Full text of "Acta Mathematica"

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,7^ 



ACTA 



MATHEMATICA 



ACTA MATHEMATICA 



ZEITSCHRIFT 



JOURNAL 



HERAUSGEGKBUN 



BEDIUE 



VON 



PAR 



G. MITTAG-LEFFLKR 



21 



BERLIN 

MAY K K A MCLLKK. 

MAHKUBAKKNBTHAItBIC &1. 



STOCKHOLM 

F. A G. B KU K 11. 

1807. 



CKNTHA L TRYCKKRII-rr, STOCKHOLM . 



PARIS 

A. IIEUMANN. 



s i:l-e u% la IIOB1.UXMC. 



Lmm OF THE 

LELAND^TAtJFORD !R. 'hyiVERSITY. 

CL.5r/3C3 



REDACTION 



SVERIGE: 

A. V. Bäcklund, Lund. 

A. Lindstedt, Stockholm. 
G. Mittag-Lefpler, > 

E. Phragmén, » 

NOEGE: 

C. A. Bjbbknes, ChriBtiaDia. 
Elling Holst, » 

S. Lie, Leipzig. 

L. Sylow, Frcdrikshald. 

DANMAEK: 

J. Petersen, Kjöbenhavn. 

H. G. Zeuthcn, » 

FINLAND: 
L. LiNDELÖF, Helsingfors. 



OSCARI II 



SUECliE ET NORVEGI^ REGI AUGUSTISSIMO 



POMTE SPIRITU CELSO NON MINUS QUÄM MOLLI SUAVITATE MIIIANDO 
ORATORI ELOQUENTIiE DIVINA VI ET DULCEDINE GRÅTA CLÄRISSIMO 

MULTIS MUSARUM ARTIBUS PERITISSIMO 
ATQUE OMNI ERUDITIONIS LAUDE PER ORBEM CELEBIIRRIMO 

HOMINI CUI NIHIL HUMANI ALIENUM 

QUI QUIDQUID MAGNI BONIQUE EST 

MENTIS ACIE COGITATUM, SAGACITATE SPIRITUS INVENTUM 

SAPIENTER PROTEGIT ET PROMOVET 



AD FESTUM TRIUMPHALE 

IN MEMORIAM LvETISSIMAM VIGINTI QUINQUE ANNORUM 

PER QUOS FELICITER ET GLORIOSE REGNA VIT 

CELEBRANDUM 

PRIMUM TERTI^ DECADIS HORUM ACTORUM VOLUMEN 
QUiE SUMMIS EIUS AUSPICIIS ET SUBSIDllS EFFICACIBUS 

IN LUCEM PROLATA 
PROGRESSUS SUGS IN TOTO DOCTORUM ORBE PROSPEROS 

HUlC PRiESIDIO PERPETUO 
HUIC AUXILIO SEMPER PRiESENTI 

DEBENT 



D. I). I). 

EDITOR 



INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÉRES. 

BAKD 21. — 1897. — TOME 21. 



fluite. Pager. 

AUTONNB, LEON. Sur los poles des fonctions uniforines ä 
plusieiirs variable.s iiulopoiHlantos 249 — 204 

BORBL, BMILB. Sur les series de Taylor 243—248 

DARWIN, G. H. Periodic Orbits 00—242 

KANTOR, S. Theorie der Transforinationen im W3, welclie 
keiue Fundamentalexirven i. Art besitzen 1 — 78 

KLUYVBR, J. C. A special case of Dirichlefs problem for 
two dimensions 26i)- 280 

MITTAQ-LBFFLBR, G. Weierstrass 79— 82 

d'OCAGNB, MAURICB. Theorie des éqnations représentables 
par trois systémes linéaires de poiiits cotés 301—330 

POINCARB, H. Sur une forme nouvelle des equations du 
probleme des trois corps 83 — 08 

FOINCARB, H. Sur les rapports de Tanalyso pure et de la 
physique mathematique 331 — 342 

VAHLBN, K. TH. Der Fundamentalsatz der Algebra und die 
Auflösung der Gleieliungen durch Quadratwurzeln 287—300 



Inhaltsverzeichniss der zwanzig ersten Bände nebst Namen- 
register der Bände 11 bis 20. — Table des matieres eontonues dana 
les vingt premiers volumes suivie d'une table génerale par noms 
d'auteurs des volumes 11-20 343—376 



THEORIE DER TRANSFORMATIONEN 
IM i.',. WELCHE KEINE FUNDAMENTALCURVEN i. ART BESITZEN 

UND IHRER ENDLICHEN GRUPPEN 

VON 

S. KANTOR 

-Wr liavc tirst raiaed a <1u!«t und tlnii 
couiplain, that we canuot sec. Bkrkki.cv. 

Bei der Begrttndung einer allgeineineii Theorie der periodischen Tnuis- 
forinationen und ihrer cndlicheii Gruppen im R.^ und ini R,. hegegiiet 
nian so vielen neuen Erscheinungen und hat sieh so viele neue Gesichts- 
punkte zu schatfen, die mit dem besehränkten Felde der Ebene und den 
auf sie bezilglichen Theorieen nicht von selbst erseheinen, dass es schon 
darum ntUzHch ist, vorher einige besondere Klassen zu betrachten. Das 
wird noch nCitzlicher dadureh, dass diese Klassen in der allgemeinen Theo- 
rie als Bestandtheil erseheinen und hiemit also nur ein Stftck ohnehin 
unumg&nglicher Arbeit antieipirt ist. So weiss man, dass in der Kbene 
die birationalen Transforniationen die Eigenschaft haben, sieh aus ele- 
mentaren Transformatioiien 2. Ordnung, Q^, zusammensetzen zu lassen. 
Wie ich schon frtther hervorgehoben, känn Q^ entweder durch die {SCy 
öder dureh die eubisehe Keciprokaltransformation rr,vT; = c auf den I{^ 
(und spftter auf R^) verallgemeinert werden, weshalb sieh beim Eingange 
in die Theorie der Periodicitat jene Transforniationen darbieten, welche 
entweder nur aus {SCy öder nur aus Heciprokaltransformationen zusani- 
mengesetzt sind. Die ersteren habe ieh im American Journal of Ma- 
thematies 1896 abgethan/ die anderen, von welchen ich hier handle, 



' Thecyrie derjenigen Transformationen im lir, velche sieh avs qundratischen xu- 
sammenset^en latfsen. Vol. 18. 

Afta waOnfntatica. 21. IinpriinC* le 2 ft-vrier 1807. I 



2 S. Kaotor. 

sind dadurch von erliöhtem Interesse, dass sie die im Titel genannte 
Kigeiischaft besitzen (§ 3).^ 

Ich erledigc diese Classo von Transforinationcn mit Bezug auf ihre 
[viriodischen Characteristiken und deren Construction sowie auf ihre end- 
lichen (iruppen und deren Construction.' Vorher gebe ich im I. Theile 
die allgemeinen Eigenschaften ihrer Fundamentalsysteme, welche bisher 
iiberhaupt nicht in Kede kamen/ 

Es besteht eine noch allgemeinere gleichartige Theorie im 7?^, von 
welcher sich zeigen wird, dass sie die ganze Theorie <ler ebenen biratio- 
nalen Transformationen als speciellen Fall enthalt. 



1. THEJL. 
Die Theorie der Fundamentalsysteme. 

S 1. Elyenschaften der FandauientalHystenief irelclie dnrch ZU' 
Hamnteusetxuug von Mecipr okalt i*ausf or fnatianen eutateheu. 

Es soll der Vereinfachung der Sprechweisc wegen die \'orauj?setzung 
ireniacht werden, dass wenn 5j , 6*.^ Fundamentalsysteme der einen, S\jS'^ 
jene der 2. Transformation sind, niemals eine Fundamentalcurve 2. Art 
von S,^ mit einer von S[ coincidire, ohne dass die sie bestimmenden Fun- 
«lamentalpunkte von N^ mit jenen von S\ coincidiren. Ferner soll bei 
der Zusammensetzung niemals eino Fundan^entalcurve von 5.^ mit einem 
Fundamentalpunkte von 51 incident sein. 

' Es ist torncr eioe bc^oodere Absicht diescr Arbeit, zuni ersten Male auf deu 
Vorthcil liinzuweiscn^ den cs bictet^ statt der homaloidalen FUchcnsysteme die honialoidalen 
(^urvensy.stenic auch itu Ur zur Defiuitioo eiuer Transformation zu verwenden. 

" Die Arbeit sehliesst sich also auch an mein Buch : Theork der cndlv:hen Gruppen 
ron ehideutigen Transfwmalionen in der Ebene (Berlin, Mayer & Muller. 1 895) an. 

' Ks möge bemerkt sein, dass die Reciprokal transformation allein als i>7>-reciproke 
Transformation^ bei 8. Lik in eiuer kurzen Note der Oöttinger Nachrichten (1871) zu 
olementarcren Zwecken angcwendet vorkommt. 



Traosformationen id H^^ weiehe koinc Fuodamentalcurvcn i. Art bcsitzen. 3 

Theorem I. Ein Fundamentalsystem, das nur durch Wiederholung öder 
Zusammensetziwg méhrerer {a^ ^ by entsteht. besitzt keine Fundamentalcurven 
I. Art. 

Eine solche Transforniatioi) S entspreche dem Satze uiid werde mit 
(«,, i,)'^ zusammengesetzt zu SS'. Das F^undamentalsystem von SS' ist 
imter dem transformirten Fundamentalsysteme S^ und imter i, zu suchon. 
Einer Fundamentalcurve von {SS')^ entspricht also in S[ ontweder eine 
Fundamentalcurve ('{ von S[ öder eine von S^ und dieser entspricht in 
(SiS'), bezttglieh eine gewöhnliche Curve von 6\ öder eine Fundamental- 
curve von 6',. In beiden Fallen ist die Curve von {SS')^ eine Funda- 
mentalcurv<* 2. Art. 

Änmerkung. Wenn jedoch c\ durch einen F^undamentalpunkt b von 
iSj hindurchgeht, dann entspricht wohl der cj eine Fundamentalcurve und 
gleichzeitig die dem b entsprechende Fundamentalflache A^ aber dies ist 
eigentlich so aufzufassen, dass sich die homaloidalen FIftchen von S'^ längs 
c'., beröhren und dass der ri eigentlich die Curve Cj, den 00^ Strahlbt^scheln 
von Nachbarpunkten an rj (längs den homaloidalen Flächen) die A ent- 
spricht. A biidet also eine Absonderungsfläche nur fftr jene Flächen des 
Raumes mit iS'.^, welche längs der Curve c\ alle homaloidalen Flächen 
bertlhren. Die erste der gemachten Kinschränk ungen bedeutet also dodi 
nur, dass homaloidale Flächensysteme mit Berfthrung längs Curven (bci 
variabeler BerQhrungsebene) a usgesch lössen sind. 

Theorem II. Die homaloidalen Sysleme dieser Transformat tonen haben 
nur solche Fundamentalcurven gemeinsam, welche eine nothwendige Folge der 
Viélfnchheiten in den Fundamentalpunkten sind. 

Gilt das Theorem fttr S^ so gilt es auch iWv S.{a , b)'\ denn die 
Kanton bjb^ sind nothwendig durch die Punkte b^ geinäss meiner Ab- 
handlung (iber die {a^, b^ und wftrde es fCir eine der ftbrigen Fundamen- 
talcurven behufs des Enthaltenseins einer weiteren Bedingung bedOrfen, 
welche ausserhalb der bi und der transformirten Fundamentalpunkte sich 
befindet, so wörde dies auch auf S sich öbertragen. Ftlr (a , by gilt 
aber das Theorem, also auch fdr S. 

Theorem III. Die Verwandlung von Ordnung und Singtdaritäten der 
M^ geschieht nach der linearen Substitution 



4 S. Kantor. 

u' = mn — rt, r, — a^x.^ —... — a,x„ — c^y^ — ... — cvy. , 

;r, = b^n — ^*ii.*'i — (i^^x.^ — . . . (^u^a — C\ //i • • • ~ Cg' fi„^ 

• • < ... • . ••• * 

I) .r; =■-*,« — rt„ x,^ — a^tXt —... — (i^.r„ — 6'<''V/, — ... — <°'//^ , 

• • . • ... . « a.» . 

//;. = rf,./^ - (i^lx, — (if:!lx^ — . . . — aDl x, — c„, //, — ... — c,„y,-. 

wo u die OrdmmHj .r, , . . . , x„ die Vielfdchheiten in den Fimdanienttd punkten, 
ffi j • • • > l/tj ^li^ Viélfachheitszahlen in den Fumlamentalcurven sind. 

Setzt man w = i , .^^^ = . . . = jr^ = y, = . . . = o, so folgt, dass m die 
Ordnung der Transforinationeii, ^i , . . . , ft^, ^/, , . . . , ^/^ die Vielfachheiten 
der homaloidalen FlÄchen in den a Fundarnentnlpunkten und den Fun- 
damentalcurven sind. Setzt inan w = o, x^ = — i, a:^ = . . - = x„ = o, 
y^ = o, so folgt, diiss a» , a^ , . . . , a^, , a^xi > • • • > ^'!tV Ordnung und Viel- 
fachheiten der Fundanientalflachen Ai in Fundanientalpunkten und Fun- 
danientalcurven sind. Von den CoefFicienten c^ , r-*^ , Cn, känn erst spater 
gesprochen werden. 

Definitionen. Die Substitutionen des Theoreines III sollen die voll- 
stjlndigen Substitutionen I) heissen. Wenn aber, was zulässig ist, die 
Glieder mit tf unberftcksichtiget bleiben, und also die Zeilen flir //[, ..., y^ 
ganz wegfallen, so bleiben lineare Substitutionen, welche die unvollstan- 
digen Substitutionen (öder unvollständigen fundamentalen Substitutionen) 
I) heissen sollen. Von diesen letzteren wird meistens die Rede sein. 

Theorem IV. Alle FHudamentalsysteme, welche durch Zummmenselzuny 
von {(lijb^Y entsfehen, hnhen anger ade Ordnuny und gerade VielfacJdieiten. 

Denn der Zusammensetzung zweier Transformationen entspricht nach 
den Erklärungen för die Ebene ^ die Zusammensetzung der zugehörigen 
Substitutionen I), sei es der vollständigen, sei es der unvollständigen. 
Wenn aber das Theorem fur zwei unvoUständige Substitutionen i) gilt. 



^ Cf. CreUe» Journal. Bd. 1 14, p. 59- Durch Verweisung auf dienc Definition 
dor Zusammensetzung känn ich die nachfolgenden Bcweise sehr kurz Tassen. 



TraDsPormatioDeQ in Ii,, wolchc kciiic Fundamentaleurvcii 1. Art hesiizon. 5 



j 



80 glit es auch frtr die Composition, weil der i. Coettlcicnt ans einem 
Producte zwuier un<jerader Zuhlen diircli Addition jjerader Productc eiit- 
Äteht, und analog die Coefficienten a, öder ft,. FOr die Reciprokaltrans- 
forinationen gilt es aber ersiclitlieh. 

Theorem V. Die unroUständigen Snhstitutmwn i) leproduciren die 
Formen 

(O 2n'- irl, 

I' 

(2) 4U — Z./-,,' 

.s//?</ a/öv> ^VeA"? llenniteache Substitutionen. 

Denn die coniponirenden Transforinationen (</^,/>.)* reproducircn die- 
selben, indein man nur jedesmal die tr — 4 Punkte, welche nicht Funda- 
mentalpunkte sind, alft gewöhnliche Punkte transformirt vorauj^setzt, und 
folglich auch das (resammtresultat. 

Theorem VI. Die rollstdn<li(/en Snhslitutioneu i) reproduciren die Formen 



ij 



(3) 

fl 

I i/i— 2Z.r,-- Zjy^.. 

Hier ist die 2. Summe liber alle Fundamentalcurven des Fundamen- 
talsysteines erstreckt. Die coniponirenden (a, , bi)'^ rcproducircn (3) \md 
da die Fundamentalcurven von i) fiich aus denen der Elemente öder 
ihren Transformirten zusammensetzen, so bleiben die (3) invariant. 

Theorem VII. Die Substitutionen i) lassen den Sinf/idaritdtencomplex 
n = 4S, .rj = ... =.r^= 2,s und (d)er auch n = 25, Xj = ... = r^ = .s unffedndert. 

Denn inan känn sich die coniponirenden {ii-^h^'^ mit iliren Funda- 
inentiilsystemen in dieselbe Ml verlegt denken, welche durch die ein- 
zelnen, also auch durch die (Tcsammttransformation invariant bleiben wird. 



^ Schoo in der Ebcnc könncn die beiden bekanntcn Glcicliuogen durch Zusauiinonsctzung 
aus don Q^ bcweisen werden. BezUglioh (3) ef. die Note l) am Ende der Abhandlung. 



<> S. Kantor. 

CoroUar, In den Substitutionen i) gelten die Kelationen 

2ci, = a';i + é;i + ... + <. 

Dcnn eine 3/.^, welche die jf^ Null hat, niuss auch die ;/a NuU liefern. 

Theorem VIII. Wenn ein Vnndament al punkt 2(i'f((ch fur die homaJoi- 
didefi FUicheu isty etdsprirht ihm im (inderei) lUtKrne eine Absovderum/fffläche 
der Ordnmuf a. 

Es niöge fiir eine Transformation S gelten. VVird S mit {a ^ b)" 
zusammengesetzt, so erhält man fur <iie Fundamentalpunkte, welche Trans- 
formirte aus S^ sind, dieselbe Vielfachheit und dieselbe Ordnunii: der 
Absonderungsfiache wie fdr S, fHr h^b^hj)^ aber erhalt man nach i) 
x\ = 2n — x^ - :r, — x„^ fQr die Vielfachheit und, da die Ebene ntb,a„, 

in eine Fläche der Ordnuiiff n *— -- — '" tninsformirt wird (da da? 

Theorem fur S gelten soU), ist dies die Ordnung der Absonderungsfiache, 
welche Zahl wirklich die Hälfte von x' ist. 

Theorem IX. Die Transformcdionen habeii stefs iu beiden Rnumen 
f/leich hohe Ordnung. 

Das Theorem gelte fHr S und werde *S mit (r/,, i,) ^ zusammengesetzt. 
Dann entsteht n' = ^n — x^ — x^ — x^ — x^ in S'^ und aber in S^ entsteht 
durch Umsetzung von Ml{a]alalal) unter Voraussetzung der Giltigkeit 

von V. die Ordimncr iw — 2 — — 2 — — 2— also n'. 

2 2 2 

Theorem X. Die Transformationen hd>en sfefs in beiden limmen yleich 
riele Fundamentalpunkie. 

Dureh Zusammensetzung mit JS' = {(i;, b^Y' entsteht eine Transforma- 
tion, welche die Transformirten der Fundamentalpunkte von S^ und die 
diesen conjugirten in S^ (welche nicht zu ^/,-Punkten gehören) zu Fimda- 
mentalpunkten hat, was gleiche Air/ahlen sind; ferner entweder 4 weitere 
Fundamentalpunkte in {SS')^ und {SS*)^ öder es geht in {SS')^ ein Fun- 
damentalpunkt dadurch verloren, dass x^. -f x, + -^w = 2W ist. Dann ist 
aber auch der Transformirte von (t, aus S^ nach äS, kein Fundamental- 
punkt, sodass thatsachlich die Anzahl dieselbe bleibt. 



TranaronuatioDcn in /^, , welche keino FuiidameDUlcurvcn 1. Art bcsitxcu. 7 

Theorem XI. I)ie Anzahl der Fundanientdcurven 2. Art ist mindestens 

"i 

-{(T — i), ivenn a die Anzahl der Fundamental punkte ist, 

Gilt (las Theorem filr S und wird mit (a,, ft,)^ componirt, so ent- 
^;tehen resp. (7+ i '^+2, ^+3 »'''+4 Fimdamentalpunkte und aber 
die Anzahl der Fundainentnlcurven wÄchst resp. um 3 öder 6. 

Theorem XII. Die Anzahlen der Fundamentalcurven sind in l)eideii 
Bänmen dieselben. 

Wird *S^ mit S' = {a , />)^ zusammengesetzt, so erhillt man 1,2,3,4 
Fundamentalpunkte mehr und eine Fundamentalcurve geht jedesmal nur 
dann verloren, wenn sie mit einer Kante des Tetraeders, a,(/^, Hberein- 
stimmt. 

Das Theorem folgt nbrigens auch daraus, dass eben jede Funda- 
mentJilcurve einer bestimmten anderen entspricht und wenn zwei unendlich 
nahe rocken, auch die entsprechenden unendlich nahe rCicken. 

Theorem XIII. Die Ordmuigen der Fiuulamentalcurven von R.^ sind 
ijleich den Vielfachheiten der Fnndamentalcurmn von /2J, ' ihre Samme ist 

Dieses Theorem ist algebraischer Natur. Wenn eine Ebene eine 
Fundamentalcurve in k Punkten schneidet, so geht die homaloidale Fladie 
A-fach durch die entsprechende Fundamentnlcurve hindurch. 

Theorem XIV. Die Samme der Ordnanf/en der a Ahsonderunffsflachen 

tiX ~*~" I 

ist 2(m — i) und die Samme ihrer Quadrate ist 

Die ersten Coetiicienten der 0*+ i ersten Zeilen in i) sind die Ord- 
nung m un<l die doppelten Ordnungen der Absonderungsflftchen und durch 
Kinsetzung der unvollstandigen I) in die Formen (2) entsteht das Theorem. 

Theorem XV, J)ie Samme der Vielfachheiten einer and derselben Fun- 
damental fl/iche in allén a Fundamental punkten ist ^a^ — i und die Summe 
ihrer Quadrate ist 2a\ -{- i. 



^ Corollar. Auch die Fundaiuentalflächen haben die Higenscliaft, uur solche Fun- 
damentalcurveD zu cDthalten^ wciche eine nuthwendige Folge ihrer siogulftren Punkte sind. 



8 S. Kantor. 

Denn die Coefticienteii in der i. Coloiine von i) sind Ordnung uiid 
Vielfachheiten einer Fundamentalfläche und die Einsetzung in (2) lehrt 
das Theorern. Ein 2. Beweis wird wie bei vorhergehenden Theoremen 
diirch die Zusammensetzung aus {o; , ft,)^ geliefert. 

Theorern XVI. IJie Summe der Vielfachheiten, wit ivelche^h alle vor- 
Imndenen Ftiudamentaltlächen dnrch einen timi denselben a^fachen Fitnda- 

mentalpunkt f/eheUy ist 2a , — i und die Summe ihrer Qnadraie i$t -* + i. 

Es gelte fur S, Wird init S' = (a y by componirt, so bleiben nur 
die Glieder ftlr diejenigen Fundamentalflächen, in deren zugeordnete Fun- 
damentalpunktc kein a fällt, bestehen, diese sowie die anderen sind nber 
als 2a^ — j\ — Xi --x„, auszudrucken, daher die Summe 2 2V/ — 2';r^ — 2\r,— i-r,,,, 
und da l^a nacb Voraussetzung von XIV 2(w — 1), so folgt 

4 {m — I ) — 2\r^. - ■ - Xxi — l\i\^^ 

und wieder weo^en Voraussetzunjj 

4{m- i) — 2X,— 2X,— 2X„, + 3=4w^ — 2A', — 2X;— 2X„.— i. 

Die Vielfachheit der transformirten bomaloidalen Flächen ini Punkte b^ ist 
2m — Xi — Xt — X„,j so dass das Theorern wirklich 4m— 2X;t— 2X,— 2A',,,— i 
verlangt. 

Die Summe der Quadrate der transformirten Vielfachheiten ist 

S{2a—x,—,rf—xS==4 i>« ' — 4i>'^i — 4 2'^.r, — 4^\u\^ + .^^'4 + ^'^? + i^-^l 



in 



m' —i)+ - - + -— - + -^ 4^(for, — 42V^^/ — 4^(ix„, 

wegen Voraussetzung des Theoremes filr S. Far laXj wird in XVII der 

Werth - mX. bewiesen, also kommt 

2 * 

2 (,„•'_,) + ^? + XI + XI + 3 _ 2 „, ^^^ ^ ^ _^ ^.^^ 

Nun ist das Quadrat der transformirten Vielfachheit {2m — X^ — X, — X,„)*^ 
und das Theorem verlangt also, dass [(2/w — X^ — X, — X^)' — i]:2 der 
vorigen Summe gleich sei, was der Fall ist. 



TraosforiuatioDeii in U^, wolchc kcinc Fundamentalcurven i. Art bcsitzeii. 9^ 

Theorem XVIL Jjie Summe der Prodmte aus deii Oidnunyen der Fun- 
daniepifalflachen in ihre Vielfachlheit, mit welcher sie durch elnen festen Fun- 

damentid punkt f/ehen. ilber idle FundamentnJtlächen erstreckf^ ist - wiX,, wenn 

X, die Vielfifchheit der homaloididen FJächen im Punkte ist. 

Es };elte fftr N. Wird mit S' =^ {a ^ly compoiiirt, so wird die trons- 
fonnirte Summe sein 

wenn die Durchgilnge // sicli auf eiiien Fundamcntalpunkt bezielien, in den 
kein Punkt a^ verlegt wird. Nun ist wogen S die -öf,yAi^ = ;, ''w F^ und 

wegen XVIII das fibrige gleich — ' (2'X, F, + 2'X, T, + 2'X, F, + 2'X„. F,) 

aber es ist der Werth des Theorems fdr das transformirte System gleich 
(3w* — X, — X^. — X/ — X^)F^, sodass die Richtigkeit in die Augen fällt. 

Theorem XVIII. Filr zwei feste FundanientiUpunkte ist die Summe der 
Froducte der Vielfachheiten in ihneny erstrerkt fiber alle Fundamentalflächen^ 

(fleich - Xi \\y fco X, , 1\. die Vielfachheiten der homaloidalen Flächen in 

diesen beiden Punkten sind. 

Es gelte fOr >S. Wird mit S' = [a , by componirt, so ist die trans- 
formirte Summe 2(2^^;, — x^ — Xi — x^{2ap — y, — //, — y^ und also wegen 
Voraussetzung und wegen XIV gleich 2(m^ — i) — ni[X^ + X, + X,„) 

_,„(y.+ F^+rj+l(X,+X,+ XJ(F,+ F,+ FJ+2 während der trans- 
formirte Werth des Theoremes ist - {im — X^. — X, — X,„)(2m — F^ — F, — F,„), 

was mit dem vorigen Werthe ttbereinstimmt. Dies, wenn beide Punkte 
mit Punkten a, coincidiren. Wenn nur ein Punkt der beiden genann- 
ten mit a^ coincidirt, so ist die transformirte Summe vom Werthe 
2'(2a^ — X,, — Xi — x^ii^ und //^ hat denselben Werth wie fftr S^^ die 
Ausrechnung beweist auch hier das Theorem. Stimmt keiner der zwei 
Fundamentalpunkte mit a^ ttberein, so ändert sich die Summe för S 
gar nicht. 

Åtia matheniatiea. 21. Imprimé le 2 rérrier 1897. 2 



10 S. Kantor. 

Theorem XIX. IHe Summe der Vidfachheitefi einer homaloidalen FUiche 
In ollen Fundamentalctirven 2. Art öder auch die Summe der Ordnungen 
(dier Fundamentalc arven 2. Art ist 3(/« — 1). 

Die Form (3) rauss durch die Substitutionen i) ungeftndert bleibeii. 
Der Coefticient von n ist 1 1 (w^ — 1) — 2ji, — m^ der wegen XIV 
3(w — 1) — 2Jbit, muss aber wegen der Invarianz Null sein. 

Theorem XX. Die Snmme der Cuben der Zahlen aus XIX weniger der 
Summe der Cuben der Vielfachlmtefi, welche die homnloid(den Vlächen iv den 
Fundamentalpunkten haben, ist i — ni 

Der Beweis wird durch Einsetzung in (3) geliefert. 

Theorem XXI. Die Summe der Viélfachheiten einer Fundamentalfläche 
a i, Ordnunff in den Fundamentaicurven, durch welche sie hindurchgeht ist 3^/,. * 

Es gelte för S. {aybf liefert dann Ordnung (3^/ — x^ — x^ — x^ — rj 
der Fundamentalfläche. Die Summe der freien Curven bleibt 3a, die 
Summe der 6 Kanten liefert (a — x^ — ^2) + • • • + {(f — ^3 . rj 
= 6rt — 3rr, — 3^2 — 3rr3 — ^x^^ also die ganze Summe ga — 37;, - 3.r^ 
— 3^3 «'^4» ^v^^s gleich dem Dreifachen der neuen Ordnung ist. 

Theorem XXII. Die Summe der Viélfachheiten, mit tvelchen alle var- 
handenen Fundamentalcurven durch einen bestimmten Fundamentalpunkt hin- 
durchgehen, ist 3r/,, ivenn 2a, die Vielfachheit des Fundamentalpunktes ist. 

Dies ist eine Folge von XXI. Denn wenn eine Fundamentalcurve c 
durch einen Fundamentalpunkt a^^-fach geht, so enthält die dem Punkte 
ent4?prechende Fundamentalfläche die der c entsprechende Fundamental- 
curve r' in der Vielfachheit a^. 

Theorem XXIII. Die Summe der Viélfachheiten, mit tvelchen eine be- 
stimmte Fundamentalcurve u. Ordnung durch die Fundamentalpunkte hindurch- 
geht, welche sie enthält, ist 2v. 



* Die Summe der OrdouDgeQ der FundamcntalcurveD, durch wolche eine Funda- 
meDtalflächc hiDdurchgeht, hängt nicht allein vod der Ordoung o» ab. Ebenso die Summe 
der homaloidalen Viélfachheiten aller vorhandenen Fundamentalcurven, welche durch einen 
bestimmten Fundamentalpunkt hindurchgehen. 



TraDsformationeu in 7^,^ welchc keioc FundatueDtalourveD 1. Art besitzeu. 11 

E^^ j;elte för 5. Die Zusamineiiäetzung mit S' = (« , ä)^ gibt die 
Ordnung j;' = 31; — x^ — ^i ~ -''s ~ -^'i ^^^ Fundainentalcurve und die- 
sel ben Vielfachheiten in den freien Funda men talpunkten, in den neuen 
jiher u — Xi — j:, — r,„, daher die Gesammtsumme wegen Voraussetzung 

2v — J-^ — r^ -~-x, — x, + {u - j-, — .r, — .rj + {v — j\ — ;r, — .rj 
+ (v — ^2 - .''a — ^^\) = 6v — ^x^ — 4X^ — 4x.^ — 4.r^ was 2v' ist. 

Theorem XXIV. Die Samme </er Quadrate der Vielfarhheiien^ mit 
nclchen eine f/estimmte Fundamentalcuroe u. Ordnnnt/ darrh die Fundameii' 

tal punkte hindurchffeht, ist . 

Die Summe der Quadrate der freien Fundamentalpunkte ist 

<lie Summe der neuen ist 

lL(y — x, — .r, — i^„,)' = 4v'+ 3-^?+ 3-^2+ 3'''+ ,S.'-4 — 6i^(.'*, +^*, +''';,+^4) 



und also die (lesiimmtsumme + 22'^-'' — öuHXj AvRlirend 



v'^ = (3v _ 22'i^)' ist. 

Theorem XXV. Die Summe der Vielfachheiten^ mit welchen (die Fun- 

damentaitlächen durch eine bestimmte Fundamentalcarve der homaloidalen 

j/' -j- 3 , 
Vielfachheit u hitulurdujehen^ ist 2Vj die (^adratsumme . 

Das Theorem ist eine Folge von XXIII und XXIV mittelst lim- 
setzung in den zweiten Raum. 

Definition. Ich bezeichne als homaloidale Curven das System der 
Curven, welche den Geraden des R^ durch die Transformation entspreclien. 
Sie gehen durch die Fundamentalpunkte mit den halben Vielfachheiten 
von deren • homaloidalen Vielfachheiten.^ 



* tfber die Summe der homaloidalen Vielfachheiten alier Fundamentalpunktc, welchc 
in einer bestimmten Fundauientalcurvc enthalten sind^ liisst 8ich kcin Theorem geben. 

^ Man sollte eigentlich von zwcierlei homaloidalen Vielfachheiten der Fundamental- 
punktc sprechen, nämlich der fUr die 3/, und der fUr die 3/, . 



12 S. Kantor. 

Theorem XXVI. Fur die homaloidalen Curven ist iHe Summe der Viel- 
fachheifen in dm Ftmdamentalpmikfen 2m — 2 und die Siwime der Quadraie 

dieser Zidden isf . 

2 

DcT Heweis ist genan derselbe wie in XXIII, XXIV. Das Theorem 
wird ftir uns von der grössten Wiehtigkeit werden. 

Theorem XXVII. Ffir die Verwandhouj der Ordnung w, Vielfachheiten 
Ii in den Fundament(dpnnkten and Anzahl i)^^ der Stntzpunhte au f die Fun- 
damentidcnrven fiir die Curven M^ des li.^ (leschieht nach den linearen Suh- 
sfiffftionen 

11' = mn — 2(^, j, — 2r/, j, — ... — 2rf,r, — Vj i), — . . . — v,- 1)., , 

i-; = /^n— OnSi— rt-2iVi — •••— iVi?. — v„i)i — ... — v,,l)^. 

111». • • « • • 

Xn=Kn— Ol.y, Oo.r,, — ... ih,tr ^»1,1), ... — V^.IV, 

\]l = 1),. (/= I , a) 

Hier soll i)' sieU auf die der i), entspreehende Fundanientalcurve be- 
ziehen. 

Wird n = I , Ei =^ • • = iV = C), 1),' = o gesetzt, so erhält inan ;/' = m, 
v; = b;j es sind also die b- die Vielfachheiten der homaloidalen Curven 
in den Fundamentalpunkten und diese sind nach dem allgemeinen Theoreme 
gleich den Ordnuiigen der Fundamentalflachen des 2. Kaumes, also den 
halben Vielfachheiten der Fundamentalpunkte fiir die homaloidalen Flftchen. 

Theorem XXVIII. Dif, Siiinme aus den Producten ' der Ordnuny indus 
Quadrat der Vielfuchheit ersfreckf uber alle Fundamenfalcurren isf ni{)n — 1). 

Denn schneidet man mit einer Ebene das homaloidale System in 
Curven der Ordnung w/, so erhält man filr diese in jedem Schnittpunkte 
mit einer »>'-fachen Curve v. Ordnung einen v'-fachen Punkt, also u solcher, 
daher }!v .u'^ = m^ - — m. Dieses System betreffen ist zu bemerken, dass 

1 . 1 I „ • • • 1 • 1 V^ y.v'(^' -h 1) m(m -h 3) 
es kem unabhllniriffcs sem \vn*(l, mdem 7 > -3 

werden känn. 



TransformatioDen in /i\, welche keine Fandamentalcarven I. Art besiizen. l*'^ 

Theorem XXIX. Die unvMstéindiffen Subsfitutionen II) lasseti unffeändert 
dte Fonuefi 

(4) n'-2l\\ 

(5) 211 — Ix 

{sind olso Hennitesche SuhstiUdionen)^ sowie die SingulariUdenconiplexe \\ = ^s^ 
r, = . . . = XV = .*f öder u = dsy ij^. == 2s öder \\ = io<v, r, = Sy i), = 2s. 

Unter unvollständigen Substitutionen II sind jene verstanden, welche 
durch Weglassung der i) in den ersten a -[- i Zeilen und der letzten u' 
Zeilen (*ntstehen, was widers|)ruchsfrei geschehen känn. Der Beweis des 
Theoreines gescliieht dann durch Zusaininensetzung aus den oleinentaren 
{Ujby, indeni uuch diese Substitutionen II sich genau entsprechend den 
Transforniationen zusaniinensetzen, wenn iminer fHr jeden neuen Funda- 
nientalpunkt eine neue Variable eingefohrt wird. Fftr {a , by ist dns 
Theorem bewiesen worden. FCir u = 65, X)^ = 25 ist die Invarianz auch 
direct leicht beweisbar. Trifft näinlich eine Curve eine Fundamentalcurve 
2 nml, so sondert sicli die conjugirte ab und die entsprechende Curve trittt 
uberdies diese zweinial, trifft sie alle, so sondert sich 6{m — i) ab. 

Theorem XXX. Weuu eine Iransfonmdion ein Flächensf/stem w..r,, ..., r^ 
in stelt tiunsfonnirt, transfonniti sie auch das FUichensystem n — 4,0;, — i, 
. . . , j\, — I iu stelt tuid wenn sie ein Ctavenstjstem n, j:, , ..., j^ , Ijj , .., ij^- 
in sich tiansfonniif. fransfonnirt sie attch das Curvenst/steni \\ — 10, ifj — i, 

IV — I* t)i - 2 , . . . , \)„ — 2 in sich. 



> *. 



Folgt aus der Transformation eines linearen Polynomes in ein solches 
durch I. und II. und aus XXIX. Das Theorem ist liier rein arithmetiseh; 
es ist nur aus der Definition von I) und II) als linearer Substitutionen, 
welche durch Zusammeihsetzung der elementaren Substitutionen fur (a, />)^ 
entstehen, gewonnen. 

Theopem XXXI. Die Form 

(6) ^[(w + 1)0^ + 2){n + 3) — I - }:x{:T. + i){x + 2) + Hyitf' — i)] 
Ueibt ungeändert dnich die Transformcdion mit den Substitutionen I. 



14 S. Kantor. 

Die^c*. Form lasst sich iiäinlich direct ans den Formen (2) uiid (3) 
linear zusammensetzen. Mit Hilfe von XIV., XV., XIX. wird bcwiesen, 
dass diese Form (6) fOr die homaloidalen Fh^chen den Werth 3 annimmt 
und sie drHckt wirklicli fdr die F^lächen die Dimension gemUss der all- 
}»;emeinen Formel aus. ' Fhenso lehrt (6), dass fOr eine Fundamental- 
flache die Dimension NuU ist, n. zw. auf (jrund dessen, dass aucli sie 
nur Fnndam(»ntalcurven als nothwendijje enthj\lt. 

Theorem XXXII. Die Form un — SwCj — S//i) bleibf ungmndert, wenn 
man auf die zwei Variabelnreihen bezuglich die Suhstitutioven I), II) anwendet. 

Diese Form drQckt die Zahl der freien Schnittpunkte einer Flache 
des Systemes /? , j*, , . . . , ,t\ , //j , . . . , y^ mit einer Curve des Systenies 

Theorem XXXIII. Die Substitationen I) lasf^en anch iwf/ednderf die Form 

^,[(^+ 0('*+2)(n + 3) -^'A(//, + i)[3*i -2//, + 5]i;, — ^(2//;+ i)p. 

Txi{a\+ i){Xi+ 2) + 2>,(/A. + i)(3.r,-- 2//,+ 2)r^,. 

Hier bezeichnen v, , />, Ordnunj:^ und Classe einer Fundamentalcurve 
und a^ die Vielfaehheit, mit weleher sie durcli den mit r^ bezeichneten 
Fundan^entalpunkt hindurehgeht. Di(i Form ist jene, welche NOtuek 
Ann. di Mat., Ser. 2*, Tome V. fftr die Dimension eines Flfichensystemes 
mit singulciren Punkten \md Curven ausspricht. ^ 



* NöTHEk, SuUe curve muUlple delU supei-ficie algebi'lf:lie. Ann. <li Mat., S. 2*. T. 5- 

* Die Substitutiooen 1) lassen aueh die irilioeare Form uiigcänderU welche die Anzalil 
dor Schnittpunkte von drei Fliichcn n , a? , y ; n\ sir\ 1/ ; u'\ x\ \{' uusdrtickt. Sie ist 
eigentlich quadrilinear, da die Vt selbst auch transforniirt worden inttssen (die v^ sind die 
wii in NöTHERs Formel). Aus joner cnt^telit eine invarianto cubische Form mit einer 
Variabelnreihe, iudem n = n — n\ jr — x -- x\ // — // = //" gcsetzt wird, der Rang 
dos Flächensystcms n , x ^ y, 

Ich mus8 aber hcrvorhoben, das» in dieser ganzen Arbeit von kein^m cinxiyen der 
Nöt her schen Rcsultate Verwendung geschieht, denn XXXI. leitet sich ohne sie her und 
XXXITI. habc ich nur der Vollständigkeit wcgen fttr den Leser hingoschricben. 

Ja. wegen ihrer beschrUnkten Giltigkeit ist ihre Anwendbarkeit vielleieht unmöglich. 



Traobfurtiiationcu io 7i', ^ wciclic keiiic KundaiucntalcurveD I. Art bcbiczen. !•% 

Theorem XXXIV. Die voUsländigen tete tmvoUsländigen linet^ren Sfth- 
slitutionen /., //. haben die Deteiminante = i. 

Auch dieses folgt aus der Zusainmensetzung dor Tmnsforinationen 
durcli elementore cubischc Ueciprokaltransfonnationen. 

Theorem XXXV. * Vennindert man die Vidfachheil 11^^ einer Fundamen- 
tal fläche a i. Ordnunr/ J, im Punkte a^ um i, so tvird die neue Fläche in 
eine Fläche a^. Ordnung transformirt, ivelche ans A^ durch Vermindernng 
der Vidfachheit in al um i entsteht. 

Die Curven in A bilden ein homaloidales Syslem mit den in A ent- 
lialtenen Fundamentalpunlcten als in derselhen Vielfachheit genommenen 
Punkten, welche sie för die A besitzen und sind entstanden durch den 
Schnitt mit den um die P^undamentalfläche A vermimlerten homaloidalen 
Flächen, welche nftnilich den Ebenen durch a entfiprechen. Als Funda- 
mentalcurven fungiren auf A die in A enthaltenen Fundamentalcurven 
der Transformation. 

Die ebenen Schnitte der Fundamentalflftchen sind von variablem Ge- 
schlechte und es sind also auch die Osculationskegel der homaloidalen 
Flachen in den Fundamentalpunkten von variablem Geschlechte. 

Theorem XXXVI. Wenn eine Fundamental fläche A i a^. Ordnung durch 
einen Fundumefdal punkt rr^., ai„'fach hindurchgehty so geht die dem x,, ent- 
sprechende Fläche A\ durch den Punkt x\ ehenfalls an^-fach. 

Die Nachbarpunkte im Osculationskegel von A,- im x^ entsprechen 
den Nachbarpunkten von Xi im Osculationskegel von A^ und dieses Ent- 
sprechen ist collinear. 

Es scelten noch die folgenden Theoreme: 

Theorem XXXVII. Wenn eine Fundament(dfläche durch zwei Fundamen- 
talpunkte dei^ Ordnungen a i und a^, wo a^ > a^^ mit den Vielfachheiten r^„ 
und fi^, geht, so ist ä^ > a^,. 

Theorem XXXVIII. Wenn eine Fumlamentalcurve durch zwei Fundamen- 
talpunkte der Ordnungen a^ und a^j xvo a^ > a^y mit defi VidfachJieiten 
^i\ > ^k\ ff^fd, so ist p;, > p,, . 



1<> S. Kantor. 

Theorem XXXIX. Wenn dnrch densdben FundamenUdpunkt zwei Fun- 
danientaltldchen der Ordnungeu (tf , r/^, wo a^ > a^, mit den Vielfachheiten 
'hij ^hk (f^Jiefi, so ist a^i > r/,^. 

Theorem XL. Wenn durrh densdben FundamenUdpunht zwei Fnnda- 
mentalcurven der Vielfachheiten v, , v^ gehen^ wo i;j>j;^, mit den Vielfach- 
heiten y,, , v,^, so ist y,j > y,^.. 

Theorem XLI. Wenn fur 4 Fitndamentalpunkte die Summe der Ord- 
nnngen a, + a^ + a, + a,„ ^ im, so ist auch far jede Fttnda mental fläche a, 
Ordnungy welche durch sie mit den Vielfachheiten «,; , a,^^ , r?,, , a„,i geht, 

«.l + «H + ^/l + ^^,nl < 2f^ 

Theorem XLII. 7// ifeu Theoremen XXX VII. bis XL. ist iiberdies stets 

Theorem XLIII. Die Fnndamentalpunkte theilen sich in jedem der heiden 
Räume in Gruppchen gleicher Vielfachheit iind die in diesen Grflppchen ent- 
haltenen AnzahJen von Punkten sind in beiden liilumen dieselben. 

Theorem XLIV. Jedes (fnippchen des einen Raumes entspricht einem 
Itestimmten Gruppchen des anderen Raumes^ so ndmlichy dass die Absonderungs- 
fläche eines Fundamental punktes in dem Gruppchen in ailen Fundamental- 
punkten des correspondirendefi Gruppchens gleiche Vielfachheiten besitzt mit 
Ausnahme eines einzigen Fundamental punktes. 

Theorem XLV. Die Differenz unter den beiden im rorigen Theoreme 
genannten Vielfachheiten ist = + 1. 

Die letzteii 3 Theoreine können durch Zusannnensetzung aus eleinen- 
taren (a ^ by bewiesen werden. 



§ 2. Fjfgensehaften der FunilauientalsyHteine ohne IPniiilaineHtal' 

cuvven i. Art. 

Theorem XL VI. Werden zwei solche T råns formationen S , S' zusammen- 
gesetzt, so erhdlt man eine Transformation dersélben Definition. 

l)as Fundainentalsystein (SS')^ setzt sich aus den durch S' trans- 
forinirten freien FundamentAlgebilden von S in S^ und aus den Funda- 
mentalgebilden von ÄJ zusamnien, enthalt also nur Fundamentalcurven 
2. Art. Nur wenn eine Fundamentalcurve von S^ mit eineni Fundamen- 



TransformatioDen in i?,, welche keine FandameDtalcurveD I. Art bcsitzen. 17 

talpunkte von S[ coincidirt, känn der Curve eine FlAche entsprechen, aber 
dies ist doch immer 8o, dass der Curve eigentlich eine Curve und nur 
der gleichzeitigen Bertihrung der Flachen längs jener Curve die Funda- 
mentalfläche entspricbt. 

Diese Transfonnationen bilden also eine in sich geschlossene un- 
endliche Gruppe. 

Theorem XLVIL Die AnzaM der Fundamentalpunkte ist in beiden 
Rdumen dieselbe. 

Die Postulation der Ein-Eindeutigkeit reicht zum Beweise hin. Denn 
in Folge deren mOssen lineare Substitutionen unter den Ordnungen n 
und Vielfachheiten x in den Fundamentalpunkten bestehen, welche die- 
selben in beiderlei Sinne ohne Unbestimmtheit finden lassen, wozu die 
Gleichheit der Variabelnzahl in beiden Räumen Bedingung ist. 

Theorem XL VIII. Fiir die Tr ans formationen g ilt mm' — i =2'a.-4i=i^ö^-^,', 
wenn m , m* die beiden Ordnungen, a^ , al die Vielfachheiten der Fundamen- 
talpunkte in i?» , BJ , Ai , Al die Ordnungen der entsprechenden Fundamen- 
tdlflåchen sind. 

Ein Ebenenböschel in R^ und das entsprechende Flftrchenbtischel in 
i?J liefern (die Coincidenz von R^ , iij zeitweilig vorausgesetzt) eine Flftche 
(m' + i). Ordnung, Ort der Punkte, die mit ihren Transformirten Gerade 
tlber die Axe des Böschels liefern. Die Fläche geht a^'-fach durch die 
Fundamentalpunkte von iij und transformirt sich in die analoge Flache 
des i?3, sodass besteht (m'+ i)m — la^Al =^ m + i. 

Corollar, Die homaloidalen Curven ira R^ gehen -4^-fach durch die 
a^-fachen Fundamentalpunkte und trefifen die Fundamentalcurven nicht 
in variablen Punkten. 

Theorem XLIX. Eine Fläche 4. O,, welche in ollen Fundafnetitalpunkten 
von i?3 Doppelpunkte hatte, wurde in eine eben solche Fläche des R'^ ver- 
wanddt werden. 

Die Jacobi^sche Fläche hat die Ordnung 4(w — i) und es ist also 
2l'A'i = 4{;n — i), 2lAi = 4(w' — i), weil die einem Fundamentalpunkte 
entsprechende Fläche bekanntlich zweimal zählt. Also lAi = 2(n' — i), 
und 4w' — 2lAi = 4. 

Aeia tnathematiea. 21. Iinprimé le 28 avril 1807. 3 



18 S. Kantor. 

Corollar. Eine Fläche 2. Ordnung, welche durch alle Fundamental- 
punkte von JS3 einfach geht, wird in eine eben solche Flache des fij ver- 
wandelt. 

Theorem L. Die Transformation muss in beiden Systemen von gleicher 
Ordnung sein, 

Ich benötze das vorstehende Corollar und denke mir eine Flache 2. 
Ordnung durch alle Fundamentalpunkte. ^ Unter den Punkten der beiden 
60 einander entsprechenden Ml entsteht dann eine birationale Verwandt- 
schaft, in welcher den ebenen Schnitten die Schnitte mit den homaloidalen 
Flächen entsprechen. Diese Verwandtschaft muss, da sie stereograpbisch 
auf die Ebene projicirt werden känn, in beiden Systemen gleicher Ordnung 
sein, also auch die beiderseitigen homaloidalen Flächen, n = n\ 

Theorem LI. Einem k-fachen Fundamentalpunkte entspricht eine Äh- 

k 
sonderungsfläche der Ordnung - ; alle Fundamentalpunkte haben also gerade 

Vielfachheit, 

Denn der Fundamentalpunkt wird auch Ä:-fach för die Verwandtschaft 
unter den Punkten der Ml und in dieser entspricht ihm eine Curve der- 
fielben Ordnung k. Diese Curve ist aber der Schnitt von Ml mit der 
zum Punkte gehörigen Absonderungsfläche im Raume und diese ist also 

von der Ordnun^ic - 

Theorem LII. Die Ordnung der Transformation ist stets ungerade und 

W = 2{n' — i). 

Denn nach XLVIII. n'— i = 22*^?, also w' = 2i;^J + i. 

Flir jede birationale Transformation im R^ gilt der Satz: Durch die 
Fundamentalcurven 2. Art gehen die homaloidalen Flächen stets nur in 
Folge der Fundamentalcurven i. Art. Also gilt: 

Theorem LIII. Die Fundamentalcurven 2. Art sind Curven, welche durch 
die singulären Punkte allein twllstdndig bestimmt sind. Ebenso: 



* Das Gewagte dieses Beweises will ich nicht vcrhtillen. Man vergleiche hiezu die 
I. Note auf p. I lO meines Buches tiber Gruppen, Mayer & Muller, Berlin 1895. 



TraDsformatioDen in H^^ welche keine FuDdamentalcurvcn l. Art besitzen. 19 

Theorem LIV. Die homaloidalen Fläcken shid Fläcken, wélcke vermöge 
der singulären Punkte aUein dos GescJdeckt p = o haben and durck die Fun- 
damentalcurven 2. Art nur mit solcken Vidfackkeiten géhen, welcJie eine noth- 
wendige Consequenz der VidfachJieiten in den Fundamental punkten sind. 

Theorem LV. Die homaloidalen Curven sind rationale Curven, wdclie 
ihren rationalen Caracter sowie ihre Unbestimmtkeit m = 4 nur durck ikre 
Vielfackkeit in den Fundamentalpunkten erkalten. 

Es ist ttberhaupt sowohl im B^ als im R^ bei jeder einzelnen Trans- 
formation das grösste Gewicht darauf zu legen, auf wdcke Art die ho- 
maloidalen Curven ihren rationalen Character erhalten, ebenso die ho- 
maloidalen M^ , M^ , . . . , -Mr-l • 

Bekanntlich känn eine Curve im Raume singulftre Punkte annehmen, 
ohne dass sich die Anzahl ihrer scheinbaren Doppelpunkte ändert. Ich 
möchte daher jeder Raumcurve eine gewisse primitive Curve zuweisen, 
welche gar keine vielfachen Punkte besitzt, aber dieselbe Anzahl schein- 
barer Doppelpunkte und aus welcher also jene numerisch durch Aufnahme 
vielfacher Punkte entsteht. Ich schliesse nun in dem gegenwartigen Falle 
das ausserordentlich wichtige Theorem, welches in der Anmerkung zu 
LXI. einen strengeren Beweis erfährt: 

Theorem LVI. Die komaloidalen Curven aller Transformationen gegen- 
wärtiger Art sind solcke Curven, wdclie ohne die Vidfacklieiten in den Fun- 
damentalpunkfen das fur Curven ikrer Ordnung uberkaupt möglicke Maximal- 
gesckleckt kaben, 

Das heisst, ihre primitiven Curven sind Curven maximalen Ge- 
schlechtes. — Ich bendtze jedoch LVI. und LVII. nirgends. 

Theorem LVII. Fiir die homaloidalen Curven gUt 

y< (ii(ai — I) ^ (v — i)(v — 2) f y— i V 

^L 2 2 L 2 J * 

Hiebei ist I der ganze Quotient der Division {y — 0-^? ^^^ 

a, sind die singulären Punkte der Curven, y die Ordnung. In der That 
hat ein a-facher Punkt auch im R^ för das Geschlecht der Curve den 

Werth von -^ Doppelpunkten und nach einem Theoreme von 



20 S. Kantor. 

Halphen ^ ist die Maximalzahl von scheinbaren Doppelpunkten 

einer Curve u. Ordnung, also jene Differenz das Maximalgeschlecht, welches 
nach LV., LVI. durcb die a,-fachen Punkte absorbirt werden muss. 

Theorem LVIIL Die Summa und die Summe der Quadrate der VieU 
fachheiten, mit welchen sämmtliche vorhandenen FundamentalfläcJien durch einen 
bestimmten 2ai-fachen Fundamentalpunkt gehen, ist 4a.. — i und 2af + i. 

Ich verwende wieder die invariante Fläche 2. Ordnung und projicire 
die birationale Verwandtschaft in derselben stereographisch auf die Eberie. 
Dann erscheinen den 2a^-fachen Fundamentalpunkten des R^ entsprechend 
auch in der Ebene 2a»-fache Fundamentalpunkte, hinzu treten noch die 
Schnittpunkte der Ebene mit den beiden Erzeugenden des Centrums als 
w-fache Fundamentalpunkte, während die Ordnung in der Ebene 2m wird. 
Es ist also nach den Gleichungen in der Ebene ^ 2^a^ + 2 a. == 3(2 flf^) — i, 
wo die a^ diesel ben Durchgänge wie im R^y also die Zahlen des Theoremes 
sind, und weil die beiden hinzukommenden Fundamentalcurven durch 
jeden Punkt mit dessen hal ber Vielfachheit gehen. ^ 

Far die Summe der Quadrate folgt ebenso 2'a^ + 2a? = (2a.)^ + i, 

also lal = 2fl? + I = ^-^' + I. ' 



* C. R. Bd. 70. — Das Theorem LVIL, dessen von LVI. unabhängiger Beweis 
in der Anmerkung nach LXI. geliefert wird, steht ebenso wie LVI. mit einer Behauptung 
Halphen'8 tiber Raumcurven in n® 22 des Chap. II. soiner Preissohrift tiber die alge- 
braischen Raumcurven (Journal de TÉcole polyt. Cah. LI.) in nur scheinbarem Wi- 
derspruche. Die betreffende Behauptung scheint mir ttbrigens unrichtig. 

* Crelles Journal, Bd. 1 14, p. 57. 

' Diese Fundamentalcurven sind die stereographischen Projectioncn der den beiden 
Erzeugenden in der Verwandtschaft auf M\ entsprechender Curven w. Ordnung, welche 
nacb der allgemeinen Theorie als homaloidale Curven durch einen at-facben Punkt v4t-facb 

gehen, also nach LI. — fach. 

^ Das Ocwagte des Beweiscs mittelst M\ wird sehr gemildert, wenn man bedenkt, 
dass auch eine Fläche 4. O., welche doppelt durcb die Fundamentalpunkte gebt, dadurch 
abbildbar werden känn, dass sie einen 3-fachen Punkt erhält und allgemeiner, dass man 
nir hinreichend grosses 8 stets wird eine Fläche der Ordnung 2s finden können, welche 
durch die sämmtlichen Fundamentalpunkte 8 -fach geht und ausserhalb derselben einen 
{2s — l)-fachen Punkt besitzt, also ein Monoid. In diesem Monoide (öder unter den beiden 



TransformatioDen in R^^ welche keioe Fundamcotalcurven i. Art bcsitzen. 21 

Theorem LIX. Die Summe uml die Summe der Quadrate der Vielfach- 
heiteny mit welchen eine bestimmte Fundamentalfldche a^. Ordnung durch die 
Fundamentalpunkte hindurchgehty welche sie entMlt, sind ^a^ — i und 2a? + i. 

Die stereographische Abbildung der J/? liefert von der Ebene aus 
die Gleichungen l^a^ + 2^^ = 3(2a,) — i, weil die Fundamentalcurven die 
Projectionen der Schnitte von M\ mit den Fundamentalflächen sind, welche 
jede Erzeugende in a^ Punkten trefifen und die Ordnung der Fundamen- 
talcurve also 2a, wird. Ebenso fttr die Quadrate. 

Theorem LX. Wird durch eine dieser Transformationen ein Flächen- 
system in ein anderes verwanddt, so wird ai4ch das adjungirte Flächensystem 
in das adjungirte verwandelt. 

Die Singularitaten, welche die adjungirten Flächen in den Funda- 
mentalcurven 2. Art haben können, bedörfen einer genauen allgemeinen 
Untersuchung, kommen aber hier nicht in Betracht, da sie auf die Ver- 
wandlung durch die Transformation nur dadurch Einfluss haben könnten, 
dass sie die Vielfachheit der adjungirten Flache in den Fundamental- 
punkten beeinflussen. Dies ist aber nach dem Theoreme LIIL nicht 
möglich. Der adjungirte Singularitätencomplex ist also n — 4, Xi — 2 
und nach XLIX. in n' — 4, x'i — 2 verwandelt. 

Theorem LXI. FUr die homaloidalen Ourven jjilt la = 2(p — i), 
22;ot^ = i;^— I. 

Denn die Curve geht, weil sie einer Geraden entspricht, gemäss LI. 
und LII. durch einen A:-fachen Fundamentalpunkt - -fach und es ist aber 

-=a,, wegen XLIX. und LII. 2X==2(m — i), 2}:a^^=m^ — i, und nach 

L. ist die Ordnunoc v "^leich der der homaloidalen Flächen. 

Anmerkung. Andererseits känn man diese Relationen aus LVIL 
folgern, wenn man das Theorem LXII. hinzunimmt. Lasst man aber den 
hier gegebenen Beweis und seine Voraussetzungen gelten, was sogar besser 
ist, so känn man aus den beiden Relationen die Relation des Theoremes 



entsprechenden) entsteht dann oine birationale Verwandteohaft, welche sich durch Projectioo 
aus deD (28 — l)-faohen PuDkteo in eioo eheoe hirationale TraDsformatioD Ubertri^t. 



22 S. Kantor. 

LVII. herleiten und aus diesem dann auf LVI. schliessen, welches wich- 
tige Theorem dann bewiesen ist, ohne auf allgemeine Transfonnations- 
relationen sich zu stötzen. 

CoroUar, Sowohl die homaloidalen Curven als die Fundffinentalcurven 
sind von der Art, dass sie unbeschadet ihrer Natur in Flächen 2. O. ent- 
halten sein können. 



Theorem LXII. Wenn eine homalotdale Curve gegenwärtiger Ärt in 
einer M\ enthalten ist, so sind co^ mit (lensdben Singuiaritåten in der M\ 
enthalten. 



Denn die stereographische Projection liefert Curven mit denselben 

Vielfachheiten und zwei — fachen Punkten öder einen fachen und 

2 2 

einem fachen und zwar, da hier m ungerade, den 2. Fall. Es ist 

also die Dimension 

_„,(,„ + 3)__j«,.(«^ +,)____ ^_ __ ^)= + I 

gemäss XLIX. und LII. 

Es folgt dies auch ohne die Relationen LII. Die Summe der Viel- 
fachheiten ist 2m — 2, damit also eine durch die Fundamentalpunkte ge- 
hende M^ die Curve enthalte, bedarf es dreier Bedingungen, die Dimension 
aller Curven ist aber 4, also bleibt in M\ die Dimension i. 

Theorem LXIII. Wenn eine Fundaynentalfläche A^, die zu x^ gehörtj 
ciii^-fach dureh x'j, gehty so géht die FundsmentalfläcJie Ä^j ivelche zu x\ gehörty 
(fn-fach durch x^. 

Folgt ebenfalls aus der Projection der invarianten M\ und der ent- 
sprechenden Eigenschaft der birationalen Transformationen in der Ebene. 
Auf demselben Wege ergeben sich noch die Theoreme: 

In jeder solchen Transformation des Raumes theilen sich die Funda- 
mentalpunkte jedes Systemes in Grllppchen gleicher Vielfachheit und die 
Anzahlen der in diesen Gröppchen enthaltenen Punkte sind in beiden 
Systemen dieselben. 

Jedes Grtippchen ist einem bestimmten Grtippchen des zweiten Raumes 
coordinirt, so zwar, dass die Absonderungsfläche eines Fundamentalpunktes 



TraDsformatioDeD in I^, ^wolche keioe FuDclaineDtalcarven I. Art besitzen. 23 

in jedeiii Fundamentalpunkte des coordinirten Gröppchens dieselbe Viel- 
fachheit hat mit Ausnahine eines einzigen und die DifiFerenz der Viel- 
fachheiten ist = + i. 

Auch die Theoreme XXXVII. bis XL. lassen sich mittelst der M] 
beweisen. 



% 3. lilentität der Transfer mntionen der §§ i und 2. 

Theorem LXIV. Fiir die hmnaloiddlen Curven der Transformationen des 
§ 2 ist stets, wenn a^ , «, , »3 , a^ die 4 höchsten Fundamentalpunkte sind, 

öl + «, + «8 + ^4 >^- 

Ich denke mir die hoinaloidale Curve in einer M\ enthalten, was 
bei dem arithmetischen Character gegenwärtiger Sätze keine Einschränk- 
ung und aber nach dem CoroUare zu LXI. möglich ist. Es wird also 
nach LXII. folgen, dass die M\ der Curven co^ enthält. Die stereogra- 
phische Projection verwandelt diese in ein Bftschel von Curven der Ord- 

nung m mit zwei vielfachen Punkten , und mit ai ,..., at- 
tachén Punkten, welche Curven p = o haben. Ein solches Bcischel ist 
nach bekannten Theoremen stets auf niedere Ordnung zu bringen durch 
Anwendung einer Q'^, welche die drei höchsten Basispunkte besitzt. Es 
muss also entweder 0^+0^+ a^ > m sein, womit aber das Theorem, 
u. zw. stärker als gewttnscht, bewiesen wäre, öder es muss wenigstens 

1 1- aj > m sein. Denn wären auch nur zwei Punkte a gleich 

, so mtisste a^ + a^^ a^ > m sein, da nicht ag = a^ = . . . = a^ = i 

sein känn. Es muss also der Fall supponirt werden, dass dem Nö- 
ther schen Theorem nur durch jene Ungleichbeit genögt wird, was aber 
auch der ungtinstigste ist. Gleichzeitig können wir von nun ab die Vor- 

aussetzung a^ , Wg , . . . , a^ > machen. 

Durch Anwendung von Q^ mit jenen 3 Hauptpunkten folgt dann 

971 "^ I 

ein Bttschel von Curven der Ordnung m — rtj mit «j-facheni. 



24 S. Kantor. 

m — I 



- ttj -fachem Punkte und a^ , a^ , . . . , a^-fachen Punkten. Dieses 

Btischel muss nun weiter reducirbar sein, es inuss also die Suinme der 
drei höchsten Basispunkte >m — a^ sein. 

Wäre nun \^ a^\ + (— ö^i ) + ^2 > ^^ — ^v so wäre 

öj > «i j was nicht sein soU. Es muss also a, > öder a^ + ö:, > 

sein, und aber ebenso nach a^ > a^ öder a^ + «« > sein. 

Es bleibt die Transposition durch ( a A + a^ + ög > m — a, womit 

^2 + ^8 ^~ verknapft ist. Die Voraussetzung, dass auch a^ 

nicht unter den höchsten sei, fiihrt aber zu a^ + % + a^> m — a^, was 
das Theorem liefern wtirde. 

Bemerken wir nun aber, dass a. > sein muss. Denn wenn 

1=4 

alle a, gleich sind, gilt nach § 2 öti = 2(m — i), aa^ = also 

a = . Dies ist aber nach bekannten arithmetischen Grundsätzen 

4 

das Minimum. Nach der Relation a^ + ög > bliebe also nur noch 

zu beweisen, dass auch a. > 

* = 4 

Wird die vorletzt genannte Transposition wirklich ausgefahrt, so 
entsteht ein Bllschel von Curven p =^ o der Ordnung 



2(m — aj — (^— j a,j — a, — «3 = 



3rn— I 



«i — «2 — ^s 



und mit den Fundamentalpunkten a^ , a, , a,, , 

m — a^ — a^ — ag , a^ , . . . , a^, wovon der erstere vom vorherigen Böschel 
als unverwendet tibrig ist, und wo die Punkte nicht in der Reihenfolge 

der Grösse stehen. Transformirt man nun mit a, r/„, 

2 ' j 2 2' 

— a^, so entsteht 3m — i — 2a, — 2a^ — la^ (3m — 3) + aj+«a + « 



8 



TraDsformatioDeD in IZ,, welche keine FandameDtalcurrcn I. Art besitzen. 25 

= — a, — a, — a, , also keine Verringerung, wfthrend das BOschel 

reducirbar sein muss. Auch a^ , a^ ^ m — a, — a, — a^ 

können nicht die 3 höchsten Basispunkte sein, weil sie die transponirte 
Ordnung 3111 — i — 2a^ — la^ — 2a^ — 2m + i + 2a^ + 20, -f ^i = w — a^ 
liefern, also wieder keine Verringerung. Es muss also jedenfalls a^ mit 
verwendet werden, also a^ muss unter den drei höchsten Fundament^il- 
punkten sein. Es möge nun a^ grösser sein als einer der vorhergehenden 
Basispunkte. Ist a^ > m — a^ — a^ — a^, so folgt sofort w > öj + ö^a + ^3 + ^4 

dl . wi— I I» 1 . wi — I , 1 , TU — I , 
. Ist a^ > ap so folgt <«i +0^4 ^Iso a^ +a^ (- 1 

wenigstcns, aber es ist auch nach obigem a^J^a^=z 1- i wenigstens, 

also durch Addition dieser beiden Beziehungen a, +a5 + a3 + a^ =m4- i 
wenigstens. Damit ist denn der ungtlnstigste Fall erledigt, da unter 

den vier dem a^ vorausgehenden Zahlcn a, (öder sicher immer 

unter den drei ersten Zahlen) die kleinste ist. 

Aber der hiemit gelieferte Beweis ist allgemein, da die Hinzunahme 

der MX keine andere Bedeutung hat, als der Hinzunahme eines 

fachen und eines fachen Punktes, welche nach dem in Anmerkung 

nach LXI. bewiesenen Theoreme LVI. (öder LVII.) vorhanden sind, ein 
geometrisches Substrat zu liefern. 

Der Beweis gilt nun aber auch ohne Rttcksicht auf unendlich nahe 
Lage von Fundamentalpunkten, denn da das Theorem öber die ebenen 
Curvenbftschel, aus dem sich der Beweis entwickelt, ohne diese Ein- 
schränkung gilt, und jene Lage sich in keiner anderen Weise bei der 
Projection geltend macht, so abertrftgt sich die Allgemeinheit auf den Raum. 

Theorem LXV. I)xe homaloidalen Curven der Transf. des § 2 lassen 
sich stets durch Anwendung cuhischer Reciprokaltr ans formationen (a , hy in 
das Geradensystem verwandeln. 

Denn verwendet man die 4 höchsten Fundamental punkte diya^fd^ya^ 
flir eine {a , 6)', so wird 3m — 2{a^ + ^a + ^3 + ^4) < 3^^ — 2m d. h. 
< m werden und die Ordnung ist vermindert. Die neu erhaltenen 

Äeia mathematica. 21. Imprimé le 29 arril 1897. 4 



26 S. Kantor. 

Curven sind aber wieder von derselben Art, da ja sie gleichfalls wieder 
als homaloidale Curven in einer Transformation dieser Classe erscheinen, 
und gestatten also neuerdings Anwendung von LXIV. und {a, by. So 
fortgesetzt wird m bis auf 3 und dann auf i reducirt werden» 

Theorem LXVL Die Transformationen ohne FundamentcUcurven i. Art 
sind aus cubischen ReciproJcaltransformationen zusammensetzhar . 

0berträgt man nämlich das System der homaloidalen Curven und 
setzt gleichzeitig (a, by mit der gegebenen Transformation zusammen, so 
wird die neue Transformation die öbertragenen Curven zu homaloidalen 
haben, also selbst ebenfalls von niedrigerer Ordnung sein, und man wird 
successive bis zu einer (a, by selbst gelangen können. 

Hiemit ist die Identität der Transformationen der §§ i und 2 nach- 
gewiesen. Der Beweis des Theoremes hatte auch direct fur die homaloi- 
dalen Fläcken gefuhrt werden können und sogar ganz abgesehen davon, 
dass mit der Relation a^'\' a^^ a^-^- a^> m gleichzeitig för die 4höchsten 
Singulari täten 2a^ , 2a^ , 2a^ , 2a^ der homaloidalen Flachen die Relation 
(2aJ + (2a,) + (203) + (204) > 2m gefunden ist. Man känn nämlich 
sogar direct eine invariante Ml bentttzen, die birationale Verwandtschaft 
in derselben durch stereographische Projection abbilden, und wird hierbei 
ein Netz von Curven p = o der Ordnung 2m erhalten, welche 2aj,..., 20^- 
fache und zwei m-fache Punkte haben, weil die M^ jede Erzeugende durch 
O in m Punkten treffen. In der That ist die Dimension 

^-2m{2m + 3)— ^^2a,.(2a.. + i) — 2^m(m + i) = 3, 

wovon noch der Transformirte von O, resp. diese Projection zu subtra- 
hiren ist, so dass co' bleibt. Auf dieses Netz ist dann das Schlussver- 
fahren anzuwenden, womit ich LXIV. bewiesen habe. 



§ 4. JEinige specielle Transformationen geyenwärtiger Art. 

Theorem LXVIL Wenn ein Fundamentalsystem der Ordnung m einen 
Fundamentalpunkt der Ordnung ni — i entMlt^ so sind die Vidfachheiten 



TraDsformationen in R^^ welohe keine FandameiitalcarveD I. Art besitzen. 27 

der ubrigen FundamefUalpunkte die Doppelten der eines ebenen Fundamental- 
systemes der Ordnung 

Denn aus Sa, = 2m — 2 und SaJ = ^ " folgt Sa^ = ^ — 3> 

1 * 1 * 2 ^ a * 2 

, aj = \—^-) — I (da a, = — ^— ) qu. e. d. 

Die Fundainentalcurven 2. Art fftr ein solches System sind die Ge- 
raden, welche a^ mit a, , . . . , a„ verbinden, dann die Curven, welche aus 
denjenigen der erwähnten ebenen Verwandtschaft so abgeleitet werden, 
dass man den Curven 1;. Ordnung Curven 2p — i. Ordnung substituirt, 
welche in rr, , . . . , a?^ dieselben Vielfachheiten wie jene und in re, die 
Vielfachheit v — i haben. Dicse Fundamentalcurven sind flir die ilf J 
einfach und sind jenen Geraden genau dem Entsprechen in der Ebene 
(unter den Xi und ihren Fundamentalcurven) gemäss zugeordnet. Die 
Gesammtanzahl ist also 2 [a — i). 

Die Fundamentalflächen sind den Punkten x^^ . ..^ x„ entsprechend 
Kegel mit der Spitze in x^ und aufstehend Qber den Fundamentalcurven 
des (fingirten) ebenen Systemes, und dem a?, entsprechend, eine Fläche 

. Ordnung mit x^ , welche ausserdem durch x^j . . . y x„ mit 

den Vielfachheiten a^ , . . . , a^ geht. 

Wenn 2rt, = 2a^ = m — i, so ist also 2a^ = ... = 2a„ = 2, die Fun- 
damentalcurven sind zweimal a — 2 Geraden aus x^jX^ nach o;, , ...,ic^, 
die Gerade x^x^ und die Curve vi — 2. Ordnung åxxvoh x'!^~^x^~^x^...x„. 
Die Transformation verwandelt das Ebenenbtischel durch x^x^ in das 
Ebenen bttschel durch x[x[i und zwar mit quadratischen Verwandtschaften 
unter den Ebenenpaaren.* 

Theorem LXVIII. Die eimigen Fundamental sy steme mit a, ==... = a^ 
sind (1,1,1,1)», (4,4,4,4,4,4)^ (8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8)^ 



^ Die irreductiblc cinfache Fundamentalcurve I. Art, wcicho bei der allgemeiDen 
dyoidalen TraDsformation mit quadratisch verwandtcn EbeDen auftritt, ist also hier io obiger 
Weisc zerPallen und dadurch io die 2. Art UbergegaDgeo, dass sich der Character I. Art 
auf ciuzelne Punkte in ihr zusammengezogen hat. 



28 8. Kantor. 

Au8 XLIX. und LII. folgt öa=2(m — i), 2^ni* = m* — i, å= , 

0"= — ; — , m = ^ , welches ganz wird fftr (t= 4,6, 7 und ^ = 3, 7, 15. 

w + I o — <y ^ 

Diese Fundamentalsysteme sollen als Q^^ Q\ Q^^ bezeichnet werden, während 
T* immer die Potenz einer Transformation bezeichnen soll. 

Die Fundamentalcurven för Q^ sind die 15 Geraden x^Xj, einfach 
und die {x^. . . x^) dreifaeh, för Q^^ die 2 1 Geraden XiX^ einfach und die 
7 Curven {x^Xij^i . . . x^^^)'^ dreifaeh. Die Fundamentalflachen fQr Q^ sind 
Kegel {x]Xi^^ . . . x^^^y und far ^^* Flächen 4. Ordnung {x^x^^i . . . x^^^y. 

Theorem LXIX. Unter den Transformationen mit nicht mehr als 6 
Punkten känn keine höhere als 7., mit nicM mehr als 7 keine höhere als 
15. Ordnung sein. 

Die Fundamentalflacheu sind nänilich nur Ebene durch 3 Punkte, 
quadratischer Kegel, Ml mit 4 Doppelpunkten und 3 einfachen, 31^ mit 
I dreifachen und 6 Doppelpunkten. Wegen LXVIII. und Miniinumsätzen 
hat jede Transformation höherer als 7., 15. O. einen höheren also 4- 
oder 8-fachen Fundamentalpunkt. 

Theorem LXX. Die Fundamentalsysteme mit weniger als 8 Punkten 
sind (1,1,1,1)', (4,4,2,2,2,2)^ (6,4,4 ,4, 2 , 2 ,2^, (4 ,4,4,4 ,4, 4^, 
(8,4,4,4,4,4, 4)% (6 , 6 , 6 , 4 , 4, 4 , 2)«, (8,6,6,6,6,4, ^Y\ 
(8,8,8,6,6,6, 6f\ (8,8,8,8,8,8, 8y^ Die Änzahl der Funda- 
mentalsysteme mit einer Änzahl ö- > 7 Fundamentalpunkten ist unendlich. 

Die ersten Fundamentalsysteme gewinnt man leicht mit Anwendung 
des Theoremes LXVI. Zum Beweise des 2. Theiles des Th. genögt es, 
die cubische Characteristik {(^ib^) j {a^b^) , {a^b^) b^ in b[ in . . . äJ = a, fUr 
Ä > 3 zu verwenden. Denn nach der Theorie dieser Transformationen 
(s. Am. J. 1896) ist sie fttr ä> 3 aperiodisch und liefert also unendlich 
viele Fundamentalsysteme, welche keine andercn als diese Fundamental- 
punkte haben und von denen keines unendlich oft wiederkehren känn, 
ohne Periodicität zu bewirken. 



TransformationeD in B^^ welohe keine FandameDtalcurven i. Art besitzen. 20 



IT. THEIL. 

Theorie der periodischen Characteristiken. Äquivalenz mit 

den Typen. 



§ 1. Allgemeine Säize Uber Characteristiken und die Unearen 

SubstUutioneii I) und II). 

Das Problem der Zusamiiiensetzung föhrt nun sofort zum Probleme 
der Periodicität. Hier eben erweisen sich die Fundamentalsysteme des I. 
Theiles als die genaue Verallgemeinerung der birationalen Transforina- 
tionen der Ebene. Dainit närnlich Reduction der Ordnung bis auf Eins 
durch successive Anwendung (T*) eintreten könne, reicht das Princip der 
Verkettung der Fundamentalpunkte voUkommen aus. Damit also die 
Characteristik, d. i. die Gesammtheit der Fundaraentalgebilde und ihrer 
Transformirten, Periodicität liefere, ist nothwendig, dass die Fundamental- 
punkte b^ von Äi mit den a^ von R^ verkettet öder coincident sind. För 
die Verminderung der Ordnung ist die Verkettung der Fundamentalcurve 
2. Art gleichgiltig. Die Fälle, wo h^ mit Fundamentalcurven c^ incident 
sind, ohne in Fundamentalpunkte öberzugehen, können also nicht perio- 
disch sein. Um die entsprechenden Substitutionen I) und II) zu schreiben 
(characterisirt), hat man also n' dem n, die x' den x und die y' den y 
zuzuweisen und die x\ Xj die y\ y je unter einander zu verketten/ 
Rein arithmetisch ist die Verkettung der y\ y von jener der re', x ganz 
unabhÄngig und hier zweigt sich abermals eine neue arithmetische Unter- 
suchungsrichtung von dem geometrischen Gebiete ab. Jedoch gilt in 
Folge des Theoremes LIII: 

Theorem 1. Durch die Coincidenzen und Verkettungen der Fundameti' 
talpunkte shid die (hincidenzen und Verkettungen der Fundamentalcurven 



^ Rein arithmetisoh ist es sogar möglich, auoh die z' mit den y, die y' mit den 
X zu verketten. Die SchreibuDg der Substitutionen I) und II) fUr diesen Fall känn mög- 
lioher Weise zu neuen Classen ganzzahliger periodischer linearer Substitutionen ftthren. 



so 8. Kantor. 

(2. Art) vollständig bestimmt. Die Characteristik ist schon periodisch, wenn 
auch nur die unvollständigen Substitutionen I) periodisch sind. 

Es folgt also daraus auch die Periodicitat des vollständigen Sub- 
stitutionen I) und II). Das Theorem (von Pkobenius) ttber die Periodicitat 
einer linearen Substitution tlberträgt sich auch hierher.^ Die characterisirten 
Substitutionen I) öder II) sind periodisch, wenn die characteristische Func- 
tion einfache Elementartheiler und nur Einheitswurzeln zu Wurzeln hat. 

CoroUar. Sobald die Zahl ö* < 8, känn die Periodicitat keinen Index 
> 30 haben (Crelles Journal, Bd. 114, p. 50). Auf Grund der Theo- 
reme XLIII. bis XLV. und dann Ende von § 2 känn auch die Directrix- 
substitution einer Characteristik definirt werden. Man lässt in einer pri- 
mitiven Characteristik (d. i. nur mit Verkettungen) auf einen Punkt a, 
jenen folgen, der dem mit jenem coincidenten nach XLIV. conjugirt ist. 
In der derivirten Characteristik (d. i. mit Verkettungen) setzt man den 
Cyclus genau durch die Verkettungen der Characteristik fort und schliesst 
ihn wie bei der primitiven. 

Die wichtigen Theoreme XXV. bis XXXIX. auf p. 62 bis 64 cit. 
Abh. gelten genau auch hier, wobei nur in XXXIX. statt Transforma- 
tionen von Jonquiéres die Transformationen dieser Abh. I. Th. § 4 
LXXXVII. a. E. zu setzen sind und in XXXII. statt 2 , 3 hier 3 , 4. 

Theorem II. Jede Characteristik mit weniger als 8 Punkten liefert ein 
endliches Tableau successiver Transformationen und ist periodisch. 

Denn nach I. § 4. gibt es nur eine endliche Anzahl von Funda- 
mentalsystemen, welche nur in eine endliche Anzahl Characteristiken tiber 
die 7 Punkte vertheilt werden können und keine Characteristik känn 
sich in derselben Vertheilung ttber die 7 Punkte wiederholen, da sonst 
(ef. cit. Abh.) die Characteristik sich schon frtiher mit der CoUineation 
hatte endigen mtissen. 

Theorem III. Die involutorischen Characteristiken (a^b^) von Q^ und Q^^ 
sind vertauschbar mit allén Charactetistiken von 6, resp. 7 Punkten. 

Jede [a , by, welche die 4 Punkte uber den 6 , 7 Punkten besitzt, 
verwandelt die Transformation in eine Transformation derselben Art, 



^ FUr die Ebeae vod niir aDgegebea Crelles Journal Bd. 114, p. 61. 



TransformatioDeD in /{, , welohe keine Fandamentalourven. I. Art besitzeD. 31 

also auch jede aua (a, by zusaininengesetzte Characteristik Qber den 6, 7 
Punkten. 

Die Theoreme L. bis LIV. cit. Abh. gelten auch hier, ebenso auch 
Th. LV., LVL In der Deutung von LVI. (1. c.) tritt jedoch hier eine 
Anderung ein. Die Zahl m — a,,^ — ... — a„^ ist eine Invariante der 

unvoUstandigen Substitutionen I), die Anzahl der Doppelpunkte im Ä3 
ist jedoch hier 2m + 2 — v, wo p die Verringerung durch uneigentliche 
Doppelpunkte ist und diese Anzahl ist bei Erhaltung der Zahl (t der 
Characteristikpunkte (d. i. der Variabelnzahl der Substitution) gewiss in- 
variant. £s muss also die Differenz 

2v — (a„, + . . • + «a,J 

invariant sein u. zw. wie Beispiele lehren, constant und weiter gleich 
Null. Dies beweist das 

Theorem IV. Die Incidenz eines Fundamentalpunktes a^ gegenwärtiger 
Transformationen mit der ihm entsprechenden Absonderungsfläche^ welche a^- 
fach durch den dem a^ coincidenten Fundamentalpunkt b^ hindurchgeht, ab- 
sorbirt {uneigentlich) 2ai^ Doi)pelpunkte. 

Die I. Invariante der Substitution 1.) ist also die Hälfte der Anzahl 
der eigentlichen Doppelpunkte, noch vermindert um i. 

Die Theoreme LXIV. bis LXXVIII. der cit. Abh. gelten mit geringen 
Abänderungen auch hier. An die Stelle von LIX^ bis LXIII. 1. c. treten 
Theoreme, welche erst nnch Ausspruch des Aquivalenztheoremes in § 5 
bewiesen und angegeben werden sollen. 

Theorem V. Die characteristischen Functionen der Substitutionen I) und 
II) sind fur jede Characteristik einander gleich. 

Man beweist es, indem man die Reduction auf die Typen durchftthrt, 
fttr jeden einzelnen Typus den Beweis ftthrt und dann bemerkt, dass die 
allgemeinen Typen durch Hinzufilgung von Cyclen entstehen, welche in 
beide Functionen gleiche Factoren liefern. 

Theorem VI. Wenn eine Cliaracteristik gegenwärtiger Fundamentalsysteme 
periodisch ist, sind alle Wiederholungen, welche denselben Index haben, mit 
ihr durch eben solche TransposUionen äquivalent. 



82 S. Kantor. 

Auch dieg wird fOr die einzelnen Typen des II. Th. § 5 bewiesen 
und von dort aus auf die Äquivalenten nicht typischen Characteristiken 
geschlossen, weil aus P-'T'P = T folgt F-\Q-'TQYP = Q''TQ. 

Theorem VII. Wenn die Anzahl de>' Facforen {x — i) der characte- 
ristischen Function > als der Rang der Characteristik plus i , ist die Charak- 
teristik einer der §§ 3, 4 dquivaletit. 



g 2. Die anallagmatisclien Curvensysteme und die JReductibilität 

auf die Typen. 

I. Beweis. 

Theorem VIII. Jede periodische Characteristik besitzt unendlich viéle in- 
variante Singularitätencomplexe n , ji , . . . , J^ bdiebig hohen Geschlechtes p. 

Denn da es sich hier nur um Characteristiken handelt, so känn man 
die Gesammtheit der transformirten Curven einer Geraden stets in solcher 
Lage befindlich denken, dass dieselbe als reductible Raumcurve gelten 
känn, was die Erftillung zweier Ungleichheiten erfordert. Seien Wj , ..., w^ 
die Partialordnungen, Ä| , . . . , /i^ die Partialanzahlen der scheinbaren Dop- 
pelpunkte, Ä^ die Anzahlen der gemeinsamen Treffgeraden dieser Theile, 
so muss wegen der Projection auf eine Ebene, n = w, + . . . + w^? 
2(^1 +K + '" + K + ^/''i;)<{^ — 0(^ — 3) sein und da 2hi<{ni — i)(n, — 2), 
ist 2lhi<Inl — 2>^ni+ 2(T und also, wenn in den letzten Formeln die 
Gleichheit gilt, 

(2) 2 Ikij < 2 SfliHj — 2{p I ). 

Andererseits ist ^[Ih^ + 2'A,^.) > (w — i)^ und da 4/*^ >^ (w^ — 0^ ^^^ 
427i,>^2'wJ — 22X + ö", also, wenn in der letzten Formeln Gleichheit 
gilt, sicher 

(3) 4^*v ^ 2ln^n^ — {a—\\ 

Das Geschlecht p der Gesammtcurve ist 2"^, — 2ä-^^, also 

2p = In^n^ — {p — i) + Ipi — 2\, daher 2jp = 2jp, + 2Xn> — [p — \) — lk^ 



TransformatioDeD id R^^ welohe keioe FandameDtalcarven I. Art besitzeD. 38 

und im Falle der Giltigkeit der vorhergehenden beiden Formeln, d. i. 
sicher dann, wenn p< = o, 

(4) 2p = Inifij — {a— i) — Ik^ 

stets positiv. Dieser Fall Pi = o tritt ein, wenn man die Transformirten 
einer rationalen Curve summirt und es känn unter ErfQllung von (2) und 
(3) der Werth von (4) willkttrlicb gross gemacht werden. Cbrigens können 
(2) und (3) auch mit |?,<o erföllt werden. 

Theorem IX. Wenn eifie Transformation gegenwärtiger Art einen 
Complex n , Ji , . . . , j^ in sich transformirt, transformirt sie auch n — 4, 
E, — !,...,£, — I in sich. 

Denn dieser ist die lineare Combination aus jenem und aus 4, i,..., i. 
Der 2. känn der adjungirte Complex des i. genannt werden. Man känn 
nun von irgend einem Complexe ausgehend die Reihe der successive ad- 
jungirten Curvensingularitfttencomplexe bilden. 

Theorem X. Fur jeden Singularitätencomflex^ wélclier durch eine der 
gegenwärtigen Characteristiken anallagmatisch ist^ ohne Fundamentalcurven 2. 
Ärt SSU schneideny känn man numerisch voraussetzen^ dass die Curve ohne 
/ene Singularitäten dos MaxitnalgescJdecht besitze. 

Denn nach Annahme von j^ , . . • 5 X<r bängt das Geschlecbt nur von 
der Anzahl h der scheinbaren Doppelpunkte ab, welche aber auf die Cha- 
racteristik ohne Einfluss ist, schon darum, weil man die Curve wegen der 
Invarianz der Ml (Th. XLIX.) in einer solchen enthalten voraussetzen 
känn, in einer solchen M\ aber M" des Maximalgeschlechtes enthalten 
sind und vermöge der Schnitte mit den Erzeugenden wieder in solche 
verwandelt werden. Ftir die DTransformationeuD wird jedoch ein eigener, 
genauerer Beweis zu suchen sein. Die Voraussetzung des Maximalge- 
schlechtes soll nun hinfort immer gemacht werden. 

Theorem XI. Dann ist die Zahl u des adjungirten Singularitätenconi- 
plexes gleich der Zahl p — i des vorhergegangenen CompJexes. 

Das p dieser Curve ist ^ ^^ . Das u des adjungir- 

Äeta mathematiea. 21. Impriroé le 10 juin 1897. 5 



34 S. Kantor. 

ten Coinplexes muss definirt werden wie oben fttr die homaloidalen Curven 
als die Dimension einer in einer Ml enthaltenen Curve n, Ji, . . - , J,,- 

Nun ist diese Dimension -^ — — 2.-1-+ M-2 — > ^-^ ■ tur 

n — 4, r, — I gebildet (n^ — 4n — 22j,(r, — O) :4 und aber das vorher- 
gehende 2^ ist wie soeben (n* — 411 + 4 — ^^lÅli — i))-4- 

Anmerkung, Diese willktirliche Zuschreibung einer Zahl w, welche 
jedoch die wichtige Eigenschaft hat, endlich constant abzunehmen, ist 
einem ähnlichen Vorgange zii vergleichen, welcher bereits in der Theorie 
der r-dimensionalen quadratischen Transformationen in A mer. J. 1896 
aufgetreten ist. 

Theorem XII. Wenn die Curven des adjungirten SinguJarUätencomplexes 
zer fallen, so hann dies nur so geschehrn, dass die Bestandtheile mehrere 
Curven eines linearen oo^-Systemes sind öder eine feste Curve und ein in 
einem linearen Systeme variirender Bestandtlieil. 

Der Beweis wird ähnlich wie in Aeta Matb. Bd. 19, p. 119. 

Icli biide nun flir irgend ein invariantes Curvensystem von hin- 
reichend bohem p das adjungirte System, ftir dieses abermals und setze 
sofort, indem ich, wenn der Fall XII. eintritt, die Verminderung nur aiif 
den variablen Bestandtheil anwende. Das Verfahren wird jedoch auf- 
gehalten, wenn man zu ^ = o kommt und schon fttr p = i wird w' = o 
und der adjungirte Complex könnte dann auch als Fundamentalcomplex 
(Fundamentalcurve) in die Transformation eintreten. Fttr diese Fälle 
sorgen die folgenden Theoreme. 

Theorem XIII. Wenn ein Curvensystem nur in Folge vidfacher Funkte 
in der Clmracteristik /> = o und die obige Zahl u = 2 hat, ist es durch 
Beciprokaltransformationen ubertragbar in die Geraden eines Stralenbundels. 

Es gelten die Formeln [(n — 2)' — 22'j,(j, — 0] = ^ , 1,2,3 und 
[n{n + 3) — n{n + i) : 2 — 2e,(j, + 01 • ^ = — ' ? woraus folgt 2*$, = 2n ^ 

Al - 

und Ifi = — f- 2. Mittelst dieser känn man noch wie in I. Th. § 3. 



* Die Formeln des Textes sind unter der Voraussetzung von geradem n gegcben. 

Ganz cntsprechende FormelD entstehea fUr ungerades n mit der Bedingung, dass die Er- 

n — I w» + I 
zcugenden in und Punkten getroffen werden. 



TraD^formatioDen in i?,, wclche keine FundamentalcurvcD I. Art besitzcD. 35 

LXIV. die Reduction bis auf n = i durchfiihren, wenn man beachtet, 
dass in diesen noch Bruchtheile mit dem Nenner 4 enhalten sein können. 

Theorem XIV, Wenn ein Curven&ystem nur in Folge vielfacher Punkte 
in der Characteristik p ^= o und w = 3 haty ist es durch Becipr ok cdtr ans- 
formationen in Raiimcurven 3. O. durch 3 feste Punkte öder fiir u = 4. in 
die Geraden des Rauvies öder in die Keyélschnitte durch 2 feste Punkte 
uhertrayhar. 

m 

Denn es können ebenso wie in I., LXIV. und hier XIII. zwei Formeln 
aufgeschrieben werden, aus welchen j^ + i'3 + £3 + E4 > 2/^ folgt und man 
muss fftr u = 4 das in § 3. vernachlassigte Kegelschnittsystem liier auf- 
nehmen. Fttr w = 3 gibt es kein anderes durch Punkte allein bestimm- 
bares System. 

Theorem XV. Wenn eine Characteristik gegenwärti(jer Art ein Geraden- 
bnndel in sich verwandelt, ist sie eine Transformation des /. Tä. § 4. mit 

Denn der Scheitel des Biindels muss ein (/u — i)-facher Fundamen- 
talpunkt fur beide Räume sein, nach 1. Th. § i. 

Theorem XVL Wepin eine Characteristik ein Curvensystem p = o, u = 2 
der Ärt des I. Th, in sich verwandelt, ist sie hirational äquivalent einer Cha- 
racteristik mit {ai~^bi~^). 

Das Curvensystem werde durch Transpositionen des I. Theiles in ein 
Geradenbiindel tibertragen, dann wird gleichzeitig die Characteristik in 
eine mit invariantem Geradenbiindel transponirt, worauf dann XV. an- 
wendbar ist. 

Theorem XVII. Wenn eine Characteristik alle C^ durch 3 feste Punkte 
unter einander verwandelty ist sie eine cubische Transformation mit («i^^,), 

(«2«0 > (^3«7j, WO iyk.l = I y 2 y 3. 

Denn nur fttr diese ist die Summe der Ordnungen von drei Funda- 
mentalpunkten 3 (wi — I ). 

Theorem XVIII. Wenn eine Characteristik einen Complex ^; = o, w = 3 
in sich transformirt, ist sie äquivalent einer cubischen Characteristik aus XVII. 



3G 8. Kantor. 

Man wendet XIV. an und auf das erhaltene 6, -system XVII. 

Theorem XIX. Wenn eine Characteristik einen Complex p = o, u = 4 
in sich transformirt, ist sie entweder einer CoUineation öder einer Charac- 
teristik {aT"' K'-'){a?^' bT'') öder einer Characteristik (ar^ftj-') birational 
dquivalent. 

Man wendet XIV. an und das Lemma, dass eine Characteristik, 
welche die Kegelschnitte durch 2 Punkte a^ , a^ unter einander verwandelt, 
entweder die eine öder die andere des Theoremes sein muss. 

Theorem XX. Jedes Curvensystem der Art des I. Theiles, welche p = 1, 
w = 2 , 3 , 4 hat, känn durch successive Reciprokaltransformationen in ein 
System von Curven 4. O. i. Art durch 8, 6, 5 Punkte iihergefidirt tverden 
öder fur w = 2 in ein System von Curven 45. Ordnung mit 8 s-fachen Punkten. 

Die beiden Formeln 

(n— 2)* v^r/fe— I) 



I 






n(n + 3) ti(n + 2) v^ g. (ri + i) _ „ 



4 



I 



liefern Jj? =, w, 2j, = 2n — u- Aus diesen känn mittelst desselben 

•2 

Verfahrens, dass ich oben ftir die rationalen Curven eingeschlagen und 
unter BentUzung der bekannten Satze tiber die Systéme elliptischer Curven 
in der Ebene die Relation J, + r, -f J3 + K4 > 2n abgeleitet werden, in- 
solange n > 4 öder j, ^ j^. 

Theorem XXI. Wenn eine Characteristik gegemvärtiger Art ein Curven- 
system p=i, w=2,3,4 in sich transformirt, so ist sie einer Trans- 
formation mit 8,7,6,5 Punkten in der Characteristik birational dquivalent. 

Denn es gilt wegen 2*0, = 4(m — i) das Lemma^ dass eine Charac- 
teristik, welche ein cx)^ co'"^, cx)* System von G^ p = i in sich trans- 
formirt, ausser diesen festen Punkten keine Fundamentalpunkte, also auch 



^ Auch hier sind nur die Formeln fttr gerades n gegcben. NebeD diesen stellen 
sioh entsprechende flir ungerades n. 



TraDsformatioDen in 1^,, welche keiao FaDdameDtalcurvcD I. Art besitzen. 37 

*keine Characteristikpunkte haben känn. Wenn also nach Anwendung von 
XX, das C^ -System erreicht ist, muss aueh die Characterigtik mit weniger 
als 9 Punkten erlangt sein. 

Theorem XXII. Eine periodische Characteristik mit 8 Punkten muss 
stets entweder einer monoidalen öder einer dyoidalen öder einer Characteristik 
mit a < 8 Punkten äquivaJent sein. 

Denn wenn sie keinen anallagmatischen Complex mit p = o gestattet, 
so muss man durch die Anwendung der Verminderung auf die invarianten 
Complexe mit höherem p stets auf Complexe mit p = i gelangen. Ein 
zweiter Complex p =^ \^ u = 2 känn aber nicht da sein, da man durch 
Transpositionen, welche nur Fundamentalpunkte unter den 8 Punkten be- 
ntttzen, auf C^ p = i kommen mtisste, wobei die schon vorhandenen C^ 
p = I ebenfalls erhalten blieben, was unvereinbar ist. p= i, w= i er- 
fordert aber successive p = i und diése ftihren sofort zur Existena von 
nur p= \, was n)it der Periodicität gemäss VIII. unvereinbar ist. Aus 
dem 2. Gliede des Schlusses wird also w = 3 gefolgert. 

Ftir die Transformationen känn der Beweis änders geftthrt werden. 

Theorem XXIII. Jede periodische Characteristik eines Fundamental- 
systemes gegenwärtiger Art ist durch Beciprokaltransposiiionen äquivalent 
enttveder: 

1. Einer Collineation, öder 

2. Einer Characteristik mit (a?""^ 6?""'), öder 

3. Einer Characteristik mit («?"* &J"^)(^?5~^ &?~0, öder 

4. Einer Characteristik mit ö* < 8 Punkten. 

Zum Beweise dieses Haupttheoremes verwende ich nun das oben 
nach XII. erwähnte Princip der Verminderung der adjungirten Complexe. 
Ich gehe von einem Complexe aus, dessen ti gemäss Theorem VIII. be- 
reits als > 2 vorausgesetzt werden känn, da die Curven des Systemes 
doch den ganzen JKg mindestens einfach erftiUen mOssen und biide die 
Reihe der successiven adjungirten Complexe. Nach LX. des I. Theiles 
mössen aueh diese durch die Characteristik anallagmatisch sein. Entweder 
känn die Reihe bis n = 1,2,3,4 fortgesetzt werden, dann ist die Cha- 
racteristik von selbst eine von denen des Theoremes. Öder man wird 



38 S. Kantor. 

durch einen Complex i^ = o, u > i aufgehalten; dann wendet man die 
Theoreme XVI., XVIII., XIX. an. Öder man -svird durch p = i auf- 
gehalten, wo man wieder u > i voraussetzen mag; dann wendet man 
XXI. an, vervollständigt durch XXII. 

II. Beweis. 

• 

Es werden wieder die invarianten Curvensysteme beniitzt. Nur wird 
die Existenz der rationalen öder elliptischen Curvensysteme als Folge der 
Periodicitat auf andere Art hergeleitet. 

Theorem XXIV, Jede Characteristik gegenwärtiger Fimdamentalsysteme 
känn man sich widersprucJislos in einer invarianten Ml enfhalten denken. 

Denn die stereographische Projection liefert eine ebene Characteristik 
von Fundamentalsystemen, welche durch Zusammensetzung von nur Funda- 
mentalsystemen {e]elb\blblblay wo e^ ^ e^ die Schnittpunkte mit den Er- 
zeugenden des Centrums sind, gewonnen werden. Alle diese Characteri- 
stiken mit denselben e^ , e^ geben eine geschlossene Gruppe und liefern 
durch Rttckprojection auf die M] eine Characteristik fraglicher Art. 

Corollar L Die Theorie gegenwärtiger Characteristiken sowie ihrer 
endlichen Gruppen känn als identisch mit der Theorie der eben be- 
schriebenen ebenen Characteristiken bei gemeinsamen e, , e^ angesehen 
werden. 

Corollar IL Jede Characteristik aus XXIV. känn widerspruchslos 
als in einer C^ mit Spitze öder einer zerfallenden C'^, welche invariant 
seien, enthalten angesehen werden. 

Theorem XXV. Jede periodische Characteristik gegenwärtiger Fundamen- 
talsysteme besitzt entweder ein invarianfes Ciirvensystem {Singularitätencomplex) 
p z= o und Dimension > i öder ein invariantes Curvensgstem {Singularitäten- 
complex) p = i und Dimension > i. 

Denn die als invariant vorausgesetzte Ml gibt durch stereographische 
Projection eine ebene periodische Transformation, welche also auch, als 
Characteristik aufgefasst, einen invarianten Complex gestattet, der ent- 
weder ^ = o öder p = i hat, gewiss aber u > o, wofilr der Bildung des 
u zufolge die räumliche Dimension > i geschrieben werde. 



TraDsformatioDen in i^, ^ welcho keioe FundamcDtalcurveD I. Art besitzen. 39 

Von dem Theoreme XXV. gelaiigt man durch meine oben hergelei- 
teten Hilfstheoreme eben wieder zum Haupttheoreme XXIII. 

Anmerkung, Es könnte im Anschlusse an XXIV. ein anderer Beweis 
versucht werden, -svenn in der Ebene bewiesen werden könnte, dass die 
<Jharacteristiken der im Beweise zu XXIV. genannten Art durch Funda- 
mentalsysteme (ej e^ ftj &J 6J 6J r/)® mit gemeinsamen e^ , e^ a uf Typen trans- 
ponirt werden können. 

III. Beweis. 

Theorem XXVI. Jede periodische Characterlstik hesitzt unendHch viéle 
Ånvariante Singularitätencomplexe w , .r^ , . . . , x„ von heliehig höhem FJiichen- 
geschlechte p. 

Die Formel fOr die Zahl p wird ans der Nöther schen Formel (Ann. 
-di Mat., ser. 2, t. 5) durch ein Zusatzglied erhalten, das wegen der 
ausgezeichneten Curven, welche die Fläche in den Fundamentalcurven 2. 
Art besitzen känn, gewonnen wird. Dieses (rlied ist hier gewiss positiv 
und seine Weo^lassunty verstärkt nur den zu liefernden Beweis. Dann bleibt 
aber eine in n und Xi cubische Formel, Avelche för die Argumente 
**i+-'-+^^> ^i'' + • ' • + ^i'^ iJach bekannten arithmetischen Sätzen einen 
Werth annimmt, der > als die Summe ihrer Werthe för die Argumente 
n^ , x^^^ , . . . , ^T^ ^2 j ^^P ,...,0:^2''^;... In Folge dessen känn man aus einem 
Singularitätencomplexe nebst seinen sämmtlichen Transformirten succesrive 
Singularitätencomplexe von stets wachsendem p herstellen. 

Theorem XXVII. Wenn der adjungirte Singularitätencomplex n — 4^ 
ir, — 2 , . . . , rr^ — 2 ' zu einer zerfaUenden Fläche gehört, so zerfällt diese 
entweder in eine feste Fläche und einen in einem linearen Systeme variablen 
Bestandfheil öder in mehrere Flächen eines und desselben linearen Systemes. 

Der Beweis wird genau wie för die Ebene in Acta Math. t. 19, p. 
1 1 9 geliefert. 

Theorem XXVIIL Wenn fur einen invarianten Singularitätencomplex 
n , x^, ...yX^ die Zahl p <o, k > i wird, so können die Singularitäten- 

* Hier fUr Flächen bcdarf es keinor Deuen Defioition des adjungirten Complexcs, 
•€s ist die Clebsch — ZeutheD — Nöther'sclie, die schon im I. Tbeile erwähnt wU^de. 



40 S. Kantor. 

comptexe n , s^ , . . . , j^ der diesen Fallen gegenseitig genieinsamen Schnitt- 
curven nur ^ = o, i haben. 

Die zu diesen Curven adjungirten Flächen sind der Ordnung 2n — 4 
und gehen (2ic, — 2)-fach durch die Punkte der Characteristik. Sie sind 
ebenfalls invariant und schneiden auf den Curven die bckannte G^l_i) 
aus, Nun gibt es keine Flächen n — 4, rr, — 2 ; in Folge dessen auch 
keine n — 2, x^ — i und mithin auch keine 2(n — 2), 2(0?, — i), wie 
aus den Formeln ftlr p zu beweisen ist. Die Curven können also keine 
Reihe G besitzen und mössen /) = o, i haben. 

Theorem XXIX. Die Mer möglichen invarianten Compleoce w , rc^ , . . . , a;^, 
welche p < o haben^ ohne zu zer fallen, sind durch Reciprokaltransformationen 
uherfuhrhar in Kegelflächensysteme mit gemeinsanier Spitze. 

Denn die rationalen Curven, in denen sie sich schneiden, mOssen 
stets ein BOschel bilden (sodass also die Schnittcurve stets in mehrere 
Bestandtheile zerfftllt), weil ein Netz von rationalen Curven auf einer der 
Flächen sofort deren Abbildbarkeit, also p = o fur sie bedingen wtirde. 
Die elliptischen Curven schliessen sich aber aus wegen des Reductions- 
theoremes aus XX., weil mit diesen 8 Punkten Flächen von p<o nicht 
gebildet werden können (als Örter von je oo^ elliptischen C?4,a', . . . aj). 
Auf das cx)* System von Curven mit p ^= o känn dann das Reductions- 
theorem angewendet werden. 

Theorem XXX. Wenn eine Characteristik gegenwärtiger Art einen 
Fldchensingtdaritätencomplex n , iPi , . . . , rc^ mit p = o, u > o invariant lässty 
lässt sie stets auch einen Curvensingularitätencomplex p = o, w > i öder 
p =z i invariant. 

Denn da die Flächen eines Bftschels im Systeme p = o haben, sind 
sie abbildbar und indem man die unter zweien hervorgerufene Verwandt- 
schaft in die Ebene abbildet, schliesst man aus den Theoremen för diese 
hier, dass es stets ein rational distinctes, in ein ganz analoges t^bergefohrtes 
Curvensystem p = o öder p= i geben muss. Da aber för alle Flächen 
des Btlschels die abbildenden Punkte und Linien in derselben Weise 
vertheilt sind (obwohl nicht eben dieselben sein mtissen), so werden diese 
Curvenbtischel insgesammt ein Curvensystem u>^2 geben. 



TransformationeD in R^^ welohe keiae FundameDtalcurven I. Art besitzen. 41 

Zur VoUendung des Beweises ftlr XXIII. bliebe nun noch ttbrig, ein 
Aquivalenztheorem fur die Flächensystenie n , oJj , . . . , rr^ zu suchen, welche 
p= ij u>o besitzen. Es ist hier nöthig, eine Beschränkung einzuföhren. 

Die Nöthersche Formel gilt ftir die homaloidalen Systeme, welche 
hier auftreten, deswegen nicht, weil die hier so zahlreich und Avesentlich 
erscheinenden Fundamentalcurven 2. Art als »initbedingte Curven» zuweilen 
einen Zusatz von Gliedern erforderlich machen. Aus demselben Grunde 
gilt sie nicht för alle invarianten Flftchensysteme, die hier auftreten. Fest- 
zuhalten ist jedoch, dass wenn ein Flächensystein nur solche gerneinsame 
Curven hat, welche eine nothwendige Folge seiner singulären Punkte sind, 
auch das adjungirte Flächensystem nur durch solche gerneinsame Curven 
geht, welche eine nothwendige Folge seiner singulären Punkte sind. 

Dieser Zusatz, welcher also ausdrftckt, dass die Durchgänge einer 
Fläche durch die Punkte a^ , . . . y a„ nicht unabhängig sein mttssen, ist 
aber jedenfalls hier positiv. Seine Weglassung reducirt daher die Dimen- 
f^ionszahl, resp. das Geschlecht p. 

Ich erlaube mir nun den KunstgrifF, in der Reihe der successiven 

adjungirten Systeme jedesmal nur (n + 0(^ + ^)(^ + 3) — ^'^/(^t + 0(^« + ^) 
zu berechnen, welcher Ståndpunkt auch dadurch erreichbar wäre, dass 
man nur invariante Flächensystein e sich dächte, welche in keiner Weise 
<lurch Fundamentalcurven 2. Art hindurchgehen. Ob es aber solche, gibt, 
ratisste erst bewiesen werden, da die durch Summation der Transforniirten 
-einer Fläche gewonnenen diese Eigenschaft nicht haben. Dann spreche 
ich also aus: 

Theorem XXXL Alle Flächensingularitätencomplexe n, o:, , ..., o?^, welche 
das so berechnete p gleich i und ti {entsprechend herechnet) > o haben, sind 
durch Beciprokaltransformationen Hbertragbar in n=2s, x^ =.,, = x„=^s, 

Denn man känn raittelst der Theorie der Maxima und Minima bewei- 
sen, dass fiir jene Complexe, solange sie nicht diese typische Form haben, 
^1 + ^2 + ^8 + ^4 > 2^- Nämlich bei geradem n wird der obige Com- 
plex, bei ungeradem der entsprechend gebildete unter allén, welche gleiche 
PjU liefern, die kleinsten rr, haben. Hier ist aber iTj + •'^2 + ^8 + ^4= 2W, 
för die aber, welche ungleiche rr, haben, wird diese Summe stets grös- 
«er sein. 

Äeta mathematiea. 21. Impriiné le 10 juiii 1897. Q 



42 S. Kantor. 

Theorem XXXIL Eine Characteristik, welche dos Flächensystem n= 2Sr 
Xi = s in sich verwandeln soU, känn atåsserhdh dieser Punkte keine Punkte 
hesUzen. 

Denn erst, wenn die Fläche in allén Fundamentalpunkten 5-fache 
Punkte hat, wird n' = m .25 — Is = 25 nach Th, XIV. des I. Theiles. 

Theorem XXXIII. Eine Characteristiky welche nur die invarianten Sin- 
guJaritätencomplexe n= 25, Xi = s besitzt, känn fur ^> 8 nicht periodisch sein. 

Denn fUr a = 5,6,7,8 werden die Zahlen p nach oben berechnet 
3s* + 9«' + 128 28* + 6«* + 108 8* + 3«* + 8« 



9 



s 



und fur ö* = 9 bereits negativ, sodass dem Th. XXVI. nicht entsprochen 
wttrde. Aber auch fttr a = S ist die Existenz der invarianten Singula- 
ritätencomplexe nur scheinbar. FQr die Transformationen soll es später 
(III. Th.) bewiesen werden, fQr die Characteristiken känn man zunächst die 
Existenz von nur Curvensingularitätencomplexen mit n= 46-, ji=...= jg = 5 
folgern und hieraus die Aperiodicität mittelst der invarianten Ml. ^ 

Habe ich nun diese Hilfssätze ' vorausgeschickt, so gelange ich zum 
Haupttheoreme XXIII, indem ich auf die Flächensysteme eines ^, das 
nicht o eder i ist, die Verminderung durch Adjunction anwende. Komme 
ich dabei zu einem Zerfallen, benfttze ich XXVII., komme ich zu j> > o 
PO bentttze ich XXVIII., komme ich zu ^ = o, so bentUze ich XXX. 
öder die letzte Anmerkung unter dem Texte, komme ich zu j; = i (unter 
dem gemachten Vorbehalte), so benQtze ich XXXL, komme ich zu keinem 
dieser Hindernisse, känn also das Princip fortgesetzt anwenden, so komme 



i-'-?')' 



* Die Schoittcurven der Flächen Ml*{z'^ sind n = 4«', J/ = «* uod da sie 
voui Maximalgeschlechte sind, so ist ihr Geschlecht unter RUcksicht auf die ^^ gicich 

««(«* I) . 

8 = I. Diese Curven, das ist also ttberhaupt alle invarianten 

2 

Curven, sind clliptisch, womit dem Th. VII. widersprochen wäre. 

' Ich bin im Th. XXX. auf meine obigen Theorenie Uber Curvensysteme Uber- 

gegungen^ aber es ist hier auch leicht möglich, p=^0 so zu behandeln wie ich in XXXI. 

p= I bchandle und es finden sich als Typen Systenie von Ebenen, Ml^Ml und Mi mit 

Doppelpunkten. Solche Typen existiren aber fUr allgemeinc Flächensysteme nicht. 



TransformatioDen in £, , welche keine FundameDtalcarven I. Art besitzen. 43 

ich von selbst zu Ebenen, M], Ml öder -MJ und eine gewiss einfache 
Discussion lasst in den för diese anallagmatischen Transformationen jene 
des Theoremes XXIII. erkennen. 

IV. Beweis. 

Derselbe entspricht der fttr die ebenen Transformationen von mir in 
Crelles Journal, Bd. 114 gegebenen III. Methode. Es wird der Rayig 
der zu einer Characteristik gehörigen linearen Substitutionen 1) definirt. 
Es werden äquimultiple Characteristiken als solche definirt, welche nur 
Singularitätencomplexe n , x^ j . . . y x^ invariant lassen. Es wird liaupt- 
sachlich bewiesen: 

Theorem XXXIV. Wenn in einer Characteristik ein Singularitäten' 
coniplex invariant istj welcher nicht äquimuUipel ist, so känn man durch 
Fart icularisir ung des in ihm enthaltenen Parameters stets einen Complex 
j) = o, w > o erreichen, öder einen, der sich zu einem solchen ergänzen lässt. 

Man beweist ferner, dass eine Fläche mit p = Oy w = o (allein in 
Folge der. Singularitäten in den Characteristikpunkten) als Fundamental- 
fläche einer gcgenwärtigen Transformation bentttzt werden känn und hat 
dann das Theorem bewiesen (als Umformung von XXXI V): 

Theorem XXXV. Eine nicht äquimultiple periodische Characteristik känn 
entiveder einer ColUneation, öder einer Transformation (a^~^&J*'"') öder einer 
Transformation (aj*"^ &J"'')(a^~^ K"^) öder einer mit a < 8 Fundamental- 
punkten hirational äquivalent gemacht werden. 

Dies ist im Wesen das Haupttheorem XXIII. 

Es känn endlich entsprechend der II. Methode in Cr. J. Bd. 114 
noch ein V. Beweis gegeben werden, indem man trachtet, tiberhaupt eine 
arithmetische Formel för den Periodicitätsindex (beziehungsweise Ausdruck 
far die Aperiodicität) einer gesetzmässig gebildeten Characteristik aufzu- 
stellen durch successive Bildung immer allgemeinerer Glassen von Funda- 
mentalsystemen. Hiezu ist es gut, die Substitutionen I) und II) als De- 
finitionen zu verwenden. 



44 S. Kantor. 



g 3. I>le Charactevistiken der IPandamentalsyateme mit al" \ ^r * 

(/. Til. § 4). 

Theorem XXXVL Die Characteristik mit (a^b^) Ist periodisch und mit 
demsélhen Index, sohdld die von deti iihrigen Punkten gebildete Characteristik 
Ch„_.i in der Ehene genommen periodisch ist und umgekehrt. 

Denn indem inan fiir beide Characteristiken die Substitutionen I) auf- 
schreibt, beweist man durch eine einfache Umformung der Determinante, 
<Iass die erste ch. F. gleich der zweiten mal {x — i) ist. Auch durch 
das Tableau der successiven Transformationen erhellt dasselbe. 

Theorem XXXVII. Zwei Characteristiken Ch„ mit {a^b^) sind äqiiivalenty 
ivenn die Characteristiken Ch^_^ äquivdlent sind. 

Denn ist Q' eine Transposition, welche die beiden Ch„_^ äquivalent 
macht, so liefert die Transposition {{a^b^f''~^Q') auf die erste C\ ange- 
wandt, eine Transformation (a^ &J, wo Ch„_i mit jener der zweiten Ch„ 
ftbereinstimmt, also diese Ch^ selbst. 

CoroUar L Wenn Ch^_^ der Collineation äquivalent ist, ist es auch Ch^.^ 

CoroUar II. Wenn C1i„ in der Punktezahl reductibcl sein soll, so 
muss 6'Äff-i es sein und umgekehrt. 

CoroUar HL Es gibt so viele typische Characteristiken mit {a^^b^), 
als es typische Characteristiken Uberhaupt in der Ebene gibt. Hieraua 
folgt: 



^ Zufolge dem in I. Th. § 4 Gcsagtcn beginnen die fundauientalen Substitutionen 
I) und II) fUr die gcgenwärtigen Fundamentalsystemen wie folgt; wenn mit x ^ x\ x , x' die 
Vielfachhciten in a ^ 6 bezeichnet werden: 

n = mn x — a^ x\ — a^ JJj — ••» u= mn — (m- i)x — 2a^ r^— 2a, Jj — ..., 

m - 3 , m— 1 wi— 3 
,c ={m—i)n x — a^x^—a^x^ — ...^ ^ = n r— «, r, — «2 r,— .., 

x\=- 2l\n — }\x — <*„«! — ^^^i 2*, — -, ri= ^n — h^x - rtur,— ^,31,-..., 
x\^ 2h^n — \.y — «ji*i-«2j*j— •» h= b^n — h^x — a^,X,— ^jjrj — ... 



TransformatioDeD io if,, wciche keiDo FuDdamcntalcurvcD I. Art besitzeD. 45 

Theorem XXXVIIL Die typischen Characteristiken mit (ar~'fcr"*) sind 
48 isolirte, welche durch VerUndung von (aj*~^ij'~^) mit den 48 isolirten 
Typen B^; . . . y S^ der Ebene erluiltefi werden und die Classen («y~^ ft"""^); 

Corollar I. Die Characteristiken (ar~' &r~% ^? ^» •• •(^?)'* = «'a ^^"^^ 
periodisch fttr alle Wertc von /?, und der Index ist das kleinste Multiplum 
aller Zahlen ä, + i. 

GoroUar IL Wenn (7A^_i aquimultipel ist, so hat 67;^ nur die anallag- 
matischen Singularitatencomplexe n,n — 35,s,....s. ^ und n,n — 3§,é,...§. 



^ Obzwar fUr das TypcDproblem nicht crforderlich, mogen Ubcr die Fundamental- 
»ysteme des § 3 noch folgende Theorcmc mitgetheilt scin: 

Theorem XXXVIir. Ist A <^'ö char. Function der fundamentalen lincaren Sab- 
stitution fur die aus den Xj , . . . , a?^ gebildete ebetie (Iharacierisiik Cha^i, An ^li^ J- 
Unterdeterminante , ho ist die char, Function fär b^ in a^ , ^V^^_l {ode:r x in x, C/z^-i).' 

-(p- 1)(A(I + 2/>) + An(.^' + I + />)). 

Es sind die fundamentaleD SubstitutioneQ vorbereitet zur Bereclmung von p dicsc: 

m — I 
pn = vin ,e — a^-c^ — a^x^ — . . . , 

»^i — 3 

ox = (m — l)n X — aj.tfj — «,.<;, - 



• • « 



px = X 

f)x\ = 2b ^ n — b^x — ^n**?! — « Ii. 1*2 — ... 

• • • • • • 

woraus durch einfachc Umformung der obige Werth entsteht. 

Theorem XXXVIII". Die Characteristiken b^ in a^ , Cha-%^ ico Cha-i einer der 4^ 
Typen aus der Ebene ist, sifid apcriodisch, sobald die Gesammtxalil der Ihinkte > 7 iM. 

Ich beweise nämlich, dass nicht invariante Carvcn jedes Oeschlechtcs ^) da sind. 
Då8 Mazimalgeschlecht der invarianten Curve n , ti — 3$ ,»,... ^ § ist nämlich 

(n — 2)' &(^^i) („-_3^)(„_3-_i) — 311' + 2(16 + (j)å'+ 1411^ + 4å 

i(f — 2 ) 2 = — -^ 

42 2 4 

and 68 muss 5^^lt^3^ sein, sodass die Einsetzung des gttnstigsten Werthes n = 3^ 



40 S. Kantor. 



% 4. Dle CharacteHstiken von aT"^ , a? ^ ; tf \^2 \ 

Theorem XXXIX. Die Gharacteristiken {a^ h^) , {a^h^) , &, ^^ • • • ^i = % 
können in der Ordnung redmirt werden, ivenn nicht alle i^ = i sind. 

Die entsprechende Transposition för {(t^b^) , {a^ , ft^) , . . . ist möglich 
zufolge Theorem XXXVII. und ändert sich aber nicht durch die Ver- 
tauschung von a^ , a^ . 

Theorem XL. Die Characteristik {(^i^^) , {(^^b^) , b^ in ...b^' = ai hat 
den Index iN^ wo N das Ueinste Multiplum dller Zahlen ä, + i. 

Denn CoUineation tritt nach 2N Anwendungen ein wegen XXXVIII. 
und das involutorische Paar a^ , a, ist verschwunden. 

Theorem XLI. Die Gharacteristiken (a^ &J, b^ in a^, {a,b^) sind aperiodisch 
fUr m> 17, (rti&i), ^2 «w ^2 m öj, (a,&,) fur m> 5. 

Denn der bezttgliche Satz ist Preisschrift IV. § 7 XII. bewiesen und 
wie in der Th. der cub. Transf. gilt, dass wenn Ch{a^ ,...;&,,...) re- 
ductibel ist, auch {aJ)^)Ch{a^ , . . . , ft^ , . . .) reductibel ist. 

Fttr m = 5 sind periodisch die den cubischen ebenen Gharacteristiken 
mit {a^b) , (a 6,) entsprechenden, filir m = 7 nur (a^ft,), i = 3 , . . . , 8 und 
(a..&,.), i = 3^...^ 7, h^ in flg. 

— (2a — 1 3)§* -(- 41 + 4 — 35* + 4» — 4 

liefort — ^^ also fUr <t = 8 den Werth , welcher 

4 4 

nur fUr » = I den Werth i annimint. 

Es sind also nur zu untersuchen I. die cubischen Transformationen h^ in a^ 2. die 
Transformationcn 5* Ordnung, wclche aber cbenfalls eigentlich anter die Fundamental system c 
des § 4 gehOrt. 

Die Ubrigen Gharacteristiken des Fundamenta]s3'8temes a^~^ können dadurch erhalten 
werden, dass in einer ebenen Characteristik eine Coincidenz {(iki%) in zwei Theile ge- 
spalten wird durch Einftlgung der beiden Punkte a, 6, nämlich in (a^^) , (a/9;). Die 
linearen Substitutionen II) lehren dann, dass n — 3*^ =" ^) ^^so 11 = 4$, £ = ^ s^^d muss: 
die Characteristik ist äquimultipel, wenn die ebene Characteristik es war. Es können also 
nur die ebenen Characteristiken mit 6 Punkten räumliche periodische Ch. licfern. 

Macht man aber diesen Ersetzungsprocess an einer nicht typischcn Characteristik, 
-80 känn dennoch die räumliche Characteristik typisch werden. 



TraDsformatioDeo io 12, ^ welohe keioe FundameDtalcuryeD I. Art besitzen. 47' 

Theorem XLIL Die Characteristiken b^ in a^y b^ in a,, {a^b^ sind 
aperiadisch fur m> 3, doch (0,6,), b^ in b[ in a,, (a,6,); (fli^a)? b^ iw a,, 
{a^b^ fur m > 5. 

Au8 den linearen Substitutionen ^ folgt f Qr das Geschlecht der in- 
varianten Curven, wenn nian mit a die Anzahl der Punkte im Cyclus 
von öj bezeichnet, 

(n — 2)» ^^^ g(é - 1) '^ r (n "' 2)« (n - 2)(2g - 1) 1 
4 2 2L 4 2 J 

wo 8 die Vielfachheit in den (a, 6,) ist; wird nun das Maximum dieses 
Werthes bestimmt, so ergibt sich, dass es fttr die Werthe m des Theoremes 
nicht > I werden känn. 

Theorem XLIII. Die (JJiaracteristiken {(iib^){(i^b^){a^b^){a^b^){aib,) und 
(^i*8)(^3^2)(^2^4)(^4^i) ^^^^^ (iquimultipel und daher aperiodisch fur m > 5. 

Fftr die i. z. B. hat man 

m — I m — 3 m — i 

O =— — -n — — — -E -—t) — 2 Ej — j^ _..., 



rn 




I 




2 




m 




I 




2 




n 




1 



m — I m — 3 

o=—j—n ^—i ^— t) — Si — 2E, — ..., 

j = n — X — t) — ?i, i\ = n — E — 1) — E., 
1) = n — E — l) — Ej 
woraus j == t) = j^ = j^ == ji. Ebenso fllir die 2. Characteristik. 

* Die fuDdamcDtaleD linearen SubstitutioDen I) uud II) fUr die FundamcDtalsysteme 

des § 4 bcgiDDen : 

ni — I 
n = mn x ?/ — x, — .c, — 



m 


— I 




2 


m 


— I 







m 


— 3 



• • • 



m — 3 

I) .c' = (m — i)h ^ — X — yj — x^—x^-' 

y = (m — i)h — -x y — x^ —x^ — . . ,, 

\\ = m\\ — (w — i)r — (m — i)i) — 2x^ — 2rj — . . . , 
m — I m — 3 m — i 

II) 2 2^2'*' 

?n — I m — I m — I 

1) = — - — u — r — 1) — i\ — r, — . . . . 



48 S. Kantor. 

Theorem XLIV. Wenn in einer Characteristik mit lauter Coincidetizen die 
Punkte aj)^ , a^h^ in zwei Cyclen mit mindestens einer Ordnung > 2 öder 
in einen Cyclus > 4 eintretenj so ist dieselhe reductihel auf niederen Grad. 

Die Transposition (a,6j«2&3)^ leistet dies jedesmal. Ist ein Cyclus 
von der Ordnung 3, so entsteht in der neuen Characterstik h^ in h\ in ^i 
mit (fta^JC^göfj), was aperiodiscli ist fQr m > 3, öder wenn ein Cyclus mit 
Ordnung > 3 vorkommt, h^ in ^3, &, in a^y wo i aucli 3 sein känn. 
Auch diese Characteristik ist aperiodisch fftr m > 3. Indem man dies 
Ubrigens nur fttr i = 3 voraussetzt (direct beweist), känn man successive 
die Ordnung des Cyclus von 4 auf 5,6,... erhöhen und muss bei 
jedem einzelnen Schritte beweisen, dass ftir die betreffende Ordnung des 
Cyclus die nicht erweiterte Characteristik aperiodisch ist ftir m > 5, die 
wie zuletzt erweiterte — b^ in a^, &, in a^ — aperiodisch ist schon ftir 
m > 3. Hiemit wird vereint, dass die Erweiter ungen aperiodischer Cha- 
racteristiken es a fortiori sind und dass Characteristiken mit {Uib,^) statt 
{(lih^ als letztem Theile selben Index wie diese haben. So kommt das 
nllgemeine 

Theorem XLV. Ftir m > 5 sifid alle Characteristiken dieses Fandamen- 
talsystemes aperiodisch mit Ans^iahme der Characteristiken (^ii.J(«3&J öder 
{aj)^) ..., tvelche im Typentheoreme anflreten. 



§ 6. Die i^ertoilischen Characteristiken mit 6 , 7 Punkten. 

Es sind die 9 Fundamentalsysteme aus Th. LXX. der Reihe nach 
zu untersuchen. Die cubische Transformation habe ich im American 
Journal Bd. 19 {Theorie der periodischen cubischen Tr ans format ionen, Ga^. 
II) erledigt; ich gelange also zu 

II. Q^ = {b\blblblblbl)\ 

Als nicht reductibel auf Q^ erweisen sich die folgenden Charac- 
teristiken: I. 6j in «, , (rt.fcj) , (flfjfcj , (a,&J , (ö,&J , (a,6J, 2. b^ in a^, 

K^) y K^) y K*J ^ K^i) y {^A\ 3. ^ in «2 . [c^A) > M)y 4. (^«J, 

i^A) y K^) . {(M ' KK) ^ i^A)y 5. (61 ^a) , K^a) y K in a.^ , {a^b,) , (a,&J, 



Transformationcn in 7^,, welchc keinc FundamentalcurvcD I. Art besitscn. 40 

9. («iftj , *! in ^3 ^ («2^) ^ K*») ^ («.*J ^ («6^«)' 10. (6,aJ , (^,63) , (rt.ftj, 
12. (a, 63) , (a,6J , («,6J , &, in a, , (a.ftj , (a.ftj, 13. (a^b^) , (a3ft,) , (a,/>J, 

Theorem XLVI. Die Characteristiken n. 7,11 hahen cUe Indices 4 , 4 
und sind typisch. 

Die T' sind resp. (2,4,4,2, 2, 2)^ (2,2,2, 2,4, 4)*, (4» 2, 2,4, 2, 2)*, (.)\ 
und (2,4, 2,4, 2,2)^ (2, 2,2, 2•,4,4)^ (4,2,4, 2,2, 2)", (.)', den ty. 
pischen Character beweisen die Transpositionen. 

Theorem XL VII. Die Characteristiken i. 2. 4. 6. 12. Äiwrf dquivalent 
mit Characteristiken des § 3. 

(^2^3 ^4^5)' licfert jeweilcn in dem neuen Raume {A\B^^ genillss § 3. 
Theorem XLVIII. n. 3. ist redudibel auf 6 Punkte. 

Denn die Ebene a^b^a^ ist invariant und wird mit ( — y Hber a^b^a^z 
transponirt, so wird z in dem neuen Raume invariant. 

Theorem XLIX. Die Characteristiken n. 10. und 5. sind äquivalent und 
vom Index 10. 

Die P sind far n. 5: (4, 2 , 4, , , 2 , 2 , 2)^ (4 , 4, 6, 4, 2 , 2 , 2)^ 
(6,2,6,6,4,4, 4)% (4,4,8,6,6,6, 6)", (8,8,8,8,8, 8)^^ 
(4,6,4,8,6,6, 6)" , (4,4,2,4,6,6, 6)% (2,6,2,6,4,4, 4^, 
(4,4, ., 2 , 2, 2 , 2)^ {.y. 

Theorem L. n. 8. und n. 13. sind vom Index 8. und typisch, n. 9. 
ist äquivalent n. 8. 

Die P fQr n. 8. sind: (2,4,2,4,2,2, .)', (2,4,2,4,4,6, 2^, 
(6,8,6,8,6,8, 6)", (6,6,6,6,8,8, 8)>^ (^,6,8,6,6,6, 8)>^ 
(4,2,4,2,4,2, 6y, (4, 2 , 4 , 2 ,2 , . , 2)^ (.)'. — («/^«4«J' reducirt n. 
9. auf n. 8. ^ 

* Die Beweise sind jedesmal nach meioer Tlieorie Crolles Journal Bd. I 14 zu 
Yenrollständigen. 

leta maihematiea. 31. Iinpriiné le 17 Jniti 1807. 7 



50 



S. Kantor. 



Die typischen Caracteriatiken der Ordnung 5 sind also: 






Index 4, 

T> 4, 

» 8, 
j) 8, 
» 10. 



m. Q' = {f d\éi\c^,b\h\hii\ 

[fd^d^d^y liefert if'^ d'i d'^ d'^y und reducirt also alle Characteristikcn 
mit m{did',) öder {dj'){fd',). 

(fd^dXy liefert (/■"rf;'rf;»rfj»6;«6i»)*, reducirt also die abrigen mit 
Ausnahme von 

I . {dl n . (/^fti) , {d. K) , {d, b\) , (6. di) , (6, d',) , {b, d\), 

2 . {bj'), {fK) , (rfi &;) , (rf, rfj) , (rf, i;) , (ft, rfj) , (^ rfi). 

Theorem LI. n. i. ist votn Index 6 und typisch, n. 2. vom Index 4 
und typisch. 

Die T* von n. i. sind: (6,2,2,2,4,4, 4)', (6,4,4,8,6,6, 6)", 
(4,4,8,6,6,6, 6)", (4,8,6,4,6,6, 6)", (4,6,4,4,2,2, 2y, (.)'. Die 
T* von n, 2. sind (6,2,2,4,2,4,4)', (8,6,8,6,6,6,8)", (2,6,4,4,4,2,2)', (.)'. 



IV. ö' = (rf}...rf:)'. 
{did^did^y reducirt stets mit Ausnahme von 



n. I. {di dl), 

n. 2. {didl) , rfi in rfg, 



i = 1 ... 6, 
i = I ... 5. 



Theorem LII. n. 2. ist vom Index 6 und typisch. 

Die r sind (4, 4,4, 4, 4, 4, .y. (4,4,4, 4, 4, 8, 4)', (8, 8, 8, 8,8,8, 8)^ 
(4, 4, 4, 4, 4, 4, 8)S (4, 4, 4, 4, 4,., 4)', (.)^ 



TranBforraatioocn in R, , welchc kcinc Fundamentalcurven I. Art bcsitzen. 51 

v. Q^ = (h* d\ . . . d*)». 

(A rf, rf, rf,)' licfert (A'*rf;V;V;V;'rf;»rf;y, reduclrt also, wenn (rf<A'). 
(A rfi) , (rf, rf,') , (rf„rf,') stattfiiidet, was iinincr eintritt. 

VI. <r = {nnnd\didiby. 

{fj,f,d,y liefert (rf;*rf;Y;V'iV;'rf;T und reduclrt dalier stetö, wie 
eine Discussion der Coincidenzeii beweist. 



VII. Q'' = {h'nnnnd\dT. 

{hf,fj,y liefert {h'V{* f'^' fz' r?(l?(fVy reducirt niso stefa, da auch iin 
Falle {hdl),{djh') stefs {hfjjy so gcwälilt wurdun känn, dass zwei T* 
eintreten. 

VIII. Q'' = {h\h\h\f\nf\r:)'\ 

{KKKfiY l^ef^r^ {KKKf?f7fzfA)\ reducirt stets. 

IX. Q'' = {h\h\h\h\h\h\h^f\ 

(Ä, ÄjÄjÄ^)' reducirt stets mit Ausnahine von (A, A-)» ^= '>•••> 7- 
Indem diesc Resultate zusainmengesetzt und in das Theorein XXIII. 
eingeftthrt werden, entsteht das Haupttheorem : 

Theorem LIII. Alle periodischen Ckaracfenstiken von FundamentaU 
systemen ohne Fandamentahurvefi i . Art sind birational äquivalent entweder: 

1. einer homographischen Vertauschung unter ciner Anzahl Punkten. 

2. einer Charactcristik mit (a''""'fe"~') und typischem ternärcn Reste. 

3. einer Charactcristik mit («I~'&J"') , (67~^«J~0, t, in ...Äj* = a,. 



4. 

5- 
6. 

7. 
8. 

9- 
10. 

1 1. 



aj6J,(a,6J,(a3 6J, i, in h[ m a^, 3 

«i^)jK^3)'K^)' ^ 5" ^I 5" K' >n «4, 3 

!^i*2)j(^2^3)> ^4 i" «3> ^1 »" ^'1 i» «4' 3 

a^&J, 63 in a^, &^ in a,, ft, in a^, 3 

^1^3)^ (^'3*1)^ («4^2) » K^)» K^J' K^)' 5 



Ordnung Index 4. 



)> 
» 



)) 


6. 


» 


10. 


)^ 


18. 


» 


8. 


y> 


14. 


D 


30. 


» 


4- 




52 



S. Kantor. 



12. K AJ, («,*,), Kft4),(o,/>,),(a,6J,(o,ftJ, 5 

•3- («,*J, («,/',), («,^), K*,), K*»), &o in «o' 5 

'4- («,*,)»(«a^).(«,^)»(«4^). («.*,), *« in «., 5 

'5- («,&,), K*,)» («,*,). («4^),K^). K "' o«, 5 

1 6, {(liW^, t= i,...,6, 7 

17. (rfi^l), rf, '" "e> «'= i>---.5. 7 
19. {l>J'),{ff>\),{dtbdÅ'lA,W^K),{b*d',),{b,d\), 7 

20. (/;7;), «--- 1. •••,7. 15 



Ordnung Index 4. 



1) 
)) 

)> 

» 
» 
» 



y> 


8. 


)) 


8. 


» 


10. 


» 


2. 


)) 


6. 


» 


6. 


D 


4- 


» 


2. 



III. THEIL. 
Die periodischen Transformationen. Construction der Typen. 



% 1. Xed^uriton anf die Typen. 

In (len III ersten Bcwciseii des II. Theiles § 2. känn die Reihenfolge 
der Thei>renie auch fOr wirklich existirende Transformationen ausgesprochcn 
weixlon. Insbesondere gilt die Existenz des invarianten 00 *-Systeuies ra- 
tionaler öder elliptischer Curven. Lber die Theoreme der Aquivalenz 
letztorer ist jedoch dieselbe Einschdlnkung zu uiachen, von welcher ich 
niH*h in unifangreicherer Geltung zu sprechen habeu werde, dass sie nftni- 
lich beini Chergange voni Arithmetischen zuni Algebraischen nur insofern 
gelten. als die 4 hOchsten Fundanientalpunkte, welche zur Verminderung 
der Ordnung nOthig sind, thatsÄchlich von den ftbrigen Irennbare sind, 
also gewiss wohl dann« wenn Oberhaupt alle Punkte i*ationaI bekannt sind. 

Indesson känn auf folgende Weiso die allgenieine Giltigkeit des Aqui- 
valenztlu*i>i\Mnos fOr die Tnmsforniationen erschlossen werden. Wenn in 
oinor existirenden i>eriodischen Transformation mehrere Punkte der Cha- 
raoteristik iji»meins;un durch eine algebraische Gleichung crecjeben sein 
sollon, so mOsson dioso Punkte sicherlich fftr die Characteristik dieselbe 
Bedeutung haben. Ich behaupte: 



TraDsforniatioDcn in 7?,^ welche koine Fundanientalcurven I. Art bcsitzen. 53 

Lemma. Wic iininer man einen der 19 Typen des III. Theiles 
durch eine Transposition ttbcrträgf, es werden stete in der erhaltenen 
Transfonnation dic zur Transposition wöthigen Punkte sich so gegen die 
Characteristik verhaltcn, dass sie in Folge dessen von den öbrigen rational 
trennbar sein mQssen. 

Der ausfuhrliche Bewcis dieser Angabe wird geffthrt, indem nian 
die 19 Typen Q einzeln durchgeht und auf jeden die algebraische Träns- 
position P anwendet mit BerHcksichtigung der wesentlich verschiedenen 
Lagen, welche die Fundamentalpunkte von P zu der Characteristik Q 
haben können. Auf Grund des Lemmas känn nun ausgesprochen werden: 

Theorem I. Alle periodischen Transfbrmationen ohne Fundanientalcurven 
I. Art sind äguivalent entweder: 

1. einer Collineation. 

2. einer Transformation mit (a"""^6"~^) nebst einer Characteristik der 
a^jb^j welche zu den 27 construirbaren ebenen Typen gehört (Cr. Journal 
Bd. 114). 

3. einer Transformation mit [a\~^ b\~^) y {al~^ bl~^)j b^ in ...&J = a^. 

4. einer Transformation mit («?"' ftp^ (aj"* ftj"*), &, in ...6J = a^. 

5. einer Transformation mit weniger als 8 Fundamentalpunkten, 



% 2. Drei ConHtructionsinethoden. Die TransforinaHonen mit 

I. Wenn eine abbildbare Fläche durch Q invariant ist,^ so erhält sie 
eine Verwandlung ilirer Punkte unter sich aufgepragt, deren Abbildung 
auf dic Ebene aus der Natur von Q bestimmbar ist. Umgekehrt liefert 
diese a priori construirte Transformation in der Ebene die Verwandtschaft 
in der Fläche und diese bestimmt die Raumtransformation Q. In dieser 
Art sollen hauptsilchlich die M\ und die Ml mit rt"""' angewendet werden. 

Auf Grund des in meiner Abhandlung tiber dic cubische Recipro- 
kaltransformation ^ gegebenen Theoremes känn ich aussprechen : 



* Dies ist tueine in den Acta Mathcmati ca, Bd. 19 angcwendetc Mcthode aus 
Comptcs Rendus 1885, 5 janvier. 

' A ni. Journ. of Maih. XIX. 



54 S. Kantor. 

Theorem II. J)ie Theorie der gegenwärtigen Characteristiken ist auch 
in Hhisicht auf Äquivdlenz identisch mit der Theorie jener ebenen Charac- 
teristiken 5. Ordnung, welche zwei Paare Fundamentalpunkte {eie[){e2e!i) öder 
(ci ei)(62 e\) gemeinsam coincident habenj und der aus diesen zusammengesetzten. 

Ich (lenke mir nainlich durch die säinnitlichcn a (auch > 9) Punkte 
der Cliaructcristik eiue Fläohe 2. Ordnung gehend, welche in sich trans- 
formirt wird und känn dann die Projection der in M] entstehenden Ver- 
wandlung aus eineni Punkte vornehmen. 

2. Die Paranieterdarstellung der durch Q invarianten Curven * bietet 
eine 2, Methode. Um die Anwcndung FucHs'scher Functionen öder auch 
die von Clebscii der Raunicurve adjungirten Integrale zu vermeidcn, be- 
ziehe inan 3f* eindeutig auf eine ebene Curve CV. Die Reihe Jl auf 
ilf 1, in welcher die R^ des B^ schneiden, gibt als Bild eine Reihe Jl auf 
6V. Wenn es nun inöglich ist, eine Matrix 

^*i > ^11 > • • • > ^u > 



^11 > ^ffi > • • • > ^ 



atr 



eines Fundanientalsystenies von oben I. Theil zu finden, durch welcbes 
Ml in sich transformirt wird, so sei ij*^ + ••• + I^i*^ = J^i (j— ^ i'*'jP) 
das ABEL'sche Theorem fttr eine Gruppe von Jl auf 6'„., und also ^Ki die 
rechte Seite des Schnittpunkttheorems för eine Gruppe, die Bild einer 
Schnittes von Ml mit M^ ist, ferner A^l^ , . . . , Af die Integralgummen 
in den Punkt a-tupeln, welche bezfåglich den ö* resp. aj , . • . , o,' , . . . , ff^- 
fachen Punkten von M^ auf 6^ entsprechen. Dann lässt sich von Con- 
gruenz 3) auf p. 139 der Acta Math. Bd. 19 an die dortige Rechnung 
genau hieher iibertragen und fOhrt zu pö* Congruenzen unter den pa 
Grössen A^ wie 1. c. 6). Auch die Rechnung auf p. 141 ist öbertragbar 



* Auch sclion fUr die Flächen konntc statt der geomctrisclian Abbildung die Para- 
nictcrbcrcchDung fUr die Transforuiation verwendct werden, sogar fUr Flächco p '> 0\ 

doch ist wenigstens fUr n > Jdie Parameterdarstellung der M^ noch zu wenig vorge- 
schritten. 



TransforuiatioucD in //, .. wciche kcine Fundamciitalcurvcn I. Art bcsitzcn. 5r) 

und liefert eine Relation unter den Wurzeln der WEBER'schen Gleichnng 
fOr principale Transformation der & und meincr Deterniinante A,,. 

3. Besondcrs wichtig sind auch hier die Berechnungen von Characteri- 
stiken, welche eine M\ mit Spitze und Schnittpunkttheorem w, + ...+w^=o 
in sich transformiren öder eine M\ mit p= 1. Der Calcul ist wenig von 
Acta Math. Bd. 19, p. 135—137 verschieden und liefert insbesondere: 

Theorem III. Die Determinante, welche iiher die Existenz einer Charac- 
teristik des IL Theiles auf M\ mit Spitze entscheidet, ist bis auf einen Factor 
X — I proportional der Determinante fur die fundamentdle Substitution der 
Charaderistik. Wenn eine M\ mit Spitze invariant ist, trägt sie denselben 
Index wie der Index der ganzen rdumlichen Transformation. 

4. Es sollen nun die Transformationen mit (a 6)""^ behandelt werden. 

Theorem IV. Wenn eine isolirte typische Charaderistik aus II, Th. 
LIII. n, I existirty enthdlt sie stets eine invariante Jtf,, die nicht zerfdUt. 

Ml könntc nur in zwei Ebenen durch [a b) zerfallen, aber keiner der 
27 ebenen Typen gestattet ein invariantes Geradenpaar. a ist bezOglich 

7,8,9. 

Die Geraden durch (ab) werden unter einander, und also die beiden 

Erzeugenden der M] durch O in sich transformirt öder vertauscht. Daher 

känn wie folgt endgiltig construirt werden: Durch zwei Doppelpunkte 

f^f^ öder ein Paar involutorischer Punkte i, i^ eines ebenen Typus ziehe 

man M] und projicire aus dem Schnittpunkte O zweier Erzeugenden 

durch f^f^ öder i, i^ den Typus auf Ml, dann entsteht dort die Charac- 

teristik des rRumlichen Typus 3., 5. bis 33. Ordnung und mit O als (a^b^). 

Wie in § 10 des Cap. II. meiner Abhandlung aus dem Am. Journ.* 

folgt nun, dass ftir die 7-punktigen Typen Q der Index des 3fJ-Netzes 

derjenige Index ist, mit welchem die involutorischen Paare der XLIII3, 

welche iiber Q und einem seiner Doppelpunkte construirt ist, durch Q 

unter einander transformirt werden. Ferner habe ich dort die VarietiUen 

fftr die Transformationen 3. Ordnung bereits gegeben. 



* Am. Journ. of Math. 1897: Theorie der periodischen cuhischen Transforma- 



tionen itn i?,. 



50 S. Kantor. 

Theopem V, Fur (a, 6,) , T^ und (a, 6,) , A3 giht es 3 , 2 Varietaten, fur 
K^),/^- {a,h^),r-: {a,b^),E,; {a,b,),e,; {a,b,) , T,,; {a,b,),l\,; 
(a,&,),A,; {a,b,),E,; {a.b,) , E[; {a,b,),E'.'; {a,b,) , Z^; {a,b,) , H,; 
(a, 6,) , /y;; (a^ fcj , /,; (a, 6,) , iV,; (a, 6J , S,; resp. 6,6,4,5,4,5,5, 
5.5, 4^5,3,453, 4 Varietäten. 

Diese hangen von dem Vorhandensein des /J/*, - öder i, r^-Paares im 
ebenen TypuR ab und Qber ihre M\ wird aus den in der Preisschrift 
beschriebenen invarianten C^ heraus entschieden. ' 

Theorem VI. Auf einer Curve M\ mit Spitze, fur welche lu = a^ das 
SchnittpunkUheorefUj hat man nur die fur eine ebene CJ in Acta Math. 
Bd. 19, p. 136 berechneten Parameter der b^^ ...,b„mU (a^b^) zu verbindeny 
um die Characteristik im R^ zu haben. 

Hierbei ist {a^b^) aus den Gleichungen 

— 4-g +(m— i)a, + .,. + aJ)^ =ma^, 

— -^+ y^^ — Bri + -v + aiA = — ^— <»,, 



zu berechnen, wo die fnr die Fundamental flJlche von a^ . . . a„ geltenden 
nicht aufgeachrieben sind. Die letztcn a dieser Gleichungen stimmen aber 
im Wesen mit den för die Ebene geltenden öbercin. 

Dasselbe Theorem gilt fftr eine invariante Curve M\ p=i, wenn 
auf derselben als Schnittpunkttheorem 2'fi = a, genommen wird. 

5. Die 3. Methode wird im V. Theile §§ 4, 5, 6 angewendet werden. 



g 3. Die typiachen Transformationen mit {oT * i^"^) , (a?'^ 6?*^) 

öder «-' />r ') , K'' *r~')- 

Theorem VII. Jede Transformation («,'>,), («,ft,), bi in . . . />J = a,. 
(i = 3,..., »I — i) ist mit einer als invariant vorausgesetzten M] ronstruirbar. 

* Cf. wegeo diT TypeDbeneDDung Cr. Journal, Bd. I 14. 



Transformationcn in /?, ^ welchc keioc Fundamcntalcurvcn I. Ärt besiizcn. 57 

Denn indem man die erste Methode des vorigen Paragraphen an- 
wendet, känn man immer zwei Doppelpunkte f^f^ in der Ebene finden, 
welche mit (a, b^ daselbst nicht alineirt sind. Construirt man ttber ibnen 
die M\y so erh&lt man die Transformation. 

Wenn A=i, gibt es eine 2. Varietät. Man känn dann ein mit 
{aa') nicht alineirtes Paar i^i^ in der Ebene finden, tiber diesem die Er- 
zeugenden von M\ errichten und construiren. 

Theorem VIII. Jede Transformation aus VII. ist auch mit einer als 
invariant vorausgesetzten M\ mit Spitze construirbar. 

Ich habe Preisschrift IV, § 7, bewiesen, dass jede JoNQUiEREs'sehe 
Transformation {ab) mit invarianter Cl construirbar ist; hienach känn VI. 
angewendet werden. 

Theorem IX. Die Transformationen {(iib^)j{(f'^b^)j[aj)^)y b^ in ...b^^a^ 
(é = 4 , . . . , w + I ) sind nur mit einer invarianten Ml construirbar, weJche 
ein Kegél ist, wenn h> i. 

Denn in der ebenen Transformation känn man för Ä > i weder i^i^ 
noch ein Paar f^f^ finden ohne Alineation mit (afc), weil aa.^ schon ein 
Doppelstral ist. Auf dem 2. Doppcistrale wird es einen Doppelpunkt 
geben, der mit seinem seitlichen, uncndlich nahen Doppelpunkte als f^f^ 
genommen werden känn. 

För h = I gibt es eine Varietät mit Hyperboloid, wo die Erzeugenden 
durch (aj6,) involutorisch vertauscht werden. Fttr die M\ gilt VIII. 
auch hier.^ 

Theorem X. Die dllgemeinste Form der Transformationen {(^ib^)j{a^b^) 
hann mittelst eifier invarianten 3/J (ap V>;~^) construirt werden. 

Denn x^ = n — i , x^ = n — i , rUj = i , . . . , a;^ = i ist anallagmatisch 
und in dem linearen Systeme aller solcher Ml , welche aj~^ , aj"^ und 
alle Punkte der Characteristik enthalten, wird es stets eine invariante 
Ml geben, welche nicht zerfällt. Dann wird wie fUr Ml construirt. 
Eine Gerade der Ebene wird von a^ aus in eine il/J^J~^ projicirt, diese 



* Die Transformation («,&,), (»j^j) existirt, wenn (^Jf^)'i{ci'^h^) vorhanden und 
w > 3, nicht mit invarianter Ml. 

Aeta math^matiea. 21. Imprimé le 17 jiiin 1897. 8 



58 S. Kantor. 

in eine jif«»-c«-i)(«-i) durch a^' verwandelt und diese von a^ her- 

abprojicirt. Hieraus: Man construire in der Ebene die Transformation 
Q = (ab) , . . . , nehme in einer Geraden tiber {aa') zwei Punkte a^a^ als 
n — i-fache Punkte ciner JlfJ und sorge daför, dass die Geraden der- 
selben, welche von (ajft,) ausgehen, die Ebene in einem öder mehreren 
Cyclen der Transformation schneiden. Donn liefert die Q projicirt auf 
il/; eine Verwandlung, welche die Raumtransformation vollkommen be- 
stimmt. 

Theorem XI. Die Transformation (0,^2), (0,^1), ^t in ...ftj=a,. sowie 
(^1^2) > (^j*i)> *i ^n . . ,bi = a^ (i = 4, . . . , (t), {a^b^) existirt stets mit einer 
invarianten M\. 

Beweis wie fQr m = 3 in Am. Journal of Math. 1897. Die Pro- 
jeetion aus einem gewöhnlichen Doppelpunkte O auf M\ liefert 

deren Transposition durch {e^e^e^Y gibt 

{E, in E, , (£,£0 , {E,E\) , (Er^Er"') , . . T-'. 

Wenn Ä > i, muss also E', = E^, E[ = E^ sein. Die Construetion ist 
voUcndet mit jener einer ebenen Transformation von Jonquiéres, ilirer 
Transposition und der Errichtung einer Ml. Fftr die 2. Transformation 
erhalt man {E^E'^)^ also falls nicht E^ , E^ unendlich nahc sind, noth- 
wendig aucli {E^E'^, ^i^a "^ unendlicher Nahe bedeutet aber die Kegel- 
flache. Fnr h= i ist eine 2. Varietat mit E^ = E\, E,^ = EJ zulassig, 
wie 1. c. 

Theorem XII. Die allgemeinste Form von {(^ib^j{a^b^) hann mittel st 
einer invarianten il/;(aj"*a;"') construirt tverden. 

Denn wie in X. känn man stets eine solche M* fttr hinreichend 
grossos n finden. Eine Gerade der Ebene wird dann von a, aus in eine 

Ml{a1^^) projicirt, diese in 3f"*+" Uj ' l)^^ . . .j verwandelt und diese 

m-l / m— I . \ 

— — -fw/ — 5— +»-1 \ 

von fl, aus in eine M^'^ \b^^ . .,J herabprojicirt, welche ausser durch 

die Punkte b^. . ,b^ durch weitere 2» — 2 Punkte geht, die Schnittpunkte 



TraDsforiuatiuDCD in R^^ wcichc keioc Fundatucntalcurvcn I. Art bcsitzcD. 59 

der Bildebene mit den diirch a^ gehenden einfacheu Geraden der 3f;. 
Es entstcht eiiic Jonquiércs^sche Transformation mit (ab) und 2n — 2 Co- 
incidenzen (bei unbestimmter Uirectrixsubstitution) und Verkettungen der 
b^. . .b, und a, . . . a^ gemäss den raumlichcn. Wegen der Projectivität 
unter den Ebenen durch a, a, folgt, dass die Directrixsubstitution för die 
Coincidenzen aus Cyclen der Ordnung (A + i) und etwa i,2(^^ej) be- 
stehen muss, also 2« — 2=0, 1,2 mod (A + i). Nimmt man eine solche 
Transformation in der Ebene an, in ciner Geraden durch {ab) zwei Punkte 
a^^a^j so känn die räumlichc Transformation hieraus construirt werden.* 



% 4, Conatructimi der Ty [pen 5. his 15. Ordnung. 

Theorem XIII. Sind d^o^^^ci^o^^d^^b^b^b^bjfj)^ die FundamentaJsysleme 
einer Transformation a\b\ , a^b^ , a^b^, $0 bestekt die Collineation a^ in b^, 
a^ in &,. di in b^ und reciprok. 

Aus {a^a^a^a^ , a[a'ja'^a[y. {a[a2a'/a[' , b^b^b^b^^ folgt {a\a\a\a\ala\ , 
b\b\b\b\b\b\)^ ^ \vo a^^a^ in a*l ^a'^ durch T^ und aj,ai in 64,6, durch T^ 
öbergehen. Nach einem Theoreme aus Am. Journal XIX. besteht die 
Collineation a^ in aj, a^ in aj, a^ in aj, a^ in a\^ a^ in aj', a^ in a'^ und 
die andere a\ in 61, a[^ in fcj, a^' in b^^ a'^ in b^^ a'^ in ft^, a^ in &<, 
woraus durch Composition folgt a^ in 6,, a^ in 6^, Aj in 63, a^ in 6^, 
a^ in &^, a^ in 6^. Hierin liegt auch der Bcweis fQr die Umkehrung. 

LIII. n® 10. erfordert nach XIII., dass a^a^ , a^a^ zwei involutorische 
Paare a^ , a^ zwei Doppelpunkte einer RaumcoUineation seien, welche, da 
die 6 Punkte unabhangig sein mnssen, eine geschaarte Involution sein 
muss. T entsteht durch Zusammensetzung von {a^b^) (i = i ... 6) mit dieser 
Collineation. Ist M\ mit Spitze invariant, so folgt aus a, + a^ 4- ^^ + oia^ =P 
und «i + «^3 + «6 + ««,, =Pj «ft = ^6' ^^^^ ^"^^ Coincidenz von a^ , a^ wttrde 
die Collineation a^a^ , a^a^ in einer Ebene verlangen. In M\ mit u' + 'w = /- 
ist die Transformation dagegen construirbar, a^ , a^ werden die Doppel- 
punkte der Correspondenz ii' + iw ^ ;*. 



* Wenn an {fij}^) öder an (<ij>^) ,{(t^h^) sämmtlichc Ubrigco FundamcDtalpunkto 
UDODdlich nahe rUcken, känn die Transformation auch einen Index habcn^ dor oin Yicl- 
laehes voui Index der Cliaructcribtik i.st. 



00 S. Kanior. 

T^ transforinirt jede Ebeiie von b^b^ in sich und hat in jeder 4 
Doppelpunkte, deren Ort als Durchschnitt zweier Kegel 3. Ordnung (mit 
den Scheiteln a^ , a^ , weil die ternäre involutorische Q^ unter den Ge- 
raden von a^ einc JM\ als Doppolpunktsort hat), eine Curve 8. Ordnung 
durch d^^...a\ ist. Diese M\ ist Ort von cx)^ involutorischen Paaren för 
T. Es gibt invariant 4 Curven M\^ welche aus M\ und M\ bestchen, 
zwei, deren M\ durch a^, zwei, wo sie durch a^ gehen. Zwei invariante 
M\ sind harmonisch. 

LIV. n** II. erfordert nach XIII., dass a^a^a^a^ ein Quadrupel einer 
CoUineation Index 4 und a^ , a^ zwei Doppelpunkte derselben sind. T 
entsteht durch Zusammensetzung der Transformation (a^ft,) mit dieser 
CoUineation. Invariant sind die 4 zerfallenden M\: a^o^a^ + öjrt^^g, 

^i^3^6 "t" ^3^4^5 j ^i^4^^6 + ^2^8^6 ^ ^i^4^6 + ^a^^fi' ^" ^^1' That Ichrt dic 
Parameterrechnung von vorhin, dass M\ mit Spitze nicht möglich ist, 

aber hier auch, dass M\ mit w' + tw = ;' nicht möglich ist. 

T^ transforinirt die Ebenen von bj)^ mit Involution unter einander, 

die beiden Doppelebenen enthalten acht Bestandtheile der invarianten M\. 

LIII. n*" 12. Theorem XIV, Die Characteristik {fl^b^) , {(^^b^) ^ ifl^b^y 
i^hh) ' (^6^fi) f (^c^ö) ^^ "tiicht constructibeL 

M\ mit Spitze känn nicht invariant sein, da a^ ein Doppelpunkt auf 
M\ sein mttsste, aber die Spitze nicht sein känn, also der 8. Basispunkt 
rfg des durch die 7 Punkte bestimmten Netzes ware, was ebenfalls zu 
VViderspruch ftthrt. Invariante zerfallende M\ ist nicht möglich zu com- 
biniren. Es mftssten also 3 harmonische 3I\ invariant sein, auf jeder a^ 
ein Doppelpunkt und d^ der 2. Doppelpunkt sein. Aber die Characteristik 
besitzt 10 uneigentliche Doppelpunkte, daher zwei eigentliche, von denen 
rfg nur einer, der andere in einer invarianten M\ wäre. Obrigens lehrt 
auch die Parameterrechnung filir u' + iu = Y die Unmöglichkeit. Denn 
aus i[—a^ — a^—a^) — {a^+a^+a^) = Y und a, + a, + a, — /a, + r=o 
folgt a^ + ft^. =(é — i);' und syinmetrisch auch t^ + a^ =(i — i)/', also 

LIII. n** 13. Theorem XV. Die Characteristik {a^b^) , (a^b^) , {a^b 
(«4^i) > (^5^0); ^G '^ ^(j ^^i^iif'^ nicht. 



Transformationen in /?,, wclchc keiiic Fuodamcntulcuivco i. Art bcsilzen. 61 

M\ mit Spitzc ftthrt wie soeben zu Paradoxem, cbenso u' + iu = j'. 
Es gibt aber, wie eine Discugsion beweist, nicht 6 invariante zerfallende 3I\. 

LIV. 11** 14. Theorem XVL Die Characteristik K^s) , K^,) , (c^j^), 
(^4^4) 9 (^^fi^ö)' ^6 *^* ^6 ^^i^fi^i nicht. 

Die 7 Punkte bestimuicn ein Nctz von Ml, dcsscn 8. Basispunkt ein 
Doppelpunkt d^ von T ist M\ mit Spitze känn nicht invariant sein, 
wcil a^ , a^ coincidiren mtissten. Zerfallende M\ erfordern mindestens 
Alinéation von Punkten, welche sich aus den successivcn Fundamental- 
systemen als unmöglich erweist. 

LVII. n® 15. erfordert keine Bedingung fQr das Bestehen. 

LVII. n° 16. Theorem XVII. Die Characteristik (c/, rf;) i= i,...,5, 
d^ in a. ist nicht existent. 

Sie besitzt 20 uneigentliche Doppclpunkte, also mehr als 2m + 2, 
dalier co\ deren Ortscurvc wegen der Aquiinultiplicitat durch b^^a^ 
gienge, während diese nicht als Doppelpunkte fungiren können. 

LUI. n^ 17. Theorem XVIU, Die Characteristik {dj '), {fb'^) , [d.,h',), 
(rfgfti) , (&irfi) ; (ftjrfj) , (ftjrfj) existirt nicht, 

Es sind 16 uneigentliche Doppelpunkte vorhanden. Der 8. Basis- 
punkt rfg ist ein Doppelpunkt und känn, wie eine Discussion beweist, nicht 
unendlich nahe an einen der 7 Punkte rftcken. Es wären also co* Dop- 
pelpunkte und co^ invariante M\ vorhanden, welche wegen (^i^i) , (öjrfj), 
(ftjrfj) (Parameterrechnung gibt b^ = b^ =^ b^) nicht Spitze haben und nicht 
u' — eu^f trägen känn. w' + £WEE/' känn sie nicht trägen, weil sie rfg 
und einen willkttrlichen der co^ Doppelpunkte, also zwei enthalten mQsste. 
Ferner können co^ zerfallende M\ ersichtlich nicht invariant sein. 

LII I. n^ 18. Theorem XIX. Die Characteristik {b, f) , {fb[) , [d^ V^ , (rf, rfj), 
(rf, fti), (62^3), (63^1) existirt nicht. 

Uneigentlicher Doppelpunkte gibt es 14, von den 2 eigentlichen ist 
einer der 8. Basispunkt des invarianten Netzes, der andere reicht fftr 
die drei invarianten M\ nicht aus. Uberdies lehrt die Parameterrechnunir 
in den M\ mit w' + m = /' und mit Spitze die Behauptung. 



62 



S. Kautor. 



LIII. 11° 19 erfordert keiiie Bedingung unter den 7 Punkten zura 
Bestehen. Sic entsteht, wic ich im Ain. Journal 1897 bewiesen, durch 
die 3Ii{a] . . . a?), indcm alle JMT J, welche durch cinen Raumpunkt F^ gehen, 
auch noch durch cinen bestimiriten Raumpunkt P[ gehen. PiP[ ist die 
Verwandtschaft 15. Ordnung. 

Theorem XX, Alle periodischen Transformationen mit einem der gegen- 
wärtigen Fundatnentalsysteme sind durch Beciprokaltransformationen äquivalent 
zu machen mit einer der folgenden Transformationen: 

1. einer Collineationj 

2. einer Transformation mit (a""^ 6""*); unter dessen Strålen einer der 
28 ehcnen constructibeln Typen herrscht, 

3. einer Transformation mit («][■"*&?"% (aJ^^^i^J"*)» ^< ^^ ...fc-=a,, wo 
I öder 2 der h Ntdl sein können, aher alle ubrigen unter einander gleich siml, 

4. einer Transformation mit K""'&J~% («;~^&i~^), &» in ..,b*l = aimit 
dem in 3. iiber die h Gesagten, 



5- 
6. 

7. 
8. 

9. 
10. 

1 1. 

12. 

13- 



a,*J,(a,&,),(a3ftJ, fcj in a,, 3. 

(^A)y{(^A)y{^A\ K i» ^I 5» «4' 3. 

^1^3)^ if^A)^ K^)> ^ "^ ^I ^^ ^'1' "» «4» 3- 
^i^)> («a*8)> ^ i" «3) ^ i" *1 5n a,, 3. 

^'i^) y K^a) > K**) > («4^) ^ («**J y {%K\ 5- 
^/^cf •) i = I ... 6, 7. 

//.//;) i= I ... 7, 15. 



Ordnung 


Index 


4m 


» 


); 


6 


» 


)) 


10 


• 


» 


18 


); 


)) 


14 


y> 


)) 


4 


y> 


D 


4 


D 


)) 


2 


» 


D 


2 



TransformationeD id 72,, welchc keine FundamcDtalcurvcn I. Art besitzcn. G3 



IV. THEIL. 
Theorie der endlichen Gruppen von Characteristiken. 



Die Analogie gegenwärtiger Fundamentalsysteme mit den gesammtcn 
birationalcn Fundamentalgystemen der Ebene erweist sich besonders aucli 
hier und ich werde mich mit Bezug auf mein schon citirtes Buch ' worin 
jene Theorie endgiltig begröndet ist, kurz fassen, ebenso im V. Theile. 

% 1. Das ÄquivaZenzthearem. 

Es wird wie im III. Theil d. Abh. und wic im Buche I. Th. § 2 
bewiesen, dass invariante Singularitfttencomplexe existiren, auf diese die 
Verminderung der adjungirten Functionen (Complexe) angewandt und 
werden dann die Aquivalenzfheoreme aber die Curvensysteme mit p=Oy i 
zur Geltung gebracht und wird erhalten: 

Theorem !• Jede endliche Gruppe von Characteristiken gegenwärtiger 
Fundamentalsysteme ist durch Reciprokaltransformationen äquivalent einer der 
folgenden typischen Gruppen: 

1. Gruppen von CoUineationen [Vertauschungen uher gewöhnliehen 
Punkten). 

2. Gruppen mit gemeinsamem (a"""^6"~^): monoidale Gruppe. 

3. Gruppen mit (aj~'6;~^), (aJ^^&J"^*) gemeinsam: dyoiddle Gruppe. 

4. Gruppen cuhischer Characteristiken mit 3 gemeinsamen Fundamen- 
talpunkten in Coincidenz (a,ft<) , {a^bj^) , {a^ b,), (i , A , / = i , 2 , 3). ^ 

5. Gruppen cubischer Characteristiken mit 4 gemeinsamen coincidirenden 
Fundamentalpunkten {aj)) , («2^*) 5 («3^/) > («4^m)- 

6. Gruppen cubischer Characteristiken iiher 5 gemeinsamen Punkten. 

7. Gruppen uber 6 festen CliaracteriMikpunkten. 

8. Gruppen uber 7 festen Characteristikpunkten. 

* Berlin, Mayer & Muller, 1 895. 
' Cf. hier folgend § 3- 




64 S. Kantor. 



% 2. Die nionoidalen und dyoidalen Gruppen. 

Eine Gruppe mit gemeinsamem Punkte (a^^^fi""') ist endlich, wenn 
die Qbrigen Fundamentalpunkte nach I. Theil § 4 eine ternäre endliche 
Gruppe constituiren, die Restgruppe jener. Da nach I. Theil XXXVII. 
zwei Gruppen mit (a**""^ &""~^) äquivalent sind, wenn ihre Restgruppen äqui- 
valent sind, so folgt, orthanallagmatisch statt monoidal setzend: 

Theorem II. Jede endliche orthanallagmatische Gruppe ist entweder äqui* 
valent einer Gruppe von Collineaiionen öder einer dyoiddlen Gruppe mit 
(ö^f^^ftj""^), (a;""^6;~^) gemeinsam öder einer Gruppe^ deren Restgruppe einer 
meiner Typen M^ , M^ j M^ ^ M^ y M^ y M^ ^ öder eine von deren typischen 
Untergruppen ist. 

Als Invarianten der Gruppe känn man die Invarianten (das cit. Buch 
I. Th. § 3) der Restgruppe bezeichnen und die holoedrisch isomorphen 
Gruppen an ihnen bilden. Bei fest angenommenen (ötj&a) , (öfj&J gibt es 
iiber gegebenen N einfachen Punkten eine endliche Totalgruppe von dyoi- 
dalen Characteristiken und ftir die Untersuchung dieser und ihrer Unter- 
gruppen gilt genau der § 6 meines cit. Buches I. Theil, also auch die 
noch umfassendere Totalgruppe von Substitutionen 2. Art (p. 31). 

Theorem IIL Bei festen {(i^h^ , (a,fc,) giht es uher einer gegebenen Anzahl 
N einfacher Punkte eine endliche Totalgruppe dyoidaler CJmracteristikenj welche 
aus der ebenen Gruppe des cit. § 6 durch Composition mit der Substitution 
(^1^2) y (^3^1) > (^t) (i = I . . . ^) gefimden unrd. 

Um Untergruppen umzuwandeln, hat man einzelne öder alle Basis- 
Characteristiken einer Untergruppe aus der Ebene (öder von ((iib^) , (a^b^)) 
zu verdoppeln, indem man bezQgliche Characteristiken mit (^i&a)? («a^j) 
hinzufögt. Öder: 

Theorem IV, Die Gruppen mit (^i&j)» (^2^1) ^^^^ zusammengesetzt wie 
die Gruppen mit («,&,) j (^2^2) ^^^^ -^+ ^ Punkten, deren einer in den Sub- 
stitutionen 2. Art intransitiv (/. c.) gehalten wird. 

' Das cit. Buch: I. Theil SS 4, 5, 8. 



TraDsformationen in R^^ welchc keine Fundamentalcurvcn I. Art bcsitzen. 65 



% 3. Dte typischen Gruppen ilber 3, 4, 5, 6, 7 Punkten. 

Die Gruppe n. 4. des Th. I. känn in eine Gruppe von CoUineationen 
tlbertragen werden, indem man {c^^ci^a^cf)^ anwendet, wo d einen willktirlich 
genommenen Doppelpunkt fftr alle Characteristiken bezeichnet. ^ 

Theorem V. Die Basis der Gruppe n^ 5 sind (»i^i) . . . (0^4 ^4) und die 
CoUineationen a^ in a^ in a^ in a^ in a, ; a, in a^ in a, , a^ in a, , a^ in a^ . 
Die Gruppe enthält 48 Characteristiken. 

Diese Totalgru ppe enthalt noch typische Untergruppen, das Wort 
»typisch» im Sinne gegenwärtiger Theorie genommen, 

CoroHar, Die Gruppe ist holoedrisch isomorph einer Gruppe von 
Vertauschungen unter 8 Buchstaben. Die Punkte a, und die Ebenon 
^i^k^i werden namlich unter einander vertauscht. 

Theorem VL Die Gruppe w° 5 ist keiner der vorhergehenden Gruppen 
hirational äquivalent. 

Die entsprechend gebaute Gruppe M^ in der Ebene war reductibel, 
weil es ein in sich transformirtes Netz homaloidaler C^ gab. Das System 
mttsste im B^ äquimultipel in aj . . . a^ sein, also 3m — 45 = m, m gerade, 
wahrend die homaloidalen M'^ stets ungerades m haben. (I. Th. § i.) 

Theorem VII. Die Totdlgruppe von Characteristiken uber 5 Punkten ist 
holoedrisch isomorph der symmetrischen Gruppe aller Vertauschungen unter 
6 Buchstaben. 

Die 3 ersten Beweise auf p. 20 meines Buches lassen sich auch hier 
geben, entsprechend verallgemeinert. Also z. B. (3. Bew.) die Charac- 
teristiken vertauschen die 6 linearen Curvensysteme, welche sind: die 
Geraden durch öj , a^ , »3 , »4 , a^ resp. und die J/? (r^^ , . . . , aj, unter ein- 



^ In ciner willkiirlichcn Gruppe von Pcrmutationen känn man cin bcstimmtcs Ele- 
ment I als Vcrtreter der Ebene a^a^a^ annchmen und jedesmal Vorgänger und Nach- 
folger als a^yh^^ um das Bild ciner Oruppencharacteristik n^ 3 ^^ haben. 

Åeta mathimatiea. 21. TmpHmé le 21 juin 1807. 9 



66 S. Kantor. 

änder und durch eine der 720 Vertauschungen * unter ihnen ist die Cha- 
rakterlstik auch vollkornmen und eindeutig bestimmt. 

Coröllar. Die Gruppe wird construirt, indem die Gruppe der Ver- 
tauschungen von a^ , . . a^ (Coliineationen) mit den 5 cubischen Charac- 
teristiken {aj)^ rf in rf, wo rf einer der 5 a, ist, combinirt wird. 

Theorem VIIL Die Gruppe w° 5 ist keiner der vorhergehenden Gruppen 
hirational äquivalent. 

Die entsprechend gebaute Gruppe {MJ in der Ebene war reductibel. 
FQr iZg wird die Irreductibilität wie in Th. V. bewiesen. 

Theorem IX. Die Totalyruppe von CTiaracteristiken tlber 6 Punkten ent- 
hdilt 2.4^5*. 6' Characteristiken. 

Sie entstehen, indem die 15 cubischen Ch. («,&,), d^yd^ die 15 Cha- 
racteristiken 5. Ordnung (a,&^) und {d^diy, mit der Collineationsgruppe 
tiber 6 Punkten componirt werden, also 16.32. 

Theorem X. Die Totalgruppe n° 7 ist isomorph zur Gruppe von Sub- 
stitutionen, tvélche die Kummersche Configuration ungeändert lassen^ aber mit 
Meriedrie des Gr odes 2. 

Die Gruppe ist holoedrisch isomorph zur Gruppe von Vertauschungen, 
hervorgebracht unter diesen 32 Elementen: den 6 Punkten, den 20 Ebenen 
a^a^ai und den 6 Quadrikegeln ö^?ö,+i . . . ö.+s öder dem co^-Systeme von 
M\y den 15 co^-Systemen von M\a\a\a]al,y den 15 co'-Systemen von 
M\a\a\a]al,a\a\y dem co^Systeme M\a\...a\. Diese sondern sich in 16 
Paare, so dass je zwei eines Paares sich zu a\ . . . a\ summiren. Sie 
können nun den 16 Punkten einer Kummerschen Fläche entsprechend 
gemacht werden, etwa durch (ideelie) Anwendung der bekannten Reyeschen 
1 , 2-deutigen Transformation (Crelles Journal Bd. 86). 

Bedingung för eine Vertauschung unter den 32 Elementen, damit 
sie durch eine Characteristik hervorgerufen sei, ist einzig die, dass 2 Ele- 



' Biidet man, was ja sehr nahe liegt, durch dio MX, welche a^...a^ enthalton, 
die cbcnen Schnitte einer M\ im R^ ab, so wird diese ersichtlich IG Doppelpunktc 
haben und es gilt fUr sie daa Theorem: Eine M\ mit I O Doppelpimkten im R^ wird durch 
720 Collineaiioyien des li^ in sich selbsl iransformirt, welchos Theorem neu scin dUrfte. 



TraDsformatioDOD io K,, weloho keino FundaiueDtalcurveD I. Art bcsilzen. 67 

mente, welche sich in ciner Fundamentalcurve 2. Art (resp. wenn 2 
Punkte, gar nicht) öder in einer Curve mit jp = o, u = 2 (siehe Beweis 
zu Theorem VI.) öder in einer Curve mit p = o, w = 4 schneiden, wieder 
in 2 Elemente gleichen gegenseitigen Verhaltens tlbergeffthrt werden. ^ 

Biidet man nun die 16 Sextupel unter den 16 Elementarpaarcn, 
welche den conischen Sextupeln der Kummerschen Configuration cnt- 
sprechen, so tiberblickt man, dass die eben beschriebene Bedingung das 
Erhaltenbleiben dieser Sextupel vertheilung zur Folge hat, mit ihm iden- 
tisch ist. 

CoroUar I. In der Isomorphie entsprechen jeder Substitution der 
Kummerschen Configuration zwei Characteristiken, von denen die eine 
durch Zusammensetzung mit \{did'^y aus der anderen entsteht. 

CoroUar IL Die Totalgruppe n^ 7 enthält [(^irf,-)]^ ol^ ^^it 0^^^^* 
Characteristiken vertauschbare Characteristik. 

CoroUar III. Die Gruppe der Kummerschen Configuration ist zu 
keiner Gruppe von einem Grade < 16 holoedrisch isomorph, und da sie 
einfach ist, auch nicht meriedrisch. 

Theorem XL Die Totalgruppe der Characteristiken liber 7 Punkten ist 
endlich und enthäU 7 . 436 Characteristiken. 

Die Endlichkeit ist sicher, da es mit 7 Punkten nur endlich viele 
Fundamentalsysteme und aus diesen nur endlich viele Characteristiken 
gibt. Es gibt 35 cubische, 105 von 5. Ordnung, 7 von 7., 70 andere 
von 7., 7 von 9., 70 andere von 9., 105 von 11., 35 von 13., i von 15. 
Ordnung, also 436 Fundamentalsysteme. 

Theorem XII. Die Gruppe n^ 8 ist holoedrisch isomorph einer Gruppe 
von Vertauschungen unter 126 Elementen, welche 63 Paare der Imprimiti- 
vität hesitzt. 

Denn die 7 Punkte a^...a^j die 35 Ebenen a^a/^ai^ die 42 Quadri- 
kegel a?a,+i . . . «,+«» die 35 il/5a-aja?a;j,a„a^a^, die 7 M\a\a\ . . .al werden 



' Id der Ebene war diese Bedingung so formulirt, dass die fundamcntalen linearon 
Substitutionen die Form Fj, = nn — 2xx ungeändert lassen mussten. Cf. mein Buch § I. 



68 S. Kantor. 

unter einander transforrairt, aber so, dass dic Paare, welche sich zu 
(aj . . . a?)^^ summiren, erhalten bleiben. 

Theorem XIII. Die Totdlgrupi^e n° 8 ist keiner Gruppe unter weniger 
als 126 Buclistahen Jioloedrisch isomorph. 

Die einzigen Invarianten der Gruppe sind die Singularitätencoinplexe 
der FUlchen mit gegebenem p , u (in Folge der Singularitäten m a^.. .a^ 
allein) und die niedrigste Anzahl ist eben die im Theoreme XI. gebildete 
Anzahl ftir 2^ = o, i^ = o. 

Wendet man auf den Raum It.^ die im V. Theii § 5 beschriebene 
2, i-deutige Transposition an, so werden den Vertauschungen der Flachen 
mit ^ = o, «4 = o Vertauschungen gewisser Bertihrungsebenen einer merk- 
wttrdigen 0bergangsfläche 12. Ordnung mit g-fachem Punkte (und 3 an 
ihm unendlich nahen) entsprechend gemacht. Die gegenwärtige Gruppe 
steht also gewiss mit einem Zweitheilungsprobleme gewisser ttberall end- 
liclier Doppelintegrale, wie sie nach Jacobi von Nöther kurz erwähnt 
worden sind (Math. Ann. Bd. 2), in Verbindung. 

Aber die Gruppe unter 63 Elementen hat gewiss auch zu den Abel- 
schen Integralen |> == 3 Beziehung. Daftir spricht die Existenz der Ja- 
cobischen Curve 6. Ordnung mit jp = 3 des Netzes der J/^(ap ..., a^). ^ 

* Theorem Xlir. Die Gh'upp€ M^ in Suhstituiiaiien enthäli 36 nicht ähnliche Sub- 
stiUUioyien. Dieselben sind: II Collineationen ; (^^i^j) , («,fc,) , (ötg^^) , (0^4^,), mit i\,i, ; 
5 andere mit (a,6j5 (aj6,),(a,6j), (a,6J,(a^6,), ij ,i,; 2 andere mit K^),(a,^)5K6,), 
(«A). (0^3^)5 K^X^i.^j o<ler ij,i,; (ai^),(a,63),(a,6J, 6, io a, mit eZ^ ; (a^fc,), (a,^,), 
6, in a„ 6, in a,; {ci',h^)^{a^h^),{a^h^\ h^ in h[ in a^; Kt,),(a,fc,), h^ in h\ in a,, 
K^i); K^X ^ >n öt«. ^ in a,,(a,6J; K^),K^), K^iX ^ in K in a^I K^X 
(sy^K^X &8 in ^3 in a,; (ai6,),(a,6J, (a,6J, h^ in &; in a^ K^)^(«A).KU^ 
{ci'j)^,{aj)^)^{aj)^) öder dies mit («it,),(«,fr,); zwei Typen 5. O. Index 4; 3 m\i{aj)^\ 
I mit {prj>^)^{aj)^)\ Typus 7. O. (c^t^J). 

Theorem XIII". Die Gru])pe M^ in Sttbsiitutimien enihält 64 nicht ähnliche SubsH- 
UUionen. Dieselben sind: 14 Collineationen; Q^ :(«»&») mit Tripel; (flti6j),(a,6j), (ttjt^), 
((1^63) mit d^^d^^d^ öder ^,,^, ,*„ öder Tripel; 5 andere mit ('3ti?^,),(ötjtj); 4 andere 
mit («i^);(aiM,K^),K^)7K^3) el^enso 5 andere mit K&,),(<^&,); K^^J, K&3), 
(S^4)^K^) ebenso; KtJ.Cfl^jfc,), K^).(^^^) niit Tripel; (1,6,), (©,63), (a, 6,), 6, in a, 
mit (/,,ci, oder t\ , i, ; C^^^), K?^,). K^X ^4 in «* mit *i.^; K^),K^), K^) ^ 
in 64 in 64' in a^ , 5 Typen; Q'^: I mit (^^b^)^ 2 Typen Index 4, 2 Typen Index 8, I 
Typus Index IG; 2 mit (a,^i),(^2^s) 2 mit («i^,), (^,^1); Q^ 4 Typen Indices 6,4, 2, 
6, I mit (aj6,); (,J**: l Typus Index 2. 



TraDsformatioDeo io 11^^ wciche keine FuDdameatalcurveQ I. Art besilzen. 60 



V. THEIL. 

Theorie der endlichen Gruppen von Transformationen ohne 

Fundamentalcurven i. Art. 



§ 1. Das Aquivalenztheovem. 

Uiii Rauin zu spåren, erwahne ich kurz, dass sich die IV Beweisc 
des § I, II. Theiles hieher för die Gruppen existirender Transfornirationen 
adaptiren lassen, wie es fttr die Ebene in meinem Buche gcschehen ist 
und liefern. 

Theorem L Jede endliche Gruppe von Transformatiotien gegenwärtiger 
Fundametitalsysteme lässt sich durch Reciprokaltransformationen äquivalent 
maclien einem der folgenden Typen: 

1. einer Gruppe von Collineationen, 

2. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamem (a""^ &""*), 

3. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamen (aJ~^&J"*), 

4. einer Gruppe cubischer Transformationen mit zwei coincidenten Haupt- 
punktet ripelny 

5. einer Gruppe cubischer Transformationen mit gemeinsamen Haupt- 
punktequadrupel , 

6. der Gruppe von 720 Transformationen iiber 5 festen Punkten öder 
einer Untergruppe, 

7. einer Gh^uppe von Transformationen fiber 6 festen Punkten, 

8. einer Gruppe von Transformationen uber 7 festen Punkten. 

Hier ist die Gruppe n° 4 iiber 3 Punkten typisch, weil man fur die 
Transformationen nicht mehr wie fiir die fundamentalen linearen Substitu- 
tionen einen allén gemeinsamen Doppelpunkt willkftrlich annehmen känn. 

Die Gruppen von Collineationen im R.^ (Classe n° 1) hat C. Jordan 
nicht vollstilndig bestimmt. 



70 8. Kantor. 



% 2. Die orthanallagniatischen und dyoiilalen Gruppen. 

Aus II. Theil § 3 folgt: 

Theorem II. Jede endliche Gmppe von Transformationen mit geineinr 
samen (a""^ft"~^) ist äquivalent entweder: i. einer Gruppe von CoUlneationen 
öder 2. einer Gruppe mit (ap^ftj"^, (ap^&J"^) öder 3. einer Gruppe mit 
(a""' i"""'), deren Itestgruppe eine der von mir entdeckten ternåren 34 Gruppen 
mit 7 , 8 Punkten {XXVIIL bis LXI. der Tafel in meinem Buche) ist. 

Die Gruppen, \vo die Restgruppe einer der Typen XV. bis XX VII. 
meiner Tafel ist, sind nicht voliständig, sondern lassen sich ohne Ån- 
derung ihrer Figur zu Gruppen der Art n° 7 und n** 8 des obigen 
Theoremes I. ergänzen (durch Verbindung [(Ä»/^')]")> ebenso wo die Rest- 
gruppe XII., XIII., XIV. jener Tafel ist, erscheint die Gruppe sofort als 
Untergruppe einer Gruppe der Arten n** 4., n° 5., n** 6. des Theoremes I. 

Theorem III. Die 34 isolirten Typen von Gruppen mit (a""~^6""^) sind 
construirbar mit einer invarianten irreductibeln Ml öder einer M\. 

Denn die Characteristik der Gruppe enthält fQr XXVIII. bis LXI. 
der Tafel 7 öder 8 Punkte, al so fftr den B^ 8 öder 9 Punkte. Dass 
ein invariantes Ebencnpaar nicht möglich ist, beweist die Discussion von 
XLII. bis LXI. Die Discussion von XXVIII. bis XLI. beweist, dass die 
invariante M\ nicht zerfallen känn, ausgenommen bei den cyclischen 
Gruppen, welche aber wiederum stets eine invariante il/J besitzen. 

Theorem IV. Jede dyoiddle Gruppe mit (^-^ft^^^ (aj*"^ij*"^) öder mit 
(a7~^ftj*~^), (aj*~^6j*~*) ist construirbar ivenigstens in der particulären Form, 
wo eine invariante Ml existirt^ sofern die Ebenen durch a^a^ nach einer 
der 5 binären Gruppen projicirt werden. 

Der Beweis folgt aus III. Theil § 3 Theorem VII. und aus dem 
Theoreme ftir die Ebene (1. c. p. 47). 

Theorem V. Die allgemeine dyoidale Gruppe mit {a^'^ b'^' ^) , {a^"^ b^"^) 

öder mit (rt*"'^?^*)^ (^?~^^r"^) <^^ *'*'^ ^^^^^ invarianten M\ (»""^aj"') con- 
struirbar. 



Tranaformationen in i?,, welohe keine Fundamcntalcurven i. Art bcsitzen. 71 

Die Construction ist genaue Nachbildung der von mir obcn im III. 
Theile § 3, Theoreme X., XI. gegebenen. 



§ 3« Die tyiHschen Gruj^pen Hber 3, 4, 5, 6 Punkten. 

Gruppen v!^ 4. a) Werden die EbenenbQschel a^a^ j a^a^ y a^a^ jedes 
in sich transforniirt, so genttgt es, in ihnen drei Gruppen willkttrlich 
anzunehmcn, dieselben durch Isomorphieen unter einander zu beziehen 
und je drei zusammengehörige Projectivitäten zu einer Reciprokaltrans- 
formation zu combiniren, wobei die a^ , h^ von selbst entstehen. y9) Werden 
die Ebenenbttschel a^a^ , a^a^ vertauscht, a^a^ erhalten, so hat man in einer 
Gruppe der Art a) aus der ganzen Gruppe öder aus der Untergruppe 
diejenigen ^', welehe in a^a^^a^a^ ähnliche Projectivitäten haben, durch 
EinfQgung einer (noch auf co^ Arten variabeln) Projectivität von a^a^ 
nach fljöj zu einer Q^: {(^ib^) ,[a^\) ,{a^b^) zu ergftnzen. y) Werden die 
Ebenenböschel äjÖj > ^s^i > ^i^a cyclisch vertauscht, so mtissen die zu er- 
gänzenden Q^ in a) drei ähnliche Projectivitäten besitzen. å) Werden 
beide Processe aus y9) und y) angewendet, so entsteht eine Gruppe, durch 
welehe die drei Ebenenbtischel in allén 6 Arten vertauscht werden. 

Gruppen n^ 5. Je nachdem die 4 Stralbiindel öj , a, , »j , a^ unter 
einander vertauscht werden, entstehen verschiedene Glassen. Es gibt 8 
verschiedene Gruppen von Vertauschungen unter 4 Buchstaben und wie 
in der Ebene (ef. mein Buch 49 — 51) wird bewiesen: 

Jede dieser 8 Glassen von n** 5 wird construirt, indem man eine 
Transformation {aj)^ mit einer endlichen Gruppe von Collineationen, die 
a< zu Doppelpunkten haben und mit je i Collineation combinirt, welehe 
unter den a^ die Substitutionen der Characteristik hervorbringen. 

Gruppe n° 6. Da alle Characteristiken tiber 4 Punkten construirbar 
sind^ so stimmt die Gruppe mit der Characteristikengruppe tiberein und 
enthält auch nur 720 Transformationen. 

Gruppe n° 7. Theorem VI. tJber 6 willkurlichen Punkten des R^ gibt 
es eine Gruppe von 32 {involutorischen) Transformationen, welehe auch in 
jeder anderen uber irgend 6 besonderen Punkten bestehenden Gruppe als aus- 
gezeichnete Untergruppe enthalten ist. 



f^eti 



1 .oHst^^^t Punkten t'*^ ^ , den ^*^^,,scW *^\'^,^ x«v \^^- 

^^^^'i Vut^Vte, e^ens^ g -nc ^ ..V^v ^^^^^ 

t-- ^V nt: ' 0^^-^^^^" 3 .-.te ^V^- 



^^^^ 'Lf Sys^T t^' g- V>-^^^ "^ , punkten. 

c\nanÄe^ - t^t Es 9'^* ^. ^ -^^ e\net ^^ „ans<orttv^'V,e\v\eaenc g^^ 

^--^ 'r .u^e ^^^^^: " -^ ^^";:1nvolut^on, ^'^^ ^,^,,^^ ,^et 




Transformationen in 7?,, welche keioe Fundamentalcurven I. Art besitzen. 73 



g 4. Die Amvenduug der Kammep^ schen Fläche. 

Herr Rkye und nach ihm W. Stahl haben fttr die Untersuchun"' 
der Strahlencongruenzen 2. O. und Cl. eine (i , 2)-deutige Verwandtschaft 
untersucht, welche den Ebenen des Raumes R'^ die Ml durch 6 feste 
Punkte i?i.../>6 in Äg, den Punkten der hierbei entstehenden Kummer- 
schen Fläche K^ in Äg die Punkte der Kernfläche 0^ in Äg, den i6 Dop- 
pelpunkten von K^ die 15 Geraden p^pt. und die M\{p^,.,p^) und den 
16 Doppelebenen die 6 Punkte Pi und die 10 Ebenenpaare {PiPtPn PmPnPo) 
entsprechen macht. 

Ist nun (iber 6 Punkten eine cre<>:enwä;rtio^er Characteristiken con- 
struirt, so transformirt sie die c>o^3Il durch p^ . . , p^ unter eiuander, also 
auch die Punktepaare, in denen sie sich schneiden, und wird also durch 
die Reyesche Abbildung in eine Collineation des li^ ttbertragen, welche, 
da in Äg die (P^ invariant war, die K^ in sich transforniiren wird. Da 
durch die eindeutige Correspondenz in 0^ die lian tntransfor mation be- 
stimmt ist, folgt: 

Theorem X. Die Gruppen liber 6 Punkten können durch (i , 2)-deuti(/e 
Abbildung aus den Collineationsgruppen gewonnen iverden, welche eine Kum- 
mersche Fläche in sich f råns for mi ren. 

Ich habe iin Am. Journ. 1897 ^ die aussergewöhnlichen Collineations- 
gruppen bestimmt, welche eine K^ reproduciren und bewiesen, dass sie 
nur von dem projectiven Character einer der 16 conischen Sextupel ab- 
hängen, woraus wieder das Theorem VII. geschlossen wird, ebenso VIII. 
Am selben Örte habe ich auch die Characteristiken angegeben, in welche 
sich die einzelnen Collineationen umsetzen. 



g 5. Die Gruppen ilber 7 PunUten durch Anwendttng zweier 

netien (i — zydeutigen Transformationen. 

I. Alle M\p= I durch 7 Punkte Pi.>*Pi gehen durch einen 8. 
Punkt ^g. An diese co^ Curven knttpft sich eine ganze Reihe von Trans- 



' Meine Note: »tFber Collin(ationsgruppen aa Kumnierschen Flächen*. 

Äeta mathematica. 21. Imprlmé le O septembre 1897. 10 



74 8. Kantor. 

formationen, indern man nach dem Verfahren ftir die Ebene * auf jeder 
M\ öder unter je zwei M\ gleichen Moduls eine eindeutig zu bcstim- 
mende eindeutige Correspondenz einrichtet. Insbesondere (1. c. Th. 117.): 
5)Wird auf jeder 3I\ die Correspondenz u' + UEij' mit a^ als Doppelpunkt 
bestimmt, so entsteht (8 , . . . , 8)^^ mit Pi . . . pj als 8-fachen Fundamen- 
talpunkten und M\{plpi^i. . . Pi^^) als Fundumentalflächen)). (1. c. Th. 
1 18) »Die (8 , . . . , 8)^* transformirt die Ml{pl - » - Pr) unter einander, jede 
in sichD. »Der Ort der Doppelpunkte von (8,...,8)^* ist eine itfjd^J. . .jPg), 
welche die 28 Geraden Pi2h {iy/^= i • • • 7) einfach und die Kegelspitzen- 
<;urve des Netzes 3i^(i>i . . . 2^7) als einfache Curve enthalt, D^.» 

Eine (i ; 2)-deutige Beziehung von i?g nach i?J känn nuu durch ein 
lineares co ^-System M^ abgeleitet werden, welche durch 3 fernere ein- 
fache Punktepaare ^i?! , ?2?2» ^'s^/s gehen. »(1. c. 120.) In der Trans- 
formation, welche 4. O. in B^ und 16. O. in i?3 und den Ebenen von 
i?J die M2{p1 ' ' ' P^tQi - ' » Qs) entsprechen macht, entspricht der Z)„ eine 
Fläche Zj3 der 12. O., welche einen g-fachen Punkt A besitzt, an den 3 
andere in 3 verschiedenen Richtungen unendlich nahe gertickt sind und 
nach diesen Richtungen drei 6-fache Gerade durch A hat.» »Durch diese 
Transposition werden die Gruppen ttber /?i . . .i>7 in Gruppen birationaler 
Transformationen 4. O. (Q*) tibertrngen, welche in jenen Geraden 3 dop- 
pelte Fundanicntalgeraden und sonst 3 einfache Fundamentalpunkte be- 
sitzen.» Also: 

Theorem XI. Die y-jyiinktigeii Gruppen [rf 8) des Th, I. werden ge- 
funden, indem man die Gruppen erwähnter ^*, tvelche die Z^^ reproducirefi, 
durch die 2 — i -deutige Transposition iiberträgt. 

2. Eine einfachere Transposition ist die folgende. 

Lemma. Die M\[a\,..a^^^ welche durch den Schnitt A\ einer unter 
ihnen mit einer festen M\{a^ • • • ^7) hindurchgehen, bilden ein lineares co^- 
System. 

Die Jacobiana derselben ist wieder jene D^ (wie Oberhaupt aller im 
00^-Systeme enthaltenen co^-Systeme). Wird nun unter den Ebenen von 
iJg und diesen co^ il/J eine CoUineation hergestellt, so hat man eine 



* A et a Mall). Bd. I9. g 12. B. 



TraosformatioDeD in i?,, welche keioe FaodamentaleurveD I. Art besitsen. 75 

I — 2-deutige Transformationen von iJJ nach iJ,, die von den Ordnungen 
4,8 in B^f Bi ist und welche die D^ nur in eine Z^ mit einem 3-fachen 
Punkte A öbertrftgt Der Osculationskegel des 3-fachen Punktes ent- 
spricht dem Schnitte der D^ mit der festen M]. In der Transposition 
entsprechen den ay...a.j Flächen 2. O., der Ä\ eine Ebene. Den Träns- 
formationen Clber Ui .. . a-j als Characteristikpunkten entsprechen quadra- 
tische Transformationen Q^ in iJJ, weil eine willkftrliche M\{al ... a') in 
BJ einer Ml entspricht. Den Ml{ai . . . aj) entsprechen in iJJ Ebenen des 
BOndels um A^ und da jene, also auch diese unter einander transformirt 
werden, ist A der Fundamentalpunkt von Q^. Der Fundamentalkegel- 
schnitt geht an A unendlich nahe. 

Theorem XIII. Die j-punktigen Gruppen (w** 8) des Th. L werden ge- 
funden, indem man die Gruppen quadratiscJier Transformationen^ ivélche die 
Z^[A^) reprodtéciren, durch die 2 — i-deutige Transposition uberträgt. 

In dieser Form ist das Problem nun so einfach wie es nach der 
Methode meines Buches das parallele in der Ebene ist. ^ 



S 6. Andere Methoden fttr die j-punktigen Gruppen. 

I. Die jl/J (a? . . . rt?) bilden einen B^, in dem eine endliche Gruppe 
von Collineationen entsteht. In diesem bilden die 3fJ, welche durch d^ 
gehen, und zwar von selbst zweifach, einen i?^, der invariant sein muss, 
daher jede Gruppe auch einen Punkt invariant lässt; also:' 

Theorem XIII. Jede Gruppe iiber 7 Punkten lässt eine il/^C^i • • • 0:?) 
invariant. 

Jener B^ ist gleichzeitig repräsentirender Raum derjenigen JfJ, 
welche sich als quadratische Functionen der M\ darstellen lassen. In 
dem jBj ist eine invariante M\j die doppelt gezählten M\j und eine in- 
variante 3iJ, die Paare von M\ tiberhaupt. 



* Acta Math. Bd. 19, p. 160— 168 und das cit. Buch. III. Th. g 8. 
« Cit. Buch. II. Th. § 2. 



76 S. Kantor. 

2. Gegentlber meinen vorhergehenden 3 Methoden gebe ich als die- 
jenige Methode, welche am wenigsten neue Untersuchung erfordert, die 
folgende. 

Theorem XIV. Jede Transformation einer Gruppe iiber {a^ . . . a^) muss 
(lie Kegehpitzencurve L^ des Netzes ilf^ («!... ^7) in sich transformiren und 
ist ihrerseifs dtirch die Correspondenz in dieser Curve zweideutig besfimmt. 

Der 2. Theil des Satzes folgt daraus, dass die von den 311 ^^^ ^^^ 
L^ ausgeschnittene Involution Gi^ in sich transforinirt wird und durch 
eine Schnittpunktgruppe ff^,^ derselben die Ml des Netzes bestimmt ist. 

Ferner habe ich An). Journ. 1897 bewiesen: »Wenn eine Kegel- 
spitzencurve L^ eine eindeutige Correspondenz enthält, so ist dieselbe in 
einer CoUineation enthalten.)) 

Die Kegelspitzencurve känn aber auch auf eine L^ abgebildet werden 
und es handelt sich also uni die CoUineationsgruppen, welche eine L^ 
in der Ebene reproduciren können. Diese habe ich in Aeta Math. Bd. 
^9> P- ^57 u^^d meinem Buche p. 89 endgiltig abgeleitet. Es handelt 
sich also, zu einer L^ eine auf sie eindeutig bezogene Kegelspitzencurve 
zu construiren. Dies geschieht durch die Abbildung einer 31]. Man 
nimmt auf der L^ 6 Punkte derart, dnss ihr auf der 311 , welche sich 
inittelst dieser 6 Punkte abbildet, eine Kegelspitzencurve c^ entspricht. 
Dies ist nach einem Theoreme von mir der Fall, wenn ^ die 6 Punkte die 
Bertihrungspunkte der L^ mit einer Curve 3. O. sind. Da es nun 14 ver- 
schiedene L^ mit Gruppen von Correspondenzen gegeben hat (1. c), so folgt: 

Theorem XV. Es gibt 14 verschiedene vollständige Gruppen von Träns- 
formationen ohne Fundamentalcurven i. Art uber 7 Punkten. Die Lage der 
7 Punkte bestimmt sich jedesmal mit Hilfe einer ebenen L^ P = 3* 

Meine bisherigen Resultate zusainmengefasst liefern jetzt: 

Theorem XVI. Jede endliche Gruppe von Transformationen ohne Fun- 
damentalcurven i. Art ist dquivalent einem der folgenden Typen: 

L einer Gruppe von Collineationen des -B3, 

IL bis XXXV. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamem 
(«"~^i""*), wo die Bestgruppe einer meiner ebeneri Type^i XXVIIL bis LXV. ist, 

* Am. JourD. of Mathem. 1 897, Theori^ der period, cubischen Transformationen 
im 7?3, Cap. T., Theorem VIII. 



TraDsformationeD in Zf,, wclche keiDe FuDdamcDttlcurven I. Art bositzen. 77 

XXXVI. bis XL, einer Gruppe von Träns formationen mit gemeinsamen 
(rtj-^i""*), (a;~^6;~^), %vo die Ehenen durch a^a^ zu einer der 5 hindren 
Gruppen zusamme^itreten {eingeschlossen die Gruppen höherer Homologieen 
dyoidcder Natur), 

XLL bis XLV. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamen 
(aj""^&;~^), (a;'^6"~^); wo die Ebenen durch a^a^ zu einer der 5 hindren 
Gruppen zusammenfreten, 

XLVI. einer Gruppe cubischer Transformationen mit drei gemeinsamen 
Hauptpunktcoincidenzen, die nur cycliscli vertauscht werden, 

XL VII. einer Gruppe cubischer Transformationen mit drei gemeinsamen 
Hauptpunktcoincidenzen, die auf alle Arten vertauscht werden, 

XL VIII. bis L. einer Gruppe cubischer Transformationen mit vier ge- 
meinsamen Hauptjmnktcoincidenzen, die nur cyclisch öder nach der Tetraeder- 
gruppe öder nach der Octaedergruppe permutirt werden, 

LL einer Gruppe von 720 Träns ft.rmationen uber 5 festen Punkten 

r = 720, 
LIL einer Gruppe uber 6 Punkten^ welche willkiirlich sind r = 32, 
LIII. icelche drei Paare einer collinearen Involution ^mrf, r = 64, 
LIV. welche zwei Tripel einer cyclischen ColUneation sind, r = 96, 
LV. tvelche die Doppelpunkte und 2 Paare einer Involution sind, r = 128, 
LVI. welche ein Cyclus vom Index 6 einer ColUneation sind , r= 192, 
LVII. öder ein Doppelpunkt und ein Cyclus vom Index 5, r= 160, 
LVI IL welche eine Form T in einer 3/J sind, r= 768, 

LIX. bis LXXL einer aus 14 Gruppen uber je 7 Punkten, r= 18, 
336 , 96 , 192 , 6, 6 , 12 , 32 , 12 , 96 , 16, 8 , 4, 2. 

Von diesen könneii die ersten 50 als typische Glassen, die ftbrigen 
21 als isolirte Gruppentypen bezeichnet werden. 

Anmerkung. Der grösste Theil dieser Gruppen bleibt (während die ein- 
zelnen Typen durch Projectionen in dyoidale Gruppen tibergeföhrt werden) 
auch in der allgemeinen Theorie der Gruppen birationaler Transformationen 
im jBg typisch, d. h., wenn zur Transposition nicht nur Transformationen 
gegenwärtiger Art, sondern birationale Transformationen ttberhaupt ver- 
wendet werden. 

Calais, London, Auer, 1896. 



78 S. Kantor. 



BerichUgung» 

In Folge eines von mir nicht verechuldeten Versehens während des Druckes känn ich eine 
notwendige Correction der Form 3) des Textes erst hier nachtragen. Die cubische Form 3) ist nicht 
invariant durch die Substitution i) (tiberhaupt durch keine anderen als welche die Variabeln unter 
einander vertauschen). 

Dagegen können allerdings andere irreductibele cubische Formen durch Combination der qua- 
dratischen und linearen Formen gewonnen werden. Zu den letzteren ist die Form 3n — It/i hinzu- 
zufQgen. 

Ausserdem bleibt fiir jede Substitution i) eine cubische Form invariant, welche aber nicht filr 
alle in gleicher Weise aufgeschrieben werden känn. Denn da fur die einzelne (rt< ; 6<)* die Form 

n» - 2nly\ - 2x» + 3^(x, + x,)yl, - 2i:yi 

invariant bleiben soll (A mer. J., T. 19), so wird fiir jede Transformation, welche sich aus solchen 
zusammengesetzt, eine Form 



(3) „»-^» + 3yL,yi-2ly 



i 



wo die Lt gewisse von der Transformation abhängige lineare Functionen von n , o?, sind, invariant 
bleiben. 

Die Tragweite dieser Kesultate mag man däran ermessen, dass bisher iiberhaupt die ganz- 
zahligen Transformationen nur von temären und quatemären Formen untersucht worden sind, nämlich 
durch Ilerm Poincaré (Journ. de TEcole Polyt. 1880). Die obige Form 3) liefert cubische Formen 
von irgend wie hoher Anzahl Variabeln und sofort eine ganzzahlige Substitution, welche sie in sich 
transformirt. 

Die Wichtigkeit dieses Resultates wird noch dadurch erhöht, dass man iiber <r Fundamental- 
punkten (<r> 7) unendlich viele Transformationen gegenwärtiger Art construiren känn. Stellt man 
nun zu jeder mcine fundamentale lineare Substitution und zwar zunächst nur die unvollständige auf, 
so erhält man eine merkwiirdige discontinuirliche Gruppe ganzzahliger linearer Substitutionen in 
<r + I homogenen Variabeln. Man erwäge, dass bisher iiberhaupt nur discontinuii'liche Gruppen von 
Substitutionen in 3 Variabeln aufgestellt worden. 

Schreibt man aber die vollständigen linearen Substitutionen i) öder 2), so erhält man Gruppen 
von einer Art, wie sie iiberhaupt bisher noch nicht angetroffen worden sind. Durch die Zusammen- 
setzung der Transformationen iiber den <r Fundamentalpunkten wird sich nämlich die Anzahl der 
Fundamentalcurven 2. Art und damit die Anzahl der Variabeln in den Substitutionen i) fortwährend 
vermehren, und man erhält daher eine discontinuirliche Omppe in einer unendlichen Anzahl von 
Variabeln. Dem entsprechend erhält man auch eine isomorphe Gruppe von Permutationen, welche 
durch diese Gruppe hervorgerufen werden, unter unendlich vielen Elementen, nämlich den <t Punkten 
und allén Af; ^ = o, m = o, welche sich iiber diesen ö* Punkten construiren lassen. 

Eine weitere Correctur ist in Folge der vorigen zu p. 13 anzugeben. Zu der dortigen Form 
muss sILtyl — 32^* addirt werden. Jedoch sind die Zeilen 2 bis 7 p. ^4 dann nicht auf diese 
neue (wirklich invariante) Form zu beziehfen, sondem auf die alle Form, die aber cben aus dem in 
diesen Zeilen enthaltenen Grunde nicht invariant sein muss. 



79 



WEIERSTRASS 

VON 

G. MITTAG-LEFFLEE. 



Arn Freitag den 19. Februar starb in Berlin in seinem 82"*^*° Lebens- 
jahre Karl Theodok Weiehstkass. 

In einer seiner Abhandlungen spridit Weierstrass die Oberzeugung 
aus, dass die von ihrn erhaltenen Resultate Dwenigstens diejenigen Mathe- 
inatiker interessiren werden, welchen es Befriedigung gewahrt, wenn es 
gelingt irgend ein Kapitel der Wissenschaft zu einem wirklichen Abschlusse 
zu bringen». 

Mit diesen schlichten Worten hat Weierstrass selbst seine ganze ThRtig- 
keit charakterisirt und das Ziel bezeichnet, das er in allén seinen Arbeit^n 
anstrebte. Die Geschichte der Mathematik wird es aueh bestätigen, dass 
bis jetzt kein Mathematiker in höherem Grade und grössereni Unnfange 
als er das Ziel erreicht hat, 5)ganze Kapitel der Wissenschaft zu wirklichem 
Absehlusse zu bringen». Mit unttbertroffener Klarheit und Sehärfe der 
Beweisföhrung hat Weierstrass in der Theorie der analytischen Functionen 
die mannigfaltigen Sätze der Analysis zu einem abgeschlossenen, einheit- 
lichen Ganzen vereinigt. Aus Anlass der vielen functionentheoretischen 
Jugendarbeiten, welche ihni zur Pröfung vorgelegt wurden, äusserte sich 
Weierstrass einmal dem Verfasser dieser Zeilen gegenttber etwa in folgenden 
Worten: 

»Eine gute Functionentheorie zu schaffen ist nicht die Sache eines 
Anfängers, mag dieser auch noeh so begabt sein. Zuerst muss man allés 
bekannte analytische Material vollständig beherrschen und sich Klarheit 
verschafft haben aber alle, auch die verwickelsten, Verhältnisse, denen 

Aeta nuUhematiea. 21. Iinprimé le G septembre 1897. 




80 G. Miltag-Leffler. 

nian begegnet ist öder welche man sich vorzustellen verinag. Erst dann 
darf mann denken, eine Functionentheorie zu schaffen, welche allés be- 
herrscht und erklärt. Ein solches Unternehmen känn daher der Natur 
der Sache nach nur die Krönung eines matheinatischen Lebenswerkes sein.)) 

Indessen wird jeder, der aufnierksam die crsten Abhandlungen von 
Weierstrass durchliest, sogleich erkennen, dass Weierstrass selbst schon mit 
30 Jahren in voUständigem und sicherem Besitz der wesentlichsten Grund- 
gedanken in der functionentheoretischen Auffassung war, welche er seit- 
dem ununterbrochen in den verschiedensten Richtungen vollendet und be- 
reichert hat. Diese Thatsache ist nicht schwer zu erklären. Bezeichnet 
doch die unablilssige, intensive Arbeit an der Lösung des Problemes der 
AbeVschen Functionen — des allgenieinsten und verwickelsten Problemes 
der Functionentheorie, das bis jetzt seine Lösung gefunden hat — den 
Ausgangspunkt von Weierstrass' wissenschaftlicher Lauflmhn. Die innere 
Beschaffenheit dieses Problemes und die Art der Bejijabun": von Weierstrass 
ffthrten diesen mit Nothwendigkeit dazu, festen Grund in der scharfen 
Fixirung des Begriffes der analytischen Function zu suchen. Er ilussert 
sich hieriiber selbst in seiner Akademischen Antrittsrede: i)Freilich wäre 
es thöricht j^ewesen, wenn ich an die Lösung eines solchen Problems auch 
nur hatte denken wollen, ohne mich durch ein griindliches Studium der 
vorhandenen Hiilfsmittel und durch Beschäftigung mit minder schweren 
Aufgaben dazu vorbereitet zu haben. So sind Jahre verfiossen, ehe ich 
an die eigentliche Arbeit gehen konnte etc.» Unter den mannigfachen 
Aufgaben, deren Lösung die umfangreichen und tiefgehenden Arbeiten 
Weierstrass' gewidmet sind, wird man es doch stets als Weierstrass' liebstes 
Problem bezeichnen mtlssen, der Theorie der Aberschen Functionen den- 
selben Grad von Abschluss und Vollendung zu geben, wie der Theorie 
der elliptischen Functionen, und somit auch dieses »Kapitel der Wissenschaft 
zu einem wirklichen Abschluss zu bringen». Auch hat ihn dieses Problem 
vor allén anderen dazu geftthrt, die tiefliegendsten, verborgensten Geheim- 
nisse der Theorie der allgemeinen analytischen Functionen immer mehr 
zu durchdringen. 

Die stete Beschäftigung mit solch* tiefen und schweren Aufgaben 
verlieh Weierstrass bei seinem Genie und Scharfsinn eine Uberleffenheit 
uber andere Zeitgenossen, welche einst in einem Kreise von Mathematikern, 
die um ihn versammelt waren, mit folgenden Worten charakterisirt wurde: 



Weierstrass. 81 

»Weierstrass hat doch etwas ttbennenschliehes an sich. Man känn ihm nie 
etwas neues erzähien. Er weiss allés schon im voraus.» 

Aber, wenn Weierstrass auch »allés im voraus wusste», so können 
doch seine in allén Landern verbreiteten Schtller mit Ruhrung und Dank- 
barkeit bezeugen, dass er diese Kenntnisse stets nur zur Belehrung, Auf- 
klärung und wissenschaftlichen UnterstQtzung verwendete, niemals aber 
dazu, andcre zu beschämen öder seine Cberlegenheit föhlen zu lassen. 
Und die wenigen, welche das Glöck gehabt haben, ihm aus eigenen öder 
anderen Untersuchungen etwas erzähien zu können, das er nicht wusste 
öder doch wenigstens nur ahnte, werden nie vergesseu, mit welch' leb- 
haftem Interesse und mit welch' unbedinfi^tem Anerkennen er solche Mit- 
theilungen aufnahm. 

Bekanntlich war Weierstrass selbst kaum Jemandes persönlicher 
Schöler gewesen. Der Mathematiker aber, dessen Schriften auf seine Ent- 
wicklung den grössten Einfluss gehabt haben, ist Abel. Einer der ersten 
Schöler von Weierstrass in Berlin, der ihn im Anfang seiner wissenschaft- 
lichen Lehrthätigkeit am genauesten gekannt hat, sagte mir: »Ich känn 
mir Weierstrass nicht änders denken, als mit den Werken Abels in der 
Hand und stets auf Abel hinweisend.» »Lesen Sie Abeb, war sein erster 
und letzter Rath. Seiner Bewunderung ftir Abel, der er bei den ver- 
schiedensten Anlässen Ausdruck *gab, blieb immer dieselbe. »So länge die 
Kultur nur besteht, wird Abel die Bewunderung der Kenner immer er- 
regen.» — »Abel ist einer der GlQcklichen, die etwas ewig bleibendes ge- 
leistet haben.» So äusserte sich Weierstrass bei Gelegenheit des 400-jälhrigen 
Jubiläums der Universität Upsala. 

Dass Cauchy auf den Entwicklungsgang von Weierstrass keinen tiefer- 
gehenden Einfluss gehabt hat, ist mehrfach hervorgehoben worden. Weier- 
strass selbst hat bei der Feier seines 8o*^^° Geburtstages erzählt, dass er 
mit den analytischen Arbeiten Cauchy's erst in einer spilten Periode seines 
Lebens Bekanntschaft gemacht habe. Auf den Gymnasien zu Deutsch- 
Krone und Braunsberg war man zu der Zeit, als Weierstrass den Grund 
seiner kilnftigen Grösse legte, nur sehr unvollkommen mit mathematischer 
Litteratur versehen und die eigenen Mittel Weierstrass' erlaubten ihm nur, 
das allernöthigste anzuschaflfen, 

Indessen muss das Verhältniss der Weierstrassschen Functionentheorie 
zur Cauehy^schen und zu der aus dieser entsprungenen Riemann'schen viel 

Äeta mcUhematiea. 2L. Iinpriiné le ti 8<>pteiuhrc 1897. \\ 



82 G. Mittag-Leffler. 

tiefer aufgefasst werden, als nur von jenem Gesichtspunkte aus. Rauin 
und Zeit verbieten mir leider hierauf näher einzugehen und mich ttber- 
haupt ausftthrlich an dieser Stelle Uber Weierstrass' wissenschaftliches 
Lebenswerk zu verbreiten, so verlockend dies auch för mich wRre. Denn 
die grosse und edle wissenschaftliche Persönlichkeit Weierstrass', seine 
Stt^llung in der Wissenschaft, seine grossartige Lehrthätigkeit und deren 
Friichte zu schildern — das ist eine ebenso hohe wie schwere Aufgabe, 
die naturgeinäss viel Zeit und viele Vorbereitungen erfordert. Indessen 
werden wir fttr eine spatere ausfuhrliche Wiirdigung des grossen Gelehrten 
in dieser Zeitschrift Sorge trägen, die es sich von jeher als höchste Auf- 
gabe gestellt hat, in Weierstrass' Geiste zu arbeiten, und die in ihni einen 
ihrer treuosten Freunde und kraftigsten Förderer verloren hat. Wir er- 
innern in dieser Hinsicht an seine lebhafte Theilnahme bei der Preisfrage, 
welche bei Gelegenheit des 60"^*"° Geburtstages seiner Majestät des Königs 
Oscar ausgeschrieben wurde. Auch besitzen wir noch viele andere Beweise 
flir das Gesagte und denken däran, dieselben vielleicht später einnial zu 
veröflentlichen. 

Iih 7^^" Bände dieser Zeitschrift findet man ein Bildniss von Weier- 
strass, angefertigt nach einer am 70"**^" Geburtstage Weierstrass' auf- 
genommenen Photographie. Wir hoffen spiVter auch eine Reproduction des 
Portriits veröflentlichen zu können, welches Voigtländer aus Anlass des 
gQ^tcii Geburtstages von Weierstrass gemalt hat. 



83 



SUR UNE FORME NOUVELLE 
DES ÉQUATIONS DU PROBLÉME DES TROIS CORPS 

PAR 

H. POINCAEÉ 

k PARIS. 

Soierit A ^ B , C les trois corps; soient rTj , rr, , x^^ les coordonnées dii 
point A; oo^yX^^x^ celles du point 7^; rr^ , x^ , x^ celles du point C 

Pour plus de symétrie dans les notations, je désignerai indififéreranicnt 

la masse du corps A par m^ , m^ , m^ ; et de méme la masse du corps B 

par m^ , m^ ou m^ ; et celle du corps G par m„ , m^ ou m^^ . 

Je posera i 

dxi 



Vi = ^w. 



dt 



de telle fa9on que par exeinple y^ , y^ et ?/g soient les composantes de la 
quantité de mouvement du corps A. 
La force vi ve T sera alors 



L^ 2 \dt I ^^ 2mi 



D'autre part, si Ton choisit les unités de telle fa9on que la constante 
de Gauss soit égale a i, la fonction des forces U s'écrira 

iWjW^ WjW^ m^m^ 



U= :::i^ + :::i^ + 



AB ^ AC ^ BC ' 

Si nous posons F = T — U] la fonction F dépendra des x et des y 
et les équations du mouvement pourront se mettre sous la forme canonique 

/ X dXi dF dpi dF 

Aeta mathematiea. 21. Imprimé le G septembre 1897. 



84 H. Poincaré. 

Supposons maintenant que Ton change de variables et soient 

les 1 8 variables nouvelles. Quelle est la condition pour qu'aprés ce change- 
ment de variables les équations conservent la forme canonique? 

La condition nécessaire et stiffisante cest que 

Sx[dyl — Sx.dyt 
soit une différentielle exade. 



(!') 



Si eette condition est remplie, les équations deviendront 

dx\^dF ^__^ 
dt dy'i^ dt dxY 



Examinons en particulier le cas ou les x[ sont des fonctions linéaires 
des Xi et les y\ des fonctions linéaires des y^. 

La condition précédente peut alors sénoncer d'une autre maniére: 
la condition nécessaire et suffisante pour que la forine canonique des 
équations ne soit pas altérée, c'est qu'on ait identiqueinent 

(2) }:y[x[ = ly.Xi. 

Faisons une hypothése plus particuliére encore et supposons: 
I** Que 

x[y x'^j Xj dépendent seulement de Xi 

^2 > ^5 > ^8 dépendent seulement de a?, 

^8 > ^6 > ^9 dépendent seulement de x^ 

y[ ^ Va y y'i dépendent seulement de y^ 

yi ) yJ ) yé dépendent seulement de y, 

l/z y Ve ^ Vq dépendent seulement de y. 



x^ , Xf 

X^ y Xg 

X^ j X^ 



2° Que les relations linéaires qui lient x',,x'f,x'g k Xj , x^ , x^ et 
celles qui lient rcj , a;é , j;J a, x^ , x^ , x^ soient les inémes que celles qui 
iienr Xi y x^ y x-j a x^ y x^ y x^y 

3° Que de méme les relations linéaires qui lient yj , yi , yj ^ ^2 > y« > Vs 
et celles qui lient ys , yé , y» a ^s > ^e > ^o soient les mémes que celles qui 
lient y[yy[ , yl a y^yy^yy-;. 



Sur une forme nouvelle des équatioDS du probléme des trois corps. 85 

Gette troisiéme hypothése est d'ailleur8 une conséquence néceftsaire 
des deux premieras et de Tidentité (2). 

Dans ces conditions, Tidentité (2) peut étre remplacée par la sui vante 

(2') y[x[ + yirc; + y',x', = y,x, + y,x^ + y^x,. 

Si en effet Tidentité (2') a lieu, on en déduira une seconde en aug- 
mentant tous les indiees d'une unité et une troisiéme en augmentant en- 
core une fois tous les indiees d'une unité. La somme de ces trois identités 
ne sera autre chose que Tidentité (2). 

Mais ce n'est pas tout: nous avons supposé que x'^^ x'^^ x^ sont lies a 
x^yX^jX^y par les mémes relations que x[yX[yX^ ä x^^x^jX^^ et yj,yc,y8 
lies h y^jy^,y^ par les mémes relations que t/i , yl , yj ä 2/1 , y* » ^7- 

L'identité (2') subsistera donc quand on y changera 

Xi y x^ y Xj ] Xi j x^ ^ x-j ; t/i , ^4 > ^7 > yi y yi f yi 

en 

Xs y x^ , Xq y ^8 > ^« > ^9 j y^ y y^ y ys j y^ ^ y^ j y%' 

On aura donc 

y^^z + y'iX'^ + y%x'^ = y^x^ + y^x^ + y%x^ 

et de méme 

y'%A + yé^i + yjajg = ^3^2 + y^x^ + y^x^ 

et en retranchant 

yii^s — y%x\ + y;x; — yi^r; + y'^x'^ — yJiTg 

Or le second inembre n*est autre chose que le premier moment de 
rotation du systéme, qui doit étre constant en vertu de Téquation des aires. 
On voit que Texpression de ce moment de rotation en fonction des x' et 
des y' a la méme forme que son expression en fonction des x et des y. 

La forme de Véquation des aires nest donc pas altérée par notre change- 
ment de variables. 



86 H. Poinoaré. 

Premier exemple, — Nous satisferons a Tidentité (2') en faisant 

t/l == !/l, 1/4 ^^ y^y X'^ =- X-i^ Xi ' X-j = .Tj, X^ X^ == X^, 

yi = yi + ?/4 + 2/7- 

Ce changement de variables, dont nous ferons un fréquent usage 
dans la suite et que nous appellerons le changement (a), a une significa- 
tion géornétrique, tres simple. 

Les variables nouvelles a;! , .Tj , . . . , x^ sont les coordonnées relatives 
des points A et B par rapport a des axes mobiles passant par le point C. 

Les variables — , —,...,— sont les composantes des vitesses ahsolues 

w, w?, m^ ^ 

de ces deux points A ut B, 

Un second exemple qui ne différe pas essentiellement du premier est 
le suivant 



j ^ ^ «-/ 



, m,x, 4- m.x. + m.x. 

^1 »^l »^7» -^4 »'4 '*7> '*^1 .-, , ^„ , ... ? 

y - ?A — ,H^ + ^,^ + rn, ' ^^ "" y^ ~ m, + w, + m, ' ?'^ "" ^^'' + ^^ + ^7- 

J'ai dit que ce second changement de variables ne différe pas essen- 
tiellement du premier, voici pourquoi: 

On ne restreint pas la généralité en supposant que le centre de 
gravité du systéme est fixe, c'est-a-dire que 

2/1 + ^4 + ^7 = o. 

Si Ton fait cette hypothése, les valeurs de x[y x[y y[ y y[^ y^ sont les 
mémes dans les deux systémes; les valeurs de x!j seules différent; mais 
cette différence n'a rien d'essentiel. La fonction F dépend en effet des 
différetices des coordonnées des trois points A , B , C. Elle dépend donc 
de x[ := Xi — Xj et de x'^ = x^ — x-^; mais elle ne dépend pas de x\. 

Troisiéme exemple. — Avec le troisiéme exemple je retombe sur un 
changement de variables connu et que j'appellerai le chungetnent (^8). 



Sur UDC forme Douvclle des équatioDS du prubléme des trois corps. 87 

Soient 

m[ == ^2 = mg, m[ = //I5 = m^, mj = m'^ = mj 

trois coefficients constants analogues aux luasses. On voit que, pour con- 
server la symétrie des notations, je représente indifféreniment le premier 
de ces coefficients par m[ , m'^ ou m'^ de meine que j^avais représente in- 
différeniment la masse du corps Ä par m^ , m^ ou m^, 
Soit 

, ih'i 

!h = «'.• -ff . 

Dans ces conditions, les //■ sont lies aux i/^ par les mémes relations 
que les m^xl aux m^jrf et les identités (2) et (2') peuverit étre remplacées 
par les suivantes 

(3) Sfnlxl" == Sm,,q 

(3') m\x['^ + m[x'^^ + m;./*;^ = Wiir-'f + rn^xl + mTX-^. 

L'identité (3) nous montre en outre que la force vive 2\ exprimée 
en fonction des nouvelles variables, s^ccrira 

7Hi /dxi\ '^ 



^^ 2 \ilt / ^-' 2mi 



Ainsi, non seulement avec le changement de variables (y9) la forme 
canonique des équatioiis n'est pas altérée de méme que la forme des 
intégrales des aires, niaij^ il en est de méme de la forme de Téquation 
des forces vives. 

Il reste ii voir eomment on pourra satisfaire a Tidentité (3'). Cela 
peut se faire d'une intinité de manieres. Voici celle qui est ordinairement 
usitée et que nous adopterons. 

Soit G le centre de gravité des trois corps; D celui des deux corps 
A et C. 

Nous appellerons x'^^ , .rg , x'^ les coordonnées du point G\ ^ ,7j, Ccelles 
du point D et nous poserons 

Xl = Xl X-jy X^ = X^ f, 



88 H. Poincaré. 

de telle sorte que ä:J , 0*2 , rrj soient les coordonnées du point A par rapport 
a des axes niobiles passant par le point C; et x^ ,^^5,0?^ celles du point 
B par rapport h des axes mobiles passant par le point D. 
Nous poserons d'ailleurs 



m't = 



— - — '—j ni[ = — ^-—5 —: ;;/7 = m^ + ^^4 + w^. 



Les propriétés du ehangement de variables (jS) ainsi défini ont été étudiées 
par M. Radau (Annales de rEcole Normale, i^*"® serie, tonie 5). 

Les deux changements de variables (a) et (y9) ont d'ailleurs en com- 
inun la propriété de ne pas altérer la forme canonique des équations, 
ni la forme des intégrales des aires; de plus, ils permettent d'abaisser de 
9 a 6 le nombre des degres de lii erté. 

En effet, dans Tun et Tautre cas, la fonction F ne dépend que des 
?/' et des six premiéres variables rr,'; niais elle est indépendante de 0^7, rr^ 
et rrj. D'autre part, on ne restreint pas la généralité en supposant le 
centre de gravité fixe, ce qui entraine les égalités 

?/; = y; = «/; = o. 

Si Ton annule donc 2/7 , ^/g , yj, F ne dépend plus que des douze variables 
x'i et yl (/ = I , 2 , . . . , 6) et les équations (T) peuvent sécrire 



^ ^ dt dy\' dt dxi 

avec six degres de liberté seulement. 



«i=l,2,...,«) 



Méthode usuelle. 



Malgré les avantages que ])résente le ehangement (y9) et bien qu'il 
soit connu depuis longtemps, on sait qu'il n^est pas le plus usité dans 
la i)ratique. On lui préfére d ordinaire un ehangement de variables que 



Sur une forme nouvelle des éqoations du probléme des trois oorpfl. 



89 



j'appellerai le changement {y) et dont les propriétés sont loin d'étre aussi 
elegantes. On pose 

w; = tw, + »»4 + m,; yj = y, + ^4 + ih = ♦»^^ 5 



Qu\ — 3/1 



X 



7> 



Xn —— Xq 



X 



8» 



.To — X^ Xa f 



Xa = Xa 



X 



79 



Xn — Xi 



X 



8» 



^6 — ^6 -^S » 



^i = ^O 



y, = m 



'rf/ • 



(i-l,2,...,«) 



(*-l,2,...,9) 



On voit que irj , rrj , a:J sont les coordonnées du centre de gravité G; que 
^1 ) ^i > ^J; ^4 > ^6 > ^« soiitj comme dans le changement (a), les coordonnées 
rdatives des points -4 et jB par rapport a des axes inobiles passant par 
le point (7. Mais les variables 






«-i,»,...,«) 



au lieu de représenter, comme dans le changement (a) les composantes 
des vitesses ahsolues des points -4 et ^, représentent les composantes des 
vitesses relatives de ces deux points par rapport aux axes mobiles. 

Il est aisé de voir que le changement (/-) ne satisfait pas aux iden- 
tités (2), (2'), (3) et (3'); il ne conservera donc ni la forme canonique des 
équations, ni la forme des intégrales des aires. 

Supposons ccpendant que le centre de gravité soit fixe; de telle sorte 
que yj = yj = «/g = o; on sait que les équatioUvS pourront se mettre sous 
la forme suivante, que Ton pourrait appeler semi-canoniqm: 



{ dxi dF, 



(4) 



dt 



dyW 



Äcta mathmnatica . 21. 



dx,_df\ 
I dt ~ dy', ' 

Imprimé le 20 Juillet 1897. 



dy\ 
dt 

dyi 
dt 



dF, 



dXi 



r j 



« = 1,3,8) 



dF. 



dXi 



T y 



«-4,5,6) 

12 



90 H. Poiocaré. 



« 



ou 



p _ v i'-^ — r/ — -' — -*i 4- *^!^(x'x' 4- r'x' 4- x'r') 



.« **.« 



^» = L ^. - ^- Äc—Bc + :i^ ('''•'^* + ''*''• + ''•''«)• 

On voit en quoi les douze équations (4) diflférent des équations canoniques. 
La fonction qui joue le r61e de la fonction F n*est pas la méme 
dans ces douze équations; elle est égale a F^ dans six d'entre elles et a 
F^ dans les six autres. Cest ce que Ton exprime quelquefois en disant 
que la fonction perturbatrice n'est pas la méme pour les deux planetes. 



Élimination des ncetids. 

Ce qu'on doit appeler Vorbite osculatrice du point Ä ou du point B 
n*est pas la méme chose suivant que Ton adopte le changement (a) ou 
Tun des changements (/9) ou (y). 

Dans rhypothése (a), le plan de Torbite de A passé par la droite AC 
et par la vitesse ahsolue du point A et le plan de Torbite de B passé 
par la droite BC et par la vitesse absolue du point B (je suppose tou- 
jours le centre de gravité fixe). 

Dans rhypothése (^) le plan de Torbite de A passé par la droite 
AC et par la vitesse relative du point A par rapport a C; le plan de 
Torbite de B passé par la droite BD et par la vitesse relative du point 
B par rapport a D. 

Dans rhypothése {y) le plan de Torbite de A passé par la droite 
AC et par la vitesse relative du point A pär rapport a C; le plan de 
Torbite de B passé par la droite BC et par la vitesse relative du point 
B par rapport ä C. 

Nous avons vu que les changements (a) et (^) conservent la forme 
des intégrales des aires, mais il n'en est pas de méme du changement {y). 
Il en résulte une importante propriété des orbites. 

Dans rhypothése (a) comme dans Thypothése (/9), Tintersection des 
plans des deux orbites est dans le plan invariable, mais il n'en est plus 
de méme dans Thypothése {y). 



Sur une forme nouvelle des équations da probléme des trois corps. 91 

Il senible que tous ces avantages auraient dii faire substituer le 
changement (^) au changernent (j-). Si on ne Ta pas fait, c^est sans 
doute parce que le développement de la fonction perturbatrice est un peu 
plus coinpliqué dans Thypothése (^). Cest pour cette raison que je crois 
devoir attirer Tattention sur le changement (a) qui n'a pas encore été 
proposé, qui naltére ni la forme canoniqtie des équations, ni la forme des 
intégrales des aires et qtii conduit ä un développement de la fonction per- 
turbatrice tout aussi simple que le changement (/9). Cest ce dont nous nous 
rendrons mieux compte en comparant dans les trois cas la forme du 
développement. 

Mouve^ment eUiptique. 

Soit une masse mobile m attirée par une inasse fixe M située ä 
Torigine, son mouvement sera képlérien. 

Soient a,e,i,i,^ + ^> ^t 6 le demi grand axe, Texcentricité, Tin- 
clinaison^ ranomalie moyenne, la longitude du périhélie et celle du noeud. 
Soit 

L = ^a, G = yja{i — e'), = Gcosi. 

Nous pouvons exprinier les trois coordonnées x^y x^ j x^ de la masse mobile 
m en fonction des six variables, L y G y , I ^ g ^ 0; écrivons donc 

Xi — f>i{L , G y yl y g y 0). U-l.V) 

Posons d*autre part, en appelant n le moyen mouvement, 

dXi d<Pi m JM diPi 

^* dt dl U dl 

Les fonctions j^, jouissent de deux propriétés qui nous seront uti les dans 
la suite; elles satisfont d'abord a Tintégrale des forces vives 

2y* mM mM 

IVautre part, Texpression 

lydx = m yjM{Ldl + Gdg + 0d0) 
est une difFérentielle exacte. 



92 



U. PoiDcaré. 



JSniploi des varlables képlériennes. 

Considérons les variables x[ et yl (i = i , 2 , . . . , 6) définies par Tun 
des trois changeinents (ot) , (/?) ou (;*); nous allons faire un nouveau 
changement de variables en reinpla9ant ces douze variables par douze 
variables nouvelles 

L\ G\ S\ r, g\ ff . 

Ces douze variables nouvelles seront définies de la inaniére suivante; 
nous poserons 



(5) 



^' U dl 

^* "" L" dl' • 



a- 1,2,8) 



u= 4,6,6) 



Les douze variables définies par ces équations (5) pourront s'appeler 
variables képlériennes, ou bien elements osculateurs des deux corps A et B. 

Il importe de remarquer que ces elements osculateurs ne sont pas 
les inemes selon qu*on adopte le changement (a) ou Tun des changenients 
(y9) ou {y). erajouterai méme que, si lon adopte Tun de ces changements, 
le changement (a) par exemple, la definition des elements osculateurs 
dépend encore du choix des deux constantes /9 et p', choix que nous 
ferons dans la suite de fa^on a simplifier les équations autant que possible. 

Dans tous les cas, les expressions 

ij[dx[ + y'^dx'^ + y'^dx'^ — /9 {Ldl + Gdg + Bdd) 
y:dx[ + y',dx', + y',dx', — ^{LdV + &dg' + ÖW) 

sont des différentielles exactes, de sorte qu'apré8 ce nouveau changement 
de variables, les équations du mouvement conserveront la forme canonique 
dans les hypothéses (a) et (^) et la forme semi-canonique dans Thypo- 
thése (;'). 



Sur une forme oouvelle des équations du probiéoie des trois corps. 

Dans lea hypothéses (a) et (/9) les équations 8'écriront 



93 



(6) 



dl 
dt 

dl' 

I (it 



dF 
lUL ' 

dF 
t-idL 



dL 
dt 



-dF 
fldl ' 



dL' - dF 



I 9 



dt 



f 



SdV ' 



Dans rhypothése (;•) elles 8'écriront 



(6') 



dl 
dt 

dr 

dt 



dl\ 
pdL' 

lidL 



dL - dF, 

dt ' 

dL' 



dt 



fidl ' 
(fdV • 



Aux quatre équations (6), coinine aux quatre équations (6'), il faut 
adjoindre celles qu'on en déduirait en changeant L,l,L',l' en G, g, G', g' 
et celles qu*on en déduirait en changeant L , I , L', I' en B , , 8', 6' . 

D'autre part, on aura 



(7) 



y? + v'.' + y? 


,r y9' 


2 

y? + y? + y',' 




2 


slx': + x;* + 4' 2i.- 



Forme de Ui fonctlon perturhatrice. 

Nous distinguerons dans la fonction F quatre parties et nous poserons 

1'' = /; + /; + /;, + ^4 • 

Dans le cas {y)j oii au lieu d'une seule fonction 2^ on a a considérer 
les deux fonctions F^ et F,, nous poserons 

F, = f[ + a + n + n. 

Le premier terine /I (ou f'^ sera le premier ternie képlérien; f^ sera 
le second terme képlérien, f^ sera la partie principale de la fonction per- 
turhatrice, f^ sera la partie complémentaire de la fonction perturhatrice. 



94 H. Poincaré. 

1° Dans rhypothése (a), nous aurous 



F = T 



2m^ 2m^ 2m^ J 



Le signe S représente une somraation s'étendant aux trois axes des 
coordonnées, et je puis écrire également 






en posant, pour abréger, 






^ m, + m, ' 



Je poserai 



^ 2mi 












m^ + m^ 



'2 ■" *^ 2m; BC ' 



f / 



/; = S^. 



Si nous prenons 



m^m^ 



les équations (7) donneront 



m^ m^ 






/ — — *^*i "^7 






2° Dans rhypothcsc (y9), nous avons 



\2Wi 2m4/ 



et nous poserons 



'1 -»»»i' 



2m, 



^C 



'' ~ *^ 2»»: BD ' 



^, = — 



^5 ' 






BI) 



BO 



Sur uoe formo nouvelle des équations du probléme des trds corps. 95 

En prenant 

a _ m,m, — __ / m,{m, + m,) 

P ~ r . ' r ^ )Jni,m,M, = m^ W j 



il viendra 






3*^ Dans Thypothése {y)y nous poserons 



f, = n = s^ 



^ ^^ mjW^ m, w^ ^ , , -, _ Wtm^ ^ , , 

En prenant 



il viendra 

f _ fr _ — ni, (m, + m ,) r — r —~ ^i(^4 + ^7) 

Al — Al — 22:* ' It— Ti— ^jjt 1 « 

Premiera approximation. Nous regarderons la masse m^ comme 

finie et les inasses m^ et m^ comme tres petites du premier ordre. Dans 

ces conditions fi et p' sont du premier ordre, /j et f^ sont du premier 

ordre; f^ et f^ (comme f'^) sont du second ordre. On remarquera d*abord 

f f f f 
qu'aux quantités prés du second ordre, les valeurs de o^ > ^ » ^ » ^ ^^^^ 

/ p p p 
les mémes dans les trois hypothéses (a), (^) et (;*); a ce degré d'ap- 

proximation, les équations différentielles auxquelles conduisent les trois 

hypothéses ne diflférent que par les termes qui dépendent des dérivées de f^ . 

Soit 

La fonction <p sura une fonction des douze variables képlériennes dont le 
développement est connu et d'ailleurs relativement aisé a obtenir. 



y ^ j^« (ti ^ J-,^fi ' 

X- — :; "^ ' 

y'4 ^ L" *^ 



o» -- 1 mv°*^ ^'^ Jfr «^ 







a\ftteTfte^*' 






^ A.. ft«*^^'- Ae vue Ae ^* vetWtV>**'VN «e »ont 









.--:r:rs-:r:i:r5:--^'^"^ 



cöle, ^® 



ett\' 



Sur une formc nouvelle des équations du problémo des trois corps. 97 

a changer dans les hypothéses (a) et (y) devient tres compliqué dans 
rhypothése (/9). Le changement de variables (a) que je propose prend 
alors un avantage marqué. 

Il a toutefois son inconvénient propre, plus apparent que rcel, au 
point de vue de Tosculation. Supposons que Ton veuille caleuler la posi- 
tion de la planéte Aj par exeraple, a Taide des elements osculateurs, ä 
Tépoque t. Si Ton définit ces elements osculateurs conime on le fait 
dans les hypothéses (^) et (y), les coordonnées ainsi calculées sont exactes 
a Tépoque <, et pour Tépoque < + s, Terreur est de Tordre de eV- Si 
on les définit comme dans Thypothése (a), les coordonnées sont encore 
exactes pour Tépoque t; mais pour Tépoque < + s, Terreur est de Tordre 
de 3. Il ne faut pas s'exagérer cependant Timportance de cet incon- 
vénient. Si s est comparable a la durée de revolution, Terreur est du 
méme ordre de grandeur que eelle qui est due aux perturbations; elle 
est du méme ordre dans tous les cas. Si s est tres petit par rapport 
ä la durée de revolution, la correction est extrémement faible et de plus 
tres facile. 



Aeta mathématiM. 21. Imprimé le 20 Julllet 1897. (3 




] 



99 



PERIODIC ORBITS 

BY 

G. H. DARWIN 

of CAMBRIDGE. 



§ 1. Introtltictian. 

The existing methods of treating the Problem of the three Bodies 
are only applicable to the determination, by approximation, of the path 
of the third body when the attraction of the first largely preponderates 
över that of the second. A general solution of the problem is accord- 
ingly not to be obtained by these methods. 

In the Lunar and Planetary thcories it has always been found ne- 
cessary to specify the motion of the perturbed body by reference to a 
standard curve or intermcdiate orbit, of which the properties are fully 
known. The degree of success attained by any of these methods has 
always depended on the aptness of the chosen intermediate orbit for the 
object in view. It is probable that future efforts will resemble their 
precursors in the use of standard curves of reference. 

M' G. W. Hill's papers on the Lunar Theory * mark an epoch 
in the history of the subject. His substitution of the Variational Curve 
for the ellipse as the intermediate orbit is not only of primary impor- 
tance in the Lunar Theory itself, but has pointed the way towards new 
fields of research. 

The variational curve may be described as the distortion of the 
moon^s circular orbit by the solar attraction. It is one of that class 

* Americao Journal of Mathematics, Vol. I pp. 5 — 29,129—147,245 — 260 
and Acta Mathematica, T. 8 pp. I — 36. 

Åela math«matiea. 21 Imprimé 1« 20 Juillei 1897. 



100 G. H. Darwin. 

of periodic solutions of the Problem of the three Bodies which forms 
the subject of the present paper. 

Of these solutions M. Poincakb writes: 

»Voici un fait que je n*ai pu démontrer rigoureusement, mais qui 
me parait pourtant tres vraisemblable.D 

»Etant données des équations de la forme définie dans le n*^ 13 et 
une solution particuliére de ces équations, on peut toujours trouver une 
solution périodique (dont la période peut, il est vrai, étre tres longue), 
telle que la différence entré les deux solutions soit aussi petite qu'on le 
veut, pendant un temps aussi long qu'on le veut. D^ailleurs, ce qui 
nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c'est qu'elles sont, pour 
ainsi dire, la seule bréche par ou nous puissions essayer de pénétrer dans 
une place jusqu ici réputée inabordable.D ^ 

He tells US that he has been led to distinguish three kinds of 
periodic solutions. In those of the first kind the inclinations vanish and 
the eccentricities are very small; in those of the second kind the inclina- 
tions vanish and the eccentricities are finite; and in those of the third 
kind the inclinations do not vanish. ^ 

If I understand this classification correctly the periodic orbits, con- 
sidered in this paper, belong to the first kind, for they arise when the 
perturbed body has infinitely small mäss, and when the two others re- 
volve about one another in circles. 

M. PoiNCARÉ remarks that there is a quadruple intinity of periodic 
solutions, for there are four arbitrary constants viz. the period of the 
infinitesimal body, the constant of energy, the moment of conjunction, 
and the longitude of conjunqtion. ' For the purpose of the present in- 
vestigation this .quadruple infinity may however be reduced to a single 
infinity, for the moment and loiigitude of conjunction need not be con- 
sidered; and the scale on which we draw the circular orbit of the second 
body round the first is immaterial. Thus we are only left with the 
constant of relative energy of the motion of the infinitesimal body as a 
single arbitrary. 

^ Mécanique Célesto, T. I, p. 82. 

* » » T. I, p. 97 and Bull. Astr., T. I, p. 65. 

' » D T. I, p. 101. 



102 G. H. Darwin. 



PART. 1. 

§ 2. Mquations of motion. 

The particular case of the problem of the three bodies, considered 
in this paper, is whcre the mäss of the third body is infinitesimal com- 
pared with that of either of the two others which revolve about one 
another in circles, and where the whole motion takes place in one plane. 

For the sake of brevity the largest body will be called the Sun, 
the planet which moves round it will be called Jove, and the third 
body will be called the planet or the satellite, as the case may be. 

Jove J", of unit mäss, moves round the Sun Sy of mäss v, in a 
circle of unit radius ä7, and the orbit to be considered is that of an 
infinitesimal body F moving in the plane of Jove's orbit. 

Let S be the origin of rectangular axes; let SJ be the x axis, and 
let the y axis be such that a rotation from o; to y is consentaneous with 
the orbital motion of J, Let x ^ y he the heliocentric coordinates of P, 
80 that X — \ y y are the jovicentric coordinates referred to the same x 
axis and a parallel y axis. 

Let r denote SPy and the angle JSP\ let p denote JP, and let 
the angle SJP be i8o*^ — (p. Thus r,ö are the polar heliocentric co- 
ordinates, and p , iff the polar jovicentric coordinates of P. 

Let n denote Jove's orbital angular velocity, so that in accordance 

with Kepleu's law 

n^ = v -{- I. 

The equations of motion of a particle referred to axes rotating with 
angular velocity w, under the influence of forces whose potential is U, are 

d (dY \ , (dX v\ ^^' 

where t is the time. 

Now in the present problem, if the origin be taken at the centre 
of inertia of the Sun and Jove with SJ for the X axis, the coordinates 



Periodio Orbits. 103 



of F are X = rr — -, Y=y. Also the potential function is - -\ 

Hence the equations of motion are 

But r' = rr' + .v'> P^ = {^ "^ O'* + y^' Hence if we put 
the equations of motion may be written 



d^x dy dä 

-JTi 2W ^ = — , 

di dt dx 

d*y , dx dä 

I dt' ^ dt dy' 



(O 

where n' = v + i. 

dx dij 

Let the second of (i) be multiplied by 2 — , and the third by 2 -7^, 

let the two be added together and integrated, and we have Jacobi^s 
integral 

w ^-(S)"+(S)"=^^-c', 

where C is a constant, and V denot^s the velocity of P relatively to 
the rotating axos. 

Let s be the are of the planet's relative orbit measured from any 
fixed point, and let f> be the inclination to the x axis of the outward 
normal of the orbit. Then 

dx . . dy 

' It i» perhapB worth noting that 2ä may be written in the form 
u(r - iy(l +^\ +{p — i)'^ + -) + SC" + O- 






104 



G. H. Darwin. 



Hence if P be the component of inward effective force, 



(3) 



P = 






COS^ 



— sin (C 

dy ^ 



Therefore 



PV = 



dQdy . dädx 
dx dt * dy dt 



Now if R denotefl the 
relative orbit of P, 



radius of curvature at the point o? , y, of the 



I 
Ii 



dhj dx d^xdy 
df^ di di^di. 



On substituting for the second differentials from (i), we have 



'R^d^dt didt~'^'^\\dt) "*■ \dt) \ 



Hence by means of (2) and (3) 



(4) 



I 

H 



P 2n 



If the value of i2 in (i) be substituted in (3) we easily find 



(4) 



P = v(^. — r) C08 (f — <?) + (^ —p) C08 (<F — <p), 



and 



r = .(r- + 2) + (x.' + ?)-c.- 



Thus the curvature at any point of the orbit is expressible in terms of 
the coordinates and of the direction of the normal. If s^jif^^ x^, y^ , t^ 
be the initial values of the same quantities, it is clear that 



Periodio Orbits. 



105 



(5) 



f = Fo + 






X 



= X^ J9\x\<f (Is, 



y = yo + /co8 ^^ ds , 



n(t 



t 

-Q-f 



n 



ds. 



Also the polar coordinates of P relatively to axes fixed in space with 
heliocentric origin are r , d -{- n{t — t^), and with jovicentric origin are 

Hence the determination of x and y involves in each case two inte- 
grations, and another integration is necessary to find the tiine, and the 
orbit in space. 

§ 3. Partition of relative space according to the value of the 

relntit^e enevffy.^ 

It may be easily shown that the function Q arises from three 
sources, and that it is the sum of the rotation potential, the potential 
of the Sun and the disturbing function for motion relatively to the Sun. 
Hence Q is the potential of the system, inclusive of the rotation po- 
tential. Thus the equation F^=2ifi — C may be called the equation 
of relative energy. 

For a real motion of the planet F' must be positive, and therefore 
2 Q must be greater than C. Accordingly the planet can never cross 
the curve represented by 2 i2 = C, and if this curve has a closed branch 

^ A somewhat similar investigation is oontained in a paper by M. Bohlin, A c ta 
Math. T. ID, p.' 109 (1887). The author takes the Sun as a fixed ccntre, whioh is 
equivalent to taking the Sans mäss as very large compared with that of Jove; he thus 
fails to obtain the funotion Q io the symmetrical form used above. 

Aeia mathématiea. 21. Imprimé le 21 JufUet 1897. 14 




106 a. H. Darwin. 

with P inside, it must always remain inside; or if P be outaide, it must 
always remain so. 

This ifi M' Hilt/s result in his celebrated memoir ' on the Lunar 
Thoory, sa ve that the value of Q nsed here has not been reduced to 
an approximate form. 

We phall now proceed to a consideration of the family of eurves 
2ii = C. That is to say we shall find, for a given value of C, the locus 
of points for which the three bodies may move for an instant as parts 
of a single rigid body. We are clearly at the same time finding the 
curves of constant velocity relatively to the moving axes for other 
valuos of C. 

For any given vahie of /?, the values of r are the roots of the 
cubic equation 

.. + 5_L(C-,.-?). 

If C be written for the value of the right hand of this equation, the 

cubic becomes 

r^ — (rr+ 2=0. 

The solution is 

A — -« — 

r = 2 y - C cos a , where cos 3a = — 6" ^ v^a/ . 

In order that a may be a real angle, such a value of p must be assumed 
that C may be greater than 3, or />' + - less than C — 3v. The lim- 

iting form of this last inequality is yo' + = C' — 3P, a cubic of the 

same form as before. Hence it follows that C — 31; must be greater 
than 3. Thus the minimum value of C is 3(v + i). 

With C greater than 3(v+ i), let y9 be the smallest positive angle 

such that cos3y9= C'~^\/27. Then y9 is clearly less than 30% and the 
three roots of the cubic are 



y- c cos (60^ + y9) , — 2 y - 6" cosy9. 



2 

3 



* Amer. Journ. of Math. Vol. I, pp. 5 — 29. 



Periodic Orbits. 107 

The third of these roots is esseiitially negative, and may be oinitted as 
not corresponding to a geouietrical solution. But the first two roots are 
positive and will give a real geometrical rneaning to the solution provided 
that \( p> ly 

r<'p+ I 

and if p < i, 

r <p + I 

> I — p. 

In some cases there are two solutions, in others one and in others none. 

By the solution of a number of cubic equations I have found a 
nuniber of values of r,p which satisfy 2ii = C, and have thus traced 
the curves in Fig. i, to the consideration of which I shall return below. 

Some idea of the nature of the faniily of curves may be derived 
from general considerations; for when r and p are small the equation 

approximates to h - = ^'> ^^^d the curves are like the equipotentials 

due to two attractive particles of masses 2u and 2. 

Thus for large values of C they are closed ovals round S and «/, 
the one round S being the larger. As C declines the ovals swell and 
coalesce into a figure-of-8, which then assumes the form of an hour-glass 
with a gradually thickening neck. 

When on the other hand r and p are large the equation approxi- 
mates to pr' + /)' = C, and this represents an oval enclosing both S and 
Jy which décreases in size as C decreases. 

It is thus clear by general reasoning that for large values of G the 
curve consists of two closed branches round S and J respectively, and 
of a third closed branch round both S and J. The spaces within which 
the velocity of the planet is real are inside of either of the smaller ovals, 
and outside of the larger one. Since the larger oval shrinks and the 
hour-glass swells, as C declines, a stage will be reached when the two 
curves meet and coalesce. This first occurs at the end of the small 
bulb of the hour-glass which encloses J. The curve is then shaped 
like a horse-shoe, but is narrow at the toe and broad at the two points. 



108 G. H. Darwin. 

For still smaller values of 6% thc horse-shoe narrows to nothing 
at the toe, and breaks into two elongated pieces. These elongated pieces, 
one on each side of SJ^ then shrink quickly in length and slowly in 
breadth, until they contract to two points when C reaches its minimum. 

This sketch of the sequence of changes shows that there are four 
critical stages in the history of the curves, 

(a) when the internal o vals coalesce to a figure-of-8; 

(^) when the small end of the hour-glass coalesces with the ex- 
ternal oval; 

(;-) when the horse-shoe breaks; 

{()) when the halves of the broken shoe shrink to points. 

The points of coalescence and rupture in (a), (^), {f) are obviously 
on the line SJ (produced either way), and the points in [d) are symme- 
trically situated on each side of SJ. 

We must now consider the physical meaning of the critical points, 
and show how to determine their positions. 

In the first three cases the condition which enables us to find the critical 
point is that a certain equation derived from 2ii=^C shall have equal roots. 

(a) The coalescence into a figure-of-8 must occur between S and J; 
hence r = i — p, and 2ii = C becomes 

(6) ,[(._^)« + _A_]+^^ + ^ = 6'. 

This equation must have equal roots. Accordingly by differentiation we 
find that p must satisfy, 

or 

{v+ iV* — (3V + 2)^* + (3V+ iV— />'+ 2p—l=0, 

a quiiitic equation from which p iiiay be found. 
This equation iiiay be put in the form, 



(3"+ ^)p'= I - 






Periodic Orbiu. 109 

When the Sun is large compiired with Jove y is large, and p is ob- 
viously small, and we liave approxiuiately 



(3P+ xfp= I _I^,, 



whence 

(7) 



(3v + O* + 3 



If this value of /v be substitutod in (6) we obtaiii the approxiinate result 

(8) C'=3'' + ---~, + 3(3v+i)^. 

In this paper the value adopted for y is lo, and the upproxiniate forrnuhe 
(7) and (8) give 

^ = •28779, /-^ -71221, C =40-0693. 

The eorrect results derived from the quintic equation and from the full 
formula for C are 

(9) /> = -28249, /• = -7i75i, 6'= 40-1821. 

Thus for even so small a value of v as lo, the approximation is near 
the truth, and for such cases as aetually oeeur in the solar system it 
would be accurate enough for every purpose. 

The for mula from whieh p has been derived is equivalcnt to — = o, 

and since // = o, we have also - = o. Hence the point is one of zero 

eftective force at which the planet may revolvc without motion relä- 
tively to the Sun and Jove. 

This position of conjunction between the two larger bodies is ob- 
viously one of dynamical instability. 

(y9) The coalescence of the hour-glass with the extcrnal oval must 
occur a t a point in SJ produced beyond J\ hence / = i +/>, and 
2ii = C becomes 



]'+'''>' + T^M "' + ? = '''■ 



110 G. H. Darwin. 

This cquation must have equal roots, and p must satisfy 

v I 



»'(i+/')-(rT7r + '"~?^°' 



or 

(P+ OyO^ + CSl^H- 2)/>' + (3i;+ l)p^—f}^—2p— I =o. 

This quintic equation may be written in the form 



(3V+. )/>'=!+ > ^^ 



>+/>+->' 



With the same approximation as in (a) 



(lO) 



(3, + ,)i...i 



('0 C'=3v--/:^ + 3(3v+ir. 

When v is lo, the approximate formuUc (lo), (i i) give 

^= -35612, r= 1-35612, C'= 38-7790- 

The correct results derived from the quintic equation are 

(12) f)=: -34700, r= 1-34700, C= 38-8760. 

The approximation is not so good as in (a), but in such cases as actually 
occur in the solar system the formulic (10), (11) would lead to a high 
degree of accuracy. 

This second critical point is another one at which the planet may 
revolve without motion relatively to the Sun and Jove, and such a motion 
is dynamically unstable. 

(;-) The thinning of the toe of the horse-shoe to nothing must occur 
at a point in JS produced beyond S\ hence /) = r+i, and 2i! = C 
becomes 



Periodic Orbita. 111 

Thifl equation must have equal roots, and r must satisfy 



v(r-^) + (r+.)-^^,= o, 



or 

(v + i)'-" + (2v + z)r* + (v + 2,V — v{r^ + 2r + i) = o, 

a quintic for finding . 

If we put r= I — f, the equation becomea 

(p + i)f«_(7P+8)r+(i9»^ + 25)?' — (24i'+37)f'+(i2v + 26)f— 7=0. 

This equation may be Rolved by approximation, and the first approxima- 
tion, which is all tbat I shall consider, gives 

(13) f=i_r = 



121/4- 26 



7 

Thufl the approximate Rolution is r = \ — -z. . 

^^ I2v + 26 

We also find 

(14) C? = V(I— 2e+^»+2 + 2f+2r...) + 4 — 4C + e'+I + ;f+;e' 

2 4 



= 3i' + 5-2f+(3v + |)e'. 



If we take only the term in f in (14), and put 1;= 10 the approximate 
result is 

^= 95205, />= 1-95205, C= 34'90i2. 

The exact solution derived from the quintic equation is 

(15) ^ = -94693^ P= 1-94693» 0=34-9054. 

With large values of p the first approximation would give nearly accurate 

resulta. This critical point is another one at which the three bodies may 

move round without relative motion, but aa before the motion is dyna- 
mically unatable. 




112 G. H. Darwin. 

{d) The fourth and last critical position occurs when C is a Tninimiitn. 

dC dC 

Now c is a minimum when — = o, — = o; whence r = i, /? = i, and 

C= 31; + 3. We arrivea above at this minimum value of C from another 
point of view. 

If an equilateral triangle be drawn on SJy its vertex is at this 
fourth critical point; and since this vertex may be on either the positive 
or negative side of SJ, there are two points of this kind. 

It is well known that there is an exact solution of the problem of 
three bodies in which they stånd at the corners of an equilateral tri- 
angle, which revolves with a uniform angular velocity. The motion is 
stable in this case. 

Thus all the five critical points correspond with particular exact 
Solutions of the problem, and of these solutions three are unstable and 
the symmetrical pair is stable. 

Fig. I represents the critical curves of the family 2 Q — C, for the 
case v= 10. The points in the curves were determined, as explained 
above, by the solution of a number of cubic equations. I have only 
drawn the critical curves, because the addition of other members of the 
family would merely complicate the figure. 

An important classification of orbits may be derived from this 
figure. When C is greater than 40 182 i the third body must be either 
a superior planet moving outside of the large oval, or an inferior planet 
moving inside of the larger internal oval, or a satellite moving inside 
the smaller internal oval; and it can never exchange one of these parts 
for either of the other two. The limiting case (7= 40 ' 1821 gives su- 
perior limits to the radii vectores of inferior planets and of satellites, 
which cannot sever their connections with their primaries. 

When C is less than 40-1821 but greater than 38*8760, the third 
body may be a superior planet, or an inferior planet or satellite, or a body 
which moves in an orbit which partakes of the two latter characteristics; 
but it can never pass from the first condition to any of the latter ones. 

« 

When C is less than 38*8760 and greater than 34*9054, the body 
may move anywhere save inside of a region shaped like a horse-shoe. 
The distinction between the two sorts of planetary motion and the motion 
as a satellite ceases to exist, and if the body is started in any one of 



Periodio Orbits. 



113 



these three ways it is possible for it to exchange the characteristics of 
its motion for either of the two other modes. 

When C is less than 34*9054 and greater than 33, the forbidden 
region consists of two strangely shaped portions of space on each side of SJ. 

Lastly when G is equal to 33, than which it cannot be less, the 
forbidden regions have shrunk to a pair of infinitely small closed curves 
€nelo8ing the third angles of a pair of equilateral triangles erected on 
SJ as a base. 




Fig.l 



Curves of zero velocity, lofr* + -) + (p^ + ") = ^' 



% i. A certain partition of space according to the nuture of 

the curvature of the orbit. 

It appears from (4) of § 2 that the curvature of an orbit is given by 

-^ = P — 2nVy where P= cosc sin c. 

u dx ^ dy ^ 

Now if V^ denotes any constant velocity, the equation 2i2=C+ V\ 
defines a curve of constant velocity; it is one of the family of curves 
considered in § 3. We have seen that this family consists of a large 
oval enclosing two smaller ones, or of curves arising from the coalescence 
of ovals. In the mathematical sense of the term the »interiör» of the 
curve of constant velocity consists of the space inside of either of the 

Åcta maXtwmaHeaL. 21. Imprimé le 26 Juillet 1897. |5 



114 G. H. Darwin. 

smaller ovals or outside of the large one, or of the corresponding spaces 
when there is coalescence of ovals. It is a convenient and ordinary 
convention that when the circuit of a closed eurve is described in a 
positive direction, the »interiör» of the eurve is on the left-hand side. 
According to this convention the meaning of the »inward» nonnal of one 
of these curves of constant velocity is clear, for it is direeted towards 
the »interiör». Similarly the inward normal of an orbit is towards the 
left-hand side, as the body moves along its path. 



It is clear tlien that P is the component of effective force estiniated 
along the inward nonnal of the orbit. Also if T be the resultant efifec- 

tive force "P =^ i — \ -f-f — \ ; and if x be the angle between Tand the 

inward normal to the orbit, P= Tcos;^. 
Hence 

— =z Tqo^X — 2^^' 

If we consider curvature as a quantity which may range from infinite 
positive to infinite negative, it may be stated that of all the orbits 
passing through a given point the curvature is greatest for that orbit 
which is tangential to the eurve of constant velocity, when the motion 

takes place in a positive direction along that eurve. 

2nV 
If X 'i^s betvi^en +Xö^ where cos;f^ = -^, the orbit bas positive 

curvature; \i ^ =^ +Xq^ there is a point of contrary flexure in the orbit; 
and if x l>^s outside of the limits ±;fo> *^^ curvature is negative. 



Periodic Orbits. 115 

If however T be less than 2nF, there are no orbits, passing through 
the point under consideration, which bave positive curvature. Hence the 
equation T=^ 2nV defines a faraily of curves which separate the regions 
in which the curvature of orbits is necessarily negative, from those in 
which it may be positive. 

Since 

»•='+■• '"='(''+?)+('''+p-^' ^■=©'+(1)' 

the equation T= 2nF becomes, 

= 4(» + l)[» (r- + ;) + (^' + ?) - C']. 
Since 2rp cos [d — ^) = r^ -{- p^ — i , it may be written 

(■«) "•(^-T-3'') + C--7-'^') 

This equation is reducible to the sextic equation, 

+ /[3K»^+ i)r' — (4»^C+4C — v)r' + (ioj;' + 9v)r' — vr — v"] 
+ />^[(9P + io)r* — pr] +/>pr(i — r^)(i — r^) — r* = o. 

It may also be written as a sextic in r, by interchanging r and p and 

I G 

by writing - for y and - for C. 

It would require a great deal of computation to trace the curves 
represen ted by (16), and for the present I ha ve not thought it worth 
while to undertake the task. 

When however we adopt M' Hill's approximate value for the po- 
tential Q, the equation becomes so much simpler that it may be worth 
while to consider it further. 



11(5 



6. H. Darwin. 



If m , a , n be the mäss, distance from Sun and orbital angular ve- 
locity of Jove, the expression for Q reduces to 



The last term is constant, so that if C be replaced by C^, where 
Cq = C — 3»*a^ we may oniit the last term in Q and use C^ in place of C. 

Now taking units of length and tiine such that m= i, n= i; also 
writing ^ = {x — a), 7j=y; we ha ve 



(17) 



Then 






däV . /däV 



^3 






Hence the equation (i6) becomes 



)=^(^-?K+?- 



or 



(■8) 






Since f = ^cos^, the polar equation to the curve is 



(i8) 






cos» ^ = ^ C, 



M' Hill'8 curve 2fl = Cj gives 



(»9) 



c' 



-36;.! 



é^' 



or 



cosv=-;^(/>-0 



It is clear that the two curves present similar characteristics, but the 
former is the inore eomplicated one. 



Periodic Orbits. 117 

The asymptotes of (i8) are $= + 2y (-c\ whilst those of (19) 

are ^=±\/[\g,). 

Again to find where the curves cut the positive half of the axis of 
7j, we put $=0, p = 7j and find that (18) becomes 

(20) r/-|-,' + ^ = o, 

whilst (19) becomes simply yj = — . 

The condition that (20) 'shall have equal roots is 437 = —, or 
- = - Cft. But C. = i, and therefore CL = - 



C. 



The quartic for iy has two real roots if 6'^ is less than -- or 

I '8899, but no real roots if it is greater than this value. 

It is easy to show that when the roots are real, one is greater than 

'2 

and the other less than -4r • 

It follows that if C^ is greater than 1*8899 the curve does^ not cut 
the axis of ly, but if less it docs so twiee. 

To find the critical values of 0^ in the case of M' HiLr/s curve 
(19), we put (as in § 3) ly = o and therefore p = 5, and we then find 
the condition that the equation shall have equal roots. 

Now with /) = c, (19) becomes 

I 24 

This has equal roots when f = — . Hence C^ = 3f' + - = 3^ _ 4*3 267. 

3 ^ 

If Cq be greater than 43 267 the curve consists of an internal oval and 

of two asymptotic branches. With smaller values of C^ the oval has- 

coalesced with the two external branches. 

FoUowing the same procedure with our curve (18), we have to- 

find when 

^■+F)=!('^.-|+i=) 

has equal roots. 



118 G. H. Darwin. 

The condition is that 3f^ — 7^^ +2=0, and the solutions are c'= 2,. 



^■=-;- 




Now 






Oo = 


Hence when 






e-2, 


and when 




« 


^ 3' 



'''i{^'+l)^hi 



4^ 



6;=^ = 3-8693; 



C'; = 3^ = 4-3267. 



Thus there are three critical values of C^, viz: C^ = 1*8899, which 
separates the curves which do from those which do not intersect the 
axis of ly; 6^^ = 3-8693 when two branches coalesce; and (7^ = 4*3267 
when two branches again coalesce. The last is also a critical value of 



Cq in the case of M' Hill's curve. 



It would seeni then that if these curves were traced for the value& 
Cq = i • 5 , 3 , 4 , 5 a good idea rnight be obtained of their character, but 
I have not yet undertaken the task. 



§ 5* Fortnulm of iuterpolatton and qundrature* 

The object of this paper is to search for periodic orbits, but no 
general method has been as yet discovered by which they may be traced. 
I have therefore been compelled to employ a laborious method of tracing 
orbits by quadratures, and of finding the periodic orbits by trial. The 
formulse of integration used in this process will now be exhibited. 

According to the usual notation of the calculus of finite differences^ 
Uj, is to denote a function of Xj and the operators E and A are de- 
fined by 

Eu^ = w,+i; Au, = w,+i — w, = {E— i)u^. 

d 

It is obvioug that E ■= €^' j where e is the base of Napierian logarithms, 
and that E' w^ = w^ . 



Periodic Orbits. 



119 



In most of the work, as it presents itself in this investigation, the series 
•of^ values . . . u„^^ , m„_i , w„ are known, but w„^i , u„^2 > • • • ^re as yet 
unknown. 

Now 

E= 1 + A = {i — AE'')-\ 

and 



80 that 



.(2 i) u,= (i +xAE-' + 



u^=E'H, = {i—AE-Y^u,, 



-1 , «(«+!) . ax^_ 



3 / * 



In the course of the Avork occasion will arise for finding w_i by inter- 



I . 



polation; putting then x = in (21), we have 



(22) tt_j = 



(-i 



AE-' — Ia'E'' - ^A'E- 
2 8 16 



128 256 / ^ 



In a subsequent section the two following well-known formulae of inter- 
polation will be of service, 



in) 



Mx = 



i+a; i(A+ A£^') + ^A'ir 



<23) 






u 



0> 



+ P ^'-A'E-' + ^^^^^=i^^^^^.-(A*i^>+ A*E-*)... 



«o- 



Of these formulae the first is the better when the interpolated value of 
u. lies between x = and a? = + - ; and the second is the better when 

it lies between x = + - and a; = + - • 

4 4 



120 G. H. Darwin. 

In order to obtahi a formula of integration we require to prove that 



^rl<-)'°'-'/E''- 



log(i- 



•Avhere v^""^ denotes the factorial v{y — i)...{v — r+ i). 
This is easily proved as follows: — 



o 






i 

/(i-tt)Vt;=£ fi-Ya^^dv. 

O t/ IL 



If the last two forms of tliis integral be equated to one another, we 
•obtain the required formula. 
Now 

■e^= {i—AE-')-\ 
Änd therefore 

^=_log(i-A£-). 
Hence 

O 

If the definite integrals on the right hand side be evaluated, we find 

•^ \ 2 12 24 720 

-Ti^'^'-6^^'^'-)K-«.)- 

Since A~^ contains an arbitrary constant we may choose 
■(^4) A-^i(i = -Uq'\ Au. H A'w - H — ^ A'w_, + . . . , 



Periodio Orbits. 121 

and we then have as our formula of integration, 

n 

(24; fujx= A-'m,+, — ^tt. — -^Am,„, — ^A'm,_, 



720 "~* 160 ""■* 60480 

This is the most convenient formula of integration when only the inte- 
gral from n to o is wanted, and the integrals from n — i to o, n — 2 
to o, etc. are not also wanted. But in the greater part of the work the 
intermediate integrals are also required. Now on applying the operator 
A to (24), we have 

(25) f uJx = ti,^, — ^Au^ — ^A^u^^, — ^A'u^_^ — ^A'u,_,.... 



n 



If this be added to the integral from n to o we have the integral from 
n + i to o. 

I have found that a table of integration may be conveniently 
arranged as foUows: — 

Let US suppose that the integral from n — i to o has been already 
found, and that the integral from n to o is required; write u^ and its difife- 

rences Aw„_i, A'w„_2> A'w„_8 in vertical column; below write Au 



2 »•->> 



A*w^_a, A^M„_3, and add them together; add w„ to the last; 

multiply the last sum by the common difference Aa?, and the result is 
the integral from n to n — i; add to this the integral from n — i to o, 
and the result is the required integral from n to zero. 

Thus each integration requires 13 lines of a vertical column, and 
the successive columns foUow one another, headed by the value of the 
independent variable to which it applies. 

A similar schedule would apply when the formula (24) is used; 
but when the initial value of A"^ has been so chosen as to insure the 
vanishing of the integral from o to o, the final value of A""^ is to be 
found by adding to it the successive us, so that the intermediate columns 
need not be written down. 

Aeta mathemaiica. 21. Imprimé le 29 juillet 1897. 16 



122 G. H. DarwiD. 

When the snccessive values of u depend on their precursors, it is 
necessary at the first stage to take Ax small, because in the first inte- 
gration it is only possible to take the first difference into account. At 
the second stage the second difference may be included and at the third 
the third difference. 

But in almost every case I begin integration with such a value of 
the independent variable (say x = o), that we either have u^ an even 
function of rr, or an odd function of x; in the first case u^ = u_^, in 
the second w, = — u__j,. Both these cases present special ad vänta ges for 
the conimencement of integration, for in the first integration we may 
take second differences into account. Thus when u^ is an even function, 
the second difference involved in the table of integration from i to o is 
2AUq] and when w^ is an odd function it is zero. In both cases third 

differences may be included in the second integration. 

It is of course desirable to use the largest value of the increment 
of the independent variable consistent with adequate accuracy. If at any 
stage of the work it appears by the smallness of the second and third 
differences involved in the integrals, that longer steps may safely be 
€mployed, it is easy to double the value of Arr, by forming a new 
difference table with omission of alternate entries ainongst the values 
already computed. Thus if the change is to be made at the stage 
where rr=n, the new difference table will be formed from w„_4,Wn-»> 
M^; and thereafter Ax will have double its previous value. 

When on the other hand it appears by the growth of the second 
imd third differences that Ax is becoming too large. Ax can be halved, 
and the new difference table must be formed by interpolation. The 
formula (22) enables us to find w„_i from w„ , w„__i , ti^__^ , . . . with suffl- 

cient accuracy for the purpose of obtaining the differences of w,_8 , w„_i, 

^«_i,w„. The process of halviiig the value of Ax is therefore similar 

to that of doubling it. 

In some of the curves which I have to trace there are sharp bends 
or quasi-cusps, and in these cases the process is very tedious. It is 
sometimes necessary to repeatedly halve the increments of the independent 
variable, which is the are s of the curve. Thus if (s) denotes the func- 
tion of the are to be integrated, and if s be the value of the are at 



Periodic Orbits. 12:^ 

the point where the curvature begins to increase with great rapidity^ 
and if d be the previous increment of are; then in integrating [s) from 

s to 5 -f- - (?, the difference table is to be formed from {s — d) , is Jj , 

(5), the middle one of these three being an interpohited vnlue. At the 

1 "^ 

nt*xt step (5) has to be integrated from s -{- - d to 5 + -<?, and tlie dif- 

2 4 

ference table is formed from (5), (5+-^) 1 (5 + -<^); the middle term 

being again an interpolation. This process may clearly be employod över 
nnd över agnin. In soine of the curves traced the increment of are hns^ 
been 32 times less in one part than in another. 

But the chief difficulty about these quasi-cusps arises when they nre 
past, and when it is time to double the are ngain. For the fact that 
the earlier values of the function to be used in the more open rankeci 
diflference tables are thrown back nearly to the cusp or even beyond it^ 
makes the higher differences very large. Now the correctness of the 
formula of integration depends on the correctness of the hypothesis that 
an algebraic curve will give a good approximation to actuality. But 
in the neighbourhood of a quasi-cusp, and with increasing arcs this is^ 
far from correct. I have found then that in these cases of doublin^r 
the are, a better result is obtained in the first and second integration 
by only including the second difference in the table of integration. 

If we are tracing one member of a family of curves which are 
widely spaced throughout the greater part of their courses, but in one 
region are closely crowded into quasi-cusps, it is difiicult to follow one 
member of the family through the crowded region, and on emerging 
from the region we shall probably find ourselves tracing a closely 
neighbouring member, and not the original one. I have applied the 
method to trace the curve drawn by a point attached to a circle at nine- 
tenths of its radius from the centre, as the circle rolls along a straight 
line. After the passage of the quasi-cusp I found that I was no longer 
exactly pursuing the correct line; nevertheless on a figure of the size 
of this page the difference between the two lines would be barely discern- 
ible. But the orbits which it is my object to trace do not quite resemble 
this case, since their cusps do not lie crowded together in one region 



124 G. H. DarwiD. 



of space. I bclieve therefore that these cases have been treated with 
subfttantial accuracy. 

Another procedure has however been occasionally einployed which 
I shall explain in § 7. 



§ 6. On fhe niethod of traciny a curve from its curvature. 

It will be 8upposed that the curve to be traced is symmetrical 
with respect to the x axis, and starts at right angles to it so that 
X ^= Xq, y = o, jt = o, s = o. This is not a necessary condition for the 
use of the method, but it appears from § 5 that the start is thus 
rendered somewhat easier than would be the case otherwise. The curva- 
ture at each point of the curve is supposed to be a known function of 
the coordinates x , y of the point, and of the direction of the normal 
defined by the angle fr. 

The first step is to compute the initial curvature ^; it is then 

necessary to choose such a value for the increment of are ds as will give 
the requisite degree of accuracy. 

I hive found that it is well to take, as a rule, ds of such a size that 

ds 

^ shall not be greater than about 8**; but låter, when all the differencés 

in the tables of integration have come into use, I allow the increments 
of ^ to increase to about 12®. 

It is obvious that the curvature is even, when considered as a 
function of s. When nothinor further is known of the nature of the 
curve, it is necessary to assunie that the curvature is constant throughout 
the first are ds. but it is often possible to make a conjecture that the 

curvature at the end of the are ds will be say j- . By the formula 

of integration with first and second difi^erences we then compute (f =- ^ 
at the end of the are, by the first of equations (5) in ^ 2. 

With this value of (p we find sin fr, , cos cr^ , and observing th? 
sinjr^ =0, cosf'^ = i, we compute x^ , y^ by means of the second a^ 
third of (5), using first and second differencés 



Periodic Orbitf». 125 

We next compute ^ with these values of a:,y, and if it agrees 

with the conjecture the work is done; and if not so, the work is repeated 
until there is aojreement between the initial and final values of the 
curvature. 

After the first are, a second is computed, and higher differences are 
introduced into the tables of integration. We thus proceed by steps 
along the curve. 

The approximation to the final result is usually so rapid, t hat in 
the recalculation it commonly sufllces to note the changes in the last 
significant figure of the numbers involved in the original computation, 
without rewriting the whole. 

The correction of the tables of integration is also very simple; for 
suppose that the first assumed value of the function to be integrated is u , 
and that the second approximation shows that it should have been u + du\ 
then all the differences in the column of the table have to be augmented 
by dUy and therefore the integral has to be augmented by 



\ 2 12 24 / 



åuds. 



If we stop- with third differences, this gives the simple rule that the 
integral is to augmented by ^duds. 

It has been shown in § 5 how the chosen are ds is to be increased or 
diminished according to the requirements of the case. 

This method is the numerical counterpart of the graphical process 
described by Lord Kelvin in his Populär Lectures, ^ but it is very much 
raore accurate, and when the formula for the curvature is complex it is 
hardly if at all more laborious. In the present investigation it would have 
been far more troublesome to use the graphical method, with such care 

as to attain the requisite accuracy, than to foUow the numerical method. 

.2 
In order to trace orbits I first computed auxiliary tables of r'^ + - , 

and of logl-^ — r\ for r< i, and of logfr- A for r> 1; the tables 

* Populär Lectures. vol. I, 2°** ed. pp. 31 —-42; Phil. Mag. vol. 34, 1892, pp. 
443-448. 



126 



G. H. DarWio. 



extend from r = o to 15 at intervals of 001, but they will ultimately 
require further extension. 

The following schedule shows the arrangement for the computation 
of the curvature at any point. The table has been arranged so as to be 
as compact as possible, and is not in strictly logical order; for the cal- 
culation of F' should foUow that of r,/>, but is entered at the foot 
of the first column. It will be observed that the calculation is in ac- 
cordance with the formula (4) of § 2. 

L denotes logarithm and C denotes cologarithm; u the sun's mäss 
is taken as 10, and L 2w = '82 1 7, being L 2 y^i i , a constant. The bra ekets 
indicate that the numbers so marked are to be added together. 

Schedule for computation of curvature. 



8 



9 
X 



X I 

y 






Lr 
r 



C(*-i) 



Ltan^ 


L tan^ 


6 


<!> 


(p — e 


<P — <P 


L secé/ 


L sec ip 


hx 


L(*-i) 



L/, 
P 



Lvcos(^ — tf) 
La 



Leos(^ — ip) 



L6 



(1 
6 



{" - ;) 



QV 

2» 

2n 
~"T 
g + 6 

I 

R 



Periodic Orbits. 127 

The fonnulae r = ycosecö, p = y cosec^ are used, when the values 
oi d OT ip show that t hese are the better forms. 

The tables of integration are kept on separate sheets in the forms 
indicated in § 5. 

As the computation proceeds I keep tables of differences of rr , y, 
j? , r , yo , F^t and this check has been of immense advantage in detec- 
ting errors. 

The auxiliary tables of logarithms are computed to 5 figures, but 
the last figure is not always correct to unity, and the fifth figure is prin- 
cipally of use in order to make correct interpolation possible. 

The conversion of <p from circular measure to degrees and the values 
of sin^ and cos^ are obtained from Bottomley'8 four-figured tabie. 

Most of the work has been done with these tables, but as it appears 
that the principal source of error lies in the determination of r and />, 
five-figured logarithms have general ly been used in this part of the 
work, and the values of O and ip are written down to o'm. 

In those parts of an orbit in which F' becomes small I have often 

ceased to use the auxiliary table for i'(>'' + -); toi* since the auxiliary 

tabie of this function only contains four decimal places and since u is 
10, it follows that only three places are obtainable from the table, and 
of course there may be an error of unity or even of 2 in the last 
significant figure öf V\ 

In order to test the method, I computed an unperturbed elliptic 

2 I 
orbit by means of the curvature. The formulae were F' = » 

•^ . r 10 

I P I 

~ = -^, whore P=-jCos(jp — 0\ and the initial values were 0:^ = 5, 

Vo =0, f^o = O, 5, = o. 

The curve described should be the ellipse of semiaxes 10 and 5v/3> 
and X , y ought to satisfy the equation 



(^)"+(s^)'-- 



I take the square root of the left hand side of this equation, with 
computed x^y^ as one measure of the error of position in the eliipse. 



128 



G. H. Darwin. 



4 
'V 



Again if tan;^ = ^ , )( ought tx) be identical with ^; hence / — ^ 

"^ "T D 

measures the error of the direction of motion. 

Lastly the area conserved h is Sy— or 2 7386; but it is also 

Vr cos (^ — d)j if the computation gives perfect results. Hence h — Fr cos(^— ff) 
measures the error in the equable description of areas. The semi-period 
should be tt^/ 1000 or 99*346. 

The computations were made partly with five-figured and partly with 
four-figured logarithms, and the process followed the lines of my other 
work very closely. 

The following table exhibits the results together with the errors. 
It will be observed that when 5=24 there is a sudden increase in the 
second column of errors, but I have not been able to detect the arithme- 
tical mistake which is probably responsible for it. The accordance still 
remains so close, that it appeared to be a waste of time to work any 
longer at this example. 



Computed positions in an ellipse described under the action of a 

central force. 



8 


X 


y 


V> 


X — 9> 


Lrro ) n/vj j'- 


-I h—Vr cos{^ 





5*oooo 


•0000 


0° 0' 


o'-o 


+ -00000 


-0000 


I 


49337 


•9971 


7° 37' 


+ 0-3 


+ •00002 


•0000 


2 


47364 


1-9768 


15° 8' 


+ 0-8 


+ -00005 


— •oooi 


3 


4-4137 


2*9227 


22° 29' 


+ 03 


4- -00004 


— -0001 


4 


3*9749 


3*8205 


29° 35' 


—0-3 


+ -00004 


— -0002 


5 


3*4304 


46586 


36° 23' 


-0 


+ -00004 


— -OOOI 


6 


27925 


5-4281 


42° 53' 


+ 0-I 


+00004 


—•OOOI 


8 


1-2843 


67363 


55° 1' 


+ 0-2 


— "00002 


+ 'OOOI 


10 


— 4567 


7-7147 


66° 9' 


4- 1 -o 


— -ooooi 


+ ^0002 


12 


— 2*3497 


8-3507 


76° 36' 


+ 0-6 


•00000 


+ •0003 


14 


— 43259 


8-6407 


86° 39' 


+ o*i 


— -OOOOI 


•0000 


16 


— 63225 


8*5845 


96^ 35' 


+ 0-4 


-f -00003 


•0000 


18 


- 8-2787 


8.1823 


106° 43' 


+ 0-6 


+ •00010 


+ •0003 


20 


— lo- 1.^05 


7-4349 


117° 21' 


-i-o-8 


+ -00012 


+ •0003 


22 


— 11-8051 


6-3481 


128° 47' 


+ r -o 


+ -OOOOI 


+ •0004 


24 


— 13-2181 


4-9385 


141** 17' 


+ 0-8 


+ -00028 


+ •0004 


25 


— 13-7968 


4-1237 


148° 0' 


— 0-4 


+ •06027 


+ •0003 


26 


— 14-2740 


32456 


155° 0' 


-0-8 


+ -00027 


+ •OOOI 


27 


—14-6385 


2-3151 


162° 15' 


—0-5 


+ -00023 


+ •0003 


28 


— 14-8808 


1*3456 


169° 43' 


-0-5 


+ '0002 1 


+ •0003 


29 


— 149938 


•3526 


177° 19' 


— -6 


+ -00020 


+ •0002 


30 


— 14-9740 


— 6465 


184° 57' 


—0 -6 


+ -00019 


+ •0004 


293546 


— 15-0020 


•0000 


180° I' 


+ 10 







-ff) 



Periodic Orbits. 129 

The last line in the above table was found by interpolation. 

The computed values of the semiaxes of the ellipse (both involving 
interpolations) were found to be loooio and •86604; their correct values 
are 10*0000 and '866026. The computed semiperiod (requiring another 
integration and interpolation) was found to be 99*346, agreeing with the 
correct value to the last place of decimals. 

Considering that a considerable part of the computation was doue 
with four-figured tables, the accuracy shown in this table is surprising. 

This calculation is exactly comparable with the best of my calcu- 
lations of orbits, but there has been from time to time a good deal of 
variety in niy procedure. My object has been throughout to cover a 
wide field with adequate accuracy rather than a far smaller one with 
scrupulous exactness, for economy of labour is of the greatest iniportance 
in so heavy a piece of work I shall in the appendix generally indicate 
which are the more exact and which the less exact computations. I do 
not think it would in any case have been possible in the figures to show 
the difference between an exactly computed and a roughly computed 
curve, because the lines would be almost or quite indistinguishable on 
the scale of the plates of figures. This however might not be quite true 
of the orbits which have very sharp bends in them. 



§ 7, Development in powers of the time; the form of cusps. 

In a few cases the quasi-cusps of orbits have been computed by 
means of series; the mode of development will therefore now be con- 
sidered. 

If for brevity we write 

dx dy 

2n = m, ^ = n, ^ = v, 

the equations of motion (i) become 

du , diJ dv , dSJ 

(26) _ = ,„. + _, _=_,„« + _. 

Åeia mathématica. 20. Impriraé le 29 jnillet 1897. 17 



130 
Now let 



G. H. Darwin. 



^ d^u d , d*v d , 

Di = -r-T h -7-7 — , where t is 0,1,2,3.... 

* dt' dx ^ dl' dy' y J 9 o 



Then total dififerentiation of a function of x^y^t or of Xjy,u,v is ex- 
pressed in terms of partial differentials as follows: 



d _ d 
Tt'^ di 



ji — ^1 I -*-'o' 



3 d 

It is obvious that -7-0, = A+n *i"d 7; perfornied on a function of aj,y, 

9c tit 

but not of w,v, is simply D^. 

If we difterentiate (26) repeatedly with respect to the time, wc have 



(27) 



dt* 









d<M (d\^ZQ 



Now — and — are functions of x.y only, and not also of «, «; therefore 
in the last terros of these equations, 



(27) 



when i = I , 



± = D 
dt "^ «' 



when i = 2, ^^J = A + -^J, 

when i = 3, (^) '= A + 3A A + I>1, 

when i = 4, (^^)*= A + 4AA + 3A + 6AA + A, 



and 60 forth. 



The function U consists of two parts, one being a function of r, the 
other of />; if in the latter part we write f = (x — i), 37 =y, 



The partial differentials of ii with respect to rr , y may be regarded also 
as consisting of two parts viz. of the partial differentials with respect to 



Periodio Orbits. 131 



x^y of -i^(a:* + y') + -> ^nd of tlie partial differentials with respect to 



2 X • •- / • y 

^y7j of -(f' + 37') + -' These two parts may be considered separately, 

since, except as regard the factor v, the one is the exact counterpart of 
the other. 

The partial differentials of -i^(a?' + y') disappear after the first two 

orders, and those of - are exactly those functions which occur in the 

theory o£ spherical harmonic analysis. 
Thus 

a I I ^ 9 1 I • /i 
— - = T eos ö, -- - = j sin ^; 

r^- = -T(3 8in'^— i); 

dy r r ^ ' 

3* I % 3* I ^ 

^. ^ = ^ (3 cos^— 5 cos'^ e\ j^ - = ^(sin ö— 5 sin ^cos'^), 
^' T - = ~(cosö— 5 cosösin' ö), 1^ i = A (3 sinö— 5 sin»ö); 



and so forth. 

It thus appears that the calculation of the successive differentials 
of tt , t; with regard to the time is easy, although laborious. These diffe- 
rentials, when appropriately divided by the factorials of 1,2,3,4 etc, 
are the successive coefficients of the powers of the time in the develop- 
ments oi x ,y. If the series for x ,y he differentiated, we obtain those 
for u jV. 

The Jacobian integral is useful as a control to the applicability of 
the series; for the square of the velocity corresponding to any position 
coraputed from the series for x and y should agree with the value of 
w'4"^' ^8 computed from the series for u und v. 

The computation of an orbit by series is however so tedious, that 
I have made very little use of this method. 



132 G. H. Darwin. 

I have also obtained a less extended developinent for x j y in terms 
of powers of the are of the orbit, but the formulse are so cumbrous as 
to be of little service. 

The development in powers of the time becomes much less laborious 
if we start from a point in the curve of zero velocity, and in this case 
the symbols D^ may be replaced by their full expressions in terms of the 
partial differentials of Q. But is does not seem worth while to give 
these special forms, except as regard the first two terms. 

If we have initially x = x^, y = ^o > w = o, v = o, D^ and all its 
powers vanish, and 

du dQ dv dä 

dt dx dt dy 

d\v dä d^v dä 

dt* d\j dt* dx 

Hence as far as the cube of the time, 

I ^,ai2 , I ^3 dQ 
® 2 dx * 6 dy 

^ ^^ 2 dlf 6 dx 



These may be written 



(>^-^.)|-(i'-!'.)i=s''-'"^. 



)' 



By elimination of t, and substitution of 2n for w, we obtain the 
equation to the cusp, 

The cusp is therefore a semicubical parabola, with the tangent at the 
cusp normal to the curve 2ä = G. 



134 



G. H. DarwiD. 



— cos^, and the secpnd by — sin jr, and if the two be added together, 
the result may be written 






dt 



dt 



cos c? sin er — 

^ ^x ^ dy 



Completing the diflFerentiations on the left-hand side, we have 



(29) 



/d^ 



V[^ + 2n) = 



COS fr 



dä 
dx 



. dä 
sin c — 



Let s be the are of the orbit, and p the are of an orthogonal trajectory 
of the orbit, estimated in the direction of the outward normal of the 
orbit; then 



(30) 



d 9 9 

— = — sin cp - — I- cos c — , 
ds ^ dx ^ ^ dy 



9 9 , . 9 

— = cos c k sin ^ — 

I 9^) ^ dx ^ ^ dy 



Accordingly (28), (29) and the Jacobian integral become 



(30) 



1 dV 


dä 






dt 


-3«' 






7(j-r+.«)- 




9SJ 


F' = 


2ä 


C. 


1 



The equations (30) are equivalent to (i) and (2). 

Now suppose that x , y are the coordinates of a point on an orbit, 
and that x + dx, y + åf/ are the coordinates of a point on an adjacent 
orbit. Then if we put 

dp = ox cos jr + åy sin jr, 
ds = — dx sin y + dy cos jr , 

dp , ds are the distances, ineasured along the outward normal and along 
the are of the unvaried orbit, from the original point a? , y to the adjacent 
point X + dXf y + dy. 

If, with X , y as origin, rectangular axes be drawn along the outward 
normal and along the are of the unvaried orbit, we may regard dp , ds 



Periodic Orbit. 135 

as the coordinates of the new point relatively to the old one. The new 

axes rotate with angular velocity 77 + ^> the first term representing the 

angular velocity of the normal and the second that of our original axes 
of X and y. 

The well-known formula) for the component accelerations of a point 
along two directions, which instantaneously coincide with a pair of ro- 
tating rectangular axes by reference to which the position of the point 
is deterrnined, give the accelerations 



(31) 



[ ^ Js _ d3(^k + „y+ 2 :^ ( J + n)+r}p^, along the tangent. 



These are the accelerations of the new point rehitively to the old, esti- 
mated along lines fixed in space which coincide instantaneously with the 
normal and tangent of the unvaried orbit. 

The function Q includes the potential of the rotation n of the original 

axes of X and y. Hence fl wV is the true potential of the forces 

under which the body moves in the unvaried orbit, and 



dp\ 2 /' dax 2 / 



dp 

are the coraponents of force in the unvaried orbit along the normal and 
along the are. 

The re före the excess of the forces in the varied orbit above those 
in the unvaried orbit are 

Now by considering the meaning (30) of the operations -- , — , it is 
easy to prove that 

1 aV I aV* I a* « 

2 dp^ 2 d8^ 2 dpds 



13C 



6. H. Darwin. 



Hence the excess of the forces in the varied orbit above those in the 
unvaried orbit are 






nop, and op~- + os^^ -n os, 



alonor the normal and alonoj the are of the unvaried orbit. 

But these are necessarily equal to the accelerations (31) of which 
they are the caiise. Then transferring — n^dp, — wV^ to the left hand 
sides of the equations, we have 



(32) 



i;^''+4«'-(t+«)']-4"(rr+'') 






= op — T + OS — 



d*<p 



,^^»+4"'-(t+»)']+4?-'(rr+")+<'^S 



= op h os — T 



These are the equations of motion in the varied orbit. 

The variation of the last of (30), the Jacobian integral, gives 



(33) 



VdV = dp^:^ + o\^- 

op ds 



Now dV is the tangential velocity of the point x + dx, y + dy in the 
varied orbit, relatively to the original point x , y. But as we only want 
to consider a velocity relatively to the axes of x and y , which themselves 
rotate with angular velocity w, our p,s axes must be regärded as 

rotating with angular velocity ^, instead of ^- + n. 

Accordingly 



dt 



dt 



(34) 



ol=^^os + op^ 



This may also be proved by putting Fr7F= ^^ + -~^-^, and by sub- 
stituting for the differentials in terms oi dp, ds ,Vy y. 



Periodie Orbiis. 



137 



The formula (34) enablcs us to get rid of dV in (33) but we may 
also get rid of — and — by means of the equations of motion (30). 
Thus the variation of the Jacobian integral leads to 



'Iherefore 



(35) 



Ps+ 2dp[^ ^n)-yi^ds = o, 



dt 



or 



^r. (t) + Mi + -) = "■ 



The equations (35) are two forms of the varied Jacobian integral. 

A great simplication of the equations of motion (32) is possible by 
reference to* the un varied motion. 

Let US suppose then that dp j ås are no longer displacements to a 
varied orbit, but are the actual displacements occurring in time Ä in 
the un varied orbit. Thus åp = o, efe = Vot. 

The equations (32) then give 



(36) 



dV/df 



dt 



G-r + ») 



F^ — 
dt* ~ 



^^'+4-''-(rr+")*]-^ 



9pdt 
9*Si 



9«' 



The first of (36) may be written 

dt' "^ dpds ~~ 



2dV{df, \ 



These two terms, multiplied by ds, occur in the first of (32), which 
inny therefore be written 



di 



^+M'''-dT+»)"j 



ddi I dip 
df [dt 



+ «) 



+ 



2ds d V (dtp 



dV (dip , \ 
di' [dt + V 






Ada mathématioa. 21. Imprimf le 9 loAt 1897. 



18 















dr V. 



■ Vdt' 
fot»"'"'""' 









Periodic Orbits. 



139 



Another form for ö, deducible directjy from (37), is 






I a'J2 . 



2 9;e9t/ 



8in2j. + 3(J+n)', 



whence 



^ = ,4 + ^-,^^o8'(^-^)-lco8V-i^) + 3F'(l + f)'. 



S 9. Chnnye of independent varlable froni time to are of orhit. 

For the purpose of future developments it is now necessary to 
change the independent variable from the time t to the are s. 
Let 



(38) 
Then 



But 



Hence 



Also 



dq = dpV\ 



dt* ds \ dx \ jri 



^V' 






= F' 



i d'dq 



ds' 



2 dsx^i ds I 



ds VttS ds I 



d 
di 



I dV 



I dt 



, 3 /^i', j_iT 






J_d*V 



It 



'±_ T/i^'^ , 3 (dr\\„ åq d*r 



0åp = 



edq 

17I 



140 



G. H. Darwin. 



If these two be added together, and divided by F^, we obtain 



(39) 



where 



*' = 



,Våq 
ds* 


+ ¥dq== 


o, 


1 
- -U 


3{dry 


I 



It remains to obtain the expression for the function V 
Since 

J? = l, and «' = v+i, 






Now from the first of (30) and the second of (36), 

ds 98 



V dt 



r (V , y , d*ii 



I. 



Then by substitution in the second of (39), 



Q id*i2 



Also 



9'ä . td*Q 



I3'J2 



9/>* '2 98* 2 2ap' 



Now 2i2 = )^(r' + ;) + (/^' + -)' ^"^ 



9«* 
dxdy 



w I 






2 9«» 



j;+ I— fi — fi + ~co8'^4-AcosV, 



= ^ sin ö C08 ^ + -i sm (p cos ^ , 



Periodic Orbits. I4i 

Hence 



V'iJ=2(v+l) + ^ + l, 



and 






Therefore 



(4°) »^ = i (i + 7) - iF [^ ~>' («'-»)+ ? -«• (f - w] + ^ iw.) 



Also since 



^57 = ^ = -^^^^^ + ^^^^^ 



This completes the formula for ¥ in terms of the coordinates, the velocity, 
the curvature and of j^. 

It may be useful to obtain the expreösions for ås and d^ in terms 
of the new independent variable s. 

The second of (37) may be written down at once, namely 

d /fh\ 2dq (\ n\ 

Also it is clear from geometrical considerations that 

•% d ^ . ^« 

whence 

, , ,1 [ddq I , (dV\-\ ds 



142 a. H. Darwin. 



% 10. The solution of the differential equation for åq. 

The function • V has a definite value at each point of a periodic 
orbit whose complete are is S, Therefore W is a funetion of the are s 
of the orbit, ineasured from any point therein, and when s has increased 
from zero to Sy ¥ has returned to ks initial value. Also since a 
periodic orbit is symmetrical with respect to the rr-axis, V^ is an even 
function of the are 5, when s is measured from an orthogonal intersec- 
tion of the orbit with the ic-axis. If the periodic orbit only goes once 
round S or «/, or round both, all the intersections with the a>axis are 
necessarily orthogonal. I call such an orbit simply periodic, but the 
term must have its meaning extended so as to embrace the possibility 
of loops. But when there are loops all the intersections with the a;-axis 
are not necessarily orthogonal, and if the orbit is only periodic after 
sevcral revolutions some of the intersections cannot be orthogonal. 

With the understanding that s is measured from an orthogonal inter- 
section with the a;-axis, ¥ is an even function of $ and is expressible 
by the Fourier series 

ip' = V^ + 2¥,C0&^ + 2¥,co^^ + .... 
Now multiply the differential equation (39) for dq hy — , write a for 

ort 

^ , and put = -i V\ and we have 

(43) £iO^Q+<P^ = o. 
Also if 0, = —,¥j, 

4> = ^, + 2 tf>j COS 20- + 2 4>, C08 40' + 

If then we write C= e"'^, 

d_ i_^ 

^dC~ ^—-da' 

and the equation (43) becomes 

(44) (<:^yåg=^0dq. 



Periodio Orbits. 



where =^ Ej0jC^j the summation being 
j = — oo, and 0_j being equal to 0j. 

Let U8 assume as the solution of (44) 



143 
taken from y = + 00 to 



dq = Ij[{bj + e^j) cos (c + 2;> + {p. — e_^yj— i sin (c + 2;")^], 

The equation (44) must be separately satisfied for the terms involving h 
and for those involving c; hence we need only regard one series of terms. 
On substituting in (44) the assumed expression for dq, and equating 
to zero the coefficients of the several powers of C> we ha ve 



fc>(c+ 2;y = !',&,_, Ö^,/ 



written in extenso this is 



*>-5*j — Vi^i + ^[(^ + VV— *o] — *>+i*i — *>+.*j 



. • . = o. 



There are an infinite number of equations like the above, but the in- 
finity must be regarded as an odd number. 

If from these equations the i's be eliminated, we have an infinite 
determinantal equation for determining c. If we write 



{c + 2jy-0^={jl 



the equation is 



. .••.••...■ 

...{-I}, 


1 • • • • • • 


-^, ... 


... -<p, , 


{0) , 


-0, ... 


... -*, , 


• • • • • • 


{Ij ... 



= 0. 



This is the same in form as M*^ Hill's determinantal equation. 

' The eqaatioD of condition for the e^s is easily shown to be 

and siDoe 0% = 0—%. this is ezactly the same as that for the &'s save that e^j cor- 
responds with bj. 



144 



O. H. DarwiQ. 



As much has been written on the subject, it is unnccessary to 
reproduce the arguments by which it inay be shown that if 



[j]= <Po — 4/, 



and 



(45) 



A = 



• • • 1 


' [I] ' 


r 1 • • • 

l] 


••• [0] 


, I , 


r -1 • • • 
0] 


[l] 


■ [I] ' 


I . . . 



the solution of the determinantal cquation is given by 



\ I 



(45) 



sin'-7rc = A siu^ -7rJ0^. 



% W. On the stahility or instabUiiy of an orbU. 

When c is real, dq is expressible by a series of sines and cosines 
of multiples of the are. Since V is an even function of the are, it is 
expressible by a series of cosines of the same form as that for 0\ hence 

dpj which is equal to FMg, is expressible in a series, similar in form 
to that for åq. 

But dp denotes normal displacement from the periodic orbit, and 
therefore the motion in the varied orbit is oscillatory with reference to 
the periodic orbit. In other.words the periodic orbit is stablo. 

If c^ be any one value of c, all its infinite values are comprised 
in the formula ±c^±2i, where i is an integer. It is however con- 
venient to choose one value of c as fundamental. When the choice has 
been made we may refer to the terms in the series for dq of which the 
argument is c^ as the principal terms, although it does not appear to 
be necessary that these terms should have the largest coefficients. In 



Periodic Orbits. 145 

fact since two arbitpary constants are involved in the specification of a 
definite variation of orbit, it is probable that the terms, which are nu- 
merically the most important in one variation, will not be so in another. 
If the body be considered as moving in an elliptic orbit, it will 
be at its pericentre or apocentre, when åp is a negative or positive 
maximum, respectively. The principal terms of dq^ and therefore also 

of dp^ have the argument ca or -^; hence if we may assume that the 

principal term is also the most important, the body has passed through 

a complete anomalistic circuit when s has increased from zero to 2-. 

Since 8 is the synodic are in the relative orbit, -c is the ratio of the 

anomalistic to the synodic are, both arcs being measured on the orbit 
as drawn with reference to the moving axes. 

Now I propose to adopt as a convention that the fundamental value 
of c shall be that value which lies nearest to yj^^^ where 0^ denotes the 

mean value of 0. This convention certainly attributes to -ca physical 

meaning, which is correct in all those cases which have any resemblance 
to the motion of an actual sateiiite in the solar system. I shall accordingly 
use the value of c which lies nearest to y/CP^ as fundamental. 

We have just arrived at a physical meaning for c by considering 
the principal term in the series; now in so doing we were in eflfect 
considering only the mean motion of the body with reference to the 

moving axes; therefore -c is also the ratio of the synodic to the anomalistic 

period.^ 

If T denotes the synodic period, the mean motion of the body 

referred to axes fixed in space is -^ + w; and if -t— denotes the 

mean angular velocity of the pericentre with reference to axes fixed in 



' It may be observcd that when V is oonstant (as is the caso when we ooly 
coosider mean motion) V*V^ = 9^ and M*" Hili/h cquaiioo for dp becomes ideotical with 
the present ooe fur 3q, It is well to remark that what I deooto by c is 2c of M' Hiu/s 
DOtation. 

Mtm mathtnmuHea. 21. Iniprinif le 28 loai 1897. 19 



14Ö 



G. H. Darwin. 



space, thc- mean motion of the body with reference to tlie pericentre is 

2 "T t / fii 

-^'j + n — - — . Then, since angular velocities vary inversely as periods, 



Therefore 



(46) 







2a- 

I f 

C — 

2 


+ « - 
T 


m 




(ho 

dt.-"- 


-Ti 


or 










r 


/ dio ' 
" di 


) = = 



il(0 



- '- , where w' = j^ + i- 



M*" Hill's c is equal to one half of my c, and accordingly the first of 
(46) is identical with the forniula from which M' Hill derives »a part 
of the motion of the lunar perigee».' 

The angular velocity of regression of the pericentre being u — -7- , 

it follows from (46) that 27r(-c — i) is the amoiint of that regression 

with respeet to thc moving axes in the synodic period. 

Wliilst tho pericentre regredcs with reference to the moving axes, 
it advances with reference to fixed axes; the advance in the synodic 

period is nT — 27r(^-c — i], and in the sidereal period the advance is 



2;r 



I -1 

r. 
2 



I 



'it 



1 + 



n'l 



2n 



In the Tmmerical treatment of stable periodic orbits I tabulate the 
apparent regression 2;r( c— i ), and the actual advance nT — 2r(- c— \\ 



I 

- c 
2 



in thc synodic period; also 2-j i — — ■ , 



2;r 



period. 



the advance in the sidereal 



* A c l a M a t h e 111 . vol . 8. 



Periodic Orbits. 147 

L#et US now consider the case where^ c is iinagiuary, so that the 

motion is no longer oscillatory with respect to the periodic orbit, and 
the periodic orbit is unstable. 

The fonn of (45) shows that c beconies imaginary either when 

A sin* -;ry^(P^ is negative, or when it is greater than unity; this function 

will therefore be described below as the criterion of stabiiity. 

If 0« were negative it wouid indicate that tlie rnean force of 
restitution towards the periodic orbit was negative. Hence it seenis ob- 
vious that the body would then depart from the periodic orbit, wliich 
would therefore be unstable. If however A were negative as weli as 
0^, it would seem as if it were possible to have a real value for c\ 
but it is not easy to see how this condition could lead to a stable orbit. 

I have not yet come on any case whcre 0^ is negative and ac- 
cordingly that condition is ieft out of consideration for the present. We 

are Ieft then with the two conditions, A negative or A sin* '^v^^o greater 

than unity; these lead to two kinds of instability. 

In instability of the first kind A is negative; for reasons which 
will appear below, I shall call this ))even instability». 

In this case let us put 

A sin*i;rv <t>^ = — D\ 

80 that (45) becomes sin- ttc = ± I) yj — i. 

The sine in this case is hyperbolic, and if we write c = 2/ + k^ — i, 

where / is an integer, the equation for k becomes sinh - /tA' = _+ />. 

Since the values of c occur in pairs, equal in magnitude and opposite 
in sign, it is only necessary to consider the upper sign and the result 
may be written 



(47) 



or 

7Z 



I shall return in § 12 to the form of solution adapted to the case of 
Deven instabilityx 



148 O. H. Darwio. 

Turning to the instability of the second kind, which I shall call 
Duiieven instabilityD, we have 

sin'- TTC = A sin'- ^>/(Po == -^^ 

where /)' is greater than unity, so that c is imaginary. 

The sine in this case also becoines a hyperbolic function, and if 
we write c = 2i + i + k^ — i , where i is an integer, we have 



sin - TTC = ( — )• cosh - Trk , 

^ 2 



a hyperbolic cosine. 
Hence 



cosh -Trk = +2). 
2 — 



(48) 



Taking only the upper sign as before, this may be written 

or 



I shall return in § 12 to the form of solution adapted to the case of 
Duneven instability», but I wish now to consider the nature of the transi- 
tions from instability to stability. 

Suppose that we are considering a family of periodic orbits, the 
members of which are determined by the continuous increase or decrease 

of the const^int C of relative energy; and let us suppose that A sin'- ;r^^,,, 

being at first negative, increases and reaches the value zero. At the 
moment of the transition of this function from negative to positive, there 
is transition from even instability to stability. If on the other hand 
this function were positive and less than unity, and were to increase up 
to and beyond unity there would be a transition from stability to uneven 
instability. 

In all the cases of stability which I have investigated, except one,* 
the fundamental value of c lies between 2 and 3, and the apparent 

* The orbit io qucstion 15 C = 40*0, x^ = 1*0334; seo AppeDdU, 



Periodic Orbits. 149 

regression of pericentre in the synodic period, namely 27r(-c — i], lies 

between o and 1 80®, these extreme values corresponding with transitional 
stages. 

It will now eonduce to brevity to regard c as lying between 2 
and 3, instead of regarding it as a multiplevalued quantity. 

If we refer back to the form of solution assumed for the equation 
(44), we see that when c = 2, the solution is 

27T8 

dq = (i_i + e,) + (60 + Co + 6_, + e,) cos— • • • 

2718 

+ (*» — «o — *-j + «») v/— » sin -^ , 

and that when c = 3, it is 



^ = (*i + c_i + *-» + C2) cos ö" + (^ + e« + é_, + 63) cos 



+ (*i — e_,— 6_, + e,) yj— I sin ^ + (*o— e, — J_, + c,) y/— i sin ^ 



• • • • 



In the first case it is clear that when 8=^ Sjdq has gone through a complete 
period and has returned to its initial value; but in the second case whilst 
dq is equal in value, it is opposite in sign to what it was at first. 

Consider then the first case where c = 2, and suppose that the body 
is displaced from the periodic orbit along the normal, at a conjunction. 
Then the body starts moving at right angles to the line of syzygies, 
and when s = S \t has again returned to the same point, and is again 
moving at right angles to the line of syzygies. 

Hence it follows that we have found a new periodic orbit differing 
by infinitely little from the original one. Thus the original orbit is a 
double solution of the problem, and the interpretation to be put on the 
result c = 2 is, that we have found a periodic orbit which is a member 
of two distinct families. 

The £^ m\^ -TTyJO^ corresponding to our family of orbits has been 

supposed to be increasing from a negative to a positive value; at the 
instant of transition the same function for the other family must also be 
passing through the value ^ero, 



150 G. H. DarwiD. 

If C be the value of the constant of relative eiiergy for the critical 
orbit which gives c= 2, there must be two orbits, infinitely near to oiie 
another, for which the constant is C — dC. 

If the orbits were classified according to values of the parameter 

A sin'- jty/^o» iiJstead of according to values of C, these two families 

would have to be regarded as a single family, and the critical stage 
would be that in which C reached a maximum or minimum value. 

But when the classification is according to values of C, we say that 
there are two families which coalesce at the critical value of C\ it is 
also clear that, as the orbit we were following was unstable up to this 
critical value, the other must have been stable. 

An interesting example of this will be found below, where the fa- 
milies of orbit« B and C spring from a single orbit. 

Now reverting again to the question of the transition from instability 

to stability, let us suppose that as the constant C varies, A sin' - 77^/0^, 

being at first greater than unity, diminishes, passes through.the value 
unity and continues diminishing. Then the orbit was at first unstable 
with uneven instability and c of the form S+A^v^ — i; it becomes stable 
at the critical stage with c less than 3. But there is now no real double 
solution at the moment of transition and no coalescence of families/ It 
is probable that there is coalescence with another family of imaginary 
orbits at this crisis, but I do not discuss this, since I am not looking at 
the subject from the point of view of the theory of differential equations. 
Accordingly in our figures of orbits there will be nothing to mark the 
transition from uneven instability to stability, and it will only be by 

the consideration of the function A sin' TTy 0^ that we shall be aware 

of the change. 

The conclusions arrived at in this section seem to accord with those 
of M. PoiNCAKÉ in his Mécanique Céleste, who remarks that periodic 
orbits will disappear in pairs. 

* When I explaincd the resulta ac which I have arrived to M. PoincarÉ, he 
suggested that there may be coalescence between a doubly periodic orbit and a siugly 
periodic one, when the two circuits of the former become idcntical with one another and 
with tho latter. 



Pcriodic Orbits. 151 

It is clear from thia discussion that uneven instability can never 
graduate directly into even instability, but the transition must take place 
through a range of stabi lity. 

But thia last conclusion must not be held to be contrndictory of a very 
remarkable method of transition, of which we shall find an exainple below. 

Suppose we have two independent orbits in eithcr of which the body 
raay move, and that as the constant of energy varies these two orbits 
approach until they have a common tangent. Then when the constant 
of energy varies still further, we shall find only a single orbit replacing 
the two independent ones. Now we shall see reason to suppose that two 
independent orbits one of which is evenly unstable, and the other un- 
evenly unstable may fuse together so as to form an evenly unstable 
orbit. In this case we have, in some sense, a direct transition from 
uneven instability to even instability, without the iiiterposition of stability. 
An example of this will be noted in § i8, where we shall find the satellite 
A fusing its orbit with the oscillatory orbit a and forming a figure-of-8 
orbit. 

8 12. Modulus of instaMMtp, and for^m of solntion» 

The cases of instability will now be considered. 

When the instability is of the first or even kind, we have 



(49) 



e-^'" = y/{T)'+i)-D, 



where X>' = — A sin*- a-y/^P». 
The solution of (44) was 

fjq = 2y[(/>y + e_y) cos {c + 2/)rT + {hj — e_j) yj— i sin (c -|- 2j)(t]. 

Now if we take the integer i involved in the expression for c as zero, 

cos {c + 2/)(T= cosh kff cos 2}fT — y' — I sinli Ä-ö-sin 2/0-, 
y/ — I sin (r + 2/) ö- = — sinh ka- cos 2 ja- + y/ — i cosh ka sm 2ja. 
Therefore when the sign of summation only runs from 00 to o, instead 



152 O. H. Darwin. 

of to — CO, and when b^ and e^ are supposed to be the halves of their values 
when the summation ran from + oo to — oo, the solution may be written 

dg = ^[ cosh k(T [{bj + e_.j + b_j + ej) cos 2J(t + {bj — e_j — b_j + e^) yj — i sin 2 fa] 

+ 8inhÄ?^[ — yj — I (éy+e_^ — b_j — e,)sin 2yVT — (é,—e_y +*->-- ^y) cos 2/0^]}. 

Putting 

bi + b_j = Bj, e_, + ej = Ej, 

hj — h_j = pj yj— I , e_j — ej = sj v'— i , 

and writing the hyperbolic functions as exponentials, we have 

(50) dg = Z{e**'(£yC08 2;Vt + Sysin 2ja) + e"*''(ByC08 2ja — /S^sin 2ja)]. 
By means of (49) this may be written 

•o 2<r 

(50) dg = 5:|(v/(D' + i) + Dy {Ejcos 2Ja + Sysin 2J0) 

+ [sl{B' + i) — DY (Bycos 2jiT—Pj&\n 2»}. 

In (50) it is not säfe to assume that the most iinportant term is that 
for which 7 = 0; indeed this will usually not be the case. All that we 
know is that the series contains sines and cosines of even multiples of 17, 
that one set of terms increases without limit and that the other set di- 
rainishes. 

In the numerical treatment of unstable period ic orbits it will be 
well to have a modulus of the degree of instability; and these considera- 
tions afford a convenient means of obtaining such a modulus. 

This modulus may be taken to be the number of synodic revolu- 
tions in which the augmenting factor doubles its initial value; that is to 
say we are to put 

e*-=[^(D«-|. i) + Dy = 2. 
Therefore 

^5 ^ ' S TT log [>/(/>•+ !) + />]' 

This is the modulus of instability, when it is of the even kind. 



2«r 



154 G. H. DarwiD. 

By means of (52) this may be written 



00 3<r 



(53) (?g = r{(D + v(I>'-i))''(^,co8(2/+i)a+e,.8in(2/+i)^) 



2<T 



+ {D — ^{D'— i)y {BjCos{2j + i)a — PjSin{2j + i)a)\. 

In this case again the tenns for which j = are not usually the 
in ost important ones, but we see that the series contains sines and cosines 
of odd multiples of ö-; and that one set of terms increases without limit 
and that the other diminishes. As in the first sort of instability, a 
convenient modulus is the number of synodic revolutions in which 
the amplitude of the increasing oscillation doubles its initial value; that 
is to say we put 



2(x 



e'' = {D + y/(D^—i)y = 2. 
Therefore 

/ \ sa loff\/2 

(54) - - ^^ 



S TT log [D + v/(Z>' - I)] 

where 

D'= Asm' -^TTyJ 00. 

This is the modulus of instability, when it is of the uneven kind. A 
consideration of the principal term has shown us. that there is an oscil- 
lation, whose amplitude increases without limit. The planet or satellite 
crosses and recrosses the periodic orbit an odd number of times in a 
single circuit, making ever increasing excursions on each side; it is on 
this account that I have calied this Duneven instabilityD. 

It is interesting to consider the form which the equations of con- 
dition assume in the two sorts of instability. 

In the case of even instability we have c = ky/ — i, and the equa- 
tions for the determination of the Vs are given by 

(55) bj{c+2jy = T,bj_i0,, 



00 



= h ^j + ^A <Pj-i + Tib_i <Pj+i. 



G. tt. ^*'''"- 



156 
vfYvete 



,.+vy-^^"'^ ,^., + ok>''■*■^^',„t*ee.- 



t\ve tea^ 



(59) 






Periodic OrbitB. 157 



§ 13. Nuvnerical detertninatian of stability. 

When a periodic orbit has been found by quadratures, it is not 
obvious by mere inspection whether it is stable or not, and we must 
consider the numerical processes requisite to obtain an answer to the 
question. 

The points which are determined by quadratures in a periodic orbit 
do not divide the are S into a number of equal parts. The distance 
along the are from the first orthogonal crossing of the x axis to the 

second orthogonal crossing is -5; this may be determined by inter- 

polation, for we may find what value of s makes y vanish. 

In general there are two orbits computed, which differ from exact 

periodicity in opposite directions by small amounts. The are - S, measured 

from the first orthogonal crossing to the second, which is not exactly 
orthogonal, is determined in each of these cases. The subsequent pro- 
ceedings are then carried out in duplicate, and the final step is an inter- 
polation between the two resulta to obtain the result for the exactly 
periodic orbit. In many cases however the computed orbit diflfers from 
a truly periodic one by an amount which is so small, that it may be at- 
tributed to the errors inherent to the method of calculation. In such cases 
the duplicate computation is unnecessary, and since the operations on the 
approximately periodic orbits are exactly like those on the truly periodic 
ones, we may henceforth speak as if the true orbit had been found. 

The next step is the computation of (? corresponding to each 
computed point of the orbit. In order to take advantage of the work 
already carried out in the quadratures, I arrange the computation of (1> 
in the following form: 



158 



G. H. Darwin. 



Computation of 0. 



<p — e 

hr 
Lr' 



f 



-4' 

Lp 
Lp' 




h 



VJs 



(—V 



L sin (^ — ^) 

CP 

Lb 



R 



n 



c 
10 



2 XVdsl 



Lv cos* (^ 



-0) 



Ld 
d 



B 






L cos' {(p 
Cp' 

ev* 



-<p) 



Le 




A 






— B 




A B 




-^(A B) 







As before L , C stånd for logarithm and cologarithm, and the brackets 
indicate additions. 

It would be tedious to find the Fourier s series for from its computed 
values, and it is best to find interpolated values of at exact sub- 



Periodic Orbits. 



159 



raultiples of the are S. I therefore interpolate at the points for which 

• I 2 12 

the are is -- S , — S . . . — 5, 13 values in all. These interpolations are 

24 24 24 

made by one of the fonnulae (23). 

The next step is the harmonic analysis of these 13 values of (?, 
which is an even function of the are. 

The analysis may be conveniently arranged in a schedule of the 
following form. 

Harmonic analysis of an even function of which 24 values 

do j dl » » • du y ^13 , d^i , , . dl are given. 



1 






n 






Ul 




IV 






V 






VI 












• • • 

1 11 


M M X iii 


M 




M xiii 


M 


Mx iii 


% 




«i. 




«0 


«12 («) 


I a 


I 




a 


I 


a 


flj 




«ii 




«l 


-«u (^) 


", "J 


'^i 




«'./? 


-«'. 


-«T.^ 


a, 




«i. 




«. 


«io (r) 


"* "J 


-"* 




-"j 


-»^A 


-»^J 


a, 




«. 




«. 


-s (^) 


«T, a ^8 


-". 




—"tS 


", 


a^d 


<i^ 




«. 




«4 


-<^8 W 


I e 


I 




e 


I 


e 


^5 




«, 




"» 


-«. (C) 


«T, ff.C 


"5 




".C 


". 


-^j: 


a^ 


6 




«. 


















24 







i 

* 







Sam (0 


Sum 


7 to 

to 


12 

6 






24 


Sum 


Sum 


24 


Sum 




Sum 




^. 


0. 




^, 




Sum to 


12 




















2XSum 


to 


12 












ff, — 2 


sioIS**- 


•5176 




-( 


"o+O 


.,) 




^s=tt[^ 


t-2e + <T,(^ 


-d-O] 




<r, = 2i 


8in45** = 


1-4142 




24 




Sum 






24^ 


(flee iii) 






<r, = 28in6o'' = 


17321 








^. 




1-9319 


VM 




• • • 

Vill 








ix 








X 




i + ii 


l4ist 4 


of vii 


reversed 


• ■ • ■ • 

VII — vill 








• • • • • 

VII + vni 


«o+«i. 




a, + ( 


'. 




K+« 


i,)-K+«i 


,)(?) 




(«.+ 


0^1,) + K 


, + a.) (^) 


a,+a,. 




a^+i 


»7 




K+a 


n)-K+«, 


)(<>) 




(«,+ 


ötii) + K 


>+«,)(/«) 


«i + «io 




^4+' 


^8 




{a^ + a 


io)~(^4+«8 


,) w 




(a,+ 


^io) + (<^< 


,+«.) W 


o, + a. 




a,+( 


». 













(«.+ 


«•) +(«, 


,+«.)(/») 


a, + a. 










* 




* 24 

• 










«. + «t 
«. + «. 










<p.= 24 [7 +'+«'«<']. 


K^H 


\-M)-i^+p)]- 
















^•=24^'- 


-2;f], 




• 24 


P- 


-/*)-{" 


'-P).' 







(see ix) 



(see x) 



160 



G. H. Darwin. 



2;r« 



If we write 6 = 2a = -— ^ the function (b is equal to 



^0 + 2 ^j C08 ö + 2 d^3 COS 2^ + . . . + 2 ^g COS 8^. 

In order to test the accuracy of the work and the convergency of the 
series, it is well to compute the values of several of the a's directly 
from the harmonic expansion. For this purpose we have 



a. 



a 



IS 



a. 



a 



10 



a 



8 



a 



= <Po + 2(<P, + <P4 + <P6 + <P8) ± ^^^X + <«>3 + <P. + ^,\ 



= <Po + <Ps— <P4 — 2<Pe-<p8±^4(^i — <^fi-A)' 



<Po — 2(^4 + 2(p3 + ^3(0, _ (P^ _ (i>^ + (PJ, 



» 



a. 



a. 



= </>.— (/>, 



<^4 + 2Ö>6 — <P8 ± (<^i — 2<P, + <P. + <P,), 



It may be remarked that if the harmonic expansion of (? is con- 
vergent, the determinant from which the stability is determinable is also 
convergent. 

But if the representation of (? by the harmonic expansion up to 
the 8*** harmonic is very imperfect, it is necessary to give up the attempt 
to determine the stability numerically. In such cases however it is nearly 
always possible to see that the orbit is unstable, although it may not 
sometimes be so easy to perceive whether the instability is even or 
uneven. 

We next have to calculate the several members of the determinant 

A by the formula 

^_ 

This is the entry for the /** row above or below the centre of the 
determinant, and it is the i*** member to the right and to the left of the 
leading diagonal, all the members on the diagonal being unity. The 



Period ic Orbits. 



161 



values of 0^ computed by the preceding analysis suffice to enable us to 
write down 17 coluinns and rows of A. The method of coniputing A 
will be considered in the next section. 



8 14. The calciUation of a detertninant of many colunifts and rows. 

The following transformation contains the principle by which the 
number of columns and rows of a deterrainant may be diminished by unity 



A = 






^l > ^3 ) ^ 



3 ' 



= a. 



= a. 



a. 



a. 



a. 



a. 



O . h — ^iT^ K — Kt^ • • • 



O, C, 



o, 

C. 9 C^ 






C^— y C 



^8 



a. 



C, ) • • 



a 



Now if we write bn = h — &i — r and so on, and then extract the 

factor 63, another column and row may be remoyed, and the process 
may be repeated until the determinant is reduced to a single member, 
say jg?„; then 

A = dib^c'^' • • • ^ff ' 

If the determinant is convergent and if the rows and columns be removed 
in proper succession, the factors tend to unity. 

By interchanges of columns and rows any member of a determi- 
nant may be brought to stånd at a corner, but if the number. of inter- 
changes is odd the sign of the determinant is changed. 

It is not therefore necessary to work from a corner, as in the above 
example, but any column and any row may be chosen for elimination. 

Åeta matkematiea. 21. Imprimé le 3 sept^mbre 1897. 21 




162 



Q. H. Darwin. 



The member which stånds at the intersection of the chosen coluinn and 
Tow may be called the centre of elimination. Then if the centre of 
elimination be at an odd or even number of moves from a corner, the 
8ign of the whole is or is not changed. 

In the determinants which arise in this investigation the centre of 
elimination is always taken on the diagonal, and thus no change of sign 
is introduced. 

Let US suppose that the determinant to be evaluated is a symme- 

trical one, and that the columns and rows are numbered, as in the 

following exaraple: 

— 2 — I o I 2 

i, , B , &, 

r, , C, , C 

Let ( — I , — i) be the first centre of elimination, and (i , i) the 
second; then if the double elimination be carried out and algebraic re- 
ductions effected, it will be found that the result is 



2 


C , 


^1 ' 


I 


K . 


B , 


O 


ö, , 


«i . 


I 


K , 


*j ' 


2 


c* ' 


^3 . 



BHi 



Where 



B' = 



K = c. 



A' = Ä 



b^c, + t. c. 


B +6, 


^C. + Vs 


B + b^ 


2a.fc, 



■(-l.) 



— 2 o 2 

B' , b[ , b', 

«; , A' , a; 



b' 



2 » 



b[ , B' 



B -!^ 

B 






B + b, 



2 
O 
2 



b[ = C^ — 



rt, = «,— 



^l(Cl + g ») 

B + b^ ' 

B + b^ ' 



Periodio OrbiU. 163 

If the determinant is convergent, with an odd number of columns and 
rows, (o , o) 18 the heart of the determinant; if the elimination proceed» 
away from the heart, at any sta ge of the process the approximation 
consistB of the product of all the factors extracted, multiplied by (o , o)^ 
the heart of the remaining determinant. 

Thus in the above example after one double elimination the np^ 
proximation is 

«'(-F.)(^-^'- 

This is in fact the full expression for the determinant 

a^ , Ä y a^ 
i, , ^ , B 

I have found it raost convenient in practice first to extract a squared 

factor, such as B^ (thus reducing ( — i , — i) and (i , i) to unity), and 

V 
afterwards to extract a single factor, such as i — ^ • 

This process cannot of course be applied with advantage, when the 
work is algebraical, but so me process of the kind seems to be practi- 
cally necessary, when the approximate numerical value is to be found 
of a determinant of a large number of columns and rows. 

It will be noticed that after each pair of eliminations the primitive 
symmetry is restored; but the work might equally well be arranged 
otherwise. For we might first eliminate from the centre (o , o), which 
would not affect the symmetry, and we might then take the pair ( — i, — i) 
and (i, i). This variation of procedure would afford a valuable check on 
the arithmetic. 

Where the outer fringe of the determinant obviously has but little 
influence on the final result, and where we are in any case going to use 
all the members in the original determinant, I have found it best to 
begin from the outside. In such a case four or five columns and rows 
may, as it were, be shelled off the outside, with scarcely any alteration 
of the central entries. 



164 G. H. Darwin. 

The actual numerical work of evaluating a determinant may be 
arranged as foUows: 

The number of decimal places to be retained is first fixed on. A paper 
is then marked with a gridiron of columns and rows, numbered from 
zero at the centre upwards and downwards. Each square should be 
large enough to contain four or five rows of figures. The original de- 
terminant is then written in the squares, the numbers being put as near 
the top of each square as possible. I have found it convenient to omit 
decimal points, and to express the numbers in units of the last decimal 
place retained. In most of my work, where only a rough result was 
required, I have adopted three places of decimals; thus the unit in which 
the entries are expressed is 'ooi, and the diagonal members are all 
written as looo. 

The pair of symmetrical diagonal members, which is to form the first 
pair of centres, is then chosen. As stated above, I have in my låter 
work usually worked from the outside. In the first pair of eliminations 
these diagonals are already unity, but this is not so subsequently, and 
we first reduce them to unity by dividing the rows on which they stånd 
by their values, and by extracting a squared factor. 

It will be found convenient to run a red line through the column 
and row to be removed. If the red lines be regarded as coordinate 
axes, the row being x and the colunm y^ any member of the determinant 
may be specified by its x and y. If the member of the determinant 
whose coordinates are x ^ y be a; and if the member whose coordinates 
are x ,o be ft; and if the member whose coordinates are o , y be c; 
then the number which has to be substituted for a is a — hc. 

In other words each number on the horizontal red line has to be 
multiplied by each number on the vertical red line, and the products 
have to be subtracted from the numbers which stånd at the remote 
corners of the rectangles. 

In efiecting this process I form a separate table of the subtrahends, 
and write down the differences immediately under the numbers which 
they displace. 

After the first elimination, which has rendered the determinant un- 
symmetrical, a single factor corresponding to the other chosen diagonal 



Periodic Orbits. 165 

member is extracted, its row is correspondingly altered, red lines are 
drawn to mark the column and row to be removed, and the similar 
process is repeated. The symmetry of the determinant should now be 
restored, but any pair of numbers which should agree are arrived at by 
difiFerent numerical processes. 

The restoration of symmetry affords a very valuable check on arith- 
metical processes which I have found it singularly difficult to work 
correctly. 

As only a limited number of decimal phices are employed there is 
often a discrepancy of unity in the last significaiit figure between two 
numbers which ought to agree. It is sometimes possible to determine 
by inspection which of the two numbers is arrived at by the less risky 
series of operations, and I then adopt that number to represent both 
entries. But where there is no obvious reason for choosintj: one result 
more than the other, I choose one or other at hasard, and restore the 
perfect symmetry. 

The process of elimination is continued until the determinant is 
reduced to (o , o), but in the hist two or three stages it is well to in- 
crease the number of decimals retained. 

If at any stage the factor to be extracted becomes small, the whole 
row to which it belongs becomes large, and the symmetry may perhaps 
be seriously affected. In this case it is well not to choose this pair of 
centres of elimination, but to take another pair, leaving this pair to a 
låter stage in the calculation. 

If the determinant is negative, a negative factor will be extracted 
at some stage. In all the cases which have been worked out it is easy 
to see that no other negative factor will ever arise, and thus the de- 
terminant will remain clearly negative. Most of the determinants have 
been written with 17 columns and rows; then beginning with ( — 8, — 8) 
and (8,8) I lind that it is often possible to erase 8 columns and 8 
rows on a single sheet of paper, with scarcely any modification of the 
central part of the determinant. Thus the determinant which at first 
had 289 spaces (although many only contain zeros) is reduced to 81 
spaces, with but little labour. 

The multiplications have been done with Crelle'8 table, but a spe- 
cially computed auxiliary table of products, from -ooo X 'ooo up to 



166 G. H. Darwin. 

•040 X '040 to three placcs of decimals^ has rendered the work much 
more rapid. 

I believe that the values obtained by this process are correct to 
within about one per cent. For the same determinant when reduced with 
different order of elimination agrees with its previous determination within 
less than that aniount of discrepancy. 



PAKT IL 

8 15. Periodic Orbits. 

An orbit in which the third body can continually revolve, so as 
always to present the same character relatively to the two other bodies, 
is said to be periodic. If the motion is referred to a plane which is 
carried round with Jove and revolves about the Sun as a centre, any 
re-entrant orbit of the third body is periodic. Periodic orbits may consist 
of any number of revolutions round either of the priinaries, or round 
other points in space. Periodic orbits, which are only re-entrant after 
several circuits, are much more difficult to discover than those which 
only make a single one; as hardly anything is known up to the present 
time about this subject, I determined to confine my attention to ][)simple 
periodic orbitsD, which are re-entrant after a single circuit. This definition 
of a simply periodic orbit must not preclude the consideration of orbits 
with loops, for the inclusion of such loops is necessary to the comprehen- 
sion of the subject. 

It appears from the differential equations of motion that periodic 
orbits must in general be synnnetrical with respect to the line of 
syzygy; or if any periodic orbit consists of a closed circuit round a point 
which does not lie on this line, there must be a similar closed circuit 
round a symmetrical point on the other side of it. 

Periodic orbits are critical cases which separate the orbits of one 
class from those of another, and the chief difficulty in tracing them 



Penodic Orbits. 167 

consists in the fact that it is necessary to trace the gradual change of 
an orbit, as its parameters change, and to discover its form at the instant 
of its transformation into an orbit of a di£Perent character. 

The partition of space derived from the Jacobian integral (§ 3) 
shows that the constant of relative energy C is of primary importance 
in the classification of orbits. The work of this investigation being nu- 
merical, I was compelled to assume a definite ratio for the mäss of the 
Sun in tenns of that of Jove; this ratio is taken as 10. The mäss of 
the actual Sun in terms of that of the actual planet Jupiter is about 
lOOOy and accordingly all the phenomena of perturbation are greatly 
exaggerated in our figures as compared with the real solar system. 
This exaggeration appeared to me advantageous for the purpose of giving 
a clear view of the phenomena. 

The mäss of the Sun being 10, that of Jove being unity and the 
distance between them being unity, we found in (9) that when C is greater 
than 40*1821 the third body must be either a superior planet, or an 
inferior planet, or a satellite, but cannot change from one of these con- 
ditions to another. 

These larger values of G then bring us to those cases which are 
treated in the Planetary and Lunar Theories; I therefore cease my con- 
sideration of the problem for all values of G which are greater than 
405. On the other hand G can never be less than 33. Hence the whole 
field to be treated is covered by the values of G between 33 and 40*5, 
and the problem is to obtain a complete synopsis of simply periodic 
orbits and of their stabilities between these limits. 

The field of investigation is however so large that in the present 
paper I am compelled to make further restrictions. In the first place, 
the case of superior planets bas not been touched at all; althoughi at 
the point at which I have now arrived^ they must soon be taken into 
account. 

Secondly all the orbits considered are direct; the retrograde orbits 
would afibrd an interesting field of research. 

Lastly the present paper only covers the field from G equal to 38 
to 40*5; and even this has occupied me for three years. 

The slowness with which results are attained by arithmetical processes 
has been very tantalising, but the interest of the work has been sustained 



168 G. H. Darwin. 

by the fa et that the resalts have presented a succession of surprises. I 
have, ovér and over again, been deceived when I imagined I could foresee 
the shape which would be assumed by the next orbitto be treated, and 
thus the subject was continually presenting itself under a new licrht. 
Nevertheless a point has, I think, been now reached at which sorae 
forecasts are possible, and I shall venture to say something hereafter in 
§ 19 on this head, with the full knowledge however that the conjec- 
tures may prove erroneous. 

Being ignorant of the nature of the orbits of which I was in search, 
I determined to begin by a thorough examination of one case. It seemed 
likely that the most instructive results would be obtained from cases in 
which it should be possible for an inferior planet and satellite to inter- 
change their parts. Now when C is greater than 38*8760 but less than 
40- 1 82 1, the two interiör ovals of the curve of zero velocity coalesce into 
the shape of an hoiir-glass, and thus interchange of parts is possible. I 
therefore began by the consideration of the case where C is 39, and 
traced a large nuinber of orbits which start at right angles to Ä/, and 
in some cases I also traced the orbit with reference to axes fixed in space, 

The two curves, which represent the orbit in space and with re- 
ference to thé moving plane, contain a complete solution of the problem. 

For if the curve on the rnoving plane be drawn as a transparency, 
and if the Sun in the two figures be made to coincide, and if the transparent 
figure be made tö revolve uniformly about the sun, the iritersection of 
the two curves will give the position of the body both in time and place. 

In order to exhibit this I show in fig. 2 a cerfain orbit with 
reference to axés fixed in space and also the same orbit referred to 
rotating axes. In the former figure the simultaneous positions of the 
planet and of Jove are joinéd by dotted lines. It is interesting tö 
observe how the body hängs in the balance between the two cehtres, 
before the elliptic form of the orbit asserts itself, as the body approaches 
the Sun. 

This figure, and others of the same sort, are instructive as illustra- 
ting the usual sequence of events in orbits of this class. 

If a planet be started to move about the Sun in an orbit of a 
certain degree of eccenti icity, it will at first move with more or less 
exactness in an ellipse with adväncing perihelion; But as the apheliöti 



Periodio Orbits. 



approaches conjunction with Jove the perturbations will augment at e«ch 
passage of tbe aphelion. At length the perturbatioii becomea so extreme 
that the elliptic form of the orbit is entirely ioat for a time, and the 
body will either revert to the Sun, or it will be drawn off and begin 




a circuit round Jove. In either case after the approximate concurrence 
of aphelion with conjunction, the orbit will have löst all resemblance to 
its previous form. 

The figure 2 exhibits the special case in which the body only makes 
a single circuit round Jove, and where the heliocentric elliptic orbit 

Jtla matktmatif. 21. Impiimt I* t »pitmbr» 1897. 22 



170 G. H. DarwiD. 



before and after the crisis has the same form; the perihelion has however 
advanced through twice the angie marked o) on the figure. In general 
the body woiild, after parting from the Sun, move several times round 
Jove until a concurrence of apojove with conjunction prodnced a severance 



of the connection, but in the figure this concurrence happens after the first 
Circuit. If the neck of the hour-glass defining the curve of zero velocity 
be narrow, the body may move hundreds of times round one of the 
centres before its removal to the other. 

It seems likely that a body of this kind would in course of time 



Period io Orbits. 171 

find itself in every part of the space within which its motion is confined. 
Sooner or låter it must pass indefinitely near either to the Sun or to Jove, 
and as in an actual planetary system those bodies must have finite 
dimensions, the wanderer would at last coUide with one of them and be 
absorbed. We thus gain some idea of the process by which stray bodies 
are gradually swept up by the Sun and planets. 

It might be supposed that all possible orbits for any value of C 
will pass through a similar series of changes and that the bodies which 
move in them will be thus finally absorbed. Lord Kelvin is of opinion 
that this must be the case, and that all orbits are essentially unstable/ 
This may be so when sufficient time is allowed to elapse, but we shall 
see låter that, even when the hour-glass has an open neck, there are 
still stable orbits, as far as our approximation goes. The only approxi- 
mation permitted in this investigation is the neglect of the perturbation 
of Jo ve by the planet. For a very small planet the instability must 
accordingly be a very slow process, and I cannot but believe that the 
whole history of a planetary system may be comprised in the interval 
required for the instability to render itself manifest. Henceforward then 
I shall speak as though the stability of stable orbits were absolute, 
instead of being, as it probably is, only approximate. 



g 16. Non-periodic orbits; C = 390. 

(a) Orbits round Jove. Fig. 3. 

The Sun S is outside of the figure towards the left. A small portion 
of the curve 2ii= 39 is shown to the right of J, and another portion at 
the narrowing of the neck of the hour-glass. The two points of zero 

force given by — = o, — = o (ser* § 3) are also marked. 

The complete circuits are shown in order to obtain a better idea 
of the nature of the orbits, although this is unnecessary for the search 
for periodic orbits. 

* Sir William Thomson, On tJie Instability of Periodic Motion, Philosophical 
Magazioc, vol. 32, 1 89 1, p. 555- ^^- PoincarÉ also considers that orbits may have 
a temporary, but not a secular stability. Acta Matheuj. T. 13. 189O, p. IG I. 



172 G. H. Darwin. 

The satellite is supposed to be started a t right angles to SJ at the 
conjunction remote from the sun, and enough of the orbits are shown to 
obtain a synopsis of the class. Here and elsewhere I define the orbits 
by the initial value of x, which is denoted by Xq] in this case the final 
value of X after the cornplete circuit may be called x^, 

The firsl on the right (dotted-line) starts with Xo= 1*3, and x^ is 
much less than Xq. The second (chain-dotted) has Xo= 1*2 6, and x^ has 
considerably increased so as to approach Xq. The third (broken-line) has 
rCo = 1*2 2, and x^ has now become greater than Xq] therefore we have 
passed an orbit for which x^ was equal to a?o, and such an orbit is 
periodic. 

In the fourth (full-line) with Xo= ri8, x^ exceeds x^ by niore than it 
did in the third orbit. But in the fifth (dotted) with x^ = 1*14, Xy has 
again become less than x^; therefore we have passed another periodic orbit. 

In the sixth orbit, (broken-line) a;^ = i*i2, x^ has decreased very 
much, and in the seventh (fulHine) a?^ = i-io, x^ has become quite 
small. This last has very nearly a cusp. It is not so accurately com- 
puted as the preceding ones, having been the first difficult orbit under- 
taken, and my methods at that tinie were not quite so satisfactory as 
they became subsequently. In this seventh orbit at the final intersection 
^ has just passed through the value zero, and I think it is probable 
that there is an orbit of very nearly this form, with the final jr exactly 
zero. Such an orbit would be periodic, but as it would not be simply 
periodic, it falls outside the scope of this paper. 

The first part of the eighth orbit (chain-dot) was derived by inter- 
polation between a:^ = n and Xq^= 109 (shown in a future figure); the 
beginning of this orbit, which I call iCo = 1095, ^s ^^^ shown. It is a 
very remarkable curve, for after the loop, the body recrosses &/, and 
going directly towards «/, passes so close to it that it is impossible 
without more accurate computation to say what would happen subsequently. 
This orbit was so unexpected that I have thought it well to show in 
Fig. 4 its form with respect to axes fixed in space; in this figure (which 
does not claim close accuracy) the interpolated portion has been inserted. 
I do not think that any one could have conjectured how the body should 
have been projected so as to fall into Jove. 



Periodio Orbits. 



173 



-♦• Point of aero force 



CO 




curve of Mro velocitj 



-f Point of nro foroe 



Periodio Orbits. 



175 



For smaller values of x^ the bodies are no longer simple satellites, 
as they part company with Jove and pass away towards the Sun, 




Orblt round Jore r«f«rr«d to azat fixed in ipaoe (j^- 1*095. C- 89-0) 

(^) Orbits passing from Jove to Sun. Fig. 5. 

The curve of zero velocity for C = 39 having been computed, it is 
sho¥m in this figure^ although it is not necessary. 

The starting points are again from conjunction remote from the Sun. 
The first orbit (broken-line) is the one with which we ended in Figure 3, viz. 
x^ = 1*095; ^^^ interpolated portion is however now drawn, as well as the 
computed portion. The body in this case does not pass away to the Sun. 

We next come to an orbit (dotted) of which the first part was found 
by interpolation and which I call Xq= 1*09375; the earlier portion of 
the curve is not drawn. 



176 G. H. DarwiD. 



Where the orbit Xq = i 'og 5 crosseB SJ for the third time^ ^ is clearly 
negative, but where the orbit Xo= 1*09375 crosses for the third time ^ 



is positive. There must therefore be an intennediate case for which ^ 
vanishesy and this will giva us a third periodic orbit round J. The orbit 
iTo = I '093 7 5 passes away to the sun; and we then come to four more 
orbits Xo= 1*09, i'o8, ro6, 1*04 which follow a similar course, but with 
diminishing depression towards the negative side of SJ. The next orbit 
is a;o=i'02, in which the depression has disappeared. This curve has 
a slight hump in the place of the depression; it is the sort of feature 
which would present itself in a computed curve, when there has been 
an arithmetical error in the calculation, but we shall soon see that this 
hump is not explicable in this way. 

The next curve which is traced (although others have been computed) 



Periodic Orbita. 




31. Imprln» Ii 6 irptembn 



Periodic Orbiu. 179 

starts with ä?o = i*ooi (chain-dot); in a figure of this scale, it apparently 
starts actually from J, It will be observed that \ve now have a re- 
markable eusp, and it beeoraes obvious that the hump referred to above 
was an ineipient elevation towards the cusp. 

Passing now to the other end of the figure where the body passes 
round the Sun, we see from the incidence of the perihelia (which are 
indicated by radii from the Sun) that there can be no periodic orbit 
which is partly the path of a satellite and partly that of a planet; for 
such an orbit must have the longitude of the perihelion i8o^ 

The positions of the perihelia and the perihelion-distances seem to 
be almost chaotic in the figure, but I believe that the calculations are 
substantially correct, and a consideration of the numbers representing 
the positions of the perihelia shows that the chaos is rather apparent 
than rcal. 

The followinor table gives the results: 



Name of orbit. 


L( 


)Dgitude of 


Perihelion 


Perihelion. 


Distance. 


0*0 — I*OOI 


n- 


-32°45' 


•058 


= I -02 


Tt- 


-34° 


•125 


— I -04 


TT- 


-35°45' 


•093 


— ro6 


t:- 


-39° 15' 


•078 


— 108 


TC- 


-52°i5' 


•115 


1.09 


TZ- 


- 64° I 5' 


•240 


— i'09375 


7:- 


-30° 45' 


•222 



Now if we were to plot out the defect of the longitudes from 180®, 
taking Xq as abscissa and the defects of longitude as ordinates, we should 
obtain a sweeping curve starting from a minimum of 33**, rising to a 
maximum of 64°, and falling abruptly to 31°. If the perihelion- 
distances be treated similarly, we find a somewhat less satisfactory curve, 
for there is a small maximum, then a minimum and then a large maxi- 



180 G. H. Darwin. 

mum, followed by a fall in value. As I have said above, I believe that 
these results are substantially correct; but as each one of these curves 
represents three or four weeks härd work, I have not thought it good 
econoojy of labour to pursue the inquiry further in this respect. 

(f) orbits round the Sun; C =39*0. Fig. 6 (see p. 181). 

These curves are drawn with less accuracy than the others, being 
computed with three-figured logarithms. I thought that sufficient 
accuracy would be attainable with this degree of approximation, but 
when I found that the saving of labour was not considerable, whilst the 
loss of accuracy was very great, I returned to the use of four-figured 
tables. It did not however seem necessary to recompute these curves. 

The complete circuit is drawn for four of the curves, but the rest 
are only carried half way round. 

The orbits start to the left of the Sun at the conjunction remote 
from Jove. The first orbit is x^^ = — "6 (fuU-line), and at the second 
crossing of the line of conjunction the angle ^ is negative. The second 
orbit a;^ = — '4 (dotted) has ^ positive, but small, at the second crossing; 
hence there is a periodic orbit for a value of x^ a little less than — '4. 

All the succeeding orbits viz. Xq = — '337, — '3, — *2, — -i, — -04, 
— -ooi have ^ positive and successively increasing at the second crossing; 
and thus there is no other periodic orbit. The last two of these orbits 
have loops. 

The orbit Xo = — '337 was found in part by interpolation. It has 
been inserted because the third crossing of the line SJ appears to be 
orthogonal, and therefore the orbit is periodic, but not simply periodic. 
No search was being made for this sort of orbit, and the discovery was 
accidental. 



§ 17. Periodic Orbits classifted (wcording to values of €• 

Plates I, n, m. 

Plate I, fig. I. C =40*0. 

When C is greater than 40*18, thp inner branches of the curve of 
zero velocity, 2i2= C, consist of two ovals, as seen in fig. i; the periodic 



Periodie OrbilB. 181 

orbits then coDsist of two approxiinately circular orbits round S and J 
respectively. These cases may be treated by the methoda of the Planetary 
and Lunar Theories, aod fall outaide the scope of this paper. 




When C = 40*18 there is a third periodic orbit consisting of the 
point X ^ yi 75, y = o. At tMs point a body is in unstable equilibriuio, 
and this point is the beginning of a fainily of orbits; for, whilst in 
general periodic orbits begin in pairs, a single orbit may begin at a point. 

In discuseing these figures I shall denote the initial value of any 
function by tbe suffix o; the suffix i will denote the value after the 
completion of a half circuit, and the suffix 2 the valne on the completion 
of tbe whole circuit. 



182 G. H. Darwin. 



The planet A starte from Xq = — '4.14, ^o = ^> ^"^ fp increases. 

When Xq^ — '4i4> Fi ^^' ^^^^o (^o "^ — '4^4 ^^ cöurse denotes a 
starting point more reinote from 5, with Xq numerically greater than '414). 



This orbit is stable with c= 2*81. 

The satellite A starts from Xo=^ 1-03341, ^<, = o, and ^ increases. 

This orbit changes its shape rapidly with changes of C, as will 
appear below in the classification by families. Great care was bestowed 
on this case, and it Avas very troublesome to compute, since a considerable 
variation of Xq corresponded with a small variation of ^j. 

When ^0^1*03341, ^j — ;r^o, x^^x^. 

The orbit is stable, but borders closely on instability, with c = 3*7. 



Periodic Orbits. 183 

The third orbit is the oscillating satellite a, moving slowly with a 
retrograde revolution round the point of zero force x = 'jiy^j y = o, 
which was described above as the coTnmencement of a series of orbits. 

The orbit a starts from x^ = '705? f o ~ ^' ^^^^ 9 diminishes. 

When a?^S*705, (f^ — tt^o. That is to say if the body starts too 
near to Jove the change of direction at the sharp turn is not quite 
sufficient for periodicity; and if it starts too near the Sun the converse 
is true. In the first case after one or more circuits the body passes 
away towards J^ and in the second case towards S. 

This orbit is very unstable, and the instability is almost certainly 
of the even type. 

Plate I, fig. 2. f;=39-5 and 39*3. 

The planetary orbit A (C= 39*5) differs little from the preceding case. 

It starts from ^^ = — '424, f^o "^ ^' ^^^ 9 increases. 

When x^^ — -424, jTj^o, ^r^^rr^. 

The orbit is stable with c= 2-90; but it is less stable than when 
O = 40. 

The classification by families below shows that as C falls below 
40*0, the orbit of the satellite A stretches out rapidly towards 5, and at 
the same time the oval a expands. When C is very little greater than 
39*5 (perhaps about 39*6), these two curves touch one another. 

At this stage the body may either move entirely on A or entirely 
on «, or it may move alternately on A and on a, thus describing a 
iigure-of-8. 

When C has diminished to 39*5 there is no alternative; for the orbit 
A is necessarily a figure of-8, whilst the orbit a remains a closed oval. 

The satellite A starts from :r^ = 1*0650, ^^==0, and ip begins 
increasing. When the body has passed half round J so that y vanishes, 
(p is equal to 7: — i5°37'; shortly after this ip diminishes and continues 
doing so until when xj again vanishes (p^ = o. 

We have ic^jS 1-0650, fr^^o. When the body starts too far from 
J, it will move in some orbit round J, and when it starts too near J 
it will pass away to S, 

This orbit is very unstable with even instability. 



184 G. H. DarwiD. 

The oscillating orbit a was not computed for C? = 39*5;^ during 
one part of its course it would be indistinguishable from part of A, 
and the rest is shown conjecturally by a dotted line. 

This orbit is very unstable, with even instability. 

It has already been re marked that af ter the first half circuit of 
satellite A ip was Tt — 15** 37'? or as we may now write it tc — jPj = 15*^37'. 
Now when x^ is niade to increase from 1-0650 until it reaches the curve 
2i2=C, (p^ — Tt will always be negative, or r — ip^ positive. It appears 
however that tt — ipy^ has a minimum value, which very nearly reaches 
zero. In fact when rr^ = i • 1 40, ip^ =7: — o® 20'. 

Since TT — ^^ is large when x^ approaches 2i2=C, and is 15^37' 
when x^ = 1-0650, it follows that if it vanishes at all, it must vanish 
twice. That is to say if there is another periodic orbit, there must be two. 

As C diminishes the minimum value of tt — ^^ falls, and I found 
that when 0=39-4 *^^ minimum is reached when x^ is about i'i5; 
for this value of x^y tc — ^^ is 0*9', and there is still no value of x^ 
for which tt — jPj vanishes. 

But when (7=39-3 I computed the four orbits a;^ = i-i8 , 1*17, 
1*1 6, 1-15 and found that for the two middle ones tt — f?, was negative. 
By interpolation the pair of periodic orbits B and C were found. 

The orbit B is given by 

and the orbit C by 

In both cases ^ increases. 

The relationship to the neighbouring orbits is given by the inequalities 

x^ > 1-1751 , jPj— r<o , aj, <x^. 

< i'i75i 
Xq , c, — ;r > o , a;, > a;.. 

> I-I575 > i o 

^o< 1*1575 I Fl— ^<o , x,<x,. 



^ At least the computation was not completed^ for it was found to be so troublesome^ 
that it appeared that the work could be better bestowed elsewhere. 



186 G. H. Darwin. 

The satellite B starts with x^ = risoo, ^^ = o, and f> increases. 

When XQ^i'i$qo, ^^ — ;r^o, x^^x^. 

This orbit is unstable, with even instability, and c=^'^Sy/ — i. 

The satellite C starts with x^ = 12338, j^^ =0, and p increases. 

When rr^^ 1-2338, jp^ — ;r5o, x^^x^. 

This orbit is stable, with 0=2*46. 

Plate II, fig. 2. C=38-5. 

The planet A starts from a;^ = — '444, ^0 = ^^ ^^^ 9 increases. 

When a:^^ — '444, ip^^o, x^^x^. 

The orbit is unstable, Avith uneven instability and c= i + 18 y^ — i. 

The satellite A starts from rr^ = rii64, ^^=0, and ip increases 
until when y vanishes it is equal to about t: — 12®; it then diminishes 
to zero. It will be observed that at the first vanishing of y, the curve 
cuts the axis more nearly at right angles than was the case when (7=39*0 
and 395. When a^^s 1*1164, f^^^o. When it starts too far from Jove 
it will move in some orbit round /, and when its starts too near Jove 
it will pass away to the Sun. The orbit is very unstable, with even 
instability. 

The osciUating satellite a starts with a;^='68i4, ^^=0, and xp 
diminishes. When a;^S*68i4, <p^ — ;rSo. In the first case it passes 
away towards Jove, in the second towards the Sun. The orbit is very 
unstable with even instability. 

The satellite B starts with a;^ = 1*1497, jr^ =: o ^^^ 9 increases. 

When a;^s 1-1497, 9\ — ^^o, ^a^^o- 

The orbit is unstable with even instability, and = 70^/ — i. 

The satellite C starts with x^ = 1*2760, ip^ =0, and ip increases. 

When a;^,^ 1*2760, tp^ — ;rSo, x^^x^. 

This orbit is very unstable, and as will appear below the instability 
is uneven. There has in fact been a passage from stabi lity to uneven 
instability for some value of C between 39*0 and 3875. 

This orbit is interesting because it corresponds almost exactly to the 
cusped orbit described by M' Hill as the moon of greatest lunation. 
It woukl seem howevep that this description is incorrect, for the satellite 
C moves with a still longer period when the cusp is replaced by a loop. 
M' Hill's orbit was, on the account of his approximation, necessarily a 



Poriodio Orbits. 187 

gyrametrical one with reference to the line of quadratures, but it will be 
observed that when the solar parallax is taken into account the orbit is 
very unsymraetrical. 

When C= 3888 a new periodic orbit arises in the point x^ = 1*3470, 
y = o marked in the iigure. This is the beginning of a second family 
of oscillating satellites, referred to here as b. 

When C= 38*5 this orbit begins with x^ = 1-2919, ^^ =0, and ^ 
diminishes. 

When rr^S 1*2919, ^^ — 7r%o. That is to say if the body starts 
too far from Jo ve for period icity, it will pass away in an orbit as a 
superior planet; if on the other hand it starts too near Jove for periodicity, 
it will pass to some orbit about Jove. This orbit is very unstable. 

Plate III, fig. I. 0=38-0. 

The planet Ä starts from x^ = — *455, ^^ = ;r, and ^ increases. 

When a;,^— '455, ^^^o, x^^x^. 

The orbit is unstable, with uneven instability, and c= i +'I93 v' — i. 

The satellite Ä starts from x^ = 1*1305, j^^ =0, and ^ increases. 

When 0:^^1-1305, fi^o. The remarks concerning this orbit in 
previous cases apply again here. 

At the point where the orbit crosses the axis of x for the second 
time TT — p is less than it was in the preceding case. 

The oscillating satellite a starts from a;^ =-6760, jp^=o and ^decreases. 
When a;^^"676o, ^^ — tt^o. It is very unstable, with even instability. 

The satellite B starts from x^ = 1*1470, ^^ =0, and <p increases. When 
a;^S 1-1470, ^j — ;r^o, x^^x^. The orbit is very unstable with even 
instability, and c = '96 yj — i. 

The orbit B is on the point of coalescing with part of the orbit 
Ay for the crossing point of the figure-of-8 in Ä is tending to become 
perpendicular to Ä7, and the two curves nearly coincide. 

The satellite C starts from x^ = 1*2480, ^^ =0, and ^ increases. 

When ir^s 1*2480, j^j — ;r^o, x^^x^. 

This orbit was very troublesome, and is not computed with a high 
degree of accuracy. A very small variation of C would make a large 
change in the size of the loops in the curve. 

The orbit is very unstable with uneven instability. 



188 



G. H. Darwin. 



The oscillating satellite b starts with a?o ~ ^'^595' f^o "^ ^> *"^ f^ 
decreases. 

When a;^,^ 1*2595, ^j — tt^o. The remarks made conceming this 
curve for C =38*5 apply again here. 

This orbit is very unstable. 

The orbit C seems to be ubout to coalesce, in part of its course, with 
the loop b. 

§ 18. Classiflcation of or bits by fatnilies. 

Soveral orbits are given in this classification which were not included 

in § 17. 

Table of resulta. 



Conttant 

of 
Energy 



C 



Coord. ol 

startinK 

point 



x. 



Synodic 
Period 



nT 



Criterion of 
Stability 



Apparent 

advance of 

pericentre in 

synodic period 



Regression of 

pericentre 
in sid. period 




M 1 



Description 
of instability 



Modnlus of 
instability 

log ^'2 



iog[Z;+^z;2±ij 



Remarks 



Satellite A^ Plate IV, fig. I 



393 
39'o 
385 
380 

39*3 

39*0 

38-75 

38-5 
38-0 



40-5 


III35 


40-25 


III50 


40*2 


i'i09o 


40*0 


10334 


39-5 


1-0650 


390 


1*0941 


385 


1*1164 


380 


1-1305 



•1575 

•1500 

•1497 
•1470 

•I75I 

•2338 
•2873 

'2760 
'2480 



6l°20' 

65^40' 

66° 50' 
98° o' 

229° 
240° 
258^ 
2990 

87^0' 

97° o' 
1 13° 20' 

i3i°5o' 



89^20 
114° o 

i79°3o 
210^50 

235°20 



+ 



*i 1 2 

•063 

064 

'226 



— ? 

— i'o6 

— ? 

— ? 

— •061 

'402 

— 1-82 

-- 45 

4- 064 

+ -435 
+ 1*95 

> + I 

> + I 



39° o' 
29° o' 
29° 10' 

303° 



22°20' 

31° o' 
3J°4o' 

161° 



even 
even 
even 
even 

Satellite B, Plate IV, fig. 2. 

even 



even 
even 
even 



Satellite C, Plate IV, fig. 3. 
81° o' 
82^40' 



24°3o' 

23 30 



uncven 
uncven 
uneven 



o'5 



1*42 

0-58 

03 1 
0-23 



04 
? 
? 



minimum of criterion 
maximum of x^ 

minimum of x^ 
Figure-of-8 begios 



maximum of x^ 



Pcriodic Orbits. 



189 



Constant 

of 
Energy 



Coord. of 

starting 

point 



X 



Synodic 
Period 



nT 



Crilerion of 
Stability 



J^in'- jrv^<P^ 



Apparent 

advance of 

pericenti-e in 

synodic period 



Regression of 

pericentre 
in sid. period 



2nl 1 -=, 




Description 
of instability 



Modulus 
of instability 

log ^'2 



log [/>+•/>* t IJ 



Bemärks 



Oscillating Satellite a. 



4018 


•7175 
•705 




— ? 


40*0 


138° 


— ? 


39-5 


•693 


? 


— ? 


39'o 


•687 


146° 


— 148 


38-5 


•681 


150° 


— ? 


33-0 


•676 




— ? 


3888 


1*^470 




? 


38-5 


Ot 1 ^ 

i'29i9 


214°? 


? 


38-0 


1-2595 


208° ? 


? 


4o'o 


•414 


154° 


+ .91 


39*5 


~ -424 


165° 


+ -98 


39*0 


- 434 


177" 


+ 1-03 


38-5 


— '444 


191^ 


4- ro8 


38-0 


— *455 


207° 


+ 1-09 



even 
even 
even 
even 
even 
even 



? 

? 

o-i 

? 
9 



a point un SJ 



Oscillating Satellite h. 



? 
? 



a point on SJ 



Planet A, Plate IV, ^e. 4. 



M5° 
162° 



6° 30' 

^o 



uneven 
unoven 
uneven 



21 

1-25 
ri4 



Although the above table gives inost of the facts, it will be well 
to draw attention to a few important points. 

The passage of the fainily A of satellites into the figure-of-8 form 
is interesting. When C lies between 40*18 and some value a little less 
than 40 o, the oval orbit A and the oval a must be considered, in an 
aljjebraical sense, as a single orbit. But I think that we must imagine a 
to be described twice, so that when one of the two a orbits fuses with A 
to form the 8, the other may maintain a separate existence. The doctrine 
of the double nature of a receives confirmation from what is pointed 
out below in § 19 as to the manner in which the C orbit fuses with 
the oval b. 

I think it is almost eertain that a more complex sort of figure-of-8 
also exists, for we may imagine a body which describes two, three or 



190 G. H. Darwin. 

more oircuits round the point of ^ero force in an oval like a, before 
passing off into the branch round Jove. 

We have seen that the confluence of a circuit round a alone with 
a circuit round a and round A leads to a figure-of-8 and a circuit 
round a. It seems likely then that a pair of complex iigures-of-S, 
one with a double circuit round a and the other with a triple circuit 
may spring from a single orbit. However these orbits can hardly be 
described as simply periodic, and I have not considered them in detail. 

It appears from our table that the satellite orbit A is stable, but 
with only a very small margin of stability when C = 40. It is worthy 
of note that the criterion of stability after passing a minimum value 
of '063, is rapidly increasing, so that the orbit is tending towards uneven 
instability. I do not know whether or not that instability has set in before 
the fusion with the oval a and the formation of the iigure-of-8 orbit A\ 
but the figure-of-8 is evenly unstable, and we thus have the fusion of a 
stable, or unevenly unstable, orbit with an evenly unstable orbit, and 
the resulta nt is evenly unstable. 

This throws light on the fusion of the planetary orbit A with the 
oval a, which must occur for a value of C less than 38. In the case 

of the planet we have seen that ^mi^ -TTyjO^ has increased until it is 

greater than unity and there has as yet been no fusion with a. Hence 
amongst the planetary orbits we shall have the fusion of an unevenly 
unstable orbit with an evenly unstable one, and the resultant will be 
evenly unstable. 

M' Hill has drawn an interesting family of orbits of satellites, be- 
ginning with the orbit of the moon and ending with a cusped orbit. 
Now our moon undoubtedly belongs to the family -4, whilst the cusped 
and looped orbits belong to the family C. He neglects the solar parallax, 
and this approximation has in fact led to the absorption of two families 
into one another. It appears now that it is not possible to comprehend 
the part played by this class of orbit without the inclusion of the solar 
parallax, for the asymmetry of the family C with regard to the line of 
quadratures is an essential feature in it. This will appear still more 
clearly in the next section. 

M' Hill draws ätten tion to the minimum of distance at syzygies 



192 O. H. Darwin. 

38 there must be a periodic orbit of this general form. We shall tbus 
have a periodic orbit with five full moons in the month. In this sort 
of orbit the crossing point P will be at iirst a point of contact; the 
distance JP will then diminish to a minimum and afterwards increase. 
When P has moved outwards and Q has moved inwards, so as to meet, 
the upper loop will have spread so as to coincide with the lower, tmd 
the lower with the upper, and both will coincide with the oval h. I think 
that after this stage the orbit C will disappear, but the oval h will 
continue to exist. 

This conclusion is interesting when taken in connection with the 
looped orbit to which M. Poincaré * drew attention, and which has been 
traced by Lord Kelvin.^ They both neglected the solar parallax, and 
with the degree of approximation adopted by them, the central space 
might be made as small and the loops as large as we like. But the 
inclusion of the solar parallax now appears to be essential to the proper 
consideration of these orbits. 

It appears from fig. i that when C= 3491, there is a new periodic 
orbit consisting of the point %-= — 9469, y = o. This point is the origin 
of a new family of oscillating planets, say c, which describe ovals with 
retrograde revolution round the point of zero force, for values of C less 
than 34*91 

Turning now to our conjectural planetary orbit C, we see that whilst 
initially it will be nearly circular, it will ultimately produce two ex- 
crescences near the ends of the oval c. These excrescencces will be- 
come cusps, and then loops; the loops will cross one another, become 
identical with one another and with the oval c, and the orbit C will 
probably then disappear. 

The case of the superior planets has not yet been considered, and 
there is not much concerning them of which I feel confident. * It is obvious 
however that they are described with an apparently retrograde revolution, 
and that they contract as C falls in value. The orbits will be nearly 
circular, but will bulge inwards in the neighbourhood of Jo ve. At 



* Méc. Cél., p. 109. 

• Phil. Mag., Nov. 1892. 

' I have DOW (July 1897) traoed some of them. 



Periodio Orbits. 193 

some stage the inward depression of the orbit will meet the oval b in 
contact. This stage will be the commencement of a new farnily of orbits. 
baving the form of a sort of inverted iigure-of-8. If the old figure-of-8 
be likened to two circles touching one another externally, the new figure 
may be conipared with a small circle touching a large one internally. 
A similar series of changes must ultimately take place Avith the oval c, 
and probably we may have an orbit with loops at both ends of the 
line of conjunctions. 

I will not hasard detailed conjectures as to the future of the three 
ovals a, 6, c. I think however that it is probable that they will stretch 
out towards the vertices of the two equilateral triangles which may be 
erected on SJ as base. These vertices must be themselves the origins 
of a pair of similar ovals, and perhaps the extremities of a , ft , c will 
stretch out to contact with this fourth system of ovals. 



t 20. Classiflcation of stable orbits of satellites. 

We have seen that amongst satellit^s there are two classes of stable 
orbits, namely those of the A and C families. Plate III, fig. 3 exhibits 
the limits of the orbits which have been shown to be stable. The exact 
orbits which possess limiting stability would of course differ slightly from 
those drawn in this iigure. 

When C is large the stable orbits of the A family are approximate 
circles of small radius. As C decreases the orbits swell, but when C 
reaches 40*25 the radius vector at superior syzygy reaches a maximum. 
Hence the orbit x^ = 1-1150, C = 40*25 gives one^ limit of the stable 
orbits of this family. The orbit x^ = 1*0334, C? =40*0 gives approximately 
another limit as regards the inferior syzygy. The shaded space betwecn 
these two orbits is filled with stable orbits. 

The stable orbits of the C family begin when C is a little greater 
than 39*3, and the first one traced is that for which x^ = 1*1751 and 
C= 39*3. The stability of these orbits still subsists when C= 39*o, but 
this orbit is already very unstable when C has fallen to 38*75. Accordingly 
I take for the other limit of orbits of this kind x^ = 1*2338, C =39*0. 
The shaded space between these two is filled with stable orbits. 

Åcta math$nuUiöa. 21. Imprimé le 13 septeiubre 1897. 25 



194 Ö. H. Darwio. 

It will be observed that there remains an unshaded tract within 
which no stable orbit can exist. I think moreover that it is probable 
that with a smaller mäss for Jo ve we should have found a complete 
annulus within which stability is impossible. 

This conclusion is interesting when viewed in connection with the 
distribution of the satellites and planets of our system, and it appears 
to me to be the first exact result, which throws any light on Bode's 
empirical law as to the mean distances of planets and satellites from 
their primaries. 

It is as yet too soon to make a similar classification of stable 
planetary orbits, but this will follow in due course. 

We have seen in an earlier section that unstable orbits are such as 
ultimately to lead to the absorption of bodies moving in them into onc 
or other of the perturbing centres. If there were a large number of 
perturbing centres, as in our planetary system, the problem would become 
incomparably more difficult, but I think that the present investigation 
afifords evidence that if we were to have a system consisting of a large 
planet moving round the sun, and of a cloud of infinitesimal bodies 
circling about them, a system would ultimately be evolved where there 
would be inferior and superior planets and a pair of satellites moving 
in certain zones indicated by our iigures. 



Postscript. 

It is stated in § 3, p. 112 that if the third body be placed at the 
vertex of the equilat^ral triangle drawn on SJy it is stable. I have to 
thank M' S. S. Hough for pointing out to me that this is not universally 
true, but that if Jove is greater in mäss than one twenty-fifth of the 
Sun, such a body is unstable. 

This may be proved as follows: 

The coordinates of the point for which r = /? = i are x = -y 

I -^ . dä dä , d^ä 3 , . a*i? 3 , v 

V=-\/3; also -— = —=0, but — ^ = -(j;+l), _-_ = fJ3(y i) 



Periodic Orbits. 195 

— - = ^(^4- i). Henco at a point whose coordinates are x = - -{- $y 

and the equations of motion are 

Noting that n' = v + '> ^^'^^ assuming f = ae", rj = he^', we easily find 

It is clear that if (p + i)^ > 27^, A^ is negative, and the motion is 
oscillatory; but if (1;+ ^Y < 27^, A is semi-imaginary nnd the solution 
will represent an oscillation with increasing ampjitudc. 

The limiting value of v consistent with stability is therefore given 
by (v + 1)^=271;, the solution of which is v» = 24*9599. The second 
solution is of course the reciprocal of the first. 

In the numerical work in this paper I ha ve taken p = 10, and 
there will accordingly be no stable orbits encircling the point r = /0=i. 



Periodic Orbita, Appendix. 197 



APPENDIX. 

Computations of Periodic Orbits, and of their Stability. 



Explanatton* 

The orbits are given in families, arranged according to descending 
values of C, the constant of relative energy. The families are distin- 
guished by the initials Ay B y C ^ a yb. The initial A is attached to one 
of the families of satellites and also to the family of planets, because 
the satellite A appears to bear tho same relationship to Jove and the 
Sun that the planet A bears to the Sun and Jove. 

The data for the orbits are given as follows: — The first column is 
the are of the relative orbit measured from conjunction; the second and 
third are the rectangular coordiuates x — i , y for satellites, ov x y y for 
planets; the fourth gives ip the inclination of the outward normal to the 
line SJ'y the fifth and sixth are the coordinates p y ip for satellites, or 
Tyd for planets; the last column contains the function 2w/F. 

The last column is given so that the reader may be enabled to com- 
plete the solution, by drawing the orbit with reference to axes fixed in 

I / 2m 

space. The integral - j -=ds would give nt , that is to say the angle 

turned through by the rotating axes since conjunction; then the polar 
coordinates with reference to Jove are py ^ -{- nt, or with reference to the 
Sun are VyO + nt. 

In the case of the oscillating bodies (families a and b) the polar co- 
ordinates are not given, but the rectangular coordinates with reference to 
axes fixed in space are clearly 

X cos nt — y sin nt , a; sin n< + y cos nt 

for heliocentric origin, and 



198 G. H. DarwiD. 

{x — i) C08 nt — y Bin nt y{x — i) sin nt + y cos nt 

for jovicentric origin. 

The last line of these tables gives the value of the are and of f? 
when y vanishes. If the orbit were rigorously periodic and wcre coin- 
puted with absolute accuracy, this angle would be i8o° or o°. It may 
be remarked that in some cases a small change in the initial value of x 
leads to a large change in the final value of ^ , and in other cases the 
converse is true. Thus in some cases it is neccssary to continue the search 
until the final value of ^ only differs from i8o° or o° by a few minutes 
of are, and in others even an error of a degree of are is unimportant. 
The coordinates are certainly given with sufficient accuracy to draw the 
figures on a large scale. 

Finally there is given the time-integral nT, being twice the angle 
turned through by the rota ting axes between the first orthogonal crossing 
of SJ and the second (closely approximate) orthogonal crossing. Since 
the circuit is completed at the third crossing T is the period, and the 
ratio of nT to 360° is the ra tio of the period of the body to that of Jo ve. 

After the coordinates the discussion of the stability is given. 

In order to test the sufficiency of the harmonic expansion of to 
represent that function, a comparison is given between nine of the equidis- 
tant values of with the corresponding values derived from a synthesis 
of the harmonic series, which has been calculated as far as the eighth 
order inclusive. Following -this comparison is 0^ the mean value of 0. 

In the cases where the orbit is stable the value of c is given, and 

certain functions of it. The function Asm^ -7ry/0Q or sm^-m is what is 

calied in the table of § 18 the Criterion of Stability. The function 27r(-c — i) 
gives the retrogression of the pericentre, with respect to the rotating axes, 
in the synodic period. The function nT — 27r(-c — i] gives the advance 
of pericentre, with respect to fixed axes, in the synodic period. And 

27r[ I ^ ) gives the advance of the pericentre, with respect to fixed 

2;r 

axes, in the sidereal period. 




Periodic Orbits, Appcndix. 



199 



Where the orbit is unstable, when the determinant A is negative the 

instability is of the even type, and when A8\n^-7ry/0Q is greater than 

unity the instability is of the uneven type. The modulus of instability, 
or the nuraber of synodic circuits, in which the amplitude of displacement 
increases to twice its primitive value, is given. 

When the instability is of the even type c is of the form in-^-kyJ — i , 
and when of the uneven type it is of the form 2w + i + ^\l — i; i^ the 
tables c is given in one or other of these two forms. 



FAMILY A OF SATELLITES. 



-405 










^0 


=x I'II 


35 








8 


X — I 




V 






<p 


P 




<!> 


2n 
V 


•00 


+ -1135 


+ 


•0000 






0° 


"35 




0° 


2-423 


3 


102 




298 






12° 56 


41 




15° 7 


•441 


6 


002 




580 






25° 58 


58 




30° 4' 


•492 


9 


•0841 




832 






39° IS 


83 




44° 5' 


•574 


•12 


625 




•1040 






52° 56 


•1213 




58° 59 


•679 


5 


366 




189 






67° 10 


44 




72° 54 


•792 


8 


+ 078 




269 






82° 


71 




86° 30' 


•893 


•21 


— -0222 




271 


t: 




82° 42 


90 


/i 


— 80° 7' 


•960 


4 


511 




194 






67° 20' 


98 




66° 51' 


■975 


7 


769 




044 






52° 24' 


96 




53° 36' 


■936 


•30 


981 




•0833 






38° 17' 


87 




40° 19' 


•870 


3 


•1137 




578 






24° 58 


76 




26° 55' 


•803 


6 


233 


+ 


294 


TT 


— 


12° 16' 


66 


n 


-13° 24' 


•757 


•39 


— 1265 




•0004 


t: 


+ 


0° 6' 


•1265 


TT 


+ o°ii' 


2740 


•3896 






•0000 


TT 




0° 3' 


















uT 


- 61° 


23' 









200 G. H. Darwin. 

Family A of satellites continued. 

Stability of x^ = ri 1 35 , C = 40* 5 . 

Comparison 
Computed Synthesis Computed SyntheaiB 



". 


3'9 


3-18 


«. 


7-28 


7*22 


«, 


384 


384 


". 


580 


5*91 


«» 


4-67 


466 


«.. 


501 


486 


»4 


5-8' 


583 


"i. 


3*19 


3-00 


«. 


804 


804 

— 


5"479. 






The harmonic series 


represents 


well. 






T"!.- -l-x 




A • 3 ^ 


_ /<A ... 


• XV .^% . ^^ m 


M w *■ 



I 
-c 



27rQc— i) = 39''4',wr— 2;rQc-i) = i9''42',2;r( i ^^1=22*^ 19'. 

\ 2ir/ 



The orbit is stable. 



C = 4025 







'o- 


= 11150 








s 


« — I 




y 




f 


2U 

V 


•00 


+ 1150 


+ 


0000 




o<^ 0' 


2-418 


3 


118 




298 




12° 24' 


•437 


6 


022 




583 




24° 53' 


•496 


9 


•0867 




839 




37" 34' 


•587 


12 


659 




•1054 




50" 36' 


•708 


5 


407 




216 




64^12' 


•846 


8 


+ 124 




312 




780 29' 


•978 


•21 


— -0175 




333 


TT — 


86^ 39' 


3*079 


4 


469 




277 




7i°3i' 


•120 


7 


739 




146 




56^43' 


•097 


•30 


966 




•0952 




42O42' 


'033 


3 


1142 




710 




29^37' 


2*954 


6 


260 




435 




17^ 20' 


886 


9 


320 


+ 


141 


TT — 


5^33' 


854 


•42 


— 1319 




•0158 


71 + 


6° 4' 


2*855 


'4042 




uT 


.0000 

- 65<> 40' 


t: — 


0^ 1' 





Pcriodic Orbits, Appcndix. 
Family A of satellites continued. 

Stability of x^ = i • 1 1 50 , C = 40* 2 5 . 



201 







Comparison 








Computed 


Synthesis 


Conjputed 


Synth 08 


^0 


2-928 


2-936 fl. 


7-839 


7865 


a. 


3652 


3650 a^ 


6050 


6036 


fl. 


4-574 


4-580 ö.o 


4-383 


4.384 


a^ 


5885 


5881 a,. 


2*947 


2*932 


a^ 


8-718 


8-730 







(l>= 5-574. 

The harmonic series represents well. 

The determinant gives Asm^ -7ry/0Q = '0630, c = 2-161 



;r(%-i) = 29°3',nr-.2;rQc--i)=36°37', 2;r( i — 



The orbit is stable. 



I + 



nT 
2;r 



= 30^58'. 



C = 40*2 



»o = I -1 090 



8 


X 


• — I 




y 






f 


2 m 

r 


-00 


+ 


•1090 


+ 


•0000 






0° 0' 


2-276 


3 




058 




298 






12*30' 


•2g8 


6 




•0961 




581 






25° I' 


•362 


9 




806 




837 






37° 38' 


•467 


-12 




598 




-1052 






50° 28' 


•609 


5 




346 




215 






63° 45 


•780 


8 


+ 


064 




314 






77° 41' 


-958 


•21 




•0234 




340 


t: 


— 


87041' 


3-«»9 


4 




529 




289 






72° 35' 


•225 


7 




800 




163 






57° 36 


•255 


•30 




•IO31 




•0972 






43° 2* 


' "219 


3 




210 




732 






30° 10 


•»55 


6 




331 




458 






17° 55 


' '092 


9 




394 


+ 


166 


t: 


— 


6° 18 


•055 


•42 


— 


•1397 




-0134 . 


t: 


+ 


5° 6 


3-053 


•4066 






nT 


"OOOO 

= 66^52' 


t: 


^^ 


0° 




Aeta mathemaHea, 21. 


Jmprinifi le 11 


9cpieiubre 1897. 











26 



202 



O. H. Darwirt. 
Family A of satellites continued; 

Stability of x^ -=1-1090, C== 40-2. 



(1. 



a. 



a. 



a 



o. 







Coni pari son 






Compiiicd (P 


Synthesis 




c 


•DiputCll 


Syiithosis 


2627 


2-573 




«s' 


8640 


8753 


3*300 


3-296 




". "■ 


6692 


6-635 


4186 


4*139 




«,o- 


4-760 


4.758 


5*498 


5-601 




«.. 


3-093 


3-033 


8-184 


8*345 






1 






<^o 


= 5-593 







The harinonic series représente fairly well. 

The detérminant gives A8in'-;rV'^^, = •0636,0= 2-162, 



2;rQc-i)=29^ 14', nT- 2rQc-i) =37'' 38:, 2;rf i — 



I 

- c 

2 



The orbit is Rtahle. 



I + 



n'l 



fåi 



: 2r 



= 31° 44'. 



c = 400 



a:» = 1-03341 



s 


a; — I 


V 


V 


P 


<P 


2n 
V 


00 


+ 03441 


+ -00000 


0^ 0' 


•03341 


0° 0' 


939 


1 


3257 


0995 


9^40' 


3406 


17- 0' 


•950 


2 

3 


3010 
2617 


1963 
2882 


18^52' 
27° 16' 


3594 
3893 


33^ 7' 
47*^ 46' 


•981 
1031 


4 


2101 


3738 


34"" 44' 


4288 


60^ 40' 


096 


5 


1484 


4525 


41^17' 


4762 


71^.50' 


-172 


6 


+ 0787 


. 5241 


47^ 


5300 


81^28 


•259 


8 
10 


- '00785 
2518 


6472 
7467 


5.6^ 20 
63^41' 


6519 
7880 


--83^ 5' 
71° 22' 


•458 
•690 


2 
4 


4355 
6259 


8256 
8866 


69^39' 
74^42' 


9334 
-10852 


62^ 11 
54^7' 


•958 
2-269 


6 


8207 


9316 


79"" 12; 


2416 


48^37' 


-640 


8 
20 


•10184 
2178 


9617 
9769 


83° 29 
87^9' 


4007 
5613 


43^22' 
38° 44 


3093 
•664 


2 
24 


4177 
— -16166 


9762 
•09564 


-- 87** 17 
--81^ 3 


7213 
•18783 


34"* 33 
-— 30^37 


4-410 
5-406 



Periodic Orbite, AppcDdiz. 
Family A of. satellites continued. 



203 



å 


« — I 


y 






V 


f 




^ 


2u 

V 


•26 


— -iSiii 


•091 1 1 






72° ii' 


•20274 


n — 


26° 42 


6-745 


7 


9046 


8758 






66° 12' 


0963 




24%2' 


7-525 


8 


9934 


8300 






58^59' 


1594 




22° 36' 


8-330 


9 


•20752 


7726 






50"" 39' 


2143 




20° 25' 


9-030 


•30 


1474 


7035 






41° 46' 


2596 




18° 8' 


516 


I 


2081 


6241 






33° ii' 


2946 




i5%7' 


•730 


2 


2570 


5369 






25"" 34' 


3200 




13° 23' 


•710 


3 


2949 


4444 






19° 9' 


3375 




10° 58' 


-563 


4 


3231 


3485 






13^50' 


3491 




8° 32' 


•376 


5 


3431 


2505 






9° 21' 


3564 




6° 6' 


•209 


6 


3559 


i5'4 






5° 26' 


3608 




3''4i' 


-095 


7 


3622 


+ 0516 


n 


— 


i°49' 


3628 


7t — 


i°i5' 


•032 


•38 


— 23623 


— '00484 


t: 


+ 


i°4i' 


.23628 


7: + 


i°io' 


9032 


•37516 




•00000 

n 


T 




0° i' 
97^58'. 











Stability of x = 103341 , (7=400. 



a. 



a. 



a. 



a. 



a. 



Coiiiputcd 


Cornp! 
Synthesis 


irisoD 


C( 


^mputcd 


Synihesis 


249 


0-95 


«8 




17-58 


2028 


232 

2*74 

293 
4-70 


2'21 
389 

i-6i 
5*88 

0, - lO- 


«9 

124. 




41-05 

33-03 
048 


39-50 

3256 

— 2-63 



The representation of by the harnionic series is not very satis- 
factory, nevertheless it will serve to give the result with sonie approach 
to accuracy, for the following shows the gradual approximation to a de- 
finite value as the number of rows of the determinant is increased: — 



No. of j 


roMfs 


Value of A 


5 




•000 


9 




-052 


13 




•233 


15 




•243 


17 




•246 



204 



G. H. Darwin. 



Family A of satellites continued. 

The detenninant gives Asin^-jrV^^^ = '2264, and c = 3*684; 



2yT(-C— M=303°IO', »r-2;rf-C— I j=— 205°I2', 2^ 

The margin of stability is obviously small. 



i — 



I 

-c 

2 



1 + 



nT 

271' 



==-161*^18'. 



c = 39 5 



Figure-of-ei«i;ht orbit, rr^ = i'o65. 



s 



X — I 



2 Ii 



*f 


m^ M. 


:/ 


r 


r 


Y 


V 


00 


+ 0650 


+ 'OOOO 


0° 0' 


•0650 


0^ 0' 


i'434 


2 


63* 


199 


10^52' 


662 


17*^29' 


•452 


4 


576 


390 


21° 17' 


696 


34° 9 


•508 


6 


487 


570 


31*^ 0' 


750 


49° 27' 


•598 


S 


371 


732 


39^52' 


821 


63" 7' 


•718 


10 


233 


876 


47^ 53' 


907 


75^ 8' 


•870 


2 


•b 076 


•1000 


55^11' 


•1004 


85^40' 


2-053 


4 


- 0095 


104 


61^57' 


109 


;r— 85^ 6' 


•268 


6 


276 


188 


68^21' 


220 


76^55' 


•522 


8 


466 


252 


74^35' 


336 


69*" 36' 


•820 


'20 


66 [ 


294 


80^ 56' 


453 


62^57' 


3167 


2 


860 


315 


87^38' 


571 


56^48' 


•573 


4 


•1060 


310 


;r— 85° 0' 


685 


51" 2' 


4*039 


6 


257 


279 


76^41' 


793 


45° 29' 


•543 


8 


447 


217 


67*^20' 


891 


40° 4' 


5'o54 


■30 


624 


125 


57^15' 


975 


34° 42' 


•463 


2 


783 


002 


47^17 


•2045 


29** 20' 


•738 


4 


917 


•0855 


38° 17' 


100 


24° 2' 


•856 


6 


•2030 


690 


30° 49 


145 


i8%7' 


'882 


8 


123 


513 


24° 58 


184 


i3''3(^' 


•876 


•40 


200 


329 


20® 30 


' 224 


8^30' 


•922 


2 


265 


+ 139 


17*^14 


269 


^- 3° 31' 


6-053 


4 


320 


- '0053 


15" I 


321 


71+ i°i8' 


•287 


6 


369 


247 


13^54' 


382 


5° 56' 


•690 


8 


417 


441 


14° 4 


458 


I o*' 20' 


7425 


9 


442 


538 


14^47 


501 


12^25' 


•950 


•50 


•2469 


- -0634 


-- 16° 8 


•2550 


,T + 14° 24' 


8-688 



Periodic Orbitv, Appciidiz. 



205 



Family A of satellites continued. 



å 

2 

3 

•535 
4 

425 

45 

475 

5 

525 

•555 

•56 

65 

7 

75 
8 

9 
•60 

I 

2 

4 
6 

8 



X — I 

•2498 

533 

577 
604 

637 

657 
679 

703 
728 

753 

775 
814 

848 

876 

900 

922 

958 
987 
•3011 
030 
058 
072 

•3074 



•66308 — 3073 



y 

— '0729 

823 

913 

955 
992 

•1007 
019 
025 
026 
020 
009 

•0979 
942 
901 

857 
812 

719 
624 

526 

428 

230 

— '0031 
+ 0169 

•0000 



t:— 18*^ 27 
22° 26 

30° 4 

36^54 
48^27 

56^52 
67^54 

TT— 82° 2 

+ 83^ 33 

78^35 
60^13 

46° 34 
37*^23 

31° 33 

27^ 13 

»3° 55 
18° SI 

15° IS 

12** 2 2 

9^56 

5^50 

+ 2° 22 

- o^S3 



i%9 



•2603 
663 

733 

773 
818 

841 

866 

891 

915 
935 
954 
979 
999 

•3014 
024 

033 
044 

052 

057 
060 

067 

072 

•3079 



K + 16° 16 

18° O 

19'' 31 



t: — 



20^ 8 



20*^36 
2o%5 

20° 49 
20^46 

20^36 

20** 20 

19° 59 
19° Il 

iS^ 19 

17*^23 

16^28 

15^31 

i3%o 

11^47 

9^55 

8° 3 

4° 18 

o°35 
3" 9 



nT= 229° 19'. 



2n 

Y 
9685 

ii'243 

13*953 
16633 

19562 

2 1 083 

23'755 

24553 
'220 

22752 

2 1 '190 

17987 

15*257 

13*597 
12-425 

11*445 
9910 

•280 
8*666 

'220 
7-727 

•540 
7*595 



The above is not strictly periodic, Bince the final value of f^ is 1*^49'; 
but I find that when x^ = ro66 the final value of jp is — 62*^24', hence 
the periodic orbit should be x^ = i '065028. Since the above only differs 
from the true periodic in the fifth place of decimals of x^^l accept it as 
periodic. It would seem however as if the final value of a? — i in the 
periodic orbit is about — '305 instead of — '3073, as in the above. 



Stability of x^ = 1065 , G = 39*5. 

The determinantal method fails, because varies from about — 20 
in one part of the orbit to more t han 3000 in another, and the harmonic 



.206 



G. H. DarwiD. 
Family A of satellites continued. 



series gives so iiisufficient a representiition of , wlien we stop with tlie 
term of the eighth order, that it does not seeia worth while to form and 
evaluate the determiiiant. 

The orbit is clcarly very unstable, with instability of the even type, 
as appeurs below in the case when C = 39*0. 



C = 39 • o 



Figure-of-eight orbit, x^ = i 094 i . 



It appeared from various computations that the periodic orbit should 
commence with x^ = i*094i. 

Accordingly after the latter part of the orbit had been computt^d 
the first part was calculated. 



•62 



/2n 



211 



8 


X 


— I 




V 


V 


P 


^ 


V 


•00 


+ 


•0941 


+ 


•0000 


0° 


•0941 


0° 0' 


1875 


2 




927 




200 


7^56' 


948 


12° 9' 


•888 


4 




886 




395 


15° 42' 


970 


24° 2' 


•928 


6 




819 




583 


23° 20' 


•1005 


35° 27' 


•991 


8 




728 




761 


30^38 


054 


46° I r 


2081 


12 




485 




•1077 


44° 27' 


181 


65° 49' 


•340 


6 


+ 


174 




329 


57° 29 


340 


82^32' 


•717 


•20 


— 


•0184 




504 


70° 41' 


515 


t: - 83° 0' 


3227 


4 




574 




589 


84^51' 


690 


70° 8' 


•880 


8 




971 




565 


n— 76^44' 


842 


58^ 10' 


4-562 


•32 




•»337 




407 


56° 48' 


942 


46° 26' 


•904 


6 




633 




139 


39° 50' 


991 


34° 53' 


. 807 


•40 




853 




•0806 


27° 55' 


•2020 


23° 30' 


•606 


4 




•2013 




440 


19° 35' 


061 


I 2° 20' 


•525 


8 




127 


+ 


057 


13° 59' 


128 


TT- 1^32' 


•639 


•52 




'221 I 


— 


•0334 


t: — 10° 49 


•2237 


r+ 8° 36' 


5-048 



ds = 109° 10'. Also the value of jr where the curve crosses the 



o 



axis of X for the second time is tt — 13° 22'. 



Periodic Orbits, Appendix. 
Family A of satellites continued. 



207 



. The 


folI 


owing resuUs in 


gquare parenthéfiea were found by 


inter- 


polation, 


between x^ = \' 


09 an 


d aj^ — I -lO. 


Starting 


from t hese val nes 


the reinainder 


of the orbit was 


computed as 


follows: : 


— 


■ . 


" 




■ 






• 


• 


2/i 


s 


X 


— I 


y 


V 


P 


S^ 


V 


[•44 


m 


2020 


•0437 


;r-2o° 5l 






» 


[ 6 




084 


244 


17^ 4'] 








[ 8 




138 + 


055 


.14^2'] 








[•50 




186 - 


•0139 


12050'] 


•2190 


TT-f 3'' 38' 


4847 


2 




228 


334 


11° 46' 


252 


8° 32' 


5'io4 


4 




268 


530 


1 1^ 30' 


329 


13*^ 9' 


•504 


6 




309 


726 


12^19' 


420 


17° 27' 


6117 


8 




356 


920 


14^ 50' 


530 


21° zo 


7*092 


9 




383 


1017 


17^ 10' 


591 


23° 6' 


•839 


•60 




416 


II I 


20^46' 


660 


24%2' 


8-888 


•605 




435 


'58 


23° 18' 


695 


25*^25' 


9565 


I 




456 


203 


26° 37' 


734 


26^ 6' 1 


[0476 


15 




480 


247 


31° 4 


776 


26<>4i' ] 


[1-582 


2 




508 


288 


37° 16' 


820 


27^11' ] 


[3-008 


25 




541 


326 


46° 17' 


866 


27"" 33' J 


^4*945 


3 




580 


356 


59^46' 


914 


2 7%3' 1 


'6-959 


35 




627 


374 


TT— 78^46' 


965 


27*^37' 1 


[9*068. 


4 




677 


374 


+ 79° 10' 


•3009 


27<*Il' ] 


^8-399 


45 




724 


357 


62» 30' 


043 


26° 29' ] 


[6-379 


5 




765 


33Q 


5'° 3' 


068 


25%i' 1 


[4*408 


55 




801 


295 


4*° 57' 


087 


24*" 49' ^ 


[2-815 


6 




833 


257 


37° 7' 


099 


23^55' ^ 


11*582 


65 




862 


216 


3»° 41' 


109 


23° I' 1 


[0*638 


7 




888 


173 


29° 13' 


117 


22° 6' 


9932 


75 




911 


129 


26° 22' 


121 


21° 12' 


*i89 


8 




932 ; 


1084 


23° 58' 


126 


20^17' 


8732 


85 




952 


038 


21° 52' 

• 


I 29 


19° 22' 


.•305 


9 




969 


•0991 


20° 3' 


131 


18** 27' 


7*986 


•70 




•3001 


896 


16° 56' 


»33 


16*» 38' 


•379' 


1 




028 


800 


14° 2 a' 


132 


1 4° 48' 


6953 


2 


, 


050 


70% 


12° 8' 


130 


1 2^58'- 


•647 


3 




070 


604 


10" 8' 


129. 


ii<> 8' 


•380 


. 5 . 




0.99 


406 


6» 41' 


126 


7° 28' 


. '053 


7 


• 


117 


207 


3*37' 


124 


3° 48' 


5-8*62* 


9 




124 - 


007 


+ o°43' 


124 


71+ 0*^ 8' 


•789- 


•81 


^^^ t 


•3122 + 


•0193 


— 2° 8' 


•3128 


^- 3''32' 


5-847 



208 G. H. Darwin. 

Family A of satellites continued. 

Integrating ^ from the coinpletion of the half circuit to s = *52, I 

— ds= 130° 33', and cornbining this with the prcvious integral, we 

•«« 
have nT= 239*^43'. 

Stability of x^ = 1-0941 , C= 39*0. 

Comparison 
Computcd Synthesis Computed SynthesiB 

«o 259 1-76 a^ 5-51 834 

ttj 4'27 524 »7 — S'43 - I ^01 

a, 8-89 7*68 ttg — 13-95 — 13*86 

o, i8-68 19-65 a, — 087 + 3-55 

04 44'io 4418 a,, + 3193 + 3987 

»6 41-49 3987 a,j — 18-92 — 4-86 

a,, — 18-28 — 33-96 

The computed and synthetic values of present some concordance, 
but the representation of by the harmonic series is unsatisfactory. 

The harmonic constitucnts being however used in the determinant 

give Asin^-r^/^o = — ^ '063, c= -46^/ — i ,modulus = 48. 
The orbit is very unstable with even instability. 



C^= 38-5 Figure of-eight orbit, x^ = i • 1 164. 

This orbit was exceedingly troublesome, and the coordinates were 
found by several interpolations. After the calculations were completed 
an error was discovered which may be substantially corrected by increa- 
sing all the arcs by 'oooi. The followiitg iigures to three places of 
decimals suffice for drawing the curve with fairly close accuracy. I have 
not thought it worth while to recompute the whole, and only give the 

intorpolatcd coordinates and function ^. 



Pcriodic Orbits, Appendix. 209 

Family A of satellites continued. 



2H 



8 


X— I 


y 


V 


•OO 


+ 1164 


+ 'OOO 


2^20 


4 


12 


40 


•25 


8 


•099 


78 


•39 


•12 


79 


•112 


•63 


6 


52 


41 


•99 


•20 


+ 19 


65 


3*49 


4 


•017 


80 


413 


8 


57 


85 


•81 


•32 


96 


77 


512 


6 


•129 


55 


4-85 


•40 


56 


25 


•39 


4 


75 


•090 


•07 


8 


90 


53 


390 


•52 


•201 


+ 15 


•92 


6 


09 


— '024 


413 


•60 


16 


64 


•63 


4 


22 


•103 


5*65 


8 


32 


42 


830 


•70 


42 


59 


11-83 


2 


60 


67 


1543 


4 


76 


58 


10-58 


6 


90 


43 


8-20 


8 


98 


24 


6-88 


•80 


•304 


06 


•08 


2 


09 


•086 


5*59 


4 


13 


66 


•26 


6 


^5 


47 


•05 


8 


17 


27 


4-88 


•90 


- -318 


— ^007 


4'86 



When y vanishes between 5 = • 52 and • 56 , ^ = ;r — 1 2*^ 6'. 

nT= 258°. 

The stability was not worked out, but the orbit is obviously evenly 
unstable. 



Ada mathtmaiiea. 21. Imprimé le 12 septeiubrc 1897. 27 



210 O. ri. Darwin. 

Family A of sätellites continued. 

C =380 Figure-of-cight orbit, x^ = i'i305. 

The calculation of this orbit proved excessively troublesome, and 
the results given below are only obtaincd with sufficient accuracy to 
draw a good figure. 

Two sets of curves were traced; in the first set I travelled in a positive 
direction, starting from points on the line 8J for which x^ is greater 
than unity; in the aecond set I travelled in a negative direction, starting 
from points on the line SJ for which x^ is less than unity. One member 
of each of these two familics was finally selected, such that they might 
be approximately parts of a single orbit. 

The first of these two orbits is found by interpolation botwcen the 
two, namely ir^ = i • 1 26 and rr^ = i • 1 34 , 





(are i 


increasing] 


» 


(are 


diminishinfi) 


8 


X — l 




V 


8 


Z — I 


V 


•00 


+ 


•1305 


+ 


•000 


•00 


— 3225 


— -ooo 


4 




27 




•040 


— •04 


21 


40 


8 




16 




•078 


8 


16 


80 


12 




098 




•114 


•12 


07 


•I 19 


6 




75 




47 


6 


•294 


56 


•20 




47 




75 


8 


83 


73 


4 


+ 


M 




97 


•20 


70 


88 


8 


— 


023 




•211 


I 


61 


93 


•32 




63 




12 


2 


52 


94 


6 




99 




•196 


3 


42 


92 


•40 




•128 




68 


4 


34 


85 


4 




50 




34 


5 


29 


77 


8 




67 




•098 


6 


24 


68 


•52 




81 




61 


7 


21 


59 


6 




90 


+ 


22 


8 


18 


49 


•60 




97 


— 


•017 


- 30 


— .214 


— 129 


4 




•201 




57 


* 






8 




05 




96 








•72 


— 


•210 


— ■ 


•135 









The period of the whole periodic orbit is given in round numbers 
by nT = 299^. 

The orbit is obviously very unstable, and the instability is doubtless 
of the even type. 



Piiiodic Orbrts, Appcodix. 211 



FAMILIES B AND C OF SATELLITES. 



C = 39 3 

These are two orbits which iiearly coalesce. It would have been more 
intercsting to find the orbits for that critical value of C for which they 
exactly coulesce, but on account of the difficulty of the senrch I have 
only found two orbits iiearly coalesceiit. 

Four orbits were coinputed viz. x^ = 1*15, ri 6 , 1*17, i • 1 8 ; the values 
of ^ — ;rafter a semi-circuit were found to be — 6'* 5, + i''5> + 2''8, — 5' '4. 

If ti^ > ^1 , w, , W3 denote any functions connccted rcspcctively with the 
four orbits x^ = 1*15, i*i6, 117, 118 it appears that the two orbits for 
Avhich the value of ^ — tu is exactly zcro are given by 

u, + •ii88(w, — Mj) + -2i27(Wj — wj + -0394(^3— w,), 
and 

u^ + 0628 {u^—u,) + •3'33(w,— wj + -SiQSK— ^a)- 

Putting the u'& equal to i'i5 , riö, 117, ri8 we find x^ = 1-15747, 
Xq = i'i75o6 for the two periodics. 

The four compufed orbits gave nT equal to 87^ 15', 87'' 52', 88° 46', 
89^51' respectively. 

On applying the formulär of interpolation to the values of a?' — i,y 
and tiT 1 find the two periodics as follows: — 

orbit B orbit C 





X I 




V 




» — I 


y 


•00 


+ 15747 


+ 


•00000 


+ 


•17506 


+ 'OOOOO 


3 


5499 




2986 




7257 


2986 


6 


4756 




5889 




6512 


5888 


9 


3526 




8620 




5270 


8614 


12 


1825 




•I 1085 




3539 


•II058 


5 


•09675 




3172 




1348 


3098 


8 


7136 




4756 




•08761 


4604 


•21 


•04299 




•15717 




•05893 


•15462 



9IO 

MT 1 4J 









G. 


H Dar 


wia. 








Families R and 


C of satellites continued. 


8 




X I 




V 


( 


X I 


y 


•24 


+ 


•01317 


+ 


•15962 


+ 


•02902 


+ 15616 


7 


— 


•01638 




5475 




•00043 


5082 


•30 




4398 




4315 




2807 


3923 


3 




6845 




2588 




5279 


2234 


6 




8902 




0412 




7384 


0102 


9 




•10519 




•07889 




9053 


•07615 


•42 




1658 




5119 




•10232 


4860 


5 




2296 


+ 


2191 




0877 


+ 1936 


•48 


— 


12418 


— 


•Q0802 




•10961 


— -01058 






nr = 


87^41 


l'. 




nT = 


89^18'. 



«u 


2-887 


«. 


4-240 


«3 


6-165 


a« 


9-024 


«. 


12-925 



7*427 


7418 


4594 


4 602 


2-676 


2-677 


1^209 


1*215 



The semi-arc of the periodic orbit B is '47197 , and that of C is '46941. 
The fifth placc of decimals in the coordinates has becn given, although 
it is perhaps frequently inaccurate. 

Stability of orbit B,Xq = i • 1 5747 , C/ = 39"3. 

CoiuparisoD 
Coiuputod SyDtbcsis Cuuiputed Syntfaesi^ 

2-879 a, 

4*243 »9 

6152 a,o 

9-042 a,, 

12*931 

(/)^ = 6-393. 

The harinonic expansion represents well. 

The deterniinant A is negative, and A8in'-;r^(P^ =— •0612. 

The modulus is i '4 1 5 , and the instability is not great; c = • 1 56 ^ — i . 
The orbit is unstablc. 

Stability of orbit GjX^ = 1*17506, C = 39*3. 

ComparisuD 
Computcd ^ Synthosis Computcd* (^ Synihcsis 

»o 3*736 3725 »8 6-123 6-119 

«, 5507 5*517 a, 3948 3^956 

»3 7*862 7-834 a,, 2-430 2-431 

»4 10*715 io*749 »11 1*199 1*185 

a^ 11*641 10*663 

(P, = 6-489. 



Periodic OrbttM, Appendix. 
Fatnilies B and . C of satellites continued. 

I ' - ' 

The harmonic expansion represen ts well. 

The determinantgivcs, A8in*-;r^0^ = '0644, c = 2* 163, 



;rQc-i)=8o^57',nT-2TQc-i) = 30^3i',2j i 



I 

-c 

2 



213 



The orbit is stable. 



I + 






= 24^27'. 



PAMILY jB of satellites. 



C = 390 



x^ = 1-1500 



« 


j; — I 




y 






9 


P 




^ 


an 
V 


•00 


+ -1500 


+ 


•0000 






0° 0' 


•1500 




0° 0' 


2-975 


4 


459 




397 






11° 50' 


512 




15° '3' 


3-016 


8 


337 




777 






23° 54' 


546 




30° 10' 


»35 


•12 


136 




*i 122 






36° 34' 


597 




44° 39' 


•340 


6 


•0862 




412 






50» 29' 


654 




58° 36' 


•611 


•20 


523 




622 






66° 27' 


704 




72° 8' 


•876 


4 


+ 137 




723 






84° 44' 


728 




85° 27' 


4-093 


8 


— '0260 




691 


n 


— 


75° 30' 


711 


n 


- 8i°i6' 


'031 


•32 


624 




529 






57° *7' 


651 




67° 48' 


3696 


6 


928 




271 






42° 13' 


574 




53° 52' 


•335 


•40 


•1159 




•0946 






29° 3' 


496 




39° 13' 


•174 


4 


316 




579 






17° 12' 


438 




23° 45' 


2832 


8 


395 


+ 


188 


71 


— 


5° 28' 


408 


t: 


- 7° 41' 


•738 


•52 


- '392 


— 


'02 12 


TT 


+ 


5° 56' 


•1408 


t: 


+ 8° 40' 


2-738 


•4991 






•0000 


n 
ni 


+ 


0° i' 
= 96° 56'. 











214 



6. H. Darwio. 



a. 



o. 



a. 



«4 

a. 



Paifiily B of satellitfes coiitlniied. 

Stability of x^ = i 1500,0'= 39'o. 

CoiiJ parison 



Cumpuied 


Syiithcsis 








Goiupalod 


Synthcsi^ 


i-86i 


2012 






«8 


9*599 


9*6o2 


3-087 


3078 






^'9 


4*994 


4*926 


5045 


5-202 






«ia 


2*206 


2-274 


8-405 


8-166 






«.. 


0-538 


0-588 


17*315 


17-124 










- 







— 6 


■9 


24. 







The harinonic expansion represents with fair accuracy. 

The determinunt A is negative, and A sin*-;r^/tf^,j = — '4019. 

The instability is of the even type, the inodulus is 0*58 and c is 
0*38 ^ — I • The orbit is therefore very unstable. 



C = 38 5 



^0 = IH97 



The coinparison of the orbits x^ = 1*1500 with a neighbouring orbit 
showed that the exaetly periodic örbit would correspond with x^ = 1*1497, 
but the results herc given will be sufficieiitly exact. 



X I 



y 



00 


+ -1500 


+ 


•0000 


0° 0' 


4 


464 




398 


10^ 24' 


8 


356 




782 


20^ 50' 


•12 


181 




•I 141 


31^27' 


6 


-0941 




460 


42%6' 


•20 


639 




721 


55^52' 


4 


+ 282 




897 


72^23' 


8 


— -0113 




950 


n - 86° 53' 


•32 


500 




854 


65° 19' 


•36 


- -0831 


+ 


•1631 


;:— 48° 18' 





« 


2n 


P 


^ 


V 


•1500 


0° 0' 


2835 


517 


15° 12' 


-880 


566 


29* 59' 


3*020 


643 


44° I' 

• 


'264 


737 


57^12' 


•626 


837 


69" 38' 


4-119 


919 


81^33' 


-668 


953 


;:- 86° 41' 


-972 


920 


74" 54' 


•708 


•1830 


63° 0' 


4-106 



Periodic Orbitu, Appendiz. 215 

FamUy B of satellites contiiuied. 

«— I y ip 



•40 


- -1095 


+ 1333 


;r— 35^24' 


4 


294 


•0987 


24^ 28' 


8 


427 


610 


14^3^' 


•52 


495 


+ 217 


7t- 5° 2' 


•56 


— -1498 


- 0183 


;r+ 4^25' 


•5418 




*oooo 


;r+ 0° 4' 





m 


2» 


p 


4> 


F 


•17*5 


;r-5o°36' 


3574 


628 


37° 20' 


•191 


55* 


*3° 9' 


2946 


5" 


ff- 8° 16' 


•826 


•1509 


ff+ 6° 58' 


2-821 



nT= iia^^so'. 



Stability of rr^ = ri497 , C = 38-5 . 

The values of were computed for x^ = risoo, and were corrected 
by interpolation with values computed for x^ = IM475, but the correc- 
tions were so small that they might havc been omittcd. 





Computed 


Comparison 
Synthesis 


Computed SyDthcsis 


öo 


068 


115 


«e 


11-79 


11-97 


a. 


1-83 


r8i 


^» 


453 


4-29 


^8 


3*77 


418 


«I0 


1*21 


134 


«4 


803 


7*39 


a„ 


— 0*82 


— 090 


«6 


2934 


2897 


0, — 860. 







> • • 

The representation of by the harmonie series is fairly good. 

The deternnnant is negative, and A sin'-;r^(P^ = — 1*815. 

The orbit is very unstable with even ins<abi]ity; the modulus is 
313 and c = 'TOy] — i. 



216 O. H. Darwin. 



Pamily B of satellites continued. 



t; = 3^ 


»•0 




^0 - I-I470- 




• 


3n 


B 


« — I 


y 


V 


P 


<!> 


F 


•oo 


+ '1470 


+ 'OOOO 


o<> 0' 


•1470 


0° 0' 


3'66o 


4 


437 


398 


9^26' 


491 


15" »9' 


•706 


8 


340 


786 


1 8° 40' 


553 


30° 23' 


•850 


•12 


183 


•II53 


27*^39' 


652 


44° 17' 


3106 


6 


•0970 


492 


36^36' 


779 


56° 58' 


•497 


•20 


706 


791 


46^19' 


926 


68° 29' 


4*089 


2 


556 


922 


51O58' 


•2001 


73° 54' 


-483 


4 


391 


•2036 


58O41' 


073 


79° 8' 


•957 


6 


213 


128 


67" 4' 


139 


84° 1 6' 


5:504 


8 


+ 023 


189 


77^46' 


189 


89° *3' 


6*042 


•30 


- 0175 


209 


;r-89- 7' 


216 


X — 85° 28' 


•397 


2 


373 


182 


74^56' 


213 


80° 18' 


•353 


4 


558 


108 


620 3' 


181 


75° lo- 


5932 


6 


735 


•1998 


51^53' 


126 


70° 3' 


•3S« 


8 


873 


864 


44" 6' 


059 


64° 53' 


4-805 


•40 


•1004 


713 


37^55' 


•1986 


59° 37' 


•336 


4 


221 


378 


28^22' 


841 


48» 28' 


3-653 


8 


385 


014 


20^ 7' 


717 


36° 13' 


•214 


•52 


496 


•0630 


12^19' 


624 


22° 51' 


2944 


•56 


•1555 


+ '0235 


TT- 4'' 30' 


•1573 


7!— 8° 36' 


2-814 


•S8.i?6 


— •1S64 


•0000 


;r- 0° 8' 









nr=i3i°45'- 

The final value of jp ^hänges rapidly with the initial value of Xy 
and therefore this is a very close approximation to the pcriodic orbit. 

Stability of x^ = i'i470, C= 380. 

Compariaon 
CoDiputed Synthesis Computed Synthcaifl 

a^ —0402 2265 ttg 12-358 13083 

a, 0*670 —0-363 a^ 3160 1-931 

a, 2899 5-403 o,^ —0-241 1-439 

a^ 6-413 2-487 a,, —2-174 2*271 

Ot 59'339 56-777 

(t>^ = 12-237. 



Periodic Orbit**, Appeodix. 



217 



Family Ji of satellites continued. 

The representation of (P by the harmonic series is poor, but it will 
sufiice to give some idea of the degree of instability. 

The determinant is negative, and — A8in'-;r^0o =4' 55* 

The orbit is very unstable, with even instability; the modul us is 
about '23 and c = -96y/ — i. 



FAMILY O OF SATELLITES. 



C = 390 



^0 = i*2338. 



foUowing are the two computations, 



9 



X 



V 



9 



•00 


+ 


•2300 


+ 


•0000 






0° 0' 


4 




258 




397 






12° 10' 


8 




128 




774 






25° 50' 


12 




•1905 




•1T05 






42° 5' 


6 




594 




354 






60° 24' 


.20 




22 I 




494 






7 7^56' 


4 




•0824 




526 


t: 


— 


87° 10' 


8 




430 




461 






74" 5' 


•32 


+ 


060 




3" 






61^52' 


6 


— 


•0269 




085 






490 14' 


•40 




538 




•0790 






35^13' 


4 




721 




436 






19° 19' 


8 




795 


+ 


045 


n 


— 


i%4' 


•52 




•0745 


— 


•0351 


n 


+ 


16° 6' 


•4846 








*oooo 


n 


+ 


0^19' 



»T= 1 1 2° 26'. 

Åeta mathtmatiea. 21. Imprimé le 12 septembre 1897. 



ion bctween x^ — 


1-23 


and 


] + -76[iro 


= 1 -2 


35]- 


The 






• 




2n 


/> 




4' 




V 


•2300 




0° 0' 




6'2IQ 


293 




9° 59' 




•259 


265 




19° 59' 




•302 


202 




30° 6' 




•180 


092 




40° 21' 




5679 


•1929 




So°45' 




4833 


735 




61O38' 




3-961 


523 




73° 36' 




•223 


312 




87° *3' 




2-652 


118 


n — 


76° 4' 




-221 


•0956 




55° 46' 




I-9I4 


843 




3i°ii' 




■7»9 


795 


71 — 


3° 14' 




•643 


•0823 


;r + 


*5°'2' 




1-687 



28 



218 



G. H. Darwin. 



s 

•oo 

4 
8 

•12 

6 

•20 

4 
8 

•32 
6 

•40 

4 
8 

•52 
•4821 



X — I 

+ 2350 
306 

173 
•1944 

627 

249 
•0851 

458 
-f 087 

— '0244 

516 

700 

77' 

- 0715 



Family C of satetlites continued. 

V 

+ 'OOOO 

397 

773 
•1099 

340 
470 

495 
428 

281 

059 
•0766 

413 
-f 021 

- 0374 



2n 



0° o 

I2°3I 

26^41 

43''32 
62° 8 

79° 9 

;t- 86° 43 

74^15 
62° 21 

49° 46 

35° 34 
19° 10 

t:- i° ^ 



t: -f 17° 10 



•0000 K 



r 




r 


F 


•2350 




0° 0' 


6-594 


340 




9° 46' 


•616 


307 




19° 35' 


•640 


233 




29° 30' 


•434 


108 




39° 29' 


5-780 


•1928 




49° 39' 


4-805 


720 




60° 21' 


3-888 


500 




72° 13' 


•147 


284 




86° 7' 


2-581 


087 


TT — 


77° 2' 


•161 


•0945 




56° 3' 


1859 


813 




30° 32' 


•670 


771 


TT — 


i°3'' 


•603 


•0807 


7: + 


27° 37' 


i*66i 



nr= ii4°4'. 
The intcrpolated coordinates for the periodic orbit are 



X — I 




y 


•2338 


+ 


•0000 


294 




397 


162 




773 


•1935 




•I 100 


619 




343 


242 




476 


•0845 




502 


451 




436 


+ 081 




288 


— -0250 




065 


521 




•0772 


705 




418 


777 


+ 


026 


— '0722 


— 


•0369 



nT= ii3''4i'. 

The arcs with which these orbits are computed are rather longer than 
is defiirable, nor was quite sufficient pains taken to make the second ap- 



Periodic Orbit^^ Appendix. 219 

Family C of satellites continued. 

proxiinations satisfactory. Tlius the order of accuracy att^iined is not very 
high. It seemed however to be sufficient for the purpose. 

Stability of x^ = i '2338 , 6* = 390 . 

Tlie values of and of the detenninant were computed for the two 
orbits between which the periodic orbit lies; the following are the results: — 







^0 = 


= 1- 


230. 










CoLuputod (P 


Syothesi» 


ComparisoD 


Cuuiputud (l> 


Syn the 


«« 


5'4o 


5*57 




«- 




447 


4-58 


«. 


1065 


10 71 




a. 




306 


304 


«3 


1630 


16*40 




",. 




1*93 


1*99 


«4 


18-44 


1838 




«i. 




047 


0-47 


«e 


969 


9-70 



-8 


•065. 








,1^i- 




r^^r^ /V /^V-ft-^ • 


I 


1 ih 


A f\ ' 




1 r r\ 



a-Qc-i)=8o°57',«r-2ff(ic-i) = 3i°29',2d I ^•) = ='3°59' 




I 

- C 



2;r 

^0 = i^as- 





Computed 


Syrithesis 


Coiii 


iparison 


Computed 


(P 


• 
Syntbesis 


»« 


6-04 


6-20 




«« 




4*26 




4-27 


a. 


11-94 


I2'00 




«0 




2-98 




2*95 


"3 


i7'77 


17-81 




«.« 




1-88 




189 


^^ 


18-65 


18-55 




rt,a 




043 




0*42 


% 


913 


9-04 



= 8- 


176 . 











The deterrninant gives A f>\n^-7ryJ0Q = '439 > ^' = 2*462 , 
2;rQc-i)=83°io',«r-2;rQc-i) = 3o°54', 2 





220 



G. H. Darwin. 
Family C of satellites continued. 



By interpolation between these two for x^ = 1*2338, 



I 

- c 



nT— 27r(^-c- i) = 3 1° 2', 27rf J ^, j = 23° 35'- 

\ ' 2;r/ 



The orbit is stable. 



C = 38 75 



•^0 == 1*28733. 



s 



X 



y 



9 



•00 


+ -28733 


-f *ooooo 


o*' 0' 


•28733 


2 


8693 


1999 


2° 18' 


8763 


4 


8568 


3995 


4° 55' 


8846 


6 


8340 


5982 


8^24' 


8964 


7 


8174 


6968 


10^46' 


9023 


8 


7962 


7945 


13^54' 


9069 


9 


7688 


8906 


18° 8' 


9085 


•10 


7330 


9839 


24° 14' 


9047 


I 


6856 


•107 19 


32^51 


8916 


2 


6237 


1502^ 


44° 17' 


8647 


3 


5465 


2136 


57° 2' 


8210 


4 


4576 


2590 


68° 19 


7615 


5 . 


3621 


2887 


76^31' 


6907 


6 


2638 


3068 


82° 9 


6140 


7 


1644 


3168 


86° 8' 


5335 


8 


0645 


3210 


89° 


4509 


•20 


•18648 


3»72 


;r— 87° 1 


2830 


2 


6655 


3018 


84° ii' 


1138 


4 


4670 


2774 


8i°47' 


•19453 


6 


2697 


2448 


79° 27' 


7781 


8 


0739 


2040 


76° 59 


6133 


•30 


•08802 


»544 


74° 14 


4517 


2 


6893 


0949 


71° 4 


2938 


4 


5023 


0241 


67° 22 


1406 


•36 


•03208 


•09403 


>T— 62^56 


•09935 





2i\ 


V^ 


~V 


0° 0' 


10*472 


3° 59' 


'610 


7° 58' 


11*044 


ii°55' 


•862 


13° 53' 


12-471 


i5°52' 


13*239 


17° 50' 


14-168 


19° 48' 


15*216 


21^46' 


16*241 


23° 41' 


•623 


25° 29' 


15-899 


27° 8' 


14-171 


28° 37 


12*217 


30° 


io'533 


3i°i9' 


9*156 


32°37 


8-048 


35° 14 


6*421 


38° I' 


5289 


41° 3 


4-457 


44° 26 


3-815 


48° 16 


•302 


52° 41 


2881 


57° 49 


•527 


63° 53 


•225 


71° 10 


' 1*962 



Periodic Orbits, Appeudix. 
Family C of satellites continued. 



221 



^ 


Jt 


! I 




11 




V 


P 


^ 


2n 
V 


•38 


-f 


•01471 


-f 


•08413 


71 — 


57^34 


•08541 


80° 5' 


1731 


•40 


— 


•00154 




7248 




50^56' 


7250 


.T— 88^47' 


•528 


2 




I614 




588.1 




42^39' 


6101 


74° 40' 


•353 


4 




2833 




4303 




32^13' 


5^52 


56° 38' 


•209 


5 




3321 




3431 




26° 5' 


4774 


45^56' 


•152 


6 




3707 




2509 




19^20' 


4477 


34° 5' 


•106 


7 




3978 




1547 




12° 3' 


4269 


21^15' 


•074 


8 




4122 




0558 




4^24' 


4159 


n- 7° 43' 


•057 


•485 




•04143 


-f 


•00059 


ii ■ 


■ o<'3o' 


04143 




1*054 


•4855Q 








•00000 


n — 


0° 2 









»r= i79°3''- 



Stability of a;. =- i • 28733 , C = 38 • 75 . 





Coiuputed ^ 


( 

Synthosis 


]!oaipari80D 


CODJ 


puted 


Syntlio8id 


<'u 


— 4-38 


8-o8 


'^8 




342 


— 9*75 


«» 


18-34 


43*45 


«9 




3*08 


1103 


^'3 


185-33 


155*74 


"10 




2*57 


0-49 


^'4 


4639 


7981 


^. 


— 


-3*o8 


8-88 


''a 


6*22 


15*65 











(p^ = 23-02. 

The representation of by the harmonlc series is bad, but it inay 
serve to give some idea of the degree of instability. 

The determinant gives A s\u^-7ryJ0Q = 1*946 . 

The instability is uneven; c = i + '55 y^ — i ; inodulus = •40. 




222 



O. II. Darwin. 



Family C of satellites continued. 



C = 38 5 



X = I -2760. 



8 



y 



•00 


-f -2760 


+ 'OOOO 


2 


759 


200 


4 


756 


400 


6 


752 


600 


8 


746 


800 


•10 


741 


•1000 


2 


737 


200 


3 


735 


300 


4 


734 


400 


45 


732 


450 


5 


730 


500 


525 


727 


524 


55 


721 


549 


5625 


7'5 


560 


5750 


705 


567 


5875 


693 


567 


6000 


681 


561 


6125 


671 


555 


6250 


660 


549 


650 


640 


534 


675 


619 


520 


70 


599 


505 


75 


558 


476 


80 


517 


448 


9 


433 


394 


•20 


346 


344 


2 


167 


256 


4 


•1982 


179 


8 


603 


050 


•32 


220 


•0936 


6 


•0838 


818 


•40 


464 


677 


2 


283 


591 


4 


-f 112 


488 


6 


— '0041 


360 


7 


107 


285 


•48 


— '0160 


•0200 



n 



n 



f 


P 


v'' 


2/1 
V 


0° 


•2760 


o*' 


7*516 


o°34 


766 


■ 4° 9' 


590 


1° 3 


785 


8^15 


•829 


1^25 


816 


12^ 18 


8258 


i°34 


861 


16° 14 


•984 


1^27 


918 


20° 2' 


IO'2I2 


1° 2' 


988 


23° 40' 


12-467 


o%9' 


•3028 


25° 25' 


14-561 


1^ 2' 


071 


27^ 7' 


18-41 I 


lUf 


093 


27° 57' 


22-00 


4^32' 


115 


28° 47' 


29*20 


8^27' 


124 


29° 12' 


3646 


21° 17' 


131 


29"" 39' 


53-80 


38° 47' 


13» 


29° 52' 


67-34 


72^7' 


126 


30° 5 


81-66 


71^23 


115 


30° I i' 


6213 


63^45 


103 


30° 12' 


4622 


58^52 


090 


30° 13' 


37*74 


56^23- 


078 


30° 12' 


32-84 


54° 39 


^53 


30° 10' 


26*41 


54° 4' 


028 


30° 7' 


22*50 


54° 2' 


005 


30° 7' 


20-315 


54° 53 


•2954 


29° 59' 


16-355 


56° 8' 


904 


29° 54 


14-083 


58° 59 


804 


29° 49 


11-217 


61^29 


704 


29° 49' 


9406 


65° 50 


505 


30° 6 


7*150 


69° 


306 


30° 46 


5*748 


72° 42' 


•J916 


33° '4' 


4-027 


73° 32' 


537 


37° 29' 


2*974 


7i°4i' 


171 


44° i 8' 


•234 


66° 35' 


•0821 


55^36 


i'6ii 


62^ 9' 


655 


64^24 


•412 


55^11' 


500 


77° 4' 


•182 


44° 30 


362 


;r— 83^27' 


0971 


36° 53 


304 


69° 25 


•876 


27° 7' 


•0256 


n — 51® 20' 


o*795 



Periodio Orbits, Appendix. 



223 



•49 
•50 
•51 

•50084 



X — I 

— '0196 

210 

— 0199 

•02T02 



</> 



Family C of satellites continued. 

y 9 p 

0107 t: — 14^56' 0223 TT — 28^36' 

+ 008 ;: — 0^51' 210 t:— 2^14' 

— •0091 ;r+i3°29' 0219 ;r + 24® 33' 



2n 

T 

•737 

•713 
•729 



o « ,' 



•0000 TT + O^ 2 1 



nT== 210^52'. 

A small change in x^ makes a large change in the final value of ^, 
and it is therefore unnecessary to seek a more exact representation of 
the periodic orbit. 

The stability was not computed, since the method would fail, but 
the orbit is obviously very unstable with uneven instability. 



C = 38 






^0 


— 1-2 


480. 






8 X 


— I 


y 




f 


P 


^ 


2n 
V 


•00 + 


•2480 


-f '0000 




0° 


•2480 


0° 0' 


5-047 


4 


475 


400 




1^32' 


507 


9- 1 1' 


•176 


8 


460 


800 




2^ 27' 


586 


18° i' 


•591 


•12 


444 


•II99 


+ 


i"5o' 


723 


26^ 9' 


6*479 


6 


444 


599 


— 


2^30' 


921 


33^12' 


8470 


8 


461 


798 




8° i' 


•3048 


3^"" 10' 


10-593 


•20 


510 


991 




22° 22' 


204 


38O25' 


15*63 


I 


561 


•2076 




41° 49' 


297 


39° 2' 


22*07 


15 


599 


108 




60° 44' 


345 


39° i' 


25-62 


2 


646 


122 


— 


87^11' 


389 


38° 44' 


27-81 


25 


695 


113 


r. + 


65^34' 


424 


38° 6' 


26'6o 


3 


736 


084 




46^34 


440 


37° 18' 


22*64 


35 


768 


046 




34^36' 


442 


36"" 28' 


19*60 


4 


793 


003 




25^52' 


437 


35° 38' 


1703 


5 


827 


•1908 


7: + 


14° 12' 


410 


34° 2' 


14*16 


7 


847 


708 


TT — 


0^26 


320 


30^ 58' 


II-02 


•29 


•2824 


•1512 


TT — 


13° 15 


•3204 


28° 9' 


9*286 




224 



G. H. Darwin. 



Family C of satellites contlnued. 



31 
3 
7 

41 
5 
9 

53 

5 

7 
8 

9 
•60 



I 
2 

25 
30 
325 



X — I 

•2759 
660 

384 

043 
•1670 

282 

•0889 

692 

495 

398 
301 

205 

1 12 

+ 026 

— '0012 

039 

— '0047 



'63371 —-0048 



V 

•1323 

150 
•0862 

655 
512 

416 

343 

309 
271 

250 

226 

196 

160 

1 10 

077 

036 

+ '0012 



9 

;:— 24^36 
34'' 42 

5i%8 
64^26 

73° 2 
78^16 
80° 14 

79^56 
78° 21 

76^52 

74'' 39 
71° 11 

65^24 
54° o 
42^46 

23° 4 
;r — 9*^ o 



0000 71 — I 37 



nr=235°i7'. 



•3060 
•2898 

535 

M5 
•1747 

348 
•0953 

758 

565 
470 

376 
284 

195 

113 

0783 

0535 
•00481 



t: 



TT 



25°37 
23° 23 

19° 53 
1 7° 46 
16^50 

17^58 
21° 6 

24° 4 
28%5 

32° 9 
36^56 
43° 45 

55° o 

76^57 
81^ 6 

42° 22 
14° 32 



•00478 ;: — 0° o 



2n 
Y 

8*070 
7-072 
5462 

4'i97 
3-218 

2-452 
1*824 

•541 
•266 

•127 

0986 

•839 
•682 

•510 
•420 

•347 
0*328 

0-327 



This orbit was not coinputed with high accuracy. As far as can be 
judged from other computations, the exactly periodic orbit would cor- 
respond to x^ = r2465,but the calculations from which this is inferred 
were not conducted with the closest accuracy. 

A very small diflference in the initial value of x makes a considerable 
change in the size of the loop described. It would be very laborious to 
obtain the exact periodic orbit for this value of C , and the above appears 
to suffice. 

The orbit is obviously very unstable, with uneven instability. 



Pcriodie Orbit'<, Appcndiz. 225 



FAMILY A OF PLANETS. 



•O 


•4140 


•I 


032 


•2 


'3715 


•3 


199 


•4 


•2507 


•s 


•1670 


•6 


— '0728 


•7 


+ -0265 


•8 


•1249 


•9 


•2159 


I 'O 


939 


•I 


•3549 


•2 


969 


•3 


•4191 


1*35 


+ -4228 





x^= -414. 








y 


f 


r 




B 


•0000 


ff+ 0° 0' 


•4M 


n->t 


0° 0' 


992 


12° 22' 


15* 




13° 49' 


•1938 


24° 49' 


191 




*7°34' 


•2793 


37° *8' 


246 




41° 7' 


•35" 


50° 24' 


314 




54° 29' 


•4055 


63° 47' 


385 




67° 38' 


385 


Jr+ 77° 4»' 


445 


n->t 


80° 34' 


474 


- 87° 53' 


482 




86° 37' 


309 


73° 9' 


486 




73° 50' 


•3901 


S8° 34' 


459 




6i° 3' 


280 


44° 27' 


405 




48° 8' 


'2490 


31° 9' 


336 




35° 4' 


•1585 


18° 45' 


274 




21° 46' 


'06 1 2 


7° 5' 


«35 




8° 19' 


•0114 


- I°24' 


•4229 




i°32' 



C = 40"o 

1/ • ■ 

2n 

T 

1*809 
•820 
•851 
•899 
•960 

2*030 

•093 

•135 
•141 

•109 

•045 
1-967 

•897 

•856 

1-848 

1*3614 + -423 -ooo — 0° 6' 

nT= 154^13'. 

Although this is not strictly periodic, since the final value of (p is 
— o°6', it is sufficiently nearly so to be accepted as such. 

Stability of a;^ = — -414 , O = 40-0. 









GomparisoD 








Computed 


Synthcsis 






Computed 


Synthcsis 


^'0 


5*476 


5*490 




«8 


11-027 


1 1*021 


a. 


6*184 


6*180 




«9 


9-104 


9*106 


a. 


7-069 


7-088 




«I0 


6*700 


6696 


*4 


8-356 


8-327 




«^l. 


3-801 


3*793 


*6 


11-463 


11-438 


-8' 


051. 







ÅtUik maihtmaiica. 21. Impiimé le 12 sepiembrc 1807. 29 



22(5 O. II. Darwin. 

Pamily A of planets continued. 

The harmonic series represents well. The determinant gives 
Asin'-;r^(P^ = '9096, c = 2*806, 27r(-c — i j = i45°o', 



nT 



-2;rQc-i)=9°i3', 2;r( i 




The orbit is stable. 



C==39'5 Xq = — -4240. 

The periodic orbit is found by interpolation betweeri x^ = — •426 and 
Xq= — '4, by the formula -92228 [rr^= — -426] + ^07772 [.r^ = — -4]. 
The foUowing are the two computations: 



s 




X 


y 




9 


r 




6 


211 

r 


o-o 


— 


•4260 


'OOOO 


;r + 


0° 0' 


•4260 


n + 


0° 0' 


r86i 


•I 




157 


993 




11° 5'' 


275 




13° 26' 


•874 


•2 




•3851 


•1943 




'$" 49' 


314 




26° 46' 


•905 


•3 




354 


•2809 




35° 51' 


374 




39° 57' 


•959 


•4 




•2686 


•3550 




48° 18' 


451 




5*° 53' 


2-031 


•5 




•1871 


•4127 




61° 14' 


531 




65° 37' 


•III 


•6 


— 


•0947 


501 




74° 45' 


600 


n + 


78° 8' 


•189 


•7 


+ 


•0041 


644 


7t + 


88° 52' 


644 




89° 30' 


'242 


•8 




•1032 


538 




76° 35' 


654 




77° II' 


•256 


•9 




965 


185 




62° 5' 


624 




64° 50' 


*22I 


ro 




•2783 


•3614 




48° 6' 


560 




52° 24' 


•144 


•I 




•3443 


'2866 




34° 59' 


481 




39° 47' 


•052 


•2 




924 


•1991 




22° 48' 


399 




s6° 54' 


1*962 


•3 




•4218 


037 




11° 30' 


343 




1 3° 49' 


•900 


1-4 


+ 


•4324 


— •1044 


— 


o°43' 


•4324 





o°3S' 


1-878 


1-4044 


+ 


•4324 


•0000 


n. 


oois' 

T- i65°o'. 











Periodic Orbits, Appcndix. 



227 



Family A of planets continued. 



8 

•O 
•I 
•2 

•3 
•4 

•5 
•6 

'7 
•8 

•9 

I 'O 

I 

•2 

•3 
1*4 



— *4ooo 

•3899 

599 
III 

•2455 
•1654 

— •0742 
+ '0241 

•1234 

•2167 

970 

•3598 

•4035 
278 

+ '4334 



1*4075 + '4331 



y 

*oooo 

993 

•1945 
•2817 

•3570 

•4165 

568 

740 

655 

304 

•3712 

'2937 
040 

•1072 

•0075 

•0000 



;r + 



V 



0° o 

ii''39 
23° 20 

35° 7 
47° 8 
59° 39 
72° 57 



7t + 87^*19 

— 77° 20 

6l°22 

46° 7 

32'' 15 

i9°5i 

- 8O33 
+ 2° 10 

+ 2*^58 



'4000 
024 
091 
197 

481 
627 
746 

817 
819 

754 
644 

522 

410 

•4335 



e 

TT + 0° O 

14° 17 
28<»23 

42° 9 

55° 29 

68° 20 

n + 80° 47 

- 87*^ 6 

75° 9 
63° 16 
51° 20 

39° 13 
26° 49 

14° 4 

— I*' < 



nT= 167° 31'. 
The interpolated coordinates for the periodic orbit are, 



X 


y 


— •4240 


'OOOO 


137 


993 


•3831 


•1943 


335 


'2810 


•2668 


•3552 


•1854 


•4130 


— •0931 


506 


+ -0057 


651 


•1048 


547 


981 


194 


•2798 


•3622 


•3455 


•2872 


933 


•1995 


•4223 


040 


+ 4325 


— '0046 



2n 
V 
1-686 
•701 
•748 
•825 

•934 
2*067 

•218 

•354 
•448 

•444 
•348 
'204 
•063 

i'95o 
1-887 



WT=: 165° 12'. 



228 G. H. Darwin. 

Family A of planets continued. 

Stability of x^ = — '426, C = 39-5. 

The orbit x^ = — '426 was treatcd for stability in place of the inter- 
polated orbit Xq= — "424. 

GoniparisoD 





Computcd 


SyntheBis 






Computcd 


Synthcsis 


«0 


5*73 


5*73 




«« 


11-94 


11-94 


«2 


6'54 


6*54 




«9 


9*42 


942 


«3 


7*59 


7*59 




»10 


6-57 


6-57 


«4 


9-14 


914 




^.. 


325 


3'25 


«• 


12-71 


12*71 




-8 


•565- 







The harmonie series represents perfectly. Tlie determinant gives 
Am\^ -TT y/0Q = '976, c = 2-901 j27r(-c — I j = i62° 15', 

nT-27r[lc^i)=2U7\2Ji ^^)=^°52'. 

The orbit is stable, but approaches very near to instability. 
The results would have been somewhat modified if we had operated 
on the true periodic orbit a;^ = — '424. 



C==39o x^ = —-434. 

(Computed with 3-figured logarithms and to tenths of degree). 



8 


X 


y 


V 


r 


e + nt 





•434 


— -ooo 


n + o*' 0' 


•434 


7t+ 0° 0' 


•1 


24 


99 


ii<> 18' 


36 


18^36' 


•2 


395 


195 


22<'36' 


42 


37^12' 


•3 


— •348 


— .282 


7t+ 34"^ 12' 


•449 


^+55° 36' 



Pcriodic Orbits^ Appciidix. 
Family A of planets continued. 



229 



y 



9 



•QOO 



» + ni 



•4 


— -284 




•359 


n + 46'' 0' 


•457 


n + 74° 6' 


•5 


04 




•420 


58° 24' 


67 


— 87° 24' 


•6 


114 




63 


71^30' 


78 


68° 54' 


7 


016 




83 


TZ + 85<» 24' 


84 


52° »4' 


•8 


+ -083 




78 


— 80° 0' 


85 


31° 30' 


•9 


•179 




49 


65° 24' 


83 


— 1 2° 42' 


10 


•264 




•396 


51° 12' 


76 


+ 5° 54' 


•I 


•334 




25 


38^12' 


67 


24° 24' 


•2 


87 




•241 


26^ 6' 


56 


42° 42' 


•3 


'422 




148 


15° 6' 


47 


61° 6' 


•4 


•440 





•048 


- 4° 48' 


43 


+ 79° 36' 


i'45 


+ 442 


+ 


•001 


+ 0^12' 

i _0 £Lt 


•442 





nT= 177° o'. 



Stability of rr. = — 434 , O = 390 . 



a. 



a. 



a. 



a. 



a. 



Computcd ^ 


SjDthcsis 


Compa 


risoD 


Computcd 


Synthcsi 


5*489 


5*434 




«8 


'3'595 


13*609 


6-507 


6527 




«» 


10*271 


10-247 


7442 


7*529 




«.o 


6507 


6-527 


9-721 


9*637 




^.. 


2-627 


2638 


14*870 


14*828 














^0 


= 9-1 


56. 







The harmonic expansion represents well. 

The detenninant A is positive and A sin' - tt ^ Ö^^ is 1*027, and 

C= 3 + '^Oy/— I. 

The modulus of instability is 2*1. 

The orbit is unstable, with uneven instability, but the instability is 
slight. 



230 



G. H. Darwin. 



Family A of planets continued, 



C = 38 5 

8 

•00 
•08 
•16 

•24 

•40 

8 

•56 
•64 

•72 
•80 

8 

•96 

1*04 

•12 

•20 

8 

•36 
•44 

1-4992 



•4440 
380 
203 

•3911 

509 
006 

•2410 

•1733 

•0993 
•0210 

589 
•1370 

•2101 

755 
•3312 

765 
•4109 

345 

475 
•4502 



V 

— 'oooo 

797 
•'576 
•2320 

632 
•4164 

589 
889 

•5045 
043 

•4877 

555 

095 

"3523 
•2864 

143 

•1379 

— 0591 

+ -0208 
•0000 



X. = —-4440. 



;r + 



9> 

o*' o' 

8° 33' 
17° 8' 

25%7' 

34^34' 

43^35' 

52^57' 
62*^48' 

73^15' 
n + 84^22' 

— 83° 58' 

72° 5' 
60° 26' 

49^2 5' 
39^14' 
29^ 54' 

21^15' 

13° 13' 

- 5^36' 
+ 1U9' 



— o^ 



6' 



•4440 

452 

489 

547 
624 

714 
811 

906 

989 

•5049 
077 

066 

016 

•4935 
835 
730 
634 
559 
514 

•4507 



^ 



;r + 



0° o 
10° 19 
20^33 
30^41 
40^38 
50^23 

59"" 57 

69° 19 

78^31 

7r+ 87^37 

— 83^ 20 

74^18 
65^14 

56° 4 
46^46 

37° 16 

27'' 33 

i7''37 



— 7^31 

+ 



2''39 



211 

Y 

1*916 

925 

955 
2*004 

071 

157 
258 
368 

474 
560 

605 

592 

523 

413 
286 

163 

058 

1*980 

935 
1-927 



nT= I9i°2i'. 



Stability of x^ = — 4440, C= 385 . 

After the cojnputation of the stability had been conipleted a small 
rnistake in the calculation of the orbit was detected in consequence of 
which the senii-arc of the periodic orbit was taken to be 1*4987 (instead 
of 1*4992 as above); it was not however thought to be worth while to 
recompute the stability. 



Pcriodic Orbits, Appcndix. 



231 



Family A of planets continued. 



a. 



a. 



a. 



n 



a. 



Computed 


ComparisoD 
Synthcsis 


Coroputcd 


Synthesis 


5-084 


5-084 <i. 


^S'319 


15-346 


6174 


6155 «9 


10-517 


10-516 


7695 


7-724 0,^ 


6-157 


6*121 


10-183 


10*160 a,, 


2-029 


1-952 


17-402 


17-418 

^0 = 9-786. 







The harmonic series represents well. 

The determinant A is positive and Asin'-;r^0^ = 1*078, and 

c= 3 + 'n^yj— I . 

The modulus is 1*25. The orbit is unstable, with uneven instability, 

but the instability is not great. 



C = 38-0 



•00 
•08 
•16 

•24 
-32 
•40 

8 

•56 
•64 
•72 
•80 
•88 
•96 
1-04 



— -4550 

494 
326 

050 
•3669 

190 
'2621 
-1970 

251 

— '0480 

+ 0316 

•1107 

856 

+ -2535 



•0000 
-0797 

•1579 
-2329 

•3032 

-3672 

•4233 

-4697 

-5044 

•5255 

•5310 

-5197 
-4921 

•4498 



^o=— '455. 



9> 



7: + 0° o' -4550 

8° 4' 563 

16*^ 10' 606 

24° 19' 672 

32^35' 760 

41° 4' 864 

49^50' 978 

59^ 14' -5092 

69'' 18' 193 

K + 80° 15' 282 

— 87*^58' 310 
75O48' 316 
63^47' 259 

— 52° 34' -5164 



e 

;r+ 0° o 
10° 4 
20° 3 
29° 54 
39^34 
49° I 
58^14 
67° 14 
76° 4 

ir + 84*' 47 

-86^35 

77'' 59 
69^20 

— 60^36 



2a 

Y 

1-954 
1964 

2-000 

•056 

•133 

•234 

•354 
•496 

•631 

•770 
•825 

•841 

•753 

2-6ii 



232 



O. H. Darwin. 



8 



1-5505 



Family A of planets continued, 



X 



y 



9 



ti 



•0000 



— 0° 8' 



nT= 20 f 9'. 



Stability of rr = — -455,6'= 380 . 



2n 



1. 12 


•3122 




•3957 


— 


42° 15' 


•5042 




51° 44' 


2*445 


1.20 


611 




•3324 




33° 7' 


'4908 




42° 38' 


■281 


8 


•3996 




'2624 




24° 43' 


730 




33° 17' 


•140 


•36 


-4280 




•1877 




16° 58' 


673 




23° 41' 


•031 


•44 


464 




•1099 




9° 39' 


597 




»3° 50' 


1-958 


•52 


550 


— 


•0304 


— 


2° 45' 


561 


-i— 


4° 0' 


'921 


i-6o 


+ -4540 


+ 


•0495 


+ 


4° 6' 


•4567 


+ 


6° 14' 


1929 



a. 



a. 



a. 



a. 



a. 



Gomputed 


Synthesis 


GomparisoD 


Gomputed 


Syathesis 


4722 


4*886 




«« 


17052 


17*170 


5*941 


5927 




«9 


10*602 


10*491 


7-767 


7*821 




'^10 


5-6i8 


5649 


10*991 


10*898 




«i» 


0*952 


0*990 


21.495 


21*508 












<^o 


— 10 


•666. 







The representation of by the harmonie series is good. 

The deterrninant A is positive, and Asin'-;r^0^, is 1*095 . 

The orbit is unstable and the instability is of the uneven type. 
The modulus of instability is 1*14, and c= i + •i93v^ — i . 



Periodic Orbiti*. Appendix. 



233 



FAMILY a OF OSCILLATING SATKLLITKS. 



C = 400 



^0 = • 705 



211 



n 


i€, 


y 




"F 


V 


00 


+ 7050 


+ 'OOOO 




0° 0' 


14*622 


I 


053 


100 




3° 12' 


•867 


2 


061 


200 




6° 43' 


15674 


3 


077 


298 




II" 3' 


»7'354 


4 


lOI 


395 




>7°3o 


20872 


5 


118 


442 




22° 44' 


24319 


45 


141 


487 




31" 8- 


31-098 


525 


155 


507 




40° 55' 


3731 


550 


174 


524 




57°32' 


4714 


5625 


185 


529 




71^59 


54-71 


5750 


197 


531 


7: + 


88^27' 


5566 


5875 


210 


529 




69^30 


54*34 


6000 


220 


523 




54" 9 


4714 


6125 


230 


514 




44° 29 


41-87 


6250 


238 


505 




37" 8 


37-50 


6375 


245 


495 




31° 59 


3398 


6500 


251 


484 




28° 7 


30-28 


675 


262 


461 




22^43 


' 26*92 


700 


27 I 


438 




18^55 


2414 


75 


285 


390 




13" 17 


20-59 


80 


295 


341 




10° 9 


18-47 


85 


303 


292 




7" 55 


i6'99 


90 


309 


242 




6° 10 


' '027 


95 


3^3 


192 




4" 43 


'5*335 


•100 


317 


142 




3" 27 


' 14-810 


05 


319 


093 




2^20 


-516 


10 


321 


■f 043 




1° 18 


•329 


•^15 


+ '1322 


— '0007 


7r + 


0° 18 


14-276 


•11427 




•0000 


n + 


0^27' 





nr=i38°2o'. 

Åtla mathemafita. 21. Imprimé le 17 septcmbrc 1B97. 



30 



234 



G. n. Darwin. 



Family a of oscillatins: satellites continued. 

Stability of a;^ = 705 , C= 40*0. 

The thirteen equidistant values of show great irregularity. The 
values numbered 0,1,2,3,4 ^-nd 8,9, 10, 11, 12 are all negative and 
lie between — 2*6 and — 3*0; the values numbered 5 and 7 are about 
+ 8 , and the value numbered 6 is about + 800. 

The harmonic analysis led to results which showed that the repre- 
sentation of by the series would be so bad that it would not be worth 
while to continue the calculation. 

The orbit is obviously very unstable. 



C = 390 



X = '6S72 . 



The coordinates for the periodic orbit were derived from the foUowing 
by Interpol ation, ns cxplained below. 



s 

•00 

4 
8 

10 

I 

2 

3 

35 
40 

45 

475 
500 

525 

550 

575 
•1600 



X 

+ -6870 
890 

954 
•7007 

040 

080 
129 

'57 
190 

227 

248 

27 I 

295 
320 

344 
•73^>7 



V 

+ 'OOOO 

399 

794 
987 

•1081 

172 

260 

301 

339 

372 
386 

396 

403 
404. 

399 
•1388 



9 

— 0° o 

5^44 
12^58 

18^ 4 

21° 29 

25^58 
32''3i 
37^14 
43° 46 

53^38 
60^40 

69^41 

— 81^ 8 

n-\- 85^19 

71^19 

- + 58° 48 



2n 
T 

5'773 
6-oo8 

•893 

7-834 

8-570 

9-634 
11-293 

12-511 

14-174 

16-688 

18-12 

19-72 

21-26 

-96 

•62 
20*36 



Pcriodic OrbitH, Appcndix. 



235 



Family a of oscillatins: satellites continued. 



1625 
650 

675 

70 

75 
80 

85 
90 

•20 

I 

2 

4 
6 

8 

•30 
•32 

3031 



+ 7387 
404 

420 

433 
456 

474 
488 

519 
533 

542 

553 
556 

555 

549 

■f 7538 



V 

+ 1373 
355 

315 

270 

224 
176 
1 27 
029 
•0930 
830 

631 
431 

23' 

+ 031 
— '0169 

•0000 



9 

t: + 48° 46 

41^ 4 

35^ 6 
30"^ 25 

23° 37 

18° 59 
15^26 

i2°47 



I 
22 



n — 
;: — 



9^ 
6° 

4° 25 

i'' 54 
0° II 

1° 7 
2° 18 

3^37 



2H 

T 

i8-66 
1704 

1564 

1445 
12-58 

11-243 

10*235 

9467 

8-350 

7-584 
•027 

6'294 

5-875 
•653 
•585 

5-656 



71— 2-23 



nT= 146^36'. 

The foUowing are coordinates interpolated between the preceding and 
the loop of the figure-of-8 x^ = 1*0941 , in such a way as to give a pe- 
riodic orbit: — 



8 




X 




y 


•00 


+ 


•6871 


+ 


•0000 


4 




892 




400 


8 




956 




795 


•10 




•7010 




987 


1 




045 




•iq8i 


2 




085 




172 


3 




135 




259 


35 




164 




300 


4 




196 




337 


475 




252 




381 


55 




320 




399 


6 




368 




386 


•165 


+ 


•7407 


+ 


•1355 




23^ 





G. 


H. Darwin. 




[>f oscillating satellites 


8 




X 




y 


n 


+ 


•7437 


+ 


•1316 


75 




461 




273 


8 




481 




227 


85 




497 




180 


9 




510 




142 


•20 




534 




027 


I 




549 




•0929 


4 




573 




645 


6 




583 




446 


8 




587 




246 


•30 


+ 


•7588 


+ 


•0047 



nT= 145' 40'. 

Stability of .r^ = -6870 , C = 39*0 . 

In oi^der to try the determinantul process 011 oiie orbit which is ob- 
viously very unstable, I treated the first of the above as though it were 
periodic with the foUowing results: — 





Compiited 


Synlhesis 


Cotnparisou 


Coiiiputcd 


Syntbcsis 


'^o 


2-7 


+ 38-6 


^7 


+ l8'2 




«1 


27 




% 


— 2*2 


+ 87-0 


^•i 


— 2'9 


— 3'2 


a. 


- 33 


+ 34*7 


«3 


29 


+ 383 


^'.0 


- 3*3 


+ 2-6 


^^ 


— 2*4 


+ 82-9 


^'11 


— 3'3 




^'6 


+ 3*7 




0,. 


— 3-3 


+ 35-8 


^'•6 


-f 498-9 


+ 379*5 









0, =41-2. 

The furiction is obviously one which would require a very large 
nuinber of tenns of an harmonic series for adequate representation, and 
the above is very bad. 

However with 1 7 rows I find A sin^ - r y/CP^, = — 1 48*4 ; c = 2-0 y/ — i , 

modulus = •! I . 

I think it is certain that the instability is of the even type, and is 
very great. 



Pcriodic Orbits, Appciidix. 237 

Family a of osciUating satellites continued. 

C=38-5 x^ = -6814. 

Two orbits were computed, namely x^ = •68i7,giving the final value 
of ff equal to ;r+ S^^ii' and nT = 147° 4 6', and '6810, giving final 
f) = TT — 6^26' and nT = 151° 53'. The arcs in the hitter orbit were 
shorter than in the former throughout a portion of the curve. Inter- 
polation between these two by the forrnula -446 {x^ = '68 1 o) + '5 54 (^0 = '6817) 
gives the following results: — 









2U 


s 


X 


V 


V 


00 


+ -6814 


+ -oooo 


485 


4 


831 


400 


•98 


8 


884 


796 


5*44 


•12 


982 


•II83 


653 


4 


•7055 


369 


7*62 


6 


153 


543 


9-70 


7 


217 


620 


11-63 


8 


295 


675 


14-46 


9 


390 


699 


i7'44 


•20 


482 


662 


1527 


I 


543 


581 


11-69 


2 


584 


491 


9-61 


3 


615 


396 


8-28 


4 


637 


299 


7-36 


6 


666 


102 


6-22 


8 


682 


•0903 


•50 


•30 


691 


703 


5"o7 


2 


695 


504 


4*79 


4 


698 


304 


•61 


6 


698 


+ 105 


•52 


•38 


+ -7698 


— '0094 


4-52 


•^70t;4 


•7608 


•0000 





nT= 149' 36'. 
The orbit is obviousiy unstable, and the instability is of the even type. 



238 G. II. Darwin. 

Family a of oscillating: satellites contihued. 

C -^^ 380 Xq = -676. 

This orbit was exceedingly troublesomc, and the coordinates were 
found by sevcral interpolatioiis arnongst the same orbits as those 
used in iinding the figure-of-8 orbit x^=^ 1*1305. Two sets of curves 
were traced; in the first set I started from one side of the oval, and in 
the second from the other side. The two curves were so selected that they 
might join one another as nearly as may be. The period of this orbit 
was not determined. 

(are increasing) (are diminishing) 



X 




V 


X 


y 


+ 676 


+ 


•000 


+ .778 


— '009 


77 




40 


78 


+ -oi I 


82 




80 


79 


31 


90 




•I 19 


79 


51 


•704 




56 


79 


71 


13 




74 


78 


•III 


19 




82 


77 


31 


26 




90 


+ -774 


+ 151 


34 




95 






43 




98 






53 




96 






60 




89 






65 




80 






68 




71 


• 




71 




61 






73 




51 






+ -774 


+ 


•141 







nT undetermined. 



Pcriudic Orbits, Appcndix. 



239 



FAMILY b OP OSCILLATING SATELLITES. 



C = 38 5 



a?. = 1-2919 



The foUowing was computed, 



a 


X I 


V 


¥^ 


2» 

v 


•00 


+ '29215 


-+- 'OOOO 


0° 0' 


852 


4 


932 


400 


2^54' 


9*oo 


8 


971 


797 


9° 14' 


10*84 


•10 


•3014 


993 


16^10' 


1302 


1 


046 


•1087 


21^56' 


14-70 


2 


091 


177 


31^49' 


17-19 


25 


120 


217 


39" 5' 


19-54 


30 


155 


254 


48° 21' 


20*60 


35 


195 


283 


59" 56' 


22-2 I 


40 


241 


303 


73° 40' 


23-21 


45 


290 


311 


-87^38' 


00 


50 


340 


307 


^ + 79° 36' 


21-83 


55 


388 


293 


69^ 0' 


20*27 


60 


433 


272 


6o<^5r 


18*70 


65 


475 


245 


54° 15' 


1732 


70 


514 


214 


48° 59' 


16 21 


8 


584 


143 


40^ 54' 


14-40 


9 


645 


064 


34° 51' 


13-09 


•20 


699 


•0980 


30^ 5' 


12*15 


2 


787 


801 


22° 20 


10-89 


4 


853 


612 


16° 22' 


•12 


6 


900 


418 


11° 13' 


9*63 


8 


931 


220 


6^28' 


•36 


30 


+ '3945 


+ '0021 


^+ i°55' 


9*25 



30209 



-0000 ;r + 1° 27' 



nT= 213° 52'. 



240 G. II. DaiwiD. 



Family b of oscillating satellites continued. 

The above, not being exactly periodic, was corrected by extrapola- 
tion from the orbit x^ = 1*295, which gave tt + 7° 58' asthe final value 
of jr. The corrected coordinatcs are, 



s 


X 


— I 


V 


•00 


+ 


•2919 


+ 0000 


4 




929 


400 


8 




968 


797 


•10 




•3009 


993 


I 




041 


•1088 


2 




085 


178 


25 




^'3 


2 19 


3 




147 


256 


35 




187 


286 


4 




233 


306 


45 




282 


314 


5 




332 


311 


55 




380 


297 


6 




425 


275 


7 




505 


216 


8 




575 


M5 


9 




635 


065 


•20 




687 


•0979 


2 




772 


799 


4 




835 


609 


6 




879 


413 


8 




905 


214 


•30 


+ 


•3915 


+ '0014 



Periodio Orbits, Appendiz.' 
Pamiiy b of oscillatinsr satelUtes continued. 



241 



C = 38*0 



a^o = i'25945 



The following orbit was computed. 



X — I 



2n 



•» 




* 


y 


r 


V 


00 


+ 


•2600 


+ •oooo 


— 0° 0' 


5*399 


8 


, 


607 


800 


I" 4' 


6*030 


•12 




625 


•1199 


4*^51' 


7*i52 


6 




693 


592 


16^33' 


9*480 


8 




772 


776 


29^5' 


11-822 


9 




829 


858 


40^37' 


13133 


•20 




903 


925 


55" 9' 


14-339 


I 




992 


970 


72® 20' 


•822 


2 




•3090 


986 


— 890 9' 


•306 


3 




190 


974 


n+ 77° 10' 


13153 


4 




284 


943 


. 66° 53' 


11-932 


5 




373 


897 


59" 2' 


io'935 


7 




532 


778 


48« 3' 


9'423 


9 




671 


634 


40*^12 


8-410 


•33 




892 


309 


28*^46' 


7-231 


7 




•4056 


•0945 


20*» 15 


6-567 


•41 




171 


563 


13^15 


' -202 


•45 


+ 


•4241 


+ •0169 


7:+ 6<^59 


6-005 


•4670 


+ 


•4258 


•0000 


?r+ 4*^27' 


t 



nT= 2i4*'4o'. 

Interpolation between the above and a neighbouring orbit gave the 
following coordinates for the periodic orbit, • 



8 



X — I 



00 


•2595 


•0000 


8 


600 


800 


•12 


616 


-119Q 


6 


681 


593 


8 


757 


778 


9 


812 


861 


•20 


884 


929 


-21 


•2973 


•1975 



Aeia mathåmoHoa. 21. Imprimé le 13 Mptombre 1897. 



31 



242 G. H. Darwin. 



Family b of oscillatlnsf satellites continued. 



8 X — I y 



•22 


•3071 


•1992 


3 


170 


980 


4 


264 


948 


5 


352 


900 


7 


508 


777 


9 


642 


630 


•33 


852 


299 


7 


'4001 


•0931 


•41 


095 


546 


•45 


•4139 


•0154 


•4656 


•4149 


•0000 


n 


r=2o8° 


• 



243 



SUR L.ES SERIES DE TAYLOR. 

Lettre adressée å l'éditeur 

PAK 

EMILE BOREL 

i PARIS. 

Monsieur, 

Vous avez bien voulu me demander de vous indiquer coiiiment on 
pourrait, en partant des elements, démontrer les théorémes sur les series 
de Taylou que j'ai énoncés dans les Comptes Rendus, en décembre 
1896 (en esquissant une demonstration reposant sur deux mémoires relatifs 
aux series divergentes, parus en 1896 dans le Journal de M. Jordan). 
Je suis tres heurcux d'avoir une oceasion de vous montrer comment des 
resultats, auxquels nia théorie des series divergentes m'a conduit d'une 
maniére intuitive, peuvent étre démontrés directement par une méthode 
peut-étre plus simple, mais qui semble assez artificielle. 

Je considére une serie de Taylor dont le rayon de convergencc est 

egal a Tunité: 

f{z) = Ta^z^ 



et je suppose, pour plus de netteté, que \/\a^\ a pour limite un. Dans 
le cas oii il n'en serait pas ainsi, rien ne serait changé aux conclusions 
qui suivent, comme on le voit par des remarques analogues ä celles que 
j'ai faites dans le Journal de M. Jordan (1896, p. 451). 

J'appellerai fonction entiére associée a la fonction f{z)j la fopction 



a. a* 



Lorsque on donne a z toutes les valeurs de module r, appelons M{r) 
le maximum du module de F{z)\ on démontre facilement (voyez mon mé- 
moire sur les zéros des fonctions entiéres que vous imprimez actuellement 
dans les Acta^) que, lorsque r augmente indéfiniment e"^^'^'^^ M{r) tend 



' Acta mathematica, t. 20. 
Ada mathwncUiea. 21. Imprimé le 13 septembre 1897. 



244 Emile Borel. 

vers zéro et e"''^*""^-äf(r) ne tend pas vers zéro, quelque petit que soit 
le nombre positif a. D'autre part, posons z = re*^, r et ^ étant réels, 
et considérons le produit e""^^'"^^ F [z\ dans lequel 6 reste fixe et r aug- 
mente indéfiniment; a est un nombre positif arbitraire. Si, quel que soit 
a, ce produit ne tend pas vers zéro pour r infini, 6 sera dit un argument 
singulier pour la fonction entiére F{z)\ si Ton peut prendre a assez petit 
pour que le produit tende vers zéro, O sera dit un argument ordinaire 
de la fonction F[z). Cela pose, la premiére proposition que nous ayons * 
ä démontrer est la sui vante: les points singuliers de la fonction f{z) sur 
son cercle de convergence ont précisément pour arguments les arguments sin- 
guliers de la fonction entiére associée F{z). 

Pour démontrer cette proposition, désignons par F un contour in- 
finiment voisin du contour F' obtenu en menant des tangentes au cercle 
de convergence de f[z) en chaque point singulier; F est intérieur a F'\ 
supposons d*ailleurs que F ne renferme pas de points singuliers de f{z) 
(dans le cas contra ire, il suffirait de compléter F' en menant en chaque 
point singulier une perpendiculaire a la droite qui le joint a Torigine). 
Considérons Tintégrale 

z 

Il est manifeste que, lorsque la constante positive a augmente indéfini- 
ment, X étant un point quelconque intérieur ä P, cette intégrale tend vers 

zéro; car dans ces conditions, on a, sur tout le contour F, e^' ' 
k étant un nombre positif (voir mon mémoire du Journal de M, Jordan). 
Or il est aisé de voir que cette intégrale est précisément égale a 
c"""F(aaj). Donc ce produit tend vers zéro lorsque a augmente indéfini- 
ment par valeurs positives, lorsque x est intérieur a F. Mais, si est 
Targument d'un point du cercle de convergence, non singulier pour f{z)j 

nous pouvons prendre x = , a étant positif; si a est assez petit, x 

est intérieur a F. Des lors, si Ton pose a = r(i — a), on a 

e-F(aa?) = c-'^^->i^(re^) 

et, par definition, dire que l'on peut choisir a de maniére que ce produit 
tende vers zéro lorsque r augmente indéfiniment, c^est dire que d est un 




c-*r 



Sur les series do Taylor. 245 

argument ordinaire pour F{z). Par conséquent^ aux points ordinaires de 
f{z) correspondent des arguments ordinaires de F{z). Il reste ä faire 
voir que, réciproquement, aux arguments ordinaires de F{0) correspondent 
des points ordinaires de f{z). Une remarque préliminaire est indispensable. 
SupposonSy que dans un intervalle {0^ , d^) donné, la fonction F{g) ait des 
arguments singuliers partout condensés (Clberall dicht); nous savons déjå 
que la fonction f{z) a sur Tarc correspondant du cercle de convergence, 
des points singuliers partout condensés, c'e8t å dire que cet are est regardé 
comme singulier dans son entier. Au point de vue de la recherche des 
singularités de f{z)y il est donc sans intérét de rechercher si dans Tinter- 
valle {d^ , ^i) la fonction F{z) a ou non des arguments ordinaires. Les 
raisons de continuité que nous allons invoquer bientöt montreraient quelle 
n'en a pas; cependant, en modifiant légérement leur definition, on pourrait 
sans doute arriver a reconnaltre si f{z) tend vers une limite déterminée 
lorsque z tend vers le cercle de convergence avec un argument déterminé, 
mais ce n^est point la question qui nous occupe actuellement. 

Nous pouvons donc nous borner a considérer le cas ou F{z) admet 
comme arguments ordinaires tous les arguments compris entré 0^ et 0^; 
il s'agit de montrer que Tarc correspondant du cercle de convergence est 
un are ordinaire de f{z). Par hypothése, a chaque valeur de comprise 
entré 0^ et 0^, les limites étant comprises, correspond un nombre positif 
a tel que le produit e"'^^'^'^^ F{re^) tend vers zéro lorsque r augmente 
indéfiniment par valeurs positives. On voit aisément que la limite su- 
périeure -4, des valeurs que Ton peut donner a a pour une méme valeur 
de 0y est une fonction continue de ^; des lors, si Ton considére les va- 
leurs de A correspondant aux diverses valeurs de comprises entré 0^ 
et ^j, elles admettent une limite inférieure qui ne peut étre nuUe; sinon 
elle serait atteinte pour quelque valeur de 0y laquelle serait un argument 
singulier, contrairement ä Thypothése; il résulte de la que nous pouvons 
trouver une valeur fiooe de a telle que, quel que soit entré 0^ et 0^^ 

on ait 

lim 6-^^'-">F(rc*^ = o. 



r=op 



Cela pose, considérons Tintégrale 

/ 



e''''F{az)da. 
o 



240 Einile Borel. 

Cette intégrale représenk», Iovsqu'elle a un sens, uiie fonction analytique 
de Zy qui colncide visiblement avec la fonction f{z) a Tintérieur de sgn 
cercle de convergence. Or il est manifeste qu'elle conserve un sens si 
Ton suppose Targument de z conipris entré 0^ et 0^, son module étant 

inférieur a ; la fonction analytique f{z) peut donc étre prolongéé 

au dela de Tarc 0^0^ du cercle de convergence, c. q. f. d. 

Notre proposition est donc complétement établie: les arguments sin- 
guliers et ordinaires de F{z) correspondent respectivement aux points singalier^ 
et ordinaires de f{z). 

Voici maintenant une application de cette proposition, application 
qui repose sur la détermination simple de certains arguments singuliers. 
Gonsidérons une serie de modules croissants 

et faisons leur correspondre des nombres positifs tendant vers eéro: 

Supposons que ^„ soit un argument quelconque tel que Ton ait 

(i) i F(r,6*^-) i > e^-^^— \ 

Je dis que tout argument 0, que Ton peut prendre egal a 0^ pour une 

infinité de valeurs de w, est un argument singulier; car, si la relation (i) 

est vérifiée, lorsque 0^ = 0j pour une infinité de valeurs de n, on ne 

peut avoir 

lime-'<'-»'J'(re**) = o; 



r—oo 



car, quelque petit que soit a, a„ finit par étre inférieur ä oc pour leis 
grandes valeurs de n. On ne trouve pas d'ailleurs ainsi certaineraent 
tous les arguments singuliers; par exemple, si les a décroissent ti*op ra- 
pidement, il peut se faire que la relation (i) ne soit vérifiée pour aucune 
valeur de 0^\ mais les arguments que Ton obtient sont certainement 
singuliers, quels que soient les r et les a (satisfaisant aux conditions in- 
diquées). 

Supposons maintenant que nous partagions les termes successifs de 
F[z) en groupes, de telle maniére que le w*^°** groupe soit formé des termes 
dont le rang est compris entrc 2^'*"* = s et 2^*"^' = s^, Gonsidérons ce 



Sur les sérios de Tajlor. 247 

groupe de termes, dans lequel nous donnons au module de z la valeur 
s\= 2^*"); il est tres aisé de voir que le maximum du module de ce 
polynome (lorsque Targument de z prend toutes les valeurs possibles) 
différe tres peu du maximum du module de F[z) pour la méme valeur 
s^ du module de z\ autrement dit, les tennas de F{z) qui ne figurent 
pas dans ce n*^°® groupe ont, pour \z\ = 5^ une somme négligeable par 
rapport aux grandes valeurs du module de F{z). On en conclut aisé- 
ment quen choisissant convenablement leg a et en prenant r„ = 2'*", on 
peut définir les arguments 0^ exclusivement å Vaide des termes du w**"® 
groupe; d'ailleurs ces 0^ couvriront, si Ton veut, un are du cercle, su- 
périeur a sa n'*"* partie et tel, par suite, que la somme de tom les arcs, 
correspondant ainsi a toutes les valeurs de n, augmente indéfiniment avec 
n. Pour qu'un argument soit singulier, il suffit qu*il appartienne ä 
une infinité de tels arcs. Or il est clair que, si Ton suppose la fonction 
F{z) qudconquej c*est a dire ses coefficients indépendants les uns des 
autres, ces arcs recouverts par les 0^^ étant définis séparément par des 
groupes successifs de coefficients sans lien entré eux, devront étre re- 
gardés comme indépendants. On a donc sur un cercle une infinité d'arcs 
indépendantSj dont la somme dépasse tout nombre donné; donc, an ^énéraZ, 
tout point du cercle appartiendra ä une infinité d*arcs. Donc, en généraly 
tous les arguments d'une fonction entiére sont singuliers et par suite, 
dans le oas general, une serie de Taylor admet son cercle de convergence 
comme coupure. Cest la la conclusion que je me proposais d'établir et 
que j'ai démontrée pour la premiére fois dans les Comptes Rendus 
du II décembre 1896. On pourrait, je crois, tirer bien d'autres consé- 
quences de cette méthode de recherche des points singuliers et, tout 
d'abord, Tétendre au moins a certains points singuliers non situés sur le 
cercle de convergence, mais j'ai déja peut-étre trop abusé de votre 
bienveillante attention. 

Je termine donc en vous priant d'agréer Texpression de mes senti- 
ments de respect et de sincére dévouement. 

Paris, le 22 mai 1897. 




249 



SUR LES POLES DES FONCTIONS UNIFORMES Å PLUSIEURS 

VARIABLES INDÉPENDANTES 

PAB 

LEON AUTONNE 

å LYON. 



CHAPITRE I. 



Probléme [r + i]. 

1° Prenons une fonction uniforme Xde r+ i variables indépendantes 
y et Xij (i = I , 2 , . . ., r), que Ton peut toujours assimiler aux coor- 
données d'un point C dans un espace k r + i dimensions -E^+i. Un 
point CO , [y = b; Xi ^= aj, ou X n est pas réguliére, sera un »point sin- 
gulier non essentieb (Weierstrass, Ahhandlungen atis der Functionenlehre; 
5*™* section; page 130) ou »pöleD, si, dans le domaine de a> , X est 
identique au quotient ^1:^0 ^^ deux fonctions réguliéres en o>. 

2° Supposons que les deux series P^ et P^, débarrassées de lemr 
p. g. c. d., soient nulles en w. Les allures de X sont tres indéterminées 
en Q) et aux abords (Weierstrass, 1. c. pages 130 et suivantes), comme 
on sait. 

Il m'a paru intéressant de discuter cette indéterinination de X au 
pöle par une voie un peu différente. Cette derniére est, au fond, une 
généralisation des procédés employés, dans le cas d'une seule variable, 

pour lever l'indéterinination des symboles dits illusoires - . 

3° La valeur X^ de X au pöle n^est plus calculable par la division 
P^i P^, le dividende et le diviseur étant nuls tous deux. X„ sera, par 

Äeia nuUhenuUiea. 21. Imprimé le 7 septembre 1897. 32 



250 LéoD Autonne. 

definition^ la valeur limite vers laquelle tend X, quand C tend vers o>, 
c'est a dire quand les modules \y — b\ , \Xi — a,| décroissent indéfiniment. 
Seulement alors X^ ne sera plus unique et dépendra 

soit de la loi conformément a laquelle décroissent simultanément les 
modules \y — b\ et \Xi — «,|, 

soit, pour employer un langage géométrique, de Vitinéraire SB, que 
suit C pour tendre vers co. 

Dans le cas d^une seule fonction X , X^ peut (Weierstrass 1. c.) 
prendre en co une valeur quelconque arbitrairement donnée ä Tavance, 
Au contraire prenons N fonctions, {N >^r + i ; Pj = o en cd): 

X = P ' P 7=1 2 N 

munies d'un méine dénoniinateur P^ et analogues a X ^= P^\P^ = X^. 

Les N valeurs liinites des Xj en «>, fournies par un niénie ifinéraire 
35B, ne sont pas simultanément arbitraires. Si Ton sen donne quelques-unes, 
les autres s'en déduisent. 

Cest Tétude de ces dépendances nautuelles qui constitue le fond des 
présentes recherches. 

4° Supposons, pour simplifier. le pöle w situé a Torigine des coor- 
données dans Tespace E^+i, c'est a dire 6 = a^ = o; prenons N+ i 
fonctions F^(y , ic, , . . . , x^), / = o , i , 2 , . . . , -AT, réguliéres et nuUcs en 
4o, avec N>_r'{- i. Nous traiterons le probléme suivant: 

5)con8truire tous les systémes de valeurs limites vers lesquelles tendent 
simultanément les rapports des Fjy quand les modules des r + i vari- 
ables tendent a la fois vers zéroj). 

Nous lui donnerons le nom de »probléme [r + i]», notation qui met 
en évidence le nombre r + i des variables indépendantes. Le nombre 
N ne joue aucun role essentiel, pourvu qu'il ne soit pas inférieur k r+ i. 

5° On peut formuler le probléme [^ + i] dans un langage géomé- 
trique plus commode. 

Les r + I variables indépendantes y et rr,, i = i , 2 , . . . , r, étant, 
coinme précédemment, les coordonnées d'un point C dans un espace E^^i 
h, r + i dimensions, prenons, dans un espace Eyy les -^ + i coordonnées 
homogénes f^, y = o , i , 2 , . . . , -AT, d'un point ^. 



Sur les pdles des fonctioDs uDiformes å plusieurs variables indépeDdantes. 251 

En vertu des égalités p^j '=^ Fj^ p = facteur de proportionnalité, $ 
est Vimage de C- Quand C parcourt dans iJ^^^ le domaine commun de 
convergence 6 des series Fj , f parcourt dans Ey une varieté a r + ^ 
dimensions 5*^+1. Lorsque C tend vers (u suivant un certain itinéraire 
358 , f tend vers une certaine position liinite ^, dont les coordonnées |, sont 
proportionnelles aux limites des Fj, 

Le probléme [r + i] s'énonce géométriquement ainsi: »construire la 
figure Qr-^xy constituée par Tensemble des points ^d. 

6"* Le probléme [i] ou r = o se résout immédiatement; Q^ se re- 
• luit ä un point unique. 

J'ai consacré ä la resolution du probléme [2] 

une Note (1 1 novembre 1895) insérée aux Comptes Rendus de TAca- 
démie des sciences de Paris, 

un Mémoire inséré aux iRendicon du Cercle Mathérnatique de Pa- 
lerme année 1896. 

Le cas r = 2, probléme [3], a fait Tobjet de deux Notes (Comptea 
Rendus, 9 et 30 décembre 1895). 

Pour le probléme [2], H^ est un systéme de courbes unicursales de 
Tespace iJ^y, que j'ai appelées »fondamentales». 

Dans le probléme [3], U^ est, dans Eyy 

ou bien: un systéme de surfaces en nombre fini, accompagné d'un 
systéme de courbes unicursales en nombre fini (le pöle w est 
alors un zénith); 

ou bien: un systéme exclusivement composé de courbes unicursales 
en nombre fini (le pöle co est alors un nadir). 

Les möts »courbe» et »surface» de Tespace Ey désignent des variétés 
ä une et deux dimensions respectivement. 

Les théories qu'on trouvera ci-aprés sont entiérement différentes de 
celles qui viennent d'étre rappelées. Il convient d'expliquer pourquoi. 

7° Pour résoudre le cas [3] j'ai employé un procédé de réduction 
successive pour la singularité du pöle sur la surface Fj = o. Ce mode 
de raisonnement devient inextricable pour plus de trois variables indé- 
pendantes. 

8** Le procédé qui m'a servi ä résoudre le cas [2] ne peut non plus 
se généraliser. 



252 LéoQ AutoQoe. 



Il est licite dans tous les cas, comine on le verra dans le chapitre 
suivant, sans restreindre la généralité, de faire 



/-m— 1 



Fj = Kjy"^ ^ Z y'Äji{X, yX^, ...,Xr) 



ou les K sont des constantes non nulles et les Ä des fonctions réguliéres 
et nulles au p6le o>. 

Soient rjji, I = i , 2 , . ,. , m, les m racines de Téquation algébro^de 
en y , Fj = 0. Alors 

F, = ä;. n (y - ,?,,)• 

Pour r = I, probléme [2], on connait parfaitement la nature analytique 
des ^. M. PoiNCARÉ dans sa Thése Inaugurale a démontré que 

yjji = Oj,{t), r^' = X, ; 

dji = holomorphe; ^ji "= entier positif <^wi 

Au premier chapitre de mon Mémoire des Rendiconti, j'ai eflfectivement 
construit les développements d. 

Des lors la décomposition de Fj en facteurs binömes y — yjjj peut se 
réaliser et a servi de base a mon analyse des Rendiconti. 

Au contraire, quand r> i, on connait beaucoup moins la nature 
des fonctions rj; la décomposition en facteurs ne sert plus a rien. 

9** A la vérité M. Kobb (Journal de Mathématiques Pures et Appli- 
quées 1892) dans son Mémoire: Sur la théorie des fonctions algébriques de 
deux variahles, a, quand Fj est un polynöme par rapport ä toutes les 
variables, représenté les y et x^^ liées par Téquation Fj = o, par un 
nombre fini de series ä r variables auxiliaires u. Seulement le choix 
des u comporte une dose considérable d'indétermination qui masque la 
nature des yj. Gette indétermination n'est pas fortuite et ne peut étre 
levée. EUe a sa source dans le fait bien connu suivant: quand on re- 
présenté une relation algébrique entré deux variables par un nombre fini 
de series, le choix de ces derniéres peut se faire d^une infinité de faQons 
différentes (position arbitraire des points réguliers sur la courbe algé- 
brique). 



Sur les pöles des foDCtioDs UDiformes å plusieurs variables iodépendantes. 253 

Il n'est pas douteux que les rj possedent des propriétés indépendantes 
du choix des u; ou trouverait la matiére a rétablisseinent d*une théorie 
des invariants. Cette derniére a été esquissée par M. Kobb lui-méme 
{Sur un paint de la théorie des fonctions algébriques de deux varidbleSy 
Bulletin de la Société Mathématique de France, 1893, pages 76 a 81), 
mais semble extrémement difficile. 

I o"* Quoiqu'il en soit, j'ai dii résoudre le probléme [^+1] par une 
toute autre voie que les problémes [2] et [3]. 

La méthode tout-a-fait générale est celleci: Dramener la resolution 
du probléme [r + i] ö» c^Ue du probléme [r]» c'e8t a dire, procédant de 
proche en proche Da celle du probléme [i]», directement soluble, ou a 
Dcelle du probléme [2]» résolu précédemment. 

Les détails d*application pour la méthode sont exposés ei-aprés au 
chapitre II, mais en voici le principe trés-simple. 

Comine, dans les relations 

qui définissent le probléme [r +1], on peut supposer, sans restreindre 
la généralité, que les Fj sont des polynömes en t/, le procédé purement 
élémentaire et rationnel de Télimination ordinaire, convenablement dirigé, 
permet de se débarrasser de la [r + !]**"• variable y, et on est ramené 
au oas de r variables c est a dire au probléme [r]. 

Un resumé de la méthode a paru dans les Comptes Rendus (18 
janvier 1897). 

1 1° Il serait oiseux d'énumérer toutes les applications possibles des 
présentes recherches; le lecteur les apercevra lui-méme sans peine. 

J'en signalerai seulement deux. 

On peut faire la discussion coinplétey quelle que soit la singularité, 
des points fondamentaux et des courbes fondamentales dans les substitutions 
Cremona, cest ä dire birationnelles planes. Cest ce qu'on trouvera au 
troisiéme chapitre de mon Mémoire des Rendiconti. 

II est possible d'établir une généralisation compléte, pour une sin- 
gularité aussi compliquée qu'on voudra, des travaux de M. Nöther 
(Math. Annalen, t. 3, Vber eindeutige Transformation des Baufnes) relatifs 
aux points ^fondamentauxD, aux courbes et surfaces DfondamentalesD dans 
les substitutions birationnelles de Tespace ordinaire. 



254 Leon Autonne. 

Cest a l'occasion de ce dernier probléme (voir ma Note desComp- 
tes Rendus du 1 1 mai 1896, Sur les substitutions réguliéres non linéaires) 
que j'ai abordé les présentes recherches. 

La théorie de la birationnalité dans Tespace ordinaire fera Tobjet 
d^un travail ultérieur. 



CHAPITRE II. 



Réduction du probléme [r + i] au probléme [r]. 

1° Soient les équations 

p$j = Fj{y ; a;^ , . . . , x^), > == o , i , 2 , . . . , JV, 
ou les Fj sont des series entiéres, convergentes pour 

\y\<^ l^il < ö^, i = I , 2 , .. ., r, 

les å étant des quantités positives données; de plus, par hypothése, 

Fj{o ] o , . . . j o) = o. 

Le probléme [r + 1], défini aux 4° et 5° du chapitre I, consiste m con- 
naitre tous les systémes de valeurs, vers lesquelles tendent les rapports 
des Fj, quand les modules des r + i variables y et x^ tendent vers zéroD, 
ou, en langage géométrique, m construire la figure Qr+u 1^^^ du point 
f, quand le point C de Tespace E^^i tend vers le point Wj oii toutes les 
variables sont nulles, par tous les itinérairc^s possibles 323». 

Je dirai qu'un itinéraire SS fournit le point f , lorsque f tend vers f , 
quand C tend vers o) en suivant 2B. 

Si, dans -B^^i , C tend vers w suivant 2B, le point Xj de coordonnées 
Xiy dans un espace E^, tend vers le point x^ , ou x^ = o, suivant un 
itinéraire parfaitement déterminé ro. 

2° Opérant au besoin une collinéation convenable tant sur les N'\- i 
variables ^j que sur les r + i variables y et x^j c est a dire un change- 



Sur les pdles des fouctioos uoiformes It plusieurs variables indépendaotes. 255 

ment de coordonnées dans les deux espaces Ejf et -B^+i, il est licite de 
supposer que 

Fj(y]OyOy ...,o) =y"{fi^ + y{'")], 

la constante Kj =+= o. Alors le théorérae fondarnental de Weierstrass 
permet de remplacer Fj par 

// • { I + <P>(y , ^1 , • . • v^r)}, (P,(o ; o , . . . , o) = o, 

fj{y) = Kjy"^ + aj^„,^,y^^, + • • • + «,o, 

les a étant holomorphes en rr» et nuls avec rr^ = o; i = i , 2 , . . . , r. 

TI est evident que les rapports des Fj tendent vers les mémes limites 
que les rapports des polytmnes fj{y) en y. 

3*" Rappelons maintenant, en les étendant a un espace Ejf quelconque, 
quelques propriétés des courbes planes unicursales (voir LOroth, Math. 
Ann a len, t. 9, et Clebsch, Lejons sur la géométrie, t. 3 de la traduction 
fran9aise A. Benoist, page 287 et suivantes). 

Soient les iV + I équations 



(o) 



P^j = fÅV) = ^jV'" + . . • + OjiV' + ■ ■■ + Ojo 

j = o, l , ..., N; I = o, 1 ,:..,m — I ; 

les K et les a étant des constantes. 



Formons aussi les expressions 



9><^{y) = 



fa 



dfa 

I» 9y 



a, ^ = Of I , .. ., .N 



n-Hm—l) 



n^O 



Quel est le lieu du point f quand y varie? 

4° Il peut se faire d'abord que tous les ^^{y) = o. Alors 



9y fa 



ffi'fa = G*'. 



256 LéoD Autonne. 

Le p. g. C. d. des polynömes /J est du degré m. Le point $ est fixe. 
Ses coordonnées s'obtiennent par simple division des polynömes. 

5° Ecartons ce cas particulier et supposons f^oi(y)^o, c est a dire 
/ji/^ variable. Soit k un troisiéme indice pris dans la suite 2,3,...,^. 

Traitons f ^ > ^ 1 > • • • ' ^* comine les coordonnées homogénes d*un point 
X dans un plan 6 . Les trois équatiens 

(o) p^o = fo{y)y p^x = fÅy)y p^t = ft{y) 

définissent dans 6 une courbe plane unicursale g, L'équation 

de g s'obtient en éliminant p et y entré les trois égalités (o) ci-dessus; alors 

p,(/;,/;,/;) = o. 

La relation P^(6^ , fj , f^) = P4(f ) = o exprime que les deux équations en y 

fo fl f* 

ont au moins une racine commune. 
Les trois dérivées partielles 

dPt^ dPj^ dPt 

3Co 5C, dit 

sont proportionnelles respectivement a 

dP 

Par hypothése ^^^^o, donc -^ eJe o et i*" la variable f^ figure effective- 

ment dans P^, 2*^ Pj^{i)^^o. 

P„ est une forme ternaire en f o > ^1 > ^* ^"® "^^^ écrirons 

Les p sont des polynömes par rapport aux coeflficients (3°) Ä} et a,-,. 

6° Revenons maintenant a Tespace Ey et formons les N — i équations 

P^ = o; k = 2 y iy ,..y N, 



Sar les pdles des fonctioDS uDiformes k plusieurs variables indépendantes. 257 

EUes sont toutes distinctes. Aucune en eflfet ne peut étre une conséquence 
algébrique des autres, car chacune Pj^ est seule ä contenir effectivement 
la variable f^. 

Les N — I équations Pj, = o définissent donc dans Tespace E^ une 
varieté ä une dimension ou courbe F. 

Sous le bénéfice des relations P^ = o, les N équations en y 



fo _(,_ _/> 



ou le systéme équivalent 



(o) 



a,/9 = o, i,...,JV 



possédent s racines cominunes, s>^i. Les premiers membres de (o) 
possédent un p. g. c. d. de degré s 

Y{i, ; *) = Y{$) = Y{i,) = Y,y + Y,_,y-' + ...+ !;, 

oii, pour r = o , i , . . . , 6, 

Y^ est un polynöme hotnogéne par rapport aux f^ et les coefficients q^'^ 
sont des polynömes par rapport aux Ä} et aux o,,. 

Si on traite y comme un paramétre, Téquation Y[^) = o représente 
une »hypersurface» H. 

7° Le point f, donné par les équations (o) du 3°, peut aussi étre 
envisagé comme obtenu, dans Tespace E^j par Tintersection de la courbe 
r avec rhypersurface H. La courbe et Thypersurface n'ont qu'wwe seuÅe 
intersection mohile avec y\ les coordonnées de cette intersection sont donc 
rationnelles en y. Elles sont proportionnelles aux f^. 

8° Rien n'est a changer aux calculs précédents (3° a 7°) lorsque les 
a^i ne sont plus des constantes (comme au 3"*) mais des fonctions holo- 
morphes en x^ (comme au 2°). 

Prenons le point Xj de coordonnées x^j indéterminé dans Tespace E^ 
et dans le domaine de convergence des series. Nous aurons encore les 

Åeta m(Uh«matica. 21. Imprimé le 7 septembre 1897. 33 



258 LéoQ AutoDDe. 

N — 1 équations P^(f;ic) = o de la courbe F et Téquation Y{y]$;x)^^o 
de Thypersurface B. Les coefilcients 

0a^. de ^^{y) (3°) 

y*^ de P, (5°) 

q''' de 1\ (6°) 

sont holomorphes en Xi, Pour rr,= o les Oy^ s^évanouissent par hypothése. 
On voit sans peine qu'il en est de méme des Ö>„^„. Alors f^a^(y)E=o, 

^ = -^ = ^ = 0, P*=o, p^^^^^ = o, Les équations (o) du 6^ ont 

m > s racines nulles c'est a dire coinmunes et Qy^^y^ = o. 

Quand x voyage dans le doinaine de convergence comniun 6 des 
series a, O ^ p^^\ q^^\ la courbe F et Thypersurface H varient. Pour x 
infiniment voisin de x^ (i**), c est a dire pour |j?,| infiniment petit, 

K,|, K<.,,|, |/'^...MC..v| 

sont aussi infiniment petits. 

9° Au lieu d'appliquer le calcul du 5° aux trois indices o , i , Ä 
nous aurions pu Tappliquer a trois indices différents quelconques y, /',/' 
pris dans la suite 0,1,...,^. Au lieu de P^ nous aurions obtenu 

A (c- . Z" , BA = Hbwi e-' e-^ e^''" . 

Les trois dérivées partielles 

a . a . a . 

ac; ^^ ' af/ ^^^ ' d$f' ^^' 

sont alors proportionnelles respectivnnent a 

10° Par liypothése, nous savons résoudre le probléme [r]. Appli- 
quons le procédé aux fonctions D et des r variables a;,. Dans Teepace 
E^ , a; suivant vers x^ un certain itinéraire w nous construirons toutes les 



Sur les pdles des foDCtioos uDiformes k plusieurs variables indépendaDtes. 250 

limites des rapports des D et des 0. Nous pourrons notamraent mettre 
dans ^a^{y) un coefficient tp^"^^^ en facteur, tel que 

li"^^^. n = o, I , ..., 2(m— i), 
reste finie ^ et écrire 

Cela exige bien entendu que ^a^{y) ^ o et qu'un au moins des (P^„ ^ o, 
quantl x parcourt Titinéraire Vd. 

Enfin nous choisirons une combinaison oi d'indices ay9 telle que 

(o) l>ni ^ 

reste finie ^ pour toutes les combinaisons d'indices a^. Cela n'est pas en 
contradiction avec le choix fait au 5° des indices o et i, car actuellement 
Foi(y)^o, sans quoi Texpression (o) est infinie ou indéterminée. 
Alors 

^limMyl^lim^^"'^-'^^^^ 

ne peut étre infinie quel que soit y». 

1 1° Les choses étant ainsi préparées, abordons la resolution du pro- 
blérae [r + i] et faisons tendre x vers x^ suivant Titinéraire to. 

Il peut se faire que, tout le long de tt), 0a^« = o pour tous indices 
a,^,n. On s'en- assurera en appliquant le procédé de resolution du 
probléme [r] (pour abréger »procédé \t\t>) aux fonctions 0^^^ des r va- 
riables a?,. 

On est alors dans le cas du 4°; les rapports des fj{y) sont indépen- 
dants de y; les f, sont proportionnels ä des fonctions Lolomorphes des 
Xi et le procédé \r\ perinettra de construire les ^ et le point f. 

12*" Ce cas particulier écarté, choisissons, grace a une application 
convenable du procédé {r}, les deux indices o et i comme il est dit 



au 10°. 



^ N. B. — Je compreDds zéro parmi les quantités finies. 



(A) 



260 LéoD Autonoe. 

Vers quelle limite tend la courbe F definie par les N — i équa- 
tions du 6° 

Il suiFit de voir vers quelle limite tendent les premiers membres des P^ = o. 
Le procédé [r\ fournit les limites de tous les rapports des coefificients 

fonctions holomorphes des .t,. Mettons dans P^ eti facteur un coefficient 
Wi, tel que 

lim 
reste finie et posons 

La courbe r, limite de /^, sera définie par les N — i équations 

P^ étant la limite de p^. 

Reste a montrer que les équations p^ = o sont toutes distinctes 
comme les P^ = o. 

15° Il suffit d'établir {&') que la coordonnée f^ figare effectivement 
dans P^, ou que 

—r- Ej= O. 

• 

dP 

Si, en effet, -^ = 0, alors quel que soit y, 



aP* aPi 



lim^ = co, lim^^ = oo 

c'est a dire (5°) 

lim ^ = CO, lim ^ = 00 ; 

foi foi 

cela est contraire ä Thypothése faite (12° et 10°) sur le choix des deux 
indices o et i. 



Sur les polos des foDCtioDS uoi formes ä plusieurs variablcs indépeDdaDtes. 2G1 

D'ailleurs on ne peut avoir p^(c)=o, quels que soient f o > ^i > f * 
car la dérivée partielie par rapport a f^ irest pas = o, comme propor- 
tionnelle a (voir io°) 



1 



r 



Bref tx)utes les N — i équations P^. = o sont distinctes et définis- 
sent une courbe 7*, limite de F. On voit que »la construction de T exige 
seulement Tapplication du procédé [r\D. 

14° Théoréme: »Le point f est sur la courbe r» 

Cela résulte iminédiatement du 7° car f est, pour chaque position 
de :r, a Tintersection de F avec H. Quand x tend vers x^ et f vers ^, 
T tend vers T, donc $ est sur T\ c. q. f. d. 

15° Tout point de T fait-il partie de Qr+i^ 

Il faut répondre par Taffirmative. 

Soit en effet fx un point quelconque de T défini coinine intersection 
de 7* avec Thyperplan fi^^^ — [x^^^ = o, le quotient ;Uj '[x^ étant arbitraire. 
Je vais construire un itinéraire 2B fournissant (1°) le point fi, 

16° Les équations Pk{^) = o expriment (6°) que le systérne 

^My) — ^aUy) = o 

a , y9 = o , I j .,.j N. 

d'équations en y posséde s racines coinmunes, s>^i. 

Soit A, de coordonnées Xj avec Å^:Å^ = /^i -/^o' ^^ point dMntersection 
de T avec Thyperplan précédent A^c, — A^f^ =0. Les équations en y 

auront, pour x quelconque, 5 racines communes. Soit yj Tune d^cUes. 
Dailleurs (3°) 

hfa{:y) - KUy) = f'[h^a — KK^\ + r-'(...) + • . • ; 

toutes les m racines s^évanouissent quand ja;,| = o, x venant en x^^ le 
point X étant distinct du point K de coordonnées Kj. Donc y>7j a zéro 
pour limiteD. 

Faisons décrire au point C un itinéraire 2B ainsi défini 



262 



LéoD AutODDe. 



1° a? décrit Titinéraire lo, dont il a été question au cours du present 
chapitre, 

2" ij = 71. 

Il est evident que, suivant 2B, C aboutit en w. 

Le point f colncide avec A et ne peut quitter ni la courbe F ni 
Thyperplan; ä la limite f vient en | sur T sans avoir quitté Thyper- 
plan, donc f coHncide avec /i, c. q. f. d. 

17° La demonstration ne subsiste plus pour le point Ky de coor- 
données Ä}, lui-méme. K fait d'ailleurs aussi partie de i2^+i car il est 
tres facile de construire un itinéraire 2B qui fournisse K. 

Posons a cet effet x^ = y^' , />, = entier positif . Le coefficient a^i de 
fj devient 

a^, = tf^A^,{ij\ 4,(0) 4=0. 

On peut toujours prendre les p assez grands pour que les a soient aussi 
grands que Ton voudra et en particulier pour que 

m < / + aji . 

Alors dans f^ c'est le terme JST^y"* qui est d'ordre minimum en y et Titi- 

néraire 2B défini par 

X, = /' 

fournit le point K. 

18° Toute la discussion du present chapitre se résume ainsi qu'il suit. 
Partant des équations (3°) 

p^^ = Kjy + Z yaj,{x, , . . . , rr,) = fj{y), 



formons les expressions 



ff«^ 



/ä 



/S 



3.V 



= r y" <P^„ (x, , . . . , a;,) 



«=0 



et 



p, = 2:^'^'i^*i><^^.(a;, ,x,,...,x:). 



Sur les pdlea des fonctions uniformes ä plusieurs variables iDciépendantes. 263 

Soit Q^ la figure lieu du point Ä, le point h ayant des coordonnées 
proportionnelles aux 

<l^afin et aux p'^%^. 

La construction de Q^ exige unlquernent la resolution du probléme [r]. 
Un point k de Q^ fournit pour la figure i2^^,, lieu du point f, 
soit un point unique U (éventualité du ii°) que fait iinmédiatenient 
connaitre le procédé {r}, 

soit une courbe toute entiére r, cest a dire oo points. 
Quand h parcourt i2^, U ou T engendrent Hr+i* 
Appelons S^ le nombre des dimensions que posséde Q^. 
Sr^i = 5^ + 1 5 fi'il existe au moins une courbe telle que T, 
5^^, = 6V, s'il existe seulement des points tels que U. 
Bref S^^^ < S^ -{- i et. comnie S^ = o, S^^^<r. »Le nombre de di- 
mensions de la figure Q est au plus egal a celui des variables indé- 
pendantes, diminué d'une unité.» 

19° A peine est-il besoin de faire remarquer qu'il peut exister des 
itinéraires 2B qui ne fournissent aucun point ^. Ils sont constitués par 
des zéros communs aux N -{' i fonctions Fj du 1°. 

Par exemple, pour r = 2, cas [3}, supposons que les surfaces or- 
dinaires Fj{y , x^, x^) = o, Fj = polynöme, aient une courbe g, issue 
de Torigine, commune. Un itinéraire 2B, qui colncide avec g^ ne fournit 
aucun point limite f. 

20° J'espére traiter dans un travail ultérieur le »probléme des iti- 
néraires 2B» c'est a dire les questions sui vantes: 

L un point f étant donné sur Q^ construire tous les itinéraires 
qui fournissent ^; 

IL étudier comment varient ces itinéraires, lorsque $ se déplace 
sur Q^. 

Lyon le i*' mai 1897. 



2H5 



A SPECIAL CASE OF DIRICHLETS PROBLEM FOR TWO DIMENSIONS 

BY 

J. C. KLUYVER 

of LEYDEN. 

In a posthumous paper ^ of Riemann some indications are given 
about the construction of a real harmonic function TF in a plane with 
several circular holes, the function W taking assigned real values on 
each of the circular rims. Riemann^s treatraent of the problem is based 
on the theory of confornial representation. The given area is to be 
represent^d conformally on part of a Riemann surface, bounded by recti- 
linear rims, and then the desired function W can be readily found by 
means of an appropriate integral of the third kind. In 1877 ^^^ con- 
formal representation of the plane with the holes was discussed anew by 
Schottky ^, who arrived at a solution, depending on certain transcendental 
functions, not altered by the linear substitutions of a special discontinuous 
group, that was afterwards called by Poincaré ' the symmetrical Kleinian 
group of the third family. In a second memoir Schottky * returned to 
this class of Kleinian functions and ga ve a full and ample discussion of 
their properties. By their means it is possible to treat in a direct way, 
and without having recourse to a previous mapping, the original Dirichlet'8 
problem for the perforated plane. 

* Oleichgewicht der Electricitäi auf Cylindern mit kreisförmigem Querschnitt und 
parallelen Axen. Ges. W., 2°^ Ed., p. 440. 

' tjber conforme AbbUdungen mehrfach zusammenhangender ebener Fläcken, Journal 
f. r. u. a. Math., 1. 83, p. 300. 

' Mémoire sur les groupes Kleinéens. A c ta Mathematica, t. 3, p. 49. 

* Vber eine specielle Function, wdche bei einer bestimmten linearen Transformation 
ihres Argumentes unverändert bleibt. Journal f. r. a. a. Math., t. lOI, p. 227. 

Aeta matkåmtUiea. 21. Imprimé le 7 septembre 1897. 34 



266 J. C. Kluyver. 

In what follows I propose to show, that by the use of Schottky^s 
functions we can obtain for the required potential function a determinate 
analytic expression, which even lends itself more or less to actual calcu- 
tation. Moreover from the form the function W assuines, it will äppear 
that, in order to solve the general problem, it suffices to consider two 
special cases only: i° the case of a single hole, 2° the case, wherein on 
€ttch rim the function W is equal to a determinate constant. 

Before entering however into further developments, it will be 
necessary to make some statements about Schottky's results and to give a 
short description of some of the particular functions, he was the first to 
introduce into analysis \ 



I. Schottkys region T and the Kleinian group hélonging to it. In 
the plane of the complex variable x there are drawn p circumferences 
K^jK^,...,Kj, with the radii J?j , i?^ , . . . , Rp and the centres a^^a^,.. , a^. 
No two of these circles must intersect and each of them must lie wholly 
above the axis XX of real quantities. Reflecting these p circles upon 
the axis XX, a further set of p circles jfiT,, JSTj, . . . , Ä^' is obtained, 
their centres Oj. , a^, • • • S' ^^ conjugate to a^ , a^ , . . a^. It is the part 
of the plane outside these 2p circles that formed the base of Schottky'8 
investigations and which we designate henceforth as Schottky'8 region T. 
Occasionally we will have to regard as a circl the axis XX itself, and 
as such we shall call it the circle K^, where q stånds for p+ i. 

Associated with the region T, of connectivity 2p , there is an infinite 
discontinous group F of linear substitutions, p of these being fundamental 
and each derived from one of the p pairs of conjugate circles Kj^ and AV- 
So, for instance, supposing a; to be a point in T, the relation 

rr^ = «* H ^— = ft{x) 

defines a point x^, interiör to the circle if^, and by this substitution ^ 



* Refereoce should be given here to the treatise of H. F. Baker: AbeVs theorem 
and the aUied iheotnj, including the theory of the iheta functions. In Chapter XII of 
this volume the author gives an account of Schottkys investigations and explains the 
analogy between Schottky s theory and that of a Riemann surface. 



A special case of Dirichlets problem for two dimeDsioDS. 267 

the initial region T is transformed into another one T^, of the same 
connectivity, and bounded by the same number of circular rims. One 
of these rims is the circumference Kj^^ along this boundary the regions 
T and T,^ are contiguous. 

It is evident that the thus defined hyperbolic substitution f^ is geo- 
metrically equivalent to a reflection upon XX or K^y foUowed by a second 
reflection upon if^, and it is also easily seen that this pair of reflections 
changes the circle JST^- into the conjugate one JST^, so that corresponding 
points on these two circumferences have conjugate complex aftlxes. The 
inverse of the substitution /i, which we shall denote by /i-, has the efifect 
of changing T^ again into T, thereby transforming the last named region 
into T^., a new region, wholly enclosed by K^' and contiguous to Talong 
this circumference. By composition of a finite or infinite number of the 
foregoing fundamentul substitutions /i ,/!,,..., /J,, and of their inverses 
A ? /il • • • > /)»'! all the various substitutions f^ of the group F are obtained. 
We will call a the mark of the substitution ^, employing always a greek 
letter when the substitution is not necessarily fundamental but perhaps 
composite. Thus then, a denotes an aggregate or syrabolical product of 
the fundamental marks i , 2 , . . . , j? , i', 2', . . . , j?', and if, for instance, 
we have a= i'245', the loxodromic substitution f^ implies the successive 
application of the fundamental substitutions f^yf^^f^ and /i'. In com- 
pliance with the order, in which these operations are to be performed, 
we will call 5' the first and i' the last factor of the composite mark a. 
By inverting the order of the factors and by interchanging accented and 
non-accented marks, we obtain the mark a' = 54*2' i of the substitution 
f^ that is the inverse of /^. If we omitted however to invert the order 
of the factors, there would result the mark d^ = I2'4'5, which shall be 
called the conjugate of a, and we may obviously infer that conjugate 
substitutions, applied to a pair of conjugate points in T, change them 
again into a pair of conjugate points. All substitutions of the group T 
can be arranged by attending to the number of fundamental marks or 
factors, that enter into the composite mark a. First of all we have the 
identical substitution followed by the 2p substitutions /i , /, , . . . , /^, A', 
/i',..., A» ®a^h with a single mark, then come the 2p{2p — i) substitu- 
tions of the second order, each conipounded from two fundamental sub- 
stitutions, and so on. Although it is scarcely possible to form a mental 



268 



J. C. Kluyver. 



image of the geometrical configuration, generated by the group, it is 
analytically evident that all the regions T^, derived from the fundamental 
region T, are bounded by 2p circumferences, and that no two of them 
will overlap. Together they cover the complete plane, we started with, 
with exception of certain limiting points, that are not reached as trans- 
formations of points in T, whatever finite series of substitutions we apply, 




and which remain therefore always excluded from all the regions, whe- 
reinto the plane is divided. Every substitution f^ gives rise to a pair of 

a a 

such points, for if we agree to call A and B its double points, that is, 

a a 

if we define A and B by the equations 

a a 

Lim fan{x) = A , Lim fa'n{x) = Lim fa-n{x) = B, 



f|S3 00 



IlaB OO 



flBOO 



A special case of Dirichlets problem for two dimeDsioos. 269 

it is at once apparent, that no point whatever in T is changed into one 
of them, by subjecting it to a finite number of substitutions. 

k k 

Of particular importance are the double points A^B of the funda- 
mental substitutions Z^. The three circles K^^K^- and K^ belong to a 
system of circles having a common radical axis, and the limiting points 
or foci of this system are precisely the points A and B, Hence, the 
latter are each others inverses with regard to K^ and their aifixes are 
conjugate complexes. 

We have already remarked that every fundamental substitution /i 
is equivalent to a pair of inversions, the first with respect to K^^ the 
second with respect to -ff^, and from this remark it is at once apparent, 
that any composite substitution f^ can always be replaced by an even 
number of inversions with regard to the p+ i circles K^, K^j . . . j Kp^K^. 
For our purpose it will be convenient occasionally to resolve the sub- 
stitution fa into its coinponent inversions, therefore we will represent such 
an inversion by a distinct symbol. As such we choose doubly-accented 
marks, to prevent confusion with the substitutions of T. So, for instance, 
we will denote by o^ig 4 6- ^^e point derived from x by four successive 
inversions with regard to the circles K^ , K^ , K^ ^ K^. On the other 
hand, if we made use of the hitherto employed notation, the same point 
Xyt"^"Q" would be designated by Xi^-^^, for the four pairs of inversions g"6", 
4"9">S"3"5 i"S" g^ve rise successively tho the four substitutions 6', 4, 3', i . 

I. Functions existing in Schottkys, region, We proceed to give a 
short description of some of Schottky^s functions, existing in the region T. 
In the first place we mention the expression 

(^y; ^) = TT^^^" ' ^-^^^ 

a ' 

the multiplication extending över all the substitutions of T, fundamental 
and composite. It was proved by Schottky, though his proof, as he 
himself points out, is still liable to some limitations, that the above 
infinite product is really convergent and that in T it can be considered as 
an analytic function ^{x) of the variable x. From the form of the 
primary factor we conclude, that {ocy^^rj) obeys the equations 



270 J. C. Kluyver. 

moreover it is not difficult to see, that log(a;y;^) or, as we shall write 
it, log^(a;) possesses in T only the two logarithmic infinities c and ly, 
the function log ^[(c) increasing with + 2;ri, each tirne the variable x 
describes a circuit enclosing either f or jy. 

Intimately connected with (f[x) is the function 

« X — Ba 

not depending upon sorae parameter. It must be noted, that in this 
expression the variable mark a does not refer to all the substitutions of 
F without exception, excluded are all marks a, that are of the form 
y9/i or Pji'. The function E^X^) has neither zero's nor infinities in Ty 
its essential property consists in the multiplication-theorem: 

E^{x) = E,,Sx) = E,{x) . E,{x) , 

from which it is immediately inferred that only the p fundamental 
functions E^ (rr), E^{x)j . . . , Ej,{x) need be considered, since, by arranging 
these in products, all similar functions with composite marks can be 
constructed. 

Reverting again to logarithms, it can be shewn, that log£^(r»), 
everywhere finite in T, has its value increased by + iTtiy whenever the 
variable x describes a closed path round one of the circles Ä'^ and Kj,. 

If we subject the argument of the foregoing functions y{x) and 
Ej,{x) to any substitution of /' the result is very remarkable. So it is 
found that after the substitution the function Ej,{x) is reproduced, sa ve 
as to a determinate constant factor. Otherwise expressed we have 

E,{x:) = E,{x).E,^^. 

As for the constant Ej,^^, introduced here, supposing a = ^, it satifies 
the relation 

Ek^a = E^^t = Etj . Et^^ . 

Again it becomes apparent that we can disregard the composite marks 
and that all constants E^^i^ are simply products of similar quantities Ef^^^j 



A special case of Dlrichlot^s problem for two dimeDsions. 271 

each of the latter corresponding to a pair of fundamental substitutions. 
By differentiating the relation between E^{Xi) and Ef^{x) we get 

dlogJ5,(a;,) = ålogE,{x), 

hence, with respect to T, the differential dlogJ?;^(a;) is automorphic. A 
similar result holds for the function p{x). Application of the substitu- 
tion f^ gives 

and the ref or e again 

dlogfr(a;J = dlogfp(ic). 

3. Rim values of Ej,{x) and ^{x). It is necessary, at the present 
stage, to make some stateinents about the nature of the values, the 
functions E^{x) and ^{x) acquire on the rims of the region T. Com- 
mencing with Ej,[x)j we observe that in the infinite product 

it 

a X Sa 

we can combine the primary factors, due to every pair of conjugate 
substitutions f^ and f^^ so that we have, writing down separately the 
leading factor corresponding to the identical substitution, 




Now remembering that the conjugate points A and -B, subjected to 
conjugate substitutions, transform again into conjugate points, it plainly 
appears that, for real values of the variable oj, the function Ej,[x) is of 
modulus unity. Hence on the axis XX, otherwise said on the circle K^^ 
the function log^^(a;), and also its differential dlog J?^ (o;), is purely 
imaginary. As for the rims of the region T, we may draw a similar 
conclusion in the following manner. Supposing x and x^ to be conjugate 
complexes, what we shall indicate by writing x ^ x^^ vf^h^Lveing^n^v^X 

i log Ej,[x) =4= i log Ej,[Xq) , . . . (mod..27r) 



272 J. C. Kluyver. 

8ince i log Et{x) is real for all real values of x. Now, if we make x 
describe the rim Kf,^x^ moves on Kf,j and both variables are connected 
by the relation a; = ^(a?^), hence we have simultaneously 

i dlog E^{x) =4= i dlog E,{x^), 
å\ogE,{x)^å\ozE,{x,), 

and these equations can not be satisfied, unless dlog Ej,{x) is purely 
imaginary on the rim Kp^. 

Another fact of equal importance should be noticed here, Taking 
again x on Ä^, and therefore x^ on iiy, it foUowg from the simultaneous 
relations 

i log Ej,[x) 4= i log Ei{x^) .... (mod. 2;r) 

los ^TT — : = log £ä * ) 

that the p^ constants E^^^ have real and positive values. Hence one of 
the values of log Ef,^^ is purely real, we shall denote it henceforth by 
2Th^n = 2r^,Ä; ^^^ it is not difFicult to prove, that the complete set of 
the p^ constants r^^ may serve as a system of inoduli for a ^-tuple 
theta-function. 

Quite the same reasoning does apply to the function ^{x) = {ooy;Sy])j 
if only the parameters y,^,3y are fixed in a particular manner. Supposing 
y to be real, f and rj to be conjugate complexes, we can easily see that» 
for real values of Xy we have always 

mod. ^{x) = I. 

For in writing down the infinite product represented by ff{x)j we 
may again combine the factors corresponding to a pair of conjugate sub- 
stitutions, and having 

U — f y — vj \^ l^ — V", a; — 7«J Ly — 7«, y — i7«J 

the validity of the above assertion is obvioup. Accordingly the differen- 
tial dlog ^ (o:) takes only purely imaginary values as x moves on the 



A special case of Diriohlets problem for two dimensioDS. 273 

axis XX, and the same conclusion holds, when x describes one of the 
rims. For, in the latter caRe,-we have at the same time 

i dlog ^{x) =4= i dlog <f{x^), 

and dlog ^{x) = dlog y[x^)j 

and these equations necessarily involve a purely imaginary value of 
dlog fr (o;). 

4. Integration along the rims. The solution of the proposed Dirich- 
let*s problem will be found to depend mainly on the value of certain 
curvilinear integrals, taken along the different circumferences J^T^, there- 
före it will be useful to deduce some inferences concerning these integrals. 

We assume that with every point x on the rim K^ there is asso- 
ciated a determinate real and finite quantity, and though this quantity 
is in the ordinary sense not a function of the variable x, it will lead 
to no misconccption, if we denote the succession of these real values on 
the rim Kj^ by the symbol <pjt{x). 

We now consider the integral 






taken along Kj^ in that direction, that ieaves the region T to the left. 
If the parameters c «nd rj of the function ^{x) are chosen quite ar- 
bitrarily, the integral »/^ is a complex quantity, its real part howevcr 
is in all cases capable of an easy interpretation. 

In order to obtain this real part we substitute into the integral 

X = a, + R,e*^ , f« = a, + r«e'"« , jy^ = a, + s^e''-^ 

and so we get without difFiculty 



z 






17T 2, T 



2^,/ rl -}- R] — 2ralit coB {ff — Ua) 2;rJ sl+ JR?. - 26^ -K* cos (^ — r«) 

o ii 

Äcta matfiematica. 21. Imprimé le U fceptenibro 1897. 35 



274 J. C. Kluyver. 

Now to the integrals occurring here we can attach a definite meaning. 
In fact, supposing the circle Kj, to be the^only hole in the phme of the 
variable x^ there exists in that phme a real uniform and finite potential 
function U^ with the boundary values ^^(rr) on the rim Kj,, In case f^ 
lies outside K^, it foUows from the ordinary theory that the value L\{Sa) 
of Ut at the point f^ is equal to 



2r 






{rl - Éi) 4^, {X) de 



2raRt COS {(i Ma) 



whereas the same integral indicates in case of an interiör point f^ the value 
$'^ being the inverse of f^ with regard to Kj^. Hence we may write 

if we only agree to replace in the above series every interiör point by 
its reflection upon Ä^, changing thereby at the same time the sign of the 
corresponding value of U^, 

The same reasoning can be applied to the integral 

'^.=^-/<^v(^Odlogfr(a:), 

taken along the axis XX, the positive halfplane lying to the lefr. In 
the positive halfplane without any holes we can imagine the real poten- 
tial function Z7^, taking on the axis XX the assigned rim values ^^(.t), 
and by iintroducing this function f/^, we shall find as before 

cH = i2:[t/;(s^)-6;(:y«)]. 

The function IJ^ being however only deiined in the upper halfplane, 
every point in the lower. halfplane must be replaced by the conjugate 
one, and the corresponding value of 11^ must have its sign changed. 



A special casc of Dirichlet's problem for two ditiieDsioDS. 275 

5. Dirichlefs problem for the upper half T of Schottkys region. 
By the preceding deductions we are now enabled to treat Dirichlefs 
problem for the upper half T of Schottky'8 region with its q circuhir 
boundarics Jf j , K^y . . . j Kpj K^, that is, we can construct in this area a 
real, unifonn and finite potential function W, satisfying given boundary 
conditions. This function W we assuine to be the real part of an unknown 
function V{x) of the complex variable x, everywhere finite in T. Now 
as W must be uniform in T, the moduli of periodicity of V[x) must 
be either zero or purely imaginary quantities, otlierwise stated, if the 
variable x describes a circuit enclosing one of the holes, say AT^, the 
initial and the final value of V{x) can only differ by an imaginary 
constant S^. 

Starting with the thus characterised function V{x), the potential 
function W can be obtained, as in the case of a single hole, in the form 
of a definite integral. In fact, it will be found that the construction of 
the required potential can be based upon the consideration of the integral 

J= ^./F(x)[dlogjr(a;)-/^ (llogE,(^) -Ä,dlogi;(.r)-...-A,dlogE»] 

wherein h^ , A^ , . . . , h^ denote certain real coefficients, depending upon 
the parameters f and tj of the function ^{x)j it being moreover under- 
stood that f and ^ are to be conjugate points, the former belonging 
to T. In order to fix a suitable path of integration, we draw from 
each of the p rims K^ , K^, . . . , Kp in T' a rectilinear cross-cut l^ (se 
the figure) to the axis XX. So the resolved region T becomes simply 
connected and throughout this region the one-valuedness of the subject 
of integration is secured. Hence int^grating along the complete rim: 
XA^B^C\D^A^B^C^D^ , . . . ,/)^X, we get, since f is the only pole of the 
integrand in T', 

J = ^(^) = "^XÄy + ^DiA., + ^D.,A, + • • • + Jd,X 

+ (:^AtB, ^Z),C,) + {Ja^B^ JotiO + • • • + V^ApBj, *^/>..cJ- 



276 J. C. Kluyver. 

Now, for our purpose, the real parts at both sides of this equation 
need only be considered, and as such we find at the left hand sida the 
value TF(f), the function W assunies at the point f. At the right-hand 
side we must consider separately the parts contributed by the rims of 
the unresolved area T, and those relative to the cross-cuts l^. Coin- 
mencing with the axis XX, we remark that along that rim the diflFe- 
rential dF{x) is iniaginary, hence only the real part of V{x) must be 
retained, that is, integrating along XX we must replace the function V{x) 
by the assigned rim values ^g{x) of the potential W. Thus then, con- 
tracting the sum 

into a unique integral, we may write 



cR 



[JxA, + Jo^A, + J..Ä, + ■■■ + Jv^x] = ^J<f>,{x)dF{x) 



The same argument holds for the integrals J^^ct contributed by the 
circumferences K^. Again we shall have 

Kk 

and so there remain only the integrals along the cross-cuts. Now along 
the cross-cut 1^ the values of the integrand at opposite places have a 
difference equal to 

r, dF{x) 

and hence we have 

At the lower limit At the function F{x) has been shewn to have 
an imaginary value, therefore we may put 



A special case of Dirichlet s problem for two dimeDsioDS. 277 

on conditioi) that we subject the as yet imdetermined coefficients X to 
the relation 



o = lil[log {xy ; ^) — \ log E,{x) — A,\ogE,{x) — ... — ;., log E^{x.)-\ 



x^Bk 



In all we get p of such relations; supposing tliein satisfied, the value 
W[^) of the potential function takes the form 

W(c) = 
Z p:- fU^)\å\og{xy;^)-X, i\\o^E,{x)-X,å\ogE^{x)-...-X,å\ogE,{x)\. 

This expression can be transfonned in the following nianner. From 
the equation 

or as we write it 

we deduce 

dlogE,(u;) = dlogjr(a;)— dlog^,(a;). 

This relation enables us to eliminate frora the foregoing expression 
of TF(c) the functions Et.{x), and in this way we get 

w{e) = 

S ^ fM^)[i^ ~Aj-A,-. . . --Å,)d\og^{x) + Å, dlogfPj(a;) + ;, dlogfp,(^) + 



27nJ 



*-i Ä. 



Here, making use of the results established in art. 4, we can intro- 
duce the auxiliary potentials U^ considered there. 17^. is a real uniform 
and finite potential function existing in the siraply connected area outside 
the circular hole K^y and fully determined in this region by the rim 
values <pk{:c)y it takes on the only rim. For arbitrary values of the 
parameter c and tj of ^{x) we ha ve established the relation 

^i^7-.M(--') dlogjr(.;) = -3 2:{17,(0 - f/.(7Jl, 

Kk 



278 J. C. Kluyver. 

hence we may now afTirni that 

TF(0 = 



ita=9 k<»q 






* = ?.- « . *«=V 



+ ^A,Z[i:|C',.(ca)- t'.(:y«.)l] + . . . + ^A,Z[2:{C^,(c„)- ?7,(7„,)}]. 

The above expression acquires a perfect symmetry, if we resolve 
every substitution f^ of the group /' into its component inversions with 
regard to the rims of T\ remeinbering at the same time that, f and tj 
being conjugate points, we may write c^ for 17, f^- for tj^. 

Let the mark a" denote a succession of an even niimber (zero in- 
cluded) of inversions with respect to K^ , K^ , . . . , Kj,, K^^ then using X^ 
to denote 

we shall have finally 

Meanwhile it is to be distinctly understood that when a point c^ , 
occurring in the above serie, is interiör to the hole Kj., the symbol 
Ui{^^-) denote the value of 

where f^^^ is the reflection of c^ upon K. 

6. The coefficienfs Å. J5efore we proceed to examine in what manner 
the values of the coeÖicients A may be obtained, we wish to shew that 
they are in a simple and characteristic way related to the region T'. 

To this end we will consider the case that the given rim values of 
W were zero on all rims but one, say K,, and that the rim value on 
K, was throughout equal to unity. 

First, we have now 

a 



A special case of Diriclilet s problem for two dimeDsioDs. 279 

when h is distinct from s. In fact, whatever a" iiiay be, the points Ca 
and f^Y' ^^^G ahvays siiiiultaneously within or without the circle K,; and 
lh{5d) ^^^ ^^*(^a ä) ^^^^ therefore at the same time equal to — i or to + i. 
Next, we have 

a 

For, as before, each term of the series, save the first, vanishes, 
whereas we obtain for the tirst tenn, eorresponding to «" = o, 

U.{^)—U,[^.) = 2lJ.{^)=2. 

In the remaininc): series 

^ \ ^ k (Ca") ^k\>ah-) ) > 

a 

where k is distinct from s, all the potentials U,, are separately zero, 
hence for the very special case under consideration we find 

Tr(c) = K. 

Thus then, we may enunciate that the coeflficient X, indicates the 
vallie of the potential function TF, whenever W is zero on all the rims, 
except on if,, whereon it is equal to unity. 

Moreover this interpretation of the /s implies that the system of 
linear equations 

^[logOr//; ^Tj) — X^ \ogE^{x) — /, log£,(j) — ... — /^,logE^(.r)],„^, = o, 

(Ä: = I , 2 , . . . , ^>) 

which served originally to define them, is ahvays capable of a definite 
solution. To bring these equations in a form somewhat better fitted for 
actual calculation, we proceed as follows. 

Let, in the diagram of art. 5, T\ be the reflection of Bf, upon XX, 
then we have simultaneously 

/log (a://; C5?)^.^, =N nog(jr//; c^)^^^,, . . (mod. 27:) 



280 
and 



J. C. Kluyver. 



log ipj ; f^).=& = log {^y ; c)j).= ^ + log -^r 



(v) 



whence it is inferred that 



Siiice tbe points f and tj are conjugate, the value of the right hand 
side is depending upon f alone, accordingly we will henceforth represen! 
it by L,{$). 

Reverting to the points Bj^ and F^. and the corrcsponding values of 
\ogEt{x)j we have in the same way 



and 



80 that 



i]ogEf,{x)^^B,=^ i\ogE,X:r\^r,^ • • • ("lod. 2;:) 

\ogE,{x)^=B. = ^ogE,{oc),r,n + log-^^M» 

SI \ogE,{'x\^B^ = \\ogE,^, = r,,,. 



Consequently the cquations, from which the A's are to be solvod, 
may be written in the form 

{k ^ I , 2 j . . . ,p) 

I = /^ + A^ + . . . + /p + A^. 

The solution is possible as soon as the values of the Z*s and of 
the rs are known, and we will now indicate how these values can be 
found by means of convergent infinite products. 

Owing to the definition of ^^(c)» it foUows that 



,2z,fc(e) 



Ek{r,) 



$-A^7j- 



A 



f — 






B 



n 



a 










tlie primary factor of the infinite*product taking the form of an anhar- 
ic ratio [c^;-^„iij, and the variable mark a indicating all possible 



mon 



A special case of Dirichlets problcjii for two dimensions. 281 

substistutions of r, save those that ha ve a mark of the form ^k or pk\ 
Again, since c and yj are conjugate coinplexes, the two factors [^;w4«jBJ 

and [fjy ; J^^ B^oJ ) corresponding to a pair of conjugate marks a and a^, 
are also conjugate complex quantities, hence, if we agree to denote 

henceforth by [^; -4«jBJ ^he absolute value of the anharraonic ratio, 
we arrive, by extracting the square root, to a result of the form 

the product extending över all marks y9, the first factor of which is 
either i , 2 , 3 , . . . , (ä; — i) , (A + i) , . . . , (/; — 1) or jr;. 

The last step is to introduce the inversions instead of the substitu- 
tions, and so we find fina Hy 

e^**-^ = [f f , ; A sf n [f f,.. ; B, A,] , 

where f designates a product of an odd number of the marks i", 2", 
. . . ,^", 3", the first factor being neither k" nor q". 

The constants r^^^ are expressible by a similar expansion. In fact, 
whenever the point f approaches indefinitely the rim K^, we have 

and so perhaps the easiest way to evaluate r^^^^ is to evaluate Lj^{S) for 
some point c arbitrarily chosen on the rim K,,. 

7. Summary of resuUs ohtained for the region T\ The following is 
a summary of the results that have been obtained in the preceding 
artides, relative to Dirichlefs problem for the upper lialf T' of Schottky's 
region : 

I. The required potential function W is given by the general 
formula 

Åeta maihåmatioa, 21. Imprinié le 9 septembre 1807. 3(> 



282 J. C. Kluyver. 

the mark a" designating an even number of reflections, the potential 
function U^ being defined as in art. 4. 

II. The q coefficients ?,, entering in the above formula, are deter- 
mined by the j) linear equations 

(* = I , 2 , . . . , p) 

and bj^ the supplementary condition 

I = ^i + ^^»2 "f" • • • ^" ^"p "t" ^« • 

III. The value of Lt{S) is given by the equation 

* ni 



e'"'' = [ff , ; A iy n [cc, ; 4 X] ^ 



where f is compounded from an odd number of inversions, its first 
factor being neither k" nor q'\ In order to find T/,,^, we take f to be 
a point on Kf, and have then rÄ,t = Z^(f). 

An additional remark suggests itself. The value of W{S) has been 
found to involve solely the /s and the auxiliary potentials C/^. Hence, 
remembering the definition of ^ and of U^, we have made good, as far 
as concerns the region T', the assertion, made in the beginning, that 
l)iriehlet's problem can be completely sol ved, when a solution is found: 
1° in case the rim values for each rim reduce themselves to a constant, 
2° in case there is but one hole. 

8. Verifkation of the preceding solution. In establishing a definite 
expression for TF(f), we took it for granted that there really existed in 
the region T' a potential function, obeying given boundary conditions. 
Therefore a verification of our result is necessary, in other words, we 
have to shew that, as soon as the point f approaches indefinitely a point 
X on one of the rims, say K„^, the value of W{^) tends to the corre- 
sponding rim value (}>„X^)' 

Now, considering the quantitics i^(f), we have immediately 

Lim i,(c) = T„,^k 
(Å: = I , 2 , . . . . p) 



A special ca^e of Dirichlcts problem for two dimcDsions. 283 

and for this special value of L^{x) it is inferred froin the equations II, 
art. 7 , that A^ , A^ , . . . , Xm-\ > ^m+i ; • • • > ^^ » ^ become vanishing quantities 
and that A^ tends to unity. Hence the general forinula I, art. 7, is 
somewhat simplified, we may conclude 



Lim TF(0 = Lim '- T fi; j U, {$,) - U,{$,:,) j 



It is easily proved that in this aggregate of infinite series every seriös 

a 

where k is distinct from m, will ultimately vanish. For as c ^pproaches 
X from the outside of K„^, the point Cm*. ^^''H ^^"<^1 ^o the same point x 
from the inside of K^. Hence the points f^ and c«„,. ultimately will 
unite, so that each term of the above series vanishes separately. 
We may deal in the same way with the remaining series 

2:|f/«(c..)-i7,„(c«.„..)|. 

a 

Again the values of U^(^^) and Um{^a"m) will tend to the same limit. 
An exception occurs however. According to the definition of the potential 
Ujtj we find for the leading term, corresponding to the identical sub- 
stitution, 

and hence we have 

LimTF(^) = Limf/„(c). 

But from the ordinary theory of Dirichlet^s problem for the plane 
with a single circular hole, it is known that C/,„(f) changes continuously 
into the boundary value (prn{^)j therefore we have also 

LimTF(f) = ^„(x), 

and it is proved that the potential function W^ as defined in I, art. 7, 
satisfies indeed the assigned boundary conditions. 



284 J. C. Kluyver. 

9. Diriclilefs problem for a plane with g = jp + i circular holes. 
In the preceding investigations one of the rims K^ was a circle of infinite 
radius, there remains to shew that this circumstance is totelly irrelevant. 
In fact, when we have to solve Dirichlefs problem for a plane S with 
q circular holes, it is always possible, by means of a proper linear sub- 
fititution, that changes one of the rims into a right line, to represent the 
area S conformally upon the region T', and as we are able to solve the 
problem for T', we can get in this way the solution for S. However 
it is easily seen that the previous mapping of S on T' is entirely super- 
iluous, in as miich the quantities, entering into our formulae, are either 
potential functions or anharmonic ratios, not altered by linear trans- 
formation. Thus then, if among the given circumferences in S we have 
ehosen one as K^y we have only to construct the p pairs of limiting 

k k 

points A and B, each pair belonging to one of the p systems of eircles 
Kj^jK^y and we may use directly all the formulae of art. 7 without the 
slightest modification. 

Merely by way of illustration, and also in order to shew that with 
the aid of our formulae even numerical approximation is not whoUy 
impracticable, we finally will consider a very special case. l^^t K^^K^^K^ 
be three equal circular holes made in a plane, the centres a^ , a^,a^ of 
which form the vertices of an equilatcral triangle, and let the common 
diameter of the holes be one third of the side of the triangle. As to 
the rim values of the potential function W, existing in the space outside 
the holes, we assume that W is equal to unity on that half of each rim, 
that is turned towards the centre f of the triangle, and equal to zero 
on the other half. We will now ask for the value W{S) the function 
W takes at the centre c. 

The first step is the construction of the two pairs of limiting points 
11 22 

AjB and A, B, They are readily found as the points of intersection of 

the sides a^a.^ and a^a.^ with the orthogonal circle oiK^^K^^K^ (sothat 
1 2 

B and B lie within K.^), Then we proceed to ealculate L^[^) and i>,(f), 

necessarily equal to each other from reasons of symmetry. Now^ as with 

respect to their mutual distances the diameter of the holes is compara- 

tively small, we may regard as practically coKncident two points r» v- 



A special case of Diriehlét's problem for two dimensioDS. 285 

and x^"^'y whenever the comraon factor /x' contains three fundamental 
marks at least. So the general formula III, art. 7. 



becomes simply 



or, by a slight transformation of the last factor, 

In this form the above equation may be used to evaluate J^j(c). 
From it we shall find 

L.(0 = i,(0 = -1,740. 

Similarly we obtain, by considering, instead of c, a point on thu 
rim Äj and a point on the rim TT,, 

^11 = ^22 = —3^474, 7,2 = 7,, = — 1,736. 

Substituting these results in the equations 

A(0 = ^11^1 + ^1 A» 

I = ^j + ^3 + A3 , 

we get approximatively 

Aj = ;., = 0,334, ^3 = 0,332, 
the exact result being of course 

^1 = -^3 = ^^ = -" 

Employing the latter value of the coefFicients A, symmetry again 
permits to write the formula I, art. 7, in the simplified form 



Tr(0 = '^i[L\U,{^,) - U,{^,.,)\\ 



286 J. C. Kluyver. 

In expanding the right-hand side still further simplification is possible 
from the same reason, moreover a very few tenns of the infinite series 
need only be retained, because we agree to consider as practically coln- 
cident two points a?,,v' ^^d a:,^',^'. , as soon as fx" contains three or more 
fundamental marks. 

In fact, we shall find 

Substituting in this expression the values of the potential C/^ at the 
points (,$rf^2"s'i ^^^"> determined beforehand by the usual method, 
we arrive at the final result 

W{$) = 0,534. 



287 



DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA UND DIE AUFLÖSUNG 
DER GLEICHUNGEN DURCH QUADRATWURZELN. 

VON 

K. TH. VAHLEN 

In KÖNIGSBERG. 



I. Es sei f[x) = o eine Gleichung w-ten Grades, deren n Wurzeln 
ÄJj , . . , a:„ von einander verschieden seien. 

Man biide die zwei Reihen von je - Grössen: 

^1 + ^2 > '^3 + ^4 > ^6 + ^6 ' ^7 + ^8 ' • • 

von den n Grössen .r^ , . . , rr„ bleiben dabei n — 2 - Grössen — nämlich 

eine, ;r„, öder keine — ttbrig. 

Aus jeder der beiden Reihen biide man ebenso zwei neue, so dass 



man vier Reihen von je 



n 
4 



Grössen erhält: 



.-^1 + ^2 + ^^'3 + ^4 » ^5 + ^6 + ^7 + ^8 ' • • 
^1 ^2 + ^3 -^4 ^ -^6 ^r, + •'^7 ^8 



> • • 



a^i rr, ir, a?, , rr^ a;, x, x^ , . . ; 

^cto wia^ÄemaWca. 21. Imprimt lo O septembre 1897. 



288 



K. Th. Vahlen. 



dabei bleiben von jeder der obigen zwei Reihen 



["] 



["] 



=["]-^[i] 



Cirössen ilbrifj. 

Verfährt man mit den vier Reihen ebenso, so erhält man acht neue 
Reihen und in jeder der vier Reihen bleiben 



[;]- 



H 



-4. 

2 



= H'- 41] 



Grössen tibrig. 

So fortfahrend, bis man keine neuen Reihen mehr bilden känn, erhftlt 
man im Ganzen: 



n 



["]+4"]-4:]+4:]-«[b] 



+ . . = w 



tibrig bleibende Grössen, die in irgend einer Reihenfolge mit x^^^ , . . , ir^"^ 
bezeichnet werden mogen. 

2. Wenn zwei zusammengehörige Werte ftir x^ + x^ und x^ x^ 
bekannt sind, so ist dadurch das Wurzelpaar x^ , x^ bis auf die Reihen- 
folge eindeutig bestimmt. Denn, ist x^^ , x^^ ein anderes Wurzelpaar, also 
wenigstens einer der Indices ?'j , i^ von i und 2 verschieden, so wörde aus: 

a^i + .^2 = ^«i + ^u 
x^ x^ = a:,j x^ 

die Ubereinstimmung beider Wurzelpaare, also die Existenz wenigstens einer 
Doppelwurzel folgen; aber dies war ausg<*schlossen. Die Grösse u^ {x^ + x^) 
+ Wj x^ x^ , mit Unbestimmten u^ , u^, nimmt also bei allén Permutationen 

der n Wurzeln — ^ verschiedene Werte an, welche einer Gleichung 

mit nicht identisch verschwindender Discriminante D{u^ , W-J geniigen. Giebt 
man, was also möglich ist, den Unbestimmten u^ , u^ solche rationalen 
Werte, dass D (Wj , u^) 4= o ist, so sind nach einem bekannten Satze x^ + ^« 
und x^ x^ rationale Funktionen von u^ {x^ + ;rj + u^ x^ x^ . 



Der Fundamentalsatz der Algebra. 289 

Sind namlich, allgemoiner, //, und g^ rationale Functionen der Wurzeln 
und genögt z ^=: u^ g^ + w, g^ mit Unbestirnmten Wj , u^ der irreductibeln 
Gleichung F[z\ w^, w^) = o, aber z = \\g^ + v^g^ mit Bestimmten v^ , v^ 
der irreductibeln Gleichung F^[z) = o, so ergibt sicli z = v^ g^'\' v^ g^ 
als einzige gemeinsame Wurzel der beiden Gleichungen: F^(^z) = o und 
F{z — u^g^ — u^ g^ ; v^ — ^i > ^2 — ^^J = o ? ^Iso als rationale Funktion 
von Wj g^ + ^,^3 . Denn eine andere Wurzel der zweiten Gleichung: 

^ = ^^1^1 + ^^5^2 + K — ^i)/i + (^2 — *^2)^i könnte der ersten: F^ {z) = o bei 
beliebigen 11^ , u^ nur geniigen, wenn Wj<7j + w^^, = w,^J + u^g!^ ist, so 
dass i^(^f ; i^j , Wj) nicht irreductibel wäre. 

3. Wenn vier zuzammengehörige Werte fiir 

x^+x^ + x.^+ X, , {x, + x,){x^ + X,) , a^i rr, + x.^x, , x^ x^ x^ x^ 

bekannt sind, so ergeben sich x^ + x^ und x^ x^ als Wurzeln quadratischer 
Gleichungen, also zweideutig. Wie diese Werte zusammengehören ergiebt 
sich aus 2. Alsdann ergeben sich die Werte von x^ und x^ , ebenso von 
x^ und x^ als Wurzeln quadratischer Gleichungen. Ist rr^-^ , a;^^ , rc,^ , o?,^ ein 
anderes Wurzelquadrupel, also wenigstens einer der Indices i, , i^ , i^ , i^ 
verschieden von i, 2, 3, 4, so wQrde aus den Gleichungen: 

^1 + ^2 + ^'^s + ^4 = ^*i + •'^/. + H + ^'U 
{x, + x^){x, + X,) = (rr,. + :r,J(rr;, + x,) 

^1 ^2 + ^3 ^4 = ^'i^^, + ^/,^t* 

X,X^X.^X^ = ^M^fÄ^», 

die Ubereinstimmung beider Wurzelquadrupel — von der Reihenfolge ab- 
gesehen — , also die Existenz mindestens einer Doppehvurzel folgen; aber 
dies war a usgesch lössen. Die Grösse 

«*i(^i + ^3 + ^3 + ^4) + «*3K + ^Å^s + ^4) 

+ ^3(^1 ^2 + ^8 ^4) + ^4 ^1 ^2 ^3 ^4 y 

mit Unbestimmten «^i , t^j , W3 , w^ , genftgt daher einer Gleichung vom Grade 
A—^ — — mit nicht identisch verschwindender Discriminante 

o 
Åeta mathemcUwi. 21. Iroprimé le 13 Beptcmbrc 1897. 37 



290 K. Th. Vahlcn. 

J9(t^i , Wj f W3 j W4). Giebt man, was also möglich ist, den Unbestimiriten 
^1 > ^2 > ^3 • '^4 solchc rationalen Werte, dass 2)(w, > Wj , W3 , w^)=4= o isf, 
so sind 

rationale Funktionen von 

^1 (^1 + ^2 + ^3 + ^4) + «*2 (^1 + ^2)K + ^4) 

+ W3 (^1 ^3 + ^8 ^4) + ^4 ^1 ^a ^3 ^4 • 

4. So fortfahrend erkennt man, dass sich die n Wnrzeln x^ ^ . . , 
Xn in bestimmter — d. h. bis auf die Reihenfolge bestimmter — Weise 
durch biosses Quadratwurzelausziehen ergeben, wenn die Werte der n 
Grössen x^^\ . . , .^^"^ bekannt sind. 

Bilden wir^die Funktion ti = u^^^x^^^ + • • + u^'^^x^'^\ zunächst mit lln- 
bostimmten u^^\ . . , u^"\ Die Funktion u bleibt ungeRndert bei den I - I 

Vertauschungen von x^ mit x^ , von x^ mit x^ , von x^ mit x^ , von x^ 
mit x^^j u. s. w., ferner bei den - I Vertauschungen von x^ , x^ mit a?, , 

x^ , von iCg , x^ mit rc^ , ic^ , u. s. w., ferner bei den ^ I Vertauschungen 
von x^ , x^ , x.^ , x^ mit rr^ , rCg , 0?^ , ru^ , u. s. w., u. s. w. Die Funktion 

u känn also nur bei —r-z — '-' r -z = N Permutationen der Wurzeln 

2UJ + UJ + UJ + -- 

verschiedene Werte annehmen; die entsprechenden Werte sind wirklich, 
bei Unbestimmten u^^\ . . , w^"\ alle von einander verschieden. Denn sonst 



wäre etwa: 



^(1) ^ ^(1) 



/;p(«) __ ^(«) 



. wo x^^\ . . , x'''^ die den x^^\ . . , x^"^ analogen Funktionen von den in anderer 
ncihciifolge genommenen Wurzeln x^ j . . , x„ bedeuten, und sich diese 



Der FuD(2amcDta1sa(z der Algebra. 291 

Rcihenfolge von der ursprrtnglichen x^j..jX,^ nicht nur durch zulassige 
Vertausch ungen unterscheidet. Daraus wörde sich, bis auf zulässige 
Vcrtaiischungen, die Obereinstimmung von rCj , . . , a:„ mit ^, , . . , ^„, also 
die Existenz wenigstens einer Doppelwurzel crgeben. Da dies ausge- 
schlossen war, genögt ii einer Gleichung G{u) = o vom Grade N und 
von nicht identisch verschwindender Discriminante D{u^^\ . . , v^^). Giebt 
man, was also möglich ist, den Grössen u^^\ . . , w^'*^ solcbe rationalen Werte, 
dass D{u^^\ . . , w^**^) =4= o ist, so sind x^^\ . . , x^''^ rationale Funktionen von 
«*, und die vollstandige Auflösung der Gleichung f{x) = o durch Quadrat- 
wurzeln ist zuröckgefiihrt auf die Auffindung einer Wurzel der Resolvente 
G{u) = o. 

5. Hat also G[u) = o eine rationale Wurzel, so sind säinmtliche 
Wurzeln von f{x) = o durch Quadratwurzeln darstellbar. Dasselbe findet 
aber auch uuigekehrt statt. Es sei der Wert einer Wurzel x^ durch ^ 
und nicht weniger Quadratwurzelausziehungen zu ermitteln; dann ist die 
allgemeinste Annahme die, dass der Radicand jeder spJlter auszuziehenden 
Wurzel, aber nicht diese Wurzel selbst, von den bereits ausgezogenen 
Wurzeln rational abhiliigt. Die Gleichung f{x^) = o niinmt in Bezug auf 
die letzte Quadratwurzel yjra die Form an: A + By/r^ = o, \vo Aj B und 
r„, aber nicht yjr~a von den vorhergehenden Quadratwurzeln \/r^ > v^r^ , • • , 
y/fa-i rational abhängen; daraus folgt ^ = o , JB = o , da r^ =4= o , also ist 
die Gleichung f{x) = o auch durch den zu x^ in Bezug auf ^ conju- 
girten Wert x^ zu befriedigen. Die Gleichungen A = o j B = o nehmen 
in Bezug auf die vorletzte Wurzel yjva-i die Form an: ^, + J5, yJra-\ = o, 
Cj + Dj \ra-\ = o , woraus ebenso folgt, dass A^ = o , Bj = o , 6\ = o , 
D^ = o sein muss, dass also auch die zu x^ und x^ in Bezug auf y/ra-i 
conjugirten Werte x^ und x^ die Gleichung f{x) = o befriedigen, u. s. w. 
Die sämmtlichen Wurzeln von f{x) = o ordnen sich also in Gruppen von 
2" conjugirten, 2"' conjugirten, u. s. w. Jetzt sind ofienbar o?, + a?^ , x^x^^ 
x^ + x^ j x.^x^ , . . rational in y/^i , . . , ^/r^ ; also x^ + x^ + x^ + x^, 
{x^ + x^){x.^ + x^\ x^x^ + x.^x^ , x^x.^x^x^ , . . rational in ^/i^ , . . , yjr^^^-^-^ j 
und ebenso fiir die Gruppen von 2"' conjugirten Wurzeln u. s. w., u. s. w.; 
woraus schliesslich hervorgeht, dass die mit x^^\ . . , rr^"^ bezeichneten Funk- 
tionen, also auch u rational ist; w. z. b. w. Wir können daher den Satz 
aussprechen: 



292 



K. Th. Vahlen. 



Damit eine von ihren Doppélwurzeln hefreite Gleichung f(^x) = o durch 
Quadratwurzeln vollkommen auflöshar sei, ist nothwendig und hinreidiend, dass 
ihre Besolvente G{ii) = o eine rationale Wurzel habe. 

6. Fttr eine kubische Gleichung ohne Doppelwurzel ergiebt sich 
ohne weiteres, dass, wenn sich nur eine Wurzel durch Quadratwurzeln 
darstellen lässt, dasselbe för eine zweite der Fall ist, während die dritte 
rational wird. Die Resolvente G{u) = o hat die drei Wurzeln: u = u^x^ 
+ Wj(^2 + x^) + u.^o^^x.^ und stimint ftir die zulftssige Wahl Wj = i ^ u^ = o, 
Wg = o mit der kubischen Gleichung selbst ttbercin. Also: 

Damit sich eine Wurzel einer kubischen Gleiclmng durch Quadratwurzeln 
darstellen lässt, ist notwendig und hinreichetid, dass die kubische Gleichung 
eine rationale Wurzel besitzt. 

7. Nur frtr n = 4 ist N kleiner als n, namlich gleich drei: man 
erhält die Auflösung der biquadratischcn Gleichung durch eine kubische 
Resolvente. Sind x^ ^ x^ ^ x^ , x^ die Wurzeln der Gleichung: 



ax^ + 4fta;^ + 6cx^ + ^dx + = 0, 



(a-l) 



SO hat die Resolvente: 



4u 



{ae — 4W + 36'^) w + [ace + 2bcd — ad'^ — c^ — b'^e) = o 



die Wurzeln: 



u=-Ax^x^ + x^x,) — ).{x^ + ag(^3 + rcj. 



Aus den daraus folgenden Gleichungen: 

x^x^ + x.^x, = 3c + 3W [x^ + x^)i(X^ + x^) = 3c — 3M 



^1^2 ^3*^4 — ^ 



x^ + x^ + x.^ + x^= — 4& 



ergiebt sich: 




T: '' t "* + v/> + •<)" ^. 

X^X^ ^ '^ 4 


^, + x,^ 

^3 ' •'^4 



= — 2b ± y/4fe« — 3(c — u) . 



Der FundaiDeDtalsatz der Algebra. 293 

Die Vorzeichcn gehören so zusainmen, dass: 



y/? (c + m)»— e . y/4b'— 3 (c — «) = — 2d + 3b{c + u) 
ist; (larm ergeben sicb die vier Wurzeln aus der Formel: 



b±\/b'—^^{c-u) 



± V (- b ± \/b'-l{c - «))*- ^(' + u) ±y/?(c + uY- e, 

welche die Cartesische verallgeraeinert und aus der unmittelbar der Satz 
eräichtlich ist: Eine hiquadratisclie Gleichung ist dann und nur dann durch 
Quadratwurzeln auflösbary wenn ihre kuhische Resolvente eine rationdle 
Wurzel hat. 

8. Die Rationalitat der durch u reprilsentirten Affektfunktionen känn 
bei besonderen Eigenschaften der Gleichung f{x) = o raanchmal direkt 

erkannt werden. Es sei z. B. i? = 2* + ^ eine Primzahl, f{x) = , 

X eine Wurzel von f(^x) = o, g eine primitive Wurzel fftr j>. Setzt man: * 

SO sind rr^ , rTj , . . , x^a_^ alle Wurzeln von f{x) = o. Jetzt sei (x^x^) eine 
rationale symmetrische Funktion von x^ und x^ , (x^x^) dieselbe Funktion 
von x^ und x^ ; {^q^i^^^s) ^*"^ rationale symmetrische Function von (x^x^) 
und (rCjiTg); {^'^oc^oo^x,) dieselbe Funktion von x^ j x^ , x^ , x^ , u. s. w., 
so ist: 

eine rationale Function von Xj welche offenbar bei jeder Substitution: 

\\X? , C9-0,1,..,a-l) 



X 



294 K. Th. Vahleo. 

also auch bci jeder aus diesen componirten Substitution: 

0(^\\^ (i-0,l,..,!J«-l) 

unverändert bleibt, also rational ist. Also: 

Die Kreistheilungsyleichung x'' = i ist durch Quadratwurzdn auflösbar 
öder das reguläre p-Eck ist mit Zirkd und Lineal construirbarj wenn p 
eine Primzahl von der Form 2^"+ ^ ^^^• 

9. Im AUgemeinen, wc G{u) keine rationale Wurzel besitzt, ergiebt 
sich för eine Gleichung f[x) = o mit reellefi Zahlencoéfficienten die 
Existenz und Ermittelung sämmtlicher Wurzeln aus dein Umstande, dass 
die Gleichung ö(w) = o reelle Coöfficienten und ungraden Grad, also 
sicher eine — reelle — Wurzel besitzt. Dieser Beweis des Fundamental- 
satzes der Algehra schliesst sich an die mit Euler und de Foncenex be- 
ginnende Gruppe von Bewcisen an und wird, wie fast alle diese, von dem 
Gaussischen Einwand betroffen: es werde dabei die Wurzelexistenz bereits 
vorausgesetzt. Auf die Berechtigung öder Nichtberechtigung dieses Ein- 
wandes soll an dieser Stelle nicht näher eingegangeu, sondern nur gezeigt 
werden, dass ohne Oberwindung principieller Schwierigkeiten dem Beweise 
eine von diesem Einwande freie Form gegeben werden känn. 

10. Zunächst ist Folgendes vorauszuschicken: 

Es sei f{x) eine ganze Funktion, f{x) ihre Ableitung. Durch das 
Euklidische Verfahren werde ihr höchster geméinsamer Teiler: 



gefunden; ebenso sei 



u. s. w. bis zu 



fr = if.n 



f.= {fx,n) 



fr = (/■,_! , fr-l) = COIlSt. 

Dann giebt in dor Reilic garner Funktionen: 

/I /l /*' 



Der Fundamcutabatz der Algcbra. 295 

jede, ~ , dividirt durch die folgende, -A , eine gauze Funktion ff^ , wie 
aus der Identität hervorgeht: 

fi \fi) "(fi.fiv n ' ^ ^-"^ ^ 

da ein Nenner von ~~- ein Faktor von ff wäre, also zwar in /J, aber 
nicht mehr in enthalten sein könnte. Also wird: ^^ = ^',^,.,.1,. . ^^^ 

VM > /») / * 

und daraus /^_i = ^'»^i+i/i+a • • ^r"*"^^ , speciell /*= g^glgl ..g\, wo die Funk- 
tionen g, ganze Funktionen sind. För diese gilt der Satz: 

a) Die Funktionen g^ j g^ ^ * - ^ gr ^^^^ paarweise teilerfremd und jede 
ohne inehrfachen Teiler. 

Denn enthalten sie einen einfachen Faktor bzw. ij- , i^- , . . , v^nal^ 
so enthält f denselben (i^ + 21.^ + 2>h + • • + nr)-mal und /*, wie die 
DiflFerentiation zeigt, einmal weniger; aber f^ "= g^gl - ^gV^ enthält ihn 
(^1 + ^2 + • • + i^'^^^^ weniger, also muss é^ -j- i^ + . . -j- i^ = i sein, wor- 
aus die Behauptung folgt. 

Da also speciell g^ keinen mehrfachen Teiler hat, folgt aus f^ ^^g^gl^^g^r-i 
der Satz: 

h) Eine ganze Funktion hat keinen niehrfachen Teiler wenn und nur 
wenn sie zu ihrer Abfeitung teilerfremd ist. 

Aus a) und b) folgt: 

c) Jede Funktion g^ ist zu ihrer Ableitung teilerfremd. 

Schliesslich aus a) und c): 

d) Die AuffinduDg aller Faktoren einer ganzen Funktion, eines jeden 
gleich in richtiger Vielfachheit, kommt auf die Zerlegung solcher Funk- 
tionen znrQck, die zu ihrer Ableitung teilerfremd sind. 

II. Mit 

/C*i,...»a-.0,t\ 

werden \a,>a^.>aj 

2«i 4. 2^ + . . + 2^'' = n 



296 K. Th. VahlcD. 

unbestiminte Zahlen, mit Ti > Ta > • • > T» ^*^ Werte ihrer elementarsymme- 
trischen Funktionen bezeichnet. 

Durch die Gleichungen: 



I 



I ^=«,a— l,a-2,..,2,l 1 

wird ein System ganzer Funktionen der f»,,..,ta definirt. Setzt man: 

Zg, /<i—i««-0,l\ 

Ö>('.,...*a)C(Vl-.*«) («=«....,S ) 

mit Unbestimmten r//'»* •'«), so bleibt cd ungeändert bei Vcrtanschung des 
Systems: 

mit dem Systeme: 

also, da es 2^~^ solcher Systeme giebt — namlich för i^ , e^ , . . , i^^i = o , i 

— im Ganzen bei 2 ** ^ = 2 '^ = 2""** Pennutationen der f*''-»'». Die 
Gleichung ö(ö> ; . . cyO ••*«). . , . . ^'^ . .) = o , welcher cw genögt, ist also von 

In 
dem ungraden^ Grade iV=-^/, ihre Coöfficienten sind game Funktionen 

der ö>(*" •'*«) und der y^ , der höchistc Coöfficient ist gleich Eins. 

Die Grössen f('»'-'*«) sind, im Rationalitetsbereich (. . cw^*»'"''«) . . , . . r« . •)> 
rationale Funktionen von o). Durch AuflOsung der quadratischen 
Gleichungen: 



* Bekaontlich eothält |^ eine Primzahl |} genau ~ + "i + "s 






1)— I 

mal als Faktor, wcnn ri^ die Quersummc von n im J7 adischen Zahlsysteme bedeatet; 
fUr 2^ = 2 wird die Anzahl gleich n — y. 



Der FundamenUlsatz der Algebra. 297 

ergeben sich die f,^^ , als explicite algebraische Funktionen von den 
f(*"'*«), also von a>; die zusammengehörigen Quadratwurzelvorzeichen er- 
geben sich daraus, dass jedes fl*f.^/'"'*^ rationale Funktion von 

ist, wo die Unbestimmten a>(V^^•'*«) in den Rationalitatsbereich aufzu- 
nehmen sind. 

Wir woUen die Permutationen der f,j . , , bei welchen a> ungeändert 

bleibt, als die Gruppe (w) bezeichnen. Die Grösse tt),,,..,»^ nimmt bei den 

Permutationen der Gruppe (a>) die 2^ conjugirten Werte: 

an. Es sei \.,i^ eine nicht zur Gruppe (a>) gehörige Permutation der 
fjj , ^ und fi} , . . die den a> , . . analogen Funktionen. Eine Unbestimmt- 
heit in den Ausdröcken der f. , durch cd känn nur eintreten, wenn z. B. 

ist. Durch blosse BezeichnungsÄnderung in den Indices der f,^^ ^^ ergiebt 
sich statt dessen: 

woraus das System: 

folgt. Die Gleich ungen II ergeben dann: 

abgesehen von Permutationen der Gruppe {w). Da sich die Reihenfolgen 
fc i und & . nicht nur durch solche Permutationen unterscheiden 

soUen^ mttssen wenigstens zwei der Grössen f»,,..,^^ zusammenfallen. Dar- 
aus folgt umgekehrt, dass auch zwei der N Werte von (o zusammenfallen. 

Äeta maihåmtUiea, 21. Imprimé le 13 septembre 1897. 38 



298 K. Th. Vahlen. 

12. Das Produkt der N{N — i) Wurzeldifferenzen von 

G{a) ; . . ö>(*"-'*«). .,..;',...) = o 

ist eine ganze Funktion D(. . o/*» '"'"^ • > r» • •) > deren höchster von den 
ö>(*» ••'*«) unabhängiger Faktor A (. . ;-, . .) sei. Geben wir jetzt deu Zahlen 
j^i specielle reelle Werte Ci , so dass A(. . c^ . .) 4= o ist, so känn man auch 
den ö>(- »'•''«) solche rcellen Werte w(*»""*«) geben, dass jD(. .w(*»'"'*«),., ..c^..) =4= o 
ist. Auch den in III vorkonimenden Unbestimmten cw(*/®+^'"*«) sind solche 
reellen Werte w(V+i '*«) beizulegen, dass die Discriminanten der Gleich- 
ungen ftir die cw,^ ., , nicht verschwinden. Wir definiren jetzt w als eindeutige 

Funktion der reellen Verånderlichen . . j^i» . durch folgenden Algorithmus: 
durch eventuelle Substitution a> || — w wird bewirkt^dass ö(a> ; . . t^(**'"'*«).., .. ;'^-..) 

im Intervall - .. - das Vorzeichen wechselt; ledes Intervall ^ .. ^ in welchem 

1 o ' •* b d 

G{a) ; . .) das Zeichen wechselt, werde durch r — ^ in zwei kleinere geteilt, 

in deren einem der Wechsel erfolgt; so känn man von - . . - ausgehend 

eine bestimmte Wurzel von G{(o; . .) in beliebig enge Grenzen einschliessen. ^ 
Nun ist jedes f.^^ , rationalin a>i„..,i ; jedes a)^,...,»^ von der Form Ä + ( — lY^yJBy 
wo Ä \xuå B rational in ö>, ,• sind. Dadurch wird lede der n Zahlen 
£ , eine vollkommen bestimmte Funktion der Werte der elementar- 

symmetrischen Funktionen y^] und das ganze Verfahren versagt dann und 
nur dann, wenn die j^i solche speciellen Werte annehmen, dass 

D{. . w(*»'-*«). . , . . ;'^. .) = o 

ist. Dies findet ftir die Annahme j^^ = Ci nicht statt; erhalten in diesem 
Falle die c. i die Werte Xj , , so haben sich uns diese Werte, ftir welche: 

X-— c^-' + c,rr^-'' —..c,= IL{x — a;,.,.. J 
ist, ergeben, ohne ihre Existenz vorauszusetzefi. Die Bedingung: 

D(. . M.(^-'*«) . . , . .c^. .) 4= o, 



' Stösst man auf eine rationale Wurzel, so nehine man diese. 



Der Fundamentalsatz der Algebra. 299 

unter welcher die Ermittelunor der X: v nur stattfinden konnte, erweist 

sich nach (ii) als identisch mit der Annahme, dass die X: , alle von 

einander verschieden sind, öder dass f[x) = ;r" — c^x*'~^ + . . vc„ keinen 
mehrfachen Teiler besitzt; und diese ist nach (loft) erfttllt, wenn und nur 
wenn f[x) und f{x) teilerfremd sind, wie nach (lo^ vorausgesetzt 
werden durfte. 

Damit ist der Beweis des Fundamentalsatzes voUendet. Derselbe 
vereinigt — allén anderen Beweisen gegenöber — die drei Vorzöge 
in sich: 

erstens: nur arithmetisch-algebraische Hilfsmittel und zwar der ein- 
fachsten Art zu benutzen, 

zweitens: die Grössen wirklich zu ermitteln, deren Existenz er nach- 
weist, 

drittens: sich gleichzeitig auf sämmtliche Wurzeln zu beziehen. 



301 



THÉORIE DES ÉQUATIONS REPRÉSENTABLES 
PAR TROIS SYSTÉMES LINÉAIRES DE POINTS COTÉS 



PAB 



MAUEICE d'OCAGNE 



å PARIS. 



Préambtile. 

I. Supposons qu'une équation donnée entré a^ , a, et a^ puisse se 
mettre sous la forine 



(E) 



fÅ^x) ^i(ai) ^i(«i) 
/"»(«») fÅ^t) ^.(a,) 
^,(aj f^aCaJ i^a(«3) 



= o 



Elle exprime que les points définis en coordonnées homogénes re- 
spectivement par 



(«3) 






sont en ligne droite. Si donc, dans les trois systémes de formules précé- 
dents, nous faisons varier respectivement a^ , a, et a^ en ayant soin d'in- 
scrire ä c6té de chaque point obtenu la valeur du paramétre correspon- 
dant, nous n'auron8 qu'ä couper les trois systétnes de points cötés ainsi 
construits par une droite qt^elconque pour obtenir un systéme de valeurs de 
a^ , Äj et Äg satisfaisant å Véquation donnée. 

Aeta nuUhematieei. 21. Imprimö le 13 septembre 1897. 



302 Maurice dOcagne. 

Les points cotéa correspondant a chaque paramétre sont distribués 
sur une courbe qui en est dite le siippm^t. 

2. Si fi{oii) ^ (Pi{oi) , (pi{oL^ sont des fonctions linéaires d'une méme 
fonction di{a)^ le systéme (a^) a pour support une ligne droite sur la- 
quelle il constitue une sorte de graduation. Lorsque la fonction d^ change, 
cette ligne droite reste la méme; seule la graduation se modifie. Le cas 
le plus simple est celui ou la fonction ö^(a/) se réduit a a<; le systéme 
de points cotés (o^) est alors dit Unéaire, 

Le probléme se pose dabord de reconnaitre quelles sont les équa- 
tions représentables par trois systémes linéaires de points cotés et de 
déterminer pour une telle équation les fonctions /) , f , , ^< (i = i , 2 , 3) 
correspondantes. Cest Tobjet de la premiére partie de ce Mémoire. 

Si, en faisant varier o^ par échelons égaux, ou obtient sur le support 
rectiligne des points également espacés les uns des autres, le systéme est 
dit régulier. Un tel systéme réalisant, au point de vue de la representa- 
tion géométrique, le maximum de simplicité, il est intéressant de recher- 
cher si, par une transformation homographique appropriée, on peut rendre 
réguliers un, deux, ou méme les trois systémes linéaires servant a repré- 
senter une équation donnée. Cest Tobjet de la seconde partie du Mémoire. 

A la vérité, on aurait pu traiter les deux problémes ii la fois, mais 
la solution eilt alors perdu en netteté sans gagner beaucoup en briéveté; 
aussi la division adoptée pour le sujet a-t-elle paru préférable. 

Le premier probléme est susceptible d'une interpretation géométrique 
qui se trouve indiquée dans une Note placée a la fin de la premiére partie. 



JFor^nules et re^narques prélitnitMires. 

m 

3. Etant donné un ensemble de trois systémes de points cotés, on 
peut toujours, en conservant les cotes, lui faire subir une transformation 
homographique quelconque puisque, dans une telle transformation, Taligne- 
ment des points se conserve. 

On pourra des lors faire en sorte que les supports des trois systémes 
soient des droites assignées d'avance, en distinguant toutefois les cas oii 
ces supports sont ou non concourants, circonstance qui subsiste pour toute 
transformation homographique. 



ÉqaatioDs représentables par trois systéiues linéaires de pointe cotés. 303 

1*' Cas, Les supports ne sont pas concourants. Dans ce cas, une 
transformation honiographique perniet de faire coHncider deux des supports 
avec les axes de coordonnées Ox et Oy et le troisiéme avec la droite de 
Tinfini du plan Oxy (ce qui revient ä faire correspondre a chaque valeur 
de a^ une direction du plan). Les trois systémes sont des lors définis par 



a) { X = 



(a) \x = o , y = ^,a, + ?, , t = m^a, + n,, 



« = P3(^3 + I3 > y = »»3«3 + «3 ' ' = o 
et Téquation représentée prend la forme 

+ {ih^i + yj^»,», + ?,)(2>3a3 + ^3) = o» 
qu'on peut écrire 

{Ea) M{a, + sj(a, + sJCa, + s,) + P(«. + ^)(«, "H <,)(«, + <,) = O- 

2* (7a5. ies supports sont concourants. Dans ce cas, une trans- 
formation homographique permet de faire colncideJ: deux des supports 
avec Ox et Oy et le troisiéme avec la bissectrice de Tangle de ces axes. 
Les trois systémes sont alors définis par 



(&) 



f X = »»i«j + nj , y = , < = /»,«,+?, , 

x = o , y = »»,«, + «, , < = i),», + q, , 

[ X = W3O3 + n, , y = »»,»3 + «3 ' t = — {p^a, + g,), 



et Téquation représentée prend la forme 
qu*on peut encore écrire 



304 Maurioe d'OoagDe. 

Chacune des équations {Ea) et [Eh) développée est de la forme 

{E) Aa^a^a^ + B^a^a.^ + B^a,^a^ + B^a^a^ + C^a^ + G^ol^ + C^a., + 2) = o. 

Toute la question revient a mettre une équation donnée du type {E) 
sous Tune des forines {Ea) ou {Eh)j en ayant pour tous les paramétres 
des valeurs reelles. 

4. En vue d'alléger la suite de notre exposé, nous allons définir 
ici certaines fonctions des coefficients et faire quelques rernarques relatives 
ä des équations qui sy rattachent et qui joueront plus loin un röle im- 
portant. 

Posons 



(1) 



i Ei = AC\ — BjBt, F, = Fo — 2B,C„ ö, = BtD — C)Ct. w.t-M.«) 



Le discriminant du premier membre de Téquation {E) rendu homogéne 
peut 8'écrire 



(II) A=Fl-4{B,C,B,C\ + B,C,B,C^ + B,C\B,C,-AC,C\C^-B,B,B,D), 

et on a 

(III) F? — 4E,G, = A. ii-iM 

Si donc on considére les trois équations 

(^i) Mp) = ^iP"" + ^'iP + 0, = o, «=i,M) 

la condition de réalité des racines est pour chacune d^elles 

A > o. 



On a encore 



(IV) 



f E,B? + F,AB, + G,A' = - E^E,, 
E,Gl + F.BjC, + G,BJ = - E,G,., 
I EiD^ + F,C,D + GiCi = — GjGf 



fiquations represen tablcs par trois sy.'4téinc8 linéaircs de point^ cotés. 



305 



On en déduit que si Ej^ = o, c est å dire si Véquation {(p,) a une 

7?- O 

racine infiniey Véquation (jp,) a une racine égale å -r, égale aussi ä -jFr, et 

Ti' O 

de méme Véquation {^j) une racine égale å -/, égale aussi å ^, etc. 

Enfin, on voit bien aisément que, parmi les trois systémes £i, i^. , 6?^ 
(i = 1 , 2 , 3) il ne peut y en avoir un composé de trois elements nuls sans 
quil en soit de méme pour Vun des deux autre^. La variable dant Vindice 
différe de ceux de ces deux systémes entré alors dans un hinome qui se met 
en facteur dans le premier membre de (E). Gette équation cesse alors 
d'établir un lien entré les trois variables, et il n'y a plus lieu des lors 
d'en rechercher une representation. 

Dans le cas ou tous les coefficients de {E) sont différents de zéro, 
cette proposition se démontre ainsi qu'il suit. On a 

AC, — B^B, = o, BjCj + B,G, — B,C^ — AD = o, B,D — CjC, = o. 

Tirant ^ et D des équations extremes pour porter leurs valeurs dans 
l'équation du inilieu on obtient 

{BjCj - B,C\){B,C\ -BA) = o. 

L'un de ces deux facteurs est nécessairement nul; soit le premier, liap- 
prochant Téquation qui en résulte des deux extremes du groupe précé- 
dent, on en conclut que 

A_Bj^_Bi_Cit_i 
B, *" Ci " Gj~ D^ X' 

Des lors, Tcquation (-B), qui peut s'écrire 

a,OL,{Aa, + B,) + a,(B,a, + Q) + a,(B,a, + C,) + C,a, + i) = o, 

devient 

(a, + )){Aa,aj + B.ol, + JB,ct, + C,) = o, 

ce qui démontre la proposition. 

Si un ou plusieurs coefFicients de {E) sont nuls, la demonstration ci- 
dessus se modifie un peu dans la forme, mais subsiste pour le fond. 
Partout, dans la suite, nous supposons donc E^ , F^ et 6?^ (i = 1,2,3) 
non nuls å la fois. 

Aeia mathematiea. 21. Imprliii6 le 14 septcmbre 1807. 39 



306 Maurice d^Ocagne. 



PREMIÉRE PARTIE. 



A. JSquatlons représentables par trots systémes Unénives 

non concaurants» 

5. Afin d'éviter toute hypothése particuliére nous représenterons par 
i jj j k une permutation quelconque des indices i , 2 , 3 et nous supposerons 
les équations (-B), (-Ba), {E'a) remplacées par celles que Ton obtient avec 
ce changement de notation des indices. 

Sur la fornie (-£'«), on voit que pour a^ = — 5^, le premier menibrc 
de 1'équation se réduit ä un produit de binomes en Oy et a*. Or, le re- 
sultat de cette substitution dans le premier membre de (E) est 

{B, — As,)aja, + (Q — B,s,)aj + {C, — BjS,)a, + D — C\s,. 

Pour que ce polynome se décompose comme il a été dit il fa ut que 
(JB, - As,){D - C\s,) - {Cj - B,s,){C, - BjS,) = o, 

ou, si on se référe a la definition donnée au n** précédent, que 

On trouverait de inéme que 

Si donc pl et /?,•' sont les deux racines de Téquation (f?,), on voit 
que réquation {E'a) peut s'écrire 

{E"a) M{a, + />;)(a, + />;)(«, + p',) + P(a, + />;')(«, + />;')(«* + /»;') = o . 

Les racines p' et p" doivent d'aprés cela étre reelles; el les doivent 
aussi étre inégales. Si, en effet, on avait p^ = p'/y le blnome o,- + pi se 
ineth-iiit en factcur commun et Téquation se décomposerait. Donc, d'sipres 



ÉquatioDS represen tables par trois sy.^téiiies linéaires de points cotés. 307 

ce qui a été vu au ri° précédent, pour que Véquation {IH) soit représentahle 
par trois systémes linéaires non concourants il faut que le discriminant A 
soit > o. 

On va voir que cette eondition nécessaire est également sufifisante 
en prouvant que lor8qu'elle est reinplie, on obtient toujours pour i(f et P 
des valeurs reelles. 

6. Il faut d'abord reconnaitre le lien qui doit nécessaireinent exister 
d'une part entré les racines du groupe (^'), de Tautre entré les racines 
du groupe (p"). 

Sur la forme {E"a) de Téquation, on voit que son premier merabre 
devient identiquement nul pour a< = — /?»', a* = — pt . Faisant cette 
substitution dans le premier membre de {E) et annulant le coefficient du 
terme en a^, on a 

Apip',' — B,p',' — B,p[ + c; = o. 
La substitution o, = — p'j , a* = — p^ donne de inéme 

Ap'jp;' - Bjp',' - B,p' + G, = o. 
Eliminant p'^' entré ces deux derniéres équations on obtient 

ou, en doublant les deux membres, ajoutant a chacun F^ et tenant compte 
des formules (I) (n° 4), 

2E,pi + F, = 2Ejp; + Fj. 

On trouvcrait de méme 

2E,p[ + F, = 2E,p', + F,. 

Ces deux derniéres équations peuvent s'écrire 
Pareillement, on obtiendrait 



308 



Mauricc dOcagne. 



On peut donc dirc que les trois racines du groupe {p') ctune part, 
du groupe (/>") de Vautre donnent une méme valeur ä la dérivée du polynome 
(jr) correspondant. 

On peut encore remarquer, en résolvant lequation (^^), que 

Les racmes d'un méme groupe correspondent donc d un méme signe 
pris pour yf^. 

En resumé, on est libre de choisir panni les racines de {<p^ la racine 
p[ et la racine /?,•', inais, uiie fois ce choix fait, les racines pj et p[ d*une 
part, p'/ et p[' de Tautre sont déterminées sans ambigulté. 

Bemarque. Une on plusieurs des équations (j?) pen ven t avoir une racine 
infinie (jamais les deux, d^aprés la remarque finale du n** 4). Des lors^ 
Ei étant nul, la quantité 2J5,yo^ + F^ prend la forme indétenninée o X 00 
pour la racine /?, infinie, mais comme elle prend la valeur parfaitement 
déterininée F^ pour la racine p^ finie, le criterium iiidiqué s'applique au 
moyen de cette seconde racine. Il est donc valable dans tous les cas. 

7. Abordons mainteriant le calcul de M et P. Pour cela, remar- 

quons que ridentification de (jEJ"a) et de {E) conduit a huit équations de 

la forme 

MR + PR' = K, 

011 Rf R' et K ont les systémes de valeurs 



(^•) 



R = pl 



R' = Pjpt 



• • • 



^' = PiPjPt 



R' = I 
n = pi 

• • a 

U = Pj pt 

• • • 

■t* = pi Pj pt 



K 
K 






K=C\, 



J 



K = D. 



Prenons deux de ces équations, distinguées par les indices o et i . Nouä 

en tirons 

M P 

xti /Lo xto XL, Xlo/L, — -^i-A-o 



Équatioos represen Ubles par trois systétucs linéaires de points cotés. 309 

Par suite, Téquation {E"a) devient 

(^) {B[' K, — B',' K,){at + />.0(«> + a')(«* + Pd 

- {B[K, - B'oK,){a, + p'/){aj + />;')(«* + fil') = o. 

N0U8 allons voir commcnt cette équation peut 8'adopter ä tous Ics 
cas possibles caractérisés par le passage ä Tinfini d^une au de plusieurs 
racines p' et p'\ 

1*' Cas. Les six racines p' et p" sont ftnies. Dans ce cas, JJ,, E^y E^ 
sont différcnts de zéro. Nous prcndrons ici dans le systéme (2') 

i?i = I , Bq = i , Kq = Aj 
B[ = />;, Bl = pl'y Kl = Bjt- 
L'équation (Jl) devient alors 

— {Api - B,){a, + A'')(«> + />;')(«* + />;') = o. 

2* C\«5. f/n6 racine est inflnie. Soit />i' = co/ auquel cas Ej^^=^o. 
L'équation (JIJ du n"* précédent, divisée par />i', peut 8'écrire 

(a - ^)(a, + />;)(«; + />;)(«» + y»i) 

- {Ap', - B,){a, + ^r)(«> + py){^. + i) = o. 

Pour pjj = cOy elle devient 

3* Cas. Deux racines (le méme groupe sont infinies. Soient pj' = pl' =-- co , 
auquel cas Ej = Ej^ = o. Nous prendrons ici dans le systéme {!) 

Bi = I , BJ' = I , Kq = Aj 

^i = PjPkj -Ri' = pyPk j K\ = Gf. 

' Lorsqu une racine est infinie on peat simplifier le calcal des aatres en s^appayant 
sur los rcmarques faites ä propos des formules (IV) du n* 4. 



310 Maurice d^Ocagne. 

L^équatioii (Jl) divisée par p]* p'k peut alors s'écrire 

Pour p]' = pk = cc, elle devient 

{\) A[a, + /,0(«> + />;)(«* + ioi) - {MPk - Qi<^ + Pi) = o. 

4* Cos. Deux racines de groupes différenta sont infinies. Soient 
Pj =yoi' = CO, auquel cas on a encore Ej=^ £'^ = o, Nous prendrons ici 

^0 = pU ^ö = Pk j Kq = Bkj 
B,\ = p'. , Il[' = py ^ K^ =5 Bj. 

Kéquation (Jl) divisée par pjp^ peut alors s'écrire 



- {b, - Bj4){a, + pnio^j + p'/)(% + i) = o. 

Pour /3y = pl,' = oOy elle devient 

Caj 5,(a, + pl){a, + />;) + B,{a, + />;')(«> + />;') = o. 

On voit qu'ici le terine en a^aya^fe a disparu, c'e8t ä dire que A = o. 
Cest la ce qui distingue ce cas du précédent 

5° Cas. Les trots racines d'un méme groupe sont infinies. Soient 
pl' = yoy' = plJ = oOj auquel cas Ei = Ej = Ek = o. Nous prendrons ici 

K, = D. 



ä;= I 


Rö- i 


■Rj piPiPki 


^1 = A Pj Pk y 



Équations represen tables par trois systémos liDéaires de points cotés. 311 

L'équation {^) divisée par p'/pj'p\J peut alors 8'écrire 

-(.Mp}p:-d)(% + ,)(% + .)(| + .) - o. 

Pour pi' = pj' =' p'k = CO, elle devient 

(Jl.) A{a, + /,;)(«,. + />;)(a* + /t,;) — (^A»; - -D) = o. 

6* Cos. Deux racines de Vun des groupes et une de Vautre sont infinies. 
Soient p\ = /3y' = /^i' = co, auquel cas on a encore E^ = JEy = B^ = o. 
Nous prendrons ici 

^0 = Pi J Hö = pi' 9 ^0 = Bij 

Hl ~ PjPky Hl = Pj'Pk J ^1 = Q- 

L'équatioTi {^) divisée par Pip]' Pk peut alors s'écrire 

-(i>,f-c,)(,, + ,n(f + .)(i+0=°- 

Pour ^J = p'j' = Pk = oo , elle devient 

(Ä.) B,(«,. + /,;)(a* + />;) + Ci(a, + p^) = o. 

On voit qu'ici encore il n'y a pas de terme en a^aya^, c'e8t a dire que 
il = o. En outre, J5< est dififérent de zéro, ee qui, avec Thypothése faite, 
entraine nécessairement Bj = Bf^ = o. 

8. Bésumé. Si on compare a l'équatioii {Ea) chacune des équations 
de (JIJ a (Jlg), on voit que, pour A > o, la representation peut étre 
définie par les formules (a) du n** 3, les paramétres tn j n j p y q étant 
donnés par les tableaux ci-dessous dans lesquels on les suppose rangés 
dans Tordre 

^iy ^iy Piy Qiy 
^jy ^jy Pjf 9jj 
^ky ^ky Pkf 9k' 



312 



Maarice d*OcagDO. 



I" Gas. Ei,Ej,Et'¥ o: 



I , 


p'i 


, I , 




p'i' 


I J 


/>; 


, I ■ , 




py 


Ap',' - B, , 


p',{Api' - 


-J5,), B,-^/.;, 


p','{B,-Ap',). 


2* Cos. E^ , Ej 


=4= o ; £* 


-o:^ 






I j 


/>; 


, 1 , 




p'i' 


I , 


Pj 


, I , 




py 


Ä , 


plÄ 


I o > 


B, 


-M . 


3' Gas. jB< 4= o 


; ^,-,-E* 


— o ; /I 4= o: 






I 9 


io.' 


, I y 




p'i' 


I j 


Pj 


9 O , 




I . 


Ä 


pU 


, O , 


Ci- 


- Apjpi . 


4* Ctw. R,. 4= o 


; -B,, -B, 


o ; A o: 






I y 


A' 


, I , 




Pi' 


o , 


I 


9 I , 




Pi '» 


«i . 


P^Bj 


, o , 




Bk 


5« Cos. Ei , Ej 


, -B*-o; 


1 .4 =^ o: 






I , 


A- 


, o , 




I 


1 , 


A' 


,. o , 




I , 


A , 


o,A 


9 O > 


D- 


- Ap'ip'jpt. 


6" Gas. Ei , Ej 


, ^* = 0; 


^ — O ; J5, 4= o: * 






ö , 


I 


, I , 




P'i' 


I , 


A' 


, o , 

• • 




I , 


^. , 


/>;i?< 


9 O , 




0, 


* Dans cc cas A ^ O nécessairement; car ^4 = O , Et 


= O entrafDCDt soit B» = O, 


Boit Bj — O^ par suite soit Ej — O, 


soit Ei — O. 







' On vient de voir qae les dcuz aatrcs B sont nécessairement nuls. 



ÉquatioDS représeDtables par troifl systémes liDéaircs de points cotés. 313 



B. Éqtuitions représentnbles par trois syntémes 

Unéaires concaurants» 

g. Nous avböns vu que lorsque les trois systémes linéaires sont con- 
courants Téquation {E) est susceptiblé de prendre la forme (JS^ft) qui peut 
encore s'écrire 

— ti{aj + Sy)(a* + s^) — tj{ai, + s^){ai + s,) — «^(oc^ + 5^(0,- + Sj) = o. 

On voit que pour oc» = — 5^ , 09 = — s^ , a^t = — s^, elle se décom- 
pose en un produit de binomes. Il en résulte, comme au n* 5, que 
Si , Sj , 5^ sont racineg respecti vemeiit des équations (f><) , (f^y) , (f^jfc) . 

Ces trois équations doivent donc encore avoir leurs racines reelles. 
Or, si ces racines étaient inégales Téquation {E) serait représentable par 
trois systémes non concourants, ainsi qu'on Ta vu au paragraphe précé- 
dent, et cela serait contraire a Thypothése actuelle. Chacune des équa- 
tions {f>) a donc nécessairement ici ses racilres égalés et, par suite, 

A = 0. 

a • 

Si pi , pj , pic sont ces trois racines, Téquation précédente deviendra donc 
{E"b) N{a, + p,)iaj + p,){<x, + p,) 

— h{<^ + />>)(«* + />*) — </** + />*)(«< + a) ^*(«< + /><)(«;• + Pi) = O- 

L'identiftcation de cette équation et de {E) donne les huit équations 

(i) N=A, 

(2,) Np, — /, = B„ 



(3<) NpjPi, — tjpt — hpj = Gi , 



(4) ^PiPiPk — iiPjpk — hPkPi — hPiPi = ^' 

Äeta maUiénuUiea. 21. Impiimé le 14 septembre 1897. 40 



314 Maarice d^Ocagne. 

Ayant, dans toutes ces équations, remplacé N par sa valeur (i), on 
tire de (2^), 



• ,» 



(5^ ' t,^Ap, — B,. 

Faisons maintenänt la somine de (2^) , (2^^) et (3^) respectivement 
raultipliées par yo^ , />^ et — i . Il vient 

(6;) pki^Pi — Bi) = BkPi — Oj. 

De méme, la somme de (2^^) , (3^) , (3^) et (4), respectivement multipliées 
par piPj , — pij — pj et i , donne 

(7*) Pj{B,Pi - C^) = C,pt - D. 

Cela pose, nous pourrons calculer U^tjytj^ dans tous les oas possibles. 

RemarquQns d'abord que nous pouvons, au moyen de ces formules, 
vérifier que chaque équation {(p) a ses racines égales. 

Si, en effet, entré les équations (6;^) et (7^) nous éliminons p^pjy nous 
obtenons . 

(8*) EiPi + Ejpj+B,C, — ÄD = o. 

Si maintenänt, de la somme des équations (8^) et (8^) nous retranchons 
Téquation (8,) multipliée par 2, nous obtenons 

ou 

ce qui démontre que p^ est racine double de {^^ et, par suite, que A = o, 
comme nous Tavions prévu å priori. 

Passons maintenänt a Texamen des divers cas qui peuvent se presenter. 

10. 1 •' Cas, Les trots racines sont fmies. Dans ce cas, E^ , JSy , Ej^ 
sont différents de zéro. 

D'aprés (i) et (5) Téquation {Eh) devient 

Äpi — Bi Åpj — Bj , Åpk — Bt _ ^ 

ö* + pi »i + ft OLk+ pk ' . 



EquatioDS représeDtables par trois systémes linéaires de points cotés. 315 

OU 

■ ■ ■ ■ • ■ 

^ ^' o» + Pi OLj + />;• «*+/>* 

2® Ca5. C/nc cfes racines est inf inte. Soit ^^=00, auquel cas JEi. = o. 
En vertu de (6^) et (6^) Téquation (ÄJ, multipliée par p^,^ peut s^écrire 

Bkpi — Cj Bkpj — Cj ÄUk + Bk _ . 

ai + Pi aj + pj ^ + i 

Pk 

Pour />4 = CO, olle devient 

B^p^ B^pi-C,_ ^^ +B,) = o 

ai+ Pi Oj + pj "" * *^ 

OU 

(O ^"P^- Q _ ^^« - ^a, = o. 

^ '^ a» + />» O; + Pj 

I 

3® Ca^. Deux des racines sont infinies. Soient^y = ^^ == 00, auquel 
cas Ej = Ek = o. 

En vertu de (jk)^ Téquation (Äj) multipliée par pj, peut s^écrire 



CiPi - D BkO j + Ci j 

Pi 



ai+ Pi ^+ i 



Or, pour obtenir (Ä,), nous avons supposé Pk = ^^9 ^t, d'aprés (6^), 
pour pi^ = 00 j on a Apj •= Bj. L'équation précédente peut donc 8'écrire 



Cipi - B BkOj + Ci r.„ _^ 

öi + pi 5* + I 

PJ 

Pour pj = CO, elle devient 



^fy^ - (5,a, + C',) - /i,a, = o 



OU 



(*») ^^ + M + B>«* = o- 



316 Maarioe d^Ooagne. 

4* Cas. Les trots racines sont infinies. On a donc Ei = Ej^^ E^ = ö. 
Uéquation (Äg), multipliée par />,, 8'écrit 

— h B^Pi<^ + Bjp^a,, = o. 

fii 

Or, pour obtenir (Ä^) nous ayons supposé pj = pi^ ^= co , et, d'aprés (7^^) 
et (7y), pour ^^ == ^^ = co, on a B/^pi = Cy, J5y/>,. = C^. L'équation précé- 
dente peut donc s^écrire 

-^ h C^GCy + Cjkajfc = o. 

Pi 

Pour ^j = CO, elle devient 

(«4) <^'»«, + Cjoj + C,a, + D = o. 

Ce dernier cas n'a d'ailleurs été envisagé qu'å titre de vérification, car 
il est de toute évidence que rhypothése A = JSJ^ = £y = ^^ = o entralne 
nécessairement A = B^ ^= Bj ^= Bj^ = o. 

II. Resumé, Si on compare a Téquation {Eb) chacune des équa- 
tions de (ÄJ a (Ä^), on voit que, pour A = o, la representation peut 
étre définie par les formules {b) du n** 3, les paramétres ni j n ^p ^ q étant 
définis par les tablcaux ci>dessous dans lesquels on les suppose rangés 
dans l'ordre 

»'o «<» Pij 9i, 

«»*> ♦»*> P*> ?*• 

I"' Cas. Ei, Ej, Et=¥ o: 

I , Pi , o , Api — Bi, 
^ > Pi t o , Apj — Bj , 

^ 9 Pk y — ^9 — "Sjfc • 



Eqvatioas represen tables par treis systéiues lioéaircs do poiots cotés. 317 

.2^ rCiw. Ei , Ey 4= O ; El, = o: * 

^ J Pj f ^k y ^i 9 

o , o , — Ä , o 

3* Cos. Ei 4= o ; Ej = lE^ = o: ^ 

^ y Pi j C'* j ^ 

o , I ,, B^ , o , 

o , I , Bj , o , 

4* Cos. Ei = Ej = Et = o: 

o , I , Ci j o 

o , I , c;. , o , 

o , I , C, , © . 



Interpretation géométrique. 

12. Si, dans 1'équation {E) du n** 3, on regarde a^ , a, et a.^ coinnie 
des coördonnées courantes, on voit que cette équation représente une sur- 
face du 31^™® ordre passant par les droites du plan de rinfini situés dans 
les plans de coördonnées, et ayant, par suite, pour points doubles les 
sommets du triangle 2; formé par ces trois drortes. 

Lorsque A > o, les plans cc» + ^^' s= o et oy + pj' = o (i,y = .i,, 2 , 3) 
se coupent deux ä deux suivant des droites reelles de la surface. Lorsque 
i et J sont dififérents, la droite conrespondante est ä distance finie et pa- 
ralléle ä Taxe des coördonnées cc^fe. Si rune des racines devient infinie le 
plan correspondant se confond avec le plan de Tinfini. 

Lorsque A =^ o , pl = pl' pour t = 1,2,3. Les deux droites pa- 
ralléles ä chaque axe de coördonnées se confondent en une settle, et ces 

^ Ici, comme on Ta déjä va au n^ 8, A ^ O^ nécessairement. 
' L^équation (|Pj) montre qu'ici A =Bi = 0. 



318 



Maurice d^Ooagne. 



trois droites doubles concourent en un méme point qui constitue un 
quatriéine point double de la surface. On saisit ainsi la raison géoinétri- 
que de Tannulation du discriminant A dans ce cas. 

La théorie ci-dessus présentée fournit donc un mode de representa- 
tion plane des surfaces du 3*^"® ordre ayant trois points doubles dans le 
plan de Tinfini. Dans ce mode de representation, ä tout point de la 
surface correspond une droite du plan, ^ ä chaque section de la surface 
faite parallélement ä un des plans de coordonnées, un point coté. 

Si A = Oy la surface se décompose en le plan de Tinfini et un hyper- 
bololde. La condition A > o signifie que Thyperbololde est å une näppe. 
Lorsque A = o, cet hyperbololde se réduit a un cöne. 



DEUXIEME PARTIE. 



(«.) 



1 3. Si nous considérons Tensemble des trois systémes de points cotés 



nous en obtenons la transformation homographique la plus générale en 
prenant • 

le déterininant de la transformation 



// = 



étant différent de zéro. 



-^3 Ih "3 



* Il suffirait d^appliquer une transformation dualiatique pour obtenir nne representa- 
tion point par point do la surface sur lo plan. 



ÉquatioDS représentables par trois systömes linéaircs de points cotés. 



819 



Pour qne les points (aj) förment un systéme régulier, il faut et il 
suffit que t soit constant et différent de zéro, cest ä dire que dans 
Aj/J + /^sJ^i + ^3^\ ^^ coefficient du terme en Oi soit ntd et le terme constant 
différent de zéro. 

Nous allons rechercher maintenant si, par un choix convenable des 
parainétres Åf/XjP rendant H différent de zéro, on peut réaliser la condi- 
tion précédente pour les trois systénies linéaires d'une équation {E) ou 
seulement pour deux et méme pour un d'entre eux. 



A. Équations représentables par trois systémes linéaires 

nan concourants. 

14. Lorsqu'une équation appartient ä cette catégorie (A > o), on 
peut prendre comme formules (cc) les formules (a) du n** 3 ou on remplace 
J > 2, 3 par i^j j k. Les formules («') sont alors 

^ = (MiPj + ^i%)o^ + Mj + ^i^Jy 

(cc'a) { y = {/jL^Pj + v^m^Oj + thQj + ^2^jy 

y = {^Pk + Mi^k)<^k + KQk + IM'^kj 
t = (Ajm^ + v^p^oLi + Ajn,. + Vs?,., 
i = ifhPj + v,mj)aj + fitgj + v,»,, 

Lc8 équations exprimant que chacun de ces systémes est régulier sont donc, 
d'apré8 la remarque faite au n° précédent, 



XitHi + UiPi = o, avec la condition ^»< + UtQi =4= o 



(7«) 



fltP, + »',«ty= O, 

^iPk+M»^k= o> 



■6 



^^^t + Z^j»** o. 



320 Maurice d Ocagne. 

ReinarquoDS tout d'abord qu^en vertu des conditions ci-dessus on ne 
saurait achnettre une solution dans laqudle plvs d'un des parametres Å^y/i^j-v^ 
seraU ntdi 

Tout revient donc, dans chaque cas, å essayer de satisfsire au' pliu 
grand nombre possible des équations (y/a) en observant cette condition. 
Maisy si cette seule condition est remplie par une solution, les trois condi- 
tions inserites en regard des équations (rja) sont satisfaites. En effet, si^ 
A3 et Vg n'étant pas nuls ä la fois, on - avait 

^% + ^tPi = o et A,n^ + Vj^i = o, 
il en résulterait — = - . Par suite, camim on le voit en se reportant 

Pi qi ' ' ^ 

a la forme (-Ba) de Téquation (E) (n** 3), o^ disparaitrait de cette équa- 
tion. De méme pour les deux autres équations (yja). 

Bemarque. Pour que les trois systémes puissent étre rendus réguliers 
a la fois, c'est ä dire pour qu'il y ait compatibilité entré les équations 
(rjo) il faut que 

m^m^m^ + p.p^p, =0, 

* 

c'est a dire, si on se reporte a {Ea), que 

Ä = o. 

On verra plus loin que cette condition nécessaire n'est;pas suffisante. 

15. Les équations {tjo) ne contenant que les elements de la troisiéme 
ligne du déterminant H, on peut disposer -arbitrairetnent de ceux des 
deux premiéres lignes h la condition toutefois de ne pas rendre H iden- 
tiquement nul. 

Si, par exemple, ^3 est différent de zéro (ce qui est partout le cas 
dans ce paragraphte), on pourra prendre 

^1=0, /i, == o, J^i = I, 
^3=0, /^ = i> ^ = o> 

ce qui donne H = — A,. 



Équations rcprdscntables par trois Byslömes linéaircs de poiots cotés. 

Dans cettc hypothöse, les forinules («'«) dcviennent 



321 



f % = p.o, + y<, y = o 



(«««) 



, t = (A,»»< + »',p<)ai + ^n^ + v,<7i, 






On voit quc les supports sont pour («<) Taxe des x, pour (0*) Taxe des 
y, pour (oy) la droite 



(«^) 



>'r'K + /^s^ = I • 



Cela pose, iious allons chercher, sous la condition sus énoncéo, ä satis- 
faire a une ou plusieurs des équations i^d) dans chacun des cas que iious 
avons été amené ä considérer (11° 8). 



(7«i) 



16. I*' Cas. Ei , Ej , El, =^ o. Les équations (rja) sont ici 

/'s + ^ = o, 
I {B, — Ap',)Å, + {Ap': — B,)n, = o. 



Elle sont généralement incompatibles, inais on peut toujours sntisfaire 
aux deux premiéres en prenant 



K= • 



/^8 = I-> 



V. = — 1 . 



Les formules (aa,) deviennent donc 



(ao,) 



[ X =^ ai -\- pi , y = o 
x = oj + p; , y = aj + p}' 



t = 



t = 



Pi—P 



II 



II 



Pi 



X = O 



y == ( J/>I/ — B,){ai, + />;), t = ip'^ — f/,){Aoi, + B,) . 



En outre, réquation (öj) est ici 



y — x = I 



Si A = o, le systéme {a,^) devient lui-méme régulier. 

Aeta meUhematica. 21. Iinprini6 le 14 scplciubrc 1807. 



41 



322 Maurice d^Ocagne. 

2° Cas. Ei , Ej =^ O ; Ej, = o. Les équations (lyrt) sont ici 



iV*) 



K+v 



3 = 0. 



/*3 + »'a = O. 
I /t, = O. 



On satisfait encore aux deux premieres en prenant 



k= I . 



/*! 



= I 



>'3 = — I 



Les formules (aa^) deviennent donc 



(««») 



f ;» = «< +-/0.'', y=o , 

X = aj + p'j , y = aj + p'/ , 



t=p'i 



P'i . 



t = p]' — p'. , 



Ici, conime on Ta déjä remarqué au n° 8, A ne peut pas étre nul, 
et, par suite, le troisiéme systéme n'e8t jamais régulier. 

3' Oas. Ei ^ o; Ej , Ei^ = o ; A ^ o. Les équations (rja) sont ici 



(7«s) 



f A3 + v, = o, 

v^ = o, 

I /ig = o. 



On satisfait ä la preinicre et K la dernicrc en prenant 



K= ^f /<» = o 
Les formules (aa.) deviennent donc 



Vo == — I . 



r a; = a< + />.'' ' y = o 



(««3) 



X 



«> + />; , !/ = ' 



ar — o 



y = A{at + pl), 



t = />i' — p'i' , 

< = -(«>+/);), 

< = Ci — Ap'jp[. 



fiquations représcDtables par trois syjtiiu] s lioéairca de puints coUSii. 



323 



4* Cas. Ei =^ o ; Ej y E^ = o ; A = o. Les cquations (tjo) sont ici 



iv^*) 



f ^3 + V3 = o, 

A = O» 
I /Uj = o. 



Ori satisfait ä toutes trois en prcnant 



v, = — I . 



Les forinules (««,) dcvieniicnt 



(a«J 



I a; = «, + pi', y = o 

I a; = I , y = (Xj + pj 



X = o 



y = -Bi(«* + pk), 



t 
t 
t 



Pi — Pi'f 



= — I 



= Ä 



(7«.) 



5* Cas. Ei, Ej , El, = O] A ^ o. Les équations (jya) sont ici 

"» = o, 

l/£, = o. 



On ne peut ici, sous la condition requise, satisfaire qu'k une seulc de ces 
cquations, par exemple ä la scconde en prenant 



K= » 



fh 



= I 



"3 = o. 



Les forraules (««,) deviennent donc 



i X = i 



(««b) 



y == o 



, t = ai-\-p'i 



X = aj-\-pj, y = i , t= i , 

I a; = o , ij = ^(»i + ^;), t = ^(«4 + />;) + i) — Ap'ip-pl 



324 



Maurice d^Ocagne. 

6* Cas. Ei , Ej , E^ = O \ A = o. Les équations {rjo) sont ici 



(jy^B) 



v, = o 



v^ = o, 



Cctte fois on satisfnit aux deux premieres en posant encore 



K= ^, 



N = I 



V3 = o. 



Les forinules (aa,) deviennent donc 
a; = »i + pi', y = o 



I ^ — i*, 
I o; = o 



t = I 



t = I 



y = !?,(«* + />;), < = ^<(«* + Pk) + ev 



B. Équations rejtrésentahle» par trois systémea 

linéaires concouranttt, 

1 7. Lor8qu'une équation appartient ä cette catégorie (A = o), on 
peut prendre commc fortnules (a) les formules {V) du n° 3, oii on^ rem- 
place 1,2,3 par i , j , k. Les formules (o') du n° 13 deviennent alors 

X = {X^nii + vi|>i)a, + A,M,. + v, g,., 

^ = [{^i + lh)^k — Vi/>i]a* + (A, + /i,)% — v,gt, 

(«'t) i y = {mnij + v,py)a, + /£,Wy + v^y^, 

y = [{K + A«2)%- — v.iJjoi + (X, + /£,)«* — v,^i, 

t = [(^ + /«»)»«* — v,?)t]at + (A, + /i,)»jfc — Vjö-i. 



Equations represen (ablcs par troid systömcs linéaires de points cotés. 325 

Les equations exprimant que chacun de ces systcmes est régulier sont, 
d^aprés la remarque du n"* 13, 



w 



^s^i '{' ^iPi = ^ } ftvec la condition ^>^i + J^a?', 4= o, 

. {^i+Mz)^k — i^zPk = Oj j> (As + fx^nk — v^qk 4= o. 



On voit que ces conditions ne permettent pas d'avoir y^ = o, en 
méme teraps que A^ , fi^ ou X.^ + ii.^\ mais on peut prendre A3 = /Xg = o, 
avec 1^3 4= o. En outre, le raisonnement déja fait au n° 14 montre que 
si la condition précédente est reraplie par un systéme de valeurs satis- 
faisant a une des equations {rjh\ les conditions inscrites en regard des 
equations (lyfc) le sont aussi ipso facto. 

Beniarque. Pour que les trois systémes soient réguliers, c'est ä dire 
pour qu'il y ait compatibilité entre les equations {rjb) il faut que 

W1P2JP3 + ^^^aPzPi + ^hPiP^ = o, 
c*est ä dire, si on se reporte a [Eb)y que 

^ = o. 

Comme précédemment, cettc condition nécessaire n*est pas suöisante, ainsi 
qti'on le verra par la suite. 



1 8. Les equations {rjb) ne contenant que les elements de la troisiéme 
ligne du déteniiinant /i, on peut disposer arbitrairement de ceux des deux 
preniiéres lignes ä la condition toutefois de ne pas rendre // identique- 
inent nul. 

Si, par exemple, X^ est dilTérent de zéro, ou pourra prendre 

K = ^y i"i = o, Vj = I, 

^2 = 0, /ij = I, Vj = o, 



326 



Mauricc dOcagDc. 



cc qui donnc H = — A^ . Les fonnulos {a'h) devicnnent alors 



K) 



X = Piai + qt 



y = o 






^ = 



< = 






Si ^3 = 0, inais que v^ soit différent de zéro, on pourra prendre 



A, = o, /i, = I , 



v, =0, 



v, =0, 



ce qui donne H = v^. Les formules (a'ft) deviennent alors 



a; = w,a,- + «< , y = o 



(a^-i) 



a; = o 



y = WyOy + n, , 






< = 



t = 






Cela pose, envisageons chacun des cas définis au n° 11. 



19. i" Cas. Ei, Ej , E^=^ o. Les équations (lyi) sont ici 



W 



K =o- 



/*3 = O- 



. ■^a + A + ^"3 = O- 



Équations represen t ablcs pnr trois systérnes lindaires de poiDts cot<58. 



327 



On peut, sous los conditions requises, satisfaire dans tous les cas aux deux 
premiéres en prenant 



^3 = o, tx^ = o, 



J^3 = I • 



Puisque A, est nul et v^ non, il faut avoir recours aux formules {aV^ qui 
devienncnt 



K) 



a; = o, + ^i , y = o 



t = Api — Bi , 



X = o 



y = aj + pjj t = Apj — Bj , 



^x = ak + Pkj y = 0Lk + Pkj t= Aaj, + B,,. 



Ou voit que le support de (cct) est la droite y = a?. 

Si -4 = 0, le systéme (a^) devient lui-méme régulier. 

2® Cas. Ei j Ej ^ o; JJ^ = o . Les équations {tjI) sont ici 



ivK) 



M» — BiVt= o, 



v, =o 



On satisfait aux deux premiéres en prenant 



^8 = o» A«» = ^*> 



v, = I. 



Les formules (ofti) deviennent donc 



f a; = a, + ^j, y = o 



K) 



rr = O 



re = I 



y= I 



< = ^*A — Cy> 



y = «j + A j ^ = ^kPj — c^ij 



t = Aak + Bk. 



Ici, ainsi qu'on Ta doja remarquc au n"* ii, ^ ne peut pas étre nul. 



328 



ivK) 



Maoricc d"Ocagno. 

3* Cas. Ei =¥ o; Ej, Ei, = o. Lea équations (jyft) sont ici 

K + ^i^z = o, 



V, = o. 



On satisfait aux deux derniéres en prenant 



K= I » 



N = I 



V3 = o. 



Comme A^ est dififérent de zéro, on a recours, cette fois, aux formules 
(aft,) qni deviennent 



f X = Cio, + D, y = 0, f = a. + /O,-, 



(«*J 



se = 7?t«y 



.X = TJyOti , 



y= I 
y= I 



/! = I 



t = 2 



(7*4) 



4® C05. £< , JS?,- , E,. ■= o. Lcs équations (lyi) sont ici 

V3 = o. 



On satisfait a toutes trois en prenant 
Les formules (ai,) deviennent alors 



V3 = o. 



K) 



X = CiOLi 



X = Cjaj 



x = — {C,a, + 7)), 



y — 0, 


< I, 


y - i, 


t= I, 


y = I, 


< — 2. 



20. Resumé general, Tous les resultats qui précédent peuvent se 
résumer dans le tableau suivant ou une quantité positive est désignée 
par +, une quantité non nulle quelconque par 0. Si un de ces ^ignes 



ÉquatioDS represen tables par trois systémes linéaires de points cotés. 



329 



est souligné c'e8t qu'il découle nécessairement des autres hypothéses placées 
sur la méme ligne. 



A 


E, 


Ej 


E, 


A 


Systémes réguliers 


Formules 
correspondantes 


+ 














(«<) > («;) 


(««i) 




+ 











o 


(Oi) , (o^) , (Ot) 


(««i) 




+ 








O 





(«<) » (a>) 


K) 




+ 





O 


o 





(«<) > («t) 


(««,) 


n" i6 


+ 





O 


o 


o 


(a<) . («>) . («*) 


K) 




+ 


O 


o 


o 





(«/) 


(««.) 




+ 


O 


o 


o 


O 


(B, 4= o) («,) , {a,) 


(«««) 




o 














W , («,) 


K) 




o 











O 


(Oi) . (ay) » («t) 


(«*.) 




o 








O 





(«<) . («/) 


K) 


11° 19 


o 





O 


o 





(«;•) . («*) 


K) 




o 


O 


o 


o 


q 


(«<) » («;) » («*) 


K) - 





On peut donc énoncer cette proposition: 

Pour guune éguation {Bl) soit représentable par trois systémes linéaires 
de points cotés il faut et il suffit qtie son discriminant A soit supérieur ou 
egal å zéro. Ces trois systémes linéaires peuvent étre rendus réguliers lorsque, 
A étant ntd, ou bien les quantités E^ , Ej , Ei, sont toutes trois différentes 
de zéro, ou bien, deiix de ces quantités sont nulles, la troisiéme et A étant 
ensemble ou nuls ou non nuls. 

Si Ei , Ej , El, étant nulles, A et A ne le sont pas, un setd des trois 
systémes linéaires peut étre rendu régulier. 

Dans tous les autres cas on peut rendre réguliers deux de ces systémes. 



Jda mathimatiea. 21. Imprimé le 15 septembre 1897. 



42 



331 



SUR LES RAPPORTS DE L'ANALYSE PURE ET DE LA PHYSIQUE 

MATHÉMATIQUE, 

Conférence de M. H. Poincaré au congrés international des mathématicienSy 

å ZOrich, en 1897. 

I. 

On vous a sans doute souvent deinandé a quoi servent les mathé- 
niatiques et si ces délicates constructions que nous tirons tout entiéres de 
Dotre esprit ne sont pas artificielles et enfantées par notre caprice. 

Pärm i les personnes qui font cette question, je dois faire une distinc- 
tion; les gens pratiques réclament seuleinent de nous le moyen de gagner 
de Targent. Ceux-la ne meritent pas qu'on leur réponde; c^est a eux 
plutöt qu il conviendrait de demander a quoi bon accuinuler tant de 
richesses et si, pour avoir le teinps de les acquérir^ il faut négliger Tärt 
et la seience qui seuls nous font des åmes capables d*en jouir et propter 
vitam vivendi perdere causas. 

D'ailleurs une seience uniquement faite en vue des applications est 
impossible; les vérités ne sont fécondes que si elles sont enchalnées les 
unes aux autres. Si Ton s'attache seulement a celles dont on attend un 
resultat immédiat, les anneaux intermédiaires manqueront, et il n'y aura 
plus de chaine. 

Les hommes les plus dédaigneux de la théorie y trouvent sans s*en 
douter un alime^t quotidien; si Ton était privé de cet aliment, le progrés 
s'arréterait rapidement et nous nous figerions bientöt dans Timmobilité 
de la Chine. 

Äela malhematiea. 2L. Imprimé le 15 septembre 1897. 



332 H. Poiucaré. 

Mais c'est assez nous occuper des praticicns intransigeants. A cöté 
d'eux, il y a ceux qui sont seulement curieux de la nature et qui nous 
demandent si nous sommes en état de la leur mieux faire connaitre. 

Pour leur répondre, nous n'avons qu'a leur montrer les deux mo- 
numents déja ébauchés de la Mécanique Céleste et de la Physique Ma- 
thématique. 

Ils nous concéderaient sans doute que ces monuments valent bien 
la peine qu'ils nous ont coutée. Mais ce n^est pas assez. 

Les mathématiques ont un triple but. Elles doivent fournir un 
instrument pour Tétude de la nature. 

Mais ce n'est pas tout: elles ont un but philosophique et, j'ose le 
dire, un but esthétique. 

Elles doivent aider le philosophe a approfondir les notions de nombre, 
d'espace, de temps. 

Et surtout leurs adeptes y trouvent des jouissances analogues ä celles 
que donnent la peinture et la musique. Ils admirent la délicate har- 
monie des nombres et des formes; ils s'émerveillent quand une découverte 
nouvelle leur ouvre une perspective inattendue; et la joie qu'ils éprouvent 
ainsi n'a-t-elle pas le caractére esthétique, bien que les sens n'y prennent 
aucune part? Peu de privilégiés sont appelés a la gouter pleinement, 
cela est vrai, mais n'est-ce pas ce qui arrive pour les arts les plus nobles. 

Cest pourquoi je n'hésite pas ä dire que les mathématiques méritent 
d'étre cultivées pour elles-mémes et que les théories qui ne peuvent étre 
appliquées a la physique doivent Tétre commc les autres. 

Quand méme le but physique et le but esthétique ne seraient pas 
solidaires, nous ne devrions sacrifier ni Tun ni Tautre. 

Mais il y a plus: ces deux buts sont inséparables et le meilleur 
moyen d'attcindre Tun c^est de viser Tautre, ou du moins de ne jamais 
le perdre de vue. Cest ce que je vais m'efforcer de démontrer en pré- 
cisant la nature des rapports entré la science pure et ses applications. 

Le mathématicieii ne doit pas étre pour le physicien un simple 
fournisseur de formules; il faut quil y ait entré eux une collaboration 
plus intime. 

La physique mathématique et Tanalyse pure ne sont pas seulement 
des puissances limitrophes, entretenant des rapports de bon voisinage; 
elles se pénétrent mutuellement et leur esprit est le méme. 



Sar les rapports de Tanalyse pare et de la physiqae mathömatiquc. 333 

Cest ce que Ton comprendra mieux quand j'aurai montré ce que 
la physique re90it de la inathématique et ce que la mathématique, en 
retour, emprunte ä la physique. 



II. 

Le physicien ne peut demander ä Tanalyste de lui révéler une 
vérité nouvelle; tout au plus celui-ci pourrait-il Taider ä la pressentir. 

Il y a longtemps que personne ne songe plus ä devancer Fexpérience, 
ou a construire le monde de toutes piéces sur quelques hypothéses håtives. 
De toutes ces constructions ou Ton se complaisait encore na^vemcnt ii 
y a un siécle, il ne reste plus aujourd'hui que des ruines. 

Toutes les lois sont donc tirées de Texpérience; mais pour les énoncer, 
il faut une langue spéciale; le langage ordinaire est trop pauvre, il est 
d'ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches 
et si precis. 

Voila donc une preraiére raison pour laquelle le physicien ne peut 
se passer des inathématiques; elles lui fournissent la seule langue qu'il 
puisse parler. 

Et ce n'est pas une chose indifférente qu'une langue bien faite; 
pour ne pas sortir de la physique, Thomme inconnu qui a inventé le 
mot chaleur a voué bien des generations a Terreur. On a traité la 
chaleur comme une substance, simplement parcequ'elle était désignée par 
un substantif, et on Ta crue indestructible. 

En revanche, celui qui a inventé le mot électricité a eu le bonheur 
immérité de doter iraplicitement la physique d'une loi nouvelle, celle de 
la conservation de Télectricité, qui, par un pur hasard, s'est trouvée exacte, 
du moins jusqu'ä present. 

Eh bien, pour poursuivre la comparaison, les écrivains qui em- 
bellissent une langue, qui la traitent comme un objet d'art, en font en 
méme temps un instrument plus souple, plus apte ä rendre les nuances 
de la pensée. 



334 H. Poincaré. 

On comprend alors comment Taiialyste, qui pourduit un but pure- 
ment esthétique, contribue par cela méme ä créer une langue plus propre 
a satisfaire le physicien. 

Mais ce n'est pas tout; la loi sort de Texpérience, mais elle n'en 
sort pas immédiatement. L'expérience est individuelle, la loi qu'on en 
tire est générale; rexpérience n'est qu'approchée, la loi est precise, ou 
du moins prétend l'étre. Uexpérience se fait toujours dans des conditions 
complexes, Fénoncé de la loi élimine ces complications. Cest ce qu'on 
appelle Dcorriger les erreurs systéraatiques». 

En un mot, pour tirer la loi de Texpérience, il faut généraliser; 
c'est une nécessité qui s'impose a Tobservateur le plus circonspect 

Mais comment généraliser? toute vérité particuliére peut évidem- 
ment étre étendue d'une infinité de maniéres. Entré ces mille chemins 
qui s'ouvrent devant nous, il faut faire un choix, au moins provisoire; 
dans ce choix, qui nous guidera? 

Ce ne pourra étre que Tanalogie. Mais que ce mot est vague! 
L'homme primitif ne connait que les analogies grossiéres, celles qui frappent 
les sens, celles des couleurs ou des sons. Ce n*est pas lui qui aurait 
songé ä rapprocher par exemple la lumiére de la chaleur rayonnante« 

Qui nous a appris a connaltre les analogies véritables, profondes, 
celles que les yeux ne voient pas et que la raison devine? 

Cest Tesprit mathématique, qui dédaigne la matiére pour ne s^at^ 
tacher qu'ä la forme pure. Cest lui qui nous a enseigné ä nommer du 
méme nom des étres qui ne différent que par la matiére, a nommer du 
méme nom par exemple la multiplication des quaternions et celle des 
nombres entiers. 

Si les quaternions, dont je viens de parler, n'avaient été si promp- 
tcment utilisés par les physiciens anglais, bien des personnes n'y verraient 
sans doute qu une réverie oiseuse, et pourtant, en nous apprenant a rap- 
procher ce que les apparences séparent, ils nous auraient déja rendus 
plus aptes a pénétrer les secrets de la nature. 

Voila les services que le physicien doit attendre de Tanalyse, mais 
pour que cette science puisse les lui rendre, il faut quelle soit cultivée 
de la fayon la plus large, sans préoccupation immédiate d'utilité; il faut 
que le mathématicien ait travaillé en artiste. Ce que nous lui demandons, 
c'est de nous aider ä voir, ä discerner notre chemin dans le dédale qui 



Sar les rapports de TaDalyse pure et de la physique matbémaliquc. 335 

8'offre ä nous. Or, celui qui voit le mieux, c'est celui qui 8'est élevé 
le plus haut. 

Les exeraples abondent, et je rae bornerai aux plus frappants. 

Le premier nous montrera comment il sufifit de changer de langage 
pour apercevoir des généralisations qu'on n'avait pas d'abord 80up9onnées. 

Quand la loi de Newton s^est substituée ä celle de Képler, on ne 
connaissait encore que le mouvement elliptique. Or, en ce qui concerne 
ce mouvement, les deux lois ne différent que par la forme; on passé de 
Tune ä Tautre par une simple diflférentiation. 

Et cependant, de la loi de Newton, on peut déduire, par une géné- 
ralisation immédiate, tous les effets des perturbations et toute la Méca- 
nique Céleste. Jamais au contraire, si on avait conservé Ténoncé de 
Képler, on n'aurait regardé les orbites des planétes troublées, ces courbes 
compliquées dont personne n'a jamais écrit Téquation, comme les géné- 
ralisations naturelles de Tellipse. Les progrés des observations n'auraient 
servi qu'a faire croire au cliaos. 

Le second exemple mérite également d'étre médité. 

Quand Maxwell a commencé ses travaux, les lois de Télectrodyna- 
mique admises jusqu'a lui rendaient compte de tous les faits connus. Ce 
n'est pas une expérience nouvelle qui est venue les infirmer. 

Mais en les envisageant sous un biais nouveau, Maxwell a reconnu 
que les équations deviennent plus symétriques quand on y ajoute un 
terme, et d'autre part ce terme était trop petit pour produire des effets 
appréciables avec les méthodes anciennes. 

On sait que les vues a priori de Maxwell ont attendu vingt ans 
une confirmation expérimentale; ou si vous aimez mieux, Maxwell a 
devancé de vingt ans Texpérience. 

Comment ce triomphe a-t-il été obtenu? 

Cest que Maxwell était profondément imprégné du sentiment de 
la symétrie mathématique; en aurait-il été de méme, si d*autres n'avaient 
avant lui recherché cette symétrie pour sa beauté propre. 

Cest que Maxwell était habitué a Dpenser en vecteursD et pourtant 
si les vecteurs se sont introduits dans Tanalyse, c'est par la théorie des 
imaginaires. Et ceux qui ont inventé les imaginaires ne se doutaient 
guére du parti qu'on en tirerait pour Tétude du monde réel; le nom 
qu'il8 leur ont donné le prouve suffisamment. 



336 H. PoiDcaré. 

Maxwell en un mot n'était peut-étre pas un habile analyste, mais 
cette habileté n'aurait été pour lui qu'un bagage inutile et genant. Au 
contraire il avait au plus haut degré le sens intime des analogies mathé- 
matiques. C*est pour cela qu il a fait de bonne physique mathématique. 

L'exeinple de Maxwell nous apprend encore autre chose. 

Comnient faut-il traiter les équations de la physique mathématique? 
devons-nous simplement en déduire toutes les conséquences, et les regarder 
comme des réalités intangibles? Loin de la; ce qu'elle8 doivent nous 
apprendre surtout, cest ce qu'on peut et ce qu'on doit y changer. Cest 
comme cela que nous en tirerons quelque chose d'utile. 

Le troisiéme exemple va nous montrer comment nous pouvons 
apercevoir des analogies mathématiques entré des phénoménes qui n'ont 
physiquement aucun rapport ni apparent, ni réel, de telle sorte que les 
lois de Fun de ces phénoménes nous aident a deviner celles de Tautre. 

Une méme équation, celle de Laplace, se rencontre dans la théorie 
de Tattraction newtonnienne, dans celle du mouvement des liquides, dans 
celle du potentiel électrique, dans celle du magnétisme, dans celle de 
la propagation de la chaleur et dans bien d'autres encore. 

Qu'en résulte-t-il ? Ces théories semblent des images calquées Tune 
sur Tautre; elles s'éclairent mutuellement, en s'empruntant leur langage; 
demandez aux électriciens s'ils ne se félicitent pas d'avoir in vente le mot 
de flux de force, suggéré par Vhydrodynamique et la théorie de la chaleur. 

Ainsi les analogies mathématiques, non seulement peuvent nous faire 
pressentir les analogies physiques, mais encore ne cessent pas d'étre utiles^ 
quand ces derniéres font défaut. 

En resumé le but de la physique mathématique n'est pas seulement 
de faciliter au physicien le calcul numérique de certaines constantes ou 
rintégration de certaines équations différentielles. 

Il est encore, il est surtout de lui faire connaitre Tharmonie cachée 
des choses en les lui faisant voir d'un nouveau biais. 

De toutes les parties de Tanalyse, ce sont les plus élevées, ce sont 
les plus pures, pour ainsi dire, qui seront les plus fécondes entré les 
mains de ceux qui savent 8'en servir. 



Sur les rapports de Tanalyse pure et de la physique matbématique. 337 



III. 

Voyons maintenant ce que Tanalyge doit a la physique. 

Il faudrait avoir coraplétement oublié Thistoire de la science pour 
ne pas se rappeler que le désir de connaltre la nature a eu sur le dé- 
velopperaent des mathématiques Tinfluence la plus constante et la plus 
heureuse. 

En premier lieu, le physicien nous pose des problémes dont il attend 
de nous la solution. Mais en nous les posant il nous a payé largement 
d'avance le service que nous pourrons lui rendre, si nous parvenons a 
les résoudre. 

Si Ton veut me permettre de poursuivre ma coinparaison avec les 
beaux-arts, le mathématicien pur qui oublierait Texistence du monde 
extérieur, serait semblable a un peintre qui saurait harmonieusement 
combiner les couleurs et les formes, raais a qui les modéles feraient 
défaut. Sa puissance créatrice serait bientöt tarie. 

Les combinaisons que peuvent former les nombres et les symboles 
sont une multitude infinie. Dans cette multitude, comment choisirons- 
nous celles qui sont dignes de retenir notre attention? Nous laisserons- 
nous uniquement guider par notre caprice? Ce caprice, qui lui-méme 
d'ailleurs ne tarderait pas a se lasser, nous entrainerait sans doute bien 
loin les uns des autres et nous cesserions promptement de nous entendre 
entré nous. 

Mais ce n^est la que le petit c6té de la question. 

La physique nous empéchera sans doute de nous égarer. Mais elle 
nous préservera aussi d'un danger bien plus redoutable; elle nous em- 
péchera de tourner sans cesse dans le méme cercle. 

L'histoire le prouve, la physique ne nous a pas seulement forcés 
de choisir entré les problémes qui se présenteraient en foule; elle nous 
en a imposé auxquels nous n'aurions jamais songé sans elle. 

Quelque variée que soit Timagination de Thomme, la nature est 
mille fois plus riche encore. Pour la suivre, nous devons prendre des 
chemins que nous avions négligés et ces chemins nous conduisent souvent 

Äeta mathémoHea. 21. Iroprimö le 16 septembre 1897. 48 



338 H. PoiDcaré. 

a des sommets d'oii nous découvrons des paysages nouveaux. Quoi de 
plus utile! 

Il en est des symboles raathématiques corame des réalités physiques; 
c' est en comparant les aspects diiSFérents des choses que nous pourrons 
en comprendre Tharmonie intime, qui seule est belle et par conséquent 
digne de nos efforts. 

Le premier exemple que je citerai est tellement ancien qu'on serait 
tenté de Toublier; il n'en est pas moins le plus important de tous. 

Le seul objet naturel de la pensée mathématique, c'est le nombre 
entier. Cest le monde extérieur qui nous a imposé le continu, que nous 
avons inventé sans doute, mais qu'il nous a forcés a inventer. 

Sans lui, il n'y aurait pas d'analyse infinitésimale; toute la science 
mathématique se réduirait a Tarithmétique ou a la théorie des substitutions. 

Au contraire nous avons consacré a Tétude du continu presque tout 
notre temps et toutes nos forces. Qui le regrett^ra; qui croira que ce 
temps et ces forces ont été perdues? 

L'analyse nous déroule des perspectives infinies que Tarithmétique 
ne soup9onne pas; elle vous montre d'un coup d'oeil un ensemble 
grandiose dont Tordonnance est simple et symétrique: au contraire dans 
la théorie des nombres, ou régne Timprévu, la vue est pour ainsi dire 
arrétée a chaque pas. 

Sans doute on vous dira qu'en dehors du nombre entier, il n'y a 
pas de rigueur, et par conséquent pas de vérité mathématique; que 
partout il se cache, et qu'il faut s'efforcer de rendre transparents les 
voiles qui le dissimulent, dut-on pour cela se résigner ä d'interminables 
redites. 

Ne soyons pas si puristes et soyons reconnaissants au continu qui, 
si tout sort du nombre entier, était seul capable d*en faire tant sortir. 

Ai-je besoin d'ailleurs de rappeler que M. Hermite a tiré un parti 
surprenant de Tintroduction des variables continues dans la théorie des 
nombres. Ainsi le domaine propre du nombre entier est envahi lui-méme 
et cette invasion a établi Tordre, la ou régnait le désordre. 

Voila ce que nous devons au continu et par conséquent a la nature 
physique. 

La serie de Fourier est un instrument précieux dont Tanalyste fäit 
un usage continuel; si Fourier Ta inventée, c'est pour résoudre un 



Sar les rapports de Tanalyse pure et de la pbysique mathématique. 339 

probléme de physique. Si ce probléme ne 8'était pose naturellement, on 
n'aurait jamais osé rendre au discontinu ses droits; on aurait longteraps 
encore regardé les fonctions continues comme les seules fonctions véritables. 

La notion de fonction sest par lä considérablement étendue et a re9U 
de quelques analystes logiciens un développement imprévu. Ces ana- 
lystes se sont ainsi aventurés dans des regions oii régne Tabstraction la 
plus pure et se sont éloignés autant quil est possible du monde réel. 
Cest cependant un probléme de physique qui leur en a fourni Toccasion. 

Derriére la serie de Fourier, d'autres series analogues sont entrées 
dans le doraaine de TAnalyse; elles y sont entrées par la méme porte; 
elles ont été imaginées en vue des applications. Il me suffira de citer 
celles qui ont pour elements les fonctions sphériques, ou les fonctions 
de Lame. 

La théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre a 
eu une histoire analogue; elle s'e3t développée surtout par et pour la 
physique. 

Si les analystes sétaient abandonnés a leurs tendances naturelles, 
voici probablement cominent ils auraient envisagé ces équations et com- 
ment ils auraient choisi les conditions aux limites. 

Supposons par exemple une équation entré deux variables x et y 
et une fonction F de ces deux variables. Ils se seraient donné F et 

JET 

Y- pour OJ = o. Cest ce qu'a fait par exemple M™* de Kowalevski dans 

son celebre mémoire. 

Mais il y a une foule d'autres maniéres de poser le probléme. On 

peut se donner F tout le long d'un contour fermé, comme dans le pro- 

dF 
bléme de Dirichlet, ou se donner le rapport de F a t- comme dans 

la théorie de la chaleur. 

Toutes ces fa9ons de poser le probléme, c'est a la physique que 
nous les devons. On peut donc dire que sans clle, nous ne connaitrions 
pas les équations aux dérivées partielles. 

Il est inutile de multiplier les exemples. J'en ai dit assez pour 
pouvoir conclure: quand les physiciens nous demandent la solution d'un 
probléme, ce nest pas une corvée qu'ils nous imposent, c'est nous au 
contraire qui leur devons des remerciments. 



340 H. Poiucaré. 



IV. 

Mais ce nest pas tout; la physique ne nous donne pas seulement 
Toccasion de résoudre des problémes; elle nous aide a en trouver les 
raoyens, et cela de deux maniéres. 

Elle nous fait pressentir la solutiou; elle nous suggére des raison- 
nements. 

J'ai parlé plus haut de Téquation de Laplace que Ton rencontre 
dans une foule de théories physiques fort éloignées les unes des autres. 
On la retrouve en géoraétrie, dans la théorie de la representation con- 
forme, et en analyse pure, dans celle des imaginaires. 

De cette fa9on, dans Tétude des fonctions de variables complexes, 
Tanalyste, a c6té de Timage géométrique, qui est son instrument habi- 
tuel, trouve plusieurs images physiques dont il peut faire usage avec le 
méme succés. 

Grace a ces images, il peut voir d'un coup d oeil ce que la déduc- 
tion pure ne lui montrerait que successivement. Il rassemble ainsi les 
elements épars de la solution, et par une sorte d'intuition, devine avant 
de pouvoir démontrer. 

Deviner avant de démontrer! Ai-je besoin de rappeler que c^est 
ainsi que se sont faites toutes les découvertes importantes! 

Combien de vérités que les analogies physiques nous perinettent de 
pressentir et que nous ne sommes pas encore en état d'établir par un 
raisonnement rigoureux! 

Par exeinple, la physique mathématique introduit un grand nombre 
de développements en series. Ces développements convergent, personne 
n'en doute; mais la certitude fait défaut. 

Ce sont autant de conquétes assurées pour les chercheurs qui viendront 
apres nous. 

La Physique, d'autre part, ne nous fournit pas seulement des solutions; 
elle nous fournit encore, dans une certaine mesure, des raisonnements. 

Il me suflfira de rappeler comment M. Klein, dans une question 
relative aux surfaces de Riemann, a eu recours aux propriétés des courants 
électriques. 



Sur les rapports de TaDalyse pure et de la pbysiqae matbématique. 341 

Il est vrai que les raisonnements de ce genre ne sont pas rigoureux, 
au sens que Tanalyste attaché ä ce mot. 

Et ä ce propos, une question se pose: comment une demonstration, 
qui n'est pas assez rigoureuse pour Tanalyste, peut-elle suffire au physicien? 
Il semble qu'il ne peut y avoir deux rigueurs, que la rigueur est ou 
n'est pas, et que, lä oii elle n'est pas, il ne peut y avoir de raisonnement. 

On comprendra raieux ce paradoxe apparent, en se rappelant dans 
quelles conditions le nombre s'applique aux phénoménes naturels. 

D'ou proviennent en general les difificultés que Ton rencontre quand 
on recherche la rigueur? On s'y heurte presque toujours en voulant 
établir que telle quantité tend vers telle limitc, ou que telle fonction 
est continue, ou qu elle a une dérivée. 

Or les nombres que le physicien mesure par Texpérience ne lui sont 
jamais connus qu'approximativement; et, d'autre part, une fonction quel- 
conque dififére toujours aussi peu que Ton veut d'une fonction discontinue, 
et en méme temps elle différe aussi peu que Ton veut d'une fonction 
continue. 

Le physicien peut donc supposer ä son gré, que la fonction étudiée 
est continue, ou qu'elle est discontinue; qu'elle a une dérivée, ou qu'elle 
nen a pas; et cela sans crainte d'étre jamais contredit, ni par Texpérience 
actuelle, ni par aucune expérience future. On con9oit, qu'avec cette 
liberté, il se joue des difficultés qui arrétent Tanalyste. 

Il peut toujours raisonner comme si toutes les fonctions qui s'in- 
troduisent dans ses calculs étaient des polynomes entiers. 

Ainsi raper9u qui suffit a la Physique n'est pas le raisonnement 
qu^exige TAnalyse. Il ne s'en suit pas que Tun ne puisse aider ä trouver 
Tautre. 

On a déja transformé en demonstrations rigoureuses tant d'aper9U8 
physiques que cette transformation est aujourd'hui facile. 

Les exemples abonderaient si je ne craignais, en les citant, de fa- 
tiguer votre attention et si cette conférence n'était déja trop longue. 

J'espére en avoir assez dit pour montrer que TAnalyse pure et la 
Physique matbématique peuvent se servir Tune Tautre sans se faire Tune 
a Tautre aucun sacrifice et que chacune de ces deux sciences doit se 
réjouir de tout ce qui éléve son associée. 



ACTA MATHEMATICA 



INHAIJSVERZEICHNISS DER ZWANXIG ERSTEN BÄNDE 



NEB8T 



NAMENREGISTER DER BÄNDE 11 BIS 20. 



TABLE DES MATIÉRES CONTENUES 
DANS LES VINGT PREMIERS VOLUMES 



SUIVIE 



t t 



irUNE TABLE GENERALE PAR NOMS D'AUTEURS 

DES VOLUMES 11-20. 



Inhalts- Verzeichniss. — Table des matiéres. 



Band 1. — Torne 1. 

1882. 

Seite. PH ge. 

Dedikation. — Dédicace. 
Vorrede. — Avertissement. 

Théorie des groupes fuchsiens, par H. Poincaré 1— 62 

Zur Theorie der Leibrenten, von C, J. Malmsten 63 — 76 

Eine Annäherungsmethode im Probleme der drei Körper, von Hugo Gyldm 11 — 92 

Das Problem der Configurationen, von Th. Reye 93 — 96 

Die Hexaéder- und die Octaederconiigurationen (12^, 163), von Th. Reye... 97 — 108 

Sur les fonctions uniformes d*un point analytique {x , y), par P. Appell ... 109 — 131 
Sur les fonctions uniformes d'un point analytique {x , y). (Second mémoire), 

par P. Api>éll 132—144 

Développements en serie dans une aire limitée par des arcs de cercle, par 

P Appell 145—152 

Zur Theorie der quadratischen Reste, von Ernst Schering 153 — 170 

Sur un groupe de théorémes et formules de la géométrie énumérative, par 

H. G. Zeuthen 171—188 

Sur un théoréme de M. Hermite. Extrait d'une lettre adressée å M. 

Ch. Hermite, par E. Goursat 189—192 

Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, par H. Poincaré 193 — 294 

Note sur les intégrales Eulériennes. Extrait d'une lettre adressée å M. Ch. 

Hermite, par L. Bourguet 295 — 296 

Sur une classe de groupes discontinus de substitutions linéaires et sur les 

fonctions de deux variables indépendantes restant invariables par 

ces substitutions, par Emile Picard 297 — 320 

Äeia mathtmatiea. 21. Imprimé le 15 septembre 1897. 44 



346 iDhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 

Relte. Pag». 

Ober lineare homogene Diflferentialgleichungen, zwischen deren Integralen ho- 

mogene Relationen höheren als ersten Grades bestehen, von L. Fuchs 321 — 362 

Sur quelques intégrales définies. Extrait d'une lettre adressée å M. Ch. Her- 

mite, par L. Bourguet 363 — 367 

Sur une relation donnée par M. Cayley, dans la théorie des fonctions ellip- 
tique. Extrait d'une lettre adressée k M. Mittag-Lefiler, par Ch, Her- 
mitp.... " 368—370 

Zur Theorie der Discriminanten, von Eugen Netto 371 — 399 

Bild von N. H. Abel. — Portrait de N. H. Abel. 

Eine Figurentafel. — Une planche. 

Inhalt. — Table des matiéres. 



Band 2. — Torne 2. 

1883. 

Sur une classe des fonctions représentées par des intégrales définies, par 

E. Goursat 1— 70 

Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes, par P. Appell 71 — 80 
Sur une espéce de courbes symétriques de la sixiéme classe, par C. Crone 81 — 96 

Sur les fonctions de deux variables, par H. Poincaré 97 — 113 

Sur des fonctions de deux variables analogues aux fonctions modulaires, par 

Emile Picard 114—135 

Zur Theorie der Raumcurven, von H. Valentiner 136 — 230 

Ober die transcendente Function Q(x) = r(x) — P(«). Aus einem Brief 

an Herm G. Mittag-Lefiler, von Hjalmar Mellin 231 — 232 

Sur une équation linéaire du second ordre å coefllcients doublements pério- 

diques, par M. Elliot 233—260 

Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes, par 

L. Bourguet 261—295 

Sur la fonction Eulérienne, par L. Bourguet 296 — 298 

Sur quelques points dans la théorie des nombres, par Gti. Hermite et 

R. Lipschitz 

1. Extrait d'une lettre de M. Hermite å M. Lipschitz 299 — 300 

2. Extrait d'une lettre de M. Lipschitz k M. Hermite 301 — 304 

Sur une propriété du systéme de tous les nombres algébriques réels, par 

G. Cantor (traduction d*un mémoire publié dans le journal de Bor- 

chardt, t. 77, p. 258) 305—310 

Une contribution å la théorie des ensembles, Mémoire de G. Cantor, (Ex- 
trait du journal de Borchardt, t. 84) 311—328 



Inhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 347 

Seite. Page. 

Sur les series trigonométriques, par G, Cantor (traduction d'un mémoire 

publiées dans les Annales mathématiques de Leipsic, t. 4, p. 139) 329 — 335 

Extension d'un théoréme de la théorie des series trigonométriques, par 
G. Cantor (traduction d'un mémoire publié dans les Annales ma- 
thématiques de Leipsic, t. 5, p. 123) 336 — 348 

Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G. Cantor, (Premiére 

partie. Extraite des Annales mathématiques de Leipsic, t. 15) 349 — 356 

Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G. Cantor, (Seconde 

partie. Extraite des Annales mathématiques de Leipsic, t. 17) 357 — 360 

Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G. Cantor, (Troisiéme 
partie. Extraite d'un mémoire des Annales mathématiques de Leipsic, 
t. 20, p. 113) 361—371 

Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G, Cantor, (Quatriéme 
partie. Extraite d'un mémoire publié dans les Annales mathéma- 
tiques de Leipsic, t. 21, p. 51) 372—380 

Fondements dune théorie générale des ensembles, par G, Cantor, (Extrait 

d'un artide des Annales mathématiques de Leipsic, t. 21, p. 545) 381 — 408 

Sur divers théorémes de la théories des ensembles de points situés dans un 
espace continu å N dimensions. Premiére communication. Extrait 
d'une lettre adressée å Téditeur, par G, Cantor 409 — 414 

Quelques théorémes de la théorie des ensembles de points. Extrait d'une 

lettre adressée å M. Cantor å Halle, par Ivar Bendixson ^ 415 — 429 

Vier Figurentafeln. — Quatre planches. 

Inhalt. — Table des matiéres. 



Band 3. — Torne 3. 

1883—1884. 

O ber die einer beliebigen Diflferentialgleichung erster Ordnung angehörigen 

selbständigen Transcendenten, von Leo Königsherger 1 — 48 

Mémoire sur les groupes kleinéens, par H. Poincaré 49 — 92 

Sur la transformation des fonctions elliptiques, par Martin Krause 93 — 96 

Une question de rentes viagéres, par L, Lindelöf 97 — 101 

Eine Verallgemeinerung der Gleichung 

iXi +x)r{i—x)^-,^^. 

smTcx 

Aus einem Brief an Herm G. MittagLeflfler, von Hjalmar Méllin 102 — 104 



348 Inhalts- VerzeichDiss. — Table des matiéres. 

Selte. Page. 



Sur réquation 

d^v r fc*.snajcna; sn os dn « cnajdna 



d^y r k^HTixcnx sn os dn « en xdnzl dy 

T^ + \2v + 2u, 21;, / 

dx L dn « en aj ' en « J aos 

Jr^iri, - vJK + ,, + !)+ ^K - v,)K + v, + I) 



[ 



+ -^-1 — (nj — v)(n, + u + i) + fc*sn*a;(n. + v + i^j + »^,)(n — y — y, — y, + i) + A y, 

équation ou v, v, , v, désignent des nombres quelconques, n,n^,n^,n^ 

des nombres entiers positifs ou négatifs, et h une constante arbi- 

traire. Premier mémoire, par C** de Sparre 105 — 140 

Sur les couches de niveau électromagnétiques, par E, Beltrami 141 — 152 

Sur la transformation des fonctions hyperelliptiques de premier ordre, par 

Martin Krause 153 — 180 

Sur les surfaces du troisiéme ordre, par C. Le Paige 181 — 200 

Ein neuer Beweis fiir die Riemann'sche Thetaformel, von F, Prym 201 — 215 

Ableitung einer allgemeinen Thetaformel, von F. Prym 216 — 239 

Uber die Verallgemeinerung der Riemann'schen Thetaformel, von A. Krazer 

und F. Prym 240—276 

Note sur certaines équations différentielles linéaires, par Adolph Steen 277 — 282 

Sur le multiplicateur des fonctions hyperelliptiques de premier ordre, par 

Martin Krause 283—288 

Sur réquation 

d^y r fe' sn « en iB sn os dn » en « dn x~\ du 

:ri + 2v + 2v, 2v, / 

dx^ L dn « en ic 8nx jdx 



^^^(n, - v.Xn, + v, + I) + ^;^r^K - ^)(w, + ^, + l) 



k^cn^x 



k CTl X 1 

équation ou v, Vj , y, désignent des nombres quelconques, 7l,tl^,n^,n^ 
les nombres entiers positifs ou négatifs, et h une constante arbi- 
tiiiire. Deuxiéme mémoire, par C^ de Sparre 289 — 321 

Uber gewisse durch die Gammafunction ausdriickbare unendliehe Producte. 

Aus einem Brief an Herm G. Mittag-Leffler, von Hjalmar Mellin 322 — 324 

Sur les invariants des écjuations différentielles linéaires du quatriéme ordre, 

par G.'H. Halphen 325—380 

Inhalt. — Table des matiéres. 

Errata. 



iDhalts-VerzeichDiss. — Table des matiéres. 349 



Band 4. — Torne 4. 

1884. 

Seite. Pag«. 

Sur la representation anal3rtique des fonctions monogénes uniformes d*une 

variable indépendante, par G, Mittag-Leffler 1 — 79 

Demonstration nouvelle du théoréme de Laurent, par G. Mittag-Leffler ... 80 — 88 
Sur un développement en fraction continue, par Ch. Hermiie et L. Fuchs 

1. Extrait d'une lettre adressée å M. Hermite par M. Fuchs 89 — 90 

2. Extrait d'une lettre adressée å M. Fuchs par M. Hermite 91 — 92 
Sur Téquation aux dérivées partielles du troisiéme ordre des systémes or- 

thogonaux, par Gaston Darboux 93 — 96 

Sur quelques points de la théorie des équations numériques, par E. Laguerre 97 — 120 
Recherches hydrodynamiques. Premier mémoire: Les équations hydrodyna- 

miques et les relations supplémentaires, par C. A, Bjerknes 121 — 170 

Sur la généralisation d'une formule d'Abel, par N, Sonine 171 — 176 

Untersuchungen iiber die Lage der Brennlinien eines unendlich diinnen 

Strahlenbiindels gegeneinander und gegen einen Hauptstrahl, von 

Ludivig Mathiessen 177 — 192 

Sur Tusage des produits infinis dans la théorie des fonctions elliptiques, 

par Oi. Hermite et B. Lipschitz 

1. Extrait d'une lettre de M. Hermite å M. Lipschitz 193 — 193 

2. Extrait d'une lettre de M. Lipschitz k M. Hermite 194 — 196 

Demonstration du théoréme de Cauchy. Extrait d*une lettre adressée ä 

M. Hermite par E. Goursat 197—200 

Sur les groupes des équations linéaires, par H. Poincaré 201 — 312 

Sur les fonctions de trois variables reelles satisfaisant å Téquation diflfé- 

rentielles Af' = o, par P. Appell 313—374 

Beweis des Laurenfschen Satzes, von Ludwig Scheeffer 375 — 380 

De la puissance des ensembles parfaits de points. Extrait d'une lettre 

adressée å Téditeur, par G, Cantor 381 — 392 

t)ber die Reduction einer bestimmten Classe Aberscher Integrale 3**° Ranges 

auf elliptische Integrale, von Sophie Kowalevski 393 — 414 

Zu Eulers Recursionsformel fiir die Divisorensimimen. Aus einer Zuschrift 

an den Herausgeber, von Chr. Zeller 415 — 416 

Inhalt. — Table des matiéres. 



350 Inhalts- Verzeiohniss. — Table des matiéres. 



Band 5. — Torne 5. 

1884—1885. 

Seite. Page: 

Sur la formule 

Ä< = Aw, — - . Aw; .+ ^^' A< -^^^^ • A^r + etc, 

* X 2 ''l.2 * 1.2.3.4 *' ' 

par C J. Malmsten 1 — 46 

Beweis eines Satzes aus der Mannigfaltigkeitslehre, von Edvard Phragmén 47 — 48 
Allgemeine Untersuchungen liber Rectification der Curven, von Ltidtvig 

Scheeffer 49— 82 

Einige Anzahlen fur Kegelflächen, von H, Krey 83 — 96 

Sur une classe d'intégrale8 doubles, par E, Goursai 97 — 120 

Sur les formes quadratiques temaires indéfinies å indéterminées conjuguées 

et Bur les fonctions hyperfuchsiennes correspoudantes, par Emile 

Picard 121—182 

Zur Theorie der stetigen Funktionen einer reellen Veränderlichen, von 

Ludimg Scheeffer 183—194 

Nou velies recherches sur les surfaces du troisiéme ordre, par C. Le Paige 195 — 202 
Sur les pentaédres complets inscrits å une surface cubique. Extrait d'une 

lettre k M. C. Le Paige, par H-G, Zeuthen 203—204 

Beiträge zur Theorie der clliptischen Funktionen, von H, Schroeter, (Auszug 

aus einem Schreiben an Herm 6. Mittag-Leffler) 205 — 208 

Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes, par H. Poincaré 209 — 278 

Zur Theorie der stetigen Funktionen einer reellen Veränderlichen, von 

Ludwig Scheeffer, (Fortsetzung von Bd. 5, p. 183—194) 279—296 

Sur quelques conséquences arithmétiques des formules de la theorie des 

fonctions elliptiques, par CA. Hermite, (Extrait du Bulletin de 

TAcadémie des Sciences de St. Pctersbourg, t. 29) 297 — 330 

t)ber die Durchdringung gleichseitiger Rotationshyperboloide von parallelen 

Axen, von Wilh, Fiedler , 331—408 

Berichtigung (zur Abhandlung von H. Krey, p. 83 — 96). 
Zwei Figurentafeln. — Deux planches. 
Inhalt. — Table des matiéres. 



Inhalts-Verzeiohniss. — Table des matiéres. 351 



Band 6. — Torne 6. 

1885. 

Seito. Page. 

Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie gé- 

nérale de rélimination, par J. Molk 1 — 166 

Uber den Begriff der Länge einer Curve. Bemerkung zu dem Aufsatz des 

Herm Ludwig Scheeflfer uber Rectification der Curven, von P. du 

Bois-Reymond 167 — 168 

Sur la théorie des fonctions elliptiques, par K. Weierstrass, Traduit de 

Tallemand par A. Pautonnier å Paris 169 — 228 

Zur Théorie der eindeutigen analytischen Functionen, von C Runge 229 — 248 

tJber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln, von Sophie 

Kowalevski 249—304 

Entwicklung der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in Summen von 

rationalen Functionen der Coefficienten, von C Runge 305 — 318 

Un théoréme d'algobre. Extrait d'une lettre adressée å M. Hermite par 

T.-J. Stieltjes 319—326 

Eine Bemerkung iiber Divisorensuramen, von M, A. Stern 327 — 328 

Zur Théorie der elliptischen Functionen, von H. Weber 329 — 416 

Inhalt. — Table des matiéres. 



Band 7. — Torne 7. 

1886—1886. 

Ankiindigung des Preisausschreibens Seiner Majestät des Königs Oscar II. — 

Avertissement sur le concours institué par S. M. le Roi Oscar II... I — VI 

Sur un thc^oréme de M. Fuchs, par H. Poincaré 1 — 32 

Sur un théoréme concemant les fonctions elliptiques, par Edvard Phragmén 33 — 42 

Ober die Begrenzun^en von Continua, von Edvard Phragmén 43 — 48 

Uber Systeme von Plancurven, von H. Krey 49 — 94 

Déduction arithmétique d'une relation due ä Jacobi. Extrait d*une lettre 

adressée å M. Hermite, par R, Lipschitz 95 — 100 

Zur Théorie der Elimination, von E, Netto 101 — 104 

Ober verschiedene Theoreme aus der Théorie der Punctmengen in einem 
ti-fach ausgedehnten stetigen Raume Gn. Zweite Mittheilung von 

Georg Cantor 105—124 



352 iDhalts-Yeraeiohnisfl. — Table des matiéres. 

Selte. Page. 

Die intennediäre Bahn des Mondes, von Hugo Gyldén 125 — 172 

tJber die auflösbaren Gleichungen von der Form a:* + t*a; + v = o, von 

C. Bunge 173—186 



00 



/mxiox dx 
sin hx I + a;* 



tJber / -: — T— • — ; — : lind verwandte Integrale, von L, ScMäfli 187 — 196 



o 
Beweis eines Satzes aus der Theorie der elliptischen Functionen, von M. Falk 197 — 200 
Untersuchungen iiber quadratische Formen. I. Bestimmung der Ånzahl 

verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält, von 

Hermann Minkowshi 201 — 258 

Sm* réqnilibre d'une masse fluide animée d*un mouvement de rotation, 

par H, Poincaré 259—380 

Note sur une integrale définie, par S, Pincherle 381 — 386 

tJber die Darstellung willkurlicher Functionen. Auszug eines Briefes an 

Herm G. Mittag-Leffler, von C. Bunge 387—392 

Bildniss von Weierstrass. — Portrait de Weierstrass. 

Annonce de la mört de MM. Hjalmar Holmgren et C. J. Malmsten. 

Inhalt. — Table des matiéres. 



Band 8. — Tome 8. 

1886. 

On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the 

mean motions of the sun and moon, by G. W. Hill 1 — 36 

Zur Theorie der Gammafunction, von Hj. Mellin 37 — 80 

Cber hyperelliptische Integrale zweiter und dritter Gattung, von Otto Staude 81 — 92 

Sur un théoréme de M. Hermite relatif å la fonction E(x)y par M. A, Stern 93 — 96 

Anzahl-Bestimmungen fur lineare Räumabeliebiger Dimension, von H, Schubert 97 — 118 
Einige Eigenschaften der linearen und homogenen Differentialgleichungen, 

von E, A. Stenberg 119—154 

Beweis des Satzes dass eine jede algebraische Gleichung eine Wurzel hat, 

von Elling Holst 155—160 

tJber die reductiblen algebraischen Curven, von M. Noether 161 — 192 

Theorie der AbeVschen Zahlkörper, von H. Weber 193—263 

Preisaufgabe der furstlich Jablonowski'schen Gesellschaft fiir das Jahr 1889 264 — 264 
Sur quelques appUcations de la fonction Z{x , y , ;er) å la physique mathé- 

matique, par P. Appell 265 — 294 



Inhalts- Verieiohnisa. — Table des matiéres. 353 

Seite. Page. 

Sur les intégrales irréguliéres des équatLons linéairee, par Ä Poincaré 295 — 344 

Les fonctions d*une seule variable å un nombre quelconque de périodes. 

(Premier mémoire), par F, Casoraii 345 — 359 

Les lieux fondamentaux des fonctions inverses des intégrales clliptiques de 

2me qi jrae espcce (Deuxicme memoire)^ par F, Casorati 360—386 

Sur les unités électriques. Extrait d'une lettre adressée å lediteur par 

J. Bertrand 387—392 

Inhalt. — Table des niatieres. 

Erratum. 

Corrrection. 



Band 9. — Torne 9. 

1886-1887. 

Sur une extension å Tinfini de la formule d'interpolation de Gauss, par 

/. Bendixson 1 — 34 

Sur la representation des valeurs limites des intégrales par des résidus inti»graux, 

par P. TchebycJieff. (Traduit du russe par Sophie Kowalevski) 35 — 56 

Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tchebycheff, 

par A, Markoff. 57— 70 

Sur une demonstration du théoréme fondamental de la théorie des é(|ua- 

tions, par Gino Ijoria 71 — 72 

Die Fliichen constanter Kriimmung mit einem System sphärischer Kriimmungs- 

linien dargestellt mit Hilfe von Thetafunctionen zwcier Variabeln, 

von Hermann Dohriner 73 — 104 

Theorie der Aberschen Zahlkörper, von H, Weher 105 — 130 

Kalender-Formeln, von CJir, Zeller '. 131 — 136 

Cber einen Zusammenhang zwischen gewissen linearen Differential- und 

Differenzengleichungen, von Hj. Mellin 137 — 166 



a 



Note sur un dévcloppement de Tintégrale I e^dx, par T.-J. SHeltjes 167 — 176 

• o 
Einige Sätze iiber Summen von Divisoren, von Jacob Häcks 177 — 181 

Sur los sommes composées des coefficients des series h termes i)Ositif8. Lettre' 

adressée i\ Madame Sophie Kowalevski, par P. Tchebycheff 182 — 184 

Untersuchungen iiber die Convergenz der Reihen welchc zur Darstellung der ^ 

Coordinaten der Planeten angewendet werden, von H Gyldén 185 — 294 

Ul>er orthogonale Substitution^n, von E. Netto 295—300 

Déduction de quelques formules analytiques d'un théoréme élémentaire de 

la théorie des nombres, par A, Berger 301 — 320 

Äeta mathematiea. 21. Imprimé le IG septembre 1897. 45 



354 tnhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 

Seite. Page. 

Sur les résidus des intégrales doubles, par H.. Poincaré 321 — 380 

Ober ein Theorem des Herm Tisserand ans der Störungstheorie, von And. 

Lindstedt 381-384 

Sur les racines de Téquation X« = o, par T,-J, Stieltjes 385 — 400 

Inhalt. — Table des matieres. . 

Errata. 



Band 10. — Torne 10. 

« 

1887. 

Ol>er Sumraen von grössten Ganzen, von Jabob Häcks 1 — 52 

Sur la valeur de quelques series qui dépendent de la fonction E[x), par 

M. A. Stern 53— 56 

Dber gewisse trinomische komplexe Zahlen, von K, Schwering 57 — 86 

Un théoréme de la théorie des series. Extrait d'une lettre adressée å M. 

Mittag-Leffler, par Jf. Lerch 87— 88 

Sur le mouvement d*un point materiel sur une surface de revolution, par 

Gustaf Koll 89—108 

Uber die Bedeutung des Princips der lebendigen Kraft fiir die Frage von 

der Stabilität dynamischer Systeme, von Karl Bohlin 109 — 130 

Zur Theorie der krummen Oberflächen, von R. Lipschitm 131 — 136 

Beweis eines Satzes aus der Theorie der Substitutionen, von R. Lipschitz.,. 137 — 144 
Die Minimalflächen mit einem System sphärischer Kriimraungslinien, von 

Hermann Dolrh^er 145 — 152 

Sur certaines operations fonctionnelles représentécs par des intégrales dé- 

finies, par S, Pincherle 153 — 182 

Cber eine Gattung transcendenter Raumcoordinaten, von Otto Staude 183 — 200 

Sur les surfaces possédant les mémes plans de symétrie que Tun des po- 

lyédres réguliers, par L, Lecornu 201 — 280 

Sur les intégrales algébriques de différentielles algébriques, par 6r. Humbert 281 — 298 



OD 



Tables des valeurs des sommes Sk = Sw~*i par T.-J, Stieltjes 299 — 302 

Zur Theorie des Flächenpotentials, von J. Weingarten 303 — 309 

Eemarques sur les intégrales irréguliéres des équations linéaires. Réponse 

k M. Thomé, par H. Poincaré 310—312 

Sur une classe de formes de différentielles et sur la théorie des systemes 

d'éléments, par G, Koenigs 313 — 338 



lohalttf-VeneiobDiss. — Table des matiéres. 355 

8eite. Page. 

Sur un cas special de Téquation différentielle de Lame, par E. A, Stenberg 339 — 348 
Inhaltsverzeichniss der Bände 1 — 10, l>earbeitet von G. Eneström. — Table 

des matiéres des tomes 1 — 10 composée par G. Eneström 349 — 397 

Inhalt. — Table des matiéres. 

Erratum. 

Verbesserungen. 



Band 11. — Torne 11. 

1887-1888. 

Demonstration d'un théoréme general sur les fonctions ui^iformes liées par 
une relation algébrique. Extrait d'une lettre adressée å M. Mittag- 
Leffler par Emile Picard 1— 12 

Eine Verallgemeinerung der dekadischen Schreibweise nebst functionen- 

theoretischer Anwendung, von Emil Strauss 13 — 18 

Note sur la fonction ft(w , a? , u) = > 7 rr-, par M. Lerch 19 — 24 

Cber die Integrale des Vielkörper-Problems, von H, Bruns 25 — 96 

Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verkniipften Functionen, 

von Karl Heun 97—118 

Eine Eigenschaft der Primzahl 107, von K, Schwering 119—120 

On the division of space with minimum partitional area, by Sir William 

Thomson 121—134 

Sur un mode de transformation des surfaces minima, par E. Goursat 135—186 

tJber die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbriiche, von A. Hurwitz 187 — 200 
Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier, 

par L, Sylow 201—256 

Sur un mode de transformation des surfaces minima (Secoud mémoire), par 

E. Goursat 257—264 

Untersuchungen iiber die Normen komplexer Zahlen, von K, Schioering ... 265 — 296 
Demonstration du théoréme fondamental de Galois dans la théorie de la 

resolution algébrique des équations, par J, T, Söderberg 297 — 302 

Uber die Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfiäche, von • 

Otto Staude 303—332 

Zur Theorie der elliptisehen Functionen (Zweite Abhandlung), von H. Weber 333 — 390 
Bemerkung iiber diejenigen Flächen bei denen die Differenz der Haupt* 

kriimmungsradien constant ist, von JB. v. Lilientlwl 391 — 394 



356 iDhalts-Verseiohoiss. — Table des matiéres. 

Seito. Page. 

Sur rintégration algébrique des différentielles algébriques, par J. Plazycki 395 — 400 

Prix Oscar II. Mémoires présentés au ooncours 401 — 402 

Ånnonce de la mört de H. T. Daug. 

Eine FigurentafeL — Une planche de figures. 

Inhaltsverzeichniss. — Table des matiéres. 



Band 12. — Torne 12. 

1889. 

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe, par P. Appell 1 — 50 

Sur une méthode pour obtjpnir le développement en serie trigonométrique 

de quelques fonctions elliptiques, par M, Lerch 51— 56 

Sur les équations différentielles linéaires h coeffioients algébriques, par O, 

GuicMrd 57— 62 

Ober gewisse ebene Configurationen, von J, de Vries 63 — 82 

Sur Téquation du sixiéme degré, par F. Brioschi 83 — 102 

Bemcrkungen zur Theorie der mehrfach lineär verkniipften Punctionen, 

von Karl Heun 103—108 

Scherings Beweis des Reciprocitäts-Satzes fiir die quadratischen Reste, dar- 

gestelit mit Hiilfe des Zeichens [a:], von Jacob Hacis 109 — 112 

t)bcr ein System linearer partieller Difierentialgleichungen, von /. Horn.., 113—176 
Sur le probleme de la rotation d*un corps solide autour d'un point fixe, 

par Sophie Kowalevski 177 — 232 

Sur une généralisation de la théorie des fonctions dune variable imaginaire. 

Premier mémoire, par Vito VoUerra 233—286 

Sur les résidus intt^graux qui donnent des valeurs approchées des intcgralcs, 

par P. Tchebycheff 287—322 

Sur une classe d'équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre, 

par Emile Picard 323—338 

Ober das räumliche Achteck welchcs die Schnittpunkte dreier Oberflächen 

zwcitcr Ordnung bilden, von H. Dobriner.. 339—361 

Note sur les huit points d'inter8ection de trois surfaces du second ordre, 

par H.G. Zeuihen 362—306 

t) ber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwieklung reeller Grössen, von 

A. Hurivitz 367—405 

Annonce de la mört de O.-J. Broch. 
Inhaltsverzeichniss. — Table des matiéres. 



Inbalte-Veneichniss. — Table des maiiéres. 357 



Band 13. — Torne 13. 

1890. 

ticite. Pag». 

Dedikation. — Dédicace. 

Avant-propoö. 

Sur le probleme des trois corps et les équations de la dynamique, par 
Ä Poincarc. Mémoire couronné du prix de S. M. le Roi Oscar II 
le 21 janvier 1889 1—270 

Erratum. 

Sur les intégrales de fonctions å multiplicateurs et leur application au dé- 
veloppement des fonctions abéliennes en series trigonométriques, par 
P. Appell, Mémoire couronné par S. M. le Roi Oscar II le 21 
janvier 1889 1—174 

Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres. (pagioaUon spécuie). 



Band 14. — Torne 14. 

1890—1891. 

Uber einige Grundgebilde der projectiven Geomctrie, von C. Juel 1 — 30 

t) ber die Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung in welchen 

die unabhängige Veränderliche nicht vorkomrat, von Walther Raschke 31—80 

Sur unc propriété du systt^me d'é(juations différentielles (jui définit la rota- 
tion d'un corps solide autour d'un point fixe, par Sophie Kowalevski 81 — 94 

Mesure de la courbure des surfåces suivant Tidée commune. Ses rapports 

avec les mesures de courbure Gaussienne et moyenne, par F, Casorati 95 — 110 

Bestimmung einer Kla&se von Beriihrungstransfonnationsgruppen des dreifach 

ausgedehnten Raumes, von Georg Scheffers 111 — 178 

Beweis der Existenz des Potentials das an der Grenze des betrachteten 
Raumes gegebene Werthe hat fiir den Fall dass diese Grenze eine 

iiberall convexe Fläche ist, von Gustav Kirchlwff 179 — 184 

On a funicular solution of Buffon's »Problem of the needle» in its most 

general form, by J, J. Sylvester 185 — 206 

Uber die acht Schnittpunkte dreier Oberflächen zweiter Ordnimg. Auszug 

eines Schreibens an Herm H. G. Zeuthen von H. Schroeter 207 — 210 

Uber beständig convergirende Potenzreihen mit rationalen Zahlenooeflicienten 

und vorgeschriebenen Nullstellen, von A. Hurtoitz 211 — 216 



358 Inhalts-Verzeichoiss. — Table des matiéres. 

Seite. Page. 

Uber die Diophantischen Gleichungen vom Geschlecht NuU, von D. Hilbert 

und A. Hurwitz : 217—224 

Reinarquee sur la théorie de la representation conforme, par E. Phragmcn 225 — 232 

Lcs invariants des équations différentielles linéaires, par F. Brioschi 233 — 248 

Recherobes sur les nombres et les fonctions de Bemoulli, par A, Berger.., 249 — 804 

Sur deux théorémes relatifs aux probabiliti^s, par P. Tchebycheff 305 — 316 

t)ber die Darstellung der Detcrminante eines Systems welches aus zwei an- 

deren componist ist, von K. Hensel 317 — 320 

Cl^r die Classenanzahl der zu einer negativen Detemiinante D = — q ge- 
hörigen eigentlich primitiven quadratischen Formen, wo q eine Prim- 

zahl von der Form 4n + 3 ist, von Jacob Häcks 321 — 328 

Einige Anwendungcn der Function [x], von Jacob Häcks 329 — 336 

Beiträge zur Ausdehnung der Fuehs'schen Theoric der linearen Differential- 
gleichungen auf ein System linearer partieller Diflferentialgleichungen, 

von /. Horn 337—348 

Sur les cKiuations fondamentales de Télectrodynamique pour les corps en 

mouvement, par H. Hertz 349 — 376 

Annonce de la mört de Sophie Kowalevski et de L. Lorenz. 
Inhaltöverzeichniss. — Table des matiéres. 



Band 15. — Torne 15. 

1891. 

Sur la representation analytique des intégrales et des invarfants d'une é(iua- 

tion différentielle linéaire et homogéne, par G, Mittag- Leffler 1 — 32 

Sur un probleme de representation conforme, par Gustav Cassel 83— 44 

Sur un théoréme de M. Bruns, par SopJUe Kowalevski 45— 52 

Sur une application des déterminants infinis å la théorie des équations 

différentielles linéaires, par Helge von Koch 53 — 64 

Nouvelles recherches sur les series employées dans les théories des planétes, 

par Hugo Gyldén 65—190 

Sur la courbure des surfac^es. Lettre adressée å M. Casorati, par E, Catalan 191 — 192 

Die Théorie der regulären graphs, von Julius Petersen 193 — 220 

Ober eine numerische Bcrechnung der Argumente der cyklischen, hyper- 

bolischen und elliptischen Functionen, von C. Runge 221 — 248 

t}ber die geometrisclie Bedeutung der flächentheoretischen Fundamental- 

gleichungen, von J. Knoblauch 249 — 258 



Inhalts- Verzeichniss. — Table des matiéres. 359 

Seite. Pftge. 

VJber die allgemeine Form der eindeutigen Integrale der linearen homogenen 
Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Coefficienten, von 
E. A. Stenberg 259—278 

Sur une transcendante remarquable trouvée par M. Fredholm. Extrait 

d'une lettre de M. Miitag-Leffler å M. Poincaré 279—280 

Sur des cquations diflTérentielles lineaires transformables en elles-mcme par 

un changement de fonction et de variable, par P. Appell 281 — 316 

Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung, von 

Hj, Mellin 317-384 

Eine Figurentafel. — Une planche de figores. 

Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres. 



Band 16. — Torne 16. 

1892. 

Uber Biegungsin varianten. Eine Anwendung der Lie*8chen Gruppentheoric, 

von Kasimir Zoravski 1 — 64 

Sur les maxima et les minima des inté^grales doubles, par Gustaf Kobh.,. 65 — 140 

Notiz iiber eine Methode zur numerischen tJmkehrung gewisser Transcen- 

denten, von Th. Lohnstein 141 — 142 

Zur Theorie des Krummungsmaasses der Flächen, von R, von Lilienthal 143 — 152 

Sur les vibrations lumineuses dans les milicux biréfringente, par Vito Volterra 153 — 216 

Sur les déterminants infinis et les étjuations différenticUes lineaires, par 

Helge von Kock 217—296 

Sur la polarisation par diffraction, par H. Poincaré 297 — 340 

Sur la generation des systémes récurrents au moyen d'une équation linéairc 

différentielle, par S. Pincherle 341—264 

Expression compléte et signification véritable de la nutation initialc. De- 
monstration qui en résulte de la fluidité intérieure du globe. Consé- 
quences analytiques de celle-ci dans les formiiles de Vaptronomie, 
par F, Folie 365—384 

Sophie Kovalevsky. Notice biographique par G, Miitag-Leffler 385 — 392 

Bild von Sophie Kovalevsky. Portrait de Sophie Kovalevsky. 

Inhaltsverzeichniss. — Tables des matieres. 

Errata. 



360 Inhalts- Verzeichoiss. — Table des matiéres. 



Band 17. — Torne 17. 

1893. 

Seite. Page. 

Nouvelles recherches sur les series employées dans les théories des planétes, 

par Hugo Gyldén (suite et fin) 1 — 168 

t)ber temäre definite Formen, von David Hilbert 169—198 

Zwei Determinantensätze, von E, Netto 199 — 204 

Ubcr einige fur Primzahlcn charakteristische Beziehungen, von Jcxob Häcks 205 — 208 
Sur le oas traité par M"* Kowalevski de rotation d*iin corps solide pesant 

autour d'un point fixe, par Fritz Kötter 209 — 264 

Zur Theorie der linearen Substitutionen, von E. Netto 265 — 280 

t)ber lineare Relationen zwischen Thetaproducten, von A. Krazer 281 --296 

Remarques sur les équations différentielles. Extrait d'une lettre adressée 

å M. Mittag-Leffler, par E. Picard 297—300 

Rapport sur quelques calculs entrepris par M. Berteisen et eoncemant les 

nombres premiers, par J.-P. Gram 301 — 314 

Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln g aller ungeraden Primzahlen p 

unter 3CXX), von G. Wertheim 315—320 

Sur les maxima et les minima des intégrales doubles, sccond mémoirc, 

par Gustaf Koll 321—344 

Entwicklungen zur Transformation funffcer und siebenter Ordnung einiger 

specieller automorpher Functionen, von Robert Fricke 345 — 396 

Inhaltsverzeiehniss. — Table des matieres. 



Band 18. — Torne 18. 

1894. 

Sur les invariants dif{érentiels des groupes continus de transformation, par 

Ar. Tresse 1— 88 

Sur la theorie des caisses de pension, par L. Lindelöf 89 — 96 

Sur les series entiöres convergentes ou divergentes et les fractions continues 

rationnelles, par Henri Pade 97 — 112 

Angenäherte Darstellung der Kvadratwurzel einer Vcränderlichen mittelst 
einfacher Briichc, von P. Tchehycheff, Aus dem Russischen iiber- 
setzt von O. Backlund 113—132 



Inhalts-Verzeichoiss. — Table des matiéres. 361 

Seitc. Page. 

Sur une classe de transcendantes nouvelles, par Emile Picard (Premier 

mémoire) 133 — 154 

Ein Beitrag zur Theoric des Legendre*schen PolynomH, von David Hilhert 155 — 160 

Sur leö vibrations des eorps élastiques isotropes, par Vito Volterra 161 — 232 

Sur rintégration de Téquation différentielle 

y" = Ay' + By' + Cy + D + (Ey + F)y\ 

par G. Mittag-Leffler. (Extrait dune lettre å M. E. Picard) 233—246 

Théorie des fonctions algébriques d'une variable (Premier mémoire), par 

K. Hensel (Traduit par M. G. Brincard) 247—318 

Sur les caraetéres de convergence des series å termes positifs et sur les 

fonctions indéfiniment croissantes, par J. Hadamard 319 — 336 

Sur les intégrales réguliéres des équations différentielles linéaires, par Helge 

von Koch 337—420 

Note additionnelle å Tarticle sur les caraetéres de convergence des series å 

termes positifs et sur les fonctions indéfiniment croissantes, par 

J. Hadamard 421 

Inhaltsverzeichniss. — Table des matiéres. 



Band 19. — Torne 19. 

1895. 

Sur les fonctions de n variables complexes, par Pierre Cousin 1 — 62 

Uber die Doppelcurve auf den geradlinigen Flächen, von A. Wiman 63 — 72 

Sur les expressions algébriques, par D. Sélivanoff 73 — 92 

Deux demonstrations de la convergence de certaines fractions continues, 

par André Markoff 93—104 

Zur Theorie der orthogonalen Detenninanten, von E. Netto 105—114 

Neue Theorie der eindeutigen periodischen Transformationen in der Ebene, 

von S. Kantor 115—194 

Uber reductible Binome, von K. Th, Vahlen 195 — 198 

Cber die Steinersche Fläche, von K Tli, Vahlen 199—200 

Mémoire sur le pendule de longueur variable, par Leon Lecornu 201 — 250 

Sur les équations de la dynamique, par jB. Liouville 251 — 284 

Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre, et sur 

la théorie des intégrales intermédiaires, par E. Goursat 285 — 340 

Äeta mathemaUea. 21. Imprimé le 15 septembre 1897. 45 



862 lohalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 

Seite. Pftge. 

Sur une généralisation de la formule 

jp _ sin ^ sin 2<p sin %ip 

2 1 2^3 

par Carl Störmer 341 — 350 

C ber die Anzahl der Glassen binärer quadratischer Pormen von negativer 

Determinante, von A. Hurmte 351—384 

O ber die Structur der Discriminanten und Besultanten von binären Pormen, 

von Fräne Meyer 385—396 

Inhaltsverzeichniss. — Table des matiéres. 



Band 20. — Torne 20. 

1896—1897. 

Zur Lehre von den hyperelliptischen Integralen, von P. Epstein 1 — 58 

La méthode de Neumann et le probléme de Dirichlet, par H. Poincaré ... 59 — 142 
Primitive Wurzeln der Primzahlen von der Form 2*g* + i , in welcher 

q = I öder eine ungerade Primzahl ist, von 6r. Wertheim 143 — 152 

Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln g aller Primzahlen p zwischen 

3CX)0 und 5CXX) (Portsetzung der Tabelle aus Band 17, Seite 315) 

von G. Wertheim 153—158 

Sur la deformation des surfaces, par Julius Weingarten 159 — 200 

Mémoire sur Télimination, par J, Hadamard 201 — 238 

Sur le mouvement d'un corps solide pesant suspendu par Tun des ses points, 

par R, Liouville 239—284 

Sur Imtégrale finie d'une fonction entiére, par A. Hurwitz 285 — 312 

Sur la polarisation par diffraction (Seconde partie), par H, Poincaré 313 — 356 

Sur les zéros des fonctions entiéres, par Emile Borel 357 — 396 

Hugo Gyldén. Ein biographischer Umriss nebst einigen Bemerkungen uber 

seine wissenschaftlichen Methoden, von Karl Bohlin 397 — 404 

Inhaltsverzeichniss. — Table des matiéres. 



Namenregister der Bände 11 bis 20. 
Table générale par noms d'aatears des volnmes 1 1-20 



APPELL, PAUL EMILB. 

Né ä Strasbourg le 27 septembre 1855, éléve å Técole normale supérieure 1873—1876, 
répétiteur k Técole des hautes études 1876—1877, maltre de conférences å la faculté des 
Sciences de Paris 1877—1879, chargé de cours å la faculté des sciences de Dijon 1879— 
1881, maltre de conférences ä Técole normale supéneure 1881—1885, professeur de mé- 
canique rationnelle ä la faculté des sciences de Paris depuis 1885, membre de Tacadémie 
des sciences de Paris depuis 1892. 

Sur le mouvement d'uD fil dans un plan fixe. t. 12, p. 1—50. 

Snr les intégrales de fonctions å maltiplicatenrs et leur application au dé- 
veloppement des fonctions abéliennes en series trigonométriques. 
Méiuoire couronné par S. M. le Roi Oscar II le 21 janvier 1889. 

t. 13, p. 1—174*). 

Sur des équations différentielles linéaires transformables en elles^mémes par 

un changement de fonction et de variable. t. 15, p. 281 — 316. 

BERGER, ALEXANDER FREDRIK. 

Né ä Nysund (Vermland) en Suéde le 30 juin 1844, maltre de conférences å Tuniversité 
dTpsal depuis 1875. 

Becherches sur les nombres et les fonctions de Befnoulli. 

t. 14, p. 249—304. 

BOHLIN, KARL. 

Né ä Stockholm le 30 octobre 1860, assistant ä lobservatoire de Stockholm depuis 1884, 
maltre de conférences d*astronomie å Tuniversité d'Upsala en 1886. Directeur de Tobserva- 
toire de Stockholm depuis 1897. 

Hugo Gyldén. Ein biographischer Umriss nebst einigen Bemerkungen iiber 
seine wissenschaftlichen Matboden. t. 20, p. 397 — 404. 



*) Ce mémoire est le second des deux mémoires qui förment le tome 13, et qui ont été paginés 
séparément. 



364 Nameoregister. — Table géoérale par noms dauteurs. 

BOREL, EMILE. 

Né ä St Affrique en France (departement d'Aveyron) en janvier 1871, éléve de Técole 
normale en 1889, maltre de conférences k Tuniversité de Lille en 1893. Depuis 1897 maltre 
de conférences ä Vécole normale supérieure. 

Sur les zéros des fonction» entiéres. t. 20, p. 357 — 396. 

BRIOSCHI, FRANCESCO. 

Né k Milan le 22 décembre 1824, professeur de mécanique rationnelle ä Tuniversité de 
Pavie en 1850, sous-sécretaire d'Ktat au departement de Tinstruction piiblique depuis le mois 
de juin 1861 jusqu'au mois de décembre 1862, directeur de Técole polytechnique de Milan 
fondée 1863. Depuis 1865 sénateur du royaume d'Italie. President de TAcadémie des Lincei. 

Sur Téquation du sixiéme degré. t. 12, p. 83 — 102. 

Les invariants des équations différentielles linéaires. t. 14, p. 233—248. 

BRUNS, ERNST HEINRICH. 

Né k Berlin le 4 septembre 1848, calculateur ä lobservatoire de Poulkowa en 1872, 
astronome adjoint å Tobservatoirc de Dorpat en 1874, professeur extraordinaire de mathé- 
matiques a Tuniversité de Berlin en 1876, professeur ordinaire d*astronomie ä Tuniversité 
et directeur de lobservatoire de Leipzig depuis 1882. 

tFber die Integrale des Vielkörper-Problems. t. 11, p. 25 — 96. 

CASORATI, FELiCE. 

Né ä Pavia le 17 décembre 1835, professeur extraordinaire a 1'université de Pavia en 
1859, professeur ordinaire en 1862. Mört ä Pavia le 11 septembre 1890. 

Mesure de la courbure des snrfaces suivant Tidée comniune. Ses rapports 
avec les mesnres de courbure Gaussienue et mojreune. t. 14, p. 95 — 110. 

CASSEL, KARL GUSTAV. 

Né a Stockholm le 20 octobre 1866, docteurés-sciences å Puniversité d'Upsal en 1895, 
professeur de mathématiques au lycée »Realläroverket» k Stockholm depuis 1894. 

Sur un probléme de représeotation conforme. t. 15, p. 33 — 44. 

C ÅTAL AN, EUGÉNE-CHARLES. 

Né ä Bruge le 30 mai 1814, professeur ä Tuniversité de Liége en 1865. Mört ä Liége 
le 14 février 1894- 

Sur la courbure des surfaces. Lettre adressée å M. Casorati. 

t. 15, p. 191—192. 

CODSIN, PIERRE-AUGUSTE. 

Né å Paris le 18 mars 1867, éléve ä Pécole normale supérieure 1886—1889, maltre de 
conférences ä la faculté des sciences de Grenoble depuis 1895. 

Sur les fonctions de n variables complexes. t. 19, p. 1 — 62, 



Nameo register. — Table génörale par ooms d auteurs. 365 

DOBRINER, HERMAN. 

Né ä Schmalleningken (Prusse) en Allemagne le 5 novembre 1857, professeur ä la 
»Realschule Philanthropin» ä Francfortsur-le-Mein depuis 1883. 

tTber das räumliche Achteck welches die Schnittpunkte dreier Oberfiächen 
zweiter OrdDung bilden. t. 12, p. 339 — 361. 

EPSTEIN, PAUL. 

No ä Francfortsur-le-Mein le 24 juillet 1871, maltre adjoint au lycée de Saargemiind. 
Zur Lehre von den byperelliptischen Integralen. t. 20, p. 1 — 58. 

FOLIE, FBANgOLS-JACQUES-PHILIPPE. 

Né å Venlo le 11 décembre 1833, docteur en sciences physiques et mathématiques en 
1855, professeur ä Técole industrielle de Liége en 1864, administrateur-inspecteur de Tuni- 
versité de Liége en 1872, directeur de Tobservatoire royal de Belgique en 1885, démissionairc 
de ces fonctions en 1897. 

Expression compléte et signification véritable de la nutation initiale. Demon- 
stration qui en résulte de la fluidité intérieure du globe. Conséquences 
analjtiques de celle-ci dans les formnles de Tastronoroie. 

t. 16, p. 365—384. 

FRICKE, ROBERT. 

Né ä Helmstedt en Alleraagne le 24 septerobre 1861, maltre de conférences å Tuniver- 
sité de Kiel en 1891, k Tuniversité de (ioettingue en 1892, professeur ordinaire k Técole 
polytechnique de Brunswick depuis 1894. 

Entwicklnngen zur Transformation funfter und siebenter Ordnung einiger spe- 
cieller automorpher Functionen. t, 17, p. 345 — 396. 

GOURSAT, EDOUARD. 

Né ä Lanzac (departement du Lot) en France le 21 mai 1858, chargé de conférences å 
ä la Sorbonne en 1879, chargé de cours k la faculté des sciences de Toulouse en 1881, 
maltre de conférences å Técole normale supérieure de Paris depuis 1885. 

Sur un mode de transformation des surfaces minima. t* 11, p. 135 — 186* 

Sur un mode de transformation des surfaces minima (Second mémoire). 

t. 11, p. 257—264. 
Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre, et sur la 

théorie des intégrales intermédiaires. t. 19, p. 285 — 340. 

GRAM, JÖRGEN PEDERSEN. 

Né k Nustrup (Nordslesvig) en Danémarc le 27 juin 1850, directeur de la compagnie 
d*assurances »Skjold^ a C*openhague depuis 1884. 

Rapport sur quelques calculs enterpris par M. BerteUen et concemant les 
no!nbres premiers. t. 17, p. 301— 314» 



366 Namenregister. — Table générale par noms d'aateani. 

GUICHARD, CLAUDE. 

Né å Azé (Saöne-el-Loire) en France le 28 décembre 1861, éléve å Técole normale su- 
périeure en 1880, actuellement professeur k Tuniversité de Olermont. 

Sar les équations différentielles linéaires å coefBoients algébriques. 

t. 12, p. 57—62. 

GYLDEN, JOHAN AUGUST HUGO. 

Né ä Helsingfors le 29 mai 1841, maltre de conférences a Tuniversité de Helsingfors 
en 1862, astronome adjoint ä Tobservatoire de Poulkowa en 1863, astronome titulaire au 
méme observatoire en 1865, directeur de Tobservatoire de Stockholm en 1871. Mört k 
Stockholm le 9 novembre 1896. 

Nou velies recherches sur les series employées dans les théories des plauétes. 

t. 15, p. 65—190, 
t. 17, p. 1—168. 

HÄCKS, JACOB. 

Né k Söchteln (Kheinprovinz) en Allemagne le 6 juin 1868, docteur és sciences en 1887, 
professeur au lycée de Kattowitz (Silésie) depuis 1894. 

Scberings Beweis des Beciprocitäts-Satzes fiir die quadratiscben Beste dar- 
gestellt mit Hulfe des Zeichens [x]. t. 12, p. 109 — 112. 

XJher die Ciassenanzabl der zu einer negativen Determinante D = — q ge- 
börigen eigentlich primitiven quadratiscben Formen, wo q eine Primzabl 
von der Form 4n + 3 ist. t. 14, p. 321—328. 

Einige Anwendungen der Function [x]. t. 14, p. 329 — 336. 

t)ber einige fiir Primzablen cbaracteristische Beziebungen. t. 17, p. 205 — 208. 

HADAMARD, jacques. 

Né k Versailles en France le 8 décembre 1865, chargé de cours å la faculté des sciences 
de Bordeaux en 1893, professeur k la méme faculté depuis 1896. 

Sur les caractéres de convergence des series a termes positifs et sur les fonc- 
tions indéfiniment croissantes. t. 18, p. 319 — 336. 

Note additionelle å l'article ]>Sur les caractéres de convergence des series a 
termes positifs et sur les fonctions indéfiniment croissantes». 

t. 18, p. 421—422. 

Mémoire sur Télimination. t. 20, p. 201 — 238. 

HENSEL, KURT. 

Né å Königsberg le 29 décembre 1861, maltre de conférences å Tuniversité de Berlin 
en 1886, professeur extra-ordinaire ä la méme univei-sité depuis 1892. 

t^ber die Darstellung der Determinante eines Systems welcbes aus zwei an- 
deren componirt ist. t. 14, p. 317 — 320. 

Tbéorie des fonctions algébriques d'une variable. (Premier Mémoire). Traduit 
par M. G. Brincard. t. 18, p. 247—318. 



Namenregister. — Table génöralc par ooms d^auteurs. 367 

HERTZ, HEINRICH RUDOLF. 

Né å Hambourg le 22 février 1857, maltre de conférences å runiversité de Kiel en 
1884, professeur de physique expérimentale ä 1'école polytechnique de Karlsruhe en 1885, pro- 
fesseur ä Tuniversité de Bonn en 1889, décédé le 1 janvier 1894. 

Sur les équations fondamentales de rélectrodynamique pour le8 corps en mou- 
vement. (Traduit de rallemand des Annales de Wiedemann.) 

t. 14, p. 349—376. 

HEUN, KARL. 

Né k Wiesbade en AUemagne le 3 avril 1859, maltre de conférences å Tuniversité de 
Munich 1885—1888, professeur ä la V^ »Realschule» de Berlin (Oberlehrer) depuis 1890. 

Znr Theorie der mehrwertbigen, mehrfach liueär verkniipften Fanctionen. 

. t. 11, p. 97—118. 
BemerkuDgen zur Theorie der mehrfach lineär verkniipfben Fanctionen. 

t. 12, p. 103-108. . 

HILBERT, DAVID. 

Né å KÖnigsberg en AUemagne (Prusse) le 23 janvier 1862, maltre de conférences k 
runiversité de Königsberg en 1886, professeur extraordinaire ä la méme université en 1892, 
professeur ordinaire en 1893, professeur k Tunivei-sité de Gcettingue depuis 1895. 

t^ber die Diophantischen Gleichungen vom Geschlecht NuU. 

En commun avec M. A. Hurwitz. t. 14, p. 207 — 224. 

trber ternäre definite Formen. t. 17, p. 169 — 198. 

Ein Beitrag zur Theorie des Legendre^schen Polynoms. t. 18, p. 155-160. 

HORN, JACOB. 

Né le 14 février 1867 k Rehbach (Odenwald, AUemagne), mattre de conférences å T uni- 
versité de Freiburg en Både en 1890, maltre de conférences ä Técole polytechnique de Char- 
lottenburg depuis 1892. 

trber ein System linearer parfcieller Difterentialgleichungen. 

t. 12, p, 113—176. 
Beiträge zur Ausdehnung der Fuch8'8chen Theorie der liuearen Differential- 
gleichuDgen auf ein System linearer partieller Differentialgleichungen. 

t. 14, p. 337—348. 

HURWITZ, ADOLF. 

Né k Hildesheim (Hannover) en AUemagne le 26 mars J859, maltre de conférences ä 
runiversité de GoettinRue en 1882, professeur extraordinaire k Tuniversité de Königsberg 
en 1884, professeur ordinaire k Técole polytechnique de Ziirich depuis 1892. 

tJber die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbriiche. 

t 11, p. 187—200. 
tJber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung reeller Grössen. 

t. 12, p. ?67— 405. 

trber beständig convergirende Potenzreihen mit rationalen Zahlenooefficienten 

und vorgeschriebenen NuUstellen. t. 14, p. 211 — 216. 



368 Namcnregister. — Table géoérale par noms dauteura. 

HURWITZ, ADOLF. 

trber die Diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null. 

En commun avec M. D. Hilbert. t. 14, p. 217 — 224. 

tJber die Anzahl der Glassen binärer quadratischer Formen von negativer 

Determinante. t. 19, p. 351 — 384. 

Sur Tintégrale finie d'une fonction entiére. t. 20, p. 285 — 312. 

JUEL, CHRISTIAN SOPHUS. 

Né ä Kanders en Danémarc le 25 janvier 1855, professeur a Técole polytechnique de 
Copenhague depuis 1894. 

tFber einige Grundgebilde der projectiven Geometrie. t. 14, p. 1 — 30. 

KANTOR, SELIGMANN. 

Né k Soborten (Bohéme) en Autriche le 6 décembre 1857, mattre de conférences ä 
Técole polytechnique et ii l'univcrsité de Prague 1881—1884 et 1883—1886. 

Neue Theorie der eindeutigen periodisehen Transformationen in der Ebene. 

t. 19, p. 115—194. 

KELVIN, LOHD. (SIR WILLIAM THOMSON.) 

Né ä Belfast en Irlande le 26 juin 1824, professeur a Tuniversité de Glasgow depuis 

1846, nobilisé en 1866, baronisé en 1892. 

On the division of space with minimum partitional area. t. 11, p. 121 — 134. 

KIRCHHOFF, gustav robert. 

Né le 12 mars 1824 k Königsberg, maltre de conférences a Tuniversité de Berlin én 

1847, professeur extraordinaire å Tuniversité de Breslau en 1850, professeur ordinaire a 
Tuniversité de Heidelberg en 1854, å Tuniversité de Berlin en 1875. Mört le 17 octobre 1887. 

Beweis der Existenz des Potentials das an der Grenze des betrachteten Banmes 
gegebene Werte hat fiir den Fall dass diese Grenze eine iiberall convexe 
Fläche ist. t. 14, p. 179—184. 

KNOBLAUCH, johannes. 

Né ä Halle en Allemagne le 27 aout 1855, mattre de conférences ä Tuniversité de Berlin 
en 1883, professeur a la méme université depuis 1889. 

tiber die geometrische Bedeutung der flächentheoretisclien Fundamentalgleich- 
ungen. t. 16, p. 249—258. 

KOBB, GUSTAF. 

Né k Gothembourg en Suéde le 25 juillet 1863, licencié és sciences en 1885, maUre de 
conférences å la faculté des sciences de Stockholm depuis 1889. 

Snr le^ maxima et les minima des intégrales doubles. t. 16, p. 65 — 140. 

Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. Second mémoire. 

t. 17, p. 321—344. 



Namenregister. — Table générale par noms d^auteurs. 369 

VON KOCH, NILS FABIAN HELGE. 

Né ä Stockholm le 25 janvier 1870, docteur és sciences en 1892, maltre de conférences 
ä la faculté des sciences de Stockholm depuis 1892. 

Sur une application des déterminants infinis å la théorie des équatioDs diffé- 
rentielles linéaires. t. 15, p. 53 — 64. 

Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires, 

t. 16, p. 217—296. 
Sur les intégrales réguliéres des équations différentielles linéaires. 

t. 18, p. 337—420. 
KÖTTER, FRITZ. 

Né å Berlin le 3 novembre 1857, maltre de conférences ä Técole polytechnique de Berlin 
en 1887, chargé de cours ä Técole des mines de Berlin en 1889, professeur å la méme in- 
stitution depuis 1895. 

Sur le cas traité par M.^^ Eowalevski de rotation d'un corps solide pesant 
autour d'un point fixe. t. 17, p. 209 — 264. 

KOWALEVSKI (Kovalevsky), sophie. 

Née Corvin-Kboukowsky å Moscou le fs janvier 1850, mariée ä Wolderaar Kovalevsky 
en 1868, docteur és sciences ä Goettingue en 1874, professeur d^analyse supérieure ä la fa- 
culté des sciences de Stockholm en 1884. Décédée å Stockholm le 10 février 1891. 

Sur le probléme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. 

t. 12, p. 177—232. 

Sur une propriété du sjstéme d'équations différentielles qui définit la rotation 

d'un corps solide autour d'un point fixe. t. 14, p. 81—94. 

Sur un théoréme de M. Bruns. t. 15, p. 45 — 52. 

KRAZER, ADOLF. 

Né ä Zusmarshausen en Baviére le 15 avril 1858, maltre de conférences å Tuniversité 
de Wiirzburg en 1883, professeur extraordinaire k Tuniversité de Strasbourg depuis 1889. 

trber lineare Relationen zwischen Thetaproducten. t. 17, p. 281 — 296. 

LECORNU, LÉON-FRAN(?OIS-ALFRED. 

Né ä Caen en France le 13 janvier 1854, ingénieur en chef des mines, répétiteur de 
mécanique å Técole polytechnique. 
Mémoire sur le pendule de longueur variabla. t. 19, p. 201—250. 

LERCH, MATYÅS. 

Né å Milfnov en Bohéme le 20 février 1860, mattre de conférences å Pécole polytech- 
nique tchéque de Prague depuis 1886. 

Note sur la fonction 5?(«;, rr , 5) = 7 7 =--. t. 11, p. 19 — 24. 

Sur une méthode pour obtenir le développement en serie trigonométrique de 
quelques fonctions elliptiques. t. 12, p. 51—56. 

Ada maihiematiea. 21. Imprimfi le 16 septembre 1897. 47 



370 Namenregister. — Tablo générale par noms d^auteurs. 

VON LILIENTHAL, reinhold. 

Né ä Berlin le 25 juin 1857, maltre de conférences ä Tuniversité de Bonn en 1883, pro- 
fesseur å Tinstitut pédagoglque de Santiago (Chili) en 1889, professeor ä Tacadémie de 
Munster depuis 1891. 

Bemerkung iiber diejenigen Flächen bei denen die Differenz der Hauptkriim- 
muDgsradien constant ist. t. 11, p. 391 — 394. 

Zur Theorie des Kriimmungsmaasses der Flächen. t. 16, p. 143—152. 

LINDELÖF, LORENZ leonard. 

Né ä Karvia en Finlande le 13 novembre 1827, professeur a Tuniversité de Ilelsiogfors 
en 1857, directeur en chef de Tadministration centrale des établissements d'instruction en 
Finlande depuis 1874. 

Sur la théorie des caisses de pension. t. 18, p. 89 — 96. 

LIOUVILLE, ROGER. 

Né å S<i Allbin sur Aire (Meuse) en France, le 14 mars 1856, ingénieur des poudres 
et salpétres, depuis 1876, répétiteur dVnalyse ä Técole polylechnique depuis 1886. 

Sur les équations de la dynamique. t. 19, p. 251 — 284. 

Sur le mouvement d'un corps solide pesant suspendu par l'un de ses points. 

t. 20, p. 239—284. 

LOHNSTEIN, theodor. 

Né ä Berlin le 6 juin 1866, docteur en pliilosophie en 1891, médecin. 
Notiz iiber eine-Methode zur numerischen Umkehrung gewisser Transcendenten. 

t. 16, p. 141-142. 

MARKOFF, ANDRÉ. 

Né 2l Riazan en Russie le 2 juin 1856, professeur ä Tuniversité de S^ Pétersbourg 
depuis 1886. 

Deux demonstrations de la oonvergence de certaines fractions continues. 

t. 19, p. 93—104. 

MELLIN, ROBERT HJALMAR. 

Né h Tömävä (Österbotten) en Finlande le 19 juin 1854, maltre de conférences ä Tuni- 
versité de Ilelsin^oi-s en 1884, professeur ä Técole polytechnique de Helsingfors depuis 1884. 

Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung, 

t. 15, p. 317—384. 

MEYER, FRANZ. 

Né h Magdebourg le 2 septembre 1856, maltre de conférences a Tuniversité de Tubingue 
en 1880, professeur extraordinaire h la méme université en 1885, professeur ordinaire å la 
»Bergakademie» de CUausthal depuis 1888. 

tFber die Siructur der Discriminanten und Resultanten von binären Formen. 

t. 19, p. 385—396. 



Namenrcgister. — Tablc générale par noms d'auteurs. 371 

MITTAG-LEFFLER, magnus gustaf. 

Né k Stockholm le 16 mars 1846, maltre de conférences ä luniversitö d'Upsal en 1872, 
professeur ä runiversité de Helsingfors (Finlande) en 1877 et ä la faculté des sciences de 
Stockholm depuis 1881. 

Sur la representation analytiqiie des intégrales et des invariants d'une équa- 
tion differentielle linéaire et homogéne. t. 16, p. 1 — 32. 

Sur une transcendaute remarquable trouvée par M. Predholm. Extrait d'une 
lettre M. Mittag-Leffler a M. Poincaré. t. 15, p. 279—280. 

Sophie Kovalevsky. Notice biographique. t. 16, p. 385 — 392. 

Sur i'intégration de Téquation differentielle 

y" = Ay' + By' + Cy + D + (Ey + F)y' . 
(Extrait d'une lettre a M. E. Picard). t. 18, p. 233—246. 

NETTO, EUGEN. 

Né a Ilalle a/S. en Allemagne le 30 juin 1846, professeur ä rimivereité de Strasbourg 
en 1879, ä runiversité de Berlin en 1882, ä Tuniversité de Giessen depuis 1888. 

Zwei Determinantensätze. t. 17, p. 199 — 204. 

Zur Theorie der linearen Substitutionen. t. 17, p. 265 — 280. 

Zur Theorie der orthogonalen Determinanten. t. 19, p. 105—114. 

PADE, HENRI. 

Né ä Abbeville en Francc le 18 décembre 1863, éléve de Técole normale supérieure de 
Paris en 1883; maltre de conférences ä la faculté des sciences de Puniversité de Lille, 
depuis 1897. 

Sur les series entiéres couvergentes ou divergentes et les fractions continues 
rationnelles. t. 18, p. 97—112. 

PETERSEN, PETER CHRISTIAN JULIUS. 

Né å Sorö (Sjselland) en Danémarc le 16 juin 1839, professeur ä Técole polytechniquc 
de Copenhague en 1871, professeur ordinaire ä Tuniversité de la méme ville depuis 1887. 

Die Theorie der reguliiren graphs. t. 15, p. 193 — 220. 

PHRAGMÉN, LARS ed värd. 

Né a Örebro en Suéde le 2 octobre 1863, maltre de conférences å la faculté des sciences 
de Stockholm en 1890, professeui* ä la méme faculté depuis 1892. 

Remarques sur la theorie de la representation conforme. t. 14, p. 225 — 232. 

PICARD, CHARLES- EMILE. 

Né å Paris le 24 juillet 1856, maitre de conférences ä la faculté des sciences de Paris 
en 1877, chargé de cours k la faculté des sciences de Toulouse en 1879, et ä la faculté des 
sciences de Paris en 1881, professeur II la faculté des sciences de Paris depuis 1886, membre 
de rinstitut de France en 1889. 



372 Namenregister. — Tablo générale par noms d'auteurs. 

PICARD, CHARLES -EM I LE. 

Demonstration d'un théoréme general sur les fonctions uniformes liées par 
une équation algébriqne. Extrait d'une lettre adressée å M. Mittag-Leffler. 

t. 11, p. 1—12. 
Sur une elasse d'équations linéaires aux dérivées partielies du second ordre. 

t. 12, p. 323—338. 
Bemarques sur les équations différentielles. Extrait d'une lettre adressée a 
M. Mittag-Leffler. t. 17, p. 297—300. 

Sur une elasse de transcendantes nouvelles. (Premier mémoire.) 

t. 18, p. 133—154. 

PINCHERLE, SALVATORE. 

Né å Trieste le 11 mars 1853, professeur ä Tuniversilö de Pavie en 1875, professeur 2i 
runiversilé de Bologne depuis 1880. 

Sur la generation des systémes récurrents au moyen d'une équation liuéaire 
différentielle. t. 16, p. 341—364. 

POINCARÉ, HENRL 

Né ä Nancy en France le 29 avril 1854, ingenieur de mines en 1879, chargé de cours 
å la faculté des sciences de Caen en 1879, maltre de conférences ä la faculté des sciences 
de Paris en 1881, chargé de coous en 1884, professeur ä la faculté des sciences de Paris 
depuis 1886, membre de Pinstitut de France en 1887. 

Sur le probléme des trois corps et les équations de la dynamique. Mémoire 
couronué du prix de S. M. le Roi Oscar II, le 21 janvier 1889. 

t. 13, p. 1—270. 
Sur la polarisation pär diffraction. t. 16, p. 297 — 340. 

La méthode de Neumann et le probléme de Direchlet. t. 20, p. 59 — 142. 
Sur la polarisation par diffractiou. t. 20, p. 313 — 356. 

PTASZYCKI, IVAN. 

Mattre de conférences ä Tuniversité de S* Pétersbourg. 
Sur riutégration algébrique des différentielles algébriques. t. 11, p, 395 — 400. 

RASCHKE, WALTHER. 

Docteur en philosophie å Heidelberg en 1883. Mört å Danzig en 1884. 
trber die Integration der DifFerentialgleichungen erster Ordnung in welchen 
die unabhängige Veränderliche nicht vorkommt. t. 14, p. 31 — 80. 

RUNGE, CARL. 

Né ä Bremen le 30 aoOt 1856, maltre de conférences å Tuniversité de Berlin en 1883, 
professeur k Técole polytechnique de Hanovre depuis 1886. 



Namenregister. — Table générale par ooms d^auteurs. 373 

RUNGE, CAKL. 

tJber eine nnmerische Berechnung der Årgamente der cykliscben, hyper- 
bolischen und elliptischeu Fanctionen. t. 15, p. 221 — 248. 

SCHEFFERS, geobg wilhelm. 

Né ä Altendorf prés Holzminden (duché de Brunswick) le~21 novembre 1866, maitre de 
conférences ä luniversité de Leipzig en 1891, professeur extraordinau^ å Fécole polytech- 
nique (Technische Hochschule) de Darmstadt depuis 1896. 

Bestimmung einer Elasse von BeriihrungstraDsformationsgrappen des dreifach 
ausgedehnten Banmes. t. 14, p. 111 — 178. 

SCHROETER, heinrich eduard. 

Né le 8 janvier 1829 k Königsberg, mattre de conférences ä Tuniversité de Breslau en 
1855, professeur extraordinaire å la méme université en 1858 et professeur ordinaire en 
1861. Mört ä Breslau le 3 janvier 1892. 

trber die acht Schnittpunkte dreier Oberflächen zweiter Ordnung. Auszug eines 
Schreibens an Herrn H. G. Zeuthen. t. 14, p. 207 —210. 

SCHWERING, KARL. 

Né å Osterwick (Westphalen) en AUemagne le 28 septembre 1846, maltre de conférences 
å Tacadémie de Miinster en 1872, professeur de mathématiques au lycée de Brilon en 1875, 
au lycée de Coesfeld en 1878, directeur du lycée de Duren depuis 1892. 

Eine Eigensohaft der Primzahl 107. t. 11, p. 119—120. 

Untersuchungen fiber die Normen complexer Zahlen. t. 11, p. 265 — 296. 

SÉLIVANOFF, dmitri. 

Né ä Gorodisché (gouvemement de Pensa) en Russie le |^, février 1855, maitre de con- 
férences å r université de S^ Pétersbourg en 1885, chargé de cours ä T université de femmes 
de la méme ville en 1889 et k 1' institut technologique en 1892. 

Sur les expressions algébriques. t. 19, p. 73—92. 

SÖDERBERG, jakob theodor. 

Né ä Ilanebo en Suéde le 12 septembre 1856, maitre de conférences ä T université 
d'Upsal depuis 1886. 

Demonstration du théoréme fondamental de Galois dans la théorie de la re- 
solution algébrique des équations. t. 11, p. 297 — 302. 

STAUDE, OTTO. 

Né ä Limbach (Sachsen) en AUemagne le 27 mars 1857, mattre de conférences ä Tuni- 
versité de Breslau en 1883, professeur å T université de Dorpat en 1886, professeur ä Tuni- 
versité de Rostock depuis 1888. 

trber die Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfiäcbe. 

t. 11, p. 303--332, 



374 Namenregister. — Table génörale par noms dauteurs. 

STENBERG, emil ak vid. 

Né ä Helsingfors le 14 février 1858, maltre de conférences ä runiversité de Uelsingfbrs 
depuis 1886. 

tTber die allgemeine Form der eindeuiigen lutegrale der linearen homogenen 
Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Coefficienteu. 

t. 15, p. 259—278. 

STÖRMER, FREDRIK CARL MOLBRTZ. 

Né ä Skien en Norvöge le 3 septembre 1874, dtudiant ä Funiversitö de Christiania. 

Sur une généralisation de la formule 

(p _ sin ip sin 2 (p sin 3 (p 

— — j^ • • • 

2 1 2 3 

t. 19, p. 341—350. 
STRAUSS, EMIL. 

Né II Francfort-sur-le-Main le 5 mai 1859, professeur å la »Realschule Philantropin» en 
1882. Mört ä Francfort le 6 fövrier 1892. 

Eine Verallgemeineruug der dekadischen Schreibweise nebst functionen-the- 
oretischer Anwendung. t. 11, p. 13 — 18. 

SYLOW, PETER LUDVIG MEJDELL. 

Né le 12 décembre 1832 ä Christiania, professeur au lycée de Fredrikshald depuis 1858. 
Sur les groupes transitifs dont le degre est le carre d'un nombre premier. 

t. 11, p. 201— 25G. 

SYLVESTER, james joseph. 

Né å Londres le 3 septembre 1814, professeur ä Tacadémie militaire de Wolwich de 
1885 ä 1870, ä Tunivcrsité de Baltimore de 1875—1883, ä Tuniversité d' Oxford de 1883 ä 
1892. Mört ä Londres le 15 mars 1897. 

On a funicular solution of Buffon^s DProblem of tbe needlei> in its most 
general form. t. 14, p. 185 — 206. 

TCHEBYCHEFF, pafnuti. 

Né ä Borowsk (prés Moscou) le 14 mara 1821, agrégé ä racadomie des sciences de 
S* Pétersbourg en 1853, membre ordinaire de la méme académic en 1859, professeur ä 
Tuniversité de S<^ Pétcrsbourg. Mört ä S* Pétersbourg le 26 novembre 1894 (vieux style). 

Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales. 

(Traduit du russe par I. Lyon.) t. 12, p. 287—322. 

Sur deux théorémes relatifs aux probabilités. (Traduit du russe par I. Lyon.) 

t, 14, p. 305-316. 
Angenäberte Darstellung der Kvadratwurzel einer Veränderlichen mittelst ein- 
facher Briiche. Aus dem Russiscben liberzetzt von O. Backlund. 

t. 18, p. 113—132. 

THOMSON, SIR WILLIAM. 

Voir Kelvin. 



Namonregister. — Table générale par noms d^autcurs. 375 

TRESSE, ARTHUR. 

Né å Mailigny-les-Bains en France le 24 avril 1868, professeur de mathématiqnes aux 
lycées de Douai (1893), de Montpellier (1895) et de Nancy (1896). 

Sur les invariants difTérentiels des groupes continus de transformation. 

t. 18, p. 1—88. 

VAHLEN, KARL THEODOR. 

Né k Vienne le 30 juin 1869. docteur en philosophie k Berlin en 1893, chargé de 
cours k Tuniversité de Königsberg en Prusse. 

tTber reductible Binome. t. 19, p. 195—198. 

tJber die Steinersche Pläche. t. 19, p. 199—200. 

VOLTERRA, vito. 

Né k Ancona en Ilalie le 3 mai 1860, préparateur de physique k finslitut technique de 
Florence en 1877, assisiant k Tuniversité de Pise en 1882, professeur de mécanique k Tuni- 
versité de Pise en 1883, professeur de mécanique rationnellc et de mécanique supérieure k 
Tuniversité de Turin depuis 1893. 

Sur une généralisation de la théorie des fonctions d'une variable imagiuaire 
(P' Mémoire). t. 12, p. 233—286. 

Sur les vibrations lumineuses dans les milieux biréfringents. 

t. 16, p. 153-216. 
Sur les vibrations des corps élastiques isotropes. t. 18, p. 161 — 232. 

VRIES, JAN DE. 

Né k Amsterdam le 1 mars 1858, docteur en sciences mathématiques et physiques en 
1881, professeur de mathématiques k Kampen en 1880, k Ilaarlem en 1892, professeur k 
Técole polytechnique de Delft en 1894, membro de Tacadémie des sciences d' Amsterdam en 
1894, professeur ordinaire k Punivcrsité dUtrecht depuis 1897. 

tTber gewisse ebene Configurationen. t. 12, p. 63 — 82. 

WEBER, HEINRICH. 

Né k Heidelberg le 5 mars 1842, maltre de conférences å Tunivcrsité de Heidelberg 
1866—1869, professeur extraordinaire k la méme université en 1869, professeur k Técole 
polytechnique de Zurich 1870—1875, k Tuniversité de Königsberg 1875- 1883, ä l'école poly- 
technique de Berlin 1883—1884, k runiversité de Marburg 1884—1892, k runiversité de 
OoBttingue 1892—1895, k Puniversité de Strasbourg depuis 1895. 

Zur Theorie der elliptischen Punctionen (zweite Abhandlung). 

t. 11, p. 333—390. 

WEINGARTEN, julius. 

Né k Berlin le 25 mars 1836, professeur ä Técole rpyale des hautcs études techniques 
(Technische Hochschule) de Berlin depuis 1864. 

Sur la deformation des surfaces. t. 20, p. 159—200. 



376 Namenregister. — Table générale par noms d^auteurs. 

' WERTHEIM, GUSTAV. 

Né ä Imbshausen (Ilanovre) en Alleraagne le 9 juin 1848, professeur ä la »Realschule 
Philantropin» ä Francfort-sur-le-Main depuis 1870. 

Tabelle der kleinsten priinitiven Wurzeln g aller nngeraden Primzahlen p 
unter 3000. t. 17, p. 315—320. 

Primitive Wurzeln der Primzahlen von der Form 2* g^ + i , in welcher 3=1 
öder eine ungerade Primzahl ist. t. 20, p. 143—152. 

Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln g aller Primzahlen p zwischen 3000 
und 5000. (Portsetzung der Tabelle aus Band 17, Seite 315.) 

t. 20, p. 153—158. 

WIMAN, ANDERS. 

Né ä Hammarlöf (Scania) en Suéde le 11 février 1865, ma! tre de conférences ä Funi- 
versité de Lund depuis 1892. 

tJber die Doppelcurve auf den geradlinigen Plächen. t. 19, p. 63 — 72. 

ZEUTHEN, HIERONYMUS GEORG. 

Né ä Grimstorp (Jylland) en Danémarc le 15 février 1839, professeur extraordinaii-e ä 
Tuniversité de Oopenhague en 1871, professeur ordinaire depuis 1886. 

Note sur les huit points d'intersection de trois surfaces du second ordre. 

t. 12, p. 362—366. 

ZORAWSKI, KASIMIERZ. 

Né å Szczurzyn prés de Varsovie le 22 juin 1866, maltre de conférences k Técole 
polytechnique de Léopol en 1892, professeur extraordinaire ä Tuniversité de Cracovie en 1895. 

trber Biegungsinvarianten. Eine Anwendung der Lie^scben Gruppentheorie. 

t. 16, p. 1—64. 



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