# Full text of "Fisica Universitaria 12va. Edicion Sears, Zemansky Vol. 2"

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YOUNG • FREEDMAN

SEARS • 2EMANSKY

FÍSICA
^UNIVERSITÀRIA

CON FÍSICA MODERNA

VOLU M E N

Longitud

1 m = 100 cm = 1000 mm = 10 6 fim = 10 9 nm

lkm = 1000 m = 0.6214 mi

lm = 3.281 ft = 39.37 in

1 cm = 0.3937 in

1 in. = 2.540 cm

1 ft = 30.48 cm

lyd = 91.44 cm

lmi = 5280 ft = 1.609 km

1 À = 10" 10 m = 10" 8 cm = 10" 1 nm

1 milla nàutica = 6080 ft

1 ano luz = 9.461 X 10 15 m

Aceleración

lm/s 2

100 cm/s 2 = 3.281 ft/s 2

1 cm/s 2 = 0.01 m/s 2 = 0.03281 ft/s 2
1 ft/s 2 = 0.3048 m/s 2 = 30.48 cm/s 2
lmi/h-s = 1.467 ft/s 2

Masa

1 kg = 10 3 g = 0.0685 slug

1 g = 6.85 X 10 -5 slug

1 slug = 14.59 kg

lu = 1.661 X 10" 27 kg

1 kg tiene un peso de 2.205 lb cuando g

9.80 m/s 2

Àrea

lcm 2 = 0.155 in 2

1 m 2 = 10 4 cm 2 = 10.76 ft 2

1 in 2 = 6.452 cm 2

1 ft = 144 in 2 = 0.0929 m 2

Volumen

1 litro = 1000 cm 3 = 10" 3 m 3 = 0.03531 ft 3 = 61.02 in 3
1 ft 3 = 0.02832 m 3 = 28.32 litros = 7.477 galones
1 galón = 3.788 litros

Tiempo

1 min = 60 s
1 h = 3600 s
1 d = 86,400 s
1 ano = 365.24 d

3.156 X 10 7 s

Angulo

1 rad = 57.30° = 1807tt
1 revolución = 360° = 2tt rad
1 rev/min (rpm) = 0.1047 rad/s

Rapidez

lm/s = 3.281 ft/s

1 ft/s = 0.3048 m/s

1 mi/min = 60 mi/h = 88 ft/s

1 km/h = 0.2778 m/s = 0.6214 mi/h

1 mi/h = 1.466 ft/s = 0.4470 m/s = 1.609 km/h

1 furlong/14 días = 1.662 X 10" 4 m/s

Fuerza

1 N = 10 5 dinas
1 lb = 4.448 N =

= 0.2248 lb
4.448 X 10 5 dinas

Presión

1 Pa = 1 N/m 2 = 1.450 X 10" 4 lb/in 2 = 0.209 lb/ft 2

1 bar = 10 5 Pa

1 lb/in 2 = 6895 Pa

1 lb/ft 2 = 47.88 Pa

1 atm = 1.013 X 10 5 Pa = 1.013 bar

= 14.7 lb/in 2 = 21 17 lb/ft 2
1 mm Hg = 1 torr = 133.3 Pa

Energia

1 J = 10 7 ergs = 0.239 cal

1 cal = 4.186 J (con base en caloria de 15°)

1 ft - lb = 1.356 J

1 Btu = 1055 J = 252 cal = 778 ft • lb

leV = 1.602 X 10" 19 J

lkWh = 3.600 X 10 6 J

Equivalència masa-energía

1 kg ^8.988 X 10 16 J
lue 931.5 MeV

leV^ 1.074 X 10" 9 u

Potencia

1 W = 1 J/s

1 hp = 746 W = 550 ft • lb/s

1 Btu/h = 0.293 W

CONSTANTES NUMERICAS

Constantes físicas fundamentales*

Nombre

Símbolo

Valor

Rapidez de la luz

c

Magnitud de carga del electrón

e

Constante gravitacional

G

Constante de Planck

I,

Constante de Boltzmann

k

N A

Constante de los gases

R

Masa del electrón

m e

Masa del protón

m p

Masa del neutrón

m„

libre

Mo

e = l/fj, c

l/4-7Te

2.99792458 X 10 8 m/s
1.60217653(14) X 10" 19 C
6.6742(10) X 10"" N • m 2 /kg 2
6.6260693(11) X 10~ 34 J-s
1.3806505(24) X 10~ 23 J/K
6.0221415(10) X 10 23 moléculas/mol
8.314472(15) J/mol -K
9.1093826(16) X 10 -31 kg
1.67262171(29) X 10" 27 kg
1.67492728(29) X 10" 27 kg
4ir X 10" 7 Wb/A • m
8.854187817... X 10" 12 C 2 /N • m 2
8.987551787 ... X 10 9 N-m 2 /C 2

Otras constante útiles

Equivalente mecànico del calor

Presión atmosfèrica estàndar 1 atm

Cero absoluto K

Electrón volt 1 eV

Unidad de masa atòmica 1 u

Energia del electrón en reposo m e c 2
Volumen del gas ideal (0 °C y 1 atm)

Aceleración debida a la gravedad g
(estàndar)

4.186 J/cal (15° caloria)
1.01325 X 10 5 Pa
-273.15 °C

1.60217653(14) X 10" 19 J
1.66053886(28) X 10" 27 kg
0.510998918(44) MeV
22.413996(39) litros/mol
9.80665 m/s 2

*Fuente: National Institute of Standards and Technology (http://physics.nist.gov/cuu). Los números entre parèntesis
indican incertidumbre en los dfgitos finales del número principal; por ejemplo, el número 1.6454(21) significa
1.6454 ± 0.0021. Los valores que no indican incertidumbre son exactos.

Datos astronómicos*

Periodo de

Cuerpo

Masa (kg)

òrbita (m)

la òrbita

Sol

1.99 x

10 30

6.96 X 10 8

—

—

Luna

7.35 X

10 22

1.74 X 10 6

3.84 X 10 8

27.3 d

Mercurio

3.30 X

10 23

2.44 X 10 6

5.79 X 10 10

88.0 d

Venus

4.87 X

10 24

6.05 x 10 6

1.08 X 10"

224.7 d

Tierra

5.97 X

10 24

6.38 x 10 6

1.50 x 10"

365.3 d

Marte

6.42 X

10 23

3.40 X 10°

2.28 X 10"

687.0 d

Júpiter

1.90 X

10 27

6.91 X 10 7

7.78 X 10"

11.86y

Saturno

5.68 X

10 26

6.03 X 10 7

1.43 X 10 12

29.45 y

Urano

8.68 X

10 25

2.56 x 10 7

2.87 X 10 12

84.02 y

Neptuno

1.02 X

10 26

2.48 x 10 7

4.50 X 10 12

164.8 y

Plutón*

1.31 X

10 22

1.15 x 10 6

5.91 X 10 12

247.9 y

''Fuente: NASA Jet Propulsion Laboratory Solar System Dynamics Group (http://ssd.jlp.nasa.gov) y P. Kenneth
Seidelmann, ed., Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac (University Science Books, Mill Valley, CA,
desde el Sol (en el caso de los planetas) o desde la Tierra (en el caso de la Luna).

T En agosto de 2006 la Unión Astronòmica Internacional reclasificó a Plutón y a otros pequenos objetos que giran
en òrbita alrededor del Sol como "planetas enanos".

SEARS • ZEMANSKY

FÍSICA

UNIVERSITÀRIA

CON FÍSICA MODERNA

VOLUMEN 2

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

ESTRATÈGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS PAGINA

21.1 Ley de Coulomb 719

21.2 Càlculos de campo eléctrico 728
22.1 LeydeGauss 762
23.1 Calculo del potencial eléctrico 794

24.1 Capacitancia equivalente 822

24.2 Dieléctricos 831
25.1 Potencia y energia en los circuitos 865

26.1 Resistores en sèrie y en paralelo 884

26.2 Reglas de Kirchhoff 888

27.1 Fuerzas magnéticas 921

27.2 Movimiento en campos magnéticos 927

28.1 Calculo de campos magnéticos 961

28.2 Ley de Ampère 973
30.1 Inductores en circuitos 1041

ESTRATÈGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS PAGINA

31.1 Circuitos de corriente alterna 1073

32.1 Ondas electromagnéticas 1103

33.1 Reflexión y refracción 1128

33.2 Polarización lineal 1138

34.1 Formación de imàgenes con espejos 1168

34.2 Formación de imàgenes por lentes delgadas 1 180

37.1 Dilatación del tiempo

37.2 Contracción de la longitud

37.3 Transformaciones de Lorentz
38.1 Fo tones

39.1 Partículas y ondas

41.1 Estructura atòmica

1221
1276
1281
1286
1312
1351
1405
1474

TM

Actv

p.1 ONLIN E

rhySICS www.masteringphysics.com

10.1 Propiedades de las ondas mecànicas 13.2

11.1 Fuerza elèctrica: ley de Coulomb 13.3

11.2 Fuerza elèctrica: principio de 13.4

superposición 1 3 .5

11.3 Fuerza elèctrica: superposición 13.6

(cuantitativa) 13.7

11.4 Campo eléctrico: carga puntual 13.8

11.5 Campo eléctrico debido a un dipolo 13.9

11.6 Campo eléctrico: problemas 13.10

1 1.7 Flujo eléctrico 14.1

11.8 LeydeGauss 14.2

1 1.9 Movimiento de una carga en un campo 14.3

eléctrico: introducción 15.1

11.10 Movimiento en un campo eléctrico: 15.2

problemas 15.3

11.11 Potencial eléctrico: introducción 15.4

cualitativa 15.5

11.12 Potencial, campo y fuerza eléctricos 15.6

11.13 Energia potencial elèctrica y potencial 1 5 .7

12.1 Circuitos de CD en sèrie (cualitativos) 15.8

12.2 Circuitos de CD en paralelo 15.9

12.3 Diagramas de circuitos de CD 15.10

12.4 Uso de amperímetros y voltímetros 15.11

12.5 Uso de las leyes de Kirchhoff 15.12

12.6 Capacitancia 16.1

12.7 Capacitores en sèrie y en paralelo 16.2

12.8 Constantes de tiempo de circuitos

13.1 Campo magnético de un alambre 16.3

Campo magnético de una espira 16.4

Campo magnético de un solenoide 16.5

Fuerza magnètica sobre una partícula 16.6

Fuerza magnètica sobre un alambre 16.7
Par de torsión magnético sobre una espira 16.8

Espectrómetro de masas 16.9

Inducción electromagnètica 17.2

Fuerza electromotriz de movimiento 17.3

ElcircuitotfL 17.4

Circuitos de CA: el oscilador RLC 17.5

Reflexión y refracción 17.7

Reflexión interna total 18.1

Aplicaciones de la refracción 18.2

Òptica geomètrica: espejos pianos 18.3

Espejos esféricos: diagramas de rayos 19.1

Espejos esféricos: ecuación del espejo 19.2

Espejos esféricos: aumento lineal m 19.3

Espejos esféricos: problemas 19.4

Diagramas de rayos de lentes delgadas 19.5

Sistemas de dos lentes 20.3
Interferència de dos fuentes: introducción 20.4
Interferència de dos fuentes: preguntas

cualitativas
Interferència de dos fuentes: problemas

La rejilla: introducción y preguntas

La rejilla: problemas

Difracción desde una sola ranura

Difracción en orificios circulares

Poder de resolución

Òptica física: polarización

Efecto fotoeléctrico

Dispersión de Compton

Interferència de electrones

Principio de incertidumbre

Paquetes de ondas

El modelo de Bohr

Espectroscopía

El làser

Dispersión de partículas

Energia de enlace nuclear

Fusión

Física de partículas

Diagramas de energia potencial

Partícula en una caja

Pozos de potencial

Barreras de potencial

REVISION TÈCNICA

MEXICO

Alberto Rubio Ponce
Gabriela Del Valle Díaz Munoz
Héctor Luna García
José Antonio Eduardo Roa Neri

Ricardo Pintle Monroy

Rafael Mata

Carlos Gutiérrez Aranzeta

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecànica y Eléctrica-Zacatenco

Marcela Martha Villegas Garrido

Instituto Tecnológico y de Estudiós Superiores de Monterrey

Làzaro Barajas de la Torre

Lucio López Cavazos

Instituto Tecnológico y de Estudiós Superiores de Monterrey

Campus Querétaro

José Arturo Tar Ortiz Peralta

Omar Olmos López

Víctor Bustos Meter

José Luis Salazar Laureles

Instituto Tecnológico y de Estudiós Superiores de Monterrey

Campus Toluca

Daniel Zalapa Zalapa

Centro de Enseíïanza Tècnica Industrial

Lorena Vega López

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías

Sergio Flores

Instituto de Ingeniería y Tecnologia

ARGENTINA

Ema Aveleyra
Buenos Aires

Robert Sànchez Cano
Cali

Fernando Molina Focazzio
Bogotà

Jaime Isaza Ceballos

Escuela Colombiana de Ingeniería

Bogotà

COSTA RICA

Diego Chaverri Polini
San José

Juan Meneses Rimola

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Cartago

Randall Figueroa Mata
San José

ESPANA

José M. Zamarro Minguell

Campus del Espinardo
Múrcia

Fernando Ribas Pérez

Escola Universitària de Enxenería Tècnica Industrial

Vigo

Stefano Chiussi

Escola Tècnica Superior de Enxeneiros de Telecomunicación

Vigo

Miguel Àngel Hidalgo
Campus Universitario
Alcalà de Henares

I

Alerino Beltramino
UTN Regional Buenos Aires
Buenos Aires

Miguel Àngel Altamirano
UTN Regional Córdoba
Córdoba

colombià

Àlvaro Andrés Velàsquez Torres

Medellín

PERÚ

Yuri Milachay Vicente

Lima

VENEZUELA

Mario Caicedo
Àlvaro Restuccia
Jorge Stephany
Caracas

SEARS • ZEMANSKY

FÍSICA
UNIVERSITÀRIA

CON FÍSICA MODERNA

DEC1MOSEGUNDA EDICIÓN

VOL UMEN

HUGH D. YOUNG

CARNEGIE MELLON UNIVERSITY

ROGER A. FREEDMAN

UNIVERSITY OF CALIFÒRNIA, SANTA BÀRBARA

CON LA COLABORACIÓN DE

A. LEWIS FORD

TEXAS A&M UNIVERSITY

JAVIER ENRÍQUEZ BRITO

ESPECIALISTA EN EL ÀREA DE CIENCIAS

REVISIÓN TÈCNICA

RIGEL GÀIMEZ LEAL

GABRIEL ALEJANDRO JARAMILLO MORALES

ÉDGAR RAYMUNDO LÓPEZ TÉLLEZ

FRANCISCO MIGUEL PÉREZ RAMÍREZ

México ■ Argentina * Brasil • Colòmbia • Costa Rica * Chile • Ecuador
Espana • Guatemala • Panamà " Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela

X Datos de catalogación bibliogràfica

YOUNG, HUGH D. y ROGER A. FREEDMAN

Física universitària, con física moderna volumen 2.

Decimosegunda edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009

ISBN: 978-607-442-304-4
Àrea: Ciencias

Formato: 21 X 27 cm

Pàginas: 896

Authorized adaptation from the English language edition, entitled University Physics with Modern Physics 12" ed. (chapters 21-44), by Hugh D. Young,
rights reserved.
ISBN 9780321501219

Adaptación autorizada de la edición en idioma inglés, titulada University Physics with Modern Physics 12 a ed. (capítulos 21-44), de Hugh D. Young,

Esta edición en espanol es la única autorizada.

Edición en espanol

Editor: Rubén Fuerte Rivera

e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com
Editor de desarrollo: Felipe Hernàndez Carrasco

Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernàndez

Edición en inglés

Vice President and Editorial Director: Adam Black, Ph.D.

Sènior Development Editor: Margot Otway

Editorial Manager: Laura Kenney

Media Producer: Matthew Phillips

Director of Marketing: Christy Lawrence

Managing Editor: Corinne Benson

Production Supervisor: Nancy Tabor

Production Service: WestWords, Inc.

Hlustrations: Rolin Graphics

Text Design: tani hasegawa

DECIMOSEGUNDA EDICIÓN VERSIÓN IMPRESA, 2009
DECIMOSEGUNDA EDICIÓN E-BOOK, 2009

Cover Design: Yvo Riezebos Design

Manufacturin g Manager: Pam Augspurger

Director, Image Resource Center: Melinda Patelli

Manager, Rights and Permissions: Zina Aràbia

Photo Research: Cypress Integrated Systems

Cover Printer: Phoenix Color Corporation

Printer and Binder: Courier Corporation/Kendallville

Cover Image: The Millau Viaduct, designed by Lord Norman Foster,

Millau, France.
Photograph by Jean-Philippe Arles/Reuters/Corbis

D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco No. 500-5° piso
Col. Industrial Atoto

53519, Naucalpan de Juàrez, Edo. de México
e-mail: editorial.mx@pearsoned.com

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Impreso en México. Printed in México.

1234567890-13 12 11 10

es una marca de

www.pearsoneducacion.net

ISBN VERSION IMPRESA: 978-607-442-304-4
ISBN E-BOOK: 978-607-442-307-5

CONTENIDO BREVE

Electromagnetismo

Zl Carga elèctrica y campo eléctrico 709

ZjZj Ley de Gauss 750

Z3 Potencial eléctrico 780

Z4 Capacitancia y dieléctricos 815

Lo Corriente, resistència y fuerza

electromotriz 846

Zo Circuitos de corriente directa 881

Z/ Campo magnético y fuerzas

magnéticas 916

Zo Fuentes de campo magnético 957

Z5y Inducción electromagnètica 993

30 Inductancia 1030

oi Corriente alterna 1061

ÒZi Ondas electromagnéticas 1092

Òptica

òò Naturaleza y propagación de la luz 1121

34 Òptica geomètrica 1157

35 Interferència 1207

36 Difracción 1234

Física moderna

JO Fotones, electrones y àtomos 1307

òy La naturaleza ondulatoria

de las partículas 1349

4U Mecànica cuàntica 1375

41 Estructura atòmica 1401

4Z Moléculas y matèria condensada 1433

43 Física nuclear 1468

44 Física de partículas y cosmologia 1509

APÉNDICES

A El sistema internacional de unidades A-l

B Relaciones matemàticas útiles A-3

C El alfabeto griego A-4

D Tabla periòdica de los elementos A-5

E Factores de conversión de unidades A-6

F Constantes numéricas A-7
Respuestas a los problemas con número impar A-9

SOBRE LOS AUTORES

Hugh D. Young es profesor emérito de física en Carnegie Mellon University, en
Pittsburgh, PA. Curso sus estudiós de licenciatura y posgrado en Carnegie Mellon,
donde obtuvo su doctorado en teoria de partículas fundamentales bajo la dirección
de Richard Cutkosky, hacia el final de la carrera acadèmica de éste. Se unió al claus-
tre de profesores de Carnegie Mellon en 1956 y también ha sido profesor visitante en
la Universidad de Califòrnia en Berkeley durante dos anos.

La carrera del profesor Young se ha centrado por completo en la docència en el
nivel de licenciatura. Ha escrito varios libros de texto para ese nivel y en 1973 se con-
virtió en coautor de los bien conocidos libros de introducción a la física de Francis
Sears y Mark Zemansky. A la muerte de estos, el profesor Young asumió toda la
responsabilidad de las nuevas ediciones de esos textos, hasta que se le unió el pro-
fesor Freedman para elaborar Física Universitària.

El profesor Young practica con entusiasmo el esquí, el montanismo y la caminata.
También ha sido durante varios anos organista asociado en la Catedral de San Pablo,
en Pittsburgh, ciudad en la que ha ofrecido numerosos recitales. Durante el verano
viaja con su esposa Alice, en especial a Europa y a la zona desèrtica de los canones
del sur de Utah.

Roger A. Freedman es profesor en la Universidad de Califòrnia, en Santa Bàrbara
(UCSB). El doctor Freedman estudio su licenciatura en los planteles de San Diego y
Los Angeles de la Universidad de Califòrnia, y realizó su investigación doctoral en
teoria nuclear en la Universidad de Stanford bajo la dirección del profesor J. Dirk
Walecka. Llego a UCSB en 1981, después de haber sido durante tres anos profesor

En UCSB el doctor Freedman ha impartido càtedra tanto en el departamento de
Física como en la Escuela de Estudiós Creativos, un organismo de la universidad que
da cabida a los estudiantes con dotes y motivación para el arte. Ha publicado artículos
sobre física nuclear, física de partículas elementales y física de làseres. En los anos
recientes ha colaborado en el desarrollo de herramientas de computo para la ensenanza
de la física y la astronomia.

Cuando no està en el aula o trabajando afanosamente ante una computadora, al
doctor Freedman se le ve volando (tiene licencia de piloto comercial) o manejando
con su esposa Caroline su automóvil convertible Nash Metropolitan, modelo 1960.

A. Lewis Ford es profesor de física en Texas A&M University. Curso la licenciatura
en Rice University en 1968, y obtuvo un doctorado en física química de la Universidad
de Texas, en Austin, en 1972. Después de pasar un ano de posdoctorado en la Univer-
sidad de Harvard, se unió en 1973 a Texas A&M University como profesor de física,
donde ha permanecido desde entonces. El àrea de investigación del profesor Ford es
la física atòmica teòrica, con especialidad en colisiones atómicas. En Texas A&M
University ha impartido una amplia variedad de cursos de licenciatura y posgrado,
però sobre todo de introducción a la física.

AL ESTUDIANTE

CÓMO TRIUNFAR EN
FÍSICA SI SE INTENTA

Mark Hollabaugh Normandale Community College

La física estudia lo grande y lo pequeno, lo viejo y lo nue-
vo. Del àtomo a las galaxias, de los circuitos eléctricos a la
aerodinàmica, la física es una gran parte del mundo que nos
rodea. Es probable que esté siguiendo este curso de introduc-
ción a la física, basado en el calculo, porque lo requiera para
materias posteriores que planee tomar para su carrera en
ciencias o ingeniería. Su profesor quiere que aprenda física
y goce la experiència. El o ella tienen mucho interès en ayu-
darlo a aprender esta fascinante disciplina. Esta es parte de
la razón por la que su maestro eligió este libro para el curso.
También es la razón por la que los doctores Young y Freedman
me pidieron que escribiera esta sección introductòria, j Quere-
mos que triunfe!

El propósito de esta sección de Física universitària es dar-
le algunas ideas que lo ayuden en su aprendizaje. Al anàlisis
breve de los hàbitos generales y las estrategias de estudio, se-
guiran sugerencias específicas de cómo utilizar el libro.

Preparación para este curso

Si en el bachillerato estudio física, es probable que aprenda
los conceptes màs ràpido que quienes no lo hicieron porque es-
tarà familiarizado con el lenguaje de la física. De igual modo,
si tiene estudiós avanzados de matemàticas comprenderà con
màs rapidez los aspectes matemàticos de la física. Aun si
libros como el de Arnold D. Pickar, Preparing for General
Physics: Math Skill Drills and Other Useful Help (Calculus
Version). Es posible que su profesor asigne tareas de este
repaso de matemàticas como auxilio para su aprendizaje.

Aprender a aprender

Cada uno de nosotros tiene un estilo diferente de aprendizaje
y un medio preferido para hacerlo. Entender cuàl es el suyo lo
ayudarà a centrarse en los aspectos de la física que tal vez le
planteen dificultades y a emplear los componentes del curso
que lo ayudaràn a vencerlas. Es obvio que querrà dedicar màs
tiempo a aquellos aspectos que le impliquen màs problemas.
Si usted aprende escuchando, las conferencias seran muy im-
portantes. Si aprende con explicaciones, entonces serà de
ayuda trabajar con otros estudiantes. Si le resulta difícil re-
solver problemas, dedique màs tiempo a aprender cómo ha-
cerlo. Asimismo, es importante entender y desarrollar buenos

hàbitos de estudio. Quizà lo màs importante que pueda hacer
por usted mismo sea programar de manera regular el tiempo

Responda las siguientes preguntas para usted mismo:

• ^Soy capaz de utilizar los conceptos matemàticos funda-
mentales del àlgebra, geometria y trigonometría? (Si no
es así, planee un programa de repaso con ayuda de su
profesor.)

blemas? (Dedique màs tiempo a eso.) ^Qué ha sido lo
màs fàcil para mi? (Haga esto primero; lo ayudarà a ga-
nar confianza.)

• ^Entiendo el material mejor si leo el libro antes o después
de la clase? (Quizàs aprenda mejor si revisa ràpido el
material, asiste a clase y luego lee con màs profundidad.)

pràctica para una clase de este tipo es dedicar en prome-
dio 2.5 horas de estudio fuera del aula por cada hora de
clase en esta. Esto significa que para un curso con cinco
horas de clase programadas a la semana, debe destinar de
10 a 15 horas semanales al estudio de la física.)

• ^Estudio física a diario? (iDistribuya esas 10 al5 horas
a lo largo de toda la semana!) ^A qué hora estoy en mi
mejor momento para estudiar física? (Elija un horario
especifico del dia y respételo.)

• ^Trabajo en un lugar tranquilo en el que pueda mantener
mi concentración? (Las distracciones romperàn su rutina
y haràn que pase por alto puntos importantes.)

Trabajar con otros

Es raro que los científicos e ingenieros trabajen aislados unos de
otros, y màs bien trabajan en forma cooperativa. Aprenderà
màs física y el proceso serà màs ameno si trabaja con otros
estudiantes. Algunos profesores tal vez formalicen el uso del
aprendizaje cooperativo o faciliten la formación de grupos
de estudio. Es posible que desee formar su propio grupo no
formal de estudio con miembros de su clase que vivan en su
vecindario o residència estudiantil. Si tiene acceso al correo
electrónico, úselo para estar en contacte con los demàs. Su
grupo de estudio serà un recurso excelente cuando se pre-
pare para los exàmenes.

Cómo triunfar en física si se intenta de verdad

Las clases y los apuntes

Un factor importante de cualquier curso universitario son las
clases. Esto es especialmente cierto en física, ya que serà fre-
cuente que su profesor haga demostraciones de principios
físicos, ejecute simulaciones de computadora o proyecte
vídeos. Todas éstas son actividades de aprendizaje que lo
ayudaràn a comprender los principios bàsicos de la física.
No falte a clases, y si lo hace por alguna razón especial, pida
a un amigo o miembro de su grupo de estudio que le dé los
apuntes y le diga lo que pasó.

En clase, tome notas ràpidas y entre a los detalles después.
Es muy difícil tomar notas palabra por palabra, de modo que
solo escriba las ideas clave. Si su profesor utiliza un dia-
grama del libro de texto, deje espacio en el cuaderno para
éste y agréguelo mas tarde. Después de clase, complete sus
apuntes con la cobertura de cualquier faltante u omisión y
anotando los conceptos que necesite estudiar posteriormen-
te. Haga referencias por pàgina del libro de texto, número de
ecuación o de sección.

Asegúrese de hacer preguntas en clase, o vea a su pro-
fesor durante sus horas de asesoría. Recuerde que la única
pregunta "fuera de lugar" es la que no se hace. En su escue-
la quizà haya asistentes de profesor o tutores para ayudarlo

Examenes

Presentar un examen es estresante. Però si se preparo de ma-
preparación para un examen es un proceso continuo; co-
mienza en el momento en que termina el ultimo examen.
Debe analizar sus examenes y comprender los errores que
haya cometido. Si resolvió un problema y cometió errores
importantes, pruebe lo siguiente: tome una hoja de papel y
divídala en dos partes con una línea de arriba hacia abajo.
En una columna escriba la solución apropiada del problema,
y en la otra escriba lo que hizo y por qué, si es que lo sabé, y
la razón por la que su propuesta de solución fue incorrecta.
Si no està seguro de por qué cometió el error o de la forma
de evitarlo, hable con su profesor. La física se construye de
manera continua sobre ideas fundamentales y es importante
corregir de inmediato cualquiera malentendido. Cuidado: si
se prepara en el ultimo minuto para un examen, no retendrà

AL PROFESOR

PREFACIO

Este libro es el producte de mas de medio siglo de liderazgo
e innovación en la ensefíanza de la física. Cuando en 1949 se
publico la primera edición de Física universitària, de Francis
W. Sears y Mark W. Zemansky, su énfasis en los principios
fundamentales de la física y la forma de aplicarlos fue un
aspecte revolucionario entre los libros de la disciplina cuya
base era el calculo. El éxito del libro entre generaciones de
(varios millones) de estudiantes y profesores de todo el mun-
do da testimonio del mérito de este enfoque, y de las muchas
innovaciones posteriores.

Al preparar esta nueva decimosegunda edición, hemos
lando las mejores ideas de la investigación educativa con
respecto a la ensefíanza basada en la resolución de problemas,
la pedagogia visual y conceptual; este libro es el primero que
presenta problemas mejorados en forma sistemàtica, y en uti-
lizar el sistema de tareas y ensefíanza en línea mas garantizado

Lo nuevo en esta edición

• Solución de problemas El celebrado enfoque de cua-
tro pasos para resolver problemas, basado en la inves-
tigación (identificar, plantear, ejecutar y evaluar) ahora
se usa en cada ejemplo resuelto, en la sección de Estra-
tègia para resolver problemas de cada capitulo, y en las
soluciones de los manuales para el profesor y para el es-
tudiante. Los ejemplos resueltos ahora incorporan boce-
tos en blanco y negro para centrar a los estudiantes en
esta etapa crítica: aquella que, según las investigaciones,
los estudiantes tienden a saltar si se ilustra con figuras

• Instrucciones seguidas por pràctica Una trayectoria de
ensefíanza y aprendizaje directa y sistemàtica seguida por
la pràctica, incluye Metas de aprendizaje al principio de
cada capitulo, así como Resúmenes visuales del capitulo
que consolidan cada concepto con palabras, matemàticas
y figuras. Las preguntas conceptuales màs frecuentes en
la sección de Evalúe su comprensión al final de cada sec-
ción ahora usan formatos de opción múltiple y de clasi-
flcación que permiten a los estudiantes la comprobación
instantànea de sus conocimientos.

• Poder didàctico de las figuras El poder que tienen las
figuras en la ensefíanza fue enriquecido con el empleo de
la tècnica de "anotaciones", probada por las investiga-
ciones (comentarios estilo pizarrón integrados en la figura,
para guiar al estudiante en la interpretación de esta), y por
el uso apropiado del color y del detalle (por ejemplo,
en la mecànica se usa el color para centrar al estudian-
te en el objeto de interès al tiempo que se mantiene el
resto de la imagen en una escala de grises sin detalles que
distraigan).

nocido por contener los problemas màs variados y pro-
bados que existen, la decimosegunda edición va màs
allà: ofrece la primera biblioteca de problemas de fí-
sica mejorados de manera sistemàtica con base en el
desempeno de estudiantes de toda la nación. A partir de
este anàlisis, màs de 800 nuevos problemas se integran
al conjunto de 3700 de toda la biblioteca.

• MasteringPhysics™ (www.masteringphysics.com). Lan-
zado con la undécima edición, la herramienta de Mastering-
Physics ahora es el sistema de tareas y ensefíanza en línea
en la educación de la manera màs amplia. Para la deci-
mosegunda edición, MasteringPhysics incorpora un con-
junto de mejoras tecnológicas y nuevo contenido. Ademàs
de una biblioteca de màs de 1200 tutoriales y de todos
los problemas de fin de capitulo, MasteringPhysics ahora
también presenta técnicas específicas para cada Estratègia
para resolver problemas, así como para las preguntas de
la sección de Evalúe su comprensión de cada capitulo.
Las respuestas incluyen los tipos algebraico, numérico y de
opción múltiple, así como la clasificación, elaboración
de gràficas y trazado de vectores y rayos.

Características ela ve de
Física universitària

Una guia para el estudiante Muchos estudiantes de física
tienen dificultades tan solo porque no saben cómo usar su
libro de texto. La sección llamada "Cómo triunfar en física

Organización de los capítulos La primera sección de cada
capitulo es una introducción que da ejemplos específicos del
contenido del capitulo y lo conecta con lo visto antes. Tam-
bién hay una pregunta de inicio del capitulo y una lista de
metas de aprendizaje para hacer que el lector piense en el
tema del capitulo que tiene por delante. (Para encontrar la
respuesta a la pregunta, busque el icono ?) La mayoría de las
secciones terminan con una pregunta para que usted Evalúe
su comprensión, que es de naturaleza conceptual o cuantita-
tiva. Al final de la última sección del capitulo se encuentra
un resumen visual del capitulo de los principios màs impor-
tantes que se vieron en éste, así como una lista de términos
clave que hace referència al número de pàgina en que se pre-
senta cada termino. Las respuestas a la pregunta de inicio del
capitulo y a las secciones Evalúe su comprensión se encuen-
tran después de los términos clave.

Preguntas y problemas Al final de cada capitulo hay un
conjunto de preguntas de repaso que ponen a prueba y am-
plían la comprensión de los conceptos que haya logrado el
estudiante. Después se encuentran los ejercicios, que son

XI

XII

Prefacio

problemas de un solo concepto dirigidos a secciones espe-
cíficas del libro; los problemas por lo general requieren uno
o dos pasos que no son triviales; y los problemas de desafio
buscan provocar a los estudiantes mas persistentes. Los pro-
blemas incluyen aplicaciones a campos tan diversos como
la astrofísica, la biologia y la aerodinàmica. Muchos proble-
mas tienen una parte conceptual en la que los estudiantes
deben analizar y explicar sus resultados. Las nuevas pregun-
tas, ejercicios y problemas de esta edición fueron creados y
organizados por Wayne Anderson (Sacramento City College),
Laird Kramer (Florida International University) y Charlie
Hibbard.

Estrategias para resolver problemas y ejemplos resueltos

Los recuadros de Estratègia para resolver problemas, dis-
tribuidos en todo el libro, dan a los estudiantes tàcticas
específicas para resolver tipos particulares de problemas.
que sienten que "entienden los conceptes però no pueden
resolver los problemas".

Todos los recuadros de la Estratègia para resolver pro-
blemas van después del método IPEE (identificar, plantear,
ejecutar y evaluar) para solucionar problemas. Este enfoque
ayuda a los estudiantes a visualizar cómo empezar con una
situación compleja parecida, identificar los conceptes físicos
relevantes, decidir cuàles herramientas se necesitan para re-
solver el problema, obtener la solución y luego evaluar si el

seguido de uno o mas ejemplos resueltos que ilustran la es-
ejemplos resueltos. Al igual que los recuadros de Estratègia
para resolver problemas, todos los ejemplos cuantitativos
utilizan el método IPEE. Varios de ellos son cualitativos y se
identifican con el nombre de Ejemplos conceptuales.

la ensenanza de la física han sacado a la luz cierto número de
errores conceptuales comunes entre los estudiantes de física
principiantes. Estos incluyen las ideas de que se requiere
fuerza para que haya movimiento, que la corriente elèctrica
"se consume" a medida que recorre un circuito, y que el pro-
ducte de la masa de un objeto por su aceleración constituye
a los lectores sobre estos y otros errores, y explican por qué
està equivocada cierta manera de pensar en una situación
(en la que tal vez ya haya incurrido el estudiante.

Notación y unidades Es frecuente que los estudiantes tengan
res y cuàles no. Para las cantidades vectoriales usamos carac-
teres en cursivas y negritas con una flecha encima, como v,
a y F; los vectores unitarios tales como i van testados con
un acento circunflejo. En las ecuaciones con vectores se em-
plean signos en negritas, +, — , X y =, para hacer énfasis en
la distinción entre las operaciones vectoriales y escalares.

Se utilizan exclusivamente unidades del SI (cuando es
apropiado se incluyen las conversiones al sistema inglés). Se
emplea el joule como la unidad estàndar de todas las formas
de energia, incluida la calorífica.

formatos de curso. Hay material suficiente para uno de tres se-
mestres o de cinco trimestres. La mayoría de los profesores
encontraràn que es demasiado material para un curso de un
semestre, però es fàcil adaptar el libro a planes de estudio de
un ano si se omiten ciertos capítulos o secciones. Por ejemplo,
es posible omitir sin pérdida de continuidad cualquiera o to-
dos los capítulos sobre mecànica de fluidos, sonido, ondas
electromagnéticas o relatividad. En cualquier caso, ningún
profesor debiera sentirse obligado a cubrir todo el libro.

Material complementario
para el profesor

Los manuales de soluciones para el profesor, que preparo
A. Lewis Ford (Texas A&M University), contienen solucio-
nes completas y detalladas de todos los problemas de final
de capitulo. Todas siguen de manera consistente el método de
identificar, plantear, ejecutar y evaluar usado en el libro. El
Manual de soluciones para el profesor, para el volumen 1
cubre los capítulos 1 al 20, y el Manual de soluciones para
el profesor, para los volúmenes 2 y 3 comprende los capí-
tulos 21 a44.

biblioteca exhaustiva de màs de 220 applets de ActivPhysics
OnLine™, así como todas las figuras del libro en formato
JPEG. Ademàs, todas las ecuaciones clave, las estrategias
para resolver problemas, las tablas y los resúmenes de capí-
tulos se presentan en un formato de Word que permite la
edición. También se incluyen preguntas de opción múltiple
semanales para usarlas con varios Sistemas de Respuesta en
Clase (SRC), con base en las preguntas de la sección Evalúe
su comprensión en el libro.

MasteringPhysics™ (www.masteringphysics.com) es el sis-
tema de tareas y ensenanza de la física màs avanzado y efi-
caz y de mayor uso en el mundo. Pone a disposición de los
maestros una biblioteca de problemas enriquecedores de fi-
nal de capitulo, tutoriales socràticos que incorporan varios
tipos de respuestas, retroalimentación sobre los errores, y
ayuda adaptable (que comprende sugerencias o problemas
màs sencillos, si se solicitan). MasteringPhysics™ permite
que los profesores elaboren con rapidez una amplia variedad
ademàs, les da herramientas eficientes para que analicen las
tendencias de la clase — o el trabajo de cualquier estudiante —
con un detalle sin precedente y para que comparen los resul-
tados ya sea con el promedio nacional o con el desempeno de
grupos anteriores.

Cinco lecciones fàciles: estrategias para la ensenanza exi-
tosa de la física por Randall D. Knight (Califòrnia Polytechnic
State University, San Luis Obispo), expone ideas creativas
acerca de cómo mejorar cualquier curso de física. Es una
herramienta invaluable para los maestros tanto principiantes
como veteranos.

Las transparencias contienen màs de 200 figuras clave de
Física universitària, decimosegunda edición, a todo color.

Prefacio

XIII

El Banco de exàmenes incluye mas de 2000 preguntas de
opción múltiple, incluye todas las preguntas del Banco de exà-
menes. Mas de la mitad de las preguntas tienen valores numé-
ricos que pueden asignarse al azar a cada estudiante. Para
tener acceso a este material, consulte a su representante de
Pearson local.

Material complementario
para el estudiante

MasteringPhysics™ (www.masteringphysics.com) es el sis-
(|v|p) estudiós detallados acerca de cómo resuelven pro-
*— ' blemas de física los estudiantes reales y de las àreas
donde requieren ayuda. Los estudiós revelan que los alumnos
que recurren a MasteringPhysics™ mejoran de manera sig-
nifi-cativa sus calificaciones en los exàmenes finales y prue-
bas conceptuales como la del Inventario Force Concept.
Mastering-Physics™ logra esto por medio de dar a los estudi-
antes re-troalimentación instantànea y específica sobre sus
respuestas equivocadas, proponer a solicitud de ellos proble-
mas màs sencillos cuando no logran avanzar, y asignar una
calificación parcial por el método. Este sistema individual-
izado de tutoria las 24 horas de los siete días de la semana es
paneros como el modo màs eficaz de aprovechar el tiempo
para estudiar.

Actv

ActivPhysics OnLine™ (www.masteringphy-
sics.com), incluido ahora en el àrea de autoapren-
dizaje de MasteringPhysics, brinda la biblioteca
màs completa de applets y tutoriales basados en
estos. ActivPhysics OnLine fue creado por el pionero de la
educación Alan Van Heuvelen de Rutgers. A lo largo de
la decimosegunda edición de University Physics hay iconos
que dirigen al estudiante hacia applets específicos en Activ-
Physics OnLine para ayuda interactiva adicional.

Cuadernos de Trabajo de ActivPhysics OnLine™, por

Alan Van Heuvelen, Rutgers y Paul d'Alessandris, Monroe
Community College, presentan una amplia gama de guías para
la ensefianza que emplean los applets de gran aceptación que
ayudan a los estudiantes a desarrollar su comprensión y con-
fianza. En particular, se centran en el desarrollo de la intui-
rien, la elaboración de pronósticos, la prueba experimental
de suposiciones, el dibujo de diagramas eficaces, el entendi-
miento cualitativo y cuantitativo de las ecuaciones clave, así
como en la interpretarien de la información gràfica. Estos
cuadernos de trabajo se usan en laboratorios, tareas o auto-
estudio.

XIV

Prefacio

Pearson Educación agradece a los centros de estudiós y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentación, ele-
mentos fundamentales para esta nueva edición de Física universitària.

MEXICO

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESIME Culhuacàn

Luis Díaz Hernàndez

Miguel Àngel Morales
Pedró Cervantes

UPIICSA

Enrique Alvarez Gonzàlez
Fabiola Martínez Zúniga
Francisco Ramírez Torres

UPIITA

Àlvaro Gordillo Sol
César Luna Munoz
Israel Reyes Ramírez
Jesús Picazo Rojas
Jorge Fonseca Campos

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIÓS SUPERIORES
DE MONTERREY

Campus Chihuahua

Francisco Espinoza Magaíïa
Silvia Prieto

Luis Jaime Neri Vitela

Rosa Maria Gonzàlez Castellàn

Víctor Francisco Robledo Rella

Campus Cuernavaca

Crisanto Castillo

Campus Culiacàn

Juan Bernardo Castaneda

Elena Gabriela Cabral Velàzquez
Elisabetta Crescio
Marcela Martha Villegas Garrido
Pedró Anguiano Rojas
Raül Gómez Castillo
Sergio E. Martínez Casas

Campus Mazatlàn

Eusebio de Jesús Guevara Villegas

Campus Monterrey

Jorge Lomas Trevino

Campus Puebla

Idali Calderón Salas

Campus Querétaro

Juan José Carracedo
Làzaro Barajas De La Torre
Lucio López Cavazos

Campus Santa Fe

Francisco Javier Hernàndez
Martín Pérez Díaz
Norma Elizabeth Olvera

Tecnológico de Estudiós Superiores de Ecatepec

Antonio Silva Martínez

Crispin Ramírez Martínez

Fidel Castro López

Jesús Gonzàlez Lemus

Leticia Vera Pérez

Maria Del Rosario Gonzàlez Banales

Mauricio Javier Zàrate Sànchez

Ornar Pérez Romero

Raúl Nava Cervantes

UNITEC Campus Ecatepec

Inocencio Medina Olivares

Juliàn Rangel Rangel

Lorenzo Martínez Carrillo Garzón

Alberto García Quiroz
Edith Mireya Vargas García
Enrique Cruz Martínez
Gerardo Gonzàlez García
Gerardo Oseguera Pena
Verònica Puente Vera
Víctor Juliàn Tapia García

Michael Picquar

Abraham Viíchis Uribe
Alfredo Sandoval Villalbazo
Anabel Arrieta Ostos
Antonio Gen Mora
Arturo Bailón Martínez
Carmen Gonzàlez Mesa
Claudia Camacho Zúniga
Domitila Gonzàlez Patino
Elsa Fabiola Vàzquez Valencià
Enrique Sànchez y Aguilera
Enrique Téllez Fabiani
Erich Starke Fabris
Esperanza Rojas Oropeza
Francisco Alejandro López Díaz
Guillermo Chacón Acosta
Guillermo Fernàndez Anaya
Gustavo Eduardo Soto de la Vega
Jaime Làzaro Klapp Escribano
Jimena Bravo Guerrero
José Alfredo Heras Gómez
José Fernando Pérez Godínez
José Luis Morales Hernàndez
Juan Cristóbal Càrdenas Oviedo
Lorena Arias Montaho
Maria Alicia Mayela Àvila Martínez
Maria de Jesús Orozco Arellanes
Mariano Bauer Ephrussi
Mario Alberto Rodríguez Meza
Rafael Rodríguez Domínguez
Rodrigo Alberto Rincón Gómez
Silvia Patrícia Ambrosio Cruz

Israel Wood Cano

Agustín Hernàndez
Agustín Pérez Contreras

Prefacio

xv

Aída Gutiérrez

Alberto Sànchez Moreno

Andrea Luisa Aburto

Antonio Pacheco

Armando Pluma

Arturo F. Rodríguez

Beatriz Eugènia Hernàndez Rodríguez

Carlos Octavio Olvera Bermúdez

Edgar Raymundo López Téllez

Elba Karen Sàenz García

Eliseo Martínez

Enrique Villalobos

Espiridión Martínez Díaz

Francisco Javier Rodríguez Gómez

Francisco Miguel Pérez Ramírez

Gabriel Jaramillo Morales

Genaro Mufíoz Hernàndez

Gerardo Ovando Zúniga

Gerardo Solares

Gustavo Contreras Mayén

Heriberto Aguilar Juàrez

Jaime García Ruiz

Javier Gutiérrez S.

Jesús Vicente Gonzalez Sosa

José Carlos Rosete Alvarez

Juan Carlos Cedeíïo Vàzquez

Juan Galindo Muniz

Juan Manuel Gil Pérez

Juan Ríos Hacha

Lanzier Efraín Torres Ortiz

Lourdes Del Carmen Pérez Salazar

Luis Andrés Suàrez Hernàndez

Luis Eugenio Tejeda Calvillo

Luis Flores Juàrez

Luis Humberto Soriano Sànchez

Luis Javier Acosta Bernal

Luis Manuel León Rosano

M. Alejandra Carmona

M. Del Rosario Narvarte G.

Maria Del Carmen Melo

Maria Josefa Labrandero

Martín Bàrcenas Escobar

Nanzier Torres López

Oliverio Octavio Ortiz Olivera

Oscar Rafael San Roman Gutiérrez

Patrícia Goldstein Menache

Ramon Santillàn Ramírez

Rigel Gàmez Leal

Santiago Gómez López

Víctor Manuel Sànchez Esquivel

Javier Ramos Salamanca
Zula Sandoval Villanueva

Alicia Zarzosa Pérez

Carlos Rins Alonso

César Reyes Chàvez

Emilio Orgaz Baque

Hortènsia Caballero López

Israel Santamaría Mata

Karla M. Díaz Gutiérrez

M. Eugènia Ceballos Silva

M. Josefina Becerril Téllez-Girón

M. Pilar Ortega Bernal

Maria Del Rayo Salinas Vàzquez

Marta Rodríguez Pérez

Mauro Cruz Morales

Natàlia de la Torre

Paola B. Gonzalez Aguirre

Praxedis Israel Santamaría Mata

Rodolfo Cobos Téllez

Antonino Pérez
Carlos de la Vega
Héctor Hernàndez
José Mora Ruacho
Juan Carlos Sàenz Carrasco
Raúl Sandoval Jabalera
Ricardo Romero Centeno

Instituto Tecnológico de Chihuahua

Claudio Gonzalez Tolentino
Manuel López Rodríguez

Sergio Flores
Mario Borunda

Miguel Pinet Vàzquez

Instituto Tecnológico de Zacatepec

Fernando Pona Celón
Mateo Sixto Cortez Rodríguez
Nelson A. Mariaca Càrdenas

Instituto Tecnológico de Querétaro

Eleazar García García

Joel Arzate Villanueva

Manuel Francisco Jiménez Morales

Manuel Sànchez Muniz

Marcela Juàrez Ríos

Mario Alberto Montante Garza

Màximo Pliego Díaz

Raúl Vargas Alba

Instituto Tecnológico de Mazatlàn

Jesús Ernesto Gurrola Pena

Luis Antonio Achoy Bustamante

VENEZUELA

Johnny Molleja
José Gómez
Rubén León

UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA (UBA), Maracay

Belkys Ramírez
José Peralta

UNIVERSIDAD CATÒLICA ANDRÉS BELLO (UCAB), Caracas

José Marino.
Oscar Rodríguez
Rafael Degugliemo

xvi Prefacio

Queremos agradecer a los cientos de revisores y colegas que han hecho comentarios y
sugerencias valiosos durante la vida de este libro. El continuo éxito de Física univer-
sitària se debe en gran medida a sus contribuciones.

Edward Adelson (Ohio State University), Ralph Alexander (University of Missouri at Rolla),
J. G. Anderson, R. S. Anderson, Wayne Anderson (Sacramento City College), Alex Azima (Lansing
Community College), Dilip Balamore (Nassau Community College), Harold Bale (University of
North Dakota), Arun Bansil (Northeastern University), John Barach (Vanderbilt University),
J. D. Barnett, H. H. Barschall, Albert Bartlett (University of Colorado), Paul Baum (CUNY, Queens
College), Frederick Becchetti (University of Michigan), B. Bederson, David Bennum (University of
Nevada, Reno), Lev I. Berger (San Diego State University), Robert Boeke (William Rainey Harper
College), S. Borowitz, A. C. Braden, James Brooks (Boston University), Nicholas E. Brown
(Califòrnia Polytechnic State University, San Luis Obispo), Tony Buffa (Califòrnia Polytechnic State
University, San Luis Obispo), A. Capecelatro, Michael Cardamone (Pennsylvania State University),
Duane Carmony (Purdue University), Troy Carter (UCLA), P. Catranides, John Cerne (SUNY at
Buffalo), Roger Clapp (University of South Florida), William M. Cloud (Eastern Illinois University),
Leonard Cohen (Drexel University), W. R. Coker (University of Texas, Austin), Malcolm D. Cole
(University of Missouri at Rolla), H. Conrad, David Cook (Lawrence University), Gayl Cook
(University of Colorado), Hans Courant (University of Minnesota), Bruce A. Craver (University of
Dayton), Larry Curtis (University of Toledo), Jai Dahiya (Southeast Missouri State University),
Steve Delweiler (University of Florida), George Dixon (Oklahoma State University), Donald S.
Duncan, Boyd Edwards (West Virginia University), Robert Eisenstein (Carnegie Mellon University),
Amy Emerson Missourn (Virginia Institute of Technology), William Faissler (Northeastern Univer-
sity), William Fasnacht (U.S. Naval Academy), Paul Feldker (St. Louis Community College), Carlos
Figueroa (Cabrillo College), L. H. Fisher, Neil Fletcher (Florida State University), Robert Folk,
Peter Fong (Emory University), A. Lewis Ford (Texas A&M University), D. Frantszog, James R.
Gaines (Ohio State University), Solomon Gartenhaus (Purdue University), Ron Gautreau (New
Jersey Institute of Technology), J. David Gavenda (University of Texas, Austin), Dennis Gay
(University of North Florida), James Gerhart (University of Washington), N. S. Gingrich,
J. L. Glathart, S. Goodwin, Rich Gottfried (Frederick Community College), Walter S. Gray
(University of Michigan), Paul Gresser (University of Maryland), Benjamin Grinstein (UC San
Diego), Howard Grolch (Pennsylvania State University), John Gruber (San José State University),
Graham D. Gutsche (U.S. Naval Academy), Michael J. Harrison (Michigan State University),
Harold Hart (Western Illinois University), Howard Hayden (University of Connecticut), Carl Helrich
(Goshen College), Laurent Hodges (Iowa State University), C. D. Hodgman, Michael Hones
(Villanova University), Keith Honey (West Virginia Institute of Technology), Gregory Hood
(Tidewater Community College), John Hubisz (North Carolina State University), M. lona, John
Jaszczak (Michigan Technical University), Alvin Jenkins (North Carolina State University), Robert
P Johnson (UC Santa Cruz), Lorella Jones (University of Illinois), John Karchek (GMI Engineering
& Management Institute), Thomas Keil (Worcester Polytechnic Institute), Robert Kraemer (Carnegie
Mellon University), Jean P. Krisch (University of Michigan), Robert A. Kromhout, Andrew Kunz
(Marquette University), Charles Lane (Berry College), Thomas N. Lawrence (Texas State
University), Robert J. Lee, Alfred Leilner (Rensselaer Polytechnic University), Gerald P. Lietz
(De Paul University), Gordon Lind (Utah State University), S. Livingston, Elihu Lubkin (University
of Wisconsin, Milwaukee), Robert Luke (Boise State University), David Lynch (Iowa State Univer-
sity), Michael Lysak (San Bernardino Valley College), Jeffrey Mallow (Loyola University), Robert
Mania (Kentucky State University), Robert Marchina (University of Memphis), David Markowitz
(University of Connecticut), R. J. Maurer, Oren Maxwell (Florida International University), Joseph
L. McCauley (University of Houston), T. K. McCubbin, Jr. (Pennsylvania State University), Charles
McFarland (University of Missouri at Rolla), James Mcguire (Tulane University), Lawrence
Mclntyre (University of Arizona), Fredric Messing (Carnegie-Mellon University), Thomas Meyer
(Texas A&M University), Andre Mirabelli (St. Peter's College, New Jersey), Herbert Muether
(S.U.N.Y, Stony Brook), Jack Munsee (Califòrnia State University, Long Beach), Lorenzo Narducci
(Drexel University), Van E. Neie (Purdue University), David A. Nordling (U. S. Naval Academy),
Benedict Oh (Pennsylvania State University), L. O. Olsen, Jim Pannell (DeVry Institute of Technol-
°gyX W. F. Parks (University of Missouri), Robert Paulson (Califòrnia State University, Chico),
Jerry Peacher (University of Missouri at Rolla), Arnold Perlmutter (University of Miami), Lennart
Peterson (University of Florida), R. J. Peterson (University of Colorado, Boulder), R. Pinkston,
Ronald Poling (University of Minnesota), J. G. Potter, C. W. Price (Millersville University), Francis
Prosser (University of Kansas), Shelden H. Radin, Michael Rapport ( Anne Arundel Community
College), R. Resnick, James A. Richards, Jr., John S. Risley (North Carolina State University),
Francesc Roig (University of Califòrnia, Santa Bàrbara), T. L. Rokoske, Richard Roth (Eastern
Michigan University), Carl Rotter (University of West Virginia), S. Clark Rowland (Andrews
University), Rajarshi Roy (Geòrgia Institute of Technology), Russell A. Roy (Santa Fe Community
College), Dhiraj Sardar (University of Texas, San Antonio), Bruce Schumm (UC Santa Cruz),
Melvin Schwartz (St. John's University), F. A. Scott, L. W. Seagondollar, Paul Shand (University of
Northern Iowa), Stan Shepherd (Pennsylvania State University), Douglas Sherman (San José State),
Bruce Sherwood (Carnegie Mellon University), Hugh Siefkin (Greenville College), Tomasz
Skwarnicki (Syracuse University), C. P. Slichter, Charles W. Smith (University of Maine, Orono),
Malcolm Smith (University of Lowell), Ross Spencer (Brigham Young University), Julien Sprott
(University of Wisconsin), Victor Stanionis (lona College), James Stith (American Institute of
Physics), Chuck Stone (North Carolina A&T State University), Edward Strother (Florida Institute of

Prefacio xvii

Martin Tiersten (CUNY, City College), David Toot (Alfred University), Somdev Tyagi (Drexel Uni-
versity), F. Verbrugge, Helmut Vogel (Carnegie Mellon University), Robert Webb (Texas A & M),
Thomas Weber (Iowa State University), M. Russell Wehr, (Pennsylvania State University), Robert
Weidman (Michigan Technical University), Dan Whalen (UC San Diego), Lester V. Whitney,
Thomas Wiggins (Pennsylvania State University), David Willey (University of Pittsburgh,
Johnstown), George Williams (University of Utah), John Williams (Auburn University), Stanley
Williams (Iowa State University), Jack Willis, Suzanne Willis (Northern Illinois University), Robert
Wilson (San Bernardino Valley College), L. Wolfenstein, James Wood (Palm Beach Júnior College),
Lowell Wood (University of Houston), R. E. Worley, D. H. Ziebell (Manatee Community College),
George O. Zimmerman (Boston University)

Quiero dar gracias de todo corazón a mis colegas de Carnegie Mellon, en especial a
los profesores Robert Kraemer, Bruce Sherwood, Ruth Chabay, Helmut Vogel y
Brian Quinn, por las muchas conversaciones estimulantes sobre pedagogia de la
física y su apoyo y animo durante la escritura de las ediciones sucesivas de este libro.
También estoy en deuda con las muchas generaciones de estudiantes de Carnegie
Mellon que me ayudaron a aprender lo que es la buena ensenanza y la correcta escri-
tura, al mostrarme lo que funciona y lo que no. Siempre es un gusto y un privilegio
expresar mi gratitud a mi esposa Alice y nuestros hijos Gretchen y Rebecca por su
amor, apoyo y sostén emocional durante la escritura de las distintas dediciones del
libro. Que todos los hombres y mujeres sean bendecidos con un amor como el de
ellos. — H.D.Y.

Me gustaria agradecer a mis colegas del pasado y el presente en UCSB, incluyendo
a Rob Geller, Carl Gwinn, Al Nash, Elisabeth Nicol y Francesc Roig, por su apoyo
sincero y sus abundantes y útiles plàticas. Tengo una deuda de gratitud en especial
con mis primeros maestros Willa Ramsay, Peter Zimmerman, William Little, Alan
Schwettman y Dirk Walecka por mostrarme qué es una ensenanza clara y cautivadora
de la física, y con Stuart Johnson por invitarme a ser coautor de Física Universitària a
partir de la novena edición. Quiero dar gracias en especial al equipo editorial de Addi-
son Wesley y a sus socios: Adam Black por su visión editorial; Margot Otway por su
gran sentido gràfico y cuidado en el desarrollo de esta edición; a Peter Murphy y Carol
Reitz por la lectura cuidadosa del manuscrito; a Wayne Anderson, Charlie Hibbard,
Laird Kramer y Larry Stookey por su trabajo en los problemas de final de capitulo; y
a Laura Kenney, Chandrika Madhavan, Nancy Tabor y Pat McCutcheon por mantener
el flujo editorial y de producción. Agradezco a mi padre por su continuo amor y apoyo
y por conservar un espacio abierto en su biblioteca para este libro. Sobre todo, expreso
mi gratitud y amor a mi esposa Caroline, a quien dedico mi contribución al libro. Hey,
Caroline, alfln termino la nueva edición. ;Vdmonos a volar! - R.A.F.

Por favor, díganos lo que piensa...

Son bienvenidos los comunicados de estudiantes y profesores, en especial sobre
errores y deficiencias que encuentren en esta edición. Hemos dedicado mucho tiempo
y esfuerzo a la escritura del mejor libro que hemos podido escribir, y esperantos que
le ayude a ensefiar y aprender física. A la vez, usted nos puede ayudar si nos hace
saber qué es lo que necesita mejorarse... Por favor, siéntase en libertad para ponerse
en contacto con nosotros por via electrònica o por correo ordinario. Sus comentarios

Octubre de 2006

HughD. Young Roger A. Freedman

Departamento de Física Departamento de Física

Carnegie Mellon University University of Califòrnia, Santa Bàrbara

Pittsburgh, PA 15213 Santa Bàrbara, CA 93106-9530

hdy@andrew.cmu.edu airboy@physics.ucsb.edu

http://www.physics.ucsb.edu/~airboy/

CONTENIDO

ELECTROMAGNETISMO

21

21.1
21.2
21.3
21.4
21.5
21.6
21.7

22

22.1
22.2
22.3
22.4
22.5

23

23.1
23.2
23.3
23.4
23.5

24

24.1
24.2
24.3

24.4
*24.5
*24.6

25

CARGA ELÈCTRICA

25.1

Y CAMPO ELÉCTRICO

709

25.2
25.3

Carga elèctrica

710

25.4

Conductores, aislantes y cargas inducidas

713

25.5

Ley de Coulomb

716

*25.6

El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

721

Càlculos de campos eléctricos

727

Líneas de campo eléctrico

733

Dipolos eléctricos

735

Resumen/Términos clave

739

Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

26

26.1

LEY DE GAUSS

750

26.2

Carga y flujo eléctrico

750

26.3
26.4
26.5

Calculo del flujo eléctrico

753

Ley de Gauss

757

Aplicaciones de la ley de Gauss

761

Cargas en conductores

767

Resumen/Términos clave

772

Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

POTENCIAL ELÉCTRICO 780

Energia potencial elèctrica 780

Potencial eléctrico 787

Calculo del potencial eléctrico 794

Superfícies equipotenciales 798

Resumen/Términos clave 804
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

CAPACITANCIA

Y DIELÉCTRICOS 815

Capacitores y capacitancia 816

Capacitares en sèrie y en paralelo 820
Almacenamiento de energia en capacitores

y energia de campo eléctrico 824

Dieléctricos 828

Modelo molecular de la carga inducida 833

La Ley de Gauss en los dieléctricos 835

Resumen/Términos clave 837
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

CORRIENTE, RESISTÈNCIA Y
FUERZA ELECTROMOTRIZ

Corriente elèctrica

Resistència

Fuerza electromotriz y circuitos

Energia y potencia en circuitos eléctricos

Teoria de la conducción metàlica

Resumen/Términos clave

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

CIRCUITOS DE CORRIENTE
DIRECTA

Resistores en sèrie y en paralelo
Reglas de Kirchhoff
Instrumentos de medición elèctrica
Circuitos R-C

Sistemas de distribución de energia
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

O 7 CAMPO MAGNETICO Y
^ ' FUERZAS MAGNÉTICAS

846

847
850
853
857
863
867
871

881

881
886
891
896
900
905

916

27.1

Magnetismo

916

27.2

Campo magnético

918

27.3

Líneas de campo magnético y

flujo magnético

922

27.4

en un campo magnético

925

27.5

Aplicaciones del movimiento de

929

27.6

Fuerza magnètica sobre un conductor

que transporta corriente

932

27.7

Fuerza y par de torsión en una espira

de corriente

935

: 27.8

El motor de corriente directa

941

: 27.9

El Efecto Hall

943

Resumen/Términos clave

945

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

?&

FUENTES DE CAMPO

L,0

MAGNÉTICO

957

28.1

Campo magnético de una carga

en movimiento

957

Contenido

XIX

28.2

Campo magnético de un elemento

de corriente

960

^2

28.3

Campo magnético de un conductor

«J L•

que transporta corriente

962

32.1

28.4

Fuerza entre alambres paralelos

965

28.5

Campo magnético de una espira circular

32.2

de corriente

967

28.6

Ley de Ampère

969

32.3

28.7

Aplicaciones de la ley de Ampère

973

32.4

; 28.8

Materiales magnéticos

976

Resumen/Términos clave

982

32.5

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

29

29.1
29.2
29.3
29.4
29.5
*29.6
29.7

*29.8

30

30.1
30.2
30.3
30.4
30.5
30.6

31

31.1
31.2
31.3
31.4

31.5

31.6

INDUCCION
ELECTROMAGNÈTICA

993

Potencia en circuitos de corriente

alterna 1074

Resonancia en los circuitos de

corriente alterna 1077

Resumen/Términos clave 1084

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS 1092

Ecuaciones de Maxwell y

ondas electromagnéticas 1093

Ondas electromagnéticas planas

y rapidez de la luz 1096

Ondas electromagnéticas sinusoidales 1101

de las ondas electromagnéticas 1106

Ondas electromagnéticas estacionarias 1111

Resumen/Términos clave 1115

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

Experimentos de inducción

994

,

996

OPI

Ley de Lenz

1004

Fuerza electromotriz de movimiento

1006

o 1

Campos eléctricos inducidos

1008

3d

Comentes paràsitas

1011

Corriente de desplazamiento y

33.1

ecuaciones de Maxwell

1013

33.2

1017

33.3

Resumen/Términos clave

1019

*33.4

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

33.5

Problemas

*33.6
33.7

INDUCTANCIA

1030

Inductancia mútua

1030

Autoinductancia e inductores

1034

*~\ A

Energia del campo magnético

1038

34

El circuito R-L

1041

El circuito L-C

1045

34.1

El circuito L-R-C en sèrie

1049

Resumen/Términos clave

1052

34.2

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

34.3

Problemas

34.4

34.5

CORRIENTE ALTERNA

1061

34.6

34.7

Fasores y comentes alternas

1061

34.8

Resistència y reactancia

1064

El circuito L-R-C en sèrie

1070

35

35.1

35.2

NATURALEZA Y

PROPAGACIÓN DE LA LUZ 1121

La naturaleza de la luz 1121

Reflexión y refracción 1123

Reflexión interna total 1129

Dispersión 1132

Polarización 1133

Dispersión de la luz 1142

Principio de Huygens 1144

Resumen/Términos clave 1147
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

ÒPTICA GEOMÈTRICA 1157

Reflexión y refracción en una

superfície plana 1157

Reflexión en una superfície esfèrica 1161

Refracción en una superfície esfèrica 1 169

Càmaras fotogràficas 1182

Elojo 1185

La lente de aumento 1189

Microscopios y telescopios 1191

Resumen/Términos clave 1196
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

INTERFERÈNCIA 1207

Interferència y fuentes coherentes 1208

Interferència de la luz procedente

de dos fuentes 1211

XX

Contenido

35.3

38.5

de interferència

1214

38.6

35.4

1218

38.7

35.5

El interferómetro de Michelson

1224

38.8

Resumen/Términos clave

1227

38.9

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

36

DIFRACCION

FÍSICA moderna

37

37.1
37.2
37.3
37.4
37.5
*37.6

37.7
37.8
37.9

1234

36. 1 Difracción de Fresnel y Fraunhofer

36.2 Difracción desde una sola ranura

36.3 Intensidad en el patrón de una sola
ranura

36.4 Ranuras múltiples

36.5 Rejilla de difracción

36.6 Difracción de rayos x

36.7 Aberturas circulares y poder de
resolución

*36.8 Holografia

Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

1235

^

1236

1239

39.1

1243

39.2

1246

39.3

1250

39.4

39.5

Relatividad de los intervalos de tiempo
Transformaciones de Lorentz
Efecto Doppler en ondas
electromagnéticas
Trabajo y energia relativistas
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

1268

1268
1272
1274
1278
1283

1287
1289
1292
1295
1298

38

38.1
38.2
38.3

38.4

FOTONES, ELECTRONES

Y ÀTOMOS

1307

Emisión y absorción de la luz

1307

El efecto fotoeléctrico

1309

Espectros atómicos de líneas y niveles

de energia

1314

El àtomo nuclear

1319

40

40.1
40.2
40.3
40.4
40.5

41

41.1
41.2
41.3
41.4

41.5

42

El modelo de Bohr

El làser

Producción y dispersión de rayos x

Espectros continuos

Resumen/Términos clave

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

LA NATURALEZA
ONDULATORIA DE
LAS PARTÍCULAS

Ondas de De Broglie
Difracción de electrones
El microscopio electrónico
Funciones de onda y la ecuación
de Schrodinger
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

MECÀNICA CUANTICA

Partícula en una caja
Pozos de potencial
Barreras de potencial y tunelamiento
Problemas tridimensionales
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

ESTRUCTURA ATÒMICA

El àtomo de hidrógeno

El efecto Zeeman

Espín del electrón

Atomos con muchos electrones

y el principio de exclusión

Espectros de rayos x

Resumen/Términos clave

Preguntas para anàlisis/Ejercicios

Problemas

MOLECULAS Y MATÈRIA

1322
1327
1330
1334
1338
1340

1349

1350
1352
1355
1360

1361
1368

1375

1375
1380
1384
1387
1392
1394

1401

1401
1409
1413

1417
1423
1427

42. 1 Clases de enlaces moleculares

42.2 Espectros moleculares

42.3 Estructura de los sólidos

1433

1433
1436
1441

Contenido

XXI

42.4 Bandas de energia

42.5 Modelo de electrones libres
para los metales

42.6 Semiconductores

42.7 Dispositivos con semiconductores

Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

4vJ FÍSICA NUCLEAR

43.2 Enlace nuclear y estructura nuclear

43.5 Efectos biológicos de la radiación

43.6 Reacciones nucleares

43.7 Fisión nuclear

43.8 Fusión nuclear
Resumen/Términos clave
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

1445

1447
1452
1455
1460
1461

1468

1468
1473
1478
1485
1489
1492
1494
1498
1502

44

44.1
44.2
44.3
44.4
44.5
44.6
44.7

FÍSICA de particulas

Y COSMOLOGÍA 1509

Las particulas fundamentales y su historia 1509

Aceleradores y detectores de particulas 1514

Particulas e interacciones 1519

Los quarks y las ocho maneras 1525

El modelo estàndar y mas allà 1530

El Universo en expansión 1532

El principio del tiempo 1538

Resumen/Términos clave 1547
Preguntas para anàlisis/Ejercicios
Problemas

Apéndices A-l

Respuestas a los problemas con número impar A-9

Créditos de fotografías C-l

Indice 1-1

CARGA ELÈCTRICA Y
CAMPO ELÉCTRICO

■ El agua hace posible
la vida. Las células de
su cuerpo no podrían
funcionar sin agua
donde se disolvieran
las moléculas
biológicas esenciales.
eléctricas del agua
la hacen tan buen
solvente?

En el capitulo 5 mencionamos brevemente las cuatro clases de fuerzas funda-
mentales. Hasta este momento, la única de tales fuerzas que hemos estudiado
con cierto detalle es la gravitatoria. Ahora estamos listos para analizar la fuer-
za del electromagnetismo, que incluye tanto la electricidad como el magnetisme Los
fenómenos del electromagnetismo ocuparan nuestra atención en la mayoría de lo que
resta del libro.

Las interacciones del electromagnetismo implican partículas que tienen una pro-
piedad llamada carga elèctrica, es decir, un atributo que es tan fundamental como la
masa. De la misma forma que los objetos con masa son acelerados por las fuerzas
fuerzas eléctricas. La descarga elèctrica inesperada que usted siente cuando de frota
sus zapatos contra una alfombra, y luego toca una perilla metàlica, se debe a partícu-
las cargadas que saltan de su dedo a la perilla. Las comentes eléctricas como las de
un relàmpago o una televisión tan solo son flujos de partículas cargadas, que corren
por cables en respuesta a las fuerzas eléctricas. Incluso las fuerzas que mantienen uni-
dos a los àtomos y que forman la matèria solida, evitando que los àtomos de objetos
sólidos se atraviesen entre sí, se deben en lo fundamental a interacciones eléctricas
entre las partículas cargadas en el interior de los àtomos.

En este capitulo comenzamos nuestro estudio del electromagnetismo con el anàli-
sis de la naturaleza de la carga elèctrica, la cual està cuantizada y obedece cierto prin-
cipio de conservación. Después pasaremos al estudio de las interacciones de las
cargas eléctricas en reposo en nuestro marco de referència, llamadas interacciones
electrostàticas, y que tienen muchísima importància en la química y la biologia, ade-
màs de contar con diversas aplicaciones tecnológicas. Las interacciones electrostàti-
cas se rigen por una relación sencilla que se conoce como ley de Coulomb, y es
mucho màs conveniente describirlas con el concepto de campo eléctrico. En capítulos
posteriores incluiremos en nuestro anàlisis cargas eléctricas en movimiento, lo que
nos llevarà a entender el magnetismo y, en forma notable, la naturaleza de la luz.

Si bien las ideas clave del electromagnetismo son sencillas en lo conceptual, su
aplicación a cuestiones pràcticas requerirà muchas de nuestras destrezas matemàticas,

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprenderà:

• La naturaleza de la carga elèctrica
y cómo sabemos que esta se
conserva.

• Cómo se cargan eléctricamente
los objetos.

• Cómo usar la ley de Coulomb
para calcular la fuerza elèctrica
entre cargas.

• La diferencia entre fuerza elèctrica
y campo eléctrico.

• Cómo calcular el campo eléctrico
cargas.

• Cómo usar la idea de las líneas de
campo eléctrico para visualizar e
interpretar los campos eléctricos.

de los dipolos eléctricos.

709

710

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

en especial el conocimiento de la geometria y del calculo integral. Por esta razón, el
lector vera que este capitulo y los siguientes son mas demandantes en cuanto a nivel
matemàtico que los anteriores. La recompensa por el esfuerzo adicional serà una me-
jor comprensión de los principios que se encuentran en el corazón de la física y la tec-
nologia modernas.

21.1 Carga elèctrica

En una època tan remota como 600 a.c, los griegos de la antigüedad descubrieron
que cuando frotaban àmbar contra lana, el àmbar atraía otros objetos. En la actualidad
decimos que con ese frotamiento el àmbar adquiere una carga elèctrica neta o que se
carga. La palabra "eléctrico" se deriva del vocablo griego elektron, que significa àm-
bar. Cuando al caminar una persona frota sus zapatos sobre una alfombra de nailon,
se carga eléctricamente; también carga un peine si lo pasa por su cabello seco.

Las varillas de plàstico y un trozo de piel (verdadera o falsa) son especialmente
buenos para demostrar la electrostàtica, es decir, la interacción entre cargas eléctri-
cas en reposo (o casi en reposo). La figura 21.1a muestra dos varillas de plàstico y un
trozo de piel. Observamos que después de cargar las dos varillas frotàndolas contra
un trozo de piel, las varillas se repelen.

Cuando frotamos varillas de vidrio con seda, las varillas de vidrio también se car-
gan y se repelen entre sí (figura 21.1b). Sin embargo, una varilla de plàstico cargada
atrae otra varilla de vidrio también cargada; ademàs, la varilla de plàstico y la piel se
atraen, al igual que el vidrio y la seda (figura 21.1c).

Estos experimentos y muchos otros parecidos han demostrado que hay exacta-
mente dos tipos de carga elèctrica: la del plàstico cuando se frota con piel y la del vi-
drio al frotarse con seda. Benjamín Franklin (1706-1790) sugirió llamar a esas dos
clases de carga negativa y positiva, respectivamente, y tales nombres aún se utilizan.
La varilla de plàstico y la seda tienen carga negativa; en tanto que la varilla de vidrio
y la piel tienen carga positiva.

Dos cargas positivas se repelen entre sí, al igual que dos cargas negativas. Una carga
positiva y una negativa se atraen.

21.1 Experimentos de electrostàtica. a) Los objetos cargados negativamente se repelen entre sí. b) Los objetos cargados positivamente
se repelen entre sí. c) Los objetos con carga positiva se atraen con los objetos que tienen carga negativa.

a) Interacción entre varillas de plàstico
cuando se frotan con piel

Dos varillas de plàstico
simples ni se atraen
ni se repelen . . .

. . . però después
de frotarlas con
piel, las varillas
se repelen.

b) Interacción entre varillas de vidrio
cuando se frotan con seda

Dos varillas de vidrio
simples ni se atraen
ni se repelen entre sí . . .

. . . però después

de frotarlas con seda,

las varillas se repelen.

c) Interacción entre objetos con cargas opuestas

La varilla de plàstico

\ \ frotada con piel y / /

\ \ la varilla de / /

\ \ vidrio frotada / /

con seda / /

se atraen . . . / /

y la piel y el vidrio
a la varilla
-yj\ que frotaron.

21.1 Carga elèctrica

711

21 .2 Esquema de la operación de una impresora làser.

(^) El rayo làser "escribe" sobre el tambor, con lo que
carga negativamente las àreas donde estarà la imagen.

(T) Un conductor esparce iones sobre el tambor,
dàndole a éste una carga positiva.

(6) La làmpara descarga el tambor
para dejarlo listo para iniciar
de nuevo el proceso.

(V) Los rodillos de fusión calientan
el papel para que la tinta

permanente. ^ fi I

■Tinta (con carga positiva)

(3) El rodillo aplica al tambor tinta cargada

positivamente. La tinta se adhiere solo
+ a las àreas del tambor con carga negativa

donde el làser "escribió".

^^ Papel (se alimenta

hacia la izquierda)
(4) Los conductores esparcen una carga

negativa màs fuerte sobre el papel

para que la tinta se adhiera.

CUIDADO Atracción y repulsión eléctricas En ocasiones, la atracción y la repulsión
de dos objetos cargados se resume como "cargas iguales se repelen, y cargas opuestas se
atraen". Sin embargo, tenga en cuenta que la frase "cargas iguales" no significa que las dos car-
gas sean idénticas, sinó solo que ambas carga tienen el mismo signo algebraico (ambas positi-
vas o ambas negativas). La expresión "cargas opuestas" quiere decir que los dos objetos tienen
carga elèctrica de signos diferentes (una positiva y la otra negativa).

Una aplicación tecnològica de las fuerzas entre cuerpos cargados es una impre-
sora làser (figura 21.2). Al inicio del proceso de impresión, se da una carga positiva
al tambor formador de imàgenes que es sensible a la luz. Mientras el tambor gira,
un rayo làser ilumina àreas seleccionadas del tambor, lo cual deja tales àreas con
carga negativa. Partículas cargadas positivamente de la tinta se adhieren solo en las
superfícies del tambor en que el làser "escribió". Cuando una hoja del papel entra
en contacto con el tambor, partículas de la tinta se adhieren a la hoja y forman la
imagen.

21.3 La estructura de un àtomo.
El àtomo que se ilustra es el de litio
(véase la figura 21.4a).

Carga elèctrica y la estructura de la matèria

Cuando se carga una varilla frotàndola con piel o con seda, como en la figura 21.1, no
hay ningún cambio visible en la apariencia de la varilla. Entonces, ^qué es lo que
realmente sucede a la varilla cuando se carga? Para responder esta pregunta, debemos
analizar màs de cerca la estructura y las propiedades eléctricas de los àtomos, que son
los bloques que constituyen la matèria ordinària de todas clases.

La estructura de los àtomos se describe en términos de tres partículas: el elec-
trón, con carga negativa; el protón, cuya carga es positiva; y el neutrón, sin carga
(figura 21.3) El protón y el neutrón son combinaciones de otras entidades llama-
das quarks, que tienen cargas de ±\ y ±§ de la carga del electrón. No se han obser-
vado quarks aislados, y no hay razones teóricas para suponer que en principio esto
sea imposible.

Los protones y los neutrones en un àtomo forman el núcleo, pequeno y muy den-
so, cuyas dimensiones son del orden de 1(T 15 m. Los electrones rodean al núcleo a
distancias del orden de 1(T 10 m. Si un àtomo midiera algunos kilómetros de diàme-
tro, su núcleo tendría el tamafío de una pelota de tenis. Los electrones cargados ne-
gativamente se mantienen dentro del àtomo gracias a fuerzas eléctricas de atracción
que se extienden hasta ellos, desde el núcleo con carga positiva. (Los protones y los
neutrones permanecen dentro del núcleo estable de los àtomos, debido al efecto de
atracción de la fuerza nuclear fuerte, que vence la repulsión elèctrica entre los proto-
nes. La fuerza nuclear fuerte es de corto alcance, por lo que sus efectos no llegan
màs allà del núcleo.)

Àtomo

(^ La mayoría
del volu-
— IOT 10 m-> men del àtomo

f escasamente
por electrones.

Núcleo

(H^ Diminuto en comparación
con el resto del àtomo,
^^ QJp el núcleo contiene màs
del 99.9% de su masa.

í X

-l(T 15 m

Protón: carga positiva

Masa - 1.673 X 10" 27 1

Neutrón: sin carga

Masa = 1.675 X 10" 27 1

w Electrón: carga negativa

Masa - 9.109 X 10" 31 kg

Las cargas del electrón y del
protón tienen igual magnitud.

712

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

21.4 a) Un atomo neutró tiene tantos
electrones como protones. b) Un ion
positivo tienen un dèficit de electrones.
c) Un ion negativo tiene exceso de
electrones. (Las "órbitas" son una
representación esquemàtica de la
distribución real de los electrones,
que es una nube difusa muchas veces
mayor que el núcleo.)

Q Protones ( + ) Neutrones
O Electrones (— )

a) Àtomo neutró de litio (Li): b) Ion positivo de litio (Li + ): c) Ion negativo de litio (Li - ):

3 protones (3 + ) 3 protones (3 + ) 3 protones (3 + )

4 neutrones 4 neutrones 4 neutrones

3 electrones (3 — ) 2 electrones (2 — ) 4 electrones (4 — )

Los electrones igualan a los
protones: carga neta cero.

Menos electrones que
protones: carga neta positiva.

Mas electrones que protones:
carga neta negativa.

Las masas de las partículas individuales, con la precisión que se conocen actual-
mente, son

Masa del electrón = m e = 9.1093826(16) X 1(T 31 kg
Masa del protón = m p = 1.67262171(29) X 1(T 27 kg
Masa del neutrón = m n = 1.67492728(29) X 1CT 27 kg

Los números entre parèntesis son las incertidumbres en los dos últimos dígitos. Ob-
serve que las masas del protón y del neutrón son casi iguales y aproximadamente
2000 veces la masa del electrón. Mas del 99.9% de la masa de cualquier àtomo se
concentra en el núcleo.

La carga negativa del electrón tiene (dentro del error experimental) exactamente la
misma magnitud que la carga positiva del protón. En un àtomo neutral, el número de
electrones es igual al número de protones en el núcleo; en tanto que la carga elèctrica
neta (la suma algebraica de todas las cargas) es exactamente igual a cero (figura
21.4a). El número de protones o electrones en un àtomo neutró de un elemento se de-
nomina número atómico del tal elemento. Si se pierden uno o mas electrones, la es-
tructura con carga positiva que queda se llama ion positivo (figura 21.4b). Un àtomo
negativo es aquel que ha ganado uno o màs electrones (figura 21.4c). Tal ganancia o
pérdida de electrones recibe el nombre de ionización.

Cuando el número total de protones en un cuerpo macroscópico es igual al núme-
ro total de electrones, la carga total es igual a cero y el cuerpo en su totalidad es eléc-
tricamente neutró. Para dar a un cuerpo una carga excedente negativa, se puede tanto
sumar cargas negativas como eliminar cargas positivas de dicho cuerpo. En forma
similar, un exceso de carga positiva se crea cuando se agregan cargas positivas, o
cuando se eliminan cargas negativas. En la mayoría de casos, se agregan o se elimi-
nan electrones con carga negativa (y muy móviles); un "cuerpo cargado positivamen-
te" es aquel que ha perdido algunos de su complemento normal de electrones.
Cuando hablamos de la carga de un cuerpo, siempre nos referimos a su carga neta, la
cual siempre es una fracción muy pequena (comúnmente no mayor de 10~ 12 ) de la car-
ga total positiva o negativa en el cuerpo.

La carga elèctrica se conserva

En el anàlisis anterior hay implícitos dos principios muy importantes. El primera es el
principio de conservación de la carga:

La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema cerrado es
constante.

Si se frota una varilla de plàstico con un trozo de piel, ambas sin carga al inicio, la va-
rilla adquiere una carga negativa (pues toma electrones de la piel), y la piel adquiere
una carga positiva de la misma magnitud (ya que ha perdido el mismo número de

21.2 Conductores, aislantes y cargas inducidas 713

electrones que ganó la varilla). De ahí que no cambie la carga elèctrica total en los
dos cuerpos tornados en conjunto. En cualquier proceso de carga, esta no se crea ni se
destruye, solo se transfiere de un cuerpo a otro.

Se considera que el principio de conservación de la carga es una ley universal,
pues no se ha observado ninguna evidencia experimental de que se contravenga. Aun
en las interacciones de alta energia donde se crean y destruyen partículas, como en la
creación de pares electrón-positrón, la carga total de cualquier sistema cerrado es
constante con toda exactitud.

El segundo principio importante es:

La magnitud de la carga del electrón o del protón es la unidad natural de carga.

Toda cantidad observable de carga elèctrica siempre es un múltiplo entero de esta uni-
dad bàsica. Decimos que la carga està cuantizada. Un ejemplo de cuantización que
resulta familiar es el dinero. Cuando se paga en efectivo por un articulo en una tienda,
hay que hacerlo en incrementos de un centavo. El dinero no se puede dividir en canti-
dades menores de un centavo; en tanto que la carga elèctrica no se divide en cantida-
des menores que la carga de un electrón o un protón. (Es probable que las cargas de
los quarks, de ±j y ±f, no sean observables como cargas aisladas.) Entonces, la car-
ga de cualquier cuerpo macroscópico siempre es igual a cero o a un múltiplo entero
(negativo o positivo) de la carga del electrón.

La comprensión de la naturaleza elèctrica de la matèria abre la perspectiva de mu-
chos aspectos del mundo físico (figura 21.5). Los enlaces químicos que mantienen
unidos a los àtomos para formar moléculas se deben a las interacciones eléctricas en-
tre ellos. Incluyen los enlaces iónicos fuertes que unen a los àtomos de sodio y cloro
para formar la sal de mesa, y los enlaces relativamente débiles entre las cadenas de
DNA que contienen nuestro código genético. La fuerza normal que ejerce sobre usted
la silla en que se sienta proviene de fuerzas eléctricas entre las partículas cargadas, en
los àtomos de usted y los de la silla. La fuerza de tensión en una cuerda que se estira y
la fuerza de adhesión de un pegamento se parecen en que se deben a las interacciones
eléctricas de los àtomos.

21.5 La mayoría de las fuerzas que
actúan sobre este esquiador acuàtico son
eléctricas. Las interacciones eléctricas
fuerza del agua sobre el esquí, la tensión
en la cuerda y la resistència del aire sobre el
cuerpo del individuo. Las interacciones
eléctricas también mantienen juntos
los àtomos del cuerpo del esquiador.
Solo hay una fuerza por completo ajena
a la elèctrica que actua sobre el esquiador:

Evalúe su comprensión de la sección 21.1 à) Estrictatnente hablando,
(,1a varilla de plàstico de la figura 21.1 pesa mas, menos o lo mismo después de frotarla
con la piel? b) <,Y la varilla de vidrio una vez que se frota con seda? (,Qué pasa con
c) la piel y d) la seda?

21.2 Conductores, aislantes
y cargas inducidas

Ciertos materiales permiten que las cargas eléctricas se muevan con facilidad de una
región del material a la otra, mientras que otros no lo hacen. Por ejemplo, en la figura
21.6a se ilustra un alambre de cobre sostenido por una cuerda de nailon. Suponga que
usted toca un extremo del alambre con una varilla de plàstico cargado, y su otro extre-
mo lo une con una esfera metàlica que, al principio, està sin carga; después, quita la
varilla cargada y el alambre. Cuando acerca otro cuerpo cargado a la esfera (figuras
21.6b y 21.6c), esta se ve atraída o repelida, lo cual demuestra que se cargó eléctrica-
mente. Se transfirió carga elèctrica entre la esfera y la superfície de la varilla de plàs-
tico, a través del alambre de cobre.

El alambre de cobre recibe el nombre de conductor de electricidad. Si se repite el
experimento con una banda de caucho o un cordón de nailon en vez del alambre, se
vera que no se transfiere carga a la esfera. Esos materiales se denominan aislantes.
Los conductores permiten el movimiento fàcil de las cargas a través de ellos; mien-
tras que los aislantes no lo hacen. (En la figura 21.6, los cordones de nailon que sos-
tienen son aislantes, lo cual evita que escape la carga de la esfera metàlica y del
alambre de cobre.)

Por ejemplo, las fibras de una alfombra en un dia seco son buenos aislantes. Cuan-
do usted camina sobre ella, la fricción de los zapatos contra las fibras hace que la carga

714

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

21.6 El cobre es un buen conductor de la
electricidad; el nailon es un buen aislante.

a) El alambre de cobre conduce cargas
entre la esfera metàlica y la varilla de
plàstico cargada, y así carga negativamente
la esfera. Después, la esfera de metal es

b) repelida por una varilla de plàstico con
carga negativa, y c) atraída a una varilla
de vidrio con carga positiva.

a)

Cordones de
nailon aislantes

_ Varilla de
plàstico

\

Esfera Alambre
metàlica de cobre

EI alambre conduce carga de la varilla de plàstico
cargada negativamente a la esfera de metal.

b)

I Aho
/ con

/ la es

Ahora, una varilla de plàstico
con carga negativa repele

la esfera . . .

Varilla de

c)

... y la varilla de vidrio
atrae la esfera.

Varilla de

se acumule en su cuerpo y ahí permanezca, porque no puede fluir por las fibras aislantes.
Si después usted toca un objeto conductor, como una perilla, ocurre una transferència
ràpida de la carga entre sus dedos y la perilla, por lo que siente una descarga. Una for-
ma de evitarlo consiste en enrollar algunas de las fibras de la alfombra alrededor de los
centros conductores, de modo que cualquier carga que se acumule sobre una persona
se transfiera a la alfombra de manera inofensiva. Otra solución es cubrir la alfombra
con una sustancia antiestàtica que no transfiera fàcilmente electrones hacia los zapa-
tos o desde estos; así se evita que se acumulen cargas en el cuerpo.

La mayor parte de metales son buenos conductores; en tanto que los no metales
son aislantes en su mayoría. Dentro de un solido metàlico, como el cobre, uno o màs
de los electrones externos de cada àtomo se liberan y mueven con libertad a través del
material, en forma parecida a como las moléculas de un gas se desplazan por los es-
pacios entre los granos de un recipiente de arena. El movimiento de esos electrones
con carga negativa lleva la carga a través del metal. Los demàs electrones permane-
cen unidos a los núcleos con carga positiva, que a la vez estan unidos en posiciones
casi fijas en el material. En un material aislante no hay electrones libres, o hay muy
pocos, y la carga elèctrica no se mueve con facilidad a través del material. Algunos
materiales se denominan semiconductores porque tienen propiedades intermedias en-
tre las de buenos conductores y buenos aislantes.

Carga por inducción

Una esfera de metal se puede cargar usando un alambre de cobre y una varilla de
plàstico elèctric amente cargada, como se indica en la figura 21.6a. En este proceso,
algunos de los electrones excedentes en la varilla se transfieren hacia la esfera, lo cual
deja a la varilla con una carga negativa màs pequena. Hay otra tècnica diferente con
la que la varilla de plàstico da a otro cuerpo una carga de signo contrario, sin que
pierda una parte de su pròpia carga. Este proceso se llama carga por inducción.

En la figura 21.7 se muestra un ejemplo de carga por inducción. Una esfera me-
tàlica sin carga se sostiene usando un soporte aislante (figura 21.7a). Cuando se le
acerca una varilla con carga negativa, sin que llegue a tocaria (figura 21.7b), los
electrones libres en la esfera metàlica son repelidos por los electrones excedentes en
la varilla, y se desplazan hacia la derecha, lejos de la varilla. No pueden escapar de la
esfera porque tanto el soporte como el aire circundante son aislantes. Por lo tanto,
existe un exceso de carga negativa en la superfície derecha de la esfera y una deficièn-
cia de carga negativa (es decir, hay una carga positiva neta) en su superfície izquierda.
Estàs cargas excedentes se llaman cargas inducidas.

No todos los electrones libres se mueven a la superfície derecha de la esfera. Tan
pronto como se desarrolla cualquier carga inducida, ejerce fuerzas hacia la izquierda
sobre los demàs electrones libres. Estos electrones son repelidos por la carga negativa
inducida a la derecha y atraídos hacia la carga positiva inducida a la izquierda. El sis-
tema alcanza el equilibrio donde la fuerza hacia la derecha sobre un electrón, debida a
la varilla cargada, queda equilibrada por la fuerza hacia la izquierda debida a la carga
inducida. Si se retira la varilla cargada, los electrones libres regresan a la izquierda y
se restablece la condición de neutralidad original.

21 .7 Carga de una esfera metàlica por inducción.

Esfera

metàlica

de electrones / de
Varilla con X -F- electrones

.'+*" \ ^-- Alambre

Soporte --^

carga nega-_ - ++ __

^t1

aislante

JL•

Tierra

a) Esfera metàlica sin

b) La carga negativa en la

c) El alambre permite que los

carga.

varilla repele a los electrones,

lo que crea zonas de carga

negativa inducida) fluyan

inducida negativa y positiva.

hacia la tierra.

d) Se quita el conductor;
ahora, la esfera tiene solo
una región con deficiència
de electrones, con
carga positiva.

e) Se quita la varilla; los
electrones se reacomodan
por sí solos, y toda la
esfera tiene una deficiència
de electrones (carga neta
positiva).

21.2 Conductores, aislantes y cargas inducidas 715

21 .8 Las cargas dentro de las moléculas de un material aislante se intercambian un poco. Como resultado, un peine con carga de
cualquier signo atrae a un material aislante neutró. Según la tercera ley de Newton, el aislante neutró ejerce una fuerza de atracción
de igual magnitud sobre el peine.

a) Un peine cargado levanta trocitos de plàstico
sin carga

b) Cómo un peine con carga negativa atrae
un aislante

molècula del aislante
neutró se desplazan
alejàndose del peine

Peine con

carga negativa

/O fà í® cargas { + ) en cada

^} (vy (5tx molècula estan mas cerca

^ \$ Sx Qr del peine que las cargas (— )

Aç) (v\$> por lo que reciben una fuerza

mas intensa del peine; por lo tanto,

la fuerza neta es de atracción.

c) Cómo un peine con carga positiva atrae
un aislante

Esta vez, los electrones
en las moléculas
cambian su lugar
en dirección del
peine ...

®

H» i'

Peine con
carga positiva

por lo que

las cargas (— ) en cada
molècula estan mas
cerca del peine, y desde
éste reciben una fuerza mas
intensa que las cargas (+). Otra
vez, la fuerza neta es de atracción.

^Qué pasaría si, mientras la varilla de plàstico se encuentra cerca, el extremo de un
alambre conductor se pusiera en contacto con la superfície derecha de la esfera, y el otro
extremo de éste se conectara a tierra (figura 21.7c)? La Tierra es un conductor, y es tan
grande que actua como una fuente pràcticamente infinita de electrones adicionales o co-
mo un receptor de los electrones no deseados. Algunas de las cargas negativas fluyen a
tierra a través del alambre. Ahora suponga que desconecta el alambre (figura 21.7d) y
luego se quita la varilla (figura 21.7e); en la esfera queda una carga positiva neta. Du-
rante este proceso, no cambió la carga negativa de la varilla. La tierra adquiere una car-
ga negativa de magnitud igual a la carga positiva inducida que queda en la esfera.

La carga por inducción funcionaria igual de bien si las cargas móviles en la esfera
fueran positivas, en vez de electrones cargados negativamente, o incluso si estuvieran
presentes cargas tanto positivas como negativas. En un conductor metàlico, las cargas
móviles siempre son electrones negativos; sin embargo, con frecuencia conviene descri-
bir un proceso como si las cargas en movimiento fueran positivas. En las soluciones ióni-
cas y los gases ionizados, las cargas que se mueven son tanto positivas como negativas.

Fuerzas eléctricas en objetos sin carga

Por ultimo, se observa que un cuerpo con carga ejerce fuerzas aun sobre objetos que no
estan cargados. Si usted frota un globo contra la alfombra y después lo coloca junto al te-
cho, el globo se adherirà a éste, aun cuando el techo no tiene carga elèctrica neta. Después
de que electrifica un peine pasàndolo por su cabello, puede atraer con tal peine trocitos de
papel o de plàstico que no estén cargados (figura 21.8a). ^Cómo es posible esto?

Esta interacción es un efecto de carga inducida. Incluso en un aislante, las cargas eléc-
tricas pueden desplazarse un poco en un sentido u otro cuando hay otra carga cerca. Esto
se ilustra en la figura 21.8b; el peine de plàstico cargado negativamente ocasiona un cam-
bió ligero de carga dentro de las moléculas del aislante neutró: el efecto llamado polari-
zación. Las cargas positivas y negativas en el material se hallan presentes en cantidades
iguales; no obstante, las cargas positivas estan màs cerca del peine de plàstico, por lo que
reciben una fuerza de atracción mayor que la fuerza de repulsión que se ejerce sobre las
cargas negativas, dando así una fuerza de atracción neta. (En la sección 21.3 estudiaremos
el modo en que las fuerzas eléctricas dependen de la distancia.) Observe que un aislante
neutró también es atraído por un peine cargado positivamente (figura 21.8c). Ahora las
cargas en el aislante se mueven en la dirección opuesta; las cargas negativas en el aislan-
te estan màs cerca del peine y reciben una fuerza de atracción mayor que la fuerza de re-
pulsión ejercida sobre las cargas positivas del aislante. Por lo tanto, un objeto con carga
de cualquier signo ejerce una fuerza de atracción sobre un aislante sin carga.

La atracción entre un objeto cargado y uno descargado tiene muchas aplicaciones
pràcticas importantes como, por ejemplo, el proceso de pintura electrostàtica que se uti-
liza en la indústria automotriz (figura 21.9). El objeto metàlico que va a pintarse se co-
necta a tierra (al "suelo", en la figura 21.9), y a las gotitas de pintura se les da una carga

21 .9 Proceso de pintado electrostàtico
(compàrelo con las figuras 21.7b y 21.7c).

En la superficie
metàlica se
induce carga
positiva.

r

Tierra —

716

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

elèctrica conforme salen de la boquilla rociadora. Al acercarse las gotitas de pintura al
objeto que se pinta, aparecen en éste cargas inducidas del signo opuesto, como se ilustra
en la figura 21.7b, que atraen las gotitas a la superfície. Este proceso minimiza la forma-
ción de nubes de partículas dispersas de pintura y da un acabado particularmente liso.

Evalúe su comprensión de la sección 21 .2 Imagine que tiene dos esferas metàlicas
ligeras y que cada una de ellas cuelga de un cordón de nailon aislante. Una de las esferas tiene
carga neta negativa; en tanto que la otra no tiene carga neta. a) Si las esferas estan cerca una
de otra però no se tocan, ^i) se atraeràn mutuamente, ii) se repeleràn o iii. no ejerceràn fuerza
alguna sobre la otra? b) Afiora se permite que las esferas entren en contacto. Una vez que se
tocan, ^las dos esferas i) se atraeràn, ii) se repeleràn o iii) no ejerceràn fuerza alguna sobre
la otra?

Actv

11.1 Fuerza elèctrica: ley de Coulomb

1 1.2 Fuerza elèctrica: principio de
superposición

1 1.3 Fuerza elèctrica: superposición
(cuantitativa)

21.3 Ley de Coulomb

En 1784 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) estudio con mucho detalle las
fuerzas de atracción de partículas cargadas. Usó una balanza de torsión (figura
21.10a) similar a la que Cavendish emplearía 13 anos después para estudiar la mucho
mas dèbil interacción gravitacional, como vimos en la sección 12.1. Para cargas pun-
tuales, cuerpos cargados muy pequenos en comparación con la distancia r que los se-
para, Coulomb descubrió que la fuerza elèctrica es proporcional a 1/r. Es decir,
cuando se duplica la distancia r, la fuerza disminuye a j de su valor inicial; cuando la
distancia disminuye a la mitad, la fuerza incrementa cuatro veces su valor inicial.

La fuerza elèctrica entre dos cargas puntuales también depende de la cantidad de
carga en cada cuerpo, la que se denotarà con q o Q. Para estudiar esta dependència,
Coulomb dividió una carga en dos partes iguales poniendo en contacto un conductor
esférico con carga pequeno, con una esfera idèntica però sin carga; por simetria, la
carga se compartia por igual entre las dos esferas. (Observe el papel esencial que tie-
ne el principio de conservación de la carga en este procedimiento.) De esa manera, él
podia obtener un medio, un cuarto, etcètera, de cualquier carga inicial. Descubrió que
las fuerzas que dos cargas puntuales q l y q 2 ejercían una sobre la otra eran proporcio-
nales a cada carga, por lo que también eran proporcionales a su producto q l q 2 .

De ese modo, Coulomb estableció la que ahora se conoce como ley de Coulomb:

La magnitud de la fuerza elèctrica entre dos cargas puntuales es directamente
de la distancia que las separa.

21.10 a) Medición de la fuerza elèctrica
entre cargas puntuales. b) Las fuerzas
eléctricas entre cargas puntuales
obedecen la tercer ley de Newton:

' 1 çnhrr 1 J ~ ~ -* 9 çnhrp 1 •

a) Balanza de torsión del tipo utilizado
por Coulomb para medir la fuerza elèctrica

La esfera con carga
negativa atrae a la que
tiene carga positiva;
la esfera positiva se
mueve hasta que las
fuerzas elàsticas en
la fibra de torsión
equilibran la atracción
electrostàtica.

Fibra de -
torsión

Escala

b) Interacciones entre cargas puntuales

■** snhre 1

NN

</i

Las cargas del
mismo signo
^e repelen.

1 sobre 2 — ' 2 sobre 1 ii

F,s,

1 sobre 2 r 2 sobre 1

fx

Las cargas de
signo contrario
r. se atraen.

2 sobre 1

obre 2

'li

21.3 Ley de Coulomb

717

En términos matemàticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas
puntuales, q t y q 2 , separadas una distancia r, ejerce sobre la otra se expresa como

llilil

(21.1)

donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende del siste-
ma de unidades que se emplee. En la ecuación (21.1) se utiliza la notación de valor
absoluto porque las cargas g, y q 2 pueden ser positivas o negativas; en tanto que la
magnitud de la fuerza F siempre es positiva.

Las direcciones de las fuerzas que las dos cargas ejercen sobre la otra siempre son
a lo largo de la recta que las une. Cuando las cargas g, y q 2 tienen el mismo signo, po-
sitivo o negativo, las fuerzas son de repulsión; cuando las cargas tienen signos opues-
tos, las fuerzas son de atracción (figura 21.10b). Las dos fuerzas obedecen la tercera
ley de Newton; siempre tienen la misma magnitud y dirección opuesta, aun cuando
las cargas no tengan igual magnitud.

La proporcionalidad de la fuerza elèctrica con respecto a 1/r es algo que se ha
comprobado con gran precisión. No hay razón para sospechar que el exponente sea
distinto de 2. Así que la forma de la ecuación (21.1) es la misma que la forma de la
ley de la gravitación. No obstante, las interacciones eléctricas y gravitacionales son
dos clases distintas de fenómenos. Las interacciones eléctricas dependen de las cargas
eléctricas y pueden ser de atracción o de repulsión; mientras que las gravitacionales
dependen de la masa y siempre son de atracción (porque no existe algo como la masa
negativa).

Constantes eléctricas fundamentales

El valor de la constante de proporcionalidad k en la ley de Coulomb depende del siste-
ma de unidades que se emplee. En nuestro estudio de la electricidad y el magnetismo,
tan solo usaremos unidades del SI, las cuales incluyen la mayoría de las unidades con
que estamos familiarizados, como el volt, ampere, ohm y watt. (No existe un sistema
inglés de unidades eléctricas.) La unidad del SI para la carga elèctrica se llama cou-
lomb (1 C). En unidades del SI, la constante k que aparece en la ecuación (21.1) es

ifc = 8.987551787 X 10 9 N • m 2 /C 2 = 8.988 X 10 9 N • m 2 /C 2

El valor de k se conoce con un número tan grande de cifras significativas porque se
relaciona de cerca con la rapidez de la luz en el vacío. (Esto lo veremos en el capitulo
32, al estudiar la radiación electromagnètica.) Como vimos en la sección 1.3, tal rapi-
dez se define por ser exactamente c = 2.99792458 X 10 8 m/s. El valor numérico de k
se define en términos de c como

k = (10 _7 N-s 2 /C 2 )c 2

Se invita al lector a comprobar esta expresión para confirmar que k tiene las unidades
correctas.

En principio es posible medir la fuerza elèctrica F entre dos cargas iguales q a una
distancia de r, y usar la ley de Coulomb para determinar la carga. Es decir, se pue-
de considerar el valor de k como una definición operacional del coulomb. Por razones de
precisión experimental, es mejor definir el coulomb en términos de la unidad de co-
rriente elèctrica (carga por unidad de tiempo), el ampere, que es igual a 1 coulomb
por segundo. En el capitulo 28 volveremos a esta definición.

En unidades del SI, la constante k de la ecuación (21.1) se escribe por lo general
como l/47re , donde e ("épsilon cero") es otra constante. Esto parece complicado,
però en realidad simplifica muchas de las fórmulas que encontraremos en capítulos
posteriores. De aquí en adelante, en general escribiremos la ley de Coulomb como

i kiftl

477e„

(ley de Coulomb: fuerza entre
dos cargas puntuales)

(21.2)

718

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Las constantes en la ecuación (21.2) son, aproximadamente,

e Q = 8.854 X 1(T 12 C 2 /N•m 2 y

4-776

k = 8.988 X 10' N • nr/C 2

En los ejemplos y problemas serà frecuente que utilicemos el valor aproximado

4-7T<E

9.0 X 10'N-mVC 2

Que està dentro de alrededor del 0.1% del valor correcto.

Como vimos en la sección 21.1, la unidad màs fundamental de carga es la magni-
tud de la carga de un electrón o un protón, que se denota con e. El valor màs preciso
de que se disponía hasta la escritura de este libro era de

e = 1.60217653(14) X 10~ I9 C

Un coulomb representa el negativo de la carga total de aproximadamente 6 X 10 18
electrones. En comparación, un cubo de cobre de 1 cm por lado contiene cerca de
2.4 X 10 24 electrones. Por el filamento incandescente de una bombilla de linterna pa-
san cada segundo alrededor de 10 19 electrones.

En problemas de electrostàtica (es decir, aquellos que implican cargas en reposo),
es muy raro encontrar cargas tan grandes como de 1 coulomb. jDos cargas de 1 C se-
paradas 1 m ejercerían fuerzas entre sí de 9 X 10 9 N (cerca de 1 millón de toneladas)!
La carga total de todos los electrones en una moneda de cobre de un centavo es aún
mayor, de 1.4 X 10 5 C, lo cual demuestra que no podemos alterar mucho la neutralidad
elèctrica sin usar fuerzas demasiado grandes. Los valores màs comunes de cargas fluc-
túan desde 10~ 9 hasta 10~ 6 C. Es frecuente usar al microcoulomb (1 /aC = 10~ 6 C) y
al nanocoulomb (1 nC = 10~ 9 C) como unidades de carga pràcticas.

Ejemplo 21.1

La fuerza elèctrica contra la fuerza gravitatoria

Una partícula a ("alfa") es el núcleo de un àtomo de helio. Tiene una
masa de m = 6.64 X 1(T 27 kg y una carga de q = +2e - 3.2 X 10"" C.
Compare la fuerza de la repulsión elèctrica entre dos partículas a con
la fuerza de la atracción gravitatoria que hay entre ellas.

Enmaa

IDENTIFICAR: Este problema implica la ley de Newton de la fuer-
za de gravedad F entre partículas (véase la sección 12.1) y la ley
de Coulomb para la fuerza elèctrica F e entre cargas puntuales. Se
pide comparar dichas fuerzas, por lo que la incògnita es la razón
de ambas fuerzas, FjF s .

PLANTEAR: La figura 21.11 muestra el diagrama. La magnitud de la
fuerza de repulsión elèctrica està dada por la ecuación (21.2):

F.

1 1

4lT€„

La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional F està dada por la
ecuación (12.1):

EJECUTAR: La razón de la fuerza elèctrica con respecto a la fuerza
gravitatoria es

F c _ 1 q 2 _ 9.0 X 10" N ■ m 2 /C 2 (3.2 X 10 19 C) 2

P. ~

3.1 X 10*

6.67 X lO-•'N•nr/kg 2 (6.64 X 10- 27 kg) 2

EVALUAR: Este número tan asombrosamente grande muestra que,
en esta situación, la fuerza gravitatoria es despreciable por completo en
comparación con la fuerza elèctrica. Ello siempre se cumple para inte-
racciones de partículas atómicas y subatómicas. (Observe que este re-
sultado no depende de la distancia r entre las dos partículas a. No
obstante, para objetos del tamano de un ser humano o de un planeta, las
cargas positiva y negativa son de magnitud casi igual; en tanto que la
fuerza elèctrica neta por lo general es mucho menor que la gravitatoria.

21.11 Nuestro esquema para este problema.

q=3.2XlO" iq C
m=6.64xl0- 27 kg

21.3 Ley de Coulomb

719

Superposición de fuerzas

Según la enunciamos, la ley de Coulomb describe solo la interacción entre dos cargas
puntuales. Los experimentos demuestran que cuando dos cargas ejercen fuerzas de
manera simultànea sobre una tercera carga, la fuerza total que actua sobre esa carga
es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejercerían individualmente. Esta
para cualquier número de cargas. Varios de los ejemplos al final de esta sección mues-
tran aplicaciones del principio de superposición.

En sentido estricto, la ley de Coulomb tal como fue establecida debería usarse tan
solo para cargas puntuales en el vacío. Si hay matèria presente entre las cargas, la
fuerza neta que actua sobre cada una se altera, debido a las cargas inducidas en las
moléculas del material interpuesto. Este efecto se describirà mas adelante. No obstan-
te, es practico utilizar la ley de Coulomb sin modificar para cargas puntuales en el
aire, ya que a presión atmosfèrica normal, la presencia del aire cambia la fuerza
elèctrica en aproximadamente una parte en 2000 de su valor en el vacío.

Estratègia para resolver problemas 21.1

Ley de Coulomb

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: La ley de Coulomb viene al
caso siempre que se necesite conocer la fuerza elèctrica que actua entre

PLANTEAR el problema utilizando los siguientes pasos:

1 . Haga un dibujo que muestre la ubicación de las partículas cargadas,
e indique la carga de cada una. Este paso tiene especial importància
si hay mas de dos partículas cargadas.

2. Si hay presentes tres o mas cargas que no se localicen sobre la mis-
ma línea, elabore un sistema de coordenadas xy.

3. Es frecuente que se necesite encontrar la fuerza elèctrica sobre una
partícula dada. Si es así, debe identificarse esta.

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Para cada partícula que ejerza una fuerza sobre la partícula de inte-
rès, calcule la magnitud de dicha fuerza usando la ecuación (21.2).

2. Dibuje los vectores de fuerza elèctrica que actuen sobre la(s) par-
tícula^) de interès, debidos a cada una de las demàs partículas (es
decir, elabore un diagrama de cuerpo libre). Recuerde que si las dos
cargas tienen signos opuestos, la fuerza ejercida por la partícula 1
sobre la partícula 2 apunta desde la partícula 2 hacia la partícula 1 ;
però si las cargas tienen el mismo signo, la fuerza sale de la partícu-
la 2 alejàndose de la partícula 1.

3. Calcule la fuerza elèctrica total sobre la(s) partícula(s) de interès.
Recuerde que la fuerza elèctrica, como toda fuerza, es un vector.
Cuando las fuerzas que actúan sobre una carga son causadas por
dos o mas cargas diferentes, la fuerza total sobre la carga es la
suma vectorial de las fuerzas individuales. Si lo desea, puede
regresar y consultar el àlgebra de vectores en las secciones 1.7 a
1.9. Con frecuencia es útil emplear componentes en un sistema de
coordenadas xy. Asegúrese de utilizar la notación vectorial correc-
ta; si un símbolo representa una cantidad vectorial, escriba una
flecha sobre él. Si usted se descuida con su notación, tambièn lo
harà con su razonamiento.

MP)

4. Como siempre, es esencial usar unidades consistentes. Con el valor
de k = l/4ire que se dio, las distancias deben expresarse en me-
tros, la carga en coulombs y la fuerza en newtons. Si hubiera
tirlas! Cuando se da una carga en microcoulombs (/j,C) o nanocou-
lombs (nC), recuerde que 1 pC = 1(T 6 C y que 1 nC = 10"" C.

5. Algunos ejemplos y problemas de este capitulo y posteriores impli-
can una distribución continua de la carga a lo largo de una línea
recta o una superfície. En estos casos, la suma vectorial descrita en
el paso 3 se vuelve una integral vectorial, por lo general expresada
con el empleo de sus componentes. Se divide la distribución de la
carga total en elementos infinitesimales, se aplica la ley de Cou-
lomb para cada uno y luego se integra para obtener la suma vecto-
rial. En ocasiones, es posible efectuar este proceso sin el uso
explicito de la integración.

6. En muchas situaciones, la distribución de la carga serà simètrica.
Por ejemplo, tal vez se pida encontrar la fuerza sobre una carga Q
en presencia de otras dos cargas idénticas q: una arriba y a la iz-
quierda de Q, y la otra abajo y a la izquierda de Q. Si las distancias
de Q a cada una de las otras cargas son iguales, la fuerza sobre Q
que ejerce cada carga tiene la misma magnitud; si cada vector de
fuerza forma el mismo àngulo con el eje horizontal, es muy fàcil
sumar estos vectores para obtener la fuerza neta. Siempre que sea
posible, aproveche cualquier simetria para simplificar el proceso de
resolución de problemas.

EVALUAR su respuesta: Compruebe si son razonables los resultados
numéricos, y confirme que la dirección de la fuerza elèctrica neta esté
de acuerdo con el principio de que las cargas del mismo signo se repe-
len y las cargas de signo diferente se atraen.

720

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Ejemplo 21.2

Fuerza entre dos cargas puntuales

Dos cargas puntuales, q, = +25 nC y q 2 = —75 nC, estan separadas
por una distancia de 3.0 cm (figura 21.12a). Calcule la magnitud y la
dirección de a) la fuerza elèctrica que q t ejerce sobre q 2 , y b) la fuerza
elèctrica que q 2 ejerce sobre q t .

Enmaa

IDENTIFICAR: En este problema se piden las fuerzas elèctricas que
dos cargas ejercen entre sí, por lo que serà necesario utilizar la ley de
Coulomb.

PLANTEAR: Se emplea la ecuación (21.2) para calcular la magnitud
de la fuerza que ejerce cada partícula sobre la otra. Se utiliza la tercera
ley de Newton para relacionar las fuerzas que una partícula ejerce so-
bre la otra.

EJECUTAR: a) Después de convertir la carga a coulombs y la distancia
a metros, la magnitud de la fuerza que q, ejerce sobre q 2 es

1 [gigjj

lsobre2 4ne r -

|(+25X10- 9 C)(-75X10- 9 C)
= (9.0 X 10'N-nr/C 2 )

(0.030 m) 2

= 0.019 N

Como las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción;
es decir, la fuerza que actua sobre q 2 està dirigida hacia q, por la recta
que une las dos cargas, como se ilustra en la figura 21.12b.

21.12 iQué fuerza ç, ejerce sobre q 2 l iY qué fuerza q 2 ejerce so-
bre q{\ Las fuerzas gravitatorias son despreciables.

a) Las dos cargas

b) Diagrama de cuerpo c) Diagrama de cuerpo
libre para la carga q 2 libre para la carga q {

</i

^

'/:

?1

b) La tercera ley de Newton se aplica a la fuerza elèctrica. Aun
cuando las cargas tienen diferentes magnitudes, la magnitud de la fuer-
za que q 2 ejerce sobre q t es la misma, que la magnitud de la fuerza que
q t ejerce sobre q 2 :

F 2sobreJ = 0.019 N

La tercera ley de Newton también establece que la dirección de la fuer-
za que ejerce q 2 sobre q, tiene exactamente la dirección opuesta, que la
de la fuerza que <j, ejerce sobre q 2 ; esto se indica en la figura 21.12c.

EVALUAR: Observe que la fuerza sobre q, està dirigida hacia q 2 , como
debe ser, ya que las cargas con signos opuestos se atraen mutuamente.

Ejemplo 21.3

Suma vectorial de las fuerzas elèctricas sobre una línea

Dos cargas puntuales se localizan en el eje +x de un sistema de coor-
denadas. La carga q t = 1 .0 nC està a 2.0 cm del origen, y la carga q 2 =
— 3.0 nC està a 4.0 cm del origen. ^Cuàl es la fuerza total que ejercen
estàs dos cargas sobre una carga q 3 = 5.0 nC que se encuentra en el
origen? Las fuerzas gravitatorias son despreciables.

BaSBEd

IDENTIFICAR: Aquí hay dos fuerzas elèctricas que actúan sobre la
carga q 3 , las cuales deben sumarse para calcular la fuerza total.

PLANTEAR: La figura 21.13a muestra el sistema de coordenadas. La
incògnita es la fuerza elèctrica neta que las otras dos cargas ejercen so-
bre la carga q 3 . Esta es la suma vectorial de las fuerzas debidas a q t y
q 2 individualmente.

EJECUTAR: La figura 21.13b es un diagrama de cuerpo libre para la
carga q 2 . Observe que q 3 es repelida por q t (que tiene el mismo signo)
y atraída hacia q 2 (que tiene signo opuesto). Después de convertir la
carga a coulombs y la distancia a metros, se utiliza la ecuación (21.2)
para encontrar la magnitud de F, sobre3 de la fuerza de q t sobre q 3 :

I

I<7i9.i|

4ire„

(LO X 10" 9 C)(5.0 X 10 _ 'C)
= (9.0 X lO'N-rrr/C 2 )

(0.020 m) 2

= 1.12 X 10~ 4 N = 112 /xN

Esta fuerza tiene una componente x negativa porque q 3 es repelida (es
decir, empujada en la dirección —x) por q t .

La magnitud F 2 !obre 3 de la fuerza de q 2 sobre q 3 es

1 lg2g3J
" 2 sobre 3 A t

4ire r 1

(3.0 X 10~ 9 C)(5.0 X 10"' C)

= (9.0 X 10 9 N • m 2 /C 2 ) ;

(0.040 m) 2

= 8.4 X 10~ 5 N = 84 fiti

Esta fuerza tiene una componente +x debido a que q 3 es atraída (es de-
cir, jalada en la dirección +x) hacia q 2 . La suma de las componentes x es
F x = - 1 12 /iN + 84 fiN = -28 fiN

No hay componentes y ni z. Así que la fuerza total sobre q 2 se dirige
hacia la izquierda, con magnitud 28 fiN = 2.8 X 10~ 5 N.

EVALUAR: Para comprobar las magnitudes de las fuerzas individua-
les, observe que q 2 tiene el triple de carga (en magnitud) que q u però
està dos veces màs alejada de q 3 . Según la ecuación (21.2), esto signi-
fica que F, sobre 3 debe ser 3/2 2 = | veces la magnitud de F, sobre ,.
(84/iN)/(ll2/iN) = 0.75. La dirección de la fuerza neta también
es lògica: F lsobre1 es opuesta a F 2sobre3 , y tiene una magnitud mayor,
por lo que la fuerza neta tiene la dirección de F, sobre 3 .

21.13 Nuestro esquema para este problema.

a) Nuestro diagrama de la situación

b) Diagrama de cuerpo libre
para g 3

y

\q 3 = 5.0 nC qi = 1.0 nC <\ 2 = -3.0 nC
7® -0- G^x "

Fi

2.0 cm -

- 4.0 cm -

F,

<?3

21.4 El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

721

Ejemplo 21.4

Suma vectorial de fuerzas eléctricas en un plano

Dos cargas puntuales iguales y positivas, q x — q 2 = 2.0 /iC se locali-
zan en x — 0, y = 0.30 m y x = 0, y = —0.30 m, respectivamente.
^.Cuàles son la magnitud y la dirección de la fuerza elèctrica total (ne-
ta) que ejercen estàs cargas sobre una tercera carga, también puntual,
Q = 4.0 fíC en x = 0.40 m, y = 0?

EaüQKI

IDENTIFICAR: Al igual que en el ejemplo 21.3, tenemos que calcular
la fuerza que cada carga ejerce sobre Q y después obtener la suma vec-
torial de las fuerzas.

PLANTEAR: En la figura 21.14 se ilustra la situación. Como las tres
cargas no se encuentran en una línea, la mejor forma de calcular las
fuerzas que q t y q 2 ejercen sobre Q consiste en usar componentes.

21 .14 Nuestro esquema para este problema.
Y

0.30 m

0.30 m

<jl = 2.0 ;u,C

0.50 m

q=4.0fiC

'' 1 sobre Q/x
7q 2 = zc V c (flsobreQ.V F ls

1 sobre Q.

EJECUTAR: La figura 21.14 presenta la fuerza sobre Q debida a la car-
ga superior q t . De acuerdo con la ley de Coulomb, la magnitud F de
esta fuerza es:

(4.0 X Kr f, C) (2.0 X 10 _6 C)

r i S obr.e= ( 90x 10"N-m 2 /C : )
= 0.29 N

(0.50 m) 2

El àngulo a està por debajo del eje x, de manera que las componentes
de esta fuerza estan dadas por

(fi S o tee ),-= (F 1Sübree )cosa = (0.29N)^— — = 0.23N

0.50 m

(fisobme), = -{F lsobrcQ )sena = -(0.29 N) { -—^ = -0.17 N

0.50 m

La carga inferior q 2 ejerce una fuerza de la misma magnitud, però con
àngulo a por arriba del eje x. Por simetria, se ve que su componente x
es la misma que la de la carga superior; però su componente y tiene
signo contrario. Por lo tanto, las componentes de la fuerza total F so-
bre Q son:

F, = 0.23 N + 0.23 N = 0.46 N

F y = -0.17 N + 0.17 N =

La fuerza total sobre Q està en la dirección +x, con magnitud de 0.46 N.

EVALUAR: La fuerza total sobre Q se ejerce en una dirección que no
apunta alejàndose directamente de q l ni de q 2 . En vez de ello, su direc-
ción es intermèdia y apunta hacia fuera del sistema de cargas q l y q 2 .
;,Puede ver el lector que la fuerza total no estaria en la dirección +x,
si q l y q 2 no fueran iguales o si la disposición geomètrica de las cargas
no fuera tan simètrica?

Evalúe su comprensión de la sección 21 .3 Suponga que la carga q 2 del
ejemplo 21.4 fuera de —2.0 (iC. En este caso, la fuerza elèctrica total sobre Q estaria
i) en la dirección +jc; ii) en la dirección —x; iii) en la dirección +y; iv) en la dirección —y
v) igual a cero; vi) ninguna de las anteriores.

21.4 El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

Cuando dos partículas cargadas eléctricamente interactúan en el espacio vacío, icó-
mo sabé cada una que la otra està ahí? ^Qué ocurre en el espacio entre ellas que
comunica el efecto de una sobre la otra? Podemos comenzar a responder estàs pre-
guntas y, a la vez, reformular la ley de Coulomb de una manera muy útil, con el em-
pleo del concepto de campo eléctrico.

Campo eléctrico

Para introducir este concepto, veamos la repulsión mútua de dos cuerpos cargados
positivamente, Ay B (figura 21.15a). Suponga que B tiene carga q , y sea F la fuerza
elèctrica que A ejerce sobre B. Una manera de concebir esta fuerza es como una fuer-
za de "acción a distancia", es decir, como una fuerza que actua a través del espacio
vacío sin necesidad de matèria (tal como una varilla que empuje o una cuerda que ja-
le), que la transmita a través del espacio. (La gravedad también puede considerarse
como una fuerza que ejerce una "acción a distancia".) Sin embargo, un enfoque mas
fructífero de visualizar la repulsión entre AyBes como un proceso de dos etapas. En
primer lugar, imaginemos que el cuerpo A, como resultado de la carga que porta, mo-
difica de algun modo las propiedades del espacio que lo rodea. Después veamos que

21.15 Un cuerpo cargado crea un campo
eléctrico en el espacio que lo rodea.

a) Los cuerpos Ay B ejercen fuerzas eléctricas
uno sobre el otro.

b) Quitemos el cuerpo B ...

... e indiquemos su posición
anterior como P.

'••■►•
P

c) El cuerpo A genera un campo eléctrico E en el
punto P.

^-v^. Carga de prueba q ü

E es la fuerza por unidad de carga
que el cuerpo A ejerce sobre una
carga de prueba situada en P.

722

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Actv

11.4 Campo eléctrico: carga puntual

1 1 .9 Movimiento de una carga en un campo
eléctrico: introducción

1 1.10 Movimiento en un campo eléctrico:
problemas

el cuerpo fi, como resultado de la carga que tiene, percibe cómo el espacio se modifi-
co en su posición. La respuesta del cuerpo fi es experimentar la fuerza F a .

Para entender como ocurre este proceso de dos etapas, primero se debe considerar
solo el cuerpo A: eliminamos el cuerpo B e indicamos su posición anterior con el
punto P (figura 21.15b). Decimos que el cuerpo A cargado produce o causa un campo
eléctrico en el punto P (y en todos los demàs puntos de su entomo). Este campo eléc-
trico està presente en P incluso si no hay carga en P, ya que tan solo es consecuencia
de la carga en el cuerpo A. Si después se coloca una carga puntual q en el punto P,
experimenta la fuerza F ü . Adoptamos el punto de vista de que esta fuerza es ejercida
sobre q por el campo en fi (figura 21.15c). Así, el campo eléctrico es el intermediario
con el que A comunica su presencia a q . Debido a que la carga puntual q experimen-
taria una fuerza en cualquier punto del entomo de A, el campo eléctrico que A produ-
ce existe en todos los puntos de la región que rodea A.

De igual modo, podríamos decir que la carga puntual q a produce un campo eléctri-
co en el espacio alrededor suyo, y que este campo eléctrico ejerce la fuerza — F sobre
el cuerpo A. Por cada fuerza (la fuerza de A sobre q y la fuerza de q sobre A), hay
una carga que origina un campo eléctrico que ejerce una fuerza sobre la segunda car-
ga. Hacemos énfasis en que esta es una interacción entre dos cuerpos cargados. Una
sola carga produce un campo eléctrico en el espacio circundante; sin embargo, este
campo eléctrico no ejerce una fuerza neta sobre la carga que lo creo; se trata de un
ejemplo del principio general de que un cuerpo no puede ejercer una fuerza neta so-
bre sí mismo, como se vio en la sección 4.3. (Si este principio dejara de ser valido, ;el
lector seria capaz de elevarse hasta el techo si tirarà de su cinturón hacia arriba!)

La fuerza elèctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo eléctrico que

Para averiguar experimentalmente si hay un campo eléctrico en un punto especifi-
co, colocamos un pequeno cuerpo cargado, al que Uamamos carga de prueba, en el
punto (figura 21.15c). Si la carga de prueba experimenta una fuerza elèctrica, entonces
en ese punto existe un campo eléctrico. Este campo lo producen cargas distintas de q .

La fuerza es una cantidad vectorial, por lo que el campo eléctrico también es una
cantidad vectorial. (Observe que en el anàlisis siguiente se usa notación de vectores,
así como letras en negritas y signos de màs, menos e igual.) Se define el campo eléc-
trico E en un punto como la fuerza elèctrica F Q que experimenta una carga de prueba
q Q en dicho punto, dividida entre la carga q . Es decir, el campo eléctrico en cierto
punto es igual a la fuerza elèctrica por unidad de carga que una carga experimenta en
ese punto:

<7o

(definición de campo eléctrico como fuerza elèctrica «i 3)

21.16 Fuerza F = q E ejercida sobre
una carga puntual q u colocada en un campo
eléctrico E.

E (debido a la carga Q)

</u

..•">fo

En unidades del SI, en las cuales la unidad de fuerza es 1 N y la unidad de carga es 1 C,
la unidad para la magnitud del campo eléctrico es 1 newton por coulomb (1 N/C).

Si se conoce el campo eléctrico E en cierto punto, la ecuación (21.3) se reacomo-
da y da la fuerza F experimentada por una carga puntual q colocada en ese punto.
Esta fuerza es igual al campo eléctrico E producido en ese punto por cargas distintas
de q , multiplicado por la carga q :

La fuerza sobre una carga de prueba positiva q
apunta en la dirección del campo eléctrico.

E (debido a la carga Q)

La fuerza sobre una carga de prueba negativa q {)
apunta en dirección contraria a la del campo
eléctrico.

F = qo E

(la fuerza ejercida sobre una carga puntual q a
por un campo eléctrico E)

(21.4)

La carga q a puede ser positiva o negativa. Si q es positiva, la fuerza F experimenta-
da por la carga tiene la misma dirección que E; si q es negativa, F y E tienen direc-
ciones opuestas (figura 21.16).

Aunque el concepto de campo eléctrico tal vez sea nuevo para usted, la idea bà-
sica — que un cuerpo origina un campo en el espacio que lo rodea, y un segundo
cuerpo responde a dicho campo — en realidad ya la ha utilizado antes. Compare la

21.4 El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

723

ecuación (2 1 .4) con la expresión ya conocida de la fuerza gravitatoria F g que la Tierra
ejerce sobre una masa m„:

f g = m Q g (21.5)

En esta expresión, g es la aceleración debida a la gravedad. Si dividimos ambos lados
de la ecuación (21.5) entre la masa m , obtenemos

g = —

Así, g puede considerarse como la fuerza gravitatoria por unidad de masa. Por analo-
gia con la ecuación (21.3), interpretamos g como el campo gravitacional y, de esta
manera, tratamos la interacción gravitacional entre la Tierra y la masa m a como un
proceso de dos etapas: la Tierra origina un campo gravitacional g en el espacio que
la rodea, y éste ejerce una fuerza dada por la ecuación (21.5) sobre la masa m (que se
puede considerar como una masa de prueba). En este sentido, cada vez que emplea-
mos la ecuación (21.5) usamos el concepto de campo para la fuerza de gravedad. El
campo gravitacional g, o fuerza gravitatoria por unidad de masa, es un concepto útil
porque no depende de la masa del cuerpo sobre el que se ejerce la fuerza gravitatoria;
asimismo, el campo eléctrico E, o fuerza elèctrica por unidad de carga, es útil porque
no depende de la carga del cuerpo sobre el que se ejerce la fuerza elèctrica.

CUIDADO F = q E a es solo para cargas de prueba puntuales La fuerza elèctrica
experimentada por una carga de prueba q a varia de un punto a otro, de manera que el campo
eléctrico también es diferente en puntos distintos. Por esta razón, la ecuación (21.4) se usa úni-
camente para calcular la fuerza elèctrica sobre una carga puntual. Si un cuerpo cargado tiene un
tamaflo suflcientemente grande, el campo eléctrico E llega a tener magnitudes y direcciones
muy distintas en sus diversos puntos, y el calculo de la fuerza elèctrica neta sobre él puede ser

Hasta este momento hemos ignorado una dificultad sutil però importante en nues-
tra definición de campo eléctrico: en la figura 21.15, la fuerza que ejerce la carga
de prueba q sobre la distribución de carga en el cuerpo A provoca desplazamientos de
esta distribución, lo cual es especialmente cierto si el cuerpo A es un conductor donde
la carga se mueva con libertad. Por lo tanto, el campo eléctrico alrededor de A cuando
q està presente tal vez no sea el mismo que si q està ausente. No obstante, si q es
muy pequena, la redistribución de la carga en el cuerpo A también es muy pequena,
por lo que para hacer una definición completamente correcta del campo eléctrico
tomamos el límite de la ecuación (21.3), a medida que la carga de prueba q tiende
a cero, y el efecto perturbador de q Q sobre la distribución de la carga se vuelve des-
preciable:

E = lím—

En los càlculos pràcticos del campo eléctrico E producido por una distribución de
carga, consideraremos que tal distribución es fija, por lo que no serà necesario consi-
derar el límite del proceso.

El campo eléctrico de una carga puntual

Si la fuente de distribución es una carga puntual q, serà fàcil encontrar el campo eléc-
trico que produce. A la ubicación de la carga la Uamamos el punto de origen; y al
punto P donde se determina el campo, el punto del campo. También es útil introdu-
cir un vector unitario r que apunte a lo largo de la línea que va del punto de origen al
punto del campo (figura 21.17a). Este vector unitario es igual al vector de desplaza-
miento r del punto de origen al punto del campo, dividido entre la distancia f = \r\
que separa a los dos puntos; es decir, f = r/r. Si colocamos una pequena carga de
prueba q en el punto del campo P, a una distancia r del punto de origen, la magnitud
F de la fuerza està dada por la ley de Coulomb, ecuación (21.2):

1 Iwol

21.17 Campo eléctrico £ producido en
el punto P por una carga puntual aislada q
en S. Observe que tanto en b) como en c),
E es producido por q [véase la ecuación
(21.7)] però actua sobre la carga q en el
punto P [véase la ecuación (21.4)].

a)

El vector unitario r apunta
del punto de origen S al
punto del campo P.

b)

'i f -

eléc

En cada punto P, el campo
puntual q, positiva y aislada, tiene una
dirección que se aleja de la carga en la
misma dirección que r.

4ire

\^y En cada punto P, el campo

S eléctrico originado por una carga

puntual q, negativa y aislada, tiene una
dirección hacia la carga en dirección
opuesta de r.

724

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

21.18 Una carga puntual q produce un
campo eléctrico E en todos los puntos
del espacio. La intensidad del campo
disminuye conforme la distancia aumenta.

a) El campo producido por una carga puntual
positiva apunta en una dirección que se aleja
de la carga.

\

\7

/

'l 'i\ s

b) El campo producido por una carga puntual
negativa apunta hacia la carga.

De la ecuación (21.3) se obtiene que la magnitud E del campo eléctrico en P es

47T

£ a r"

(magnitud del campo eléctrico en una carga puntual) (21.6)

Con el vector unitario r, escribimos una ecuación vectorial que da tanto la magnitud
como la dirección del campo eléctrico E:

E =

1

4ire n

(campo eléctrico de una carga puntual)

(21.7)

Por definición, el campo eléctrico de una carga puntual siempre tiene una dirección
que se aleja de una carga positiva (es decir, en la misma dirección que r\ véase la fi-
gura 21.17b), però se acerca hacia una carga negativa (es decir, en la dirección opues-
ta af; véase la figura 21.17c).

Hemos hecho hincapié en el calculo del campo eléctrico E en cierto punto. Sin
embargo, como E puede variar de un punto a otro, no es una cantidad vectorial única,
sinó un conjunto infinita de cantidades vectoriales, cada una de las cuales està asocia-
da con un punto del espacio. Este es un ejemplo de campo vectorial. En la figura
21.18 se ilustran algunos de los vectores del campo producidos por una carga puntual
positiva o negativa. Si usamos un sistema de coordenadas rectangulares (x, y, z), cada
componente de E en cualquier punto en general es función de las coordenadas (x, y, z)
del punto. Dichas funciones se representan como E x (x, y, z), E y (x, y, z) y E : (x, y, z).
Los campos vectoriales forman parte importante del lenguaje de la física, no solo en
la electricidad y el magnetisme Un ejemplo de campo vectorial de la vida cotidiana
es la velocidad v de las corrientes de viento; la magnitud y la dirección de v, y por lo
tanto de sus componentes vectoriales, varían de un punto a otro en la atmosfera.

En ciertas situaciones, la magnitud y la dirección del campo (así como sus compo-
nentes vectoriales) tienen los mismos valores en cualquier parte de una región dada, en
cuyo caso se dice que el campo es uniforme en tal región. Un ejemplo importante de es-
to es el campo eléctrico dentro de un conductor, cuando esto sucede el campo ejerce
una fuerza en cada carga en el conductor, lo cual da a las cargas libres un movimiento
neto. Por definición, una situación electrostàtica es aquella donde las cargas no tienen
movimiento neto. De lo anterior se concluye que en electrostàtica, el campo eléctrico
en cada punto dentro del material de un conductor debe ser igual a cero. (Observe que
no se dice que el campo sea necesariamente cero en un agujero dentro de un conductor.)

Con el concepto de campo eléctrico, nuestra descripción de las interacciones eléc-
tricas tiene dos partes. La primera es que una distribución de carga dada actua como
una fuente del campo eléctrico. La segunda es que el campo eléctrico ejerce una fuerza
sobre cualquier carga presente en el campo. Con frecuencia, nuestro anàlisis tiene dos
etapas correspondientes: primero se calcula el campo causado por una distribución de
carga de fuente; en segundo lugar, se examina el efecto del campo en términos de fuer-
za y movimiento. Es frecuente que el segundo paso implique las leyes de Newton y los
principios de las interacciones eléctricas. En la sección siguiente, veremos cómo calcu-
lar campos originados por varias distribuciones de fuente; aunque en primer lugar se
presentan algunos ejemplos de calculo del campo debido a una carga puntual, así co-
mo de la obtención de la fuerza sobre una carga debida a un campo dado E.

Ejemplo 21.5

Magnitud del campo eléctrico para una carga puntual

^Ciiàl es la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a 2.0 m
de una carga puntual q = 4.0 nC? (La carga puntual puede representar
cualquier objeto pequeno cargado con este valor de q, si las dimensio-
nes del objeto son mucho menores que la distancia entre el objeto y el
punto del campo.)

BHimBBl

IDENTIFICAR: El problema requiere la expresión para el campo eléc-
trico debido a una carga puntual.

PLANTEAR: Se dan la magnitud de la carga y la distancia que hay del
objeto al punto del campo, por lo que usamos la ecuación (21.6) para
calcular la magnitud del campo E.

EJECUTAR: De la ecuación (21.6).

1

4-jreo r 2
9.0 N/C

(9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 )

4.0 X 1Q- 9 Ç
(2.0m) 2

21.4 El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

725

EVALUAR: Para comprobar el resultado, se emplea la definirien de
campo eléctrico como la fuerza elèctrica por unidad de carga. Primero
se usa la ley de Coulomb, ecuación (21.2), para obtener la magnitud F
de la fuerza sobre una carga de prueba q a colocada a 2.0 m de q:

F n =

i mol

AtT€

(9.0 N/C) I q

= (9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 )

4.0 X IO _9 C| 9o |
(2.0m) 2

Entonces, a partir de la ecuación (21.3), la magnitud de£ es

E =

= 9.0 N/C

Como q es positiva, la dirección de É en este punto ocurre a lo largo de
la línea que va de q a q , como se ilustra en la figura 21.17b. Sin em-
bargo, la magnitud y la dirección de E no dependen del signo de q .
;,Se da cuenta el lector de por qué no?

Ejemplo 21.6

Vector de campo eléctrico de una carga puntual

Una carga puntual q = —8.0 nC se localiza en el origen. Obtenga
el vector de campo eléctrico en el punto del campo x — 1.2 m,
v = — 1.6 m.

EBEl

IDENTIFICAR: En este problema se pide calcular el vector de campo
eléctrico E debido a una carga puntual. Entonces, es necesario obtener
ya sea las componentes de E, o su magnitud y dirección.

PLANTEAR: En la figura 21.19 se ilustra la situación. El campo eléc-
trico està dado en forma vectorial por la ecuación (21.7). Para emplear
esta ecuación, primero se encuentra la distancia r que hay entre el pun-
to de origen 5 (la posición de la carga q) y el punto P en el campo, así
como el vector unitario r que tiene la dirección que va de S a P.

21 .19 Nuestro esquema para este problema.

1.6 m

EJECUTAR: La distancia entre la carga localizada en el punto de ori-
gen S (que en este ejemplo està en el origen O) y el punto P en el cam-
po, es

r = Vx 2 + y 2 = V(l.2m) 2 + (-1.6m) 2 = 2.0 m

El vector unitario f està dirigido del punto de origen al punto del cam-
po. Es igual al vector de desplazamiento r del punto de origen al punto
del campo (que en la figura 21.19 se ilustra desviado a un lado para
que no oculte los otros vectores), dividido entre su magnitud r.

xï + yj

(l.2m); + (-1.6m)j
2.0 m

= 0.60Í - 0.80/

Entonces, el vector de campo eléctrico es

1

47T£ n

(-8.0 X 10~ 9 C)

= (9.0 X 10 9 N ■ m 2 /C 2 ) (0.60Í - 0.80?)

(2.0 m)"

= (-iin/c)j + (14 n/c);

EVALUAR: Como q es negativa, E tiene una dirección que va del pun-
to del campo a la carga (el punto de origen), en dirección opuesta a r
(compare la situación con la figura 21.17c). El calculo de la magnitud
y la dirección de E se deja al lector (véase el ejercicio 21.36).

Ejemplo 21.7

Un electrón en un campo uniforme

Cuando la terminal de una bateria se conecta a dos placas conducto-
ras, grandes y paralelas, las cargas resultantes en las placas originan
un campo eléctrico E en la región entre ellas, que es casi uniforme.
(En la siguiente sección veremos la razón de esta uniformidad. Las
placas cargadas de esta clase se usan en los dispositivos eléctricos co-
munes llamados capacitores, que estudiaremos en el capitulo 24.) Si
las placas son horizontales y estan separadas por 1.0 cm y se conectan
a una bateria de 100 volts, la magnitud del campo es E = 1.00 X 10 4
N/C. Suponga que la dirección de E es vertical hacia arriba, como se
ilustra con los vectores en la figura 21.20. a) Si un electrón en reposo
se libera de la placa superior, icuí\ es su aceleración? b) iQué rapidez
y qué energia cinètica adquiere el electrón cuando viaja 1.0 cm hacia
la placa inferior? c) ^Cuànto tiempo se requiere para que recorra esa
distancia? Un electrón tiene una carga — e = — 1.60 X 10~ 19 C y ma-
sam = 9.11 X 10~ 31 kg.

21 .20 Campo eléctrico uniforme entre dos placas conductoras
paralelas conectadas a una bateria de 100 volts. (En esta figura,
la separación de las placas se exagero en relación con las
dimensiones de las placas.)

el campo eléctrico uniforme.

i-» t t i" t°

100 V

+ + + +

1

F = -eE

1 .0 cm

+ + + +

continua

726

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

EnEHa

IDENTIFICAR: Este ejemplo implica varios conceptes: la relación en-
tre campo eléctrico y fuerza elèctrica, la relación entre fuerza y acele-
ración, la definición de energia cinètica, y las relaciones cinemàticas
entre aceleración, distancia, velocidad y tiempo.

PLANTEAR: En la figura 21.20 se llustra el sistema de coordena-
das. Se da el campo eléctrico, por lo que se utiliza la ecuación (21.4)
para calcular la fuerza sobre el electrón; y la segunda ley de New-
ton, para obtener su aceleración. Como el campo entre las placas es
uniforme, la fuerza y la aceleración son constantes y se pueden usar
las fórmulas de aceleración constante del capitulo 3, para calcular la
velocidad del electrón y el tiempo de su recorrido. La energia cinètica
se determina con la definición K = Imu 2 .

EJECUTAR: (a) Observe que E està dirigido hacia arriba (en la di-
rección positiva del eje y), però F va hacia abajo porque la carga del
electrón es negativa. Por ello, F y es negativa. Como F y es constante,
el electrón se mueve con aceleración constante a y dada por

-eE

(-1.60 X 10" 19 C)(1.00 X 10 4 N/C)

9.11 X 10"

= -1.76 X 10 15 m/s 2

jÉsta es una aceleración enorme! Para acelerar así a un automóvil
de 1000 kg, se necesitaría una fuerza aproximada de 2 X 10 18 N (casi de
2 X 10 14 toneladas). La fuerza gravitatoria sobre el electrón es des-
preciable por completo en comparación con la fuerza elèctrica.

(b) El electrón parte del reposo, por lo que su movimiento es tan
solo en la dirección del eje y (la dirección de la aceleración). Pode-

mos encontrar la rapidez del electrón en cualquier posición usando
la fórmula con aceleración constante u, 2 = u 0l 2 + 2a,,(v — y ) . Se tie-
ne que y = y y = 0, por lo que la rapidez \v ,| si y = — 1.0 cm =
-1.0 X 10~ 2 mes

|i\.| = V2a v v = V2(-1.76 X 10 15 m/s 2 ) (-1.0 X 10~ 2 m)

= 5.9 X 10 6 m/s

La velocidad es hacia abajo, de manera que su componente y es v y =
—5.9 X 10 6 m/s. La energia cinètica del electrón es

K = -nw 2 = -(9.11 X 10~ 31 kg)(5.9 X 10 6 m/s) 2

= 1.6 X 10~ 17 J

c) De la fórmula con aceleración constante, v v = v 0v + a y t, tene-
mos que el tiempo que se requiere es muy corto:

V y - v , (-5.9 x 10 6 m/s) - (Om/s)
a, -1.76 X 10 15 m/s 2

= 3.4 X 10~ 9 s

(También se obtendría el tiempo despejando t de la ecuación y = y +
v 0y t + {a/.)

EVALUAR: Este ejemplo muestra que en los problemas de partículas
subatómicas tales como los electrones, hay muchas cantidades — in-
cluyendo aceleración, rapidez, energia cinètica y tiempo — que tienen
valores muy diferentes de los que vemos en objetos comunes, como
una pelota de beisbol o los automóviles.

Ejemplo 21.8

Una trayectoria del electrón

Si se lanzara un electrón hacia el campo eléctrico del ejemplo 21.7 con
velocidad horizontal inicial v a (figura 21.21), ^cuàl seria la ecuación
de su trayectoria?

BHTniiffl

IDENTIFICAR: En el ejemplo 21.7 calculamos la aceleración del elec-
trón. Nuestro objetivo ahora es encontrar la trayectoria que correspon-
de a dicha aceleración.

PLANTEAR: La aceleración es constante en la dirección negativa del
eje y (no hay aceleración en la dirección x). Entonces, pueden usarse
las ecuaciones de cinemàtica que se estudiaran en el capitulo 3, para el
movimiento en dos dimensiones con aceleración constante.

EJECUTAR: Se tiene a, = y a y = ( -e)EJm. En t ■■
ü oi = v o y u o.v = Oí entonces, en el tiempo í,

0, x

0.

1 5
Vot y v = -a,r

1 eE

■x—t

2 m

Se elimina t entre estàs ecuaciones, y se obtiene
1 eE ,

EVALUAR: Esta es la ecuación de una paràbola, como la trayectoria de
un proyectil que se lanzara horizontalmente en el campo gravitacional
de la Tierra (que vimos en la sección 3.3). Para una velocidad inicial
dada del electrón, la curvatura de la trayectoria depende de la magni-
tud E del campo. Si invirtiéramos los signos de las cargas en las dos
placas de la figura 21.21, la dirección de E también se invertiria, en
tanto que la trayectoria del electrón seria una curva hacia arriba, no
hacia abajo. Entonces, se puede "dirigir" el electrón si se varían las
cargas en las placas. El campo eléctrico entre placas conductoras car-
gadas se utiliza para controlar la trayectoria de los haces de electrones
en los osciloscopios.

2 1 .2 1 Trayectoria parabòlica de un electrón en un campo
eléctrico uniforme.

100 V

*■ + + + + + + + +

21.5 Célculos de campos eléctricos

727

Evalúe su comprensión de la sección 21.4 a) Una carga puntual negativa
se mueve a lo largo de una trayectoria recta directamente hacia una carga puntual
positiva estacionaria. iQué aspecto(s) de la fuerza elèctrica sobre la carga puntual negativa
permaneceràn constantes a medida que se mueve? i) magnitud; ii) dirección; iii) tanto la
magnitud como la dirección; iv) ni la magnitud ni la dirección. b) Una carga puntual negativa
se desplaza a lo largo de una òrbita circular, alrededor de una carga puntual positiva. ^Qué
aspecto(s) de la fuerza elèctrica sobre la carga puntual negativa permaneceràn constantes
a medida que se mueve? i) magnitud; ii) dirección; iii) tanto la magnitud como la dirección;
iv) ni la magnitud ni la dirección.

21.5 Célculos de campos eléctricos

La ecuación (21.7) da el campo eléctrico causado por una sola carga puntual. Sin embar-
go, en la mayoría de situaciones reales que implican campos y fuerzas eléctricas, se en-
cuentra que la carga està distribuïda en el espacio. Las varillas de plàstico y de vidrio
cargadas de la figura 21.1 tiene carga elèctrica distribuïda sobre sus superfícies, igual que
el tambor formador de imàgenes en una impresora làser (figura 21.2). En esta sección
aprenderemos a calcular los campos eléctricos causados por varias distribuciones de carga
elèctrica. Los càlculos de esta clase tienen una importància enorme para las aplicaciones
tecnológicas de las fuerzas eléctricas. Para determinar las trayectorias de los electrones en
un cinescopio, de los núcleos atómicos en un acelerador para radioteràpia contra el càncer,
o de las partículas cargadas en un dispositivo electrónico semiconductor, se tiene que
conocer la naturaleza detallada del campo eléctrico que actua sobre las cargas.

Actv

ONLlNt

1 1 .5 Campo eléctrico debido a un dipolo

1 1 .6 Campo eléctrico: problemas

Superposición de campos eléctricos

Para encontrar el campo originado por una distribución de carga, imaginamos que es-
tà constituida por muchas cargas puntuales q u q 2 , q 3 , . . . (En realidad se trata de una
concepción muy realista, pues hemos visto que la carga es transportada por electrones
y protones, que son tan pequenos que casi parecen puntos.) En cualquier punto P da-
do, cada carga puntual produce su propio campo eléctrico E U E 2 , E 3 , . . . , por lo que
una carga de prueba q a colocada en P experimenta una fuerza F, = q u Ei de la carga
q 1 , una fuerza F 2 = qoE 2 de la carga q 2 y así sucesivamente. Del principio de super-
posición de fuerzas que se estudio en la sección 21.3, la fuerza total F que la distri-
bución de carga ejerce sobre q es la suma vectorial de estàs fuerzas individuales:

F = F, + F 2 + F 3 + ■ ■ ■ = q % + q È 2 + q È 3 + ■ ■ ■

El efecto combinado de todas las cargas en la distribución queda descrito por el cam-
po eléctrico total E en el punto P. De la definición de campo eléctrico, ecuación
(21.3)estoes

- F ->

E = — = Ei + E 2 + E 3 + ■ ■ ■
lo

El campo eléctrico total en P es la suma vectorial de los campos en P debidos a ca-
da carga puntual en la distribución de carga (figura 21.22). Este es el principio de su-
perposición de campos eléctricos.

Cuando la carga està distribuida a lo largo de una línea, sobre una superfície o en un
volumen, son muy útiles algunos términos adicionales. Para una distribución de carga
en línea (como la de una varilla de plàstico cargada, larga y delgada), usamos À (letra
griega lambda) para representar la densidad lineal de carga (carga por unidad de lon-
gitud, medida en C/m). Cuando la carga està distribuida sobre una superfície (como la
superfície del tambor formador de imàgenes de una impresora làser), se usa er (sigma)
para representar la densidad superficial de carga (carga por unidad de àrea, se mide
en C/m 2 ). Y cuando la carga se distribuye en un volumen, se usa p (ro) para represen-
tar la densidad volumètrica de carga (carga por unidad de volumen, C/m 3 ).

En los ejemplos que siguen, algunos de los càlculos tal vez parezcan intrincados; en
los càlculos de campo eléctrico hay cierta complejidad matemàtica implícita. Una vez
que usted haya trabajado con los ejemplos paso a paso, el proceso parecerà menos for-
midable. En el capitulo 28 usaremos muchas de las técnicas de calculo de estos ejem-
plos, para determinar los campos magnéticos que las cargas en movimiento ocasionan.

21 .22 Ilustración del principio de
superposición de campos eléctricos.

91 .

Campo eléctrico
en P debido a

Campo eléctrico
P en P debido a^j

Í^Nv

12 ''

,.y E

El campo eléctrico total E en el
punto P es la suma vectorial de
Ei mas E 2 -

728

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Estratègia para resolver problemas 21.2

Càlculos de campo eléctrico

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Usar el principio de super-
posición donde se necesite, con la finalidad de calcular el campo
eléctrico debido a una distribución de carga (dos o mas cargas pun-
tuales, una distribución en una línea, una superfície o un volumen,
o una combinación de estos).

PLANTEAR el problema en las siguientes etapas:

1. Elabore un dibujo que muestre con claridad las ubicaciones de las
cargas y su elección de los ejes de coordenadas.

2. Indique en el dibujo la posición del punto del campo (punto donde
se desea calcular el campo eléctrico E). En ocasiones, el punto del
campo serà una posición arbitraria en una línea. Por ejemplo, quizà
se pida determinar E en algun punto del eje x.

EJECUTAR la solución, como sigue:

1. Asegúrese de usar unidades consistentes. Las distancias deben es-
tar en metros y las cargas en coulombs. Si se dan en centímetros o
nanocoulombs, no olvide convertirlas.

2. Cuando se sumen los campos eléctricos causados por las diferentes
partes de la distribución de carga, recuerde que el campo eléctrico
es un vector, por lo que se debe utilizar la suma vectorial. No sume
simplemente las magnitudes de los campos individuales; las direc-
ciones también son importantes.

3. Aproveche cualesquiera simetrías en la distribución de la carga.
Por ejemplo, si una carga positiva y otra negativa de igual magni-
tud estan colocadas de manera simètrica con respecto del punto del
campo, producen campos eléctricos de la misma magnitud però
con direcciones que son como imàgenes en el espejo. El uso de di-
chas simetrías simplificarà los càlculos.

4. Es frecuente que se usen las componentes para efectuar sumas vec-
toriales. Utilice los métodos que aprendió en el capitulo 1 y de ser
ferencie con claridad los escalares, los vectores y las componentes
de estos. Asegúrese de que las componentes son consistentes con la

5. Al trabajar en las direcciones de los vectores E, tenga cuidado de
diferenciar entre el punto de origen y el punto del campo. El campo
producido por una carga puntual positiva siempre tiene la dirección
que va del punto de origen hacia el punto del campo; però si la car-
ga es negativa el campo tiene la dirección opuesta.

6. En ciertas situaciones se tendra una distribución continua de la car-
ga a lo largo de una línea, sobre una superfície o en un volumen. En
ese caso, se debe definir un elemento pequeno de la carga que se
pueda considerar como un punto, determinar su campo eléctrico en
el punto P, y encontrar la manera de sumar los campos de todos los
elementos de carga. Por lo general, es mas fàcil hacer esto por se-
parado para cada componente de E, y serà frecuente que se necesi-
ten evaluar una o màs integrales. Asegúrese de que los limites en
las integrales sean los correctes, en especial cuando existe simetria
en la situación, para evitar contar dos veces la carga.

EVALUAR su respuesta: Compruebe que la dirección de E sea razo-
nable. Si el resultado para la magnitud del campo eléctrico E es fun-
ción de la posición (por ejemplo, la coordenada x), compruebe el
resultado en cada límite, para el que se sepa cuàl debería ser la magni-
tud. Cuando sea posible, verifique la respuesta obteniéndola de una
forma diferente.

Ejemplo 21.9

Campo de un dipolo eléctrico

Dos cargas puntuales q x y q 2 de +12 nC y —12 nC, respectivamente,
estan separadas por una distancia de 0.10 m (figura 21.23). Esta com-
binación de dos cargas de igual magnitud y signos opuestos se denomi-
na dipolo eléctrico. (Tales combinaciones ocurren con frecuencia en la
naturaleza. Por ejemplo, en las figuras 21.8b y 21.8c, cada molècula en
el aislante neutró es un dipolo eléctrico. En la sección 21.7 estudiaré -
mos los dipolos con màs detalle.) Calcule el campo eléctrico causado
por q u el campo causado por q 7 , y el campo total: a) en el punto a;
b) en el punto b; y c) en el punto c.

Enssm

IDENTIFICAR: Se necesita encontrar el campo eléctrico total en tres
puntos diferentes originado por dos cargas puntuales. Usaremos el
principio de superposición: E = E t + E 2 .

PLANTEAR: En la figura 21.23 se muestra el sistema de coordenadas
y las ubicaciones de los tres puntos del campo, a, b y c.

21 .23 Campo eléctrico en tres puntos, a, b y c, originado por las
cargas ç, y q 2 , lo que constituye un dipolo eléctrico.

! E 7 \

13.0 cm

13.0 cm

21.5 Célculos de campos eléctricos

729

EJECUTAR: a) En el punto a, los campos E, y E 2 , ocasionados por la
carga positiva ç, y la carga negativa q 2 , respectivamente, estan dirigi-
dos hacia la derecha. Las magnitudes de E, y E 2 son

1 kil , c, ,/ ,sl2 X 10" 9 C

E, = ^^ = (9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 )

47re r 2 (0.060 m) 2

= 3.0 X 10 4 N/C

p 1 kal

E 2 =

4-n-e r

= 6.8 X 10 4 N/C
Las componentes de £, y E 2 son

E lx = 3.0 X 10 4 N/C
E 2x = 6.8 X 10 4 N/C

(9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 )

12 X 10~ 9 C
(0.040 m) 2

£,,, =
£ 2 „ =

De ahí que en el punto a, el campo eléctrico total £ ( , = £, + E 2 tenga
las componentes

(£„), = E u + E 2x = (3.0 + 6.8) X 10 4 N/C
(£„),, = E ly + £ 2r =

En el punto a, el campo total tiene una magnitud de 9.8 X 10 4 N/C y
està dirigido hacia la derecha; por lo tanto,

£„ = (9.8 X 10 4 N/C);

b) En el punto b, el campo E í debido a q l se dirige hacia la izquier-
da; mientras que el campo E 2 debido a q 2 tiene dirección hacia la dere-
cha. Las magnitudes de £, y £ 2 son

1 ki| , „ ,, ,,12 X 10~ 9 C

£, = - 1 — - = (9.0 X 10 9 N ■ m 2 /C 2 )- —

4-7re r 2 (0.040 m) 2

= 6.8 X 10 4 N/C

1 \q 2 \ , „ ,, ,, 12 X 10~ 9 C

£ 2 = - 1 T i = 9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 )- —

47re r 2 (0.140 m) 2

= 0.55 X 10 4 N/C
Las componentes de E 1 ,E 2 y el campo total E h en el punto b son:
£ lv = -6.8 X 10 4 N/C £ 1v =

£ 2v = 0.55 X 10 4 N/C £ 2ï =

(£(,)* = £ lv + £ 2v = (-6.8 + 0.55) X 10 4 N/C
(£,,),. = £,,. + £ 2ï =

Es decir, el campo eléctrico en b tiene una magnitud de 6.2 X 10 4 N/C
y se dirige hacia la izquierda, por lo que

E b = (-6.2 X 10 4 N/C)í

c) En el punto c, tanto E, como £ 2 tienen la misma magnitud, ya
que dicho punto està equidistante de ambas cargas y las magnitudes de
las cargas son las mismas:

i kl „ ,, , N 12 x 10~ 9 C

£,=£, = ^ = (9.0 X 10 9 N • m 2 /C 2 )

" 4tt(t r 1 (0.130 m) 2

= 6.39 X 10 3 N/C

La dirección de E { y £ 2 se ilustran en la figura 21.23. Las componen-
tes x de ambos vectores son las mismas:

E u = £i, = £|Cosa = (6.39 X 10 3 N/C) —

= 2.46 X 10 3 N/C

Por simetria, las componentes y E ly y £ 2v son iguales y opuestas, por lo
que suman cero. De aquí que las componentes del campo total E c sean

(£, .)., = E u + £ 2v = 2(2.46 X 10 3 N/C) = 4.9 X 10 3 N/C
(£,) v = £ h . + £ 2ï =

De modo que en el punto c el campo ele'ctrico total tiene una magnitud
de 4.9 X 10 3 N/C y està dirigido hacia la derecha, por lo que

E c = (4.9 X 10 3 N/C)í

iSe sorprende que en el punto c el campo sea paralelo a la línea entre
las dos cargas?

EVALUAR: Una manera alternativa de calcular el campo eléctrico en c
consiste en usar la expresión vectorial para el campo de una carga pun-
tual, ecuación (21.7). El vector de desplazamiento r, desde q t hasta el
punto c, a una distancia r de 13.0 cm, es

/■] = rcosaï + rsenaj

Entonces, el vector unitario que va de q l a c es

. ?i „,

r, = — = cosa! + sen a)
r

y el campo debido a q, en el punto c es
£

1 ?i .

r,

47T£ r 2

1 «i- „ .,

(cosa; + sencyj

4i7£ r 2

Por simetria, el vector unitario r 2 que va de q 2 al punto c, tiene la com-
ponente x opuesta però la misma componente y, así que el campo en c
debido a q 2 es

1 q 2

E 2 = h

47T£ r

1 92, _ ^

( —cos ai + sen aj )

4ire S

Como q 2 = — q u el campo total en c es

£ ( . = £,+£,

1 íi, . . N 1 ( _ ?i), . .,

= (cosai + sena)) + (— cosaí + sena)j

Att€ r 2 4ir£„ j- 2

i q

Atté r

-(2cosaiJ

,, o,12 X 10~ 9 C / 5

= (9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 ) 2 —

' (0.13 m) 2 [ U3

= (4.9 X 10 3 N/C)ï
como se había obtenido antes.

730

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Ejemplo 21.10

Campo de un anillo con carga

Un conductor en forma de anillo con radio a tiene una carga total Q
distribuida de manera uniforme en todo su perímetre (figura 21.24).
Encuentre el campo eléctrico en el punto P que se localiza sobre el eje
del anillo a una distancia x del centro.

EnEHa

IDENTIFICAR: Éste es un problema de superposición de campos eléc-
tricos. La dificultad es que ahora la carga se distribuye de manera con-
tinua alrededor del anillo, y no en cierto número de cargas puntuales.

PLANTEAR: El punto del campo se localiza de manera arbitraria so-
bre el eje x, como se indica en la figura 21.24. La incògnita es el

EJECUTAR: Como se ilustra en la figura 21.24, imaginamos el anillo
dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cada segmento
tiene una carga dQ que actua como fuente de carga puntual del campo
eléctrico. Sea dE el campo eléctrico a partir de uno de tales segmentos;
entonces, el campo eléctrico neto en P es la suma de todas las aporta-
ciones dE desde todos los segmentos que constituyen el anillo. (Esta
misma tècnica sirve para cualquier situación en que la carga se distri-
buya a lo largo de una recta o una curva.)

El calculo de E se simplifica mucho debido a que el punto P del
campo se ubica sobre el eje de simetria del anillo. Considere dos seg-
mentos en las partes superior e inferior del anillo: las contribuciones
dE al campo en P a partir de dichos segmentos tienen la misma com-
ponente x, però componentes y opuestas. Así, la componente y total del
campo generada por este par de segmentos es igual a cero. Cuando su-
mamos las contribuciones desde todos los pares correspondientes de
segmentos, resulta que el campo total E solo tendra una componente a
lo largo del eje de simetria del anillo (el eje x), sin componente perpen-
dicular a dicho eje (es decir, no hay componentes y ni componente z).
Por lo tanto, el campo en P queda descrito completamente por su com-
ponente x: E x .

21 .24 Calculo del campo eléctrico sobre el eje de un anillo de
carga. En esta figura, se considera que la carga es positiva.

</£,

dE

Para calcular E„ se observa que el Cuadrado de la distancia r a par-
tir de un segmento de anillo al punto P es igual a r 2 = x 2 + et. De ma-
nera que la magnitud de la contribución de este segmento dE al campo
eléctrico en P es

dE =

1

dQ

4ne x 1 + a 2

Como cosa = xjr = xj{x 2 + a 2 ) 1 ' 2 , la componente x, dE„ de este
campo es

1 dQ x

dE, = ífficosa =

4vre x 2 + a 2 V.ï 2 + a 2
1 xdQ

~ 4ire (x 1 + a 2 yr-

Para encontrar la componente x total, E„ del campo en P, se integra es-
ta expresión a lo largo de todos los segmentos del anillo:

1

xdQ

1 4^„ (x 2 + a 2 ) 3 ! 2

Como x no varia a medida que nos movemos de un punto a otro alrede-
dor del anillo, todos los factores en el lado derecho son constantes, ex-
cepte dQ, es posible sacarlos de la integral, y como la integral de dQ es
la carga total Q, finalmente resulta que

E = EJ =

1

Qx

4we (x 2 + a 2 ) 3 ' 2

(21.8)

EVALUAR: Nuestro resultado para E demuestra que en el centro del
anillo (x = 0), el campo es igual a cero, lo que era de esperarse: las
cargas en los lados opuestos del anillo empujarían en direcciones
opuestas a una carga de prueba que se situarà en el centro, y la suma de
las fuerzas seria cero. Cuando el punto del campo P se encuentra mu-
cho mas lejos del anillo que el tamafio de éste (es decir, x S> a), el de-
nominador de la ecuación (21.8) toma un valor cercano a .ï 3 , y la

ï? ' Q -

4ne Q x 2

En otras palabras, cuando estamos tan lejos del anillo que el tamano a
de éste es despreciable en comparación con la distancia x, su campo es
el mismo que el de una carga puntual. Para un observador distante del
anillo, éste parecería un punto, y el campo eléctrico lo refleja.

En este ejemplo, usamos un argumento de simetria para conduir
que E tiene solo una componente x en un punto sobre el eje de simetria
del anillo. Este capitulo y los posteriores utilizaremos muchas veces
argumentes de simetria; sin embargo, recuerde que estos únicamente
se utilizan en casos especiales. En la figura 21.24, el argumento de si-
metria no se aplica para un punto en el plano xy que no esté sobre el eje
x, y el campo tiene en general componentes tanto x como y.

21.5 Célculos de campos eléctricos

731

Ejemplo 21.11

Campo de una línea con carga

Una carga elèctrica, Q, positiva està distribuida uniformemente a lo
largo de una línea con longitud de 2a que se ubica sobre el eje y, entre
v = — a y y = +a. (Esta seria la representación de una de las varillas
cargadas de la figura 21.1.) Calcule el campo eléctrico en el punto P
sobre el eje x, a una distancia x del origen.

EBEU

IDENTIFICAR: Al igual que en el ejemplo 21.10, nuestra incògnita es
el campo eléctrico debido a una distribución continua de la carga.

PLANTEAR: La figura 21.25 ilustra la situación. Se necesita encontrar
el campo eléctrico en el punto P en función de la coordenada x. El eje x
es el bisector perpendicular de la línea cargada, por lo que, al igual que
en el ejemplo 21.10, podemos utilizar un argumento de simetria.

EJECUTAR: Se divide la línea de carga en segmentes infinitesimales,
cada uno de los cuales actua como carga puntual; sea dy la longitud de
cualquier segmento localizado a la altura y. Si la carga se distribuye
de manera uniforme, la densidad lineal de carga A en cualquier pun-
to de la línea es igual a Qjla (la carga total dividida entre la longi-
tud total). Entonces, la carga dQ en un segmento de longitud dy es

dQ = kdy

Qdy

la

La distancia r entre este segmento y P es (x 2 + y 2 ) 1 ' 2 , por lo que la
magnitud del campo dE, en P, debido a este segmento es

dE

1 dQ

Aire a r

Q

</v

4ire 2a(x 2 + v 2 )

Representamos este campo en términos de sus componentes x y y:

dE^ = dEcosa dE y = —dE senat

Se observa que sena = y/(.v 2 + ,y 2 )'' 2 y cosa = xj{x 2 + v 2 ) 1 ' 2 ; que se
combinan con la expresión para dE para obtener

Q xdy

4^0 2a{x 2 + y 2 ) 3 ' 2

Q ydy

^^o 2a(x 2 + y 2 ) 3 ! 2

Para determinar las componentes del campo totales £" v y E y se inte-
gran estàs expresiones, considerando que para incluir toda la Q se debe
integrar desde y = —a hasta y = +a. Se invita al lector a que realice
los detalles de la integración, para lo cual le seria de utilidad una tabla
de integrales. Los resultados finales son

dE, =

dE Y =

Q

1

£,. =

1 Qx í" dy

4ire B 2a J _„ ( v -2 + f ) 3/2 4i7£ .V.v 2 + a 2

l Q(" ydy _ =

4tt-6 2aJ_ (^2 + y2)3/2

o, en forma vectorial,

l

477e o x Vx

(21. 9)

+ ÍT

EVALUAR: Con el argumento de simetria que se usó en el ejemplo
21. 10 se habría llegado a que E y era igual a cero; si se coloca una carga
de prueba positiva en P, la mitad superior de la línea de carga empuja
hacia abajo sobre ella, y la mitad inferior empuja hacia arriba con igual
magnitud.

21 .25 Nuestro esquema para este problema.

y

.1

dy jdQ,

■>i x

-ï

Para explorar los resultados, primero se vera lo que ocurre en el lí-
mite en que x es mucho mas grande que a. En ese caso, se puede igno-
rar a en el denominador de la ecuación (21.9), y el resultado se
convierte en

E =

457£ X 2

Esto significa que si el punto P se halla muy lejos de la línea de carga
en comparación con la longitud de la línea, el campo en P es el mismo
que el de una carga puntual. Se obtiene un resultado similar que para el

Al estudiar mas el resultado exacto para E, ecuación (21.9), se ex-
presarà esta en términos de la densidad lineal de carga A = Q/2a. Al
sustituir Q — 2a\ en la ecuación (21.9) y simplificar, se obtiene

1

2-77 e

o.ïV(a- 2 /V) + 1

(21.10)

Ahora se puede responder la pregunta: ^.Cuàl es el valor de E a una
distancia x a partir de una línea de carga muy larga? Para ello se toma
el límite de la ecuación (21.10) cuando a tiende a ser muy larga. En ese
límite, el termino x 1 /a 1 en el denominador se hace mucho mas pequefio
que la unidad y se puede desechar. Queda lo siguiente:

E =

2tT€qX

La magnitud del campo solo depende de la distancia en el punto P a la
línea de carga. Por lo tanto, a una distancia perpendicular r desde la lí-
nea en cualquier dirección, E tiene la magnitud

A

(línea infinita de carga)

2ir€ r

Así, el campo eléctrico debido a una línea de carga de longitud infinita
es proporcional a l/r, y no a 1/r 2 como fue el caso para una carga pun-
tual. Si A es positiva, la dirección de E es radial hacia fuera con respec-
to a la recta, y si A es negativa es radial hacia dentro.

En la naturaleza no existe en realidad nada como una línea infinita
de carga; no obstante, cuando el punto del campo està suficientemente
cerca de la línea, hay muy poca diferencia entre el resultado para una
línea infinita y el caso finito de la vida real. Por ejemplo, si la distan-
cia r del punto del campo desde el centro de la línea es del 1 % de la
longitud de esta, el valor de E difiere menos del 0.02% del valor para
la longitud infinita.

732

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Ejemplo 21.12

Campo de un disco con carga uniforme

Encuentre el campo eléctrico que genera un disco de radio R con den-
sidad superficial de carga (carga por unidad de àrea) positiva y unifor-
me, <r, en un punto a lo largo del eje del disco a una distancia x de su
centro. Suponga que x es positiva.

EHEl•la

IDENTIFICAR: Este ejemplo se parece a los ejemplos 21.10 y 21.11,
en que nuestra incògnita es el campo eléctrico a lo largo del eje de si-
metria de una distribución de carga continua.

PLANTEAR: En la figura 21.26 se ilustra la situación. Se representa la
distribución de carga como un conjunto de anillos concéntricos de car-
ga dQ, como se indica. Del ejemplo 21.10 se conoce el campo de un
solo anillo sobre su eje de simetria, por lo que todo lo que tenemos que
hacer es sumar las contribuciones de los anillos.

EJECUTAR: Un anillo común tiene una carga dQ, radio interior r y ra-
dio exterior r + dr (figura 21.26). Su àrea dA es aproximadamente
igual a su ancho dr multiplicado por su circunferencia 2irr, o
dA = 2irr dr. La carga por unidad de àrea es a = dQ\dA, por lo que
la carga del anillo es dQ = cr dA = a {2irr dr), o bien,

dQ = 2iT(jr dr

Se utiliza esta expresión en vez de Q en la ecuación para el campo de-
bido a un anillo, que se obtuvo en el ejemplo 21.10, ecuación (21.8), y
también se sustituye el radio del anillo a por r. La componente del
campo dE t en el punto P debido a la carga dQ es

dE, =

1 dQ

4vre ,- 2

i [2ir(rr dr)x

477e„ ( A -2 + ,2)3/2

21 .26 Nuestro esquema para este problema.

dE y

Para calcular el campo total debido a todo el anillo, se integra dE x so-
bre r, desde r — hasta r = R (no desde — R hasta R):

E, =

R i (2TT<rrdr)x ax [ R r dr

o 4 ^o {x 2 + ryl 2 2e Jo (x 2 + rfl 2

Recuerde que durante la integración x es una constante, y que la varia-
ble de integración es r. La integral se evalúa usando la sustitución
z = x 2 + r. Se invita al lector a que trabaje en los detalles; el resulta-
do es

(JX

2e„

1

V?

R-

(21.11)

2e

oi V(R 2 lx 2 ) + 1

El campo eléctrico debido al anillo no tiene componentes perpendicu-
lares al eje. Entonces, en la figura 21.26, en el punto P dE v = dE. =
para cada anillo, y el campo total tiene E y = E z = 0.

EVALUAR Suponga que se incrementa el radio R del disco y se agrega
simultàneamente carga, de manera que la densidad superficial de car-
ga <t (carga por unidad de àrea) se mantiene constante. En el límite en
que R es mucho mayor que la distancia x entre el punto del campo y
el disco, el termino l/v (íf 2 /.r 2 ) + 1 en la ecuación (21.11) se vuelve
despreciable por lo pequefio, con lo que se obtiene

2e„

(21.12)

El resultado final no contiene la distancia x al plano, por lo que el cam-
po eléctrico producido por una làmina cargada, plana e infinita, es in-
dependiente de su distancia a la làmina. La dirección del campo es
perpendicular en cualquier parte de la làmina y se aleja de esta. No
existe nada como una làmina infinita de carga, però si las dimensiones
de la làmina son mucho mayores que la distancia x entre el punto del
campo P y la làmina, el campo està muy cerca de lo que se obtiene con
la ecuación (21.11).

Si P està a la izquierda del plano (x < 0), el resultado es el mismo,
excepto que la dirección de E es a la izquierda en vez de a la derecha.
Si la densidad de caga superficial es negativa, la dirección de los Cam-
pos en ambos lados del plano es hacia éste, en vez de alejarse de él.

Ejemplo 21.13

Campo de dos làminas infinitas con carga opuesta

Se colocan dos làminas infinitas y planas paralelas entre sí, separadas
por una distancia d (figura 21.27). La làmina inferior tiene una densi-
dad superficial de carga uniforme y positiva o\ y la làmina superior tie-
ne una densidad superficial de carga uniforme y negativa —tr, ambas
de la misma magnitud. Encuentre el campo eléctrico entre las dos là-
minas, arriba de la làmina superior y debajo de la làmina inferior.

EHEl•la

IDENTIFICAR: Del ejemplo 21.12 se conoce el campo eléctrico debi-
do a una sola làmina cargada, plana e infinita. Nuestra meta es encon-
trar el campo eléctrico debido a dos de tales làminas.

PLANTEAR: Se utiliza el principio de superposición para combinar los
campos eléctricos producidos por las dos làminas, como se indica en la
figura 21.27.

21 .27 Calculo del campo eléctrico debido a dos làminas infinitas
con cargas opuestas. Se presenta la vista las làminas desde el bor-
de; i solo es posible ver una parte de las làminas infinitas!

Làmina 2

Làmina 1 +<x

H t*2

,4 li

£lf 4^2

:£,+£,

■ E, + E 1

■■E, +E =

21.6 Líneas de campo eléctrico

733

EJECUTAR: Sea la làmina 1 la làmina inferior con carga positiva, y la
làmina 2 la làmina superior con carga negativa; los campos debidos a
cada làmina son E, y E 2 , respectivamente. De la ecuación (21.12) del
ejemplo 21.12, tanto E l como E 2 tienen la misma magnitud en todos
los puntos, sin importar lo lejos que estén de cada làmina:

a

2e„

En todos los puntos, la dirección de E l se aleja de la carga positiva de la
làmina 1, y la dirección de E 2 va hacia la carga negativa de la làmina 2.
Estos campos y los ejes x y y se ilustran en la figura 21.27.

CUIDADO Los campos eléctricos no "fluyen" Tal vez le sorpren-
da que £, no se vea afectado por la presencia de la làmina 2, y que a E 2
tampoco lo afecte la presencia de la làmina 1 . Quizàs habrà usted pen-
sado que el campo de una làmina es incapaz de "penetrar" la otra làmi-
na. Esta seria la conclusión, si el campo eléctrico se considerarà como
una sustancia física que "fluye" hacia adentro de las cargas o desde
ellas. Però en realidad no hay tal sustancia, y los campos eléctricos E,
y E 2 tan solo dependen de las distribuciones individuales de cargas que
los crean. El campo total es solo la suma vectorial de E l y E 2 .

En los puntos entre las làminas, Ej y É 2 se refuerzan entre sí; en los
puntos arriba de la làmina superior o debajo de la làmina inferior, £, y
E 2 se cancelan mutuamente. Entonces, el campo total es

E = E

arriba de la làmina superior

entre las làminas

debajo de la làmina inferior

Como se considera que las hojas son infinitas, el resultado no depende
de la separación d.

EVALUAR: Observe que el campo entre las làminas con cargas opues-
tas es uniforme. Esto se utilizó en los ejemplos 21.7 y 21.8, donde se
conectaban dos placas conductoras, grandes y paralelas, a las termina-
les de una bateria. La bateria hace que las dos placas adquieran cargas
contrarias, lo cual origina entre ellas un campo que en esencia es uni-
forme, si la separación de las placas es mucho menor que las dimensio-
nes de las placas. En el capitulo 23 estudiaremos el modo en que una
bateria produce la separación de cargas positivas y negativas. Un arre-
glo de dos placas conductoras con cargas opuestas se llama capacitar,
que es un dispositivo que tienen una utilidad pràctica enorme y que es
el tema principal del capitulo 24.

Evalúe su comprensión de la sección 21 .5 Suponga que la línea de carga
de la figura 21.25 (ejemplo 21.11) tuviera una carga +Q distribuida uniformemente
entre y = y y = +a, y tuviera una carga — Q con distribución uniforme entre y = y
v = — a. En esta situación, el campo eléctrico en P estaria i) en la dirección +x; ii) en la
dirección — x\ iii) en la dirección +y; iv) en la dirección — y; v) igual a cero; vi) ninguna
de las anteriores.

21.6 Líneas de campo eléctrico

El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléc-
trico puede verse directamente. Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son
de gran ayuda y los hace parecer mas reales. Una línea de campo eléctrico es una
recta o curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo que es
tangente en cualquier punto que esté en la dirección del vector del campo eléctrico en
dicho punto. La figura 21.28 ilustra la idea bàsica. (Utilizamos un concepto similar
en el anàlisis del movimiento de fluidos en la sección 14.5. Una línea de corriente es una
recta o curva, cuya tangente en cualquier punto està en dirección de la velocidad del
fluido en dicho punto. Sin embargo, la similitud entre las líneas de campo eléctrico y
las líneas de comentes de los fluidos es únicamente de caràcter matemàtico, porque
en los campos eléctricos no hay nada que "fluya".) El científico inglés Michael Fara-
day (1791-1867) introdujo por primera vez el concepto de líneas de campo. Las llamó
"líneas de fuerza", aunque es preferible el termino "líneas de campo".

Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de E en cada punto, y su espa-
ciamiento da una idea general de la magnitud de E en cada punto. Donde E es fuerte,
las líneas se dibujan muy cerca una de la otra, y donde E es màs dèbil se trazan sepa-
radas. En cualquier punto especifico, el campo eléctrico tiene dirección única, por lo
que solo una línea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras pala-
bras, las líneas de campo nunca se cruzan.

En la figura 21.29 se ilustran algunas líneas de campo eléctrico en un plano que
contiene a) una sola carga positiva; b) dos cargas de igual magnitud, una positiva y
otra negativa (un dipolo); y c) dos cargas positivas iguales. A veces estos diagramas
reciben el nombre de mapas de campo; son secciones transversales de los patrones
reales en tres dimensiones. La dirección del campo eléctrico total en cada punto de
cada diagrama està a lo largo de la tangente a la línea de campo eléctrico que pasa
por el punto. Las flechas indican la dirección del vector del campo E a lo largo de

21 .28 La dirección del campo eléctrico
en un punto cualquiera es tangente a la
línea de campo que pasa por ese punto.

Campo en
el punto R

Campo en
el punto R
E B

734 CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

21 .29 Líneas de campo eléctrico para tres diferentes distribuciones de carga. En general, la magnitud de E es diferente en distintos
puntos a lo largo de una línea de campo dada.

a) Una sola carga positiva b) Dos cargas iguales y opuestas (un dipolo)

c) Dos cargas positivas iguales

•Las líneas de campo siempre

apuntan alejàndose de
las cargas ( + ) y hacia las
cargas ( — ).

En cada punto en el espacio,
el vector de campo eléctrico
es tangente a la línea de campo
que pasa a través de ese punto.

Las líneas de campo estan muy cercanas donde
el campo es intenso, y mas alejadas donde el
campo es mas dèbil.

21 .30 a) Las líneas de campo eléctrico
producidas por dos cargas puntuales
iguales. El patrón se forma con semillas
de césped que flotan en un liquido
encima de dos alambres con carga.
Compare este patrón con la figura 21.29c.
b) El campo eléctrico causa la polarización
de las semillas de césped, lo cual a la
vez hace que las semillas se alineen
con el campo.

a)

b)

Semilla de
césped

cada línea de campo. Los vectores de campo reales se dibujaron en varios puntos
de cada patrón. Observe que, en general, la magnitud del campo eléctrico es diferente
en distintos puntos de una línea de campo dada; juna línea de campo no es una curva
de magnitud de campo eléctrico constante!

La figura 21.29 muestra que las líneas de campo se dirigen alejàndose de las car-
gas positivas (ya que al estar cerca de una carga puntual positiva, E apunta alejàndose
de la carga) y van hacia las cargas negativas (puesto que al estar cerca de una carga
puntual negativa, E apunta hacia la carga). En las regiones donde la magnitud del
campo es grande, como la zona entre las cargas positiva y negativa de la figura
21.29b, las líneas de campo se dibujan aproximàndose entre sí; mientras que donde la
magnitud del campo es pequena, como la región entre las dos cargas positivas de la fi-
gura 21.29c, las líneas estan muy separadas. En un campo uniforme, las líneas de
campo son rectas, paralelas y con espaciamiento uniforme, como en la figura 21.20.

La figura 2 1 .30 es una vista superior de un arreglo experimental para visualizar las
líneas de campo eléctrico. En el arreglo que se muestra, los extremos de dos alambres
con carga positiva se insertan en un contenedor de liquido aislante, en el cual se dejan
flotando algunas semillas de césped. Tales semillas son aislantes eléctricamente neu-
tros; sin embargo, el campo eléctrico de los dos alambres cargados provoca su polari-
zación; en las moléculas de cada semilla, hay un ligero desplazamiento de las cargas
positivas y negativas, como se ilustra en la figura 21.8. El extremo cargado positiva-
mente de cada semilla de césped es atraído en la dirección de E; y el extremo de cada
semilla cargado negativamente es atraído en dirección opuesta a E. De ahí que el eje
largo de cada semilla de césped tienda a orientarse en forma paralela al campo eléctri-
co, en la dirección de la línea de campo que pasa por la posición que ocupa la semilla
(figura 21.30b).

CU1DADO Las líneas de campo eléctrico no son trayectorias Es un error común supo-
ner que si una partícula con carga q està en movimiento en presencia de un campo eléctrico, la
partícula debe moverse a lo largo de una línea de campo eléctrico. Como en cualquier punto E
es tangente a la línea de campo que pasa por ese punto, es cierto que la fuerza sobre la partícu-
la, F = qE y, por lo tanto, la aceleración de la partícula, son tangentes a la línea de campo.
Però en el capitulo 3 vimos que cuando una partícula se mueve con una trayectoria curva,
su aceleración no puede ser tangente a la trayectoria. Así que, en general, la trayectoria de una
partícula cargada no es la misma que una línea de campo.

Línea de campo

Evalúe su comprensión de la sección 21 .6 Suponga que las líneas de campo
eléctrico en una región del espacio son rectas. Si una partícula cargada parte del reposo
en esa región, ;,su trayectoria serà una línea de campo?

21.7 Dipolos eléctricos 735

21.7 Dipolos eléctricos

Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opues-
tos (una carga positiva q y una carga negativa — q) separadas por una distancia d. En
el ejemplo 21.9 se presentaren los dipolos eléctricos (sección 21.5); el concepto es
digno de estudiarse con mas detenimiento porque muchos sistemas físicos, desde mo-
léculas hasta antenas de televisión, se pueden describir como dipolos eléctricos. Tam-
bién usaremos mucho este concepto en el anàlisis de los dieléctricos en el capitulo 24.

La figura 21.31a muestra una molècula de agua (H 2 0), que en muchos senti- "}
dos se comporta como un dipolo eléctrico. La molècula de agua en su totalidad ■
es eléctricamente neutra; no obstante, los enlaces químicos dentro de la molècula oca-
sionan un desplazamiento de la carga. El resultado es una carga neta negativa en el
extremo del oxigeno de la molècula, y una carga neta positiva en el extremo del hi-
drógeno, formando así un dipolo. El efecto es equivalente al desplazamiento de un
electrón alrededor de solo 4 X 1CT" m (aproximadamente el radio de un àtomo de hi-
drógeno); sin embargo, las consecuencias de tal desplazamiento son profundas. El
agua es un magnifico solvente para las sustancias iónicas como la sal de mesa (cloru-
ro de sodio, NaCl) precisamente porque la molècula de agua es un dipolo eléctrico
(figura 21.31b). Cuando se disuelve en agua, la sal se disocia en un ion de sodio posi-
tivo (Na + ) y un ion de cloro negativo (CL), los cuales tienden a ser atraídos hacia los
extremos negativo y positivo, respectivamente, de las moléculas de agua; esto man-
tiene los iones en solución. Si las moléculas de agua no fueran dipolos eléctricos, el
agua seria un mal solvente, y casi toda la química que ocurre en soluciones acuosas
seria imposible. Esto incluye todas las reacciones bioquímicas que hay en las formas
de vida terrestres. En un sentido muy real, ;nuestra existència como seres humanos
depende de los dipolos eléctricos!

Estudiaremos dos preguntas sobre los dipolos eléctricos. La primera es ^qué fuer-
zas y pares de torsión experimenta un dipolo cuando se coloca en un campo eléctrico
externo (es decir, un campo originado por cargas fuera del dipolo)? La segunda es
^qué campo eléctrico produce un dipolo eléctrico por sí mismo?

Fuerza y par de torsión en un dipolo eléctrico

Para comenzar con la primera pregunta, coloquemos un dipolo eléctrico en un campo
eléctrico externo uniforme E, como se indica en la figura 21 .32. Las fuerzas F + y F
en las dos cargas tienen una magnitud de qE, però sus direcciones son opuestas y su
suma es igual a cero. La fuerza neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico
externo uniforme es cero.

Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma línea, por lo que sus
pares de torsión no suman cero. Los pares se calculan con respecto al centro del dipolo.
Sea <f> el àngulo entre el campo eléctrico E y el eje del dipolo; entonces, el brazo de pa-
lanca tanto para F + como para F es (d/2) sen (f> . El par de torsión de F + y el par de
torsión de F tienen ambos la misma magnitud de (qE) (d/2) sen <f>, y los dos pares
de torsión tienden a hacer girar el dipolo en el sentido horario (es decir, en la figura
21.32, ? se dirige hacia la parte interna de la pàgina). Entonces, la magnitud del par
de torsión neto es el doble de la magnitud de cualquier par de torsión individual:

T = (qE)(dsenqj) (21.13)

donde d sen <\$> es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las dos fuerzas.
El producto de la carga q y la separación d es la magnitud de una cantidad llamada
momento dipolar eléctrico, que se denota con p:

qd (magnitud del momento dipolar eléctrico)

(21.14)

Las unidades de p son de carga por distancia (C • m). Por ejemplo, la magnitud del
momento dipolar eléctrico de una molècula de agua es p — 6.13 X 10~ 30 C • m.

fundir el momento dipolar con la cantidad de movimiento o la presión. En el alfabeto no hay tan-
tas letras como cantidades físicas, por lo que algunas literales se utilizan con varios significados.
Es el contexto el que por lo general aclara lo que se quiere decir, però hay que estar atento.

21.31 a) Una molècula de agua es
un ejemplo de dipolo eléctrico. b) Cada
tubo de ensayo contiene una solución de
diferentes sustancias en agua. El momento
dipolar eléctrico grande del agua la
convierte en un magnifico solvente.

a) Una molècula de agua, con la carga positiva
en color rojo, y la carga negativa en azul

k

+

El momento dipolar eléctrico p esta
dirigido del extremo negativo al extremo
positivo de la molècula.

b) Varias sustancias disueltas en agua

21 .32 La fuerza neta sobre este dipolo
eléctrico es cero, però hay un par de
torsión dirigido hacia la parte interna
de la pàgina, que tiende a hacer girar
el dipolo en el sentido horario.

F = qE

F = -qE -q

736 CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Ademàs, el momento dipolar eléctrico se define como una cantidad vectorial p. La
magnitud de p està dada por la ecuación (21.14), y su dirección ocurre a lo largo del
eje dipolar, de la carga negativa a la carga positiva, como se muestra en la figura 21.32.

En términos de p, la ecuación (21.13) para la magnitud t del par de torsión ejerci-
do por el campo se convierte en

t — pE senrf) (magnitud del par de torsión sobre un dipolo eléctrico) (21.15)

Como en la figura 21.32 4> es el àngulo entre las direcciones de los vectoresp y E, es-
to nos recuerda la expresión de la magnitud del producto vectorial que se estudio en
la sección 1.10. (Quizàs el lector desee repasar ese anàlisis.) Entonces, es posible es-
cribir el par de torsión sobre el dipolo en forma vectorial como

t = p X E (par de torsión sobre un dipolo eléctrico, en forma vectorial) (21.16)

Se puede utilizar la regla de la mano derecha para el producto vectorial, con la finali-
dad de verificar que en la situación que se ilustra en la figura 21.32, t se dirige hacia
la parte interna de la pàgina. El par de torsión es el màximo cuando p y E son perpen-
diculares, y es igual a cero cuando son paralelos o antiparalelos. El par de torsión
siempre tiende a hacer que p gire para que se alinee con E . La posición cf> — 0, con p
paralelo a E, es una posición de equilibrio estable; mientras que la posición <f> — tt,
con p y E antiparalelos, es una posición de equilibrio inestable. La polarización de
una semilla de césped en el aparato que se ilustra en la figura 21.30b le da un momen-
to dipolar eléctrico; entonces, el par de torsión que ejerce E ocasiona que la semilla se
alinee con E y por ello con las líneas de campo.

Energia potencial de un dipolo eléctrico

Cuando un dipolo cambia de dirección en un campo eléctrico, el par de torsión del
campo eléctrico realiza trabajo sobre él, con el cambio correspondiente en su energia
potencial. El trabajo dW realizado por un par de torsión t durante un desplazamiento
infinitesimal d<f> està dado por la ecuación (10.19): dW = t d(f>. Como el par de tor-
sión està en la dirección en que <f> disminuye, debemos escribir el par de torsión como
t = — pE senc/>, y

dW — t d<f> — —pE sen (f> d<f>

En un desplazamiento finito de <p l a </> 2 , el trabajo total realizado sobre el dipolo es

W= {-pE sen (f>) d<\$>

= pE cos <t> 2 — pE cos (f> l

El trabajo es el negativo del cambio de energia potencial, como se vio en el capitulo 7:
W = U, — U 2 - Por lo tanto, se observa que una definición adecuada de la energia po-
tencial U para este sistema es

U(4>) = -pEcos(f> (21.17)

En esta expresión se reconoce el producto escalar p • E = pEcos<f>, por lo que tam-
bién se puede escribir

U~—p•E (energia potencial para un dipolo en el campo eléctrico) (21.18)

La energia potencial tiene su valor mínimo U — —pE (es decir, su valor màs negati-
vo) en la posición de equilibrio estable, donde (f> — y p es paralelo a E. La energia
potencial es màxima cuando <f> = tt y p es antiparalelo a E; entonces U = +pE. En
cf> — tt/2, donde p es perpendicular a E, U es igual a cero. Por supuesto, es posible
definir U de manera diferente para que valga cero en alguna otra orientación de p,
però nuestra definición es la màs sencilla.

21.7 Dipolos eléctricos 737

La ecuación (21.18) brinda otra manera de considerar el efecto ilustrado en la figu-
ra 21.30. El campo eléctrico E da a cada semilla de césped un momento dipolar eléc-
trico, por lo que la semilla se alinea con E para minimizar la energia potencial.

Ejemplo 21.14

Fuerza y par de torsión sobre un dipolo eléctrico

La figura 21.33 muestra un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uni-
forme con magnitud de 5.0 X 10 5 N/C dirigido en forma paralela al
plano de la figura. Las cargas son ±1.6 X 10~ 19 C; ambas se encuen-
tran en el plano y estan separadas por una distancia de 0.125 nm =
0.125 X 10 9 m. (Tanto la magnitud de la carga como la distancia son
cantidades moleculares representativas.) Encuentre a) la fuerza neta
ejercida por el campo sobre el dipolo; b) la magnitud y la dirección del
momento dipolar eléctrico; c) la magnitud y la dirección del par de tor-
sión; d) la energia potencial del sistema en la posición que se muestra.

EBEU

IDENTIFICAR: Este problema utiliza las ideas de esta sección acerca
de un dipolo eléctrico colocado en un campo eléctrico.

PLANTEAR: Se emplea la relación F = qE para cada carga puntual,
con la finalidad de calcular la fuerza sobre el dipolo en su conjunto. La
ecuación (21.14) proporciona el momento dipolar, la ecuación (21.16)

21 .33 a) Un dipolo eléctrico. b) Direcciones del momento dipo-
lar eléctrico, el campo eléctrico y el par de torsión.

a)

b)

,

-q

E

A-hy

&ú

Ur

^ 145°

da el par de torsión sobre el dipolo y la ecuación (21.18
energia potencial del sistema.

brinda la

EJECUTAR: a) Como el campo es uniforme, las fuerzas sobre las dos
cargas son iguales y opuestas, y la fuerza total es igual a cero.

b) La magnitud p del momento dipolar eléctrico p es

p = qd = (1.6 X 10~ 19 C) (0.125 X 10~ 9 m)
= 2.0 X 10~ 29 C-m

La dirección de p es de la carga negativa a la positiva, a 145° en el
sentido horario, a partir de la dirección del campo eléctrico (figura
21.33b).

c) La magnitud del par de torsión es

t = pE sen </> = (2.0 X 10~ 29 C) (5.0 X 10 5 N/C) (sen 145°)
= 5.7 X 10~ 24 N-m

De acuerdo con la regla de la mano derecha para el producto vectorial
(véase la sección 1.10), la dirección del par de torsión es t = p X E
hacia fuera de la pàgina. Esto corresponde a un par de torsión en senti-
do antihorario que tiende a alinear/? con E.

d) La energia potencial es

U = — pE cos 4>

= -(2.0 X 10" 29 C-m)(5.0 X 10 5 N/C) (cos 145°)
= 8.2 x 10~ 24 J

EVALUAR: El momento dipolar, el par de torsión y la energia poten-
cial son muy pequenos. No se sorprenda por este resultado. Recuerde
que tratamos con una sola molècula que, de hecho, jes un objeto muy
diminuto!

En este anàlisis supusimos que E es uniforme, por lo que no hay fuerza neta sobre
el dipolo. Si E no fuera uniforme, las fuerzas en los extremos quizà no se cancelarían
por completo y la fuerza neta no seria igual a cero. Así que un cuerpo con carga neta
igual a cero, però con momento dipolar eléctrico, puede experimentar una fuerza
neta en un campo eléctrico no uniforme. Como vimos en la sección 21.1, un campo
eléctrico puede polarizar un cuerpo sin carga, lo que origina una separación de la car-
ga y un momento dipolar eléctrico. Es así como los cuerpos sin carga experimentan
fuerzas electrostàticas (figura 21.8).

Campo en un dipolo eléctrico

Ahora pensemos en un dipolo eléctrico como una fuente de campo eléctrico. ^Cómo
seria este campo? Su forma general se ilustra en el mapa de campo de la figura
21.29b. En cada punto de la distribución, el campo total E es la suma vectorial de los
campos generados por dos cargas individuales, como ocurre en el ejemplo 21.9 (sec-
ción 21.5). Se invita al lector a que intente dibujar diagramas que ilustren esta suma
vectorial con respecto a varios puntos.

Con la finalidad de obtener información cuantitativa sobre el campo de un dipo-
lo eléctrico, tenemos que hacer algunos càlculos, como se ilustra en el siguiente
ejemplo. Observe el uso del principio de superposición de campos eléctricos para
sumar las contribuciones de las cargas individuales al campo. Asimismo, note que
es necesario utilizar técnicas de aproximación aun para el caso relativamente senci-
llo de un campo originado por dos cargas. Es frecuente que los càlculos de campos
sean muy complicados, por lo que es común usar anàlisis por computadora al deter-
minar el campo debido a una distribución arbitraria de carga.

738

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Ejemplo 21.15

Otro vistazo al campo de un dipolo eléctrico

En la figura 21.34, un dipolo eléctrico tiene su centro en el origen, con
p en dirección del eje +y. Obtenga una expresión aproximada para el
campo eléctrico en un punto sobre el eje y, para el que y sea mucho
mayor que d. Use la expansión binomial de (1 + xf, es decir,
(l + x)" = 1 + nx + n(n — 1).ï 2 /2 + ■ ■ ■ para el caso en que
a'| < 1. (Este problema ilustra una tècnica útil para el calculo.)

EMMI

IDENTIFICAR: Se emplea el principio de superposición. El campo
eléctrico total es la suma vectorial del campo producido por la carga
positiva y el campo causado por la carga negativa.

PLANTEAR: En el punto del campo que se muestra en la figura 21.34,
el campo de la carga positiva tiene una componente en y positiva (ha-
cia arriba); en tanto que el campo de la carga negativa tiene una com-
ponente y negativa (hacia abajo). Estàs componentes se suman para
obtener el campo total, para luego aplicar la aproximación en que y es
mucho mayor que d.

21 .34 Determinación del campo eléctrico de un dipolo eléctrico
en un punto situado sobre su eje.

v + d\l

EJECUTAR: La componente y total, £",,, del campo eléctrico de las dos
cargas es

£,. =

_9

47re [ ( y

<1
4ne y 2

1

1

d/2) 2 (y + d/2) 2

l ~P

d

1 + —
2v

Se usa el mismo eníbque que en el ejemplo 21.9 (sección 21.5). Ahora
viene la aproximación. Cuando y es mucho mas grande que d, es decir,
cuando se està muy lejos del dipolo en comparación con su tamafio, la
cantidad djly es mucho menor que 1. Con n — — 2 y d/2y desempe-
nando el papel de x en la expansión binomial, tan solo conservamos los
dos primeros términos, porque los que eliminamos son mucho meno-
res que los que conservamos, así que se tiene

d " d

1 - 2y ^ 1 + v y

d\ - d

1 + — = 1 - -
2vl y

E =

1 +

1
47re y 2

í/d
2ire y 3

P
2ve y 3

EVALUAR: Un camino alternativo para esta expresión consiste en ob-
tener el denominador común de las fracciones en la expresión de E y y
combinar, para luego aproximar el denominador (y — d/2) 2 (y +
d/2) 2 como y 4 . Se dejan los detalles como problema para que lo re-
suelva el lector (véase el ejercicio 21.65).

Para puntos P situados fuera de los ejes de coordenadas, las expre-
siones son màs complicadas; sin embargo, en todos los puntos muy
alejados del dipolo (en cualquier dirección) el campo disminuye con
1/r 3 . Se puede comparar esto con el decaimiento con l//- 2 de una carga
puntual, el decaimiento con 1/r de una carga lineal larga, y la indepen-
dència con respecto a r de una làmina de carga grande. Hay distribu-
ciones de carga para las que el campo disminuye aun con màs rapidez.
Un cuadrupolo eléctrico consiste en dos dipolos iguales con orientación
contraria, separados por una distancia pequena. El campo de un cua-
drupolo a distancias grandes decae con 1/r 4 .

Evalúe su comprensión de la sección 21 .7 Se coloca un dipolo eléctrico /up]

en una región de campo eléctrico uniforme, E, con el momento dipolar eléctrico p, ^—*

apuntando en la dirección opuesta a E. ;,E1 dipolo està i) en equilibrio estable, ii) en equilibrio
inestable, o iii) ninguno de los anteriores? (Sugerencia: tal vez le convenga al lector repasar
la sección 7.5.)

CAPITULO

RESUMEN

Carga elèctrica, conductores y aislantes: La cantidad fundamental en electrostàtica es la carga elèctrica.
Hay dos clases de carga: positiva y negativa. Las cargas del mismo signo se repelen mutuamente; las
cargas de signo opuesto se atraen. La carga se conserva; la carga total en un sistema aislado es constante.

Toda la matèria ordinària està hecha de protones, neutrones y electrones. Los protones positivos
y los neutrones eléctricamente neutros del núcleo de un àtomo se mantienen unidos por la fuerza nuclear;
los electrones negativos circundan el núcleo a distancias mucho mayores que el tamano de éste.
Las interacciones eléctricas son las principales responsables de la estructura de àtomos, moléculas
y sólidos.

Los conductores son materiales que permiten que la carga elèctrica se mueva con facilidad a través
de ellos. Los aislantes permiten el movimiento de las cargas con mucha menos facilidad. La mayoría de
los metales son buenos conductores; en tanto que la mayoría de los no metales son aislantes.

1++J+J +

Cargas iguales
^#^7- — \ se repelen.

JL. '

Ley de Coulomb: La ley de Coulomb es la ley fundamental
de la interacción de cargas eléctricas puntuales. Para las
cargas q, y q 2 separadas por una distancia r, la magnitud
de la fuerza sobre cualquiera de ellas es proporcional al
producto qiq 2 e inversamente proporcional a r 1 . La fuerza
sobre cada carga ocurre a lo largo de la línea que las une,
de repulsión si q, y q 2 tienen el mismo signo, y de atracción
si tienen el signo opuesto. Las fuerzas forman un par de
acción-reacción y obedecen la tercera ley de Newton.
En unidades del SI, la unidad de la carga elèctrica es el
coulomb, que se simboliza como C. (Véanse los ejemplos
21.1 y 21.2.)

El principio de superposición de fuerzas establece que
cuando dos o mas cargas ejercen cada una fuerza sobre
otra carga, la fuerza total sobre esa carga es la suma
vectorial de las fuerzas que ejercen las cargas individuales.
(Véanse los ejemplos 21.3 y 21.4.)

1

4t7£„

l?I?2l

(21.2)

1

4í7<f„

8.988 X 10' N • m 2 /C 2

^SS,

F,

Campo eléctrico: El campo eléctrico E, una cantidad
vectorial, es la fuerza por unidad de carga que se ejerce
sobre una carga de prueba en cualquier punto, siempre
que la carga de prueba sea tan pequena que no perturbe las
cargas que generan el campo. El campo eléctrico producido
por una carga puntual està dirigido radialmente hacia fuera
de la carga o hacia ella. (Véanse los ejemplos 21.5 a 21.8.)

E =

E =

lo

1 q,

Aire a r 2

(21.3)
(21.7)

Superposición de campos eléctricos: El principio de superposición de campos eléctricos establece
que el campo eléctrico E de cualquier combinación de cargas es la suma vectorial de los campos
producidos por las cargas individuales. Para calcular el campo eléctrico generado por una distribución
continua de carga, la distribución se divide en elementos pequenos, se calcula el campo producido por
cada elemento, y luego se hace la suma vectorial o la suma de cada componente, por lo general con
técnicas de integración. Las distribuciones de carga estan descritas por la densidad lineal de carga, À,
densidad superficial de carga, o\ y densidad volumètrica de carga, p. (Véanse los ejemplos 21.9 a 21.13.)

dÈ

Líneas de campo eléctrico: Las líneas de campo proporcionan una representación gràfica de los campos
eléctricos. En cualquier punto sobre una línea de campo, la tangente a la línea està en dirección de E en
ese punto. El número de líneas por unidad de àrea (perpendicular a su dirección) es proporcional a la
magnitud de E en ese punto.

739

740

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Dipolos eléctricos: Un dipolo eléctrico consiste en un
par de cargas eléctricas de igual magnitud q però signo
contrario, separadas por una distancia d. Por definición,
el momento dipolar eléctrico/? tiene magnitud p —qd.
La dirección de p va de la carga negativa a la carga positiva.
Un dipolo eléctrico es un campo eléctrico E que experi-
menta un par de torsión t igual al producto vectorial àep
y E. La magnitud del par de torsión depende del àngulo 4>
entre p y E. La energia potencial, U, para un dipolo eléctri-
co en un campo eléctrico también depende de la orientación
relativa dep y E. (Véanse los ejemplos 21.14 y 21.15.)

t — pE sen 4
T =p X É
U = -p-E

(21.15)
(21.16)
(21.18)

F + = q E

E_ = -qE -q

Términos clave

carga elèctrica, 710

electrostàtica, 710

electrón, 711

protón, 711

neutrón, 711

núcleo, 711

número atómico, 712

ion positivo, 712

ion negativo, 712

ionización, 712

principio de conservación de la carga, 712

conductor, 713

aislante, 713

inducción, 714

carga inducida, 714

carga puntual, 716

ley de Coulomb, 716

coulomb, 717

principio de superposición de fuerzas, 719

campo eléctrico, 722

carga de prueba, 722

punto de origen, 723

punto del campo, 723
campo vectorial, 724
principio de superposición de campos

eléctricos, 727
línea de campo eléctrico, 733
dipolo eléctrico, 735
momento dipolar eléctrico, 735

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo :

Las moléculas de agua tienen un momento dipolar eléctrico permanen-
te: un extremo de la molècula tiene carga positiva; y el otro extremo
tiene carga negativa. Estos extremos atraen iones negativos y positi-
vos, respectivamente, y los mantienen separados en solución. El agua
es menos eflcaz como solvente de materiales cuyas moléculas no se io-
nizan (llamadas sustancias no iónicas), como los aceites.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

21.1 Respuestas: a) la varilla de plàstico pesa mas, b) la varilla de
vidrio pesa menos, c) la piel pesa un poco menos, d) la seda pesa un
poco menos. La varilla de plàstico obtiene una carga negativa al to-
mar electrones de la piel, por lo que la varilla pesa un poco mas y la
piel pierde peso después del frotamiento. En contraste, la varilla de vi-
drio obtiene una carga positiva porque cede electrones a la seda, así
que después de frotarse, la varilla de vidrio pesa un poco menos, y la
seda un poco mas. El cambio en el peso es muy pequeno: el número
de electrones transferidos es una fracción pequena del mol, y un
mol de electrones tiene una masa de tan solo (6.02 X 10 23 electrones)
(9.11 X 10~ 31 kg/electrón) = 5.48 X l(T 7 kg = j0.548 miligramos!

21.2 Respuestas: a) i), b) ü) Antes de que las dos esferas se toquen,
la esfera con carga negativa ejerce una fuerza de repulsión sobre los
electrones de la otra esfera, lo cual origina zonas de caga inducida ne-
gativa y positiva (véase la figura 21.7b). La zona positiva està màs cer-
ca de la esfera cargada negativamente que la zona negativa, por lo que
hay una fuerza neta de atracción que jala a las esferas una hacia la otra,
como en el caso del peine y el aislante de la figura 21.8b. Una vez que
se tocan las dos esferas metàlicas, algo del exceso de electrones de la
esfera con carga negativa fluirà hacia la otra esfera (porque los metales
son conductores). Entonces, las dos esferas tendràn una carga negativa
neta y se repeleràn mutuamente.

21.3 Respuesta: iv) La fuerza ejercida por q t sobre Q es como en el
ejemplo 2 1 .4. La magnitud de la fuerza ejercida por q 2 sobre Q es inclu-
so igual a Fj sobre e , però la dirección de la fuerza ahora es hacia q 2 con
un àngulo a por debajo del eje x. Entonces, las componentes x de las dos
fuerzas se anulan, mientras que las componentes y (negativas) se suman,
y la fuerza elèctrica total ocurre en la dirección negativa del eje y.

21.4 Respuestas: a) ii), b) i) El campo eléctrico E producido por
una carga puntual positiva apunta directamente alejàndose de la carga
(véase la figura 21.18a) y tiene una magnitud que depende de la distan-
cia r entre la carga y el punto del campo. De alií que una segunda carga
puntual negativa, q < 0, recibirà una fuerza F = qE que apunta direc-
tamente hacia la carga positiva y tiene una magnitud que depende de la
distancia r entre las dos cargas. Si la carga negativa se mueve directa-
mente hacia la carga positiva, la dirección de la fuerza permanece
igual (a lo largo de la línea del movimiento de la carga negativa); però
la magnitud de la fuerza se incrementa a medida que disminuye la dis-
tancia r. Si la carga negativa se mueve en circulo alrededor de la carga
positiva, la magnitud de la fuerza permanece igual (porque la distan-
cia r es constante); però la dirección de la fuerza cambia (cuando la
carga negativa està en el lado derecho de la carga positiva, la fuerza
va hacia la izquierda; cuando la carga negativa està en el lado izquier-
do de la carga positiva, la fuerza va hacia la derecha).

21.5 Respuesta: iv) Piense en un par de segmentes de longitud dy,
uno en la coordenada y > y el otro en la coordenada — y < 0. El seg-
mento superior tiene carga positiva y produce un campo eléctrico dE
en P, que apunta alejàndose del segmento, por lo que dE tiene una
componente x positiva y una componente y negativa, como el vector
dE en la figura 21.25. El segmento inferior tiene la misma cantidad de
carga negativa. Produce una dE que tiene la misma magnitud però
apunta hacia el segmento inferior, así que tiene una componente x ne-
gativa y una componente y también negativa. Por simetria, las dos
componentes x son iguales però opuestas, de manera que se cancelan.
De esta manera, el campo eléctrico total únicamente tiene una compo-
nente y negativa.

Preguntas para anàlisis

741

21.6 Respuesta: sí Cuando las líneas de campo son rectas, E debe
apuntar en la misma dirección por la región. De ahí que la fuerza
F = qE sobre una partícula de carga q siempre esté en la misma direc-
ción. Una partícula que parta del reposo acelera en línea recta en la di-
rección de F, por lo que su trayectoria es una línea recta que estarà a lo
largo de una línea de campo.

21.7 Respuesta: ii) Las ecuaciones (21.17) y (21.18) indican que
la energia potencial para un dipolo en un campo eléctrico es
U = —p • E = —pE cos<£, donde \$ es el àngulo entre las direcciones
dep y E.Sipy E apuntan en direcciones opuestas, de manera que (p =
180°, entonces cos </> = — 1 y U = +pE. Éste es el valor màximo que
U puede tener. De nuestro anàlisis de los diagramas de energia en la
sección 7.5, se desprende que se trata de una situación de equilibrio
inestable.

Otra forma de verlo es con la ecuación (21.15), que dice que la
magnitud del par de torsión sobre un dipolo eléctrico es t = pE sen^>.
Esta es igual a cero si <fr — 108°, por lo que no hay par de torsión, y si
el dipolo se deja sin perturbación, no girarà. No obstante, si se perturba
ligeramente el dipolo de modo que <£ sea un poco menor de 180°, ha-
brà un par de torsión diferente de cero que trata de hacer girar al dipo-
lo hacia 4> — 0, así que p y E apuntan en la misma dirección. De ahí
que cuando el dipolo se perturba en su orientación de equilibrio en
<)> = 180°, se mueve lejos de esa orientación, lo cual es lo distintivo
del equilibrio inestable.

Se puede demostrar que la situación en que p y E apuntan en la
misma dirección (tj) = 0) es un caso de equilibrio estable: la energia
potencial es mínima, y si el dipolo se desplaza un poco hay un par de
torsión que trata de regresarlo a la orientación original (un par de tor-

PROBLEMAS

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Preguntas para anàlisis

P21.1. Si usted desprende dos tiras de cinta adhesiva transparente del
mismo carrete y de inmediato las deja colgando una cerca de la otra, se
repeleràn mutuamente. Si luego pega el lado con adhesivo de una con
el lado brillante de la otra y las separa, se atraeràn entre sí. Dé una ex-
plicación convincente donde intervenga la transferència de electrones
entre las tiras de cinta en esta secuencia de eventos.
P21.2. Dos esferas de metal cuelgan de cordones de nailon, y cuando
se les acerca una a la otra tienden a atraerse. Con base en esta sola in-
formación, analice todas las maneras posibles en que las esferas pudie-
ran estar cargadas. ^Sería posible que después de que las esferas se
toquen quedaran pegadas? Explique su respuesta.
P21.3. La fuerza elèctrica entre dos partículas cargadas se hace màs
de'bil a medida que aumenta la distancia. Suponga que la fuerza elèc-
trica fuera independiente de la distancia. En este caso, ^un peine car-
gado haría que un aislante neutró se polarizara, como en la figura
21.8? iPor què? ^El aislante neutró seria atraído por el peine? Otra
vez, ipor què?

P21.4. Su ropa tiende a pegarse entre sí cuando regresa de la tintoreria.
(,Por què? ^Esperaria màs o menos atracción si la ropa estuviera hecha
del mismo material (por ejemplo, algodón), que si estuviera hecha con
distintas telas? De nuevo, ^por què? (Tal vez usted querrà experimen-
tar con su próximo envio a la tintoreria.)

P21.5. Una esfera de metal sin carga cuelga de un cordón de nailon.
Cuando se le acerca una varilla de vidrio con carga positiva, la esfera
es atraída hacia la varilla. Però si la esfera toca la varilla, de pronto se
aleja de la varilla. Explique por què la esfera primero es atraída y luego
repelida.

P21.6. Los electrones libres en un metal son atraídos por gravedad ha-
cia la Tierra. Entonces, ;,por què no se asientan en el fondo del conduc-
tor, como los sedimentos en el fondo de un río?

P21.7. Algunos de los electrones en un buen conductor (como el cobre)
se mueven a rapideces de 10 6 m/s o màs ràpido. (,Por què no escapan
volando del conductor?

P21.8. Es común que los buenos conductores eléctricos, como los me-
tales, también sean buenos conductores del calor; asimismo los aislan-
tes eléctricos, como la madera, por lo general son malos conductores
del calor. Explique por què debe haber una relación entre la conduc-
ción elèctrica y la conducción del calor en estos materiales.
P21.9. Defienda el siguiente enunciado: "Si en todo el Universo solo
hubiera una partícula cargada eléctricamente, el concepto de carga

P21.10. Dos objetos metàlicos idènticos estan montados en soportes
aislantes. Describa como podria colocar cargas de signo opuesto, però
de exactamente igual magnitud en los dos objetos.
P21.il. Se puede utilizar la envoltura de plàstico para alimentos al cu-
brir un contendedor, estiràndola en la parte superior y luego presionan-
do las partes que cuelgan contra los lados. ^Por què es pegajosa?
(Sugerencia: la respuesta incluye la fuerza elèctrica.) ^La envoltura
para alimentos se adhiere a sí misma con igual tenacidad? (,Por què?
(.Funcionaria con contenedores metàlicos? Otra vez, ^por què?
P21.12. Si usted camina sobre una alfombra de nailon y luego toca un
objeto metàlico grande, como una perilla, puede recibir una chispa y
una descarga. ^Por què esto tiende a ocurrir màs bien en los días secos
que en los húmedos? (Sugerencia: véase la figura 21.31.) i,Por què es
menos probable que reciba la descarga si toca un objeto metàlico pe-
queho, como un clip sujetapapeles?

P21.13. Usted tiene un objeto con carga negativa. (.Como lo usa para
colocar una carga negativa en una esfera metàlica aislada? £Y para co-
locar una carga positiva neta en la esfera?

P21.14. Cuando dos cargas puntuales de igual masa y carga se liberan
en una mesa sin fricción, cada una tiene una aceleración inicial a a .
Si en vez de eso una se mantiene fija y se libera la otra, ^cuàl serà
su aceleración inicial: a , 2a o a /2? Explique su respuesta.
P21.15. En una mesa libre de fricción, se liberan una carga puntual de
masa m y carga Q, y otra carga puntual de masa m però carga 2Q. Si la
carga Q tiene una aceleración inicial a , (,cuàl serà la aceleración de
2Q: a , 2a , 4a , a /2 o a /Al Explique su respuesta.
P21.16. Se coloca un protón en un campo eléctrico uniforme y luego se
libera. Después se situa un electrón en el mismo punto y también se li-
bera. iExperimentan las dos partículas la misma fuerza? ^La misma
aceleración? <,Se mueven en la misma dirección cuando se liberan?
P21.17. En el ejemplo 21.1 (sección 21.3) se vio que la fuerza elèctrica
entre dos partículas a es del orden de 10 35 veces màs fuerte que la fuer-
za gravitatoria. Entonces, ;,por qué percibimos fàcilmente la gravedad
de la Tierra però no su fuerza elèctrica?

P21.18. tQ l| é similitudes hay entre las fuerzas eléctricas y las fuerzas
gravitatorias? ^Cuàles son sus diferencias màs significativas?
P21.19. A una distancia R de una carga puntual, su campo eléctrico es
E . í,A qué distancia (en términos de R) de la carga puntual, el campo
eléctrico seria j£ ?

P21.20. Los núcleos atómicos estan hechos de protones y neutrones.
Esto demuestra que debe haber otra clase de interacción, ademàs de las
fuerzas gravitatorias y eléctricas. Explique su respuesta.

742

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

H 2 15,

V

P21.21. Los campos eléctricos suficientemente fuertes hacen que los

àtomos se ionicen positivamente, es decir, que pierdan uno o mas elec-

trones. Explique por qué ocurre esto. iQué es lo que determina la in-

tensidad que debe tener el campo para que esto suceda?

P21.22. En la figura 21.35 se muestran los ... _. „_

,, . , „.,... , Figura 21.35

campos eléctricos en el punto P debidos a las _° „-. -„

,, , , Pregunta P2 1.22.
cargas posiüvas q t y q 2 . iEl hecho de que se

crucen entre sí contraviene el enunciado de la

fil E]

sección 21.6 acerca de que las líneas de campo

eléctrico nunca se cruzan? Explique su res-

puesta.

P21.23. La temperatura y la velocidad del aire Vp

tienen diferentes valores en lugares distintos de

la atmosfera terrestre. ^La velocidad del aire es

un campo vectorial? (,Por qué? ^La temperatu- <?1 <?2

ra del aire es un campo vectorial? De nuevo,

ipor qué?

Ejercicios

Sección 21.3 Ley de Coulomb

21.1. En una esfera pequefia de plomo con masa de 8.00 g se colocan
electrones excedentes, de modo que su carga neta sea de —3.20 X
10~ 9 C. a) Encuentre el número de electrones excedentes en la esfera.
b) ^Cuàntos electrones excedentes hay por àtomo de plomo? El núme-
ro atómico del plomo es 82, y su masa atòmica es de 207 g/mol.

21.2. Los relàmpagos ocurren cuando hay un ftujo de carga elèctrica
(sobre todo electrones) entre el suelo y los cumulonimbos (nubes de
tormenta). La tasa màxima de flujo de carga en un relàmpago es de al-
rededor de 20,000 C/s; esto dura 100 /is o menos. (.Cuànta carga fluye
entre el suelo y la nube en este tiempo? ;,Cuàntos electrones fluyen en
dicho periodo?

21.3. Estime cuàntos electrones hay en su cuerpo. Haga todas las supo-
siciones que crea necesarias; però diga con claridad cuàles son. (Suge-
rencia: la mayoría de los àtomos de su cuerpo tienen números iguales
de electrones, protones y neutrones.) ^Cuàl es la carga combinada de
todos estos electrones?

21.4. Partículas en un anillo de oro. Usted tiene un anillo de oro
puro (24 kilates) con masa de 17.7 g. El oro tiene una masa atòmica de
197 g/mol y un número atómico de 79. a) ^.Cuantos protones hay en el
anillo, y cuàl es su carga total positiva? b) Si el anillo no tiene carga
neta, ^cuàntos electrones hay en él?

21.5. El peso medio de un ser humano es de alrededor de 650 N. Si
dos personas comunes tienen, cada una, una carga excedente de 1.0
coulomb, una positiva y la otra negativa, iqué tan lejos tendrían que
estar para que la atracción elèctrica entre ellas fuera igual a su peso
de 650 N?

21.6. Dos esperas pequenas separadas por una distancia de 20.0 cm tie-
nen cargas iguales. ;,Cuàntos electrones excedentes debe haber en cada
esfera, si la magnitud de la fuerza de repulsión entre ellas es de 4.57 X
10~ 21 N?

21.7. Se dan cargas eléctricas positivas a dos esferas pequenas de plàs-
tico. Cuando estan separadas una distancia de 15.0 cm, la fuerza de re-
pulsión entre ellas tiene una magnitud de 0.220 N. ^Cuàl es la carga en
cada esfera, si a) las dos cargas son iguales, y b) si una esfera tiene
cuatro veces la carga de la otra?

21.8. Dos esferas pequenas de aluminio tienen, cada una, una masa de
0.0250 kg, y estan separadas 80.0 cm. a) ^Cuantos electrones contiene
cada esfera? (La masa atòmica del aluminio es de 26.982 g/mol, y su
número atómico es de 13.) b) ^Cuàntos electrones tendrían que retirar-
se de una esfera y agregarse a la otra, para ocasionar una fuerza de
atracción entre ellas con magnitud de 1.00 X 10 4 N (aproximadamente
1 tonelada)? Suponga que las esferas son cargas puntuales. c) ;,Qué
fracción de todos los electrones en cada esfera representa esto?

21.9. Dos esferas muy pequenas de 8.55 g, separadas una distancia de
15.0 cm entre sus centros, se cargan con números iguales de electrones
en cada una de ellas. Si se ignoran todas las demàs fuerzas, (.cuàntos
electrones habría que agregar a cada esfera para que las dos aceleraran
a 25. Og al ser liberadas? ^En qué dirección acelerarían?

21.10. a) Si se supone que solo la gravedad actua sobre un electrón,
^,qué tan lejos tendría que estar el electrón de un protón, de modo que
su aceleración fuera la misma que la de un objeto en caída libre en la
superfície terrestre? b) Suponga que la Tierra estuviera hecha tan solo
de protones, però tuviera el mismo tamano y masa que en realidad tie-
ne. (,Cuàl seria la aceleración de un electrón que se liberara en su su-
de la fuerza elèctrica? (,Por qué?

21.11. En un experimento en el espacio, se mantiene fijo un protón y se
libera otro desde el reposo a una distancia de 2.50 mm. a) ;,Cuàl es la
aceleración inicial del protón después de liberarlo? b) Elabore diagra-
mas cualitativos (jsin números!) de aceleración-tiempo y velocidad-
tiempo, para el movimiento del protón liberado.

21.12. Una carga negativa de —0.550 /iC ejerce una fuerza hacia arriba
de 0.200 N, sobre una carga desconocida que està a 0.300 m directa-
mente abajo ella. a) ;,Cuàl es la carga desconocida (magnitud y signo)?
b) ^Cuàles son la magnitud y la dirección de la fuerza que la carga des-
conocida ejerce sobre la carga de —0.550 /iC?

21.13. Tres cargas puntuales estan en línea. La carga q 3 = +5.00 nC
està en el origen. La carga q 2 = —3.00 nC se encuentra en x = +4.00
cm. La carga q t està en x = +2.00 cm. ;,Cuàl es q r (magnitud y signo),
si la fuerza neta sobre q } es igual a cero?

21.14. En el ejemplo 21.4, suponga que la carga puntual sobre el eje y
en y = —0.30 m tiene una carga negativa de —2.0 jiiC, y la otra carga
permanece igual. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza
neta sobre Q. ^En qué difiere su respuesta de la respuesta del ejem-
plo 21.3? Explique las diferencias.

21.15. En el ejemplo 21.3, calcule la fuerza neta sobre la carga q^

21.16. En el ejemplo 21.4, ^cuàl es la fuerza neta (magnitud y direc-
ción) sobre la carga q í que ejercen las otras dos cargas?

21.17. Tres cargas puntuales estan alineadas a lo largo del eje x. La car-
ga q t = +3.00 /aC està en el origen, y la carga q 2 = —5.00 /aC se en-
cuentra en x = 0.200 m. La carga q 3 = —8.00 /iC. ^Dónde està situada
q 3 si la fuerza neta sobre q t es de 7.00 N en la dirección negativa del
eje xl

21.18. Repita el ejercicio 21.17 para q } = +8.00 /iC.

21.19. Dos cargas puntuales se localizan sobre el eje y como sigue: la
carga q { = — 1.50 nC està en y = —0.600 m y la carga q 2 = +3.20 nC
se halla en el origen (v = 0). id\&\ es la fuerza total (magnitud y direc-
ción) ejercida por estàs dos cargas sobre una tercera g, = +5.00 nC
que se ubica en y = —0.400 m?

21.20. Dos cargas puntuales estan situadas sobre el eje x del modo si-
guiente: la carga q t = +4.00 nC està en x = 0.200 m, y la carga q 2 =
+5.00 nC està en x = —0.300 m. ^Cuàles son la magnitud y la direc-
ción de la fuerza total ejercida por estàs dos cargas, sobre una carga
puntual negativa q 3 = —6.00 nC que se halla en el origen?

21.21. Una carga puntual positiva q està situada sobre la parte positiva
del eje y en y = a, y una carga puntual negativa — q està en la parte ne-
gativa del eje y en y = — a. Se coloca una carga puntual negativa — Q
en cierto punto sobre la parte positiva del eje x. a) En un diagrama de
cuerpo libre, indique las fuerzas que actúan sobre la carga —Q. b) En-
cuentre las componentes x y y de la fuerza neta que ejercen las dos car-
gas q y — q sobre —Q. (Su respuesta solo debería induir k, q, Q, a y la
coordenada x de la tercera carga.) c) ^Cuàl es la fuerza neta sobre
la carga — Q cuando està en el origen (x = 0)? d) Haga la gràfica de la
componente y de la fuerza neta sobre la carga — Q, en función de x
para los valores de x entre —4a y +4n.

21.22. Dos cargas puntuales positivas q se colocan sobre el eje y en y =
a y en y — —a. Se coloca una carga puntual negativa — Q en cierto pun-
to de la parte positiva del eje x. a) En un diagrama de cuerpo libre, indi-

Ejercicios 743

que las fuerzas que actúan sobre la carga —Q. b) Encuentre las compo-
nentes x y y de la fuerza neta que ejercen las dos cargas positivas sobre
— Q. (Su respuesta solo debería induir k, q, Q, a y la coordenada x de la
tercera carga.) c) (,Cuàl es la fuerza neta sobre la carga — Q cuando està
en el origen (x = 0)? d) Graflque la componente x de la fuerza neta so-
bre la carga — Q en función de x para valores de x entre —Aa y +Aa.

21.23. Se colocan cuatro cargas eléctricas idénticas en las esquinas de
muestre todas las fuerzas que actuen sobre una de las cargas. b) En-
cuentre la magnitud y la dirección de la fuerza total ejercida sobre una
carga por las otras tres cargas.

21.24. Se colocan dos cargas, una de 2.50 jiiC y la otra de —3.50 /iC,
sobre el eje x, una en el origen y la otra en x — 0.600 m, como se ilus-
tra en la figura 21.36. Encuentre la posición sobre el eje x donde la
fuerza neta sobre una pequena carga +q debería de ser igual a cero.

Figura 21.36 Ejercicio 21.24.

+ 2.50 /j,C

-3.50 /iC

— Q— A(m)

0.600 m

Sección 21.4 El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

21.25. Se coloca un protón en un campo eléctrico uniforme de 2.75 X
10"' N/C. Calcule: a) la magnitud de la fuerza elèctrica ejercida sobre
el protón; b) la aceleración del protón; c) la rapidez del protón después
de estar 1.00 /jls en el campo, si se supone que parte del reposo.

21.26. Una partícula tiene carga de —3.00 nC. a) Encuentre la magni-
tud y la dirección del campo eléctrico debido a esta partícula, en un
punto que està 0.250 m directamente arriba de ella. b) ^A qué distan-
cia de esta partícula el campo eléctrico debe tener una magnitud de
12.0 N/C?

21.27. Un protón se mueve en forma horizontal hacia la derecha a 4.50
X 10 6 m/s. a) Encuentre la magnitud y la dirección del campo eléctri-
co màs dèbil que lleve al protón uniformemente al reposo en una dis-
tancia de 3.20 cm. b) (,Cuànto tiempo le llevaria al protón detenerse
una vez que entrarà al campo eléctrico? c) ^Cuàl es el campo mínimo
(magnitud y dirección) que seria necesario para detener un electrón en
las condiciones del inciso a)l

21.28. Un electrón parte del reposo en un campo eléctrico uniforme,
acelera verticalmente hacia arriba y recorre 4.50 m en los primeros
3.00 /us después de que se libera. a) ^.Cuàles son la magnitud y la di-
rección del campo eléctrico? b) ^Se justifica que se desprecien los
efectos de la gravedad? Explique su respuesta cuantitativamente.

21.29. a) ;,Cuàl debe ser la carga (signo y magnitud) de una partícula
de 1.45 g para que permanezca estacionaria, cuando se coloca en
un campo eléctrico dirigido hacia abajo con magnitud de 650 N/C?
b) ^Cuàl es la magnitud de un campo eléctrico donde la fuerza elèc-
trica sobre un protón tiene la misma magnitud que su peso?

21.30. a) ^Cuàl es el campo eléctrico de un núcleo de hierro a una dis-
tancia de 6.00 X 10~ 10 m de su núcleo? El número atómico del hierro
es 26. Suponga que el núcleo puede tratarse como carga puntual.
b) ^Cuàl es el campo eléctrico de un protón a una distancia de 5.29 X
10 -11 m del protón? (Éste es el radio de la òrbita del electrón en el mo-
delo de Bohr para el estado fundamental del àtomo de hidrógeno.)

21.31. Dos cargas puntuales estan separadas por 25.0 cm (figura
21.37). Encuentre el campo eléctrico neto que producen tales cargas en

Figu ra 2 1 .37 Ejercicio 21.31.

B

T

-6.25 nC

10.0 cm

T

10.0 cm
-25.0 cm

-12.5 nC

— —

Figura 21.38
Ejercicio 21.33.

a) el punto A y b) en el punto B. c) ^Citàles serían la magnitud y la di-
rección de la fuerza elèctrica que produciría esta combinación de car-
gas sobre un protón situado en el punto A?

21.32. Campo eléctrico de la Tierra. La tierra tiene una carga elèc-
trica neta que origina un campo en los puntos cerca de su superfície, y
que es igual a 150 N/C, dirigido hacia el centro del planeta, a) iQué
magnitud y signo de la carga tendría que adquirir un ser humano de 60
kg, para vèncer su peso con la fuerza ejercida por el campo eléctrico
terrestre? b) ^Cuàl seria la fuerza de repulsión entre dos personas, cada
una con la carga calculada en el inciso a), separadas por una distancia
de 100 m? ^,Es factible el uso del campo eléctrico de nuestro planeta
como un medio para volar? ^Por qué?

21.33. Se lanza un electrón con rapidez
inicial v„ = 1 .60 X 1 6 m/s hacia el in-
terior de un campo uniforme entre las
placas paralelas de la figura 21.38. Su-
ponga que el campo entre las placas es
uniforme y està dirigido verticalmente
hacia abajo, y que el campo fuera de
las placas es igual a cero. El electrón
ingresa al campo en un punto equidis-

tante de las dos placas. a) Si el electrón apenas libra la placa superior
al salir del campo, encuentre la magnitud del campo eléctrico. b) Su-
ponga que en la figura 21.38 el electrón es sustituido por un protón
con la misma rapidez inicial v . ^Golpearía el protón alguna de las
placas? Si el protón no golpea ninguna de las placas, ^cuàles serían
la magnitud y la dirección de su desplazamiento vertical, a medi-
da que sale de la región entre las placas? c) Compare las trayecto-
rias que recorren el electrón y el protón, y explique las diferencias.
d) Analice si es razonable ignorar los efectos de la gravedad en

21.34. La carga puntual q, = —5.00 nC se encuentra en el origen y la
carga puntual q 2 = +3.00 nC està sobre el eje x en x = 3.00 cm. El
punto P se halla sobre el eje y en y = 4.00 cm. a) Calcule los campos
eléctricos E i y E 2 en el punto P debido a las cargas q, y q 2 . Exprese los
resultados en términos de vectores unitarios (véase el ejemplo 21.6).

b) Utilice los resultados del inciso a) para obtener el campo resultante
en P, expresado con notación de vectores unitarios.

21.35. En el ejercicio 21.33, (,cuàl es la rapidez del electrón cuando sa-
le del campo eléctrico?

21.36. a) Calcule la magnitud y la dirección (relativa al eje +x) del
campo eléctrico del ejemplo 21.6. b) Una carga puntual de —2.5 nC
està en el punto P de la figura 21.19. Encuentre la magnitud y la direc-
ción de i) la fuerza que la carga de —8.0 nC situada en el origen ejerce
sobre esta carga, y ii) la fuerza que esta carga ejerce sobre la carga
de —8.0 nC que està en el origen.

21.37. a) Para el electrón de los ejemplos 21.7 y 21.8, compare su pe-
so con la magnitud de la fuerza elèctrica sobre el electrón. En estos
trón? Explique su respuesta. b) Se coloca una partícula con carga +e
en reposo entre las placas cargadas de la figura 21.20. ;,Cuàl debe ser
la masa de este objeto para que permanezca en reposo? Dé su respues-
ta en kilogramos y en múltiplos de la masa del electrón. c) (,La res-
puesta del inciso b) depende de dónde se sitúe el objeto entre las
placas? (,Por qué?

21.38. En la región entre dos placas planas paralelas con carga opuesta,
existe un campo eléctrico. Se libera un protón desde el reposo en la su-
perfície de la placa con carga positiva, y golpea la superfície de la pla-
ca opuesta, que està a una distancia de 1.60 cm de la primera, en un
intervalo de tiempo de 1.50 X 10~ 6 s. a) Encuentre la magnitud del
campo eléctrico. b) Calcule la rapidez del protón cuando golpea la pla-
ca con carga negativa.

21.39. Una carga puntual se encuentra en el origen. Si esta carga pun-
tual se toma como punto de origen, ^cuàl es el vector unitario r en di-
rección de a) el punto del campo situado en x = 0, v = — 1 .35 m; b) el

744

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

punto del campo en x — 12.0 cm, y = 12.0 cm; c) el punto del campo
en x = — 1.10 m y = 2.60 m. Exprese sus resultados en términos de
los vectores unitarios ï y ]■

21.40. Una carga puntual de +8.75 /aC està adherida bajo una mesa
horizontal sin fricción. Està unida a una carga puntual de —6.50 /jlC
con un alambre aislante de 2.50 cm. Un campo eléctrico uniforme de
magnitud 1.85 X10 s N/C està dirigido en forma paralela al alambre,
como se llustra en la figura 21.39. a) Calcule la tensión en el alam-
bre. b) ^Cuàl seria la tensión si las dos cargas fueran negativas?

Figura 21.39 Ejercicio 21.40.

E

-2.50 cm -

-6.50 /iC

1.75 fíC

21.41. a) Un electrón se mueve hacia el este en un campo eléctrico uni-
forme de 1.50 N/C, dirigido hacia el oeste. En el punto A, la velocidad
del electrón es de 4.5 X 10 5 hacia el este. (,Cuàl es la rapidez del elec-
trón cuando alcanza el punto B, 0.375 m al este del punto A? b) Un
protón se mueve en el campo eléctrico uniforme del inciso d). En el
punto A, la velocidad del protón es de 1 .90 X 10* m/s al este. iCu&\ es
la rapidez del protón en el punto Bl

21.42. Campo eléctrico en el núcleo. Los protones en el núcleo es-
tan separados alrededor de 10~ 15 m (1 fm). a) ;,Cuàl es la magnitud del
campo eléctrico producido por un protón que està a una distancia de
1.50 fm? b) ^Cómo se compara la magnitud de este campo con la del
campo del ejemplo 21.7?

Sección 21.5 Càlculos de campos eléctricos

21.43. Dos cargas puntuales positivas q estan colocadas sobre el eje x,
una en x = a y la otra en x = —a. a) Calcule la magnitud y la dirección
del campo eléctrico en x = 0. b) Obtenga la expresión para el campo
eléctrico en puntos sobre el eje x. Use los resultados para graficar la
componente x del campo eléctrico en función de x, para valores de x
entre —4a y +4a.

21.44. Dos partículas con cargas q { = 0.500 nC y q 2 = 8.00 nC estan
separadas por una distancia de 1.20 m. ^En qué punto de la línea que
conecta las dos cargas, el campo eléctrico total producido por ambas
cargas es igual a cero?

21.45. Una carga puntual de +2.00 nC està en el origen, y una segunda
carga puntual de —5.00 nC està en el eje x en x = 0.800 m. a) Encuen-
tre el campo eléctrico (magnitud y dirección) en cada uno de los
puntos siguientes sobre el eje x: i) x = 0.200 m; ii) x = 1.20 m;
iii) x — —0.200 m. b) Calcule la fuerza elèctrica neta que las dos car-
gas ejercerían sobre un electrón colocado en cada punto del inciso a).

21.46. Repita el ejercicio 21.44, però ahora
con o, = -4.00 nC.

21.47. Tres cargas puntuales negativas estan
sobre una línea, como se ilustra en la figura
21.40. Encuentre la magnitud y la dirección
del campo eléctrico que produce esta combi-
nación de cargas en el punto P, que està a 6.00
cm de la carga de —2.00 /j,C medida en forma
perpendicular a la línea que conecta las tres
cargas.

21.48. Una carga puntual positiva q se coloca
en x — a, y una carga puntual negativa — q se
situa en x = —a. a) Calcule la magnitud y la
dirección del campo eléctrico en x = 0. b) Ob-

Figura 21.40
Ejercicio 21.47.

i

800 cm i 6.00 cm,
2.00 fíC

5.00 ,uC

8.00 cm

tenga una expresión para el campo eléctrico en los puntos sobre el
eje x. Use su resultado para graficar la componente x del campo eléc-
trico en función de x, para valores de x entre —4a y +4a.

21.49. En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una car-
ga puntual positiva q = 6.00 X 10~' en el punto x = +0.150 m, y =
y otra carga puntual idèntica se situa enx = —0.150 m, y = 0. Encuen-
tre las componentes x y y, la magnitud y la dirección del campo eléc-
trico en los siguientes puntos: a) el origen; b) x = 0.300 m, y = 0;
c) x = 0.150 m, y = -0.400 m; d) x = 0, y = 0.200 m.

21.50. Una carga puntual o, = —4.00 nC se encuentra en el punto
x = 0.600 m, y = 0.800 m; mientras que una segunda carga q 2 =
+6.00 nC està en el punto x = 0.600 m, y = 0. Calcule la magnitud
y la dirección del campo eléctrico neto en el origen debido a estàs
dos cargas puntuales.

21.51. Repita el ejercicio 21.49 para el caso en que la carga puntual en
x = +0.150 m, y = es positiva y la otra es negativa, cada una con
magnitud de 6.00 X 10~ 9 C.

21.52. Un alambre delgado y muy largo tiene una carga de 1.50 X
10~ 10 C/m por unidad de longitud. ^,A qué distancia del alambre la
magnitud del campo eléctrico es igual a 2.50 N/C?

21.53. Una carga elèctrica positiva està distribuida a lo largo del eje y
con una carga por unidad de longitud de À. a) Considere el caso en
que la carga està distribuida solo entre los puntos y = a y y = — a.
Para puntos sobre la parte positiva del eje x, haga la gràfica de la
componente x del campo eléctrico en función de x para valores de x
entre x = a/2 y x — 4a. b) En vez de lo anterior, considere el caso en
que la carga està distribuida a lo largo de todo el eje y con la misma
carga por unidad de longitud A. Usando la misma gràfica del inciso a),
grafique la componente x del campo eléctrico en función de x, para
valores de x entre x = a/2 y x = 4a. Indique cuàl gràfica se refiere a

21.54. Un alambre de plàstico, aislante y recto, mide 8.50 cm de longi-
tud y tiene una densidad de carga de + 175 nC/m, distribuidos unifor-
memente a lo largo de su longitud. Se encuentra sobre una mesa
horizontal. a) Encuentre la magnitud y la dirección del campo eléctrico
que produce este alambre en un punto que està 6.00 cm directamente
arriba de su punto medio. b) Si el alambre ahora se dobla para formar
un circulo que se tiende sobre la mesa, calcule la magnitud y la direc-
ción del campo eléctrico que produce en un punto que se encuentra
6.00 cm directamente arriba de su centro.

21.55. Un conductor en forma de anillo con radio a = 2.50 cm tiene
una carga positiva total Q = +0.125 nC, distribuida uniformemen-
te en toda su circunferencia, como se aprecia en la figura 21.24.
El centro del anillo està en el origen de las coordenadas O. a) ^Cuàl
es el campo eléctrico (magnitud y dirección) en el punto P, que està
en el eje x en x = 40.0 cm? b) En el punto P del inciso anterior se
coloca una carga puntual q = —2.50 /nC. ^Cuàles son la magnitud
y la dirección de la fuerza ejercida por la carga q sobre el anillo?

21.56. Una carga de —6.50 nC està distribuida de manera uniforme
sobre la superfície de una cara de un disco aislante con radio de 1.25
cm. a) Obtenga la magnitud y la dirección del campo eléctrico que
produce este disco en el punto P sobre el eje del disco a una distan-
cia de 2.00 cm de su centro, b) Suponga que toda la carga se coloca-
ra lejos del centro y se distribuyera de manera uniforme sobre el
borde exterior del disco. Determine la magnitud y la dirección del
campo eléctrico en el punto P. c) Si toda la carga se lleva al centro
del disco, encuentre la magnitud y la dirección del campo eléctrico
en el punto P. d) i¥ot qué en el inciso d) el campo es màs fuerte
que en el inciso b)l ^Por qué en el inciso c) el campo es el màs fuer-
te de los tres?

21.57. Dos làminas planas, horizontales e infinitas, con carga estan se-
paradas una distancia d. La làmina inferior tiene carga negativa con
densidad superficial de carga uniforme —cr < 0. La làmina superior
tiene carga positiva con densidad superficial de carga uniforme cr > 0.

Ejercicios 745

í,Cuà\ es el campo eléctrico (magnitud y dirección, si el campo es dife-
rente de cero) a) arriba de la làmina superior, b) debajo de la làmina in-
ferior, c) entre las dos làminas?

Sección 21.6 Líneas de campo eléctrico

21.58. Una làmina infinita A tiene una densidad de carga uniforme y
positiva, u\ en tanto que la làmina B, que està a la derecha de A y para-
lela a esta, tiene una densidad de carga uniforme y negativa de — 2cr.
a) Dibuje las líneas de campo eléctrico para este par de làminas. Inclu-
ya la región entre las làminas y también las regiones a la izquierda
de A y a la derecha de B. b) Repita el inciso a) para el caso en que la
làmina B tiene una densidad de carga de +2(7.

21.59. Suponga que la carga que se muestra en la figura 21.29a està
fija en su posición. Después se coloca una partícula pequena con car-
ga positiva en cierto punto de la figura y se libera. ^La trayectoria de
la partícula sigue una línea de campo eléctrico? ;,Por qué? Suponga
ahora que la partícula se situa en algun punto de la figura 21.29b y se
libera (las cargas positiva y negativa que aparecen en la figura estan
fijas en su posición). ;,Esta trayectoria seguirà una línea de campo eléc-
trico? De nuevo, ^por qué? Explique cualesquiera diferencias entre
sus respuestas para las dos situaciones diferentes.

21.60. Dibuje las líneas de campo eléctrico para un disco de radio R
con densidad superficial de carga positiva y uniforme a. Para hacer su
diagrama, utilice lo que sabé sobre el campo eléctrico cuando està muy
cerca del disco y muy lejos de éste.

21.61. a) Dibuje las líneas de campo eléctrico para una línea de carga
infinita. Le serà de utilidad mostrar en un diagrama las líneas en un
plano que contenga la línea de carga, y en otro las líneas de campo
en un plano perpendicular a la línea de carga. b) Explique cómo mues-
tra el diagrama que i) la magnitud E del campo eléctrico solo depen-
de de la distancia r a partir de la línea de carga, y ii) que E disminuye
según I/r.

21.62. La figura 21.41 muestra algunas de
las líneas de campo eléctrico debidas a tres
cargas puntuales situadas a lo largo del eje
vertical. Las tres cargas tienen la misma mag-
nitud, a) iCuàles son los signos de las tres
cargas? Explique su razonamiento. b) ^En
cuàl(es) punto(s) la magnitud del campo eléc-
trico es la màs pequena? Explique su razona-
miento. Diga cómo los campos producidos
por cada carga puntual individual se combi-
nan para dar un campo neto pequeno en es-
te(os) punto(s).

Figura 21.41

Ejercicio 21.62.

Sección 21.7 Dipolos eléctricos

21.63. Las cargas puntuales q x = —4.5 nC y q 2 = +4.5 nC estan sepa-
radas 3.1 mm, y forman un dipolo eléctrico. a) Calcule el momento di-
polar eléctrico (magnitud y dirección). b) Las cargas estan en un
campo eléctrico uniforme, cuya dirección forma un àngulo de 36.9°
con la línea que une las cargas. ^.Cuàl es la magnitud de este campo si
el par de torsión que ejerce sobre el dipolo tiene una magnitud de

7.2 x irr 9 N • m?

21.64. La molècula del amoniaco (NH,) tiene un momento dipolar de
5.0 X 10~ 30 C • m. Se colocan moléculas del amoniaco en fase gaseo-
sa en un campo eléctrico uniforme E con magnitud de 1.6 X 10 6 N/C.
a) iCuàl es el cambio en la energia potencial elèctrica cuando el mo-
mento dipolar de una molècula cambia su orientación con respecto a E
de paralela a perpendicular? b) <,A qué temperatura absoluta Tia ener-
gia cinètica traslacional media, \kT, de una molècula es igual al cam-

bio en energia potencial calculado en el inciso a)1 (Nota: arriba de es-
ta temperatura, la agitación tèrmica impide que los dipolos se alineen
con el campo eléctrico.)

21.65. En el ejemplo 21.15, el resultado aproximado E = p/2ire y 3 se
obtuvo del campo eléctrico de un dipolo en puntos sobre el eje del di-
común de las fracciones en la expresión para £",,, como se describió en
bién da la expresión aproximada correcta de E y para y < 0.

21.66. El momento dipolar de la molècula de agua (H 2 0) es
6.17 X 10~ 30 C ■ m. Considere una molècula de agua localizada en el
origen, cuyo momento dipolar p apunta en la dirección positiva del
eje.ï. Un ion de cloro (Cl ) de carga —1.60 X 10~ 19 C està ubicado en
x = 3.00 X 10~ 9 m. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza
elèctrica que la molècula de agua ejerce sobre el ion de cloro. ^Esta
fuerza es de atracción o de repulsión? Suponga que x es mucho mayor
que la separación d entre las cargas en el dipolo, por lo que se puede
usar la expresión aproximada para el campo eléctrico a lo largo del
eje del dipolo que se obtuvo en el ejemplo 21.15.

21.67. Tensión superficial. La superfície de un liquido polar, como
en el arreglo estable donde los vectores del momento dipolar son
paralelos a la superfície y todos apuntan en la misma dirección.
Ahora suponga que algo presiona la superfície hacia adentro y desor-
dena los dipolos, como se ilustra en la figura 21.42. a) Demuestre
que los dos dipolos inclinados ejercen una fuerza neta hacia arriba
sobre el dipolo entre ellos, por lo que se oponen a la fuerza externa
dirigida hacia abajo. b) Demuestre que los dipolos se atraen entre
sí, por lo que oponen resistència a separarse. La fuerza entre los
dipolos se opone a la penetración de la superfície del liquido y es
un modelo sencillo de la tensión superficial (véase la sección 14.3
y la figura 14.15).

Figura 21.42 Ejercicio 21.67.

<HI±><HI±>r

cHI±>

<HIi>cEI+)

21.68. Considere el dipolo eléctrico del ejemplo 21.15. a) Obtenga una
expresión para la magnitud del campo eléctrico producido por el dipo-
lo en un punto localizado en el eje x de la figura 21.34. ^Cuàl es la di-
rección de este campo eléctrico? b) ^Cómo el campo eléctrico, en
puntos que estan sobre el eje x, depende de x cuando x es muy grande?

21.69. Par de torsión sobre un dipolo. Un dipolo eléctrico con
momento dipolar p està en un campo eléctrico uniforme E. à) En-
cuentre las orientaciones del dipolo para el que el par de torsión
sobre el dipolo es igual a cero. b) ^Cuàl de las orientaciones en el
inciso d) es estable, y cuàl es inestable? (Sugerencia: considere un
pequeno desplazamiento fuera de la posición de equilibrio y analice
lo que ocurre.) c) Demuestre que para la orientación estable del in-
ciso b), el propio campo eléctrico del dipolo tiende a oponerse al
campo externo.

21.70. Un dipolo que consiste en cargas ±e separadas 220 nm se colo-
ca entre dos làminas muy largas (infinitas, en esencia) que tienen den-
sidades de carga iguales però opuestas de 125 /j,C/m 2 . a) ^Cuàl es la
energia potencial màxima que este dipolo puede tener debido a las là-
minas, y cómo debería orientarse en relación con las làminas para que
adquiera ese valor? b) ^Cuàl es el par de torsión màximo que las làmi-
nas pueden ejercer sobre el dipolo, y cómo deberían orientarse con res-
pecto a las làminas para que adquieran este valor? c) ^Cuàl es la fuerza
neta que ejercen las dos làminas sobre el dipolo?

746

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

Figura 21.43 Ejercicio 21.71.

",x

+ 5.00 /iC

3.00 cm

i.00 cm

p-10.00/iC

i.00 cm

-5.00 /iC

21.71. Tres cargas estan en las es-
quinas de un triàngulo isósceles,
como se llustra en la figura 21.43.
Las cargas de ±5.00 /aC forman
un dipolo. a) Calcule la fuerza
(magnitud y dirección) que la car-
ga de —10.00 /aC ejerce sobre el
dipolo. b) Para un eje perpendicu-
lar a la línea que une las cargas
de ±5.00 /aC, en el punto medio de
dicha línea, obtenga el par de tor-
sión (magnitud y dirección) que la
carga de —10.00 /aC ejerce sobre
el dipolo.

Problemas

21.72. Se coloca una carga q = +5.00 nC en el origen de un sistema
de coordenadas xy, y una carga q 2 = —2.00 nC se situa sobre la parte
positiva del eje x, en x = 4.00 cm. a) Si ahora se coloca una tercera
carga q 3 = +6.00 nC en el punto x = 4.00 cm, y = 3.00 cm, determi-
ne las componentes x y y de la fuerza total ejercida sobre esta carga
por las otras dos. b) Calcule la magnitud y la dirección de esta fuerza.

21.73. Se mantienen fijas dos cargas puntuales positivas sobre el eje x
en x = a y x = — a. Se coloca una tercera carga puntual, q, con masa m,
sobre el eje x, filera del origen en una coordenada x tal que \x\ <SC a.
Después se libera la carga q, que tiene libertad de movimiento a lo
largo del eje x. d) Obtenga la frecuencia de oscilación de la carga q.
(Sugerencia: repase la definición de movimiento armónico simple
en la sección 13.2. Utilice la expansión binomial (l + z)" = 1 +
nz + n(n — 1 )z 2 /2 + ■ ■ -, vàlida para el caso en que \z\ < 1.) b) Su-
ponga ahora que la carga q se colocara sobre el eje y en una coordena-
da y tal que \y\ <sC a, y luego se liberara. Si esta carga tuviera libertad
para moverse a cualquier parte del plano xy, iqué pasaría con ella? Ex-
plique su respuesta.

21.74. Dos esferas idénticas con masa m
cuelgan de cordones sintéticos con longi-
tud L, como se indica en la figura 21. 44.
Cada esfera tiene la misma carga, por lo
que qi = q 2 = q. El radio de cada esfera
es muy pequeno en comparación con la
distancia entre las esferas, por lo que pue-
den considerase cargas puntuales. De-
muestre que si el àngulo 8 es pequeno, la
separación de equilibrio d entre las esfe-
ras es d — (g 2 L/277e mg) ' . {Sugeren-
cia: si 8 es pequena, entonces 8 = senS.)

21.75. Dos esferas pequefias con masa m
— 15.0 cuelgan de cordones de seda con
longitud L = 1.20 m desde un punto co-

mún (figura 21.44). Cuando se da a las esferas cantidades iguales de
carga negativa, de modo que ç, = q 2 = q, cada cordón cuelga con 8 =
25.0° con respecto a la vertical, a) Elabore un diagrama que muestre
las fuerzas sobre cada esfera. Trate las esferas como cargas puntuales.
b) Encuentre la magnitud de q. c) Ahora se acortan ambas cuerdas a
una longitud L = 0.600 m; en tanto que las cargas q t y q 2 permanecen
iguales. iQué nuevo àngulo formarà cada cordón con la vertical? (Su-
gerencia: esta parte del problema se puede resolver numéricamente
con valores para y ajustàndolos hasta que se obtenga una respuesta
consistente.)

21.76. Dos esferas idénticas estan atadas a cordones sintéticos de
longitud L = 0.500 m y cuelgan de un punto común (figura 21.44).

Figura 21.44 Problemas
21.74, 21.75 y 21.76.

pequeno en comparación con la distancia entre ambas, por lo que
pueden considerarse cargas puntuales. Se da carga positiva q i a una
esfera, y a la otra carga positiva diferente q 2 ; esto hace que las esfe-
ras se separen, de manera que cuando estan en equilibrio cada cordón
forma un àngulo 8 = 20.0° con la vertical, a) Dibuje un diagrama de
cuerpo libre para cada esfera cuando estan en equilibrio, e indique
todas las fuerzas que actúan sobre cada esfera, b) Determine la mag-
nitud de la fuerza electrostàtica que actua sobre cada esfera, y deter-
mine la tensión en cada cordón. c) Con base en la información
proporcionada, iqué puede decirse sobre las magnitudes de q { y q 2 1
Explique sus respuestas. d) Ahora se conecta un alambre pequeno en-
tre las esferas, lo cual permite que se transfiera carga de una a otra,
hasta que ambas esferas tengan la misma carga; entonces se quita el
conductor. Ahora, cada cuerda forma un àngulo de 30.0° con la verti-
cal. Determine las cargas originales. (Sugerencia: se conserva la car-
ga total sobre el par de esferas.)

21.77. El cloruro de sodio (NaCl, sal de mesa común) està formado por
iones de sodio positivos (Na + ) y iones de cloruro negativos (CP).
a) Si una carga puntual, con las mismas carga y masa que todos los
iones de Na + en 0.100 moles de NaCl, està a 2.00 cm de una carga
puntual con las mismas carga y masa que todos los iones de CP, ^cuàl
es la magnitud de la fuerza de atracción entre esas dos cargas puntua-
les? b) Si la carga puntual positiva del inciso a) se mantiene en su lugar
y la carga puntual negativa se libera del resto, ^cuàl serà su aceleración
inicial? (Véase el Apéndice D, para las masas atómicas.) c) (.Parece
razonable que los iones en el NaCl pudieran separarse de esta manera?
^Por qué? (En realidad, cuando el cloruro de sodio se disuelve en agua,
se separa en iones de Na + y Cl~. Sin embargo, en esta situación hay
fuerzas eléctricas adicionales ejercidas por las moléculas de agua so-
bre los iones.)

21.78. Dos cargas puntuales q t y q 2 se
colocan a una distancia de 4.50 m entre
sí. Otra carga puntual Q = —1.75 /aC
con masa de 5.00 g se situa inicialmente
a 3.00 cm de cada una de estàs cargas (fi-
gura 21.45) y se libera del resto. Usted
observa que la aceleración inicial de Q es
de 324 m/s 2 hacia arriba, paralela a la lí-
nea que une las dos cargas puntuales. En-
cuentre q t y q 2 .

21.79. Se colocan tres cargas puntuales
idénticas q en cada una de tres esquinas
magnitud y la dirección de la fuerza neta
sobre una carga puntual de — 3ç que se

do. En cada caso, dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las
fuerzas ejercidas sobre la carga de — 3q por cada una de las otras tres
cargas.

21.80. Se colocan tres cargas puntuales sobre el eje y: una carga q en y
= a, una carga — 2q en el origen, y una carga q en y = — a. Este arre-
glo se denomina cuadrupolo eléctrico. a) Calcule la magnitud y la di-
rección del campo eléctrico en los puntos sobre la parte positiva del
eje x. b) Use la expansión binomial para encontrar una expresión apro-
ximada para el campo eléctrico, vàlida para x 3> a. Compare este
comportamiento con el del campo eléctrico de una carga puntual y con
el del campo eléctrico de un dipolo.

21.81. Intensidad de la fuerza elèctrica. Imagine dos bolsas de 1.0 g
de protones, una en el Polo Norte de la Tierra y la otra en el Polo Sur.
a) ^Cuàntos protones hay en cada bolsa? b) Calcule la atracción gra-
vitatoria y la repulsión elèctrica que ejerce cada bolsa sobre la otra.
c) (,Las fuerzas del inciso b) son lo suficientemente grandes para que
las percibiera usted, si cargara una de las bolsas?

Figura 21.45 Problema
21.78.

Jh

& .

S

ç>

&'

,J o

^.

s>

A

4.50 cm

Problemas

747

21.82. Fuerza elèctrica dentro del núcleo. Las dimensiones norma-
les de los núcleos atómicos son del orden de 10 _ 5 m (1 fm). a) Si dos
protones en un núcleo estan separados por 2.0 fm, encuentre la magni-
tud de la fuerza elèctrica que cada uno ejerce sobre el otro. Exprese la
respuesta en newtons y en libras. ^.Esta fuerza seria lo suficientemente
grande como para que la sintiera un ser humano? b) Como los protones
se repelen entre sí con mucha intensidad, ^por qué no salen disparados
del núcleo?

21.83. Si los àtomos no fueran neutros . . . Puesto que las cargas en
el electrón y el protón tienen el mismo valor absoluto, los àtomos son
eléctricamente neutros. Suponga que esto no filera muy cierto, y que el
valor absoluto de la carga del electrón fuera 0.00100% menor que la
carga del protón. a) Estime cuàl seria la carga neta de este libro en ta-
les circunstancias. Haga cualesquiera suposiciones que crea usted que
mayoría de àtomos en este libro tienen números iguales de electrones,
protones y neutrones.) b) ^Cuàl seria la magnitud de la fuerza elèctrica
entre dos libros colocados a 5.0 m uno del otro? <,Esta fuerza seria de
atracción o de repulsión? Estime cuàl seria la aceleración de cada li-
bro, si estuvieran separados por una distancia de 5.0 m y no hubiera
fuerzas eléctricas sobre ellos. c) Analice cómo el hecho de que la matè-
ria ordinària sea estable demuestra que los valores absolutes de las car-
gas del electrón y protón deben ser idénticas con un grado muy alto de
exactitud.

Figura 21.46 Problema 21.84.

21.84. Dos esferas diminutas de
masa m tienen cargas iguales pe-
rò opuestas de magnitud q. Se
atan al mismo gancho del techo
con cuerdas ligeras de longitud
L. Cuando se activa un campo
eléctrico horizontal y uniforme E,
las esferas cuelgan con un àn-
gulo 6 entre las cuerdas (figura
21.46). a) ^Cuàl esfera (derecha
o izquierda) es positiva, y cuàl es
negativa? b) Encuentre el àngu-
lo 8 entre las cuerdas en términos de E, q, m y g. c) A medida que el
el resultado del inciso b) para el àngulo màs grande posible?

21.85. Dos esferas de cobre pequenas tienen un radio de 1.00 mm ca-
da una. a) ^Cuàntos àtomos contiene cada esfera? b) Suponga que cada
àtomo de cobre contiene 29 protones y 29 electrones. Sabemos que los
electrones y los protones tienen cargas de exactamente la misma mag-
nitud, però estudiemos el efecto de diferencias pequenas (véase tam-
bién el problema 21.83). Si la carga de un protón es +e y la magnitud
de la carga de un electrón fuera 0.100% màs pequena, ^cuàl seria la
carga neta de cada esfera y qué fuerza ejercería una esfera sobre
la otra, si estuvieran separadas 1.00 m?

21.86. Operación de una impresora de inyección de tinta. En una
impresora de inyección de tinta, las letras se forman rociando tinta en
el papel mediante una boquilla en movimiento ràpido. Las gotas de tin-
ta, que tienen una masa de 1.4 X 10~ s g cada una, salen de la boquilla
y viajan hacia el papel a 20 m/s, pasando a través de una unidad de
carga que da a cada gota una carga q positiva al quitarle algunos de sus
electrones. Las gotas pasan después entre placas deflectoras paralelas
de 2.0 cm de largo, donde hay un campo eléctrico vertical y uniforme
con magnitud de 8.0 X 10 4 N/C. Si una gota se debe desviar 0.30 mm
en el momento que alcance el extremo de las placas deflectoras, iqué
magnitud de carga se tiene que dar a la gota?

21.87. Un protón se proyecta en un campo eléctrico uniforme que
apunta verticalmente hacia arriba y tiene magnitud E. La velocidad ini-
cial del protón tiene una magnitud v y està dirigida con un àngulo a
por debajo de la horizontal. a) Encuentre la distancia màxima /i m4x que
el protón desciende verticalmente por debajo de su elevación inicial.
Ignore las fuerzas gravitatorias. b) ^Después de qué distancia horizon-

1
,

Figura 21.48 Problema 21.90.

^— i

tal d el protón regresa a su elevación original? c) Haga un diagrama de
la trayectoria del protón. d) Encuentre los valores numéricos de /i mlx y
d si E = 500 N/C, D = 4.00 X 10 5 m/s y a = 30.0°.

21.88. Una carga puntual negativa q, = —4.00 nC està en el eje xtax
= 0.60 m. Una segunda carga puntual q 2 està sobre el eje x en x =
— 1.20 m. (.Cuàles deben ser el signo y la magnitud de q 2 para que el
campo eléctrico neto en el origen sea de a) 50.0 N/C en la dirección
+x, y de b) 50.0 N/C en la dirección —xl

21.89. Una carga positiva Q es-

tà distribuïda de manera unifor- Fl S ura 21 A1 ^blema 21.89.
me a lo largo del eje x, de x —
a x = a. Una carga puntual po-
sitiva q se localiza en la parte
positiva del eje x, en x = a + r,
una distancia r a la derecha
del final de Q (figura 21.47).

a) Calcule las componentes x y

v del campo eléctrico producido por la distribución de carga Q en
puntos sobre el eje x positivo, donde x > a. b) Calcule la fuerza
(magnitud y dirección) que la distribución de carga Q ejerce sobre q.
c) Demuestre que si r S> a, la magnitud de la fuerza en el inciso b)
es aproximadamente Qç/47re r 2 . Explique cómo se obtiene este

21.90. Una carga positiva Q està
distribuida de manera uniforme a
lo largo del eje y positivo entre
y = y y = a. Una carga puntual
negativa — q se encuentra sobre
la parte positiva del eje x, a una
distancia x del origen (figura
21.48). a) Calcule las componen-
tes x y v del campo eléctrico pro-
ducido por la distribución de
carga Q en puntos sobre la parte

positiva del eje x. b) Calcule las componentes x y y de la fuerza que
la distribución de carga Q ejerce sobre q. c) Demuestre que si x Sí» a,
F x = —QqlAire B x 2 y F = +QqalíÍTTe íl x 3 . Explique por qué se obtie-

21.91. Una línea cargada como la que aparece en la figura 21.25 se ex-
tiende desde y = 2.50 cm hasta y = —2.50 cm. La carga total distribui-
da uniformemente en la línea es —9.00 nC. a) Calcule el campo
eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje x en x = 10.0 cm. b) ^La
magnitud del campo eléctrico que usted calculo en el inciso anterior es
mayor o menor, que el campo eléctrico a 10.0 cm de una carga puntual
que tiene la misma carga total en esa línea finita de carga? En términos
de la aproximación usada para obtener E = g/47re .ï 2 para una carga
puntual de la ecuación (21.9), explique por qué sucede esto. c) ^Aqué
distancia x el resultado para la línea finita de carga difiere en 1.0% del
de la carga puntual?

21.92. Un universo paralelo. Imagine un universo paralelo donde
la fuerza elèctrica tiene las mismas propiedades que en el nuestro però
no hay gravedad. En este Universo paralelo el Sol tiene una carga Q, la
Tierra tiene una carga — Q, y la atracción elèctrica entre ellos mantiene
a nuestro planeta en òrbita. La Tierra en el Universo paralelo tiene la
misma masa, el mismo radio orbital, y el mismo periodo orbital que en
nuestro Universo. Calcule el valor de Q. (Consulte el apéndice F, se-
gún lo necesite.)

21.93. Un disco con carga uniforme como el de la figura 21.26 tiene un
radio de 2.50 cm y una carga total de 4.0 X 10~ 12 C. a) Obtenga el
campo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje x en x — 20.0 cm.

b) Demuestre que para x 2> R, la ecuación (21.11) se convierte en
E = QJAireoX 1 , donde Q es la carga total en el disco. c) ^La magnitud
del campo eléctrico que usted obtuvo en el inciso a) es mayor o menor,
que la magnitud del campo eléctrico que està a 20.0 cm de una carga
puntual que tiene la misma carga total que este disco? En términos de

748

CAPÍTULO 21 Carga elèctrica y campo eléctrico

la aproximarien usada en el inciso b) para obtener E = qIAttzqX 1 para
una carga puntual de la ecuación (21.11), explique por qué ocurre esto.
d) ^Cuàl es el porcentaje de diferencia entre los campos eléctricos pro-
ducidos por el disco finito y por una carga puntual con la misma carga
enx — 20.0 cm y en x = 10.0 cm?

21.94. a) Seaf(x) una función par de x, de modo que/(jc) = f(—x).
Demuestre que j a _ c: f(x)dx = 2\° f(x)dx. (Sugerencia: escriba la inte-
gral desde — a hasta a como la suma de la integral desde — a hasta 0,
y la integral desde —a hasta 0. En la primera integral, haga el cambio
de variable x' = — x.) b) Sea g(x) una función impar de x de modo que
g (x ) = —g{—x). Use el método dado en la sugerencia para el inci-
so a), con la finalidad de demostrar que \"_ Il g[x)dx = 0. c) Utilice
el resultado del inciso b) para demostrar por qué E y en el ejemplo
21.11 (sección 2 1 .5) es igual a cero.

21.95. Una carga positiva +Q està distribuida uniformemente a lo lar-
go del eje +x, de x = a x = a. Una carga negativa — Q està distribui-
da de modo también uniforme a lo largo del eje — x, de x = a x =
— a. a) Una carga puntual positiva q està sobre el eje y positivo, a una
distancia y del origen. Encuentre la fuerza (magnitud y dirección) que
las distribuciones de carga positiva y negativa ejercen juntas sobre q.
Demuestre que esta fuerza es proporcional a y ' para y S> a. b) Su-
ponga que la carga puntual positiva q està sobre el eje x positivo, a una
distancia x > a del origen. Encuentre la fuerza (magnitud y dirección)
que la distribución de carga ejerce sobre q. Demuestre que esta fuerza
es proporcional a x~ 3 para x S> a.

Figura 21.49 Problema 21.96.

21.96. Una carga positiva Q està
distribuida de manera uniforme
alrededor de un semicírculo de ra-
dio a (figura 21.49). Encuentre
el campo eléctrico (magnitud y
dirección) en el centro de curva-
tura P.

21.97. La carga negativa — Q està
distribuida uniformemente alrede-
dor de un cuarto de circulo de ra-
dio a que se encuentra en el primer cuadrante, con el centro de
curvatura en el origen. Calcule las componentes x y y del campo eléc-
trico neto en el origen.

21.98. Una esfera pequefía con masa m tiene una carga positiva q y es-
tà atada a un extremo de una cuerda sintètica de longitud L. El otro ex-
tremo de la cuerda està atado a una làmina aislante, vertical y larga,
que tiene una densidad superficial de carga positiva cr. Demuestre que
cuando la esfera està en equilibrio, la cuerda forma un àngulo igual a
arctan (çcr/2mge ) con la làmina vertical.

21.99. Dos alambres no conduc-

Figura 21.50 Problema 21.99.

|< 1.20 m >|

(+ + + + + + + + + )

1.20 m

• P

tores de 1.20 m forman un àngu-
lo recto. Un segmento tiene
+ 2.50 /iC de carga, distribuida
de modo uniforme a lo largo de
su longitud; mientras que el otro
segmento tiene —2.50 /aC de
carga, distribuida de modo uni-
forme a lo largo de su longitud,
como se llustra en la figura
21.50. a) Encuentre la magnitud
y la dirección del campo eléctri-
co que producen estos alambres
en el punto P, que està a 60.0 cm de cada alambre. b) Si un electrón se
libera en P, ^cuàles son la magnitud y la dirección de la fuerza neta
que ejercen estos alambres sobre él?

21.100. Dos làminas paralelas muy grandes estan separadas 5.00 cm.
La làmina A tiene una densidad superficial de carga uniforme de
—9.50 /iC/m 2 ; y la làmina B, que està a la derecha de A, tiene una car-
ga uniforme de —11.6 /iC/m 2 . Suponga que las làminas son lo sufi-

Figura 21.51

Problema 21.104.

cientemente grandes como para considerarse infinitas. Encuentre la
magnitud y la dirección del campo eléctrico neto que las làminas pro-
ducen en un punto a) 4.00 cm a la derecha de la làmina A; b) 4.00 cm a
la izquierda de la làmina A; c) 4.00 a la derecha de la làmina B.

21.101. Repita el problema 21.100 para el caso en que la làmina B sea
positiva.

21.102. Dos làminas horizontales muy largas estan separadas 4.25 cm
y tienen densidades superficiales de carga uniforme, iguales però de
signo contrario, de magnitud o\ Usted desea usar las làminas para
mantener estacionaria en la región entre ellas una gotita de aceite con
masa de 324 /ig, que tiene cinco electrones excedentes. Suponga que
la gotita està en el vacío. a) (,Cuàl debería ser la dirección del campo
eléctrico entre las placas, y b) cuàl debería ser el valor de ct?

21.103. Una làmina infinita con carga positiva por unidad de àrea cr es-
tà en el plano xy. Una segunda làmina infinita con carga negativa por
unidad de àrea — a està en el plano yz. Encuentre el campo eléctrico
neto en todos los puntos que no estén en ninguno de esos pianos. Ex-
prese su respuesta en términos de los vectores unitarios ï, j y k.

21.104. Un disco delgado con un
agujero circular en el centro, Ua-
mado corona circular, tiene un ra-
dio interior R, y un radio exterior
R 2 (figura 21.51). El disco tiene
uniforme y positiva cr en su super-
fície, a) Determine la carga elèctri-
ca total en la corona circular, b) La
corona circular se encuentra en el
plano yz, con su centro en el ori-
gen. Para un punto arbitrario en el
eje x (el eje de la corona circular),
encuentre la magnitud y la direc-
ción del campo eléctrico E. Considere puntos arriba y abajo de la co-
rona circular en la figura 21.51. c) Demuestre que en puntos sobre el
eje x que estén suficientemente cerca del origen, la magnitud del cam-
po eléctrico es aproximadamente proporcional a la distancia entre el
centro de la corona circular y el punto. ^Qué tan cerca es "suficiente-
mente cerca"? d) Una partícula puntual con masa m y carga negativa
— q tiene libertad de movimiento a lo largo del eje x (però no puede
apartarse del eje). Originalmente, la partícula està en reposo en x =
0.01S, y luego se libera. Encuentre la frecuencia de oscilación de la
partícula. (Sugerencia: repase la sección 13.2. La corona circular per-
manece estacionaria.)

Figura 21.52 Problema de
desafio 21.105.

3.00 cm

Problemas de desafio

21.105. Tres cargas se colocan co-
mo se ilustra en la figura 21.52. La
magnitud de q t es 2.00 /aC, però
no se conocen su signo ni el valor
de la carga q 2 . La carga q 2 es de
+4.00 /aC, y la fuerza neta F
sobre q 3 està por completo en
la dirección negativa del eje x.
a) Considere los diferentes sig-
nos posibles de q t y que hay cua-

tro posibles diagramas de fuerza que representan las fuerzas F t y F 2
que q t y q 2 ejercen sobre q 3 . Dibuje esas cuatro configuraciones de
fuerza posibles. b) Con el empleo de los diagramas del inciso a) y la di-
rección de F, deduzca los signos de las cargas q t y q 2 . c) Calcule la
magnitud de q 2 . d) Determine F, la magnitud de la fuerza neta sobre q 3 .

21.106. Dos cargas se colocan como se muestra en la figura 21.53. La
magnitud de ç, es 3.00 /aC, però se desconocen su signo y el valor de
la carga q 2 . La dirección del campo eléctrico neto E en el punto P està

Problemas de desafio

749

Figura 21.53 Problema de
desafio 21.106.

5.0 cm

12.0 cm

por completo en la dirección ne-
gativa del eje y. a) Considerando
los posibles signos diferentes de
q t y q 2 , hay cuatro posibles dia-
gramas que podrían representar
los campos eléctricos E i y E 2
producidos por q l y q 2 . Dibuje
las cuatro posibles conflguracio-
nes de campo eléctrico. b) Con el

uso de los diagramas del inciso a) y la dirección de E, deduzca los sig-
nos de q t y q 2 . c) Determine la magnitud de E.

21.107. Dos varillas delgadas de longitud L estan a lo largo del eje x,
una entre x = a/2 yx = a/2 + L, y la otra entre x = —a/2 y x = —a/2

13.0 cm

— L. Cada varilla tiene carga positiva Q distribuida uniformemente en
toda su longitud, a) Calcule el campo eléctrico producido por la segun-
da varilla en puntos a lo largo del eje x positivo. b) Demuestre que la
magnitud de la fuerza que ejerce una varilla sobre la otra es

Q 2 \ (a + L) 2

F = ^ln —. r

ATre a L~ [a(a + 2L)

c) Demuestre que si a 2> L, la magnitud de esta fuerza se reduce a
F = 2 2 /4' ïre o fl2 - (Sugerencia: use la expansión ln(l + z) = z —
z 2 J2 + z 3 /3 — ' ' ', vàlida para \z\ <sí 1. Considere todas las expansio-
nes al menos hasta el orden Lr/a 1 .) Interprete este resultado.

LEY DE GAUSS

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprenderà:

de carga dentro de una superfície
eléctrico sobre la superficie.

• Cuél es el significado de flujo
eléctrico y cómo se calcula.

• Cómo la ley de Gauss relaciona
al flujo eléctrico a través de una

• Cómo usar la ley de Gauss
para calcular el campo eléctrico
debido a una distribución
simètrica de la carga.

• Dónde se localiza la carga en

una carga elèctrica
al tocar la esfera
metàlica con carga.
Los cabellos con
carga en su cabeza se
repelen y se levantan.
Si la nina estuviera
dentro de una esfera
de metal grande y
con carga, tsus cabellos
se levantarían?

Con frecuencia, al efectuar un trabajo existe un modo fàcil y otro difícil; el mo-
do fàcil tal vez solo requiera el empleo de las herramientas correctas. En física
las propiedades de simetria de los sistemas constituyen una herramienta im-
portante para simplificar los problemas. Muchos sistemas físicos tienen simetria; por
ejemplo, un cuerpo cilíndrico no se ve distinto después de hacerlo girar sobre su eje, y
una esfera de metal con carga se ve igual una vez que se ha hecho girar alrededor de
cualquier eje que pase por su centro.

La ley de Gauss es parte de la clave para utilizar consideraciones de simetria que
simplifiquen los càlculos del campo eléctrico. Por ejemplo, el campo de una distribución
de carga en una línea recta o en una hoja plana, que se obtuvo en la sección 21.5 con al-
gunas integrales un tanto difíciles, se obtiene en unos cuantos renglones con ayuda de la
ley de Gauss. Sin embargo, la ley de Gauss es algo màs que un método para hacer cier-
ción que hay entre las cargas eléctricas y los campos eléctricos. Entre otras cosas, la ley
de Gauss ayuda a entender cómo se distribuye la carga en los cuerpos conductores.

La ley de Gauss se trata de lo siguiente. Dada cualquier distribución general de
carga, se rodea con una superficie imaginaria que la encierre y luego se observa el
campo eléctrico en distintos puntos de esa superficie imaginaria. La ley de Gauss es
una relación entre el campo en todos los puntos de la superficie y la carga total que
esta encierra. Tal vez esto suene como una forma indirecta de expresar los fenóme-
nos, però es una relación sumamente útil. Màs allà de su empleo como herramienta de
calculo, la ley de Gauss ayuda a tener una comprensión màs profunda de los campos
eléctricos. En varios de los siguientes capítulos recurriremos continuamente a esta
comprensión conforme avancemos en el estudio del electromagnetismo.

En esta sección el anàlisis de la ley de Gauss
se basa e inspira en las ideas innovadoras
de Ruth W. Chabay y Bruce A. Sherwood,
en su obra Electric and Magnètic
Interactions (John Wiley & Sons, 1994).

22.1 Carga y flujo eléctrico

En el capitulo 21 se planteó la pregunta, "Dada una distribución de carga, ^cuàl es el
campo eléctrico que produce esa distribución en un punto Pf. Vimos que la respues-
ta podia encontrarse si se representaba la distribución como un conjunto de cargas
puntuales, cada una de las cuales producía un campo eléctrico E dado por la ecuación

750

22.1 Carga y flujo eléctrico

751

(21.7). Así, el campo total en P es la suma vectorial de los campos debidos a todas las
cargas puntuales.

Però existe una relación alternativa entre las distribuciones de carga y los campos
eléctricos. Para descubrir esta relación, planteemos la pregunta del capitulo 21 a la in-
versa: "si se conoce la disposición del campo eléctrico en una región determinada,
(,qué podemos determinar acerca de la distribución de carga en esa región?"

He aquí un ejemplo. Considere la caja que se ilustra en la figura 22.1a, que puede
contener o no una carga elèctrica. Imagine que la caja està construida con un material
que no tiene efecto en ningún campo eléctrico; es como los conceptes de la cuerda sin
masa y el plano inclinado libre de fricción. Mejor aún, dejemos que la caja represen-
to una superfície imaginaria que puede encerrar o no cierta carga. Llamaremos a la
caja una superfície cerrada, ya que encierra por completo un volumen. ^Cómo deter-
minar cuànta carga elèctrica (si es que la hay) se encuentra dentro de la caja?

Como sabemos que una distribución de carga produce un campo eléctrico y que
éste ejerce una fuerza sobre una carga de prueba, se mueve una carga de prueba q en
torno a las proximidades de la caja. Con la medición de la fuerza F experimentada
por la carga de prueba en diferentes posiciones, se elabora un mapa tridimensional del
campo eléctrico E = F\q fuera de la caja. En el caso que se ilustra en la figura
22.1b, el mapa resulta ser el mismo que el del campo eléctrico producido por una car-
ga puntual positiva (figura 21 .29a). A partir de los detalles del mapa es posible deter-
minar el valor exacto de la carga puntual dentro de la caja.

Para determinar el contenido de la caja, en realidad solo se necesita medir E en la
superfície de la caja. En la figura 22.2a hay una sola carga puntual positiva en el inte-
rior de la caja, y en la figura 22.2b hay dos de tales cargas. Los patrones de campo en
las superfícies de las cajas son diferentes en sus detalles, però en ambos casos el cam-
po eléctrico apunta hacia fuera de la caja. Las figuras 22.2c y 22. 2d ilustran casos con
una y dos cargas puntuales negativas, respectivamente, dentro de la caja. Una vez
mas, los detalles de E sobre la superfície de la caja son distintes, però en los dos casos
el campo apunta hacia la caja.

22.2 El campo eléctrico sobre la superfície de las cajas contiene a) una sola carga
puntual positiva, b) dos cargas puntuales positivas, c) una sola carga puntual negativa,
o d) dos cargas puntuales negativas.

a) Carga positiva dentro de la
caja, flujo
hacia fuera

b) Cargas positivas dentro de
la caja, flujo
hacia fuera

Actv

-lONLlNE

rhysics

1 1 .7 Flujo eléctrico

22.1 ^Cómo se podria medir la carga
dentro de una caja sin abrirla?

a) Caja que contiene una cantidad desconocida
de carga

\j

\

b) Uso de una carga de prueba fuera de la caja
para determinar la cantidad de carga que hay
en el interior

i

E

/,

Carga de prueba q ü

/

\

c) Carga negativa dentro de la caja,

flujo hacia -*

dentro

d) Cargas negativas dentro de la caja,

flujo hacia

dentro

7-f

752 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

El flujo eléctrico y la carga encerrada

En la sección 21.4 se menciono la analogia entre los vectores de campo eléctrico y los
vectores de velocidad de un fluido en movimiento. Esta analogia resulta útil aun
cuando los campos eléctricos no "fluyen" en realidad. Empleando esta analogia, en
las figuras 22.2a y 22.2b, en las que los vectores de campo eléctrico apuntan hacia
fuera de la superfície, decimos que existe un flujo eléctrico saliente. (La palabra "flu-
jo" proviene de un termino en latín que significa "fluido".) En las figuras 22.2c y
22. 2d, los vectores E se dirigen hacia la superfície, y el flujo eléctrico es entrante.

La figura 22.2 sugiere una relación sencilla: la carga positiva dentro de la caja co-
rresponde a un flujo eléctrico saliente a través de la superfície de la caja, y la carga ne-
gativa en el interior corresponde a un flujo eléctrico entrante. ^Qué pasa si la carga
dentro de la caja es cerol En la figura 22.3a la caja està vacía y E = en todo lugar,
por lo que no hay flujo eléctrico hacia el interior o exterior de la caja. En la figura
22.3b, dentro de la caja hay una carga positiva y otra negativa de la misma magnitud,
por lo que la carga neta en el interior es igual a cero. Hay un campo eléctrico, però
"fluye hacia dentro" de la caja en la mitad de su superfície y "fluye hacia fuera" de la
caja en la otra mitad. Por lo tanto, no hay flujo eléctrico neto hacia dentro o hacia fue-
ra de la caja.

En la figura 22.3c, la caja de nuevo està vacía. Sin embargo, hay una carga presente
fuera de la caja, que se ha colocado con uno de sus extremos paralelos a una làmina in-
finita con carga uniforme que produce un campo eléctrico uniforme perpendicular a la
làmina (como se vio en el ejemplo 21.12 de la sección 21.5). En un extremo de la caja,
E apunta hacia esta última, y en el extremo opuesto E apunta hacia fuera de la caja; y
en los lados, E es paralelo a la superfície, por lo que no apunta hacia dentro ni hacia
fuera de la caja. Como sucede en la figura 22.3b, el flujo eléctrico hacia el interior en
una parte de la caja compensa con exactitud al flujo eléctrico que va hacia el exterior
en la otra parte. De manera que en todos los casos que se ilustran en la figura 22.3, no
hay un flujo eléctrico neto a través de la superfície de la caja, y ninguna carga neta

Las figuras 22.2 y 22.3 ponen de manifiesto una vinculación entre el signo (positi-
vo, negativo o cero) de la carga neta contenida dentro de una superfície cerrada y el
sentido (saliente, entrante o ninguno) del flujo eléctrico neto a través de la superfície.
Asimismo, existe una conexión entre la magnitud de la carga neta dentro de la super-
fície cerrada y la intensidad del "flujo" neto de E sobre la superfície. Tanto en la figu-
ra 22.4a como en la 22.4b, hay una sola carga puntual en el interior de la caja, però en
la figura 22.4b la magnitud de la carga es el doble de grande, por lo que E tiene en to-
do lugar el doble de magnitud que en la figura 22.4a. Si tenemos en mente la analogia
con el flujo de fluidos, esto significa que el flujo eléctrico saliente neto también es dos
veces mayor en la figura 22.4b que en la 22.4a. Esto sugiere que el flujo eléctrico ne-
to a través de la superfície de la caja es directamente proporcional a la magnitud de la
carga neta encerrada en la caja.

22.3 Tres casos en los que hay una carga neta de cero en el interior de la caja, y no hay flujo eléctrico a través de la superfície de esta.
a) Caja vacía con E = 0. b) Caja que contiene una carga puntual positiva y una negativa de igual magnitud, c) Caja vacía inmersa en
un campo eléctrico uniforme.

a) Sin carga dentro
de la caja, flujo igual

b) Carga neta igual a cero en el
interior de la caja; el flujo entrante
cancela el flujo saliente

c) No hay carga dentro de la caja;
el flujo entrante cancela el flujo
saliente

+ o" — Làmina
con carga
\ uniforme

22.2 Calculo del flujo eléctrico

753

Esta conclusión es independiente del tamano de la caja. En la figura 22.4c la carga
puntual +q està encerrada por una caja con dimensiones lineales que duplican las de
la caja de la figura 22.4a. La magnitud del campo eléctrico de una carga puntual dis-
minuye con la distancia de acuerdo con 1/r 2 , de manera que la magnitud media de E
en cada cara de la caja grande en la figura 22.4c es justo \ de la magnitud media en la
cara correspondiente en la figura 22.4a. Però cada cara de la caja grande tiene exacta-
mente el cuàdruple del àrea de la cara correspondiente de la caja pequena. Por lo tan-
to, el flujo eléctrico saliente de la caja es igual para las dos cajas si el flujo eléctrico se
define como sigue: con respecto a cada cara de la caja, hay que calcular el producto
de la componente perpendicular media de E por el àrea de esa cara; luego se suman
los resultados de todas las caras de la caja. Con esta definición, el flujo eléctrico neto
debido a una sola carga puntual dentro de la caja es independiente del tamano de esta
y solo depende de la carga neta en el interior.

Se ha visto que existe una relación entre la cantidad neta de carga dentro de una
superfície cerrada y el flujo eléctrico a través de esa superfície. Para los casos especia-
les de una superfície cerrada en forma de caja rectangular y distribuciones de carga
constituidas por cargas puntuales o làminas infinitas con carga, se tiene lo siguiente:

1. El hecho de que el flujo neto sea hacia el exterior o hacia el interior de una su-

2. Las cargas afilera de la superfície no provocan un flujo eléctrico neto a través
de la superfície.

3. El flujo eléctrico neto es directamente proporcional a la cantidad neta de carga
contenida dentro de la superfície, però es independiente del tamano de la super-

Estàs observaciones son el planteamiento cualitativo de la ley de Gauss.

i,Son vàlidas estàs observaciones para otras clases de distribuciones de carga y
para superfícies cerradas de forma arbitraria? Se demostrarà que la respuesta a estàs
preguntas es sí. Però para explicar por qué esto es así, se necesita contar con un enun-
ciado matemàtico preciso de lo que significa el flujo eléctrico, lo cual se desarrollarà
en la siguiente sección.

Evalúe su comprensión de la sección 22.1 Si todas las dimensiones de
la caja de la figura 22.2a se incrementaran en un factor de 3, ^,qué efecto tendría este
cambio en el flujo eléctrico a través de la caja? i) El flujo seria 3 2 = 9 veces mayor;
ii) el flujo seria 3 veces mas grande; iii) el flujo permanecería sin cambio; iv) el flujo seria
de (j); v) el flujo seria (|) 2 = |; vi) no hay información suficiente para decidir.

B

22.2 Calculo del flujo eléctrico

En la sección anterior presentamos el concepto de flujo eléctrico. Cualitativamente, el
flujo eléctrico a través de una superfície es la descripción de si el campo eléctrico E
apunta hacia la superfície o en sentido contrario. Esto se utilizó para formular un
enunciado cualitativo de la ley de Gauss: el flujo eléctrico neto a través de una super-
fície cerrada es directamente proporcional a la carga neta en el interior de esa superfí-
cie. Para aprovechar por completo esta ley, se necesita saber cómo calcular el flujo
eléctrico. Para ello, se emplearà de nuevo la analogia entre un campo eléctrico E y el
campo de los vectores de velocidad v en un fluido en movimiento. (De nuevo, recuer-
de que esto solo es una analogia; un campo eléctrico no es un flujo.)

22.4 a) Caja que encierra una carga
puntual positiva +q. b) La duplicación de
la carga ocasiona que la magnitud
de E se duplique, lo que también duplica
el flujo eléctrico a través de la superfície,
c) Si la carga permanece igual, però las
dimensiones de la caja se duplican, el flujo
permanece sin cambio. La magnitud de E
sobre la superfície disminuye en un factor
de j, però el àrea a través de la que "fluye"
E aumenta en un factor de 4.

a) La caja contiene una carga

b) Al duplicarse la carga se duplica
el flujo.

c) Al duplicarse de las dimensiones de
la caja no cambia el flujo.

Flujo: Analogia del fluido en movimiento

La figura 22.5 ilustra un fluido en movimiento estable de izquierda a derecha. Exami-
nemos la tasa de flujo volumétrico dV/dt (digamos, en metros cúbicos por segundo) a
través del alambre rectangular de àrea A. Cuando el àrea es perpendicular a la veloci-
dad de flujo v (figura 22.5a) y la velocidad de flujo es la misma en todos los puntos
del fluido, la tasa de flujo volumétrico dV/dt es el àrea A multiplicada por la veloci-

dV

dl

= vA

754 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

22.5 La tasa de flujo volumétrico del
fluido a través del alambre rectangular
a) es vA cuando el àrea del rectàngulo
es perpendicular a v, y b) cuando el
rectàngulo està inclinado un àngulo cj>
la tasa es vA cos (f>.

a) Alambre rectangular en un fluido

b) El alambre rectangular està

Cuando el rectàngulo se encuentra inclinado un àngulo 4> (figura 22.5b) de manera
que su cara no es perpendicular a v, el àrea que se toma en cuenta es la de la silue-
ta que se genera al mirar en la dirección de v. Esta àrea, que se indica en color rojo y
se denota con A ± en la figura 22.5b, es la proyección del àrea A sobre una superfície
perpendicular a v. Dos lados del rectàngulo proyectado tienen la misma longitud que
en el original, però los otros dos disminuyen en un factor de cos cf>, por lo que el àrea
proyectada A L es igual a A cos <fi. Así, la tasa de flujo volumétrico a través de A es

dV
dl

— vAcoscj)

Si <f> = 90°, dV/dt — 0; el alambre rectangular presenta su borde al flujo, por lo que
ningún fluido pasa a través suyo.

Asimismo, v cos </> es la componente del vector v perpendicular al plano del àrea A.
Si se llama v x , a esta componente, la tasa de flujo volumétrico queda así:

dV
dt

v ,A

Es posible expresar la tasa de flujo volumétrico de manera màs compacta median-
te el concepto de vector de àrea A, una cantidad vectorial con magnitud A y dirección
perpendicular al plano del àrea que se describe. El vector de àrea A describe tanto el
tamano de un àrea como su orientación en el espacio. En términos de A, podemos
escribir la tasa de flujo volumétrico a través del rectàngulo en la figura 22.5b como el
producto escalar:

dv - 2
— = v-A

dt

Flujo de un campo eléctrico uniforme

Utilizando la analogia entre el campo eléctrico y el flujo en movimiento se definirà
ahora el flujo eléctrico de la misma forma en que se acaba de definir la tasa de flujo
volumétrico de un fluido; simplemente se sustituye la velocidad del fluido v por el
campo eléctrico E. El símbolo que se usa para el flujo eléctrico es 4> £ (la letra griega
mayúscula_/í; el subíndice E es para recordar que se trata de flujo eléctrico). En pri-
mer lugar, considere un àrea plana A perpendicular a un campo eléctrico uniforme E
(figura 22.6a). Se define el flujo eléctrico a través de esta àrea como el producto de
la magnitud del campo E por el àrea A:

<1\

EA

En términos aproximados, se puede imaginar \$ £ como las líneas de campo que pasan a
través de A. El incremento del àrea significa que màs líneas de E cruzan el àrea, lo que
aumenta el flujo; un campo màs intenso significa mayor densidad de líneas de E, por lo
que hay màs líneas que pasan por unidad de àrea, lo que también incrementa el flujo.

Si el àrea A es plana però no perpendicular al campo E, entonces son menos las lí-
neas de campo que la atraviesan. En este caso, el àrea que se toma en cuenta es la
silueta que se observa al mirar en dirección de E. Esta es el àrea A L en la figura 22.6b,
y es igual a A cos cj) (compàrela con la figura 22.5b). Nuestra definición de flujo eléc-
trico para un campo eléctrico uniforme se generaliza a

4> B = EA coscj) (flujo eléctrico para £ uniforme, superfície plana) (22.1)

Como E cos 4> es la componente de E perpendicular al àrea, la ecuación (22. 1) se ex-
presa como

<ï> £ = E L A (flujo eléctrico para E uniforme, superfície plana) (22.2)

En términos del vector de àrea A perpendicular al àrea, el flujo eléctrico se expre-
sa como el producto escalar de E y A:

(flujo eléctrico para E uniforme, superfície plana) (22.3)

22.2 Calculo del flujo eléctrico

755

22.6 Una superfície plana en un campo eléctrico uniforme. El flujo eléctrico O t a través de la superfície es igual al producto escalar
del campo eléctrico E y el vector de àrea A.

a) La superfície està de frente al campo eléctrico:

• E y A son paralelos (àngulo entre
EyAes^i = 0).

• El flujo * £ = E-A = EA.

tr

=

b) La superfície està inclinada un àngulo <
respecto de la orientación de frente:

• El àngulo entre E y A es 4>.

• El flujo <ï> £ - E-A = EA cos <f>.

c) La superfície està de canto en relación
con el campo eléctrico:

• E y A son perpendiculares (el àngulo
entre E y A es (f> — 90°).

• El flujo \$£ - É • A = EA cos 90° - 0.

,:A

<t> = 90°

->

r

\ /

E /

A

Las ecuaciones (22.1), (22.2) y (22.3) expresan el flujo eléctrico para una superfí-
cie plana y un campo eléctrico uniforme de maneras diferentes però equivalentes. La
unidad del SI para el flujo eléctrico es 1 N • m 2 /C. Observe que si el àrea està de per-
fil respecto del campo, E y A son perpendiculares y el flujo es igual a cero (figura
22.6c).

La dirección de un vector de àrea se puede representar con A empleando un vector
unitario h perpendicular al àrea; h significa "normal". De esta forma,

A = Ah

(22.4)

Una superfície tiene dos lados, por lo que hay dos direcciones posibles para n y A.
Siempre se debe especificar cuàl es la dirección elegida. En la sección 22.1 se relacio-
no la carga dentro de una superfície cerrada con el flujo eléctrico a través de ella. Con
una superfície cerrada siempre se elegirà la dirección de h como la que se dirige hacia
el exterior, y se hablarà del flujo hacia fuera de una superfície cerrada. Así, lo que en
la sección 22.1 se llamó "flujo eléctrico hacia fuera" corresponde a un valor positivo
de í> £ , y lo que se denomino "flujo eléctrico hacia dentro" corresponde a un valor ne-
gativo de í> £ .

Flujo de un campo eléctrico no uniforme

iQaé pasa si el campo eléctrico E no es uniforme, sinó que varia de un punto a otro
del àrea Al O, ^,qué ocurre si A es parte de una superfície curva? Aquí se divide A en
muchos elementos pequefios dA, cada uno de los cuales tiene un vector unitario n
perpendicular a él, y un vector de àrea dA = h dA. El flujo eléctrico se calcula a
través de cada elemento y los resultados se integran para obtener el flujo total:

í> £ = Eco&4> dA = E ± dA = E-dA

(definición general
del flujo eléctrico)

(22.5)

Esta integral se llama integral de superfície de la componente E L en el àrea, o inte-
gral de superfície de E ■ dA. Las diversas formas de la integral expresan el mismo
concepto en términos diferentes. En problemas específicos, una forma resulta en oca-
siones mas conveniente que otra. El ejemplo 22.3 al final de esta sección ilustra el uso
de la ecuación (22.5).

En la ecuación (22.5) el flujo eléctrico \E L dA es igual al valor medio de la com-
ponente perpendicular del campo eléctrico, multiplicado por el àrea de la superfície.
Esta es la misma definición del flujo eléctrico a que se llego en la sección 22.1, ahora
expresada en una forma mas matemàtica. En la siguiente sección se vera la vincu-
larien entre el flujo eléctrico total a través de cualquier superfície cerrada, sin impor-
tar su forma, y la cantidad de carga encerrada dentro de la superfície.

756 CAPITULO 22 Ley de Gauss

Ejemplo22.1

Flujo eléctrico a través de un disco

Un disco con radio de 0. 10 m se orienta con su vector unitario normal h
con un àngulo de 30° respecto de un campo eléctrico uniforme E con
magnitud de 2.0 X 10 1 N/C (figura 22.7). (Como esta no es una superfí-
cie cerrada, no tiene un "interior" ni un "exterior"; por eso se tiene que
especificar la dirección de n en la figura.) a) iCuí\ es el flujo ele'ctrico a
través del disco? b) ^.Cuàl seria el flujo que cruzaría el disco si se girarà
de manera que su normal fuera perpendicular a El c) ^Cuàl seria el flu-
jo que pasaría a través del disco si su normal fuera paralela a £?

SOLUCION

IDENTIFICAR: Este problema es sobre una superfície plana en un cam-
po eléctrico uniforme, por lo que se aplican las ideas de esta sección.

PLANTEAR: La orientación del disco es como la del rectàngulo en la
figura 22.6b. El flujo eléctrico se calcula con la ecuación (22.1).

EJECUTAR: a) El àrea es A = ir(0.10 m) 2 = 0.0314 m 2 , y el àngulo
entre E y A = Ah es <fi — 30°, por lo que

<J> £ = EAco&4> = (2.0 X 10 3 N/C) (0.0314 m 2 )(cos30°)

= 54 N • m 2 /C

b) Ahora, la normal al disco es perpendicular a E, de manera que
4> = 90°, cos cj) — y <I> £ = 0. A través del disco no hay flujo.

c) La normal al disco es paralela a E, por lo que tj> = 0, cos </> — i,
y el flujo tiene su valor màximo posible. De la ecuación 22.1, se tiene
que

0> E = EAco&<t> = (2.0 X 10 3 N/C) (0.0314 m 2 )(l)

= 63 N • m 2 /C

EVALUAR: Como comprobación de nuestros resultados, observe que
la respuesta del inciso a) es un valor menor que la del inciso c). <,Así
debería ser?

22.7 El flujo eléctrico í> £ a través de un disco depende del àngu-
lo entre su normal h y el campo eléctrico E.

r = 0.10 m

Ejemplo 22.2

Flujo eléctrico a través de un cubo

Un cubo de arista L està situado en una región de campo eléctrico uni-
forme E. Determine el flujo eléctrico que pasa a través de cada cara del
cubo y el flujo total a través de éste cuando a) el cubo està orientado con
dos de sus caras perpendiculares al campo E, como se ilustra en la figura
22.8; y b) cuando el cubo se gira un àngulo d, como en la figura 22.8b.

EM3KI

IDENTIFICAR: En este problema se va a determinar el flujo eléctrico
a través de cada cara del cubo y el flujo total (la suma de los flujos que
pasan por las seis caras).

PLANTEAR: Como E es uniforme y cada una de las seis caras del cu-
bo es una superfície plana, se encuentra el flujo que cruza cada cara
con las ecuaciones (22.3) y (22.4). Después se calcula el flujo total a
través del cubo sumando los seis flujos individuales.

EJECUTAR: a) En la figura se ilustran los vectores unitarios para cada
cara (n , a n 6 ); la dirección de cada vector unitario es hacia fuera desde la
superfície cerrada del cubo. El àngulo entre E y n, es de 180°; el àngulo
entre E y n 2 es de 0°; y el àngulo entre E y cada uno de los otros cuatro
vectores unitarios es de 90°. Cada cara del cubo tiene un àrea de L 2 , por
lo que los flujos a través de cada una de las caras son los siguientes:

4> £1 = E-h^A = EL 1 cos 180° = -EL 2

4> £2 = £-h 2 A = £L 2 cosO° = +EL 2

<J> £3 = 4> £4 = <I> £5 = <I> £6 = £L 2 cos90° =

El flujo es negativo en la cara 1, donde E està dirigido hacia el cubo,
y positivo en la cara 2, en la que E se dirige hacia fuera del cubo. El
flujo total a través del cubo es la suma de los flujos a través de las seis
caras:

<J) £ = <I> £1 + <I> £2 + <J> £1 + <J> £4 + <J) £5 + 0> £6

= -EL 2 + EL 2 + + + + =

22.8 Flujo eléctrico de un campo uniforme E a través de una caja
cúbica con arista L en dos orientaciones.

a)

b)

b) Los flujos a través de las caras 1 y 3 son negativos, ya que È es-
tà dirigido hacia esas caras; el campo se dirige hacia fuera de las caras
2 y 4, por lo que los flujos a través de esas caras son positivos. Se tiene

que

4> £1 =È•n 1 A = £X 2 cos(l80°
<J> £2 = E-h 2 A = +£L 2 cos0
4> £3 = É-n } A = £X 2 cos(90°
<J> £4 = £-n 4 A = £X 2 cos(90°
^ = *F6 = £X 2 cos90° =

0) = — £L 2 cos6

>) = -EL 2 sen B
9) = +EL 2 sen 6

<1>,

<1>,

<I>,

El flujo total <J> £ = <ï> £1 + ^ m + <I> E

de la superfície del cubo es, de nuevo, igual a cero.

EVALUAR: No sorprende que el flujo total sea igual a cero para ambas
orientaciones. Se llego a la misma conclusión que en el anàlisis de la
figura 22.3c en la sección 22.1. Ahí se observo que había un flujo neto
de cero de un campo eléctrico uniforme a través de una superfície ce-
rrada que no contenia carga elèctrica.

22.3 Ley de Gauss 757

Ejemplo 22.3

Flujo eléctrico a través de una esfera

Una carga puntual positiva q = 3.0 fiC està rodeada por una esfera
centrada en la carga y cuyo radio mide 0.20 m (figura 22.9). Determine
el flujo eléctrico a través de la esfera debido a esta carga.

22.9 Flujo eléctrico a través de una esfera centrada en una carg
puntual.

ESÜEH1

IDENTIFICAR: En este caso la superfície no es plana y el campo eléc-
trico no es uniforme, por lo que se debe usar la defínición general de
flujo eléctrico.

PLANTEAR: Se usa la ecuación (22.5) para calcular el flujo eléctrico (la
variable que se busca). Como la esfera està centrada en la carga puntual,
en cualquier punto sobre la superfície de la esfera, E està dirigido hacia
el exterior en forma perpendicular a la superfície. La dirección positiva
tanto para n como para E x es hacia el exterior, por lo que E x = E y el
flujo a través del elemento de superfície dAesE ■ dA = E dA. Esto sim-
plifica en gran medida la integral en la ecuación (22.5).
EJECUTAR: En cualquier punto de la esfera, la magnitud de E es

q , ,, ^ 3.0 x io~ 6 c

£ = — —-= 9.0 X lO'N•nr/C 2 —

4tt£ í- 2 (0.20 m) 2

= 6.75 X 10 5 N/C

Puesto que E es igual en todos los puntos, se puede sacar de la integral
<J> £ = JE dA de la ecuación (22.5); lo que resta es la integral jdA, que
es el àrea total A = Airr 2 de la superfície esfèrica. Así, el flujo total
que sale de la esfera es

<I> £ = EA = (6.75 X 10 5 N/C) (4tt) (0.20 m) 2

= 3.4 X 10 5 N ■ m 2 /C

EVALUAR: Observe que se dividió entre r 1 = (0.20 m) 2 para encontrar
el valor de E, y luego se multiplico por r 2 = (0.20 m) 2 para encon-
trar <J> £ ; así, el radio r de la esfera se cancela en el resultado de <J> £ .
Se habría obtenido el mismo flujo con una esfera de 2.0 m o incluso de
200 m de radio. En esencia, se llego a la misma conclusión del anàlisis
de la figura 22.4 en la sección 22.1, donde se consideraron superfícies
rectangulares cerradas de dos tamafios distintes que encerraban una
carga puntual. Ahí se encontró que el flujo de E era independiente del
tamano de la superfície; se obtiene el mismo resultado para una super-
fície esfèrica. En realidad, el flujo a través de cualquier superfície que
encierre una sola carga puntual es independiente de la forma o el ta-
mano de la superfície, como se vera un poco màs adelante.

Evalúe su comprensión de la sección 22.2 Ordenelas siguientes superfícies (md)
del flujo màs positivo al màs negativo. i) Una superfície rectangular plana con vector de ^— ~
àrea A = (6.0 m 2 )í en un campo eléctrico uniforme E = (4.0 N/C)/; ii) una superfície circular
plana con vector de àrea A = (3.0 m 2 )} en un campo eléctrico uniforme E = (4.0 N/C)í +
(2.0 N/C)/; iii) una superfície cuadrada plana con vector de àreaA = (3.0 m 2 )? + (7.0 m 2 )/
en un campo eléctrico uniforme E = (4.0 N/C)í — (2.0 N/C)/; iv) una superfície oval plana
con vector de àreaA = (3.0 m 2 )í — (7.0 m 2 )/ en un campo eléctrico uniforme
E = (4.0 N/C); - (2.0 N/C);.

22.3 Ley de Gauss

La ley de Gauss es una alternativa a la ley de Coulomb. Aunque equivale por com-
pleto a la ley de Coulomb, la ley de Gauss ofrece una forma distinta de expresar la re-
lación entre la carga elèctrica y el campo eléctrico. La formulo Carl Friedricti Gauss
(1777-1855), uno de los matemàticos màs grandes de todos los tiempos. Muchas
àreas de las matemàticas llevan la marca de su influencia; Gauss también realizó con-
tribuciones igualmente significativas en la física teòrica (figura 22.10).

Carga puntual dentro de una superfície esfèrica

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de cualquier superfície
cerrada (una superfície que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga
elèctrica total (neta) dentro de la superfície. En la sección 22.1 se planteó esta rela-
ción de manera cuantitativa para ciertos casos especiales; ahora se desarrollarà en for-
ma màs rigurosa. Se comenzarà con el campo de una sola carga puntual positiva q.
Las líneas de campo se extienden en forma radial hacia fuera en todas direcciones por
igual. Colocamos esta carga en el centro de una superfície esfèrica imaginaria con ra-
dio R. La magnitud E del campo eléctrico en cada punto de la superfície està dada por

22.10 Carl Friedrich Gauss ayudó a desa-
rrollar varias ramas de las matemàticas, in-
cluidos la geometria diferencial, el anàlisis
real y la teoria de números. Una de sus
invenciones es la "curva de campana"
de la estadística. Gauss también realizó
investigaciones de vanguardia sobre el
magnetismo de la Tierra y calculo la òrbita
del primer asteroide que se descubrió.

E =

4ire u R 2

758 CAPITULO 22 Ley de Gauss

22.11 Proyección de un elemento de
àrea dA de una esfera de radio R sobre
una esfera concèntrica de radio 2R.
La proyección multiplica las dimensiones
lineales por 2, por lo que el elemento de
àrea sobre la esfera mas grande es 4 dA.

A través de estos dos elementos de àrea pasa el
mismo número de líneas de campo y el mismo
flujo.

En cada punto de la superfície, E es perpendicular a esta, y su magnitud es la misma en
todos los puntos, como se ilustra en el ejemplo 22.3 (sección 22.2). El flujo eléctrico to-
tal es el producto de la magnitud del campo E por el àrea total A = AttR 2 de la esfera:

1

<lV

EA

4ire R 2

;(477iv 2 )

(22.6)

El flujo es independiente del radio R de la esfera; solo depende de la carga q encerra-
da por la esfera.

Este resultado también se puede interpretar en términos de las líneas de campo. La
figura 22. 1 1 muestra dos esferas de ràdios R y 2R centradas en la carga puntual q. Ca-
da línea de campo que pasa a través de la esfera mas pequena también cruza la esfera
màs grande, por lo que el flujo total a través de cada esfera es el mismo.

Lo que se cumple para toda la esfera también se cumple para cualquier región de
su superfície. En la figura 22.ll, sobre la esfera de radio R, està resaltada un àrea dA
que se proyecta sobre la esfera de radio 2R con líneas que van del centro y que pasan
por puntos sobre la frontera de dA. El àrea proyectada sobre la esfera mayor es evi-
dentemente 4 dA. Però como el campo eléctrico debido a una carga puntual es inver-
samente proporcional a r 2 , la magnitud del campo sobre la esfera de radio 2R es 4 de
la magnitud sobre la esfera de radio R. Así, el flujo eléctrico es el mismo para las dos
àreas e independiente del radio de la esfera.

Carga puntual dentro de una superfície no esfèrica

Esa tècnica de proyección demuestra cómo generalizar el anàlisis a superfícies no es-
féricas. En la figura 22.12a aparece una esfera de radio R circundada por una superfí-
cie de forma irregular, en vez de por una segunda esfera. Considere un pequeno
elemento de àrea dA sobre la superfície irregular; se observa que esta àrea es mayor
que el elemento correspondiente sobre una superfície esfèrica a la misma distancia de q.
Si una normal a dA forma un àngulo 4> con una línea radial que sale de q, dos lados
del àrea proyectada sobre la superfície esfèrica se ven disminuidos en un factor cos <f>
(figura 22.12b). Los otros dos lados permanecen sin cambio. De esta forma, el flujo
eléctrico a través del elemento de superfície esfèrica es igual al flujo E dA cosc/> a tra-
vés del correspondiente elemento de superfície irregular.

Se puede dividir toda la superfície irregular en elementos dA, calcular para cada
uno de ellos el flujo eléctrico E dA cos 4>, y sumar los resultados por integración, co-
mo en la ecuación (22.5). Cada uno de los elementos de àrea se proyecta sobre un ele-
mento de superfície esfèrica correspondiente. Así, el flujo eléctrico total que atraviesa
la superfície irregular, dado por cualquiera de las formas que adopta la ecuación
(22.5), debe ser el mismo que el flujo total a través de una esfera, el cual es igual a
q/e de acuerdo con la ecuación (22.6). Por lo tanto, para la superfície irregular,

(22.7)

d>, = <P E • dA = —

22.12 Calculo del flujo eléctrico que pasa
a través de una superfície no esfèrica.

a) La normal hacia fuera con ■-. ,
respecto a la superfície forma **>j
un àngulo 4> con la dirección
de£.

b)

dA cos <p

La proyección del
elemento de àrea dA
sobre la superfície
esfèrica es dA cos é.

22.3 Ley de Gauss 759

La ecuación (22.7) se cumple para una superfície de cualquier forma o tamano, siem-
pre y cuando sea una superfície cerrada que contenga la carga q. El circulo en el signo
de la integral recuerda que la integral siempre se toma sobre una superfície cerrada.

Los elementos de àrea dA y los vectores unitarios h correspondientes siempre
apuntan hacia fuera del volumen encerrado por la superfície. El flujo eléctrico es po-
sitivo en aquellas àreas en las que el campo eléctrico apunta hacia fuera de la superfí-
cie y negativo donde apunta hacia dentro. Ademàs, E ± es positivo en los puntos en
que E apunta hacia el exterior de la superfície y negativo en los que E apunta hacia
el interior de esta.

Si la carga puntual en la figura 22. 12 es negativa, el campo E està dirigido en forma
radial hacia dentro; en ese caso, el àngulo <f> es mayor de 90°, su coseno es negativo y
la integral en la ecuación (22.7) es negativa. Però como q también es negativa, la
ecuación (22.7) se cumple.

Para una superfície cerrada que no encierre carga,

Éste es el enunciado matemàtico que indica que cuando una región no contiene carga,
cualquier línea de campo producida por una carga afuera de la región y que entran
por un lado han de salir por el otro. (En la sección 22.1 se llego a la misma conclusión
al considerar el caso especial de una caja rectangular en un campo uniforme.) La figu-
ra 22.13 ilustra este punto. Las líneas de campo eléctrico comienzan o terminan den-
tro de una región del espacio solo cuando en esa región existe carga.

Forma general de la ley de Gauss

Ahora viene el paso final en la obtención de la forma general de la ley de Gauss. Su-
ponga que la superfície encierra no solo una carga puntual q, sinó varias cargas, q u q 2 ,
q 3 , .... El campo eléctrico total (resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial
de los campos E de las cargas individuales. Sea Q cnc la carga total encerrada por la
superfície Q tni . — q 1 + q 2 + q 3 + . . . . Sea también E el campo total en la posición del
elemento de àrea de la superfície dA, y sea E 1 su componente perpendicular al plano
de ese elemento (es decir, paralelo a dA). Luego, se puede escribir una ecuación como
la (22.7) para cada carga y su campo correspondiente y luego sumar los resultados.
Al hacerlo se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss:

3> £

E-dA

2e,

22.13 Carga puntual afuera de una
ninguna carga. Si una línea de campo
eléctrico proveniente de la carga externa
entra por un punto de la superfície, debe
salir por otro.

Línea de campo

que entra
a la superfície

La misma

línea de campo

abandona la superfície

(ley de Gauss)

(22.8)

El flujo eléctrico total a través de una superfície cerrada es igual a la carga elèctrica
total (neta) dentro de la superfície, dividida entre e .

CUIDADO Las superfícies gaussianas son imaginarias Recuerde que la superfície ce-
rrada a que se refíere la ley de Gauss es imaginaria; no es necesario que haya un objeto material
en la posición de la superfície. A menudo se hace referència a la superfície cerrada que se men-
ciona en la ley de Gauss como superfície gaussiana.

Utilizando la definición de Q cnc y las distintas maneras de expresar el flujo eléc-
trico que da la ecuación (22.5), la ley de Gauss se plantea en las siguientes formas
equivalentes:

dA = <PE • dA =

2enc (diversas formas
e de la ley de Gauss)

(22.9)

Igual que en la ecuación (22.5), las diversas formas de la integral expresan el mismo
concepto, el flujo eléctrico total a través de la superfície gaussiana, con distintos tér-
minos. En ocasiones conviene màs una forma que otra.

Como ejemplo, en la figura 22.14a se muestra una superfície gaussiana de radio r
alrededor de una carga puntual positiva +q. El campo eléctrico apunta hacia fuera de
la superfície gaussiana, por lo que en cada punto de la superfície, E està en la misma

760 CAPITULO 22 Ley de Gauss

22.14 Superfícies gaussianas esféricas
alrededor de a) una carga puntual positiva
y b) una carga puntual negativa.

a) Superfície gaussiana alrededor de una
carga positiva: flujo positivo (saliente)

b) Superficie gaussiana alrededor de una
carga negativa: flujo negativo (entrante)

dirección que dA, 4> — 0, y E L es igual a la magnitud del campo E = g/47re r 2 . Como
E es igual en todos los puntos de la superficie, es valido sacarlo de la integral en la
ecuación (22.9), de manera que la integral que queda es jdA = A — Airr 2 , que es el
àrea de la esfera. Así, la ecuación (22.9) se convierte en

4>r

E, dA

- dA

dA

4-7j-r

6(1

47re r 2 47re /- 2 ' 4-Tre t 2

La carga Q em encerrada solo es la carga +q, lo que concuerda con la ley de Gauss.
Si la superficie gaussiana encerrara una carga puntual negativa, como en la figura
22.14b, entonces E apuntaria hacia el interior de la superficie en cada punto en la
dirección opuesta a dA. Así, ep = 180° y E L es igual al negativo de la magnitud
del campo: E L = — E — — | — q\l<\Tre ü r 1 — —qlAire^r 1 . De esta forma, la ecuación
(22.9) se convierte en

*,

E, dA

Aire,,! 2

dA

477e„r 2

dA

-477 r 2

47re r ^o

Esto de nuevo concuerda con la ley de Gauss porque la carga encerrada en la figura
22.14b es g enc =-?.

En las ecuaciones (22.8) y (22.9), Q c „ c siempre es la suma algebraica de todas las
cargas positivas y negativas encerradas por la superficie gaussiana, y E es el campo
total en cada punto de la superficie. Note también que, en general, este campo es cau-
sado parcialmente por cargas dentro de la superficie y parcialmente por cargas afuera
de esta. Però como muestra la figura 22.13, las cargas en el exterior no contribuyen al
flujo total (neto) a través de la superficie. Por lo tanto, las ecuaciones (22.8) y (22.9)
son correctas aun cuando haya cargas afuera de la superficie que contribuyan al cam-
po eléctrico en esta última. Cuando Q cac = 0, el flujo total a través de la superficie
gaussiana debe ser igual a cero, aunque ciertas àreas tengan flujo positivo y otras flu-
jo negativo (véase la figura 22.3b).

La ley de Gauss es la respuesta definitiva a la pregunta que se planteó al inicio de
la sección 22.1: "si se conoce la disposición del campo eléctrico en una región deter-
minada, ^qué podemos determinar acerca de la distribución de carga en esa región?"
La ley de Gauss ofrece una relación entre el campo eléctrico en una superficie cerrada
y la distribución de carga dentro de esa superficie. Però en ciertos casos la ley de
Gauss puede usarse para responder la pregunta opuesta: "si se conoce la distribución
de carga, <,qué se concluye acerca del campo eléctrico que esa distribución genera?"
Tal vez parezea que la ley de Gauss es una manera poco atractiva de contestar esta
pregunta, ya que resolver la integral en la ecuación (22.8) quizà parezea una tarea
intimidante. En ocasiones sí lo es, però en otras es sorprendentemente fàcil. A con-
tinuación se presenta un ejemplo que no implica integración; en la siguiente sección
se veràn varios ejemplos màs.

Ejemplo conceptual 22.4

La figura 22.15 muestra el campo producido por dos cargas puntuales
+q y — q de igual magnitud y signos opuestos (un dipolo eléctrico).
Determine el flujo eléctrico a través de cada una de las superfícies ce-
rradas, A, B, C y D.

22.15 El número neto de líneas de campo que salen de una
superficie cerrada es proporcional a la carga total contenida
por la superficie.

BHTnBffl

La defínición de flujo eléctrico dada en la ecuación (22.5) implica una in-
tegral de superfície, por lo que quizà parezea que se necesita resolver una
integral. Però la ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a tra-
vés de una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada dividida
entre e . Por inspección de la figura 22.15, la superficie A (en color rojo)
encierra la carga positiva, por lo que g enc = +q; la superficie B (en azul)
contiene la carga negativa, de manera que Q e „ c = —q\ la superficie C (en
púrpura) encierra las dos cargas, y tiene (2„ c = + q + (—q) = 0; y la su-
perficie D (en amarillo), no encierra cargas y también tiene Q enc = 0. De

22.4 Aplicaciones de la ley de Causs 761

manera que sin resolver ninguna integral podemos concluir que los flujos
totales para las diversas superfícies son <3> £ = +q/e para la superfície A,
<J> £ = —q/e para la B y <J> £ = tanto para la superfície C como la D.

cada superfície gaussiana, no de las formas específícas de las superfí-
cies. Por ejemplo, compare la superfície C con la superfície rectangular
que se muestra en la figura 22.3b, que también encierra las dos cargas
en un dipolo eléctrico. En ese caso también se concluyó que el flujo
neto de E era igual a cero; el flujo hacia el interior en una parte de la
superfície compensaba con exactitud el flujo hacia fuera en el resto de
la superfície.

Al examinar las líneas del campo eléctrico se obtienen conclusio-
nes similares. La superfície A encierra solo la carga positiva; en la fi-

gura 22.15 hay dibujadas 18 líneas que cruzan A en dirección saliente.
La superfície B solo contiene la carga negativa; està atravesada por las
mismas 18 líneas, però en dirección entrante. La superfície C encierra
las dos cargas. Se interseca con líneas en 16 puntos; en 8 interseccio-
nes las líneas van hacia el exterior, y en otras 8 hacia el interior. El
número neto de líneas que cruzan en dirección saliente es cero, y la
carga neta dentro de la superfície también es igual a cero. La superfí-
cie D se interseca en 6 puntos, en 3 de los cuales las líneas van hacia
fuera y en otros 3 hacia dentro. El número neto de líneas que cruzan
hacia el exterior y la carga total encerrada son iguales a cero. Hay
puntos sobre las superfícies en los que E no es perpendicular a la
superfície, però esto no afecta el conteo de las líneas de campo.

Evalúe su comprensión de la sección 22.3 En la figura 22.16 se ilustran seis
cargas puntuales que estan en el mismo plano. Hay cinco superfícies gaussianas — S,,
S 2 , S 3 , S 4 y S 5 — que encierran, cada una, parte de este plano, y la figura 22. 16 presenta la
intersección de cada superfície con el plano. Clasifíque las cinco superfícies en orden del
flujo eléctrico que pasa a través de ellas, del màs positivo al mas negativo.

22.16 Cinco superfícies gaussianas y seis
cargas puntuales.

22.4 Aplicaciones de la ley de Gauss

La ley de Gauss es vàlida para cualquier distribución de cargas y cualquier superfície
cerrada. La ley de Gauss se puede utilizar de dos maneras. Si se conoce la distribu-
ción de la carga y si esta tiene simetria suficiente que permita evaluar la integral
en la ley de Gauss, se puede obtener el campo. O si se conoce el campo, es posible
usar la ley de Gauss para encontrar la distribución de carga, como las cargas en su-
perfícies conductoras.

En esta sección se presentan ejemplos de ambas clases de aplicaciones. Cuando
los estudie, observe el papel que desempenan las propiedades de la simetria de cada
sistema. Se emplearà la ley de Gauss para calcular los campos eléctricos ocasionados
por varias distribuciones de carga sencillas; los resultados se presentan en forma de
tabla en el resumen del capitulo.

En problemas pràcticos es frecuente encontrar situaciones en las que se desea co-
nocer el campo eléctrico causado por una distribución de carga en un conductor. Es-
tos càlculos se facilitan por el siguiente hecho notable: cuando en un conductor
solido se coloca un exceso de carga que se encuentra en reposo, se encuentra en su
totalidad en la superfície, no en el interior del material. (Con el termino exceso se
quiere decir cargas distintas de los iones y electrones libres que constituyen el con-
ductor neutral.) La demostración es la siguiente. Se sabé, de la sección 21.4, que en
una situación electrostàtica (con todas las cargas en reposo) el campo eléctrico E
en cada punto en el interior de un material conductor es igual a cero. Si E no fuera cero,
las cargas en exceso se moverían. Suponga que se construye una superfície gaussiana
dentro del conductor, como la superfície A en la figura 22.17. Como E = en cual-
quier lugar de la superfície, la ley de Gauss requiere que la carga neta dentro de la su-
perfície sea igual a cero. Ahora imagine que se comprime la superfície como un globo
que se desinfla hasta que encierre una región tan pequena que se pueda considerar un
punto P; la carga en ese punto debe ser igual a cero. Esto se puede hacer en cualquier
parte dentro del conductor, por lo que no puede haber carga en exceso en ningún
punto dentro de un conductor solido; toda carga excedente debe encontrarse en la
superfície del conductor. (Este resultado es para un conductor solido. En la siguiente
sección se estudiarà lo que sucede si el conductor tiene cavidades en su interior.) En
los ejemplos que siguen se utilizarà con frecuencia este hecho.

22.17 En condiciones electrostàticas
(las cargas no estan en movimiento),
cualquier carga en exceso en un conductor
solido se encuentra por completo en la
superfície del conductor.

Superfície gaussiana A
dentro del conductor Conductor

(vista en corte (visto en corte

transversal) transversal)

V

Carga en la superfície
del conductor

762 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

Estratègia para resolver problemas 22.1

Ley de Gauss

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: La ley de Gauss tiene su mà-
xima utilidad en situaciones en que la distribución de carga tiene sime-
tria esfèrica o cilíndrica, o està distribuida de manera uniforme en un
plano. En estos casos se determina la dirección de E a partir de la si-
metria de la distribución de la carga. Si se conoce la distribución de
carga, se puede usar la ley de Gauss para obtener la magnitud de E. En
forma alternativa, si se conoce el campo, se emplea la ley de Gauss pa-
ra determinar los detalles de la distribución de carga. En cualquier ca-
so, el anàlisis comienza con la pregunta: ;,Cuàl es la simetria?

PLANTEAR el problema mediante los siguientes pasos:

1. Seleccione la superfície que se usarà en la ley de Gauss. Es fre-
cuente llamarla superfície gaussicma. Si se busca determinar el
campo en un punto particular, entonces ese punto debe localizarse
en la superfície gaussiana.

2. La superfície gaussiana no tiene que ser una superfície física real,
como la de un cuerpo solido. Es frecuente que la superfície apro-
piada sea una superfície geomètrica imaginaria; puede estar en el
espacio vacío, contenida en un cuerpo solido, o ambas cosas.

3. Por lo general es posible evaluar la integral en la ley de Gauss (sin
emplear una computadora) solo si la superfície gaussiana y la dis-
tribución de carga tienen alguna propiedad de simetria. Si la distri-
bución de carga tiene simetria cilíndrica o esfèrica, elija un cilindro
coaxial o una esfera concèntrica como la superfície gaussiana, res-
pectivamente.

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Resuelva la integral en la ecuación (22.9), lo que quizà parezca un
trabajo intimidante, però la simetria de la distribución de la carga y
la selección cuidadosa de una superfície gaussiana facilitan la tarea.

2. Con frecuencia puede considerarse la superfície gaussiana cerrada
como constituida por varias superfícies separadas, tales como los

ÍMP,

lados y extremos de un cilindro. La integral §E L dA sobre toda la
superfície cerrada siempre es igual a la suma de las integrales sobre
todas las superfícies separadas. Algunas de esas integrales pueden
ser igual a cero, como las que se describen màs adelante en los
puntos 4 y 5.

3. Si E es perpendicular (normal) en cada punto de la superfície con
àrea A, si apunta hacia fuera desde interior de la superfície, y si
tambièn tiene la misma magnitud en todos los puntos de la superfí-
cie, entonces E ± = E — constante y J E ± dA sobre la superfície es
igual a EA. Si en vez de ello, E es perpendicular y apunta hacia
dentro, entonces E L = —Ey JE L dA = —EA.

4. Si E es tangente a la superfície en cada punto, entonces £ ± = y
la integral sobre la superfície es igual a cero.

5. Si E = en cada punto de la superfície, la integral es cero.

6. En la integral §E ± dA, E ± siempre es la componente perpendicular
del campo eléctrico total en cada punto de la superfície gaussiana
cerrada. En general, este campo puede deberse parcialmente a car-
gas dentro de la superfície y parcialmente a cargas afuera de ella.
Aun cuando no hubiera carga dentro de la superfície, el campo en
puntos de la superfície gaussiana no necesariamente es igual a cero.
Sin embargo, en ese caso, la integral sobre la superfície gaussiana
— es decir, el flujo eléctrico total a través de la superfície — es
siempre igual a cero.

7. Una vez evaluada la integral, en la ecuación (22.9) se despeja la va-
riable que se busca.

EVALUAR la respuesta: Es frecuente que el resultado sea utmjunción
que describe cómo varia la magnitud del campo eléctrico según la
posición. Hay que estudiar esta función con ojo critico para ver si tiene
sentido.

Ejemplo 22.5

Campo de una esfera conductora con carga

Se coloca una carga positiva q en una esfera conductora sòlida de ra-
dio R (figura 22.18). Determine E en cualquier punto en el interior o
en el exterior de la esfera.

Emani

IDENTIFICAR: Como se vio en esta sección, toda la carga debe en-
contrarse en la superfície de la esfera. El sistema tiene simetria es-
fèrica.

PLANTEAR: Para aprovechar la simetria, se toma la superfície gaus-
siana como una esfera imaginaria de radio r con centro en el conduc-
tor. Para calcular el campo afuera del conductor, se toma r de forma
que sea mayor que el radio R del conductor; para obtener el campo en
el interior, se toma r menor que R. En cualquier caso, el punto en que
se desea calcular E queda sobre la superfície gaussiana.

EJECUTAR: El papel de la simetria merece atención especial antes
de hacer cualquier calculo. Decir que el sistema tiene simetria esfèri-
ca significa que si se hace girar con cualquier àngulo alrededor de
cualquier eje que pase por el centro, después de la rotación, el sistema
es indistinguible del original antes del giro. La carga es libre de mo-
verse en el conductor y no hay nada en este ultimo que la haga tender

22.18 Calculo del campo eléctrico de una esfera conductora con
carga positiva q. Fuera de la esfera, el campo es el mismo que si
toda la carga estuviera concentrada en el centro de la esfera.

Superficies gaussianas
en r — 2R y r — 3R

E(R)

1

477-en

Dentro de la esfera,
el campo eléctrico ■■•..
es igual a cero:
E = 0. E{R)/4

E{R)J9

O

Fuera de la esfera, la magnitud del
..campo eléctrico disminuye con el
desde el centro de la esfera:

,_ i i

A-nea r 2

2R

jR

22.4 Aplicaciones de la ley de Gauss 763

a concentrarse mas en ciertas regiones que en otras. Por lo tanto, se
concluye que la carga està distribuida de manera uniforme sobre la
superfície.

La simetria también muestra que la dirección del campo eléctrico
debe ser radial, como se llustra en la figura 22.18. Si el sistema se gira
otra vez, la disposición del campo debe ser idèntica al original. Si el
campo tuviera una componente en algun punto que fuera perpendicular
a la dirección radial, esa componente tendría que ser distinta después
de hacer al menos algunas rotaciones. Entonces, no puede haber tal
componente y el campo debe ser radial. Por la misma razón, la magni-
tud £ del campo solo puede depender de la distancia r desde el centro
y debe tener el mismo valor en todos los puntos de una superfície esfè-
rica concèntrica respecto de la esfera conductora.

La elección de una esfera como superfície gaussiana aprovecha es-
tàs propiedades de simetria. En primer lugar se considera el campo
fuera del conductor, por lo que se elige r>R. Todo el conductor se en-
cuentra dentro de la superfície gaussiana, de manera que la carga ence-
rrada es q. El àrea de la superfície gaussiana es Airr 2 ; E es uniforme
sobre la superfície y perpendicular a cada uno de sus puntos. Por lo an-
terior, la integral del flujo §E ± dA en la superfície gaussiana es E(4irr 2 )
y la ecuación (22.8) da:

£(4t7/- 2 ) = — y

i q

E — - (fuera de una esfera conductora con carga)

477 e r -

Esta expresión del campo en cualquier punto afuera de la esfera (r > R)
es la misma para una carga puntual; el campo debido a la esfera con
carga es equivalente al que habría si toda la carga estuviera concentra-
da en su centro. Inmediatamente afuera de la superfície de la esfera,
donde r — R,

E = ^\

4t7£ R 2

(en la superfície de una esfera conductora con carga)

CUIDADO El flujo es positivo o negativo Recuerde que se eli-
gió que la carga q fuera positiva. Si fuera negativa, el campo eléctrico
estaria dirigido radialmente hacia el interior y no hacia el exterior, y el
flujo eléctrico a través de la superfície gaussiana seria negativo. Las
magnitudes del campo eléctrico en el exterior y en la superfície de la
que q denota la magnitud (valor absoluto) de la carga.

Para calcular £ dentro del conductor, se usa una superfície gaussia-
na esfèrica con radio r < R. De nuevo, la simetria esfèrica dice
que £(477r 2 ) = Q CIiC /e . Però como toda la carga està en la superfície
del conductor, la superfície gaussiana (que està por completo dentro del
conductor) no encierra ninguna carga, por lo que g enc = 0, y el campo
eléctrico en el interior del conductor es igual a cero.

EVALUAR: Ya se sabé que dentro del conductor £ = 0, como debe ser
en el interior de un conductor solido cuando las cargas se encuentran en
reposo. En la figura 22.18 se ilustra £ como función de la distancia r
desde el centro de la esfera. Observe que en el límite, cuando R — > 0,
la esfera se convierte en una carga puntual; así que solo hay un "exte-
rior," y el campo està dado en cualquier parte por £ = <j/4T7e r 2 . Así,
se ha deducido la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss. (En la
sección 22.3 se dedujo la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb, lo
que completa la demostración de su equivalència lògica.)

Este método también es aplicable a un conductor con forma de
cascaran esférico (un conductor esférico con un hueco concéntrico en
el centro) si dentro del agujero no hay carga. Se usa una superfície
gaussiana esfèrica con radio r menor que el radio del hueco. Si en
el interior del hueco hubiera un campo, tendría que ser radial y con
simetria esfèrica, como antes, por lo que £ = Q cr ,J4ir£ r 2 . Però
ahora no hay carga encerrada, de manera que en el interior del hueco
2 enc = y £ = 0.

.j.Puede utilizar esta misma tècnica para encontrar el campo eléc-
trico en el espacio que hay entre una esfera con carga y una esfera
concèntrica y hueca que la rodee?

Ejemplo 22.6

Campo de una carga lineal

Una carga elèctrica està distribuida de manera uniforme a lo largo de
un alambre delgado de longitud infinita. La carga por unidad de longi-
tud es À (se supone positiva). Se trata de encontrar el campo eléctrico.
(Esta es una representación aproximada del campo de un alambre fini-
ta con carga uniforme, siempre y cuando la distancia del punto del
campo al alambre sea mucho menor que la longitud del alambre.)

ESÜEH1

IDENTIFICAR: El sistema tiene simetria cilíndrica. El campo debe
apuntar hacia fuera de las cargas positivas. Para determinar la direc-
ción de £ con mas precisión, así como demostrar el modo en que su
magnitud depende de la posición, se usa la simetria, como se hizo en el
ejemplo 22.5.

PLANTEAR: La simetria cilíndrica significa que el sistema puede girar-
se cualquier àngulo alrededor de su eje y desplazarse cualquier distancia
a lo largo del eje; en cada caso el sistema resultante es indistinguible del
original. Por lo tanto, £ no cambia en ningún punto cuando se efectua
cualquiera de estàs operaciones. El campo no puede tener ninguna com-
ponente paralela al conductor; si la tuviera habría que explicar por què
las líneas del campo que comienzan en el alambre apuntan en una direc-
ción paralela al alambre y no en la otra. Asimismo, el campo no puede
tener ninguna componente tangente a un circulo en un plano perpendicu-
lar al alambre con su centro en el alambre. Si así fuera, seria necesario
explicar por qué la componente senala en una dirección alrededor del

conductor y no en la otra. Todo lo que queda es una componente radial
hacia fuera del conductor en cada punto. Por lo tanto, las líneas de cam-
po afuera de un alambre infínito con carga uniforme son radiales y se
localizan en pianos perpendiculares al alambre. La magnitud del campo
solo depende de la distancia radial desde el alambre.

Estàs propiedades de simetria sugieren que, como superfície gaus-
siana, se utiliza un cilindro con radio arbitrario r y longitud arbitraria /,
con sus extremos perpendiculares al conductor (figura 22.19).

22.19 Se emplea una superfície gaussiana cilíndrica coaxial para
encontrar el campo eléctrico fuera de un conductor cargado de
longitud infinita.

E, =

continua

764 CAPITULO 22 Ley de Gauss

EJECUTAR: Se descompone la integral de superfície para el flujo 4> £ -
en una integral sobre cada extremo plano y otra sobre las paredes late-
rales curvas. A través de los extremos no hay flujo, ya que E se en-
cuentra en el plano de la superfície y E ± — 0. Para calcular el flujo a
través de las paredes laterales, hay que observar que E es perpendicu-
lar a la superfície en cada punto, por lo que E = E ± ; por simetria, E
tiene el mismo valor en cualquier lugar de las paredes. El àrea de las
paredes laterales es 2nrl. (Para hacer un cilindro de papel de radio r y
altura /, se necesita un rectàngulo de papel de ancho 2nr, altura / y àrea
2nrl.) De ahí que el flujo total <J> £ a través de todo el cilindro sea igual
a la suma del flujo a través de las paredes laterales, que es (E)(2nrl), y
el flujo a través de los dos extremos es de cero. Por ultimo, se necesita
la carga total encerrada, que es la carga por unidad de longitud multi-
plicada por la longitud del alambre dentro de la superfície gaussiana, o
Q enc = Al. De acuerdo con la ley de Gauss, la ecuación (22.8) es

Kl

y

<D £ = (£)(2ttW) =

E =

1
2ve„

(campo de una línea infinita de carga)

Éste es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo 21.11 (sección
21.5) por medios mucho màs laboriosos.

Se ha supuesto que A es positiva. Si fuera negativa, E estaria diri-
gido radialmente hacia el interior, en dirección de la línea de carga, y

en la expresión anterior de la magnitud del campo E se debería inter-
pretar A como la magnitud (valor absoluto) de la carga por unidad de
longitud.

EVALUAR: Observe que aunque toda la carga en el conductor contri-
buye al campo, al aplicar la ley de Gauss solo se considera la parte de
la carga total que està dentro de la superfície gaussiana. Esto tal vez
parezca extrano; parece como si se hubiera obtenido la respuesta co-
rrecta ignorando parte de la carga y que el campo de un alambre corto
de longitud / fuera el mismo que el de otro muy largo. Però al conside-
rar la simetria del problema sí se incluye toda la carga en el conductor.
Si el alambre es corto, no habría simetria respecto al eje, y el campo no
seria de magnitud uniforme en la superfície gaussiana. En ese caso, la
ley de Gauss deja de ser útil y no podria usarse para calcular el campo;
el problema se manejaria mejor con la tècnica de integración empleada
en el ejemplo 21.11.

Se puede utilizar una superfície gaussiana como la de la figura 22. 19
para demostrar que el campo en puntos situados fuera de un cilindro
largo con carga uniforme es el mismo que si toda la carga se concen-
trarà en una línea a lo largo de su eje. También se puede calcular el
campo eléctrico en el espacio entre un cilindro con carga y otro cilin-
dro coaxial hueco conductor que lo rodee. Estos càlculos se dejan para
el lector (véanse los problemas 22.37 y 22.40).

Ejemplo 22.7

Campo de una làmina plana infinita cargada

Encuentre el campo eléctrico que genera una làmina delgada, plana
e infinita, en la que hay una carga uniforme positiva por unidad de
àrea cr.

EM3KI

IDENTIFICAR: El campo debe apuntar hacia fuera de la làmina con
carga positiva. Igual que en los ejemplos 22.5 y 22.6, antes de hacer
los càlculos se emplea la simetria (en este caso, simetria plana) para
obtener màs datos sobre la dirección de E y su dependència de la
posición.

PLANTEAR: La simetria plana significa que la distribución de car-
ga no cambia si hay un movimiento en cualquier dirección paralela a
la làmina, de lo que se concluye que E es perpendicular a la làmina.
La simetria también dice que el campo debe tener la misma magnitud
E a cualquier distancia dada en cualquier lado de la làmina. Para apro-

22.20 Superfície gaussiana cilíndrica que se utiliza para encontrar
el campo de una làmina plana infinita cargada.

vechar estàs propiedades de la simetria se usa un cilindro como super-
fície gaussiana, con su eje perpendicular a la làmina de carga, con ex-
tremos de àrea A (figura 22.20).

EJECUTAR: La làmina con carga pasa a través de la mitad de la lon-
gitud del cilindro, por lo que los extremos del cilindro son equidistan-
tes con respecto a la làmina. En cada extremo del cilindro, E es per-
pendicular a la superfície y E L es igual a £; de ahí que el flujo a través

Como E es perpendicular a la làmina con carga, es paralelo a las
paredes laterales curvas del cilindro, por lo que E ± es igual a cero en
las paredes y no hay flujo que las atraviese. Así, la integral de flujo to-
tal en la ley de Gauss es 2EA (EA de cada extremo y cero de las pare-
des laterales). La carga neta dentro de la superfície gaussiana es la
carga por unidad de àrea multiplicada por el àrea de làmina encerra-
da por la superfície, o Q mc = crA. De ahí que la ley de Gauss, ecuación
(22.8), dé

o-A

2EA = y

*0

2e„

(campo de una làmina infinita cargada)

Éste es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo 21.12 (sección
21.5) con càlculos mucho màs complejos. El campo es uniforme y està
dirigido perpendicularmente al plano de la làmina. Su magnitud es in-
dependiente de la distancia a la làmina, por lo que las líneas de campo
son rectas y paralelas entre sí, però perpendiculares a la làmina.

Si la densidad de carga es negativa, E està dirigido hacia la làmina,
el flujo a través de la superfície gaussiana en la figura 22.20 es negati-
vo y cr en la expresión E = cr/2e denota la magnitud (valor absoluto)

22.4 Aplicaciones de la ley de Gauss 765

EVALUAR: La suposición de que la làmina tiene tamano infinito es una
idealización; nada en la naturaleza es inlïnitamente grande. Però el re-
sultado E — o-/2e es una buena aproximación para puntos que estén

cerca de la làmina (en comparación con las dimensiones de esta) y no
demasiado cerca de los bordes. En tales puntos, el campo es casi uni-
forme y perpendicular al plano.

Ejemplo 22.8

Campo entre làminas conductoras paralelas y con cargas opuestas

Dos placas conductoras paralelas, grandes y planas tienen cargas de
igual magnitud però con signo contrario; la carga por unidad de àrea
es +<r para una y — cr para la otra. Determine el campo eléctrico en la
región entre las placas.

■BnWBffl

IDENTIFICAR: El campo entre las placas y alrededor de éstas es apro-
ximadamente el que se ilustra en la figura 22.21a. Puesto que las car-
gas opuestas se atraen, la mayor parte de la carga se acumula en las
caras opuestas (interiores) de las placas. Una pequena cantidad de
carga reside en las superfícies exteriores de las placas, y en sus extre-
mos hay alguna dispersión del campo. Però si las placas son muy gran-
des en comparación con la distancia que las separa, la cantidad de
carga en las superfícies exteriores se vuelve despreciable por pequefia,
y la dispersión se ignora excepto cerca de los extremos. En este caso
se puede suponer que el campo es uniforme en la región interior entre
las placas, como se ilustra en la figura 22.21b, y que las cargas estan
distribuidas de manera uniforme en las superfícies opuestas.

PLANTEAR: Para aprovechar esta simetria se emplean las superfícies
gaussianas sombreadas S u S 2 , S, y S 4 , que son cilindros con extremos
de àrea A como el que se ilustra en perspectiva en la figura 22.20, y en
vista lateral en la figura 22.21b. Un extremo de cada superfície està
dentro de las placas conductoras.

EJECUTAR: Para la superfície 5,, el extremo izquierdo està dentro de
la placa 1 (la positiva). Como en condiciones electrostàticas el campo
dentro de cualquier solido conductor es igual a cero, no hay flujo eléc-
trico a través de ese extremo. El campo eléctrico entre las placas
es perpendicular al extremo derecho, por lo que en ese extremo, E ±

es igual a E y el flujo es EA; éste es positivo porque E està dirigido
fuera de la superfície gaussiana. A través de las paredes laterales del ci-
lindro no hay flujo, pues son paralelas a E. Así que el flujo total en
la ley de Gauss es EA. La carga neta encerrada por el cilindro es crA,
por lo que la ecuación (22.8) da

EA

<tA

"L (campo entre placas conductoras
% con cargas opuestas)

El campo es uniforme y perpendicular a las placas, y su magnitud es
independiente de la distancia desde cualquiera de las placas. Éste es el
mismo resultado que se obtiene al usar la superfície gaussiana S 4 ;
ademàs, las superfícies S, y 5, pueden utilizarse para demostrar que
E = a la izquierda de la placa 1 y a la derecha de la placa 2. Se invita
al lector a efectuar los càlculos respectivos (véase el ejercicio 22.27).

EVALUAR: Utilizando el principio de superposición de campos eléc-
tricos se obtienen los mismos resultados en el ejemplo 21.13 (sección
21.5). Los campos que se deben a las dos làminas de carga (una en ca-
da placa) son £, y E 2 ; del ejemplo 22.7, ambas placas tienen magnitud
o-/2e . El campo eléctrico total (resultante) en cualquier punto es la su-
ma vectorial E = E t + E 2 . En los puntos a y c en la figura 22.21b,
E, y E 2 tienen direcciones opuestas y su resultante es igual a cero.
Esto también se cumple en cada punto dentro del material de cada
placa, lo que es congruente con el requerimiento de que con cargas
en reposo no puede haber un campo dentro de un conductor solido.
En cualquier punto b entre las placas, E í y E 2 tienen la misma direc-
ción; su resultante tiene magnitud E = <r/e , como se encontró antes
utilizando la ley de Gauss.

22.21 Campo eléctrico entre placas paralelas con cargas opuestas.
a) Dibujo realista

Entre las dos placas
el campo eléctrico
es casi uniforme
y apunta de la
placa positiva
hacia la negativa.

se ignoran las "pestanas"
en los bordes de las placas
y se trata al campo
como si fuera uniforme.

Superfícies
gaussianas
cilíndricas
(vista lateral)

766 CAPITULO 22 Ley de Gauss

Ejemplo22.9

Campo de una esfera con carga uniforme

Una carga elèctrica positiva Q està distribuida de manera uniforme en
todo el volumen de una esfera aislante con radio R. Encuentre la mag-
nitud del campo eléctrico en el punto P a una distancia r del centro de
la esfera.

EMMI

IDENTIFICAR: Como se vio en el ejemplo 22.5, el sistema tiene sime-
tria esfèrica, por lo que se pueden usar las conclusiones de ese ejemplo
acerca de la dirección y la magnitud de E.

PLANTEAR: Para emplear la simetria se elige como superfície gau-
ssiana una esfera con radio r, concèntrica con la distribución de la
carga.

EJECUTAR: Por simetria, la magnitud E del campo eléctrico tiene el
mismo valor en todos los puntos de la superfície gaussiana, y la direc-
ción de E es radial en cada uno de ellos, por lo que E± = E. Así, el
flujo eléctrico total a través de la superfície gaussiana es el producto
de E por el àrea total de la superfície A = Airr 1 , es decir, <I> £ = Airr'E.
del radio r. Primero se calcula la magnitud del campo dentro de la es-
fera con carga de radio R; la magnitud E se evalúa en el radio de la
superfície gaussiana, por lo que se elige r < R. La densidad volumè-
trica de carga p es la carga Q dividida entre el volumen de la esfera

P =

Q
4ttR 3 /3

22.22 Magnitud del campo eléctrico de una esfera aislante con
carga uniforme. Compare esto con el campo de una esfera
conductora (figura 22.18).

Aislante esférico

El volumen V enc encerrado por la superfície gaussiana es f vr 3 , por lo
que la carga total g e „ c contenida por la superfície es

°- - pv - - (^)(H - Q í

Con lo que la ley de Gauss, ecuación (22.8), se convierte en

e p

\irrE = o bien,

c R 3

1 Qr

E — (campo dentro de una esfera con carga uniforme)

4ire s 3

La magnitud del campo es proporcional a la distancia r que hay entre
el punto del campo y el centro de la esfera. En el centro (r = 0), E = 0.
Para calcular la magnitud del campo /«era de la esfera con carga
se utiliza una superfície gaussiana esfèrica de radio r > R. Esta super-
fície encierra la totalidad de la esfera con carga, por lo que Q mc = Q, y
la ley de Gauss da

-.ir_- ..._

4ire r

Para cualquier cuerpo esférico simétrico con carga, el campo eléctrico
en su exterior es el mismo que si todo el cuerpo estuviera concentrado en
el centro. (En el ejemplo 22.5 se hizo esta misma observación.)

La figura 22.22 presenta una gràfica de E como función de r para
este problema. Para r < R, E es directamente proporcional a r, y pa-
ra r > R, E varia según l/r 2 . Si la carga es negativa y no positiva, E
va radialmente hacia dentro y Q se interpreta como la magnitud (valor
absoluto) de la carga.

EVALUAR: Observe que si se establece que r = Sen cualquiera de las
dos expresiones para E (adentro o afuera de la esfera), se obtiene el
mismo resultado E = Q/Atts^ 1 para la magnitud del campo en la su-
perfície de la esfera. Esto se debe a que la magnitud E es una función
continua de r. En contraste, para la esfera conductora con carga del
ejemplo 22.5, la magnitud del campo eléctrico es discontinua en r — R
(salta de E = apenas dentro de la esfera a £ = g/4"n-e S 2 justo afue-
ra de la esfera). En general, el campo eléctrico E es discontinuo en su
magnitud, dirección o ambas en cualquier lugar en el que haya una
làmina de carga, como en la superfície de una esfera conductora con
carga (ejemplo 22.5), en la superfície de una làmina infinita con carga
(ejemplo 22.7) o en la superfície de una placa conductora con car-
ga (ejemplo 22.8).

La tècnica general utilizada en este ejemplo se aplica a cualquier
distribución de carga con simetria esfèrica, ya sea uniforme o no. Ta-
les distribuciones de carga ocurren dentro de muchos àtomos y núcleos
atómicos, por lo que la ley de Gauss es una herramienta útil en la físi-
ca atòmica y nuclear.

Ejemplo 22.10

Campo de una esfera hueca con carga

Una esfera hueca de pared delgada y radio de 0.250 m tiene una canti-
dad desconocida de carga distribuida de manera uniforme en su super-
fície. A una distancia de 0.300 m desde el centro de la esfera, el campo
eléctrico apunta directamente hacia el centro de la esfera y su magni-
tud es de 1.80 X 10 2 N/C. iCuànta carga hay en la esfera?

Bsnmaa

IDENTIFICAR: La distribución de carga tiene simetria esfèrica. Igual
que en los ejemplos 22.5 y 22.9, se deduce que el campo eléctrico es
radial en todo lugar, y su magnitud es función solo de la distancia ra-
dial r desde el centro de la esfera.

22.5 Careas en conductores

767

PLANTEAR: Se utiliza otra vez una superfície esfèrica gaussiana con-
cèntrica con la distribución de carga y que pase por el punto de interès
en r = 0.300 m.

EJECUTAR: La distribución de carga es igual que si la carga estuviera
sobre la superfície de una esfera conductora de 0.250 m de radio. Por
ello es posible usar los resultados del ejemplo 22.5. Una diferencia cla-
ve con ese ejemplo es que como aquí el campo eléctrico està dirigido
hacia la esfera, la carga debe ser negativa. Ademàs, como el campo
eléctrico se dirige hacia la superfície gaussiana, E ± = —E y el flujo es
\$E ± dA = -E(Airr).

Según la ley de Gauss, el flujo es igual a la carga q en la esfera (to-
da ella encerrada por la superfície de Gauss) dividida entre e . Al des-
pejar q se obtiene lo siguiente:

q = -E(4ire r) = -(1.80 X 10 2 N/C) (4tt)
X (8.854 X 10" 12 C 2 /N-m 2 ) (0.300 m) 2
= -8.01 X 10" 10 C = -0.801 nC

EVALUAR: Para determinar la carga se tiene que conocer el campo
eléctrico en todos los puntos de la superfície gaussiana con la finali-
dad de poder calcular la integral de flujo. Aquí esto fue posible porque
la distribución de carga es muy simètrica. Sin embargo, si la distribu-
ción de carga fuera irregular o asimètrica, la ley de Gauss no resulta-
ria muy útil para calcular la distribución de carga a partir del campo
o viceversa.

Evalúe su comprensión de la sección 22.4 Se coloca una cantidad conocida de
carga Q en el conductor de forma irregular que se ilustra en la figura 22.17. Si se conoce el
tamafío y la forma del conductor, (,es posible emplear la ley de Gauss para calcular el campo
eléctrico en una posición arbitraria fuera del conductor?

22.5 Cargas en conductores

Hemos aprendido que una situación electrostàtica (en la que no hay movimiento neto
de la carga), el campo eléctrico en cada punto dentro de un conductor es igual a cero,
y que el exceso de carga en un conductor solido se localiza por completo en su super-
fície (figura 22.23a). Però, ^qué pasa si en el conductor hay una cavidad (figura
22.23b)? Si no hay carga dentro de la cavidad se puede utilizar una superfície gaussia-
na como A (que està por completo dentro del material del conductor) para demostrar
que la carga neta en la superfície de la cavidad debe ser igual a cero, ya que E = en
todo lugar de la superfície gaussiana. De hecho, en esta situación se puede probar que
no hay ninguna carga en ninguna parte de la superfície de la cavidad. La demostra-

Suponga que se coloca un cuerpo pequeno con carga q dentro de una cavidad en el
interior de un conductor (figura 22.23c). El conductor està descargado y aislado de la
carga q. Otra vez, E = en todos los puntos de la superfície A, por lo que según la ley
de Gauss la carga total dentro de esta superfície debe ser igual a cero. Por lo tanto, de-
be haber una carga — q distribuida sobre la superfície de la cavidad, enviada ahí por la
carga q en el interior de la cavidad. La carga total en el conductor debe ser igual a ce-
ro, por lo que debe haber una carga +q ya sea en su superfície exterior o dentro del
material. Però en la sección 22.4 se demostro que en una situación electrostàtica no
puede haber ninguna carga excedente dentro del material de un conductor. Así, se con-
cluye que la carga +q debe estar en la superfície externa. Con el mismo razonamiento,
si el conductor tuviera originalmente una carga q c , entonces la carga total en la super-
fície exterior debe ser q c + q después de que se insertó la carga q en la cavidad.

22.23 Calculo del campo eléctrico dentro de un conductor con carg
a) Conductor solido con carga q c
1c

b) El mismo conductor con una cavidad interna
9c.

La carga q c reside por completo en la superfície
del conductor. La situación es electrostàtica,
por lo que E = dentro del conductor.

Como E = en todos los puntos dentro del
conductor, el campo eléctrico debe ser igual
a cero en todos los puntos de la superfície
gaussiana.

Para que E sea igual a cero en todos los puntos
de la superfície gaussiana, la superfície de la
cavidad debe tener una carga total de — q.

768 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

Ejemplo conceptual 22.11

Un conductor solido con una cavidad tiene una carga total de +7 nC.
Dentro de la cavidad, aislada del conductor, hay una carga puntual de
— 5 nC. (.Cuànta carga hay en cada superfície (interna y externa) del
conductor?

EiïEHa

La figura 22.24 ilustra la situación. Si la carga en la cavidad es
q = — 5nC, la carga en la superfície de la cavidad interna debe ser
— q — —( — 5 nC) = + 5 nC. El conductor lleva una carga total de
+7 nC, ninguno de los cuales se encuentra en el interior del material.
Si en la superfície interna de la cavidad hay +5 nC, entonces en la su-
perfície externa del conductor debe haber (+7 nC) — (+5 nC) = +2 nC.

22.24 Ilustración del problema. Dentro de la masa del conductor
hay un campo eléctrico igual a cero y, por lo tanto, un flujo de
cero a través de la superfície gaussiana, por lo que la carga sobre
la pared de la cavidad debe ser la opuesta de la carga puntual.

Carga neta = +7 nC

+5 nC sobre

+2 nC sobre la
superficie exterior

Prueba experimental de la ley de Gauss

Ahora se mostrarà un experimento histórico, que se ilustra en la figura 22.25. Se
monta un recipiente conductor, como una olla de metal con tapa, sobre una base ais-
lante. Al principio el recipiente no tiene carga. Después se cuelga una esfera metàli-
ca con carga de un cordel aislante (figura 22.25a), se hace descender hacia el interior
del recipiente, y se coloca la tapa (figura 22.25b). Se inducen cargas sobre las pare-
des del recipiente, como se ilustra. Luego se deja que la esfera toque la pared interior
(figura 22.25c). La superficie de la esfera se convierte, en efecto, en parte de la su-
perficie de la cavidad. La situación es ahora la misma que la de la figura 22.23b; si la
ley de Gauss es correcta, la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser igual a
cero. Es decir, la esfera debe perder toda su carga. Por ultimo, se extrae la esfera pa-
ra constatar que en verdad ha perdido toda su carga.

Este experimento lo realizó en el siglo xix el científico inglés Michael Faraday em-
pleando una hielera de metal con tapa, y se conoce como el experimento de la hielera
de Faraday. (Experimentos similares se llevaron a cabo en el siglo xvm por parte de
Benjamín Franklin en Estados Unidos y Joseph Priestley en Inglaterra, aunque con
mucha menor precisión.) El resultado confirma la validez de la ley de Gauss y, por lo
tanto, de la ley de Coulomb. El resultado de Faraday fue significativo porque el méto-
do experimental de Coulomb, quien usaba una balanza de torsión y dividia las cargas,
no era muy preciso; es muy difícil confirmar con gran precisión la dependència que
tiene la fuerza electrostàtica del termino 1/r con mediciones directas de la fuerza. En
contraste, experimentos como el de Faraday prueban la validez de la ley de Gauss y,
por consiguiente, de la ley de Coulomb de un modo mucho mas preciso.

22.25 a) Esfera conductora con carga suspendida de un cordel aislante afuera de un recipiente conductor apoyado en una base aislante.
b) Se hace descender la esfera hacia el interior del recipiente, y se coloca la tapa. c) La esfera toca la superficie interior del recipiente.

a ) Cuerda -
aislante

Recipiente
metàlico

+ \ >. Esfera
(+ 3 conductora

con carga

Tapa de metal
/.

La esfera con carga induce cargas en
el interior y exterior del recipiente.

Tapa de metal

^M^

-^J<-

Una vez que la esfera toca el recipiente,
se vuelve parte de la superfície interior;
toda la carga se transfiere al exterior del

recipiente.

22.5 Careas en conductores

769

En la figura 22.26 se presenta una versión moderna del experimento de Faraday.
Los detalles de la parte del dibujo que dice "Suministro de energia" no son importan-
tes; su función es poner y quitar carga en la esfera exterior, según se desee. El dibujo
en el interior con un medidor es un electrómetro sensible, un instrumento que detecta
exterior e interior. Si la ley de Gauss es correcta, nunca puede haber ninguna carga en
la superfície interior de la esfera externa. Si así ocurriera, no debería haber flujo de
carga entre las esferas cuando la esfera externa se cargara y descargara. El hecho real
es que no se observa ningún flujo, lo que constituye una confirmación muy sensible
de las leyes de Gauss y de Coulomb. La precisión del experimento està limitada sobre
todo por el electrómetro, que puede ser asombrosamente sensible. Los experimentos
han demostrado que el exponente 2 en el termino 1/r 2 de la ley de Coulomb no difie-
re de 2, precisamente, en mas de 1CT 16 . Así que no hay razón para sospechar que no
es otro que 2, con exactitud.

El mismo principio que subyace en el experimento de la hielera de Faraday es el
que se utiliza en el generador electrostàtico de Van de Graaff (figura 22.27). La esfe-
ra conductora con carga de la figura 22.26 se remplaza por una banda con carga que
lleva carga de manera continua al interior de un casco conductor, solo para que sea
transportada a la superfície externa del casco. Como resultado, la carga en el casco y
el campo eléctrico que lo rodea se hacen muy grandes con mucha rapidez. El genera-
dor Van de Graaff se utiliza como acelerador de partículas con carga y para demostra-
ciones de física.

Este principio también forma la base del blindaje electrostàtico. Imagine que T
se tiene un instrumento electrónico muy sensible que deseamos proteger de los ■
campos eléctricos dispersos que pudieran originar lecturas erróneas. Se rodea al instru-
mento con una caja conductora, o se recubren las paredes, piso y techo de la habitación
con un material conductor como làmina de cobre. El campo eléctrico exterior redistri-
buye los electrones libres en el conductor, lo que deja en ciertas regiones de la superfície

22.26 La coraza esfèrica se carga y
descarga en forma alternada con la
fuente de energia. Si hubiera algun flujo
de carga entre las esferas interna y externa,
seria detectado por el electrómetro dentro
de la coraza interior.

Suministro
de

energia

22.27 Corte transversal de las partes esenciales de un generador electrostàtico Van de
Graaff. El sumidero de electrones en la parte inferior los retira de la banda, lo que da
a esta una carga positiva; en la parte superior, la banda atrae electrones de la coraza
conductora y le imparte una carga positiva.

Coraza conductora

Motor ,
para la banda

770 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

22.28 a) Caja conductora (jaula de
Faraday) inmersa en un campo eléctrico
uniforme. El campo de las cargas
inducidas sobre la caja se combina con
el campo uniforme para dar un campo
total igual a cero dentro de la caja.
b) El aislamiento electrostàtico protege
de las descargas eléctricas peligrosas.

■)

El campo empuja

los electrones hacia

b)

La carga neta positiva

permanece

a la superfície del conductor

exterior una carga neta positiva, y negativa en otras (figura 22.28). Esta distribución
de la carga ocasiona un campo eléctrico adicional de manera que el campo total en
cada punto dentro de la caja sea igual a cero, como afirma la ley de Gauss. La distribu-
ción de la carga en la caja también altera las formas de las líneas del campo cerca
de la caja, como se observa en la figura. Con frecuencia este arreglo se conoce como
la jaula de Faraday. La misma física dice que uno de los lugares mas seguros en que
se puede estar durante una tormenta elèctrica es en el interior de un automóvil; si un
relàmpago azotara el vehículo, la carga tendería a permanecer en la carrocería de me-
tal, y en el compartimiento de pasajeros habría poco o ningún campo eléctrico.

22.29 El campo inmediatamente afuera
de un conductor con carga es perpendicular
a la superfície, y su componente perpen-
dicular E x es igual a o-j€ a .

Superfície
exterior de A
un conductor
con carga

Campo en la superfície de un conductor

Por ultimo, observe que hay una relación directa entre el campo E en un punto justo
afuera de cualquier conductor y la densidad superficial de carga a en ese punto. En
general, <r varia de un punto a otro de la superfície. En el capitulo 23 se mostrarà que
en un punto así, la dirección de E siempre es perpendicular a la superfície (véase la
figura 22.28a).

Para encontrar una relación entre a en cualquier punto de la superfície y la compo-
nente perpendicular del campo eléctrico en ese punto se construye una superfície
gaussiana en forma de pequeno cilindro (figura 22.29). La cara de uno de los extre-
mos, con àrea A, queda dentro del conductor y la otra queda justo afuera. El campo
eléctrico es igual a cero en todos los puntos dentro del conductor. Fuera de éste, la
componente de E perpendicular a las paredes laterales del cilindro es igual a cero, y
sobre la cara de los extremos la componente perpendicular es igual a E ± . (Si a es po-
sitiva, el campo eléctrico apunta hacia fuera del conductor y E L es positiva; si a es
negativa, el campo eléctrico apunta hacia el interior y E ± es negativa.) Así, el flujo to-
tal a través de la superfície es E L A. La carga encerrada dentro de la superfície gaus-
siana es crA, por lo que a partir de la ley de Gauss,

E ± A =

o-A

y E x =

(campo en la superfície
de un conductor)

(22.10)

Esto se puede comprobar con los resultados obtenidos para superfícies esféricas, ci-
líndricas y planas.

En el ejemplo 22.8 se demostro que la magnitud del campo entre dos placas con-
ductoras infinitas con cargas opuestas también es igual a cr/e . En este caso, la magni-
tud del campo es la misma en todas las distancias a partir de las placas, però en todos
los demàs casos disminuye conforme aumenta la distancia a la superfície.

22.5 Careas en conductores

771

Ejemplo conceptual 22.12

Campo en la superfície de una esfera conductora

Compruebe la ecuación (22. 1Ü) para una esfera conductora de radio R La densidad superficial de carga es uniforme e igual a q dividida entre
y carga total q. el àrea superficial de la esfera:

EÜEHJ „ = _?_

4tt/? 2

En el ejemplo 22.5 (sección 22.4) se demostro que el campo eléctrico

mmediatamente atuera de la superfície es Al comparar estàs dos expresiones se observa que E = cr/e , como se

plantea en la ecuación (22.10).

E =

1 q

47Te R 2

Ejemplo 22.13

Campo eléctrico de la Tierra

La Tierra (un conductor) tiene una carga elèctrica neta. El campo eléc-
trico resultante cerca de la superfície puede medirse con instrumentes
electrónicos sensibles; su valor medio es de alrededor de 150 N/C,
dirigido hacia el centro de la Tierra. a) ^Cuàl es la densidad superfi-
cial de carga correspondiente? b) iCuàl es la carga superficial total de
la Tierra?

EBEU

IDENTIFICAR: Se da la magnitud del campo eléctrico en la superfície
de la Tierra conductora, y se pide calcular la densidad superficial de
carga en toda la superfície terrestre.

PLANTEAR: Dado el campo eléctrico perpendicular, se determina la
densidad superficial de carga u con la ecuación (22.10). La carga su-
perficial total en la Tierra es el producto de a por el àrea de la superfí-
cie terrestre.

EJECUTAR: a) De la dirección del campo se sabé que cr es negativa (lo
que corresponde a E dirigido hacia la superfície, por lo que E ± es ne-
gativa). De la ecuación (22.10),

o- = e E ± = (8.85 X 10~ 12 C 2 /N ■ m 2 ) (-150 N/C)
= -1.33 X lO^C/m 2 = -1.33nC/m 2

b) El àrea de la superfície de la Tierra es 4ttí? e 2 , donde R E = 6.38 X
10 6 m es el radio terrestre (véase el apéndice F). La carga total Q es el
producto AttR^o-, o

Q = 4tt(6.38 X 10 6 m) 2 (-1.33 X 10~ 9 C/m 2 )
= -6.8 X 10 5 C = -680 kC

EVALUAR: El resultado del inciso b) se puede comprobar con el que se
obtuvo en el ejemplo 22.5. Al despejar Q, se encuentra que

Q = Att€ R 2 E l

= (6.38 X 10 í, m) 2 (-150N/C)

9.0 X 10" N • m 2 /C 2

= -6.8 X 10 5 C

Un electrón tiene una carga de —1.60 X 10 19 C. Este excedente de
carga elèctrica negativa corresponde a la existència de (—6.8 X 10 5 C)/
(-1.60 X 10~"C) = 4.2 X 10 24 electrones excedentes en la Tierra, o
cerca de 7 moles de electrones en exceso. Esto se compensa con una
deficiència igual de electrones en la atmosfera superior de nuestro pla-
neta, por lo que la combinación de la Tierra con su atmosfera es eléc-
tricamente neutra.

Evalúe su comprensión de la sección 22.5 Una esfera conductora hueca carece
de carga neta. En el centro de la cavidad esfèrica dentro de la esfera hay una carga puntual
positiva q. Se conecta un alambre conductor entre el exterior de la esfera y el terreno.
^,Se medirà un campo eléctrico fuera de la esfera?

CAPÍTULO 22 RESUMEN

Flujo eléctrico: El flujo eléctrico es una medida del "flujo"
del campo eléctrico a través de una superfície. Es igual
al producto de un elemento de àrea por la componente
perpendicular de E, integrada sobre una superfície.
(Véanse los ejemplos 22.1 a 22.3.)

tp,.

Ecosíf) dA

E, dA

E-dA

(22.5)

Ley de Gauss: La ley de Gauss establece que el flujo
eléctrico total a través de una superfície cerrada, que se
escribe como la integral de superfície de la componente
de E, que es normal a la superfície, es igual a una constante
por la carga total Q m encerrada por la superfície. La ley
de Gauss es un equivalente lógico de la ley de Coulomb,
però su uso simplifica mucho los problemas con un alto
grado de simetria. (Véanse los ejemplos 22.4 a 22.10.)
Cuando se coloca carga en exceso en un conductor
en reposo, esta permanece toda en la superfície,
y E = en todos los puntos del material del conductor.
(Véanse los ejemplos 22.11 a 22.13.)

**

Ecosò dA

E ± dA

E-dA

(22.8), (22.9)

Hacia fuera, normal a la
superfície

Campo eléctrico de varias distribucíones simétricas de carga: En la siguiente tabla se listan los campos eléctricos generados por varias
distribuciones simétricas de carga. En la tabla, q, Q, À y a se refieren a las magnitudes de las cantidades.

Distribución de la carga

Punto en el
campo eléctrico

Una sola carga puntual

Carga q en la superfície de una esfera conductora de radio R

Alambre infinito, carga por unidad de longitud À

Cilindro conductor infinito con radio R, carga

Esfera aislante sòlida con radio R, carga Q distribuida
de manera uniforme en todo el volumen

Distancia r desde q

Esfera exterior, r > R
Esfera interior, r < R
Distancia r desde el alambre

Cilindro exterior, r > R

Cilindro interior, r < R
Esfera exterior, r > R

Esfera interior, r < R

Placa infinita cargada con carga uniforme por unidad de àrea a Cualquier punto

Dos píacas conductoras con cargas opuestas con Cualquier punto entre las placas

densidades superficiales de carga +a y — a

Magnitud del
campo eléctrico

E =

1

4ire r 2

4ttc r 1
E=

1 A

E =

27re (l r

1 A

2ire„

r

=

1

477-6,,

Q

r

1

Qr

47re R 3

E =

2e„

E = —

EO

772

Preguntas para anàlisis

773

Términos clave

flujo eléctrico, 752

integral de superfície, 755
ley de Gauss, 757

superfície gaussiana, 759

experimento de la hielera de Faraday, 768

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo :

No. El campo eléctrico dentro de una cavidad interior de un conductor
es igual a cero, por lo que no hay ningún efecto eléctrico en la nina.
(Véase la sección 22.5.)

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

22.1 Respuesta: iii) Cada elemento de la superfície de la caja estarà
tres veces mas lejos de la carga +q, por lo que el campo eléctrico serà
( j) 2 = 5 de la intensidad. Però el àrea de la caja se incrementarà en un
factor de 3 2 = 9. De aní que el flujo eléctrico serà multiplicado por
un factor de (5) (9) = 1. En otras palabras, el flujo no cambiarà.

22.2 Respuestas: iv), ii), i), iii) En cada caso, el campo eléctrico es
uniforme, por lo que el flujo es <I> £ = E • A. Se usan las relaciones
para los productes escalares de vectores unitarios: i -i = j •] = 1,
;•/ = 0. En el caso i) se tiene 4> £ = (4.0 N/C) (6.0 m 2 ); •/ =
(el campo eléctrico y el vector de àrea son perpendiculares,

por lo que hay un flujo nulo). En el caso ii) se tiene
O E [(4.0N/C)í+ (2.0N/C);]•(3.0m 2 ); = (2.0 N/C) ■
(3.0 m 2 ) = 6.0 N • m 2 /C. De manera similar, en el caso iii) se tiene
4> £ =[(4.0 N/C); - (2.0N/C);]•[(3.0m 2 )i + (7.0m 2 );] =
(4.0 N/C) (3.0 m 2 ) - (2.0 N/C) (7.0 m 2 ) = -2N-m 2 /C, y
en el caso iv) se tiene <J> £ = [(4.0N/C)í- (2.0 N/C)/]-
[(3.0m 2 )í - (7.0m 2 );] = (4-0 N/C) (3.0 m 2 ) + (2.0 N/C)-
(7.0 m 2 ) = 26N-m 2 /C.

22.3 Respuestas: S 2 , S 5 , S 4 ; Si y S 3 (empate) La ley de Gauss afirma
que el flujo a través de una superfície cerrada es proporcional a la can-

tidad de carga encerrada dentro de esa superfície, por lo que ordenar
estàs superfícies según sus flujos es lo mismo que hacerlo según la
cantidad de carga que encierran. La superfície Si no encierra car-
ga, la superfície S 2 encierra 9.0 /aC + 5.0 /aC + (— 7.0 /aC) = 7.0 /aC,
la superfície S 3 encierra 9.0 /aC + 1.0 /aC + (-IO.O11C) = 0, la
superfície S 4 encierra 8.0 /aC + (—7.0 /aC) = 1.0 /aC, y la superfí-
cie S 5 encierra 8.0 /aC + (-7.0 /iC) + (-10.0 /aC) + ( 1.0 /aC) +
(9.0 /aC) + (5.0 /aC) = 6.0 /aC.

22.4 Respuesta: no Tal vez usted estuviera tentado a dibujar una
superfície gaussiana que fuera una versión grande del conductor, con
la misma forma y colocada de manera que lo encerrara por completo.
Si bien se conoce el flujo a través de esta superfície gaussiana (según
la ley de Gauss, es <t> £ = <2/e X la dirección del campo eléctrico no
necesita ser perpendicular a la superfície y tampoco es necesario que
la magnitud del campo sea la misma en todos los puntos de la superfí-
cie. No es posible realizar la integral de flujo §E L dA, por lo que no se
puede calcular el campo eléctrico. La ley de Gauss es útil para obte-
ner el campo eléctrico solo cuando la distribución de la carga es muy
simètrica.

22.5 Respuesta: no Antes de conectar el alambre con la esfera, la
presencia de la carga puntual induciría una carga — q en la superfície
interior de la esfera hueca y una carga q en la superfície exterior (la
carga neta en la esfera es igual a cero). Habrà un campo eléctrico fuera
de la esfera que se debe a la carga en la superfície exterior. Sin embar-
go, una vez que el alambre conductor toque la esfera, los electrones
fluiran de la tierra a la superfície exterior de la esfera para neutralizar
la carga ahí presente (véase la figura 21.7c). Como resultado, la esfera
no tendra carga en su superfície externa, ni tampoco campo eléctrico
en el exterior.

PROBLEMAS

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Preguntas para anàlisis

P22.1. Un globo de caucho tiene en su interior una carga puntual. <,E1
flujo eléctrico a través del globo depende de si està inflado por comple-
to o no? Explique su razonamiento.

P22.2. Suponga que en la figura 22.15 las dos cargas son positivas.
tCuàles serían los flujos a través de cada una de las cuatro superfícies
del ejemplo?

P22.3. En la figura 22.15, suponga que se coloca una tercera carga
puntual fuera de la superfície gaussiana de color púrpura C. ^Afectaria
esto el flujo eléctrico a través de cualquiera de las superfícies A, B, C
D en la figura? ^Por qué?

P22.4. Cierta región del espacio limitada por una superfície imaginaria
cerrada no contiene carga. (El campo eléctrico siempre es igual a cero
en todos los puntos de la superfície? Si no es así, j,en qué circunstan-
cias seria cero en la superfície?

P22.5. Una superfície gaussiana esfèrica encierra una carga puntual q.
Si la carga puntual se desplaza del centro de la esfera a un punto aleja-
do de ahí, ;,cambia el campo eléctrico en un punto de la superfície?
^Cambia el flujo total a través de la superfície gaussiana? Explique su
respuesta.

P22.6. Usted encuentra una caja cerrada ante su puerta. Sospecha que
contiene varias esferas de metal con carga y empacadas en un material

aislante. ^Cómo podria determinar la carga neta total dentro de la caja
sin abrirla? ;0 no es posible hacer eso?

P22.7. Durante el flujo de una corriente elèctrica en un alambre conduc-
tor, uno o màs electrones de cada àtomo tienen libertad para moverse a
lo largo del alambre, en forma parecida a como el agua fluye por un
tubo. ^Esperaria encontrar un campo eléctrico fuera de un alambre que
condujera ese flujo tan estable de electrones? Explique su respuesta.
P22.8. Si el campo eléctrico de una carga puntual fuera proporcional a
X/r en vez de X/r 2 , (.seguiria siendo vàlida la ley de Gauss? Explique
su razonamiento. (Sugerencia: considere una superfície gaussiana es-
fèrica centrada en una sola carga puntual.)

P22.9. Suponga que el disco del ejemplo 22.1 (sección 22.2), en vez
de tener su vector normal orientado a solo dos o tres àngulos particu-
lares con respecto al campo eléctrico, comenzara a girar continuamente
de manera que su vector normal primero fuera paralelo al campo, lue-
go perpendicular y después opuesto a él, y así sucesivamente. Constru-
ya una gràfica del flujo eléctrico resultante contra el tiempo, para una
rotación completa de 360°.

P22.10. En un conductor, uno o màs electrones de cada àtomo tienen
esto el enunciado de que cualquier carga en exceso en un conductor so-
lido debe permanecer en su superfície? ^Por qué?

774 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

Figura 22.30

Pregunta P22. 12.

P22.ll. Usted carga el generador Van de Graaff que se muestra en la fi-
gura 22.27, y luego le acerca una esfera conductora hueca idèntica, pe-
rò sin carga y sin dejar que las dos esferas se toquen. Elabore un
diagrama de la distribución de cargas en la segunda esfera. ^Cuàl es el
flujo neto a través de la segunda esfera? ^Cuàl es el campo eléctrico
dentro de la segunda esfera?
P22.12. La magnitud de E en la superfície de
un solido conductor de forma irregular debe
ser màxima en las regiones en las que hay
formas agudas, como el punto A de la figura
22.30, y debe ser mínima en las regiones pla-
nas, como el punto B de la misma figura. Ex-
plique por qué debe ser así considerando la
manera en que las líneas de campo eléctrico
deben acomodarse cerca de una superfície
conductora. ^Cómo cambia la densidad su-
perficial de carga en los puntos Ayí? Expli-
que su respuesta.

P22.13. Un pararrayos es una varilla de cobre redondeada que se mon-
ta en la parte alta de los edifícios y va soldada a un cable grueso, tam-
bién de cobre, que llega al suelo. Los pararrayos se utilizan para
proteger casas y graneros de los relàmpagos; la corriente de los relàm-
pagos corre por el cable y no por el edificio. <,Por qué? ^Por qué el ex-
tremo de la varilla debe estar redondeado? (Sugerencia: la respuesta a
la pregunta para anàlisis P22.12 le resultarà de ayuda.)
P22.14. Un conductor solido tiene una cavidad en su interior. ^.Afecta-
ria la presencia de una carga puntual dentro de la cavidad al campo
eléctrico fuera del conductor? <,Por qué? (,La presencia de una carga
puntual fuera del conductor afectaria el campo eléctrico en el interior
de la cavidad? De nuevo, ;,por qué?

P22.15. Explique el siguiente enunciado: "en una situación estàtica el
campo eléctrico en la superfície de un conductor podria no tener nin-
guna componente paralela a la superfície, ya que esto violaria la condi-
ción de que las cargas en la superfície estan en reposo". ^Este mismo
enunciado seria valido para el campo eléctrico en la superfície de un
aislanlel Explique su respuesta y la razón de cualesquiera diferencias
entre los casos de un conductor y un aislante.

P22.16. Una esfera solida de cobre tiene una carga neta positiva distri-
buida de manera uniforme sobre la superfície de la esfera; el campo
eléctrico en el interior de la esfera es igual a cero. Después, una carga
puntual negativa fuera de la esfera se acerca a la superfície de la esfera.
^Toda la carga neta en la esfera seguirà en la superfície? De ser así, ^,se
distribuiria de manera uniforme? Y si no fuera uniforme, ;,cómo se dis-
tribuiria? iEl campo eléctrico dentro de la esfera seguiria siendo igual
a cero? Explique su respuesta para cada caso.

P22.17. Algunos aviones modernos estan hechos principalmente de ma-
teriales compuestos que no conducen la electricidad. La U.S. Federal
Aviation Administration requiere que tales aviones tengan conductores
bajo sus superfícies para que los protejan cuando vuelen en medio de
tormentas. Explique la física que sustenta este requerimiento.

Ejercicios

Sección 22.2 Calculo del flujo eléctrico

22.1. Una delgada hoja de papel tiene un àrea de 0.250 m 2 y està orien-
tada de tal modo que la normal a la hoja forma un àngulo de 60° con
un campo eléctrico uniforme de magnitud 14 N/C. a) Calcule la mag-
nitud del flujo eléctrico a través de la hoja. b) ;,La respuesta al inciso a)
depende de la forma de la hoja? ^Por qué? c) Para qué àngulo <f> entre
la normal a la hoja y el campo eléctrico, la magnitud del flujo a través
de la hoja es: i) màxima y ii) mínima? Explique sus respuestas.

22.2. Una làmina plana tiene forma rectangular con lados de longitud
0.400 m y 0.600 m. La làmina està inmersa en un campo eléctrico uni-
forme de magnitud 75.0 N/C dirigido a 20° con respecto al plano de la
làmina (figura 22.31). Encuentre la magnitud del flujo eléctrico a tra-
vés de la làmina.

Figura 22.31 Ejercicio 22.2.

E

0.400 m

22.3. Se mide un campo eléctrico de 1.25 X 10 6 N/C a una distancia
de 0.150 m de una carga puntual, a) (,Cuàl es el flujo eléctrico a tra-
vés de una esfera a esas distancia de la carga? b) ^Cuàl es la magnitud
de la carga?

22.4. Un cubo tiene lados con longitud L = 0.300 m. Se coloca con
una esquina en el origen, como se muestra en la figura 22.32. El campo
eléctrico no es uniforme, però està dado por£ = ( — 5.00 N/C • m)xi +
(3.00 N/C ■ m)zk. a) Calcule el flujo eléctrico a través de cada una
de las seis caras del cubo, S,, S 2 , 5 3 , S 4 , S 5 y S 6 . b) Determine cuàl es
la carga elèctrica total dentro del cubo.

Figura 22.32 Ejercicios 22.4 y 22.6; Problema 22.32.

5 5 (ftente)

S 4 (fondo)

22.5. Una superfície hemisférica con radio r en una región de campo
eléctrico uniforme E tiene su eje alineado en forma paralela con la di-
rección del campo. Calcule el flujo a través de la superfície.

22.6. El cubo de la figura 22.32 tiene lados con longitud L = 10.0 cm.
El campo eléctrico es uniforme, tiene magnitud E = 4.00 X 10 3 N/C y
es paralelo al plano xy con un àngulo de 36.9° medido a partir del eje
+x hacia el eje +y. a) (.Cuàl es el flujo eléctrico a través de cada una
de las seis caras del cubo, S,, S 2 , S 3 , S 4 , S 5 y 5 6 ? b) ^.Cuàl es el flujo
eléctrico total a través de todas las caras del cubo?

22.7. En el ejemplo 21.11 (sección 21.5) se demostro que el campo
eléctrico debido a una línea infinita de carga es perpendicular a esta y
su magnitud es E = \\2-n€ a r. Considere un cilindro imaginario con ra-
dio r = 0.250 m y longitud / = 0.400 m que tiene una línea infinita de
carga positiva que va a lo largo de su eje. La carga por unidad de longi-
tud en la línea es A = 6.00 u,C/m. a) ^Cuàl es el flujo eléctrico a través
del cilindro debido a esta línea infinita de carga? b) ;,Cuàl es el flujo a
través del cilindro si su radio se incrementa a r = 0.500 m? c) ^Cuàl es
el flujo a través del cilindro si su longitud aumenta a / = 0.800 m?

Ejercicios 775

Sección 22.3 Ley de Gauss

22.8. Las tres esferas pequenas que se muestran en la figura 22.33 tie-
nen cargas q x = 4.00 nC, q 2 = -7.80 nC y q s = 2.40 nC. Calcule el
flujo eléctrico neto a través de cada una de las siguientes superfícies
cerradas que se ilustran en sección transversal en la figura: a) Sú b) S 2 ;
c) S 3 ; d) S 4 ; e) S 5 .f) Las respuestas para los incisos a) a e), ^dependen
de la manera en que està distribuida la carga en cada esfera pequena?
^.Por qué?

Figura 22.33 Ejercicio 22.8.

Superfície Encierra a

St í/i

Si qi

s 3 iiyi2

St ?i y ?3

Ss iiyiiyii

22.9. Se rocía una capa muy delgada y uniforme de pintura con carga
sobre la superfície de una esfera de plàstico cuyo diàmetro es de 12.0 cm,
para dar una carga de — 15.0 /iC. Encuentre el campo eléctrico d) apenas
dentro de la capa de pintura; b) inmediatamente afuera de la capa de
pintura; c) 5.00 cm afuera de la superfície de la capa de pintura.

22.10. Una carga puntual q t = 4.00 nC se localiza sobre el eje x en x =
2.00 m, y una segunda carga puntual q 2 = —6.00 nC està en el eje y en
v = 1.00 m. ^Cuàl es el flujo eléctrico total debido a estàs dos cargas a
través de una superfície esfèrica con centro en el origen y con radio de
a) 0.500 m, b) 1.50 m, c) 2.50 m?

22.11. En cierta región del espacio, el campo eléctrico E es uniforme.

a) Use la ley de Gauss para demostrar que esa región debe ser eléc-
tricamente neutra; es decir, la densidad volumètrica de carga p debe
ser igual a cero. b) Lo contrario, <,es verdadero? Es decir, en una región
del espacio donde no hay carga, iE debe ser uniforme? Explique su
respuesta.

22.12. a) En cierta región del espacio, la densidad volumètrica de car-
ga p tiene un valor positivo uniforme. En esa región, iE puede ser uni-
forme? Explique su respuesta. b) Suponga que en esa región de p
positiva y uniforme hay una "burbuja" dentro de la cual p = 0. En el
interior de la burbuja, ifi puede ser uniforme? Explique.

22.13. Una carga puntual de 9.60 tiC està en el centro de un cubo con
lados cuya longitud mide 0.500 m. a) (,Cuàl es el flujo eléctrico a tra-
vés de una de las seis caras del cubo? b) ^Cómo cambiaría su respues-
ta al inciso a) si los lados midieran 0.250 m? Dé una explicación.

22.14. Campos eléctricos en un àtomo. Los núcleos de los àtomos
grandes, como el del uranio, con 92 protones, se modelan como esferas
mente 7.4 X 10~ 15 m. a) ^Cuàl es el campo eléctrico que produce este
núcleo justo afuera de su superfície? b) iQué magnitud de campo eléc-
trico produce a la distancia de los electrones, que es alrededor de 1.0 X
10~ 10 m? c) Los electrones se modelan como si formaran una capa uni-
forme de carga negativa. iQué campo eléctrico producen en el sitio en
que se ubica el núcleo?

22.15. Una carga puntual de +5.00 tiC se localiza en el eje x en x =
4.00 m, cerca de una superfície esfèrica de radio 3.00 m con centro en
el origen, a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en x = 3.00 m.

b) Determine la magnitud del campo eléctrico en x = —3.00 m. c) De
acuerdo con la ley de Gauss, el flujo neto a través de la esfera es igual
a cero porque no contiene carga. Però el campo debido a la carga exte-
rior es mucho màs fuerte en el lado cercano a la esfera (por ejemplo, en
x = 3.00 m) que en el lado alejado (en x = —3.00 m). Entonces, (.co-
mo puede ser igual el flujo hacia la esfera (en el lado cercano) que el
flujo hacia fuera de ella (en el lado lejano)? Dé una explicación; un

Sección 22.4 Aplicaciones de la ley de Gauss y
Sección 22.5 Cargas en conductores

22.16. Una esfera metàlica solida con radio de 0.450 m tiene una carga
neta de 0.250 nC. Determine la magnitud del campo eléctrico a) en un
punto a 0.100 m fuera de la superfície, y b) en un punto dentro de la es-
fera, a 0.100 m bajo la superfície.

22.17. En un dia húmedo, basta un campo eléctrico de 2.00 X 10 4 N/C
para producir chispas de una pulgada de largo. Suponga que en su cla-
se de física un generador Van de Graaff (véase la figura 22.27), con
una esfera de radio de 15.0 cm, està produciendo chispas de 6 pulgadas
de largo. a) Use la ley de Gauss para calcular la cantidad de carga al-
macenada en la superfície de la esfera antes de que usted, con valentia,
la descargue con su mano. b) Suponga que toda la carga se localiza en
el centro de la esfera, y utilice la ley de Coulomb para calcular el cam-
po eléctrico en la superfície de la esfera.

22.18. Algunos astrónomos han sugerido que Marte tiene un campo
eléctrico parecido al de la Tierra y que se produce un flujo eléctrico ne-
to de 3.63 X 10 16 N ■ m 2 /C en la superfície de Marte. Calcule à) la car-
ga elèctrica total sobre el planeta; b) el campo eléctrico en la superfície
del planeta (consulte los datos astronómicos en la tercera de forros);
c) la densidad de carga en Marte si se supone que toda la carga se dis-
tribuye de manera uniforme en su superfície.

22.19. ^Cuàntos electrones excedentes deben agregarse a un conductor
esférico aislado de 32.0 cm de diàmetro para producir un campo eléc-
trico de 1150 N/C apenas fuera de su superfície?

22.20. El campo eléctrico a 0.400 m de una línea uniforme y muy lar-
ga de carga es de 840 N/C. ^Cuànta carga està contenida en una sec-
ción de 2.00 cm de la línea?

22.21. Una línea uniforme y muy larga de carga tiene 4.80 /iC/m por
unidad de longitud y se ubica a lo largo del eje x. Una segunda línea
uniforme de carga tiene una carga por unidad de longitud de —2.40
/iC/m y està situada paralela al eje x en y = 0.400 m. ^.Cuàl es el cam-
po eléctrico neto (magnitud y dirección) en los siguientes puntos sobre
el eje y: a) y = 0.200 my b)y = 0.600 m?

22.22. a) A una distancia de 0.200 cm del centro de una esfera conduc-
tora con carga y radio de 0.100 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C.
^Cuàl es el campo eléctrico a 0.600 cm del centro de la esfera? b) A
una distancia de 0.200 cm del eje de un cilindro conductor muy largo
con radio de 0.100 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ;,Cuàl es el
campo eléctrico a 0.600 cm del eje del cilindro? c) A una distancia de
0.200 cm de una làmina grande con carga uniforme, el campo eléctrico
es de 480 N/C. ;,Cuàl es el campo eléctrico a 1.20 cm de la làmina?

22.23. Una esfera hueca, conductora, con radio exterior de 0.250 m y
radio interior de 0.200 m tiene una densidad superficial de carga de
+6.37 X 10~ 6 C/m"\ Se introduce una carga de —0.500 /aC en la cavi-
dad interna de la esfera, a) iCuàl es la nueva densidad de carga apenas
afuera de la esfera? b) Calcule la intensidad del campo eléctrico justo
fuera de la esfera, c) iCuéà es el flujo eléctrico a través de una superfí-
cie esfèrica apenas dentro de la superfície interior de la esfera?

22.24. Una carga puntual de —2.00 /tC se localiza en el centro de una
cavidad esfèrica de radio 6.50 cm dentro de un solido aislante con car-
ga. La densidad de carga en el solido es de p = 7.35 X 10~ 4 C/m 3 .
Calcule el campo eléctrico dentro del solido a una distancia de 9.50 cm

22.25. El campo eléctrico a una distancia de 0.145 m de la superfície
de una esfera sòlida aislante con radio de 0.355 m, es de 1750 N/C.
a) Suponiendo que la carga de la esfera se distribuye con uniformidad,
^cuàl es la densidad de carga en su interior? b) Calcule el campo eléc-
trico dentro de la esfera a una distancia de 0.200 m del centro.

22.26. Un conductor con una cavidad interna, como el que se ilustra
en la figura 22.23c, tiene una carga total de +5.00 nC. La carga dentro
de la cavidad, aislada del conductor, es de —6.00 nC. ;,Cuànta carga
hay en a) la superfície interior del conductor, y b) la superfície exterior
del conductor?

776 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

Figura 22.34

Ejercicio 22.30.

22.27. Aplique la ley de Gauss a las superfícies gaussianas 5,, 5, y S 4
en la figura 22.21b, para calcular el campo eléctrico entre las placas y
fuera de ellas.

cuentra en posición horizontal. La làmina tiene una carga de 7.50 nC
distribuida de manera uniforme sobre su superfície, d) Calcule el cam-
po eléctrico en un punto localizado a 0.100 nm sobre el centro de la
làmina, b) Estime el campo eléctrico en un punto a 100 m sobre el
centro de la làmina, c) ^Serían diferentes las respuestas para los inci-
sos d) y b) si la làmina estuviera hecha de un material conductor?
iVor qué?

22.29. Un conductor cilíndrico de longitud infinita tiene un radio R y
densidad superficial de carga uniforme a. a) En términos de cr y R,
í,cuàl es la carga por unidad de longitud A para el cilindro? b) En térmi-
nos de o\ ^cuàl es la magnitud del campo eléctrico producido por el ci-
lindro con carga a una distancia r > R de su eje? c) Exprese el
resultado del inciso b) en términos de À y demuestre que el campo
eléctrico fuera del cilindro es el mismo que si toda la carga estuviera
sobre el eje. Compare su resultado con el que se obtuvo para una línea
de carga en el ejemplo 22.6 (sección 22.4).

22.30. Dos làminas de plàstico no con-
ductoras, muy grandes, cada una con es-
pesor de 10.0 cm, tienen densidades de
carga uniforme tr u <t 2 , ct, y o- 4 en sus su-
perfícies, como se ilustra en la figura
22.34. Estàs densidades de carga superfi-
cial tienen los valores cr, = — 6.00 /iC/m 2 ,
a 2 = +5.00 jiiC/nr, <r 3 = +2.00 /xC/m 2
y ov, = +4.00 fiC/m 2 . Use la ley de Gauss
para encontrar la magnitud y dirección del
campo eléctrico en los puntos siguientes,
lejos de los bordes de las làminas: a) pun-
to A, a 5.00 cm de la cara izquierda de la

làmina de la izquierda; b) punto B, al .25 cm de la superfície interior
de la làmina de la derecha; c) punto C, a la mitad de la làmina de la
derecha.

22. 31. Una carga negativa — Q se localiza dentro de la cavidad de un
solido metàlico hueco. El exterior del solido tiene contacto con la tie-
rra por medio de la conexión de un alambre conductor, d) ^Hay alguna
carga excedente inducida sobre la superfície interior de la pieza de me-
tal? Si así fuera, determine su signo y magnitud, b) i,Hay algun exceso
de carga sobre el exterior del elemento de metal? ^Por qué? c) ^Hay al-
gun campo eléctrico en la cavidad? Explique. d) ^Hay algun campo
eléctrico dentro del metal? Explique por qué. e) Alguien situado fuera
del solido mediría un campo eléctrico debido a la carga — Q. ;,Es razo-
nable decir que el conductor a tierra tiene aislada la región de los efec-
tos de la carga — Ql En principio, ^podria hacerse lo mismo para la

/

/

li cm I

10 cml 12 cm '10 cm

1*- >l

h() cml

Problemas

22.32. Un cubo tiene lados de longitud L. Està situado con una arista
en el origen, como se ilustra en la figura 22.32. El campo eléctrico es
uniforme y està dado por E = —Bi + Cj — Dk, donde B, C y D son
constantes positivas. a) Determine el flujo eléctrico a través de cada
una de las seis caras de los cubos S,, S 2 , S 3 , S 4 , S 5 y S 6 . b) Calcule el
flujo eléctrico a través de todo el cubo.

22.33. El campo eléctrico E en la figura Figura 22.35

22.35 es paralelo en todo lugar al eje x. Problema 22.33.
por lo que las componentes E y y E z son
iguales a cero. La componente x del cam-
po E x depende de x, però no de y ni de z.
En los puntos del plano yz (donde x = 0),
£,. = 125 N/C. a) ;,Cuàl es el flujo eléctri-
co a través de la superfície I en la figura
22.35? b) ^Cuàl es el flujo eléctrico a tra-
vés de la superfície II? c) El volumen que
se ilustra en la figura es una pequena sec-
ción de un bloque muy grande aislante de
1.0 m de espesor. Si dentro de ese volu-
men hay una carga total de —24.0 nC,

^cuàles son la magnitud y dirección de E en la cara opuesta a la superfí-
cie I? d) El campo eléctrico, ;,es producido solo por cargas dentro del
bloque, o también se debe a cargas fuera del bloque? <,Cómo saberlo?

descrita por las ecuaciones

(0

L, 0:

D

Figura 22.36

Problema 22.35.

d) Dibuje este Cuadrado y muestre los ejes x, y y z- b) Calcule el flujo
eléctrico a través del Cuadrado debido a una carga puntual positiva q
localizada en el origen (x = 0, y = 0, z = 0). (Sugerencia: piense que
el Cuadrado forma parte de un cubo con centro en el origen.)

22.35. El campo eléctrico £, en toda
la cara de un paralelepípedo es unifor-
me y se dirige hacia fuera de la cara.
En la cara opuesta, el campo eléctrico
E 2 también es uniforme en toda ella y
se dirige hacia esa cara (figura 22.36).
Las dos caras en cuestión estan incli-
nadas 30.0° con respecto de la hori-
zontal, en tanto que E i y E 2 son
horizontales; E [ tiene una magnitud de
2.50 X 10 4 N/C, y E 2 tiene una magni-
tud de 7.00 X 10 4 N/C. d) Suponiendo que ninguna otra línea de cam-
po eléctrico cruza las superfícies del paralelepípedo, determine la car-
ga neta contenida dentro. b) ^El campo eléctrico solo es producido por
las cargas en el interior del paralelepípedo o también se debe a las que
estan fuera de éste? iCómo podria saberse?

22.36. Una línea larga tiene una densidad lineal de carga uniforme de
+50.0 /iC/m que corre paralela y a 10.0 cm de la superfície de una là-
mina de plàstico plana y grande que tiene una densidad superficial de
carga uniforme de —100 fj.C/m 2 en un lado. Encuentre la ubicación
de todos los puntos en los que una partícula a no recibiría ninguna
fuerza debido a este arreglo de objetos con carga.

22.37. Cable coaxial. Un cable coaxial largo consiste en un conduc-
tor cilíndrico interior con radio a, y un cilindro exterior con radio inte-
rior b y radio exterior c. El cilindro exterior està montado en apoyos
aislantes y no tiene carga neta. El cilindro interior tiene carga positiva
uniforme por unidad de longitud À. Calcule el campo eléctrico d) en
cualquier punto entre los cilindros a una distancia r del eje, y b) en cual-
quier punto fuera del cilindro exterior, c) Elabore una gràfica de la mag-
nitud del campo eléctrico como función de la distancia r desde el eje del
cable, de r — a r — 2c. d) Determine la carga por unidad de longitud
en las superfícies interna y externa del cilindro exterior.

22.38. Un tubo conductor muy largo (un cilindro hueco) tiene radio in-
terior a y radio exterior b. Conduce una carga por unidad de longitud
+«, donde a es una constante positiva con unidades de C/m. Sobre el

Problemas

777

Figura 22.37

Problema 22.41.

eje del tubo se encuentra una línea de carga, con carga por unidad de
longitud de +ct. a) Calcule el campo eléctrico en términos de a y la
distancia r desde el eje del tubo para i) r < a; ii) a < r < b; iii) r > b.
Muestre en una gràfica los resultados de E como función de r. b) (,Cuàl
es la carga por unidad de longitud sobre i) la superfície interior del tu-
bo, y ii) la superfície exterior del tubo?

22.39. Repita el problema 22.38, solo que ahora el tubo conductor
tiene una carga por unidad de longitud de —a. Igual que en el pro-
blema 22.38, la línea de carga tiene +a como carga por unidad de
longitud.

22.40. Un cilindro solido y muy largo, con radio R, tiene carga positi-
va distribuida de manera uniforme, con carga por unidad de volumen
de p. a) Obtenga la expresión para el campo eléctrico dentro del volu-
men a una distancia r del eje del cilindro en términos de la densidad de
carga p. b) iCu&\ es el campo eléctrico en un punto afilera del volu-
men en términos de la carga por unidad de longitud A en el cilindro?

c) Compare las respuestas a los incisos a) y b) para r = R. d) Elabore
una gràfica de la magnitud del campo eléctrico como función de r, de
r = a r = 3R.

22.41. Una esfera pequena con ma-
sa de 0.002 g tiene una carga de
5.00 X 10~ s C y cuelga de un cor-
del cerca de una làmina muy gran-
de, conductora y con carga positiva,
como se ilustra en la figura 22.37.
La densidad de carga en la làmina
es de 2.50 X 10~ 9 C/m 2 . Encuentre
el àngulo que forma el cordel.

22.42. Esfera dentro de otra esfe-
ra. Una esfera solida conductora
tiene una carga q y radio a. Se en-
cuentra dentro de una esfera hueca
concèntrica, con radio interior b y
radio exterior c. La esfera hueca no

tiene carga neta. a) Obtenga expresiones para la magnitud del campo
eléctrico en términos de la distancia r desde el centro para las regiones
r < a, a < r < b, b < r < c y r > c. b) Elabore la gràfica de la magni-
tud del campo eléctrico como función de r, de r = a r = 2c. c) ^Cuàl
es la carga en la superfície interior de la esfera hueca? d) £Y en la su-
perfície exterior? e) Represente la carga de la esfera pequena mediante
cuatro signos positivos. Elabore un diagrama de las líneas de campo
del sistema dentro de un volumen esférico de radio 2c.

22.43. Una esfera sòlida conductora con radio R que tiene carga positi-
va Q es concèntrica con una coraza aislante muy delgada de radio 2R
que también tiene una carga Q. La carga Q està distribuida de manera
uniforme en la coraza aislante. a) Encuentre el campo eléctrico (mag-
nitud y dirección) en cada una de las regiones < r < R, R < r < 2R
y r > 2R. b) Elabore la gràfica de la magnitud del campo eléctrico
como función de r.

22.44. Una coraza esfèrica conductora, con radio
interior a y radio exterior b, tiene una carga pun-
tual positiva Q localizada en su centro. La carga
total en la coraza es — 3Q, y està aislada de su am-
biente (figura 22.38). a) Obtenga expresiones para
la magnitud del campo eléctrico, en términos de la
distancia r desde el centro, para las regiones r < a,
a<r<byr>b. b) ^Cuàl es la densidad superficial de carga en
la superfície interior de la coraza conductora? c) ^.Cuàl es la densidad
superficial de carga en la superfície exterior de la coraza conductora?

d) Elabore un diagrama de las líneas de campo y la localización de
todas las cargas. e) Grafique la magnitud del campo eléctrico como
función de r.

22.45. Corazas esféricas concéntricas. Una coraza esfèrica con-
ductora pequena con radio interior a y radio exterior b es concèntrica
respecto a otra coraza conductora esfèrica màs grande cuyo radio inte-

Figura 22.39

Problema 22.45.

Figura 22.38

Problema 22.44.

-38

rior es c y radio exterior d (figura 22.39). La
coraza interior tiene una carga total +2q, y la
exterior tiene carga de +Aq. a) Calcule el
campo eléctrico (magnitud y dirección) en tér-
minos de q y la distancia r a partir del centro
común de las dos corazas para i) r < a; ii) a <
r < b; iii) b < r < c; iv) c < r < d; v) r > d.
Muestre sus resultados en una gràfica de la
componente radial de E como función de r.
b) .j.Cuàl es la carga total en i) la superfície in-
terior de la coraza pequena; ii) la superfície exterior de la coraza pe-
quena; iii) la superfície interior de la coraza grande; iv) la superfície
exterior de la coraza grande?

22.46. Repita el problema 22.45, però ahora considere que la coraza
exterior tiene carga —2q. Como en el problema 22.45, la coraza inte-
rior tiene carga +2q.

22.47. Repita el problema 22.45, però ahora considere que la coraza
externa tiene carga — 4q. Igual que en el problema 22.45, la coraza in-
terior tiene carga +2q.

22.48. Una esfera conductora sòlida con radio R tiene una carga total
positiva Q. La esfera està rodeada por una coraza aislante con radio in-
terior R y radio exterior 2R. La coraza aislante tiene una densidad de
carga uniforme p. a) Encuentre el valor de p de manera que la carga
neta de todo el sistema sea igual a cero. b) Si p tiene el valor obtenido
en el inciso a), calcule el campo eléctrico (magnitud y dirección) en
cada una de las regiones < r < R, R < r < 2Ry r> 2R. Presente
sus resultados en una gràfica de la componente radial de E como fun-
ción de r. c) Como regla general, el campo eléctrico es discontinuo so-
lo en lugares en que hay una làmina delgada de carga. Explique el
modo en que concuerdan con esta regla sus resultados para el inciso b).

22.49. Sobre la superfície de una coraza esfèrica aislante de radio R,
està distribuida con uniformidad una carga negativa —Q. Calcule la
fuerza (magnitud y dirección) que ejerce la coraza sobre una carga
puntual positiva q ubicada a una distancia a) r > R del centro de la co-
raza (fuera de la coraza), y b) r < R del centro de la coraza (dentro de
la coraza).

22.50. d) ^Cuàntos electrones en exceso deben distribuirse de manera
uniforme dentro del volumen de una esfera de plàstico aislada de 30.0
cm de diàmetro, para producir un campo eléctrico de 1150 N/C justo
afilera de la superfície? b) ^Cuàl es el campo eléctrico en un punto que
està 10.0 cm fuera de la superfície de la esfera.

22.51. Una placa conductora gran-

de y aislada (figura 22.40) tiene F 'g ura 21A0 Problema 22.51.
una carga por unidad de àrea <r
sobre su superfície. Como la placa
es conductora, el campo eléctrico
en su superfície es perpendicular a
la superfície y su magnitud es E =
(r/e a . d) En el ejemplo 22.7 (sec-
ción 22.4) se demostro que el
grande, con carga uniforme y con
carga por unidad de àrea cr tiene

una magnitud de E = <r/2e , exactamente la mitad de una placa con-
ductora con carga. (,Por qué hay esta diferencia? b) Recuerde que la
distribución de carga en la placa conductora es como si hubiera dos là-
de àrea de cr ; use el resultado del ejemplo 22.7 y el principio de super-
posición para demostrar que E — dentro de la placa, y que E = cr/e
fuera de la placa.

22.52. Modelo atómico de Thomson. En los primeros anos del si-
glo xx, un modelo líder de la estructura del àtomo era el del físico in-
glés J. J. Thomson (el descubridor del electrón). En el modelo de
Thomson, un àtomo consistia en una esfera de material con carga posi-
tiva en el que estaban inmersos electrones con carga negativa, como

E = <r/<

V

(T*

E--

778 CAPÍTULO 22 Ley de Gauss

Figura 22.41

Problema 22.53.

chispas de chocolate en una bola de masa de galleta. Tomé en cuenta
que un àtomo así consistia en un electrón con masa m y carga — e, que
puede considerarse una carga puntual, y una esfera con carga uniforme
de carga +e y radio R. d) Explique por qué la posición de equilibrio
del electrón està en el centro del núcleo. b) En el modelo de Thomson
se suponía que el material positivo ofrecía poca o ninguna resistència
al movimiento del electrón. Si el electrón se aparta del equilibro una
distancia menor que R, demuestre que el movimiento resultante del
electrón seria armónico simple, y calcule su frecuencia de oscilación.
(Sugerencia: repase la defmición del movimiento armónico simple en
la sección 13.2. Si puede demostrarse que la fuerza neta sobre el elec-
trón es de esta forma, entonces se inflere que el movimiento es armóni-
co simple. A la inversa, si la fuerza neta sobre el electrón no tiene esta
forma, el movimiento no es armónico simple, c) En la època de Thom-
son se sabia que los àtomos excitados emitían ondas de luz solo de
ciertas frecuencias. En su modelo, la frecuencia de la luz emitida es la
misma que la frecuencia de oscilación del electrón o electrones en el
àtomo. En el modelo de Thomson, ^cuàl tendría que ser el radio de
un àtomo para que produjera luz roja de frecuencia 4.57 X 10 14 Hz?
Compare su respuesta con los ràdios de àtomos reales, que son del or-
den de 10~'° m (consulte el apéndice F para datos sobre el electrón).
d) Si el electrón se desplazara del equilibrio una distancia mayor que
R, ^oscilaría? ;,Este movimiento seria armónico simple? Explique su
razonamiento. (Nota històrica: en 1910 se descubrió el núcleo atómi-
co, lo que probó que el modelo de Thomson era incorrecto. La carga
positiva de un àtomo no estaba distribuida en su volumen, como supo-
nía Thomson, sinó que se concentraba en el diminuto núcleo de radio
de l(T 14 a 10~ I5 m.)

22.53. Modelo atómico de Thomson (conti-
nua). Utilizando el modelo de Thomson
(actualmente caduco) que se describió en el
problema 22.52, considere un àtomo que con-
siste en dos electrones, cada uno con carga
—e, inmersos en una esfera de carga +2e y
una distancia d del centro del àtomo (figura
22.41). Calcule la distancia d en términos de

22.54. Bloque con carga uniforme. Un
bloque de material aislante tiene un espesor 2d y està orientado de for-
ma que sus caras quedan paralelas al plano yz y dado por los pianos
x = dy x = —d. Las dimensiones y y z del bloque son muy grandes
en comparación con d y pueden considerarse esencialmente infinitas.
El bloque tiene una densidad de carga positiva uniforme p. a) Explique
por qué el campo eléctrico debido al bloque es igual a cero en el centro
del bloque (x = 0). b) Con base en la ley de Gauss, encuentre el campo
eléctrico debido al bloque (magnitud y dirección) en todos los puntos
del espacio.

22.55. Bloque con carga no uniforme. Repita el problema 22.54,
però ahora la densidad de carga del bloque està dada por p(x) =
p (x/d) 2 , donde p a es una constante positiva.

22.56. ,",Las fuerzas eléctricas solas dan un equilibrio estable? En
el capitulo 21 se dieron varios ejemplos de calculo de la fuerza que
ejercían varias cargas puntuales del ambiente sobre una carga puntual en
las cercanías. a) Considere una carga puntual positiva + q. Dé un
ejemplo de cómo se colocarían otras dos cargas puntuales de su elec-
ción, de manera que la fuerza neta sobre la carga +q fuera igual a cero.
b) Si la fuerza neta sobre la carga + q es igual a cero, entonces esa car-
ga està en equilibrio. El equilibrio serà estable si cuando la carga +q
se desplaza suavemente en cualquier dirección desde su posición de
equilibrio, la fuerza neta sobre la carga la regresa a la posición de equi-
librio. Para que éste sea el caso, ^cuàl debe ser la dirección del campo
eléctrico E debido a las otras cargas en puntos que rodean la posición
de equilibrio de +ql c) Imagine que la carga +q se mueve muy lejos,
y que hay una pequefia superfície gaussiana con centro en la posición

en que +q estaba en equilibrio. Aplicando la ley de Gauss a esta su-
perfície, demuestre que es imposible satisfacer la condición para la
estabilidad descrita en el inciso b). En otras palabras, una carga +q
no puede mantenerse en equilibrio estable solo con fuerzas electros-
tàticas. Este resultado se conoce como teorema de Earnshaw. d) Los
incisos d) a c) se refieren al equilibrio de una carga puntual positiva
+q. Demuestre que el teorema de Earnshaw también se aplica a una
carga puntual negativa — q.

22.57. Una distribución de carga no uniforme, però con simetria esfèri-

p(r) =po(l - r/R) parar <S
p(r) =0 para r>í

donde p = 3QlirR 3 es una constante positiva, à) Demuestre que la
carga total contenida en la distribución de carga es Q. b) Demuestre
que el campo eléctrico en la región rïfies idéntico al que produce
una carga puntual Q en r = 0. c) Obtenga una expresión para el cam-
po eléctrico en la región r < R. d) Elabore la gràfica de la magnitud
del campo eléctrico E como función de r. e) Encuentre el valor de r
para el que el campo eléctrico es màximo, y calcule el valor de ese
campo màximo.

22.58. Una distribución de carga no uniforme, però con simetria esfè-

p(r) = Po (1 _ 4r/3R) para r < R
p(r) =0 para r ^ R

donde p es una constante positiva, a) Encuentre la carga total conteni-
da en la distribución de carga. b) Obtenga una expresión para el cam-
po eléctrico en la región r ^ R. c) Obtenga una expresión para el
campo eléctrico en la región r < R. d) Elabore la gràfica de la magni-
tud del campo eléctrico E como función de r. e) Calcule el valor de r
en el que el campo eléctrico es màximo, y obtenga el valor de este
campo màximo.

22.59. La ley de Gauss de la gravitación. La fuerza gravitatoria en-
tre dos masas puntuales separadas por una distancia r es proporcional a
1/r 2 , igual que la fuerza elèctrica entre dos cargas puntuales. A causa
de esta similitud entre las interacciones gravitatorias y eléctricas, tam-
bién hay una ley de Gauss para la gravitación. a) Sea g la acelera-
ción debida a la gravedad ocasionada por una masa puntual m en la
región, de manera que g = — ( Gm/r 2 )?. Considere una superfície gau-
ssiana esfèrica con radio r centrada en esa masa puntual, y demuestre
que el flujo de g a través de esta superfície està dado por

g • dA = — 4irGm

b) Con los mismos pasos lógicos que se siguieron en la sección 22.3
con la finalidad de obtener la ley de Gauss para el campo eléctrico, de-
muestre que el flujo de ja través de cualquier superfície cerrada està

g-dA = -477GM»,

donde M eIK . es la masa total encerrada por la superfície cerrada.
22.60. Aplicación de la ley de Gauss de la gravitación. Con base
en la ley de Gauss para la gravitación [obtenida en el inciso b) del
problema 22.59], demuestre que los siguientes enunciados son verda-
deros: a) Para cualquier distribución de masa con simetria esfèrica
con masa total M, la aceleración debida a la gravedad fuera de la dis-
tribución es la misma que si toda la masa estuviera concentrada en el
centro. (Sugerencia: véase el ejemplo 22.5 en la sección 22.4.) b) En
cualquier punto dentro de una coraza de masa simétricamente esfèri-
ca, la aceleración debida a la gravedad es igual a cero. (Sugerencia:
véase el ejemplo 22.5.) c) Si se pudiera perforar un agujero a través

Problemas de desafio

779

Figura 22.42
Problema 22.61.

Figura 22.43

Problema 22.62.

de un planeta con simetria esfèrica respecto de su centro, y si la densi-
dad fuera uniforme, se encontraría que la magnitud de g es directa-
mente proporcional a la distancia r del centro. (Sugerencia: véase el
ejemplo 22.9 en la sección 22.4.) En la sección 12.6 se probaron estos
resultados mediante un anàlisis extenuante; las demostraciones con la
ley de Gauss para la gravitación son mucho mas fàciles.

22.61. a) Una esfera aislante con radio a tiene
una densidad de carga uniforme p. La esfera no
està centrada en el origen, sinó en r = b. De-
muestre que el campo eléctrico en el interior de
la esfera està dado por E = p(r — 6)/3e . b)
Una esfera aislante de radio R tiene un agujero
men y con centro a una distancia b del centro de
la esfera, donde a < b < R (en la figura 22.42 se
muestra una sección transversal de la esfera).
La parte sòlida de la esfera tiene una densidad volumètrica de carga
uniforme p. Obtenga la magnitud y dirección del campo eléctrico E
dentro del agujero, y demuestre que E es uniforme en todo el agujero.
[Sugerencia: use el principio de superposición y el resultado del inci-
so a).]

22.62. Un cilindro aislante solido, muy lar-
go, con radio R tiene un agujero cilíndrico
longitud. El eje del agujero està a una distan-
cia b del eje del cilindro, donde a < b < R
(figura 22.43). El material solido del cilindro
tiene densidad volumètrica de carga unifor-
me p. Encuentre la magnitud y dirección del
campo eléctrico E dentro del agujero, y de-
muestre que E es uniforme en todo el aguje-
ro. (Sugerencia: véase el problema 22.61.)

22.63. Una carga positiva Q està _. „_„„,,
....... c Figura 22.44 Problema 22.63.

distribuïda de manera uniforme °

sobre cada uno de dos volúmenes y

esféricos con radio R. Una esfera
de carga està centrada en el ori-
gen, y la otra en x = 2R (figu-
ra 22.44). Encuentre la magnitud
y dirección del campo eléctrico
neto debido a estàs dos distribu-
ciones de carga en los siguientes puntos sobre el eje x: a) x — 0;
b) x = R/2; c) x = R; d) x = 3R.

22.64. Repita el problema 22.63, però ahora la esfera de la izquierda
tiene carga positiva Q y la de la derecha carga negativa —Q.

22.65. Campo eléctrico dentro de un àtomo de hidrógeno. Un
àtomo de hidrógeno està constituido por un protón de carga +Q =
-1.60 X 1(T I9 C y un electrón de carga -Q = -1.60 X 10~ 19 C.
El protón puede considerarse como una carga puntual en r = 0, el cen-
tro del àtomo. El movimiento del electrón ocasiona que su carga se
"disperse" hacia una distribución esfèrica alrededor del protón, por
lo que el electrón es equivalente a una carga por unidad de volumen de

p(r) = -

Q

-Irja,,

donde a = 5.29 X 10~ m se llama radio de Bohr. a) Encuentre la
cantidad total de la carga del àtomo de hidrógeno encerrada dentro de
una esfera con radio r centrado en el protón. Demuestre que cuando r
— > °°, la carga encerrada tiende a cero. Explique este resultado. b) En-
cuentre el campo eléctrico (magnitud y dirección) causado por la car-
ga del àtomo de hidrógeno como función de r. c) Grafique la magnitud
del campo eléctrico E como función de r.

Problemas de desafio

22.66. Una región del espacio contiene una carga total positiva Q dis-
tribuïda como esfera de manera que la densidad volumètrica de carga

p(r) =a para r £ R/2

p(r) = 2a(l - rJR) paraS/2<r<í
p(r) = para r ^ R

Aquí a es una constante positiva que tiene unidades de C/m 3 , a) Deter-
mine a en términos Q y R. b) Con base en la ley de Gauss, obtenga una
expresión para la magnitud de E como función de r. Haga esto para las
tres regiones por separado. Exprese sus respuestas en términos de la
carga total Q. Asegúrese de comprobar que los resultados concuerden
en las fronteras de las regiones. c) iQué fracción de la carga total està
contenida dentro de la región r £ if/2? d) Si un electrón con carga
q ' = — e oscila de ida y vuelta alrededor de r = (el centro de la dis-
tribución) con una amplitud menor que R/2, demuestre que el mo-
vimiento es armónico simple. (Sugerencia: repase el anàlisis del
movimiento armónico simple en la sección 13.2. Si, y solo si, la fuerza
neta sobre el electrón es proporcional a su desplazamiento del equili-
brio, entonces el movimiento es armónico simple.) e) ^Cuàl es el pe-
riodo del movimiento en el inciso d)l J) Si la amplitud del movimiento
descrito en el inciso e) es mayor que S/2, ;,el movimiento es armónico
simple? L Vor qué?

22.67. Una región en el espacio contiene una carga total positiva Q que
està distribuida en forma esfèrica de manera que la densidad volumè-
trica de carga p(r) està dada por

p(r) = 3m-/(2K) para r< R/2

p(r) = a[l - (r/R) 2 ] para R/2 £ r < R
p(r) = para r ^ R

Aquí, a es una constante positiva que tiene unidades de C/m 3 , a) De-
termine a en términos de Q y R. b) Con base en la ley de Gauss, obten-
ga una expresión para la magnitud del campo eléctrico como función
de r. Realice esto por separado para las tres regiones. Exprese sus res-
puestas en términos de la carga total Q. c) ^Qué fracción de la carga to-
tal està contenida dentro de la región R/2 £ r £ S? d) ^Cuàl es la
magnitud de E en r = R/21 e) Si un electrón con carga q ' = — e se ri-
bera desde el reposo en cualquier punto de alguna de las tres regiones,
el movimiento resultante serà oscilatorio però no armónico simple.
j.Por que"? (Véase el problema de desafio 22.66.)

POTENCIAL ELECTRICO

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprendera:

• A calcular la energia potencial
elèctrica de un conjunta de cargas.

• El significado e importància del
potencial eléctrico.

• A determinar el potencial eléctrico
que un conjunta de cargas produce
en un punta en el espacio.

• El uso de las superficies
equipotenciales para visualizar

la forma en que varia el potencial
eléctrico en el espacio.

• A emplear el potencial eléctrico
para calcular el campo eléctrico.

í En cierto tipo de
entre la herramienta
que suelda y las piezas
metalicas por unir,
fluye carga elèctrica.
Esto produce un arco
muy brillante cuya alta
temperatura funde los
elementos. ÍPor què
debe mantenerse la
herramienta cerca
de las piezas que
se sueldan?

Este capitulo trata de la energia que se asocia con las interacciones eléctricas.
Cada vez que se enciende una luz, un reproductor de CD o un aparato eléctri-
co, se utiliza energia elèctrica, un elemento indispensable de nuestra Sociedad
tecnològica. En los capítulos 6 y 7 se introdujeron los conceptos de trabajo y energia
en el contexto de la mecànica; ahora se combinaran estos conceptos con lo que se ha
aprendido sobre la carga elèctrica, las fuerzas eléctricas y los campos eléctricos. Así
como el concepto de energia hizo posible resolver con facilidad algunos tipos de pro-
blemas de mecànica, el empleo de las ideas de energia hace màs fàcil la solución de

Cuando una partícula con carga se mueve en un campo eléctrico, el campo ejerce
una fuerza que efectua trabajo sobre la partícula. Este trabajo siempre se puede ex-
presar en términos de la energia potencial elèctrica. Así como la energia potencial
gravitatoria depende de la altura de una masa sobre la superfície terrestre, la energia
potencial elèctrica depende de la posición que ocupa la partícula con carga en el campo
eléctrico. Describiremos la energia potencial elèctrica utilizando un concepto nuevo,
llamado potencial eléctrico o simplemente potencial. Es frecuente que en el estudio
de los circuitos, una diferencia de potencial entre un punto y otro reciba el nombre de
voltaje. Los conceptos de potencial y voltaje son cruciales para entender la manera
en que funcionan los circuitos eléctricos, y tienen aplicaciones de gran importància en
los haces de electrones que se utilizan en la radioteràpia contra el càncer, los acelera-
dores de partículas de alta energia y muchos otros aparatós.

23.1 Energia potencial elèctrica

Se demostro que los conceptos de trabajo, energia potencial y conservación de la ener-
gia son sumamente útiles para el estudio de la mecànica. En esta sección se vera que
estos conceptos son útiles para comprender y analizar las interacciones eléctricas.

Comencemos por revisar tres puntos esenciales de los capítulos 6 y 7. En primer lugar,
cuando una fuerza F actua sobre una partícula que se mueve de un punto a a un punto b,
el trabajo W a ^ b efectuado por la fuerza està dado por la siguiente integral de línea:

W„

F-dl

Fcos <f> dl (trabajo realizado por una fuerza) (23.1 )

780

donde dl es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la partícu-
la, y 4> es el àngulo entre F y dl en cada punto de la trayectoria.

En segundo lugar, si la fuerza F es conservativa, según se definió el termino en la
sección 7.3, el trabajo realizado por F siempre se puede expresar en términos de una
energia potencial U. Cuando la partícula se mueve de un punto donde la energia po-
tencial es U a a otro donde es U b , el cambio en la energia potencial es AU = U b — í/„,
y el trabajo W a -+ b que realiza la fuerza es

23.1 Energia potencial elèctrica 781

W^ b = U a -U b =-(U b - t/J = -AU

fuerza conservativa)

(23.2)

Cuando W a _> b es positivo, U a es mayor que U b , AU es negativo y la energia potencial
disminuye. Eso es lo que ocurre cuando una pelota cae de un punto elevado (a) a otro
mas bajo (b) en presencia de la gravedad terrestre; la fuerza de la gravedad efectua un
trabajo positivo, y la energia potencial gravitacional disminuye (figura 23.1). Cuando
se lanza una pelota hacia arriba, la fuerza gravitatoria hace un trabajo negativo duran-
te el ascenso, y la energia potencial aumenta.

En tercer lugar, el teorema del trabajo y la energia establece que el cambio en la
energia cinètica AK = K b — K durante cualquier desplazamiento es igual al trabajo
total realizado sobre la partícula. Si el único trabajo efectuado sobre la partícula lo
realizan fuerzas conservativas, entonces la ecuación (23.2) da el trabajo total, y K b —
K„ = —(t/j — t/„). Por lo general esto se escribe así:

K„

Ua = K b + U b

(23.3)

Es decir, en estàs circunstancias, la energia mecànica total (cinètica mas potencial) se
conserva.

23.1 Trabajo realizado sobre una pelota
de beisbol en movimiento en un campo
gravitacional uniforme.

Objeto en movimiento en un campo
gravitacional uniforme

\ por la fuerza

gravitatoria es
i el mismo para
cualquier trayectoria
de a a b:

II',,

= -A£7 = mgh.

Energia potencial elèctrica en un campo uniforme

A continuación se vera un ejemplo eléctrico de estos conceptos bàsicos. En la figura
23.2 un par de placas metàlicas paralelas con carga generan un campo eléctrico uni-
forme descendente y con magnitud E. El campo ejerce una fuerza hacia abajo con
magnitud F = q E sobre una carga de prueba positiva q . A medida que la carga se
mueve hacia abajo una distancia d del punto a al punto b, la fuerza sobre la carga de
prueba es constante e independiente de su localización. Por lo tanto, el trabajo reali-
zado por el campo eléctrico es el producto de la magnitud de la fuerza por la compo-
nente de desplazamiento en la dirección (descendente) de la fuerza.

W a ^ b = Fd = q Ed

(23.4)

Este trabajo es positivo, toda vez que la fuerza està en la misma dirección que el des-
plazamiento neto de la carga de prueba.

La componente y de la fuerza elèctrica, F y = — q E, es constante, y no hay compo-
nente ioz. Esto es exactamente anàlogo a la fuerza gravitatoria sobre una masa m
cerca de la superfície de la Tierra; para esta fuerza, existe una componente y constan-
te F y — — mg, y las componentes xy z son iguales a cero. A partir de esta analogia se
puede conduir que la fuerza ejercida sobre q por el campo eléctrico uniforme en la
figura 23.2 es conservativa, igual que la fuerza gravitatoria. Esto significa que el tra-
bajo W a _+ b efectuado por el campo es independiente de la trayectoria que sigue la par-
tícula de a a b. Este trabajo puede representarse con una función de energia potencial U,
como se hizo para la energia potencial gravitacional en la sección 7.1. La energia
potencial para la fuerza gravitatoria F y = —mg fue U = mgy; por consiguiente, la
energia potencial para la fuerza elèctrica F = — q E es

23.2 Trabajo realizado sobre una carga
puntual que se mueve en un campo
eléctrico uniforme. Compare esta
ilustración con la figura 23.1.

Carga puntual que se mueve en un campo
eléctrico uniforme y

I
È

\

Ha

tb

1<p

7K~d

- O -

El trabajo realizado por la fuerza
elèctrica es el mismo para cualquier
trayectoria deaafe:

W a _n, = -&U= q a Ed.

U = q Ey

(23.5)

Cuando la carga de prueba se mueve de la altura y a a la altura y b , el trabajo realizado
sobre la carga por el campo està dado por

W a ^ b = -AU = -(U b - t/J = -(q„Ey b - q Ey a ) = q E(y a - y b )

(23.6)

782

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

23.3 Carga positiva que se
desplaza a) en la direceión del
campo eléctrico E y b) en la
direceión opuesta a E.

a) La carga positiva se desplaza en direceión de E: b) La carga positiva se desplaza en direceión opuesta a E:

• El campo realiza un trabajo posiíivo sobre la carga. • El campo realiza un trabajo negaïivo sobre la carga.

• U disminuye. y • U aumenta. y

+ + +

+ +

l

E

/

If=%e

I

>

V

1 o

-b +

- v /,

7^ fl

í

F= q E

Cuando y„ es mayor que y h (figura 23.3a), la carga de prueba positiva q se mueve hacia
abajo, en la misma direceión que E; el desplazamiento tiene lugar en la misma direc-
eión que la fuerza F = q u E, por lo que el campo realiza trabajo positivo y U disminuye.
[En particular, si v„ — y,, = d como en la figura 23.2, la ecuación (23.6) da W„ t = qjíd
en concordancia con la ecuación (23.4).] Cuando y a es menor que y b (figura 23.3b), la
carga de prueba positiva q„ se mueve hacia arriba, en direceión opuesta a E; el despla-
zamiento se opone a la fuerza, el campo hace un trabajo negativo y U aumenta.

Si la carga de prueba q es negativa, la energia potencial aumenta cuando se mueve
a favor del campo y disminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).

Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplica la siguiente regla general: U
aumenta si la carga de prueba q se mueve en la direceión opuesta a la fuerza elèctri-
ca F = q E (figuras 23.3b y 23.4a); U disminuye si q se mueve en la misma direc-
eión que F = q E (figuras 23.3a y 23.4b). Éste es el mismo comportamiento que para
la energia potencial gravitacional, la cual aumenta si una masa m se mueve hacia arri-
ba (en direceión opuesta a la direceión de la fuerza gravitatoria) y disminuye si m se
mueve hacia abajo (en la misma direceión que la fuerza gravitatoria).

CUIDADO Energia potencial elèctrica La relación que hay entre el cambio en la energia
potencial elèctrica y el movimiento en un campo eléctrico es muy importante, y se utilizarà con
frecuencia. También es una relación que requiere cierto esfuerzo para comprenderse del todo.
Tómese el tiempo necesario para revisar el pàrrafo anterior y estudie con cuidado las figuras

Energia potencial elèctrica de dos cargas puntuales

La idea de la energia potencial elèctrica no se restringe al caso especial de un campo
eléctrico uniforme. En realidad, este concepto se puede aplicar a una carga puntual en
cualquier campo eléctrico generado por una distribución de carga estàtica. Recuerde,

23.4 Una carga negativa que
se desplaza a) en direceión
del campo eléctrico E y
b) en direceión opuesta
a E. Compare con la
figura 23.3.

a) La carga negativa se desplaza en la direceión de E:

• EI campo realiza trabajo negativo sobre la carga.

• U aumenta. y

v„

b) La carga negativa se desplaza en direceión opuesta a E:

• El campo realiza trabajo positivo sobre la carga.

• V disminuye . y

f

I
I

T

% E

+ + +

+ +

l

E

)

y

i

1 o

del capitulo 21, que cualquier distribución de carga se representa como un conjunto
de cargas puntuales. Por consiguiente, es útil calcular el trabajo realizado sobre una
carga de prueba q que se mueve en el campo eléctrico ocasionado por una sola carga
puntual estacionaria q.

En primer lugar se considerarà un desplazamiento a lo largo de una línea radial,
como se ilustra en la figura 23.5, del punto a al punto b. La fuerza sobre q està dada
por la ley de Coulomb, y su componente radial es

F ' = I — *T (23J)

477-£ r -

Si q y q a tienen el mismo signo (+ o — ), la fuerza es de repulsión y F r es positiva; si
las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y F r es negativa. La
fuerza no es constante durante el desplazamiento, y se tiene que integrar para obtener
el trabajo W a ^, b que realiza esta fuerza sobre q a medida que q se mueve de a a b.
Resulta lo siguiente:

W„^ h = F,dr =

1 OTo

4ire

dr =

11o { 1 1

Aire

(23.8)

El trabajo efectuado por la fuerza elèctrica para esta trayectoria particular depende
solo de los puntos extremos.

En realidad, el trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles entre a y b.
Para demostrar esto, se considera un desplazamiento màs general (figura 23.6) en el
que a y b no estan en la misma línea radial. De la ecuación (23.1), el trabajo efectua-
do sobre q a durante este desplazamiento està dado por

1 OTo

Wo^/j = Fcos<f> dl =

47re„

cos<£ dl

Però la figura muestra que cos <f> dl — dr. Es decir, el trabajo realizado durante un des-
plazamiento pequeno dl depende solo del cambio dr en la distancia r entre las cargas,
el cual es la componente radial del desplazamiento. Así, la ecuación (23.8) es vàlida
incluso con respecto a este desplazamiento màs general; el trabajo que efectua sobre
q el campo eléctrico E producido por q solo depende de r a y r b , y no de los detalles
de la trayectoria. Asimismo, si q regresa a su punto inicial a por una trayectoria dife-
rente, el trabajo total que se realiza en el desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero
[la integral en la ecuación (23.8) es de r a de regreso a rj. Estàs son las características
necesarias para una fuerza conservativa, según se definió en la sección 7.3. Así, la
fuerza sobre q es conservativa.

Se ve que las ecuaciones (23.2) y (23.8) son consistentes si se define qq ü \<\TTe ü r a
como la energia potencial U„ cuando q està en el punto a, a una distancia r a de q, y se
define qq l4ire r b como la energia potencial U b cuando q està en el punto b, a una

23.1 Energia potencial elèctrica 783

23.5 La carga de prueba q se desplaza
a lo largo de una línea recta que se
extiende en forma radial desde la carga q.
Conforme se desplaza de a a b, la
distancia varia de r a a r b .

La carga q ü se
desplaza de a a b
a lo largo de una
desde q

La carga de prueba q
se desplaza de a a b
a lo largo de una
trayectoria
arbitraria

23.6 El trabajo efectuado sobre la carga
q u por el campo eléctrico de carga q no
depende de la trayectoria seguida,
sinó solo de las distancias r„ y r b .

784

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

23.7 Gràficas de la energia potencial U
de dos cargas puntuales q y q contra su
separación r.

a) q y g tienen el mismo signo

V

1 lo 9 </o

® 9 ° § §

(/ > o

• Como r — > 0, [/ — > +oo.

• Como i- — > oo, £/ — > 0.

distancia r b de g. De esta forma, la energia potencial U cuando la carga de prueba q
està a cualquier distancia r de la carga q es

b) 9 y 9o tienen signos opuestos

(7
O-

/9 90

9

°

/ K-r-H

K-r

r c < o

• Como /• — > 0,

£/-> -

1 • Como r — > co

ry->o

Vi)

U

1 <7<7o (energia potencial elèctrica de
477e r dos cargas puntuales q y g )

(23.9)

Observe que no hemos supuesto nada acerca de los signos de q y q ; la ecuación
(23.9) es vàlida para cualquier combinación de signos. La energia potencial es positi-
va si las cargas q y q tienen el mismo signo (figura 23.7a), y negativa si tienen signos
opuestos (figura 23.7b).

CUIDADO La energia potencial elèctrica contra la fuerza elèctrica Hay que tener
cuidado de no confundir la ecuación (23.9) para la energia potencial de dos cargas puntuales
con la expresión similar en la ecuación (23.7) para la componente radial de la fuerza elèctrica
que ejerce una carga sobre la otra. La energia potencial U es proporcional a 1/r, mientras que la
componente de la fuerza Fr es proporcional a 1/r 2 .

La energia potencial siempre se define en relación con algun punto de referència
donde U = 0. En la ecuación (23.9), U es igual a cero cuando q y q estan infinita-
mente alejadas y r — °°. Por lo tanto, U representa el trabajo que realizaría el campo
de q sobre la carga de prueba q si esta última se desplazara de una distancia inicial r
al infinito. Si q y q tienen el mismo signo, la interacción serà de repulsión, este traba-
jo serà positivo y U serà positiva en cualquier separación finita (figura 23.7a). Si las
cargas tienen signos opuestos, la interacción es de atracción, el trabajo efectuado serà
negativo y U serà negativa (figura 23.7b).

Conviene subrayar que la energia potencial U dada por la ecuación (23.9) es una
propiedad compartida de las dos cargas q y q a ; es una consecuencia de la interacción
entre estos dos cuerpos. Si la distancia entre las dos cargas cambia de r a a r,„ el cam-
bio en energia potencial es el mismo si q permanece fija y q se mueve, o si q a se man-
tiene fija y es q la que se mueve. Por esta razón, nunca se usa la frase "la energia
potencial elèctrica de una carga puntual". (De igual manera, si una masa m se encuen-
tra a una altura h sobre la superfície de la Tierra, la energia potencial gravitacional es
una propiedad compartida de la masa m y la Tierra. En las secciones 7. 1 y 12.3 se hi-
zo hincapié en este hecho.)

La ley de Gauss dice que el campo eléctrico fuera de cualquier distribución de car-
ga esféricamente simètrica es la misma que habría si toda la carga estuviera en el cen-
tro. Por lo tanto, la ecuación (23.9) también se cumple si la carga de prueba q està
fuera de cualquier distribución de carga esféricamente simètrica con carga total q
a una distancia r del centro.

Ejemplo 23.1

Conservación de energia con fuerzas eléctricas

Un positrón (antipartícula del electrón) tiene una masa de 9.11 X 10~ 31
kg y una carga +e = 1.60 X 1(T 19 C. Suponga que un positrón se
mueve en la vecindad de una partícula alfa cuya carga es +2e = 3.20
X 10~ 19 C. La partícula alfa tiene una masa mas de 7000 veces mayor
que la del positrón, por lo que se supondra que està en reposo en algun
marco de referència inercial. Cuando el positrón està a 1.00 X 10~ lo m
de la partícula alfa, se aleja de esta con una rapidez de 3.00 X 10 6 m/s.
d) ^Cuàl es la rapidez del positrón cuando las dos partículas estan se-
paradas por una distancia de 2.00 X 10~ 10 m? b) £Cuàl es la rapidez
del positrón cuando està muy alejado de la partícula alfa? c) ^Cómo
cambiaría la situación si la partícula en movimiento fuera un electrón
(igual masa que la del positrón però con carga opuesta)?

EnEm

IDENTIFICAR: La fuerza elèctrica entre el positrón y la partícula alfa
es conservativa, por lo que la energia mecànica (cinètica màs poten-
cial) se conserva.

PLANTEAR: Las energías cinètica y potencial en dos puntos cuales-
quiera ay b estan relacionadas por la ecuación (23.3), K a — U„ = K h —
U b , y la energia potencial a cualquier distancia r està dada por la ecua-
ción (23.9). Se da información completa sobre el sistema en un punto a
en el que las dos cargas estan a una distancia de 1.00 X 10~ 10 m. Se
usan las ecuaciones (23.3) y (23.9) para encontrar la rapidez con dos
valores diferentes de r en los incisos a) y b), y para el caso en que la
carga +e se sustituye por —e en el inciso c).

EJECUTAR: à) En esta parte, r b = 2.00 X 10~'° m y se desea obtener
la rapidez final v h del positrón. Esto aparece en la expresión de la ener-
gia cinètica final, K b = \mv b \ y al resolver la ecuación de conserva-
ción de la energia para K h se tiene:

K„ = K„ + U„ - U„

23.1 Energia potencial elèctrica 785

Los valores de las energías en el lado derecho de esta expresión son
K a = -mvj = -(9.11 X 1CT 31 kg) (3.00 X 10 6 m/s) 2
= 4.10 X 10~ 18 J

c/„ - — -

4TT€ a r„

(3.20 X 10" 19 C)(1.60 X 10" 19 C)
= (9.0 X lO'N•m^C 2 ) —

1.00 X l(T lü m

4.61 X 10"

(3.20 X 10" 19 C)(1.60X 10" 19 C)

U„ = (9.0 X 10" N ■ m 2 /C 2 ) ^— -

2.00X10-'°m

= 2.30 X 10~ 1S J
Por lo tanto, la energia cinètica final es

K„ = -mvi = K„ + U„ - U„

= 4.10 X 10~ 18 J + 4.61 X 10~ 18 J - 2.30 X 10~ 18 J
= 6.41 X 10~ 18 J
y la rapidez final del positrón es
/2kT

2(6.41 X 10" 18 J)
9.11 x UT 31 kg

3.8 X 10 6 m/s

La fuerza es de repulsión, por lo que el positrón acelera conforme se
aleja de la partícula alfa estacionaria.

b) Cuando las posiciones finales del positrón y la partícula alfa es-
tan muy lejos una de otra, la separación r b tiende al infinito y la energia
potencial final U b tiende a cero. Así, la energia cinètica final del posi-
trón es

K b = K„ + U„ - U b = 4.10 X 10~ 18 J + 4.61 X 10~ 18 J -
= 8.71 X 10~ I8 J

y su rapidez final es

Í2K h

v b =

2(8.71 X 10~ I8 J)
9.11 X 10~ 31 kg

= 4.4 X 10 6 m/s

Al comparar este resultado con el del inciso a) se observa que confor-
me el positrón se mueve de r = 2.00 X 10~'° m al infinito, el trabajo
adicional realizado sobre él por el campo eléctrico de la partícula alfa
incrementa la rapidez aproximadamente en un 16%. Esto se debe a que
la fuerza elèctrica disminuye ràpidamente con la distancia.

c) Si la carga en movimiento es negativa, la fuerza sobre su ella es
de atracción en vez de repulsión, y se espera que disminuya en vez de
acelerar. La única diferencia en los càlculos anteriores es que las dos
cantidades de energia potencial son negativas. Del inciso a), a una dis-
tancia r b = 2.00 X 10~ 10 m se tiene

K,, = K„ + U„ - U b

= 4.10 X 10- |8 J + (-4.61 X 10-' 8 J) - (-2.30 X 10~ 18 j)
= 1.79 X 10" 18 J

l 2K i> „ ,

V b = ,/ = 2.0 X 10 6 m/s

V m

Del inciso b), con r b = °°, la energia cinètica del electrón parecería ser

K„ = K a + U„ - U„

= 4.10 X 10- |8 J + (-4.61 X 10-' 8 J) -
= -5.1 X 10" 19 J

jPero las energías cinéticas nunca son negativas! Este resultado signi-
fica que el electrón nunca puede alcanzar r b = =°; la fuerza de atracción
lleva al electrón a detenerse a una distancia finita de la partícula alfa, y
luego comenzarà a moverse hacia la partícula alfa. Si se iguala K b a ce-
ro en la ecuación de la conservación de la energia mecànica, se puede
resolver para determinar la distancia r b en la que el electrón se encuen-
tra en reposo momentàneo.

EVALUAR: Es útil comparar nuestros càlculos con la figura 23.7. En
los incisos d) y b), las cargas tienen el mismo signo; como r b > r„, la
energia potencial U b es menor que U a . En el inciso c), las cargas tienen
signos opuestos; como r b > r„, la energia potencial U b e\$ mayor (es de-
cir, menos negativa) que í/„.

Energia potencial elèctrica con varias cargas puntuales

Suponga que el campo eléctrico E en el que se desplaza la carga q se debe a varias
cargas puntuales q it q 2 , q 3 , . . . a distancias r,, r 2 , r 3 , . . . de q a , como se ilustra en la fi-
gura 23.8. Por ejemplo, q Q podria ser un ion positivo que se mueve en presencia de
otros iones (figura 23.9). El campo eléctrico total en cada punto es la suma vectorial
de los campos debidos a las cargas individuales, y el trabajo total realizado sobre q a
durante cualquier desplazamiento es la suma de las contribuciones de las cargas indi-
viduales. De la ecuación (23.9) se concluye que la energia potencial asociada con la
carga de prueba q a en el punto a en la figura 23.8 es la suma algebraica (no la suma
vectorial):

4tt€„ \ r, r, r,

4ire

.y <h (carga puntual q
,. r y conjunto de cargas g,) * ' '

23.8 La energia potencial asociada con
la carga q en el punto a depende de las
otras cargas q t , q 2 y q 3 y de sus distancias
r \, r 2 y r 3 desde el punto a.

Cuando q està en un punto b diferente, la energia potencial està dada por la
misma expresión, però r u r 2 , . . . son las distancias desde q u q 2 , . . . al punto b. El tra-
bajo efectuado sobre la carga q cuando se desplaza de a a b a lo largo de cualquier

786

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

23.9 Esta màquina de iones para naves
espaciales utiliza fuerzas eléctricas para
expulsar un chorro de iones positivos de
xenón (Xe + ) con una rapidez superior a
30 km/s. La propulsión que ocasiona es
muy baja (alrededor de 0.09 newtons),
però es posible mantenerla continuamente
durante varios días, en contraste con los
cohetes de combustible químico, que
generan una enorme propulsión durante
un breve lapso (figura 8.33). Los motores
de iones se han utilizado para maniobrar
las naves interplanetarias.

trayectoria es igual a la diferencia U„ — U b entre las energías potenciales cuando q B
està en a y en b.

Se puede representar cualquier distribución de carga como un conjunto de cargas
puntuales, por lo que la ecuación (23.10) muestra que siempre es posible encontrar
una función de la energia potencial para cualquier campo eléctrico estàtico. Se infiere
que para todo campo eléctrico debido a una distribución de carga estàtica, la
fuerza ejercida por ese campo es conservativa.

Las ecuaciones (23.9) y (23.10) definen que U es igual a cero cuando todas las dis-
tancias r u r 2 , . . . son infinitas, es decir, cuando la carga de prueba q està muy lejos de
todas las cargas que producen el campo. Igual que para cualquier función de la ener-
gia potencial, el punto en que U — 0, es arbitrario; siempre se puede sumar una cons-
tante que haga a U igual a cero en cualquier punto que se elija. En los problemas de
electrostàtica, por lo general lo màs sencillo es elegir que este punto se encuentre
en el infinito. Cuando se analicen circuitos eléctricos en los capítulos 25 y 26, habrà
otras elecciones que resulten màs convenientes.

La ecuación (23.10) da la energia potencial asociada con la presencia de la carga
de prueba q en el campo E producido por q u q 2 , q 3 , . . . Però también hay energia po-
tencial implicada en el arreglo de estàs cargas. Si se comienza con las cargas q u q 2 ,
q 3 , . . . todas separadas entre sí por distancias infinitas, y luego se las acerca de mane-
ra que la distancia entre q, y qj sea r tj , la energia potencial total U es la suma de las
energías potenciales de interacción para cada par de cargas. Esto se escribe como

U

1

m

4-n-e

(23.11)

Esta suma se extiende a todas los pares de cargas; no se permite que i — j (porque eso
seria la interacción de una carga consigo misma), y solo se incluyen términos con i < j
para garantizar que cada par se tome en cuenta solo una vez. Así, para explicar la in-
teracción entre q 3 y q 4 , se incluye un termino con i = 3 y j = 4, però no un termino
con i = 4yy = 3.

Interpretación de la energia potencial elèctrica

Como comentario final, a continuación se exponen dos puntos de vista sobre la energia
potencial elèctrica. Definimos la energia potencial elèctrica en términos del trabajo rea-
lizado por el campo eléctrico sobre una partícula con carga que se mueve en el campo,
en forma similar a como en el capitulo 7 se definió la energia potencial en términos del
trabajo efectuado por la gravedad o por un resorte. Cuando una partícula se desplaza
del punto a al punto b. el trabajo que realiza sobre ella el campo eléctrico es W a _> b = í/„
— U b . Por lo tanto, la diferencia de energia potencial U„ — U b es igual al trabajo que
efectua la fuerza elèctrica cuando la partícula se desplaza de a a b. Cuando {/„ es ma-
yor que U h , el campo realiza trabajo positivo sobre la partícula conforme "cae" de un
punto de mayor energia potencial (d) a otro con menor energia potencial (b).

Un punto de vista alternativo però equivalente es considerar cuànto trabajo se hu-
biera tenido que hacer para "subir" la partícula desde un punto b, en el que la energia
potencial es U b , hasta un punto a en el que la energia potencial tiene un valor mayor
U a (por ejemplo, al empujar dos cargas positivas para acercarlas). Para mover la par-
tícula lentamente (de manera que no se le imparta ninguna energia cinètica), es nece-
sario ejercer una fuerza externa adicional F exl que es igual y opuesta a la fuerza del
campo eléctrico y realiza un trabajo positivo. La diferencia de energia potencial U a —
U b se define entonces como el trabajo que debe efectuar una fuerza externa para des-
plazar la partícula lentamente desde b hasta a en contra de la fuerza elèctrica. Como
F ext es el negativo de la fuerza del campo eléctrico y el desplazamiento ocurre en di-
rección opuesta, esta definición de la diferencia de potencial U„ ~ U b es equivalente a
la que se dio antes. Este punto de vista alternativo también funciona si U„ es menor
que U b , lo que corresponde a "bajar" la partícula; un ejemplo de esto es alejar dos car-
gas positivas una de otra. En este caso, U a — U b de nuevo es igual al trabajo realizado
por la fuerza externa, però ahora este trabajo es negativo.

En la siguiente sección se usaran estos dos puntos de vista para interpretar lo que
se conoce como potencial eléctrico, o energia potencial por unidad de carga.

23.2 Potencial eléctrico

787

Ejemplo 23.2

Sistema de cargas puntuales

Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q { = — e en x = y
q 2 = +e en x = a. a) Determine el trabajo que debe realizar una fuer-
za externa para llevar una tercera carga puntual q 3 = +e del inflnito a
x = 2a. b) Determine la energia potencial total del sistema de tres
cargas.

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Este problema implica la relación entre el trabajo
efectuado para mover una carga puntual y el cambio en la energia po-
tencial. También implica la expresión para la energia potencial de un
conjunto de cargas puntuales.

PLANTEAR: La figura 23.10 presenta el arreglo final de las tres car-
gas. Para determinar el trabajo que se requiere para traer a o, del infini-
ta, se usa la ecuación (23.10) para encontrar la energia potencial
asociada con q 3 en la presencia de q t y q 2 . Después se emplea la ecua-
ción (23. 1 1) para determinar la energia potencial total del sistema.

23.10 Dibujo de la situación después de que se ha traído la
tercera carga del infinito.

<\2= +e

x = 2a

EJECUTAR: à) El trabajo que debe hacer una fuerza externa F ext sobre
q 3 es igual a la diferencia entre dos cantidades: la energia potencial U
asociada con o, cuando està en x = la y la energia potencial que tiene
cuando està infinitamente lejos. La segunda de éstas es igual a cero,
por lo que el trabajo que debe realizarse es igual a U. Las distancias
entre las cargas son r I3 = 2a y r 2 , = a, por lo que a partir de la ecua-
ción (23.10),

W= U

g3

4ire,

47T€ n \ la

ÍTT£ a

Si o 3 se lleva del infinito a lo largo del eje +x, es atraída por q, però re-
pelida con màs fuerza por o 2 ; por ello, debe hacerse un trabajo positivo
para llevar o, a la posición x = 2a.

b) La energia potencial total del conjunto de tres cargas està dado
por la ecuación (23.11):

i _ m
u = — y —

1

47re

1 . (

4we„

-e){e)

2a

?1«3 , 1l%

(e)(e)

877e a

EVALUAR: Como el resultado en el inciso b) es negativo, el sistema
tiene menos energia potencial que si las tres cargas estuvieran infini-
tamente alejadas. Una fuerza externa tendría que hacer trabajo nega-
tivo para traerlas del infinito y acomodarlas en su arreglo, y trabajo
positivo para llevarlas de regreso al infinito.

Evalúe su comprensión de la sección 23.1 Considere el sistema de tres
cargas puntuales del ejemplo 21.4 (sección 21.3) y que se ilustra en la figura 21.14.
a) iCuàl es el signo de la energia potencial total de este sistema? i) positivo; ii) negativo;
iii) cero. b) ^Cuàl es el signo de la cantidad total de trabajo que tendría que hacerse para
llevar las cargas infinitamente lejos una de otra? i) positivo; ii) negativo; iii) cero.

23.2 Potencial eléctrico

En la sección 23.1 se estudio la energia potencial U asociada con una carga de prueba
q en un campo eléctrico. Ahora interesa describir esta energia potencial sobre una ba-
se "por unidad de carga", al igual que el campo eléctrico describe la fuerza por unidad
de carga sobre una partícula con carga en el campo. Esto lleva al concepto de poten-
cial eléctrico, al que es frecuente llamar simplemente potencial. Este concepto es
muy útil en los càlculos que implican energías de partículas con carga. También faci-
lita hacer muchos càlculos de campo eléctrico porque el potencial eléctrico se relacio-
na estrechamente con el campo eléctrico E. Cuando se necesita determinar un campo
eléctrico, a menudo es màs fàcil determinar primero el potencial y después, a partir de
éste, el campo.

El potencial es la energia potencial por unidad de carga. Se define el potencial V
en cualquier punto en el campo eléctrico como la energia potencial U por unidad de
carga asociada con una carga de prueba q a en ese punto:

11.13

\ctv
Physics

Energia potencial elèctrica y potencial

V = — o bien, U = q V
lo

(23.12)

Tanto la energia potencial como la carga son escalares, por lo que el potencial es una
cantidad escalar. Sus unidades se encuentran a partir de la ecuación (23.12), dividien-
do las unidades de energia entre las de carga. La unidad del SI para el potencial se

788

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

llama volt (1 V) en honor del científlco italiano y experimentador eléctrico Alejandro
Volta (1745-1827), y es igual a 1 joule por coulomb:

1 V = 1 volt = 1 j/C = 1 joule/coulomb

Expresemos la ecuación (23.2), que iguala el trabajo realizado por la fuerza
elèctrica durante un desplazamiento de a a b con la cantidad —AU= —{U h — U a ),
sobre una base de "trabajo por unidad de carga". Al dividir esta ecuación entre q
se obtiene:

"'.

23.1 1 El voltaje de esta bateria es igual a
la diferencia de potencial V„ b = V a — V b
entre su terminal positiva (punto a) y su
terminal negativa (punto b).

Punio

1.5 volts

-(V»-V.) = V«-V» (23.13)

donde V„ = U a /q a es la energia potencial por unidad de carga en el punto a y se apli-
ca de manera anàloga para V b . V„ y V b se denominan el potencia! en ei punto a y
potencial en el punto b, respectivamente. De este modo, el trabajo realizado por uni-
dad de carga por la fuerza elèctrica cuando un cuerpo con carga se desplaza de a a b
es igual al potencial en a menos el potencial en b.

La diferencia V a — V b se llama potencial de a con respecto a b\ en ocasiones esa
diferencia se abrevia como V tlb = V a ~ V b (observe el orden de los subíndices). No es
raro que se llame a esta expresión diferencia de potencial entre ay b; però esto es una
ambigüedad, a menos que se especifique cuàl es el punto de referència. En los circui-
tos eléctricos, que se analizaràn en capítulos posteriores, la diferencia de potencial
entre dos puntos con frecuencia se denomina voltaje (figura 23.11). Así, la ecuación
(23.13) establece: V ab , el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo reali-
zado por la fuerza elèctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza dea ab.

Otra manera de interpretar la diferencia de potencial V llb en la ecuación (23.13) es
recurrir al punto de vista alternativo que se menciono al final de la sección 23.1. Des-
de ese punto de vista, U„ — U h es la cantidad de trabajo que debe realizar una fuerza
externa para desplazar con lentitud una partícula de carga q de b a a contra la fuerza
elèctrica. El trabajo que debe hacer por unidad de carga la fuerza externa es, por lo
tanto, ([/„ - U b )jq = V a — V b = V ab . En otras palabras, V ab , el potencial dea con
respecto a b, es igual al trabajo que debe efectuarse para desplazar con lentitud
una UNIDAD de carga de b a a contra la fuerza elèctrica.

El instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos puntos se llama voltí-
metro. En el capitulo 26 se estudiarà el principio del tipo màs común de voltímetro, el
de bobina móvil. También hay instrumentos mucho màs sensibles para medir el po-
tencial, los cuales utilizan amplificación electrònica. Son comunes los instrumentos
capaces de medir diferencias de potencial de 1 fïW, y es posible obtener sensibilidades
menores de 10~ 12 V.

Calculo del potencial eléctrico

Para encontrar el potencial V debido a una sola carga puntual q, se divide la ecuación
(23.9) entre q :

U 1

V= — = —

q Air

(potencial debido a una carga puntual) (23.14)

donde r es la distancia de la carga puntual q al punto en que se evalúa el potencial.
Si q es positiva, el potencial que produce es positivo en todos los puntos; si q es ne-
gativa, produce un potencial negativo en cualquier lugar. En cualquier caso, V es
igual a cero en r = =°, a una distancia infinita de la carga puntual. Observe que el
potencial, como el campo eléctrico, es independiente de la carga de prueba q que
se utiliza para definirlo.

De manera similar, para encontrar el potencial debido a un conjunto de cargas
puntuales, se divide la ecuación (23.10) entre q :

y= V 1 *

q 4ire , r,

(potencial debido a un conjunto
de cargas puntuales)

(23.15)

23.2 Potencial eléctrico

789

En esta expresión, r, es la distancia de la i-ésima carga, q h al punto en que se evalúa V.
Así como el campo eléctrico debido a una colección de cargas puntuales es la su-
ma vectorial de los campos producidos por cada carga, el potencial eléctrico debido
a una colección de cargas puntuales es la suma escalar de los potenciales debidos a
cada carga. Cuando se tiene una distribución continua de carga a lo largo de una lí-
nea, sobre una superfície o a través de un volumen, se divide la carga en elementos dq
y la suma en la ecuación (23.15) se convierte en integral:

donde r es la distancia que hay entre el elemento con carga dq y el punto del cam-
po donde se desea obtener V. Se veràn varios ejemplos de tales casos. El potencial
definido por las ecuaciones (23.15) y (23.16) es igual a cero en puntos que estan infi-
nitamente lejos de todas las cargas. Mas adelante se veràn casos en los que la dis-
tribución de carga en sí se extiende al infinito. En tales casos se vera que en el infinito
no se puede establecer V = 0, y se necesitarà tener cuidado en el uso e interpretación
de las ecuaciones (23.15) y (23.16).

CUIDADO £Qué es el potencial eléctrico? Antes de entrar en los detalles del calculo del
potencial eléctrico, debemos detenernos y recordar lo que es el potencial. El potencial eléctrico
en cierto punto es la energia potencial que estaria asociada a una carga unitària colocada en ese
punto. Ésa es la razón por la que el potencial se mide en joules por coulomb, o volts. Asimismo,
hay que recordar que no tiene que haber una carga en un punto dado para que ahí exista un po-
tencial V. (De igual forma, un campo eléctrico puede existir en un punto dado aun si no hay car-
ga que responda a él.)

Obtención del potencial eléctrico
a partir del campo eléctrico

Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales, la ecuación (23.15) es por lo gene-
ral la forma mas fàcil de calcular el potencial V. Però en ciertos problemas en los que
se conoce el campo eléctrico o se puede calcular con facilidad, es mas fàcil determi-
nar V a partir de E. La fuerza F sobre una carga de prueba q se escribe como
F = q a E, por lo que, según la ecuación (23.1), el trabajo realizado por la fuerza elèc-
trica conforme la carga de prueba se desplaza de a a b està dado por:

W.

F-dl

q ü E • dl

Si se divide entre q y se compara el resultado con la ecuación (23.13), se encuentra
que

V b = É-dt = Ecoscpd!

(diferencia de potencial
como integral de E)

(23.17)

El valor de V a — V b es independiente de la trayectoria tomada de a a b, del mismo mo-
do en que el valor de W a _^ b es independiente de la trayectoria. Para interpretar la ecua-
ción (23.17) hay que recordar que E es la fuerza elèctrica por unidad de carga sobre
una carga de prueba. Si la integral de línea \ b a E • dl es positiva, el campo eléctrico
efectua un trabajo positivo sobre una carga de prueba positiva conforme esta se despla-
za de a a b. En este caso, la energia potencial elèctrica por unidad de carga disminuye
a medida que la carga de prueba se desplaza, por lo que la energia potencial por unidad
de carga también decrece; por consiguiente, V b es menor que V„ y V„ — V h es positiva.
Como ilustración, considere una carga puntual positiva (figura 23.12a). El campo
eléctrico se aleja de la carga, y V = qJATre r es positivo a cualquier distancia finita de
la carga. Si nos alejamos de la carga, en dirección de E, nos movemos hacia valores
màs bajos de V; si nos acercamos a la carga, en dirección opuesta a E, nos desplazamos
hacia valores mayores de V. Para la carga puntual negativa en la figura 23.12b, E està
dirigido hacia la carga y V — qjAire ü r es negativo a cualquier distancia finita de la car-
ga. En este caso, si nos desplazamos hacia la carga, nos moveremos en la dirección de E

23.12 Si nos movemos en la dirección
de E, el potencial eléctrico V disminuye;
si nos movemos en dirección opuesta a E,
V se incrementa.

a) Una carga puntual positiva

V alimenta
conforme nos
acercamos
a la
carga.

V disminuye
conforme nos
alejamos
de la carga.

b) Una carga puntual negativa

V alimenta
al alejamos
de la carga.

790 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

y en la dirección de V decreciente (mas negativo). Al alejarnos de la carga, en dirección
opuesta a la de E, nos desplazamos hacia valores crecientes de V (menos negativos). La
regla general, vàlida para cualquier campo eléctrico, es la siguiente: desplazarse en la
dirección de E significa hacerlo en la dirección de V decreciente, y desplazarse contra
de la dirección de E significa moverse en la dirección de V creciente.

Asimismo, una carga de prueba positiva q experimenta una fuerza elèctrica en la
dirección de E, hacia valores mas pequenos de V; una carga de prueba negativa ex-
perimenta una fuerza opuesta a E, hacia valores mas grandes de V. Así, una carga po-
sitiva tiende a "caer" de una región de potencial elevado a otra de menor potencial.
Lo contrario también se cumple para una carga negativa.

Observe que la ecuación (23.17) se puede escribir como

V a - V„= - E-dl (23.18)

J b

En comparación con la integral de la ecuación (23.17), esta tiene signo negativo y los
limites estan invertidos; de ahí que las ecuaciones (23.17) y (23.18) sean equivalentes.
Però la ecuación (23.18) tiene una interpretación un poco diferente. Para mover una
unidad de carga lentamente en contra de la fuerza elèctrica, se debe aplicar una fuerza
externa por unidad de carga igual a — E, igual y opuesta a la fuerza elèctrica por uni-
dad de carga E. La ecuación 23.18 dice que V a — V,, = V,,,„ el potencial de a con res-
pecto a b, es igual al trabajo realizado por unidad de carga por esta fuerza externa
para desplazar una unidad de carga de b a a. Esta es la misma interpretación alternati-
va que se estudio para la ecuación (23.13).

Las ecuaciones (23.17) y (23.18) demuestran que la unidad de la diferencia de po-
tencial (1 V) es igual a la unidad del campo eléctrico (1 N/C) multiplicada por la uni-
dad de distancia (1 m). Así, la unidad de campo eléctrico se expresa como 1 volt por
metro (1 V/m), o como 1 N/C:

1 V/m = 1 volt/metro = 1 N/C = 1 newton/coulomb

En la pràctica, la unidad habitual para la magnitud del campo eléctrico es el volt por
metro.

Electron volts

La magnitud e de la carga del electrón se usa para definir una unidad de energia que
es útil en muchos càlculos con los sistemas atómico y nuclear. Cuando una partícula
con carga q se desplaza de un punto en el que el potencial es V b a otro en que es V a , el
cambio en la energia potencial U es

V. - U b = q(V a - V h ) =qV ab
Si la carga q es igual a la magnitud e de la carga del electrón, 1.602 X 10~' 9 C, yla
diferencia de potencial es V„ b , el cambio en la energia es

{/„ - U b = (1.602 X 10~ 19 C)(l V) = 1.602 X 10~ 19 J

Esta cantidad de energia se define como 1 electrón volt (1 eV):

leV = 1.602 X 10~ I9 J

A menudo se utilizan los múltiplos meV, keV, MeV, GeV y TeV.

CUIDADO Electrón volts contra volts Recuerde que el electrón volt es una unidad de
energia, \no una unidad de potencial ni de diferencia de potencial!

Cuando una partícula con carga e se mueve a través de una diferencia de potencial
de 1 volt, el cambio en la energia potencial es 1 eV. Si la carga es algun múltiplo de e
— digamos Ne — , el cambio en la energia potencial en electrón volts es N veces la di-
ferencia de potencial expresada en volts. Por ejemplo, cuando una partícula alfa, que
tiene una carga de 2e, se desplaza entre dos puntos con diferencia de potencial de
1000 V, el cambio en la energia potencial es 2 (1000 eV) = 2000 eV Para confirmar
esto, se escribe

U a - U h = qV ab = (2e)(l000V) = (2) (1.602 X 10~ 19 C) ( 1000 V)

= 3.204 X 10~ 16 J = 2000 eV

23.2 Potencial eléctrico

791

Si bien se ha definido el electrón volt en términos de energia potencial, se usa para
cualquier forma de energia, como la energia cinètica de una partícula en movimiento.
Cuando se habla de "un millón de electrón volts protón," significa que hay un protón
cuya energia cinètica es de un millón de electrón volts (1 MeV), lo que es igual a
(10 6 )(1.602 X 1(T 19 J) = 1.602 X KT 13 J (figura 23.13).

23.13 Este acelerador en el Fermi
National Accelerator Laboratory, en
Illinois, da a los protones una energia
cinètica de 400 MeV (4 X 10 s eV).
incrementan su energia cinètica a
980 GeV, o 0.98 TeV (9.8 X 10" eV).

Ejemplo 23.3

Fuerza elèctrica y potencial eléctrico

En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga +e = 1.602 X
10 " C) se desplaza en línea recta de un punto a a otro punto b una
distancia total d = 0.50 m. A lo largo de esta línea, el campo eléctrico
es uniforme con magnitud E = 1.5 X 10 7 V/m = 1.5 X 10 7 N/C en
la dirección de a a b. Determine d) la fuerza sobre el protón; b) el
trabajo realizado sobre este por el campo; c) la diferencia de potencial
v„ - V„.

eueeu

IDENTIFICAR: Este problema usa la relación entre el campo eléctrico
(que es un dato conocido) y la fuerza elèctrica (que es una de las varia-
bles buscadas). También utiliza la relación entre fuerza, trabajo y dife-
rencia de energia potencial.

PLANTEAR: Se da el campo eléctrico, por lo que es fàcil encontrar la
fuerza elèctrica que se ejerce sobre el protón. El calculo del trabajo que
realiza esta fuerza sobre el protón también es fàcil porque E es unifor-
me, lo que significa que la fuerza es constante. Una vez que se conoce
el trabajo, se determina la diferencia de potencial empleando la ecua-
ción (23.13).

EJECUTAR: a) La fuerza sobre el protón està en la misma dirección
que el campo eléctrico, y su magnitud es

F = qE= (1.602 X 10~ 19 C)(l.5 X 10 7 N/C)
= 2.4 X 10~ 12 N

b) La fuerza es constante y està en la misma dirección que el cam-
po eléctrico, de manera que el trabajo efectuado sobre el protón es

(2.4 X 10~ 12 N)(0.50m) = 1.2 X 10~ 12 J
1 eV
1.602 X 10~ 19 I
7.5 X 10" eV = 7.5 MeV

W a -, b = Fd

= (1.2 X 10" 12 J)

c) De la ecuación (23.13), la diferencia de potencial es el trabajo
por unidad de carga, que es

V h =

W a -+ b _ 1.2 X 10' 12 J

1.602 X 10- |9 C
7.5 X 10 6 V = 7.5 MV

= 7.5 X 10 6 J/C

Se obtiene el mismo resultado con màs facilidad si se recuerda que 1
electrón volt es igual a 1 volt multiplicado por la carga e. Como el tra-
bajo realizado es 7.5 X 10 6 eV y la carga es e, la diferencia de poten-
cial es (7.5 X 10" eV)/e = 7.5 X 10" V.

EVALUAR: El resultado del inciso c) puede comprobarse con las ecua-
ciones (23.17) o (23.18) para calcular la integral del campo eléctrico.
El àngulo <p entre el campo constante E y el desplazamiento es igual a
cero, por lo que la ecuación (23.17) se convierte en

V.

V b = Eco&4>dl = Edl = E\ dl

La integral de dt de a a b tan solo es la distancia d, por lo que una vez
màs se obtiene

V a - V,, = Ed = (1.5 X 10 7 V/m) (0.50 m) = 7.5 X 10 6 V

792

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

Ejemplo 23.4

Potencial debido a dos cargas puntuales

Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas puntuales, q 1 = +12 nC y
q 2 = — 12 nC, colocadas a una distancia de 10 cm una de la otra (fi-
gura 23.14). Calcule los potenciales en los puntos a, b y c sumando
los potenciales debidos a cada carga, como en la ecuación (23.15).

23.14 ^Cuàles son los potenciales en los puntos a, b y c debidos
a este dipolo eléctrico?

EM3KI

IDENTIFICAR: Éste es el mismo ordenamiento de cargas que el del
ejemplo 21.9 (sección 21.5). En ese ejemplo se calculo el campo eléc-
trico en cada punto por medio de una suma vectorial. La variable bus-
cada en este problema es el potencial eléctrico V en tres puntos.

PLANTEAR: Para encontrar Ven cada punto, en la ecuación (23.15) se
hace la suma algebraica:

4l7£,

2-

EJECUTAR: En el punto a el potencial debido a la carga positiva q t es

1 «i „ „ ,J2X 10"' C

= (9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 )

47re r, ' 0.060 m

= 1800 N- m/C

= 1800 J/C = 1800 V

y el potencial debido a la carga q 2 es

1 a, , (-12 X 10" 9 C)

= (9.0 X 10' N • nr/C 2 )

4-n-e r 2 ' 0.040 m

= -2700 N- m/C

= -2700 J/C = -2700 V

El potencial V„ en el punto a es la suma de estos:

V a = 1800 V+ (-2700V) = -900 V

Con càlculos similares se demuestra que en el punto b el potencial de-
bido a la carga positiva es +2700 V, el potencial debido a la carga ne-
gativa es —770 V, y

V b = 2700 V + (-770 V) = 1930 V

cm

En el punto c, el potencial debido a la carga positiva es

1 í, . . ,, ,. 12 X 10~ 9 C

= (9.0 X 10 9 N-m 2 /C 2 ) = 830 V

4ire r, 0.13 m

El potencial debido a la carga negativa es —830 V, y el potencial total
es igual a cero:

V c = 830 V + (-830V) =

El potencial también es igual a cero en el inflnito (infinitamente lejos
de ambas cargas).

EVALUAR: Al comparar este ejemplo con el 21.9 se aprecia que
es mucho mas fàcil calcular el potencial eléctrico (un escalar) que el
campo eléctrico (un vector). Hay que aprovechar esta simplificación
siempre que sea posible.

Ejemplo 23.5

Potencial y energia potencial

Calcule la energia potencial asociada con una carga puntual de +4.0
nC si se coloca en los puntos a, b y c de la figura 23. 14.

En el punto c,

EM3KI

IDENTIFICAR: Se conoce el valor del potencial eléctrico en cada uno
de esos puntos, y se necesita encontrar la energia potencial para una

PLANTEAR: Para cualquier carga puntual a, la energia potencial aso-
ciada es U = qV. Se utilizan los valores de Vdel ejemplo 23.4.

EJECUTAR: En el punto a,

U a = aV„ = (4.0 X 10~ 9 C)(-900j/C) = -3.6 X 10~ 6 J
En el punto b,

U b = qV b = (4.0 X 10" 9 C)(1930J/C) = 7.7 X UT 6 J

U c = qV c

Todos estos valores corresponden a U y V con valor de cero en el infl-
nito.

EVALUAR: Observe que no se efectua ningún trabajo neto sobre la
carga de 4.0 nC si se desplaza del punto c al inflnito por cualquier tra-
jectòria. En particular, considere la trayectoria a lo largo de la bisec-
triz perpendicular de la línea que une las otras dos cargas q t y q 2 en la
figura 23.14. Como se vio en el ejemplo 21.9 (sección 21.5), en los
puntos situados sobre la bisectriz, la dirección de E es perpendicular
a la bisectriz. Por lo tanto, la fuerza sobre la carga de 4.0 nC es per-
pendicular a la trayectoria, y no se realiza ningún trabajo en cualquier
desplazamiento a lo largo de ella.

23.2 Potencial eléctrico

793

Ejemplo 23.6

Calculo del potencial por integración

Calcule el potencial a una distancia r de una carga puntual q, por me-
dio de la integración del campo eléctrico, como en la ecuación (23.17).

ehimi

IDENTIFICAR: Este problema pide encontrar el potencial eléctrico a
partir del campo eléctrico.

PLANTEAR: Para obtener el potencial V a una distancia r de la carga
puntual, se establece que el punto a en la ecuación (23.17) sea la dis-
tancia r, y que el punto b esté en el infinito (figura 23.15). Como de
costumbre, elegimos que el potencial sea cero a una distancia infinita a
partir de la carga.

EJECUTAR: Para resolver la integral, podemos elegir cualquier camino
entre los puntos a y b. El mas conveniente es una línea recta radial co-
mo se muestra en la figura 23.15, de manera que dl esté en la direc-
ción radial y tenga magnitud dr. Si q es positiva, E y dl siempre son
paralelos, por lo que <£ = y la ecuación (23.17) se convierte en

V - = E dr =

-dr

4ire„r

4ire ll r 1

o- -

4ire„r

V ■■

4ire„r

Esto concuerda con la ecuación (23.14). Si q es negativa, E se dirige
radialmente hacia la carga, en tanto que dl sigue yendo en forma ra-
dial, por lo que <fi = 180°. Como cos 180° = — 1, se agrega un signo
menos al resultado anterior. Sin embargo, la magnitud del campo E
siempre es positiva, y como q es negativa, se debe escribir
E = | q \ \4-ne a r = —ql4ire r, lo que da otro signo menos. Los dos sig-
nos menos se cancelan y el resultado anterior de V es valido para car-
gas puntuales de cualquier signo.

23.1 5 Calculo de la energia potencial por integración de E para
una sola carga puntual.

A un punto en el Infinito

EVALUAR: Se obtiene el mismo resultado para el campo eléctrico me-
diante la ecuación (21.7), que es vàlida para cualquier signo de q, y es-
cribiendo dl = rdr.

V - = V '

V =

E-dl

i q

477£ r 1 '

•r dr =

4ire r

-dr

4we r

Ejemplo 23.7

Desplazamiento a través de una diferencia de potencial

En la figura 23.16, una partícula de polvo, cuya masa es m = 5.0 X
1(T 9 kg = 5.0 \í% y con carga q a = 2.0 nC, parte del reposo en un pun-
to a y se mueve en línea recta hasta un punto b. ^.Cuàl es su velocidad
v en el punto 6?

ESÜEEl

IDENTIFICAR: Este problema implica un cambio de rapidez y, por lo
tanto, de la energia cinètica de la partícula, por lo que se puede usar el
enfoque de la energia. Este problema seria difícil de resolver sin el em-
pleo de técnicas de energia, puesto que la fuerza que actua sobre la
partícula varia en magnitud conforme la partícula se desplaza de a a b.

PLANTEAR: Sobre la partícula actua solo la fuerza elèctrica conserva-
tiva, por lo que la energia mecànica se conserva:

U„ = K h

U„

EJECUTAR: Para esta situación, K u — y K b = jmy 2 . Las energías po-
tenciales (U) se obtienen de los potenciales (V) por medio de la ecua-

23.16 La partícula se mueve del punto a al punto b; su acelera-
ción no es constante.

Partícula

LO J
cm

ción (23.12): U a = q V a y U b = q V b . Al sustituir esto en la ecuación
de conservación de la energia y despejar v, se encuentra que

+ loVa = 2 mv

+ q«v b

2?o(V„ - V b )

continua

794

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

Con la ecuación (23.15) se calculan los potenciales, como se hizo en
el ejemplo 23.4:

V„ = (9.0 X 10'N-nr/C 2 )

Í3.0X10-"C (-3.0 X 10-" C)

Por ultimo,

X

0.010 m

m 2 /C 2 )
"C

(9.0 X 10 9 N-
/3.0 X 10

0.020 m

(-3.0 X 10 _9 C)

0.020 m 0.010 m

V a - V b = (1350V) - (-1350 V) = 2700 V

1350 V

-1350 V

2(2.0 X 10~ 9 C)(2700V)

= 46 m/s

5.0 X 10~ y kg

EVALUAR: El resultado es razonable: la carga de prueba positiva gana
rapidez conforme se aleja de la carga positiva y se acerca a la carga ne-
gativa. Para comprobar la consistència de las unidades en el ultimo
renglón del calculo, se observa que 1 V = 1 J/C, por lo que el numera-
dor bajo el radical tiene unidades de J o kg ■ m 2 /s 2 .

Se utiliza exactamente el mismo método para encontrar la rapi-
dez de un electrón acelerado a través de una diferencia de potencial de
500 V en un tubo de osciloscopio, o de 20 kV en un cinescopio de te-
levisión. Los problemas de final de capitulo incluyen varios ejemplos
de tales càlculos.

Evalúe su comprensión de la sección 23.2 Si elpotencial eléctrico en cierto
punto es igual a cero, el campo eléctrico en ese punto, i tiene que valer cero?
(Sugerencia: Considere el punto c en los ejemplos 23.4 y 21.9.)

23.3 Calculo del potencial eléctrico

Cuando se calcula el potencial debido a una distribución de carga, por lo general se
sigue una de dos rutas posibles. Si se conoce la distribución de carga se emplea la
ecuación (23.15) o la (23.16). O si se conoce el modo en que el campo eléctrico de-
pende de la posición, se usa la ecuación (23.17) estableciendo que el potencial es
igual a cero en algun lugar conveniente. Algunos problemas requieren una combina-
ción de estos enfoques.

Conforme analice estos ejemplos, compàrelos con aquellos relacionados con el
calculo del campo eléctrico en la sección 21.5. Vera que es mucho mas fàcil calcular
potenciales eléctricos escalares que campos eléctricos vectoriales. El mensaje es cla-
ro: siempre que sea posible, resuelva los problemas utilizando el enfoque de energia
(potencial eléctrico y energia potencial elèctrica) en vez del enfoque de dinàmica
(campos eléctricos y fuerzas eléctricas).

Estratègia para resolver problemas 23.1

Calculo del potencial eléctrico

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Recuerde que potencial es
energia potencial por unidad de carga. La comprensión de este enun-

PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:

1. Elabore un dibujo que muestre con claridad las ubicaciones de
las cargas (que pueden ser puntuales o una distribución continua
de carga) y su elección de los ejes coordenados.

2. Indique en el dibujo la posición del punto en que se desea calcular
el potencial eléctrico V. En ocasiones esta posición serà arbitraria
(por ejemplo, un punto a una distancia r del centro de una esfera
con carga).

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Para encontrar el potencial debido a un conjunto de cargas pun-
tuales utilice la ecuación (23.15). Si se da una distribución continua
de carga, hay que ver la manera de dividiria en elementos infinitesi-
males para luego emplear la ecuación (23.16). Realice la integración
utilizando los limites apropiados que incluyan toda la distribu-
ción de carga. En la integral tenga cuidado con la cantidades geomé-
tricas que varían y las que permanecen constantes.

2. Si se da el campo eléctrico, o si se puede encontrar con alguno de
los métodos presentados en los capítulos 21 o 22, tal vez sea màs
fàcil usar la ecuación (23.17) o (23.18) para calcular la diferencia

de potencial entre los puntos a y b. Cuando sea apropiado, hay que
ejercer la libertad de definir que V es igual a cero en algun lugar
conveniente, y elegir éste como punto b. (Para cargas puntuales,
por lo general serà el infinito. Para otras distribuciones de carga
— en especial aquellas que se extienden al infinito — , quizà sea màs
conveniente o necesario que V h sea igual a cero a cierta distancia fi-
nita de la distribución de carga. Esto es como definir que al nivel
del suelo U es igual a cero en problemas relacionados con la gravi-
tación.) En esas condiciones, el potencial en cualquier otro punto
(por ejemplo, a) se obtiene con las ecuaciones (23.17) o (23.18)
con V,, = 0.

3. Hay que recordar que el potencial es una cantidad escalar, no un
vector, por lo que jno tiene componentes! Sin embargo, tal vez se
tengan que usar componentes de los vectores E y dl cuando se use
la ecuación (23.17) o la (23.18).

EVALUAR la respuesta: Compruebe que la respuesta concuerde con la
intuición. Si el resultado da V como función de la posición, elabore
una gràfica de esta función para ver si es razonable. Si se conoce el
campo eléctrico es posible hacer una comprobación aproximada del re-
sultado para V verificando que V disminuye si nos movemos en la di-
rección de E.

23.3 Calculo del potencial eléctrico

795

Ejemplo 23.8

Esfera conductora con carga

Una esfera sòlida conductora de radio R tiene una carga total q. En-
cuentre el potencial en todos los lugares, tanto fuera como dentro de la
esfera.

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Se usa la ley de Gauss como en el ejemplo 22.5 (sec-
ción 22.4) para encontrar el campo eléctrico en todos los puntos para
esta distribución de carga. El resultado se emplea para determinar el
potencial en todos los puntos.

PLANTEAR: Se elige como origen el centro de la esfera. Como se co-
noce E en todos los valores de la distancia r desde el centro de la esfe-
ra, se determina V como función de r.

EJECUTAR: Del ejemplo 22.5, en todos los puntos/iiera de la esfera el
campo es el mismo que si la esfera se eliminarà y se sustituyera por
una carga puntual q. Se considera V = en el inflnito, como se hizo
para una carga puntual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el ex-
terior de la esfera a una distancia r de su centro es el mismo que el po-
tencial debido a una carga puntual q en el centro:

4776,, r

El potencial en la superfície de la esfera es V superficie = g/47re fi.

En el interior de la esfera, E es igual a cero en todas partes; de otra
manera, la carga se movería dentro de la esfera. De esta forma, si una
carga de prueba se desplaza de un punto a otro en el interior de la esfe-
ra, no se efectua ningún trabajo sobre la carga. Esto significa que el po-
tencial es el mismo en todos los puntos del interior de la esfera y es
igual a su valor ql4ire R en la superfície.

EVALUAR: La figura 23.17 ilustra el campo y el potencial como fun-
ción de r para una carga positiva q. En este caso, el campo eléctrico
apunta radialmente alejàndose de la esfera. Conforme nos alejamos de
la esfera, en la dirección de £, V disminuye (como debe ser). El campo
eléctrico en la superfície tiene magnitud £ superflc , ie = \q\l4-jre R 2 .

23.17 Magnitud del campo eléctrico E y el potencial Ven puntos
dentro y fuera de una esfera conductora con carga positiva.

1 q
4ire R

,V =

1
'tiren

lonización y descarga en corona

Los resultados del ejemplo 23.8 tienen numerosas consecuencias pràcticas; una de
ellas se relaciona con el potencial màximo que puede aplicarse en un conductor en el
aire. Este potencial està limitado porque las moléculas de aire se ionizan y el aire se
convierte en un conductor, a una magnitud de campo eléctrico de cerca de 3 X 10 6
V/m. De momento, suponga que q es positiva. Cuando se comparan las expresiones
en el ejemplo 23.8 para el potencial V superficie y la magnitud de campo £ suporflcie en la
superfície de una esfera conductora con carga, se observa que V sapcTficic = E sapaSicic R.
Así, si E m representa la magnitud de campo eléctrico a la que el aire se vuelve con-
ductor (lo que se conoce como resistència dieléctrica del aire), entonces el potencial
màximo V m que se puede aplicar a un conductor esférico es

y,„

RE„

Para una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, V m = (1CT 2 m) (3 X 10 6 V/m)
= 30,000 V. Ninguna cantidad de "carga" puede sobrepasar el potencial de una esfera
conductora de este tamano en el aire en màs de 30,000 V, aproximadamente; si se in-
tenta aumentar el potencial màs allà de esto agregando carga adicional, se provocaria
que el aire circundante se ionizara y se convirtiera en conductor, y la carga adicional
escaparia al aire.

Para lograr potenciales aún mayores, las màquinas de alto voltaje como los genera-
dores Van de Graaff usan terminales esféricas con ràdios muy grandes (véase la figura
22.27 y la fotografia que abre el capitulo 22). Por ejemplo, una terminal de radio R — 2 m
tiene un potencial màximo V ra = (2m)(3 X 10 6 V/m) = 6 X 10 6 V = óMV.Estas
màquinas se colocan a veces en tanques presurizados llenos de un gas como el hexa-
fluoruro de azufre (SF 6 ), que tiene un valor mayor de E m que el del aire y, por consi-
guiente, es capaz de soportar campos aún màs grandes sin volverse conductor.

796

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

23.18 El màstil metalico en la parte
superior del edificio Empire State actua
relàmpagos hasta 500 veces al ano.

El resultado del ejemplo 23.8 también explica lo que sucede con un conductor con
carga y cuyo radio de curvatura es muy pequeno, como un objeto afilado o un alam-
bre fino. Como el potencial màximo es proporcional al radio, incluso potenciales
relativamente pequenos aplicados a puntas agudas en el aire producen campos sufi-
cientemente elevados inmediatamente afuera de las puntas para ionizar el aire que las
rodea y convertirlo en un buen conductor. La corriente resultante y el resplandor aso-
ciado a ella (visible en un cuarto oscuro) se llama corona. Las impresoras làser y las
màquinas de fotocopiado utilizan una corona de alambres muy finos para distribuir
cargas sobre el tambor que forma las imàgenes (figura 21.2).

En situaciones en que es importante evitar que exista una corona, se usan conducto-
res de radio grande. Ejemplo de esto es la esfera metàlica en el extremo de las antenas
de radio para automóviles, lo que evita que se presente la corona, la cual provocaria es-
tàtica. Otro ejemplo es el extremo romo de los pararrayos metàlicos (figura 23.18). Si
hay un exceso de carga en la atmosfera, como ocurre durante las tormentas, en el ex-
tremo romo se acumula una cantidad sustancial de carga del signo contrario. Como re-
sultado, cuando la carga atmosfèrica se descarga a través de relàmpagos, tiende a ser
atraída hacia el pararrayos y no hacia otras estructuras cercanas que podrían resultar
dafiadas. (Un cable conductor que conecta el pararrayos con la tierra permite que la
carga adquirida se disipe en forma inofensiva.) Un pararrayos con extremo agudo per-
mitiría que se acumularà menos carga y por ello seria menos eficaz.

Ejemplo 23.9

Placas paralelas con cargas opuestas

Encuentre el potencial a cualquier altura v entre las dos placas parale-
las con cargas opuestas que se estudiaran en la sección 23.1 (figura
23.19).

EHEl•la

IDENTIFICAR: De la sección 23.1 se conoce la energia potencial
elèctrica U, para una carga de prueba q como función de y. La meta
aquí es obtener el potencial eléctrico V debido a las cargas en las pla-
cas como función de v.

PLANTEAR: De la ecuación (23.5), U = q Ey en un punto a la distan-
cia y sobre la placa inferior. Esta expresión se utiliza para determinar el
potencial Ven ese punto.

EJECUTAR: El potencia V(y) en la coordenada y es la energia potencial

V(y) =

U{y) q a Ey

</n

'Ai

= Ey

Se ha elegido que U(y) y, por lo tanto, V(y) sean igual a cero en el pun-
to b, donde y = 0. Incluso si elegimos que el potencial sea diferente de
cero en b, se cumpliría que

V(y)

V b = Ey

El potencial disminuye conforme se mueve en la dirección de E de la
placa superior a la inferior. En el punto a, donde y = d y V(y) = V„,

V.

Vu = Ed

E =

d

d

donde V„ b es el potencial de la placa positiva con respecto a la pla- *J
ca negativa. Es decir, el campo eléctrico es igual a la diferencia de ■
potencial entre las placas dividida entre la distancia que las separa. Pa-
ra una diferencia de potencial dada V ab , cuanto mas pequefia sea la dis-
tancia entre las dos placas, mayor serà la magnitud de E del campo
eléctrico. (Esta relación entre E y V 1:h se cumple solo para la geometria
plana descrita. No se aplica para situaciones tales como cilindros o es-
feras concéntricos en los que el campo eléctrico no es uniforme.)

23.19 Las placas paralelas con carga de la figura 23.2.

</o

T

EVALUAR: El resultado nos dice cómo medir la densidad de carga so-
bre las cargas en las dos placas de la figura 23.19. En el ejemplo 22.8
(sección 22.4) se obtuvo la expresión E = cr/e para el campo eléctrico
E entre dos placas conductoras con densidades de carga superfïciales
+<r y —o-. Al igualar esta expresión con E = V„ b /d se obtiene lo si-
guiente:

e„V„,,

La densidad superficial de carga en la placa positiva es directamente
proporcional a la diferencia de potencial entre las placas, y su valor a
se determina midiendo V ab . Esta tècnica es útil porque no hay instru-
mentes disponibles que lean directamente densidades superfïciales de
carga. En la placa negativa la densidad superficial de carga es — cr.

CUIDADO El "potencial cero" es arbitrario Quizà piense que
si un cuerpo conductor tiene un potencial igual a cero, necesariamente
debe tener también una carga neta de cero. jPero no es así! Como
ejemplo, la placa en y = en la figura 23.19 tiene un potencial de cero
(V* = 0), però tiene una carga por unidad de àrea, — cr, distinta de cero.
Recuerde que no hay nada especial en la placa en que el potencial es
igual a cero; este lugar se puede definir donde se desee.

23.3 Calculo del potencial eléctrico

797

Ejemplo 23.10

Una línea de carga infinita o un cilindro conductor con carga

Encuentre el potencial a la distancia r de una línea muy larga de carga

eshimi

IDENTIFICAR: Un enfoque para este problema consiste en dividir la
línea de carga en elementos inflnitesimales, como se hizo en el ejemplo
21.11 (sección 21.5), para determinar el campo eléctrico que produce
esa línea. Después se puede integrar como en la ecuación (23.16) para
determinar el potencial neto V. Sin embargo, en este caso el objetivo se
simplifica mucho porque ya se conoce el campo eléctrico.

PLANTEAR: Tanto en el ejemplo 21.11 como en el 22.6 (sección
22.4), se encontró que el campo eléctrico a una distancia r de una línea
recta y larga de carga (figura 23.20a) solo tiene una componente radial,

1 A

E, =

27re r

Esta expresión se utiliza para obtener el potencial por integración de
E, como en la ecuación (23.17).

EJECUTAR: Como el campo solo tiene una componente radial, el pro-
ducte escalar E • dl es igual a E,dr. Así, el potencial de cualquier pun-
to a con respecto a cualquier otro punto b, a distancias radiales r a y r b
de la línea de carga, es

V„ - V„

E-dl

E,.dr

A

2TT€ (

dr

2ne n

-In—

Si se toma el punto b en el infinito y se establece que V b = 0, se en-
cuentra que V„ es infinito:

V.

2TT€

-In— <

Esto demuestra que si se trata de definir V como cero en el infinito, en-
tonces V debe ser infinito a cualquier distancia infinita de la línea
de carga. Esta no es una manera útil de definir V para este problema.
La dificultad estriba en que la distribución de carga en sí se extiende
al infinito.

Para sortear la dificultad se debe recordar que V puede definirse
como cero en cualquier punto que se desee. Se establece que V b =

23.20 Campo eléctrico afuera de a) un alambre largo con carga
positiva, y b) un cilindro largo con carga positiva.

a)

en el punto b a una distancia radial arbitraria r . Así, el potencial
V = V a en el punto a a una distancia radial r està dado por V — =
(A/2ir£o) In (í" /r), o bien,

A ''o

V = In—

27re r

EVALUAR: De acuerdo con el resultado, si A es positiva, entonces V
disminuye conforme r aumenta. Es así como debería ser: V decrece
conforme nos movemos en la dirección de E.

Del ejemplo 22.6, la expresión para E r con la que se comenzó
también se aplica fuera de un cilindro conductor largo con carga por
unidad de longitud A (figura 23.20b). De esta forma, nuestro resulta-
do también da el potencial para ese cilindro, però solo para valores
de r (la distancia desde el eje del cilindro) mayores o iguales que el
radio R del cilindro. Si se elige que r sea el radio del cilindro R, de
manera que V = cuando r = R, entonces en cualquier punto para el
que r > R,

V =

-ln-

R

2ire

En el interior del cilindro, E = 0, y V tiene el mismo valor (cero) que
en la superfície del cilindro.

Ejemplo 23.11

Anillo de carga

Una carga elèctrica està distribuida de manera uniforme alrededor de
un anillo delgado de radio a con carga total Q (figura 23.21). Determi-
ne el potencial en un punto P sobre el eje del anillo a una distancia x
del centro del anillo.

IDENTIFICAR: Del ejemplo 21.10 (sección 21.5), ya se conoce el
campo eléctrico en todos los puntes a lo largo del eje x, por lo que
el problema se resuelve por integración de E, como en la ecuación
(23.17), para obtener Va lo largo de este eje. En forma alternativa, se
podria dividir el anillo en segmentes infinitesimales y usar la ecuación
(23.16) para encontrar V.

PLANTEAR: La figura 23.21 muestra que es mucho màs fàcil encon-
trar V en el eje empleando el enfoque de segmentos infinitesimales.

23.2 1 Toda la carga en un anillo con carga Q està a la misma
distancia r de un punto P situado sobre el eje del anillo.

-=mp

continua

798

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

Eso se debe a que todas las partes del anillo (es decir, todos los ele-
mentos de la distribución de carga) estan a la misma distancia r del
punto P.

EJECUTAR: La figura 23.21 muestra que la distancia entre ca da ele-
mento de carga dq sobre el anillo y el punto P es r = V x 1 + a 1 . Por lo
tanto, se saca de la integral el factor \/r en la ecuación (23.16), y

V =

1

dq

1

1

4-7re J r 4Tre \fj + a ?

dq =

1

Q

47re V^ 2 + a 2

El potencial es una cantidad escalar, por lo que en este calculo no es
necesario considerar componentes de vectores, como se tuvo que hacer

al obtener el campo eléctrico en P. Por ello, los càlculos del potencial
son mucho mas sencillos que los del campo.

EVALUAR: Cuando x es mucho mas grande que a, la expresión ante-
rior para V se vuelve aproximadamente igual a V = Q^ire^x. Esto co-
rresponde al potencial de una carga puntual Q a una distancia x. Así
que cuando se està muy lejos de un anillo con carga, éste se asemeja
a una carga puntual. (En el ejemplo 21.10 se llego a una conclusión
similar con respecto al campo eléctrico de un anillo.)

Estos resultados para V también se obtienen por integración de
la expresión para E„ como en el ejemplo 21.10 (véase el problema
23.69).

Ejemplo 23.12

Línea de carga

Una carga elèctrica Q se encuentra distribuida de manera uniforme a lo
largo de una línea o varilla delgada de longitud 2a. Determine el po-
tencial en el punto P a lo largo de la bisectriz perpendicular de la vari-
lla a una distancia x de su centro.

EHEl•la

IDENTIFICAR: Esta es la misma situación que la del ejemplo 21.11
(sección 21.5), donde se obtuvo una expresión para el campo eléctrico
E en un punto arbitrario del eje x. Se pudo integrar E con la ecuación
(23.17) para encontrar V. En vez de ello, se integrarà sobre la distribu-
ción de carga utilizando la ecuación (23.16) para obtener un poco mas
de experiència con este enfoque.

PLANTEAR: La situación se ilustra en la figura 23.22. A diferencia de
la situación en el ejemplo 23.11, cada elemento de carga dQ està a una
distancia diferente del punto P.

EJECUTAR: Igual que en el ejemplo 21.11, el elemento de carga dQ
que corresponde a un elemento de longitud dy sobre la varill a, està da-
do por dQ = (Q/2a)dy. La distancia de dQ a P es V x 1 + y 2 , y la con-
tribución dV que hace al potencial en P es

dV

1 Q dy

4ire 2a \fj. + y 2

Para obtener el potencial en P debido a toda la varilla, se integra dV so-
bre la longitud de la varilla, de y = —aay — a:

i Q

Aïren, la

dy

W.

x- + v-

23.22 Diagrama para este problema.

y

al

dy

dQ,

y

>*

p

-»• — X

o

T

La integral se puede consultar en una tabla. El resultado final es

4-n-e,, 2a \y/ a 2 + v -2 _

EVALUAR: El resultado se comprueba si se permite que x tienda al in-
finita. En este límite, el punto P està infinitamente lejos de toda la car-
ga, por lo que es de esperar que V tienda a cero; se invita al lector a que
verifique esto.

Como en el ejemplo 23.11, este problema es màs sencillo que la
obtención de E en el punto P, ya que el potencial es una cantidad esca-
lar y no hay càlculos que impliquen vectores.

Evalúe su comprensión de la sección 23.3 Si el campo eléctrico en cierto punto
es igual a cero, £el potencial eléctrico en ese punto tiene que ser igual a cero?
(Sugerencia: Considere el centro del anillo en los ejemplos 23.11 y 21.10.)

23.4 Superfícies equipotenciales

Las líneas de campo (véase la sección 21.6) nos ayudan a visualizar los campos eléc-
tricos. En forma similar, el potencial en varios puntos de un campo eléctrico puede re-
presentarse gràficamente por medio de superfícies equipotenciales. Estàs utilizan la
misma idea fundamental que los mapas topogràficos que emplean los excursionistas y
alpinistas (figura 23.23). En un mapa topogràfico las curvas de nivel unen puntos que
se encuentran a la misma elevación. Se puede dibujar cualquier número de ellas, però
lo común es tener solo algunas curvas de nivel a intervalos iguales de elevación. Si
una masa m se moviera sobre el terreno a lo largo de una curva de nivel, la energia
potencial gravitacional mgy no cambiaría porque la elevación y seria constante. Así,

23.4 Superfícies equipotenciales 799

las curvas de nivel en un mapa topogràfico en realidad son curvas de energia poten-
cial gravitacional constante. Las curvas de nivel estan muy cerca unas de otras en las
regiones en las que el terreno està muy inclinado y hay grandes cambios en la eleva-
ción en una distancia horizontal pequena; en cambio, las curvas de nivel estan muy
separadas en los sitios en que el terreno tiene poca pendiente. Una pelota que se suel-
ta cuesta abajo experimentaria la mayor fuerza gravitatoria ahí donde las curvas de
nivel estan muy cercanas entre sí.

Por analogia con las curvas de nivel en un mapa topogràfico, una superfície equi-
potencial es una superfície tridimensional sobre la que el potencial elèctrica V es el
mismo en todos los puntos. Si una carga de prueba q se desplaza de un punto a otro
sobre tal superfície, la energia potencial elèctrica q V permanece constante. En una
región en la que existe un campo eléctrico, es posible construir una superfície equipo-
tencial a través de cualquier punto. Los diagramas por lo general muestran solo algu-
nas superfícies equipotenciales representativas, a menudo con iguales diferencias de
potencial entre superfícies adyacentes. Ningún punto puede estar en dos potenciales
diferentes, por lo que las superfícies equipotenciales para distintos potenciales nunca
se tocan o intersecan.

23.23 Las curvas de nivel en un mapa
topogràfico son curvas de elevación
constante, es decir, de energia potencial
gravitacional constante.

Superfícies equipotenciales y líneas de campo

Como la energia potencial no cambia a medida que una carga de prueba se traslada
sobre una superfície equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo sobre esa car-
ga. De ello se deriva que E debe ser perpendicular a la superfície en cada punto, de
manera que la fuerza elèctrica q ü E siempre es perpendicular al desplazamiento de una
carga que se mueva sobre la superfície. Las líneas de campo y las superfícies equi-
potenciales siempre son perpendiculares entre sí. En general, las líneas de campo
son curvas, y las equipotenciales son superfícies curvas. Para el caso especial de un
campo uniforme, en el que las líneas de campo son rectas, paralelas y estan igualmen-
te espaciadas, las superfícies equipotenciales son pianos paralelos perpendiculares a
las líneas de campo.

La figura 23.24 muestra tres configuraciones de cargas. Las líneas de campo en el
plano de las cargas estan representadas por líneas rojas, y las intersecciones de las su-
perfícies equipotenciales con este plano (es decir, las secciones transversales de estàs
superfícies) se indican con líneas azules. Las superfícies equipotenciales reales son
tridimensionales. En cada cruce de una línea equipotencial y una línea de campo, las
dos son perpendiculares.

En la figura 23.24 aparecen dibujadas superfícies equipotenciales de manera que
las diferencias de potencial entre superfícies adyacentes sean iguales. En las regiones
en que la magnitud de E es grande, las superfícies equipotenciales estan cerca entre sí

23.24 Secciones transversales de superfícies equipotenciales (líneas azules) y líneas de campo eléctricas (líneas rojas) para arreglos de
cargas puntuales. Hay diferencias de potencial iguales entre superfícies adyacentes. Compare estos diagramas con los de la figura 21.29,
que solo muestran líneas de campo eléctricas.

a) Una sola carga positiva

b) Un dipolo eléctrico

c) Dos cargas iguales positivas

V = + 30 V

V = + 50 V

V = +70 V

V = +30 V
V = +50 V
V - -70 V V = +70 V
Líneas de
campo eléctrico

V = +30 V V = +50 V
Secciones transversales de superfícies equipotenciales

V= +70 V

800

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

23.25 Cuando las cargas estan en reposo,
una superfície conductora siempre es una
superfície equipotencial. Las líneas de
campo son perpendiculares a una
superfície conductora.

Secciones transversales de las

superfícies equipotenciales

23.26 En todos los puntos de la superfície
de un conductor, el campo eléctrico debe
ser perpendicular a la superfície. Si E
tuviera una componente tangencial,
se realizaría una cantidad neta de trabajo
sobre una carga de prueba al moverla en
una espira como la que se ilustra, lo que
es imposible porque la fuerza elèctrica es
conservativa.

Un campo eléctrico imposible

Si el campo eléctrico inmediatamente afuera
de un conductor tuviera una componente
tangencial E p una carga podria moverse en
una espira con trabajo neto realizado.

— <-

8 =

\
\

Vacío

^---tC

Conductor

23.27 Cavidad en un conductor. Si la
cavidad no contiene carga, todos los
puntos de tal cavidad estan al mismo
potencial, el campo eléctrico es igual a
cero en cualquier lugar de ella, y no hay
carga en ningún lugar sobre su superfície.

Sección transversal de una superfície
equipotencial a través de P

Superfície gaussiana
(en sección
transversal)

Superfície

Conductor

porque el campo efectua una cantidad relativamente grande de trabajo sobre una car-
ga de prueba en un desplazamiento mas bien pequeno. Éste es el caso cerca de la carga
puntual en la figura 23.24a o entre las dos cargas puntuales en la figura 23.24b; observe
que en estàs regiones las líneas de campo también estan mas próximas. Esta es una ana-
logia directa con la fuerza de la gravedad cuesta abajo, que es mayor en las regiones de
un mapa topogràfico donde las curvas de nivel estan mas cerca una de otra. A la inver-
sa, en las zonas en que el campo es mas dèbil, las superfícies equipotenciales estan mas
separadas; en la figura 23.24a esto ocurre en ràdios mayores, a la izquierda de la carga
negativa o a la derecha de la positiva en la figura 23.24b, y a distancias mayores de am-
bas cargas en la figura 23.24c. (Tal vez parezca que dos superfícies equipotenciales se
intersecan en el centro de la figura 23.24c, violando la regla de que esto nunca puede
suceder. De hecho, se trata de una sola superfície equipotencial en forma de "8".)

CUIDADO £ no necesita ser constante sobre una superfície equipotencial En una

superfície equipotencial dada, el potencial V tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin em-
bargo, en general la magnitud del campo eléctrico E no es la misma en todos los puntos sobre
una superfície equipotencial. Por ejemplo, sobre la superfície equipotencial con la leyenda "V =
— 30 V" en la figura 23.24b, la magnitud E es menor a la izquierda de la carga negativa de lo
que es entre las dos cargas. En la superfície equipotencial con forma de "8" en la figura 23.24c,
E = en el punto medio entre las dos cargas; en todos los demàs puntos de esta superfície, E es
distinto de cero.

Equipotenciales y conductores

El siguiente es un enunciado importante acerca de las superfícies equipotenciales:
Cuando todas las cargas estan en reposo, la superfície de un conductor siempre
es una superfície equipotencial. Como el campo eléctrico E siempre es perpendicu-
lar a una superfície equipotencial, el enunciado se puede demostrar si se prueba que
cuando todas las cargas estan en reposo, el campo eléctrico justo afuera de un
conductor debe ser perpendicular a la superfície en cada punto (figura 23.25). Se
sabé que E — en todos los lugares del interior del conductor; de otro modo, las car-
gas se moverían. En particular, en cualquier punto apenas dentro de la superfície, la
componente de E tangente a la superfície es cero. Se deduce que la componente tan-
gencial de E también es igual a cero inmediatamente afuera de la superfície. Si no
fuera así, una carga podria recórrer una trayectoria rectangular parcialmente dentro y
parcialmente fuera (figura 23.26) y volvería a su punto de partida con una cantidad
neta de trabajo realizado sobre ella. Esto violaria la naturaleza conservativa de los
campos electrostàticos, por lo que la componente tangencial de E justo fuera de la su-
perfície debe ser igual a cero en todos los puntos de la superfície. Así, E es perpendicu-
lar a la superfície en cada punto, lo que prueba nuestra aseveración.

Por ultimo, ahora es posible demostrar un teorema que se cito sin la prueba corres-
pondiente en la sección 22.5. Es el siguiente: en una situación electrostàtica, si un
conductor contiene una cavidad en cuyo interior no hay carga, entonces no puede ha-
ber carga neta en ningún lugar de la superfície de la cavidad. Esto significa que si se
està dentro de una caja conductora con carga, se puede tocar con seguridad cualquier
punto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para probar este teo-
rema, primero se demuestra que todos los puntos en la cavidad estan al mismo poten-
cial. En la figura 23.27, la superfície conductora A de la cavidad es una superfície
equipotencial, como se acaba de demostrar. Suponga que el punto P en la cavidad es-
tuviera a un potencial diferente; entonces se podria construir una superfície equipo-
tencial B diferente que incluyera al punto P,

Ahora considere una superfície gaussiana, como se ilustra en la figura 23.27, entre
las dos superfícies equipotenciales. En virtud de la relación entre E y las equipoten-
ciales, se sabé que el campo en cada punto entre las equipotenciales se dirige de A
hacia B, o bien, en todos los puntos se dirige de B hacia A, lo que depende de cuàl
superfície equipotencial esté a un potencial mayor. En cualquier caso, es evidente que
el flujo a través de esta superfície gaussiana es diferente de cero. Però la ley de Gauss
afirma que la carga encerrada por la superfície gaussiana no puede ser cero. Esto con-
tradice nuestra suposición inicial de que en la cavidad no hay carga. Por lo tanto, el
potencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad.

Entonces, toda la región de la cavidad debe estar al mismo potencial. Però para
que esto sea verdadero, el campo eléctrico dentro de la cavidad debe ser igual a cero

en cualquier sitio. Por ultimo, la ley de Gauss demuestra que el campo eléctrico en
cualquier punto sobre la superfície de un conductor es proporcional a la densidad su-
perficial de carga a en ese punto. Se concluye que la densidad superficial de carga
sobre la pared de la cavidad es igual a cero en todos los puntos. Esta cadena de razo-

CUIDADO Superfícies equipotenciales contra superfícies gaussianas No hay que

confundir las superfícies equipotenciales con las superfícies gaussianas que se estudiaran en el
capitulo 22, pues estàs últimas son relevantes solo cuando se utiliza la ley de Gauss y se elige
cualquier superfície gaussiana que sea conveniente. No tenemos libertad de elegir la forma de
las superfícies equipotenciales; la forma està determinada por la distribución de la carga.

Evalúe su comprensión de la sección 23.4 Las formas de las superfícies
equipotenciales en la figura 23.24, ^cambiarían si se invirtiera el signo de cada carga?

El campo eléctrico y el potencial se relacionan estrechamente. La ecuación (23.17),
que se replantea a continuación, expresa un aspecto de esa relación:

V„

E-dl

Si se conoce E en varios puntos, esta ecuación se puede utilizar para calcular las dife-
rencias de potencial. En esta sección se demuestra cómo hacer lo contrario: si se co-
noce el potencial V en varios puntos se puede determinar E. Considerando que V es
función de las coordenadas (x, y, z) de un punto en el espacio, se demostrarà que las
componentes de E se relacionan directamente con las derivadas parciales de V con
respecto a x, y y z.

En la ecuación (23.17), V a — V b es el potencial de a con respecto a b, es decir, el
cambio de potencial encontrado en un desplazamiento de b a a. Esto se escribe como

v„ - V„

dV = - dV

donde dVes el cambio infinitesimal del potencial que acompana un elemento infinite-
simal dl de la trayectoria de b a a. Al compararia con la ecuación (23.17) se tiene

b rb

dV= E-dl

Estàs dos integrales deben ser iguales para cualquier par de limites a y b, y para que
esto se cumpla los integrados deben ser iguales. Por lo tanto, para cualquier despla-
zamiento infinitesimal dl ,

-dV= E-dl

Para interpretar esta expresión, se escribe E y dl en términos de sus componentes:
E = i E x + j E y + k E : y dl = i dx + j dy + k dz. Así, se tiene que

-dV = E s dx + E y dy + E z dz

Suponga que el desplazamiento es paralelo al eje x, por lo que dy = dz = 0. Entonces,
— dV = Ejlx o E x — — (dV/dx) y iZ constantes , donde el subíndice nos recuerda que en la
derivada solo varia x; recuerde que V en general es una función de x, y y z. Però esto
es tan solo lo que significa la derivada parcial dV/dx. Las componentes y y z de E
se relacionan con las derivadas correspondientes de V en la misma forma, por lo
que se tiene

flV

dV

E y =

—

dx

dy

E. = —

dV (componentes de E en
dz términos de V)

(23.19)

Actv
Physics

1 1 . 1 2.3 Potencial, campo y fuerza eléctricos

802 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

Esto es congruente con las unidades de campo eléctrico, V/m. En términos de vecto-
res unitarios, E se escribe como

IdV „5V t dV\ .^ ,

E = —\i 1-; hk — (E en términos de V) (23.20)

\ dx dy dz I

En notación vectorial, la siguiente operación se llama gradiente de la función/:

Ld „ 3 - d \
V/=U— +;—+*— / (23.21)

\ dx dy dzj

torial,

E = -fV (23.22)

Esto se lee: "E es el negativo del gradiente de V" o "£ es igual al gradiente negativo

En cada punto, el gradiente de potencial senala en la dirección en que V se incre-
menta con mas rapidez con un cambio de posición. De esta forma, en cada punto la
dirección de E es la dirección en que V disminuye mas ràpido y siempre es perpen-
dicular a la superfície equipotencial que pasa a través del punto. Esto concuerda con
nuestra observación en la sección 23.2, acerca de que desplazarse en dirección del
campo eléctrico significa desplazarse en dirección del potencial decreciente.

La ecuación (23.22) no depende de la elección particular del punto cero para V. Si
se cambiara el punto cero, el efecto seria cambiar V en cada punto en la misma canti-

Si E es radial con respecto a un punto o un eje, y r es la distancia del punto o eje,
la relación correspondiente a las ecuaciones (23.19) es

dV

E — (campo eléctrico radial) (23.23)

dr

Es frecuente que se pueda calcular el campo eléctrico causado por una distribu-
ción de carga en cualquiera de las dos formas: directamente, con la suma de los campos
E de cargas puntuales, o primero calculando el potencial y luego obteniendo su gra-
diente para encontrar el campo. Con frecuencia el segundo método resulta mas fàcil
porque el potencial es una cantidad escalar que requiere cuando mucho la integra-
ción de una función escalar. El campo eléctrico es una cantidad vectorial y requiere
el calculo de componentes para cada elemento de carga y la integración separada de
cada componente. Así, muy aparte de su significado fundamental, el potencial ofrece
una tècnica de calculo muy útil en los càlculos del campo. A continuación se presen-
tan dos ejemplos en los que se usa el conocimiento de V para encontrar el campo
eléctrico.

Conviene recalcar una vez mas que si se conoce E como función de la posición, se
puede calcular V utilizando la ecuación (23.17) o la (23.18), y si se conoce V como
función de la posición, se calcula E con las ecuaciones (23.19), (23.20) o (23.23). La
obtención de V a partir de E requiere integración, y la obtención de E a partir de V re-
quiere diferenciación.

Ejemplo 23.13

Potencial y campo de una carga puntual

De la ecuación (23.14), el potencial a una distancia radial r de una car- PLANTEAR: Por simetria, el campo eléctrico solo tiene una compo-

ga puntual q es V = qJ4ire r. Encuentre el campo eléctrico vectorial a nente radial £,, y para encontrarla se usa la ecuación (23.23).
partir de esta expresión para V.

■TnTTTTTiFfl EJECUTAR: De la ecuación (23.23):

IDENTIFICAR: Este problema utiliza la relación entre el potencial dV d I 1 q\ li

eléctrico como función de la posición y el vector de campo eléctrico • ~ dr ~ dr\4vÉ r) ~ 4-Tre r

vectorial.

Por lo tanto, el campo eléctrico vectorial es

E = rE,. =

i q .

EVALUAR: El resultado concuerda con la ecuación (21.7), como
debe ser.

Un enfoque alternativo es ignorar la simetria radial, escribir la
distancia radial como r = V.r + y 2 + z 2 , y tomar las derivadas de V
con respecto aijyz, como en la ecuación (23.20). Se obtiene

±u

1

í/.V

dV

dx d.x\4ire a ^/ x i + v : + ,2/ Ave a ( v -2 + ,,2 + ,2)3/2

477-enr 3

y de manera similar,
3y

qy

dV

<1~

4ire r Sz 4ire r

De la ecuación (23.20), el campo eléctrico es

E = - i \-

íjf.V

4ire„'•

ï + /-

vr

47re r 3

+ fc -

'/:

4-n-eor 1

1 q Ixi + )•} + zk

4ire r

1 9 .
r

4ire r

Este enfoque produce la misma respuesta, però con un poco mas de es-
fuerzo. Como resulta evidente, es mejor aprovechar la simetria de la
distribución de carga siempre que sea posible.

Ejemplo 23.14

Potencial y campo de un anillo de carga

En el ejemplo 23.11 (sección 23.3) se encontró que para un anillo de
carga con radio a y carga total Q, el potencial en el punto P sobre el eje
del anillo a una distancia x del centro es

1

Q

47T£ yj x i + a i
Encuentre el campo eléctrico en P.

EUEEU

IDENTIFICAR: Seda Vcomo función de A:alo largodel ejejc, y sede-
sea obtener el campo eléctrico en un punto sobre este eje.

PLANTEAR: De la simetria de la distribución de carga que se muestra
en la figura 23.21, el campo eléctrico a lo largo del eje de simetria del
anillo solo tiene una componente x, la cual se encuentra con la primera
de las ecuaciones (23.19).

EJECUTAR: La componente x del campo eléctrico es

1 Qx

dV

£, =

dx

Aire

(.r + a-yl 2

EVALUAR: Esto concuerda con el resultado que se obtuvo en el ejem-
plo 21.10 (sección 21.5).

CUIDADO No use expresiones donde no se aplican En este
ejemplo, V no parece ser función de y o z, però no seria correcto con-
duir que dV/dy = dV/dz = y que E v = E z = en todo lugar. La ra-
zón es que nuestra expresión para V es vàlida solo para puntos sobre el
eje x, donde y — z = 0. Así que nuestra expresión para E x es vàlida so-
lo sobre el eje x. Si se tuviera la expresión completa para V vàlida en
todos los puntos del espacio, entonces se podria usar para encontrar las
componentes de E en cualquier punto utilizando la ecuación (23.19).

Evalúe su comprensión de la sección 23.5 En cierta región del espacio,

el potencial està dado por V = A + Bx + Cv' + Dxy, donde A,B,Cy D son constantes

positivas. iCu&\ de estos enunciados sobre el campo eléctrico E en esta región del

espacio es correcto? (Puede haber màs de una respuesta correcta.) i) Aumentar el valor de A

incrementarà el valor de E en todos los puntos; ii) aumentar el valor de A disminuirà el valor

de E en todos los puntos; iii) E no tiene componente z; iv) el campo eléctrico es igual a cero

en el origen (x = 0, y = 0, z = 0).

CAPÍTULO 23 RESUMEN

Energia potencial elèctrica: La fuerza elèctrica causada
por cualquier conjunto de cargas es una fuerza conserva-
tiva. El trabajo Wrealizado por la fuerza elèctrica sobre
una partícula con carga que se mueve en un campo
elèctrico se representa por el cambio en una función
de energia potencial U.

La energia potencial elèctrica para dos cargas puntuales
q y q a depende de su separación r. La energia potencial
elèctrica para una carga q a en presencia de un conjunto de
cargas q u q 2 , q 3 depende de la distancia de q a cada una
de las demàs cargas. (Vèanse los ejemplos 23.1 y 23.2.)

w a

-»= v

,- u„

u

1
477-<r

11a
r

(dos cargas

puntuales)

U

-T*-

1 1 + 1 1 +

4TTe a

r, r 2

ia

S-l I'

?3

(23.2)

(23.9)

(23.10)

4we , r,
q en presencia de otras cargas puntuales)

Potencial elèctrico: El potencial, denotado por V, es
energia potencial por unidad de carga. La diferencia de
potencial entre dos puntos es igual a la cantidad de trabajo
prueba positiva entre esos puntos. El potencial V debido
a una cantidad de carga se calcula mediante una suma
(si la carga es un conjunto de cargas puntuales) o mediante
integración (si la carga es una distribución). (Vèanse los
ejemplos 23.3, 23.4, 23.5, 23.7, 23.11 y 23.12.)

La diferencia de potencial entre dos puntos a y b,
por la integral de línea de E. El potencial de un punto
dado se encuentra obteniendo primero E y después
resolviendo la integral. (Vèanse los ejemplos 23.6, 23.8,
23.9 y 23.10.)

U

1

v =

lo 47re r
(debido a una carga puntual)

(23.14)

lo 47re„ , r,
(debido a un conjunto de cargas puntuales)

(23.15)

V =

1 [dl
4t7£ J r (23.16)

(debido a una distribución de carga)

V b = \ E-dl = Ecos4>dl

(23.17)

7l

<h

<ft

'I

+

r 2

+

7 3

92

Superfícies equipotenciales: Una superfície equipotencial es aquella en la que el potencial tiene el
mismo valor en cada punto. En el punto en que una línea de campo cruza una superfície equipotencial,
ambas son perpendiculares. Cuando todas las cargas estan en reposo, la superfície de un conductor
siempre es una superfície equipotencial y todos los puntos en el interior del conductor estan al mismo
potencial. Cuando una cavidad dentro de un conductor no contiene carga, toda la cavidad es una región
equipotencial y no hay carga superficial en ninguna parte de la superfície de la cavidad.

Línea de
campo elèctrico

Corte transversal de una
superfície equipotencial

Calculo del campo elèctrico a partir del potencial
elèctrico: Si se conoce el potencial V como función
de las coordenadas x, y y ~„ las componentes del campo
parciales de V. (Vèanse los ejemplos 23.13 y 23.14.)

3V

— E, =

dx

dV
E. =

dy '

dV
Bz
(23.19)

, dV dV -dV
E = -\i — +/ — + k —

\ dx dy dz

(forma vectorial)

(23.20)

804

Preguntas para anàlisis

805

Términos clave

energia potencial (elèctrica), 781
potencial (eléctrico), 787
volt, 788

voltaje, 788
electrón volt, 790

superfície equipotencial, 799

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo :

Una diferencia de potencial grande y constante V ab se mantiene entre
la herramienta de soldadura (a) y los elementos metàlicos por soldar
(b). Del ejemplo 23.9 (sección 23.3), el campo eléctrico entre dos con-
ductores separados por una distancia d tiene magnitud E = V„ b /d. En-
tonces, d debe ser pequefia para que la magnitud del campo E sea
suficientemente grande como para que ionice el gas entre los conducto-
res a y b (véase la sección 23.3) y produzca un arco a través de este gas.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

23.1 Respuestas: a) i), b) ii) Las tres cargas q u q 2 y q 3 son positivas.
De aní que la energia potencial elèctrica total U sea positiva. Esto sig-
nifica que se requeriria trabajo positivo para llevar las tres cargas del
inflnito a las posiciones que se indican en la figura 21.14, y trabajo ne-
gativo para llevarlas de regreso de esas posiciones al inflnito.

23.2 Respuesta: no Si V = en cierto punto, E no tiene que ser
igual a cero en ese punto. Un ejemplo de esto es el punto c en las flgu-
ras 21.23 y 23.14, para el que hay un campo eléctrico en dirección +x
(véase el ejemplo 21.9 en la sección 21.5) aun cuando V — (véase el
ejemplo 23.4). Este resultado no es sorprendente, ya que V y E son
cantidades muy diferentes: V es la cantidad de trabajo que se requiere
para llevar una carga unitària del inflnito al punto en cuestión, mientras
que E es la fuerza elèctrica que actua sobre una unidad de carga cuan-
do llega a ese punto.

23.3 Respuesta: no Si E = en cierto punto, V no tiene que ser
igual a cero en ese punto. Un ejemplo es el punto O en el centro del
anillo con carga en las figuras 21.24 y 23.21. Del ejemplo 21.10 (sec-
ción 21.5), el campo eléctrico es igual a cero en O ya que las contribu-
ciones de las diferentes partes del anillo se anulan por completo. Sin
embargo, del ejemplo 23.11, el potencial en O no es igual a cero: este
punto corresponde a x = 0, por lo que V = ( 1 l4ire a )((?/«). Este va-
lor de V corresponde al trabajo que se tendría que efectuar para despla-
zar una unidad de carga de prueba positiva a lo largo de una trayectoria
del inflnito al punto O; no es igual a cero porque el anillo con carga re-
pele la carga de prueba, de manera que debe hacerse trabajo positivo
para llevar la carga de prueba en dirección del anillo.

23.4 Respuesta: no Si las cargas positivas en la figura 23.24 se sustitu-
yeran por cargas negativas, y viceversa, las superfícies equipotenciales
serían iguales, però el signo del potencial se invertiria. Por ejemplo, las
superfícies en la figura 23.24b con potencial V = +30 V y V = —50 V
tendrían potenciales V = —30 V y V = +50 V, respectivamente.

23.5 Respuesta: iii) De las ecuaciones (23.19), las componentes del
campo eléctrico son £, = — dV/dx = B + Dy, E = — dV/dy =
3Cy 2 + Dx y E ; = — dVJdz, = 0. El valor de A no tiene efecto, lo que
significa que se puede sumar una constante al potencial eléctrico en todos
los puntos sin que cambien E o la diferencia de potencial entre dos puntos.
El potencial no depende de z, por lo que la componente z de E es igual a
cero. Observe que en el origen el campo eléctrico no es igual a cero por-
que tiene una componente x distinta de cero: E, = B, E y = 0, E ; = 0.

PROBLEMAS

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Preguntas para anàlisis

P23.1. Un estudiante pregunto: "Como el potencial eléctrico siempre
es proporcional a la energia potencial, ^.por qué molestarse con el con-
cepte de potencial?" ^Qué respondería usted?

P23.2. El potencial (en relación con un punto en el infinito) a media
distancia entre dos cargas de igual magnitud y signo opuesto es igual a
cero. ;,Es posible traer una carga de prueba del infinito a ese punto me-
dio en forma tal que no se efectúe trabajo en ninguna parte del despla-
zamiento? Si es así, describa cómo se puede lograr. Si no es posible,
explique por qué.

P23.3. (,Es posible tener una configuración de dos cargas puntuales se-
paradas por una distancia finita de manera que la energia potencial
elèctrica del arreglo sea la misma que si las dos cargas estuvieran sepa-
radas por una distancia infinita? (,Por qué? ^Qué pasaría si hubiera tres
cargas? Explique su razonamiento.

P23.4. Como el potencial puede tener cualquier valor que se desee en
función de la elección del nivel de referència de potencial cero, (,cómo
"sabé" un voltímetro qué lectura hacer cuando se conecta entre dos
puntos?

P23.5. Si E es igual a cero en todo lugar a lo largo de cierta trayectoria
que vaya del punto A al B, ^cuàl es la diferencia de potencial entre esos
dos puntos? ^Significa esto que E es igual a cero en todos los puntos a
lo largo de cualquier trayectoria de A a B1 Explique su respuesta.

Figura 23.28 Pregunta
P23.7.

P23.6. Si E es igual a cero a través de cierta región del espacio, <,el po-
tencial también es necesariamente igual a cero en esa región? (,Por
qué? Si no es así, iqué puede decirse acerca del potencial?
P23.7. Si se efectua la integral del
campo eléctrico J £ • dl para una tra-
yectoria cerrada como la que se apre-
cia en la figura 23.28, la integral
siempre serà igual a cero, independien-
temente de la forma de la trayectoria
y de dónde se localicen las cargas en
relación con esta. Explique por qué
es así.

P23.8. La diferencia de potencial entre
dos terminales de una bateria AA (de ' .' —''

las que se usan en las linternas y los v ~^ ,'

estéreos portàtiles) es de 1.5 V. Si se

colocan dos baterías AA extremo con extremo con la terminal positiva
de una bateria en contacto con la terminal negativa de la otra, ;,cuàl es
la diferencia de potencial entre las terminales en los extremos expues-
tos de la combinación? ^Qué pasa si las dos terminales positivas se to-
can entre sí? Explique su razonamiento.

T--

-~_'

r E ^

806

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

P23.9. Es fàcil producir una diferencia de potencial de varios miles de volts
entre el cueipo de una persona y el piso, frotando los zapatos sobre una al-
fombra de nailon. Cuando usted toca una perilla metàlica recibe una des-
carga moderada. Sin embargo, es probable que el contacto con una línea
elèctrica de voltaje comparable sea mortal. ^A qué se debe la diferencia?
P23.10. Si se conoce el potencial eléctrico en un solo punto, ^se puede
determinar E en ese punto? Si es así, ^cómo? Si no es posible, ^por qué?
P23.ll. Como las líneas de campo eléctricas y las superfícies equipo-
tenciales siempre son perpendiculares, dos superfícies equipotenciales
nunca se cruzan; si lo hicieran, la dirección de E seria ambigua en los
puntos de intersección. Però dos superfícies equipotenciales parecen
cruzarse en el centro de la figura 23.24c. Explique por qué no hay am-
bigüedad acerca de la dirección de E en este caso particular.
P23.12. El campo eléctrico debido a una làmina muy grande con carga
es independiente de la distancia desde la làmina, aunque los campos
debidos a las cargas puntuales individuales en la làmina obedecen una
ley del inverso del Cuadrado. ^.Por qué el campo de la làmina no es màs
dèbil con el aumento de la distancia?

P23.13. Es frecuente que se diga que si un punto A està a un potencial
màs elevado que un punto B, entonces A està en un potencial positivo y
B en un potencial negativo. ^Se concluye necesariamente que un punto
en un potencial positivo està cargado positivamente, o que un punto en
un potencial negativo està cargado negativamente? llustre sus respues-
tas con ejemplos claros y sencillos.

P23.14. Una esfera conductora va a cargarse induciendo en ella poco a
poco carga positiva hasta que la carga total sea Q. Se afirma que el tra-
bajo total que se requiere para tal efecto es proporcional a Q 1 . (,Esto es
correcto? ^Por qué? Una esfera conductora va a cargarse induciendo
en ella poco a poco carga positiva hasta que la carga total sea Q. Se
afirma que el trabajo total que se requiere para tal efecto es proporcio-
nal a Q 1 . ^Esto es correcto? ;,Por qué?

Figura 23.29 Pregunta
P23.15.

«i

C 1

P23.15. Tres pares de placas para-
lelas de metal (A, B y C) estan co-
nectadas como se ilustra en la
figura 23.29, y una bateria mantie-
ne un potencial de 1 .5 V a través de
ab. iQué puede decirse acerca de la
diferencia de potencial a través de
cada par de placas? ^Por qué?
P23.16. Se coloca una esfera con-
ductora entre dos placas paralelas
con carga como las que se ilustran en la figura 23.2. El campo eléctrico
dentro de la esfera, ^depende precisamente de dónde se coloque la es-
fera entre las placas? iQué pasa con el potencial eléctrico dentro de la
esfera? (,Las respuestas a estàs preguntas dependen de si en la esfera
hay o no una carga neta? Explique su razonamiento.
P23.17. Un conductor con una carga neta Q tiene una cavidad hueca y
vacía en su interior. (,E1 potencial varia de un punto a otro dentro del
material del conductor? iQué sucede dentro de la cavidad? ^Cómo se
compara el potencial en el interior de la cavidad con el potencial den-
tro del material del conductor?

P23.18. Una línea de cd de alto voltaje cae sobre un automó vil, por lo que
toda la carrocería metàlica del vehículo està a un potencial de 10,000 V
con respecto a tierra. ;,Qué les pasa a los ocupantes cuando a) estan sen-
tados dentro del automóvil, y b) salen de éste? Explique su razonamiento.
P23.19. Cuando se acerca una tormenta, los marineros en altamar en
ocasiones observan un fenómeno llamado "fuego de San Elmo", que
consiste en un resplandor azuloso en las puntas de los màstiles. iQué
es lo que lo causa? ;Por qué ocurre en los extremos de los màstiles?
í,Por qué es màs pronunciado el efecto cuando los màstiles se encuen-
tran húmedos? (Sugerencia: considere que el agua de mar es un buen

P23.20. Una carga puntual positiva se coloca cerca de un plano conductor
muy grande. Un profesor de física asevera que el campo creado por esta
configuración es el mismo que el que se obtendría si se retirarà el plano y
se colocara una carga puntual negativa de igual magnitud en la posición
equivalente de una imagen en el espejo detràs de la posición inicial del pla-
no. (,Es correcto esto? ^Por qué? (Sugerencia: estudie la figura 23.24b.)

P23.21. En electrònica se acostumbra definir el potencial de tierra
(piense en la Tierra como en un conductor muy grande) como igual a
cero. (,Esto es congruente con el hecho de que la Tierra tiene una carga
elèctrica neta diferente de cero? (Consulte el ejercicio 21.32.)

Ejercicios

Sección 23.1 Energia potencial elèctrica

23.1. Una carga puntual q, = + 2.40 /aC se mantiene estacionaria en el
origen. Una segunda carga puntual q 2 = —4.30 /aC se mueve del punto
x = 0.150 m, y = 0, al punto x = 0.250 m, y = 0.250 m. ^Cuànto tra-
bajo realiza la fuerza elèctrica sobre q{!

23.2. Una carga puntual ç, se mantiene estacionaria en el origen. Se
coloca una segunda carga q 2 en el punto a, y la energia potencial elèc-
trica del par de cargas es +5.4 X 10~ s J. Cuando la segunda carga se
mueve al punto b, la fuerza elèctrica sobre la carga realiza —1.9 X
10~ 8 J de trabajo. (,Cuàl es la energia potencial elèctrica del par de car-
gas cuando la segunda carga se encuentra en el punto bl

23.3. Energia del núcleo. ;,Cuànto trabajo se necesita para ensam-
blar un núcleo atómico que contiene tres protones (como el del Be) si
se modela como un triàngulo equilàtera de lado 2.00 X 10~ 15 m con
un protón en cada vértice? Suponga que los protones parten desde
muy lejos.

23.4. a) iCuànto trabajo se requiere para empujar dos protones con
mucha lentitud desde una separación de 2.00 X 10~ 10 m (una distancia
atòmica común) a 3.00 X 10 -13 m (una distancia nuclear común)?
b) Si los dos protones se liberan desde el reposo en la distancia màs
cercana del inciso a), ^con qué rapidez se moveràn cuando alcancen
su separación original?

Figura 23.30 Ejercicio 23.5.

•li

22.0 m/s

■ 0.800 m -

V

23.5. Una esfera pequefia de me-
tal tiene una carga neta de q, =
— 2.80 /aC y se mantiene en po-
sición estacionaria por medio de
esfera metàlica también pequena
con carga neta de q, = —7.80 /aC
y masa de 1.50 g es proyectada

hacia q t . Cuando las dos esferas estan a una distancia de 0.800 m una
de otra, q 2 se mueve hacia q t con una rapidez de 22.0 m/s (figura
23.30). Suponga que las dos esferas pueden considerarse como cargas
puntuales y que se ignora la fuerza de gravedad. a) (,Cuàl es la rapidez
de q 2 cuando las esferas estan a 0.400 m una de la otra? b) iQué tan
cerca de í^llega la q 2 1

23.6. iQué tan lejos de una carga puntual de —7.20 /aC debe situarse
una carga puntual de +2.30 /aC para que la energia potencial elèctrica
U del par de cargas sea —0.400 J? (Considere U igual a cero cuando
las cargas tengan separación infinita.)

23.7. Una carga puntual Q = +4.60 /aC se mantiene fija en el origen.
Una segunda carga q = + 1 .20 /aC con masa de 2.80 X 10 4 kg se co-
loca en el eje x, a 0.250 m del origen, a) ^Cuàl es la energia potencial
elèctrica U del par de cargas? (Considere U igual a cero cuando las
cargas tengan separación infinita.) b) La segunda carga puntual se li-
bera del reposo. iCuàl es su rapidez cuando su distancia al origen es
i) 0.500 m; ii) 5.00 m; iii) 50.0 m?

23.8. Se colocan tres cargas puntuales iguales de 1.20 /aC en las esqui-
nas de un triàngulo equilàtera cuyos lados miden 0.500 m de longitud.
^,Cuàl es la energia potencial del sistema? (Considere la energia poten-
cial de las tres cargas igual a cero cuando se encuentren separadas por
una distancia infinita.)

23.9. Una carga puntual q t = 4.00 nC està situada en el origen, y una
segunda carga puntual q 2 = —3.00 nC està en el eje x enx — +20.0
cm. Una tercera carga puntual q, = 2.00 nC se coloca sobre el eje x en-
tre qi y q 2 . (Considere la energia potencial de las tres cargas igual a ce-
ro cuando estén separadas por una distancia infinita.) a) ^Cuàl es la

Ejercicios 807

energia potencial del sistema de tres cargas si g 3 se coloca en x =
+ 10.0 cm? b) ^Dónde debe situarse o-, para hacer que la energia poten-
cial del sistema sea igual a cero?

de 10.0 nm de lado, con una partícula alfa en su parte media. ^Cuànto
trabajo se necesita hacer para mover la partícula alfa al punto medio de

23.11. Tres cargas puntuales que al principio estan infinitamente aleja-
das entre sí, se colocan en las esquinas de un triàngulo equilàtero con
lados d. Dos de las cargas puntuales son idénticas y tienen carga q. Si
se requiere un trabajo neto igual a cero para situar las tres cargas en las
esquinas del triàngulo, ^.cuàl debe ser el valor de la tercera carga?

mente uno en dirección del otro con una rapidez de 1000 km/s, medida
con respecto a la Tierra. Encuentre la fuerza elèctrica màxima que ejer-
cerà cada protón sobre el otro.

Sección 23.2 Potencial eléctrico

23.13. Un campo eléctrico uniforme està dirigido hacia el este. El pun-
to B està a 2.00 m al oeste del punto A, el punto C està a 2.00 m del
punto A, y el punto D se localiza a 2.00 m al sur de A. En cada punto,
B, C y D, ^el potencial es mayor, menor o igual al del punto A? Expon-
ga el razonamiento que sustenta sus respuestas.

23.14. Se colocan cargas puntuales idénticas q = +5.00 /jlC en las es-
es de 0.200 m. Una carga puntual q a = —2.00 tiC se situa en una de las
esquinas vacías. <,Cuànto trabajo sobre q a realiza la fuerza elèctrica
cuando q B se mueve a la otra esquina vacía?

23.15. Una partícula pequena tiene carga de —5.00 tiC y masa de 2.00
X 10~ 4 kg. Se desplaza desde el punto A, donde el potencial eléctrico
es V A = +200 V, al punto B, donde el potencial eléctrico es V B =
+ 800V. La fuerza elèctrica es la única que actua sobre la partícula, la
cual tiene una rapidez de 5.00 m/s en el punto A. j,Cuàl es su rapidez
en el punto Bl ^,Se mueve màs ràpido o màs lento en B que en Al Ex-
plique su respuesta.

23.16. Una partícula con carga de +4.20 nC està en un campo eléctri-
co uniforme E dirigido hacia la izquierda. Se libera desde el reposo y
se mueve a la izquierda; después de que se ha desplazado 6.00 cm, su
energia cinètica es de +1.50 X 10~ 6 J. d) iQué trabajo realizó la fuer-
za elèctrica? b) (,Cuàl es el potencial del punto de inicio con respecto
al punto final? c) iCuàl es la magnitud de El

23.17. Una carga de 28.0 nC se coloca en un campo eléctrico uniforme
que està dirigido verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud de
4.00 X 10 4 V/m. j,Qué trabajo hace la fuerza elèctrica cuando la carga
se mueve a) 0.450 m a la derecha; b) 0.670 m hacia arriba; c) 2.60 m
con un àngulo de 45.0° hacia abajo con respecto a la horizontal?

23.18. Dos cargas puntuales estacionarias de +3.00 nC y +2.00 nC es-
tan separadas por una distancia de 50.0 cm. Se libera un electrón desde
el reposo en un punto a la mitad de camino entre las dos cargas y se
mueve a lo largo de la línea que las conecta. ^,Cuàl es la rapidez del
electrón cuando està a 10.0 cm de la carga de +3.00 nC?

23.19. Una carga puntual tiene una carga de 2.50 X 10~" C. ^A qué
distancia de la carga puntual el potencial eléctrico es de a) 90.0 V y b)
30.0 V? Considere el potencial igual a cero a una distancia infinita de
la carga.

23.20. Dos cargas de igual magnitud Q se mantienen separadas una
distancia d. Considere solo puntos sobre la línea que pasa a través de
ambas cargas. a) Si las dos cargas tienen el mismo signo, encuentre la
ubicación de todos los puntos (si los hay) en los que i) el potencial (en
relación con el infinito) es igual a cero (en estos puntos, ^el campo
eléctrico es cero?), y ii) el campo eléctrico es de cero (en estos puntos,
(,el potencial es de cero?). b) Repita el inciso a) para dos cargas que
tienen signos opuestos.

Figura 23.31 Ejercicio 23.21.

B

./\

^-0.050 m-i

O

0.050 m

>

'/i

'li

23.21. Dos cargas puntuales g, =
+2.40 nC y q 2 = -6.50 nC estan
separadas 0.100 m. El punto A
està a la mitad de la distancia en-
tre ellas; el punto B està a 0.080
m de i;, y 0.060 m de q 2 (figura
23.31). Considere el potencial
eléctrico como cero en el infinito.
Determine a) el potencial en el
punto A; b) el potencial en el punto B; c) el trabajo realizado por el
campo eléctrico sobre una carga de 2.50 nC que viaja del punto B al
punto A.

23.22. Dos cargas puntuales positivas, cada una con magnitud q, se
encuentran fijas sobre el eje y en los puntos y = +a y y = —a. Con-
sidere el potencial igual a cero a una distancia infinita de las cargas.
a) Indique en un diagrama la posición de las cargas. b) ^Cuàl es el po-
tencial V en el origen? c) Demuestre que el potencial en cualquier
punto sobre el eje x es

1

2q

47re o Vfl 2

+ x L

(d) Elabore la gràfica del potencial sobre el eje x como función de x so-
bre el intervalo de x = — 4a a x — +4a. e) ^,Cuàl es el potencial cuan-
do x 3> al Explique por qué se obtiene este resultado.

23.23. Una carga +q se localiza en el punto x = 0, y = — a, y una car-
ga negativa — q se encuentra en el punto x = 0, y = +a. a) Senale en
un diagrama las posiciones de las cargas. b) Obtenga una expresión pa-
ra el potencial V en los puntos sobre el eje x como función de la coor-
denada ,v. Considere V igual a cero a una distancia infinita de las
cargas. c) Elabore la gràfica de V en puntos sobre el eje x como función
de x en el intervalo de x = — 4o a x = +4a. d) (,Cuàl es la respuesta al
inciso b) si las dos cargas se intercambian de manera que + q esté en y
= + a y — q esté en y = — al

23.24. Considere la configuración de cargas descrita en el ejercicio
23.23. a) Obtenga una expresión para el potencial V en puntos sobre el
eje y como función de la coordenada y. Considere V igual a cero a una
distancia infinita de las cargas. b) Elabore la gràfica de Ven puntos so-
bre el eje y como función de y en el intervalo de y = —4a a y = +4o.
c) Demuestre que para y S> a, el potencial en un punto sobre el eje y
positivo està dado por V= — ( l/4-n-e )2oa/y 2 . d) (.Cuàles son las
respuestas a los incisos a) y c) si las dos cargas se intercambian de ma-
nera que +q esté en y = +ay —q esté en y = — al

23.25. Una carga positiva q està fija en el punto x = 0, y = 0, y una
carga negativa — 1q se encuentra fija en el punto x = a, y = 0. a) Sena-
le las posiciones de las cargas en un diagrama, b) Obtenga una expre-
sión para el potencial V en puntos sobre el eje x como función de la
coordenada x. Considere V igual a cero a una distancia infinita de las
cargas. c) ^En qué posiciones sobre el eje x V = 0? d) Elabore la gràfi-
ca de V en puntos sobre el eje x como función de x en el intervalo de
x = — 2a a x = +2a. e) ^Cuàl es la respuesta para el inciso b) cuan-
do x S> ei? Explique por qué se obtiene este resultado.

23.26. Considere la configuración de cargas puntuales descrita en el
ejercicio 23.25. a) Obtenga una expresión para el potencial V en pun-
tos sobre el eje y como función de la coordenada y. Considere V igual a
cero a una distancia infinita de las cargas. b) ^En qué posiciones sobre
el eje y, V = 0? c) Elabore la gràfica de Ven puntos sobre el eje y como
función de y en el intervalo de y = — 2a a y = +2a. d) (,Cuàl es la res-
puesta para el inciso a) cuando y S> al Explique por qué se obtiene es-

los aparatós de radio y otros dispositivos se usaban bulbos de vacío.
Un tipo sencillo de bulbo de vacío conocido como diodo consiste en
esencia en dos electrodos en el interior de un compartimiento al alto
vacío. Un electrodo, el càtodo, se mantiene a temperatura elevada y

808

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

emite electrones desde su superfície. Entre el càtodo y el otro elec-
trodo, conocido como ànodo, hay una diferencia de potencial de
algunos cientos de volts, con el ànodo en el potencial mas alto. Su-
ponga que en un bulbo de vacío en particular el potencial del ànodo
es 295 V mayor que el del càtodo. Un electrón sale de la superfície
del càtodo con rapidez inicial igual a cero. Calcule su rapidez al in-
cidir en el ànodo.

23.28. A cierta distancia de una carga puntual, el potencial y la mag-
nitud del campo eléctrico debido a esa carga son 4.98 V y 12.0 V/m,
respectivamente. (Considere el potencial como cero en el infinito.)
a) ^Cuàl es la distancia a la carga puntual? b) ^Cuàl es la magnitud de
la carga? c) ^,E1 campo eléctrico està dirigido hacia la carga puntual
o se aleja de esta?

23.29. Un campo eléctrico uniforme tiene una magnitud E y està diri-
gido en la dirección negativa de x. La diferencia de potencial entre
el punto a (en x = 0.60 m) y el punto b (en x = 0.90 m) es 240 V.
a) (,Cuàl punto, a o b, tiene el potencial màs alto? b) Calcule el valor
de E. c) Una carga puntual negativa q = —0.200 /aC se desplaza de
b a a. Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la car-
ga puntual.

23.30. Para cada una de las siguientes configuraciones de dos cargas
puntuales, encuentre todos los puntos a lo largo de la línea que pasa a
través de ambas cargas para las que el potencial eléctrico V es igual
a cero (considere que V = a una distancia infinita de las cargas) y
para las que el campo eléctrico E es cero: a) cargas +Q y +2Q separa-
das por una distancia d, y b) cargas — Q y +2Q separadas por una dis-
tancia d. c) ;,Son V y E iguales a cero en los mismos lugares? Explique.

23.31. a) Un electrón se acelera de 3.00 X 10" m/s a 8.00 X 10 6 m/s.
lA través de qué diferencia de potencial debe pasar el electrón para
que esto suceda? b) ^A través de qué diferencia de potencial debe pa-
sar el electrón si ha de disminuir su velocidad de 8.00 X 10 6 m/s hasta
detenerse?

Sección 23.3 Calculo del potencial eléctrico

23.32. Una carga elèctrica total de 3.50 nC està distribuida de manera
uniforme sobre la superfície de una esfera de metal con radio de 24.0
cm. Si el potencial es igual a cero en un punto en el infinito, encuentre
el valor del potencial a las siguientes distancias desde el centro de la
esfera: a) 48.0 cm; b) 24.0 cm; c) 12.0 cm.

23.33. Un anillo delgado con carga uniforme tiene un radio de 15.0 cm
y carga total de +24.0 nC. Se coloca un electrón sobre el eje del anillo
a una distancia de 30.0 cm de su centro y queda restringido a permane-
cer sobre ese eje. Después se libera el electrón desde el reposo, a) Des-
criba el movimiento posterior del electrón. b) Determine la rapidez del
electrón cuando alcanza el centro del anillo.

23.34. Una línea infinitamente larga de carga tiene densidad superfi-
cial de carga de 5.00 X 10~ 12 C/m. Un protón (masa de 1.67 X 10~ 27 kg,
carga de +1.60 X 10~ 19 C) se localiza a 18.0 cm de la línea y se
mueve directamente hacia ella con una rapidez de 1.50 X 10 3 m/s.
a) Calcule la energia cinètica inicial del protón. b) ^A qué distancia
de la línea de carga llega el protón? (Sugerencia: véase el ejemplo
23.10.)

23.35. Un alambre muy largo tiene una densidad lineal de carga uni-
forme A. Se utiliza un voltímetro para medir la diferencia de potencial
y se encuentra que cuando un sensor del instrumento se coloca a 2.50
cm del alambre y el otro sensor se situa a 1.00 cm màs lejos del alam-
bre, el aparato lee 575 V. a) ;,Cuàl es el valor de A? b) Si ahora se colo-
ca un sensor a 3.50 cm del alambre y el otro a 1.00 cm màs lejos, ^el
voltímetro leerà 575 V? Si no es así, (,1a lectura estarà por encima o por
debajo de 575 V? ^Por qué? c) Si se sitúan ambos sensores a 3.50 cm
del alambre però a 17.0 cm uno de otro, ;,cuàl serà la lectura del voltí-
metro?

23.36. Un cilindro aislante muy largo de carga con radio de 2.50 cm
tiene una densidad lineal uniforme de 15.0 nC/m. Si se coloca un sen-

sor del voltímetro en la superfície, ^,a qué distancia de la superfície de-
be situarse el otro sensor para que la lectura sea de 175 V?

23.37. Una coraza cilíndrica aislante muy larga con radio de 6.00 cm
tiene una densidad lineal de carga de 8.50 tiC/m distribuida de manera
uniforme en su superfície exterior. (,Cuàl seria la lectura del voltímetro
si se conectara entre a) la superfície del cilindro y un punto a 4.00 por
arriba de la superfície, y b) la superfície y un punto a 1.00 cm del eje
central del cilindro?

23.38. Un anillo con diàmetro de 8.00 cm està fijo en un lugar y tiene
una carga de +5.00 ttC distribuida de manera uniforme sobre su cir-
cunferencia. a) ^Cuànto trabajo se requiere para desplazar una esfera
diminuta con carga de +3.00 /jlC y masa de 1.50 g desde una distancia
muy lejana al centro del anillo? b) (,Es necesario seguir una trayectoria
a lo largo del eje del anillo? (.Por qué? c) Si la esfera se desplaza lige-
ramente del centro del anillo, iqué haría y cuàl seria la velocidad mà-
xima que alcanzaría?

Figura 23.32 Ejercicio 23.39.

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

23.39. Dos placas de metal parale-
las, muy grandes, tienen densida-
des de carga de la misma magnitud
però con signos opuestos (figura
23.32). Suponga que estan sufi-
cientemente cerca como para ser
tas. Si se considera el potencial
igual a cero a la izquierda de la su-
perfície de la placa negativa, elabore una gràfica del potencial como fun-
ción de x. Incluya todas las regiones de izquierda a derecha de las placas.

23.40. Dos placas conductoras paralelas y grandes, que llevan cargas
opuestas de igual magnitud, estan separadas por una distancia de
2.20 cm. a) Si la densidad superficial de carga para cada placa tie-
ne una magnitud de 47.0 nC/nr, ^cuàl es la magnitud de E en la
región entre las placas? b) ^Cuàl es la diferencia de potencial entre
las dos placas? c) Si la separación entre las placas se duplica mien-
tras la densidad superficial de carga se mantiene constante en el va-
lor que se obtuvo en el inciso a), ;,qué sucede con la magnitud del
campo eléctrico y la diferencia de potencial?

23.41. Dos placas metàlicas, grandes y paralelas tienen cargas opues-
tas de igual magnitud. Estan separadas por una distancia de 45.0 mm, y
la diferencia de potencial entre ellas es de 360 V. a) ;,Cuàl es la magni-
tud del campo eléctrico (el cual se supone uniforme) en la región entre
las placas? b) ;,Cuàl es la magnitud de la fuerza que ejerce este campo
sobre una partícula con carga de +2.40 nC? c) Utilice los resultados
del inciso b) para calcular el trabajo realizado por el campo sobre la
partícula conforme se desplaza de la placa de mayor potencial a la de
menor potencial, d) Compare el resultado del inciso c) con el cambio
de energia potencial de la misma carga, calculado a partir del potencial
eléctrico.

23.42. a) ^Cuànta carga excedente debe colocarse en una esfera de co-
bre de 25.0 cm de diàmetro de manera que el potencial de su centro, en
relación con el infinito, sea de 1.50 kV? b) ^Cuàl es el potencial de la
superfície de la esfera en relación con el infinito?

23.43. a) Demuestre que para una coraza esfèrica de radio R, que tiene
una carga q distribuida de manera uniforme sobre su superfície, V es
igual que V para un solido conductor con radio R y carga q. b) Se frota
un globo inflado sobre una alfombra, con lo que adquiere un potencial
que es 1560 V màs bajo que su potencial antes de haber sido cargado.
Si la carga està distribuida de manera uniforme sobre la superfície del
globo y el radio de éste es de 15 cm, (,cuàl es la carga neta en el globo?
c) A la luz de su diferencia de potencial de 1200 V en relación con us-
ted, (.piensa que este globo es peligroso? Explique su respuesta.

23.44. El campo eléctrico en la superfície de una esfera de cobre con
carga, sòlida y con radio de 0.200 m es de 3800 N/C, dirigido hacia el
centro de la esfera. ;,Cuàl es el potencial en el centro de la esfera si se
considera un potencial igual a cero a una distancia infinitamente gran-
de con respecto a la esfera?

Problemas

809

Sección 23.4 Superfícies equipotenciales y

23.45. Se establece una diferencia de potencial de 480 V entre placas
metàlicas grandes y paralelas. El potencial de una placa es de 480 V, y
el de la otra es V. Las placas estan separadas por d = 1 .70 cm. a) Ela-
bore un diagrama de las superfícies equipotenciales que correspondan
a 0, 120, 240, 360 y 480 V. b) En el diagrama, indique las líneas de
campo eléctrico. ^El diagrama confirma que las líneas de campo y las
superfícies equipotenciales son perpendiculares entre sí?

23.46. Una làmina muy grande de plàstico tiene una densidad de car-
ga uniforme de —6.00 nC/m 2 en una cara. a) Conforme usted se ale-
ja de la làmina a lo largo de una línea perpendicular a ella, <,el
potencial se aumenta o disminuye? ;,Cómo lo sabé, sin hacer càlcu-
los? ^La respuesta depende del lugar que elija como punto de refe-
rència para el potencial? b) Encuentre el espaciamiento entre
superfícies equipotenciales que difieren en 1.00 V una de otra. iQué
tipo de superfícies son éstas?

23.47. En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V(x, y, z)
= Axy — Bx 2 + Cy, donde A, B y C son constantes positivas. a) Calcu-
le las componentes x, y y z del campo eléctrico. b) ;,En qué puntos el
campo eléctrico es igual a cero?

23.48. El potencial debido a una carga puntual Q en el origen se puede
escribir como

V =

Q

Q

o r 4i7e V.r + y 2 + r

a) Calcule E„ E y E ; utilizando las ecuaciones (23.19). b) Demuestre
que los resultados del inciso a) concuerdan con la ecuación (21.7) para
el campo eléctrico de una carga puntual.

23.49. Una esfera metàlica con radio r„ està apoyada en un soporte ais-
lante en el centro de una coraza esfèrica, hueca, metàlica y con radio
r b . En la esfera interior hay una carga +q y en la exterior otra — q.
a) Calcule el potencial V(r) para i) r < r a ; ii) r„ < r < r b \ iii) r > r b .
(Sugerencia: el potencial neto es la suma de los potenciales debidos
a las esferas individuales.) Considere V igual a cero cuando r es infini-
ta, b) Demuestre que el potencial de la esfera interior con respecto al
de la esfera exterior es

V„,

-H 1

4"ire n \r„

c) Utilice la ecuación (23.23) y el resultado del inciso a) para mostrar
que el campo eléctrico en cualquier punto entre las esferas tiene una
magnitud de

£(,•) =

V.„

l

(l/r.-l/r»)

d) Use la ecuación (23.23) y el resultado del inciso a) para encontrar el
campo eléctrico en un punto fuera de la esfera màs grande a una dis-
tancia r del centro, donde r > r b . e) Suponga que la carga en la esfera
exterior no es — q sinó una carga negativa de diferente magnitud, por
ejemplo, —Q. Demuestre que las respuestas para los incisos b) y c) son
las mismas que antes, però la del inciso d) es distinta.
23.50. Una esfera metàlica con radio r„ = l. 20 cm està sostenida por
un soporte aislante en el centro de una coraza esfèrica, hueca, metàli-
ca y con radio r b = 9.60 cm. En la esfera interior se coloca una carga
+q y en la exterior otra —q. Se elige que la magnitud de q sea tal que
haga que la diferencia de potencial entre las esferas sea de 500 V, con
la esfera interior a un potencial màs elevado. a) Use el resultado del
ejercicio 23.49è) para calcular q. b) Con ayuda del resultado del ejer-
cicio 23.49a), elabore un diagrama de las superfícies equipotenciales
que correspondan a 500, 400, 300, 200, 1 00 y V. c) En el diagrama
indique las líneas de campo eléctrico. (,Son perpendiculares entre sí
las líneas de campo eléctrico y las superfícies equipotenciales? Cuan-

do la magnitud de É es màxima, £las superfícies equipotenciales estan
màs cercanas?

23.51. Un cilindro muy grande de 2.00 cm de radio tiene una densidad
de carga uniforme de 1.50 nC/m. a) Describa la forma de las superfí-
cies equipotenciales para este cilindro, b) Tomé el nivel de referència
de manera que el potencial cero sea la superfície del cilindro, encuen-
tre el radio de las superfícies equipotenciales que tienen potenciales de
10.0 V, 20.0 V y 30.0 V. c) j,Estàn igualmente espaciadas las superfí-
cies equipotenciales? Si no es así, ^.estàn màs juntas o separadas con-
forme r se incrementa?

Problemas

23.52. La figura 23.33 muestra el potencial de una distribución de car-
ga como función de x. Elabore una gràfica del campo eléctrico E t sobre
la región que se ilustra.

Figura 23.33 Problema 23.52.

23.53. Una partícula con carga +7.60 nC està en un campo eléctrico
uniforme dirigido a la izquierda. Otra fuerza, ademàs de la elèctrica,
actua sobre la partícula de manera que cuando parte del reposo se des-
plaza a la derecha. Después de haberse movido 8.00 cm, la fuerza adi-
cional ha efectuado un trabajo de 6.50 X 10~ 5 J y la partícula tiene una
energia cinètica de 4.35 X 10~ 5 J. d) ^Qué trabajo realizó la fuerza
elèctrica? b) ^Cuàl es el potencial del punto de inicio con respecto al
del punto final? c) ^Cuàl es la magnitud del campo eléctrico?

23.54. En el modelo de Bohr del àtomo de hidrógeno, un único elec-
trón gira alrededor de un solo protón en un circulo de radio r. Supon-
ga que el protón permanece en reposo, a) Igualando la fuerza elèctrica
con la masa del electrón multiplicada por su aceleración, obtenga
una expresión para la rapidez del electrón. b) Obtenga una expresión
para la energia cinètica del electrón, y demuestre que su magnitud es
la mitad de la de la energia potencial elèctrica, c) Obtenga una expre-
sión para la energia total, y evalúela con r = 5.29 X 10 " m. Exprese
el resultado numérico en joules y en electrón volts.

23.55. Un diodo de bulbo de vacío (véase el ejercicio 23.27) consiste
en electrodos cilíndricos concéntricos, el càtodo negativo y el ànodo
positivo. A causa de la acumulación de carga cerca del càtodo, el po-
tencial eléctrico entre los electrodos no es una función lineal de la
posición, ni siquiera con geometria plana, sinó que està dada por

V(x) = Cx 4 ! 3

donde x es la distancia desde el càtodo y C es una constante, caracte-
rística de un diodo en particular y de las condiciones de operación.
Suponga que la distancia entre el càtodo y el ànodo es de 13.0 mm y
que la diferencia de potencial entre los electrodos es de 240 V. a) De-
termine el valor de C. b) Obtenga una fórmula para el campo eléctri-
co entre los electrodos como función de x. c) Determine la fuerza
sobre un electrón cuando éste se encuentre en el punto medio entre
los electrodos.

810

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

Figura 23.34 Problema 23.56.

23.56. Dos esferas aislantes
idénticas con cargas opuestas,
cada una de 50.0 cm de diàmetro
y con carga uniforme de magni-
tud 175 jLiC, estan colocadas con
sus centros separados por una distancia de 1.00 m (figura 23.34).
a) Si se conecta un voltímetro entre los puntos mas cercanos (a y b)
sobre sus superfícies, ^.cuàl serà la lectura? b) ;,Cuàl punto, a o b,
està en el potencial màs grande? ;,Cómo se puede saber esto sin ha-
cer càlculos?

Figura 23.36 Problema 23.60.

Figura 23.35 Problema 23.57.

23.57. Cristal iónico. La figura
23.35 muestra ocho cargas pun-
tuales situadas en las esquinas de
un cubo con lados de longitud d.
Los valores de las cargas son +q
y — q, como se indica. Éste es un
modelo de una celda de un cristal
cúbico iónico. Por ejemplo, en el
cloruro de sodio (NaCl) los iones
positivos son Na + y los negativos
son CU. a) Calcule la energia po-
tencial U de esta configuración.
(Considere la energia potencial de
las ocho cargas igual a cero cuando estan separadas por una distancia
infinita.) b) En el inciso a), se debe de haber encontrado que U < 0.
Explique la relación entre este resultado y la observación de que tales
cristales iónicos existen en la naturaleza.

23.58. a) Calcule la energia potencial de un sistema de dos esferas
pequenas, una con carga de 2.00 fiC y la otra con carga de —3.50
fiC, con sus centros separados por una distancia de 0.250 m. Supon-
ga una energia potencial igual a cero cuando las cargas estan separa-
das por una distancia infinita, b) Suponga que una de las esferas
permanece en su lugar y la otra, con masa de 1.50 g, se aleja de ella.
iQué rapidez inicial mínima seria necesario que tuviera la esfera en
movimiento para escapar por completo de la atracción de la esfera
fija? (Para escapar, la esfera en movimiento tendría que alcanzar una
rapidez de cero cuando hubiera una distancia infinita entre ella y la
esfera fija.)

23.59. ElionH 2 + . El ion H 2 + està compuesto por dos protones, cada
uno con carga +e — 1.60 X 10" " C, y un electrón de carga —ey ma-
sa 9.11 X 10~ 31 kg. La separación entre los protones es de 1.07 X
10~ 10 m. Los protones y el electrón pueden ser tratados como cargas
puntuales. a) Suponga que el electrón se localiza en el punto medio
entre los dos protones. ^Cuàl es la energia potencial de la interacción en-
tre el electrón y los dos protones? (No incluya la energia potencial
debida a la interacción entre los dos protones.) b) Suponga que el elec-
trón del inciso a) tiene una velocidad de magnitud 1.50 X 10 6 m/s en
una dirección a lo largo de la bisectriz perpendicular de la línea que co-
necta los dos protones. ^,Qué tan lejos del punto medio entre los dos
protones se mueve el electrón? Como las masas de los protones son
mucho mayores que la del electrón, los movimientos de los protones
son muy lentos y se pueden ignorar. (Nota: una descripción realista
del movimiento del electrón requiere el uso de la mecànica cuàntica,
no la newtoniana.)

23.60. Una esfera pequena con masa de 1.50 g cuelga de una cuerda
entre dos placas verticales paralelas separadas por una distancia de
5.00 cm (figura 23.36). Las placas son aislantes y tienen densidades
de carga superficial uniformes de +<r y — a. La carga sobre la esfera
es q = 8.90 X 10~ 6 C. ^Cuàl diferencia de potencial entre las placas
ocasionarà que la cuerda formarà un àngulo de 30.0° con respecto a la
vertical?

-5.00 cm -

23.61. Cilindros coaxiales. Un cilindro metàlico largo con radio a
està apoyado en un soporte aislante sobre el eje de un tubo metàlico
largo y hueco con radio b. La carga positiva por unidad de longitud so-
bre el cilindro interior es igual a A, y en el cilindro exterior hay una
carga negativa igual por unidad de longitud, a) Calcule el potencial
V(r) para i) r < a; ii) a < r < b; iii) r > b. (Sugerencia: el poten-
cial neto es la suma de los potenciales debidos a los conductores in-
dividuales.) Considere V = en r = b. V) Demuestre que el potencial
del cilindro interior con respecto al del exterior es

A b

V„„ = In-

27re a

c) Use la ecuación (23.23) y el resultado del inciso a) para demostrar
que el campo ele'ctrico en cualquier punto entre los cilindros tiene
magnitud

E(r)

1

ïn(bja)

d) ^,Cuàl es la diferencia de potencial entre los dos cilindros si el cilin-
dro exterior no tiene carga neta?

fa utilizando el hecho de que la radiación ioniza el aire a lo largo de su
trayectoria. Un alambre delgado està sobre el eje de un cilindro de me-
tal hueco y aislado de éste (figura 23.37). Entre el alambre y el cilindro
exterior se establece una diferencia de potencial grande, con el alam-
bre con el potencial màs elevado; esto produce un campo eléctrico in-
entra al aparato, se ionizan algunas moléculas de aire. Los electrones
libres producidos son acelerados por el campo eléctrico hacia el alam-
bre y, en el camino, ionizan muchas màs moléculas de aire. Entonces
se produce un pulso de corriente que puede detectarse mediante circui-
tos electrónicos apropiados y convertirse en un "clic" audible. Su-
ponga que el radio del alambre central es de 145 /Ltm y que el radio
del cilindro hueco es de 1.80 cm. <,Cuàl es la diferencia de poten-
cial entre el alambre y el cilindro que produce un campo eléctrico de

Figura 23.37 Problema 23.62.

Problemas

811

2.00 X 10 4 V/m a una distancia de 1.20 cm del eje del alambre? (El
alambre y el cilindro son muy largos en comparación con sus ràdios,
por lo que se aplican los resultados del problema 23.61.)
23.63. Desviación en un TRC. Es frecuente que en los osciloscopios
y monitores de computadora haya tubos de rayos catódicos (TRC).
En la figura 23.38 se proyecta un electrón con rapidez inicial de 6.50 X
10 6 m/s a lo largo del eje en el punto medio entre las placas de des-
viación de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme en-
tre las placas tiene una magnitud de 1.10 X 10' V/m y va hacia arriba.
a) ;,Cuàl es la fuerza (magnitud y dirección) sobre el electrón cuando
està entre las placas? b) iCuàl es la aceleración del electrón (magnitud
y dirección) cuando actua sobre él la fuerza del inciso a)? c) iQué tan
lejos por debajo del eje se ha movido el electrón cuando alcanza el final
de las placas? d) i Con qué àngulo con respecto al eje se mueve cuando
abandona las placas? e) iA qué distancia por debajo del eje golpearà la
pantalla fluorescente SI

Figura 23.38 Problema 23.63.

2.0 cm

\

■ €> — - !

K6.0 cm >K 12.0 cm >

23.64. Placas de desviación de un osciloscopio. Las placas de des-
viación verticales de un osciloscopio estudiantil común son un par de
rio. Las dimensiones comunes miden aproximadamente 3.0 cm por la-
do, con una separación de cerca de 5.0 mm. Las placas estan
suficientemente cerca, por lo que se puede ignorar la flexión en los ex-
tremos. En estàs condiciones: a) ^Cuànta carga hay en cada placa, y
b) (,qué tan fuerte es el campo eléctrico entre las placas? c) Si un elec-
trón es lanzado del reposo desde las placas negativas, iqué tan ràpido
se mueve cuando alcanza la placa positiva?

23.65. Los precipitadores eleclrostàticos se utilizan para eliminar par-
tículas contaminantes de humo, en particular en las chimeneas de las
plantas generadoras de energia a base de carbón. Una forma del preci-
pitador consiste en un cilindro metàlico, vertical y hueco, con un alam-
Entre el alambre y el cilindro exterior se establece una diferencia de
potencial elevada, con el alambre en el menor potencial. Esto genera
un campo eléctrico radial intenso dirigido hacia dentro. El campo crea
una región de aire ionizado cerca del alambre. El humo entra al preci-
pitador por la base, la ceniza y polvo capturan electrones, y los conta-

Figura 23.39 Problema 23.65.

14.0 cm

Flujo de

Fuente de poder
50.0 kV

minantes con carga son acelerados por el campo eléctrico hacia la pa-
red del cilindro exterior. Suponga que el radio del alambre central es
90.0 ju.m, el radio del cilindro es de 14.0 cm, y se establece una dife-
rencia de potencial de 50.0 kV entre el alambre y el cilindro. También
suponga que el alambre y el cilindro son muy largos en comparación
con el radio del cilindro, por lo que se aplican los resultados del pro-
blema 23.61. a) .J.Cuàl es la magnitud del campo eléctrico en el punto
medio entre el alambre y la pared del cilindro? b) iQué magnitud de
carga debe tener una partícula de ceniza de 30.0 p.g si el campo eléctri-
co calculado en el inciso a) debe ejercer una fuerza equivalente a 10
veces el peso de la partícula?

23.66. Un disco con radio R tiene una densidad superficial de carga a.

a) Si el disco se considera como una sèrie de anillos concéntricos,
calcule el potencial eléctrico V en un punto sobre el eje del disco a
una distancia x del centro del disco. Suponga que el potencial es igual
a cero en el infinito. (Sugerencia: use el resultado del ejemplo 23.11
en la sección 23.3.) b) Calcule — dV/dx. Demuestre que el resultado
concuerda con la expresión para E x calculada en el ejemplo 21.12
(sección 21.5).

23.67. a) A partir de la expresión para E obtenida en el problema
22.40, encuentre las expresiones para el potencial eléctrico V como
función de r, tanto dentro como fuera del cilindro. Sea V — en la
nos de la carga por unidad de longitud A de la distribución de carga.

b) Elabore la gràfica de V y E como funciones de r, desde r = has-
ta r = 3R.

23.68. Las partículas alfa (masa = 6.7 X 10~ 27 kg, carga = + 2e) son
proyectadas directamente hacia una làmina de oro. El núcleo del oro
puede modelarse como una esfera de carga uniforme; suponga que el
oro no se mueve. a) Si el radio del núcleo del oro es 5.6 X 10~ 15 m,
^cuàl es la rapidez mínima que necesitan las partículas alfa cuando es-
tan lejos de alcanzar la superfície del núcleo del oro? (Ignore los efec-
tos relativistas.) b) Dé buenas razones físicas de por qué se pueden
ignorar los efectos de los electrones orbitales cuando la partícula alfa
està i) fuera de las órbitas del electrón, y ii) dentro de las órbitas del
electrón.

23.69. Para el anillo de carga descrito en el ejemplo 23.11 (sección
23.3), íntegre la expresión para E x obtenida en el ejemplo 21.10 (sec-
ción 21.5) para calcular el potencial en el punto P sobre el eje del ani-
llo. Suponga que V — en el infinito. Compare el resultado con el que
se obtuvo en el ejemplo 23.11 por medio de la ecuación (23.16).

23.70. Una varilla aislante delgada se dobla para formar un arco semi-
circular de radio a, y una carga elèctrica total Q està distribuida de ma-
nera uniforme a lo largo de la varilla. Calcule el potencial en el centro
de curvatura del arco si se supone que el potencial es igual a cero en el
infinito.

23.71. Autoenergía de una esfera de carga. Una esfera sòlida de
radio R contiene una carga total Q distribuida de manera uniforme en
todo su volumen. Calcule la energia necesaria para ensamblar esta car-
ga por medio de traer cargas infinitesimales desde muy lejos. Esta
energia se llama "autoenergía" de la distribución de carga. (Sugeren-
cia: después de ensamblar la carga q en una esfera de radio r, ^cuànta
energia se necesitaría agregar a una coraza esfèrica con espesor dr y
carga dql Después Íntegre para obtener la energia total.)

23.72. a) A partir de la expresión para E obtenida en el ejemplo 22.9
(sección 22.4), encuentre la expresión para el potencial eléctrico V co-
mo función de r tanto dentro como fuera de la esfera con carga unifor-
me. Suponga que en el infinito V = 0. b) Elabore una gràfica de Vy E
como funciones de r, desde r — a r = 3S.

23.73. Una esfera aislante sòlida de radio R tiene carga Q con distribu-
ción uniforme en todo su volumen. a) Utilice los resultados del proble-
ma 23.72 para encontrar la magnitud de la diferencia de potencial entre
la superfície de la esfera y su centro, b) ;,Cuàl tiene mayor potencial, la
superfície o el centro si, i) Q es positiva y ii) si Q es negativa?

812

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

23.74. Una coraza esfèrica aislante con radio interior de 25.0 cm y ra-
dio exterior de 60.0 cm, tiene una carga de + 150.0 /aC distribuida con
uniformidad sobre su superfície externa (véase el ejercicio 23.43). El
punto a està en el centro de la coraza, el punto b se encuentra en la
superfície interna, y el punto c se localiza en la superfície exterior.
d) ^Cuàl serà la lectura de un voltímetro si se conecta entre los siguien-
tes puntos: i) a y b; ii) b y c; iii) c y el infinito; iv) a y cl b) ;,Cuàl tiene
mayor potencial: i) a o b; ii) boc; iii) ao c\c) ^Cuàl de las respuestas
cambiaría, si alguna lo hiciera, si las cargas fueran de — 150 /iC?

23.75. El ejercicio 23.43 demuestra que afuera de una coraza esfèri-
ca con carga superficial uniforme, el potencial es el mismo que si to-
da la carga estuviera concentrada en una carga puntual situada en el
centro de la esfera, a) Utilice este resultado para demostrar que para
dos corazas aislantes con carga uniforme, la fuerza que ejercen una
sobre la otra y su energia elèctrica mútua son las mismas que si toda
la carga se concentrarà en sus centros. (Sugerencia: consulte la sec-
ción 12.6.) b) (,Este mismo resultado se cumple para esferas sólidas
aislantes, con distribución de carga uniforme en todo su volumen?
c) £Es valido este mismo resultado para la fuerza entre dos corazas
conductoras con carga? ^,Y entre dos conductores sólidos con carga?
Explique su respuesta.

23.76. Dos esferas de plàstico, cada una con carga distribuida de ma-
nera uniforme en su interior, entran en contacto inicialmente y luego se
liberan. Una esfera mide 60.0 cm de diàmetro, tiene masa de 50.0 g y
contiene — 10.0 /aC de carga. La otra esfera tiene un diàmetro de 40.0
cm, masa de 150.0 g y contiene —30.0 /aC de carga. Determine la ace-
leración y la rapidez màximas que alcanza cada esfera (en relación con
el punto fijo de su localización inicial en el espacio), suponiendo que
no hay màs fuerzas que actuen sobre ellas. (Sugerencia: las cargas
distribuidas de manera uniforme se comportan como si estuvieran con-
centradas en los centros de las dos esferas.)

23.77. Use el campo eléctrico calculado en el problema 22.43 para de-
terminar la diferencia de potencial entre la esfera conductora sòlida y

23.78. Considere una esfera conductora sòlida dentro de otra esfera
conductora hueca, con los ràdios y cargas especifícados en el problema
22.42. Considere V = cuando r — ► °°. Use el campo eléctrico calculado
en el problema 22.42 para calcular el potencial V para los siguientes va-
lores de r. d) r — c (en la superfície exterior de la esfera hueca); b) r = b
(en la superfície interior de la esfera hueca); c) r — a (en la superfície de
la esfera sòlida); d) r = (en el centro de la esfera sòlida).

23.79. Una carga elèctrica se encuentra distribuida de manera unifor-
me a lo largo de una varilla delgada de longitud a, con carga total Q.
Considere el potencial igual a cero en el infinito. Determine el poten-
cial en los siguientes puntos (figura 23.40): a) punto P, distancia x a la
derecha de la barra, y b) punto R, distancia v arriba del extremo dere-
cho de la varilla. c) En los incisos d) y b), ^a què se reduce el resultado
conforme x se vuelve mucho màs grande que al

Figura 23.40 Problema 23.79.

^

23.80. d) Si una gota de lluvia esfèrica de radio 0.650 mm tiene una
carga de —1.20 pC distribuida de manera uniforme en su volumen,
£Cuàl es el potencial en su superfície? (Considere el potencial igual a
cero a una distancia infinita de la gota.) b) Dos gotas idénticas, cada
una con el radio y la carga especificados en el inciso a), chocan y for-
man una gota màs grande. (,Cuàl es el radio de esta gota màs grande, y
cuàl el potencial en su superfície, si su carga està distribuida de manera
uniforme en su volumen?

23.81. Dos esferas de metal de diferentes tamanos tienen carga de ma-
nera que el potencial eléctrico es el mismo en la superfície de cada una.
La esfera A tiene un radio tres veces mayor que el de la esfera B. Sean
Qa y Qa l as cargas en las dos esferas, y E A y E B las magnitudes de los
campos eléctricos en las superfícies de las dos esferas. ^Cuàles son
a) la razón Qb/Qa V b) la razón £„/£„?

23.82. Una partícula alfa con energia cinètica de 1 1 .0 MeV colisiona
de frente con un núcleo de plomo en reposo. ^Cuàl es la distancia de la
aproximación màxima de las dos partículas? (Suponga que el núcleo
del plomo permanece estacionario y que puede tratarse como una car-
ga puntual. El número atómico del plomo es 82. La partícula alfa es un
núcleo de helio, con número atómico 2.)

23.83. Una esfera de metal de radio i?, tiene una carga Q t . Considere
el potencial eléctrico igual a cero a una distancia infinita de la esfera.
a) (,Cuàles son el campo eléctrico y el potencial eléctrico en la superfí-
cie de la esfera? Esta esfera se conecta ahora con un alambre conduc-
metros de la primera. Antes de hacer la conexión, esta segunda esfera
està descargada. Después de alcanzar el equilibrio electrostàtico, indi-
que cuàles son b) la carga total en cada esfera; c) el potencial eléctrico
en la superfície de cada esfera; d) el campo eléctrico en la superfície de
cada esfera. Suponga que la cantidad de carga en el alambre es mucho
menor que la carga en cada esfera.

23.84. Use la distribución de carga y el campo eléctrico calculados en
el problema 22.57. a) Demuestre que para r > R el potencial es idénti-
co al que produce una carga puntual Q. (Considere el potencial igual a
cero en el infinito.) b) Obtenga una expresión para el potencial eléctri-
co que sea vàlida en la región r £ R.

23.85. Fusión nuclear en el Sol. La fuente de la energia del Sol es
una secuencia de reacciones nucleares que tienen lugar en su núcleo.
La primera de ellas implica la colisión de dos protones, que se fun-
den para formar un núcleo màs pesado y liberan energia. Para que
ocurra este proceso, llamado /usión nuclear, los dos protones prime-
ra deben acercarse hasta que sus superfícies entren, esencialmente,
en contacto. a) Suponga que ambos protones se mueven con la misma
rapidez y que colisionan de frente. Si el radio del protón es 1.2 X
10~ 15 m, (,cuàl es la rapidez mínima que permitiría que la fusión nu-
clear ocurriera? La distribución de carga dentro de un protón tiene
simetria esfèrica, por lo que el campo eléctrico y el potencial fuera
del protón son los mismos que si se tratara de una carga puntual. La
masa del protón es 1.67 X 10~ 27 kg. b) Otra reacción de fusión nu-
clear que sucede en el núcleo del Sol implica una colisión entre dos
núcleos de helio, cada uno de los cuales tiene 2.99 veces la masa del
protón, carga +2e y radio de 1.7 X 10~ 15 m. Si se supone la misma
geometria de colisión que en el inciso a), (,cuàl es la rapidez mínima
que se requiere para que tenga lugar esta reacción de fusión si los nú-
cleos deben aproximarse a una distancia de 3.5 X 10 l5 m entre sus
centros? Igual que para el protón, la carga del núcleo de helio està
distribuida de manera uniforme en todo su volumen. c) En la sección
18.3 se demostro que la energia cinètica traslacional media de una
partícula con masa m en un gas a temperatura absoluta Tes \kT, don-
de k es la constante de Boltzmann (que aparece en el apéndice F).
Para que dos protones con energia cinètica igual a este valor medio
sean capaces de experimentar el proceso descrito en el inciso d),
^cuàl es la temperatura absoluta que se requiere? ^Qué temperatura
absoluta se requiere para que dos núcleos de helio sean capaces de
pasar por el proceso que se describe en el inciso b)l (A estàs tempe-
ratures, los àtomos estan ionizados por completo, por lo que los nú-
cleos y los electrones se mueven por separado.) d) La temperatura en
el núcleo del Sol es aproximadamente de 1,5 X 10 7 K. ^Cómo se
compara esta con las temperaturas calculadas en el inciso c)? <,Cómo
es posible que ocurran las reacciones descritas en los incisos a) y b)
en el interior del Sol? (Sugerencia: consulte el anàlisis de la distri-
bución de rapidez molecular en la sección 18.5.)

Problemas de desafio

813

Figura 23.41 Problema 23.87.

+ 46e

D

Q = +46e

23.86. El potencial eléctrico V en cierta región del espacio està dada
por

V(x,y,z) = A(x 2 - 3v 2 + z 2 )

donde A es una constante. d) Obtenga una expresión para el campo
eléctrico E en cualquier punto de esta región. b) Se mide el trabajo rea-
lizado por el campo cuando una carga de prueba de 1.50 /aC se mueve
del punto ix, y, z) = (0, 0, 0.250 m) al origen y resulta ser de 6.00 X
10" 5 J. Determine A. c) Determine el campo eléctrico en el punto (0, 0,
0.250 m). d) Demuestre que en todo plano paralelo al plano xz, las
líneas equipotenciales son círculos. e) ^Cuàl es el radio de la línea
equipotencial que corresponde a V = 1280 V y y = 2.00 m?

23.87. Fisión nuclear. El nú-
cleo inestable del uranio 236 se
puede considerar una esfera con Q = +92e 7
carga uniforme con Q = +92 e y
radio R = 7.4 X 10" l5 m. En la fi- ANTES
sión nuclear, este núcleo se puede
dividir en dos núcleos mas peque-
carga y del volumen del núcleo
original del uranio 236. Esta es
una de las reacciones que ocurrie- DESPUÉS
ron en la bomba nuclear que se hi-

zo detonar en Hiroshima, Japón, en agosto de 1945. íi) Calcule los
ràdios de los dos núcleos "hijos" de carga +A6e. b) En un modelo sen-
cillo del proceso de fisión, inmediatamente después que el núcleo de
uranio 236 ha pasado por el proceso de fisión, los núcleos "hijos" es-
tan en reposo y apenas en contacto, como se ilustra en la figura 23.41.
Calcule la energia cinètica que cada uno de estos núcleos "hijos" tendra
cuando estén muy separados. c) En este modelo, la suma de las ener-
gías cinéticas de los dos núcleos "hijos", calculadas en el inciso b),
es igual a la energia liberada por la fisión del núcleo de uranio 236.
Calcule la energia liberada por la fisión de 10.0 kg de uranio 236. La
masa atòmica del uranio 236 es 236 u, donde 1 u = 1 unidad de masa
atòmica = 1.66 X 10~ 24 kg. Exprese su respuesta tanto en joules como
en kilotones de TNT (1 kilotón de TNT libera 4.18 X 10 12 J al explo-
tar), d) En términos de este modelo, analice por qué una bomba atò-
mica podria llamarse también "bomba elèctrica".

Problemas de desafio

23.88. En cierta región, existe una distribución de carga con simetria
esfèrica però no uniforme. Es decir, la densidad volumètrica de carga
p(r) depende de la distancia r del centro de la distribución, però no de
los àngulos polares esféricos y <p- El potencial eléctrico V(r) debido a
esta carga es

V(r)

+ 2

para r £ a
para r a a

donde p es una constante con unidades de C/m 3 , y a es una constante
en unidades de metros, a) Obtenga expresiones E para las regiones r £
ayrSo. [Sugerencia: utilice la ecuación (23.23).] Explique por qué
E solo tiene una componente radial, b) Obtenga una expresión para
p(r) en cada una de las dos regiones ríayrïa, [Sugerencia: utili-
ce la ley de Gauss para dos corazas esféricas, una de radio r y otra de
radio r + dr. La carga contenida en la coraza esfèrica infinitesimal
de radio dr es dq = 4irrp(r)dr.] c) Demuestre que la carga neta con-
tenida en el volumen de una esfera de radio mayor o igual que a es
cero. [Sugerencia: Íntegre las expresiones obtenidas en el inciso b) pa-
ra p(r) sobre un volumen esférico de radio mayor o igual que a.] ^Este
resultado es congruente con el campo eléctrico para r > a que se
calculo en el inciso «)?

23.89. En los experimentes en que colisionan núcleos atómicos, su-
ceden choques de frente como los descrites en el problema 23.82, pe-
rò son mas comunes los que "fallan". Suponga que la partícula alfa
en el problema 23.82 no "acertó" en el centro del núcleo de plomo,
sinó que tuvo cantidad de movimiento angular inicial distinta de cero
(con respecto al núcleo de plomo estacionario) de magnitud L = p b,
donde p es la magnitud de la cantidad de movimiento inicial de la
partícula alfa y b = 1.00 X 10~ 12 m. ^.Cuàl es la distancia de la màxi-
ma aproximación? Repita el ejercicio para b = 1.00 X 10~ 13 myè =
1.00 X 10~ l4 m.

longitud L (como el tubo de cartón de un rollo de papel sanitario)
tiene carga Q distribuida de manera uniforme sobre su superfície.
a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntes a lo largo del eje
del tubo. Como origen tome el centro del tubo, y el potencial cero
en el infinito. b) Demuestre que si L <SC R, el resultado del inciso a)
se reduce al potencial sobre el eje de un anillo de carga de radio R.
(Véase el ejemplo 23.11 en la sección 23.3.) c) Utilice el resultado del
inciso a) para determinar el campo eléctrico en todos los puntos a
lo largo del eje del tubo.

23.91. Experimento de la gota de aceite de Millikan. La carga de
un electrón fue medida por primera vez por el físico estadounidense
Robert Millikan entre 1909 y 1913. En su experimento roció gotas
muy finas (alrededor de 10~ 4 mm de diàmetro) de aceite en el espacio
entre dos placas paralelas en posición horizontal separadas por una
distancia d. Mantuvo una diferencia de potencial V AB entre las placas
paralelas, lo que ocasiono entre ellas un campo eléctrico dirigido hacia
abajo. Algunas de las gotas de aceite adquirieron carga negativa por
efecte de la fricción o la ionización del aire circundante por medio de
a) Demuestre que una gota de aceite de radio r que esté en reposo entre
las placas seguirà en reposo si la magnitud de la carga es

i =

4w pr'gd

V',,

donde p es la densidad del aceite. (Ignore la fuerza de flotabilidad del
aire.) Al ajustar V AB para mantener una gota dada en reposo, es posible
determinar la carga sobre esta, si se conoce su radio, b) Las gotas de
aceite eran demasiado pequenas como para medir sus ràdios en forma
directa. En vez de ello, Millikan determino r recortando el campo eléc-
trico y midiendo la rapidez terminal v l de la gota al caer. (En la sección
5.3 se estudio el concepto de rapidez terminal.) La fuerza de la viscosi-
dad F de una esfera de radio r que se desplaza con rapidez v a través de
un fluido con viscosidad tj està dada por la ley de Stokes: F = (nr-qrv.
Cuando la gota cae con velocidad u„ la fuerza de la viscosidad com-
pensa exactamente el peso w = mg de la gota. Demuestre que la mag-
nitud de la carga sobre la gota es

18tt-

2pg

Dentro de los limites del error experimental, cada una de los miles de
gotas que Millikan y sus colaboradores midieron que tenia una carga
igual a cierto múltiplo entera pequeno de una carga bàsica e. Es decir,
encontraron gotas con cargas ±2e, ±5e, etcètera, però no valores tales
como 0.76e o 2.49e. Una gota con carga — e adquiria un electrón adi-
cional; si su carga era — 2e, había adquirido dos electrones màs, y así
sucesivamente. c) En el aparato de Millikan para este experimento, se
observo que una gota de aceite con carga caía 1.00 mm con rapidez
constante en 39.3 s si V AB = 0. La misma gota podia estar en reposo
entre las dos placas separadas 1.00 mm si V AB = 9.16 V. (,Cuàntos
electrones en exceso había adquirido la gota, y cuàl era su radio? La
viscosidad del aire es 1 .8 1 X 10~ 5 N ■ s/m 2 , y la densidad del aceite
es de 824 kg/m'.

814

CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico

23.92. Dos cargas puntuales se desplazan hacia la derecha a lo largo
del eje x. La carga puntual 1 tiene carga de q l = 2.00 /aC, masa m 1 =
6.00 X 10 5 kg y rapidez v t . La carga puntual 2 se encuentra a la dere-
cha de q t y tiene carga q 2 = —5.00 /aC, masa m 2 = 3.00 X 10~ 5 kg, y
rapidez v 2 . En un instante en particular, las cargas estan separadas por
una distancia de 9.00 mm y su rapidez es, en cada caso, u, = 400 m/s
y v 2 = 1300 m/s. Las únicas fuerzas que actúan sobre las partículas
son las que ejercen una sobre la otra. a) Determine la rapidez y cm del
centro de masa del sistema, b) La energia relativa £„, del sistema se
deflne como la energia total menos la energia cinètica aportada por el
movimiento del centro de masa:

£,,., = E

(m, + m 2 )vl

donde E = \mai\ + \m 2 v\ + q^q 1 \\•ne. ü r es la energia total del sis-
tema y r es la distancia entre las cargas. Demuestre que
£ rd = j/au 2 + q í q 2 l4iTe a r, donde /a = m í m 2 l {m í + m 2 ) se denomi-
na la masa reducida del sistema, y v = v 2 — v 1 es la rapidez relativa
de las partículas en movimiento. c) Para los valores numéricos dados,
calcule el valor numérico de E al . d) Con base en el resultado del inci-
so c), para las condiciones mencionadas, indique si las partículas es-
caparan una de la otra. Explique su respuesta. e) Si las partículas
escapan, (,cuàl seria su rapidez final relativa cuando r— > °°? Si las par-
tículas no escapan, ^cuàl seria su distancia de màxima separación? Es
decir, ^cuàl seria el valor de r cuando v = 0?/) Repita los incisos c) a
e) para u, = 400 m/s y v 2 — 1800 m/s cuando la separación es de
9.00 mm.

CAPACITANCIA
Y DIELÉCTRICOS

flash de una càmara
fotogràfica se almacena
en un capacitor,
el cual consiste en
dos conductores
cercanos entre sí
y con cargas opuestas.
en los conductores se
duplica, ten qué factor
se incrementa la

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprenderà:

• La naturaleza de los capacitares y
la forma de calcular una cantidad
almacenar carga.

• Cómo analizar capacitares

• A calcular la cantidad de energia

• Qué son los dieléctricos y cómo
forman capacitares mas eficaces.

Cuando preparamos una ratonera antigua de resorte o tensamos la cuerda de un
arco, almacenamos energia mecànica en forma de energia potencial elàstica.
Un capacitor es un dispositivo que almacena energia potencial elèctrica y car-
ga elèctrica. Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores uno del otro. Para
almacenar energia en este dispositivo hay que transferir carga de un conductor al otro,
de manera que uno tenga carga negativa y en el otro haya una cantidad igual de carga
positiva. Debe realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de
potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado se almacena como
energia potencial elèctrica.

Los capacitares tienen un gran número de aplicaciones pràcticas en dispositivos
tales como unidades de flash electrónicas para fotografia, làseres de pulso, sensores
de bolsas de aire para automóviles y receptores de radio y televisión. En capítulos
posteriores encontraremos muchas de estàs aplicaciones (en particular en el capitulo
31, en el que se vera el papel crucial que desempefían los capacitores en los circuitos
de corriente alterna que invaden nuestra sociedad tecnològica). Sin embargo, en este
capitulo el énfasis està en las propiedades fundamentales de los capacitores. Para
un capacitor en particular, la razón entre la carga de cada conductor y la diferencia de
potencial entre los conductores es una constante llamada capacitancia. La capaci-
tancia depende de las dimensiones y las formas de los conductores y del material ais-
lante (si lo hay) entre ellos. En comparación con el caso en que solo hay vacío entre
los conductores, la capacitancia aumenta cuando està presente un material aislante
(un dieléctrico). Esto sucede porque en el interior del material aislante ocurre una re-
distribución de la carga, llamada polarización . El estudio de la polarización ampliarà
nuestra perspectiva de las propiedades eléctricas de la matèria.

Los capacitores también ofrecen una forma nueva de pensar acerca de la energia
potencial elèctrica. La energia almacenada en un capacitor con carga, guarda relación
con el campo eléctrico en el espacio entre los conductores. Veremos que la energia
potencial elèctrica puede considerarse almacenada en el mismo campo. La idea de
que el campo eléctrico es en sí un almacén de energia està en el corazón de la teoria
de las ondas electromagnéticas y de nuestra concepción moderna de la naturaleza de
la luz, que estudiaremos en el capitulo 32.

815

816

CAPÍTULO 24 Capacitancia y dieléctricos

24.1 Dos conductores cualesquiera a y b
aislados uno del otro forman un capacitor.

Actv

1 1 .1 1 .6 Potencial eléctrico: introducción

cualitativa
11.12.1 y 11.12.3

Potencial, campo y fuerza eléctricos

24.1 Capacitores y capacitancia

Dos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen un capacitor (figura
24.1). En la mayoría de las aplicaciones pràcticas, cada conductor tiene inicialmente
una carga neta cero, y los electrones son transferidos de un conductor al otro; a esta
acción se le denomina cargar el capacitor. Entonces, los dos conductores tienen car-
gas de igual magnitud y signo contrario, y la carga neta en el capacitor en su conjun-
to permanece igual a cero. En este capitulo se supondrà que éste es el caso. Cuando se
dice que un capacitor tiene carga Q, o que una carga Q està almacenada en el capaci-
tor, significa que el conductor con el potencial mas elevado tiene carga +Q y el con-
ductor con el potencial mas bajo tiene carga — Q (si se supone que Q es positiva). Hay
que tener presente esto en el anàlisis y los ejemplos que siguen.

En los diagramas de circuito, un capacitor se representa con cualquiera de estos
símbolos:

-\\- ne

En cada uno de estos símbolos, las líneas verticales (rectas o curvas) representan los
conductores, y las líneas horizontales representan los alambres conectados a uno y
otro conductor. Una manera común de cargar un capacitor es conectar estos dos alam-
bres a las terminales opuestas de una bateria. Una vez establecidas las cargas Q y — Q
en los conductores, se desconecta la bateria. Esto da una diferencia de potencial fija
V ah entre los conductores (es decir, el potencial del conductor con carga positiva a con
respecto al potencial del conductor con carga negativa b), que es exactamente igual al
voltaje de la bateria.

El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es propor-
cional a la magnitud Q de carga en cada conductor. Por lo tanto, la diferencia de po-
tencial V„ b entre los conductores también es proporcional a Q. Si se duplica la
magnitud de la carga en cada conductor, también se duplican la densidad de carga en
cada conductor y el campo eléctrico en cada punto, al igual que la diferencia de po-
tencial entre los conductores; sin embargo, la razón entre la carga y la diferencia de
potencial no cambia. Esta razón se llama capacitancia C del capacitor:

C =

0^

V„ h

(definición de capacitancia)

(24.1)

La unidad del SI para la capacitancia es el farad (1 F), en honor del físico inglés del
siglo xix, Michael Faraday. De acuerdo con la ecuación (24.1), un farad es igual a un
coulomb por volt (1 C/V):

1 F = 1 farad = 1 C/V = 1 coulomb/volt

CUIDADO Capacitancia contra coulombs No confunda el símbolo C para la capacitan-
cia (que siempre està en cursivas) con la abreviatura C de los coulombs (que nunca se escribe
con cursivas).

Cuanto mayor es la capacitancia C de un capacitor, mayor serà la magnitud Q de
la carga en el conductor de cierta diferencia de potencial dada V ab , y, por lo tanto, ma-
yor serà la cantidad de energia almacenada. (Hay que recordar que el potencial es
energia potencial por unidad de carga.) Así, la capacitancia es una medida de la apti-
tud (capacidad) de un capacitor para almacenar energia. Se vera que el valor de la
capacitancia solo depende de las formas y los tamanos de los conductores, así como
de la naturaleza del material aislante que hay entre ellos. (El comentario anterior acer-
ca de que la capacitancia es independiente de Q y de V ab no se aplica a ciertos tipos
especiales de materiales aislantes. Sin embargo, en este libro no se estudiaran esos
materiales.)

24.1 Capacitores y capacitancia 817

Calculo de la capacitancia: Capacitores con vacío

Es posible calcular la capacitancia C de un capacitor dado encontrando la diferencia
de potencial V ab entre los conductores para una magnitud de carga dada Q y aplicando
la ecuación (24.1). Por ahora solo se consideraran capacitores con vacío; es decir, se
supondrà que los conductores que constituyen el capacitor estan separados por un es-
pacio vacío.

La forma mas sencilla de un capacitor consiste en dos placas conductoras parale-
las, cada una con àrea A, separadas por una distancia d que es pequena en compara-
ción con sus dimensiones (figura 24.2a). Cuando las placas tienen carga, el campo
eléctrico està localizado casi por completo en la región entre las placas (figura 24.2b).
Como se dijo en el ejemplo 22.8 (sección 22.4), el campo entre esas placas es esen-
cialmente uniforme, y las cargas en las placas se distribuyen de manera uniforme
en sus superfícies opuestas. Este arreglo recibe el nombre de capacitor de placas
paralelas.

En el ejemplo 21.13 (sección 21.5) se calculo la magnitud del campo eléctrico E
para este arreglo utilizando el principio de superposición de campos eléctricos, y de
nuevo en el ejemplo 22.8 (sección 22.4) empleando la ley de Gauss. Seria una buena
idea revisar esos ejemplos. Se vio que E = cr/e , donde <x es la magnitud (valor abso-
luta) de la densidad superficial de carga en cada placa. Esto es igual a la magnitud de
la carga total Q en cada placa dividida entre el àrea A de la placa, o bien, <x = Q/A,
por lo que la magnitud del campo E se expresa como

e e u A

El campo es uniforme y la distancia entre las placas es d, por lo que la diferencia de
potencial (voltaje) entre las dos placas es

1 Qd

V ab = Ed = -\

e A

A partir de esto se observa que la capacitancia C de un capacitor de placas paralelas
con vacío es

24.2 Capacitor de placas paralelas con carga.
a) Arreglo de las placas del capacitor

Alambre

a, àrea A

Diferencia

de potencial = V

Alambre

b) Vista lateral del campo eléctrico E

Cuando la separación de las placas
es pequena en comparación con su
tamano, el campo eléctrico de los
bordes es despreciable.

c =

Q_

A (capacitancia de un capacitor
;l d de placas paralelas con vacío)

(24.2)

La capacitancia solo depende de la geometria del capacitor; es directamente proporcional
al àrea A de cada placa e inversamente proporcional a su separación d. Las cantidades
A y d son constantes para un capacitor dado, y e es una constante universal. Así, con
vacío la capacitancia C es una constante independiente de la carga en el capacitor o
de la diferencia de potencial entre las placas. Si una de las placas del capacitor es fle-
xible, la capacitancia C cambia conforme cambia la separación d de las placas. Este es
el principio de operación de un micrófono condensador (figura 24.3).

Cuando hay matèria entre las placas, sus propiedades afectan la capacitancia. En
la sección 24.4 se volverà a tratar este asunto. Entre tanto, se debe hacer notar que si
el espacio entre las placas contiene aire a presión atmosfèrica en lugar de vacío, la ca-
pacitancia difiere de lo que predice la ecuación (24.2) en menos del 0.06%.

En la ecuación (24.2), si A se expresa en metros cuadrados y d en metros, C està en
farads. Las unidades de e son C 2 /N • m 2 , por lo que se observa que

1 F = 1 C 2 /N • m = 1 C 2 /J

Como 1 V = 1 J/C (energia por unidad de carga), esto es congruente con la definición
1 F = 1 C/V. Por ultimo, las unidades de e se expresan como 1 C 2 /N • m 2 = 1 F/m,
por lo que

e = 8.85 X 10~ 12 F/m

24.3 Dentro de un micrófono condensador
hay un capacitor con una placa rígida y
una placa flexible. Las dos placas se
mantienen con una diferencia de potencial
constante V ab . Las ondas sonoras provocan
que la placa flexible se mueva hacia
delante y atràs, lo que hace variar la
capacitancia C y ocasiona que la carga
fluya hacia y desde el capacitor de acuerdo
con la relación C = Q/V ab . Así, la onda
sonora se convierte en un flujo de carga
que puede amplificarse y grabarse
en forma digital.

818

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

24.4 Los capacitares comerciales estan
rotulados con el valor de su capacitancia.
Para estos capacitores, C = 2200 /aF,
1000 /aF y 470 /aF.

Esta relación es útil en los càlculos de la capacitancia y también ayuda a comprobar
que la ecuación (24.2) es consistente en términos de dimensiones.

Un farad es una capacitancia muy grande, como lo ilustra el siguiente ejemplo. En
muchas aplicaciones, las unidades mas convenientes de capacitancia son el microfa-
rad (1 /jlF = 10~ 6 F ) y el picofarad (1 pF = 10~ 12 F). Por ejemplo, la unidad de flash
de las càmaras fotogràficas utiliza un capacitor de algunos cientos de microfarads (fi-
gura 24.4), mientras que las capacitancias en el circuito de sintonia de un aparato de

Para cuaíquier capacitor con vacío, la capacitancia C solo depende de las formas,
las dimensiones y la separación de los conductores que constituyen el capacitor. Si las
formas del conductor son mas complejas que las del capacitor de placas paralelas, la
expresión de la capacitancia es mas complicada que la ecuación (24.2). En los si-
guientes ejemplos mostraremos cómo calcular C para otras dos geometrías distintas
de conductores.

Ejemplo 24.1

Tamano de un capacitor de 1 F

Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 1.0 F.
Si las placas tienen una separación de 1.0 mm, ;,cuàl es el àrea de las
placas?

EM3KI

IDENTIFICAR: Este problema utiliza la relación entre la capacitancia,
la separación de las placas y el àrea de éstas (la variable que se busca)
para un capacitor de placas paralelas.

PLANTEAR: Se dan los valores de C y d para un capacitor de placas
paralelas, por lo que se emplea la ecuación (24.2) y se despeja la varia-

EJECUTAR: De la ecuación (24.2), el àrea/1 es

Cd (l.0F)(l.0Xl<T 3 m)

A = = ,

£o 8.85 X 10~ l2 F/m

= 1.1 X 10 s m 2

(cerca de 6 millas) de lado ! Esta àrea es la tercera parte de la isla de
Manhattan. Es obvio que éste no es un diseíïo muy practico para un ca-
pacitor.

De hecho, ahora es posible fabricar capacitores de 1 F que miden
unos cuantos centímetros de lado. La clave està en que exista una sus-
tancia apropiada entre las placas en vez del vacío. En la sección 24.4
se estudiarà esto con màs detalle.

Ejemplo 24.2

Propiedades de un capacitor de placas paralelas

Las placas paralelas de un capacitor con vacío estan separadas una dis-
tancia de 5.00 mm y tienen 2.00 m 2 de àrea. Se aplica una diferencia de
potencial de 10,000 V (10.0 kV) a través del capacitor. Calcule a) la
capacitancia, b) la carga en cada placa y c) la magnitud del campo
eléctrico en el espacio entre ellas.

EnEHa

IDENTIFICAR: Se tienen los datos del àrea de las placas A, la separa-
ción d entre ellas y la diferencia de potencial V„ h para este capacitor de
placas paralelas. Las variables que se buscan son la capacitancia C, la
carga Q y la magnitud del campo eléctrico E.

PLANTEAR: Se utiliza la ecuación (24.2) para calcular C y después
se encuentra la carga Q en cada placa por medio de la diferencia de
potencial dada V ab y la ecuación (24.1). Una vez que se conoce Q,
se encuentra el campo eléctrico entre las placas a partir de la relación
E = Q/ eo A.

EJECUTAR: a) De la ecuación (24.2)

A (8.85 X 10" 12 F/m)(2.00m 2 )
£ ° d 5.00 X 10~ 3 m

= 3.54 X 10~ 9 F = 0.00354 /aF

E = — =

b) La carga en el capacitor es

Q = CV ab = (3.54 X 10" 9 C/V) (1.00 X 10 4 V)
= 3.54 X 10" 5 C = 35.4 /xC

La placa con mayor potencial tiene una carga de +35.4 /aC, y la otra
tiene -35.4 /aC.

c) La magnitud del campo eléctrico es

Q 3.54 X 10' 5 C

M (8.85 X 10" 12 C 2 /N-m 2 )(2.00m 2 )
= 2.00 X 10 6 N/C

EVALUAR: Una forma alternativa de llegar al resultado del inciso c) es
recordar que el campo eléctrico tiene igual magnitud que el gradiente
de potencial [ecuación (23.22)]. Como el campo entre las placas es
uniforme,

V„ b 1.00 X 10" V , ,

E = — = = 2.00 X 10 6 V/m

d 5.00 X 10" 5 m

(Recuerde que el newton por coulomb y el volt por metro son unidades
equivalentes.)

24.1 Capacitares y capacitancia 819

Ejemplo 24.3

Capacitor esférico

Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas estan separadas por
vacío. La coraza interior tiene una carga total +Q y radio exterior r„ y
la coraza exterior tiene carga — Q y radio interior r b (figura 24.5). (La
coraza interior està unida a la coraza exterior mediante delgadas vari-
llas aislantes que tienen un efecto despreciable sobre la capacitancia.)
Determine la capacitancia del capacitor esférico.

EUEEU

IDENTIFICAR: Éste no es un capacitor de placas paralelas, por lo que
no es posible utilizar las relaciones desarrolladas para esa geometria
particular. En vez de ello, regresaremos a la definición fundamental de
capacitancia: la magnitud de la carga en cualquier conductor dividida
entre la diferencia de potencial de los conductores.

PLANTEAR: Emplearemos la ley de Gauss para encontrar el campo
eléctrico entre los conductores esféricos. A partir de este valor se deter-
mina la diferencia de potencial V llb entre los dos conductores; después
usaremos la ecuación (24. 1 ) para encontrar la capacitancia C = Q/V ab .

EJECUTAR: Con el mismo procedimiento del ejemplo 22.5 (sección
22.4), se toma como superfície gaussiana una esfera con radio r entre
las dos esferas y que sea concèntrica con respecto a éstas. La ley de
Gauss (ecuación 22.8) establece que el flujo eléctrico a través de esta
superfície es igual a la carga total encerrada dentro de la superfície, di-
vidida entre e a :

E-dA

e„c

Por simetria, E es de magnitud constante y paralela a dA en cada
punto de esta superfície, por lo que la integral en la ley de Gauss

24.5 Capacitor esférico.

Coraza interior, carga + Q

Superfície gaussiana

Coraza exterior,
carga — Q

es igual a (E)(4trr ). La carga total encerrada es Q a
que se tiene

(£)(4^r 2 )=^

E =

Q, por lo

4-n-e n r-

El campo eléctrico entre las esferas solo es el que se debe a la carga en
la esfera interior; la esfera exterior no tiene ningún efecto. En el ejem-
plo 22.5 vimos que la carga en una esfera conductora produce un cam-
po igual a cero dentro de la esfera, lo que también nos indica que el
conductor exterior no contribuye al campo entre los conductores.

La expresión anterior para E es la misma que la correspondiente a
una carga puntual Q, por lo que la expresión para el potencial tam-
bién puede tomarse como la misma que la correspondiente a una carga
puntual, V = Q/AiTe a r. De ahí que el potencial del conductor interior
(positivo) en r = r„ con respecto al del conductor exterior (negativo)
en r = r b es

v„„ = v. -

v„--

Q

4Tre r a 4

Q

Q

ík

ni 4 "" e o

i'l, - ''„

Atté

Por ultimo, la

capacitancia

es

C =

Q

v llb

r a r„

47re

Como ejemplo, si r a = 9.5

cm y

r b = 10.5 cm,

(0.095 m)(0. 105

m)

C =

4tt(8.85 X

10"

- F/m)

O.OlOm

=

í.i x ict io f =

110 pF

EVALUAR: Podemos relacionar este resultado con la capacitancia de
un capacitor de placas paralelas. La cantidad 4irr a r b es intermèdia en-
tre las àreas 47rr a 2 y 4irr 6 2 de las dos esferas; de hecho, es la media
geomètrica de las dos àreas, lo que se denota con A gm . La distancia en-
tre las esferas es d — r b — r„, por lo que el resultado anterior se escribe
como C = eoAgm/í/. Esta es exactamente la misma forma que para pla-
cas paralelas: C = eoA/d. La conclusión es que si la distancia entre las
esferas es muy pequena en comparación con sus ràdios, las esferas se
comportan como placas paralelas con la misma àrea y separación.

Ejemplo 24.4

Capacitor cilíndrico

Un conductor cilíndrico largo tiene un radio i\, y densidad lineal de
carga +A. Està rodeado por una coraza conductora cilíndrica coaxial
con radio interior r b y densidad lineal de carga — A (figura 24.6). Calcu-
le la capacitancia por unidad de longitud para este capacitor, suponien-
do que hay vacío en el espacio entre los cilindros.

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Igual que en el ejemplo 24.3, se usa la definición fun-
damental de capacitancia.

PLANTEAR: Primero se encuentran expresiones para la diferencia de
potencial V ab entre los cilindros y la carga Q en una longitud L de los
cilindros; después se encuentra la capacitancia de una longitud L me-
diante la ecuación (24.1). La variable buscada es esta capacitancia di-
vidida entre L.

EJECUTAR: Para encontrar la diferencia de potencial entre los cilin-
dros, se utiliza el resultado que se obtuvo en el ejemplo 23.10 (sección

continua

820

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

24.6 Un capacitor cilíndrico largo. En esta figura la densidad
lineal de carga À se supone positiva. La magnitud de carga en
una longitud L de cualquier cilindro es AL.

23.3). Aní se determino que en un punto afuera de un cilindro con car-
ga a una distancia r de su eje, el potencial debido al cilindro es

V -

A

2ire„

In —

donde r es el radio (arbitrario) en el que V = 0. En este problema, se
puede usar este mismo resultado para el potencial entre los cilindros
porque, de acuerdo con la ley de Gauss, la carga en el cilindro exte-
rior no contribuye al campo entre los cilindros (véase el ejemplo
24.3). En nuestro caso, se toma el radio r como r b , el radio de la su-
perfície interior del cilindro exterior, de manera que el cilindro con-
ductor exterior està en V — 0. Entonces, el potencial en la superfície
exterior del cilindro interior (donde r = rj es igual al potencial V ab

del cilindro interior a (positivo) con respecto al cilindro exterior b
(negativo), es decir,

A r b

V„i, = 1" —

2ire r.

Esta diferencia de potencial es positiva (si se toma A como positiva,
como en la figura 24.6) porque el cilindro interior està a un potencial
mas elevado que el del exterior.

La carga total Q en una longitud L es Q = AL, por lo que, de la
ecuación (24.1), la capacitancia C de una longitud L es

C

Q_

\L

l-ire^L

J^ Xn 'A M'Ï/O
27re n r„

La capacitancia por unidad de longitud es

2ire„

L In (rjrj
Si se sustituye e = 8.85 X 10~ 12 F/m = 8.85 pF/m, se obtiene

C _ 55.6 pF/m

L In (rjr a )

EVALUAR: Se observa que la capacitancia de los cilindros coaxiales es-
tà determinada en su totalidad por las dimensiones, tal como ocurre en
el caso de las placas paralelas. Los cables coaxiales comunes estan fa-
bricados de este modo, però entre los conductores interior y exterior tie-
nen un material aislante en vez de vacío. El cable típico para las antenas
de televisión y conexiones de videograbadoras tiene una capacitancia
por unidad de longitud de 69 pF/m.

Evalúe su comprensión de la sección 24.1 Un capacitor tiene vacío en el
espacio entre los conductores. Si se duplica la cantidad de carga en cada conductor,
í,qué pasa con la capacitancia? i) aumenta; ii) disminuye; iii) permanece igual; iv) la respuesta
depende del tamaíio o la forma de los conductores.

24.7 Algunos de los capacitores
disponibles en el comercio.

24.2 Capacitores en sèrie y en paralelo

Los capacitores se fabrican con ciertas capacitancias y voltajes de trabajo estàndares
(figura 24.7). Sin embargo, estos valores estàndar podrían no ser los que se necesiten
en una aplicación específica. Se pueden obtener los valores requeridos combinando
capacitores; son posibles muchas combinaciones, però las mas sencillas son la cone-
xión en sèrie y la conexión en paralelo.

Capacitores en sèrie

La figura 24.8a es un diagrama de una conexión en sèrie. Se conectan en sèrie dos
capacitores (uno en seguida del otro) mediante alambres conductores entre los puntos
a y b. Al principio ambos capacitores estan inicialmente sin carga. Cuando se aplica
una diferencia de potencial V„ b positiva y constante entre los puntos ay b, los capaci-
tores se cargan; la figura muestra que la carga en todas las placas conductoras tiene la
misma magnitud. Para saber por qué, primero observe que la placa superior de C t ad-
quiere una carga positiva Q. El campo eléctrico de esta carga positiva atrae carga
negativa hacia la placa inferior de C, hasta que todas las líneas de campo que comien-
zan en la placa superior terminan en la placa inferior. Para ello se requiere que la
placa inferior tenga carga —Q. Estàs cargas negativas tuvieron que venir de la placa
superior de C 2 , la cual se carga positivamente con carga +Q. Luego, esta carga posi-
tiva atrae la carga negativa — Q desde la conexión en el punto b a la placa inferior de

24.2 Capacitores en sèrie y en paralelo 821

C 2 . La carga total en la placa inferior de C t y la placa superior de C 2 , en conjunto, de-
be ser siempre igual a cero porque tales placas solo estan conectadas una con otra y
con nada mas. Así, en una conexión en sèrie, la magnitud de la carga en todas las
placas es la misma.

En relación con la figura 24.8a, las diferencias de potencial entre los puntos a y c,
c y b, y a y b, pueden representarse como

Q Q

V ac = V, = — V cb = V, = —

aC 1 fi cu 2. s-\

V = V, + V,

por lo que

V

Q

C,

, 1 1

e- +

c.

(24.3)

Por una convención común, los símbolos Vi, V 2 y V se utilizan para denotar las Jz/e-
rencias de potencial VL (a través del primer capacitor), V cb (a través del segundo ca-
pacitor) y V ab (a través de toda la combinación de capacitores), respectivamente.

La capacitancia equivalente C eq de la combinación en sèrie se define como la
capacitancia de un solo capacitor para el que la carga Q es la misma que para la com-
binación, cuando la diferencia de potencial es la misma. En otras palabras, la combi-
nación se puede sustituir por un capacitor equivalente de capacitancia C cq . Para un
capacitor de este tipo, como el que se ilustra en la figura 24.8b,

r Q w l V

CL = — o bien, = —

1 V C eq Q

Al combinar las ecuaciones (24.3) y (24.4) se encuentra que

(24.4)

24.8 Conexión en sèrie de dos capacitores.
a) Dos capacitores en sèrie

Capacitores en sèrie:

• Los capacitores tienen la misma carga Q.

• Sus diferencias de potencial se suman:

Ci V

1 r ac

T

v rh = v,

1

b) El capacitor equivalente único

La carea

i +Q

es la misma **
V para los ~

capacitores_
individuales

La capacitancia
equivalente es menor
que las capacitancias
individuales:

Q

v

:c„

i

c, c 2

1

r

*- l'I

1 1

+

c.

c,

Este anàlisis se puede extender a cualquier número de capacitores conectados en sè-
rie. Se obtiene el siguiente resultado para el recíproca de la capacitancia equivalente:

CL

C i C->

1 1

+

c,

(capacitores en sèrie)

(24.5)

El recíproco de la capacitancia equivalente de una combinación en sèrie es igual
a la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales. En una conexión en
sèrie la capacitancia equivalente siempre es menor que cualquiera de las capacitan-
cias individuales.

CUIDADO Capacitores en sèrie En una combinación en sèrie, la magnitud de la car-
ga es la misma en todas las placas de todos los capacitores; sin embargo, las diferencias
de potencial de los capacitores individuales no son las mismas a menos que sus capacitan-
cias individuales sean iguales. Las diferencias de potencial de los capacitores individuales
se suman para dar la diferencia de potencial total a través de la combinación en sèrie:
V.ou, = v, + V, + v 3 + ■ ■ •.

24.9 Conexión en paralelo de dos
capacitores.

a) Dos capacitores en paralelo

Capacitores en paralelo:

• Los capacitores tienen el mismo potencial V.

• La carga en cada capacitor depende de su
capacitancia: Q x — CjV, Q 2 — C 2 V.

:Qi

Capacitores en paralelo

El arreglo que se muestra en la figura 24.9a se llama conexión en paralelo. Dos capa-
citores estan conectados en paralelo entre los puntos a y b. En este caso, las placas su-
periores de los dos capacitores estan conectadas mediante alambres conductores para
formar una superfície equipotencial, y las placas inferiores forman otra. Entonces, en
una conexión en paralelo, la diferencia de potencial para todos los capacitores in-
dividuales es la misma, y es igual a V„ ; , = V. Sin embargo, las cargas Q, y Q 2 no son

b) El capacitor equivalente único

+ Q

+ + +

-Q

La carga es la suma de
las cargas individuales:

Capacitancia equivalente:

822

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

necesariamente iguales, puesto que pueden llegar cargas a cada capacitor de manera
independiente desde la fuente (como una bateria) de voltaje V ah . Las cargas son

Gi = C,V y Q 2 = C 2 V

La carga total Q de la combinación, y por consiguiente la carga total en el capacitor
equivalente, es

G = Gi + Q 2 = (c, + c 2 )v

por lo que

fi

V

= C, + C,

(24.6)

La combinación en paralelo es equivalente a un solo capacitor con la misma carga
total Q — <2i + Q 2 y diferencia de potencial V que la combinación (figura 24.9b).
La capacitancia equivalente de la combinación, C ei) , es la misma que la capacitancia
Q/V de este único capacitor equivalente. Así, de la ecuación (24.6),

r

*- 1-!

C, +C 2

De igual forma se puede demostrar que para cualquier número de capacitores en
paralelo,

t-eq '"l

+ C, + C, + • • •

(capacitores en paralelo)

(24.7)

La capacitancia equivalente de una combinación en paralelo es igual a la suma
de las capacitancias individuales. En una conexión en paralelo, la capacitancia
equivalente siempre es mayor que cualquier capacitancia individual.

CUIDADO Capacitores en paralelo Las diferencias de potencial son las mismas para to-
dos los capacitores en una combinación en paralelo; no obstante, las cargas en los capacitores
individuales no son las mismas a menos que sus capacitancias individuales sean iguales. Las
cargas en los capacitores individuales se suman para dar la carga total en la combinación en pa-
ralelo: Q toul = Qi + Qi + Q-i + ■ ■ ■ . [Compare estos enunciados con los del pàrrafo bajo el
titulo "Cuidado" que sigue a la ecuación (24.5).]

Estratègia para resolver problemas 24.1

Capacitancia equivalente

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: El concepto de capacitancia
equivalente es útil siempre que se conectan dos o mas capacitores.
PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:

1. Elabore un dibujo del arreglo de los capacitores.

2. Determine si los capacitores estan conectados en sèrie o en parale-
lo. Cuando hay combinaciones mas complicadas, a veces es posi-
ble identificar partes que son conexiones simples en sèrie o en
paralelo.

3. Recuerde que cuando se dice que un capacitor tiene carga Q, siem-
pre significa que la placa con mayor potencial tiene carga + Q, y la
otra placa tiene carga — Q.

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Cuando los capacitores estan conectados en sèrie, como en la fi-
gura 24.8a, siempre tienen la misma carga, considerando que esta-
ban sin carga antes de conectarse. Las diferencias de potencial no
son iguales a menos que las capacitancias sí lo sean. La diferencia
de potencial total a través de la combinación es la suma de las dife-
rencias de potencial individuales.

2. Cuando los capacitores estan conectados en paralelo, como en la fi-
gura 24.9a, la diferencia de potencial V siempre es la misma para
todos los capacitores individuales. Las cargas en los capacitores in-
dividuales no son iguales a menos que las capacitancias sean las
mismas. La carga total en la combinación es la suma de las cargas
individuales.

3. Para combinaciones mas complicadas, identifique las partes que
sean conexiones simples en sèrie o paralelo y sustitúyalas por sus
capacitancias equivalentes, en una reducción paso a paso. Si luego
se necesita encontrar la carga o la diferencia de potencial para un
capacitor individual, regrese por el camino en reducción paso a
paso, hasta llegar a los capacitores originales.

EVALUAR la respuesta: Compruebe que el resultado tenga sentido.
Si los capacitores estan conectados en sèrie, la capacitancia equivalen-
te C„ debe ser menor que cualquiera de las capacitancias individuales.
Por el contrario, si los capacitores estan conectados en paralelo, C eq
debe ser mayor que cualquiera de las capacitancias individuales.

24.2 Capacitores en sèrie y en paralelo 823

Ejemplo 24.5

Capacitores en sèrie y en paralelo

En las figuras 24.8 y 24.9, sean C, = 6.0 /aF, C 2 = 3.0 /iF y V ub =
18 V. Encuentre la capacitancia equivalente, la carga y la diferencia
de potencial para cada capacitor cuando los dos capacitores se co-
nectan a) en sèrie, y b) en paralelo.

ESÜEH1

IDENTIFICAR: Este problema usa las ideas analizadas en esta sección
acerca de las conexiones de los capacitores.

PLANTEAR: En los dos incisos, una de las variables buscadas es la ca-
pacitancia equivalente C cq , que para la combinación en sèrie del inciso
a) està dada por la ecuación (24.5), y para la combinación en paralelo
del inciso b) por la ecuación (24.6). En cada inciso podemos encontrar
la carga y la diferencia de potencial utilizando la delïnición de capaci-
tancia, ecuación (24.1), y las reglas descritas en la Estratègia para re-
solver problemas 24. 1 .

EJECUTAR: a) Para la capacitancia equivalente de la combinación en
sèrie (figura 24.8a), se aplica la ecuación (24.5) y se encuentra que

1111 1

C cq C, C 2 6.0 /aF 3.0 /aF " ^

La carga Q en cada capacitor en sèrie es igual a la carga en el capacitor
equivalente:

Q = C eq V= (2.0aiF)(18 V) = 36 /aC

La diferencia de potencial a través de cada capacitor es inversamente
proporcional a su capacitancia:

Q 36 /aC

V, = — = — —

C, 6.0 /aF

Q 36 /aC

V 2 = — = — —

C, 3.0 /aF

6.0 V
12.0 V

b) Para determinar la capacitancia equivalente de la combinación
en paralelo (figura 24.9a), se utiliza la ecuación (24.6):

C eq = d + C 2 = 6.0 /aF + 3.0 /aF = 9.0 /aF

La diferencia de potencial a través de cada uno de los dos capacitores
en paralelo es la misma que aquella a través del capacitor equivalente,
18 V. Las cargas Qi y Qi son directamente proporcionales a las capaci-
tancias C, y C 2 , respectivamente:

2, = C,V = (6.0itF)(l8 V) = 108 /aC

Q 2 = C,V = (3.0/aF)(18 V) = 54 /aC

EVALUAR: Observe que la capacitancia equivalente C eq para la combi-
nación en sèrie del inciso a) es menor que C, o C 2 , en tanto que para
la combinación en paralelo del inciso b), la capacitancia equivalente
es mayor que C t o C 2 .

Resulta pertinente comparar las diferencias de potencial y las car-
gas en cada inciso del ejemplo. Para los dos capacitores en sèrie, como
en el inciso a), la carga es la misma en cualquier capacitor y la diferen-
cia de potencial incís grande ocurre a través del capacitor con la menor
capacitancia. Ademàs, V„ c + V cb = V ab = 18 V, como debe ser. En con-
traste, para los dos capacitores en paralelo, como en el inciso b), cada
capacitor tiene la misma diferencia de potencial y la mayor carga està
en el capacitor con la mayor capacitancia. ^.Puede usted demostrar que
la carga total g, + Q 2 en la combinación en paralelo es igual a la carga
Q — C cq V en el capacitor equivalente?

Ejemplo 24.6

Red de capacitores

Encuentre la capacitancia equivalente de la combinación que se mues-
tra en la figura 24.10a.

ESÜEHl

IDENTIFICAR: Los cinco capacitores en la figura 24.10a no estan co-
nectados todos en sèrie ni en paralelo. Sin embargo, podemos identifi-

car partes del arreglo que sí estan en sèrie o en paralelo, las cuales
combinaremos para encontrar la capacitancia equivalente.

PLANTEAR: Se utiliza la ecuación (24.5) para analizar las porciones
de la red conectadas en sèrie, y la ecuación (24.7) para analizar aque-
llas que estan en paralelo.

24.10 a) Red de capacitores entre los puntos a y b. b) Los capacitores de 12 /aF y 6 /aF conectados en sèrie en a) se sustituyen por un
capacitor equivalente de 4 /aF. c) Los capacitores en paralelo de 3 /aF, 11 /laF y 4 /aF en b) se sustituyen por un capacitor equivalente
de 18 /aF. d) Por ultimo, los capacitores en sèrie de 18 /aF y 9 /aF en c) se sustituyen por un capacitor equivalente de 6 /aF.

a)

— |— 3/aF

b)

11 /aF

:9/aF

Sustituimos estos capacitores
en sèrie por un capacitor
equivalente ...

c)

... sustituimos estos
capacitores en paralelo
por un capacitor
equivalente ...

d)

, sustituimos estos

^n capacitores en sèrie por
un capacitor equivalente.

continua

824 CAPÍTULO 24 Capacitancia y dieléctricos

EJECUTAR: Primero se sustituye la combinación en sèrie de 12 /jlF y Esto da la combinación mas sencilla que aparece en la figura 24.10c.

6 /xF por su capacitancia equivalente, que se denota como C", en la Por ultimo, se calcula la capacitancia equivalente C eq de estos dos ca-

ecuación (24.5): pacitores en sèrie (figura 24.10d):

1 1 1

1 1 1

C' = 4 M F 7^-J^F + ^F C e,-6 M F

C'~ 12/xF 6/.F ° " ^ C„ 18 M F 9 M F

Esto da la combinación equivalente que se ilustra en la figura 24.10b. AVALUAR: La capacitancia equivalente de la red es 6 M F; es decir, si

A continuación, con la ecuación (24.7), se encuentra la capacitancia se a P lica una diferencia de potencial V ab a través de las terminales de la

equivalente de los tres capacitares en paralelo, la cual se representa red < la car § a neta en la red es el P roducto de 6 ^ P or y + veces - ^ Có "

„,,. mo se relaciona esta carga neta con las cargas en los capacitares indivi-

duales en la figura 24.10a?

C" = 3 /iF + 1 1 fíF + 4 fíF = 1 8 /íF

Evalúe su comprensión de la sección 24.2 Se desea conectar un capacitar hviP)
de 4 juF y otro de 8 /aF. a) iCoa qué tipo de conexión el capacitar de 4 (iF tendra V~S

una diferencia de potencial mas grande que en el de 8 fiFl i) en sèrie; ii) en paralelo;
iii) indistintamente, en sèrie o paralelo; iv) ni en sèrie ni en paralelo. b) iCon qué tipo de
conexión tendra el capacitor de 4 /j,F una carga mayor que la carga del capacitar de 8 /aF?
i) en sèrie; ii) en paralelo; iii) indistintamente, en sèrie o paralelo; iv) ni en sèrie ni
en paralelo.

24.3 Almacenamiento de energia en

capacitores y energia de campo eléctrico

Muchas de las aplicaciones mas importantes de los capacitores dependen de su capa-
cidad para almacenar energia. La energia potencial elèctrica almacenada en un capaci-
tor cargado es exactamente igual a la cantidad de trabajo requerido para cargarlo, es
decir, para separar cargas opuestas y colocarlas en los diferentes conductores. Cuando
el capacitor se descarga, esta energia almacenada se recupera en forma de trabajo rea-

Podemos determinar la energia potencial U de un capacitor con carga mediante el
calculo del trabajo W que se requiere para cargarlo. Suponga que cuando se carga
el capacitor, la carga final es Q y la diferencia de potencial final es V. Según la ecua-

-I

Sean q y v la carga y la diferencia de potencial, respectivamente, en una etapa inter-
mèdia del proceso de carga; entonces, v = q/C. En esta etapa, el trabajo dW que se
requiere para transferir un elemento adicional de carga dq es

q dq
dW=vdq = ?— L
H C

El trabajo total W necesario para incrementar la carga q del capacitor, de cero a un va-
lor final Q, es

rW j ,fi 02

W — dW — — q dq = — (trabajo para cargar el capacitor) (24.8)
J C J 2C

Esto también es igual al trabajo total realizado por el campo eléctrico sobre la carga
cuando el capacitor se descarga. Entonces, q disminuye desde un valor inicial Q hasta
cero conforme los elementos de carga dq "caen" a través de las diferencias de poten-
cial v que varían desde V hasta cero.

Si se define la energia potencial de un capacitor sin carga como igual a cero, enton-
ces W en la ecuación (24.8) es igual a la energia potencial U del capacitor con carga.
La carga final almacenada es Q = CV, por lo que U (que es igual a HO se expresa como

2_ = }_ cv i - L ov (energia potencial almacenada (24 9 )
2C 2 2 en un capacitor)

24.3 Almacenamiento de energia en capacitores y energia de campo eléctrico

825

Cuando Q està en coulombs, C en farads (coulombs por volt) y V en volts (joules por
coulomb), U queda expresada en joules.

La última forma de la ecuación (24.9), U = \QV, muestra que el trabajo total W
que se requiere para cargar el capacitor es igual a la carga total Q multiplicada por la
diferencia de potencial promedio \ V durante el proceso de carga.

La expresión U = j(Q 2 Ic) en la ecuación (24.9) indica que un capacitor con car-
ga es el anàlogo eléctrico de un resorte estirado con energia potencial elàstica
U = \kx 2 . La carga Q es anàloga a la elongación x, y el recíproco de la capacitancia,
1/C, es anàlogo a la constante k de la fuerza. La energia suministrada a un capacitor
en el proceso de carga es anàloga al trabajo que se realiza sobre un resorte al estirarlo.

Las ecuaciones (24.8) y (24.9) plantean que la capacitancia mide la facultad de un
capacitor para almacenar tanto energia como carga. Si un capacitor se carga conectàn-
dolo a una bateria o a otra fuente que suministre una diferencia de potencial fija V, en-
tonces un incremento en el valor de C da una carga mayor Q — CV y una cantidad
màs grande de energia almacenada U = \CV 2 . Si en vez de lo anterior, el objetivo es
transferir una cantidad dada de carga Q de un conductor al otro, la ecuación (24.8) in-
dica que el trabajo W requerido es inversamente proporcional a C; cuanto mayor sea
la capacitancia, màs fàcil serà dar a un capacitor una cantidad fija de carga.

Aplicaciones de los capacitores:
Almacenamiento de energia

La mayoría de las aplicaciones de los capacitores aprovechan su capacidad de al- T
macenar y liberar energia. En las unidades electrónicas de flash que usan los fo- ■
tógrafos, la energia almacenada en un capacitor (véase la figura 24.4) se libera al
oprimir el botón del obturador. Esto provee una trayectoria de conducción de una pla-
ca del capacitor a la otra a través del tubo del flash. Una vez establecida esta trayecto-
ria, la energia almacenada se convierte ràpidamente en un destello de luz breve, però
intenso. Un ejemplo extremo del mismo principio es la màquina Z en Sandia National
Laboratories en Nuevo México, la cual se usa en experimentos de fusión nuclear con-
trolada (figura 24.11). Un banco de capacitores cargados libera màs de un millón de
joules de energia en unas cuantas mil millonésimas de segundo. En ese breve lapso,
la potencia de salida de la màquina Z es de 2.9 X 10 14 W, que equivale a ;80 veces la
producción de electricidad de todas las plantas de energia de la Tierra!

En otras aplicaciones, la energia se libera con màs lentitud. Los resortes de la sus-
pensión de un automóvil ayudan a hacer màs suave la marcha al absorber la energia
de las sacudidas bruscas y liberarla en forma gradual; de manera anàloga, un capaci-
tor en un circuito electrónico mitiga las variaciones indeseables del voltaje debido a
oleadas de corriente. Y al igual que la presencia de un resorte da a un sistema mecàni-
co una frecuencia natural a la que responde con màs intensidad ante una fuerza periò-
dica aplicada, la presencia de un capacitor da a un circuito eléctrico una frecuencia
natural ante las oscilaciones de corriente. Esta idea se emplea en circuitos sintoni-
zados tales como los de los receptores de radio y televisión, que responden a las sefia-
les de las emisoras en una frecuencia particular e ignoran las sefíales procedentes de
otras. Estos circuitos se estudiaran en detalle en el capitulo 31.

Las propiedades de almacenamiento de energia de los capacitores también tienen
efectos pràcticos indeseables. Las patillas de conexión adyacentes del lado inferior de
los chips de computadoras actúan como capacitores, y la propiedad que confiere utili-
dad a los capacitores para amortiguar las variaciones del voltaje actua en este caso
para disminuir la rapidez a la que cambian los potenciales de las patillas de conexión
del chip. Esta tendència limita la rapidez a la que los chips pueden realizar càlculos,
un efecto que cobra mayor importància a medida que los chips de computadora se
hacen màs pequefíos y tienen que operar con mayor rapidez.

24. íl La màquina Z utiliza un número
grande de capacitores en paralelo para
dar una capacitancia equivalente C enorme
(véase la sección 24.2). De aní que sea
posible almacenar una gran cantidad de
energia U = \CV 2 incluso con una dife-
rencia de potencial modesta V. Los arços
mostrades en la figura se producen cuando
los capacitores descargan su energia en
un blanco, no mayor que un carrete de
hilo. Esto hace que el objetivo se caliente
a una temperatura superior a 2 X 10' K.

Energia del campo eléctrico

Un capacitor puede cargarse trasladando electrones directamente de una placa a
otra. Esto requiere efectuar trabajo contra el campo eléctrico entre las placas. Así, es
posible considerar la energia como si estuviera almacenada en el campo, en la región

826

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

entre las placas. Para desarrollar esta relación, debemos encontrar la energia por uni-
dad de volumen en el espacio entre las placas paralelas de un capacitor con àrea A y
separación d. Esta se denomina densidad de energia y se denota con u. De la ecua-
ción (24.9) se desprende que el total de energia potencial almacenada es jCV 2 y el
volumen entre las placas es Ad; por lo tanto, la densidad de energia es

u — Densidad de energia =

\CV 2

(24.10)

De la ecuación (24.2), la capacitancia C està dada por C = eoA/d. La diferencia de
potencial V està relacionada con la magnitud del campo eléctrico E de acuerdo con
V — Ed. Si estàs expresiones se utilizan en la ecuación (24.10), los factores geométri-
cos A y d se anulan y se obtiene

u = —e tl E 2
2 °

(densidad de energia elèctrica en vacío)

(24.11)

Aunque esta relación se obtuvo solo para un capacitor de placas paralelas, es vàlida
para cualquier capacitor con vacío y por ello para cualquier conflguración de campo
eléctrico en el vacío. Este resultado tiene una implicación interesante. El vacío se
considera como espacio en el que no hay matèria; sin embargo, el vacío puede tener
campos eléctricos y, por lo tanto, energia. Así que, después de todo, el espacio "va-
cío" en realidad no està vacío. Esta idea y la ecuación (24.11) se utilizaràn en el capi-
tulo 32 en relación con la energia transportada por las ondas electromagnéticas.

CUIDADO La energia del campo eléctrico es energia potencial elèctrica Es un error
común creer que la energia del campo eléctrico es una nueva clase de energia, distinta de la
energia potencial elèctrica descrita con anterioridad. Però no es así; tan solo es una forma dife-
rente de interpretar la energia potencial elèctrica. Se puede considerar la energia de un sistema
de cargas como una propiedad compartida de todas las cargas, o pensar en la energia como una
propiedad del campo eléctrico que crean las cargas. Cualquiera de estàs interpretaciones lleva al
mismo valor de la energia potencial.

Ejemplo 24.7

Transferència de carga y energia entre capacitores

En la figura 24.12 se carga un capacitor de capacitancia C, = 8.0 /íF al
conectarlo a una fuente con diferencia de potencial V a = 120 V (en la
figura no aparece). Inicialmente, el interruptor S està abierto. Una vez
que C[ se ha cargado, se desconecta la fuente de la diferencia de po-
tencial, a) (,Cuàl es la carga g en C, si se deja abierto el interruptor S?
b) ;,Cuàl es la energia almacenada en d si el interruptor S se deja abier-
to? c) Inicialmente, el capacitor de capacitancia C, =4.0 fiF està sin
carga. Después de cerrar el interruptor 5, ^cuàl es la diferencia de
potencial a través de cada capacitor, y cuàl es la carga en cada uno?
d) ^,Cuàl es la energia total del sistema después de cerrar el interruptor S?

EMMI

IDENTIFICAR: Al principio se tiene un solo capacitor con una dife-
rencia de potencial dada entre sus placas. Después de que se cierra el
interruptor, un alambre conecta las placas superiores de los dos capaci-
tores y otro conecta las placas inferiores; en otras palabras, los capa-

PLANTEAR: En los incisos d) y b) se encuentran la carga y la energia
almacenada para el capacitor C, mediante las ecuaciones (24.1) y
(24.9), respectivamente. En el inciso c) se emplea el caràcter de la co-
nexión en paralelo para determinar la manera en que los dos capacito-
res comparten la carga Q . En el inciso d) se utiliza otra vez la
ecuación (24.9) para calcular la energia almacenada en los capacitores
C\ y C 2 ; la energia total es la suma de estos valores.

24.12 Cuando se cierra el interruptor 5, el capacitor con carga C,
està conectado a otro capacitor sin carga C 2 . La parte central del
interruptor es una manija aislante; la carga solo puede fluir entre
las dos terminales superiores y entre las dos terminales inferiores.

:.0/iF

4.0 /íF

EJECUTAR: a) La carga Q en C 1 es

2o = CiV B = (8.0/aF)(120V) = 960 /iC

b) La energia almacenada inicialmente en el capacitor es

tfMcM = jQoVb = - (960 X 10- 6 C)(120V) = 0.058 J

c) Cuando se cierra el interruptor, la carga positiva 2 se distribuye
sobre las placas superiores de ambos capacitores, y la carga negativa
— Q a se distribuye en las placas inferiores de los dos capacitores. Sean
2i y Qi l as magnitudes de las cargas finales en los dos capacitores. De
la conservación de la carga,

Gi + Q2 = 2o

24.3 Almacenamiento de energia en capacitores y energia de campo eléctrico

827

En el estado final, cuando las cargas ya no se trasladan, ambas placas
superiores estan al mismo potencial; estan conectadas por un alambre
conductor, de manera que forman una sola superfície equipotencial.
Las dos placas inferiores también estan al mismo potencial, diferente
del potencial de las placas superiores. La diferencia de potencial final V
entre las placas es, por lo tanto, la misma para los dos capacitores,
como era de esperarse para una conexión en paralelo. Las cargas en los
capacitores son

fil

C,V

Qi = c 2 v

Cuando se combina esto con la ecuación anterior de la conservación de
la carga, se obtiene

V =

Qo

960 fiC

c, + c 2

8.0 tiF + 4.0 /íF

640 fiC

Q 2 = 320 fiC

= 80 V

d) La energia final del sistema es la suma de las energías almacena-

= -(960 x 10~ 6 C)(80V) = 0.038 J

EVALUAR: La energia final es menor que la energia original £/ inlcl!1 i =
0.058 J; la diferencia se ha convertido en energia de algun otro tipo.
Los conductores se calientan un poco debido a su resistència, y algo de
energia se irradia como ondas electromagnéticas. En los capítulos 26 y
31 se estudiarà con detalle el comportamiento de los capacitores en los
circuitos.

Ejemplo 24.8

Energia del campo eléctrico

Se desea almacenar 1.00 J de energia potencial elèctrica en un volu-
men de 1 .00 m 3 en vacío. a) L C\ií\ es la magnitud del campo eléctrico
que se requiere? b) Si la magnitud del campo eléctrico es 10 veces ma-
yor, (.cuànta energia se almacena por metro cúbico?

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Se utiliza la relación entre la magnitud del campo
eléctrico E y la densidad de energia u, que es igual a la energia del
campo eléctrico dividida entre el volumen ocupado por el campo.

PLANTEAR: En el inciso a) se emplea la información dada para obte-
ner u, y después se usa la ecuación (24.11) para encontrar el valor de E
que se requiere. Esta misma ecuación da la relación entre los cambios
en E y los cambios correspondientes en u.

despeja E en la ecuación (24.11):

1.00 J/m 3 . Se

2 u

. Si E se
= 100 y

2(l.00j/m 3 )

8.85 X 10" 12 C 2 /N ■ m 2

= 4.75 X 10 5 N/C = 4.75 X 10 5 V/m

b) La ecuación (24.11) muestra que u es proporcional a £
incrementa en un factor de 10, « aumenta en un factor de 10 2
la densidad de energia es 100 J/m 3 .

EVALUAR: El valor de E calculado en el inciso a) es considerable,
pues corresponde a una diferencia de potencial de casi medio millón
de volts en una distancia de 1 metro. En la sección 24.4 se vera que la
magnitud del campo eléctrico en los aislantes pràcticos llega a ser tan
grande como este valor o incluso mas.

Ejemplo 24.9

Dos maneras de calcular la energia almacenada en un capacitor

El capacitor esférico descrito en el ejemplo 24.3 (sección 24.1) tiene
cargas +Q y — Q en sus conductores interior y exterior. Calcule la
energia potencial elèctrica almacenada en el capacitor d) calculando
la capacitancia C obtenida en el ejemplo 24.3, y b) integrando la den-
sidad de energia del campo eléctrico.

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Este problema pide que se piense en la energia alma-
cenada en un capacitor U de dos maneras diferentes: en términos del
trabajo realizado para colocar las cargas en los dos conductores, U =
Q 2 /2C, y en términos de la energia en el campo eléctrico entre los dos
conductores. Las dos descripciones son equivalentes, por lo que deben
dar el mismo resultado para U.

PLANTEAR: En el ejemplo 24.3 se obtuvo la capacitancia C y la mag-
nitud del campo E entre los conductores. Para determinar la energia al-
macenada U en el inciso a), se utilizarà la expresión para C en la
ecuación (24.9). En el inciso b) se emplearà la expresión para E en
la ecuación (24.11) para determinar la densidad de energia del campo
eléctrico « entre los conductores. La magnitud del campo depende de
la distancia r desde el centro del capacitor, por lo que u también depen-
de de r. Entonces, no es posible calcular £/ con solo multiplicar u por
el volumen entre los conductores; en vez de ello, se debe integrar u con
respecto a ese volumen.

EJECUTAR: a) Del ejemplo 24.3, el capacitor esférico tiene una capa-
citancia

Vb

C = 477£„

donde r a y r h son los ràdios interior y exterior de las esferas conducto-
ras. De la ecuación (24.9), la energia almacenada en este capacitor es

U ■

91

2C

b) El campo eléctrico en el volumen entre las dos esferas conducto-
ras tiene una magnitud de E = g/47re /- 2 . El campo eléctrico es igual
a cero dentro de la esfera interior y también afilera de la superfície in-
terna de la esfera exterior, ya que una superfície gaussiana con radio
r < i\, o r > r b encierra una carga neta de cero. Así, la densidad de
energia es diferente de cero solo en el espacio comprendido entre las
esferas (r a < r < r„). En esta región,

z^oE 2 -

Q

2 °\4ire„r

fi 2

327T 2 e n r 4

La densidad de energia no es uniforme, sinó que disminuye ràpida-
mente al aumentar la distancia desde el centro del capacitor. Para

continua

828

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

encontrar la energia total del campo eléctrico se integra u (energia por
unidad de voltimen) sobre el voltimen que hay entre las esferas con-
ductoras interior y exterior. Al dividir este volumen en corazas esferi-
cas de radio r, àrea superficial 4irr, espesor dr y volumen dV = 4irr 2
dr, se obtiene

U = u dV =

"dr
üire .

Q 2 r b - r„
8ireo Vi

Q-

3277 2 e /" 4

e 2 /

4tti' dr

EVALUAR: Con cualquiera de los enfoques se obtiene el mismo resul-
tado para U, como debe ser. Hacemos hincapié en que la energia po-
tencial ele'ctrica puede considerarse como asociada con cualquiera de
las cargas, como en el inciso a), o el campo, como en el inciso b); sin
importar el punto de vista que se elija, la cantidad de energia almace-

Evalúe su comprensión de la sección 24.3 Se desea conectar un capacitor
de 4 jU,F con otro de 8 /aF. ^Con qué tipo de conexión el capacitor de 4 jiiF tendra una
cantidad mayor de energia almacenada que el de 8 /aF? i) en sèrie; ii) en paralelo;
iii) con cualquiera, ya sea en sèrie o en paralelo; iv) ni en sèrie ni en paralelo.

24.4 Dieléctricos

24.13 Un tipo común de capacitor utiliza
làminas dieléctricas para separar los
conductores.

Conductor
(hoja metàlica)

Dieléctrico
(hoja de plàstico)

La mayoría de los capacitores tienen un material no conductor o dieléctrico entre sus
placas conductoras. Un tipo común de capacitor emplea tiras largas de hojas (làminas)
metàlicas como placas, separadas por tiras de hojas de materiales plàsticos, como
Mylar. Estos materiales dispuestos en forma de emparedado se enrollan para formar
una unidad capaz de proveer una capacitancia de varios microfarads en un paquete
compacto (figura 24.13).

La colocación de un dieléctrico solido entre las placas de un capacitor tiene tres
funciones. La primera es que resuelve el problema mecànico de mantener dos hojas
metàlicas grandes con una separación muy pequena sin que hagan contacto.

La segunda función es que un dieléctrico incrementa al màximo posible la diferencia
de potencial entre las placas del capacitor. Como se describió en la sección 23.3, cual-
quier material aislante experimenta una ionización parcial que permite la conducción a
través de él, si se somete a un campo eléctrico suficientemente grande. Este fenómeno
se llama ruptura del dieléctrico. Muchos materiales dieléctricos toleran sin romperse
campos eléctricos màs intensos que los que soporta el aire. Así que el uso de un dieléc-
trico permite que un capacitor mantenga una gran diferencia de potencial V y que, por
lo tanto, almacene cantidades màs grandes de carga y energia.

La tercera función es que la capacitancia de un capacitor de dimensiones dadas es
mayor cuando entre sus placas hay un material dieléctrico en vez de vacío. Este efec-
to se demuestra con ayuda de un electrómetro sensible, dispositivo que mide la dife-
rencia de potencial entre dos conductores sin permitir un flujo apreciable de carga de
uno a otro. La figura 24. 14a ilustra un electrómetro conectado a través de un capacitor
con carga, con magnitud de carga Q en cada placa y diferencia de potencial V . Cuan-
do entre las placas se inserta una làmina sin carga de material dieléctrico, como vidrio,
parafina o poliestireno, los experimentos muestran que la diferencia de potencial dis-
minuye a un valor pequeno V (figura 24.14b). Al retirar el dieléctrico, la diferencia de
potencial vuelve a su valor original V 0> lo que demuestra que las cargas originales en

La capacitancia original C està dada por C = Q/V , y la capacitancia C con el
dieléctrico presente es C = Q/V. La carga Q es la misma en ambos casos, y V es me-
nor que V , de donde se concluye que la capacitancia C con el dieléctrico presente es
mayor que C . Cuando el espacio entre las placas està Ueno por completo por el die-
léctrico, la razón de C a C (igual a la razón de V a. V) se denomina constante dieléc-
trica del material, K:

C

K = —

(definición de constante dieléctrica)

(24.12)

24.4 Dieléctricos

829

Cuando la carga es constante, Q — C a V — CV y C/C = V /V. En este caso, la ecua-
ción (24. 1 2) se puede expresar de la forma

Vq

K

(donde Q es una constante)

(24.13)

Con el dieléctrico presente, la diferencia de potencial para una carga Q dada se redu-
ce en un factor de K.

La constante dieléctrica K es un número puro. Como C siempre es mayor que C ,
K siempre es mayor que la unidad. En la tabla 24.1 se incluyen algunos valores repre-
sentativos de K. Para el vacío, K — 1, por definición. Para el aire a temperaturas y
presiones ordinarias, K es alrededor de 1.0006; este valor es tan cercano a 1 que para
fines pràcticos, un capacitor con aire es equivalente a uno con vacío. Observe que
aunque el agua tiene un valor de K muy grande, por lo general no es un dieléctrico
muy practico como para usarlo en capacitores. La razón es que si bien el agua pura es
un conductor deficiente, por otro lado, es un excelente solvente iónico. Cualquier ion
disuelto en el agua haría que las cargas fluyeran entre las placas del capacitor, por lo
que éste se descargaría.

Tabla 24.1 Valores de la constante dieléctrica, K, a 20 °C

Material K Material

K

Vacío

1

Aire (a 1 atm)

1.00059

Aire (a 100 atm)

1.0548

Teflón

2.1

Polietileno

2.25

Benceno

2.28

Mica

3-6

Mylar

3.1

Cloruro de polivinilo

Plexiglàs

Vidrio

Neopreno

Germanio

Glicerina

Agua

Titanato de estroncio

3.18
3.40
5-10
6.70

10

42.5

80.4

310

Ningún dieléctrico real es un aislante perfecto. Por consiguiente, siempre hay cier-
ta corriente de fuga entre las placas con carga de un capacitor con dieléctrico. En la
sección 24.2 se ignoro tàcitamente este efecto en la obtención de las expresiones para
las capacitancias equivalentes de capacitores conectados en sèrie, ecuación (24.5), y
en paralelo, ecuación (24.7). Però si la corriente de fuga fluye un tiempo suficiente-
mente largo como para cambiar de manera sustancial las cargas con respecto a los va-
lores usados para obtener las ecuaciones (24.5) y (24.7), tales ecuaciones podrían
dejar de ser exactas.

Carga inducida y polarización

Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo
tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas dis-
minuye en un factor K. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse
en el mismo factor. Si £ es el valor con vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces

Eo
K

E =

(cuando Q es una constante)

(24.14)

Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico està presente,
la densidad superficial de carga (que crea el campo) también debe ser menor. La carga
superficial en las placas conductoras no cambia, però en cada superfície del dieléc-
trico aparece una carga inducida de signo contrario (figura 24.15). Originalmente,
el dieléctrico era neutró y todavía lo es; las cargas superficiales inducidas surgen co-
mo resultado de la redistribución de la carga positiva y negativa dentro del material
dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización. La polarización se menciono por
primera vez en la sección 21.2, y se sugiere al lector que vuelva a leer la explicación
de la figura 21.8. Se supondrà que la carga superficial inducida es directamente pro-
porcional a la magnitud del campo eléctrico E en el material; de hecho, éste es el ca-
so de muchos dieléctricos comunes. (Esta proporcionalidad directa es anàloga a la

24.14 Efecto de un dieléctrico entre las
placas paralelas de un capacitor. a) Con
una carga dada, la diferencia de potencial
es V . b) Con la misma carga però con un
dieléctrico entre las placas, la diferencia
de potencial V es menor que V .

Electrómetro
(mide la
diferencia de
potencial entre
las placas)

b)

Dieléctrico

Al agregar el
dieléctrico, se reduce
la diferencia de
potencial a través
del capacitor.

24.1 5 Líneas de campo eléctrico cuando
entre las placas hay a) vacío y b) un
dieléctrico.

a) Vacío

+
+

+
+
+
+

*
+

+

+
+
+
+

c

b) Dieléctrií

(7
+
+

í-^l ï\

+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+

+

y Carga N+
inducida

+

+

i +

-<r, ; O-j/

inducidas en las superfícies del dieléctrico
reducen el campo eléctrico entre las placas.

830 CAPÍTULO 24 Capacitancia y dieléctricos

ley de Hooke para un resorte.) En este caso, K es una constante para cualquier mate-
rial en particular. Cuando el campo eléctrico es muy intenso o si el dieléctrico està
hecho de ciertos materiales cristalinos, la relación entre la carga inducida y el campo
eléctrico es mas compleja; no consideraremos aquí este tipo de casos.

Es posible obtener una relación entre esta carga superficial inducida y la carga en
las placas. Se denotarà como a, la magnitud de la carga inducida por unidad de àrea
en las superfícies del dieléctrico (la densidad superficial de carga inducida). La
de costumbre. En tal caso, la magnitud de la carga superficial neta en cada lado del
capacitor es (<r — aj, como se ilustra en la figura 24.15b. Como vimos en los ejem-
plos 21.13 (sección 21.5) y 22.8 (sección 22.4), el campo entre las placas se rela-
ciona con la densidad superficial de carga de acuerdo con E — cr na Je . Sin el
dieléctrico y con éste, respectivamente, se tiene

E = — E = (24.15)

Al usar estàs expresiones en la ecuación (24.14) y reordenar el resultado, se encuen-
tra que

cr i — cr 1 (densidad superficial de carga inducida) (24.16)

Esta ecuación plantea que cuando K es muy grande, a { casi es tan grande como a. En
este caso, a t casi anula a cr, y el campo y la diferencia de potencial son mucho meno-
res que sus valores en el vacío.

El producto Ke se llama permitividad del dieléctrico, y se denota con e:

e = Ke (definición de permitividad) (24.17)

En términos de e, el campo eléctrico dentro del dieléctrico se expresa como

E = — (24.18)

e

La capacitancia cuando hay un dieléctrico presente està dada por

_ A _ A (capacitor de placas paralelas, , u lg)

"d d dieléctrico entre las placas)

La obtención de la ecuación (24.11) se repite para la densidad de energia u en un
campo eléctrico para el caso en que hay un dieléctrico presente. El resultado es

1 , 1 ,

u — —Ke E = —eE (densidad de energia elèctrica en un dieléctrico) (24.20)

En el espacio vacío, donde K = 1, e = e y las ecuaciones (24.19) y (24.20) se
reducen a las ecuaciones (24.2) y (24.11), respectivamente, para un capacitor de
placas paralelas con vacío. Por esta razón, en ocasiones e se llama "permitividad
del espacio libre" o "permitividad del vacío". Como K es un número puro, e y e
tienen las mismas unidades, C 2 /N • irr o F/m.

La ecuación (24.19) muestra que es posible obtener capacitancias muy elevadas
con placas que tienen una gran àrea superficial A y estan separadas una distancia pe-
quena d por un dieléctrico con un valor elevado de K. En un capacitor electrolítico de
doble capa, hay grànulos diminutos de carbono adheridos a cada capa: el valor de A
es el àrea superficial de los grànulos combinada, que puede ser enorme. Las placas
capacitor de esta clase llega a tener una capacitancia de 5000 farads y puede caber
en la palma de la mano (compàrelo con el del ejemplo 24.1 en la sección 24.1).

Varios dispositivos pràcticos aprovechan la manera en que un capacitor respon-
de ante un cambio en la constante dieléctrica. Un ejemplo es el localizador eléctrico de

24.4 Dieléctricos

831

clavos, que utilizan quienes hacen reparaciones en el hogar para localizar clavos me-
tàlicos ocultos tras la superfície de un muro. Consiste en una placa metàlica con cir-
cuitos asociados. La placa actua como la mitad de un capacitor, y el muro como la
otra mitad. Si el localizador de clavos pasa por encima un objeto metàlico, la constan-
te dieléctrica efectiva del capacitor cambia, lo que modifica la capacitancia y activa
una senal.

Estratègia para resolver problemas 24.2

Dieléctricos

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Las relaciones de esta sec-
ción son útiles siempre que haya un campo eléctrico en un dieléctrico,
como el que existe entre las placas de un capacitor con carga. Es común
que se pida relacionar la diferencia de potencial entre las placas, el cam-
po ele'ctrico en el capacitor, la densidad de carga en las placas y la densi-
dad de carga inducida sobre las superfícies del dieléctrico en el capacitor.

PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:

1. Elabore un dibujo de la situación.

2. Identifique las variables que se buscan y elija cuàles de las ecuacio-
nes clave de esta sección le serviran para encontrar esas variables.

EJECUTAR la solución como sigue:

1. En problemas como los del siguiente ejemplo, es fàcil perderse en
un laberinto de fórmulas. Pregúntese a cada paso qué tipo de canti-
entre las cargas y las densidades de carga, y entre los campos eléc-
tricos y las diferencias de potencial eléctrico.

2. Conforme efectúe los càlculos compruebe continuamente la con-
sistència de las unidades. Esto implica un mayor esfuerzo con las
cantidades eléctricas que con las de la mecànica. Las distancias
siempre deben estar expresadas en metros. Recuerde que un micro-
farad es 1CT 6 farads, etcètera. No confunda el valor numérico de e
con el valor de 1/4tt£ . Hay varios conjuntes alternativos de unida-
des para la magnitud del campo eléctrico, como N/C y V/m. Las
unidades de e son C 2 /N ■ m 2 o F/m.

EVALUAR la respuesta: Cuando compruebe valores numéricos, re-
cuerde que con un dieléctrico presente, a) la capacitancia siempre es
mayor que sin el dieléctrico; b) para una cantidad dada de carga en el
capacitor, el campo eléctrico y la diferencia de potencial siempre son
menores que sin el dieléctrico; y c) la densidad superficial de carga in-
ducida o-, en el dieléctrico siempre es de menor magnitud que la densi-
dad de carga a en las placas del capacitor.

Ejemplo 24.10

Capacitor con y sin dieléctrico

Suponga que cada una de las placas paralelas en la figura 24.15 tiene
un àrea de 2000 cm 2 (2.00 X 10 _1 m 2 ) y estan separadas por 1.00 cm
(1.00 X 10~ 2 m). El capacitor està conectado a una fuente de energia
y se carga a una diferencia de potencial V = 3000 V = 3.00 kV. Des-
pués se desconecta de la fuente de energia y se inserta entre las placas
una làmina de material plàstico aislante, llenando por completo el es-
pacio entre ellas. Se observa que la diferencia de potencial disminuye
a 1000 V y que la carga en cada placa del capacitor permanece cons-
tante. Calcule a) la capacitancia original C ; b) la magnitud de la car-
ga Q en cada placa; c) la capacitancia C después de haber insertado el
dieléctrico; d) la constante dieléctrica K del dieléctrico; e) la permiti-
vidad € del dieléctrico;/) la magnitud de la carga Q ; inducida en cada
cara del dieléctrico; g) el campo eléctrico original E entre las placas;
y h) el campo eléctrico E después de insertar el dieléctrico.

EUEEU

IDENTIFICAR: Este problema usa la mayoría de relaciones que se han

PLANTEAR: La mayoría de las variables buscadas se pueden obtener
de diferentes maneras. Los métodos que se usan a continuación son
una muestra representativa; invitamos al lector a pensar en otros méto-
dos y a comparar los resultados.

EJECUTAR: a) Con vacío entre las placas se usa la ecuación (24.19)
con K — 1 :

C = e — = (8.85 X 10~ 12 F/m)
d

= 1.77 X 10~ 10 F = 177 pF

2.00 x 10 ' nr
1.00 X 10" 2 m

b) A partir de la definición de capacitancia, ecuación (24.1),

Q = C V = (1.77 X 10~'°F)(3.00 X 10 3 V)
= 5.31 X 10~ 7 C = 0.531/iC

c) Cuando se inserta el dieléctrico, la carga permanece sin cambio,
però el potencial disminuye a V — 1000 V. Por ello, de acuerdo con la
ecuación (24.1), la nueva capacitancia es

Q 5.31 X 10~ 7 C

C = — = = 5.31 X 10~ 10 F = 531 pF

V 1.00 X ío-'v

d) De la ecuación (24.12), la constante dieléctrica es
5.31 X 10- 10 F _ 531 pF

C„ 1.77 X Hr'°F ~~ 177 pF
En forma alternativa, de la ecuación (24.13),
3000 V

K =

= 3.00

V

3.00

1000 V

e) Al sustituir el valor de K del inciso d) en la ecuación (24.17), la

e = Ke a = (3.00) (8.85 X 10~ 12 C 2 /N • m 2 )
= 2.66 X 10""C 2 /N•nr

/) Se multiplica la ecuación (24.15) por el àrea de cada placa para
obtener la carga inducida Q { = cr^A en términos de la carga Q = aA en

a

e(i-|) = (5.31x10-0(1-3^,)

3.54 X 10~ 7 C

continua

832

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

g) Como el campo eléctrico entre las placas es uniforme, su mag-
nitud es la diferencia de potencial dividida entre la separación de las
placas:

E -^
E °- d

3000 V

1.00 X 10 -m

3.00 X 10 5 V/m

h) Con la nueva diferencia de potencial después de insertar el die-
léctrico,

V

E = —■■
d

1000 V

1.00 X 10 5 V/m

1.00 X 10"- m
o, de la ecuación (24.17),

<r Q 5.31 X 10" 7 C

E = — = — =

e tA (2.66 X 10""C 2 /N•m 2 )(2.00 X 10"'m 2 )

= 1.00 X 10 5 V/m

o bien, de la ecuación (24.15),

<r - o"i Q- Q\
E = '=- —

«o e o A

(5.31 - 3.54) X nr 7 c

(8.85 X 10" 12 C 2 /N-m 2 )(2.00 X 10"' m 2 )

= 1.00 X 10 5 V/m

o, de la ecuación (24.14),

£„ 3.00 X 10 5 V/m
~~ K ~ 3.00

1.00 X 10 5 V/m

EVALUAR: Siempre es útil comprobar los resultados obteniéndolos en
mas de una forma, como se hizo en los incisos d) y h). Los resultados
indican que al insertar el dieléctrico se incrementa la capacitancia en
un factor de K — 3.00 y el campo eléctrico entre las placas se reduce
en un factor de \/K = 1/3.00. Eso ocurre porque se desarrollan cargas
inducidas en las caras del dieléctrico con magnitud Q(l — \JK) =
g(l - 1/3.00) = 0.667g.

Ejemplo 24.11

Almacenamiento de energia con y sin dieléctrico

Calcule el total de energia almacenada en el campo eléctrico del capa-
citar del ejemplo 24.10, así como la densidad de energia, tanto antes
como después de haber insertado el dieléctrico.

EHEl•la

IDENTIFICAR: En este problema se tiene que extender el anàlisis del
ejemplo 24.10 para que incluya las ideas de la energia almacenada en
un capacitor y de la energia del campo eléctrico.

PLANTEAR: Se usa la ecuación (24.9) para encontrar la energia alma-
cenada antes y después de insertar el dieléctrico, y la ecuación (24.20)
para calcular la densidad de energia.

EIECUTAR: Sea U la energia original y U la energia con el dieléctrico
insertado. De acuerdo con la ecuación (24.9),

£/„ = -C V 2 = -(1.77 X 10"'°F)(3000 V) 2 = 7.97 X 10~ 4 J

U= -CV 2 = -(5.31 X 10"'°F)(1000V) 2 = 2.66 X 10" 4 J

La energia final es un tercio de la energia original.

La densidad de energia sin el dieléctrico està dada por la ecuación
(24.20) con K = 1:

w = -e £o 2 = -(8.85 X 10" 12 C 2 /N-m 2 )(3.0 X 10 5 N/C) 2

= 0.398 J/m 3

u = -e£ 2 = -(2.66 X 10"" C 2 /N ■ m 2 ) ( 1.00 X 10 5 N/C) 2

= 0.133 j/m 3

La densidad de energia con el dieléctrico es un tercio de la densidad
de energia original.

EVALUAR: La respuesta para u se comprueba al notar que el volumen
entre las placas es V = (0.200 m) 2 (0.0100 m) = 0.00200 m\ Como el
campo eléctrico es uniforme entre las placas, u también es uniforme y
la densidad de energia es simplemente el cociente que resulta de divi-
dir la energia almacenada entre el volumen:

U u

7.97 X 10~ 4 J

«o =

V 0.00200 m 3

= 0.398 J/m 3

lo que concuerda con la primera respuesta. Se debe utilizar el mismo
enfoque para comprobar el valor de U y el de la densidad de energia
con el dieléctrico.

Los resultados de este ejemplo se pueden generalizar. Cuando se in-
serta un dieléctrico en un capacitor mientras la carga en cada placa per-
manece igual, la permitividad e se incrementa en un factor de K (la
constante dieléctrica), el campo eléctrico disminuye en un factor de
l/K, y la densidad de energia u = j € E 2 se reduce en un factor de Í/K.
íA dónde se fue la energia? La respuesta està en la curvatura del campo
en los bordes de un capacitor real de placas paralelas. Como se apre-
cia en la figura 24.16, ese campo tiende a atraer el dieléctrico hacia el
espacio entre las placas, y al hacerlo efectua un trabajo sobre él. Se
podria acoplar un resorte en el extremo izquierdo del dieléctrico de la
figura 24. 16 y usar esta fuerza para estirar el resorte. Puesto que el cam-
po realiza un trabajo, la densidad de energia del campo disminuye.

24.16 La curvatura del campo en los bordes del capacitor ejerce
fuerzas F_, y F +i sobre las cargas superficiales positivas y negativas
inducidas de un dieléctrico, lo que atrae al dieléctrico hacia el
interior del capacitor.

+/+ + + + + + + + + + + + +

*24.5 Modelo molecular de la carra inducida

833

Ruptura del dieléctrico

Ya se menciono que cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico su-
ficientemente intenso, tiene lugar la ruptura del dieléctrico y entonces el dieléctrico
se convierte en conductor (figura 24.17). Esto ocurre cuando el campo eléctrico es tan
intenso que arranca los electrones de sus moléculas y los lanza sobre otras moléculas,
con lo cual se liberan aún mas electrones. Esta avalancha de carga en movimiento,
que forma una chispa o descarga de arco, suele iniciarse de forma repentina.

Debido a la ruptura del dieléctrico, los capacitores siempre tienen voltajes màxi-
mos nominales. Cuando un capacitor se somete a un voltaje excesivo se forma un ar-
co a través de la capa de dieléctrico, y lo quema o perfora. Este arco crea una
trayectoria conductora (un circuito corto) entre los conductores. Si la trayectoria con-
ductora permanece después de haberse extinguido el arco, el dispositivo queda inuti-
lizado de manera permanente en su función de capacitor.

La magnitud màxima de campo eléctrico a que puede someterse un material sin
que ocurra la ruptura se denomina rigidez dieléctrica. Esta cantidad se ve afectada de
manera significativa por la temperatura, las impurezas, las pequenas irregularida-
des en los electrodos metàlicos y otros factores que son difíciles de controlar. Por
esta razón solo pueden darse cifras aproximadas de las rigideces dieléctricas. La ri-
gidez dieléctrica del aire seco es alrededor de 3 X 10 6 V/m. En la tabla 24.2 se pre-
sentan valores de la rigidez dieléctrica de varios materiales aislantes comunes.
Observe que todos los valores son mucho mayores que el del aire. Por ejemplo, una
capa de policarbonato de 0.01 mm de espesor (el espesor practico mas pequefío)
tiene 10 veces la rigidez dieléctrica del aire y soporta un voltaje màximo cercano a
(3 X 10 7 V/m) (1 X 10~ 5 m) = 300 V.

24.17 Un campo eléctrico muy intenso
ocasiono la ruptura de la rigidez del
dieléctrico en un bloque de plexiglàs.
El flujo de carga resultante grabó este
patrón en el bloque.

Tabla 24.2 Constante dieléctrica y rigidez dieléctrica de algunos materiales aislantes

Constante

Rigidez dieléctrica,

Material

dieléctrica, K

£ m (V/m)

Policarbonato

2.8

3 X 10 7

Poliester

3.3

6 X 10 7

Polipropileno

2.2

7 X 10 7

Poliestireno

2.6

2 X 10 7

Vidrio pyrex

4.7

1 X 10 7

Evalúe su comprensión de la sección 24.4 El espacio entre las placas de un (md)
capacitor aislado de placas paralelas està ocupado por un bloque de material dieléctrico
con constante dieléctrica K. Las dos placas del capacitor tienen cargas Q y — Q. Se extrae
el bloque dieléctrico. Si las cargas no cambian, ^cómo se modifica la energia en el capacitor
cuando se retira el material dieléctrico? i) Se incrementa; ii) disminuye; iii) permanece igual.

*24.5 Modelo molecular de la carga inducida

En la sección 24.4 se estudiaran las cargas superficiales inducidas en un dieléctrico,
debidas a un campo eléctrico. Ahora veremos cómo se originan estàs cargas superfi-
ciales. Si el material fuera un conductor, la respuesta seria sencilla. Los conductores
contienen carga que tiene libertad de movimiento y, cuando està presente un campo
eléctrico, algunas de ellas se redistribuyen en la superfície de manera que no hay cam-
po eléctrico dentro del conductor. Però un dieléctrico ideal no tiene cargas con liber-
tad para moverse, así que, ^.córno puede surgir una carga superficial?

Para comprender esto, se tiene que analizar otra vez el reacomodo de la carga a ni-
vel molecular. Algunas moléculas, como las de H 2 y N 2 0, tienen cantidades iguales
de cargas positivas y negativas, però con una distribución desigual, con exceso de
carga positiva concentrada en un lado de la molècula y carga negativa en el otro. Co-
mo se describió en la sección 21.7, tal arreglo recibe el nombre de dipolo eléctrico, y
la molècula se llama molècula polar. Cuando no està presente un campo eléctrico en
un gas o un liquido con moléculas polares, éstas se orientan al azar (figura 24.18a).
Sin embargo, al colocarse en un campo eléctrico, tienden a orientarse como en la

24.18 Moléculas polares a) sin un
campo eléctrico aplicado E y b) con

■)

En ausencia de un
campo eléctrico,
las moléculas polares
se orientan al azar.

(3B>

b)

— ^ *■ *-

Cuando se
aplica un campo
eléctrico, las
moléculas
polares tienden
a alinearse
con él.

834

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

24.19 Moléculas no polares a) sin un campo eléctrico aplicado E y b) con un campo

a) b)

C&>

En ausencia de
un campo eléctrico,
las moléculas
no polares no son
dipolos eléctricos.

Un campo eléctrico
ocasiona que las
cargas positivas y
negativas de las
moléculas se
separen ligeramente,
lo que en efecto
convierte la
molècula en polar.

24.20 La polarización de un dieléctrico
en un campo eléctrico E da lugar a la
formación de capas delgadas de cargas
ligadas en las superfícies, lo que crea
los tamanos de las moléculas.

<3ï)<3±)(3+)

cHE>C3ï)(3i)

(3ï)(££>(3i)

cEl±)<3±)<3ï)

cHE)CHí)(HB)

C3Ï)C3Ï> <3±>

C3í)(3ï)(3ï>

G+)(3+)G+)

cHR)c3í>(3í)

figura 24.18b, como resultado de los pares de torsión de campo eléctrico descrites en
la sección 21.7. En virtud de la agitación tèrmica, la alineación de las moléculas con
respecto a E no es perfecta.

Incluso una molècula que por lo general no es polar se convierte en un dipolo al
colocarse en un campo eléctrico debido a que éste empuja las cargas positivas en las
moléculas en la dirección del campo, y a las negativas en dirección opuesta. Esto oca-
siona una redistribución de la carga dentro de la molècula (figura 24.19). Tales dipo-
los se Uaman dipolos inducidos.

Ya sea con moléculas polares o no polares, la redistribución de la carga causada
por el campo origina la formación de una capa de carga en cada superfície del mate-
rial dieléctrico (figura 24.20). Estàs capas son las cargas superficiales descritas en la
sección 24.4; su densidad superficial de carga se denota con cr,. Las cargas no tienen
libertad para moverse indefinidamente como lo harían en un conductor porque cada
una està unida a una molècula. En realidad se llaman cargas ligadas para diferenciar-
las de las cargas libres que se agregan y se retiran de las placas conductoras de un
capacitor. En el interior del material, la carga neta por unidad de volumen permanece
igual a cero. Como se ha visto, esta redistribución de carga recibe el nombre de pola-
rización, y se dice que el material està polarizado.

Los cuatro incisos de la figura 24.21 ilustran el comportamiento de un trozo de
dieléctrico cuando se inserta en el campo entre un par de placas de capacitor con car-
gas opuestas. La figura 24.21a muestra el campo original. La figura 24.21b presenta
la situación después de haber insertado el dieléctrico, però antes de que ocurra el rea-
comodo de las cargas. La figura 24.21c ilustra con flechas delgadas el campo adicio-

24.21 a) Campo eléctrico de magnitud E„ entre dos placas con cargas. b) Introducción
de un dieléctrico con constante dieléctrica K. c) Las cargas superficiales inducidas y su
campo, d) Campo resultante de magnitud E a /K.

a) Sin dieléctrico

b) El dieléctrico
se acaba de insertar

c) Las cargas inducidas d) Campo resultante
crean campo eléctrico

E a .

+
+
+

>.

+

*

+
+
+

>

+

»

+
+

►

+

»

+
+
+

+ »

+ »

+ »

+ *

+ »

+ »

+ »

+ »

+ *

+ »

+ »

+ *

+ *

+ »

+

r-^

ÍN

+

— ■<. —

— +

+

+

— -*. —

— +

+

*—

+

~ < *

— +

+

+

— •* —

— +

+

+

— < —

— +

+
+

+

+

— ' -* — ;r-V

— +

o

/

s

+

f-a-i

°ï\

+

-

+

+

+

-

+

+
+

-

+

+

+

-

+

+

+

-

+

+

+

-

+

+

+

-

+

-°"i

°"i

(T

V

^^y

Campo Campo mas dèbil en el

eléctrico dieléctrico debido a las

'24.6 La ley de Gauss en los dieléctricos 835

nal que se establece en el dieléctrico por sus cargas superficiales inducidas. Este
campo es opuesto al original, però no tan grande como para anularlo por completo, ya
que las cargas en el dieléctrico no tienen libertad para moverse en forma indefinida.
Por consiguiente, el campo resultante en el dieléctrico, que se presenta en la figura
24.21 d, disminuyó su magnitud. En la representación con líneas de campo, algunas
de ellas salen de la placa positiva y van a través del dieléctrico, mientras que otras
terminan en las cargas inducidas en las caras del dieléctrico.

Como se vio en la sección 21.2, la polarización también es la razón por la que un
cuerpo con carga, como una varilla de plàstico electrificada, puede ejercer una fuerza
sobre un cuerpo sin carga, como un trozo de papel o una bolita de médula de saúco.
En la figura 24.22 se presenta una esfera B dieléctrica sin carga en el campo radial de
un cuerpo con carga positiva A. Las cargas positivas inducidas en B experimentan una
fuerza hacia la derecha, mientras que la fuerza en las cargas inducidas negativas va
hacia la izquierda. Las cargas negativas estan mas cerca de A, por lo que se encuen-
tran en un campo mas intenso que las cargas positivas. La fuerza hacia la izquierda es
mayor que la que va hacia la derecha, y B es atraída hacia A, aun cuando su carga ne-
ta es igual a cero. La atracción ocurre sin importar que el signo de la carga de A sea
positivo o negativo (véase la figura 21.7). Ademàs, el efecto no està limitado a los
dieléctricos; un cuerpo conductor sin carga seria atraído de igual manera.

24.22 Una esfera B neutra en el campo
eléctrico radial de una esfera con carga
positiva A es atraída hacia la carga a
causa de la polarización.

Evalúe su comprensión de la sección 24.5 Un capacitar tiene cargas g y —Q en
sus dos placas paralelas. Después se inserta un bloque de dieléctrico con K — 3 en el espacio
entre las placas, como se ilustra en la figura 24.21. Ordene las siguientes magnitudes de
campo eléctrico, en orden decreciente. i) El campo antes de insertar el dieléctrico;
ii) el campo resultante después de haber insertado el dieléctrico; iii) el campo debido

*24.6 La ley de Gauss en los dieléctricos

El anàlisis de la sección 24.4 puede extenderse para reformular la ley de Gauss de
manera que sea útil en el caso particular de los dieléctricos. La figura 24.23 es un
acercamiento de la placa izquierda del capacitor y la superfície izquierda del dieléc-
trico de la figura 24.15b. Se aplicarà la ley de Gauss a la caja rectangular que se
muestra en corte transversal mediante la línea púrpura; el àrea superficial de los la-
dos izquierdo y derecho es A. El lado izquierdo està incrustado en el conductor que
forma la placa izquierda del capacitor, por lo que el campo eléctrico en cualquier si-
tio de esa superfície es igual a cero. El lado derecho està incrustado en el dieléctrico,
donde el campo eléctrico tiene magnitud E y E L = en cualquier lugar de las otras
cuatro caras. La carga total encerrada, incluida la carga de la placa del capacitor y la
carga inducida en la superfície del dieléctrico, es Q c „ c = (<r — a, )A, por lo que la ley
de Gauss da

EA

(o- - o-jA

(24.21)

Tal como està, esta ecuación no es muy esclarecedora porque relaciona dos cantidades
desconocidas: E dentro del dieléctrico y la densidad superficial de carga inducida a,.
Però ahora se puede usar la ecuación (24.16), desarrollada para esta misma situación,
con la finalidad de simplificar la ecuación eliminando a t . La ecuación (24.16) es

o\. = oi 1

K

o bien, <r — a, — —

Al combinarse con la ecuación (24.21) se obtiene

a-A

EA =

Ke n

o bien, KEA =

o-A

(24.22)

La ecuación (24.22) plantea que el flujo de KE, no E, a través de la superfície gaus-
siana, como en la figura 24.23, es igual a la carga libre encerrada <xA dividida entre e .

24.23 Ley de Gauss con un dieléctrico.
Esta figura presenta un acercamiento de la
placa izquierda del capacitor de la figura
24.15b. La superfície gaussiana es una
caja rectangular que tiene una mitad en el
conductor y la otra mitad en el dieléctrico.

E = E

Conductor

4

Dieléctrico

Vista lateral

4

o

4

~ a i

m

+ *-

Superfície
gaussiana

Con

Vista en
perspectiva

ductor

A

A/\

/ Dieléctrico

836

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

Resulta que, para cualquier superfície gaussiana, siempre que la carga inducida sea
proporcional al campo eléctrico en el material, la ley de Gauss puede expresarse como

KE-dA

2e„

(ley de Gauss en un dieléctrico)

(24.23)

donde Qenc-iftre es ia carga libre total (no la carga ligada) encerrada por la superfície
gaussiana. La importància de estos resultados es que las caras derechas solo contie-
nen la carga libre en el conductor, no la carga ligada (inducida). En realidad, aunque
no lo hemos demostrado, la ecuación (24.23) sigue siendo vàlida aun cuando dife-
rentes partes de la superfície gaussiana estén incrustadas en dieléctricos que tengan
valores distintos de K, siempre y cuando el valor de K en cada dieléctrico sea inde-
pendiente del campo eléctrico (que por lo general es el caso para los campos eléctri-
cos que no son demasiado intensos) y que se utilice el valor de K apropiado para
cada punto de la superfície gaussiana.

Ejemplo 24.12

Capacitor esférico con dieléctrico

En el capacitor esférico del ejemplo 24.3 (sección 24.1), el volumen
entre las corazas conductoras esféricas està lleno de un aceite aislante
cuya constante dieléctrica es igual a K. Use la ley de Gauss para en-
contrar la capacitancia.

EM3KI

IDENTIFICAR: En esencia, éste es el mismo problema que el del
ejemplo 24.3. La única diferencia es la presencia del dieléctrico.

PLANTEAR: Al igual que se hizo en el ejemplo 24.3, se utiliza una su-
perfície gaussiana esfèrica de radio r entre las dos esferas. Como hay
un dieléctrico, la ley de Gauss se emplea en la forma de la ecuación

(24.23).

EJECUTAR: La simetria esfèrica del problema no cambia por la pre-
sencia del dieléctrico, por lo que se tiene

VKE-dA = VKEdA = KeL•a = (KE) (4wr) = —

E =

Q

Q

4irKe„r 4ver

donde e = Ke es la permitividad del dieléctrico (presentada en la sec-
ción 24.4). En comparación con el caso en que hay vacío entre las
corazas conductoras, el campo eléctrico se reduce en un factor de l/K.
De igual forma, la diferencia de potencial V ab entre las corazas dismi-
nuye en un factor de l/K, con lo que la capacitancia C = Q/V„ b se
incrementa en un factor de K, al igual que para un capacitor de pla-
cas paralelas cuando se inserta un dieléctrico. Utilizando el resultado
para el caso con vacío, ejemplo 24.3, se encuentra que la capacitancia
con el dieléctrico es

C

47rKe íi r a r b 4irer a r b

EVALUAR: En este caso, el dieléctrico llena por completo el volumen
entre los dos conductores, por lo que la capacitancia es simplemente el
producto de K por el valor sin dieléctrico. El resultado es mas compli-
cado si el dieléctrico llena solo parcialmente este volumen (véase el
problema de desafio 24.76).

Evalúe su comprensión de la sección 24.6 Una carga puntual única q està
incrustada en un dieléctrico cuya constante dieléctrica es K. En cierto punto dentro del
dieléctrico a una distancia r de la carga puntual, (,cuàl es la magnitud del campo eléctrico?
i) qJATre a r 2 ; ii) Kq\\Ti£ a r 2 \ iii) ç/4-n'A r e r 2 ; iv) ninguna de las anteriores.

CAPÍTULO 24 RESUMEN

Capacitores y capacitancia: Un capacitar es todo par de
conductores separados por un material aislante. Cuando
el capacitar està cargado hay cargas de igual magnitud Q
y signo opuesto en los dos conductores, y el potencial V„ b
del conductor con carga positiva con respecto al que tiene
carga negativa es proporcional a Q. La capacitancia C se
define como la razón de Q a V„ b . La unidad del SI para
la capacitancia es el farad (F): 1 F = 1 C/V.

Un capacitar de placas paralelas consiste en dos placas
por una distancia d. Si estan separadas por vacío, la
capacitancia solo depende de A y d. Para otras geometrías,
la capacitancia se obtiene a partir de la definición
C = Q/V„ b . (Véanse los ejemplos 24.1 a 24.4.)

Q_

v llb

Q_

e V

Alambre

Placa £ï, àrea A

Diferencia

de potencial = V a f,

Placa b, àrea A

Capacitores en sèrie y en paralelo: Cuando se conectan
en sèrie capacitores con capacitancias C u C 2 , C 3 , . . . , el
recíproco de la capacitancia equivalente C eiq es igual a
la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales.
Cuando los capacitores se conectan en paralelo, la
capacitancia equivalente C„ es igual a la suma de
las capacitancias individuales. (Véanse los ejemplos
24.5 y 24.6.)

O.

1

c7

1

c,

1

(capacitores en sèrie)

C, + C,

c,

(capacitores en paralelo)

(24.5)

Tf'

+a±±

— Cl

T

v n

= V

' t

+en

— C, "íi" Vi

-e™

- 1

(24.7)

b

,

!' 1 1

v ' L T" T

b

+ (j + + + + + +

(24.9)

r

1
E

V

1

i

1

(24.11)

-o. -

Energia en un capacitor: La energia U que se requiere
para cargar un capacitor C a una diferencia de potencial V
y carga Q, es igual a la energia almacenada en el capacitor.
Esta energia se puede considerar como si residiera en el
campo eléctrico entre los conductores; la densidad de
energia u (energia por unidad de volumen) es proporcional
(Véanse los ejemplos 24.7 a 24.9.)

G 2

2C

2 °

-CV 2 = -QV

Dieléctricos: Cuando el espacio entre conductores està
ocupado por un material dieléctrico, la capacitancia se in-
crementa en un factor K, llamado constante dieléctrica del
del dieléctrico. Para una cantidad fija de carga en las
placas del capacitor, las cargas inducidas en la superfície
del dieléctrico disminuyen el campo eléctrico y la
diferencia de potencial entre las placas en el mismo
factor K. La carga superficial proviene de la polarización,
que es el reacomodo microscópico de la carga en el
dieléctrico. (Véase el ejemplo 24.10.)

Bajo la influencia de campos eléctricos suficientemente
intensos, los dieléctricos se vuelven conductores, una situa-
ción que se conoce como ruptura del dieléctrico. El campo
màximo que un material puede soportar sin sufrir ruptura
se llama rigidez dieléctrica.

En un dieléctrico la expresión para la densidad de
energia es la misma que en el vacío però sustituyendo e a
por e — Ke„. (Véase el ejemplo 24.11.)

La ley de Gauss en un dieléctrico tiene casi la misma
forma que en el vacío, con dos diferencias clave: E se
sustituye por KE y Q mc se sustituye por Q enc _ ]ibre , que
por la superfície gaussiana. (Véase el ejemplo 24.12.)

C = KC n

A A

Ke - = e-

d d

(capacitor de placas paralelas
con un dieléctrico)

1 , 1 ,
-Ke E 2 = -eE 2

2 ° 2

KE-dA

(24.19)

(24.20)

(24.23)

Dieléctrico entre las placas
~ V ~ °"í °"i I —

— (T: (Tí

837

838 CAPÍTULO 24 Capacitancia y dieléctricos

Términos clave

capacitor, 816

capacitancia, 816

capacitor de placas paralelas, 817

conexión en sèrie, 820

capacitancia equivalente, 821

conexión en paralelo, 821
dieléctrico, 828
ruptura del dieléctrico, 828
constante dieléctrica, 828
polarización, 829

rigidez dieléctrica, 833
carga libre, 834

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo .

La ecuación (24.9) indica que la energia almacenada en un capacitor
con capacitancia C y carga Q es U = Q 2 /2C. Si la carga Q se duplica,
la energia almacenada se incrementa en un factor de 2 2 = 4. Observe
que si el valor de Q es demasiado grande, la magnitud del campo eléc-
trico dentro del capacitor superarà la rigidez dieléctrica del material
entre las placas y ocurrirà la ruptura del dieléctrico (véase la sección
24.4). Esto íïja un límite practico a la cantidad de energia que puede
almacenarse.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

24.1 Respuesta: iii) La capacitancia no depende del valor de la car-
ga Q. La duplicación del valor de Q hace que la diferencia de poten-
cial V Ilb se duplique, por lo que la capacitancia C = Q/V ílh permanece
tria del capacitor.

24.2 Respuestas: a) i), b) iv) En una conexión en sèrie, los dos ca-
pacitores tienen la misma carga Q, però distintas diferencias de poten-
cial V ab = Q/C; el capacitor con la menor capacitancia C tiene la
mayor diferencia de potencial. En una conexión en paralelo, los dos
capacitores tienen la misma diferencia de potencial V ab , però distin-
tas cargas Q = CV„,,; el capacitor con la mayor capacitancia C tiene
la carga mas grande. Por lo tanto, un capacitor de 4 /aF tendra una
diferencia de potencial mas grande que otro capacitor de 8 /aF si los
dos estan conectados en sèrie. El capacitor de 4 tiF no puede tener
mas carga que el de 8 tiF sin importar cómo se conecten: en una cone-
xión en sèrie tendràn la misma carga, y en una conexión en paralelo el
capacitor de 8 /aF tendra mas carga.

24.3 Respuesta: i) Los capacitores conectados en sèrie tienen la mis-
ma carga Q. Para comparar la cantidad de energia almacenada se utili-

za la expresión U = Q 2 /2C de la ecuación (24.9); esto indica que el ca-
pacitor con la menor capacitancia (C — 4 ttF) tiene mas energia alma-
cenada en una combinación en sèrie. En contraste, los capacitores en
paralelo tienen la misma diferencia de potencial V, por lo que para
compararlos se emplea U = jCV 2 de la ecuación (24.9). Esto demues-
tra que en una combinación en paralelo, el capacitor con la capacitan-
cia mas grande (C = 8 /aF) tiene mas energia almacenada. (Si en vez
de lo anterior se hubiera usado U = |CV 2 para analizar la combina-
ción en sèrie, se habrían tenido que explicar las distintas diferencias
de potencial a través de los capacitores. En forma similar, el empleo de
U = Q 2 /2C para estudiar la combinación en paralelo requeriria que se
explicaran las diferentes cargas en los capacitores.)

24.4 Respuesta: i) Aquí, Q permanece sin cambio, por lo que se
emplea U = Q 2 /2C de la ecuación (24.9) para la energia almacenada.
Si se retira el dieléctrico la capacitancia se reduce en un factor de l/K;
como U es inversamente proporcional a C, la energia almacenada au-
menta en un factor de K. Se requiere trabajo para retirar el bloque die-
léctrico del capacitor porque la curvatura del campo trata de atraerlo de
regreso (figura 24.16). El trabajo que se hace pasa a la energia almace-

24.5 Respuestas: i), iii), ii) La ecuación (24.14) establece que si £
es la magnitud del campo eléctrico inicial (antes de insertar el dieléc-
trico), entonces la magnitud del campo resultante después de insertar
el dieléctrico es E /K = £ /3. La magnitud del campo resultante es
igual a la diferencia entre la magnitud del campo inicial y la magnitud
£i del campo debido a las cargas ligadas (véase la figura 24.21). Por lo
tanto, £„ — £; = £ /3 y E t = 2£ /3.

24.6 Respuesta: iii) La ecuación (24.23) muestra que esta situación
es la misma en una carga puntual aislada en el vacío però sustituyendo
E por KE. Así, KE en el punto de interès es igual a q/4ire a r 2 , y por eso
£ = q/4TrKe r 2 . Al igual que en el ejemplo 24.12, si se llena el espacio
con un dieléctrico, el campo eléctrico se reduce en un factor de Í/K.

PROBLEMAS

Para las tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com (MP,

Preguntas para anàlisis

P24.1. La ecuación (24.2) muestra que la capacitancia de un capacitor de
placas paralelas aumenta a medida que la separación d entre las placas
disminuye. Sin embargo, existe un límite practico en cuanto a qué tan
pequena puede ser d, lo que también impone un límite superior a la mag-
nitud de C Explique qué es lo que fija los limites para d. (Sugerencia:
piense en qué pasa con la magnitud del campo eléctrico cuando d — > 0.)
P24.2. Suponga que distintes capacitores de placas paralelas se cargan
con una fuente de voltaje constante. Pensando en el movimiento y la
posición reales de las cargas a nivel atómico, ^,por qué es razonable
que las capacitancias sean proporcionales a las àreas de las placas?
iVor qué es razonable que las capacitancias sean inversamente propor-
cionales a la distancia entre las placas?

P24.3. Suponga que las dos placas de un capacitor tienen diferentes
àreas. Cuando el capacitor se carga conectàndolo a una bateria, <,las
cargas en las dos placas tienen magnitud igual o diferente? Explique su
razonamiento.

P24.4. En el Fermi National Accelerator Laboratory (Fermilab), en
Illinois, los protones se aceleran en un anillo de 2 km de radio hasta al-
canzar una rapidez cercana a la de la luz. La energia para este proceso
se almacena en capacitores del tamafio de una casa. Cuando esos capa-
citores se estan cargando emiten un sonido muy intenso. (,Cuàl es el
origen de ese sonido?

P24.5. En el capacitor de placas paralelas de la figura 24.2, suponga
que las placas se separan de manera que la separación d es mucho ma-

Ejercicios 839

yor que el tamano de las placas. a) ^,Es exacta decir que el campo eléc-
trico entre las placas es uniforme? ;,Por qué? b) En la situación que se
ilustra en la figura 24.2, la diferencia de potencial entre las placas es
V„b = Qd/t(A- Si las placas se separan según la descripción anterior,
lV ab es mayor o menor de lo que indicaria esta fórmula? Explique su
razonamiento. c) Con las placas separadas de acuerdo con la descrip-
ción, (,1a capacitancia es mayor, menor o igual a la que da la ecuación
(24.2)? Explique su razonamiento.

P24.6. Un capacitor de placas paralelas se carga con una bateria y se
mantiene conectado a esta. Después se duplica la distancia de separa-
ción entre las placas. ;,Cómo cambian el campo eléctrico, la carga en
las placas y la energia total? Explique su razonamiento.
P24.7. Un capacitor de placas paralelas se carga conectàndolo a una
bateria y luego se desconecta de esta. Después se duplica la distancia
de separación entre las placas. ^Cómo cambian el campo eléctrico, la
diferencia de potencial y la energia total? Dé una explicación de su ra-
zonamiento.

P24.8. Dos capacitares de placas paralelas, idénticos, però con la ex-
cepción de que uno tiene el doble de separación entre sus placas que el
otro, se cargan mediante la misma fuente de voltaje. (,Cuàl capacitor
tiene el campo eléctrico mas intenso entre las placas? ^Cuàl capaci-
tor tiene mayor carga? ^Cuàl tiene mayor densidad de energia? Ex-
plique su razonamiento.

P24.9. Las placas con carga de un capacitor se atraen entre sí, por lo
que el hecho de separarlas requiere trabajo realizado por alguna fuente
externa. ^A dónde va la energia agregada por ese trabajo? Explique su
razonamiento.

P24.10. Las dos placas de un capacitor reciben cargas ±Q. Después se
desconecta el capacitor del dispositivo de carga de manera que las car-
gas en las placas no cambien, y el capacitor se sumerge en un tanque
de aceite. El campo eléctrico entre las placas, ;,aumenta, disminuye o
permanece igual? Explique su razonamiento. ;,Cómo podria medirse el
campo?

P24.il. Como se aprecia en la tabla 24.1, el agua tiene una constante
dieléctrica muy grande, K = 80.4. ^.Por qué piensa que no es común
utilizar agua como dieléctrico en los capacitores?
P24.12. iLa rigidez dieléctrica es lo mismo que la constante dieléctri-
ca? Explique cualesquiera diferencias entre las dos cantidades. ^Existe
alguna relación sencilla entre la rigidez dieléctrica y la constante die-
léctrica? (Consulte la tabla 24.2.)

P24.13. Un capacitor construido con tiras de aluminio separadas por
una película de Mylar estuvo sometido a un voltaje excesivo, y la rup-
tura resultante del dieléctrico perforo agujeros en el Mylar. Después de
esto, se observo que la capacitancia era aproximadamente la misma
que antes, però el voltaje de ruptura era mucho menor, ipor qué?
P24.14. Suponga que usted acerca un bloque dieléctrico al espacio en-
tre las placas de un capacitor con carga y se prepara para introducirlo
entre ellas. ^Qué fuerza sentiria? ^Qué le dice esta fuerza acerca de la
energia almacenada entre las placas una vez que el dieléctrico esté en
su lugar, en relación con el momento en que no lo estaba?
P24.15. La frescura del pescado se puede medir si se coloca un ejem-
plar entre las placas de un capacitor y se mide la capacitancia. ^Cómo
funciona esto? (Sugerencia: considere que el pescado se seca confor-
me pasa el tiempo. Consulte la tabla 24.1.)

P24.16. Los capacitores electrolíücos usan como dieléctrico una capa
muy delgada de oxido no conductor entre una placa metàlica y una so-
lución conductora. Analice la ventaja de esa clase de capacitores en
relación con los que se construyen colocando un dieléctrico solido en-
tre las placas metàlicas.

P24.17. En términos de la constante dieléctrica K, iqué sucede con el
flujo eléctrico a través de la superfície gaussiana que se ilustra en la fi-
gura 24.23, cuando se inserta el dieléctrico en el espacio antes vacío
entre las placas? Explique su respuesta.

P24.18. Un capacitor de placas paralelas està conectado a una fuente
de energia que mantiene una diferencia de potencial fíja entre las pla-
cas. d) Si luego se coloca una làmina de dieléctrico entre las placas,
iqué sucede con i) el campo eléctrico entre las placas, ii) la magnitud
de la carga entre cada placa y iii) la energia almacenada en el capaci-
tor? b) Ahora suponga que antes de insertar el dieléctrico se desconec-
ta el capacitor con carga de la fuente de energia. En este caso, iqué
pasa con i) el campo eléctrico entre las placas, ii) la magnitud de la
carga en cada placa, iii) la energia almacenada en el capacitor? Ex-
plique cualquier diferencia que exista entre las dos situaciones.
P24.19. Los dieléctricos líquidos que tienen moléculas polares (como
el agua) siempre tienen constantes dieléctricas que disminuyen al au-
mentar la temperatura. ^Por qué?

P24.20. Un conductor es un caso extremo de dieléctrico ya que, si se le
aplica un campo eléctrico, las cargas tienen libertad para moverse den-
tro del conductor para establecer "cargas inducidas". (,Cuàl es la cons-
tante dieléctrica de un conductor perfecta: K = 0, K — > °°, o algun
valor intermedio? Explique su razonamiento.

Ejercicios

Sección 24.1 Capacitores y capacitancia

24.1. Un capacitor tiene una capacitancia de 7.28 tiF. ^Qué cantidad de
carga debe colocarse en cada una de sus placas para que la diferencia
de potencial entre ellas sea de 25.0 V?

24.2. Las placas de un capacitor de placas paralelas estan separadas
por una distancia de 3.28 mm, y cada una tiene un àrea de 12.2 cm 2 .
Cada placa tiene una carga con magnitud de 4.35 X 10~ 8 C. Las placas
estan en el vacío. a) ^Cuàl es la capacitancia? b) ;,Cuàl es la diferencia
de potencial entre las placas? c) ^Cuàl es la magnitud del campo eléc-
trico entre las placas?

24.3. Un capacitor de placas paralelas de aire y capacitancia de 245 pF
tiene una carga con magnitud de 0.148 /aC en cada placa. Las placas
estan separadas por una distancia de 0.328 mm. a) iCu&\ es la diferen-
cia de potencial entre las placas? b) ^Cuàl es el àrea de cada placa?
c) (,Cuàl es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? d) ^Cuàl

24.4. Capacitancia de un osciloscopio. Los osciloscopios tienen
placas metàlicas paralelas en su interior para que desvien el haz de
electrones. Estàs placas se llaman placas de desviación, y es común
vacío entre ellas. ^Citàl es la capacitancia de estàs placas de desviación
y, por lo tanto, del osciloscopio? (Nota: esta capacitancia en ocasiones
tiene un efecto en el circuito en estudio y debe tomarse en cuenta al
efectuar los càlculos.)

24.5. Un capacitor de placas paralelas de 10.0 tiF con placas circula-
res està conectado a una bateria de 12.0 V. a) ^Cuàl es la carga en cada
placa? b) ^Cuànta carga habría en las placas si se duplicarà la separa-
ción y el capacitor permaneciera conectado a la bateria? c) ;,Cuànta
carga habría en las placas si el capacitor se conectara a la bateria de
12.0 V después de duplicar el radio de cada placa sin modificar su se-
paración?

24.6. Un capacitor de placas paralelas de 10.0 /xF està conectado a
una bateria de 12.0 V. Después de que el capacitor se carga por com-
pleto, la bateria se desconecta sin que haya pérdida de carga en las
placas. a) Se conecta un voltímetro a través de las dos placas sin des-
cargarlas. ^Cuàl es su lectura? b) ^.Cuàl seria la lectura del voltímetro
si i) la separación de las placas se duplica; ii) el radio de cada placa
se duplica, però la separación entre ellas permanece igual?

24.7. (,Cuàl debe ser la separación entre dos monedas de un centavo
de dòlar colocadas en forma paralela para constituir un capacitor de
1.00 pF? ;,Su respuesta sugiere que se justifica tratar las monedas co-
mo làminas infinitas? Explique su respuesta.

840

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

24.8. Un capacitor lleno de aire, con placas circulares paralelas de
5.00 pF, va a usarse en un circuito en el que estarà sometido a poten-
ciales de hasta 1.00 X 10 2 V. El campo eléctrico entre las placas no
va a ser mayor de 1.00 X 10 4 N/C. Suponga que, como ingeniero
eléctrico en ciernes de Live-Wire Electronics, se le asignan las si-
guientes tareas: a) disene el capacitor determinando las dimensiones
físicas y la separación que debe tener; b) determine la carga màxima
que pueden tener sus placas.

24.9. Un capacitor està construido con dos cilindros coaxiales de hie-
rro, huecos, uno dentro del otro. El cilindro interior tiene carga negati-
va y el exterior tiene carga positiva; la magnitud de la carga en cada
uno es 10.0 pC. El cilindro interior tiene un radio de 0.50 mm y el
exterior de 5.00 mm, y la longitud de cada cilindro es de 18.0 cm.
d) iCuàl es la capacitancia? b) iQué diferencia de potencial es nece-
sario aplicar para tener tales cargas en los cilindros?

24.10. Un capacitor cilíndrico consiste en un núcleo solido conductor
con radio de 0.250 cm, coaxial con un tubo conductor exterior hueco.
Los dos conductores estan rodeados por aire, y la longitud del cilindro
es de 12.0 cm. La capacitancia es de 36.7 pF. a) Calcule el radio inte-
rior del tubo hueco. b) Cuando el capacitor està cargado a 125 V, (,cuàl
es la carga por unidad de longitud A del capacitor?

24.11. Un capacitor cilíndrico tiene un conductor interno de 1.5 mm de
radio y un conductor externo de 3.5 mm de radio. Los dos conductores
estan separados por vacío, y el capacitor completo mide 2.8 m de lar-
go. a) iCaéX es la capacitancia por unidad de longitud? b) El potencial
del conductor interno es 350 mV mayor que el del conductor externo.
Determine la carga (magnitud y signo) en ambos conductores.

24.12. Un capacitor esférico està formado por dos corazas concéntri-
cas, esféricas y conductoras, separadas por vacío. La esfera interior
tiene un radio de 15.0 cm y la capacitancia es de 116 pF. a) ^.Cuàl es
el radio de la esfera exterior? b) Si la diferencia de potencial entre
las dos esferas es de 220 V, (,cuàl es la magnitud de la carga en cada
esfera?

24.13. Un capacitor esférico contiene una carga de 3.30 nC cuando
està conectado a una diferencia de potencial de 220 V. Si sus placas
estan separadas por vacío y el radio interno de la coraza exterior es
de 4.00 cm, calcule: a) la capacitancia; b) el radio de la esfera inte-
rior; c) el campo eléctrico inmediatamente afuera de la superfície de
la esfera interior.

Sección 24.2 Capacitores en sèrie y en paralelo

24.14. Para el sistema de capacitores que se aprecia en la figura 24.24,
calcule la capacitancia equivalente d) entre b y c, y b) entre ay c.

Figura 24.24 Ejercicio 24.14.

9.0 pF :

:i5pF

:llpF

Figura 24.25 Ejercicio 24.15.

Ci c 2

HHh

c

24.15. En la figura 24.25, cada ca-
pacitor tiene C = 4.00 /aF y V ílh =
+28.0 V. Calcule a) la carga en
cada capacitor; b) la diferencia de
potencial a través de cada capaci-
tor; c) la diferencia de potencial
entre los puntos ay d.

24.16. En la figura 24.8a, sean Ci =
3.00 /iF, C 2 = 5.00/aF y V„,, =
+52.0 V. Calcule d) la carga en ca-
da capacitor, y b) la diferencia de
potencial a través de cada capacitor.

24.17. En la figura 24.9a, sean C, =

3.00 /aF, C 2 = 5.00 /aF y V„ h = +52.0 V. Calcule a) la carga en cada
capacitor y b) la diferencia de potencial a través de cada capacitor.

Figura 24.26 Ejercicios
24.18 y 24.19.

Hh

c 2

HH

c,

24.18. En la figura 24.26, C, =
6.00 /aF, C 2 = 3.00 /aF y C, =
5.00 /aF. La red de capacitores
aplicado V„,,. Después de que las
cargas en los capacitores han
la carga en C 2 es de 40.0 /aC.
d) iCuàles son las cargas en los
capacitores C x y C,? b) ^Cuàl es
el voltaje aplicado V ni ?

24.19. En la figura 24.26, C, =
3.00 /aF y V,,,, = 120 V. La carga
en el capacitor C] es 150 /aC. Calcule el voltaje a través de los otros
dos capacitores.

24.20. Dos capacitores de placas paralelas al vacío tienen separaciones
d, y d 2 entre sus placas; las àreas A de las placas son iguales. Demues-
tre que cuando los capacitores estan conectados en sèrie, la capacitan-
cia equivalente es la misma que para un solo capacitor con àrea de
placas A y distancia de separación í/, + d 2 .

24.21. Dos capacitores al vacío entre placas paralelas tienen àreas Ai y
A 2 , con igual distancia de separación d. Demuestre que cuando los ca-
pacitores estan conectados en paralelo, la capacitancia equivalente es
la misma que para un solo capacitor con àrea de placa A, + A 2 y dis-
tancia de separación d.

Figura 24.27 Ejercicio 24.22.
5.0 /aF

10.0 /aF

9.0 /aF

0/aF

24.22. En la figura 24.27 se llus-
tra un sistema de cuatro capaci-
tores, donde la diferencia de
potencial a través de ab es 50.0 V.
a) Determine la capacitancia
equivalente de este sistema entre
ay b.b) ^Cuànta carga se alma-
cena en esta combinación de ca-
pacitores? c) iCuànta carga se
almacena en cada uno de los ca-
pacitores de 10.0 /aF y 9.0 /aF?

24.23. Suponga que el capacitor de 3 /aF en la figura 24.10a se retirarà
para sustituirse por otro diferente, y que esto cambiara la capacitan-
cia equivalente entre los puntos a y b a 8 /aF. ^Cuàl seria la capaci-

Sección 24.3 Almacenamiento de energia en capacitores
y energia del campo eléctrico

24.24. Un capacitor de placas paralelas separadas por aire tiene una
capacitancia de 920 pF. La carga en cada placa es de 2.55 /aC. a) ^.Cuàl
es la diferencia de potencial entre las placas? b) Si la carga se mantiene
constante, ^cuàl serà la diferencia de potencial entre las placas, si la
separación se duplica? c) ^Cuànto trabajo se requiere para duplicar
la separación?

Ejercicios 841

24.25. Un capacitar de placas paralelas separadas por aire, de 5.80 /aF,
tiene una separación de 5.00 mm y està cargado a una diferencia de
potencial de 400 V. Calcule la densidad de energia en la región com-
prendida entre las placas, en unidades de J/m 1 .

24.26. Un capacitor con aire està hecho de dos placas paralelas
planas con una separación de 1.50 mm. La magnitud de la carga en
cada placa es de 0.0180 /aC, cuando la diferencia de potencial es de
200 V. a) ^Cuàl es la capacitancia? b) ^Cuàl es el àrea de cada placa?

c) ;,Cuàl es el voltaje màximo que puede aplicarse sin que haya rup-
tura del dieléctrico? (En el caso del aire, la ruptura del dieléctrico
ocurre con una intensidad de campo eléctrico de 3.0 X 10 6 V/m.)

d) Cuando la carga es de 0.0180 /aC, ^.cuàl es la energia total alma-

24.27. Un capacitor de 450 /aF se carga a 295 V. Después se conecta
un alambre entre las placas. ^.Cuàntos joules de energia tèrmica se pro-
ducen conforme se descarga el capacitor, si toda la energia almacenada
se convierte en calor en el alambre?

24.28. Un capacitor de capacitancia C se carga a una diferencia de
potencial V a . Después, las terminales del capacitor con carga se co-
nectan a las de un capacitor sin carga de capacitancia C/2. Calcule
a) la carga original del sistema; b) la diferencia de potencial final
a través de cada capacitor; c) la energia final del sistema; d) la dismi-
nución de energia cuando se conectan los capacitares, e) ^A dónde
fue la energia "perdida"?

24.29. Un capacitor tiene placas paralelas con vacío entre ellas, con
àrea de placa igual a/1, una separación x, y cargas +Q y — Q en cada
una. El capacitor se desconecta de la fuente de carga, por lo que la
carga en cada placa permanece fija. a) ^.Cuàl es la energia total alma-
cenada en el capacitor? b) Se separan las placas una distancia adicio-
nal dx. ^Cuàl es el cambio en la energia almacenada? c) Si F es la
fuerza con la que las placas se atraen entre sí, entonces el cambio en
la energia almacenada debe ser igual al trabajo dW = Fdx realizado
para separar las placas. Encuentre una expresión para F. d) Explique
por qué F no es igual a QE, donde E es el campo eléctrico entre las
placas.

24.30. Un capacitor de placas paralelas con vacío entre ellas tiene
8.38 J de energia almacenada. La separación entre las placas es de
2.30 mm. Si la separación disminuye a 1.15 mm, ^,cuàl es la energia
almacenada a) si el capacitor se desconecta de la fuente de potencial
de manera que la carga en las placas permanece constante, y b) si el
capacitor sigue conectado a la fuente de potencial de manera que la
diferencia de potencial entre las placas permanece constante?

24.31. a) ^Cuànta carga tiene que suministrar una bateria a un capaci-
tor de 5.0 /aF para crear una diferencia de potencial de 1.5 V a través
de sus placas? En este caso, ^.cuànta energia estaria almacenada en el
capacitor? b) ^Cuànta carga tendría que suministrar la bateria para que
en el capacitor se almacenara 1 .0 J de energia? En este caso, (,cuàl se-
ría el potencial a través del capa- Fjgura 24 2g Ejercicio 24.32.
citar?

24.32. Para la red de capacitares 150 nF 120 nF

que se ilustra en la figura 24.28, „„ 1 1 1 1 _,,

1 1 1 1 *

la diferencia de potencial a tra-
vés de ab es de 36 V. Encuentre

a) la carga total almacenada en esta red; b) la carga en cada capaci-
tar; c) la energia total almacenada en la red; d) la energia almacena-
da en cada capacitor; e) la diferencia de potencial a través de cada

capacitor.

24.33. Para la red de capacitores
que se ilustra en la figura 24.29,
la diferencia de potencial a tra-
vés de ab es 220 V. Calcule a) la
carga total almacenada en la red;

b) la carga en cada capacitor;

c) la energia total almacenada en

Figura 24.29 Ejercicio 24.33.
35 nF

75 nF

la red; d) la energia almacenada en cada capacitor; e) la diferencia de
potencial a través de cada capacitor.

24.34. Un capacitor cilíndrico de 0.350 m de longitud consiste en
un núcleo conductor solido de 1.20 mm de radio, y un tubo exterior
conductor hueco con radio interior de 2.00 mm. Los dos conducto-
res coaxiales estan separados por aire y se cargan a una diferencia
de potencial de 6.00 V. Calcule a) la carga por unidad de longitud
para el capacitor; b) la carga total en el capacitor; c) la capacitancia;
completo.

24.35. Un capacitor cilíndrico de aire tiene una longitud de 15.0 m y
almacena 3.20 X 10~' J de energia cuando la diferencia de potencial
entre los dos conductores es de 4.00 V. a) Calcule la magnitud de la
carga en cada conductor, b) Calcule la razón de los ràdios interior y
exterior de los conductores.

24.36. Un capacitor està formado por dos corazas conductoras concén-
tricas esféricas separadas por vacío. La esfera interior tiene un radio de
12.5 cm, y la exterior tiene un radio de 14.8 cm. Se aplica al capacitor
una diferencia de potencial de 120 V. a) ^Cuàl es la densidad de ener-
gia en r = 12.6 cm, inmediatamente afuera de la esfera interior?
b) (,Cuàl es la densidad de energia en r = 14.7 cm, inmediatamente
adentro de la esfera exterior? c) Para un capacitor de placas paralelas
la densidad de energia es uniforme en la región entre las placas, excep-
te cerca de los bordes de éstas. iEsto también se cumple para un capa-
citor esférico?

24.37. Se tienen dos capacitores idénticos y una fuente externa de po-
tencial, a) Compare la energia total almacenada en los capacitores
cuando se conectan en sèrie y en paralelo al potencial aplicado.

c) El almacenamiento de energia en un capacitor està limitado por
el màximo campo eléctrico entre las placas. iCuàl es la razón del cam-
po eléctrico para las combinaciones en sèrie y paralelo?

Sección 24.4 Dieléctricos

24.38. Un capacitor de placas paralelas tiene capacitancia C =
5.00 pF cuando hay aire entre sus placas. La separación entre las
placas es de 1.50 mm. a) <,Cuàl es la magnitud màxima de carga Q
que puede colocarse en cada placa si el campo eléctrico entre ellas
no debe exceder 3.00 X 10 4 V/m? b) Se inserta un dieléctrico con
K = 2.70 entre las placas del capacitor, llenando por completo el
volumen entre ellas. Ahora, ^cuàl es la magnitud màxima de carga
en cada placa si el campo eléctrico entre ellas no debe exceder
3.00 X 10 4 V/m?

24.39. Dos placas paralelas tienen cargas iguales de signo contrario.
Cuando se evacua el espacio entre las placas, el campo eléctrico es
E = 3.20 X 10 5 V/m. Cuando el espacio se llena con un dieléctrico, el
campo eléctrico es E = 2.50 X 10 5 V/m. a) ^Cuàl es la densidad de
carga en cada superfície del dieléctrico? b) ^Cuàl es la constante die-
léctrica?

24.40. Un aficionado a la electrònica quiere construir un capacitor sen-
cillo de 1.0 nF para sintonizar su radio de cristal, con dos làminas de
aluminio como placas y algunas hojas de papel entre ellas como die-
léctrico. El papel tiene una constante dieléctrica de 3.0, y el espesor de
una hoja es de 0.20 mm. a) Si las hojas de papel miden 22 X 28 cm y
el aficionado corta el aluminio con las mismas dimensiones, ^cuàntas
hojas de papel debe poner entre las placas para lograr la capacitancia
apropiada? b) Suponga que, por conveniència, él quiere utilizar, en vez
de papel, una sola hoja de cartón con la misma constante dieléctrica
però con espesor de 12.0 mm. ;,Qué àrea de hoja de aluminio necesita-
rà para hacer sus placas y obtener 1.0 nF de capacitancia? c) Suponga
que recurre a la alta tecnologia y encuentra una hoja de teflón del mis-
mo espesor que el del cartón para utilizarla como dieléctrico. ^Necesi-
tarà una àrea màs grande o màs pequena de teflón en comparación con
la de cartón? Explique su respuesta.

842

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

24.41. El dieléctrico que ha de usarse en un capacitar de placas parale-
las tiene una constante dieléctrica de 3.60 y rigidez dieléctrica de 1.60
X 10 7 V/m. El capacitar debe tener una capacitancia de 1.25 X 10~ 9 F
y debe soportar una diferencia de potencial màxima de 5500 V. ^Cuàl
es el àrea mínima que deben tener las placas del capacitar?

24.42. Demuestre que la ecuación (24.20) se cumple para un capacitar
de placas paralelas con un material dieléctrico entre ellas. Use un pro-
cedimiento anàlogo al que se empleó para obtener la ecuación (24. 11).

24.43. Un capacitor tiene placas paralelas con un àrea de 12 cm 2 sepa-
radas por una distancia de 2.0 mm. El espacio entre las placas està
lleno de poliestireno (consulte la tabla 24.2). a) Determine la permiti-
vidad del poliestireno. b) Calcule el voltaje màximo permisible a tra-
vés del capacitor para evitar la ruptura del dieléctrico. c) Con el voltaje
igual al valor obtenido en el inciso b), determine la densidad superfi-
cial de carga en cada placa y la densidad superficial de carga inducida
en la superfície del dieléctrico.

24.44. Se mantiene una diferencia de potencial constante de 12 V entre
las terminales de un capacitor de 0.25 /j,F de placas paralelas con aire
entre ellas. a) Se inserta una làmina de Mylar entre las placas de mane-
ra que llene por completo el espacio. Cuando se hace esto, ^.cuànta car-
ga adicional fluye hacia la placa positiva del capacitor (consulte la
tabla 24.1)? b) iCuàl es la carga total inducida en cada cara de la làmi-
na de Mylar? c) iQué efecto tiene la làmina de Mylar en el campo
eléctrico entre las placas? Explique cómo se puede conciliar este hecho
con el incremento de la carga en las placas, el cual actua para alimen-
tar el campo eléctrico.

24.45. Cuando se conecta un capacitor con aire de 360 nF (1 nF =
10~ 9 F) a una fuente de potencia, la energia almacenada en el capacitor
es de 1.85 X 10~ 5 J. Mientras el capacitor se mantiene conectado a la
fuente de potencia, se inserta un trozo de material dieléctrico que llena
por completo el espacio entre las placas. Esto incrementa la energia al-
macenada en 2.32 X 10~ 5 J. a) ^Cuàl es la diferencia de potencial en-
tre las placas del capacitor? b) ;,Cuàl es la constante dieléctrica del
trozo de material?

24.46. Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de
C = 12.5 pF cuando el volumen entre las placas està lleno de aire.
Las placas son circulares con radio de 3.00 cm. El capacitor està
conectado a una bateria y una carga de magnitud 25.0 pC va hacia
cada placa. Con el capacitor aún conectado a la bateria, se inserta un
bloque de dieléctrico entre las placas llenando por completo el espa-
cio entre ellas. Después de insertar el dieléctrico, la carga en cada
placa tiene una magnitud de 45.0 pC. a) (,Cuàl es la constante dieléc-
trica K del dieléctrico? b) (,Cuàl es la diferencia de potencial entre
las placas antes y después de haber insertado el dieléctrico? c) ^Cuàl
es el campo eléctrico en el punto medio entre las placas antes y des-
pués de insertar el dieléctrico?

24.47. Se conecta un capacitor de 12.5 /j,F a una fuente de potencia que
mantiene una diferencia de potencial constante de 24.0 V a través de
las placas. Entre las placas se coloca un trozo de material cuya cons-
tante dieléctrica es de 3.75 llenando por completo el espacio que hay
entre ellas. a) ^.Cuànta energia hay almacenada en el capacitor antes y
después de insertar el dieléctrico? b) ^En cuànto cambia la energia du-
rante la inserción? ^Aumenta o disminuye?

*Sección 24.6 La ley de Gauss en los dieléctricos

*24.48. Las placas paralelas de un capacitor tienen un àrea de
0.0225 nr y estan separadas por 1.00 mm de teflón. a) Calcule la
carga en las placas cuando estan cargadas a una diferencia de poten-
cial de 12.0 V. b) Use la ley de Gauss (ecuación 24.23) para calcular
el campo eléctrico dentro del teflón. c) Aplique la ley de Gauss para
determinar el campo eléctrico si se desconecta la fuente de voltaje y
se retira el teflón.

*24.49. El volumen entre las placas paralelas de un capacitor està lle-
no de plàstico cuya constante dieléctrica es K. La magnitud de la carga
en cada placa es Q. Cada placa tiene àrea A, con una distancia d entre

ambas. a) Utilice la ley de Gauss como se plantea en la ecuación
(24.23) para calcular la magnitud del campo eléctrico en el dieléctrico.
b) Use el campo eléctrico obtenido en el inciso a) para calcular la di-
ferencia de potencial entre las dos placas. c) Con el resultado del in-
ciso b), determine la capacitancia del capacitor. Compare su resultado
con la ecuación (24.12).

Problemas

24.50. Las placas paralelas de un capacitor con aire miden 16 cm cua-
drados de superfície, con una separación de 4.7 mm. El capacitor se
conecta a una bateria de 12 V. a) ^Cuàl es la capacitancia? b) ^Cuàl es
la carga en cada placa? c) ;,Cuàl es el campo eléctrico entre las placas?
d) ^Cuàl es la energia almacenada en el capacitor? e) Si la bateria se
desconecta y luego se separan las placas hasta estar a 9.4 mm, ^cuàles
son las respuestas para los incisos a) a d)l

24.51. Suponga que la bateria del problema 24.50 permanece conecta-
da mientras se separan las placas. ^Cuàles son las respuestas para los
incisos a) a d) después de haber separado las placas?

24.52. Membranas celulares. Las membranas de las células (la pa-
red que las rodea) normalmente tienen un espesor de 7.5 nm. Son par-
cialmente permeables para permitir que material con carga entre y
salga, según sea necesario. En las caras interior y exterior de las mem-
branas hay densidades de carga iguales però de signo contrario, para
impedir que cargas adicionales crucen la pared celular. Se puede mo-
delar la membrana celular como un

capacitor de placas paralelas, con la Figura 24.30
membrana que contiene proteínas in- Problema 24.52.
crustada en un material orgànico que -, 5 nm
le da una constante dieléctrica alrede- Exterior del axón

dor de 10. (Véase la figura 24.30.) + V + + + + + + + +
a) ^Cuàl es la capacitancia por cen- Membrana del axón

celular? b) En su estado de reposo
normal una célula tiene una diferen-
cia de potencial de 85 mV a través de su membrana. ^Cuàl es el campo
eléctrico dentro de ella?

24.53. Las unidades de flash electrónicas de las càmaras fotogràficas
contienen un capacitor que almacena energia para producir el destello.
En una de tales unidades, el destello dura jyjs, con salida media de po-
tencia luminosa de 2.70 X 10 5 W. a) Si la conversión de energia elèc-
trica en luz tiene una eficiència del 95% (el resto se convierte en
energia tèrmica), ^cuànta energia debe almacenarse en el capacitor pa-
ra obtener un destello? b) El capacitor tiene una diferencia de potencial
entre sus placas de 125 V, cuando la energia almacenada es igual al va-
lor calculado en el inciso a). ^Cuàl es la capacitancia?

pequena placa metàlica que funciona como una de las placas de un
capacitor de placas paralelas relleno de aire. Cuando se oprime la te-
cla, la separación de las placas disminuye y la capacitancia aumenta.
Los circuitos electrónicos detectan el cambio de la capacitancia y
con ello la tecla que se oprimió. En un teclado en particular, el àrea
de cada placa metàlica es de 42.0 mm 2 , y la separación entre las pla-
cas es de 0.700 mm antes de oprimir la tecla, a) Calcule la capacitan-
cia antes de oprimir la tecla, b) Si los circuitos son capaces de
detectar un cambio en la capacitancia de 0.250 pF, l^wé distancia
hay que oprimir la tecla para que los circuitos detecten que la tecla
se oprimió?

24.55. Considere un capacitor cilíndrico como el que se ilustra en la fi-
gura 24.6. Sea d = r b — i\, la distancia entre los conductores interior y
exterior, a) Los ràdios de ambos conductores son solo un poco diferen-
tes, de manera que d <K r a . Demuestre que el resultado obtenido en el
ejemplo 24.4 (sección 24.1) para la capacitancia de un capacitor cilín-
drico se reduce a la ecuación (24.2), que es la ecuación de la capacitan-

Problemas

843

eia de un capacitor de placas paralelas, con àrea A como superfície de
cada cilindro. Use el resultado de que In ( 1 + z) — z para \z\ <K 1 .
b) Aunque la Tierra es esencialmente esfèrica, su superfície parece pla-
na porque su radio es muy grande. Utilice esta idea para explicar por
qué es razonable el resultado del inciso d) desde un punto de vista pu-
ramente geométrico.

24.56. En la figura 24.9a, sean C, = 9.0 /jF, Ç, = 4.0 fiF y V llb = 28 V.
Suponga que los capacitores con carga se desconectan de la fuente
y uno del otro, para luego reconectarlos entre sí con placas de signo
contrario. ;,En cuànto disminuye la energia del sistema?

24.57. Para la red de capacitores que se ilustra en la figura 24.31, la di-
ferencia de potencial a través de ab es de 12.0 V. Calcule a) la energia
total almacenada en la red, y b) la energia almacenada en el capacitor
de 4.80 /íF.

Figura 24.31 Problema 24.57.

6.20 ,uF 11.8 /xF

.80 N /

M F

3.50 /íF

24.58. Se dispone de varios capacitores de 0.25 juF. El voltaje a través
de cada uno no debe exceder de 600 V. Se necesita construir un capaci-
tor con capacitancia de 0.25 /uF para conectarlo a través de una dife-
rencia de potencial de 960 V. a) En un diagrama, muestre la manera
b) Ningún dieléctrico es un aislante perfecto que impida por completo
el flujo de carga a través de su volumen. Suponga que el dieléctrico en
uno de los capacitores en el diagrama es un conductor moderadamente
bueno. En este caso, iqué ocurrirà cuando la combinación de capacito-
res se conecte a través de una diferencia de potencial de 960 V?

24.59. En la figura 24.32, C, = C, = 8.4 nFyC, = C,= C 4 = 4.2 /iF.
El potencial aplicado es V ab = 220 V. a) ;,Cuàl es la capacitancia equi-
valente de la red entre los puntos a y 6? b) Calcule la carga y la dife-
rencia de potencial en cada capacitor.

Figura 24.32 Problema 24.59. Figura 24.33 Problema 24.60.
C, C 3

3.00 ,uF 6.00 /iF

6.00 fiF 3.00 /iF

24.60. Los capacitores en la figura 24.33 se encuentran inicialmente
sin carga y estan conectados, como se ilustra en el diagrama, con el in-
terruptor S abierto. La diferencia de potencial aplicada es V ab = +210 V.
a) ^Cuàl es la diferencia de potencial V„,? b) iCuü es la diferencia de
potencial a través de cada capacitor una vez cerrado el interruptor 57
c) ^Cuànta carga fluyó a través del interruptor cuando se cerró?

24.61. Tres capacitores con capacitancias de 8.4, 8.4 y 4.2 /xF estan
conectados en sèrie a través de una diferencia de potencial de 36 V.
a) ^Cuàl es la carga en el capacitor de 4.2 /xF? b) iCual es la energia
total almacenada en los tres capacitores? c) Los capacitores se desco-
nectan de la diferencia de potencial sin permitir que se descarguen.

Después se vuelven a conectar en paralelo entre sí, con las placas con
carga positiva conectadas. ^Cuàl es el voltaje a través de cada capa-
citor en la combinación en paralelo? d) ^Cuàl es la energia total que
ahora està almacenada en los capacitores?

24.62. Capacitancia en una nube de tormenta. El centro de carga
de una nube de tormenta, que se encuentra a 3.0 km sobre la superfí-
cie terrestre, contiene 20 C de carga negativa. Si se supone que el
centro de carga tiene un radio de 1 .0 km, y el centro de carga y la su-
perfície de la Tierra se modelan como placas paralelas, calcule: a) la
capacitancia del sistema; b) la diferencia de potencial entre el centro
de carga y la superfície terrestre; c) la intensidad media del campo
eléctrico entre la nube y la superfície terrestre; d) la energia elèctri-

Figura 24.34 Problema 24.63.

TT1

, -L- c\ d= r,-L-

X

J

c, c, c,

Figura 24.35 Problema 24.64.
a)

io.oI^I

1.30

0\S

T D

EP

ísposi-
tivo de

NClKll

b)

=}= 10.0 /íF
: 20.0 fiF
=1= 30.0 fiF

24.61. En la figura 24.34, cada ca-
pacitancia C, es de 6.9 /íF, y cada
capacitancia C 2 es de 4.6 fiF.
a) Calcule la capacitancia equiva-
lente de la red entre los puntos a
y b. b) Determine la carga en ca-
da uno de los tres capacitores
mas cercanos aay/j cuando V ab =
420 V. c) Con 420 V a través de
a y b, calcule V cd .

pacitores entre los puntos a y b
en la figura 24.35 se conecta pri-
mera a través de una bateria de
120 V, para cargar la combina-
ción a 120 V. Después, estàs
combinaciones se conectan para
formar el circuito que se ilustra.
Cuando se acciona el interruptor S,
fluye una oleada de carga desde
los capacitores que se descargan,
la cual activa el dispositivo de
senal. (,Cuànta carga fluye a tra-
vés del dispositivo de senal?

24.65. Un capacitor de placas
paralelas que tiene solo aire entre
las placas se carga conectàndolo
a una bateria. Luego se desco-
necta el capacitor de la bateria
sin que ninguna carga salga de

las placas. a) Cuando se coloca a través del capacitor, un voltímetro da
una lectura de 45.0 V. Al insertar un dieléctrico entre las placas llenan-
do por completo el espacio entre ellas, el voltímetro lee 1 1 .5 V. ^Cuàl
es la constante dieléctrica de este material? b) ^Cuàl serà la lectura del
voltímetro si se retira parte del dieléctrico de manera que solo ocupe la
tercera parte del espacio entre las placas?

24.66. Un capacitor con aire està cons-
truido con dos placas planas, cada una
con àrea A, separadas una distancia d.
Después se inserta entre ellas un bloque
metàlico con espesor a (menor que d) y
de la misma forma y tamano que las pla-
cas, paralelo a éstas y sin tocarlas (figura
24.36). a) ^Cuàl es la capacitancia de es-
te arreglo? b) Exprese la capacitancia co-
mo un múltiplo de la capacitancia C cuando el bloque de metal no
està presente. c) Analice lo que pasa con la capacitancia en los limites
cuando a — > y a — > d.

24.67. Capacitancia de la Tierra. a) Analice cómo puede aplicarse
el concepto de capacitancia a un solo conductor. (Sugerencia: en la re-
lación C = <2/V„,„ piense en el segundo conductor como si se locali-
zara en el infinito.) b) Utilice la ecuación (24.1) para demostrar que

h 1

Disposi-
tivo de
seinil

Figura 24.36

Problema 24.66.

d

a

J

844

CAPÍTU LO 24 Capacitancia y dieléctricos

C = Aireji para una esfera conductora sòlida de radio R. Utilice el re-
sultado del inciso fe) para calcular la capacitancia de la Tierra, que es
un buen conductor con radio de 6380 km. Realice una comparación
con los capacitores comunes que se emplean en los circuitos electróni-
cos y que tienen capacitancias que van de 10 pF a 100 /jlF.

24.68. Una esfera conductora sòlida de radio R tiene una carga Q.
Calcule la densidad de la energia del campo eléctrico en un punto
localizado a una distancia r del centro de la esfera para a) r < R, y
b) r> R. c) Calcule la energia total del campo eléctrico asociada con
la esfera con carga. (Sugerencia: considere una coraza esfèrica de ra-
dio r y espesor dr con volumen dV = Airr 1 dr, y encuentre la energia
almacenada en este volumen. Después Íntegre de r = a r — > °°.)
d) Explique por qué el resultado del inciso c) se interpreta como la can-
tidad de trabajo requerido para colocar la carga Q en la esfera, e) Em-
pleando la ecuación (24.9) y el resultado del inciso c), demuestre que
la capacitancia de la esfera es la que se da en el problema 24.67.

24.69. Capacitancia de la Tierra-ionosfera. La Tierra puede consi-
derarse como un capacitor de un solo conductor (véase el problema
24.67). En combinación con la ionosfera, que es una capa atmosfèrica
con carga, también es posible consideraria como un capacitor esférico
de dos placas, donde la superfície terrestre es la placa negativa. La io-
nosfera se encuentra a una altitud de 70 km aproximadamente, y la di-
ferencia de potencial entre esta y la superfície terrestre es de alrededor
de 350,000 V. Calcule a) la capacitancia de este sistema; b) la carga to-
tal en el capacitor; c) la energia almacenada en el sistema.

24.70. El cilindro interior de un capacitor largo y cilíndrico tiene un
líndrica, coaxial, conductora, con radio interior r b y densidad lineal de
carga — A (véase la figura 24.6). a) (,Cuàl es la densidad de energia en
la región entre los conductores a una distancia r del eje? b) íntegre la
densidad de energia calculada en el inciso a) con respecto al volumen
entre los conductores en una longitud L del capacitor, para obtener
la energia total del campo eléctrico por unidad de longitud, c) Con
base en la ecuación (24.9) y la capacitancia por unidad de longitud
calculada en el ejemplo 24.4 (sección 24.1), calcule U/L. ;,Concuerda
el resultado con el que se obtuvo en el inciso fe)?

24.71. El espacio entre las placas parale- Fisura 24 37
las de un capacitor està ocupado por dos Problema 24 71
bloques de dieléctrico, uno con constante

K t y otro con constante K 2 (figura
24.37). Cada bloque tiene un espesor de
d/2, donde d es la distancia entre las pla-
cas. Demuestre que la capacitancia es

A'i

Kt

■ ; //2
J/2

2e^4
d \

K,K 2

K,

24.72. El espacio entre las placas de un ca-
pacitor de placas paralelas està ocupado
por dos bloques de material dieléctrico,
uno con constante K t y otro con constante
K 2 (figura 24.38). El espesor de cada blo-
que es el mismo que la separación d entre
lumen entre ellas. Demuestre que la capaci-
tancia es

Figura 24.38

Problema 24.72.

K 2

C =-

e A( K, + K 2 )
2d

Problemas de desafio

24.73. Los capacitores en red no siempre pueden agruparse en combi-
naciones sencillas de conexiones en sèrie o en paralelo. Por ejemplo, la
figura 24.39a muestra tres capacitores, C„ C,. y C-, en una red en delta,
llamada así en virtud de su forma triangular. Esta red tiene tres termi-
nales a, fe y c, por lo que no puede transformarse en un único capacitor
equivalente. Es posible demostrar que hasta donde concierne al efecto
en el circuito externo, una red en delta es equivalente a lo que se deno-
mina red en estrella. Por ejemplo, la red en delta de la figura 24.39a se
puede sustituir por la red en estrella de la figura 24.39b. (El nombre
"red en estrella" también se refiere a la forma que tiene.) a) Demuestre
que las ecuaciones de transformación que dan C u C 2 y C 3 en términos
de C„ C y y C- son

c, = {c x c, + c,.c : + c t c x )lc x

c 2 = {c x c y + c Y c : + c = c s )lc v
c, = {c s c v + c v c + ccj/c

(Sugerencia: la diferencia de potencial V ac debe ser la misma en am-
bos circuitos, igual que ocurre para V bc . Asimismo, la carga q u que
fluye del punto a a lo largo del

Figura 24.39 Problema de
desafio 24.73.

a)

" li "

L

J

b)

c.

alambre según se indica, debe ser
la misma en los dos circuitos, al
igual que sucede para q 2 . Obtenga
una relación para V 1Ir como fun-
ción de qiy q 2 y las capacitancias
para cada red, y obtenga una rela-
ción aparte para V bí . como función
de las cargas en cada red. Los
coeficientes de cargas correspon-
dientes en ecuaciones corres-
pondientes deben ser los mismos
para las dos redes.) 6) Para la red
que aparece en la figura 24.39c,
determine la capacitancia equi-
valente entre las terminales en el
extremo izquierdo de la red. (Su-
gerencia: utilice la transforma-
ción delta-estrella obtenida en el
inciso íï). Utilice los puntos a, fe
y c para formar la delta, y trans-
fórmela en una estrella. Luego,
los capacitores pueden combinar-
se empleando las relaciones para
combinaciones en sèrie y parale-
lo.) c) Determine la carga de cada
capacitor de la figura 24.39c, así
como la diferencia de potencial a
través de cada uno de ellos.
24.74. El capacitor con aire entre las placas paralelas que se ilustra en
la figura 24.40 consiste en dos placas conductoras horizontales de àrea
igual A. La placa inferior descansa en un apoyo fijo, y la superior està

Figura 24.40 Problema de desafio 24.74.

tk %k

27.0 /iF

72.Ü fíF

21.0 /íF

Problemas de desafio

845

Figura 24.41 Problema
de desafio 24.75.

ubicado en una de las cuatro esquinas de la placa, como se observa en
la figura. Cuando no tienen carga, las placas estan separadas por una
distancia z - Se conecta una bateria a las placas y produce una diferen-
cia de potencial Ventre ellas. Esto ocasiona que la separación entre las
placas disminuya a z. Ignore cualquier efecto de los bordes, d) De-
muestre que la fuerza electrostàtica entre las placas con carga tiene una
magnitud de e AV 1 J2z 1 . (Sugerencia: consulte el ejercicio 24.29.)

b) Obtenga una expresión que relacione la separación z entre las pla-
cas con la diferencia de potencial V. La ecuación resultante serà cúbica
con respecto a z. c) Dados los valores A = 0.300 m 2 , zo = 1.20 mm,
k — 25.0 N/m y V ~ 120 V, encuentre los dos valores de z, para los que
la placa superior estarà en equilibrio. (Sugerencia: es posible resol-
ver la ecuación cúbica insertando un valor de ensayo de z en la ecua-
ción, y después ajustar la conjetura hasta que se satisfaga la ecuación
a tres cifras significativas. La ubicación gràfica de las raíces de la ecua-
ción cúbica ayuda a elegir los valores iniciales de z para este procedi-
miento por ensayo y error. Una raíz de la ecuación cúbica tiene un
valor negativo no físico.) d) Para cada uno de los dos valores de z en-
contrados en el inciso c), ^,el equilibrio es estable o inestable? Para el
equilibrio estable, un desplazamiento pequeno del objeto darà lugar a
una fuerza neta que tiende a regresar al objeto a la posición de equili-
brio. Para el equilibrio inestable, un desplazamiento pequefio originarà
una fuerza neta que aleje al objeto aún màs del equilibrio.

das con lados de longitud L estan sepa-
radas por una distancia D. Se inserta
un bloque dieléctrico con constante K
con dimensiones L X L X D, a una
distancia x en el espacio entre las pla-
cas, como se llustra en la figura 24.41.
a) Calcule la capacitancia C de este sis-
tema (véase el problema 24.72). b) Su-
ponga que el capacitor està conectado a
una bateria que mantiene una diferencia
de potencial constante V entre las pla-
cas. Si el dieléctrico se inserta una dis-
tancia adicional dx en el espacio entre
las placas, demuestre que el cambio en

(K- \)e a V 2 L

dU = + dx

1D

c) Suponga que antes de desplazar el bloque dieléctrico la distancia dx,
las placas se desconectan de la bateria, de manera que las cargas en
ellas permanecen constantes. Determine la magnitud de la carga en ca-
da placa y luego demuestre que cuando el dieléctrico se desplaza la
distancia adicional dx en el espacio entre las placas, la energia almace-
nada cambia en una cantidad que es el negativo de la expresión para
dU que se dio en el inciso b). d) Si F es la fuerza que las cargas de las
placas ejercen sobre el dieléctrico, entonces dU debe ser igual al traba-
jo realizado contra esta fuerza para desplazar el material dieléctrico
una distancia dx. De esta forma, dU = —Fdx. Demuestre que la apli-
cación de esta expresión al resultado del inciso b) sugiere que la fuerza
elèctrica sobre el dieléctrico lo empuja hacia fuera del capacitor, mien-
tras que el resultado para el inciso c) sugiere que la fuerza atrae al die-
léctrico hacia dentro del capacitor. e) La figura 24.16 indica que la
fuerza en realidad atrae al dieléctrico hacia el capacitor. Explique por
qué el resultado del inciso b) da una respuesta incorrecta para la direc-

Figura 24.42 Proble-
ma de desafio 24.76.

Material
dieléctrico,
constante K

KD^I

ción de la fuerza, y calcule la magnitud de tal fuerza. (Este método no
requiere conocer la naturaleza del efecto de bordes del campo.)

24.76. Un capacitor esférico aislado tiene
carga +g en su conductor interior (radio
r„) y carga — Q en su conductor exterior
volumen entre los dos conductores con un
liquido dieléctrico con constante K, como
se muestra en el corte transversal de la fi-
gura 24.42. a) Encuentre la capacitancia
del capacitor medio lleno. b) Calcule la
magnitud de E en el volumen entre los
dos conductores como función de la dis-
tancia r desde el centro del capacitor. Dé
respuestas para las mitades superior e in-
ferior de este volumen. c) Obtenga la densidad superficial de la carga
libre en las mitades superior e inferior de los conductores interno y ex-
terno. d) Determine la densidad superficial de la carga ligada en las su-
perfícies interior (r = r„) y exterior (r = r b ) del dieléctrico. e) ^Cuàl es
la densidad superficial de carga ligada en la superfície plana del dieléc-
trico? Explique su respuesta.

lado y 1.50 mm de espesor, se acomodan como se ilustra en la figura
24.43. Las placas estan separadas por hojas de papel de 0.45 mm de es-
pesor y constante dieléctrica de 4.2. Las placas exteriores se conectan en-
tre sí y con el punto b. La placa interior se conecta al punto a. a) Copie el
diagrama y muestre con signos màs y menos la distribución de la carga
en las placas cuando el punto a se mantiene a un potencial positivo en re-
lación con el punto b. b) ^.Cuàl es la capacitancia entre los puntos a y è?

Figura 24.43 Problema de desafio 24.77.

Metal
Papel

[A

Figura 24.44 Problema de

desafio 24.78.

24.78. Un medidor de combustible
utiliza un capacitor para determinar
la altura que alcanza el combustible
dentro de un tanque. La constante
dieléctrica efectiva K cí cambia de un
valor de 1 cuando el tanque està va-
cío, a un valor de K, la constante
dieléctrica del combustible cuando
el tanque està lleno. Circuitos elec-
constante dieléctrica efectiva de
la combinación de aire y combusti-
ble entre las placas del capacitor.
Cada una de las dos placas rectan-
gulares tiene un ancho w y longitud L (figura 24.44). La altura del com-
bustible entre las placas es h. Se pueden ignorar los efectos de los
bordes, a) Obtenga una expresión para K cf como función de h. b) ^Cuàl
es la constante dieléctrica efectiva para un tanque a la cuarta parte, a la
mitad y a las tres cuartas partes de su volumen de llenado, si el combus-
tible es gasolina (K = 1.95)? c) Repita el inciso b) para metanol (K =
33.0). d) ;,Para qué combustible resulta màs practico usar este medidor?

CORRIENTE,
RESISTÈNCIA Y FUERZA
ELECTROMOTRIZ

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprendera:

• El significació de la corriente
elèctrica y cómo se desplaza
la carga en un conductor.

de una sustancia.

• Cómo calcular la resistència de
un conductor a partir de sus

• El modo en que una fuerza
electromotriz (fem) hace
posible que la corriente fluya
en un circuito.

• Cómo efectuar càlculos que
implican energia y potencia
en circuitos.

í En una linterna,
que sale de la bombilla
elèctrica, tes menor,
mayor o igual a la
que entra a la
bombilla?

En los pasados cuatro capítulos estudiamos las interacciones de las cargas eléc-
tricas en reposo; ahora estamos listos para estudiar las cargas en movimiento.
Una corriente elèctrica consiste en cargas en movimiento de una región a otra.
Cuando este desplazamiento tiene lugar en una trayectoria de conducción que forma
una espira cerrada, la trayectoria recibe el nombre de circuito elèctrica.

Fundamentalmente, los circuitos eléctricos son un medio de transportar energia de
un lugar a otro. A medida que las partículas se desplazan por un circuito, la energia
potencial elèctrica se transfiere de una fuente (como una bateria o un generador) a un
dispositivo en el que se almacena o se convierte en otra forma: sonido en un equipo
estereofónico, o calor y luz en un tostador o una elèctrica, por ejemplo. Desde el pun-
to de vista tecnológico, los circuitos eléctricos son útiles porque permiten transportar
energia sin que haya partes macroscópicas móviles (ademàs de las partículas con car-
ga en movimiento). Los circuitos eléctricos son la base de las linternas, los reproduc-
tores de CD, las computadoras, los transmisores y receptores de radio y televisión, y
los sistemas domésticos e industriales de distribución de energia elèctrica. Los siste-
mas nerviosos de los animales y los humanos son circuitos eléctricos especializados
que conducen senales vitales de una parte del cuerpo a otra.

En el capitulo 26 veremos la manera de analizar circuitos eléctricos y estudiare-
mos algunas de sus aplicaciones pràcticas. Sin embargo, antes de ello, habrà que en-
tender las propiedades bàsicas de las corrientes eléctricas, que es el tema de este
capitulo. Comenzaremos por describir la naturaleza de los conductores eléctricos y
ver cómo los afecta la temperatura. Aprenderemos por qué un alambre corto, grueso
y frío es mejor conductor que otro largo, delgado y caliente. Estudiaremos otras pro-
piedades de las baterías y veremos cómo producen corriente y transfieren energia en
un circuito. En este anàlisis usaremos los conceptos de corriente, diferencia de po-
tencial (o voltaje), resistència y fuerza electromotriz. Por ultimo, estudiaremos las
corrientes eléctricas en un material desde el punto de vista microscópico.

846

25.1 Corriente elèctrica

847

25.1 Corriente elèctrica

Una corriente elèctrica es todo movimiento de carga de una región a otra. En esta
sección estudiaremos las comentes en los materiales conductores. La gran mayoría de
aplicaciones tecnológicas de cargas en movimiento implican comentes de este tipo.

En situaciones electrostàticas (las cuales se analizaron en los capítulos 21a 24), el
campo eléctrico dentro de un conductor es igual a cero, y no hay corriente. Sin embar-
go, esto no significa que todas las cargas en el interior del conductor estén en reposo.
En un metal común, como el cobre o el aluminio, algunos de los electrones estan en li-
bertad para moverse dentro del material conductor. Estos electrones libres se mueven
al azar en todas direcciones, en forma parecida a como lo hacen las moléculas de un
gas, solo que con una rapidez mucho mayor, del orden de 10 6 m/s. No obstante, los
electrones no escapan del material conductor, ya que son atraídos hacia los iones posi-
tivos del material. El movimiento de los electrones es aleatorio, por lo que no hay un
flujo neto de carga en ninguna dirección y, por consiguiente, no existe corriente.

Ahora, considere lo que pasa si se establece un campo eléctrico E constante y es-
table dentro de un conductor. (Mas adelante se vera cómo ocurre esto.) En ese caso,
una partícula con carga (como un electrón libre) en el interior del material conductor
se somete a una fuerza estable F = qE. Si la partícula con carga se moviera en el va-
cío, esta fuerza estable ocasionaria una aceleración estable en dirección de F, y des-
pués de cierto tiempo la partícula con carga se desplazaría en esa dirección con gran
rapidez. Però una partícula con carga en movimiento en un conductor experimenta
colisiones frecuentes con los iones masivos y casi estacionarios del material. En ca-
da colisión, la dirección en que se mueve la partícula sufre un cambio aleatorio. El
efecto neto del campo eléctrico E es que, ademàs del movimiento al azar de las par-
tículas con carga dentro del conductor, también hay un movimiento neto muy lento o
deriva de las partículas con carga que se desplazan como grupo en dirección de la
fuerza elèctrica F = qE (figura 25.1). Este movimiento queda descrito en términos
de la velocidad de deriva v ü de las partículas. Como resultado, existe una corriente
neta en el conductor.

Si bien el movimiento aleatorio de los electrones tiene una rapidez media muy
grande, alrededor de 10 6 m/s, la rapidez de deriva es muy baja, con frecuencia del or-
den de 1CT 4 m/s. Como los electrones se mueven con tanta lentitud, tal vez se pre-
gunte por qué la luz se enciende de inmediato cuando se activa el interruptor de una
linterna. La razón es que el campo eléctrico se establece en el alambre conductor con
una rapidez cercana a la de la luz, y los electrones comienzan a desplazarse a todo lo
largo del alambre casi al mismo tiempo. En realidad no es muy relevante el tiempo
que toma a cualquier electrón individual trasladarse del interruptor a la bombilla. Una
buena analogia es un grupo de soldados a la espera de la orden de un sargento para
comenzar a marchar; la orden llega a oídos de los soldados con la rapidez del sonido,
que es mucho mayor que aquella a que marchan, por lo que los soldados comienzan a
marchar pràcticamente al unísono.

Dirección del flujo de corriente

La deriva de las cargas en movimiento a través de un conductor puede interpretarse
en términos de trabajo y energia. El campo eléctrico E efectua trabajo sobre las car-
gas en movimiento. La energia cinètica resultante se transfiere al material del conduc-
tor por medio de colisiones con los iones, los cuales vibran en torno a sus posiciones
de equilibrio en la estructura cristalina del conductor. Esta transferència de energia in-
crementa la energia media de vibración de los iones y, por lo tanto, la temperatura del
material. Así, gran parte del trabajo realizado por el campo eléctrico se dedica a ca-
lentar el conductor, no a hacer que las cargas se muevan cada vez mas ràpido. Este
calentamiento a veces resulta útil, como en el caso de un tostador eléctrico, però en
muchas situaciones es tan solo un subproducto inevitable del flujo de la corriente.

En distintos materiales que conducen corriente, las cargas de las partículas en movi-
miento son positivas o negativas. En los metales las cargas en movimiento siempre son
electrones (negativos), mientras que en un gas ionizado (plasma) o una solución iònica,

25.1 Si no hay campo eléctrico en el
interior de un conductor, un electrón se
traslada al azar del punto P, al punto P 2
en el momento Ar. Si està presente un
campo eléctrico E, la fuerza elèctrica
F = qE impone una pequena deriva
(muy exagerada en la ilustración) que
lleva al electrón al punto P' 2 , a una
distancia u d Af de P 2 en dirección de
la fuerza.

Conductor sin campo interno E

Q

Trayectoria de un electrón sin campo E.
El electrón se mueve al azar.

"*• Trayectoria del

electrón con campo

E. El movimiento

es sobre todo al

azar,

però ...

. el campo E da como resultado un desplaza

V micmo neto a lo largo del conductor. J

Conductor con campo interno E

F = qE

E

Un electrón tiene carga negativa q, por lo
que la fuerza sobre él debida al campo E
es en la dirección opuesta a E.

848

CAPÍTU LO 25 Corriente, resistència y fuerza electromotriz

25.2 La misma corriente es producida
por a) cargas positivas que se trasladan
en dirección del campo eléctrico E, o
b) el mismo número de cargas negativas
que se desplazan con la misma rapidez
en la dirección opuesta a E.

■)

<3-^

fr-^ft-,^ &- >%

.&+**

^í>

-£-

_&**

Una corriente convencional es tratada como
un flujo de cargas positivas, sin importar si las
cargas libres en el conductor son positivas,
negativas o ambas.

f**-

■^

U^-Q "i^^g^-Q

"d.

^3-

i * c>

En un conductor metàlico, las cargas en movi-
miento son electrones, però la corriente aún
apunta en la dirección en que fluirían las cargas
positivas.

25.3 La corriente / es la tasa de transfe-
rència de carga a través del àrea de la
sección transversal A. En promedio,
la componente aleatòria del movimiento
de cada partícula con carga es cero, y la
corriente va en la misma dirección de E
sin que importe si las cargas en movimien-
to son positivas (como se ilustra) o
negativas (véase la figura 25.2b).

Mt

/

■C3-

v A dt

H K-

i'd

®-s.

^

i'd

®-*5

"ó

i f d

\i ^

Corriente /

dQ

las cargas en movimiento incluyen tanto electrones como iones con carga positiva. En
un material semiconductor, como el germanio o el silicio, la conducción ocurre en par-
te por los electrones y en parte por el movimiento de las vacantes, también llamadas
huecos, que son sitios donde se pierden electrones y actúan como cargas positivas.

La figura 25.2 presenta segmentes de dos materiales diferentes portadores de corrien-
te. En la figura 25.2a, las cargas en movimiento son positivas, la fuerza elèctrica ocurre
en la misma dirección que E, y la velocidad de deriva v d es de izquierda a derecha. En la
figura 25.2b las cargas son negativas, la fuerza elèctrica es opuesta &E, y la velocidad de
deriva v d es de derecha a izquierda. En ambos casos hay un flujo neto de carga positi-
va de izquierda a derecha, y las cargas positivas terminan a la derecha de las negativas.
Definimos que la corriente, denotada por /, va en la dirección en la que hay un flujo de
carga. positiva. Por ello, las comentes se describen como si consistieran por completo en
un flujo de cargas positivas, aun en los casos en que se sabé que la corriente real se debe
a electrones. Así, en las figuras 25.2a y 25.2b la corriente es hacia la derecha. Esta con-
vención sobre la dirección del flujo de la corriente se llama corriente convencional.
Aunque la dirección de la corriente convencional no es necesariamente la misma en que
se desplazan en realidad las partículas con carga, veremos que el signo de las cargas en
movimiento tiene poca importància en el anàlisis de los circuitos eléctricos.

La figura 25.3 muestra un segmento de conductor por el que fluye una corriente.
Se considera que las cargas en movimiento son positivas, por lo que se mueven en la
misma dirección que la corriente. Definimos la corriente a través del àrea de sección
transversal A como la carga neta que fluye a través del àrea por unidad de tiempo. De
esta forma, si una carga neta dQ fluye a través de un àrea en el tiempo dt, la corriente
/ a través del àrea es

/

dQ

dt

(definición de corriente)

(25.1)

CUIDADO La corriente no es un vector Aunque nos referimos a la dirección de una
corriente, la corriente, tal como està definida en la ecuación (25.1), no es una cantidad vectorial.
En un conductor portador de corriente, la corriente siempre va a lo largo del conductor sin im-
portar si es recto o curvo. Ningún vector podria describir el movimiento a lo largo de una tra-
yectoria curva, y por eso la corriente no es un vector. Por lo general describiremos la dirección
de la corriente ya sea con palabras (por ejemplo, "la corriente fluye por el circuito en el sentido
horario") o eligiendo una corriente como positiva si fluye en un sentido a lo largo de un conduc-
tor, y negativa si fluye en sentido contrario.

La unidad del SI para la corriente es el ampere; un ampere se define como un cou-
lomb por segundo (1 A = 1 C/s). Esta unidad recibe su nombre en honor del científico
francès André Marie Ampere (1775-1836). Cuando se enciende una linterna común
(de pilas tamano D), la corriente en ella es aproximadamente de 0.5 a 1 A; la corrien-
te en los cables del motor de arranque de un automóvil es de alrededor de 200 A. Las
comentes en los circuitos de radio y televisión por lo general se expresan en mili-
amperes (1 mA = 10~ 3 A) o microamperes (1 /xA = 10~ 6 A), y las comentes en los
circuitos de computadoras son del orden de nanoamperes (1 nA = 10~ 9 A) opicoam-
peres (1 pA = 10~ 12 A).

La corriente se puede expresar en términos de la velocidad de deriva de las cargas en
movimiento. Consideremos de nuevo la situación de la figura 25.3, que ilustra un
conductor con àrea de sección transversal A y un campo eléctrico E dirigido de iz-
quierda a derecha. Para comenzar, se supondrà que las cargas libres en el conductor
son positivas; entonces, la velocidad de deriva tiene la misma dirección que el campo.
Suponga que hay n partículas con carga en movimiento por unidad de volumen.
Llamaremos n a la concentración de partículas, cuya unidad correspondiente del SI
es m -3 . Suponga que todas las partículas se mueven con la misma velocidad de deri-
va con magnitud v d . En un intervalo de tiempo dt, cada partícula se mueve una distan-
cia v d dt. Las partículas que fluyen hacia fuera del extremo derecho del cilindro
sombreado cuya longitud es v d dt durante dt son partículas que estuvieron dentro del
cilindro al comienzo del intervalo dt. El volumen del cilindro es Av d dt, y el número

25.1 Corriente elèctrica

849

de partículas dentro es nAv d dt. Si cada partícula tiene una carga q, la carga dQ que
fluye hacia fuera por el extremo del cilindro durante el tiempo dt es

y la corriente es

dQ ~ ?( n -A ü d dt) = nqv d A dt

dQ

I = — = nqv d A
dt

La corriente por unidad de àrea de la sección transversal se denomina densidad de
corriente J:

J

A

nqvi

Si las cargas en movimiento son negativas en vez de positivas, como en la figura
25.2b, la velocidad de deriva es opuesta a E. Però la corriente aún tiene la misma di-
rección que E en cada punto del conductor. Entonces, la corriente / y la densidad de
corriente J no dependen del signo de la carga, por lo que en las expresiones anteriores
para / y J, la carga q se sustituye por su valor absoluto \q\ :

/ =

dQ

dt

n\q\ v d A (expresión general para la corriente)

(25.2)

J — — — n\q\v à (expresión general para la densidad de corriente) (25.3)

La corriente en un conductor es el producto de la concentración de las partículas en
movimiento con carga, la magnitud de la carga de cada una de esas partículas, la mag-
nitud de la velocidad de deriva y el àrea de la sección transversal del conductor.

Se puede definir ademàs una densidad de corriente vectorial J que incluye la di-
rección de la velocidad de deriva:

7 = »qv à

(25.4)

En la ecuación (25.4) no hay signos de valor absoluto. Si q es positiva, v d tiene la
misma dirección que E; si q es negativa, v d es opuesta a E. En cualquier caso, J tie-
ne la misma dirección que E. La ecuación (25.3) da la magnitud J de la densidad
de corriente vectorial /.

te J es un vector, però la corriente / no lo es. La diferencia està en que la densidad de corriente
J describe cómo fluyen las cargas en cierto punto, y la dirección del vector indica la dirección
del flujo en ese punto. En contraste, la corriente / describe la forma en que fluyen las cargas a
través de un objeto extendido, como un alambre. Por ejemplo, / tiene el mismo valor en todos
los puntos del circuito de la figura 25.3, però J no: la densidad de corriente està dirigida hacia
abajo en el lado izquierdo de la espira y hacia arriba en el lado derecho. La magnitud de J tam-
bién puede variar alrededor del circuito. En la figura 25.3, la magnitud de la densidad de co-
rriente J = I/A es menor en la bateria (que tiene un àrea de sección transversal mayor A) que
en los alambres (los cuales tienen un àrea pequena de sección transversal).

En general, un conductor puede contener varias clases diferentes de partículas con
carga en movimiento q u q 2 , . . . , concentraciones n lt n 2 , . . . , y velocidades de deriva
con magnitudes v dl , v d2 , ... Un ejemplo es el flujo de corriente en una solución iònica
(figura 25.4). En una solución de cloruro de sodio, la corriente es transportada tanto
por los iones positivos de sodio como por iones negativos de cloro; la corriente total /
se encuentra sumando las corrientes debidas a cada clase de partícula con carga me-
diante la ecuación (25.2). Asimismo, el total de densidad de corriente vectorial J se
obtiene mediante la ecuación (25.4) para cada tipo de partícula con carga y sumando

En la sección 25.4 se vera que es posible tener una corriente estacionaria (es decir,
constante en el tiempo) solo si el material conductor forma una espira cerrada, llamada

25.4 Parte del circuito eléctrico que
incluye esta bombilla elèctrica pasa a
través de un vaso de precipitados que
contiene una solución de cloruro de sodio.
La corriente en la solución es transportada
tanto por cargas positivas (iones Na + )
como por cargas negativas (iones CL).

850 CAPITULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

circuito completo. En una situación estacionaria, la carga total en cada segmento del
conductor es constante. Por lo tanto, la tasa de flujo de carga haciafuera de un extre-
mo de un segmento en cualquier instante es igual a la tasa de flujo de carga hacia den-
tro en el otro extremo del segmento, y la corriente es la misma en todas las secciones
transversales del circuito. Mas adelante en este capitulo, cuando analicemos circuitos
eléctricos recurriremos a esta observación.

En muchos circuitos simples, como los de linternas de mano o los taladros eléctri-
cos inalàmbricos, la dirección de la corriente siempre es la misma; a esto se le llama
televisores utilizan corriente alterna, lo que significa que la corriente cambia continua-
mente de dirección. En este capitulo solo consideraremos la corriente directa. La co-
rriente alterna tiene muchas características especiales que ameritan un estudio deta-
llado, las cuales analizaremos en el capitulo 31.

Ejemplo 25.1

Un alambre de cobre del número 1 8 (el calibre que por lo general La magnitud de la densidad de corriente es
se utiliza en los cables para làmparas), tiene un diàmetro nominal de

1.02 mm. Conduce una corriente constante de 1.67 A para alimentar j = — = ' = 2.04 X 10 6 A/m 2

una bombilla de 200 watts. La densidad de electrones libres es de 8.17 X 10 m

8.5 X 10 28 electrones por metro cúbico. Determine las magnitudes b) A1 despe j ar i a magnitud de la velocidad de deriva y d en la ecua-

de a) la densidad de corriente y b) la velocidad de deriva. cl ^ n 05 3) se obtiene

■™»MIW j = 2.04 X 10 6 A/m 2

IDENTIFICAR: Este problema se apoya en las relaciones entre co- n\q\ (8.5 X 10 28 m" 3 )|-1.60 X 10~ |() C

rriente, densidad de corriente y velocidad de deriva. _ 1 j x 10~ 4 m/s = 15 mm/s

PLANTEAR: Se conoce la corriente y las dimensiones del alambre, por
lo que se emplea la ecuación (25.3) para calcular la magnitud / de la
densidad de corriente. Después se emplea la ecuación (25.3) de nuevo
para obtener la velocidad de deriva v d a partir de J y la concentración
de electrones.

EVALUAR: A esta rapidez, un electrón requeriria 6700 s (alrededor de
1 hora con 50 minutos) para recórrer un alambre con longitud de 1 m.
La rapidez del movimiento aleatorio de los electrones es del orden
de 10 6 m/s, por lo que en este ejemplo la velocidad de deriva es cer-
ca de 10'° veces mas lenta que la velocidad del movimiento aleatorio.
EJECUTAR: a) El àrea de la sección transversal es jlmagine a los electrones rebotando en forma frenètica, por todas par-

w d 2 tt(1.02 X 10~ 3 m) 2
A = — — = - = 8.17 X 10"

tes, con una deriva sumamente lenta!

Evalúe su comprensión de la sección 25. 1 Suponga que se remplaza el hwlP)

alambre del ejemplo 25.1 por otro de cobre de calibre 12, el cual tiene el doble de
diàmetro que uno de calibre 18. Si la corriente es la misma, ;,qué efecto tendría esto en la
magnitud de la velocidad de deriva u d ? i) Ninguno, v d no cambiaría; ii) el valor de v à se
duplicaria; iii) u d seria cuatro veces mayor; iv) v d tendría un valor igual a la mitad;
v) v d seria la cuarta parte.

La densidad de corriente J en un conductor depende del campo eléctrico / y de las
propiedades del material. En general, esta dependència es muy compleja. Però para
ciertos materiales, en especial metàlicos, a una temperatura dada, E es casi directa-
mente proporcional a E, y la razón de las magnitudes de E y J es constante. Esta rela-
ción, llamada ley de Ohm, fue descubierta en 1826 por el físico alemàn Georg Simón
Ohm (1787-1854). En realidad, la palabra "ley" debería escribirse entre comillas, ya
que la ley de Ohm — al igual que la ecuación de los gases ideales y la ley de Hoo-
ke — es un modelo idealizado que describe muy bien el comportamiento de ciertos
materiales, però no es una descripción general de toda la matèria. En el siguiente anà-
lisis supondremos que es vàlida la ley de Ohm, aun cuando existen muchos casos en
que no lo es. La situación es comparable a nuestra representación del comportamien-
to de las fuerzas de fricción estàtica y cinètica, las cuales fueron tratadas como si fue-
ran directamente proporcionales a la fuerza normal, aunque sabíamos que en el mejor
de los casos esta era una descripción aproximada.

851

Tabla 25.1 Resistividades a temperatura ambiente (20 °C)

Sustancia

p(íí Tll)

Sustancia

p(íï•m)

Conductores

Semiconductores

Metales

Plata

Cobre

Oro

Aluminio

Tungsteno

Acero

Plomo

Mercurio

1.47 X 10"*
1.72 X 10"*
2.44 X 10"*
2.75 X 10"*
5.25 X 10"*
20 X 10"*
22 X 10"*
95 X 10"*

Carbono puro (grafito)
Germanio puro
Silicio puro
Aíslantes

Ambar
Vidrio
Lucita
Mica

3.5 X 10" 5
0.60
2300

5 X 10 14

10 10 -10 14

>10 13

10"-10 15

Aleaciones

Manganina

(84%

Cu

12% Mn

4% Ni)

44 X 10"*

Cuarzo (fundido)

75 X 10"

Constantàn (60%

Cu

40%

Nil

49 X 10"*

Azufre

10 15

Nicromel

100 X 10"*

Teflón

>10 13
10*-10"

La resistividad p de un material se define como la razón de las magnitudes del
campo eléctrico y la densidad de corriente:

(25.5)

Cuanto mayor sea la resistividad, tanto mayor serà el campo necesario para causar
por un campo dado. De la ecuación (25.5) se desprende que las unidades de p son
(V/m) /(A/m 2 ) = V ■ m/A. Como se vera en la siguiente sección, 1 V/A se llama un
ohm (1 íl; se usa la letra griega íl, omega, que es una aliteración de "ohm"). Por consi-
guiente, las unidades del SI para p son íl • m (ohm- metros). La tabla 25.1 lista algunos
igual a cero; y un aislante perfecto tendría resistividad infinita. Los metales y las aleacio-
nes tienen las menores resistividades y son los mejores conductores. Las resistividades de
los aislantes son mayores que las de los metales en un factor enorme, del orden de 10 22 .

Los buenos conductores de la electricidad tienen una conductividad mayor que la de
los aislantes. La conductividad es el anàlogo eléctrico directo de la conductividad tèr-
mica. Si se compara la tabla 25.1 con la 17.5 (conductividades térmicas), se observa
que los buenos conductores eléctricos, como los metales, por lo general son buenos
conductores del calor. Los malos conductores de la electricidad, como la ceràmica y
los materiales plàsticos, también son malos conductores térmicos. En un metal los
electrones libres que transportan la carga en la conducción elèctrica también son el
mecanismo principal para la conducción del calor, por lo que es de esperar que haya
una correlación entre la conductividad elèctrica y la tèrmica. Debido a la enorme dife-
rencia en conductividad entre los conductores eléctricos y los aislantes, es fàcil confi-
nar las comentes eléctricas a trayectorias o circuitos bien definidos (figura 25.5). La
variación en la conductividad tèrmica es mucho menor, solo alrededor de un factor de
10 3 , y por lo general es imposible confinar flujos de calor hasta ese grado.

Los semiconductores tienen resistividades intermedias entre las de los metales y las
de los aislantes. Estos materiales son importantes en virtud de la forma en que sus resis-

Un material que obedece razonablemente bien la ley de Ohm se llama conductor
óhmico o conductor lineal. Para esos materiales, a una temperatura dada, p es una
constante que no depende del valor de E. Muchos materiales muestran un comporta-
miento que se aparta mucho de la ley de Ohm, por lo que se denominan no óhmicos o
no lineales. En estos materiales, J depende de E de manera màs complicada.

Las analogías con el flujo de fluidos son de gran ayuda para desarrollar la intuición
con respecto a la corriente y los circuitos eléctricos. Por ejemplo, en la fabricación de
vino o jarabe de maple, en ocasiones se filtra el producto para retirar los sedimentes.
Una bomba fuerza al fluido sometiéndolo a presión para que pase a través del filtro; si la
tasa de flujo (anàloga a /) es proporcional a la diferencia de presión entre los lados co-
rriente arriba y corriente abajo (anàloga a £), el comportamiento es anàlogo al que des-
cribe la ley de Ohm.

25.5 Los "alambres" de cobre, o trazos,
en esta tarjeta de circuitos estan impresos
directamente sobre la superfície de la
tarjeta aislante de color oscuro. Aun
cuando los trazos se encuentran muy
próximos entre sí (a un milímetro de
distancia), la tarjeta tiene una resistividad
tan grande (y baja conductividad) en
comparación con el cobre, que ninguna
corriente puede fluir entre los trazos.

Trayectorias conductoras
(trazos)

852

CAPÍTU LO 25 Corriente, resistència y fuerza electromotriz

25.6 Variación de la resistividad p con
la temperatura absoluta T para a) un metal
normal, b) un semiconductor y c) un
superconductor. En a), la aproximación
lineal a p como función de T se muestra
con línea color verde; la aproximación
coincide exactamente en T = T , donde
P = Pa-

incrementa con el aumento
de temperatura.

Pu

[Pendiente = p Q a

b)

disminuye con el aumento de
temperatura.

c ) P Superconductor: a tempe-
raturas por debajo de 7^.,

La resistividad de un conductor metàlico casi siempre se incrementa al aumentar la
temperatura, como se ilustra en la figura 25.6a. A medida que la temperatura se incre-
menta, los iones del conductor vibran con mayor amplitud, lo que hace mas probable
que un electrón en movimiento colisione con un ion, como se ilustra en la figura 25.1;
esto dificulta la deriva de los electrones a través del conductor y con ello reduce la co-
rriente. En un pequeno intervalo de temperatura (hasta 100 °C, aproximadamente), la

p(T) =p [l +a(T-T )]

(dependència de la resistividad / 2 5 6)
con respecto a la temperatura)

donde p es la resistividad de una temperatura de referència T (a menudo 0°Co
20 °C) y p(T) es la resistividad a la temperatura T, que puede ser mayor o menor que
T . El factor a se llama coeflciente de temperatura de la resistividad, y en la tabla
25.2 se presentan algunos de sus valores representativos. La resistividad de la alea-
ción llamada manganina es pràcticamente independiente de la temperatura.

Tabla 25.2 Coeficientes de temperatura de la resistividad
(valores aproximados cerca de la temperatura ambiente)

Material

a[(°C)-']

Material

4(°c)-']

Aluminio

0.0039

Plomo

0.0043

Latón

0.0020

Manganina

0.00000

Carbono (grafito)

-0.0005

Mercurio

0.00088

Constantàn

0.00001

Nicromel

0.0004

Cobre

0.00393

Plata

0.0038

Hi erro

0.0050

Tungsteno

0.0045

La resistividad del grafito (un no metal) disminuye con el aumento de la tempera-
tura, ya que a temperaturas mas elevadas, mas electrones "se desprenden" de los àto-
mos y se vuelven móviles; de ahí que el coeflciente de temperatura (o térmico) de la
resistividad del grafito sea negativo. Este mismo comportamiento lo presentan los se-
miconductores (figura 25.6b). Por consiguiente, medir la resistividad de un pequeno
cristal semiconductor significa medir la temperatura con mucha exactitud; éste es
el principio de un tipo de termómetro llamado termistor.

Algunos materiales, que incluyen algunas aleaciones y óxidos metàlicos, presen-
desciende, la resistividad disminuye de manera uniforme, como la de cualquier metal.
Però después de cierta temperatura crítica, T c , ocurre una fase de transición, y la resis-
tividad cae abruptamente hasta cero, como se ilustra en la figura 25.6c. Una vez que
se ha establecido una corriente en un superconductor en forma de anillo, continua en
forma indefinida sin la presencia de ningún campo que la impulse.

La superconductividad fue descubierta en 1911 por el físico holandès Heike Kamer-
lingh Onnes (1853-1926). El descubrió que a temperaturas muy bajas, inferiores a 4.2 K,
la resistividad del mercurio disminuïa de manera repentina hasta cero. Durante los
75 anos siguientes, la T c mas alta que se logró fue de 20 K. Esto quería decir que la su-
perconductividad se conseguía solo cuando el material se enfriaba por medio del costo-
so helio liquido, con punto de ebullición de 4.2 K, o hidrógeno liquido explosivo, cuyo
punto de ebullición es de 20.3 K. Sin embargo, en 1986, Karl Muller y Johannes Bed-
norz descubrieron un oxido de bario, lantano y cobre, con T c cercana a 40 K, con lo que
comenzó la carrera por desarrollar materiales superconductores de "alta temperatura".

En 1987 se descubrió un oxido complejo de itrio, cobre y bario con un valor de T c
muy por encima de la temperatura de ebullición de 77 K del nitrogeno liquido, un refri-
gerante de bajo costo y seguro. La marca actual (en 2006) para la T c a presión atmos-
fèrica es de 138 K, y los materiales superconductores a temperatura ambiente pueden
llegar a ser una realidad. Las implicaciones de estos descubrimientos para los siste-
mas de distribución de energia, diseno de computadoras y sistemas de transporte son
enormes. Mientras tanto, en aceleradores de partículas y ciertos trenes experimentales
de levitación magnètica se utilizan electroimanes superconductores enfriados con he-
lio liquido. Los superconductores tienen otras propiedades exóticas que requieren la
comprensión del magnetismo, un tema que estudiaremos en el capitulo 29.

25.3 Resistència

853

Evalúe su comprensión de la sección 25.2 Se mantiene un campo eléctrico (mp)
constante dentro de un elemento semiconductor al mismo tiempo que se reduce la ¥-*'

temperatura de éste. i,Qué sucede con la densidad de corriente en el semiconductor?
i) Aumenta; ii) disminuye; iii) permanece sin cambio.

25.3 Resistència

Para un conductor con resistividad p, con densidad de corriente / en un punto, el
campo eléctrico E està dado por la ecuación (25.5), que se escribe como

E = pj

(25.7)

Cuando se cumple la ley de Ohm, p es constante e independiente de la magnitud del
campo eléctrico, por lo que E es directamente proporcional a /. Sin embargo, es fre-
cuente que estemos mas interesados en el total de corriente en un conductor que en /,
y también que tengamos mas interès en la diferencia de potencial entre las terminales del
conductor que en E. Esto se debe en buena parte a que la corriente y la diferencia
de potencial son mucho mas fàciles de medir que J y E.

Suponga que nuestro conductor es un alambre con sección transversal uniforme de
àrea A y longitud L, como se llustra en la figura 25.7. Sea V la diferencia de potencial en-
tre los extremos de mayor y menor potencial del conductor, de manera que V es positiva.
La dirección de la corriente siempre va del extremo de mayor potencial al de menor
potencial. Esto se debe a que en un conductor la corriente fluye en dirección de E, sin im-
portar el signo de las cargas en movimiento (figura 25.2), y porque E apunta en la direc-
ción del potencial eléctrico decreciente (véase la sección 23.2). A medida que la corriente
fluye a través de la diferencia de potencial, la energia potencial elèctrica se pierde; esta
energia se transfiere a los iones del material conductor durante las colisiones.

También se puede relacionar el valor de la corriente / con la diferencia de poten-
cial entre los extremos del conductor. Si las magnitudes de la densidad de corriente J
y el campo eléctrico E son uniformes a través del conductor, la corriente total / està
dada por / = JA, y la diferencia de potencial V entre los extremos es V = EL. Cuando
se despejan J y E, respectivamente, en estàs ecuaciones y se sustituyen los resultados
en la ecuación (25.7), se obtiene lo siguiente:

P L ,

V pi

— = — o bien,

L A

V

1

(25.8

Esto demuestra que cuando p es constante, la corriente total / es proporcional a la di-
ferencia de potencial V.

La razón de Va/ para un conductor particular se llama resistència, R:

V
I

R

(25.9)

Al comparar esta definición de R con la ecuación (25.8), se observa que la resistència
R de un conductor particular se relaciona con la resistividad p del material mediante
la ecuación

R --

pL

A

(relación entre la resistència

(25.10)

Si

p es constante,
La ecuación

como en el caso de los materiales óhmicos,

entonces también lo es R.

V =

IR

(relación entre voltaje,
corriente y resistència)

(25.11)

suele identificarse con la ley de Ohm, però es importante entender que el contenido
real de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (para ciertos materiales) de Vcon
respecto a /, o de J con respecto a E. La ecuación (25.9) o la (25.11) definen la resis-
tència R para cualquier conductor, ya sea que cumpla o no la ley de Ohm, però solo
cuando R es constante es correcto llamar a esta relación ley de Ohm.

25.7 Conductor con sección transversal
es uniforme sobre cualquier sección
transversal, y el campo eléctrico
es constante en toda la longitud.

La corriente fluye
del mayor potencial
eléctrico al menor.

Menor
potencial

- V = diferencia
de potencial entre
los extremos

854

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

25.8 Una manguera larga contra
incendios ofrece mucha resistència
al flujo del agua. Para hacer que el agua
fluya ràpido a través de la manguera,
el extremo de la toma debe estar a una
presión mucho mas alta que el extremo
por donde sale el liquido. En forma
anàloga, debe haber una diferencia de
potencial grande entre los extremos
de un conductor largo para que pueda
pasar por él una corriente elèctrica
sustancial.

Interpretación de la resistència

La ecuación (25.10) muestra que la resistència de un alambre u otro conductor de sec-
ción transversal uniforme es directamente proporcional a su longitud e inversamente
proporcional al àrea de su sección transversal. También es proporcional a la resistivi-
dad del material del que està hecho el conductor.

Una vez màs resulta útil la analogia del liquido que fluye. En forma anàloga a lo
que describe la ecuación (25.10), una manguera angosta ofrece màs resistència al flu-
jo que una ancha, y una manguera larga tiene màs resistència que una corta (figura 25.8).
Se puede incrementar la resistència al flujo si se rellena la manguera con algodón o
arena; esto equivale a aumentar la resistividad. La tasa de flujo del agua es aproxima-
damente proporcional a la diferencia de presión entre los extremos de la manguera. La
tasa de flujo es anàloga a la corriente, y la diferencia de presión es anàloga a la diferen-
cia de potencial ("voltaje"). Sin embargo, no hay que llevar esta analogia demasiado
lejos; la tasa de flujo del agua en un tubo por lo general no es proporcional al àrea de
su sección transversal (véase la sección 14.6).

La unidad del SI para la resistència es el ohm, igual a un volt por ampere (1 íl =
1 V/A). También son de uso común el kiloohm (1 kíl = 10 3 íl) y el megaohm
(1 Mil = 10 6 íl). Un alambre de cobre de calibre 12 y 100 m de longitud — que es
el tamano usual en instalaciones domésticas — , a temperatura ambiente tiene una
resistència de 0.5 íl aproximadamente. Una bombilla de 100 W y 120 V tiene una re-
sistència (a su temperatura de operación) de 140 íl. Si la misma corriente / fluye tan-
to por el alambre de cobre como por la bombilla, la diferencia de potencial V = IR es
mucho mayor a través de la bombilla, y se pierde mucha màs energia potencial por
carga en esta última. La energia que se pierde se convierte en luz y calor en el fila-
mento de la bombilla. Usted no desearía que las instalaciones de su casa se calentaran
al rojo vivo, por lo que su resistència se mantiene baja empleando conductores de
baja resistividad y una gran àrea de sección transversal.

Como la resistividad de un material varia con la temperatura, la resistència de un
conductor especifico también cambia con la temperatura. Para intervalos de tempera-
lación lineal, anàloga a la ecuación (25.6):

Tabla 25.3 Códigos de color para los
resistores

R(T) = R [l + a(T - T )]

(25.12)

Valor como

Valor como

Color

dígito

Negro

1

Cafè

1

10

Rojo

2

10 2

Naranja

3

to 3

Amarillo

4

10"

Verde

5

to 3

Azul

6

10"

Violeta

7

10 7

Gris

8

to 8

Blanco

9

10"

25.9 Este resistor tiene una resistència
de 5.7 kíl, y precisión (tolerància) de
±10%.

Tolerància
Primer dígito ^

En esta ecuación, R(T) es la resistència a la temperatura T, y R es la resistència a la
temperatura T , que con frecuencia se toma como °C o 20 °C. El coeficiente de tem-
peratura de la resistència a es la misma constante que aparece en la ecuación (25.6)
si las dimensiones L y A en la ecuación (25.10) no cambian apreciablemente con la
temperatura; de hecho, éste es el caso para la mayoría de materiales conductores (véa-
se el problema 25.67). Dentro de los limites de validez de la ecuación (25. 12), el cam-
bio en la resistència que resulta de un cambio de temperatura T — T està dado por
R a(T ~ T ).

El dispositivo de un circuito hecho para tener un valor especifico de resistència en-
tre sus extremos se llama resistor. Se pueden adquirir fàcilmente en el comercio re-
sistores desde 0.01 hasta 10 7 íl. Es frecuente que los resistores individuales que se
usan en los circuitos electrónicos sean cilíndricos, midan pocos milímetros de diàme-
tro y de longitud, y tengan alambres que sobresalen de sus extremos. La resistència se
indica con un código estàndar que usa tres o cuatro bandas de colores cerca de un ex-
tremo (figura 25.9), de acuerdo con el esquema que se presenta en la tabla 25.3. Las
primeras dos bandas (comenzando por la banda màs cercana a un extremo) son dígi-
tos, y la tercera es un multiplicador de potencia de 10, como muestra la figura 25.9.
Por ejemplo, el verde- violeta-rojo significa 57 X 10 2 íl, o 5.7 kíl. La cuarta banda, si
està presente, indica la precisión (tolerància) del valor; la ausencia de banda significa
±20%, una banda plateada quiere decir ±10%, y una dorada indica ±5%. Otra ca-
racterística importante de un resistor es la energia elèctrica màxima que es capaz de
disipar sin sufrir danos. Volveremos a este punto en la sección 25.5.

Para un resistor que obedece la ley de Ohm, la gràfica de corriente como función
de la diferencia de potencial (voltaje) es una línea recta (figura 25.10a). La pendien-
te de la recta es \/R. Si el signo de la diferencia de potencial cambia, también cambia el

25.3 Resistència

855

25.10 Relaciones corriente-voltaje para dos dispositivos. Solo para un resistor que
obedezca la ley de Ohm como en a), la corriente / es proporcional al voltaje V.

a)

Resistor óhmico (por ejemplo, un alambre de
metal comn): a temperat ura dada, la corriente
es proporcional al voltaje.

Pendiente =

R

b)
Diodo semiconductor: resistor no óhmico.

/ En dirección de la
corriente y el voltaje
positivos, / se incre-
menta en forma
no lineal con V.

V

En dirección de la
corriente y el voltaje
negativos, fluye
poca corriente.

signo de la corriente producida; en la figura 25.7 esto corresponde a intercambiar los
extremos de mayor y menor potencial del conductor, por lo que el campo eléctrico, la
densidad de corriente y la corriente invierten su dirección. En dispositivos que no
obedecen la ley de Ohm, la relación entre el voltaje y la corriente tal vez no esté en
proporción directa, y quizà sea diferente para las dos direcciones de la corriente. La
figura 25.10b muestra el comportamiento de un diodo semiconductor, un dispositivo
que se usa para convertir corriente alterna en directa, y que realiza muchas funciones
lógicas en los circuitos de computo. Para potenciales V positivos del ànodo (una de
las dos terminales del diodo) con respecto del càtodo (la otra terminal), / aumenta en
forma exponencial con el incremento de V; para potenciales negativos, la corriente es
extremadamente pequena. Así, una diferencia de potencial positiva V ocasiona que
una corriente fluya en la dirección positiva, però una diferencia de potencial negativa
origina poca o ninguna corriente. De este modo, un diodo actua en los circuitos como
una vàlvula de un solo sentido.

Ejemplo 25.2

Campo eléctrico, diferencia de potencial y resistència en un alambre

El alambre de cobre calibre 18 del ejemplo 25.1 (sección 25.1) tiene
un diàmetro de 1.02 mm y sección transversal de 8.20 X 10~ 7 m 2 .
Transporta una corriente de 1.67 A. Calcule a) la magnitud del campo
eléctrico en el alambre, b) la diferencia de potencial entre dos puntos
del alambre separades por una distancia de 50.0 m; c) la resistència de
un trozo de 50.0 m de longitud de ese alambre.

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Se dan los valores de la superfície de la sección trans-
versal A y la corriente I. Las variables que se buscan son la magnitud
del campo eléctrico E, la diferencia de potencial V y la resistència R.

PLANTEAR: La magnitud de la densidad de corriente es J = I/A, y la
resistividad p se da en la tabla 25.1. Con la ecuación (25.5) se calcula
la magnitud del campo eléctrico, E = pj. Una vez calculado E, la dife-
rencia de potencial es tan solo el producto de E por la longitud del
alambre. La resistència se calcula mediante la ecuación (25.11).

EJECUTAR: a) De la tabla 25.1, la resistividad del cobre es 1.72 X
10~ 8 fi • m. Por lo tanto, con la ecuación (25.5),

pJ = - =
0.0350 V/ri

(1.72 X 10~ 8 fi•m)(l.67 A)
8.20 X 10" 7 m 2

b) La diferencia de potencial està dada por

V = EL= (0.0350 V/m) (50.0 m) = 1.75 V

c) De la ecuación (25.11), la resistència de un trozo del alambre de
50.0 m de longitud es

V

R = -

/

1.75 V
1.67 A

1.05 fi

EVALUAR: Para comprobar el resultado del inciso c), se calcula la re-
sistència por medio de la ecuación (25.10):

R

pL _ ( 1.72 X 10" s fi ■ m) (50.0 m)
A ~ 8.20 X 10" 7 m 2

1.05 fi

Conviene hacer hincapié en que la resistència del alambre se define
como la razón entre el voltaje y la corriente. Si el alambre estuviera he-
cho de material no óhmico, entonces R seria diferente para distintos
valores de V, però siempre està dada por R = V/E La resistència tam-
bién està dada por R = pL/A; si el material es no óhmico, p no es cons-
tante, però depende de E (o, en forma equivalente, de V — EL).

856

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

Ejemplo 25.3

Dependència de la resistència con respecto a la temperatura

Suponga que la resistència del alambre del ejemplo 25.2 es 1.05 fi a
20 °C de temperatura. Calcule la resistència a °C y a 100 °C.

Emani

IDENTIFICAR: Este ejemplo tiene que ver con la manera en que la
resistència (la variable buscada) depende de la temperatura. Como se
aprecia en la tabla 25.2, esa dependència diflere para distintas sustancias.

PLANTEAR: Las variables que se buscan son los valores de la resis-
tència R del alambre a dos temperaturas, T — °C y T = 100 °C. Para
encontrar estos valores se emplea la ecuación (25.12). Observe que se
da la resistència R = 1.05 fi a la temperatura de referència T a =
20 °C, y del ejemplo 25.2 se sabé que el alambre es de cobre.

EIECUTAR: De acuerdo con la tabla 25.2, el coeflciente de temperatu-
ra de la resistividad del cobre es a = 0.00393 (C°)~ . De la ecuación
(25.12), la resistència a T = °C es

R = R [l +a(T- T )]

= (1.05 Í1){1 + [0.00393 (C°) _l ][0°C - 20 °C]}
= 0.97 fi

AT= 100 °C,
R = (l.05fí){l
= 1.38 fi

+ [0.00393 (C°)~'][100°C - 20 °C]}

EVALUAR: La resistència a 100 °C es mayor que a °C en un factor
de (1.38 fi)/(0.97 fi) = 1.42. En otras palabras, al aumentar la tempe-
ratura del alambre común de cobre de °C a 100 °C, su resistència au-
menta en un 42%. De la ecuación (25.11), V = IR, esto significa que se
requiere un 42% mas de voltaje para producir la misma corriente I a
100 °C que a °C. Éste es un efecto sustancial que debe tenerse en
cuenta al disenar circuitos eléctricos que deban operar en un intervalo
amplio de temperaturas.

Ejemplo 25.4

Calculo de la resistència

El cilindro hueco que se ilustra en la figura 25.11 tiene una longitud L y
ràdios interior y exterior a y b. Està hecho de un material cuya resistivi-
dad es p. Se establece una diferencia de potencial entre las superfícies in-
terior y exterior del cilindro (cada una de las cuales es una superfície
equipotencial), de manera que la corriente fluye en forma radial a través
del cilindro. ^Cuàl es la resistència a este flujo radial de corriente?

EIEEHa

IDENTIFICAR: La figura 25.11 indica que la corriente fluye de mane-
ra radial del interior del conductor hacia el exterior, no a lo largo del
conductor, como se ilustra en la figura 25.7. De ahí que se deban usar
los conceptos de esta sección para obtener una fórmula nueva para la
de corriente.

PLANTEAR: No es posible utilizar directamente la ecuación (25.10)
porque la sección transversal por la que viaja la carga no es constante,
sinó que varia de liraL en la superfície interna, a lirbL en la externa.
En vez de ello, calculamos la resistència al flujo de corriente radial a
través de una coraza (capa) cilíndrica delgada de radio interior r y es-
pesor dr. Después combinamos las resistencias para todas esas corazas
entre el radio interior y el exterior del cilindro.

EJECUTAR: El àrea A para la coraza es lirrL, el àrea superficial que
encuentra la corriente cuando fluye al exterior. La longitud de la tra-
yectoria de la corriente a través de la coraza es dr. La resistència dR de
esta coraza, entre las superfícies interna y externa, es la de un conduc-
tor con longitud dr y àrea 2-nrL:

p dr

2-rrrL

dR

La corriente tiene que pasar sucesivamente a través de todas esas
corazas entre los ràdios a y b. De la ecuación (25.11), la diferencia de
potencial a través de una coraza es dV = [dR, y la diferencia de poten-
cial total entre las superfícies interna y externa es la suma de las dife-
rencias de potencial para todas las corazas. La corriente total es la
misma a través de cada coraza, por lo que la resistència total es la suma

de las resistencias de todas las corazas. Si el àrea lirrL fuera constante,
bastaria con integrar drder = aar = b para obtener la longitud total
de la trayectoria de la corriente. Però el àrea se incrementa conforme la
corriente pasa a través de corazas de mayor radio, por lo que tenemos
que integrar la expresión anterior para dR. Entonces, la resistència to-

P ("dr
2ttL)„ r

R

dR

P . b
In —

2ttL a

EVALUAR: La geometria del conductor que se ilustra en la figura 25.11
desempefía un papel importante en el sistema nervioso del cuerpo hu-
mano. Cada neurona, o célula nerviosa, tiene una extensión larga llama-
da fibra nerviosa o axón. Un axón tiene una membrana cilíndrica cuya
forma se asemeja mucho a la de un resistor como el de la figura 25.11,
con un fluido conductor en el interior de la membrana y otro fuera de
esta. Lo común es que todo el fluido interior esté al mismo potencial,
por lo que no hay corriente que tienda a fluir a lo largo del axón. Sin
embargo, si un axón se ve estimulado en cierto punto de su longitud, io-
nes con carga fluyen radialmente en ese punto a través de la membrana
cilíndrica, como se aprecia en la figura 25.11. Este flujo causa una dife-
rencia de potencial entre ese punto y otros puntos a lo largo del axón, lo
que permite que las senales neurológicas fluyan en esa dirección.

25.1 1 Calculo de la resistència para un flujo de corriente radial.

Sección transversal

Evalúe su comprensión de la sección 25.3 Supongaque se incrementa el voltaje a
través del alambre de cobre de los ejemplos 25.2 y 25.3. El voltaje incrementado hace que fluya
mas corriente, lo que provoca que suba la temperatura del conductor. (Esto mismo ocurre
en las bobinas de un horno o tostador eléctrico cuando se les aplica un voltaje. Esto se estudiarà
con mas profundidad en la sección 25.5.) Si se duplica el voltaje a través del alambre, aumenta
la corriente en éste. ^,En qué factor se incrementa? i) 2; ii) mas de 2; iii) menos de 2.

25.4 Fuerza electromotriz y circuitos 857

25.4 Fuerza electromotriz y circuitos

Para que un conductor tenga una corriente constante, debe ser parte de una trayectoria
que forme una espira cerrada o circuito completo. A continuación se explica por qué.
Si se establece un campo eléctrico E t dentro de un conductor aislado con resistividad
p que no es parte de un circuito completo, comienza a fluir una corriente cuya densi-
dad es / = Ejp (figura 25.12a). Como resultado, en un extremo del conductor se
acumula con rapidez una carga neta positiva, y en el otro extremo se acumula una car-
ga neta negativa (figura 25.12b). Estàs cargas producen un campo eléctrico E 2 en la
dirección opuesta a E u lo que ocasiona que el campo eléctrico total y, por lo tanto,
la corriente disminuyan. En una pequena fracción de segundo, se acumula suficiente
carga en los extremos del conductor, de manera que el campo eléctrico total es
E = Ei + E 2 = dentro del conductor. Luego, también / = 0, y la corriente cesa
por completo (figura 25.12c). Por lo tanto, no puede haber un movimiento constante
de carga en un circuito incompleto.

Para ver cómo mantener una corriente constante en un circuito completo, recorde-
mos un hecho bàsico sobre la energia potencial elèctrica: si una carga q recorre un cir-
cuito completo y regresa a su punto de partida, la energia potencial debe ser la misma
al final y al principio del recorrido. Como se dijo en la sección 25.3, siempre hay una
disminución de la energia potencial cuando se desplazan cargas a través de un mate-
rial conductor ordinario con resistència. Así que debe haber una parte en el circuito en
la que la energia potencial se incremente.

El problema es anàlogo a una fuente de agua ornamental que recicla el liquido. El
agua cae desde las aberturas en la parte superior, forma cascadas en las terrazas y es-
curre (se desplaza en la dirección en que disminuye la energia potencial gravitacio-
nal) para acumularse en la pileta inferior. Después, una bomba la lleva de nuevo a la
parte superior (incrementando la energia potencial) y el cicló se repite. Sin la bomba,
el agua caería a la base y se quedaria ahí.

25.12 Si se produce un campo eléctrico
dentro de un conductor que no forma
parte de un circuito completo, la corriente
fluye solo durante un breve tiempo.

a) Un campo eléctrico Ej producido dentro
de un conductor aislado genera una corriente.

b) La corriente hace que en los extremos
se acumule carga.

La carga acumulada produce un campo
opuesto E 2 , lo que reduce la corriente.

c) Al cabo de un lapso muy corto E 2 tiene
la misma magnitud que £] ; entonces, el
campo total es £ loli j = y la corriente cesa
por completo.

Fuerza electromotriz

En un circuito eléctrico debe haber en algun punto de la espira un dispositivo que ac-
túe como la bomba hidràulica de la fuente (figura 25.13). En este dispositivo una car-
ga viaja "hacia arriba", del lugar donde hay menos energia potencial hacia donde hay
mas, aun cuando la fuerza electrostàtica trate de llevaria de la mayor energia poten-
cial a la menor. La dirección de la corriente en ese dispositivo es del potencial mas
bajo al mas alto, exactamente lo opuesto de lo que ocurre en un conductor ordinario.
La influencia que hace que la corriente fluya del potencial menor al mayor se llama
fuerza electromotriz (se abrevia fem). Éste es un termino inadecuado porque la fem
no es una fuerza, sinó una cantidad de energia por unidad de carga, como el potencial.
La unidad del SI de la fem es la misma que la del potencial, el volt (IV = 1 J/C). Una
bateria de linterna común tiene una fem de 1.5 V; esto significa que la bateria hace un
trabajo de 1.5 J por cada coulomb de carga que pasa a través de ella. Para denotar la
fem se usarà el símbolo £ (la letra E manuscrita).

Todo circuito completo con corriente constante debe induir algun dispositivo que
provea una fem. Tal dispositivo recibe el nombre de fuente de fem. Algunos ejem-
plos de fuentes de fem son las baterías, los generadores eléctricos, las celdas sola-
res, los termopares y las celdas de combustible. Todos estos dispositivos convierten
energia de alguna forma (mecànica, química, tèrmica, etcètera) en energia potencial
elèctrica y la transfieren al circuito al que està conectado el dispositivo. Una fuente

25. T3 Así como una fuente de agua
requiere de una bomba, un circuito eléctrico
necesita una fuente de fuerza electromotriz
para mantener una corriente constante.

858

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

A c tv
Physics

12.1 Círcuitos de CD en sèrie (cualitativos)

25.14 Diagrama de una fuente de fem
en una situación de "circuito abierto".
La fuerza del campo eléctrico F c = qE
y la fuerza no electrostatica F„ se ilustran
actuando sobre una carga positiva q.

Terminal en el
potencial mayor

Fuerza no
electrostatica

l•que tiende a

carga al poten-
cial mayor.

Fuerza debida
al campo
eléctrico.

v Terminal en el
potencial menor

Cuando la fuente de fem no es parte de un
circuito cerrado, F a — F e y no hay movimiento
neto de carga entre las terminales.

25.1 5 Diagrama de una fuente ideal de
fem en un circuito completo. La fuerza
del campo eléctrico F e = qE y la
fuerza no electrostatica F„ se ilustran
para una carga q positiva. La dirección
de la corriente es de a a b en el circuito
externo y de b a. a en el interior de la fuente.

El potencial a través de las terminales crea
un campo eléctrico en el circuito, lo que
hace que la carga se desplace.

/

Fuente de
fem ideal
\
V„-i ( +

Cuando una

fuente real (opuesta ^ {

a la ideal) de fem se conecta a un circuito,

disminuye, V ab y por lo tanto F e , de manera que,

F n > F e y F n realiza un trabajo sobre las cargas.

ideal de fem mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales, in-
dependiente de la corriente que pasa a través de ella. La fuerza electromotriz se define
cuantitativamente como la magnitud de esta diferencia de potencial. Como se vera,
las fuentes ideales de este tipo son idealizaciones, como el plano sin fricción y la
cuerda sin masa. Mas adelante se estudiarà en qué difiere el comportamiento de las
fuentes de fem en la vida real con respecto a este modelo idealizado.

La figura 25. 14 es un diagrama de una fuente de fem ideal que mantiene una dife-
rencia de potencial entre los conductores a y b, llamados terminales del dispositivo.
La terminal a, marcada con +, se mantiene a un potencial mas alto que la terminal b,
marcada con — . Asociado con esta diferencia de potencial hay un campo eléctrico E
en la región que rodea a las terminales, tanto adentro como afuera de la fuente. El
campo eléctrico en el interior del dispositivo està dirigido de a a fe, como se ilustra.
Una carga q dentro de la fuente experimenta una fuerza elèctrica F e = qE. Però la
fuente suministra ademàs una influencia adicional, la cual se representa como una
fuerza no electrostatica F n . Esta fuerza, que opera dentro del dispositivo, empuja la
carga de b a a "cuesta arriba" y contra la fuerza elèctrica F e . Así, F n mantiene la dife-
rencia de potencial entre las terminales. Si F n no estuviera presente, la carga fluiria
entre las terminales hasta que la diferencia de potencial fuera igual a cero. El origen
de la influencia adicional F n depende de la clase de fuente. En un generador provie-
ne de las fuerzas del campo magnético de las cargas en movimiento. En una bateria o
celda de combustible està asociada con procesos de difusión y concentraciones elec-
trolíticas variables que son el resultado de reacciones químicas. En una màquina
electrostatica como un generador Van de Graaff (véase la figura 22.27), se aplica una
fuerza mecànica real por medio de una banda o rueda en movimiento.

Si una carga positiva q se desplaza de b a a en el interior de la fuente, la fuerza no
electrostatica F n realiza una cantidad positiva de trabajo W n = q£ sobre la carga. Este
desplazamiento es opuesto a la fuerza electrostatica F e , por lo que la energia potencial
asociada con la carga se incrementa en una cantidad igual a qV„ b , donde V,,,, = V„ — V b
es la diferencia de potencial (positivo) del punto a con respecto al punto b. Para la fuen-
te ideal de fem que se ha descrito, F e y F n tienen igual magnitud però dirección opuesta,
por lo que el trabajo total realizado sobre la carga q es igual a cero; hay un aumento de la
energia potencial però ningún cambio en la energia cinètica de la carga. Es como levan-
tar un libro del piso a un estante elevado con rapidez constante. El incremento en energia
potencial es igual al trabajo no electrostàtico W n , por lo que qE = qV ab , o bien,

= £ (fuente ideal de fem)

V,„

(25.13)

Ahora, consideremos que se forma un circuito completo conectando un alambre
con resistència R a las terminales de una fuente (figura 25. 15). La diferencia de poten-
cial entre las terminales a y b establece un campo eléctrico dentro del alambre; esto
hace que la corriente fluya alrededor de la espira de a hacia b, del potencial màs alto
al màs bajo. Donde el alambre se dobla, persisten cantidades iguales de carga positiva
y negativa en el "interior" y en el "exterior" del doblez. Estàs cargas ejercen las fuer-
zas que hacen que la corriente siga los dobleces del alambre.

De la ecuación (25.11), la diferencia de potencial entre los extremos del alambre
en la figura 25.15 està dada por V„ b = IR. Al combinarse con la ecuación (25.13), se
obtiene

V.„

IR (fuente ideal de fem)

(25.14)

Es decir, cuando una carga positiva q fluye alrededor del circuito, el aumento de po-
tencial £ a medida que pasa a través de la fuente ideal es numéricamente igual a la
caída de potencial V ab = IR conforme pasa por el resto del circuito. Una vez que se
conocen £ y R, esta relación determina la corriente en el circuito.

CUIDADO La corriente no "se gasta" en un circuito Es un error común conside- /
rar que en un circuito cerrado la corriente es algo que sale de la terminal positiva de una
bateria y se consume o "se gasta" en el momento en que llega a la terminal negativa. De hecho,
la corriente es la misma en cualquier punto de una espira simple como la de la figura 25.15, aun
si el espesor de los alambres fuera diferente en distintos puntos del circuito. Esto pasa porque la
carga se conserva (es decir, no se crea ni se destruye) y porque no se puede acumular en los dis-

25.4 Fuerza electromotriz y circuitos 859

positivos del circuito que hemos descrito. Si la carga se acumularà, las diferencias de potencial
cambiarían con el tiempo. Es como el flujo de agua en una fuente de ornato; el agua brota de la
parte superior de la fuente al mismo ritmo con el que llega a la parte inferior, sin importar las di-
mensiones de la fuente. jEl agua no "se gasta" a lo largo del trayecto!

Resistència interna

Las fuentes reales de fem en un circuito no se comportan exactamente del modo des-
crito; la diferencia de potencial a través de una fuente real en un circuito no es igual a
la fem como en la ecuación (25.14). La razón es que la carga en movimiento a través
del material de cualquier fuente real encuentra una resistència, a la que llamamos re-
sistència interna de la fuente, y se denota con r. Si esta resistència se comporta de
acuerdo con la ley de Ohm, r es constante e independiente de la corriente /. Conforme
la corriente avanza a través de r, experimenta una caída de potencial asociada que es
igual a Ir. Así, cuando una corriente fluye a través de una fuente de la terminal negati-
va b a la terminal positiva a, la diferencia de potencial V ab entre las terminales es

V„,, = S-Ir

(voltaje terminal, fuente con
resistència interna)

(25.15)

El potencial V ab , llamado voltaje terminal, es menor que la fem £ a causa del termi-
no Ir que representa la caída de potencial a través de la resistència interna r. Dicho de
otra manera, el aumento en la energia potencial qV ab que se produce cuando una car-
ga q se traslada defcaa dentro de la fuente es ahora menor que el trabajo q£ realiza-

— *
do por la fuerza no electrostàtica F n , ya que se pierde algo de energia potencial al

atravesar la resistència interna.

Una bateria de 1 .5 V tiene una fem de 1 .5 V, però el voltaje terminal V ab de la bate-
ria es igual a 1.5 V solo si no hay corriente que fluya a través de ella, de manera que
en la ecuación (25.15) / = 0. Si la bateria es parte de un circuito completo a través del
cual fluye corriente, el voltaje terminal serà menor de 1.5 V. Para una fuente real de
fem, el voltaje terminal es igual a la fem solo si no hay corriente que fluya a través
de la fuente (figura 25.16). Así, el comportamiento de una fuente se puede describir
en términos de dos propiedades: una fem £, que suministra una diferencia de poten-
cial constante independiente de la corriente, en sèrie con una resistència interna r.

La corriente en el circuito externo conectado a las terminales a y b de la fuente si-
gue determinada por V ab = IR. Al combinar esto con la ecuación (25.15) se obtiene

£ - Ir = IR o bien, /

£

R +

(corriente, fuente con
resistència interna)

(25.16)

Es decir, la corriente es igual a la fuente de fem dividida entre la resistència total del
circuito (R + r).

CUIDADO Una bateria no es una "fuente de corriente" Quizà piense que una bateria
u otra fuente de fem siempre produce la misma corriente sin importar en cual circuito se utilice.
Però, como indica la ecuación (25.16), la corriente que produce una fuente de fem en un circui-
to dado depende de la resistència R del circuito externo (así como de la resistència interna r de
la fuente). Cuanto mayor es la resistència, menos corriente producirà la fuente. Es anàlogo
a empujar un objeto a través de un liquido espeso y viscoso como el aceite o la melaza; si se
ejerce cierto empuje sostenido (fem), es posible desplazar un objeto pequeno con gran rapidez
(R pequeíïa, / grande), o un objeto grande con lentitud (R grande, / pequena).

25.16 La fem de esta bateria — es
decir, el voltaje terminal cuando no
Però como la bateria tiene resistència
interna, el voltaje terminal en ella es
menor que 12 V cuando suministra
corriente a una bombilla.

Símbolos para diagramas de circuito

Una parte importante del anàlisis de un circuito consiste en realizar el diagrama del
circuito. La tabla 25.4 muestra los símbolos usuales que se emplean en los diagramas
de circuito. En este capitulo y en el siguiente se usaran mucho estos símbolos. Por lo
general se supone que los alambres que conectan los diversos elementos del circuito
tienen una resistència despreciable; de la ecuación (25.11), V = IR, la diferencia de
potencial entre los extremos de un alambre de este tipo es igual a cero.

860

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

La tabla 25.4 incluye dos instrumentos que se usan para medir las propiedades de
los circuitos. Los medidores ideales no interfieren con el circuito al cual se conectan.
Un voltímetro, presentado en la sección 23.2, mide la diferencia de potencial entre
sus terminales; un voltímetro idealizado tiene una resistència infinitamente grande y
mide la diferencia de potencial sin tener que desviar ninguna corriente a través él. Un
amperímetro mide la corriente que pasa a través de él; un amperímetro idealizado
tiene resistència igual a cero y no hay diferencia de potencial entre sus terminales.
Como los medidores actúan como parte del circuito al que estan conectados, es im-

Tabla 25.4 Sfmbolos para diagramas de circuito

R

-W&\±-

o bien

+liS

^^A ± jl•

<z>

<\$

Conductor con resistència despreciable.

Resistor.

Fuente de fem (la línea vertical mas larga representa la terminal
positiva, por lo general aquella con el mayor potencial).

Fuente de fem con resistència interna r (la r se puede colocar en

Voltímetro (mide la diferencia de potencial entre sus terminales).
Amperímetro (mide la corriente que pasa a través suyo).

Ejemplo conceptual 25.5

Fuente en un circuito abierto

La figura 25.17 llustra una fuente (bateria) con fem £ de 12 V y resis-
tència interna r de 1 íl. (En comparación, la resistència interna de una
bateria comercial de plomo de 12 V es de solo algunas milésimas de
ohm.) Los alambres a la izquierda de a y a la derecha del amperímetro
ideal Vy del amperímetro A, también ideal.

25.17 Fuente de fem en un circuito abierto.

EiïEHa

No hay corriente porque no hay un circuito completo. (No existe co-
rriente a través de nuestro voltímetro ideal, que tiene resistència infini-
tamente grande.) Por lo tanto, el amperímetro A da una lectura de / = 0.
Como no hay corriente a través de la bateria, no hay diferencia de
potencial a través de su resistència interna. De la ecuación (25.15) con
J = 0, la diferencia de potencial V ab a través de las terminales de la ba-

2ft £ = 12 V

<^

tería es igual a la fem. Por lo tanto, la lectura del voltímetro es
V ílb = £ = 12 V. El voltaje terminal de una fuente real, no ideal,
es igual a la fem solo si no hay corriente que fluya a través de la fuen-
te, como en este ejemplo.

Ejemplo 25.6

Fuente en un circuito completo

En el ejemplo conceptual 25.5, se agrega un resistor de 4 íl para for-
mar el circuito completo que se ilustra en la figura 25.18. ^Cuàles son
ahora las lecturas del voltímetro y del amperímetro?

EHEl•la

IDENTIFICAR: La primera variable quesebuscaesla corriente / a tra-
vés del circuito aa'b'b (igual a la lectura del amperímetro). La segunda
es la diferencia de potencial V,,;, (igual a la lectura del voltímetro).

PLANTEAR: Se calcula / mediante la ecuación (25.16). Para determi-
nar V„j, se observa que éste se puede considerar como diferencia de po-
tencial a través de la fuente o como la diferencia de potencial alrededor
del circuito a través del resistor externo.

25.18 Fuente de fem en un circuito completo.

€>

-^N^\\-

r=2(l,£= 12 V

r = 4 n '>'

>

25.4 Fuerza electromotriz y circuitos 861

EJECUTAR: El amperímetro ideal tiene una resistència igual a cero,
por lo que la resistència externa a la fuente es R = 4 íl. De la ecuación
(25.16), la corriente a través del circuito aa'b'b es

/ =

£

12 V

= 2A

R + r 4 íl + 2Í1

El amperímetro A da una lectura de / = 2 A.

Nuestros alambres conductores ideales tienen una resistència
igual a cero, y el amperímetro idealizado A también. Por lo tanto, no
hay diferencia de potencial entre los puntos a y a' o entre b y b'; es
decir, V clb = V^u- Podemos encontrar V ab considerando a y b como
las terminales del resistor o como las terminales de la fuente. Si las

consideramos como las terminales del resistor, utilizamos la ley de
Ohm (V = IR):

V a , b , = IR= (2A)(4íl) = 8 V

Si las consideramos como las terminales de la fuente, tenemos que

V ílb = £-Ir= 12 V- (2A)(2íl) = 8 V

De cualquier modo, se concluye que la lectura del voltímetro es V„ b = 8 V.

EVALUAR: Con una corriente que fluye a través de la fuente, el voltaje
terminal V,,,, es menor que la fem. Cuanto menor sea la resistència in-
terna r, menor serà la diferencia entre V ab y £ .

Ejemplo conceptual 25.7

Uso de voltímetros y amperímetros

El voltímetro y el amperímetro del ejemplo 25.6 ahora se colocan en
posiciones diferentes en el circuito. ^.Cuàles son las lecturas del voltí-
metro y del amperímetro en las situaciones que se ilustran en d) la fi-
gura 25.19a y b) la figura 25.19b?

25.19 Distintas ubicaciones de un voltímetro y un amperímetro
en un circuito completo.

a)

-S — vw^|i — S-

\ ) r = 2 Cl, S = 12 V

b)

^>

s — v^^Hi — ^-

i — ■ 'VVV — |i ■ — I i — ■ "wv — 1 1 ■ 1

\Ía\ r = 2íl,£=l2V j/ Ía) t = 2íl,£ = 12 V (y\

\—-m V*V frj T— • VW »— Pii

" R = 4 íl b "' R = 4 n V

y.n,

ESHIMI

a) El voltímetro ahora mide la diferencia de potencial entre los puntos
a' y b ' . Però, como se dijo en el ejemplo 25.6, V ab = V„ 7y , por lo que el
voltímetro da la misma lectura que en el ejemplo 25.6; V o7/ = 8 V.

CUIDADO Corriente en una espira simple Tal vez usted se
sienta tentado a conduir que el amperímetro de la figura 25.19a, el cual
se localiza "corriente arriba" del resistor, arrojaría una lectura mayor

que el que està "corriente abajo" del resistor en la figura 25.18. Però
esta conclusión se basa en el error de considerar que la corriente es al-
go que "se gasta" a medida que avanza a través del resistor. Conforme
las cargas se desplazan por un resistor, hay una disminución en la ener-
gia potencial elèctrica, però la corriente no cambia. La corriente en
una espira simple es la misma en todos los puntos. Un amperímetro
colocado como el de la figura 25.19a da la misma lectura que el ubica-
do como en la figura 25.18: / = 2 A.

b) A través del voltímetro no hay corriente porque éste tiene una re-
sistència infinitamente grande. Como el voltímetro ahora forma parte
del circuito, no hay corriente en el circuito, por lo que la lectura del
amperímetro es / = 0.

El voltímetro mide la diferencia de potencial V hb , entre los puntos b
y b'. Como / — 0, la diferencia de potencial a través del resistor es V a . b >
= IR = 0, y la que hay entre los extremos ay a' del amperímetro ideal
también es igual a cero. Por lo tanto, V w es igual a V tlb , el voltaje ter-
minal de la fuente. Como en el ejemplo conceptual 25.5, no hay co-
rriente que fluya, por lo que el voltaje terminal es igual a la fem, y la
lectura del voltímetro es V„ b = £ = 1 2 V.

Este ejemplo ilustra que los amperímetros y voltímetros también
son elementos del circuito. Al mover el voltímetro de la posición que
tenia en la figura 25.19a a la de la figura 25.19b, cambian la corriente
y las diferencias de potencial en el circuito, en este caso, de forma con-
siderable. Si se quiere medir la diferencia de potencial entre dos puntos
de un circuito sin alterarlo, hay que usar un voltímetro como se ilustra
en la figura 25.18 o 25.19a, no como en la figura 25.19b.

Ejemplo 25.8

Fuente con un cortocircuito

Utilizando la misma bateria de los tres ejemplos anteriores, ahora se
sustituye el resistor de 4 íl con un conductor cuya resistència es igual a
cero. ;Cuàles son las lecturas?

ESUEEU

IDENTIFICAR: Las variables que se buscan son / y V ab , las mismas
que en el ejemplo 25.6. La única diferencia con ese ejemplo es que la
resistència externa ahora es R = 0.

PLANTEAR: La figura 25.20 ilustra el nuevo circuito. Ahora hay una
trayectoria con resistència igual a cero entre los puntos a y b (a tra-
vés de la espira inferior en la figura 25.20). Por consiguiente, la dife-
rencia de potencial entre estos puntos debe ser igual a cero, lo que se
utiliza para resolver el problema.

25.20 Diagrama para este problema.

Y„ b

AAAA^jf

r=2fi,£=l2V

J)t>

R =

continua

862

CAPÍTU LO 25 Corriente, resistència y fuerza electromotriz

EJECUTAR: Debemos tener V„ fc — IR — 1(0) = 0, sin importar cuàl sea
la corriente. Al saber esto, podemos calcular la corriente / mediante la
ecuación (25.15):

V ab = E-Ir=0

e 12 v

/ = - = = 6 A

r 2 CL

La lectura del amperímetro es / = 6 A, y la del voltímetro es V tlb = 0.

EVALU AR: La corriente tiene un valor distinta que la del ejemplo 25.6,
aun cuando se utiliza la misma bateria. Una fuente no proporciona la

misma corriente en todas las situaciones; la cantidad de corriente de-
pende de la resistència interna r y de la resistència del circuito externo.
La situación de este ejemplo se llama cortocircuito. Las terminales
de la bateria estan conectadas directamente una con la otra, sin una re-
sistència externa. La corriente del cortocircuito es igual a la fem £ di-
vidida entre la resistència interna r. Advertència: un cortocircuito
puede representar una situación sumamente peligrosa. Una bateria de
automóvil o una línea elèctrica domèstica tienen una resistència inter-
na muy pequeiia (mucho menor que las de estos ejemplos), y la co-
rriente del cortocircuito es suficientemente grande como para fundir un
alambre delgado o hacer que estalle una bateria. jNo lo intente!

Cambios de potencial alrededor de un circuito

El cambio neto en la energia potencial para una carga q que hace un viaje redondo al-
rededor de un circuito completo debe ser igual a cero. Por lo tanto, el cambio neto del
potencial alrededor del circuito también debe ser igual a cero; en otras palabras, la su-
ma algebraica de las diferencias de potencial y fems alrededor de la espira es igual a
cero. Esto se observa si se escribe la ecuación (25.16) en la forma

£ - Ir - IR =

Una ganancia de potencial de £ està asociada con la fem, y caídas de potencial de lr e
IR estan asociadas con la resistència interna de la fuente y el circuito externo, respec-
tivamente. La figura 25.21 es una gràfica que muestra la forma en que varia el poten-
cial conforme nos movemos alrededor del circuito completo de la figura 25.18. El eje
horizontal no necesariamente representa distancias reales, sinó varios puntos de la es-
pira. Si se toma el potencial igual a cero en la terminal negativa de la bateria, enton-
ces se tiene un aumento £ y una caída Ir en la bateria, así como una caída adicional IR
en el resistor externo; al terminar el recorrido alrededor de la espira, el potencial es de
nuevo como al principio.

En esta sección solo hemos considerado situaciones en las que las resistencias son
óhmicas. Si el circuito incluye un dispositivo no lineal como un diodo (véase la figu-
ra 25.10b), la ecuación (25.16) sigue siendo vàlida, però no se puede resolver alge-
braicamente porque R no es constante. En una situación como ésa, la corriente / se
calcula utilizando métodos numéricos (véase el problema de desafio 25.84).

Por ultimo, haremos hincapié en que la ecuación (25.15) no siempre es una repre-
sentación adecuada del comportamiento de una fuente. La fem tal vez no sea cons-
tante, y lo que hemos descrito como resistència interna quizà sea una relación màs

25.21 Aumentos y caídas de potencial en
un circuito.

2A

"1

^

12 V

12 V

8 V

2Í1

£ = 12V

2A

"T"

Ir = 4V

40

Ï2A

IR = 8V

25.5 Energia y potencia en circuitos eléctricos 863

compleja entre el voltaje y la corriente que no siga la ley de Ohm. No obstante, es
frecuente que el concepto de resistència interna proporcione una descripción adecua-
da de las baterías, los generadores y otros convertidores de energia. La diferencia
principal entre una bateria nueva de linterna y otra usada no es la fem, la cual disrni-
nuye solo un poco con el uso, sinó la resistència interna, que se incrementa de menos
de un ohm cuando la bateria està nueva hasta 1000 fi o mas después de haberla usa-
do mucho. De manera similar, la bateria de un automóvil puede proporcionar menos
corriente al motor de arranque en una mariana fría que cuando la bateria està calien-
te, no porque la fem sea apreciablemente menor, sinó porque la resistència interna
aumenta cuando la temperatura desciende. En los climas fríos, los habitantes toman
varias medidas para evitar esta pérdida, desde utilizar calentadores especiales para
el acumulador hasta remojar la bateria con agua caliente en las mananas muy frías.

Evalúe su comprensión de la sección 25.4 Clasifique los siguientes

circuitos, de la mayor corriente a la menor, i) Un resistor de 1.4 íl conectado a una

bateria de 1.5 V que tiene una resistència interna de 0.10 fi; ii) un resistor de 1.8 íí conectado

a una bateria de 4.0 V que tiene un voltaje terminal de 3.6 V y resistència interna desconocida:

iii) un resistor desconocido conectado a una bateria de 12.0 V con resistència interna de

0.20 íl y un voltaje terminal de 11.0 V.

25.5 Energia y potencia en circuitos eléctricos

Ahora estudiaremos algunas relaciones entre la energia y la potencia en los circuitos
eléctricos. La caja de la figura 25.22 representa un elemento de circuito con diferen-
cia de potencial V a — V b — V ab entre sus terminales y la corriente / que pasa a través
suyo en dirección de a hacia b. Este elemento puede ser un resistor, una bateria u otro;
los detalles no importan. Conforme la carga pasa por el elemento de circuito, el cam-
po eléctrico realiza trabajo sobre la carga. En una fuente de fem la fuerza F n , que se
menciono en la sección 25.4, efectua trabajo adicional.

Conforme una cantidad de carga q pasa a través del elemento de circuito, hay un
cambio en la energia potencial igual a qV ab . Por ejemplo, si q > y V ab = V a — V b es
positiva, la energia potencial disminuye a medida que la carga "cae" del potencial V„
al potencial màs bajo V b . Las cargas en movimiento no ganan energia cinètica porque
la tasa de flujo de carga (es decir, la corriente) que sale del elemento de circuito debe
ser igual que la tasa de flujo de carga que entra a éste. En vez de ello, la cantidad qV ah
representa energia elèctrica transferida hacia el elemento de circuito. Esta situación
ocurre en las bobinas de un tostador o un horno eléctrico, en donde la energia elèctri-
ca se convierte en energia tèrmica.

Tal vez ocurra que el potencial en b sea mayor que en a. En este caso, V ab es nega-
tiva, y hay una transferència neta de energia hacia fuera del elemento de circuito.
Después, el elemento actua como fuente proveyendo energia elèctrica al circuito en
que se encuentra. Esta es la situación habitual para una bateria, la cual convierte ener-
gia química en elèctrica y la entrega al circuito externo. Así, qV ab puede denotar una
se extrae de ese elemento.

En los circuitos eléctricos es màs frecuente que interese la rapidez con la que la
energia se proporciona a un elemento de circuito o se extrae de él. Si la corriente a
través del elemento es /, entonces en un intervalo de tiempo dt pasa una cantidad
de carga dQ = / dt a través del elemento. El cambio en la energia potencial para esta
cantidad de carga es V ab dQ — V ab I dt. Si esta expresión se divide entre dt, se obtiene
la rapidez a la que se transfiere la energia hacia fuera o hacia dentro de circuito. La
relación de transferència de energia por unidad de tiempo es la potencia, y se denota
mediante P; por lo tanto, escribimos

25.22 La potencia de alimentación al
elemento de circuito entre a y b es
P = (V a - V b )I=V ab I.

Ui

Elemento
de circuito

p = v ab i

(rapidez con la que se entrega energia a un
elemento de circuito o se extrae de éste)

(25.17)

864

CAPÍTU LO 25 Corriente, resistència y fuerza electromotriz

La unidad de V ab es un volt, o un joule por coulorab, y la unidad de / es un ampe-
re, o un coulomb por segundo. Entonces, la unidad de P = V^Ies un watt, como de-
be ser:

(1 J/C) (1 C/s) = 1 j/s= 1W
Veamos algunos casos especiales.

Potencia en una resistència pura

Si el elemento de circuito de la figura 25.22 es un resistor, la diferencia de potencial
es Vab — IR- De la ecuación (25.17), la potencia elèctrica entregada al resistor por el
circuito es

P = V ab I = I 2 R ■

R

(potencia entregada a un resistor) (25.18)

25.23 Conversión de la energia en un
circuito simple.

a) Diagrama del circuito

• La fuente de fem convierte energia que no es
elèctrica en energia elèctrica, a una tasa de £1.

• Su resistència interna disipa energia a una tasa
de f-r.

• La diferencia £1 — I r es su potencia de salida.

\ £,r

'•■■+

F n

-

a

^
%-

&

b

~~

Fuente de fem

con resistència interna r

=

a

Circuito
interno

&
b

=:■

b) Circuito real del tipo que se ilustra en el
inciso a) de la figura

En este caso, el potencial en a (donde entra la corriente al resistor) siempre es mayor
que el que hay en b (donde sale la corriente). La corriente entra por la terminal de ma-
yor potencial del dispositivo, y la ecuación (25.18) representa la tasa o rapidez de
transferència de energia potencial elèctrica hacia el elemento de circuito.

iQué le ocurre a esta energia? Las cargas en movimiento colisionan con los àto-
mos en el resistor y transfieren algo de su energia a estos àtomos, lo que incrementa la
energia interna del material. O bien la temperatura del resistor aumenta o hay un flujo
de calor hacia fuera de él, o ambas cosas. En cualquiera de estos casos se dice que la
energia se disipa en el resistor a una tasa de I 2 R. Cada resistor tiene una potencia no-
minal, que es la potencia màxima que el resistor es capaz de disipar sin que se sobre -
caliente o se dane. En las aplicaciones pràcticas, la potencia nominal de un resistor a
menudo es una característica tan importante como el valor de su resistència. Por su-
calentarse y transferir calor al ambiente. Però si se excede la potencia nominal, inclu-
so esa clase de aparatós pueden fundirse y estallar.

Potencia de salida de una fuente

El rectàngulo superior de la figura 25.23a representa una fuente con fem £ y resistèn-
cia interna r, conectada por conductores ideales (sin resistència) a un circuito externo
representado por el rectàngulo inferior. Esto podria describir la bateria de un automó-
vil conectada a uno de los faros (figura 25.23b). El punto a està a un potencial mayor
que el b, por lo que V„ > V b , y V„ b es positiva. Observe que la corriente / sale de la
fuente por la terminal de mayor potencial (en vez de entrar por ahí). Se provee ener-
gia al circuito externo, y la rapidez con la que se entrega al circuito està dada por la
ecuación (25.17):

P = V ab I

Para una fuente que puede describirse por una fem £ y resistència interna r, se usa la
ecuación (25.15):

V ab = £-Ir

Si se multiplica esta ecuación por /, se obtiene

ei - fr

(25.19)

Faro

iQué significan los términos £1 e I 2 rl En la sección 25.4 se definió la fem £ como
el trabajo por unidad de carga que la fuerza no electrostàtica realiza sobre las cargas
cuando éstas son empujadas "cuesta arriba" de b hacia a en la fuente. En el tiempo dt,
fluye una carga dQ — I dt a través de la fuente; el trabajo realizado sobre ella por esta
fuerza no electrostàtica es £ dQ = £1 dt. Así, £1 es la tasa a la que realiza trabajo so-
bre las cargas en circulación cualquier agente que ocasione la fuerza no electrostàtica
en la fuente. Este termino representa la rapidez de conversión de la energia no elèctri-
ca en elèctrica dentro de la fuente. El termino I 2 r es la tasa a la que se disipa energia

25.5 Energia y potencia en circuitos eléctricos 865

elèctrica en la resistència interna de la fuente. La diferencia £1 — I 2 r es la poten-
cia elèctrica neta de salida de la fuente, es decir, la rapidez a la que la fuente entre-
ga energia elèctrica al resto del circuito.

Potencia de entrada a una fuente

Suponga que el rectàngulo inferior de la figura 25.23a es una fuente, con una fem ma-
yor que la de la fuente superior y opuesta a ella. La figura 25.4 muestra un ejemplo
practico: el proceso de carga de una bateria de automóvil (el elemento de circuito su-
perior) por el alternador del vehículo (el elemento inferior). La corriente / en el cir-
cuito es opuesta a la de la figura 25.23; la fuente inferior empuja corriente de regreso
hacia la fuente superior. En virtud de esta inversión de la corriente, en vez de la ecua-
ción (25.15), para la fuente superior se tiene

y en vez de la ecuación (25.19), tenemos

P = VJ

SI + I 2 R

(25.20)

En vez de que el agente que genera la fuerza no electrostàtica de la fuente superior
realice trabajo, se està realizando trabajo sobre el agente. En la fuente superior hay
energia elèctrica que se convierte en energia no elèctrica a una tasa de £1. El termino
I 2 r en la ecuación (25.20) es, de nuevo, la tasa de disipación de energia en la resistèn-
cia interna de la fuente superior, y la suma £1 + I r es la potencia elèctrica total de
alimentación a la fuente superior. Esto es lo que pasa cuando se conecta una bateria
ca a la bateria; parte de esta energia se convierte en energia química que se reconvier-
te después, y el resto se disipa (se pierde) en la resistència interna de la bateria, la
calienta y origina un flujo de calor hacia fuera. Si usted tiene algun aparato o compu-
tadora portàtil con bateria recargable, tal vez haya notado que se calienta mientras se
està cargando.

25.24 Cuando se conectan dos fuentes
en una espira simple, la fuente con mayor
fem entrega energia a la otra fuente.

(fem grande)

Estratègia para resolver problemas 25.1

Potencia y energia en los circuitos

IDENTIFICAR los conceptos relevantes:

Los conceptos de potencia elèctrica de alimentación y salida son apli-
cables a cualquier circuito eléctrico. En la mayoría de los casos se sa-
brà cuando se necesitan estos conceptos porque el problema pedirà en
forma explícita que se considere potencia o energia.

PLANTEAR el problema según los siguientes pasos:

1. Elabore un dibujo del circuito.

2. Identifique los elementos de circuito, incluyendo las fuerzas fem y
los resistores. En capítulos posteriores se agregaran otros elemen-
tos de circuitos, como capacitores e inductores (que se estudian en
el capitulo 30).

3. Determine las variables que se buscan. Lo común es que sean la
potencia de alimentación o de salida para cada elemento de circui-
to, o la cantidad total de energia que entra o sale de un elemento de

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Una fuente de fem £ entrega potencia £1 a un circuito cuando
la corriente / pasa a través de la fuente de — a + . La conversión
de energia se realiza a partir de energia química en una bateria, de
energia mecànica a partir de un generador, etcètera. En este caso,
la fuente tiene una potencia de salida positiva hacia el circuito,
o, de manera equivalente, una potencia de alimentación negativa
a la fuente.

2. Una fuente de fem toma potencia £1 de un circuito — es decir, tiene
una potencia de salida negativa o, en forma equivalente, una poten-
cia de alimentación positiva — cuando pasa corriente a través de la

fuente en dirección de + a — . Esto ocurre cuando se carga una ba-
teria de almacenamiento, es decir, cuando la energia elèctrica se
convierte de nuevo en energia química. En este caso, la fuente tiene
una potencia de salida negativa hacia el circuito o, de manera equi-
valente, una potencia de alimentación positiva a la fuente.

3. Sin importar la dirección de la corriente a través de un resis-
tor, siempre hay una potencia de alimentación positiva al resistor.
Éste extrae energia del circuito a una tasa dada por la expresión
VI = I 2 R = V 2 /R, donde V es la diferencia de potencial a través
del resistor.

4. También hay una potencia de alimentación positiva a la resistència
interna r de una fuente, sin que importe la dirección de la corriente.
La resistència interna siempre retira energia del circuito y la con-
vierte en calor a una tasa de I 2 r.

5. Se necesita calcular el total de energia que se entrega o se extrae de
un elemento de circuito en una cantidad dada de tiempo. Si la po-
tencia que entra a un elemento de circuito o que sale de él es cons-
tante, esta integral es simplemente el producto de la potencia por el
tiempo transcurrido. (En el capitulo 26 encontraremos situaciones
en las que la potencia no es constante. En tales casos, se requiere
una integral para calcular la energia total.)

EVALUAR la respuesta: Compruebe los resultados y no olvide veri-
ficar que la energia se conserva. Esta conservación se expresa en cual-
quiera de dos formas posibles: "potencia de alimentación neta = po-
tencia de salida neta", o "la suma algebraica de las potencia de
alimentación a los elementos de circuito es igual a cero".

866

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

Ejemplo 25.9

Potencias de alimentación y salida en un circuito completo

Para la situación que se analizó en el ejemplo 25.6, calcule la tasa
de conversión de energia (química o elèctrica) y la tasa de disipación de
energia en la bateria, así como la potencia neta de salida de la bateria.

EHEl•la

IDENTIFICAR: Las variables que se buscan son la potencia de salida
de la fuente de fem, la potencia de alimentación a la resistència interna
y la potencia neta de salida de la fuente.

PLANTEAR: La figura 25.25 representa el circuito. Se utiliza la ecua-
ción (25.17) para encontrar la potencia de alimentación o de salida de
un elemento de circuito, y la ecuación (25.19) para la potencia neta
de salida de la fuente.

25.25 Diagrama para este problema.

V ab =V v=

= 2A

EJECUTAR: Del ejemplo 25.6, la corriente en el circuito es / = 2 A.
La tasa de conversión de energia en la bateria es

Sl = (12 V)(2 A) = 24 W

La tasa de disipación de energia en la bateria es

I 2 r = (2A) 2 (2ÍÏ) = 8W

La potencia elèctrica de salida de la fuente es la diferencia entre
SI - f-r = 16 W.

EVALUAR: La potencia de salida también està dada por el voltaje ter-
minal V ab = 8 V (calculado en el ejemplo 25.6) multiplicado por la
corriente:

V„,,I = (8 V)(2 A) = 16 W
La potencia elèctrica de alimentación al resistor es

V„ V I = (8 V)(2A) = 16 W
Esto es igual a la tasa de disipación de energia elèctrica en el resistor:

I 2 R = (2A) 2 (4fl) = 16W

Observe que nuestros resultados concuerdan con la ecuación (25.19),
que establece que V ab I = SI — I 2 R; el lado izquierdo de esta ecuación
es igual a 16 W, y el derecho es igual a 24 W — 8 W = 16 W. Esto
comprueba la congruència de las diversas cantidades de potencia.

Ejemplo 25.10

Aumento de la resistència

Suponga que el resistor de 4 D de la figura 25.25 se sustituye por otro
de 8 D. (,Cómo afecta esto la potencia elèctrica disipada en el resistor?

EnEHa

IDENTIFICAR: La variable que se busca es la potencia disipada en el
resistor al que està conectada la fuente de fem.

PLANTEAR: La situación es la misma que la del ejemplo 25.9, però
con un valor diferente de la resistència externa R.

EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (25.18), la potencia disipada
en el resistor està dada por P = I 2 R. Si usted tuviera prisa, tal vez con-
duiria que como R ahora tiene el doble del valor que tenia en el ejem-
plo 25.9, la potencia también se duplicaria y seria 2(16 W) = 32 W.
O tal vez trataría de usar la fórmula P = V„ ( 2 /R; esta fórmula lo lle-
varia a conduir que la potencia debería ser la mitad de la del ejemplo
anterior, es decir, (16 W)/2 = 8 W. j,Cuàl respuesta es la correcta?

En realidad, ambas respuestas son incorrectas. La primera porque
al cambiar la resistència R, también cambia la corriente en el circuito
(recuerde, una fuente de fem no genera la misma corriente en todas las
situaciones). La segunda conclusión también es incorrecta porque la
diferencia de potencial V„ b a través del resistor cambia cuando la co-
rriente cambia. Para conocer la respuesta correcta, primero se usa la
misma tècnica que en el ejemplo 25.6 para obtener la corriente:

/

£

R + r

12 V

:n + 2íi

La mayor resistència hace que la corriente disminuya. La diferencia de
potencial a través del resistor es

V„ b = IR= (1.2 A)(8ft) = 9.6 V

que es mayor que con el resistor de 4 fi. Después, se calcula la poten-
cia disipada en el resistor en cualquiera de dos formas:

P = I 2 R= (l.2A) 2 (8fl) = 12 W obien,

Vj (9.6 V) 2

P = = = 12 W

R 8Í1

EVALUAR: El incremento de la resistència R ocasiona una reducción
en la potencia de alimentación al resistor. En la expresión P = I 2 R es
mas importante la disminución de la corriente que el aumento de la
resistència; en la expresión P = V 2 b JR tiene mayor importància el
aumento en la resistència que el aumento de V ab . Este mismo principio
se aplica a las bombillas eléctricas comunes; una bombilla de 50 W
tiene màs resistència que una de 100 W.

^Podria demostrar que si se sustituye el resistor de 4 fi por otro
de 8 fi, disminuyen tanto la tasa de conversión de energia (química
a elèctrica) en la bateria como la tasa de disipación de energia en la
bateria?

1.2 A

"25.6 Teoria de la conducción metàlica

867

Ejemplo 25.11

Potencia en un cortocircuito

Para el circuito que se analizó en el ejemplo 25.8, calcule las tasas de
conversión de energia y disipación de energia en la bateria, así como la
potencia de salida neta de la bateria.

25.26 El diagrama para este problema es el siguiente:

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Las variables buscadas son otra vez las potencias de

PLANTEAR: La figura 25.26 muestra el circuito. Esta es la misma si-
tuación que la del ejemplo 25.9, però ahora la resistència externa R es
igual a cero.

EJECUTAR: En el ejemplo 25.8 se calculo que en esta situación la co-
rriente es / = 6 A. La tasa de conversión de energia (química a elèctri-
ca) en la bateria es

EI= (12 V) (6 A) = 72 W

La tasa de disipación de energia en la bateria es

I 2 r= (6A) 2 (2ü) = 72W

La potencia de salida neta de la fuente, dada por V ab I, es igual a cero
porque el voltaje terminal V„ b es cero.

:6A

EVALUAR: Con alambres ideales y un amperímetro ideal, de manera
que R = 0, se disipa toda la energia convertida dentro de la fuente. Por
eso, una bateria en cortocircuito se arruina con rapidez y, en ciertos ca-
sos, llega a estallar.

Evalúe su comprensión de la sección 25.5 Ordene los siguientes

circuitos en orden decreciente de sus valores de potencia de salida neta de la bateria.

i) Un resistor de 1 .4 fi conectado a una bateria de 1 .5 V que tiene una resistència interna de

0.10 fi; ii) un resistor de 1.8 íl conectado a una bateria de 4.0 V con voltaje terminal de 3.6 V

y resistència interna desconocida; iii) un resistor desconocido conectado a una bateria de

12.0 V con resistència interna de 0.20 fi y voltaje terminal de 11.0 V.

*25.6 Teoria de la conducción metàlica

Podemos comprender mejor el fenómeno de la conducción elèctrica examinando el
origen microscópico de la conductividad. Consideremos un modelo muy sencillo que
trata los electrones como partículas clàsicas e ignora su comportamiento ondulatorio
en los sólidos según los postulados de la mecànica cuàntica. Con este modelo, obten-
dremos una expresión para la resistividad de un metal. Aun cuando este modelo no
es del todo correcto en términos conceptuales, sirve para desarrollar una idea intuitiva
de las bases microscópicas de la conducción.

En el modelo microscópico mas sencillo de la conducción en un metal, cada àto-
mo del cristal metàlico cede uno o mas de sus electrones externos. Luego, estos elec-
trones quedan en libertad para moverse a través del cristal y colisionan a intervalos
con los iones estacionarios positivos. El movimiento de los electrones es anàlogo al
de las moléculas de un gas que se trasladan a través de un lecho poroso de arena, por
lo que es frecuente referirse a ellos como "gas de electrones".

Si no hay campo eléctrico, los electrones se mueven en línea recta entre las coli-
siones, las direcciones de sus velocidades son aleatorias y, en promedio, nunca llegan
a ninguna parte (figura 22.27a). Però si està presente un campo eléctrico, las trayec-
torias se curvan ligeramente en virtud de la aceleración causada por las fuerzas del
campo eléctrico. La figura 25.27b ilustra algunas trayectorias de un electrón en un cam-
po eléctrico dirigido de derecha a izquierda. Como se dijo en la sección 25.1, la rapi-
dez media del movimiento aleatorio es del orden de 10 6 m/s, mientras que la rapidez
media de deriva es mucho màs baja, del orden de 10~ 4 m/s. El tiempo medio entre las

868

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

25.27 Movimientos aleatorios de
un electrón en un cristal metalico
a) con un campo eléctrico igual a cero,
y b) con un campo eléctrico que provoca
deriva. Las curvaturas de las trayectorias

a) Trayectoria normal de un electrón en
un cristal metalico sin campo interno E

Colisión
con el cristal

b) Trayectoria normal de un electrón en un
cristal metalico con un campo interno E

25.28 El movimiento de una pelota que
rueda por un plano inclinado y rebota en
las estacas que encuentra en su camino es
anàlogo al movimiento de un electrón en
un conductor metalico con un campo
eléctrico presente.

colisiones se denomina tiempo libre medio, y se denota con r. La figura 25.28 mues-
tra una analogia mecànica de este movimiento de electrones.

A partir de este modelo se obtendrà una expresión para la resistividad p de un ma-
terial, definido por la ecuación (25.5):

E

.1

(25.21)

donde E y J son las magnitudes del campo eléctrico y la densidad de corriente.
La densidad de corriente / a su vez està dada por la ecuación (25.4):

J = nqv d

(25.22)

donde n es el número de electrones libres por unidad de volumen, q es la carga de ca-
da uno, y v d es su velocidad media de deriva. (También sabemos que en un metal or-
dinario q = ~e; esto se usarà màs adelante.)

Es necesario relacionar la velocidad de deriva v d con el campo eléctrico E. El valor
de » d està determinado por una condición de estado estable (estacionario) en la que,
en promedio, las ganancias de velocidad de las cargas debidas a la fuerza del campo E
se equilibran exactamente con las pérdidas de velocidad debidas a las colisiones.

Para aclarar este proceso, imaginemos que se ponen en marcha los dos efectos,
uno a la vez. Suponga que antes del momento t — no existe un campo. De esta for-
ma, el movimiento de los electrones es completamente al azar. Un electrón común
tiene velocidad v en el momento t = 0, y el valor de v promediado con respecto a mu-
chos electrones (es decir, la velocidad inicial de un electrón promedio) es igual a cero:
(»o)prom = 0. Así, en el momento t — 0, activamos un campo eléctrico constante E.
El campo ejerce una fuerza F = qE sobre cada carga, lo que ocasiona una acelera-
ción a en dirección de la fuerza que està dada por

_ _ F _qE
m m

donde m es la masa del electrón. Todos los electrones tienen esta aceleración.

Esperamos un tiempo t, el tiempo medio entre colisiones, y en seguida "ponemos
en marcha" las colisiones. Un electrón que en el tiempo t = tiene velocidad v , en el
tiempo t tendra una velocidad igual a

V = V Q + ÜT

"25.6 Teoria de la conducción metàlica 869

La velocidad V maj de un electrón promedio en ese momento es la suma de los prome-
dios de los dos términos de la derecha. Como se dijo, la velocidad inicial v es igual
a cero para un electrón promedio, por lo que

v mei = ar = —E (25.23)

m

Después del tiempo í = t, la tendència de las colisiones a disminuir la velocidad
de un electrón promedio (con las colisiones aleatorias) equilibra con exactitud la
tendència del campo E a incrementar su velocidad. Así, la velocidad de un electrón
promedio, dada por la ecuación (25.23), se mantiene con el tiempo y es igual a la
velocidad de deriva v A :

v d = —E
m

Ahora, se sustituye esta ecuación para la velocidad de deriva v d en la ecuación

(25.22):

-> _, nq 2 T ->

J = nqv d = E

m

Al comparar esta ecuación con la ecuación (25.21), que puede rescribirse como
/ = E/p, y al sustituir q = — e, se observa que la resistividad p està dada por

m

P = — - (25.24)

ne t

Si n y t son independientes de E, entonces la resistividad es independiente de E y
el material conductor obedece la ley de Ohm.

Quizà parezca artificial iniciar las interacciones una a la vez, però el resultado se-
ria el mismo si cada electrón tuviera su propio reloj y los tiempos t — fueran dife-
rentes para distintos electrones. Si t es el tiempo medio entre las colisiones, entonces
v d aún es la velocidad media de deriva de los electrones, aun cuando los movimientos
de estos no estén correlacionados en realidad en la manera en que se postulo.

^Qué pasa con la dependència que tiene la resistividad con respecto a la tempera-
tura? En un cristal perfecto sin àtomos fuera de su lugar, un anàlisis cuàntico correc-
te supondría que los electrones libres se mueven a través del cristal sin ninguna
colisión. Però los àtomos vibran en torno a sus posiciones de equilibrio. Conforme la
temperatura se incrementa, las amplitudes de esas vibraciones aumentan, las colisio-
nes se hacen màs frecuentes y el tiempo libre medio t disminuye. Por lo tanto, esta
teoria predice que la resistividad de un metal aumenta con la temperatura. En gene-
ral, en un superconductor no hay colisiones inelàsticas, t es infinito y la resistividad
p es igual a cero.

En un semiconductor puro como el silicio o el germanio, el número de portadores
de carga por unidad de volumen, n, no es constante, sinó que incrementa con mucha
rapidez al aumentar la temperatura. Este aumento de n supera con creces la reducción
del tiempo libre medio, y en un semiconductor la resistividad siempre decrece con ra-
pidez al aumentar la temperatura. A temperaturas bajas, n es muy pequena, y la resis-
tividad se hace tan grande que el material se considera aislante.

Los electrones ganan energia entre las colisiones en virtud del trabajo que el cam-
po eléctrico realiza sobre ellos. Durante las colisiones, transfieren algo de esta energia
a los àtomos del material del conductor. Esto lleva a un aumento de la energia interna
y la temperatura del material; ésa es la razón por la que los alambres que conducen
corriente se calientan. Si el campo eléctrico en el material es suficientemente grande,
un electrón puede ganar energia suficiente entre las colisiones para desprender elec-
trones que normalmente estan ligados a los àtomos del material. Después, los electro-
nes así lanzados pueden desprender a la vez otros electrones, y así sucesivamente, lo
que posiblemente desate una avalancha de corriente. Esta es la base microscòpica de
la ruptura del dieléctrico en los aislantes.

870

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

Ejemplo 25.12

Tiempo libre medio en el cobre

Calcule el tiempo libre medio entre las colisiones en el cobre a tempe-
ratura ambiente.

■airaroi

IDENTIFICAR: Este problema se basa en las ideas desarrolladas en es-
ta sección.

PLANTEAR: Es posible encontrar una expresión para el tiempo libre
medio t en términos de n, p, e y m, si se reacomoda la ecuación
(25.24). Del ejemplo 25.1 y la tabla 25.1, se sabé que para el cobre n =
8.5 X 10 2S nT 3 y p = 1.72 X KT'íl-m. Asimismo, e = 1.60 X
l(T 19 Cym = 9.11 X 10~ 3 'kgparaloselectrones.

EJECUTAR: De la ecuación (25.24) se obtiene

ne'p

9.11 X l(T 31 kg

(8.5 X 10 2S rrT 3 )(l.60 X 10"
= 2.4 X 10~ 14 s

'C) 2 (1.72 X l(T 8 fl-m)

EVALUAR: Al tomar el recíproco de este tiempo, se encuentra que ca-
da electrón experimenta en promedio jalrededor de 4 X 10 13 colisiones

Evalúe su comprensión de la sección 25.6 ;,Cuàl de los siguientes factores, al
incrementarse, harà que sea mas difícil producir cierta cantidad de corriente en un conductor?
(Puede haber mas de una respuesta correcta.) i) La masa de las partículas con carga en
movimiento en el conductor; ii) el número de las partículas con carga en movimiento
por metro cúbico; iii) la cantidad de carga en cada partícula en movimiento; iv) el tiempo
medio entre las colisiones para una partícula cualquiera con carga y en movimiento.

CAPÍTULO 25 RESUMEN

de carga que fluye a través de un àrea especificada, por
unidad de tiempo. La unidad del SI para la corriente es el
ampere, que es igual a un coulomb por segundo (1 A = 1 C/s).
La corriente / a través de un àrea A depende de la concen-
tración n y la carga q de los portadores de carga, así como
de la magnitud de su velocidad de deriva íí d . La densidad de
corriente es corriente por unidad de àrea de la sección
transversal. La corriente se describe convencionalmente
en términos de un flujo de carga positiva, aun cuando los
portadores de carga real sean negativos o de ambos signos.
(Véase el ejemplo 25.1.)

/

dQ

dt
J = nqv d

n\q\v à A

(25.2)
(25.4)

®^ d &*>"'

&**' ®*-" d *

V a-3 fr^ j

de las magnitudes del campo eléctrico y la densidad de
corriente. Los buenos conductores tienen poca resistividad;
los buenos aislantes tienen alta resistividad. La ley de Ohm,
que obedecen en forma aproximada muchos materiales, esta-
blece que p es una constante independiente del valor de E.
La resistividad por lo general se incrementa con la tempera-
tura; para cambios pequenos de temperatura, esta variación
donde a es el coeficiente de temperatura de la resistividad.

P =

p(T) =p [l +a(T- T )]

(25.5)

(25.6)

Po

Pendiente = p Q a

Metal: p aumenta con
el incremento de T

Resistores: Para los materiales que obedecen la ley de
Ohm, la diferencia de potencial V a través de una muestra
particular de material es proporcional a la corriente / a
través del material. La razón V/1 = R es la resistència de
la muestra. La unidad del SI para la resistència es el ohm
(1 fi = 1 V/A). La resistència de un conductor cilíndrico
se relaciona con su resistividad p, longitud L y àrea de sec-
ción transversal A. (Véanse los ejemplos 25.2 a 25.4.)

V= IR

*-*

A

(25.11)
(25.10)

Circuitos y fem: Un circuito completo tiene una trayectoria
continua por la que circula corriente. Un circuito completo
que lleva una corriente constante debe contener una fuente
de fuerza electromotriz (fem) £. La unidad del SI para la
fuerza electromotriz es el volt (1 V). Una fuente ideal de
fem mantiene una diferencia de potencial constante, inde-
pendiente de la corriente que pasa a través del dispositivo,
però toda fuente real de fem tiene alguna resistència interna r.
Por consiguiente, la diferencia de potencial terminal V ab
depende de la corriente. (Véanse los ejemplos 25.5 a 25.8.)

V ab = S-Ir (25.15)

(fuente con resistència interna)

'l

WV^I •— i

= 2fl,£= 12 V (aYJ7

-J/»y • — I

a' R = 4 il b'

Energia y potencia en los circuitos: Un elemento de
circuito con diferencia de potencial V„ ~ Vj = V„ h y
corriente / introduce energia al circuito si la dirección
de la corriente es del potencial màs bajo al màs alto en
el dispositivo, y extrae energia del circuito si la corriente
es la opuesta. La potencia P (tasa de transferència de
energia) es igual al producto de la diferencia de potencial
por la corriente. Un resistor siempre extrae energia
elèctrica del circuito. (Véanse los ejemplos 25.9 a 25.11.)

P = V CI[ ,I (25.17)

(elemento general de circuito)

P = V,J =TR =

R

(25.18)

Elemento
de circuito

(potencia que entra en un resistor)

871

872

CAPÍTU LO 25 Corriente, resistència y fuerza electromotriz

Conducción en los metales: La base microscòpica de la conducción en los metales es el movimiento de
los electrones que se desplazan con libertad por el cristal metàlico, chocando con los centros iónicos
del cristal. En un modelo clàsico aproximado de este movimiento, la resistividad del material se relaciona
con la masa del electrón, la carga, la rapidez de movimiento aleatorio, la densidad y el tiempo libre
medio entre las colisiones. (Véase el ejemplo 25.12.)

Desplazamiento
^ neto

Términos clave

corriente, 847
corriente convencional, 848
ampere, 848
concentración, 848
ley de Ohm, 850

coeficiente de temperatura de la resistividad, 852

resistència, 853

ohm, 854

resistor, 854

circuito completo, 857

fuerza electromotriz (fem), 857
fuente de fem, 857
resistència interna, 859
voltaje terminal, 859
voltímetro, 860
amperímetro, 860
tiempo libre medio, 868

Respuesta a la pregunta de inicio de capitulo í

La corriente que sale es igual a la corriente que entra. En otras pala-
bras, la carga debe entrar a la bombilla con la misma rapidez con la
que sale. Conforme fluye por la bombilla no "se gasta" ni se consume.

Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión

25.1 Respuesta: v) Al duplicarse el diàmetro se incrementa el àrea
de la sección transversal A en un factor de 4. Por lo tanto, la magni-
tud de la densidad de corriente J = I/A se reduce a j del valor del
ejemplo 25.1, y la magnitud de la velocidad de deriva u d = Jl>i\q\
se reduce en el mismo factor. La nueva magnitud es v d = (0.15 mm/s)/
4 = 0.038 mm/s. Este comportamiento es el mismo que el de un Bui-
do incompresible, que disminuye cuando pasa de un tubo estrecho a
otro mas ancho (véase la sección 14.4).

25.2 Respuesta: ii) La figura 25.6b indica que la resistividad p de un
semiconductor se incrementa conforme disminuye la temperatura. De
la ecuación (25.5), la magnitud de la densidad de corriente es J = E/p,
por lo que la densidad de corriente disminuye a medida que la tempe-
ratura se reduce y la resistividad aumenta.

25.3 Respuesta: iii) La solución de la ecuación (25.11) para la co-
rriente indica que / = V/R. Si la resistència R del alambre permanece
sin cambio, la duplicación del voltaje V haría que la corriente / tam-
bién se duplicarà. Sin embargo, en el ejemplo 25.3 se vio que la resis-
tència no es constante: a medida que la corriente aumenta y la
temperatura se eleva, R también aumenta. Así que la duplicación del
voltaje produce una corriente menor que el doble de la corriente origi-
nal. Un conductor óhmico es aquél para el que R = V/7 tiene el mismo

valor sin importar cuàl sea el voltaje; así pues, el alambre es no óhmi-
co. (En muchos problemas pràcticos, el cambio de temperatura del
alambre es tan pequeno que se ignora, por lo que se puede considerar
sin problema que el alambre es óhmico. En casi todos los ejemplos del
libro se hace así.)

25.4 Respuestas: iii), ii), i) Para el circuito i), se calcula la corriente
con la ecuación (25.16): I = £/(R + r) = (1.5 V)/(1.4 íl + 0.10 íl) =
1 .0 A. Para el circuito ii), se observa que el voltaje terminal V„ b = 3.6 V
es igual al voltaje IR a través del resistor de 1.8 íl: V„ b = IR, por lo que
I = VJR = (3.6 V)/(1.8 V) = 2.0 A. Para el circuito iii), se utiliza la
ecuación (25.15) para determinar el voltaje terminal: V ab — £ — Ir, por
loque/= (5- V ab )/r = (12.0 V - 11.0 V)/(0.20 íl) = 5.0 A.

25.5 Respuestas: iii), ii), i) Estos son los mismos circuitos que se
analizaron en Evalúe su comprensión de la sección 25.4. En cada caso,
la potencia neta de salida de la bateria es P = V ab I, donde V ab es el vol-
taje terminal de la bateria. Para el circuito i), se vio que / = 1.0 A, por
lo que V ah = £- Ir = 1.5 V - (1.0 A) (0.10 íl) = 1.4 V, de ma-
nera que P — (1.4 V) (1.0 A) = 1.4 W. Para el circuito ii), se tiene
que V ílb = 3.6 V y se encontró que 1 = 2.0 A, por lo que P = (3.6 V)
(2.0 A) = 7.2 W. Para el circuito iii), se tiene que V ub = 11.0 V y se
determino que / = 5.0 A, así que P = (11.0 V) (5.0 A) = 55 A.

rriente se incrementa conforme aumenta la resistividad p. De la ecua-
ción (25.24), p — minem'T, por lo que al alimentar la masa m se
incrementarà la resistividad. Esto es así porque una partícula màs ma-
siva con carga responderà con màs lentitud ante la aplicación de un
campo eléctrico, por lo que la deriva serà màs lenta. Para generar la
misma corriente se necesitaría un campo eléctrico màs intenso. (El au-
mento de n, e o t haría que la resistividad disminuyera y seria màs fà-

PROBLEMAS

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Preguntas para anàlisis

P25.1. La definición de resistividad (p = E/J) implica que existe un
campo eléctrico dentro de un conductor. Però en el capitulo 21 se vio

que en el interior de un conductor no puede haber ningún campo eléc-
trico. iHay alguna contradicción en esto? Dé una explicación.
P25.2. Una varilla cilíndrica tiene resistència R. Si se triplica su lon-
gitud y diàmetro, ;,cuàl serà su resistència en términos de /í?

Preguntas para anàlisis

873

Figura 25.31 Pregunta P25. 15.

P25.3. Una varilla cilíndrica tiene una resistividad p. Si se triplica su
longitud y diàmetro, (,cuàl serà su resistividad en términos de p?
P25.4. Dos alambres de cobre de distintes diàmetros se unen por los
extremos. Si una corriente fluye por la combinación de alambres,
iqué sucede con los electrones cuando se mueven del alambre de
mayor diàmetro al alambre de menor diàmetro? Su rapidez de deriva,
;,aumenta, disminuye o permanece sin cambio? Si la velocidad de
deriva cambia, ^cuàl es la fuerza que origina el cambio? Explique
su razonamiento.

P25.5. ^Cuando una bateria AAA de 1.5 V no es en realidad de 1.5 V?
Es decir, ;,cuàndo proporcionan sus terminales una diferencia de po-
tencial menor de 1.5 V?

P25.6. La diferencia de potencial entre las terminales de una bateria,
^.puede alguna vez ser en dirección opuesta a la de la fem? Si es así, dé
un ejemplo. Si no, explique por que.

P25.7. Una regla pràctica que se utiliza para determinar la resistència
interna de una fuente es que esta es igual al resultado de dividir el vol-
taje de circuito abierto entre la corriente del cortocircuito. ^Esto es
cierto? ^Por qué?

P25.8. Las baterías siempre tienen rotulada su fem; por ejemplo, una
bateria de tamafto AA para linterna dice "1.5 volts". ^Sería apropiado
etiquetarlas también con la corriente que producen? ^Por qué?
P25.9. Hemos visto que un coulomb es una cantidad enorme de carga;
es pràcticamente imposible colocar una carga de 1 C en un objeto. Sin
embargo, una corriente de 10 A, o 10 C/s, es muy razonable. Explique
esta discrepància aparente.

P25.10. Los electrones en un circuito eléctrico pasan a través de un re-
sistor. El alambre a ambos lados del resistor tiene el mismo diàmetro.
a) ;,Cómo es la rapidez de deriva de los electrones antes de que entren
al resistor, en comparación con la rapidez que tienen al salir de éste?
Explique su razonamiento. b) <,Cómo es la energia potencial de un
electrón antes de entrar en el resistor, en comparación con la que tiene
después de salir del resistor? Explique su razonamiento.
P25.ll. La corriente ocasiona que la temperatura de un resistor real se
incremente. <,Por qué? ^Qué efecto tiene el calentamiento sobre la re-
sistència? Explique.
P25.12. ^.Cuàl de las gràficas que aparecen en la figura 25.29 llustra Figura 25.32 Pregunta P25. 16.

la figura 25.30a, las dos bombillas A y B son idénticas. En compara-
ción con la bombilla A, (,1a bombilla B brilla mas, igual o menos? Ex-
plique su razonamiento. b) Se retira la bombilla B del circuito y éste
se completa como se ilustra en la figura 25.30b. En comparación con
el brillo de la bombilla A en la figura 25.30a, ^ahora la bombilla A
brilla mas, igual o menos? Explique su razonamiento.
P25.15. (Véase la pregunta para anàlisis P25.14.) En un circuito se co-
locan un amperímetro ideal A, una bateria y una bombilla, como se
ilustra en la figura 25.31a, y se anota la lectura del amperímetro. Des-
pués, el circuito se vuelve a conectar como en la figura 23.31b, de ma-
nera que las posiciones del amperímetro y la bombilla se invierten.
a) ^Cómo se compara la lectura del amperímetro en la situación que
se ilustra en la figura 25.31a con la de la figura 25.31b? Explique su
razonamiento. b) ^En qué situación brilla màs la bombilla? Explique
su razonamiento.

a)

£
■*\\-

b)

J@L

Bombilla

0—1 ^A>

£

^L

Bombilla

P25.16. (Véase la pregunta para anàlisis P25.14.) ^Brillarà màs una
bombilla cuando se conecta a una bateria como se ilustra en la figura
25.32a, con un amperímetro ideal A colocado en el circuito, o cuando
se conecta como se representa en la figura 25.32b, con un voltímetro
ideal V colocado en el circuito? Explique su razonamiento.

mejor la corriente / en un resistor real como función de la diferencia de
potencial Va través suyo? Explique. (Sugerencia: vea la pregunta para
anàlisis P25.ll.)

a)

b)

Figura 25.29 Pregunta P25. 12.
a) b) c)

I I I

d)

Bombilla

M-

Bombilla

-®-L

P25.13. ^Por qué una bombilla casi siempre se funde en el momento de
encender la luz, y rara vez mientras ya està encendido?
P25.14. Una bombilla brilla porque tiene resistència; su brillo aumenta
con la potencia elèctrica que disipa. a) En el circuito que se ilustra en

Figura 25.30 Pregunta P25. 14.

a) £ b)

Bombilla A Bombilla B

Bombilla A

P25.17. La energia que puede extraerse de una bateria de almacena-
miento siempre es menor que la que entra cuando se carga. ;,Por qué?
P25.18. Ocho baterías de linterna en sèrie tienen una fem aproximada
de 12 V, como la de la bateria de un automóvil. (.Servirían para poner
en marcha un vehículo cuya bateria està sin carga? ;,Por qué?
P25.19. Es frecuente que los aviones pequenos tengan sistemas eléc-
tricos de 24 V y no de 12 V como los automóviles, aun cuando los re-
querimientos de energia elèctrica sean aproximadamente los mismos
para ambos tipos de vehículo. La explicación que dan los disefíado-
res de aeronaves es que un sistema de 24 V pesa menos que otro de
12 V porque en él pueden usarse alambres màs delgados. Explique
por qué es así.

P25.20. Las líneas de transmisión de energia elèctrica de larga distan-
cia, siempre operan con un voltaje muy elevado, en ocasiones de hasta
750 kV. ^Cuàles son las ventajas y desventajas de esto?
P25.21. Es común que las líneas eléctricas domésticas de Norteamé-
rica operen a 120 V ^Por qué es deseable este voltaje en vez de otro
considerablemente mayor o menor? Por otro lado, los automóviles

874

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

por lo general tienen sistemas de 12 V. i,Por que es conveniente este
voltaje?

P25.22. Un fusible es un dispositivo disenado para interrumpir un cir-
cuito eléctrico, por lo general haciendo que se funda cuando la corrien-
te supera cierto valor. (,Qué características debe tener el material con
que se fabrica el fusible?

P25.23. Las fuentes de energia de alto voltaje en ocasiones se disenan
con la intención de que tengan una resistència interna elevada, como
medida de seguridad. ^.Por que es mas seguro una fuente de energia
con una gran resistència interna que una con el mismo voltaje però con
menos resistència interna?

P25.24. En el libro se afirma que los buenos conductores térmicos
también son buenos conductores eléctricos. Si esto es así, ^,por qué los
cables que se utilizan para conectar tostadores, planchas y otros apara-
tós que producen calor, no se calientan por conducir el calor que gene-
ra el elemento calefactor?

Ejercicios

Sección 25.1 Corriente elèctrica

25.1. Una corriente de 3.6 A fiuye a través de un taro de automóvil.
^Cuàntos coulombs de carga pasan por el faro en 3.0 h?

25.2. Un alambre de plata de 2.6 mm de diàmetro transfiere una carga
de 420 C en 80 min. La plata contiene 5.8 X 10 2s electrones libres por
metro cúbico. a) (,Cuàl es la corriente en el alambre? b) (,Cuàl es la
magnitud de la velocidad de deriva de los electrones en el alambre?
25.1. Una corriente de 5.00 A corre a través de un alambre de cobre de
calibre 12 (diàmetro, 2.05 mm) y de una bombilla. El cobre tiene 8.5
X 10 28 electrones libres por metro cúbico. a) ;,Cuàntos electrones pa-
san por la bombilla cada segundo? b) ;,Cuàl es la densidad de corriente
en el alambre? c) ^Con qué rapidez un electrón común pasa por cual-
quier punto dado del alambre? d) Si fuera a usarse un alambre con el
doble del diàmetro, ^cuàles de las respuestas anteriores cambiarían?
iLos valores aumentarían o disminuirían?

25.4. Un alambre de calibre 1 8 (diàmetro de 1 .02 mm) transporta una
corriente con densidad de 1.50 X 10 6 A/m 2 . Calcule a) la corriente en
el alambre y b) la velocidad de deriva de los electrones en el alambre.

25.5. El cobre tiene 8.5 X 10 28 electrones libres por metro cúbico.
Un alambre de cobre de calibre 12, equivalente a 2.05 mm de diàme-
tro, y longitud de 71.0 cm, conduce 4.85 A de corriente. a) ;,Cuànto
tiempo se requiere para que un electrón recorra la longitud del alam-
bre? b) Repita el inciso a) para un alambre de cobre de calibre 6 (dià-
metro, 4.12 mm) de la misma longitud y que conduce la misma
corriente. c) En general, ^córao afecta a la velocidad de deriva de los
electrones del alambre el cambio del diàmetro de un alambre que

25.6. Considere el alambre de calibre 18 del ejemplo 25.1. ^Cuàntos
àtomos hay en 1.00 m de cobre? Con la densidad de los electrones
libres dada en el ejemplo, ^cuàntos electrones libres hay por àtomo
de cobre?

25.7. La corriente en un alambre varia con el tiempo de acuerdo con la
relación I = 55 A — (0.65 A/s 2 )r 2 . a) (.Cuàntos coulombs de carga cru-
zan la sección transversal del alambre en el intervalo de tiempo entre t
= s y t — 8.0 s? b) iQué corriente constante transportaria la misma
carga en el mismo intervalo de tiempo?

25.8. Una corriente pasa a través de una solución de cloruro de sodio.
En 1.00 s, llegan al electrodo negativo 2.68 X 10 16 iones de Na + , y al
electrodo positivo arriban 3.92 X 10 16 iones de CL. a) ^Cuàl es la co-
rriente que pasa entre los electrodos? b) ^Cuàl es la dirección de la
corriente?

25.9. Suponga que en la plata metàlica hay un electrón libre por àtomo
de plata. Calcule la densidad de los electrones libres en la plata y com-
pàrela con el valor dado en el ejercicio 25.2.

Sección 25.2 Resistividad y Sección 25.3 Resistència

25.10. a) A temperatura ambiente, ^cuàl es la intensidad del campo
eléctrico que se necesita generar en un alambre de cobre calibre 12
(2.05 mm de diàmetro) para que fluya una corriente de 2.75 A?
b) iQué campo seria necesario si el alambre estuviera hecho de plata?

25.11. Una varilla cilíndrica de 1.50 m de largo y 0.500 cm de diàme-
tro se conecta a una fuente de potencia que mantiene una diferencia de
potencial constante de 15.0 V entre sus extremos, en tanto que un am-
perímetro mide la corriente que la cruza. Se observa que a temperatura
ambiente (20.0 °C) el amperímetro da una lectura de 18.5 A, en tanto
que a 92.0 °C arroja una lectura de 17.2 A. Se puede ignorar la expan-
sión tèrmica de la varilla. Calcule a) la resistividad y b) el coeflciente
de temperatura de la resistividad a 20 °C para el material de la varilla.

2.3 mm por lado. El alambre mide 4.0 m de longitud y conduce una co-
rriente de 3.6 A. La densidad de los electrones libres es 8.5 X 10 28 /m 3 .
Calcule las magnitudes de a) la densidad de la corriente en el alambre
y b) el campo eléctrico en el alambre. c) ^Cuànto tiempo se requiere
para que un electrón recorra la longitud del alambre?

25.13. En un experimento realizado a temperatura ambiente, una co-
rriente de 0.820 A fiuye a través de un alambre de 3.26 mm de diàme-
tro. Calcule la magnitud del campo eléctrico en el alambre si éste es de
a) tungsteno y b) aluminio.

25.14. Un alambre de 6.50 m de largo y 2.05 mm de diàmetro tiene una
resistència de 0.0290 fi. ^De qué material es probable que esté hecho
el alambre?

25.15. Un filamento cilíndrico de tungsteno de 15.0 cm de largo y 1.00
mm de diàmetro va a usarse en una màquina cuya temperatura de ope-
ración variarà entre 20 °C y 120 °C. Conducirà una corriente de 12.5 A
en todas las temperaturas (consulte las tablas 25.1 y 25.2). a) ^Cuàl se-
rà el màximo campo eléctrico en este filamento? b) ;,Cuàl serà su resis-
tència con ese campo? c) ^Cuàl serà la màxima caída de potencial a
todo lo largo del filamento?

25.16. iQué longitud de alambre de cobre de 0.462 mm de diàmetro
tiene una resistència de 1.00 fi?

25.17. Es frecuente que en las instalaciones eléctricas domésticas se
utilice alambre de cobre de 2.05 mm de diàmetro. Determine la resis-
tència de un alambre de ese tipo con longitud de 24.0 m.

25.18. iQué diàmetro debe tener un alambre de cobre si su resistència
ha de ser la misma que la de uno de aluminio de la misma longitud con
diàmetro de 3.26 mm?

25.19. Se necesita producir un conjunto de alambres de cobre cilíndri-
cos de 3.50 m de largo con una resistència de 0.125 fi cada uno. <,Cuàl
serà la masa de cada alambre?

25.20. Un resorte muy apretado con 75 vueltas, cada una de 3.50 cm
de diàmetro, està hecho de alambre metàlico aislado de 3.25 mm de
diàmetro. Un óhmetro conectado a través de sus extremos opuestos da
una lectura de 1.74 fi. ^,Cuàl es la resistividad del metal?

25.21. Un cubo de aluminio tiene lados cuya longitud es de 1.80 m.
^Cuàl es la resistència entre dos de las caras opuestas del cubo?

25.22. Una bombilla que recibe energia de una bateria tiene filamento
de tungsteno. Cuando el interruptor que conecta la bombilla con la ba-
teria se enciende por primera vez y la temperatura de la bombilla es de
20 °C, la corriente en la bombilla es de 0.860 A. Una vez que la bom-
billa ha estado encendida durante 30 s, la corriente es de 0.220 A. Pa-
sado ese tiempo, (,cuàl es la temperatura del filamento?

25.23. Un solido rectangular de germanio puro mide 12 cm X 12 cm
X 25 cm. Si cada una de sus caras es una superfície equipotencial,
^,cuàl es la resistència entre las caras opuestas que estan separadas por
a) la distancia màs grande y b) la distancia màs corta?

25.24. Se aplica una diferencia de potencial de 4.50 V entre los extre-
mos de un alambre de 2.50 m de longitud y 0.654 mm de radio. La co-
rriente resultante a través del alambre es de 17.6 A. ^Cuàl es la

Ejercicios 875

25.25. Un alambre de oro de 0.84 mm de diàmetro conduce una co-
rriente elèctrica. El campo eléctrico en el alambre es de 0.49 V/m.
tCuàles son a) la corriente que conduce el alambre; b) la diferencia
de potencial entre dos puntos del alambre separados por una distan-
cia de 6.4 m; c) la resistència de un trozo de ese alambre de 6.4 m de
longitud?

25.26. La diferencia de potencial entre puntos de un alambre separa-
dos por una distancia de 75.0 cm es de 0.938 V cuando la densidad de
corriente es de 4.40 X 10 7 A/m 2 . ^Cuàles son a) la magnitud de E en
el alambre y b) la resistividad del material con el que està hecho el
alambre?

25.27. a) iCuü\ es la resistència de un alambre de nicromel a 0.0 °C si
su resistència es de 100.00 fi a 11.5 °C? b) ;,Cuàl es la resistència
de una varilla de carbono a 25.8 °C si su resistència es de 0.0160 fi
a0.0°C?

25.28. Se va a utilizar un resistor de carbono como termòmetre En un
dia de invierno en el que la temperatura es de 4.0 °C, la resistència del
resistor de carbono es de 217.3 fi. ^Cuàl es la temperatura en un dia de
primavera cuando la resistència es de 215.8 fi? (Como temperatura
de referència, tome T a igual a 4.0 °C.)

25.29. Un hilo de alambre tiene una resistència de 5.60 /ifi. Calcule la
resistència neta de 120 de tales hilos d) si se colocan lado a lado para
formar un cable de la misma longitud que un solo hilo, y b) si se co-
nectan por sus extremos para formar un alambre 120 veces mas largo
que uno solo de los hilos.

25.30. Un cilindro hueco de aluminio mide 2.50 m de largo y tiene un
radio interior de 3.20 cm y un radio exterior de 4.60 cm. Considere ca-
da superfície (interna, externa y las dos caras de los extremos) como
equipotenciales. A temperatura ambiente, ^.cuàl serà la lectura de un
óhmetro si se conecta entre a) las caras opuestas y b) las superfícies in-
terior y exterior?

Sección 25.4 Fuerza electromotriz y circuitos

25.31. Un cable de transmisión de cobre de 100 km de largo y 10.0 cm
de diàmetro transporta una corriente de 125 A. a) iCuàl es la caída de
potencial a través del cable? b) ^Cuànta energia elèctrica se disipa por
hora en forma de energia tèrmica?

Figura 25.33 Ejercicio 25.32.

4.00 A

25.32. Considere el circuito que
se ilustra en la figura 25.33. El
voltaje terminal de la bateria de
24.0 V es de 21.2 V. ^Cuàles son
a) la resistència interna /■ de la ba-
teria y b) la resistència R del resis-
tor en el circuito?

se conecta a través de las terminales de una bateria mientras se hace
variar la corriente. La figura 25.34 muestra una gràfica de la lectura
del voltímetro V como función de la corriente I a través de la bateria.
Calcule a) la fem £ y b) la resistència interna de la bateria.

4.00 A

25.34. Se conecta un amperímetro idealizado a una bateria, como se
ilustra en la figura 25.35. Determine a) la lectura del amperímetro,
b) la corriente a través del resistor de 4.00 fi y c) el voltaje terminal
de la bateria.

Figura 25.35 Ejercicio 25.34.

<&

2.00 fi 10.0 V

— VW±|F

4.00 fi

25.35. Se conecta un voltímetro ideal V a un resistor de 2.0 fi y una
bateria con una fem de 5.0 V y resistència interna de 0.5 fi, como
se indica en la figura 25.36. a) ;,Cuàl es la corriente en el resistor de
2.0 fi? b) ;,Cuàl es el voltaje terminal de la bateria? c) ;,Cuàl es la lec-
tura en el voltímetro? Explique sus respuestas.

Figura 25.36 Ejercicio 25.35.

0.5 fi 5.0 V
— AW±||

i — w^-

2.0 fi

25.36. El circuito que se ilustra en la figura 25.37 incluye dos bate-
rías, cada una con fem y resistència interna, y dos resistores. Determi-
ne a) la corriente en el circuito (magnitud y dirección); b) el voltaje
terminal V llb de la bateria de 16.0 V; c) la diferencia de potencial V,„.
del punto a con respecto al punto c. d) Con base en la figura 25.21 co-
mo modelo, elabore la gràfica de los aumentos y las caídas del poten-
cial en este circuito.

Figura 25.37 Ejercicios 25.36, 25.38, 25.39 y 25.48.

1.6 fi 16.0 V
— \W±|| —

5.0 fi

1.4 fi 8.0 V
-VW^I

9.0 fi

Figura 25.34 Ejercicio 25.33.
V(V)

ZÍA)

25.37. Cuando se abre el interruptor S de
la figura 25.38, el voltímetro V de la ba-
teria da una lectura de 3.08 V. Cuando se
cierra el interruptor, la lectura del voltí-
metro cae a 2.97 V, y la del amperímetro
es de 1 .65 A. Determine la fem, la resis-
tència interna de la bateria y la resistència
del circuito R. Suponga que los dos ins-
trumentes son ideales, por lo que no afec-
tan el circuito.

25.38. En el circuito de la figura 25.37, el
resistor de 5.0 fi se sustituye por otro de

Figura 25.38 Ejercicio
25.37.

876

CAPÍTU LO 25 Corriente, resistència y fuerza electromotriz

resistència R desconocida. Cuando se hace esto, se conecta un voltíme-
tro ideal a través de los puntos b y c cuya lectura es de 1.9 V. Calcule
a) la corriente en el circuito y b) la resistència R. c) Grafique los au-
mentos y las caídas de potencial en este circuito (véase la figura
25.21).

25.39. En el circuito que se ilustra en la figura 25.37, la bateria de 16.0 V
se retira y se vuelve a instalar con la polaridad invertida, de manera
que ahora su terminal negativa està cercana al punto a. Calcule a) la
corriente en el circuito (magnitud y dirección); b) el voltaje terminal
V ab de la bateria de 16.0 V; c) la diferencia de potencial V m . del punto a
con respecto al punto c. d) Construya la gràfica de los aumentos y las
caídas del potencial en este circuito (véase la figura 25.21).

25.40. Las siguientes mediciones se efectuaron en un resistor de Thyrite:

J(A)

0.50

1.00

2.00

4.00

v*(v)

2.55

3.11

3.77

4.58

(d) Grafique V ab como función de /. b) ^El Thyrite obedece la ley de
Ohm? (.Cómo podria saberse? c) Elabore la gràfica de la resistència
R = V llh /1 como función de /.

25.41. Se efectuaron las siguientes mediciones de corriente y diferen-
cia de potencial en un resistor hecho con alambre de nicromel:

/(A) 0.50 1.00 2.00 4.00

V ab (\) 1.94 3.88 7.76 15.52

d) Grafique W ah como función de /. b) <,E1 nicromel obedece la ley de
Ohm? ^Cómo se puede saber? c) iCu&\ es la resistència del resistor ex-

Sección 25.5 Energia y potencia en circuitos eléctricos

25.42. Un resistor con diferencia de potencial de 15.0 V a través de sus
extremos desarrolla energia tèrmica a una tasa de 327 W. a) iCu&\ es
su resistència? b) ^Cuàl es la corriente en el resistor?

25.43. Bombillas eléctricas. La especificación de la potencia de una
bombilla elèctrica (como las comunes de 100 W) es la potencia que
disipa cuando se conecta a través de una diferencia de potencial de
120 V. ^Cuàl es la resistència de a) una bombilla de 100 W y b) una
bombilla de 60 W? c) ^Cuànta corriente pasa por cada tipo de bom-
billa en su uso normal?

25.44. Si se conecta una bombilla elèctrica de "75 W" (véase el pro-
blema 25.43) a través de una diferencia de potencial de 220 V (como
en Europa), ^cuànta potencia disipa?

25.45. Bombilla elèctrica europea. En Europa el voltaje estàndar
domestico es de 220 V y no de 120 V, como en Estados Unidos. Por
consiguiente, se entiende que una bombilla europea de "100 W" se
usaria con una diferencia de potencial de 220 V (véase el problema
25.44). a) Si se lleva una bombilla europea de "100 W" a un hogar es-
b) iCuànta corriente tomaria la bombilla europea de 100 W al usarse

25.46. El receptor de un sistema de posicionamiento global (GPS),
que funciona con baterías, opera a 9.0 V y toma una corriente de 0.13 A.
^Cuànta energia elèctrica consume en 1.5 h?

25.47. Considere un resistor con longitud L, sección transversal A uni-
forme, y resistividad p uniforme, que conduce una corriente con densi-
dad uniforme 7. Use la ecuación (25.18) para calcular la energia
términos de à) E y 7; b) 7 y p; c) E y p.

25.48. Considere el circuito de la figura 25.37. d) ^Cuàl es la tasa total a
la que se disipa la energia elèctrica en los resistores de 5.00 fi y 9.00 fi?
b) ^Cuàl es la potencia de salida de la bateria de 16.0 V? c) ^A què
tasa se convierte la energia elèctrica en otras formas en la bateria de
8.0 V? d) Demuestre que la potencia de salida de la bateria de 16.0 V

es igual a la tasa total de disipación de energia elèctrica en el resto del
circuito.

25.49. La capacidad de un acumulador, como los que se utilizan en
los sistemas eléctricos de los automóviles, se especifica en amperes-
hora ( A • h ) . Un acumulador de 50 A ■ h puede suministrar una co-
rriente de 50 A durante 1.0 h, o de 25 A durante 2.0 h, y así
sucesivamente. d) ^Cuàl es el total de energia que puede suministrar
un acumulador de 12 V y 60 A ■ h si su resistència interna es insignifi-
cante? b) iQué volumen de gasolina (en litros) tiene un calor total de
combustión que es igual a la energia obtenida en el inciso a)1 (Con-
sulte la sección 17.6; la densidad de la gasolina es 900 kg/m 3 .) c) Si
un generador con potencia de salida elèctrica media de 0.45 kW se co-
necta al acumulador, ^cuànto tiempo se requerirà para que el acumu-

25.50. En el circuito analizado en el ejemplo 25.9, se sustituye el re-
sistor de 4.0 fi por otro de 8.0 fi, como en el ejemplo 25.10. d) Calcu-
le la tasa de conversión de energia química a energia elèctrica en la
bateria. ^Cómo se compara su respuesta con el resultado obtenido en
el ejemplo 25.9? b) Calcule la tasa de disipación de energia elèctrica
en la resistència interna de la bateria. <,Cómo se compara su respuesta
con el resultado que obtuvo en el ejemplo 25.9? c) Use los resultados
de los incisos a) y b) para calcular la potencia de salida neta de la ba-
en el resistor de 8.0 íí, según se calculo para este circuito en el ejem-
plo 25.10?

25.51. Se conecta una bombilla de 25.0 fi a través de las terminales de
una bateria de 12.0 V que tiene una resistència interna de 3.50 fi. iQué
porcentaje de la potencia de la bateria se disipa a través de la resistèn-
cia interna, por lo que no està disponible para la bombilla?

25.52. Se conecta un voltímetro ideal a través de las terminales de una
bateria de 15.0 V, y también un aparato con resistència de 75.0 fi, a
través de las terminales. Si el voltímetro da una lectura de 11.3 V:
d) (.cuànta potencia disipa el aparato y b) cuàl es la resistència inter-
na de la bateria?

25.53. En el circuito de la figura 25.39,
calcule a) la tasa de conversión de la
energia interna (química) a energia elèc-
trica dentro de la bateria; b) la tasa de di-
sipación de la energia elèctrica en la
bateria; c) la tasa de disipación de la ener-
gia elèctrica en el resistor externo.

25.54. Una pequena linterna común con-
tiene dos baterías, cada una con fem de
1.5 V, conectadas en sèrie con una bombilla que tiene resistència de
17 íí. a) Si la resistència interna de las baterías es despreciable,
^cuànta energia se entrega a la bombilla? b) Si las baterías duran
5.0 horas, ^cuàl es la energia total que se proporciona a la bombilla?
c) La resistència de las baterías reales se incrementa a medida que
se consumen. Si la resistència interna inicial es despreciable, ^cuàl es
la resistència interna combinada de ambas baterías cuando la energia
que va a la bombilla ha disminuido a la mitad de su valor inicial?
(Suponga que la resistència de la bombilla es constante. En realidad,
cambiarà algo cuando cambie la corriente que pasa por el filamento,
ya que esto altera la temperatura del filamento y, por lo tanto, su

en líneas de 120 V. a) ^Cuàl es su resistència? b) ;,Cuàl es la corriente
que toma? c) Si el voltaje en la línea disminuye a 1 10 V, ;,cuànta ener-
gia toma el calentador? (Suponga que la resistència es constante. La
realidad es que se modificarà debido al cambio de temperatura.) d ) Las
bobinas del calentador son metàlicas, por lo que la resistència del
calentador se reduce al disminuir la temperatura. Si se toma en cuenta
el cambio de la resistència con la temperatura, ^la energia elèctrica
consumida por el calentador serà mayor o menor de lo que se calculo
en el inciso c)? Explique su respuesta.

Figura 25.39

Ejercicio 25.53.

1.011 12.0 V

5.011

Problemas

877

*Sección 25.6 Teoria de la conducción metàlica

25.56. El silicio puro contiene aproximadamente 1.0 X 10 16 electro-
nes libres por metro cúbico. a) Consulte la tabla 25.1 para calcular el
tiempo libre medio t del silicio a temperatura ambiente. b) Su respues-
ta para el inciso a) es un valor mucho mayor que el tiempo libre medio
del cobre dado en el ejemplo 25.12. Entonces, <,por qué el silicio puro
tiene una resistividad tan grande en comparación con la del cobre?

Problemas

25.57. Un conductor eléctrico disenado para transportar corrientes
grandes tiene una sección transversal circular de 2.50 mm de diàmetro
y 14.0 m de longitud. La resistència entre sus extremos es de 0.104 Cl.

a) ;,Cuàl es la resistividad del material? b) Si la magnitud del campo
eléctrico en el conductor es de 1.28 V/m, ^,cuàl es la corriente total?
c) Si el material tiene 8.5 X 10 28 electrones libres por metro cúbico,
calcule la rapidez de deriva media en las condiciones descritas en el
inciso b).

25.58. Un tubo de plàstico de 25.0 m de longitud y 4.00 cm de dià-
metro se sumerge en una solución de plata, y se deposita una capa uni-
forme de plata de 0.100 mm de espesor sobre la superfície exterior
del tubo. Si este tubo recubierto se conecta a través de una bateria de
12.0 V, ^cuàl serà la corriente?

25.59. En su primer dia de trabajo como técnico electricista, se le pide
que determine la resistència por metro de un elemento largo de alam-
bre. La companía que lo emplea tiene poco equipo. Usted encuentra
una bateria, un voltímetro y un amperímetro, però no un instrumento
que mida la resistència directamente (un óhmetro). Usted conecta los
alambres del voltímetro a las terminales de la bateria y la lectura es de
12.6 V. Corta 20.0 m del alambre y lo conecta a la bateria, con un am-
perímetro en sèrie para medir la corriente en el alambre. El amperíme-
tro da una lectura de 7.00 A. Después corta un trozo de alambre de
40.0 m de longitud y lo conecta a la bateria, de nuevo con el amperí-
metro en sèrie para medir la corriente, y la lectura que se obtiene es de
4.20 A. Aun cuando el equipo de que dispone es muy limitado, su jefe
le asegura que es de alta calidad: la resistència del amperímetro es muy
pequena y la del voltímetro muy grande. ^Cuàl es la resistència de
1 metro de alambre?

25.60. Se fabrica un trozo de 2.0 m de alambre soldando el extremo
de un alambre de plata de 1 20 cm de largo con el extremo de un alam-
bre de cobre de 80 cm. Cada pieza de alambre tiene 0.60 mm de dià-
metro. El alambre està a temperatura ambiente, por lo que sus
resistividades son las que se dan en la tabla 25.1. Entre los extremos
del alambre compuesto de 2.0 m de largo se mantiene una diferencia
de potencial de 5.0 V. a) <,Cuàl es la corriente en la sección de cobre?

b) iCuàl es la corriente en la sección de plata? c) (,Cuàl es la magnitud
de E en el cobre? d) ^.Cuàl es la magnitud de E en la plata? e) ^Cuàl es
la diferencia de potencial entre los extremos de la sección de plata del
alambre?

25.61. Un alambre de cobre de 3.00 m de longitud a 20 °C està com-
puesto por dos secciones: una de 1.20 m de largo con diàmetro de
1.60 mm, y otra de 1.80 m de longitud con diàmetro de 0.80 mm. En
la sección de 1.60 mm de diàmetro, hay una corriente de 2.5 mA.

a) (,Cuàl es la corriente en la sección de 0.80 mm de diàmetro?

b) ;,Cuàl es la magnitud de E en la sección con diàmetro de 1.60 mm?

c) ^.Cuàl es la magnitud de E en la sección con 0.80 mm de diàmetro?

d) iCuàl es la diferencia de potencial entre los extremos del alambre
de 3.00 m de longitud?

25.62. Densidad crítica de corriente en los superconductores. Un
problema con algunos de los superconductores de alta temperatura màs
recientes es obtener una densidad de corriente suficientemente grande
para el uso practico sin que reaparezca la resistència. La densidad mà-
xima de corriente para la que el material seguirà siendo superconduc-
tor se llama densidad crítica de corriente del material. En 1987 los

laboratorios de investigación de IBM produjeron películas delgadas
con densidades críticas de corriente de 1.0 X 10 5 A/cm 2 , a) ;,Cuànta
corriente podria conducir un alambre de calibre 18 (véase el ejemplo
25.1 de la sección 25.1) de este material sin dejar de ser superconduc-
tor? b) Los investigadores intentan desarrollar superconductores con
densidades críticas de corriente de 1.0 X 10 6 A/cm 2 . ^Qué diàmetro de
alambre cilíndrico de ese material se necesitaría para conducir 1000 A
sin que se pierda la superconductividad?

25.63. Un material con resistividad p tiene forma Figura 25.40
de cono truncado solido de altura h y ràdios r í y r 2 Problema 25.63.
en los extremos (figura 25.40). d) Calcule la resis-
tència del cono entre las dos caras planas. (Suge-
rencia: imagine que rebana el cono en discos muy
delgados y calcula la resistència de uno.) b) De-
muestre que su resultado concuerda con la ecua-
ción (25.10) cuando r, = r 2 .

25.64. La región entre dos esferas conductoras
concéntricas con ràdios a y b se encuentra llena ~^ r ^~
de un material conductor cuya resistividad es p.
a) Demuestre que la resistència entre las esferas està dada por

\^\

P 1

\TT\a

b) Obtenga una expresión para la densidad de corriente como función
del radio, en términos de la diferencia de potencial V ílh entre las esfe-
ras. c) Demuestre que el resultado del inciso a) se reduce a la ecuación
(25.10) cuando la separación L = b — a entre las esferas es pequena.

25.65. Fuga en un dieléctrico. Dos placas paralelas de un capacitor
tienen cargas iguales y opuestas Q. El dieléctrico tiene una constante
dieléctrica K y resistividad p. Demuestre que la "fuga" de corriente /
conducida por el dieléctrico està dada por I = Q/Ke p.

25.66. En el circuito que se ilustra en la figura 25.41, R es un resistor
variable cuyo valor varia entre y °°, y a y b son las terminales de una
bateria con fem £ = 1 5 .0 V y resistència interna de 4.00 Cl. El ampe-
rímetro y el voltímetro son instrumentos idealizados. Si R varia en to-
do el intervalo de valores, ;,cuàles serían las lecturas màxima y mínima
de a) el voltímetro y b) el amperímetro? c) Elabore gràficas cualitati-
vas de las lecturas de los dos instrumentos como funciones de R con-
forme R varia de a <*>.

Figura 25.41 Problema 25.66.

25.67. El coeficiente de temperatura de la resistència a en la ecuación
(25.12) es igual al coeficiente de temperatura de la resistividad a en la
ecuación (25.6) solo si el coeficiente de expansión tèrmica es pequeno.
Una columna cilíndrica de mercurio està en un tubo vertical de vidrio.
A 20 °C su altura es de 12.0 cm. El diàmetro de la columna de mercu-
rio es de 1.6 mm y no cambia con la temperatura porque el vidrio tiene

878

CAPÍTU LO 25 Corriente, resistència y fuerza electromotriz

un coeficiente pequeno de expansión tèrmica. El coeflciente de ex-
pansión volumètrica del vidrio se da en la tabla 17.2, su resistividad a
20 °C se especifica en la tabla 25.1, y su coeficiente de temperatura de
la resistividad se encuentra en la tabla 25.2. d) A 20 °C, ^cuàl es la re-
sistència entre los extremos de la columna de mercurio? b) La columna
de mercurio se calienta a 60 °C. (,Cuàl es el cambio en su resistividad?
c) (,Cuàl es el cambio en su longitud? Explique por què es el coeficien-
te de expansión volumètrica, y no el coeficiente de expansión lineal, el
que determina el cambio en la longitud, d) (,Cuàl es el cambio en su re-
sistència? [Sugerencia: como los cambios porcentuales enpyi son
pequenos, seria de ayuda obtener de la ecuación (25.10) una ecuación
para AR en términos de Ap y AL.] e) ^Cuàl es el coeficiente de tempe-
ratura de la resistència a para la columna de mercurio, como se define
en la ecuación (25.12)? ^Cómo se compara este valor con el coeficien-
te de temperatura de la resistividad? (,Es importante el efecto del cam-
bio en la longitud?

25.68. d) iCuàl es la diferencia de potencial V m , en el circuito de la fi-
gura 25.42? b) iCuàl es el voltaje terminal de la bateria de 4.00 V?
c) En el punto d del circuito se insertan una bateria con fem de 10.30z V
y una resistència interna de 0.50 íï, con su terminal negativa conectada
a la terminal negativa de la bateria de 8.00 V. Ahora, (,cuàl es la dife-
rencia de potencial V bc entre las terminales de la bateria de 4.00 V?

Figura 25.42 Problema 25.68.

0.50 íï 4.00 V

^W^h

c 9.oo n

■m ^YW — I

6.oo n

0.50 íl 8.00 V
M\ VW±||

8.oo n

25.69. La diferencia de potencial a través de las terminales de una ba-
teria es 8.4 V cuando en esta hay una corriente de 1 .50 A de la terminal
negativa a la positiva. Cuando la corriente es 3.50 A en la dirección in-
versa, la diferencia de potencial es de 9.4 V. d) ^Cuàl es la resistència
interna de la bateria? b) ^Cuàl es la fem de la bateria?

25.70. Una persona cuya resistència corporal medida entre sus manos
es de 10 kfi toma por accidente las terminales de una fuente de energia
de 14 kV. d) Si la resistència interna de la fuente de energia es 2000 fi,
í,cual es la corriente a través del cuerpo de la persona? b) ^Cuàl es la
potencia disipada en su cuerpo? c) Si la fuente de energia debe hacerse
segura incrementando su resistència interna, ^de cuànto debe ser la re-
sistència interna para que la màxima corriente en la situación anterior
sea de 1 .00 mA o menos?

25.71. La resistividad general media del cuerpo humano (aparte de la
resistència superficial de la piel) es alrededor de 5.0 fi • m. La trayec-
toria de conducción entre las manos puede representarse aproximada-
mente como un cilindro de 1.6 m de largo y 0.10 m de diàmetro. La
resistència de la piel se vuelve despreciable si se sumergen las manos
en agua salada, a) ^Cuàl es la resistència entre las manos si la resistèn-
cia de la piel es despreciable? b) ^Cuàl es la diferencia de potencial
que se necesita entre las manos para que haya una descarga de corrien-
te letal de 100 mA? (Observe que el resultado demuestra que las pe-
quenas diferencias de potencial producen comentes peligrosas si la
piel està húmeda.) c) Con la corriente que se calculo en el inciso b),
icuànta potencia se disipa en el cuerpo?

25.72. El costo común de la energia elèctrica es de \$0.12 por kilowatt-
hora. d) Algunas personas mantienen encendido todo el tiempo una
làmpara cerca de la puerta de entrada. (,Cuàl es el costo anual de tener
encendida una bombilla de 75 W dia y noche? b) Suponga que su refri-

gerador utiliza 400 W de potencia cuando està en operación, y que fun-
ciona 8 horas al dia. ;,Cuàl es su costo anual de operación?

25.73. La bateria de 12.6 V de un automóvil tiene una resistència in-
terna despreciable y se conecta a una combinación en sèrie de un resis-
tor de 3.2 fi que obedece la ley de Ohm y a un termistor que no
obedece la ley de Ohm, sinó que sigue la relación V = al + fil 2 entre
la corriente y el voltaje, con a = 3.8 fi y fi — 1.3 fi/A. ^Cuàl es la co-
rriente a través del resistor de 3.2 fi?

25.74. Un cable cilíndrico de cobre que mide 1.50 km de longitud està
conectado a través de una diferencia de potencial de 220.0 V. d) ^.Cuàl
debería ser el diàmetro de manera que gènere calor a una tasa de 50.0
W? b) En estàs condiciones, ^cuàl es el campo eléctrico en el interior
de un cable?

25.75. Amperímetro no ideal. A diferencia del amperímetro ideali-
zado descrito en la sección 25.4, cualquier amperímetro real tiene una
resistència distinta de cero. a) Un amperímetro con resistència J? A se
conecta en sèrie con un resistor R y una bateria con fem £ y resistència
interna r. La corriente medida por el amperímetro es / A . Calcule la co-
rriente a través del circuito si se retira el amperímetro de manera que la
bateria y el resistor formen un circuito completo. Exprese su respuesta
en términos de 7 A , r, R A y R. Cuanto mas "ideal" sea el amperímetro,
menor serà la diferencia entre esta corriente y la corriente 7 A . b) Si R =
3.80 fi, £ — 7.50 Vyr= 0.45 fi, calcule el valor màximo de la resis-
tència del amperímetro R A , de manera que / A esté dentro del 1.0% de la
corriente en el circuito cuando no hay amperímetro. c) Explique por
qué la respuesta del inciso b) representa un valor màximo.

25.76. Un cilindro de 1 .50 m de largo y 1 . 10 cm de radio està hecho de
distancia x desde el extremo izquierdo, y obedece a la fórmula p(x) =
a + bx 2 , donde ay b son constantes. En el extremo de la izquierda, la
resistividad es de 2.25 X 10~ s fi • m, en tanto que en el extremo de-
recho es de 8.50 X 10~ 8 fi • m. ^Cuàl es la resistència de esta varilla?
b) (,Cuàl es el campo eléctrico en su punto medio si conduce una
corriente de 1.75 A? c) Si se corta la varilla en dos mitades de 75.0 cm,
^cuàl es la resistència de cada una?

25.77. De acuerdo con el Código Eléctrico Nacional de Estados Uni-
dos, no està permitido que el alambre de cobre que se utiliza en las
instalaciones interiores de viviendas, hoteles, oficinas y plantas in-
dustriales conduzca màs de cierta cantidad màxima de corriente es-
pecificada. La siguiente tabla indica la corriente màxima / max para
"calibre del alambre" es una especificación utilizada para describir
el diàmetro de los alambres. Observe que cuanto mayor es el dià-
metro, menor es el calibre.

Calibre del alambre

Diàmetro (cm)

WA)

14

0.163

18

12

0.205

25

10

0.259

30

8

0.326

40

6

0.412

60

5

0.462

65

4

0.519

85

a) ;,Qué consideraciones determinan la capacidad màxima de conduc-
ción de corriente de una instalación domèstica? b) A través del cablea-
do de una vivienda va a suministrarse un total de 4200 W de potencia a
los aparatós eléctricos del hogar. Si la diferencia de potencial a través
del conjunta de aparatós es de 120 V, determine el calibre del alambre
màs delgado permisible que puede utilizarse. c) Suponga que el alam-
bre usado en esta casa es del calibre que se calculo en el inciso b) y
tiene longitud total de 42.0 m. ^,A qué tasa se disipa la energia en el
cableado? d) La casa està construida en una comunidad en la que
el costo de la energia elèctrica es de \$0.11 por kilowatt-hora. Si la vi-
vienda se equipa con alambre del calibre màs grande siguiente que el

Problemas de desafio

879

calculado en el inciso b), ^cuàles serían los ahorros en el costo de la
electricidad durante un ano? Suponga que los aparatós se mantienen
encendidos un promedio de 1 2 horas al dia.

25.78. Un tostador que usa un elemento calefactor de nicromel opera a
1 20 V. Cuando la temperatura ambiente es de 20 °C y el aparato està co-
nectado, el elemento calefactor conduce una corriente inicial de 1.35 A.
Algunos segundos mas tarde, la corriente alcanza un valor estable de
1.23 A. a) iCuàl es la temperatura final del elemento? El valor medio
del coeficiente de temperatura de la resistividad para el nicromel en el
intervalo de temperatura es de 4.5 X 10~ 4 (C°) _I , b) ^Cuàl es la ener-
gia que se disipa en el elemento calefactor al inicio y cuando la co-
rriente alcanza un valor estable?

25.79. En el circuito de la figura 25.43, calcule a) la corriente a través
del resistor de 8.0 íl y fe) la tasa total de disipación de energia elèctrica
en el resistor de 8.0 íl y en la resistència interna de las baterías. c) En
una de las baterías, la energia química se convierte en energia elèctri-
ca. (,En cuàl pasa esto y con què rapidez? d) En una de las baterías la
energia elèctrica se convierte en energia química. ^,En cuàl ocurre esto
y con què rapidez? e) Demuestre que en el circuito la tasa total de pro-
ducción de energia elèctrica es igual a la tasa total de consumo de ener-
gia elèctrica.

Figura 25.43 Problema 25.79.

£, = 12.0 V )-, = 1.0 n
±|pvw

>R = 8.0 11

J|^vV^

£, = 8.0 V r, = 1.0 íl

25.80. Un relàmpago azota el extremo de un pararrayos de acero y
produce una corriente de 15,000 A que dura 65 ps. El pararrayos mide
2.0 m de altura y 1.8 cm de diàmetro, y su extremo inferior està co-
nectado a tierra por medio de un alambre de cobre de 8.0 mm de dià-
metro. a) Calcule la diferencia de potencial entre la parte superior del
pararrayos de acero y el extremo inferior del alambre de cobre durante
la corriente. b) Determine la energia total que se deposita en el pararra-
yos y en el alambre por la corriente.

25.81. Una bateria de 12.0 V tiene una resistència interna de 0.24 íl y
capacidad de 50.0 A ■ h (véase el ejercicio 25.49). La bateria se carga
haciendo pasar una corriente de 10 A a través de ella durante 5.0 h.
a) ^Cuàl es el voltaje terminal durante el proceso de carga? b) ;,Cuàl es
el total de energia elèctrica que se suministra a la bateria durante la
carga? c) ^Cuànta energia elèctrica se disipa en la resistència inter-
na mientras se carga la bateria? d) Se descarga por completo la bateria
a través de un resistor, de nuevo con una corriente constante de 10 A.
^.Cuàl es la resistència externa del circuito? e) ^.Cuànta energia elèctri-
ca se suministra en total al resistor externo?/) ;,Cuànta energia elèc-
trica se disipa en total en la resistència interna? g) <,Por què no son
iguales las respuestas a los incisos b) y e)1

25.82. Repita el problema 25.81 con comentes de carga y descarga de
30 A. Los tiempos de carga y descarga ahora son de 1 .7 h en vez de 5.0 h.
(.Cuàles son las diferencias que observa en el rendimiento?

Problemas de desafio

25.83. En 1916 el experimento Tolman-Stewart demostro que las car-
gas libres en un metal tienen carga negativa y proporcionan una me-
dición cuantitativa de su razón carga-masa, \q\jm. El experimento
consistió en detener en forma abrupta un carrete de alambre que gira-
ba con rapidez y medir la diferencia de potencial que esto producía entre

los extremos del alambre. En un modelo simplificado de este experi-
mento, considere una varilla metàlica de longitud L a la que se imparte
una aceleración uniforme a a la derecha. Al inicio, las cargas libres en
el metal se retrasan con respecto al movimiento de la varilla y crean un
campo eléctrico E en la varilla. En el estado estable, este campo ejerce
una fuerza sobre las cargas libres que las acelera junto con la varilla.
a) Aplique la expresión %F = ma a las cargas libres con la finalidad
de obtener una expresión para \q\jmea términos de las magnitudes del
campo eléctrico inducido E y la aceleración a. b) Si todas las cargas li-
bres en la varilla metàlica tienen la misma aceleración, el campo eléc-
trico E es el mismo en todos los puntos de la varilla. Con base en este
hecho, rescriba la expresión para \q\jm en términos del potencial V bc
entre los extremos de la varilla (figu-
ra 25.44). c) Si las cargas libres son
negativas, ^cuàl extremo de la vari-
lla, boc, està a un potencial mayor?
d) Si la varilla mide 0.50 m de largo
y las cargas libres son electrones
(carga q = -1.60 X 10" " C, masa

de 9.11 X 10~ 31 kg), j,cuàl es la magnitud de la aceleración que se re-
quiere para producir una diferencia de potencial de 1 .0 mV entre los
extremos de la varilla? e) Analice por què en el experimento real se
utilizó un carrete giratorio de alambre delgado y no una varilla móvil

25.84. La relación entre la corriente y el voltaje de un diodo semicon-

Figura 25.44 Problema de
desafio 25.83.

<

XP É)

donde / y V son respectivamente la corriente y el voltaje a través del
diodo. /, es una constante característica del dispositivo, e es la magni-
tud de la carga del electrón, k es la constante de Boltzmann, y T es la
temperatura Kelvin. El diodo està conectado en sèrie con un resistor
con R — 1 .00 íl y una bateria con £ = 2.00 V. La polaridad de la bate-
ria es tal que la corriente que pasa por el diodo va hacia delante (figura
25.45). La bateria tiene resistència interna despreciable. a) Obtenga
una ecuación para V. Observe que no es posible despejar V algebraica-
mente. fe) El valor de V debe obtenerse con métodos numéricos. Un
enfoque es probar un valor de V y observar lo que ocurre en los lados
izquierdo y derecho de la ecuación, luego se usa esto para mejorar la
selección de V. Con / s = 1.50 mA y T — 293 K, obtenga una solución
(exacta hasta tres cifras significativas) para la caída del voltaje V a tra-
vés del diodo y la corriente /que pasa por éste.

Figura 25.45 Problema de desafio 25.84.

2.00 V

tT

Diodo

-M—

-ww—

1.00 íl

25.85. La resistividad de un semiconductor se puede modificar si se
agregan diferentes cantidades de impurezas. Una varilla de material
semiconductor de longitud L y àrea de sección transversal A se localiza
sobre el eje x, entre x = y X = L. El material obedece la ley de Ohm,
y su resistividad varia a lo largo de la varilla según la expresión p(x) =
p exp(— x/L). El extremo de la varilla en x — està a un potencial V
mayor que el extremo en x = L. a) Calcule la resistència total de la va-
rilla y la corriente en ella. b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico

880

CAPÍTULO 25 Corriente, resistència yfuerza electromotriz

E(x) en la varilla como función de x. c) Determine el potencial eléctri-
co V(x) en la varilla como función de x. d) Elabore la gràfica de las
funciones p(x), E(x) y V(x) para valores de x entre x = y x = L.

25.86. Una fuente con fem £ y resistència interna r està conectada a un
circuito externo. a) Demuestre que la potencia de salida de la fuente es
màxima cuando la corriente en el circuito es la mitad de la corriente de
cortocircuito de la fuente. b) Si el circuito externo consiste en una re-
sistència R, demuestre que la potencia de salida es màxima cuando
R = t y que la potencia màxima es £ 1 /4r.

25.87. El coeficiente de temperatura de la resistividad a està dado por

1 dp

a =

p dT

donde p es la resistividad a la temperatura T. Por lo tanto, se cumple
la ecuación (25.6) si se supone que a es constante y mucho màs
pequena que (T — T )~'. a) Si a no es constante, però està dada por
a = —n/T, donde T es la temperatura Kelvin y n es una constante,
demuestre que la resistividad està dada por p = a/T", donde a es
una constante. b) En la figura 25.10, se observa que esa relación pue-
de usarse como una aproximación para un semiconductor. Utilizando
los valores depy a que se dan para el carbono en las tablas 25.1 y
25.2, determine a y n. (En la tabla 25.1, suponga que "temperatura
ambiente" significa 293 K.) c) Con base en el resultado del inciso b),
determine la resistividad del carbono a —196 °C y 300 °C. (Recuerde
expresar Ten kelvin.)

CIRCUITOS DE
CORRIENTE DIRECTA

. En un circuito
complejo como el de
esta tarjeta de circuito,
tes posible conectar
varios resistores con
diferentes resistencias
de manera que todos
tengan la misma
diferencia de potencial?
De ser así, tia corriente
serà la misma a través
de todos los resistores?

Si mira el interior de su televisor, computadora o equipo estereofónico, o bajo el
capó de un automóvil, encontrarà circuitos mucho mas complejos que los que
se estudiaron en el capitulo 25. Ya sea que estén conectados mediante alambres
o integrados en un chip, es frecuente que estos circuitos incluyan varias fuentes, resis-
tores y otros elementos, como capacitores, transformadores y motores, interconecta-
dos en una red.

En este capitulo estudiaremos métodos generales para analizar esas redes, incluso
cómo calcular voltajes, corrientes y propiedades de elementos de circuito. Aprendere-
mos a determinar la resistència equivalente para varios resistores conectados en sèrie
o en paralelo. Para redes mas generales necesitamos dos reglas llamadas reglas de
Kirchhoff. Una se basa en el principio de conservación de la carga aplicado a una
unión o confluència de dos o mas vías; la otra se deriva de la conservación de la ener-
gia para una carga que se desplaza por una espira cerrada. Se estudiaran instrumentos
para medir varias cantidades eléctricas. También se analizarà un circuito que contiene
resistència y capacitancia, en el que la corriente varia con el tiempo.

Nuestro objetivo principal en este capitulo se centra en los circuitos de corriente
directa (cd), en los que el sentido de la corriente no cambia con el tiempo. Las linter-
nas y los sistemas eléctricos de automóviles son ejemplos de circuitos de corriente di-
recta. La energia elèctrica domestica se suministra en forma de corriente alterna
(ca), en la que la corriente oscila hacia delante y atràs. Los mismos principios para
analizar redes se aplican a ambas clases de circuitos. El capitulo concluye con una
mirada a los sistemas de cableado domestico. En el capitulo 31 se estudiaran con de-
talle los circuitos de corriente alterna.

26.1 Resistores en sèrie y en paralelo

Los resistores se encuentran en toda clase de circuitos, desde secadoras para el Cabe-
llo y calentadores espaciales hasta circuitos que limitan o dividen la corriente, o redu-
cen o dividen un voltaje. Es frecuente que tales circuitos contengan varios resistores,
por lo que es apropiado considerarlos como combinaciones de resistores. Un ejemplo
sencillo es una guirnalda de bombillas eléctricas de las que se usan en la decoración

METAS DE
APRENDIZAJE

Al estudiar este capitulo,
usted aprenderà:

• A analizar circuitos con resistores

o en paralelo.

• Las reglas aplicables a cualquier
circuito con mas de una espira.

• A utilizar amperímetros,
voltímetros, óhmetros o
potenciómetros en un circuito.

• A analizar circuitos que incluyan
tanto un resistor como un
capacitar.

• Cómo se distribuye la energia
en elèctrica en el hogar.

Act
Phys

v

N E

CS

12.1 Circuitos de CD en sèrie (cualitativos)

881

882

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

26.1 Cuatro diferentes formas de conectar
tres resistores.

a) R l , R 2 y R 3 en sèrie

R i R 2 R 3

4-^v\AA-»-^W L -•- J V\AA-•-

b) R { , R-y y R 3 en paralelo

R 2

c) i? 1 en sèrie con una combinación en
paralelo de R 2 y R 3

Ri

-m-t^/^,

d) R { en paralelo con una combinación
en sèrie de R 2 y ^3

R 2 R 3

r^W W^n

«1

navidena; cada bombilla actua como resistor, y desde la perspectiva del anàlisis de
circuitos una guirnalda de bombillas tan solo es una combinación de resistores.

Suponga que se tienen tres resistores con resistencias R u R 2 y R 3 . La figura 26.1
muestra cuatro formas diferentes en que estos se pueden conectar entre los puntos ayb.
Cuando se conectan en secuencia varios elementos de circuito, como resistores, bate-
rías y motores — como en la figura 26. la — con una sola trayectoria de corriente entre
los puntos, se dice que estan conectados en sèrie. En la sección 24.2 se estudiaron los
capacitores en sèrie; vimos que, en virtud del principio de conservación de la carga,
todos tenían la misma carga si al principio se hallaban descargados. Es frecuente que
al estudiar circuitos estemos mas interesados en la corriente, que es el flujo de carga

Se dice que los resistores de la figura 26.1b estan conectados en paralelo entre
los puntos ayb. Cada resistor ofrece una trayectoria alternativa entre los puntos. Para los
elementos de circuito conectados en paralelo, la diferencia de potencial es la misma a
través de cada elemento. En la sección 24.2 se estudiaron los capacitores en paralelo.

En la figura 26.1c, los resistores R 2 y R 3 estan en paralelo, y esta combinación està
en sèrie con /?,. En la figura 26. ld, R 2 y R 3 estan en sèrie, y esta combinación està en
paralelo con/?,.

Para cualquier combinación de resistores siempre es posible encontrar un resistor
único que podria remplazar la combinación y dar como resultado la misma corriente
y diferencia de potencial totales. Por ejemplo, una guirnalda de bombillas navidenas
podria remplazarse por una sola bombilla elegida de manera apropiada para que to-
marà la misma corriente y tuviera la misma diferencia de potencial entre sus termina-
les que la guirnalda original. La resistència de este resistor único se llama resistència
equivalente de la combinación. Si se remplazara cualquiera de las redes de la figura
26.1 por su resistència equivalente R CH , se podria escribir

V ab = 1R CI , o bien,

R eq -

Vot

I

donde V,,,, es la diferencia de potencial entre las terminales a y b de la red, e / es la
corriente en el punto a o b. Para calcular una resistència equivalente, se supone una
diferencia de potencial V ab a través de la red real, se calcula la corriente / corres-
pondiente y se obtiene la razón V ab /I.

Resistores en sèrie

Es posible determinar ecuaciones generales para la resistència equivalente de una
combinación de resistores en sèrie o en paralelo. Si los resistores estan en sèrie, como
en la figura 26.1a, la corriente / debe ser la misma en todos ellos. (Como se vio en la
sección 25.4, la corriente no "se gasta" cuando pasa a través de un circuito.) Al apli-
car V = IR a cada resistor, se obtiene

V„ = IR,

V„ = IR, V yb = IR,

Las diferencias de potencial a través de cada resistor no necesitan ser las mismas (ex-
cepte para el caso especial en que las tres resistencias son iguales). La diferencia de
potencial V ab a través de toda la combinación es la suma de estàs diferencias de po-
tencial individuales:

V ah = V„ + V n , + V xl , = l(R l +R 2 + R 3

por lo que

I

R t + R 2 + R 3

La razón V ab /I es, por definición, la resistència equivalente R cq . Por lo tanto,

R eq = R t + R 2 + R 3
Es fàcil generalizar esto a cualquier número de resistores:

R eq = R,+ R 2

R,

(resistores en sèrie)

(26.1)

26.1 Resistores en sèrie y en paralelo

883

La resistència equivalente de cualquier número de resistores en sèrie es igual
a la suma de sus resistencias individuales.

La resistència equivalente es mayor que cualquiera de las resistencias individuales.

Comparemos este resultado con la ecuación (24.5) para capacitores en sèrie. Los
resistores en sèrie se suman directamente porque el voltaje a través de cada uno es di-
rectamente proporcional a su resistència y a la corriente común. Los capacitores en
sèrie se suman en forma recíproca porque el voltaje es directamente proporcional a
la carga común, però inversamente proporcional a la capacitancia individual.

Resistores en paralelo

Si los resistores estan en paralelo, como en la figura 26.1b, la corriente a través /
de cada resistor no necesita ser la misma. Però la diferencia de potencial entre las
terminales de cada resistor debe ser la misma e igual a V ab (figura 26.2). (Recuerde
que la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera no depende de la trayec-
toria tomada entre los puntos.) Denotemos las corrientes en los tres resistores con I u
I 2 el 3 . Luego, de/= V/R,

/, =

R,

U =

R 2

h =

Vot

En general, la corriente es diferente a través de cada resistor. Como la carga no se
acumula o escapa del punto a, la corriente total / debe ser la suma de las tres corrien-
tes en los resistores:

/ = /, + i 2 + h = yJJ- + ^ + ^-j
/lli

Vab Rí Rl ^3

Pero por definición de resistència equivalente, R eq , I/V ab = i/R cq , por lo que

J_ J_ J_ J_

^eq ^1 ^2 ^3

De nuevo, es fàcil generalizar a cualquier número de resistores en paralelo:

26.2 Los faros de un automóvil estan
uno esté expuesto a toda la diferencia de
eléctrico del vehículo, lo que da el màximo
brillo. Otra ventaja es que si un faro se
funde, el otro sigue funcionando
(véase el ejemplo 26.2).

1 1

1

R: R^

(resistores en paralelo)

(26.2)

Para cualquier número de resistores en paralelo, el recíproco de la resistència
equivalente es igual a la suma de los recíprocos de sus resistencias individuales.

La resistència equivalente siempre es menor que cualquier resistència individual.

Se puede comparar este resultado con la ecuación (24.7) para capacitores en para-
lelo. Los resistores en paralelo se suman recíprocamente porque la corriente en cada
uno es proporcional al voltaje común a través de ellos, e inversamente proporcional
a la resistència de cada uno. Los capacitores en paralelo se suman directamente por-
que la carga en cada uno es proporcional al voltaje común a través de ellos y directa-
mente proporcional a la capacitancia de cada uno.

Para el caso especial de dos resistores en paralelo,

1

1 1

h —

R, R,

R,R,

el) R,

R,R,

(dos resistores en paralelo)

(26.3)

Actv

-lONLlNE

rnysics

12.2 Circuitos de CD en paralelo

884

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

Como V ah = /,/?, = I 2 R 2 , se deduce que

(dos resistores en paralelo)

(26.4)

Esto demuestra que las comentes conducidas por dos resistores en paralelo son in-
versamente proporcionales a sus resistencias. Por la trayectoria de menor resistència
circula mas corriente.

Estratègia para resolver problemas 26.1

Resistores en sèrie y en paralelo

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Muchas redes de resistores
estan constituidas por resistores en sèrie, en paralelo o una combina-
ción de ambos. El concepto clave es que una red de ese tipo se puede
sustituir por un solo resistor equivalente.

PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:

1 . Elabore un dibujo de la red de resistores.

2. Determine si los resistores estan conectados en sèrie o en paralelo.
Observe que es frecuente considerar redes como las de las figuras
26.1c y 26. ld, como combinaciones de arreglos en sèrie y en para-
lelo.

3. Determine cuàles son las variables que se buscan. Éstas podrían in-
duir la resistència equivalente de la red, la diferencia de potencial a

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Utilice la ecuación (26.1) o (26.2) para encontrar la resistència
equivalente para una combinación en sèrie o en paralelo, respecti-
vamente.

2. Si la red es mas compleja, trate de reducirla a combinaciones en sè-
rie y en paralelo. Por ejemplo, en la figura 26.1c primero se rem-
plaza la combinación en paralelo de R 2 y R 2 con su resistència

equivalente; esto forma una combinación en sèrie con /{,. En la fi-
gura 26. 1 d, la combinación de R 2 y R, en sèrie forma una combina-
ción en paralelo con R t .

3. Cuando se calculen diferencias de potencial, recuerde que cuando
los resistores estan conectados en sèrie, la diferencia de potencial
total a través de la combinación es igual a la suma de las diferen-
cias de potencial individuales. Cuando los resistores estan conecta-
dos en paralelo, la diferencia de potencial es la misma para cada
resistor, e igual a la diferencia de potencial a través de la combina-
ción en paralelo.

4. Recuerde los enunciados anàlogos para la corriente. Cuando los re-
sistores se conectan en sèrie, la corriente es la misma a través de
cada resistor e igual a la que pasa a través de la combinación en sè-
rie. Cuando los resistores se conectan en paralelo, la corriente total
a través de la combinación es igual a la suma de comentes a través
de los resistores individuales.

EVALUAR la respuesta: Compruebe si los resultados son congruentes.
Si los resistores estan conectados en sèrie, la resistència equivalente
debe ser mayor que la de cualquier resistor individual; si estan en para-
lelo, la resistència equivalente debe ser menor que la de cualquier re-
sistor individual.

Ejemplo 26.1

Resistència equivalente

Calcule la resistència equivalente de la red que se ilustra en la figura
26.3a, y obtenga la corriente en cada resistor. La fuente de fem tiene
resistència interna insignificante.

IDENTIFICAR: Esta red de tres resistores es una combinación de re-
sistencias en sèrie y en paralelo, como la de la figura 26.1c. Los resis-

26.3 Etapas para reducir una combinación de resistores a un solo resistor equivalente y calcular la corriente en cada resistor.
a) b) c)

+ |, S= 18 V, r =

II

6Í1

4!1 /

fl AAAA C l

\b

^>

o

18 V

a 4a

e)

h

C ^ b
-• WA-»- 1

18 Y

3A

2n b

Ta"

18 y

^>

h

a 6a b
i-» — VW — •-

<=■

2A

26.1 Resistores en sèrie y en paralelo

885

tores de 6 fi y 3 íl estan en paralelo, y su combinación està en sèrie
con el resistor de 4 fi.

P L ANTEAR: Primero se determina la resistència equivalente S e[| de es-
ta red en su conjunta. Dado este valor, se calcula la corriente en la fem,
que es la misma que la corriente en el resistor de 4 íl. Esta misma co-
rriente se divide entre los resistores de 6 fi y 3 íl; se determina cuànta
corriente va hacia cada resistor utilizando el principio de que la dife-
rencia de potencial debe ser la misma a través de estos dos resistores

EJECUTAR: Las flguras 26.3b y 26.3c muestran los pasos sucesivos
para reducir la red a una sola resistència equivalente. De acuerdo con
la ecuación (26.2), los resistores de 6 íl y 3 íl en paralelo de la figura
26.3a equivalen al resistor único de 2 íl de la figura 26.3b:

1 1

h

6Í1 3Í1

1
2fl

[El mismo resultado se obtiene mediante la ecuación (26.3).] De la
ecuación (26.1), la combinación en sèrie de este resistor de 2 íl con
el resistor de 4 íl es equivalente al resistor único de 6 íl de la figura
26.3c.

Para encontrar la corriente en cada resistor de la red original, se in-
vierten los pasos con los que se redujo la red. En el circuito que se
muestra en la figura 26. 3d (idéntico al de la figura 26.3c), la corriente
es / = V ab /R = (18 V)/(6 íl) = 3 A. Así que la corriente en los resisto-
res de 4 íl y 2 íl de la figura 26. 3e (idèntica a la figura 26.3b) también
es de 3 A. Por lo tanto, la diferencia de potencial V cb a través del resis-
tor de 2 íl es V cb = IR = (3 A)(2 íl) = 6 V. Esta diferencia de potencial
también debe ser de 6 V en la figura 26. 3f (idèntica a la figura 26.3a).
Con / = V cb /R, las comentes en los resistores de 6 íl y 3 íl de la figu-
ra 26.3f son (6 V)/(6 íl) = 1 A y (6 V)/(3 íl) = 2 A, respectivamente.

EVALUAR: Observe que para los dos resistores en paralelo entre los
puntos c y b de la figura 26. 3f, hay el doble de corriente a través del re-
sistor de 3 íl que a través del resistor de 6 íl, es decir, pasa mas co-
rriente por la trayectoria de menos resistència, de acuerdo con la
ecuación (26.4). También note que la corriente total a través de estos
dos resistores es de 3 A, la misma que pasa a través del resistor de 4 íl
entre los puntos a y c.

Ejemplo 26.2

Combinaciones en sèrie contra combinaciones en paralelo

Dos bombillas idénticas se conectan a una fuente con £ = 8 V y resis-
tència interna despreciable. Cada bombilla tiene una resistència R =
2 íl. Calcule la corriente a través de cada bombilla, la diferencia de po-
tencial a través de esta y la potencia que se le entrega, y haga lo mismo
para toda la red si las bombillas estan conectadas a) en sèrie y b) en pa-
ralelo. c) Suponga que una de las bombillas se funde, es decir, su fila-
mento se rompé y la corriente ya no puede fluir a través de él. iQué
pasa con la otra bombilla, para el caso de conexión en sèrie? ^Y en el
de conexión en paralelo?

ESÜEH1

IDENTIFICAR: Las bombillas son resistores conectados en sèrie y en
paralelo.

PLANTEAR: Las figuras 26.4a y 26.4b muestran los diagramas de
los circuitos en sèrie y en paralelo, respectivamente. Una vez que se

26.4 Diagramas para este problema,
a) Bombillas en sèrie

b) Bombillas en paralelo

+1 <S = 8V, r=0

I total = 2 l|

total

ha calculado la corriente a través de cada bombilla, se obtiene la po-
tencia entregada a cada una por medio de la ecuación (25.18), P =
I 2 R = V 2 /R.

EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.1), la resistència equi-
valente de las dos bombillas entre los puntos a y c en la figura 26.4a
es la suma de sus resistencias individuales.

R cq = 1R = 2(2 íl) = 4Í1

La corriente es la misma a través de cada bombilla en sèrie:

/

8 V

4a

2 A

Como las bombillas tienen la misma resistència, la diferencia de po-
tencial es la misma a través de cada una:

IR

(2A)(2Í1) = 4V

Esta es la mitad del voltaje terminal de 8 V de la fuente. De acuerdo

P = I 2 R= (2A) 2 (2Í1) = 8 W obien,

r _ v J _ v * _ (4V) 2
R

R

2 fi

W

La energia total entregada a las dos bombillas es P total — 2P = 16 W.
De manera alternativa, la potencia total se puede calcular utilizando
la resistència equivalente R„= 4 íl, a través de la cual la corriente es
/ = 2 A y la diferencia de potencial es V„. = 8V:

ÍV,! = 1%, = (2A) 2 (4Í1) = 16 W

_ Vj _ (8V) 2
P ' 0,! " " «T ~~'~ 4 fi

o bien.

16 W

b) Si las bombillas estan en paralelo, como en la figura 26.4b, la di-
ferencia de potencial W a través de cada bombilla es la misma e igual

continua

886

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

a 8 V, el voltaje terminal de la fuente, por lo que la corriente a través de

/ ■■

R

8V

2n

4A

P = I 2 R = (4A) 2 (2fi) = 32 W obien,
(8V) 2

P =

R

2 fi

= 32 W

Tanto la diferencia de potencial como la corriente a través de cada
bombilla son el doble de grandes que en el caso de la conexión en sè-
rie. Por lo tanto, la potencia entregada a cada bombilla es cuatro veces
mayor, y cada bombilla brilla mas que en el caso en sèrie. Si la meta es
producir la màxima cantidad de luz por cada bombilla, el arreglo en
paralelo es superior a la conexión en sèrie.

La potencia total entregada a la red en paralelo es P Iola , = 1P = 64 W,
cuatro veces mayor que para el caso en sèrie. El incremento en la po-
tencia en comparación con la conexión en sèrie no se obtiene "gratis",
ya que la energia se extrae cuatro veces mas ràpido de la fuente en
la conexión en paralelo que en la conexión en sèrie. Si la fuente es una
bateria, se agotarà cuatro veces mas ràpido.

También se puede encontrar la potencia total mediante la resistèn-
cia equivalente R cq dada en la ecuación (26.2):

--* —
«-, 2 fi

1 ÍT

o bien,

1 fi

La corriente total a través del resistor equivalente es / Mlal = 21 = 2(4 A)
= 8 A, y la diferencia de potencial a través del resistor equivalente es
de 8 V. Así, la potencia total es

'tomi

p

1 toia!

R

(8 A) 2 (l fi) = 64 W obien,
(8V) 2

1 fi

64 W

La diferencia de potencial a través de la resistència equivalente es la
misma para ambos casos, en sèrie y en paralelo, però para este ultimo
caso el valor de R cq es menor, por lo que P toa] = V 2 /R cq es mayor.

c) En el caso en sèrie, fluye la misma corriente a través de las dos
bombillas. Si una de éstas se fundiera no habría corriente en todo el
circuito, y ninguna bombilla brillaria.

En el caso en paralelo, la diferencia de potencial a través de cual-
quier bombilla permanecería igual a 8 V, aun si una de las bombillas se
fundiera. De ahí que la corriente a través de la bombilla en funciona-
miento seria igual a 4 A, y la potencia entregada a esa bombilla segui-
ria igual a 32 W, como antes de que la bombilla se fundiera. Esta es
otra ventaja de un arreglo en paralelo de bombillas: si una de ellas fa-
lla, las demàs no se ven afectadas. Este principio se utiliza en los siste-
mas de distribución domésticos, que se estudiaran en la sección 26.5.

EVALUAR: Nuestro calculo no es completamente exacto porque la re-
sistència V= RI de bombillas reales no es una constante independien-
te de la diferencia de potencial V a través de la bombilla. (La resistència
del filamento aumenta con la temperatura de funcionamiento creciente
y, por lo tanto, con V en aumento.) Però es verdad que las bombillas
conectadas en sèrie a través de una fuente, brillan menos que cuando
se conectan en paralelo con la misma fuente (figura 26.5).

26.5 Cuando se conectan a la misma fuente, dos bombillas en
sèrie (imagen superior) consumen menos potencia y brillan
menos que si se conectan en paralelo (imagen inferior).

Evalúe su comprensión de la sección 26.1 Suponga que los tres
resistores que se ilustran en la figura 26.1 tienen la misma resistència, por lo que
R l = R 2 = R 3 = R. Clasifique los cuatro arreglos que se muestran en los incisos
a) a d) de la figura 26.1, en orden decreciente de su resistència equivalente.

B

26.2 Reglas de Kirchhoff

Muchas redes de resistores pràcticas no se pueden reducir a combinaciones sencillas
en sèrie y en paralelo. La figura 26.6a ilustra una fuente de potencia de cd con fem £. ,
que carga una bateria con fem menor £ 2 y que alimenta corriente a una bombilla con
resistència R. La figura 26.6b es un circuito "puente", que se utiliza en muchos tipos
diferentes de medición y sistemas de control. (Una aplicación importante de un cir-
cuito "puente" se describe en el problema 26.79.) No se necesitan principios nuevos
para calcular las comentes en esa clase de redes, però existen algunas técnicas que
ayudan a manejar en forma sistemàtica los problemas que plantean. A continuación se
describen los métodos desarrollados por el físico alemàn Gustav Robert Kirchhoff
(1824-1887).

26.2 Reglas de Kirchhoff

887

En primer lugar, hay dos términos que usaremos con frecuencia. Una unión en un
circuito es el punto en que se unen tres o mas conductores. Las uniones también reci-
ben el nombre de nodos o puntos de derivación. Una espira es cualquier trayecto-
ria cerrada de conducción. En la figura 26.6a los puntos a y b son uniones, però los
puntos c y d no lo son; en la figura 26.6b, los puntos a, b, c y d son uniones, però
los puntos e y/no lo son. Las líneas en color azul de las figuras 26.6a y 26.6b ilus-
tran algunas espiras posibles en estos circuitos.

Las reglas de Kirchhoff consisten en los dos siguientes enunciados:
Regla de Kirchhoff de las uniones: la suma algebraica de las comentes en cual-
quier unión es igual a cero. Es decir,

^1 — (regla de las uniones, vàlida en cualquier unión)

(26.5)

Regla de Kirchhoff de las espiras: la suma algebraica de las diferencias de poten-
cial en cualquier espira, incluso las asociadas con las fem y las de elementos con re-
sistència, debe ser igual a cero. Es decir,

2 V — (regla de las espiras, vàlida para cualquier espira cerrada) (26.6)

La regla de las uniones se basa en la conservación de la carga elèctrica. En una
unión no se puede acumular carga elèctrica, por lo que la carga total que entra a ella
por unidad de tiempo debe ser igual a la carga total que sale por unidad de tiempo
(véase la figura 26.7a). La carga por unidad de tiempo es corriente, por lo que si con-
sideramos como positivas las corrientes que entran a una unión y negativas las que
salen, la suma algebraica de las corrientes en la unión debe ser igual a cero. Es como
un ramal T en una tubería de agua (figura 26.7b); si entra 1 litro por minuto en un tu-
bo, no pueden salir 3 litros por minuto de los otros dos tubos. Hemos de confesar que
se usó la regla de las uniones (sin decirlo) en la sección 26.1 con la finalidad de obte-
ner la ecuación (26.2) para los resistores en paralelo.

La regla de las espiras es el enunciado de que la fuerza electrostàtica es conserva-
tiva. Suponga que recorre una espira y mide las diferencias de potencial entre los ex-
tremos de elementos sucesivos del circuito. Al regresar al punto de partida, debería
de encontrar que la suma algebraica de esas diferencias es igual a cero; de lo contra-
rio, no se podria afirmar que el potencial en ese punto tiene un valor definido.

Convenciones de signo para la regla de la espiras

Para aplicar la regla de las espiras, se necesitan algunas convenciones de signos. La
Estratègia para resolver problemas 26.2 describe en detalle cómo utilizarlas, però a
continuación se da una descripción ràpida. Primero suponga un sentido de la corrien-
te en cada ramal del circuito e indíquelo en el diagrama correspondiente. En seguida,
a partir de cualquier punto del circuito, realice un recorrido imaginario de la espira
sumando las fem y los IR conforme los encuentre. Cuando se pasa a través de una
fuente en la dirección de — a +, la fem se considera positiva; cuando se va de + a — ,
la fem se considera negativa (figura 26.8a). Cuando se va a través de un resistor en el
mismo sentido que el que se supuso para la corriente, el termino IR es negativo por-
que la corriente avanza en el sentido del potencial decreciente. Cuando se pasa a tra-
vés de un resistor en el sentido opuesto a la corriente que se supuso, el termino IR es
positivo porque representa un aumento de potencial (figura 26.8b).

26.6 Dos redes que no pueden reducirse
a combinaciones simples de resistores
en sèrie o en paralelo.

a)

Unión
-Espira 1<t^ n

No es Unión

unión

No es
unión

b)

->(1)

26.7 a) La regla de Kirchhoff de las
uniones dice que la cantidad de corriente
que llega a una unión es igual a la que sale.
b) Analogia con una tubería de agua.

a) Regla de Kirchhoff de las uniones
Unión

V /, + /,

b) Analogia de la tubería de agua para
la regla de Kirchhoff de las uniones

L?

EI flujo de agua
que sale del tubo
es igual al que
entra.

a) Convenciones de signo para las fem

+£: sentido del
recorrido de - a +:

— Recorrido — >
- 1 1 +

— £: sentido del
recorrido de + a -:

<— Recorrido —

- || +

b) Convenciones de signo para los resistores

+IR: sentido del recorrido —IR: recorrido en el
opuesto al de la corriente: sentido de la corriente:

-Recorrido

Recorrido -

26.8 Uso de las convenciones de signos
cuando se aplica la regla de Kirchhoff de
las espiras. En cada parte de la figura "Re-
corrido" es el sentido en que imaginamos
ir alrededor de la espira, que no necesaria-
mente es el sentido de la corriente.

888

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

Las dos reglas de Kirchhoff son todo lo que se necesita para resolver una amplia
variedad de problemas de redes. Por lo general, algunas de las fem, corrientes y resis-
tencias son conocidas y otras no. Siempre se debe obtener de las reglas de Kirchhoff
cierto número de ecuaciones independientes igual al número de incógnitas, de mane-
ra que sea posible resolverlas simultàneamente. A menudo, la parte mas difícil de la
solución suele ser, no la comprensión de los principios bàsicos, jsino seguir la pista
de los signos algebraicos !

Estratègia para resolver problemas 26.2

Reglas de Kirchhoff

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Las reglas de Kirchhoff son
herramientas importantes para analizar cualquier circuito mas compli-
cació que una sola espira.

PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:

1. Elabore un diagrama grande del circuito, de manera que haya es-
pacio para escribir leyendas. Identifique todas las cantidades, co-
nocidas y desconocidas, incluidos el sentido supuesto para cada
corriente y fem desconocidas. Es frecuente que no se conozca de
antemano el sentido real de una corriente o fem, però esto no im-
porta. Si el sentido real de una cantidad particular es opuesto al que
se supuso, el resultado tendra signo negativo. Si las reglas de
Kirchhoff se utilizan correctamente, daran tanto los sentidos como
las magnitudes de las corrientes y fem desconocidas.

2. Al escribir las leyendas para las corrientes, por lo general es mejor
usar de inmediato la regla de las uniones para expresar las corrientes
en términos del menor número posible de cantidades. Por ejemplo,
la figura 26.9a muestra un circuito con las leyendas correctas, y la
figura 26.9b representa el mismo circuito con otras leyendas des-
pués de aplicar la reglas de las uniones al punto a para eliminar 7 3 .

3. Determine cuàles cantidades son las variables que se buscan.

EJECUTAR la solución como sigue:

1. Elija cualquier espira cerrada en la red y designe un sentido (hora-
rio o antihorario) para recórrer la espira cuando se aplique la regla
de las espiras. El sentido no tiene que ser el mismo que el que se
supuso para la corriente.

2. Recorra la espira en el sentido elegido, sumando las diferencias de
potencial a medida que se atraviesen. Recuerde que una diferencia

de potencial positiva corresponde a un incremento en el potencial,
y una negativa indica una disminución en el potencial. Una fem se
considera positiva si se atraviesa de (— ) a (+), y negativa si se va
de (+) a (— ). Un termino IR es negativo si se pasa por el resistor
en el mismo sentido de la corriente supuesta, y positivo si se atra-
viesa en sentido opuesto. La figura 26.8 resume estàs convenciones
de signo.

3. Iguale a cero la suma del paso 2.

4. Si es necesario elija otra espira para obtener una relación diferente
entre las incógnitas, y continúe así hasta que tenga tantas ecua-
ciones independientes como incógnitas, o hasta que cada elemento
de circuito haya quedado incluido en al menos una de las espiras
elegidas.

5. Resuelva simultàneamente las ecuaciones para determinar las in-
cógnitas. Este paso implica àlgebra, no física, però a veces es muy
complejo. Tenga cuidado con las manipulaciones algebraicas, pues
un error de signo resulta fatal para toda la solución.

6. Este mismo sistema de registro se usa para encontrar el potencial
V ab de cualquier punto a con respecto a cualquier otro punto b. Co-
mience en b y sume los cambios de potencial que encuentre al ir de
b a a, usando las mismas reglas de los signos del paso 2. La suma
algebraica de estos cambios es V ah = V„ — V h .

EVALUAR la respuesta: Compruebe todos los pasos algebraicos. Una
estratègia útil es considerar una espira distinta de las utilizadas para re-
solver el problema; si la suma de las caídas de potencial alrededor de
la espira no es igual a cero se cometió un error en alguno de los càlcu-
los. Como siempre, pregúntese si las respuestas tienen sentido.

26.9 Al aplicar la regla de las uniones al punto a, se reduce el número de corrientes desconocidas, de tres a dos.

a) Tres corrientes desconocidas: 7 b 7 2 , 7 3 .

b) La aplicación de la regla de las uniones al punto a elimina 7 3 .

o

M^h

*N+±\\

7, +7

-\w-

7?,

i\%R3

^Wv/L

Ejemplo 26.3

Circuito de una sola espira

una con una fem y una resistència interna, y dos resistores. Calcule
a) la corriente en el circuito, b) la diferencia de potencial V,,,, y c) la sa-
lida de potencia de la fem de cada bateria.

EM3KI

IDENTIFICAR: Este circuito de una sola espira no tiene uniones, por
lo que no se necesita la regla de Kirchhoff de las uniones para determi-
nar el valor de las variables buscadas.

PLANTEAR: Para aplicar la regla de las espiras a la única espira que
hay, primero se supone el sentido de la corriente; supongamos un sen-
tido antihorario, como se ilustra en la figura 26.10a.

EJECUTAR: a) Se comienza en a y se va en sentido contrahorario, se
suman los incrementos y disminuciones de potencial y se iguala la su-
ma a cero, como en la ecuación (26.6). La ecuación resultante es

-7(4 íl) - 4 V - 7(7 fi) + 12 V - 7(2 íl) - 7(3 íl) =

26.2 Reglas de Kirchhoff

889

Al reducir los términos que contienen a 7 y despejar esta variable, se
obtiene:

8 V = 7(16 íl) e / = 0.5 A

El resultado para 7 es positivo, lo que demuestra que el sentido elegido
para la corriente es correcto. Como ejercicio, suponga para / el sentido
opuesto; debería obtener / = —0.5 A, lo que indica que la corriente
real es opuesta a esa suposición.

b) Para encontrar V„,„ el potencial de a con respecto a b, se comien-
za en b y se suman los cambios de potencial a medida que se avanza
hacia a. Hay dos trayectorias posibles de b a a\ primero se toma la in-
ferior y se obtiene:

V ah = (0.5 A) (7 íi) + 4 V+ (0.5 A) (4 íl) = 9.5 V

El punto a tiene un potencial 9.5 V mas alto que el b. Todos los términos
de esta suma, incluidos los IR, son positivos porque cada uno representa
un incremento de potencial conforme se pasa de b a a. Si en vez de lo an-
terior se utiliza la trayectoria superior, la ecuación resultante es:
V ab = 12 V - (0.5 A) (2 íl) - (0.5 A) (3 íl) = 9.5 V

Aquí, los te'rminos IR son negativos porque nuestra trayectoria va en el
sentido de la corriente, con disminuciones de potencial a través de los
resistores. El resultado es el mismo que con la trayectoria inferior, co-
mo debe ser para que el cambio total de potencial alrededor de la espi-
ra completa sea igual a cero. En cada caso, los aumentos de potencial
se toman como positivos, y las caídas como negativas.

c) La salida de potencia de la fem de la bateria de 12 V es

P = £1= (12V)(0.5 A) = 6W

Y la salida de potencia de la fem de la bateria de 4 V es

P = El= (-4V)(0.5A) = -2W

El signo negativo de £ para la bateria de 4 V se debe a que la corriente
en realidad va del lado de mayor potencial de la bateria al de menor
potencial. El valor negativo de P significa que en la bateria se està
almacenando energia, y que se està recargando mediante la bateria
de 12 V.

EVALUAR: Al aplicar la expresión P = 1 2 R a cada uno de los cuatro
resistores de la figura 26.10a, usted debe ser capaz de demostrar que la
potencia total disipada en los cuatro resistores es igual a 4 W. De los 6 W
que provee la fem de la bateria de 12 V, 2 W van al almacenamiento de
energia en la bateria de 4 V, y 4 W se disipan en las resistencias.

El circuito de la figura 26.10a es muy parecido al que se utiliza
cuando se emplea un acumulador de automóvil de 12 V para recargar
la bateria sin carga de otro vehículo (figura 26.10b). Los resistores de
3 íl y 7 íl de la figura 26.10a representan las resistencias de los cables
para pasar corriente y de la trayectoria de conducción a través del auto-
móvil con la bateria descargada. (Los valores de las resistencias de
los automóviles y cables reales para pasar corriente son distintes de los
que se utilizan en este ejemplo.)

26.10 a) En este ejemplo la espira se recorre en el mismo sentido que el que se supuso para la corriente, por lo que todos los términos
IR son negativos. El potencial disminuye a medida que se pasa de + a — a través de la fem inferior, però se incrementa al ir de — a +
a través de la fem superior, b) Ejemplo de la vida real de un circuito de esta clase.

a)

3 íl .

2Í1 12 V

^Recorrido

4Í1 4V

Ejemplo 26.4

Carga de una bateria

En el circuito que se ilustra en la figura 26.11, una fuente de energia
elèctrica de 12 V con resistència interna desconocida r està conectada
a una bateria recargable descargada con fem £ desconocida y resistèn-
cia interna de 1 íl, y a una bombilla indicadora con resistència de 3 íl
que transporta una corriente de 2 A. La corriente a través de la bateria
descargada es igual a 1 A en el sentido que se indica. Calcule la co-
rriente desconocida /, la resistència interna r y la fem £.

eshimi

IDENTIFICAR: Este circuito tiene mas de una espira, por lo que se de-
be aplicar tanto la regla de las uniones como la regla de las espiras.

PLANTEAR: El sentido de la corriente a través de la fuente de poder
de 12 V se supone como se ilustra. Hay tres variables que se buscan,
por lo que se necesitan tres ecuaciones.

26.1 1 En este circuito, una fuente de energia elèctrica carga una
bateria que se quedo sin carga y enciende una bombilla. Se ha he-
cho una suposición acerca de la polaridad de la fem £ de la bateria

EJECUTAR: Primero se aplica la regla de las uniones, ecuación (26.5),
al punto a. Se obtiene

-/ + 1 A + 2 A = por lo que / = 3 A

continua

890

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

Para determinar r se aplica la regla de las espiras, ecuación (26.6), a la
espira exterior marcada con (1); se obtiene:

12 V - (3 A)r- (2 A)(3fi) =

por lo que

2Ü

Los términos que contienen las resistencias r y 3 fi son negativos por-
que nuestra espira atraviesa esos elementos en el mismo sentido que la
corriente, por lo que encuentra caídas de potencial. Si se hubiera elegi-
do recórrer la espira (1) en sentido opuesto, cada termino habría tenido
el signo contrario, y el resultado para r habría sido el mismo.

Para determinar £ se aplica la regla de las espiras a la espira (2):

-£ + (1 A)(l O) - (2A)(3fï)

por lo que

£ = -5V

El termino para el resistor de 1 fi es positivo porque al atravesarlo en
sentido opuesto al de la corriente se encuentra una subida de potencial.
El valor negativo para £ demuestra que la polaridad real de esta fem es

opuesta a la que se supuso en la figura 26.11; la terminal positiva de
esta fuente esta en realidad en el lado derecho. Igual que en el ejemplo
26.3, la bateria se està recargando.

EVALUAR: Podemos comprobar nuestro resultado de £ utilizando la
espira (3) para obtener la ecuación

12 V - (3 A)(2Í1) - (1 A)(l íi) + £ =

de donde se obtiene £ = — 5V.

Como comprobación adicional de congruència, note que V ba = V b
— V a es igual al voltaje a través de la resistència de 3 fi, que es (2 A)
(3 fi) = 6 V. Al ir de a a b por el ramal superior, se encuentran dife-
rencias de potencial + 1 2 V — (3 A)(2 íi ) = + 6 V, y al ir por el ramal
intermedio, se obtiene — (—5 V) + (1 A) (1 fi ) = +6 V. Las tres for-
mas de obtener V ba dan los mismos resultados. Asegúrese de que com-
prende todos los signos en estos càlculos.

Ejemplo 26.5

Potencia en un circuito de carga de una bateria

En el circuito del ejemplo 26.4 (representado en la figura 26.11), calcu-
le la potencia entregada por la fuente de 1 2 V y por la bateria que se re-

La potencia de salida de la fem £ de la bateria que se carga es

Esnniaa

IDENTIFICAR: Se usan los resultados de la sección 25.5, donde se ob-
tuvo que la potencia entregada desde una fem a un circuito es £1 y la
entregada a un resistor desde un circuito es V 1:h I = I 2 R.

PLANTEAR: Del ejemplo 26.4, se conocen los valores de cada fem,
corriente y resistència.

EIECUTAR: La salida de potencia desde la fem de la fuente de energia
elèctrica es

P fcW ,tt = £fue„„ifue„ t e = ( 1 2 V) (3 A) = 36 W

La potencia disipada en la resistència interna de la fuente r es

^ f ,,e„ K = /m„ tt 2 'We= (3 A) 2 (2ÍÍ) = 18 W

por lo que la salida de potencia neta de la fuente de energia elèctrica es
fneia = 36 W — 1 8 W = 1 8 W. De manera alternativa, del ejemplo
26.4, el voltaje terminal de la bateria es V b „ = 6V, por lo que la poten-
cia de salida neta es

?«, = V„J fmm = (6 V)(3 A) = 18 W

: £L

(- 5 V)(l A) = -5W

Esta es negativa porque la corriente de 1 A corre a través de la bateria,
del lado del mayor potencial al del menor potencial. (Como se mencio-
no en el ejemplo 26.4, la polaridad que se supuso para esta bateria en
la figura 26.11 era incorrecta.) En la bateria se almacena energia a me-
dida que se carga. Se disipa mas potencia en la resistència interna de la
bateria; esta potencia es

/

bateria ' bateria

(1A) 2 (1 fi) = 1 W

Por lo tanto, la potencia de alimentación total a la bateria es
1 W + | — 5 W| = 6 W. De estos, 5 W representan energia útil alma-
cenada en la bateria; el resto se desperdicia en su resistència interna.
La potencia disipada en la bombilla es

^bombilla = ^bombilla ^bombilla = (2 A)~(3 íi) — 12 W

EVALUAR: Como comprobación, observe que se explica toda la
potencia de la fuente. De los 18 W de potencia neta de la fuente
de energia elèctrica, 5 W se destinan a la recarga de la bateria, 1 W se
disipa en la resistència interna de la bateria, y 12 W se disipan en la
bombilla.

Ejemplo 26.6

Una red compleja

La figura 26.12 muestra un circuito "puente" del tipo descrito al princi-
pio de esta sección (véase la figura 26.6b). Calcule la corriente en cada
resistor y la resistència equivalente de la red de cinco resistores.

EMMI

IDENTIFICAR: Esta red no se puede representar en términos de com-
binaciones en sèrie y en paralelo. De ahí que se deben utilizar las re-
glas de Kirchhoff para encontrar los valores de las variables buscadas.

PLANTEAR: Hay que calcular cinco diferentes comentes, però apli-
cando la regla de las uniones a los nodos a y b, es posible representar-
las en términos de tres comentes desconocidas, como se aprecia en la
figura. La corriente en la bateria es /, + /,.

26.12 Circuito con varios resistores.

>(2)-

13 V

/, + /

26.3 Instrumentos de medición elèctrica

891

(1)

(2)

(3)

EJECUTAR: Se aplica la regla de las espiras a las tres espiras que se in-
dican, con lo que se obtienen las siguientes tres ecuaciones:

13 v- 7,(i n) - (/, -/,)(in)

-7 2 (l íl) - (/ 2 + 7 3 )(2íl) + 13 V =

-/,(i n) - 7,(i n) + 7 2 (i n)

Éste es un conjunto de tres ecuaciones simultàneas para las tres co-
mentes desconocidas. Se pueden resolver con varios métodos; un pro-
cedimiento muy directo es despejar 7 2 en la tercera ecuación, con lo
que se obtiene 7 2 — 1 { + 7 3 , y luego se sustituye esta expresión en la se-
gunda para eliminar 7 2 . Al hacer esto quedan dos ecuaciones:

13 V = 7,(2 íl) - 7,(1 íl) (1')
13 V = 7, (3 fi) + 7,(5 íl) (2')

Ahora se elimina 7, multiplicando la ecuación ( 1 ') por 5 y sumando las
dos ecuaciones, para obtener

78 V = 7,(13 íl) 7, = 6 A

Este resultado se sustituye en la ecuación (1') para obtener 7, = — 1 A;
finalmente, de la ecuación (3) se obtiene 7 2 = 5 A. El valor negativo de
7, indica que su sentido es opuesto a nuestra suposición inicial.

La corriente total a través de la red es 7, + I t = 1 1 A y la caída de
potencial a través de ella es igual a la fem de la bateria, es decir, 13 V.
La resistència equivalente de la red es

13 V

7í eo = = 1.2 íl

q 11 A

EVALUAR: Los resultados de 7, = 6A, 7 2 = 5 Ae7, = -1 Aserevisan
sustituyendo estos valores en las tres ecuaciones (1), (2) y (3). (,Qué es
lo que observa?

Ejemplo 26.7

Diferencia de potencial dentro de una red compleja

En el circuito del ejemplo 26.6 (figura 26.12), calcule la diferencia de
potencial V ílh .

ESBU

IDENTIFICAR: La variable buscada es V„ h = V„ — V b , que es el poten-
cial en el punto a con respecto al punto fe.

PLANTEAR: Para encontrar V„,„ se comienza en el punto fe y se sigue
una trayectoria hacia a, sumando las subidas y bajadas de potencial a
medida que se avanza. Podemos seguir cualquiera de varias trayecto-
rias posibles de b a a; el valor de V ab debe ser independiente de la tra-
yectoria que se elija, lo que brinda una forma natural de comprobar

EJECUTAR: La trayectoria mas sencilla de seguir es a través del resis-
tor central de 1 íl. Hemos encontrado que 7 3 = — 1 A, lo que demues-
tra que el sentido real de la corriente en este ramal es de derecha a

izquierda. Así, al ir de fe a a hay una caída de potencial con magnitud
IR = (1 A)(l íl) = 1 V, y V ílb = - 1 V. Es decir, el potencial en el pun-
to a es 1 V menor que en el punto b.

EVALUAR: Para comprobar el resultado, se prueba una trayectoria de
b a a que pase por los dos resistores inferiores. Las comentes a través
de ellos son:

7 2 + 7, = 5 A + (-1 A) = 4A e
7j-7 3 = 6A-(-lA)=7A

b = -(4A)(2íl) + (7 A)(l íl) = -IV

por lo que

Se sugiere al lector que pruebe otras trayectorias de fe a a para verificar

Evalúe su comprensión de la sección 26.2 En el ejemplo 26.6, reste la ecuación (1)
de la (2). ^Para cuàl espira de la figura 26.12 corresponde esta ecuación? (.Habría simpliiïcado
esta ecuación la solución del ejemplo 26.6?

26.3 Instrumentos de medición elèctrica

En los dos últimos capítulos hemos hablado de la diferencia de potencial, corriente y re-
sistència, ahora es tiempo de decir algo acerca de cómo medir estàs cantidades. Existen
muchos dispositivos comunes, que incluyen tableros de automóviles, cargadores de ba-
terías e instrumentos eléctricos de bajo costo, que miden la diferencia de potencial (vol-
taje), corriente o resistència mediante un galvanómetro de d'Arsonval (figura 26.13).
En la siguiente exposición serà frecuente que lo llamemos simplemente medidor. En el
campo magnético de un imàn permanente se coloca una bobina de pivote de alambre
delgado (figura 26.14). Unido a la bobina està un resorte, similar a la espiral del volan-
te de un reloj. En la posición de equilibrio, sin corriente en la bobina, la aguja està en
el cero. Cuando hay una corriente en la bobina, el campo magnético ejerce un par de
torsión sobre la bobina que es proporcional a la corriente. (En el capitulo 27 se vera
en detalle esta interacción magnètica.) A medida que la bobina gira, el resorte ejerce un
par de torsión restaurador que es proporcional al desplazamiento angular.

Así, la desviación angular de la bobina y la ajuga es directamente proporcional a la
corriente en la bobina, y el dispositivo se puede calibrar para que mida corriente. La
desviación màxima, lo común es de 90°, se denomina desviación de escala completa.
Las características eléctricas esenciales del medidor son la corriente I ís (por las siglas

26.13 Este amperímetro (arriba) y el
voltímetro (abajo) son galvanómetros
de d'Arsonval. La diferencia tiene que
ver con sus conexiones internas
(véase la figura 26.15).

892

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

26.14 Galvanómetro de d'Arsonval con
una bobina de pivote o articulada a la que
està adherida una aguja; un imàn permanen-
te suministra un campo magnético de
magnitud uniforme, y el resorte proporciona
un par de torsión restaurador que se opone
al par de torsión del campo magnético.

EI par del campo
magnético \
empuja la
aguja lejos
del cero.

El par de torsión
del resorte empuja
la aguja
hacia el cero.

Campo
magnético

Imàn Núcleo de Bobina

Actv
Physics

12.4 Uso de amperímetros y voltímetros

de full scale o escala completa) que se requiere para la desviación de escala completa
(lo común es del orden de 10 /jlA a 10 mA) y la resistència R c (por la inicial de coil,
bobina) de la bobina (lo normal es del orden de 10 a 1000 íl).

La desviación del medidor es proporcional a la corriente en la bobina. Si esta obede-
ce la ley de Ohm, la corriente es proporcional a la diferencia de potencial entre las termi-
nales de la bobina, y la desviación también es proporcional a esta diferencia de
potencial. Por ejemplo, considere un medidor cuya bobina tenga una resistència R c =
20.0 íl y que se desvia la escala completa cuando la corriente en la bobina es 4 = 1.00
mA. La diferencia de potencial correspondiente para la desviación de escala completa es

V = L k R c

(1.00 X 10~ 3 A) (20.00) = 0.0200 V

Amperímetros

Un instrumento medidor de corriente por lo general se conoce como amperímetro (o
miliamperímetro, microamperímetro, etcètera, según su escala). Un amperímetro
siempre mide la corriente que pasa a través de él. Un amperímetro ideal, como el que
se estudio en la sección 25.4, tendría una resistència igual a cero, por lo que si se in-
cluyera en un ramal de un circuito no se afectaria a la corriente que circula por el ra-
mal. Los amperímetros reales siempre tienen una resistència finita, però es deseable
que sea tan pequefía como sea posible.

Un medidor puede adaptarse para medir corrientes mayores que su lectura de es-
cala completa si se conecta a él un resistor en paralelo (figura 26.15a) que desvíe par-
te de la corriente de la bobina del medidor. El resistor en paralelo se llama resistor de
derivación o simplemente derivación, y se denota como R sh (por las iniciales de
shunt, que en inglés significa derivación).

Suponga que se desea convertir un medidor con corriente de escala completa 7 fs y
resistència de bobina R c en un amperímetro con lectura de escala completa 7 a . Para
determinar la resistència de derivación R sh que se necesita, observe que, con la des-
viación de escala completa, la corriente total a través de la combinación en paralelo es
/„ la corriente a través de la bobina del medidor es I H , y la corriente que pasa a través
de la derivación es la diferencia /., — I ís . La diferencia de potencial V ab es la misma
para ambas trayectorias; por lo tanto,

4»^c = {li~Ift)Ra> (para un amperímetro) (26.7)

26.15 Uso del mismo medidor para
medir a) corriente y b) voltaje.

a) Amperímetro de bobina móvil

b) Voltímetro de bobina móvil

Ejemplo 26.8

Diserïo de un amperímetro

Elemento
de circuito

iQué resistència de derivación se requiere para hacer que el medidor
de 1 .00 mA y 20.0 íl descrito antes sea un amperímetro con una esca-
la de a 50.0 mA?

Enmaa

IDENTIFICAR: Como el medidor se emplea como amperímetro, sus
conexiones internas se ilustran en la figura 26.15a. La variable buscada
es la resistència de derivación R sb .

PLANTEAR: Se desea que el amperímetto sea capaz de manejar una co-
rriente màxima /. = 50.0 mA = 50.0 X 10~ 3 A. La resistència de la bobi-

na es R c = 20.0 íl, y el medidor presenta una desviación de escala com-
pleta cuando la corriente a través de la bobina es 4 = 1.00 X 10~ 3 A. La
resistència de derivación se calcula con la ecuación (26.7).

E1ECUTAR: Se despeja R, h en la ecuación (26.7) para obtener
/,J?. (1.00 X 10~ 3 A) (20.0 0)

D — _

sh I. - 4 50.0 X 10~ 3 A - 1.00 X 10" 3 A
= 0.408 íl

26.3 Instrumentos de medición elèctrica

893

EVALUAR: Es útil considerar como un todo la resistència equivalente
R cq del amperímetro. De la ecuación (26.2),

1

1 1

i i

R eq

20.0 fi 0.408 a

Kn

= o.4oo n

La resistència de derivación es tan pequena en comparación con la
resistència del medidor, que la resistència equivalente està muy cerca

de ser igual a la de derivación. El resultado es un instrumento de baja
resistència con la escala deseada de a 50.0 mA. Con desviación de
escala completa, / = /. = 50.0 mA, la corriente a través del galva-
nómetro es de 1 .00 mA, la corriente a través del resistor de derivación
es de 49.0 mA, y V ah = 0.0200 V. Si la corriente / fuera menor que
50.0 mA, la corriente en la bobina y la desviación serían proporcional-
mente menores, però la resistència R eq seguiria siendo de 0.400 íl.

Voltímetros

Este mismo medidor bàsico también se puede utilizar para medir la diferencia de po-
tencial o voltaje. El dispositivo que mide el voltaje se llama voltímetro (o milivoltí-
metro, entre otros nombres, según sea su escala de medición). Un voltímetro siempre
mide la diferencia de potencial entre dos puntos a los que deben conectarse sus termi-
nales. (El ejemplo 25.7 de la sección 25.4 describió lo que puede pasar si un voltíme-
tro se conecta de manera incorrecta.) Como se vio en la sección 25.4, un voltímetro
ideal tendría resistència infinita, por lo que si se lo conectara entre dos puntos de un
circuito no se alteraria ninguna de las comentes. Los voltímetros reales siempre tie-
nen resistència finita, però un voltímetro debería tener resistència suficientemente
grande como para que al conectar el aparato a un circuito, las otras corrientes no cam-
bien de manera apreciable.

Para el medidor descrito en el ejemplo 26.8, el voltaje a través de la bobina del
medidor con desviación de escala completa es de solo I !s R c = (1.00 X 10~ 3 A)(20.0 fi)
= 0.0200 V. Esta escala se puede extender si se conecta un resistor R s en sèrie con la
bobina (figura 26.15b). Entonces, solo una fracción de la diferencia de potencial total
parece cruzar la bobina, y el resto parece atravesar R s . Para un voltímetro con lectura
de escala completa V v se necesita un resistor en sèrie R s en la figura 26.15b, de mane-
ra que

V v = J k (R c + Rj (para un voltímetro) (26.8)

Ejemplo 26.9

Diseno de un voltímetro

^Cómo se puede convertir un galvanómetro con R c = 20.0 fi e
/ fI = 1.00 mA en un voltímetro con una escala màxima de 10.0 V?

E3EBEEI

IDENTIFICAR: Como este medidor se va a usar como voltímetro, sus
conexiones internas se ilustran en la figura 26.15b. La variable que se
busca es la resistència en sèrie R s .

PLANTEAR: El voltaje màximo permisible a través del voltímetro es
V v = 10.0 V. Queremos que esto suceda cuando la corriente a través de
la bobina (de resistència R c = 20.0 fi) es / fs = 1.00 X 10 -3 A. La resis-
tència en sèrie R s se obtiene con la ecuación (26.8).

EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (26.8),

R= R c

10.0 V
0.00100 A

- 20.0 fi = 9980 fi

EVALUAR: Con desviación de escala completa, V Ilb = 10.0 V, el volta-
je a través del medidor es de 0.0200 V, el voltaje que cruza R, es de
9.98 V, y la corriente que pasa por el voltímetro es de 0.00100 A. En
este caso, la mayor parte del voltaje aparece entre los extremos del re-
sistor en sèrie. La resistència equivalente del medidor es R cq = 20.0 íl
+ 9980 fi = 10,000 íl. Un medidor como éste se describe como "un
medidor de 1000 ohms por volt", en referència a la razón entre la resis-
tència y la desviación de escala completa. En operación normal, la co-
rriente que cruza el elemento de circuito que se mide (/ en la figura
26.15b) es mucho mayor que 0.00100 A, y la resistència entre los pun-
tos a y b en el circuito es mucho menor que 10,000 íl. Así, el voltíme-
tro solo retira una pequena fracción de la corriente y casi no interfiere
con el circuito sujeto a medición.

Amperímetros y voltímetros en combinación

Es posible utilizar un voltímetro y un amperímetro juntos para medir la resistència y
la potencia. La resistència R de un resistor es igual a la diferencia de potencial V ab en-
tre sus terminales, dividida entre la corriente /; es decir, R = V ah /I. La potencia de ali-
mentación P a cualquier elemento de circuito es el producto de la diferencia de
potencial que lo cruza y la corriente que pasa por él: P = V llh I. En principio, la forma
mas directa de medir fioPes con la medición simultànea de V„ h e /.

894

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

Con araperímetros y voltímetros pràcticos esto no es tan sencillo como parece. En
la figura 26.16a, el amperímetro A lee la corriente / en el resistor R. El voltímetro V,
sin embargo, lee la suma de la diferencia de potencial V ab a través del resistor y la di-
ferencia de potencial V hc a través del amperímetro. Si se transfiere la terminal del vol-
tímetro dec ab, como en la figura 26.16b, entonces el voltímetro lee correctamente la
diferencia de potencial V ab , però ahora el amperímetro lee la suma de la corriente / en
el resistor y la corriente / v en el voltímetro. De cualquier forma, se tiene que corregir
la lectura de uno u otro instrumento a menos que las correcciones sean tan pequenas
que se puedan ignorar.

26.16 Método del amperímetro-voltímetro
para medir la resistència.

a)

-t— VW-»-

<E>

<*H

Ejemplo 26.10

Medición de la resistència I

Suponga que queremos medir una resistència desconocida R utilizando
el circuito de la figura 26.16a. Las resistencias del medidor son R v =
10,000 íl (para el voltímetro) y R A = 2.00 íl (para el amperímetro). Si
el voltímetro da una lectura de 12.0 V y el amperímetro otra de 0.100 A,
^cuàles son la resistència R y la potencia disipada en el resistor?

EMEn

IDENTIFICAR: El amperímetro da una lectura de la corriente / =
0. 1 00 A a través del resistor, y el voltímetro da la lectura de la diferen-
cia de potencial entre los puntos a y c. Si el amperímetro fuera ideal
(es decir, si R A = 0), habría una diferencia de potencial igual a cero en-
tre b y c, y la lectura del voltímetro V = 12.0 V seria igual a la diferen-
cia de potencial V ab a través del resistor, y la resistència simplemente
seria igual nR=V/I= (12.0 V)/(0.100 A) = 120 ü. Sin embargo, el
amperímetro no es ideal (su resistència es R A = 2.00 íl), por lo que la
lectura del voltímetro V en realidad es la suma de las diferencias de po-
tencial V bc (a través del amperímetro) mas V ab (a través del resistor).

PLANTEAR: Para obtener el voltaje V bí a través del amperímetro a
partir de su corriente y resistència conocidas, se utiliza la ley de Ohm.
Después se despejan V ab y la resistència R. Así, se estarà en posibilidad
de calcular la potencia P que alimenta al resistor.

EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Ohm, V bc = IR A = (0.100 A)
(2.00 íl) = 0.200 V y V i:b = IR. La suma de éstas es V = 12.0 V, por
lo que la diferencia de potencial a través del resistor es V„ b — V — V bc
= (12.0 V) - (0.200 V) = 11.8 V. Por lo tanto, la resistència es

V ab 11.8V

R = — = = lli

/ 0.100A

íl

La potencia disipada en este resistor es

P = V,J = (11.8 V) (0.100 A) = 1.18 W

EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia si se utili-
za la fórmula alternativa P = I 2 R. ^Obtiene usted la misma respuesta?

Ejemplo 26.11

Medición de la resistència II

Suponga que los medidores del ejemplo 26.10 estan conectados a un
resistor diferente en el circuito que se ilustra en la figura 26.16b, y que
las lecturas obtenidas en ellos son las mismas que las del ejemplo
26.10. ^Cuàles son los valores de esta nueva resistència R y de la po-

EHEl•la

IDENTIFICAR: En el ejemplo 26.10 el amperímetro leía la corriente
real a través del resistor, però la lectura del voltímetro no era la misma
que la diferencia de potencial a través del resistor. Ahora la situación es
la contraria: la lectura del voltímetro V = 12.0 V indica la diferencia de
potencial real V ab a través del resistor, però la lectura del amperímetro
I A = 0. 100 A no es igual a la corriente / a través del resistor?

PLANTEAR: La aplicación de la regla de las uniones en b en la figura
26.16b indica que / A = / + 7 V , donde 7 V es la corriente a través del vol-
tímetro, y se calcula a partir de los valores dados de V y la resistència
del voltímetro R v , y ese valor se utiliza para determinar la corriente / en
el resistor. Después, se determina la resistència R a partir de / y la lectu-
ra del voltímetro, y se calcula la potencia como en el ejemplo 26.10.

EJECUTAR: Se tiene I v = V /R v = (12.0 V)/( 10,000 íl) = 1.20 mA.
La corriente real / en el resistor es / = / A — / v = 0. 100 A — 0.0012 A =
0.0988 A, y la resistència es

R =

V.„

12.0 V

= 121 íl

/ 0.0988 A
La potencia disipada en el resistor es

P = V„ b I = (12.0 V) (0.0988 A) = 1.19 W

de los resultados del ejemplo 26. 1 0, en que los medidores estaban co-
nectados en forma diferente. Eso es porque el amperímetro y el voltíme-
tro son casi ideales: en comparación con la resistència R en estudio, la
resistència del amperímetro R A es muy pequena, y la del voltímetro R v
es muy grande. No obstante, los resultados de los dos ejemplos son dife-
rentes, lo que demuestra que al interpretar las lecturas de amperímetros y
voltímetros, se debe tomar en cuenta el modo en que se utilizan.

26.3 Instrumentos de medición elèctrica

895

Óhmetros

Un método alternativo para medir la resistència es utilizar un medidor de d'Arsonval
en la configuración conocida como óhmetro, que consiste en un medidor, un resistor
y una fuente (con frecuencia, una bateria de linterna) conectados en sèrie (figura
26.17). La resistència R que se va a medir se conecta entre las terminales x y y.

La resistència en sèrie R s es variable; se ajusta de manera que cuando las termina-
les x y y estan en cortocircuito (es decir, cuando R = 0), el medidor muestre una des-
viación de escala completa. Cuando no hay nada conectado a las terminales x y y, de
manera que el circuito entre tales puntos està abierto (es decir, cuando R — > °°), no
hay corriente y, por consiguiente, tampoco hay desviación. Para cualquier valor inter-
medio de R, la desviación del medidor depende del valor de R, y su escala se puede
calibrar para leer en forma directa la resistència R. Comentes mayores corresponden
a resistencias mas pequenas, por lo que esta escala lee hacia atràs en comparación con
la escala que muestra la corriente.

En las situaciones en las que se requiere mucha precisión, los instrumentos con
medidores de d'Arsonval se sustituyen por instrumentos electrónicos que dan lectu-
ras digitales directas. Estos son mas precisos, estables y confiables mecànicamente
que los medidores de d'Arsonval. Los voltímetros digitales se fabrican con resistèn-
cia interna muy elevada, del orden de 100 Mil. La figura 26.18 muestra un multíme-
tro digital, un instrumento capaz de medir voltaje, corriente o resistència en un
intervalo muy amplio.

El potenciómetro

El potenciómetro es un instrumento que se utiliza para medir la fem de una fuente sin
extraer corriente de esta; también tiene otras aplicaciones útiles. En esencia, un
potenciómetro compensa una diferencia de potencial desconocida contra una diferen-
cia de potencial ajustable y mensurable.

El principio del potenciómetro se ilustra en la figura 26.19a. Un alambre de resis-
tència ab con resistència total R ab està conectado permanentemente a las terminales
de una fuente de fem conocida £,. Se conecta un contacto deslizante c a través del
galvanómetro G a una segunda fuente cuya fem £ 2 habrà de medirse. A medida que el
contacto c se desliza a lo largo del alambre de resistència, varia la resistència R cb entre
los puntos c y b; si el alambre de resistència es uniforme, R cb es proporcional a la lon-
gitud del alambre entre los puntos c y b. Para determinar el valor de £ 2 , se desliza el
contacto c hasta que se encuentra una posición en la que el galvanómetro no muestra
desviación; esto corresponde a una corriente nula a través de £ 2 . Con I 2 = 0, la re-
gla de Kirchhoff de las espiras da

£i = «*

Con I 2 = 0, la corriente / producida por la fem £, tiene el mismo valor sin impor-
tar cuàl sea el valor de la fem £ 2 . El dispositivo se calibra sustituyendo £ 2 por una
fuente de fem conocida; después, es posible encontrar cualquier fem £ 2 desconocida
midiendo la longitud del alambre cb con la cual I 2 = (véase el ejercicio 26.35).
Note que para que esto funcione, V ab debe ser mayor que £ 2 .

El termino potenciómetro también se utiliza para cualquier resistor variable, por lo
general con un elemento de resistència circular y un contacto deslizable controlado
mediante un eje giratorio y una perilla. En la figura 26.19b se ilustra el símbolo para
un potenciómetro.

Evalúe su comprensión de la sección 26.3 Se desea medir la corriente y ÍMP)

la diferencia de potencial a través del resistor de 2 íl que se ilustra en la figura 26. 12 V-»^
(ejemplo 26.6 en la sección 26.2). a) Para hacer eso, ^cómo se deben conectar un amperímetro
y un voltímetro? i) El amperímetro y el voltímetro se conectan en sèrie con el resistor de 2 íl;
ii) el amperímetro se conecta en sèrie con el resistor de 2 íl y el voltímetro se conecta entre
los puntos b y d; iii) el amperímetro se conecta entre los puntos b y d y el voltímetro en sèrie
con el resistor de 2 íl; iv) el amperímetro y el voltímetro se conectan entre los puntos b y d.
b) ^Cuàles son los valores de resistència que deben tener estos instrumentos? i) Las resistencias
del amperímetro y el voltímetro deben ser mucho mayores que 2 íl; ii) la resistència del ampe-
rímetro debe ser mucho mayor que 2 íl y la del voltímetro mucho menor que 2 íl; iii) la resis-
tència del amperímetro debe ser mucho menor que 2 íl y la del voltímetro mucho mayor
que 2 íl; iv) las resistencias de ambos instrumentos deben ser mucho menores que 2 íl.

26.17 Circuito del óhmetro. El resistor R s
tiene una resistència variable, como indica
la flecha a través del símbolo del resistor.
Para emplear el óhmetro, primero se
conecta x directamente con y y se ajusta ff s
hasta que la lectura del instrumento sea
de cero. Después se conectan .t y y a
través del resistor R y se lee la escala.

ce /

R

26.18 Este multímetro digital puede
usarse como voltímetro (escala en color
rojo), amperímetro (escala amarilla) y
óhmetro (escala verde).

26.19 a) Circuito del potenciómetro.
b) Símbolo que en un circuito representa
un potenciómetro (resistor variable).

a)

f,

-í

/, = o

'G <z

£?, r

b)

^wvwvw^

896

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

26.4 Circuitos R-C

26.20 Esta imagen a colores obtenida con
rayos X muestra un marcapasos implantado
quirúrgicamente en un paciente con un
problema en el nodo sinoatrial, la parte
del corazón que genera la sefial elèctrica
para generar los latidos. Para compensarlo,
el marcapasos (localizado cerca de la
clavícula) envia pulsos eléctricos a lo
largo del conductor para mantener
los latidos a intervalos regulares.

26.21 Carga de un capacitor. a) Antes de
que se cierre el circuito, la carga q es igual
a cero. b) Cuando el interruptor se cierra
(en t = 0), la corriente pasa de cero a £/R.
A medida que transcurre el tiempo,
q se acerca a Q f , y la corriente i se
acerca a cero.

Interruptor

abierto

9 =

L^AAA— •-

c

b) Carga del capacitor

P Interruptor

* *

L•-^VW^-•-

Cuando el
interruptor se
cierra, a medida
que transcurre el
tiempo, la carga
en el capacitor
se incrementa y
la corriente
disminuye.

En los circuitos que hemos analizado hasta este momento hemos supuesto que todas
las fem y resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que los po-
tenciales, las comentes y las potencias también son independientes del tiempo. Però
en el simple acto de cargar o descargar un capacitor se encuentra una situación en la
que las corrientes, los voltajes y las potencias sí cambian con el tiempo.

Muchos dispositivos importantes incorporan circuitos en los que un capacitor se
carga y descarga alternativamente. Estos incluyen marcapasos cardiacos (figura
26.20), semàforos intermitentes, luces de emergència de los automóviles y unidades
de flash electrónico. Comprender lo que pasa en esa clase de circuitos tiene gran im-
portància pràctica.

Carga de un capacitor

La figura 26.21 muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito como
éste, que tiene un resistor y un capacitor conectados en sèrie, se llama circuito R-C.
Se ha idealizado la bateria (o fuente de energia elèctrica) para que tenga una fem £
constante y una resistència elèctrica igual a cero (r = 0), y se desprecia la resistència
de todos los conductores de conexión.

Se comienza con el capacitor descargado (figura 26.21a); después, en cierto mo-
mento inicial, t — 0, se cierra el interruptor, lo que completa el circuito y permite que la
corriente alrededor de la espira comience a cargar el capacitor (figura 26.21b). Para to-
dos los efectos pràcticos, la corriente comienza en el mismo instante en todas las partes
conductoras del circuito, y en todo momento la corriente es la misma en todas ellas.

CUIDADO Las ietras minúsculas significan que hay variación con el tiempo Hasta
este momento hemos trabajado con diferencias de potencial (voltajes), corrientes y cargas cons-
tantes, y hemos utilizado Ietras mayúsculas V, I y Q, respectivamente, para denotar esas canti-
dades. Para diferenciar entre cantidades que varían con el tiempo y aquellas que son contantes,
usaremos Ietras minúsculas, v, i y q para voltajes, corrientes y cargas, respectivamente, que
varían con el tiempo. Se sugiere al lector que en su trabajo siga esta convención.

Como el capacitor de la figura 26.21 al principio està descargado, la diferencia de
potencial v bc a través suyo es igual a cero en t — 0. En ese momento, según la regla
de Kirchhoff de las espiras, el voltaje v ab a través del resistor R es igual a la fem de la
bateria £. La corriente inicial (í = 0) a través del resistor, que llamaremos / , està
dada por la ley de Ohm: I — v„ b /R = £/R.

A medida que el capacitor se carga, su voltaje v hc aumenta y la diferencia de poten-
cial v ab a través del resistor disminuye, lo que corresponde a una baja de la corriente.
La suma de estos dos voltajes es constante e igual a £. Después de un periodo largo,
el capacitor està cargado por completo, la corriente baja a cero y la diferencia de
potencial v ab a través del resistor se vuelve cero. En ese momento aparece la totalidad
de la fem £ de la bateria a través del capacitor y v bc = £.

Sea q la carga en el capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo f
después de haberse cerrado el interruptor. Asignamos el sentido positivo a la corrien-
te en correspondència al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor,
como se aprecia en la figura 26.21b. Las diferencias de potencial instantàneas v ab
y v bc son

iR

1

c

Con la regla de Kirchhoff de las espiras, se obtiene

£

iR-- =

(26.9)

El potencial cae en una cantidad iR conforme se va de a a b, y en q/C al pasar de b a c.
Al despejar i en la ecuación (26.9), se encuentra que:

£

RC

(26.10)

26.4 Circuitos/?-C

897

En el momento t = 0, cuando el interruptor se encuentra cerrado, el capacitor està
descargado y q — 0. Al sustituir q = en la ecuación (26.10), se encuentra que la
corriente inicial 1 està dada por /„ = E/R, como ya se había dicho. Si el capacitor
no estuviera en el circuito, el ultimo termino de la ecuación (26.10) no estaria pre-
sente, por lo que la corriente seria constante e igual a E/R.

Conforme la carga se incrementa, el termino q/RC se hace màs grande y la carga
del capacitor tiende a su valor final, al que Uamaremos Q,. La corriente disminuye y
finalmente se vuelve cero. Cuando i = 0, la ecuación (26.10) da

£

R

RC

Qt = CE

(26.11)

Observe que la carga final Q r no depende de R.

En la figura 26.22, la corriente y la carga del capacitor se ilustran como funciones
del tiempo. En el instante en que el interruptor se cierra (t = 0), la corriente pasa de
cero a su valor inicial I — £/R; después de eso, tiende gradualmente a cero. La carga
del capacitor comienza en cero y poco a poco se acerca al valor final dado por la
ecuación (26.11), Q s — CE.

Es posible obtener expresiones generales para la carga q y la corriente i como fun-
ciones del tiempo. Con la elección del sentido positivo para la corriente (figura
26.21b), i es igual a la tasa a la que la carga positiva llega a la placa izquierda (positi-
va) del capacitor, por lo que i = dq/dt. Al sustituir esta expresión en la ecuación
(26.10), se tiene

dq £

dl

Al reordenar, se obtiene

R RC

dq
q- CE

RC

(q - ce)

dt
RC

y luego se integran ambos lados. Podemos cambiar las variables de integración a q ' y
t ' con la finalidad de utilizar q y t para los limites superiores. Los limites inferiores
son q' = Oy t' = 0:

í" dq' _[' &_

J q' - CE ~ S RC

Se efectua la integración y se obtiene:

In

- CE
-CE

t
RC

Se aplica la función exponencial (es decir, se toma el logaritmo inverso) y se despeja
q, para obtener:

- CE
CE

= e -'l RC

26.22 Corriente i y carga del capacitor q
como funciones del tiempo para el circuito
de la figura 26.21. Al principio, la corriente
inicial es /„ y la carga del capacitor vale
cero. La corriente tiende a cero en fornia
asintótica, y la carga del capacitor se
aproxima en forma asintótica a su
valor final Q f .

a) Gràfica de la corriente contra el tiempo para
un capacitor en proceso de carga

Conforme el capacitor se
w carga, la corriente disminuye
en forma exponencial con
respecto al tiempo.

b) Gràfica de la carga de un capacitor contra el
tiempo para un capacitor en proceso de carga

La carga
en el capacitor se
incrementa en forma
exponencial con
respecto al tiempo
hacia el valor final f .
t

C£{\ - e-'l RC ) =g f (l -e-'l RC )

(circuito RC, con
capacitor en carga)

(26.12)

La corriente instantànea i tan solo es la derivada con respecto al tiempo de la ecua-
ción (26.12):

i= d l = S-pc = , e -4K ( circuit0 R ~ C ' (26.13)

dt R capacitor en carga)

La carga y la corriente son ambas funciones exponenciales del tiempo. La figura
26.22a es la gràfica de la ecuación (26.13), y la figura 26.22b es la gràfica de la ecua-
ción (26.12).

898

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

26.23 Descarga de un capacitor. a) Antes
de que el interruptor esté cerrado en el
momento t = 0, la carga del capacitor es
Q a y la corriente es igual a cero. b) En el
momento t, una vez que el interruptor se
ha cerrado, la carga del capacitor es q y
la corriente es i. El sentido real de la co-
rriente es opuesto al sentido que se ilustra;
i es negativa. Después de un tiempo
prolongado, tanto q como ;' tienden a cero.

Interruptor
abierto

Constante de tiempo

Una vez que el tiempo es igual a RC, la corriente en el circuito R-C ha disminuido a 1/e
(alrededor de 0.368) de su valor inicial. En ese momento la carga del capacitor ha
alcanzado el (1 — l/é) = 0.632 de su valor final Q t = CE. Por lo tanto, el producte RC
es una medida de la rapidez con que se carga el capacitor. El termino RC recibe el nom-
bre de constante de tiempo, o tiempo de relajación, del circuito, y se denota por r:

t = RC (constante de tiempo para un circuito R-C)

(26.14)

i'=

+ 6o -Qa

U-^VW^-^

li

c

Cuando t es pequena, el capacitor se carga con rapidez; cuando es grande, el proceso
de carga toma mas tiempo. Si la resistència es pequena, es fàcil que fluya la corriente
y el capacitor se carga ràpido. Si R està en ohms y C en farads, t està en segundos.

En la figura 26.22a, el eje horizontal es una asíntota de la curva. En sentido estric-
te, i nunca llegarà exactamente a cero. Però cuanto màs tiempo transcurra, mas se
acercarà a ese valor. Después de que pasa un tiempo igual a 10RC, la corriente ha ba-
jado a 0.000045 de su valor inicial. De manera similar, la curva de la figura 26.22b se
acerca a la asíntota, la recta horizontal punteada Q t . La carga q nunca toma ese valor
exacto, però después de un tiempo igual a 10 RC, la diferencia entre q y Q t solo es
de 0.000045 veces el valor de Q. Se invita al lector a comprobar que el producte

b) Descarga del capacitor

Interruptor

+ 'l

L-•-^VW^-•-

Descarga de un capacitor

Ahora suponga que después de que el capacitor de la figura 26.21b ha adquirido una
Cuando se cerra el car g a 2o> se retira la bateria del circuito R-C y se conectan los puntos nycaïm inte-
interruptor, tanto la rruptor abierto (figura 26.23a). Después se cierra el interruptor y en el mismo instante
carga en el capacitor se reajusta el cronómetro a f = 0; en ese momento, q = Q . Luego, el capacitor se
descarga a través del resistor y su carga disminuye finalmente a cero.

Otra vez, i y q representan la corriente y la carga como función del tiempo en cier-
to instante después de que se hizo la conexión. En la figura 26.23b se hace la misma
elección del sentido positivo para la corriente que en la figura 26.21b. Entonces, la
regla de Kirchhoff de las espiras da la ecuación (26. 10) però con £ — 0; es decir,

como la corriente
disminuyen con el
tiempo.

26.24 La corriente i y la carga q del
capacitor como funciones del tiempo para
el circuito de la figura 26.23. La corriente
inicial es 7 y la carga inicial del capacitor
es Q . Tanto i como q tienden a cero de
manera asintótica.

a) Gràfica de la corriente contra el tiempo
para un capacitor en descarga

La corriente
disminuye en forma
exponencial a medida que
se descarga el capacitor. (La
' corriente es negativa porque su sen-
tido es opuesto al que se ilustra en la
figura 26.22.)

b) Gràfica de la carga del capacitor contra
el tiempo para un capacitor en descarga

dq
dí

1
RC

(26.15)

La corriente i ahora es negativa; esto se debe a que la carga positiva q està saliendo de
la placa izquierda del capacitor de la figura 26.23b, por lo que la corriente va en senti-
do opuesto al que se ilustra en la figura. En el momento t — 0, cuando q = Q , la co-
rriente inicial es /„ = —Q /RC.

Para encontrar q como función del tiempo se reordena la ecuación (26.15), de nue-

vo se cambian los nombres de las variables a q'
los limites para q' son de Q Q a q. Se obtiene

y /', y se procede a integrar. Esta vez

dq'

ln^

2o

l
RC

t
RC

dl'

q = Q«e

-(/SC

(circuito R-C, capacitor en descarga)

(26.16)

La corriente instantànea i es la derivada de esta con respecto al tiempo:

La carga en el capacitor disminuye
en forma exponencial a medida
que el capacitor se
descarga.

d i=--^ e -#c = / -,/sc
dt RC

(circuito R-C,
capacitor en descarga)

(26.17)

En la figura 26.24 estan graficadas la corriente y la carga; ambas cantidades tienden a
cero en forma exponencial con respecto al tiempo. Al comparar los resultados con las
ecuaciones (26.12) y (26.13), se observa que las expresiones para la corriente son
idénticas, aparte del signo de /„. En la ecuación (26.16), la carga del capacitor tiende a

26.4 Circuitos/?-C

899

cero de manera asintótica, en tanto que en la ecuación (26.12) es la diferencia entre q
y Q la que tiende a cero en forma asintótica.

Hay consideraciones sobre la energia que amplían nuestra comprensión del com-
portamiento de un circuito RC. Mientras el capacitor se carga, la tasa instantànea a la
que la bateria entrega energia al circuito es P — Ei. La tasa instantànea a la que la ener-
gia elèctrica se disipa en el resistor es i 2 R, y la tasa a que la energia se almacena en
el capacitor es i v bc — iq/C. Al multiplicar la ecuación (26.9) por i se obtiene:

Si = i 2 R +

'1
C

(26.18)

Esto significa que de la potencia Si suministrada por la bateria, una parte (i 2 R) se disi-
pa en el resistor y otra parte (iq/C) se almacena en el capacitor.

La energia total suministrada por la bateria durante la carga del capacitor es igual
a la fem de la bateria S multiplicada por el total de la carga Q f , o SQ r . La energia total
almacenada en el capacitor, según la ecuación (24.9), es QfS/2. Así, exactamente la
mitad de la energia suministrada por la bateria se almacena en el capacitor, y la otra
mitad se disipa en el resistor. Es un poco sorprendente que esta división por la mitad
de la energia no dependa de C, R o S. Este resultado también se puede verificar en de-
talle tomando la integral con respecto al tiempo de cada una de las cantidades de po-
tencia en la ecuación (26.18). Se deja ese calculo para entretenimiento del lector
(véase el problema 26.87).

Ací v

P,| ONLIN

12.6 Capacitancia

12.7 Capacitares en sèrie y en paralelo

1 2.8 Constantes de tiempo de circuitos

Ejemplo 26.12

Carga de un capacitor

Un resistor con resistència 10 Míí està conectado en sèrie con un ca-
pacitor cuya capacitancia es 1.0 iiF y una bateria con fem de 12.0 V.
Antes de cerrar el interruptor en el momento t = 0, el capacitor se des-
carga. a) ;,Cuàl es la constante de tiempo? b) iQué fracción de la carga
final hay en las placas en el momento í = 46 s? c) iQué fracción de la
corriente inicial permanece en t = 46 s?

EBEU

IDENTIFICAR: Esta es la misma situación que se ilustra en la figura
26.21, con R = 10 Mil, C = 1.0 iiF y S = 12.0 V. La carga y la
corriente varían con el tiempo, según se ilustra en la figura 26.22.
Las variables que se buscan son a) la constante de tiempo, b) la carga
q en í = 46 s dividida entre la carga final Q f y c) la corriente i en
r = 46 s dividida entre la corriente inicial i .

PLANTEAR: La carga para un capacitor que se està cargando està dada
por la ecuación (26.12), y la corriente por la ecuación (26.13). La
ecuación (26.14) da la constante de tiempo.

EJECUTAR: d) De acuerdo con la ecuación (26.14), la constante de
tiempo es

t = RC = (10 X 10 6 Ü)(1.0 X 10~ 6 F) = 10 s

b) A partir de la ecuación (26.12),

— = 1 - e-1" c = 1 - <r<" s >/(ios) = 0.99

a

El capacitor està cargado al 99% después de un tiempo igual a 4.6 RC,
o 4.6 constantes de tiempo.

c) De acuerdo con la ecuación (26.13),

— — e

In

0.010

Después de 4.6 constantes de tiempo, la corriente ha disminuido al
1.0% de su valor inicial.

EVALUAR: La constante de tiempo es relativamente grande porque la
resistència es muy grande. El circuito cargarà con màs rapidez si se
utiliza una resistència màs pequena.

Ejemplo 26.13

Descarga de un capacitor

El resistor y el capacitor descritos en el ejemplo 26.12 se reconectan
como se ilustra en la figura 26.23. Originalmente, se da al capacitor
una carga de 5.0 /aF y luego se descarga al cerrar el interruptor en r = 0.
a) ^En qué momento la carga serà igual a 0.50 /aC? b) <,Cuàl es la co-
rriente en ese momento?

ESÜ2MI

IDENTIFICAR: Ahora el capacitor se descarga, por lo que la carga q y
corriente i varían con el tiempo como se ilustra en la figura 26.24. Las

variables que se buscan son d) el valor de t en el que q = 0.50 /j,C y
b) el valor de i en ese momento.

PLANTEAR: La carga està dada por la ecuación (26.16), y la corriente
por la ecuación (26.17).

EJECUTAR: a) Al despejar el momento t en la ecuación (26.16) , se ob-
tiene:

= -RC In —

= -(10 X 10 6 Í1)(1.0 X 10"

. N 0.50 itC

'F)ln = 23s

5.0 iiC

continua

900

CAPÍTULO 26 Circuitos de corriente directa

Esto es 2.3 veces la constante de tiempo t = RC = 10 s.

è) De la ecuación (26.17), con Q = 5.0 /xC = 5.0 X 10~ 6 C,

2o „

e '

RC

jRC _ _

5.0 X 10' 6 C
lOs

-5.0 X 10~ S A

Cuando el capacitar se està descargando, la corriente tiene el signo
opuesto d```