en mettant au lieu de «M une
fbnetion rationnelle de s, s', pi} Pi' . . . p^, p'fi-\, on a effectue une espece de simpli-
fication de l'expression de la racine z1 , et on peut supposer cette simplification- operee
partout oil elle est possible.
II n'est pas en effet difficile de faire subir a Fexpression algebrique donnee une
translormation prealable telle que les raisonnemens d'Abel peuvent etre appliqm's avec
NOTES. TOME II, p. '217 — 2 11. 333
quelques modifications legeres. Supposons les radicaux contenus dans Texpression alge-
i
brique donnee ranges dans l'ordre de revaluation numerique, et soit r *• le premier d'eux,
to0 une racine jtt*"' imaginaire de l'unite. Puisqu'il i'aut bien adinettre que Texpression
j_
donnee pourra contenir toutesles ^0 valeurs du radical »'„'*•, nous comptons comme son
i
premier groupe d'irrationnelles to0) Si parmi les autres radicaux il y en a qui
s'expriment en fonction rationnelle des quantites connues, tou et rQ"» , ils peuvent etre
i
eliminos; soit rtP> le premier des radicaux restans, et oj1 une racine pi^* imaginaire de
i
l'unite. Or la quantite rt, pouvant contenir w0 et ro*» , est succeptible d'un certain
nombre de valeurs differentes, que nous designerons par , r "} . . . , et il taut
" ji_ i
admettre que Texpression donnee pourra contenir non seuloment r mais aussi r 'f*' ,
i
.... Supposons maintenant que tous ces radicaux s'expriment rationnellement
H.i- v ► J^^HUft'^ryi' J_ 1 l
par un certain nombre d'entre eux: r^f*' , . . . {t***1- , et par r '*•., r<>0 et
les quantites connues, le nombre ^ etant reduit a son minimum. Cela pose, le deuxieme
groupe d'irrationnelles sera:
Si ces deux groupes d'irrationnelles ne suffisent pas, il taut ajouter un troisieme
groupe, et ainsi de suite. Voici done le tableau des irrationelles dont se compose Texpres-
sion algebrique donnee:
l
l i i
On place les racines de l'unite avant les radicaux du groupe, l'ordre de ceux-ci
restant arbitraire. Dans des cas speciaux T-expression donnee ne contient pas toutes ces
irrationnelles, mais elle contient toujours au moins un radical de chaque groupe. Une
des pages suivantes du manuscrit contient un tableau identique a celui que nous venous
d'eerirc, avec la seule difference que les to n'y sont pas expressenient mentionnes. Or
ils peuvent bien etre exprimes par radicaux, mais il est aussi simple de les conserver.
Quand nous parlous des valeurs dont ils sont susceptibles, il Taut par cela entendre les
racines de Tequation irreductible qui definit to au moyen des quantity connues et des
irrationnelles des groupes precedens. Quelles que soient ces dernieres, les valeurs de to
sont toujours exprimees par
334
NOTES. TOME II, p. 217 — 243.
Gi, to'\ to**', . . . oj^r 1 ,
1, d, d2 , ... dr~ 1 etant les solutions differentes de la congruence dv= I (mod. fx), v
etant mi diviseur de fx — 1. Pour chasser les to on a evidemment un theoreme ana-
logue an theoreme IV, qu'on peut enoncer comme il suit:
Si l'equation
/(*, to i) = 0
dont les coefficiens contiennent, outre w{, les irrationnelles des i premiers groupes,
est irreductible,
IT fa £».)=/(*, W<) .fa mf) fa . . '.fa t,f'-1) = 0
est aussi une equation irreductible dont les coefficiens s'expriment rationnellement par
les irrationnelles des i premiers groupes, v' etant le plus petit nombre pour lequel on ait
fa m't"')^fa^
Evidemment v' est un diviseur de v, et egal au produit des exposans de certains
radicaux qui servent a exprimer oj} par les irrationnelles des groupes precedens.
L'expression algebrique donnee am etant preparee comme nous avons indique, on
peut chasser sueeessivoment toutes les irrationnelles de l'equation
U — dm = 0,
en suivant l'ordre inverse de celui du tableau; on trouvera ainsi necessairement l'equa-
tion irreductible dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles des quantites connues,
car evidemment on ne rencontrera pas le cas oil le theoreme V est en defaut.
»
j_ j_ i
En designant maintenant par to, Sf* } &1ft j • ■ ■ "S^-i*" le dernier groupe d'irra
tionnelles, l'expression algebrique donnee a la forme suivante
TO TO, me—i
m, mx, . . . ayant toutes les combinaisons des valours 0, 1, 2, ... (/< — 1). Or,
1 j_
si le degre de l'equation est {.i, il faut qu'en remplacant 8{f* par coSi**, on a la mem e
j_ j_
valeur qu'en substituant wr/S> au lieu de . On en conclut que l'expression doit
etre specialised de la maniere suivante
m m n ,
2,>mS" Str <" , [m = 0, 1, 2 ... (^/ — 1)]
ou bien, en ecrivant » au lieu de S Sn' . . . S"*-1,
2 pm s
oil evidemment s<" ne peut etre exprime rationnellement par les radicaux des groupes
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