# Full text of "Fisica Universitaria 12va. Edicion Sears, Zemansky Vol. 1"

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```YOUNG • FREEDIMAN

SEARS • ZEMANSKY

FÍSICA
dJNIVERSITARIA

VOLUMEN 1

FACTORES DE CONVERSION DE UNIDADES

Longitud

1 m = 100 cm = 1000 mm =

1 km = 1000 m = 0.6214 mi

1 m = 3.281 ft = 39.37 in

1 cm = 0.3937 in

1 in. = 2.540 cm

1 ft = 30.48 cm

1 yd = 91.44 cm

lmi = 5280 ft = 1.609 km

1À = 10" 10 m = 10~ 8 cm = 10"

1 milla nàutica = 6080 ft

1 anoluz = 9.461 X 10 15 m

lOVni = 10 9 nm

Aceleración

1 m/s 2 = 100 cm/s 2 = 3.281 ft/s 2
1 cm/s 2 = 0.01 m/s 2 = 0.03281 ft/s 2
1 ft/s 2 = 0.3048 m/s 2 = 30.48 cm/s 2
lmi/h-s = 1.467 ft/s 2

Masa

1 kg = 10 3 g = 0.0685 slug

1 g = 6.85 X 10" 5 slug

1 slug = 14.59 kg

1 u = 1.661 X 10~ 27 kg

1 kg tiene un peso de 2.205 lb cuando g

9.80 m/s 2

Àrea

1 cm 2 = 0.155 in 2

1 m 2 = 10 4 cm 2 = 10.76 ft 2

1 in 2 = 6.452 cm 2

1 ft = 144 in 2 = 0.0929 nr

Volumen

1 litro = 1000 cm 3 = 10~ 3 m 3 = 0.03531 ft 3 = 61.02 in 3
1 ft 3 = 0.02832 m 3 = 28.32 litros = 7.477 galones
1 galón = 3.788 litros

Tiempo

1 min = 60 s

1 h = 3600 s

1 d = 86,400 s

1 aflo = 365.24 d = 3.156 X 10 7 s

Angulo

1 rad = 57.30° = 180°/tt
1 revolución = 360° = 277 rad
1 rev/min (rpm) = 0.1047 rad/s

Rapidez

lm/s = 3.281 ft/s

1 ft/s = 0.3048 m/s

1 mi/min = 60 mi/h = 88 ft/s

1 km/h = 0.2778 m/s = 0.6214 mi/h

1 mi/h = 1.466 ft/s = 0.4470 m/s = 1.609 km/h

1 furlong/14 días = 1.662 X 10~ 4 m/s

Fuerza

1 N = 10 5 dinas
1 lb = 4.448 N =

= 0.2248 lb
4.448 X 10 5 dinas

Presión

1 Pa = 1 N/m 2 = 1.450 X 10~ 4 lb/in 2 = 0.209 lb/ft 2

1 bar = 10 5 Pa

1 lb/in 2 = 6895 Pa

1 lb/ft 2 = 47.88 Pa

1 atm = 1.013 X 10 5 Pa = 1.013 bar

= 14.7 lb/in 2 = 2117 lb/ft 2
1 mm Hg = 1 torr = 133.3 Pa

Energia

1 J = 10 7 ergs = 0.239 cal

1 cal = 4.186 J (con base en caloria de 15°)

1 ft - lb = 1.356 J

1 Btu = 1055 J = 252 cal = 778 ft • lb

leV = 1.602 X 10~ 19 J

1 kWh = 3.600 X 10 6 J

Equivalència masa-energía

1 kg <-> 8.988 X 10 16 J
luo 931.5 MeV
leV<-> 1.074 X 10"%

Potencia

1W= 1 J/s

1 hp = 746 W = 550 ft • lb/s

1 Btu/h = 0.293 W

CONSTANTES NUMERICAS

Constantes físicas fundamentales*

Nombre

Símbolo

Valor

Rapidez de la luz

c

Magnitud de carga del electrón

e

Constante gravitacional

G

Constante de Planck

h

Constante de Boltzmann

k

N A

Constante de los gases

R

Masa del electrón

n'c

Masa del protón

'"p

Masa del neutrón

m„

Permeabilidad del espacio libre

Mo

Permitividad del espacio libre

£(, = 1/flgC'

1/4t7£

2.99792458 X 10 s m/s
1.60217653(14) X KT 15 C
6.6742(10) X 10""N•m 2 /kg 2
6.6260693(11) X 10~ 34 J-s
1.3806505(24) X 10~ 23 J/K
6.0221415(10) X 10 23 moléculas/mol
8.314472(15) J/mol -K
9.1093826(16) X 10~ 31 kg
1.67262171(29) X 10~ 27 kg
1.67492728(29) X 10~ 27 kg
477 X 10~ 7 Wb/A • m
8.854187817 ... X 10~ 12 C 2 /N • m 2
8.987551787 ... X 10 9 N • m 2 /C 2

Otras constante útiles

Equivalente mecànico del calor
Presión atmosfèrica estàndar
Cero absoluto
Electrón volt
Unidad de masa atòmica
Energia del electrón en reposo
Volumen del gas ideal (0 °C y 1 atm)
Aceleración debida a la gravedad
(estàndar)

1 atm
0K
1 eV
1 u

4.186 J/cal (15° caloria)
1.01325 X 10 5 Pa
-273.15 °C

1.60217653(14) X 10"" J
1.66053886(28) X 10~ 27 kg
0.510998918(44) MeV
22.413996(39) litros/mol
9.80665 m/s 2

*Fuente: National Institute of Standards and Technology (http://physics.nist.gov/cuu). Los números entre parèntesis
indican incertidumbre en los dígitos finales del número principal; por ejemplo, el número 1.6454(21) significa
1.6454 ± 0.0021. Los valores que no indican incertidumbre son exactos.

Datos astronómicos 1

Periodo de

Cuerpo

Masa (kg)

òrbita (m)

la òrbita

Sol

1.99 X

10 3u

6.96 X 10 s

—

—

Luna

7.35 X

10 22

1.74 X 10 6

3.84 X 10 8

27.3 d

Mercurio

3.30 X

10 23

2.44 X 10 6

5.79 X 10'"

88.0 d

Venus

4.87 X

10 24

6.05 X 10 6

1.08 X 10"

224.7 d

Tierra

5.97 X

10 24

6.38 X 10 6

1.50 X 10"

365.3 d

Marte

6.42 X

10 23

3.40 X 10 6

2.28 X 10"

687.0 d

Júpiter

1.90 X

10 27

6.91 X 10 7

7.78 X 10"

11.86y

Saturno

5.68 X

10 26

6.03 X 10 7

1.43 X 10 12

29.45 y

Urano

8.68 X

10 25

2.56 X 10 7

2.87 X 10 12

84.02 y

Neptuno

1.02 X

10 26

2.48 X 10 7

4.50 X 10 12

164.8 y

Plutón*

1.31 X

10 22

1.15 X 10 6

5.91 X 10 12

247.9 y

Fuente: NASA Jet Propulsion Laboratory Solar System Dynamics Group (http://ssd.jlp.nasa.gov) y P. Kenneth
Seidelmann, ed., Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac (University Science Books, Mill Valley, CA,
1992), pp. 704-706. Para cada cuerpo, "radio'" es el radio en su ecuador y "radio de la òrbita" es la distancia media
desde el Sol (en el caso de los planetas) o desde la Tierra (en el caso de la Luna).

"En agosto de 2006 la Unión Astronòmica Internacional reclasificó a Plutón y a otros pequenos objetos que giran
en òrbita alrededor del Sol como "planetas enanos".

SEARS • ZEMANSKY

FÍSICA

UNIVERSITÀRIA

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

ESTRATÈGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS

1 . 1 Cómo resolver problemas de física

1.2 Conversiones de unidades

1.3 Suma de vectores

2. 1 Movimiento con aceleración constante

3.1 Movimiento de proyectil

5.1 Primera ley de Newton: Equilibrio

de una partícula

5.2 Segunda ley de Newton: Dinàmica

de partículas

6. 1 Trabajo y energia cinètica

7.1 Problemas donde se utiliza energia

mecànica I

7.2 Problemas utilizando energia mecànica II
8.1 Conservación del momento lineal

9.1 Energia rotacional

10.1 Dinàmica rotacional de cuerpos rígidos

PÀGINA

ESTRATÈGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS

PÀGINA

3

11.1

Equilibrio de un cuerpo rígido

359

7

13.1

Movimiento armónico simple I:

18

Descripción del movimiento

427

51

13.2

Movimiento armónico simple II: Energia

430

82

14.1

Ecuación de Bernoulli

469

92

15.1

Ondas mecànicas

494

15.2

Ondas estacionarias

510

137

16.1

538

16.2

Efecto Doppler

554

143

17.1

Expansión tèrmica

578

188

17.2

Problemas de calorimetría

589

217

17.3

Conducción de calor

593

225

18.1

Gas ideal

613

255

18.2

Teoria cinètica molecular

623

299

19.1

Primera ley de la termodinàmica

654

320

20.1

Màquinas térmicas

677

TM

Actv

-jIONLINE

rnySICS www.masteringphysics.com

1.1 Anàlisis del movimiento con diagramas

1.2 Anàlisis del movimiento con gràficas

1.3 Predicción de un movimiento con base en

gràficas

1.4 Predicción de un movimiento con base en

ecuaciones

1.5 Estratègia» para resolver problemas de

cinemàtica

1.6 Esquiador en competència de descenso

1.7 Se deja caer limonada desde un globo

aerostàtico

1.8 Los cinturones de seguridad sal van vidas

1 .9 Frenado con derrape

1.10 Caída de un saltador con garrocha

1.11 Auto arranca y luego se detiene

1.12 Resolución de problemas con dos

vehículos

1.13 Auto alcanza a camión

1 . 14 Cómo evitar un choque por atràs

2.1.1 Magnitudes de fuerza

2.1.2 Paracaidista

2.1.3 Cambio de tensión

2. 1 .4 Deslizamiento en una rampa

2.1.5 Carrera de au tomo viles

2.2 Levantar una caja

2.3 Bajar una caja

2.4 Despegue de cohete

2.5 Camión que tira de una caja

2.6 Empujar una caja hacia arriba contra una

pared

2.7 Esquiador que baja una cuesta

2.8 Esquiador y cuerda de remolque

2.9 Salto con garrocha

2.10 Camión que tira de dos cajas

2.1 1 Màquina de Atwood modificada

3.1 Resolución de problemas de movimiento

de proyectiles

3.2 Dos pelotas que caen

3.3 Cambio de la velocidad en x

3.4 Aceleraciones x y y de proyectiles

3.5 Componentes de la velocidad inicial

3.6 Pràctica de tiro al blanco I

3.7 Pràctica de tiro al blanco II

4.1

Magnitud de aceleración centrípeta

8.1

4.2

Resolución de problemas de movimiento
circular

8.2

4.3

Carrito que viaja en una trayectoria
circular

8.3

4.4

Pelota que se balancea en una cuerda

8.4

4.?

Automóvil que describe círculos en una

8.5

pista

8.6

4.6

Sate'lites en òrbita

5.1

Càlculos de trabajo

8.7

5.2

8.8

5.3

8.9

5.4

Salto inverso con bungee

8.10

5.5

Bolos con impulso de resorte

8.11

5.6

Rapidez de un esquiador

8.12

5.7

Màquina de Atwood modificada

8.13

6.1

Momento lineal y cambio de energia

8.14

6.2

9.1

6.3

Conservación del momento lineal y

9.2

choques

9.3

6.4

Problemas de choques

9.4

6.5

Choque de autos: dos dimensiones

6.6

Rescate de un astronauta

9.5

6.7

Problemas de explosión

9.6

6.S

9.7

6.9

Péndulo que golpea una caja

9.8

6.10

Péndulo persona-proyectil, boliche

7.1

Calculo de torcas

9.9

7.2

Viga inclinada: torcas y equilibrio

9.10

7.3

Brazos de palanca

9.11

7.4

Dos pintores en una viga

9.12

7.5

Conferencia desde una viga

10.1

7.6

Inèrcia rotacional

10.2

7.7

Cinemàtica rotacional

10.3

7.8

Rotojuego: Enfoque de dinàmica

10.4

7.9

Escalera que cae

10.5

7.10

Mujeres y elevador de volante: enfoque

de dinàmica

10.6

7.11

Carrera entre un bloque y un disco

7.12

Mujeres y elevador de volante: enfoque

10.7

de energia

10.8

7.13

Rotojuego: enfoque de energia

10.9

7.14

La bola le pega al baté

10.10

Característic as de un gas

Anàlisis conceptual de la distribución de

Maxwell -Boltzmann
Anàlisis cuantitativo de la distribución de

Maxwell-Boltzmann
Variables de estado y ley del gas ideal
Trabajo efectuado por un gas
Calor, energia tèrmica y primera ley de la

termodinàmica
Proceso isocórico
Proceso isobàrico
Proceso isotérmico
Proceso cíclico: estrategias
Proceso cíclico: problemas
Cicló de Carnot

Ecuaciones y gràficas de posición
Descripción del movimiento vibratorio
Energia de vibración
Dos formas de medir la masa del joven

Tarzàn
Mono tira a Tarzàn

Liberación de un esquiador que vibra I
Liberación de un esquiador que vibra II
Sistemas vibratorios de uno y

dos resortes
Vibrojuego

Frecuencia de péndulo
Arriesgado paseo con péndulo
Péndulo físico

Propiedades de las ondas mecànicas
Rapidez de las ondas en una cuerda
Rapidez del sonido en un gas
Ondas estacionarias en cuerdas
Afinación de un instrumento de cuerda:

ondas estacionarias
Masa de una cuerda y ondas

estacionarias
Pulsos y frecuencia del pulso
Efecto Doppler: introducción conceptual
Efecto Doppler: problemas
Ondas complejas: anàlisis de Fourier

REVISION TÈCNICA

MEXICO

Ricardo Pintle Monroy

Rafael Mata

Carlos Gutiérrez Aranzeta

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecànica y Ele'ctrica-Zacatenco

José Arturo Tar Ortiz Peralta

Ornar Olmos López

Víctor Bustos Meter

José Luis Salazar Laureles

Instituto Tecnológico y de Estudiós Superiores de Monterrey

Campus Toluca

Daniel Zalapa Zalapa

Centro de Ensenanza Tècnica Industrial

Lorena Vega López

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías

Sergio Flores

Instituto de Ingeniería y Tecnologia

ARGENTINA

Ema Aveleyra
Universidad de Buenos Aires
Buenos Aires

Alerino Beltramino
UTN Regional Buenos Aires
Buenos Aires

Miguel Àngel Altamirano
UTN Regional Córdoba
Córdoba

COSTA RICA

Diego Chaverri Polini
Universidad Latina de Costa Rica
San José

Juan Meneses Rimola

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Cartago

Randall Figueroa Mata
San José

ESPANA

José M. Zamarro Minguell
Campus del Espinardo
Múrcia

Fernando Ribas Pérez

Escola Universitària de Enxenería Tècnica Industrial

Vigo

Stefano Chiussi

Escola Tècnica Superior de Enxefieiros de Telecomunicacions

Vigo

Miguel Àngel Hidalgo
Universidad de Alcalà de Henares
Campus Universitario
Alcalà de Henares

PERÚ

Yuri Milachay Vicente

Lima

COLÒMBIA

Fernando Molina Focazzio
Bogotà

Jaime Isaza Ceballos

Escuela Colombiana de Ingeniería

Bogotà

VENEZUELA

Mario Caicedo
Àlvaro Restuccia
Jorge Stephany
Caracas

SEARS • ZEMANSKY

FÍSICA
UNIVERSITÀRIA

Decimosegunda edición

VO LUMEN

HUGH D. YOUNG

CARNEGIE MELLON UNIVERSITY

ROGER A. FREEDMAN

UNIVERSITY OF CALIFÒRNIA, SANTA BÀRBARA

CON LA COLABORACIÓN DE

A. LEW1S FORD

TEXAS A&M UNIVERSITY

VICTORIA A. FLORES FLORES

ESPECIALISTA EN EL ÀREA DE CIENC1AS

REVISIÓN TÈCNICA

ALBERTO RUBIO PONCE

GABRIELA DEL VALLE DÍAZ MUNOZ

HÉCTOR LUNA GARCÍA

JOSÉ ANTONIO EDUARDO ROA NERI

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÀSICAS

México ■ Argentina ' Brasil * Colòmbia • Costa Rica ■ Chile ■ Ecnador
Esparïa • Guatemala • Panamà " Perú " Puerto Rico " Uruguay • Venezuela

/ Datos de catalogación bibliogràfica

YOUNG, HUGH D. y ROGER A. FREEDMAN

Física universitària volumen 1. Decimosegunda edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009

ISBN: 978-607-442-288-7
Àrea: Ciencias

Formato: 21 X 27 cm

Pàginas: 760

Authorized adaptation from the English language edition, entitled University Physics with Modern Physics 12 th ed., (chapters 1-20) by Hugh D. Young,
Roger A. Freedman; contributing author, A. Lewis Ford published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2008.
ISBN 9780321501219

Adaptación autorizada de la edición en idioma inglés, titulada University Physics with Modern Physics 12 a ed., (capítulos 1-20) de Hugh D. Young,
Roger A. Freedman; con la colaboración de A. Lewis Ford, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2008.
Todos los derechos reservados.

Esta edición en espanol es la única autorizada.

Edición en espanol

Editor: Rubén Fuerte Rivera

e-mail: naben.fuerte@pearsoned.com
Editor de desarrollo: Felipe Hernàndez Carrasco

Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernàndez

Edición en inglés

Vice President and Editorial Director: Adam Black, Ph.D.

Sènior Development Editor: Margot Otway

Editorial Manager: Laura Kenney

Associate Editor: Chandrika Madhavan

Media Producer: Matthew Phillips

Director of Marketing: Christy Lawrence

Managing Editor: Corinne Benson

Production Supervisor: Nancy Tabor

Production Service: WestWords, Inc.

IUustrations: Rolin Graphics

Text Design: tani hasegawa

DECIMOSEGUNDA EDICIÓN VERSIÓN IMPRESA, 2009
DECIMOSEGUNDA EDICIÓN E-BOOK, 2009

D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Atlacomulco No. 500-5° piso

Col. Industrial Atoto

53519, Naucalpan de Juàrez, Edo. de México

Càmara Nacional de la Indústria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

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sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecànico, fotoquímico, magnético
o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirà también la autorización del editor o de sus representantes.

Impreso en México. Printed in México.

1234567890-13 12 11 10

Cover Design: Yvo Riezebos Design

Manufacturing Manager: Pam Augspurger

Director, Image Resource Center: Melinda Patelli

Manager, Rights and Permissions: Zina Aràbia

Photo Research: Cypress Integrated Systems

Cover Primer: Phoenix Color Corporation

Printer and Binder: Courier Corporation/Kendallville

Cover Image: The Millau Viaduct, designed by Lord Norman Foster,

Millau, France.
Photograph by Jean-Philippe Arles/Reuters/Corbis

es una marca de

www.pearsoneducacion.net

ISBN VERSION IMPRESA: 978-607-442-288-7
ISBN E-BOOK:

CONTENIDO BREVE

Mecànica

1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1

Z Movimiento en línea recta 36

O Movimiento en dos o en tres
dimensiones

71
107
136
181

4 Leyes del movimiento de Newton

O Aplicación de las leyes de Newton

O Trabajo y energia cinètica

/ Energia potencial y conservación

de la energia 213

O Momento lineal, impulso y choques 247

y Rotación de cuerpos rígidos 285

1U Dinàmica del movimiento rotacional 316

1 1 Equilibrio y elasticidad 354

1Z Gravitación 383

lo Movimiento periódico 419

14 Mecànica de fluidos 456

Ondas/Acústica

1Ò Ondas mecànicas
1 Ò Sonido y el oído

487
527

Termodinamica

1/ Temperatura y calor 570

lo Propiedades térmicas de la matèria 610

iy La primera ley de la termodinamica 646

ZU La segunda ley de la termodinamica 673

APÉNDICES

A El sistema internacional de unidades A-l

B Relaciones matemàticas útiles A-3

C El alfabeto griego A-4

D Tabla periòdica de los elementos A-5

E Factores de conversión de unidades A-6

F Constantes numéricas A-7

Respuestas a los problemas con número impar A-9

SOBRE LOS AUTORES

Hugh D. Young es profesor emérito de física en Carnegie Mellon University, en
Pittsburgh, PA. Curso sus estudiós de licenciatura y posgrado en Carnegie Mellon,
donde obtuvo su doctorado en teoria de partículas fundamentales bajo la dirección
de Richard Cutkosky, hacia el final de la carrera acadèmica de éste. Se unió al claus-
tro de profesores de Carnegie Mellon en 1956 y también ha sido profesor visitante en
la Universidad de Califòrnia en Berkeley durante dos anos.

La carrera del profesor Young se ha centrado por completo en la docència en el
nivel de licenciatura. Ha escrito varios libros de texto para ese nivel y en 1973 se con-
virtió en coautor de los bien conocidos libros de introducción a la física de Francis
Sears y Mark Zemansky. A la muerte de estos, el profesor Young asumió toda la
responsabilidad de las nuevas ediciones de esos textos, hasta que se le unió el pro-
fesor Freedman para elaborar Física Universitària.

El profesor Young practica con entusiasmo el esquí, el montanismo y la caminata.
También ha sido durante varios anos organista asociado en la Catedral de San Pablo,
en Pittsburgh, ciudad en la que ha ofrecido numerosos recitales. Durante el verano
viaja con su esposa Alice, en especial a Europa y a la zona desèrtica de los cafíones
del sur de Utah.

Roger A. Freedman es profesor en la Universidad de Califòrnia, en Santa Bàrbara
(UCSB). El doctor Freedman estudio su licenciatura en los planteles de San Diego y
Los Angeles de la Universidad de Califòrnia, y realizó su investigación doctoral en
teoria nuclear en la Universidad de Stanford bajo la dirección del profesor J. Dirk
Walecka. Llego a UCSB en 1981, después de haber sido durante tres anos profesor
e investigador en la Universidad de Washington.

En UCSB el doctor Freedman ha impartido càtedra tanto en el departamento de
Física como en la Escuela de Estudiós Creativos, un organismo de la universidad que
da cabida a los estudiantes con dotes y motivación para el arte. Ha publicado artículos
sobre física nuclear, física de partículas elementales y física de làseres. En los anos
recientes ha colaborado en el desarrollo de herramientas de computo para la ensenanza
de la física y la astronomia.

Cuando no està en el aula o trabajando afanosamente ante una computadora, al
doctor Freedman se le ve volando (tiene licencia de piloto comercial) o manejando
con su esposa Caroline su automóvil convertible Nash Metropolitan, modelo 1960.

A. Lewis Ford es profesor de física en Texas A&M University. Curso la licenciatura
en Rice University en 1968, y obtuvo un doctorado en física química de la Universidad
de Texas, en Austin, en 1972. Después de pasar un ano de posdoctorado en la Univer-
sidad de Harvard, se unió en 1973 a Texas A&M University como profesor de física,
donde ha permanecido desde entonces. El àrea de investigación del profesor Ford es
la física atòmica teòrica, con especialidad en colisiones atómicas. En Texas A&M
University ha impartido una amplia variedad de cursos de licenciatura y posgrado,
però sobre todo de introducción a la física.

AL ESTUDIANTE

CÓMO TRIUNFAR EN
FÍSICA SI SE INTENTA

Mark Hollabaugh Normandale Community College

La física estudia lo grande y lo pequeno, lo viejo y lo nue-
vo. Del àtomo a las galaxias, de los circuitos eléetricos a la
aerodinàmica, la física es una gran parte del mundo que nos
rodea. Es probable que esté siguiendo este curso de introduc-
ción a la física, basado en el calculo, porque lo requiera para
materias posteriores que planee tomar para su carrera en
ciencias o ingeniería. Su profesor quiere que aprenda física
y goce la experiència. El o ella tienen mucho interès en ayu-
darlo a aprender esta fascinante disciplina. Esta es parte de
la razón por la que su maestro eligió este libro para el curso.
También es la razón por la que los doctores Young y Freedman
me pidieron que escribiera esta sección introductòria. ;Quere-
mos que triunfe!

El propósito de esta sección de Física universitària es dar-
le algunas ideas que lo ayuden en su aprendizaje. Al anàlisis
breve de los hàbitos generales y las estrategias de estudio, se-
guiran sugerencias específicas de cómo utilizar el libro.

Preparación para este curso

Si en el bachillerato estudio física, es probable que aprenda
los conceptes màs ràpido que quienes no lo hicieron porque es-
tarà familiarizado con el lenguaje de la física. De igual modo,
si tiene estudiós avanzados de matemàticas comprenderà con
màs rapidez los aspectes matemàticos de la física. Aun si
tuviera un nivel adecuado de matemàticas, encontrarà útiles
libros como el de Arnold D. Pickar, Preparing for General
Physics: Math Skill Drills and Other Useful Help (Calculus
Version). Es posible que su profesor asigne tareas de este
repaso de matemàticas como auxilio para su aprendizaje.

Aprender a aprender

Cada uno de nosotros tiene un estilo diferente de aprendizaje
y un medio preferido para hacerlo. Entender cuàl es el suyo lo
ayudarà a centrarse en los aspectes de la física que tal vez le
planteen dificultades y a emplear los componentes del curso
que lo ayudaràn a vencerlas. Es obvio que querrà dedicar màs
tiempo a aquellos aspectes que le impliquen màs problemas.
Si usted aprende escuchando, las conferencias seran muy im-
portantes. Si aprende con explicaciones, entonces serà de
ayuda trabajar con otros estudiantes. Si le resulta difícil re-
solver problemas, dedique màs tiempo a aprender cómo ha-
cerlo. Asimismo, es importante entender y desarrollar buenos

hàbitos de estudio. Quizà lo màs importante que pueda hacer
por usted mismo sea programar de manera regular el tiempo
adecuado en un ambiente libre de distracciones.

Responda las siguientes preguntas para usted mismo:

• <,Soy capaz de utilizar los conceptes matemàticos funda-
mentales del àlgebra, geometria y trigonometría? (Si no
es así, planee un programa de repaso con ayuda de su
profesor.)

• En cursos similares, ^qué actividad me ha dado màs pro-
blemas? (Dedique màs tiempo a eso.) iQué ha sido lo
màs fàcil para mi? (Haga esto primero; lo ayudarà a ga-
nar confianza.)

• ^Entiendo el material mejor si leo el libro antes o después
de la clase? (Quizàs aprenda mejor si revisa ràpido el
material, asiste a clase y luego lee con màs profundidad.)

• ^Dedico el tiempo adecuado a estudiar física? (Una regla
pràctica para una clase de este tipo es dedicar en prome-
dio 2.5 horas de estudio fuera del aula por cada hora de
clase en esta. Esto significa que para un curso con cinco
horas de clase programadas a la semana, debe destinar de
10 a 15 horas semanales al estudio de la física.)

• ^Estudio física a diario? (jDistribuya esas 10 al5 horas
a lo largo de toda la semana!) ^A qué hora estoy en mi
mejor momento para estudiar física? (Elija un horario
especifico del dia y respételo.)

• ^Trabajo en un lugar tranquilo en el que pueda mantener
mi concentración? (Las distracciones romperàn su rutina
y haràn que pase por alto puntos importantes.)

Trabajar con otros

Es raro que los científicos e ingenieros trabajen aislados unos de
otros, y màs bien trabajan en forma cooperativa. Aprenderà
màs física y el proceso serà màs ameno si trabaja con otros
estudiantes. Algunos profesores tal vez formalicen el uso del
aprendizaje cooperativo o faciliten la formación de grupos
de estudio. Es posible que desee formar su propio grupo no
formal de estudio con miembros de su clase que vivan en su
vecindario o residència estudiantil. Si tiene acceso al correo
electrónico, úselo para estar en contacte con los demàs. Su
grupo de estudio serà un recurso excelente cuando se pre-
pare para los exàmenes.

Cómo triunfar en física si se intenta de verdad

Las clases y los apuntes

Un factor importante de cualquier curso universitario son las
clases. Esto es especialmente cierto en física, ya que serà fre-
cuente que su profesor haga demostraciones de principios
físicos, ejecute simulaciones de computadora o proyecte
vídeos. Todas éstas son actividades de aprendizaje que lo
ayudaràn a comprender los principios bàsicos de la física.
No falte a clases, y si lo hace por alguna razón especial, pida
a un amigo o miembro de su grupo de estudio que le dé los
apuntes y le diga lo que pasó.

En clase, tome notas ràpidas y entre a los detalles después.
Es muy difícil tomar notas palabra por palabra, de modo que
solo escriba las ideas clave. Si su profesor utiliza un dia-
grama del libro de texto, deje espacio en el cuaderno para
éste y agréguelo mas tarde. Después de clase, complete sus
apuntes con la cobertura de cualquier faltante u omisión y
anotando los conceptes que necesite estudiar posteriormen-
te. Haga referencias por pàgina del libro de texto, número de
ecuación o de sección.

Asegúrese de hacer preguntas en clase, o vea a su pro-
fesor durante sus horas de asesoría. Recuerde que la única
pregunta "fuera de lugar" es la que no se hace. En su escue-
la quizà haya asistentes de profesor o tutores para ayudarlo
con las dificultades que encuentre.

Examenes

Presentar un examen es estresante. Però si se preparo de ma-
nera adecuada y descanso bien, la tensión serà menor. La
preparación para un examen es un proceso continuo; co-
mienza en el momento en que termina el ultimo examen.
Debe analizar sus examenes y comprender los errores que
haya cometido. Si resolvió un problema y cometió errores
importantes, pruebe lo siguiente: tome una hoja de papel y
divídala en dos partes con una línea de arriba hacia abajo.
En una columna escriba la solución apropiada del problema,
y en la otra escriba lo que hizo y por qué, si es que lo sabé, y
la razón por la que su propuesta de solución fue incorrecta.
Si no està seguro de por qué cometió el error o de la forma
de evitarlo, hable con su profesor. La física se construye de
manera continua sobre ideas fundamentales y es importante
corregir de inmediato cualquiera malentendido. Cuidado: si
se prepara en el ultimo minuto para un examen, no retendrà
en forma adecuada los conceptos para el siguiente.

AL PROFESOR

PREFACIO

Este libro es el producto de mas de medio siglo de liderazgo
e innovación en la ensenanza de la física. Cuando en 1949 se
publico la primera edición de Física universitària, de Francis
W. Sears y Mark W. Zemansky, su énfasis en los principios
fundamentales de la física y la forma de aplicarlos fue un
aspecto revolucionario entre los libros de la disciplina cuya
base era el calculo. El éxito del libro entre generaciones de
(varios millones) de estudiantes y profesores de todo el mun-
do da testimonio del mérito de este enfoque, y de las muchas
innovaciones posteriores.

Al preparar esta nueva decimosegunda edición, hemos
mejorado y desarrollado aún mas Física universitària asimi-
lando las mejores ideas de la investigación educativa con
respecto a la ensenanza basada en la resolución de problemas,
la pedagogia visual y conceptual; este libro es el primero que
presenta problemas mejorados en forma sistemàtica, y en uti-
lizar el sistema de tareas y ensenanza en línea mas garantizado
y usado del mundo.

Lo nuevo en esta edición

• Solución de problemas El celebrado enfoque de cua-
tro pasos para resolver problemas, basado en la inves-
tigación (identificar, plantear, ejecutar y evaluar) ahora
se usa en cada ejemplo resuelto, en la sección de Estra-
tègia para resolver problemas de cada capitulo, y en las
soluciones de los manuales para el profesor y para el es-
tudiante. Los ejemplos resueltos ahora incorporan boce-
tos en blanco y negro para centrar a los estudiantes en
esta etapa crítica: aquella que, según las investigaciones,
los estudiantes tienden a saltar si se ilustra con figuras

• Instrucciones seguidas por pràctica Una trayectoria de
ensenanza y aprendizaje directa y sistemàtica seguida por
la pràctica, incluye Metas de aprendizaje al principio de
cada capitulo, así como Resúmenes visuales del capitulo

que consolidan cada concepto con palabras, matemàticas
y figuras. Las preguntas conceptuales màs frecuentes en
la sección de Evalúe su comprensión al final de cada sec-
ción ahora usan formatos de opción múltiple y de clasi-
licación que permiten a los estudiantes la comprobación
instantànea de sus conocimientos.

• Poder didàctico de las figuras El poder que tienen las
figuras en la ensenanza fue enriquecido con el empleo de
la tècnica de "anotaciones", probada por las investiga-
ciones (comentarios estilo pizarrón integrados en la figura,
para guiar al estudiante en la interpretación de esta), y por
el uso apropiado del color y del detallo (por ejemplo,
en la mecànica se usa el color para centrar al estudian-
te en el objeto de interès al tiempo que se mantiene el
resto de la imagen en una escala de grises sin detalles que
distraigan).

• Problemas mejorados al final de cada capitulo Reco-

nocido por contener los problemas màs variados y pro-
bados que existen, la decimosegunda edición va màs
allà: ofrece la primera biblioteca de problemas de fí-
sica mejorados de manera sistemàtica con base en el
desempeno de estudiantes de toda la nación. A partir de
este anàlisis, màs de 800 nuevos problemas se integran
al conjunto de 3700 de toda la biblioteca.

• MasteringPhysics™ (www.masteringphysics.com). Lan-
zado con la undécima edición, la herramienta de Mastering-
Physics ahora es el sistema de tareas y ensenanza en línea
en la educación de la manera màs amplia. Para la deci-
mosegunda edición, MasteringPhysics incorpora un con-
junto de mejoras tecnológicas y nuevo contenido. Ademàs
de una biblioteca de màs de 1200 tutoriales y de todos
los problemas de fin de capitulo, MasteringPhysics ahora
también presenta técnicas específicas para cada Estratègia
para resolver problemas, así como para las preguntas de
la sección de Evalúe su comprensión de cada capitulo.
Las respuestas incluyen los tipos algebraico, numérico y de
opción múltiple, así como la clasificación, elaboración
de gràficas y trazado de vectores y rayos.

Características clave de
Física universitària

Una guia para el estudiante Muchos estudiantes de física
tienen dificultades tan solo porque no saben cómo usar su
libro de texto. La sección llamada "Cómo triunfar en física
si se intenta de verdad".

Organización de los capítulos La primera sección de cada
capitulo es una introducción que da ejemplos específicos del
contenido del capitulo y lo conecta con lo visto antes. Tam-
bién hay una pregunta de inicio del capitulo y una lista de
metas de aprendizaje para hacer que el lector piense en el
tema del capitulo que tiene por delante. (Para encontrar la
respuesta a la pregunta, busque el icono 7) La mayoría de las
secciones terminan con una pregunta para que usted Evalúe
su comprensión, que es de naturaleza conceptual o cuantita-
tiva. Al final de la última sección del capitulo se encuentra
un resumen visual del capitulo de los principios màs impor-
tantes que se vieron en éste, así como una lista de términos
clave que hace referència al número de pàgina en que se pre-
senta cada termino. Las respuestas a la pregunta de inicio del
capitulo y a las secciones Evalúe su comprensión se encuen-
tran después de los términos clave.

Preguntas y problemas Al final de cada capitulo hay un
conjunto de preguntas de repaso que ponen a prueba y am-
plían la comprensión de los conceptes que haya logrado el
estudiante. Después se encuentran los ejercicios, que son

Prefacío

problemas de un solo concepto dirigidos a secciones especí-
ficas del libro; los problemas por lo general requieren uno o
dos pasos que no son triviales; y los problemas de desafio
buscan provocar a los estudiantes mas persistentes. Los pro-
blemas incluyen aplicaciones a campos tan diversos como la
astrofísica, la biologia y la aerodinàmica. Muchos problemas
tienen una parte conceptual en la que los estudiantes deben
analizar y explicar sus resultados. Las nuevas preguntas, ejer-
cicios y problemas de esta edición fueron creados y organiza-
dos por Wayne Anderson (Sacramento City College), Laird
Kramer (Florida International University) y Charlie Hibbard.

Estrategias para resolver problemas y ejemplos resueltos

Los recuadros de Estratègia para resolver problemas, distri-
buidos en todo el libro, dan a los estudiantes tàcticas especííicas
para resolver tipos particulares de problemas. Estan enfocados
en las necesidades de aquellos estudiantes que sienten que "en-
tienden los conceptes però no pueden resolver los problemas".

Todos los recuadros de la Estratègia para resolver pro-
blemas van después del método IPEE (identificar, plantear,
ejecutar y evaluar) para solucionar problemas. Este enfoque
ayuda a los estudiantes a visualizar cómo empezar con una
situación compleja parecida, identificar los conceptes físicos
relevantes, decidir cuàles herramientas se necesitan para re-
solver el problema, obtener la solución y luego evaluar si el

Cada recuadro de Estratègia para resolver problemas va
seguido de uno o mas ejemplos resueltos que ilustran la es-
tratègia; ademàs, en cada capitulo se encuentran muchos otros
ejemplos resueltos. Al igual que los recuadros de Estratègia
para resolver problemas, todos los ejemplos cuantitativos
utilizan el método IPEE. Varios de ellos son cualitativos y se
identifican con el nombre de Ejemplos conceptuales; como
ejemplo, vea los ejemplos conceptuales 6.5 (Comparación
de energías cinéticas, p. 191), 8.1 (Cantidad de movimiento
versus energia cinètica, p. 251) y 20.7 (Proceso adiabàtico
reversible, p. 693).

Pàrrafos de "Cuidado" Dos décadas de investigaciones en
la ensenanza de la física han sacado a la luz cierto número de
errores conceptuales comunes entre los estudiantes de física
principiantes. Estos incluyen las ideas de que se requiere
fuerza para que haya movimiento, que la corriente elèctrica
"se consume" a medida que recorre un circuito, y que el pro-
ducte de la masa de un objeto por su aceleración constituye
una fuerza en sí mismo. Los pàrrafos de "Cuidado" alertan
a los lectores sobre estos y otros errores, y explican por què
està equivocada cierta manera de pensar en una situación
(en la que tal vez ya haya incurrido el estudiante. Véanse por
ejemplo las pàginas 118, 159 y 559.)

Notación y unidades Es frecuente que los estudiantes tengan
dificultades con la distinción de cuàles cantidades son vecto-
res y cuàles no. Para las cantidades vectoriales usamos carac-
teres en cursivas y negritas con una flecha encima, como v,
a y F; los vectores unitarios tales como ï van testados con
un acento circunflejo. En las ecuaciones con vectores se em-
plean signos en negritas, +, — , X y =, para hacer énfasis en
la distinción entre las operaciones vectoriales y escalares.

Se utilizan exclusivamente unidades del SI (cuando es
apropiado se incluyen las conversiones al sistema inglés). Se

emplea el joule como la unidad estàndar de todas las formas
de energia, incluida la calorífica.

Flexibilidad El libro es adaptable a una amplia variedad de
formatos de curso. Hay material suficiente para uno de tres se-
mestres o de cinco trimestres. La mayoría de los profesores
encontraràn que es demasiado material para un curso de un
semestre, però es fàcil adaptar el libro a planes de estudio de
un ano si se omiten ciertos capítulos o secciones. Por ejemplo,
es posible omitir sin pérdida de continuidad cualquiera o to-
dos los capítulos sobre mecànica de fluidos, sonido, ondas
electromagnéticas o relatividad. En cualquier caso, ningún
profesor debiera sentirse obligado a cubrir todo el libro.

Material complementario
para el profesor

Los manuales de soluciones para el profesor, que preparo
A. Lewis Ford (Texas A&M University), contienen solucio-
nes completas y detalladas de todos los problemas de final
de capitulo. Todas siguen de manera consistente el método de
identificar, plantear, ejecutar y evaluar usado en el libro. El
Manual de soluciones para el profesor, para el volumen 1
cubre los capítulos 1 al 20, y el Manual de soluciones para
el profesor, para los volúmenes 2 y 3 comprende los capí-
tulos 21 a 44.

biblioteca exhaustiva de màs de 220 applets de ActivPhysics
OnLine™, así como todas las figuras del libro en formato
JPEG. Ademàs, todas las ecuaciones clave, las estrategias
para resolver problemas, las tablas y los resúmenes de capí-
tulos se presentan en un formato de Word que permite la
edición. También se incluyen preguntas de opción múltiple
semanales para usarlas con varios Sistemas de Respuesta en
Clase (SRC), con base en las preguntas de la sección Evalúe
su comprensión en el libro.

MasteringPhysics™ (www.masteringphysics.com) es el sis-
tema de tareas y ensenanza de la física màs avanzado y efi-
caz y de mayor uso en el mundo. Pone a disposición de los
maestros una biblioteca de problemas enriquecedores de fi-
nal de capitulo, tutoriales socràticos que incorporan varios
tipos de respuestas, retroalimentación sobre los errores, y
ayuda adaptable (que comprende sugerencias o problemas
màs sencillos, si se solicitan). MasteringPhysics™ permite
que los profesores elaboren con rapidez una amplia variedad
de tareas con el grado de dificultad y la duración apropiadas;
ademàs, les da herramientas eficientes para que analicen las
tendencias de la clase — o el trabajo de cualquier estudiante —
con un detalle sin precedente y para que comparen los resul-
tados ya sea con el promedio nacional o con el desempeno de
grupos anteriores.

Cinco lecciones fàciles: estrategias para la ensenanza exi-
tosa de la física por Randall D. Knight (Califòrnia Polytechnic
State University, San Luis Obispo), expone ideas creativas
acerca de cómo mejorar cualquier curso de física. Es una
herramienta invaluable para los maestros tanto principiantes
como veteranos.

Prefacio

Las transparencias contienen mas de 200 figuras clave de
Física universitària, decimosegunda edición, a todo color.

El Banco de exàmenes incluye mas de 2000 preguntas de
opción múltiple, incluye todas las preguntas del Banco de exà-
menes. Mas de la mitad de las preguntas tienen valores numé-
ricos que pueden asignarse al azar a cada estudiante.

Material complementario
para el estudiante

es el sistema de ensenanza de la física mas avanzado,
usado y probado en el mundo. Es resultado de ocho
anos de estudiós detallados acerca de cómo resuelven pro-
blemas de física los estudiantes reales y de las àreas donde
requieren ayuda. Los estudiós revelan que los alumnos que
recurren a MasteringPhysics™ mejoran de manera signifi-
cativa sus calificaciones en los exàmenes finales y pruebas
conceptuales como la del Inventario Force Concept. Mastering-
Physics™ logra esto por medio de dar a los estudiantes re-
troalimentación instantànea y específica sobre sus respuestas
equivocadas, proponer a solicitud de ellos problemas màs
sencillos cuando no logran avanzar, y asignar una calificación
parcial por el método. Este sistema individualizado de tutoria
las 24 horas de los siete días de la semana es recomendado
por nueve de cada diez alumnos a sus companeros como el
modo màs eficaz de aprovechar el tiempo para estudiar.

Act'v

ActivPhysics OnLine™ (www.masteringphy-
~l online sics.com), incluido ahora en el àrea de autoapren-
rhySICS dizaje de MasteringPhysics, brinda la biblioteca

màs completa de applets y tutoriales basados en
estos. ActivPhysics OnLine fue creado por el pionero de la
educación Alan Van Heuvelen de Rutgers. A lo largo de
la decimosegunda edición de University Physics hay iconos
que dirigen al estudiante hacia applets específicos en Activ-
Physics OnLine para ayuda interactiva adicional.

Cuadernos de Trabajo de ActivPhysics OnLine™, por

Alan Van Heuvelen, Rutgers y Paul d'Alessandris, Monroe
Community College, presentan una amplia gama de guías para
la ensenanza que emplean los applets de gran aceptación que
ayudan a los estudiantes a desarrollar su comprensión y con-
fianza. En particular, se centran en el desarrollo de la intui-
ción, la elaboración de pronósticos, la prueba experimental
de suposiciones, el dibujo de diagramas eficaces, el entendi-
miento cualitativo y cuantitativo de las ecuaciones clave, así
como en la interpretación de la información gràfica. Estos
cuadernos de trabajo se usan en laboratorios, tareas o auto-
estudio.

xiv Prefacio

Pearson Educación agradece a los centros de estudiós y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentación, ele-
mentos fundamentales para esta nueva edición de Física universitària.

MEXICO

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESIME Culhuacàn

Luis Díaz Hernandez
Miguel Àngel Morales
Pedró Cervantes

UPIICSA

Amado F García Ruiz
Enrique Àlvarez Gonzàlez
Fabiola Martínez Zúfíiga
Francisco Ramírez Torres

UPIITA

Àlvaro Gordillo Sol
César Luna Munoz
Israel Reyes Ramírez
Jesús Picazo Rojas
Jorge Fonseca Campos

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIÓS SUPERIORES
DE MONTERREY

Campus Chihuahua

Francisco Espinoza Magana
Silvia Prieto

Campus Ciudad de México

Luis Jaime Neri Vitela

Rosa Maria Gonzàlez Castellan

Víctor Francisco Robledo Rella

Campus Cuernavaca

Crisanto Castillo

Campus Culiacan

Juan Bernardo Castaneda

Campus Estado de México

Elena Gabriela Cabral Velàzquez
Elisabetta Crescio
Francisco J. Delgado Cepeda
Marcela Martha Villegas Garrido
Pedró Anguiano Rojas
Raül Gómez Castillo
Sergio E. Martínez Casas

Campus Mazatlàn

Eusebio de Jesús Guevara Villegas

Campus Monterrey

Jorge Lomas Trevino

Campus Puebla

Idali Calderón Salas

Campus Querétaro

Juan José Carracedo
Làzaro Barajas De La Torre
Lucio López Cavazos

Campus Santa Fe

Francisco Javier Hernandez
Martín Pérez Díaz
Norma Elizabeth Olvera

TECNOLÓGICO DE ESTUDIÓS SUPERIORES
DE ECATEPEC

Antonio Silva Martínez

Crispin Ramírez Martínez

Fidel Castro López

Jesús Gonzàlez Lemus

Leticia Vera Pérez

Maria Del Rosario Gonzàlez Banales

Mauricio Javier Zàrate Sànchez

Ornar Pérez Romero

Raúl Nava Cervantes

UNITEC Campus Ecatepec

Inocencio Medina Olivares

Juliàn Rangel Rangel

Lorenzo Martínez Carrillo Garzón

UNIVERSIDAD AUTÒNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO

Alberto García Quiroz
Edith Mireya Vargas García
Enrique Cruz Martínez
Gerardo Gonzàlez García
Gerardo Oseguera Pena
Verònica Puente Vera
Víctor Juliàn Tapia García

Michael Picquar

Distrito Federal

Abraham Vilchis Uribe
Adolfo Genaro Finck Pastrana
Alfredo Sandoval Villalbazo
Anabel Arrieta Ostos
Antonio Gén Mora
Arturo Bailón Martínez
Claudia Camacho Zúiiiga
Còrdova Carmen Gonzàlez Mesa
Domitila Gonzàlez Patino
Elsa Fabiola Vàzquez Valencià
Enrique Sànchez y Aguilera
Enrique Téllez Fabiani
Erich Starke Fabris
Esperanza Rojas Oropeza
Francisco Alejandro López Díaz
Guillermo Chacón Acosta
Guillermo Fernàndez Anaya
Gustavo Eduardo Soto de la Vega
Jaime Làzaro Klapp Escribano
Jimena Bravo Guerrero
José Alfredo Heras Gómez
José Fernando Pérez Godínez
José Luis Morales Hernandez
Juan Cristóbal Càrdenas Oviedo
Lorena Arias Montaho
Maria Alicia Mayela Àvila Martínez
Maria de Jesús Orozco Arellanes
Mariano Bauer Ephrussi
Mario Alberto Rodríguez Meza
Rafael Rodríguez Domínguez
Rodolfo Fabiàn Estrada Guerrero
Rodrigo Alberto Rincón Gómez
Silvia Patrícia Ambrocio Cruz

Prefacio

Cuernavaca

Miguel Pinet Vàzquez

Distrito Federal

Israel Wood Cano

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÒNOMA DE MÉXICO

Agustín Hernàndez

Agustín Pérez Contreras

Aída Gutiérrez

Alberto Sànchez Moreno

Andrea Luisa Aburto

Antonio Pacheco

Armando Pluma

Arturo F. Rodríguez

Beatriz Eugènia Hernàndez Rodríguez

Carlos Octavio Olvera Bermúdez

Edgar Raymundo López Téllez

Elba Karen Sàenz García

Eliseo Martínez

Enrique Villalobos

Espiridión Martínez Díaz

Francisco Javier Rodríguez Gómez

Francisco Miguel Pérez Ramírez

Gabriel Jaramillo Morales

Genaro Munoz Hernàndez

Gerardo Ovando Zúniga

Gerardo Solares

Gustavo Contreras Mayén

Heriberto Aguilar Juàrez

Jaime García Ruiz

Javier Gutiérrez S.

Jesús Vicente Gonzàlez Sosa

José Carlos Rosete Alvarez

Juan Carlos Cedeílo Vàzquez

Juan Galindo Muniz

Juan Manuel Gil Pérez

Juan Rios Hacha

Lanzier Efraín Torres Ortiz

Lourdes Del Carmen Pérez Salazar

Luis Andrés Suàrez Hernàndez

Luis Eugenio Tejeda Calvillo

Luis Flores Juàrez

Luis Humberto Soriano Sànchez

Luis Javier Acosta Bernal

Luis Manuel León Rosano

M. Alejandra Carmona

M. Del Rosario Narvarte G.

Maria Del Carmen Melo

Maria Josefa Labrandero

Martín Bàrcenas Escobar

Nanzier Torres López

Oliverio Octavio Ortiz Olivera

Oscar Rafael San Roman Gutiérrez

Patrícia Goldstein Menache

Ramon Santillàn Ramírez

Rigel Gàmez Leal

Santiago Gómez López

Víctor Manuel Sànchez Esquivel

Facultad de Estudiós Superiores Zaragoza

Javier Ramos Salamanca
Zula Sandoval Villanueva

Alicia Zarzosa Pérez
Carlos Rins Alonso
César Reyes Chàvez
Emilio Orgaz Baque

Fernanda Adriana Camacho Alanís

Hortènsia Caballero López

Israel Santamaría Mata

Karla M. Díaz Gutiérrez

M. Eugènia Ceballos Silva

M. Josefina Becerril Téllez-Girón

M. Pilar Ortega Bernal

Maria Del Rayo Salinas Vàzquez

Marta Rodríguez Pérez

Mauro Cruz Morales

Natàlia de la Torre

Paola B. Gonzàlez Aguirre

Praxedis Israel Santamaría Mata

Rodolfo Cobos Téllez

UNIVERSIDAD AUTÒNOMA DE CHIHUAHUA

Antoni no Pérez
Carlos de la Vega
Héctor Hernàndez
José Mora Ruacho
Juan Carlos Sàenz Carrasco
Raúl Sandoval Jabalera
Ricardo Romero Centeno

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHIHUAHUA

Claudio Gonzàlez Tolentino
Manuel López Rodríguez

Sergio Flores
Mario Borunda

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ZACATEPEC

Fernando Pona Celón
Mateo Sixto Cortez Rodríguez
Nelson A Mariaca Càrdenas

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE QUERÉTARO

Eleazar García García

Joel Arzate Villanueva

Manuel Francisco Jiménez Morales

Manuel Sànchez Muniz

Marcela Juàrez Ríos

Mario Alberto Montante Garza

Màximo Pliego Díaz

Raúl Vargas Alba

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MAZATLÀN

Jesús Ernesto Gurrola Pena

Luis Antonio Achoy Bustamante

VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LAS
FUERZAS ARMADAS (UNEFA), Maracay

Johnny Molleja
José Gómez
Rubén León

UNIVERSIDAD BICENTENARLA DE ARAGUA (UBA), Maracay

Belkys Ramírez
José Peralta

UNIVERSIDAD CATÒLICA ANDRÉS BELLO (UCAB), Caracas

José Marino.
Oscar Rodríguez
Rafael Degugliemo

Prefacio

Queremos agradecer a los cientos de revisores y colegas que han hecho comentarios y
sugerencias valiosos durante la vida de este libro. El continuo éxito de Física univer-
sitària se debe en gran medida a sus contribuciones.

Edward Adelson (Ohio State University), Ralph Alexander (University of Missouri at Rolla),
J. G. Anderson, R. S. Anderson, Wayne Anderson (Sacramento City College), Alex Azima (Lansing
Community College), Dilip Balamore (Nassau Community College), Harold Bale (University of
North Dakota), Arun Bansil (Northeastern University), John Barach (Vanderbilt University),
J. D. Barnett, H. H. Barschall, Albert Bartlett (University of Colorado), Paul Baum (CUNY, Queens
College), Frederick Becchetti (University of Michigan), B. Bederson, David Bennum (University of
Nevada, Reno), Lev I. Berger (San Diego State University), Robert Boeke (William Rainey Harper
College), S. Borowitz, A. C. Braden, James Brooks (Boston University), Nicholas E. Brown
(Califòrnia Polytechnic State University, San Luis Obispo), Tony Buffa (Califòrnia Polytechnic State
University, San Luis Obispo), A. Capecelatro, Michael Cardamone (Pennsylvania State University),
Duane Carmony (Purdue University), Troy Carter (UCLA), P. Catranides, John Cerne (SUNY at
Buffalo), Roger Clapp (University of South Florida), William M. Cloud (Eastern Illinois University),
Leonard Cohen (Drexel University), W. R. Coker (University of Texas, Austin), Malcolm D. Cole
(University of Missouri at Rolla), H. Conrad, David Cook (Lawrence University), Gayl Cook
(University of Colorado), Hans Courant (University of Minnesota), Bruce A. Craver (University of
Dayton), Larry Curtis (University of Toledo), Jai Dahiya (Southeast Missouri State University),
Steve Detweiler (University of Florida), George Dixon (Oklahoma State University), Donald S.
Duncan, Boyd Edwards (West Virginia University), Robert Eisenstein (Carnegie Mellon University),
Amy Emerson Missourn (Virginia Institute of Technology), William Faissler (Northeastern Univer-
sity), William Fasnacht (U.S. Naval Academy), Paul Feldker (St. Louis Community College), Carlos
Figueroa (Cabrillo College), L. H. Fisher, Neil Fletcher (Florida State University), Robert Folk,
Peter Fong (Emory University), A. Lewis Ford (Texas A&M University), D. Frantszog, James R.
Gaines (Ohio State University), Solomon Gartenhaus (Purdue University), Ron Gautreau (New
Jersey Institute of Technology), J. David Gavenda (University of Texas, Austin), Dennis Gay
(University of North Florida), James Gerhart (University of Washington), N. S. Gingrich,
J. L. Glathart, S. Goodwin, Rich Gottfried (Frederick Community College), Walter S. Gray
(University of Michigan), Paul Gresser (University of Maryland), Benjamin Grinstein (UC San
Diego), Howard Grotch (Pennsylvania State University), John Gruber (San José State University),
Graham D. Gutsche (U.S. Naval Academy), Michael J. Harrison (Michigan State University),
Harold Hart (Western Illinois University), Howard Hayden (University of Connecticut), Carl Helrich
(Goshen College), Laurent Hodges (Iowa State University), C. D. Hodgman, Michael Hones
(Villanova University), Keith Honey (West Virginia Institute of Technology), Gregory Hood
(Tidewater Community College), John Hubisz (North Carolina State University), M. lona, John
Jaszczak (Michigan Technical University), Alvin Jenkins (North Carolina State University), Robert
P Johnson (UC Santa Cruz), Lorella Jones (University of Illinois), John Karchek (GMI Engineering
& Management Institute), Thomas Keil (Worcester Polytechnic Institute), Robert Kraemer (Carnegie
Mellon University), Jean P. Krisch (University of Michigan), Robert A. Kromhout, Andrew Kunz
(Marquette University), Charles Lane (Berry College), Thomas N. Lawrence (Texas State
University), Robert J. Lee, Alfred Leitner (Rensselaer Polytechnic University), Gerald P Lietz
(De Paul University), Gordon Lind (Utah State University), S. Livingston, Elihu Lubkin (University
of Wisconsin, Milwaukee), Robert Luke (Boise State University), David Lynch (Iowa State Univer-
sity), Michael Lysak (San Bernardino Valley College), Jeffrey Mallow (Loyola University), Robert
Mania (Kentucky State University), Robert Marchina (University of Memphis), David Markowitz
(University of Connecticut), R. J. Maurer, Oren Maxwell (Florida International University), Joseph
L. McCauley (University of Houston), T. K. McCubbin, Jr. (Pennsylvania State University), Charles
McFarland (University of Missouri at Rolla), James Mcguire (Tulane University), Lawrence
Mclntyre (University of Arizona), Fredric Messing (Carnegie-Mellon University), Thomas Meyer
(Texas A&M University), Andre Mirabelli (St. Peter's College, New Jersey), Herbert Muether
(S.U.N.Y., Stony Brook), Jack Munsee (Califòrnia State University, Long Beach), Lorenzo Narducci
(Drexel University), Van E. Neie (Purdue University), David A. Nordling (U. S. Naval Academy),
Benedict Oh (Pennsylvania State University), L. O. Olsen, Jim Pannell (DeVry Institute of Technol-
ogy), W. F. Parks (University of Missouri), Robert Paulson (Califòrnia State University, Chico),
Jerry Peacher (University of Missouri at Rolla), Arnold Perlmutter (University of Miami), Lennart
Peterson (University of Florida), R. J. Peterson (University of Colorado, Boulder), R. Pinkston,
Ronald Poling (University of Minnesota), J. G. Potter, C. W. Price (Millersville University), Francis
Prosser (University of Kansas), Shelden H. Radin, Michael Rapport (Anne Arundel Community
College), R. Resnick, James A. Richards, Jr., John S. Risley (North Carolina State University),
Francesc Roig (University of Califòrnia, Santa Bàrbara), T. L. Rokoske, Richard Roth (Eastern
Michigan University), Carl Rotter (University of West Virginia), S. Clark Rowland (Andrews
University), Rajarshi Roy (Geòrgia Institute of Technology), Russell A. Roy (Santa Fe Community
College), Dhiraj Sardar (University of Texas, San Antonio), Bruce Schumm (UC Santa Cruz),
Melvin Schwartz (St. John's University), F A. Scott, L. W. Seagondollar, Paul Shand (University of
Northern Iowa), Stan Shepherd (Pennsylvania State University), Douglas Sherman (San José State),
Bruce Sherwood (Carnegie Mellon University), Hugh Siefkin (Greenville College), Tomasz
Skwarnicki (Syracuse University), C. P. Slichter, Charles W. Smith (University of Maine, Orono),
Malcolm Smith (University of Lowell), Ross Spencer (Brigham Young University), Julien Sprott
(University of Wisconsin), Victor Stanionis (lona College), James Stith (American Institute of
Physics), Chuck Stone (North Carolina A&T State University), Edward Strother (Florida Institute of
Technology), Conley Stutz (Bradley University), Albert Stwertka (U.S. Merchant Marine Academy),

Prefacio

Martin Tiersten (CUNY, City College), David Toot (Alfred University), Somdev Tyagi (Drexel Uni-
versity), F. Verbrugge, Helmut Vogel (Carnegie Mellon University), Robert Webb (Texas A & M),
Thomas Weber (Iowa State University), M. Russell Wehr, (Pennsylvania State University), Robert
Weidman (Michigan Technical University), Dan Whalen (UC San Diego), Lester V. Whitney,
Thomas Wiggins (Pennsylvania State University), David Willey (University of Pittsburgh,
Johnstown), George Williams (University of Utah), John Williams (Auburn University), Stanley
Williams (Iowa State University), Jack Willis, Suzanne Willis (Northern Illinois University), Robert
Wilson (San Bernardino Valley College), L. Wolfenstein, James Wood (Palm Beach Júnior College),
Lowell Wood (University of Houston), R. E. Worley, D. H. Ziebell (Manatee Community College),
George O. Zimmerman (Boston University)

Ademàs, nos gustaria hacer algunos agradecimientos individuales.

Quiero dar gracias de todo corazón a mis colegas de Carnegie Mellon, en especial a
los profesores Robert Kraemer, Bruce Sherwood, Ruth Chabay, Helmut Vogel y
Brian Quinn, por las muchas conversaciones estimulantes sobre pedagogia de la
física y su apoyo y animo durante la escritura de las ediciones sucesivas de este libro.
También estoy en deuda con las muchas generaciones de estudiantes de Carnegie
Mellon que me ayudaron a aprender lo que es la buena ensenanza y la correcta escri-
tura, al mostrarme lo que funciona y lo que no. Siempre es un gusto y un privilegio
expresar mi gratitud a mi esposa Alice y nuestros hijos Gretchen y Rebecca por su
amor, apoyo y sostén emocional durante la escritura de las distintas dediciones del
libro. Que todos los hombres y mujeres sean bendecidos con un amor como el de
ellos. — H.D.Y.

Me gustaria agradecer a mis colegas del pasado y el presente en UCSB, incluyendo
a Rob Geller, Carl Gwinn, Al Nash, Elisabeth Nicol y Francesc Roig, por su apoyo
sincero y sus abundantes y útiles plàticas. Tengo una deuda de gratitud en especial
con mis primeros maestros Willa Ramsay, Peter Zimmerman, William Little, Alan
Schwettman y Dirk Walecka por mostrarme qué es una ensenanza clara y cautivadora
de la física, y con Stuart Johnson por invitarme a ser coautor de Física Universitària a
partir de la novena edición. Quiero dar gracias en especial al equipo editorial de Addi-
son Wesley y a sus socios: Adam Black por su visión editorial; Margot Otway por su
gran sentido gràfico y cuidado en el desarrollo de esta edición; a Peter Murphy y Carol
Reitz por la lectura cuidadosa del manuscrito; a Wayne Anderson, Charlie Hibbard,
Laird Kramer y Larry Stookey por su trabajo en los problemas de final de capitulo; y
a Laura Kenney, Chandrika Madhavan, Nancy Tabor y Pat McCutcheon por mantener
el flujo editorial y de producción. Agradezco a mi padre por su continuo amor y apoyo
y por conservar un espacio abierto en su biblioteca para este libro. Sobre todo, expreso
mi gratitud y amor a mi esposa Caroline, a quien dedico mi contribución al libro. Hey,
Caroline, alfin termino la nueva edición. jVàmonos a volar! - R.A.F.

Por favor, díganos lo que piensa...

Son bienvenidos los comunicados de estudiantes y profesores, en especial sobre
errores y deficiencias que encuentren en esta edición. Hemos dedicado mucho tiempo
y esfuerzo a la escritura del mejor libro que hemos podido escribir, y esperamos que
le ayude a enseíiar y aprender física. A la vez, usted nos puede ayudar si nos hace
saber qué es lo que necesita mejorarse... Por favor, siéntase en libertad para ponerse
en contacto con nosotros por via electrònica o por correo ordinario. Sus comentarios

Octubre de 2006

Hugh D. Young Roger A. Freedman

Departamento de Física Departamento de Física

Carnegie Mellon University University of Califòrnia, Santa Bàrbara

Pittsburgh, PA 15213 Santa Bàrbara, CA 93 106-9530

hdy@andrew.cmu.edu airboy@physics.ucsb.edu

http://www.physics.ucsb.edu/~airboy/

CONTENIDO

MECÀNICA

-L FÍSICAS Y VECTORES

1.1 La naturaleza de la física

1.2 Cómo resolver problemas en física

1.3 Estàndares y unidades

1 .4 Consistència y conversiones de unidades

1.5 Incertidumbre y cifras significativas

1.6 Estiraaciones y ordenes de magnitud

1.7 Vectores y suma de vectores

1.8 Componentes de vectores

1 .9 Vectores unitarios
1.10 Producto de vectores

Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

4.5

Tercera ley de Newton

123

4.6

Diagramas de cuerpo libre

126

Resumen/Términos clave

129

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

1

Problemas

2
2
4

5

APLICACIÓN DE LAS LEYES

DE NEWTON

136

6

5.1

Empleo de la primera ley de Newton:

8

Partículas en equilibrio

136

10

5.2

Empleo de la segunda ley de Newton:

11

Dinàmica de partículas

142

15

5.3

Fuerzas de fricción

149

20

5.4

Dinàmica del movimiento circular

158

21

*5.5

Fuerzas fundamentales de la naturaleza

163

27

Resumen/Términos clave

165

Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

2 MOVIMIENTO EN
LÍNEA RECTA

2. 1 Desplazamiento, tiempo y

2.3 Aceleración media e instantànea

2.4 Movimiento con aceleración constante

2.5 Cuerpos en caída libre

*2.6 Velocidad y posición por integración
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

O MOVIMIENTO EN DOS
«3 O EN TRES DIMENSIONES

3.1 Vectores de posición y velocidad

3.2 El vector de aceleración

3.3 Movimiento de proyectiles

3.4 Movimiento en un circulo

Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

4 LEYES DEL MOVIMIENTO
DE NEWTON

4. 1 Fuerza e interacciones

4.2 Primera ley de Newton

4.3 Segunda ley de Newton

4.4 Masa y peso

TRABAJO Y ENERGIA

i 6

CINÈTICA

181

6.1

Trabajo

182

37

6.2

Energia cinètica y el teorema

39

trabajo-energía

186

43

6.3

Trabajo y energia con fuerza variable

192

47

6.4

Potencia

199

53

Resumen/Términos clave

202

57

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

60

Problemas

71

107

7

7.1

72

7.2

74

7.3

79

7.4

87

7.5

91

96

8

ENERGIA POTENCIAL Y
CONSERVACIÓN DE LA
ENERGÍA 213

Energia potencial gravitacional 214

Energia potencial elàstica 222
Fuerzas conservativas y no conservativas 228

Fuerza y energia potencial 232

Diagramas de energia 235

Resumen/Términos clave 237
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

MOMENTO LINEAL, IMPULSO

Y CHOQUES 247

8.1

Momento lineal e impulso

247

108

8.2

Conservación del momento lineal

253

111

8.3

Conservación del momento lineal

115

y choques

257

120

8.4

Choques elàsticos

262

8.5 Centro de masa
*8.6 Propulsión a reacción

Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

ROTACION DE CUERPOS
RÍGIDOS

9.1
9.2

9.3

9.4

9.5

*9.6

10

10.1
10.2

10.3

10.4

10.5
10.6

10.7

11

11.1
11.2
11.3

11.4

11.5

12

12.1
12.2

290

Velocidad y aceleración angulares

Rotación con aceleración

angular constante

Relación entre cinemàtica lineal

y angular

Energia en el movimiento rotacional

Teorema de los ejes paralelos

Càlculos de momento de inèrcia

Resumen/Términos clave

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

DINÀMICA DEL MOVIMIENTO
ROTACIONAL

Torça

Torça y aceleración angular de un

cuerpo rígido

Rotación de un cuerpo rígido sobre

un eje móvil

Trabajo y potencia en movimiento

rotacional

Momento angular

Conservación del momento angular

Giróscopos y precesión

Resumen/Términos clave

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD 354

Condiciones del equilibrio 355

Centro de gravedad 355

Resolución de problemas de equilibrio

de cuerpos rígidos 358

Esfuerzo, deformación y módulos

Resumen/Términos clave 370

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

GRAVITACION 383

Ley de Newton de la gravitación 383

Peso 388

Contenido

xix

266

12.3

Energia potencial gravitacional

390

270

12.4

Movimiento de satélites

393

273

12.5

Las leyes de Kepler y el movimiento

de los planetas

396

*12.6

Distribuciones esféricas de masa

400

*12.7

Peso aparente y rotación terrestre

403

12.8

Agujeros negros

405

Resumen/Términos clave

410

285

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

285

Problemas

13

293

13.1

296

13.2

301

13.3

303

306

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

516

316

319

14

323

JL "

14.1

329

331
333
337
341

14.2
14.3
14.4
14.5
*14.6

MOVIMIENTO PERIODICO 419

Descripción de la oscilación 419

Movimiento armónico simple 421

Energia en el movimiento

armónico simple 428

Aplicaciones del movimiento

armónico simple 432

El péndulo simple 436

El péndulo físico 438

Oscilaciones forzadas y resonancia 442

Resumen/Términos clave 445

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

MECÀNICA DE FLUIDOS 456

Presión en un fluido 458

Flotación 463

Flujo de fluido 466

Ecuación de Bernoulli 468

Viscosidad y turbulència 472

Resumen/Términos clave 476
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

ON DAS/ACÚSTICA

1 5 ONDAS MECÀNICAS

15.1 Tipos de ondas mecànicas

15.2 Ondas periódicas

15.3 Descripción matemàtica de una onda

15.4 Rapidez de una onda transversal

15.5 Energia del movimiento ondulatorio

15.6 Interferència de ondas, condiciones
de frontera y superposición

15.7 Ondas estacionarias en una cuerda

15.8 Modos normales de una cuerda
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

487

488
489
492
498
502

505
507
511
516

Contemdo

16

SONIDO Y EL OIDO

527

19

16.1

Ondas sonoras

527

19.1

16.2

Rapidez de las ondas sonoras

532

19.2

16.3

537

16.4

Ondas sonoras estacionarias y

19.3

modos normales

541

16.5

Resonancia

546

19.4

16.6

Interferència de ondas

548

16.7

Pulsos

550

19.5

16.8

El efecto Doppler

552

19.6

*16.9

Ondas de choque

558

19.7

Resumen/Términos clave

561

19.8

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

TERMODINAMICA

1 7 TEMPERATURA Y CALOR

17.1 Temperatura y equilibrio térmico

17.2 Termómetros y escalas de temperatura

17.3 Termómetros de gas y la escala Kelvin

17.4 Expansión tèrmica

17.5 Cantidad de calor

17.6 Calorimetría y cambios de fase

17.7 Mecanismos de transferència de calor
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

1 O PROPIEDADES TÉRMICAS
J- ° DE LA MATÈRIA

18.1 Ecuaciones de estado

de la matèria

18.3 Modelo cinético-molecular
del gas ideal

* 18.5 Rapideces moleculares

18.6 Fases de la matèria

Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

619
626
629
631
635

20

LA PRIMERA LEY DE LA
TERMODINAMICA 646

Sistemas termodinàmicos 646

Trabajo realizado al cambiar

el volumen 647

termodinàmicos 650

Energia interna y la primera ley

de la termodinàmica 651

Tipos de procesos termodinàmicos 656

Energia interna de un gas ideal 658

Capacidad calorífica del gas ideal 659

Proceso adiabàtico para el gas ideal 662

Resumen/Términos clave 665

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

LA SECUNDA LEY DE LA
TERMODINÀMICA 673

)/U

20.1

Dirección de los procesos termodinàmicos

673

571

20.2

Màquinas térmicas

675

572

20.3

Motores de combustión interna

678

574

20.4

680

576

20.5

La segunda ley de la termodinàmica

682

582

20.6

El cicló de Carnot

684

586

20.7

Entropía

690

591

*20.8

Interpretación microscòpica de la entropía

697

598

Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

700

310

Apéndices

A-l

611

Respuestas a los problemas con número impar

A-9

617

Créditos de fotografías

C-l

índice

1-1

Y VECTORES

. Ser capaz de pre-
decir la trayectoria de
un huracan resulta
esencial para reducir
al mínimo los posibles
danos a las propieda-
des y a las vidas huma-
nas. Si un huracan se
mueve a 20 km/h en
una dirección de 53°
al norte del este,
cqué tan lejos al norte
se moverà el huracan
en una hora?

El estudio de la física es importante porque es una de las ciencias mas fundamen-
tales. Los científicos de todas las disciplinas utilizan las ideas de la física, como
los químicos que estudian la estructura de las moléculas, los paleontólogos que
intentan reconstruir la forma de andar de los dinosaurios, y los climatólogos que estu-
dian cómo las actividades humanas afectan la atmosfera y los océanos. Asimismo, la
física es la base de toda la ingeniería y la tecnologia. Ningún ingeniero podria disenar
un televisor de pantalla plana, una nave espacial interplanetària ni incluso una mejor
trampa para ratones, sin antes haber comprendido las leyes bàsicas de la física.

El estudio de la física es también una aventura. Usted la encontrarà desafiante,
a veces frustrante y en ocasiones dolorosa; sin embargo, con frecuencia le brindarà
abundantes beneficiós y satisfacciones. La física estimularà en usted su sentido de lo
bello, así como su inteligencia racional. Si alguna vez se ha preguntado por qué el
cielo es azul, cómo las ondas de radio viajan por el espacio vacío, o cómo un satélite
permanece en òrbita, encontrarà las respuestas en la física bàsica. Sobre todo, apre-
ciarà la física como un logro sobresaliente del intelecto humano en su afàn por enten-
der nuestro mundo y a la humanidad misma.

En este capitulo inicial repasaremos algunos conceptos importantes que necesita-
remos en nuestro estudio. Comentaremos la naturaleza de la física teòrica y el uso de
modelos idealizados para representar sistemas físicos. Presentaremos los sistemas
de unidades que se emplean para especificar cantidades físicas y analizaremos la for-
ma de describirlas con precisión. Estudiaremos ejemplos de problemas que no tienen
(o para los que no nos interesa obtener) una respuesta exacta donde, no obstante, las
aproximaciones son útiles e interesantes. Por ultimo, examinaremos varios aspectos
de los vectores y el àlgebra vectorial que necesitaremos para describir y analizar can-
tidades físicas, como velocidad y fuerza, que tienen dirección ademàs de magnitud.

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,

• Cuàles son las cantidades
fundamentales de la mecànica
y cuàles son las unidades que
los físicos utilizan para medirlas.

• Cómo manejar cifras significativas
en sus càlculos.

• La diferencia entre escalares
y vectores, y cómo sumar y
restar vectores graficamente.

• Cuàles son las componentes
de un vector y cómo se utilizan
para realizar càlculos.

• Cuàles son los vectores unitarios
y cómo se utilizan con las
componentes para describir
vectores.

• Dos formas para multiplicar
vectores.

CAPITULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

1.1 La naturaleza de la física

La física es una ciència experimental. Los físicos observan los fenómenos naturales
e intentan encontrar los patrones y principios que los describen. Tales patrones se deno-
minan teorías físicas o, si estan muy bien establecidos y se usan ampliamente, leyes o
principios físicos.

CUIDADO El significació de la palabra "teoria" Decir que una idea es una teoria no
implica que se trate de una divagación o de un concepto no comprobado. Mas bien, una teoria
es una explicación de fenómenos naturales basada en observaciones y en los principios funda-
mentales aceptados. Un ejemplo es la bien establecida teoria de la evolución biològica, que es
el resultado de extensas investigaciones y observaciones de varias generaciones de biólogos.

1.1 Dos laboratorios de investigación.

a) Según la leyenda, Galileo estudio el
movimiento de cuerpos en caída libre
soltàndolos desde la Torre Inclinada en
Pisa, Itàlia. Se dice que también estudio

el movimiento de los péndulos observando
la oscilación del candelabro de la catedral
que està junto a la torre.

b) El telescopio espacial Hubble es
el primer telescopio importante que
opero fuera de la atmosfera terrestre.
Las mediciones realizadas con el Hubble
han ayudado a determinar la edad y la
rapidez de expansión del Universo.

a)

b)

El desarrollo de la teoria física exige creatividad en cada etapa. El físico debe apren-
der a hacer las preguntas adecuadas, a disenar experimentos para tratar de contestarlas
y a deducir conclusiones apropiadas de los resultados. La figura 1 . 1 muestra dos fa-
mosas instalaciones experimentales.

Cuenta la leyenda que Galileo Galilei (1564-1642) dejó caer objetos ligeros y pesa-
dos desde la Torre Inclinada de Pisa (figura Lla) para averiguar si sus velocidades de
caída eran iguales o diferentes. Galileo sabia que solo la investigación experimental le
daria la respuesta. Examinando los resultados de sus experimentos (que en realidad
fueron mucho mas complejos de lo que cuenta la leyenda), dio el salto inductivo al
principio, o teoria, de que la aceleración de un cuerpo que cae es independiente de
su peso.

El desarrollo de teorías físicas como la de Galileo siempre es un proceso bidirec-
cional, que comienza y termina con observaciones o experimentos. El camino para
lograrlo a menudo es indirecto, con callejones sin salida, suposiciones erróneas, y el
abandono de teorías infructuosas en favor de otras mas promisorias. La física no es
una mera colección de hechos y principios; también es el proceso que nos lleva a los
principios generales que describen el comportamiento del Universo físico.

Ninguna teoria se considera como la verdad final o definitiva. Siempre hay la po-
sibilidad de que nuevas observaciones obliguen a modificaria o desecharla. En las
teorías físicas es inherente que podemos demostrar su falsedad encontrando compor-
tamientos que no sean congruentes con ellas, però nunca probaremos que una teoria
siempre es correcta.

Volviendo con Galileo, supongamos que dejamos caer una pluma y una bala de
canón. Sin duda no caen a la misma velocidad. Esto no significa que Galileo estuviera
equivocado, sinó que su teoria estaba incompleta. Si soltamos tales objetos en un vacío
para eliminar los efectos del aire, sí caeràn a la misma velocidad. La teoria de Galileo
tiene un intervalo de validez: solo es valida para objetos cuyo peso es mucho mayor
que la fuerza ejercida por el aire (debido a su resistència y a la flotabilidad del objeto).
Los objetos como las plumas y los paracaídas evidentemente se salen del intervalo.

Cualquier teoria física tiene un intervalo de validez fuera del cual no es aplicable. A
menudo un nuevo avance en física extiende el intervalo de validez de un principio. Las
leyes del movimiento y de gravitación de Newton extendieron ampliamente, medio
siglo después, el anàlisis de la caída de los cuerpos que hizo Galileo.

1.2 Cómo resolver problemas en física

En algun punto de sus estudiós, casi todos los estudiantes de física sienten que, aun-
que entienden los conceptos, simplemente no pueden resolver los problemas. Sin em-
bargo, en física, entender verdaderamente un concepto o principio es lo mismo que
saber aplicarlo a diversos problemas pràcticos. Aprender a resolver problemas es
absolutamente indispensable; es imposible saber física sin poder hacer física.

^Cómo aprendemos a resolver problemas de física? En todos los capítulos de este
libro, usted encontrarà Estrategias para resolver problemas que sugieren técnicas
para plantear y resolver problemas de forma eficiente y correcta. Después de cada
Estratègia para resolver problemas hay uno o mas Ejemplos resueltos que muestran

1.2 Cómo resolver problemas en física

esas técnicas en acción. (Las Estrategias para resolver problemas también ayudan a
evitar algunas técnicas incorrectas que quizàs usted se sienta tentado a usar.) Ademàs
encontrarà ejemplos adicionales que no estan asociados con una específica Estratègia
para resolver problemas. Recomendamos al lector estudiar detenidamente esas es-
trategias y ejemplos, y resolver los ejemplos por su cuenta.

Se utilizan diferentes técnicas para resolver distintos tipos de problemas, y por
ello este libro ofrece docenas de Estrategias para resolver problemas. No obstante,
sea cual fuere el tipo de problema, hay ciertos pasos bàsicos que se deben seguir
siempre. (Esos mismos pasos son igualmente útiles en problemas de matemàticas,
ingeniería, química y muchos otros campos.) En este libro, hemos organizado los
pasos en cuatro etapas para la resolución de un problema.

Todas las Estrategias para resolver problemas y los Ejemplos de este libro se-
guiran estos cuatro pasos. (En algunos casos, se combinaran los primeros dos o tres
pasos.) Le recomendamos seguir los mismos pasos al resolver problemas por su
cuenta.

Estratègia para resolver problemas 1.1

Cómo resolver problemas de física

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Primero, decida qué ideas
de la física son relevantes para el problema. Aunque este paso no
implica hacer càlculos, a veces es la parte mas difícil. Nunca lo omita;
si desde el principio se elige el enfoque equivocado, el problema se
dificultarà innecesariamente, e incluso podria llevar a una respuesta
errónea.

A estàs alturas también se debe identificar la incògnita del pro-
blema; es decir, la cantidad cuyo valor se desea encontrar. Podria ser
la rapidez con que un proyectil choca contra el suelo, la intensidad
del sonido producido por una sirena, o el tamano de una imagen for-
mada por una lente. (En ocasiones, la meta serà hallar una expresión
matemàtica para la incògnita, no un valor numérico. Otras veces,
el problema tendra mas de una incògnita.) Esta variable es la meta del
proceso de la resolución de problemas; asegúrese de no perderla de
vista durante los càlculos.

PLANTEAR el problema: Con base en los conceptos que haya
elegido en el paso Identificar, seleccione las ecuaciones que usarà para

resolver el problema y decida cómo las usarà. Si resulta apropiado,
dibuje la situación descrita en el problema.

EJECUTAR la solución: En este paso, se "hacen las cuentas". Antes
de enfrascarse en los càlculos, haga una lista de las cantidades cono-
cidas y desconocidas, e indique cuàl o cuàles son las incógnitas o las
variables. Después, despeje las incógnitas de las ecuaciones.

EVALUAR la respuesta: La meta de la resolución de problemas en
física no es solo obtener un número o una fórmula; es entender mejor.
Ello implica examinar la respuesta para ver qué nos dice. En particu-
lar, pregúntese: '7,Es lògica esta respuesta?" Si la incògnita era el
radio de la Tierra y la respuesta es 6.38 cm (;o un número negativo!),
hubo algun error en el proceso de resolución del problema. Revise
su procedimiento y modifique la solución según sea necesario.

Comúnmente usamos la palabra "modelo" para referirnos a una rèplica miniatura (di-
gamos, de un ferrocarril) o a una persona que exhibe ropa (o que se exhibe sin ella).
En física, un modelo es una versión simplificada de un sistema físico demasiado
complejo como para analizarse con todos sus pormenores.

Por ejemplo, supongamos que nos interesa analizar el movimiento de una pelota
de beisbol lanzada al aire (figura 1.2a). ^Qué tan complicado es el problema? La
pelota no es perfectamente esfèrica (tiene costuras) y gira conforme viaja por el aire.
El viento y la resistència del aire afectan su movimiento, el peso de la pelota varia
un poco al cambiar su distancia con respecto al centro de la Tierra, etcètera. Si tra-
tamos de incluir todo esto, la complejidad del anàlisis nos abrumarà. En vez de
ello, creamos una versión simplificada del problema. Omitimos el tamano y la for-
ma de la pelota representàndola como un objeto puntual, o una partícula. Omitimos
la resistència del aire como si la pelota se moviera en el vacío y suponemos un peso
constante. Ahora ya tenemos un problema manejable (figura 1.2b). Analizaremos
este modelo con detalle en el capitulo 3.

Para crear un modelo idealizado del sistema, debemos pasar por alto algunos efec-
tos menores y concentrarnos en las características mas importantes del sistema. Claro
que no debemos omitir demasiadas cuestiones. Si ignoramos totalmente la gravedad,

1 .2 Para simplificar el anàlisis de a) una
pelota de beisbol lanzada al aire, usamos
b) un modelo idealizado.

a) Una pelota real lanzada al aire
La pelota gira y tiene forma compleja.

La resistència del aire
y cl viento ejercen
fuerzas sobre
la pelota.

La fuerza gravitacional
sobre la pelota depende
de la altura.

b) Un modelo idealizado de la pelota

de beisbol

La pelota de beisbol se trata como un objeto
(partícula) puntual.

No hay resistència

al aire.

La fuerza gravitacional

sobre la pelota es constante.

r

CAPITULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

nuestro modelo predeciría que si lanzamos la pelota hacia arriba, esta se movería en
línea recta y desaparecería en el espacio. Necesitamos valernos del criterio y la crea-
tividad para lograr un modelo que simplifique lo suficiente un problema, sin omitir
sus características esenciales.

Al usar un modelo para predecir el comportamiento de un sistema, la validez
de la predicción està limitada por la validez del modelo. Por ejemplo, la predicción de
Galileo con respecto a la caída de los cuerpos (véase sección 1.1) corresponde a un
modelo idealizado que no incluye los efectos de la resistència del aire. El modelo
funciona bien para una bala de cànon, aunque no tan bien para una pluma.

En física y en todas las tecnologías, cuando aplicamos principios físicos a siste-
mas complejos, siempre usamos modelos idealizados y debemos tener presentes los
supuestos en que se basan. De hecho, los mismos principios de la física se expresan
en términos de modelos idealizados; hablamos de masas puntuales, cuerpos rígidos,
aislantes ideales, etcètera. Tales modelos desempefían un papel fundamental en este
libro. Intente ubicarlos al estudiar las teorías físicas y sus aplicaciones a problemas
específicos.

1.3 Estàndares y unidades

1.3 En 1791 se deflnió que la distancia
entre el Polo Norte y el ecuador era
exactamente 10 7 m. Con la definición
moderna del metro, esta distancia es
aproximadamente 0.02% mas que 10 7 m.

El metro se definió originalmente como
1/10,000,000 de esta distancia.

Polo Norte •'

Como vimos en la sección 1.1, la física es una ciència experimental. Los experi-
mentos requieren mediciones, cuyos resultados suelen describirse con números. Un
número empleado para describir cuantitativamente un fenómeno físico es una canti-
dad física. Dos cantidades físicas, por ejemplo, que describen a alguien como tú son
su peso y estatura. Algunas cantidades físicas son tan bàsicas que solo podemos
definirlas describiendo la forma de medirlas; es decir, con una definición operativa.
Ejemplos de ello son medir una distancia con una regla, o un lapso de tiempo con un
cronómetro. En otros casos, definimos una cantidad física describiendo la forma
de calcularia a partir de otras cantidades medibles. Así, podríamos definir la rapidez
promedio de un objeto en movimiento, como la distancia recorrida (medida con una
regla) entre el tiempo de recorrido (medido con un cronómetro).

Al medir una cantidad, siempre la comparamos con un estàndar de referència.
Si decimos que un Porsche Carrera GT tiene una longitud de 4.61 m, queremos decir
que es 4.61 veces mas largo que una vara de metro, que por definición tiene 1 m de
largo. Dicho estàndar define una unidad de la cantidad. El metro es una unidad
de distancia; y el segundo, de tiempo. Al describir una cantidad física con un número,
siempre debemos especificar la unidad empleada; describir una distancia simple-
mente como "4.61" no tendría significado.

Las mediciones exactas y confiables requieren unidades inmutables que los ob-
servadores puedan volver a utilizar en distintos lugares. El sistema de unidades em-
pleado por los científicos e ingenieros en todo el mundo se denomina comúnmente
"sistema métrico" aunque, desde 1960, su nombre oficial es Sistema Internacional,
o SI. En el Apéndice A se presenta una lista de todas las unidades del SI y se definen
las fundamentales.

Con el paso de los aííos, las definiciones de las unidades bàsicas del sistema mé-
trico han evolucionado. Cuando la Acadèmia Francesa de Ciencias estableció el sis-
tema en 1791, el metro se definió como una diezmillonésima parte de la distancia
entre el Polo Norte y el ecuador (figura 1.3). El segundo se definió como el tiempo
que tarda un péndulo de 1 m de largo en oscilar de un lado a otro. Estàs definiciones
eran poco pràcticas y difíciles de duplicar con precisión, por lo que se han refinado
por acuerdo internacional.

Tiempo

De 1889 a 1967, la unidad de tiempo se definió como cierta fracción del dia solar
medio (el tiempo promedio entre llegadas sucesivas del Sol al cenit). El estàndar

1.3 Estàndares y unidades

actual, adoptado en 1967, es mucho mas preciso; se basa en un reloj atómico que
usa la diferencia de energia entre los dos estados energéticos mas bajos del àtomo
de cesio. Al bombardearse con microondas de cierta frecuencia exacta, el àtomo de
cesio sufre una transición entre dichos estados. Un segundo (que se abrevia como s)
se define como el tiempo que tardan 9,192,631,770 ciclos de esta radiación de
microondas.

Longitud

En 1960 se estableció también un estàndar atómico para el metro, utilizando la lon-
gitud de onda de la luz anaranjada-roja emitida por àtomos de kriptón ( S6 Kr) en un
tubo de descarga de luz. Usando este estàndar de longitud, se comprobó que la ra-
pidez de la luz en el vacío era de 299,792,458 m/s. En noviembre de 1983, el estàndar
de longitud se modifico otra vez, de manera que la rapidez de la luz en el vacío fuera,
por definirien, exactamente de 299,792,458 m/s. El metro se define de modo que sea
congruente con este número y con la definición anterior del segundo. Así, la nueva
definición de metro (que se abrevia m) es la distancia que recorre la luz en el vacío
en 1/299,792,458 segundos. Este es un estàndar de longitud mucho màs preciso que el
basado en una longitud de onda de la luz.

Masa

El estàndar de masa, el kilogramo (que se abrevia kg), se define como la masa de un
cilindro de aleación platino-iridio especifico que se conserva en la Oficina Interna-
cional de Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de París (figura 1.4). Un estàndar atómico
de masa seria màs fundamental; sin embargo, en la actualidad no podemos medir
masas a escala atòmica con tanta exactitud como a escala macroscópica. El gramo
(que no es una unidad fundamental) es de 0.001 kilogramos.

Una vez definidas las unidades fundamentales, es fàcil introducir unidades màs gran-
des y màs pequenas para las mismas cantidades físicas. En el sistema métrico, estàs
otras unidades siempre se relacionan con las fundamentales (o, en el caso de la masa,
con el gramo) por múltiplos de 10 o jg. Así, un kilómetro (1 km) son 1000 metros, y
un centímetro (1 cm) es jjg. Es común expresar los múltiplos de 10 o ^ en notación
exponencial: 1000 = 10 3 , ^g = 10~ 3 , etcètera. Con esta notación, 1 km = 10 3 m
y 1 cm = 10~ 2 m.

Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al
nombre de la unidad fundamental. Por ejemplo, el prefijo "kilo", abreviado k, siem-
pre indica una unidad 1000 veces mayor; así:

1 kilómetro = 1 km = 10 3 metros = 10 3 m

1 kilogramo = 1 kg = 10 3 gramos = 10 3 g

1 kilowatt = 1 kW = 10 3 watts = 10 3 W

Una tabla en el interior de la tapa posterior de este libro muestra los prefijos estàndar
del SI, con sus significados y abreviaturas.

Veamos algunos ejemplos del uso de múltiplos de 10 y sus prefijos con las
unidades de longitud, masa y tiempo. La figura 1.5 muestra cómo tales prefijos ayu-
dan a describir distancias tanto grandes como pequenas.

Longitud

1 nanómetro
1 micrómetro

1 nm

10

m (unas cuantas veces el tamaíío del àtomo
màs grande)

1 /j,m = 10~ 6 m (tamano de algunas bacterias y células vivas)

1 milímetro = 1 mm = 10~ 3 m (diàmetre del punto de un bolígrafo)

1 centímetro = 1 cm = 10~ 2 m (diàmetre del dedo menique)

1 kilómetro = 1 km = 10 3 m (un paseo de 10 minutos caminando)

1 .4 El objeto de metal encerrado
cuidadosamente dentro de estos envases
de cristal es el kilogramo estàndar
internacional.

CAPITULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

1 .5 Algunas longitudes representativas en el Universo. a) La distancia a las galaxias mas distantes que podemos ver es aproximada-
mentede 10 2s m (10 23 km), b) El Sol està a 1.50 X 10" m (1.50 X 10 s km) de laTierra. c) El diàmetro de laTierraes de 1.28 X 10 7 m
(12,800 km), d) Un ser humano común tiene una estatura aproximada de 1.7 m (170 cm), e) Los glóbulos rojos humanos tienen un
diàmetro cercano a los 8 X 10~ 6 m (0.008 mm, es decir, 8 um). f) Estos àtomos de oxigeno, que se muestran dispuestos en la superfície
de un cristal, tienen un radio aproximado de 10 10 m (10~ 4 ^m). g) El radio de un núcleo atómico típico (que se muestra en una
concepción artística) es del orden de 10~ 14 m (10~ 5 nm).

a) 10 26 m
Límitc del
Universo
observable

b) 10" m
Distancia
del Sol

c) 10 7 m
Diàmetro
de la Ticrra

g) l(T 14 m
núcleo atómico

1 .6 Muchos objetos comunes usan
unidades tanto del SI como britànicas.
Un ejemplo es este velocímetro de un
que indica la rapidez tanto en kilómetros
(escala interior) por hora como en millas
por hora (escala exterior).

Masa

1 microgramo =

1 miligramo =
1 gramo =

Tíempo

1 nanosegundo
1 microsegundo

1 milisegundo

1/xg = 10 6 g= 10 kg (masa de una partícula pequena

de polvo)
1 mg = 10~" g = 10~ 6 kg (masa de un grano de sal)
1 g = 10~ 3 kg (masa de un sujetador de papeles)

= 1 ns = lO -5 s (tiempo en que la luz recorre 0.3 m)

= 1 yu,s = 10~ 6 s (tiempo en que un transbordador espacial

en òrbita recorre 8 mm)
= 1 ms = 10~~ s (tiempo en que el sonido viaja 0.35 m)

El sistema britanico

Por ultimo, mencionamos el sistema britanico de unidades que se usa solo en Estados
Unidos y unos cuantos países mas; aunque en casi todo el mundo se està remplazando
por el SI. En la actualidad las unidades britànicas se definen oficialmente en términos
de las unidades del SI, de la siguiente manera:

Longitud: 1 pulgada = 2.54 cm (exactamente)

Fuerza: 1 libra = 4.448221615260 newtons (exactamente)

El newton, que se abrevia N, es la unidad de fuerza en el SI. La unidad britànica de
tiempo es el segundo, que se define igual que en el SI. En física, las unidades brità-
nicas se emplean solo en mecànica y termodinàmica; no hay un sistema britanico de

En este libro usaremos unidades del SI en todos los ejemplos y problemas; no obs-
tante, en ocasiones daremos equivalencias en unidades britànicas. Al resolver proble-
mas con unidades del SI, el lector puede hacer la conversión a las correspondientes del
sistema britanico, si le resultan màs conocidos (figura 1.6). Sin embargo, debería tratar
de pensar en unidades del SI la mayoría de las veces.

1.4 Consistència y conversiones de unidades

Usamos ecuaciones para expresar las relaciones entre cantidades físicas represen-
tadas por símbolos algebraicos. Cada símbolo algebraico denota siempre tanto un
número como una unidad. Por ejemplo, d podria representar una distancia de 10 m,
t un tiempo de 5 s y v una rapidez de 2 m/s.

1.4 Consistència y conversiones de unidades

Toda ecuación siempre debe ser dimensionalmente consistente. No podemos
sumar manzanas y automóviles; solo podemos sumar o igualar dos términos si tienen
las mismas unidades. Por ejemplo, si un cuerpo que viaja con rapidez constante v
recorre una distancia d en un tiempo t, estàs cantidades estan relacionadas por la
ecuación

Si d se mide en metros, entonces el producto vt también debe expresarse en metros.
Con los números anteriores como ejemplo, escribimos

10 m

2 7 (5«)

Como la unidad 1/s del lado derecho de la ecuación cancela la unidad s, el producto
està en metros, como debe ser. En los càlculos, las unidades se tratan igual que los
símbolos algebraicos en cuanto a la multiplicación y la división.

CUIDADO En los càlculos Utilice siempre unidades Cuando un problema requiere de
càlculos con números y unidades, siempre escriba los números con las unidades correctas
durante todo el calculo, como en el ejemplo. Esto es muy útil, pues ayuda a verificar los càlculos.
Si en algun momento una ecuación o expresión tiene unidades inconsistentes, es indicador de
que hay un error en alguna parte. En este libro siempre llevaremos unidades en todos los càlcu-
los, y recomendamos encarecidamente al lector hacer lo mismo al resolver los problemas.

Estratègia para resolver problemas 1.2

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: La conversión de unida-
des es importante, però también lo es saber cuàndo se requiere. En
general, lo mejor es usar las unidades fundamentales del SI (longitu-
des en metros, masas en kilogramos y tiempo en segundos) dentro de
un problema. Si la respuesta se debe dar en otras unidades (kilómetros,
gramos u horas, por ejemplo), espere hasta el final para efectuar la
conversión. En los ejemplos que siguen, nos concentraré mos solo en
la conversión de unidades, así que omitiremos el paso Identificar.

PLANTEAR el problema y EJECUTAR la solución: Las unidades se
multiplican y se dividen igual que los símbolos algebraicos ordinarios.
Esto facilita la conversión de una cantidad de un conjunto de unida-
des a otro. La idea clave es que podemos expresar la misma cantidad
física en dos unidades distintas y formar una igualdad.

Por ejemplo, al indicar que 1 min = 60 s, no queremos decir que
el número 1 sea igual al número 60, sinó que 1 min representa el mis-
mo intervalo de tiempo que 60 s. Por ello, el cociente (1 min)/(60 s) es
igual a 1, lo mismo que su recíproco (60 s)/(l min). Podemos multi-

plicar una cantidad por cualquiera de estos factores, sin alterar el sig-
nificado físico de la misma. Por ejemplo, para averiguar cuàntos
segundos hay en 3 min, escribimos

3 min = (3 mirí)

60 s
1 mirí

180 s

EVALUAR la respuesta: Si convertimos las unidades correctamente,
se eliminaran las unidades no deseadas, como en el ejemplo anterior.
Si hubiéramos multiplicado 3 min por (1 min)/(60 s), el resultado
habría sido ^ min 2 /s, una forma un tanto rara de medir el tiempo. Para
asegurarse de convertir bien las unidades, usted debe incluirlas en to-
das las etapas del calculo.

Por ultimo, verifique si la respuesta es lògica. ^El resultado
3 min = 180 s es razonable? La respuesta es sí; el segundo es màs
pequeno que el minuto, por lo que habrà màs segundos que minutos
en el mismo intervalo de tiempo.

Ejemplo 1.1

Conversión de unidades de rapidez

El record mundial oficial de rapidez terrestre es de 1228.0 km/h, esta-
blecido por Andy Green el 15 de octubre de 1997 en el automóvil con
motor a reacción Thrust SSC. Exprese esta rapidez en metros/segundo.

ES3E3E1

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Queremos convertir las unidades de
rapidez de km/h a m/s.

EJECUTAR: El prefijo k indica 10\ por lo que la rapidez 1228.0 km/h =
1228.0 X 10 3 m/h. Sabemos también que hay 3600 s en 1 h, así que de-
bemos combinar la rapidez de 1228.0 X 10 3 m/h y un factor de 3600.

Però, ^debemos multiplicar por este factor o dividir entre él? Si tra-
tamos el factor como número sin unidades, tendríamos que adivinar
para continuar.

El enfoque correcto es induir las unidades en el factor, el cual aco-
modaremos a modo de eliminar la unidad de horas:

1228.0 km/h - 1228.0 X 10 3 —

/ ih

h 3600 s

341.11 m/s

Si multiplicàramos por (3600 s)/(l h) en vez de (1 h)/(3600 s), las
horas no se cancelarían, y seria fàcil detectar el error. De nuevo, la

continua

CAPITULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

Única forma de estar seguro de haber convertido correctamente las
unidades es llevarlas durante todo el calculo.

EVALUAR: Aunque el lector seguramente tiene una buena idea de la
magnitud de la rapideces expresadas en kilómetros por hora o en mi-
llas por hora, las rapideces en metros por segundo probablemente son

un poco mas misteriosas. Es útil recordar que al caminar la rapidez
común es de 1 m/s; que la longitud de cada paso de un adulto repre-
sentativo es aproximadamente de un metro; y que un buen ritmo para
caminar es de un paso por segundo. En comparación, juna rapidez de

Ejemplo 1.2

Conversión de unidades de volumen

El diamante tallado mas grande del mundo es la Primera Estrella de
Àfrica (montada en el cetro real britanico y guardado en la Torre
de Londres). Su volumen es de 1.84 pulgadas cúbicas. ^Cuàl serà su
volumen en centfmetros cúbicos? ; Y en metros cúbicos?

Esnmaa

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Aquí debemos convertir las unidades
de volumen de pulgadas cúbicas (in 3 ), a centímetros cúbicos (cm 3 ) y a
metros cúbicos (m 3 ).

EJECUTAR: Para convertir pulgadas cúbicas a centímetros cúbi-
cos, multiplicamos por [(2.54 cm)/(l in)] 3 , no solo (2.54 cm)/(l in).
Tenemos

(1.84 in 3 )

2.54 cm

(1.84)(2.54) 3

lin
úr J cm 3
in 3

30.2 cm 3

También, 1 cm = 10

m, y

30.2 cm 3 = (30.2 cm 3 )

itr

(30.2) (10~ 2 ) 3

3.02 X 10"

1 cm

cm'

cm 1

30.2 X 10"

EVALUAR: Mientras que 1 centímetro es 10~ 2 de un metro (es decir,
1 cm = 10~ 2 m), nuestra respuesta indica que un centímetro cúbico
(1 cm 3 ) no es 10~ 2 de un metro cúbico. Mas bien, es el volumen de
un cubo cuyos lados tienen 1 cm de largo. Así, 1 cm 3 = (1 cm) 3 =
(10~ 2 m) 3 = (10~ 2 ) 3 m 3 , o bien, 1 cm 3 = 10~ 6 m 3 .

1 .7 Este espectacular percance se debió
a un error de aproximación muy pequeno:
recórrer unos cuantos metros de mas, en
un viaje de cientos de miles de metros.

1.5 Incertidumbre y cifras significativas

Las mediciones siempre tienen incertidumbre. Si medimos el espesor de la portada
de este libro con una regla común, la medición solo serà confiable al milímetro mas
cercano, y el resultado serà de 1 mm. Seria erróneo dar este resultado como 1.00 mm;
dadas las limitaciones del instrumento de medición, no se sabria si el espesor real
es de 1.00 mm o 0.85. Però si se usa un micrómetro, que mide distancias de forma
confiable al 0.01 mm mas cercano, el resultado serà 0.75 mm. La distinción entre
estàs dos mediciones radica en su incertidumbre. La medida con micrómetro tiene
menor incertidumbre y es màs exacta. La incertidumbre también se llama error,
porque indica la màxima diferencia probable entre el valor medido y el real. La in-
certidumbre o el error de un valor medido depende de la tècnica empleada.

A menudo indicamos la exactitud de un valor medido (es decir qué tanto creemos
que se acerca al valor real) escribiendo el número, el símbolo ± y un segundo nú-
mero que indica la incertidumbre de la medición. Si el diàmetro de una varilla de
acero se da como 56.47 ± 0.02 mm, esto implica que es poco probable que el valor
real sea menor que 56.45 mm o mayor que 56.49 mm. En una notación abreviada de
uso común, el número 1.6454(21) significa 1.6454 ± 0.0021. Los números entre
parèntesis indican la incertidumbre de los dígitos finales del número principal.

También podemos expresar la exactitud en términos del error fraccionario o
error de aproximación màximo probable (también llamados incertidumbre frac-
cionaria o porcentaje de incertidumbre). Un resistor rotulado como "47 ohms ±
10%" probablemente tiene una resistència real que difiere de 47 ohms en menos
del 10% de 47 ohms, esto es, unos 5 ohms. Es probable que la resistència esté en-
tre 42 y 52 ohms. En el caso del diàmetro de la varilla antes citada, el error frac-
cionario es de (0.02 mm)/(56.47 mm), que es aproximadamente 0.0004; el error de
aproximación es de (0.0004)(100%), o bien, de 0.04%. Incluso errores de aproxi-
mación muy pequenos llegan a ser muy significativos (figura 1.7).

1 .5 Incertidumbre y cifras significativas

En muchos casos, no se da explícitamente la incertidumbre de un número, sinó
que se indica con el número de dígitos informativos, o cifras significativas, en el
valor medido. Indicamos el espesor de la portada del libro como de 0.75 mm, que
tiene 3 cifras significativas. Con esto queremos decir que los dos primeros dígitos son
correctes, però el tercero es incierto. El ultimo dígito està en la posición de las cen-
tésimas, así que la incertidumbre seria de 0.01 mm. Dos valores con el mismo
número de cifras significativas pueden tener diferente incertidumbre; una distancia
dada como 137 km también tiene tres cifras significativas, però la incertidumbre es de
mas o menos 1 km.

Cuando usamos números con incertidumbre para calcular otros números, el resul-
tado también es incierto. Al multiplicar o dividir números, el resultado no puede tener
mas cifras significativas que el factor con menos cifras significativas. Por ejemplo,
3.1416 X 2.34 X 0.58 = 4.3. Cuando sumamos y restamos números, lo que importa
es la ubicación del punto decimal, no el número de cifras significativas. Por ejemplo,
123.62 + 8.9 = 132.5. Aunque 123.62 tiene una incertidumbre aproximada de 0.01,
la de 8.9 seria de 0.1, así que la suma debe tener esta misma incertidumbre (0.1) y
escribirse como 132.5, no 132.52. La tabla 1.1 resume las reglas para las cifras signi-
ficativas.

Tabla 1.1 Uso de cifras significativas

Operarien matemàtica Cifras significativas en el resultado

Multiplicación o división No mas que en el número que tiene menos cifras significativas

Ejemplo: (0.745 X 2.2)/3.885 = 0.42
Ejemplo: (1.32578 X 10 7 ) X (4.11 X 10~ 3 ) = 5.45 X 10 4

Suma o resta Lo determina el número con mayor incertidumbre (es decir, el menor

número de dígitos a la derecha del punto decimal)
Ejemplo: 27.153 + 138.2 - 11.74 = 153.6

Nota: en este libro normalmente daremos valores numéricos con tres cifras significativas.

Como una aplicación de estàs ideas, suponga que quiere verificar el valor de tt, la
razón entre la circunferencia y el diàmetro de un circulo. El valor verdadero hasta 10
dígitos es 3.141592654. Para calcularlo, dibuje un circulo grande, y mida el diàmetro
y la circunferencia al milímetro màs cercano: obtendrà los valores de 424 mm y 135
mm (figura 1.8), los cuales dividirà con su calculadora para obtener 3.140740741, lo
cual parecería no coincidir con el valor real de tt, però tenga en cuenta que cada una
de sus mediciones tiene tres cifras significativas, de manera que su valor medido de tt,
igual a (424 mm)/(l35 mm), solo puede tener 3 cifras significativas y debería darse
simplemente como 3. 14. Dentro del límite de 3 cifras significativas, este valor sí coin-
cide con el valor verdadero.

En los ejemplos y problemas de este libro, por lo regular daremos valores numéri-
cos con 3 cifras significativas, así que sus respuestas no deberàn tener màs de 3 cifras
significativas. (En el mundo real, muchos números incluso tienen una exactitud
menor. Un velocímetro de automóvil, por ejemplo, únicamente suele indicar dos
cifras significativas.) Podemos hacer operaciones con una calculadora que muestra
diez dígitos, però dar una respuesta de diez dígitos no solo seria innecesario, sinó aun
erróneo, porque falsea la exactitud del resultado. Siempre redondee su respuesta final
conservando solo el número correcte de cifras significativas o, si hay duda, acaso una
màs. En el ejemplo 1.1 habría sido erróneo dar la respuesta como 341.11111 m/s.
Cabé senalar que, al reducir una respuesta así al número apropiado de cifras significa-
tivas, debemos redondear, no truncar. La calculadora indica que 525 m/311 m es
1.688102894; con 3 cifras significativas, esto es 1.69, no 1.68.

Al calcular con números muy grandes o muy pequenos, es mucho màs fàcil
indicar las cifras significativas usando notación científica, también llamada notación
de potencias de 10. La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de
384,000,000 m, però esta forma del número no da idea de cuàntas cifras significativas
tiene. En vez de ello, movemos el punto decimal ocho lugares a la izquierda (que
equivale a dividir entre 10 8 ) y multiplicamos por 10 s . Es decir,

384,000,000 m = 3.84 X 10 s m

1 .8 Determine el valor de tt a partir de la
circunferencia y el diàmetro de un circulo.

424

Los valores medidos tienen solo tres '
cifras significativas, por lo que su
razón calculada {tt) tiene solo tres
cifras significativas.

10

CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

En esta forma, es evidente que tenemos tres cifras significativas. El número 4.00 X
1CT 7 también tiene tres cifras significativas, aunque dos de ellas sean ceros. En
notación científica, se acostumbra expresar la cantidad como un número entre 1 y 10

Cuando aparecen un entero o una fracción en una ecuación general, tratamos
ese número como si no tuviera incertidumbre. Por ejemplo, en la ecuación
d v 2 = t) , 2 + 2a x {x — x ), que es la ecuación (2.13) del capitulo 2, el coeficiente 2
es exactamente 2. Pensaríamos que tiene un número infinito de cifras significativas
(2.000000. . .). Lo mismo ocurre con el exponente 2 en y A 2 y D ta 2 .

Por ultimo, cabé senalar que precisión no es lo mismo que exactitud. Un reloj di-
gital barato que indica que la hora es 10:35: 17 a.m. es muy preciso (la hora se da con
segundos); però si el reloj està atrasado varios minutos, el valor no serà muy exacto.
Por otro lado, un reloj de caja puede ser muy exacto (dar la hora correcta) però, si no
tiene segundero, no serà muy preciso. Una medición de alta calidad, como las que
definen estàndares (véase la sección 1.3), es tanto precisa como exacta.

Ejemplo 1.3

Cifras significativas al multiplicar

La energia en reposo E de un objeto con masa en reposo m està dada
por la ecuación de Einstein

donde c es la rapidez de la luz en el vacío. Calcule E para un objeto
con m = 9.11 X 10" 1 ' kg (la masa del electrón, con tres cifras signi-
ficativas). La unidad del SI para E es el joule (J); 1 J = 1 kg ■ m 2 /s 2 .

EJÜEEa

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La incògnita es la energia E. Nos dan
la ecuación que debemos utilizar y el valor de la masa m; en la sección
1.3 vimos que el valor exacto de la rapidez de la luz es c —
299,792,458 m/s = 2.99792458 X 10* m/s.

EJECUTAR: Si sustituimos los valores de m y c en la ecuación de
Einstein, tenemos

E= (9.11 X 1(T 31 kg) (2.99792458 X 10* m/s) 2

= (9.1l)(2.99792458) 2 (l0- 3l )(l0 M ) 2 kg•m 2 /s 2
= (81.87659678) ( i0 [- 3l +< 2x!í >]) kg ■ m 2 /s 2
= 8.187659678 X 10" l4 kg • m 2 /s 2

Dado que el valor de m se dio con solo tres cifras significativas, debe-
mos redondear esto a

E = 8.19 X 10" 14 kg-m 2 /s 2 = 8.19 X 10" I4 J

Casi todas las calculadoras usan notación científica y escriben los
exponentes automàtic amente; sin embargo, conviene saber realizar
este tipo de càlculos a mano para cuando sea necesario.

EVALUAR: Mientras que la energia en reposo contenida en un electrón
parecería ridículament© pequeíïa, en la escala atòmica es enorme.
Comparemos nuestra respuesta con 10~ 19 J, la energia que un solo
àtomo gana o pierde durante una reacción química común: jla energia
en reposo de un electrón es aproximadamente 1,000,000 veces mayor!
(Analizaremos el significado de la energia en reposo en el capitulo 37.)

Evalúe su comprensión de la sección 1 .5 La densidad de un material es
igual a su masa dividida entre su volumen. ^Qué densidad (en kg/m 3 ) tiene una roca
de masa 1.80 kg y de volumen 6.0 X 10" 4 m 3 ? i) 3 X 10 3 kg/m 3 ; ii) 3.0 X 10 3 kg/m 3 ;
iii) 3.00 X 10 3 kg/m 1 ; iv) 3.000 X 10 3 kg/m 3 ; v) cualquiera de éstas; todas las respuestas
son matemàticamente equivalentes.

@

1.6 Estimaciones y ordenes de magnitud

Hemos destacado la importància de conocer la exactitud de los números que repre-
sentan cantidades físicas. No obstante, a menudo incluso una estimación burda de una
cantidad puede darnos información útil. A veces sabemos cómo calcular cierta canti-
dad, però tenemos que estimar los datos necesarios para el calculo. O bien, el calculo
seria demasiado complicado para efectuarse con exactitud, así que lo aproximamos.
En ambos casos, nuestro resultado es una estimación, però nos serviria aun si tiene un
factor de incertidumbre de dos, diez o màs. Con frecuencia, tales càlculos se denomi-

1.7 Vectores y suma de vectores

11

nan estimaciones de orden de magnitud. El gran físico italo-estadounidense Enrico
Fermi (1901-1954) los llamaba "càlculos del reverso de un sobre".

Los ejercicios 1.18 a 1.29 del final de este capitulo son de estimación u "orden
de magnitud". Algunos son risibles, y casi todos requieren estimar los datos de
entrada requeridos. No intente consultar muchos datos; estímelos como mejor
pueda. Aun cuando difieran por un factor de diez, los resultados podrían ser útiles
e interesantes.

Ejemplo 1.4

Estimación de orden de magnitud

Suponga que usted escribe una novela de aventuras, donde el héroe
huye a otro país con mil millones de dólares en oro en la maleta. £Es
posible esto? ^Cabria tanto oro en una maleta? ^,Sería demasiado

EMH1

IDENTIFICAR, PLANTEAR Y EJECUTAR: El oro se vende a unos
400 dólares la onza; aunque el precio llega a variar entre 200 y 600
dólares, però no importa. Una onza equivale a unos 30 gramos. De
hecho, una onza ordinària (avoirdupois) son 28.35 g; una onza de oro
es una onza troy, la cual pesa 9.45% mas, però de nuevo no importa.
Diez dólares en oro tienen una masa de aproximadamente 1 g, así que
mil millones (10 9 ) de dólares en oro son cien millones (10 8 ) de gramos
es decir cien mil (10 5 ) kilogramos, que corresponde a un peso en uni-
dades britànicas de aproximadamente 200,000 lb, o 100 toneladas. Ya

sea que el número exacto se acerque mas a 50 toneladas o a 200 to-
neladas, el héroe no seria capaz de cargar tanto peso en una maleta al
cruzar la frontera.

También podemos estimar el volumen del oro. Si su densidad fuera
igual a la del agua (1 g/cm 3 ), el volumen seria 10 8 cm 3 , es decir, 100
m 3 . Sin embargo, el oro es un metal pesado; pensaríamos que su densi-
dad es 10 veces la densidad del agua. De hecho, el oro es 19.3 veces
mas denso que el agua; però al estimar 10 obtenemos un volumen de
10 m . jlmagine 10 pilas cúbicas de lingotes de oro, cada una con 1 m
por lado, y pregúntese si cabrían en una maleta!

EVALUAR: Es evidente que hay que rescribir la novela. Pruebe el
calculo ahora con una maleta llena de diamantes de cinco quilates
(1 gramo), cada uno de los cuales vale 100,000 dólares. £ Ahora sí
podria lograrse?

Evalúe su comprensíón de la sección 1.6 ^Podria estimar el número de dientes que

hay en todas las bocas de su campus universitario (estudiantes, empleados y profesores)?
(Sugerencia: ^cuàntos dientes tiene usted en su boca? Cuéntelos.)

1.7 Vectores y suma de vectores

Algunas cantidades físicas, como tiempo, temperatura, masa y densidad se pueden
describir completamente con un número y una unidad. No obstante, en física muchas
otras cantidades importantes estan asociadas con una dirección y no pueden
describirse con un solo número. Un ejemplo sencillo es el movimiento de un avión:
para describirlo plenamente, debemos indicar no solo qué tan rapidamente se mueve,
sinó también hacia dónde. Para ir de Chicago a Nueva York, un avión debe volar al
este, no al sur. La rapidez del avión combinada con su dirección constituye una canti-
dad llamada velocidad. Otro ejemplo es la fuerza, que en física es un empuje o tirón
aplicado a un cuerpo. Para describir plenamente una fuerza hay que indicar no solo su
intensidad, sinó también en qué dirección tira o empuja.

Cuando una cantidad física se describe con un solo número, decimos que es una
cantidad escalar. En cambio, una cantidad vectorial tiene tanto una magnitud (el
"qué tanto") como una dirección en el espacio. Los càlculos que combinan cantidades
escalares usan las operaciones aritméticas ordinarias. Por ejemplo, 6 kg + 3 kg = 9 kg,
o4X2s = 8s. No obstante, combinar vectores requiere un conjunto de operaciones
diferente.

Para entender mejor los vectores y su combinación, comencemos con la cantidad
vectorial mas sencilla, el desplazamiento, que es simplemente un cambio en la posi-
ción de un punto. (El punto podria representar una partícula o un cuerpo pequeno.) En
la figura 1.9a representamos el cambio de posición del punto P t al punto P 2 con una
línea que va de P, a P 2 , con una punta de flecha en P 2 para indicar la dirección. El
desplazamiento es una cantidad vectorial porque debemos decir no solo cuanto se
mueve la partícula, sinó también hacia dónde. Caminar 3 km al norte desde nuestra

1 .9 Desplazamiento como una cantidad
vectorial. Un desplazamiento es siempre
un segmento recto dirigido desde el punto
inicial hasta el punto final, aunque la
trayectoria sea curva.

a ) í

Notacion manuscnta: fi

Posición final: P.

Posición inicial: P

Desplazamiento À

b)

Trayectoria seguida

El desplazamiento depende solo de las
posiciones inicial y final, no de la
trayectoria que siga.

c)

Si un objeto hace un viaje redondo, el total
de desplazamiento es 0, sin que importe
la distancia recorrida.

12

CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

1.10 El signiflcado de vectores que tienen
la misma magnitud, y la misma dirección
o la dirección opuesta.

casa no nos lleva al mismo sitio que caminar 3 km al sureste; ambos desplazamientos
tienen la misma magnitud, però diferente dirección.

Frecuentemente representamos una cantidad vectorial como el desplazamiento
con una sola letra, como A en la figura 1.9a. En este libro siempre simbolizaremos
los vectores con letras negritas y cursivas con unaflecha arriba, como recordatorio
de que las cantidades vectoriales tienen propiedades diferentes que las cantidades
escalares; la flecha nos recuerda que los vectores tienen dirección. Los símbolos ma-
nuscritos de los vectores suelen subrayarse o escribirse con una flecha arriba (figura
1.9a). Siempre escriba los símbolos vectoriales con una flecha arriba. Si no distingue
entre cantidades vectoriales y escalares en su notación, probablemente tampoco lo
harà en su mente, y se confundirà.

Al dibujar un vector, siempre trazamos una línea con punta de flecha. La longitud
de la línea indica la magnitud del vector, y su dirección es la del vector. El desplaza-
miento siempre es un segmento recto dirigido del punto inicial al punto final, aunque
la trayectoria real seguida por la partícula sea curva. En la figura 1.9b, la partícula
sigue el camino curvo de P l a P 2 , però el desplazamiento sigue siendo el vector A.
Observe que el desplazamiento no se relaciona directamente con la distancia total
recorrida. Si la partícula siguiera a P 2 y volviera a P lt el desplazamiento total seria
cero (figura 1.9c).

Si dos vectores tienen la misma dirección, son paralelos; si tienen la misma mag-
nitud v la misma dirección, son iguales, sea cual fuere su ubicación en el espacio. El
vector A' de P 3 a P 4 en la figura 1.10 tiene las mismas longitud y dirección que
el vector A de P, a P 2 . Ambos desplazamientos son iguales, aunque parten de puntos

distintos. Escribimos esto como A ' = A
p 4 p s en la figura 1.10, usando un signo igualen

negritas para resaltar que la igualdad
de dos cantidades vectoriales no es lo
mismo que la igualdad de dos cantidades
escalares. Dos vectores solo son iguales
si tienen la misma magnitud y la misma
dirección.

Sin embargo, el vector B de la figura
1.10 no es igual a A porque su dirección
es opuesta. Definimos el negativo de un
vector como un vector con la misma
magnitud que el original però con la dirección opuesta. El negativo de A se denota
con — A, y usamos un signo menos en negrita para destacar la índole vectorial de las
cantidades. Si A es 87 m al sur, entonces — A es 87 m al norte. Así, la relación entre A
y B en la figura 1.10 puede escribirse comoA = — B o B = — A. Si dos vectores A y
B tienen direcciones opuestas, sean sus magnitudes iguales o no, decimos que son
antiparalelos.

Frecuentemente representamos la magnitud de una cantidad vectorial (su longitud,
en el caso de un vector de desplazamiento) con la misma letra que usamos para el
vector però en cursiva normal sin la flecha arriba. Una notación alterna es el símbo-
lo vectorial encerrado entre barras verticales:

i- i- - 1-

IA lA'=A IB-

k rl A

Los desplazamientos A

y A son iguales porque
tienen las mismas
longitud y dirección.

El desplazamiento B
tiene la misma
magnitud que A però
en dirección opuesta;
B es el negativo de A.

(Magnitud deA}

(1.1)

Por definición, la magnitud de una cantidad vectorial es una cantidad escalar (un
número) y siempre es positiva. Cabé senalar también que un vector nunca puede ser
igual a un escalar porque son cantidades de tipo distinto. jLa expresión "A = 6 m" es
tan absurda como "2 naranjas = 3 manzanas" o "6 lb = 7 km"!

Al dibujar diagramas con vectores, normalmente usamos una escala similar a la
escala de los mapas. Por ejemplo, un desplazamiento de 5 km podria representarse
con un vector de 1 cm en un diagrama; y un desplazamiento de 10 km, con un vector
de 2 cm. En un diagrama de vectores de velocidad, podríamos usar una escala para
representar un vector de 1 cm como una velocidad cuya magnitud es de 5 metros por
segundo (5 m/s). Entonces, una velocidad de 20 m/s se representaria con un vector de

1.7 Vectores y suma de vectores

13

Suma de vectores

Suponga que una partícula sufre un desplazamiento A, seguido por un segundo des-
plazamiento B (figura 1.11a). El resultado final es el mismo que si la partícula hubiera
partido del mismo punto y sufrido un solo desplazamiento C, como se muestra. Lla-
mamos a C suma vectorial, o resultante, de los desplazamientos A y B. Expresamos
esta relación simbólicamente como

C = A + B

(1.2)

El signo mas en negritas destaca que sumar dos cantidades vectoriales requiere un
proceso geométrico y no es lo mismo que sumar dos cantidades escalares como 2 + 3
= 5. Al sumar vectores, por lo regular colocamos la cola del segundo vector en la
cabeza, o punta, delprimer vector (figura 1.11a).

Si efectuamos los desplazamientos A y B en orden inverso, primero B y luego A
el resultado serà el mismo (figura 1.11b). Entonces,

1.11 Tres formas de sumar dos vectores.
Como se muestra en b), el orden no
importa en la suma de vectores, la cual es
conmutativa.

a) Podemos sumar dos vectores
colocàndolos punta con cola.

A+B

b) Al sumarlos a la inversa se obliene

C = B + A

A + B = B + A

(1.3)

Esto indica que el orden de los términos en una suma de vectores no importa. Dicho
de otro modo, la suma de vectores sigue la ley conmutativa.

La figura 1.11c muestra otra representación de la suma vectorial: si dibujamos los
vectores A y B con sus colas en el mismo punto, el vector C es la diagonal de un para-
lelogramo construido con A y B como dos lados adyacentes.

CUIDADO Magnitudes en la suma de vectores Es un error común suponer que si
C = A + B, entonces la magnitud C debería ser igual a la magnitud A mas la magnitud B. En
general, tal conclusión es errónea; para los vectores de la figura 1.11 es evidente que
C < A + B. La magnitud de A + B depende de las magnitudes de A y B y también del àngulo
que forman Ay B (véase el problema 1 .92). Solo en el caso especial en que Ay B sean parale-
los, la magnitud de C = A + B es igual ala suma de las magnitudes deA y B (figura 1.12a). En
cambio, cuando los vectores son antiparalelos (figura 1.12b) la magnitud de C es la diferencia
de las magnitudes de A y B. Si usted se cuida de distinguir entre cantidades escalares y vecto-
riales, evitarà cometer errores respecto a la magnitud de una suma vectorial.

Si necesitamos sumar màs de dos vectores, podemos sumar primero dos cua-
lesquiera, sumar la resultante al tercero, etcètera. La figura 1.13a muestra tres vec-
tores A, B y C. En la figura 1.13b, se suman primero A y B para daria suma vectorial
D; luego se suman los vectores C y D de la misma forma para obtener la resultante R:

R=(À+B)+C = D + C

c) Podemos también sumarlos construyendo
un paralelogramo.

1.12 a) En el caso especial de que dos
vectores Ay B sean paralelos, la magnitud
de su suma es igual a la suma de sus mag-
nitudes: C = A + B. b) Cuando AyB
son antiparalelos, la magnitud de su suma
es igual a la diferencia de sus magnitudes:
C = \A - B\.

a) La suma de dos vectores paralelos

C=A +B

Como alternativa, podemos sumar primero B y C para obtener el vector E (figura
1.13c), y luego sumar A y E para obtener R:

R=A + (B + C)=A+É

b) La suma de dos vectores antiparalelos
A

C = A + B

1.13 Varias construcciones para obtener la suma vectorial A + B + C.

a) Par

de estos

obtener la suma
tres vectores ...

b) podríamos sumar A y B
para encontrar D y luego
sumar C a D para obtener
la suma final (resultante) R,

R

c) o podríamos sumar B y C
para obtener E y después
sumar A a È para calcular R, .

d) o podríamos sumar A, B
y C para obtener R
directamente ...

e) o podríamos sumar A, B
y C en cualquier otro orden
y aun así obtener R .

14

CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

1.14 Para construir la diferencia vectorial A — B, podrà colocar ya sea la cola de — B en la punta de A o bien, colocar los dos vectores
A y B punta con punta.

Restar B de A .

. es equivalente a sumar — B a A.

A + (-B)=A-B

A + (-Bl =
A-B

Con A y — B de punta a cola, Con Ay B punta con punta,

A — B es el vector desde la A — B es el vector desde la

cola de A hasla la punta de — B. cola de A hasta la cola de B.

1.15 Multiplicación de un vector a) por
un escalar positivo y b) por un escalar
negativo.

a) Al multiplicar un vector por un escalar
positivo, la magnitud (longitud) del vector
podria cambiar, però no su dirección.

— L-

2A

1A es dos veces mas grande que A.

b) Al multiplicar un vector por un escalar
negativo, podria cambiar su magnitud e
invertir su dirección.

-3A

— 3A es tres veces mas grande que A y apunta
en la dirección contraria.

No necesitamos dibujar los vectores D ni E; basta con dibujar los vectores A, B y C
dados en sucesión, con la cola de cada uno en la punta del vector anterior. La suma
vectorial va de la cola del primero hasta la punta del ultimo (figura 1.1 3d). El orden
no importa; la figura 1.1 3e muestra un orden distinto, y el lector puede intentar otros.
Vemos así que la suma de vectores obedece a la ley asociativa.

Así como sumamos vectores también podemos restarlos. Para aprender cómo,
recuerde que el vector — A tiene la misma magnitud que A però dirección opuesta.
Defmimos la diferencia A — B de dos vectores Ay B como la suma vectorial de A y

-B:

(1.4)

A - B = A + (-B)
La figura 1.14 muestra un ejemplo de resta de vectores.

Una cantidad vectorial, como el desplazamiento, se puede multiplicar por una can-
tidad escalar (un número ordinario). El desplazamiento 2A es un desplazamiento
(cantidad vectorial) en la misma dirección que A però dos veces mas largo; esto
equivale a sumar A a sí mismo (figura 1.15a). En general, cuando un vector A se mul-
tiplica por un escalar c, el resultado cA tiene magnitud \c\A (el valor absoluto de c
multiplicado por la magnitud del vector A). Si c es positivo, cA tiene la misma direc-
ción que A; si c es negativo, cA tiene la dirección opuesta a la de A. Así, 3A es para-
lelo aA, però -3A es antiparalelo aA (figura 1.15b).

El escalar que multiplica un vector también puede ser una cantidad física con
unidades. Por ejemplo, es posible que el lector conozca la relación F = ma; la fuerza
neta F (una cantidad vectorial) que actua sobre un cuerpo es igual al producto de la
masa del cuerpo m (una cantidad escalar positiva) y su aceleración a (una cantidad
vectorial). La dirección de F es la misma que la de 2 porque m es positiva, y la mag-
nitud de F es igual a la masa m (que es positiva e igual a su propio valor absoluto)
multiplicada por la magnitud de a. La unidad de la magnitud de la fuerza es la unidad
de masa multiplicada por la unidad de la magnitud de la aceleración.

Ejemplo 1.5

Suma vectorial

Una esquiadora de fondo viaja 1.00 km al norte y luego 2.00 km al este
por un campo nevado horizontal. ^A qué distancia y en qué dirección
està con respecto al punto de partida?

Esnmaa

IDENTIFICAR: El problema implica combinar desplazamientos, así
que podemos resolverlo con una suma de vectores. Las incógnitas
son la distancia total y la dirección de la esquiadora con respecto
a su punto de partida. La distancia es solo la magnitud de su vector
de desplazamiento resultante del punto de origen al punto donde
se detuvo, y la dirección que buscamos es la dirección del vector de
desplazamiento resultante.

PLANTEAR: La figura 1.16 es un diagrama a escala de los desplaza-
mientos de la esquiadora. Describimos la dirección desde el punto de par-
tida con el àngulo (f> (la letra griega fi). Si medimos con cuidado, veremos

1.16 Diagrama vectorial, a escala, de un recorrido en esquí
a campo traviesa.

.8 Componentes de vectores

15

que la distancia al punto inicial es de unos 2.2 km y <f> es aproximada-
mente 63°. No obstante, podemos calcular un resultado mucho mas exac-
to sumando los vectores de desplazamiento de 1.00 km y 2.00 km.

EJECUTAR: Los vectores del diagrama forman un triàngulo rectàn-
gulo; la distancia del punto de partida al punto final es igual a la longi-
tud de la hipotenusa. Obtenemos esta longitud usando el teorema de
Pitàgoras:

V( 1.00 km) 2 + (2.00 km) 2 = 2.24 km

El àngulo (f> se obtiene mediante trigonometría simple. Si usted nece-
sita un repaso, en el Apéndice B se resumen las funciones y las identi-
dades trigonométricas, así como otras relaciones matemàticas y
geométricas útiles. Por la definición de la función tangente,

cateto opuesto
63.4°

2.00 km
1.00 km

Podemos describir la dirección como 63.4° al este del norte o 90°
— 63.4° = 26.6° al norte del este. jComo prefiera!

EVALUAR: Conviene practicar verificando los resultados de un pro-
blema de suma vectorial con mediciones efectuadas en un dibujo de
la situación. Felizmente, las respuestas que obtuvimos calculando
(2.24 km y 4> = 63.4°) son muy cercanas a los resultados burdos que
obtuvimos midiendo (unos 2.2 km y aproximadamente 63°). Si fueran
muy distintos, tendríamos que regresar y buscar los posibles errores.

Evalúe SU comprensíón de la sección 1.7 Dos vectores de desplazamiento, (MP)
S y 7 1 , tienen magnitudes S = 3 m y 7" = 4 m. ^Cuàl de los siguientes resultados podria
ser la magnitud de la diferencia vectorial S — T? (Podria haber mas de una respuesta
correcta.) i) 9 m; ii) 7 m; iii) 5 m; iv) 1 m; v) m; vi) — 1 m.

1.8 Componentes de vectores

En la sección 1.7 sumamos vectores usando un diagrama a escala y las propiedades
de los triàngulos rectàngulos. Al medir un diagrama se obtiene solo una exactitud
muy limitada y los càlculos con triàngulos rectàngulos funcionan únicamente cuando
los dos vectores son perpendiculares. Necesitamos entonces un método sencillo però
general para sumar vectores: el método de componentes.

Para definir las componentes de un vector A, partimos de un sistema rectangular
de ejes de coordenadas (cartesiano) (figura 1.17) y luego dibujamos el vector con su
cola en O, el origen del sistema. Podemos representar cualquier vector en el plano xy
como la suma de un vector paralelo al eje x y un vector paralelo al eje v. Rotulamos
esos vectores como A x y A v en la figura 1 . 1 7a; son los vectores componentes del vec-
tor A, y su suma vectorial es igual a A. Simbólicamente,

Ay "T A„

(1.5)

Puesto que cada vector componente tiene la dirección de un eje de coordenadas,
solo necesitamos un número para describirlo. Si el vector componente A x apunta
hacia la dirección x positiva, definimos el número A v como la magnitud de A z . Si el
vector componente A x apunta en la dirección x negativa, definimos el número A x
como el negativo de dicha magnitud (la magnitud de una cantidad vectorial en sí
misma nunca es negativa). Definimos el número A y del mismo modo. Los dos
números A x y A y son las componentes de A (figura 1.17b).

CUIDADO Las componentes no son vectores Las componentes A, y A T de un vector A
son tan solo números: no son vectores. Por ello, las simbolizamos con letra cursiva normal
sin flecha arriba, en vez de la letra cursiva negrita con flecha que està reservadas para los
vectores.

Podemos calcular las componentes del vector A si conocemos la magnitud A f
y su dirección. Describiremos la dirección de un vector con su àngulo relativo a
una dirección de referència, que en la figura 1.17b es el eje x positivo, y el àngulo

1.17 Representación de un vector A en
términos de a) los vectores componentes
A v y A v y b) las componentes A x y A y (en
este caso, ambas son positivas).

a)

y Los vectores componentes de A .

b)

Los componentes deÀ.

.••• y

A v = Asenfl

16

CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

1.18 Las componentes de un vector
pueden ser números positivos o negativos.

a)

^•'"By es positiva:
su vector
components
B v (+) apunta en la
dirección + y.

>B X (-)

B y es negativa: su vector

componente apunta en la dirección — x.

Ambas componentes de C son negativas.

entre el vector A y el eje x positivo es (la letra griega theta). Imagine que el vector A
yace originalmente sobre el eje +x y luego lo gira hasta su dirección correcta, como
indica la flecha sobre el àngulo en la figura 1.17b. Si la rotación es del eje +x al eje
+y, como indica la figura 1 .17b, entonces es positivo; si la rotación es del eje +x al
eje — y, entonces es negativa. Por lo tanto, el eje +y està a un àngulo de 90°, el eje
— x està a 180° y el eje — y està a 270° (o —90°). Si medimos de esta manera,
entonces por la definición de las funciones trigonométricas,

— = cosí?
A

A. = A cos

A,

—- = sené)

A

A„ = A sen

(1.6)

(0 medido del eje +x girando hacia el eje +y)

En la figura 1.17b, A x es positiva porque su dirección està sobre el eje +x, y A y es
positiva porque su dirección està en el eje +y. Esto es congruente con las ecuaciones
(1.6); està en el primer cuadrante (entre y 90°) y tanto el coseno como el seno del
àngulo son positivos en este cuadrante. En cambio, en la figura 1.18a, la componente
B x es negativa: su dirección es opuesta a la dirección del eje +x. Esto también es con-
gruente con las ecuaciones (1.6); el coseno de un àngulo en el segundo cuadrante es
negativo. La componente B es positiva (sen es positivo en el segundo cuadrante).
En la figura 1.18b, tanto C x como C son negativas (cos y sen son negativos en el

CUIDADO Relación entre la magnitud de un vector y la dirección de sus componentes

Las ecuaciones (1.6) son correctas solo si el àngulo se mide desde el eje x positivo, como se
describe aquí. Si el àngulo del vector se da desde otra dirección de referència, o se utiliza otro
sentido de rotación, las relaciones son distintas. jTenga cuidado! El ejemplo 1.6 llustra este
punto.

Ejemplo 1.6

Calculo de componentes

a) ^,Cuàles son las componentes x y y del vector D en la figura 1.19a?
La magnitud del vector es D - 3.00 m y el àngulo es a = 45°.

b) ^,Cuàles son las componentes x y v del vector E en la figura 1.19b?
La magnitud del vector es E = 4.50 m y el àngulo /3 = 37.0°.

EEEH1

IDENTIFICAR: En cada caso, se nos dan la magnitud y la dirección de
un vector, y se nos pide calcular sus componentes.

1.19 Calculo de las componentes x y v de vectores.
a) b)

D x (+)

PLANTEAR: Parecería que solo necesitamos las ecuaciones (1.6). Sin
embargo, debemos tener cuidado porque los àngulos de la figura 1.19
no estan medidos del eje +x al eje +y.

EJECUTAR: a) El àngulo entre D y el eje x positivo es a {la letra
griega alfa); però este àngulo se mide hacia el eje y negativo. Por lo
tanto, en las ecuaciones (1.6) debemos usar el àngulo 6 = —a = —45°.
Obtenemos

D x = DcosO = (3.00m)(cos(-45°)) = +2.1 m
D y = Dsend = (3.00 m)(sen(-45°)) = -2.1 m

El vector tiene una componente x positiva y una componente y nega-
tiva, como se muestra en la figura. Si por descuido hubiéramos usado
= +45° en las ecuaciones (1.6), habríamos obtenido D v con el signo

b) El eje x no es horizontal en la figura 1 . 1 9b, ni el eje y es vertical.
No se preocupe; piense que los ejes x y y pueden tener cualquier orien-
tación, siempre y cuando los ejes sean perpendiculares entre sí. (En el
capitulo 5 usaremos ejes como estos para estudiar el deslizamiento de
un objeto sobre una rampa; un eje quedarà sobre la rampa, y el otro
serà perpendicular a la rampa.)

Aquí el àngulo (3 (la letra griega beta) es el àngulo entre E y el eje
+y, no el eje -l•x, así que no podemos usar este àngulo en las ecua-
ciones (1.6). En cambio, observe que E define la hipotenusa de un

.8 Componentes de vectores

17

triàngulo rectàngulo; los otros dos lados del triàngulo son las magni-
tudes de E x y E Y , es decir, las componentes x y y de E. El seno de /3
es el cateto opuesto (la magnitud E x ) dividido entre la hipotenusa
(la magnitud E); en tanto que el coseno de /3 es el cateto adyacente (la
magnitud de E y ) dividido entre la hipotenusa (otra vez, la magnitud E).
Ambas componentes de E son positivas, así que

E x = Esenfi = (4.50 m) (sen37.0°) = +2.71 m

E, = £cos/3 = (4.50m)(cos37.0°) = +3.59 m

Si hubiéramos usado las ecuaciones (1.6) directamente escribiendo
E x = E cos 37.0° y E y = E sen 37.0°, jlas respuestas para E x y para E y
se habrían invertido!

Si usted insiste en usar las ecuaciones (1 .6), primero deberà encon-
trar el àngulo entre E y el eje +x, medido hacia el eje +y; es decir,
8 = 90.0° - /3 = 90.0° - 37.0° = 53.0°. Entonces. E, = E cos 6 y
E y = E sen 0. Ahora sustituya los valores de E y en las ecuaciones
(1.6) para demostrar que los resultados para E x y E y son los mismos
que ya obtuvimos.

EVALUAR: Observe que las respuestas en el inciso b) tienen 3 cifras
significativas, però las del a) tienen solo 2. ^Sabe por qué?

Calculos de vectores usando componentes

Utilizar componentes hace relativamente fàciles diversos calculos que implican vec-
tores. Veamos tres ejemplos importantes.

1. Calculo de la magnitud y la dirección de un vector a partir de sus compo-
nentes. Podemos describir un vector plenamente dando su magnitud y dirección, o
bien, sus componentes x y y. Las ecuaciones (1.6) indican cómo obtener las compo-
nentes si conocemos la magnitud y la dirección. También podemos invertir el proceso
y obtener la magnitud y la dirección a partir de las componentes. Aplicando el teo-
rema de Pitàgoras a la figura 1.17b, vemos que la magnitud de un vector A es

Va 2

a:

d./)

(Siempre tomamos la raíz positiva.) La ecuación (1.7) es vàlida para cualesquiera
ejes x y y, siempre y cuando sean perpendiculares entre sí. La expresión para la direc-
ción vectorial proviene de la definición de la tangente de un àngulo. Si medimos 9
desde el eje +x, y un àngulo positivo se mide hacia el eje +y (como en la figura
1.17b), entonces

tané) = —

d = arctan —

A r

(1.8)

Siempre usaremos la notación arctan para la función tangente inversa. También sue-
le usarse la notación tan -1 , y una calculadora podria tener una tecla INV o 2ND para
usarse con la tecla TAN. Microsoft Excel usa ATAN.

CUIDADO Calculo de la dirección de un vector a partir de sus componentes Hay un

pequeno inconveniente en el uso de las ecuaciones (1.8) para obtener 0. Suponga que A x = 2 m
y A y = — 2 m como en la figura 1.20; entonces tan 8 = — 1. Sin embargo, hay dos àngulos con
tangente —1, 135 y 315° (o —45°). En general, cualesquiera dos àngulos que difieran en 180°
tienen la misma tangente. Para decidir cuàl es correcto, debemos examinar las componentes
individuales. Dado que A x es positiva y A v es negativa, el àngulo debe estar en el cuarto cua-
drante; así que 6 = 315° (o —45°) es el valor correcto. La mayoría de las calculadoras de bol-
sillo dan arctan ( — 1) = —45°. En este caso es lo correcto, però si tuviéramos A x = — 2 m y
A y = 2 m, entonces el àngulo correcto es 135°. Asimismo, si A x y A y son negativas, la tangente
es positiva, por lo que el àngulo estarà en el tercer cuadrante. Siempre debe hacerse un dibujo,
como la figura 1 .20, para verificar cuàl de las dos posibilidades es la correcta.

2. Multiplicación de un vector por un escalar. Si multiplicamos un vector A por
un escalar c, cada componente del producto D = cA es solo el producto de c por la
componente correspondiente deA:

D,

cA v

D r

cA v

(componentes de D = cA)

(1.9)

Por ejemplo, la ecuación (1.9) indica que cada componente del vector 1A es dos
veces mayor que la componente correspondiente del vector A, de manera que 2A està
en la misma dirección que A però tiene el doble de magnitud. Cada componente del

1 .20 Elaborar un diagrama de vectores
indica los signos de sus componentes x y y.

Suponga que tan 6

= -1.

t.Cuàl es el valor de dl

Dos àngulos tienen tangentes de —1: 135 y 315°.
El anàlisis del diagrama demuestra que debe ser
315°. /

18

CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

1.21 Obtención
(resultante) de A

de la suma vectorial

y B usando componentes.

R es la suma vectorial
(resultante) de A y B.

Las componentes de R son las sumas
de las componentes de A y fi:

R., = A. + fi,, fi. = A. + B x

vector — 3A es tres veces mayor que la componente correspondiente del vector A però
tiene el signo contrario, así que — 3A està en la dirección opuesta de A y tiene una
magnitud tres veces mas grande. Por lo tanto, las ecuaciones (1.9) son congruentes
con nuestro estudio de la sección 1.7, al multiplicar un vector por un escalar (véase la
figura 1.15).

3. Uso de componentes para calcular la suma de vectores (resultante) de dos
o mas vectores. La figura 1.21 muestra dos vectores, A y B y su suma vectorial R,
junto con las componentes x y y de los tres vectores. En el diagrama se observa que la
componente R x de la resultante es simplemente la suma (A x + BJ de las componentes
x de los vectores sumados. Lo mismo sucede con las componentes v. Simbólica-
mente,

B,

B,

B,

B,

(componentes de/f = A + B)

(1.10)

La figura 1.21 muestra este resultado para el caso en que las componentes A „ A y , B x y
B y son positivas. Dibuje diagramas adicionales para verificar que las ecuaciones
(1.10) son vàlidas sin importar el signo de las componentes deA y B.

Si conocemos las componentes de dos vectores cualesquiera A y B, usando las
ecuaciones (1.6) podríamos calcular las componentes de la resultante R. Entonces, si
necesitamos la magnitud y la dirección de ff, las obtendremos de las ecuaciones (1.7)
y (1.8), cambiando las A por R.

Es fàcil extender este procedimiento para calcular la suma de cualquier cantidad
de vectores. Sea R la suma vectorial de A, B, C, D, E, . . . , entonces, las componen-
tes de R son

(1.11)

Solo hemos hablado de vectores que estan en el plano xy; no obstante, el método
de componentes funciona también para vectores con cualquier dirección en el espa-
cio. Introducimos un eje z perpendicular al plano xy; entonces, en general, un vector
A tiene componentes A„ A y y A. en las tres direcciones de coordenadas. La magni-
tud A està dada por

R*

= A x + B x + C x + D, + E

R,

= A y + B y + C y + D y + E

VaJ

A:

(1.12)

Siempre tomamos la raíz positiva. También, las ecuaciones (1.11) para las compo-
nentes de la suma vectorial R tienen un miembro adicional:

R,

A. + B- + C, + D- + E.

Por ultimo, aunque nuestro anàlisis de la suma de vectores se centro en combinar
vectores de desplazamiento, el método se aplica igualmente a todas las demàs canti-
dades vectoriales. Al estudiar el concepto de fuerza en el capitulo 4, veremos que las
fuerzas son vectores que obedecen las mismas reglas de suma vectorial que usamos con
el desplazamiento. Otras cantidades vectoriales apareceràn en capítulos posteriores.

Estratègia para resolver problemas 1.3

Suma de vectores

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Decida cuàl es la incòg-
nita. Podria ser la magnitud de la suma vectorial, la dirección o ambas
cuestiones.

PLANTEAR el problema: Dibuje los vectores que va a sumar y los
ejes de coordenadas que va a emplear. En su bosquejo, coloque la cola
del primer vector en el origen de las coordenadas; coloque la cola del
segundo vector en la punta del primer vector, y así sucesivamente.
Trace la suma vectorial R desde la cola del primer vector hasta la punta
del ultimo. Examinando su dibujo, haga una estimación burda de la

magnitud y la dirección de R; usarà dichas estimaciones después para
verificar sus càlculos.

EJECUTAR la solución como sigue:

1 . Obtenga las componentes x y y de cada vector y anote los resulta-
dos en una tabla. Si un vector se describe con su magnitud A y su
àngulo 0, medido del eje +x al eje +y, las componentes son

- Acos#

Asen6

.8 Componentes de vectores

19

Algunas componentes podrían ser positivas y otras negativas,
dependiendo de la orientación del vector (es decir, del cuadrante
donde se encuentra 9). Puede usar esta tabla de signos para veri-
ficar:

I

II

III

IV

Si los àngulos de los vectores se dan de otra forma, quizà con otra
referència direccional, conviértalos en àngulos medidos desde el
eje +x como se describió. Tenga especial cuidado con los signos.

2. Sume algebraicamente las componentes x, incluyendo los signos,
para obtener R x , la componente x de la resultante. Haga lo mismo
con las componentes v para obtener R Y .

3. Entonces, la magnitud R y la dirección 9 de la resultante estaran

r-i ï R y

R = VR? + R, 2 9 = arctan—
R x

EVALUAR la respuesta: Verifique la magnitud y la dirección obteni-
das en la suma vectorial comparàndolas con las estimaciones basadas
en su dibujo. Recuerde que la magnitud R siempre es positiva y que
se mide desde el eje x positivo. El valor de obtenido con una calcu-
ladora puede ser el correcto, o quizà tenga un error de 180°. La
decisión se toma examinando el dibujo.

Si sus càlculos son muy diferentes de la estimación realizada a
partir del dibujo, verifique si su calculadora està en modo de "ra-
dianes" o de "grados". Si està en modo de radianes, introducir àngulos
en grados darà respuestas absurdas.

Ejemplo 1.7

Suma de vectores con componentes

Los tres finalistas de un concurso de TV se colocan en el centro de
un campo plano grande. Cada uno cuenta con una regla graduada de un
metro de longitud, una brújula, una calculadora, una pala y (en diferen-
te orden para cada concursante) los siguientes desplazamientos:

72.4 m, 32.0° al este del norte
57.3 m, 36.0° al sur del oeste
17.8 m al sur

Los tres desplazamientos llevan al punto donde estan enterradas las
llaves de un Porsche nuevo. Dos concursantes comienzan a medir de
inmediato; sin embargo, la ganadora primero calcula adónde debe ir.
<,Qué calculo?

EJ

1

IDENTIFICAR: La finalidad es encontrar la suma (resultante) de los tres
desplazamientos, así que se trata de un problema de suma vectorial.

PLANTEAR: La situación se muestra en la figura 1.22. Elegimos el eje
+x como este, y el eje +v como norte, que es lo usual en los mapas.

1 .22 Tres desplazamientos sucesivos A, B y C y el desplaza-
miento resultante (suma vectorial) R = A + B + C.

y (norte)

Sea A el primer desplazamiento, B el segundo y C el tercero. Podemos
estimar en el diagrama que la resultante R està a unos 10 m, 40° al
oeste del norte.

EJECUTAR: Los àngulos de los vectores, medidos del eje +x al eje
+y, son (90.0° - 32.0°) = 58.0°, (180.0° + 36.0°) = 216.0° y 270°.
Debemos obtener sus componentes. Dada nuestra elección de ejes,
podemos usar las ecuaciones (1.6), que nos dan las siguientes compo-
nentes de A :

A y = Acos0 A = (72.4m)(cos58.0°) = 38.37 m
A y = Asen0 A = (72.4 m)(sen58.0°) = 61.40 m

Observe que conservamos una cifra significativa extra en las compo-
nentes. Esperaremos hasta el final para redondear al número correcto
de cifras significativas. La siguiente tabla muestra las componentes de
todos los desplazamientos, la suma de las componentes y los demàs
càlculos. Siempre ordene sistemàtic amente sus càlculos.

Distancia

A = 72.4 m
B = 57.3 m
C= 17.8 m

Angulo Componente x Componente y

58.0°
216.0°

270.0°

38.37 m

61.40 m

46.36 m

-33.68 m

0.00 m

-17.80m

-7.99 m

R, = 9.92 m

R = V(-7.99m) 2 + (9.92 m) 2 = 12.7 m
9.92 m

-7.99 m

129° = 39° al oeste del norte

Los perdedores intentan medir tres àngulos y tres distancias para un
total de 147.5 m, un metro a la vez. La ganadora midió solo un àngulo
y una distancia mucho màs corta.

EVALUAR: Los valores que calculamos para R y 9 no son muy dife-
rentes de nuestras estimaciones de 10 m y 40° al oeste del norte; ;muy
bien ! Observe que 6 = — 5 1 °, o bien, 5 1 ° al sur del este, también satis-
face la ecuación de 9. Sin embargo, como la ganadora hizo un dibujo
de los vectores de desplazamiento (figura 1.22), ella sabé que = 129°
es la única solución correcta para el àngulo.

x (este)

20 CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

Ejemplo 1.8

Vector en tres dimensiones

Un avión despega y viaja 10.4 km al oeste, 8.7 km al norte y 2.1 km KTiTTITTTÏITI
hacia arriba. £A qué distancia està de su punto de partida?

Sea el eje +x al este, el eje +y al norte y el eje +z. hacia arriba.

Entonces, A x = —10.4 km, A y = 8.7 km y A. = 2.1 km; la ecuación
(1.12) da

A = V(-10.4km) 2 + (8.7km) 2 + (2.1 km) 2 = 13.7 km

Evalúe SU comprensión de la sección 1 .8 Dos vectores Ay B estan en el plano xy.

a) ^Esto es posible paraA que tiene la misma magnitud que 5 però componentes diferentes?

b) ^Esto es posible para A que tiene las mismas componentes que B però una magnitud
diferente?

1.9 Vectores unitarios

1 .23 a) Los vectores unitarios i y /.
b) Expresión de un vector A en términos
de sus componentes.

a)

Los vectores unitarios ï yj apuntan
en la dirección de los ejes x y y
respectivamente, y tienen una
magnitud de 1.

b)

- v Podemos expresar un vector A en

términos de sus componentes como

V

i

3xí

s* 1

i>

, s

I

i

Aj

•■ Aj + Aj

r"

Un vector unitario es un vector con magnitud 1, sin unidades. Su única finalidad
consiste en direccionar, es decir, describir una dirección en el espacio. Los vectores
unitarios ofrecen una notación còmoda para muchas expresiones que incluyen com-
ponentes de vectores. Siempre incluiremos un acento circunflejo o "sombrero" ( A )
sobre el símbolo de un vector unitario para distinguirlo de los vectores ordinarios
cuya magnitud podria o no ser 1.

En un sistema de coordenadas x-y podemos definir un vector unitario i que apunte
en la dirección del eje +x y un vector unitario/ que apunte en la dirección del eje +y
(figura 1.23a). Así, expresamos la relación entre vectores componentes y compo-
nentes, descrita al principio de la sección 1.8, como sigue:

A, = AJ
2 = AJ

(1.13)

Asimismo, escribimos un vector A en términos de sus vectores componentes como

A = AJ + AJ

(1.14)

Las ecuaciones (1.13) y (1.14) son vectoriales; cada termino, como A x i, es una canti-
dad vectorial (figura 1.23b). Los signos igual y mas en negritas indican igualdad y
suma de vectores.

Cuando representamos dos vectores A y B en términos de sus componentes,
podemos expresar la resultante R usando vectores unitarios como sigue:

1.24 Los vectores unitarios ;,/ y íc.

y

(1.15)

A = AJ + A y j
B = BJ + BJ

R=A+B

= (AJ + AJ) + {BJ + BJ)

= (A x + Bjï + (A y + B,.)j
= RJ + RJ

La ecuación (1.15) replantea el contenido de las ecuaciones (1.10) en forma de una
sola ecuación vectorial, en vez de dos ecuaciones de componentes.

Si todos los vectores no estan en el plano xy, necesitaremos una tercera compo-
nente. Introducimos un tercer vector unitario k que apunta en la dirección del eje +z
(figura 1.24). Las ecuaciones (1.14) y (1.15) se vuelven, entonces,

A = AJ + AJ + A-k

(1.16)

B = BJ + BJ + Bl

10 Producto de vectores

21

R = (A t + B x )i + (A v + B,)j + (A : + B.)k
= Rj + Rj + R-íc

(1.17)

Ejemplo 1.9

Uso de vectores unitarios

Dados los dos desplazamientos

D = (6ï + 3j - íc) m y É = (4ï - 5; + 8Jfc) m
obtenga la magnitud del desplazamiento 2D — E.

Esmana

IDENTIFICAR: Multiplicamos el vector D por 2 (un escalar) y luego
restamos el vector E del resultado.

PLANTEAR: La ecuación (1.9) indica que para multiplicar D por
2, simplemente multiplicamos cada una de sus componentes por 2.
Después, la ecuación (1.17) nos dice que para restar E de 2Z), simple-
mente restamos las componentes de E de las componentes de 2D.
(Recuerde de la sección 1.7 que restar un vector es lo mismo que
sumar el negativo de ese vector.) En cada una de estàs operaciones
matemàticas, los vectores unitarios i,] y k permanecen iguales.

EJECUTAR: SiF = 2D - E,tenemos

F = 2(6? + 3/ - í) m - (4/ - 5/ + 8fe) m

= [(12 - 4)í + (6 + 5); + (-2 - 8)fc]m

= (82 + 11/ - 10&)m

Las unidades de los vectores D, E y F son metros, así que las com-
ponentes de estos vectores también estan en metros. De la ecuación
(1.12),

F = V/v + F; + Fr

= V(8m) 2 + (llm) 2 + (-10m) 2 - 17 m

EVALUAR: Trabajar con vectores unitarios hace que la suma y la resta
de vectores no sean mas complicadas que la suma y resta de números
ordinarios. Aun así, no olvide verificar que no haya cometido errores
de aritmètica bàsica.

Evalúe SU comprensión de la sección 1.9 Coloque en orden los siguientes
vectores, según su magnitud, donde el vector mas grande sea el primera, i) A = (3í +
5/ - 2k) m; ii) B = (-3? + 5/ - 2k) m; iii) C = (3? - 5/ - 2k) m;
iv)B =(3ï + 5/ + 2Íc)m.

1.10 Producto de vectores

Hemos visto cómo la suma de vectores es consecuencia natural de combinar desplaza-
mientos, y sumaremos muchas otras cantidades vectoriales posteriormente. También
podemos expresar muchas relaciones físicas de forma concisa usando producto de
vectores. Los vectores no son números ordinarios, así que no podemos aplicaries
directamente la multiplicación ordinària. Definiremos dos tipos diferentes de produc-
tes de vectores. El primero, llamado producto escalar, produce un resultado escalar.
El segundo, el producto vectorial, produce otro vector.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores AyBse denota con A • B. Por esta notación, el
producto escalar también se denomina producto punto. Aun cuando A y B sean vec-
tores, la cantidadA • B es un escalar.

Para definir el producto escalar A • B dibujamos A y B, con su cola en el mismo
punto (figura 1.25a). El àngulo (f> (la letra griega fi) puede tomar valores entre y
180°. La figura 1.25b muestra la proyección del vector B sobre la dirección de A; esta
proyección es la componente de B paralela a A y es igual a B cos <f>. (Podemos
obtener componentes en cualquier dirección conveniente, no solo en los ejes x y y.)
Definimos A ■ B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B para-
lela a A. Expresado como por la ecuación,

A-B = ABco&c

A B cost

(definición del producto
escalar (punto))

(1.18)

1 .25 Calculo del producto escalar de dos
vectores, A-B = ABcosé.

a)

Coloque los vectores cola
con cola.

b) A • B es igual a A{E cos </>).

(Magnitud deA) por (Componente de B
paralela aA).

B cos

c) A • B también es igual a B(A cos <

(Magnitud de B) por (Componente deA
paralela ai).

22

CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

1.26 El producto escalar A • B = ABcos<£
puede ser positivo, negativo o cero, depen-
diendo del àngulo entre A y B.

a)

Si 4> està entre
y 90°, A • B
\ es positivo ...

. porque B cos <£ > 0.

b)

Si <£està entre 90 y 1 80°,
A • B es negativo ...

... porque B cos < 0.

Si</> = 90°, A-B =
porque B tiene una
componente cero en la
dirección deA.

También podemos definir A • B como la magnitud de B multiplicada por la com-
ponente de A paralela a B, como en la figura 1 .25c. Así, A-B = A- B = B(A cos (f>)
= AB cos <f>, igual que en la ecuación (1.18).

El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo,
negativo o cero. Si (j> està entre y 90°, cos (j> > y el producto escalar es positi-
vo (figura 1.26a). Cuando (f> està entre 90 y 180°, cos (f> < 0, la componente de B pa-
ralela aA es negativa y A-B también es negativo (figura 1.26b). Por ultimo, cuando
4> = 90°, A • B = (figura 1 .26c). El producto escalar de dos vectores perpendicu-
lares siempre es cero.

Para dos vectores A y B, cualesquiera, AB cos cf> = BA cos 4>. Esto implica que
A • B = B • A. El producto escalar obedece la ley conmutativa de la multiplicación;
el orden de los dos vectores no importa.

Usaremos el producto escalar en el capitulo 6 para describir el trabajo realizado
por una fuerza. Si una fuerza constante F se aplica a un cuerpo que sufre un desplaza-
miento s , el trabajo W (una cantidad escalar) realizado por la fuerza es

W = F-s

El trabajo hecho por la fuerza es positivo si el àngulo entre F y s està entre y 90°,
negativo si el àngulo està entre 90 y 180°, y cero si F y ? son perpendiculares. (Este
es otro ejemplo de un termino con significado especial en física; en el lenguaje
cotidiano, "trabajo" no es algo que pueda ser positivo o negativo.) En este capitulo
màs adelante usaremos el producto escalar para varios fines, desde calcular potencial
eléctrico hasta determinar el efecto de campos magnéticos variables sobre circui-
tos eléctricos.

Calculo del producto escalar usando componentes

Podemos calcular el producto escalar A • B directamente si conocemos las compo-
nentes x, y y z de A y B. Para saber cómo se hace, obtengamos primero los productes
escalares de los vectores unitarios. Esto es fàcil, pues ï,jyk tienen magnitud 1 y son
perpendiculares entre sí. Por la ecuación (1.18),

l •!

i-j

i-k

- k-k
j-k-

(l)cos0° =
1) cos 90°

(1.19)

Ahora expresamos A y B en términos de sus componentes, expandimos el producto y
usamos estos productos de vectores unitarios:

À-B = (AJ + AJ + Al) ■ (BJ + BJ + B : k)
= AJ • B x i + A s ï • BJ + A x ï • B.k

+ AJ • BJ + AJ • BJ + AJ • B.k

+ Al • BJ + Al • BJ + A : k • B z k (1.20)

= A t BJ ■ ï + A t BJ-j + A,BJ ■ k

+ A y Bj • ï + A X BJ •} + A y Bj • k

+ A : B x k • i + A : B v íc •] + A : B : k • k

Por las ecuaciones (1.19), es evidente que seis de estos nueve términos son cero, y los
otros tres que quedan simplemente dan

A-B = A r B r + A V B V + A-B.

(producto escalar (punto) en
términos de sus componentes)

(1.21)

Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus
respectivas componentes.

El producto escalar permite calcular directamente el àngulo <f> entre dos vectores
A y B cualesquiera cuyas componentes conocemos. En este caso, obtenemos el pro-
ducto escalar de A y B. con la ecuación (1.21). Por la ecuación (1.18), dicho producto

10 Producto de vectores

23

escalar también es igual a AB cos 4>. Las magnitudes vectoriales de A y B pueden
obtenerse de los vectores componentes utilizando la ecuación (1.12), así que pode-
mos determinar cos (f> y de ahí el àngulo (f> (véase el ejemplo 1,11).

Ejemplo 1.10

Calculo de un producto escalar

Obtenga el producto escalar A * B de los dos vectores de la figura 1.27.
Las magnitudes de los vectores son A = 4.00 y B = 5.00.

EI

1

IDENTIFICAR: Se nos dan las magnitudes y las direcciones de A y B,
y queremos calcular su producto escalar.

PLANTEAR: Hay dos formas de calcular el producto escalar. La pri-
mera consiste en usar las magnitudes de los vectores y el àngulo entre
ellos (ecuación 1.18); y la segunda, en usar las componentes de los dos
vectores (ecuación 1.21).

1 .27 Dos vectores en dos dimensiones.

y

EJECUTAR: Utilizando el primer enfoque, el àngulo entre los dos vec-
tores es <f> = 130.0° — 53.0° = 77.0°, así que

A-B = ABcos0 = (4.00) (5.00) cos 77.0° = 4.50

Esto es positivo porque el àngulo entre A y B està entre y 90°.

Para el segundo enfoque, primero necesitamos calcular las compo-
nentes de los dos vectores. Como los àngulos de A y B se dan con
respecto al eje +x, medidos hacia el eje +y, podemos usar las ecua-
ciones (1.6):

A x = (4.00) cos 53.0° = 2.407
A v = (4.00) sen 53.0° = 3.195

A. =

B x = (5.00) cos 130.0° = -3.214
B y = (5.00)senl30.0° = 3.830

B. =

Las componentes z son cero porque ambos vectores estan en el plano
xy. Como en el ejemplo 1.7, dejamos una cifra significativa de mas en
las componentes; redondearemos al número correcto al final. Por la
ecuación (1.21), el producto escalares

A * B = A,B X + A y B y + A.B.

= (2.407) (-3.214) + (3.195) (3.830) + (0) (0) =4.50

EVALUAR: Obtenemos el mismo resultado para el producto escalar
con ambos métodos, como debería ser.

Ejemplo 1.11

Calculo de àngulos con el producto escalar

Determine el àngulo entre los dos vectores

À = 2i + 3] + k y B = -4i + 2] - k

Esta fórmula puede utilizarse para encontrar el àngulo entre cuales-
quiera dos vectores A y B. En nuestro ejemplo, las componentes de A

IDENTIFICAR: Se nos dan las componentes x, y y z de dos vectores.
Nuestra incògnita es el àngulo (f> entre ellas.

PLANTEAR: La figura 1.28 muestra los dos vectores. El producto
escalar de dos vectores A y B està relacionado con el àngulo 4> entre
ellos y con las magnitudes Ay B por la ecuación (1.18). También està
relacionado con las componentes de los dos vectores. Si nos dan las
componentes (como en este ejemplo), primero determinamos el pro-
ducto escalar A * B y los valores de A y fi, y luego determinamos la
incògnita 4>.

EJECUTAR: Igualamos entre sí nuestras dos expresiones para el
producto escalar, ecuación (1.18) y ecuación (1.21). Reordenando,
obtenemos

1.28 Dos vectores en tres dimensiones.

COS0

A X B X + AyB y + A.B.
AB

B se extiende desde el origen
hasta la esquina lejana de la
caja azul.

A se extiende desde el origen
hasta la esquina cercana de
la caja roja.

continua

24 CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

son A x = 2, A y = 3 y A z = 1 , y las componentes de B son B x = -
B y = 2 y B : = — 1 . Entonces,

A-B = A X B X + A,B r + A.B.

= (2)(-4) + (3)(2) + (l)(-l) = -3

A = VA; + A; + A: = V2 2 + 3 2 + l 2 = Vl•l

B = Vb} + B, 2 + Br = V(-4 2 ) + 2 2 + (-1) 2 = VY\

A,B, + A,B,. + A.B.

COS0

AB

-0.175

14V21

100°

EVALUAR: Para verificar el resultado, observe que el producto escalar
A ' B es negativo, lo cual significa que tf> està entre 90 y 180° (véase
la figura 1.26), que concuerda con nuestra respuesta.

1 .29 a) El producto vectorial A X B.
determinadqjjor la regla de lajnano
derecha. b) B X À = -A X B;
el producto vectorial es anticonmutativo.

a)

AxB

A X B es perpendicular al
plano que contiene los vectores
À y B.

Esta dirección se determina
mediante la regla de la
mano derecha.

Coloque los vectores cola con cola,
para que definan un plano.

b)

,.-B XA= -AXB

_, (las mismas magnitudes
'BXA però con dirección
contraria).

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores A y B, también llamado producto cruz, se

denota con A X B. Como su nombre lo indica, el producto vectorial es un vector en
sí mismo. Usaremos este producto en el capitulo 10 para describir el torque y la can-
tidad de movimiento angular; en los capítulos 27 y 28 los emplearemos de manera
extensiva para describir campos magnéticos y fuerzas.

Para definir el producto vectorial A X B de dos vectores Ay B otra vez dibujamos
los dos vectores con sus colas en el mismo punto (figura 1.29a). Así, los dos vectores
estan en un plano. Definimos el producto vectorial como una cantidad vectorial per-
pendicular a este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con una magni-
tud igual a AB sen (f>. Esto es, si C = A X B, entonces.

C = AB sen <

(magnitud del producto vectorial (cruz) de A y B) (1.22)

Medimos el àngulo tf> de A hacia B tomando el mas pequeno de los dos àngulos posi-
bles, de manera que cf> està entre y 180°. Por lo tanto, sen <f> — y C en la ecuación
( 1 .22) nunca es negativo, como debe ser toda magnitud de vector. Observe también
que cuando Ay B son paralelos o antiparalelos, (f> = o 180°, y C = 0. Es decir, el
producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero. En par-
ticular, el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero.

CUIDADO Producto vectorial contra producto escalar Tenga cuidado en no confundir
la expresión AB sen </> para la magnitud del producto vectorial A X B con la expresión similar
AB cos (j) para el producto escalar A •B. Para saber la diferencia entre estàs dos expresiones,
suponga que variamos el àngulo entre A y B a la vez que mantenemos constantes sus magni-
tudes. Cuando A y B son paralelos, la magnitud del producto vectorial serà cero y el producto
escalar serà el màximo. Cuando Ay B son perpendiculares, la magnitud del producto vectorial
serà la màxima y el producto escalar serà cero.

Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cada lado del
plano. Elegimos la dirección de A X B como sigue. Imagine que gira el vector A
sobre la línea perpendicular hasta alinearlo con B, eligiendo el àngulo màs pequeno
entre A y B. Gire los dedos de su mano derecha sobre la perpendicular, con las puntas
senalando en la dirección de la rotación; el pulgar senalarà en la dirección de A x B.
Esta regla de la mano derecha se ilustra en la figura 1.29a.

Asimismo, determinamos la dirección de B x A girando B hacia A como en la
figura 1.29b. El resultado es un vector opuesto a A X B. jEl producto vectorial no es
conmutativo! De hecho, para cualesquiera dos vectores A y B,

AxB

-B x A

(1.23)

Como hicimos con el producto escalar, podemos interpretar geométricamente la
magnitud del producto vectorial. En la figura 1.30a, B sen <^> es la componente del
vector B que es perpendicular a la dirección del vector A Por la ecuación (1.22), la
magnitud de A x B es igual a la magnitud de A multiplicada por la componente de B
perpendicular a A. La figura 1.30b muestra que la magnitud de. A X B también es

1.10 Producto de vectores

25

igual a la magnitud de B multiplicada por la componente de A perpendicular a B.
Observe que la figura 1.30 ilustra el caso en que (j> està entre y 90°; usted debería
dibujar un diagrama similar para cf> entre 90 y 180°, para comprobar que es vàlida la
misma interpretación geomètrica de la magnitud de A x B.

Calculo del producto vectorial usando componentes

Si conocemos las componentes de A y B, podremos calcular las componentes del pro-
ducto vectorial usando un procedimiento similar al del producto escalar. Primero
deducimos la tabla de multiplicación de los vectores unitarios ï,jyk, que son mutua-
mente perpendiculares. El producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero,
así que

i x i = j x j = i x i =

El cero en negritas nos recuerda que cada producto es un vector cero; es decir, uno
con todas sus componentes iguales a cero y con dirección indefinida. Usando las
ecuaciones (1.22) y (1.23), y la regla de la mano derecha, tenemos

jxíc=-kxj=i
kxi=—ïxk = j

(1.24)

Puede verificar estàs ecuaciones usando la figura 1.31a.

Ahora expresamos A y B en términos de sus componentes y los vectores unitarios
correspondientes, y expandimos la expresión del producto cruz:

A X B = {Aj + AJ + A : k) X (Bj + Bj + BJc)
= AJ x Bj. + Aj X Bj + Aj X B z k
+ Aj x Bj + Aj X Bj + Aj x BJc
+ Ajc X Bj + AÀ X Bj + A z k X BÍ

(1.25)

También podemos reescribir los términos individuales como en la ecuación (1.25)
como Aj X Bj = (A x B v )i X /, etcètera. Evaluamos estos usando la tabla de multi-
plicar de los vectores unitarios en las ecuaciones (1.24) y luego agrupamos términos,
para obtener

À x B = (A V B Z - A Z B V ) i + (A Z B X - A x B z )j + (A X B V - A v B x )k (1.26)
Por lo tanto, las componentes de C = A X B estan dadas por

(1.27)

i

;'

k

4

A r

A.

fi,

B,

B :

C x = A X B Z - A Z B, C y = A Z B X - A,B. C z = A X B V - A y B x
(componentes de C = A X B)

El producto cruz también puede expresarse en forma de determinante:

A x B

Si usted no ha estudiado determinantes, omita el estudio de esta forma.

Con el sistema de ejes de la figura 1.31a, si invertimos la dirección del eje z,
obtenemos el sistema de la figura 1.31b. Aquí, como podrà comprobar el lector, la
definición del producto cruz da i X j = —k en vez de i X j = k. De hecho, todos los
productes vectoriales de ï, j y k tendrían signos opuestos a los de las ecuacio-
nes (1.24). Vemos que hay dos tipos de sistemas de coordenadas, que difieren en
los signos de los productes cruz de los vectores unitarios. En un sistema derecho,
ï X j = k, como en la figura 1.31a. Lo usual es utilizar solo sistemas derechos, algo
que haremos a lo largo de este libro.

1 .30 Calculo de la magnitud AB sen </>
del producto de dos vectores, A X B.

(La magnitud deA X fí)es igual a A{B sen </»).

(La magnitud de A)

multiplicada por (La componente de B
é\\ perpendicular aA).

b)

(La magnitud deA X B) es igual aü(A sen </>).

(La magnitud del?)

multiplicada por (La componente de A
perpendicular a B).

1.31 a) Siempre utilizaremos un sistema
de coordenadas derecho, como éste.
b) Nunca usaremos un sistema de
i X j = —k, y así sucesivamente).

a) Sistema de coordenadas derecho.

b) Sistema de coordenadas izquierdo;
no lo usaremos aquí.

Ai

26

CAPITULO 1 Unídades, cantidades físicas y vectores

Ejemplo 1.12

Calculo de un producto vectorial

El vector A tiene una magnitud de 6 unidades y està sobre el eje +x.
B tiene una magnitud de 4 unidades y està en el plano xy formando un
àngulo de 30° con el eje +x (figura 1.32). Calcule el producto cruz
A x B.

EEEH1

IDENTIFICAR: Se nos dan la magnitud y la dirección de cada vector,
y queremos encontrar su producto vectorial.

PLANTEAR: Podemos obtener el producto cruz de dos maneras. La
primera consiste en usar la ecuación (1.22) para determinar la magni-
tud de A X B y luego utilizar la regla de la mano derecha para encon-
trar la dirección del producto cruz. La segunda forma es usar las
componentes de A y B para obtener las componentes del producto cruz
C = A X B usando las ecuaciones (1.27).

1 .32 Vectores A y B y su producto vectorial C = A x B. El vec-
tor B està en el plano xy.

EJECUTAR: Con el primer enfoque, por la ecuación (1.22) la magnitud
del producto cruz es

A5sen<£ = (6) (4) (sen30°) = 12

Por la regla de la mano derecha, A X B tiene la dirección del eje
+c;porlotanto,A X B = \2Íc.

Para usar el segundo enfoque, primera escribimos las componentes
deAylf:

4

= 6

A,

=

4 =

B,

= 4cos30°

= 2V3

B,

= 4sen30°

= 2

B. =

Definiendo C = A X B, tenemos, de las ecuaciones (1.27), que

C x = (0)(0) - (0)(2) -0

C y = (0)(2V3) - (6)(0) =0

C= (6)(2) - (0)(2VÜ) = 12

El producto vectorial C tiene solo una componente sobre el eje +z,.
La magnitud concuerda con el resultado obtenido antes, como de-
berfa ser.

EVALUAR: En este ejemplo, el primer enfoque fue màs directo porque
conocíamos las magnitudes de los vectores y el àngulo entre ellos y,
ademàs, ambos vectores estaban en uno de los pianos del sistema de
coordenadas. Sin embargo, muchas veces habrà que obtener el pro-
ducto cruz de dos vectores con una orientación menos còmoda, o de
los que solo se dan las componentes. En tales casos, el segundo enfo-
que es màs directo.

Evalúe SU comprensíón de sección 1.10 El vector A tiene magnitud 2 y el vector B
tiene magnitud 3. Se sabé que el àngulo <fi entre A y B es 0, 90 o 180°. Para cada una de las
siguientes situaciones, determine cuàl debe ser el valor de 4>. (En cada situación puede haber
màs de una respuesta correcta.) à) A * B = 0; b) A X B = 0; c)A* B = 6; d) A* B = —6;
é) (magnitud de A X B) =6.

CAPÍTULO ' RESUMEN

Cantidades y unidades físicas: Las cantidades físicas fundamentales de la mecànica son masa,
longitud y tiempo. Las unidades del SI bàsicas corre spondientes son el kilogramo, el metro y el
segundo. Las unidades derivadas para otras cantidades físicas son productos o cocientes de las
unidades bàsicas. Las ecuaciones deben ser dimensionalmente congruentes. Solo pueden sumarse
dos términos cuando tienen las mismas unidades. (Véanse los ejemplos 1.1 y 1.2.)

Cifras significativas: La exactitud de una medición puede indicarse con el número de cifras significativas
o dando una incertidumbre. El resultado de un calculo no suele tener mas cifras significativas que los
datos. Cuando solo disponemos de estimaciones burdas como datos, podemos estimar el orden de
magnitud del resultado. (Véanse los ejemplos 1.3 y 1.4.)

Cifras significativas en magenta

_C
2r

0.424 m

2(0.06750 m)

123.62 + 8.9 = 132.5

3.14

Escalares, vectores y suma de vectores: Las cantidades escalares son números y se combinan con la
aritmètica usual. Las cantidades vectoriales tienen tanto dirección como magnitud, y se combinan según
las reglas de la suma vectorial. El negativo de un vector tiene la misma magnitud però apunta en la
dirección opuesta. (Véase el ejemplo 1.5.)

y

A + B

B

Componentes de vectores y suma de vectores: La suma
vectorial puede efectuarse con componentes de vectores.
La componente x de la suma vectorial R = A + B es la
suma de las componentes x de A y B, en tanto que las
componentes y y z se obtienen de forma anàloga.
(Véanse los ejemplos 1.6 a 1.8.)

R, = A x + B x
R y = A y + B,
R- = A- + fi.

(1.10)

Vectores unitarios: Los vectores unitarios describen
direcciones en el espacio y tienen magnitud uno, sin
unidades. Los vectores unitarios i, } y k, alineados con los
ejes x, y y z de un sistema de coordenadas rectangular,
tienen especial utilidad. (Véase el ejemplo 1.9.)

A = A x i + AJ + A.k

(1.16)

Producto escalar: El producto escalar C = A • fi de dos
vectores AyBes una cantidad escalar. Se puede expresar
en términos de las magnitudes de A y B y el àngulo que
forman, o bien, en términos de las componentes de A y B.
El producto escalar es conmutativo; A * B = B *A. El
producto escalar de dos vectores perpendiculares es cera.
(Véanse los ejemplos 1.10 y 1.11.)

A-B = AScos0 = |A||B|cos0 (1.18)
À-B = A X B, + A V B V + A-B. (1.21)

Producto escalar A • B = AB cos c

Producto vectorial: El producto vectorial C = A X fi de
dos vectores A y B es otro vector C.A X B cuya magnitud
depende de las magnitudes de A y B así como del àngulo 4>
entre los dos vectores. La dirección de A X fi es
perpendicular al plano de los dos vectores multiplicados,
según la regla de la mano derecha. Las componentes
de C = A X fi se pueden expresar en términos de las
componentes de A y B. El producto vectorial no es
conmutativo; A X B = —B X A. El producto vectorial
de dos vectores paralelos o antiparalelos es cero.
(Véase el ejemplo 1.12.)

C

c v
c.

: Afísen^
= A V B. - A.B y
■■ A.B X - A X B.
■ A V B V - A v B r

(1.22) AXB

(1.27)

AxBes perpendicular
_ al plano que forman
.. À\B.

(Magnitud de A X B) = AB sen <j>.

27

28

CAPÍTU LO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

Términos clave

intervalo de validez, 2

incògnita, 3

modelo, 3

partícula, 3

definición operativa, 4

Sistema Internacional (SI), 4

segundo, 5

metro, 5

kilogramo, 5

prefijo, 5

dimensionalmente consistente, 7

incertidumbre (error), 8

exactitud, 8

error fraccionario, 8

error de aproximación, 8

cifras significativas, 9

notación científica (de potencias de 10), 9

precisión, 10

estimaciones de orden de magnitud, 11

magnitud, 11

desplazamiento, 11

vectores paralelos, 12

negativo de un vector, 12
vectores antiparalelos, 12
suma vectorial (resultante), 13
vectores componentes, 15
componentes, 75
vector unitario, 20
producto escalar (punto), 21
producto vectorial (cruz), 24
regla de la mano derecha, 24
sistema derecho, 25

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo :

Haga que el eje +x apunte al este y el eje +y apunte al norte. Enton-
ces, lo que intentamos encontrar es la componente y del vector de ve-
locidad, el cual tiene magnitud v — 20 km/h y està a un àngulo 6 = 53°
medido desde el eje +x hacia el eje + v. De las ecuaciones (1.6)
tenemos v y = v sen \$ = (20 km/h) sen 53° = 16 km/h. De manera
que el huracàn se mueve 16 km al norte en 1 h.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

1.5 Respuesta: ii) Densidad = (1.80 kg)/(6.0 X 10" 4 m 3 ) = 3.0 X
10 3 kg/m . Al multiplicar o al dividir, el número con menos cifras sig-
nificativas controla el número de cifras significativas del resultado.

1.6 La respuesta depende de cuàntos estudiantes estan inscritos en el
campus.

1.7 Respuestas: ii), iii) y iv) El vector —T tiene la misma magnitud
que el vector T, por lo que S — T = S + ( — T) es la suma de un vec-
tor de magnitud 3 m y uno de magnitud 4 m. Esta suma tiene magnitud
de 7 m si S y — T son paralelos, y magnitud de 1 m si S y — T son
antiparalelos. La magnitud de S — T es de 5 m si S y — T son perpen-
diculares, de manera que los vectores 5, T y S — T forman un triàngu-
lo rectàngulo 3-4-5. La respuesta i), es imposible porque la magnitud

de la suma de dos vectores no puede ser mayor que la suma de las
magnitudes; la respuesta v), es imposible porque la suma de dos vec-
tores puede ser cero solo cuando los dos vectores son antiparalelos y
tiene la misma magnitud; y la respuesta vi), es imposible porque la
magnitud de un vector no puede ser negativa.

1.8 Respuestas: a) sí, b) no Los vectores A y B pueden tener la
misma magnitud pera componentes diferentes si apuntan en direccio-
nes diferentes. Cuando tienen las mismas componentes, sin embargo,
son el mismo vector (A = B) y deben tener la misma magnitud.

1.9 Respuesta^ todos tienen la misma magnitud Los cuatro vecto-
res A, B, C y D apuntan en direcciones diferentes, però todos tienen
la misma magnitud:

B = C = D

■■ V(±3m) 2 + (±5m) 2
= V Q m 2 + 25 m 2 + 4 m 2

+ (±2m) 2

- V 38 m 2 = 6.2 m

1.10 Respuestas: a) tf> = 90°, b) <f> = 0° o tf> = 180°, c) <f> = (T,

d) & = 180°, e) <\$> = 90° a) El producto escalar es cero solo si A
y B son perpendiculares. b) El producto vectorial es cero solo si
A y B son paralelos o antiparalelos. c) El producto escalar es igual
al producto de las magnitudes (A * B = AB) solo cuando A y B son
paralelos. d) El producto escalar es igual al negativo del producto
de las magnitudes (A * B = —AB) solo cuando A y B son antipara-
lelos. e) La magnitud del producto vectorial es igual al producto de las
magnitudes [( magnitud de A X B) = AB] solo cuando A y B son
perpendiculares.

PROBLEMAS

Para la tarea asignada por el profesor, visite www.masteringphysics.com (MP

Preguntas para anàlisis

Pl.l. ^Cuàntos experimentos correctos necesitamos para refutar una

teoria? ^Y para demostraria? Explique su respuesta.

Pl.2. Una guia indica que, en una montana, la pendiente de una vereda

es de 120 metros por kilómetro. ^Cómo expresaría esto con un número

Pi. 3. Suponga que se le pide calcular la tangente de 5.00 metros. ^Es

esto posible? i,Por que?

Pi. 4. Un contratista de carreteras dice que al construir la cubierta de

un puente él vació 250 yardas de concreto. ^A que cree usted que

se referia el contratista?

Pi. 5. í,Qué estatura tiene usted en centímetres? ^Cuàl es su peso en

newtons?

Pi. 6. En Estados Unidos el National Institute of Science and Tech-
nology (NIST) mantiene varias copias exactas del kilogramo estàndar
internacional. A pesar de una cuidadosa limpieza, estos estàndares na-
cionales aumentan de masa a razón de 1 ^tg/ano en promedio, en com-
paración con el kilogramo estàndar internacional. (Se comparan cada
diez anos aproximadamente.) ^Es importante este cambio aparente?
Explique su respuesta.

Pi. 7. í,Qué fenómenos físicos (ademàs de un péndulo o un reloj de
cesio) servirían para definir un estàndar de tiempo?
Pi. 8. Describa cómo podria medir el espesor de una hoja de papel
con una regla común.

Ejercicios 29

Pl.9. La cantidad ir = 3.14159 ... no tiene dimensiones, ya que es un
cociente de dos longitudes. Describa otras dos o tres cantidades geo-
métricas o físicas adimensionales.

Pl.10. ^Cuàles son las unidades de volumen? Suponga que le dicen
que un cilindro de radio r y altura h tiene un volumen dado por ïïr h.
Explique por que esto no puede ser correcto.

Pl.11. Tres arqueros disparan cuatro flechas cada uno hacia un blanco.
Las cuatro flechas de Juan quedan: 10 cm arriba, 10 cm abajo, 10 cm a
la derecha y 10 cm a la izquierda del centro del blanco. Las cuatro fle-
chas de Mario quedan a menos de 1 cm de un punto que està a 20 cm
del centro. Y las cuatro flechas de Felipe quedan a menos de 1 cm del
centro del blanco. El juez del concurso dice que uno de los arque-
ros es preciso però no exacto, otro es exacto però no preciso, y el
tercero es exacto y preciso. ^Cuàl descripción corresponde a cada
arquero? Explique su razonamiento.

Pl.12. Una pista de carreras circular tiene un radio de 500 m. ^,Cuàl es
el desplazamiento de una ciclista que sigue la pista del extremo norte
al extremo sur? £Y cuando da una vuelta completa? Explique su ra-
zonamiento.

Pl.13. £ Puede usted encontrar dos vectores con diferente longitud que
sumados den cero? <;,Qué restricciones de longitud son necesarias para
que tres vectores tengan una resultante cera? Explique su razonamiento.
Pl.14. A veces hablamos de la "dirección del tiempo", del pasado al
futuro. (,Eso significa que el tiempo es un vector? Explique su ra-
zonamiento.

Pl.15. Los controladores de trafico aéreo dan instrucciones a los pilotos
con respecto hacia dónde deben volar. Tales instrucciones se denomi-
nan "vectores". Si éstas son las únicas instrucciones dadas, ^,se està
usando correctamente el termino "vector"? <,Por qué?
Pl.16. ^,Puede encontrar un vector de magnitud cero cuyas componen-
tes sean distintas de cero? Explique su respuesta. ^La magnitud de un
vector puede ser menor que la magnitud de cualquiera de sus compo-
nentes? Explique su respuesta.

Pl.17. a) ^Tiene sentido decir que un vector es negativo'l i,Por qué?
b) <, Tiene sentido decir que un vector es el negativo de otro? ^Por
qué? ^Esta respuesta contradice lo que dijo en el inciso a)?
Pl.18. Si C es la suma vectorial de A y B, C = A + B, i,qué deberà ser
cierto si C = A + S? ^Qué deberà ser cierto si C — 0?
Pl.19. Si A y B son vectores distintos de cero, ^es posible que tanto
A ' B y A X B sean cero? Explique su respuesta.
Pi. 20. (,Qué resulta de A *A, el producto escalar de un vector consigo
mismo? &YA X A, el producto vectorial de un vector consigo mismo?
Pl.21. Sea A cualquier vector distinto de cero. i,Por qué AJA es un vec-
tor unitario y qué dirección tiene? Si 6 es el àngulo entre A y el eje +x,
explique por qué {AJA) * ï se llama el coseno director de dicho eje.
Pl.22. Indique cuàles de las siguientes son operaciones matemàticas
correctas: a) À'(B-Í); b) (À - B) X C; c) À-{BxC);
d)À X (B X C); e) À X (È'C)l En cada caso, justifique sus
respuestas.

Pi. 23. Considere los dos productes vectoriales sucesivos A X (B X C)
y (A X B) X C. Dé un ejemplo que llustre la regla general de que
estos dos productes vectoriales no tienen la misma magnitud o direc-
ción. ^Puede elegir los vectores A, B y C de modo que esos dos pro-
ductes vectoriales sí sean iguales? Si puede, dé un ejemplo.
Pl.24. Demuestre que, sin importar lo que sean A y B,
A* (A X B) = 0. (Sugerencia: no busque una demostración ma-
temàtica compleja. Màs bien, revise la definición de la dirección
del producto cruz.)

Pl.25. a) Si A ' B — 0, necesariamente se concluye que A = o que
B = 0? Explique su respuesta. b) Si A X B = 0, necesariamente se
concluye que A = o que B = 0? Explique su respuesta.

Pi. 26. Si A = para un vector en el plano xy, se concluye que A v
— A y l iQué podria decir acerca de A x y de A v ?

Ejercicios

Sección 1.3 Estàndares y unidades

Sección 1.4 Consistència y conversiones de unidades

1.1. A partir de la definición 1 in = 2.54 cm, determine cuàntos
a) kilómetros hay en 1.00 milla y b) cuàntos pies hay en 1 .00 km.

1.2. Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el volu-
men del contenido es 0.473 litros (L). Use solo las conversiones 1 L =
1,000 cm 3 y 1 in = 2.54 cm para expresar dicho volumen en pulgadas
cúbicas.

1.3. ^Cuàntos nanosegundos tarda la luz en viajar 1.00 ft en el vacfo?
(Este resultado es una cantidad útil para recordar.)

1.4. La densidad del plomo es 11.3 g/cm 3 . ^,Cuàl es su equivalència en
kilogramos por metro cúbico?

1.5. El motor màs potente que había para el automóvil clàsico Chevrolet
Corvette Sting Ray modelo 1963 desarrollaba 360 caballos de fuerza y
tenia un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas. Exprese este despla-
zamiento en litros (L) usando solo las conversiones 1 L = 1,000 cm y
1 in = 2.54 cm.

1.6. Un campo cuadrado que mide 100.0 m por 100.0 m tiene un àrea
de 1.00 hectàreas. Un acre tiene un àrea de 43,600 ft 2 . Si un campo
tiene un àrea de 12.0 acres, ^cuàl es su equivalència en hectàreas?

1.7. ^Cuàntos afíos màs viejo serà usted dentro de 1.00 mil millones de
segundos? (Suponga que un ano tiene 365 días.)

1.8. Mientras va conduciendo en un país extranjero, observa un letrero
que indica el lfmite de velocidad en una carretera como 180,000 es-
tadios (furlongs) por quincena. ^Cuànto es esto en millas por hora?
(Un estadio es g de milla, y una quincena son 14 días. Originalmente
el estadio se referia a la longitud de un surco arado.)

1.9. Cierto automóvil híbrido que consume poco combustible tiene
un rendimiento de gasolina de 55.0 mpg (millas por galón). a) Si us-
ted va manejando dicho auto en Europa y quiere comparar su rendi-
miento con el de otros automóviles europeos, exprese tal rendimiento
en km/L (L = litro). Utilice los factores de conversión del Apéndice
E. b) (,Si el depósito de gasolina de este automóvil tiene una capaci-
dad de 45 L, cuàntas veces deberà llenar el depósito de gasolina para
conducir 1,500 km?

1.10. Las conversiones que siguen son comunes en física, ademàs de
muy útiles. a) Use 1 mi = 5,280 f t y 1 h = 3,600 s para convertir
60 mph a unidades de ft/s. b) La aceleración de un objeto en caída
libre es de 32 ft/s 2 . Use 1 f t = 30.48 cm para expresar esta acelera-
ción en unidades de m/s 2 , c) La densidad del agua es de 1.0 g/cm .
Convierta esta densidad a unidades de kg/m 3 .

1.11. Neptunio. En el otoíïo de 2002, un grupo de científicos de Los
Alamos National Laboratory determino que la masa crítica del neptu-
nio 237 es de unos 60 kg. La masa crítica de un material fisionable es
la cantidad mínima que debe juntarse para iniciar una reacción en
cadena. Este elemento tiene una densidad de 19.5 g/cm 3 . ^Cuàl serà el
radio de una esfera de este material que tiene dicha masa crítica?

Sección 1.5 Incertidumbre y cifras significativas

1.12. Un valor aproximado, útil y fàcil de recordar del número de se-
gundos que hay en un ano es tt X 10 7 . Determine el error de aproxi-
mación en este valor aproximado. (Un ano tiene 365.24 días.)

1.13. La figura 1.7 muestra el resultado de un error inaceptable en el
punto de parada de un tren. a) Si un tren viaja 890 km de Berlín a
París y luego rebasa el fin de la via 10 m, ^cuàl serà el error de apro-
ximación en la distancia total recorrida? b) £ Seria correcto escribir
la distancia total cubierta por el tren como 890,010 m? Explique su
respuesta.

30

CAPÍTU LO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

de un trozo rectangular de làmina mide 12 mm, y usa un micrómetro
para medir el ancho del trozo, obteniendo 5.98 mm. Conteste las si-
guientes preguntas con las cifras significativas correctas. a) íQué àrea
tiene el rectàngulo? b) iQ\xé razón ancho/largo tiene el rectàngulo?
c) iQué perímetro tiene el rectàngulo? d) £Qué diferencia hay entre
la longitud y la anchura?

1.15. Estime el error de aproximación al medir d) una distancia apro-
ximada de 75 cm con una cinta mètrica; b) una masa de unos 12 g con
una balanza analítica; c) un lapso de aproximadamente 6 min con un
cronómetro.

1.16. Un trozo rectangular de aluminio mide 5.10 ± 0.01 cm de longi-
tud y 1.90 ± 0.01 cm de anchura. a) Calcule su àrea y la incertidum-
bre del àrea. h) Verifique que la incertidumbre fraccionaria del àrea
sea igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud
y la anchura. (És te es un resultado general; véase el problema de desa-
fio 1.98.)

1.17. Al comer una bolsa de galletas con chispas de chocolate, usted ob-
serva que cada una es un disco circular con diàmetro de 8.50 ± 0.02 cm
y espesor de 0.050 ± 0.005 cm. a) Calcule el volumen promedio de
una galleta y la incertidumbre del volumen. b) Obtenga la razón dià-
metro/espesor y la incertidumbre de dicha razón.

Sección 1.6 Estimaciones y ordenes de magnitud

1.18. ^Cuàntos galones de gasolina se consumen en Estados Unidos en
un dia? Suponga que hay dos automóviles por cada tres personas, que
cada auto recorre en promedio 10,000 millas por ano, y que el auto
promedio rinde 20 millas por galón.

1.19. Un hombre màs bien ordinario de mediana edad està en el hos-
pital para realizarse un chequeo de rutina. La enfermera escribe la can-
tidad de 200 en el expediente medico però olvida anotar las unidades.
^Cuàl de las siguientes cantidades seria posible que representaran
esos 200? a) Su masa en kilogramos; b) su estatura en metros; c) su
estatura en centímetros; d) su estatura en milímetros; e) su edad en
meses.

1.20. ^Cuàntas semillas de maíz se necesitan para llenar una botella
de bebida gaseosa de 2 L?

1.21. ^Cuàntas palabras hay en este libro?

1.22. Cuatro astronautas estan en una estación espacial esfèrica, d) Si,
como suele ocurrir, cada uno de ellos inhala cerca de 500 cm de aire
en cada respiración, aproximadamente què volumen de aire (en me-
tros cúbicos) respiran estos astronautas en un ano? b) <;,Qué diàmetro
(en metros) debería tener la estación espacial para contener todo este
aire?

1.23. ^Cuàntas veces parpadea un ser humano común durante toda su
vida?

1.24. ^Cuàntas veces late el corazón de una persona en su vida?
^Cuàntos galones de sangre bombea? (Estime que el corazón bombea
50 cm 3 de sangre en cada latido.)

1.25. En la òpera El anillo de los Nibehmgos de Wagner, la diosa
Ereya es rescatada con una pila de oro con la altura y anchura sufi-
cientes para ocultaria. Estime el valor monetario de esta pila. La den-
sidad del oro es de 19.3 g/cm 3 , y su valor es aproximadamente de
\$10 por gramo (aunque esto varia).

1.26. Usted utiliza agua para diluir cantidades pequeíïas de sustancias
químicas en el laboratorio, gota a gota. ^.Cuàntas gotas de agua hay en
una botella de 1.0 L? (Sugerencia: comience por calcular el diàmetro
de una gota de agua.)

1.27. ^Cuàntas pizzas consumen los estudiantes de su escuela cada ano
escolar?

1.28. ^Cuàntos billetes de un dòlar tendría que apilar para llegar hasta
la Luna? <,Eso seria màs barato que construir y enviar ahí una nave

espacial? {Sugerencia: comience doblando un billete de un dòlar para
saber cuantos de sus espesores hacen 1.0 mm.)

1.29. ^,Cuànto costaria tapizar todo Estados Unidos (incluyendo
Alaska y Hawai) con billetes de un dòlar? ^Cuànto tendría que apor-

Sección 1.7 Vectores y suma de vectores

1.30. Al oir el cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplaza-
mientos ràpidos de 1 .8 m y 2.4 m. Haga dibujos (a escala aproximada)
que muestren cómo tales desplazamientos podrían dar una resultante
de magnitud a) 4.2 m; b) 0.6 m; c) 3.0 m.

1.31. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura
1.33. Determine la magnitud y la dirección del desplazamiento resul-

Figura 1.33 Ejercicios 1.31 y 1.38.

4.0 km

tante dibujando un diagrama a escala. (En el ejercicio 1.38 se aborda
de otra manera este problema.)

Figura 1.34 Ejercicios 1.32,
1.35, 1.39, 1.47, 1.53 y 1.57
y problema 1.72.

B(15.0m)

D (10.0 m)

1.32. Con los vectores A y B de la
figura 1.34, use un dibujo a esca-
la para obtener la magnitud y la
dirección de d) la resultante
A + B y b) la diferencia A — B.
Con base en sus respuestas, deter-
mine la magnitud y la dirección de
c) -A - B y d) B - A. (El ejer-
cicio 1.39 enfoca el problema de
otra manera.)

1.33. Una espeleóloga està ex-
plorando una cueva y sigue un
pasadizo 180 m al oeste, luego
210 m 45° al este del sur, y
después 280 m 30° al este del
norte. Tras un cuarto desplaza-
miento no medido, vuelve al
punto inicial. Con un diagra-
ma a escala determine la magnitud y la dirección del cuarto des-
plazamiento. (El problema 1.73 enfoca de manera distinta este
problema.)

Sección 1.8 Componentes de vectores

1.34. Use un dibujo a escala para obtener las componentes x y y de
los siguientes vectores. Para cada vector se dan la magnitud y el àn-
gulo que forman, medido desde el eje +x hacia el eje +y. a) Mag-
nitud 9.30 m, àngulo 60.0°; b) magnitud 22.0 km, àngulo 135°;
c) magnitud 6.35 cm, àngulo 307°.

C(12.0m)

(8.00 m)

Ejercicios 31

1.35. Calcule las componentes x y y de los vectores A, B, C y D de la
figura 1.34.

1.36. Sea el àngulo el que forma el vector A con el eje +x, medi-
do en sentido antihorario a partir de ese eje. Obtenga el àngulo
para un vector que tiene las siguientes componentes: d) A x = 2.00 m,
A y = -l.OOm; b) A x = 2.00 m, A y = 1.00 m; c)A x = -2.00 m, A v =
\.00m;d)A x = -2.00 m,A v = -l.OOm.

1.37. Un cohete enciende dos motores simultàneamente. Uno produce
un empuje de 725 N directamente hacia delante; mientras que el otro
da un empuje de 513 N 32.4° arriba de la dirección hacia adelante.
Obtenga la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia ade-
lante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.

1.38. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura
1.33. Use el método de componentes para determinar la magnitud y la
dirección de su desplazamiento resultante. En un diagrama de suma de
vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resul-
tante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido
con el método de componentes.

1.39. Para los vectores A y B de la figura 1.34, use el método de com-
ponentes para obtener la magnitud y la dirección de a) la suma vecto-
rial A + B\ b) la suma vectorial B + A; c) la diferencia vectorial
A — B\ d) la diferencia vectorial B — A.

1.40. Calcule la magnitud y la dirección del vector representado
por los siguientes pares de componentes: a) A x = —8.60 cm,
A v = 5.20 cm; Z>)A A .= -9.70m,A v = -2.45 m; c) A x = 7.75 km, A v =
-2.70 km.

1.41. Un profesor de física desorientado conduce 3.25 km al norte,
4.75 km al oeste y 1.50 km al sur. Calcule la magnitud y la dirección
del desplazamiento resultante, usando el método de componentes. En
un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre que
el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualita-
tivamente con el obtenido con el método de componentes.

1.42. El vectorA tiene componentes A v = 1.30 cm, A y = 2.25 cm; el
vector B tiene componentes B x = 4. 10 cm, B y = —3.75 cm. Calcule
d) las componentes de la resultante A + B; b) la magnitud y la direc-
ción de A + B; c) las componentes de la diferencia vectorial B — A;
d) la magnitud y la dirección de B — A.

1.43. El vector A mide 2.80 cm y
està 60.0° sobre el eje x en el
primer cuadrante. El vector B
mide 1.90 cm y està 60.0° bajo el
eje x en el cuarto cuadrante (figura
1.35). Utilice las componentes
para obtener la magnitud y la
dirección de a) A + B; b) A — B\
c) B — A. En cada caso, dibuje
la suma o resta de vectores, y de-
muestre que sus respuestas nu-
méricas concuerdan cualitativa-
mente con el dibujo.

1.44. Un río fluye de sur a norte a
5.0 km/h. En este río, una lancha
va de este a oeste, perpendicular a
la corriente, a 7.0 km/h. Vista por
una àguila suspendida en reposo

sobre la ribera, i,qué tan ràpido y en qué dirección viaja la lancha?

1.45. Use componentes de vectores para determinar la magnitud y la
dirección del vector necesario para equilibrar los dos vectores que se
muestran en la figura 1.36. Considere que el vector de 625 N està a lo
largo del eje —y, y que el eje +x es perpendicular a éste y va hacia la
derecha.

Figura 1.36
Ejercicio 1.45.

Figura 1.35 Ejercicios 1.43
y 1.59.

(2.80 cm)

875 N

625 N

1.46. En un plano vertical, dos cuerdas
ejercen fuerzas de igual magnitud sobre un
peso colgante, però tiran con un àngulo de
86.0° entre sí. ^Qué tirón ejerce cada cuerda
si el tirón resultante es de 372 N directa-
mente hacia arriba?

Sección 1.9 Vectores unitarios

1.47. Escriba cada uno de los vectores de la
figura 1.34 en términos de los vectores uni-
tarios ï y J .

1.48. En cada caso, encuentre las componentes x y v del vector A:
a)A = 5.0? - 6.3;; b)A= 11.2/ - 9.91Í; c)A = -15.0/ + 22.4/;
d)A = 5.0 B, donde B = Ai - 6/.

1.49. a) Escriba cada uno de los
vectores de la figura 1.37 en tér-
minos de los vectores unitarios /
y /. b) Utilice vectores unitarios
para expresar el vector C, donde
C = 3.00A - 4.00B. c) Deter-
mine la magnitud y la dirección
deC.

1.50. Dados dos vectores A =
4.00? + 3.00; y B = 5.00/ -
2.00;, a) calcule las magnitudes
de cada vector; b) escriba una
expresión para A — B usando
vectores unitarios; c) obtenga la

Figura 1.37 Ejercicio 1.49
y problema 1.86.

A (3.60 m)

B (2.4 m)

magnitud y la dirección de A — B. d) Dibuje un diagrama vectorial
que muestre A, B, y A — B, y demuestre que su diagrama coincide
cualitativamente con su respuesta del inciso c).

1.51. d) t,El vector (i + j + k) es unitarío? Justifique su respuesta.
b) l'Un vector unitario puede tener una componente con magnitud
mayor a la unidad? £ Puede tener alguna componente negativa? En
cada caso, justifique su respuesta. c) Si A = c/(3.0/ + 4.0;), donde
a es una constante, determine el valor de a que convierte a A en un
vector unitario.

Sección 1.10 Productos de vectores

1.52. d) Use componentes de vectores para demostrar que dos vec-
tores conmutan tanto para la suma como para el producto escalar.
b) Demuestre que dos vectores no conmutan para el producto vecto-
rial; es decir, demuestre que A X B = —B X A.

1.53. Para los vectores A, B y C de la figura 1.34, obtenga los produc-
tos escalares a) À * B; b) B * C; c) À • C.

1.54. a) Obtenga el producto escalar de los dos vectores A y B dados
en el ejercicio 1.50. b) Obtenga el àngulo entre estos dos vectores.

1.55. Calcule el àngulo entre estos pares de vectores:

a) A = -2.00/ + 6.00; y B = 2.00/ - 3.00/

b) A = 3.00/ + 5.00/ y B = 10.00/ + 6.00/

c) A = -4.00/ + 2.00/ y B = 7.00/ + 14.00/

1.56. Haciendo dibujos sencillos de los productos de vectores adecua-
dos, demuestre que a) A * B se puede inteipretar como el producto de
la magnitud de A por la componente de B paralela a A, o bien, la mag-
nitud de B por la componente de A paralela a B; b) \A X B\ puede
interpretarse como el producto de la magnitud de A por la componente
de B perpendicular a A, o bien, la magnitud de B por la componente de
A perpendicular a B.

32

CAPÍTU LO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

1.57. Para los vectores A y D de la figura 1 .34, a) obtenga la magnitud
y la dirección del producto vectorial A X D; b) calcule la magnitud y
la dirección de D X A.

1.58. Obtenga el producto vectorial A X B (expresado en vectores
unitarios) de los dos vectores dados en el ejercicio 1 .50. ^,Cuàl es la
magnitud del producto vectorial?

1.59. Para los dos vectores de la figura 1.35, d) obtenga la magnitud y
la dirección del producto vectorial A X B; b) obtenga la magnitud
y la dirección de B X A.

Problemas

1.60. Un acre, una unidad de agrimensura que todavía se emplea
mucho, tiene una longitud de un estadio (gini) y su anchura es un
décimo de su longitud, a) ^Cuàntos acres hay en una milla cuadrada?

b) ^Cuàntos pies cuadrados hay en un acre? Véase el Apéndice E.

c) Un acre-pie es el volumen de agua que cubriría un acre de terreno
plano hasta 1 ft de profundidad. ^.Cuàntos galones hay en 1 acre-pie?

1.61. Un planeta similar a la Tierra. En enero de 2006, unos
astrónomos informaran el descubrimiento de un planeta comparable en
tamano a la Tierra, el cual òrbita otra estrella y tiene una masa de casi
5.5 veces la masa terrestre. Se cree que està compuesto por una mez-
cla de piedra y hielo, parecido a Neptuno. Si este planeta tiene la
misma densidad que Neptuno (1.76 g/cm 3 ), ^cuàl serà su radio expre-
sado en a) kilómetros y b) como múltiplo del radio terrestre? Consulte
el Apéndice F para màs datos astronómicos.

1.62. El ni a ser de hidrógeno. Las ondas de radio generadas por un
màser de hidrógeno pueden servir como estàndar de frecuencia. La fre-
cuencia de estàs ondas es 1,420,405,751.786 hertz. (Un hertz es un
cicló por segundo.) Un reloj controlado por un màser de hidrógeno
tiene un error de 1 s en 100,000 anos. En las siguientes preguntas, use
solo tres cifras significativas. (El gran número de cifras significativas
dadas para la frecuencia tan solo ilustra la notable exactitud con que se
midió.) a) ^,Cuànto dura un cicló de la onda de radio? b) ^Cuàntos
ciclos ocurren en 1 h? c) ^.Cuàntos ciclos habràn pasado durante la
edad de la Tierra, estimada en 4.6 X 10 9 anos? d) i,Qué error tendría
un reloj de màser de hidrógeno después de un lapso semejante?

1.63. Estime cuàntos àtomos hay en su cuerpo. (Sugerencia: con base
en sus conocimientos de biologia y química, ^cuàles son los tipos de
àtomos màs comunes en su cuerpo? iQué masa tiene cada tipo? El
Apéndice D da la masa atòmica de diversos elementos, medida en
unidades de masa atòmica; el valor de una unidad de masa atòmica
(1 u) se incluye en el Apéndice F.)

1.64. Los tejidos biológicos normalmente conti enen un 98% de agua.
Dado que la densidad del agua es de 1.0 X 10 3 kg/m , estime la masa
de a) el corazón de un ser humano adulto; b) una célula de 0.5 ^ctm de
diàmetro; c) una abeja.

1.65. El hierro tiene la propiedad de que un volumen de 1.00 m 3 tiene
una masa de 7.86 X 10 3 kg (densidad = 7.86 X 10 3 kg/m 1 ). Se desean
formar cubos y esferas de hierro. Determine a) la longitud del lado de
un cubo de hierro que tiene una masa de 200 g, y b) el radio de una
esfera sòlida de hierro que tiene una masa de 200.0 g.

1.66. Las estrellas en el Universo. Los astrónomos a menudo
dicen que hay màs estrellas en el Universo, que granos de arena en
todas las playas de la Tierra. a) Puesto que un grano de arena común
tiene un diàmetro aproximado de 0.2 mm, estime el número de granos
de arena en todas las playas de la Tierra y, por lo tanto, el número
aproximado de estrellas en el Universo. Seria útil consultar un atlas y
hacer mediciones. b) Como una galàxia ordinària contiene aproxima-
damente 100,000 millones de estrellas y hay màs de 100,000 millones

de galaxias en el Universo conocido, estime el número de estrellas en
el Universo y compare este número con el resultado que obtuvo en el
inciso a).

1.67. Los físicos, matemàticos y otros con frecuencia utilizan
números grandes. Los matemàticos inventaran el curioso nombre
googol para el número 10 . Comparemos algunos números grandes
de la física con el googol. (Nota: consulte los valores numéricos
en los apéndices y familiarícese con ellos.) d) Aproximadamente,
^cuàntos àtomos componen la Tierra? Por sencillez, suponga una
masa atòmica media de 14 g/mol. El número de Avogadro da el
número de àtomos en un mol. b) ^.Como cuàntos neutrones hay en
una estrella de neutrones? Tales estrellas contienen casi puros neu-
trones y tienen aproximadamente dos veces la masa del Sol. c) La
principal teoria del origen del Universo dice que, hace mucho tiempo,
todo el Universo observable ocupaba una esfera de radio aproxi-
madamente igual a la distancia actual de la Tierra al Sol y tenia una
densidad (masa entre volumen) de 10 15 g/cm. Suponiendo que un
tercio de las partículas eran protones, un tercio de las partículas eran
neutrones y el tercio restante eran

Figura 1.38 Problema 1.68.

B(80.0N)

A (100.0 N)

electrones, ^cuàntas partículas ha-
bía en el Universo?

1.68. Tres cuerdas horizontales
tiran de una piedra grande ente-
rrada en el suelo, produciendo los
vectores de fuerza A, B y C que
se muestran en la figura 1.38.
Obtenga la magnitud y la direc-
ción de una cuarta fuerza aplicada
a la piedra que haga que la suma
vectorial de las cuatro fuerzas sea
cera.

1.69. Dos trabajadores tiran hori-

zontalmente de una caja pesada, aunque uno de ellos tira dos veces
màs fuerte que el otro. El tirón màs fuerte es hacia 25.0° al oeste del
norte, y la resultante de estos dos tirones es de 350.0 N directamente
hacia el norte. Use las componentes de vectores para calcular la mag-
nitud de cada tirón y la dirección del tirón màs dèbil.

1.70. Aterrizaje de emergència. Un avión sale del aeropuerto de
Galisto y vuela 170 km en una dirección 68° al este del norte; luego
cambia el rumbo y vuela 230 km a 48° al sur del este, para efectuar
inmediatamente un aterrizaje de emergència en un potrero. ^En qué
dirección y qué distancia deberà volar una cuadrilla de rescate enviada
por el aeropuerto para llegar directamente al avión averiado?

1.71. Le han pedido a usted programar un brazo robot de una línea de
ensamble que se mueve en el plano xy. Su primer desplazamiento es A;
el segundo es B, de magnitud 6.40 cm y dirección 63.0° medida en el
sentido del eje +x al eje — y. La resultante C = A + B de los dos
desplazamientos también debería tener una magnitud de 6.40 cm,
pera una dirección de 22.0° medida en el sentido del eje +x al eje -fv.
a) Dibuje el diagrama de la suma de estos vectores, aproximadamente
a escala, b) Obtenga las componentes de A. c) Obtenga la magnitud
y la dirección de A.

1.72. a) Obtenga la magnitud y la dirección del vector R que es la
suma de los tres vectores A, B y C de la figura 1.34. En un diagrama,
muestre cómo se forma R a partir de los tres vectores. b) Obtenga la
magnitud y la dirección del vector S = C — A — B. En un diagrama,
muestre cómo se forma S a partir de los tres vectores.

1.73. La espeleóloga del ejercicio 1.33 està explorando una cueva.
Sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m en una dirección 45° al
este del sur, y después 280 m a 30° al este del norte. Tras un cuarto

Problemas

33

desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Use el método de
componentes para determinar la magnitud y la dirección del cuarto
desplazamiento. Dibuje el diagrama de la suma vectorial y demuestre
que concuerda cualitativamente con su solución numèrica.
1.74. Una marinera en un velero pequeno se topa con vientos cam-
biantes. Navega 2.00 km al este, luego 3.50 km al sureste y después
otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 5.80 km
directamente al este del punto inicial (figura 1.39). Determine la mag-

Figura 1.39 Problema 1.74.

Figura 1.40 Problema 1.75.
100.0-N pull

Figura 1.41 Problema 1.76.

nitud y la dirección del tercer tramo. Dibuje el diagrama de suma vec-
torial y demuestre que concuerda cualitativamente con su solución
numèrica.

1.75. Equilibrio. Decimos que
un objeto està en equilibrio
cuando todas las fuerzas sobre él
se estabilizan (suman cero). La
figura 1.40 muestra una viga que
pesa 124 N y que està apoyada en
equilibrio por un tirón de 100.0 N
y una fuerza F en el piso. La ter-
cera fuerza sobre la viga es el peso

de 124 N que actua verticalmente hacia abajo. a) Utilice componen-
tes de vectores para encontrar la magnitud y la dirección de F. b) Veri-
fique lo razonable de su respuesta en el inciso à) haciendo una solución
gràfica aproximadamente a escala.

1.76. En un vuelo de entrena-
miento, una piloto estudiante vuela
de Lincoln, Nebraska, a Clarinda,
Iowa; luego a St. Joseph, Missouri
y después a Manhattan, Kansas
(figura 1.41). Las direcciones se
muestran relativas al norte: 0° es
norte, 90° es este, 180° es sur y
270° es oeste. Use el método de
componentes para calcular a) la
distancia que debe volar para
regresar a Lincoln desde Man-
hattan; y b) la dirección (relativa
al norte) que debe seguir. llustre
su solución con un diagrama vec-
torial.

1.77. Una disenadora està creando un nuevo logotipo para el sitio Web
de su empresa. En el programa que està usando, cada pixel de un
archivo de imagen tiene coordenadas (x, >'), donde el origen (0, 0) està
en la esquina superior izquierda de la imagen, el eje +x apunta a la
derecha y el eje +y apunta hacia abajo. Las distancias se miden en
pixeles. d) La disenadora traza una línea del punto (10, 20) al punto

147 km
Lincoln 85'

KANSAS MISSOURI

(210, 200). Quiere trazar una segunda línea que parta de (10, 20),
tenga 250 pixeles de longitud y forme un àngulo de 30° medido en
sentido horario a partir de la primera línea. ^En què punto debería
terminar la segunda línea? Dé su respuesta con precisión de enteros.
b) Ahora la disenadora traza una flecha que conecta el extremo infe-
rior derecho de la primera línea con el extremo inferior derecho de la
segunda. Determine la longitud y la dirección de esta flecha. Haga un
diagrama que muestre las tres líneas.

1.78. Regreso. Un explorador en las espesas junglas del Àfrica ecua-
torial sale de su choza. Camina 40 pasos al noreste, 80 pasos a 60° al
norte del oeste y 50 pasos al sur. Suponga que todos sus pasos tienen la
misma longitud, a) Dibuje, aproximadamente a escala, los tres vec-
tores y su resultante. b) Sàlvelo de perderse irremediablemente en la
jungla dàndole el desplazamiento, calculado con el método de com-
ponentes, que lo llevarà de regreso a su choza.

1.79. Un barco zarpa de la isla de Guam y navega 285 km con rumbo
de 40.0° al norte del oeste. i,Qué rumbo deberà tomar ahora y què dis-
tancia deberà navegar para que su desplazamiento resultante sea de
115 km directamente al este de Guam?

1.80. Una roca con peso w des-

Figura 1.42 Problema 1.80.

cansa en una ladera que se eleva
con un àngulo constante a sobre
la horizontal, como se muestra
en la figura 1.42. Su peso es una
fuerza sobre la roca con direc-
ción vertical hacia abajo. a) En
términos de a y w, £qué compo-
nente tiene el peso de la roca en
la dirección paralela a la superfí-
cie de la ladera? b) iQwé com-

ponente tiene el peso en la dirección perpendicular a la superfície
en un techo que tiene una pendiente de 35.0°. Para que la unidad
no se resbale, la componente del peso de la unidad, paralela al te-
cho, no puede exceder 550 N. ^Cuànto puede pesar la unidad como
màximo?

1.81. Huesos y musculós. El antebrazo de una paciente en teràpia
pesa 25.0 N y levanta una pesa de 112.0 N. Estàs dos fuerzas estan
dirigidas verticalmente hacia abajo. Las únicas otras fuerzas aprecia-
bles que actúan sobre el antebrazo provienen del músculo bíceps (que
actua perpendicular al antebrazo) y la fuerza en el codo. Si el bíceps
produce un empuje de 232 N cuando el antebrazo se alza 43° sobre la
horizontal, determine la magnitud y la dirección de la fuerza que el
codo ejerce sobre el antebrazo. (La suma de la fuerza del codo y la del
bíceps debe equilibrar el peso del antebrazo y la pesa que carga, así
que su resultante debe ser 132.5 N hacia arriba.)

1.82. Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante de comida
ràpida preferido. Sale de su apartamento, baja 10 pisos en el elevador
(cada piso tiene 3.0 m de altura) y camina 15 m al sur hacia la salida
del edificio. Luego camina 0.2 km al este, da vuelta al norte y camina
0.1 km hasta la entrada del restaurante. d) Determine el desplaza-
miento entre su departamento y el restaurante. Use notación con vec-
tores unitarios en su respuesta, dejando bien en claro qué sistema de
coordenadas eligió. b) ^Qué distancia recorrió por el camino que
siguió de su departamento al restaurante y qué magnitud tiene el
desplazamiento que calculo en el inciso «)?

1.83. Mientras sigue un mapa del tesoro, usted inicia en un viejo
roble. Primero camina 825 m directamente al sur, luego da vuelta
y camina 1.25 km a 30.0° al oeste del norte y, por ultimo, camina 1.00
km a 40.0° al norte del este, donde usted encuentra el tesoro: juna
biografia de Isaac Newton! a) Para regresar al viejo roble, ^en qué
dirección debería usted seguir y qué distancia tendra que caminar?
Utilice componentes para resolver este problema, b) Para saber si su

34

CAPÍTU LO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores

calculo en el inciso d) es razonable, verifíquelo con una solución grà-

1.84. Imagine que acampa con dos amigos, José y Carlos. Puesto que
a los tres les gusta la privacidad, no levantan sus tiendas juntas. La
de José està a 21.0 m de la suya, en dirección 23.0° al sur del este.
La de Carlos està a 32.0 m de la suya, en dirección 37.0° al norte del
este. <,Qué distancia hay entre las tiendas de Carlos y de José?

1.85. Los vectores A y fi se dibujan desde un punto común. El vec-
tor A tiene magnitud A y àngulo 9 A medido del eje +x al eje +_y. Las
cantidades de fi son B y \$ B . Entonces, A = Acostí + Ase.n\$ A j,
B = Bcos8 B ï + fi sen# B /, y 4> — \\$ B — A \ es el àngulo entre A y B.

a) Deduzca la ecuación (1.18) a partir de la ecuación (1.21).

b) Deduzca la ecuación (1.22) de las ecuaciones (1.27).

1.86. Para los vectores A y B de la figura 1 .37, a) obtenga el producto
escalar A * B, b) obtenga la magnitud y la dirección del producto vec-
torial À x B.

1.87. La figura 1.11c muestra un paralelogramo basado en los dos vec-
tores A y B. a) Demuestre que la magnitud del producto cruz de estos
dos vectores es igual al àrea del paralelogramo. (Sugerencia: àrea =
base X altura.) b) ^Qué àngulo hay entre el producto cruz y el plano
del paralelogramo?

1.88. El vector A tiene 3.50 cm de longitud y està dirigido hacia dentro
del plano de la pàgina. El vector B apunta de la esquina inferior derecha
a la esquina superior izquierda de esta pàgina. Defina un sistema dere-
cho de coordenadas adecuado y obtenga las tres componentes del pro-
ducto vectorial A X B, medidas en cm 2 . En un diagrama, represente su
sistema de coordenadas y los vectores A, B y A X B.

1.89. Dados dos vectores A = -2.00? + 3.00/ + 4.00& y B=
3.00? + 1.00/ — 3.00&, a) obtenga la magnitud de cada vector.
b) Escriba una expresión para la diferencia A — fi, empleando vec-
tores unitarios. c) Calcule la magnitud de la diferencia A — B. i,Es
igual que la magnitud defi — A? Explique su respuesta.

1.90. Angulo de enlace del metano. En la molècula de metano,
CH 4 , cada àtomo de hidrógeno està en la esquina de un tetraedro regu-
lar, con el àtomo de carbono en el centro. En coordenadas en las que
uno de los enlaces C — H esté en la dirección de i + ] + k, un enlace
C — H adyacente està en la dirección ï — / — k. Calcule el àngulo
entre estos dos enlaces.

1.91. Dos vectores A y B se dibujan desde un punto común,
C = A + B. a) Demuestre que si C 2 = A 2 + B 2 , el àngulo entre los
vectores A y fi es 90°. b) Demuestre que si C 2 < A 2 + fi 2 , el àngulo
entre A y B es mayor que 90°. c) Demuestre que si C 2 > A 2 + B 2 , el
àngulo entre los vectores A y B està entre y 90°.

1.92. Si dibujamos dos vectores A y fi desde un punto común, el
àngulo entre ellos es 4>. a) Con técnicas vectoriales, demuestre que la
magnitud de su suma es

VA 2 + B 2 + 2ABcosò

esquina opuesta (línea ad); y b) el àngulo entre las aristas ad y ac (la
diagonal de una cara).

1.94. Obtenga un vector unitario perpendicular a los dos vectores
dados en el problema 1.89.

1.95. Le dan los vectores A = 5.0? - 6.5/ y fi = -3.5? +7.0/. Un
tercer vector C està en el plano xy y es perpendicular a A, y el pro-
ducto escalar de C con B es 15.0. Con esta información, obtenga las
componentes del vector C.

1.96. Dos vectores A y fi tienen magnitudes A = 3.00 y B = 3.00. Su
producto cruz es A X B = — 5.00A + 2.00?. i,Qué àngulo formanA
yfi?

(A X B) ' C. a) Demuestre que, para cualesquiera A, B y C,
A * (fi X C) = (A X fi) * C. b) Calcule (A X fi) * C para los tres
vectores A tiene magnitud A = 5.00 y àngulo 6 A = 26.0° medido del
eje +x al +y, fi tiene B = 4.00 y _B = 63.0° y C tiene magnitud 6.00
y sigue el eje +z. A y fi estan en el plano xy.

Problemas de desafio

1.98. La longitud de un rectàngulo se da como L ± / y su anchura
como W ± w. a) Demuestre que la incertidumbre de su àrea A es
a = Lw + IW. Suponga que las incertidumbres / y w son peque-
nas, y como el producto lw es muy pequeno puede despreciarse.

b) Demuestre que la incertidumbre fraccionaria del àrea es igual a la
suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud y la anchura.

c) Un cuerpo regular tiene dimensiones L ± /, W ± w y H ± h.
Obtenga la incertidumbre fraccionaria del volumen y demuestre que
es igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud,
la anchura y la altura.

1.99. Pase completo. En la Universidad Autònoma de Inmensidad
(UAI), el equipo de futbol americano registra sus jugadas con
desplazamientos vectoriales, siendo el origen la posición del balón al
iniciar la jugada. En cierta jugada de pase, el receptor parte de
+ 1.0? — 5.0/, donde las unidades son yardas, ? es a la derecha y / es
hacia adelante. Los desplazamientos subsecuentes del receptor son
+ 9.0? (en movimiento antes de salir la jugada), +11.0/ (sale hacia
adelante), -6.0? + 4.0/ (a un lado), y +12.0? + 18.0/ (al otro
lado). Mientras tanto, el mariscal de campo retrocedió —7.0/. i,Qué
tan lejos y en qué dirección el mariscal debe lanzar el balón? (Al igual
que al entrenador, le recomendamos diagramar la situación antes de
resolverla numèric amente.)

1.100. Navegación en el Sistema Solar. La nave Mars Polar
Lander se lanzó al espacio el 3 de enero de 1999. El 3 de diciembre
de 1999, el dia en que la nave se poso en la superfície de Marte,
las posiciones de la Tierra y Marte estaban dadas por estàs coor-

b) Si A y B tienen la misma mag-
nitud, (,con qué valor de ^ su
suma tendra la misma magnitud
queA ofi?

1.93. Un cubo se coloca de modo
que una esquina esté en el origen y
tres aristas estén en los ejes x,
v y z de un sistema de coorde-
nadas (figura 1.43). Use vectores
para calcular a) el àngulo entre la
arista sobre el eje z (línea ab) y
la diagonal que va del origen a la

Figura 1.43 Problema 1.93.

Tierra
Marte

0.3182 UA
1.3087 UA

0.9329 UA

-0.4423 UA

0.0000 UA
-0.0414 UA

En estàs coordenadas, el Sol està en el origen y el plano de la òrbita
de la Tierra es el plano xy. La Tierra pasa por el eje +x una vez al ano
en el equinoccio de otoho, el primer dia de otono en el hemisferio
norte (cerca del 22 de septiembre). Una UA (unidad astronòmica)
es igual a 1.496 X 10 8 km, la distancia media de la Tierra al Sol.
a) Dibuje un diagrama que muestre las posiciones del Sol, la Tierra y
Marte el 3 de diciembre de 1999. b) Calcule las siguientes distancias
en UA el 3 de diciembre de 1999: i) del Sol a la Tierra; ii) del Sol a
Marte; iii) de la Tierra a Marte. c) Visto desde la Tierra, £qué àngulo

Problemas de desafio

35

había entre la dirección al Sol y la dirección a Marte el 3 de diciem-
bre de 1999? d) Indique si Marte se veia desde donde usted estaba el
3 de diciembre de 1999 a media noche. (Cuando es la media noche
en su posición, el Sol està en el lado opuesto de la Tierra.)
1.101. Navegación en la Osa Mayor. Las estrellas de la Osa Ma-
yor parecen estar todas a la misma distancia de la Tierra, però en reali-
dad estan muy lejanas entre sí. La figura 1.44 muestra las distancias
desde la Tierra a cada estrella en anos luz (al), es decir, la distan-
cia que la luz viaja en un ano. Un ano luz es igual a 9.461 X 10 15 m.

Figura 1.44 Problema de desafio 1.101.

Dubhe

105 al

Megrez
Mizar 81 al ^

^t

7 *>_ .),. ^

i

yS Alioth \ _

^^^^ Merak

Alkaid

- 64al V^

77 al

138 al

80 al

a) Alkaid y Merak estan separadas 25.6° en el firmamento. Dibuje un
diagrama que muestre las posiciones relativas de Alkaid, Merak y el
Sol. Calcule la distancia en anos luz de Alkaid a Merak. b) Para un
habitante de un planeta en òrbita alrededor de Merak, ^,cuàntos grados
de separación en el cielo habría entre Alkaid y el Sol?
1.102. El vector r = xï + yj + z.K llamado vector de posición,
apunta desde el origen (0, 0, 0) hasta un punto arbitrario en el espacio,
cuyas coordenadas son (x, y, z). Use sus conocimientos de vectores
para demostrar que todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación
Ax + By + Cz = 0, donde A, B y C son constantes, estan en un plano
que pasa por el origen y es perpendicular al vector Aï + Bj + Ck.
Dibuje este vector y el plano.

MOVIMIENTO
EN LÍNEA RECTA

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprenderà:

• Cómo describir el movimiento
en línea recta en términos de
instantanea, aceleración media
y aceleración instantanea.

• Cómo interpretar graficas de
posición contra tiempo, velocidad
contra tiempo y aceleración contra
tiempo para el movimiento en
línea recta.

• Cómo resolver problemas que
impliquen movimiento en línea
recta con aceleración constante,
incluyendo problemas de caída
libre.

• Cómo analizar el movimiento en
línea recta cuando la aceleración
no es constante.

. Un velocista común
acelera durante el
primer tercio de la
carrera y desacelera
resto de la competència.
tEs correcta decir
que un corredor està
acelerando conforme
desacelera durante
los dos tercios finales
de la carrera?

• m Aué distancia debe recórrer un avión comercial antes de alcanzar la rapi-
J 1 tdez de despeje? Cuando lanzamos una pelota de beisbol verticalmente,
KJ ^^^Lqué tanto sube? Cuando se nos resbala un vaso de la mano, £cuànto
tiempo tenemos para atraparlo antes de que choque contra el piso? Este es el tipo de
preguntas que usted aprenderà a contestar en este capitulo. Iniciamos nuestro estudio
de física con la mecànica, que es el estudio de las relaciones entre fuerza, matèria
y movimiento. En este capitulo y el siguiente estudiaremos la cinemàtica, es decir,
la parte de la mecànica que describe el movimiento. Después veremos la dinàmica: la
relación entre el movimiento y sus causas.

En este capitulo nos concentramos en el tipo de movimiento màs simple: un cuerpo
que viaja en línea recta. Para describir este movimiento, introducimos las cantida-
des físicas velocidad y aceleración, las cuales en física tienen definiciones sencillas;
aunque son màs precisas y algo distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano.
Un aspecto importante de las definiciones de velocidad y aceleración en física es que
tales cantidades son vectores. Como vimos en el capitulo 1, esto significa que tienen
tanto magnitud como dirección. Aquí nos interesa solo el movimiento rectilíneo, por
lo que no necesitaremos aún toda el àlgebra vectorial; no obstante, el uso de vectores
serà esencial en el capitulo 3, al considerar el movimiento en dos o tres dimensiones.

Desarrollaremos ecuaciones sencillas para describir el movimiento rectilíneo en el
importante caso en que la aceleración es constante. Un ejemplo es el movimiento de
un objeto en caída libre. También consideraremos situaciones en las que la acelera-
ción varia durante el movimiento. En estos casos habrà que integrar para describir el
movimiento. (Si no ha estudiado integración aún, la sección 2.6 es opcional.)

36

2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media 37

2.1 Desplazamiento, tiempo

Suponga que una piloto de autos de arrancones conduce su vehículo por una pista
recta (figura 2.1). Para estudiar su movimiento, necesitamos un sistema de coordena-
das. Elegimos que el eje x vaya a lo largo de la trayectoria recta del auto, con el ori-
gen O en la línea de salida. También elegimos un punto en el auto, digamos su
extremo delantero, y representamos todo el vehículo con ese punto y lo tratamos co-
mo una partícula.

Una forma útil de describir el movimiento de la partícula — es decir, el punto que
representa el automóvil — es en términos del cambio en su coordenada x durante un
intervalo de tiempo. Suponga que 1.0 s después del arranque el frente del vehículo es-
tà en el punto P,, a 19 m del origen, y que 4.0 s después del arranque està en el punto
P 2 , a 277 m del origen. El desplazamiento de la partícula es un vector que apunta de
P, a P 2 (véase la sección 1.7). La figura 2.1 muestra que este vector apunta a lo lar-
go del eje x. La componente x del desplazamiento es simplemente el cambio en el
valor de x, (277 m — 19 m) = 258 m, que hubo en un lapso de (4.0 s — 1.0 s) = 3.0 s.
Definimos la velocidad media del auto durante este intervalo de tiempo como una
cantidad vectorial, cuya componente x es el cambio en x dividido entre el intervalo de
tiempo: (258 m)/(3.0 s) = 86 m/s.

En general, la velocidad media depende del intervalo de tiempo elegido. Durante
un lapso de 3.0 s antes del arranque, la velocidad media fue cero, porque el auto es-
taba en reposo en la línea de salida y tuvo un desplazamiento cero.

Generalicemos el concepto de velocidad media. En el tiempo r, el auto està en el pun-
to P h con la coordenada .v, , y en el tiempo t 2 està en el punto P 2 con la coordenada x 2 .
El desplazamiento del auto en el intervalo de í, a t 2 es el vector de P] a P 2 . La compo-
nente x del desplazamiento, denotada con Ajc, es el cambio en la coordenada x:

Ax = x 2 — x l (2.1)

El auto de arrancones se mueve solo a lo largo del eje x, de manera que las compo-
nentes y y z del desplazamiento son iguales a cero.

CIUDADO El significació de Ax Note que Ax no es el producto de A y x; es solo un sím-
bolo que significa "el cambio en la cantidad .v". Siempre usaremos la letra griega mayúscula A
(delta) para representar un cambio en cierta cantidad, calculada restando el valor inicial del va-
lor final, y nunca a la inversa. Asimismo, el intervalo de tiempo de t { a t 2 es At, el cambio en la
cantidad r: At = t 2 — /, (tiempo final menos tiempo inicial).

La componente x de la velocidad promedio, o velocidad media, es la componen-
te x del desplazamiento, Ax, dividida entre el intervalo de tiempo At en el que ocurre
el desplazamiento. Usamos el símbolo v msó _ x para representar velocidad media (el

2.1 Posiciones de un auto de arrancones en dos instantes durante su recorrido.

Posición en /j = 1.0 s Posición en l 7 — 4.0 s

SALIDA '

L^ fi _fi_

i

\

i Desplazamiento de

eiex ■ // — x

Or., ^ = 19 m x 2 = 277m

: | Ax = (x 2 - jtj = 258 m >| \

: "Coordenada x de un auto ■ Coordenada x de un auto

/ de arrancones en 1 .0 s \ de arrancones en 4.0 s

x es positiva a la derecha del Cuando cl auto se mucvc en la dirección +x, cl desplazamiento

origen {Ó), y negativa a la Ax es positivo y, por ende, su velocidad media:

izquierda de éste. Ax 258 m ní . ,

38

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

subíndice "med" indica que se trata de un valor promedio y el subíndice x indica que
esta es la componente x):

-ii Ax

h - h

Ai

(velocidad media, movimiento rectilíneo)

(2.2)

En el ejemplo del auto de arrancones teníamos x {
U = 4.0 s, así que la ecuación (2.2) da

277 m - 19 m 258 m

19m,.v 2 = 277 m, f, = 1.0 sy

4.0 s - 1.0 s

3.0 s

86 m/s

La velocidad media del auto es positiva. Esto significa que, durante el intervalo, la
coordenada x aumentó y el auto se movió en la dirección +x (a la derecha en la fi-
gura 2.1).

Si una partícula se mueve en la dirección x negativa durante un intervalo de tiem-
po, su velocidad media en ese lapso es negativa. Por ejemplo, suponga que la camio-
neta de un juez se mueve hacia la izquierda sobre la pista (figura 2.2). La camioneta
està en ,v, = 277 mení, = 16.0 s, y en x 2 = 19 m en u = 25.0 s. Entonces, Ax =
(19 m - 277 m) = -258 m y Af = (25.0 s - 16.0 s) = 9.0 s. La componente x de
la velocidad media es i;^., = Ax/Ar = (-258 m)/(9.0 s) = -29 m/s.

Hay algunas reglas sencillas para la velocidad media. Siempre que x sea positi-
va y aumente o sea negativa y se vuelva mcnos negativa, la partícula se mueve
en la dirección +x y v mcd . x es positiva (figura 2.1). Siempre que x sea positiva y
disminuya, o sea negativa y se vuelva mas negativa, la partícula se mueve en la
dirección — x y v med . x es negativa (figura 2.2).

CUIDADO Elección de la dirección v positiva No sucumba a la tentación de pensar que
una velocidad media positiva implica necesariamente movimiento a la derecha, como en la figura
2.1, y una velocidad media negativa implica movimiento a la izquierda, como en la figura 2.2.
Tales conclusiones son correctas solo si la dirección +x es hacia la derecha, como elegimos en
las figuras 2. 1 y 2.2. Igualmente podrfamos haber decidido que la dirección +x fuera hacia la
izquierda, con el origen en la llegada. Entonces, el auto habría tenido velocidad media negativa;
y la camioneta del juez, positiva. En casi todos los problemas, podremos elegir la dirección del
eje de coordenadas. Una vez tomada la decisión, [deberà tomarse en cuenta al interpretar los
signos de v meA ^ y otras cantidades que describen el movimiento!

En el movimiento rectilíneo por lo general llamaremos a Ax el desplazamiento y a
v mti -x l a velocidad media. Sin embargo, no olvide que éstas son realmente las compo-
nentes x de cantidades vectoriales que, en este caso especial, solo tienen componentes x.
En el capitulo 3, los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración tendràn dos
o tres componentes distintas de cero.

La figura 2.3 es una gràfica de la posición del auto de arrancones en función del
tiempo, es decir, una gràfica x-t. La curva de la figura no representa la trayectoria
del auto; esta es una línea recta, como se observa en la figura 2.1. Màs bien, la gràfi-
ca es una forma de representar visualmente cómo cambia la posición del auto con el

2.2 Posiciones de la camioneta de un juez
en dos instantes durante su movimiento.
Los puntos P, y P 2 ahora se refieren a las
posiciones de la camioneta, por lo que son
diferentes de las de la figura 2.1.

Posición en U = 25.0 s

Posición en í.

SALIDA
t P,

Desplazamiento de fi a t 2

16.0 s

H-

19 m x 1 = 277 m
A.ï = (x 2 - x,) = -258 m 1 \

Esta posición es ahora x 2 . i Esta posición es ahora a,.

Cuando la camioneta se mueve en la dirección —x, Ax es

negativo y, por ende, su velocidad media:

= Ax = -258 n

tVd-.ï A , 90s

29 m/s

39

Pista de

arrancones

(no està a escala)

400

m) Para un desplazamiento a lo largo del eje x, la velocidad media
de un objeto L> me j_ v es igual a la pendiente de una linea que
conecta los puntos correspondientes
en una gràfica de posición (x) contra
tiempo (í).

Pi

inclinación ^ x
de la recta — Ar

2.3 La posición de un auto de arrancones
en función del tiempo.

tiempo. Los puntos p, y p 2 en la gràfica corresponden a los puntos P, y P 2 de la tra-
yectoria del auto. La línea /?,/;> 2 es la hipotenusa de un triàngulo rectàngulo con cate-
to vertical Ax = x 2 — x t y cateto horizontal Ai = f 2 — f,. Así, la velocidad media
del auto y mcd _. v = Ax/At es igual a la pendiente de la línea p,p 2 , es decir, el cocien-
te del cateto vertical Ax y el cateto horizontal Ai.

La velocidad media depende solo del desplazamiento total Ax = x 2 — x, que se
da durante el intervalo Ai = í 2 — t lt no en los pormenores de lo que sucede dentro de
ese intervalo. En el tiempo i, una motocicleta podria haber rebasado al auto de arran-
cones en el punto P, de la figura 2.1, para después reventar el motor y bajar la veloci-
dad, pasando por P 2 en el mismo instante t 2 que el auto. Ambos vehículos tienen el
mismo desplazamiento en el mismo lapso, así que tienen la misma velocidad media.

Si expresamos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la velocidad me-
dia se mide en metros por segundo (m/s). Otras unidades de velocidad comunes son
kilómetros por hora (km/h), pies por segundo (ft/s), millas por hora (mi/h) y nudos
(1 nudo = 1 milla nàutica/h = 6080 ft/h). La tabla 2.1 muestra algunas magnitudes

Evalúe su comprensión de la sección 2.1 Cadauno de los siguientes viajes (MP)
en automóvil dura una hora. La dirección x positiva es hacia el este. i) El automóvil A
viaja 50 km al este. ii) El automóvil B viaja 50 km al oeste. Ui) El automóvil C viaja
60 km al este, luego da vuelta y viaja 10 km al oeste. iv) El automóvil D viaja 70 km al este.
v) El automóvil E viaja 20 km al oeste, luego da vuelta y viaja 20 km al este. a) Clasifique los
cinco viajes en orden de velocidad media de mas positivo a mas negativo. b) ^Cuàles viajes,
si hay, tienen la misma velocidad media? c) ^,Para cuàl viaje, si hay, la velocidad media
es igual a cero?

Tabla 2.1 Magnitudes típicas

Reptar de caracol

10" 3 m/s

Andar ràpido

2 m/s

Hombre mas ràpido

11 m/s

Guepardo en carrera

35 m/s

Automóvil màs ràpido

341 m/s

Movimiento aleatorio de

moléculas de aire

500 m/s

Avión màs ràpido

1000 m/s

Satélite de comunicación en òrbita 3000 m/s

Electron en un àtomo

de hidrógeno

Luz que viaja en el vacío

2 X 10 6 m/s

3 X 10 s m/s

Hay ocasiones en que la velocidad media es lo único que necesitamos saber acerca
del movimiento de una partícula. Por ejemplo, una carrera en pista recta es en reali-
dad una competència para determinar quién tuvo la mayor velocidad media, v med _ x .
Se entrega el premio al competidor que haya recorrido el desplazamiento Ax de la
línea de salida a la de meta en el intervalo de tiempo màs corto, Ai (figura 2.4).

Sin embargo, la velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo
no nos indica con qué rapidez, o en qué dirección, la partícula se estaba moviendo en
un instante dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, nece-
sitamos definir la velocidad en cualquier instante especifico o punto especifico del ca-
mino. Esta es la velocidad instantànea, y debe definirse con cuidado.

CUIDADO iCuànto tiempo dura un instante? Note que la palabra "instante" tiene un
significado un poco distinto en física que en el lenguaje cotidiano. Podemos utilizar la frase
"dura solo un instante" para referirnos a algo que duro un intervalo de tiempo muy corto. Sin
embargo, en física un instante no tiene duración; es un solo valor de tiempo.

2.4 El ganador de una carrera de natación
media tenga la mayor magnitud, es decir,
quien cubra el desplazamiento Ax de 50 m
en el tiempo transcurrido Ar màs corto.

Ui

4t<tta0w&ft

40

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

2.5 Incluso al avanzar, la velocidad
instantànea de este ciclista puede
ser negativa: si està viajando en la
dirección x negativa. En cualquier
problema, nosotros decidimos cuàl
dirección es positiva y cuàl es negativa.

Para obtener la velocidad instantànea del auto de la figura 2. 1 en el punto P u mo-
vemos el segundo punto P 2 cada vez mas cerca del primer punto P, y calculamos la
velocidad media v m€d _ x = Ax/At para estos desplazamientos y lapsos cada vez mas
cortos. Tanto Ax y At se hacen muy pequenos; però su cociente no necesariamente lo
hace. En el lenguaje del calculo, el límite de Ax/At cuando At se acerca a cero es la
derivada de x con respecto a t y se escribe dxjdt. La velocidad instantànea es el lími-
te de la velocidad media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero; es igual a
la tasa instantànea de cambio de posición con el tiempo. Usamos el símbolo v„ sin
"med" en el subíndice, para la velocidad instantànea en el eje x:

v x

Ax dx
lím — = — (velocidad instantànea, movimiento rectilíneo) (2.3)
A'^o At dt

Siempre suponemos que Af es positivo, así que v x tiene el mismo signo algebrai-
co que Ax. Un valor positivo de v x indica que x aumenta y el movimiento es en la di-
rección x positiva; un valor negativo de v x indica que x disminuye y el movimiento
es en la dirección x negativa. Un cuerpo puede tener x positivo y v x negativa, o al re-
vés; x nos dice dónde està el cuerpo, en tanto que v x nos indica cómo se mueve (fi-
gura 2.5).

La velocidad instantànea, igual que la velocidad media, es una cantidad vectorial.
La ecuación (2.3) define su componente x. En el movimiento rectilíneo, las demàs
componentes de la velocidad instantànea son cero y, en este caso, llamaremos a v x
simplemente velocidad instantànea. (En el capitulo 3 veremos el caso general en el
que la velocidad instantànea puede tener componentes x, y y z distintas de cero.) Al
usar el termino "velocidad", siempre nos referiremos a la velocidad instantànea, no a
la media.

Los términos "velocidad" y "rapidez" se usan indistintamente en el lenguaje coti-
diano; no obstante, en física tienen diferente significado. Rapidez denota distancia re-
corrida dividida entre tiempo, con un régimen medio o instantàneo. Usaremos el
símbolo v (sin subíndice) para denotar la rapidez instantànea, que mide qué tan ràpido
se mueve una partícula; la velocidad instantànea mide con qué rapidez y en qué direc-
ción se mueve. Por ejemplo, una partícula con velocidad instantànea v x = 25 m/s y
otra con v x = — 25 m/s se mueven en direcciones opuestas con la misma rapidez ins-
tantànea de 25 m/s. La rapidez instantànea es la magnitud de la velocidad instantànea,
así que no puede ser negativa.

CUIDADO Rapidez media y velocidad media La rapidez media, sin embargo, no es la
magnitud de la velocidad media. Cuando Alexander Popov estableció un rècord mundial en
1994 nadando 100.0 m en 46.74 s, su rapidez media fue de (100.0 m)/(46.74 s) = 2.139 m/s.
No obstante, como nadó dos veces la longitud de una alberca de 50 m, termino en el punto de
donde partió, con un desplazamiento total de cero ;y una velocidad media de cero! Tanto la
rapidez media como la rapidez instantànea son escalares, no vectores, porque no contienen
información de dirección.

Ejemplo 2.1

Velocidades media e instantànea

Un guepardo acecha 20 m al este del escondite de un observador
(figura 2.6a). En el tiempo t = 0, el guepardo ataca a un antílope y
empieza a córrer en línea recta. Durante los primeros 2.0 s del ataque,
la coordenada x del guepardo varia con el tiempo según la ecuación
x = 20 m + (5.0 m/s )r. a) Obtenga el desplazamiento del guepardo
entre t x = 1.0 s y t 2 = 2.0 s. b) Calcule la velocidad media en dicho

intervalo. c) Calcule la velocidad instantànea en ^ = 1.0 s tomando
Ai = 0.1 s, luego Ai = 0.01 s, luego Ai = 0.001 s. d) Deduzca una
expresión general para la velocidad instantànea en función del tiem-
po, y con ella calcule v x en t = 1.0 s y t = 2.0 s.

41

EHHEJ

La velocidad media durante estos intervalos es

IDENTIFICAR: Este problema requiere usar las definiciones de des-
plazamiento, velocidad media y velocidad instantànea. El uso de las
dos primeras implica àlgebra; la última requiere calculo para derivar.

PLANTEAR: La figura 2.6b muestra el movimiento del guepardo. Para
analizar este problema, usamos la ecuación (2.1) del desplazamiento,
la ecuación (2.2) de la velocidad media y la ecuación (2.3) de la velo-

EJECUTAR: d) En f, = 1.0 s, la posición x ] del guepardo es

.y, = 20 m + (5.0 m/s 2 ) ( 1.0 s) 2 = 25 m
En t 2 = 2.0 s, su posición x 2 es

x 2 = 20 m + (5.0 m/s 2 ) (2.0 s) 2 = 40 m
El desplazamiento en este intervalo es

A* = x 2 - x ï = 40 m - 25 m = 15 m
b) La velocidad media durante este intervalo es
X 2 ~ A'i 40 m - 25 m 15 m

2.0 s - l.Os 1.0 s

15 m/s

26.05 m - 25 m
1.1 s - l.Os

10.5 m/s

Siga este método para calcular las velocidades medias de los intervalos
de 0.01 s y 0.001 s. Los resultados son 10.05 m/s y 10.005 m/s. Al dis-
minuir Ai, la velocidad media se acerca a 10.0 m/s, por lo que conclui-
mos que la velocidad instantànea en t = 1.0 s es de 10.0 m/s.

d) Al calcular la velocidad instantànea en función del tiempo, deri-
ve la expresión de x con respecto a t. La derivada de una constante es
cero, y para cualquier n la derivada de t" es nt"~\ así que la derivada
de t" es 2t. Por lo tanto,

dx

— = (5.0 m/s 2 ) (2t) = (I0m/s 2 )í
dt

10 m/s, como vimos en el inciso c). En t = 2.0 s,

En t = 1.0 s, v x
V x = 20 m/s.

EVALUAR: Nuestros resultados muestran que el guepardo aumentó su
rapidez de t = (cuando estaba en reposo) a / = 1.0 s (v x = 10 m/s) a
t = 2.0 \$(v x = 20 m/s), lo cual es razonable: el guepardo recorrió solo
5 m durante el intervalo t = a t = 1.0 s; sin embargo, recorrió 15 m
en el intervalo t = 1.0 s a t = 2.0 s.

c) Con Ai = 0.1 s, el intervalo es de f, = 1.0 s a t 2 — 1.1 s. En t 2 ,
la posición es

x 2 = 20 m + (5.0 m/s 2 ) (1.1 s) 2 = 26.05 m

2.6 Un guepardo agazapado en un arbusto ataca a un antílope. Los animales no estan a la misma escala que el eje.

a) La situación

b) Nuestro

esquema

50.0 m

c) Nuestro
razonamiento

(V) Trazamos un eje
y lo dirigimos
en la dirección en
que corre el
guepardo, de
manera que
nuestros valores
sean positivos.

(2) Elegimos
colocar el
origen en
el vehículo
(escondite).

(3)Marcamos las

posiciones iniciales
del guepardo y del
antílope. (No usaremos
la posición del antílope,
porque aún no la
sabemos.)

(V) Nos interesa

el movimiento del
guepardo entre 1 s y 2 s
después de que empieza
a córrer. Colocamos
marc as que representen
tales puntos.

(5) Anotamos las literales
conocidas y desconocidas.
Usamos los subfndices
1 y 2 para las marcas
cnf= lsyí=2s.

42

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

A.ct v
Physlcs

1.1 Anàlisis del movimiento usando
diagramas

Obtención de la velocidad en una gràfica x-t

La velocidad de una partícula también puede obtenerse de la gràfica de la posición de
la partícula en función del tiempo. Suponga que queremos conocer la velocidad del
auto de la figura 2.1 en P,.En la figura 2.1, conforme P 2 se acerca a P u el punto p 2 e n
la gràfica x-t de las figuras 2.7a y 2.7b se acerca al punto p, y la velocidad media se
calcula en intervalos Ar cada vez màs cortos. En el límite Ar — > 0, ilustrado en la fi-
gura 2.7c, la pendiente de la línea p,p 2 es igual a la pendiente de la línea tangente a la
curva en el punto p, . Así, en una gràfica de posición en función del tiempo para movi-
miento rectilíneo, la velocidad instantànea en cualquier punto es igual a la pendiente
de la tangente a la curva en ese punto.

Si la tangente a la curva x-t sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, entonces
su pendiente es positiva, la velocidad es positiva y el movimiento es en la dirección +x.
Si la tangente baja hacia la derecha, la pendiente de la gràfica x-t y la velocidad son ne-
gativas, y el movimiento es en la dirección —x. Cuando la tangente es horizontal, la
pendiente y la velocidad son cero. La figura 2.8 ilustra las tres posibilidades.

La figura 2.8 muestra el movimiento de una partícula en dos formas: como a) una
gràfica x-t y como b) un diagrama de movimiento que muestra la posición de la par-
tícula en diversos instantes, como cuadros de un filme o video del movimiento de la

2.7 Uso de una gràfica x-t al ir de a), b) velocidad media a c) velocidad instantànea v x . En c) obtenemos la pendiente de la tangente
a la curva x-t dividiendo cualquier intervalo vertical (con unidades de distancia) a lo largo de la tangente entre el intervalo horizontal
correspondiente (con unidades de tiempo).

a)

b)

c)

x(m)

x(m)

400

Af

= 2.0

s

300

Ax

= 150

m

200

^med-x

= 75 m/s
Pï

100

P\.

^Ar

"

A.v

/ 1

2

3

4

5

/(s)

Cuando la velocidad media v me \$_ x es calculada
en intervalos cada vez màs cortos ...

400

300
200

Af= 1.0 s
Ax = 55 m

«med-l = 55 m / S

100

y 1 2 3

4

5

/(s)

... su valor v med _ x = Ax/At se acerca
a la velocidad instantànea.

X

111

400

300

160 m

200

4.0 s
/ = 40 m/s

100

V j/^.

*^ 160

Pl^*^

4.0 s

1 2

3 4 5

^

r(s)

La velocidad instantànea v x en un tiempo
dado es igual a la pendiente de la tangente
a la curva x-t en ese tiempo.

2.8 a) Gràfica x-t del movimiento de una partícula dada. La pendiente de la tangente en cualquier punto es igual a la velocidad en
ese punto. b) Diagrama de movimiento que muestra la posición y velocidad de la partícula en los cinco instantes rotulados en el
diagrama x-t.

a) Gràfica x-t

Pendiente cero: u v

...-■Pendiente negativa:
D* /V<0

b) Movimiento de partículas
t A =0 ■ > L

■ Pendiente positiva: \
v y >0 \

' La partícula està en x < y se mueve
en la dirección +x.

■f

v = *"

-x De t A a t B acelera, ...

' ... y de t B a t c frena, y se detiene
momentàneamente en t r .

De t c a t D acelera en la
dirección —x, ...

" ... y de t D a t E frena en la
dirección —x.

Cuanto màs empinada està la pendiente (positiva o negativa) de la gràfica x-t de un
objeto, mayor serà la rapidez del objeto en la dirección positiva o negativa.

2.3 Aceleración media e instantànea

43

partícula, junto con flechas que representan la velocidad de la partícula en cada ins-
tante. En este capitulo, usaremos tanto las gràficas x-t como los diagramas de movi-
miento para ayudarle a entender el movimiento. Le recomendamos dibujar una
gràfica x-t y un diagrama de movimiento como parte de la resolución de cualquier
problema que implique movimiento.

Evalúe su comprensión de la sección 2.2 La figura 2.9 es una gràfica x-t
del movimiento de una partícula, a) Ordene los valores de la velocidad v x de la
partícula en los puntos P, Q, Ry S del mas positivo al mas negativo. b) ^En qué
puntos v x es positiva? c) <E n cuàles puntos v x es negativa? d) <E n cuàles es cero?
e) Ordene los valores de la rapidez de la partícula en los puntos P, Q, R y S del mas
ràpido al mas lento.

2.3 Aceleración media e instantànea

Así como la velocidad describe la tasa de cambio de posición con el tiempo, la acele-
ración describe la tasa de cambio de velocidad con el tiempo. Al igual que la veloci-
dad, la aceleración es una cantidad vectorial. En el movimiento rectilíneo, su única
componente distinta de cero està sobre el eje en que ocurre el movimiento. Como ve-
remos, en el movimiento rectilíneo la aceleración puede referirse tanto a aumentar la
rapidez como a disminuiria.

2.9 Una gràfica x-t para una partícula.
G

Aceleración media

Consideremos otra vez el movimiento de una partícula en el eje x. Suponga que, en el
tiempo /,, la partícula està en el punto P, y tiene una componente x de velocidad (ins-
tantànea) v u , y en un instante posterior t 2 està en P 2 y tiene una componente x de velo-
cidad v 2x . Así, la componente x de la velocidad cambia en Au, = v Zk — v u en el
intervalo Ai = f 2 — r,.

Definimos la aceleración media de la partícula al moverse de P, a P 2 como una
cantidad vectorial cuya componente .ï es a med ., igual a Av„ el cambio en la compo-
nente x de la velocidad, dividido entre el intervalo de tiempo Ar:

v lx _ Au t (aceleración media,
r Ai movimiento rectilíneo)

(2.4)

En el movimiento rectilíneo a lo largo del eje x, por lo general llamaremos u msd _ x a la
aceleración media. (Veremos otras componentes del vector de aceleración media en
el capitulo 3.)

Si expresamos la velocidad en metros por segundo y el tiempo en segundos, la
aceleración media està en metros por segundo por segundo, o bien (m/s)/s. Esto sue-
le escribirse como m/s 2 y se lee "metros por segundo al Cuadrado".

CU1DADO Aceleración contra velocidad jNo confunda aceleración con velocidad! La
velocidad describe el cambio de la posición de un objeto con el tiempo; nos indica con qué rapi-
dez y en qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velocidad
con el tiempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del movimiento. Podria
ser útil recordar la frase ''aceleración es a velocidad lo que velocidad es a posición". También
ayudaría imaginarse a usted mismo yendo en un automóvil con el cuerpo en movimiento. Si el
auto acelera hacia delante y aumenta su rapidez, usted se sentiria empujado hacia atràs hacia
su asiento; si acelera hacia atràs y disminuye su rapidez, se sentiria empujado hacia delante. Si
la velocidad es constante y no hay aceleración, no sentiria sensación alguna. (Analizaremos la
causa de estàs sensaciones en el capitulo 4.)

44

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

Ejemplo 2.2

Aceleración media

Una astronauta sale de una nave espacial en òrbita para probar una
unidad personal de maniobras. Mientras se mueve en línea recta, su
companera a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a partir del instante
t= 1.0 s:

t

v x

t

"i

1.0 s

0.8 m/s

9.0 s

-0.4 m/s

3.0 s

1.2 m/s

ll.Os

-1.0 m/s

5.0 s

1.6 m/s

13.0 s

— 1.6 m/s

7.0 s

1.2 m/s

15.0 s

-0.8 m/s

Calcule la aceleración media y diga si la rapidez de la astronauta au-
menta o disminuye para cada uno de estos intervalos: a) T ] = 1.0 s a
t 2 = 3.0 s; b) íj = 5.0 s a U = 7.0 s; c) h = 9.0 s a t 2 = ll.Os; d)t ] =
13.0sa/ 2 = 15.0 s.

ESEEH1

IDENTIFICAR: Necesitaremos la definición de aceleración media
í/ med . v . Para calcular los cambios en la rapidez, usaremos la idea de que
la rapidez V es la magnitud de la velocidad instantànea v x .

PLANTEAR: La figura 2.10 muestra nuestras gràficas. Usamos la
ecuación (2.4) para determinar el valor de a meà . x a partir del cambio
de velocidad en cada intervalo de tiempo.

EJECUTAR: En la parte superior de la figura 2.10, graficamos la velo-
cidad x en función del tiempo. En esta gràfica v x -t, la pendiente de la
línea que conecta los puntos inicial y final de cada intervalo es la ace-
leración media tf med . v = Au,/Ar para ese intervalo. En la parte inferior
de la figura 2.10, graficamos los valores de fl med . v . Obtenemos:

a) íímcd-.v = (1.2 m/s - 0.8m/s)/(3.0s - 1.0 s) = 0.2 m/s 2 . La
rapidez (magnitud de la velocidad instantànea) aumenta de 0.8 m/s a
1.2 m/s.

i)fl l-t = (1.2 m/s - 1.6m/s)/(7.0s - 5.0 s) =
— 0.2 m/s 2 . La rapidez disminuye de 1.6 m/s a 1.2 m/s.

c)a me d-, = [-1-0 m/s - (-0.4m/s)]/(11.0s - 9.0s) =

2.10 Nuestra gràfica de velocidad contra tiempo (arriba) y
aceleración media contra tiempo (abajo) para la astronauta.

Uxfrn/s)

1.5

1.0

0.5

-0.5

-1.0

-1.5

0.5

-0.5

AÏ1

iAi; x

La pendiente de la línea que conecta
cada par de puntos en la gràfica v x ~t

'-Wd-xCrn/S ) ... es igual a la aceleración media

entre esos puntos.

l•lO

15

-t(s)

— 0.3 m/s". La rapidez aumenta de 0.4 m/s a 1.0 m/s.

d)a mtAx = [-0.8 m/s - (-1.6 m/s) ]/( 15.0 s - 13.0s) =
0.4 m/s". La rapidez disminuye de 1.6 m/s a 0.8 m/s.

EVALUAR: Nuestro resultado indica que cuando la aceleración tiene
la misma dirección (el mismo signo algebraico) que la velocidad ini-
cial, como en los intervalos a) y c), la astronauta se mueve màs ràpi-
damente; cuando tiene la dirección opuesta (el signo opuesto) como
en los intervalos b) y d), se frena. De manera que la aceleración posi-
tiva significa ir màs ràpido si la velocidad x es positiva [intervalo
a)], però frenar si la velocidad x es negativa [intervalo d)]. Asimis-
mo, aceleración negativa implica ir màs ràpido si la velocidad x es
negativa [intervalo c)], però frenar si la velocidad x es positiva [in-
tervalo b)].

Aceleración instantànea

Ya podemos definir la aceleración instantànea con el mismo procedimiento que se-
guimos para la velocidad instantànea. Como ejemplo, suponga que un piloto de ca-
rreras acaba de entrar en una recta como se muestra en la figura 2.11. Para definir la
aceleración instantànea en P u tomamos el segundo punto P 2 en la figura 2.11 cada
vez màs cerca de P u de modo que la aceleración media se calcule en intervalos
cada vez màs cortos. La aceleración instantànea es el límite de la aceleración media
conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del calculo, la
aceleración instantànea es la tasa instantànea de cambio de la velocidad con el
tiempo. Así,

lím

Av x dv x

+ ° Ar

di

(aceleración instantànea, movimiento rectilíneo) (2.5)

2.11 Vehículo de Grand Prix en dos
puntos de la recta.

Q t i " Q

Rapidez V [

JL

Rapidez v-,

2.3 Aceleración media e instantànea

45

Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x del
vector de aceleración o la aceleración instantànea; en el movimiento rectilíneo, las
demàs componentes de este vector son cero. A partir de aquí, al hablar de "acelera-
ción" nos referiremos siempre a la aceleración instantànea, no a la aceleración media.

Ejemplo 2.3

Aceleraciones media e instantànea

Suponga que la velocidad v x del auto en la figura 2.11 en el tiempo f

v x = 60 m/s + (0.50 m/s 3 )r

a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el intervalo entre f, =
1.0 s y U = 3.0 s. b) Calcule la aceleración media en este intervalo.
c) Obtenga la aceleración instantànea en t x = 1.0 s tomando Af prime-
ro como 0.1 s, después como 0.01 s y luego como 0.001 s. d) Deduzca
una expresión para la aceleración instantànea en cualquier instante y
úsela para obtener la aceleración en t = 1 .0 s y t = 3.0 s.

EHHEJ

IDENTIFICAR: Este ejemplo es similar al ejemplo 2.1 de la sección
2.2. (Recomendamos repasar ahora ese ejemplo.) Ahí, calculamos la
velocidad media en intervalos cada vez màs cortos considerando el
cambio en el desplazamiento, y obtuvimos la velocidad instantànea di-
ferenciando la posición en función del tiempo. En este ejemplo, deter-
minaremos la aceleración media considerando cambios de velocidad
en un intervalo de tiempo. Asimismo, obtendremos la aceleración ins-
tantànea diferenciando la velocidad en función del tiempo.

PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) de la aceleración media y la
ecuación (2.5) de la aceleración instantànea.

EJECUTAR: a) Primera obtenemos la velocidad en cada instante susti-
tuyendo cada valor de t en la ecuación. En el instante f, = 1.0 s,

V u = 60 m/s + (0.50 m/s 3 ) ( 1.0 s) 2 = 60.5 m/s
En el instante t 2 = 3.0 s,

v 2x = 60 m/s + (0.50 m/s 3 ) (3.0 s) 2 = 64.5 m/s
El cambio en la velocidad Ai? v es

&V X = v 2x ~ V\x = 64.5 m/s - 60.5 m/s = 4.0 m/s
El intervalo de tiempo es Af ~ 3.0 s — 1.0 s = 2.0 s.

b) La aceleración media durante este intervalo es

v 2x — V\x 4.0 m/s

h '

2.0 s

2.0 m/s 2

Durante el intervalo de f, = 1.0saí 2 - 3.0 s, la velocidad y la ace-
leración media tienen el mismo signo (positivo en este caso) y el auto
acelera.

c) Cuando Af = 0.1 s, t 2 = 1.1 s y obtenemos

v Zx = 60 m/s + (0.50 m/s 3 ) (1.1 s) 2 = 60.605 m/s
Av x = 0.105 m/s

Av x 0.105 m/s

Ai

0.1 s

1.05 m/s 2

Repita este modelo con Af = 0.01 s y Af = 0.001 s; los resultados son
^med-A — 1-005 m/s 2 y a msd . x = 1.0005 m/s 2 , respectivamente. Al redu-
cirse Af, la aceleración media se acerca a 1.0 m/s 2 , por lo que conclui-
mos que la aceleración instantànea en t = 1.0 s es 1.0 m/s 2 .

d) La aceleración instantànea es a x = dvjdt. La derivada de una
constante es cero y la derivada de t 2 es 2f. Con esto, obtenemos

-[60 m/s + (0.50 m/s 3 )* 2 ]

Cuando t = 1.0 s,

dv x

dt dt L
(0.50 m/s 3 ) (2í) = (1.0 m/s 3 )/

a x = (1.0 m/s 3 ) ( 1.0 s) = LO m/s 2

Cuando f = 3.0 s,

a x = (LO m/s 3 ) (3.0 s) = 3.0 m/s 2

EVALUAR: Observe que ninguno de los valores que obtuvimos en el
inciso d) es igual a la aceleración media obtenida en b). La aceleración
instantànea del auto varia con el tiempo. La tasa de cambio de la acele-
ración con el tiempo se suele denominar el "tirón".

Obtención de la aceleración en una gràfica v x -t
o una gràfica x-t

En la sección 2.2 interpretamos las velocidades media e instantànea en téïminos de
la pendiente de una gràfica de posición contra tiempo. Igualmente, podemos enten-
der mejor las aceleraciones media e instantànea graficando la velocidad instantànea
u x en el eje vertical y el tiempo / en el eje horizontal, es decir, usando una gràfica v x -t
(figura 2.12). Los puntos rotulados /?, y p 2 corresponden a los puntos P ] y P 2 de la
figura 2.11. La aceleración media a med _ x = AvjAt durante este intervalo es la pen-
diente de la línea/?,/? 2 . Al acercarse P 2 a P l en la figura 2.\l,p 2 se acerca a/?, en la
gràfica v x -t de la figura 2.12, y la pendiente de la línea/?|/? 2 se acerca a la pendiente
de la tangente a la curva en el punto /?,. Así, en una gràfica de velocidad en función
del tiempo, la aceleración instantànea en cualquier punto es igual a la pendiente de
la tangente de la curva en ese punto. En la figura 2.12, las tangentes trazadas en

46

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

2.12 Gràfica v r -t del movimiento de la
figura 2.11.

Para un desplazamiento a lo largo del eje x, la aceleración media de un objeto es igual
a la pendiente de una línea que conecta los puntos correspondientes en una gràfica
de velocidad (l> T ) contra tiempo (/).

Pendiente de la tangente a la curva v x -t en un
punto dado = aceleración instantànea en ese punto.

diferentes puntos en la curva tienen pendientes diferentes, de manera que la acelera-
ción instantànea varia con el tiempo.

CUIDADO Los signos de aceleración y velocidad En sí mismo, el signo algebraico /
de la aceleración no nos indica si el cuerpo està acelerando o frenando; hay que comparar
los signos de la velocidad y la aceleración. Si V x y a x tienen el mismo signo, el cuerpo està
acelerando; si ambas son positivas, el cuerpo se mueve en la dirección positiva con rapidez
creciente. Si ambas son negativas, el cuerpo se mueve en la dirección negativa con velocidad
cada vez màs negativa, y la rapidez aumenta nuevamente. Si v x y a x tienen signos opuesTos,
el cuerpo està frenando. Si v x es positiva y a x negativa, el cuerpo se mueve en dirección positiva
con rapidez decreciente; si v x es negativa y a x positiva, el cuerpo se mueve en dirección negati-
va con una velocidad cada vez menos negativa, y nuevamente està frenando. La figura 2.13
ilustra algunas de tales posibilidades.

Frecuentemente llamamos "desaceleración" a una reducción de rapidez. Dado que
esto puede implicar a x positiva o negativa, dependiendo del signo de v x , evitaremos
este termino.

También podemos conocer la aceleración de un cuerpo a partir de una gràfica de
su posición contra tiempo. Dado que a x = dvjdt y u v = dx/dt, escribimos

dv x

dt

d_ldx
dt\dt

d 2 x
~d?

(2.6)

2.13 a) Gràfica v x -t del movimiento de una partícula diferente de la que se muestra en la figura 2.8. La pendiente de la tangente
en cualquier punto es igual a la aceleración en ese punto. b) Diagrama de movimiento que indica la posición, velocidad y
aceleración de la partícula en los instantes rotulados en la gràfica v x -t. Las posiciones son congruentes con la gràfica v x -t\
por ejemplo, de t A a t B la velocidad es negativa, así que en t B la partícula està en un valor màs negativo de x que en t A .

a) La gràfica v x -t para un objeto
que se mueve en el eje x

Pendiente cero: a x
\i C

Pendiente negativa:

CL <0

Cuanto màs empinada esté la pendiente (positiva
o negativa) de la gràfica v x -t de un objeto, mayor
serà la aceleración del objeto en la dirección
positiva o negativa.

b) Posición, velocidad y aceleración del objeto en el eje x

V _ | v **' El objeto està en x < y se mueve en la dirección

—x (v x < 0), frenando (v x y a x tienen signos opuestos).

i

^" *•'*" i **** El objeto està en x < 0, instantàneamente en reposo

: n q (v x = 0), y a punto de moverse en la dirección +x (a x > 0).

i ji El objeto està en x > y se mueve en la dirección +x (u x > 0);

su rapidez no cambia instantàneamente (a x = 0).

1 ^ v El objeto està en x > 0, instantàneamente en reposo (v x = 0),

v = y ' d P unt0 de moverse en la dirección — x (a x < 0).

^ a

I ^ y _«••' "' El objeto està en x > y se mueve en la dirección — x (v x < 0),

acelerando (v x y a x tienen el mismo signo).

2.4 Movimiento con aceleración constante

47

2.14 a) La misma gràfica x-t de la figura 2.8a. La velocidad es igual a la pendiente de la gràfica, y la aceleración està dada por su
concavidad o curvatura, b) Diagrama de movimiento que muestra la posición, velocidad y aceleración de la partícula en cada uno
de los instantes rotulados en la gràfica x-t.

a) Gràfica .\

b) Movimiento del objeto

Pendiente cero: v x =
Curvatura hacia abajo: a x <

t Pendiente negativa:

'" v x < °
Curvatura hacia arriba:

*** Pendiente negativa: ü x < *c

Curvatura cero: a x =
' Pendiente positiva: v x >
Curvatura cero: a.. = { d

Pendiente positiva: v x >

Curvatura hacia arriba: a x > f* % _...> 1 e

Cuanto mayor sea la curvatura (hacia arriba o hacia abajo) de la
gràfica x-t de un objeto, mayor serà la aceleración del objeto
en la dirección x positiva o negativa.

• El objeto està en x < 0, se mueve en la dirección
+x (v x > 0) y acelera (u v y a x tienen el mismo
signo).

■ El objeto està en x = 0, se mueve en la dirección
+x (v x > 0); la rapidez no cambia
instantàneamente (a x = 0).

• El objeto està en x > 0, instantàneamente en
reposo (v x = 0) y a punto de moverse en la
dirección — x (a x < 0).

• El objeto està en x > 0, se mueve en la dirección
—.v (v x < 0); la rapidez no cambia
instantàneamente (a x = 0).

■ El objeto està en x > 0, se mueve en la dirección
—x (p x < 0) y frena (v x y a x tienen signos
opuestos).

Es decir, a x es la segunda derivada de x con respecto a t. La segunda derivada de
cualquier función se relaciona directamente con la concavidad o curvatura de la
gràfica de la función. En un punto donde la curva x-t sea còncava hacia arriba (cur-
vada hacia arriba), la aceleración es positiva y v x aumenta; donde la curva x-t sea
còncava hacia abajo, la aceleración es negativa y v x disminuye. Donde la gràfica x-t
no tenga curvatura, como en un punto de inflexión, la aceleración es cero y la velo-
cidad es constante. Estàs tres posibilidades se ilustran en la figura 2.14.

Examinar la curvatura de una gràfica x-t es una manera sencilla de decidir que
signo tiene la aceleración. Esta tècnica es menos útil para determinar valores nu-
méricos de la aceleración, ya que es difícil medir con exactitud la curvatura de una
gràfica.

Evalúe su comprensión de la sección 2.3 Observe otra vez la gràfica x-t

de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. d) ^En cuàl de los puntos P, Q, R y S la
aceleración a x es positiva? b) ^,En cuàles es negativa? c) ^En cuàles parece ser cero?
d) En cada punto decida si la rapidez aumenta, disminuye o se mantiene constante.

2.4 Movimiento con aceleración constante

2.1 5 Diagrama de movimiento para una
partícula que se mueve en línea recta en
la dirección +x con aceleración positiva
constante a x . Se muestran la posición,
velocidad y aceleración en cinco instantes

f Si una partícula se mueve en

/ línea recta con aceleración
9 constante a r ...

El movimiento acelerado mas sencillo es el rectilíneo con aceleración constante. En
este caso, la velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de una situa-
ción muy especial, aun cuando ocurre a menudo en la naturaleza; un cuerpo que cae
tiene aceleración constante si los efectos del aire no son importantes. Lo mismo su-
cede con un cuerpo que se desliza por una pendiente o sobre una superfície horizon-
tal àspera. El movimiento rectilíneo con aceleración casi constante se da también en
la tecnologia, como cuando un jet de combaté es lanzado con catapulta desde la cu-
bierta de un portaviones.

La figura 2.15 es un diagrama de movimiento que muestra la posición, velocidad
y aceleración de una partícula que se mueve con aceleración constante. Las figuras
2.16 y 2.17 representan este movimiento con gràficas. Puesto que la aceleración a x
es constante, la gràfica a x -t (aceleración contra tiempo) de la figura 2.16 es una línea
horizontal. La gràfica de velocidad contra tiempo, v x -t, tiene pendiente constante
porque la aceleración es constante; por lo tanto, es una línea recta (figura 2.17).

... la velocidad cambia
intervalos iguales.

A, -U-

°

a

V

C* :

2A 'o

i
l

a ':

T v

jA ' 0'
4Aí -Ll•

i
i
i
1

! -

— ! •—

v Í

— »£

01

Sin embargo, la posición cambia cantidades
diferentes en intervalos iguales porque la

48

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

2.16 Gràfica aceleración-tiempo (a x -t)
para movimiento rectilíneo con aceleración
positiva constante a x .

Aceleración constante: la gràfica a x -
es una línea horizontal (pendiente =

0).

El àrea bajo la gràfica a x -t es v v — v 0x
= cambio de velocidad del tiempo
al tiempo /.

Cuando la aceleración a x es constante, la aceleración media a mci _ x para cualquier
intervalo es a x . Esto vuelve sencillo derivar las ecuaciones para la posición x y la ve-
locidad v x como funciones del tiempo. Para encontrar una expresión para v x primero
sustituimos a med _ v por a x en la ecuación (2.4):

(2.7)

í,

Sean ahora r, = y í 2 cualquier instante posterior t. Simbolizamos con v 0x la compo-
nente x de la velocidad en el instante inicial t = 0; la componente x de la velocidad en
el instante posterior t es v x . Entonces, la ecuación (2.7) se convierte en

v x

v n „ + al

(solo con aceleración constante)

(2.8)

2.17 Gràfica velocidad-tiempo (v x -t) para
movimiento rectilíneo con aceleración
positiva constante a x . La velocidad inicial
v 0x también es positiva en este caso.

Aceleración Durante el

constante: intervalo /, la

la gràfica v x -t velocidad cambia

El àrea total bajo la gràfica v x -t es x — x Q
= cambio en la coordenada x del tiempo
al tiempo /.

Podemos interpretar la ecuación como sigue. La aceleración a x es la tasa constan-
te de cambio de velocidad, es decir, el cambio en la velocidad por unidad de tiempo.
El termino a x t es el producto del cambio en la velocidad por unidad de tiempo, a„ y
el intervalo de tiempo r; por lo tanto, es el cambio total de la velocidad desde el ins-
tante inicial t = hasta un instante posterior t. La velocidad v x en cualquier instante
t es entonces la velocidad inicial v llx (en t = 0) mas el cambio en la velocidad aj
(véase la figura 2.17).

Otra interpretación de la ecuación (2.8) es que el cambio de velocidad v x — v Ux
de la partícula entre t = y un tiempo posterior t es igual al àrea bajo la gràfica
a x -t entre esos dos instantes. En la figura 2.16, el àrea bajo la gràfica a x -t es el rec-
tàngulo verde con lado vertical a x y lado horizontal t. El àrea del rectàngulo es aj,
que por la ecuación (2.8) es igual al cambio en velocidad v x — v 0x . En la sección 2.6
veremos que aun cuando la aceleración no sea constante, el cambio de velocidad du-
rante un intervalo es igual al àrea bajo la curva a x -t, aunque en tal caso la ecuación
(2.8) no es vàlida.

Ahora deduciremos una ecuación para la posición x en función del tiempo cuan-
do la aceleración es constante. Para ello, usamos dos expresiones distintas para la
velocidad media a mcà _ x en el intervalo de t = a cualquier t posterior. La primera
proviene de la definición de v msó _„ ecuación (2.2), que se cumple sea constante o no
la aceleración. La posición inicial es la posición en t = 0, denotada con x . La posi-
ción en el t posterior es simplemente x. Así, para el intervalo Ar = t — y el despla-
zamiento Ax = x — x , la ecuación (2.2) da

(2.9)

1.1 Anàlisis del movimiento con diagramas

1 .2 Anàlisis del movimiento con gràficas

1.3 Predicción de un movimiento
con base en gràficas

1.4 Predicción de un movimiento con
base en ecuaciones

1 .5 Estrategias para resolver problemas
de cinemàtica

1 .6 Esquiador en competència de descenso

También podemos obtener otra expresión para v md _ x que sea vàlida solo si la ace-
leración es constante, de modo que la gràfica v x -t sea una línea recta (como en la fi-
gura 2.17) y la velocidad cambie a ritmo constante. En este caso, la velocidad media
en cualquier intervalo es solo el promedio de las velocidades al principio y al final del
intervalo. Para el intervalo de a t,

(solo con aceleración constante)

(2.10)

(Esto no se cumple si la aceleración varia y la gràfica v x -t es una curva, como en la
figura 2.13.) También sabemos que, con aceleración constante, la velocidad v x en un
instante t està dada por la ecuación (2.8). Sustituyendo esa expresión por v x en la
ecuación (2.10),

1/

H al

2 '

aj)

(solo con aceleración constante)

(2.11)

2.4 Movimiento con aceleración constante

49

Por ultimo, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) y simplificamos el resultado:

1 x - x
v 0x + —a x t = o

x = Xq + VgJ H — aj 1 (solo con aceleración constante) (2.12)

Esta ecuación (2.12) indica que si, en el instante t = 0, una partícula està en x y
tiene velocidad u 0ï , su nueva posición x en un t posterior es la suma de tres términos:
su posición inicial x„, mas la distancia u 0x t que recorreria si su velocidad fuera cons-
tante, y una distancia adicional \ a x r causada por el cambio de velocidad.

Una gràfica de la ecuación (2.12), es decir, una gràfica x-t para movimiento con
aceleración constante (figura 2.18a), siempre es una paràbola. La figura 2.18b mues-
tra tal gràfica. La curva interseca el eje vertical (x) en x , la posición en t = 0. La
pendiente de la tangente en t = es v 0x , la velocidad inicial, y la pendiente de la tan-
gente en cualquier t es la velocidad v x en ese instante. La pendiente y la velocidad
aumentan continuamente, así que la aceleración a x es positiva. Usted puede también
ver esto porque la gràfica de la figura 2.18b es còncava hacia arriba (se curva hacia
arriba). Si a x es negativa, la gràfica x-t es una paràbola còncava hacia abajo (tiene
curvatura hacia abajo).

Si hay aceleración cero, la gràfica x-t es una recta; si hay una aceleración cons-
tante, el termino adicional j aj en la ecuación (2.12) para x en función de t curva la
gràfica en una paràbola (figura 2.19a). Podemos analizar la gràfica v x -t de la misma
forma. Si hay aceleración cero, esta gràfica es una línea horizontal (la velocidad es
constante); sumar una aceleración constante da una pendiente para la gràfica v x -t
(figura 2.19b).

Act*v
Physics

.8 Los cinturones de seguridad salvan

vidas
.9 Frenado con derrape
.10 Auto arranca y luego se detiene
.11 Resolución de problemas con dos

vehículos
.12 Auto alcanza a camión
. 1 3 Cómo evitar un choque por atràs

a) Un auto de carreras se mueve en la
dirección x con aceleración constante

b) La gràfica x-t

Durante el intervalo /,
la velocidad cambia ■•■'
como v x — l> üv = a x t.

Pendiente = v x

Aceleración constante:

la gràfica x-t es una paràbola

Pendiente = Vi\ r

2.18 a) Movimiento rectilíneo con
aceleración constante. b) Una gràfica
de posición contra tiempo (x-t) para este
movimiento (el mismo movimiento que se
muestra en las figuras 2.15, 2.16 y 2.17).
En este caso, la posición inicial a , la
velocidad inicial v 0x y la aceleración a x
son todas positivas.

a) Una gràfica x-t para un objeto que se mueve
con aceleración constante positiva

La gràfica con aceleración constante:
x = x + v 0x t + -^aj 1

/El efecto de la
aceleración:

W 1

■ v u

" \ La gràfica que obtendríamos
■• con aceleración cero:

* = x n + "oJ

1

b) La gràfica v x -t para el mismo objeto

La gràfica con aceleración constante:

r + aj

•*'debido a la aceleración:

a,l

2.19 a) Cómo una aceleración
constante influye en a) la gràfica x-t
y b) la gràfica v x -t de un cuerpo.

^

. La gràfica con aceleración cero:

50 CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

Así como el cambio de velocidad de la partícula es igual al àrea bajo la gràfica
a x -t, el desplazamiento (es decir, el cambio de posición) es igual al àrea bajo la gràfi-
ca v x -t. Específicamente, el desplazamiento x — x de la partícula entre t = y cual-
quier instante t posterior es igual al àrea bajo la curva v x -t entre esos dos instantes.
En la figura 2.17 el àrea bajo la gràfica se dividió en un rectàngulo oscuro con lado
vertical v Ux , lado horizontal t y un triàngulo rectàngulo claro con lado vertical aj y
lado horizontal t. El àrea del rectàngulo es v a j, y la del triàngulo, \{aj){t) = \ a x r,
así que el àrea total bajo la curva v x -t es

1 ,
v 0x t H aj

lo que concuerda con la ecuación (2.12).

El desplazamiento durante un intervalo siempre puede obtenerse del àrea bajo la
curva v x -t, incluso si la aceleración no es constante, aunque en tal caso la ecuación
(2.12) no seria vàlida. (Demostraremos esto en la sección 2.6.)

Podemos comprobar si las ecuaciones (2.8) y (2.12) son congruentes con el su-
puesto de aceleración constante derivando la ecuación (2.12). Obtenemos

dx
u, = — = u 0t + a x t
dt

que es la ecuación (2.8). Diferenciando otra vez, tenemos simplemente

dv x

= a,.

dt

que concuerda con la definición de aceleración instantànea.

Con frecuencia es útil tener una relación entre posición, velocidad y aceleración
(constante) que no incluya el tiempo. Para obtenerla, despejamos t en la ecuación (2.8),
sustituimos la expresión resultante en la ecuación (2.12) y simplificamos:

v x - v 0<
t =

t'o

Transferimos el termino x al miembro izquierdo y multiplicamos la ecuación por 2a x :

2a x (x - x ) = 2v 0x v x - 2v j + v x - 2v 0x v x + v 0x
Por ultimo, al simplificar obtenemos

u, 2 = u 0[ 2 + 2a t (x — x ) (solo con aceleración constante) (2.13)

Podemos obtener una relación màs útil igualando dos expresiones para v m€d _ x ,
ecuaciones (2.9) y (2.10), y multiplicando por t. Al hacerlo, obtenemos

v 0l + v
x — x = \t (solo aceleración constante) (2.14)

Observe que la ecuación (2.14) no contiene la aceleración a x . Esta ecuación es útil
cuando a x es constante però se desconoce su valor.

2.4 Movimiento con aceleración constante

51

Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) son las ecuaciones del movimiento
con aceleración constante. Con ellas, podemos resolver cualquier problema que im-
plique movimiento rectilíneo de una partícula con aceleración constante.

En el caso especifico de movimiento con aceleración constante ilustrado en la fi-
gura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 y 2.18, los valores de x a , v 0x y a x son
positivos. Vuelva a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las tres canti-

Un caso especial de movimiento con aceleración constante se da cuando la acele-
ración es cero. La velocidad es entonces constante, y las ecuaciones del movimiento
se convierten sencillamente en

v t = u 0í = constante
x = x a + v t t

Estratègia para resolver problemas 2.1

Movimiento con aceleración constante

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: En casi todos los proble-
mas de movimiento rectilíneo, usted podrà usar las ecuaciones de ace-
leración constante, aunque a veces se toparà con situaciones en que la
aceleración no es constante. En tales casos, necesitarà otra estratègia
(véase la sección 2.6).

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:

1. Primero decida dónde està el origen de las coordenadas y cuàl di-
rección es positiva. A menudo lo màs sencillo es colocar la partícu-
la en el origen en t = 0; así, x = 0. Siempre es útil un diagrama de
movimiento que muestre las coordenadas y algunas posiciones
posteriores de la partícula.

2. Recuerde que elegir la dirección positiva del eje determina automà-
ticamente las direcciones positivas de la velocidad y la aceleración.
Si x es positiva a la derecha del origen, v x y a x también seran positi-
vas hacia la derecha.

3. Replantee el problema con palabras y luego traduzca su descrip-
ción a símbolos y ecuaciones. iCuando llega la partícula a cierto
punto (es decir, cuànto vale /)? iDónde està la partícula cuando tie-

®

ne cierta velocidad (esto es, cuànto vale x cuando v x tiene ese va-
lor)? El ejemplo 2.4 pregunta "^Dónde està el motociclista cuando
su velocidad es de 25 m/s?" En símbolos, esto indica "^Cuànto va-
le x cuando v x = 25 m/s?"
4. Haga una lista de las cantidades como x, x Q , l> ( , v 0x , «, y t. En gene-
ral, algunas seran conocidas y otras no. Escriba los valores de las
conocidas y decida cuàles de las variables son las incógnitas. No
pase por alto información implícita. Por ejemplo, "un automóvil
està parado ante un semàforo" implica l> 0a — 0.

EJECUTAR la solución: Elija una de las ecuaciones (2.8), (2.12),
(2.13) y (2.14) que contenga solo una de las incógnitas. Despeje la in-
cògnita usando solo símbolos, sustituya los valores conocidos y calcu-
le el valor de la incògnita. A veces tendra que resolver dos ecuaciones
simultàneas con dos incógnitas.

EVALUAR la respuesta: Examine sus resultados para ver si son ló-
gicos. ^Estàn dentro del intervalo general de valores esperado?

Ejemplo 2.4

Calculos de aceleración constante

Un motociclista que viaja al este cruza una pequena ciudad de Iowa y
acelera apenas pasa el letrero que marca el límite de la ciudad (figura
2.20). Su aceleración constante es de 4.0 m/s 2 . En t = 0, està a 5.0 m al
este del letrero, moviéndose al este a 15 m/s. a) Calcule su posición y
velocidad ení = 2.0 s. b) ^Dónde està el motociclista cuando su velo-
cidad es de 25 m/s?

2.20 Un motociclista que viaja con aceleración constante.
a x = 4.0 m/s 2
v Qx = 15 m/s

ü= ?

O x Q = 5.0 m

t =

x (este)

EÜEEJ

IDENTIFICAR: El enunciado del problema nos dice que la acelera-
ción es constante, así que podemos usar las ecuaciones para acele-
ración constante.

PLANTEAR: Tomamos el letrero como origen de coordenadas (x = 0)
y decidimos que el eje +x apunta al este (figura 2.20, que también
es un diagrama de movimiento). En t = 0, la posición inicial es
x Q = 5.0 m y la velocidad inicial es v Qx = 15 m/s. La aceleración
constante es éï, = 4.0 m/s 2 . Las variables desconocidas en el inciso
d) son los valores de la posición x y la velocidad i\ en el instante pos-
terior T = 2.0 s; la incògnita en el inciso b) es el valor de x cuando
V x = 25 m/s.

r = 2.0 s

continua

52

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

EJECUTAR: a) Podemos hallar la posición x en t = 2.0 s usando la
ecuación (2.12) que da la posición x en función del tiempo t:

x + VqJ + -a x r

= 5.0m + (15m/s)(2.0s) + -(4.0 m/s 2 ) (2.0 s) 2

= 43 m

Podemos hallar la velocidad v x en ese instante con la ecuación (2.8),
que da la velocidad v x en función del tiempo f:

V x = Vqx + a x t

= 15 m/s + (4.0 m/s 2 ) (2.0 s) = 23 m/s

b) Queremos encontrar el valor de x cuando v x = 25 m/s, però no
sabemos el momento en que el motociclista lleva tal velocidad. Por
lo tanto, utilizamos la ecuación (2.13), que incluye x, V x y a x però no
incluye t:

VÍ = Vo? + 2a, (x - Xq)

Despejando x y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos

: *o +

2a,

5.0 m +

55 m

(25 m/s) 2 - (15 m/s) 2
2(4.0 m/s 2 )

Un método alterno aunque mas largo para la mima respuesta se-
ria usar la ecuación (2.8) para averiguar primero en qué instante

v, = 25 m/s:

Vx = u üï + a J asf que
V x — Vq x 25 m/s — 15 m/s
a x 4.0 m/s 2

2.5 s

Dado el tiempo t, podemos calcular x usando la ecuación (2.12):

1 2
x = x ü + VqJ + ~a x t

5.0 m+ (15 m/s) (2.5 s) + -(4.0 m/s 2 ) (2.5 s) 2
55 m

EVALUAR: i,Son lógicos los resultados? Según lo que calculamos
en el inciso a), el motociclista acelera de 15 m/s (unas 34 mi/h o
54 km/h) a 23 m/s (unas 51 mi/h o 83 km/h) en 2.0 s, mientras reco-
rre una distancia de 38 m (unos 125 ft). Esta es una aceleración consi-
derable, però una motocicleta de alto rendimiento bien puede al-
canzarla.

Al comparar nuestros resultados del inciso b) con los del inciso
d), notamos que el motociclista alcanza una velocidad v, = 25 m/s en
un instante posterior y después de recórrer una distancia mayor, que
cuando el motociclista tenia v, = 23 m/s. Esto suena lógico porque el
motociclista tiene una aceleración positiva y, por ende, se incremen-

Ejemplo 2.5

Dos cuerpos con diferente aceleración

Un conductor que viaja a rapidez constante de 15 m/s (unas 34 mi/h)
pasa por un cruce escolar, cuyo lfmite de velocidad es de 10 m/s
(unas 22 mi/h). En ese preciso momento, un oficial de policia en
su motocicleta, que està parado en el cruce, arranca para perseguir
al infractor, con aceleración constante de 3.0 m/s 2 (figura 2.21a).
a) ^Cuànto tiempo pasa antes de que el oficial de policia alcance
al infractor? b) ^A qué rapidez va el policia en ese instante? c) i,Qué
distancia total habrà recorrido cada vehículo hasta ahí?

IDENTIFICAR: El oficial de policia y el conductor se mueven con ace-
leración constante (cero en el caso del conductor), así que podemos
usar las fórmulas que ya dedujimos.

PLANTEAR: Tomamos como origen el cruce, así que x = para am-
bos, y tomamos como dirección positiva a la derecha. Sea x P la po-
sición del policia y x M la del conductor en cualquier instante. Las
velocidades iniciales son u P0 _ v = para el policia y v MQx =15 m/s
para el conductor; las respectivas aceleraciones constantes son
í/ Pv = 3.0 m/s 2 y a Mx = 0. Nuestra incògnita en el inciso a) es el
tiempo tras el cual el policia alcanza al conductor, es decir, cuando
los dos vehículos estan en la misma posición. En el inciso h) nos
interesa la rapidez í; del policia (la magnitud de su velocidad) en el
tiempo obtenido en el inciso a). En el inciso c) nos interesa la po-
sición de cualesquiera de los vehículos en ese tiempo. Por lo tanto,
usaremos la ecuación (2.12) (que relaciona posición y tiempo) en los

2.21 a) Movimiento con aceleración constante que alcanza a movimiento con velocidad constante. b) Gràfica de x contra t para

Oficial de policia: inicialmente
en reposo, aceleración constante.

15 m/s

b)

El policia y el conductor se
encuentran en el instante t donde
se cruzan sus çràficas x-t.

x{

11)

160

\L /

120

Conductor>^ / '

80

40

s ^^ Policia |

2 4 6 8 10

12

MS)

2.5 Cuerpos en caída libre 53

incisos ei) y c), y la ecuación (2.8) (que relaciona velocidad y tiempo)
en el inciso b).

EJECUTAR: a) Buscamos el valor del tiempo t cuando el conductor y
el policia estan en la misma posición. Aplicando la ecuación (2.12),
x = x + V 0x t + 2 a x t 2 , a cada vehículo, tenemos:

1 , . 2

x M = + v Mü j + -(0)r = v MOx t

1 , 1 ,
x P = + (0)f + -a Px r = -a Px r

Puesto que x M
despejamos t:

x P en el tiempo t, igualamos las dos expresiones y

-a Vx f

2v m)x = 2(15 m/s)
í'p.v 3.0 m/s 2

10 s

Hay dos instantes en que los vehfculos tienen la misma coordenada x.
El primero, t = 0, es cuando el conductor pasa por el cruce donde està
estacionada la motocicleta. El segundo, t — 10 s, es cuando el policia
alcanza al conductor.

h) Queremos la magnitud de la velocidad del policia u Pv en el ins-
tante t obtenido en d). Su velocidad en cualquier momento està dada
por la ecuación (2.8):

v Px = v POf + a ?x t = + (3.0 m/s 2 )í

Usando t= 10 s, hallamos v Px . = 30 m/s. Cuando el policia alcanza al
conductor, va al doble de su rapidez.

c) En 10 s, la distancia recorrida por el conductor es

x M = v m)x t = (15 m/s) ( 10 s) = 150 m

y la distancia que el policia recorre es

a> = -a Px r = -(3.0 m/s 2 ) ( 10 s) 2 = 150 m

Esto comprueba que cuando el policia alcanza al conductor, ambos han
recorrido la misma distancia.

EVALUAR: La figura 2.21b muestra las gràficas de x contra t para am-
bos vehfculos. Aquí vemos también que hay dos instantes en que la
posición es la misma (donde se cruzan las gràficas). En ninguno de
ellos los dos vehfculos tienen la misma velocidad (es decir, las gràficas
se cruzan con distinta pendiente). En r = 0, el policia està en reposo;
en t = 10 s, la rapidez del policia es del doble que la del conductor.

Evalúe su comprensíón de la sección 2.4 Se muestran cuatro posibles (mP)

gràficas v x -t para los dos vehfculos del ejemplo 2.5. ^,Cuàl es la gràfica correcta? V--^

a)

b)

c)

d)

Conductor

f(s)

10

2.5 Cuerpos en caída libre

2.22 Fotografia con múltiples destellos
de una pelota en caída libre.

El ejemplo mas conocido de movimiento con aceleración (casi) constante es la caída
de un cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Dicho movi-
miento ha interesado a filósofos y cientííicos desde la Antigüedad. En el siglo rv a.C,
Aristóteles pensaba (erróneamente) que los objetos pesados caían con mayor rapidez
que los ligeros, en proporción a su peso. Diecinueve siglos después, Galileo (véase la
sección 1.1) afirmo que los cuerpos caían con una aceleración constante e indepen-
diente de su peso.

Los experimentos muestran que si puede omitirse el efecto del aire, Galileo està en
lo cierto: todos los cuerpos en un lugar especifico caen con la misma aceleración ha-
cia abajo, sea cual fuere su tamano o peso. Si ademàs la distancia de caída es pequena
en comparación con el radio terrestre, y si ignoramos los pequenos efectos debidos a
la rotación de la Tierra, la aceleración es constante. El modelo idealizado que surge
de tales supuestos se denomina caída libre, aunque también incluye el movimiento
ascendente. (En el capitulo 3 extenderemos el estudio de la caída libre para induir el
movimiento de proyectiles, que se mueven tanto horizontal como verticalmente.)

La figura 2.22 es una fotografia de una pelota que cae tomada con una lampara
estroboscópica que produce una sèrie de destellos intensos a intervalos iguales. En
cada destello, la película registra la posición de la pelota. Como los intervalos entre

54

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

Actv
Physícs

1 .7 Se deja caer limonada desde un globo

aerostàtico
1.10 Caída de un saltador con garrocha

destellos son iguales, la velocidad media de la pelota entre dos destellos es propor-
cional a la distancia entre las imàgenes correspondientes en la fotografia. El aumen-
to en las distancias muestra que la velocidad cambia continuamente: la pelota
acelera hacia abajo. Al medir cuidadosamente constatamos que el cambio de veloci-
dad es el mismo en cada intervalo, así que la aceleración de la pelota en caída libre
es constante.

La aceleración constante de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida
a la gravedad, y denotamos su magnitud con la letra g. Por lo regular, usaremos el
valor aproximado de g cerca de la superfície terrestre:

g = 9.8 m/s 2 = 980 cm/s 2

= 32 ft/s 2 (valor aproximado cerca de la superfície terrestre)

El valor exacto varia según el lugar, así que normalmente solo lo daremos con dos ci-
fras significativas. Dado que g es la magnitud de una cantidad vectorial, siempre es
positiva. En la superfície de la Luna, la aceleración debida a la gravedad se debe a la
fuerza de atracción de la Luna, no de la Tierra, y g = 1.6 m/s 2 . Cerca de la superfície
del Sol, g = 270 m/s 2 .

En los ejemplos que siguen usamos las ecuaciones para aceleración constante que
dedujimos en la sección 2.4. Sugerimos al lector que repase las estrategias de resolu-
ción de problemas de esa sección antes de estudiar estos ejemplos.

Ejemplo 2.6

Moneda en caída libre

Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa;
parte del reposo y cae libremente. Calcule su posición y su velocidad
después de 1.0, 2.0 y 3.0 s.

Esnmaa

IDENTIFICAR: "Cae libremente" significa "tiene una aceleración
constante debida a la gravedad", así que podemos usar las ecuaciones
para aceleración constante en la determinación de nuestras incógnitas.

2.23 Una moneda en caída libre desde reposo.

La Torre Inclinada Nuestra gràfica del problema

í v iv

|v 2y =?

K=?

-t = 0,y =

+i = ls, yi =?

| a y =-g=-q.8m/s 2

+2 = 2s,y 2 =?

t 3 = 3s,y 3 =?

PLANTEAR: El lado derecho de la figura 2.23 muestra nuestro diagra-
ma de movimiento para la moneda. El movimiento es vertical, de ma-
nera que usamos un eje de coordenadas vertical y llamaremos a la
coordenada y en vez de x. Sustituiremos todas las x de las ecuaciones
para aceleración constante por y. Tomaremos el origen O como el
punto de partida y la dirección hacia arriba como positiva. La coorde-
nada inicial y y la velocidad inicial v 0y son ambas cero. La acelera-
ción es hacia abajo, en la dirección y negativa, así que ay = — g =
— 9.8 m/s 2 . (Recuerde que por definición g siempre es positiva.) Por
lo tanto, nuestras incógnitas son los valores de y y V y en los tres ins-
tantes especificados. Para obtenerlos usamos las ecuaciones (2.12) y
(2.8), sustituyendo x por y.

EJECUTAR: En un instante t después de que se suelta la moneda, su
posición y su velocidad son

y = >'.) + V + 2^ = ° + ° + 2 ( ~ 8 ^ = ( ~ 4 ' 9 m ^

Vq.

+ cU= + (~g)t= (-9.8m/s 2 )í

////////

Cuando t = 1.0 s, y = (-4.9 m/s 2 ) (1.0 s) 2 = -4.9 m y v y = (-9.8
m/s 2 ) (1.0 s) = —9.8 m/s; después de 1 s, la moneda està 4.9 m de-
bajo del origen (y es negativa) y tiene una velocidad hacia abajo
(v y es negativa) con magnitud de 9.8 m/s.

La posición y la velocidad a los 2.0 s y 3.0 s se obtienen de la
misma forma. ^Puede usted demostrar que y = —19.6 m y v y =
— 19.6 m/s en ? = 2.0 s, y que y = —44.1 m y v y = —29.4 m/s en
t = 3.0 s?

EVALUAR: Todos los valores que obtuvimos para v y son negativos
porque decidimos que el eje +y apuntaria hacia arriba; però bien
podríamos haber decidido que apuntarà hacia abajo. En tal caso, la
aceleración habría sido a y = +g y habríamos obtenido valores posi-
tivos para v y . No importa qué eje elija; solo asegúrese de decirlo
claramente en su solución y confirme que la aceleración tenga el
signo correcto.

2.5 Cuerpos en caída libre 55

Ejemplo 2.7

Movimiento ascendente y descendente en caída libre

Imagine que usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde
la azotea de un edificio. La pelota sale de la mano, en un punto a la al-
tura del barandal de la azotea, con rapidez ascendente de 15.0 m/s,
quedando luego en caída libre. Al bajar, la pelota libra apenas el
barandal. En este lugar, g = 9.8 m/s 2 . Obtenga a) la posición y veloci-
dad de la pelota 1.00 s y 4.00 s después de soltarla; b) la velocidad
cuando la pelota està 5.00 m sobre el barandal; c) la altura màxima
alcanzada y el instante en que se alcanza; y d) la aceleración de la
pelota en su altura màxima.

EI

1

IDENTIFICAR: Las palabras "caída libre" en el enunciado del proble-
ma implican que la aceleración es constante y debida a la gravedad.
Las incógnitas son la posición [en los incisos a) y c)], la velocidad [en
los incisos a) y b)] y la aceleración [en el inciso d)].

PLANTEAR: En la figura 2.24 (que también es un diagrama de movi-
miento para la pelota), la trayectoria descendente se muestra desplaza-
da un poco a la derecha de su posición real por claridad. Sea el origen
el barandal, donde la pelota sale de la mano, y sea la dirección positiva
hacia arriba. La posición inicial y Q es cero, la velocidad inicial v Qy es
+ 15.0 m/s y la aceleración es a Y = —g = —9.80 m/s 2 Usaremos otra
vez las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posición y la veloci-
dad, respectivamente, en función del tiempo. En el inciso b), nos piden
hallar la velocidad en cierta posición, no en cierto tiempo, así que nos
convendrà usar la ecuación (2.13) en esa parte.

EJECUTAR: d) La posición y y la velocidad v Y , en cualquier instante t
una vez que se suelta la pelota estan dadas por las ecuaciones (2.12) y
(2.8), cambiando las x por y:

1 - 1, ,-

y = y = Voyt + -a y r = y + v üy t + -{ -g)r

= (0) + (15.0 m/s )f + -(-9.80 m/s 2 )? 2
V y = v ÜY + a Y t = v 0y + (-g)t
= 15.0 m/s + (-9.80 m/s 2 )?

2.24 Posición y velocidad de una pelota que se lanza vertical-
mente hacia arriba.

La pelota realmente se muev
y después hacia abajo; por cl
Dresentamos una trayectoria
"orma de U.

/ = 1.00 s,v

t = ?, V
t = 0, v 0y = 15.

; hacia arr
:on \

iba y

,=0
= ?

) m/s T

\t=1

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

/ = 4.00 s

^5.00 I

a y = ~g

= -9.80 m/s 2

Cuando t = 1 .00 s, estàs ecuaciones dan

y = +10.1 m v y = +5.2 m/s

La pelota està 10.1 m sobre el origen (y es positiva) y se mueve hacia
arriba (v v es positiva) con rapidez de 5.2 m/s, menor que la rapidez ini-
cial porque la pelota frena mientras asciende.

Cuando / = 4.00 s, las ecuaciones para y y v y en función del tiempo
t dan

-18.4m

-24.2 m/s

La pelota pasó su punto màs alto y està 18.4 m debajo del origen (y es
negativa); tiene velocidad hacia abajo (v y es negativa) de magnitud
24.2 m/s. Conforme sube, la pelota pierde rapidez, luego la gana al
descender; se mueve a la rapidez inicial de 15.0 m/s cuando pasa hacia
abajo por su punto de lanzamiento (el origen) y continua ganando rapi-
dez conforme desciende por debajo de este punto.

b) La velocidad v y en cualquier posición y està dada por la ecua-
ción (2.13) cambiando las x por y:

u/ = !V + 2a y {y - y ) = v„; + 2{-g){y - 0)

= (15.0 m/s) 2 + 2(-9.80m/s 2 )y

Con la pelota a 5.00 m sobre el origen, v = +5.00 m, así que

v; = (15.0m/s) 2 + 2( -9.80 m/s 2 ) (5.00 m) = 127 nr/s 2
V y = ±11.3 m/s

Obtenemos dos valores de u y , pues la pelota pasa dos veces por el
punto y = +5.00 m (véase la figura 2.24), una subiendo con v y posi-
tiva y otra bajando con v y negativa.

c) En el instante en que la pelota llega al punto màs alto, està mo-
mentàneamente en reposo y u y = 0. La altura màxima y t puede obte-
nerse de dos formas. La primera es usar la ecuación (2.13) y sustituir
v s = 0, y„ = y u y = -g:

= V 0s 2 + 2{-g)( yi -0)

«ü, 2 (15.0 m/s) 2

y, = = = +11.5 m

2g 2(9.80 m/s 2 )

La segunda consiste en calcular el instante en que v v = usando la
ecuación (2.8), v y = v 0y + a v r, y sustituir este valor de t en la ecuación
(2.12), para obtener la posición en ese instante. Por la ecuación (2.8),
el instante t x en que la pelota llega al punto màs alto es

Vy = = v 0y + (-í)íj

Vq, 15.0 m/s

f, = — = — = 1.53 s

g 9.80 m/s 2

Sustituyendo este valor de t en la ecuación (2.12) obtenemos
y = y„ + v^t + -Oyf = (0) + ( 15 m/s) ( 1.53 s)

+ -(-9.8m/s 2 )(1.53s) 2

+ 11.5m

Observe que la primera forma de hallar la altura màxima es màs senci-
11a, ya que no es necesario calcular primero el tiempo.

continua

56

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

d) CUIDADO Un error acerca de la caída libre Es un error
común pensar que en el punto mas alto del movimiento en caída libre
la velocidad es cero y la aceleración es cera. Si fuera así, ;la pelota
quedaria suspendida en el punto mas alto en el aire para siempre! Re-
cuerde que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad. Si la
aceleración fuera cero en el punto mas alto, la velocidad de la pelota ya
no cambiaría y, al estar instantàneamente en reposo, permanecería en
reposo eternamente.

De hecho, en el punto mas alto la aceleración sigue siendo a y = —g =
—9.80 m/s 2 , la misma que cuando està subiendo y cuando està bajan-
do. Por ello, la velocidad de la pelota està cambiando continuamente,
de valores positivos a valores negativos, pasando por cero.

EVALUAR: Una forma útil de verificar cualquier problema de movi-
miento consiste en dibujar las gràficas de posición y de velocidad en
función del tiempo. La figura 2.25 muestra estàs gràficas para este
problema. Como la aceleración es constante y negativa, la gràfica y-t
es una paràbola con curvatura hacia abajo, y la gràfica v y -t es una
recta con pendiente negativa.

2.25 a) Posición y b) velocidad en función del tiempo para una
pelota lanzada hacia arriba con una rapidez inicial de 15 m/s.

a) Gràfica y-t (la curvatura es
hacia abajo porque a y = —g
es negativa)

(m) Antes de t = 1.53 s la pelota
se mueve hacia arriba.
_. Después de
'* t= 1.53 sia
pelota se mueve
hacia abajo.
f(s)

b) Gràfica v y -t (recta con pendiente
negativa porque ül = —g
es constante y negativa)

, (m/s)

4

-Antes de f = 1.53 s
es positiva.

Ejemplo 2.8

cDos soluciones o una?

Determine el instante en que la pelota del ejemplo 2.7 està 5.00 m por
debajo del barandal.

EEEE1

IDENTIFICAR: Se trata de nuevo de un problema de aceleración cons-
tante. La incògnita es el tiempo en que la pelota està en cierta posición.

PLANTEAR: Otra vez elegimos el eje y como en la figura 2.24, así que
y , v 0y y a y = — g tienen los mismos valores que en el ejemplo 2.7. De
nuevo, la posición y en función del tiempo t està dada por la ecuación

(2.12):

y = yo + Voyt + -a/ = y + Vtyt + -( -g)t 2

Queremos despejar / con y = — 5.00 m. Puesto que la ecuación inclu-
ye r 2 , es una ecuación cuadràtica en t.

EJECUTAR: Primera replanteamos la ecuación en la forma cuadràtica
estàndar para una x desconocida, Ay 2 + Bx + C = 0:

[ï 8 Y + ( ~ ü{)>:)t + (y ~ - vt,) = Af ~ + m + c = °

entonces, A = g/2, B = —v 0v y C = y — y . Usando la fórmula cua-
dràtica (véase el Apéndice B), vemos que esta ecuación tiene dos
soluciones:

-B±VB 2 - 4AC

t = Ya

"(-%) ±V(- ü J 2 -4(*/2)(.v-y )

2(*/2)

"ov ± VíV - 2g{y - y y )

Para decidir cuàl de éstas es la respuesta correcta, la pregunta clave es:
'^,son lógicas estàs respuestas?" La segunda, t = —0.30 s, simplemen-
te es absurda; jse refiere a un instante 0.30 s antes de soltar la pelota!
Lo correcto es t = +3.36 s. La pelota està 5.00 m debajo del barandal
3.36 s después de que sale de la mano.

EVALUAR: ^De dónde salió la "solución" errónea t = —0.30 s? Re-

cuerde que la ecuación y = v + v íh t + \(—g)t 2 se basa en el su-
puesto de que la aceleración es constante para todos los valores de í,
positivos, negativos o cero. Tal cual, esta ecuación nos diria que
la pelota se ha estado moviendo hacia arriba en caída libre desde los
albores del tiempo, y pasó por la mano en y = en el instante especial
que decidimos llamar t = 0, y después continuo su caída libre. Sin
embargo, todo lo que esta ecuación describa como sucedido antes de
t = es ficción pura, ya que la pelota entro en caída libre solo después
de salir de la mano en / = 0; la "solución" t = —0.30 s es parte de
tal ficción.

Repita estos càlculos para determinar cuando la pelota està 5.00 m
sobre el origen (y = +5.00 m). Las dos respuestas son t = +0.38 s y
t = +2.68 s; ambos son valores positivos de t y se refieren al movi-
miento real de la pelota una vez soltada. El primer instante es cuando
la pelota pasa por y = +5.00 m de subida, y el segundo, cuando pasa
por ahí de bajada. (Compare esto con el inciso b) del ejemplo 2.7.)

Determine también los instantes en que y = +15.0 m. En este
caso, ambas soluciones requieren obtener la raíz cuadrada de un nú-
mero negativo, así que no hay soluciones reales. Esto es lógico; en el
inciso c) del ejemplo 2.7 vimos que la altura màxima de la pelota es
y = +11.5 m, así que nunca llega a y = +15.0 m. Aunque una ecua-
ción cuadràtica como la (2.12) siempre tiene dos soluciones, a veces
una o ambas soluciones no tienen sentido físico.

Sustituyendo los valores y = 0, v 0v = +15.0 m/s, g ~ 9.80 m/s 7 y
y = —5.00 m, obtenemos

( 15.0 m/s) ±V( 15.0 m/s) 2 - 2(9.80 m/s 2 ) (-5.00 m - 0)

+ 3.36 s

9.80 m/s
t = -0.30 s

2.6 *Velocidad y posición por integración

57

Evalúe su comprensíón de la sección 2.5 Si usted lanza una pelota hacia
arriba con cierta rapidez inicial, esta cae libremente y alcanza una altura màxima h
un instante t después de que sale de su mano. a) Si usted arroja la pelota hacia arriba
con el doble de la rapidez inicial, ^.qué nueva altura màxima alcanzarà la pelota? /iV2;
b) Si usted lanza la pelota hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, ^cuànto tiempo
le tomarà alcanzar su nueva altura màxima? i) tjl\ ii) t\ V 2; iii) t\ iv) íV 2; v) 2r.

@

2.6 *Velocidad y posición por integración

Esta sección opcional es para estudiantes que ya aprendieron algo de calculo integral.
En la sección 2.4 analizamos el caso especial de movimiento rectilíneo con aceleración
constante. Si a x no es constante, como es común, no podremos aplicar las ecuaciones
que deducimos en esa sección (figura 2.26). Però aun si a x varia con el tiempo, pode-
mos usar la relación v x = dx/dt para obtener la velocidad v y en función del tiempo si la
posición x es una función conocida de t, y podemos usar a v = dvjdt para obtener
la aceleración a x en función del tiempo si v x es una función conocida de t.

En muchas situaciones, sin embargo, no se conocen la posición ni la velocidad en
función del tiempo, però sí la aceleración. ^Cómo obtenemos la posición y la veloci-
dad a partir de la función de aceleración a y (f)l Este problema surge al volar un avión
de Norteamérica a Europa (figura 2.27). La tripulación del avión debe conocer su po-
sición precisa en todo momento. Sin embargo, un avión sobre el océano suele estar
fuera del alcance de los radiofaros terrestres y del radar de los controladores de trafi-
co aéreo. Para determinar su posición, los aviones cuentan con un sistema de navega-
ción inercial (INS) que mide la aceleración del avión. Esto se hace de forma anàloga
a como sentimos cambios en la velocidad de un automóvil en el que viajamos, aun
con los ojos cerrados. (En el capitulo 4 veremos cómo el cuerpo detecta la acelera-
ción.) Dada esta información y la posición inicial del avión (digamos, cierto embarca-
dero en el Aeropuerto Internacional de Miami) y su velocidad inicial (cero cuando
està estacionado en ese embarcadero), el INS calcula y muestra la velocidad y posi-
ción actuales del avión en todo momento durante el vuelo. (Los aviones también uti-
lizan el sistema de posición global, o GPS, para la navegación; no obstante, este
sistema complementa el INS, en vez de remplazarlo.) Nuestro objetivo en el resto
de esta sección es mostrar cómo se efectúan estos càlculos en el caso màs sencillo de
movimiento rectilíneo, con aceleración variable en el tiempo.

Primero consideraremos un enfoque gràfico. La figura 2.28 es una gràfica de ace-
leración contra tiempo para un cuerpo cuya aceleración no es constante. Podemos di-
vidir el intervalo entre los tiempos r, y t 2 en muchos intervalos màs pequenos,
llamando Ai a uno representativo. Sea a msd _ x la aceleración media durante Ar. Por la
ecuación (2.4), el cambio de velocidad Au x durante Af es

Au.

A/

Gràficamente, Au,, es igual al àrea de la tira sombreada con altura a mcd _,. y anchura Ar,
es decir, el àrea bajo la curva entre los lados derecho e izquierdo de Ar. El cambio to-
tal de velocidad en cualquier intervalo (digamos, r, a r 2 ) es la suma de los cambios
Au, en los subintervalos pequenos. De esta manera el cambio de velocidad total se
representa gràficamente con el àrea total bajo la curva a x -t entre las líneas verticales
r, y t 2 . (En la sección 2.4 demostramos que esto se cumplía para el caso especial en
que la aceleración es constante.)

En el límite donde los Ai se hacen muy pequenos y muy numerosos, el valor de
a med-x P ara e l intervalo de cualquier r a t + Ar se acerca a la aceleración instantànea a x
en el instante t. En este límite, el àrea bajo la curva a x -t es la integral de a x (que en
general es una función de r) de r, a f 2 . Si v lx es la velocidad del cuerpo en f, y u lv es
la velocidad en U, entonces,

dv r = \ a x dt (2.15)

El cambio en v x es la integral de la aceleración a x con respecto al tiempo.

2.26 Cuando pisamos el pedal del
acelerador de un automóvil, la aceleración
resultante no es constante: cuanto mayor
sea la rapidez del auto, màs lentamente
ordinario tarda el doble en acelerar de
50 km/h a 100 km/h que en acelerar
de a 50 km/h.

2.27 La posición y la velocidad de un
avión que cruza el Atlàntico se encuentran
integrando su aceleración con respecto al
tiempo.

Aceleración: conocida
Posición: por determinar

A Londres

/
/
/
/
/
/
/

• De

Miami

2.28 Una gràfica a x -t para un cuerpo cuya
aceleración no es constante.

Àrea de esta franja — Ao,
a = cambio en la velocidad
durante el intervalo Af. /

Ai

El àrea total bajo la gràfica x-t de íj a í 2
— cambio neto en la velocidad de t x a t 2 .

58

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

Podemos seguir exactamente el mismo procedimiento con la curva de velocidad
contra tiempo. Si x, es la posición de un cuerpo en í, y x 2 es su posición en í 2 , por la
ecuación (2.2) el desplazamiento Ax en un intervalo Ar pequeno es v mcd _ x Ai, donde
^med-j: es la velocidad media durante Ar. El desplazamiento total x 2 — x, durante t 2 — t t

tlx

v v dt

(2.16)

El cambio en la posición x (es decir, el desplazamiento) es la integral en el tiempo de
la velocidad v x . Gràficamente, el desplazamiento entre í, y t 2 es el àrea bajo la curva
v x -t entre esos dos instantes. [Este es el resultado que obtuvimos en la sección 2.4
para el caso especial en que v x està dada por la ecuación (2.8).]

Si ^ = y t 2 es cualquier instante posterior r, y si x y v 0x son la posición y la velo-
cidad en t = 0, respectivamente, entonces rescribimos las ecuaciones (2.15) y (2.16)
como:

v x

a.dt

(2.17)

v r dt

(2.18)

Aquí, x y v x son la posición y la velocidad en el instante t. Si conocemos la acelera-
ción a x en función del tiempo y la velocidad inicial v Ux , podremos usar la ecuación
(2.17) para obtener la velocidad v x en cualquier instante; es decir, podemos obtener v x
en función del tiempo. Una vez conocida esta función, y dada la posición inicial x ,
podemos usar la ecuación (2.18) para calcular la posición x en cualquier instante.

Ejemplo 2.9

Movimiento con aceleración cambiante

Sally conduce su Mustang 1965 por una autopista recta. En el instante
t = 0, cuando Sara avanza a 10 m/s en la dirección +.x, pasa un letrero
que està en x = 50 m. Su aceleración es una función del tiempo:

a x = 2.0 m/s 2 - ( 0.10 m/s 3 )/

a) Deduzca expresiones para su velocidad y posición en función del
tiempo. b) ^En que momento es màxima su velocidad? c) ^Cuàl es esa
velocidad màxima? d) ^Dónde està el automóvil cuando alcanza la ve-

EHEE1

IDENTIFICAR: La aceleración es función del tiempo, asíque no pode-
mos usar las fórmulas para aceleración constante de la sección 2.4.

PLANTEAR: Utilizamos las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obtener
la velocidad y la posición en función del tiempo. Una vez que ten-
gamos esas funciones, podremos contestar diversas preguntas acerca
del movimiento.

EJECUTAR: a) En t = 0, la posición de Sally es Xq = 50 m y su veloci-
dad es Vqx = 10 m/s. Puesto que se nos da la aceleración a x en función
del tiempo, primera usamos la ecuación (2.17) para obtener la veloci-
dad v x en función del tiempo t. La integral de t" es JY' dt = „ { , f + '
con n& — 1, asíque

v x = 10 m/s + [2.0 m/s 2 - (0.10 m/s 3 ) í] dt

-'n

Luego usamos la ecuación (2. 1 8) para obtener x en función de t:

50 m +

í

10 m/s + (2.0m/s 2 )í - -(0.10 m/s 3 )/ 2

= 50m + (10 m/s) í + -(2.0 m/s 2 )? 2 - -(0.10 m/s 3 )? 3
2 6

La figura 2.29 muestra las gràficas de a x , v x y X en función del tiempo.
Observe que, para cualquier t, la pendiente de la gràfica v x -t es igual al
valor de a^ y la pendiente de la gràfica x-t es igual al valor de v x .

b) El valor màximo de v x se da cuando v x deja de aumentar y co-
mienza a disminuir. En este instante, dvjdt = a x = 0. Igualando a cera
la expresión de la aceleración,

- 2.0 m/s 2 - (0.10m/s 3 )í
2.0 m/s 2

0.10 m/s

20 s

c) Obtenemos la velocidad màxima sustituyendo t = 20 s (cuando
í; es màxima) en la ecuación para v x del inciso d):

IW*= 10 m/s + (2.0 m/s 2 ) (20 s) - -(0.10 m/s 3 ) (20 s) 2
= 30 m/s

10 m/s + (2.0 m/s 2 )/ - -(0.10 m/s 3 )/ 2

2.6 *Velocidad y posición por integración

59

2.29 Posición, velocidad y aceleración del automóvil del
ejemplo 2.9 como funciones del tiempo. ;,Puede usted
demostrar que si continua este movimiento, el auto pararà
en t = 44.5 s?

■ La aceleración es positiva
antes de / = 20 s.

-1.0

5 10 15 20
La aceleración es ■
negativa después de t = 20 s.

/(s>

aumenta antes i disminuye después

30

f(s)

d) El valor màximo de v x se da en t = 20 s. Para obtener la posición
del auto en ese instante, sustituimos t = 20 s en la expresión para x del
inciso a):

x = 50 m + (10 m/s) (20 s) + -(2.0 m/s 2 ) (20 s) 2

- -(0.10 m/s 3 ) (20 s) 3
6

= 517m

EVALUAR: La figura 2.29 nos ayuda a interpretar los resultados. La
gràfica superior de esta figura muestra que a x es positiva entre / = Oy
t = 20 s, y negativa después. Es cera en t = 20 s, cuando v x es màxi-
ma (punto alto en la curva de en medio). El auto acelera hasta t =
20 s (porque v x y fit* tienen el mismo signo) y frena después de t = 20 s
(porque V x y ct x tienen signos opuestos).

Como v x es màxima en t = 20 s, la gràfica x-t (la de arriba en la fi-
gura 2.29) tiene su pendiente positiva màxima en ese instante. Observe
que la curva x-t es còncava hacia arriba entre t = y / = 20 s, cuan-
do a x es positiva, y es còncava hacia abajo después de t = 20 s, cuando
a x es negativa.

-v (m)

800
600
400
200

O

La gràfica x-t se curva
hacia arriba antes
de t = 20 s.

La gràfica x-t se curva
hacia abajo después
de t = 20 s.

f(s)

10 15 20 25 30

Ejemplo 2.10

Fórmulas de aceleración constante por integración

Use las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obtener v x y x en función del
tiempo para el caso de aceleración constante.

EHHEJ

IDENTIFICAR: Estos ejemplos serviran para verificar las ecuaciones
que dedujimos en esta sección. Si estan correctas, deberíamos terminar
con las mismas ecuaciones de aceleración constante que dedujimos en
la sección 2.4 sin usar la integración.

PLANTEAR: Seguimos los mismos pasos que en el ejemplo 2.9. La
única diferencia es que a x es una constante.

EJECUTAR: Por la ecuación (2.17), la velocidad està dada por
V x = Vfa + a x dt = Vfa + a x dt = Vfa + a x t

Pudimos obtener a x de la integral porque es constante. Si sustituimos
esta expresión para v x en la ecuación (2.18), obtendremos

x + V x dt = x {) + (v (h + ü x t)dt

Puesto que í; 0v y a x son constantes, podemos sacarlas de la integral:

x + v Qx dt + a x \ t dt ■

1 2

EVALUAR: Estos resultados son iguales a las ecuaciones (2.8) y (2.12)
para la sección 2.4, jcomo debería ser! No obstante, nuestras expre-
siones para las ecuaciones (2.17) y (2.18), en los casos en que la
aceleración depende del tiempo, también pueden servirnos cuando
la aceleración sea constante.

Evalúe SU comprensíón de la sección 2.6 Si la aceleración a x se incrementa
con el tiempo, la gràfica v x -t ^serà i) una línea recta, ii) una curva còncava hacia
arriba (con curvatura hacia arriba) o iii) una curva còncava hacia abajo (con curvatura
hacia abajo)?

CAPÍTULO 2 RESUMEN

Movimiento rectilíneo, velocidad media e instantànea:

Cuando una partícula se mueve en línea recta, describimos
su posición con respecto al origen O mediante una
coordenada como x. La velocidad media de la partícula,
v med _ v , durante un intervalo Af = t 2 — t, es igual a
su desplazamiento Ax = x 2 — Xi dividido entre Af.
La velocidad instantànea v x en cualquier instante t es igual
a la velocidad media en el intervalo de tiempo de t a t + Àí
en el límite cuando Ai tiende a cero. De forma equivalente,
V x es la derivada de la función de posición con respecto
al tiempo. (Vease el ejemplo 2.1.)

lím

*2 -

*

Ax

h ~

h

Ai

Ax

dx

'« Af

dl

(2.2)

(2.3)

Aceleración media e instantànea: La aceleración
media cï med ., durante un intervalo Af es igual al cambio
de velocidad Au, = l> 2 , — i;,, durante ese lapso dividido
entre At. La aceleración instantànea a x es el límite de
a med-ï cuan do Af tiende a cero, o la derivada de í;, con
respecto a f. (Véanse los ejemplos 2.2 y 2.3.)

f,

Av x

Af

Av x

lím

Al-tO Af

dv x
dt

(2.4)

(2.5)

Movimiento rectilíneo con aceleración constante:

Cuando la aceleración es constante, cuatro ecuaciones
relacionan la posición x y la velocidad L>, en cualquier
instante f con la posición inicial .v , la velocidad inicial u a
(ambas medidas en 1 = 0) y la aceleración a x .
(Véanse los ejemplos 2.4 y 2.5.)

Solo aceleración constante:

v, = v üx + a x l

(2.8)

1 ,

x = x + v (t ,t + -a x r

(2.12)

v x = v 0x + 2a x (x — x )

(2.13)

lv 0x + v,\
x %= 2 t

(2.14)

■ ^

ü

^Aí i

:2Af í

3Af i

--4At í

v

Cuerpos en caída libre: La caída libre es un caso del movimiento con aceleración constante.
La magnitud de la aceleración debida a la gravedad es una cantidad positiva g. La aceleración
de un cuerpo en caída libre siempre es hacia abajo. (Véanse los ejemplos 2.6 a 2.8.)

Sí
1

-9.80 m/s :

Movimiento rectilíneo con aceleración variable: Cuando
la aceleración no es constante, sinó una función conocida
del tiempo, podemos obtener la velocidad y la posición en
función del tiempo integrando la función de la aceleración.
(Véanse los ejemplos 2.9 y 2.10.)

<> + v x d

(2.17)

(2.18)

A

t* 1

Af

60

Preguntas para anàlisis 61

Términos clave

partícula, 37
gràfica x-t, 38

rapidez, 40

diagrama de movimiento, 42
aceleración media, 43
aceleración instantànea, 44
gràfica v x -t, 45

gràfica a x -t, 47
caída libre, 53
aceleración debida a la gravedad, 54

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo .

Sí. Aceleración se refiere a cualquier cambio de velocidad, ya sea
que aumente o disminuya.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

2.1 Respuestas a a): iv), i) y iii) (empatados), v), ii); respuesta a b):
i) y iii); respuesta a c): v) En d), la velocidad media es V meà . x = Ax/At.
Para los cinco viajes, Àí = 1 h. Para los viajes individuales, tenemos

i) Ax = +50 km, i; med _ A . = +50 km/h; ii) Ax = -50 km,
^med.v ~ —50 km/h; iii) Ax = 60 km — 10 km = +50 km, v med _ x =
+ 50 km/h; iv) Ax=+70km, v meà . x = +70 km/h; v) Ax =
Ax = — 20 km + 20 km = 0, t> med _ t . = 0. En b) ambos tienen v mcd . x =
+50 km/h.

2.2 Respuestas: a)P,QyS (empatados), R La velocidad es b) positi-
va cuando la pendiente de la gràfica x-t es positiva (punto P), c) nega-
tiva cuando la pendiente es negativa (punto R) y d) cero cuando la
pendiente es cero (puntos Q y S). e)R s P, Q y S (empatados) La rapi-
dez es màxima cuando la pendiente de la gràfica x-t es màs empinada
(ya sea positiva o negativa), y cero cuando la pendiente es cero.

2.3 Respuestas: a) S, donde la gràfica x-t se curva (es còncava) ha-
cia arriba, b) Q, donde la gràfica x-t se curva (es còncava) hacia abajo.

c) P y R, donde la gràfica x-t es una línea recta, d) En P, v x > y
a x = (la rapidez no cambia); en Q, v x > y a x < (la rapidez dis-
minuye); en R, v x < y a x = (la rapidez no cambia); y en S, V x <
y a x > (la rapidez disminuye).

2.4 Respuesta: b) La aceleración del policia es constante, de manera
que su gràfica v x -t es una recta y su motocicleta se mueve màs ràpi-
do que el automóvil del conductor, cuando ambos vehículos se encuen-
tran en t = 10 s.

2.5 Respuestas: a) iii) Use la ecuación (2.13) sustituyendo x por y y
a y = g; V y = t> y ~ 2g (y — y ). La altura inicial es y Q = y la velo-
cidad a la altura màxima y = h es v y = 0, así que = v Q 2 v — 2gh y
h = v Q 2 y /2g. Si la velocidad inicial aumenta en un factor de 2, la al-
tura màxima aumentarà en un factor de 2 2 = 4 y la pelota alcanzarà
la altura Ah. b) v) Utilice la ecuación (2.8) remplazando x por y y
a v = g\ v y = ÜQy — gt. La velocidad en la altura màxima es v y = 0, así
que = v Qy — gt y t = v Qy /g. Si la velocidad inicial se incrementa
en un factor de 2, el tiempo para llegar a la altura màxima se incre-
menta en un factor de 2 y se vuelve 2f.

2.6 Respuestas: ii) La aceleración a x es igual a la pendiente de la grà-
fica v x -t. Si a x aumenta, la pendiente de la gràfica v x -t también se in-
crementa y la curva es còncava hacia arriba.

PROBLEMAS

Para la tarea asignada por el profesor, visite www.masteringphysics.com (MP,

Preguntas para anàlisis

P2.1. ^El velocímetro de un automóvil mide rapidez o velocidad? Ex-
plique su respuesta.

P2.2. La figura 2.30 muestra una sèrie de fotograffas de alta rapidez de
un insecto que vuela en línea recta de izquierda a derecha (en la direc-
ción +.v). ^Cuàl de las gràncas de la figura 2.31 es màs probable que
describa el movimiento del insecto?

Figura 2.30 Pregunta P2.2.

• • • • • •

Figura 2.31 Pregunta P2. 2.

a)

b)

v x

o

o

P2.3. ^Un objeto con aceleración constante puede invertir la dirección
en la que se mueve? ^ Puede invertiria dos veces) En cada caso, expli-
que su razonamiento.

P2.4. ^En qué condiciones la velocidad media es igual a la velocidad
instantànea?

P2.5. ^,Para un objeto es posible d) frenar mientras su aceleración in-
crementa en magnitud; b) aumentar su rapidez mientras disminuye su
aceleración? En cada caso, explique su razonamiento.
P2.6. ^En qué condiciones la magnitud de la velocidad media es igual
a la rapidez media?

P2.7. Cuando un Dodge Viper està en el negocio "Lavamóvir, un
BMW Z3 està en las calles Olmo y Central. Luego, cuando el Dodge
llega a Olmo y Central, el BMW llega a "Lavamóvir'. ^.Qué relación
hay entre las velocidades medias de los automóviles entre esos ins-
tantes?

P2.8. En el estado de Massachusetts un conductor fue citado en el tri-
bunal por exceso de rapidez. La prueba contra el conductor era que una
mujer policia observo al automóvil del conductor j unto a un segundo
auto, en un momento en que la mujer policia ya había determinado que
el segundo auto excedia el límite de rapidez. El conductor alegó que:
"el otro auto me estaba rebasando, y yo no iba a exceso de rapidez". El
juez dictamino contra él porque, según dijo, "si los autos estaban jun-
tos, ambos iban a exceso de rapidez". Si usted fuera el abogado del
conductor, ; cómo defendería su caso?

62

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

P2.9. ^Puede usted tener desplazamiento y velocidad media distinta
de 0? ^Y velocidad distinta de 0? llustre sus respuestas en una gràfica
x-t.

P2.10. ^Puede usted tener aceleración y velocidad distinta de 0? Ex-
plique, usando una gràfica v x -t.

P2.ll. ^Puede usted tener velocidad cero y aceleración media distinta
de cero? ^Y velocidad cero y aceleración distinta de cero? Explique,
usando una gràfica v x -t y dé un ejemplo de dicho movimiento.
P2.12. Un automóvil viaja al oeste. ^Puede tener una velocidad hacia
el oeste y simultàneamente una aceleración hacia el este? ^En qué
circunstancias?

P2.13. La camioneta del juez en la figura 2.2 està en x ] = 277 m en
fj = 16.0 s, y en x 2 = 19 m en t 2 = 25.0 s. a) Dibuje dos posibles grà-
ficas x-t distintas para el movimiento de la camioneta, b) ^La velocidad
media u med . v en el intervalo de t x a t 2 tiene el mismo valor en ambas grà-
ficas? i, Por qué?

P2.14. Con aceleración constante, la velocidad media de una partícu-
la es la mitad de la suma de sus velocidades inicial y final. í\$e cumple
esto si la aceleración no es constante? Explique su respuesta.
P2.15. Usted lanza una pelota verticalmente hasta una altura màxima
mucho mayor que su pròpia estatura. ^La magnitud de la aceleración
es mayor mientras se lanza o después de que se suelta? Explique su
respuesta.

P2.16. Demuestre lo que sigue. d) En tanto puedan despreciarse los
efectos del aire, si se lanza algo verticalmente hacia arriba tendra la
misma rapidez cuando regrese al punto de lanzamiento que cuando se
soltó. b) El tiempo de vuelo serà el doble del tiempo de subida.
P2.17. Un grifo de agua que gotea deja caer constantemente gotas cada
1.0 s. Conforme dichas gotas caen, la distancia entre ellas aumenta,
disminuye o permanece igual? Demuestre su respuesta.
P2.18. Si se conocen la posición y velocidad iniciales de un vehículo y
se registra la aceleración en cada instante, ^puede calcularse su posi-
ción después de cierto tiempo con estos datos? Si se puede, explique
cómo.

P2.19. Desde la azotea de un rascacielos, usted lanza una pelota verti-
calmente hacia arriba con rapidez v n y una pelota directamente hacia
abajo con rapidez Vq. a) iQué pelota tiene mayor rapidez cuando llega
al suelo? b) ^Cuàl llega al suelo primero? c) ^Cuàl tiene un mayor des-
plazamiento cuando llega al suelo? d) ^,Cuàl recorre la mayor distancia
cuando llega al suelo?

P2.20. Se deja caer una pelota desde el reposo en la azotea de un edifi-
cio de altura h. En el mismo instante, una segunda pelota se proyecta
verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, de modo que tenga
rapidez cera cuando llegue al nivel de la azotea. Cuando las dos pelo-
tas se cruzan, ^cuàl tiene mayor rapidez (o ambas tienen la misma rapi-
dez)? Explique su respuesta. ^Dónde estaran las dos pelotas cuando se
crucen: a una altura h/2 sobre el suelo, màs abajo de esa altura o arriba
de esa altura? Explique su respuesta.

Ejercicios

Sección 2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media

2.1. Un cohete que lleva un satélite acelera verticalmente alejàndose
de la superfície terrestre. 1 . 15 s después del despegue, el cohete libra el
tope de su plataforma de lanzamiento, a 63 m sobre el suelo; y después
de otros 4.75 s, està a 1 .00 km sobre el suelo. Calcule la magnitud de la
velocidad media del cohete en d) la parte de 4.75 s de su vuelo; b) los
primeros 5.90 s de su vuelo.

2.2. En un experimento, se saco a una pardela (una ave marina) de su
nido, se le llevo a 5 150 km de distancia y luego fue liberada. El ave re-
gresó a su nido 13.5 días después de haberse soltado. Si el origen es el
nido y extendemos el eje +x al punto de liberación, ^cuàl fue la veloci-
dad media del ave en m/s a) en el vuelo de regreso? b) £Y desde que
se saco del nido hasta que regresó?

2.3. Viaje a casa. Suponga que usted normalmente conduce por la
autopista que va de San Diego y Los Angeles con una rapidez media
de 105 km/h (65 m/h) y el viaje le toma 2 h y 20 min. Sin embargo, un
viernes por la tarde el trafico le obliga a conducir la misma distancia
con una rapidez media de solo 70 km/h (43 mi/h). ^Cuànto tiempo
màs tardarà el viaje?

2.4. De pilar a poste. Partiendo de un pilar, usted corre 200 m al
este (la dirección +x) con rapidez media de 5.0 m/s, luego 280 m al oes-
te con rapidez media de 4.0 m/s hasta un poste. Calcule a) su rapidez
media del pilar al poste y b) su velocidad media del pilar al poste.

2.5. Dos corredores parten simultàneamente del mismo punto de una
pista circular de 200 m y corren en direcciones opuestas. Uno corre
con una rapidez constante de 6.20 m/s, y el otro, con rapidez constante
de 5.50 m/s. £ Cuando se encuentren primero? a) ^cuànto tiempo habràn
estado corriendo?, y b) <,qué distancia desde el punto de salida habrà

2.6. Suponga que los dos corredores del ejercicio 2.5 salen al mismo
tiempo del mismo lugar, però ahora corren en la misma dirección.

a) ^Cuando el màs ràpido alcanzarà primero al màs lento y qué distan-
cia desde el punto de partida habrà cubierto cada uno? h) ^Cuando el
màs ràpido alcanzarà al màs lento por segunda vez, y qué distancia
habràn cubierto en ese instante desde el punto de salida?

2.7. Estudio de los terremotos. Los terremotos producen varios ti-
pos de ondas de choque. Las màs conocidas son las ondas P (P por
primària o presión) y las ondas S (S por secundaria o esfuerzo cortan-
te). En la corteza terrestre, las ondas P viajan a aproximadamente
6.5 km/s, en tanto que las ondas S se desplazan a aproximadamen-
te 3.5 km/s. Las rapideces reales varían según el tipo de material por
el que viajen. El tiempo de propagación, entre la llegada de estàs dos
clases de onda a una estación de monitoreo sísmico, le indica a los
geólogos a qué distancia ocurrió el terremoto. Si el tiempo de propa-
gación es de 33 s, a qué distancia de la estación sísmica sucedió el
terremoto?

2.8. Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x
de un letrero de alto està dada en función del tiempo t por la ecuación
x(t) = at 2 - )8f 3 , donde a = 1.50 m/s 2 y (3 = 0.0500 m/s 3 . Calcule
la velocidad media del auto para los intervalos a) t = a t = 2.00 s;

b) t = a t = 4.00 s; c) t = 2.00 s a t = 4.00 s.

Sección 2.2 Velocidad instantànea

2.9. Un automóvil està parado ante un semàforo. Después viaja en lí-
nea recta y su distancia con respecto al semàforo està dada por x(t) =
bf — cP, donde b = 2.40 m/s 2 yc = 0. 120 m/s 3 , a) Calcule la veloci-
dad media del auto entre el intervalo t = a t = 10.0 s. b) Calcule la
velocidad instantànea del auto en / = 0; / = 5.0 s; t = 10.0 s. c) ^,Cuàn-
to tiempo después de arrancar el auto vuelve a estar parado?

2.10. Una profesora de física sale de su casa y camina por la acera ha-
cia el campus. A los 5 min, comienza a llover y ella regresa a casa. Su
distancia con respecto a su casa en función del tiempo se muestra en la
figura 2.32. ^,En cuàl punto rotulado su velocidad es a) cero, b) cons-
tante y positiva, c) constante y negativa, d) de magnitud creciente y
e) de magnitud decreciente?

Ejercicios

63

Figura 2.32 Ejercicio 2.10.
x(m)

400

m -/-^

IV

300

200

"» V

100

11 J

1 2

3 4

5 6

7 8

su gràfica? (Antes de decidirse a comprar este vehículo, le seria útil
saber que solo se fabricaran 300, que a su màxima rapidez se le acaba
la gasolina en 12 minutos y jque cuesta 1,250,000 dólares!)
2.14. La figura 2.34 muestra la velocidad de un automóvil solar en fun-
ción del tiempo. El conductor acelera desde un letrero de alto, viaja
20 s con rapidez constante de 60 km/h y frena para detenerse 40 s des-
pués de partir del letrero. à) Calcule la aceleración media para estos
intervalos: i) t = a t = 10 s; ii) f = 30 s a t = 40 s; iii) t = 10 s a
t = 30 s; iv) t = a t = 40 s. b) <^Cuàl es la aceleración instantànea
en t = 20 s y en t = 35 s?

/ (min)

2.11. Una pelota se mueve en línea recta (el eje x). En la figura 2.33
la gràfica muestra la velocidad de esta pelota en función del tiempo.
a) ^Cuàles son la rapidez media y la velocidad media de la pelota
durante los primeros 3.0 s? b) Suponga que la pelota se mueve de tal
manera que el segmento de la gràfica después de 2.0 s era —3.0 m/s
en vez de +3.0 m/s. En este caso, calcule la rapidez media y la velo-
cidad media de la pelota.

Figura 2.33 Ejercicio 2.11.

v x (m/s)

3.0

2.0

1.0

1.0

2

3.0

f(s)

Seccíón 2.3 Aceleración media e instantànea

2.12. Un piloto de pruebas de Automotores Galàxia, S.A., està proban-
do un nuevo modelo de automóvil con un velocímetro calibrado para
indicar m/s en lugar de mi/h. Se obtuvo la siguiente sèrie de lecturas
durante una prueba efectuada en una carretera recta y larga:

Tiempo (s)

2

4

6

8

10

12

14

16

Rapidez (m/s)

2

6

10

16

19

22

22

ci) Calcule la aceleración media en cada intervalo de 2 s. ^La acelera-
ción es constante? ^Es constante durante alguna parte de la prueba?
b) Elabore una gràfica v x -t con los datos, usando escalas de 1 cm = 1 s
horizontalmente, y 1 cm = 2 m/s verticalmente. Dibuje una curva sua-
ve que pase por los puntos graficados. Mida la pendiente de la curva
para obtener la aceleración instantànea en: / = 9 s, 13 s y 15 s.
2.13. ;E1 automóvil mas rapido (y mas caro)! La siguiente tabla
presenta los datos de prueba del Bugatti Veyron, el auto màs ràpido fa-
bricado. El vehículo se mueve en línea recta (el eje x).

Tiempo (s)

2.1

20.0

53

Rapidez (mi/h)

60

200

253

a) Elabore una gràfica ü x -t de la velocidad de este auto (en mi/h) en
función del tiempo. ( ',Su aceleración es constante? b) Calcule la ace-
leración media del auto (en m/s 2 ) entre i) y 2.1 s; ii) 2.1 s y 20.0 s;
iii) 20.0 s y 53 s. ^Estos resultados son congruentes con el inciso a) de

Figura 2.34 Ejercicio 2.14.
V x (km/h)

60

1 \

50

~ / \

40

-/ \

30

\

20

"/ \

10

/ \

O

5 10 15 20 25 30 35 40

/(S)

2.15. Una tortuga camina en línea recta sobre lo que llamaremos eje x
con la dirección positiva hacia la derecha. La ecuación de la posición
de la tortuga en función del tiempo es x(t) = 50.0 cm + (2.00 cm/s)í
— (0.0625 cm/s 2 )f 2 . a) Determine la velocidad inicial, posición inicial
y aceleración inicial de la tortuga, b) ^En qué instante t la tortuga tiene
velocidad cero? c) ^Cuànto tiempo después de ponerse en marcha re-
gresa la tortuga al punto de partida? d) ^En qué instantes t la tortuga
està a una distancia de 10.0 cm de su punto de partida? ^Qué velocidad
(magnitud y dirección) tiene la tortuga en cada uno de esos instantes?
e) Dibuje las gràiicas: x-t, V x -t y a x -t para el intervalo de t — a
t = 40.0 s.

2.16. Una astronauta salió de la Estación Espacial Internacional para
probar un nuevo vehículo espacial. Su compahero mide los siguientes
cambios de velocidad, cada uno en un intervalo de 10 s. Indique la
magnitud, el signo y la dirección de la aceleración media en cada in-
tervalo. Suponga que la dirección positiva es a la derecha. a) Al princi-
pio del intervalo, la astronauta se mueve a la derecha sobre el eje x a
15.0 m/s, y al final del intervalo se mueve a la derecha a 5.0 m/s. b) Al
principio se mueve a la izquierda a 5.0 m/s y al final lo hace a la iz-
quierda a 15.0 m/s. c) Al principio se mueve a la derecha a 15.0 m/s
y al final lo hace a la izquierda a 15.0 m/s.

2.17. Aceleración de un automóvil. Con base en su experiència al
viajar en automóvil, estime la magnitud de la aceleración media de un
auto, cuando a) acelera en una autopista desde el reposo hasta 65 mi/h,
y b) frena desde una rapidez de autopista hasta un alto total, c) Expli-
que por qué en cada caso la aceleración media podria considerarse
ya sea positiva o negativa.

2.18. La velocidad de un automóvil en función del tiempo està dada
por v,(t) = a + fit 2 , donde a = 3.00 m/s y /3 = 0.100 m/s 3 , à) Calcule

64

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

la aceleración media entre t = y t = 5.00 s. b) Calcule la aceleración
instantànea en t = y en t = 5.00 s. c) Dibuje las gràficas v x -t y a x -t
exactas para el movimiento del auto entre t = y t = 5.00 s.
2.19. La figura 2.35 es una gràfica de la coordenada de una arana que
camina sobre el eje x. a) Grafique su velocidad y aceleración en fun-
ción del tiempo. b) En un diagrama de movimiento (como el de las fi-
guras 2.13b y 2.14b), muestre la posición, velocidad y aceleración de
la arana en los cinco tiempos: / = 2.5 s, t = 10 s, t = 20 s, t = 30 s y
í = 37.5 s.

Figura 2.35 Ejercicio 2.19.
x(m)

Paràbola

Línea

recta

Paràbola

5 10 15 20 25 30 35 40

f(s)

2.20. La posición del frente de un automóvil de pruebas controlado
por microprocesador està dada por x(t) = 2.17 m + (4.80 m/s 2 )/ 2 —
(0. 100 m/s jí . a) Obtenga su posición y aceleración en los instantes en
que tiene velocidad cero. b) Dibuje las gràficas x-t, V x -t y a x -t para el
movimiento del frente del auto entre t = y t = 2.00 s.

Sección 2.4 Movimiento con aceleración constante

2.21. Un antílope con aceleración constante cubre la distancia de
70.0 m entre dos puntos en 7.00 s. Su rapidez al pasar por el segun-
do punto es 15.0 m/s. a) iQué rapidez tenia en el primera? b) i,Qué
aceleración tiene?

2.22. La catapulta del portaaviones USS Abraham Lincoln acelera un
jet de combaté F/A- 18 Hornet, desde el reposo hasta una rapidez de
despegue de 173 mi/h en una distancia de 307 ft. Suponga aceleración
constante. d) Calcule la aceleración del avión en m/s 2 , b) Calcule el
tiempo necesario para acelerar el avión hasta la rapidez de despegue.

2.23. Un lanzamiento ràpido. El lanzamiento màs ràpido medido
de una pelota de beisbol sale de la mano del pitcher a una rapidez de
45.0 m/s. Si el pitcher estuvo en contacto con la pelota una distancia
de 1.50 m y produjo aceleración constante, a) <,qué aceleración le dio a
la pelota, y b) ^cuànto tiempo le tomo lanzarla?

2.24. Servicio de tenis. En el servicio de tenis màs ràpido medido,
la pelota sale de la raqueta a 73.14 m/s. En el servicio una pelota de te-
nis normalmente està 30.0 ms en contacto con la raqueta y parte del
reposo. Suponga aceleración constante. a) ^Cuàl era la aceleración de
la pelota durante este servicio? b) £Qué distancia recorrió la pelota
durante el servicio?

2.25. Bolsas de aire del automóvil. El cuerpo humano puede sobre-
vivir a un incidente de trauma por aceleración negativa (parada repen-
tina), si la magnitud de la aceleración es menor que 250 m/s 2 . Si usted
sufre un accidente automovilístico con rapidez inicial de 105 km/h
(65 mi/h) y es detenido por una bolsa de aire que se infla desde el
tablero, ^en que distancia debe ser detenido por la bolsa de aire para
sobrevivir al percance?

2.26. Ingreso a la autopista. Un automóvil està parado en una ram-
pa de acceso a una autopista esperando un hueco en el trafico. El con-
ductor acelera por la rampa con aceleración constante para entrar en la
autopista. El auto parte del reposo, se mueve en línea recta y tiene una
rapidez de 20 m/s (45 mi/h) al llegar al final de la rampa de 120 m de

largo. a) (,Qué aceleración tiene el auto? b) ^Cuànto tarda el auto en
salir de la rampa? c) El trafico de la autopista se mueve con rapidez
constante de 20 m/s. <,Qué distancia recorre el trafico mientras el auto
se mueve por la rampa?

2.27. Lanzamiento del transbordador espacial. En el lanzamiento el
transbordador espacial pesa 4.5 millones de libras. Al lanzarse desde
el reposo, tarda 8.00 s en alcanzar los 161 km/h y al final del primer
minuto, su rapidez es de 1610 km/h. a) ^Cuàl es la aceleración media
(en m/s 2 ) del transbordador i) durante los primeros 8.00 s, y ii) entre
8 s y el final del primer minuto? b) Suponiendo que la aceleración es
constante durante cada intervalo (aunque no necesariamente la misma
en ambos intervalos), i,qué distancia recorre el transbordador i) duran-
te los primeros 8.00s, y ii) durante el intervalo de 8.00 s a 1.00 min?

2.28. Según datos de pruebas efectuadas recientemente, un automóvil
recorre 0.250 millas en 19.9 s, partiendo del reposo. El mismo auto,
viajando a 60.0 mph y frenando en pavimento seco, se detiene en 146 ft.
Suponga una aceleración constante en cada parte del movimiento, pera
no necesariamente la misma aceleración al arrancar que al frenar.
a) Calcule la aceleración del auto al arrancar y al frenar, b) Si su acele-
ración es constante, ^con qué rapidez (en mi/h) debería estar viajando
el auto después de acelerar durante 0.250 mi? La rapidez real medida
es de 70.0 m/h; <;,qué le dice esto acerca del movimiento? c) ^Cuànto
tarda este auto en detenerse cuando viaja a 60.0 mi/h?

2.29. Un gato camina en línea recta en lo que llamaremos eje x con la
dirección positiva a la derecha. Usted, que es un físico observador,
efectua mediciones del movimiento del gato y elabora una gràfica de la
velocidad del felino en función del tiempo (figura 2.36). a) Determine
la velocidad del gato en t — 4.0 s y en t = 7.0 s. b) (,Qué aceleración
tiene el gato en t = 3.0 s? ^En t = 6.0 s? ^En r = 7.0 s? c) iQué distan-
cia cubre el gato durante los primeros 4.5 s? ^Entre / = y t = 7.5 s?
d) Dibuje gràficas claras de la aceleración del gato y su posición en
función del tiempo, suponiendo que el gato partió del origen.

Figura 2.36 Ejercicio 2.29.

v x

(cm/s)

8

7

6

5

4

3

2
1

i

i

i

i

i

O

1

2

3

4

5

èN

7

f(s)

2.30. En t = 0, un automóvil està detenido ante un semàforo. Al en-
cenderse la luz verde, el auto acelera a razón constante hasta alcanzar
una rapidez de 20 m/s 8 s después de arrancar. El auto continua con ra-
pidez constante durante 60 m. Luego, el conductor ve un semàforo con
luz roja en el siguiente cruce y frena a razón constante. El auto se de-
tiene ante el semàforo, a 180 m de donde estaba en t = 0. a) Dibuje las
gràficas x-t, V x -t y a x -t exactas para el movimiento del auto. b) En un
diagrama de movimiento (como los de las figuras 2.13b y 2.14b),
muestre la posición, velocidad y aceleración del auto 4 s después de
que se enciende la luz verde, mientras viaja a rapidez constante y cuan-
do frena.

Ejercicios

65

2.31. La gràfica de la figura 2.37 muestra la velocidad de un policia en
motocicleta en función del tiempo. a) Calcule la aceleración instantà-
nea en / = 3 s, en t = 1 s y en t = 1 1 s. b) <,Qué distancia cubre el poli-
cia en los primeros 5 s? (,En los primeros 9 s? ^Y en los primeros 13 s?

Figura 2.37 Ejercicio 2.31.
v (m/s)

50

A

i\

/

\

/

\

1

\

\

\

\

\

i

l (

)

■, i

1

2 14

f(s)

2.36. En el instante en que un semàforo se pone en luz verde, un auto-
móvil que esperaba en el cruce arranca con aceleración constante de
3.20 m/s 2 . En el mismo instante, un camión que viaja con rapidez
constante de 20.0 m/s alcanza y pasa al auto. a) ^,A qué distancia de su
punto de partida el auto alcanza al camión? b) (,Qué rapidez tiene el
auto en ese momento? c) Dibuje una gràfica x-í del movimiento de los
dos vehículos, tomando x = en el cruce. d) Dibuje una gràfica v x -t
del movimiento de los dos vehículos.

2.37. Llegada a Marte. En enero de 2004, la NASA puso un vehícu-
lo de exploración en la superfície marciana. Parte del descenso consis-
tió en las siguientes etapas:

Etapa A: la fricción con la atmosfera redujo la rapidez de 19,300 km/h
a 1600 km/h en 4.0 min.

Etapa B: un paracaídas se abrió para frenarlo a 321 km/h en 94 s.
Etapa C: se encienden los retrocohetes para reducir su rapidez a cero
en una distancia de 75 m.

Suponga que cada etapa sigue inmediatamente después de la que le
precede, y que la aceleración durante cada una era constante. à) En-
cuentre la aceleración del cohete (en m/s 2 ) durante cada etapa, b) ^Qué
distancia total (en km) viajó el cohete en las etapas A, B y C?

2.32. La figura 2.38 es una gràfica de la aceleración de una locomotora
de juguete que se mueve en el eje.ï. Dibuje las gràficas de su velocidad
y coordenada x en función del tiempo, si X = y v x = cuando t = 0.

Figura 2.38 Ejercicio 2.32.

a x (m/s 2 )
2

5 10 15 20 2 5 30 35 40

í(s)

2.33. Una nave espacial que lleva trabajadores a la Base Lunar I via-
ja en línea recta de la Tierra a la Luna, una distancia de 384,000 km.
Suponga que parte del reposo y acelera a 20.0 m/s 2 los primeros 15.0 min,
viaja con rapidez constante hasta los últimos 15.0 min, cuando acelera
a —20.0 m/s 2 , parando justo al llegar a la Luna. a) ^Qué rapidez màxi-
ma se alcanzó? b) <,Qué fracción de la distancia total se cubrió con ra-
pidez constante? c) ^Cuànto tardo el viaje?

2.34. Un tren subterràneo en reposo parte de una estación y acelera a
una tasa de 1 .60 m/s 2 durante 14.0 s, viaja con rapidez constante 70.0 s
y frena a 3.50 m/s 2 hasta parar en la siguiente estación. Calcule la dis-
tancia total cubierta.

2.35. Dos automóviles, A y B, se
mueven por el eje x. La figura 2.39
gràfica las posiciones de, A y B
contra el tiempo. a) En diagramas
de movimiento (como las figuras
2.13b y 2.14b), muestre la posi-
ción, velocidad y aceleración de
cada auto en í = 0, f = lsyí = 3s.
h) ^En qué instante(s), si acaso, A y
B tienen la misma posición ? c) Tra-
ce una gràfica de velocidad contra

tiempo para A y para B. d) ^En qué instante(s), si acaso, A y B tienen la
misma velocidad? e) ^En qué instante(s), si acaso, el auto A rebasa al
auto Bl f) (,En qué instante(s), si acaso, el auto B pasa al A?

Figura 2.39 Ejercicio 2.35.

x (m)

25
20

,\ /

15

£^B

10

5

^^

i

i

i

O

2

3

4

f(s)

Sección 2.5 Cuerpos en caída libre

2.38. Gotas de Uuvia. Si pueden descontarse los efectos del aire so-
bre las gotas de lluvia, podemos tratarlas como objetos en caída libre.
a) Las nubes de lluvia suelen estar a unos cuantos cientos de metros
sobre el suelo. Estime la rapidez (en m/s, km/h y mi/h) con que las go-
tas llegarían el suelo si fueran objetos en caída libre. b) Estime (con
base en sus observaciones personales) la velocidad real con que las go-
tas de lluvia chocan contra el suelo. c) Con base en sus respuestas a los
incisos a) y b), ^,es justificable ignorar los efectos del aire sobre las go-
tas de lluvia? Explique su respuesta.

2.39. a) Si una pulga puede saltar 0.440 m hacia arriba, ^qué rapidez
inicial tiene al separarse del suelo? ^Cuànto tiempo està en el aire?

2.40. Alunizaje. Un alunizador està descendiendo hacia la Base Lu-
nar I (figura 2.40) frenado lentamente por el retro-empuje del motor de
descenso. El motor se apaga cuan-
do el alunizador està a 5.0 m sobre Figura 2.40 Ejercicio 2.40.
la superfície y tiene una velocidad
hacia abajo de 0.8 m/s. Con el mo-
tor apagado, el vehículo està en
caída libre. ^,Qué rapidez tiene jus-
to antes de tocar la superfície? La
aceleración debida a la gravedad
lunar es de 1.6 m/s 2 .

2.41. Una prueba sencilla de
tiempo de reacción. Se sostiene
un metro verticalmente, de manera ->.0 m
que su extremo inferior esté entre I

el pulgai" y el índice de la mano del
sujeto de la prueba. Al ver que

sueltan el metro, el sujeto lo detiene juntando esos dos dedos. Se puede
calcular el tiempo de reacción con base en la distancia que el metro
cayó antes de que se le detuviera, leyendo la escala en el punto donde
el sujeto lo tomo. a) Deduzca una relación para el tiempo de reacción
en términos de esta distancia d medida. b) Si la distancia medida es
17.6 cm, ^.cuàl serà el tiempo de reacción?

2.42. Se deja caer un ladrillo (rapidez inicial cero) desde la azotea de
un edificio. El tabique choca contra el suelo en 2.50 s. Se puede des-
preciar la resistència del aire, así que el ladrillo està en caída libre.

66

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

Figura 2.41 Ejercicio 2.44.
kv = 5.00 m/s

d) i,Qué altura (en m) tiene el edificio? b) ^.Qué magnitud tiene la velo-
cidad del ladrillo justo antes de llegar al suelo? c) Dibuje las gràflcas:
a y -t, Vy-t y y-t para el movimiento del ladrillo.

2.43. Falla en el lanzamiento. Un cohete de 7500 kg despega ver-
ticalmente desde la plataforma de lanzamiento con una aceleración
constante hacia arriba de 2.25 m/s 2 y no sufre resistència del aire
considerable. Cuando alcanza una altura de 525 m, sus motores fallan
repentinamente y ahora la única fuerza que actua sobre él es la grave-
dad. a) (,Cuàl es la altura màxima que alcanzarà este cohete desde la
plataforma de lanzamiento? b) Después de que el motor falla, ^cuànto
tiempo pasarà antes de que se estrelle contra la plataforma de lanza-
miento, y que rapidez tendra justo antes del impacto? c) Dibuje las
gràficas a y -t, v y -t y y-t del movimiento del cohete desde el instante
en que despega hasta el instante justo antes de chocar contra la pla-
taforma de lanzamiento.

2.44. El tripulante de un globo aeros-
tatico, que sube verticalmente con ve-
locidad constante de magnitud 5.00
m/s, suelta un saco de arena cuando el
globo està a 40.0 m sobre el suelo (fi-
gura 2.41). Después de que se suelta,
el saco està en caída libre. d) Calcule
la posición y velocidad del saco a
0.250 s y 1.00 s después de soltarse.

b) ^Cuàntos segundos tardarà el saco
en chocar con el suelo después de sol-
tarse? c) i,Con qué rapidez chocarà?
d) t,Qué altura màxima alcanza el saco
sobre el suelo? e) Dibuje las gràficas
Oy-t, v y -t y y-t para el movimiento.

2.45. Un estudiante lanza un globo
lleno con agua, verticalmente hacia
abajo desde la azotea de un edificio.
El globo sale de su mano con una rapi-
dez de 6.00 m/s. Puede despreciarse la resistència del aire, así que
el globo està en caída libre una vez soltado. à) ^Qué rapidez tiene des-
pués de caer durante 2.00 s? b) i,Qué distancia cae en este lapso?

c) iQué magnitud tiene su velocidad después de caer 10.0 m? d) Dibu-
je las gràficas: a y -t, v y -t y y-t para el movimiento.

2.46. Se lanza un huevo casi verticalmente hacia arriba desde un punto
cerca de la cornisa de un edificio alto; al bajar, apenas libra la cornisa y
pasa por un punto 50.0 m bajo su punto de partida 5.00 s después de
salir de la mano que lo lanzó. Puede despreciarse la resistència del
aire. d) i,Qué rapidez inicial tiene el huevo? b) i, Qué altura alcanza so-
bre el punto de lanzamiento? c) ^Qué magnitud tiene su velocidad
en el punto màs alto? d) i,Q\\é magnitud y dirección tiene su acelera-
ción en el punto màs alto? é) Dibuje las gràficas a y -t, v y -t y y-t para
el movimiento del huevo.

2.47. El trineo impulsado por cohete Sonic Wind Núm. 2, utilizado
para investigar los efectos fisiológicos de las altas aceleraciones,
corre sobre una via recta horizontal de 1070 m (3500 ft). Desde el
reposo, puede alcanzar una rapidez de 224 m/s (500 mi/h) en 0.900 s.

a) Calcule la aceleración en m/s 2 , suponiendo que es constante.

b) ^Cuàl es la relación de esta aceleración con la de un cuerpo en caí-
da libre (g)l c) i,Qué distancia se cubre en 0.900 s? d) En una revista
se aseguró que, al final de cierta prueba, la rapidez del trineo descen-
dió de 283 m/s (632 mi/h) a cero en 1.40 s, y que en ese tiempo la
magnitud de la aceleración fue mayor que 40#. <^Son congruentes
tales cifras?

2.48. Un penasco es expulsado verticalmente hacia arriba por un vol-
càn, con una rapidez inicial de 40.0 m/s. Puede despreciarse la re-
sistència del aire. a) ^En qué instante después de ser expulsado el
penasco sube a 20.0 m/s? b) ^En qué instante baja a 20.0 m/s?

c) (,Cuàndo es cero el desplazamiento con respecto a su posición ini-

40.0 m al suelo

cial? d) (,Cuàndo es cero la velocidad del penasco? e) íQué magnitud
y dirección tiene la aceleración cuando el penasco està i) subiendo?
ii) ^bajando? iii) ^,en el punto màs alto?/) Dibuje las gràficas a y -t, v y -t
y y-t para el movimiento.

2.49. Una roca de 15 kg se suelta desde el reposo en la Tierra y llega
al suelo 1.75 s después. Cuando se suelta desde la misma altura en
Encélado, una luna de Saturno, llega al suelo en 18.6. ^,Cuàl es la ace-
leración debida a la gravedad en Encélado?

*Sección 2.6 Velocidad y posición por integración

*2.50. La aceleración de un autobús està dada por ajf) = at, donde
a = 1.2 m/s 3 , a) Si la velocidad del autobús en el tiempo t = 1.0 s es
5.0 m/s, ^cuàl serà en t = 2.0 s? b) Si la posición del autobús en
t = 1.0 s es 6.0 m, ^cuàl serà en t = 2.0 s? c) Dibuje las gràficas: a x -t,
V x -t y x-t para el movimiento.

*2.51. La aceleración de una motocicleta està dada por ajt) = At —
Bt 2 , con A = 1.50 m/s 3 y fi = 0.120 m/s 4 . La motocicleta està en re-
poso en el origen en r = 0. a) Obtenga su posición y velocidad en fun-
ción de f, h) Calcule la velocidad màxima que alcanza.
*2.52. Salto volador de la pulga. Una película tomada a alta velo-
cidad (3500 cuadros por segundo) de una pulga saltarina de 210 fig
produjo los datos que se usaran para elaborar la gràfica de la figura
2.42. (Véase "The Flying Leap of the Flea", por M. Rothschild, Y.
Schlein, K. Parker, C. Neville y S. Sternberg en el Scientific American
de noviembre de 1973.) La pulga tenia una longitud aproximada de
2 mm y salto con un àngulo de despegue casi vertical. Use la gràfica
para contestar estàs preguntas. a) ( ',La aceleración de la pulga es cero en
algun momento? Si lo es, ^cuando? Justifique su respuesta. b) Calcule
la altura màxima que la pulga alcanzó en los primeros 2.5 ms. c) De-
termine la aceleración de la pulga a los 0.5 ms, 1.0 ms y 1.5 ms.
d) Calcule la altura de la pulga a los 0.5 ms, LO ms y 1.5 ms.

Figura 2.42 Ejercicio 2.52.

50

00

50

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Tiempo (en milisegundos)

*2.53. En la figura 2.43 la gràfica describe la aceleración en función
del tiempo para una piedra que rueda hacia abajo partiendo del reposo.

Figura 2.43 Ejercicio 2.53.

a x

(cm/s 2 )

f(s)

Problemas

67

a) Calcule el cambio en la velocidad de la piedra entre t = 2.5 s y
/ = 7.5 s. b) Elabore una gràfica de la velocidad de la piedra en fun-
ción del tiempo.

Problemas

2.54. En un paseo de 20 millas en bicicleta, usted recorre las primeras
10 millas con rapidez media de 8 mi/h. i,Q\ié rapidez media en las otras
10 mi requerirà para que la rapidez media total en las 20 millas sea:
d) iA mi/h? b) 1 12 mi/h? c) Dada la rapidez media indicada para las
primeras 10 millas, £le seria posible alcanzar una rapidez media de
16 mi/h para todo el paseo de 20 millas? Explique su respuesta.

2.55. La posición de una partícula entre t = y f = 2.00 s està dada
por*(í) = (3.00 m/s 3 )* 3 - (10.0 m/s 2 )* 2 + (9.00 m/s)í. a) Dibuje las
gràficas x-t, v x -t y a x -t para la partícula, b) ^En qué instante(s) entre
t = y t = 2.00 s està instantàneamente en reposo la partícula? ^.Coin-
cide el resultado numérico con la gràfica v x -t del inciso a)l c) En cada
instante calculado en el inciso b), ^la aceleración de la partícula es po-
sitiva o negativa? Demuestre que en cada caso la misma respuesta se
deduce de a x (t) y de la gràfica v x -t. d) En qué instante(s) entre t = y
/ = 2.00 s no està cambiando la velocidad instantànea de la partícula?
Ubique este punto en las gràficas v x -t y a x -t del inciso a). e) ^Cuàl es la
distancia màxima de la partícula con respecto al origen (x = 0) entre
í = 0yí= 2.00 s?/) (,En qué instante(s) entre í = 0yí= 2.00 s la
partícula està aumentando de rapidez. a mayor ritmo? ^En qué instan-
te(s) entre t = y t = 2.00 s la partícula se està frenando a mayor rit-
mo? Ubique esos puntos en las gràficas v x -t y a x -t del inciso a).

2.56. Carrera de relevos. En una carrera de relevos, cada com-
petidora corre 25.0 m con un huevo sostenido en una cuchara, se
da vuelta y regresa al punto de partida. Edith corre los primeros
25.0 m en 20.0 s. Al regresar se siente màs confiada y tarda solo 15.0 s.
£Qué magnitud tiene su velocidad media en a) los primeros 25.0 m?

b) iY en el regreso? c) i,Cuàl es su velocidad media para el viaje re-
dondo? d) i,Y su rapidez media para el viaje redondo?

2.57. Dan entra en la carretera interestatal 1-80 en Seward, Nebraska,
y viaja al oeste en línea recta con velocidad media de 88 km/h.
Después de 76 km, llega a la salida de Aurora (figura 2.44). Al darse
cuenta de que llego demasiado lejos, se da vuelta, y conduce 34 km
al este hasta la salida de York con rapidez media de 72 km/h. Para el
viaje total de Seward a la salida de York, determine d) su rapidez me-
dia y b) la magnitud de su velocidad media.

Figura 2.44 Problema 2.57.

34 km ->|

2.58. Trafico en la autopista. Según un articulo de Scientific American
(mayo de 1990), las autopistas actuales pueden controlar cerca de 2400
vehículos por carril por hora en flujo vehicular uniforme a 96 km/h

(60 mi/h). Si hay màs vehículos, el flujo vehicular se hace "turbulen-
to" (intermitente). a) Si un vehículo tiene longitud media de 4.6 m
(15 ft), ^,qué espacio medio hay entre vehículos con la densidad de
trafico mencionada? b) Los sistemas de control automatizados para
evitar los choques, que operan rebotando ondas de radar o sonar en los
vehículos circundantes, acelerando o frenando el vehículo según sea
necesario, podrían reducir mucho el espacio entre vehículos. Si el es-
pacio medio es de 9.2 m (el largo de dos autos), cuàntos vehículos por
hora podrían circular a 96 km/h en un carril?

2.59. Un velocista de alto rendimiento acelera a su rapidez màxima en
4.0 s y mantiene esa rapidez durante el resto de la carrera de 100 m,
llegando a la meta con un tiempo total de 9.1 s. a) ^Qué aceleración
media tiene durante los primeros 4.0 s? b) t,Qué aceleración media tie-
ne durante los últimos 5.1 s? c) ^Qué aceleración media tiene durante
toda la carrera? d) Explique por qué su respuesta al inciso c) no es el
promedio de las respuestas a los incisos a) y b).

2.60. Un trineo parte del reposo en la cima de una colina y baja con
aceleración constante. En un instante posterior, el trineo està a 14.4 m
de la cima; 2.00 s después està a 25.6 m de la cima, 2.00 s después
està a 40.0 m de la cima, y 2.00 s después està a 57.6 m de la cima.

a) (,Qué magnitud tiene la velocidad media del trineo en cada intervalo
de 2.00 s después de pasar los 14.4 m? b) i,Qué aceleración tiene el
trineo? c) &Qué rapidez tiene el trineo al pasar los 14.4 m? d) ^Cuànto
tiempo tomo al trineo llegar de la cima a los 14.4 m? é) i,Qué distan-
cia cubrió el trineo durante el primer segundo después de pasar los
14.4 m?

2.61. Una gacela corre en línea recta (el eje x). En la figura 2.45, la
gràfica muestra la velocidad de este animal en función del tiempo.
Durante los primeros 12.0 s, obtenga a) la distancia total recorrida y

b) el desplazamiento de la gacela. c) Dibuje una gràfica a x -t que mues-
tre la aceleración de esta gacela en función del tiempo durante los pri-
meros 12.0 s.

Figura 2.45 Problema 2.61.

v v (m/s)
12.0

8.00

4.00

2.00 4.00 6.00 8.00 10.0 12.0

2.62. En el aire o en el vacío, la luz viaja con rapidez constante de
3.0 X 10 8 m/s. Para contestar algunas de las preguntas podria ser ne-
cesario consultar los datos astronómicos del Apéndice F. a) Un ano luz
se define como la distancia que la luz recorre en 1 ano. Utilice esta in-
formación para determinar cuàntos metros hay en 1 ano luz. b) ^Cuàn-
tos metros recorre la luz en un nanosegundo? c) Cuando hay una
erupción solar, ^.cuànto tiempo pasa antes de que pueda verse en la Tie-
rra? d) Rebotando rayos làser en un reflector colocado en la Luna por
los astronautas del Apolo, los astrónomos pueden efectuar mediciones
muy exactas de la distancia Tierra-Luna. ^Cuànto tiempo después de
emitido tarda el rayo làser (que es un haz de luz) en regresar a la
Tierra? e) La sonda Voyager, que pasó por Neptuno en agosto de 1989,
estaba a cerca de 3000 millones de millas de la Tierra en ese momento,
y envio a la Tierra fotografías y otra información mediante ondas de
radio, que viajan con la rapidez de la luz. ^Cuànto tardaron esas ondas
en llegar del Voyager a la Tierra?

68

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

2.63. Utilice la información del Apéndice F para contestar estàs pre-
guntas. a) <^Qué rapidez tienen las Islas Galàpagos, situadas en el ecua-
dor, debido a la rotación de la Tierra sobre su eje? b) <,Qué rapidez
tiene la Tierra debido a su traslación en tomo al Sol? c) Si la luz siguie-
ra la curvatura de la Tierra (lo cual no sucede), ^cuantas veces daria la
vuelta al ecuador un rayo de luz en un segundo?

2.64. Una pelota rígida que viaja en línea recta (el eje x) choca con-
tra una pared sòlida y rebota repentinamente durante un breve instante.
En la figura 2.46, la gràfica v x -t muestra la velocidad de esta pelota
en función del tiempo. Durante los primeros 2.00 s de su movimiento,
obtenga a) la distancia total que se mueve la pelota, y b) su des-
plazamiento. c) Dibuje una gràfica a x -t del movimiento de esta pelota.
d) ^En los 5.00 s la gràfica que se muestra es realmente vertical? Ex-
plique su respuesta.

Figura 2.46 Problema 2.64.

v x (m/s)

30.0

20.0

10.0

O

5.0

1(

.0

lf

.0

"2(

.0

20.0

f(s)

2.65. Una pelota parte del reposo y baja rodando una colina con acele-
ración uniforme, recorriendo 150 m durante los segundos 5.0 s de su
movimiento. i,Qué distancia cubrió durante los primeros 5.0 s?

2.66. Choque. El maquinista de un tren de pasajeros que viaja a
25.0 m/s avista un tren de carga cuyo cabuz està 200 m màs adelante
en la misma via (figura 2.47). El tren de carga viaja en la misma direc-
ción a 15.0 m/s. El maquinista del tren de pasajeros aplica de inmedia-
to los frenos, causando una aceleración constante de —0.100 m/s 2 ,
mientras el tren de carga sigue con rapidez constante. Sea x = el
punto donde està el frente del tren de pasajeros cuando el maquinista
aplica los frenos. a) ^Atestiguaràn las vacas una colisión? b) Si es así,
^dónde ocurrirà? c) Dibuje en una sola gràfica las posiciones del frente
del tren de pasajeros y del cabuz del tren de carga.

Figura 2.47 Problema 2.66.

u PT = 25.0 m/s

\ a = -0.100 m/s 2

u FT = 15.0 m/s

2.67. Las cucarachas grandes pueden córrer a 1.50 m/s en tramos cor-
tos. Suponga que està de paseo, enciende la luz en un hotel y ve una
cucaracha alejàndose en línea recta a 1.50 m/s. Si inicialmente usted
estaba 0.90 m detràs del insecto y se acerca hacia éste con una rapidez
inicial de 0.80 m/s, <;,qué aceleración constante mínima necesitarà para
alcanzarlo cuando éste haya recorrido 1.20 m, justo antes de escapar
bajo un mueble?

2.68. Dos automóviles estan separados 200 m y avanzan frontalmen-
te uno hacia el otro con una rapidez constante de 10 m/s. En el frente
de uno de ellos, un saltamontes lleno de energia salta de atràs hacia de-
lante entre los autos (jsí que tiene patas fuertes!) con una velocidad
horizontal constante de 15 m/s en relación con el suelo. El insecto sal-
ta en el instante en que cae, de manera que no pierde tiempo descan-
sando en uno u otro autos. <,Qué distancia total recorre el saltamontes
antes de que los automóviles colisionen?

2.69. Un automóvil y un camión parten del reposo en el mismo instan-
te, con el auto cierta distancia detràs del camión. El camión tiene ace-
leración constante de 2. 10 m/s 2 ; y el auto, 3.40 m/s 2 . El auto alcanza al
camión cuando éste ha recorrido 40.0 m. a) ^Cuànto tiempo tarda el
auto en alcanzar al camión? b) <,Qué tan atràs del camión estaba ini-
cialmente el auto? c) i,Qué rapidez tienen los vehículos cuando avan-
zan juntos? d) Dibuje en una sola gràfica la posición de cada vehículo
en función del tiempo. Sea x = la posición inicial del camión.

2.70. Dos pilotos de exhibición conducen frontalmente uno hacia el
otro. En t = la distancia entre los automóviles es D, el auto 1 està
parado y el 2 se mueve a la izquierda con rapidez v Q . El auto 1 comien-
za a moverse en t = con aceleración constante a x . El auto 2 sigue a
velocidad constante. a) ^,En qué instante chocaràn los autos? b) Calcu-
le la rapidez del auto 1 justo antes de chocar contra el auto 2. c) Dibuje
las gràficas x-t y ü x -t para los 2 autos, y trace las curvas usando los
mismos ejes.

2.71. Se suelta una canica desde el borde de un tazón semiesférico
cuyo diàmetro es de 50.0 cm y rueda de abajo hacia arriba al borde
opuesto en 10.0 s. Obtenga a) la rapidez media y la velocidad media
de la canica.

Figura 2.48 Problema 2.72.

2.72. Mientras conduce, quizàs us-
de su automóvil no continua incre-
mentàndose aun cuando mantenga
su pie presionando el pedal del
se debe a la resistència del aire y
a la fricción entre las partes mó-
viles del vehículo. La figura 2.48
muestra una gràfica v x -t cualitativa

para un auto ordinario, cuando éste parte del reposo en el origen y viaja
en línea recta (el eje x). Dibuje las gràficas a x -t y x-t cualitativas para
este automóvil.

2.73. Rebasado. El conductor de un automóvil desea rebasar un ca-
mión que viaja a una rapidez constante de 20.0 m/s (aproximadamente
45 mi/h). Inicialmente, el auto también viaja a 20.0 m/s y su paracho-
ques delantero està 24.0 m atràs del parachoques trasero del camión.
El auto adquiere una aceleración constante de 0.600 m/s 2 y regresa al
carril del camión cuando su parachoques trasero està 26.0 m adelante
del frente del camión. El auto tiene una longitud de 4.5 m, y el camión
tiene una longitud de 21.0 m. a) ^Cuànto tiempo necesita el auto para
rebasar al camión? b) &Qaé distancia recorre el auto en ese tiempo?
c) (,Qué rapidez final tiene el auto?

*2.74. La velocidad medida de un objeto es v x (t) = a — /3r, donde
a = 4.00 m/s y /3 = 2.00 m/s . En t = 0, el objeto està en x = 0.
a) Calcule la posición y aceleración del objeto en función de t.

Problemas

69

1.20 m/s

0ÜÜÜ
DDDD
DDDD
DDDD
DDDD
DDDD
DDDD
DDDD
DDDD
DDDD

46.0 m

b) i,Qué desplazamiento positivo màximo tiene el objeto con res-
pecto al origen?

*2.75. La aceleración de una partícula està dada por ajt) = —2.00
m/s 2 + (3.00 m/s )t. a) Encuentre la velocidad inicial v 0x tal que
la partícula tenga la misma coor-

denada «.,= 4.00 s que en Fi 8 ura 249 Problema 2.76.
t = 0. b) ^Cuàl serà la velocidad
en t = 4.00 s?

2.76. Caída de huevo. Imagine
que està en la azotea del edificio
de física, a 46.0 m del suelo (figu-
ra 2.49). Su profesor, que tiene
una estatura de 1.80 m, camina
junto al edificio a una rapidez
constante de 1.20 m/s. Si usted
quiere dejar caer un huevo sobre
la cabeza de su profesor, ^dónde
deberà estar éste cuando usted
suelte el huevo? Suponga que el
huevo està en caída libre.

2.77. En la Tierra un volcàn puede expulsar rocas verticalmente hasta
una altura màxima H. a) ^A qué altura (en términos de H) llegarían es-
tàs rocas si un volcàn en Marte las expulsarà con la misma velocidad
inicial? La aceleración debida a la gravedad en Marte es de 3.71 m/s 2 ,
y se puede despreciar la resistència del aire en ambos planetas. b) Si en
la Tierra las rocas estan en el aire un tiempo T, ^por cuànto tiempo
(en términos de T) estaran en el aire en Marte ?

2.78. Una artista hace malabarismos con pelotas mientras realiza otras
actividades. En un acto, arroja una pelota verticalmente hacia arriba y,
mientras la pelota està en el aire, corre de ida y vuelta hacia una mesa
que està a 5.50 m de distancia a una rapidez constante de 2.50 m/s, re-
gresando justo a tiempo para atrapar la pelota que cae. a) i, Con qué
rapidez inicial mínima debe ella lanzar la pelota hacia arriba para rea-
lizar dicha hazana? b) <,A qué altura de su posición inicial està la pe-
lota justo cuando ella llega a la mesa?

2.79. Los visitantes a un parque de diversiones observan a clavadistas
lanzarse de una plataforma de 21.3 m (70 ft) de altura sobre una alber-
ca. Según el presentador, los clavadistas entran al agua con una rapidez
de 56 mi/h (25 m/s). Puede ignorarse la resistència del aire. a) ^,Es co-
rrecta la aseveración del presentador? b) ^Para un clavadista es posi-
ble saltar directamente hacia arriba de la plataforma de manera que,
librando la plataforma al caer hacia la alberca, él entre al agua a
25.0 m/s? Si acaso, i,qué rapidez inicial requiere? ^Se necesita una
rapidez inicial físicamente alcanzable?

2.80. Una maceta con flores cae del borde de una ventana y pasa fren-
te a la ventana de abajo. Se puede despreciar la resistència del aire.
La maceta tarda 0.420 s en pasar por esta ventana, cuya altura es de
1 .90 m. i A qué distancia debajo del punto desde el cual cayó la maceta
està el borde superior de la ventana de abajo?

2.81. Algunos rifles pueden disparar una bala con una rapidez de 965
m/s justo cuando salen de la boca del canón (esta rapidez se llama ve-
locidad inicial). Si el canón tiene 70.0 cm de largo y si la bala acelera
uniformemente desde el reposo dentro del canón, d) ^cuàl es la acele-
ración (en valores de g) de la bala dentro del canón?, y b) ^,por cuànto
tiempo (en ms) està dentro del canón? c) Si, cuando el rifle se dispara
verticalmente, la bala alcanza una altura màxima H, ^cuàl debería
ser la altura màxima (en términos de H) para un rifle nuevo que pro-
duzca la mitad de la velocidad inicial de aquél?

2.82. Un cohete de varias etapas. En la primera etapa de un cohete
de dos etapas, éste se dispara desde la plataforma de lanzamiento par-
tiendo del reposo, però con una aceleración constante de 3.50 m/s 2 hacia
arriba. A los 25.0 s después del lanzamiento, el cohete inicia la segunda
etapa, la cual repentinamente aumenta su rapidez a 132.5 m/s hacia arri-
ba. Sin embargo, este impulso consume todo el combustible, de manera

que la única fuerza que actua sobre el cohete es la gravedad. Se despre-
cia la resistència del aire. a) Obtenga la altura màxima que alcanza el co-
hete de dos etapas sobre la plataforma de lanzamiento. b) Después de
que se inicia la segunda etapa, ^cuànto tiempo pasarà antes de que el co-
hete caiga a la plataforma de lanzamiento? c) i,Qué tan ràpido se moverà
el cohete de dos etapas justo cuando llega a la plataforma?

2.83. Cuidado abajo. Sam avienta una bala de 16 lb directamente
hacia arriba, imprimiéndole una aceleración constante de 45.0 m/s 2 a
lo largo de 64.0 cm, y soltàndola a 2.20 m sobre el suelo. Puede des-
preciarse la resistència del aire. a) iQué rapidez tiene la bala cuando
Sam la suelta? b) i,Qué altura alcanza sobre el suelo? c) ^,Cuànto tiem-
po tiene Sam para quitarse de abajo antes de que la bala regrese a la
altura de su cabeza, a 1 .83 m sobre el suelo?

2.84. Una profesora de física que està efectuando una demostración al
aire libre, de repente cae desde el reposo en lo alto de un acantilado y
simultàneamente grita "jAuxilio!' 1 Después de caer 3.0 s, escucha el
eco de su grito proveniente del suelo del valle. La rapidez del sonido es
de 340 m/s. a) ^Qué altura tiene el acantilado? b) Si se desprecia la
resistència del aire, <^con qué rapidez se estarà moviendo la profesora
justo antes de chocar contra el suelo? (Su rapidez real serà menor que
eso, debido a la resistència del aire.)

2.85. Malabarismo. Un malabarista actua en un recinto cuyo techo
està 3.0 m arriba del nivel de sus manos. Lanza una pelota hacia arriba
de modo que apenas llega al techo. a) i,Qué velocidad inicial tiene la
pelota? b) ^,Cuànto tiempo tarda la pelota en llegar al techo ? En el ins-
tante en que la primera pelota està en el techo, el malabarista lanza una
segunda pelota hacia arriba con dos terceras partes de la velocidad ini-
cial de la primera, c) ^Cuànto tiempo después de lanzada la segunda
pelota se cruzan ambas pelotas en el aire? d) ^A qué altura sobre la
mano del malabarista se cruzan las dos pelotas?

2.86. Un helicóptero que lleva al doctor Malvado despega con acelera-
ción constante hacia arriba de 5.0 m/s 2 . El agente secreto Austin Po-
wers se trepa de un salto al helicóptero justo cuando éste despega. Los
dos nombres forcejean durante 10.0 s, después de lo cual Powers apa-
ga el motor y se lanza desde el helicóptero. Suponga que el helicóptero
està en caída libre después de que se apaga el motor y que la resistèn-
cia del aire es insignificante. a) (,Qué altura màxima sobre el suelo al-
canza el helicóptero? b) 7.0 s después de saltar del helicóptero, Powers
enciende un cohete que trae sujeto a la espalda, el cual le imprime una
aceleración constante hacia abajo con magnitud de 2.0 m/s 2 . <,A qué
distancia sobre el suelo està Powers cuando el helicóptero se estrella
contra el pi so?

2.87. Altura de edificio. El Hombre Araíïa da un paso al vacío desde
la azotea de un edificio y cae libremente desde el reposo una distan-
cia h hasta la acera. En el ultimo 1.0 s de su caída, cubre una distancia
de hjA. Calcule la altura h del edificio.

2.88. Altura de acantilado. Imagine que està escalando una mon-
tana y que repentinamente se encuentra en el borde de un acantilado,
envuelto en niebla. Para determinar la altura del acantilado, deja caer
un guijarro y 10.0 s después escucha el sonido que hace al golpear el
suelo al pie del acantilado. a) Sin tomar en cuenta la resistència del
aire, i, qué altura tiene el acantilado si la rapidez del sonido es de 330
m/s? b) Suponga que se desprecia el tiempo que el sonido tarda en lle-
gar a sus oídos. En ese caso, ^habría sobrestimado o subestimado la
altura del acantilado? Explique su razonamiento.

2.89. Lata que cae. Un pintor està parado en un andamio que sube
con rapidez constante. Por descuido, empuja una lata de pintura, la
cual cae del andamio cuando està a 15.0 m sobre el suelo. Un observa-
dor usa su cronómetro para determinar que la lata tarda 3.25 s en llegar
al suelo. No tome en cuenta la resistència del aire. a) ^Qué rapidez tie-
ne la lata justo antes de llegar al suelo? b) Otro pintor està parado en
una cornisa, una lata està a 4.00 m arriba de él cuando esta se cae. Tie-
ne reflejos felinos, y si la lata pasa frente a él, podrà atraparia. £ Tiene

70

CAPITULO 2 Movimiento en línea recta

2.90. Decidido a probar la ley de la gravedad por sí mismo, un estu-
diante se deja caer desde un rascacielos de 180 m de altura, cronòme-
tre» en mano, e inicia una caída libre (velocidad inicial cero). Cinco
segundos después, llega Superman y se lanza de la azotea para salvar-
lo, con una rapidez inicial t> que imprimió a su cuerpo, empujàndose
hacia abajo desde el borde de la azotea con sus piernas de acero. Des-
pués, cae con la misma aceleración que cualquier cuerpo en caída li-
bre. a) (,Qué valor deberà tener v Q para que Superman atrape al
estudiante justo antes de llegar al suelo? b) Dibuje en una sola gràfica
las posiciones de Superman y del estudiante en función del tiempo.
La rapidez inicial de Superman tiene el valor calculado en el inciso a).
c) Si la altura del rascacielos es menor que cierto valor mínimo, ni
Superman podria salvar al estudiante antes de que llegue al suelo.
^Cuàl es esa altura mínima?

2.91. Durante el lanzamiento, a menudo los cohetes desechan partes
innecesarias. Cierto cohete parte del reposo en una plataforma de lan-
zamiento y acelera hacia arriba a 3.30 m/s 2 constantes. Cuando està a
235 m por arriba de la plataforma de lanzamiento, desecha un bote de
combustible vacío simplemente desconectàndolo. Una vez desconecta-
do, la única fuerza que actua sobre el bote es la gravedad (se puede
ignorar la resistència del aire), d) i,Qué tan alto està el cohete cuando
el bote llega a la plataforma, suponiendo no cambia la aceleración del
cohete? b) i,Cuàl es la distancia total que recorre el bote entre que se
suelta y choca contra la plataforma de lanzamiento?

2.92. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo con
rapidez l> . En el mismo instante, una segunda pelota (en reposo) se de-
ja caer de una altura H directamente encima del punto de lanzamiento
de la primera. No hay resistència del aire. a) ^Cuando chocaràn las pe-
lotas? b) Obtenga el valor de H en términos de v y g, de modo que,
cuando choquen las pelotas, la primera esté en su punto mas alto.

2.93. Dos automóviles, Ay B, viajan en línea recta. La distancia de A
con respecto al punto de partida està dada, en función del tiempo, por
x a0) = at + /3r, con a = 2.60 m/s y /3 = 1.20 m/s 2 . La distancia en-
tre B y el punto de partida es x B (t) = yv — Sf 3 , con y = 2.80 m/s 2 y
S = 0.20 m/s 2 , d) ^Cuàl auto se adelanta justo después de salir del
punto de partida? b) ^En qué instante(s) los dos autos estan en el mis-
mo punto? c) ^En qué instante(s) la distancia entre A y B no està
aumentando ni disminuyendo? d) ^En qué instante(s) A y B tienen
la misma aceleración?

2.94. Una manzana cae libremente de un àrbol, estando originalmente
en reposo a una altura H sobre un césped crecido cuyas hojas miden h.
Cuando la manzana llega al césped, se frena con razón constante de
modo que su rapidez es al llegar al suelo. d) Obtenga la rapidez de la
manzana justo antes de tocar el césped. b) Obtenga la aceleración de
la manzana ya dentro del césped. c) Dibuje las gràficas: y-t, v y -t y a y -t
para el movimiento de la manzana.

Problemas de desafio

2.95. Tomar el autobús. Una estudiante corre a mas no poder para
alcanzar su autobús, que està detenido en la parada, con una rapidez de
5.0 m/s. Cuando ella està aún a 40.0 m del autobús, éste se pone en
marcha con aceleración constante de 0.170 m/s 2 , a) (.Durante qué
tiempo y qué distancia debe córrer la estudiante a 5.0 m/s para alcan-
zar al autobús? b) Cuando lo hace, (,qué rapidez tiene el autobús?
c) Dibuje una gràfica x-t para la estudiante y para el autobús, don-
de x = sea la posición inicial de la estudiante. d) Las ecuaciones
que usó en el inciso a) para calcular t tienen una segunda solución, que
corresponde a un instante posterior en que la estudiante y el autobús
estan otra vez en el mismo lugar si continúan sus respectivos movi-
mientos. Explique el significado de esta otra solución. i, Qué rapidez
tiene el autobús en ese punto? e) Si la rapidez de la estudiante fuera de
3.5 m/s, ^alcanzaría al autobús?/) <,Qué rapidez mínima requiere la
estudiante para apenas alcanzar al autobús? ^Durante qué tiempo y qué
distancia deberà ella córrer en tal caso?

2.96. En el salto vertical, un atleta se agazapa y salta hacia arriba tra-
tando de alcanzar la mayor altura posible. Ni siquiera los campeones
mundiales pasan mucho màs de 1.00 s en el aire ("tiempo en suspen-
sión"). Trate al atleta como partícula y sea y m&s su altura màxima so-
bre el suelo. Para explicar por qué parece estar suspendido en el aire,
calcule la razón del tiempo que està sobre v miíx /2 al tiempo que tarda
en llegar del suelo a esa altura. Desprecie la resistència del aire.

2.97. Se lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una azotea.
Una segunda pelota se deja caer desde la azotea 1.00 s después. Des-
precie la resistència del aire. a) Si la altura del edificio es de 20.0 m,
<;,qué rapidez inicial necesitarà la primera pelota para que las dos lle-
guen al suelo al mismo tiempo? En una sola gràfica dibuje la posición
de cada pelota en función del tiempo, a partir del instante en que se
lanzó la primera. Considere la misma situación, però ahora sea la ra-
pidez inicial v de la primera pelota un dato, y la altura h del edificio
la incògnita, b) (,Qué altura deberà tener el edificio para que las dos
pelotas lleguen al suelo al mismo tiempo si l> es i) de 6.0 m/s y ii) de
9.5 m/s? c) Si v Q es mayor que cierto valor V mix , no existe una h tal
que ambas pelotas lleguen al piso simultàneamente. Obtenga i> miíx cu yo
valor tiene una interpretación física sencilla. ^Cuàl es? d) Si í; es me_
nor que cierto valor L> min , no existe una h tal que ambas pelotas lleguen
al piso al mismo tiempo. Obtenga i> mín cuyo valor también tiene una
interpretación física sencilla. ^Cuàl es?

2.98. Un excursionista despierto ve un penasco que cae desde un ris-
co lejano y observa que tarda 1.30 s en caer el ultimo tercio de la dis-
tancia. Puede despreciarse la resistència del aire. íï) ^Qué altura tiene
el risco en metros? b) Si en el inciso d) usted obtiene dos soluciones
de una ecuación cuadràtica y usa una para su respuesta, <,qué repre-
senta la otra solución?

MOVIMIENTO

EN DOS O EN TRES

DIMENSIONES

í Si un automóvil
toma una curva con
rapidez constante,
testà acelerando?
Si es así, ten qué
dirección acelera?

Cuando un baté golpea una pelota de beisbol, ^qué determina dónde cae la pe-
lota? ^Cómo describimos el movimiento de un carro de montana rusa en una
curva o el vuelo de un halcón alrededor de un campo abierto? Si lanzamos un
globo lleno de agua horizontalmente desde una ventana, ^tardarà el mismo tiempo
en llegar al suelo que si solo lo dejamos caer?

No podemos contestar estàs preguntas usando las técnicas del capitulo 2, donde
consideramos que las partículas se movían solo en línea recta. En vez de ello, necesi-
tamos extender nuestras descripciones del movimiento a situaciones en dos y en tres
dimensiones. Seguiremos empleando las cantidades vectoriales de desplazamiento,
velocidad y aceleración; sin embargo, ahora no estaran todas en una misma línea.
Veremos que muchos movimientos importantes se dan solo en dos dimensiones, es
decir, en un plano, y pueden describirse con dos componentes de posición, velocidad
y aceleración.

También necesitamos considerar cómo describen el movimiento de una partícula
observadores diferentes que se mueven unos con respecto a otros. El concepto de
velocidad relativa desempenarà un papel importante mas adelante en este libro, cuan-
do estudiemos colisiones, exploraremos los fenómenos electromagnéticos, y cuando
presentemos la teoria especial de la relatividad de Einstein.

En este capitulo se conjunta el lenguaje de vectores que vimos en el capitulo 1 con
el lenguaje de la cinemàtica del capitulo 2. Como antes, nos interesa describir el mo-
vimiento, no analizar sus causas. No obstante, el lenguaje que aprenderemos aquí re-
sultarà indispensable mas adelante, al estudiar la relación entre fuerza y movimiento.

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,

• Cómo representar la posición
de un cuerpo en dos o en tres
dimensiones usando vectores.

• Cómo determinar el vector
velocidad de un cuerpo
conociendo su trayectoria.

• Cómo obtener el vector aceleración
de un cuerpo, y por qué un cuerpo
puede tener una aceleración aun
cuando su rapidez sea constante.

• Cómo interpretar las componentes
de la aceleración de un cuerpo
paralela y perpendicular a su
trayectoria.

• Cómo describir la trayectoria curva
que sigue un proyectil.

• Las ideas clave detràs del
movimiento en una trayectoria
circular, con rapidez constante
o con rapidez variable.

• Cómo relacionar la velocidad de
un cuerpo en movimiento visto
desde dos marços de referència
distintos.

71

72

CAPITU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

3.1 El vector de posición r del origen
al punto P tiene componentes x, y y z.
La trayectoria que la partícula sigue en
el espacio es en general una curva
(figura 3.2).

y La posición P de una
partícula en un tiempo

El vector de posición del punto P
tiene las componentes x, y, z:
f = xï + yj + zk.

3.1 Vectores de posición y velocidad

Para describir el movimiento de una partícula en el espacio, primero tenemos que des-
cribir su posición. Considere una partícula que està en el punto P en cierto instante. El
vector de posición r de la partícula en ese instante es un vector que va del origen del
sistema de coordenadas al punto P (figura 3.1). Las coordenadas cartesianas x, y y z
de P son las componentes x, y y z de r. Usando los vectores unitarios que presenta-
mos en la sección 1.9, podemos escribir

r = xi + yj + zk (vector de posición)

(3.1)

Durante un intervalo de tiempo Ai, la partícula se mueve de P h donde su vector de
posición es r ,, a P 2 , donde su vector de posición es r 2 . El cambio de posición (el des-
plazamiento) durante este intervalo es Ar = r 2 — r i = (x 2 — x t )i + (y 2 ~ yi)j +
(z 2 ~ Zijk. Definimos la velocidad media v mci durante este intervalo igual que en el
capitulo 2 para movimiento rectilíneo, como el desplazamiento dividido entre el in-
tervalo de tiempo:

Ar

Ai

(vector de velocidad media)

(3.2)

3.2 La velocidad media u mcd entre los
puntos Pj y P 2 tiene la misma dirección
que el desplazamiento Ar.

La posición de la partícula
y en el tiempo í 2 .

La posición
de la partícula
en el tiempo fj .

Trayectoria de la partícula

3.3 Los vectores v, y v 2 son las
velocidades instantàneas en los puntos
Pi y P 2 , como se muestra en la figura 3.2.

El vector de la
ií es tangente a la
trayectoria en

P-,

Dividir un vector entre un escalar es realmente un caso especial de multiplicar
un vector por un escalar, que se describió en la sección 1.7; la velocidad media
^med es igual al vector de desplazamiento Ar multiplicado por 1/Aí, el recíproco
del intervalo de tiempo. Observe que la componente x de la ecuación (3.2) es
^med-r = ( x 2 ~ x i)/( f 2 — 'i ) = Ajc/Aí. Esto es precisamente la ecuación (2.2), la
expresión para la velocidad media que dedujimos en la sección 2.1 para el movi-
miento unidimensional.

Aquí definimos la velocidad instantànea igual que en el capitulo 2: como el lími-
te de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se aproxima a 0, y es la tasa
instantànea de cambio de posición con el tiempo. La diferencia clave es que tanto la
posición r como la velocidad instantànea í; ahora son vectores:

v = lím

Af->o Ar

dr
dt

(vector de velocidad instantànea)

(3.3)

La magnitud del vector v en cualquier instante es la rapidez v de la partícula en ese
instante. La dirección de v en cualquier instante es la dirección en que la partícula
se mueve en ese instante.

Observe que conforme Ai — > 0, P t y P 2 de la figura 3.2 se acercan cada vez màs.
En el límite, Ar se vuelve tangente a la trayectoria. La dirección de Ar en el límite
también es la dirección de la velocidad instantànea v. Esto conduce a una conclusión
importante: en cualquier punto de la trayectoria, el vector de velocidad instantànea
es tangente a la trayectoria en ese punto (figura 3.3).

A menudo es màs sencillo calcular el vector de velocidad instantànea empleando
componentes. Durante cualquier desplazamiento Ar, los cambios A.v, Ay y Az en las
tres coordenadas de la partícula son las componentes de Ar. Por lo tanto, las compo-
nentes v„ v y y v. de la velocidad instantànea v son simplemente las derivadas en el
tiempo de x, y y z, Es decir.

v x

dx

dy

dz

—

Vy

=

v :

=

dt

dt

dt

(componentes de la

(3.4)

La componente x de í; es v x = dx/dt, que es la ecuación (2.3): la expresión para la
velocidad instantànea en movimiento rectilíneo que obtuvimos en la sección 2.2.

Vectores de posición y velocidad

73

Por lo tanto, la ecuación (3.4) es una extensión directa de la idea de velocidad ins-
tantànea al movimiento en tres dimensiones.

Podemos obtener este mismo resultado derivando la ecuación (3.1). Los vectores
unitarios ï, j y k tienen magnitud y dirección constantes, así que sus derivadas son
cero; entonces,

dr dx í/v dz~
— = — 1 + —1+ —k

dt dt dt dt

(3.5)

Esto muestra otra vez que las componentes de v son dx/dt, dy/dt y dz/dt.

La magnitud del vector de velocidad instantànea v, esto es, la rapidez, està dada en
términos de las componentes v„ v y y u T aplicando el teorema de Pitàgoras

VvJ

v;

(3-6)

La figura 3.4 muestra la situación cuando la partícula se mueve en el plano xy.
Aquí, z y V- son cero, y la rapidez (la magnitud de v) es

V = VD, ! + Vy

y la dirección de la velocidad instantànea v està dada por el àngulo a de la figura.
Vemos que

Vy

tana = — (3.7)

V x

(Siempre usamos letras griegas para los àngulos. Utilizamos a para la dirección del
vector de la velocidad instantànea para evitar confusiones con la dirección \$ del vec-
tor de posición de la partícula.)

El vector de velocidad instantànea suele ser màs interesante y útil que el de la
velocidad media. De ahora en adelante, al usar el termino "velocidad", siempre nos
referiremos al vector de velocidad instantànea v (no al vector de velocidad media).
Usualmente ni nos molestaremos en llamar vector a v; el lector debe recordar que
la velocidad es una cantidad vectorial con magnitud y dirección.

3.4 Las dos componentes de velocidad
para movimiento en el plano xy.

El vector de velocidad inslanlànea v
siempre es tangente a la trayectoria.

La trayectoria de
la partícula en el
plano xy
— 4---L>

v' x y v y son las componentes
x y y de v.

Ejemplo 3.1

Calculo de velocidad media e instantànea

Se està usando un vehículo robot para explorar la superfície de Marte.
El modulo de descenso es el origen de coordenadas; en tanto que la su-
perfície marciana circundante està en el plano xy. El vehículo, que re-
presentamos como un punto, tiene coordenadas x y y que varían con el
tiempo:

x = 2.0 m - (0.25 m/s 2 )/ 2

y = (1.0 m/s)/ + (0.025 m/s 3 )^

a) Obtenga las coordenadas del vehículo y su distancia con respecto al
modulo en t = 2.0 s. b) Obtenga los vectores de desplazamiento y ve-
locidad media del vehículo entre t = 0.0 s y t = 2.0 s. c) Deduzca una
expresión general para el vector de velocidad instantànea del vehículo.
Exprese la velocidad instantànea en / = 2.0 s en forma de componen-
tes y ademàs en términos de magnitud y dirección.

Esmani

IDENTIFICAR: Este problema implica movimiento en una trayectoria
bidimensional (es decir, en un plano). Por lo tanto, deberemos usar las
expresiones para los vectores de desplazamiento, velocidad media y
velocidad instantànea que obtuvimos en esta sección. (En las expresio-
nes màs sencillas de las secciones 2.1 y 2.2 no intervienen vectores, y
solo son vàlidas para movimiento rectilíneo.)

PLANTEAR: La trayectoria del vehículo se muestra en la figura 3.5.
Usaremos la ecuación (3.1) para la posición r, la expresión
Ar = r 2 — r'l para el desplazamiento, la ecuación (3.2) para la ve-

locidad media y las ecuaciones (3.5) y (3.6) para la velocidad ins-
tantànea y su dirección. Las incógnitas se indican en el enunciado del
problema.

3.5 En t = el vehículo tiene vector de posición r y velocidad
instantànea v . Asimismo, r l y V\, son los vectores en t = 1.0 s;
7 2 y ^2 son l° s vectores en / = 2.0 s.

Trayectoria
Vdel vehículo

»■ V x(

0.0 s

tn)

continua

74

CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

EJECUTAR: a) En el instante t = 2.0 s las coordenadas del vehículo

son

í = 2.0m- (0.25 m/s 2 ) (2.0 s) 2 = 1.0 m
y = (1.0 m/s) (2.0 s) + (0.025 m/s 3 ) (2.0 s) 3 = 2.2 m
La distancia del vehículo al origen en este instante es

r = V.v 2 + v 2 = V(l.0m) 2 + (2.2m) 2 = 2.4 m

b) Para obtener el desplazamiento y la velocidad media, expresa-
mos el vector de posición r en función del tiempo /. De la ecuación

(3.1):

r = xï + yj

= [2.0 m - (0.25 m/s 2 )/ 2 ]?

+ [(1.0m/s)f + (0.025 m/s 3 )* 3 ]/

En el instante t = 0.0 s el vector de posición r es

?„ = (2.0 m)í + (0.0 m)/

Del inciso d) sabemos que, en t = 2.0 s, el vector de posición r 2 es

r 2 = (1.0m)í + (2.2 m);

Por lo tanto, el desplazamiento entre t = 0.0 s y t = 2.0 s es

A? = ? 2 - r = (1.0m)l + (2.2 m); - (2.0ra)í

= (-l.Om)i + (2.2m);

Durante el intervalo entre t = 0.0 s y t = 2.0 s, el vehículo se movió
1.0 m en la dirección — x y 2.2 m en la dirección + v. La velocidad me-
dia en este intervalo es el desplazamiento dividido entre el tiempo
transcurrido (ecuación 3.2):

_ Ar _ (-l.Om)í + (2.2 m)/
v meà -~^- 2 . Os -O.Os

= (-0.50 m/s )í + (1.1 m/s)/

Las componentes de esta velocidad media son

*W* = -0.50 m/s v meà _ y = 1.1 m/s

c) Por la ecuación (3.4), las componentes de la velocidad instantà-
nea son las derivadas de las coordenadas respecto a t:

dx
dt
dy
dt

(-0.25 m/s 2 ) (2í)

l.Om/s + (0.025 m/s 3 )(3/ 2 )

Así, podemos escribir el vector de velocidad instantànea u como

ï; = v x i + Vyj = (-0.50m/s 2 )«

+ [1.0 m/s + (0.075 m/s 3 )/ 2 ]/

En el tiempo / = 2.0 s, las componentes de la velocidad instantànea

son

V x = (-0.50m/s 2 )(2.0s) = -1.0 m/s

ü, = 1.0 m/s + (0.075 m/s 3 ) (2. Os) 2 = 1.3 m/s

La magnitud de la velocidad instantànea (es decir, la rapidez) en
t = 2.0 s es

v = Vv; + v, 2 - V(- 1.0 m/s) 2 + (1.3 m/s) 2
= 1.6 m/s

Su dirección con respecto al eje +x està dada por el àngulo a, donde,

por la ecuación (3.7)

1.3 m/s
-1.0 m/s

-1.3

a = 128°

Una calculadora mostraria que la tangente inversa de —1.3 es —52°.
No obstante, como vimos en la sección 1.8, hay que examinar un dibu-
jo del vector para decidir su dirección. La figura 3.5 muestra que la
respuesta correcta para a es —52° + 180° = 128°.

EVALUAR: Tómese un momento para comparar las componentes de
la velocidad media que obtuvimos en el inciso b) para el intervalo
de t = 0.0 s a / = 2.0 s (u med . A . = —0.50 m/s, v meú . y =1.1 m/s) con las
componentes de la velocidad instantànea en t = 2.0 s que obtuvimos
en el inciso c) (v x = —1.0 m/s, v y = 1.3 m/s). En general, la compa-
ración muestra que, igual que en una sola dimensión, el vector de ve-
locidad media v mcd durante un intervalo no es igual a la velocidad
instantànea v al final del intervalo (véase el ejemplo 2-1).

Usted debería calcular el vector de posición, el vector de velocidad
instantànea, la rapidez y dirección del movimiento en t = 0.0 s y
t = 1.0 s. Los vectores de posición ~r y velocidad instantànea v
en t = 0.0 s, LO s y 2.0 s se muestran en la figura 3.5. Observe que en
todos los puntos el vector de velocidad instantànea v es tangente a la
trayectoria. La magnitud de v aumenta al avanzar el vehículo, lo que
indica que la rapidez del vehículo està aumentando.

Evalúe su comprensión de la sección 3.1 ^Encualde las siguientes Ímp)

situaciones el vector de velocidad media ÏJ med en un intervalo seria igual a la velocidad -^^/
instantànea v al final del intervalo? i) Un cuerpo que se mueve en una trayectoria curva
a rapidez constante; ii) un cuerpo que se mueve en una trayectoria curva y aumenta su rapidez;
iii) un cueipo que se mueve en línea recta a rapidez constante; iv) un cueipo que se mueve
en línea recta y aumenta su rapidez.

3.2 El vector de aceleración

Consideremos ahora la aceleración de una partícula que se mueve en el espacio. Al
igual que en el movimiento rectilíneo, la aceleración describe el cambio en la veloci-
dad de la partícula; no obstante, aquí la trataremos como un vector para describir los
cambios tanto en la magnitud de la velocidad (es decir, la rapidez) como en la direc-
ción de la velocidad (esto es, la dirección en que se mueve la partícula).

En la figura 3.6a, un automóvil (tratado como partícula) se mueve en una trayecto-
ria curva. Los vectores v i y v 2 representan las velocidades instantàneas del auto en el

3.2 El vector de aceleracíón

75

3.6 a) Un automóvil se mueve por una curva de P, a P 2 . b) Se obtiene Av = v 2 — v í mediante resta de vectores. c) El vector
a med = AS/Aí representa la aceleración media entre P, y P 2 .

"2

>' Este automóvil acelera frenando

mientras toma una curva. (Su
velocidad instantànea cambia tanto
en magnitud como en dirección.)

b)

"l/lAÍ = Vi — Bi

Para determinar la aceleración media del auto entre
P i y P 2 , primero obtenemos el cambio en la
velocidad Ap restando v\ de v 2 . (Observe que
v l + Aï; = v 2 .)

— >

\v

La aceleración media tiene la misma dirección
que el cambio de velocidad, AS

instante t u cuando el auto està en el punto Pj, y en í, cuando està en P 2 . Las dos velo-
cidades pueden diferir en magnitud y dirección. Durante el intervalo de t t a t 2 , el cam-
bio vectorial de velocidad es v 2 — »j = Au (figura 3.6b). Definimos la aceleración
media (j med del auto en este intervalo como el cambio de velocidad dividido entre el
intervalo U — t, = Ai:

La aceleración media es una cantidad vectorial en la misma dirección que el
vector Au (figura 3.6c). Observe que v 2 es la resultante de la velocidad original
u, y el cambio Au (figura 3.6b). La componente x de la ecuación (3.8) es
a med-.t = (^2t — v \t)l (?2 — U ) = Aü x /Aí, que no es sinó la ecuación (2.4) para la
aceleración media en movimiento rectilíneo.

Al igual que en el capitulo 2, definimos la aceleración instantànea a en el punto
Pj como el límite de la aceleración media cuando el punto P 2 se acerca a P, y Ai) y At
se acercan a cero. La aceleración instantànea también es igual a la tasa (variación)
instantànea de cambio de velocidad con el tiempo. Como no estamos limitados a mo-
vimiento rectilíneo, la aceleración instantànea ahora es un vector:

Av
a = lím

ii->o Ai

dv
dt

(vector de aceleración instantànea)

(3.9)

El vector de velocidad v, como vimos, es tangente a la trayectoria de la partícula.
No obstante, las figuras 3.6c y 3.7 muestran que si la trayectoria es curva, el vector de
aceleración instantànea a siempre apunta hacia el lado cóncavo de la trayectoria, es
decir, hacia el interior de cualquier curva descrita por la partícula.

CUIDADO Cualquier partícula que siga una trayectoria curva està acelerando Si

una partícula sigue una trayectoria curva, su aceleración siempre es distinta de cero, aun si se
mueve con rapidez constante. Quizà le parezca que esta conclusión es contraria a su intuición,
però mas bien va contra el uso cotidiano de la palabra "aceleración" para implicar que la velo-
cidad aumenta. La definición mas precisa de la ecuación (3.9) muestra que la aceleración no
es cero cuando el vector de velocidad cambia de cualquier forma, ya sea en su magnitud, direc-
ción o ambas.

Para convencerse de que una partícula no tiene aceleración cero cuando se "^
mueve en una trayectoria curva con rapidez constante, piense en lo que siente '
cuando viaja en automóvil. Si el auto acelera, usted tiende a moverse en dirección

3.7 La aceleración instantànea a en el
punto P, de la figura 3.6.

Para obtener la aceleración v 2

instantànea

3 en P, ...

! «i

-->

... tomamos el límite de a nle(1
cuando P 2 se aproxima a Pj ...

. — >

/ ... lo que significa
queAïíyArse :
aproximan a 0. /

lím

Au

4r-*o Ar

La aceleración instantànea apunta
hacia el lado cóncavo de la trayectoria.

76

CAPlTU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

opuesta a la aceleración del vehículo. (Veremos por qué en el capitulo 4.) Así, tende-
mos a movernos hacia atràs cuando el auto acelera hacia adelante (aumenta su veloci-
dad), y hacia el frente cuando el auto desacelera (frena). Si el auto da vuelta en un
camino horizontal, tendemos a deslizamos hacia afuera de la curva; por lo tanto, el
auto tiene una aceleración hacia adentro de la curva.

Normalmente nos interesarà la aceleración instantànea, no la media. Por ahora,
usaremos el termino "aceleración" para referirnos al vector de aceleración instantà-
nea, a.

Cada componente del vector de aceleración es la derivada de la componente co-
rrespondiente de la velocidad:

3.8 Cuando el arquero dispara la flecha,
esta acelera tanto hacia adelante como
hacia arriba. Por lo tanto, su vector de
aceleración tiene una componente
horizontal (a j y también una componente
vertical (a v ).

dv x

dVy

dv

a

=

a.

=

dt

y

dt

dt

(componentes de la aceleración
instantànea)

En términos de vectores unitarios,

-, dv x
a = ï +

dl

dv ,
dt

7 +

dv- „
—k
dt

(3.10)

(3.11)

La componente x de las ecuaciones (3.10) y (3.11), a x = dvjdt, es la expresión de la
sección 2.3 para la aceleración instantànea en una dimensión, ecuación (2.5). La fi-
gura 3.8 muestra un ejemplo de vector de aceleración que tiene componentes tanto x
como y.

rrespondiente, expresamos las componentes a„ a y y a. del vector aceleración 2 como

d 2 x

a, =

dr

y el vector de aceleración a como

d\
dr

dh
dr

-> d 2 x, d 2 y„ d 2 z t
a = — 7l H 7] H 7*

dr dr dt 2

(3.12)

(3.13)

Ejemplo 3.2

Calculo de aceleración media e instantànea

Veamos otra vez los movimientos del vehículo robot del ejemplo 3. 1 . ciso b) determinamos las componentes de la aceleración instantànea en
Determinamos que las componentes de la velocidad instantànea en cualquier tiempo t derivando respecto al tiempo las componentes de la

(-0.25m/s 2 )(2r)

1.0 m/s + (0.025 m/s 3 )(3r)

cualquier instante / son

dx

v r = — =
dt

dy

v v — — —
dr

y que el vector de velocidad es

v = v x ï + v y f = ( —0.50 m/s 2 )íí

+ [1.0 m/s + (0.075 m/s- )r]j

a) Obtenga las componentes de la aceleración media en el intervalo 3.1.) Así, las componentes de la aceleración media en el intervalo son
de t = 0.0 s a t = 2.0 s. b) Determine la aceleración instantànea en

velocidad, como en la ecuación (3.10).

EJECUTAR: d) Si sustituimos t = 0.0 s, o bien, t = 2.0 s en las expre-
siones para v x y v y , veremos que al principio del intervalo (í = 0.0 s)
las componentes de velocidad son

V x = 0.0 m/s v y = 1.0 m/s

y que al final del intervalo (t = 2.0 s) las componentes son

v x = —1.0 m/s v y = 1.3 m/s

t = 2.0 s.

Enmaa

IDENTIFICAR: Este ejemplo utiliza la relación vectorial entre veloci-
dad, aceleración media y aceleración instantànea.

PLANTEAR: En el inciso a), determinamos primero los valores de u v y
V y al principio y al final del intervalo, y después usamos la ecuación
(3.8) para calcular las componentes de la aceleración media. En el in-

Los valores en/= 2.0 s son los mismos que obtuvimos en el ejemplo
3 de la aceleración mt

1.0 m/s - 0.0 m/s

2.0 s - 0.0 s
_ 1.3 m/s - 1.0 m/s
<W> " -7J - 2.0 s -O.Os

b) Con la ecuación (3.10), obtenemos

dv, dv,

a r = = —0.50 m/s" a v =

dt dt

-0.5 m/s 2
0.15 m/s 2

(0.075 m/s 3 ) (2í)

3.2 El vector de aceleracíón

77

Podemos escribir el vector de aceleracíón instantànea a como
a = a x i + a,j = ( -0.50 m/s 2 )í + (0.15m/s 3 )f/

En el instante t = 2.0 s, las componentes de la aceleración instantànea

son

a x = -0.50 m/s 2 a x = (0.15 m/s 3 ) (2.0 s) = 0.30 m/s 2

El vector de aceleración en este instante es

a = (-0.50m/s 2 )í + (0.30 m/s 2 )/
La magnitud de la aceleración en este instante es
a = va? + a3

= V( -0.50 m/s 2 ) 2 + (0.30m/s 2 ) 2 = 0.58 m/s 2

La dirección de a con respecto al eje x positivo està dada por el àngulo
/3, donde

<h 0.30 m/s 2
tan/3 = —

0.50 m/s 2
P = 180° - 31° = 149°

-0.60

EVALUAR: Usted debería utilizar los resultados del inciso b) para
calcular la aceleración instantànea en / = 0.0 s y t = 1 .0 s. La figura

3.9 muestra la trayectoria y los vectores de velocidad y aceleración en
r = 0.0 s, 1.0 s y 2.0 s. Observe que v y a no estan en la misma direc-
ción en ningún momento. El vector de velocidad v es tangente a la tra-
yectoria, y el de aceleración a apunta hacia el lado cóncavo de esta.

3.9 Trayectoria del vehículo robot que muestra la velocidad y
aceleración en r = 0.0 s (v y a a ), t= 1.0 s (v i y a t )
y t = 2.0 s (v 2 y a 2 ).

0.5 1.0 1.5 2.0

Componentes perpendicular y paralela de la aceleración

El vector de aceleración a de una partícula puede describir cambios en la rapidez de
esta, en la dirección de su movimiento o en ambas. Resulta útil destacar que la com-
ponente de la aceleración paralela a la trayectoria de la partícula — esto es, paralela a
la velocidad — nos indica acerca de los cambios en la rapidez de la partícula; en tanto
que la componente de la aceleración perpendicular a la trayectoria — y por lo tanto,
perpendicular a la velocidad — nos indica los cambios en la dirección del movimiento
de la partícula. La figura 3.10 muestra estàs componentes, que se denotan como a„ y
a L . Para ver por qué las componentes paralela y perpendicular de a tienen tales pro-
piedades, consideremos dos casos especiales.

En la figura 3.1 lo, el vector de aceleración esparalelo a la velocidad 1( de mane-
ra que a tiene solo una componente paralela a„ (es decir, a ± = 0). El cambio de velo-
cidad Ai; en un intervalo pequeno Ar tiene la misma dirección que a y, por lo tanto,
que v 1 . La velocidad v 2 ai fi na ' de Ar, dada por P 2 = í 1 + Ai?, es un vector con la
misma dirección que i;, però de mayor magnitud. Es decir, durante el intervalo Ar
la partícula de la figura 3.11a se movió en línea recta con rapidez creciente.

En la figura 3. 1 lb, la aceleración es perpendicular a la velocidad, de manera que a
tiene solo una componente perpendicular a ± (es decir, a„ = 0). En un intervalo pe-
queno Ar, el cambio de velocidad Ai) es un vector casi perpendicular a v^ Otra vez,
v 2 = i'l + Au, però aquí v t y v 2 tienen diferente dirección. Al aproximarse el intervalo

3.10 La aceleración puede descomponerse
en una componente a, paralela a la
trayectoria (es decir, en la tangente a
la trayectoria), y una componente a L
perpendicular a la trayectoria
(es decir, en la normal a la trayectoria).

/* Tangente a la

ayectoria en P.

- - Trayectoria de
la partícula

Componente de
a paralela a la
trayectoria.'

.. Normal a la
K ' trayectoria
^Componente de a ^\en P.

perpendicular a la trayectoria.

3.1 1 El efecto de la aceleración con dirección a) paralela y b) perpendicular a la
velocidad de la partícula.

a)

Aceleración paralela a la
velocidad de la partícula:

■ La magnitud cambia, però no
la dirección de la velocidad

■ La partícula se mueve en
línea recta con rapidez
cambiante.

b)

Aceleración perpendicular
a la velocidad de la partícula:

• La dirección cambia, però no
la magnitud de la velocidad.

• La partícula se mueve en
una curva con rapidez
constante.

78

CAPITU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

At a cero, el àngulo cf> en la figura también se acerca a cero, Ai? se hace perpendicular
tanto a u, como a v 2 , Vi y v 2 tienen la misma magnitud. Dicho de otro modo, la rapi-
dez de la partícula no cambia, però la dirección del movimiento cambia y su trayecto-
ria se curva.

En general, la aceleración a tiene componentes tanto paralela como perpendicular
a la velocidad v, como en la figura 3.10. Entonces, cambiaràn tanto la rapidez de la
partícula (descrita por la componente paralela a„) como su dirección (descrita por
la componente perpendicular a ± ), por lo que seguirà una trayectoria curva.

La figura 3.12 muestra una partícula que se mueve con trayectoria curva en tres si-
tuaciones distintas: rapidez constante, creciente y decreciente. Si la rapidez es cons-
tante, a es perpendicular, o normal, a la trayectoria y a v y apunta hacia el lado
cóncavo de la trayectoria (figura 3.12a). Si la rapidez aumenta, todavía hay una com-
ponente perpendicular de a, però también una paralela con la misma dirección que v
(figura 3.12b). Entonces, a, apunta hacia adelante de la normal a la trayectoria (como
en el ejemplo 3.2). Si la rapidez disminuye, la componente paralela tiene dirección
opuesta a v y a, apunta hacia atràs de la normal a la trayectoria (figura 3.12c). Usare-
mos otra vez esas ideas en la sección 3.4 al estudiar el caso especial de movimiento
en un circulo.

3.12 Vectores de velocidad y aceleración para una partícula que pasa por un punto P de una trayectoria curva con rapidez a) constante,
b) creciente y c) decreciente.

a) Cuando la rapidez es constante en una
trayectoria curva ...

b) Cuando la rapidez se incrementa en una
trayectoria curva ...

c) Cuando la rapidez disminuye en una
trayectoria curva ...

... la aceleración es
normal a la trayectoria.

Normal en P

... la aceleración apunta
hacia delante de la normal.

„->•

... la aceleración apunta
hacia atràs de la normal.

Normal en P
« \/

Ejemplo 3.3

Calculo de las componentes paralela y perpendicular de la aceleración

Para el vehículo de los ejemplos 3.1 y 3.2, obtenga las componentes
paralela y perpendicular de la aceleración en t = 2.0 s.

IDENTIFICAR: Queremos obtener las componentes del vector de ace-
leración a que sean paralela y perpendicular al vector de velocidad v.

PLANTEAR: Obtuvimos las direcciones de a y v en los ejemplos 3.2 y
3.1, respectivamente, lo cual nos permite determinar el àngulo entre
los dos vectores y, por lo tanto, las componentes de a.

EJECUTAR: En el ejemplo 3.2 vimos que en t = 2.0 s la partícula tiene
una aceleración de magnitud 0.58 m/s 2 con un àngulo de 149° con res-
pecto al eje +x. Por el ejemplo 3.1, sabemos que en ese instante el vec-
tor de velocidad tiene un àngulo de 128° con respecto al eje +x. Así, la
figura 3.9 muestra que el àngulo entre a y v es 149° — 128° = 21° (fi-
gura 3.13). Las componentes paralela y perpendicular de la aceleración
son entonces

a„ = acos21° = (0.58m/s 2 )cos21° = 0.54 m/s 2
a ± = c/sen21° = (0.58 m/s 2 ) sen21° = 0.21 m/s 2

3.1 3 Componentes paralela y perpendicular de la aceleración del
vehículo en t = 2.0 s.

Componente

perpendicular .*""\ " x /z a \
de la aceleración.

Componente paralela
de la aceleración.

Posición del vehículo en t = 2.0 s

Trayectoria del vehículo

EVALUAR: La componente paralela a.\\ tiene la misma dirección que v,
lo cual indica que la rapidez aumenta en este instante; el valor de a-\ =
0.54 m/s 2 significa que la rapidez està aumentando a una tasa de 0.54
m/s por segundo. Como la componente perpendicular a L no es cero, se
sigue que en este instante el vehículo cambia de dirección y sigue una
trayectoria curva; en otras palabras, el vehículo està dando vuelta.

3.3 Movimiento de proyectiles

79

Ejemplo conceptual 3.4

Aceleración de una esquiadora

Una esquiadora se mueve sobre una rampa de salto, como se muestra en
la figura 3. 14a. La rampa es recta entre A y C, y es curva a partir de C.
La rapidez de la esquiadora aumenta al moverse pendiente abajo de
A a E, donde su rapidez es màxima, disminuyendo a partir de aní. Di-
buje la dirección del vector de aceleración en los puntos S, D, E y F.

EX

La figura 3.14b muestra la solución. En el punto B, la esquiadora se
mueve en línea recta con rapidez creciente, así que su aceleración
apunta cuesta abajo, en la misma dirección que su velocidad.

En D la esquiadora sigue una trayectoria curva, así que su acelera-
ción tiene una componente perpendicular. También hay una compo-
nente en la dirección del movimiento porque su rapidez aún va en
aumento en este punto. Por lo tanto, el vector de aceleración apunta
adelante de la normal a su trayectoria en el punto D.

La rapidez de la esquiadora no cambia instantàneamente en E; la
rapidez es màxima en este punto, así que su derivada es cero. Por lo
tanto, no hay componente paralela de a, y la aceleración es perpendicu-
lar al movimiento.

Por ultimo, en F la aceleración tiene una componente perpendicu-
lar (porque la trayectoria es curva aquí) y una componente paralela
opuesta a la dirección de su movimiento (porque la rapidez està dismi-
nuyendo). De manera que en este punto, el vector de aceleración apun-
ta hacia atràs de la normal a la trayectoria.

En la siguiente sección examinaremos la aceleración de la esquia-
dora después de salir de la rampa.

3.14 a) La trayectoria de la esquiadora, b) Nuestra solución.
a)

Dirección
1 movimiento

Normal en E
Normal en D ] Normal en F

Evalúe su comprensíón de la sección 3.2 Un trineo viaja por la cima de una (Mpl
montana cubierta de nieve. El trineo disminuye su rapidez conforme asciende por un
lado de la montana y la aumenta cuando desciende por el otro lado. ^Cuàl de los vectores
(1 a 9) en la figura muestra correctamente la dirección de la aceleración del trineo en la cima?
(Considere el 9 como la aceleración cero.)

3.3 Movimiento de proyectiles

Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una
trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y
la resistència del aire. Una pelota bateada, un balón lanzado, un paquete soltado des-
de un avión y una bala disparada de un rifle son todos proyectiles. El camino que
sigue un proyectil es su trayectoria.

Para analizar este tipo de movimiento tan común, partiremos de un modelo idea-
lizado que representa el proyectil como una partícula con aceleración (debida a la
gravedad) constante tanto en magnitud como en dirección. Despreciaremos los efec-
tos de la resistència del aire, así como la curvatura y rotación terrestres. Como todos
los modelos, éste tiene limitaciones. La curvatura de la Tierra debe considerarse en el
vuelo de misiles de largo alcance; en tanto que la resistència del aire es de importàn-
cia vital para un paracaidista. No obstante, podemos aprender mucho analizando este
modelo sencillo. En el resto del capitulo, la frase "movimiento de proyectil" impli-
carà que se desprecia la resistència del aire. En el capitulo 5 veremos qué sucede
cuando la resistència no puede despreciarse.

El movimiento de un proyectil siempre està limitado a un plano vertical determi-
nado por la dirección de la velocidad inicial (figura 3.15). La razón es que la acelera-
ción debida a la gravedad es exclusivamente vertical; la gravedad no puede mover un

S fT " fi

Trayectoria
del trineo

o bien, 9: aceleración =

3.1 5 La trayectoria de un proyectil.

• Un proyectil se mueve en un plano vertical
que contiene el vector de velocidad inicial v .

• Su trayectoria depende solo de v y de la
aceleración hacia abajo debida a la gravedad.

y

à

CL• = 0, (L•

" ** N /Trayectí

80

CAPlTU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

3.16 La bola roja se deja caer desde el
reposo y la amarilla se proyecta horizontal-
mente al mismo tiempo; las imàgenes
sucesivas en esta fotografia estroboscópica
estan separadas por intervalos de tiempo
iguales. En un instante dado, ambas bolas
tienen la misma posición y, velocidad y
y aceleración y, a pesar de tener diferente
posición x y velocidad x.

Act v

3.1 Resolución de problemas de
movimiento de proyectiles

3.2 Dos pelotas que caen

3.3 Cambio de la velocidad en x

3.4 Aceleraciones x y y de proyectiles

proyectil lateralmente. Por lo tanto, este movimiento es bidimensional. Llamaremos
al plano de movimiento, el plano de coordenadas xy, con el eje x horizontal y el eje y
vertical hacia arriba.

La clave del anàlisis del movimiento de proyectiles es que podemos tratar por se-
parado las coordenadas x y y. La componente x de la aceleración es cero, y la com-
ponente y es constante e igual a — g. (Por definición, g siempre es positiva, però por
las direcciones de coordenadas elegidas, a y es negativa.) Así, podemos analizar el
movimiento de un proyectil como una combinación de movimiento horizontal con
velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante. La figura 3.16
muestra dos proyectiles con diferente movimiento x, però con idéntico movimiento
y: uno se deja caer desde el reposo y el otro se proyecta horizontalmente, aunque
ambos proyectiles caen la misma distancia en el mismo tiempo.

Podemos expresar todas las relaciones vectoriales de posición, velocidad y acele-
ración del proyectil, con ecuaciones independientes para las componentes horizonta-
les y verticales. Las componentes de a son

(movimiento de proyectil, sin resistència del aire) (3.14)

Dado que las aceleraciones xy y son constantes, podemos usar las ecuaciones (2.8),
(2.12), (2.13) y (2.14) directamente. Por ejemplo, suponga que en t = la partícula
està en el punto (x a , y„) y que en este tiempo sus componentes de velocidad tienen los
valores iniciales v 0x y v 0y . Las componentes de la aceleración son a x = 0, a y = —g.
Considerando primero el movimiento x, sustituimos por a x ea las ecuaciones (2.8) y
(2.12). Obtenemos

V x = V 0x (3.15)

+ v„J

Para el movimiento y, sustituimos y por x, v v por v„ v Uy por v 0x y a y

Vy = VQy

= .Vo H

SI

poi

(3.16)

" x '■

(3.17)

(3.18)

Por lo general, lo mas sencillo es tomar la posición inicial (en / = 0) como origen;
así, x Q = y = 0. Este punto podria ser la posición de una pelota cuando sale de la
mano del lanzador, o la posición de una bala cuando sale del cànon de un arma.

La figura 3.17 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa por) el
origen en el tiempo t = 0. La posición, la velocidad, las componentes de velocidad y

3.17 Si se desprecia la resistència del aire, la trayectoria de un proyectil es una combinación de movimiento horizontal con
velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante.

En la cima de la trayectoria, el proyectil tiene velocidad
vertical cero (v y = 0), però su aceleración vertical aun es —g.

Verticalmente, el proyectil
muestra movimiento de
aceleración constante en
respuesta al tirón gravitacional
de la Tierra. Así, su velocidad
vertical cambia en cantidades
iguales durante intervalos de
tiempo iguales.

Horizontalmente, el proyectil muestra movimiento de velocidad constante: su aceleración
horizontal es cero, por lo que se mueve a distancias x iguales en intervalos de tiempo iguales.

3.3 Movimiento de proyectiles

81

aceleración se muestran en una sèrie de instantes equiespaciados. La componente x de 3.18 Las componentes de la velocidad
la aceleración es 0, así que v x es constante. La componente y de la aceleración es inicial v , y v 0y de un proyectil (como un
constante però no cero, así que v y cambia en cantidades iguales a intervalos de tiempo balón de futbol) se relacionan con la

iguales, justo igual que si el proyectil fuera lanzado verticalmente con la misma velo-
cidad y inicial. En el punto mas alto de la trayectoria, v y = 0.

También podemos representar la velocidad inicial v a con su magnitud v„ (la rapi-
dez inicial) y su àngulo a con el eje +x (como se nuestra en la figura 3.18). En tér-
minos de estàs cantidades, las componentes v 0x y v 0y de la velocidad inicial son

rapidez inicial u y el àngulo inicial a .

u 0x = d cosq: u 0y = u sena

Usando estàs relaciones en las ecuaciones (3.15) a (3.18) y haciendo x„ ■
tenemos

(3.19)

x = (v cosa )t

(movimiento de proyectil)

(3.20)

y = (u sena )r - -gt 2

(movimiento de proyectil)

(3.21)

v t = y cosa

(movimiento de proyectil)

(3.22)

v y = i> o sena - gt

(movimiento de proyectil)

(3.23)

Estàs ecuaciones describen la posición y velocidad del proyectil de la figura 3.17 en
cualquier instante /.

Podemos obtener mucha información de estàs ecuaciones. Por ejemplo, en cual-
quier instante, la distancia r del proyectil al origen (la magnitud del vector de posi-
ción r ) està dada por

r = Vx 2 + y 2 (3.24)

La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad) en cualquier instante es

V = Vv 2 + V 2 (3.25)

La dirección de la velocidad, en términos del àngulo a que forma con el eje +x (véa-
se la figura 3.17), està dada por

tana = —

Vy

(3.26)

El vector de velocidad v es tangente a la trayectoria en todos los puntos.

Podemos deducir una ecuación para la forma de la trayectoria en términos de x y y
eliminando t. De las ecuaciones (3.20) y (3.21), que suponen x a = y a = 0, obtenemos
t = xl(v Q coaa ) y

(tana )j

2u 2 cos 2 a

(3.27)

No se preocupe por los detalles de esta ecuación; lo importante es su forma general.
Las cantidades v , tan a , cos a a y g son constantes, así que la ecuación tiene la forma

y = bx — ex'

donde b y c son constantes. Esta es la ecuación de una paràbola. En el movimiento de
proyectiles, con nuestro modelo simplificado, la trayectoria siempre es una paràbola
(figura 3.19).

Cuando la resistència del aire no es insignificante y debe incluirse, calcular la tra-
yectoria se vuelve mucho màs complicado; los efectos de dicha resistència dependen

Actv
Physics

3.5 Componentes de la velocidad inicial

3.6 Pràctica de tiro al blanco I

3.7 Pràctica de tiro al blanco II

3.19 Las trayectorias casi parabólicas
a) de una pelota que rebota y b) de borbo-
tones de roca fundida expulsada de un
volcàn.

a) Las imàgenes sucesivas de la pelota

estan separadas por intervalos iguales.

b)

82

CAPITU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

3.20 La resistència del aire tiene un efecto
acumulativo considerable sobre el movi-
miento de una pelota de be'isbol. En esta
simulación, permitimos que la pelota
caiga por debajo de la altura desde la
cual se lanzó (por ejemplo, la pelota podria

v (m) Velocidad inicial de la pelota de
beisbol: v = 50 m/s, a = 53.1°

X (m)

Con resistència Sin resistència
del aire del aire

de la velocidad, por lo que la aceleración ya no es constante. La figura 3.20 es una
simulación computarizada de la trayectoria de una pelota de beisbol tanto sin resis-
tència del aire como con una resistència proporcional al Cuadrado de la rapidez de la
pelota. Vemos que el efecto de la resistència es muy grande, la altura màxima y el
alcance se reducen, y la trayectoria ya no es parabòlica. (Si usted observa cuidadosa-
mente la figura 3.19b, se darà cuenta de que las trayectorias de los borbotones volcà-
nicos se desvían de una manera similar de una forma parabòlica.)

Ejemplo conceptual 3.5

Aceleración de una esquiadora, continuación

Consideremos de nuevo a la esquiadora del ejemplo conceptual 3.4. apenas la esquiadora sale de la rampa, se convierte en un proyectil.

l,Qué aceleración tiene en los puntos G, H e / de la figura 3.21a des-
pués de que sale de la rampa? Desprecie la resistència del aire.

EI

1

La figura 3.21b muestra nuestra respuesta. La aceleración de la es-
quiadora cambió de un punto a otro mientras estaba en la rampa pera,

Así, en los puntos G, H e /, y de hecho en todos los puntos después de
salir de la rampa, la aceleración de la esquiadora apunta verticalmente
hacia abajo y tiene magnitud g. Por mas compleja que sea la acelera-
ción de una partícula antes de convertirse en proyectil, su aceleración
como proyectil està dada por a x = 0, a y = —g,

3.21 a) Trayectoria de la esquiadora durante el salto, b) Nuestra solución.

a)

b)

— -.-_ I

Estratègia para resolver problemas 3.1

Movimiento de proyectil

NOTA: Las estrategias que usamos en las secciones 2.4 y 2.5 para pro-
blemas de aceleración constante en línea recta también sirven aquí.

IDENTIFICAR los conceptes importantes: El concepto clave que de-
bemos recordar es que durante todo el movimiento de un proyectil, la
aceleración es hacia abajo y tiene magnitud constante g. Advierta que
las ecuaciones para el movimiento de prayectiles no son vàlidas duran-
te el lanzamiento de una pelota, porque ahí actúan sobre la pelota tanto
la mano del lanzador como la gravedad. Las ecuaciones solo se aplican
una vez que la pelota sale de la mano del lanzador.

PLANTEAR el problema con los siguientes pasos:

1. Defina su sistema de coordenadas y dibuje sus ejes. Normalmente
lo mas sencillo es tomar el eje x como horizontal y el eje y hacia
arriba y colocar el origen en la posición inicial (/ = 0), donde el
cuerpo se vuelve primera un proyectil (como donde la pelota sale
de la mano del lanzador). Así, las componentes de la aceleración
(constante) son a x = 0, a y = —g, y la posición inicial es x = y

3.3 Movimiento de proyectiles

83

Haga una lista de las cantidades conocidas e incógnitas, y decida
cuàles incógnitas son sus objetivos. Por ejemplo, en algunos pro-
blemas se da la velocidad inicial (ya sea las componentes, o la
magnitud y dirección) y se pide obtener las coordenadas y compo-
nentes de velocidad en un instante posterior. En todo caso, usarà las
ecuaciones (3.20) a (3.23). (Algunas otras ecuaciones dadas en la
sección 3.3 también podrían ser útiles.) Asegúrese de tener tantas
ecuaciones como incógnitas por determinar.

Plantee el problema con palabras y luego tradúzcalo a símbolos.
Por ejemplo, icuàndo llega la partícula a cierto punto? (Es decir,
^con qué valor de r?) iDónde està la partícula cuando la velocidad
tiene cierto valor? (Es decir, ^cuànto valen xy y cuando v x o v y tie-
ne ese valor?) Puesto que v y = en el punto màs alto de la trayec-
toria, la pregunta "^cuando alcanza el proyectil su punto màs alto?"

se traduce a "^cuànto vale t cuando v v
vuelve el proyectil a su altura inicial?''
cuando v = _y ?"

= 0?" Asimismo, "^cuando
se traduce a ";, cuànto vale t

EJECUTAR la solución: Use las ecuaciones (3.20) a (3.23) para obte-
ner las incógnitas. Resista la tentación de dividir la trayectoria en seg-
mentos y analizarlos individualmente. jNo hay que volver a comenzar
cuando el proyectil llega a su altura màxima! Lo màs fàcil suele ser
usar los mismos ejes y escala de tiempo durante todo el problema. Uti-
lice el valor g = 9.8 m/s 2 .

EVALUAR la respuesta: Como siempre, examine sus resultados para
ver si son lógicos y si los valores numéricos son razonables.

Ejemplo 3.6

Cuerpo que se proyecta horizontalmente

Un acròbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en el
borde, su velocidad es horizontal con magnitud de 9.0 m/s. Obtenga la
posición, distancia desde el borde y velocidad de la motocicleta des-
pués de 0.50 s.

3.22 Esquema para este problema.

EHHEJ

IDENTIFICAR: Una vez que el acròbata sale del risco, se mueve como
un proyectil. Por lo tanto, su velocidad en el borde del risco es su velo-

PLANTEAR: El esquema se muestra en la figura 3.22. Elegimos el ori-
gen de nuestro sistema de coordenadas en el borde del risco, donde la
motocicleta se convierte en proyectil, así que x = y y — 0- La velo-
cidad inicial es puramente horizontal (es decir, a = 0), así que sus
componentes son v ()x = í; cosa = 9.0 m/s y v Qy = v Q sena Q = 0. Para
determinar la posición de la motocicleta en í = 0.50 s, usamos las
ecuaciones (3.20) y (3.21), que dan x y y en función del tiempo. Dados
estos valores, calcularemos la distancia del origen con la ecuación
(3.24). Por ultimo, usaremos las ecuaciones (3.22) y (3.23) para deter-
minar las componentes de velocidad v x y V y en t = 0.50 s.

EJECUTAR: ^Dónde està la motocicleta en t = 0.50 s? Por las ecuacio-
nes (3.20) y (3.21), las coordenadas x y y son

X = v Qx t = (9.0 m/s) (0.50 s) = 4.5 m

y

\gt L = -i(9.8m/s 2 )(0.50s) 2 = -1.2]

El valor negativo de y indica que en este instante la motocicleta està
debajo de su punto inicial.

l,A qué distancia està ahora la motocicleta del origen? Por la ecua-
ción (3.24),

r = Vx 2 + y~ = V(4.5m) 2 + (-1.2m) 2 = 4.7 m

t,Qué velocidad tiene en / = 0.50 s? Por las ecuaciones (3.22) y
(3.23), las componentes de la velocidad en ese momento son

v x = v 0x = 9-0 m/s

V y = -gt= (-9.8m/s 2 )(0.50s) = -4.9 m/s

Í4 En este punto, la motocicleta y el
conductor se vuelven un proyectil.

y

-g-tv.

La motocicleta tiene la misma velocidad horizontal v x que cuando salió
del risco en t = però, ademàs, hay una velocidad vertical v y hacia aba-
jo (negativa). Si usamos vectores unitarios, la velocidad en t — 0.50 s es

ï? = vj + V y j = (9.0m/s)ï + (-4.9 m/s);

También podemos expresar la velocidad en términos de magnitud y
dirección. Por la ecuación (3.25), la rapidez (magnitud de la velocidad)

en este instante es

í; = VD, 2 + V?

= V(9.0m/s) 2 + (-4.9 m/s) 2 = 10.2 m/s
Por la ecuación (3.26), el àngulo a del vector de velocidad es

-4.9 m/s

a = arctan-

-29°

9.0 m/s

En este instante la velocidad està dirigida 29° por debajo de la horizontal.

EVALUAR: Al igual que en la figura 3.17, el aspecto horizontal del
movimiento no cambia por la gravedad; la motocicleta se sigue mo-
viendo horizontalmente a 9.0 m/s, cubriendo 4.5 m en 0.50 s. Dado
que la motocicleta tiene cero velocidad inicial vertical, cae vertical-
mente igual que un objeto que se suelta desde el reposo y desciende
una distancia de ygr 2 = 1 . 2 m en 0.50 s.

84

CAPlTU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

Ejemplo 3.7

Altura y alcance de un proyectil I: Una pelota de beisbol

Un bateador golpea una pelota de beisbol de modo que esta sale del
baté a una rapidez v = 37.0 m/s con un àngulo a Q = 53.1°, en un
lugar donde g = 9.80 m/s 2 , a) Calcule la posición de la pelota y la
magnitud y dirección de su velocidad cuando / = 2.00 s. b) Determine
cuàndo la pelota alcanza el punto mas alto y su altura h en ese punto.
c) Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal
desde el punto de partida hasta donde la pelota cae al suelo.

EEEE1

IDENTIFICAR: Como muestra la figura 3.20, los efectos de la resis-
tència del aire sobre el movimiento de una pelota de beisbol no son in-
significantes; no obstante, por sencillez, los despreciaremos en este
ejemplo y usaremos las ecuaciones del movimiento de proyectiles para
describir el movimiento.

PLANTEAR: El esquema se muestra en la figura 3.23. Usaremos el
mismo sistema de coordenadas que en las figuras 3.17 o 3.18. Así, po-
dremos usar las ecuaciones (3.20) a (3.23) sin modificaciones. Las in-
cógnitas son 1. la posición y velocidad de la pelota 2.00 s después de
perder contacto con el baté, 2. el tiempo transcurrido entre que la pelo-
ta sale del baté y alcanza su altura màxima (cuando v y = 0) y la coor-
denada y en ese momento, y 3. la coordenada x en el momento en que
la coordenada y es igual al valor inicial v .

La pelota sale del baté mas o menos un metro sobre el suelo, però
ignoraremos esta distancia y supondremos que parte del nivel del suelo
(y = 0). La velocidad inicial de la pelota tiene componentes

u üv — ü cosa {) = (37.0 m/s) cos53.1° = 22.2 m/s
Vty = VasenoíQ = (37.0 m/s) sen53.1° = 29.6 m/s

EJECUTAR: a) Queremos obtener.v, y, v x y v y en el instante t = 2.00 s.
Por las ecuaciones (3.20) a (3.23),

x = v ü j = (22.2 m/s) (2.00 s) = 44.4 m
1 ,

V = V yt ~ -gt

= ( 29.6 m/s )( 2.00 s) - -(9.80 m/s 2 ) (2.00 s) 2

- 39.6 m

v \- = v (h = 22.2 m/s

V y = Vty - gt = 29.6 m/s - (9.80 m/s 2 ) (2.00 s)

= 10.0 m/s

La componente y de la velocidad es positiva, lo cual significa que la
pelota todavía va en ascenso en este instante (figura 3.23). La magni-
tud y dirección de la velocidad se obtienen de las ecuaciones (3.25) y
(3.26):

v =Vv} + v? = V(22.2m/s) 2 + (10.0 m/s) 2
= 24.3 m/s

f 10.0 m/s \

a = arctan

22.2 m/í

arctan0.450 = 24.2°

La dirección de la velocidad (es decir, la dirección del movimiento) es
24.2° sobre la horizontal.

b) En el punto mas alto, la velocidad vertical v y es cero. ^Cuando
sucede esto? Sea ese instante f,; entonces,

V y = Voy - gh =

Voy 29.6 m/s

h = — = — = 3.02 s

8 9.80 m/s 2

3.23 Esquema para este problema.

9

s x=f w —

v =370m/s v =? h=7

t''

ot„=53.f

t=?

v 2 s

La altura h en este instante es el valor de y cuando t = t t = 3.02 s:
1

IWi

:x',-

1

= (29.6 m/s) (3.02 s) - -(9.80 m/s 2 ) (3.02 s) 2

= 44.7 m

c) Obtendremos el alcance horizontal en dos pasos. Primero,
^cuando cae la pelota al suelo? Esto ocurre cuando v = 0, digamos, en
í 2 ; entonces,

:

1

;x'ï

h{vo> ~ 2^2)

6.04 s

Esta es una ecuación cuadràtica en t 2 . Con dos rafces:

2v 0v 2(29.6 m/s)

g 9.80 m/s 2

Hay dos instantes en los que y = 0; t 2 = es cuando la pelota sale del
suelo y í 2 = 2v 0v /g = 6.04 s es cuando regresa. Esto es exactamente
el doble del tiempo que tarda en llegar al punto mas alto que encon-
tramos en el inciso b) t t = u 0y /g = 3.02 s, así que el tiempo de bajada
es igual al tiempo de subida. Esto siempre sucede si los puntos inicial
y final estan a la misma altura y se puede despreciar la resistència
del aire.

El alcance horizontal R es el valor de x cuando la pelota vuelve al
suelo, es decir, en t = 6.04 s:

R = "0J1 = (22.2 m/s) (6.04 s) = 134 m

La componente vertical de la velocidad cuando la pelota toca el
suelo es

V y = "oy ~ Sh = 29.6 m/s - (9.80 m/s 2 ) (6.04 s)

= -29.6 m/s

Es decir, v y tiene la misma magnitud que la velocidad vertical inicial
v ííy però dirección opuesta (hacia abajo). Dado que v x es constante,
el àngulo a = —53.1° (debajo de la horizontal) en este punto es el
negativo del àngulo inicial a = 53.1°.

EVALUAR: A menudo es útil verificar los resultados obteniéndolos de
una forma distinta. Por ejemplo, podemos verificar nuestra respuesta
para la altura màxima del inciso b) aplicando la fórmula de aceleración
constante, ecuación (2.13), al movimiento y:

v a ; + 2a r (y - y )

Voi

2 g(y - >'o)

3.3 Movimiento de proyectiles

85

En el punto mas alto, v y
obtenemos

y y = h. Al sustituirlos, junto con y Q = 0,

2gh
(29.6 1

>/ S ) 2

2g 2(9.80 m/s 2 )

44.7 m

que es la misma altura que obtuvimos en el inciso b).

Es interesante destacar que h = 44.7 m del inciso b) es compara-
ble con la altura de 52.4 m del techo sobre el campo de juego en el
Metrodomo Hubert H. Humphrey en Minneapolis, y el alcance hori-

zontal R = 134 m del inciso c) es mayor que la distancia de 99.7 m
entre home y la barda del jardín derecho en el Campo Safeco en Seatle.
(La altura de la pelota cuando cruza la barda es mas que suficiente para
librarla, así que el batazo es un jonrón.)

En el mundo real, una pelota bateada con la rapidez y el àngulo ini-
ciales que usamos aquí no alcanzarà ni la altura ni la distancia que
calculamos. (Si lo hiciera, los jonrones serían mucho mas comunes y
el beisbol seria un juego mucho menos interesante.) El motivo es que
la resistència del aire, que no se tomo en cuenta en este ejemplo, en
realidad es un factor importante a las velocidades que suelen tener las
pelotas lanzadas y bateadas (véase la figura 3.20).

Ejemplo 3.8

Altura y alcance de un proyectil II: Altura màxima, alcance màximo

Para un proyectil lanzado con rapidez v y àngulo inicial a (entre 0° y
90°), deduzca expresiones generales para la altura màxima h y el al-
cance horizontal R (figura 3.23). Para una v Q , dada, ^qué valor de a da
la altura màxima? £Y qué valor da el alcance horizontal màximo?

EHHEJ

IDENTIFICAR: Éste es realmente el mismo ejercicio que los incisos
b) y c) del ejemplo 3.7. La diferencia es que buscamos expresiones
generales para // y R. También nos interesan los valores de a que dan
los valores màximos de h y R.

PLANTEAR: En el inciso b) del ejemplo 3.7 vimos que el proyectil
alcanza el punto màximo de su trayectoria (por lo que v y = 0) en el
tiempo t x = V Qy /g y en el inciso c) del ejemplo 3.7 determinamos que
el proyectil regresa a su altura inicial (por lo que y = y ) en el tiempo
t 2 = 2v 0y /g. (Como vimos en el ejemplo 3.7, t 2 = 2r, . ) Para deter-
minar la altura h en el punto màximo de la trayectoria, usaremos la
ecuación (3.21) para calcular la coordenada y en t x . Para determinar
R, sustituimos t 2 en la ecuación (3.20) para calcular la coordenada x
en t 2 . Expresaremos nuestras respuestas en términos de la rapidez de
lanzamiento v Q y el àngulo de disparo a usando la ecuación (3.19).

EJECUTAR: Por la ecuación (3.19), v 0x = v cos a y v üx . = v Q sen oc .
Por lo tanto, podemos escribir el tiempo í, en que v y = como

v oy y senoo

Luego, por la ecuación (3.21), la altura en ese instante es

/u sena \ 1 v sena Q
h = (i7(jsena: )l - -g\

2g

Para una rapidez de lanzamiento dada v Q , el valor màximo de h se da
con sen a = 1 y a = 90°; es decir, cuando el proyectil se lanza verti-
calmente. Esto es lo que deberfamos esperar. Si se lanza horizontal-
mente, como en el ejemplo 3.6, oc Q = jy la altura màxima es cero!
El tiempo t 2 en que el proyectil regresa al suelo es

2v 0)
8

2ünsenan

El alcance horizontal R es el valor de x en el este instante. Por la ecua-
ción (3.20),

R = (l> COSQ! )/2 ~ (^ü C0SQ: ü)

2u sena„

Ahora podemos usar la identidad trigonomètrica 2 sen a cos a
sen 2a para rescribir esto como

i; 2 sen2a;o

El valor màximo de sen 2a Q es 1; esto ocurre cuando 2a = 90°, o
bien, a = 45°. Este àngulo da el alcance màximo para una rapidez ini-

EVALUAR: La figura 3.24 se basa en una fotografia compuesta de tres
trayectorias de una pelota proyectada desde un cafíón de resorte con
àngulos de 30, 45 y 60°. La rapidez inicial v es aproximadamente
igual en los tres casos. Los alcances horizontales son casi iguales con
los àngulos de 30 y 60°, y el alcance de 45° es el mayor que ambos.
^Puede demostrar que para una v Q dada el alcance es igual para un àn-
gulo inicial üCq que para 90° — ct ?

CUIDADO Altura y alcance de un proyectil No recomenda-
mos memorizar las expresiones anteriores para h y R\ son aplicables
solo en las circunstancias especiales que describimos. En particular, la
expresión para el alcance R solo puede utilizarse cuando las alturas de
lanzamiento y aterrizaje son iguales. En muchos de los problemas al fi-
nal de este capitulo no deben aplicarse estàs ecuaciones.

3.24 Un àngulo de disparo de 45° produce el alcance horizontal
màximo. El alcance es menor con àngulos de 30 y 60°.

Un àngulo de disparo de 45° produce el màximo
alcance; con otros àngulos se cae a menor distancia.

••:..•••%.

Angulo de
disparo:

«o = 30°,
a = 45'
a = 60°

86

CAPITU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

Ejemplo 3.9

Alturas inicial y final distintas

Usted lanza una pelota desde su ventana a 8.0 m del suelo. Cuando la
pelota sale de su mano, se mueve a 10.0 m/s con un àngulo de 20° de-
bajo de la horizontal. ^A que distancia horizontal de su ventana la pe-
lota llegarà al piso? Desprecie la resistència del aire.

EI

1

IDENTIFICAR: Al igual que en nuestro calculo del alcance horizontal
en los ejemplos 3.7 y 3.8, estamos tratando de hallar la coordenada ho-
rizontal de un proyectil cuando està a un valor dado de y. La diferencia
en este caso es que este valor de y no es igual a la coordenada y inicial.

PLANTEAR: Una vez màs, elegimos el eje x como horizontal, y el eje
y, hacia arriba. Colocamos el origen de coordenadas en el punto don-
de la pelota sale de su mano (figura 3.25). Así, tenemos v Q = 10.0 m/s
y a = —20°; el àngulo es negativo porque la velocidad inicial està
debajo de la horizontal. Nuestra variable meta es el valor de x en el
punto donde la pelota llega al suelo; es decir, cuando y = —8.0 m.
Dado que las alturas inicial y final de la pelota son distintas, no pode-
mos usar la expresión para el alcance horizontal del ejemplo 3.8. En
vez de ello, usamos primero la ecuación (3.21) para hallar el instante t
en que la pelota llega a y = — 8.0 m y, después, calculamos el valor de
x en ese instante con la ecuación (3.20).

3.25 Esquema para este problema.

ï.0m

o=-20°
^v = 10.0 m/s

////////////

\SueIo

EJECUTAR: Para determinar t, rescribimos la ecuación (3.21) en la
forma estàndar de una ecuación cuadràtica en t:

-gt 2 ~ (v sena Q )t + y =

Las raíces de esta ecuación son

üosenoo ± J (-t> 8ena ) 2 - 4 \-g h

V

i^sena,, ± v Vq seu olq — 2gy

"(l0.0m/s)sen(-20°)

tV(l0.0m/s) 2 sen 2 (-20°) - 2(9.80 m/s 2 ) ( -8.0 m)_

9.80 m/s 2

1.7 s

0.98 s

Podemos desechar la raíz negativa, ya que se refiere a un tiempo
previo al lanzamiento. La raíz positiva nos indica que la pelota
tarda 0.98 s en llegar al suelo. Por la ecuación (3.20), la coordenada x
en ese instante es

x= (v co8a o )t= (I0.0m/s)[cos(-20°)](0.98s)
- 9.2 m

La pelota llega al suelo a una distancia horizontal de 9.2 m de la ven-
tana.

EVALUAR: La raíz t = — 1.7 s es un ejemplo de solución "ficticia" a
una ecuación cuadràtica. Ya vimos esto en el ejemplo 2.8 de la sección
2.5; le recomendamos repasarlo.

Con el origen que elegimos, teníamos alturas inicial y final y =
y y = —8.0 m. ^Puede demostrar, con las ecuaciones (3.16) y (3.18),
que se obtienen los mismos valores de t y x si se coloca el origen en
el suelo, inmediatamente abajo de donde la pelota sale de la mano?

Ejemplo 3.10

La cuidadora y el mono

Un mono escapa del zoológico y sube a un àrbol. Como no logra
atraerlo, la cuidadora apunta su rifle con un dardo sedante directamen-
te hacia el mono y dispara (figura 3.26). El astuto mono se suelta en el
instante en que el dardo sale del canón del rifle, intentando caer al sue-
lo y escapar. Demuestre que el dardo siempre golpea al mono, sea cual
fuere la velocidad inicial del dardo (siempre que dé en el mono antes
de que éste llegue al piso).

EI

.jj

IDENTIFICAR: En este ejemplo, tenemos dos cuerpos que se mueven
como proyectiles, el dardo sedante y el mono. Ambos tienen posición
y velocidad iniciales distintas; sin embargo, entran en movimiento de
proyectil al mismo tiempo. Para demostrar que el dardo golpea al mo-
no, debemos probar que hay un instante en que el mono y el dardo tie-
nen las mismas coordenadas x y y.

PLANTEAR: Elegimos las direcciones x y y acostumbradas, y coloca-
mos el origen en el extremo del canón del rifle (figura 3.26). Primero
usaremos la ecuación (3.20) para encontrar el tiempo t en que las coor-

denadas .v muno y x àatào sean iguales. Luego, usaremos la ecuación (3.21)
para verificar si y müno y y dardo también son iguales en ese instante; si lo
son, el dardo golpearà al mono.

EJECUTAR: El mono cae verticalmente, así que x mana = d en todo mo-
mento. En el caso del dardo, la ecuación (3.20) nos indica que x dardo =
(v Q cos a Q )t. Cuando las coordenadas x son iguales, d = (u cos a Q )t,
o bien,

d

v {) cosa {)
Para que el dardo golpee al mono, debe cumplirse que y moni , = y daido en
este instante. El mono està en caída libre unidimensional; su posición
en cualquier momento està dada por la ecuación (2.12) cambiando de-
bidamente los símbolos. La figura 3.26 muestra que la altura inicial del
mono es d tan a Q (el cateto opuesto de un triàngulo rectàngulo con àn-
gulo a Q y cateto adyacente d), y obtenemos

V n

: í/tano

1

,8?

3.4 Movimiento en un circulo

87

3.26 El dardo con sedante golpea al mono que cae.

Las flechas discontinuas muestran que tanto han cafdo el mono y el
dardo en tiempos específicos, en relación con el lugar donde estarían
si no hubiera gravedad. En cualquier instante, caen la misma distancia.

• El mono permanece en su posición inicial

• El dardo viaja directo hacia el mono. *.._
■ Por lo tanto, el dardo da en el mono.

Trayectoria del dardo

■ El mono cae directo hacia abajo.**

■ En cualquier instante /, el dardo cae lo mismo que el
mono en relación con el lugar donde estarían si no
hubiera gravedad: Ay dardü = Ay mono = - ~_gt 2 .

• Por lo tanto, el dardo siempre golpea al mono.

Para el dardo, usamos la ecuación (3.21):

3 7 daido :

(y sena )í - -gf

(v sen a )t cuando las dos coordenadas .\'
j — Vdardo* y el dardo habrà acertado. Para

Vemos que si d tan a

son iguales, entonces y

demostrar que esto sucede, sustituimos t por d/(v cos a ), el instante

en que x mom = * daido ; así,

EVALUAR: Hemos demostrado que, cuando las coordenadas x son
iguales, las y también lo son; un dardo dirigido a la posición inicial del
mono siempre lo golpearà, sin importar v . Este resultado también es
independiente de g, la aceleración debida a la gravedad. Sin gravedad
(g = 0), el mono no se movería, y el dardo viajaría en línea recta para
golpearlo. Con gravedad, ambos "caen" la misma distancia (^g! 2 ) por
debajo de sus posiciones con g = y el dardo de todos modos golpea
al mono (figura 3.26).

(v ü sena ü )t= (u sena () )-

t;(jcosa

: í/tana

Evalúe su comprensíón de la sección 3.3 Enelejemplo 3.10, supongaque (C^\
el dardo sedante tiene una velocidad inicial relativamente baja, de modo que el dardo y lmti y
alcanza su altura màxima en un punto P antes de golpear al mono, como se indica en la
figura. Cuando el dardo està en P, £el mono estarà en i) el punto A (màs alto que P), ii) en
el punto B (a la misma altura que P) o iii) en el punto C (màs abajo que P)l Desprecie la
resistència del aire.

fgw

S

==í?

3.4 Movimiento en un circulo

Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva, la dirección de su veloci-
dad cambia. Como vimos en la sección 3.2, esto implica que la partícula debe tener
una componente de aceleración perpendicular a la trayectoria, incluso si la rapidez
es constante (véase la figura 3.11b). En esta sección calcularemos la aceleración para
el caso especial importante de movimiento en un circulo.

4.1

Actv
Physics

Magnitud de aceleración centrípeta

88

CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

3.27 Un automóvil con movimiento circular uniforme. La rapidez es constante y la aceleración se dirige hacia el centro de la
trayectoria circular.

EI automóvil aumenta su rapidez en una
trayectoria circular

Componente de aceleración paralela a la
velocidad: cambia la rapidez del auto.

' Componente de aceleración perpendicular a
/ la velocidad: cambia la dirección del auto.

£1 automóvil disminuye su rapidez en una
trayectoria circular

Componente de aceleración
perpendicular a la velocidad:
cambia la dirección del auto.

l Componente de aceleración paralela a la
velocidad: cambia la rapidez del auto.

Movimiento circular uniforme: rapidez

constante en una trayectoria circular

>

__La aceleración es
■*' exactamente perpendicular
a a la velocidad:

sin componente paralela.

I-

Al centro del circulo

3.28 Determinación del cambio de
velocidad Av, aceleración media a med ,
y aceleración instantànea a rad de una
partícula que se mueve en un circulo
con rapidez constante.

a) Un punto se mueve una distancia As a
rapidez constante en una trayectoria circular

b) El cambio correspondiente en velocidad y
aceleración media :

Estos dos triàngulos
son similares.

c) La aceleración instantànea

En el movimiento circular
" uniforme, la aceleración

instantànea siempre apunta
hacia el centro del circulo.

Movimiento circular uniforme

Cuando una partícula se mueve en un circulo con rapidez constante, tiene un movi-
miento circular uniforme. Un automóvil que da vuelta a una curva de radio constan-
te con rapidez constante, un satélite en òrbita circular y un patinador que describe un
circulo con rapidez constante son ejemplos de este movimiento (figura 3.27; compà-
rela con la figura 3.12). No hay componente de aceleración paralela (tangente) a la
trayectoria; si la hubiera, la rapidez cambiaría. El vector de aceleración es perpen-
dicular (normal) a la trayectoria y, por lo tanto, se dirige hacia adentro (jnunca hacia
fuera!) al centro de la trayectoria circular. Esto causa el cambio en la dirección de la
velocidad, sin cambiar la rapidez. Nuestro siguiente trabajo consiste en demostrar que
la magnitud de la aceleración en el movimiento circular uniforme se relaciona de ma-
nera sencilla con la rapidez de la partícula y el radio del circulo.

La figura 3.28a muestra una partícula que se mueve con rapidez constante en una
trayectoria circular de radio R con centro en O. La partícula se mueve de P, a P 2 en un
tiempo Ai. El cambio vectorial en la velocidad Av durante este tienpo se muestra
en la figura 3.28b.

Los àngulos rotulados A</> en las figuras 3.28a y 3.28b son iguales porque Vi es
perpendicular a la línea OP l y v 2 es perpendicular a la línea OP 2 . Por lo tanto, los
triàngulos en las figuras 3.28a y 3.28b son semejantes. Los cocientes de lados corres-
pondientes de triàngulos semejantes son iguales, así que

Av

= — o Au =

v t R R

La magnitud a mà de la aceleración media durante At es entonces

Aí
R

|A3|
At

Vi As
R At

La magnitud a de la aceleración instantànea a en el punto P, es el límite de esta ex-
presión conforme P 2 se acerca a P^

v t As v, As

a = lím = — lím —

A/^o R At R A<-"° At

Sin embargo, el límite de As/At es la rapidez y, en el punto P,. Ademàs, P, puede ser
cualquier punto de la trayectoria, así que podemos omitir el subíndice y con u repre-
sentar la rapidez en cualquier punto. Así,

a rad = — (movimiento circular uniforme)
R

(3.28)

Agregamos el subíndice "rad" para recordar que la dirección de la aceleración instan-
tànea siempre sigue un radio del circulo, hacia su centro. Como la rapidez es constan-

3.4 Movimiento en un circulo

89

te, la aceleración siempre es perpendicular a la velocidad instantànea. Esto se muestra
en la figura 3.28c; compàrela con la ilustración derecha de la figura 3.27.

En conclusión, en el movimiento circular uniforme, la magnitud a de la acelera-
ción instantànea es igual al Cuadrado de la velocidad v dividido entre el radio R del
circulo; su dirección es perpendicular a v y hacia adentro sobre el radio.

Puesto que la aceleración siempre apunta al centro del circulo, en ocasiones se le
llama aceleración centrípeta. La palabra "centrípeta" significa "que busca el centro"
en griego. La figura 3.29a muestra las direcciones de los vectores de velocidad y ace-
leración en varios puntos para una partícula con movimiento circular uniforme.

CUIDADO Movimiento circular uniforme contra movimiento de proyectiles La ace-
leración en el movimiento circular uniforme tiene algunas similitudes con la aceleración en el
movimiento de proyectiles que no enfrenta resistència del aire, però también existen algunas
diferencias importantes entre ambas. Tanto en el movimiento circular uniforme (figura 3.29a)
como en el movimiento de proyectiles (figura 3.29b) la magnitud de la aceleración siempre es
la misma. Sin embargo, en el movimiento circular uniforme la dirección de a cambia conti-
nuamente, de manera que siempre apunta hacia el centro del circulo. (En la parte superior del
circulo, la aceleración apunta hacia abajo; en la parte inferior del circulo, la aceleración apun-
ta hacia arriba.) En contraste, en el movimiento de proyectiles la dirección de a es la misma en
todo momento.

También podemos expresar la magnitud de la aceleración en un movimiento circu-
lar uniforme en términos del periodo T del movimiento, el tiempo de una revolución
(una vuelta completa al circulo). En un tiempo T, la partícula recorre una distancia
igual a la circunferencia 2trR así que su rapidez es

2irR
T

3.29 Aceleración y velocidad a) para
una partícula con movimiento circular
uniforma y b) para un proyectil sin
resistència del aire.

a) Movimiento circular uniforme
V

La aceleración
tiene magnitud
constante, però
dirección variable.

y la aceleración
siempre son
perpendiculares.

b) Movimiento del proyectil

La velocidad y la aceleración son perpendiculares
solo en el punto mas alto de la trayectoria.

(3.29)

"•• La aceleración

es constante en

magnitud y en dirección.

■N

Al sustituir esto en la ecuación (3.28), obtenemos la expresión alterna

4tt 2 R
T 2

(movimiento circular uniforme)

(3.30)

Ejemplo 3.11

Aceleración centrípeta en un camino curvo

Un automóvil deportivo Aston Martin V8 Vantage tiene una "acelera-
ción lateral" de 0.96g, que es (0.96)(9.8 m/s 2 ) = 9.4 m/s 2 . Esta es la
aceleración centrípeta màxima que puede lograr el auto sin salirse
de la trayectoria circular derrapando. Si el auto viaja a 40 m/s (cer-
ca de 89 mi/h o 144 km/h), £cuàl es el radio mínimo de curva que
puede describir? (Suponga que no hay peralte.)

EI

1

IDENTIFICAR: Puesto que el coche se mueve en una curva — es decir,
un arco de circulo — con rapidez constante, podemos aplicar las ideas
del movimiento circular uniforme.

PLANTEAR: Usamos la ecuación (3.28) para obtener la incògnita R
(el radio de la curva) en términos de la aceleración centrípeta dada a iad
y la rapidez v.

EJECUTAR: Nos dan a vjLÚ y v, así que despejamos R de la ecuación

(3.28):

(40 m/s) 2
9.4 m/s 2

170m(aprox. 560 ft)

EVALUAR: Nuestro resultado muestra que el radio de giro requerido R
es proporcional al cuadrado de la rapidez. Por lo tanto, incluso una
reducción pequena en la rapidez puede reducir R considerablemente.
Por ejemplo, si v disminuye en un 20% (de 40 a 32 m/s), R disminuirà
en un 36% (de 170 m a 109 m).

Otra forma de reducir el radio requerido es peraltar la curva. Inves-
tigaremos esta opción en el capitulo 5.

90

CAPITU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

Ejemplo 3.12

Aceleración centrípeta en un juego mecànico

En un juego mecànico, los pasajeros viajan con rapidez constante en
un circulo de 5.0 m de radio, dando una vuelta completa cada 4.0 s.
l,Qué aceleración tienen?

EEEHl

IDENTIFICAR: La rapidez es constante, así que es un problema de
movimiento circular uniforme.

PLANTEAR: Nos dan el radio R = 5.0 m y el periodo T = 4.0 s, así
que podemos usar la ecuación (3.30) para calcular la aceleración.
Como alternativa, podríamos calcular primero la rapidez v con la ecua-
ción (3.29) y luego obtener la aceleración con la ecuación (3.28).

EJECUTAR: Por la ecuación (3.30),

477- 2 (5.0m)
(4.0 s)~

12 m/s 2

Verificaremos esta respuesta usando la ecuación (3.28) después de
calcular la rapidez v. Por la ecuación (3.29), la rapidez es la circun-
ferencia dividida entre el periodo T:

_ IttR _ 277(5.0 m)
T 4.0 s

La aceleración centrípeta es, entonces,

_„2_ (7.9 m/s) 2
"'■"> " R ~

7.9 m/s

12 m/s 2

5.0 m
Obtenemos el mismo valor de éï l;ii] con ambas estrategias.

EVALUAR: Al igual que en el ejemplo anterior, la dirección de a siem-
pre es hacia el centro del circulo. La magnitud de a es mayor que g, la
aceleración debida a la gravedad, así que este juego mecànico solo es
para los audaces. (Algunas montanas rusas someten a sus pasajeros a
aceleraciones de hasta 4g.)

Movimiento circular no uniforme

En esta sección, hemos supuesto que la rapidez de la partícula es constante. Si la rapi-
dez varia, tenemos un movimiento circular no uniforme. Un ejemplo es un carro de
montafia rusa que frena y se acelera al moverse en un lazo vertical. En el movimiento
circular no uniforme, la ecuación (3.28) nos sigue dando la componente radial de la
aceleración a mà = u 2 /R, que siempre es perpendicular a la velocidad instantànea y di-
rigida al centro del circulo. Sin embargo, dado que la rapidez v tiene diferentes valo-
res en diferentes puntos del movimiento, a mi no es constante. La aceleración radial
(centrípeta) es mayor donde la rapidez es mayor.

En el movimiento circular no uniforme también hay una componente de acelera-
ción paralela a la velocidad instantànea. Esta es la componente a„ que vimos en la
sección 3.2, y aquí la llamamos a tan para destacar que es tangente al circulo. Por lo di-
cho al final de la sección 3.2, sabemos que la componente de aceleración tangencial
a ta „ es igual a la tasa de cambio de la rapidez. Entonces,

3.30 Partícula que se mueve en un lazo
vertical, como un carrito de montafia rusa,
con rapidez variable.

Rapidez mínima: aceleración radial mínima,

aceleración tangencial cero.

Disminución

Aumento de \ de rapidez:

rapidez: aceleración \ ^ a aceleración

tangencial en .» \ tangencial

i v *

la misma -.._ ju i »

dirección \ ■** ,_», '

que v.

"tan >

í,/V

fl lan\

]:ul

Rapidez màxima: aceleración radial
màxima, aceleración tangencial cero.

V
R

dt

(movimiento circular no uniforme) (3.31)

El vector de aceleración de una partícula que se mueve con rapidez variable en un circu-
lo es la suma vectorial de las componentes de aceleración radial y tangencial. Esta úl-
tima tiene la dirección de la velocidad si la partícula està acelerando, y la dirección
opuesta si està frenando (figura 3.30).

En el movimiento circular uniforme, la aceleración no tiene componente tangen-
cial; no obstante, la componente radial es la magnitud de dvfdt.

CUIDADO Movimiento circular uniforme contra no uniforme Observe que las dos

d\v\
dt

no son iguales. La primera, al igual que la aceleración tangencial, es la tasa de cambio de la ra-
pidez; es igual a cero siempre que una partícula se mueve con rapidez constante, incluso cuan-
do cambia la dirección de su movimiento (como en el movimiento circular uniforme). La
segunda es la magnitud de la aceleración vectorial; es igual a cero cuando el vector de acelera-
ción de la partícula es cero, es decir, cuando la partícula se mueve en línea recta con rapidez
constante. En el movimiento circular uniforme \dvjdt\ = a [ad = u 2 jr; en el movimiento circu-
lar no uniforme también existe una componente tangencial de la aceleración, de manera que
\dvjdt\ = Vfl rad 2 + fí l£in 2 .

91

Evalúe SU comprensíón de la sección 3.4 Suponga que, en la parte inferior hvip)
del lazo, la partícula de la figura 3.30 experimenta una aceleración cuatro veces mayor V**S
que en la parte superior del mismo. En comparación con la parte superior del lazo, la rapidez
de la partícula en la parte inferior es i) V 2 veces mayor; ii) 2 veces mayor; iii) 2 V 2 veces
mayor; iv) 4 veces mayor; o v) 16 veces mayor.

Sin duda usted ha observado que un automóvil que avanza lentamente parece mover-
se hacia atràs cuando usted lo rebasa. En general, si dos observadores miden la velo-
cidad de un cuerpo, obtienen diferentes resultados si un observador se mueve en
relación con el otro. La velocidad que un observador dado percibe es la velocidad re-
lativa a él, o simplemente velocidad relativa. La figura 3.31 muestra una situación en
la que se entiende que la velocidad relativa es muy importante.

Primero consideraremos la velocidad relativa en línea recta, y luego la generaliza-
remos a un plano.

Velocidad relativa en una dimensión

Una mujer camina con una velocidad de 1.0 m/s por el pasillo de un vagón de ferro-
carril que se mueve a 3.0 m/s (figura 3.32a). <,Qué velocidad tiene la mujer? Es una
pregunta sencilla, però no tiene una sola respuesta. Para un pasajero sentado en el
tren, la mujer se mueve a 1.0 m/s. Para un ciclista parado junto al tren, la mujer se
mueve a 1.0 m/s + 3.0 m/s = 4.0 m/s. Un observador en otro tren que va en la direc-
ción opuesta daria otra respuesta. Debemos especificar quién es el observador y dar la
velocidad relativa a él. La velocidad de la mujer relativa al tren es 1.0 m/s, relativa al
ciclista es 4.0 m/s, etcètera. Cada observador, equipado en principio con un metro y
un cronómetro, constituye lo que llamamos un marco de referència. Así, un marco
de referència es un sistema de coordenadas mas una escala de tiempo.

Llamemos A al marco de referència del ciclista (en reposo con respecto al suelo) y
B al marco de referència del tren en movimiento. En el movimiento rectilíneo, la po-
sición de un punto P relativa al marco de referència A està dada por x P/A (la posición
de P con respecto a A), y la posición de P con respecto al marco B està dada por x P/B
(véase la figura 3.32b). La distancia del origen de A al origen de B es x B/A . La figura
3.32b muestra que

x PjA ~ x PjB + X B\A

(3.32)

Esto nos dice que la distancia total del origen de A al punto P es la distancia del ori-
gen de B al punto P màs la distancia del origen de A al origen de B.

La velocidad de P relativa al marco A, denotada con v P

, es la derivada de .

con respecto al tiempo. Las otras velocidades se obtienen de igual manera, así que la
derivada con respecto al tiempo de la ecuación (3.32) nos da la relación entre las ve-

3.31 Los pilotos de acrobacias aéreas
enfrentan un complicado problema de
velocidades relativas. Deben estar
pendientes de su movimiento relativo al
aire (para mantener un flujo de aire sobre
las alas suficiente para la sustentación),
su movimiento relativo a los otros aviones
(para mantener una formación cerrada
sin chocar) y su movimiento relativo al
publico (para que los espectadores no
los pierdan de vista).

3.32 a) Una mujer camina dentro
de un tren. b) La posición de la mujer
(partícula P) relativa al marco de referen
eia del ciclista y al marco de referència
del tren.

a)

P (mujer) B (tren)

JpjA-i

JpjB-x

dx P j A dx P j B dx B j A
dt dl dt

'Jb/a-x

(velocidad relativa en una línea)

(3.33)

Volviendo a la mujer en el tren de la figura 3.32, vemos que A es el marco de refe-
rència del ciclista, B es el marco de referència del tren, y el punto P representa a la
mujer. Usando la notación anterior, tenemos

JpjB-x

+ 1.0 m/s v B i A _ x = +3.0 m/s

b)

>\\

Marco del

ciclista.

Marco
del tren.

B f A relativa al ciclista.

Posición de la mujer
en ambos marços.

X P/A "

92

CAPITU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

Por la ecuación (3.33), la velocidad v P/A de la mujer relativa al ciclista es

Vp/A-j

■1.0 m/s + 3.0 m/s = +4.0 m/s

lo cual ya sabíamos.

En este ejemplo, ambas velocidades son a la derecha, e implícitamente toma-
mos esta dirección como positiva. Si la mujer camina a la izquierda relativa al tren,
entonces, v P/B _ x = — 1.0 m/s, y su velocidad relativa al ciclista es v P , A . x = — 1.0 m/s
+ 3.0 m/s = +2.0 m/s. La suma de la ecuación (3.33) siempre es algebraica, y cual-
quiera o todas las velocidades pueden ser negativas.

Si la mujer se asoma por la ventana, le parecerà que el ciclista estacionario se
mueve hacia atràs; llamamos v A , P . x a la velocidad del ciclista relativa a ella. Es evi-
dente que esta es el negativo de V F / A . X . En general, si A y B son dos puntos o marços de
referència cualesquiera,

Vajb-,

V BjA-,

(3-34)

Estratègia para resolver problemas 3.2

IDENTIFICAR los conceptes importantes: Siempre que lea la frase
"velocidad relativa a" o "velocidad con respecto a", seguramente le
resultaran útiles los conceptes de velocidad relativa.

PLANTEAR el problema: Rotule todos los marços de referència del
problema. Cada cuerpo en movimiento tiene su propio marco de refe-
rència; ademàs, casi siempre serà preciso incluir el marco de referència
de la superfície terrestre. (Frases como "el automóvil viaja al norte
a 90 km/h" se refieren implícitamente a la velocidad del auto relativa a
la superfície terrestre.) Use los rótulos para identificar la incògnita.
Por ejemplo, si quiere obtener la velocidad de un auto (C) con respecto
a un autobús (B), esta es v c/B . r

EJECUTAR la solución: Despeje la incògnita empleando la ecuación
(3.33). (Si las velocidades no tienen la misma dirección, serà preciso
usar la forma vectorial de esta ecuación, que deduciremos mas ade-
lante en esta misma sección.) Es importante observar el orden de los

dobles subíndices en la ecuación (3.33): V A / S . X siempre significa "velo-
cidad de A relativa a fí". Estos subíndices obedecen un tipo interesante
de àlgebra, como muestra la ecuación (3.33). Si los consideramos cada
uno como una fracción, la fracción del miembro izquierdo es el pro-
ducte de las fracciones del miembro derecho: P/A = (P/B)(B/A).
Puede usar esta útil regla al aplicar la ecuación (3.33) a cualquier can-
tidad de marços de referència. Por ejemplo, si hay tres marços de
referència distintes A, B y C, podemos escribir de inmediato

JPIA-1

J PjC-x

J CfB-.\

u BjA-.x

EVALUAR la respuesta: Esté pendiente de los signos menos en su
respuesta. Si la incògnita es la velocidad de un automóvil relativa a
un autobús (V C / B .J, asegúrese de no haber calculado por equivocación
la velocidad del autobús relativa al automóvil (ps/c-x)- Si cometió este
error, la ecuación (3.34) le darà la respuesta correcta.

Ejemplo 3.13

Velocidad relativa en un camino recto

Imagine que viaja al norte en un camino recto de dos carriles a
88 km/h constantes. Un camión que viaja a 104 km/h constantes se
acerca a usted (en el otro carril, por fortuna), a) iQué velocidad tie-
ne el camión relativa a usted? b) ^Y la de usted relativa al camión?
c) ^Cómo cambian las velocidades relativas una vez que los dos
vehículos se han pasado?

IDENTIFICAR: Este ejemplo es sobre velocidades relativas en una
recta.

PLANTEAR: Sea usted Y, el camión T y la superfície de la Tierra E,
y sea el norte la dirección positiva (figura 3.33). Entonces, su veloci-
dad relativa a la Tierra es v Y /e-x — +88 km/h. En un principio, el ca-
mión se acerca a usted, así que debe ir hacia el sur, es decir, que su
velocidad relativa a la Tierra es V T/E . X = — 104 km/h. La incògnita del
inciso a) es v T/Y -/, l a incónita del inciso b) es o Y /t, v - Obtendremos
ambas respuestas utilizando la ecuación (3.33) para velocidad relativa.

3.33 Marcos de referència para usted y el camión.

Camión (T)

Tierra (E)

V Y!E

Ü T/E

Usted (Y)

93

EJECUTAR: a) Para obtener i> y /t-ï> primero escribimos la ecuación
(3.33) para los tres marços, Y, T y E, y luego reacomodamos:

u T/E-.v = ü T/Y-.v + U Y/E-a
^T/Y-.ï = "T/E-.r _ "Y/E-ï

= - 104 km/h - 88 km/h = - 192 km/h

El camión se mueve a 1 92 km/h en la dirección negativa (al sur) relati-
vo a usted.

b) Por la ecuación (3.34),

«y/t-, = -«t/y.» = -(-192 km/h) = +192 km/h

Usted se mueve a 192 km/h en la dirección positiva (al norte) relativo
al camión.

c) Las velocidades relativas no cambian después de que los vehícu-
los se pasan. Las posiciones relativas de los cuerpos no importan. La
velocidad del camión relativa a usted sigue siendo 192 km/h, però
ahora se aleja en vez de acercarse.

EVALUAR: Para comprobar su respuesta del inciso b), use la ecuación
(3.33) directamente en la forma «y/t-, — Vyjb-x + ^e/t-v (Recuerde que
la velocidad de la Tierra relativa al camión es opuesta a la velocidad
del camión con respecto a la Tierra: «e/t-* — ~ v tIe-v) iObtíene el

Velocidad relativa en dos o tres dimensiones

Podemos extender el concepto de velocidad relativa al movimiento en un plano o en
el espacio, usando suma vectorial para combinar velocidades. Suponga que la mujer
de la figura 3.32a camina no por el pasillo del vagón sinó de un costado al otro, con
rapidez de 1.0 m/s (figura 3.34a). También podemos describir su posición P en dos
marços de referència distintos: A para el observador terrestre estacionario y B para el
tren en movimiento; però en vez de coordenadas x usamos vectores de posición
[&*lcacc*{~bfit~r~normal~)(|Ararr|)&] porque el problema es bidimensional. En-
tonces, como muestra la figura 3.34b,

r PjA

' /'j/í

+ r

B/1

(3.35)

Igual que antes, derivamos con respecto al tiempo para obtener una relación entre las
velocidades; la velocidad de P relativa a A es v P u = dr P , A \dt, e igual para las de-

(velocidad relativa en el espacio)

(3.36)

La ecuación (3.36) se conoce como transfonnción galileana de la velocidad y
muestra que la velocidad de un cuerpo P con respecto al marco A y su velocidad con
respecto al marco B (iï P u y v P i B , respectivamente) estan relacionadas con la velocidad
del marco B con respecto al marco A ( v B u ) . Si las tres velocidades estan en la misma
línea, la ecuación (3.36) se reduce a la ecuación (3.33) para las componentes de las
velocidades en esa línea.

Si la velocidad del tren relativa al suelo tiene magnitud v b /a = 3.0 m/s y la veloci-
dad de la mujer relativa al vagón tiene magnitud v P/B = 1.0 m/s, su vector de velocidad

3.34 a) Mujer que camina a lo ancho de un vagón de ferrocarril, b) Posición de la mujer relativa al marco de referència del ciclista y
al marco del tren. c) Diagrama vectorial para la velocidad de la mujer relativa al suelo (el marco del ciclista), v P u.

a)

A (ciclista)

P (mujer)

b)

Marco del
ciclista

y

ï

..- Velocidad del tren
_„•£ relativa al ciclista.
"b/a

del tren

^ p

^m 'Posición de la mujer

i~f p/B en ambos marços.

B

(vistas desde arriba)

1.0 m/s

94

CAPITU LO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

v P u relativo al suelo es como se muestra en la figura 3.34c. El teorema de Pitàgoras
nos da

Vpj A = V(3.0m/s) 2 + (1.0 m/s) 2 = Vl0m 2 /s 2 = 3.2 m/s

La figura 3.34c también indica que la dirección del vector de velocidad de la mu-
jer relativo al suelo forma un àngulo </> con el vector de velocidad del tren v B i A , donde

VpjB 1.0 m/s
Visja 3.0 m/s

18°

Como en el caso del movimiento rectilíneo, tenemos la regla general de que si A
y B son dos puntos o marços de referència cualesquiera,

«a/b

'bja

(3.37)

La velocidad de la mujer con respecto al tren es el negativo de la velocidad del tren
con respecto a la mujer, etcètera.

A principios del siglo xx, en su teoria especial de la relatividad Albert Einstein de-
mostro que la relación de suma de velocidades dada en la ecuación (3.36) se modifica
cuando la rapidez se aproxima a la rapidez de la luz, que se denota con c. Resulto que
si la mujer de la figura 3.32a pudiera caminar por el pasillo a 0.30c y el tren pudiera
viajar a 0.90c, entonces la rapidez de la mujer relativa al suelo no seria de 1.20c sinó
de 0.94c. ;Nada puede viajar mas ràpido que la luz! Regresaremos a la teoria espe-
cial de la relatividad en el capitulo 37.

Ejemplo 3.14

Vuelo con viento cruzado

La brújula de un avión indica que va al norte, y su velocímetro indica EVALUAR: El viento lateral aumenta la rapidez del avión relativa al
que vuela a 240 km/h. Si hay un viento de 100 km/h de oeste a este, suelo, pera al precio de desviarlo de su curso.
; cuàl es la velocidad del avión relativa a la Tierra?

EEEH1

IDENTIFICAR: Se trata de un problema de velocidad en dos dimen-
siones (hacia el norte y hacia el este), así que tenemos un problema de
velocidad relativa usando vectores.

PLANTEAR: Nos dan la magnitud y dirección de la velocidad del
avión (P) relativa al aire (A), así como la magnitud y dirección de la
velocidad del viento, que es la velocidad del aire (A) con respecto a
la Tierra (E):

v P j A = 240 km/h
100 km/h

"A/E ■

al norte
al este

Nuestras incógnitas son la magnitud y dirección de la velocidad del
avión (P) relativa a la Tierra (E), v P i E . Así, que las calcularemos usan-
do la ecuación (3.36).

EJECUTAR: Usando la ecuación (3.36), tenemos

*>P/E = fp/A + ^A/E

Las tres velocidades relativas y su relación se muestran en la figura
3.35; las incógnitas son la rapidez v P/B y el àngulo a. Del diagrama ob-
tenemos

J PJE

- V(240km/h) 2 + ( 100 km/h) 2 - 260 km/h

a = arc tan

/ 100 km/h

\ 240 km/h

23° E del N

3.35 El avión apunta al norte, però el viento sopla al este, dando
la velocidad resultante v P i E relativa a la Tierra.

É> A/E = 100 km/h,
este

,

.

»P/A =

240 km/h,

'£f Ü P/E

norte

a

N

S

■ — «Jl

'

i,

95

Ejemplo 3.15

Corrección por viento cruzado

En el ejemplo 3.14, £qué rumbo debería tomar el piloto para viajar al
norte? ^Ciiàl serà su velocidad relativa a la tierra'? (Suponga que su
rapidez con respecto al aire y la velocidad del viento son las del ejem-
plo 3.14.)

E

41

IDENTIFICAR: Al igual que en el ejemplo 3.14, éste es un problema
de velocidad relativa con vectores.

PLANTEAR: La figura 3.36 ilustra la situación. Ahí, los vectores se
acomodaran según la ecuación vectorial de velocidad relativa, ecua-
ción (3.36):

^P/E :

PP/A

+ V

A/ü

Como muestra la figura 3.36, el piloto apunta la nariz del avión con un
àngulo /3 hacia el viento para compensar su efecto. Este àngulo, que
nos da la dirección del vector v P i A (la velocidad del avión relativa al ai-
re), es una de nuestras incógnitas. La otra es la rapidez del avión sobre
el suelo, que es la magnitud del vector v P i E (la velocidad del avión re-
lativa a la Tierra). Veamos las cantidades que conocemos y las que des-
conocemos:

v P i E = magnitud desconocida al norte

v P i A = 240 km/h dirección desconocida

v A j E =100 km/h al este

Podemos calcular las incógnitas empleando la figura 3.36 y trigono-
metría.

EJECUTAR: Por el diagrama, la rapidez u P/E y el àngulo /3 estan dados

por

VpfR = V(240km/h) 2 - (100 km/h) 2 = 218 km/h 2

/ 100 km/h \

B = arcsen = 25

\ 240 km/h/

3.36 El piloto debe apuntar el avión en la dirección del vector
Vpu para viajar al norte relativo a la Tierra.

v A/E = 100 km/h,
este

Pp/A

240 km/h,
en àngulo Q

El piloto debería dirigirse 25° al oeste del norte, y su rapidez con res-
pecto al suelo serà entonces de 218 km/h.

EVALUAR: Observe que había dos incógnitas — la magnitud de un
vector y la dirección de un vector — tanto en este ejemplo como en el
ejemplo 3.14. La diferencia es que, en el ejemplo 3.14, la magnitud y
dirección se referían al mismo vector (ïw), mientras que en este
ejemplo se refieren a vectores distintos {v P i E y v P i A ).

No es sorpresa que un viento de frente reduzca la rapidez de un
avión relativa al suelo. Lo que este ejemplo demuestra es que un vien-
to cruzado también frena los aviones: es una triste realidad de la in-
dústria aeronàutica.

Evalúe su comprensíón de la sección 3.5 Suponga que la nariz del avión
se apunta al este y que el avión tiene una velocidad de vuelo de 150 km/h. Debido al
viento, el avión se mueve al norte relativo al suelo y su rapidez relativa al suelo es de
150 km/h. ^Cuàl es la velocidad del aire relativa a la Tierra? i) 150 km/h de este a oeste;
ii) 150 km/h de sur a norte; iii) 150 km/h de sureste a noroeste; iv) 212 km/h de este a oeste;
v) 212 km/h de sur a norte; vi) 212 km/h de sureste a noroeste; vii) no hay velocidad del aire
posible que cause esto.

CAPÍTULO 3 RESUMEN

Vectores de posición, velocidad y aceleración: El vector
de posición r de un punto P en el espacio es el vector del
origen a P. Sus componentes son las coordenadas x, y y z-

El vector de velocidad media ï> med durante el intervalo
Ai es el desplazamiento Ar (el cambio del vector de
posición r ) dividido entre Ar. El vector de velocidad
instantànea v es la derivada de r, con respecto al tiempo, y
sus componentes son las derivadas de x, y y z con respecto
al tiempo. La rapidez instantànea es la magnitud de v.
La velocidad v de una partícula siempre es tangente a la
trayectoria de la partícula. (Véase el ejemplo 3.1.)

El vector de aceleración media a mcd durante el intervalo
de tiempo Ai es igual a A0 (el cambio en el vector de
velocidad v ) dividido entre Ai. El vector de aceleración
instantànea a es la derivada de V, con respecto al tiempo,
y sus componentes son las derivadas de v x , V y y v : con
respecto al tiempo. (Véase el ejemplo 3.2.)

La componente de aceleración paralela a la dirección
de la velocidad instantànea afecta la rapidez; en tanto que
la componente de a perpendicular a v afecta la dirección
del movimiento. (Véanse los ejemplos 3.3 y 3.4.)

r

= xï + y] + zk

r 2 - ~t\ A?

,ed tj - í, Ai

V

Ar dr
~ 4i->o Aí dt

dx dv

d?

v x

= — v, = — V. =
dt dt

dt

_

v 2 - v, Ad

,ed h ~ íi Aí

d

Av dv
A<-*> Aí dt
du,

a x

dt
dv,,

a y

dt
dv.

a z

dt

(3.1)
(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

T

Ay
±

y\

)

ÍJ — rr

,V, A',

-Ax

•V

Movimiento de proyectiles: En el movimiento de x = (í; cosq: )í

proyectiles sin resistència del aire, a x = y a y = —g.

Las coordenadas y componentes de la velocidad son y = (v se.naQ)t — -

funciones sencillas del tiempo, y la forma de la trayectoria

siempre es una paràbola. Por convención, colocamos el u v — ^ocosa

origen en la posición inicial del proyectil. (Véanse los V y = y sena — gt

ejemplos 3.5 a 3.10.)

(3.23)

V, "v = ~g

-•ÏS»

J)M-X

Movimiento circular uniforme y no uniforme: Cuando una
partícula se mueve en una trayectoria circular de radio R
con rapidez constante v (movimiento circular uniforme),
su aceleración a està dirigida hacia el centro del circulo y
es perpendicular a v. La magnitud <7 rad de la aceleración se
puede expresar en términos de v y R, o en términos de R
y el periodo T (el tiempo que tarda en dar una vuelta),
donde V = 2irRJT. (Véanse los ejemplos 3.11 y 3.12.)

Aunque la rapidez en un movimiento circular no
sea constante (movimiento circular no uniforme), habrà
una componente radial de a dada por la ecuación (3.28) o la
ecuación (3.30), però también habrà una componente de a
paralela (tangencial) a la trayectoria; esta componente tan-
gencial es igual a la tasa de cambio de la rapidez, dv/dt.

V

R

4tt 2 R
T 2

(3.28)
(3.30)

Velocidad relativa: Cuando un cuerpo P se mueve relativo
a un cuerpo (o marco de referència) B, y B se mueve
relativo a A, denotamos la velocidad de P relativa a B con
VptB, la velocidad de P relativa a A con v P > A , y la velocidad
de B relativa a A con v B i A . Si todas estàs velocidades
estan en la misma línea, sus componentes sobre la
línea estan relacionadas por la ecuación (3.33). De forma
màs general, estàs velocidades estan relacionadas por
la ecuación (3.36). (Véanse los ejemplos 3.13 a 3.15.)

Vp{A-x ~ v PjB-.x + Vbja-x

(velocidad relativa en una línea)

UpfA — V P\B T V B j A

(velocidad relativa en el espacio)

(3.33)

(3.36)

96

Preguntas para anàlisis 97

Términos clave

vector de posición, 72
aceleración instantànea, 72
aceleración media, 75

proyectil, 79

trayectoria, 79

movimiento circular uniforme, 88

aceleración centrípeta, 89

periodo, 89

movimiento circular no uniforme, 90
marco de referència, 91

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo .

Un automóvil que va por una curva a rapidez constante tiene una ace-
leración dirigida hacia el interior de la curva (véase la sección 3.2, en
especial la figura 3.12a).

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

3.1 Respuesta: iii) Si la velocidad instantànea v es constante durante
un intervalo, su valor en cualquier punto (incluyendo el final del inter-
valo) es igual a la velocidad media v med durante el intervalo. En i) y ii)
la dirección de v al final del intervalo es tangente a la trayectoria en
ese punto; mientras que la dirección de v mcd apunta desde el inicio de
la trayectoria hasta el final (en la dirección del desplazamiento neto).
En iv) v y v mcd se encuentran a lo largo de la línea recta, aunque v tie-
ne una magnitud mayor porque la rapidez ha ido en aumento.

3.2 Respuesta: vector 7 En el punto mas alto de la trayectoria del
trineo, la rapidez es mínima. En ese punto, la rapidez no aumenta ni
disminuye, y la componente paralela de la aceleración (es decir, la
componente horizontal) es cero. La aceleración solo tiene una com-
ponente perpendicular hacia el interior de la trayectoria curva del
trineo. Dicho de otro modo, la aceleración es hacia abajo.

3.3 Respuesta: i) Si no hubiera gravedad (g = 0), el mono no caería y
el dardo seguiria una trayectoria recta (que se indica como línea dis-
continua). El efecto de la gravedad es hacer que tanto el mono como el
dardo caigan la misma distancia \gt 2 abajo de sus posiciones con g =
0. El punto A està a la misma distancia abajo de la posición inicial del
mono de la que el punto P està abajo de la recta discontinua, así que
el punto A es donde encontraríamos al mono en el instante en cuestión.

3.4 Respuesta: ii) Tanto en la parte alta como en la baja del lazo, la
aceleración es puramente radial y està dada por la ecuación (3.28). El
radio R es el mismo en ambos puntos, así que la diferencia de acelera-
ción se debe exclusivamente a diferencias de rapidez. Puesto que a íad
es proporcional al cuadrado de v, la rapidez deberà ser dos vece mayor
en la parte baja del lazo que en su parte alta.

3.5 Respuesta: vi) El efecto del viento es anular el movimiento hacia
el este del avión e imprimirle un movimiento hacia el norte. Así que
la velocidad del aire en relación con el suelo (la velocidad del viento)
debe tener una componente de 150 km/h hacia el oeste y una compo-
nente de 150 km/h hacia el norte. La combinación de ambas es un vec-
tor con magnitud V( 150 km/h) 2 + (150 km/h) 2 = 212 km/h que
apunta hacia el noroeste.

PROBLEMAS

Para la tarea asignada por el profesor, visite www.masteringphysics.com (MP,

Preguntas para anàlisis

P3.1. Un péndulo simple (una masa que oscila en el extremo de un cor-
del) oscila en un arco circular. i,Qué dirección tiene su aceleración en
los extremos del arco? ^Y en el punto medio? En cada caso, explique
cómo obtuvo su respuesta.

P3.2. Vuelva a dibujar la figura 3.11a como si a fuera antiparalela a
v { . ^La partícula se mueve en línea recta? ^Qué pasa con la rapidez?
P3.3. Un proyectil se mueve en una trayectoria parabòlica sin resistèn-
cia del aire. (,Hay un punto donde a sea paralela a ïj? £Y perpendicular
a ïj? Explique su respuesta.

P3.4. Cuando se dispara un rifle a un blanco lejano, el canón no se
apunta exactamente al blanco. i,Por que? ^,E1 àngulo de corrección de-
pende de la distancia al blanco?

P3.5. En el instante que usted dispara una bala horizontalmente de una
arma, suelta una bala desde la altura del canón. Si no hay resistència
del aire, <;,qué bala llegarà primero al suelo? Explique su respuesta.
P3.6. Un paquete se deja caer desde un avión que vuela en línea recta
con altitud y rapidez constantes. Si se desprecia la resistència del aire,
í,qué trayectoria del paquete observaria el piloto? ^Y una persona si-
tuada en el suelo?

P3.7. Dibuje las seis gràficas de las componentes x y y de posición, ve-
locidad y aceleración contra el tiempo, para un movimiento de proyec-
til con x = Vo = y < au < 90°.

P3.8. Se lanza un objeto directo hacia arriba sin que sufra resistència
del aire. (.Cómo es posible que el objeto tenga aceleración cuando se
detiene al llegar a su punto mas alto?

P3.9. Si una rana puede saltar con la misma rapidez inicial sin impor-
tar la dirección (hacia adelante o hacia arriba), ^qué relación hay entre
la altura vertical màxima y el alcance horizontal màximo de su salto,

P3.10. Se dispara un proyectil hacia arriba con un àngulo por encima de
la horizontal con una rapidez inicial v . Al llegar a su màxima altura,
£CUàles son su vector de velocidad, su rapidez y su vector de aceleración?
P3.ll. En el movimiento circular uniforme, ^cuàles son la velocidad
media y la aceleración media durante una revolución? Explique su
respuesta.

P3.12. En el movimiento circular uniforme, £cómo cambia la acelera-
ción cuando la rapidez aumenta al triple? £Y cuando el radio se reduce

P3.13. En el movimiento circular uniforme, la aceleración es perpen-
dicular a la velocidad en todo instante. <,Sigue siendo valido esto cuan-
do el movimiento no es uniforme, es decir, cuando la rapidez no es
constante?

P3.14. Incluso sin viento, las gotas de lluvia suelen dejar rayas diagona-
les en las ventanas laterales de un automóvil en movimiento. ^,Por qué?
^Es la misma explicación para las rayas diagonales en el parabrisas?
P3.15. En una tormenta con viento fuerte, (,qué determina la orienta-
ción òptima de un paraguas?

P3.16. Imagine que està en la ribera oeste de un río que fluye al norte a
1.2 m/s. Usted nada con rapidez de 1.5 m/s relativa al agua, y el río
tiene 60 m de ancho. <;,Qué trayectoria relativa a tierra le permitirà cru-
zar el río en el menor tiempo? Explique su razonamiento.

98

CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

P3.17. Cuando usted deja caer un objeto desde cierta altura, éste tarda
un tiempo T en llegar al piso si no hay resistència del aire. Si usted lo
dejara caer desde una altura tres veces mayor, ^cuànto tiempo tardaria
el objeto (en términos de T) en llegar al suelo?

P3.18. Se lanza una piedra hacia el aire con un àngulo por encima de la
horizontal, y se desprecia la resistència del aire. ^Cuàl de las gràficas
en la figura 3.37 describe mejor la rapidez v de la piedra en función del
tiempo t mientras està en el aire?

Figura 3.37 Pregunta P3.1É
a)

b)

d)

y dirección de la velocidad media del punto entre f = y t = 2.0 s.
b) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad instantànea en
t = 0, en t = 1 .0 s y en t = 2.0 s. c) Dibuje la trayectoria del punto de /
~0aí = 2.0 s, y muestre las velocidades calculadas en el inciso b).

3.4. Si r = bt'ï + et], donde b y c son constantes positivas, ^cuan-
do el vector de velocidad forma un àngulo de 45° con los ejes x y y?

Sección 3.2 El vector de aceleración

3.5. Un jet vuela a altitud constante. En el instante í, = 0, tiene com-
ponentes de velocidad v x = 90 m/s, v y = 110 m/s. En t 2 = 30.0 s, las
componentes son v x = — 170 m/s, v y = 40 m/s. d) Dibuje los vectores
de velocidad en t x y t 2 . ( ',En qué difieren? Para este intervalo, calcule
b) las componentes de la aceleración media, y c) la magnitud y direc-
ción de esta aceleración.

3.6. Un perro que corre en un campo tiene componentes de velocidad
V x = 2.6 m/s y v y = — 1.8 m/s en íj = 10.0 s. Para el intervalo de t { =
10.0 s a U — 20.0 s, la aceleración media del perro tiene magnitud de
0.45 m/s 2 y dirección de 31.0° medida del eje +x al eje +y. En t 2 =
20.0 s, a) í,qué componentes xy y tiene la velocidad del perro? b) iQué
magnitud y dirección tiene esa velocidad? c) Dibuje los vectores de
velocidad en t x y t 2 . i,En qué difieren?

3.7. Las coordenadas de un ave que vuela en el plano xy estan da-
das por x{t) = at y y(t) = 3.0 m — fit 2 , donde a = 2.4 m/s y
fi = 1.2 m/s 2 , d) Dibuje la trayectoria del ave entre t = y t = 2.0 s.

b) Calcule los vectores de velocidad y aceleración en función de t.

c) Obtenga la magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del
ave ení = 2.0 s. d) Dibuje los vectores de velocidad y aceleración en
r = 2.0 s. En este instante, ^el ave està acelerando, frenando o su ra-
pidez no està cambiando instantàneamente? ^Està dando vuelta? Si
así es, ^en qué dirección?

3.8. Una partícula sigue una trayectoria como se muestra en la figura
3.38. Entre B y D, la trayectoria es recta. Dibuje los vectores de acele-
ración en A, C y E si d) la partícula se mueve con rapidez constante,
b) la partícula aumenta de rapidez continuamente; c) la rapidez de la
partícula disminuye continuamente.

e)

Ejercicios

Sección 3.1 Vectores de posición y velocidad

3.1. Una ardilla tiene coordenadas x y y (1.1 m, 3.4 m) en íj = y
coordenadas (5.3 m, —0.5 m) en t 2 = 3.0 s. Para este intervalo, obten-
ga a) las componentes de la velocidad media, y b) la magnitud y direc-
ción de esta velocidad.

3.2. Un rinoceronte està en el origen de las coordenadas en /, = 0.
Para el intervalo de r, = a t 2 = 12.0 s, la velocidad media del ani-
mal tiene componente x de —3.8 m/s y componente y de 4.9 m/s.
En t 2 = 12.0 s, a) £qué coordenadas x y y tiene el rinoceronte? b) i,Qué
tan lejos està del origen?

3.3. Un disenador de pàginas Web crea una animación en la que un
punto en una pantalla de computadora tiene una posición r =
[4.0 cm +(2.5 cm/s 2 )/ 2 ]? + (5.0 cm/s) tj. a) Determine la magnitud

Figura 3.38 Ejercicio 3.8.
a) b)

Sección 3.3 Movimiento de proyectiles

3.9. Un libro de física que se desliza sobre una mesa horizontal a 1.10
m/s cae al piso en 0.350 s. Ignore la resistència del aire. Calcule d) la
altura de la mesa; b) la distancia horizontal del borde de la mesa al
punto donde cae el libro; c) las componentes horizontal y vertical, y la
magnitud y dirección, de la velocidad del libro justo antes de tocar el
piso. d) Dibuje gràficas x-t, y-t, v x -t y V y ~t para el movimiento.

3.10. Un helicóptero militar està en una misión de entrenamiento y
vuela horizontalmente con una rapidez de 60.0 m/s y accidentalmen-
te suelta una bomba (desactivada, por suerte) a una altitud de 300 m.
Puede despreciarse la resistència del aire. d) iQué tiempo tarda la

Ejercicios

99

Figura 3.39 Ejercicio 3.12.

bomba en llegar al suelo? b) j,Qué distancia horizontal viaja mientras
cae? c) Obtenga las componentes horizontal y vertical de su veloci-
dad justo antes de llegar al suelo. d) Dibuje gràficas x-t, y-t, v x -t y
Vy-t para el movimiento de la bomba, e) ^Dónde està el helicóptero
cuando la bomba toca tierra, si la rapidez del helicóptero se mantuvo
constante?

3.11. Dos grillos, Chirpy y Milada, saltan desde lo alto de un acantila-
do vertical. Chirpy simplemente se deja caer y llega al suelo en 3.50 s;
en tanto que Milada salta horizontalmente con una rapidez inicial de
95.0 cm/s. iA qué distancia de la base del acantilado tocarà Milada
el suelo?

se lanza desde un risco con un im-
pulso horizontal, como se muestra
en la figura 3.39. iQué rapidez mí-
nima debe tener al saltar de lo alto
del risco para no chocar con la sa-
liente en la base, que tiene una an-
chura de 1.75 m y està 9.00 m
abajo del borde superior del risco?

3.13. Salto del río I. Un automóvil
llega a un puente durante una tormenta y el conductor descubre que las
aguas se lo han llevado. El conductor debe llegar al otro lado, así que
decide intentar saltar la brecha con su auto. La orilla en la que se en-
cuentra està 21.3 m arriba del río, mientras que la orilla opuesta està a
solo 1.8 m sobre las aguas. El río es un torrente embravecido con una
anchura de 61.0 m. a) iQxxé tan ràpido deberà ir el auto cuando llegue
a la orilla para librar el río y llegar a salvo al otro lado? b) i, Qué rapi-
dez tendra el auto justo antes de que aterrice en la orilla opuesta?

3.14. Una pequena ca-

nica rueda horizontal- Fi § ura 3 - 40 Ejercicio 3.14.

mente con una rapi- _ ,-,

dez l> y cae desde la

parte superior de una

plataforma de 2.75 m

de alto, sin que sufra

resistència del aire.

A nivel del piso, a

2.00 m de la base de

la plataforma, hay una

(j En qué intervalo de

rapideces v la canica

caerà dentro de la cavidad?

3.15. Dentro de una nave espacial en reposo sobre la Tierra, una pelota
rueda desde la parte superior de una mesa horizontal y cae al piso a
una distancia D de la pata de la mesa. Esta nave espacial ahora des-
ciende en el inexplorado Planeta X. El comandante, el Capitàn Curio-
so, hace rodar la misma pelota desde la misma mesa con la misma
rapidez inicial que en la Tierra, y se da cuenta de que la pelota cae al
piso a una distancia 2.76D de la pata de la mesa. ^Cuàl es la acelera-
ción debida a la gravedad en el Planeta X?

3.16. Un mariscal de campo novato lanza un balón con una componen-
te de velocidad inicial hacia arriba de 16.0 m/s y una componente de
velocidad horizontal de 20.0 m/s. Ignore de la resistència del aire.
a) ^Cuànto tiempo tardarà el balón en llegar al punto mas alto de la tra-
yectoria? b) ^A qué altura està este punto? c) ^Cuànto tiempo pasa
desde que se lanza el balón hasta que vuelve a su nivel original?
<;,Qué relación hay entre este tiempo y el calculado en el inciso a)'l
d) iQ\\é distancia horizontal viaja el balón en este tiempo? e) Dibuje
gràficas x-t, y-t, v x -t y v y -t para el movimiento.

3.17. Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo con una velocidad
inicial de 80.0 m/s a 60.0° por encima de la horizontal sin que sufra re-
sistència del aire. a) Determine las componentes horizontal y vertical
de la velocidad inicial del proyectil. ò)^Cuànto tarda el proyectil en al-

±1

2.75 m

2.00 i

kH.50m>l

canzar su punto mas alto? c) Calcule su altura màxima por encima del
suelo. d) i, Qué tan lejos del punto de lanzamiento cae el proyectil
al suelo? e) Determine las componentes horizontal y vertical de su
aceleración y velocidad en el punto de su màxima altura.

3.18. Una pistola que dispara una luz bengala le imprime una veloci-
dad inicial de 125 m/s en un àngulo de 55.0° sobre la horizontal. Igno-
re la resistència del aire. Si la bengala se dispara, obtenga su altura
màxima y la distancia del punto de disparo al punto de caída, a) en los
salares pianos de Utah y b) en el Mar de la Tranquilidad en la Luna,
donde g = 1.67 m/s 2 .

3.19. Un pelotero de grandes ligas batea una pelota de modo que sale
del baté con una rapidez de 30.0 m/s y un àngulo de 36.9° sobre la
horizontal. Ignore la resistència del aire. a) ^En cuàles dos instantes
la pelota estuvo a 10.0 m sobre el punto en que se salió del baté?

b) Obtenga las componentes horizontal y vertical de la velocidad de
la pelota en cada uno de los dos instantes calculados en el inciso a).

c) i,Q\xé magnitud y dirección tenia la velocidad de la pelota al regre-
sar al nivel en el que se bateó?

3.20. Un atleta lanza la bala a cierta distancia sobre el suelo plano con
velocidad de 12.0 m/s, 51.0° sobre la horizontal. La bola golpea el
suelo 2.08 s después. Ignore la resistència del aire. a) ^Cuàles son las
componentes de la aceleración de la bala en vuelo? b) ^Cuàles son
las componentes de la velocidad de la bala al principio y el final de su
trayectoria? c) A qué distancia horizontal llego la bala? d) ^Por qué
la expresión para R del ejemplo 3.8 no da la respuesta correcta para
el inciso c)l e) ^A qué altura sobre el suelo se lanzó la bala? j) Dibuje
las gràficas x-t, y-t, v x -t y v y -t para el movimiento.

3.21. Gane el premio. En una feria, se gana una jirafa de peluche
lanzando una moneda a un platito, el cual està sobre una repisa mas
arriba del punto en que la moneda sale de la mano y a una distancia
horizontal de 2.1 m desde ese punto (figura 3.41). Si lanza la moneda
con velocidad de 6.4 m/s, a un àngulo de 60° sobre la horizontal, la
moneda caerà en el platito. Ignore la resistència del aire. a) £A qué al-
tura està la repisa sobre el punto donde se lanza la moneda? b) ^Qué
componente vertical tiene la velocidad de la moneda justo antes de
caer en el platito?

Figura 3.41 Ejercicio 3.21.

2.1 m-

3.22. Suponga que el àngulo inicial a de la figura 3.26 es de 42.0° y
la distancia d es de 3.00 m. ^Dónde se encontraràn el dardo y el mono,
si la rapidez inicial del dardo es a) 12.0 m/s? b) ^8.0 m/s? c) iQué su-
cederà si la rapidez inicial del dardo es de 4.0 m/s? Dibuje la trayec-
toria en cada caso.

3.23. Un hombre està parado en la azotea de un edificio de 15.0 m y
lanza una piedra con velocidad de 30.0 m/s en un àngulo de 33.0° so-
bre la horizontal. Puede despreciarse la resistència del aire. Calcule

100

CAPITULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

a) la altura màxima que alcanza la piedra sobre la azotea; b) la magni-
tud de la velocidad de la piedra justo antes de golpear el suelo; y c) la
distancia horizontal desde la base del edificio hasta el punto donde
la roca golpea el suelo. d) Dibuje las gràficas x-t, y-t, v x -t y v y -t para el
movimiento.

3.24. Los bomberos estan lanzando un chorro de agua a un edificio en
llamas, utilizando una manguera de alta presión que imprime al agua
una rapidez de 25.0 m/s al salir por la boquilla. Una vez que sale de
la manguera, el agua se mueve con movimiento de proyectil. Los
bomberos ajustan el àngulo de elevación a. de la manguera hasta que
el agua tarda 3.00 s en llegar a un edificio que està a 45.0 m de dis-
tancia. Ignore la resistència del aire y suponga que la boquilla de la
manguera està a nivel del suelo. a) Calcule el àngulo de elevación de a.

b) Determine la rapidez y aceleración del agua en el punto màs alto de
su trayectoria. c) ^A qué altura sobre el suelo incide el agua sobre el
edificio, y con qué rapidez lo hace?

3.25. Un globo de 124 kg que lleva una canastilla de 22 kg desciende
con rapidez constante hacia abajo de 20.0 m/s. Una piedra de 1.0 kg
se lanza desde la canastilla con una velocidad inicial de 15.0 m/s
perpendicular a la trayectoria del globo en descenso, medida relativa
a una persona en reposo en la canasta. Esa persona ve que la piedra
choca contra el suelo 6.00 s después de lanzarse. Suponga que el glo-
bo continua su descenso a los 20.0 m/s constantes. a) i,A qué altura
estaba el globo cuando se lanzó la piedra? b) i,Y cuando chocó contra
el suelo? c) En el instante en que la piedra toco el suelo, £a qué dis-
tancia estaba de la canastilla? d) Determine las componentes hori-
zontal y vertical de la velocidad de la piedra justo antes de chocar
contra el suelo, relativas a un observador i) en reposo en la canastilla;
ii) en reposo en el suelo.

3.26. Un canón, situado a 60.0 m de la base de un risco vertical de
25.0 m de altura, dispara un obús de 15 kg con un àngulo de 43.0° so-
bre la horizontal, hacia el risco. íï) <,Qué velocidad inicial mínima debe
tener el obús para librar el borde superior del risco? b) El suelo en la
parte superior del risco es plano, con una altura constante de 25.0 m
sobre el canón. En las condiciones del inciso d), ^a qué distancia del
borde del risco cae el obús?

3.27. Un avión vuela con una velocidad de 90.0 m/s a un àngulo de
23.0° arriba de la horizontal. Cuando està 114 m directamente arriba
de un perro parado en suelo plano, se cae una maleta del comparti-
miento de equipaje. ^,A qué distancia del perro caerà la maleta? Ignore
la resistència del aire.

Figura 3.42 Ejercicios 3.33
y 3.34.

3.32. El radio de la òrbita terrestre alrededor del Sol (suponiendo que
fuera circular) es de 1 .50 X 10 km, y la Tierra la recorre en 365 di'as.

a) Calcule la magnitud de la velocidad orbital de la Tierra en m/s.

b) Calcule la aceleración radial de la Tierra hacia el Sol en m/s 2 .

c) Repita los incisos a) y b) para el movimiento del planeta Mercurio
(radio orbital = 5.79 X 10 7 km, periodo orbital = 88.0 días).

3.33. Una rueda de la fortuna de
14.0 m de radio gira sobre un eje
horizontal en el centro (figura
3.42). La rapidez lineal de un pasa-
jero en el borde es constante e
igual a 7.00 m/s. <,Qué magnitud y
dirección tiene la aceleración del
pasajero al pasar a) por el punto
màs bajo de su movimiento circu-
lar? b) (,Por el punto màs alto de su
movimiento circular? c) ^.Cuànto
tarda una revolución de la rueda?

3.34. La rueda de la figura 3.42,
que gira en sentido antihorario, se
acaba de poner en movimiento. En

un instante dado, un pasajero en el borde de la rueda que està pasando
por el punto màs bajo de su movimiento circular tiene una rapidez de
3.00 m/s, la cual està aumentando a razón de 0.500 m/s 2 , a) Calcule la
magnitud y la dirección de la aceleración del pasajero en este instante.
b) Dibuje la rueda de la fortuna y el pasajero mostrando sus vectores
de velocidad y aceleración.

3.35. Hipergravedad. En el Centro de Investigación Ames de la NA-
SA, se utiliza el enorme centrifugador "20-G"' para probar los efectos de
aceleraciones muy elevadas ( t 'hipergravedad ,? ) sobre los pilotos y los
astronautas. En este dispositivo, un brazo de 8.84 m de largo gira uno de
sus extremos en un plano horizontal, mientras el astronauta se encuentra
sujeto con una banda en el otro extremo. Suponga que el astronauta està
alineado en el brazo con su cabeza del extremo exterior. La aceleración
màxima sostenida a la que los seres humanos se han sometido en esta
màquina comúnmente es de 12.5 g. d) ^Qué tan ràpido debe moverse
la cabeza del astronauta para experimentar esta aceleración màxima?
b) ^Cuàl es la diferencia entre la aceleración de su cabeza y pies, si el
astronauta mide 2.00 m de altura? c) <,Qué tan ràpido, en rpm (rev/min),
gira el brazo para producir la aceleración sostenida màxima?

Sección 3.4 Movimiento en un circulo

3.28. Imagine que, en su primer dia de trabajo para un fabricante
de electrodomésticos, le piden que averigüe qué hacerle al periodo de
rotación de una lavadora para triplicar la aceleración centrípeta, y
usted impresiona a su jefa contestando inmediatamente. (,Qué le
contesta?

3.29. La Tierra tiene 6380 km de radio y gira una vez sobre su eje en
24 h. a) í,Qué aceleración radial tiene un objeto en el ecuador? Dé su
respuesta en m/s 2 y como fracción de g. b) Si a [ad en el ecuador fuera
mayor que g, los objetos saldrían volando hacia el espacio. (Veremos
por qué en el capitulo 5.) ^Cuàl tendría que ser el periodo de rotación
para que esto sucediera?

3.30. Un modelo de rotor de helicóptero tiene cuatro aspas, cada una
de 3.40 m de longitud desde el eje central hasta la punta. El modelo se
gira en un túnel de viento a 550 rpm. d) <,Qué rapidez lineal tiene la
punta del aspa en m/s? b) ^Qué aceleración radial tiene la punta del as-
pa, expresada como un múltiplo de la aceleración debida a la grave-
dad, es decir, gl

3.31. En una prueba de un "traje g", un voluntario se gira en un circulo
horizontal de 7.0 m de radio. <,Con qué periodo de rotación la acelera-
ción centrípeta tiene magnitud de a) 3.0#? b) £l0g?

Sección 3.5 Velocidad relativa

3.36. Un vagón abierto de ferrocarril viaja a la derecha con rapidez
de 13.0 m/s relativa a un observador que està parado en tierra. Alguien
se mueve en motoneta sobre el vagón abierto (figura 3.43). (,Qué ve-
locidad (magnitud y dirección) tiene la motoneta relativa al vagón
abierto si su velocidad relativa al observador en el suelo es a) 18.0 m/s
a la derecha? b) ^3.0 m/s a la izquierda? c) ^Cero?

Figura 3.43 Ejercicio 3.36.

13.0 m/s

Problemas

101

3.37. Una "banda móvil" de un aeropuerto se mueve a 1.0 m/s y tiene
35.0 m de largo. Si una mujer entra en un extremo y camina a 1.5 m/s
relativa a la banda móvil, ^cuànto tardarà en llegar al otro extremo si
camina d) en la misma dirección en que se mueve la banda? b) ^Y en
la dirección opuesta?

3.38. Dos muelles, Ay B, estan situados en un río; B està 1500 m río
abajo de A (figura 3.44). Dos amigos deben ir de A a B y regresar. Uno
rema un bote con rapidez constante de 4.00 km/h relativa al agua;
el otro camina en tierra a 4.00 km/h constantes. La velocidad del río
es 2.80 km/h en la dirección de A a B. ^Cuànto tardarà cada persona
en hacer el viaje redondo?

Figura 3.44 Ejercicio 3.38.

* ¥

-1500m-

+ *

3.39. Una canoa tiene una velocidad de 0.40 m/s al sureste, relativa a
la Tierra. La canoa està en un río que fluye al este a 0.50 m/s relativa
a la Tierra. Calcule la velocidad (magnitud y dirección) de la canoa
relativa al río.

3.40. Un piloto desea volar al oeste. Un viento de 80.0 km/h (aprox.
50 mi/h) sopla al sur. a) Si la rapidez (en aire estacionario) del avión es
de 320.0 km/h (aprox. 200 mi/h), ^qué rumbo debe tomar el piloto?
b) ^Cuàl es la rapidez del avión sobre el suelo? llustre con un diagrama
vectorial.

3.41. Cruce del río I. Un río fluye al sur con rapidez de 2.0 m/s. Un
hombre cruza el río en una lancha de motor con velocidad relativa al
agua de 4.2 m/s al este. El río tiene 800 m de ancho. d) i,Qué velocidad
(magnitud y dirección) tiene la lancha relativa a la Tierra? b) ^Cuànto
tiempo tarda en cruzar el río? c) ^,A que distancia al sur de su punto
de partida llegarà a la otra orilla?

3.42. Cruce del río II. a) i,Qué dirección debería tomar la lancha
del ejercicio 3.41, para llegar a un punto en la orilla opuesta directa-
mente al este de su punto de partida? (La rapidez de la lancha relativa
al agua sigue siendo 4.2 m/s.) b) ^.Qué velocidad tendría la lancha rela-
tiva a la Tierra? c) ^Cuànto tardaria en cruzar el río?

3.43. La nariz de un avión ultraligero apunta al sur, y el velocímetro
indica 35 m/s. Hay un viento de 10 m/s que sopla al suroeste relativo a
la Tierra. a) Dibuje un diagrama de suma vectorial que muestre la rela-
ción de v P > E (velocidad del avión relativa a la Tierra) con los dos vecto-
res dados. b) Si x es al este y y al norte, obtenga las componentes de
v P i E . c) Obtenga la magnitud y dirección de v P i E .

Problemas

3.44. Un cohete de modelo defectuoso se mueve en el plano xy (la
dirección +y es vertical hacia arriba). La aceleración del cohete
tiene componentes dadas por ajj) = al 2 y a v (t) = B — yt, donde
a = 2.50 m/s 4 , B = 9.00 m/s 2 y y = 1.40 m/s 3 . En t = el cohe-
te està en el origen y tiene velocidad inicial v i} = v üx i + Vq } .] con
Do* = 1.00 m/s y u 0v = 7.00 m/s. d) Calcule los vectores de velocidad
y posición en función del tiempo. b) i,Qué altura màxima alcanza el

cohete? c) Dibuje el camino que sigue el cohete. d) &Qüé desplaza-
miento horizontal tiene el cohete al volver ay = 01

3.45. Se realiza un lanzamiento en àngulo de un cohete desde la par-
te superior de una torre, cuya altura es h = 50.0 m. A causa del diseno
de los motores, sus coordenadas de posición tienen la forma x(t) =
A + Bt y y(t) = C + Dt 3 , donde A, B, C y D son constantes. Ade-
màs, la aceleración del cohete 1.00 s después del lanzamiento es
a = (4.00? + 3.00/) m/s 2 . Considere que la base de la torre es el
origen de las coordenadas. a) Determine las constantes A, B, C y D, in-
cluyendo sus unidades en el SI. b) En el instante posterior al lanzamien-
to del cohete, ^cuàles son sus vectores de aceleración y velocidad?
c) ^Cuàles son las componentes x y y de la velocidad del cohete 10.0 s
después del lanzamiento, y que tan ràpido se mueve el cohete? d) ^Cuàl
es el vector de posición del cohete 10.0 s después del lanzamiento?

3.46. Un ave vuela en el plano xy con un vector de velocidad dado
por v = (a — Bt)ï + yt], donde a = 2.4 m/s, B = 1.6 m/s 3 y
y = 4.0 m/s 2 . La dirección +y es vertical hacia arriba. En t = 0, el ave
està en el origen, d) Calcule los vectores de posición y aceleración del
ave en función del tiempo. b) i,Qué altura (coordenada y) tiene el ave
al volar sobre x = por primera vez después de t = 0?

3.47. Un cohete de prueba se

lanza aceleràndolo a 1.25 m/s 2 Fi S ura ï45 Problema 3.47.
por un plano inclinado de
200.0 m, partiendo del reposo en
el punto A (figura 3.45). El pla-
no inclinado se eleva a 35.0° por
encima de la horizontal, y en el
instante en que el cohete sale del
plano, sus motores se apagan y
queda sujeto solamente a la gravedad (se puede ignorar la resistència del
aire). Determine d) la altura màxima sobre el suelo a la que llega el co-
hete, y b) el alcance màximo horizontal del cohete màs allà del punto A.

3.48. Atletismo en Marte. En el salto de longitud, una atleta se lan-
za en àngulo por encima del suelo y cae a la misma altura, tratando de
alcanzar la màxima distancia horizontal. Suponga que en la Tierra, ella
se encuentra en el aire durante un tiempo T, alcanza una altura màxima
h y una distancia horizontal D. Si ella saltarà exactamente de la misma
forma durante una competència en Marte, donde g MarIe es 0.379 del va-
lor de g en la Tierra, determine su tiempo en el aire, su altura màxima y
la distancia horizontal alcanzada. Exprese cada una de estàs tres canti-
dades en términos de su valor en la Tierra. Ignore la resistència del aire
en ambos planetas.

3.49. ;Dinamita! Una cuadrilla de demolición usa dinamita para de-
rribar un edificio viejo. Los fragmentos del edificio salen disparados en
todas direcciones, y después se encuentran a distancias de hasta 50 m
de la explosión. Estime la rapidez màxima con que salieron disparados
los fragmentos. Describa todas las suposiciones que haga.

3.50. Espiral ascendente. Es común ver a las aves de presa ascen-
der en comentes calientes de aire, por lo general describiendo una tra-
yectoria espiral. Se puede modelar un movimiento espiral como
movimiento circular uniforme combinado con una velocidad constante
hacia arriba. Suponga que un ave describe un circulo completo con ra-
dio de 8.00 m cada 5.00 s y asciende verticalmente a razón de 3.00 m/s.
Determine lo siguiente: d) la rapidez del ave relativa al suelo; b) la
aceleración del ave (magnitud y dirección); y c) el àngulo entre el vec-
tor de velocidad del ave y la horizontal.

3.51. Un veterinario de la selva provisto de una cerbatana cargada con
un dardo sedante y un mono astuto de 1.5 kg estan a 25 m arriba del
suelo en àrboles separados 90 m. En el momento justo en que el veteri-
nario dispara el dardo horizontalmente al mono, éste se deja caer del
àrbol en un vano intento por escapar del dardo. ^Qué velocidad de sali-
da mínima debe tener el dardo para golpear al mono antes de que éste
llegue al suelo?

3.52. Una doble de cine se deja caer desde un helicóptero que està
a 30.0 m sobre el suelo y se mueve con velocidad constante, cuyas

102

CAPITULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

componentes son de 10.0 m/s hacia arriba y 15.0 m/s horizontal hacia
el sur. Ignore la resistència del aire. a) En qué punto del suelo (relativo
a la posición del helicóptero cuando se suelta) deberà haber colocado
ella los colchones que amortiguan el golpe? b) Dibuje gràficas x-t, y-t,
V x -t y Vy-t para su movimiento.

3.53. Al combatir los incendios forestales, los aviones apoyan a los
equipos terrestres dejando caer agua sobre el fuego. Un piloto practica
tirando un bote con tinte rojo, tratando de atinarle a un blanco en el
suelo. Si el avión vuela horizontalmente a 90.0 m de altura con rapidez
de 64.0 m/s (143 mi/h), ^,a qué distancia horizontal del blanco el pilo-
to debería soltar el bote? Ignore la resistència del aire.

3.54. Conforme un barco se acerca al muelle a 45.0 cm/s, es necesario
lanzar hacia el barco una pieza importante para que pueda atracar. El
equipo se lanza a 15.0 m/s a 60.0° por encima de la horizontal desde lo
alto de una torre en la orilla del agua, 8.75 m por encima de la cubierta
del barco (figura 3.46). Para que el equipo caiga justo enfrente del bar-
co, £a qué distancia D del muelle debería estar el barco cuando se lan-
ce el equipo? Se desprecia la resistència del aire.

Figura 3.46 Problema 3.54.

15.0 m/s

45.0 cm/s

3.55. El jonrón mas largo. Según el Libro de rècords Guiness, el
jonrón mas largo que se ha medido fue bateado por Roy "Dizzy"
Carlyle en un juego de ligas menores. La pelota viajó 188 m (618 ft)
antes de caer al suelo fuera del parque. a) Suponiendo que la velocidad
inicial de la pelota estuviera a 45° sobre la horizontal e ignorando la
resistència del aire, ^ciiàl debió ser la rapidez inicial de la pelota si se
golpeó en un punto a 0.9 m (3.0 ft) sobre el suelo? Suponga que el sue-
lo es perfectamente plano, b) ^A qué altura habría pasado la bola sobre
una barda de 3.0 m (10 ft) situada a 1 16 m (380 ft) de home!

3.56. Se utiliza una manguera para llenar de agua un contenedor cilín-
drico grande de diametro D y altura 2D. La manguera lanza el agua a
45° sobre la horizontal, desde el mismo nivel que la base del tanque, y
està a una distancia de 6D (figura 3.47) de éste. ^Para qué intervalo de
rapideces de lanzamiento (l> ) el agua entrarà en el contenedor? Ignore
la resistència el aire, y exprese su respuesta en términos de D y de g.

Figura 3.47 Problema 3.56.

Agua

2 D

-6D-

->r<rD>\

3.57. Se lanza un proyectil desde el nivel del suelo sin que haya resis-
tència del aire. Usted quiere evitar que el proyectil entre en una capa de
inversión de temperatura en la atmosfera a una altura h por encima del

suelo. a) ^Cuàl es la màxima rapidez de lanzamiento que se podria im-
primir al proyectil si se lanza en línea recta hacia arriba? Exprese su res-
puesta en términos de h y g. b) Suponga que el lanzador disponible
dispara los proyectiles, al doble de la rapidez màxima de lanzamiento
que usted determino en el inciso a). ^A qué àngulo màximo por encima
de la horizontal debería lanzarse el proyectil? c) ^A qué distancia (en
términos de h) desde el lanzador cae al suelo el proyectil en el inciso b)l
3.58. Pateando un gol de campo. En futbol americano, después de
anotar un touchdown, el equipo tiene la oportunidad de ganar un punto
màs pateando el balón por encima de una barra sostenida entre dos
postes. La barra està colocada en posición horizontal a 10.0 ft por en-
cima del suelo, y el balón se patea desde nivel del suelo a una dis-
tancia horizontal de 36.0 ft con respecto a la barra (figura 3.48). Las
reglas del futbol se indican en unidades inglesas però, para este pro-
blema, realice la conversión a unidades del SI. a) Hay un àngulo míni-
mo por encima del suelo, de tal forma que si el balón se lanza por
debajo de este àngulo, jamàs podrà saltar por encima de la barra, sin
importar la rapidez que le imprima la patada. ^Cuàl es ese àngulo?
b) Si el balón se patea a 45.0° por encima de la horizontal, ^cuàl debe
ser su rapidez inicial para apenas alcanzar a librar la barra? Exprese
su respuesta en m/s y km/h.

Figura 3.48 Problema 3.58.

j^

"T"

10.0 ft

i

-36.0 ft -

3.59. Se lanza un proyectil con rapidez ü y àngulo a Q sobre la hori-
zontal desde una altura h sobre el suelo. a) Demuestre que, si no se
considera la resistència del aire, la distancia horizontal que recorre el
proyectil antes de tocar el suelo es

l> coso:
S

(v

sena 1} +

V7

sen 2 a + 2gh)

Verifique que, si el punto de lanzamiento està en el suelo (h = 0), esto
es igual al alcance horizontal R obtenido en el ejemplo 3.8. b) Con
v = 10 m/s y h — 5.0 m, grafique .\' en función del àngulo de lanza-
miento a para valores de a desde 0° hasta 90°. La gràfica deberà
mostrar que x es cero si a Q = 90°, però x no es cero si a = 0. Expli-
que esto. c) Vimos en el ejemplo 3.10 que, para un proyectil que cae
a la misma altura de la que se lanzó, el alcance horizontal es màximo
con a = 45°. Para el caso graficado en el inciso b), £el àngulo que
produce la distancia horizontal màxima es igual, menor o mayor
que 45°? (Este es un resultado general para el caso en que un proyec-
til se lanza de un punto màs alto que en el que cae.)
3.60. ;Cuidado! Una bola de nie-
ve rueda del techo de un granero
con inclinación hacia abajo de 40°
(figura 3.49). El borde del techo es-
tà a 14.0 m del suelo y la bola tiene
una rapidez de 7.00 m/s al salir del
techo. Puede despreciarse la resis-
tència del aire. a) ( ',A qué distancia
del borde del granero golpea la bola
el piso si no golpea otra cosa al
caer? b) Dibuje las gràficas x-t, y-t,
v^-t y Vy-t para el movimiento del
inciso a). c) Un hombre de 1.9 m de
estatura està parado a 4.0 m del gra-
nero. ^Lo golpearà la bola?

Figura 3.49 Problema 3.60.

7.00 m/s

4.0 m

Problemas

103

Figura 3.50 Problema 3.62.

53-

8.2 r

6 m a la red

3.61. a) Demuestre que un proyectil lanzado con àngulo a Q tiene el
mismo alcance horizontal que uno lanzado con la misma rapidez però
con àngulo (90° — a Q ). b) Una rana salta con rapidez de 2.2 m/s y cae
a 25 cm de donde salto. i,Con que àngulos con respecto a la horizontal

3.62. En el trapecio volador. Un
nuevo acto circense se llama los Ma-
romeros del Norte. La hermosa
Maribel se columpia de un trapecio
y se proyecta con un àngulo de 53°.
José Roberto, cuyas manos estan
6.1 m arriba y 8.2 m adelante del
punto de lanzamiento (figura 3.50),
debe atraparia. Puede despreciarse
la resistència del aire. a) i, Que velo-
cidad inicial v Q debe tener Maribel
para justo alcanzar a José Roberto?

b) Para la rapidez inicial calculada
en el inciso a), (,qué magnitud y di-
rección tiene la velocidad de Maribel cuando alcanza a José Roberto?

c) Suponiendo que Maribel tiene la rapidez inicial calculada en el inci-
so d), dibuje las gràficas x-t, y-t, V x -i y V y -t que muestren el movimien-
to de los dos trapecistas. Las gràficas deberàn mostrar el movimiento
hasta el momento en que Maribel llega a José Roberto. d) La noche del
debut, José Roberto no atrapa a Maribel. i,Qué distancia horizontal
recorre ella, desde su punto de lanzamiento, antes de caer en la red
que està 8.6 m debajo de dicho punto?

3.63. Salto del río II. Un profesor de física hacía acrobacias auda-
ces en su tiempo libre. Su última acrobàcia fue un intento por saltar un
río en motocicleta (figura 3.5 1 ). La rampa de despegue està inclinada a
53.0°, el río tiene 40.0 m de ancho y la ribera lejana està a 15.0 m bajo
el tope de la rampa. El río està a 100 m abajo de la rampa. Puede des-
preciarse la resistència del aire. a) i,Qué rapidez se necesita en el tope
de la rampa para alcanzar apenas el borde de la ribera lejana? b) Si su
rapidez era solo la mitad del valor obtenido en a), ,;,dónde cayó?

c) (,Qué distancia avanza el carro mientras el cohete està en el aire?

d) i,Con qué àngulo, relativo a la horizontal y medido por un observa-
dor en reposo en el suelo, viaja el cohete en el momento en que sale
disparado? e) Dibuje la trayectoria del cohete vista por un observador:
i) estacionario en el carro; ii) estacionario en el suelo.

3.66. Se lanza una pelota de 2.7 kg verticalmente hacia arriba con una
rapidez inicial de 20.0 m/s desde el borde de un acantilado de 45.0 m
de altura. En el instante de lanzamiento, una mujer comienza a córrer
alejàndose de la base del acantilado con rapidez constante de 6.00 m/s.
La mujer corre en línea recta sobre suelo plano, y puede despreciarse
la acción de la resistència del aire sobre la pelota. a) <,Con qué àngulo
arriba de la horizontal deberà lanzarse la pelota para que la corredora
la atrape justo antes de que toque el suelo, y qué distancia corre la mu-
jer antes de atrapar la pelota? b) Dibuje con precisión la trayectoria de
la pelota vista por: i) una persona en reposo en el suelo; ii) la corredora.

3.67. Un penasco de 76.0 kg està rodando horizontalmente hacia el
borde de un acantilado que està 20 m arriba de la superfície de un lago,
como se indica en la figura 3.52. La parte superior de la cara vertical
de una presa està a 100 m del pie del acantilado, al nivel de la superfí-
cie del lago. Hay una llanura 25 m debajo del tope de la presa, d) ^Qué
rapidez mínima debe tener la roca al perder contacto con el acantilado
para llegar hasta la llanura sin golpear la presa? b) ^A qué distancia del
pie de la presa caerà la roca en la llanura?

Figura 3.52 Problema 3.67.

100 i

Lago

Presa

t

25 m

Figura 3.51 Problema 3.63.

15.0 m

40.0 m -

3.64. Se lanza una piedra de la azotea de un edificio con rapidez v y
àngulo a Q con respecto a la horizontal. La altura del edificio es h. Pue-
de despreciarse la resistència del aire. Calcule la magnitud de la velo-
cidad de la piedra junto antes de tocar el suelo, y demuestre que es
independiente de a .

3.65. Un caiTO de 5500 kg que lleva un lanzador vertical de cohetes
avanza a la derecha con rapidez constante de 30.0 m/s por una via ho-
rizontal. Lanza un cohete de 45.0 kg verticalmente hacia arriba con
una rapidez inicial de 40.0 m/s relativa al carro, a) i, Qué altura alcan-
zarà el cohete? b) ^A qué distancia del carro caerà el cohete a tierra?

3.68. Lanzamiento de almuerzo. Enriqueta va a su clase de física,
trotando por la acera a 3.05 m/s. Su esposo Bruno se da cuenta de que
ella salió con tanta prisa que olvidó su almuerzo, así que corre a la ven-
tana de su departamento, que està 43.9 m directamente arriba de la
acera, para lanzàrselo. Bruno lanza el almuerzo horizontalmente 9.00 s
después de que Enriqueta ha pasado debajo de la ventana, y ella lo
atrapa corriendo. Ignore la resistència del aire. a) í,Con qué rapidez
inicial debe haber lanzado Bruno el almuerzo para que Enriqueta lo
atrape justo antes de tocar la acera? b) ^,Dónde està ella cuando atrapa
el almuerzo?

3.69. Dos tanques participan en un ejercicio de maniobras en terreno
plano. El primera lanza una bala de pràctica cargada con pintura, con
rapidez de salida de 250 m/s a 10.0° sobre la horizontal, mientras
avanza hacia el segundo tanque con una rapidez de 15.0 m/s relativa al
suelo. El segundo tanque va en retirada a 35.0 m/s relativa al suelo, pe-
rò es alcanzado por la bala. Ignore la resistència del aire y suponga que
la bala golpea al tanque a la misma altura desde la que fue disparada.
Calcule la distancia entre los tanques a) cuando se disparo la bala y
b) en el momento del impacto.

3.70. ;Bang! Un estudiante està sentado en una plataforma a una al-
tura h sobre el suelo. Lanza un petardo horizontalmente con una rapi-
dez v. Sin embargo, un viento que sopla paralelo al suelo imprime al
petardo una aceleración horizontal constante de magnitud a. El resulta-
do es que el petardo cae al suelo directamente abajo del estudiante. De-
termine la altura h en términos de v, a y g. Ignore el efecto de la
resistència del aire sobre el movimiento vertical.

104

CAPITULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

3.71. Un cohete se lanza verticalmente partiendo del reposo con una
aceleración constante hacia arriba de 1.75 m/s 2 . De repente, 22.0 s des-
pués del lanzamiento, del cohete debe desprenderse un tanque de com-
bustible innecesario. Un miembro de la tripulación mide la rapidez
inicial del tanque en 25.0 m/s e indica que éste se mueve en forma per-
pendicular a la trayectoria del cohete. El tanque de combustible no su-
fre resistència del aire y solo experimenta la fuerza de gravedad una
vez que abandona el cohete. d) <;,Con qué rapidez se desplaza el cohete
en el instante en que el tanque de combustible se desprende? b) (,Cuà-
les son las componentes horizontal y vertical de la velocidad del tan-
que de combustible justo en el momento del desprendimiento, de
acuerdo con las mediciones que realiza i) un miembro de la tripulación
y ii) un técnico ubicado en tierra? c) ^A qué àngulo con respecto a la
horizontal se mueve inicialmente el tanque de combustible que se des-
prende, de acuerdo con las mediciones de i) un miembro de la tripula-
ción y ii) un técnico ubicado en tierra? d) ^Cuàl es la altura màxima
por encima de la plataforma de lanzamiento que alcanza el tanque que
se desprende?

3.72. Cuando se encuentra a 145 m por encima del suelo, un cohete,
que viaja verticalmente hacia arriba a una rapidez constante de 8.50 m/s
relativa al suelo, lanza un segundo cohete con una rapidez de 12.0
m/s a un àngulo de 53.0° por encima de la horizontal; ambas cantida-
des son medidas por un astronauta que va sentado en el interior del co-
hete. La resistència del aire es muy insignificante como para tomarse
en cuenta. a) En el momento en que se lanza el segundo cohete, £cuà-
les son las componentes horizontal y vertical de su velocidad relativa a
i) el astronauta que va sentado dentro del cohete y ii) la estación de
control de la misión ubicada en tierra? b) Determine la rapidez inicial
y el àngulo de lanzamiento del segundo cohete de acuerdo con las me-
diciones del centro de control, c) ^Cuàl es la altura màxima por encima
del suelo que alcanza el segundo cohete?

3.73. En una celebración del 4 de julio, se lanza un petardo desde nivel
del suelo con una velocidad inicial de 25.0 m/s a 30.0° con respecto a
la vertical. Cuando alcanza su altura màxima, estalla en muchos frag-
mentos lanzando una ràfaga de chispas. Dos de esos fragmentos viajan
hacia delante inicialmente a 20.0 m/s a ±53.0° con respecto a la hori-
zontal; ambas cantidades se miden relativas al petardo original justo
antes de que estàlle. i,Con qué àngulo con respecto a la horizontal se
mueven inicialmente los dos fragmentos justo después del estallido,
según las mediciones de un espectador ubicado en el suelo?

3.74. En una película de aventuras, el héroe debe lanzar una granada
desde su auto, que viaja a 90.0 km/h, al de su enemigo, que viaja a 1 10
km/h. El auto del enemigo està 15.8 m adelante del auto del héroe
cuando éste suelta la granada. Si la velocidad inicial de la granada rela-
tiva al héroe està a 45° sobre la horizontal, ^qué magnitud de velocidad
inicial deberà tener? Ambos autos viajan en la misma dirección en un
camino plano, y puede despreciarse la resistència del aire. Obtenga la
magnitud de la velocidad relativa tanto al héroe como al suelo.

3.75. Una piedra atada a una cuerda se mueve en el plano xy; sus coor-
denadas en función del tiempo son

x(t) = fícoswí y(t) = Rsentot

donde R y oj son constantes. à) Demuestre que la distancia de la pie-
dra al origen es constante e igual a R, es decir, que su trayectoria es un
circulo de radio R. b) Demuestre que la velocidad de la piedra siempre
es perpendicular a su vector de posición. c) Demuestre que la acelera-
ción de la piedra siempre es opuesta en dirección al vector de posición
y tiene magnitud w 2 R. d) Demuestre que la magnitud de la velocidad
de la piedra es constante e igual a coR. e) Combine los resultados de
c) y d) para demostrar que la aceleración de la piedra tiene magnitud
constante v 2 /R.

3.76. Un río de 400.0 m de ancho fluye de oeste a este a 30.0 m/min.
La lancha donde usted viaja se mueve a 100.0 m/min relativa al agua,
sin importar la dirección en que apunte. Para cruzar el río, usted parte
de un muelle en el punto A en la ribera sur. Hay una lancha que llega a

tierra directamente en el sentido opuesto, en el punto B de la ribera
norte, y también una que llega al punto C, 75.0 m corriente abajo des-
de B (figura 3.53). d) ^A qué punto de la ribera norte llegaria usted a
tierra, si su lancha apuntarà perpendicularmente a la corriente del agua, y
qué distancia viajarfa? b) Si usted dirige inicialmente su lancha justo ha-
cia el punto C y no cambiara ese rumbo en relación con la orilla, (,a qué
punto de la ribera norte llegaria? c) Para llegar al punto C: i) i,con
qué rumbo debería dirigir su bote?, ii) ^cuànto tiempo tardaria en cru-
zar el río?, iii) (,qué distancia viajaría?, y iv) ^cuàl seria la rapidez de su
lancha según la medición de un observador situado en la ribera del río?

Figura 3.53 Problema 3.76.

30.0 m/min

3.77. Cicloide. Una partícula se mueve en el plano xy. Sus coordena-
das estan dadas en función del tiempo por

x(t) = R(u)t - senajr) y(t) = R(\ — coscot)

donde R y o) son constantes. a) Dibuje la trayectoria de la partícula. (Es
la trayectoria de un punto en el borde de una rueda que rueda con rapi-
dez constante sobre una superfície horizontal. La curva descrita por el
punto en el espacio se llama cicloide.) b) Determine las componentes
de velocidad y de aceleración de la partícula en cualquier instante f.
c) ^,En qué instantes la partícula està momentàneamente en reposo?
í,Qué coordenadas tiene la partícula en esos instantes? i,Qué magnitud
y dirección tiene la aceleración en esos instantes? d) £La magnitud de
la aceleración depende del tiempo? Compare este movimiento con el
movimiento circular uniforme.

3.78. Un proyectil se dispara desde el punto A con un àngulo por enci-
ma de la horizontal. En su punto màs alto, después de haber viajado
una distancia horizontal D a partir de su punto de lanzamiento, explota
súbitamente en dos fragmentos idénticos que viajan horizontalmente
con velocidades iguales, però en sentido opuesto, según las medicio-
nes relativas al proyectil justo antes de que explote. Si un fragmento
cae de regreso en el punto A, £a qué distancia de A (en términos de D)
caerà el otro fragmento?

3.79. Centrifugador en Mercurio. Un centrifugador-laboratorio en
la Tierra efectua n rpm (rev/min) y produce una aceleración de 5.00g
en su extremo externo. a) ^Cuàl es la aceleración (en g) en un punto a
mitad del camino hacia el extremo externo? b) Ahora se utiliza esta
centrifugadora en una càpsula espacial en el planeta Mercurio, donde
^Mercurio es 0- 378 del valor de g en la Tierra. ^Cuàntas rpm (en términos
de n) producirían 5g Mercurio en su extremo externo?

3.80. Gotas de llu via. Cuando la velocidad de un tren es de 12.0
m/s al este, las gotas de lluvia que caen verticalmente con respecto a la
Tierra dejan huellas inclinadas 30.0° con respecto a la vertical en las
ventanillas del tren. a) <,Qué componente horizontal tiene la velocidad
de una gota con respecto a la Tierra? £Y con respecto al tren? b) i,Qué
magnitud tiene la velocidad de la gota con respecto a la Tierra? £Y con
respecto al tren?

3.81. Una piloto de avión fija un curso al oeste según la brújula y man-
tiene una rapidez con respecto al aire de 220 km/h. Después de volar
0.500 h, ella està sobre una ciudad 120 km al oeste y 20 km al sur de su
punto de partida, a) Calcule la velocidad del viento (magnitud y direc-
ción). b) Si dicha velocidad es de 40 km/h al sur, (,qué curso debe fijar
la piloto para viajar al oeste? La rapidez con respecto al aire es la mis-
ma de 220 km/h.

Problemas de desafio

105

3.82. Un elevador sube con rapidez constante de 2.50 m/s. En el techo
del elevador, 3.00 m arriba del piso, un perno se afloja y cae. a) ^Cuan-
to tarda en llegar al piso del elevador? ^Qué rapidez tiene el perno
justo antes de tocar el piso b) según un observador en el elevador?

c) iY según un observador parado en uno de los pisos del edificio?

d) Según el observador del inciso c), <;,qué distancia recorrió el perno
entre el techo y el piso del elevador?

3.83. Suponga que el elevador del problema 3.82 parte del reposo y
mantiene una aceleración constante hacia arriba de 4.00 m/s 2 , y que el
perno se cae justo en el instante en que el elevador comienza a mover-
se. d) ^Cuànto tiempo tarda el perno en tocar el piso del elevador?
b) Justo cuando toca el piso, ^qué tan ràpido se mueve el perno de
acuerdo con un observador i) en el elevador, ii) situado en un piso del
edificio? c) De acuerdo con cada observador del inciso b), iqué distan-
cia recorre el perno entre el techo y el piso del elevador?

3.84. La ciudad A se ubica directamente al oeste de la ciudad B. Cuan-
do no hay viento, un avión realiza el viaje redondo de 5550 km entre
ambas ciudades en 6.60 h, volando con la misma rapidez en ambas di-
recciones. Cuando un viento fuerte y constante de 225 km/h sopla de
oeste a este y el avión viaja con la misma rapidez que antes, ^cuànto
tardarà el vuelo?

3.85. En un partido durante la Copa Mundial de futbol, Juan corre al
norte hacia la porteria con una rapidez de 8.00 m/s relativa al suelo.
Un compahero le pasa el balón, el cual tiene una rapidez de 12.0 m/s y
se mueve en una dirección 37.0° al este del norte, relativa al suelo.
i Qué magnitud y dirección tiene la velocidad del balón relativa a
Juan?

Problemas de desafio

3.86. Un hombre sobre un vagón abierto de ferrocarril que viaja con
rapidez constante de 9.10 m/s (figura 3.54) quiere lanzar una pelota a
través de un aro estacionario a 4.90 m sobre la altura de la mano, de
modo que la bola se mueva horizontalmente al pasar por el aro. El
hombre lanza la bola con una rapidez de 10.8 m/s con respecto a sí
mismo. d) <;,Qué componente vertical debe tener la velocidad inicial de
la bola? b) ^Cuàntos segundos después del lanzamiento la bola atrave-
sarà el aro? c) ^A que distancia horizontal del aro se deberà soltar la
bola? d) Cuando la pelota sale de la mano del hombre, (,qué dirección
tiene su velocidad relativa al marco de referència del vagón? ^Y relati-
va al marco de referència de un observador parado en el suelo?

Figura 3.54 Problema de desafio 3.!

— r*

7

4.90 m

3.87. Una escopeta dispara muchos perdigones hacia arriba. Algunos
viajan casi verticalmente, però otros se desvían hasta 1.0° de la verti-
cal. Suponga que la rapidez inicial de todos los perdigones es unifor-
me de 150 m/s e ignore la resistència del aire. d) i,En qué radio del punto
de disparo caeràn los perdigones? b) Si hay 1000 perdigones y se dis-
tribuyen uniformemente en un circulo del radio calculado en el inciso
d), (,qué probabilidad hay de que al menos un perdigón caiga en la ca-
beza de quien disparo ? (Suponga que la cabeza tiene 10 cm de radio.)

Figura 3.55 Problema de
desafio 3.89.

c) En realidad, la resistència del aire tiene varios efectos: frena los
perdigones al subir, reduce la componente horizontal de su velocidad
y limita la rapidez con que caen. ^Cuàl efecto tenderà a hacer el ra-
dio mayor que el calculado en a), y cual tenderà a reducirlo? <,Qué
efecto global cree que tendra la resistència? (Su efecto sobre una com-
ponente de velocidad se incrementa al aumentar la magnitud de la
componente.)

3.88. Un proyectil se lanza desde un punto P. Su movimiento es tal
que su distancia respecto a P siempre aumenta. Determine el àngulo
màximo arriba de la horizontal con que pudo haberse lanzado. Ignore
la resistència del aire.

3.89. Movimiento de proyectil en
una pendiente I. Una pelota de
beisbol recibe una velocidad ini-
cial de magnitud v a un àngulo <f>
sobre la superfície de una rampa
que, a la vez, està inclinada \$ gra-
dos sobre la horizontal (figura
3.55). a) Calcule la distancia sobre
la rampa desde el punto de lanza-
miento hasta donde el objeto gol-

pea la rampa. Responda en términos de v Q , g, 6 y 4>. b) i,Q\xé àngulo 4>
da el alcance màximo sobre la rampa? (Nota: tal vez le interesen los
tres métodos de resolución presentados por I. R. Lapidus en Amer.
Jour. ofPhys., vol. 51 (1983), pp. 806 y 847. Véase también H. A.
Buckmaster, Amer. Jour. ofPhys., vol. 53 (1985), pp. 638-641, donde
se estudian a fondo este problema y otros similares.)

3.90. Movimiento de proyectil en una pendiente II. Remítase al
problema de desafio 3.89. a) Un arquero parado en un terreno con in-
clinación ascendente constante de 30.0° apunta hacia un blanco situado
60.0 m mas arriba del plano. La flecha en el arco y el centro del blanco
estan ambos a 1.50 m sobre el suelo. Justo al salir del arco, la rapidez
inicial de la flecha es de 32.0 m/s. i,Con qué àngulo sobre la horizontal
debe apuntar el arquero para dar en el blanco? Si hay dos àngulos,
calcule el menor. Tal vez necesite resolver la ecuación del àngulo por
iteración, es decir, ensayo y error. Compare el àngulo con el que se
necesita cuando el suelo està horizontal. b) Repita con una pendiente
constante hacia abajo de 30.0°.

3.91. Sin motivo aparente, un poodle (caniche) està corriendo con ra-
pidez constante de V = 5.00 m/s en un circulo con radio R = 2.50 m.
Sea v ít el vector de velocidad en t u y v 2 en t 2 . Considere
Av = v 2 — V-\ y Ai = t 2 — f[. Recuerde que a med = Avjàt. Para
Af = 0.5 s, 0.1 s y 0.05 s, calcule la magnitud (con cuatro cifras signi-
ficativas) y la dirección (relativa a ï?,) de la aceleración media a med .
Compare su resultado con la expresión general para la aceleración a
instantànea en movimiento circular uniforme deducida en el texto.

3.92. Un cohete disehado para colocar cargas pequenas en òrbita se
lleva hasta una altitud de 12.0 km sobre el ni vel del mar, montado en
un avión comercial convertido. Cuando el avión està volando en línea
recta, con rapidez constante de 850 km/h, deja caer el cohete. Des-
pués, el avión mantiene la misma altitud y rapidez, y sigue volando en
línea recta. El cohete cae durante un lapso corto, después del cual se
enciende el motor. A partir de ese momento, los efectos combinados
del empuje y la gravedad imparten al cohete una aceleración constan-
te de magnitud 3.00g dirigida con un àngulo de 30.0° arriba de la hori-
zontal. Por motivos de seguridad, el cohete deberà estar por lo menos
a 1.00 km adelante del avión cuando vuelva a alcanzar la altitud de
éste. Hay que determinar el tiempo mínimo que el cohete debe caer
antes de que su motor se encienda. Se puede ignorar la resistència del
aire. La respuesta debe induir i) un diagrama que muestre las trayec-
torias de vuelo del cohete y del avión, rotuladas en varios puntos con
vectores que representen su velocidad y su aceleración; ii) una gràfica
x-t que muestre los movimientos del cohete y del avión; y iii) una
gràfica y-t que muestre los movimientos del cohete y del avión. En el

106

CAPITULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones

diagrama y las gràficas, indique los momentos cuando el cohete se de-
ja caer, el motor del cohete se enciende y el cohete en ascenso alcanza
la altura del avión.

3.93. Dos estudiantes pasean en canoa por un río. Yendo río arriba, de-
jan caer accidentalmente una botella vacía al agua, después de lo cual
reman durante 60 minutos hasta llegar a un punto a 2.0 km río arriba.
En ese momento, se dan cuenta de que la botella no està y, preocupa-

dos por la ecologia, se dan vuelta y reman río abajo. Alcanzan la bote-
lla (que se ha estado moviendo con la corriente) 5.0 km río abajo del
punto donde se dieron la vuelta, y la recogen. a) Suponiendo un es-
fuerzo de paleo constante todo el tiempo, ^con qué rapidez fluye el río?
b) <,Qué rapidez tendría la canoa en un lago tranquilo con el mismo
esfuerzo de paleo?

LEYES DEL MOVIMIENTO

DE NEWTON

E

i El nino que està
de pie empuja al nino
que està sentado en
el columpio. tEI nino
atràs? Si acaso,
iempuja con la misma
o con una cantidad
diferente?

n los dos últimos capítulos vimos cómo describir el movimiento en una, dos o
tres dimensiones. Sin embargo, ^cuàles son las causas del movimiento? Por
f ejemplo, ^cómo puede un remolcador empujar un trasatlàntico que es mucho
mas pesado que él? ^Por qué es mas difícil controlar un automóvil en hielo mojado
que en concreto seco? Las respuestas a estàs preguntas y a otras similares nos llevan
al tema de la dinàmica, es decir, la relación entre el movimiento y las fuerzas que lo
causan. En los dos capítulos anteriores estudiamos la cinemàtica, el lenguaje para
describir el movimiento. Ahora estamos en condiciones de pensar en lo que hace que
los cuerpos se muevan como lo hacen.

En este capitulo usaremos dos conceptes nuevos, la fuerza y la masa, para analizar
los principios de la dinàmica, los cuales estan establecidos en solo tres leyes que fue-
ron claramente enunciadas por Sir Isaac Newton (1642-1727), quien las publico, por
primera vez, en 1687 en su Philosophiae Naturalis Principia Malhematica ("Princi-
pios matemàticos de la filosofia natural"). Tales enunciados se conocen como leyes
del movimiento de Newton. La primera ley dice que si la fuerza neta sobre un cuer-
po es cero, su movimiento no cambia. La segunda ley relaciona la fuerza con la acele-
ración cuando la fuerza neta no es cero. La tercera ley es una relación entre las
fuerzas que ejercen dos cuerpos que interactúan entre sí.

Las leyes de Newton no son producto de deducciones matemàticas, sinó una sín-
tesis que los físicos han descubierto al realizar un sinnúmero de experimentos con
cuerpos en movimiento. (Newton usó las ideas y las observaciones que muchos
científicos hicieron antes que él, como Copérnico, Brahe, Kepler y especialmente Ga-
lileo Galilei, quien murió el mismo ano en que nació Newton.) Dichas leyes son ver-
daderamente fundamentales porque no pueden deducirse ni demostrarse a partir de
otros principios. Las leyes de Newton son la base de la mecànica clàsica (también
llamada mecànica newtoniana); al usarlas seremos capaces de comprender los tipos
de movimiento mas conocidos. Las leyes de Newton requieren modificación solo en
situaciones que implican rapideces muy altas (cercanas a la rapidez de la luz) o para
tamanos muy pequefíos (dentro del àtomo).

El planteamiento de las leyes de Newton es sencillo, però muchos estudiantes las
encuentran difíciles de comprender y manejar. La razón es que, antes de estudiar física,

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,

• Lo que significa el concepte de
fuerza en la física y por qué
las fuerzas son vectores.

• La importància de la fuerza neta
sobre un objeto y lo que sucede
cuando la fuerza neta es cero.

• La relación entre la fuerza neta
sobre un objeto, la masa del objeto
y su aceleración.

• La manera en que se relacionan las
fuerzas que dos objetos ejercen
entre sí.

107

108

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

hemos pasado anos caminando, lanzando pelotas, empujando cajas y haciendo mu-
chas otras cosas que implican movimiento. Al hacerlo, hemos desarrollado ciertas
ideas de "sentido común" con respecto al movimiento y sus causas. Sin embargo, mu-
chas de esas ideas no resisten un anàlisis lógico. Una buena parte de la tarea de este
capitulo — y del resto de nuestro estudio — es ayudarnos a reconocer cuàndo las ideas
de "sentido común" nos llevan al error, y cómo ajustar nuestro entendimiento del
mundo físico de modo que sea congruente con lo que nos dicen los experimentos.

4.1 Algunas propiedades de las fuerzas.

• Una fuerza es un empujón o un tirón.

• Una fuerza es una interacción entre dos objetos
o entre un objeto y su ambiente.

• Una fuerza es una canticiad vectorial con

magnitud y dirección.

F (fuerza)

Empujón

Tirón

4.2 Cuatro tipos de fuerzas comunes.

a) Fuerza normal n: cuando un objelo descansa
o se empuja sobre una superfície, esta ejerce un
empujón sobre el objeto que es perpendicular a la

superfície.

b) Fuerza de fricción/: ademàs de la fuerza
normal, una superfície puede ejercer una
fuerza de fricción sobre un objeto que es paralela
a la superfície.

^4i

4.1 Fuerza e interacciones

En el lenguaje cotidiano, fuerza es un empujón o un tirón. Una mejor definición es
que una fuerza es una interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su ambiente
(figura 4.1). Es la causa de por qué siempre nos referimos a la fuerza que un cuerpo
ejerce sobre un segundo cuerpo. Cuando empujamos un automóvil atascado en la nie-
ve, ejercemos una fuerza sobre el auto; un cable de acero ejerce una fuerza sobre
la viga que levanta en una construcción, etcètera. Como se muestra en la figura 4.1, la
fuerza es una cantidad vectorial: podemos empujar un cuerpo o tirar de él en diferen-
tes direcciones.

Cuando una fuerza implica contacto directo entre dos cuerpos, como un empu-
jón o un tirón que usted ejerce con la mano sobre un objeto, la llamamos fuerza de
contacto. Las figuras 42a, 4.2b y 4.2c muestran tres tipos comunes de fuerzas de con-
tacto. La fuerza normal (figura 4.2a) es ejercida sobre un objeto por cualquier super-
fície con la que esté en contacto. El adjetivo normal significa que la fuerza siempre
actua perpendicular a la superfície de contacto, sin importar el àngulo de esa superfí-
cie. En cambio, la fuerza de fricción (figura 4.2b) ejercida sobre un objeto por una
superfície actua paralela a la superfície, en la dirección opuesta al deslizamiento. La
fuerza de tirón ejercida por una cuerda o por un cordel estirado sobre un objeto al cual
se ata se llama fuerza de tensión (figura 4.2c). Cuando usted tira de la correa de su
perro, la fuerza que tira del cuello de la mascota es una fuerza de tensión.

Ademàs de las fuerzas de contacto, también hay fuerzas de largo alcance que ac-
túan aunque los cuerpos estén separados. La fuerza entre dos imanes es un ejemplo de
este tipo de fuerza, así como la gravedad (figura 4.2d); la Tierra atrae hacia sí cual-
quier objeto que se deje caer, incluso cuando no haya contacto directo entre el objeto
y la Tierra. La fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre un cuerpo
se llama peso del cuerpo.

Por lo tanto, para describir una fuerza vectorial F, debemos indicar su dirección de
acción y su magnitud, la cantidad que describe "cuànto" o "qué tan tanto" la fuerza
empuja o tira. La unidad SI de magnitud de fuerza es el newton, que se abrevia N.
(Daremos una definición precisa del newton en la sección 4.3.) La tabla 4.1 presenta
algunas magnitudes de fuerza comunes.

Tabla 4.1 Magnitudes de fuerzas comunes

c) Fuerza de tensión T: una fuerza de tirón
ejercida sobre un objelo por una cuerda, un
cordón, etc.

Fuerza gravitacional del Sol sobre la Tierra 3.5 X 10 22 N

Empuje de un trasbordador espacial durante el lanzamiento 3.1 X 10 7 N

Peso de una ballena azul grande 1.9 X 10 6 N

Fuerza de tracción màxima de una locomotora 8.9 X 10 5 N

Peso de un jugador de futbol americano de 250 lb 1.1 X 10 3 N

Peso de una manzana mediana 1 N

Peso de los huevos de insecto mas pequenos 2 X 10 -6 N
d) Peso w: el tirón de la gravedad sobre un

objeto es una fuerza de largo alcance (una fuerza Atracción elèctrica entre el protón y el electrón de un atomo de hidrógeno 8.2 X 1CT 8 N

que actua en una distancia). PesQ de una bacteria muy pequefia 1 X 10" 1S N

Peso de un àtomo de hidrógeno 1.6 X 10 -26 N

Peso de un electrón 8.9 X 10" 30 N
Atracción gravitacional entre el protón y el electrón de un àtomo de hidrógeno 3.6 X 10~ 47 N

Fuerza e interacciones

109

Un instrumento común para medir magnitudes de fuerza es la balanza de resorte,
que consiste en un resorte espiral protegido en una caja, con un puntero conectado a
un extremo. Cuando se aplican fuerzas a los extremos del resorte, éste se estira y la
cantidad de estiramiento depende de la fuerza. Puede establecerse una escala para el
puntero y calibraria usando varios cuerpos idénticos de 1 N de peso cada uno. Cuan-
do uno, dos o mas de estos cuerpos se suspenden simultàneamente de la balanza, la
fuerza total que estira el resorte es 1 N, 2 N, etcètera, y podemos marcar las posicio-
nes correspondientes del puntero 1 N, 2 N, etcètera. Luego podemos usar el instru-
mento para medir la magnitud de una fuerza desconocida. Se puede hacer un
instrumento similar para fuerzas que empujen.

La figura 4.3 muestra una balanza de resorte que se utiliza para medir un tirón o un
empujón que se aplica a una caja. En ambos casos, dibujamos un vector que represen-
te la fuerza aplicada. Los rótulos indican la magnitud y la dirección de la fuerza; en
tanto que la longitud del vector también indica la magnitud: cuanto mas grande sea el
vector, mayor serà la magnitud de la fuerza.

4.3 Uso de una flecha como vector para
indicar la fuerza que ejercemos cuando
a) tiramos de un bloque con una cuerda,
o b) lo empujamos con una vara.

a) Un tirón de 10 N dirigido a
30° por encima de la horizontal

Superposición de fuerzas

Cuando se lanza una pelota, hay al menos dos fuerzas que actúan sobre ella: el empu-
jón de la mano y el tirón hacia abajo de la gravedad. Los experimentos muestran que
si dos fuerzas F l y F 2 actúan al mismo tiempo en un punto A de un cuerpo (figura
4.4), el efecto sobre el movimiento del cuerpo es igual al de una sola fuerza R igual a
la suma vectorial de las fuerzas originales: R = F l + F 2 . En general, el efecto de
cualquier cantidad de fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpo es el mismo de una
sola fuerza igual a la suma vectorial de las fuerzas. Éste es el importante principio de
superposición de fuerzas.

El descubrimiento experimental de que las fuerzas se combinan por suma vecto-
rial es de enorme importància. Usaremos este hecho muchas veces en nuestro estudio
de la física, pues nos permite sustituir una fuerza por sus vectores componentes, co-
mo hicimos con los desplazamientos en la sección 1.8. Por ejemplo, en la figura 4.5a,
la fuerza F actua sobre un cuerpo en el punto O. Los vectores componentes de F en
las direcciones Ox y Oy son F t y F v . Si estos se aplican simultàneamente, como en la
figura 4.5b, el efecto es idéntico al de la fuerza original F. Cualquier fuerza puede ser
sustituida por sus vectores componentes, actuando en el mismo punto.

Suele ser màs conveniente describir una fuerza F en términos de sus componentes
x y y, F x y F y en vez de sus vectores componentes (recuerde de la sección 1.8 que los
vectores componentes son vectores, però las componentes solo son números). En el
caso de la figura 4.5, F x y F y son ambas positivas; para otras orientaciones de F, cual-
quiera de ellas puede ser negativa o cero.

Ninguna regla establece que los ejes de coordenadas deben ser verticales y hori-
zontales. En la figura 4.6 un bloque de piedra es arrastrado rampa arriba por una fuer-
za F, representada por sus componentes F x y F y paralela y perpendicular a la rampa

b) Un empujón de 10 N dirigido a 45°
por debajo de la horizontal

4.4 Superposición de fuerzas.

Dos fuerzas F t y F 2 que actúan sobre un punto
A tienen el mismo efecto que una sola fuerza R
igual a su suma vectorial, que también se le
llama resultante.

4.5 La fuerza F. que actua con un àngulo 8 con respecto al eje x, puede ser sustitui-
da por sus vectores componentes rectangulares, F x y F .

a) Vectores componentes: F x y F v
Componentes: F v = F cos y F v = F sen 6

t

úf

1

1

1

í:~--'-

F

b) Los vectores componentes F x y F tienen
juntos el mismo efecto que la fuerza original F

\ v

Vi

ss

-;/

v

l'y

,

y\

^

F x

4.6 F x y F y son las componentes de F
paralela y perpendicular a la superfície

Marcamos una línea ondulada sobre un
vector al reemplazarlo con sus 9 -■■ ■

componentes.

110

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4.7 Obtención de las componentes de la
suma vectorial (resultante) R de dos
fuerzas F, y F 2 .

R es la suma (resultante) de F 1 y F 2
La componente y de R es
igual a la suma de las com
ponentes y de F y F 2 .

Lo mismo es
valido para las
componentes.

y

CUIDADO Uso de una línea ondulada en diagramas de fuerza En la figura 4.6, dibu-
jamos una línea ondulada sobre el vector de fuerza F para indicar que lo hemos sustituido por
sus componentes x y y. De lo contrario, el diagrama induiria la misma fuerza dos veces. Hare-
mos esto en cualquier diagrama de fuerza donde una fuerza se sustituya por sus componentes.
Esté alerta a la línea ondulada en otras figuras de este capitulo y capítulos posteriores.

A menudo necesitaremos obtener la suma vectorial (resultante) de todas las fuer-
zas que actúan sobre un cuerpo. Llamaremos a esto la fuerza neta que actua sobre el
cuerpo. Usaremos la letra griega 2 (sigma mayúscula, que equivale a la S romana)
para denotar sumatoria. Si las fuerzas son F,, F 2 , F 3 , etcètera, abreviaremos la suma-
toria como

R = F, + F, + F, +

= 2?

(4.1)

donde 2F se lee "suma vectorial de las fuerzas" o "fuerza neta". La versión con
componentes de la ecuación (4.1) es el par de ecuaciones

R.

5X

/?,

2>,

(4.2)

donde 2F, es la suma de las componentes x y 2F V es la suma de las componentes y
(figura 4.7). Cada componente puede ser positiva o negativa, así que tenga cuidado
con los signos al sumar en la ecuación (4.2).

Una vez que se tienen S x y R y , puede obtenerse la magnitud y la dirección de la
fuerza neta R = 2F que actua sobre el cuerpo. La magnitud es

R

VrT

/?,-

y el àngulo 9 entre R y el eje +x puede obtenerse de la relación tanf) = RJR X . Las
componentes R y y R y pueden ser positivas, negativas o cero, y el àngulo 9 puede estar

En problemas tridimensionales, las fuerzas pueden tener componentes ;, así
que agregamos la ecuación R. = 2F_ a la ecuación (4.2). La magnitud de la fuerza
neta es

R

VrT

R,- + R_-

Ejemplo 4.1

Superposición de fuerzas

Tres luchadores profesionales pelean por el mismo cinturón de cam-
peonato. Vistos desde arriba, aplican al cinturón las tres fuerzas hori-
zontales de la figura 4.8a. Las magnitudes de las tres fuerzas son/ 7 , =
250 N, F 2 = 50 N y F 3 = 120 N. Obtenga las componentes x y y de
la fuerza neta sobre el cinturón, así como la magnitud y dirección de la
fuerza neta.

4.8 a) Tres fuerzas que actúan sobre el cinturón. b) La fuerza neta
R = ^F y sus componentes.

EDEUn

a)

b)

IDENTIFICAR: Este ejemplo no es mas que un problema de suma vec-
torial. Lo único nuevo es que los vectores representan fuerzas.

PLANTEAR: Debemos calcular las componentes x y y de la fuerza
neta R, así que utilizaremos el método de componentes de la suma vec-
torial expresada en la ecuación (4.2). Una vez que tenemos las compo-
nentes de R, podemos calcular su magnitud y dirección.

EJECUTAR: Por la figura 4.8a, los àngulos entre las fuerzas F,, F 2 y F^
y el eje +x son 0, = 180° - 53° = 127°, 2 = 0° y 3 = 270°. Las
componentes x y y de las tres fuerzas son

F u = (250 N) cos 127° = -150 N

F ly = (250N)senl27° = 200 N

F 2v = (50N)cos0° = 50 N

F 2y = (50N)sen0° - ON

y

' V 1

53 />

-

*:• Componentes x y y
deF,.

F 2

La componente
de F-^ es cero.

v'

*'La componente y
de F-, es cero.

F

Fuerza neta
R = I.P

S S = 141°

F 3K = (120N)cos270° = ON
F 3j = (120N)sen270° = -120 N
Por la ecuación (4.2), la fuerza neta R = 2F tiene componentes
R x = F u + F v + F 3K = ( - 150 N) + 50 N + N = - 100 N
R y = F lr + F 2 , + F 3 = 200 N + N + ( - 120 N) = 80 N

4.2 Primera ley de Newton

111

La fuerza neta tiene componente x negativa y componente y positiva,
así que apunta a la izquierda y hacia arriba en la parte superior de la
figura 4.8b (es decir, en el segundo cuadrante).
La magnitud de la fuerza neta R = 2-F es

R

+ R'

■■ V(-IOON) 2 + (80N) 2 = 128 N

Para obtener el àngulo entre la fuerza neta y el eje +x, usamos la
relación tan# — R v JR y , o bien,

K .v 80 N

9 = arctan — = arctan

R v 1-100N

arctan(-0.80)

Las dos posibles soluciones son = — 39° y 9 = — 39° + 180° = 141°.
Puesto que la fuerza neta està en el segundo cuadrante, como indica-
mos, la respuesta correcta es 141° (véase la figura 4.8b).

EVALUAR: En esta situación, la fuerza neta no es cero, y vemos intui-
tivamente que el luchador 1 (quien ejerce la mayor fuerza, F { , sobre el
cinturón) probablemente se quedarà con el cinturón después del force-
jeo. En la sección 4.2 exploraremos a fondo que sucede en situaciones
en las que la fuerza neta sí es cero.

Evalúe su comprensíón de la sección 4.1 La figura 4.6 muestra una iMP)

fuerza F que actua sobre un bloque. Con los ejes x y v que se indican en la figura, V— S

^qué enunciado acerca de las componentes de la fuerza gravitacional que la tierra
ejerce sobre el bloque (su peso) es correctol i) Las componentes x y y son ambas positivas.
ii) La componente x es cero y la componente y es positiva, iii) La componente x es negativa y
la componente y es positiva, iv) Las componentes x y y son ambas negativas. v) La componente
x es cero y la componente v es negativa, vi) La componente x es positiva y la componente y
es negativa.

4.2 Primera ley de Newton

Hemos visto algunas propiedades de las fuerzas, però no hemos dicho cómo afectan
el movimiento. Por principio de cuentas, consideremos qué sucede cuando la fuerza
neta sobre un cuerpo es cero. Sin duda el lector estarà de acuerdo en que si un cuerpo
està en reposo y ninguna fuerza neta actua sobre él (es decir, no hay empujón ni tirón
netos), el cuerpo permanecerà en reposo. Però, ^Qué sucedería si la fuerza neta es ce-
ro y actua sobre un cuerpo en movimiento'!

Para saber qué sucede en este caso, suponga que usted desliza un disco de hockey
sobre una mesa horizontal, aplicàndole una fuerza horizontal con la mano (figura
4.9a). Cuando usted deja de empujar, el disco no sigue moviéndose indefmidamente;
se frena y se detiene. Para mantenerlo en movimiento, hay que seguirlo empujando
(es decir, aplicando una fuerza). Podríamos llegar a la conclusión de "sentido común"
de que los cuerpos en movimiento naturalmente se detienen y que se necesita una
fuerza para mantener el movimiento.

Imagine ahora que usted empuja el disco en una superfície lisa de hielo (figura
4.9b). Al dejar de empujar, el disco se desliza mucho màs lejos antes de detenerse.
Ponga el disco y empújelo en una mesa de hockey de aire, donde flota sobre un delga-
do "cojín" de aire, y llegarà aún màs lejos (figura 4.9c). En cada caso, lo que frena el
disco es la fricción, una interacción entre la superfície inferior del disco y la superfí-
cie sobre la que se desliza. Cada superfície ejerce una fuerza de fricción sobre el dis-
co, la cual reduce su movimiento; la diferencia entre los tres casos es la magnitud de
la fuerza de fricción. El hielo ejerce menos fricción que la superfície de la mesa, y el
disco viaja màs lejos. Las moléculas de gas de la mesa de hockey de aire son las que
menos fricción ejercen. Si pudiéramos eliminar totalmente la fricción, el disco nunca
se frenaria y no necesitaríamos fuerza alguna para mantener el disco en movimien-
to, una vez que empieza a hacerlo. Así, la idea de "sentido común" de que se requiere
una fuerza para conservar el movimiento es incorrecta.

Experimentes como el que describimos demuestran que, si ninguna fuerza neta ac-
tua sobre un cuerpo, éste permanece en reposo, o bien, se mueve con velocidad cons-
tante en línea recta. Una vez que un cuerpo se pone en movimiento, no se necesita
una fuerza neta para mantenerlo en movimiento; a tal observación la conocemos co-
mo primera ley del movimiento de Newton:

Primera ley del movimiento de Newton: un cuerpo sobre el que no actua una
fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero.

4.9 Cuanto màs resbaladiza sea la
superfície, mayor serà el desplazamiento
del disco después de que se le da una
velocidad inicial. En una mesa de hockey
de aire c), la fricción es casi cero y el
disco sigue con velocidad casi constante.

a) Mesa: el disco se detiene pronto.

b) Hielo: el disco se desliza màs lejos.

c) Mesa de hockey de aire: el disco se desliza
aún màs lejos. \

112

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4.10 a) Un disco de hockey acelera en la
dirección de la fuerza neta aplicada F l .
b) Si la fuerza neta es cero, la aceleración
es cero y el disco està en equilibrio.

a) Sobre una superfície sin fricción,
un disco acelera cuando actua sobre él
una sola fuerza horizontal.

b) Un objeto sobre el que actúan fuerzas
cuya suma vectorial sea cero se comporta
como si no actuarà fuerza alguna sobre él.

La tendència de un cuerpo a seguir moviéndose una vez iniciado su movimiento es
resultado de una propiedad llamada inèrcia. Usamos inèrcia cuando tratamos de sa-
car salsa de tomate de una botella agitàndola. Primero hacemos que la botella (y la
salsa del interior) se mueva hacia adelante; al mover la botella bruscamente hacia
atràs, la salsa tiende a seguir moviéndose hacia adelante y, con suerte, cae en nuestra
hamburguesa. La tendència de un cuerpo en reposo a permanecer en reposo también
se debe a la inèrcia. Quizàs el lector haya visto sacar un mantel de un tirón de debajo
de la vajilla sin romper nada. La fuerza sobre la vajilla no basta para moverla mucho
durante el breve lapso que toma retirar el mantel.

Es importante senalar que lo que importa en la primera ley de Newton es la fuerza
neta. Por ejemplo, dos fuerzas actúan sobre un libro en reposo en una mesa horizon-
tal: una fuerza de apoyo hacia arriba, o fuerza normal, ejercida por la mesa (véase la
figura 4.2a) y la fuerza hacia abajo debida a la atracción gravitacional terrestre (una
fuerza de largo alcance que actua aun si la mesa està màs arriba del suelo; véase la fi-
gura 4.2d). El empuje hacia arriba de la superfície es tan grande como la atracción
gravitatoria hacia abajo, así que la fuerza neta sobre el libro (la suma vectorial de las
dos fuerzas) es cero. En concordancia con la primera ley de Newton, si el libro està en
reposo en la mesa, sigue en reposo. El mismo principio se aplica a un disco de hockey
que se desliza en una superfície horizontal sin fricción: la resultante del empuje hacia
arriba de la superfície y la atracción gravitatoria hacia abajo es cero. Si el disco està
en movimiento, sigue moviéndose con velocidad constante porque la fuerza neta que
actua sobre él es cero.

Veamos otro ejemplo. Suponga que un disco de hockey descansa en una superfície
horizontal con fricción despreciable, como una mesa de hockey de aire o una plancha
de hielo húmedo. Si el disco està inicialmente en reposo y luego una sola fuerza hori-
zontal F] actua sobre él (figura 4.10a), comenzarà a moverse. Si el disco ya se estaba
moviendo, la fuerza cambiarà su rapidez, su dirección, o ambas, dependiendo de la
dirección de la fuerza. En este caso, la fuerza neta es F,, no es cero. (También hay dos
fuerzas verticales, la atracción gravitacional terrestre y la fuerza normal hacia arriba
de la superfície però, como ya dijimos, estàs dos fuerzas se cancelan.)

Suponga ahora que aplicamos una segunda fuerza F 2 (figura 4.10b), igual en mag-
nitud a F, però de dirección opuesta. Una fuerza es el negativo de la otra, F 2 = — F,,
y su suma vectorial es cero:

2f = ¥^^2 = ?^ (-Fi) =0

Otra vez, vemos que, si el cuerpo està inicialmente en reposo, sigue en reposo; y si se
està moviendo, sigue moviéndose en la misma dirección con rapidez constante. Estos
resultados muestran que, en la primera ley de Newton, una fuerza neta de cero equi-
vale a ninguna fuerza. Este es solo el principio de superposición de fuerzas que vi-
mos en la sección 4.1.

Cuando un cuerpo està en reposo o se mueve con velocidad constante (en línea
recta con rapidez constante), decimos que el cuerpo està en equilibrio. Para que esté
en equilibrio, sobre un cuerpo no deben actuar fuerzas, o deben actuar varias fuerzas
cuya resultante — es decir, la fuerza neta — sea cero:

^F = (cuerpo en equilibrio)

(4.3)

Para que esto se cumpla, cada componente de la fuerza neta debe ser cero, así que
~^F t = 2^v = (cuerpo en equilibrio) (4.4)

Estamos suponiendo que el cuerpo puede representarse adecuadamente con una
partícula puntual. Si el cuerpo tiene tamano finito, tendremos que considerar también
en qué parte del cuerpo se aplican las fuerzas. Volveremos a esto en el capitulo 11.

4.2 Primera ley de Newton

113

Ejemplo conceptual 4.2

Fuerza neta cero significa velocidad constante

En la película clàsica de ciència ficción de 1950 Rocketship X-M, una
nave se mueve en el vacío del espacio exterior, lejos de cualquier pla-
neta, cuando sus motores se descomponen. El resultado es que la nave
baja su velocidad y se detiene. (,Qué dice la primera ley de Newton
acerca de esto?

EI

En esta situación no actúan fuerzas sobre la nave, así que, según la
primera ley de Newton, no se detendrà; se seguirà moviendo en línea
recta con rapidez constante. En algunas películas de ciència ficción se
ha utilizado muy adecuadamente la ciència; però esta no fue una de
ellas.

Ejemplo conceptual 4.3

Velocidad constante significa fuerza neta igual a cero

Imagine que conduce un Porsche Carrera GT en una pista de prueba
recta a una rapidez constante de 150 km/h y rebasa a un Volkswagen
Sedàn 1 97 1 que va a 75 km/h. £ Sobre qué auto es mayor la fuerza neta?

EI

1

La palabra clave aquí es "neta". Ambos automóviles estan en equili-
brio porque sus velocidades son constantes; por lo tanto, la fuerza neta
sobre cada uno de ellos es cero.

Esta conclusión parece ir contra el "sentido común", que nos dice
que el automóvil mas ràpido debe estar siendo impulsado por una

fuerza mayor. Es verdad que la fuerza hacia adelante que actua sobre
el Porsche es mucho mayor (gracias a su motor de alta potencia) que
la del Volkswagen; però también sobre los autos actua una fuerza ha-
cia atràs debida a la fricción con el camino y la resistència del aire.
La única razón por la que es necesario tener funcionando el motor de
estos vehículos es para contrarrestar dicha fuerza hacia atràs, de modo
que la resultante sea cero y el coche viaje a velocidad constante. La
fuerza hacia atràs sobre el Porsche es mayor por su mayor rapidez, y
por ello su motor necesita ser mas potente que el del Volkswagen.

Marcos de referència inerciales

Al tratar la velocidad relativa en la sección 3.5, presentamos el concepto de marco de
referència. Este concepto es fundamental para las leyes del movimiento de Newton.
Suponga que està en un autobús que viaja por una carretera recta y acelera. Si pudiera
pararse en el pasillo usando patines, comenzaría a moverse hacia atràs relativo al au-
tobús, conforme éste aumenta de rapidez. En cambio, si el autobús frenarà, usted co-
menzaría a moverse hacia delante, respecto del autobús, por el pasillo. En ambos
casos, parecería que no se cumple la primera ley de Newton: no actua una fuerza neta
sobre usted, però su velocidad cambia. ^Qué sucede aquí?

La cuestión es que el autobús acelera con respecto al suelo y no es un marco de re-
ferència adecuado para la primera ley de Newton. Esta es vàlida en algunos marços
de referència, però no en otros. Un marco de referència en el que es vàlida la primera
ley de Newton es un marco de referència inercial. La Tierra es aproximadamente un
marco de referència inercial, però el autobús no. (La Tierra no es un marco plenamen-
te inercial debido a la aceleración asociada a su rotación y su movimiento alrededor
del Sol, aunque tales efectos son pequenos; véanse los ejercicios 3.29 y 3.32.) Como
usamos la primera ley de Newton para definir lo que es un marco de referència iner-
cial, se le conoce como ley de inèrcia.

La figura 4. 1 1 muestra cómo podemos usar la primera ley de Newton para enten-
der lo que sentimos al viajar en un vehículo que acelera. En la figura 4. lla, un vehícu-
lo està inicialmente en reposo y comienza a acelerar hacia la derecha. Una pasajera
en patines (que casi eliminan los efectos de la fricción) pràcticamente no tiene fuerza
neta actuando sobre ella; por lo tanto, tiende a seguir en reposo relativo al marco de
referència inercial de la Tierra. Al acelerar el vehículo a su alrededor, la pasajera se
mueve hacia atràs con respecto al vehículo. Del mismo modo, una pasajera en un ve-
hículo que està frenando tiende a seguir moviéndose con velocidad constante relativa
a la Tierra, por lo que esta pasajera se mueve hacia adelante con respecto al vehículo
(figura 4.11b). Un vehículo también acelera si se mueve con rapidez constante però
da vuelta (figura 4.11c). En este caso, la pasajera tiende a seguir moviéndose con ra-
pidez constante en línea recta relativa a la Tierra; con respecto al vehículo, la pasajera
se mueve hacia el exterior de la vuelta.

114

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4. 11 Viaje en un vehículo con aceleración.

a) Inicialmeníe usted
y el vehículo estan
en reposo. :

t =

t = At

t = 2At

t = 3Ar

b)

t =

t = At

t = 2At

t = 3A/

Inicialmente usted

y el vehículo estan \

en movimiento. í

c) El vehículo da vuelta a
rapidez constante.

Usted tiende a permanecer en
reposo cuando el vehículo acelera
a su alrededor.

W fi H h Ütí 1 H'tí v tí

Usted tiende a seguir moviéndose
con velocidad constante cuando
el vehículo se frena a su alrededor.

<fe=fr

t =

f = A/

f = 2Aí

Usted tiende a seguir moviéndose
en línea recta cuando el vehículo
da vuelta.

4.12 Desde el marco de referència de
este automóvil, parece que una fuerza
empuja hacia adelante a los maniquíes para
pruebas de choque, cuando el automóvil
se detiene repentinamente. Sin embargo,
tal fuerza no existe realmente: al detenerse
el vehículo, los maniquíes se siguen
moviendo hacia adelante como
consecuencia de la primera ley de Newton.

En los casos de la figura 4.11, un observador en el marco de referència del vehícu-
lo podria conduir que hay una fuerza neta que actua sobre la pasajera, ya que la velo-
cidad de esta relativa al vehículo cambia en cada caso. Esto no es correcto; la fuerza
neta sobre la pasajera es cero. El error del observador es tratar de aplicar la primera
ley de Newton en el marco de referència del vehículo, que no es inercial y en el cual
dicha ley no es valida (figura 4.12). En este libro solo usaremos marços de referència
inerciales.

Hemos mencionado solo un marco de referència (aproximadamente) inercial: la
superfície de la Tierra. No obstante, hay muchos otros. Si tenemos un marco de refe-
rència inercial A, donde se cumple la primera ley de Newton, cualquier otro marco de
referència B serà inercial si se mueve con velocidad constante V B i A . relativa a A. Para
demostrarlo, usamos la ecuación de velocidad relativa (3.36) de la sección 3.5:

OpjA

+ V

BjA

Suponga que P es un cuerpo que se mueve con velocidad constante í p u con respecto
a un marco inercial A. Por la primera ley de Newton, la fuerza neta sobre este cuerpo
es cero. La velocidad de P relativa a otro marco B tiene un valor distinto, v P i B =
Vpu — v B u. No obstante, si la velocidad relativa v B u de los dos marços es constante,
v P i B también es constante, y B es un marco inercial. La velocidad de P en este marco
es constante y la fuerza neta sobre P es cero, así que la primera ley de Newton se cum-
ple en B. Observadores en los marços A y B diferiran en cuanto a la velocidad de P,
però coincidiran en que es constante (aceleración cero) y no hay fuerza neta actuando
sobre P.

No hay un marco de referència inercial que sea preferible a todos los demàs para
formular las leyes de Newton. Si un marco es inercial, todos los que se muevan con
velocidad constante relativa a él seran inerciales. Desde esta perspectiva, el estado de
reposo y el de movimiento con velocidad constante no son muy diferentes; ambos se
dan cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.

4.3 Segunda ley de Newton 1 1 5

Evalúe su comprensíón de la sección 4.2 <,En cuàl de las siguientes situa- (mp)
ciones la fuerza neta sobre el cuerpo es cero: i) un avión que vuela al norte con rapidez V**S
constante de 120 m/s y altitud constante; ii) un automóvil que sube en línea recta por
una colina con pendiente de 3°, a una rapidez constante de 90 km/h; iii) un halcón que se
mueve en círculos con rapidez constante de 20 km/h a una altura constante de 15 m sobre un
campo abierto; iv) una caja con superfícies lisas, sin fricción, que està en la parte de atràs de
un camión cuando éste acelera hacia adelante en un camino plano a 5 m/s 2 ?

4.3 Segunda ley de Newton

Al tratar la primera ley de Newton, vimos que cuando ninguna fuerza, o una fuerza
neta cero, actua sobre un cuerpo, éste se mueve con aceleración cero y su velocidad
es constante. En la figura 4. 1 3a, un disco de hockey se desliza a la derecha sobre hielo
húmedo, donde la fricción es despreciable. No actúan fuerzas horizontales sobre el
disco; la fuerza de la gravedad hacia abajo y la fuerza de contacto hacia arriba ejerci-
da por el hielo se cancelan. Así, la fuerza neta 2-F que actua sobre el disco es cero, el
disco tiene aceleración cero y su velocidad es constante.

Sin embargo, ^qué sucede si la fuerza neta no es cero? En la figura 4.13b aplica-
mos una fuerza horizontal constante al disco en la dirección de su movimiento. En-
tonces, Sí" es constante y en la misma dirección horizontal que v. Vemos que,
mientras la fuerza actua, la velocidad del disco cambia a ritmo constante; es decir, el
disco se mueve con aceleración constante. La rapidez del disco aumenta, así que a
tiene la misma dirección que v y 2-F.

En la figura 4.13c invertimos la dirección de la fuerza sobre el disco, de modo que
2F actúe en la dirección opuesta a v. Aquí también el disco tiene una aceleración: se
mueve cada vez mas lentamente a la derecha. La aceleración a en este caso es a la iz-
quierda, en la misma dirección que SF. Como en el caso anterior, el experimento
muestra que la aceleración es constante si ^,F es constante.

La conclusión es que una fuerza neta que actua sobre un cuerpo hace que éste ace-
lere en la misma dirección que la fuerza neta. Si la magnitud de la fuerza neta es cons-
tante, como en las figuras 4.13b y 4.13c, también lo serà la magnitud de la aceleración.

4.13 Anàlisis de la relación entre la aceleración de un cuerpo y la fuerza neta que actua
sobre éste (aquí, un disco de hockey sobre una superfície sin fricción).

a) Un disco que se mueve con velocidad constante (en equilibrio): 2<F = 0, a = 0.

V

-Q

V

V

V

Q-

V

b) Una fuerza neta constante en la dirección del movimiento provoca una aceleración constante
en la misma dirección que la fuerza neta.

XÍ Xf Xf Xf Xf

d

c) Una fuerza neta constante opuesta a la dirección del movimiento causa una aceleración
constante en la misma dirección que la fuerza neta.

Xf Xf Xf Xf Xf

-<3^-

116

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4.14 Vista superior de un disco de hockey
en movimiento circular uniforme en una
superfície horizontal sin fricción.

El disco se mueve a rapidez constante
alrededor del circulo.

En cualquier punto, la aceleración a y la
fuerza neta SF tienen la misma dirección,
siempre hacia el centro del circulo.

4.1 5 Para un cuerpo de cierta masa m, la
magnitud de la aceleración del cuerpo es
directamente proporcional a la magnitud
de la fuerza neta que actua sobre el cuerpo.

a) Una fuerza neta constante £F provoca
una aceleración constante a.

-et

ÏF>

b) Al duplicarse la fuerza neta, se duplica
la aceleración.

-S*

c) Al reducirse a la mitad la fuerza neta,
la aceleración se reduce a la mitad.

Estàs conclusiones sobre fuerza neta y aceleración también son vàlidas para un
cuerpo que se mueve en trayectoria curva. Por ejemplo, la figura 4.14 muestra un dis-
co de hockey que se mueve en un circulo horizontal en una superfície de hielo con
fricción despreciable. Una cuerda que sujeta el disco al hielo ejerce una fuerza de ten-
sión de magnitud constante hacia el centro del circulo. El resultado es una fuerza neta
y una aceleración de magnitud constante y dirigidas al centro del circulo. La rapidez
del disco es constante, así que es un movimiento circular uniforme, como vimos en la
sección 3.4.

La figura 4. 15a muestra otro experimento que explora la relación entre la acelera-
ción y fuerza neta. Aplicamos una fuerza horizontal constante a un disco de hockey
en una superfície horizontal sin fricción, usando la balanza de resorte descrita en la
sección 4.1, con el resorte estirado una cantidad constante. Al igual que en las figuras
4.13b y 4.13c, esta fuerza horizontal es la fuerza neta sobre el disco. Si alteramos la
magnitud de la fuerza neta, la aceleración cambia en la misma proporción. Al dupli-
car la fuerza neta se duplica la aceleración (figura 4.15b); al reducir a la mitad la fuer-
za neta se reduce a la mitad la aceleración (figura 4.15c), y así sucesivamente.
Muchos experimentes semejantes muestran que para un cuerpo dado, la magnitud de
la aceleración es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza neta que ac-
tua sobre él.

Masa y fuerza

Nuestros resultados indican que para un cuerpo dado, el cociente de la magnitud
| 2f| de la fuerza neta entre la magnitud a = \a | de la aceleración es constante, sin
importar la magnitud de la fuerza neta. Llamamos a este cociente masa inercial, o
simplemente masa, del cuerpo y la denotamos con m. Es decir,

12*1

12*1

12*1

(4.5)

La masa es una medida cuantitativa de la inèrcia, que se menciono en la sección
4.2. La última de las ecuaciones (4.5) indica que cuanto mayor sea su masa, mas se
"resiste" un cuerpo a ser acelerado. Cuando sostenemos en la mano una fruta en el
supermercado y la movemos un poco hacia arriba y hacia abajo para estimar su masa,
estamos aplicando una fuerza para saber cuanto acelera la fruta hacia arriba y hacia
abajo. Si una fuerza causa una aceleración grande, la fruta tiene una masa pequena; si
la misma fuerza causa solo una aceleración pequena, la fruta tiene una masa grande.
De la misma forma, si golpeamos una pelota de ping-pong y un balón de baloncesto
con la misma fuerza, el balón fendrà una aceleración mucho menor porque su masa es
mucho mayor.

La unidad de masa en el SI es el kilogramo. En la sección 1.3 dijimos que el kilo-
gramo se define oficialmente como la masa de un cilindro de aleación platino-iridio
que se mantiene en una bóveda cerca de París. Podemos usar este kilogramo estàndar,
junto con la ecuación (4.5), para definir el newton:

Un newton es la cantidad de fuerza neta que proporciona una aceleración de 1 metro
por segundo al Cuadrado a un cuerpo con masa de 1 kilogramo.

Podemos usar esta definición para calibrar las balanzas de resorte y otros instrumen-
tes que miden fuerzas. Por la forma en que definimos el newton, està relacionado con
las unidades de masa, longitud y tiempo. Para que la ecuación (4.5) sea dimensional-
mente congruente, debe cumplirse que

o bien,

1 newton = (1 kilogramo) ( 1 metro por segundo al Cuadrado)

1 N = 1 kg • m/s 2

Usaremos esta relación muchas veces en los próximos capítulos, así que no la olvide.
También podemos usar la ecuación (4.5) para comparar una masa con la masa es-
tàndar y así medir masas. Suponga que aplica una fuerza neta constante ^F a un

4.3 Segunda ley de Newton

117

cuerpo de masa conocida m, y observa una aceleración de magnitud a, (figura 4.16a).
Luego aplica la misma fuerza a otro cuerpo con masa desconocida m 2 y observa una
aceleración de magnitud a 2 (figura 4. 16b). Entonces, según la ecuación (4.5),

m l a l

iiha

:"2

m 2 a [

— = — (misma fuerza neta)

W] a 1

(4.6)

Para la misma fuerza neta, el cociente de las masas de dos cuerpos es el inverso del
cociente de sus aceleraciones. En principio, podríamos usar la ecuación (4.6) para
medir una masa desconocida m 2 , però suele ser mas fàcil determinar la masa indirec-
tamente midiendo el peso del cuerpo. Volveremos a esto en la sección 4.4.

Cuando dos cuerpos de masas m, y m 2 se unen, vemos que la masa del cuerpo
compuesto siempre es m, + m 2 (figura 4.16c). Esta propiedad aditiva de la masa tal
vez parezca obvia, però debe verificarse experimentalmente. En última instància, la
masa de un cuerpo està relacionada con el número de protones, electrones y neutrones
que contiene. Esta no seria una buena forma de definir la masa porque no hay manera
pràctica de contar tales partículas. No obstante, el concepto de masa es la forma màs
fundamental de caracterizar la cantidad de matèria que un cuerpo contiene.

4.16 Para una fuerza neta constante dada
2F, la aceleración es inversamente pro-
porcional a la masa del cuerpo. Las masas
se suman como escalares ordinarios.

a) Una fuerza XF conocida provoca que un
objeto con masa m ] tenga una aceleración à ] .

JU^

SF.

b) Al aplicar la misma fuerza %F aun
segundo objeto, se percibe la aceleración
que nos permite medir la masa.

£f

Enunciado de la segunda ley de Newton

Nos hemos cuidado de decir que la fuerza neta sobre un cuerpo hace que éste se ace-
lere. Los experimentos demuestran que si se aplica a un cuerpo una combinación de
fuerzas F i , F 2 , F 3 , ..., el cuerpo tendra la misma aceleración (magnitud y dirección)
que si se aplicarà una sola fuerza igual a la suma vectorial F t + F 2 + F 3 + • • •. Es
decir, el principio de superposición de las fuerzas (véase la figura 4.4) también se
cumple cuando la fuerza neta no es cero y el cuerpo se està acelerando.

La ecuación (4.5) relaciona la magnitud de la fuerza neta sobre un cuerpo con la
magnitud de la aceleración que produce. También vimos que la dirección de la fuerza
neta es igual a la dirección de la aceleración, sea la trayectoria del cuerpo recta o cur-
va. Newton juntó todas estàs relaciones y resultados experimentales en un solo enun-
ciado conciso que ahora llamamos segunda ley del movimiento de Newton:

c) Cuando se unen dos objetos, el mismo
procedimiento muestra que su masa
compuesta es la suma de sus
masas individuales.

Sf

Segunda ley del movimiento de Newton: si una fuerza externa neta actua
sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección de aceleración es la misma que la
dirección de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo
multiplicada por su aceleración.

En símbolos,

2>

ma (segunda ley del movimiento de Newton)

(4.7)

Un enunciado alterno establece que la aceleración de un cuerpo es la misma direc-
ción que la fuerza neta que actua sobre él, y es igual a la fuerza neta dividida entre la
masa del cuerpo.

La segunda ley de Newton es una ley fundamental de la naturaleza, la relación bà-
sica entre fuerza y movimiento. Casi todo el resto del capitulo, y todo el que sigue, se
dedica a aprender a aplicar este principio en diversas situaciones.

La ecuación (4.7) tiene muchas aplicaciones pràcticas (figura 4.17). De hecho,
el lector la ha estado usando toda su vida para medir la aceleración de su cuerpo. En
su oído interno, microscópicas células de pelo detectan la magnitud y dirección de la
fuerza que deben ejercer para acelerar pequefias membranas junto con el resto del
cuerpo. Por la segunda ley de Newton, la aceleración de las membranas — y por ende

4.17 El disefio de las motocicletas de alto
desempeno depende fundamentalmente de
la segunda ley de Newton. Para aumentar
al màximo la aceleración hacia adelante,
el disenador hace a la motocicleta lo màs
ligera posible (es decir, reduce la masa al
mínimo) y utiliza el motor màs potente
posible (es decir, aumenta al màximo la

118 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

la de todo el cuerpo — es proporcional a esta fuerza y tiene la misma dirección. Así,
;usted puede sentir la magnitud y dirección de su aceleración incluso con los ojos

A c t' v Uso de la segunda ley de Newton

PnysiCS Hay al menos cuatro aspectos de la segunda ley de Newton que merecen atención es-

2 1 3 Cambio de tensión pecial. Primero, la ecuación (4.7) es vectorial. Normalmente la usaremos en forma de

2 1 4 Deslizamiento en una rampa componentes, con una ecuación para cada componente de fuerza y la aceleración co-

rrespondiente:

V> f Ve- Ve- (segunda ley del

y,r r = ma x Zj''\ = ma v >,/*, = ma. (4 8)

movimiento de Newton)

Este conjunto de ecuaciones de componentes equivale a la ecuación vectorial única
(4.7). Cada componente de la fuerza total es igual a la masa multiplicada por la com-
ponente correspondiente de la aceleración.

Segundo, el enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a fuerzas externas,
es decir, fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de su entomo. Un cuerpo
no puede afectar su propio movimiento ejerciendo una fuerza sobre sí mismo; si fue-
ra posible, jpodríamos levantarnos hasta el techo tirando de nuestro cinturón! Por
ello, solo incluimos fuerzas externas en 2F en las ecuaciones (4.7) y (4.8).

Tercera, las ecuaciones (4.7) y (4.8) solo son vàlidas si la masa m es constante. Es
fàcil pensar en sistemas con masa cambiante, como un camión tanque con fugas, un
cohete o un vagón de ferrocarril en movimiento que se carga con carbón; no obstante,
tales sistemas se manejan mejor usando el concepto de cantidad de movimiento que
veremos en el capitulo 8.

Por ultimo, la segunda ley de Newton solo es vàlida en marços de referència iner-
ciales, al igual que la primera. Por lo tanto, la ley no es vàlida en el marco de referèn-
cia de los vehículos en aceleración de la figura 4. 1 1 ; con respecto a esos marços, la
pasajera acelera aunque la fuerza neta sobre ella sea cero. Normalmente supondremos
que la Tierra es una aproximación adecuada a un marco inercial, aunque estrictamen-
te no lo es por su rotación y movimiento orbital.

CUIDADO ma no es una fuerza Tenga en cuenta que aun cuando el vector ma sea igual
a la suma vectorial ^F de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, el vector ma no es una
fuerza. La aceleración es un resultado de una fuerza neta distinta de cero; no es una fuerza pol-
sí misma. Es "sentido común" pensar que hay una "fuerza de aceleración" que nos empuja
contra el asiento cuando nuestro automóvil acelera hacia delante desde el reposo; però no exis-
te tal fuerza; mas bien, nuestra inèrcia nos hace tender a permanecer en reposo con respecto a
la Tierra, y el auto acelera a nuestro alrededor (véase la figura 4.11a). Esta confusión de "sen-
tido común" surge al tratar de aplicar la segunda ley de Newton donde no es vàlida: en un mar-
co de referència no inercial de un automóvil en aceleración. Nosotros solo examinaremos el
movimiento en marços de referència tnerciales.

En este capitulo, aprenderemos cómo usar la segunda ley de Newton, empezando
con ejemplos del movimiento rectilíneo. Después, en el capitulo 5 consideraremos casos
màs generales y desarrollaremos estrategias màs detalladas para resolver problemas.

Ejemplo 4.4

Calculo de aceleración por una fuerza

Un trabajador aplica una fuerza horizontal constante con magnitud de PLANTEAR: En cualquier problema que implique fuerzas, el primer

20 N a una caja con masa de 40 kg que descansa en un piso plano con paso consiste en elegir un sistema de coordenadas y después identificar

fricción despreciable. ,;,Qué aceleración sufre la caja? todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión.
_mm|bmubm Suele ser conveniente elegir un eje que apunto en la dirección de la

aceleración del cuerpo o en la dirección opuesta que, en este caso, es ho-
rizontal. Por lo tanto, tomamos el eje +x en la dirección de la fuerza
horizontal aplicada (es decir, la dirección en la que se acelera la caja),
pleando la segunda ley de Newton. y el +y, hacia arriba (figura 4.18b). En casi todos los problemas de

IDENTIFICAR: En este problema intervienen fuerza y aceleración. rizontal. Por lo tanto, tomamos el eje +x en la dirección de la fuerza
Siempre que usted se tope con un problema de esta clase, abórdelo em- horizontal aplicada (es decir, la dirección en la que se acelera la caja),

4.3 Segunda ley de Newton

119

4.18 Nuestro esquema para este problema. Las baldosas bajo la
caja estan recién enceradas, así que suponga que la fricción es
despreciable.

La caja no tiene aceleración vertical, de manera que las componentes
verticales de la fuerza neta suman cero. Sin embargo, para una mejor
perspectiva, mostramos las fuerzas verticales que actúan sobre la caja.

\y s

fuerzas que veremos (incluido éste), todos los vectores de fuerza estan
en un plano, así que no se usa el eje z.

Las fuerzas que actan sobre la caja son i) la f uerza horizontal F
ejercida por el trabajador, cuya magnitud es 20 N; ii) el peso w de la
caja, es decir, la fuerza hacia abajo producida por la atracción gravi-
tacional que ejerce la tierra, y iii) la fuerza de soporte hacia arriba li
ejercida por la superfície horizontal plana. Como en la sección 4.2, 11a-
mamos a n fuerza normal porque es perpendicular a la superfície de
contacto. (Usamos una n cursiva para evitar confusiones con la abre-
viatura N, de newton.) Consideramos que la fricción es despreciable,
así que no hay fuerza de fricción.

Puesto que la caja no se mueve verticalmente, la aceleración v es
cero: a y = 0. Nuestra incògnita es la componente x de la aceleración,
a x . La obtendremos usando la segunda ley de Newton en forma de
componentes, dada por la ecuación (4.8).

EJECUTAR: Por la figura 4.18, solo la fuerza de 20 N tiene una compo-
nente x distinta de cero. Por lo tanto, la primera relación de las ecua-
ciones (4.8) nos indica que

5X

20 N = meu

Así, la componente x de la aceleración es

2X

20 N
40 kg

20 ke

40 kg

0.50 m/s 2

EVALUAR: La aceleración apunta en la dirección +x, igual que la
fuerza neta. La fuerza neta es constante, así que la aceleración es cons-
tante. Si conocemos la posición y velocidad iniciales de la caja, podre-
mos calcular su posición y velocidad en cualquier instante posterior
con las ecuaciones de movimiento con aceleración constante del capi-
tulo 2.

Cabé senalar que, para obtener a„ no tuvimos que usar la compo-
nente y de la segunda ley de Newton, ecuación (4.8), 2/\> — ma y . Uti-
lizando esta ecuación, ^puede el lector demostrar que la magnitud n
de la fuerza normal en esta situación es igual al peso de la caja?

Ejemplo 4.5

Calculo de la fuerza a partir de la aceleración

Una camarera empuja una botella de salsa de tomate con masa de 0.45
kg a la derecha sobre un mostrador horizontal liso. Al soltarla, la bote-
lla tiene una rapidez de 2.8 m/s, però se frena por la fuerza de fricción
horizontal constante ejercida por el mostrador. La botella se desliza 1 .0 m
antes de detenerse. i, Que magnitud y dirección tiene la fuerza de fric-
ción que actua sobre la botella?

EÜEEJ

IDENTIFICAR: Al igual que el ejemplo anterior, en este problema in-
tervienen fuerzas y aceleración (el frenado de la botella de salsa), así
que usaremos la segunda ley de Newton para resolverlo.

PLANTEAR: Como en el ejemplo 4.4, lo primero es elegir un sistema
de coordenadas e identificar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
(en este caso, la botella de salsa). Como indica la figura 4.19, elegi-
mos el eje +x en la dirección en que se desliza la botella, y toma-
remos como origen el punto donde la botella sale de la mano de la
camarera a 2.8 m/s. En la figura 4. 19 se muestran también las fuerzas
que actúan sobre la botella. La fuerza de fricción / frena la botella,
así que su dirección debe ser opuesta a la dirección de la velocidad
(véase la figura 4.13c).

Nuestra incògnita es la magnitud /de la fuerza de fricción. La ob-
tendremos usando la componente x de la segunda ley de Newton, ecua-
ción (4.8). Para ello, primero necesitamos conocer la componente x de
la aceleración de la botella, a x . No nos dan el valor de a x en el proble-
ma, però nos indican que la fuerza de fricción es constante. Por lo tan-
to, la aceleración también es constante, así que calculamos a x usando
una de las fórmulas para aceleración constante de la sección 2.4. Dado
que conocemos la coordenada x y la velocidad x inicial de la botella

4.19 Nuestro esquema para este problema.

Dibujamos un diagrama para el movimiento de la botella y uno que
muestra las fuerzas sobre la botella.

i

= O.M-5 k^

Gh°

1.0 n.

X

— 1

(x = 0, r; , = 2.8 m/s), así como su coordenada x y velocidad final x
(x = LO m, v x = 0), la ecuación mas fàcil de usar para determinar a x
es la ecuación (2.13), u 2 = L> 2 + 2a x (x — x ü ).

EJECUTAR: Por la ecuación (2.13),

V i = V 0x~ + 2 «A X - *<>)

_ v, 2 - v„; _ (Om/s) 2 - (2.8 m/s) 2
1 2(.ï-.ï„) 2(1.0m-0m)

-3.9 m/s 2

El signo negativo indica que la aceleración es a la izquierda; la veloci-
dad tiene la dirección opuesta a la aceleración, como debe ser, pues la
botella se està frenando. La fuerza neta en la dirección x es — f de
la fuerza de fricción, así que

5X = -/ = ma, = (0.45 kg) ( -3.9 m/s 2 )
= -1.8 kg -m/s 2 = -1.8 N

continua

120

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

Otra vez, el signo negativo indica que la fuerza sobre la botella està di-
rigida a la izquierda. La magnitud de la fuerza de fricción es/= 1.8 N.
Recuerde que ;Ias magnitudes siempre son positivas!

EVALUAR: Elegimos el eje +x en la dirección del movimiento de la
botella, así que a x fue negativa. Para verificar su resultado, lo invita-

mos a repetir el calculo con el eje +x en dirección opuesta al movi-
miento (a la izquierda en la figura 4. 19), así que a x . positiva. En este ca-
so, debería hallar que 2^\ es igual a +/(porque ahora la fuerza de
fricción està en la dirección +x), que a la vez es igual a + 1.8 N. Las
magnitudes de fuerzas que obtenga (que siempre son números positi-
vos) jnunca deberàn depender de los ejes de coordenadas que elija!

4.20 En inglés, slug significa "babosa".
Sin embargo, la unidad inglesa de masa
nada tiene que ver con este animal. Una
babosa de jardín común tiene una masa
de unos 15 gramos, lo que equivale
aproximadamente a 10~ 3 slug.

Tabla 4.2 Unidades de fuerza, masa
y aceleración

Sistemas

de

Fuerza

Masa

Aceleración

SI

newton

(N)

kilogramo
(kg)

m/s 2

cgs

dina
(din)

aramo
(g)

cm/s 2

Britànic o

libra

db)

slug

ft/s"

Notas acerca de las unidades

Conviene hablar un poco acerca de las unidades. En el sistema métrico cgs (que no
usamos aquí), la unidad de masa es el gramo (1CT 3 kg), igual a 1CT 1 kg, y para la dis-
tancia es el centímetro, igual a 1CT 2 m. La unidad cgs de fuerza se llama dina:

1 dina = 1 g ■ cm/s 2 = 1(T 5 N

En el sistema britànico, la unidad de fuerza es la libra (o libra-fuerza) y la unidad de
masa es el slug (figura 4.20). La unidad de aceleración es el pie por segundo al Cua-

1 libra = 1 slug • ft/s 2

La definición oficial de libra es

1 libra = 4.448221615260 newtons

Conviene recordar que una libra es aproximadamente 4.4 N y un newton es aproxi-
madamente 0.22 1b. Otro hecho útil: un cuerpo con una masa de 1 kg tiene un peso de
aproximadamente 2.2 lb en la superfície terrestre.

Las unidades de fuerza, masa y aceleración en los tres sistemas se resumen en la
tabla 4.2.

Evalúe su comprensión de la sección 4.3 Ordene las siguientes situaciones

de acuerdo con la magnitud de la aceleración del objeto, de la mas baja a la mas alta.

í,Hay casos que tengan la misma magnitud de aceleración? i) Sobre un objeto de 2.0 kg actua

una fuerza neta de 2.0 N; ii) sobre un objeto de 2.0 kg actua una fuerza neta de 8.0 N;

iii) sobre un objeto de 8.0 kg actua una fuerza neta de 2.0 N; iv) sobre un objeto de 8.0 kg

actua una fuerza neta de 8.0 N.

4.4 Masa y peso

Act'v
Physics

2.9 Salto con garrocha

Elpeso de un cuerpo es una fuerza que nos es familiar: es la fuerza con que la Tierra
atrae al cuerpo. (Si usted estuviera en otro planeta, su peso seria la fuerza gravita-
cional que ese planeta ejerce sobre usted.) Por desgracia, es común usar incorrecta e
indistintamente los términos masa y peso en la conversación cotidiana. Es absoluta-
mente indispensable que el lector entienda claramente las diferencias entre estàs dos

La masa caracteriza las propiedades inerciales de un cuerpo; es lo que mantiene a
la vajilla en la mesa cuando sacamos el mantel de un tirón. A mayor masa, se necesi-
tarà mas fuerza para causar una aceleración dada; esto se refleja en la segunda ley de
Newton, SF = ma.

El peso, en cambio, es una fuerza ejercida sobre un cuerpo por la atracción de la
Tierra. La masa y el peso estan relacionados: los cuerpos con masa grande tienen un
peso grande. Seria difícil lanzar un penasco por su gran masa, y seria difícil levantar-
lo del suelo por su gran peso.

Para entender la relación entre masa y peso, note que un cuerpo en caída libre tie-
ne una aceleración igual a g y, por la segunda ley de Newton, una fuerza debe produ-
cir esa aceleración. Si un cuerpo de 1 kg cae con una aceleración de 9.8 m/s 2 , la
fuerza requerida tiene la magnitud

F = ma = ( 1 kg) (9.8 m/s 2 ) = 9.8 kg ■ m/s 2 = 9.8 N

4.4 Masa y peso

121

La fuerza que hace que el cuerpo se acelere hacia abajo es su peso. Cualquier cuer-
po con masa de 1 kg, cercano a la superfície de la Tierra, debe tener un peso de 9.8 N
para sufrir la aceleración que observamos en la caída libre. En términos mas genera-
les, un cuerpo de masa m debe tener un peso de magnitud w dada por

mg (magnitud del peso de un cuerpo de masa m)

(4.9)

Por lo tanto, la magnitud w del peso de un cuerpo es directamente proporcional a
su masa m. El peso de un cuerpo es una fuerza, una cantidad vectorial, y podemos es-
cribir la ecuación (4.9) como ecuación vectorial (figura 4.21):

w = mg

(4.10)

Recuerde que g es la magnitud de g, la aceleración debida a la gravedad, así que g
siempre es positiva, por definición. Así, w, dada por la ecuación (4.9) es la magnitud
del peso y también es positiva siempre.

4.21 La relación entre masa y peso.

Cuerpo que cac,
masa m

masa m

Peso

■**"=*

Peso

i mg

2f=o

■ La relación enlre masa y peso es: w = mg.

■ La relación es la misma si un cuerpo està
en caída o estacionario.

CUIDADO El peso de un cuerpo actua en todo momento Es importante entenderque
el peso de un cuerpo actua sobre el cuerpo todo el tiempo, esté en caída libre o no. Si colgamos
un objeto de una cadena, està en equilibrio y su aceleración es cero, però su peso, dado por la
ecuación (4.10) sigue tirando hacia abajo sobre él (figura 4.21). En este caso, la cadena tira del
objeto hacia arriba con una fuerza ascendente. La suma vectorial de las fuerzas es cero, però
el peso continua actuando.

Ejemplo conceptual 4.6

Fuerza neta y aceleración en caída libre

En el ejemplo 2.6 (sección 2.5), se dejó caer una moneda de un euro
desde la Torre Inclinada de Pisa. Si suponemos caída libre, con efec-
tos despreciables de la fricción con el aire, £CÓmo varia la fuerza neta
sobre la moneda conforme esta cae?

E

En caída libre, la aceleración a de la moneda es constante e igual a g.
Por la segunda ley de Newton, la fuerza neta 2f = ma también es
constante e igual a mg, que es el peso w de la moneda (figura 4.22). La
velocidad de la moneda cambia durante la caída, però la fuerza neta
que actua sobre ella permanece constante. Si esto le sorprende, es qui-
zà porque usted aún tiene la idea de "sentido común" errónea de que
una mayor velocidad implica mayor fuerza. Si es así, debería volver a
leer el ejemplo conceptual 4.3.

La fuerza neta sobre una moneda en caída libre es constante inclu-
so si inicialmente se lanza hacia arriba. La fuerza que nuestra mano
ejerce sobre la moneda al lanzarla es una fuerza de contacto, y desapa-

rece apenas la moneda pierde contacto con la mano. De aquí en ade-
lante, la única fuerza que actua sobre la moneda es su peso w.

\$.11 La aceleración de un objeto en caída libre es constante, lo
mismo que la fuerza neta que actua sobre él.

ÏF:

Variación de g con la ubicación

Usaremos g = 9.80 m/s 2 para problemas en la Tierra (o, si los demàs datos del pro-
blema se dan con solo dos cifras significativas, g = 9.8 m/s 2 ). En realidad, el valor de
g varia un poco en diferentes puntos de la superfície terrestre, entre 9.78 y 9.82 m/s 2 ,
porque la Tierra no es perfectamente esfèrica y por los efectos de su rotación y el mo-
vimiento orbital. En un punto donde g = 9.80 m/s 2 , el peso de un kilogramo estàndar
es w = 9.80 N. En un punto donde g = 9.78 m/s 2 , el peso es w = 9.78 N però la ma-
sa sigue siendo 1 kg. El peso de un cuerpo varia de un lugar a otro; la masa no.

Si llevamos un kilogramo estàndar a la superfície lunar, donde la aceleración en
caída libre (igual al valor de g en la superfície lunar) es 1.62 m/s 2 , su peso serà 1.62 N,

122

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4.23 El peso de una masa de 1 kilogramo
a) en la Tierra y b) en la Luna.

En la Tierra:
g = 9.80 m/s 2
w = mg = 9.80 N

En la Luna:
g = 1.62 m/s 2
w = mg = 1.62 N

pero su masa serà aún 1 kg (figura 4.23). Un astronauta de 80.0 kg pesa (80.0 kg)
(9.80 m/s 2 ) = 784 N en la Tierra, pero en la Luna solo pesaria (80.0 kg)(1.62 m/s 2 ) =
130 N. En el capitulo 12 veremos cómo calcular el valor de g en la superfície lunar
o en otros planetas.

Medición de masa y peso

En la sección 4.3 describimos una forma de comparar masas comparando sus acelera-
ciones cuando se someten a la misma fuerza neta. Por lo regular, no obstante, la for-
ma mas fàcil de medir la masa de un cuerpo consiste en medir su peso, generalmente
comparàndolo con un estàndar. Por la ecuación (4.9), dos cuerpos que tienen el mis-
mo peso en cierto lugar también tienen la misma masa. Podemos comparar pesos con
mucha precisión; la conocida balanza de brazos iguales (figura 4.24) puede determi-
nar con gran precisión (hasta 1 parte en 10 6 ) si los pesos de dos cuerpos son iguales y,
por lo tanto, si sus masas lo son. (Este método no funciona en la aparente "gravedad
cero" del espacio exterior. En cambio, aplicamos una fuerza conocida a un cuerpo,
medimos su aceleración y calculamos la masa como el cociente de la fuerza entre la
aceleración. Este método, o una variación, se usa para medir la masa de los astronau-
tas en las estaciones espaciales en òrbita, así como las masas de partículas atómicas y
subatómicas.)

El concepto de masa desempena dos papeles un tanto distintes en mecànica. El pe-
so de un cuerpo (la fuerza gravitacional que actua sobre él) es proporcional a su masa;
podemos llamar masa gravitacional a la propiedad relacionada con interacciones gra-
vitacionales. Por otro lado, podemos llamar masa inercial a la propiedad inercial que
aparece en la segunda ley de Newton. Si estàs dos cantidades fueran distintas, la ace-
leración debida a la gravedad bien podria ser distinta para diferentes cuerpos. Sin em-
bargo, experimentos de gran precisión han concluido que son iguales, con una
precisión mejor que 1 parte en 10 12 .

CUIDADO No confunda masa con peso Frecuentemente podemos usar mal las unidades
del SI para masa y peso en la vida cotidiana. Es muy común decir "esta caja pesa 6 kg". Lo que
queremos decir es que la masa de la caja, la cual quizà se determino indirectamente pesàndola,
es de 6 kg. jTenga cuidado de evitar este error! En el SI, el peso (una fuerza) se mide en new-
tons; y la masa, en kilogramos.

Ejemplo 4.7

Masa y peso

Un Rolls-Royce Phantom de 2.49 X 10 4 N que viaja en la dirección +x
se detiene abruptamente; la componente x de la fuerza neta que actua
sobre él es — 1.83 X 10 4 N. <,Qué aceleración tiene?

EEEH1

IDENTIFICAR: Usaremos otra vez la segunda ley de Newton para
relacionar fuerza y aceleración. Para ello, necesitamos conocer la
masa del automóvil. Sin embargo, dado que el newton es una unidad
de fuerza, sabemos que 2.49 X 10 4 N es el peso del auto, no su masa.
Por lo tanto, tendremos que usar también la relación entre la masa y
el peso de un cuerpo.

PLANTEAR: Nuestra incògnita es la componente x de la aceleración
del automóvil, a x (El movimiento es exclusivamente en la dirección x)
Usaremos la ecuación (4.9) para determinar la masa del auto a partir
de su peso; después, usaremos la componente x de la segunda ley de
Newton, de la ecuación (4.8), para calcular a x ,

EJECUTAR: La masam del auto es

m = —
g

2.49 X 10 4 N 2.49 X 10 4 kg ■ m/s 2

9.80 m/s 2

9.80 m/s 2

Entonces, ^F x = m<3 ¥ nosda

_ S f -y _ -1.83 X 10 4 N
m 2540 kg

= -7.20 m/s 2

1.83 X 10 4 kg-m/s 2
2540 kg

EVALUAR: El signo negativo implica que el vector aceleración apun-
ta en la dirección — x. Esto es lógico: el auto se està moviendo en la
dirección +x y està frenando.

Cabé senalar que esta aceleración también puede escribirse como
-0.735g. Ademàs, -0.735 es el cociente de - 1.83 X 10 4 N (la com-
ponente x de la fuerza neta) y 2.49 X 10 4 N (el peso). Efectivamente,
la aceleración de un cuerpo expresada como múltiplo de g siempre
es igual al cociente de la fuerza neta que actua sobre el cuerpo, entre
su peso. ^Entiende por qué?

2540 kg

4.5 Tercera ley de Newton

123

Evalúe SU comprensíón de la sección 4.4 Suponga que una astronauta llega a un
planeta donde g = 19.6 m/s 2 . En comparación con la Tierra, ^le seria mas fàcil, mas difícil
o igual de fàcil caminar ahí? ^Le seria mas fàcil, màs difícil o igual de fàcil atrapar una
pelota que se mueve horizontalmente a 12 m/s? (Suponga que el traje espacial es un modelo
ligero que no impide en absoluto los movimientos de la astronauta.)

4.5 Tercera ley de Newton

Una fuerza que actua sobre un cuerpo siempre es el resultado de su interacción con
otro cuerpo, así que las fuerzas siempre vienen en pares. No podemos tirar de una pe-
rilla sin que esta tire de nosotros. Al patear un balón de futbol, la fuerza hacia adelan-
te que el pie ejerce sobre él lo lanza en su trayectoria, però sentimos la fuerza que el
balón ejerce sobre el pie. Si pateamos un penasco, el dolor que sentiríamos se debería
a la fuerza que el penasco ejerce sobre el pie.

En todos estos casos, la fuerza que ejercemos sobre el otro cuerpo tiene dirección
opuesta a la que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Los experimentos muestran que, al
interactuar dos cuerpos, las fuerzas que ejercen mutuamente son iguales en magnitud
y opuestas en dirección. Esta es la tercera ley del movimienlo de Newton.

4.24 Una balanza de brazos iguales
determina la masa de un cuerpo (como
una manzana) comparando su peso
con un peso conocido.

K-«*

*-M

"conocido

Tercera ley del movimiento de Newton: si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre
el cuerpo B (una "acción"), entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una "reacción").
Estàs dos fuerzas tienen la niisiiia magnitud però dirección opuesta, y actúan sobre
diferentes cuerpos.

Por ejemplo, en la figura 4.25, F A sobre B es la fuerza aplicada por el cuerpo A (pri-
mer subíndice) sobre el cuerpo B (segundo subíndice), y F B mhlcA es la fuerza aplicada
por el cuerpo B (primer subíndice) sobre el cuerpo A (segundo subíndice). El enun-
ciado matemàtico de la tercera ley es

= -F„

(tercera ley del movimiento de Newton) (4.1 1 )

No importa si un cuerpo es inanimado (como el balón de la figura 4.25) y el otro T
no lo es (como el pateador): necesariamente ejercen fuerzas entre sí que cumplen ■
la ecuación (4.11).

Expresado en palabras, en la tercera ley de Newton, "acción" y "reacción" son las
dos fuerzas opuestas (en la figura 4.25, F AsdbnB y F BsobIcA ), y podemos llamarlas par
acción-reacción. Esto no implica una relación de causa y efecto; podemos considerar
cualquiera de las fuerzas como la "acción", y la otra como la "reacción". A menudo
decimos solo que las fuerzas son "iguales y opuestas" para indicar que tienen igual
magnitud y dirección opuesta.

CUIDADO Las dos fuerzas en un par acción-reacción actúan sobre cuerpos diferentes

Destacamos que las dos fuerzas descritas en la tercera ley de Newton actúan sobre cuerpos dis-
tintos. Esto es importante en problemas que implican la primera o segunda ley de Newton, en
los que actúan fuerzas sobre un cuerpo. Por ejemplo, la fuerza neta que actua sobre el balón de
la figura 4.25 es la suma vectorial del peso del balón y la fuerza F AsobreB ejercida por el pateador.
No incluimos F Ssdba)A porque esta fuerza actua sobre el pateador, no sobre el balón.

4.25 Si el cuerpo A ejerce una fuerza
F A SO bre b sobre el cuerpo B, entonces,
el cuerpo B ejerce una fuerza F B „ bre/ t
sobre el cuerpo A que tiene la misma
magnitud, però dirección opuesta:

F A S obre B ~ ~ F B sobre A-

En la figura 4.25, las fuerzas de acción y reacción son de contacto, y solo existen
cuando dos cuerpos se tocan. Sin embargo, la tercera ley de Newton también es vàli-
da para las fuerzas de largo alcance que no requieren contacto físico, como la de
atracción gravitacional. Una pelota de ping-pong ejerce una fuerza gravitacional ha-
cia arriba sobre la Tierra, igual en magnitud a la fuerza gravitacional que la Tierra
ejerce hacia abajo sobre la pelota. Si dejamos caer la pelota, esta y la Tierra se acele-
ran una hacia la otra. La fuerza neta sobre cada cuerpo tiene la misma magnitud, però
la aceleración de la Tierra es pequenísima porque su masa es tan grande. Y sin em-
bargo, j se mueve!

124

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

Ejemplo conceptual 4.8

cCuàl fuerza es mayor?

Después de que su automóvil deportivo se descompone, usted co-
mienza a empujarlo hacia el taller mecànico mas cercano. Cuando el
auto comienza a moverse, ^cómo es la fuerza que usted ejerce sobre
el auto en comparación con la que éste ejerce sobre usted? <,Y cuando
ya va empujando al auto con rapidez constante?

Esnmaa

En ambos casos, la fuerza que usted ejerce sobre el automóvil es igual
en magnitud y opuesta en dirección a la que el auto ejerce sobre usted.
Es cierto que usted debe empujar con mas fuerza para poner en movi-
miento el auto que para mantenerlo en movimiento; sin embargo, de
cualquier manera el auto lo empuja a usted con tanta fuerza como us-
ted a él. La tercera ley de Newton da el mismo resultado si los cueipos
estan en reposo, moviéndose con velocidad constante o acelerando.

Quizà se pregunte cómo el automóvil "sabé" que debe empujarlo
a usted con la misma magnitud de fuerza que usted ejerce sobre él.
Podria ser útil recordar que las fuerzas que usted y el auto se ejercen
mutuamente en realidad son interacciones entre los àtomos de la
superfície de sus manos y los àtomos de la superfície del auto. Tales
interacciones son anàlogas a diminutos resortes entre àtomos adya-
centes, y un resorte comprimido ejerce fuerzas de la misma magnitud
en ambos extremos.

No obstante, la razón fundamental por la que sabemos que objetos
con distinta masa ejercen fuerzas de la misma magnitud entre sí es que
los experimentos nos demuestran que así es. Nunca debemos olvidar
que la física es algo mas que una mera colección de reglas y ecuacio-
nes; màs bien, es una descripción sistemàtica del mundo natural basa-
da en experimentación y observación.

Ejemplo conceptual 4.9

Aplicación de la tercera ley de Newton: Objetos en reposo

Una manzana està en equilibrio sobre una mesa. iQué fuerzas actúan
sobre ella? (.Cuàl es la fuerza de reacción para cada una de ellas?
^Cuàles son los pares acción-reacción?

EHEE1

La figura 4.26a muestra las fuerzas que actúan sobre la manzana. En
el diagrama, F Tierra sobre mar , zana es el peso de la manzana, es decir, la
fuerza gravitacional hacia abajo ejercida por la Tierra (primer subíndi-
ce) sobre la manzana (segundo subíndice). Asimismo, F mesa stlbre mLinzjnj
es la fuerza hacia arriba ejercida por la mesa (primer subíndice) sobre
la manzana (segundo subíndice).

Al tirar la Tierra de la manzana, esta ejerce una fuerza igualmente
intensa hacia arriba, F manzana Sl)bie Tierra sobre la Tierra como se indica en
la figura 4.26b. F manzana Sübre Tierra y F T]e[Ta sobre manzana son un par acción-
reacción y representan la interacción mútua entre la manzana y la
Tierra, así

Ademàs, la mesa empuja la manzana hacia arriba con fuerza
F mesa sobre manzana^ y l a reacción coiTespondiente es la fuerza hacia
abajo F manzana sobre mesa que la manzana ejerce sobre la mesa (figura
4.26c). De manera que tenemos

Las dos fuerzas que actúan sobre la manzana son F mesa sobre miinziina y
^Tïemi sobre manzaaa- 6 Son un par acción-reacción? No, aunque sean iguales
y opuestas. No representan la interacción de dos cuerpos; son dos fuer-
zas distintas que actúan sobre el mismo cuerpo. Las clos fuerzas de un
par acción-reacción nunca actúan sobre el mismo cuerpo. Veàmoslo
de otra forma. Si quitàramos repentinamente la mesa de debajo de la
manzana (figura 4.26d), las fuerzas F manzana sobre mesa y F mesa sobre mjnzjnil
serían cero, però F mai]zaLia sohíe T , erra y F TierrL1 Sübre manzana seguiran existiendo
(la interacción gravitacional aún estaria presente). Puesto que F mesasobre
manzana ahora es cero, no puede ser el negativo de -F Tjerra Sübre manzana , y es-
tàs fuerzas no pueden ser un par acción-reacción.

4.26 Las dos fuerzas de un par acción-reacción siempre actúan sobre cuerpos distintos.

a) Las fuerzas que actúan
sobre la manzana

b) El par acción-reacción para
la interacción entre la manzana

y la Tierra

c) El par acción-reacción para
la interacción entre la manzana
y la mesa

d) Eliminamos una de las fuerzas
que actúan sobre la manzana

mesa sobre manzana

sobre manzana

manzana sobre Tierra

obre manzana

na sobre Tierra

" Tierra sobre manzana

manzana sobre mesa

, = o

F

Tierra sobre

m.in/an.i

t

manzana sobre
Tierra

Se quita
la mesa

manzana sobre mesa

mesa sobre

man/ana

Los pares acción-reacción siempre representan
una interacción de dos objetos distintos.

Las dos fuerzas sobre la manzana
no pueden ser un par acción-reacción
porque actúan sobre el mismo objeto.
Vemos que si eliminamos uno, el otro
permanece.

4.5 Tercera ley de Newton

125

Ejemplo conceptual 4.10

Aplicación de la tercera ley de Newton: Objetos en movimiento

Un cantero (picapedrero) arrastra un bloque de màrmol sobre un piso
tirando de una cuerda atada al bloque (figura 4.27a). El bloque podria
estar o no en equilibrio. i, Que relaciones hay entre las diversas fuer-
zas? ^Cuàles son los pares acción-reacción?

EÜEEJ

Usaremos subíndices en todas las fuerzas por claridad: B para el blo-
que, R para la cuerda y M para el hombre. El vector F M sobre R represen-
ta la fuerza ejercida por el hombre sobre la cuerda; su reacción es la
fuerza igual y opuesta F R sobre M ejercida por la cuerda sobre el hombre.
El vector F R sobre B es la fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque;
su reacción es la fuerza igual y opuesta F B Sübre R que el bloque ejerce
sobre la cuerda. Por estos dos pares acción-reacción (figura 4.27b), te-
nemos

Tenga claro que las fuerzas F M sobre R yF B sobre R no son un par ac-
ción-reacción (figura 4.27c); ambas actúan sobre el mismo cuerpo (la
cuerda); una acción y su reacción siempre deben actuar sobre cuerpos
distintos. Ademas, las fuerzas F M sobre R y F B Sl)bre R no necesariamente
tienen la misma magnitud. Si aplicamos la segunda ley de Newton a la
cuerda, obtenemos

2* !

+ F R

"cuerda" cuerda

Si el bloque y la cuerda tienen una aceleración (es decir, si su rapidez
està aumentando o disminuyendo), la cuerda no està en equilibrio y
Fm sobre r deberà tener distinta magnitud que F B Sl)bre R . En contraste, las
fuerzas de acción-reacción F M sobre R yF R sobre M siempre tienen la mis-
ma magnitud, al igual que F R sobre B y F B sobre R . La tercera ley de New-
ton se cumple, estén los cuerpos acelerando o no.

En el caso especial en que la cuerda està en equilibrio, las fuerzas
Fm sobte r y F B sobre r tienen igual magnitud; però esto es un ejemplo
de la primera ley de Newton, no de la tercera. Otra forma de ver esto
es que, en el equilibrio, fl cuerda = en la ecuación anterior. Entonces,
^b sobre r — — F M sobre r P or ia primera o la segunda ley de Newton.

Esto se cumple también si la cuerda està acelerando però tiene
masa insignificante en comparación con el bloque o el hombre. En
este caso, m^^ = en la ecuación anterior y, otra vez, F B sobre c =
-F M sobre r- Puesto que F B sobre R siempre es igual a -F R Sübre B por la
tercera ley de Newton (son un par acción-reacción), en estos mismos
casos especiales F R sobre B es igual a F M Sübre R (figura 4.27d), es decir,
la fuerza de la cuerda sobre el bloque es igual a la del hombre sobre la
cuerda y podemos pensar que la cuerda "transmite"' al bloque, sin cam-
bio, la fuerza que la persona ejerce sobre la cuerda. Esta perspectiva
es útil, però hay que recordar que solo es vàlida si la cuerda tiene
masa insignificante o està en equilibrio.

Si hasta aquí se siente abrumado con los subíndices, no se desani-
me. Repase la explicación comparando los símbolos con los diagramas
vectoriales, hasta asegurarse de que entiende todo.

4.27 Identificación de las fuerzas que actúan cuando un hombre tira de una cuerda atada a un bloque.

a) El bloque, la cuerda y el hombre b) Los pares acción-reacción c) No hay par acción-reacción d) No necesariamente igual

Fr sobre M ^M sobre R

^B sobre R F R sobre E

'■'..-•+ Fm

Estàs fuerzas no constituyen
un par acción-reacción porque
actúan sobre el mismo objeto
(la cuerda).

^^S

^R sobren:^

Estàs fuerzas son iguales solo si

la cuerda està en equilibrio

(o puede considerarse sin masa).

Ejemplo conceptual 4.11

cllna paradoja de la tercera ley de Newton?

En el ejemplo conceptual 4.10 vimos que el cantero tira de la combina-
ción cuerda-bloque con la misma fuerza con que esa combinación tira
de él. (,Por qué, entonces, se mueve el bloque mientras el hombre per-
manece estacionario?

EI

1

La solución a esta aparente contradicción radica en la diferencia entre
la segunda ley de Newton y la Tercera. Las únicas fuerzas que intervie-
nen en la segunda ley son las que actúan sobre el cuerpo en cuestión.
La suma vectorial de esas fuerzas determina la forma en que ese cuerpo
se acelera (y si se acelera o no). En contraste, la tercera ley de Newton

relaciona las fuerzas que dos cuerpos distintos ejercen uno sobre el
otro. La tercera ley, por sí sola, nada nos dice acerca del movimiento
de cualquiera de los dos cuerpos.

Cuando la combinación cuerda-bloque inicialmente està en reposo,
comenzarà a deslizarse si la fuerza que ejerce el cantero F M sobre R es
mayor que la fuerza de fricción que el piso ejerce sobre el bloque (fi-
gura 4.28). (El bloque de màrmol tiene base lisa, lo cual ayuda a redu-
cir la fricción.) Por lo tanto, hay una fuerza neta sobre la combinación
cuerda-bloque hacia la derecha, de manera que acelera hacia la dere-
cha. En contraste, el cantero no se mueve porque la fuerza neta que ac-
tua sobre él es cero. Dado que el hombre tiene zapatos con suelas

continua

126

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

antiderrapantes que no se resbalan sobre el piso, la fuerza de fricción
que el piso ejerce sobre él es suficiente para equilibrar exactamente el
tirón de la cuerda, F R sobre M . (Tanto el bloque como el hombre experi-
mental! también una fuerza de gravedad hacia abajo y una fuerza nor-
mal hacia arriba ejercida por el piso, las cuales se equilibran entre sí y
se anulan, por lo que no se incluyeron en la figura 4.28.)

Una vez que el bloque esté en movimiento, el hombre no tendra
que tirar con tanta fuerza; solo deberà desarrollar la fuerza suficiente
para equilibrar exactamente la fuerza de fricción sobre el bloque. En-
tonces, la fuerza neta sobre el bloque en movimiento serà cero, y el
bloque se seguirà moviendo hacia el hombre con velocidad constante,
en concordancia con la primera ley de Newton.

Concluimos que el bloque se mueve mientras el hombre no lo hace
debido a que las correspondi entès fuerzas de fricción son diferentes. Si
el piso estuviera recién encerado, de modo que la fricción entre el piso
y los zapatos del cantero fuera pequena, el tirón de la cuerda haría que
el bloque empezara a deslizarse a la derecha v él comenzaría a desli-
zarse hacia la izquierda.

La moraleja de este ejemplo es que, al analizar el movimiento de
un cuerpo, solo debemos considerar las fuerzas que actúan sobre ese

4.28 Las fuerzas horizontales que actúan sobre la combinación
bloque-cuerda (izquierda) y el hombre (derecha). (No se muestran
las fuerzas verticales.)

Fuerza de
fricción
del piso sobre
el bloque \

Estàs fuerzas constituyen un par acción-reacción.

Tienen la misma magnitud però actúan sobre

objetos distintos.

/ \ Fuerza de

fricción del
piso sobre
el hombre

Bloque

mas cuerda
El bloque sigue deslizàndose si

F M sobre R vence ia fuerza de

fricción sobre el bloque.

Hombre

El hombre permanece en reposos si
F R sobre M se equilibra por la fuerza
de fricción sobre el hombre.

cuerpo. Desde esta perspectiva, la tercera ley de Newton es meramente
una herramienta que nos ayuda a identificar las fuerzas.

Un cuerpo, como la cuerda de la figura 4.27, al cual se aplican fuerzas que tiran de
sus extremos, està en tensión. La tensión en cualquier punto es la magnitud de la
fuerza que actua en él (véase la figura 4.2c). En la figura 4.27b, la tensión en el extre-
mo derecho de la cuerda es la magnitud de F M sobre R (o de F R sobre M ), y en el izquierdo,
la de F B sobre c (o de F c sobre B ). Si la cuerda està en equilibrio y solo actúan sobre ella
fuerzas en sus extremos, la tensión es igual en ambos extremos y en toda la cuerda.

Por lo tanto, si las magnitudes de F B sobre R y F ■

M sobre R

son de 50 N, la tensión en la

^M sobre R ^^ ^CtÚa

cuerda es 50 N (no 100 N). El vector de fuerza total F B sobre R + F M
sobre la cuerda en este caso jes cero!

Hacemos hincapié una vez mas en una verdad fundamental: las dos fuerzas de un
par acción-reacción nunca actúan sobre el mismo cuerpo. Recordar este sencillo he-
cho a menudo le ayudarà a evitar confusiones acerca de los pares acción-reacción y la
tercera ley de Newton.

Evalúe su comprensión de la sección 4.5 Imagine que conduce su automóvil por
un camino rural y un mosquito se estrella contra el parabrisas. (,Qué tiene mayor magnitud,
la fuerza que el auto ejerció sobre el mosquito o la que éste ejerció sobre el vehículo? ^.O son
iguales las magnitudes? Si son diferentes, ^cómo podemos conciliar este hecho con la tercera
ley de Newton? Si son iguales, ^por qué el mosquito se aplasta y el auto no sufre danos?

Actv

1 ONLINE

Magnitudes de fuerza

4.6 Diagramas de cuerpo libre

Las tres leyes del movimiento de Newton contienen todos los principios bàsicos que
necesitamos para resolver una amplia variedad de problemas de mecànica. Estàs
leyes tienen un planteamiento sencillo; sin embargo, el proceso de aplicarlas a situa-
ciones específicas puede constituir un verdadero reto. En esta breve sección mencio-
naremos algunas ideas y técnicas que pueden usarse en cualquier problema en que
intervengan las leyes de Newton. El lector aprendera otras en el capitulo 5, que ex-
tiende el uso de las leyes de Newton a situaciones mas complicadas.

1. Las leyes primera y segunda de Newton se refieren a un cuerpo especifico. Al
usar la primera ley de Newton, 2F = 0, en una situación de equilibrio, o la se-
gunda, 2F = ma, en una situación sin equilibrio, debemos decidir desde un

4.6 Diagramas de cuerpo libre

127

principio a qué cuerpo nos estamos refiriendo. Esta decisión tal vez parezca tri-
vial, però no lo es.

Solo importem las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La sumatoria 2F inclu-
ye todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. Por lo tanto, una
vez que usted haya elegido el cuerpo que analizarà, tendra que identificar todas
las fuerzas que actúan sobre el. No se confunda entre las fuerzas que actúan so-
bre un cuerpo y las fuerzas que éste ejerce sobre algun otro. Por ejemplo, para
analizar a una persona que camina, incluiríamos en 2F la fuerza que el suelo
ejerce sobre la persona al caminar, però no la fuerza que la persona ejerce sobre
el suelo (figura 4.29). Estàs fuerzas forman un par acción-reacción y estan rela-
cionadas por la tercera ley de Newton; però en 2-F solo entra el miembro del
par que actua sobre el cuerpo que se esté considerando.

Los diagramas de cuerpo libre son indispensables para identificar las fuerzas
pertinentes. Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama que muestra el
cuerpo elegido solo, "libre" de su entomo, con vectores que muestren las mag-
nitudes y direcciones de todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo por todos
los cuerpos que interactúan con él. Ya mostramos algunos diagramas de cuerpo
libre en las figuras 4.18, 4.19, 4.21 y 4.26a. No olvide induir todas las fuerzas
que actuen sobre el cuerpo, y cuídese también de no incluir fuerzas que el cuer-
po ejerza sobre otro cuerpo. En particular, las dos fuerzas de un par acción-
reacción nunca deben aparecer en el mismo diagrama de cuerpo libre, porque
nunca actúan sobre el mismo cuerpo. Tampoco se incluyen las fuerzas que un
cuerpo ejerce sobre sí mismo, ya que éstas no pueden afectar su movimiento.

CUIDADO Fuerzas en los diagramas de cuerpo libre Al terminar de dibujar un diagra-
ma de cuerpo libre, usted debe ser capaz de contestar, para cada fuerza, la pregunta: '7,qué otro
cuerpo està aplicando dicha fuerza?" Si no puede responderla, tal vez està tratando con una
fuerza inexistente. Cuídese sobre todo de evitar fuerzas ficticias como "la fuerza de acelera-
ción" o "la fuerza nia"-, que mencionamos en la sección 4.3.

Si en un problema intervienen dos o mas cuerpos, hay que descomponer el proble-
ma y dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo. Por ejemplo, en la figura
4.27c hay un diagrama de cuerpo libre aparte para la cuerda en el caso en que esta se
considera sin masa (no actua fuerza gravitacional sobre ella). La figura 4.28 también
muestra diagramas para el bloque y el cantero; sin embargo, estos no estan completos
porque no muestran todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. (Omitimos las
fuerzas verticales: la fuerza del peso ejercida por la Tierra y la fuerza normal hacia
arriba ejercida por el piso.)

La figura 4.30 de la pàgina 128 presenta algunas situaciones reales y los diagramas
de cuerpo libre correspondientes. Observe que en cada situación una persona ejerce
una fuerza sobre algo de su entomo; però la fuerza que se destaca en el diagrama de
cuerpo libre de la persona es la reacción de los alrededores sobre la persona.

4.29 El simple acto de caminar depende
esencialmente de la tercera ley de Newton.
Para iniciar el movimiento hacia adelante,
empujamos el suelo hacia atràs con el pie.
En reacción, el suelo empuja nuestro
pie (y por lo tanto todo nuestro cuerpo)
hacia adelante con una fuerza de la misma
magnitud. Esta fuerza externa, aplicada
por el suelo, es la que acelera nuestro

Evalúe su comprensión de la sección 4.6 La fuerza de flotabilidad que

se muestra en la figura 4.30c es una mitad de un par acción-reacción. ,;,Cuàl fuerza

es la otra mitad de este par? i) el peso del buzo; ii) la fuerza de empuje hacia delante;

iii) la fuerza de arrastre hacia atràs; iv) la fuerza hacia abajo que el buzo ejerce sobre el agua

v) la fuerza hacia atràs que el buzo ejerce sobre el agua al patalear.

128

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4.30 Ejemplos de diagramas de cuerpo libre. En cada caso, el diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas externas que actúan
sobre el objeto en cuestión.

b)

bloque sobre corredora

La fuerza del bloque de salida sobre
la corredora tiene una componente
vertical que contrarresta su peso y una
componente horizontal grande que
la acelera.

un objeto en caída libre.

Para saltar, este jugador

empujarà hacia abajo

contra el piso,

incrementando

la fuerza de reacción

hacia arriba n del piso

sobre él.

,** empuje

El pataleo causa que el agua
ejerza una fuerza de reacción
hacia delante, o empuje, sobre
el buzo.

..•El agua ejerce una fuerza de flotabilidad
_*' que contrarresta el peso del buzo.

1 l"lnl;ihiliHnH

El empuje es contrarrestado por
las fuerzas de arrastre ejercidas
por el agua sobre el movimiento del buzo.

CAPÍTULO 4 RESUMEN

Fuerza como vector: La fuerza es una medida cuantitativa
de la interacción de dos cuerpos. Es una cantidad vectorial.
Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, el efecto sobre su
movimiento es igual al que se da cuando una sola fuerza,
igual a la suma vectorial (resultante) de las fuerzas, actua
sobre el cuerpo. (Véase el ejemplo 4.1.)

F { + F 2 + F 3 + '

2^ (4.1)

r^

La fuerza neta sobre un cuerpo y la primera ley de

Newton: La primera ley de Newton dice que, si la suma
vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
(la fuerza neta) es cero, el cuerpo està en equilibrio y tiene
aceleración cero. Si el cuerpo està inicialmente en reposo,
permanece en reposo; si està inicialmente en movimiento,
sigue moviéndose con velocidad constante. Esta ley solo
es vàlida en marços de referència inerciales. (Véanse los
ejemplos 4.2 y 4.3.)

2f = o

(4.3)

Ma sa, aceleración y segunda ley de Newton:

Las propiedades inerciales de un cuerpo se caracterizan
por su masa. La aceleración de un cuerpo bajo la acción de
un conjunto de fuerzas dado es directamente proporcional
a la suma vectorial de las fuerzas (la fuerza neta) e
inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
Esta relación es la segunda ley de Newton. Al igual que
la primera ley, esta solo es vàlida en marços de referència
inerciales. La unidad de fuerza se define en términos de
las unidades de masa y aceleración. En el SI, la unidad
de fuerza es el newton (N), igual a 1 kg • m/s 2 . (Véanse
los ejemplos 4.4 y 4.5.)

2^ = <
2^ =

2*v =
21 =

(4.7)

(4.8)

a = %FJn

Masa m

Peso: El peso w de un cuerpo es la fuerza gravitacional
ejercida sobre él por la Tierra. El peso es una cantidad
vectorial. La magnitud del peso de un cuerpo en un lugar
dado es igual al producto de su masa m y la magnitud de
la aceleración debida a la gravedad g en ese lugar.
Mientras que el peso de un cuerpo depende de su
ubicación, la masa es independiente de la ubicación.
(Véanse los ejemplos 4.6 y 4.7.)

w = mg

(4.9)

w = mg

Tercera ley de Newton y pares acción-reacción: La tercera
ley de Newton dice que cuando dos cueipos interactúan,
se ejercen mutuamente fuerzas que en todo instante son
iguales en magnitud y opuestas en dirección. Estàs fuerzas
se denominan fuerzas de acción-reacción y cada una actua
solo sobre uno de los dos cuerpos; nunca actúan sobre
el mismo cuerpo. (Véanse los ejemplos 4.8 a 4.11.)

(4.11

129

130

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

Términos clave

dinàmica, 707

leyes del movimiento de Newton, 107

mecànica clàsica (newtoniana), 707

fuerza, 108

fuerza de contacto, 108

fuerza normal, 108

fuerza de fricción, 108

fuerza de tensión, 108

fuerzas de largo alcance, 108

peso, 108

superposición de fuerzas, 709

fuerza neta, 770

primera ley del movimiento de Newton, 777

inèrcia, 772

equilibrio, 772

marco de referència inercial, 113

masa, 776

kilogramo, 776

newton, 776

segunda ley del movimiento de Newton, 777

tercera ley del movimiento de Newton, 123

par acción-reacción, 123

tensión, 726

diagrama de cuerpo libre, 727

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo :

La tercera ley de Newton nos dice que el niho sentado (a quien llamare-
mos Raymundo) empuja sobre el niho que està de pie (a quien llama-
remos Esteban) justo tan fuerte como Esteban empuja a Raymundo, pera
en la dirección opuesta. Esto es valido si Raymundo empuja "acti-
vamente" sobre Esteban (por ejemplo, si Raymundo empujó su mano
contra Esteban) o "pasivamente" (si la espalda de Raymundo es la que
empuja, como en la fotografia con que inicia el capitulo). Las magnitu-
des de fuerza serían mayores en el caso "activo" que en el caso "pasivo",
pera de cualquier modo, el empuje de Raymundo sobre Esteban es tan
fuerte como el empuje de Esteban sobre Raymundo.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

4.1 Respuesta: iv) La fuerza gravitacional sobre el bloque apunta di-
recto hacia abajo. En la figura 4.6 el eje x apunta hacia arriba a la dere-
cha, y el eje y apunta hacia arriba a la izquierda. Por lo tanto, la fuerza
gravitacional tiene tanto una componente x como una componente y, y
ambas son negativas.

4.2 Respuesta: i), ii) y iv) En i), ii) y iv) el cuerpo no acelera, por lo
cual la fuerza neta sobre él es cero. En la situación iv), la caja perma-
nece estacionaria o en reposo, vista en el marco de referència inercial
del suelo, mientras el camión acelera hacia adelante, como la patinado-
ra de la fig. 4.11a. En la situación iii), el halcón se mueve en un circu-
lo; por lo tanto, està acelerando y no està en equilibrio.

4.3 Respuesta: iii), i) y iv) (empatados), ii) La aceleración es igual a
la fuerza neta dividida entre la masa. Por lo tanto, la magnitud de la
aceleración en cada situación es

\)a= (2.0N)/(2.0kg) = 1.0 m/s 2 ;
ïï)a= (8.0N)/(2.0N) = 4.0 m/s 2 ;
iii) a = (2.0N)/(8.0kg) = 0.25 m/s 2 ;
W)a = (8.0N)/(8.0kg) = 1.0 m/s 2 .

4.4 La astronauta requeriria esforzarse el doble para caminar porque su
peso en ese planeta seria el doble que en la Tierra. En cambio, seria
igualmente fàcil atrapar la pelota que se mueve horizontalmente. La
masa de la pelota no cambia, así que la fuerza horizontal que la astro-
nauta tendría que ejercer para detenerla (esto es, para impartirle la mis-
ma aceleración) seria la misma que en la Tierra.

4.5 Por la tercera ley de Newton, las dos fuerzas tienen la misma mag-
nitud. Puesto que la masa del automóvil es mucho mayor que la del
mosquito, el vehículo sufre una aceleración minúscula, imperceptible,
en respuesta a la fuerza del impacto. En cambio, el mosquito, con su
masa tan pequena, sufre una aceleración catastróficamente alta.

4.6 Respuesta: iv) La fuerza de flotabilidad es una fuerza hacia arriba
que el agita ejerce sobre el buzo. Por la tercera ley de Newton, la otra
mitad del par acción-reacción es una fuerza hacia abajo que el buzo
ejerce sobre el agita y tiene la misma magnitud que la fuerza de flota-
bilidad. Es cierto que el peso del buzo es también hacia abajo y tiene la
misma magnitud que la fuerza de flotabilidad; sin embargo, el peso ac-
tua sobre el mismo cuerpo (el buzo) que la fuerza de flotabilidad y, por
lo tanto, estàs fuerzas no constituyen un par acción-reacción.

PROBLEMAS

Para la tarea asignada por el profesor, visite www.masteringphysics.com (MP

Preguntas para anàlisis

P4.1. ^Un cuerpo puede estar en equilibrio si solo una fuerza actua so-
bre él? Explique su respuesta.

P4.2. Una bola lanzada verticalmente hacia arriba tiene velocidad cero
en su punto màs alto. ^Està en equilibrio ahí? i,Por que?
P4.3. Un globo con helio se mantiene en el aire sin ascender ni des-
cender. i,Està en equilibrio? <;,Qué fuerzas actúan sobre él?
P4.4. Al volar en un avión de noche en aire tranquilo, no tenemos sen-
sación de movimiento, aunque el avión vaya a 800 km/h (500 mi/h).
^Por qué?

P4.5. Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con fuerzas
de igual magnitud y dirección opuesta, ^,por qué la tensión en la cuerda
total no es cero?

P4.6. Imagine que ata un ladrillo al extremo de una cuerda y lo
hace girar alrededor de usted en un circulo horizontal. Describa la
trayectoria del ladrillo después de que usted repentinamente suelta
la cuerda.

P4.7. Si un automóvil se detiene repentinamente, los pasajeros tienden
a moverse hacia adelante, en relación con sus asientos. ^Por qué? Si el
auto da una vuelta abrupta, los pasajeros tienden a deslizarse hacia un

P4.8. Algunas personas dicen que la "fuerza de la inèrcia" (o la "fuer-
za del ímpetu' 1 ) lanza a los pasajeros hacia adelante cuando un auto-
móvil frena abruptamente. <,Qué error tiene esa explicación?
P4.9. Un pasajero de un autobús en movimiento, sin ventanillas, ve
que una pelota que estaba en reposo en el pasillo comienza a moverse
repentinamente hacia atràs. Piense en dos posibles explicaciones y en
cómo decidir cuàl es correcta.

P4.10. Suponga que usted elige como unidades fundamentales del SI
fuerza, longitud y tiempo, en vez de masa, longitud y tiempo. (,Qué
unidades tendría la masa en términos de las unidades fundamentales?
P4.ll. En la Antigüedad, algunos griegos creían que el "estado natural"
de un objeto era estar reposo, por lo que los objetos buscarían su estado
natural llegando al reposo si se les dejaba solos. Explique porque esta
visión parecería realmente muy convincente en el mundo actual.

Ejercicios

131

P4.12. i,Por qué es la Tierra solo un marco de referència aproximada-
mente inercial?

P4.13. ^La segunda ley de Newton se cumple para un observador en
una vagoneta que acelera, frena o da vuelta? Explique su respuesta.
P4.14. Algunos estudiantes llaman "fuerza de aceleración" a la canti-
dad ma. £Es correcto decir que esa cantidad es una fuerza? En tal caso,
i,qué ejerce dicha fuerza? Si no, ^cómo puede describirse mejor esta

P4.15. La aceleración de un cuerpo que cae se mide en un elevador que
viaja hacia arriba a una rapidez constante de 9.8 m/s. i, Qué resultado
se obtiene?

P4.16. Podemos jugar a atrapar pelotas en un autobús que se mueve
con rapidez constante en un camino recto, igual que si estuviera en re-
poso. ^Podemos hacerlo si el autobús da vuelta con rapidez constante
en un camino horizontal? <,Por qué?

P4.17. Algunos estudiantes afirman que la fuerza de gravedad sobre un
objeto es de 9.8 m/s 2 . ^.Qué es incorrecto en este punto de vista?
P4.18. La cabeza de un martillo se està aflojando de su mango de ma-
dera. ^Cómo golpearía el mango contra una acera de concreto para
apretar la cabeza? <,Por qué funciona esto ?

P4.19. (,Por qué puede doler mas patear un penasco que un guijarro?
^El penasco debe doler mas ? Explique su respuesta.
P4.20. "No es la caída lo que lastima, es la parada repentina al fi-
nal". Traduzca este dicho al lenguaje de las leyes del movimiento de
Newton.

P4.21. Una persona puede clavarse en agua desde una altura de 10 m
sin lastimarse, però si salta desde un edificio de 10 m y cae en una
acera de concreto, seguramente se lastimarà mucho. ^,A qué se debe
la diferencia?

P4.22. (,Por qué por seguridad los automóviles se diseíïan de tal forma
que se aplasten por el frente y por detràs? ^Y por qué no para choques

P4.23. Al dispararse una bala de un rifle, £cuàl es el origen de la fuerza
que acelera la bala?

P4.24. Si un peso grande se levanta con un cordel que apenas lo resis-
te, es posible ievantarlo tirando uniformemente; però si se da un tirón
repentino, el cordel se rompé. Explique esto en términos de las leyes
del movimiento de Newton.

P4.25. Una caja grande cuelga del extremo de una cuerda vertical. ^La
tensión en la cuerda es mayor cuando la caja està en reposo o cuando
sube con rapidez constante? Si la caja sube, £la tensión en la cuerda es
mayor cuando està acelerando o cuando està frenando? En cada caso,
explique en términos de las leyes del movimiento de Newton.
P4.26. ^Cuàl siente un mayor tirón por la gravedad terrestre, una pie-
dra de 10 kg o una piedra de 20 kg? Si usted las deja caer, £por qué la
piedra de 20 kg no cae con el doble de la aceleración que la piedra de
10 kg? Explique su razonamiento.

P4.27. í,Por qué no debemos decir que 1.0 kg es igual a 2.2 lb?
P4.28. Un caballo està enganchado a un carro. Puesto que el carro tira
hacia atràs del caballo tan fuerte como éste tira del carro, ^por qué el
carro no està en equilibrio, sin importar qué tan fuerte el caballo tire
del carro?

P4.29. ^Verdadero o falso? Usted ejerce un empujón P sobre un objeto
y éste lo empuja a usted hacia atràs con una fuerza F. Si el objeto se
mueve a velocidad constante, entonces, F es igual a P, però si el objeto
acelera, entonces, P debe ser mayor que F.

P4.30. Un camión grande (T) y un automóvil compacto (C) chocan de
frente y el camión ejerce una fuerza F T sobre c sobre el auto, y éste ejer-

ce una fuerza F c

r sobre el camión. ^,Cuàl fuerza tiene mayor mag-

nitud, o son iguales? ^,Su respuesta depende de la rapidez de cada
vehículo antes del choque? ^Por qué?

P4.31. Cuando un automóvil se detiene en una carretera horizontal,
<,qué fuerza hace que frene? Cuando el auto aumenta su rapidez en la
misma carretera, ^qué fuerza hace que acelere? Explique su respuesta.

P4.32. Un automóvil compacto empuja una camioneta grande averia-
da, y viajan por la carretera con la misma velocidad y aceleración.
Cuando el auto acelera, ^la fuerza que ejerce sobre la camioneta es
mayor, menor o de la misma magnitud que la camioneta ejerce sobre
él? ^A cuàl vehículo se aplica la mayor fuerza neta, o son iguales las
fuerzas netas? Explique su respuesta.

P4.33. Considere dos personas que tiran en direcciones opuestas de
los extremos de una cuerda. Por la tercera ley de Newton, la fuerza
que A ejerce sobre B es tan grande como la que B ejerce sobre A.
Entonces, ^qué determina quién gana? {Sugerencia: dibuje un diagra-
ma de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre

P4.34. En la Luna, g = 1.62 m/s 2 . Si un ladrillo de 2 kg cae sobre
su pie desde una altura de 2 m, £le dolerà màs, menos o lo mismo en
la Luna que en la Tierra? Explique su respuesta. Si se lanza el mismo
ladrillo y lo golpea a usted moviéndose horizontalmente a 6 m/s, le
dolerà màs, menos o igual en la Luna que en la Tierra? Explique su
respuesta. (En la Luna, suponga que està dentro de un recinto presu-
rizado, así que no usa traje espacial.)

P4.35. Un manual para aprendices de pilotos indica: "cuando un avión
vuela a una altitud constante, sin ascender ni descender, la fuerza de
sustentación de las alas es igual al peso del avión. Cuando el avión as-
ciende a ritmo constante, la sustentación es mayor que el peso; cuando
el avión desciende a ritmo constante, la sustentación es menor que el
peso". (,Son correctas estàs afirmaciones? Explique su respuesta.
P4.36. Si usted tiene las manos mojadas y no dispone de una toalla,
puede eliminar el exceso de agua sacudiéndolas. <,Por qué se elimina el
agua así?

P4.37. Si està en cuclillas (digamos, al examinar los libros del estante
màs bajo en una biblioteca o librería) y se para repentinamente, pro-
bablemente sentirà un mareo temporal. ^Cómo explican las leyes del
movimiento de Newton este suceso?

P4.38. Cuando un automóvil es golpeado por atràs, los pasajeros sien-
ten un latigazo. Use las leyes del movimiento de Newton para explicar
este fenómeno.

P4.39. En un choque de frente entre dos automóviles, los pasajeros
que no usan cinturón de seguridad podrían ser lanzados a través del
parabrisas. Use las leyes del movimiento de Newton para explicar este
fenómeno.

P4.40. En un choque de frente entre un automóvil compacto de 1 000 kg
y uno grande de 2500 kg, ^cuàl experimenta mayor fuerza? Explique
su respuesta. ^Cuàl experimenta mayor aceleración? ^Por que? Ahora
explique por qué los pasajeros del auto màs pequeno tienen mayor pro-
babilidad de lesionarse que los del auto grande, aunque las carrocerías
de ambos vehículos tengan la misma resistència.
P4.41. Suponga que està en un cohete sin ventanillas que viaja en el
espacio profundo, lejos de cualquier otro objeto. Sin ver hacia fuera
del cohete y sin hacer contacto alguno con el mundo exterior, explique
cómo podria determinar si el cohete: a) se mueve hacia adelante con
una rapidez constante igual al 80% de la de la luz; b) està acelerando

Ejercicios

Sección 4.1 Fuerza e interacciones

4.1. Dos fuerzas tienen la misma magnitud F. i, Qué àngulo hay entre
los dos vectores si su resultante tiene magnitud a) 2F? b) V 2F? c) ce-
ro ? Dibuje los 3 vectores en cada situación.

4.2. En vez de usar los ejes x y y de la figura 4.8 para analizar la si-
tuación del ejemplo 4.1, use ejes girados 37.0° en el sentido antihorario,
de modo que el eje y sea paralelo a la fuerza de 250 N. a) Para estos
ejes, obtenga las componentes x y y de la fuerza neta sobre el cinturón.
b) Use esas componentes para obtener la magnitud y dirección de la
fuerza neta. Compare sus resultados con los del ejemplo 4.1.

132

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4.3. Un almacenista empuja una caja por el piso, como se indica en
la figura 4.31, con una fuerza de 10 N que apunta 45° hacia abajo
de la horizontal. Obtenga las componentes horizontal y vertical de
la fuerza.

Figura 4.31 Ejercicio 4.3.

Figura 4.32 Ejercicio 4.4.

4.4. Un hombre arrastra hacia
arriba un baúl por la rampa de un
camión de mudanzas. La rampa
esta inclinada 20.0° y el hombre
tira con una fuerza F cuya direc-
ción forma un àngulo de 30.0° con
la rampa (figura 4.32). d) <,Qué F
se necesita para que la compo-
nente F x paralela a la rampa sea
de 60.0 N? b) iQxxé magnitud
tendra entonces la componente
F y perpendicular a la rampa?

4.5. Dos perros tiran horizontalmente de cuerdas atadas a un poste; el
àngulo entre las cuerdas es de 60.0°. Si el perro A ejerce una fuerza de
270 N, y el B, de 300 N, calcule la magnitud de la fuerza resultante y
su àngulo con respecto a la cuerda del perro A.

4.6. Dos fuerzas, F l y F 2 , actúan sobre un punto. La magnitud de
F] es de 9.00 N, y su dirección es de 60.0° sobre el eje x en el se-
gundo cuadrante. La magnitud de F 2 es 6.00 N, y su dirección es
53.1° bajo el eje x en el tercer cuadrante. a) Obtenga las componentes
X y y de la fuerza resultante. b) Obtenga la magnitud de la fuerza
resultante.

Sección 4.3 Segunda ley de Newton

4.7. Si se aplica una fuerza neta horizontal de 132 N a una persona de
60 kg que descansa en el borde de una alberca, <;,qué aceleración hori-
zontal se produce?

4.8. <;,Qué fuerza neta se requiere para impartir a un refrigerador de
135 kg una aceleración de 1.40 m/s 2 ?

4.9. Una caja descansa sobre un estanque helado que actua como su-
perfície horizontal sin fricción. Si un pescador aplica una fuerza hori-
zontal de 48.0 N a la caja y produce una aceleración de 3.00 m/s 2 , £qué
masa tiene la caja?

4.10. Un estibador aplica una fuerza horizontal constante de 80.0 N
a un bloque de hielo en reposo sobre un piso horizontal, en el que la
fricción es despreciable. El bloque parte del reposo y se mueve 11.0 m
en 5.00 s. a) (,Qué masa tiene el bloque? b) Si el trabajador deja de
empujar a los 5.00 s, que distancia recorrerà el bloque en los siguien-
tes5.00s?

4.11. Un disco de hockey con masa de 0.160 kg està en reposo en el
origen (x = 0) sobre la pista, que es y sin fricción. En el tiempo t = 0,
un jugador aplica una fuerza de 0.250 N al disco, paralela al eje x,
y deja de aplicaria en / = 2.00 s. a) i,Qué posición y rapidez tiene el
disco en t = 2.00 s? b) Si se aplica otra vez esa fuerza en f = 5.00 s,
^qué posición y rapidez tiene el disco en t = 7.00 s?

4.12. Una fuerza horizontal neta de 140 N actua sobre una caja de
32.5 kg que inicialmente està en reposo en el piso de una bodega.
a) (Qué aceleración se produce? b) i,Qué distancia recorre la caja
en 10.0 s? c) £Qué rapidez tiene después de 10.0 s?

4.13. Un carrito de juguete de 4.50 kg sufre una aceleración en línea
recta fel eje x). La gràfica de la figura 4.33 muestra esta aceleración
en función del tiempo. d) Calcule la fuerza neta màxima sobre este
carrito. ^Cuàndo ocurre esta fuerza màxima? b) En qué instantes la
fuerza neta sobre el carrito es constante? c) ^Cuàndo la fuerza neta
es igual a cero?

Figura 4.33 Ejercicio 4.13.

a x (m/s 2 )

10.0
5.0

(>

2.0 4.0

6.0

-í(8)

4.14. Un gato de 2.75 kg se mueve en línea recta (el eje x). La figura
4.34 muestra una gràfica de la componente x de la velocidad de este
gato en función del tiempo. a) Calcule la fuerza neta màxima sobre
este gato. ^Cuàndo ocurre dicha fuerza? b) ^.Cuàndo la fuerza neta so-
bre el gato es igual a cero? c) ^Cuàl es la fuerza neta en el tiempo 8.5 s?

Figura 4.34 Ejercicio 4.14.

M

12.0

10.0
8.0
6.0

4.0
2.0

m/s)

O

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

-f(s)

4.15. Un pequeho cohete de 8.00 kg quema combustible que ejerce
una fuerza hacia arriba que varia con el tiempo sobre él,mientras se
mueve en la plataforma de lanzamiento. Esta fuerza cumple con la
ecuación F = A + Br. Las mediciones demuestran que en t = 0,
la fuerza es de 100.0 N y al final de los primeros 2.00 s, es de 150.0 N.

a) Encuentre las constantes A y B, incluyendo sus unidades del SI.

b) Obtenga la fuerza neta sobre este cohete y su aceleración i) en
el instante en que empieza a quemarse el combustible y ii) 3.00 s des-
pués del comienzo de la ignición del combustible, c) Suponga que
usted estuvo usando el cohete en el espacio exterior, lejos de cual-
quier gravedad. (j Cuàl seria su aceleración 3.00 s después de la igni-
ción del combustible?

4.16. Un electrón (masa = 9.11 X 10~ 31 kg) sale de un extremo de
un cinescopio con rapidez inicial cero y viaja en línea recta hacia la
rejilla aceleradora, a 1.80 cm de distancia, llegando a ella con rapidez
de 3.00 X 10 6 m/s. Si la fuerza neta es constante, calcule d) la acelera-
ción, b) el tiempo para llegar a la rejilla, y c) la fuerza neta en newtons.
(Puede despreciarse la fuerza gravitacional sobre el electrón.)

Sección 4.4 Masa y peso

4.17. Supermàn lanza un pehasco de 2400 N a un adversario. iQué
fuerza horizontal debe aplicar al penasco para darle una aceleración
horizontal de 12.0 m/s 2 ?

Problemas

133

4.18. Una bola de bolos pesa 7 1 .2 N. El jugador aplica una fuerza hori-
zontal de 160 N (36.0 lb) a la bola. iQué magnitud tiene la aceleración
horizontal de la bola?

4.19. En la superfície de lo, una luna de Júpiter, la aceleración debida
a la gravedad es g = 1.81 m/s 2 . Una sandfa pesa 44.0 N en la superfí-
cie terrestre, a) £Qué masa tiene la sandía en la superfície terrestre?
b) i,Qué masa y peso tiene en la superfície de lo?

4.20. La mochila de una astronauta pesa 17.5 N cuando ella està en
la Tierra, però solo 3.24 N cuando està en la superfície de un asteroide.
d) ^.Cuàl es la aceleración debida a la gravedad en ese asteroide?
b) ^Cuàl es la masa de la mochila en el asteroide?

Sección 4.5 Tercera ley de Newton

4.21. Una velocista de alto rendimiento puede arrancar del bloque
de salida con una aceleración casi horizontal de magnitud 15 m/s 2 .
i,Qué fuerza horizontal debe aplicar una corredora de 55 kg al blo-
que de salida al inicio para producir esta aceleración? £Qué cuerpo
ejerce la fuerza que impulsa a la corredora: el bloque de salida o
ella misma?

4.22. Imagine que sostiene un libro que pesa 4 N en reposo en la pal-
ma de su mano. Complete lo que sigue: a) ejerce una

fuerza hacia abajo de magnitud 4 N sobre el libro. b) La mano ejer-
ce una fuerza hacia arriba de magnitud sobre

. c) ^La fuerza hacia arriba del inciso h) es la reacción

a la fuerza hacia abajo del inciso a)l d) La reacción a la fuerza en

el inciso d) es una fuerza de magnitud ejercida sobre

por ; su dirección es . e) La

reacción a la fuerza del inciso b) es una fuerza de magnitud
ejercida sobre por ; su direc-
ción es .f) Las fuerzas de los incisos a) y b) son iguales

y opuestas por la ley de Newton, g) Las fuerzas de los

incisos b) y e) son iguales y opuestas por la ley de New-
ton. Suponga ahora que ejerce una fuerza hacia arriba de 5 N sobre
el libro. h) ^Este sigue en equilibrio? i) ^La fuerza que la mano ejerce
sobre el libro es igual y opuesta a la que la Tierra ejerce sobre el libro?
j) ^La fuerza que la Tierra ejerce sobre el libro es igual y opuesta a la
que el libro ejerce sobre la Tierra? k) La fuerza que la mano ejerce so-
bre el libro es igual y opuesta a la que el libro ejerce sobre la mano?
Por ultimo, suponga que usted quita de repente la mano mientras el
libro està subiendo. /) ^Cuantas fuerzas actúan entonces sobre el li-
bro? m) ^El libro està en equilibrio ?

4.23. Se empuja una botella a lo largo de una mesa y cae por el borde.
No desprecie la resistència del aire. d) ^Qué fuerzas se ejercen sobre la
botella mientras està en el aire? b) ^.Cuàl es la reacción a cada fuerza;
es decir, que cuerpo ejerce la reacción sobre qué otro cuerpo?

4.24. La fuerza normal hacia arriba que el piso de un elevador ejerce
sobre un pasajero que pesa 650 N es de 620 N. ^Cuàles son las fuerzas
de reacción a estàs dos fuerzas? ^El pasajero està acelerando? Si acaso,
(,en qué dirección y qué magnitud tiene la aceleración?

4.25. Una estudiante con 45 kg de masa se lanza desde un trampolín
alto. Tomando 6.0 X 10 24 kg como masa de la Tierra, calcule la acele-
ración de la Tierra hacia ella, si la de ella es de 9.8 m/s 2 hacia la Tierra.
Suponga que la fuerza neta sobre la Tierra es la fuerza de gravedad que
ella ejerce.

Sección 4.6 Diagramas de cuerpo libre

4.26. Un atleta lanza una pelota de masa m directamente hacia arriba
y esta no experimenta resistència del aire considerable. Dibuje un
diagrama de cuerpo libre de esta pelota mientas està en el aire y a) se
mueva hacia arriba; b) en su punto màs alto; c) se mueva hacia abajo.
d) Repita los incisos d), b) y c) si el atleta lanza la pelota a un àn-

^^- Tirón

Mesa horizontal

guio de 60° por encima de la horizontal, en vez de directamente ha-
cia arriba.

4.27. Dos cajas, A y B, descansan juntas sobre una superfície horizontal
sin fricción. Las masas correspondientes son m A y m B . Se aplica una fuer-
za horizontal F a la caja A y las dos cajas se mueven hacia la derecha.
a) Dibuje los diagramas de cuerpo libre claramente marcados para cada
caja. Indique cuàles pares de fuerzas, si acaso, son pares acción-reacción
según la tercera ley. b) Si la magnitud de F es menor que el peso total
de las dos cajas, ^harà que se muevan las cajas? Explique su respuesta.

4.28. Una persona iaia horizontal- ,-■ _ ,_ „. , . , _„

, , \ , J , , „ Figura 4.35 Ejercicio 4.28.

mente del bloque B de la figura

4.35, haciendo que ambos bloques
se muevan juntos como una uni-
dad. Mientras este sistema se mue-
ve, elabore un cuidadoso diagrama
de cuerpo libre, rotulado, del blo-
que A, si d) la mesa no tiene fric-
ción; y si b) hay fricción entre el bloque B y la mesa, y la fuerza sobre
el bloque B es igual a la fuerza de fricción sobre él debido a la mesa.

4.29. Una pelota cuelga de una cuerda larga atada al techo de un vagón
de tren que viaja al este sobre vías horizontales. Un observador dentro
del tren observa que la pelota cuelga inmóvil. Dibuje un diagrama de
cuerpo libre claramente marcado para la pelota, si d) el tren tiene velo-
cidad uniforme y b) si el tren acelera de manera uniforme. £La fuerza
neta sobre la pelota es cero en cualquier caso ? Explique su respuesta.

4.30. Una caja grande que contiene su nueva computadora descansa en
la plataforma de su camioneta, que està detenida en un semàforo. El
semàforo cambia a verde, usted pisa el acelerador y la camioneta se
acelera. Horrorizado, ve cómo la caja comienza a deslizarse hacia la
parte de atràs de la camioneta. Dibuje un diagrama de cueipo libre cla-
ramente marcado para la camioneta y para la caja. Indique los pares de
fuerzas, si los hay, que sean pares acción-reacción según la tercera ley.
(Entre la plataforma de la camioneta y la caja hay fricción.)

4.31. Una silla de 12.0 kg de masa descansa en un piso horizontal, que
tiene cierta fricción. Usted empuja la silla con una fuerza F = 40.0 N
dirigida con un àngulo de 37.0° bajo la horizontal, y la silla se desliza
sobre el piso. a) Dibuje un diagrama de cueipo libre claramente marca-
do para la silla. b) Use su diagrama y las leyes de Newton para calcular
la fuerza normal que el piso ejerce sobre la silla.

4.32. Un esquiador de 65.0 kg de masa es remolcado cuesta arriba por
una ladera nevada con rapidez constante, sujeto a una cuerda paralela
al suelo. La pendiente es constante de 26.0° sobre la horizontal, y la
fricción es despreciable. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre clara-
mente marcado para el esquiador, b) Calcule la tensión en la cuerda.

4.33. Un camión està jalando un automóvil en una autopista horizontal
mediante una cuerda horizontal. El auto està en la marcha (cambio)
neutral, de manera que se puede suponer que no hay fricción conside-
rable entre sus llantas y la autopista. Conforme el camión acelera para
alcanzar la rapidez de crucero en la autopista, dibuje un diagrama de
cueipo libre de a) el auto y b) el camión. c) (,Qué fuerza acelera este
sistema hacia delante ? Explique cómo se origina esta fuerza.

Problemas

4.34. Una bala de rifle calibre 22 que viaja a 350 m/s golpea un àrbol
grande, penetrando a una profundidad de 0.130 m. La masa de la bala
es de 1 .80 g. Suponga una fuerza de frenado constante. d) ^Cuànto tar-
da la bala en detenerse? b) ^Qué fuerza (en N) ejerce el àrbol sobre la
bala?

4.35. Dos caballos tiran horizontal mente de cuerdas atadas al tronco
de un àrbol. Las fuerzas F { y F 2 que aplican al tronco son tales que la
fuerza neta (resultante) R tiene magnitud igual a la de F, y està a 90°
de ?!. Sea F l = 1300 N y R = 1300 N. Calcule la magnitud de F 2 y su
dirección (relativa aF,).

134

CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton

4.36. Imagine que acaba de llegar al Planeta X y deja caer una pelota
de 100 g desde una altura de 10.0 m, la cual tarda 2.2 s en llegar al sue-
lo. Puede ignorar cualquier fuerza que la atmosfera del planeta ejerza
sobre la pelota. ^Cuànto pesa la pelota de 100 g en la superfície del
Planeta X?

Figura 4.36 Problema 4.37.

100 N

4.37. Dos adultos y un nino quie-
ren empujar un carrito con ruedas
en la dirección x de la figura 4.36.
Los adultos empujan con fuerzas
horizontales F { y F 2 como se
muestra en la figura, a) Calcule la
magnitud y dirección de la fuerza
mas pequena que el nino debería
ejercer. Se pueden despreciar los
efectos de la fricción. b) Si el
nino ejerce la fuerza mínima ob-
tenida en el inciso a), el carrito
acelerarà a 2.0 m/s 2 en la direc-
ción +.v. ^Cuànto pesa el carrito?

4.38. Los motores de un buque tanque se averiaron y el viento empuja
la nave con rapidez constante de 1 .5 m/s directo hacia un arrecife (fi-
gura 4.37). Cuando el barco està a 500 m del arrecife, el viento cesa
y el maquinista logra poner en marcha los motores. El timón està
atorado, así que la única opción es intentar acelerar hacia atràs. La
masa del buque y su carga es 3.6 X 10 7 kg y los motores producen

una fuerza horizontal neta de 8.0 X 10 4 N. ^Chocarà el barco contra Figura 4.38 Problema 4.43.

140 N

paracaídas tienen una masa de 55.0 kg y la resistència del aire ejer-
ce una fuerza total hacia arriba de 620 N sobre ella y el paracaídas.
a) ,<,Cuànto pesa la paracaidista? b) Dibuje un diagrama de cuerpo libre
para la paracaidista (véase la sección 4.6) y úselo para calcular la fuer-
za neta que actua sobre ella. ^Esta fuerza es hacia arriba o hacia abajo?
c) ,<, Que aceleración (magnitud y dirección) tiene la paracaidista?

4.43. Dos cajas, una de 4.00 kg y la otra de 6.00 kg, descansan en la
superfície horizontal sin fricción de un estanque congelado, unidas
por una cuerda delgada (figura 4.38). Una mujer (con zapatos de golf
que le dan tracción sobre el hielo) aplica una fuerza horizontal F a
la caja de 6.00 kg y le imparte una aceleración de 2.50 m/s 2 , a) £,Qué
aceleración tiene la caja de 4.00 kg? b) Dibuje un diagrama de cuerpo
libre para la caja de 4.00 kg y úselo junto con la segunda ley de
Newton para calcular la tensión T en la cuerda que une las dos cajas.
c) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la caja de 6.00 kg. iQué
dirección tiene la fuerza neta sobre esta caja? ^,Cuàl tiene mayor
magnitud, la fuerza T o la fuerza FI d) Use el inciso c) y la segunda
ley de Newton para calcular la magnitud de la fuerza F.

4.44. Una astronauta està unida a una nave espacial mediante un cable
fuerte. La astronauta y su traje tienen una masa total de 105 kg; en tan-
to que la masa del cable es despreciable. La masa de la nave espacial
es de 9.05 X 10 4 kg y està lejos de cualquier cuerpo astronómico gran-

el arrecife? Si lo hace, ^se derramarà el petróleo? El casco puede resis-
tir impactos a una rapidez de 0.2 m/s o menos. Puede despreciarse
la fuerza de retardo que el agua ejerce sobre el casco de la nave.

Figura 4.37 Problema 4.38.

6.00 ks

4.00 \

zï

8.0 X 10 4 N

li — 1.5 m/s

4.39. Salto vertical sin carrera. El jugador de baloncesto Darrell
Griffith salto una vez 1.2 m (4 ft) sin carrera. (Esto significa que subió
1.2 m después de que sus pies se separaran del piso.) Griffith pesaba
890 N (200 lb). d) <,Qué rapidez tenia al separarse del piso? b) Si sus
pies tardaran 0.300 s en separarse del piso después de que Griffith ini-
cio su salto, (,qué aceleración media (magnitud y dirección) tuvo mien-
tras se estaba empujando contra el piso? c) Dibuje su diagrama de
cuerpo libre (véase la sección 4.6). En términos de las fuerzas del dia-
grama, iqué fuerza neta actuo sobre Griffith? Use las leyes de Newton
y los resultados del inciso b) para calcular la fuerza media que aplico
sobre el piso.

4.40. Un anuncio asegura que cierto automóvil puede "parar en un
diez". <,Qué fuerza neta seria necesaria para detener un auto de 850 kg
que viaja a 45.0 km/h en una distancia igual al diàmetro de una mone-
da de 10 centavos de dòlar (1.8 cm)?

4.41. Una cubeta de 4.80 kg, llena de agua, se acelera hacia arriba
con un cordel de masa despreciable, cuya resistència a la rotura es de
75.0 N. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la cubeta. En térmi-
nos de las fuerzas de su diagrama, <,qué fuerza neta actua sobre la
cubeta? b) Aplique la segunda ley de Newton a la cubeta y determine
la aceleración màxima hacia arriba que puede imprimirse a la cubeta
sin romper el cordel.

4.42. Una paracaidista confia en que la resistència del aire (principal-
mente sobre su paracaídas) reducirà su velocidad hacia abajo. Ella y su

de, así que podemos despreciar las fuerzas gravitacionales sobre ella y
la astronauta. También suponemos que inicialmente la nave espacial
y la astronauta estan en reposo en un marco de referència inercial. En-
tonces, la astronauta tira del cable con una fuerza de 80.0 N. d) iQné
fuerza ejerce el cable sobre la astronauta? b) Puesto que 2-F = m«,
^,cómo puede un cable "sin masa 1 ' (m = 0) ejercer una fuerza? c) ^Qué
aceleración tiene la astronauta? d) £Qué fuerza ejerce el cable sobre la
nave espacial? e) iQué aceleración tiene la nave espacial?

4.45. Imagine que, con la finalidad de estudiar los danos en aviones
que chocan con aves grandes, usted disena un canón para acelerar
objetos del tamano de un pollo, de modo que su desplazamiento en
el canón esté dado por x = (9.0 X 10 3 m/s 2 )r - (8.0 X 10 4 m/s 3 )* 3 .
El objeto sale del canón ení = 0.025 s. a) i,Qué longitud debe tener
el canón? b) i,Con qué rapidez salen los objetos del canón? c) i,Qué
fuerza neta debe ejercerse sobre un objeto de 1.50 kg en: i) t = 0?
Yü)f= 0.025 s?

4.46. Una nave espacial desciende verticalmente cerca de la superfície
del Planeta X. Un empuje hacia arriba de 25.0 kN, producido por los
motores, la frena a razón de 1.20 m/s 2 , pera la nave aumenta su rapi-
dez a razón de 0.80 m/s 2 si el empuje hacia arriba es de 10.0 kN. a) En
cada caso, <,qué dirección tiene la aceleración de la nave? b) Dibuje
un diagrama de cuerpo libre para la nave. En cada caso, aumentando o
disminuyendo su rapidez, £qué dirección tiene la fuerza neta sobre la
nave? c) Aplique la segunda ley de Newton a cada caso para averiguar
el peso de la nave cerca de la superfície del Planeta X.

4.47. Un instrumento de 6.50 kg se cuelga de un alambre vertical
dentro de una nave espacial que despega de la superfície de la Tierra.
Esta nave parte del reposo y alcanza una altitud de 276 m en 15.0 s con
aceleración constante. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para

Problemas de desafio

135

el instrumento durante este tiempo. Indique que fuerza es mayor.
b) Obtenga la fuerza que el alambre ejerce sobre el instrumento.

4.48. Suponga que el cohete del problema 4.47 se acerca para un ate-
rrizaje vertical, en vez de realizar un despegue. El capitan ajusta el em-
puje de los motores, de manera que la magnitud de la aceleración del
cohete es la misma que tenia durante el despegue. Repita los incisos a)
yb).

4.49. Un gimnasta de masa m sube por una cuerda vertical de masa
despreciable sujeta al techo. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para
el gimnasta. Calcule la tensión en la cuerda si el gimnasta a) sube a
un ritmo constante; b) cuelga inmóvil de la cuerda; c) sube la cuer-
da con aceleración de magnitud |fl|; d) baja deslizàndose por la
cuerda con aceleración hacia abajo de magnitud \a\.

4.50. Un elevador cargado, cuyos cables estan muy desgastados, tiene
masa total de 2200 kg, y los cables aguantan una tensión màxima de
28,000 N. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del elevador. En tér-
minos de las fuerzas de su diagrama, £qué fuerza neta actua sobre el
elevador? Aplique la segunda ley de Newton al elevador y calcule con
que aceleración màxima puede subir el elevador sin que se rompan los
cables, b) ^Cuàl seria la respuesta al inciso d), si el elevador estuviera
en la Luna, donde g = 1.62 m/s 2 )'?

4.51. Salto al suelo. Un hombre de 75.0 kg se lanza desde una pla-
taforma situada 3.10 m sobre el suelo. Mantiene las piernas rectas al
caer però, al tocar el piso, dobla las rodillas y, tratado como partícula,
avanza 0.60 m màs antes de parar, a) iQué rapidez tiene al tocar el
suelo? b) Tratàndolo como partícula, i,con qué aceleración (magnitud
y dirección) se frena, si la aceleración se supone constante? c) Dibuje
su diagrama de cuerpo libre (véase la sección 4.6). En términos de las
fuerzas del diagrama, ^.qué fuerza neta actua sobre él? Use las leyes
de Newton y los resultados del inciso b) para calcular la fuerza media
que sus pies ejercen sobre el piso al amortiguar la caída. Exprese la
fuerza en newtons y como múltiplo de su peso.

4.52. Un martillo de 4.9 N con velocidad inicial de 3.2 m/s hacia aba-
jo es detenido en una distancia de 0.45 cm por un clavo en una tabla de
pino. Ademàs del peso, la persona que lo usa le aplica una fuerza des-
cendente de 15 N. Suponga que la aceleración de la cabeza del martillo
es constante mientras està en contacto con el clavo y se mueve hacia
abajo. d) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la cabeza del marti-
llo. Identifique la fuerza de reacción a cada fuerza de acción del dia-
grama, b) Calcule la fuerza hacia abajo F ejercida por la cabeza del
martillo sobre el clavo mientras està en contacto con él y moviéndose
hacia abajo. c) Suponga que la tabla es de madera dura y la distancia
que el martillo recorre al detenerse es de solo 0.12 cm. Las fuerzas
descendentes sobre el martillo son las mismas que en el inciso b). i, Qué
fuerza F ejerce ahora la cabeza del martillo sobre el clavo, mientras
està en contacto con él y moviéndose hacia abajo?

4.53. Un cable uniforme de peso w cuelga verticalmente hacia abajo,
sostenido en su extremo superior por una fuerza hacia arriba de magni-
tud w. iQxxé tensión hay en el cable a) en el extremo superior? b) ^,En
el extremo inferior? c) ^Y en medio? Su respuesta a cada inciso deberà
incluir un diagrama de cuerpo libre. {Su gerència: elija como cuerpo
por analizar un punto o una sección del cable.) d) Grafique la tensión
en la cuerda contra la distancia de su extremo superior.

4.54. Los dos bloques de la figura 4.39 estan unidos por una cuerda
gruesa uniforme de 4.00 kg. Se aplica una fuerza de 200 N hacia arri-
ba, como se indica. íï) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el blo-
que de 6.00 kg, uno para la cuerda de 4.00 kg y uno para el bloque de
5.00 kg. Para cada fuerza, indique qué cuerpo la ejerce. b) <,Qué acele-
ración tiene el sistema? c) £Qué tensión hay en la parte superior de
la cuerda? d) ^Y en su parte media ?

4.55. Un atleta, cuya masa es de 90.0 kg, està levantando pesas. Par-
tiendo de una posición en reposo, levanta, con aceleración constante,

200 N

6.00 k S

) 4.00 kg

5.00 kg

una barra que pesa 490 N, elevàndola 0.6 Figura 4.39
m en 1.6 s. d) Dibuje un diagrama de cuer- Problema 4.54.
po libre claramente marcado para la barra
y para el atleta, b) Use los diagramas del
inciso a) y las leyes de Newton para obte-
ner la fuerza total que sus pies ejercen so-
bre el piso mientras levanta la barra.

4.56. Un globo aerostàtico sostiene una
canasta, un pasajero y un poco de carga.
Sea M la masa total. Aunque sobre el
globo actua una fuerza de sustentación
ascendente, el globo inicialmente està
acelerando hacia abajo a razón de g/3.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre
para el globo en descenso. b) Determine
la fuerza de sustentación hacia arriba
en términos del peso total inicial Mg.
c) El pasajero nota que se dirige hacia una
catarata y decide que necesita subir. i,Qué fracción del peso total
deberà tirar por la borda para que el globo se acelere hacia arriba
a razón de g/21 Suponga que la fuerza de sustentación no cambia.

4.57. Un estudiante trata de levantar una cadena que consta de
tres eslabones idénticos. Cada uno tiene una masa de 300 g. La ca-
dena està colgada verticalmente de una cuerda; el estudiante sos-
tiene el extremo superior del cordel y tira hacia arriba. De esta
forma, el estudiante ejerce, por medio de la cuerda, una fuerza de
12 N hacia arriba sobre la cadena, d) Dibuje un diagrama de cuerpo
libre para cada eslabón de la cadena y también para toda la ca-
dena considerada como un solo cuerpo. b) Use los resultados del
inciso a) y las leyes de Newton para calcular: i) la aceleración de
la cadena y ii) la fuerza ejercida por el eslabón superior sobre el
eslabón central.

4.58. La posición de un helicóptero de entrenamiento de 2.75 X 10 5 N
que se prueba està dada por r = (0.020 m/s 3 )f 3 í + (2.2 m/s)
tj — (0.060 m/s 2 ) rk. Determine la fuerza neta sobre el helicóptero
en t = 5.0 s.

4.59. Un objeto con masa m se mueve sobre el eje x. Su posición en
función del tiempo està dada por x(t) = At — Bt", donde A y B son cons-
tantes. Calcule la fuerza neta sobre el objeto en función del tiempo.

4.60. Sobre un objeto con masa m inicialmente en reposo actua una
fuerza F = kfi + k 2 t 3 j, donde k^ y k 2 son constantes. Calcule la veloci-
dad v(t) del objeto en función del tiempo.

Problemas de desafio

4.61. Si conocemos F(t), la fuerza en función del tiempo, para movi-
miento rectilíneo, la segunda ley de Newton nos da a(t), la aceleración
en función del tiempo, que podemos integrar para obtener v(t) y x(t).
Sin embargo, suponga que lo que se conoce es F(v). a) La fuerza neta
sobre un cuerpo que se mueve sobre el eje x es —Cv 2 . Use la segunda
ley de Newton escrita como ^F = m dvjdt, y dos integraciones para
demostrar que x — x = (m/C) In (v /v). b) Demuestre que dicha ley
puede escribirse como ^F = mv dvjdx. Deduzca la expresión del
inciso a) usando esta forma y una integración.

4.62. Un objeto de masa m està en reposo en equilibrio en el origen.
En t = se aplica una fuerza F(t) con componentes

F x (t) = *i + k 2 y F y (t) = k 3 t

donde k u k 2 y &, son constantes. Calcule los vectores de posición r (t)
y velocidad v(t) en función del tiempo.

APLICACION DE LAS
LEYES DE NEWTON

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprenderà:

• Cómo usar la primera ley de
Newton para resolver problemas
donde intervienen fuerzas que
actúan sobre un cuerpo en
equilibrio.

• Cómo usar la segunda ley de
Newton para resolver problemas
donde intervienen fuerzas que
actúan sobre un cuerpo en
aceleración.

• La naturaleza de los diferentes
tipos de fuerzas de fricción:
fricción estàtica, fricción
cinètica, fricción de rodamiento
y resistència de fluidos; y cómo
con tales fuerzas.

• Cómo resolver problemas donde
intervienen fuerzas que actúan
sobre un cuerpo que se mueve
en una trayectoria circular.

• Las propiedades clave de las
cuatro fuerzas fundamentales
de la naturaleza.

. Suponga que el ave
que vuela entra en una
corriente de aire que
asciende con rapidez
constante. En esta
situación, iqué tiene
mayor magnitud: la
o la fuerza ascendente
del aire sobre el ave?

En el capitulo 4 vimos que las tres leyes de Newton del movimiento, cimientos
de la mecànica clàsica, tienen un planteamiento muy sencillo; no obstante, su
aplicación a situaciones como un velero para hielo que se desliza sobre un
lago congelado, un trineo que se lleva colina abajo o un avión que efectua una vuel-
ta cerrada requiere capacidad analítica y tècnica. En este capitulo ampliaremos las
destrezas para resolver problemas que el lector comenzó a desarrollar en el capitulo
anterior.

Comenzaremos con problemas de equilibrio, donde un cuerpo està en reposo o
se mueve con velocidad constante. Luego generalizaremos nuestras técnicas de reso-
lución de problemas a cuerpos que no estan en equilibrio, para lo que necesitaremos
examinar con precisión las relaciones entre fuerzas y movimiento. Aprenderemos a
describir y analizar la fuerza de contacto que actua sobre un cuerpo que descansa o
se desliza en una superfície. Por ultimo, estudiaremos el caso importante del movi-
miento circular uniforme, en el que un cuerpo se mueve en una trayectoria circular
con rapidez constante.

En todas estàs situaciones interviene el concepto de fuerza, que usaremos en todo
nuestro estudio de la física. Cerraremos el capitulo con una mirada a la naturaleza
fundamental de la fuerza y las clases de fuerzas que hay en nuestro Universo físico.

5.1 Empleo de la primera ley de Newton:
Partículas en equilibrio

En el capitulo 4 aprendimos que un cuerpo està en equilibrio si està en reposo o se
mueve con velocidad constante en un marco de referència inercial. Una làmpara
colgante, un puente colgante y un avión que vuela en línea recta a altitud y rapidez
constantes son ejemplos de situaciones de equilibrio. Aquí solo consideraremos el
equilibrio de un cuerpo que puede modelarse como partícula. (En el capitulo 11 vere-
mos los principios adicionales que necesitaremos aplicar, cuando esto no sea posible.)
El principio físico fundamental es la primera ley de Newton: si una partícula està en

136

5.1 Empleo de la primera ley de Newton: Partículas en equilibrio

137

reposo o se mueve con velocidad constante en un marco de referència inercial, la
fuerza neta que actua sobre ella — es decir, la suma vectorial de todas las fuerzas que
actúan sobre ella — debe ser cero:

^F = (partícula en equilibrio, forma vectorial) (5.1)

Normalmente usaremos esta ecuación en forma de componentes:

2^

= ~^F r = (partícula en equilibrio, forma de componentes) (5.2)

Esta sección trata sobre el uso de la primera ley de Newton para resolver proble-
mas de cuerpos en equilibrio. Quizàs algunos de los problemas parezcan complica-
dos; no obstante, lo importante es recordar que todos los problemas que implican
partículas en equilibrio se resuelven igual. La estratègia siguiente detalla los pasos a
seguir. Estudie detenidamente la estratègia, vea cómo se aplica en los ejemplos y tra-
te de aplicaria al resolver problemas de tarea.

Estratègia para resolver problemas 5.1

Primera ley de Newton: Equilibrio de una partícula

IDENTIFICAR los conceptos importantes: Es preciso usar la primera
ley de Newton con cualquier problema que implique fuerzas que ac-
túan sobre un cuerpo en equilibrio, es decir, que esté en reposo o en
movimiento con velocidad constante. Por ejemplo, un automóvil està
en equilibrio cuando està estacionado; però también cuando viaja por
una carretera recta con rapidez constante.

Si en el problema intervienen dos o màs cuerpos, y los cuerpos
interactúan, también serà preciso usar la tercera ley de Newton, la cual
nos permite relacionar la fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro, es
decir, la que el segundo cuerpo ejerce sobre el primero.

Asegúrese de identificar la(s) incógnita(s). En los problemas de
equilibrio, las incógnitas suelen ser la magnitud de una de las fuerzas,
las componentes de una fuerza o la dirección (àngulo) de una fuerza.

PLANTEAR el problema con los pasos siguientes:

1. Haga un dibujo sencillo de la situación física, con dimensiones y
àngulos. jNo tiene que ser una obra de arte!

2. Para cada cuerpo en equilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre.
Por ahora, consideramos el cuerpo como partícula, así que represén-
telo con un punto grueso. No incluya en el diagrama los otros cuerpos
que interactúan con él, como la superfície donde descansa o una
cuerda que tira de él.

3. Pregúntese ahora qué interactúa con el cuerpo tocàndolo o de al-
guna otra forma. En el diagrama de cuerpo libre, dibuje un vector
de fuerza para cada interacción y rotule cada fuerza con un símbolo
que represente su magnitud. Si conoce el àngulo de la fuerza, dibú-
jelo con exactitud y rotúlelo. Incluya el peso del cueipo, excepto
si su masa (y por ende su peso) es insignificante. Si se da la masa,
use w = mg para obtener el peso. Una superfície en contacto con el
cuerpo ejerce una fuerza normal perpendicular a la superfície y tal
vez una fuerza de fricción paralela a la superfície. Una cuerda o
cadena no puede empujar un cuerpo, solo tirar de él en la dirección
de su longitud.

4. En el diagrama de cuerpo libre no muestre las fuerzas que el cuerpo
en cuestión ejerce sobre otro cuerpo. Las sumas de las ecuaciones

(5.1) y (5.2) solo incluyen fuerzas que actúan sobre el cuerpo
en cuestión. Para cada fuerza sobre el cuerpo, pregúntese "i,Qué
otro cuerpo causa esa fuerza?" Si no puede contestar, tal vez esté
imaginando una fuerza inexistente.
5. Elija sus ejes de coordenadas e inclúyalas en su diagrama de cuer-
po libre. (Si hay màs de un cuerpo en el problema, es preciso elegir
ejes por separado para cada cuerpo.) Rotule la dirección positiva de
cada eje. Por ejemplo, si un cuerpo descansa o se desliza sobre una
superfície plana, suele ser màs sencillo tomar ejes en las direccio-
nes paralela y perpendicular a ella, aun si està inclinada.

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Obtenga las componentes de cada fuerza a lo largo de cada uno de
los ejes de coordenadas del cuerpo. Marque con una línea ondulada
cada vector que se haya sustituido por sus componentes, para no
contarlo dos veces. Tenga presente que, aunque la magnitud de una
fuerza siempre es positiva, la componente de una fuerza en una di-
rección dada puede ser positiva o negativa.

2. Iguale a cero la suma algebraica de las componentes x de las
fuerzas. En otra ecuación, haga lo mismo con las componentes y.
{Nunca sume componentes x y y en una sola ecuación.)

3. Si hay dos o màs cuerpos, repita los pasos anteriores para cada
uno. Si los cuerpos interactúan, use la tercera ley de Newton para
relacionar las fuerzas que ejercen entre sí.

4. Asegúrese de tener la misma cantidad de ecuaciones independien-
tes y de incógnitas. Despeje las ecuaciones para obtener la expre-
sión algebraica de las incógnitas.

EVALUAR la respuesta: Verifique que sus resultados sean congruen-
tes. Si la solución es una expresión simbòlica o algebraica, trate de
encontrar casos especiales (valores específicos o casos extremos) con
los que pueda hacer una estimación ràpida. Verifique que su fórmula
funciona en tales casos.

138

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

Ejemplo 5.1

Equilibrio unidimensional: Tensión en una cuerda sin masa

Una gimnasta de masa m G = 50.0 kg se cuelga del extremo inferior de
una cuerda colgante. El extremo superior està fijo al techo de un gim-
nasio. ^Cuànto pesa la gimnasta? <,Qué fuerza (magnitud y dirección)
ejerce la cuerda sobre ella? <,Qué tensión hay en la parte superior de la
cuerda? Suponga que la masa de la cuerda es despreciable.

EHEE1

IDENTIFICAR: La gimnasta y la cuerda estan en equilibrio, así que po-
demos aplicar la primera ley de Newton a ambos cuerpos. La gimnasta
y la cuerda ejercen fuerzas entre sí, es decir, interactúan, así que tam-
bién usaré mos la tercera ley de Newton para relacionar tales fuerzas.
Las incógnitas son el peso de la gimnasta, w G , la fuerza que la cuerda
ejerce sobre la gimnasta (llamémosla 7" R Sübre G ) y la tensión que el te-
cho ejerce sobre la parte superior de la cuerda (llamémosla T c sobreR ).

PLANTEAR: Dibujaremos diagramas de cuerpo libre individuales para
la gimnasta (figura 5.1b) y la cuerda (figura 5.1c). Tomaremos el eje
+y hacia arriba, como se muestra. Todas las fuerzas actúan vertical-
mente, así que solo tienen componente en y.

Las dos fuerzas T R sobre G y T G sobre R son la fuerza hacia arriba de la
cuerda sobre la gimnasta (en la figura 5.1b) y la fuerza hacia abajo de
la gimnasta sobre la cuerda (en la figura 5.1c) respectivamente. Estàs
fuerzas forman un par acción-reacción, así que deben tener la misma
magnitud.

Vemos también que el peso de la gimnasta w G es la fuerza de atrac-
ción (hacia abajo) que la Tierra ejerce sobre la gimnasta. Su fuerza de
reacción es la fuerza de atracción igual y opuesta (hacia arriba) que la

5.1 Nuestros esquemas para este problema.

gimnasta ejerce sobre la Tierra. Esta fuerza actua sobre la Tierra, no
sobre la gimnasta, por lo que no aparece en su diagrama de cuerpo li-
bre (figura 5.1b). Compare esto con el caso de la manzana en el ejem-
plo conceptual 4.9 (sección 4.5). Asimismo, la fuerza que la cuerda
ejerce sobre el techo no aparece en la figura 5.1c.

EJECUTAR: La magnitud del peso de la gimnasta es el producto de su
masa y la aceleración debida a la gravedad, g:

m'g = m G g = (50.0 kg) (9.80 m/s 2 ) = 490 N

Esta fuerza apunta en la dirección — y, así que su componente en esa
dirección es — w c . La fuerza hacia arriba que la cuerda ejerce sobre la
gimnasta tiene magnitud desconocida T R sobre G y una componente y po-
sitiva +7r SO b re G* Dado que la gimnasta està en equilibrio, la suma de
las componentes y de fuerza que actúan sobre ella debe ser cero:

a) La situación

Techo

/////////

Cuerda

b) Diagrama de cuerpo
libre de la gimnasta

y

Gimnasta

Par

acción-reacción

w G - m G g

Gimnasta: S^i

1 R *ohn> fi

r R sobre G + (~ w g)
W G = 490 N

así que

La cuerda tira de la gimnasta hacia arriba con una fuerza 7" R sobre G
de magnitud 490 N. Por la tercera ley de Newton, la gimnasta tira de
la cuerda hacia abajo con una fuerza de la misma magnitud, T G sobre R
= 490 N.

La cuerda también està en equilibrio. Hemos supuesto que no
tiene peso, así que la fuerza hacia arriba de magnitud T c sobra R que el
techo ejerce sobre su extremo superior deberà hacer que la fuerza
vertical neta que actua sobre la cuerda sea igual a cero. Expresado
como ecuación:

Cuerda:

c) Diagrama de cuerpo
libre de la cuerda

2',

•*C sobre R

^C sobre R + ( ?G sobre r) —

r Os „b,cR = 490N

asi que

EVALUAR: La tensión en cualquier punto de la cuerda es la fuerza que
actua en ese punto. En el caso de esta cuerda sin peso, la tensión T G so _
breR en el extremo inferior tiene el mismo valor que la tensión r CsobreR
en el extremo superior. De hecho, en una cuerda ideal sin peso, la ten-
sión tiene el mismo valor en todos los puntos de la cuerda. (Compare
esto con lo dicho en el ejemplo conceptual 4.10 de la sección 4.5.)

Observe que definimos tensión como la magnitud de una fuerza,
así que siempre es positiva. En cambio, la componente y de la
fuerza que actua sobre la cuerda en su extremo inferior es — T G sobre R =
-490 N.

Ejemplo 5.2

Equilibrio unidimensional: Tensión en una cuerda con masa

Suponga que en el ejemplo 5. 1 , el peso de la cuerda no es despreciable,
sinó de 120 N. Calcule la tensión en cada extremo de la cuerda.

EÜEEl

IDENTIFICAR: Al igual que en el ejemplo anterior, las incógnitas son
las magnitudes T G sobre R y T c sobre R de las fuerzas que actúan sobre la
parte inferior y superior de la cuerda, respectivamente. De nuevo, apli-
caremos la primera ley de Newton a la gimnasta y la cuerda, y usare-
mos la tercera ley de Newton para relacionar las fuerzas que la
gimnasta y la cuerda ejercen una sobre la otra.

PLANTEAR: Una vez màs, dibujamos diagramas de cuerpo libre indi-
viduales para la gimnasta (figura 5.2a) y para la cuerda (figura 5.2b).
La única diferencia con respecto a los diagramas del ejemplo 5.1 es
que ahora tres fuerzas actúan sobre la cuerda: la fuerza hacia abajo

ejercida por la gimnasta (r Q tDbre R ), la fuerza hacia arriba ejercida por
el techo (r CsobreR ) y el peso de la cuerda con magnitud w R =120 N).

EJECUTAR: El diagrama de cuerpo libre de la gimnasta es el mismo
del ejemplo 5.1, así que su condición de equilibrio tampoco ha cam-

biado. Por la tercera ley de Newton, 7" R Sl

„ R , y tenemos

Gimnasta: ^F y = T RsobïcG + (~w G ) = así que

Tr sobre G = Tq sobre R = Wq = 490 N

La condición de equilibrio 2^\ ~ P ara l a cuerda es

Cuerda: 2 F y = T c sota R + ( ~ T «*. r ) + ( " »'r ) =

Observe que la componente y de T c

. es positiva porque apunta en

la dirección +y, però las componentes y tanto de T G sobre R como de vv R

5.1 Empleo de la primera ley de Newton: Partículas en equilibrio

139

5.2 Nuestros esquemas para este problema, incluyendo el peso de
la cuerda.

a) Diagrama de
cuerpo libre para
la gimnasta

b) Diagrama de
cuerpo libre para
la cuerda

c) Diagrama de cuerpo libre
para la gimnasta y la cuerda,
considerados como un solo
cuerpo compuesto

y

R sobreS Par

w acción-reacción

peso w e

T C! „ brtR
-X

T 6s0bre „
\f peso w R

peso w s

son negativas. Después de despejar T c sobre R y sustituir los valores
T G Sübre r = ^r sobre c = 490 N y w R = 1 20 N, tenemos

490 N + 120 N = 610 N

EVALUAR: Cuando incluimos el peso de la cuerda, vemos que la ten-
sión es diferente en los dos extremos de la cuerda. La fuerza T c subre R
que el techo ejerce debe sostener tanto el peso de 490 N de la gimnasta
como el peso de 120 N de la cuerda, así que T c sobre R = 610 N.

Para ver esto de forma mas explícita, dibuje un diagrama de cuer-
po libre para un cuerpo compuesto que consiste en la gimnasta y la
cuerda consideradas como unidad (figura 5.2c). Solo actúan dos fuer-
zas externas sobre este cuerpo compuesto: la fuerza T c sobre R ejercida
por el techo y el peso total w G + w R = 490 N + 120N = 610N. (Las
fuerzas T G sobre R yí R Sl)bre G son internas en lo que al cuerpo compues-
to respecta. Dado que en la primera ley de Newton solo intervienen
fuerzas externas, las fuerzas internas no se toman en cuenta.) Por lo
tanto, la primera ley de Newton aplicada al cuerpo compuesto es

Cuerpo compuesto: ^F v — 7" CsobreR + [— (w G + w R )] =

así que T CsohTeR = w G + w R = 610 N.

Este método de tratar a la gimnasta y la cuerda como cuerpo com-
puesto parece mucho mas sencillo, y quizà el lector se pregunte por
qué no lo usamos desde el principio. La respuesta es que, con ese
método, no podíamos obtener la tensión T G sobre R en el extremo infe-
rior de la cuerda. La moraleja es: si hay dos o mas cuerpos en un
problema en el que intervienen las leyes de Newton, lo mas seguro
es tratar a cada cuerpo individualmente .

Ejemplo 5.3

Equilibrio bidimensional

En la figura 5.3a, un motor de peso w cuelga de una cadena unida me-
diante un anillo O a otras dos cadenas, una sujeta al techo y la otra a
la pared. Calcule las tensiones en las tres cadenas en términos de w.
Los pesos de las cadenas y el anillo son despreciables.

E

IDENTIFICAR: Las incógnitas son las tensiones T v T 2 y T 3 en las tres
cadenas (figura 5.3a). En este ejemplo, parecería extrano despreciar el
peso de las cadenas y del anillo, si en el ejemplo 5.2 no despreciamos
el peso de una simple cuerda. La razón es que el peso de las cadenas o
del anillo es muy pequeno en comparación con el del motor. En cam-
bio, en el ejemplo 5.2 el peso de la cuerda era una fracción apreciable
del peso de la gimnasta ( 120 N comparados con 490 N).

Todos los cuerpos del ejemplo estan en equilibrio, así que usa-
remos la primera ley de Newton para determinar T v T 2 y T 3 . Necesi-
tamos tres ecuaciones simultàneas, una para cada incògnita. Sin em-

bargo, la aplicación de la primera ley de Newton a un solo cuerpo
solo nos da dos ecuaciones, como en la ecuación (5.2). Por lo tanto,
para resolver el problema, serà preciso considerar mas de un cuerpo
en equilibrio. Examinaremos el motor (sobre el que actua 7\) y el ani-
llo (que està unido a las tres cadenas, así que sobre él actúan las tres
tensiones).

PLANTEAR: Las figuras 5.3b y 5.3c son diagramas de cuerpo libre, in-
cluyendo un sistema de coordenadas x-y, para el motor y el anillo, res-
pecti vamente.

Las dos fuerzas que actúan sobre el motor son su peso w y la fuerza
hacia arriba T { ejercida por la cadena vertical; las tres fuerzas que ac-
túan sobre el anillo son las tensiones de la cadena vertical (7\), la cade-
na horizontal (T 2 ) y la cadena inclinada (7" 3 ). Puesto que la cadena
vertical tiene peso despreciable, ejerce fuerzas de la misma magnitud
T x en ambos extremos: hacia arriba sobre el motor en la figura 5.3b y

5.3 a) La situación. b) y c) son nuestros diagramas.

y anillo

b) Diagrama de cuerpo c) Diagrama de cuerpo
libre para el motor libre para el anillo O

T,

T, sen 60

■>>— x
T 3 cos 60°

continua

140

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

hacia abajo sobre el anillo en la figura 5.3c. Si el peso no fuera des-
preciable, estàs dos fuerzas tendrían diferente magnitud, como fue el
caso de la cuerda en el ejemplo 5.2. Recuerde que también estamos des-
preciando el peso del anillo, así que no lo incluimos en las fuerzas de
la figura 5.3c.

EJECUTAR: Las fuerzas que actúan sobre el motor estan únicamente
sobre el eje v; entonces, por la primera ley de Newton,

Motor: ^F, = T x + (-w) = y 7\ = w

Las cadenas horizontal e inclinada no ejercen fuerzas sobre el motor,
porque no estan unidas a él; aunque sí aparecen en la aplicación de la
primera ley de Newton sobre el anillo.

En el diagrama de cuerpo libre para el anillo (figura 5.3c), recuerde
que T u T 2 y 7", son las magnitudes de las fuerzas. Primero descompo-
nemos la fuerza con magnitud T 3 en sus componentes x y v. El anillo
està en equilibrio, así que escribimos ecuaciones individuales donde se
establece que las componentes x y y de la fuerza neta sobre el anillo es
cero. (Recuerde que en la estratègia para resolver problemas 5.1 vimos
que nunca deben sumarse componentes x y y en una misma ecuación.)
Obtenemos

illo: 2 f v

= r,cos60° + (-T 2 )

=

illo: 2 f v

= r 3 sen60° + (-T,)

=

Ahora podemos usar este resultado en la primera ecuación del anillo:

cos 60°

7"} cos 60°

sen60°

0.577w

Puesto que 7", = w (de la ecuación para el motor), escribimos la segun-
da ecuación del anillo como

Así, podemos expresar las tres tensiones como múltiplos del peso w
del motor, que supuestamente se conoce. En síntesis,

T] = w

T 2 = 0.577w

r 3 = 1.155w

EVALUAR: Nuestros resultados muestran que la cadena que sujeta al
techo ejerce una fuerza sobre el anillo de magnitud T 3 , que es mayor
que el peso del motor. Si le parece raro, observe que la componente
vertical de esta fuerza es igual a 7",, que a la vez es igual a w, però
como ademàs la fuerza tiene una componente horizontal, su magnitud
T 3 debe ser algo mayor que w. Por lo tanto, la cadena que sujeta al te-
cho es la que està sometida a mayor tensión y es la mas susceptible
de romperse.

Quizàs a primera vista usted haya pensado que el cuerpo màs im-
portante en este problema era el motor. Sin embargo, para tener sufi-
cientes ecuaciones, también fue necesario considerar las fuerzas que
actúan sobre un segundo cuerpo (en este caso, el anillo que une las ca-
denas). Las situaciones de este tipo son muy comunes en problemas de
equilibrio, así que tenga presente esta tècnica.

sen60°

sen60°

1.155vv

Ejemplo 5.4

Un automóvil de peso w descansa sobre los rieles inclinados de una
rampa que conduce a un remolque (figura 5.4a). Solo un cable conec-
tado al auto y a la armazón del remolque evita que el auto baje la ram-
pa. (Los frenos y la transmisión del auto estan desactivados.) Calcule
la tensión en el cable y la fuerza con que los rieles empujan los neu-
màticos.

EEEE1

IDENTIFICAR: El automóvil està en equilibrio, así que usaremos
otra vez la primera ley de Newton. La rampa ejerce cuatro fuerzas
sobre el auto, una en cada neumàtico. Por sencillez, juntaremos todas
estàs fuerzas en una sola. Otra simplificación es que hay muy poca
fricción sobre el auto, de manera que despreciaremos la componente

5.4 Un cable sostiene un automóvil en reposo sobre una rampa.

a) Auto sobre rampa

b) Diagrama de cuerpo libre
del auto
Remplazamos el peso por
sus componentes.

de esta fuerza que actua paralela a los rieles (véase la figura 4.2b).
(Volveremos a la fuerza de fricción en la sección 5.3) Por lo tanto,
podemos decir que la rampa solo ejerce una fuerza sobre el auto que
es perpendicular a los rieles. Esta fuerza aparece porque los àtomos
de la superfície de los rieles se resisten a que los àtomos de los neu-
màticos penetren entre ellos. Al igual que en la sección 4.1, llamare-
mos a esta fuerza "fuerza normal" (véase la figura 4.2a). Las dos
incógnitas son la magnitud n de la fuerza normal y la magnitud T de
la tensión en el cable.

PLANTEAR: La figura 5.4b muestra un diagrama de cuerpo libre para
el auto. Las tres fuerzas que actúan sobre el auto son su peso (magni-
tud w), la tensión del cable (magnitud T) y la fuerza normal (magnitud n).
Esta última actua hacia arriba y hacia la izquierda porque està evitando
que el auto penetre en los rieles sólidos.

Tomamos los ejes de coordenadas x y y paralelos y perpendicula-
res a la rampa, como se muestra. Esto facilita el anàlisis del problema
porque así solo la fuerza del peso tiene componentes tanto en x como
eny. Si eligiéramos ejes horizontal y vertical, nuestra tarea seria màs
difícil porque tendríamos que descomponer dos fuerzas (la normal y
la tensión).

Observe que el àngulo a entre la rampa y la horizontal es igual al
àngulo a entre el vector de peso w y el eje de la normal al plano de la
rampa.

EJECUTAR: Para escribir las componentes x y y de la primera ley de
Newton, necesitamos obtener las componentes del peso. Una compli-
cación es que el àngulo a en la figura 5.4b no se mide del eje +x al eje
+y, así que no podemos usar las ecuaciones (1.6) directamente para
obtener las componentes. (Quizàs usted desee repasar la sección 1.8,
pues este punto es importante.)

5.1 Empleo de la primera ley de Newton: Partículas en equilibrio

141

Una estratègia para obtener las componentes de w es considerar los
triàngulos rectàngulos de la figura 5.4b. El seno de a es la magnitud de
la componente x de w (esto es, el cateto opuesto al àngulo a del triàn-
gulo) dividida entre la magnitud w (la hipotenusa). Asimismo, el cose-
no de a es la magnitud de la componente y (el cateto adyacente al
àngulo a del triàngulo) dividida entre vi'. Ambas componentes son ne-
gativas, así que w x = — w sen a y w y = —w cos a.

Otra estratègia seria reconocer que en una componente de w debe
intervenir el sen a, y el cos a en la otra. Para decidir cuàl es cuàl, dibu-
je el diagrama de cuerpo libre de modo que el àngulo a sea apreciable-
mente mayor o menor que 45°. (Le recomendamos no ceder a la
tendència natural de dibujar tales àngulos como cercanos a 45°.) Aquí
dibujamos las figuras 5.4b y 5.4c de modo que a sea menor que 45°, lo
que implica que sen a es menor que cos a. La figura muestra que la
componente x de w es menor que la componente y. Así que en la com-
ponente x deberà intervenir sen a; y en la componente y, cos a. Obte-
nemos otra vez que w x = — w sen a y w y = —w cos a.

En la figura 5.4b marcamos con una línea ondulada el vector origi-
nal que representa el peso para recordar que no debemos contarlo dos
veces. Las condiciones de equilibrio nos dan

5>, :
2v

T + ( — wsena!)
n + ( — vvcosa)

Asegúrese de entender la relación entre estos signos y las coordenadas
elegidas. Recuerde que, por definición, T, w y n son magnitudes de
vectores y por lo tanto positivas.

Despejando Ty n, obtenemos

T = wsena
n = wcosa

EVALUAR: Los valores obtenidos para Ty n dependen del valor de a.
Con la finalidad de verificar qué tan razonables son estàs respuestas,
examinaremos ciertos casos especiales. Si el àngulo a es cero, entonces
sen a = y cos a = 1 . En este caso, los rieles son horizontales; nuestra
respuesta nos dice que no se necesita la tensión T del cable para soste-
ner al auto, y que la fuerza normal n es igual en magnitud al peso. Si
a = 90°, entonces sen a = 1 y cos a = 0. Aquí la tensión T es igual
al peso w y la fuerza normal n es cero. i,Son estos los resultados espera-
dos para estos casos especiales?

CUIDADO Quizà la fuerza normal y el peso no sean lo mismo

Es un error común suponer automàtic amente que la magnitud n de
la fuerza normal es igual al peso w. Sin embargo, nuestro resultado
demuestra que, en general, eso no es cierto. Siempre es mejor tratar
n como una variable y calcular su valor, como hicimos aquí.

Cómo cambiarían los valores de T y n si el auto no estuviera es- *"}
tacionario y el cable estuviera tirando de él para subirlo por la rampa ■
con rapidez constante. Esto también es una situación de equilibrio, pues
la velocidad del auto es constante. Por lo tanto, el calculo es idéntico, y
T y n tienen los mismos valores que cuando el auto està en reposo. (Es
verdad que T debe ser mayor que w sen a para iniciar el movimiento as-
cendente del auto por la rampa, pera eso no es lo que preguntamos.)

Ejemplo 5.5

Tensión en una polea sin fricción

Se estan sacando bloques de granito de una cantera por una pendiente
de 15°. Por razones ecológicas, también se està echando tierra en la
cantera para llenar los agujeros. Para simplificar el proceso, usted di-
sena un sistema en el que una cubeta con tierra (de peso w 2 incluida la
cubeta) tira de un bloque de granito en un carro (peso W\ incluido el
carro) sobre rieles de acero, al caer verticalmente a la cantera (figura
5.5a). Determine qué relación debe haber entre vv, y w 2 para que el
sistema funcione con rapidez constante. Ignore la fricción en la polea
y en las ruedas del carro, y el peso del cable.

EJÜHCTl

IDENTIFICAR: El carro y la cubeta se mueven con velocidad constan-
te (es decir, en línea recta con rapidez constante). Por lo tanto, los dos
cuerpos estan en equilibrio y podemos aplicar la primera ley de New-
ton a cada uno.

Las dos incógnitas son los pesos vv, y w 2 . Las fuerzas que actúan
sobre la cubeta son su peso w 2 y una tensión hacia arriba ejercida por el
cable. Sobre el carro actúan tres fuerzas: su peso w u una fuerza normal

5.5 a) La situación. b) Nuesto modelo idealizado. c), d) Nuestros diagramas de cuerpo libre.

a) Una cubeta llena de tierra tira de un carro
que lleva un bloque de granito

b) Modelo idealizado del sistema

Carro

d) Diagrama de
cuerpo libre del carro

c) Diagrama de

cuerpo libre de la cubeta \ ^

y
i

A

Wjsen 15*.,

Cubeta

\Wi cos 15°

continua

142

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

de magnitud n ejercida por los rieles y una fuerza de tensión del cable.
(Estamos ignorando la fricción, así que suponemos que los rieles no
ejercen ninguna fuerza paralela a la pendiente.) Esta situación es idèn-
tica a la del automóvil en la rampa del ejemplo 5.4. Igual que en ese
ejemplo, no todas las fuerzas que actúan sobre el carro tienen la misma
dirección, así que necesitaremos usar ambas componentes de la pri-
mera ley de Newton de la ecuación (5.2).

Estamos suponiendo que el cable no tiene peso, así que las fuerzas
de tensión que la cuerda ejerce sobre el carro y la cubeta tienen la mis-
ma magnitud T.

PLANTEAR: La figura 5.5b es nuestro modelo idealizado del sistema.
Las figuras 5.5c y 5.5d son los diagramas de cuerpo libre que dibuja-
mos. Cabé senalar que podemos orientar los ejes de forma distinta para
cada cuerpo. Los ejes que se muestran son la opción que mas nos con-
viene. Como hicimos con el auto en el ejemplo 5.4, representamos el
peso del bloque de granito en términos de sus componentes x y v.

EJECUTAR: Aplicando ^^v = a la cubeta llena de tierra en la figu-
ra 5.5c, tenemos

J,F v = T+(- Wl )

Aplicando 2jF x — al bloque y al carro en la figura 5.5d, obtenemos

^F x — T + ( — w',senl5 ) = así que T = W|Senl5°
Igualando las dos expresiones para 7",

w 2 = W|Senl5° = 0.26u*|

EVALUAR: Nuestro anàlisis no depende de la dirección del movi-
miento, solo de que la velocidad sea constante. Por lo tanto, el sistema
puede moverse con rapidez constante en cualquier dirección, si el
peso de la cubeta con tierra es el 26% del peso del carro y el bloque
de granito. íQué sucedería si w 2 fuera mayor que 0.26vV[? ^Y si fuera
menor que 0.26>Vi?

Observe que no fue necesario aplicar la ecuación *£,F ~ al carro
y al bloque; solo lo seria si quisiéramos calcular el valor de n. £ Puede
usted demostrar que n = vídeos 15°?

así que

ir :

5.6 Diagramas de cuerpo libre correcto
e incorrecto para un cuerpo que cae.

i

La única fuerza que actua
sobre esta fruta al caer es
la atracción gravitacional.

b) Diagrama de cuerpo libre correcto

y

a y Ml
1 .. I

T< c

ÍCORRECTO!

Ustcd pucdc dibujar
con seguridad el vector
de aceleración a un

c) Diagrama de cuerpo libre incorrecto

y

! ( m« < INCORRECTO

Este vector no pertenece

al diagrama de cuerpo
libre porquc ma
no es una fuerza.

Evalúe su comprensíón de la sección 5.1 Un semàforo con masa m cuelga
de dos cables ligeros, uno a cada lado. Los dos cables cuelgan con un àngulo de 45°
con respecto a la horizontal. i,Qué tensión hay en cada cable? i) w/2; ii) wj v 2;
iii) w; iv) w V 2 ; v) 2w.

5.2 Empleo de la segunda ley de Newton:
Dinàmica de partículas

Ahora podemos analizar problemas de dinàmica, donde aplicamos la segunda ley de
Newton a cuerpos sobre los cuales la fuerza neta no es cero, de manera que los cuer-
pos no estan en equilibrio sinó que tienen aceleración. La fuerza neta es igual a la ma-
sa del cuerpo multiplicada por su aceleración:

^,F = ma (segunda ley de Newton, forma vectorial)

Normalmente usaremos esta relación en su forma de componentes:

(5.3)

5X

5X

(segunda ley de Newton,
forma de componentes)

(5.4)

La estratègia que presentaremos en seguida es muy similar a la que seguimos para re-
sol ver problemas de equilibrio en la sección 5.1. Estúdiela con detenimiento, vea cómo
se aplica en los ejemplos y úsela para resolver los problemas al final del capitulo. Re-
cuerde que todos los problemas de dinàmica pueden resolverse con esta estratègia.

.1.5

Act v

hysíc

Carrera de automóvíles

.2

Levantar una caja

.3

.4
.5

Bajar una caja

Despegue de cohete

Màquina de Atwood modificada

CUIDADO ma no pertenece a los diagramas de cuerpo libre Recuerde que la canti-
dad ma es el resultado de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, no es una fuerza; no es un em-
pujón ni tirón ejercido por algo del entomo. Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo
con aceleración (como la fruta de la figura 5.6a), nunca incluya "la fuerza nia" porque no existe
tal fuerza (figura 5.6b). Repase la sección 4.3 si todavía no le ha quedado claro esto. A veces
dibujaremos el vector de aceleración a junto a un diagrama de cuerpo libre, como en la figura.
5.6b; però nunca lo mostraremos con su cola tocando el cuerpo (posición reservada exclusiva-
mente para las fuerzas que actúan sobre el cuerpo).

5.2 Empleo de la segunda ley de Newton: Dinàmica de partículas

143

Estratègia para resolver problemas 5.2

Segunda ley de Newton: Dinàmica de partículas

IDENTIFICAR los conceptos importantes: Es preciso usar la segunda
ley de Newton al resolver cualquier problema donde intervengan fuer-
zas que actúan sobre un cuerpo con aceleración.

Identifique la incògnita, que suele ser una aceleración o una fuerza.
Si es otra cuestión, habrà que identificar y usar otro concepte Por
ejemplo, suponga que le piden determinar con qué rapidez se està mo-
viendo un trineo cuando llega al pie de una loma. Ello implica que la
incògnita es la velocidad final del trineo. Para obtenerla, primero nece-
sitarà usar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración del
trineo. Después, tendra que usar las relaciones para aceleración cons-
tante de la sección 2.4 y obtener la velocidad a partir de la aceleración.

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:

1 . Haga un dibujo sencillo de la situación. Identifique uno o mas cuerpos
en movimiento, a los cuales aplicarà la segunda ley de Newton.

2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo identificado,
que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Recuerde
que la aceleración de un cuerpo depende de las fuerzas que actúan
sobre él, no de las fuerzas que él ejerce sobre otros objetos. Ase-
gúrese de ser capaz de contestar la pregunta: "i,qué otro cuerpo està
aplicando esta fuerza?" para cada fuerza de su diagrama. Ademàs,
nunca incluya la cantidad nia en su diagrama de cuerpo libre; jno
es una fuerza!

3. Rotule cada fuerza con un símbolo algebraico para representar su
magnitud. (Recuerde que las magnitudes siempre son positivas.
Los signos menos apareceràn después cuando se obtengan las com-
ponentes de las fuerzas.) Por lo regular, una de las fuerzas serà el
peso del cuerpo; suele ser mejor rotularlo como w = mg. Si se da
el valor numérico para la masa, se podrà calcular su peso.

4. Elija los ejes de coordenadas x y y para cada objeto y muéstrelos
explícitamente en cada diagrama de cuerpo libre. No olvide indicar
cuàl es la dirección positiva de cada eje. Si conoce la dirección de
la aceleración, las cosas normalmente se simplifican si se elige esa
dirección como la dirección positiva de uno de los ejes. Si en el
problema intervienen dos o mas objetos y estos se aceleran en di-
recciones distintas, se pueden usar distintos ejes para cada objeto.

5. Identifique cualesquiera otras ecuaciones que podria necesitar,
ademàs de la segunda ley de Newton, ^F = ma (se requiere una
ecuación por cada incògnita). Por ejemplo, quizà necesite una o
màs de las ecuaciones para movimiento con aceleración constan-
te. Si intervienen dos o màs cuerpos, podrían existir relaciones
entre sus movimientos; por ejemplo, cuando los cuerpos estan
unidos con una cuerda. Exprese todas esas relaciones en forma
de ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los distintos
cuerpos.

EJECUTAR la solución como sigue:

1 . Para cada objeto, determine las componentes de las fuerzas a lo lar-
go de cada eje de coordenadas. Cuando represente una fuerza en
términos de sus componentes, marque con una línea ondulada el
vector original para recordar no incluirlo dos veces.

2. Para cada objeto, escriba una ecuación aparte para cada componen-
te de la segunda ley de Newton, como en la ecuación (5.4).

3. Haga una lista de todas las cantidades conocidas y desconocidas,
identificando las incógnitas.

4. Compruebe que tenga la misma cantidad de ecuaciones como de
incógnitas. Si le faltan ecuaciones, retroceda al paso 5 de "Plantear
el problema". Si le sobran ecuaciones, tal vez haya una cantidad
desconocida que no se identifico como tal.

5. Haga la parte fàcil: jlos càlculos! Despeje las ecuaciones para obte-
ner las incógnitas.

EVALUAR la respuesta: ^Su respuesta tiene las unidades correctas?
(En su caso, utilice la conversión 1 N = 1 kg ■ m/s 2 .) £ Tiene el signo
algebraico adecuado? (Si el problema se refiere a un trineo que se des-
liza por una loma, probablemente eligió el eje x positivo de modo que
apuntarà pendiente abajo. Si después obtiene una aceleración negativa
— es decir, pendiente arriba — sabrà que hay algun error en los càlcu-
los.) Si es posible, considere valores específicos o extremos, y com-
pare los resultados con lo que esperaba intuitivamente. Pregúntese:
'7,el resultado es congruente?"

Ejemplo 5.6

Movimiento rectilíneo con una fuerza constante

Un velero para hielo descansa en una superfície horizontal sin fricción
(figura 5.7a). Sopla un viento constante (en la dirección de los patines
del trineo), de modo que 4.0 s después de soltarse el velero adquiere
una velocidad de 6.0 m/s (unos 22 km/h o 13 mi/h). ^Qué fuerza cons-
tante F w ejerce el viento sobre el velero? La masa total del velero màs
el tripulante es de 200 kg.

EI

IDENTIFICAR: Nuestra incògnita es una de las fuerzas (F w ) que ac-
túan sobre el velero, así que necesitaremos usar la segunda ley de
Newton. Esa ley implica fuerzas y aceleración; però no nos dan la
aceleración, así que habrà que calcularia. Se supone que el viento es
constante, así que las fuerzas no cambian con el tiempo y la acelera-
ción producida es constante. Esto implica que podremos usar una de
las fórmulas de aceleración constante de la sección 2.4.

PLANTEAR: La figura 5.7b muestra el diagrama de cuerpo libre para
el velero y el tripulante considerados como una unidad. Las fuerzas
que actúan sobre este objeto son el peso w, la fuerza normal n ejercida

5.7 a) La situación. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre
a) Velero y tripulante sobre hielo sin fricción

XcL

\ íü

\

A *

/ /

I2br

b) Diagrama de cuerpo
libre del velero y su

tripulante

: ™9

continua

144

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

por la superfície y la fuerza horizontal F w (nuestra incògnita). La fuer-
za neta y por lo tanto la aceleración estan dirigidas a la derecha, así que
elegimos el eje +x en esa dirección.

Para obtener la aceleración, observe lo que se nos dice acerca del
movimiento del velero. Éste parte del reposo, así que su velocidad ini-
cial es v fíx = y alcanza la velocidad v x = 6.0 m/s después del tiempo
transcurrido t = 4.0 s. Una ecuación que relaciona la aceleración a x
con esas cantidades es la ecuación (2.8), v x = v 0í + a x .t.

EJECUTAR: Las cantidades conocidas son la masa m = 200 kg, las
velocidades inicial y final v ()x = y v x = 6.0 m/s, y el tiempo trans-
currido t = 4.0 s. Las tres incógnitas son la aceleración a x , la fuerza
normal n y la fuerza horizontal F w (la incògnita). Por lo tanto, necesi-
tamos tres ecuaciones.

Las primeras dos son las ecuaciones x y y para la segunda ley
de Newton. La fuerza F w tiene la dirección +jt; en tanto que las
fuerzas n y mg tienen las direcciones +y y — y, respectivamente. Por
lo tanto, tenemos

2v

F w - ma x

n + ( — mg )

La tercera ecuación que necesitamos es la relación de aceleración
constante

Para obtener F w , primero despejamos c/ v de la ecuación para acele-
ración constante y la sustituimos en la ecuación de ^F x :

v x — v üx 6.0 m/s — m/s

1.5 m/s 2

t 4.0 s

F w = ma x = (200 kg) ( 1.5 m/s 2 ) = 300 kg • m/s 2

Un kg • m/s 2 equivale a 1 newton (N), así que la respuesta final es

F w = 300 N (unas67 1b)

Observe que no necesitamos la ecuación 2F V para obtener F w . La
necesitaríamos si quisiéramos obtener la fuerza normal n:

n — mg =

n = mg = (200 kg) (9.8 m/s 2 )

= 2.0 X 10 3 N (unas 4501b)

EVALUAR: Los valores que obtuvimos para F w y n tienen unidades
correctas de fuerza, como debería ser. La magnitud n de la fuerza nor-
mal es igual a mg, el peso combinado del velero y el tripulante, porque
la superfície es horizontal y no actúan otras fuerzas verticales. ^Le pa-
rece razonable que la fuerza F w sea mucho menor que mgl

Ejemplo 5.7

Movimiento rectilíneo con fricción

Suponga que hay una fuerza de fricción horizontal constante con mag-
nitud de 100 N que se opone al movimiento del velero del ejemplo 5.6.
En este caso, ^qué fuerza F w debe ejercer el viento sobre el velero
para producir la misma aceleración constante a x = 1.5 m/s 2 ?

EI

.jj

IDENTIFICAR: Una vez mas, la incògnita es F w . Nos dan la acele-
ración, así que solo necesitamos la segunda ley de Newton para ob-
tener F w .

PLANTEAR: La figura 5.8 muestra el nuevo diagrama de cuerpo libre.
La única diferencia con respecto a la figura 5.7b es la adición de la
fuerza de fricción /, que apunta en la dirección opuesta al movimiento.
(Observe que su magnitud, f = 100 N, es positiva, però su componente
en la dirección x es negativa e igual a —f, es decir, — 100 N.)

EJECUTAR: Ahora hay dos fuerzas (la del viento y la de fricción) con
componente x. La componente x de la segunda ley de Newton da

2^ = F W + (-/) =ma x

F w = ma, +f= (200 kg) (1.5 m/s : ) + ( 100 N) = 400 N

5.8 Nuestro diagrama de cuerpo libre del velero y su tripulante
con una fuerza de fricción / opuesta al movimiento.

= m^

EVALUAR: Debido a la fricción, se requiere una fuerza F w mayor que
la del ejemplo 5.6. Necesitamos 100 N para vèncer la fricción y 300 N
mas para dar al velero la aceleración requerida.

Ejemplo 5.8

Tensión en un cable de elevador

Un elevador y su carga tienen masa total de 800 kg (figura 5.9a) y ori-
ginalmente està bajando a 10.0 m/s; se le detiene con aceleración
constante en una distancia de 25.0 m. Calcule la tensión Fen el cable
de soporte mientras el elevador se està deteniendo.

Esnmaa

IDENTIFICAR: La incògnita es la tensión T, que obtendremos con
la segunda ley de Newton. Al igual que en el ejemplo 5.6, tendremos
que determinar la aceleración usando las fórmulas de aceleración
constante.

PLANTEAR: El diagrama de cuerpo libre de la figura 5.9b muestra
las únicas fuerzas que actúan sobre el elevador: su peso w y la fuerza
de tensión F del cable. El elevador està bajando con rapidez decre-
ciente, así que su aceleración es hacia arriba; elegimos el eje +y en
esa dirección.

El elevador se mueve hacia abajo, en la dirección — y. Por lo tanto,
su velocidad inicial v Qy y su desplazamiento y — y son negativos:
v Qy = — 10.0 m/s y y — y = —25.0 m. La velocidad final es v y = 0.
Para obtener la aceleración a v a partir de esta información, utilizare-
mos la ecuación (2.13) en la forma Vy = v 0v 2 + 2a y (y — y ). Una vez

5.2 Empleo de la segunda ley de Newton: Dinàmica de partículas

145

5.9 a) La situación. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

a) Un elevador en descenso

b) Diagrama de cuerpo

Baja con rapidez

decreciente

w = mg

que tengamos a y , la sustituiremos en la componente y de la segunda ley
de Newton, ecuación (5.4).

EJECUTAR: Escribamos primero la segunda ley de Newton. La fuerza
de tensión actua hacia arriba y el peso lo hace hacia abajo, así que

£,Fy — T + ( — w) = tnciy

Despejamos la incògnita T:

T = w + mOy = mg + ma y = m (g + a y )

Para determinar a y , reacomodamos la ecuación de aceleración constan-

te v y = V y + 2a y (y - y ):

V0y

2(y - y )

(0) 2 - (-10.0m/s) 2
2(-25.0m)

+ 2.00 m/s 2

La aceleración es hacia arriba (positiva), como deberfa ser en el caso
de un movimiento hacia abajo con rapidez decreciente.

Ahora podemos sustituir la aceleración en la ecuación de la ten-
sión:

T= m{g + Oy) = (800 kg) (9.80 m/s 2 + 2.00 m/s 2 )
= 9440 N

EVALUAR: La tensión es 1600 N mayor que el peso. Esto es lógico:
debe haber una fuerza neta hacia arriba que produzca la aceleración
que detiene el elevador. ^Nota usted que obtendríamos el mismo valor
de T'y a y si el elevador estuviera ascendiendo y aumentando su rapidez
a razón de 2.00 m/s 2 '?

Ejemplo 5.9

Peso aparente en un elevador con aceleración

Una mujer de 50.0 kg se para en una bàscula dentro del elevador del
ejemplo 5.8 (figura 5. 10a). iQué valor marca la bàscula?

EHHEJ

IDENTIFICAR: La bàscula marca la magnitud de la fuerza hacia abajo
ejercida por la mujer sobre la bàscula; por la tercera ley de Newton, es-
to es igual a la magnitud de la fuerza normal hacia arriba ejercida por
la bàscula sobre la mujer. Por lo tanto, nuestra incògnita es la magnitud
n de la fuerza normal.

Obtendremos n aplicando la segunda ley de Newton a la mujer.
Y ya conocemos la aceleración de esta; es la misma que la aceleración
del elevador, que calculamos en el ejemplo 5.8.

PLANTEAR: La figura 5.10b es un diagrama de cuerpo libre para la
mujer. Las fuerzas que actúan sobre ella son la fuerza normal n ejerci-
da por la bàscula y su peso w = mg = (50.0 kg) (9.80 m/s 2 ) = 490 N.

5.10 a) La situación. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

a) Mujer en el

i

b) Diagrama de cuerpo
libre de la mujer

y
i

A

Baja con rapidez
decreciente

w = 490 N

(La fuerza de tensión, que desempenó un papel protagónico en el
ejemplo 5.9, no aparece aquí. Ello se debe a que la tensión no actua di-
rectamente sobre la mujer. Lo que ella siente en sus pies es la bàscula
que empuja hacia arriba, no el cable del elevador.) En el ejemplo 5.9,
la aceleración del elevador y la mujer es a y = +2.00 m/s 2 .

EJECUTAR: La segunda ley de Newton da

^Fy — « + i~ m g) — ma v

n = mg + mOy = m(g + a y )

= (50.0 kg) (9.80 m/s 2 + 2.00 m/s 2 ) = 590 N

EVALUAR: El valor obtenido para n implica que, mientras el eleva-
dor se està deteniendo, la bàscula empuja a la mujer con una fuerza
de 590 N hacia arriba. Por la tercera ley de Newton, la mujer empuja
la bàscula hacia abajo con la misma fuerza, así que la bàscula ma-
rca 590 N, lo cual son 100 N màs que su peso real. La lectura de la
bàscula es el peso aparente de la mujer; esta siente que el piso em-
puja con mayor fuerza sus pies que cuando el elevador està parado
o se mueve a velocidad constante.

l,Qué sentiria la mujer si el elevador estuviera acelerando hacia
abajo, de modo que a y = —2.00 m/s 2 ? Esto sucedería si el elevador
estuviera subiendo con rapidez decreciente o bajando con rapidez cre-
ciente. Para obtener la respuesta a esta situación, simplemente inserta-
mos el nuevo valor de a y en nuestra ecuación para n:

n = m(g + ay) = (50.0 kg) [9.80 m/s 2 + (-2.00 m/s 2 )]
= 390 N

Ahora la mujer siente que pesa solo 390 N, 100 N menos que su peso
real.

El lector puede sentir estos efectos dando unos pasos en un ele-
vador que se està frenando después de descender (cuando su peso
aparente es mayor que su verdadero peso w) o que se està frenando
después de ascender (cuando su peso aparente es menor que w).

146

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

5.1 1 Los astronautas en òrbita sienten
"ingravidez" porque tienen la misma
aceleración que su nave, no porque estén
"fuera del alcance de la gravedad terrestre".
(Si la fuerza de gravedad no actuarà sobre
ellos, los astronautas y su nave no perma-
necerían en òrbita, sinó que se internarían
en el espacio exterior.)

Peso aparente e ingravidez aparente

Generalicemos el resultado del ejemplo 5.9. Cuando un pasajero de masa m viaja en
un elevador con aceleración a y , una bàscula da como peso aparente del pasajero

n = m(g + <7 V )

Cuando el elevador està acelerando hacia arriba, a y es positiva y n es mayor que el pe-
so del pasajero w = mg. Si el elevador acelera hacia abajo, a y es negativa y n es me-
nor que el peso. Si el pasajero no sabé que el elevador està acelerando, sentirà que su
peso cambia y, de hecho, la bàscula lo indica.

El caso extremo sucede cuando el elevador tiene una aceleración hacia abajo
a y = —g, es decir, cuando està en caída libre. En este caso, n = y el pasajero siente
que no tiene peso. Asimismo, un astronauta en òrbita alrededor de la Tierra expe-
rimenta ingravidez aparente (figura 5.11). En ambos casos, la persona aún tiene peso,
porque actua sobre ella una fuerza gravitacional; sin embargo, el efecto de esta condi-
ción de caída libre es el mismo que si el cuerpo estuviera en el espacio exterior sin
experimentar gravedad. En ambos casos, la persona y su vehículo (elevador o nave)
estan cayendo juntos con la misma aceleración g, así que nada empuja a la persona
contra el piso o las paredes del vehículo.

Ejemplo 5.10

Aceleración cuesta abajo

Un trineo cargado de estudiantes en vacaciones (peso total w) se desli-
za hacia abajo por una larga cuesta nevada. La pendiente tiene un àn-
gulo constante a, y el trineo està tan bien encerado que la fricción es
despreciable. iQué aceleración tiene el trineo?

EEEE1

IDENTIFICAR: Nuestra incògnita es la aceleración, que obtendremos
aplicando la segunda ley de Newton. No hay fricción, así que las únicas
fuerzas que actúan sobre el trineo son su peso vi' y la fuerza normal n
ejercida por la colina. Al igual que en el ejemplo 5.4 (sección 5.1), la
superfície està inclinada de manera que la fuerza normal no es vertical
ni es opuesta al peso. Por lo tanto, deberemos usar ambas componentes
de 2f = ma en la ecuación (5.4).

PLANTEAR: La figura 5.12 muestra el diagrama de cuerpo libre. To-
mamos ejes paralelo y perpendicular a la colina, de modo que la ace-
leración (que es paralela a la colina) tenga la dirección +x.

5.12 Nuestro diagrama para este problema.

a) La situación b) Diagrama de cueipo libre del trineo

EJECUTAR: La fuerza normal solo tiene componente y, però el peso
tiene tanto componente x como y: w x = wsena y w y = — wcosa.
(Compare con el ejemplo 5.4, donde la componente x del peso era — w
sen a. La diferencia es que en el ejemplo 5.4 el eje +x era cuesta arriba
y en la figura 5.12b es cuesta abajo.) La h'nea ondulada de la figura
5.12b nos recuerda que descompusimos el peso en sus componentes.

La aceleración es exclusivamente en la dirección +x, así que
a y = 0. La segunda ley de Newton en forma de componentes nos
dice entonces que

2^v = wsena
*2,F y = n - vi

cosa = ma v =

Dado que w = mg, la ecuación para la componente x nos indica que
mg sen a = ma x , es decir,

a x = gsena

Observe que no necesitamos la ecuación de la componente y para obte-
ner la aceleración. jÉsa es la ventaja de elegir el eje x en la dirección
de la aceleración! Lo que nos da las componentes y es la magnitud de
la fuerza normal que la superfície de la colina ejerce sobre el trineo:

« = wcosct = mg cos ot

EVALUAR: Observe que la masa no aparece en el resultado de la ace-
leración, lo cual significa que cualquier trineo, sin importar su masa
ni su número de pasajeros, se desliza por una colina sin fricción con
aceleración g sen a. En particular, si el plano es horizontal, a =
y a x = (el trineo no se acelera); si el plano es vertical, a = 90° y
a x = g (el trineo està en caída libre).

Observe también que la fuerza normal n no es igual al peso del tri-
neo (compare con el ejemplo 5.4 de la sección 5.1). No necesitamos
este resultado aquí, però serà útil después.

5.2 Empleo de la segunda ley de Newton: Dinàmica de partículas

147

CUIDADO Errores comunes en un diagrama de cuerpo libre

La figura 5.13 muestra tanto una forma común correcta (figura 5.13a)
como una incorrecta (figura 5.13b) de dibujar el diagrama de cuerpo
libre del trineo. El diagrama de la figura 5.13b es incorrecto por dos

razones: la fuerza normal debe ser perpendicular a la superfície, y nun-
ca debe incluirse la "fuerza nia". Si usted recuerda que ''normal"' signi-
fica "perpendicular" y que ma no es una fuerza, tendra siempre buenas
posibilidades de dibujar diagramas de cuerpo libre correctos.

5.13 Diagramas correcto e incorrecto para el trineo sobre una colina sin fricción.

a) Diagrama de cuerpo libre correcto para el trineo b) Diagrama de cuerpo libre incorrecto para el trineo

y

iCORRECTO! ►

La fuerza normal

es perpendicular
a la superfície.

w = mg

,... el vector de aceleración
(però sin tocarlo).
4 iCORRECTO!

INCORRECTO ► ,-

La fuerza normal
no es vertical porque
la superfície (que
està en el eje x) està

■ La cantidad ma
no es una fuerza.

S/^í < INCORRECTO

Ejemplo 5.11

Dos cuerpos con la misma aceleración

Imagine que usted empuja una bandeja de 1 .00 kg sobre el mostrador del
comedor con una fuerza constante de 9.0 N. Al moverse, la bandeja em-
puja un envase de leche de 0.50 kg (figura 5.14a). La bandeja y el envase
se deslizan sobre una superfície horizontal tan grasosa que puede des-
preciarse la fricción. Obtenga la aceleración del sistema bandeja-envase
y la fuerza horizontal que la bandeja ejerce sobre el envase de leche.

EI

1

PLANTEAR: Hay dos formas de plantear el problema.

Método 1: Podemos tratar a la bandeja (masa m T ) y al envase (ma-
sa m c ) como cuerpos individuales, cada uno con su propio diagrama
de cuerpo libre (figuras 5.14b y 5.14c). Observe que la fuerza F que
usted ejerce sobre la bandeja no aparece en el diagrama de cuerpo li-
bre del envase. Mas bien, lo que hace que el envase se acelere es la
fuerza de magnitud F T sobre c que la bandeja ejerce sobre ella. Por
la tercera ley de Newton, el envase ejerce una fuerza de igual magni-

IDENTIFICAR:Nuestras dos incógnitas son la aceleración del sistema
bandeja-envase y la fuerza de la bandeja sobre el envase. Usaremos
otra vez la segunda ley de Newton; sin embargo, tendremos que apli-
caria a dos cuerpos distintos para obtener dos ecuaciones (una para ca-
da incògnita).

tud sobre la bandeja: F c

. Elegimos que la aceleración

tenga la dirección +x\ la bandeja y el envase se mueven con la misma
aceleración a x .

Método 2: Podemos tratar a la bandeja y al envase como un cuerpo
compuesto con masa /n = m T + m c = 1.50 kg (figura 5.14d). La única

5.14 Se empujan una bandeja y un envase de leche sobre el mostrador de un comedor.

a) Un envase de leche y una bandeja b) Diagrama de cuerpo c) Diagrama de cuerpo

libre para el envase de leche libre para la bandeja

m =0.50 kg

d) Diagrama de cuerpo libre para

el envase y la bandeja como cuerpo
compuesto

y
i

U'y

continua

148

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

fuerza horizontal que actua sobre este cuerpo compuesto es la fuerza F
que usted ejerce. Las fuerzas F T sobre c y F c sobre T no intervienen porque
son intemas con respecto a este cuerpo compuesto, y la segunda ley de
Newton nos dice que solo las fuerzas externas afectan la aceleración
de un cuerpo (véase la sección 4.3). Por lo tanto, necesitaremos una
ecuación adicional para determinar la magnitud F TsobreC si empleamos
este método; obtenemos esa ecuación aplicando la segunda ley de
Newton al envase de leche, igual que en el método 1.

EJECUTAR: Método 1: Las ecuaciones de componente x de la segunda
ley de Newton para la bandeja y el envase son

Bandeja:
Envase:

5X
2^

F C sobre T ~ F ~ F T

,b,e c = rn c a x

■ m T a x

Así, tenemos dos ecuaciones simultàneas con las incógnitas a x y
^t sobre c- (Solo necesitamos dos ecuaciones, lo cual significa que
las componentes y no desempenan ningún papel en este ejemplo.)
Una forma fàcil de despejar a x de las dos ecuaciones es sumarlas;
esto elimina F T

- y nos da

= m T a x + m c a x = (r,

F

m T + m c

9.0 N

1.00 kg + 0.50 kg

::K

6.0 m/s 2

Sustituimos este valor en la ecuación del envase y obtenemos

^t sobre c = «<A = (0.50 kg) (6.0 m/s 2 ) = 3.0 N

Método 2: La componente x de la segunda ley de Newton para el
cuerpo compuesto con masa m es

^F x = F = ma x

y la aceleración de este cueipo compuesto es

F 9.0 N

x m 1 .50 kg

6.0 m/s 2

Ahora examinamos el envase de leche solo y observamos que, si que-
remos impartirle una aceleración de 6.0 m/s 2 , la bandeja deberà ejercer
sobre él una fuerza de

^xsobrec = m c a x = ( 0.50 kg) ( 6.0 m/s 2 ) = 3.0 N

EVALUAR: Obtenemos las mismas respuestas con los dos métodos,
como debería ser. Para verificar las respuestas, observe que las fuerzas
a cada lado de la bandeja son distintas: F = 9.0 N a la derecha y F c so _
bieT = 3.0 N a la izquierda. Por lo tanto, la fuerza neta horizontal sobre
la bandeja es F — F c sobre T = 6.0 N, que es exactamente la que se nece-
sita para acelerar una bandeja de 1 .00 kg a 6.0 m/s 2 .

El método de tratar los dos cuerpos como un solo cuerpo compues-
to funciona únicamente si los dos cuerpos tienen la misma magnitud y
dirección de aceleración. Si las aceleraciones son distintas, deberemos
tratar los dos cuerpos individualmente, como en el ejemplo que sigue.

Ejemplo 5.12

Dos cuerpos con la misma magnitud de aceleración

En la figura. 5.15a, un deslizador de masa m, se mueve sobre un riel de
aire horizontal, sin fricción, en el laboratorio de física. El deslizador
està conectado a una pesa de masa m 2 mediante un cordón ligero, flexi-
ble e inelàstico que pasa por una pequena polea sin fricción. Calcule la
aceleración de cada cueipo y la tensión en el cordón.

EEEE1

IDENTIFICAR: El cordón y la pesa se estan acelerando, así que debe-
remos usar la segunda ley de Newton. Hay tres incógnitas: la tensión T
en el cordón y las aceleraciones de los dos cuerpos.

PLANTEAR: Los dos cuerpos tienen diferente movimiento, uno hori-
zontal y el otro vertical, así que no podemos considerarlos juntos co-
mo hicimos en el ejemplo 5.11. Las figuras 5.15b y 5.15c muestran

5.1 5 a) La situación. b), c) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

a) Aparato

%m

nr

TIQ

b) Diagrama de cuerpo c) Diagrama de
libre para el deslizador cuerpo libre para
la pesa

y
i

mtf

m 2 g

los diagramas de cuerpo libre y sistemas de ejes correspondientes.
Conviene hacer que ambos cuerpos aceleren en la dirección positiva
de un eje, por lo que elegimos la dirección +y para la pesa hacia aba-
jo. (Es completamente valido usar diferentes ejes de coordenadas para
los dos cuerpos.)

No hay fricción en la polea y consideramos que el cordón no tiene
masa, así que la tensión Ten el cordón es homogénea: aplica una fuer-
za de magnitud T a cada cuerpo. (Quizà sea conveniente repasar el
ejemplo conceptual 4.10 de la sección 4.5, donde vimos la fuerza de
tensión ejercida por un cordón sin masa.) Los pesos son m x g y m 2 g.

Si bien las direcciones de las dos aceleraciones son distintas, sus
magnitudes son iguales. Ello se debe a que el cordón no se estira;
por lo tanto, los dos cuerpos deberàn avanzar distancias iguales en
tiempos iguales, y así sus rapideces en cualquier instante dado debe-
ràn ser iguales. Cuando las rapideces cambian, lo hacen en la misma
cantidad en un tiempo dado, de manera que las aceleraciones de los
dos cuerpos deben tener la misma magnitud a. Podemos expresar esta
relación así

Gracias a esta relación, en realidad solo tenemos dos incógnitas: a y la
tensión T.

EJECUTAR: Para el deslizador en el riel, la segunda ley de Newton da

Deslizador: ZjF x = T = m x a^ = m { a
Deslizador: ZjF x — « + (~tn l g) = m x a w =

En el caso de la pesa, las únicas fuerzas que actúan estan en la direc-
ción y, así que

Pesa: ^F y = m 2 g + (-T) = m 2 a 2v

5.3 Fuerzas de fricción

149

En estàs ecuaciones, hemos usado las relaciones a ly = (el deslizador
no se acelera verticalmente) y a u = a 2v = a (los dos objetos tienen la
misma magnitud de aceleración).

La ecuación x para el deslizador y la ecuación para la pesa nos dan
dos ecuaciones simultàneas para las incógnitas Ty a:

Deslizador: T = m Y a

Pesa: m 2 g — T = m 2 a

Sumamos estàs ecuaciones para eliminar Ty nos da:
m 2 g = ni { a + m 2 a = (m, + m 2 )a
Así, la magnitud de la aceleración de cada cuerpo es

m 2

a =

Sustituimos esto en la primera ecuación (la del deslizador) para ob-
tenen

m 2

-H

EVALUAR: La aceleración es menor que g, como se esperaba; la pesa
se acelera mas lentamente porque la frena la tensión en el cordón.

La tensión T no es igual al peso m 2 g de la pesa, sinó que es menor
según el factor m/fm, + m 2 ). Si Tfuera igual a m 2 g, la pesa estaria en
equilibrio, lo cual no sucede.

CUIDADO Quizà tensión y peso no sean lo mismo Es un

error común suponer que, si un objeto està unido a un cordón vertical,
la tensión en el cordón debe ser igual al peso del objeto. Era así en
el ejemplo 5.5, donde la aceleración era cero; jpero la situación es
distinta en el presente ejemplo! La única estratègia segura consiste
en tratar siempre la tensión como una variable, del modo como lo
hicimos aquí.

Por ultimo, revisemos algunos casos especiales. Si m, = 0, la pesa
caería libremente y no habría tensión en el cordón. Las ecuaciones dan
T = y a = g cuando m x = 0. Asimismo, si m 2 = 0, no esperamos ten-
sión ni aceleración; en este caso, de hecho, las ecuaciones dan T = y

«7 = 0.

Evalúe su comprensíón de la seccíón 5.2 Imagine que usted sostiene el desliza-
dor del ejemplo 5.12, de modo que éste y la pesa estan inicialmente en reposo. Le da al
deslizador un empujón hacia la izquierda en la figura 5. 15a y luego lo suelta. El cordón
permanece tenso conforme el deslizador se mueve hacia la izquierda, queda instantàneamente
en reposo y luego se mueve hacia la derecha. En el instante en que el delsizador tiene
velocidad cero, ^cuàl es la tensión en el cordón? i) mayor que en el ejemplo 5.12; ii) la misma
que en el ejemplo 5.12; iii) menor que en el ejemplo 5.12, però mayor que cero; iv) cero.

5.3 Fuerzas de fricción

Hemos visto varios problemas en que un cuerpo descansa o se desliza sobre una su-
perfície que ejerce fuerzas sobre el cuerpo. Siempre que dos cuerpos interactúan por
contacto directo de sus superfícies, llamamos a dicha interacción fuerzas de contacto.
La fuerza normal es un ejemplo de fuerza de contacto; en esta sección, veremos con
detenimiento otra fuerza de contacto: la fuerza de fricción.

Una fuerza importante en muchos aspectos de nuestra vida es la fricción. El aceite
de un motor automotriz reduce la fricción entre piezas móviles; no obstante, sin fric-
ción entre los neumàticos y el asfalto, el automóvil no podria avanzar ni dar vuelta. El
arrastre del aire — la fricción ejercida por el aire sobre un cuerpo que se mueve a través
de él — reduce el rendimiento del combustible en los autos, però hace que funcionen
los paracaídas. Sin fricción, los clavos se saldrían, las bombillas y tapas de frascos se
desatornillarían sin esfuerzo y el hockey sobre hielo seria imposible (figura 5.16).

Fricción cinètica y estàtica

Si tratamos de deslizar una caja pesada con libros por el piso, no lo lograremos si no
aplicamos cierta fuerza mínima. Luego, la caja comienza a moverse y casi siempre
podemos mantenerla en movimiento con menos fuerza que la que necesitamos ini-
cialmente. Si sacamos algunos libros, necesitaremos menos fuerza que antes para po-
ner o mantener en movimiento la caja. iQué podemos afirmar en general acerca de
este comportamiento?

Primero, cuando un cuerpo descansa o se desliza sobre una superfície, podemos re-
presentar la fuerza de contacto que la superfície ejerce sobre el cuerpo en términos de
componentes de fuerza perpendiculares y paralelos a la superfície (figura 5.17). El vec-
tor componente perpendicular es la fuerza normal, denotada con n. El vector compo-
nente paralelo a la superfície (y perpendicualr a «) es la fuerza de fricción, denotada
con /. Si la superfície no tiene fricción, entonces / serà cero però habrà todavía una
fuerza normal. (Las superfícies sin fricción son una idealización inasequible, aunque

5.16 El hockey sobre hielo depende cru-
cialmente de que exista justo la cantidad
correcta de fricción entre los patines del
jugador y el hielo. Si hubiera demasiada
fricción, los jugadores se moverían muy
lentamente; si la fricción fuera insuficiente,
no podrían evitar caerse.

5.17 Cuando el bloque se empuja o se
tira de él sobre una superfície, la superfície
ejerce una fuerza de contacto sobre el
bloque.

Las fuerzas de fricción y normal son
componentes reales de una sola fuerza
de contacto.
Fuerza de contacto

1

Componente n

de la fuerza normal

Componente /Le-*.
de la fuerza de
fricción

150

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

Actv

ÍC

Phy

2.5 Camión que tira de una caja

2.6 Empujar una caja hacia arriba contra
una pared

2.7 Esquiador que baja una cuesta

2.8 Esquiador y cuerda de remolque
2.10 Camión que tira de dos cajas

podemos aproximaria si los efectos de la fricción son insignificantes.) La dirección de
la fuerza de fricción siempre es opuesta al movimiento relativo de las dos superfícies.

El tipo de fricción que actua cuando un cuerpo se desliza sobre una superfície es
la fuerza de fricción cinètica f k . El adjetivo "cinètica" y el subíndice "k" nos re-
cuerdan que las dos superfícies se mueven una relativa a la otra. La magnitud de esta
fuerza suele aumentar al aumentar la fuerza normal. Por ello, se requiere mas fuerza
para deslizar por el piso una caja llena de libros, que la misma caja vacía. Este prin-
cipio también se usa en los sistemas de frenos de automó viles; si las zapatas se aprie-
tan con mas fuerza contra los discos giratorios, mayor serà el efecto de frenado. En
muchos casos, la magnitud de la fuerza de fricción cinética/ k experimental es aproxi-
madamente proporcional a la magnitud n de la fuerza normal. En tales casos, repre-
sentamos la relación con la ecuación

f k = p. k n (magnitud de la fuerza de fricción cinètica)

(5.5)

donde /x k es una constante llamada coeficiente de fricción cinètica. Cuanto mas res-
balosa sea una superfície, menor serà el coeficiente de fricción. Al ser un cociente de
dos magnitudes de fuerza, ^ k es un número puro sin unidades.

CUIDADO Las fuerzas de fricción y normal siempre son perpendiculares Recuerde
que la ecuación (5.5) no es una ecuación vectorial porque f k y n siempre son perpendiculares.
Mas bien, es una relación escalar entre las magnitudes de dos fuerzas.

5.18 Las fuerzas normal y de fricción
surgen de interacciones entre moléculas
en puntos intermedios entre las superfícies
del bloque y del piso.

La ecuación (5.5) solo es una representación aproximada de un fenómeno comple-
jo. En el nivel microscópico, las fuerzas de fricción y la normal se deben a las fuerzas
intermoleculares (fundamentalmente eléctricas) entre dos superfícies àsperas en los
puntos donde entran en contacto (figura 5.18). Al deslizarse una caja sobre el piso, se
forman y rompen enlaces entre ambas superfícies, y el número total de enlaces varia;
por lo tanto, la fuerza de fricción cinètica no es perfectamente constante. Si alisamos
las superfícies, podríamos aumentar la fricción, pues màs moléculas podrían interac-
tuar y enlazarse; juntar dos superfícies lisas del mismo metal produciría una "solda-
dura Ma". Los aceites lubricantes funcionan porque una película de aceite entre dos
superfícies (como entre los pistones y cilindros de un motor) evita que entren en con-
tacto realmente.

La tabla 5.1 presenta algunos valores representativos de fj. k . Aunque damos dos ci-
fras significativas, son valores aproximados, ya que las fuerzas de fricción también

En un nivel microscópico, aun las superfícies lisas
son àsperas: tienden a "engancharse".

Tabla 5.1 Coeficientes de fricción aproximados
Materiales

Coeficiente de Coeficiente de

fricción estàtica, fi s fricción cinètica, fi k

Acero sobre acero

0.74

0.57

Aluminio sobre acero

0.61

0.47

Cobre sobre acero

0.53

0.36

Latón sobre acero

0.51

0.44

Zinc sobre hierro colado

0.85

0.21

Cobre sobre hierro colado

1 .05

0.29

Vidrio sobre vidrio

0.94

0.40

Cobre sobre vidrio

0.6X

0.53

Teflón sobre teflón

0.04

0.04

Teflón sobre acero

0.04

0.04

Hule sobre concreto (seco)

1.0

O.S

Hule en concreto (húmedo)

0.30

0.25

5.3 Fuerzas de fricción

151

5.19 a), b), c) Si no hay movimiento relativo, la magnitud de la fuerza de fricción estàtica f s es igual o menor que /jlji. d) Si hay
movimiento relativo, la magnitud de la fuerza de fricción cinètica / k es igual a fj. k n. e) Gràfica de la magnitud de la fuerza de fric-
ción/en función de la magnitud de la fuerza aplicada T. La fuerza de fricción cinètica varia un poco conforme se forman y se
rompen los enlaces intermoleculares.

d)

a)

4

.

>\

"■,

■

b)

"..

i

T

/,

vt-\ ,

No se aplica

fuerza, caja en reposo.

Sin fricción:

la caja permanece en reposo.

Fricción estàtica:

/■ < Ms"

caja a punto de deslizarse.

Fricción estàtica:

La caja se desliza

con rapidez constante.

Fricción cinètica:

À = IV

Caja en reposo; la fricción estàtica
es igual a la fuerza aplicada.

Caja en movimiento; la fricción cinètica
es esencialmente constante.

dependen de la rapidez del cuerpo relativa a la superfície. Por ahora, ignoraremos es-
te efecto y supondremos que /j, k y/ k son independientes de la rapidez, para concentrar-
nos en los casos mas sencillos. La tabla 5.1 también da coeficientes de fricción
estàtica, que definiremos en breve.

Las fuerzas de fricción también pueden actuar cuando no hay movimiento relati-
vo. Si tratamos de deslizar por el piso la caja con libros, tal vez no se mueva porque el
piso ejerce una fuerza de fricción igual y opuesta sobre la caja. Esta se llama fuerza
de fricción estàtica /,. En la figura 5.19a, la caja està en reposo, en equilibrio, bajo la
acción de su peso w y la fuerza normal hacia arriba li. La fuerza normal es igual en
magnitud al peso (n = w) y ejercida por el piso sobre la caja. Ahora atamos una cuer-
da a la caja (figura 5.19b) y gradualmente aumentamos la tensión T en la cuerda. Al
principio, la caja no se mueve porque, al aumentar T, la fuerza de fricción estàtica/ s
también aumenta (su magnitud se mantiene igual a T).

En algun momento, T se vuelve mayor que la fuerza de fricción estàtica/, màxima
que la superfície puede ejercer; después, la caja "se suelta" (la tensión T puede rom-
per las interacciones entre las moléculas de las superfícies de la caja y el piso) y co-
mienza a deslizarse. La figura 5.19c muestra las fuerzas cuando T tiene este valor
critico. Si Texcede dicho valor, la caja ya no estarà en equilibrio. Para un par de su-
perfícies dado, el valor màximo de/ s depende de la fuerza normal. Los experimentos
han revelado que, en muchos casos, ese valor màximo, llamado í/ s ) max , es aproxima-
damente proporcional a n; llamamos coeficiente de fricción estàtica al factor de
proporcionalidad /a s . En la tabla 5. 1 se dan valores representativos de p. s . En una situa-
rien específica, la fuerza de fricción estàtica real puede tener cualquier magnitud en-
tre cero (cuando no hay otra fuerza paralela a la superfície) y un valor màximo dado
por /x^. En símbolos,

f s < fjiji (magnitud de la fuerza de fricción estàtica)

(5.6)

152

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

Al igual que la ecuación (5.5), esta es una relación entre magnitudes, no de vecto-
res. La igualdad solo se cumple cuando la fuerza aplicada T alcanza el valor critico en
que el movimiento està a punto de iniciar (figura 5.19c). Si T es menor que este valor
(figura 5.19b), se cumple la desigualdad y debemos usar las condiciones de equilibrio
( 2-F = 0) para obtener/ s . Si no se aplica fuerza (T = 0), como en la figura 5.19a,
tampoco hay fuerza de fricción estàtica (f s = 0).

Apenas inicia el deslizamiento de la caja (figura 5.19d), la fuerza de fricción suele
disminuir; es màs fàcil mantener la caja en movimiento que ponerla en movimiento.
Por lo tanto, el coeficiente de fricción cinètica suele ser menor que el de fricción està-
tica para un par de superfícies dado (véase la tabla 5.1). Si comenzamos con cero
fuerza aplicada (T = 0) y aumentamos gradualmente la fuerza, la fuerza de fricción
varia un poco, como se muestra en la figura 5.19e.

En algunas situaciones, las superfícies se atoran (fricción estàtica) y deslizan (fric-
ción cinètica) de forma alterna. Esto es lo que causa el molesto rechinamiento de la
tiza aplicada con un àngulo inadecuado a una pizarra; o los fenómenos de los lim-
piaparabrisas cuando el vidrio està casi seco y de los neumàticos que se derrapan
en el asfalto. Un ejemplo màs positivo es el movimiento de un arco de violin contra
una cuerda.

Cuando un cuerpo se desliza sobre una capa de gas, la fricción puede reducir-
se mucho. En el riel de aire empleado en los laboratorios de física, los deslizadores se
apoyan en una capa de aire. La fuerza de fricción depende de la velocidad; sin em-
bargo, a rapideces comunes el coeficiente de fricción efectivo es del orden de 0.001 .

Ejemplo 5.13

Fricción en movimiento horizontal

Usted intenta mover una caja de 500 N por un piso horizontal. Para co-
menzar a moverla, debe tirar con una fuerza horizontal de 230 N. Una
vez que la caja "se libera ' y comienza a moverse, puede mantenerse a
velocidad constante con solo 200 N. ^Cuàles son los coeficientes de
fricción estàtica y cinètica?

EJÜEEa

IDENTIFICAR: La caja està en equilibrio si està en reposo o se mueve
con velocidad constante, así que usamos la primera ley de Newton ex-
presada por la ecuación (5.2). También necesitaremos las relaciones de
las ecuaciones (5.5) y (5.6) para calcular las incógnitas fji s y fi k .

PLANTEAR: En ambas situaciones, cuatro fuerzas actúan sobre la ca-
ja: la fuerza hacia abajo del peso (magnitud w = 500 N), la fuerza nor-
mal hacia arriba (magnitud n) ejercida por el suelo, una fuerza de
tensión (magnitud T) a la derecha ejercida por la cuerda, y una fuerza
de fricción a la izquierda ejercida por el suelo. Las figuras 5.20a y

5.20 Nuestros esquemas para este problema.

a) Se tira de una caja b) Diagrama de cuerpo
libre de la caja justo
antes de comenzar a
moverse

y

c) Diagrama de cuerpo
libre de la caja que se
mueve a rapidez
constante

y

's'max

T = 230 N r i<
— > — x <—

w = 500N

T = 200N
-> — x

w = 500N

5.20b muestran el diagrama de cuerpo libre un instante antes de que la
caja comience a moverse, cuando la fuerza de fricción estàtica tiene su
màximo valor posible, (£) m;bL = fi s n. Una vez que la caja se està mo-
viendo hacia la derecha con velocidad constante, la fuerza de fricción
cambia a su forma cinètica (figura 5.20c). Dado que la cuerda de la
figura 5.20a està en equilibrio, la tensión es la misma en ambos extre-
mos. Por lo tanto, la fuerza de tensión que la cuerda ejerce sobre la
caja tiene la misma magnitud que la fuerza que usted ejerce sobre
la cuerda.

EJECUTAR: Justo antes de que la caja comience a moverse (figura
5.20b), tenemos

^F, = T + (-(/J m J = así que (/J mSx = T = 230 N
2^> ~ n + ( ~ w ) = as1 ' 1 ue n = w = 500 N

Para obtener el valor de (jl s , entonces, usamos la ecuación (5.6), (/Dmfix
= fjL s n. Por lo tanto,

(/.).

230 N
500 N

0.46

Una vez que la caja està en movimiento, las fuerzas son las que se
muestran en la figura 5.20c, y tenemos

2*

= T+{ -/ k ) =

así que

A = T= 200 N

2*i

= n + {-w) =

así que

n = w = 500 N

Ahora usamos/. = fi k n de la ecuación (5.5):

& 200N nAn

LL k = — = = 0.40

^ k n 500 N

EVALUAR: Es màs fàcil mantener la caja en movimiento que comen-
zar a moverla, por lo que el coeficiente de fricción cinètica es menor
que el coeficiente de fricción estàtica.

5.3 Fuerzas defricción

153

Ejemplo 5.14

La fricción estàtica puede tener un valor menor que el màximo

En el ejemplo 5.13, <,qué fuerza de fricción hay si la caja està en repo-
so sobre la superfície y se le aplica una fuerza horizontal de 50 N?

EÜEEJ

IDENTIFICAR: La fuerza aplicada es menor que la fuerza màxima de
fricción estàtica, (f s ) màx = 230 N. Por lo tanto, la caja permanece en re-
poso y la fuerza neta que actua sobre ella es cero. La incògnita es la
magnitud f s de la fuerza de fricción.

PLANTEAR: El diagrama de cuerpo libre es el mismo de la figura
5.20b, però sustituyendo {fj múx por/ s y sustituyendo T = 230 N por
T = 50 N.

EJECUTAR: Por las condiciones de equilibrio, ecuación (5.2), tenemos
^F x = T + ( -/,) = así que f s = T = 50 N

EVALUAR: En este caso, f s es menor que el valor màximo, (fj mix =
fjL s n. La fuerza de fricción puede evitar el movimiento con cualquier
fuerza horizontal aplicada menor de 230 N.

Ejemplo 5.15

Reducción al mínimo de la fricción cinètica

En el ejemplo 5.13, suponga que usted intenta mover la caja atando
una cuerda a ella y tira de la cuerda hacia arriba con un àngulo de 30°
sobre la horizontal. ^Qué fuerza debe aplicar al tirar para mantener la
caja en movimiento con velocidad constante? ^Esto es màs fàcil o difí-
cil que tirar horizontalmente? Suponga que w = 500 N y /x k = 0.40.

EÜEEJ

IDENTIFICAR: La caja està en equilibrio porque su velocidad es cons-
tante, así que aplicamos de nuevo la primera ley de Newton. Puesto
que la caja està en movimiento, el suelo ejerce una fuerza de fricción
cinètica. La incògnita es la magnitud T de la fuerza de tensión.

PLANTEAR: La figura 5.21b es un diagrama de cuerpo libre. La fuer-
za de fricción cinètica f k sigue siendo igual a (± k n; però ahora la fuerza

5.21 Nuestros esquemas para este problema.

b) Diagrama de cuerpo libre de la caja
en movimiento

y

a) Se tira de una caja con cierto àngulo ("

f k - 0.40n

Tsen30°

T.
"" 30°

T cos 30°

W = 500 N

normal n no es igual en magnitud al peso de la caja. La fuerza ejercida
por la cuerda tiene una componente vertical adicional que tiende a le-
vantar la caja del piso.

EJECUTAR: Por las condiciones de equilibrio y la ecuación f k — /x k «,
tenemos

así que 7"cos30° = fjL k n
así que n = w — 7"sen30°

^F x = Tcos30°+(-f k )=Q

2^ v = Tsen30° + n+ (-w) :

Tenemos dos ecuaciones para las dos incógnitas, T y n. Para resolver-
las, podemos eliminar una incògnita y despejar la otra. Hay muchas
formas de hacerlo; una es sustituir en la primera ecuación la expresión
para n obtenida de la segunda ecuación:

7"cos30° = /A k (w — 7"sen30°)

Ahora despejamos T de esta ecuación para obtener

mw

cos30° + ju, k sen30°

188 N

Podemos sustituir este resultado en cualquiera de las ecuaciones origi-
nales para calcular n. Si usamos la segunda ecuación, obtendremos

n = w - 7-sen30° = (500 N) - (l88N)sen30° = 406 N

EVALUAR: La fuerza normal es menor que el peso de la caja (w =
500 N) porque la componente vertical de la tensión tira de la caja ha-
cia arriba. Aun así, la tensión requerida es un poco menor que la fuerza
de 200 N que es preciso aplicar cuando se tira horizontalmente (ejem-
plo 5.13). Pruebe tirar a 22° y notarà que necesita aún menos fuerza
(véase el problema de desafio 5.123).

Ejemplo 5.16

Trineo con fricción I

Volvamos al trineo del ejemplo 5.10 (sección 5.2). La cera se desgasto
y ahora hay un coeficiente de fricción cinètica ^t k que no es cero. La
pendiente tiene justo el àngulo necesario para que el trineo baje con ra-
pidez constante. Deduzca una expresión para el àngulo en términos de
w y fi k .

E

1

IDENTIFICAR: La incògnita es el àngulo a de la pendiente. El trineo
està en equilibrio porque su velocidad es constante, así que usamos la

primera ley de Newton. Tres fuerzas actúan sobre el trineo: su peso, la
fuerza normal y la fuerza de fricción cinètica. Puesto que el movimien-
to es cuesta abajo, la fuerza de fricción cinètica (que se opone a dicho
movimiento) està dirigida cuesta arriba.

PLANTEAR: La figura 5.22 muestra el diagrama de cuerpo libre. To-
mamos ejes perpendicular y paralelo a la superfície y descomponemos
el peso en sus componentes en estàs dos direcciones, como se indica.
(Compare con la figura 5.12b del ejemplo 5.10.) La magnitud de la
fuerza de fricción està dada por la ecuación (5.5),/ k = fi k n.

continua

154 CAPITULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

5.22 Nuestros esquemas para este problema
a) La situación

b) Diagrama de cuerpo libre
para el trineo

y

/

n

W COS o< / \$ / *

EJECUTAR: Las condiciones de equilibrio son

2^F X = wsena + (— / k ) = wsena — fi k n =
SjF v = n + (— wcosa) =

(Usamos la relación /" k = fi k n en la ecuación para las componentes x.)
Reordenando, obtenemos

fjL k n = wsena y n = wcosa

Al igual que enelejemplo5.10, la fuerza normal n no es igual al peso w.
Si dividimos la primera ecuación entre la segunda, obtenemos

sena
/x k = = tana

asi que

a = arctan/x k

EVALUAR: El peso w no aparece en esta expresión. Cualquier trineo,
sin importar su peso, bajarà una pendiente con rapidez constante, si el
coeficiente de fricción cinètica es igual a la tangente del angulo de in-
clinación de la pendiente. Cuanto mayor sea el coeficiente de fricción,
mas empinada deberà ser la pendiente para que el trineo se deslice con

Ejemplo 5.17

Trineo con fricción II

El mismo trineo con el mismo coeficiente de fricción que en el ejem-
plo 5.16 se acelera hacia abajo por una pendiente mas empinada. De-
duzca una expresión para la aceleración en términos de g, a, /x k y w.

EEEE1

IDENTIFICAR: El trineo ya no està en equilibrio, pues tiene una ace-
leración. Por lo tanto, es preciso usar la segunda ley de Newton,
2-f = ma, en su forma de componentes, como en la ecuación (5.4).
La incògnita es la aceleración cuesta abajo.

PLANTEAR: La figura 5.23 muestra nuestros esquemas. El diagrama
de cuerpo libre (figura 5.23b) es casi el mismo que para el ejemplo
5.16. La componente y de la aceleración del trineo, a y , sigue siendo
cero, però la componente x, a x ., no lo es.

EJECUTAR: Nos conviene expresar el peso como w = mg. Entonces,
utilizando la segunda ley de Newton en forma de componentes,

2 F > " mg sena + (-/ k ) = ma x
StFy = n + ( — mg cos a ) =

5.23 Nuestros esquemas para este problema.

a) La situación

b) Diagrama de cuerpo libre
para el trineo

De la segunda ecuación y la ecuación (5.5), obtenemos una expresión
para/ k :

n = mg cosa

A = Mk" = t* k mgcosa

Sustituimos esto en la ecuación de la componente x:

mg sena + (— fjL k mg cos a) = ma x
a x = g(sena — ^t k cosa)

EVALUAR: ^Es lógico este resultado? Podemos verificar algunos ca-
sos especiales. Primera, si la ladera es vertical, a = 90°; entonces,
sen a = 1 , cos a = y a x = g. Esto es caída libre, tal como esperaría-
mos. Segundo, en una ladera con angulo a sin fricción, /x k = y
a x = gsena. Esta es la situación del ejemplo 5.10 y felizmente obtene-
mos el mismo resultado. Ahora supongamos que hay la fricción sufi-
ciente para que el trineo se mueva con velocidad constante. En tal
caso, «, = y nuestro resultado da

sena = fi k cosa y /x k = tana

Esto concuerda con nuestro resultado del ejemplo 5.16. Por ultimo,
observe que podria haber tanta fricción que ^t k cos a fuera realmente
mayor que sen a. En tal caso, a y seria negativa. Si damos al trineo un
empujón cuesta abajo para ponerlo en movimiento, se frenarà y final-
mente se detendrà.

Pràcticamente hemos agotado el problema del trineo, y ello nos
da una lección importante. Partimos de un problema sencillo y lo ex-
tendimos a situaciones cada vez màs generales. Nuestro resultado
màs general, el de este ejemplo, incluye todos los anteriores como
casos especiales. No memorice este resultado; solo sirve para este
tipo de problemas. Simplemente trate de entender cómo se obtuvo y
que significa.

Una última variación que el lector podria probar es el caso en que
se da al trineo un empujón inicial colina arriba. Ahora se invierte la
dirección de la fuerza de fricción cinètica, así que la aceleración es
distinta del valor cuesta abajo. Resulta que la expresión para a x es la
misma que para la bajada, solo que el signo menos cambia a màs.
;Puede demostrarlo?

5.3 Fuerzas defricción

155

Fricción de rodamiento

Es mucho mas fàcil mover un archivero lleno de documentos sobre un piso horizon-
tal usando un carrito con ruedas que deslizàndolo. iQué tanto mas fàcil es? Podemos
definir un coeficiente de fricción de rodamiento /^ r , que es la fuerza horizontal ne-
cesaria para lograr rapidez constante en una superfície plana, dividida entre la fuerza
normal hacia arriba ejercida por la superfície. Los ingenieros de transporte llaman a
/a, resistència a la tracción, cuyo valor suele ser de 0.002 a 0.003 para ruedas de ace-
ro sobre rieles de acero, y de 0.01 a 0.02 para ruedas de caucho sobre concreto. Estos
valores explican en parte por qué en general el combustible rinde mas en los ferroca-
rriles que en los camiones.

Ejemplo 5.18

Movimiento con fricción de rodamiento

Un automóvil común pesa unos 12,000 N (aproximadamente 2700 lb).
Si el coeficiente de fricción de rodamiento es {jl t = 0.015, <,qué fuerza
horizontal hay que aplicar para impulsar el auto con rapidez constante
en un camino horizontal? Ignore la resistència del aire.

EHHEJ

IDENTIFICAR: El automóvil se mueve con velocidad constante, así
que tenemos un problema de equilibrio y usaremos la primera ley
de Newton. Las cuatro fuerzas que actúan sobre el auto son el
peso, la fuerza normal hacia arriba, la fuerza hacia atràs de la fric-
ción de rodamiento y la fuerza desconocida hacia adelante F (la
incògnita).

PLANTEAR: El diagrama de cuerpo libre se parece mucho al de la fi-
gura 5.20c del ejemplo 5.13; solo hay que sustituir la fuerza de fricción
cinètica por la fuerza de fricción de rodamiento / r ; y la fuerza de ten-
sión por la fuerza desconocida F.

EJECUTAR: Al igual que en el ejemplo 5.13, la primera ley de Newton
para las componentes verticales nos indica que la fuerza normal tiene

la misma magnitud que el peso del auto. Entonces, por la definición de
/x,, la fuerza de fricción de rodamiento f t es

f r = pji = (0.015) (12,000 N) = 180 N (unas 40 lb)

La primera ley de Newton para las componentes horizontales nos dice
que se requiere una fuerza hacia adelante de esta magnitud, para que el
auto avance con rapidez constante.

EVALUAR: La fuerza requerida es muy pequena y, por ello, es posible
que uno mismo pueda empujar un automóvil averiado. (Al igual que en
el caso del deslizamiento, es mas fàcil mantener rodando un auto que
iniciar su movimiento.) Hemos despreciado los efectos de la resistència
del aire, lo cual es una buena aproximación si el vehículo se mueve len-
tamente. Sin embargo, a rapideces de autopista, la resistència del aire
tiene un efecto mas importante que la fricción de rodamiento.

Intente aplicar este anàlisis a la caja del ejemplo 5.13. Si la caja se
lleva sobre una plataforma con ruedas de hule (/x r = 0.02), solo necesi-
tarà una fuerza de 10 N para mantenerla en movimiento a velocidad
constante. ^Puede verificarlo?

Resistència de fluidos y rapidez terminal

Si usted saca la mano por la ventanilla de un automóvil que viaja con gran rapidez,
comprobarà la existència de la resistència de un fluido, que es la fuerza que un flui-
do (gas o liquido) ejerce sobre un cuerpo que se mueve a través de él. El cuerpo en
movimiento ejerce una fuerza sobre el fluido para hacerlo a un lado. Por la tercera ley
de Newton, el fluido responde sobre el cuerpo con una fuerza igual y opuesta.

La dirección de la fuerza de resistència de un fluido que actua sobre un cuerpo
siempre es opuesta a la dirección de la velocidad del cuerpo. La magnitud de la fuer-
za de resistència de un fluido suele aumentar al incrementarse la rapidez del cuerpo
en el fluido. Esto es muy diferente de la fuerza de fricción cinètica entre dos superfí-
cies en contacto, que casi siempre podemos considerar independiente de la rapidez.
A rapidez baja, la magnitud /de la fuerza de resistència del fluido es aproximada-
mente proporcional a la rapidez v del cuerpo:

Act'v

-I ONLINE

Physics

.2 Paracaidista

/ = kv (resistència del fluido a baja rapidez)

(5.7)

donde k es una constante de proporcionalidad que depende de la forma y el tamano
del cuerpo, y las propiedades del fluido. La fuerza de resistència es aproximadamente
proporcional a v , no a v, para la rapidez de una pelota de tenis o una rapidez mayor y
se denomina arrastre del aire o solo arrastre. Los aviones, las gotas de lluvia y ci-
clistas experimentan arrastre del aire. En este caso, sustituimos la ecuación (5.7) por

/ = Du (resistència de fluidos a alta rapidez)

(5.8)

156

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

5.24 Una piedra cae a través de un fluido
(agua).

a) Una piedra que cae
en agua

b) Diagrama de
cuerpo libre de la
piedra en el agua

Por la dependència de v 2 , el arrastre aumenta ràpidamente conforme se incrementa la
rapidez. El arrastre sobre un automóvil común es insignificante, però comparable con
la resistència a la tracción, o mayor que esta, a velocidades de autopista. El valor de D
depende de la forma y el tamano del cuerpo, y de la densidad del aire. Verifique que
las unidades de la constante k en la ecuación (5.7) son N ■ s/m o kg/s, y que las unida-
des de la constante D en la ecuación (5.8) son N • s 2 /m 2 o kg/m.

Por los efectos de la resistència de fluidos, un objeto que cae en un fluido no tiene
aceleración constante. Para describir su movimiento, no podemos usar las relaciones
de aceleración constante del capitulo 2; mas bien, debemos partir de la segunda ley de
Newton. Consideremos esta situación: suponga que usted suelta una roca en la su-
perfície de un estanque profundo, y cae hasta el fondo (figura 5.24a). En este caso,
la fuerza de resistència del fluido està dada por la ecuación (5.7). ^Cómo cambian la
aceleración, velocidad y posición de la roca con el tiempo?

El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 5.24b. Tomamos la dirección y
positiva hacia abajo e ignoramos cualquier fuerza asociada con la flotabilidad en el
agua. Puesto que la piedra se mueve hacia abajo, la rapidez v es igual a la componen-
te y de la velocidad v y y la fuerza de resistència del fluido tiene la dirección —y. No
hay componentes x, así que la segunda ley de Newton da

2^v = m S + ( — kv v ) = ma v

Al principio, cuando la roca empieza a moverse, v r = 0, la fuerza de resistència es
cero y la aceleración inicial es a y = g. Al aumentar la rapidez, también se incrementa
la fuerza de resistència hasta ser igual en magnitud al peso. Ahora, mg — kv y = 0, la
aceleración se vuelve cero y ya no aumenta la rapidez. La rapidez final v„ llamada
rapidez terminal, està dada por mg — kv t = 0, es decir,

mg
k

(rapidez terminal, resistència del fluido/ = kv)

(5.9)

La figura 5.25 muestra cómo varían la aceleración, la velocidad y la posición con el
tiempo. Al pasar el tiempo, la aceleración se acerca a cero y la velocidad se acerca a
d, (recuerde que elegimos la dirección +v hacia abajo). La pendiente de la gràfica de
v contra t se hace constante al hacerse constante la velocidad.

Para saber de dónde salen las curvas de la figura 5.25, debemos obtener la relación
entre rapidez y tiempo en el intervalo antes de alcanzarse la rapidez terminal. Volve-
mos a la segunda ley de Newton, que rescribimos usando a v = dvjdt:

i —
dl

mg

kv,

Después de reordenar términos y sustituir mg/k por v„ integramos ambos miembros,
recordando que u v = cuando t = 0:

í/í,',

dl

5.25 Gràficas de movimiento para un cuerpo que cae sin resistència del fluido y con resistència del fluido proporcional a la rapidez

Posición contra tiempo

Aceleración contra tiempo

a ..-•* Sin resistència del fluido

aceleración constante.

Con resistència del fluido:
disminuye la aceleración.

t?„ Sin resistència del fluido:

la velocidad se sigue
incrementando.

Con resistència del fluido:
la velocidad tiene un límite
superior.

/

Sin resistència del fluido:
curva parabòlica.

resistència del fluido:
curva se vuelve lineal.

5.3 Fuerzas de fricción

157

Que ya integrada da

v, - v., b v..

In -=--t o l--= e ~W

v l m v t

y, por ultimo.

v y = »,[!- e- {k l"' ) •]

(5.10)

.00; la

Observe que u, se hace igual a la rapidez terminal v l solo en el límite donde t -
roca no puede alcanzar la rapidez terminal en un intervalo de tiempo finito.

La derivada de v v con respecto al tiempo es a y , y la integral de v y en el tiempo es y.
Dejamos la derivación al lector (véase el ejercicio 5.46); los resultados son

ge

■Qc/m)!

y = v t *

ï"

r (*W<)

(5.11)

(5.12)

Examine otra vez la figura 5.25, que muestra las gràficas de estàs tres relaciones.

Al deducir la rapidez terminal en la ecuación (5.9) supusimos que la fuerza de re-
sistència del fluido era proporcional a la rapidez. En el caso de un objeto que cae con
gran rapidez en el aire, de modo que la resistència del fluido sea igual a Dv 2 como en
la ecuación (5.8), la rapidez terminal se alcanza cuando Dv 2 es igual al peso mg (figu-
ra 5.26a). Usted puede demostrar que la rapidez terminal v t està dada por

mg

D

(rapidez terminal, resistència del fluido/ = Dv 2 ) (5.13)

Esta expresión para la rapidez terminal explica el porqué los objetos pesados tienden
a caer en el aire con mayor rapidez que los ligeros. Dos objetos con el mismo tamano
però con diferente masa (digamos, una pelota de ping-pong y una esfera de acero del
mismo radio) tienen la misma D però diferente valor de m. El objeto con mayor masa
tiene mayor rapidez terminal y cae mas ràpidamente. La misma idea explica por qué
una hoja de papel cae mas ràpidamente si primero la hacemos esfera: la masa es la
misma, però el tamano mas pequeno reduce D (menos arrastre para una rapidez dada)
y aumenta v t . Los paracaidistas usan el mismo principio para controlar su descenso
(figura 5.26b).

La figura 5.27 muestra la trayectoria de una pelota de beisbol con y sin arrastre del
aire, suponiendo un coeficiente D = 1.3 X 10 -3 kg/m (adecuado para una pelota ba-
teada al nivel del mar). Puede verse que tanto el alcance de la pelota como la altura
màxima alcanzada son considerablemente menores que los resultados obtenidos
cuando se desprecia el arrastre. Así, la trayectoria que calculamos en el ejemplo 3.8
(sección 3.3), ignorando la resistència del aire, es muy poco realista. jEl arrastre del
aire es un factor importante en el juego de beisbol!

Ejemplo 5.19

Rapidez terminal de un paracaidista

5.26 a) Arrastre del aire y rapidez termi-
nal, b) Al cambiar de posición sus brazos
y piernas mientras caen, los paracaidistas
pueden alterar el valor de la constante D
de la ecuación (5.8) y así ajustar la rapidez
terminal de su caída [ecuación (5.13)].

a) Diagramas de cuerpo libre para caída
con arrastre del aire

. . Du 2 = mg

Dv~ < mg

ò

Antes de la rapidez

terminal: objeto
con aceleración,
fuerza de arrastre
menor que el peso.

En la rapidez terminal v t :
objeto en equilibrio,
fuerza de arrastre

igual al peso.

b) Un paracaidista que cae con rapidez terminal

5.27 Trayectorias generadas por compu-
tadora de una pelota de beisbol lanzada con
un àngulo de 35° sobre la horizontal
con una rapidez de 50 m/s. Observe que
las escalas de los ejes horizontal y vertical
son distintas.

50 _ Sin arrastre del aire: la trayectoria
es una paràbola.

Con arrastre del aire:
son menores el alcance
y la altura màxima; la

x(m)

Para un cuerpo humano que cae en el aire con brazos y piernas estira-
dos (figura 5.26b), el valor numérico de la constante D de la ecuación
(5.8) es de aproximadamente de 0.25 kg/m. Obtenga la rapidez termi-
nal de un paracaidista ligero de 50 kg.

E

PLANTEAR: Usamos la ecuación (5.13) para obtener la incògnita v v
EJECUTAR: Obtenemos m = 50 kg:

'(50 kg) (9.8 m/s 2 )

D

IDENTIFICAR: En este ejemplo se requiere la relación entre rapidez
terminal, masa y coeficiente de arrastre.

44 m/s

0.25 kg/m
(unos 160 km/h o 99 mi/h)

continua

158

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

EVALUAR: La rapidez terminal es proporcional a la raíz cuadrada de la
masa del paracaidista, de manera que un paracaidista mas robusto, con
el mismo coeficiente de arrastre D, però el doble de masa, tendría una
rapidez terminal V 2 = 1.41 veces mayor, o bien, 63 m/s. (Un para-
caidista con mayor masa también tendría mayor àrea frontal y, por lo
tanto, un coeficiente de arrastre mas grande, por lo que su rapidez ter-
minal seria un poco menor que 63 m/s.) Incluso la rapidez terminal de

un paracaidista ligero es bastante alta y su fase de caída no dura mu-
cho. Una caída de 2800 m (9200 ft) hasta la superfície a rapidez termi-
nal solo tarda (2800 m)/(44 m/s) = 64 s.

Cuando el paracaidista abre su paracaídas, el valor de D aumenta
considerablemente y la rapidez terminal del hombre y el paracaídas se
reduce dràstic amente, a un valor mucho menor.

5.28 En el movimiento circular uniforme,
la aceleración y la fuerza neta estan
dirigidas hacia el centro del circulo.

^F En el movimiento
circular uniforme,
tanto la aceleración
como la fuerza neta
estan dirigidas hacia
el centro del circulo.

M

LF

5.29 i,Qué sucede si la fuerza radial hacia
adentro repentinamente deja de actuar so-
bre un cuerpo en movimiento circular?

Una pelota unida a una cuerda gira
sobre una superfície sin fricción.

vfí D e repente, \

la cuerda

Ninguna fuerza neta actua sobre la
pelota, por lo que ahora se rige por
la primera ley de Newton: se mueve
en línea recta a velocidad constante.

Evalúe su comprensión de la sección 5.3 Considere una caja que se
coloca sobre superfícies distintas. a) ^En que situación(es) no hay fuerza de fricción
actuando sobre la caja? b) ^En qué situación(es) hay una fuerza de fricción estàtica actuando
sobre la caja? c) ^En qué situación(es) hay una fuerza de fricción cinètica sobre la caja?
i) La caja està en reposo sobre una superfície horizontal àspera. ii) La caja està en reposo en
una superfície inclinada àspera. iii) La caja està sobre la plataforma horizontal y àspera de un
camión, el cual se mueve a velocidad constante en una carretera recta y horizontal, en tanto
que la caja permanece en el mismo lugar a la mitad de la plataforma, iv) La caja està sobre
la plataforma horizontal y àspera de un camión, el cual acelera en una carretera recta y
horizontal, en tanto que la caja permanece en el mismo lugar a la mitad de la plataforma,
v) La caja està sobre la plataforma horizontal y àspera de un camión, el cual sube una
pendiente y la caja se desliza hacia la parte trasera del camión.

5.4 Dinàmica del movimiento circular

Vimos el movimiento circular uniforme en la sección 3.4, mostrando que, cuando una
partícula se mueve en un circulo con rapidez constante, su aceleración siempre es ha-
cia el centro del circulo (perpendicular a la velocidad instantànea). La magnitud a nlú
de la aceleración es constante y està dada en términos de la rapidez v y el radio R del
circulo por

a ad = — (movimiento circular uniforme)
R

(5.14)

El subíndice "rad" nos recuerda que en cada punto la aceleración siempre es radial
hacia el centro del circulo, perpendicular a la velocidad instantànea. En la sección 3.4
explicamos por qué se le denomina aceleración centrípeta.

También podemos expresar la aceleración centrípeta a Tad en términos del periodo T,
el tiempo que tarda una revolución:

En términos del periodo, a„ d es

Att-R

T

2ttR

v

(movimiento circular uniforme)

(5.15)

(5.16)

El movimiento circular uniforme, como todos los movimientos de una partícula,
se rige por la segunda ley de Newton. Para hacer que la partícula acelere hacia el
centro del circulo, la fuerza neta 2F sobre la partícula debe estar dirigida siempre
hacia el centro (figura 5.28). La magnitud de la aceleración es constante, así que
la magnitud F nst de la fuerza neta también debe ser constante. Si deja de actuar la
fuerza neta hacia adentro, la partícula saldrà disparada en una línea recta tangente
al circulo (figura 5.29).

La magnitud de la aceleración radial està dada por fl rad = v 2 /R, así que la magnitud
F„ st de la fuerza neta sobre una partícula de masa m, en movimiento circular unifor-
me, debe ser

(movimiento circular uniforme)

(5.17)

5.4 Dinàmica del movimiento circular

159

El movimiento circular uniforme puede ser resultado de cualquier combinación de
fuerzas que produzca una fuerza neta ^F de magnitud constante y siempre dirigida
hacia el centro del circulo. Observe que el cuerpo necesita moverse alrededor de un
circulo completo: la ecuación (5.17) es vàlida para cualquier trayectoria que se consi-
dere parte de un arco circular.

CUIDADO Evite usar "fuerza centrífuga" La figura 5.30 muestra tanto un diagrama de
cuerpo libre correcto para el movimiento circular uniforme (figura 5.30a) como un diagrama
común incorrecta (figura 5.30b). La figura 5.30b es incorrecta porque incluye una fuerza adicio-
nal hacia afuera de magnitud m(v 2 /R) para "mantener el cuerpo en equilibrio". Hay tres razones
para no incluir tal fuerza hacia fuera, que solemos llamar fuerza centrífuga ("centrífuga" sig-
nifica "que se aleja del centro"). En primer lugar, el cuerpo no està en equilibrio; està en movi-
miento constante con trayectoria circular. Puesto que su velocidad està cambiando constante-
mente de dirección, el cuerpo està acelerado. En segundo lugar, si hubiera una fuerza adicional
hacia afuera para equilibrar la fuerza hacia adentro, no habría fuerza neta y el cuerpo se move-
ría en línea recta, no en un circulo (figura 5.29). Y, en tercer lugar, la cantidad m(v 2 /R) no es una
fuerza; corresponde al lado ma de ^F = ma, y no aparece en 2-F (figura 5.30a). Es cierto que
un pasajero en un automóvil que sigue una curva en un camino horizontal tiende a deslizarse
hacia fuera de la curva, como si respondiera a una "fuerza centrífuga" però, como vimos en la
sección 4.2, lo que realmente sucede es que el pasajero tiende a seguir moviéndose en línea
recta, y el costado del auto "choca" contra el pasajero cuando el auto da vuelta (figura 4.11c).
En un marco de referència inercial no existe ninguna "fuerza centrífuga". No volveremos a
mencionar este termino, y le recomendamos no usarlo nunca.

5.30 Diagramas de cuerpo libre

a) correcto y b) incorrecto para un cuerpo

en movimiento circular uniforme.

a) Diagrama de cuerpo libre correcto

i i

i T iCORRECTO! '

\ /

Si incluye la aceleración, dibújela a un lado
del cueipo para indicar que no es una fuerza.

b) Diagrama de cuerpo libre incorrecto

l i

\

\

\ fi

V

4 INCORRECTO

La cantidad mv 2 JR no es una fuerza;
no debe incluirse en un diagrama de
cuerpo libre.

Ejemplo 5.20

Fuerza en movimiento circular uniforme

Un tríneo con masa de 25.0 kg descansa en una plataforma horizontal
de hielo pràcticamente sin fricción. Està unido con una cuerda de 5.00 m
a un poste clavado en el hielo. Una vez que se le da un empujón, el
trineo da vueltas uniformemente alrededor del poste (figura 5.31a).
Si el trineo efectua cinco revoluciones completas cada minuto, calcule
la fuerza F que la cuerda ejerce sobre él.

EÜEEJ

IDENTIFICAR: El trineo està en movimiento circular uniforme, así
que tiene una aceleración radial. Aplicaremos al trineo la segunda ley
de Newton para determinar la magnitud F de la fuerza que la cuerda
ejerce (nuestra incògnita).

PLANTEAR: La figura 5.31b muestra el diagrama de cuerpo libre
del trineo. La aceleración solo tiene components x: hacia el centro del
circulo; por lo tanto, la denotamos con a [tl± No nos dan la aceleración,
así que tendremos que determinar su valor con la ecuación (5.14) o
con la ecuación (5.16).

5.31 a) La situación. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

a) Trineo en movimiento
circular uniforme

b) Diagrama de cuerpo
libre del trineo

F
x— <-

La dirección +x

apunta hacia el centro

EJECUTAR: No hay aceleración en la dirección y, así que la fuerza ne-
ta en esa dirección es cero y la fuerza normal y el peso tienen la misma
magnitud. Para la dirección x, la segunda ley de Newton da

^F x = F= ma md

Podemos obtener la aceleración centrípeta a rdli con la ecuación (5.16).
El tríneo se mueve en un circulo de radio R = 5.00 m, con un periodo
T = (60.0 s)/(5 rev) = 12.0 s, así que

4tt 2 R 47r(5.00m)
T 2 (12.0 s) 2

1.37 m/s

O bien, podemos usar primero la ecuación (5.15) para calcular la rapi-
dez v:

= 2ttR = grQUlOm)
" ~ T 12.0 s

Luego, usando la ecuación (5.14),

„2 (2.62 m/s) 2

2.62 m/s

1.37 m/s 2

"™ R 5.00 m

Por lo tanto, la magnitud F de la fuerza ejercida por la cuerda es

F = ma mi = (25.0 kg) ( 1.37 m/s 2 )
= 34.3 kg • m/s 2 = 34.3 N

EVALUAR: Se necesitaría una fuerza mayor si el trineo diera vueltas al
circulo con mayor rapidez. De hecho, si u aumentara al doble sin cam-
biar R, F seria cuatro veces mayor. ^Puede usted demostrarlo? (.Como
cambiaría F si V no cambiara però el radio R aumentara al doble?

160

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

Ejemplo 5.21

El péndulo cónico

Un inventor propone fabricar un reloj de péndulo usando una lenteja
de masa m en el extremo de un alambre delgado de longitud L. En
vez de oscilar, la lenteja se mueve en un circulo horizontal con rapidez
constante í;, con el alambre formando un àngulo constante /3 con la
vertical (figura 5.32a). Este sistema se llama péndulo cónico porque el
alambre suspendido forma un cono. Calcule la tensión F T en el alam-
bre y el periodo T (el tiempo de una revolución de la lenteja) en tér-
minos de /3.

EHEE1

IDENTIFICAR: Para obtener las dos incógnitas — la tensión F y el
periodo T — necesitamos dos ecuaciones, que seran las componentes
horizontal y vertical de la segunda ley de Newton aplicada a la lenteja.
Obtendremos la aceleración de la lenteja hacia el centro del circulo uti-
lizando una de las ecuaciones para movimiento circular.

PLANTEAR: La figura. 5.32b muestra el diagrama de cueipo libre de
la lenteja como un sistema de coordenadas. Las fuerzas sobre la lente-
ja en la posición que se muestra son el peso mg y la tensión F en el
alambre. Observe que el centro de la trayectoria circular està en el mis-

5.32 a) La situación. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

a) La situación

b) Diagrama de cuerpo
libre de la lenteja

w = mg

Consideramos la dirección
+x hacia el centro del
circulo.

rao plano horizontal que la lenteja, no el extremo superior del alambre.
La componente horizontal de la tensión es la fuerza que produce la
aceleración horizontal o rad hacia el centro del circulo.

EJECUTAR: La lenteja no tiene aceleración vertical; la aceleración ho-
rizontal està dirigida al centro del circulo, así que usamos el símbolo
tz rad . Las ecuaciones 2F = ma son

2/\ = ^sen/3 = ma rad

^F v = Fcos/3 + (-mg) =

Tenemos dos ecuaciones simultàneas para las incógnitas F y /3. La
ecuación para ]£F y da F = mg/cos /3; si sustituimos esto en la ecuación
de 2/\ y usando sen/3/cos /3 = tan /3, tendremos

tanjS =

8

Para relacionar /3 con el periodo T, usamos la ecuación (5.16) para a nid .
El radio del circulo es R = L sen /3, así que

4tt 2 R 477 2 Lsen/3

amà = —r = — 2

Sustituyendo esto en tan /3 = a llld /g, tenemos

tan/3 ;
que podemos reescribir así:

47r 2 Lsen/3
gT 2

2tt-

Lcos/3

EVALUAR: Para una longitud L dada, al alimentar el àngulo /3, cos /3
disminuye, el periodo T se vuelve màs pequeno y la tensión F = mg/
cos /3 aumenta. Sin embargo, el àngulo nunca puede ser 90°; pues
ello requeriria T = 0, F = °° y v = o°. Un péndulo cónico no seria
muy buen reloj porque el periodo depende de forma demasiado directa
de/3.

Ejemplo 5.22

Vuelta a una curva plana

El automóvil deportivo del ejemplo 3. 1 1 (sección 3.4) va por una curva
sin peralte de radio R (figura 5.33a). Si el coeficiente de fricción estàtica
entre los neumàticos y la carretera es ^t s , ^cuàl es la rapidez màxima
v múx con que el conductor puede tomarse la curva sin derrapar?

5.33 a) La situación. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

IDENTIFICAR: La aceleración del automóvil al tomar la curva tiene
magnitud a vaú = v 2 /R, así que la rapidez màxima í; mdx (nuestra incòg-
nita) corresponde a la aceleración màxima a rad , y a la fuerza horizon-
tal màxima sobre el auto hacia el centro del camino circular. La única
fuerza horizontal que actua sobre el auto es la fuerza de fricción ejer-
cida por la carretera. Por lo tanto, tendremos que usar la segunda ley
de Newton y lo que aprendimos acerca de la fuerza de fricción en la
sección 5.3.

PLANTEAR: El diagrama de cuerpo libre de la figura. 5.33b incluye el
peso del auto, w = mg y dos fuerzas ejercidas por la carretera: la fuer-
za normal n y la fuerza de fricción horizontal f. La fuerza de fricción

a) El auto toma una curva
de un camino plano

b) Diagrama de
cuerpo libre del auto

y

i

n

fs

W =

m 3

V

5.4 Dinàmica del movimiento circular

161

debe apuntar hacia el centro de la trayectoria circular para causar la
aceleración radial. Puesto que el auto no se mueve en la dirección ra-
dial (es decir, no se desliza hacia el centro del circulo ni en la dirección
opuesta), la fuerza de fricción es estàtica con una magnitud màxima
fm&K = Ms" [véase la ecuación (5.6)].

EJECUTAR: La aceleración hacia el centro de la trayectoria circular es
^LLid — V /R y no hay aceleración vertical. Entonces,

2 F v =/= mc

^F y = n + {-mg) =

m —
R

La segunda ecuación muestra que n = mg. La primera ecuación mues-
tra que la fuerza de fricción necesaria para mantener el auto en su tra-
yectoria circular aumenta con la rapidez del auto. No obstante, la
fuerza màxima de fricción disponible es/ mlx = fiji = fijng, y esto de-
termina la rapidez màxima del auto. Si sustituimos/ max por /y v m6x por
v en la ecuación X/\ tenemos

Vmèí

figfítg = m

así que la rapidez màxima es

Por ejemplo, si /x s = 0.96 y R = 230 m, entonces

v màli = V(0.96)(9.8m/s 2 )(230m) = 47 m/s

lo que equivale a casi 170 km/h (100 mi/h). Esta es la rapidez màxima

EVALUAR: Si la rapidez del auto es menor que v fi^gR, la fuerza de
fricción requerida es menor que el valor méximof mSx = fi^mg y el auto
puede tomar la curva fàcilmente. Si tratamos de tomar la curva con una
rapidez mayor que la màxima, el auto aún podrà describir un circulo
sin derrapar, però el radio serà mayor y el auto se saldrà de la carretera.
Cabé senalar que la aceleración centrípeta màxima (la "acelera-
ción lateral' 1 del ejemplo 3.11) es jx^g. Si se reduce el coeficiente de
fricción, la aceleración centrípeta màxima y v m(lx también se reducen.
Por ello, es mejor tomar las curvas a menor rapidez si el camino està
mojado o cubierto de hielo (pues ambas cuestiones reducen el valor
de /i,).

Ejemplo 5.23

Tomar una curva peraltada

Para un automóvil que viaja a cierta rapidez, es posible peraltar una
curva con un àngulo tal que los autos que viajan con cierta rapidez no
necesiten fricción para mantener el radio con que dan vuelta. El auto
podria tomar la curva aun sobre hielo húmedo. (Las carreras de trineos
se basan en la misma idea.) Un ingeniero propone reconstruir la curva
del ejemplo 5.22 de modo que un auto con rapidez v pueda dar la vuel-
ta sin peligro aunque no haya fricción (figura 5.34a). ^Qué àngulo de
peralte /3 debería tener la curva?

EMEU

IDENTIFICAR: Al no haber fricción, las únicas dos fuerzas que actúan
sobre el auto son su peso y la fuerza normal. Puesto que el camino tie-
ne peralte, la fuerza normal (que actua perpendicular a la superfície del
camino) tiene una componente horizontal. Esta componente es la que
produce la aceleración horizontal hacia el centro de la trayectoria circu-
lar que el auto sigue). Puesto que intervienen fuerzas y aceleración,
usaremos la segunda ley de Newton para obtener la incògnita /3.

PLANTEAR: Nuestro diagrama de cuerpo libre (figura 5.34b) es muy
similar al diagrama del péndulo cónico del ejemplo 5.21 (figura
5.32b). La fuerza normal que actua sobre el auto desempena el papel
de la tensión que actua sobre la lenteja del péndulo.

EJECUTAR: La fuerza normal n es perpendicular a la carretera y forma
un àngulo /3 con respecto a la vertical; por lo tanto, tiene una compo-
nente vertical n cos (3 y una componente horizontal n sen /3, como se
indica en la figura 5.34b. La aceleración en la dirección x es la acelera-
ción centrípeta, a rjd = v 2 /R; no hay aceleración en la dirección y. En-
tonces, las ecuaciones de la segunda ley de Newton

"2,F X = nsen(3 = ma Tad

^F v = /ïcos/3 + (—mg) =

5.34 a) La situación. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

a) Un auto toma una curva peraltada

b) Diagrama de
cuerpo libre del auto

continua

162

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

De la ecuación 2^\, n = mg/cos B. Si sustituimos esto en la ecuación
IE/Fj, obtenemos una expresión para el àngulo de peralte:

tan/3 =

g

que es la misma expresión que obtuvimos en el ejemplo 5.21. Por ulti-
mo, si sustituimos la expresión c/ rad = v 2 /R, obtenemos

tan/3

g«

EVALUAR: El àngulo de peralte depende de la rapidez y el radio. Para
un radio dado, no hay un àngulo correcto para todas las rapideces. Al

disefiar autopistas y ferrocarriles, lo usual es peraltar las curvas para la
rapidez media del trafico. Si R = 230 m y v = 25 m/s (correspondien-
te a una rapidez de autopista de 90 km/h o 56 mi/h), entonces,

(25 m/s) 2

B = arctan = 15°

(9.8 m/s 2 ) (230 m)

Este resultado està dentro del intervalo de àngulos de peralte usados
en autopistas reales. Con el mismo radio y u = 47 m/s, como en el
ejemplo 5.22, /3 = 44°; hay curvas con tanto peralte en las pistas de
carreras.

5.35 Un avión se inclina hacia un
lado para dar un giro en esa dirección.
La componente vertical de la fuerza
de sustentación L equilibra la fuerza de
gravedad; la componente horizontal
de L causa la aceleración v 2 /R.

4.2

4.3

4.4
4.5

AcW
Physics

Resolución de problemas de

movimiento circular

Carrito que viaja en una trayectoria

circular

Pelota que se balancea en una cuerda

Automóvil que describe círculos en

una pista

Curvas peraltadas y el vuelo de aviones

Los resultados del ejemplo 5.23 también son vàlidos para un avión cuando da vuelta
mientras vuela horizontalmente (figura 5.35). Cuando un avión vuela en línea recta
con rapidez constante y sin variar su altitud, su peso se equilibra exactamente con la
fuerza de sustentación L ejercida por el aire. (La fuerza de sustentación hacia arriba
que el aire ejerce sobre las alas es una reacción al empuje hacia abajo que las alas
ejercen sobre el aire, al moverse las alas a través de éste.) Para hacer que el avión dé
vuelta, el piloto lo inclina hacia un lado para que la fuerza de sustentación tenga una
componente horizontal, como en la figura 5.35. (El piloto también altera el àngulo
con que las alas "muerden" el aire, de modo que la componente vertical de la susten-
tación siga equilibrando el peso.) El àngulo de ladeo està relacionado con la rapidez u
del avión y con el radio R de la vuelta por la misma expresión que vimos en el ejem-
plo 5.23: tan /3 = v 2 /gR. Si se quiere que el avión dé una vuelta cerrada (R pequeno)
con gran rapidez (v grande), tan /3 deberà ser grande, así que el àngulo de ladeo re-
querido /3 se acercarà a 90°.

También podemos aplicar los resultados del ejemplo 5.23 al piloto de un avión. El
diagrama de cuerpo libre del piloto es idéntico al de la figura 5.34b; el asiento ejerce
la fuerza normal n = mg/cos fi sobre el piloto. Al igual que en el ejemplo 5.9, n es
igual al peso aparente del piloto, que es mucho mayor que su peso real mg. En una
vuelta cerrada con àngulo de ladeo j3 grande, el peso aparente del piloto puede ser
enorme: n = 5.8mg con /3 = 80° y n = 9.6mg con /3 = 84°. Los pilotos llegan a des-
mayarse en tales vueltas porque el peso aparente de su sangre aumenta en la misma
proporción, y el corazón no es lo bastante fuerte como para bombear al cerebro una
sangre aparentemente tan "pesada".

Movimiento en un circulo vertical

En los ejemplos 5.20, 5.21, 5.22 y 5.23 el cuerpo se movia en un circulo horizontal.
El movimiento en un circulo vertical no es diferente en principio; no obstante, hay
que tratar con cuidado el peso del cuerpo. El ejemplo que sigue ilustra esa necesidad.

Ejemplo 5.24

Movimiento circular uniforme en un circulo vertical

Un pasajero en una rueda de la fortuna se mueve en un circulo vertical
de radio R con rapidez constante v. El asiento permanece vertical du-
rante su movimiento. Deduzca expresiones para la fuerza que el asiento
ejerce sobre el pasajero en la parte superior e inferior del circulo.

EJÜEEa

IDENTIFICAR: Tanto en la parte superior como inferior del circulo,
la incògnita es la magnitud n de la fuerza normal que el asiento ejerce
sobre el pasajero. Obtendremos dicha fuerza en cada posición apli-
cando la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento
circular uniforme.

PLANTEAR: La figura 5.36a muestra la velocidad y aceleración del
pasajero en las dos posiciones. Observe que la aceleración està dirigida
hacia abajo cuando se encuentra en la parte superior del circulo; y ha-
cia arriba cuando està en la parte inferior. En ambas posiciones, las
únicas fuerzas que actúan son verticales: la fuerza normal hacia arri-
ba y la fuerza de gravedad hacia abajo. Por lo tanto, solo necesitamos
la componente vertical de la segunda ley de Newton.

EJECUTAR: Las figuras 5.36b y 5.36c son los diagramas de cuerpo
libre para las dos posiciones. Tomamos la dirección +y hacia arriba
en ambos casos. Sea n T la fuerza normal hacia arriba que el asiento

5.5 Fuerzas fundamentales de la naturaleza

163

aplica al pasajero en la parte superior del circulo, y n B la fuerza normal
en la parte inferior. En la parte superior, la aceleración tiene magnitud
v 2 /R, pera su componente vertical es negativa porque su dirección es
hacia abajo. Por lo tanto, a y = —v 2 /R y la segunda ley de Newton nos
indica que

Superior: ^F v

+ (-mg)

es decir,

«t = m g

En la parte inferior, la aceleración es hacia arriba, así que a y = +v 2 /R
y la segunda ley de Newton es

v 2
Inferior: 2jF v ~ n B + (~ m s) = +m — i es decir,

R

«b = rn\ g + —

EVALUAR: El resultado obtenido para n- T nos dice que, en la parte su-
perior de la rueda de la fortuna, la fuerza hacia arriba que el asiento
aplica al pasajero es menor en magnitud que el peso de éste, w = mg.
Si la rueda gira con tal rapidez que g — v 2 /R = 0, el asiento no aplica
fuerza, y el pasajero està a punto de salir disparado. Si í; aumenta aún

mas, w T se harà negativa, y se requerirà una fuerza hacia abajo (como
la de un cinturón de seguridad) para mantener al pasajero en el asien-
to. En cambio, en la parte inferior, la fuerza normal n B siempre es ma-
yor que el peso del pasajero. Se siente que el asiento empuja mas
firmemente que en reposo. Se observa que n T y n B son los valores del
peso aparente del pasajero en la parte superior e inferior del circulo
(véase la sección 5.2).

5.36 Nuestros esquemas para este problema.

a) Esquema de las

b) Diagrama de cuerpo libre

del pasajero en la parte
superior del circulo

y
i

a

°\

r>T

c) Diagrama de cuerpo
libre del pasajero en la
parte inferior del circulo

y
i

W = mg

W = mg

Si atamos un cordón a un objeto y lo hacemos girar en un circulo vertical, no po-
dremos aplicar directamente el anàlisis del ejemplo 5.24, porque en este caso v no
es constante; en todos los puntos del circulo salvo en la parte superior e inferior, la
fuerza neta (y por ende la aceleración) no apunta al centro del circulo (figura 5.37).
Así, SF y a tienen una componente tangente al circulo, lo cual significa que la velo-
cidad cambia. Por ello, tenemos un caso de movimiento circular no uniforme (véase
la sección 3.4). Es mas, no podemos usar las fórmulas de aceleración constante para
relacionar las rapideces en distintos puntos porque ni la magnitud ni la dirección de
la aceleración son constantes. La mejor forma de obtener dichas relaciones consiste
en usar el concepto de energia.

Evalúe su comprensión de la sección 5.4 La atracción gravitacional de
nuestro planeta mantiene los satélites en òrbita. Un satélite en una òrbita de radio
pequeno se mueve con mayor rapidez que uno en una òrbita amplia. Con base en esta
información, (,qué puede usted concluir acerca de la atracción gravitacional de la Tierra sobre
el satélite? i) Se incrementa al aumentar la distancia hacia la Tierra. ii) Es la misma en todos
los puntos desde la Tierra. iii) Disminuye al aumentar la distancia con respecto al planeta,
iv) Por sí misma, esta información no es suíiciente para contestar la pregunta.

c 5.5 Fuerzas fundamentales de la naturaleza

5.37 Pelota que se mueve en un circulo
vertical.

.,-■■• Cuando una pelota se mueve
: - en un circulo vertical ...

/ ... la fuerza neta sobre la pelota
/ . , ■ ,

4 tiene una componente hacia el

/ .-centro del circulo ...

-

. però también una
componente tangente

\ \ al circulo ...
\ \ fl ... así que la

que la aceleración
neta no es simplemente

Hemos visto fuerzas de varios tipos — peso, tensión, fricción, resistència de fluidos y
la fuerza normal — y veremos otras mas al seguir estudiando física. Però, ^cuàntas
clases distintas de fuerzas hay? Actualmente, se considera que todas las fuerzas son
expresiones de tan solo cuatro clases de fuerzas o irAera.ccionzs fundamentales entre las
partículas (figura 5.38). Dos de ellas las conocemos por la experiència cotidiana;
las otras dos implican interacciones entre partículas subatómicas que no podemos ob-
servar directamente con nuestros sentidos.

Las interacciones gravitacionales incluyen la fuerza familiar del peso, que se de-
be a la acción de la atracción gravitacional terrestre sobre un cuerpo. La mútua atrac-
ción gravitacional entre las diferentes partes de la Tierra mantienen a nuestro planeta

164

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

5.38 Ejemplos de las interacciones funda-
mentales en la naturaleza. a) La Luna y la
Tierra se mantienen unidas y en òrbita por
las fuerzas gravitacionales. b) Esta molècu-
la de DNA de plàsmido bacterial se mantie-
ne unida por las fuerzas electromagnéticas
entre los àtomos. c) El Sol brilla porque
enormes fuerzas entre partículas en su nú-
cleo hacen que se libere energia, d) Cuando
una estrella masiva explota en una superno-
va, una avalancha de energia se libera debi-
do a las interacciones débiles entre las
partículas nucleares de la estrella.

a) Las fuerzas gravitacionales mantienen
unidos a los planetas

b) Las fuerzas electromagnéticas mantienen
unidas a las moléculas

c) Enormes fuerzas liberan energia del Sol

d) Las fuerzas débiles juegan un papel
preponderante en las estrellas que explotan

unido (figura 5.38a). Newton reconoció que la atracción gravitacional del Sol mantie-
ne a la Tierra en su òrbita casi circular en torno al Sol. En el capitulo 12 estudiaremos
las interacciones gravitacionales con mayor detalle y analizaremos su papel crucial en
los movimientos de planetas y satélites.

La otra clase cotidiana de fuerzas, las interacciones electromagnéticas, incluye
las fuerzas eléctricas y magnéticas. Si nos frotamos un peine por el cabello, al final el
peine tendra una carga elèctrica; es posible usar la fuerza elèctrica para atraer trocitos
de papel. Todos los àtomos contienen carga elèctrica positiva y negativa, así que àto-
mos y moléculas pueden ejercer fuerzas eléctricas unos sobre otros (figura 5.38b).
Las fuerzas de contacto, incluidas la normal, la de fricción y la de resistència de
fluidos, son la combinación de todas estàs fuerzas ejercidas sobre los àtomos de un
cuerpo por los àtomos de su entomo. Las fuerzas magnéticas, como las que se dan
entre imanes o entre un imàn y un trozo de hierro, son realmente el resultado de car-
gas eléctricas en movimiento. Por ejemplo, un electroimàn causa interacciones mag-
néticas porque las cargas eléctricas se mueven por sus alambres. Estudiaremos las
interacciones eléctricas y magnéticas con detalle en la segunda mitad del libro.

En el nivel atómico o molecular, las fuerzas gravitacionales no son importantes
porque las fuerzas eléctricas son muchísimo màs intensas: la repulsión elèctrica
entre dos protones a cierta distancia es 10 35 veces màs fuerte que su atracción gra-
vitacional. Sin embargo, en cuerpos de tamano astronómico las cargas positivas y
negativas suelen estar presentes en cantidades casi idénticas, y las interacciones
eléctricas resultantes casi se anulan. Por ello, las interacciones gravitacionales son la
influencia dominante en el movimiento de los planetas y en la estructura interna de
las estrellas.

Las otras dos clases de interacciones son menos conocidas. La interacción fuer-
te mantiene unido el núcleo de un àtomo. Los núcleos contienen neutrones (eléc-
tricamente neutros) y protones (con carga positiva). La fuerza elèctrica entre
protones hace que se repelan mutuamente; la enorme fuerza de atracción entre las
partículas nucleares contrarresta esta repulsión y mantiene el núcleo estable. En
este contexto, la interacción fuerte también se denomina fuerza nuclear fuerte; tie-
ne un alcance mucho menor que las interacciones eléctricas, però es mucho màs
fuerte dentro de ese alcance. La interacción fuerte juega un papel fundamental en
las reacciones termonucleares que ocurren en el núcleo del Sol, y que generan el
calor y su luz (figura 5.38c).

Por ultimo, tenemos la interacción dèbil cuyo alcance es tan pequeno que es re-
levante solo a una escala de núcleo o menor. La interacción dèbil causa una forma
común de radioactividad, llamada desintegración beta, en la que un neutrón de un
núcleo radioactivo se transforma en protón al tiempo que expulsa un electrón y una
partícula casi sin masa llamada antineutrino electrónico. La interacción dèbil entre
un antineutrino y la matèria ordinària es tan tènue que el antineutrino fàcilmente po-
dria atravesar una pared de plomo jde un millón de kilómetros de espesor! Incluso
cuando una estrella gigante sufrió una explosión cataclísmica llamada supernova, la
mayoría de la energia fue liberada mediante la interacción dèbil (figura 5.38d).

En la dècada de 1960 los físicos elaboraran una teoria que describe las interaccio-
nes electromagnètica y dèbil, como aspectes de una sola interacción electrodébil. Es-
ta teoria ha superado todas las pruebas experimentales a las que se ha sometido, lo
cual motivo a los físicos a realizar intentos similares que describan las interacciones
fuerte, electromagnètica y dèbil dentro de una sola gran teoria unificada (GUT), y se
han dado ciertos pasos hacia una posible unificación de todas las interacciones en una
teoria de todo (TOE). Tales teorías aún son especulativas, y hay muchas preguntas sin
respuesta en este campo de investigación tan activo.

CAPÍTULO 5 RESUMEN

Aplicación de la primera ley de Newton: Cuando un cuer-
po està en equilibrio en un marco de referència inercial, es
decir, en reposo o en movimiento con velocidad constante,
la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él debe
ser cero (primera ley de Newton). Los diagramas de cuerpo
libre son indispensables para identificar las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo considerado.

La tercera ley de Newton (acción y reacción) también
suele necesitarse en problemas de equilibrio. Las dos
fuerzas de un par acción-reacción nunca actúan sobre
el mismo cuerpo. (Véanse los ejemplos 5.1 a 5.5.)

La fuerza normal ejercida por una superfície sobre
un cuerpo no siempre es igual al peso del cuerpo.
(Véase el ejemplo 5.3.)

2? = (forma vectorial) (5.1)

5X - o

2**> - o

(forma de componentes) (5 .2)

Aplicación de la segunda ley de Newton: Si la suma vec-
torial de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no es cero,
el cuerpo tiene una aceleración determinada por la segunda
ley de Newton.

Al igual que en los problemas de equilibrio, los diagra-
mas de cuerpo libre son indispensables para resolver pro-
blemas donde interviene la segunda ley de Newton, y la
fuerza normal ejercida sobre un cuerpo no siempre es igual
a su peso. (Véanse los ejemplos 5.6 a 5.12.)

Forma vectorial:
^F = ma

Forma de componentes:

2X = ma x 2 F v :

Fricción y resistència de fluidos: La fuerza de contacto
entre dos cuerpos siempre puede representarse en términos
de una fuerza normal n perpendicular a la superfície de
contacto y una fuerza de fricción / paralela a la superfície.

Cuando un cuerpo se desliza sobre una superfície,
la fuerza de fricción se denomina fricción cinètica.
Su magnitud f k es aproximadamente igual a la magnitud
de la fuerza normal n multiplicada por /x k , el coeficiente de
fricción cinètica. Si un cuerpo no se mueve con respecto
a la superfície, la fuerza de fricción se denomina fricción
estàtica. La màxima fuerza de fricción estàtica posible es
aproximadamente igual a la magnitud n de la fuerza normal
multiplicada por fx t , el coeficiente de fricción estàtica.
La fuerza de fricción estàtica real puede variar entre cero
y ese valor màximo, según la situación. /x s suele ser mayor
que fjL k para un par de superfícies en contacto dado.
(Véanse los ejemplos 5.13 a 5.17.)

La fricción de rodamiento es similar a la fricción
cinètica; però la fuerza de resistència de fluidos depende
de la rapidez de un objeto a través de un fluido.
(Véanse los ejemplos 5.18 y 5.19.)

Magnitud de la fuerza de fricción cinètica:

À = M k " ( 5 ' 5 )

Magnitud de la fuerza de fricción estàtica:
/. S AVí (5.6)

Fuerzas en el movimiento circular: Fn el movimiento
circular uniforme, el vector aceleración apunta al centro
del circulo. El movimiento se rige por la segunda ley de
Newton 2-F = ma. (Véanse los ejemplos 5.20 a 5.24.)

Aceleración en movimiento circular uniforme:

(5.14), (5.16)

R

4ir-R

165

166

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

Términos clave

peso aparente, 145
fuerza de fricción, 149
fuerza de fricción cinètica, 750
coeficiente de fricción cinètica, 150
fuerza de fricción estàtica, 757

coeficiente de fricción estàtica, 757
coeficiente de fricción de rodamiento, 755
resistència de un fluido, 755
arrastre del aire, 755
rapidez terminal, 756

interacción gravitacional, 163
interacción electromagnètica, 164
interacción fuerte, 164
interacción dèbil, 764

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo .

Ninguna ya que la fuerza hacia arriba del aire tiene la misma magnitud
que la fuerza de gravedad. Aunque el ave asciende, su velocidad verti-
cal es constante, así que su aceleración vertical es cero. Por lo tanto, la
fuerza neta que actua sobre el ave también debe ser cero, en tanto que
las fuerzas verticales individuales deben equilibrarse.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

5.1 Respuesta: ii) Los dos cables estan dispuestos de forma simè-
trica, así que la tensión en cada uno tiene la misma magnitud T. La
componente vertical de la tensión de cada cable es T sen 45° (o, de ma-
nera equivalente, Tcos 45°), así que la primera ley de Newton aplicada
a las fuerzas verticales nos dice que 1T sen 45° — w = 0. Por lo tanto,
T = w/(2 sen 45°) = wjyl = 0.7 lw. Cada cable soporta la mitad
del peso del semàforo, però la tensión es mayor que w/2 porque solo
la componente vertical de la tensión contrarresta el peso.

5.2 Respuesta: ii) No importa cuàl sea la velocidad instantànea del
deslizador, su aceleración es constante y tiene el valor que se calculo

en el ejemplo 5. 12. De la misma forma, la aceleración de un cuerpo en
caída libre es la misma si asciende o desciende, o en el punto màximo
de su movimiento (véase la sección 2.5).

5.3 Respuestas a a): i), iii); respuestas a b): ii), iv); respuesta a
c): v) En las situaciones i) y iii) La caja no acelera (así que la fuerza
neta sobre ella debe ser cero) y no hay otra fuerza que actúe paralela a
la superfície horizontal; por lo tanto, no se requiere fuerza de fricción
para evitar el deslizamiento. En las situaciones ii) y iv) la caja comen-
zaría a deslizarse sobre la superfície si no hubiera fricción, así que la
fuerza de fricción estàtica debe actuar para evitarlo. En la situación v),
la caja se desliza sobre una superfície àspera, por lo que la fuerza de
fricción cinètica actua sobre ella.

5.4 Respuesta: iii) Un satélite con masa m que da vuelta a la
Tierra con rapidez v en una òrbita de radio r tiene una aceleración
de magnitud v 2 /r, así que la fuerza neta de la gravedad terrestre que
actua sobre él tiene magnitud F = mv 2 /r. Cuanto màs lejos està el
satélite de la Tierra, mayor serà el valor de r, menor serà el valor de v
y, por ende, menores seran los valores de v 2 /r y de F En otras pa-
labras, la fuerza gravitacional de la Tierra disminuye al aumentar la
distancia.

PROBLEMAS

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Preguntas para anàlisis

P5.1. Un hombre se sienta en una silla suspendida de una cuerda, la
cual pasa por una polea suspendida del techo, y el hombre sujeta con
su mano el otro extremo de la cuerda. iQué tensión hay en la cuerda y
què fuerza ejerce la silla sobre el hombre? Dibuje un diagrama de
cuerpo libre para el hombre.

P5.2. "En general, la fuerza normal no es igual al peso.' 1 Dé un ejem-
plo en que ambas fuerzas tengan la misma magnitud y al menos dos
ejemplos donde no sea así.

P5.3. Se tiende un cordón entre dos palos. Por màs que se estira el cor-
dón, siempre cuelga un poco en el centro. Explique por què.
P5.4. Se conduce un automóvil cuesta arriba con rapidez constante.
Analice las fuerzas que actúan sobre el auto. i,Qué lo empuja cuesta
arriba?

P5.5. Por razones médicas, es importante que los astronautas en el
espacio exterior determinen su masa corporal a intervalos regulares.
Invente una forma de medir la masa en un entomo de aparente ingra-
videz.

P5.6. Al empujar una caja rampa arriba, £se requiere menos fuerza si se
empuja horizontalmente o si se empuja paralelo a la rampa? (,Por què?
P5.7. Una mujer en un elevador suelta su maletín però éste no cae al
piso. ^Cómo se està moviendo el elevador?

P5.8. Las bàsculas pueden dividirse en las que usan resortes y las
que usan masas estàndar para equilibrar masas desconocidas. ^Cuàl
grapo seria màs exacto en una nave espacial en aceleración? ^Y en
la Luna?

P5.9. Al apretar una tuerca en un perno, ^cómo aumentamos la fuerza
de fricción ? ^.Cómo funciona una rondana (arandela) de presión ?
P5.10. Un bloque descansa sobre un plano inclinado con suficiente
fricción para que no resbale. Para empezar a mover el bloque, £es màs
fàcil empujarlo plano arriba o plano abajo? <,Por què?
P5.ll. Una caja con libros descansa en un piso horizontal. Para desli-
zarla sobre el piso con velocidad constante, ^por què se ejerce una
fuerza menor si se tira de ella con un àngulo sobre la horizontal, que
si se empuja con el mismo àngulo bajo la horizontal?
P5.12. En un mundo sin fricción, ^cuàl de las siguientes actividades
podria usted hacer (o no hacer)? Explique su razonamiento. a) Manejar
por una curva de autopista sin peralte; b) saltar en el aire; c) empezar a
caminar en una acera horizontal; d) subir por una escalera vertical;
e) cambiar de carril en una carretera.

P5.13. Caminar sobre una superfície resbalosa cubierta de hielo puede
ser màs cansado que caminar sobre pavimento común. i,Por què?
P5.14. Al pararnos descalzos en una tina húmeda, nos sentimos firmes,
però es muy posible que resbalemos peligrosamente. Analice la situa-
ción en términos de los dos coeficientes de fricción.
P5.15. Imagine que empuja una caja grande desde la parte trasera de
un elevador de carga hacia el frente, mientras el elevador viaja al si-
guiente piso. ^,En què situación la fuerza que debe aplicar para mover
la caja es mínima y en què situación es màxima: cuando el elevador es-
tà acelerando hacia arriba, cuando està acelerando hacia abajo o cuan-
do viaja con rapidez constante? Explique su respuesta.

Preguntas para anàlisis

167

P5.16. La Luna acelera hacia la Tierra. i,Por qué no se acerca mas ha-
cia nosotros?

P5.17. Una revista de automóviles llama a las curvas de radio decre-
ciente "la maldición del conductor dominguero". Explique por qué.
P5.18. A menudo se escucha a la gente decir "la fricción siempre se
opone al movimiento". Mencione al menos un ejemplo donde d) la
fricción estàtica provoque movimiento y b) la fricción cinètica pro-
voque movimiento.

P5.19. Si hay una fuerza neta sobre una partícula en movimiento circu-
lar uniforme, ^,por qué no cambia la rapidez de la partícula?
P5.20. Una curva de un camino tiene un peralte calculado para
80 km/h. Sin embargo, el camino tiene hielo, y usted cuidadosamente
planea conducir mas despacio que ese límite. ^Qué puede sucederle
a su automóvil? ^Por qué?

P5.21. Usted hace girar una pelota en el extremo de un cordón ligero
en un circulo horizontal con rapidez constante. (.Puede el cordón estar
realmente horizontal? Si acaso, £el cordón estaria arriba o abajo de la
horizontal? ^Por qué?

P5.22. No se incluyó la fuerza centrífuga en los diagramas de cuerpo
libre de las figuras 5.34b y 5.35. Explique por qué.
P5.23. Frente a su grupo, un profesor gira un tapón de hule en un
circulo horizontal en el extremo de un cordón y le dice a Carolina,
quien està sentada en la primera fila del aula, que soltarà el cordón
cuando el tapón esté directamente frente al rostro de ella. ^Debería
preocuparse Carolina?

P5.24. Para que las fuerzas sobre los pasajeros no sean excesivas, los
juegos de feria que describen un lazo vertical se disenan de manera
que el lazo, en vez de ser un circulo perfecto, tenga un radio de curva-
tura mayor abajo que arriba. Explique por qué.

P5.25. Se deja caer una pelota de tenis, desde el reposo, de la parte
superior de un cilindro alto de vidrio, primera con el cilindro evacua-
do de modo que no haya resistència del aire y, luego, con el cilindro
lleno de aire. Se toman fotografías con destello múltiple de ambas
caídas. Por las fotografías, ^cómo puede usted saber cuàl es cuàl?
lO no es posible saberlo?

P5.26. Si usted lanza una pelota de beisbol verticalmente hacia arriba
con rapidez ü , ^cómo serà su rapidez, cuando regrese al punto de lan-
zamiento, en comparación con v a) en ausencia de resistència del
aire? b) l,Y en presencia de resistència del aire? Explique su respuesta.
P5.27. Usted lanza una pelota de beisbol verticalmente hacia arriba.
Si no se desprecia la resistència del aire, compare el tiempo que tarda
la pelota en alcanzar su altura màxima con el tiempo que tarda en vol-
ver al punto de lanzamiento. Explique su respuesta.
P5.28. Imagine que toma dos pelotas de tenis idénticas y llena una
de agua. Deja caer las dos pelotas simultàneamente desde la azotea de
un edificio alto. Si la resistència del aire es insignificante, ^cuàl pelota
llegarà primero al piso? Explique. (,Y si la resistència del aire no es
insignificante?

P5.29. Se suelta una pelota desde el reposo y experimenta la resis-
tència del aire mientras cae. ^Cuàl de las gràficas de la figura 5.39
representa mejor su aceleración en función del tiempo?
P5.30. Se suelta una pelota desde el reposo y experimenta la resis-
tència del aire mientras cae. ^Cuàl de las gràficas de la figura 5.40 re-
presenta mejor su componente de velocidad vertical en función del
tiempo?

P5.31. ^Cuando puede una pelota de beisbol en vuelo tener una ace-
leración con una componente positiva hacia arriba? Explique en tér-
minos de las fuerzas sobre la pelota y también de las componentes de
velocidad comparadas con la rapidez terminal. No desprecie la resis-
tència del aire.

P5.32. Cuando una pelota bateada se mueve con arrastre del aire,
^recorre una distancia horizontal mayor mientras sube a su altura mà-
xima o mientras baja al suelo? ^O es igual la distancia horizontal
en ambas partes de la trayectoria? Explique en términos de las fuer-
zas que actúan sobre la pelota.

Figura 5.39 Pregunta P5.29.

a)

d)

b)

e)

Figura 5.40 Pregunta P5. 30.

a)

d)

b)

e)

P5.33. "Se lanza una pelota del borde de un risco alto. Sea cual fuere
el àngulo con que se lance, la resistència del aire harà que llegue un
momento en que la pelota caiga verticalmente." Justifique esta afir-
mación.

168

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

Ejercicios

Sección 5.1 Aplicación de la primera ley de Newton:
partículas en equilibrio

5.1. Dos pesos de 25.0 N cuelgan de los extremos opuestos de una
cuerda que pasa por una polea ligera sin fricción. La polea està sujeta
a una cadena fijada en el techo. a) ^Qué tensión hay en la cuerda?
b) iQué tensión hay en la cadena?

5.2. En la figura 5.41, los bloques suspendidos de la cuerda tienen
ambos peso w. Las poleas no tienen fricción y el peso de las cuerdas
es despreciable. En cada caso, calcule la tensión T en la cuerda en
términos del peso w. En cada caso, incluya el(los) diagrama(s) de cuer-
po libre que usó para obtener la respuesta.

Figura 5.41 Ejercicio 5.2.

a) b) c)

^=u

: ~t

^

5.3. Una bola para demolición de 75.0 kg cuelga de una cadena uni-
forme de uso pesado, cuya masa es de 26.0 kg. a) Calcule las tensiones
màxima y mínima en la cadena, b) ^Cuàl es la tensión en un punto
a tres cuartos de distancia hacia arriba desde la parte inferior de la

5.4. Un arqueólogo audaz cruza, mano sobre mano, de un risco a otro
colgado de una cuerda estirada entre los riscos. Se detiene a la mitad
para descansar (figura 5.42). La cuerda se romperà si su tensión exce-
de 2.50 X 10 4 N, y la masa de nuestro héroe es de 90.0 kg. à) Si el
àngulo 9 es 10.0°, calcule la tensión en la cuerda. b) <,Qué valor mí-
nimo puede tener \$ sin que se rompa la cuerda?

que un Corvette 1967 con masa de 1390 kg ruede cuesta abajo en una
calle así?

5.8. Una gran bola para demolición està sujeta por dos cables de acero
ligeros (figura 5.43). Si su masa m es de 4090 kg, calcule d) la tensión
T B en el cable que forma un àngulo de 40° con la vertical, b) Calcule la
tensión T A en el cable horizontal.

Figura 5.43 Ejercicio 5.8.

5.9. Calcule la tensión en cada cordón de la figura 5.44 si el peso del
objeto suspendido es w.

Figura

5.44

Ejercicio

5.9.

a)

^30°

45° V

A^

C

B

b)

Figura 5.42 Ejercicio 5.4.

5.10. Sobre una rampa muy lisa (sin fricción), un automóvil de 1 130 kg
se mantiene en su lugar con un cable ligero, como se muestra en la
figura 5.45. El cable forma un àngulo de 31.0° por arriba de la superfí-
cie de la rampa, y la rampa misma se eleva a 25.0° por arriba de la
horizontal. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el auto. b) Ob-
tenga la tensión en el cable, c) iQué tan fuerte empuja la superfície
de la rampa al auto?

Figura 5.45 Ejercicio 5.10.

5.5. Un cuadro colgado en una pared pende de dos alambres sujetos a
sus esquinas superiores. Si los alambres forman el mismo àngulo con
la vertical, ^,cuànto medirà el àngulo si la tensión en los alambres es
igual a 0.75 del peso del cuadro? (Ignore la fricción entre la pared y el

5.6. Resuelva el problema del ejemplo 5.5 tomando el eje v vertical,
y el x horizontal. ^Obtiene las mismas respuestas con estos ejes?

5.7. En San Francisco hay calles que forman un àngulo de 17.5° con
la horizontal. i,Qué fuerza paralela a la calle se requiere para impedir

°/31.Ü°^''

^~X^^y ^^^

t^^

jC^

yjfÈ0^

^^^25.0°

Ejercicios

169

5.11. Un hombre empuja un piano de 180 kg de masa para que baje
deslizàndose con velocidad constante, por una rampa inclinada 11.0°
sobre la horizontal. Ignore la fricción que actua sobre el piano. Calcule
la magnitud de la fuerza aplicada por el hombre si él empuja a) para-
lelo a la rampa y b) paralelo al piso.

5.12. En la figura 5.46 el peso w es de 60.0 N. a) Calcule la tensión en
el cordón diagonal, b) Calcule la magnitud de las fuerzas horizontales
F { y F 2 que deben aplicarse para mantener el sistema en la posición

Figura 5.46 Ejercicio 5.12.

90.0°
90.0°

Figura 5.47 Ejercicio 5.13.

5.13. Una esfera uniforme sòlida de
45.0 kg, cuyo diàmetro es de 32.0
cm, se apoya contra una pared verti-
cal sin fricción, usando un alambre
delgado de 30.0 cm con masa despre-
ciable, como se indica en la figura
5.47. a) Elabore el diagrama de cuer-
po libre para la esfera y úselo para
determinar la tensión en el alambre.
h) í,Qué tan fuerte empuja la esfera a
la pared?

5.14. Dos bloques, ambos con peso w,
estan sostenidos en un plano inclina-
do sin fricción (figura 5.48). En tér-
minos de w y del àngulo a del plano

inclinado, calcule la tensión en a) la cuerda que conecta los bloques
y b) la cuerda que conecta el bloque A con la pared. c) Calcule la mag-
nitud de la fuerza que el plano inclinado ejerce sobre cada bloque.
d) Interprete sus respuestas para los casos a = Qy a = 90°.

Figura 5.48 Ejercicio 5.14.

5.15. Un alambre horizontal sostiene
una esfera uniforme sòlida de masa m,
sobre una rampa inclinada que se
eleva 35.0° por arriba de la horizon-
tal. La superfície de la rampa es
perfectamente lisa, y el alambre se
coloca en el centro de la esfera,
como se indica en la figura 5.49.
a) Elabore el diagrama de cuerpo li-

Figura 5.49 Ejercicio 5.15.

bre para la esfera, b) <,Qué tan fuerte la superfície de la rampa empuja
a la esfera? ; Cuàl es la tensión en el alambre?

Sección 5.2 Aplicación de la segunda ley de Newton:
dinàmica de partículas

5.16. Un cohete de 125 kg (incluyendo todo su contenido) tiene un mo-
tor que produce una fuerza vertical constante (el empuje) de 1720 N.
Dentro de este cohete, una fuente de energia elèctrica de 15.5 N descan-
sa sobre el piso. d) Obtenga la aceleración del cohete. b) Cuando éste
ha alcanzado una altitud de 120 m, ^con qué fuerza el piso empuja la
fuente de energia? (Sugerencia: empiece con un diagrama de cuerpo
libre para la fuente de energia elèctrica.)

5.17. Choque del Gènesis. El 8 de septiembre de 2004, la nave es-
pacial Gènesis se estrelló en el desierto de Utah porque su paracaídas
no se abrió. La càpsula de 210 kg golpeó el suelo a 311 km/h y pene-
tro en él hasta una profundidad de 81.0 cm. à) Suponiendo que es
constante, ^cuàl fue su aceleración (en unidades de m/s 2 y en g) du-
rante el choque? b) i,Qué fuerza ejerció el suelo sobre la càpsula
durante el choque? Exprese la fuerza en newtons y como múltiplo del
peso de la càpsula, c) ^Cuànto tiempo duro esta fuerza?

5.18. Se tira horizontalmente de tres trineos sobre hielo horizontal sin
fricción, usando cuerdas horizontales (figura 5.50). El tirón es horizon-
tal y de 125 N de magnitud. Obtenga a) la aceleración del sistema, y
b) la tensión en las cuerdas A y B.

Figura 5.50 Ejercicio 5.18.
30.0 kg 20.0 kg

lO.Oks

Tirón

5.19. Màquina de Atwood. Una Figura 5.51 Ejercicio 5.19.
carga de 15.0 kg de ladrillos pende

del extremo de una cuerda que pasa
por una polea pequena sin fricción y
tiene un contrapeso de 28.0 kg en el
otro extremo (figura 5.51). El siste-
ma se ïibera del reposo, a) Dibuje
un diagrama de cuerpo libre para la
carga de ladrillos y otro para el con-
trapeso, b) í,Qué magnitud tiene la
aceleración hacia arriba de la carga
de ladrillos? c) <,Qué tensión hay en
la cuerda mientras la carga se mue-
ve? Compare esa tensión con el pe-
so de la carga de ladillos y con el
del contrapeso.

5.20. Un bloque de hielo de 8.00
kg, liberado del reposo en la parte

superior de una rampa sin fricción de 1.50 m de longitud, se desliza
hacia abajo y alcanza una rapidez de 2.50 m/s en la base de la rampa.
d) <,Qué àngulo forma la rampa con la horizontal? b) ^Cuàl seria la ra-
pidez del hielo en la base de la rampa, si al movimiento se opusiera
una fuerza de fricción constante de 10.0 N paralela a la superfície de
la rampa?

5.21. Una cuerda ligera està atada a un bloque con masa de 4.00 kg
que descansa en una superfície horizontal sin fricción. La cuerda hori-
zontal pasa por una polea sin masa ni fricción, y un bloque de masa m
pende del otro extremo. Al soltarse los bloques, la tensión en la cuerda
es de 10.0 N. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el bloque
de 4.00 kg y otro para el bloque de masa m. Calcule b) la aceleración

15.0 kg

170

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

de cada bloque y c) la masa m del bloque colgante. d) Compare la ten-
sión con el peso del bloque colgante.

5.22. Diseno de pistas de aterrizaje. Un avión de carga despega de
un campo horizontal remolcando dos planeadores de 700 kg cada uno.
Podemos suponer que la resistència total (arrastre del aire mas fricción
con la pista) que actua sobre cada uno es constante e igual a 2500 N.
La tensión en la cuerda de remolque entre el avión y el primer planea-
dor no debe exceder de 12,000 N. a) Si se requiere una rapidez de
40 m/s para despegar, <;,qué longitud mínima debe tener la pista?
b) iQué tensión hay en la cuerda de remolque entre los dos planea-
dores durante la aceleración para el despegue?

5.23. Una enorme roca de 750 kg se levanta desde una cantera de
125 m de profundidad usando una cadena larga y uniforme cuya masa
es de 575 kg. Esta cadena tiene resistència uniforme, però en cualquier
punto puede soportar una tensión màxima no mayor que 2.50 veces
su peso sin romperse. a) ^Cuàl es la aceleración màxima que la roca
puede tener para lograr salir de la cantera, y b) ^.cuànto tiempo le toma
al ser levantada a aceleración màxima partiendo del reposo?

5.24. Peso aparente. Un estudiante de física cuyo peso es de 550 N
se para en una bàscula de baiïo dentro de un elevador de 850 kg (inclu-
yendo al estudiante), el cual es soportado por un cable. Al comenzar a
moverse el elevador, la bàscula marca 450 N. a) Determine la acelera-
ción del elevador (magnitud y dirección). b) ^Cuàl serà la aceleración
si la bàscula marca 670 N. c) Si la lectura es 0, ^.debería preocuparse
el joven? Explique. d) En los incisos a) y c), ^cuàl es la tensión en el
cable?

5.25. Una estudiante de física que juega con una mesa de hockey
de aire (sin fricción) observa que, si imparte al disco una velocidad de
3.80 m/s a lo largo de la mesa, de 1.75 m, al llegar el disco al otro lado
se ha desviado 2.50 cm a la derecha, però aún con una componente de
velocidad longitudinal de 3.80 m/s. Ella concluye, atinadamente, que
la mesa no està nivelada y calcula correctamente su inclinación a partir
de la información mencionada. i,Cuàl es el àngulo de inclinación?

5.26. Un cohete de prueba de 2540 kg se lanza verticalmente desde la
plataforma de lanzamiento. Su combustible (de masa despreciable)
brinda una fuerza de propulsión, de manera que su velocidad vertical
en función del tiempo està dada por v(t) = At + Bf, donde A y B son
constantes, y el tiempo se mide desde el instante en que se quema
el combustible. En el instante de la ignición, el cohete tiene una ace-
leración ascendente de 1.50 m/s 2 y 1.00 s después una velocidad
ascendente de 2.00 m/s. d) Determine A y B, incluyendo sus unidades
en el SI. b) A los 4.00 s después de la ignición del combustible, ^cuàl
serà la aceleración del cohete; y c) que fuerza de propulsión ejerce
el combustible consumido sobre él, despreciando la resistència del
aire? Exprese la propulsión en newtons y como múltiplo del peso
del cohete? d) ^Cuàl era la propulsión inicial debida al combustible?

Sección 5.3 Fuerzas de fricción

5.27. Diagramas de cuerpo libre. Los primeros dos pasos para re-
solver problemas de la segunda ley de Newton consisten en elegir un
objeto para su anàlisis y luego dibujar su diagrama de cuerpo libre. Ha-
ga esto en cada una de las siguientes situaciones: a) una masa M se
desliza hacia abajo por un plano inclinado sin fricción con àngulo et; y
b) una masa M se desliza hacia arriba por un plano inclinado sin fric-
ción con àngulo ex; c) una masa M se desliza hacia arriba por un plano
inclinado con fricción cinètica con àngulo a.

5.28. En un experimento de laboratorio acerca de la fricción, un blo-
que de 135 N que descansa sobre una mesa horizontal àspera se jala
con un cable horizontal. El tirón aumenta gradualmente hasta que el
bloque empieza a moverse y continua aumentando a partir de enton-
ces. La figura 5.52 muestra una gràfica de la fuerza de fricción sobre

Figura 5.52 Ejercicio 5.28.
/(N)

P(N)

25.0 50.0 75.0 100.0 125.0 150.0

este bloque en función del tirón. a) Identifique las regiones de la grà-
fica donde hay fricción estàtica y fricción cinètica, b) Calcule los
coeficientes de fricción estàtica y cinètica entre el bloque y la mesa.
c) í,Por què la gràfica se inclina hacia arriba en la primera parte però
luego se nivela? d) ^Cómo se vería la gràfica si se colocara un ladri-
llo de 135 N sobre el bloque, y cuàles serían los coeficientes de fric-
ción en ese caso?

5.29. Un trabajador de bodega empuja una caja de 11.2 kg de masa
sobre una superfície horizontal con rapidez constante de 3.50 m/s. El
coeficiente de fricción cinètica entre la caja y la superfície es de 0.20.
a) ^,Qué fuerza horizontal debe aplicar el trabajador para mantener el
movimiento? b) Si se elimina esta fuerza, i,qué distancia se deslizaría
la caja antes de parar?

5.30. Una caja de bananas que pesa 40.0 N descansa en una superfície
horizontal. El coeficiente de fricción estàtica entre la caja y la superfí-
cie es de 0.40, y el coeficiente de fricción cinètica es de 0.20. a) Si no
se aplica alguna fuerza horizontal a la caja en reposo, <',qué tan grande
es la fuerza de fricción ejercida sobre la caja? b) <,Qué magnitud tiene
la fuerza de fricción si un mono aplica una fuerza horizontal de 6.0 N
a la caja en reposo? c) iQué fuerza horizontal mínima debe aplicar
el mono para poner en movimiento la caja? d) i, Què fuerza horizontal
mínima debe aplicar el mono para que la caja siga moviéndose con
velocidad constante, una vez que haya comenzado a moverse? e) Si el
mono aplica una fuerza horizontal de 18.0 N, (.qué magnitud tiene la
fuerza de fricción y què aceleración tiene la caja?

5.31. Una caja de herramientas de 45.0 kg descansa sobre un piso hori-
zontal. Usted ejerce sobre ella un empuje horizontal cada vez mayor
sobre ella, y observa que la caja empieza a moverse justo cuando su
fuerza excede 313 N. Después de lo cual, debe reducir el empuje a
208 N para mantener la caja en movimiento a 25.0 cm/s constantes.
ei) ^Cuàles son los coeficientes de fricción estàtica y cinètica entre la
caja y el piso? b) <",Qué empuje debe ejercer para darle una aceleración
de 1.10 m/s 2 ? e") Suponga que usted està realizando el mismo experi-
mento sobre esta caja, pera ahora lo hace en la Luna, donde la acelera-
ción debida a la gravedad es de 1.62 m/s 2 , i) ^,Cuàl seria la magnitud
del empuje para que la caja se moviera? ii) ^Cuàl seria su aceleración
si mantuviera el empuje del inciso b)l

5.32. Una caja de 85 N con naranjas se empuja por un piso horizon-
tal, y va frenàndose a una razón constante de 0.90 m/s cada segundo.
La fuerza de empuje tiene una componente horizontal de 20 N y una
vertical de 25 N hacia abajo. Calcule el coeficiente de fricción cinètica
entre la caja y el piso.

5.33. Usted està bajando dos cajas, una encima de la otra, por la ram-
pa que se muestra en la figura 5.53, tirando de una cuerda paralela a la
superfície de la rampa. Ambas cajas se mueven juntas a rapidez cons-
tante de 15.0 cm/s. El coeficiente de fricción cinètica entre la rampa
y la caja inferior es 0.444, en tanto que el coeficiente de fricción està-
tica entre ambas cajas es de 0.800. a) ^Qué fuerza deberà ejercer para

Ejercicios 171

Figura 5.53 Ejercicio 5.33.

2.5i)

lograr esto? b) ^Cuàles son la magnitud y la dirección de la fuerza
de fricción sobre la caja superior?

5.34. Distancia de frenado. a) Si el coeficiente de fricción cinètica
entre neumàticos y pavimento seco es de 0.80, < ( ciiàl es la distancia mí-
nima para detenerse un automóvil que viaja a 28.7 m/s (unas 65 mi/h)
bloqueando los frenos? b) En pavimento húmedo, el coeficiente de
fricción cinètica podria bajar a 0.25. (,Con què rapidez debemos con-
ducir en pavimento húmedo para poder parar en la misma distancia
que en el inciso a)l (Nota: bloquear los frenos no es la forma mas se-
gura de parar.)

5.35. Coeficiente de fricción. Una rondana de latón limpia se des-
liza por una superfície de acero horizontal limpia hasta detenerse.
Usando los valores de la tabla 5.1, (,qué tanto mas lejos habría llegado
la pieza con la misma rapidez inicial, si la rondana estuviera recubierta
con teflón?

5.36. Considere el sistema de la figura 5.54. El bloque A pesa 45.0 N y
el bloque B pesa 25.0 N. Una vez que el bloque B se pone en movi-
miento hacia abajo, desciende con rapidez constante. a) Calcule el
coeficiente de fricción cinètica entre el bloque A y la superfície de la
mesa. b) Un gato, que también pesa 45.0 N, se queda dormido sobre el
bloque A. Si ahora el bloque B se pone en movimiento hacia abajo,
í,qué aceleración (magnitud y dirección) tendra?

Figura 5.54 Ejercicios 5.36, 5.41 y problema 5.77.

5.37. Dos cajas conectadas por una cuerda estan en una superfície hori-
zontal (figura 5.55). La caja A tiene masa m A ; y la B, m B . El coeficiente

Figura 5.55 Ejercicio 5.37.

de fricción cinètica entre las cajas y la superfície es /x k . Una fuerza ho-
rizontal F tira de las cajas hacia la derecha con velocidad constante. En
términos de m A , m B y fi k , calcule a) la magnitud de la fuerza F y b) la
tensión en la cuerda que une los bloques. Incluya el (los) diagrama(s)
de cuerpo libre que usó para obtener cada respuesta.

5.38. Fricción de rodamiento. Dos neumàticos de bicicleta se po-
nen a rodar con la misma rapidez inicial de 3.50 m/s en un camino lar-
go y recto, y se mide la distancia que viaja cada una antes de que su
rapidez se reduzca a la mitad. Un neumàtico se inflo a una presión
de 40 psi y avanzó 18.1 m; el otro tiene 105 psi y avanzó 92.9 m.
^Cuànto vale el coeficiente de fricción de rodamiento fi T para cada
uno? Suponga que la fuerza horizontal neta solo se debe a la fric-
ción de rodamiento.

5.39. Ruedas. Suponga que determina que se requiere una fuerza
horizontal de 160 N, para deslizar una caja con rapidez constante por
la superfície de un piso nivelado. El coeficiente de fricción estàtica
es de 0.52 y el coeficiente de fricción cinètica es de 0.47. Si coloca la
caja en una plataforma rodante con masa de 5.3 kg y coeficiente de
fricción de rodamiento de 0.018, <,qué aceleración horizontal impri-
mirà esa fuerza de 160 N?

5.40. Suponga que determina que se requiere una fuerza horizontal de
200 N, para mover una camioneta vacía por un camino horizontal con
una rapidez de 2.4 m/s. Después, usted carga la camioneta e infla màs
los neumàticos, de modo que su peso total aumente en un 42% y su
coeficiente de fricción de rodamiento disminuya en un 19%. i,Qué
fuerza horizontal necesitarà ahora para mover la camioneta por el mis-
mo camino con la misma rapidez? La rapidez es lo bastante baja como
para ignorar la resistència del aire.

5.41. Como se muestra en la figura 5.54, el bloque A (masa 2.25 kg)
descansa sobre una mesa y està conectado, mediante un cordón horizon-
tal que pasa por una polea ligera sin fricción, a un bloque colgante B
(masa 1.30 kg). El coeficiente de fricción cinètica entre el bloque A y
la superfície es de 0.450. Luego los bloques se sueltan del reposo.
Calcule a) la rapidez de cada bloque después de moverse 3.00 cm y
b) la tensión en el cordón. Incluya el (los) diagrama(s) de cuerpo libre
que usó para obtener las respuestas.

5.42. Una caja de 25.0 kg con libros de texto està en una rampa de
carga que forma un àngulo a con la horizontal. El coeficiente de fric-
ción cinètica es de 0.25; y el coeficiente de fricción estàtica, de 0.35.
a) Al aumentar a, determine el àngulo mínimo con que la caja comien-
za a resbalar. Con este àngulo, b) calcule la aceleración una vez que la
caja està en movimiento, y c) la rapidez con que se moverà la caja
una vez que se haya resbalado 5.0 m por la rampa.

5.43. Una caja grande de masa m descansa en un piso horizontal. Los
coeficientes de fricción entre la caja y el piso son fi s y /x k . Una mujer
empuja la caja con fuerza F y un àngulo \$ bajo la horizontal. d) iQué
magnitud debe tener F para que la caja se mueva con velocidad cons-
tante? b) Si jii s es mayor que cierto valor critico, la mujer no podrà po-
ner en movimiento la caja por màs fuerte que empuje. Calcule dicho
valor critico de ,u. s .

5.44. Una caja de masa m se arrastra por un piso horizontal, cuyo coe-
ficiente de fricción cinètica es fjL kr mediante una cuerda de la cual se
tira con una fuerza de magnitud F y àngulo 8 sobre la horizontal.
a) Obtenga una expresión en términos de m, [x k , 9 y g para la magnitud
de la fuerza necesaria para mover la caja con rapidez constante. b) Un
instructor de primeros auxilios, que sabé que usted estudia física, le
pide averiguar què fuerza necesitaría para deslizar con rapidez cons-
tante a un paciente de 90 kg por un piso, tirando de él con un àngulo de
25° sobre la horizontal. Arrastrando algunos pesos envueltos en unos
pantalones viejos y con la ayuda de una balanza de resorte, usted de-
termina que fjL k = 0.35. Utilice el resultado del inciso a) para contestar
la pregunta del instructor.

172

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

5.45. Los bloques A, fi y C se colocan como en la figura 5.56 y se
conectan con cuerdas de masa despreciable. Tanto A como B pesan
25.0 N cada uno, y el coeficients de fricción cinètica entre cada bloque
y la superfície es de 0.35. El bloque C desciende con velocidad cons-
tante. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas
que actúan sobre A, y otro para B. b) Calcule la tensión en la cuerda que
une los bloques Ay B. c) ^Cuànto pesa el bloque C? d) Si se cortara la
cuerda que une Ay B, iqué aceleración tendría C?

Figura 5.56 Ejercicio 5.45.

Figura 5.57 Ejercicio 5.52.

5.46. Deduzca las ecuaciones (5.11) y (5.12) a partir de la ecuación
(5.10).

5.47. a) En el ejemplo 5.19 (sección 5.3), ^qué valor de D se requiere
para que v t = 42 m/s para el paracaidista? b) Si la hija del paracaidis-
ta, con masa de 45 kg, cae en el aire y tiene la misma D (0.25 kg/m)
que su padre, ^cuàl serà su rapidez terminal?

5.48. Usted lanza una pelota verticalmentre hacia arriba. La fuerza de
arrastre es proporcional a v 2 . En términos de g, ^cuàl es la componen-
te y de la aceleración que tiene la pelota cuando su rapidez es la mitad
de la rapidez terminal a) mientras sube? b) i,Y al bajar?

Sección 5.4 Dinàmica del movimiento circular

5.49. Una pieza de maquinaria consta de una barra delgada de 40.0 cm
de longitud, con masas pequenas de 1.15 kg sujetas por tornillos en sus
extremos. Los tornillos pueden soportar una fuerza màxima de 75.0 N
sin safarse. Esta barra gira en torno a un eje perpendicular a su centro.
a) Cuando la barra gira a tasa constante sobre una superfície horizontal
sin fricción, ^cuàl es la rapidez màxima que la masa puede tener sin
que se safen los tornillos? b) Suponga que la màquina se volvió a redi-
senar de manera que la barra gira a tasa constante en un circulo verti-
cal. í\$etú màs probable que uno de los tornillos se safe cuando la masa
esté en la parte superior del circulo o en la parte inferior? Utilice un
diagrama de cuerpo libre para saber por qué. c) Usando el resultado del
inciso /?), ^cuàl es la mayor rapidez que la masa puede tener sin que
se safe un tronillo?

5.50. Una curva plana (sin peralte) en una carretera tiene un radio
de 220.0 m. Un automóvil toma la curva a una rapidez de 25.0 m/s.

a) ^Cuàl es el coeficiente de fricción mínimo que evitaria que derrape?

b) Suponga que la carretera està cubierta de hielo y el coeficiente de
fricción entre los neumàticos y el pavimento es de solo un tercio del
resultado del inciso d). ^Cuàl debería ser la rapidez màxima del auto,
de manera que pueda tomar la curva con seguridad?

5.51. En la autopista un automóvil de 1125 kg y una camioneta de
2250 kg se acercan a una curva que tiene un radio de 225 m. a) <,Con
qué àngulo el ingeniero reponsable debería peraltar esta curva, de mo-
do que los vehículos que viajen a 65.0 mi/h puedan tomaria con se-
guridad, sin que importe la condición de sus neumàticos? ^Un camión
pesado debería ir màs lento que un auto màs ligero? b) ^Cuando el
auto y la camioneta toman la curva a 65.0 mi/h, encuentre la fuerza
normal sobre cada uno debida a la superfície de la autopista.

5.52. El "columpio gigante" de una feria local consiste en un eje verti-
cal central con varios brazos horizontales unidos a su extremo superior
(figura 5.57). Cada brazo sostiene un asiento suspendido de un cable

u

Figura 5.58 Ejercicio 5.53.

de 5.00 m, sujeto al brazo en un punto a 3.00 m del eje central.
a) Calcule el tiempo de una revolución del columpio, si el cable forma
un àngulo de 30.0° con la vertical, b) ^,E1 àngulo depende del peso
del pasajero para una rapidez de giro dada?

5.53. En otra versión del ''co-
lumpio gigante" (véase el ejer-
cicio 5.52), el asiento està
conectado a dos cables, como
se indica en la figura 5.58, uno
de los cuales es horizontal. El
asiento gira en un circulo hori-
zontal a una tasa de 32.0 rpm
(rev/min). Si el asiento pesa
255 N y una persona de 825 N
està sentada en él, obtenga la
tensión en cada cable.

5.54. Un botón pequeho, colo-
cado en una plataforma giratòria
horizontal de 0.320 m de dià-

metro, gira junto con la plataforma cuando esta gira a 40.0 rpm,
siempre que el botón no esté a màs de 0.150 m del eje. a) <,Qué coefi-
ciente de fricción estàtica hay entre el botón y la plataforma? b) ^A
qué distancia del eje puede estar el botón, sin resbalar, si la platafor-
ma gira a 60.0 rpm?

5.55. Estaciones espaciales giratorias. Para los seres humanos,
uno de los problemas de vivir en el espacio exterior es la aparente
falta de peso. Una solución es disenar estaciones espaciales que giren
sobre su centro con rapidez constante, creando "gravedad artificial"
en el borde exterior de la estación. a) Si el diàmetro de la estación es
de 800 m, ,;,cuàntas revoluciones por minuto se necesitaràn para que
la aceleración de la "gravedad artificial" sea de 9.8 m/s 2 ? b) Si la
estación es un àrea de espera para pasajeros que van a Marte, seria
deseable simular la aceleración debida a la gravedad en la superfície
marciana (3.70 m/s 2 ). ^Cuàntas revoluciones por minuto se necesitan
en este caso?

5.56. La rueda de la fortuna Cosmoclock 21 de la ciudad de Yokoha-
ma, Japón, tiene 100 m de diàmetro. Su nombre proviene de sus 60
brazos, cada uno de los cuales puede funcionar como segundero (dan-
do una vuelta cada 60.0 s). a) Determine la rapidez de los pasajeros
con esta rotación. b) Un pasajero pesa 882 N en la caseta de "adivine el
peso" en tierra. <;,Qué peso aparente tendra en el punto màs alto y el
màs bajo de la rueda? c) ^Cuànto tardaria una revolución, si el peso
aparente del pasajero en el punto màs alto fuera cero? cl) ^Cuàl seria
entonces su peso aparente en el punto màs bajo?

5.57. Un avión describe un rizo (una trayectoria circular en un plano
vertical) de 150 m de radio. La cabeza del piloto apunta siempre al
centro del rizo. La rapidez del avión no es constante; es mínima en
el punto màs alto del rizo y màxima en el punto màs bajo. a) En la

Problemas

173

parte superior, el piloto experimenta ingravidez. ^Qué rapidez tiene
el avión en este punto? b) En la parte inferior, la rapidez del avión
es de 280 km/h. <,Qué peso aparente tiene el piloto aquí? Su peso
real es de 700 N.

5.58. Una piloto de acrobacias de 50.0 kg va en picada vertical y sale
de ella cambiando su curso a un circulo en un plano vertical, a) Si la
rapidez del avión en el punto mas bajo del circulo es de 95.0 m/s, t,qué
radio mínimo debe tener el circulo para que la aceleración en ese
punto no exceda 4.00g? b) iQ\xé peso aparente tendría la piloto en
ese punto mas bajo?

5.59. ;No se moje! Se ata un cordón a una cubeta con agua, la cual
se gira en un circulo vertical de radio 0.600 m. <,Qué rapidez màxima
debe tener la cubeta en el punto mas alto del circulo para no derramar
agua?

5.60. Una bola de boliche que pesa 71.2 N (16.0 lb) cuelga del techo
atada a una cuerda de 3.80 m. Se tira de la bola hacia un lado y luego
se suelta; la bola oscila como péndulo. Al pasar la cuerda por la verti-
cal, la rapidez de la bola es de 4.20 m/s. a) iQué aceleración (direc-
ción y magnitud) tiene la bola en ese instante? b) ^.Qué tensión hay en
la cuerda en ese instante?

Problemas

Figura 5.59 Problema 5.61.

5.61. Dos cuerdas estan unidas a un
cable de acero que sostiene un peso
colgante, como se muestra en la figu-
ra 5.59. a) Dibuje un diagrama de
cuerpo libre que muestre todas las
cuerdas que actúan sobre el nudo que
une las dos cuerdas al cable de acero.
Con base en su diagrama de fuerzas,
^cuàl cuerda estarà sometida a ma-
yor tensión? b) Si la tensión màxima

que una cuerda resiste sin romperse es de 5000 N, determine el valor
màximo del peso colgante que las cuerdas pueden sostener sin riesgo.
Puede despreciarse el peso de las cuerdas y del cable de acero.

5.62. En la figura 5.60 un obrera levanta un peso w tirando hacia abajo
de una cuerda con una fuerza F. La polea superior està unida al techo
con una cadena; en tanto que la polea inferior està unida al peso con
otra cadena. En términos de w, determine la tensión en cada cadena y
la magnitud de la fuerza F si el peso sube con rapidez constante. Inclu-
ya el (los) diagrama(s) de cuerpo libre que usó para obtener sus res-
puestas. Suponga que los pesos de la cuerda, las poleas y las cadenas
son insignificantes.

Figura 5.60 Problema 5.62.

comparación con la de los demàs objetos del problema, que puede des-
preciarse. Sin embargo, cuando la cuerda es el única objeto del pro-
blema, es evidente que no podemos ignorar su masa. Suponga, por
ejemplo, que tenemos una cuerda para atar a dos postes (figura 5.61).
La cuerda tiene masa M y cada extremo forma un àngulo 8 con la
horizontal. Determine a) la tensión en los extremos de la cuerda y
b) la tensión en el punto màs bajo. c) <,Por qué no podemos tener
6 = 0°? (Véase la pregunta para anàlisis P5.3.) d) Analice sus resul-
tados de los incisos d) y b) en el límite en que 6 — > 90°. La curva de la
cuerda, o de cualquier cable flexible que cuelga bajo su propio peso,
se denomina catenaria. [Si desea consultar un texto màs avanzado
acerca de esta curva, véase K. R. Symon, Mechanics, 3a. ed. (Reading,
MA: Addison-Wesley, 1971), pp. 237-241.]

Figura 5.61 Problema 5.63.

5.64. Otra cuerda con masa. Un bloque con masa M està unido al
extremo inferior de una cuerda vertical uniforme con masa m y longi-
tud L. Se aplica una fuerza constante F hacia arriba al extremo supe-
rior de la cuerda; esto hace que la cuerda y el bloque se aceleren hacia
arriba. Calcule la tensión en la cuerda a una distancia x del extremo su-
perior de la cuerda, donde x puede tener cualquier valor entre y L.

5.65. Un bloque de masa m x se coloca en un plano inclinado con àn-
gulo a, conectado a un segundo bloque colgante de masa m 2 mediante
un cordón que pasa por una polea pequena sin fricción (figura 5.62).
Los coeficientes de fricción estàtica y cinètica son ju, s y fi k , respecti-
vamente. a) Determine la masa m 2 tal que el bloque m x sube por el
plano con rapidez constante una vez puesto en movimiento. a) Deter-
mine la masa m 2 tal que el bloque m x baje por el plano con rapidez
constante una vez puesto en movimiento. c) ^En qué intervalo de valo-
res de m 2 los bloques permanecen en reposo, si se sueltan del reposo?

Figura 5.62 Problema 5.65.

5.66. a) El bloque A de la figura 5.63 pesa 60.0 N. El coeficiente de
fricción estàtica entre el bloque y la superfície donde descansa es

Figura 5.63 Problema 5.66.

5.63. Cuerda con masa. En casi todos los problemas de este libro,
las cuerdas, los cordones o los cables tienen una masa tan pequena en

174

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

de 0.25. El peso w es de 12.0 N y el sistema està en equilibrio. Calcule
la fuerza de fricción ejercida sobre el bloque A. b) Determine el peso
màximo w con el cual el sistema permanecerà en equilibrio.
5.67. El bloque A de la figura 5.64 pesa 1.20 N, y el bloque B pesa
3.60 N. El coeficiente de fricción cinètica entre todas las superfícies es
de 0.300. Determine la magnitud de la fuerza horizontal F necesaria
para arrastrar el bloque B hacia la izquierda con rapidez constante,
d) si A descansa sobre B y se mueve con él (figura 5.64a); y b) si A no
se mueve (figura 5.64b).

Figura 5.64 Problema 5.67.

a)

b)

A

-«-£■ B

A

_»

F

B

Figura 5.65 Problema 5.68.

X

5.68. Un lavaventanas empuja ha-
cia arriba su cepillo sobre una ven-
tana vertical, con rapidez constan-
te, aplicando una fuerza F (figura
5.65). El cepillo pesa 12.0 N y el
coeficiente de fricción cinètica es
fi k = 0.150. Calcule a) la magnitud
de la fuerza F y b) la fuerza normal
ejercida por la ventana sobre el
cepillo.

5.69. Salto volador de una pulga.
Una película de alta velocidad
ciertos datos del salto de una pulga
de 210 fig, que permitieron trazar
la gràfica de aceleración del in-

secto en función del tiempo de la figura 5.66. (Véase "The Flying
Leap of the Flea", por M. Rothschild et al. En Scientific American
de noviembre de 1973.) La pulga tenia unos 2 mm de longitud y
salto con un àngulo de despegue casi vertical. Haga mediciones en
la gràfica que le permitan contestar las siguientes preguntas. a) iQné
fuerza externa neta inicial actua sobre la pulga? Compàrela con el
peso de la pulga. b) i, Què fuerza externa neta màxima actua sobre la
pulga que salta? ^Cuando se presenta esa fuerza màxima? c) Según
la gràfica, <;,qué rapidez màxima alcanzó la pulga?

Figura 5.66 Problema 5.69.

a/g

100

50

n

0.5 1.0 1.5

Tiempo (ms)

5.70. Un cohete de 25,000 kg despega verticalmente de la superfície
terrestre con aceleración constante. Durante el movimiento considera-
do en este problema, suponga que g se mantiene constante (véase el
capitulo 12). Dentro del cohete, un instrumento de 15.0 N cuelga de un
alambre que resiste una tensión màxima de 35.0 N. a) Determine el
tiempo mínimo en que el cohete puede alcanzar la barrera del sonido
(330 m/s) sin romper el alambre, y el empuje vertical màximo de los
motores del cohete en tales condiciones, b) ^A què altura sobre la su-
perfície terrestre està el cohete cuando rompé la barrera del sonido?

5.71. Una persona de 72 kg està parada sobre una bàscula de bano en
el elevador de un rascacielos. El elevador parte del reposo y asciende
con una rapidez que varia con el tiempo según v(t) = (3.0 m/s 2 )f +
(0.20 m/s 3 )r. En t = 4.0 s, (,qué valor marca la bàscula?

5.72. Diseno de elevadores. Imagine que usted està disenando un
elevador para un hospital. La fuerza que el piso del elevador ejercerà
sobre un pasajero no debe exceder 1.60 veces el peso del pasajero.
El elevador acelera hacia arriba con aceleración constante una dis-
tancia de 3.0 m, y luego comienza a frenarse. iQué rapidez màxima

5.73. Imagine que usted trabaja para una empresa transportista. Su
trabajo consiste en pararse junto a la base de una rampa de 8.0 m de
longitud, inclinada 37° arriba de la horizontal, tomar paquetes de una
banda transportadora y empujarlos rampa arriba. El coeficiente de
fricción cinètica entre los paquetes y la rampa es ^t k = 0.30. d) iQué
rapidez necesitarà usted imprimir a los paquetes en la base de la ram-
pa, para que tengan rapidez cero en el tope de la rampa? b) Se supone
que una compahera de trabajo toma los paquetes cuando llegan al
tope de la rampa, però no logra sujetar uno y ese paquete se desliza
rampa abajo. i,Qué rapidez tiene el paquete cuando llega a donde està
usted?

5.74. Un martillo cuelga del techo de un autobús atado con una cuerda
ligera. El techo es paralelo a la carretera. El autobús viaja en línea rec-
ta por un camino horizontal. Se observa que el martillo cuelga en repo-
so con respecto al autobús cuando el àngulo entre la cuerda y el techo
es de 74°. i, Què aceleración tiene el autobús?

5.75. Una rondana de acero està suspendida dentro de una caja vacía
por un cordón ligero unido a la tapa de la caja. La caja baja resbalan-
do por una rampa larga que tiene una inclinación de 37° sobre la
horizontal. La masa de la caja es de 180 kg. Una persona de 55 kg
està sentada dentro de la caja (con una linterna). Mientras la caja res-
bala por la rampa, la persona ve que la rondana està en reposo con
respecto a la caja, cuando el cordón forma un àngulo de 68° con la
tapa de la caja. Determine el coeficiente de fricción cinètica entre
la rampa y la caja.

5.76. ;Hora de comer! Imagine que va bajando en motocicleta por
una calle húmeda que tiene una pendiente de 20° bajo la horizontal. Al
iniciar la bajada, se da cuenta de que una cuadrilla de obreros ha cava-
do un hoyo profundo en la calle en la base de la pendiente. Un tigre si-
beriano, escapado del zoológico, adopto el hoyo como cubil. a) Usted
aplica los frenos y bloquea sus ruedas en la cima de la pendiente, don-
de tiene una rapidez de 20 m/s. La calle inclinada frente a usted tiene
40 m de longitud. ^,Caerà en el agujero y se convertirà en el almuerzo
del tigre o lograrà detenerse antes? (Los coeficientes de fricción entre
los neumàticos de la motocicleta y el pavimento mojado son {jl s = 0.90
y /Lt k = 0.70.) b) <;,Qué rapidez inicial deberà tener para detenerse justo
antes de llegar al hoyo?

5.77. En el sistema de la figura 5.54, el bloque A tiene masa m A , el blo-
que B tiene masa m B y la cuerda que los une tiene una masa distinta de
cero m CQerda La longitud total de la cuerda es L y la polea tiene radio
muy pequeno. Considere que la cuerda no cuelga en su tramo horizon-
tal. a) Si no hay fricción entre el bloque A y la mesa, ^qué aceleración
tienen los bloques en el instante en que un tramo d de cuerda cuelga
verticalmente entre la polea y el bloque Bl Al caer B, ^,la magnitud de

Problemas

175

la aceleración del sistema alimentarà, disminuirà o se mantendrà
constante? Explique. b) Sea tn A = 2.00 kg, m B = 0.400 kg, m cuerdil =
0.160 kg y L = 1.00 m. Suponga que hay fricción entre el bloque A
y la mesa (/x k = 0.200 y ju s = 0.250). Calcule la distancia d mínima
tal que los bloques comiencen a moverse si inicialmente estaban en
reposo, c) Repita el inciso b) para el caso en que m^,^, = 0.040 kg.
^Se moveràn los bloques en este caso?

5.78. Si el coeficiente de fricción estàtica entre una mesa y una cuerda
gruesa uniforme es fi s , £qué fracción de la cuerda puede colgar por
el borde de la mesa sin que la cuerda resbale?

5.79. Una caja de 30.0 kg està inicialmente en reposo en la plataforma
de una camioneta de 1500 kg. El coeficiente de fricción estàtica entre
la caja y la plataforma es de 0.30; y el de fricción cinètica, de 0.20.
Antes de cada una de las aceleraciones que se dan en seguida, la
camioneta viaja hacia el norte con rapidez constante. Obtenga la mag-
nitud y dirección de la fuerza de fricción que actua sobre la caja,
cuando la camioneta adquiere una aceleración de d) 2.20 m/s 2 al norte
y de b) 3.40 m/s 2 al sur.

5.80. Tribunal del transito. Imagine que a usted se le cita a compa-
recer como testigo experto, en el juicio sobre una infracción de transi-
to. Los hechos son los siguientes. Un conductor freno violentamente y
se detuvo con aceleración constante. Las mediciones de sus neumàti-
cos y de las marcas de derrapamiento sobre el pavimento indican que
el auto recorrió 192 ft antes de detenerse y que el coeficiente de fric-
ción cinètica entre el camino y sus neumàticos era de 0.750. El cargo
es que el conductor iba a exceso de velocidad en una zona de 45 mi/h.
El se declara inocente. (,Cuàl es su conclusión, culpable o inocente?
iQué tan ràpido iba en el momento de aplicar los frenos?

5.81. Dos esferas idénticas de 15.0 kg y de 25.0 cm de diàmetro estan
suspendidas de dos cables de 35.0 cm, como se indica en la figura
5.67. El sistema completo està unido a un solo cable de 18.0 cm y las
superfícies de las esferas son perfectamente lisas. a) Obtenga la ten-
sión en cada uno de tres los cables, b) i,Qué tanto empuja cada esfera
sobre la otra?

Figura 5.67 Problema 5.81.

5.83. El bloque A de la figura 5.68 pesa 1.40 N, y el bloque B pesa
4.20 N. El coeficiente de fricción cinètica entre todas las superfícies
es de 0.30. Calcule la magnitud de la fuerza horizontal F necesaria
para arrastrar B a la izquierda con rapidez constante, si A y B estan co-
nectados por un cordón ligero y flexible que pasa por una polea fija
sin fricción.

Figura 5.68 Problema 5.83.

5.84. Imagine que forma parte de un grupo de disenadores para una ex-
ploración futura del planeta Marte, donde g = 3.7 m/s 2 . Una explorado-
ra saldrà de un vehículo que viaja horizontalmente a 33 m/s, cuando
esté a una altura de 1200 m sobre la superfície, y luego caerà libremen-
te durante 20 s. En ese momento, un sistema portàtil avanzado de pro-
pulsión (PAPS, por las siglas de portable advanced propulsion system)
ejercerà una fuerza constante que reducirà la rapidez de la exploradora
a cero en el instante en que toque la superfície. La masa total (explora-
dora, traje, equipo y PAPS) es de 150 kg. Suponga que el cambio de
masa del PAPS es insignificante. Determine las componentes horizontal
y vertical de la fuerza que el PAPS deberà ejercer, y durante cuànto
tiempo deberà ejercerla. Desprecie la resistència del aire.

5.85. El bloque A de la figura 5.69 tiene masa de 4.00 kg, y el bloque B,
de 12.0 kg. El coeficiente de fricción cinètica entre el bloque B y la
superfície horizontal es de 0.25. a) iQué masa tiene el bloque C si B
se mueve a la derecha con aceleración de 2.00 m/s 2 ? b) <,Qué tensión
hay en cada cuerda en tal situación?

Figura 5.69 Problema 5.85.

5.86. Dos bloques conectados por un cordón que pasa por una polea
pequena sin fricción descansan en pianos sin fricción (figura 5.70).
a) ^Hacia dónde se moverà el sistema cuando los bloques se suelten
del reposo? h) <,Qué aceleración tendràn los bloques? c) i, Què tensión
hay en el cordón?

Figura 5.70 Problema 5.86.

5.82. Pérdida de carga. Una caja de 12.0 kg descansa en el piso
plano de un camión. Los coeficientes de fricción entre la caja y el
piso son p, s = 0.19 y pL k = 0.15. El camión se detiene ante un letrero
de alto y luego arranca con aceleración de 2.20 m/s 2 . Si la caja està
a 1.80 m del borde trasero del camión cuando éste arranca, ^cuànto
tardarà la caja en caerse por atràs del camión? iQué distancia recorrerà
el camión en ese tiempo?

50 kg

176

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

5.87. Determine la aceleración de cada bloque de la figura 5.71, en tér-
minos de m u m 2 y g. No hay fricción en ninguna parte del sistema.

Figura 5.71 Problema 5.87.

5.88. El bloque B con masa de 5.00 kg descansa sobre el bloque A,
cuya masa es de 8.00 kg que, a la vez, està sobre una mesa horizontal
(figura 5.72). No hay fricción entre el bloque A y la mesa, però el coe-
ficiente de fricción estàtica entre el bloque A y el B es de 0.750.
Un cordón ligero atado al bloque A pasa por una polea sin masa ni
fricción, con el bloque C colgando en el otro extremo. ^Qué masa mà-
xima que puede tener el bloque C, de modo que Ay B aún se deslicen
juntos cuando el sistema se suelte del reposo?

Figura 5.72 Problema 5.88.

&

^^3)

^

■

5.89. Dos objetos con masas de 5.00 kg y 2.00 kg cuelgan a 0.600 m
sobre el piso, atados a los extremos de un cordón de 6.00 m que pasa
por una polea sin fricción. Los objetos parten del reposo. Calcule la
altura màxima que alcanza el objeto de 2.00 kg.

5.90. Fricción en un elevador. Imagine que viaja en un elevador
hacia el piso 18 de su edificio. El elevador acelera hacia arriba con
a = 1.90 m/s 2 . Junto a usted està una caja que contiene su nueva
computadora; la caja y su contenido tienen una masa total de 28.0 kg.
Mientras el elevador està acelerando hacia arriba, usted empuja la caja
horizontalmente para deslizarla con rapidez constante hacia la puerta
del elevador. Si el coeficiente de fricción cinètica entre la caja y el
piso del elevador es fi k = 0.32, ^qué magnitud de fuerza debe aplicar?

5.91. Un bloque se coloca contra el frente vertical de un carrito, como
se muestra en la figura 5.73. iQué aceleración debe tener el carrito
para que el bloque A no caiga? El coeficiente de fricción estàtica entre
el bloque y el carrito es /x s . ^Cómo describiría un observador en el
carrito el comportamiento del bloque?

Figura 5.73 Problema 5.91.

u ü

5.92. Dos bloques de masas de 4.00 kg y 8.00 kg estan conectados por
un cordón y bajan deslizàndose por un plano inclinado a 30° (figura
5.74). El coeficiente de fricción cinètica entre el bloque de 4.00 kg y
el plano es de 0.25; y entre el bloque de 8.00 kg y el plano es de 0.35.
a) Calcule la aceleración de cada bloque. b) Calcule la tensión en el
cordón. c) ^.Què sucede si se invierten las posiciones de los bloques,
de manera que el bloque de 4.00 kg esté arriba del de 8.00 kg?

Figura 5.74 Problema 5.92.

5.93. El bloque A, de peso 3w, resbala con rapidez constante, bajando
por un plano S inclinado 36.9°, mientras la tabla B, de peso w, des-
cansa sobre A, estando sujeta con un cordón a la pared (figura 5.75).
a) Dibuje un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre el blo-
que A. b) Si el coeficiente de fricción cinètica es igual entre A y B, y
entre S y A, determine su valor.

Figura 5.75 Problema 5.93.

5.94. Acelerómetro. El sistema que se muestra en la figura 5.76
puede usarse para medir la aceleración del mismo. Un observador que
va sobre la plataforma mide el àngulo 6, que el cordón que sostie-
ne la bola ligera forma con la vertical. No hay fricción en ningún
lado. a) ^Cómo se relaciona con la aceleración del sistema? b) Si
m { = 250 kg y m 2 = 1250 kg, ^cuàl es el valor de 61 c) Si usted pue-
de modificar m, y m 2 , ^cuàl es el àngulo màximo que usted puede
alcanzar? Explique cómo necesita ajustar m, y m 2 para lograrlo.

Figura 5.76 Problema 5.94.

Bola-

Plataforma (m 2 )

Superfície horizontal

Problemas

177

5.95. Curva peraltada I. En un camino horizontal, una curva de
120 m de radio tiene el peralte adecuado para una rapidez de 20 m/s.
Si un automóvil toma dicha curva a 30 m/s, (,qué coeficiente mínimo
de fricción estàtica debe haber entre los neumàticos y la carretera para
no derrapar?

5.96. Curva peraltada II. Considere un camino húmedo peraltado
como el del ejemplo 5.23 (sección 5.4), donde hay un coeficiente de
fricción estàtica de 0.30 y un coeficiente de fricción cinètica de 0.25
entre los neumàticos y la carretera. El radio de la curva es R = 50 m.

a) Si el àngulo de peralte es /3 = 25°, £qué rapidez màxima puede te-
ner el auto antes de derrapar peralte arribat b) i,Qué rapidez mínima
debe tener para no derrapar peralte abajol

5.97. Màxima rapidez segura. Imagine que, en su ruta diària a la
universidad, el camino describe una curva grande que es aproximada-
mente un arco de un circulo. Usted ve el letrero de advertència al
principio de la curva, que indica una rapidez màxima de 55 mi/h.
También nota que la curva no tiene peralte alguno. En un dia seco con
escaso transito, usted ingresa en la curva con una rapidez constante de
80 mi/h y siente que el auto derraparà si no reduce pronto su rapidez.
Esto lo lleva a conduir que su rapidez està en el límite de seguridad
para la curva y frena. No obstante, recuerda haber leído que, en pavi-
mento seco, los neumàticos nuevos tienen un coeficiente medio de
fricción estàtica de aproximadamente 0.76; mientras que, en las peo-
res condiciones invemales para conducir, tal vez la carretera esté cu-
bierta de hielo húmedo, cuyo coeficiente de fricción estàtica llega a
ser hasta de 0.20. No es raro que haya hielo húmedo en esta carretera,
así que usted se pregunta si el límite de rapidez para la curva, indi-
cado en el letrero, se refiere al peor de los casos, a) Estime el radio
de la curva a partir de su experiència a 80 mi/h en condiciones secas.

b) Use esa estimación para determinar el límite màximo de rapidez en
la curva en las peores condiciones de hielo húmedo. Compàrelo con
el límite del letrero. ^,E1 letrero està confundiendo a los conductores?

c) En un dia lluvioso, el coeficiente de fricción estàtica seria aproxi-
madamente de 0.37. Determine la rapidez màxima segura en la curva
en tales condiciones. (,Su respuesta le ayuda a entender el letrero de
límite de rapidez?

5.98. Imagine que va en un autobús escolar. Cuando éste toma una
curva plana con rapidez constante, una lonchera con 0.500 kg de
masa, colgada del techo del autobús con un cordón de 1.80 m, pen-
de en reposo relativo al vehículo, en tanto que el cordón forma
un àngulo de 30.0° con la vertical. En esta posición, la lonchera està
a 50.0 m del centro de curvatura

de la curva. iQué rapidez v tiene
el autobús?

5.99. Problema del mono y los
plàtanos. Un mono de 20 kg
sujeta firmemente una cuerda li-
gera que pasa por una polea sin
fricción y està atada a un racimo
de plàtanos de 20 kg (figura
5.77). El mono ve los plàtanos y
comienza a trepar por la cuerda
para alcanzarlos. a) Al subir el
mono, £los plàtanos suben, bajan
no se mueven? b) Al subir el
mono, ^la distancia entre él y los
plàtanos disminuye, aumenta o no
cambia? c) El mono suelta la
cuerda. ^,Qué pasa con la distan-
cia entre él y los plàtanos mien-
tras él cae? d) Antes de tocar el

Figura 5.77 Problema 5.99.

suelo, el mono sujeta la cuerda para detener su caída. ^Qué sucede
con los plàtanos?

5.100. Se lanza una piedra hacia abajo en agua con rapidez de 3mg/k,
donde k es el coeficiente de la ecuación (5.7). Suponga que la rela-
ción entre resistència del fluido y rapidez es la ecuación (5.7) y calcule
la rapidez de la piedra en función del tiempo.

5.101. Una piedra de masa m = 3.00 kg cae desde el reposo en un me-
dio viscoso. Sobre ella actúan una fuerza neta constante hacia abajo de
18.0 N (combinación de la gravedad y la fuerza de flotabilidad ejercida
por el medio) y una fuerza de resistència del fluido / = kt), donde v
es la rapidez en m/s y k = 2.20 N ■ s/m (véase la sección 5.3). d) Calcu-
le la aceleración inicial a Q . b) Calcule la aceleración cuando la rapidez
es de 3.00 m/s. c) Calcule la rapidez cuando la aceleración es Q.la Q .
d) Calcule la rapidez terminal v t . e) Obtenga la coordenada, rapidez
y aceleración 2.00 s después de iniciado el movimiento. f) Calcule el
tiempo necesario para alcanzar una rapidez de 0.9ü t .

5.102. Una piedra con masa m se desliza con velocidad inicial v so-
bre una superfície horizontal. La fuerza retardante F R que la superfí-
cie ejerce sobre la piedra es proporcional a la raíz cuadrada de la
velocidad instantànea de la piedra (F R = —kt) 1 ' 2 ). a) Obtenga expre-
siones para la velocidad y posición de la piedra en función del tiem-
po. b) En términos de m, k y v Q , ^en qué tiempo se detendrà la
piedra? c) [,A qué distancia estarà la piedra de su punto de partida
cuando se detenga?

5.103. Un fluido ejerce una fuerza de flotabilidad hacia arriba sobre
un objeto sumergido en él. En la deducción de la ecuación (5.9), se
despreció la fuerza de flotabilidad ejercida sobre un objeto por el flui-
do. No obstante, hay situaciones en que la densidad del objeto no es
mucho mayor que la densidad del fluido, y no es posible ignorar la
fuerza de flotabilidad. Para una esfera de plàstico que cae en agua,
usted calcula una rapidez terminal de 0.36 m/s despreciando la flo-
tabilidad, però la rapidez terminal medida es de 0.24 m/s. £Qué
fracción del peso es la fuerza de flotabilidad?

5.104. El bloque de 4.00 kg de la

figura 5.78 està unidoa una varilla F, 8 ura 578 Problema 5.104.
vertical con dos cordones. Cuando
el sistema gira en tomo al eje de la
varüla, los cordones se extienden
como se indica en el diagrama, y
la tensión en el cordón superior es
de 80.0 N. a) iQué tensión hay en
el cordón inferior? b) ^Cuàntas re-
voluciones por minuto (rpm) da el
sistema? c) Calcule las rpm con
las que el cordón inferior pierde
toda tensión. d) Explique qué su-
cede si el número de ípm es menor
que en el inciso c).

5.105. La ecuación (5.10) es vàli-
da para el caso en que la velocidad inicial es cero. a) Deduzca la ecua-
ción correspondiente para v y (t) cuando el objeto que cae tiene una
velocidad inicial hacia abajo de magnitud v . b) Para el caso en que
v Q < l>„ dibuje una gràfica de v y en función de / y marque v t en ella.
c) Repita el inciso b) para el caso en que v > V t . d) Comente lo que
su resultado le dice acerca de v v (t) cuando v Q = v,.

5.106. Una piedra pequefia se mueve en agua y la fuerza que el agua
ejerce sobre ella està dada por la ecuación (5.7). Antes, se midió la ra-
pidez terminal de la piedra, que es de 2.0 m/s. La piedra se proyecta
hacia arriba con una rapidez inicial de 6.0 m/s. Puede despreciarse la
fuerza de flotabilidad sobre la piedra. a) En ausencia de resistència del
fluido, <,qué altura alcanzaría la piedra y cuànto tardaria en alcanzar

2.00 m

4.00 ke

178

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

esa altura màxima? b) ^Cómo cambian las respuestas del inciso d), si
se incluyen los efectos de la resistència del fluido?

5.107. Usted observa un automóvil deportivo de 1350 kg que rueda en
línea recta por un pavimento horizontal. Las únicas fuerzas horizon-
tales que actúan sobre él son una fricción constante de rodamiento y
la resistència del aire (proporcional al cuadrado de la rapidez). Toma
los siguientes datos durante un intervalo de 25 s: cuando la rapidez
del auto es de 32 m/s, se frena a razón de —0.42 m/s 2 ; cuando su ra-
pidez disminuye a 24 m/s, se frena a razón de —0.30 m/s 2 , a) Calcule
el coeficiente de fricción de rodamiento y la constante de arrastre del
aire D. b) i,Con qué rapidez constante bajarà este auto por una pen-
diente de 2.2° con respecto a la horizontal? c) (,Qué relación hay entre
la rapidez constante en una pendiente de àngulo /3 y la rapidez ter-
minal de este auto al caer desde un acantilado? Suponga que, en am-
bos casos, la fuerza de arrastre del aire es proporcional al cuadrado de
la rapidez y la constante de arrastre del aire no cambia.

5.108. Una persona de 70 kg viaja en un carrito de 30 kg que se mue-
ve a 12 m/s en la cima de una colina, cuya forma es un arco de circulo
con radio de 40 m. a) <,Qué peso aparente tiene la persona cuando el
carrito pasa por la cima? b) Determine la rapidez màxima con que
el carrito podria llegar a la cima sin perder contacto con la superfície.
(,Su respuesta depende de la masa del carrito o de la persona? Explique
su respuesta.

5.109. Carrusel. Cierto diciembre, dos gemelas idénticas, Juana y
Jacqueline, juegan en un carrusel (tiovivo, un disco grande montado
paralelo al piso sobre un eje vertical central) en el patio de su escue-
la en el norte de Minnesota. Las gemelas tienen masas idénticas de
30.0 kg. La superfície del carrusel està cubierta de hielo y por lo
tanto no tiene fricción. El carrusel gira con rapidez constante con las
gemelas encima. Juana, sentada a 1.80 m del centro del carrusel, debe
sujetar uno de los postes metàlicos del carrusel con una fuerza hori-
zontal de 60.0 N para no salir despedida. Jacqueline està sentada en
el borde, a 3.60 m del centro, a) (,Con qué fuerza horizontal debe
sujetarse Jacqueline para no salir despedida? b) Si Jacqueline sale
despedida, <,qué velocidad horizontal tendra en ese momento?

5.110. Un pasajero con masa de 85 kg se subió a una rueda de la fortu-
na, como la del ejemplo 5.24. Los asientos viajan en un circulo de 35 m
de radio. La rueda gira con rapidez constante y efectua una revolución
cada 25 s. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida
sobre el pasajero por el asiento cuando él està a) un cuarto de revolu-
ción màs allà de su punto màs bajo y b) un cuarto de revolución màs
allà de su punto màs alto.

5.111. En el juego "Rotor" del parque de diversiones Six Flags Over
Texas, la gente se paraba contra la pared interior de un cilindro vertical
hueco de 2.5 m de radio. El cilindro comenzaba a girar y, al alcanzar
una tasa de rotación constante de 0.60 rev/s, el piso en que estaba pa-
rada la gente bajaba 0.5 m. La gente quedaba pegada a la pared. a) Di-
buje un diagrama de fuerzas para un pasajero, una vez que haya bajado
el piso. b) <,Qué coeficiente de fricción estàtica mínimo se requiere pa-
ra que un pasajero no resbale hacia abajo a la nueva posición del piso?
c) ^La respuesta al inciso b) depende de la masa del pasajero? (Nota:
al final, el cilindro se detenia gradualmente y las personas resbalaban
por las paredes hacia el piso.)

5.112. Un estudiante universitario de física se paga su colegiatura
actuando en un carnaval errante. El conduce una motocicleta dentro
de una esfera de plàstico hueca transparente. Una vez que adquiere
suficiente rapidez, describe un circulo vertical de radio 13.0 m. El
estudiante tiene masa de 70.0 kg, y su motocicleta tiene una masa
de 40.0 kg. d) <,Qué rapidez mínima debe tener en el punto màs alto
del circulo para no perder contacto con la esfera? b) En el punto màs

bajo del circulo, su rapidez es el doble de la calculada en el inciso a).
<;,Qué magnitud tiene la fuerza normal ejercida por la esfera sobre la
motocicleta en este punto?

5.113. Segunda intención. Un joven conduce un automóvil Nash
Ambassador 1954 clàsico con una amiga sentada a su derecha en el la-
do del copiloto del asiento delantero. El Ambassador tiene asientos co-
rridos pianos. Al joven le gustaria estar màs cerca de su amiga, y
decide usar la física para lograr su objetivo romàntico dando una vuel-
ta ràpida, a) ^Deberà dar vuelta al auto a la derecha o a la izquierda,
para que su amiga se deslice hacia él? b) Si el coeficiente de fricción
estàtica entre la amiga y el asiento es de 0.35 y el auto viaja a una rapi-
dez constante de 20 m/s, i,con qué radio màximo de la vuelta la amiga
aún se desliza hacia el joven?

5.114. Un bloque pequeno de masa m descansa sobre una mesa hori-
zontal sin fricción, a una distancia r de un agujero en el centro de la
mesa (figura 5.79). Un cordón atado al bloque pequeno pasa por el
agujero y està atado por el otro extremo a un bloque suspendido de
masa M. Se imprime al bloque pequeno un movimiento circular uni-
forme con radio r y rapidez v. i,Qué v se necesita para que el bloque
grande quede inmóvil una vez que se le suelta?

Figura 5.79 Problema 5.114.

5.115. Una cuenta pequeha puede deslizarse sin fricción por un aro
circular de 0. 100 m de radio, que està en un plano vertical. El aro gira
con rapidez constante de 4.00 rev/s en torno a un diàmetro vertical
(figura 5.80). a) Calcule el àngulo /3 en que la cuenta està en equili-
brio vertical. (Desde luego, tiene aceleración radial hacia el eje.)
b) ^Podria la cuenta mantenerse a la misma altura que el centro del
aro? c) iQné sucede si el aro gira a 1.00 rev/s?

Figura 5.80 Problema 5.115.

Problemas de desafio

179

5.116. Un avión a escala con masa de 2.20 kg se mueve en el plano xy,
de manera que sus coordenadas x y y varían con el tiempo, según x(t)
= a - fit 3 y y(t) = yt - 8f, donde a = 1.50 m, (3 = 0.120 m/s 3 , y =
3.00 m/s y 8 = 1.00 m/s 2 , a) Calcule las componentes x y y de la fuer-
za neta en el plano en función del tiempo. b) Dibuje la trayectoria del
avión entre / = y t = 3.00 s, incluyendo en su dibujo vectores que
muestren la fuerza neta que actua sobre el avión en t = 0, t = 1.00 s, t
= 2.00 s y t = 3.00 s. Para cada uno de estos instantes, relacione la di-
rección de la fuerza neta con la dirección de giro del avión y diga si la
rapidez del avión està aumentando, disminuyendo o no cambia. c) De-
termine la magnitud y dirección de la fuerza neta en t = 3.00 s.

5.117. Una partícula se mueve en una superfície sin fricción con la tra-
yectoria de la figura 5.81 (vista superior). La partícula està inicialmente
en reposo en el punto A y comienza a moverse hacia B, aumentando su
rapidez a razón constante. De B a C, la partícula sigue una trayectoria
circular con rapidez constante. La rapidez sigue constante en la recta de
C a D. De D a £, la partícula sigue una trayectoria circular, però ahora
su rapidez disminuye a razón constante. La rapidez sigue disminuyendo
a razón constante entre E y F, donde se detiene la partícula. (Los inter-
valos de tiempo entre los puntos marcados no son iguales.) En cada
punto negro de la figura, dibuje flechas para representar la velocidad,
la aceleración y la fuerza neta que actua sobre la partícula. Haga la lon-
gitud de las flechas proporcional a la magnitud del vector.

Figura 5.81 Problema 5.117.

Figura 5.83 Problema 5.119.

5.119. Un bloque pequeno de
masa m se coloca dentro de un
cono invertido que gira sobre
un eje vertical, de modo que la
duración de una revolución del
cono es T (figura 5.83). Las pare-
des del cono forman un àngulo
/3 con la vertical. El coeficiente
de fricción estàtica entre el blo-
que y el cono es fi s . Si el bloque
debe mantenerse a una altura
constante h sobre el vértice del
cono, <;,qué valores màximo y
mínimo puede tener 77

Problemas de desafio

5.120. Cuna móvil. Una cuna de
masa M descansa en una mesa hori-

zontal sin fricción. Un bloque de masa m se coloca sobre la cuna
(figura 5.84a). No hay fricción entre el bloque y la cuna. El sistema
se suelta del reposo, a) Calcule la aceleración de la cuna, así como
las componentes horizontal y vertical de la aceleración del bloque.
b) t,Sus respuestas al inciso d) se reducen a los resultados correctos
cuando M es muy grande? c) íQué forma tiene la trayectoria del blo-
que, vista por un observador estacionario?

Figura 5.84 Problemas de desafio 5.120 y 5.121.
a) b)

F E '

[-*- — — + "*

m
M

m

o

M

5.118. Un carrito de control remoto con masa de 1.60 kg se mueve a
una rapidez constante de v = 12.0 m/s, en un circulo vertical dentro de
un cilindro hueco metàlico de 5.00 m de radio (figura 5.82). ^Qué
magnitud tiene la fuerza normal ejercida sobre el coche por las pare-
des del cilindro a) en el punto A (parte inferior del circulo vertical)?
b) íY en el punto B (parte superior del circulo vertical)?

Figura 5.82 Problema 5.118.

5.121. Una cuna de masa M descansa en una mesa horizontal sin fric-
ción. Un bloque de masa m se coloca sobre la cuna y se aplica una
fuerza horizontal F a la cuna (figura 5.84b). ^,Qué magnitud debe tener
F para que el bloque permanezca a una altura constante sobre la mesa?

5.122. Una caja de peso w se acelera rampa arriba mediante una cuer-
da que ejerce una tensión T. La rampa forma un àngulo a con la
horizontal, y la cuerda tiene un àngulo 8 sobre la rampa. El coeficiente
de fricción cinètica entre la caja y la rampa es fjL k . Demuestre que la
aceleración màxima se da con = arctan fi h sea cual fuere el valor
de a (en tanto la caja siga en contacto con la rampa).

5.123. Angulo de fuerza mínima. Se tira de una caja de peso w con
rapidez constante sobre un piso horizontal aplicando una fuerza F
con un àngulo 6 sobre la horizontal. El coeficiente de fricción cinètica
entre el piso y la caja es ^t k . a) Calcule F en términos de 9, fí k y w. b) Si
w = 400 N y ju, k = 0.25, calcule F para \$ desde a 90° en incremen-
tes de 10°. Grafique F contra 0. c) Con la expresión general del inciso
d), calcule el valor de 6 para el que la F necesaria para mantener una
rapidez constante es mínima. (Sugerencia: en un punto donde una fun-
ción es mínima, i,qué valor tienen la primera y segunda derivadas de la
función? Aquí, F es función de d.) Para el caso especial de w = 400 N
y fi k = 0.25, evalúe este 6 óptimo y compare su resultado con la grà-
fica que elaboro en el inciso b).

180

CAPÍTULO 5 Aplicación de las leyes de Newton

5.124. Pelota de beisbol que cae. Se deja caer una pelota de beisbol
desde la azotea de un edificio alto. Conforme la pelota cae, el aire ejer-
ce una fuerza de arrastre proporcional al cuadrado de la rapidez de la
pelota (f = Dv 2 ). d) Dibuje un diagrama que muestre la dirección del
movimiento, e indique con vectores todas las fuerzas que actúan sobre
la pelota. b) Aplique la segunda ley de Newton e infiera de la ecuación
resultante las propiedades generales del movimiento. c) Demuestre
que la bola adquiere una rapidez terminal dada por la ecuación (5.13).
d) Deduzca la ecuación de la rapidez en cualquier instante. {Nota:

dv

1

-arctanh

(;)

donde

tanh(.v)

e x + e x

- 1
+ 1

define la tangente hiperbólica.)

5.125. Maquina de Atwood doble. En la figura 5.85, las masas m,
y m 2 estan conectadas por un cordón ligero A que pasa por una polea li-
gera sin fricción B. El eje de la polea B està conectado por otro cordón
ligero C a una masa m 3 pasando por una segunda polea ligera sin fric-
ción D. La polea D està suspendida del techo por su eje. El sistema
se suelta del reposo. En términos de m h m^ m 3 y g, a) ^qué aceleración
tiene el bloque m 3 ? b) ^Y la polea Bl c) ^Y el bloque m^. d) ^Y el
bloque m 2 ? e) i,Qué tensión tiene el cordón Al f) ^Y el cordón C?

Figura 5.85 Problema de desafio 5.125.

g) i,Qué dan sus expresiones para el caso especial en que m { = nu
y m 3 = m, + m 2 l ( ',Es lógico esto?

5.126. Las masas de los bloques A y B de la figura 5.86 son 20.0 kg y
10.0 kg, respectivamente. Inicialmente, los bloques estan en reposo so-
bre el piso y estan conectados por un cordón sin masa que pasa por una
polea sin masa ni fricción. Se aplica una fuerza F hacia arriba a la po-
lea. Calcule las aceleraciones a A del bloque Aya B del bloque B cuan-
do F es a) 124 N; b) 294 N; c) 424 N.

Figura 5.86 Problema de desafio 5.126.

20.0 kg

10.0 kg

5.127. Una esfera se sostiene en reposo en la posición A de la figura
5.87 con dos cordones ligeros. Se corta el cordón horizontal y la es-
fera comienza a oscilar como péndulo. B es el punto màs a la derecha
que la esfera alcanza al oscilar. £,Qué relación hay entre la tensión
del cordón de soporte en la posición B y su valor en A antes de que
se corte el cordón horizontal?

Figura 5.87 Problema de desafio 5.127.

TRABAJO Y ENERGIA

CINÈTICA

i Cuando una arma
de fuego se dispara,
los gases que se
expanden en el cafión
empujan el proyectil
hacia afuera, de acuerdo
con la tercera ley de
Newton, el proyectil
ejerce tanta fuerza
sobre los gases, como
estos ejercen sobre
aquél. ÍSería correcto
decir que el proyectil
efectua trabajo sobre
los gases!

Suponga que trata de calcular la rapidez de una flecha disparada con un arco.
Aplica las leyes de Newton y todas las técnicas de resolución de problemas
que hemos aprendido, però se encuentra un obstàculo importante: después de
que el arquero suelta la flecha, la cuerda del arco ejerce una fuerza variable que
depende de la posición de la flecha. Por ello, los métodos sencillos que aprendimos
no bastan para calcular la rapidez. No debe témer; nos falta mucho para acabar con
la mecànica, y hay otros métodos para manejar esta clase de problemas.

El nuevo método que vamos a presentar usa las ideas de trabajo y energia. La im-
portància del concepto de energia surge del principio de conservación de la energia:
la energia es una cantidad que se puede convertir de una forma a otra, però no pue-
de crearse ni destruirse. En un motor de automóvil, la energia química almacenada
en el combustible se convierte parcialmente en la energia del movimiento del auto, y
parcialmente en energia tèrmica. En un horno de microondas, la energia electromag-
nètica obtenida de la companía de electricidad se convierte en energia tèrmica en
el alimento cocido. En estos y todos los demàs procesos, la energia total — es la su-
ma de toda la energia presente en diferentes formas — no cambia. Todavía no se ha

Usaremos el concepto de energia en el resto del libro para estudiar una amplísima
gama de fenómenos físicos. La energia nos ayudarà a entender por què un abrigo nos
mantiene calientes, cómo el flash de una càmara produce un destello de luz, y el sig-
nificado de la famosa ecuación de Einstein E = me 2 .

En este capitulo, no obstante, nos concentraremos en la mecànica. Conoceremos
una importante forma de energia, la energia cinètica o la energia de movimiento, y su
relación con el concepto de trabajo. También consideraremos la potencia, que es la
rapidez con que se realiza trabajo. En el capitulo 7 ampliaremos las ideas de trabajo
y energia cinètica, para comprender màs a fondo los conceptes de energia y conser-
vación de la energia.

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,

• Qué significa que una fuerza
efectúe trabajo sobre un cuerpo,
y cómo calcular la cantidad de

• La definición de energia cinètica
(energia de movimiento) de un
cuerpo, y lo que significa
físicamente.

• Cómo el trabajo total efectuado
sobre un cuerpo cambia la energia
cinètica del cuerpo, y cómo utilizar
este principio para resolver
problemas de mecànica.

• Cómo usar la relación entre
trabajo total y cambio de energia
cinètica, cuando las fuerzas no
son constantes y el cuerpo sigue
una trayectoria curva, o ambas
situaciones.

• Cómo resolver problemas que
implican potencia (tasa para
efectuar trabajo).

181

182

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

6.1 Trabajo

6.1 Estos hombres realizan trabajo con-
forme empujan sobre el vehículo averiado,
porque ejercen una fuerza sobre el auto al
moverlo.

6.2 El trabajo realizado por una fuerza
constante que actua en la misma dirección
que el desplazamiento.

Si un cuerpo se mueve con
un desplazamiento s mientras
una fuerza constante F actua
sobre él en la misma dirección ...

... el trabajo realizado
por la fuerza sobre
el cuerpo es W = Fs.

Seguramente usted estarà de acuerdo en que cuesta trabajo mover un sofà pesado, le-
vantar una pila de libros del piso hasta colocarla en un estante alto, o empujar un au-
tomóvil averiado para retirarlo de la carretera. Todos estos ejemplos concuerdan con
el significado cotidiano de trabajo: cualquier actividad que requiere esfuerzo muscu-
lar o mental.

En física el trabajo tiene una definición mucho màs precisa. Al utilizar esa defini-
ción, descubriremos que, en cualquier movimiento, por complicado que sea, el traba-
jo total realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella es
igual al cambio en su energia cinètica: una cantidad relacionada con la rapidez de la
partícula. Esta relación se cumple aún cuando dichas fuerzas no sean constantes, que
es una situación que puede ser difícil o imposible de manejar con las técnicas que es-
tudiamos en los capítulos 4 y 5. Los conceptes de trabajo y energia cinètica nos per-
mitiràn resolver problemas de mecànica que no podríamos haber abordado antes.

En esta sección aprenderemos cómo se define el trabajo y cómo se calcula en diver-
sas situaciones que implican fuerzas constantes. Aunque ya sabemos cómo resolver
problemas donde las fuerzas son constantes, el concepte de trabajo nos resultarà útil.
Màs adelante en este capitulo deduciremos la relación entre trabajo y energia cinètica,
y la aplicaremos después en problemas donde las fuerzas no son constantes.

Los tres ejemplos de trabajo antes mencionados — mover un sofà, levantar una pi-
la libros y empujar un automóvil — tienen algo en común. En ellos realizamos trabajo
ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras éste se mueve de un lugar a otro, es
decir, sufre un desplazamiento (figura 6.1). Efectuamos màs trabajo si la fuerza
es mayor (empujamos màs fuerte el auto) o si el desplazamiento es mayor (lo empu-
jamos una mayor distancia).

El físico define el trabajo con base en estàs observaciones. Considere un cuerpo que
sufre un desplazamiento de magnitud s en línea recta. (Por ahora, supondremos que to-
do cuerpo puede tratarse como partícula y despreciaremos cualquier rotación o cambio
en la forma del cuerpo.) Mientras el cuerpo se mueve, una fuerza constante F actua
sobre él en la dirección del desplazamiento ? (figura 6.2). Definimos el trabajo W rea-
lizado por esta fuerza constante en dichas condiciones como el producte de la magni-
tud F de la fuerza y la magnitud s del desplazamiento:

W = Fs (fuerza constante en dirección del desplazamiento rectilíneo) (6.1)

El trabajo efectuado sobre el cuerpo es mayor si la fuerza F o el desplazamiento s son
mayores, lo que coincide con nuestras observaciones anteriores.

CUIDADO Trabajo = W, peso = W No confunda W (trabajo) con w (peso). Si bien los
símbolos son casi iguales, se trata de cantidades distintas.

La unidad de trabajo en el SI es el joule (que se abrevia J y se pronuncia "yul",
nombrada así en honor del físico inglés del siglo xix James Prescott Joule). Por la
ecuación (6.1), vemos que, en cualquier sistema de unidades, la unidad de trabajo es
la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de distancia. En el SI la unidad de fuer-
za es el newton y la unidad de distancia es el metro, así que 1 joule equivale a un new-
ton-metro (N ■ m):

1 joule

, 1 newton ) ( 1 metro ) o bien 1 J = 1 N ■ m

En el sistema britànico, la unidad de fuerza es la libra (Ib), la unidad de distancia es el
pie (ft), y la unidad de trabajo es elpie-Iibra (ft ■ lb). Estàs conversiones son útiles:

1 J = 0.7376 ft ■ lb

1 ft - lb = 1.356 J

Como ilustración de la ecuación (6.1), pensemos en una persona que empuja un
automóvil averiado. Si lo empuja a lo largo de un desplazamiento s con una fuerza
constante F en la dirección del movimiento, la cantidad de trabajo que efectua sobre
el auto està dada por la ecuación (6.1): W = Fs. Sin embargo, iy si la persona hubie-
ra empujado con un àngulo cj> con respecto al desplazamiento del auto (figura 6.3)?
Entonces F tiene una componente F, = Fcosrf> en la dirección del desplazamiento y
una componente F ± = Fsen<^> que actua perpendicular al desplazamiento. (Otras
fuerzas deben actuar sobre el automóvil para que se mueva en la dirección de ?, no

6.1 Trabajo

183

6.3 El trabajo realizado por una fuerza constante que actua con un angulo relativo al desplazamiento.

Si el automóvil se mueve con un desplazamiento s'
mientras una fuerza constante F actua sobre él, con
un angulo <p con respecto al desplazamiento ...

■ fi '■

F ± no efectua trabajo
sobre el auto.

... el trabajo efectuado por la fuerza

sobre el auto es W = F lt s = (F cos tp)s = Fs cos 4

Solo F í{ realiza
í\ trabajo sobre

en la dirección de F; sin embargo, solo nos interesa el trabajo realizado por la perso- Act V

na, así que solo consideraremos la fuerza que esta ejerce.) En este caso, solo la com- Physlcs

ponente paralela F„ es eficaz para mover el auto, por lo que definimos el trabajo como 5 j Càlculos de trabaio
el producto de esta componente de fuerza y la magnitud del desplazamiento. Por
lo tanto, W = F„s = (Fcos<f>)s, o bien,

W = Fscos(f) (fuerza constante, desplazamiento rectilíneo)

(6.2)

Estamos suponiendo que F y </> son constantes durante el desplazamiento. Si </> = y
F y s tienen la misma dirección, entonces cos <f> = 1 y volvemos a la ecuación (6.1).
La ecuación (6.2) tiene la forma del producto escalar de dos vectores (presentado
en la sección 1 .10): A ■ B = ABcosip. Quizà usted desee repasar esa definición. Ello
nos permite escribir la ecuación (6.2) de forma mas compacta:

W = F • ~s (fuerza constante, desplazamiento rectilíneo)

(6.3)

CUIDADO El trabajo es un escalar Veamos un punto fundamental: el trabajo es una
cantidad escalar, aunque se calcule usando dos cantidades vectoriales (fuerza y desplazamien-
to). Una fuerza de 5 N al este que actua sobre un cuerpo que se mueve 6 m al este realiza exac-
tamente el mismo trabajo, que una fuerza de 5 N al norte que actua sobre un cuerpo que se
mueve 6 m al norte.

Ejemplo 6.1

Trabajo efectuado por una fuerza constante

d) Esteban ejerce una fuerza constante de magnitud 210 N (aproximada-
mente 47 lb) sobre el automóvil averiado de la figura 6.3, mientras lo em-
puja una distancia de 18 m. Ademàs, un neumàtico se desinflo, así que,
para lograr que el auto avance al frente, Esteban debe empujarlo con un
angulo de 30° con respecto a la dirección del movimiento. ^Cuànto trabajo
efectua Esteban? b) Con animo de ayudar, Esteban empuja un segundo au-
tomóvil averiado con una fuerza constante F = ( 1 60 N ) i — ( 40 N )/.
El desplazamiento del automóvil es 7 = (14 m)ï + ( 1 1 m)j. ^,Cuànto
trabajo efectua Esteban en este caso?

EJ

1

IDENTIFICAR: En ambos incisos, a) y b), la incògnita es el trabajo W
efectuado por Esteban. En ambos casos, la fuerza es constante y el des-
plazamiento es rectilíneo, así que podemos usar la ecuación (6.2) o la
ecuación (6.3).

PLANTEAR: El angulo entre F y ~s se da explícitamente en el inciso
d), de manera que podemos aplicar directamente la ecuación (6.2). En

el inciso b), no se da el angulo, así que nos conviene mas calcular el
producto escalar de la ecuación (6.3), a partir de las componentes de F
y ~s, como en la ecuación (1.21): À 'B = A X B X + A y B v + A.B..

EJECUTAR: a) Por la ecuación (6.2),

W= F.SCOS0 = (210N)(l8m)cos30° = 3.3 X 10 3 J

b) Las componentes de F son F x = 160 N y F y = —40 N, en tanto
que las componentes de 7 son x = 14 m y y = 11 m. (No hay com-
ponentes z para ningún vector.) Así, utilizando las ecuaciones (1.21)

y (6.3),

W = F • s = F x x + F y y

= (160N)(14m) + (-40N)(llm)
= 1.8 X 10'J

EVALUAR: En cada caso, el trabajo que efectua Esteban es mayor
que 1000 J. Nuestros resultados muestran que 1 joule es relativamente
poco trabajo.

Trabajo: Positivo, negativo o cero

En el ejemplo 6.1, el trabajo efectuado al empujar los autos fue positivo. No obstante, es
importante entender que el trabajo también puede ser negativo o cero. Esta es la diferen-
cia esencial entre la definición de trabajo en física y la definición "cotidiana" del mismo.

184

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

6.4 Una fuerza constante F puede efectuar trabajo positivo, negativo o cero, dependiendo del àngulo entre F y el desplazamiento ~s. fpj^
a)

b)

17 — ZT^^c.J,

x^

-*H

^

La fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento:

• El trabajo sobre el objeto es positivo.

• W = F]|J = (Fcos (f>)s

La fuerza tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento:

• El trabajo sobre el objeto es negativo.
> • W = F ti s = (Fco\$(f>)s
Fcostf) ■ Matemàticamente, W < porque Fcosí/» es negativo para 90° < 4> < 270°.

HH

ií:

<t> = 90°

La fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento:

• La fuerza no realiza trabajo sobre el objeto.

• De forma mas general, cuando una fuerza que actua sobre un objeto tiene
una componente F ± perpendicular al desplazamiento del objeto, dicha
componente no efectua trabajo sobre el objeto.

6.5 Un halterófïlo no realiza trabajo sobre
una barra si la mantiene estacionaria.

El halterófilo ejerce una
fuerza hacia arriba sobre
la barra ...

. . però como la barra
està estacionaria (su
desplazamiento es cero),
no realiza trabajo
sobre ella.

Si la fuerza tiene una componente en la misma dirección que el desplazamiento (<f> entre
y 90°), cos (f> en la ecuación (6.2) es positivo y el trabajo W es positivo (figura 6.4a).
Si la fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento (<j> entre 90 y 1 80°), cos <p
es negativo y el trabajo es negativo (figura 6.4b). Si la fuerza es perpendicular al des-
plazamiento, cf> = 90° y el trabajo realizado por la fuerza es cero (figura 6.4c). Los casos
de trabajo cero y negativo ameritan mayor estudio; veamos algunos ejemplos.

Hay muchas situaciones donde actúan fuerzas però no realizan trabajo. Quizàs us-
ted piense que "cuesta trabajo" sostener una barra de halterofília inmóvil en el aire
durante cinco minutos (figura 6.5); però en realidad no se està realizando trabajo so-
bre la barra porque no hay desplazamiento. Nos cansamos porque las componentes de
las fibras musculares de los brazos realizan trabajo al contraerse y relajarse continua-
mente. Sin embargo, se trata de trabajo efectuado por una parte del brazo que ejerce
fuerza sobre otra, no sobre la barra. (En la sección 6.2 hablaremos mas del trabajo
realizado por una parte de un cuerpo sobre otra.) Aun si usted camina con velocidad
constante por un piso horizontal llevando un libro, no realiza trabajo sobre éste. El
libro tiene un desplazamiento, però la fuerza de soporte (vertical) que usted ejerce
sobre el libro no tiene componente en la dirección (horizontal) del movimiento:
4> = 90° en la ecuación (6.2) y cos (f> = 0. Si un cuerpo se desliza por una superfície,
el trabajo realizado sobre él por la fuerza normal es cero; y cuando una pelota atada
a un cordón se pone en movimiento circular uniforme, el trabajo realizado sobre
ella por la tensión en el cordón es cero. En ambos casos, el trabajo es cero porque
la fuerza no tiene componente en la dirección del movimiento.

iQué significa realmente realizar trabajo negativol La respuesta està en la tercera
ley de Newton del movimiento. Cuando un halterófilo (levantador de pesas) baja
una barra como en la figura 6.6a, sus manos y la barra se mueven juntas con el /
mismo desplazamiento s . La barra ejerce una fuerza F barra sobre manos sobre sus ma-
nos en la misma dirección que el desplazamiento de éstas, así que el trabajo realizado
por la barra sobre sus manos es positivo (figura 6.6b). Sin embargo, por la tercera ley
de Newton, las manos del halterófilo ejerce una fuerza igual y opuesta F mmos sobre barra
= — Fbarra sobre manos sobre la barra (figura 6.6c). Esta fuerza, que evita que la barra se
estrelle contra el piso, actua opuesta al desplazamiento de la barra. Por lo tanto, el tra-
bajo realizado por sus manos sobre la barra es negativo. Puesto que las manos del
halterófilo y la barra tienen el mismo desplazamiento, el trabajo realizado por sus ma-
nos sobre la barra es justo el negativo del realizado por la barra sobre sus manos. En
general, cuando un cuerpo realiza trabajo negativo sobre otro cuerpo, éste realiza una
cantidad igual de trabajo positivo sobre el primero.

CUIDADO Tenga presente quién hace el trabajo Siempre hablamos de trabajo realiza-
do sobre un cuerpo especifico por una fuerza determinada. Nunca olvide especificar exactamen-

6.1 Trabajo

185

6.6 Las manos de este halterófilo efectúan trabajo negativo sobre la barra, mientras que
a) Un halterófilo baja una barra al piso

1-3* -i)

t

JÏÏL

f

-

b) La barra efectua trabajo positivo sobre
las manos del halterófilo.

i barra realiza trabajo positivo sobre sus manos.

c) Las manos del halterófilo realizan
trabajo negativa sobre la barra.

{y-T

burra -obre mamis

La fuerza de la barra sobre las i-*'
manos del halterófilo tiene
la misma dirección que el
desplazamiento de las manos.

te qué fuerza realiza el trabajo en cuestión. Si levantamos un libro, ejercemos una fuerza hacia
arriba sobre el libro y el desplazamiento de éste es hacia arriba, así que el trabajo realizado por
la fuerza de levantamiento sobre el libro es positivo. En cambio, el trabajo realizado por la fuer-
za gravitacional (peso) sobre el libro que se levanta es negativo, porque tal fuerza es opuesta al
desplazamiento hacia arriba.

iniiiHh sobre baiT.i

La fuerza de las manos del halterófilo -
sobre la barra es opuesta al —

desplazamiento de la barra.

Trabajo total

^Cómo calculamos el trabajo cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo? Pode-
mos usar las ecuaciones (6.2) o (6.3) para calcular el trabajo realizado por cada fuerza
individual. Puesto que el trabajo es una cantidad escalar, el trabajo total W tot realiza-
do por todas las fuerzas sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos reali-
zados por las fuerzas individuales. Otra forma de calcular W tot es calcular la suma
vectorial de las fuerzas (es decir, la fuerza neta) y usaria en vez de F en la ecuación
(6.2) o en la (6.3). El siguiente ejemplo ilustra ambas técnicas.

Ejemplo 6.2

Trabajo realizado por varias fuerzas

Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con lena y lo
arrastra 20 m sobre el suelo horizontal (figura 6.7a). El peso total del
trineo y la carga es de 14,700 N. El tractor ejerce una fuerza constante
de 5000 N a 36.9° sobre la horizontal, como se indica en la figura 6.7b.
Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento del trineo.
Calcule el trabajo realizado por cada fuerza que actua sobre el trineo y
el trabajo total de todas las fuerzas.

E

41

IDENTIFICAR: Todas las fuerzas son constantes y el desplazamiento
es rectilíneo, de manera que podemos calcular el trabajo empleando
los conceptos usados en esta sección. Obtendremos el trabajo total de
dos maneras: 1. sumando los trabajos efectuados por cada fuerza sobre
el trineo, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta que ac-
tua sobre el trineo.

PLANTEAR: Puesto que estamos trabajando con fuerzas, los primeros
pasos son dibujar un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las
fuerzas que actúan sobre el trineo, y elegir un sistema de coordenadas
(figura 6.7b). Conocemos el àngulo entre el desplazamiento (en la di-
rección +x) y cada una de las cuatro fuerzas: peso, fuerza normal,
fuerza del tractor y fuerza de fricción. Por lo tanto, con la ecuación
(6.2) calculamos el trabajo realizado por cada fuerza.

Como vimos en el capitulo 5, para obtener la fuerza neta sumamos
las componentes de las cuatro fuerzas. La segunda ley de Newton nos
dice que, como el movimiento del trineo es exclusivamente horizontal,
la fuerza neta solo tiene una componente horizontal.

EJECUTAR: El trabajo W w realizado por el peso es cero, porque su
dirección es perpendicular al desplazamiento. (compare esto con la
figura 6.4c) Lo mismo sucede con la fuerza normal, el trabajo W„

6.7 Calculo del trabajo realizado sobre un trineo de lena que es
arrastrado por un tractor.

a)

b) Diagrama de cuerpo libre para el trineo

f<-

180°,
f=3500N

F=5000N
J % 36.T

k^

s=20m

w =14700 N

continua

186

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

realizado por la fuerza normal es cero. Entonces, W w = W„ = 0.
(Por cierto, la magnitud de la fuerza normal es menor que el peso;
véase el ejemplo 5.15 de la sección 5.3, donde el diagrama de cuerpo
libre es muy similar.)

Nos queda la fuerza F T ejercida por el tractor y la fuerza de fric-
ción/. Por la ecuación (6.2), el trabajo W T efectuado por el tractor es

W T = F T scos<f> = (5000 N) (20 m) (0.800) = 80,000 N • m
= 80 kJ

La fuerza de fricción / es opuesta al desplazamiento, así que <\$> = 180°
y cos <f> = — 1 . El trabajo W f realizado por la fuerza de fricción es

W f = fs cos \8Q° = (3500N)(20m)(-l) = -70,000 N-m

= -70 kJ

El trabajo total W tol realizado por todas las fuerzas sobre el trineo es la
suma algebraica del trabajo realizado por cada fuerza individual:

ïkJ + (-70 kJ)

lOkJ

Usando la otra estratègia, primero obtenemos la suma vectorial
de todas las fuerzas (la fuerza neta) y la usamos para calcular el tra-

bajo total. La mejor forma de hacerlo es usando componentes. De la
figura 6.7b,

2^v = F T cos0 + (-/) = (5000N)cos36.9° - 3500 N

- 500 N

2 Fy = F T sen 4> + n + ( — w )

- (5000N)sen36.9° + n- 14,700 N

No necesitamos la segunda ecuación; sabemos que la componente y de
fuerza es perpendicular al desplazamiento, así que no realiza trabajo.
Ademàs, no hay componente y de aceleración, así que de cualquier
forma X/\. debe ser cero. Por lo tanto, el trabajo total es el realizado
por la componente x total:

W m = (2^) ** = (2 F *) S = (500N)(20m) = 10,000 J
= 10 kJ

EVALUAR: Obtenemos el mismo valor de W m con los dos métodos,
como debería ser.

Observe que la fuerza neta en la dirección x no es cero, así que el
trineo se està acelerando. En la sección 6.2 volveremos a este ejemplo
y veremos cómo usar el concepto de trabajo para explorar el movi-
miento del trineo.

Evalúe su comprensión de la sección 6.1 Un electrón se mueve en línea
recta hacia el este con una rapidez constante de 8 X 10 7 m/s. Tiene fuerzas elèctrica,
magnètica y gravitacional que actúan sobre él. Durante un desplazamiento de 1 metro,
el trabajo total efectuado sobre el electrón es i) positivo, ii) negativo, iii) cero, iv) no hay
suficiente información para decidir.

6.2 Energia cinètica y el teorema
trabajo-energía

El trabajo total realizado por fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el des-
plazamiento de éste (los cambios en su posición), però también està relacíonado con
los cambios en la rapidez del cuerpo. Para comprobarlo, considere la figura 6.8, que

6.8 La relación entre el trabajo total efectuado sobre un cuerpo y la manera en que cambia la rapidez del cuerpo.

a)

Un bloque que se desliza hacia la derecha

sobre una superfície sin fricción.

Si usted empuja a la
derecha sobre el bloque
en movimiento, la fuerza

neta sobre el bloque
es hacia la derecha.

b)

Si usted empuja a la
izquierda sobre el bloque
en movimiento, la fuerza
neta sobre el bloque
es hacia la izquierda.

I,

Si usted empuja
directo hacia abajo
sobre el bloque en
movimiento, la fuerza
neta sobre el bloque
es cero.

■ El trabajo total efectuado sobre el bloque
durante un desplazamiento s es positivo:
W M >0.

■ El bloque aumenta de rapidez.

El trabajo total efectuado sobre el bloque
durante un desplazamiento ses negativo:

Wtot < <»■

El bloque se frena.

El trabajo total realizado sobre el bloque
durante un desplazamiento s es cero:

w, , = 0.

La rapidez del bloque permanece igual.

6.2 Energia cinètica y el teorema trabajo-energía

187

muestra tres ejemplos de un bloque que se desliza sobre una mesa sin fricción. Las
fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso w, la fuerza normal n y la fuerza F
ejercida por la mano.

En la figura 6.8a, la fuerza neta sobre el bloque es en la dirección de su movi-
miento. Por la segunda ley de Newton, ello significa que el bloque se acelera; la
ecuación (6.1) nos indica también que el trabajo total W m efectuado sobre el bloque
es positivo. El trabajo total es negativo en la figura 6.8b porque la fuerza neta se
opone al desplazamiento; aquí el bloque se frena. La fuerza neta es cero en la figura
6.8c, así que la rapidez del bloque no cambia y el trabajo total efectuado sobre él
es cero. Podemos conduir que, si una partícula se desplaza, se acelera si W tot > 0,
se frena si W ut < y mantiene su rapidez si W tot = 0.

Hagamos mas cuantitativas tales observaciones. Considere una partícula con ma-
sa m que se mueve en el eje x bajo la acción de una fuerza neta constante de magni-
tud F dirigida hacia el eje +x (figura 6.9). La aceleración de la partícula es constante
y esta dada por la segunda ley de Newton, F = ma x . Suponga que la rapidez cambia
de v, a v 2 mientras la partícula sufre un desplazamiento s = x 2 — x t del punto x ) al x 2 .
Usando una ecuación de aceleración constante, ecuación (2.13), y sustituyendo v íh
por üi,v x por v 2 y (x — x ) por s, tenemos

6.9 Una fuerza neta constante F efectua
trabajo sobre un cuerpo en movimiento.

Rapidez v {

Rapidez v 2

m \

m

ruerza neta t

1

2a r s

vi

2.s-

Al multiplicar esta ecuación por m y sustituir ma x por la fuerza neta F, obtenemos

F = ma r = m~

2,v

(6.4)

Fs = — mvi 1

El producto Fs es el trabajo efectuado por la fuerza neta F y, por lo tanto, es igual al
trabajo total W íol efectuado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Llama-
mos a la cantidad {mv 2 la energia cinètica K de la partícula (definición de energia
cinètica):

K = -mv 1
2

(definición de energia cinètica)

(6.5)

Igual que el trabajo, la energia cinètica de una partícula es una cantidad escalar;
solo depende de la masa y la rapidez de la partícula, no de su dirección de movimien-
to. Un automóvil (visto como partícula) tiene la misma energia cinètica yendo al
norte a 10 m/s que yendo al este a 10 m/s. La energia cinètica nunca puede ser nega-
tiva, y es cero solo si la partícula està en reposo.

Ahora podemos interpretar la ecuación (6.4) en términos de trabajo y energia cinè-
tica. El primer termino del miembro derecho de la ecuación (6.4) es K 2 = \mv 2 , la
energia cinètica final de la partícula (es decir, después del desplazamiento). El segun-

do termino es la energia cinètica inicial, K {

'{, y la diferencia entre estos tér-

minos es el cambio de energia cinètica. Así, la ecuación (6.4) dice:

6.10 Compararien entre la energia cinèti-
ca K = \_rnv 1 de cuerpos distintos.

La misma masa, la misma rapidez, direcciones
de movimiento diferentes: la misma energia
cinètica.

II!

2n,

El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de
energia cinètica de la partícula:

W tm = K 2 — K l = AK (teorema trabajo-energía) (6.6)

Este es el resultado del teorema trabajo-energía.

El doble de masa, la misma
rapidez: el doble de energia
cinètica.

II!

2v

La misma masa, el doble de rapidez:
el cuadruple de energia cinètica.

188

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

El teorema trabajo-energía concuerda con nuestras observaciones acerca del blo-
que de la figura 6.8. Si W tot es positivo, la energia cinètica aumenta (la energia cinèti-
ca final K 2 es mayor que la energia cinètica inicial A",) y la partícula tiene mayor
rapidez al final del desplazamiento que al principio. Si W m es negativa, la energia ci-
nètica disminuye (K 2 es menor que K t ) y la rapidez es menor después del desplaza-
miento. Si W m = 0, la energia cinètica permanece igual (K ] = K 2 ) y la rapidez no
cambia. Observe que el teorema trabajo-energía solo indica cambios en la rapidez,
no en la velocidad, pues la energia cinètica no depende de la dirección del movimiento.

Por la ecuación (6.4) o la (6.6), la energia cinètica y el trabajo deben tener las mis-
mas unidades. Por lo tanto, el joule es la unidad del SI tanto del trabajo como de la
energia cinètica (y, como veremos, de todos los tipos de energia). Para verificarlo, ob-
serve que la cantidad K = \rrar tiene unidades de kg ■ (m/s) 2 o kg ■ m 2 /s 2 ; recorda-
mos que 1 N = 1 kg ■ m/s 2 , así que

1 J = 1 N ■ m = 1 (kg ■ m/s 2 ) ■ m = 1 kg ■ m 2 /s 2

En el sistema britànico, la unidad de energia cinètica y trabajo es

1 ft • lb = 1 ft ■ slug ■ ft/s 2 = 1 slug ■ ft 2 /s 2

Puesto que usamos las leyes de Newton para deducir el teorema trabajo-energía,
solo podemos usarlo en un marco de referència inercial. Ademàs, observe que el
teorema es valido en cualquier marco inercial; sin embargo, los valores de W m y
K 2 — K t podrían diferir de un marco inercial a otro (porque el desplazamiento y la
rapidez de un cuerpo pueden ser diferentes en diferentes marços).

Dedujimos el teorema trabajo-energía para el caso especial de movimiento rec-
tilíneo con fuerzas constantes, y en los siguientes ejemplos solo lo aplicaremos a
ese caso especial. En la siguiente sección veremos que el teorema es valido en ge-
neral, aun si las fuerzas no son constantes y la trayectoria de la partícula es curva.

Estratègia para resolver problemas 6.1

Trabajo y energia cinètica

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: El teorema trabajo-energía
es extremadamente útil en situaciones donde se desea relacionar la
rapidez l>, de un cuerpo en un punto de su movimiento, con su rapidez
ü 2 en otro punto. (El enfoque es menos útil en problemas donde in-
terviene el tiempo, como determinar cuànto tarda un cuerpo en ir del
punto 1 al punto 2. Ello se debe a que en el teorema trabajo-energía
no interviene el tiempo. Si es preciso calcular tiempos, suele ser me-
jor utilizar las relaciones entre tiempo, posición, velocidad y acelera-
ción que describimos en los capítulos 2 y 3.)

PLANTEAR el problema con los pasos siguientes:

1. Elija las posiciones inicial y final del cuerpo, y dibuje un diagrama
de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él.

2. Elija un sistema de coordenadas. (Si el movimiento es rectilíneo, lo
mas fàcil suele ser que las posiciones tanto inicial como final estén
sobre el ejex.)

3. Elabore una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, y de-
cida cuàles son las incógnitas. En algunos casos, la incògnita serà
la rapidez inicial o final del cuerpo; en otros, serà la magnitud de
una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, o sobre el desplaza-
miento de éste.

EJECUTAR la solución: Calcule el trabajo W efectuado por cada
fuerza. Si la fuerza es constante y el desplazamiento es en línea recta,
se puede usar la ecuación (6.2) o la (6.3). (Màs adelante en este capi-

tulo veremos cómo manejar fuerzas variables y trayectorias curvas.)
Revise el signo del trabajo; W debe ser positivo si la fuerza tiene una
componente en la dirección del desplazamiento, negativo si la fuerza
tiene una componente opuesta al desplazamiento, y cero si la fuerza y
el desplazamiento son perpendiculares.

Sume los trabajos realizados por cada fuerza para obtener el tra-
bajo total W tot . A veces es màs fàcil obtener primero la suma vectorial
de las fuerzas (la fuerza neta) y luego calcular el trabajo efectuado por
la fuerza neta; este valor también es W tot .

Escriba expresiones para la energia cinètica inicial y final (K 1
y K 2 ). Tenga presente que en la energia cinètica interviene la masa,
no el peso; si le dan el peso del cuerpo, tendra que usar la relación
w = mg para calcular la masa.

Por ultimo, use W tot = K 2 — A", para despejar la incògnita. Re-
cuerde que el miembro derecho de esta ecuación es la energia cinètica
final menos la energia cinètica inicial, nunca al revés.

EVALUAR la respuesta: Compruebe que su respuesta sea lògica fisica-
mente. Recuerde sobre todo que la energia cinètica K = \mtr nunca
puede ser negativa. Si obtiene una K negativa, quizàs intercambió las
energías inicial y final en W m = K 2 — A", o tuvo un error de signo en
uno de los càlculos de trabajo.

6.2 Energia cinètica y el teorema trabajo-energía

189

Ejemplo 6.3

Uso de trabajo y energia para calcular rapidez

Veamos otra vez el trineo de la figura 6.7 y las cifras finales del ejem-
plo 6.2. Suponga que la rapidez inicial l>, es 2.0 m/s. ^Cuàl es la rapi-
dez final del trineo después de avanzar 20 m?

EÜEEJ

IDENTIFICAR: Usaremos el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6)
(Wtat ~ &2 ~ K\), P ues nos dan la rapidez inicial v { = 2.0 m/s y nos pi-
den calcular la rapidez final.

PLANTEAR: La figura 6.11 muestra nuestro esquema de la situación.
El movimiento es en la dirección +.\'.

EJECUTAR: Ya calculamos que trabajo total de todas las fuerzas en el
ejemplo 6.2: W lol = 10 kJ. Por lo tanto, la energia cinètica del trineo y
su carga debe aumentar en 10 kJ.

Si queremos escribir expresiones para las energías cinéticas inicial
y final, necesitamos la masa del trineo y la carga. Nos dicen que el pe-
so es de 14,700 N, así que la masa es

w 14,700 N
m = — = = 1500 kg

g 9.8 m/s 2

Entonces, la energia cinètica inicial K { es

K Y = -mvc = -(1500 kg) (2.0 m/s) 2 = 3000kg-m 2 /s 2

= 3000 J
La energia cinètica final K 2 es

À\

Knv,: = ^(\500kg)v 2 -

6.1 1 Nuestro esquema para este problema.

: 2.0 m/s

Vi = au m/s

Tr\neo

s = 20m

donde v 2 es la rapidez que nos interesa. La ecuación (6.6) da

K t = K x + W m = 3000 J + 10,000 J = 13,000 J

Igualamos estàs dos expresiones de K 2 , sustituimos 1 J = 1 kg ■ m 2 /s 2 ,
y despejamos v 2 :

v 2 = 4.2 m/s

EVALUAR: El trabajo total es positivo, de manera que la energia cinè-
tica aumenta (K 2 > K : ) y la rapidez aumenta (v 2 > v : ).

Este problema también puede resolverse sin el teorema traba-
jo-energía. Podemos obtener la aceleración de ^F = ma y usar des-
pués las ecuaciones de movimiento con aceleración constante para
obtener v 2 . Como la aceleración es en el eje x,

2X (5000N)cos36.9° - 3500 N

a = a r = =

m 1500 kg

= 0.333 m/s 2
Entonces, con la ecuación (2.13),

vi = í;, 2 + las = (2. 0m/s) 2 + 2(0.333 m/s 2 )(20m)

= 17.3 m 2 /s 2
v 2 = 4.2 m/s

Obtuvimos el mismo resultado con el enfoque de trabajo-energía;
no obstante, ahí evitamos el paso intermedio de calcular la aceleración.
Veremos varios ejemplos mas en este capitulo y en el siguiente que
pueden resolverse sin considerar la energia, aunque son mas fàciles si
lo hacemos. Si un problema puede resolverse con dos métodos distin-
tos, resolverlo con ambos (como hicimos aquí) es una buena forma de

Ejemplo 6.4

Fuerzas sobre un martillo

En un martinete, un martillo de acero con masa de 200 kg se levanta
3.00 m sobre el tope de una viga en forma de I vertical, que se està cla-
vando en el suelo (figura 6.12a). El martillo se suelta, metiendo la vi-
ga-I otros 7.4 cm en el suelo. Los rieles verticales que guían el martillo
ejercen una fuerza de fricción constante de 60 N sobre éste. Use el teo-
rema trabajo-energía para determinar a) la rapidez del martillo justo
antes de golpear la viga-I y b) la fuerza media que el martillo ejerce so-
bre la viga-I. Ignore los efectos del aire.

ES3E3E1

IDENTIFICAR: Usaremos el teorema trabajo-energía para relacionar
la rapidez del martillo en distintos lugares con las fuerzas que actúan
sobre el. Aquí nos interesan tres posiciones: el punto 1, donde el marti-
llo parte del reposo; el punto 2, donde hace contacto primera con la vi-
ga-I; y el punto 3, donde el martillo se detiene (véase la figura 6.12a).

Las dos incógnitas son la rapidez del martillo en el punto 2 y la fuerza
que el martillo ejerce entre los puntos 2 y 3. Entonces, aplicaremos el
teorema trabajo-energía dos veces: una al movimiento del punto 1 al 2,
y otra al movimiento de 2 a 3.

PLANTEAR: La figura 6.12b muestra las fuerzas verticales que actúan
sobre el martillo en caída del punto 1 al punto 2. (Podemos ignorar
cualesquiera fuerzas horizontales que pudieran estar presentes, pues no
efectúan trabajo cuando el martillo se desplaza verticalmente.) En esta
parte del movimiento, la incògnita es la rapidez del martillo v 2 .

La figura 6. 12c muestra las fuerzas verticales que actúan sobre el
martillo durante el movimiento del punto 2 al punto 3. Ademàs de las
fuerzas mostradas en la figura 6.12b, la viga-I ejerce una fuerza nor-
mal hacia arriba de magnitud n sobre el martillo. En realidad, esta
fuerza varia conforme el martillo se va deteniendo; pera por sencillez

continua

190

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

consideraremos n constante. Así n representa el valor medio de esta
fuerza hacia arriba durante el movimiento. La incògnita en esta parte
del movimiento es la fuerza que el martillo ejerce sobre la viga-I; es la
fuerza de reacción a la fuerza normal ejercida por la viga-I, así que por
la tercera ley de Newton su magnitud también es n.

EJECUTAR: a) Del punto 1 al punto 2, las fuerzas verticales son el pe-
so hacia abajo w = mg = (200 kg) (9.8 m/s 2 ) = 1960 N hacia abajo, y
la fuerza de fricción/ = 60 N hacia arriba. La fuerza neta es entonces
w —f= 1900 N. El desplazamiento del martillo del punto 1 al punto 2
es de s n = 3.00 m hacia abajo. El trabajo total sobre el martillo al bajar
del punto 1 al 2 es, entonces,

WlH,

(w -f)s l2 = ( 1900 N) (3.00 m) = 5700 J

En el punto 1, el martillo està en reposo, así que su energia cinètica K }
es cero. De manera que la energia cinètica K 2 en el punto 2 es igual al
trabajo total realizado sobre el martillo entre los puntos 1 y 2:

u r .„

1
K 2 - K, = K 2 - = ~mo} -

* 2

2W hl

2(5700 J)
200 kg

7.55 m/s

Esta es la rapidez del martillo en el punto 2, justo antes de golpear la
viga-I.

b) Mientras el martillo se mueve hacia abajo entre los puntos 2 y 3,
la fuerza neta hacia abajo que actua sobre él es w — f — n (véase la

figura 6.12c). El trabajo total realizado sobre el martillo durante el
desplazamiento es

H'u,

(w - f- n)s 2i

La energia cinètica inicial en esta parte del movimiento es K 2 que, del
inciso a), es igual a 5700 J. La energia cinètica final es K 3 = 0, porque
el martillo se detiene. Entonces, por el teorema trabajo-energía,

Ww = (w -/- n)s n = K 3 - K 2
*3 - K 2

n = w - f-

1960 N - 60 N
79,000 N

J - 5700 J
0.074 m

La fuerza hacia abajo que el martillo ejerce sobre la viga-I tiene esta
misma magnitud, 79,000 N (unas 9 toneladas): mas de 40 veces el pe-
so del martillo.

EVALUAR: El cambio neto en la energia cinètica del martillo del punto
1 al punto 3 es cero; una fuerza neta relativamente pequeíïa efectua tra-
bajo positivo durante una distancia grande, y luego una fuerza neta
mucho mayor realiza trabajo negativo en una distancia mucho mas
corta. Lo mismo sucede si usted acelera un automóvil gradualmente y
choca contra una pared. La fuerza tan grande necesaria para reducir la
energia cinètica a cero en una distancia corta es lo que dana el auto (y
quizàs a usted).

6.12 a) Un martinete clava una viga-I en el suelo. b) Diagramas de cuerpo libre. Las longitudes de los vectores no estan a escala.

a) b) Diagrama de cuerpo c) Diagrama de cuerpo

libre del martillo que cae libre del martillo al
clavar la viga-I

/=60N

w = mg

f= 60 N

Significado de la energia cinètica

El ejemplo 6.4 ilustra el significado físico de la energia cinètica. El martillo se deja
caer del reposo y, al golpear la viga-I, su energia cinètica es igual al trabajo total rea-
lizado hasta ese punto por la fuerza neta. Esto se cumple en general: para acelerar
una partícula de masa m desde el reposo (cero energia cinètica) hasta una rapidez u,

6.2 Energia cinètica y el teorema trabajo-energía

191

el trabajo total efectuado sobre ella debe ser igual al cambio de energia cinètica des-
de hasta K = \mv 2 :

U'„,

K - = K

Así, la energia cinètica de una partícula es igual al trabajo total que se efectuo para
acelerarla desde el reposo hasta su rapidez actual (figura 6.13). La definición
K = jmu 2 , no se eligió al azar: es la única definición que concuerda con esta inter-
pretación de la energia cinètica.

En la segunda parte del ejemplo 6.4, se usó la energia cinètica del martillo para
efectuar trabajo sobre la viga-I y clavaria en el suelo. Esto nos brinda otra interpreta-
ción: la energia cinètica de una partícula es igual al trabajo que puede efectuar una
partícula mientras se detiene. Por ello, hacemos hacia atràs la mano y el brazo cuan-
do atrapamos una pelota. Al detenerse la pelota, realiza una cantidad de trabajo (fuer-
za por distancia) sobre la mano igual a la energia cinètica inicial de la pelota. Al hacer
la mano hacia atràs, aumentamos la distancia donde actua la fuerza y así reducimos la
fuerza ejercida sobre nuestra mano.

6.13 Cuando un jugador de billar golpea
una bola blanca en reposo, la energia
cinètica de la bola después de ser golpeada
es igual al trabajo que el taco efectuo sobre
ella. Cuanto mayor sea la fuerza ejercida
por el taco y mayor sea la distancia que la
bola se mueve mientras està en contacto
con el taco, mayor serà la energia cinètica
de la bola.

Ejemplo conceptual 6.5

Comparación de energías cinéticas

Dos veleros para hielo como el del ejemplo 5.6 (sección 5.2) compiten
en un lago horizontal sin fricción (figura 6.14). Los veleros tienen ma-
sas m y 2m, respectivamente; però sus velas son idénticas, así que el
viento ejerce la misma fuerza constante F sobre cada velero. Los 2 ve-
leros parten del reposo y la meta està a una distancia s. ^,Cuàl velero
cruza la meta con mayor energia cinètica?

EJUEEl

Si usamos la definición matemàtica de energia cinètica, K — %mv ,
[ecuación (6.5)] la respuesta a este problema no es tan evidente. El
velero con masa 2m tiene mayor masa, y podríamos suponer que
alcanza mayor energia cinètica en la línea de meta; no obstante, el
velero màs pequeno de masa m cruza la meta con mayor rapidez, y
podríamos suponer que este velero tiene mayor energia cinètica.
^Cómo decidimos?

La forma correcta de enfocar el problema es recordar que la energia
cinètica de una partícula es igual al trabajo total realizado para ace-
lerarla desde el reposo. Ambos veleros recorren la misma distancia s,
y solo la fuerza F en la dirección del movimiento realiza trabajo so-
bre ellos. Por lo tanto, el trabajo total efectuado entre la salida y la meta
es el mismo para los dos veleros, Wt ot = Fs. En la meta, cada velero tie-
ne una energia cinètica igual al trabajo W m efectuado sobre él, ya que
cada velero partió del reposo. Así, ; ambos veleros tienen la misma
energia cinètica en la meta!

6.14 Carrera entre veleros en el hielo.
F

Salida

Meta

Quizàs el lector piense que se trata de una pregunta "'capciosa",
però no es así. Si usted entiende realmente el significado físico de
cantidades como la energia cinètica, serà capaz de resolver problemas
de física con mayor rapidez y comprensión.

Observe que no necesitamos mencionar el tiempo que cada velero
tardo en llegar a la meta. La razón es que el teorema trabajo-energía no
hace referència directa al tiempo, solo al desplazamiento. De hecho, el
velero de masa m tarda menos tiempo en llegar a la meta, que el velero
màs grande de masa 2m, porque aquél tiene mayor aceleración.

Trabajo y energia cinètica en sistemas compuestos

En esta sección nos hemos cuidado de aplicar el teorema trabajo-energía solo a cuer-
pos que podemos representar como partículas, esto es, como masas puntuales en mo-
vimiento. En los sistemas complejos que deben representarse en términos de muchas
partículas con diferentes movimientos, surgen aspectos màs sutiles que no podemos
ver con detalle en este capitulo. Solo veremos un ejemplo.

192

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

6.1 5 Las fuerzas externas que actúan
sobre un patinador que se empuja de una
pared. El trabajo realizado por estàs
fuerzas es cero, però aun así su energia
cinètica cambia.

Considere a un nifio parado en patines, sin fricción, sobre una superfície horizontal
viendo hacia una pared rígida (figura 6.15). El empuja la pared, poniéndose en movi-
miento hacia la derecha. Sobre el nino actúan su peso w, las fuerzas normales «[ y n 2
hacia arriba ejercidas por el suelo sobre sus patines, y la fuerza horizontal F ejercida
sobre el nino por la pared. No hay desplazamiento vertical, así que í,», y ï 2 no
efectúan trabajo. F es la fuerza que lo acelera a la derecha, però el punto donde se
aplica (las manos del nino) no se mueve, así que F tampoco efectua trabajo. <,De dón-
de proviene entonces la energia cinètica del nino?

El asunto es que simplemente no es correcto representar al nino como una masa
puntual. Para que el movimiento se dé como se describió, diferentes partes del cuerpo
deben tener diferentes movimientos; las manos estan estacionarias contra la pared y
el torso se aleja de esta. Las diversas partes del cuerpo interactúan y una puede ejer-
cer fuerzas y realizar trabajo sobre otra. Por lo tanto, la energia cinètica total de este
sistema de partes corporales compuesto puede cambiar, aunque no realicen trabajo las
fuerzas aplicadas por cuerpos (como la pared) externos al sistema. En el capitulo 8
veremos mas a fondo el movimiento de un conjunto de partículas que interactúan.
Descubriremos que, al igual que en el nino del ejemplo, la energia cinètica total del
sistema puede cambiar aun cuando el exterior no realice trabajo sobre alguna parte
del sistema.

Evalúe su comprensión de la sección 6.2 Clasifiquc los siguientes cuerpos (up)
de acuerdo con su energia cinètica, de menor a mayor. i) un cuerpo de 2.0 kg que se
mueve a 5.0 m/s; ii) Un cuerpo de 1 .0 kg que inicialmente estaba en reposo y que luego
tiene 30 J de trabajo realizado sobre él; iii) un cuerpo de 1.0 kg que inicialmente estaba
movièndose a 4.0 m/s y luego tiene 20 J de trabajo efectuado sobre él; iv) un cuerpo de 2.0 kg
que inicialmente estaba movièndose a 10 m/s y luego hizo 80 J de trabajo sobre otro cuerpo.

6.16 Calculo del trabajo efectuado por
una fuerza variable F x en la dirección x
cuando una partícula se mueve de x, a .t,.

a) La partícula se mueve de x i a x 2 en respuesta
a una fuerza cambiante en la dirección x.

b)

6.3 Trabajo y energia con fuerza variable

Hasta ahora hemos considerado solo trabajo efectuado por fuerzas constantes. Però,
iqaé sucede cuando estiramos un resorte? Cuanto mas lo estiramos, con mas fuerza
debemos tirar, así que la fuerza ejercida no es constante al estirarlo. También anali-
zamos únicamente movimiento rectilíneo. Podemos imaginar muchas situaciones en
las que una fuerza que varia en magnitud, dirección o ambas cosas actua sobre un
cuerpo que sigue una trayectoria curva. Necesitamos poder calcular el trabajo reali-
zado por la fuerza en estos casos mas generales. Por fortuna, veremos que el teorema
trabajo-energía se cumple aun cuando las fuerzas varían y la trayectoria del cuerpo
no es recta.

Gràfica de fuerza en
función de la
posición. •-.,

F x La altura de cada franja

representa la fuerza p ÍL
promedio para p
ese intervalo.
F,-,
F,„

Trabajo efectuado por una fuerza variable,
movimiento rectilíneo

Agreguemos solo una complicación a la vez. Consideremos un movimiento rectilíneo
en el eje x con una fuerza cuya componente x F x varia conforme se mueve el cuerpo.
(Un ejemplo de la vida cotidiana es conducir un automóvil en una carretera recta, però
el conductor està acelerando y frenando constantemente.) Suponga que una partícula
se mueve sobre el eje x de x, a x 2 (figura 6.16a). La figura 6.16b es una gràfica de
la componente x de la fuerza en función de la coordenada x de la partícula. Para deter-
minar el trabajo realizado por esta fuerza, dividimos el desplazamiento total en seg-
mentes pequefios, A.r„, \x b , etcètera (figura 6.16c). Aproximamos el trabajo realizado
por la fuerza en el segmento Ax a como la componente x media de fuerza F m en ese
segmento multiplicada por el desplazamiento A.v„. Hacemos esto para cada segmento
y después sumamos los resultados. El trabajo realizado por la fuerza en el desplaza-
miento total de *! a x 2 es aproximadamente

W

F ax Ax t , + F ix Ax b

6.3 Trabajo y energia con fuerza variable

193

En el límite donde el número de segmentos se hace muy grande y su anchura muy pe-
quena, la suma se convierte en la integral de F x de x t a x 2 :

W

F, dx

(componente x de fuerza variable,
desplazamiento rectilíneo)

(6.7)

Observe que F ax Ax a es el àrea de la primera franja vertical de la figura 6.16c y que la
integral de la ecuación (6.7) representa el àreabajo la curva de la figura 6.16b entre .v,
y x 2 . En una gràfica de fuerza enfunción de posición, el trabajo total realizado por la
fuerza està representado por el àrea bajo la curva entre las posiciones inicial y final.
Otra interpretación de la ecuación (6.7) es que el trabajo W es igual a la fuerza media
que actua en todo el desplazamiento, multiplicada por el desplazamiento.

Si F x , la componente x de la fuerza, es constante puede sacarse de la integral de la
ecuación (6.7):

W ■

F, dx

dx = F t (x 2 — x { )

(fuerza constante)

Però x 2 — Xi = s, el desplazamiento total de la partícula. Así, en el caso de una fuerza
constante F, la ecuación (6.7) indica que W = Fs, lo cual coincide con la ecuación
(6.1). La interpretación del trabajo como el àrea bajo la curva de F x en función de x
también es vàlida para una fuerza constante; W = Fs es el àrea de un rectàngulo de
altura F y anchura s (figura 6.17).

Apliquemos ahora lo aprendido al resorte estirado. Para mantener un resorte esti-
rado una distancia x mas allà de su longitud sin estiramiento, debemos aplicar una
fuerza de igual magnitud en cada extremo (figura 6.18). Si el alargamiento x no es
excesivo, vemos que la fuerza aplicada al extremo derecho tiene una componente x
directamente proporcional a x:

6.17 El trabajo realizado por una fuerza
constante F en la dirección x conforme
una partícula se mueve de ,ï, a x 2 .

El àrea rectangular bajo la línea
representa el trabajo efectuado por
la fuerza constante de magnitud F
*** durante el desplazamiento s:
W = Fs

k.x

(fuerza requerida para estirar un resorte)

(6.8)

donde k es una constante llamada constante de fuerza (o constante de resorte) del re-
sorte. Las unidades de k son fuerza dividida entre distancia, N/m en el SI y lb/ft en
unidades britànicas. Un resorte blando de juguete (como Slinky™) tiene una constan-
te de fuerza de cerca de 1 N/m; para los resortes mucho màs rígidos de la suspensión
de un automóvil, k es del orden de 10 5 N/m. La observación de que el alargamiento
(no excesivo) es proporcional a la fuerza fue hecha por Robert Hooke en 1678 y se
conoce como ley de Hooke; sin embargo, no debería llamarse "ley", pues es una afir-
mación acerca de un dispositivo especifico y no una ley fundamental de la naturaleza.
Los resortes reales no siempre obedecen la ecuación (6.8) con precisión, aunque se
trata de un modelo idealizado útil. Veremos esta ley màs a fondo en el capitulo 1 1 .

Para estirar un resorte, debemos efectuar trabajo. Aplicamos fuerzas iguales y
opuestas a los extremos del resorte y las aumentamos gradualmente. Mantenemos fijo
el extremo izquierdo, así que la fuerza aplicada en este punto no efectua trabajo. La
fuerza en el extremo móvil sí efectua trabajo. La figura 6.19 es una gràfica de F x con-
tra x, el alargamiento del resorte. El trabajo realizado por F x cuando el alargamiento
va de cero a un valor màximo X es

W ■■

F t dx

kx dx

-kX 2

(6.9)

También podemos obtener este resultado gràficamente. El àrea del triàngulo sombrea-
do de la figura 6.19, que representa el trabajo total realizado por la fuerza, es igual a
la mitad del producto de la base y la altura:

W = ^(X)(kX) =hx 2

6.18 La fuerza necesaria para estirar un
resorte ideal es proporcional a su alarga-
miento: F, = kx.

immm

6.19 Calculo del trabajo efectuado para
estirar un resorte una longitud X.

El àrea triangular bajo la línea representa el
trabajo realizado sobre el resorte cuando éste
se estira de x = a un valor màximo X:

194

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

6.20 Calculo del trabajo efectuado para
estirar un resorte desde cierta extensión
hasta una extensión mayor.

a) Estiramiento de un resorte de un alargamiento
x i a un alargamiento x 2

VYVY\S K'VVM

x =

Esta ecuación también indica que el trabajo es la fuerza media kx/2 multiplicada por
el desplazamiento total X. Vemos que el trabajo total es proporcional al Cuadrado del
alargamiento final X. Para estirar un resorte ideal 2 cm, necesitamos efectuar cuatro
veces mas trabajo que para estirarlo 1 cm.

La ecuación (6.9) supone que el resorte no estaba estirado originalmente. Si el re-
sorte ya esta estirado una distancia x lt el trabajo necesario para estirarlo a una distan-
cia mayor x 2 (figura 6.20) es

W

F, dx

kxdx

1

-kxj

1

fa

(6.10)

b) Gràfica de fuerza contra distancia

El àrea trapezoidal bajo la línea representa el
trabajo efectuado sobre el resorte para estirarlo de
x = x, a.v = x-,: W = -rkx-y- — -rkx.

frïn

kx,

,''

=

x =

X

X -

= Xr,

El lector debería utilizar lo que sabé de geometria para convencerse de que el àrea
trapezoidal bajo la línea en la figura 6.20b està dada por la expresión de la ecuación
(6.10).

Si el resorte tiene espacios entre las espiras cuando no està estirado, también pue-
de comprimirse. La ley de Hooke se cumple también para la compresión. En este ca-
so, la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas a las de la figura 6.18,
así que F x y x en la ecuación (6.8) son ambas negativas. Puesto que tanto F x como x se
invierten, de nuevo la fuerza tiene la dirección del desplazamiento y el trabajo reali-
zado por F x otra vez es positivo. El trabajo total sigue siendo el dado por la ecuación
(6.9) o por la (6.10), aun si X es negativo o.ï, o x 2 , o ambos, son negativos.

CU I DADO Trabajo efectuado sobre un resorte contra trabajo efectuado por un resorte

Observe que el trabajo dado por la ecuación (6.10) es el que usted debe efectuar sobre un re-
sorte para alterar su longitud. Por ejemplo, si estira un resorte que originalmente està relajado,
x t = 0, x 2 > y W > 0. Ello se debe a que la fuerza aplicada por usted a un extremo del resorte
tiene la misma dirección que el desplazamiento y a que el trabajo efectuado es positivo. En con-
traste, el trabajo que el resorte efectua sobre el objeto al que se une està dado por el negativo de
la ecuación (6. 10). Por lo tanto, cuando estiramos un resorte, éste efectua trabajo negativo sobre
nosotros. jFíjese bien en el signo del trabajo para evitar confusiones màs adelante!

Ejemplo 6.6

Trabajo sobre una balanza de resorte

Una mujer que pesa 600 N se sube a una bàscula que contiene un re-
sorte rígido (figura 6.21). En equilibrio, el resorte se comprime 1.0 cm
bajo su peso. Calcule la constante de fuerza del resorte y el trabajo to-
tal efectuado sobre él durante la compresión.

EEEH1

IDENTIFICAR: En equilibrio, la fuerza hacia arriba ejercida por el re-
sorte equilibra la fuerza hacia abajo del peso de la mujer. Usaremos es-
te principio y la ecuación (6.8) para determinar la constante de fuerza k,

6.21 Compresión de un resorte en una bàscula de bafio.

Por nuestra elección del eje, tanto la
componente de fuerza como el desplaza-
miento son negativos. El trabajo realizado
sobre el resorte es positivo.

y emplearemos la ecuación (6.10) para calcular el trabajo W que la
mujer efectua sobre el resorte para comprimirlo.

PLANTEAR: Hacemos que los valores positivos de x correspondan al
alargamiento (hacia arriba en la figura 6.21), de modo que tanto el des-
plazamiento del resorte (x) como la componente x de la fuerza que la
mujer ejerce sobre él (F v ) son negativos.

EJECUTAR: La parte superior del resorte se desplaza a; =
—0.010 m y la fuerza que la mujer aplica al resorte es F x
Por la ecuación (6.8), la constante de fuerza es

■1.0 cm =
= -600 N.

-600 N
-0.010 m

6.0 X 10 4 N/n

Entonces, usando x, = y x 2

1,1,

W = -kxi kx?

2 ~ 2

-0.010 m en la ecuación (6.10),

-(6.0 X 10 4 N/m) ( -0.010 m) 2

■ = 3.0 J

EVALUAR: La fuerza aplicada y el desplazamiento del extremo del re-
sorte tuvieron la misma dirección, así que el trabajo efectuado debe
haber sido positivo, tal como lo calculamos. Nuestra selección arbitra-
ria de la dirección positiva no afecta el valor de W obtenido. (Com-
pruébelo haciendo que la dirección +x corresponda a una compresión
(hacia abajo). Obtendrà los mismos valores de k y W.)

6.3 Trabajo y energia con fuerza variable 195

Teorema trabajo-energía para movimiento rectilíneo,
con fuerzas variables

En la sección 6.2 dedujimos el teorema trabajo-energía, W ta = K 2 — K t , para el caso
especifico de movimiento rectilíneo con fuerza neta constante. Ahora podemos de-
mostrar que dicho teorema se cumple aun si la fuerza varia con la posición. Al igual
que en la sección 6.2, consideremos una partícula que sufre un desplazamiento x bajo la
acción de una fuerza neta F con componente x, que ahora permitimos variar. Como en
la figura 6.16, dividimos el desplazamiento total en muchos segmentos pequefíos Ax.
Podemos aplicar el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6), a cada segmento porque
el valor de F x es aproximadamente constante en cada uno. El cambio de energia cinè-
tica en el segmento Ar„ es igual al trabajo F a òa a , y así sucesivamente. El cambio total
de la energia cinètica es la suma de los cambios en los segmentos individuales y, por
lo tanto, igual al trabajo total efectuado sobre la partícula en todo el desplazamiento.
Así, W m — &K se cumple para fuerzas variables y también para fuerzas constantes.

Veamos una deducción alternativa del teorema trabajo-energía para una fuerza que
varia con la posición, la cual implica hacer un cambio de variable usando v x en vez de
x en la integral de trabajo. Para ello, recordamos que la aceleración a de una partícula
puede expresarse de varias formas. Usando a x = dvjdt, v x = dx/dt y la regla de la ca-

dv, dv K dx dv,

a x = = — = v x — - (6.11)

dt dx dt dx

Con este resultado, la ecuación (6.7) nos dice que el trabajo total efectuado por la
fuerza neta F x es

("' í' ! f' dv,

W m = F x dx = ma x dx= mv x — dx (6.12)

Ahora, (dujdx) dx es el cambio de velocidad dv x durante el desplazamiento dx, así
que podemos sustituir dv x por (dvjdx) dx en la ecuación (6. 12). Esto cambia la varia-
ble de integración de x a v x , así que cambiamos los limites de x, y x 2 a las velocidades
correspondienr.es u, y u 2 en esos puntos. Esto nos da

W tot = mv x dv x

Vi

La integral de v x dv x es v x ~/2. Sustituyendo los limites, tenemos finalmente

1,1,

W tM = -mv 2 - - -mvf (6.13)

Esta es la ecuación (6.6). Por lo tanto, el teorema trabajo-energía es valido aun sin el
supuesto de que la fuerza neta es constante.

Ejemplo 6.7

Movimiento con fuerza variable

Un deslizador de ríel de aire con masa de 0.100 kg se conecta al ex- lo 2 al resolver este problema. En cambio, emplearemos el teorema

tremo del riel horizontal con un resorte cuya constante de fuerza es trabajo-energía, en el que interviene la distancia recorrida (nuestra in-

20.0 N/m (figura 6.22a). Iniciahnente, el resorte no està estirado y cógnita) a través de la ecuación para el trabajo.
el deslizador se mueve con rapidez de 1.50 m/s a la derecha. Calcule

la distancia màxima d que el deslizador se mueve a la derecha, a) si el PLANTEAR: En las figuras 6.22b y 6.22c, elegimos la dirección +x

riel està activado, de modo que no hay fricción; y b) si se corta el su- a la derecha (la dirección del movimiento del deslizador), con x =

ministro de aire al riel, de modo que hay fricción cinètica con coefi- en la posición inicial del deslizador (donde el resorte està relajado) y

ciente fi k = 0.47. x = d (la incògnita) en la posición donde se detiene el deslizador. En

■■_ ambos casos, el movimiento es exclusivamente horizontal, así que solo

■■ las fuerzas horizontales realizan trabajo. Cabé sehalar que la ecuación

IDENTIFICAR: La fuerza ejercida por el resorte no es constante, así (6.10) da el trabajo efectuado sobre el resorte al estirarse; no obstante,

que no podemos usar las fórmulas de aceleración constante del capítu- si queremos usar el teorema trabajo-energía necesitaremos el trabajo

continua

E

196

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

6.22 a) Deslizador sujeto a un riel de aire con un resorte. b) y c)
Diagrama de cuerpo libre.

a)

b) Diagrama de cuerpo libre
para el deslizador sin fricción

c) Diagrama de cuerpo libre
para el deslizador con fricción
cinètica

y

iresorte

fi.

^w = mg

^w = mg

efectuado por el resorte sobre el deslizador, es decir, el negativo de
la ecuación (6.10).

EJECUTAR: a) Al moverse de x, = a x 2 = d, el deslizador efectua
sobre el resorte un trabajo dado por la ecuación (6.10): W =
\kd 2 — {-k(O) 2 = \kd 2 . El resorte efectua sobre el deslizador un tra-
bajo igual però negativo: — {kd 2 . El resorte se estira hasta que el desli-
zador se detiene momentàneamente, así que la energia cinètica final
del deslizador es K 2 = 0. Su energia cinètica inicial es \mv 2 , donde
v x = 1.50 m/s es la rapidez inicial del deslizador. Usando el teorema
trabajo-energfa, tenemos

1

-kd 1 =

1

Despejamos la distancia d que recorre el deslizador:

d =

= 0.106 m = 10.6 cm

0.100 kg

(1.50 m/s),/ —

V 20.0 N/m

Después, el resorte estirado tira del deslizador hacia la izquierda, así
que éste solo està en reposo momentàneamente.

b) Si se apaga el aire, debemos incluir el trabajo efectuado por la
fuerza de fricción cinètica constante. La fuerza normal n es igual en
magnitud al peso del deslizador, ya que el riel es horizontal y no hay
otras fuerzas verticales. La magnitud de la fuerza de fricción cinètica
es, entonces, / k = p k n = fji^mg dirigida opuesta al desplazamiento, y
el trabajo que efectua es

Wfric = / k úícosl80 o

~Ad = -p t mgd

El trabajo total es la suma de Wmc J e l trabajo realizado por el resorte,
— \ kd 2 . Por lo tanto, el teorema trabajo energia indica que

1 , 1

-p. k mgd - -kd~ = - -mv{

- (0.47) (0.100 kg) (9.8 m/s 2 )íí - -(20.0N/m)rf 2

(0.100 kg) (1.50 m/s) 2

(10.0N/m)í/ 2 + (0.461 N)d - (0.113 N-m) =
Esta es una ecuación cuadràtica en d. Las soluciones son

-(0.461 N) ± V( 0.461 N) 2 - 4( 10.0 N/m) ( -0.113 N ■ m)

d =

2(10.0 N/m)

= 0.086 m o -0.132 m

Usamos d para representar un desplazamiento positivo, así que solo
tiene sentido el valor positivo de d. Así, con fricción, el deslizador se
mueve una distancia

d = 0.086 m = 8.6 cm

EVALUAR: Con fricción, son menores el desplazamiento del desliza-
dor y el estiramiento del resorte, como esperàbamos. Una vez màs, el
deslizador se detiene momentàneamente y de nuevo el resorte tira de
él hacia la izquierda; que se mueva o no dependerà de la magnitud
de la fuerza de fricción estàtica. ( ",Qué valor debería tener el coeficien-
te de fricción estàtica /x s para evitar que el deslizador regrese a la
izquierda?

Teorema trabajo-energía para movimientos
en una curva

Podemos generalizar nuestra definición de trabajo para incluir una fuerza que varia
en dirección, no solo en magnitud, con un desplazamiento curvo. Suponga que una
partícula se mueve de P, a P 2 siguiendo una curva, como se muestra en la figura
6.23a. Dividimos la curva entre esos puntos en muchos desplazamientos vectoria-
les infinitesimales, siendo dl uno representativo. Cada dl es tangente a la trayec-
toria en su posición. Sea F la fuerza en un punto representativo de la trayectoria,
y sea <f> el àngulo entre F y dl en ese punto. De manera que el elemento pequeno
de trabajo dW realizado sobre la partícula durante el desplazamiento dl puede
escribirse como

dW = Fcos<p dl = F,dl = F- dl

6.3 Trabajo y energia con fuerza variable

197

donde F n = Fcoacf) es la componente de F en la dirección paralela a dl (figura
6.23b). El trabajo total realizado por F sobre la partícula al moverse de P t a P 2 es,
entonces,

W

Fcos<f> dl

F.dl

''^ ^ (trabajo en una
*" ' trayectoria curva) (6.14)

Ahora podemos demostrar que el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6), cum-
ple aún con fuerzas variables y desplazamiento en una trayectoria curva. La fuerza F
es pràcticamente constante en cualquier segmento infinitesimal dl de la trayectoria,
así que podemos aplicar el teorema trabajo-energía para movimiento rectilíneo a ese
segmento. Entonces, el cambio de energia cinètica de la partícula en ese segmento,
K, es igual al trabajo dW = F, dl = F • dl realizado sobre la partícula. La suma de
estos trabajos infinitesimales de todos los segmentes de la trayectoria nos da el tra-
bajo total realizado, ecuación (6.14), que es igual al cambio total de energia cinètica
en toda la trayectoria. Por lo tanto, W M = AK = K 2 — K t se cumple en general, sea
cual fuere la trayectoria y el caràcter de las fuerzas. Esto puede demostrarse con ma-
yor rigor usando pasos como los de las ecuaciones (6. 1 1 ) a (6. 1 3) (véase el problema
de desafio 6.104).

Observe que solo la componente de la fuerza neta paralela a la trayectoria, F,,
realiza trabajo sobre la partícula, así que solo dicha componente puede cambiar la
rapidez y la energia cinètica de la partícula. La componente perpendicular a la tra-
yectoria, F x = Fsen cf>, no afecta la rapidez de la partícula; solo cambia su dirección.

La integral de la ecuación (6.14) es una integral de llnea. Para evaluar la integral
en un problema especifico, necesitamos una descripción detallada de la trayectoria y
de cómo F varia a lo largo de esta. Normalmente expresamos la integral de línea en
términos de alguna variable escalar, como en el ejemplo que sigue.

6.23 Una partícula sigue una trayectoria
curva de P, a P 2 bajo la acción de una
fuerza F que varia en magnitud y
dirección.

a)

1\
•■->-.

En un desplazamiento infinitesimal dl,
la fuerza F realiza trabajo dW sobre la
partícula:

dW = F'dí= F cas \$ dl

b)

l'i

Tan solo la componente de F paralela al
desplazamiento, F,, = F cos <£, contribuye
al trabajo efectuado por F.

Ejemplo 6.8

Movimiento en una trayectoria curva 1

En un dia de campo familiar, le piden a usted empujar a su odioso pri-
mo Morton en un columpio (figura 6.24a). El peso de Morton es w, la
longitud de las cadenas es R, y usted lo empuja hasta que las cadenas
forman un àngulo 6 Q con la vertical. Para ello, usted ejerce una fuerza
horizontal variable F que comienza en cero y aumenta gradualmente
apenas lo suficiente para que Morton y el columpio se muevan lenta-
mente y permanezcan casi en equilibrio. iQué trabajo total realizan to-
das las fuerzas sobre Morton? <,Qué trabajo realiza la tensión T en las
cadenas? íQué trabajo efectua usted aplicando la fuerza FI (Ignore el
peso de las cadenas y el asiento.)

EI

1

IDENTIFICAR: El movimiento sigue una curva, así que usaremos la
ecuación (6.14) para calcular el trabajo efectuado por la fuerza neta,
por la fuerza de tensión y por la fuerza F.

PLANTEAR: La figura 6.24b muestra el diagrama de cuerpo libre y el
sistema de coordenadas. Sustituimos las dos tensiones de las cadenas
por una sola tensión, T.

EJECUTAR: Hay dos formas de obtener el trabajo total efectuado du-
rante el movimiento: 1 . calculando el trabajo efectuado por cada fuerza
y sumando después las cantidades de esos trabajos, y 2. calculando el
trabajo efectuado por la fuerza neta. La segunda estratègia es mucho
mas fàcil. Puesto que en esta situación Morton està siempre en equili-
brio, la fuerza neta sobre él es cero, la integral de la fuerza neta de la
ecuación (6.14) es cero y el trabajo total realizado sobre él por todas
las fuerzas es cero.

6.24 a) Empujando al primo Morton en un columpio.
b) Diagrama de cuerpo libre.

a)

b) Diagrama de cuerpo libre
de Morton (se desprecia el
peso de las cadenas y del
asiento)

y

•i

También es fàcil calcular el trabajo efectuado sobre Morton por la
tensión de las cadenas, porque esta fuerza es perpendicular a la direc-
ción del movimiento en todos los puntos de la trayectoria. Por lo tanto,
en todos los puntos, el àngulo entre la tensión de la cadena y el vector
de desplazamiento dl es 90°, en tanto que el producto escalar de la
ecuación (6.14) es cero. De esta manera, el trabajo realizado por la ten-
sión de la cadena es cero.

198

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

Para calcular el trabajo realizado por F, debemos averiguar cómo
esta fuerza varia con el àngulo 9. La fuerza neta sobre Morton es cera,
así que 2F V = y ^F v = 0. De la figura 6.24b obtenemos

2X = F + (-T'sentí) =
2^v = TcosQ + (-w) =
Eliminando l'de estàs dos ecuaciones:

F = wtan0

El punto donde se aplica F describe el arco s, cuya longitud s es
igual al radio R de la trayectoria circular multiplicado por su longitud 9
(en radianes): s = R9. Por lo tanto, el desplazamiento dl que corres-
ponde al pequeno cambio de àngulo d\$ tiene magnitud dl = ds = R dd.
El trabajo efectuado por F es

W

]f.di = \

Fcos 9 ds

Expresando ahora todo en téïminos del àngulo 8, cuyo valor se incre-
menta de a \$ :

W=\ (wtand) cosO (R d6) = wR\ sen9 d9

= wR(l - cos0 o )

EVALUAR: Si D = 0, no hay desplazamiento; en tal caso, cos 9 = 1
y W = 0, como esperàbamos. Si 9 G = 90°, entonces, cos 6 = y
W = wR. Aquí el trabajo que usted realiza es el mismo que efectuaria
si levantara a Morton verticalmente una distancia R con una fuerza
igual a su peso w. De hecho, la cantidad R(\ — cos O ) es el aumento en
su altura sobre el suelo durante el desplazamiento, por lo que, para
cualquier valor de Q , el trabajo efectuado por F es el cambio de altura
multiplicado por el peso. Este es un ejemplo de un resultado màs ge-
neral que demostraremos en la sección 7.1.

Ejemplo 6.9

Movimiento en una trayectoria curva II

En el ejemplo 6.8, el desplazamiento infinitesimal dl (figura 6.24a)
tiene magnitud ds, su componente x es ds cos 9 y su componente y
es ds sen 9. Por lo tanto, dl = ï ds cos 6 + j dssend. Use esta expre-
sión y la ecuación (6.14) para calcular el trabajo efectuado durante el
movimiento por la tensión de la cadena, por la fuerza de gravedad y
por la fuerza F.

EEEH1

IDENTIFICAR: De nuevo utilizamos la ecuación (6.14), utilizando la
ecuación (1.21) para obtener el producto escalar en términos de com-
ponentes.

PLANTEAR: Usamos el mismo diagrama de cuerpo libre del ejemplo
6.8 (figura 6.24b).

EJECUTAR: La figura 6.24b nos indica que podemos escribir las tres
fuerzas en términos de vectores unitarios:

f = t(-TsenO) + jT cos 9

w =j{— w)

F = ÏF

Para utilizar la ecuación (6.14), tenemos que calcular el producto es-
calar de cada una de estàs fuerzas con dl. Usando la ecuación (1.21),

f'dt = (-Tsend) (ds cosd) + (Tcos6)(dssen9) =

w*dl = (— w) (dssenB) = —wscnOds

F'dt = F(dscosú) = Fcos9ds

Puesto que T' dl = 0, la integral de esta cantidad es cero y el trabajo
efectuado por la tensión de la cadena es cero (tal como vimos en el
ejemplo 6.8). Utilizando ds = Rd9 como en el ejemplo 6.8, el trabajo
efectuado por la fuerza de gravedad es

\w'dï= \ (- w senB) RdO = -wR\ sentf
= -wR{\ - cos9 )

dtí

El trabajo efectuado por la gravedad es negativo porque la gravedad ti-
ra hacia abajo mientras Morton se mueve hacia arriba. Por ultimo, el
trabajo efectuado por la fuerza F es la integral JF * dl = \$Fcos9 ds,
que calculamos en el ejemplo 6.8; la respuestaes +wR(\ — cos0 o ).

EVALUAR: Como comprobación de las respuestas, vemos que la suma
de las tres cantidades de trabajo es cero. Esto es lo que concluimos en
el ejemplo 6.8 empleando el teorema trabajo-energía.

El método de componentes suele ser la forma màs còmoda de
calcular productos escalares. jUselo cuando facilite las cosas!

Evalúe su comprensión de la sección 6.3 En el ejemplo 5.21 (sección 5.4), (MP)
analizamos un péndulo cónico. La rapidez de la lenteja del péndulo permanece
constante mientras viaja por el circulo que se muestra en la figura 5.32a. a) En un circulo
completo, ^cuànto trabajo ejerce la fuerza de tensión F sobre la lenteja? i) una cantidad positi-
va; ii) una cantidad negativa; iii) cero. b) En un circulo completo, ^cuànto trabajo ejerce el pe
so sobre la lenteja? i) una cantidad positiva; ii) una cantidad negativa; iii) cero.

6.4 Potencia

199

6.4 Potencia

La definición de trabajo no menciona el paso del tiempo. Si usted levanta una barra que
pesa 100 N a una distancia vertical de 1.0 m con velocidad constante, realiza (100 N)
(1.0 m) = 100 J de trabajo, ya sea que tarde 1 segundo, 1 hora o 1 ano. No obstante,
muchas veces necesitamos saber con qué rapidez se efectua trabajo. Describimos esto
en términos de potencia. En el habla cotidiana, "potencia" suele emplearse como si-
nónimo de "energia" o "fuerza". En física usamos una definición mucho mas precisa:
potencia es la rapidez con que se efectua trabajo; al igual que el trabajo y la energia,
la potencia es una cantidad escalar.

Si se realiza un trabajo AW en un intervalo At, el trabajo medio efectuado por uni-
dad de tiempo o potencia media P mcd se define como

AW
~A7

(potencia media)

(6.15)

La rapidez con que se efectua trabajo quizà no sea constante. Podemos definir la po-
tencia instantànea P como el cociente de la ecuación (6.15) cuando Ai se aproxima a
cero:

AW

riW

hm =

a/^o A r

dt

(potencia instantànea)

(6.16)

En el SI la unidad de potencia es el watt (W), llamada así por el inventor inglés Ja-
mes Watt. Un watt es igual a un joule por segundo: 1 W = 1 J/s (figura 6.25). Tam-
bién son de uso común el kilowatt (1 kW = 10 3 W) y el megawatt (1 MW = 10 6 W).
En el sistema britanico, el trabajo se expresa en pie-libras, y la unidad de potencia es
el pie-libra por segundo. También se usa una unidad mayor, el caballo de potencia
(hp) (figura 6.26):

1 hp = 550 ft • lb/s = 33,000 ft ■ lb/min

Es decir, un motor de 1 hp que trabaja con carga completa realiza 33,000 ft ■ lb de tra-
bajo cada minuto. Un factor de conversión útil es

1 hp = 746 W = 0.746 kW

El watt es una unidad común de potencia elèctrica; una bombilla elèctrica de 100 W
convierte 100 J de energia elèctrica en luz y calor cada segundo. Sin embargo, los
watts no son inherentemente eléctricos. Una bombilla podria especificarse en térmi-
nos de caballos de potencia; mientras que algunos fabricantes de automóviles especi-
fican sus motores en términos de kilowatts.

El kilowatt-hora (kW ■ h) es la unidad comercial usual de energia elèctrica. Un
kilowatt-hora es el trabajo total realizado en 1 hora (3600 s) cuando la potencia es
1 kilowatt (10 3 J/s), así que

1 kW ■ h = ( 10 3 J/s) (3600 s) = 3.6 X 10 6 J = 3.6 MJ

El kilowatt-hora es una unidad de trabajo o energia, no de potencia.

En mecànica, también podemos expresar la potencia en términos de fuerza y velo-
cidad. Suponga que una fuerza F actua sobre un cuerpo que tiene un desplazamiento
Aï. Si F, es la componente de F tangente a la trayectoria (paralela a A?), el trabajo
realizado por la fuerza es Alf = F„As, y la potencia media es

F,As

As
At Af

F,v„

(6.17)

La potencia instantànea P es el límite de esta expresión cuando Aí — > 0:

P = F,v (6.18)

6.25 La misma cantidad de trabajo se
efectua en ambas situaciones, però la
potencia (la rapidez a la que se realiza
el trabajo) es diferente.

t = 5s

Trabajo que efectua usted
sobre la caja para levantarla
en 5 s:

W = 100 J
Su rendimiento de potencia:
p = W_ = 100J

t 5s

20 W

Trabajo que efectua usted
sobre la misma caja para
levantarla a la misma
distancia en 1 s:

W= 100 J
Su rendimiento de potencia:
p _ W_ _ 100 J

t ~ 1 s

100 w

6.26 El valor del caballo de potencia se
dedujo de los experimentos de James Watt,
quien midió que un caballo podria hacer
33,000 pies-libra de trabajo por minuto, al
levantar carbón de una mina abierta.

200

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

donde v es la magnitud de la velocidad instantànea. También podemos expresar la
ecuación (6.18) en términos del producto escalar:

F-v

(rapidez instantànea con que la fuerza F realiza trabajo rç jgj
sobre una partícula)

Ejemplo 6.10

Fuerza y potencia

Cada uno de los dos motores a reacción de un avión Boeing 767 desa-
rrolla un empuje (fuerza hacia adelante sobre el avión) de 197,000 N
(44,300 lb). Cuando el avión està volando a 250 m/s (900 km/h o
aproximadamente 560 mi7h), ^.cuàntos caballos de potencia desarrolla

EI

oj

IDENTIFICAR: La incògnita es la potencia instantànea P, que es la ra-
pidez con que el empuje efectua trabajo.

PLANTEAR: Usamos la ecuación (6.18). El empuje tiene la dirección
del movimiento, así que F, es simplemente igual al empuje.

EJECUTAR: Con v = 250 m/s, cada motor desarrolla una potencia:

P = F||ü = ( 1.97 X 10 5 N) (250 m/s) = 4.93 X 10 7 W

(4.93 X 10 7 W)

lhp

746 W

66,000 hp

EVALUAR: La rapidez de los aviones comerciales modernos depende
directamente de la potencia de los motores (figura 6.27). Los motores
mas grandes de los aviones de hèlice de la dècada de 1950 desarrolla-
ban aproximadamente 3400 hp (2.5 X 10 6 W) y tenían rapideces màxi-
mas del orden de 600 km/h (370 mi/h). La potencia de cada motor de
un Boeing 767 es casi 20 veces mayor, y permite al avión volar a cerca
de 900 km/h (560 mi/h) y llevar una carga mucho màs pesada.

Si los motores estan produciendo el empuje màximo mientras el
avión està en reposo en tierra, de manera que v — 0, la potencia desa-
rrollada por los motores es cero. ; Fuerza y potencia no son lo mismo!

6.27 a) Avión impulsado por hèlice y b) avión con motor
a reacción.

a)

b)

Ejemplo 6.11

Un "potente ascenso"

Una maratonista de 50.0 kg sube corriendo las escaleras de la Torre
Sears de Chicago de 443 m de altura, el edificio màs alto de Estados
Unidos (figura 6.28). i,Qué potencia media en watts desarrolla si llega a
la azotea en 15.0 minutos? (,En kilowatts? ^Y en caballos de potencia?

EI

«I

IDENTIFICAR: Trataremos a la corredora como una partícula de
masa m. La potencia media que desarrolla P med debe ser suficiente
para subirla a una rapidez constante contra la gravedad.

PLANTEAR: Podemos calcular P med que desarrolla de dos maneras:
1. determinando primero cuànto trabajo debe efectuar y dividiendo
luego ese trabajo entre el tiempo transcurrido, como en la ecuación
(6.15); o bien, 2. calculando la fuerza media hacia arriba que la co-
rredora debe ejercer (en la dirección del ascenso) y multiplicàndola
después por su velocidad hacia arriba, como en la ecuación (6.17).

EJECUTAR: Como en el ejemplo 6.8, para levantar una masa m contra
la gravedad se requiere una cantidad de trabajo igual al peso mg multi-
plicado por la altura h que se levanta. Por lo tanto, el trabajo que la co-
rredora debe efectuar es

W = mgh = (50.0 kg) (9.80 m/s 2 ) (443 m)
= 2.17 X 10 5 J

6.28 ^Cuànta potencia se necesita para subir corriendo las escale-
ras de la Torre Sears de Chicago en 15 minutos?

6.4 Potencia

201

El tiempo es 15.0 min = 900 s, así que, por la ecuación (6.15), la po-
tencia media es

2.17 X 10 5 J
900 s

241 W = 0.241 kW = 0.323 hp

Intentemos ahora los càlculos empleando la ecuación (6.17). La
fuerza ejercida es vertical, y la componente vertical media de la veloci-
dad es (443 m)/(900 s) = 0.492 m/s, así que la potencia media es

Pmeà = -Fll^med = (mg)v med

= (50.0 kg) (9.80 m/s 2 ) (0.492 m/s) = 241 W
que es el mismo resultado de antes.

EVALUAR: La potencia total desarrollada por la corredora serà mu-
chas veces mas que 241 W, porque ella no es una partícula, sinó un
conjunto de partes que ejercen fuerzas unas sobre otras y realizan
trabajo, como el necesario para inhalar y exhalar y oscilar piernas y
brazos. Lo que calculamos es solo la parte de su gasto de potencia
que se invierte en subirla a la azotea del edificio.

@

Evalúe SU comprensíón de la sección 6.4 El aire que circunda un avión en
pleno vuelo ejerce una fuerza de arrastre que actua de manera opuesta al movimiento
del avión. Cuando el Boeing 767 del ejemplo 6.10 vuela en línea recta a una altura constante
a 250 m/s constantes, ^,cuàl es la tasa con que la fuerza de arrastre efectua trabajo sobre él?
i) 132,000 hp; ii) 66,000 hp; iii) 0; iv) -66,000 hp; v) - 132,000 hp.

CAPÍTULO 6 RESUMEN

Trabajo efectuado por una fuerza: Cuando una fucrza
constante F actua sobre una partícula que sufre un despla-
zamiento rectilíneo ~s, el trabajo realizado por la fuerza
sobre la partícula se define como el producto escalar
de F y s. La unidad de trabajo en el SI es 1 joule = 1
newton-metro (1 J = IN- m). El trabajo es una cantidad
escalar, ya que puede ser positivo o negativo, però no tiene
dirección en el espacio. (Véanse los ejemplos 6.1 y 6.2.)

W = F*~s = Fscos<}>
4> = àngulo entre Fy?

(6.2), (6.3)

td£.:r

(F cos <f>)s

Energia cinètica: La energia cinètica K de una partícula
es igual a la cantidad de trabajo necesario para acelerarla
desde el reposo hasta la rapidez v. También es igual al
trabajo que la partícula puede efectuar en el proceso de
detenerse. La energia cinètica es una cantidad escalar
sin dirección en el espacio; siempre es positiva o cero,
y sus unidades son las mismas que las del trabajo:
1 J = 1 N ■ m = 1 kg ■ m 2 /s 2 .

1 ,
K = —mv
2

(6.5)

Al aumentar m al doble se duplica K.

2v

v al doble se cuadruplica K.

El teorema trabajo-energía: Cuando actúan fuerzas sobre
una partícula mientras sufre un desplazamiento, la energia
cinètica de la partícula cambia en una cantidad igual al
trabajo total realizado sobre ella por todas las fuerzas.
Esta relación, llamada teorema trabajo-energía, es vàlida
para fuerzas tanto constantes como variables, y para
trayectorias tanto rectas como curvas de la partícula;
sin embargo, solo es aplicable a cuerpos que pueden
tratarse como partículas. (Véanse los ejemplos 6.3 a 6.5.)

Wtat = K 2 - K,= AK

(6.6)

W tot = trabajo total efectuado

V sobre la partícula en la trayectoria.

K, = —mv(

\

K 2 = \mv 2 ~ = K X + W í0

Trabajo efectuado por una fuerza variable o en una
trayectoria curva: Si la fuerza varia durante un desplaza-
miento rectilíneo, el trabajo que realiza està dado por una
integral [ecuación (6.7)]. (Véanse los ejemplos 6.6 y 6.7.)
Si la partícula tiene una trayectoria curva, el trabajo
efectuado por una fuerza F està dado por una integral en
la que interviene el àngulo 4> entre la fuerza y el desplaza-
miento. Esta expresión es vàlida aun cuando la magnitud
de la fuerza y el àngulo ^ varían durante el desplazamiento.
(Véanse los ejemplos 6.8 y 6.9.)

W = F x dx

W = Fcos(f>dl = F {l dl

•V, -V

(6.7)

(6.14)

F-dl

>--

Àrea = trabajo efectuado
por la fuerza durante
el desplazamiento.

-g

Potencia: La potencia es la rapidez con que se efectua
trabajo. La potencia media P med es la cantidad de trabajo
AWrealizada en un tiempo Ai dividida entre ese tiempo.
La potencia instantànea es el límite de la potencia media
cuando Af se acerca a cero. Cuando una fuerza F actua
sobre una partícula que se mueve con velocidad v, la
potencia instantànea (rapidez con que la fuerza efectua
trabajo) es el producto escalar de F y v. Al igual que
el trabajo y la energia cinètica, la potencia es una cantidad
escalar. Su unidad en el SI es 1 watt = 1 joule/segundo
(1 W = 1 J/s). (Véanse los ejemplos 6.10 y 6.11.)

AW
~AÍ

AW dW
P = lím =

^o At dt

F'd

(6.15)

(6.16)

(6.19)

í=5s

Trabajo que usted
efectua sobre la caja
para levantarla en 5 s:

W= 100 J
Su potencia producida:
p _ W_ _ 100 J
t ~ 5 s
= 20 W

202

Preguntas para anàlisis

203

Términos clave

trabajo, 182

joule, 182

energia cinètica, 187

teorema trabajo- energia, 187

constante de fuerza, 193
ley de Hooke, 193
potencia, 799
potencia media, 199

potencia instantànea, 199
watt, 199

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo i

Es verdad que el proyectil efectua trabajo sobre los gases. Sin em-
bargo, dado que el proyectil ejerce una fuerza hacia atràs sobre los
gases, mientras los gases y el proyectil se mueven hacia delante por
el canón, el trabajo efectuado por el proyectil es negativo. (Véase la
sección 6.1.)

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

6.1 Respuesta: iii) El electrón tiene velocidad constante, por lo que
su aceleración es cero y (por la segunda ley de Newton), la fuerza neta
sobre el electrón también es cero. De esta manera, el trabajo total efec-
tuado por todas las fuerzas (igual al trabajo realizado por la fuerza ne-
ta) también debe ser cero. Las fuerzas individuales pueden efectuar
trabajo diferente de cero, però ésa no es la cuestión que se pregunta.

6.2 Respuesta: iv), i), iii), ii) El cuerpo i) tiene energia cinètica
K = \mxr = 2(2.0 kg) (5.0 m/s) 2 = 25 J. El cuerpo ii) tiene ini-
cialmente energia cinètica cero y después tiene 30 J de trabajo rea-
lizado sobre él, de manera que su energia cinètica final es
K 2 = K } + W = + 30 J = 30 J. El cuerpo iii) tenia energia cinè-
tica inicial À'l = \mV\ = |( 1.0 kg) (4.0 m/s) 2 = 8.0 J y luego tenia
20 J de trabajo realizado sobre él, por lo que su energia cinètica es

K 2 = K x + W = 8.0 J + 20 J = 28 J. El cuerpo iv) tenia inicialmente
energia cinètica K { = I/íií; 2 = ^(2.0 kg) ( 10 m/s) 2 = 100 J; cuando
efectuo 80 J de trabajo sobre otro cuerpo, éste realizó — 80 J de trabajo
sobre el cuerpo iv), así que la energia cinètica final del cuerpo iv) es
K 2 =K { + W= 100 J + (-80J) = 20 J.

6.3 Respuestas: a) iii), b) iii) En cualquier instante del movimiento
de la lenteja del péndulo, tanto la fuerza de tensión como el peso ac-
túan de forma perpendicular al movimiento, es decir, perpendicular a
un desplazamiento infinitesimal dl de la lenteja. (En la figura 5.32b,
el desplazamiento dl estaria dirigido hacia fuera del plano del diagra-
ma de cuerpo libre.) Por lo tanto, para cualquier fuerza el producto es-
calar dentro de la integral de la ecuación (6.14) es F* dl = 0, y el
trabajo realizado en cualquier parte de la trayectoria circular (inclu-
yendo un circulo completo) es W = JF * dl = 0.

6.4 Respuesta: v) El avión tiene una velocidad horizontal constan-
te, así que la fuerza horizontal neta sobre él debe ser cero. Entonces,
la fuerza de arrastre hacia atràs debe tener la misma magnitud que la
fuerza hacia delante debida al empuje combinado de los dos motores.
Esto significa que la fuerza de arrastre debe efectuar trabajo negativo
sobre el avión con la misma tasa con que la fuerza de empuje combi-
nada realiza trabajo positiva. El empuje combinado efectua trabajo a
una tasa de 2(66,000 hp) — 132,000 hp, por lo que la fuerza de arras-
tre debe realizar trabajo a una tasa de — 132,000 hp.

PROBLEMAS

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Preguntas para anàlisis

P6.1. El signo de muchas cantidades físicas depende de la elección de
las coordenadas. Por ejemplo, el valor de g puede ser negativo o positi-
vo, según si elegimos como positiva la dirección hacia arriba o hacia
abajo. ^Lo mismo es valido para el trabajo? En otras palabras, <^pode-
mos hacer negativo el trabajo positivo con una elección diferente de
las coordenadas? Explique su respuesta.

P6.2. Un elevador es subido por sus cables con rapidez constante. <,E1
trabajo realizado sobre él es positivo, negativo o cero? Explique.
P6.3. Se tira de una cuerda atada a un cuerpo y éste se acelera. Según
la tercera ley de Newton, el cuerpo tira de la cuerda con una fuerza
igual y opuesta. Entonces, ^el trabajo total realizado es cero? Si así
es, £cómo puede cambiar la energia cinètica del cuerpo? Explique su
respuesta.

P6.4. Si se requiere un trabajo total W para darle a un objeto una rapi-
dez V y una energia cinètica K, partiendo del reposo, ^cuàles seran la
rapidez (en términos de v) y la energia cinètica (en términos de K) del
objeto, si efectuamos el doble de trabajo sobre él partiendo del reposo
de nuevo?

P6.5. Si hubiera una fuerza neta distinta de cero sobre un objeto en
movimiento, £el trabajo total realizado sobre él podria ser cero? Expli-
que, ilustrando su respuesta con un ejemplo.

P6.6. En el ejemplo 5.5 (sección 5.1), compare el trabajo realizado so-
bre la cubeta por la tensión del cable y el trabajo realizado sobre el ca-
rro por dicha tensión.

P6.7. En el péndulo cónico del ejemplo 5.21 (sección 5.4), i,qué fuerza
realiza trabajo sobre la lenteja conforme esta gira?

Figura 6.29
Pregunta P6.f

a)

P6.8. En los casos que se muestran en la fi-
gura 6.29, el objeto se suelta desde el reposo
en la parte superior y no sufre fricción ni re-
sistència del aire. ^En cuàl situación, si aca-
so, la masa tendra i) la mayor rapidez en la
parte de inferior y ii) el mayor trabajo efec-
tuado sobre ella en el tiempo que tarda en
llegar a la parte inferior?
P6.9. Una fuerza F sobre el eje x tiene mag-
nitud que depende de a\ Dibuje una posible
gràfica de F contra x tal que la fuerza no rea-
lice trabajo sobre un objeto que se mueve de
Xx a x 2 , aunque la magnitud de la fuerza nun-
ca sea cero en este intervalo.
P6.10. £La energia cinètica de un automóvil
cambia mas al acelerar de 10 a 15 m/s o de
15 a 20 m/s? Explique su respuesta.
P6.ll. Un ladrillo con masa de 1.5 kg cae
verticalmente a 5.0 m/s. Un libro de física
de 1.5 kg se desliza sobre el piso a 5.0 m/s.
Un melón de 1.5 kg viaja con una compo-

nente de velocidad de 3.0 m/s a la derecha y una componente vertical
de 4.0 m/s hacia arriba. ^Todos estos objetos tienen la misma veloci-
dad? ^Tienen la misma energia cinètica? Para cada pregunta, justifique
su respuesta.

204

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

P6.12. ^El trabajo total efectuado sobre un objeto durante un desplaza-
miento puede ser negativo? Explique su respuesta. Si el trabajo total es
negativo, ^su magnitud puede ser mayor que la energia cinètica inicial
del objeto? Explique su respuesta.

P6.13. Una fuerza neta actua sobre un objeto y lo acelera desde el re-
poso hasta una rapidez v } , efectuando un trabajo W { . £En qué factor
debe aumentarse ese trabajo para lograr una rapidez final tres veces
mayor, si el objeto parte del reposo?

P6.14. Un camión que va por una autopista tiene mucha energia cinèti-
ca relativa a una patrulla detenida, pera ninguna relativa al conductor
del camión. En estos dos marços de referència, ^se requiere el mismo
trabajo para detener el camión? Explique su respuesta.
P6.15. Imagine que usted sostiene un portafolios por el asa, con el bra-
zo recto a su costado. ^La fuerza que la mano ejerce efectua trabajo so-
bre el portafolios a) cuando usted camina con rapidez constante por un
pasillo horizontal y b) cuando usa una escalera elèctrica para subir del
primer al segundo piso de un edificio? Justifique su respuesta en cada
caso.

P6.16. Si un libro se desliza sobre una mesa, la fuerza de fricción reali-
za trabajo negativo sobre él. ^,Existe algun caso en que la fricción rea-
lice trabajo positivol Explique su respuesta. (Sugerencia: piense en una
caja dentro de un camión que acelera.)

P6.17. Tómese el tiempo al subir corriendo una escalera y calcule la ta-
sa media con que efectua trabajo contra la fuerza de gravedad. Exprese
su respuesta en watts y en caballos de potencia.

P6.18. Física fracturada. Muchos términos de la física se utilizan
de manera inadecuada en el lenguaje cotidiano. En cada caso, explique
los errores que hay. d) A una persona fuerte se llama ttena de potencia.
iQué error implica este uso de potencial b) Cuando un trabajador car-
ga una bolsa de hormigón por una obra en construcción horizontal, la
gente dice que él realizó mucho trabajo. ^Es verdad?
P6.19. Un anuncio de un generador eléctrico portàtil asegura que el
motor a diesel produce 28,000 hp para impulsar un generador eléctrico
que produce 30 MW de potencia elèctrica. ^,Es esto posible? Explique
su respuesta.

P6.20. Un automóvil aumenta su rapidez mientras el motor produce
potencia constante. ^La aceleración es mayor al inicio de este proceso
o al final? Explique su respuesta.

P6.21. Considere una gràfica de potencia instantànea contra tiempo,
cuyo eje P vertical comienza en P = 0. ^Qué significado físico tiene el
àrea bajo la curva P contra t entre dos líneas verticales en t { y í 2 ? ^Có-
mo podria calcular la potencia media a partir de la gràfica? Dibuje una
curva de P contra t que conste de dos secciones rectas y dónde la po-
tencia màxima sea igual al doble de la potencia media.
P6.22. Una fuerza neta distinta de cero actua sobre un objeto. ^Alguna
de las cantidades siguientes puede ser constante? a) La rapidez del ob-
jeto; b) la velocidad del objeto; c) la energia cinètica del objeto.
P6.23. Cuando se aplica cierta fuerza a un resorte ideal, éste se estira
una distancia x desde su longitud relajada (sin estirar) y efectua tra-
bajo W. Si ahora se aplica el doble de fuerza, i,qué distancia (en térmi-
nos de x) se estira el resorte desde su longitud relajada y cuànto trabajo
(en términos de HO se requiere para estirarlo esta distancia?
P6.24. Si se requiere un trabajo W para estirar un resorte una distan-
cia x desde su longitud relajada, i,qué trabajo (en términos de W) se
requiere para estirar el resorte una distancia x adicional?

Ejercicios

Sección 6.1 Trabajo

6.1. Un viejo cubo de roble con masa de 6.75 kg cuelga en un pozo
del extremo de una cuerda, que pasa sobre una polca sin fricción en
la parte superior del pozo, y usted tira de la cuerda horizontalmente
del extremo de la cuerda para levantar el cubo lentamente 4.00 m.

a) ^Cuànto trabajo efectua usted sobre el cubo al subirlo? b) ^Cuànta
fuerza gravitacional actua sobre el cubo? c) iQué trabajo total se reali-
za sobre el cubo?

6.2. Un camión de remolque tira de un automóvil 5.00 km por una
carretera horizontal, usando un cable cuya tensión es de 850 N.

a) ^Cuànto trabajo ejerce el cable sobre el auto si tira de él horizon-
talmente? iY si tira a 35.0° sobre la horizontal? b) ^.Cuànto trabajo
realiza el cable sobre el camión de remolque en ambos casos del in-
ciso a)l c) ^Cuànto trabajo efectua la gravedad sobre el auto en el
inciso a)l

6.3. Un obrero empuja horizontalmente una caja de 30.0 kg una dis-
tancia de 4.5 m en un piso plano, con velocidad constante. El coefi-
ciente de fricción cinètica entre el piso y la caja es de 0.25. d) iQné
magnitud de fuerza debe aplicar el obrero? b) ^Cuànto trabajo efectua
dicha fuerza sobre la caja? c) ^Cuànto trabajo efectua la fricción so-
bre la caja? d) ^Cuànto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja?
(,Y la gravedad? e) <,Qué trabajo total se efectua sobre la caja?

6.4. Suponga que el obrero del ejercicio 6.3 empuja hacia abajo con
un àngulo de 30° bajo la horizontal. a) ^,Qué magnitud de fuerza debe
aplicar el obrera para mover la caja con velocidad constante? b) i, Qué
trabajo realiza esta fuerza sobre la caja si se empuja 4.5 m? c) <,Qué tra-
bajo realiza la fricción sobre la caja en este desplazamiento? d) ^Cuàn-
to trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja? ^Y la gravedad?
e) (,Qué trabajo total se efectua sobre la caja?

6.5. Un pintor de 75.0 kg sube por una escalera de 2.75 m que està in-
clinada contra una pared vertical. La escalera forma un àngulo de 30.0°
con la pared. a) ^Cuànto trabajo realiza la gravedad sobre el pintor?

b) ^La respuesta al inciso d) depende de si el pintor sube a rapidez
constante o de si acelera hacia arriba de la escalera?

6.6. Dos botes remolcadores tiran de un buque tanque averiado. Cada
uno ejerce una fuerza constante de 1.80 X 10 N, uno 14° al oeste del
norte y el otro 14° al este del norte, tirando del buque tanque 0.75 km
al norte. i,Qué trabajo total efectúan sobre el buque tanque?

6.7. Dos bloques estan conectados por un cordón muy ligero que pasa
por una polea sin masa y sin fricción (figura 6.30). Al viajar a rapidez
constante, el bloque de 20.0 N se mueve 75.0 cm a la derecha y el
bloque de 12.0 N se mueve 75.0 cm hacia abajo. Durante este proceso,
^cuànto trabajo efectua a) sobre el bloque de 12.0 N, i) la gravedad
y ii) la tensión en el cordón? b) sobre el bloque de 20.0 N, i) la grave-
dad, ii) la tensión en el cordón, iii) la fricción y iv) la fuerza normal?

c) Obtenga el trabajo total efectuado sobre cada bloque.

Figura 6.30 Ejercicio 6.7.

20.0

12.0

6.8. Un carrito de supermercado cargado rueda por un estacionamien-
to por el que sopla un viento fuerte. Usted aplica una fuerza constante
F = (30N)í — (40 N)/ al carrito mientras éste sufre un desplaza-
miento ? = ( —9.0 m) i — (3.0 m)/. ^Cuànto trabajo efectua la fuer-
za que usted aplica al carrito?

6.9. Una pelota de 0.800 kg se ata al extremo de un cordón de 1.60 m
de longitud y se hace girar en un circulo vertical, d) Durante un circulo
completo, contando a partir de cualquier punto, calcule el trabajo total
efectuado sobre la pelota por: i) la tensión en el cordón; ii) la gravedad.
b) Repita el inciso a) para el movimiento a lo largo del semicírculo que
va del cénit al nadir de la trayectoria.

Ejercicíos

205

Seccíón 6.2 Energia cinètica y teorema
trabajo-energía

6.10. a) ^Cuàntos joules de energia cinètica tiene un automóvil de
750 kg que viaja por una autopista común con rapidez de 65 mi/h?
b) (,En que factor diminuiría su energia cinètica si el auto viajara a
la mitad de esa rapidez? c) <<,A què rapidez (en mi/h) tendría que viajar
el auto para tener la mitad de la energia cinètica del inciso a)?

6.11. Cràter de meteorito. Hace aproximadamente 50,000 aíïos,
un meteorito se estrelló contra la Tierra cerca de lo que actualmen-
te es la ciudad de Flagstaff, en Arizona. Mediciones recientes (2005)
estiman que dicho meteorito tenia una masa aproximada de 1.4 X
10 8 kg (unas 150,000 toneladas) y se impactó contra el suelo a
12 km/s. a) ^Cuànta energia cinètica pasó este meteorito al suelo?
b) ^Cómo se compara esta energia con la energia liberada por una
bomba nuclear de 1.0 megatones? (Una bomba de un megatón libera
la misma energia que un millón de toneladas de TNT, y 1.0 ton de
TNT libera 4.184 X 10 9 J de energia.)

6.12. Algunas energías cinéticas familiares. a) ^Cuàntos joules
de energia cinètica tiene una persona de 75 kg al caminar y al córrer?

b) ^En el modelo atómico de Bohr, el electrón del hidrógeno en es-
tado fundamental tiene una rapidez orbital de 2190 km/s. ^,Cual es su
energia cinètica? (Consulte el Apéndice F) c) Si usted deja caer un
peso de de 1.0 kg (aproximadamente 2 lb) desde la altura del hombro,
^cuàntos joules de energia cinètica tendra cuando llegue al suelo?
d) ^Es razonable que un nino de 30 kg pueda córrer lo suficientemente
ràpido para tener 100 J de energia cinètica?

6.13. La masa de un protón es 1836 veces la masa de un electrón.
d) Un protón viaja con rapidez V. j,Con què rapidez (en términos de V)
un electrón tendría la misma energia cinètica que un protón? b) Un
electrón tiene energia cinètica K. Si un protón tiene la misma rapidez
que el electrón, ^cuàl es su energia cinètica (en términos de K)l

6.14. Una sandía de 4.80 kg se deja caer (rapidez inicial cero) desde la
azotea de un edificio de 25.0 m y no sufre resistència del aire aprecia-
ble, d) Calcule el trabajo realizado por la gravedad sobre la sandía du-
rante su desplazamiento desde la azotea hasta el suelo. b) Justo antes
de estrellarse contra el suelo, ^.cuàles son i) la energia cinètica y ii) la
rapidez de la sandía? c) ^Cuàl de las respuestas en los incisos d) y b)
seria diferente si hubiera resistència del aire considerable?

6.15. Use el teorema trabajo-energía para resolver los siguientes pro-
blemas. Usted puede utilizar las leyes de Newton para comprobar sus
respuestas. Ignore la resistència del aire en todos los casos, a) Una
rama cae desde la parte superior de una secuoya de 95.0 m de altura,
partiendo del reposo. <,Con què rapidez se mueve cuando llega al sue-
lo? b) Un volcàn expulsa una roca directamente hacia arriba 525 m
en el aire. <,Con què rapidez se movia la roca justo al salir del volcàn?

c) Una esquiadora que se mueve a 5.00 m/s llega a una zona de nieve
horizontal àspera grande, cuyo coeficiente de fricción cinètica con
los esquís es de 0.220. <,Qué tan lejos viaja ella sobre esta zona antes
de detenerse? d) Suponga que la zona àspera del inciso c) solo tiene
2.90 m de longitud. <;,Con què rapidez se movería la esquiadora al
llegar al extremo de dicha zona? é) En la base de una colina congelada
sin fricción que se eleva a 25.0° sobre la horizontal, un trineo tiene una
rapidez de 12.0 m/s hacia la colina. £,A què altura vertical sobre la base
llegarà antes de detenerse?

6.16. Se lanza una piedra de 20 N verticalmente hacia arriba desde
el suelo. Se observa que, cuando està 15.0 m sobre el suelo, viaja a
25.0 m/s hacia arriba. Use el teorema trabajo-energía para determinar
a) su rapidez en el momento de ser lanzada y b) su altura màxima.

6.17. Imagine que pertenece a la Cuadrilla de Rescate Alpino y debe
proyectar hacia arriba una caja de suministros por una pendiente de
àngulo constante a, de modo que llegue a un esquiador varado que
està una distancia vertical h sobre la base de la pendiente. La pen-
diente es resbalosa, però hay cierta fricción presente, con coeficiente
de fricción cinètica ^t k . Use el teorema trabajo-energía para calcular

la rapidez mínima que debe impartir a la caja en la base de la pendien-
te para que llegue al esquiador. Exprese su respuesta en términos de g,
K fi k y a.

6.18. Una masa m baja deslizàndose por un plano inclinado liso que
forma un àngulo a con la horizontal, desde una altura vertical inicial h.
a) El trabajo efectuado por una fuerza es la sumatoria del trabajo
efectuado por las componentes de la fuerza. Considere las compo-
nentes de la gravedad paralela y perpendicular al plano. Calcule el
trabajo efectuado sobre la masa por cada componente y use estos
resultados para demostrar que el trabajo efectuado por la gravedad
es exactamente el mismo que efectuaria si la masa cayera vertical-
mente por el aire desde una altura h. b) Use el teorema trabajo-ener-
gía para demostrar que la rapidez de la masa en la base del plano
inclinado es la misma que tendría si se hubiera dejado caer desde
la altura h, sea cual fuere el àngulo a del plano. Explique cómo esta
rapidez puede ser independiente del àngulo del plano, c) Use los re-
sultados del inciso b) para obtener la rapidez de una piedra que baja
deslizàndose por una colina congelada sin fricción, partiendo del re-
poso 15.0 m arriba del pie de la colina.

6.19. Un automóvil es detenido en una distancia D por una fuerza
de fricción constante independiente de la rapidez del auto. ^Cuàl es
la distancia en que se detiene (en términos de D) a) si el auto triplica
su rapidez inicial; y b) si la rapidez es la misma que tenia original-
mente, però se triplica la fuerza de fricción? (Utilice métodos de tra-
bajo-energía.)

6.20. Un electrón en movimiento tiene energia cinètica K x . Después
de realizarse sobre él una cantidad neta de trabajo W, se mueve con
una cuarta parte de su rapidez anterior y en la dirección opuesta.
d) Calcule W términos de K x . b) ^,Su respuesta depende de la direc-
ción final del movimiento del electrón?

6.21. Un trineo con masa de 8.00 kg se mueve en línea recta sobre
una superfície horizontal sin fricción. En cierto punto, su rapidez es
de 4.00 m/s; 2.50 m màs adelante, su rapidez es de 6.00 m/s. Use el
teorema trabajo-energía para determinar la fuerza que actua sobre
el trineo, suponiendo que tal fuerza es constante y actua en la direc-
ción del movimiento del trineo.

6.22. Un balón de futbol sóquer de 0.420 kg se mueve inicialmen-
te con rapidez de 2.00 m/s. Un jugador lo patea, ejerciendo una fuerza
constante de 40.0 N en la dirección del movimiento del balón. ^Du-
rante qué distancia debe estar su pie en contacto con el balón para
aumentar la rapidez de éste a 6.00 m/s?

6.23. Un "12-pack" de Omni-Cola (masa de 4.30 kg) està en reposo
en un piso horizontal. Luego, un perro entrenado que ejerce una fuer-
za horizontal con magnitud de 36.0 N lo empuja 1.20 m en línea
recta. Use el teorema trabajo-energía para determinar la rapidez final
si a) no hay fricción entre el 12-pack y el piso; b) el coeficiente de
fricción cinètica entre el 12-pack y el piso es de 0.30.

6.24. Un bateador golpea una pelota de beisbol con masa de 0.145 kg
y la lanza hacia arriba con rapidez inicial de 25.0 m/s. a) ^,Cuànto
trabajo habrà realizado la gravedad sobre la pelota cuando esta alcan-
za una altura de 20.0 m sobre el baté? b) Use el teorema trabajo-ener-
gía para calcular la rapidez de la pelota a esa altura. Ignore la
resistència del aire. c) ^La respuesta al inciso b) depende de si la pe-
lota se mueve hacia arriba o hacia abajo cuando està a la altura de
20.0 m? Explique su respuesta.

6.25. Un vagón de juguete con masa de 7.00 kg se mueve en línea
recta sobre una superfície horizontal sin fricción. Tiene rapidez
inicial de 4.00 m/s y luego es empujado 3.0 m, en la dirección de
la velocidad inicial, por una fuerza cuya magnitud es de 10.0 N.
a) Use el teorema trabajo-energía para calcular la rapidez final del
vagón. b) Calcule la aceleración producida por la fuerza y úsela
en las relaciones de cinemàtica del capitulo 2 para calcular la rapi-
dez final del vagón. Compare este resultado con el calculado en el
inciso a).

206

CAPITULO 6 Trabajo y energia cinètica

6.26. Un bloque de hielo con masa de 2.00 kg se desliza 0.750 m ha-
cia abajo por un plano inclinado a un àngulo de 36.9° bajo la horizon-
tal. Si el bloque parte del reposo, ^cuàl serà su rapidez final? Puede
despreciarse la fricción.

6.27. Distancia de paro. Un automóvil viaja por un camino hori-
zontal con rapidez v Q en el instante en que los frenos se bloquean, de
modo que las llantas se deslizan en vez de rodar, a) Use el teorema
trabajo-energía para calcular la distancia mínima en que puede dete-
nerse el auto en términos de v , g y el coeficiente de fricción cinètica
fjL k entre los neumàticos y el camino, b) ^,En que factor cambiaría la
distancia mínima de frenado, si i) se duplicarà el coeficiente de fric-
ción cinètica, ii) se duplicarà la rapidez inicial, o iii) se duplicaran
tanto el coeficiente de fricción cinètica como la rapidez inicial?

Sección 6.3 Trabajo y energia con fuerzas variables

6.28. Se requiere un trabajo de 12.0 J para estirar un resorte 3.00 cm
respecto a su longitud no estirada, a) ^Cuàl es la constante de fuerza de
este resorte? b) ^Qué fuerza se necesita para estirar 3.00 cm el resorte
desde su longitud sin estirar? c) (,Cuànto trabajo debe efectuarse para
comprimir ese resorte 4.00 cm respecto a su longitud no estirada, y què
fuerza se necesita para estirarlo esta distancia?

6.29. Una fuerza de 160 N estira un resorte 0.050 m mas allà de su longi-
tud no estirada, d) <,Qué fuerza se requiere para un estiramiento de 0.015
m de este resorte? ^Y para comprimirlo 0.020 m? b) ^Cuànto trabajo
debe efectuarse para estirar el resorte 0.015 m màs allà de su longitud no
estirada? ^Y para comprimirlo 0.20 m desde su longitud sin estirar?

6.30. Una nina aplica una fuerza

Figura 6.31 Ejercicios 6.30
y6.31.

x (m)

F paralela al eje x a un trineo
de 10.0 kg que se mueve sobre
la superfície congelada de un
estanque pequeno. La nina con-
trola la rapidez del trineo, y la
componente x de la fuerza que
aplica varia con la coordenada x
del trineo, como se muestra en
la figura 6.31. Calcule el trabajo
efectuado por F cuando el trineo
se mueve a) de x = a x = 8.0 m;

b) de x = 8.0 m a x = 12.0 m;

c) de x = a x = 12.0 m.

6.31. Suponga que el trineo del ejercicio 6.30 està inicialmente en re-
poso en x = 0. Use el teorema trabajo-energía para determinar la rapi-
dez del trineo en a) x = 8.0 m, y b) x = 12.0 m. Puede despreciarse
la fricción entre el trineo y la superfície del estanque.

6.32. Una vaca terca intenta salirse del establo mientras usted la
empuja cada vez con màs fuerza para impedirlo. En coordenadas cuyo
origen es la puerta del establo, la vaca camina de x = a x = 6.9 m,
mientras usted aplica una fuerza con componente x F v = — [20.0 N +
(3.0 N/m)x]. ^Cuànto trabajo efectua sobre la vaca la fuerza que usted
aplica durante este desplazamiento?

6.33. Una caja de 6.0 kg que se mueve a 3.0 m/s, sobre una superfí-
cie horizontal sin fricción, choca con un resorte ligero cuya constante
de fuerza es de 75 N/cm. Use el teorema trabajo-energía para de-
terminar la compresión màxima del resorte.

6.34. "Press" de piernas. Como parte de su ejercicio diario, usted
se acuesta boca arriba y empuja con los pies una plataforma conectada
a dos resortes rígidos paralelos entre sí. Al empujar la plataforma, us-
ted comprime los resortes. Realiza 80.0 J de trabajo al comprimir los
resortes 0.200 m con respecto a su longitud no comprimida, a) ^,Qué
fuerza debe aplicar para mantener la plataforma en esta posición?
b) ^Cuànto trabajo adicional debe realizar para mover la plataforma
otros 0.200 m, y què fuerza màxima debe aplicar?

6.35. a) En el ejemplo 6.7 (sección 6.3), se calcula que, con el riel de
aire apagado, el deslizador viaja 8.6 cm antes de parar instantàne amen-
te. (,Qué tan grande debe ser el coeficiente de fricción estàtica /jl s para
evitar que el deslizador regrese a la izquierda? b) Si el coeficiente de
fricción estàtica entre el deslizador y el riel es fx s = 0.60, t,qué rapidez
inicial màxima v x puede imprimirse al deslizador sin que regrese a la
izquierda luego de detenerse momentàneamente? Con el riel de aire
apagado, el coeficiente de fricción cinètica es fi k = 0.47.

6.36. Un bloque de hielo de 4.00 kg se coloca contra un resorte hori-
zontal que tiene fuerza constante k = 200 N/m, y està comprimido
0.025 m. El resorte se suelta y acelera al bloque sobre una superfí-
cie horizontal. Pueden despreciarse la fricción y la masa del resorte.

d) Calcule el trabajo efectuado por el resorte sobre el bloque, durante
el movimiento del bloque desde su posición inicial hasta que el resor-
te recupera su longitud no comprimida, b) i, Què rapidez tiene el bloque
al perder contacto con el resorte?

6.37. A un automóvil a escala de 2.0 kg, controlado por radio,```