Full text of "Acta mathematica"

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http://www.archive.org/details/actamathematical1upps 














AUCTR 
MATHEMATICA 





A 


ACTA MATHEMATICA 


ZEITSCHRIFT JOURNAL 


VON PAR 


G. MITTAG-LEFFLER 


+ EE 
5 /1à [2 
I 
STOCKHOLM 
. : F. & G. BEIJER 
BERLIN - PARIS 


1887 1888 
MAYER & MULLER A. HERMANN 


CENTRAL TRYCKERIET, STOCKHOLM, 





REDACTION 


SVERIGE: 
A. V. BickLunn, Lund. 
H. Tx. Dave, Upsala. 
H. GYLDÉN, Stockholm. 
SOPHIE KowALEVSKI, » 
A. Linpstepr, » 
G. MrrrAa-LErFLER, » 
NORGE: . 
C. A. B5ERKNES, Christiania. 
O. J. Brocu, » | 
S. Lr, Leipzig. 
L. SyLow, Fredrikshald. 
DANMARK: 5 
L. Lorenz, Kjóbenhavn. 
J. PETERSEN, » 
H. G. ZEUTHEN, » 
FINLAND: 


L. LiwpELOr, Helsingfors. 





DÉMONSTRATION D'UN 
THÉORÈME GÉNÉRAL SUR LES FONCTIONS UNIFORMES 


LIÉES PAR UNE RELATION ALGÉBRIQUE. 


Extrait d’une lettre adressée à M. Mittag-Leffler 
PAR 


EMILE PICARD 


à PARIS. 


Le théorème que je me propose de démontrer peut être énoncé de 
la manière suivante. 

Si entre deux fonctions analytiques uniformes d’une variable existe 
une relation algébrique de genre supérieur à l'unité, ces fonctions ne 
pourront avoir de point singulier essentiel isolé. 

Je possède de cette proposition deux démonstrations essentiellement 
différentes. La première, qui s'appuie sur la théorie des fonctions fuch- 
siennes, ne sera à trés peu près que la reproduction de celle que j'ai 
donnée, il y a quelques années, dans le Bulletin des sciences ma- 
thématiques 7, (1883), p. 107—116, pour une proposition moins gé- 
nérale en apparence, mais identique au fond à celle que je viens d’enon- 
cer. Quant à la seconde, jen ai seulement autrefois indiqué le principe 
dans un cas particulier, et c'est à une ingénieuse remarque de M. Hur- 
witz que je dois d'avoir pu la pousser jusqu'au bout, 


Première démonstration. 


1. Mon point de départ est dans la proposition suivante qui résulte 
des recherches de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes (Mémoire 


Acta mathematica, 11. Imprimé le ?0 Novembre 1887. l 


2 Emile Picard. 


sur les groupes des équations linéaires, Acta Mathematica tome 4). 
æ et y étant liés par la relation algébrique 


(1) f(x, y) = 0 


de genre au moins égal à deux, on peut trouver une équation linéaire 


du second ordre 
d’z 


ai = PY) +2 


(ou ¢ est rationnelle en x et y) n'ayant d'autres points singuliers que 
les points analytiques (x = a, y = b), points singuliers de l'équation (1), 
et jouissant des propriétés suivantes. Si l’on prend deux intégrales con- 


venables w, et w,, l'équation 


donne pour z une fonction fuchsienne de w, fonction qui n'est définie 
que pour les valeurs de w, dans lesquelles le coefficient de ; est positif. 
De plus, dans le voisinage d'un point analytique (x — a,y = 6) (b faisant 


2 


. \ . . . . e ; . 
partie d'un systéme circulaire de p racines) le quotient — sera fonction 
e 
1 


ni 


uniforme de (x— a)’, et enfin, aucune des substitutions du groupe de 
l'équation linéaire n'est parabolique. 

La fonction « de x, que nous venons de définir, a pour chaque 
valeur de x une infinité de déterminations; quel que soit v, toutes ces 
déterminations ont des valeurs finies, et, dans ces expressions mises sous 
la forme ordinaire des quantités complexes, le coefficient de à est toujours 
positif et différent de zéro. w désignant lune d'entre elles, toutes les 
autres sont données par la formule 


Au + B 
Cu + D 


ou A,B,C et D sont réels, avec AD — BC = 1. 
La substitution (4, B, C, D) est une substitution du groupe fuch- 
sien défini plus haut. Ce groupe, comme je l'ai dit, ne renferme pas de 


substitutions paraboliques. 





Démonstration d'un théorème général sur les fonctions uniformes. 3 


2. Ces résultats étant admis, soient 


deux fonctions analytiques, uniformes dans le voisinage d’un point a; que 
nous allons supposer être, pour ces fonctions, un point singulier essentiel 
isolé. Je suppose qu'entre x et y existe une relation algebrique 


^N 


f(x, y) = 0 


de genre égal ou supérieur à deux. 

J'envisage la fonction w de x, définie plus haut; je remplace dans 
cette fonction x par P(z); u devient une fonction de z, dont nous allons 
faire l'étude, dans le voisinage de a, c'est-à-dire à l'intérieur d'un certain 
cercle C décrit du point a comme centre, cercle à l’intérieur duquel les 
fonctions P(z) et Q(z) sont uniformes et ont le seul point singulier 
essentiel a. 

Dans le voisinage de toute valeur de z, à laquelle ne correspond 
pas un systeme de valeurs de x et y qui donnent un point singulier de 
la relation algébrique, la fonction w est évidemment uniforme. Soit 
maintenant = z, une valeur de z pour laquelle on ait x = a', y = b', 
cette dernière faisant partie d'un système circulaire de p racines; l'équa- 
tion P(z) =a’ admettra la racine z= z, à un degré de multiplicité 
multiple de p, puisque la valeur de y tirée de l'équation (1) doit être 
une fonction uniforme de z. Or. «(r) étant dans le voisinage de x — a’ 

1 
fonction uniforme de (x — a)", sera par suite une fonction uniforme de 
£ dans le voisinage de z,. Nous concluons de là que « est une fonction 
uniforme de z, dans tout contour simple, situé à l'intérieur de C et ne 
comprenant pas le point a. 

Nous allons maintenant rechercher la forme de « dans le voisinage 
du point «. Soit pour un point du cercle C une determination x de 
la fonction w(z); quand z fait un tour complet autour du point a dans 


le sens positif, æ— P(z) décrit dans son plan une courbe également 
fermée, et par conséquent la nouvelle determination de « a la forme 


4 Emile Picard. 


cette substitution étant une des substitutions du groupe dont il a été 
parlé précédemment, et deux cas vont étre à distinguer, suivant que 
cette substitution est hyperbolique ou elliptique. 

9. Supposons d'abord que la substitution (4, B,C, D) soit hy- 
perbolique. On a alors (4 + D)? > 4. On peut alors, comme il est 
bien connu, trouver cinq quantités réelles a, f, 7,90 et k, telles que 
a + Bu | m BLAN \ 

= se reproduise multiplié par k apres un tour complet de z autour 
y + du I I 
du point a. 





k est d’ailleurs une constante positive différente de l'unité; de- 
signons par a son logarithme arithmétique. Le quotient 





reprend par suite la méme valeur aprés un tour complet, et lon peut 
écrire 
IL 


a+ gu = 
at Be pe) 








la fonction e(z) étant uniforme dans le cercle C; g(z) n'aura dans ce 
domaine d'autre point singulier que le point a, car le dénominateur 


s 


y + du ne peut jamais devenir nul, puisque 7 et d sont réels. De plus 
c(z) ne sannulera jamais, puisque « + fu ne peut s'annuler; par suite, 
P € (z) 
le quotient ? 


o(2) 


On peut alors écrire 





est uniforme et continu dans C à l'exception de a. 


ez) A 


LT 2 +“) 4 À + Be—a) fu, 


€ | Zz) (2 = a)” 








série double procédant suivant les puissances croissantes de 2 — a. En 
intégrant, on voit de suite que A, doit étre un entier m positif ou né- 
gatif, puisque ¢(z) est uniforme; on a donc 


e(z) = (2 — a)", 


f(z) étant uniforme dans C et continue à l'exception du point a. En 


résumé, nous obtenons 





e 


Démonstration d'un théoréme général sur les fonctions uniformes. 





pe 
E T (z — ay ef), 
y + du 
Or le coefficient de i dans le premier membre a un signe invariable 
oD 1 
puisque dans w le coefficient de i est toujours positif; nous allons montrer 
que le coefficient de ; dans le second membre ne peut avoir un signe 
constant; écrivons à cet effet 


L. 


, 7 
mur , GL +m) og (2—a)+ f(z) 
(2 qe eo gi : 


Si dans cette expression le coefficient de i a toujours le méme signe, 
le signe + pour fixer les idées, le coefficient de i dans 


ids a m) log (2 — a) + f(z) 


devra rester compris entre 2kz et (2k + 1)z, c’est-a-dire entre deux li- 
mites. fixes. 
Posons 


P, V Lu JT . P 
— + m)log(z— a oO iV. 
(E; + m)log(z — a) + fl) = U + 
Il est tout d'abord évident que, si m n'est pas nul, V ne peut 
rester entre deux limites fixes, car une rotation autour du point a aug- 
mente V de 2mz. 
Supposons done m = 0; l'égalité précédente pourra s'écrire 








27i . 22V ,-2mU 
log (z — a) SEE PU u + PL. 
ou 
2xi 2xV 2riU 





ef) mL 
(«—a)" =e 
Mais le module du second membre reste compris entre deux li- 
mites déterminées, tandis que le premier peut devenir aussi petit que 
l'on veut, que f(z) soit continue ou non au point 2 — 4. 
Il résulte de la contradiction que nous venons de rencontrer que 
la substitution (4, B, C, D) ne peut être hyperbolique. 
, , I 1 
4. Supposons maintenant que la substitution soit elliptique. Nous 
avons dans ce cas 


(A + D) <4 


6 Emile Picard. 


On pourra encore trouver quatre quantités a,6 5750 et kh. telles 


a + Su : aoe \ 
que se reproduise inultiplé par & aprés un tour de z autour de 
+ ou 





^^ 


/ 
a; mais ici ces quantités ne sont plus réelles. On a pour déterminer le 


rapport de 7 à 2 léquation du second degré 
Bo” + (D — A)dy — Cy? = o, 


et pareillement 


Be (D 4 Se moe 


/ . , . , 
et > sont donc racines de l'équation du second degré 


WIR 


B+ (D — A)\x — €x? — o, 
dont les racines sont imaginaires, puisque 


(d aD c a Ape Fi ow 


[74 . e . 

Nous prendrons pour > la racine dans laquelle le coefficient de i 
i 

est négatif, et par suite dans ^ le coefficient de à sera positif. 


Quant au multiplicateur 4, il est nécessairement une racine de 
l'unité, sans quoi le groupe dont fait partie la substitution (4. B. OP 


2mzi 


ne serait pas un groupe discontinu; nous poserons donc k =e” , m et 
n étant positifs et premiers entre eux. 
Ceci posé, considérons le ‘quotient 





ce quotient sera une fonction uniforme dans le domaine C. 


Ecrivons donc 








a + Pu x ; 
rA = @ — a)" (2). 


D'après ce que nous avons dit plus haut, le coefficient de ? dans 


est négatif, tandis qu'il est positif dans — 2. Le dénominateur 


OI 


y + du ne peut donc sannuler, puisque dans w le coefficient de i est 


Démonstration d'un théorème général sur les fonctions uniformes. 7 


toujours positif; il y a plus, le module du premier membre reste toujours 
inférieur à une limite qu'il serait facile d'assigner. On en conclut que 
le point z — a ne peut être un point singulier essentiel pour ¢(z). Ce 
point est done un pôle ou un point ordinaire pour la fonction ce; dans 
ces conditions, l'expression 


m 


(2 — a)" 9(2), 
n étant plus grand que 1 et m étant premier a n, ne peut que tendre 
vers zéro ou augmenter indéfiniment quand z tend vers a; la seconde 
supposition étant, d'après ce qui précède, inadmissible, cette expression 
a la valeur zéro pour z — a. Nous arrivons donc à cette conclusion: 
De quelque manière que z tende vers le point a, la fonction u 
a 


B 


a . . , 
tend vers ned Or pour u , la fonction fuchsienne x de u, dé- 


finie par la relation (n? 1) 


€), 
—— MW, 


€ 


posséde une valeur parfaitement déterminée; done, de quelque maniére 
que z tende vers a, la fonction x — P(z) tend vers une valeur déter- 
minée, ce qui ‚est en contradiction avec l'hypothèse que le point a est 
un point singulier essentiel de P(z). 

La substitution (A, B,C, D) ne peut done étre elliptique; or, 
comme le groupe ne renferme que des substitutions elliptiques et hyper- 
boliques, il ne nous reste plus qu'à supposer que la fonction uw de z est 
uniforme dans le voisinage de a. 

5. L'examen de ce cas sera bien facile. On aurait alors 


u — A(z) + B(z), 


A(z) = À, + A\(e—a)+..., 
B B, 


2—a (2 — 











+... 


D(z) doit être nulle, sinon le coefficient de i dans la fonction w aurait 
un signe variable. On a done 


u — À, + A (2 — a) + À,(2 — a)! 4 .... 


8 Emile Picard. 


Dans la constante A,, le coefficient de ? doit être différent de zéro 
et positif; il ne peut, en effet, être nul, car alors le coefficient de à dans 
u serait le même que dans 


A,(z — a) + A,(a — a) + ..., 


N 








et ce dernier dans le voisinage de 2 a n'a évidemment pas un signe 
constant. 
On voit done que, quand z tend vers a, w tend vers une valeur 


A 


raisonnant comme plus haut, nous en concluons que, pour z — qd, la 


, dans laquelle le coefficient de à est différent de zéro et positif. En 
fonction P(z) a une valeur parfaitement déterminée. 

Il est maintenant bien aisé de conclure. Nous sommes en effet, par 
ce qui précède, conduit à cette conclusion que le point a ne peut être 
un point singulier essentiel de P(z) et Q(z). C’est done bien, comme 
on voit, le théorème énoncé au début qui se trouve ainsi démontré 
d'une manière complétement rigoureuse. On peut encore dire, ce qui 
reviendra au méme, que: | 

Si entre deux fonctions analytiques uniformes ayant un point singulier 
essentiel isolé, existe une relation algébrique, le genre de cette relation ne 
peut dépasser un. 


Seconde démonstration. 


6. Nous allons maintenant donner une seconde démonstration du 
méme théorème, sans rien emprunter à la théorie des fonctions fuchsi- 
ennes. A cet effet, nous supposerons d'abord que la relation f(x , y) — o 
soit hyperelliptique; nous pourrons alors nous placer dans l'hypothèse où 
cette relation a précisément la forme 


g^ = (e — by —b)...(x — 5 


220,4... 0, sont n constantes différentes et n est supérieur à quatre. 
Nous supposons, comme plus haut, que lon puisse poser 


X= PU y DE Q(z) 


P et Q étant des fonctions analytiques, uniformes dans le voisinage d'un 


point 4, qui sera pour ces fonctions un point singulier essentiel isolé. 


Démonstration d'un théorème général sur les fonctions uniformes. 9 


Il est clair que les équations 
Pla) = bi; Doa pee Seen ee P(e) —= De, 
n'auront dans le cercle C que des racines d'un degré pair de multiplicité. 
Ceci posé, formons le quotient 


dP 
» dz E 
V(P — b, P — b, (P — b,\P — b.) 








ce sera une fonction R(z), uniforme dans le cercle C, et continue sauf 
au point a qui pourra être pour elle un point singulier essentiel. Nous 
pouvons donc écrire 


p 

air : 
> 2\dz = S(z Alog (2 — a 
Ve ti TA JR )é (2) + Alog( a) 


£o 





Po 


S(z) désignant une forietion. uniforme dans C, et continue sauf au point 
a, qui pourra étre pour elle un point singulier essentiel; À représente 
une constante, et 2ziA est évidemment une somme de multiples de pé- 
riodes de l'intégrale elliptique. , 


On conclut de là que P(z) est une fonction doublement périodique 


e de S(z) + Alog(z — a), soit 
P(z) = e[S(2) + Alog(e — a)]. 
Je vais maintenant montrer que P(z) ayant cette forme, l'équation 


(1) P(2) 25 


ou b est différent de 5,, 5, , b, , b, 


cines d'un degré pair de multiplicité. Remarquons d'abord que la dé- 


ne peut avoir dans C toutes ses ra- 
rivée de e (w) considérée comme fonction de « ne s'annule que quand c 
prend une. des valeurs 5,,5,, 6, ou b,; il en résulte que si 2 = 2, est 
une racine d'un certain degré de multiplicité de l'équation (1), elle sera 
racine du méme degré de multiplieité de l'équation: 


S(z) + Alog(z — a) = S(z,) + Alog(z, — a). 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 3 Décembre 1887, 9 


10 Emile Picard. 


Si done nous désignons par w, et #, les racines de l'équation ¢(w) — b 
dans un parallélogramme de périodes (c , w’), toutes les équations 


S(2) + Alog(z — a) = u, + mo + mo 
S(z) + Alog(z — a) = u, + mo + m’o' 


(2) 


ou m et m’ sont des entiers quelconques, devront avoir dans C toutes 
leurs racines d'un degré pair de multiplicité. 


Considérons maintenant la fonction 
S(2) 


o Á 
S(z) = (z— a)e* 
c'est une fonction uniforme dans C, et continue sauf au point a qui est 
pour elle un point singulier essentiel. Les équations 
| uydmodm'o' ud mo d mw 


CNE USE Ga) =e + 


n'auront dans C que des racines d'un degré pair de multiplicité, car ces 


équations sont identiques aux équations (2), puisque, comme nous l'avons 
dit, on a 

271A = aw + fo’ 
a et f étant des entiers. De plus, ces équations sont en nombre infini; 
nous avons done une fonction S(z) uniforme dans C, continue sauf au 
point singulier essentiel a, ef telle que pour une infinité de valeurs de h, 


l'équation 


a dans C toutes ses racines de degré pair de multiplicité. C’est à la 
démonstration de l'impossibilité de ce fait que nous sommes ramené, 

En considérant quatre des valeurs possibles de h, et en raisonnant 
sur $, comme nous avons raisonné plus haut sur P, on montrera que 


désignant une fonction doublement périodique, on a: 


Ci 

\ 9/. " " 
(3) S(2) = v, L5, (2) + A, log (2 UE «)] 
S,(z) étant une fonction de méme nature que S et $. 


Or l'identité (3) est inadmissible. Car soit A+ mo, + m'w; une série 
de poles de la fonction g,, dont w’ et w; désignent les périodes; les 


equations 


(4) S\(z) + A, log(z — a) = À + mo, + mo; 


Démonstration d'un théorème général sur les fonctions uniformes. 11 


auront certainement des racines dans le cercle C, car ces équations re- 
viennent aux équations: 


Sy) À 4- ma + mo, 


(2 oe aye ATOS " 4, 


(en se rappelant la relation nécessaire 2zi4, = a, ©, + fw;). 
Le second membre a une infinité de valeurs quand on donne aux 
entiers m et m' toutes les valeurs entieres possibles. Or si l'on considére 


la fonction: 
Sy) 


(2 — a)e ^ 





elle prend une infinité de fois dans le voisinage de « toute valeur donnée, 
deux exceptions seulement étant possibles, d'aprés une proposition géné- 
rale que j'ai donnée autrefois sur les valeurs d'une fonction uniforme 
dans le voisinage d'un point singulier essentiel." Pour une racine de 
l'équation (4), 9(z) sera infini, ce qui est en contradiction avec le fait 
que S€(z2) doit étre continue pour tous les points de C à l'exception seule- 
ment de a. | 

Le théoréme est ainsi complétement démontré pour les courbes hy- 
perelliptiques. 

4. Il a été supposé, dans ce qui précède, que la relation entre x 
et y était hyperelliptique. Mes tentatives, pour passer au cas général, 
n'avaient pas été couronnées de succés, mais on peut cependant achever 
la démonstration, en restant dans le méme ordre d'idées, grace à une 
remarque fort intéressante que m'a communiquée M. A. Hunwrrz dans 
une lettre déjà ancienne, 

Soit f(x, y) = o, la relation que l'on ne suppose pas hyperelliptique, 
et pour laquelle on a par conséquent p> 2. A l'équation précédente, 


le savant eéoméótre associe une relation 
f(x , Vi) =O de genre p = 2 


jouissant des propriétés suivantes: les points de ramification de la fonc- 
tion algébrique y, de x sont tous compris parmi les points de ramifica- 
tion de la fonction algébrique y de x (on suppose, pour plus de simpli- 
cité, et comme il est permis, que tous les points de ramifieation de la 

* Mémoire sur les fonctions entières (Annales de l'école normale supérieure 
de Paris, 1880). 


12 . Emile Picard. 


fonction donnent seulement des cycles de deux racines), et dans le voi- 
sinage de tout point analytique (x, y) la fonction y, peut être considérée 
comme une fonction uniforme du point (r, y) L'équation f(x , y,) peut 
d'ailleurs être déterminée d'une infinité de manières, comme le montre 
la considération de la surface de RIEMANN correspondant à f(x, y) — o. 
Substituons maintenant dans cette fonction y, de x 
qc 
y, và devenir une fonction de z, uniforme et continue dans le voisinage 
de tout point du cercle C, autre que le point a; quand z fera un tour 


autour du point «, y, pourra ne pas retrouver la méme valeur, mais 


1 
comme y, na qu'un nombre limité de valeurs, on est assuré qu’apres un 
certain nombre de tours, soit m, y, reprendra sa valeur initiale. Or posons 


„Im 
2 
a 


2 — t= 


r sera une fonction uniforme de 2’ dans le voisinage de z = o, et y, sera 
pareillement une fonction uniforme de cette méme variable; nous avons 





done deux fonctions x et y, de z', uniformes dans le voisinage de 2’= 
Y , 5 


1 
qui est pour elles un point singulier essentiel isolé, et liées par la relation 
f(x , Y,) n 
dont le genre est égal à deux. Cette conclusion est inadmissible d'aprés 
ce que nous avons dit d'une maniére générale des relations hyperellip- 
tiques. Le théorème est donc, cette fois, établi sans aucune restriction. 

8. Des deux démonstrations précédentes, la seconde ne faisant pas 
appel à la théorie des fonctions fuchsiennes a évidemment un caractère 
plus élémentaire. Elle est cependant beaucoup plus artificielle, et il me 
parait plus naturel, pour démontrer l'impossibilité en question, de s'adres- 
ser précisément aux fonctions uniformes réalisant cette expression des 
coordonnées d'une courbe algébrique à laide d'un paramètre. Les fonc- 
tions fuchsiennes se justifient en quelque sorte ainsi elles mémes; je 
veux dire quon peut tenir pour certain, d'après le théorème qui fait 
l'objet de cet article, qu'il est impossible d'obtenir des fonctions uni- 
formes plus simples que celles de M. Poincaré pour exprimer les coor- 
données d'une courbe algébrique de genre quelconque. 

Paris, le 11 Octobre 1887. 


13 


EINE VERALLGEMEINERUNG DER DEKADISCHEN SCHREIBWEISE 
NEBST 


FUNCTIONENTHEORETISCHER ANWENDUNG 


VON 


EMIL STRAUSS 


in FRANKFURT a/M. 


Bekanntlich lassen sich viele Sätze über ganze rationale Functionen 
auch auf ganze transcendente Functionen übertragen. Man künnte daher 
vermuthen, dass dies auch bei dem folgenden Satze der Fall ist: 

»Wenn eine ganze rationale Function mit rationalen Coefficienten für 
eine Wurzel einer irreductibeln algebraischen Gleichung verschwindet, so 
verschwindet sie für sämmtliche Wurzeln derselben.» 

Würde .sich dieses Theorem auch auf ganze transcendente Func- 
tionen (d. h. Functionen, die durch beständig convergente Potenzreihen 
darstellbar sind,) ausdehnen lassen, so wäre damit ein einfacher Beweis 
für die Transcendenz von x erbracht. Dieser Satz ist indessen nicht 
richtig und es soll in den folgenden Zeilen eine ganze transcendente 
Function mit rationalen Coefficienten construirt werden, welche zwar für 
eine Wurzel, nicht aber zugleich für die anderen Wurzeln einer irre- 
ductibeln algebraischen Gleichung verschwindet. Es ist dies auf mannig- 
faltige Weise möglich, am bequemsten wohl mit Benutzung der im fol- 
genden zu entwickelnden Darstellung einer beliebigen Grösse, einer Dar- 
stellung, die sich als Verallgemeinerung der dekadischen Schreibweise 
auffassen lässt. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 3 Decembre 1887 


14 Emil Strauss. 


Es sei gegeben eine unendliche Reihe von (srössen 


C4 Oy aep ae 


2 


und zwar moge sein: 


1 I I 
e, ——, rire Bean 

04 
wo die Grössen E 


m 


29 


irgend welche ganze positive Zahlen ausser o und 1 bedeuten. Es lässt 
sich dann jede positive, rationale oder irrationale Grösse w, die kleiner 
ist als ı, in der Form darstellen: 


o= ac, + a, C, + aC. + oo.) 


7 [^ à 1 à E ¥ 1 LI à r1 
WO 0, , 0, , eanze Zahlen bedeuten, die den Ungleichungen genügen 


(E Ae Mi = POs 


Um diesen Satz zu beweisen genügt es die Methode anzugeben, wie die 
Grössen a gefunden werden, wenn die Grössen a gegeben sind. 
Man setze 








ol [auo —a=o, 
| | 
(a,@,| ==", . [me — Un =" 
Ci), (2) | bs 
ERBEN A, D, —4, =o, 


Dabei bedeutet [x] die grösste ganze Zahl, welche nicht grösser ist als 43 


es sind demnach die Grössen @,, @,,...,@,, sämmtlich echte Brüche, 
es sei denn, dass eine derselben und mithin alle folgenden verschwinden. 
In dem letzteren Falle ist die Darstellung eine endliche, sonst ist sie un- 
endlich. Die Grössen a genügen ferner der seforderten Bedin 


gung 


Eine Verallgemeinerung der dekadischen Schreibweise nebst Anwendung. 15 


Die Darstellung liefert einen convergenten Ausdruck; denn es ist 





a, , ay < La I EE I ad, — I 
2 ua 0 MET ae a, a 4, gee igs E 
also 
I 
< I. 
— Da. : dy 
Endlich ist zu zeigen, dass 
(3) Endo E A 7 
3 ec di 61, Ri eio T à 


Multiplicirt man die » ersten von den Gleichungen (2) der Reihe nach mit 


I I I 





? . *. eg 
a ait, Os. + Gy 


und addirt dann, so erhält man 


a a ay Wy, I 
[0] uam X77, a rus SAM a Meere mcr c Adr ECCL = a ee, 
a A, A, CNE ET Gifs er. Gy Ua sun, Ay 


woraus die Gleichung (3) sich ergiebt. Damit ist der in Rede stehende 
Satz erwiesen. | 

Es seien noch, wiewohl für unseren nächsten Zweck unnöthig, die 
folgenden Bemerkungen zu dieser Darstellungsweise einer Zahl, welche 
eine Verallgemeinerung der dekadischen Schreibweise repräsentirt, hin- 
zugefügt. 

1 Wenn von irgend einem Index ab jede Grösse a den höchsten 
Werth hat, den sie haben kann, so lässt sich statt dieser Darstellung 
eine endliche geben. 

Denn es sei 


() — AC, + 4369 +... Hb Ce + (i — W)C + (ta — 1)Cags ++ +5 


nun ist aber 


o6 


2- (n... er 1e — Ci, 


v 


also 


€ = a0 Æ 8,0 Hess + 0,4614 + (0, + 1). 


16 Emil Strauss. 


Li 
Dieses ist eine endliche Darstellung und wenn a, + 1 < a, so ist die- 
selbe auch von der gewünschten Form; wo nicht, so muss sein 


ü, dI = 0m, 
also 


(uy e me p 


Mithin ist die noch kürzere Darstellung möglich 


oO = (€, d- ... + Ay_9Cy_ 9 + (G3 -|- D 


Dieses ist nun die gewünschte Form, wenn «, ,-F 1 «4, ,; wo nicht, 
so verfahrt man wie eben. Schliesslich muss man auf diese Weise zum 
Ziele gelangen, da w < 1 vorausgesetzt wird und die Ungleichung statt- 
findet 

(a, 4- 1)e, <1. 


2°. Abgesehen von dem eben erwähnten Falle giebt es für eine 
Grösse © stets nur eine Darstellung in der gewünschten Form, nämlich 
die oben gelehrte. 

Denn wenn «c sich in zweierlei Weise darstellen liesse: 


u. + 4,€, +... + GG, À 0:uurd- i$ 


und 





GC, + 45€, +. + ae + GiGi +... =", 


so seien die ersten beiden von einander verschiedenen Grössen a die- 
jenigen mit dem Index % + 1, während die vorangehenden übereinstim- 


men mogen und zwar sel 
, 


dann ist 
(4) $2» AC, + MC + ... + eg + (6541 + IG. 


Da wir voraussetzen, dass keine der Darstellungen zu den oben erwähnten 
gehöre, d. h. zu denen, bei welchen von irgend einem Index ab jedes a 


um 1 kleiner ist als das entsprechende a, so ist 
(ET po + Ay LC, Lg Trier (Ce msn 1) Ci 19 = CT m 1)6,, Tee 


dots von 


Eine Verallgemeinerung der dekadischen Schreibweise nebst Anwendung. 17 


also « 
(5) sae, + 0564 +... d^ 056; + (Gir + Mar; 
durch. Vergleichung von (4) und (5) ergiebt sich 
S 
I. 


Wir wollen jetzt mit Hilfe dieser Verallgemeinerung der dekadischen 
Schreibweise einer Zahl eine ganze transcendente Function bilden, die 
zwar für eine, nicht aber für jede Wurzel einer irreductibeln Gleichung 
verschwindet. 


Als die irreductible Gleichung wählen wir die Gleichung: 
ko? — 1 — o, 


wo k eine positive ganze, nicht quadratische Zahl bedeutet. Es sei ferner 
w eine beliebige irrationale Grósse, welche nur die beiden Ungleichungen 
. befriedigt: 

o 1 und oyk-«:1. 


Wir entwickeln dann die beiden Grössen © und er auf die in I 
gezeigte Weise; dabei soll sein 


a, =k, a, = 2k, , a, = vk, 


also 


I I I 


“air ag ete o6 3$ 63605 "mA 
Die Entwicklungen seien: 


o = 0,0, + 4,¢, +.. 
ONE == be, d- b.c, -H 9 
wo 


6, € wk, b, < yk. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le ? Décembre 1887, 


18 


Emil Strauss. 


Betrachten wir jetzt die beiden Potenzreihen 


F(a) iria rd dod ee 


b, 2 b. b, y 
Gay ud + [2t +... + x + ..., 


so sind diese beständig convergent; denn setzt man statt der Grössen a 
und db ihre oberen Grenzen, so erhält man noch immer eine beständig 
convergente Reihe, nämlich die Reihe für kx°e. 


Nun ist 
F(+\/4 = a( Ua = ovk 
( 3 — (00, q 3 =—=ù (0) Vk. 


Setzt man daher endlich 


H(+ Vi) =o, H(— n E 


Demnach hat die ganze transcendente Function H(x), welche rationale 
Coefficienten besitzt, die Eigenschaft zwar für eine Wurzel der obigen 
irreductibeln Gleichung zu verschwinden, nicht aber für die andere. 


19 


NOTE SUR LA FONCTION 


a = eMriz 
W,cC,S) = 
»®,5) — (w + k)' 


PAR 


M. LERCH 


à VINOHRADY. 


Soit x une quantité dont la partie imaginaire est positive ou nulle, 
w une quantité réelle positive et moindre que l'unité et soit s une quan- 
tité dont la partie réelle est supérieure à l'unité. En représentant par 
(w + k) la quantité e+, ou le logarithme est pris en sens arithmé- 
tique, considérons la somme 


—« , gibt 
1 R(w,x, =) ——— 
(1) (uo y y s) De t) 
convergente pour chaque valeur de s, si la partie imaginaire de x est 
supérieure à zéro, et ne convergente que pour les valeurs de s dont la 
partie réelle est positive, si x est une quantité réelle. 
in se rappelant de la formule connue 


o6 


I‘(s) 
e i 


~ (w+ ky 


—(w+Fk)z FA - ‘dz 


nous aurons 


l'(s)R(w , x, 8) = Y^ fete 27 az. 


k-0 0 


deta mathematica, 11. Imprimé le 2 Décembre 1887. 


20 M. Lerch. 


Or on peut démontrer aisément l'égalité suivante 


o6 oo co oo 
> Jens gl dz — [era > Q "—*G—2sia) 


== 0 
k=0 0 0 


et il s'ensuit la formule 


oo 


22 ^g t: glg 
(s) Rw , x, 8) =| Pu UU 


0 


TT 
to 
ner 


En appliquant un raisonnement dû à Riemann! et employe dans une 
excellente communication de M. Hunwrrz? nous ferons voir que la serie 
(1) est une fonction. transcendante entière de s et nous développerons une 
relation qui nous semble mériter d'étre signalée. 

Considérons lintégrale 


(ev gi—dg 


(3) Kw, 0,8) = | I T 


(oo , 0, c) 





prise le long d'un contour fermé (cogfyaco) enveloppant l'origine au 
moyen d'un cercle aya du rayon à ne contenant ni à son intérieur ni 
à sa périphérie aucun des points 2zi(z + »), (v=o, 1, 2, +3;...). 

Nous avons représenté, dans cette intégrale, par 27! la quantité 
c" Et, la partie imaginaire de lgz étant supposée ou nulle ou positive 
et non supérieure à 27, de sorte que la fonction z^! est continue dans 
tout le plan des z à l'exception des points de la coupure (0...) où 


clle est discontinue de la maniére qu'on peut exprimer par les formules 


(2 + 0.1) = gs = eee 


— D xi(s— we 97i(s—- $— gz 
[14 - iy 1 —_ Or) 4—1 — gPziG-1) 9G—1)0g ! 


le logarithme y étant pris en sens arithmétique. Nous avons évidem- 
ment | 


LI a fa 
e— 2 7s—1 dz eg v2 gs—1 dz RE, e^ w2 ys—1 dz 
KzI-———— a score DINE 
t 


i g2rir—z I — g?riz—z i g?riz—z 
e 
a (afya) 0. 








' Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Monatsber. der 
Preuss. Akad. der Wissensch. 1859). 
* Zeitschrift für Mathem. und Physik t. 27, 1882. 


Note sur la fonction M(w , a, 8). 21 
et en nous rappelant de ce que 
: gc vers gs 
Be a 
a0 I == (E 


(0,870) 


nous aurons 
K = 2ie™ sinzsl'(s)R(w , v , s), 


et puisqu'on à 





il s'ensuit la formule 


(4) R(w,x,s)=e "T(1 —s)— Kw, @, s). 


= 

L'intégrale K donnée par la formule (3) existe évidemment pour 
chaque valeur finie de s et on démontre aisément qu'elle est une fonc- 
tion transcendante entière de cette variable. Cette intégrale devant s'an- 
nuler, d'après le théorème de Cavcuy, pour s=1,2,3,... et la 
fonction /(1 — s) ne devenant infinie que pour ces valeurs-ci, il suit de la 
formule (4) que R(w,x,s) est elle-même une fonction transcendante 
entiere de s; c. q. f. d. 

La fonction sous le signe |! dans la formule (3) ne devient infinie 
que pour z= 2zi(z + y), ( —0,+ 1, + 2, + 3,...)., Soit C, le cercle 
du centre 2zir et du rayon z(2m + 1), cercle qui ne contient à sa peri- 
phérie aucun des infinis de la dite fonction, et représentons par Y, le con- 
tour composé du contour (A,aßyaA,) et du cercle C, parcouru dans le sens 
rétrograde, 4, désignant l'intersection du cercle C, avec l'axe réel. Ce 
contour 9(, limite une aire finie simplement connexe qui ne contient 
d'autres infinis de la fonction sous le signe f dans la formule (3) que 
les suivants: 


Cela étant, le théorème de Cavcuv nous donne 


2 'e- tail dz Dx > 
(a) A = | —— == — 277} 3v. e Meth» 2a n + k)r E 


rire 
I — ett 2 k n 





« 
Um 


22 M. Lerch. 


en désignant par [2zi(r + k)| ^ la quantité e9—?/5*7*5, Ja partie ima- 
ginaire du logarithme étant supposée ou nulle ou positive et non supé- 
rieure à 27. 
La quantité w étant réelle, positive et moindre que l'unité la fonction 
e— v2 gs eu w)z 25 cb 


ee e?rit—2 EX e — eric 


sera moindre en valeur absolue qu'une certaine quantité finie pour chaque 
valeur de z appartenant à la circonférence C,, et si nous supposons que 
la partie réelle de s est négative, cette fonction-la devient infiniment petite 
pour les valeurs indéfiniment croissantes de », de sorte que nous aurons 


3 
. e 225-1 dz 
im | ————— = o, 
I — 
e 


e?Tit—2 


et par conséquent 


: : “ewe us dz " 
Iun, == | I = À, 
I E RA e TMI—Z 
n = oo e 
0,0,0 
de sorte que la formule (4) nous donne 
e 24 iw 

(c Kw ,x,s) = me oies > ——— 
(5) (w , @, 8) í [ame + pr 


Il est permis de supposer que la partie réelle de x est entre les limites 
(O...1); dans ce cas nous aurons 


—2Kkziw er iw erriw e2kriw 


e 
fari(e + Dis — -Y1 [22 zi(x + 2zi(e + MN ai Di 2zi(Y — v + EE 





Or on a, d'apres les conventions faites plus haut: 


\ 2 D] Ix \ 
| — 27zi(1 — M + k)\ i bem (som)! Se 2 (1 —m- 4. k)' H 


Note sur la fonction K(w, x, s). 23 


de sorte que la formule (5) devient 


qe2riwz 


(5’) n N: © , 8) 


ae eae = eg iw 9; riw+ = (1s) erkriw 
—10 : SS +e . 
> (v + k)'~s Nee $us. (1 — 2 + kh 


Nous n'avons défini la fonction § que pour les valeurs réelles et po- 
sitives de w. Représentons par [w’] la quantité e"*", la partie imagi- 
naire de lgw devant être contenue entre les limites (— xi...zi), de sorte 
que la fonction [w^] sera continue et uniforme dans le plan des « affecté 
de la coupure (— co...0) le long de laquelle celle-là est discontinue, 
et posons d'une maniére générale 


e?kriz 
Kw , X, 8) cic 


D'aprés cette convention nous aurons 


(v + E)'* = [(x + ky) (1 — z +R) = ene-9»[(y — a + 4] 


et la formule (5’) deviendra 





ae?riux 
K(w,wv,s 
(27)! ( ? ? ) 
ri 
- 2 099 Qriv— (1—3) 
= Ka, —w,ı—s)+te : &(r—mr,w,1-— 5) 
ou, d'aprés (4), en changeant s en 1 — s: 
(6) R(w, 2, 1 —s) 
8 yl ri( } s—2Que ) ri(— ls 9(1—x)) a | 
= le &(r,—w,s)-ce à &(r—r,w,s). 


Cette formule devient une relation concrète en supposant que la partie 


imaginaire de © est supérieure à zero, que ww est une quantité réelle 


24 M. Lerch. 


entre les limites (0...1) et que la partie réelle de s est positive; si 
elle fait partie de l'intervalle (0...1), la méme chose aura lieu aussi 


dans le cas où la valeur de x est réelle. En exprimant les fonctions & 
par les intégrales X au moyen de la formule (4) on obtient une rela- 
tion entre les trois intégrales 


Kw,x,1— Ss) Ka, — w,s), K(1—z,w,s) 


lemarquons encore que pour s =o la formule (5) nous donne d'aprés 
une digression facile 
e?riwz I e2kwri 


zr lim > 
I — e?rix 27 Perm D ge 








formule qui a été donnée par M. Kronecker dans les Sitzungsberichte 
der Preuss. Akad. der Wissensch. (Avril 1883 et Juillet 1885). 


UBER DIE INTEGRALE DES VIELKÖRPER-PROBLEMS' 


VON 


H. BRUNS 


in LEIPZIG. 


ile 


1. Die bis jetzt bekannten Integrale des Vielkörper-Problems, näm- 
lich die Schwerpunkts- und Flächen-Sätze und der Satz von der leben- 
digen Kraft, besitzen die gemeinsame Eigenschaft, dass sie die Coordinaten 
und die Geschwindigkeits-Componenten nur in algebraischen Verbindungen 
enthalten. Dieser Umstand, sowie die Vergeblichkeit der bisherigen Be- 
mühungen zur Auffindung weiterer Integrale legen die Vermuthung nahe, 
dass der Kreis der algebraischen Integrale mit den genannten abgeschlos- 
sen sei. Es soll deshalb hier die Aufgabe behandelt werden, alle alge- 
braischen, die Zeit nicht explicite enthaltenden Integrale aufzusuchen. 
Das Ergebniss ist, wie hier gleich bemerkt werden soll, negativer Art, 
d. h. die noch fehlenden Integrale sind sämmtlich transcendent. 

Es seien m, , %,, Ya» 2, (x — 1,2,...,n) die Massen und die Coor- 
dinaten der materiellen Punkte, »,,; die Distanz der Massen m,, m 


17s Ÿ Ma M3 
23 —— 


* 5] 
ap 


B 





die Kräftefunction für den Fall des Newvon’schen Gravitationsgesetzes, 
dann kónnen wir die Bewegungsgleichungen in der Form 


(1) dx, TS dX, BE u 


—— = = 1, tc. 
di a dt Ma Ma .. 


' Mit Genehmigung des Verfassers abgedruckt aus den Berichten der König]. 
Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften 1887: Math. Cl. 1—30, 55 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 19 Novembre 1887, 4 


8 





~ 
-. 


26 H. Bruns. 


schreiben. Wir beschränken uns, wie bereits angedeutet, auf die von ¢ 
freien Integrale und bezeichnen, wie üblich, als Integral einen aus den 
r,X,... gebildeten Ausdruck g, dessen Ableitung nach ¢ unter Berück- 


sichtigung der Differentialgleichungen (1) identisch verschwindet, der also 


der Bedingung 


OP S e^ 9o T Ariel 
(2 =) EDEN sx dew ARA S 
, Oly, , T i X, Mu 9v, T 


genügt. Ausserdem werden wir mit Ausdrücken ç zu thun haben, welche 
die Bedingung (2) zwar nicht identisch befriedigen, wohl aber in Folge 
der Bedingung ¢ — o. Derartige Ausdrücke wollen wir, in Ermangelung 
einer anderen Bezeichnungsweise, kurz »Integralgleichungen» nennen. Solche 
Ausdrücke entstehen z. D. durch Verbindung und Umformung von Glei- 
chungen, welche Bestandtheile einer allgemeinen, particulären oder singu- 
laren Lösung der vorgelegten Differentialgleichungen sind. Im vorliegen- 
den Falle haben wir diese verschiedenen Môglichkeiten nicht nàher zu 
untersuchen; wir kónnen deshalb auch davon absehen, dass das vorgelegte 
Problem überhaupt keine singulàren Lósungen besitzt. 

Zur Abkürzung des Ausdruckes wollen wir noch festsetzen, dass die 
Zeichen $ und & benutzt werden sollen, wenn es sich nur darum handelt, 
anzuzeigen, dass eine Grösse eine ganze Function oder eine rationale 
Funetion ist, ohne dass es dabei auf die besondere Form derselben weiter 
ankommt. 

2. Bei der Aufsuchung der algebraischen Integrale des Systems 
(1) wollen wir zunächst ein etwas allgemeineres System von Differential- 
sleichungen zu Grunde legen, und erst später auf das System (1) zurück- 
gehen. Es seien die 2m Variablen z,, ..., 2,5 1, +++) Ym als Functionen von 
t durch das Gleichungssystem 


s 


da, dy; 
\9/ di 


4 LEE 4 
= Yas ES E A, (c, RUP AE) 1 


definirt, wo die À 


0. 


algebraische Functionen der x, ,..., v, ohne ¢. be- 
deuten. Diese algebraischen Functionen können wir uns immer dargestellt 
denken als rationale Functionen der x und einer einzigen algebraischen 
Irrationalität s, welche als Wurzel einer irreductiblen Gleichung 


(4) Fs. PRESS Da) = s" + 9, SUR: + e. + D, = O 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 27 


definirt ist, in der S,=$(a#). Wir werden vorläufig bezüglich der 
A,,...,A,, F nur folgende zwei Einschränkungen festsetzen. — Erstlich 
soll F eine ganze homogene Function (vom »“" Grade) der Variablen s 
und z, ohne willkürliche, in den A, nicht vorkommende Constanten, be- 
deuten; zweitens sollen die A homogene Functionen der r, s und zwar 
von einer geraden Ordnung 2N sein. Beide Einschränkungen treffen für 
unser specielles Problem (1) zu. Setzt man nämlich 


(5) N 2 59 


und schafft man die Quadratwurzeln, als welche sich die r darstellen, 
fort, so erhält man für s in der That eine Gleichung der vorausgesetzten 
Art. Ferner werden die Ableitungen der Kräftefunction in (1) homogene 
rationale Functionen von den x,y,2 und von s, und zwar von der Ord- 
nung — 2, indem sich jedes 7 rational durch diese Variablen ausdrücken 
lässt. Um sich hiervon zu überzeugen, hat man nur nöthig, in (5) alle 
Quadratwurzeln bis auf eine fortzuschaffen. 

Ein algebraisch von den x,y abhängiges Integral e der Gleichungen 
(3) lässt sich nun immer definiren als Wurzel einer gewissen Gleichung 


(6) PA Spies dis LEG a c SY 


in welcher B, = R(x, y) ist, und von der wir voraussetzen dürfen, dass 
sie nicht in Factoren von ähnlicher Beschaffenheit zerlegbar sei. Die 
Differentiation nach / liefert 


Ib 
(7) aE e +... + mno \ 


Verschwinden in dieser Gleichung sämmtliche Coefficienten, so sind die B 
rational aus den x, y zusammengesetzte Integrale, also ¢ eine algebraische 
Verbindung rationaler Integrale. Verschwinden die Ableitungen der P 
nicht, so nehmen sie die Form &(x,7,s) an, und die Gleichungen’ (6) 
und (7) besitzen eine gemeinsame Wurzel, d. h. die Gleichung (6) wird 
reductibel, wenn man den Variablen x, y die Irrationalität s »adjungirt». 
Beide Gleichungen besitzen also einen gemeinsamen ‘Theiler 


(8) C+ Og es, | [Ge * (0.9 2)], 


28 H. Bruns. 


welcher nicht in Factoren von ähnlicher Form zerlegbar ist und der ver- 
schwindet, wenn für ç das betrachtete aigebraische Integral substituirt 
wird. Die Wiederholung derselben Schlussweise führt zu der Bedingung 


dC, 


"m dC, 
dt 9 Mere 


—10)}, 
dt 





welche wegen der Irreduetibilität von (8) nicht anders erfüllt sein kann, 
als wenn die Ableitungen der C sämmtlich verschwinden. Die C sind 
daher Integrale von der Form &(x,y, 8). Zusammenfassend können wir 
also sagen: die gesuchten algebraischen Integrale lassen sich immer als 
algebraische Verbindungen von Integralen der Form R(x, y , s) darstellen. 

9. Es sei nun e ein Integral von der Form &{x,y,s). Denken 
wir uns dasselbe als Quotienten zweier Polynome von der Form S(x,y, s) 
geschrieben, so kónnen die Coefficienten in Zàhler und Nenner ausser den 
in den Differentialgleichungen auftretenden Constanten noch irgend welche 
Parameter a, ,4,,... enthalten, denen beliebige constante Werthe beige- 
legt werden dürfen, ohne dass ¢ aufhórt Integral zu sein. Wir wollen 
zeigen, dass ein solches Integral sich allemal als rationale Verbindung 
von parameterfreien Integralen derselben Art darstellen làsst. Zu dem 
Ende denken wir uns einen Quotienten ©’ zweier Polynome D und E 
angesetzt, welche genau dieselben Terme wie Zähler und Nenner von ec, 
aber mit unbestimmten Coefficienten D,, D,,..., resp. E,, E,,... ent- 
halten. 


Die Forderung, dass ç’ ein Integral sein soll, führt zu der Bedingung 


pnl d. D 

(9) / DE, 5 
welche, vollständig entwickelt, eine gewisse Anzahl von Gleichungen liefert, 
die in Bezug auf die Coefficienten D,, D,,..., E,, E,,... bilinear sind. 
Diese Gleichungen sind mit einander verträglich, denn sie werden durch 
die Coefficienten von c erfüllt; andererseits sind die D, , D,,..., E,, E,,. 
nicht vollständig durch jene Gleichungen bestimmt, wenn c die Parameter 
(,,0,,... enthält. Die allgemeinste Art und Weise, der Bedingung (9) 


durch den Quotienten z' zu genügen, besteht nun darin, dass die D,, D,,..., 


4 


E,, E,,... gewissen Ausdrücken gleichgesetzt werden, welche in rationaler 
Weise 1) eine gewisse Anzahl von Parametern 5,, b, , ...; 2) eine einzige 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 29 


algebraisch von den Parametern 6 abhängige (Grösse c enthalten. Die 
Grösse c können wir uns definirt denken als Wurzel einer irreductiblen 


Gleichung 
(10) e [un Er - I se 


in welcher die ¢,,c,,... die Form &(b) besitzen. Aus dem auf diese 
Art gewonnenen Integral ¢g’ wird ¢ erhalten, wenn man für die b gewisse 
Verbindungen der Parameter a einsetzt. Ferner lässt sich jede an ¢’ 
ausführbare Umformung oder Zerlegung auch an ¢ ausführen, so dass 
wir uns auf die Untersuchung von g' beschränken dürfen. Wir denken 
uns nun @’ auf die Form 


pFECGFEOE..45F, 023 


gebracht, wo die F gleich &(x,y,s,b) sind. Dieser Ausdruck kann 
wegen der Irreductibilität von (10) nicht anders ein Integral sein, als 
wenn die F,,F\,... Integrale sind, d. h. man kann jedes Integral von der 
Form &(x,y,s), welches die Parameter in nicht rationaler Weise enthält, 
als ein Aggregat von Integralen der Form &(x,7,s, 6) darstellen.' 

4. Es sei jetzt g ein Integral von der Form 38i(r,y,s,5). Wir 
greifen einen der Parameter heraus — derselbe werde 5 genannt — und 
betrachten g als Function von b. Wenn e oder der reciproke Werth 
von @ die Form $(b) besitzen, so sind offenbar die Coefficienten der ein- 
zelnen Potenzen von b in @ oder dem reciproken Ausdrucke Integrale, 
welche den Parameter D nicht enthalten. Wenn weder c, noch der re- 
ciproke Werth von g nach 5 ganz rational sind, so schreiben wir ¢ in 
der Form Z7: K, wo H und K die Form $(b) besitzen. Zerlegen wir 
dann e in den nach b ganzen Theil e, und in den echtgebrochenen Theil 
d,, so sind, wie man sofort durch Entwickelung von ¢ nach fallenden 
Potenzen von b erkennt, e, und d, Integrale, und zwar sind auch die 
Coefficienten der einzelnen Potenzen von 5 in eg, Integrale. Den reci- 
proken Werth von ¢,, welcher unecht gebrochen ist, zerlegen wir wieder 


' Wenn die Differentialgleichungen gewisse Parameter 6€,, ¢,,..., welehe nieht in 
der Gleichung für s vorkommen, in rationaler Weise enthalten, so lüsst sich auf ühnliche 
Weise zeigen, dass Integrale, in denen die e algebraiseh vorkommen, sich auf solehe von 
der Form &(e, ,e,,...) reduciren lassen. Derartige Parameter sind z. B. beim Vielkörper- 


problem durch die Massen gegeben, 


30 H. Bruns. 


in den ganzen rationalen Theil ç, und in den echt gebrochenen d&,, dann 
sind ¢, und d, ebenfalls Integrale. Setzt man dieses Verfahren, welches 
schliesslich von selbst abbricht, bis an’s Ende fort, so gelangt man zu 
der Kettenbruchdarstellung 


PE En 


wo die e, ganze Functionen der ) bedeuten, deren Coefficienten Integrale 
ohne den Parameter 5 sind. Durch Wiedereinrichtung des Kettenbruches 
erhält man dann e als Quotienten zweier ganzen Functionen von b, deren 
Coefficienten von b freie Integrale der Form &(x, y, s) sind. 

Durch Wiederholung dieses Verfahrens erkennt man, dass jedes In- 
tegral von der Form &(x,y, 8), welches gewisse Parameter 6, , 5, , ... 
in rationaler Weise enthält, allemal aus einer Anzahl parameterfreier In- 
tegrale in ganz oder gebrochen linearer Form zusammengesetzt werden 
kann. Dieser Satz führt in Verbindung mit den über die Differential- 
gleichungen (3) gemachten Voraussetzungen sofort zu einer für das Fol- 
sende wichtigen Consequenz. Es sei k eine beliebige constante Zahl; man 
ersetze in den Differentialgleichungen die Grössen ©, und entsprechend 
s,y durch | 


xl, UI". sk? , yk ter 


wo N die in $ 2 angegebene Bedeutung besitzt, dann hebt sich die Grösse 
k aus den Differentialgleichungen heraus, und es geht deswegen jedes 
Integral ¢ durch diese Substitution wiederum in ein Integral über, wel- 
ches jedoch jetzt im Allgemeinen den Parameter 4 enthält. Es sei nun 
c ein parameterfreies Integral von der Form &(x,y,s), welches durch 
die angegebene Substitution in e' übergehen möge. Wir schreiben c in 
der Form »$(x,y,s) dividirt durch $(x,y,s)», dann nimmt jeder Term 
in Zàhler und Nenner nach der Substitution wieder die ursprüngliche 
Gestalt an, jedoch mit einer bestimmten Potenz von k multiplicirt, deren 
Exponenten wir als die Dimension des betreffenden Terms bezeichnen. 
Schreiben wir nun Zähler und Nenner von €’ in der Form 


Don pese, gros ipao eqs 
M= Mie ME Id 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 31 


so umfassen die Coefficienten Z,, M, immer nur Terme gleicher Dimen- 
sion. Diese Coefficienten miissen nun durch Multiplication mit einem und 
demselben Factor in Integrale übergehen, und man erkennt leicht, dass 
man für diesen Multiplicator den reciproken Werth irgend eines der 
Coefficienten z. B. 1:2, wählen darf. Wir erhalten dann ¢ linear zu- 
sammengesetzt aus Integralen der Form »$(a, y, s) dividirt durch $’(x, y, s)», 
deren Zàhler und Nenner nur Terme von gleicher Dimension enthalten. 
Solche Integrale sollen »homogen in den Dimensionen» oder, wenn kein 
Missverstàndniss zu befürchten ist, schlechtweg homogen heissen. 

5. Es sei jetzt & ein homogenes Integral von der Form 8 (z , y, s). 
welches wir uns in die Gestalt $(r,5,5s):9'(r,y, s) gebracht denken. 
Da ein von den y freier Ausdruck nicht der Bedingung 


de 

T — Q 

dt 
identisch genügen kann, wenn er nicht gleichzeitig von den x frei ist, so 
muss wenigstens eine der Variabeln y in g vorkommen. Es sei dies y,. 


Wir denken uns Zähler und Nenner von ¢ nach y, in Linearfactoren zer- 


1 
legt, setzen also an 


eG >. as \a ee: M wa ‘ 
(11) € = QU, — mn — 7) m ++» 
wo die a, ß,y,... ganze positive oder negative Zahlen, die » rationale 


oder algebraische Functionen der Variabeln r, y, s unter Ausschluss von 
y, bedeuten und @ eine rationale Function derselben Variablen ist. Da 
c Integral ist, so erhalten wir 


dloge  dlog Q a dy, dy, ) 
XA uu Iu as et: 


/1 4 
Zur Umformung dieses Ausdruckes wollen wir für den Augenblick die 
Zeit t, so weit sie in den Variablen x,y, s unter Ausschluss von x, und 
y, vorkommt, mit r bezeichnen, dann ist 


dlogQ log Q 
dt or, 


d log (Q 


y Pr dr : 


a H. Bruns. 


also 


2 log Q dlog @ 97, 7 dy, dy, on 
o> eit gar ta Lat an Te geal aoe eee a 


Ss Py) paar = 1.95: 
or, 1, 7 dt dz 9x, 





Da nun y, in dieser Gleichung nur insofern vorkommt, als es explicite 
hingeschrieben ist, so folgt 


dy, dyn, 97, 
2 Sl U a s/t M 
(12) . di dr 7 2 Re 


ei 





Zur weiteren Verwendung dieser helation, welche offenbar in Bezug auf 
7, eine partielle Differentialgleichung darstellt, denken wir uns jetzt Zähler 
und Nenner des betrachteten Integrals c, statt in Linearfactoren, so weit 
als möglich in die einfachsten Factoren zerlegt, welche noch die Form 
S(y) resp. R(x,s) besitzen. Die von einander verschiedenen Theiler, wel- 
che die Variablen y wirklich enthalten, mögen mit d, , d, , ... bezeichnet 
werden, so dass wir ansetzen kónnen 


g = Thids,..., 
wo die 4, 4,... ganze positive oder negative Zahlen bedeuten und 7' die 


Form &(x,s) besitzt. Die Wurzeln » in (11) werden dann erhalten, wenn 
man diejenigen d, welche y, enthalten, gleich Null setzt und nach y, 
auflost. Es sei &,(y,) ein solcher Theiler, welcher die in (12) benutzte 


Wurzel z, liefert. Dann erhält man aus der Identität 


N 


(13) (00450) = © 
die Gleichungen 


mL Mio o MV (iidem 

97, 97, Or, 97, CUE 91/5 Pye D 
Jeachtet man nun noch die Differentialgleichungen (3), so geht (12) sue- 
cessive über in 


97 N 97 
ce » N LE SERRES > a/b rre “1 — © 
A, Zr 2 Ass; i3; , 
3 P ub 


(1359, 8, 3m) 


y TI NN es ^, 
(14) A, On T 2 say. +24 ey; rm TA 5 
/ : # 


Über die Integrale des Vielkérper-Problems. 33 


Die linke Seite der letzteren Gleichung ist offenbar nichts anderes, als 
der vollständig entwickelte Ausdruck für 


d, (y) 
dL 


vorausgesetzt, dass für y, überall die aus (13) sich ergebende Wurzel 7, 
geschrieben wird. Hiernach ist also ¢,(y,) eine Integralgleichung, denn 
die Ableitung von d, nach ¢ verschwindet nach (14) wenn nicht identisch, 
so doch sicher in Folge der Gleichung 


d.) uos 


Derselbe Schluss gilt offenbar für die übrigen Theiler g. Angenommen 
nun man könnte beweisen, dass jeder der Theiler ¢,,¢,,... dureh Multi- 
plication mit einem Factor von der Form 3t(z, s) in ein Integral c, , c,, ... 
verwandelt werden kann, so würde daraus folgen, dass jedes homogenes 
Integral ¢ sich auf die Form 


pen DR. 


. do . . © à is 
bringen lässt, wo die homogenen Integrale ¢,,¢,,... die Form $(y) resp. 
R(x, s) besitzen, und der Factor U, welcher höchstens die r,s enthalten 
kann, sich auf eine Constante reducirt, weil er der Bedingung 

dU E 
| 1 te m 


genügen muss. Ferner würde damit die Aufgabe, alle algebraischen In- 
tegrale der vorgelegten Differentialgleichungen zu finden, auf die andere 
zurückgeführt sein, alle homogenen Integrale der Form $(y) resp. & (x, s) 
zu ermitteln. Wir werden nun zeigen, dass eine solche Reduction der 
homogenen Integralgleichungen 4, ¢',,..., auf die uns die Untersuchung 
geführt hat, unter den hier gemachten Voraussetzungen in der That im- 
mer möglich ist. 

6. Es sei d eine homogene Integralgleichung der Form S(y) resp. 
S(r,s), welche sich nicht in Theiler von ähnlicher Gestalt, die die y wirk- 
lich enthalten, zerlegen làsst. Der vollstindig entwickelte Ausdruck für 
die Ableitung von d nach £ besitzt eine ähnliche Gestalt wie c^, nur dass 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 19 Novembre 1887, 5 


34 H. Bruns. 


der Grad in Bezug auf die y um eine Einheit höher ist als in d. Diese 
Ableitung muss verschwinden, wenn d verschwindet, muss also wegen 
der vorausgesetzten lrreductibilitàt von d durch 4 selber theilbar sein, 
so dass wir ansetzen kónnen 


wo «ce in Bezug auf die y ganz linear und ebenso wie in den Dimen- 
sionen homogen ist. Schreiben wir 


© =o, + yo; 


so sind die @,, @, ,... homogene rationale Functionen von den x,s. Sub- 
stituirt man ferner für die Variabeln »,4,5,5 wie früher 


xk? | tp . sk? ; wien , 


so ergibt sich, dass die Dimension von « ungerade ist. Ferner sind die 
Dimensionen der w,, @,,..- gerade, die der y ungerade, es muss also in 
w das Glied c, fehlen, d. h. © ist in Bezug auf die y homogen linear. 
Dieser Umstand ist für die folgende Beweisführung von wesentlicher Be- 
deutung und bildet den Grund, weshalb wir in den Differentialgleichungen 
(3) die A als homogene Functionen gerader Ordnung in Bezug auf die 
©, 8 vorausgesetzt haben. Es wäre möglich, dass diese Einschränkung bei 
einem andern Beweisgange sich als unnöthig herausstellt. Ich gehe auf 
diese Frage nicht näher ein, weil sie für unser eigentliches Ziel, nämlich 
die Aufsuchung der algebraischen Integrale des Eingangs aufgestellten 
Vielkörper-Problems, unerheblich ist. 

Es werde & als Polynom der y geschrieben; sein Grad in Bezug auf 
diese Variabeln sei p, und es werde angesetzt 


v=b, +9, +...) 


wo die d,,d,,... die Terme vom Grade p, p — I,... zusammenfassen. 
Mit Rücksicht auf das Vorhergehende ist dann 


^ dh, ° log 4, 
(15) y : = da, o=> y, 


l 
VAE Ya 02, rp 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 35 


so dass es für die Untersuchung von © lediglich auf das Anfangsglied 
d, ankommt. Die Coefficienten ©, in hängen auf einfache Weise mit 
gewissen Coefficienten in d, zusammen. Man ordne ¢, nach einem der 
darin vorkommenden y — sagen wir y, — und setze an 


= = 
Po = Vu + Vu eV, 
wo die V ganze Functionen der übrigen y sind, dann folgt aus (15) 


oV, 
(16) = 





= F5; 
1 


Sind a,a’,... die Coefficienten des Polynoms V,, so ist, da die Relation 
(16) für beliebige y bestehen muss, 


oa 4 9a à t 
— = aw —_=a’w etc. 
v, P Oz, 22 2 
wir kónnen also allgemein ansetzen 
2 log a, 





a ) 


OLa 


wo die a, gewisse Coefficienten in ¢, bedeuten. 

Als Vorbereitung für das Folgende betrachten wir zunächst den Fall, 
wo die Coefficienten in d, sämmtlich von der Irrationalität s frei sind. 
Es sei y eine Function der «#,y,° ganz homogen nach den y, rational 
homogen nach den x, welche der Bedingung 


- 97 
b Jas, a OE 


— Ca 


(17) 


geniigen, wo die b, gewisse Coefficienten des nach den y geordneten Aus- 
druckes 7 bedeuten. Man denke sich sämmtliche Coefficienten in y auf 
den kleinsten gemeinsamen Nenner M gebracht und den etwa vorhan- 
denen gemeinsamen grössten Theiler L aller Coefficientenzihler aufgesucht, 
dann ist 


36 ! H. Bruns. 


^ 


ein Ausdruck von der Form S(x,y), welcher keinen von den y unab- 


hinoioen Theiler der Form $(x) besitzt. Ferner wird 
=) ac) á 


C 
3 Ya BE == P4 D. 
(18) 
CIN .. €log b, 
OL D 


wo die D, gewisse Coefficienten in 7' bedeuten. Es sei nun @ ein ir- 
reductibler Theiler von b!, welcher die Variable x, wirklich enthält, dann 
tritt in 7 ein Glied der Form 


Ya OQ 


Lg 





© 
© 


auf, welches sich, so lange specielle Werthsysteme der y ausgeschlossen 
bleiben, nicht gegen andere Glieder in 7’ fortheben kann. Der Ausdruck 
- wird also sicher unendlich für alle endlichen Werthsysteme der x, für 
welche Q verschwindet. Es müsste also, da für endliche x die linke Seite 
von (18) sicher endlich bleibt, wider die Voraussetzung, 7' durch Q theil- 
bar sein. Der Coefficient 0% ist daher von x, unabhängig, d. h. 7 ist 
gleich Null und 


— 97 
Yax- =O 
y Ya Oz, ’ 


woraus folgt, dass sich 7’ als eine ganze rationale Verbindung der Aus- 


drücke 


Lely u D», CRT 2 +) Lm l1 may dV PP 


ohne z, darstellen lässt. 


%. Zu der Relation 


2 log 4 ? log a, 
(15) : Ya c = ® — ; Yu a 


92, ex, 
zurückkehrend, wollen wir den Satz beweisen, dass der Ausdruck 


Do, diz 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 37 


ein totales Differential ist, dass also die sogenannten Integrabilitätsbe- 
dingungen 





9o, 00 2° log (22) en 


CP a 04,028 Na 


sämmtlich erfüllt sind. Zu dem Ende wollen wir in d, die Grössen 
Vss 5 Ym gleich Null setzen, jedoch, um Unbestimmtheiten zu vermeiden, 
folgendermassen vorgehen. Wenn d, durch eine Potenz von y, theilbar 
ist, so unterdrücken wir diesen Theiler, welcher für die Gleichung (15) 
bedeutungslos ist, und bezeichnen 4, mit d 
gleich Null und bezeichnen den Ausdruck, in welchem d 
übergeht mit d, , 1. Derselbe genügt der Gleichung 


2 log 2 loe a, 
> gcn == ) ze, (a-1,2,..., m-—1) 
Ya Ov, ¢ 0,m—1 Yu Ox, ‘ > 


Hierauf unterdrücken wir in d, , , die etwa als Theiler auftretende Po- 


Darauf setzen wir y,, 


0, me 


hierdurch 


0,m 





tenz von y, und setzen y, ;, gleich Null, wodurch wir zu dem Aus- 
drucke d,,, , gelangen, u. s. w. Gelangt man auf diese Weise, bevor 
auch y, gleich Null gesetzt wird, für c, , zu einem Monom von der Form 


Y, ,0. AN 


8 À 
ila +++ Veo 


* 


so kann offenbar in « für die Coefficienten a,, «,, ..., «, der eine Coef- 
ficient C gesetzt werden, und es sind die zu den aus @,,..., x, gebildeten 
Variablenpaaren gehörigen Integrabilitätsbedingungen von selbst erfüllt. 
Wir haben deshalb nur noch den ungünstigsten Fall zu verfolgen, dass 
man nämlich, nachdem auch y, beseitigt ist, mit Unterdrückung der ein- 
flusslosen Potenztheiler zu einem ¢,, von der Form 


Doo == €i + Cyt Ya +... + CU 


gelangt, in welchem g mindestens gleich Eins und die Endcoefficienten 


c, und c, von Null verschieden sind. Dieses &,, genügt der Bedingung 
? log ¢ 
Y y, > = = : Zy,&,, (a= 1,92) 
—— ove a 
wo in 


2 log a, 


^ 
era 


3 


CO 


H. Bruns. 


2 0 


für die Coefficienten «,, «, offenbar c, und c, zu nehmen sind. Die ge- 
fundenen Relationen formen wir um in | 


, 


EM DONNEES up ee 
o = Doi: Co — Mi toy arate nes So — Yes 
o 0 


9 

: 3010 0-2 dos Le 

y y, neh pie (ee 
Fe, or, 2 mer NC 


1 


(19) 





Die Coefficienten von d’ können nun die Irrationalitàt s enthalten. Ist 
dies der Fall, so gilt die Gleichung (19) für alle Wurzelwerthe s,, 55, ..., 5; 


welehe s annehmen kann. Summiren wir die den einzelnen Wurzeln ent- 
sprechenden Gleichungen (19) und setzen 


so sind 7 und C homogen rational nach den x; ferner ist 


S 29loe 7 2 log C 
Y —— = ——, 


Jar nu a 


dau mu Hk a 


Ox 
1 2 


Der Ausdruck 4% ist also eine Function von derselben Beschaffenheit, wie 
die vorhin mit y bezeichnete. Bedeutet H den kleinsten gemeinsamen 
Nenner der Coefficienten in W^, so ist ZY eine Function der Form $(x,y), 
welche keinen von den y unabhängigen Theilen der Form $(x) besitzt 
und der Bedingung 


e(HV o(HY 
Un oe N + 1 — TN, 


m Al - . Y nm + - 
genügt. Es ist also, abgesehen von einem constanten Coefficienten 


AY = (V, Jy — Yo a)", 


Über die Integrale des Vielkürper-Problems. 


Hieraus folgt sofort 


39 


Damit sind offenbar die Integrabilitätsbedingungen allgemein bewiesen, 


und wir haben ferner für das ursprüngliche ¢, die Relation 


m 2 log d m q 
a TOU VON ge 
2: Yo Ox, = ) > Ja La 


wo die g, ganze positive Zahlen, die Null eingeschlossen bedeuten. 


erkennt man hieraus, dass 


ist, dass also die Integralgleichung ¢ durch den Multiplicator 


UC gee ed, 


Em 


in ein Integral verwandelt wird. W. z. b. w. 
Es sei jetzt g das zu 4 gehörige Integral. Wir spalten 
ähnlich wie d, setzen also an 


?—£5-6T.- 


Ferner 


dasselbe 


wo g, sich von d, durch den integrirenden Multiplieator unterscheidet 


LPS 
und der Bedingung 


- eq 
Id = © 


a 


genügt. Wir wollen nun zeigen, dass c, sich als eine ganze rationale 


Function der m — 1 Verbindungen 


qa; — U1 Yq) $44; U Yan 5 Tay — V1 Yn 


ohne z, darstellen lässt. Zur Vereinfachung des Beweises schicken wir 


folgende Bemerkung vorauf. 


40 H. Bruns. 


S. Angenommen man hätte in dem ursprünglichen System von 
Differentialgleichungen 


da, 1 dyu 
dt Ja di 








d Ed 
statt der Variabeln #,y andere Variable £,», durch die lineare Substitution 
3. > 7 
Te cae Leaks, Ya ME Leas 
+ n 


eingeführt, in der die c feste Zahlen mit nicht verschwindender Deter- 
minante bedeuten, so würde dadurch an den über die Differentialglei- 
chungen und die Irrationalitàt s gemachten Voraussetzungen nichts geàndert 
worden sein; es würde also auch die ganze bisherige Untersuchung ohne 
Weiteres für das transformirte System gültig bleiben. Insbesondere würde 
der Satz, dass die hier untersuchten Integralgleichungen durch einen Mul- 
tiplieator von der Form &{x,s) in Integrale übergehen, wenn er vor der 
Transformation gilt, auch nach derselben gelten und umgekehrt. Diese 
Bemerkung benutzen wir in folgender Weise. Die Discriminante A der 
Gleichung für s ist eine homogene ganze rationale Function der x vom 
Grade 


n(n — 1) — p. 


Die Discriminante A’ der transformirten Gleichung für s geht aus A 
hervor, wenn man statt der w die & einführt. Bei passender Wahl der 
Substitutionscoefficienten c làsst sich nun stets erreichen, dass in A’ die 
Glieder mit 
SEC CODES Se 

wirklich vorkommen. Es ist deshalb keine wesentliche Einschränkung 
der Allgemeinheit, wenn wir annehmen, dass bereits in der ursprünglichen 
Discriminante A die Glieder mit 


p. ^p / 
Hy» Voy oe eg © 


wirklich vorkommen, da diese Eigenschaft, wenn sie urspriinglich nicht 
vorhanden ist, durch eine vor Beginn der ganzen Untersuchung vor- 


genommene Transformation stets herbeigeführt werden kann. 


es 


Uber die Integrale des Vielkörper-Problems. 41 


Wir denken uns nun in der Gleichung für s den Variablen x,,...,#, 
irgend welche endliche Werthe, dem x, dagegen einen ausserordentlich 
grossen Werth beigelegt, dann làsst sich jede Wurzel s nach fallenden 
Potenzen von x, in eine Reihe entwickeln, welche unter den gemachten 
Voraussetzungen die Form 


6 6. 
S — ox, + o, 2 ja Le In AR 
e 1 e 1 
besitzt. Hierin ist & die Wurzel einer Gleichung 


al dog maa e RE 


welche keine mehrfachen Wurzeln besitzt und deren Coefficienten nur von 
den in der ursprünglichen Gleichung für s auftretenden Constanten, aber 
nicht von den x abhängen. Die übrigen Coefficienten o, , a, , ... besitzen 
die Gestalt (e) resp. $(x,,...,%,)- 

Führt man jetzt statt der Variablen x neue Variable p durch die 
lineare Substitution 

y, 

D = 4$,—$, 2, ... Dn = Lm — 2 
1 2 2 1 y. ? , 1 n m 1 y, 
ein, so erhält man das Glied mit pt in der Diseriminante, wenn man an 


Stelle der 2,,:.., 2, resp. 


m 


) Va , Im 
UR 14; 


schreibt. Der Coefficient von p; in der Discriminante wird also, so lange 
specielle Werthsysteme der y ausgeschlossen werden, von Null verschieden 
sein. Infolge dessen lässt sich für grosse Werthe von p, und endliche 
die Irrationalität s nach fallenden Potenzen von 


Werthe der 9,...,9 


In 


p, in die Reihe 


0, Pa 
duis uu CUT 0 MURS 
1 1 


entwickeln, wo p eine von den p unabhängige Irrationalität, o, , o, , 0, , .. 
dagegen ganze rationale Functionen der p,p,,..., p, bedeuten. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 30 Novembre 1887, 6 


42 H. Bruns. 


Dies vorausgeschickt betrachten wir wieder den Anfangsterm c, in 
dem Integral c. Derselbe stellt sich, wenn er die Irrationalität s wirklich 
enthält, zunächst dar in der Form 


4 


cp 


Vis fo. CAC | Dn , cm 


muss aber in Wirklichkeit von p, frei sein. Entwickelt man nun s und 
darauf e, nach fallenden Potenzen von p,, so muss diese Reihe sich auf 
den einen von p, freien Term reduciren, welcher nach den vorausgehen- 
den Bemerkungen die Variablen p,,..., p, nur in rationaler Weise ent- 
halt, d. h. e, enthält auch die x nur in rationaler Weise und ist in 
Wirklichkeit frei von s. Hieraus folgt weiter, wenn man die in $ 6 über 
die Ausdrücke 7 und 7' gemachten Bemerkungen beachtet, dass e, eine 
ganze Function der x ist. 

9. Fassen wir die Resultate, zu denen wir bisher gelangt sind, zu- 
samınen, so können wir folgende Sätze aussprechen. 

Gegeben ist das System von Differentialgleichungen 


dt, dy, 
dt m Yas dt ET P 








(CT 255500) 


in welchem die A als homogene rationale Functionen von der geraden 
Ordnung 2N aus den x und einer gewissen Irrationalität s zusammen- 
gesetzt sind. Die Grösse s ist Wurzel einer irreductiblen Gleichung 


S+HSs +... +S,—0, 


deren linke Seite eine ganze homogene Function der s, x von der »-ten 
Ordnung bildet. Wenn das vorgelegte System von Differentialgleichungen 
algebraische, von ¢ freie Integrale besitzt, so lassen sich dieselben allemal 
darstellen als algebraische Functionen eines oder mehrerer Integrale ¢, 
welche folgende Eigenschaften besitzen: 

1) Jedes ç ist eine ganze rationale Function der y, eine rationale 
Function der x und s. 

2) c ist in den Dimensionen homogen, d. h. wenn man für die 
x, S,y resp. setzt 


ak”, sk’, yk'"", (k = Constanto), 


Uber die Integrale des Vielkérper-Problems. 43 


so nimmt c wieder die ursprüngliche Gestalt an, jedoch versehen mit 
einer gewissen Potenz von k als Factor. 

3) Bedeutet v, das Aggregat der Glieder in e, welche in Bezug auf 
die y von der höchsten Ordnung sind, so sind, wenn ce, nach den y ge- 
ordnet wird, die Coefficienten ganze rationale Functionen der x ohne ge- 
meinsamen Theiler. 

4) Der Ausdruck e, genügt der Bedingung 


oy 
E Wn = Oo, 


enthält also die x nur in den Verbindungen 
UPS P Ya (a=2,3, A 


Nachdem wir bis zu diesem Punkte gelangt sind, brechen wir die 
allgemeine Untersuchung ab und wenden uns wieder zu dem Vielkörper- 
Problem zurück, welches ja den Ausgangspunkt bildete, und welches, wie 
bereits bemerkt, einen speciellen Fall der hier betrachteten Differential- 
gleichungen repräsentirt. 

10. Es seien 


nm, , T, , Ya , Ba (a=1,2,..,n) 


die Massen und die Coordinaten der einzelnen materiellen Punkte in dem 
betrachteten Vielkörper-Problem, 


die Geschwindigkeitscomponenten, r,; die Distanz der beiden Massen m, , m;, 
dann haben wir 


d, : d X, L9 — La 
x 2 = P, y ; = A AS n s g = ^ 


dt dt 2 — : r, 3 





li 6 r d La Ug — Va 
See it aol ed ALES, 


dt 4 di Ter À pl, 
as 


dz AZ, ^ 24 — 2 
a zen 7 ; a — (C in N n N p a J 
dt a dt a — 3 3 


44 H. Bruns. 
wo bei den Summationen, ebenso wie weiterhin, zu beachten ist, dass 


Glieder mit r,, nicht vorkommen dürfen. Es sei e ein homogenes In- 


Go. 


tegral von der Form 
G(X, F, 2) resp." e$, y, 2), 
welehes in Bezug auf die X, Y, Z vom Grade p ist; ferner setze man 
9—396,T490 Ti, 


wo die c,,4,,... die Aggregate der Glieder bedeuten, welche in den 
X, Y, Z von den Ordnungen p, p — 1,... sind; endlich bezeichne man 
die Zeit ¢, je nachdem sie in den Coordinaten oder in den Geschwindig- 
keiten vorkommt, mit w resp. v, führe also die Operationssymbole 


9 9 9 

7 io =F fog A) 
3 ne 

=e cag. + Bay + Ga) 


ein, dann muss sein 


eg, 09 OY, 
22 — — Od, — dor 
( ) Ou 9v + ou 


Diese beiden Bedingungen werden sich als für unseren Zweck ausreichend 
erweisen. Die erste Bedingung besagt, dass g, die x,y, 2 nur ganz ra- 


tional in den Verbindungen 


» . a 2 
p = Ty À) me N Go E y, X, m Ti Mn h, = 2,X, icm Tdi Lae 


enthält, d. h. wenn man statt der x ,y,2 in ce, die Ausdrücke 


^ r - r 

la N Ja iy [7 h a. VER 

d — — + x - Y L— LI + À, — gg = — + mM 
a 1 Tr ) SG 7 1 0:299 a 7 1 7 
X, d X, X, 22 X, 


einsetzt, so verwandelt sich £, in eine Function der Gróssen 


bays) n? i»: In: RETI T 


welche von x, frei ist, und abgesehen davon, dass eine Potenz von X, 


Uber die Integrale des Vielkörper- Problems. . 45 


als Nenner vorkommen kann, die X, Y, Z nur ganz rational enthält. 
Im Folgenden werden wir voraussetzen, dass ¢, bereits durch die f,g, h 
ausgedrückt sei. 

Bilden wir jetzt die Ableitung von e, nach v, so enthalten die ein- 
zelnen Glieder im Nenner die dritte Potenz eines r,;, sind aber im Übri- 
gen rational aus den verschiedenen Variabeln zusammengesetzt. Bilden 
wir ferner die verschiedenen Irrationalitäten, welche einschliesslich der r,; 
selber dadurch entstehen, dass man je zwei, je drei u. s. w. verschiedene 
r,, mit einander multiplicirt, und bezeichnet man diese Irrationalitäten 
in irgend einer Reihenfolge mit p, ,p,,..., so lässt sich c, stets auf die 
Gestalt 

" 
Qu Or Ag m 
bringen, wo die ¢,,, 64,5»... rational aus den 2,9,2, X, Y, Z zusam- 
mengesetzt sind. Mit Rücksicht auf (22) folgt daraus, dass 


Pad ze 
ou 


ist, und dass ferner der Ausdruck 


9 (Goa 
en 


allemal verschwindet, wenn die Irrationalität o sich nicht auf ein einziges 
r,, reducirt. Führt man ferner in g, statt der x ,y,2 die f,g,h ein, 
wobei möglicherweise x, sich nicht aus c, fortheben wird, so geht die 
partielle Ableitung von g, nach w über in 


de, 
iX; 
9e, ! 


Ersetzt man ebenso in der Ableitung von e, nach v die ursprünglichen 
Variablen durch die f, g,^, X, Y, Z und z,, und integrirt nach »,, 
indem alle übrigen Gróssen als constant angesehen werden, so darf die 
Integration keine logarithmischen, sondern nur algebraische Glieder liefern. 
Dieser Umstand wird uns gestatten, die Verbindungen der f,g,h, aus 
welchen sieh e, zusammensetzt, vollständig zu bestimmen. 


Le 


46 . H. Bruns. 

11. Zur Abkürzung der Ausdrucksweise wollen wir festsetzen, dass 
die Indices «, B,... die Werthe 1, 2,...,%, dagegen die Indices J, p; ... 
nur die Werthe 2, 3,...,n annehmen sollen. Wir suchen nun diejenigen 
Glieder in der Ableitung von g, nach v auf, welche die dritte Potenz 
von 7, resp. 7,, im Nenner enthalten. Die Ableitung von e, besitzt zu- 


nächst die Gestalt 


90 > 9 0 Y 
a (y, À, SO, B,) sls a (2, A —% C.) 














9g, oh, 
oo 9 0 9 0 1 
+ » | 2 (x, À, — x, À;) + 2 (n 4s — x, D;) XEM 5 ^ (nd. — — 2,6) 
9g, 99, p 99, mn [90 4 TEL 96, n | 
doe non to tix Pay tan 


\ 
Die Glieder, welche »j, im Nenner enthalten, werden, mit Fortlassung des 
Nenners, und wenn wir der Kürze halber das Zeichen S einführen, um 
eine Summation über die drei Coordinatenaxen anzudeuten, 


e Do j 9 Po | 3 0 4 
m, lof, (y, v, — di) + = (2,4, — 24) + m(x, — DD IS Cee) 
It 


Tag, 0 | 2 
+ mx S@ — à jee + NC — 4) (m me). 
LI ER 1 of, 7À 1 49x, 2x, 


Ahnlich werden die zu r,, gehórigen Terme 
Ah © e 





Führt man hierin auch für die ausserhalb e, vorkommenden z,y,27 
,.f.g,h ein, so müssen die Terme, welche das Quadrat 


die (Grössen 
verschwinden, weil sonst die oben erwähnte Inte- 


von z, enthalten, 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 47 


gration nach z, auf logarithmische Glieder führen würde. Es muss also 
sein 


del DIE a Xp AR, £x) 
+ m,(X, — zs IS ze + m,X, S| — 3 x) 
SI] 


Die vorstehenden Bedingungen, in welchen die Indices A, y alle zulässigen 
Werthe anzunehmen haben, kónnen wir jetzt als lineare partielle Dif- 
ferentialgleichungen mit den unabhängigen Variablen f,g,/ und mit 
der abhängigen Variablen e, ansehen. Die Coefficienten sind von den 
f,9,h unabhängig und deshalb bei der Aufsuchung der allgemeinen 
Lósung als Constanten anzusehen. Um die allgemeine Lósung aufzustellen, 
genügt im vorliegenden Falle die Kenntniss einer gewissen Anzahl von 
Particularlésungen, welche die f, 9, homogen linear enthalten. Fünf 
solcher Lósungen werden durch die bekannten Integrale des Vielkürper- 
Problems geliefert; es wird sich zeigen, dass damit die gemeinsamen 
Lösungen des oben angesetzten Systems erschöpft sind. 
Es werde gesetzt 





Im, = L, Zm,y, = M, md = N, 
Zm,X, = L’, Im,Y., 


| 


M, Zm,Z, = N’, 


dann erhalten wir, wenn die Buchstaben a,db,c ganz willkürliche Grös- 
sen bedeuten, zunächst drei Particularlésungen A’, B’, C’ durch die eine 
zusammenfassende Gleichung 

| 


ai LE 
aÁ' +IB +cC = 0b M M 


| 
le N N| 


Diese drei Lösungen sind jedoch nicht unabhängig von einander, weil 
zwischen ihnen die Relation. 


LA +MB+NC=0o 


48 H. Bruns. 


besteht. Drei weitere Lösungen A, B, C erhalten wir in ähnlicher Weise 
durch die zusammenfassende Gleichung 


a. xw X, 
«aA+VU/D+cC= > m Dur el 
J | CEE. 


wo die a’, //, c ebenfalls willkürliche Zahlen bedeuten. Dass in der That 
die A, A’,... Lösungen sind, lässt sich auch ohne Rechnung durch fol- 
gende Überlegung nachweisen. Die A, A’,... sind nämlich nichts anderes 
als die Flächenintegrale und drei aus den Schwerpunktsätzen zusammen- 
gesetzte Integrale, und zwar homogene Integrale von der hier untersuchten 
Beschaffenheit, bei denen überdies das c sich auf den Anfangsterm e, 
redueirt. Es müssen also die hier für c, aufgestellten Bedingungen von 
selbst erfüllt sein. 

Drückt man jetzt die A, A’,... durch die f,g,h aus, so erhält 
man zunächst 


a,o +Zmf,L | 


| 


X(aA’ + bB' + eC) = |b, m9, +2m,9, M’ 


c, mh, +Xm,h,, N 
A 








a 70 X a f, X, 
XK@A+V/D+cCOQ)=m|b g Y, + ym DS gin e 
C ' he ZL r erus 











Wir untersuchen. nun, ob aus diesen Gleichungen sich die Grôüssen 


I, , h, , fy Io) h, 
durch die A, A’,... und die übrigen f,g,h ausdrücken lassen. Nun 
sind in den Ausdriicken für 


XB. BC. SAS Kip CG 


1 


die Coefficienten der fünf Grössen 


mag, mh, mf, mg, mh, 





Uber die Integrale des Vielkörper-Problems. 49 


durch nachstehende Zeilen gegeben 


O0 + IL’, — N, ©; + I, 
— 1}, Or, + M, — 1}, cos 
+ Z,, — Y, @.; tZ, — Y,, 

©, TX, — 4, em + X,, 
— X, o» ae, — X, o 


und es kommt jetzt darauf an, zu zeigen, dass die aus diesen Zeilen ge- 
bildete Determinante nicht identisch verschwindet. Berechnet man die- 
selbe, so erhält man 


vot nape d 
DOS OUR areola 
Fir olin Æ 





die Grössen g,,...,h, lassen sich also in der That durch die A,... 
und die übrigen f,g,h ausdrücken. Infolge dessen dürfen wir bei der 
Aufsuchung etwaiger weiterer Particularlösungen voraussetzen, dass die- 
selben von den g,,..., h, unabhängig sind. 

12. Die noch aufzusuchenden Partieularlösungen bezeichnen wir 
mit y und setzen fest, dass die Indices e, 7,... nur die Werthe 3,4, 
..„n annehmen sollen. Die gesuchten Lösungen müssen den Differen- 
tialgleichungen genügen, welche aus denen für e, dadurch entstehen, dass 
man für e, die Grösse y schreibt, ferner die Ableitungen von y nach 
den 9,,...,A, gleich Null setzt und die Fälle A, a = 2 von den Fällen 
À,p = co trennt. Auf diese Weise erhält man zunächst das System 


(23) => [SE x )] 
(24) ! o = m,(X. — x) DIS (x 2: | + m, x S((X. — Xj) x) ) 
(25) 0 — S((x:— X,) 4); 


(26) 0 = S| & = X) (n, > m, a | 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 29 Novembre 1887. i 


50 H. Bruns. 


Aus (23) und (24) folgt 


(27) o - S(q. — =) 2 


und hieraus in Verbindung mit (25) die zusammenfassende Gleichung 

a,X,— X,, X,— X, 

; 97 

(28 ak bern WW 

2) en J| oos war Fe |; 
’ Di Des TRE 2, 








in welcher £4, einen vorläufig unbestimmten Proportionalitätsfactor be- 
deutet. Bezeichnen wir den Werth, welchen die Determinante in (28) für 


y P 
== X,— X, pe e— Z,— Z. 
annimmt, mit D, so erhält man mit einer kleinen Umformung 


— REN NX X,, X, X, — 








2|? 


wo von den Determinanten nur die erste Zeile angesetzt ist. Durch Ver- 
tauschung der Indices e und r ändert also D nur sein Vorzeichen. In- 
folge dessen erhalten wir aus (28) die beiden Gleichungen 


also mit Berücksichtigung von (26) 


(m,k. — m.k,)D = o, 
d. h. es ist 
k im, 


wo / einen von dem Index ce unabhängigen Factor bedeutet. Hiermit 


liefert die Gleichung (28) weiter 


S (x) = ims] Rr E 


Uber die Integrale des Vielkérper-Problems. 51 


woraus, wenn man nach 7 summirt, init Rücksicht auf (23) 
o =1| Xm, X,, X,, X,| 


folgt. Es verschwinden also 7, die k und infolge dessen auch die sämmt- 
lichen Ableitungen von y, d. h. es existiren ausser den bereits angege- 
benen fünf Particularlösungen keine weiteren, und es enthält ¢, die Va- 
riablen z,5,2 nur in den Verbindungen 


AOR 0. 28 4e ph 0 


Eliminirt man also z. B. y,,2,,7,, y, ,2, mittelst der Ausdrücke À, 4’, ... 
aus £,, so fallen alie übrigen x ,y,2 von selbst heraus. Bei dieser Eli- 
mination nimmt c, die Form $(A4, 4',...) an, dagegen kann e, auf- 
hören eine ganze Function der X, Y , Z zu sein. Wir wollen nun zeigen, 


dass sich c, immer auf die Form 


BUD RD A BNC x eq eg 
bringen lässt. 
13. Da bei der Elimination von y,,..., 4, 
%,y,2 von selbst fortfallen, so kann man die Elimination in der Weise 


aus ¢, die übrigen 


bewirken, dass man sowohl in c, als auch in BD’, C', A, D, C die schliess- 
lich fortfallenden Variablen von vornherein gleich Null setzt, die ge, 


durch die B’,... ausdrückt und die so gewonnenen Ausdrücke in das 
vereinfachte g, substituirt. Nun sind die Grössen 


my, ; ni À; , m,T, , MY, ; nz, 


in B,C’, A, B, C mit Coefficienten verbunden, die durch nachstehende 


Zeilen gegeben sind 


M CL, — N, © ; +1, 
—L’', v + M, — L', O 
+ Z,, — Y, p TZ, ES 

6" + X,, — Z,, o + X,, 
— X,; af Ts — X, 01, 


52 H. Bruns. 


welche, wie wir bereits früher gesehen haben, zu der Determinante 


a WS 
Bee. Oa ee. à 
ZZ 


führen. Der umgeformte durch die B',C', A, B,C dargestellte Aus- 
druck von ç, könnte also eine Potenz von E im Nenner haben, oder 
die Gestalt 

OBO, A, By ON X EIN ZEN 


besitzen. Diese Form ist nun von der Art und Weise, wie die Elimina- 
tion im Einzelnen ausgeführt wird, unabhängig. Hätte man die Elimina- 
tion mittelst der Variablen 


^, eis T. Ys es 


bewirkt, so würde man im Nenner von c, statt des vorstehenden E ein 
anderes 


[EE E ED IS b er 





erhalten haben. Nun haben E und E’ nur den Theiler LZ’ gemeinsam, 
woraus wir schliessen, dass die übrigen Theiler von E oder E’ in dem 
Ausdrucke von e, sich gegen entsprechende Theiler des Zählers fort- 
heben, so dass nur eine Potenz von L’ im Nenner von e, verbleiben kann. 

Hätte man statt der Variablen y,,2,,2,,9,,2, die Variablen 
2,,2,,9,, Yo) 7, und statt B’, C die Ausdrücke C', A’ bei der Elimina- 
tion benutzt, so würde man für ce, einen Ausdruck von der Form 


EOS a boo oO X EAE 
statt des früheren 
OCB, Cy do BC X, Baya 


erhalten haben. Auf analoge Art kónnte man noch zu einer dritten 
Darstellung 


C L—— S(A’, m A , Di Cr x Va Z): (N° 


gelangen. Um nun zu zeigen, dass diese Nenner immer durch passende 


Über die ecole des Vielkürper-Problems. 53 


Umformung von e, beseitigt werden können, haben wir nur den Fall 
ins Auge zu fassen, wo keine der drei Zahlen g,r,s gleich Null ist. 

Zunächst schicken wir die Bemerkung voraus, dass abgesehen von 
der Relation 


(20) | AU+BM'+CN=o 


die A, A’,... von einander unabhängig sind, d. h. es existirt zwischen 
den A, A’,... keine weitere Relation 


o—=PA+ QB + RCE PA OB + Ro", 


in welcher die Coefficienten P, P',... von den x,y, z unabhängig sind. 
Infolge dessen darf man in c, die Variablen 


A 5) an ers , Aen LI . . ’ x 9 LU, Er“ , N , . * . , u 


als Grössen ansehen, welche, abgesehen von der einen Einschränkung (29), 
völlig willkürlich gewählt werden können. Es sei nun auf irgend eine 
Art für g, die Darstellung 


EA EMO AND CLE MEN PE Y 2 vy Dey Vy Z):(E) 
gefunden worden, wo in g, die X;, Y,, Z, durch die L', M', N' und 


die übrigen X, Y, Z ausgedrückt zu denken sind, dann kann, so lange 
de z,y,2,X,Y,Z, endliche Werthe besitzen, g, nicht unendlich 
werden. Ordnen wir nun e, nach fallenden Potenzen von Z', setzen 
also an 


0 1 
Qm DA mue 
" L4 


wo die H,, H, , ... ganze Functionen der vorkommenden Grössen bedeuten, 
so muss, sobald L’ verschwindet, sobald also 


3’ M' + Gh N’ =O 


ist, der Ausdruck Z, verschwinden, wie auch die Werthe der übrigen 
darin vorkommenden Grössen beschaffen sein mögen. Es muss also 77 


durch 


"M' + C'N’ 


54 H. Bruns. 


theilbar sein, d. h. man hat identisch 


H, —(EM' + ONE 


01) 


wo H,, wiederum eine ganze Function der darin vorkommenden Grössen 


ist. Infolge dessen wird 


H-AH, 
Co = . (Op : "em pe “i E. 


Wendet man auf diese Darstellung dieselbe Schlussweise an, u. s. w., 
so gelangt man schliesslich dahin, den Nenner von e, ganz zu beseitigen, 
d. h. e, ist immer als eine ganze Function der Grössen 
ASB CAC UO EE UM ARUM 
darstellbar. 
14. Um nun die Verbindungen der X, Y , Z zu ermitteln, welche 


in c, vorkommen, bilden wir in 


zunächst das erste Glied rechts. Dasselbe hat die Gestalt 


WoO 





= "NEN 99, —— E 
guo S "s ,)( My Ma aX, | 


und die Ableitungen von Po sich nur auf die explicite vorkommenden 
X,Y,Z beziehen, weil die A, B,C, A’, B’, C’ den Bedingungen 





9A aC" 


EE) HESS 
H Qv : 2 Qv 





genügen. Führt man in dem Quotienten 


qos 


af 


statt der æ,y,2 die f, g, h und v, als Variable ein, so muss die Inte- 
gration desselben nach x, den mit dem Factor — X, versehenen Term 
in c, liefern, welcher r,; im Nenner hat, und der im Ü brigen eine ganze 


Function der X, Y, Z ist. Nun ist 


far (Pr + (ar? + 2hx + cy? = (Va + Wax? + 20x + cy à 


- 


Über die Integrale des Vielkórper-Problems. 55 


wenn zwischen den von x unabhängigen Grössen P,Q,a,b5,c, V, W 
die Relationen 


DV = bP — Qa, 
DW = cP — Qb, 
D(Vx + W) = P(bx + ©) — Q(ax + b) 


stattfinden. Mit Riicksicht hierauf setzen wir an 








Ly — Lg = Leg » Bigeye e ‘aye 
[ja TET. fs E Fes 4I s esee ec 
X, = X; = X o «aq S. e EC 
9 9 
m, ur m; 2t A AA dir. 
| a 


r^, — az] + 2bx, + c, 


aX; FEN DUC bX} =r S2 af l aa} ax; —— Sf? 


aj? 


D; = Pr, + Q, 


PX; == SE OX, er RR 


(ax, + b)X, = DT (bx, + c) X, = NEL 
(6? — ac) X1 = (SX,,0,,)’ — (SX?,) . (Sa?,) = E, 


P ax, 4-5 | 
Q br, +c| 


1x7 
FX,, 
e Tag 


> 
- 0,5 ro 
Er, | quel Zr X, 


925 A ag SX, Vag 
- u " : 
Sf o Aus S/ r 


aj aj 


FX, = 


1 


i= 
Ses Ass Sr Lo | 


DE, Aa, DR. | 
| 
| 


56 H. Bruns. 
Der Ausdruck 
F 
Era 


ist, wie bereits erwähnt, derjenige Term in ¢,, welcher r,, als Nenner 
enthält; es muss also der Quotient F:E eine ganze Function der X, Y,Z 
sein: Da nun F und E ganze Functionen der x, X,... sind, und da 
E als Function der x, X,... betrachtet irreductibel ist, so muss der 
Quotient F:E auch eine ganze Function der x,y, sein. 

Um die Vorstellung zu fixiren, nehmen wir für den Augenblick an, 
dass die Indices 4, 8 in F und E auf die Werthe 3, 4,... beschränkt 
seien. Weiter denken wir uns in F und E die x,y,2 zunächst durch 


die f,g,h und #,, und dann die Grössen g,,h,,f,,9,,h, durch die 


19 2 
A,B,C,B',C und die übrigen f,9,% ausgedrückt. Durch diese 
linearen Transformationen wird an der Theilbarkeit von F durch E 
nichts geändert. Der Ausdruck für E enthält dann nur die Variablen 
fos Jus Nas fos 93, 3, während PF sich zunächst als eine ganze homogene 
Function zweiten Grades derselben f,g,h und von x, darstellt, deren 
Coefficienten die x,y,z nur in den Verbindungen A, A’,... enthalten. 


Setzen wir demgemäss an 
| T 9 Al : 
F=Fa+ Fix, + PF, 


so müssen F),F\,F, einzeln durch E theilbar sein. Nun sind die 7, 


und F,, wenn sie vorkommen, in Bezug auf die f,,..., A; von der ersten, 
resp. nullten Ordnung, woraus wir schliessen, dass sie in Wirklichkeit 
identisch verschwinden, dass also Æ sich auf den Term P, reducirt, und 
dass infolge dessen 
oF 
ou 


ist. Führt man nun die Differentiation nach # aus, so erhält man 


(92,54,5) - (9K?,) — (OX,,4 


af < af 


OR Lag) 
und hieraus 


(Sfip-Aas) (OR) = (93,4, NO Xap hep): 


aß 


Die vorstehende partielle Differentialgleichung für c, kann nun, da die 


Über die Integrale des Vielkürper-Problems. 57 


A... die f,,...,h, nicht enthalten, nicht anders bestehen, als wenn 
die mit den f,g,h multiplicirten Glieder links und rechts einzeln ein- 
ander gleich sind, d. h. es ist | 


Aug "1 Bag MM C55 CERA SX, 214,5 


af Y, Lag S Kap X55 








Zu diesem System von Differentialgleichungen, welche aus Gründen der 
Symmetrie auch noch gelten, wenn die Indices à, die Werthe 1 oder 
2 annehmen, gehören zunächst die vier Particularlésungen 


= Sim, M' = Zm,Y,, N'=— >m,Z,, 
1 I 2 r2 172 
gp— ; 2m, (X + 15 Z). 
Es fragt sich nun, ob noch andere gemeinsame Particularlésungen exi- 
stiren können. Die Integration der Gleichung 


Ags x: Bag 
X, Y, 








ist durch die drei Particularlösungen Z', M', T vollständig erschöpft, 
d. h. die weiteren noch aufzusuchenden Partieularlósungen dürfen als 
unabhängig von X,, X,, Y,, Y, vorausgesetzt werden. Dies führt zu- 
nächst zu der Gleichung 


welcher die Lósung N’ genügt. Infolge dessen kónnen die noch etwa 
fehlenden Lösungen als unabhängig auch von Z 


4» 45 vorausgesetzt werden. 
Es muss also, wenn noch weitere Lösungen, die von den gefundenen un- 


Y,, Z, unabhingigen Aus- 
Ya 2 


a? a 


abhängig sind, existiren, durch einen von X 


a?) 


druck e, das System 
Ack, see Balt Fig Cy: 4, 


1j 


oder 


T a” - oe r 
OX = ots Y =: Ze 
9X, a) oY, a) 27. a) 


befriedigt werden können, was offenbar nicht möglich ist, wenn e, die 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 29 Novembre 1887. 8 


58 H. Bruns. 
AS, Y., Z, wirklich enthält. Wir schliessen hieraus, dass der Ausdruck 


c, die Variablen X, Y, Z nur in vier von den x,y,z unabhängigen 
Verbindungen, nämlich Z', M’, N’, T enthält. Eliminirt man also aus 


A 
Co 


o ) Y / 2f / 7 7 5 a 
= SA PO, BECK Res ee 


vier der X, Y,..., 2. D. X,, J,,Z,, X, mittelst der Ausdrücke 7’, MN 
so müssen die übrigen X, Y, Z von selbst herausfallen. Man erkennt 
leicht, dass dann c, die Gestalt 

QUOD CU PROCEDE NM 


70 


annimmt, wo ck eine ganze Function der darin vorkommenden Grössen 
bedeutet. Hiermit sind wir im Wesentlichen an das Ziel gelangt. Ist 


U PT = Mams 
Tag 


die Kräftefunction, so sind die Ausdrücke 


nimlich 


A, B,C A, P:C LM No ES ww 
homogene Integrale von der hier untersuchten Art. Der Ausdruck 
J-— (A; B, op’, N's T= UV) 


ist ein ebensolches Integral, welches entwickelt und nach den X, Y, Z 
geordnet, mit dem hier untersuchten Integral g in den Gliedern hôchster 
Ordnung, nämlich in dem Anfangsterm e, übereinstimmt. Die Differenz 


g =p—J 


ist wiederum cin Integral von derselben Art wie e, nur dass die Ord- 
nung in Bezug auf die X, Y,Z in g’ um wenigstens eine Einheit nie- 
driger ist, als in g. Es lässt sich also von dem vorgelegten Integral e 
stets ein aus den bekannten Integralen zusammengesetztes Integral in der 
Weise abspalten, dass das übrig bleibende Integral nach den X, Y,Z 
von niedrigerer Ordnung ist als cg. Wiederholt man diese Abspaltung, 
so gelangt man schliesslich zu einem Integral, welches die X, Y,Z 
nicht enthält, welches sich deshalb auf eine Constante reducirt. 





Über die Integrale des Vielkürper-Problems. 


Hiermit haben wir den Satz gewonnen: 


59 


Bei dem Vielkórper-Problem ist der Kreis der algebraisch aus den 
Coordinaten und Geschwindigkeiten zusammengesetzten und von { freien 
Integrale vollstándig mit den bekannten Integralen, nämlich den Schwer- 
punktsätzen, den Flächensätzen und dem Satze von der lebendigen Kraft 


abgeschlossen. 


15. Aus dem gefundenen Ergebniss lassen sich sofort einige weitere 


Folgerungen ziehen. Wir führen ein 
n, X, = S5 Mm, > Xx Na nm, Z, = 4 


und schreiben demgemäss die lebendige Kraft in der Form 


T=> —(£ + + 0; 


2m, 


ferner setzen wir, wenn U wieder die Kräftefunction bedeutet 


T—U=H, 
dann haben die Bewegungsgleichungen die Gestalt 


de, M oH d£, La oH 
ANT ob wi - Qc, 











Diese Gleichungen transformiren wir, indem wir statt der x, 


Variable 


Dis» Dany fi». Tan 


durch die Gleichungen 


> oV oV ui 91 
Sa i Oty’ du x da” BUD E 22 : ? 
ol 
t = 
Er 


, 


= 
> 


. 


neue 


einführen, wo V irgend einen aus den Grössen #,7,2,p zusammenge- 
setzten Ausdruck bedeutet. Die transformirten Gleichungen werden dann 


bekanntlich 
oq, 9H dpa. — 9H 


dt 9p dt UP 


2 


60 H. Bruns. 5 


wo H durch die g, p ausgedrückt zu denken ist. Wir wollen eine der- 
artige Transformation für das Dreikörper-Problem wirklich durchführen; 
für das Vielkörper-Problem gestaltet sich die Rechnung nicht wesentlich 
anders. 

Die den &,75, € correspondirenden Variablen sollen mit p, p,,..., Ps; 
die den æ,y,2 entsprechenden mit q,4,,..., q, bezeichnet werden. Ferner 
soll die transformirende Function V in Bezug auf die p homogen linear 
sein, woraus sofort folgt, dass man ansetzen kann 


V— pt yn de Bate 


wo für die qg bestimmte Functionen der «,y, 2 gesetzt zu denken sind. 
Der Kürze halber móge das Zeichen 9 eine Summation über die drei 
Coordinatenaxen, das Zeichen X eine cyclische Summation über die In- 
dices 1, 2, 3 bedeuten. Dies vorausgeschickt setzen wir zunächst an 


qi — S (4 ELE ts) 7 — S(z, == 2 q3 am S — 26 


d. h. die 9,,9,,9, sind die Distanzen der drei Körper von einander. 
Weiter sollen sein 


q, = m; g, = my; qu 


Endlieh bilden wir mit den neun willkürlich gewählten Constanten 


@,, D, 06, 0, 5$, 6, «, b, €, 
zwischen denen die Relationen 
La, = Xb, = Le, = o, 
a,b, — a,b, = a,b, — a,b, = a,b, — a,b, = 1, 


stattfinden sollen, die Ausdrücke 
= 264, 
= Xb, (a, + iy,), 
q = [2a (u, + ÿy)]:a,, 


Uber die Integrale des Vielkérper-Problems. 61 


dann haben wir die Transformationsgleichungen 


i y] a, — liq 
e = > (@, is) ux E. JU erum ELA OUT + Pl 
> 2 3 4 


D 3 a, wi ; 
4; = B y zu + 5 (y, FR y,) — pat + pi, + pm 
gm d; 204 
p, 
4 =e u) t 282) T 56 Tnm, 


Die p ergeben sich hieraus als lineare Functionen der €, 7, 5, mit Coef- 
ficienten, welche algebraisch von den x,y,2 abhängen. Aus diesen 
Gleichungen folgern wir zunächst 


mx = LE = p.2m,, 
Emi 2 —=p2èn,, 


2m. Z,.=26 =#p2n., 


d. h. die p,q mit den Indices 6,7,8 sind, von constanten Factoren 
abgesehen, gleich den Geschwindigkeiten und den Coordinaten des Schwer- 
punktes. Weiter bilden wir die complexe Verbindung der beiden ersten 
Flächensätze 





i UM YA | TI p, XC, (y, =7 ix,) = Q.D, — IP, + iq, D, — 4, Ps) 





und den dritten Flächensatz 


Sir 


| =" Pda + Pride — 10; : 


4$ M | 





62 H. Bruns. 


Der Ausdruck für F endlich setzt sich zusammen aus den drei Gliedern 


/ \ 


He => P9, i ts tnm, LY Ps q» sb qa a 


1 25 
— Nay =m, ™, qs d; 2m, 





I Is 2 
sb > m, ua, TU b, q) Ar D, AP HS b. q) — (0 mu b, )1— U, 


= a2 
ee ee Tu MENOS (<2 — =) wy — 
Ds di ( 2 3) m, m, ee D E 2m, ) 
"nnt I 2 9 2 
12.4, — 5 (Pi + p + p) Xm. 
In den transformirten Differentialgleichungen 
dq, m oH dp, uu oH 


E um (G=0, 1, 268) 


dt — Mu ar 99a 








spaltet sich jetzt zunächst das System 


dq, oH" dp, oH" 
= ; = — ; 


(a=6,7,8) 
dt Pa dt Oda 














ab, dessen Integration die Schwerpunktsätze liefert. Nehmen wir den 
Schwerpunkt als Coordinatenanfang, so haben wir die y mit den In- 

I e? , : 
dices 6,7,8 einfach gleich Null zu setzen, und erhalten das System 


zwölfter Ordnung 








dq, 9 dp. 9 
EE H'" TIG ——— = — TI HY . (4=0, 1, ..., 5) 
dt N + ) dt = T ) 
Wählt man ferner die invariable Ebene als ay-Ebene, so ist p, gleich Null 
zu setzen. Infolge dessen reducirt sich das System zwölfter Ordnung auf 
ein System zehnter Ordnung mit den Variablen p,...,p,,q,...,q 
und auf eine Quadratur. zur Bestimmung von q,. Das letztgenannte 
System hat die Form 

dq, 9H dp, oH’ 


= ; —, | (420,1, ...,4) 


dt op, dt 9q, 


Über die Integrale des Vielkörper- Problems. 63 


und giebt, da H’ die Variablen p, und 4, nur zu dem Producte p,q, 
verbunden enthält, in Folge der Gleichungen 


dq, oH t pet. yoo. 

dt ~ 2,4) +? di ^ Xp) 
die Relation 

KB) _ 
dt 4 
welche sich vorhersehen liess, da ip,g, unter den gemachten Voraus- 
setzungen das dritte Flächenintegral ist. Von dem System zehnter Ord- 
nung spaltet sich also das System achter Ordnung 
dq,  9H' dpa 0H’ 


= — (a=0,1, 2, 3) 


a ope” dt 9q, 











ab, wo in H’ an Stelle von p,q, eine Constante zu schreiben ist, die 
wir mit À bezeichnen wollen. Die beiden übrig bleibenden Gleichungen 
liefern dann den Ausdruck für 
log 2* 
Pa 
durch eine Quadratur. 
16. Um das System achter Ordnung noch weiter zu reduciren, 


schreiben wir 
HH" = Hp. + H,, 


wo H, und H, offenbar von p frei sind. Ferner setzen wir an 


i — 
La Rae tS Ok ko 





und können dann die Gleichungen zunächst in der Form 


dq, E oL À oL dp, 


oL oL 





dt op, oH" dt  9q, 9H' 
schreiben, wo nach Ausführung der partiellen Differentiationen für H’ 
wieder der ursprüngliche Ausdruck gesetzt zu denken ist. Wegen der 
Relation 

dia ro f 

dt "au 


64 H. Bruns. 





folgt aber-für g =r’, 24% 
dau E oK dp, E °K 
dq PS Pa” dq /—-— a 


Für das vorstehende System sechster Ordnung ist der in Æ auftretende 
Ausdruck H’ ein Integral, wir dürfen also für H’ eine Constante —h 
schreiben und haben damit das Problem auf die Integration eines Systems 
sechster Ordnung und die Quadratur 


dp oK 
dq oq 
zurückgeführt. 

Eine weitere Reduction als auf dieses System sechster Ordnung, 
welches schon mehrfach, wenn auch in abweichender Gestalt, abgeleitet 
worden ist, lässt sich, wie aus den Untersuchungen von Herrn Lie über 
Gruppen (Mathem. Annalen, Bd. 8) hervorgeht, an der Hand der 
bisher bekannten Integrale nicht erreichen. Der vollständige Ausdruck 
für Æ hat die Gestalt 


E H / 
k= e 
Pi 
EE — D À, qi , 
—b — 
Ai (a — 20) er xs = E etc., 
2 3 





-- p, V? 2m, + m, Ps Ps qo + ds — qi Pi 
LO) a rer D li 


b. b, 
B = k(a, — a ' etc., 
: 


M,m, 
ra: 


Es lässt sich jetzt unschwer zeigen, dass unser System sechster Ord- 





nung keine algebraischen Integrale besitzt. Angenommen es existirte ein 
algebraisch aus den p,q zusammengesetztes Integral, dann ergiebt sich 
zunächst, weil A eine rationale Function der p,q ist, die in $ 2 be- 


~ 


Uber die Integrale des Vielkérper-Problems. 65 


nutzte Schlussweise, dass dieses Integral sich als eine algebraische Ver- 
bindung von Integralen darstellen lässt, welche die p, q nur rational ent- 
halten. Für die rationalen Integrale ferner zeigt die in $ 3 benutzte 
Methode der unbestimmten Coefficienten, dass in diesen Integralen die in 
K auftretenden Constanten, nämlich die m,a,b,c,k,h nur in alge- 
braischen Verbindungen vorkommen können. Setzt man nun in einem sol- 
chen rationalen Integral für die p, q ihre Ausdrücke durch die ursprüng- 
lichen Variablen #,9,2,&,7,{ und ferner für die Constanten k und 
h, welche ja algebraische Integrale bedeuten, ebenfalls ihre Ausdrücke 
durch die ursprünglichen Variablen, so gelangt man zu einem Integrale 
des Dreikörper-Problems, welches die Coordinaten und die Geschwindig- 
keiten nur algebraisch enthält. Ein derartiges Integral reducirt sich aber 
allemal; wenn man den Schwerpunkt als Coordinatenanfang und die in- 
variable Ebene als æy-Ébene wählt, auf eine algebraische Function von 
h und % allein, womit offenbar die Nichtexistenz algebraischer Integrale. 
für das System sechster Ordnung bewiesen ist. 

Bei den bisher mittelst der HawrirroN-Jaconrschen Methoden er- 
ledigten Problemen der analytischen Mechanik beruht die Lösung im 
Allgemeinen darauf, dass man, nöthigenfalls durch eine passende Trans- 
formation, eine sogenannte Trennung der Variablen herbeiführt. Dieses 
Princip lässt sich etwas allgemeiner, als es bei Jacogı geschieht, folgen- 
dermassen formuliren. Gegeben ist das kanonische System 


dq, oH dy, oH 
= — , — = ——, (421 
dq Pu dq Mu 
Hiss f(g.uidias le Gyr >a ada) 
die Variablen lassen sich trennen, wenn zwischen den Variablen q.....9,. 
Dis... Pn, einer neuen Variablen p und gewissen Parametern c, , ¢,, . 
Gleichungen von der Form 


im poa ve ve os ae) =O, IE 040.) 0, . ete. 


112,72 
aufgestellt werden können, welche folgenden Bedingungen genügen: 1° die 
Anzahl der Gleichungen und der Parameter ¢ ist gleich der Anzahl der 
Variablenpaare 9,9:P9,> 35 +++, 2? jede Gleichung enthält nur ein Va- 
riablenpaar; 3° eliminirt man mittelst der angegebenen Gleichungen aus 
dem Ausdrucke 


p + il 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 9 Décembre 1887 u 


66 H. Bruns. 


je eine Componente eines Paares, so fallen die anderen Componenten von 
selbst heraus, d. h. der genannte Ausdruek verwandelt sich in eine von 
den p,q freie Function der Parameter c. Aus diesen Eigenschaften folgt 
dann weiter, dass, wenn man die Gleichungen H,, H,,... nach den c 
auflöst, die für die ¢ sich ergebenden Ausdrücke Integrale des vorgelegten 
Problems sind. 

Aus diesen Bemerkungen lässt sich das Ergebniss ableiten, dass es 
nicht möglich ist, bei unserem System sechster Ordnung eine Trennung 
der Variablen durch rein algebraische Berührungstransformationen, d. h. 
Transformationen, bei welchen die kanonische Form der Differential- 
gleichungen erhalten bleibt, herbeizuführen. Bei emer algebraischen Trans- 
formation nämlich verwandelt sich A’ in eine algebraische Function der 
neuen Variablen. Wenn nun in diesem Falle eine Trennung nach den 
neuen Variablen möglich ist, so lassen sich die Parameter c stets so wählen, 


dass die Zusatzeleichungen 
iyo; EH t=O, 


die Variablen und die Parameter nur algebraisch enthalten. Man wiirde 
hiermit auf algebraische Integrale des Systems sechster Ordnung geführt. 
Darnach sind also die Transformationen, welche die Trennung der Va- 
riablen gestatten, nothwendiger Weise transcendent, ebenso wie die noch 
fehlenden Integrale. 

Durch die vorstehenden Betrachtungen ist nun allerdings noch nicht 
die Möglichkeit ausgeschlossen, dass man nicht auf algebraischem Wege 
wenigstens zu einem neuen Integrale gelangen könnte. Diese Frage ist 
im Wesentlichen gleichbedeutend mit der andern: existiren Integrale, 
welche durch Quadraturen über algebraische Ausdrücke der p, ent- 
stehen? Die Erledigung dieser Frage, zu welcher man nach Erschöpfung 
des Gebietes der algebraischen Integrale auch noch durch Überlegungen 
ganz anderer Art hingedrängt wird, würde auf dem hier eingeschlagenen 
Wege als der nächste nothwendige Schritt erscheinen, bevor man den 
Versuch macht, in den Differentialgleichungen selbst Fingerzeige bezüg- 
lich der für das Problem angemessenen transcendenten Transformationen 


aufzusuchen. 


Uber die Integrale des Vielkórper- Problems. 67 


Il. 


1%. In der vorangehenden Abtheilung habe ich gezeigt, dass bei 
dem Vielkörper-Problem die Gesammtheit der von der Zeit / freien, al- 
gebraischen Integrale erhalten wird, wenn man aus den neun bekannten 
Integralen dieser Art alle möglichen algebraischen Verbindungen bildet. 
Als Ergänzung hierzu wollen wir nun noch den Fall behandeln, dass 
ein Integral ausser den Coordinaten und Geschwindigkeiten auch noch 
die Variable ¢ algebraisch enthält, wie dies ja bei den Schwerpunkts- 
Integralen eintreten kann. Zu dem Ende denken wir uns das System 


de, 


dt 





TEX f ) Y9n»n1 X, , 3), (a=1,2,..,n) 


von Differentialgleichungen vorgelegt, in welchem die f rationale Func- 
tionen der x und einer einzigen, algebraisch von den x abhängenden Ir- 
rationalitàt s bedeuten, während / weder in den f, noch in s explicite 
vorkommt. Dieses System ist offenbar noch allgemeiner, als das in § 2 
zu Grunde gelegte. Ist nun ¢ ein algebraisch von den Variablen x, / 
abhängendes Integral, so zeigt man zunächst durch die früher benutzten 
Überlegungen, dass sich ¢g algebraisch aus Integralen von der Form 
R(x ,s,t) zusammensetzen lässt. Wir nehmen deshalb an, dass ¢ von 
vornherein die Gestalt &(x,s,t) besitze, denken uns dann ¢ als Quo- 
tienten zweier Polynome von. der Form $(r,s,/) geschrieben, und in 
Zähler und Nenner die Linearfactoren von der Form 

t—f, t— t 


1 2? 


aufgesucht, in denen die /,,/,,. 
tionen der x sind. Bildet man jetzt die vollständige logarithmische Ab- 


leitung von e nach £ und beachtet, dass in den Differentialgleichungen 


algebraisehe und von / freie. Func- 


GS . H. Bruns. 


¢ nicht explicite vorkommt, so erkennt man, dass die angegebenen Li- 

nearfactoren sämmtlich Integrale sind, und dass ferner der nach Unter- 

drückung dieser Factoren in ¢ übrigbleibende Bestandtheil von der Form 

R(r,s) ebenfalls Integral ist. Die verschiedenen in / linearen Integrale 

unterscheiden sich von einander um algebraische und von ¢ freie Integrale. 

Hiernach ist zur Aufstellung aller Integrale der betrachteten Art nur 
o 


erforderlich zu kennen 1° alle algebraischen und von ¢ freien Integrale, 


2? ein einziges von { abhängiges Integral der Form / — £,. Beim Viel- 
körper-Problem ist deshalb das Gebiet aller algebraischen Integrale durch 
die bekannten zehn völlig erschöpft. 

1S. Am Schlusse der ersten Abtheilung waren Betrachtungen 
über die Frage angestellt worden, wie weit es möglich sei, durch alge- 
braische Transformationen der Lösung des Vielkörper-Problems näher zu 
kommen. In dem Nachstehenden soll dieser Gegenstand weiter verfolgt 
werden, wobei wir uns einstweilen auf das Dreikörper-Problem beschrän- 
ken. Um später den Gedankengang nicht zu unterbrechen, sollen zu- 
nächst gewisse Nebenuntersuchungen vorweg erledigt werden. 

In $ 15 waren die Bewegungsgleichungen durch Benutzung der 
Schwerpunkts- und Flächensätze auf ein System achter Ordnung 


qd 20H dpe 8H’ 
dt — 9p, du 








E , (a=0, 1, 2, 3) 
Oda 

reducirt worden, in welchem die Variablen nur noch von der Configura- 
tion des Körpersystems abhängen. Die Gleichungen enthalten ausser den 
vier Paaren abhängiger Variablen p,q,... an Constanten die drei Massen 
m,, die Grösse k und die sechs Grössen «a,,b,. Die Grösse ik ist der 
constante Werth des dritten Flächenintegrals, wenn die invariable Ebene 
als Fundamentalebene gewählt wird; die Constanten «,, b, konnten in- 
nerhalb der Einschränkungen 


2T] a,b, — a,b, = a,b, — a,b, = a,b, — a,b, = 1 


willkürlich gewählt werden. 3ildet man mittelst der transformirenden 
Funetion 


y = rq + 25, (a=1, 2, 3) 


D | — 


Uber die Integrale des Vielkörper-Problems. 


die Substitutionsgleichungen 








eV i oV 
) ——— S = —— 
! 24 À or 
oV oV 
} == 5 = " 
] 0 9q, ) a 2i L 
aus denen . 
y =), Succ. 
0 I 
D = = ? 8, — q, 
da “RE 


d * à, 1 ^ 2 à Ta 6 a 1 ^n 
folgt, so werden die Bewegungsgleichungen 


ds, A) EMI dy, B PHA 
dt ye Or, ; dt. S DEI 8s, 





(491, 2, 3) 


(a 20, 1, 2, 3) 


Im Folgenden werden wir, je nach Umständen, das System der p, 
oder r, s benutzen, jedoch für das eine Paar v, s die ursprüngliche Be- 
zeichnung p,q beibehalten. Ferner soll wie früher das Zeichen X ohne 
Summationsbuchstaben eine cyclische Summation über die Indices 1,2,3 
bedeuten. Dies festgesetzt stellen wir zuerst die weiterhin benutzten Ab- 


kürzungen und Relationen zusammen. Es sei 


Gea y = Ers, 





Et CD; — CB, 


H = ZAr, = M, + Mg + Mq, 


m, m, 


M, = ZM.r.; M, = XM,r,, M, = ZM,.r,, 


a, dt d b à) 
A = (a, — b, q)( == ra} I, E af), ete. 


70 H. Bruns. 





a a. 
Me — ü -— — )» etc. 
my na 
b b A a 
M,,-—-—a(--— S) a (f m, ete 
lii 2 ML, IM, m, 
b hb. 
M,, — b, (— Le )» ete. 
m ni. ® 
m, 
M, = M, + mz, + m,, M, — m m,m,, pocos 
4 
xp: Ny ab, SS "i 
Ta — a ; = E — , 
Ho — it, My — iil, : ee — iN, 
Ho — Pl = NM; 


49 


Für die M, L bestehen, wenn /,,f,,/, drei willkürliche Zahlen bedeuten, 
die zusaminenfassende Determinanten-Relationen 








| | f - Ih 
fas Mia 9 Mls, | =, >= m,” fa, Ma, Mun m, 
f : M,, ; M,, | — [ka > A ) | I; ' Le 5 M,, | — — m 2.f, ad, ' 


tae RE M, | Ll m2. f, (a,b, + a,b,) + fs, Ne f ; 


—— m, 


fa, Lu, M,| = — m&f,b,b, — m) m. 
! 


Uber die Integrale des Vielkörper-Problems. 71 


Ferner ist noch 





Er Mou M, M, 
pe Due ys. 


My m a= Mar 


[73 [7 


= 2p, Mg = In, an 


D 


4M,,M,, — M,,M,, — —(- 


4(M,,M,, + M,,M,,) — 2M,,M,, — — 2( —) + 4m, et 


na m, 
4M, M, — MM, = amD — D'D’. 


Die letzte Relation lehrt, dass der Ausdruck #H,, als Function von 
Q.V, 0, v, betrachtet, irreductibel ist. Setzen wir endlich noch an 


b, b, 
ZB, re kr, (ay MIE WE 3, 
= kL, T kqM, , 


U =. à mi, ; 


— Vn 


H, = L, de kL, a kqM, — U, 


so ist der zur Bildung der Differentialgleichungen erforderliche Ausdruck 
H' gegeben durch 
H'— pH, + H,. 


Die mit 4’ gebildeten Bewegungsgleichungen wollen wir kurz als das 
System achter Ordnung bezeichnen. Der Ausdruck 77' ist die Differenz 
»lebendige Kraft minus Kräftefunction». Bezeichnet man den constanten 
Werth dieser Differenz wie früher mit — h und setzt 


A — (H, + h): H,, 
so erhält man das von p und / freie »System sechster Ordnung» 


‘ 2 ) On 
Reno OE u hie, 


dq Mu f dq a 


72 H. Bruns. 


Fügt man hierzu die Gleichung 


dt 


am pM 


1 

so erhält man das »System siebenter Ordnung», welches sich aus dem 8. 
Ordnung dadurch ergiebt, dass man mittelst des Integrals der lebendigen 
Kraft die Variable p fortschafft und g an Stelle von ¢ als unabhängige 
Variable einführt. Umgekehrt kann man von dem System 7. Ordnung 
zu dem 8. Ordnung dadurch gelangen, dass man an Stelle der Constante 
h die Variable p durch die Gleichung 


pH, + H, +h=o 
einführt. 

19. Die in #’ und Æ auftretenden Constanten a,b konnten inner- 
halb der oben erwähnten Einschränkungen völlig beliebig gewählt werden, 
und man hätte z. B. ohne die Allgemeinheit der Untersuchung zu beein- 
trächtigen das specielle Werthsystem 


zu Grunde legen können. Der Symmetrie halber wollen wir jedoch die 
a,b unbestimmt lassen, und zeigen, wie sich die für zwei verschiedene 
Werthsysteme der «, geltenden Differentialgleichungen in einander über- 
führen lassen. Es seien @.,b,ece,d vier willkürliche, nur der Einschränk- 
ung 

ad — be = 1 


unterworfene Constanten. Man setze an 


a, — aa, + bb, b, = ca, + db, 
dann ist 


GD, — 5 05i 1, ete. 


d. h. die a,b’ genügen denselben Bedingungen wie die ursprünglichen 


a,b. Ferner sei 


Über die Integrale des Vielkürper-Problems. 73 


wo g' eine neue anstatt g in das System 7. Ordnung einzuführende un- 
abhängige Variable bedeutet; dann ist 


a, — b,q = (a, — b,q:t(eq' + d), 





(cg! + d)’H, = Lr, (a; — ya) N re 


\ m, m, 


Y , , , , d, b^ 
ZBir,— ke(eg’ + d) H, = k&r, (a = bg} = — — ). 
m, d 
Schreibt man also in A anstatt q und anstatt der a, b resp. g' und a’, &, 
so erhält man für den so entstehenden Ausdruck A" die Relationen 


3 K ia 
K — CERTES VISCSCER Gj — ay ee * 
(eq + d)* eq + d 


K — K'(eq' + d)’ + ke(eg + d). 


Beachtet man nun noch die Gleichung 


dq = dq':(eq' + dy’, 


so erkennt man leicht, dass das System 7. Ordnung nach Einführung 
von g die Form | 


dq, = oK' dpa oh’ di e^ 
dq’ op dy Oyu ] dy Fe 


annimmt. 

Von den acht Variablen p,q besitzen drei, nämlich 4,, q,. 9,, eine 
einfache geometrische Bedeutung, indem sie die gegenseitigen Distanzen 
der drei Körper darstellen. Wir wollen nun auch für die übrigen Va- 
riablen den Zusammenhang mit den ursprünglichen Bestimmungsstücken, 
nämlich den Coordinaten und Geschwindigkeiten aufsuchen. Es seien 
X, Y, Z und X, Y', Z die auf den Schwerpunkt und auf ein beliebig 
gerichtetes Axensystem bezogenen Coordinaten und Geschwindigkeiten, 
ferner 2,9,2 und z',y',*' die analogen Grössen, wenn die invariable 


Acta mathematica, I\. Imprimé le 14 Décembre 1887, EL 


74 H. Bruns. 


Ebene als xy-Ebene gewählt wird. Bedeuten /,, 4, b, 


Werthe der drei Flächensätze für das erste Axensystem, so ist 
x 
pou 


(24 (2 


VÀ Z' | 

4 4 | 
X x! 
a & a 


(72 


u A 
P » quc : k k, =>. m, 
ru VE AN pus 


u 





; s 2 m, 
- p i 
[72 | 


12 HE LR LER. 


Die z,y,2 hängen mit den X, Y,Z durch eine orthogonale Substitu- 


tion der Form 


a aX+tbV+e Z, 
WX+tYUVt+e Z, 
e=—a"X + UY 4+ c’Z, 


zusammen, für welche die Relation 


eilt. Nun war 
1 ia, (f, + Wu): Lb, (x, 4- y); 
andererseits 1st 
ec + dy — X(a + ia) + V(b + ib) + Ze + ic’), 
Ra — ia')(z + iy) = Ak’ + M) + Y (E, b, + ky) + Z( b, — kk), 


folglich 
q == oi : Joos 


wenn 


" 2 aix, (+) + El HE) + Zu, — Eh]. 
ra 2 LX, (k* +) + Y, e, LME) + Zik — ks) 


cesetzt wird. Hiermit ist offenbar der gesuchte Zusammenhang für 


ceceben. 


k,,hk, die constanten 


g 


Uber die Integrale des Vielkörper-Problems. 15 


Um den analogen Zusammenhang für die p nachzuweisen, benutzen 
wir die Differentialgleichungen 


dq J 


ME SEM 


I 


ds, P. ^q À i | 
a F br ii =) "e Ru te) Ap + By, 


deren Auflösung nach den r und nach p die gesuchten Beziehungen liefert. 
Zur Abkürzung setzen wir 


s; = Ls, — 25,, Soto Sis 23 ete, 
A, = ZA — 24,, A! + A — 24, etc. 
Bi XB, —2B, B, + B,—= 2B,, ete, 
A p re 
225,8 — 23 
= 25,5. 


A ist offenbar das 4-fache. Quadrat des von den drei Kürpern ge- 
bildeten Dreiecks. Weiter sei 


T= 2 A,8| = DAis,, 
T, = ZB,si = DBis,, 
V, = ZA), 
V, = LA, Bi = AB, 
W, 245.245 — ALA, A; 
TANT: 
W, = ZA,s,.2B,s — AX. A,B} 


DI 4 


76 H. Bruns: 


dann wird 


dA S ds, 
DEDE: 
SUA c me 
ld / vs 
— == in(2C' + Kk), 
dt 
ds, D Tw! 7 , ” 
di. m, DS — 20 ls oe 
CU 1 


enc ppt Ce pV, + V, 


ur 1 dt 


dA ds, ( 
To 2AY 4,9 — 40a! + apw, + 2W,, 





dt 1 dt dt 
2 ac ‚dA ea ds, 
mm, one 2A 
2Ak Y | laa Bi : , | ı rm »! 
"OA 4CAn, + 2p( T, = AA) 4-2 (LT, — AB). 


Hiernach sind p und p, linear durch die Ableitungen der 4, 4, aus- 
gedrückt; die Coefficienten in diesen linearen Ausdrücken besitzen den 
gemeinsamen Nenner 


CAW,. 
Es mag hier noch bemerkt werden, dass die Grössen 
q "| Vu ? D ) Pa 1 h ? k, ? h, 


wenn sie durch die ursprünglichen Variablen X, X’,... ausgedrückt 
werden, homogen im Sinne des $ 4 sind. Infolge dessen bleiben die drei 
redueirten Systeme von Differentialgleichungen, nämlich das System 6., 7., 
8. Ordnung, ungeändert, wenn jede darin vorkommende Grösse mit der 
ihrer Dimension entsprechenden Potenz eines constanten Proportionalitäts- 
Factors multiplicirt wird. 

20. Als nächste Aufgabe behandeln wir die Aufsuchung der zu 
dem System 7. Ordnung gehörigen Integralgleichungen von der Form 
? 


e 


= 


(¢ ) q , Up , Pu) 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 77 


Dass wenigstens eine solche Integralgleichung, nämlich die Bedingung 
für die Bewegung der drei Körper in einer Ebene, vorhanden ist, lässt 
sich von vornherein unschwer durch geometrische Uberlegungen zeigen; 
es kommt jedoch wesentlich darauf an nachzuweisen, dass nur diese eine 
existirt. Es sei g eine irreductible ganze Function der acht Variablen 
$3959, D; schreibt man 


9 


| WH, + ah 
du tz ddsdua Fe, 
4 


1 


so sind in X Zähler und Nenner von der Form $(p,4) und man er- 
kennt, dass der Ausdruck 


^ \ 


do ?€ NS | 9p 0K Cp = 9p I 








RR 


dq 0q hom I. 7) CE 9p, 94a 


a 


durch Multiplication mit (g,H,)* ebenfalls die Gestalt S(p,q) annimmt. 
Wenn also ¢ eine Integralgleichung ist, so muss 


> 


,d log 


(q, H,) dq ws a — S(t 2.0) 


~ 





sein. Wenn ¢ in ¢ wirklich vorkommt, so können wir schreiben 
pro. Def ).4»—1 
C Pee oP tS Huit B, 


wo » mindestens gleich Eins ist. Bildet man, indem für den Augenblick 
t als unabhängige Variable genommen wird, die vollständige Ableitung 
von e nach /, so ist diese nach ¢ höchstens vom Grade v», d. h. die lo- 
garithmische Ableitung frei von f. Hieraus ergeben sich, wenn 


d log © 2 


dt = (0 
gesetzt wird, dic Bedingungen 
4 P, fn ) dP, ro 
a US ee VP, + di ark , 


d. h. es wäre 


78 H. Bruns. 


ein Integral des Systems 7. Ordnung. Da ein Integral dieser Form für 
die relativen Bewegungen der drei Körper, wie wir wissen, nicht existirt, 
so schliessen wir, dass / in ¢ nicht vorkommt. 

Durch die bereits mehrfach benutzte Betrachtungsweise zeigt man 
ferner, dass die Coefficienten in c sich allemal darstellen lassen müssen 
als algebraische Functionen der in den Differentialgleichungen auftreten- 
den Constanten m,a,b,h,k und eventuell gewisser, ausserdem noch 
auftretender constanter Parameter. Mit Rücksicht hierauf denken wir uns 
die Coefficienten in ¢ dargestellt als rationale Functionen jener Constanten 
und einer algebraisch von denselben abhängenden Irrationalität /’, welche 
als Wurzel einer gewissen irreductiblen Gleichung definirt ist. Die Be- 


dingung 
| l los ç 
f 2° ei = 
(aou i) 0) 


gilt dann für alle Wurzelwerthe /. Bilden wir jetzt die Summe über 
die den einzelnen /' entsprechenden Bedingungen, so erhalten wir 


,«log 9 _ 


dq 


() 


CCR) 


(d, Hr ) 


O23 
to 


wo ® das Product der einzelnen ¢ und & die Summe der einzelnen c 
bedeutet. Die ® und 2 sind dann von der Irrationalität /' frei und wir 
können uns auf die Aufsuchung der Integralgleichungen von der Form 
D beschränken, da man von ® rückwärts durch Zerlegung in Factoren 
zu den ç gelangt. Die Hinzufügung oder Unterdrückung constanter Fac- 
toren ist auf das Bestehen der Bedingung (32) offenbar ohne Einfluss; 
wir dürfen deshalb c als eine ganze Function nicht bloss der Variablen 
p.q, sondern auch der Constanten m,a,b,h,%k und der etwa auftre- 
tenden constanten Parameter c,,c,,... voraussetzen und ferner annehmen, 
dass ® keine von den Variablen p,q freien Theiler der Form 


Gin, a: 0, T9». 
besitze. Der Ausdruck 4 ist dann sicher von der Form 
SG. quiis ut ars pens Wh 


Wir wollen nun zunächst zeigen, dass ® parameterfrei ist. Wenn 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 19 


nämlich @ einen Parameter — sagen wir c — enthält, so denken wir 
uns ® nach c geordnet und 


D — duc + d. ex +... + 6, 
geschrieben. Da 2 in e vom Grade Null ist, so erhalten wir 


Q(g, Hy — dlog®, _ dlog@, | Lau 
dq dq 
d. h. der Quotient zweier ®, ist ein rational aus den p,q gebildetes In- 
tegral des Systems 7. Ordnung, reducirt sich also, da solche Integrale 
nicht existiren, auf eine Constante. Infolge dessen könnte ein Parameter 
c in ® nur in einem von den Variablen p,q freien Theiler enthalten 
sein. Da solche Theiler von vornherein unterdrückt werden sollten, so 
ist Ÿ parameterfrei und deswegen auch homogen in den Dimensionen. 
Der Ausdruck ® kann den Theiler 4,1, enthalten. Führen wir, 
wenn w,v zwei Functionen der Variablen p,q bedeuten, das bekannte 
Operationssymbol 





ein, so wird 


d log (q, H,) 9 log (q, H,) q,H, + q,^ | 


+ (log q, H, ? q H, 


dq 24 \ 
3 d log (q, H,) 9 (q, H,) 
HT b LH, s aH, Ha). 


Hiernach können wir uns in ® den etwa vorkommenden Theiler q, H, 
unterdrückt denken, ohne dass dadurch an der Bedingung (32) etwas 
Wesentliches geändert wird. Dies festgesetzt führen wir jetzt in ® und 
“2 anstatt A die Variable p durch die Gleichung 


ho = oi UH. 


ein. Beide Ausdrücke bleiben dabei in Bezug auf 4, p, p, ganz rational, 
können dagegen in Bezug auf die 4, Nenner enthalten, welche jedoch nur 
Potenzen der g, als Theiler besitzen. Gehen wir, entsprechend der ge- 
machten Substitution, von dem System 7. Ordnung auf das 8. Ord- 


s0 H. Bruns. 


nung über und führen ¢ als unabhängige Variable ein, so können wir 


schreiben 
d log D 


So — Gigi) — 9. 


wo 2, da ® nicht den Theiler 4,7, besitzt, im Nenner sicher nur Po- 
tenzen der q, als Theiler enthält. Führen wir weiter für die p ihre in 
$ 19 gegebenen linearen Ausdrücke dureh die 


dq ds, 


dt’ dt 





ein, so werden und €’ ganze Functionen dieser Ableitungen und ent- 
halten in den Nennern als Theiler nur Potenzen von q,, C, A und W,. 
Führt man endlich statt der g,... ihre Ausdrücke durch die rechtwink- 
ligen, auf den Schwerpunkt und ein willkürlich gerichtetes Axensystem 
bezogenen Coordinaten und Geschwindigkeiten X, X’,... ein, und denkt 
sich auch die in g vorkommenden Grössen 4, k,, k,, sowie die durch 
die Gleichung 


I? +k? =o 


bestimmte Quadratwurzel % durch die X, X’,... ausgedrückt, so wird ® 
eine Integraleleichung der ursprünglichen Bewegungsgleichungen, welche 


die Form 


IP GEOP MET D 


besitzt, im Nenner jedoch die Geschwindigkeiten nur in den vier Verbind- 
ungen k,, k enthält. Das Gleiche gilt von der Form des Ausdruckes ©”. 

Es werde jetzt mit 4, das Product. derjenigen Theiler im Zähler 
von ® bezeichnet, welche sich, als Functionen der X',... betrachtet, 


nicht durch die 4,, k allein ausdrücken lassen, und es sei 


d loo f d loe 
(p (p. D oO 1 — U, iiis d 9o 
/ p, p, ? dt 1 dt 2 


dann ist 2, genau von derselben Form wie £' und dasselbe gilt wegen 


0 (Joc 
el = ES. 


auch von 2. Weiter erkennt man, dass wegen der über 4, gemachten 


Festsetzungen 0, in Wirklichkeit im Nenner nur Potenzen der q, als 


Über die Integrale des Vielkürper-Problems. 8] 


Theiler enthalten kann; 4, ist also, wenn es sich nicht etwa auf eine 
Constante reducirt, eine Integralgleichung für die Bewegung relativ um 
den Schwerpunkt. Schreibt man mit Rücksicht auf die Irrationalität A 


^ 


: ; (9 , 
D, und Del Kb 54 qo) 


] 
3 € 3 © 7 7, N 
qi du und T4 2. == G(X , X Sos Ta) 
so ist, da die Bedingung 


d log 
dt 





(9, s Kk, 4) ia 2, + k&, 


für beide Vorzeichen von 4 gilt, 


ne (d, [omm k° Di») cm 20, . 
Das Product 
(33) (D, in k®,,\®,, a kD, ,) 


ist also eine homogene Integralgleichung von der früher behandelten Art 
und ist deshalb, da es sich hier nur um die relative Bewegung handelt, 
in der Form 


(Cc) 


(X,Y,2,9)9(k, , hy , ky, h) 


darstellbar. — Eliminirt man also in dem Producte (33) mittelst der Glei- 


chungen 


o = Lm, Xt = Lm, J) = Xn, Z, 


und der Ausdrücke für die %,,k sieben von den neun Grössen N’, I’, Z’, 
so müssen die beiden anderen von selbst mit herausfallen; dies ist aber 
nicht anders möglich, als wenn jeder der beiden Factoren jenes Productes 
einzeln durch die angegebene Elimination von sämmtlichen X’, 1", Z 
gleichzeitig befreit wird. Hiernach kann also die gesuchte Integralglei- 
chung ®, wenn man wieder auf die Variabeln des Systems 7. Ordnung 
zurückgeht, nur die vier Variabeln 4 enthalten oder muss m. a. W. frei 
von den p, sein. 


Acta mathematica 11 Imprime le 14 Décembre 1887. 11 


s2 H. Bruns. 


21. Unsere Aufgabe ist jetzt darauf zurückgeführt, eine von den 
p, freie Lösung ® der Form $9(q,4,) zu der Bedingung 


; 9 d log ® o/ N 
um dy x RSS Ui » Jas Pa) 


zu suchen. Zunächst ist 





\9 0 loc i 
2 = (gH, 2" + (I (log 0, =) 
— GET + LI log D, Th + 9) — BT, + Vlog. Hh) 


Diese Gleichung zeigt, dass 2 in den p, höchstens vom zweiten und in 
den 4, höchstens vom vierten Grade ist. Wir spalten 2 nach der Ord- 
nung der einzelnen Glieder in Bezug auf die p, in die drei Bestandtheile 


{) = 0), + oO, + D, : 


wo der Index die Ordnung nach den p angiebt, und führen statt der 


, die x, durch die Relationen 


ne = Ty Ta 


ein. Hiermit werden ©, und ©, nach den q, höchstens vom 5°", resp. 


6"" Grade. Weiter wird, wenn man entwickelt, 
c, = qi(U — h)(log 9 , IT), 


o, = MAH, (log 0 , Z, — gM) — ial 





(log ® , I), 
o, (4, HH,» SE" + iH (og, L) — qi L,(loe 6 , I), 


wobei zu beachten ist, dass das Symbol (w, v) auch in der Form 





Mes dv Qv On ) 
9s, Or, 98, OF, / 


oeschrieben werden kann. Bei der Integration der drei Bedingungen für 
d wollen wir der besseren Übersicht halber folgende Abkürzungen und 


Relationen benutzen: 


Über die Integrale des Vielkörper-Problems. 


BD 299.4 F=—%X (ab, + ab, 84; G = Zb,b,s,, 
C E poE-TpbF-ApuG-—o, 

EM —o, E,M)= .o, CUM a ae (G, M,) — —JI, 
(OM) —o, (E, M) —u,. CM 210%, (GM. ys ne» 
EE -—o, (E,M)— x, (Ff, M,)=—yp,; EN eee ar 
Oo CE LH.) e — 9-150. = bn (Gi) — bit M 
en UE, E yeso MB t= pe . (G,L,) =—y,, 

(CRC, 

(E, L,) = —p,C + ED' + 0Zaar,, 

(F,Z)= 24,0 +FD — 2CZabr,, 

(4, L) = —p,C' + GD' +02Xbbr, 


Q = E+ Ig + 67 
= Ls (a,— b,g)(a, — b,q), 
(O0, M) — 4 —#9" 
,M)=—- m +9’: 
(Q,M,)— M.—40 
CO) = O, 
(Q,L,) = — uv — 1/49: 
(Q, L, —4M,) — o, 

(Qs Ly) = QD + Ela, — o (Cr, — 5) 


Zap ik oF — H, 


@ 


Die erste von den drei Bedingungen für ® nimmt mit der Abkürzung 
o e t 


q,(U — h) = V, V (Ya) 


die Gestalt 
»/ XM 9 log D 
D, = % V (log D, H,) -yN 4, q,1, y = 
— ot 1 


Jo 


H. Bruns. 
an. Da 4 möglicherweise durch V theilbar ist, so setzen wir an 
Q — W.ye, V — €(9 ; Qu) 


mit dem Zusatze, dass nicht durch V theilbar sein soll. Wir erhalten 
dann 


q, (log q^. I ET Fe ue vc 


Die linke Seite dieser Gleichung kann, entwickelt, im Nenner nicht den 
Theiler V enthalten, folglich ist der Zàhler der rechten Seite durch V 
theilbar, also die rechte Seite in den 4, hóchstens vom ersten Grade, so 
dass wir ansetzen dürfen 


7,(log p. H,) — Woo + Zoe 


wo die Coefficienten rechts nur noch von q abhängen. Führt man in 
diese partielle Differentialgleichung an Stelle der g, die Variablen q,, C 
und @ ein, so wird 


9 log 7 


A, q,q, Roi = 2.005 
04; e 


a dn | «dq, 
A los? — Wis, | Er + Yo, 7 0 


wo bei den Quadraturen 4, und q, durch 4, , C , Q ausgedrückt zu denken 
sind. Die erste Quadratur führt auf elliptische Integrale, welche in log # 
nicht vorkommen dürfen, d. h. es ist w,, gleich Null. Die drei anderen 
Quadraturen führen auf Logarithmen und lassen sich, wie leicht verificirt 
werden kann, in der Form | | 





(102^ : 
Ao, log | TENE =) À, c, log f + d ) - 
V4, v 4, : VA; VA, 
À o. log Ti di 
T o } 
VA, \4, 


schreiben, wo die s wegen der Beschaffenheit von #’nothwendiger Weise 
ganze Zahlen sind. Setzt man nun 


log qp — Yo, log ( fa + +) n f (q ,C, Q), 
\W À, VA, 


Über die Integrale des Vielkorper Problems. 85 


so ergiebt die Substitution in die Differentialgleichung ‘die Relationen 


6, 
— 9 


VA, 








Vi — V4,4,4,: 


d. h. entgegen den für w bestehenden Voraussetzungen irrationale Aus- 
drücke. Die s und @,, müssen deshalb verschwinden und es ist als 
Function der drei Grössen 4, C , Q allein darstellbar. Setzt man nun in 
dem ursprünglichen Ausdrucke für # an Stelle von 4, und q, ihre Aus- 
drücke durch q,, C, Q, so muss q, von selbst herausfallen; entwickelt 
man andererseits g,,q, und dann # nach fallenden Potenzen von 4,, so 
erkennt man, dass V' die Gestalt S(C, @) besitzt, also in der ursprüng- 
lichen Gestalt nur die Quadrate der q, enthielt. Mit Rücksicht hierauf 
kann man zunächst schreiben 


ve HG) 


Eliminirt man hieraus abwechselnd eines der drei Paare FG,GE, EF 
mittelst der drei Gleichungen | 


Ep, + Fu + Gu, = — 0, 
Cm Der 


so muss die dritte Grösse E oder F oder G jedesmal von selbst mit 
herausfallen. Als Nenner können bei den drei so, entstehenden Formen 
für V nur Potenzen von 

2 2 

AT — 40; Pa — P. » Hod — Py 

auftreten. Diese Nenner miissen jedoch, da sie keine gemeinsamen Theiler 
besitzen, sich in Wirklichkeit jedesmal fortheben, d. h. es ist 

(= $ (q , C, (), D — Y". V?. 

22. Mit dem gefundenen Ausdrucke für ¥ gehen wir jetzt in die 

zweite der aufgestellten Bedingungen ein und erhalten zunichst 


hogy > VV 
o, = SP HV, L, —QM,) — (Z, — aM, )(V, H,)) 





+ JH, (log V, Z, — 4M,) — (b, — gM,)(log V, H,)}. 


Die erste, V enthaltende Klammer |! ist nicht durch F theilbar, wie man 
| 


86 H. Bruns. 


schon durch Betrachtung der Glieder erkennt, welche die in V vorkom- 
ınende Grösse / enthalten. Da andererseits die übrigen Glieder der 
Differentialgleichung V nicht im Nenner enthalten können, so muss die 
genannte Klammergrösse in Wirklichkeit fehlen, d. h. o gleich Null sein, 


also 


EF —= wq. 


Hiermit geht die Differentialgleichung über in 


0, ?log 4 ,,, old, : 
Ree C Lp ye ee 
P 0 log D 
UB 


Die linke Seite muss von 4, unabhingig werden, sobald man für g, und 
q, ihre Ausdrücke durch 4,, C, (9 einführt. Entwickelt man nun wie 
vorhin wieder nach fallenden Potenzen von q,, so kann, da ©, nach den 
4, höchstens vom fünften Grade ist, überhaupt kein von 4, freies Glied 
auftreten, d. h. es wird 


d log ® 


o Eme QUE DRE 


De). 





Hiermit gehen wir jetzt in die dritte Differentialgleichung ein, wobei 
zu beachten ist, dass in ® q theils explicite, theils implicite, nämlich in 


(), vorkommt, und schreiben demgemäss 














‚[eloeg® , dlog# oF » 7, © log @ 
ds cr MP ET SQ ag * Mig o 1) 
9 0 log ® say lool 0H 
I (4,1) ^ ob qi A; |» ne. (. 


Der Quotient w,:g; muss, wenn wieder die g,,C, Q eingeführt 
werden, von 4, frei werden. Entwickelt man nach fallenden Potenzen 
von 4,, so wird, wie man erkennt, das von g,.freie Glied auch frei von 
C und Q, d. h. der Quotient ist nur von 4 und den r, abhängig. An- 
dererseits ist w, durch 4, theilbar, wir dürfen also. schreiben 


ro) \ 


(05 = qi I0; Ve O5, —— S(q), 


9 log ® a loo f oH 
2.0,,T, == H, - 05 1 08 (.D' AS .). 


94 E 9 log Q 


co 
-1 


Über die Integrale des Vielkórper-Problems. 


Diese Gleichung zerfallt sofort in die drei andern 





29log 9 log I dA 
Chi Ae rom d: a log (/ = 2 m, j? "uL 
aus denen wir 
LR I E dA, A. | 
9 log D m nt, dq 2 
wy 4, —'o,,A, = mper 4A, | 
"eem a das 


Hiernach besteht ® aus einer Potenz von Q, multiplicirt mit 
Setzen wir demgemäss 


bilden. 


einer Function von 4 allein. 
We, W ccm 


so wird 


pisos het 1 p x i), 


Mm, 


Denkt man sich W nach g in Linearfactoren zerlegt, so muss jeder 
derselben, da die A, und w,, die Form $(g) besitzen, Theiler von A,, A,, A, 


sein. Da nun die A, keinen gemeinsamen Theiler besitzen, so reducirt 


sich W auf eine Constante und es wird 
D — W. 


Fassen wir is bisherige Unters uchung zusammen und beachten, dass 


() irreductibel ist, so gelangen wir zu dem Resultat, dass die Bedingung 
; sd log ç sa | 

(gH. Y? iz @ = & ) 

V ) dq (0 , (0) UI s Yas Pa)» 


nur die beiden irreductiblen Lösungen 


MES dmi: 
zulässt. Von diesen liefert nur @ eine wirkliche Integralgleichung, ent- 
sprechend der Relation 


dQ - oH, \ 
d QD t) 


SS H. Bruns. 


während g,//, nur als Integralgleichung erscheint, wenn q als unabhängige 


Variable gewählt wird, wie aus der Relation 
PIN 


d (q | ] 
SG a + (9H, q,H, +) 


dt di 
hervorgeht, deren rechte Seite, wie man sich leicht überzeugt, nicht durch 
H, theilbar ist. 

Die geometrische Bedeutung des Verschwindens von Q lässt sich leicht 
angeben. Aus der Form des Ausdruckes für g durch die auf die in- 
variable Ebene bezogenen Coordinaten «#, y folgt nämlich, dass q sich 
algebraisch durch die Seiten des Dreiecks ausdrücken lässt, welches die 
Projeetionen der drei Kórper auf die invariable Ebene mit einander bilden. 
Bewegen sich nun die drei Kórper in einer Ebene, d. h. also in der in- 
varlablen Ebene des Systems, so fallen die drei Seiten des genannten 
Dreiecks mit den 4, zusammen, und man erhàlt durch Rationalmachen 
der so zwischen den 4,4, entstehenden Gleichung genau die Bedingung 
() — o. Dieselbe besagt also, dass die drei Körper sich in einer Ebene 
bewegen. | 

23. Am Schlusse der ersten Abtheilung war als nächster Schritt 
in dem hier bei der Untersuchung über die Integrale des Vielkórper- 
Problems befolgten Gedankengange die Beantwortung der Frage bezeichnet 
worden, ob Integrale existiren, welche durch Quadratur über algebraische 
Ausdrücke gebildet sind. Wir fragen also jetzt, indem wir wieder das 
System 7. Ordnung zu Grunde legen, ob ein Integral der Form 


o= [ [90 + 3(q)dq + X-9(q,)dq, + Z8(p,)dp, | 


existirt, in welchem der Ausdruck unter dem Integralzeichen ein totales 
Differential und die &({t),#(qg),... algebraische Functionen der acht 
Variablen ¢,q,... sind. Ausdrücke dieser Art können wir füglich als 
Aper'sche Quadraturen und, wenn sie ein Integral unserer Differential- 
gleichungen liefern, als AnErsche Integrale des vorgelegten Problems 
bezeichnen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die 
Quadratur ein Integral liefert, ist mit Rücksicht auf die Beziehung 


[ c oK 
H, ^. eh 


Über die Integrale des Vielkürper-Problems. sy 


durch das identische Verschwinden des Ausdruckes 


Ro 





aR 
? (p,.) i 


Ha) + F(t JEN EA 4.) = 


gegeben. 

Die &({),... denken wir uns dargestellt als rationale Functionen 
der Variablen und einer einzigen, durch eine irreductible Gleichung de- 
finirten Irrationalität y. Weiter denken wir uns in den &(t),... die 
Irrationalität aus den Nennern fortgeschafft und die Zähler nach y auf 
den niedrigsten Grad gebracht. Dann beweist man durth die wiederholt 
angewandte Betrachtungsweise, dass in den S(£), ... und in der Gleichung 
für 7 die Constanten der Differentialgleichungen, nämlich m ,a,b,h,k, 
sowie die etwa auftretenden constanten Parameter nur algebraisch auf- 
treten, dass ferner e als parameterfrei und infolge dessen auch als ho- 
mogen in den Dimensionen vorausgesetzt werden darf. Dies festgestellt, 
gehen Me jetzt dazu über, das Verhalten von c an den Stellen zu unter- 
‘suchen, wo c, als Function einer der Variablen betrachtet, einen Pol 
(Unendlichkeitspunkt) oder einen Verzweigungspunkt oder beides zugleich 
besitzt. 

is seien o,o,,... die acht Variablen, in willkürlicher Reihenfolge 


geordnet. Man entwickle #(o) nach steigenden Potenzen von a — 7, wo 
7 einen constanten Werth oder auch eine algebraische Function der 


0,,0,,... bedeutet, dann enthält die Entwickelung, von besonderen 
Werthen der Grösse r abgesehen, im Allgemeinen nur ganze positive Po- 
tenzen. Wir wollen jedoch die möglichen Grenzfälle sogleich mit berück- 
sichtigen und denken uns die Reihe für &(o) als nicht nur ganze posi- 
tive, sondern auch gebrochene und eine endliche Anzahl von negativen 
Potenzen enthaltend. Die Coefficienten sind algebraische Functionen der 


150,5... ausge- 


06,,0,,... und, so lange specielle Werthsysteme der o 
schlossen bleiben, so beschaffen, dass die Reihe, ohne Zerstörung der Con- 
vergenz, nach den o,, ¢,,... differentiirt werden kann. Die für S (o) ge- 
wonnene Reihe integriren wir gliederweise nach 5 in der Art, dass man, 
abgesehen von dem etwa vorkommenden logarithmischen Gliede, wiederum 
eine nach s — c fortschreitende Reihe, jedoch ohne constantes Glied, erhält. 
Diese neue Reihe, einschliesslich des logarithmischen Gliedes, heisse c (0). 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 14 Dócembre 1887, 12 . 


/ 


90 . H. Bruns. 


dann darf sich ç(o) von e nur um einen von e unabhängigen Ausdruck 
unterscheiden. Bildet man 


9 . o¢ (a) 
2n. [e — €(o)] = F(o,) — ae 


1 
und denkt sich #(o¢,) ebenfalls nach & — c entwickelt, so erkennt man, 


dass der Coefficient des logarithmischen Gliedes von s, und ebenso von 
0,,... unabhängige, also constant sein muss, und dass die rechte Seite sich 


auf eine algebraische Function von o,,... reducirt. Schreiben wir also 
e = g(o) + g(a), 


^ 
so ist ¢’ durch eine AngUsche Quadratur gegeben. 


. 


Die vorstehend gewonnene heihenentwickelung für ¢ werde jetzt fol- 
gendermassen gespalten. Man vereinige zunächst zu einem Ausdrucke c(o), 
alle ganzen Potenzen nebst dem logarithmischen Gliede und dem Term 
c. Aus dem nur gebrochene Potenzen enthaltenden Reste greifen wir das 
niedrigste Glied heraus und vereinigen damit zu einem Ausdrucke e(e), 


osten Gliedes um 


(2) 


alle Glieder, deren Exponent sich von dem des niedri 
ganze Zahlen unterscheidet. Aus dem dann noch verbleibenden Reste 
spalten wir in gleicher Weise ein g(o),, g(e),,..: ab, bis alle Glieder 
erschöpft sind, was nach einer endlichen Zahl von Spaltungen der Fall ist. 
Wir haben dann 


yd P e (o), xi ¢(o); De E 


Diesen Ausdruck differentiiren wir vollständig nach g, wobei wir uns den 
Ausdruck für K ebenfalls nach Potenzen von e — r entwickelt denken. 
Letztere Entwickelung enthàlt nur ganze Potenzen, und negative nur dann, 
wenn für g = 7 der Ausdruck qg,H,. verschwindet. Die vollständig ent- 
wickelte Ableitung erscheint zunächst ebenfalls als Potenzreihe und man 
erkennt sofort, dass die aus den Ausdruck e(o),, c(o), , ... entspringen- 
den Reihen einzeln für sich verschwinden müssen, dass also die &(o), , ... 
einzeln für sich Integrale sind, und zwar AnEr'sche Integrale, da sie sich 


linear mit constanten Coefficienten aus den verschiedenen Zweigen zusam- 





mensetzen lassen, welche die Function ¢ an der Stelle «= c besitzt. 
Weiter erkennt man, wenn die verlangte Differentiation und Entwickelung 


an den Anfangsgliedern der einzeinen ¢(o) ausgeführt wird, dass in d (c) 


negative oder gebrochene Potenzen hóchstens dann auftreten kónnen, wenn 


c 


‘4. 


Über die Integrale des Vielkürper-Problems. 91 





entweder A negative Potenzen enthält, also für s = z der Ausdruck 4, H, 
verschwindet, oder wenn die Entwickelung von | 
d 


em 


kein. von a — c freies Glied enthält, wenn also diese Ableitung für e — 7 
verschwindet, d. h. 5 — r eine Integralgleichung ist. Hiernach erhalten 
wir also für den Ausdruck S(6), wenn derselbe als Function von a be- 
trachtet wird, alle im Endlichen liegenden Pole und Verzweigungspunkte 
durch die beiden Bedingungen 


QUT c | = m. 


Geht man, um das Verhalten von ¢ für sehr grosse Werthe von o 
zu ermitteln, von der Entwickelung des Ausdruckes $(o) nach fallenden 
Potenzen von o aus, so kann man genau so wie vorhin ein e(o) bilden, 
dies durch Hinzufügen einer AnrEUschen Quadratur c'(c) zu e ergänzen 
und dann in die Bestandtheile g(o),, e(o) , :. 
wiederum Integrale sind. Differentiirt man dann vollständig nach g, so 


spalten, welche einzeln 


ergibt sich, dass positive oder gebrochene Potenzen oder ein logarith- 
misches Glied in @ sicher nicht auftreten, wenn die Ausdrücke 

oh ok ok 

oh” du” 9p, 


nach o entwickelt, die Form 
P E P 
0 | 1 | 2 
a a o* Yo 


besitzen. Diese besondere Form findet statt, wenn o die Variable 4 vertritt. 

24. Nachdem wir die vorstehenden Sätze gewonnen haben, nehmen 
wir die 3(s) einzeln vor. Es wird sich dabei zeigen, dass dieselben 
sämmtlich rationale Functionen der Variablen sein müssen. Wir begin- 
nen mit #(/). Da die Variable ¢ in den beiden Bedingungen 

q,H, = o, == 

nicht auftritt, so folgt, dass S(/) für endliche Werthe von / weder ver- 
zweiet ist noch unendlich wird, also die Form $(?) besitzt. Hieraus folgt 


für e die Form 


ges Pit + Pen HP, 


92 H. Bruns. 


und ferner 
> 
em , , at dr, 


_- ze etc. 
dq ex ? dq dq 2 


woraus wir ähnlich wie in $ 20 schliessen, dass n gleich Null ist, d. h. 
co die Variable ¢ überhaupt nicht enthalt. Wählen wir ferner für c die 
Variable p,, so folgt, da @ die p, nicht enthält, dass $(p,) im Endlichen 


nur einen Verzweigungspunkt resp. Pol besitzen kann, nämlich 


D, =D = (099p; - 2, 00:9.) xdg ge. 


Hiernach ist #(p,) ein Aggregat aus einer endlichen Zahl von Potenzen 
der Differenz p, —p,,; die ¢(p,),,¢(p,),,--- würden dann, wenn sie 
vorkàmen, auf algebraische Integrale führen, müssen also in Wirklichkeit 
fehlen, d. h. e muss sich auf ç(o), reduciren. Hieraus folgt, dass F(p,) 
eine rationale Function von y, ist, deren Nenner nur die Theiler p, — p,, 
besitzt. Das Integral ¢ besitzt also die Form 


(p) + Plog(p, — Po) P = Constante. 


Hiermit ergibt sich, dass sämmtliche #(o¢) rationale Functionen von p, 
und ebenso von p, und p, sind, deren Nenner nur Theiler von der Form 
q,H, besitzen. Für c ergibt sich daraus die Form 


à ¢ = Plog(g, H,) + P, +.P,, 


wo P eine Constante, P, eine von den p, freie Aper’sche Quadratur und 


P, einen von den p, rational, von den q , 4, algebraisch abhängenden Aus- 
druck bedeutet. Aus der vorstehenden Form ergibt sich, dass 4(q) als 
Function von q betrachtet, als Verzweigungspunkte, nur die beiden aus 
(duco (q — 9, (a Un) 
sich ergebenden Stellen 9, , 9, besitzt, während die beiden aus 
ji 1; SE a |” M, (q — 9; )(4 0) 
folgenden Stellen 5,, 7, nur als Pole auftreten können; die Stelle 9 — co 


ist, wie oben bemerkt wurde, weder Verzweigungspunkt noch Pol. Setzt 


nan 





Qo & f e 
/ “t— MW. #(q)dq —. i u)du, 
q — 4, | 


Über die Integrale des Vielkürper-Problems. 93 


so sind die Verzweigungspunkte von #(w) durch w — o, w= ©, und 
die ausserdem noch vorhandenen Pole #,,u, durch 


e 


NU 7 4 
1, = , u — I 5 


=. Is, — 92 
bestimmt. Multiplicirt man nun $(#) mit solchen ganzen Potenzen von 
4 — u, resp. « — t, dass das Product an den Stellen w,, w, nicht mehr 
unendlich wird, so ist dieses Product als ein endliches Aggregat von 
Gliedern der Form cu’ darstellbar, wo die » rationale Zahlen bedeuten. 
Setzt man daher 





Be F(u)du = S(v)dv, 


wo A eine passend gewahlte ganze Zahl ist, so besitzt F(v) die Gestalt 
(v) und enthält im Nenner als Theiler nur v und die aus 


p^ — U,, p^ — uw, 
entspringenden linearen Theiler, welche mit 
Voc aa DT Use, p ees us o — gga eee 


bezeichnet werden sollen. Die Integration nach v liefert ¢ in der Form 


e = clogv + Ze log (v — uy.) + 2:64, log (o0 — w,.) + U, + Us. 


Hierin sind die € Constanten, U, von der Form &(v) und U, eine von 
v freie AgeL'sche Quadratur. Vergleichen wir diese Form mit oben ge- 


gebenen, nàmlich 


ct ) ) 
9 = Plog(g,H)) + P, + P,, 
so folgt, dass die mit den Coefficienten e,., e,. versehenen Logarithmen 
nur aus der Zerlegung des Terms | 
Plogq,H, = Plogiq, M,(q — 9.) — 9,)\ 
entspringen können, dass also die e,., ¢,. sämmtlich einander gleich sind. 
Hieraus folgt, dass sich ¢ in der Form 
€ = e log(g — 9) + e; log(q — gm) + e; logg, HH + U; +7, 


schreiben lässt, wo für die e, U’ dieselben Eigenschaften gelten, wie für 
die c, U. Stellt man nun, von der zuletzt wefundenen Form für c aus- 


gehend, die Entwickelung von ¢ nach Potenzen von 7 — 4, oder q — 5, 


94 H. Bruns. 


auf, so erkennt man, dass die ¢(¢),,¢(q),,... nur aus gewissen in U} 
vorkommenden Bestandtheilen entspringen können, also, wenn sie vorkämen, 
rein algebraisch sein müssten. Hiernach redueirt sich ¢ in beiden Fällen 
auf den Bestandtheil £(q),, d. h. $(q) und damit sind die übrigen 3 von 
der Form &(q). | 

Der Ausdruck &$(q,) ist in g und den p, rational, kann also, als 
Function von 4, betrachtet, im Endlichen nur Verzweigungspunkte be- 
sitzen, welche von den Variablen g,p, unabhängig sind. Da solche nicht 
existiren, so ist #(g,) von der Form &(q,). Das Gleiche gilt für alle an- 
deren $ und ebenso für die Variablen q,, q,. Hiermit haben wir, wenn 
wir zusammenfassen, das Resultat gewonnen, dass in dem gesuchten AnEL- 
schen Integral, falls dasselbe existirt, die $(q),... sämmntlich die Gestalt 
R(q, Jus p, besitzen, dass ferner die Nenner als Theiler nur die Aus- 
drücke g,H, und @ besitzen, dass also © in der Form 


n 


9 — 9(9,q,, p,) + € logq,H, + c" log Q 


4 





darstellbar ist. Da die Entwickelung von ¢ nach fallenden Potenzen von 
q kein logarithmisches Glied besitzt, so ist 


ce +." — 0, , 


so dass wir auch schreiben kónnen 


S(q.q,. Po) qu a À 
| HE) 2 «X 
25. Die Untersuchung hat uns jetzt zu der Frage geführt, ob das 


A . A n5» 
System 7. Ordnung ein Integral von der Form 


q, I 
c = R(Q ,; Aus De) + c log 2 


x 


besitzt, in welchem, wenn ¢ sich nicht auf eine Constante reduciren soll, 
der Factor c von Null verschieden sein muss, also gleich Eins gesetzt 
werden darf. Bezeichnen wir die beiden Bestandtheile von ¢ der Kürze 
halber mit e, und ¢,, so darf der rationale Term e, als algebraisch aus 
den Constanten m, a,b,k,h gebildet vorausgesetzt werden. Bringt man 
nämlich e, zunächst auf die Form &{m,a,b,k,h,1"), wo J' eine von 
den m,... abhängende Irrationalität bedeutet, und stellt dann e, in 
der Form 1 


ft S E elis Pul - ELS 


4 


Uber die Integrale des Vielkérper-Problems. 95 


unter möglichster Herabdrückung des Grades in Bezug auf /' dar, so 
müssen die ¢,,,¢,,,--- sich auf Constanten reduciren. Man darf deshalb 
die mit /' multiplicirten Terme unterdrücken oder c, als rational aus den 
m,a,b,k,h gebildet voraussetzen. Dies festgestellt führen wir an Stelle 
von fh die Variable p durch die Gleichung 


o=h+pH + H, 


ein, und erhalten dann ¢, in der Form 


KR (p , (] D 3 Q2); 


während ¢ in ein Integral des Systems 8. Ordnung übergeht. 

In dem System 8. Ordnung lässt sich nun die allgemeine Lósung 
dureh Reihen, welche nach ganzen positiven Potenzen von / fortschreiten, 
darstellen, indem man die p,q nach dem Tavromschen Satze mit Hülfe 
der Differentialgleichungen entwickelt. Diese heihen convergiren inner- 
halb eines bestimmten Bereiches für ¢, sobald man festsetzt, dass für 
( — o die Variablen endliche, und im Besondern die 4, von Null ver- 
schiedene Werthe besitzen. Substituirt man diese Reihenentwickelungen in 
den Zähler Z und den Nenner N von e, und ebenso in g,H, und ©, 
so erhält man ähnliche Potenzreihen. Die Coefficienten sind sämmtlich 
nach den p,q,p, ganz rational, nach den g, dagegen rational, jedoch so, 


dass in den Nennern als Theiler nur die 7, auftreten. Der so entstehende 
Ja 


Ausdruck 
Ja H, 
() 


LI 


a + log 


muss nun von Z unabhängig sein, wie man auch innerhalb der ange- 
gebenen Einschränkungen die Anfangswerthe der Variablen variiren mag. 
Lassen wir nun diese Anfangswerthe so variiren, dass ¢,//, für f= o 
den Werth Null annimmt, so können in den vier Reihenentwickelungen 
nicht sämmtliche Coefficienten verschwinden, da g,//,, wie wir wissen, 
nicht Integralgleichung des Systems 8. Ordnung ist. Setzt man ausser- 
dem fest, dass für die gewählten Anfangswerthe @ nicht verschwindet, 
so entspringt, wenn man c, und e, nach Potenzen von / entwickelt, aus 
c, ein Glied von der Form 


nlogt, m>o), 


96 H. Bruns. 


welches sich nicht fortheben kann. Die Annahme, dass ein Integral der 
hier betrachteten Form existire, führt also auf einen Widerspruch oder 
m. a. W. es existiren zu dem System 7. Ordnung keine Aser'schen Inte- 
grale, und ebenso auch nicht zu dem System 8. Ordnung. 

Bei den vorstehenden Entwickelungen waren wir von einer beson- 
deren Form der Bewegungsgleichungen für das Dreikórper-Problem aus- 
eeeangen, nämlich dem hier benutzten System 7. Ordnung. Da jedoch 
ein Anrr'sches Integral durch eine algebraische "Transformation der Va- 
riablen wiederum in ein Aper'sches Integral übergeht, so gilt day ge- 
fundene negative Resultat für alle Formen der Bewegungsgleichungen, 
“welche aus den ursprünglichen durch rein algebraische Umformungen ent- 
stehen. Das / gefundene Resultat gilt ferner auch für das Vielkörper- 
Problem. Reducirt man nämlich beim Vielkórper-Problem die Ordnung 
des Systems ähnlich wie bei dem Dreikórper-Problem durch Benutzung 
der bekannten Integrale, so erhàlt man algebraische Differentialgleichungen. 
Existirt zu diesen ein Asen'sches Integral, so enthält der Ausdruck, über 
welehen die Quadratur auszuführen 1st, die Massen nur in algebraischer 
Weise; man müsste also unter allen Umstànden durch das Verschwinden- 
lassen einer oder mehrerer Massen zu einem Aper’schen Integral für das 
Dreikörper-Problem gelangen, was nicht sein darf. 

Die vorstehend hergeleiteten negativen Ergebnisse enthalten, wie mir 
scheint, eine hinreichende Erklärung für die Thatsache, dass man bei der 
Aufsuchung neuer Integrale des Dreikörper-Problems seither nicht über 


e 


den bereits vor einem Jahrhundert erreichten Standpunkt hinausgelanet ist. 


Berichtigung. 


Seite 64, Zeile 2 v. u. ist »sich» zu streichen. 


97 


ZUR THEORIE DER 


MEHRWERTHIGEN, MEHRFACH LINEAR VERKNÜPFTEN FUNCTIONEN 
VON 


KARL HEUN 


in MÜNCHEN. 


Durch die tiefsinnigen Forschungen des Herrn Poincaré ist die 
Theorie der lineären Differentialgleichungen auf ebenso sichere Grund- 
lagen gestützt worden, wie die Theorie der elliptischen Functionen durch 
die Arbeiten von AgBen und Jaconr Wie die Thetafunctionen das Um- 
kehrungsproblem für die elliptischen Integrale lösen, so erlauben die 
Functionen des Herrn Poincaré (Acta Mathematica, Bd. 1, p. 193) 
das analoge Problem im Gebiete der lineären Differentialgleichungen zu 
behandeln. Wir beschäftigen uns jedoch im Folgenden nicht mit den 
eindeutigen Functionen mit lineären Transformationen in sich, sondern mit 
den mehrdeutigen Functionen, deren Periodicität durch lineäre homogene 
Substitutionen bestimmt ist. Die nachstehende Untersuchung schliesst 
sich insbesondere an die vierte Abhandlung Porxcarés (d. Zeitschr., Bd. 
4, p. 201) an. Andererseits steht sie in enger Beziehung zu einer be- 
kannten posthumen Abhandlung Riemaxxs (Werke, p. 357) namentlich 
in Betreff der methodischen Gesichtspunkte. Die Resultate, zu welchen wir 
gelangt sind, werden insbesondere dazu dienen kónnen die Theorie der 
Porxcaréschen sogen. Zetafunctionen einst weiter auszubilden. (Man 
vergl. d. Zeitschr, Bd. 5, p. 212:;) 

1. Wir betrachten im Folgenden eine mehrdeutige Funetion einer 
unabhängigen Veränderlichen x, welche auf einer unendlich-blättrigen 
Riemany’schen Kugelfläche mit ; endlichen Verzweigungspunkten & ,é,,.. 
£, und dem Unendlichkeitspunkte £,, eine eindeutige Function des Ortes 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 18 Janvier 1888 E 


US Karl Heun. 


ist, derart, dass zwischen je p + 1 Zweigen eine lineäre homogene Rela- 
tion mit bestimmten constanten Coefficienten besteht. Eine solche Func- 
tion soll, insoweit sie durch diese Festsetzungen determinirt ist, eine p-fach 
lineär verknüpfte heissen. Ist nun 88, (= 1,2, ..., i +1) die homogene lineäre 
Substitution, welche das Verhalten der zum Punkte £ gehörigen, willkür- 
lich angenommenen, Zweiggruppe (y, ,%2,...,%,) bei einmaliger positi- 
ver Umkreisung des Punktes & ausdrückt, dann ist bekanntlich 


(1) $8, 1. BR... 
Setzt man ferner in üblicher Weise 


Ge, EN Pen 


eheu. a D: (12 En IN 
(») 
DOM OI EU 
und 
xb E 


dann ist das Verhalten eines bestimmten Zweiges yy; (5-2 775,,) bestimmt 


durch die Gleichung: 


log wO) 
EO 


Jy, = (e — $) 77. ur — &) 


" I 

(v — 8&4) = = 
wo {x — £) eine im Punkte & eindeutige, stetige und nicht verschwin- 
dende Function bedeutet. Die Wurzeln wf? (p=1,2,..., » der zum Punkte 


Lu 
9l 


gehörigen determinirenden Gleichung wollen wir als von einander ver- 
schieden betrachten. 

Nun ist aber, wenn wir den üblichen Initialzweig von logæ mit 
Log x bezeichnen 
log? = Log uw + 2mzy— 1 


folglich 


p) 


— =A; + m 


Ze el 


log w; 





Zur Theorie der mehrwerthigen. mehrfach lineär verknüpften Functionen. 99 
I 

wenn À, durch die Gleichung: 

(2) Logit’ = 2zwy—.1 .À; 


definirt ist. 

Wir bezeichnen nun alle Functionen (y), deren Periodicität in Bezug 
auf dieselben Verzweigungspunkte durch dieselben erzeugenden Substitu- 
tionen &,, 8,,..., &, definirt ist als zurselben Art (= »espéce» in der 
Terminologie des Herrn PoINCARE) gehörige. 

Für zwei Systeme (y), welche von derselben Art sind, unterscheiden 
sich demnach die correspondirenden Verzweigungsindices (A) um ganze 
Zahlen (m). 

Zwischen je p + ı Functionen derselben Art: y? , y? , ..., y'? be- 
steht eine fundamentale Relation, deren Form sich durch Betrachtung der 
folgenden identisch verschwindenden Determinante ergiebt 


7160) (1) (a) (p) 
My, ? Vy "e pde a Wy, jar Se My, 


(o) 


(0) ap) (p) 
COL À «x ey te CCE Yi, 


Ye 
(0) (1) (©) (p) 
You » Ya s ces Yu sn es Yor 
(0) (1) (o) (n) 
D para eae do. SR et Mk. 


Nimmt man die Unterdeterminanten in Bezug auf die erste Horizontal- 
reihe, dann erhält man eine homogene lineäre Gleichung von der Form: 


(3) Au Ale Are (ce) 


Die Entwicklung von A!" besteht aus einem Aggregat von Produkten 
von je p Factoren, von denen jeder in dem Bereich des Punktes £ die 
Form hat 
) n VE 1 
Ve = (x —E)", D(a — 2). (D=0, 1, 2, .., 9—1, 41, .. 
Der erste Term in der expliciten Gestalt der Determinante A!” heisst also: 
(0) «(m —1) (+1) ne «C p) 


LORS tA tees, ^ d | 
GRR SE ere o MISSE TT" ^" Oe — 


Die nàchstfolgenden Terme ergeben sich aus diesem ersten, indem der 


100 Karl Heun. 


Exponent von (r — £) durch die Summe aller übrigen möglichen Per- 
mutationen zu je p der p? Indices AP’ ersetzt und jede der so entstan- 
denen Potenzen mit einer @-Function multiplieirt wird. Diese Exponen- 
tensummen können sowohl positive als negative Werthe haben. Diejenige 
Summe, welche von allen übrigen um eine positive ganze Zahl über- 
troffen wird, soll durch El” bezeichnet werden. Es ist also 


All — (x — E). P(e — €). 
Da nun 
Al] — Det. B,. AU! 
so ist auch 
A El E) gil qi"! ac m E). 
t \ Si . i Si 
Folglich ist | 


[e] 


a ic 
[2] N fo — JS : poU Ef . Le 
Al | . (x een 61) l " (w T AY &) Ey eee (x Y §;) 
eine ganze rationale Function von x vom Grade 
_ [EI + E + "" + E : 


welche wir mit E, bezeichnen wollen. Es ist 


p itl 
[EP + EPI +... 4 EB) = EXAP + EDS 


wo unter 2D’! die Summe aller auf das System (y®) bezogenen In- 
dicesdifferenzen zu verstehen ist. Die rechte Seite dieser Gleichung darf 
also nicht > o werden. Die Gleichung (3) nimmt nach dem Vorstehenden 


die Form an: | 


Lo] rl ESO 
YO. (x — é,)"1 . (0 — &) Faq (a — &) IND 27 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lincär verknüpften Functionen. 101 


Da die Differenzen der Grössen EU, EH! ,..., El ganze Zahlen sind, 


so lässt sich die Gleichung auf die Form bringen: 


Bla). + Aula). ® +... + H,(z):9 = o. 


Die Grössen H,(x), H,(x),..., H,(x) sind ganze rationale Functionen 

von bekannten Graden. Die Gleichung (4) enthält den Riemaxx’schen Satz: 

»Zwischen je p + 1 Elementen eines Systems p-fach lineär ver- 

knüpfter Funetionen derselben Art besteht eine lineäre homogene 

Relation, deren Coefficienten ganze rationale Coefficienten der un- 
abhängigen Veränderlichen sind.» 

Wir haben diesen bekannten Satz hier reproducirt, weil uns die an- 
gewendete Bezeichnung eine kürzere Darstellung der folgenden Unter- 
suchungen erlaubt. 

2. Da alle Derivirten einer p-fach lineär verknüpften Function 
dieselbe Periodicität besitzen, wie die primitive Function, so sind sie auch 
alle mit der letzteren von derselben Art. Bei jeder Differentiation cr- 
niedern sich die Verzweigungsindices um eine Einheit. In der Gleichung 
(4) sind demnach eine gewisse Anzahl von Differentialgleichungen mehrerer 
abhängiger Veränderlichen enthalten, 

Wir wollen nur den Fall untersuchen, in welchem die p+ 1 Func- 
tionen derselben Art, zwischen denen eine Gleichung (4) bestehen muss, 
die folgenden seien: 


dy d' ^y 
7 — jy es) —) 
Y , da da?" 
T—1 
dz d 2 
(Y ss MONO mem 
' de da^! 


Alsdann heisst die Rırmann’sche Fundamentalgleichung: 


. 433 du 1 d? ey 

Q = By. y un F, as SP F, op. x 
° ; dz y d^ le 
+ Dis + Gti. + Gr: „it 


Die Grössen El”! der vorigen Nummer wollen wir jetzt in zwei 


Gruppen El”! und El” theilen, welche beziehungsweise den Functionen 


102 Karl Teun. 


F und @ entsprechen sollen. Die Grössen Ej" und El” ergeben sich 
aus der Betrachtung der Determinante: 
































Ayyi d V yi d" ay; | dzyi d'y LE EAN 
EE rs de^ ^ 77 | de! ern da^ ? da^ 
| d'y d^ Wii d" ^q, " dzji dz, a en 
| Mii» Pa ELE da? MER pU S 3 SP ctr ges qns "S DO a 
oo . 
| Ay} d'y d'y a doi dj d'a 
| Yan "e , dq nes PULS 39105 ELO ee da? 9 Feel 
| 
| diy d^ y, d'a dzyi d^ gy d'en 
Jr tqa fcrt qum oí! s enr C PI du? gu? 70 ge 


Bedenkt man nun dass 


d^ Yyi 





Fr (X ra &yn-^ . O° (4 = &), 


während 
E 4 \ 
EI — Eh loi +24. 4 — 1) H- (9, HE 1) (9 — 2) 
(p) 
I 
J- S9, miae 1) 


4 | 
da x — &,, =- zu nehmen ist. 
E 


v= | 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 103 


Die Grössen 9, bestimmen sich folgendermassen. Man nimmt aus dem 
Schema: 





O T €. 4 ——I 
^ 
I 9i di Oii 0j 
^ 
2 0 I Oo; LI 0 2i Os; 
| ^ N ^ N) 
Pp- | O pi Oni Oni O pi 


je x Elemente aus verschiedenen Vertikal- und Horizontalreihen, was auf 
1.2.3...p Arten möglich ist und addirt dieselben. Aus der Reihe 
der so entstehenden Summen: 


ist 9, diejenige, welche von allen übrigen um positive Grössen übertroffen 
wird. Ferner findet man für i=1,2,...,i den Ausdruck: 


p 
5, ; I 
Ed = EA —(p—z(p—z 1) 


(p) 


+ Del — lo + 1 +2 +... + (©, — 1) + (9, +1) +... +(r— 1)! 
und 


D 
: I / 
E = LÀ +:(p—7p—7T+ 1) 


+O Hlo + 1 + 2 +... + (©, — 1) + (6, + 1) +... + (— 9f. 


Um die Grössen 9° zu bestimmen lasse man in dem obigen p.7- 
gliedrigen Schema die mit ©, bezeichnete Verticalreihe aus und bilde 
die Summen aus je z — ı Elementen (4,), welche verschiedenen Vertikal- 
und Horizontalreihen angehören. Alsdann ist diejenige Summe, welche 
von den übrigen (für ein festes 7) um positive Grössen übertroffen wird, 
die mit 33! bezeichnete Grösse, 


104 | Karl Heun. 


Unsere Differentialgleichung nimmt jetzt die Form an: 
e D fe Ds L e 7 . 
Ka) le 2 (x —&) 8 F,[h — D— (p—z)(z— 1)(i— 1)].8 
" . di 
+ Ha). Fi — D— (pr) GNT 


[PG] (4 DR 10-1) —26— 1] 24 











da 
sa 
oe 
Be, d? ^y 
+ HG 7. E, [h — D— (p — 2— 1X6— 1) (p —9)6— 0] er 
ge " ql ^ qi?) : ; 
+(2—8&) ' .(r— &) "a (r—&) ! .G,[h — D*I —(p—z)(z— 1)(i— 1)]e 
, 9l , 9 LO _ dz 
+(&@—8) .(z—8&) ^ ..(a—&)"* .G,[h— DU! —(p—z)(z— 1) + Ye) 





SSmi. Ql ig eS ep pa. | meo 
+@-&) (m8, a) GL DUI (pri) +) 


[5-1 gir No ae M 
deese (r—&y?^ ...a—€, "5G. I [h — DI*?1— (p — z)(z— 1) 
\/: d^ s 
+ren eye 
da 


oesetzt ist: 


wo zur Abkürzung g 


i--1 14-1 


Da El; D= 9. 


(1) 


| 
] . | I il p 
TS | hp DE 12 2 À 
E) | 2 
| 
| 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 105 


Die Grade der ganzen rationalen Functionen F,, F,,...,F, 5 G, 56, ..., 
G. , sind in den beigefügten ‚Klammern angegeben. Die Grössen 


h — D— (p — z)z(i — 1) 
D = Da (pP — z)z— 1) + pl(i — 1) (p=0, 1,2, ..., 7—1) 


dürfen nicht negativ sein, wodurch den Indicesdifferenzen 0, gewisse Be- 
dingungen auferlegt werden. | Ä 

9. Die Formel (I) ist besonders bemerkenswerth wenn z= 1 an- 
genommen wird, da alsdann die Derivirten von z herausfallen. Es 
werden ferner die Grössen 91 zu Null 9, wird in der Reihe 2,, 
Où -:-, 9, enthalten sein und zwar ist es diejenige Grosse, welche von 
den übrigen um positive Zahlen übertroffen wird. Man erhält also die 
einfache Gleichung: 





NS 29, 9, 7 
EU ie sx EPI ELE [Fon dur. 
d. 
AS og = + G@,[h|.z, 
7 


F, = Fyj[h — D — p(i — ı)] 
mit der Bedingung: 
h— D — (p — 1)\t— 1) > o. 


Setzt man endlich in der Gleichung (I) den Index 7 der Null gleich, 
dann resultirt die Differentialgleichung 9" Ordnung für die Function y: 


dy 


(A) oc F[h- p(i — )y+P. Eh + (p — 16 — 1) + --. 


) 1 * ad’ " 1/ : = d? 1/ 
Pe rah ei AN 
aa 


ae 


denn es ist 


$9, =O, lo Pulse 


also auch D = o. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 15 Janvier 1888 14 


106 Karl Heun. * 


Für A = o erhält man die bekannte Fucus’sche Form der Differen- 
tialgleichung: 


: . l 
(A’) o — F,[pfi — 1)]-y + e.Fif(p — 1)6 — 1)]. ze un, 
m , d'y 
3m Qd t EU E EE TM — dr ' da? 
In diesem Falle ist 
i+] p 
(a) EXA —ID )(p — 1)(i — 1). 
(0 (p) e 


Die Gleichung (A') lässt sich noch weiter vereinfachen. Es ist nemlich 


As ose.) À: , Ay i+) 


An P] Ay § ons, + 9 À i? ir 


+ | 


Án , Ano ges. À, ’ A 


, 


lf > WA , 
An ro Aus ctt o Fio Aii 


, 


qe , 
iis Ao s+ 9 Anes 2,i+1 


/ OWA , , 
An » Anos A, ,0? pit 


wenn €,£%,...,€, ganz beliebige Grössen sind und zwischen den Indices 


- 9.9 i 


À; und À, die Relationen bestehen: 
37 
Avi = Àyi Zu €; 
i 
din = Ày, i1 EIS Le. 


Man kann also jede Function y auf eine andere zurückführen, für welche 
i Indices in ; verschiedenen Verticalreihen willkärliche Werthe erhalten. 
Wir kónnen daher insbesondere setzen: 


(6) Au d Aoi + one 4 Avi = N; (171,2, ..., 4) 


~~ En 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 107 


wo die Grössen »,,",,...,", beliebige ganze Zahlen sein sollen. Dann ist 
Det. = u”. ui... Jun) — ei" — 1. (i=1,2,..,0 
Wegen der Gleichung (a) ist aber 
Aa CRM CER te A IA RM = D(p cce 2 n. 


Folglich ist auch Det.@,,, = 1. 
Die zur Gleichung (A’) gehörende determinirende Gleichung heisst 
für den Verzweigungspunkt & G=1,2,...,i): 


EF, + FD + FD — 1) +... 
+ #1. DO — 1)... (A— pt 2) + 0” AA— 1)... A—p4+1)=0 


< LP dd : é 
xo mo PIN. B7 80 wie m D — a das Argument x = & zu setzen ist. 
F,_, ist in Bezug auf & vom Grade i—1, wir können also setzen: 


PR Oo 4 Gig oe u 


p 


Da der Coefficient von #-! in der determinirenden Gleichung gleich — ZX, 
(p) 


sein muss, so erhalten wir die folgenden lineären Gleichungen zur Be- 
stimmung der Grössen 9,13 ++, fiat 


p? fo mi — I [= 
go + $8 A awe 2.3 Si Mpix > „pp T 1) CIAM J (&). 


(11,3, ..., 0) 


yp 
: : 4 g' us . : : ; 
Das Glied 2”, [i — dE fällt also aus der Differentialgleichung (A?) 
(uu 
aus, wenn wir setzen: 
I 
kan. = — pp — 71). 
Pr I 
Das System, für welches 2A, — =p(p — 1) ist, wollen wir im Folgenden 


(Q 
ein »reducirtes» nennen. 
4. Die Existenz der Functionen y, insofern sie der Gleichung (A^) 


108 Karl Heun. 


genügen, ist von Herrn Fucus in aller Strenge nachgewiesen. Wenn 
wir also ein allgemeineres System (z), welches der Gleichung: 


o — G,[k + p(i — 1)]2 + ¢.G,[k + +e— Mm Net 


d^, 


ma, sk + im 4 gna UE à 





genügt, wo 
itl p 


= —LXó 
Qe " 
durch ein Hauptsystem analytisch MEN kónnen, dann ist die Exi- 
stenz von z ebenfalls ausser Zweifel. Der Zusammenhang beider Sy- 
steme ist aber gegeben durch die Gleichung: 





qy D. n: 
p—1 
4 d' y 
ded rei da? | 
wo P, P=9,1,...,9—1) eine ganze rationale Function vom Grade: 
— D — p(i — 1) ist. Aus der letzteren Gleichung erkennt man unmit- 


telbar, dass die Wurzeln der Gleichung G,[k] =o nicht Unstetigkeits- 
punkte der Functionen z sein kónnen. Da die Coefficienten der Function 
G,[k] zur Festlegung eines Individuums dienen kónnen, so wollen wir 
dieselben die »individuellen» Parameter der Function z nennen. 

Bisher sind die Functionen P,, P,,..., P, , in der Reductionsformel 
nur dem Grade nach bekannt. Die Coefficienten in denselben bleiben 
also zu bestimmen. Die natürlichste Methode zur Bestimmung derselben 
besteht darin, die Thatsache zur analytischen Formulirung zu bringen, 
dass zu z dieselben »erzeugenden» Substitutionen gehóren wie zu y. Allein 
dieser Weg hat beträchtliche Schwierigkeiten, da diese erzeugenden Sub- 
stitutionen von der Wahl der Initialzweige abhängen, während die »defi- 
nirenden» Elemente der mehrfach lineär verknüpften Functionen die in- 
dependenten Invarianten jener Substitutionen sind. Um diese Schwierig- 
keiten zu vermeiden, machen wir die Annahme, die Functionen z seien, 
ebenso wie die Functionen y, durch ihre Differentialgleichung »determinirt». 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 109 


Dass dies der Fall ist, lässt sich auch streng beweisen, indem man den 
Fucus'schen Existenzbeweis, nur ganz unbedeutend modificirt, auf die 
Differentialgleichung der z anwendet. Wir werden im Folgenden vor- 
aussetzen, dies sei geschehen. 

Man kann stets annehmen die Indices des Systems (2) seien so be- 
schaffen, dass 9, = 9, =... — 9, — o sei. Denn ist dies thatsächlich 
nicht der Fall, dann kénnen wir (nach N° 3), ohne die Allgemeinheit zu 
beschränken, die Function z stets auf eine solche mit veränderten Indices 
zurückführen, für welche diese Bedingungen erfüllt sind. Alsdann kann 
man aber über die Grössen 0, 441 > 02:41, +++» dirx nicht mehr verfügen. 
Jedenfalls muss D = 9,,, negativ sein. Wir setzen daher D = — m. 
Die Reductionsgleichung nimmt dann die folgende Form an 


(7) z= Pm].y + d.P, [m — (i — qe E 
+ dB, alm (o — 6 09154. 


Aus dieser Gleichung entwickele man die Grössen: 


dz 9 d^ a m" d^z 


, 
da! 


und eliminire mit Hülfe der Differentialgleichung, alle Derivirten von y, 
welche die (p — 1)" übersteigen. Auf diese Weise erhält man Ausdrücke 
von der Form: 


dz dy Le dt ^ 
? 3; = My + (PEL ER + hr. -H Q,, . 9 m : 
: Uz di a? ty 
D — a. Y + aa. d. a d 
(8) Tode i Ts? dx Ted 45.9". P 
,d^z dy a! P 
hi Rm = pi VY À Ayo : o. 2 4 Nos. 4- a, : gp b - E | 
a ie dx 


Bezeichnet man den Grad einer ganzen Function Fe mit /'Fr, dann 


110 Karl Heun. 


lassen sich die Grade der ganzen Functionen «,,,4,,,..., 


»p in folgender 


Weise darstellen: 


fa,=m+i—1, la,=m,..., 1a,=m—(p—2)(i— 1) 





la, =m-+2(i—1), Iy=m+i—1ı,..., fa, =m—(p—3)i—1), 


(8’) la,,= m+ 3¢0—1), [u,-—m-42(i—1), ..., Pa, m—(p— 4)(i—1) 


lan m+pi—i), lae,-—m-(p-—1i)(6—1)..., la,-m-r-i—1. 


h : a dz d’z d’z : : ee 
Man führe nun die Grössen D, ¢?=4,..., 4" — und z in die Diffe- 
dx da*’ dx? 
rentialgleichung von z ein, dann erhält man: 


Y Y Y y, Y Y d 
o = (PG, + a6, +...+ an G,)y + (P,G, + a4 G, +... + a, Gy) EE Les 


p—1 
ad y 


+ (P,iG + Rig Git en = Opp G,)g" aes 


Dieser Ausdruck ist aber eine homogene lineäre Differentialgleichung 
(p— 1)" Ordnung für die Function y. Würde die Function y dieser 
Gleichung genügen, so müsste zwischen je p Zweigen so wohl als zwischen 
je p-+ ı Zweigen derselben eine lineäre homogene Relation mit con- 
stanten Cocfficienten bestehen, was. offenbar unmöglich ist. Desshalb 
muss diese Gleichung identisch Null sein d. h. es müssen für jeden 
Werth von x die Gleichungen bestehen 


P,G, 4- a4,G, +... +4,G, — 0, 


P G, EE Q1» G, SE DOC E Ano G, = 


: ; a 
Rs, + din P, + "LE + Any G, —— ©, 
Diese Gleichungen sind in Bezug auf x, der Reihe nach, von dem Grade: 


m+k+pi—ı),,m+k+(p— 1)E —ı1),...,m 4 k 4 (i — 1). 


If 
2 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 111 


Sie liefern also im Ganzen p(m + k + 1) + -p(p + 1)(i— 1) Bedingungs- 


gleichungen für die Coefficienten in den ganzen rationalen Functionen 


Pt Posteri db he qax; 


» disi Ht X nor ch «oni 


pp” 


Von diesen Gleichungen sind aber nur p(m + k + i + 1) — ı von ein- 
ander unabhängig, während die übrigen 


rip — 1) — (i 4- 1)}4+1 


Gleichungen identisch erfüllt sind.' 
Als unbekannte Gróssen haben wir anzusehen: 


erstens p(k + 1) + pp + 1)(¢ — 1) 


Coefficienten in den Functionen G,, G,,..., G1, 


zweitens p(m + 1) —+ p(p — 1)(i — 1r) — 1 


Coefficienten in den Functionen P,, P,,..., D, ,. Diese Unbekannten er- 
geben sich selbstverständlich nicht eindeutig aus den als von einander un- 
abhängig bezeichneten Gleichungen, da die letzteren in keinem Falle li- 
neär sind. — 


Die Grössen 7,, 7,..., 7 in dem Ausdruck G,[k] — (x — c)(x — z;)...(x — 7), 
welche wir als »individuelle» Parameter des Systems (2) bezeichnet haben, 
sind bei dieser Reduction als »Data» anzusehen und sind der Natur der Auf- 
gabe gemäss, keiner Beschränkung unterworfen. 

Die Parameter der Differentialgleichung eines Hauptsystems zerfallen 
in zwei Gruppen: in solche, welche durch die Bedingungen der Verzwei- 
gung bestimmt sind, deren Anzahl pi + 1) — 1 ist, und die übrigen. 


I : 
Jene (p — 1)|z p(i — 1) — 1} Parameter, welche auch nach Angabe des 
2 LI 


Indicessystems unbestimmt bleiben, wollen wir die »characteristischen» Pa- 
rameter der Gleichung nennen. Das allgemeine System (2) besitzt ebenso- 
viele characteristische Parameter, die wir aber nicht gerade als »bestimmte 
Coefficienten» aufzufassen brauchen. 


' In dem besonderen Falle p — 2, à = 2, sind alle auf die obige Art erhaltenen 


I - . 
Gleichungen von einander unabhängig. Denn es ist - pp i | (a + 1)! 41-290. 


Fra Karl Heun. 


Wir können jetzt das Resultat der vorstehenden Untersuchung in 
dem folgenden Satze aussprechen: 


»Ein mehrfach lineär verknüpftes Functionensystem mit einer 
beliebigen Anzahl beliebiger »individueller Parameter» lässt sich stets 
auf eine endliche Anzahl von »Hauptsystemen» derselben Art mit vor- 
gegebenen »characteristischen» Parametern reduciren. Die »characte- 
ristischen» Parameter des zu reducirenden Systems können nicht will- 
kürlich angenommen werden, sondern müssen einem gewissen Sy- 
steme simultaner nicht lineärer algebraischer Gleichungen genügen.» 


5. Will man nicht gerade auf ein Hauptsystem mit vorgegebenen 
characteristischen Parametern reduciren, dann kann man sich einer ein- 
facheren Methode bedienen, welche im Folgenden angedeutet werden soll. 
Sind nemlich Yi, Yi,--+»Ypi einerseits und 24,254,...,2, andererseits 
von einander unabhängige Zweigsysteme der Functionen y und z dann ist 























1 — 1] | p—1 
. dz; d^ gy 7 diy d" qq 
FR 11 XE OE ME ESSE =n k li 3 AE Deseo | e E 
7. da? da? 7. dx dx?! 
p—1 p—1 
dzsi d+ Zo} dysi d' yo} 
Ze 1 9 9S0 7x77 al (1 i Fan our ———— 
s da i | da^ | = G [4 | pe da : da^ | 
p ; 
DA posl 
dzyi d^ £y di yi d^ yy 
2 pi pi y W3 Ypi 
“pi? dx gov, ve | do? J pr? da , 2 da 











Infolge der Gleichungen (8) der vorigen Nummer erhält man also die 


einfache Bedingungsgleichung: 


D-i 
Pü S : 2, Us 
(a) = EE 
9) Ay, m y, do zT G, [4 ]. 








Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 113 


Diese Gleichung, welche in Bezug auf r vom Grade pm ist, muss iden- 
tisch für alle z erfüllt sein. Sie liefert also pm + 1 simultane Glei- 
chungen. . Aus diesen bestimmen sich: 


I 
on US P 1 
Coefficienten in den Functionen P,, P,,..., P, ,, und 


Ben): 


characteristische Parameter des Systems (y), da dieselben von einander 
unabhängig sind. . 

In dem Falle der hypergeometrischen Functionen (=?) wird die Zahl 
(p — 1) Spi — 1)—-1; zu, Null. Die Differentialgleichung des Haupt- 


systems ist dann: 





d*y 


| da 
et [ath + eat a By =o. 





Die Indices sind: also so gewählt, dass y — F(a, ß,y,x) der Differen- 
tialgleichung geniigt. Nach der üblichen Bezeichnung ist 





| O I CO 
y=y [9 O, a 
QA. MR HU UN 





Das zu reducirende System z sei gegeben durch die Characteristik : 


|o 
Ke 


so dass also k = 2n. Die Gleichung (9) heisst jetzt: 
Pr], P. [n — 1] 


dP d | eo. 
(a — Dern — af. P,|n— 1) , P,fn]+ 7, V - 1). P n- 1]] {(a+8+ 1)e— 7]. P, [n — 1] 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 19 Janvier 1888 15 


114 Karl Heun. 


Wir wollen nur den speciellen Fall k = 2 weiter verfolgen. Alsdann sei: 


[ 2 


P,[1| = a + ba; Pouce G2] = p + qx 4 x. 





Die Coefficienten «a, b, c bestimmen sich also aus den Gleichungen: 
aa + (y — 1)ae = p, 
2ab — (a + B — 1)ac + ybe — afcc = q, 
bb — (a + A)be + abec = 1, 





(10) 





Setzt man 
a+ Em 70 0% 


< 


b-—(a+ De = x, 


* 


— (a +) 5 -a—de= 3, 


dann nehmen die Gleichungen (10) die folgende symmetrische Form an: 
u — = r) (e, + 4, xs x) = p. 
u — (a— p, + &, + a5)" zul, 

ds — (a + Nm + % to) = ptt. 


Die Quadrate der neuen Unbekannten x, ,%,,&%, bestimmen sich aus 
Gleichungen vierten Grades. (Man vergl. RIEMAxX, Werke, pag. 306.) 
Der Fall k= 1 lässt sich in ganz ähnlicher Weise behandeln. 

. 6. Wir sind jetzt im Stande die Coefficienten der Functionen 
Hix, Hx,...,H,x in der Rremaxn'schen Fundamentalrelation: 


(1 1) i, ¢.y + x.y +... + Eo =O 


zu bestimmen. Wir denken uns zunächst die Indices in den einzelnen 


Functionen y? ,y®,...,y% derartig transformirt, dass bei der nach- 
folgenden Reduction auf ein Hauptsystem (y) die Grössen 9, , 9,, ..., 9, 
gleich Null gesetzt werden können, wie wir oben angenommen haben. 
Dadurch treten an die Stelle von y,y,...,y andere ebenfalls 
zur selben Art gehörige Functionen 20, 7° ,..., 7%, welche sich von 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 115 


den ursprünglichen nur um rationale Factoren unterscheiden. Die Re- 
ductionsgleichungen haben also die Form: 





dy dM tat eg 
D = HOT + Ra + see + Bye , 
"UU "n 
dy PNA 
yo = eV + Rx. + re + ee re E 
I2 
(12) M ; 
(m — RO Ro» dy Ri» d^ y 
y fw LT + We t-test rad eM 
( 


In diesen Gleichungen sind die Functionen Ax in mehrdeutiger Weise 
vollstàndig bestimmt. Sie enthalten in ihren Coefficienten implicite die 
willkürlich angenommenen »characteristischen» Parameter k,,h,,..., K, 
der Function (y), wo zur Abkürzung 


p = (p= ETC qub 


u 


gesetzt ist. 
Eliminirt man nun aus den p+ 1 Gleichungen (12) die Gróssen 


dy dy 


PORC dar 





dann erhält man eine Relation von der Form der Gleichung (11). 

Die »characteristischen» Parameter der Functionen 5? , y,..., 4” 
sind hierbei natürlich nicht willkürlich, sondern vielmehr Functionen der 
Parameter k,,k,,...,%,. Die Mannigfaltigkeit der Relationen (11), welche 


zu denselben erzeugenden Substitutionen gehüren, ist daher von der Di- 


(0) 


mension q.o, wenn p die obige Bedeutung hat und gq eine bestimmte 
endliche Zahl bezeichnet. 

Die explicite Darstellung der Coefficienten in den Functionen Æ x, 
H&,..., H,v ist nur in den einfachsten Fällen möglich. Dieser Um- 


stand beeinträchtigt jedoch unsere Theorie keineswegs, da die Schwierig- 


116 Karl Heun. 


keiten im Gebiete der Algebra liegen. Wir kénnen also die Aufgabe, 
welche wir uns gestellt haben als »im Allgemeinen» erledigt betrachten. 
Dass eine eingehende Untersuchung der bei unserem Verfahren auftre- 
tenden Systeme algebraischer Gleichungen für die Theorie der Funetionen- 
systeme derselben Art von grosser Wichtigkeit sein würde, ist selbstver- 
ständlich. 

%. Zum Schluss will ich noch den Zusammenhang darlegen, welcher 
zwischen den independenten Invarianten der erzeugenden Substitutionen 
einer mehrfach lineär verknüpften Function und ihren »individuellen» 
Parametern besteht. Für ein »reducirtes» System ! nimmt Herr PorxcAnÉ 
(Acta Mathematica, Bd. 4, p. 205) (p' — 1)(i — 1) independente In- 
varianten an, d. h. ebensoviele als die erzeugenden Substitutionen inde- 
pendente Coefficienten enthalten. Die Periodicitàt der p-fach lineàr ver- 
knüpften Functionen wird nemlich bestimmt: 


erstens durch pi Coefficienten in den Substitutionen 
CN da or ee A E 
zweitens durch p Coefficienten in der Substitution &,. 


Von den ersten p’i Coefficienten können jedoch p beliebige gleich Eins 
gesetzt werden, da irgend welche p Initialzweige willkürliche Factoren 
erhalten können. Ferner sind die p”% insoweit unbestimmten Coeffici- 
enten infolge der Gleichung (1) [N° 1] noch p? — 1 von einander unab- 
hàngigen Bedingungen unterworfen. Beachtet man endlich noch die Glei- 


chungen: 
Det, $5, = Dt, =... — Det; ob, =" 
dann bleiben (p? — 1)(i — 1) Coefficienten unbestimmt. 


Denken wir uns nun eine allgemeine p-fach lineàr verknüpfte Func- 
tion z durch ein Hauptsystem mit vorgegebenen »characteristischen» Pa- 


‘ Man beachte, dass den Bedingungen Det.%, = Det. 8, =... = Det. 8; noch 
p 

keineswegs eine Differentialgleichung entsprechen muss, in welcher das Glied Pots Ga 
"da 


ausfallt, obwohl diese den Substitutionen auferlegte Bedingungen die Zahl der independen- 


ten Invarianten wesentlich beeinflussen. (Man vergl. Acta Mathematica, Bd. 4, p. 202.) 


Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknüpften Functionen. 117 


rametern ausgedriickt und darauf jenes Hauptsystem in ein »reducirtes» 
übergeführt, dann ist die Function z wesentlich determinirt 


erstens durch (p — 1)] 5 pi — 1) — | »characteristische» Parameter, 


zweitens durch p(i + 1) — (i + 1) Parameter, welche durch die Be- 
dingungen der Verzweigung bestimmt sind, 


drittens durch i endliche Verzweigungspunkte, 


viertens durch k »individuelle» Parameter. 
Von den i endlichen Verzweigungspunkten kann man zweien die will- 
kürlichen Zahlwerthe o und 1 beilegen, so dass nur i — 2 allgemein 


bleiben. 
Damit jene 


spp + Ei — 1) + p+ k—2 


allgemeinen Bestimmungsstücke den (p°-- 1)(i— 1) independenten In- 
varianten entsprechen, muss 


DENS DO s 
sein. Es ist also 
für p= 2 die Zahl k = o für jeden Werth von i; 
für p = 3 die Zahl k = 2i— 3; 
für p — 4 die Zahl k = 5i — 7; etc 


Allgemein gilt der Satz: 


»Sollen die Definitionen der mehrfach lineär verknüpften Func- 
tionen dureh die independenten Invarianten der erzeugenden Sub- 
stitutionen einerseits und ihre Differentialgleichung andererseits 
äquivalent sein (d. h. gleichviele von einander unabhängige Bestim- 
mungsstücke enthalten), dann muss man den betreffenden Functionen 
im Allgemeinen eine gewisse Anzahl »individueller» Parameter zu- 


118 Karl Heun. 


ertheilen, es sei denn dass die Differentialgleichung von der zweiten 


Ordnung wire.» 


Einen ganz analogen Satz hat Herr Poincare (Acta Mathematica, 
Bd. 4, p. 219) aufgestellt. Nur treten dort an Stelle der »individuellen» 
Parameter »ausserwesentlich singuläre Punkte» (points à apparence sin- 
guliere). Dieser Unterschied könnte, in gewissem Sinne, irrelevant er- 
scheinen, da die individuellen Parameter stets als ausserwesentlich singu- 
läre Stellen aufzufassen sind. Man beachte jedoch, dass das Umgekehrte, 


im Allgemeinen, keineswegs statthaft ist. 


Einbeck 21. Aug. 1887. 


EINE EIGENSCHAFT DER PRIMZAHL 107 


VON 


KE, 


in COESFELD. 


SCHWERING 


119 


In meinem Aufsatze Über gewisse trinomische komplexe Zahlen! habe 
ich auf die Primzahl 107 als für eine Frage der Zahlentheorie »zur Un- 


tersuchung einladend» hingewiesen. 


Ich bin nunmehr in der Lage, die 


dort (Seite 84, Fussnote) gemachten Mitteilungen zu vervollständigen und 


mit Hülfe des ganzen Ergebnisses die Frage: 


»Ist es immer möglich, die von Jacogı mit (a , z)' bezeichneten Kreis- 
teilungsausdrücke als Produkte konjugirter ¢-Funktionen darzustellen?» 


durch ein zweites Beispiel in verneinendem Sinne zu beantworten. 


Nimmt man als primitive Wurzel 2, so erhalten wir die folgenden 18 


Zahlen: 

tea tat für y = 4, 31, 47,150; 
ferner: 

Dead für 43; 50, $5, 30, 32, 17, 17, 38, 

41) 7 ls AT p22: 

endlich: 

2+ a, 
deren Normen unter der Voraussetzung a°* = 1 zu bilden sind. Zu- 
nächst tritt » — 17 zweimal auf; dann ist nach Formel 25 obiger Ab- 
handlung: 


Nı+ta+ta)=N(ı+ta+ at), 


Acta mathematica, 


N(1 + a— a?) — N(1 + a — a. 


' Diese Zeitschrift, Bd. 10, S. 57 ff. 
1. 


Imprimé le 19 Janvier 1888. 


N(1 +a—a*")= N(1 + a— a?) 


120 K Sehwering. 
Für die übrigen erhält man: 
1+a+a)—107.76003 , 


N(1 ta a‘) — 10 71015707 ; N ) 
1-+a—a**)=107.151051 , 


107.118297 , N 


| 


) 
N(1 + a—a’’) = 107.243589 , N(1 +a—a’*’) = 107.246769 , 


( | ) 
N(1+a—a)—107.73459 , N(1 -- à — à) = 107.107.7103, 
( ( 


7) —— 107.107.1061, N(1 +a—a**)=107.191119 , 


) 
N(i+a—a)—107.27773 , N(1 +a—a) = 107.107.3181, 
) 


Endlich 
N(2 + a) = 3.107.28059810762433. 


Die Gleichheit der Normen N(1 +a—a')= N(1 + «a — a?) ist be- 
merkenswert, da die Zahlen 41 und 51 verschiedenen Gruppen (obige 
Abhandl. S. 69) nämlich y = 4 und y = 2 angehören. 

In der oben erwähnten Fussnote heisst es durch einen Druckfehler 
I +a—a statt 1 + a + a‘, wie oben angegeben. 

Ich benutze die Gelegenheit zu der ferneren Mitteilung über die 
Normen AN(z + « — a^*, wo a — 1, À reelle Primzahl und p eine be- 
liebige ganze Zahl ist. In den zahlreichen von mir berechneten Bei- 
spielen war der Koefficient jeder geraden Potenz von z, also der Koeffi- 
cient von 2°, z*, 2°, u. s. w. stets entweder Null oder eine positive Zahl. 


Im September 1887. 





121 


ON THE DIVISION OF SPACE WITH MINIMUM PARTITIONAL AREA 


BY 


Sir WILLIAM THOMSON 


in GLASGOW. 


1. This problem is solved in foam, and the solution is interestingly 
seen in the multitude of film-enclosed cells obtained by blowing air 
through a tube into the middle of a soap-solution in a large open vessel. 
I have been led to it by endeavours to understand, and to illustrate, 
GnEEN's theory of »extraneous pressure» which gives, for light traversing 
a crystal, Fresser’s wave-surface, with FRESNEL's supposition (strongly 
supported as it is by Stores and RAYLEIGH) of velocity of propagation 
dependent, not on the distortion-normal, but on the line of vibration. 
It has been admirably illustrated, and some elements towards its solu- 
tion beautifully realized in a manner convenient for study and instruction, 
by PraTEAU, in the first volume of his Statique des Liquides soumis aux 
seules Forces Moléculaires. 


2. The general mathematical solution, as is well known, is that 
every interface between cells must have constant curvature ' throughout, 
and that where three or more interfaces meet in a curve or straight line 
their tangent-planes through any point of the line of meeting intersect 
at angles such that equal forces in these planes, perpendicular to their 
line of intersection, balance. The minimax problem would allow any 





1 " * . 
By »eurvature» of a surface I mean sum of curvatures in mutually perpendicular 


normal sections at any point; not GaAUss's »eurvatura integra», which is the product of 
the curvature in the two »prineipal normal sections», or seetions of greatest and least 
curvature. (See THOMSON and Tarrs Natural Philosophy, part i. 22 130, 136.) 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 16 Février 1888 16 


122 Sir William Thomson. 


number of interfaces to meet in a line; but for a pure minimum it is 
obvious that not more than three can meet in a line, and that therefore, 
in the realization by the soap-film, the equilibrium is necessarily unstable 
if four or more surfaces meet in a line. This theoretical conclusion is 
amply confirmed by observation, as we see at every intersection of films, 
whether interfacial in the interior of groups of soap-bubbles, large or 
small, or at the outer bounding-surface of a group, never more than 
three films, but, wherever there is intersection, always just three films, 
meeting in a line. "The theoretical conclusion as to the angles for stable 
equilibrium (or pure minimum solution of the mathematical problem) 
therefore becomes, simply, that every angle of meeting of film-surfaces 


is exactly 120°. 


3. The rhombic dodecahedron is a polyhedron of plane sides between 


which every angle of meeting is 120°; and space can be filled with (or 
divided into) equal and similar rhombic dodecahedrons. Hence it might 
seem that the rhombic dodecahedron is the solution of our problem for 
the case of all the cells equal in volume, and every part of the boundary 
of the group either infinitely distant from the place considered, or so 
adjusted as not to interfere with the homogeneousness of the interior 
distribution of cells. Certainly the rhombic dodecahedron is « solution 
of the minimax, or equilibrium-problem; and certain it is that no other 
plane-sided polyhedron can be a solution. 


4. But it has seemed to me, on purely theoretical consideration, 
that the tetrahedral angles of the rhombic dodecahedron,* giving, when 





' The rhombic dodecahedron has six tetrahedral angles and eight trihedral angles. 
At each tetrahedral angle the plane faces cut one another successively at 120°, while 
each is perpendicular to the one remote from it; and the angle between successive edges 


] I j i : ; 
is cos=!-, or 70? 32. The obtuse angles (109? 28’) of the rhombs meet in the trihedral 


I 
angles of the solid figure. The whole figure may be regarded as composed of six square 


pyramids, each with its alternate slant faces perpendicular to one another, placed on six 
squares forming the sides of a cube. The long diagonal of each rhombic face thus made 
up of two sides of pyramids eonterminous in the short diagonal, is y2 times the short 


diagonal. 





On the Division of Space with Minimum Partitional Area. 123 


space is divided into such figures, twelve plane films meeting in a point 
(as twelve planes from the twelve edges of a cube meeting in the centre 
of the cube) are essentially unstable. That it is so is proved experi- 
mentally by PLATEAU (vol. i. § 182, fig. 71) in his well-known beautiful 
experiment with his cubic skeleton frame dipped in soap-solution and 
taken out. His fig. 71 is reproduced here in fig. 1. Instead of twelve 
plane films stretched inwards from the twelve edges and meeting in the 
centre of the cube, it shows twelve films, of which eight are slightly 
curved and four are plane,’ stretched from the twelwe edges to a small 
central plane quadrilateral film with equal curved edges and four angles 
each of 109° 28. Each of the plane films is an isosceles triangle with 
two equal curved sides meeting at a corner of the central curvilinear 
square in a plane perpendicular to its plane. It is in the plane through 
an edge and the centre of the cube. The angles of this plane curvi- 
linear triangle are respectively 109° 28’, at the point of meeting of the 
two curvilinear sides: and each of the two others half of this, or 54° 44’. 


5. I find that by blowing gently upon the PLATEAU cube into any 
one of the square apertures through which the little central quadrilateral 
film is seen as a line, this film is caused to contract. If I stop blowing 
before this line contracts to a point, the film springs back to its primi- 
tive size and shape. If I blow still very gently but for a little more 
time, the quadrilateral contracts to a line, and the twelve films meeting 
in it immediately draw out a fresh little quadrilateral film similar to the 
former, but in a plane perpendicular to its plane and to the direction of 
the blast. Thus, again and again, may the films be transformed so as 
to render the little central curvilinear square parallel to one or other of 
the three pairs of square apertures of the cubic frame. Thus we see 
that the twelve plane films meeting in the centre of the cube is a con- 
figuration of unstable equilibrium which may be fallen from in three 
different ways. 


Q ' H * . - . 
6. Suppose now space to be filled with equal and similar ideal 


I see it inadvertently stated by PLATEAU that all the twelve films are rlégdro, 


ment courbées», 


124 Sir William Thomson. 


rhombic dodecahedrons. Draw the short diagonal of every rhombic face, 
and fix a real wire (infinitely thin and perfectly stiff) along each. This 
fills space with PrareAu cubic frames. Fix now, ideally, a very small 
rigid globe at each of the points of space occupied by tetrahedral angles 
of the dodecahedrons, and let the faces of the dodecahedrons be realized 
by soap-films, They will be in stable equilibrium, because of the little 
fixed globes; and the equilibrium would be stable 
Fig. 1. without the rigid diagonals which we require only 
to help the imagination in what follows. Let an 
exceedingly small force, like gravity,’ act on all 
the films everywhere perpendicularly to one set of 
parallel faces of the cubes. If this force is small 
enough it will not tear away the films from the 
globes; it will only produce a very slight bending 
from the plane rhombic shape of each film. Now 
annul the little globes. The films will instantly 
jump (each set of twelve which meet in a point) 
into the PLATEAU configuration (fig. 1), with the 
little curve-edged square in the plane perpendicular 
to the determining force, which may now be an- 
nulled, as we no longer require it. The rigid edges 
of the cubes may also be now annulled, as we 
have done with them also; because each is (as we 
see by symmetry) pulled with equal forces in opposite directions, and 
therefore is not required for the equilibrium, and it is clear that the 
equilibrium is stable without them.’ 








' To do for every point of meeting of twelve films what is done by blowing in the 
experiment of 2 5. 

? The corresponding two-dimensional problem is much more easily imagined; and 
may probably be realized by aid of moderately simple appliances. 

3etween a level surface of soap-solution and a horizontal plate of glass fixed at a 
centimetre or two above it, imagine vertical film-partitions to be placed along the sides of 
the squares indicated in the drawing (fig. 2): these will rest in stable equilibrium if thick 
enough wires are fixed vertically through the corners of the squares. Now draw away 
these wires downwards into the liquid: the equilibrium in the square formation becomes 


unstable, and the films instantly run into the hexagonal formation shown in the diagram; 


On the Division of Space with Minimum Partitional Area. 125 


4. We have now space divided into equal and similar tetrakaide- 
cahedral cells by the soap-film; each bounded by 

1) Two small plane quadrilaterals parallel to one another; 

2) Four large plane quadrilaterals in planes perpendicular to the 
diagonals of the small ones; 

3) Eight non-plane hexagons, each with two edges common with the 
small quadrilaterals, and four edges common with the large quadrilaterals. 





provided the square of glass is furnished with vertical walls (for which slips of wood are 
convenient), as shown in plan by the black border of the diagram. These walls are ne- 
cessary to maintain the inequality of pull in different directions which the inequality of 
the sides of the hexagons implies. By inspection of the diagram we see that the pull is 





T/a per unit area on either of the pair of vertical walls which are perpendicular to the 
short sides of the hexagons; and on either of the other pair of walls 2 cos 30° X T/a: 
where 7 denotes the pull of the film per unit breadth, and « the side of a square in the 
original formation. Hence the ratio of the pulls per unit of area in the two principal 


directions is as I to 1'732. 


126 Sir William Thomson. 


The films seen in the PLATEAU cube show one complete small qua- 
drilateral, four halves of four of the large quadrilaterals, and eight 
halves of eight of the hexagons, belonging to six contiguous cells; all 
mathematically correct in every part (supposing the film and the cube- 
frame to be infinitely thin). Thus we see all the elements required for 
an exact construction of the complete tetrakaidecahedron. By making 
a clay model of what we actually see, we have only to complete a 
symmetrical figure by symmetrically completing each half-quadrilateral 
and each half-hexagon, and putting the twelve properly together, with 
the complete small quadrilateral, and another like it as the far side of 
the 14-faced figure. We thus have a correct solid model. 


S. Consider now a cubic portion of space containing a large number 
of such cells, and of course a large, but a comparatively small, number 
of partial cells next the boundary. Wherever the boundary is cut by 
film, fix stiff wire; and remove all the film from outside, leaving the 
cubic space divided stably into cells by films held out against their 
tension by the wire network thus fixed in the faces of the cube. If 
the cube is chosen with its six faces parallel to the three pairs of qua- 
drilateral films, it is clear that the resultant of the whole pull of film 
on each face will be perpendicular to the face, and that the resultant 
pulls on the two pairs of-faces parallel to pairs of the greater quadri- 
laterals are equal to one another and less than the resultant pull on the 
pair of faces parallel to the smaller quadrilaterals. Let now the last- 
mentioned pair of faces of the cube be allowed to yield to the pull 
inwards, while the other two pairs are dragged outwards against the 
pulls on them, so as to keep the enclosed volume unchanged; and let 
the wirework fixture on the faces be properly altered, shrunk on two 
pairs of faces, and extended on the other pair of faces, of the cube, 
which now becomes a square cage with distance between floor and ceiling 
less than the side of the square. Let the exact configuration of the wire 
everywhere be always so adjusted that the cells throughout the interior 
remain, in their altered configuration, equal and similar to one another. 
We may thus diminish, and if we please annul, the difference of pull 
per unit area on the three pairs of sides of the cage. The respective 
shrinkage-ratio and extension-ratio, to exactly equalize the pulls per unit 


On the Division of Space with Minimum Partitional Area. 127 


area on the three principal planes, (and therefore on all planes), are 


zl 1 1 . . 
2-3, 26, 26, as is easily seen from what follows. 


9. While the equalization of pulls in the three principal directions 
is thus produced, work is done by the film on the moving wire-work of 
the cage, and the total area of film is diminished by an amount equal 
to W/T, if W denote the whole work done, and T the pull of the 
film per unit breadth. ‘The change of shape of the cage being supposed 
to be performed infinitely slowly, so that the film is always in equi- 
librium throughout, the total area is at each instant a minimum, subject 
to the conditions 

1) That the volume of each cell is the given amount; 

2) That every part of the wire has area edged by it; and 

3) That no portion of area has any free edge. 


10. Consider now the figure of the cell (still of course a tetra- 
kaidecahedron) when the pulls in the three principal directions are equa- 
lized, as described in $ 8. It must be perfectly isotropic in respect to 
these three directions. Hence the pair of small quadrilaterals must have 
become enlarged to equality with the two pairs of large ones, which 
must have become smaller in the deformational process described in 8. 
Of each hexagon three edges coincide with edges of quadrilateral faces 
of one cell; and each of the three others coincides with edges of three 
of the quadrilaterals of one of the contiguous cells. Hence the 36 edges 
of the isotropie tetrakaidecahedron are equal and similar plane ares; 
each of course symmetrical about its middle point. Every angle of 
meeting of edges is essentially 109? 28' (to make trihedral angles between 
tangent planes of the films meeting at 120°). Symmetry shows that the 
quadrilaterals are still plane figures; and therefore, as each angle of each 
of them is 109° 28’, the change of direction from end to end of each 
arc-edge is 19° 28’. Hence each would be simply a circular are of 19° 28', 
if its curvature were equal throughout; and it seems from the complete 
mathematical investigation of §§ 16, 17, 18 below, that it is nearly so, 
but not exactly so even to a first approximation. 

Of the three films which meet in each edge, in three adjacent cells, 
one is quadrilateral and two are hexagonal. 


128 Sir William Thomson. 


11. By symmetry we see that there are three straight lines in 
each (non-plane) hexagonal film, being its three long diagonals; and that 
these three lines, and therefore the six angular points of the hexagon, 
are all in one plane. The arcs composing its edges are not in this plane, 
but in planes making, as we shall see ($ 12), angles of 54° 44’ with it. 
For three edges of each hexagon, the planes of the arcs bisect the angle 
of 109° 28’ between the planes of the six corners of contiguous hexagons; 
and for the other three edges are inclined on the outside of its plane 
of corners, at angles equal to the supplements of the angles of 125° 16’ 
between its plane of corners and the planes of contiguous quadrilaterals. 


12. The planes of corners of the eight hexagons constitute the 
faces of an octahedron which we see, by symmetry, must be a regular 
octahedron (eight equilateral triangles in planes inclined 109? 28' at every 
common edge) Hence these planes, and the planes of the six quadri 
laterals, constitute a plane-faced tetrakaidecahedron obtained by truncating 


the six corners! 


of a regular octahedron each to such a depth as to 
reduce its eight original (equilateral triangular) faces to equilateral equi- 
angular hexagons. An orthogonal projection of this figure is shown in 
fig. 3. It is to be remarked that space can be filled with such figures. 


For brevity we shall call it a plane-faced isotropic tetrakaidecahedron. 


Fig. 3. Fig. 4. 


À o ed ^ 





13. Given a model of the plane-faced isotropic tetrakaidecahedron, 
it is easy to construct approximately a model of the minimal tetrakaide- 
cahedron, thus: — Place on each of the six square faces a thin plane 
disk having the proper curved arcs of 19° 28’ for its edges. Draw the 














' This figure (but with probably indefinite extents of the truncation) is given in 


books on mineralogy as representing a natural erystal of red oxide of copper. 


On the Division of Space with Minimum Partitional Area. 129 


three long diagonals of each hexagonal face. Fill up by little pieces of 
wood, properly cut, the three sectors of 60° from the centre to the 
overhanging edges of the adjacent quadrilaterals. Hollow out symmetri- 
cally the other three sectors, and the thing is done. The result is shown 
in orthogonal projection, so far as the edges are concerned, in fig. 4; 
and as the orthogonal projections are equal and similar on three planes 
at right angles to one another, this diagram suffices to allow a perspec- 
tive drawing from any point of view to be made by descriptive geo- 
metry». 


14. No shading could show satisfactorily the delicate curvature of 
the hexagonal faces, though it may be fairly well seen on the solid 
model made as described in $ 12. But it is shown beautifully, and il- 
lustrated in great perfection, by making a skeleton model of 36 wire 
arcs for the 36 edges of the complete figure, and dipping it in soap so- 
lution to fill the faces with film, which is easily done for all the faces 
but one. The curvature of the hexagonal film on the two sides of the 
plane of its six long diagonals is beautifully shown by reflected light. 
I have made these 36 arcs by cutting two circles, 6 inches diameter, of 
stiff wire, each into 18 parts of 20° (near enough to 19° 28’). It is easy 
to put them together in proper positions and solder the corners, by aid 
of simple devices for holding the ends of the three arcs together in proper 
positions during the soldering. The circular curvature of the arcs is not 
mathematically correct, but the error due to it is, no doubt, hardly per- 
ceptible to the eye. | 


15. But the true form of the curved edges of the quadrilateral 
plane films, and of the non-plane surfaces of the hexagonal films, may 
be shown with mathematical exactness by taking, instead of PrarEAU's 
skeleton cube, a skeleton square cage with four parallel edges each 4 
centimetres long: and the other eight, constituting the edges of two squares, 
each /2 times as long, or 5:66 centim. Dipped in soap-solution and taken 
out it always unambiguously gives the central quadrilateral in the plane 
perpendicular to the four short edges. It shows with mathematical ac- 
curacy (if we suppose the wire edges infinitely thin) a complete quadri- 
lateral, four half-quadrilaterals, and four half-hexagons of the minimal 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 11 Février 1888. 17 


130 Sir William Thomson. 


tetrakaidecahedron. The two principal views are represented in figs. 5 
and 6. 
Fig. 5. Fig. 6. 


16. The mathematical problem of calculating the forms of the 
plane arc-edges, and of the curved surface of the hexagonal faces, is 
easily carried out to any degree of approximation that may be desired; 


3 a 


Fig. 7. 











On the Division of Space with Minimum Partitional Area. 131 


though it would be very laborious, and not worth the trouble, to do 
so further than a first approximation, as given in § 17 below. But first 
let us state the rigorous mathematical problem; which by symmetry 
becomes narrowed to the consideration of a 60° sector BCB' of our non- 
plane hexagon, bounded by straight lines CB, CB’ and a slightly curved 
edge BEB’, in a plane, Q, through BB’, inclined to the plane BCB’ at 
an angle of tan !y2, or 54°44’. The plane of the curved edge I call 
Q, because it is the plane of the contiguous quadrilateral. The mathe- 
matical problem to be solved is to find the surface of zero curvature edged 
by BCP’ and cutting at 120° the plane Q all along the intersectional curve 
(fig. 7). It is obvious that this problem is determinate and has only 
one solution. Taking CA for axis of c; and z perpendicular to the plane 
BCB': and regarding z as a function of x, y, to be determined for finding 
the form of the surface, we have, as the analytical expression of the 
conditions 








d’z ( In) dz da d’z dz ( 2 


oa dy? dx dy dx dy T di dx”, 


dy? = O; 








cs 


dz? E A vee E V2) = 
| (1 7 de’? tas) ( de 
| when 2 = (a — x) 2. 


17. The required surface deviates so little from the plane BCB’ 
that we get a good approximation to its shape by neglecting dz?/dx’, 


dz/dx.dz/dy, and dz?/dy*, in (1) and (2), which thus become 


(3) N 

and 

(4) - TA \2 m. Vi — '09473 when 2. d 
da 3 gos 094/945 ( = 


\ 
V? denoting (d/dx)? + (d/dy). The general solution of (3), in polar co- 
ordinates (r, e) for the plane (x, y), is 


(5) 2: (A cos me + Bsinme)r", 


182 Sir William Thomson. 


where A,B, and m are arbitrary constants. The symmetry of our 
problem requires B — o, and m= 3.(2i + 1), where à is any integer. 
We shall not take more than two terms. It seems not probable that 
advantage could be gained by taking more than two, unless we also 
fall back on the rigorous equations (1) and (2), keeping dz*/dx^ &e. in 
the account, which would require each coefficient À to be not rigorously 
constant but a function of r. At all events we satisfy ourselves with 
the approximation yielded by two terms, and assume 





f Ft AE DONS 
(6) 2 — Ar? cos 3e + A'r' cos 9g 


with two coefficients A, A’ to be determined so as to satisfy (4) for two 
points of the curved edge, which, for simplicity, we shall take as its 
middle, E(e — 0o); and end, B(p— 30°). Now remark that, as z is small, 
even at E, where it is greatest, we have, in (4), v-- a or r — a sec g. 
Thus, and substituting for dz/dx its expression in polar (r , ç) coordinates, 
which is 


dz dz dz . 
— = — cosy — sin 
da dr s rd P) 








PTS 
2 
i Ee 


we find, from (4) with (6), 


(8) (by case e = o) A + 3a°A’ = ‘0315784 >”, 
9) (and by ease gy — 30?) — A — SS a*4' = 0315782. a7 
(9) (and by case g = 30°) d 031578.5.a 5; 
whence 
; I 9 , E -8 A —8 
Ze er x 031578.” = — 9X '0001735.4 
= — 'OO01561.a ^, 
TZ 64\ TS _9 
A eges) X OST 57 9.417 ——200 0X “0001745. du 
N 
Eoo dr 
and for required equation of the surface we have (taking « — 1 for 


brevity) 


ndis 


On the Division of Space with Minimum Partitional Area. 133 


| 2 = '03626.r” cos 3g — ‘001 5617" cos gg 


(10) | 





= '03626.r'(cos 36 — '043.1° cos 9c). 


18. To find the equation of the curved edge BEB’, take, as in (4), 


2 A 2 
Gr) o = 1 ——== 1 —”€, where & denotes —. 

v2 v2 
Substituting in this, for z, its value by (10), with for r its approximate 
value seco, we find 


(12) Ê = = (03626 sec! p cos 3g — ‘001561 sec’ e cos 9c) 

v2 
as the equation of the orthogonal projection of the edge, on the plane 
BCD', with 


(12) LT — dune aud ANT 


The diagram was drawn to represent this projection roughly, as a cir- 
cular arc, the projection on BOB’ of the circular are of 20° in the plane 
Q, which, before making the mathematical investigation, I had taken as 
the form of the arc-edges of the plane quadrilaterals. This would give 
1/35 of CA, for the sagitta, AE; which we now see is somewhat too 
great. The equation (12), with y — o, gives for the sagitta 


(14) AB AEX CA, 


or, say, 1/41 of CA. The curvature of the projection at any point is 
to be found by expressing sec’p cosz3p and sec"e cosoc in terms of 
y=tang and taking d’/dy’ of the result. 

By taking y3/2 instead of /ı/2 in (12), we have the equation of 
the arc itself in the plane @. 


19. To judge of the accuracy of our approximation, let us find 
the greatest inclination of the surface to the plane BCB’. For the tangent 
of the inclination, at (r, v) we have 


1 


7) = '10858.,r' (1 — 2 X'129.* cos6p + ‘129°r “)*. 


(1 5) v ce oe 


134 Sir William Thomson. 


The greatest values of this will be found at the curved bounding edge, 
for which r==seeg. Thus we find 

d? den! | 0948, and therefore inclination = 5°25’ at E 
co (Saelsy- 

dO y |:1894, » » » = 10°44" at ub. 


Hence we see that the inaccuracy due to neglecting the square of 
the tangent of the inclination in the mathematical work cannot be large. 
The exact value of the inclination at E is tan"! (— 2) — 120°, or 5? 16’, 
which is less by 9' than its value by (16). 





135 


SUR UN MODE DE TRANSFORMATION DES SURFACES MINIMA 


PAR 


E. GOURSAT 


à PARIS. 


1. En interprétant géométriquement les formules de Monee, M. 
SorHus Lie a rattaché la théorie des surfaces minima à celle des courbes 
dont les tangentes vont rencontrer le cercle de l'infini, et auxquelles il 
a donné le nom de courbes minima.’ Bornons-nous d'abord, pour plus de 
netteté, aux surfaces réelles; il résulte des recherches de M. Liz que la 
surface minima réelle la plus générale peut être considérée comme le 
lieu du milieu d'une corde qui joint un point quelconque d'une courbe 
minima à un point queleonque de la courbe conjuguée. 

Solent 


(1) et, E. = De), A= 0s) 
les équations d'une courbe minima /', A(t), B(t), C(t) désignant trois 
fonctions du paramètre variable ¢ qui vérifient la relation 

dA?’ + dB? + dC’ = o. 


Les coordonnées d’un point réel de la surface minima réelle correspondante 
S seront données par les formules 


x = RA(t), 
(2) y = RB(t), 
[s = acte, 





| 


x 








 & Lin. Beiträge zur Theorie der Minimalflächen: I. Projectivische Untersuch- 
ungen über algebraische Minimalflächen (Mathematische Annalen, t. L4, p. 331; 1878). 
— II. Metrische Untersuchungen über algebraische Minimalflächen (même recueil t. 15, 
p. 465; 1879). 


Acta mathematica. 11. Imprimé le 11 Février 1888 


ar 
136 E. Goursat. 


€ 


le signe & indiquant que l'on prend seulement la partie réelle d'une 
quantité imaginalre; comme { est une variable complexe, les coordonnées 
æ,y,2 dépendent bien, comme cela doit étre, de deux paramètres réels. 

Imaginons maintenant que l’on applique a la courbe minima /'une 
transformation qui la change en une nouvelle courbe minima; à cette 
nouvelle courbe correspondra une autre surface minima réelle dont les 
relations avec la première surface seront plus ou moins simples, suivant 
le mode de transformation adopté. Or, parmi les transformations qui 
changent une courbe minima en une autre courbe minima, il n'en est 
pas de plus simples que les transformations homographiques qui con- 
servent le cercle de l'infini. Toute transformation de cette nature est 
équivalente, comme on sait, à une combinaison des trois opérations sui- 


o 


vantes: 1? une translation; 2? une transformation homothétique à póle 


o 


réel et à module réel ou imaginaire: un déplacement autour d'un 
e ? 

point réel. Si on imprime à la courbe /' une translation dont les com- 

posantes suivant les axes soient h,k,1, les coordonnées x,y,z de la 


surface S seront augmentées respectivement des quantités 
ui, Kk, AK, 


et la surface aura subi elle-même une translation. La seconde opéra- 
tion a été étudiée en détail; elle donne.les surfaces homothetiques des 
surfaces associées à la premiére." - En ce qui concerne les rotations, il y 
a lieu de distinguer les rotations réelles des rotations imaginaires. Si 
on applique à une courbe minima une rotation réelle, il est facile de 
démontrer que la surface minima réelle correspondante subit la même 
rotation. Il ne reste donc plus qu'à étudier les surfaces que l'on obtient 
en appliquant à une même courbe minima des rotations imaginaires, et 
je ne connais sur ce sujet que quelques indications données par M. Lie 
dans le second Mémoire déjà cité.? Le present travail est consacré a 
l'étude de ce mode de transformation. Je supposerai toujours qu'on a 
pris pour origine des coordonnées le point réel autour duquel s'effectue 


le déplacement. 


! DARBOUX, Lecons sur la théorie générale des surfaces, t. 1, p. 322 et 457; 1887. 


2 


Mathematische Annalen, t. 19, p. 475. 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 137 


2. Rappelons d'abord la représentation analytique des rotations 
qui a son origine dans les travaux de RIEMANN et qui a été développée 
complètement par M. Krem. Soient «,/,7 les coordonnées rectangu- 
laires d'un point de la sphere 


(3) Oi ea s EE 


on emploie, pour fixer la position de ce point sur la sphere, un nouveau 
système de coordonnées défini de la maniere suivante. La sphere étant 
une surface du second ordre, on sait que par chaque point passent deux 
génératrices rectilignes. Ces deux systèmes de génératrices sont déter- 
minés respectivement par les équations 


a + if BR: 





I1—r a — if 
(4) : 
a — B REA UT I. 
—r,r acid v' 


nous prendrons w et v pour nouvelles coordonnées du point (a, £g, 7) de 
la sphère. Quand on décrit une génératrice rectiligne, une de ces coor- 
données conserve une valeur constante. Des formules (4) on tire in- 


versement: 
I — wy .I+ uv ut iv 
(5) rear = y jest 


WU / Ve, 








Cela posé, on sait que tout déplacement de la sphere autour de 
son centre est caractérisé par une certaine substitution linéaire effectuée 


simultanément sur $4 et sur v,! 





mu, + n mv, + 7 
(6) = ee rer 


Oo Ps T mec 
Cherchons s'il existe des points réels de la sphère qui viennent coineider 
aprés la rotation avec des points réels. Remarquons pour cela que, si 
. , / , I " , : 
un point de coordonnées (w, v) est réel, # et — - sont conjuguees et re- 

2 
ciproquement; cela résulte immédiatement des formules (4) et (5). De 
Voir, par exemple, DARBOUX, Leçons sur la théorie générale des surfaces. Cha 

pitre 3, p. 30. 


Acta mathematica. 11. Imprimé le 27 Janvier I88S, 18 


138 E. Goursat. 
méme, pour que le point de coordonnées (w,, v,) soit réel, il faut et il 


suffit que w, et — — solent conjuguces. On aura donc à la fois, en sup- 
v x 
1 


posant que le point réel (w, v) vienne coincider avec un point réel (ut, , ®,), 
(ADR um IA I, 


r, et (v,), désignant les imaginaires conjuguces de v et de v,. Remplacons 


dans la seconde relation 4, et (v yar leurs valeurs: il vient 
1 1/0 / 





(n — qu)(n, — FV) 
= d- I 


: en 
(pu — m)(p,v, — M) 
: "Me I 
Cette relation s'écrit, en remplaçant v, par — - 
U 
(n — qu\nu + qo) a. 





(pu = m (mu pad 


ou 


7) (pm, + quu + (qq, + pp, — mm, — un,)u — (p,m + quu) = o. 
Pour que la rotation considérée soit réelle, il faut évidemment que cette 
équation (7) se réduise à une identité; on aura alors 


Po _ — do — m, N, 


? 
n° m q p 





et les formules (6) pourront s'écrire 


mu, + N 


: * 
n — NU, ma — nv, 


mv, +H 


p ^ 


(3) "m 


m, et n, étant conjuguées de m et de ». Cette forme particulière de 
substitution, qui convient aux rotations reelles, ne dépend que de trois 
parametres réels arbitraires, comme le déplacement réel le plus général | 
autour de l'origine, tandis que la substitution (6) et le déplacement ima- 
'énéral autour de l'origine dépendent de six paramètres 


fay 
e 


ginaire le plus 
réels arbitraires. 
Supposons maintenant que l'équation (7) ne se réduise pas à une 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 139 


„ 


identité. Cette équation possedera deux racines distinctes w', w" et il est 


aise de verifier que ces racines satisfont a la relation 
vu, NOT. 


Les valeurs correspondantes de v seront 


I 

y = —- = uv’, 
[s 
I 

p" ————,-W; 
U 


les deux points réels de coordonnées (w’, u”) , (w'*, w) sont diametralement 
opposés, comme on s'en assure aussitôt à l'inspection des formules (5). 
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant: 

Dans tout déplacement imaginaire autour de l'origine, il existe un dia- 
mètre réel et un seul qui vient coïncider avec un autre diamètre réel. 

Soit AA’ le diamètre réel qui vient coincider avec un autre diamctre 
réel BB’. Faisons suivre ce déplacement d'une rotation reelle À amenant 
BB’ sur AA’; nous aurons un nouveau déplacement qui ne changera pas 
le diamètre AA’, c’est-à-dire une rotation imaginaire autour de cet axe. 
Si à ce nouveau déplacement nous ajoutons la rotation R~', inverse de la 
rotation À, nous retrouvons évidemment le déplacement primitif. I] suit 
de là que foule rotation imaginaire est équivalente à une suite de deux rotu- 


° une rotation imaginaire autour d'un axe réel: 2° une rotation réelle. 


tions: 1 

On pourrait aussi décomposer la rotation imaginaire d'une autre 
façon, en mettant la premiere la rotation réelle composante. Enfin, on 
démontre de la méme manière le théoréme suivant que je me borne. à 
enoncer: Toute rotation imaginaire est équivalente à une suite de trois rota- 
ne 


o 


Lions: une rotation réelle; 2° une rotation imaginaire autour d'un arc 


n° 


réel choisi arbitrairement; 3° une nouvelle rotation réelle. 

9. Nous emploierons dans ce qui suit la forme particulicre donnée 
aux formules de Monee par M. Wererstrass; je vais rappeler en quel- 
ques mots comment on parvient à cette forme, en partant des idées de 
M. S. Lir. Puisque les tangentes à une courbe minima rencontrent le 


cerele imaginaire de l'infini, le plan tangent à la surface développable 


| 40 E. Goursat. 


formée par ces tangentes sera lui-même tangent au cercle de l'infini. 
Prenons l'équation de ce plan sous la forme 


(9) (1 — u?)X + i(1 + w)¥ + 2uZ + 4f(u) = o, 


4 désignant le paramètre variable et f(w) une fonction quelconque de ce 
paramètre. On aura pour les coordonnées d'un point de l'aréte de re- 
broussement les expressions suivantes 


X = (1 — w’)f"(w) + 2uf'(u) — 2f(u), 
Y=i(1 + u)f(u) — 2iuff(u) + 2if(u), 
| Z = 2uf"(u) — 2f'(u), 





(10) 


qui peuvent encore s'écrire, en posant f"'(w) = Fu), 
[x= fa — u^)y(u)du, 
(10^) y eJ + uw?) ¥(u)du, 
Zo f 2 (udu; 


on obtiendra done les nappes réelles de la surface minima réelle la plus 
générale en posant ' 


pc 8i f (1 — u^) (u)du, 
(11) (mecs K fi + u)yuy(u)du, 


= R f2uÿ(u)du, 


Qu 


(u) désignant une fonction analytique quelconque de ». Rappelons 
encore que la variable # est, dans le systeme employé par Riemann, 
laffixe du point de la sphere qui est l'image sphérique du point de la 
surface minima répondant à cette valeur de «. 

Imaginons que lon imprime un déplacement autour de l'origine a 
la courbe minima représentée par les équations (10) et (10’). Que de- 
viennent les fonctions f(w), &(w)? La réponse à cette question se trouve 
dans l'ouvrage déja cité de M. DarBoux (p. 304). J'ai donné aussi une 





' WEIERSTRASS. Monatsberichte der Berliner Akademie, p. 612, 855; 1866. 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 141 


méthode un peu différente de celle de M. Darsovx pour traiter la méme 
question, dans un Mémoire Sur les surfaces qui admettent tous les plans 
de symétrie d'un des polyèdres réguliers." Yl est vrai que je supposais les 
rotations réelles, mais la méthode reste la même pour les rotations ima- 
ginaires. Voici le résultat auquel on est conduit; soit 


mv + ^ 


pot 
la substitution linéaire qui correspond à ce déplacement, et soient g(v) 
et G(v) les fonctions qui remplacent f(w) et F(w). On a 


g(v) ae ‘(= + =) (pv + q) 


pv + q 0 
mv +n 9? 


Hiv — (nr —n 
en) 5 m ow 
ou 


À — mq — np. 


Supposons d'abord que l'on applique à la courbe /'un déplacement 
réel; la surface minima réelle correspondante subira le méme déplace- 
ment. J'ai admis cette proposition comme évidente dans le Mémoire que 
je viens de citer; mais il est bien facile de la démontrer en toute rigueur. 
Soit /' la courbe minima représentée par les équations (1) et soit 7° la 
courbe minima qui s'en déduit par une rotation réelle autour de l'origine. 
Cette courbe /; sera représentée par des équations de la forme 

X, = aX+ OY + cZ, 

Vos WX BY + ez, 
AO Ket DT HER, 
a,b,c,«, etc. etant les coefficients d'une substitution orthogonale, qui 
par hypothèse sont tous réels. La surface minima réelle 5, que l'on 
déduit de /° sera donnée par les équations 
“= RX, se akhX + ORY + cRZ, 
y, = RY, = WRX + URY + RZ, 

— RZ RX + L'RY HERZ, 

sème 


Annales de 1 Ecole Normale supérieure, 3 série, t. 4, p. 251; 1887, 


x 


142 E. Goursat. 

ou encore 
w= ax + by+ ce, 
y, = am- + by-r c'e, 


2 = wa + Uy + cz; 


ces formules mettent en évidence le résultat annoncé. Nous pouvons 
donc énoncer le théorème suivant: 
Si on remplace dans les formules (11) Su) par 


EE j 4 
m, -—nw/ (m, —mn,wu) 


, ; ‘ inh 2 
ee + em + nn)" 


m, et n, désignant les imaginaires conjuguées de m et de m, les nouvelles 


0 


formules représentent la méme surface minima rapportée à des axes différents. 


4. Il ne nous reste plus qu'à étudier l'effet d'un déplacement ima- 
ginaire appliqué à la courbe minima. D'après les propositions combinées 
des paragraphes 2 et 3, nous pouvons méme nous borner à considérer 
l'effet d'une rotation autour d'un diametre réel de la sphere. Supposons 
que nous ayons pris ce diametre pour axe des z; alors la substitution 
correspondante à cette rotation sera de la forme 


Mes eu 


k et 0 étant réels (on peut méme supposer k > 0). Cette rotation peut 
: ] 


encore être décomposée en deux: 1° une rotation réelle dun angle 9 


o 


autour de Oz; 2? une rotation imaginaire caractérisée par la substitution 


u = ks, 
ces deux rotations pouvant d'ailleurs être effectuées dans l'ordre qu'on 
voudra. Comme la rotation réelle ne fait que déplacer la surface ini- 
nima, nous n'avons en définitive. qu'à examiner la rotation imaginaire 
définie par la substitution 


u == ku,, 


ou Ak est réel et different de + 1. 


Soient 2, ,734,,,,7, les coordonnées rectilignes de deux posi 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 143 


tions correspondantes du même point avant et après le déplacement. On 
a d'une manière générale 


a, = aa + af + «^7, 
f, = ba + Ug + by, 
Ca Ge C7, 


n 


a,b,c,a,... étant les coefficients d'une substitution orthogonale dont 
on trouvera les valeurs en fonction de m,n,p,q à la page 34 de 
l'ouvrage de M. DarBoux. Dans le cas actuel, ces valeurs s'obtiennent 
bien aisément. On a en effet, d’après les formules (5), 





n sts I — v, as V(Y + uv) Sie s ER 
: uw —V, ? f u,—v, | /1 u — v, 
u v 
ou, en remplaçant w, par ; et v, par "m 
k? — uv i(k? + uv uty 
b NC ue + B x-—————— z 2 
I k(u — v) 1 k (u — v) 1 U — v 


éliminons # et v entre ces équations et les équations (5), il vient: 





I + k* E —I, 
et. Sn E UE LE 
I +}? .k— 1 
f, = o - P + 1 LE 2k a, 
R$ 


Les coefficients @,b,c¢,a’,... auront par conséquent les valeurs sui- 


vantes: 
I + i? , k* — 1 " : 
A = —, A = — 1 E75 MUSS 
2k 2k 
k°—1 I k° | 
b —i—— : I’ TA )" — 0, 
2]; 2k 
C O, C= By. c' I 


Appliquons la rotation précédente à la courbe minima l' représentée par 


144 E. Goursat. 


les équations (1); nous obtenons une nouvelle courbe minima /' 


| repré- 


sentée par les équations: 








; 1 + i? bk -—1,, 
X, = SE A ydo Bit), 
k* — 1 I + &° 





Soient S et S, les surfaces minima réelles qui correspondent respective- 


ment aux courbes /' et 7,8 


, la surface adjointe à S; désignons par 


£$,9,252,,9,,2,; 9,, 1), "2, les coordonnées de trois points correspon- 
dants de ces trois surfaces, c’est-à-dire de trois points qui correspondent 
à une méme valeur de ¢. Les coordonnées d'un point réel de la surface 
adjointe S sont données, comme on sait, par les formules 


(12) x, = MA(t), y, = MBit), ge dS 


0 


on aura pour expressions des coordonnées d'un point de 5, 














^" k? —— . 
we EE SA) = L8), 
9, — ABl) + ASA, 
a = ach). 


Entre ces dernieres formules et les formules (2) et (12) éliminons 
RA(t), AB(t), AC(t), RiA(t), RiB(t), RiC(t); 


on arrive aux expressions suivantes pour les coordonnées d'un point de 
la surface B. 





ith Hi, 
a0 2b "2k 0 
T Dd k*—1 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 145 
Si k est positif, ce qu'on peut toujours supposer, 


les formules pourront s'écrire 


on posera k = e*, et 


yz, = v oosh e — y, sinh e, 





(14) 


J , = ycoshe + x, sinh e, 





2 — 2. 


Il me parait intéressant de faire remarquer l'analogie curieuse que pré- 
sentent ces formules avec les formules qui définissent une rotation, dans 
le sens ordinaire du mot, 
d'ailleurs purement formelle. 


autour de l'axe des 2. 


Cette analogie est 

On arrive rapidement au méme résultat au moyen des formules de 
M. Werersrrass. Si la courbe minima /'a pour fonction caractéristique 
S(u), la courbe /\ aura pour fonction caractéristique ^5 (kw) et les trois 
surfaces S, S,, S, seront données respectivement par les groupes de for- 
mules ci-dessous: 


u 8t f (1 — u^) (w)du, 
VE A = 8 fig L-Eouw)gw)du, 
| = 8 f 2u¥(u)du; 
l E & f (1 — u^)m(u)du, 
Saar == Kf — (1 + wg (w)du, 
| P R f 2iuy (u) du; 
z = Af (1 — ve) v)de, 
S, jy, = Sfi + v)kty(o)de. 
CRE 8 f 2vk*iy (ev) dv. 


Des deux premiers groupes on tire 


(u)du =- 


af 


S f i (u)du =~ - 


(eta mathematica, 11, Imprimé le 


Kir Ho 


+y Pre DER \ at 
—— , SR | iu (u)du = — ; 


28 Janvier 1888, 


: sR | uw w(u)du = 


* 


146 E. Goursat. 


les expressions des coordonnées x, ,Y,,2, peuvent encore s'écrire, en 


1 
posant kv = u, 


Do kii f S (w)du — Hf ue (udu, 
D ks f iyu) du En LR fau Su) du, 7 
i R f 20 (w) dut, 


et, en éliminant les intégrales, on retrouve précisément les formules (13). 

Pour abréger le langage, je dirai que la surface 5, est une surface 
dérivée de S; jappellerai l'axe réel autour duquel s'effectue la rotation 
de la courbe minima /' axe de dérivation et la constante réelle k para- 
mètre de dérivation. Si on se donne la surface S, l'axe et le paramètre 
de dérivation, la surface dérivée 5, n'est pas entiérement déterminée; on 
sait en effet que la surface adjointe d'une surface minima donnée, n'est 
pas completement définie de position. Cette surface peut subir une trans- 
lation quelconque ou être remplacée par sa symétrique relativement à 
l'origine des coordonnées. Lorsque la surface S, subit une translation, 
les formules (14) nous montrent qu'il en est de même de la surface S). 
Si 5%» % changent de signe, cela revient à changer le signe de c 
dans ces formules. On voit de méme que, si l'axe de dérivation se 


déplace parallelement à lui-méme, la surface S, subit aussi une transla- 


tion. Par conséquent, si on fait abstraction d'une translation quelconque, 
les surfaces dérivées d'une surface minima donnée dépendent de trois 
constantes réelles seulement, le paramètre de dérivation et les deux con- 


stantes réelles qui déterminent la direction de l'axe de dérivation. 


». Considérons le groupe des transformations homographiques qui 
conservent le cercle de l'infini; les coefficients d'une transformation de 
ce groupe dépendent de quatorze paramètres réels arbitraires. Ces trans- 
formations appliquées à une méme courbe minima donneront naissance à 
une infinité de surfaces minima réelles; nous dirons que ces surfaces 
appartiennent à une méme famille. Il est aisé de compter les paramètres 
dont dépendent les surfaces d'une méme famille. Nous avons d'abord 
les six constantes réelles provenant du déplacement réel le plus général; 


nous avons ensuite les trois paramètres réels dont dépendent les surfaces 


———————  _ __ 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 147 


dérivées. Enfin, quand on passe d'une surface minima à une surface 
homothétique d’une surface associée a la première, ou introduit encore 
deux paramètres réels. Cela nous fait en tout onze paramètres réels, au 
lieu de quatorze dont dépend la transformation homographique la plus 
générale qui conserve le cercle de l'infini. On se rend compte de cette 
différence en remarquant qu'il existe une infinité de transformations ho- 
mographiques, dépendant de trois constantes réelles, que lon peut ap- 
pliquer à une courbe minima /', sans changer la surface minima cor- 
respondante: ce sont les translations dont les composantes suivant les 
axes sont complétement imaginaires. 

La fonction caractéristique de M. WEIERSTRASS (4) restant la méme 
pour une surface minima quand on lui fait subir une translation quel- 
conque, il est naturel de faire abstraction d'un déplacement de ce genre; 
c'est ce que nous ferons désormais. Alors les surfaces minima d'une 
méme famille ne dependront plus que de huif paramètres réels. Les 
fonetions caractéristiques seront comprises dans la forme générale 


E S) 
(pu + q)* Ö pu + q/° 


A,m,n,p,q étant des constantes quelconques. Parmi ce groupe de 
surfaces il y a lieu de distinguer des sous-groupes tres-Importants formes 
par les surfaces dérivées de l'une d'elles, déplacées en outre d'une façon 
arbitraire. Par exemple, si une surface a pour fonction caractéristique 
3 (u), les fonctions caractéristiques du sous-groupe auquel elle appartient 
seront de la forme 





(mq — np) ~ | mu +n 
(pu + q» put q 


Il peut arriver que les surfaces d'une méme famille ne dépendent pas 
de huit paramètres distincts; c'est une question qui sera examinée en 
détail plus loin. 

Appelons déformation lopération par laquelle on passe d'une surface 
minima à une surface minima associée, et dilatation l'opération par laquelle 
on passe d'une surface à une surface homothétique. Pour passer d'une 
surface minima à une surface homothétique ou à une surface associée on 
multiplie la fonction caractéristique par un facteur réel a ou par un facteur 


148 E. Goursat. 


de la forme e", 9 étant réel; j’appellerai « le paramètre de dilatation et 
0 le paramètre de déformation. Il est clair que la dilatation, la déforma- 
tion et la dérivation sont trois opérations commutatives. En particulier, 
toute surface associée à une surface dérivée de S est identique à la sur- 
face dérivée de la surface associée à S, les paramètres de dérivation et 
de déformation restant les mêmes dans les deux cas. 


6. Je me propose d'étudier dans ce paragraphe les principales 
propriétés de la surface dérivée S, représentée par les équations (14), 


| = x cosh e — y, anh e, 
(14) y, — y cosh e + x, sinh e, 
on en tire 
dx, = dx cosh e — dy, sinh e, 
dy, = dy cosh e + dx, sinh e, 
dz, = 02, 


À 


dx, = fide — ydy, dy, = dx — adz, dz, = ady — dz, 


0 
a2,/,7 étant les cosinus directeurs d'une direction convenable sur la 


normale à la surface S. Remplacons dans les formules précédentes dz, 
et dy, par leurs valeurs; il vient 


L 


|^ = [cosh e — 7 sinh e|dx + a sinh çdz, 


4 


15) ^ = |cosh e — ry sinh ejdy + f sinh ede, 
dz, = da. 
Si on suppose dz — o, dx, et. dy, sont proportionnels à dx et à dy. 


Par conséquent, les sections des deux surfaces S et S, par un méme plan 
perpendiculaire à l'axe de dérivation se correspondent point par point de façon 





! Scuwarz. Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflächen (Journal für Mathe- 


matik, t. 80, p. 280; 1875). 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 149 


que les tangentes aux deux sections aux points correspondants soient pa- 
ralleles. 

Soient ds et ds, les éléments linéaires des deux surfaces, dA et dA, 
les éléments superficiels. On a 


ds; — da + dy; + dz = |cosh e — 7 sinh ¢]? (dx? + dy?) 

+ [1 + (a? + §*)sinh*g| dz? + 2 sinh g[cosh e — 7 sinh e (ade + fdy) dz; 
en remplaçant a? + 9° par 1 —7*, adr + fdy par —ydz et en réduisant, 
on trouve | 

ds; = |cosh e — 7 sinh ç|*ds”; 


comme ; est inférieur à l'unité, cosh e — ry sinh est toujours positif et 
on à en valeur absolue. 


(16) ds, — (cosh e — y sinh e)ds. 


Ainsi, les deux surfaces S et S, sont appliquées conformément l'une sur 
l'autre par le mode de correspondance qui vient d'être établi. En d'autres 
termes, deux courbes quelconques tracées sur S se coupent sous le même 
angle que leurs images sur la surface Sj. On déduit de la formule (16) 
la relation suivante entre les éléments superficiels 


(17) dA, = (cosh e — ysinhg)’dA. 


Soient a,,/,,7, les cosinus directeurs de la normale à la surface S ; 


. hd $, LI . 
en exprimant que l'on a identiquement 


a,dx, + f), du, + 7,42, — o, 


on trouve aisément 





Li) RENE EE. DUREE + 
acu S y cosh e — sinh e cosh e — y sinh e 
et par suite 
Ad 
a, = = ——» 
i cosh e — y sinh e 
j 
Ve i 
(18) P 


cosh e — y sinh e 


y cosh e — sinh ¢ 





~~ cosh e — y sinh e 


150 E. Goursat. 


Inversement on aura 








n 
a : 5303 
cosh e + 7, sinh e 
Qi Q P 
18’) p= + — — 
cosh ¢ + 7, sinh ¢ 
__ 4 nr coshg + sinhe 
! -- cosh e + 7, sinh e 


Sia, %,7 vérifient une relation linéaire telle que 


la + mB + nz + p—0, 


!,m,n,yp étant des constantes, q,, /j,, y, vérifient une relation de même 
forme et inversement. Par conséquent, /oute courbe de la surface S dont 
"image sphérique est un cercle a pour transformée sur la surface S, une 
courbe jouissant de la méme propriété, et réciproquement. 

En particulier, si 7 est constant, il en sera de méme de ;,. Donc 
les méridiens et les parallèles de la surface S ont respectivement pour 
images les meridiens et les parallèles de la surface S,. Nous appelons 
avec MixnixG meridiens d'une surface les courbes pour lesquelles la nor- 
male à la surface est parallèle a un plan vertical fixe, et paralleles les 
courbes pour lesquelles la normale fait un angle constant avec le plan 
horizontal. 

Des valeurs trouvées plus haut pour a, , A, ,7, on déduit la relation 


, Ra - A — / » A 02 

da, dx, + df dy, + dy,dz, = + (dadx + dBdy + dydz) 
dont Vinterprétation est immédiate, Supposons en effet que le point 
2,4,2 décrive une ligne asymptotique de 5; on aura 

dadx + dßdy + dydz = o 
et par suite 
da, de, + dj,dy, + dy,dz, — 0, 

de sorte que le point z,,5,. 7, décrira aussi une ligne asymptotique de 
S. Comme les lignes de courbure des deux surfaces coupent les lignes 


asymptotiques sous un angle de 45° et que les angles se conservent dans 


la transformation, on peut enoncer le théorème suivant: 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 151 


Les lignes de courbure et les lignes asymptotiques de S ont respective- 
ment pour transformées les lignes de courbure et les lignes asymptotiques 
de S. 

Si la surface S admet une ligne de courbure plane, la transformée 
de cette courbe sur la surface S, sera encore ligne de courbure de S\, 
et son image sphérique sera encore un cercle. Elle sera done aussi une 
ligne de courbure plane. De méme si la surface S admet une ligne 
asymptotique hélicoïdale, l'image sphérique de cette courbe sera un petit 
cercle, et sa transformée sera une ligne asymptotique hélicoidale de $,. 
Done: 

Toute ligne de courbure plane de la surface S se change en une ligne 
de courbure plane de S,, et toute ligne asymptotique hélicoidale se change en 
une ligne asymptotique hélicoïdale. 

Supposons que la surface S soit algébrique; il en sera de même de 
la surface S|. D'ailleurs il est clair qu'une transformation homographique, 
qui conserve le cercle de linfini, appliquée à une courbe minima, ne 
change pas l’ordre de la développable formée par les tangentes à cette 
courbe ni la multiplicité du cercle de l'infini sur cette développable. 
On a donc le théorème suivant, qui est vrai pour toutes les surfaces 
d'une méme famille et qui a été énoncé par M. Lir.! 

Etant données deux surfaces minima d'une même famille, si aucune n'est 
surface double ou si toutes les deux sont surfaces doubles, elles sont de même 
classe. Si une seule est surface double, sa classe est la moitié de celle de l'autre. 

Il n'existe pas de loi aussi simple en ce qui concerne l’ordre de 
deux surfaces. Considérons par exemple une courbe minima /' d'ordre 
m ayant un ou plusieurs points communs à linfini avec sa conjuguée 


p. 


,; l'ordre de la surface minima correspondante sera inférieur à m’. Il 
est clair qu'en appliquant à la courbe /' un déplacement imaginaire 
quelconque la nouvelle courbe /\ n'aura plus, en général, de point com- 
mun à l'infini avec sa conjuguée, et l'ordre de la nouvelle surface mi- 


nima sera bien égal à m”. 


4 La plupart des propriétés qui viennent d'être demontrees s'établis- 
sent aussi trés aisément au moyen des formules de M. Wriersrrass. Afin 





' Mathematische Annalen, t. 15, p. 476. 


152 E. Goursat. 


de n'avoir à considérer que des substitutions linéaires homogènes, nous 
adopterons un nouveau système de formules, dues également à l'illustre 
géomètre et qui ont été employées aussi par M. Darsoux.' Dans les 
formules (11) faisons un changement de variable et introduisons les no- 
tations nouvelles 

G (t) 


um —-——., 
H(t) 


S Qu) du — — iH°(t) dt; 


les équations de la surface minima S prendront la forme suivante: 


y — R fi{G(t) — H(t) | dt, 
(19) y — &f (Gt) + H*(0)]at, 
2 — Kf 2iG(t) H(t)dt. 
L'élément linéaire sera donné par la formule 
(20) ds? = 4I[G(t) G. (t) + H(t) HG.) dtdt,, 


@,(t,) et H,(t,) étant les imaginaires conjuguées de @(t) et de H(t); 
l'équation. différentielle des lignes asymptotiques deviendra 


(21) au HG’ — GH^d'^ = 0 


et celle des lignes de courbure sera de méme 


NC 
to 


RAG CHA = 0 


Considérons maintenant une autre surface minima S, donnée par les 
equations 


O23 


y, = &f (Gt) + Hi(0)dt, 


| 

De 6p Ta. (1\ d 
| 2, = a 21G, (t) H,(t)dt, 
ou on a 


G,(t) — aG(t) + bH(t), 


Lecons sur la théorie générale des surfaces, p. 453. 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 153 


a,b,c,d désignant quatre constantes telles que ad — be ne soit pas nul. 
Toutes les surfaces minima ainsi obtenues appartiennent à une même 
famille; ces surfaces dépendent bien, comme on voit, de huit paramètres 
réels. Pour avoir le sous-groupe formé par les surfaces dérivées de la 
surface (19), déplacées d’une façon quelconque, il suffit de supposer 


ad — be — 1. 


Enfin, si la seconde surface se déduit de la premiére par un simple dé- 
placement, les formules de substitution auront la forme particuliére 


sulvante 
Gr = qui—-— muy, 
vo vo 
He Sa). ne, 
vo vo 
m, et n, étant les imaginaires conjuguées de m et de n, et @ le discri- 


minant mm, + nn, 

Prenons le cas général où ad — be est égal à l'unité, et faisons 
correspondre les points des deux surfaces S et S, qui répondent à une 
méme valeur de 7. On aura 


RG? SGP HG ot 


d'ou on déduit que les équations différentielles des lignes asymptotiques 
et des lignes de courbure sont les mêmes pour les deux surfaces. En 
comparant de méme la formule (20) à la formule analogue pour la se- 


. : ds i 
conde surface on voit que le rapport j, ne dépend que de /. 
ws, 


Les formules qui précédent permettent de démontrer très simplement 
la proposition | que voici: si l’on considère sur une surface minima un 
point non singulier, le point correspondant sur toute autre surface de la 
méme famille sera également un point non singulier; si le premier point 
est un point de ramification d'ordre n — 2, il en est de méme du second. 

Supposons qu'on ait pris laxe des z parallele à la normale à la 
surface S au point considéré, de façon que la valeur de w soit nulle 
pour ce point. On pourra toujours choisir la variable / de facon qu'elle 


Acta mathematica. 11, Imprimé le 8 Février 1888, 90 


154 E. Goursat. 


soit nulle aussi pour # — o et que dans le voisinage de l'origine les 
fonctions H(t), G(t) aient respectivement les formes suivantes ' 


H(t) = P(t), 
G(t) — "^ P(t), 


P(t) et P,(t) représentant des séries ordonnées suivant les puissances po- 
sitives de / et ne sannulant pas pour { =o, et n un nombre entier 
positif au moins égal à 2. Cela posé, considérons une surface de la 





méme famille représentée par les équations (23) ou on a pris 
G,(t) = aG(t) + bH(t), 
H(t) = eG + aH; 
faisons subir à cette nouvelle surface un déplacement, ce qui revient à 


remplacer dans les formules (23) @ et H, par les nouvelles fonctions 
Geb. HE. 


n a—_—ne . Den 
RN ee el. 
\ Ü V m yo vo 





5 T" na € WW; yO 
Are mg c Em S m 
° vo yo vo vo 

Zn prenant m et n de façon que mb — nd — o, les fonctions @,(t) et 
H,(t) auront dans le voisinage de l'origine la même forme que les fonc- 
tions G(t) et H(t); d'où résulte la proposition annoncée. 


S. Revenons à la surface S, représentée par les équations (14); si 
dans ces équations on fait varier le parametre c, le point (7, , y,) décrit 
une branche de lhyperbole ayant pour équation 


(x, 4, — ys) = (2,4 — 2 y, x)* E (mr, er Ws), 


qui se réduit à une droite si l'on a xx, + yy, =o. Par suite, lorsqu'on 
fait varier ¢ de — co à + oo, tous les points de la surface variable 
S, décrivent des hyperboles ayant leurs centres sur laxe des z. Mais il 








' DarBoux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, p. 461. 


m 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 155 


est à remarquer quil ny a qu'une branche de l'hyperbole qui soit 
décrite; pour avoir la seconde branche il faudrait donner au paramètre 
k qui figure dans les formules (13) des valeurs négatives. 

On est ainsi conduit à se poser la question suivante. Etant données 
dans un méme plan perpendiculaire à l'axe des z deux courbes quelconques 
C,C,, peut-on choisir la surface minima S passant par C de façon que 
lune de ses dérivées passe par la courbe C,? Les propriétés obtenues 
plus haut permettent de répondre par l'affirmative. En effet, faisons 
correspondre les points des deux courbes C, C, où les tangentes sont pa- 
ralleles, et donnons-nous le paramètre g. Soient x ,y;x,,7, les coor- 
données de deux points correspondants sur les courbes C , C, , do, do, les 
éléments d'ares correspondants, de telle sorte que l'on ait 

dz, — dy, do, 





da dy do 


Des formules (14) nous tirons 

















da, 
— — cosh o 
y, — y cosho da 
gy = M—— — dii — dy — , 
sinh e sinh e 
do, TS 
— — eosh e 
v cosh o — a, da 
Yo = — —— , dy, — — dx ae STs 
s sinh e ; sinh @ 
posons encore 
da + dy, + dz = de’ + dy’. 
On en tire 
me oe ENS 510 vtr! i De 
da, = dovı — y", 4 = [v y do, 
ou 
de 
: eosh & 
da : 
ha sinh ¢ 


Choisissons le paramètre g de facon que y soit inférieur à l'unité; nous 
déterminons une courbe gauche C, décrite par le point de coordonnées 
S5, Vs 2,, telle que les ares correspondants des deux courbes C, C, 


sont égaux et les éléments correspondants orthogonaux, d'après la rela- 


156 E. Goursat. 


tion dade, + dydy, = o. Il existe done une surface minima passant 
par la courbe C et telle que la courbe correspondante sur la surface 
adjointe soit précisément C,. Dans les formules qui donnent cette sur- 
face il n'entre qu'une seule quadrature provenant de l'équation qui donne 
2,- St on applique à cette surface S les formules (14), on reconnait par 
un calcul inverse du précédent que la surface dérivée S, passe par la 
courbe C. 

Considérons en particulier une surface S admettant la courbe plane 
C pour ligne de courbure; 7 étant constant le long de cette courbe, le 


ds , \ ^ . . 
rapport E sera constant d'apres la formule (16) et par suite les sections 
as 


des surfaces dérivées par le plan de la courbe C seront des courbes ho- 
mothétiques à la première. D'autre part, les formules (18) nous montrent 
que 7, sera constant aussi le long de la courbe C,. On a donc le 
théorème suivant: 

Si une surface minima S admet une ligne de courbure plane C, les 
surfaces dérivées de S avec un axe de dérivation perpendiculaire au plan de 
cette courbe sont coupées par ce plan suivant des lignes de courbure homo- 
thétiques à la courbe C. 

Ainsi on peut faire dériver les surfaces qui admettent une ligne de 
courbure plane des surfaces qui admettent pour ligne géodésique une 
ligne homothétique à celle-là.! Pour donner une application de cette 
propriété, considérons l'alysséide et un axe de dérivation perpendiculaire 
à un plan méridien; les surfaces dérivées admettront une chainette pour 
ligne de courbure plane. Or, comme la dérivation change les lignes de 
courbure planes en lignes de courbure planes, les nouvelles surfaces 
auront encore toutes leurs lignes de courbure planes. Ce sont les sur- 
faces trouvées par M. O. Bonner?” Nous voyons que cette seule pro- 
priété d'une surface minima d'admettre pour ligne de courbure une 
chainette permet d'affirmer que toutes les autres lignes de courbure de 
la surface sont également des courbes planes. 

Si une surface minima admet une ligne de courbure plane C, les 
surfaces associées coupent un cylindre ayant pour section droite une 
courbe semblable à C suivant une ligne géodésique et sous un angle 





1 


Voir S. Lig, Mathematische Annalen, t. 15, p. 477. 
? Comptes rendus, t. 41, p. 1057; 1855. 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 157 


constant. Le théorème qui précède rapproché de la remarque faite à la 
fin du paragraphe 5 nous donne ce nouveau théorème: 

Si une surface minima coupe un cylindre suivant une ligne géodésique 
et sous un angle constant, les surfaces dérivées avec un axe de dérivation 
parallèle aux génératrices du cylindre coupent un cylindre homothétique au 
premier suivant une ligne géodésique et sous un angle constant.” 

En particulier, on peut faire dériver les surfaces qui admettent une 
ligne asymptotique hélicoïdale des surfaces qui passent par une ligne droite. 


9. Lorsqu'une surface minima passe par une droite réelle, on sait 
que cette droite est un axe de symétrie pour la surface, et de méme 
lorsqu'une surface minima admet une ligne géodésique plane, le plan de 
cette ligne est un plan de symétrie pour la surface. Ces théorèmes 
peuvent étre généralisés au moyen des surfaces dérivées. 

Considérons une surface minima S ayant une ligne de courbure 
plane C dans le plan des xy; soient 


= pl)  y-9(t) 


les équations de cette courbe, s larc compté à partir d'un point fixe et 





w langle constant sous lequel la surface coupe le plan des zy. La 
courbe correspondante à C sur la surface adjointe S, sera une hélice 
tracée sur un cylindre ayant pour section droite une courbe homothétique 


à C que l'on aurait fait tourner de = autour de l'origine; soient 


nla 


u = —ycosa, Y. = £COSa, 2, = g Sin «0 


les équations de cette courbe. Posons 


: I + eos w 
eis SR 
I — COS w 
on en tire 
I + cos’ > 2 COS o 
cosh ¢ = - ——, sinh ¢ = — 
i I — COS ' «c 3 I COS w 


Le paramètre ç étant choisi de cette façon, considérons la surface S 


Voir S. Liz, Mathematische Annalen, t. 15, p. 477. 


— 
x 
oo 


E. Goursat. 


représentée par les équations (14); pour tout point de la courbe C on 
] > | 


aura, d'apres les valeurs de x,, y,, 


x, a X, UM = Ys À] = O, 


c'est-à-dire que la surface dérivée S, passera également par la courbe C. 
D'autre part, les formules (18) nous donnent, pour les cosinus directeurs 
de la normale à la nouvelle surface le long de la courbe C, 


=O fif ]; = 1080; 


1 


nous voyons que les plans tangents aux deux surfaces S et 5, en un 
méme point de la courbe C sont symétriques par rapport au plan des 
ay. Imaginons maintenant que lon prenne la surface symétrique de S, 
par rapport au plan des zy, la nouvelle surface ainsi obtenue 5; passera 
encore par la courbe C et aura le méme plan tangent que la surface S 
tout le long de cette courbe. Donc, d’après une proposition bien connue 
de la théorie des surfaces minima, les surfaces S et 8; coincident. Ainsi: 

Lorsqu'une surface minima S admet une ligne de courbure plane située 
dans un plan P, si on prend la dérivée de la portion de surface située d'un 
côté du plan P avec un axe de dérivation perpendiculaire à ce plan et un 
paramètre convenable, puis la surface symétrique de cette dérivée par rapport 
au plan P, on retrouve la portion de la surface primitive S située de l'autre 
côté de ce plan. 

Cette proposition comprend évidemment comme cas particulier le 
théorème rappelé plus haut sur les surfaces à lignes géodésiques planes. 
On fait ainsi correspondre les sections des deux nappes de la surface S 
équidistantes du plan P et les points de ces deux sections ou les tan- 
centes sont parallèles. Il est aisé de trouver comment sont disposés sur 
la sphere les images spheriques de deux points correspondants M, AT 
de la surface S. Soient a, 9, y;«', f, y les cosinus directeurs des deux 
normales aux points M et M'. Au moyen des formules (18), nous ob- 


tenons les relations: 
4 Sin? 








a = oom 3 - , 
I + eos e — 27 COS w 
a sin’ 
a — — =) 
i I + cos*w — 2y eos w 
f N NX 
; 2 COS «9 — 7(I + eos o), 


^ — 


/ I + cos’w —- 27 COS « 








Sur un mode de transformation des surfaces minima. 159 


ces relations expriment, il est aisé de le vérifier, que la droite qui joint 
les deux points m(a,ß,yr) et m’(a’, f’, 7’) de la sphère va couper l'axe 


) Ce point Q 





= À 
y COS © 


Oz en un point Q de coordonnées (x 
est précisément le pole du petit cercle de la sphere qui est l’image sphé- 
rique de la ligne de courbure plane C. On peut donc dire que les images 
sphériques des deux points M, M’ sont symétriques par rapport au petit 
cercle qui est l’image sphérique de la ligne de courbure plane considérée. 
J’appelle points symétriques par rapport à un petit cercle deux points tels 
que la droite qui les joint va passer par le pôle du plan de ce cercle. 

On a un théorème analogue au précédent pour les surfaces minima 
qui admettent une ligne asymptotique hélicoïdale. Soient x ,y,2 les 
coordonnées d'un point de cette hélice, © l'angle de la tangente à l'hélice 
avec le plan horizontal; la courbe correspondante sur la surface adjointe 
sera une courbe plane représentée par les formules 


y a 


Yo = 








9 eos © ” eos m 


Cela posé, prenons pour le paramètre # qui figure dans les formules (1 3) 


la valeur négative 
I+ cosa, 


, 
I —- €0S a 





les formules (14) seront remplacées par les suivantes 


I + cos’o 2 eos o 

f UM ee + Mes 
sim ^e HU EC STIR GÀ 
I + cos’ 2 COS o 
y, = —Y—— — I, —— 
dis sin ‘© ? sin'o 


et on aura de méme pour les cosinus directeurs de la normale à la nouvelle 
surface 
— asin’o 
4 = 
I + cos’o 27 cos e 
ze — fg sin’ 
l1 I + cos". — 27 COS w@ 
7(1 + cos*w) — 2 cos w 
D Tre 


ee p 
I + COS © — 2y COS o 


160 E. Goursat. 


Si on applique ces formules à un point de lhélice on aura 
%, =%, Yi = Y & = 6, 


PME — &, P 


= — f, y = — cosa; 


par conséquent la nouvelle surface passe encore par cette hélice et elle 
admet le méme plan tangent que la premicre tout le long de cette 
courbe. Done les deux surfaces se confondent. Ainsi, lorsqu'une surface 
minima réelle admet une ligne asymptotique hélicoïdale, les deux nappes de 
la surface se déduisent l'une de l'autre par une dérivation convenable, l'axe 
de dérivation étant parallèle aux génératrices. du cylindre. Les points cor- 
respondants sont dans un même plan perpendiculaire aux génératrices du 
cylindre et les tangentes à la section de la surface par ce plan aux points 
correspondants sont parallèles. Les images sphériques de ces deux points 
sont encore symétriques par rapport au petit cercle qui est l'image sphe- 
rique de la ligne hélicoïdale. 


10. Nous allons appliquer les considérations qui précèdent à quel- 
ques surfaces minima. Prenons d'abord la surface du neuvième ordre 
d'ExxEPER, que l'on obtient en supposant que la fonction (uw) se réduit 
à une constante réelle; toute surface de la méme famille aura une fonc- 
tion caractéristique de la forme 


a a WE A 
iw) (m + nu)" : 


Ces surfaces dépendent par conséquent de quatre constantes réelles seule- 
ment. Il est aisé de reconnaitre que toutes ces surfaces sont semblables 
à la surface primitive. En effet, faisons subir à la surface minima ayant 
pour fonction caractéristique la fonction précédente le déplacement qui 
correspond à la substitution linéaire 


mv --n. 


? 
M, — nov 





la fonction caractéristique de la surface minima dans sa nouvelle position 
se réduira à une constante ae", a et b étant réels. La surface est done 


homothétique à une surface associée à la surface d’ENNEPER, et on sait 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 161 


que cette dernière est superposable à ses associées. Du reste, on se rend 
compte de ce fait a priori, si on remarque que la surface d'ExxEPzEn est 
la seule surface minima algébrique à lignes de courbure planes et que, 
dans une dérivation, les lignes de courbure planes se changent en lignes 
de courbure planes. 

Considérons en second lieu la famille de surfaces minima à laquelle 
appartient lalysséide. Si on prend pour axe des z l'axe de l'alysséide, 





. 2 m . ji I A 
la fonction caractéristique sera ~3; toute autre surface de la méme fa- 


u 


mille aura une fonction caractéristique de la forme 


d ou «2f 
Cr a) (a Le p» ’ «rr? 





un des facteurs u — a, u — ( pouvant se réduire à l'unité. Ces surfaces 
dépendent donc de six paramètres arbitraires réels. D'une manière gé- 
nérale, on peut dire que cette famille se compose des surfaces minima, 
non algébriques, à lignes de courbure planes, et des surfaces associées à 
celles-là. Pour obtenir les surfaces dérivées de l'alysséide, supposons 
laxe de dérivation perpendiculaire à un plan méridien et prenons cet 
axe pour axe des z. Les expressions des coordonnées, d'un point de l'alys- 
séide auront la forme suivante: | 


€ = GJ, 





y = a cos À cosh p, 





2 — a sind cosh p, 


A et y étant les paramètres des lignes de courbure. ‘On aura de même 
pour la surface adjointe 
+ m. 





~ 


y, = asinAsinh pi, 
| 2, = — acosAsinh u. 


Appliquons à cette surface les formules générales (14); nous trouvons 
pour les coordonnées d’un point de la surface dérivée 


|^ = ap cosh e — a sin À sinh p sinh e, 
y = a cos À cosh y cosh e + aA sinh e, 
| 2, = a sin À cosh a; 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 8 Février 1888, 21 


162 E. Goursat. 


si on divise par acosh¢ et qu'on pose tgh e — h, ces formules devien- 
nent: 


| = py — hsnAsmhyp, 
i, = cos À cosh p + hà, 
| 2, = Vı — A sin Àcosh p. 


Il est aisé de reconnaitre qu'elles sont équivalentes aux formules données 
par M. DarBoux (loc. cit. p. 315). Le plan tangent a pour équation 


X sinh — Y cos + Z pun. cosh u — — 


Vi h? VI — M 











h sin À | 


= } sin À — hà cos + p sinh p — cosh y. 


D'une maniere générale, proposons-nous de déterminer toutes les familles 
de surfaces minima qui dépendent de moins de huit paramètres réels. 
Cela revient à chercher les fonctions ¥(w) telles que les fonctions 





A ~ (mu + =) 
(pu + q)* Ü e. + q | 


qui paraissent dépendre de quatre constantes complexes, ne dépendent en 
réalité que d'un moindre nombre de constantes. Fil en est ainsi, la 
fonction précédente sera identique à elle-même pour une infinité de va- 
leurs des paramètres A,m,n,p,q, formant une suite continue. En 
particulier on pourra prendre pour ces paramètres des fonctions continues 
d'une variable ¢ telles que l'on ait identiquement 


À u ER sr ) 
(pu + q)* (5) \puty m (wu í 


ur 


et nous supposerons de plus, pour fixer les idees, que pour la valeur 
t= 0, on a 
A — 90 — q-— It, n = D = O: 


Egalons à Zéro la dérivée de la fonction précédente par rapport au pa- 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 163 


rametre ¢; il vient, en désignant par 4’, m', n', p', q’ les dérivées de 
A,m,n,p,q 





A'(pu + q) — 4ACp'u + q) a (mt + =) 
(pu + 9) D pu q 


mu + =| 


us AEN [(m’u + n')(pu + q) — (mu + m)(p'u + 4 18 Mese: pu + 2j 


(pu + q) 


Cette relation est satisfaite identiquement si on a 


A p q m’ n 
gA Ty ug qup ow 
ou 
dear Umum he. 
A: uH Di zy d, == m, i n, | 
A,,m,,",,p,,q, étant les valeurs des paramètres pour une valeur par- 


ticulière ¢, de la variable ¢. Ce résultat était évident a priori d'après 
l’homogénéité de la fonction caractéristique. Laissant de côté ce cas 
singulier, faisons ¢ — o dans la relation précédente; nous voyons que la 
fonction &(u) doit satisfaire à une équation différentielle de la forme 


S (u) qau +b — — 
SG) au® + ou + d 


a,b,c,d étant des constantes indépendantes de w. [L'intégration ne pre- 
sente aucune difficulté. Nous distinguerons plusieurs cas: 
1°. Soit «Z0; si l'équation 


au? + cu + d — o 
a deux racines distinctes a, 8, l'équation pourra s'écrire 
1j ‘(w) k k + 4 


et on en tire 


Y 
(A) (uw) = C uw A 


164 E. Goursat. 


Soit @20; si l'équation au” + cu + d =o a une racine double 
a, on aura 








t + x . a 
(wu) u— 4 — (w— a) 
On en tire 

C : 
B CS = — pt—4. 
(B) Su) hio ds 


3°. Soit a—=0,bczZo. On aura 


S(u) _ kh 








Fu) a en 
et par suite 


(6) g(u) = C(u — ay; 


4. Soit a—=0o,c—0o,bZo. L'équation différentielle devient 


SQ) 
eu Im k, 
Su) 

et on en tire 

(D) (uw) Ce“; 


59. Soi do 0750, "Onuaura 


Il est visible que les formes (C) et (E) ne sont que des cas particuliers 
de la forme (A) 


1 (u m a) 


BU — Cs gent 


qui caractérise la famille de surfaces minima dont fait partie la surface 
ayant pour fonction caractéristique 


— À k 
Bu) = u; 


cette dernière surface est applicable, comme on sait, sur une surface de 
révolution ou sur une surface spirale. Comme cette surface est super- 
posable ou semblable à ses associées, il était certain a priori que la fa- 


mille de surfaces minima dont elle fait partie ne pourrait dépendre de 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 165 


huit paramètres réels arbitraires. Si k est quelconque, le nombre de ces 
paramètres sera égal à 6; il sabaisse jusqu’à 4 pour la surface d*ENNEPER. 

Les formes (B) et (D) sont ellesinémes des cas particuliers de la 
forme suivante 


mu+n 


cette fonction $(w) ne dépend que de trois constantes complexes. Elle 
reprend en effet la méme valeur si on remplace m,n,p,gq par 


km + 4kp.Lk , kn + Akq Lk , kp, kq, 


k étant une constante quelconque. Si on fait subir à la surface minima 
qui a pour fonction caractéristique la fonction précédente un déplacement 
réel convenable, il est facile de démontrer qu'on peut la ramener à avoir 
pour fonction caractéristique une fonction de la forme 


au+b+ci 


Yu) =e s 
a,b,c étant réels. 


11. Imaginons que nous ayons pris un axe de dérivation quelconque 
passant par l'origine, faisant avec les axes de coordonnées des angles de 
cosinus qa,,b,,c, et soit ©, le paramètre de dérivation. Les formules (16) 
et (17) deviennent | 





(16’) ds, — (cosh, (aa + 0,8 + cr) sinhe,]ds, 
a dA, = [cosh g, — (aja + 0,8 + ¢,7) sinh e;]’dA. 


Supposons que nous ayons pris cinq surfaces dérivées d'une même surface 
S, avec des axes et des paramètres de dérivation quelconques. Entre les 
LB. 
7, ds; par suite, entre les longueurs des arcs correspondants de ces cinq 


\ 


cinq formules analogues à la formule (16’) nous pourrons éliminer a 


surfaces il existe une relation linéaire et homogene à coefficients constants. 
Il peut arriver d'ailleurs qu'on ait une relation de cette espèce en prenant 
moins de cinq surfaces. Considérons par exemple quatre surfaces dé- 
rivées d'une méme surface par rapport à quatre axes situés dans un 
méme plan que nous prendrons pour plan des rz; les formules analogues 
à la formnle (16 ne contiendront plus que « et 7 et, en éliminant a, 7 


166 E. Goursat. 


et ds on aura une relation lineaire et homogene entre les longueurs des 
arcs corréspondants de ces quatre surfaces. 

Prenons encore trois surfaces dérivées de la première suivant un 
méme axe, que nous prendrons pour axe des z; on aura les trois relations 


ds, = [cosh g, —;sinhg, |ds, 
ds, = [cosh e, — r sinh g,]ds, 
ds, == [cosh e, — ysinh g, ]ds. 
On en déduit 
sinh (¢, — ¢,)ds, + sinh(g, — ¢,)ds, + sinh(g, — ¢,)ds, = o 


et par suite 


s, sinh(¢, — ¢,) + s,sinh(¢, — ¢,) + s, sinh(¢, — e) = o. 


On verra de méme, en partant de la formule (17’), qu'il existe une re- 
lation linéaire et homogene à coefficients constants entre les aires cor- 
respondantes: 1° de dix surfaces dérivées, lorsque les axes et les para- 
mètres de dérivation sont quelconques; 2° de sept surfaces, lorsque les 
axes sont dans un même plan; 3° de quatre surfaces dérivées suivant 
un méme axe. 


12. La plupart des considérations précédentes s'appliquent, avec 
quelques changements, aux surfaces minima imaginaires. Soient /', 7° 
deux courbes minima quelconques représentées par les équations 
X, = 24,(z), 


— 2B(t), pli = eB (2), 
E 2C(t), l = 26m) 





I == Uf)? 
Duk 

Iz 
et soit S la surface minima, en général imaginaire, qui est le lieu des 
milieux des cordes joignant un point de /'à un point de /°, surface re- 
présentée par les équations 
x = A(t) + AT) 
y— Bt) Dir) 
La = 00 + 69) 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 167 


Supposons que l'on applique à la courbe /' une transformation homo- 
graphique conservant le cercle de l'infini, et une autre transformation de 


A 


méme nature à la courbe /;. On obtient deux autres courbes minima 


D Y. 
1,15; 


* mae TANGA |e baba 
pe by eR, Wenn br avait), 


vs PEL) ts = Cl rh 


S' iy = &(t) + B,(r), 
n = C(t) + G,(r). 


Nous venons d'étudier le cas où les deux courbes /', /\ sont imaginaires 
conjuguées et où on applique à ces deux courbes des déplacements ima- 
ginaires conjugués. Considérons maintenant le cas général; nous al- 
lons voir que les coordonnées d'un point de la surface S' s'expriment linéaire- 
ment au moyen des coordonnées de deux points correspondants de la surface 


S et de la surface adjointe S,. 


On a pour expressions des coordonnées d'un point de S, 


x, = i[A(t) — A,(r)], 
S, 1% = i[B(t) — B,()], 
E = i[C(t) — C,(r)], 
et par suite 
y — ir, = 2A(t), et ie 24.) 
y — iy, = 2B(t), y + iy, = 2B,(r), 
3 — de, = 2C(l), dt = 2C.(t). 
D'ailleurs At), 38(/), C(t) sont des fonctions linéaires à coefficients con- 


stants de A(t), B(t), C(t); de méme ,(z), (7), €,(+) sont des fonc- 


tions linéaires à coefficients constants de A,(r), R,(r), C,(r). Par suite 


a’, y', 2' sexprimeront linéairement au moyen de x ,y,4,7,,4,,2 


0° 


168 E. Goursat. 


Je suppose maintenant que les deux transformations appliquees aux 
courbes /', /\ se réduisent à deux déplacements indépendants l'un de 
l’autre. Faisons correspondre les points des deux surfaces S, S' qui ré- 
pondent aux mêmes valeurs de ¢ et de c; alors les lignes de courbure et 
les lignes asymptotiques se correspondent respectivement sur ces deux surfaces. 
On le démontre facilement en prenant les équations de ces surfaces sous 
la forme générale qui précède. Désignons pour abréger par J’, BY, C’, 
A", BY, C"; Ay, BL; C1, Ay By, Cy? les dérivées de 4, B,C; A, Boe, 
prises par rapport à / et à c respectivement. Des relations 


Hoc ursus c 
AA + BR + CO — O 


on tire 











A’ B 7; 
Bere CA AOS angu S pma 
posons 
ZuD no Die ACNEE WEN 
eg ana 4 EXE LEE 
Soient 
a BD ar 


a br eu 


les coefficients d'une substitution orthogonale de déterminant + 1; des 
égalités précédentes on tire 





ab" — ia" A’B" — B' A") + (b'e"— c'b'XB'C"— 0 B") + (ca — a'e"(0' A" — A’'0") 


ft) LL / 
I(t) = aA 4- b B' +c 


| (VA + b B' + cO a" A" + v B" 4 c" 07) — (a A' -b"B' + "Ca A" + UB" eC") 
0 a A' 4-b.B' -- cC' 











On voit done que /(/) est un invariant relativement à toute substitution 
orthogonale de déterminant + 1 effectuée sur les fonctions A, B, C. 
De méme, si on pose 

A,B, — B,A, 


Bic, — CB; CAS — AC 
i) FRERES ETS 








L(t) = a 


1\ 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 169 
I(t) sera un invariant relativement à toute substitution orthogonale de 
déterminant + 1 effectuée sur les fonctions A,, B,, C,. On sait que 
l'équation différentielle des lignes asymptotiques de la surface S est 
] , ! 
va LAN [AES ho A Aes A, 
T EDUC Wen | QAGHINBA 3b ONE deo o, 
T | | , i » 
(8^ Gz (o: | | C, C" C. 


ou, en développant et en supprimant le facteur commun 4’A;+ DD; -- C'C;, 
Do ie) der == 
I(t¢)dt* — I(r)dr* = o. 
De méme l'équation différentielle des lignes de courbure ser: 


dx dy de 
Cole lM M E © 


du dv dw 


ou 
u = BC, — CB, v = C'A, — AC, w= À'B; — B'À;; 


en développant et réduisant les termes semblables, il vient pour cette 
équation 


I(t)di? + I(r)dr" = o. 


Puisque Z(t), Z,(7) sont des invariants relativement à toute substitution 
orthogonale de déterminant + 1, on voit aussitôt que ces équations sont 
les mêmes pour les deux surfaces S et S’: d'ou résulte la proposition 
générale énoncée plus haut. 

Ce théorème se démontre aussi trés simplement au moyen des formules 
de M. Weirersrrass. Regardons les deux courbes minima /', 7° 


1 
les arêtes de rebroussement des deux développables enveloppes des plans 


comme 


| (1 — u^) X -- i(1 + ww) Y + 2uZ + 4f(u) — 0, 
LG — ui) X — i(1 + w)Y + 2wZ + 4f(() = 0; 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 16 Février 1888 99 


170 E. Goursat. 


la surface minima S sera représentée par les équations 


x ih — u’) (u)du Hf — Ut) Bi (em) dey, 
dy =a ke +) F(a) du — fit + 45) i (a) dut, 
2 = fau (a) du + far (n)du, 


ou 


Les lignes de courbure et les lignes asymptotiques seront données par 
les équations différentielles 

ay (wu) du? — F,(u;)dui — o, 

Flu)du? + Fılm)du? = o. 
Si on suppose maintenant que les courbes J’, 1 subissent des déplace- 


ments, les fonctions Œ(u), ¥,(w,) sont remplacées par des fonctions G(v), 
G,(v,) de la forme suivante 


TEN. cde ee 
m | Doi 2 (pu + qs’ 





f ~ (mv, + n,\(mg, — np) 
6.(v.)— & 171 ) u e 
(n) Ale +4/ stg) 7 


et les équations différentielles des lignes de courbure et des lignes asymp- 
totiques deviennent respectivement 


6 (»)dv* — 6, (v,) det = o, 
G(v)dv? + G,(v,) dvi = 0; 


ces équations sont identiques aux premicres où l’on aurait fait le change- 
ment de variables 


put gq?’ 1 Po + 





mv + n mv, +n, 
{= a ee 


Nous voyons de plus que, si on connait l'image sphérique d'une ligne 
de la première surface, pour avoir l'image sphérique de la ligne corres- 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 171 


pondante de la seconde surface, il suffit de faire la transformation pré- 
cédente. Une telle transformation change les cercles en cercles; par suite 
toute ligne de courbure plane se change en une ligne de courbure plane 
et toute ligne asymptotique hélicoïdale en une ligne asymptotique he- 
licoïdale. 

Pour donner un exemple de la transformation générale qui précède, 
reprenons la surface représentée par les équations (14) |$ 6]. Rien n'em- 
pêche de supposer que la surface S d'ou lon part est imaginaire ainsi 
que le paramètre k; les propositions qui ont été démontrées sont encore 
vraies dans ce cas. La surface S étant considérée comme le lieu des mi- 
lieux des cordes qui joignent un point d'une courbe minima /' à un 
point d'une autre courbe minima J’, on obtiendra la nouvelle surface 
minima représentée par les équations (14) en faisant subir aux deux 
courbes J’, 1 des rotations égales et de sens contraires autour de l'axe 
Oz. Je dirai encore que la nouvelle surface est dérivée de la premiére. 


- 13. Nous avons vu au paragraphe 6 que deux surfaces minima dé- 
rivées l'une de l'autre jouissaient de la propriété suivante. Si on considere 
les sections de ces deux surfaces par un méme plan perpendiculaire à 
laxe de dérivation et qu'on fasse correspondre les points de ces deux 
sections ou les tangentes sont paralléles, on obtient un mode de corres- 
pondance entre les deux surfaces tel que l'angle de deux courbes quel- 
conques tracées sur l'une d'elles est égal à l'angle des courbes corres- 
pondantes sur l'autre surface. On exprime ce fait en disant que les 
deux surfaces sont appliquées conformément lune sur l'autre. Cette pro- 
priété appartient aussi aux surfaces de révolution. Soit Oz l'axe de la 
surface et 
2 = ¢(2) 


l'équation de la meridienne dans le plan des wz; l'élément linéaire sera 
donné par la formule 


ds? = g*(2)dw’ + [1 + ¢'(2)] dz’, 
w désignant l'angle d'un plan méridien avec le plan «Oz. Soit maintenant 


r= &(2) 


172 Ki. Goursat. 
la meridienne d'une autre surface de révolution, dont l'élément linéaire 


sera donné par la formule | | 


dsj = d’(2) do’ + [1 + 9?(2)] dz". 
Faisons correspondre les points des deux surfaces qui répondent aux mêmes 
valeurs de z et de w; pour que ces deux surfaces soient appliquées con- 
; un : : ds 
formément l'une sur l'autre, il faut et il suffit que le rapport ds ne 
S 


dépende que de « et de z, c'est-à-dire que l'on ait 


I + e" (z) ERE. d'(z) 


(24) gos | 


ez) J(z) 








La premicre surface étant donnée, on connaitra la fonction ¢ et on aur: 
pour déterminer @ une équation différentielle du premier ordre admettant 
g comme intégrale particuliére. Il est aisé d’interpréter la relation (24); 
soient C, C' les deux méridiennes du plan z0z, M et M' deux points de 
ces courbes situés sur, une méme parallele MM'P à l'axe Ox. La for- 
mule (24) exprime précisément que la projection de MP sur la normale 
MN à la courbe C est égale à la projection de M’P sur la normale 
M'N' à la courbe C7. 

Supposons en particulier que la premiere surface soit un cylindre 
de révolution; alors ¢g(z) = «a et l'équation (24) devient 





I + Q''(z) — oka), 


a 


L'intégrale générale est 





C= (2) L ; e" + e* |; 


elle représente des chainettes égales tangentes à la droite x — «a, qui est 
alors une intégrale singuliére. Ceci nous conduit à quelques propriétés 
curieuses de l'alysséide. Si on considere l'alysséide et le cylindre cir- 
conscrit suivant le cercle de gorge et qu'on fasse correspondre les points 
des deux surfaces situés sur une méme droite perpendiculaire à Oz et 
rencontrant cet axe, les angles se conservent dans ce mode de corres: 


pondance. Les lignes asymptotiques de l'alysséide ont pour transformées 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. LYS 


des hélices inclinées à 45° sur les génératrices du cylindre, de sorte que 
ces lignes asymptotiques sont à l'intersection de l'alysséide et des hélicoides 
ayant Oz pour axe et égaux à l'hélicoide adjoint. 

Si on développe ensuite la surface du cylindre sur un plan, on ob- 
tiendra une carte de la surface de l'alysséide dans laquelle les lignes de 
courbure seront représentées par deux faisceaux rectangulaires de droites 
paralleles. 


14. Nous sommes ainsi amenés à l'examen de la question suivante 
de Géométrie, par lequel je vais terminer. Etant données deux surfaces 
quelconques S, 8, on prend les sections des deux surfaces par un plan 
variable parallèle à un plan fixe, et on fait correspondre les points de 
ces deux sections ou les tangentes sont parallèles: dans quels cas obtient- 
on une application conforme des deux surfaces lune sur l'autre par ce 
mode de correspondance ? 

Je prends le plan fixe pour plan des zy et j'appelle x ,y,2; 2, ,%,,2 
les coordonnées de deux points correspondants des deux surfaces: ces 
coordonnées sont supposées exprimées en fonction de deux variables in- 
dépendantes a, . D'après l'énoncé du probleme, on aura d'abord la 
relation 


E day + dyi + d£ = k(da? + dy? + de’). 


D'autre part, le plan tangent à la premiére surface aura pour équation 


‘Oy oz 902 OY , ./92 9x Ox 92" 
OP pie NL 
( ) 9499 0a0/f, ten y | ) 


; Ox oy Oy 9x 
Z— 2)\(——=—-= =) = 9, 
Fons ) 2499 3498 


et le coefficient angulaire de la trace de ce plan sur le plan des wy sera 


Oy 22 02 OY 
9493 dade 
9x 92 92 Q4 


174 E. Goursat. 


et on aura une expression toute pareille pour le plan tangent a la se- 
conde surface. On en tire une nouvelle équation de condition 


XI o ou of, 


Oy oz 04 2) | 92 Ox, Ox, =) | (2Y, % 02 OY, ) ‘Oz Qv du =) 
0433 dad98 a ( ( 


0003 9493/9498 Bun) 


ou, en développant, 


ez ) Ee 9y, dy dw " (= 2 /dady, dy dx, =) 
Be og eg 9, E 35) = 04 9a 0a 
| LE. 
04 98 E 9,3 94 98 04 9/3 9u. 9/3 


Il s'agit de trouver cinq fonctions z,9,27,,9,,2 des variables a et £ 
vérifiant les relations (25) et (26). Imaginons que nous ayons pris pour 
variables « et # les paramètres des lignes de longueur nulle de la pre- 
miére surface. L'équation (25) pourra étre remplacée par les relations 


ci-dessous 








(27) 
/9a\ ? (ay? TA ee. 
++ 











(28) 3 E 
I (23) + (55) — O 
veg 8) j 
Posons ^ 
ut vr v + v, 
= — ud Ti — =e , a 
ET QU — v. 
y —d——, y= I} 
d’ou 
Ww —= ZT + ly, v=, = IW, 





-1 


or 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 1 


Des relations (27) et (28) on tire 


E ou, Mm, (=) 
= ee SS  — — , 


04 94 da 04 
(29) 

udu, Mm, _ (5) 

03 9% opo) — og 


On satisfait aux équations (29) de la facon la plus générale en prenant: 





av on [5-75 
9u VA of 28 ? 
(30) (30°) 
ouo PC 9v, U, 
E C od ag TÉ 





g et w étant deux nouvelles fonctions de a et de f. Si on remplace 
T,Y,%»%, par leurs valeurs dans l'équation de condition (26), elle 
devient, après quelques réductions faciles, 


i(g—w) 


+e? 





92 92 ou du, | 
9498 ' da 38 | 








i(w—y) 
o —s [904 oz ou du, 
e e 2 | ‚| —— 6 


94.98 9f da | 





On peut satisfaire a cette équation de deux manières: 1° en prenant 
w + 9 — 0; 2° en posant 

9292 , dudu, 

0a 09 ' of da 
^ 0207 uam. 


2a 98 0a 93 


e^) E 


Cette dernière solution est illusoire; en effet, on vérifie aisément, en 
tenant compte des équations (29), que lon aurait 


où 9 
elf QUU 9j 9a 
— ’ 

du oz 


du 95 





et les équations (30) nous donneraient 


dv dv, dv du, 
94939 93 da : 


dv Oz dvdz — 
0493 0304 — 


176 EK. Goursat. 


de sorte que le point z,,5,, 4 décrirait, non pas une surface, mais une 
courbe, qui serait forcément une courbe minima. Il est aisé de g'ex- 
pliquer la présence de cette solution étrangére. En effet, si on a une 
surface quelconque S et une courbe minima quelconque J’ et qu'on fasse 
correspondre tous les points de la surface S situés dans un plan paral- 
léle au plan æ#0y au point unique de la courbe J” situé dans ce plan, il 
est évident que la relation (25) sera satisfaite puisque on aura 


da? + dyi--dz-—o 
D'autre part les quantités 


v, 92 Or, 02 Oy, 02 dy, 0% 


04 99 OR 9a! 0a 90 = 08 0a 


sont identiquement nulles et la relation (26) est vérifiée également. 
Nous voyons par conséquent que, pour avoir une véritable solution, 
il nous faudra prendre 


o+¢g=o 


et les relations (30) et (30') pourront s’écrire 








Qv ou dv, I Ou, 

oa! eg 
(31) (317) 

9v 1 ou Ov, — OU, 

o8 Ae op ^ OB 


Ecrivons les conditions d'intégrabilité 


9?v . ou OA OU I 2?u 1 OA Ou 


Ps A > ^ — A E 
2000 0008 ! a8ou duo 29008’ 








9*v, u, dA Ou, 19’, I 0A Ou, . 
909? ‘9008 "Hua  À040% 298 da ' 








on en tire les relations 


du OA du dA ' d'u 
pM ME 
90. 97 9/5 on 949,7 
(22) 
Wo Le 1 
Ou, 9 .9 94, OA . 9*u, 
+ A 2— = A(1 — A); 
04 99 0/7 04 24 9/3 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 177 


qui ne contiennent plus que les coordonnées w,u, de la premiere surface. 
Ces équations admettent toujours les deux solutions À — + 1. Les sur- 
faces S, que l'on obtient ainsi se deduisent de la surface S par une trans- 
lation parallele au plan des xy ou par une rotation de 180° autour d'un 
axe perpendiculaire à ce plan. Ces solutions étaient d'ailleurs évidentes 
a priori. 
On apercoit immédiatement un autre cas particulier oü les équations 
(32) admettent une infinité d'intégrales: c'est celui où Ja surface S est 
une surface minima. On a en effet dans ce cas 
9^, ou 


Ob 1 


— — O -— 
9a 9f : 9a 9f : 





et on satisfait aux équations (32) en prenant pour A une constante quel- 
conque. Des équations (31) on tire alors 


: 9*v 9*v, 


aoe Bu ^ 





ce qui nous montre que la seconde surface sera aussi une surface minima. 
Si on poursuit le calcul, ce qui n'offre aucune difficulté, on reconnait 
que la surface S, est précisément une surface dérivée de S avec Oz pour 
axe de dérivation. 

Prenons maintenant le cas général; les équations (32) peuvent se 
simplifier un peu en prenant pour nouvelle inconnue 2° — p. Elles de- 
viennent, en les multipliant par 24, 








Ou 9p Ou 9p 2p(1 ) ru 
y = = 20\1 — PD); 
Mr og | of ?« A ! ^ 9a 98 
ou, 9p té, ou, 9p 4 (a d'u, 
— = 20/1 — p + 
9a op ! ^ X) 2a : ! ^ 9a 9B 
T" ; \ 90 9p 
si on résout par rapport à —, =, on trouve 
9« ' og 
ou, ou Ou, 9w] 20 Hu Ou, Ou 9°u 
p —— —|z5- 20(1 — pip 2 — 
E ou 04 99 | 99 d VTT 9a08 of 9/3 9493 
pa ou 2 9%, du] 80 u, Qu u du 
- = 20(1 — o)| o —- 
94 — $a of | da : ! "|^ 92233 da 9490/9 da 








Acta mathematica. 11. Imprimé le 11 Février 1888, 93 


178 E. Goursat. 


Ecartons le cas où on aurait une solution en prenant 





2 Ou ou du du, 
D — —— —" = 
da op og Ou ? 
on auralt alors 
ov dv, 9v dv, 
— — — —i— 4) 
da og og da 


et la surface S, serait un cylindre ayant ses génératrices paralleles a Oz. 
Ce cas sera examiné plus loin. 

Si Pon veut qu'il y ait une infinité de surfaces S, correspondant à 
une surface donnée S, la condition d'intégrabilité du système (33) 








devra être satisfaite identiquement. Le calcul un peu long n’offre aucune 
difficulté et on est conduit aux conditions suivantes: 





















































, 2? | Ou, e? | Ou 
^4 —á— E —— > ® — 
(34) 9g 25 = of 9a 9/3 98 3a |’ 
9°? | Ou 2? | ou, 
22 - o — = - —— 
(35) O08 oe 3 9425 = da |’ 
du, Pu, ou du 
D NDS à PET doo N 3 3e S 979720 
(36) (: M | ou © of 940 = at du, 9 | a dudf | 
\ea) 99 oa Ou 99/ 2a op du, 
07 op 
du, du, u Pu 
(3 7) 2 ? Qu, 9 da 0403 Ce ?Qu, 9 | 98 da08 
3 : - == ) a = 
d 33) da OF ou da) of a ou, 
og - oa 
Des relations (34) et (35) on tire 
cu CU 
9 = quia h 3 EE 
| da ( )d (4 ) 38 
(38) ; 
cu CU 
- 0 a— ^ / / 
ag — fii (Bos, 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 179 


g(a) et w,(a) ne dépendant que de a, ¢(f) et ¢,(%) ne dépendant que 


; 2 2 
de 8. Si on porte ces valeurs de E 32 dans les formules (29) et 
/ 


; ie OM OU : : = 12 3% : ; 
qu'on élimine EE voit que la fonction z doit vérifier une équation 


aux dérivées partielles de la forme 


dont lintégrale générale est 


à = F[9(2) + V(4)), 


en posant: 
O(a) = fr(a)da, WB) = [r(8)d8. 


Comme les variables a et # peuvent toujours être remplacées par deux 
nouvelles variables ne dépendant respectivement que de chacune des pre- 
mieres, rien n'empêche de supposer que l'on a pris pour variables les 
fonctions (a), W(B) elles-mêmes. Alors la coordonnée z aura pour ex- 
pression 


(39) 2 — F(a + f). 
On déduit de là une conséquence importante; puisque les lignes 
a + B = Const. - a — B — Const. 


forment sur la surface deux systémes orthogonaux et isothermes, nous 
voyons que les sections de la surface S par des plans parallèles au plan 
des xy forment un système isotherme. 
Soit 
fa + À = — U^ + Bl": 


les formules (29) deviennent 


3 
(40) fata T ard TP 


180 E. Goursat. 


On en déduit 











ou, eu, 
ej ou 
Ou Mm’ 
; da 39 
et les formules (38) deviennent: 

ou, 

— = pa 

ay Pd d ß 28? 


(41) 


























du 
du, f(a + P) 2a9ß 
2428 — du fia + P) du\ ? 
on 9g 
CRT 
(a 7 04.03 
— PEE P) a+ DE; 
28 (55) 


o 


on peut satisfaire a cette relation de deux manières: 1? en prenant 





eu eu 
ca = ag" 
: : . Ou, Ou, ie à À 
mais on aurait aussi ——— 2° et la surface S se réduirait à une courbe; 
Co ej 


o 


2 en posant 





f(a + f) _ ou _ + = 
fa + PB) eae | <&™ 
0a — 98. 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 181 
La première des équations (42) nous donne aussi 


CET d'u 


das RS CET) i (B8) 


Où — 9w Fat) HA) 








Ajoutons membre à membre les équations précédentes; il vient 


9 ou ro) ou B) 
s Ula) ag leo 


sera de la forme 





o 


U 


Par consequent à 


RS) 


uaa + 8), 





on aura de méme 





les fonctions z, z, vérifiant la condition 


ra + f).r(a + B) — fla + B). 


On en tire encore 
du z(a + f) z,(« + B). 
En © + | 


94390 |. (B el 





ea) 
si les fonctions z,7z, sont des constantes, cette condition est satisfaite 
identiquement, et on retombe sur le cas déjà considéré des surfaces mi- 


. m . (a) , 
nima. S'il en est autrement, il faudra que le rapport * j; ne dépende 
Fü 


que de a + f, et par suite que 





c'est-à-dire que l'on ait 


e a) d' (e a) 


e (9) eB) 


182 E. Goursat. 


Ma OM D) . 
ea) (8) 


La valeur commune des rapports précédents sera forcément une constante 
indépendante de a et de f, et on aura 


on en tire 
pla)= ae, HA be, 


a et b désignant deux nouvelles constantes, et finalement on obtient les 
formules 


PETRA CR E 
(43) . | 
5 = pena + B 


xoc ae" x(a + ff) 
(44) 





2 =, de "Sm (a + By 
ou 
z(a + B).z,(a + f) = fla + f). 
Les relations (40) et (41) sont satisfaites et les conditions d'intégrabilité 


des deux systèmes (43) et (44) se reduisent à une seule 


, (t e" a+) — 
m(a + f) =;e “aa + f). 


On vérifie facilement que les autres conditions d'intégrabilité du systeme 
(33) sont vérifiées identiquement. 

Pour interpréter géométriquement les relations (43) formons l'équa- 
tion du plan tangent à la surface S 


A(X — x) + B(Y — y) + C(Z — 2) = o. 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 183 


On aura 


Be zx Oxo 19% Pou 2 du, ou du, 

0408 ag  29«|990 ' 938 da =A 
am À 10 ema ae™™ z(a + ) má e ( a5 3 
17305 B a Ja ap) |» 


may yee % (= du, : uw ) 
E T? eq of og a, 


à [b 
[ea Bremse + A] 


On en tire 


(Og 


A? ae p? - i) [— 47 A L'ena+® a (x ar p) Ee UE are + | 3) 
4 


eq, 


+ 8r(a + B) + A| 








Nous voyons que C et A? -- B’, et par suite ne dépendent 


VA' + B* + 0 
que de «+ ou, ce qui revient au méme, de z. Par conséquent, le 
plan tangent à la surface le long d'une section par un plan parallèle au 
plan «Oy coupe ce plan sous un angle constant. La surface admet une 
série de lignes de courbure situées dans des plans parallèles; c'est done 
une surface moulure. 


15. Ce point étant démontré, il est commode pour achever le 
calcul d'employer un autre système de variables indépendantes. Choisis- 
sons comme variables la coordonnée z et l'angle « que fait avee Or la 
trace du plan tangent sur le plan des ay. L'intersection du plan tangent 
au point M de coordonnées x,y,z avec le plan Z — 2 aura pour équation 


X cosa + Y sina = F(a, 2); 


184 E. Goursat. 


les coordonnées du point M seront données par les deux équations 


€ cosa + y sina = Fa, 2), 


on en tire 


|^ — cos a I" (a , 2) ana 
Q 
| = snaFla,2) + cos a 3 


°F 


9g? 


de — — sin al F(a ,2) + 





°F . of or 
dy = cos al F 2 = a | sin — 1008 — | dz 
J sal (a d ) t 9g? 2 25 7 a 02 ou M TO ? 


| | ee 
ds? = da? + dy? + dz? = | 2) + | da? 


2? 2? am\ 2 /2? 2 
+ 2| F(a , 2) + | BE er + L + (=) + (<=) | ae? 


“a 


Sur une surface moulure, les lignes 


Const. 





a = Consi., 2 





forment un systeme orthogonal. On doit done avoir 


et par suite Z’(a,z) devra être de la forme 
Fa, 2) = f(a) + e(2). 
L'expression de ds’ devient 
ds? = [f(a) + f"(a) + e(z) da? + [1 + e'(z)?]de. 


Pour que les courbes z = Const. forment un systeme isotherme, il faudra 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 185 


évidemment que le coefficient de da”. soit le produit d'une fonction de « 
par une fonction de z. Or cela ne peut arriver que dans deux cas: 
1% Si on a f(a) + f"(a) = a; on aura alors 


f(a) = a + C cosa + C'sina 
et la trace du plan tangent sur le plan Z — z aura pour équation 
(X — C) cosa + (Y — C") sina = ¢(z), 


en réunissant la constante a à g(z). Cette trace est constamment tangente 
à un cercle de rayon g(z) ayant son centre au point z = C,y = C'. 
La sürface est donc une surface de révolution autour de la parallele à 
Oz représentée par ces deux équations. Imaginons que nous ayons pris 
cette droite pour l'axe Oz lui-même; on pourra supposer dans ce qui 
précède f(a) = o. Considérons ensuite une autre surface dont l'élément 
linéaire est donné par la formule 


ds, = [A(a) + Aa) + e()] de + [1 + gi (2)"]de*; 


es de 
le rapport 7* ne dépendra que de « et de z si on a 





€ (2) 


Ee + fiu) + 20 lg 
I + g'(z)' 


Pour que cette relation puisse avoir lieu, il faut évidemment que 


fi(a) + fi (a) 


se réduise à une constante; on en déduira comme tout-à-l'heure que la 
seconde surface est une surface de révolution autour d'une droite paral- 
léle à Oz. Si on amène l'axe de cette surface à coïncider avec Oz, on 
pourra prendre f,(a) = o, et on retombe sur la relation déja obtenue 
directement 








2°. Les courbes z — Const. forment encore un système isotherme 
si g(z) est constant, c’est-à-dire si la surface considérée est un cylindre 
ayant ses génératrices parallèles a Oz. On démontre aisément que la 


Acta mathematica. 11, Imprimé le 6 Mars 1888. 24 


186 | E. Goursat. 
seconde surface devra étre un cylindre égal au premier à moins que le 
cylindre ne soit de révolution, cas qui a déjà été considéré. 

En définitive, il n'y à pas d'autres surfaces jouissant de la propriété 
géométrique en question que les surfaces minima et les surfaces de ré- 


volution. 





Les principaux résultats de ce travail ont été résumés dans une 
note présentée à l'Académie des Sciences le 24 Octobre 1887 (Comptes 
rendus, t. 105, p. 743). | 


Paris, Novembre 1887.. 


UBER DIE ENTWICKLUNG COMPLEXER GROSSEN 
IN KETTENBRUCHE 


VON 


A. HURWITZ 


in KÖNIGSBERG i/Pr. 


Es möge (S) ein System von Zahlen bezeichnen, welches die Eigen- 
schaft besitzt, dass die Summe, die Differenz und das Produkt irgend 
zweier Zahlen des Systems wieder Zahlen des Systems sind.” Wenn die 
complexen Grössen in der üblichen Weise durch die Punkte einer Ebene 
dargestellt werden, so wird den Zahlen von (S) ein gewisses System von 
Punkten entsprechen. Ich nehme an, das System (S) sei so beschaffen, 
dass von diesen Punkten in jedem endlichen Gebiete der Ebene nur eine 
endliche Anzahl liegt.. Daraus folgt, dass ausser der Null keine andere 
Zahl von (S) existirt, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist. Denn 
die Potenzen dieser Zahl würden sämmtlich Zahlen von (S) sein und im 
Innern des um den Nullpunkt mit dem Radius 1 beschriebenen Kreises 
liegen. Eine letzte Voraussetzung, die ich in Betreff des Systems (5) 
mache, ist die, dass die Zahl 1 dem Systeme angehört. 

Von’ einer Grösse x, ausgehend bilde ich nun die Gleichungskette: 


I I 
(1) To = a, + ae D — a> =; qj = 0, + 3 
g, 


L, = 0, + ne! 

Tn+1 
‘ Eine Theorie soleher Zahlsysteme ist in den bekannten Arbeiten von KRONECKER 
und DEDEKIND, vorzugsweise für den Fall algebraischer Zahlen, entwickelt. Vgl. insbeson- 
dere das XI. Supplement zu Diricnuer's Vorlesungen über Zahlentheorie. Dritte Auflage. 


Acta mathematica. 1l. Imprimé le 6 Mars 1888. 


188 A. Hurwitz. 


WO 4(,,0,,0,,..., 0,,... irgend welche Zahlen des Systems (S) be- 
deuten. Ich nehme an, dass sich die Gleichungskette (1) in's Unendliche 
fortsetzt, und dass alle auftretenden Grössen x,, v,,... sowie die Zahlen 
o» 0,5... endliche Werthe besitzen. Die Elimination von 2,,2;,...,4, 
aus den ersten n + 1 Gleichungen (1) ergiebt die Darstellung von x, in 


Form eines Kettenbruches, welchen ich mit 


a 


TS 
to 
—— 


To = (a, , 4, 5,4, e, dy) 2: 


bezeichnen will und über welchen ich folgende Voraussetzungen mache: 


(V) Wenn der n° Näherungsbruch mit 
Pn 

(3) cmd or on) 
n 


bezeichnet, und 


Pr n 
LT, — “= — 
(4) oT 
gesetzt wird, so sei der absolute Betrag von 0, für alle Werthe von n kleiner 
als eine endliche Grösse p, dagegen wachse der absolute Betrag von q, mit 


zunehmendem n über alle Grenzen. 


Falls alle diese Voraussetzungen zutreffen, lässt sich Folgendes er- 
schliessen: 
Erstens; Der in’s Unendliche fortgesetzte Kettenbruch 


a) 


convergirt und sein Werth ist r,. Denn der Gleichung (4) zufolge wird 
die Differenz x, — P^ unendlich klein, wenn n über alle Grenzen wächst. 


n 


Zweitens; Die Grósse x, kann nicht gleich dem Quotienten zweier 


: "s . r 
Zahlen r,s des Systems (S) sein. Angenommen nämlich es sei x, — 
so folgt 

2E. 


An — Sp, = q 
n 





Mit wachsendem » wird daher rq, — sp, dem absoluten Betrage nach 


Über die Entwicklung complexer Grüssen in Kettenbrüche. 189 


unendlich klein. Wählt man nun # so gross, dass dieser absolute Betrag 
kleiner ist als 1, so muss 
TQ, — SP, = O 


sein, weil o die einzige Zahl des Systems (S) ist, deren absoluter Betrag 
kleiner ist als 1. Es ist also 


T Pn 

7] E ELT — (7, a PACE a, = 

0 s In ( 0B 241.7 ? n) 
Der Vergleich dieser Gleichung mit (2) ergiebt x,,, = co, was der An- 
nahme alle Grössen wv,,v,,... seien endlich widerstreitet. 

Drittens: Genügt die Grösse x, einer quadratischen Gleichung, deren 

Coefficienten Zahlen des Systems (S) sind, so kommen in der unendlichen 
Reihe 


Be Pa Te 


nur eine endliche Anzahl verschiedener Grössen vor. 
Ich entwickle, um den Beweis dieses Satzes zu führen, zunächst 
einige Hülfsformeln. Bekanntlich ist 


Pn&n+1 ae Pn—1 
DIR EE 
(5) - Qnn41 + qua t 


woraus, in Rücksicht auf die Relation 


(6) Da Tn—1 EX nPn—1 = (— Ey 
folgt: 

Bee ee AOT: DEO WE 

To dn à a? s EE In- ) | 
an n+ qn 
7 ) 

Pn— (— p 
2, — = 








(cee de) 


nl In 1 


Vergleicht man diese Formeln mit der Gleichung (4), so ergiebt sich 


ae hee Iu 
u In 0, 





I An __ (— E 


n+ Qn—1 0,1 


(8) | 


190 A. Hurwitz. 


Daher ist der absolute Betrag sowohl von 


Ur ; 
I wie von an 
(n n+] (n—1 








Lai + 
stets grösser als p' wo die Grösse p von Null alle ist. Sei 
nuri 
(9) Ax* + Br + C=o 
ae Gleichung, welcher x, genügt; sei ferner. 

(10) B* — 4AC = D. | 
Dann ist z,,,, der Gleichung (5) zufolge, Wurzel der Gleichung 
A(p,z' + p.a) + Bine + nme + Qu) + €(2* +)’ = 0, 
welche in er Form | | 
(11) A'z'? + Ba --C —o 
lauten móge. Hier bezeichnen A’, B', C Zahlen des Systems (S), und 
es ist | 
(12) D'* — 44'C' = D. 
Bezeichnet nun y,,, die zweite Wurzel von (11), so.ist die Grösse 


\ PnYn+1 + D»u—1 
(13) TS 
AnYn-+ı 33 Qn—1 


die zweite Wurzel der Gleichung (9). Diese zweite Wurzel y, ist von 


der ersten Wurzel x, verschieden, weil andernfalls y, = x, Zar der 


Quotient zweier Zahlen des Systems (S) sein würde, was, wie oben gezeigt 
wurde, nicht sein kann. Aus (13) folgt: 


(— I jun 


ny T Pn > Yn inis 4nYo m Dada. 


PEN In—1Y0 — Pn—1 pe. n—1 
Yn +1 ~~ ES a 


Uber die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche. 191 


oder, wenn p, mit Hilfe. von (4) eliminirt wird: ' 


An "S PN 


aui = — De ogo ee, 
(14) oi ee 


Da nun x, — y, eine von Null verschiedene Grösse ist, die von n unab- 
hängig ist, so werden in den Gleichungen 
1 


(15) Yarı = Dee En) ne neu ee 
i In Yn+1 Qn—1 





die Grössen e, und ez; mit wachsenden Werthen von n unendlich klein. 
Die rechten Seiten der Gleichungen 





: bw Qn—1 
Ln 44 "m Yazı T Ce Tt q um b^ 
n 











[0] 


I ie ME ( I in | 
&n+1 Yn+1 Ln+1 In—1, 
sind daher, wenn » eine bestimmte Grenze überschreitet, dem absoluten 
Betrage nach grösser als o", wo po” eine um beliebig wenig kleiner als p’ 
angenommene Grösse bedeutet. 

Durch Auflösung der Gleichung (11) findet man aber 
+ VD I I + VD 


UE Von as hye 
n+1 Yızı A Un+1 Yn+1 C 





und also: ist, von einem bestimmten Werthe von » ab, 


. PAT Mers 
) 


p > 


Folglich können 4’, C' und B’ = JD + 44/0’, sowie 


! Für den Fall der Entwicklung reeller Grössen in Kettenbrüche, deren Theilnenner 
gewöhnliche reelle positive ganze Zahlen sind, hat Herr HERMITE diese Gleichung zum 
Beweise der periodischen Entwicklung quadratischer Irrationalitäten verwendet. (Bulletin 


des sciences mathématiques, 2%° série, t. 9, pag. 11.) 


192 A. Hurwitz. 


von diesem Werthe von » ab, nur noch eine endliche Anzahl verschie- 
dener Werthe annehmen. Es sind also in der That, wie behauptet wurde, 
in der Reihe 


nur eine endliche Anzahl verschiedener Grössen vorhanden. 

Indem ich mich nunmehr den Anwendungen der entwickelten Sätze 
auf besondere Zahlensysteme (S) zuwende, bemerke ich vorab noch Fol- 
gendes: Die Voraussetzungen (V) sind sicher erfüllt, wenn der absolute 


4 : B I 
Betrag von: -*". beständig grösser als 1 und der absolute Betrag von — 


An-ı Ln 
beständig kleiner als % ist, wo k eine positive Zahl kleiner als 1 be- 
zeichnet. In der That wächst dann der absolute Betrag von q,, der Un- 
gleichung |q,]>|-1| zufolge, mit w über alle Grenzen, und es ist 
wegen (8), 

















I qd) I . 
= = ale k, 
0, — Qn—1 Un+1 
also der absolute Betrag von 6, beständig kleiner als FU 


(S) ist das System der complexen ganzen Zahlen m + ni 
Es sei « = u + iv eine beliebige complexe Grösse. Ich setze 
x = a (uw + iv’), 
wo die complexe ganze Zahl a so bestimmt werden soll, dass 


I 


—- <wW< und == 


t3 | 
D — 


wird. Auf diese Weise wird jeder complexen Grösse x eine bestimmte 
complexe ganze Zahl a zugeordnet. Bildet man nun, von irgend einer 
Grosse x, ausgehend, die Gleichungskette 


(16) To = 07 = y "E Ti x a, + e oe 8 9 T, — a, + a) 


Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbriiche. 193 


wobei allgemein a, diejenige complexe ganze Zahl bezeichnet, welche der 
Grösse x, zugeordnet ist, so ist zunächst 


(17) SU. (n=1, 2,8, ...) 


Der Beweis der Ungleichung |g,| |4,.;| ist nicht ganz einfach; er 
erfordert eine genauere Untersuchung der Zahlenreihe a,, a, ,.... Behufs 
dieser Untersuchung zerlege ich die Zahlenebene durch die Geraden 


I 
Vn 








w— + ; ce 


N Iw 


ER 


D | Ur 


y IAN v=+-, + 


D [02 


TE 


t3 lun 


ren 


D | = 


in unendlich viele Quadrate. Dann wird jeder Grösse # + iv diejenige 
complexe ganze Zahl zugeordnet sein, welche den Mittelpunkt des die 


Eno. 


a À 
me: 
N 





Grösse u + iv enthaltenden Quadrates bildet, wobei von den Rändern 
des einzelnen Quadrates nur diejenigen zu dem Quadrate rechnen, welche 
man vom Mittelpunkte aus nach der Richtung der abnehmenden u, bez. 
v erblickt. Da x, — «, in dem Quadrate mit dem Mittelpunkte o liegt, 





: I 
so wird z, = dem Raume R angehören, welcher ausserhalb der 
7% 


Kreise (1), (ö), (— 1), (— ?) liegt.' Hier habe ich, wie in der Folge 
stets, mit (4) denjenigen Kreis bezeichnet, welcher den Radius 1 und den 





' Die Begrenzung von À ist in Figur I. scharf gezeichnet. 


r2 
on 


Acta mathematica. 11. Imprimé le 6 Mars 1888. 


194 A. Hurwitz. 


Punkt a zum Mittelpunkt hat. Wie x, werden auch 59 .. in den 


> 9 
3) 


Raum À fallen, und daher können die Zahlen a,,a,,a,,... keinen der 
Werthe o, +1, 4-i, — 1, — i, annehmen. Aber die Zahlenreihe a,, 
@,,@,,... unterliegt ferner noch gewissen Beschränkungen, welche sich 


auf die Aufeinanderfolge der Zahlen beziehen. Sei beispielsweise 


+ HD EE. 
Dann muss r, sowohl dem Baume R als auch dem Quadrate mit dem 
Mittelpunkte 2 4- ; angehören. Folglich kann z,,, = ———— nicht in 
5 Un — An 


denjenigen Raum eintreten, welcher aus À von dem Kreise (— 1 + i) 
ausgeschnitten wird. Daher ist die Folge 4, = 2+ 7,4,,,;=—1+7 
unmöglich. Man erkennt sofort, dass solche Beschränkungen in der Auf- 
einanderfolge der Zahlen «& immer und nur dann bei der Zahl a, 
beginnen werden, wenn das Quadrat mit dem Mittelpunkte a, von der 
Begrenzung des Raumes ZA durchschnitten wird. Für den vorliegenden 
Zweck genügt es von den Zahlfolgen a,,@,;,,... die folgenden als un- 
möglich zu constatiren, was an der Hand von Fig. 1. ohne Schwierigkeit 



































geschieht. 
Tabelle unmöglicher Zahlfolgen. 
$$$ $$ —_— | 
d, RE gu gem 
| 
| 11 —2,22, —1+7.—2+7,—1+2 1 +; | 
IT. | 2,21, I+i — 2 + 2i 

| III. 2+i,1+2i — 2 + 2i I +i 
| IV. | —2,2i, —1+i 2 + 2i | 
| v. —2+7,—1+22 | 2-24 |—2+21|/1-+% 
Wenn ferner a, = 2 +i oder 1 + 2/ ist, und die folgenden Zahien 
Anis s 0,1257, Any, haben abwechselnd die Werthe — 2 + 22 und 
2 +2i, so kann a,,, nicht gleich 1 +7 sein; ebenso wenn a,— —2 +1 
oder — 1 + 25 ist und die folgenden Zahlen 6,,,, 4,,5, ..., 0,43, haben 
abwechselnd die Werthe 2 + 2; und — 2 + 22, so kann a,,54,, nicht 


gleich 1 +7 sein. Die einfachsten Fälle hierfür sind in der Tabelle 


unter III. und V. aufgenommen. 


oy 
D 





Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbriiche. 195 


Dies vorausgeschickt gehe ich nun zum Beweise der Ungleichung 
lan] > 14 | über. Ich setze 


= 
(18) k, p 


dann ist, der Gleichung 4, = 4,9, , + 4,2 zufolge: 


I I 


(19) k, Sur k, = d. No TÉL: k, = ®, E UE 





und es ist zu beweisen, dass beständig 


(20) 


ist, oder dass der Punkt %, beständig ausserhalb des Kreises (o) liegt. 
Dies trifft nun für 4,- offenbar zu; ich will annehmen, dass 4, 5, , ..., 5, , 
der Ungleichung (20) genügen, dagegen k, nicht mehr und werde zeigen, 





k,\ > 1 


— 


dass diese Annahme auf einen Widerspruch führt. Da hk, = a, + — 


bs 

im Innern des Kreises («,) liegt, so muss «a, einen der Werthe 1 + i, 

I —4,— 1 --é, — 1 — i besitzen; denn in allen anderen Fällen würde 

k, ausserhalb des Kreises (o) fallen, also der absolute Betrag von #, 

grösser als 1 sein. Ich betrachte nun nur den Fall a, = 1 + i, da die 
drei übrigen Fälle eine ganz analoge Behandlung gestatten. 

Dach. =.a — im Innern der beiden Kreise (0) und (1 + i) 


n n 
Kn 


liegt (den Rand des ersteren Kreises eingeschlossen, was durch das an (0) 


gesetzte Komma angedeutet werde) so fällt er das Innere der Kreise 
Tn—1 


(o) und (—1—à);" folglich k,_, = «, ,4- ie das Aussere des Kreises 


(o) und in das Innere von (— 1 +). Daher kann a, , nur einen der 
Werthe —2,—2+i%,—1+ 24, 2i,—1+i%,—2-+ 2i besitzen; 
Ver, i A I 

denn in allen übrigen Fallen wird der Kreis (a, ,) welcher «a, , + Eu 
in sich aufnimmt, nicht in das Innere des Kreises (— 1 + ?) eintreten. 
Von jenen Werthen ist aber, der aufgestellten Tabelle zufolge, nur der 
"Ee I 

letzte zulässig. Es muss also a, , = — 2 + 2i sein. Da nun a,_, + E 
n—? 


1 


Die betreffenden Gebiete sind in der Figur I. schraffirt. 


196 A. Hurwitz. 
im Innern der beiden Kreise (— 2 + 2i) und (— 1 + i)'' liegt, so folgt 


. I . . 
weiter, dass k, , = a, , +-— ausserhalb des Kreises (0) und im Innern 


Ün—3 
des Kreises (1 + 2)’ liegt, und hieraus, wieder mit Rücksicht auf die Ta- 
belle, a,_. — 2 + 2i. So fortfahrend erkennt man, dass die Zahlen 
Q, , 4,_1,... die Werthe haben müssen: 


orc p Any = — 2 + 2i, a, 4 — 2 = 21, 
Marz == 21, Qu — 2 an 20, 


Bildet man aber mit diesen Zahlen die Grössen À,, k,, K,, ... , k, ,, so 
zeigt sich, dass sie sämmtlich in den unendlichen, von den Kreisen 
(1 + 7), (1 —2),(— 1 +2), (— 1 — $) begrenzten Raum fallen. Daher 
wird |5,| — 1 sein, was der Annahme widerstreitet. In ganz entsprechen- 
der Weise ergiebt sich ein Widerspruch, wenn man voraussetzt a, habe 
einen der Werthe 1 —i,— I+i,—I-—1. 

Hiermit ist ausser Zweifel gesetzt, dass |%,| beständig grösser als 1, 
also stets 

[al > 1o] 


ist. Auf Grund der vorausgeschickten allgemeinen Entwicklungen kann 
man nunmehr offenbar den folgenden Satz aussprechen: 


Man entwickle eine beliebige complere Grösse x, in einen Kettenbruch, 
indem man 


I I 
Do =a —; %, = a, 2 Le = a, To 
2 T8 
setzt, wo die ganze complexe Zahl a, immer so bestimmt ist, dass sowohl 
der reelle Bestandtheil, wie auch der Factor von i in der Differenz x, — a, 
I — — 
zwischen == und += liegt. Dann wird dieser Kettenbruch 1° stets gegen 


den Werth x, convergiren, 2° immer und nur dann abbrechen, wenn x, eine 
complexe rationale Zahl ist, und 3° stets periodisch werden, wenn x, einer 
Gleichung zweiten Grades mit ganzzahligen complexen Coefficienten genügt, 
ohne Wurzel einer eben solchen Gleichung ersten Grades zu sein. 


Das betreffende Gebiet ist in der Figur I. schraffirt. 


Uber die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbriiche. 197 


Ich brauche kaum besonders hervorzuheben, dass auf diesen Satz 
die Theorie der quadratischen Formen im Gebiete der complexen ganzen 
Zahlen gegriindet werden kann, dass insbesondere aus ihm ohne Weiteres 
die Lösung der Prrv’schen Gleichung 


?—- Du! x: 


folgt, unter D eine gegebene nichtquadratische, unter ¢ und # zu bestim- 
mende complexe ganze Zahlen verstanden. 

Ausser der hier betrachteten giebt es übrigens noch andere Ketten- 
bruchentwicklungen im Gebiete der complexen ganzen Zahlen m + ni, 
für welche der obige Satz ebenfalls gilt, worauf ich indessen an dieser 
Stelle nicht eingehen will. 


Ir 


(S) ist das System der complexen ganzen Zahlen m + np 


Ich verbinde den Punkt o mit den umliegenden Punkten 1,1 + p, 
p,—1,—1—p,—p und errichte in den Mitten der Verbindungs- 
linien die Lothe. Diese bilden ein reguläres Sechseck mit dem Mittel- 
punkte o. (Vgl. Fig. 2. Von den Randpunkten rechne ich nur die 
links von der Axe der rein imaginàren Zahlen liegenden zu dem Sechs- 
eck. Wird in entsprechender Weise um jeden Punkt m + np ein solches 
Sechseck construirt, so überdeckt die Gesammtheit der letzteren die com- 
plexe Zahlenebene einfach und lückenlos. Einer beliebigen complexen 
Grösse x ordne ich nun diejenige ganze Zahl m + no zu, welche den 


' Vgl. die Andeutung in DiriCHLETs Abhandlung: Recherches sur les formes qua- 


dratiques à coefficients et à indéterminées complexes. CRELLE s Journal, Bd. 24, pag. 330 

? Der Euclidische Algorithmus für die Zahlen m + no, welchen Herr BACHMANN 
in seinem Buche: die Lehre von der Kreistheilung pag. 189 benutzt, ergiebt eine andere 
Kettenbruchentwicklung wie die, welche ich im Texte definire. Die erstere Entwicklung 
legt eine Eintheilung der Ebene in Rechtecke zu Grunde, deren Mittelpunkte die ganzen 


Zahlen m + no sind, deren Seiten den Axen der reellen bez. rein imaginären Zahlen 


ne et : 
parallel laufen und bez. die Lüngen ! und 3 V3 besitzen. 


198 - A. Hurwitz. 


Mittelpunkt des die Grösse x aufnehmenden Sechsecks bilde. Um eine 
beliebige Grösse +, in einen Kettenbruch zu entwickeln setze ich 
: I I I 
(21) w, =a, +—, % =a, +—, D, = AF my) vues 

v, v. 
wobei allgemein a, 
I 


— in das um den Nullpunkt abgegrenzte Sechseck fällt, so gilt die Un- 


Un 


die der Grösse x, zugeordnete Zahl bezeichnet. Da 








gleichung 
I / 
(22) Eu MC ad V-- (n53159 48 505) 
Un — 3 
DIRES 
Um zu beweisen, dass der absolute Betrag von k, = -3^ stets grösser ist 
Qqn—1 
. : I : 
als 1, bemerke ich zunächst, dass x, = ——— in den ausserhalb der 


€a—1 — An—-1 
Kreise (1),(1 + 0), (p), (— 1), (— 1— o), (— p) liegenden Raum R 


fallt' Hieraus folgt, dass die Zahlen a a,,..- keinen der Werthe 


a; 3.2 


1 >) 








O,I,I-Jd-0,0,—1,— I — p, — p annehmen können. Die Begrenzung 
des Raumes AR durchsetzt, wie aus der Figur 2. ersichtlich ist, zwölf 


' Die Begrenzung von F ist in Fig. 2. scharf gezeichnet. 





Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche. 199 


Sechsecke. Daher giebt es wieder bestimmte Reihenfolgen der Zahlen 
Ons 0,415 %Mm4o,-+-, Welche in der Gleichungskette (21) nicht vorkommen 
können. Für den vorliegenden Zweck genügt es zu bemerken, dass die 
Zahl «,,, nicht den Werth 2 + p erhalten kann, wenn «, einen der Werthe 
— 2,9 — 1,29 besitzt. Angenommen nun in der Reihe der Grössen 


I I I 

(23) b= a +, k, = 4, uM ok hk, = d, WE 
0 f In—1 

(wo k, = co, k, = a,) sei k, die erste deren absoluter Betrag nicht grösser 

bee er anf 

ist als 1. Da a, +-=— im Innern des Kreises (a,) liegt, so kann a, nur 


kn — ] 


einen der Werthe 


EE De 9 MEDIE ee, RN 
haben. Ich knüpfe die weitere Betrachtung an die Annahme 


Gin 2) 0, 


da die übrigen fünf Fälle auf ganz entsprechende Art erledigt werden 
können. Ist a,=2-+ , so liegt 5, im Innern der Kreise (0) und (2 + p). 
wobei wieder das Komma bedeutet, dass der Rand des betreffenden 


= k, — a, im Innern der 


n 


: I 
Kreises mitzurechnen ist. Daher liegt ; 
In—1 


Kreise (o) und (— 2 — o), folglich &, , ausserhalb des Kreises (o) und 
im Innern oder auf dem Rande desjenigen Kreises, welcher über der 
Strecke — 1... als Durchmesser beschrieben ist. Da nun 


I 
E, T Ay. 1 + k 
Vn—2 


im Innern von (a,_,) liegt, so muss «, , einen der Werthe —2,0— 1,2» 
besitzen. Dies ist aber unmöglich, da dann die auf 4, , folgende Zahl 


dt 


n 


nicht gleich 2 + o sein könnte. Da somit die Annahme | 4, | — | | 
1 In 1 


sei < ı auf einen Widerspruch führt, so gilt die Ungleichung 


(24) |a. | > = | 


für jeden Werth yon n. Aus (22) und (24) folgen nun mit Hilfe der 


200 A. Hurwitz. 


oben bewiesenen allgemeinen Sätze wieder die fundamentalen Eigenschat- 
ten der hier betrachteten Kettenbruchentwicklung: 


Die Entwicklung einer complexen Grösse ergiebt stets einen convergenten 
Kettenbruch, welcher dann und nur dann abbricht, wenn die entwickelte Grösse 
der Quotient zweier ganzen Zahlen m + no ist, und welcher periodisch wird, 
wenn die entwickelte Grösse einer irreductibeln quadratischen Gleichung ge- 
nügt, deren Coefficienten complexe ganze Zahlen der Form m + np sind. 


Dieser Satz kann wiederum als Fundament dienen für die Theorie 
der quadratischen Formen im Gebiete der complexen ganzen Zahlen, 
welche aus dritten Einheitswurzeln zusammengesetzt sind. 


Königsberg '/Pr. den 29. November 1887. 


201 


SUR LES GROUPES TRANSITIFS 


DONT LE DEGRÉ EST LE CARRÉ D'UN NOMBRE PREMIER 
PAR 


EL. SYLOwWw 


à FREDERIKSHALD. 


Si l'ordre d'un groupe est divisible par une puissance d'un nombre 


premier, telle que p", mais non divisible par p"*! 


, cet ordre est, comme 
on le sait, de la forme p"z(np + 1); le groupe en contient un autre de 
l'ordre p"z; celui-ci contient à son tour un troisième groupe, de l'ordre 
p", auquel toutes ses substitutions sont permutables; enfin le nombre des 
groupes de l'ordre p" contenus dans le premier groupe est np + 1. La 
détermination compléte de ce dernier nombre, dans les divers cas qui 
peuvent se présenter, serait évidemment d'une grande importance pour 
la théorie des substitutions; malheureusement elle parait être d'une ex- 
tréme difficulté. Mais il sera possible de trouver des résultats plus ou 
moins intéressants sur la forme du nombre # par rapport aux modules 
D,Dp'p',...; à cet effet on n'aura qu'à poursuivre le raisonnement qui 
ma servi pour la démonstration du théorème cité (Mathematische 
Annalen, t. 5). Pour faire un premier pas dans cette direction, je me 
propose, dans le travail présent, de considérer le cas le plus simple, 
celui des groupes transitifs du degré p*. 

Je designerai par @ un groupe transitif du degré p', par O son 


t 


ordre, que je supposerai divisible par p*'?, mais non divisible par j***; 


le nombre a peurra donc avoir les valeurs 0,1,2,...,p—1. Je 
désignerai de plus par J un groupe de l'ordre j''" contenu dans G, et 


par JZ le plus grand groupe contenu dans 6 dont les substitutions soient 


Acta mathematica 11. Imprimé le 25 Février 1888, 926 


202 L. Sylow. 
permutables a J. L'ordre du groupe H sera dénoté par p*t?.z, où par 
conséquent z est premier a p; on aura donc 


OQ = p**?z(np + 1). 


Je déterminerai dans un premier paragraphe la forme de J, dans 
un deuxième celle de H; dans les deux paragraphes suivants je m'oc- 
cuperai du nombre »; enfin dans le dernier je ferai des résultats trouvés 
quelques applications, qui se présentent au premier coup d'oeil. 


§ 1. Détermination du groupe I. 


1. D'après le lemme de Cavcuv le groupe symétrique du degré 
p^ contient un certain nombre de groupes de l'ordre p’*', tous isomorphes 
entre eux. Notre groupe J est contenu dans un de ces groupes de CAucHY, 
et en disposant convenablement des indices, nous pouvons choisir ce der- 
nier comme nous voudrons. En désignant les éléments par le symbole 


U 


m 


les indices x et y étant pris suivant le module p, nous pouvons donc 
supposer que les substitutions de J soient contenues dans l'expression 


vr mra +ay+tay’ +...+ 4.9" 
y ytd | 
qui d’ailleurs peut être remplacée par cette autre 
IT % +a, + ay + aly), + ay), +... + a (y) 
g- pub 


ou, pour abréger, on a fait 





y(y — 1Xy — 2)...y—i+ 1) 


(a) = 
Si = Dis 2 a Sie | 


En posant 


ce «ctataytal(y), +... + a (y) 


p 


| 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 203 


on trouve 


$ 2 +ma, + a, (y 4- m),— (y),] ++ a, (y 4m), ,— 


y y+m 
Si l'on fait m — p, on a, pour i € p — 1, 


(y + m), — y, zz o (mod p), 
et 


m-—1 


2 dy x A tah xm I, 


0 
donc 


Ges 


* 


Unum 





a? a a 


m—1 


(y), | sr 0, 2 y ok n 


Ainsi l'ordre de la substitution U est égal à p ou à p* suivant que a, , 


est congru à zéro, ou non. 


Parmi ces substitutions toutes celles qui ne changent pas l'indice y, 


sont échangeables entre elles. En faisant 


Ix EE fy) | le z+e(y) 
S- FE 
| UT, | Ee gb 
on trouve 
æ 2 +fy—ı) æ 2 +fv+ 1) 
(1) TS | is TST = 
| y y | y y 
d'ou 
Ale cd, taf m gx e FU) fo 12 
(2) N iT ST = 1 ISTS-! 
$$ Vy 
a mX-4f(y-r11)— fy) 
(3) S-TST- — TST-8^ = 
m. M 
ie m + fly + 1) — f(u) + ely) 
(4) SITS = | 
| 


ly y+ 


204 L. Sylow. 

2. Le groupe G étant transitif, / le sera également (voir le Me- 
moire cité plus haut, n° 4); done J contient des substitutions de chacune 
des formes S et 7 du numéro précédent. Or, si 8 désigne le plus grand 
degré des fonctions f(y), les formules (2) et (3) font voir que le groupe 
I contient aussi des substitutions dans lesquelles les fonctions f(y) sont 
des degrés 3— 1,3 — 2,..., 1,0. On en peut conclure qu'on a f — a, 
et qu'en faisant 


CES ER reus 
toutes les substitutions de J sont contenues dans l'expression 
079^... Ota, Ts 
d'ailleurs les substitutions 9, peuvent être remplacées par les suivantes 
8,—|x.9 -€ 4d (|. 


Si lon désigne, pour un moment, par g, le groupe dérivé des substitu- 
tions 0,, 0,,..., 0,, et par I; celui qui dérive des substitutions de g, et 
de T, on voit (équat. (2) et (3)) que les substitutions de J; sont échan- 
geables entre elles à des substitutions de g, , pres. Donc si l'on a « — o, 
toutes les substitutions de J, sont échangeables entre elles; si «> o, les 
0» sont les seules substitutions de /, qui solent échangeables a toutes 
les autres. 


Transformons maintenant le groupe J par la substitution 
U—=\g,y $*--(y),9|. 
Les substitutions 0,, 9, conservent leurs formes, au contraire on a 
U-TU—|z,y zd gy) + dy + 1) —9(),9 +: 
Or, si en développant suivant les fonctions (y),, on a 
c(y)—= a, + ay + ay), +. + 44e + Gp Y hp 
on peut faire \ 


e + 1) = d (y) = La, nm EE a (y) t+... + a, EUM 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré dun nombre premier. 205 


ce qui donne 


Va | T,Y % a 5 3 (9) 4 = - [e T*. 


Si maintenant «a, , est différent de zéro, transformons de nouveau par la 


substitution 
V=\a | J bx, Y |» 


qui évidemment est permutable au groupe g,; on trouve 


ARR uy te eee | = T°; 


done en faisant «a 


p10 —=1, (mod p) on a 


SRE NU mpg y 


Par un choix convenable des indices, la substitution 7 peut donc être 
réduite à l’une des deux formes suivantes 


ET EE my il, CT CU G+ (yh sy Hi. 


On voit que, pour « — p — 1, on a deux espèces de groupes de l'ordre 
q^, qui different seulement par la forme de la substitution ¢; dans la 
premiére espéce toutes les substitutions sont de l'ordre p; dans la seconde, 
celles qui ne font pas varier l’indice y sont de l'ordre p, les autres de 
l'ordre p?. Quand a — p — r, les deux cas ne donnent qu'un seul groupe, 
puisque le groupe 9, , contient la substitution 


$,;,—|2,9y t-F(y)asy 
Tous les groupes d'ordre p* contenus dans G étant isomorphes, cette clas- 
sification peut aussi étre appliquée aux groupes du degré p’ en général; 
nous comprendrons dans la premiere espèce les cas où « — p — 1. 
Des équations (1) on déduit les suivantes: 


(5) P 9 = OF OF. 0758, (it = D}, 


(6) LU eee at Gs Oa 10,07 = 0,00... 0,6 


L be 


En considérant les groupes de la seconde espece, il est quelquefois 


206 L. Sylow. 


commode d'employer un seul indice, pris suivant le module p*. A cet 
effet on peut faire 
cp + y=é (mod p^, 


en ayant soin de remplacer toujours y par le plus petit nombre positif 
qui lui est congru (mod p); on trouve ainsi 


(== Et, 


? =0=0=|€ E+.p|, 








E E+ p(&),l, = e EE pe 


S 
| 
T, 


i 


Evidemment le groupe / est non-primitif, les éléments qui répondent 
à une méme valeur de y formant un systeme; de plus si a > o, les 
éléments ne peuvent étre répartis en systémes que de cette maniére, 
comme on le volt aisément. 

Un groupe d'ordre p^** contenu dans G est complétement déterminé, 
quand on connait les substitutions qui sont échangeables à toutes les 
autres, et qu'on connait de plus de quelle maniére les systémes sont per- 
mutes entre eux. Supposons, en effet, que le groupe J’, contenu dans 
G, contienne la substitution = r,y cv--Fa,y| échangeable à toutes 
les autres, et que celles-ci déplacent les systèmes conformément à la sub- 
stitution y y + b. Evidemment les substitutions de 7' sont comprises 
dans l'expression 


T= | x ‚y «ut ey) T E b . 


Or G, contenant 7 et ¢, contient 7'./^^, substitution qui peut être écrite 


sous la forme suivante 
Le ms ms boys. 


Si maintenant S n'était pas contenu dans J, le groupe qui dérive de S 
et des substitutions de J serait d'un ordre p^*", ou m > 2; donc $, et 
par suite 7, font partie de J, c’est-à-dire que I’ coincide avec I. En 
particulier, si G appartient à la seconde espèce, /' est complètement de- 
termine par une substitution quelconque de l'ordre p°. 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 207 


§ 2. Détermination du groupe H. 


9. Considérons d'abord les groupes de la premiere espèce, en ex- 
cluant préalablement les cas où « — o. Les 6$ étant les seules substitu- 
tions de I échangeables à toutes les autres, une substitution S de H doit 
transformer 9, en 05; par suite on doit avoir 


S—|z,y ax d e(y) e) | 


g et v, dénotant des fonctions entiéres du degré p — 1 au plus La 
transformée de ¢ par S doit étre une substitution de /, ce qui donne 
les conditions suivantes: 


gy + 1) — e() b + bn) leno +... le) | | 
(mod p). 
e,(y + 1) — e(y)zc | 


La seconde congruence donne 





gi(y) = ey + d; 


en remettant cette valeur dans la premiére et développant suivant les 
fonctions (y),, on a un résultat de la forme suivante 


gy + 1) — ¢(y)=b + biy + By) +... + By), 
d'ou 
e(y) S e(o) + by + bio) + by) +. + uae 
Done toute substitution de // est comprise dans l'expression 
le am 5 + by + by +... + by 
y cy+d 


par conséquent elle est le produit d'une substitution de / par une autre 
de la forme suivante: 


T=\s,u ay, cy 


Evidemment les substitutions 7' forment un groupe, que nous désignerons 


par- 


208 L. Sylow. 


Quand 4 — p — 1, on a 6 = 0; nous démontrerons maintenant que, 
sans nuire à la généralité, on peut supposer b= o, méme si a<p— 1. 


(ES — 


En supposant c =a (mod p) on trouve 
PI 1 


X eat Dx + mbce Kati Ya 


qe 


et en faisant m égal au plus petit exposant pour lequel c" — 1 (mod p): 
rpm | b «1 
qma sanae 
a 


Or, si lon n'avait pas b=o, la substitution 7” serait de l'ordre p, et 
a+3, 


par conséquent l'ordre de H serait divisible par p**t*; cela étant contre 


l'hypothèse, on conclut que si dans une substitution 7 de H’ on a 


a—cit!l=o, 
on a en méme temps 
DO: 


Supposons maintenant que 17’ contienne les deux substitutions 


r = 4-1 = yy A 2 - 44,71 Pon 
PSG, y San cp ch T, —|2$,9y av4 5y" ,e«y[ 
on trouve 
+1 +1 
| - : ab; — ayb + beit — Diet pe 
Pe a,c**! | 


| 


iY Jy | 





Cette substitution, qui est étrangere a J, doit étre identique, car autre- 
ment son ordre serait p, ce qui est impossible; done on a 


/ b; b 


(7) me zii (mod p). 
41 — (4 a — 6 





Cela posé, transformons le groupe H par la substitution 


U-—|z,y stm ,y|, 
qui est permutable a J; on trouve E 
OU 'TU= z,y ax 4- [b — rla — c"**)y^*' , cy); | 





Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 209 


donc en faisant 
b 


3 
gee 
on a 


Ur Se cT C T NITE 


de plus la congruence (7) fait voir que les transformées de toutes les 
autres substitutions de H’ prennent la méme forme. 
Il est donc démontré que, pour les groupes de la premiere espèce, 
a étant > o, on peut supposer le groupe H’ formé de substitutions de 
la forme 
[ey aa, ep IDE 


p 1 
h 
h étant un diviseur de (p — 1)’. 


l'ordre de H’ est donc 


2 
) 
—, le nombre 


l EAE 
, celui de H est pe 


4. Passons aux groupes de la seconde espèce. Quand. à = o, le 
groupe J contient seulement les puissances de la substitution 


t — |& & + 1| (mod p? 


par suite toute substitution de /7 est le produit d'une substitution de J 
par une substitution de la forme |&, a£ |, où a est premier à p, et ap- 
partient à un exposant qui est premier à p. Donc en désignant par 9 
une racine primitive du module p’, les valeurs de a sont de la forme 
0", par conséquent l'ordre de H est égal à 


h étant un diviseur de p — 1. 
En général toute substitution U de H doit vérifier l'équation 


(LU = US, 


S étant une substitution de /. En faisant 


on a ainsi la condition suivante: 


e(& + 1) — e(£) =m, + plme(é) + m,(g&)* +... + m (g$)'] (mod p’). 


Acta mathematica, 11, Imprime le 27 Février L888 21 


210 L. Sylow. 
On en tire 

o(& + 1) — ¢(&) =m, (mod p), 
d'où 

o(&)=m,é + e(o) (mod p). 
En remettant ce résultat dans la congruence primitive, elle prend la forme 
e(E+ 1)—¢( =n, + pln e+ n8 +... +n,E) (mod p. 
Comme nous avons supposé 4 < p — I, on en tire 
c(£) z a& + b+ plage + ae +... + 0,48") (mod p?) 


Done toute substitution de H est le produit d’une substitution de J par 


une substitution de la forme suivante 
T=|E a& + poe"). 
Ces substitutions forment un groupe //'. En supposant 
a^z:i (mod p) 
on a 


ge ge oma coe 


si l'on fait m egal au plus petit exposant pour lequel a” = 1 + ph, il vient 


9 


T"—|£& E+ plhg + bma"— £1 





on en conclut que ^ — o, car autrement 7” serait de l’ordre p sans étre 


contenu dans /. Ainsi la congruence 
«= 1 (mod y) 


entraine celle-ci 


b=o (mod p). 


Or je dis que le groupe H ne peut contenir qu'une seule substitution 


pour chaque valeur de 4. En effet, sil contient 


ryy | £- im Gr -L rt x PT re 
1 £ a& + pb" | et T,=|: a£ 4- pe, 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 211 
il contient aussi 


uses 


Jy 
+- 
xs) 


a2+] 


qui, étant de l'ordre p, doit être contenu dans J; donc on a b, =h (mod y), 
‘yy 
RS T7. | 
Par conséquent les valeurs du nombre « sont les puissances d'une 
certaine valeur primitive; donc les substitutions de H’ sont les puissances 
de l'une d'elles, T, ; 


"E soit 


rmm | = 1 
T=E a€-rpES |. 
En transformant H par la substitution 

UE LE + eer % 


I west pas change, et l'on a 


D o — We mE Bold, ra aR IE 
Or, si D, n'est pas congru à zero (mod p), a, — aj*' ne l'est pas non 


plus; nous pouvons done faire 


b, 
ape Fr (mod p), 


ao — Ao 





ce qui donne 


On peut done supposer que les substitutions de H’ soient de la forme 
Ne d’autre part toutes les substitutions de cette forme contenues 
dans G appartiennent à H’. Sia>p, faisons a — a' + a"p, où a' c y; 
on à 





im = i - I - a Fa 
EN C ee lel ce pos» 
| 


et comme le dernier facteur appartient a /, on peut remplacer a par @ 
)— I : j***(p — 1) - 
Donc l'ordre de H' est ——, celui de H est — — h étant un 
t ( 


diviseur de p — 1. 


212 L. Sylow. 
Il est facile d'exprimer les substitutions de H par deux indices 
pris suivant le module p. En effet, ayant 
T—=|E ac) (mod p’), 
et faisant 


Sr 


pt + y. y LP; 


ay — y, (mod p), 5» 0; » «p, 


. 


et désignant enfin par E(m) le plus grand nombre entier contenu dans 
la fraction m, on a 


ag — apr + ay — ape + vE(T) FT 
) 
done 


r— x ax + a) m x ax + i) | 


y | |y dy | 


(mod p). 


9. Il nous reste à considérer le cas ou le groupe I ne contient 
que les p? substitutions 


ry rta,y+d}. 


Le groupe H dérive évidemment des substitutions de / et de celles d'un 
certain groupe /7' d'ordre x, dont les substitutions sont de la forme 


\o,y CH toa qu PU OUI 


Inversement // renferme toutes les substitutions linéaires de G. I faut 
donc trouver tous les groupes contenus dans le groupe linéaire homo- 
gene à deux indices dont les ordres sont premiers à p. La résolution 
de ce probleme, beaucoup plus compliqué que celui que nous avons 
traité, peut être tirée de la determination des groupes finis, contenus 
dans le groupe linéaire infini a deux variables, faite par M. Jorpan 
dans son Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algé- 








Ainsi M. GIERSTER sen est servi dans son énumeration des groupes partiels 


contenus dans le groupe linéaire fractionnaire à un indice (Inauguraldissertation, Leipzig 


1881). 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 213 


M. Jorpax repose entierement sur la circonstance qu'un groupe fini ne 
peut contenir aucune substitution de la forme 


2£,9 a(x + dy), ay|, 

À étant différent de zéro, son ordre ne pouvant être fini; pareillement, 
dans notre problème, l'ordre d'une substitution de cette forme est toujours 
un multiple de p; elle ne peut donc appartenir à H’. En lisant la 
déduction de M. Jorpan, on voit aisément qu'on obtient toutes les formes 
du groupe H’, en remplaçant les variables x et y par des indices pris 
suivant le module p, et changeant les équations de condition auxquelles 
doivent satisfaire les constantes, en des congruences (mod p) Dans lénu- 
mération suivante les indices 5,7 sont ou réels, ou des nombres imagi- 
naires et conjugués de la forme a + be, e étant racine d'une congruence 
irréductible du second degré; ils sont réels ou imaginaires en même 
temps que les multiplicateurs de la premiere substitution, désignée par 
A et donnée sous forme canonique. Nous appellerons, avee M. Jonpaw, 
substitutions de la premiére espéce celles qui, mises sous forme canonique, 
multiplient les indices par des nombres différents, substitutions-de la 
seconde espéce celles qui multiplient les deux indices par un méme 
nombre, nécessairement réel, et nous dénoterons ces dernières en écrivant 
simplement le multiplicateur, par exemple 





C SN ae, an |; be EIS —E, — |. 


Premier type. Les substitutions sont de la forme 


4-—]|$,* &,lr 


Deuxième type. Le groupe dérive d'un groupe de premier type com- 
biné avec une substitution de la forme 


Bl, alten, dE. 


Troisieme type (type tétraédrique). Le groupe dérive des substitutions 


A=|&,y7 t€,—iy|, où à + 1=0 (mod p), 
B-—i6,m- mn: 5€, où rs + 1 =0, 
| — v > \ 
E m——(E— ry 
C =| bi , m étant réel, 
| I+ 








~ 
= 
= 
= 
~ 
20, 
p 
wr 
S 


214 L. Sylow. 


et d'un certain nombre de substitutions de la seconde espece. Parmi 
celles-ci se trouvent toujours A? — D?— — 1, C5 — — m’. L'ordre du 
groupe est égal à 1i2«, © étant l'ordre du groupe formé des substitu- 
tions de la seconde espèce contenues dans H’. Le groupe alterné entre 
quatre lettres a, ,7, 0 est isomorphe à H’. En désignant par le signe 
~ qu'une substitution de H’ correspond à une substitution entre a, , y, 0, 


on a 


a~1,aA~ (apo) , «B (aö)(Pr) , aC ^ (afty). 


On doit évidemment omettre ce type quand p — 3. 
Quatrième type (type octaédrique). Les groupes de ce type dérivent 
d'un groupe du troisieme type et d'une substitution de la forme 


* 





D eye cn, 
ou e’=fi, f étant réel. Dans l'expression de la substitution C on peut 
toujours faire i — 1. Le groupe symétrique entre 4 lettres est isomorphe 
à H';ona 

aD ~ (ayßo) , aBD ~ (yo). 
L'ordre du groupe est 24m; par conséquent il doit être omis quand p= 3. 
Cinquième type (type icosaédrique). Le groupe dérive de substitutions 
de la seconde espèce et des trois substitutions suivantes: 


» " | : () ET 
A Sas 7 GE, () 7 " ou Den , 
| = - ‘ —— 
B=) S57 19,52). OU oL Tone d Tees, 
| £ AE + py | , 
( = . ou he , 


| SK jp PO 
1% SUS ^T 


et ou par conséquent 


À Lu +1=o. 


Le groupe contient toujours la substitution D? — C* — — 1; son ordre 
est égal à 60m, w ayant la méme signification que plus haut; il n'existe 
que pour les nombres p de la forme 10h + 1. Le groupe alterné entre 


cing lettres 2, %.7,9.¢ est isomorphe au groupe icosaédrique; on a 


/ 
l 


aA ~ ußros, db ( Be)(yo) , 4C ^. (B0) re) , € A*C — (afi). 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 215 


Le groupe Z' appartient done toujours à lune de ces cinq types, 
et il peut étre réduit à l'une des formes canoniques ci-dessus par une 
transformation linéaire, qui est réelle ou imaginaire en même temps que 
les indices 5 et 7. S'ils sont réels, on peut simplement changer & et 7 
en z et y, puisque toute substitution linéaire et réelle est permutable au 
groupe J. Au contraire, si € et 7 sont imaginaires, et qu'on veuille 
conserver / sous sa forme réelle, il faut réduire A4, D,C, D à des formes 
réelles, ce qui ne présente pas de difficulté. Mais comme, dans la suite, 
nous pourrons nous servir des formes canoniques méme s'ils sont imagi- 
naires, nous, omettrons ces calculs. 


8 3. Sur le nombre n. 


6. Le groupe G contient np + 1 groupes de l'ordre p***, que nous 
désignerons par 
JET Dad EC à 


OB 1 3 8 np* 


En les transformant tous par les substitutions de /,, on obtient un groupe 


+ 
de substitutions entre les Z,, isomorphe a /,. Si l'on réunit en systèmes 
ceux qui sont permutés entre eux d'une maniere transitive, le nombre 
des groupes contenus dans chaque système est une puissance de p, J, 
seul formant un système du degré 1. On a done une équation de la 


forme suivante: 
np = np" + np? + np" +... 


les nombres r,,7,,7,,... étant tous égaux ou supérieurs à I. Suppo- 
sons que J, fasse partie d'un systeme du degré jp^; J, est évidemment 
permutable aux substitutions d'un groupe K de l'ordre p'** ^^ contenu 


dans 4,. Le groupe A sera aussi contenu dans /,; en effet, si le nombre 
‘des substitutions communes a /, et a A est égal à j^" "*, le groupe 


dérivé des substitutions de /, et de A aura pour ordre p****’, d'ou l'on 
conclut que s — o, l'ordre de 6 n'étant pas divisible par p***.  Inverse- 


ment, si les substitutions communes à /, et à /, forment un groupe de 


l'ordre p**?", J, fait évidemment partie d'un systeme du degré y^. 


Spécialement, si r, — r, /, appartient à un système du degré p; or K 


étant dans ce cas permutable aux substitutions de /,, il sera contenu 


216 L. Sylow. 


dans tous les groupes du systéme, et sera permutable à leurs substitutions. 
Done, si lon désigne par K,, K,,..., K, les groupes de l'ordre p“*! 
contenus dans G, lun quelconque d'entre eux, K,, sera contenu dans les 


groupes d'un nombre n, de systèmes, et l'on aura 


Ap—mqnp--up--...-"9-4 np”, 


les nombres %,,n,,...,n, pouvant être nuls, tous ou en partie. Pour 
discuter cette équation nous distinguerons dans la suite plusieurs cas, qui 
different par l'espèce du groupe et par la valeur de a. 


4. Commençons par les groupes de la premiére espèce où a — o. 
Les groupes A, sont en nombre p + 1, chacun d'eux contenant les puis- 
sances d'une seule substitution 


. 
, 


S=|lr,y r4 a,y-b 





DNUS b N 
nous ferons l'indice > congru au rapport -. Supposons que K, soit con- 
d a 
tenu dans les groupes des x, premiers systèmes, savoir les groupes 


1 
I,1,..., L,,, et soit G, le groupe formé des substitutions de G ‘qui 


sont échangeables à S. Les substitutions de chacun des groupes J étant 
2L 


échangeables entre elles, G, contient /,, I np» mais il ne contient 


1272 

aucun des groupes 1,,,1...1,,. Par conséquent son ordre est p^z, (n, p-- 1), 

7, étant l'ordre du groupe H; qui contient les substitutions de MH’ échan- 

geables à S. De plus, X, étant intransitif, @, est non-primitif, ses sub- 
a 

stitutions remplaçant les éléments de chaque cycle de S par les éléments 

d'un méme cycle. Il existe donc un groupe G; du degré p, isomorphe 


à G,, et lon voit aisément que son ordre sera 
pr (p + 1), 


ce qui réduit trés considérablement les valeurs que peuvent avoir n, et 
z,. Notamment on sait, en vertu de deux théorèmes de M. E. MATHIEU 
(Journal de LiouviLLE, année 1861, p. 310) qu'on ne peut avoir 7, — I, 


sans avoir 4, — O, et qu'on a également n, = 0, si 7, = 2, p= 4h + 3. 


Sar les groupes transitifs dont le degré cst le carré d'un nombre premier. 21 


Recherchons donc quelles sont les substitutions de H/’ qui peuvent 
étre échangeables à une substitution de T: Soit 


T-—|z;y.-ob Bye ro + dy | 


une substitution de H’, et supposons que, réduite à sa forme canonique, 
elle devienne 





E 
? 


PE, 056,5, 


on sait que s, et s, sont les racines de la congruence 


1 
S? — (a + d)s + ad — fiy =O (mod p), 
et qu'on peut faire 
& = (s, — 0)c + fy, 7 = (s, — d)a + fy. 
Exprimant S par les nouveaux indices on a 
ou 
A = (s, — d)a + fb, B=(s, — d)a + Bb, 


et lon trouve 
LOST | Eye EFsA4,n+ts.B|. 


Pour que T7 soit permutable au groupe A,, il faut que 7- ST — S", d'où 
5 LE l 


a 


(s, —m)A=o, (s, — m) B — o (mod p). 
Done si 7’ n'appartient pas à la seconde espèce, il faut avoir 
sem, DBz0,'ou s,=m, 4=0, 


Le nombre m étant réel par définition, on a le résultat suivant: parmi 
les substitutions de la première espèce de H’ celles seulement qui sont 


\ 


réductibles à des formes canoniques réelles, peuvent être permutables à 
un groupe d'ordre p contenu dans J,; inversement, chacune de ces sub- 
stitutions est permutable à deux groupes, savoir 


FR et A, 


et nest pas permutable aux autres. 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 9 Mars 1888, 9S 


bo 
N 


L. Sylow. 


Si 7’ doit être échangeable à S, il faut de plus que l'un de ses 


multiplicateurs soit congru à 13 en supposant s, =1, on a 
D—— 0-0 #18, =0; 
alors 7 est echangeable aux substitutions du groupe 
Ke, 
3 


et il est en outre permutable au groupe K,_.. 
B 
Soit maintenant 7 une substitution de /7" de la premiére espece et 
échangeable à 5; réduite à sa forme canonique elle sera 
T$,» 8,89) 
et l'on aura 


S=|&,y E+A, I. 


Les substitutions de H’ permutables au groupe A, ont la forme suivante 


a 


Fa AT Le so 
T'—|6,-m mitm, m,7 |; 
mais on trouve 
37 JE j igo 8 £ ie 2 TT Sa | 
«E RR Saad) Bx rud 
n^ o 


ce qui montre qu'on doit avoir r — o (mod p). Il s'ensuit que toutes ces 

substitutions sont échangeables entre elles. En particulier les substitu- 

tions de // échangeables à S sont les puissances d'une seule d'entre 

elles; soit 7’ cette substitution. De plus toute substitution de H' per- 

mutable à X, est le produit d'une puissance de 7 par une puissance 
: 


d'une seule substitution 


m Le - 
T —]6,59 @€, 0 


1 7j 


] 
Les substitutions de @ qui sont permutables a X, forment un groupe 
a 


G,, qui contient 7, et les substitutions de G,, mais ne contient aucun 


L, 395... Par conséquent son ordre est égal à 


nyp+1 ? n,p+2 


des groupes / 


pump 1), où 7, est lexposant de la plus petite puissance de a, 


“ x " 
Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d un nombre premier. 219 


congrue à 1. Le groupe G, est non-primitif, tout comme G,; donc il 
existe un groupe G, du degré p, isomorphe à G,; l’ordre de ce groupe 
est évidemment _ 
, 
Pr; MP + 1), 


, 


z; désignant l'exposant de la plus petite puissance de /, congrue à une 
puissance de s,. Si z; 1, cela donne une nouvelle réduction des valeurs 
de 5. 


S. Supposons que H’ soit du premier type, et supposons que ses 
substitutions soient ramenées à la forme canonique 


|$,* as, by 


Si maintenant € et 7 sont imaginaires, @ et b ne peuvent être réels sans 
être congrus (mod p), donc, outre la substitution identique, aucune sub- 
stitution de //’ n'est échangeable à une substitution de J,. Par suite 


les’ nombres 7, ,,,.:. sont nuls, et lerdre de G est de la forme 


O= p'r(n'p" + 1), 


z étant un diviseur de y? — 1. 

Si au contraire € et y sont réels, il est permis de les remplacer par 
æ et y. Parmi les groupes d'ordre p, contenus dans 1 
deux, savoirs K, et K 


oe? 


e n'y à que 


dont les substitutions sont échangeables à des 
substitutions non identiques de //'. Soit 9, l’ordre du groupe contenu 
dans H’ dont les substitutions sont de la forme 


Lee Y 0, MY 1, 


et 2, l'ordre de celui dont les substitutions sont de la forme 


on aura 


D'après les numéros 6 et 7, on a 


O = p'z(u'p* + np + n,p + 1), 


220 L. Sylow. Ms 


2 
. 


z étant un diviseur de (p — 1). Le nombre 


po,0,(n,p + 1) 
doit être l'ordre d'un groupe du degré p, contenant un autre de l'ordre 
po, (n,p + 1); 


pareillement 
A] N 
9,9; (n, p + I ) 


, 


est l'ordre d'un groupe du degré p, contenant un autre du degre 


pà,(n,p + 1). 


On a 4-0 si, — 1, ct »,— O si 0, — 15 quand p est. de la forme 
4h + 3, on a méme n —0o si à, —2, et #, —0 si 0, —2. Les sub- 


stitutions de H’ étant toutes permutables aux groupes A, K,, l'ordre 
des groupes que nous avons désignés par G, cst p'z(m,p + 1) I s'ensuit 


que z2'p- n, est divisible par »,» I. et 4p -- ^», divisible par 2,9 + 1. 
{ 1 " l 14 2 1 1 2 


9. Considérons le cas où I’ appartient au deuxieme type. La 


moitié des substitutions de H’ ont la forme 
De ees. On ts 


; ; 7 4 
et forment un groupe //" de l'ordre 7; les autres sont de, la forme 


qe do GE 


Supposons en premier lieu que € et x soient récls; ils peuvent alors être 
remplacés par w et y, sans changer la forme du groupe J,. Nous écrirons 
donc 


S—|z,y ax,by|, T—|z,y cy, da - 


Puisque //" contient la substitution T! ST — r,y br, ay), les valeurs 
de a et de b sont les mémes; elles sont donc les puissances d'une seule 
d'entre elles. Nous conserveront la lettre @ pour désigner cette valeur, 


en la supposant racine primitive dela congruence 


# = 1 (mod p). 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 221 


Le groupe H” en contient un autre donc les substitutions ne font pas 
varier l'indice x; ce groupe est formé des puissances d'une seule sub- 


stitution 


on peut supposer que 0’ soit un diviseur de 4; en faisant 
^ "OWN 
0 — 0,0, 
l'ordre du groupe dont nous parlons est 9. De plus HH” contient une 
substitution de la forme suivante: 
2 — 2,0 0 00,@4|; 


? 


évidemment toutes ses substitutions sont contenues dans l'expression c' 


t sm 
e", 


et l'ordre de H" est égal à 0,0’, d'ou 


v 


9 
7 00 05 





D'autre côte H" dérive aussi des substitutions 


gc Du ou yea qui iios POUR dare a ^, ag 


m 
, 


En exprimant que ce, peut être égalé à e"c'", on obtient la congruence 
gi e e e Le 


0. — ro (mod od). 


\ 


Les seules substitutions de //" échangeables à des substitutions non iden- 
tiques de J, sont donc les puissances de ¢ et de ¢,, qui sont échan- 
geables respectivement aux substitutions des groupes A, et AY. Or, en 
supposant que G contienne »,p + 1 groupes d'ordre p^ dont les substi- 
tutions sont échangeables à celles de A,, on en déduit, en les transfor- 
mant par 7’, un nombre égal qui ont leurs substitutions échangeables a 
celles de Æ,. Toutes les substitutions de //" sont permutables aux 
groupes A,, K,; le nombre des substitutions qu'elles produisent entre 
les cycles de chaque groupe est évidemment égal à 2. 

Voyons maintenant dans quels cas une substitution de la forme 7 
est échangeable à des substitutions de J). En réduisant 7 à sa forme 
canonique, on trouve 


T. HIE, ved € , — Ved ; 


222 L. Sylow. 
il faut done que ed — 1 (mod jp), donc 


T=|2,y ¢cy,c ul. 
On obtient toutes les substitutions de //’ de cette forme, en multipliant 
l'une d'elles par les substitutions de //” dont les déterminants sont congrus 
à 1. Ce sont les substitutions 





| x . y isa . q sy |, 
x , ' . 
ou l’on a fait 
l + I — 05%; DE 0,0 
et par suite 
N ù N AN E 2 I 8 
0 = 0,0503, 4 = 2010505, 


0, et c étant premiers entre eux. Le nombre h peut avoir les valeurs 
O,1,2,...,(0,0, — 1). Done, si // contient une substitution de la 
forme |z,y cy,c «|, il en contient un nombre de 0,0,. 

Telle que nous l'avons déterminée, la substitution 7' est échangeable 
aux substitutions du groupe A,., c'est-à-dire aux puissances de 


Po EE CET 


? 





outre la substitution identique, elle est la seule substitution de //' qui 
possede cette propriété. Or, si G contient un groupe G, de l'ordre 
p.2(n,p-F 1), dont les substitutions sont échangeables à celles de K,., 
on en peut conclure l'existence d'un autre ayant ses substitutions échan- 
seables à celles de 4,5, pourvu que G contienne une substitution qui 
transforme AK... en KK... Sans une connaissance plus intime du groupe 
(, nous ne pouvons chercher cette substitution que dans /7/". Les sub- 
stitutions de celui-ci transforment K,-ı en K,r,-ı, le nombre y pouvant 
être égalé à un multiple quelconque du plus grand commun diviseur de 


0,0, et t — 1. Or on a vu que 4,0, divise (^ — 1, et que à, est le plus 
erand commun diviseur de 0,0, et £+ 1, donc 9, divise / — 1. En 
désignant le plus grand commun diviseur de 2,0, et £ — 1 par 
N 
GO. 


e divisera £ — 1 et + 1; on a donc € = 1 ou € = 2. 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 922 


Quand s = r, K,-ı peut être transformé en tout autre groupe d'ordre 
p qui a ses substitutions échangeables à une substitution de la forme T; 
donc tous les groupes G, correspondants sont de l'ordre p°.2(n,p-+1). 
Quand au contraire s = 2, K,-ı ne peut être transformé qu'en ÆK-1,200,; 
done la moitié des groupes G, sont de l'ordre p*.2(n,p + 1), les autres 
pouvant être d'un ordre différent, p*. 2 (n,p + 1). 

Le groupe K,. est permutable aux substitutions du groupe d'ordre 
20,0,8 qui dérive de 7'et des substitutions de la seconde espèce de Z7". 
Ces substitutions produisent, entre les cycles de K,. un groupe dont 
l'ordre est égal à 20,0, ou seulement à 9,0,e, suivant que d,0,e est 
impair ou pair. En effet, la substitution — 1.7 ne déplace pas les 
cycles de Ai. 

On possède maintenant les données nécessaires pour appliquer les 
résultats du numéro 7. On a, si e—1 


O= p'r(np" + 2n,p + 0,0,n,p + 1), 


XY A N A 
PONT | 0,0, 0,0, 
On (v p' 24» er mem io. JE s 2D + ). 


Les nombres n, 


p et de l'ordre pz,7(n,p + 1), contenant un second groupe de l'ordre 
Dmp--i).. Pour i=1 on a 


sont compatibles avec l'existence d'un groupe du degré 


a Y pel Ne Oi 
7 —0,, Ta = 0,0,; 
pour =2 ou 3 
0,0, 
c 2s =" ou d0,e 
| - 2 1 » 
= ER r 
suivant que d0,e est pair ou impair. En particulier on an, — O si 
d, — 1, ou Bi 0, — 2 avec p — 4h + 3; on a n, — n, =O si p= 4h + 3, 


et toutes les fois que G ne contient pas de substitution de la forme 


ny tee !q |. Enfin 6 contient des groupes des ordres 


pz (n.p + E ua 20,0,¢(n p + 1 et p'. 20,0, (n, p + ı 


ho 
ID 
— 


LP Sylow. 


Considérons en second lieu le cas ou $,» sont imaginaires. Les 
substitutions de H’ de la forme S sont les puissances d'une seule d'entre 
elles, que nous désignerons par 

S=l'e,n ab, ay |. 


en supposant @ racine primitive de la congruence 


"= i (mod p); 


elles forment un groupe //” de l'ordre Le nombre m est un diviseur 


Nila 


de p? — 1; en supposant 
pP—ı=m.m, 
on peut faire 
a = 7", 
j étant une racine primitive de la congruence 


21 =1 (mod p). 
En posant 


BEINEN BIENEN 
m = 0,0,, pt1=00, 
0, et 0, étant premiers entre eux, on a 
AU E IE Pn EBENEN E N 
M — 0,0, p Ee 02018 7 == 20,0,. 


Outre la substitution identique, aucune substitution de //" n'est échan- 
geable à une substitution de J); en effet les multiplicateurs «^, a’? sont 
imaginaires ou égaux. Parmi les autres substitutions de //' les 


m Le ,—1 

T—|é,» e.c 
senles sont échangeables aux substitutions d'un groupe A; comme cx,c '& 
sont des nombres conjugués, on a c?*'=1. On obtient toutes les sub- 


stitutions de HH’ de cette forme en multipliant l'une d'elles par les sub- 
stitutions de H’ à déterminant 1, c'est-à-dire par les 


hoy = 


| £ = phó, ,,. 
IS: 7 a "6, a Y |: 


Par suite ou H’ ne contient aucune substitution de la forme 


—1 # 


6$,» mr sl, 


Ps 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d’un nombre premier. 225 


ou il en contient à,, savoir les 
(a) | ho ae a ee |. 


En transformant T par $^', on trouve 


b 


SDN — cr Ma qve ee 


or on peut rendre a? ou a’ congru à 


heöz 


a, 


ou h est un entier quelconque, e désignant le plus grand commun di- 
viseur de d, et d,; on a:e = 2 sid), etd, sont pairs, e — 1 dans les 
autres cas. Donc si e = I, les 0, substitutions (a) peuvent être trans- 
formées les unes dans les autres par les substitutions de H’; au contraire, 
si e= 2, on en peut déduire la moitié de la substitution T, l'autre 
moitié de a*T. Dans le premier cas tous les groupes @, qui répondent 
aux diverses substitutions (a) ont le méme ordre p*. 2(n,p + 1), dans le 
second la moitié des groupes G, sont de l'ordre p*. 2 (n,p + 1), les autres 
pouvant avoir un ordre différent p^. 2(n,p + 1). 

Enfin le groupe formé des substitutions de H’ qui sont permutables 
au groupe Æ,; dérive de 7 et des substitutions de la seconde espece 
contenues dans H” savoir les 


l'ordre de ce groupe est done 20,5; il produit entre les cycles de K.., un 
groupe dont l'ordre est 20,5 ou d,¢ suivant que d,e est impair ou pair. 
En vertu du numéro 7, on peut maintenant faire les conclusions 
suivantes: 
Sie—1, on 8 


B p*z(n' p? + 0, n p EE I); 


^ 


0 — p'r|n'p + 2 np + - 


) 
DT 1); 


il existe des groupes du degré p des ordres 


p.2(n,p + 1),p.2(n,p + 1) 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 9 Mars 1888. 29 


226 L. Sylow. 


contenus dans d'autres groupes, dont les ordres sont respectivement 


p.20,e(n,p + 1), p.20,e(n,p + 1), si d,e est impair, 
ou 


po,e(n,p + 1), po,e(n,p + 1), si d,e est pair. 


On a n, =n, —0, quand p est de la forme 4h + 3, et quand le groupe 


G ne contient pas de substitution de la forme 
= 
Vest SONO pe |. 
Enfin le groupe G en contient d’autres des ordres 


p.20,e(n,p + 1), p. 20,s(n,p + 1). 


10. Quand Z' est tétraédrique, le nombre p est > 3. Les sub- 
stitutions de H’ sont les 


a,@A,¢08,0AB;60C’,aA~ OA aD CB abe 24,0 AR 


les lettres ayant la méme signification qu'au numéro 5. Les substitu- 
tions aA sont permutables aux groupes A,, K,, pourvu que € et 7 
solent réels. Cela exige que — I soit résidu quadratique de p, c'est-à- 
dire que p soit de la forme 4h + 1. Or si H’ contient la substitution 
iou |é,» i&,in|, il contient iA et — i4, qui sont échangeables respec- 


tivement aux substitutions des groupes K, et K,. Comme on a 
BriAB= — iA, 


les deux groupes G, qui correspondent à K, et à K, sont les trans- 
formés lun de l’autre; ils sont donc d'un méme ordre p°.2(n,p + 1). 
En transformant +74 par C et C", on en déduit + iB, + iAD; donc 
G contient six groupes de l’espece que nous avons désignée par G,, tous 
de l'ordre p?*.2(w,p + 1). Les groupes G; du degré p qui y corres- 
pondent ont pour ordre p.2(n,p + 1) Les groupes G, qui répondent 
aux six groupes G, sont évidemment de l'ordre p’.2w(n,p + 1); mais 
comme la substitution iA ne permute pas les cycles de K,, l'ordre des 


groupes G; sera p.w(n,p + 1). 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 227 


Le déterminant de la substitution aC étant «°m”, sa congruence ca- 
ractéristique est 
s? — ams + a*^m? =o (mod p), 
d'ou 
pq 
a d 
2 
Pour que la forme canonique de aC soit réelle, il faut donc que p soit 
de la forme 3h + 1. On trouve ainsi 


PEE ess 
v ’ , Ld , 
aC =| &, 7’ am dos Sibudil i eoe ir 


La condition relative au nombre p étant remplie, aC est permutable à 
deux des groupes K, que nous designerons par K’, K". Les substitu- 
tions aC" sont les seules permutables à ces groupes; en effet, dans le cas 
contraire, H' contiendrait un groupe d'un ordre au moins égal à 6w, à 
substitutions échangeables entre elles (n? 7); par conséquent il existerait, 
entre quatre lettres, un groupe de l'ordre 6 ou r2, contenant exclusive- 
ment des substitutions échangeables entre elles, ce qui est absurde. Or, 
si l'on a 


E / = 

= 2 

(cR RES ARE A 
Mm 2 


la substitution aC est échangeable aux substitutions de K’; si 





elle est échangeable à celles de KA". Dans le premier cas H' contient 


2 
I — 1 — V— : ; 
EN 3. dans le second m——Y—;; s'il contient l'une 
2 7 


la substitution m 








et l’autre, il contient leur produit m", et, en vertu du n° 5, m^, et par 
suite m, c'est-à-dire qu'on peut faire » — r. Soient, pour abréger, C' 
et C" les substitutions qui répondent aux deux valeurs de a: 

, Im I + V— 3 | veer mi ’ I N ES -, , - 
ner cx SE 2m RE Re To m na? 


* n " 


we 


7" n'est pas la transformée de C’ par une substitution de /7'; c'est ce 


228 L. Sylow. 


qu'on voit sans calcul, en se souvenant de la correspondance qui a lieu 
entre les substitutions de 77 et celles du groupe alterné entre quatre 
lettres. L'ordre du groupe G,, formé par les substitutions de G échan- 
geables à celles de A’, peut évidemment être exprimé par p*. 3(n,p +1); 
celui de @ est done p.3(n,p + 1) Le groupe G, est de l'ordre 
p.3e(n,p-- 1) Or les substitutions communes à G, et H’ sont les 
aC"; sil s'en trouve parmi elles qui ne permutent pas les cycles de A’, 
ce ne peut être que les puissances de C"; cette circonstance ne se pré- 
sente done que dans le cas où l'on peut faire m = 1. Par suite l'ordre 
du groupe G sera po(n,p + 1) si m — 1; mais il sera p.3@(n,p + 1) 
dans le cas contraire. Quant aux groupes analogues qui répondent à 
KA", il suffit de remplacer », par une autre lettre n,. Des substitutions 
C', C" on déduit, en les transformant par A, B, AB, six autres substi- 
tutions, échangeables respectivement aux substitutions de six autres des 
groupes K,. Donc on a quatre groupes de l'espèce G, qui sont de 
l'ordre p*. 3(n,p + 1), et quatre de l'ordre p°3(n,p + 1). 

De ce qui précéde on tire les conclusions suivantes: 

L'ordre de G est déterminé par la formule 


() — p. 12 (n'p* a. On, p + an, p 4n. p sr 1). 


On an, — o, quand p est de la forme 12h + 7 ou 12h+ 11, 
et quand H’ ne contient pas la substitution à, 


n, — n, = O, quand p est de la forme 12h + 5 ou 12h + 11, 


- : £ : I a 
n, = ©, quand G ne contient pas la substitution m tw 26 


2 
2 





: : : TMS 
^, = 0, quand G ne contient pas la substitution m——*‘ 3, 
2 





Les nombres n, sont compatibles avec l'existence d'un groupe du degré 
p et de l'ordre p.m,.z;(n,p + 1), contenant un groupe de l’ordre 


e) 
p.my(n,p + L5 pourr-ronaz,-2,7;,-—-; pour r — 2 et r —3, 
: : : . , o 
on a 7, = 3, et, si H' contient la substitution m, =; =. dans le cas 
contraire on a z; — mw. Enfin G contient des groupes des ordres 


9 


p2e(n,p + 1), p 3o(nyp + 1), p. 3o (n,p + 1). 


Sur lés groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 229 


11. Quand Z' est octaédrique, on a aussi p> 3. Les substitu- 
tions de H’ sont: les substitutions d'un groupe tétraédrique où lon a 
m = 1, les 6w transformées des aD, les 6w transformées des aBD. On 
connait déjà les groupes K, qui sont permutables aux substitutions té- 
traédriques, et l’on connait les substitutions tétraédriques qui sont échan- 
geables aux substitutions de ces groupes; mais évidemment on ne peut 
employer immédiatement ce qui a été dit sur l'ordre des groupes G,, Gi, 
G,, G; qui sy rapportent. 

Les substitutions «D ou STE ae? , dein, sont permutables aux 
groupes K, et K,, comme le sont les ad, pourvu que p= 4h + 1; en 
effet e est réel en méme temps que £. Done le groupe G, correspondant 
à K, est de l'ordre p?.2(n,p + 1), si H' contient la substitution 7, mais 
ne contient pas e. Si H’ contient e il contient aussi 7; en effet DA se 
réduit a e*; dans ce cas l'ordre de G, est p*.4(m,p + 1). Le groupe 
G, est de l'ordre p?. 4o (np + 1); G est de l'ordre pw(n,p + 1), quand 
H' contient e, mais de l'ordre p.2œ(n,p + 1) dans le cas contraire; 
c'est ce qu'on voit en remarquant que la substitution e^! 
pas les cycles de K,. 


i "D ne permute 


On a vu, au numéro précédent, que les substitutions aC" sont per- 
mutables aux deux groupes K’, K"; évidemment elles sont les seules 
substitutions de H’ permutables à ces groupes. Dans le cas qui nous 
occupe, les groupes K’, AK", ainsi que les substitutions C’", C'", se trans- 
forment l'un dans lautre au moyen de la substitution 


By ABD: 


En effet, dans le groupe symétrique entre les lettres a, 2, 7,90, qui est 
isomorphe à H’, la substitution (afr) correspond à C,(a$) à F, done 
F'CF et C’ correspondent à (ay) d’où 


F-'CF = aC”; 
comme d'ailleurs C a son déterminant congru a 1, on doit avoir 
FCF = + 1.C’, 
d'ou 


E CU TOS 


230 L. Sylow. 


or, comme on a C? = — 1, on en conclut quil faut prendre le signe 
inférieur, donc 
FCF = —C’. 
I —V— 3 


En faisant, pour un moment, a = 





E ‚on a 


aC — 9 De = Co. 

a 3 
RACH a C2 >» C? Be Ge 
i et T = — 9 


FuUC'’F — — 0? En CE = Ce 


Ainsi, dans le résultat final, les deux termes au coefficient 4 qui se pré- 
sentent dans le cas où H est tétraédrique, se réunissent ici en un seul 


, 


terme au coefficient 8. Les ordres des groupes G,, Gi, G,, G; sont 
évidemment les mêmes que dans le cas précédent en supposant m = 1. 


On a 


aBD=|E,7 aren, ase; 
la congruence caractéristique de cette substitution étant 
o + a^e'i - o (mod y), 
elle se réduit à la forme canonique 
aBD —|2,n aey—i£,-—— ae y—àv' |. 


Pour que Z,»' soient réels, il faut que eÿ— x le soit. En supposant 





p = 4h + 1, e est réel; par conséquent il faut que i soit résidu qua- 
dratique de p, c'est-à-dire que p doit être de Ja forme 8h’ + 1. A cette 
condition aBD est permutable à deux des groupes K,, que nous dé- 
signerons par K’’, K""; d'autre côté on voit que les a et aBD sont les 
seules substitutions de H’ permutables à ces groupes. Si maintenant H’ 


contient la substitution ey— i, on peut faire 





Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré dun nombre premier. 231 


on obtient ainsi les deux substitutions 
LÉ pot EN 1^], Mein. (hr 


échangeables respectivement aux substitutions de K’” et de K"". D'ailleurs 
ces substitutions sont les transformées l’une de l’autre, car en effet on a 


ABD A= * pp. 


K"" est donc la transformée de K"' par A. Il s'ensuit qu'en transfor- 
mant le groupe G, correspondant à K’” par les substitutions de H’, on 
obtient douze groupes G,; tous de l'ordre p*.2(n,p + 1). Les groupes 
1, G,, G ont respectivement pour ordre p.2(n,p + 1) , p". 2e (n,p 4- 1), 

po(n,p + 1), comme on le voit aisément. 

Quand p = 4h + 3, le nombre n, 
la supposition contraire entrainerait l'existence d'un groupe du degré p 
et de l'ordre p.2(n,p + 1). 

On a donc le résultat suivant: 


est nécessairement nul; en effet 


O = p.240 .(n'p* + 6n,p + 8n,p + 12n,p + 1); 


n, — o, quand p — 24h + 7, 11, 19,23, et quand H’ ne contient 
pas la substitution i; 
^, = 0, quand p= 24h + 5, 11, 17,23, et quand AH’ ne contient 


: 2 I 
pas la substitution -" >; 


= 0, quand" 9 ='24h “P's. 7, r1; 13; 19, 23, et quand H’ ne 
contient pas la substitution ey — i. 


Les nombres n, admettent l'existence d'un groupe du degré p et de 
l'ordre pz,z;(n,p- 1), contenant un autre de l'ordre pz,(n,p + 1), où 
les nombres 7,, 7; sont déterminés de la maniére suivante: 


j e) j . 
pour TI) oOn.8.7,-4,75 mapa OU 7,—2,7$3-— ©, Suivant. que 


H' contient e ou non. 


, 
= 9 7r = 2 7 xs 
) e, #1 oF dio >, 
b 
e) 
) 3 2 «m 


232 L. Sylow. 


Enfin le groupe G contient des groupes des ordres 
p. 4e (n,p + 1), p*. 3o (n,p + 1), p 20 (n,p + 1). 


12. Quand H’ est icosaédrique, le nombre p est de l'une des 
formes 10h + 1, 105 — 1. Par une analyse toute semblable à la pré- 
cédente on trouve: 


O — p*. 60e (n'p? + 12n, p + 20n,p + 30n,p + 1), 
ou 
n, = 0, quand p= 60h + 19, 29, 49, 59, et quand H’ ne contient 
pas la substitution 6; 
n,—=0, quand p— 60h + 11,29, 41, 59, et quand Z’ ne' contient 
pas la substitution a), 


^, — 0, quand p— 60h + 11, 19, 31, 59, et quand H’ ne contient 


pas la substitution 7. 


Le nombre #, admet l'existence d'un groupe du degré p et de l'ordre 
po(n,p+1), contenant un autre de l'ordre pz,(n,p+1), où pour r— 1,2,3, 
le nombre z, est respectivement égal à 5, 3,2. Le groupe G contient 
des groupes des ordres p^. 5e (np + 1) , pP’. 3e (n,p + 1), p". 2e (n,p + 1). 

On remarque que dans les cas où H’ est de lune des trois types 
polyédriques, les coefficients qui, dans l'expression de O, multiplient les 
termes en n,p, sont les nombres des sommets, des faces et des arêtes des 
polyedres correspondants. 


13. Le cas où G est de la seconde espèce, a étant nul, est facile 
à traiter. En effet, 7, ne contient que les puissances de la substitution 


t=|7,y vd (y), TP XL ME 


par conséquent il ne contient qu'un seul groupe K de l'ordre p, qui est 
formé des substitutions 
| D, Y t+ O54 |. 


En supposant K contenu dans », des groupes /,, il existera un groupe 
G, du degré p et de l'ordre pz,(n,p + 1) où le nombre z, est l'ordre 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 233 


du groupe renfermant les substitutions de H’ échangeables à f^. Or, les 
substitutions de H’ étant toutes de la forme 


? 


ZT, ax + E(“) , ay 





on a évidemment 7, — 1, d'ou n, — o. Donc l'ordre de G est exprimé 


par la formule 
O= p’x(n'p* + 1). 


14. De ce qui est dit aux numéros précédents on peut conclure 
que, si a=o et z— 1, on a m=O. En effet, sous cette hypothèse le 
groupe G est de l’ordre p'(wp? + 1), et contient n’p? + 1 groupes de 
l’ordre p*. Deux quelconques de ces groupes n'ayant en commun que 
la substitution identique, ‘le nombre des substitutions des ordres p et p* 
est égal à (p* — 1)(n'p? + 1); ces substitutions déplacent tous les éléments. 
Les substitutions qui ne déplacent pas un élément donné quelconque u, , 
sont en nombre x'p*-- 1; par conséquent elles coincident avec les n’p’+ 1 
substitutions dont l'ordre est premier à p, en d'autres termes, ces der- 
niéres ne déplacent aucun élément. Donc » — » — o. 

On a ainsi le théorème suivant, analogue au premier des théorèmes 
de M. Marmeu, cités plus haut: 

Tout groupe transitif G du degré p^ contient un groupe transitif /' 
d'ordre p*; si G ne contient pas de groupe plus général dont les sub- 
stitutions sont permutables à /', G coincide avec /. 


15. Soit maintenant «= 1, et supposons que G soit de la premiére 
espèce. Un groupe K de l'ordre p? contenu dans J, 


transitif ou intransitif. Si Æ est intransitif il est formé des substitutions 


et n pourrait étre 


0"0^; une substitution 7 de Z, étrangère à K, transformera 6, en 6;, 
car évidemment 60, et ses puissances sont les seules substitutions de X 
qui déplacent tous les éléments. Par conséquent 7'aura la forme suivante: 


T—|z,y az- «(y); vy) 
De plus 7' transformera 0, en #0, ce qui donne 


rq / a b | 
P-|s,» es ey to —1]. 


Acta mathematica. 11. Imprimé le 12 Mars 1888, 20 


234 L. Sylow. 


Pour que cette substitution soit de l’ordre p, il faut que 
a=c=ı (mod p); 


mais alors 7’ serait contenu dans J,, ce qui est absurde. Donc le groupe 
K ne peut être intransitif. 

Si A est transitif, il dérive de deux substitutions échangeables entre 
elles, S et T, dont lune fait varier l'indice y; on peut donc supposer 


S—680:, T=66'; 


mais on trouve > 


SATS — TL 66, 


done d est égal à zéro. Par conséquent il est permis de faire 


Or J, dérive des trois substitutions 6), 0; , t analogues respectivement 
à 0,, 0,, t, et l'on voit que #, qui est échangeable à 6j et à /', ne peut 
être étrangére à K; en effet, dans ce cas, les p? substitutions de J, se- 
raient échangeables entre elles, ce qui est absurde. De plus, 6; ne peut 
être une puissance de 6,, car alors Z, étant entierement déterminé par 
6, et S, se confondrait avec 7,. Done on peut supposer 

Qu gigi belt Tug 


0* 


Ces substitutions déterminent complètement 7,; d'ailleurs, aux p valeurs 
qu'on peut donner au nombre a répondent p groupes de l'ordre p*, tous 
contenant K et contenus dans G; en effet on a 


0, 70,0; = OE, 0,001 =v = 6,. 


Il en résulte que le groupe @ contient un groupe G,, dont les substitu- 
tions sont permutables à Æ, et dont l'ordre est égal à 


p°r'(p + 1), 


z étant un diviseur de x. D'autre part, G ne contient d'autres groupes 


se 


de la même espèce que G,; c'est ce que nous démontrerons, en faisant 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 235 


voir qu'on à nécessairement b =o. Pour simplifier les calculs, intro- 
duisons, au lieu de x, le nombre 


& = x — b(y),. 
On trouve 
Ci eal cee Er eg SEE Ib 
L[—|6,y E—by,y+1|, H=Hts=l|é,y &,y t 1l. 


La substitution 0; doit être échangeable à 4, en ne faisant pas varier 
l'indice &; elle doit en outre satisfaire à la relation 


po =O, 0; 
donc elle aura la forme suivante 
6 —|&,9y E,y+Eët+al. 
Ainsi le groupe G,, contenant les deux substitutions 
Ey Ety,y|,  |E,y &v-&l 


contiendra toute substitution linéaire et homogène par rapport aux in- 
dices £, y dont le déterminant est congru à 1 (mod p) (voir le Traité 
des substitutions de M. JorDAN, n 


° 121), entre autres celle-ci 


où r peut avoir toute valeur non congrue à zéro. Or cette substitution 
appartient évidemment au groupe H; done comme nous avons supposé 
que les substitutions de ce groupe soient contenues dans lexpression 


|z,9 ae + fy ty, Y+eEel, 


il faut qu'on ait 6 = o, comme nous l'avons annoncé. On a vu en méme 


temps que le groupe FH contient toutes les substitutions 
I 
$,9 Tt,-y|; 


comme d'ailleurs toutes les substitutions de H sont permutables à A, on 


236 L. Sylow. 
a z =7. L'ordre de G, est donc O' = p°r(p + 1), celui de @ est 
O = p'z(wp^ + p+ 1), ou bien, puisque O est divisible par O', 
O = p'r(p + ı)n’p’ + 1). 
Le résultat final se résume done comme il suit: 
Si a — 1, et que @ soit de la premiére espèce, on a ou 
O = p'z(n'p^ + 1), 


z étant un diviseur de (p — 1)’, ou 


2 


3 722 pp’ — 1)(p° — p ere 
O — p'(p — Y)z,(p + 1)(n'p? + 1) = 2 + 1), 


)— I, : . 
7, —1 — étant le nombre des substitutions de la forme 
0 








s.p ary 


contenues dans G. Quand la première formule a lieu, G ne contient 
d'autres substitutions linéaires que celles de H. En effet, si la substitu- 
tion linéaire S est étrangere à H et, par suite, non permutable à J,, le 
groupe /,, transformé de J, par S, contiendra le groupe (9, , 4), ce qui 
est contre l'hypothése, si S appartient à G. 


16. Passons au cas où G est de la seconde espèce, « étant égal 
à I. D'abord on voit, comme au-numéro précédent, qu'un groupe K 
de l'ordre p?, contenu dans J, et J,, ne peut étre intransitif. Si K était 
transitif, il serait formé des puissances d'une seule substitution 


í— (ot, 


mais alors J, et J, étant complètement déterminés par la substitution 
/, se confondraient, ce qui est contre l'hypothése. Ainsi deux des groupes 
|, ne peuvent contenir un méme groupe d'ordre p*. Done 


O — p'r(np" + 1), 


z étant un diviseur de p — 1. 
\ 
1%. Dans les cas où a > 1, deux quelconques des groupes Z,, par 
exemple J, et 1, ne peuvent contenir un méme groupe transitif dont 
l'ordre surpasse p*. En effet ce dernier groupe contiendrait nécessaire- 





Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 237 


ment 4,,4, et une substitution de la forme # a... Het, or ces sub- 
stitutions déterminent complétement le groupe de l'ordre p^*? qui les 
contient, de sorte que J, et J, se confondraient. Donc si J, et J, con- 
tiennent un méme groupe K de l'ordre p**', celui-ci est intransitif, et 
par suite il dérive des substitutions $,, #4 ,...,4 
stitutions qui sont permutables a K. 

Nous désignons par ©, &,...,€,_1 les cycles de #,, de sorte que 
c, soit une substitution qui permute circulairement les éléments dont le 
second indice est congru a y, et qu’on ait 


,. Cherchons les sub- 


Si maintenant U désigne une substitution permutable à K , U transformera 
chaque substitution c, en une puissance d'une autre, par exemple c, en 


JD . , 
d, donc on à 


U-—|v,y Aw) + fiy), DC) |. 
Or, comme K est permutable à ¢, et contient la substitution 


(a); (a+2), (a—1), 
9, cm Ce * Vg--1 : C, "Eos Cp—1 , 


il contient en général la suivante 


- (a+1), (a+2), (p 1 Y 
Oe RE re ne ee 
Evidemment X dérive des substitutions S,, 8,,..., S,_,; done pour que 


U soit permutable a Æ, il est nécessaire et il suffit que U transforme 
chacune des substitutions S, en une substitution 7 de A, laquelle, comme 
S,, est composée de p — a cycles. Les substitutions de A ayant la forme 


2,9 v F(y),y|, 


ou Z'(y) est une fonction entière de y du degré a, on trouve les sub- 
stitutions 7 en déterminant la fonction J (y) de maniere qu'elle sannule 
pour « valeurs incongrues par rapport au module p. Soit Yo, Ji. +++ Ya-ı 
ces valeurs; on aura 


F(y) = M(y — y,)(y — 9) «+ © (Y — Va), 


238 L. Sylow. 
M étant une constante, et 
"m en A^ ; "of, ; |o Iw) 
T= ET x + F(y),y|=UWe™. 
Comme d'ailleurs K contient toutes ces substitutions, on peut énoncer le 


critérium de la manière suivante: il faut et il suffit que U transforme 
les substitutions 7 les unes dans les autres. Or on a 


DUE p 
donc il faut que 


fy) FY) Fiet) 
= Mib(y) — QJ) (v) — (y)... di) — (0) (mod p), 


; M' , 
ou bien, en posant a ^ N, 





vy — ar id03—90)l0) — Gl - IPOD — 99-9] 
(7) fy) i eh Vee u p) 
Quand 4 — p — 1, cette congruence ne dit rien, puisque on ne peut 


donner à y d'autre valeur que y, ,, sans annuler le numérateur et le 
dénominateur. Et, en effet, toute substitution de la forme 


2,4 aæf(y) + f). d) 


est dans ce cas permutable à K, qui contient toutes les substitutions c,. 
Quand a—p— 2, on peut faire y — y, 1; et y — y, .; on trouve 
ainsi, en vertu du théorème de WiLsow, 


fea = N | f(Yp—2) _ N 


— FEES = ? — — E 5 
Yp—1 — YUp=2 — Q—) — $ (Yp—2) Jp—2— Yp-1  B(Yp—2) — dlyo-ı) 








d'ou 
fin) = fw-2); 
comme d'ailleurs y,_, et y, , sont arbitraires, on conelut que f(y) est 
constant. Donc si a—p— 2, on a 
yr —— " 
U—|z,y a+ f), 9()]. 
En effet, X dérive des substitutions c,.c;!,, ou bien des c,.c,,', lesquelles 


P lI anr "t at; Loc Y a ,—a 
par U sont transformées en Ci). Cu 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 239 


Supposons maintenant a << p—2,a> 0, et par conséquent p > 3. 
En faisant dans la congruence (7) successivement y—#, ,,3 — y, s, et 
divisant les résultats, on a 


f(yp—) 
(8) f(yy—2) 


[9 (951) INH) (Yr—2— X p-2 — 12) Una Var) 
[PY pr—2) — $Y) [d (9»—2)— d y.)]-- [9(up—2) — &(ya—)] pur — Vi) Up — 92) 


Il 


Cette congruence, linéaire en y, et d(y,) peut être mise sous la forme 
suivante 


_ Ay, tB 
(9) PY) = Gy p 


Or on peut évidemment remplacer y, par chacun des nombres y, , Yarıs +s 
Y,_,, Sans autre changement; de plus la congruence (9) est aussi satisfaite 
en remplaçant y, par 9, , ou par y, ,, puisque par la (8) est satisfaite 
identiquement. Donc on a 


—4y +B 
(10) o) EUMD 
pour Y=Y » Ya > Yar1s+++>¥Yp1; le nombre de ces valeurs, p — a + 1, 


est au moins égal à 4. 
En traitant y, comme on a traité y,, on tire de (8) une nouvelle 


congruence 


qui à lieu pour les valeurs suivantes de y: 


Yi ? Ya | Yas $.,* 975.3 V, . 
Donc on a 


Ay + B = A'y + B 
Oy + D Cy + D' 





pour les valeurs y,, Yarıs ++ > Yp—1» dont le nombre est égal ou supérieur 
à 3, done cette congruence est identique, c'est-à-dire que la congruence 
(10) est satisfaite par y=y,. On démontre de la même manière qu'elle 


240 L. Sylow. 


est satisfaite par jJ — 4», ...., Ya. Done enfin elle est satisfaite par 
toute valeur de y; comme d'ailleurs (y) ne peut être infini, ni constant, 
on conclut que 


C=o, D(y)= cy + d. 
En reportant cette valeur dans (8), il vient 
fun) 9 fürs) 


Jy, et y, > étant arbitraires, cela veut dire que f(y) est une constante. 
Donc on a 


U—|z,y ac fi(y) ey + d. 


Par ce résultat on est en mesure de traiter en méme temps tous les cas 
où a>ı,a<p—.2. En effet la substitution U ne peut être de l'ordre 





p ou p’ que si a=c=ı (mod yp) mais alors U est contenue dans J,. 


0 
^t! en commun avec 


Par suite ce groupe n'a aucun groupe de l'ordre p 
un autre des groupes J,. On peut donc conclure que, si 4 — 1,4 « p — 2, 


on a 


Q — y? mn'p* + 1). 


Quand p> 3,a—p— 2, on sait que J, ne peut avoir qu'un seul 


groupe K en commun avec d'autres groupes /,. En désignant par 


r 


n,p + 1 le nombre des groupes /, qui contiennent A, on a 
| p rh? 
O — p'r(n,p + 1)(w'p* + 1), 


ou p'z(m,p + 1) est l'ordre du groupe G,, formé de celles des substitu- 
tions de G qui sont permutables à K. Comme ces substitutions rempla- 
cent les éléments d'un méme cycle par ceux d'un autre cycle, il existe 
un groupe G; du degré p, isomorphe à G,, et de l'ordre 


pz,(n,p + 1), 


7, désignant le nombre des valeurs que prend la constante b dans les 


des substitutions 





; byN . 
expressions |æ,y ax, by| ou |x,y ba + E( 2 ), by 
) j 


de //'. En effet, les seules substitutions de G, qui ne permutent pas les 
cycles c, sont les | r , y ax + fi(y) , y |. Parmi les substitutions de G,, 


celles qui sont de l'ordre p ou p? ont la forme | r,y x (y), du) |, 
] Æ ] | « 1\: Ih Bs, « 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 241 


et sont par conséquent échangeables à 9,; donc G, contient un groupe 


G, dont les substitutions sont échangeables a #%,, et dont l'ordre est 


0? 
p’z,(n,p + 1), z, désignant le nombre des substitutions de @ qui sont 


de la forme 





0 M. Me, OY 





. Par suite G; contient un groupe de l'ordre 


pi, (n,p + 1). 


Particulièrement, si G est de la seconde espèce, on a 7, — 1, d'ou n, — 0; 
donc 
O= g?z(w p^ + 1). 


On verra plus loin qu'on a «' =o dans tous les cas où a = p — 2,p > 3. 
Si a—p— 1r, on a j 


O= p" z(n,p + 1)(n'p* + 1), 


et lon sait, comme dans le cas précédent, que G contient un groupe 
non primitif G, de l'ordre p^*'z(n,p + 1). Il existe bien un groupe G 
du degré p, isomorphe a G,; mais comme celui-ci peut contenir des sub- 
stitutions de la forme |x,y f(y) + fi(y) . 9! , qui, quoique étrangères 
a H, ne déplacent pas les cycles c,, l'ordre de Gj n'est pas générale- 
ment un multiple de p(»,p + 1). 


8 4. Conséquences tirées de la primitivité ow de la non-primitivité 
des groupes. 


18. Il résulte des travaux de M. Jorpax (Journal für Mathe- 
matik, Bd. 79, et Bulletin de la Soc. Math., t. 1) que, pour les plus 
grandes valeurs de a, le groupe @ ne peut étre primitif, quand il ne 
contient pas le groupe alterné. En effet, d'aprés une formule du pre- 
mier des Mémoires cités (p. 256), le degré » d'un groupe primitif, ne 
contenant pas le groupe alterné, mais contenant une substitution de l'ordre 
p à q cycles, doit vérifier l'inégalité 


( ) — 0) 
n < q(p + q)logq + IM > d --p4 39, 


où l'on a supposé q > 2; si q—2 on a 


— 


n < 2p +3, 


Acta mathematica, 11, Imprimé le ?] Avril 188&, $1 


242 L.: Sylow. 


NS p+. 2, 


Dans notre eas on a np”; comme le groupe contient la substitution 
4,, qui est composée de p — a cycles de p lettres, on peut faire g=p—a. 
En supposant a— p — I, on a q— 1; donc, ayant p^ > p + 2, le groupe 
G ne peut être primitif, sans contenir le groupe alterné. En faisant 
a—p—2, on a q—2; il faudra donc que pP < 2p + 3, dou p — 3; 
done si a — p — 2, le groupe ne peut être primitif excepté pour p — 3. 

Pour les autres valeurs de g, on trouve que le groupe ne peut être 


primitif, quand on a 


I I I 
p>;:qlog9 +:4+; 





i | 5 7 2 13 I 
iUa VERS SERRE ri 
y t d loggg | 4(logq) n q log q = q(log q)* © (q log q)’ 








Quand g > 7, le radical est inférieur a 2, de sorte que l'inégalité pré- 


cédente peut être remplacée par celle-ci: 


Nl 


I 
p>5aloag + ,0+ 


En caleulant, pour chaque valeur de g, la limite de p, on en déduit 
celle que 4 ne peut dépasser, quand le groupe est primitif sans contenir 
le groupe alterné. Voici les résultats pour les premières valeurs de p. 


p lim(a) p lim(a) p lim(a) 
3 I Loe 8 29 20 
5 2 Io p du 31 32 
7 a 19° —d2 NE. 
LI 7 233 PTE Au * 30: 


Dans le Mémoire inséré au Bulletin de la Société Mathématique 
M. Jorpax a donné, pour les valeurs de g inférieures à 6, une limite 
plus resserrée, savoir 


en supposant p 2 q. On en tire, en faisant m = p’, 


) = ¢ 7 1. 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 243 


Il s'ensuit que, lorsque p — 5 et p — 7, la vraie limite de « est 1. 
Ainsi, p étant > 3, G ne peut étre primitif quand 4 — p — 3. | 

Quand par les raisons qui viennent d’être exposées, ou par d'autres, 
on sait que le groupe G est non-primitif, la distribution des éléments 
en systèmes est une de celles qu'admet le groupe /,. En particulier, si 
a > O, les systèmes sont formés par les elements qui répondent à une 
méme valeur du second indice. 

Les groupes non-primitifs méritent une étude spéciale, non seule- 
ment parce que, dans certains cas, ils sont les seuls possibles, mais aussi 
parce qu'un groupe primitif peut en contenir un autre qui ne l'est pas, 
et que la connaissance de ce dernier peut étre utile à l'étude du premier. 


19. Supposons que 6 soit non-primitif, les éléments se groupant 
en p systèmes, X,, X,,..., 2, 1, ou 2, contient les éléments pour lesquels 
le second indice est congru à 7. Soit /' le groupe contenant les sub- 
stitutions de G qui ne déplacent pas les systèmes, et désignons de plus 
par y, le groupe partiel entre les éléments u, .,,95;,,..., €,.,,, qu on 
obtient par les substitutions de /: Tous ces groupes 7, sont du même 
ordre, et se déduisent de l'un d'entre eux, en le transformant par les 


substitutions de G. Nous désignerons l'ordre de 7, par 


pz,(mp + 1), 


z, étant le nombre des substitutions de la forme 


|e «9()| 


contenues dans y,. Soit enfin y; le groupe dérivé de |x x + 1 | et de 
ses transformées par les substitutions de /'; 7 sera contenu dans y, et 
permutable a ses substitutions; son ordre sera 


pri(mp + 1), 


x, étant un diviseur de z,. 


/' contient la substitution #,, qui ne déplace que les éléments des 
p — a derniers systèmes; mais il ne contient pas de substitution de l'ordre 
p, qui en déplace moins. Il est méme facile de démontrer, qu'aucune 


substitution de /', quel que soit son ordre, laisse immobiles les éléments 


244 L. Sylow. 
de plus de 4 systemes. En effet, supposons que la substitution S ne 


déplace que les éléments de m systémes, et faisons 


J > > 
S — S a . $, 


IRSE 


En 


transformant S successivement par toutes les substitutions de 7’, on a 


s, désignant une substitution entre les éléments du système X 


i* 


une série de substitutions: 


y» n 2 We 
S = 5, : 8 ave Sey 
I 354 15} vr 
S CESTA SE, 


Or le groupe qui dérive des $,,5,, 5$, ,..., étant permutable aux sub- 
stitutions du groupe primitif z,, est nécessairement transitif; donc il con- 
tient une substitution de l'ordre p, et par suite le groupe ;;. En mul. 
tipliant un certain nombre des substitutions S, S', 5",..., on peut done 
trouver une nouvelle substitution 


où l'ordre de 5, est égal à p. En élevant S, à une puissance convenable, 
on a une substitution de l'ordre p, ne déplacant que les éléments de m 
systèmes au plus, donc 

m 2:9 —.a, 


ce qui justifie notre assertion. 

En faisant S — &,, le groupe 4, dérivant de S, $', 5”, ... aura 
évidemment pour ordre pzj(mp + 1). Si maintenant 7; > I, ce groupe 
contient une substitution ¢ qui transforme 9, en 4, r étant différent de 


l'unité. Or, en supposant 4 > o, /' contient la substitution 


(a) (a+1),__ (p—1),,_ 

Q t 27g —1 ; d—1 N a—] 

0, 1 i C416, * “atl see Vp—1 , 

et par conséquent celles-ci 
^ =a ( A —— à 00s —1 GE r(p—-1) 41 
c U, 1€ RES C5 —1* Ce "Cou 2260, 1 ) 


1 
i 


5 9 —1 gr —— A 
€ 0,190, = Co 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 245 


dont la dernière ne déplace que les éléments de Y, ,; donc il faut que 
q — p-— 1. 

Il est donc démontré que pour a 7 0, «a « p — I, on a nécessaire- 
ment z, = 1, et par suite, m — o. - Dans tous ces cas /' ne peut donc 
contenir d'autres substitutions d'ordre p que les produits des cj, c'est-à- 
dire les substitutions 4$75?...59,. Les substitutions de G sont évidem- 
ment permutables à /', et par suite au groupe (8,, 4 ,..., $); or il a 
été démontré, au numéro 17, que si a > 0,« « p — 2, les seules sub- 
stitutions de cette espèce qui puissent étre contenues dans G, sont celles 
de H. Donc, si le groupe G est non-primitif, a étant > o et — p— 2, 
il se confond avec H, et par suite on a 


DD OE 


La méme chose a encore lieu si p= 3,a — p-— 2 = 1, comme on le 
volt aisément. 

Quand p > 3, a — p—2, les substitutions de G doivent avoir la 
forme 


|z,9 az + f(y) d(y) |; 


il faut donc que le nombre » de la formule du numéro 17 soit nul. 
Si a = p— 1r, le groupe 4, se confond avec 7, ,. Le groupe / 
en contient un autre /" de l'ordre |pzi(mp + 1))’; or [^ ne contient évi- 
demment pas d'autres substitutions de l'ordre p que celles de /"; par 
suite l'ordre de /' sera 
par (mp + 1}, 


[2 


ou 7,7; = 7, est le nombre des substitutions de la forme | r,y ax,y 
contenues dans @. Donc enfin on a 


O = pt ri? mmp + 1 (mp + 1), 


7, étant le nombre des valeurs que prend la constante à dans l'ex- 


2 
pression |w,y ax, by| des substitutions de H. Chacun des nombres 


pri (mp + 1) , pri(mp + 1) , pz, Qu, p + 1 


est l'ordre d'un groupe du degré p. 


246 L Sylow. 


20. Reprenons maintenant les groupes primitifs où à 7 0,2 — p — 3. 
Nous désignons par /; le groupe intransitif de l’ordre p“*' contenu dans 
Pg (p—1) 


PGC DAT Goa VO ome, les cycles de la substitution $$", qui 


7 


est echangeable à toutes les substitutions de /,. Ainsi chaque substitu- 
tion de /; est un produit de puissances d'un certain nombre des cQ. 

Commençons par les groupes de la première espèce, en recherchant 
si J, et J, peuvent contenir un même groupe A de l'ordre p". Si K 
était intransitif, il serait contenu dans 7, et /;. Or nous allons démontrer 
que, quelle que soit l'espèce de G, les groupes J} et J; ne peuvent avoir 
de substitution commune. | 

En effet, une substitution commune à Jj et à Ij est le produit d'un 
nombre de cycles au moins égal à p — «a. Donc parmi les cycles de L, 
il y a certainement p — « qui se confondent avec p — a cycles de 4j, 
et qui seront désignés par 


? CDI) 
CO ee ae 


les lettres de ces cycles forment autant de systèmes communes à 7, et 1. 
D'autre part les systèmes de J, ne peuvent pas tous se confondre avec 
ceux de /,. En effet, sil en était ainsi, le groupe qui dérive des sub- 
stitutions de J, et de J, serait de l'ordre p^""^z'(mp + 1), m étant diffé- 
rent de zéro, et il serait non-primitif, ce qui est impossible (n° 19). On 
peut done supposer que le cycle c, contienne les lettres 


c, celles-ci 


ou 


per, (RE de 


car évidemment €, contient plus d'une lettre de l'un au moins des Sy- 
stemes de /,.. Le groupe Jj contient une substitution S, qui déplace les 


Ä 


lettres de p — a systèmes choisis arbitrairement; on peut done supposer 
que S, déplace a, ,4,,...,a, et les lettres de p — « — 1 des cycles 


1? "9 
) di E 
(C "dub cy 


1) 
0 » Co ss. Co : 


En désignant généralement par C, un produit de 
puissances d'un certain nombre de ces derniers cycles, on a 


2 
dM tm 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 247 


De même J{ contient une substitution 
LJ 


AN KOC 


1 1 


Si maintenant g > 1, soit c; la puissance de c, qui remplace bY” par 
bY»: la substitution 

, —)» Tr ar J Y 

od = S; i£. — C1 SCHE . C. 


ne déplace pas 5 ", mais elle déplace nécessairement une au moins des 
lettres 0,, 0, ..., 0 ?. Si elle en déplace plus d'une, on déduit de la 
méme maniere une nouvelle substitution qui en déplace moins, et ainsi 
de suite, jusqu'à ce qu'on soit parvenu à une substitution dont le pre- 
mier cycle contient -p— 1, des, lettres 9, par exemple a,, a, ,.. . -, @,, 
avec une seule des bi’. Par conséquent il est permis de supposer g = 1. 

Cela posé, soit 7' une substitution de J; qui, en laissant a, , a, , ..., «t, 
immobiles, permute /, circulairement avec p— 1 autres lettres b,,b,,...,0,. 
En transformant S, successivement par les p — 1 puissances de 7, on 
obtient les substitutions 


Y Y 1 ; Y ars y 
S, = 026, S, —0,. 6, OR We EC 5. = C 6 


ou €, est une substitution circulaire des lettres a,,a,,..., a, b.. 


iuo 3 3 "eq J 
groupe SEP vo PerMiUue. bes Tebges A... 8.7... 0,5, 0, 9 D... O, 
d'une manière p + 1 fois transitive; par conséquent il contient une sub- 
stitution V qui échange entre eux a, et a,, en laissant a,,a,,..., a, 
immobiles. Comme nous n'avons fait aucun usage de l'ordre des lettres 


a 


a, il est permis de supposer 


Tee , 
De Dion Wy, den, 3, 0,, 
d’où 


ste c vpt M Y 
purae cO RUE 18, rg, GO. 


Done le groupe G contient la substitution V ^'S,V. S;'. qui se réduit à 
o 


0 
(a,a,a,), done il est non-primitif, symétrique ou alterné. Cela étant 
contre l'hypothèse, /; et /; n'ont pas de substitution commune. 
Le groupe K ne peut done être intransitif. S'il est transitif, il 


dérive de deux substitutions échangeables entre elles: 


Bao DT Betis duet. 


248 L. Sylow. 


Le groupe J, contient une substitution 9, échangeable à toutes les autres; 

4 e Lom / 
comme il n'existe pas de groupe du degré p* et de l'ordre p?, contenant 
exclusivement des substitutions échangeables entre elles, # est contenu 


dans A; done on peut faire 
jp = regm ss Hak, 


Le groupe J, est complètement déterminé par les substitutions 4, et 
i, — 49. En le transformant par la substitution | 


B — MI. Un 


on a un nouveau groupe, déterminé par les substitutions 


ee, Pet ta gray 0708 —$. 
Parmi les groupes qu'on obtient de cette manière, ceux qui répondent 
à une méme combinaison de valeurs de 4,,4,,...,@, ont en commun 
avec /, un méme groupe d'ordre p*. Le nombre de ces derniers groupes 
est hp’, et le nombre des groupes J,, J,,... qui les contiennent est 
hp^, h étant le nombre des valeurs que peut avoir m,. Pour le dé- 


terminer, supposons que J, soit défini par les substitutions 


ÜÉ-lr,y au, 





= Uu —|x,y v-rmQy).y see 


et faisons 
Ê— x — m, (y), +13 


on trouve 


- 





SE, Et (y), y ; eas) E—m,(y),,¥ +1], 
& -—|&,y &,y-- 1|, "=l&E,y &£- 1,y|. 


Comme nous supposons 4 > o, les groupes J, et J, contiennent respec- 


tivement les deux substitutions 


fo = 


ER eee De ly: €, y+ El, 


done G, contenant les deux, contient toutes les substitutions linéaires et 


© 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 24 


homogènes en € et y dont les déterminants sont congrus à 1 (mod p), 
entre autres la suivante 
Ly 


LS VOL mal ras A (=) T 
+ \ 0 


ou 

















Or, cette substitution, étant permutable a /,, appartient à H, donc le 


We), à 


coefficient de $y^'' dans le développement de m, 2 





savoir 
m,(r^*? — 1) 
TNR E aur maus 





est divisible par p; comme r peut avoir toute valeur non congrue à 
zéro, on doit avoir m,=o (mod p),"a moins que a ne soit égal à p — 3. 

Comme nous supposons a — p — 3, nous avons donc À — o ou h— 1, 
et dans le dernier cas nous savons que G contient les p — 1 substitutions 


LY TX, -y et généralement toute substitution de la forme 








x ax +by +c 
y du + ey +f 
ou ae—bd=ı (mod p); ces substitutions forment un groupe d'ordre 


De 1). 

On a vu, au commencement du numéro 17, que deux des groupes 
I ne peuvent contenir un méme groupe transitif dont le degré surpasse 
p. En vertu de ce qui a été dit au numéro 6, on peut done préciser 
comme il suit l'expression de l'ordre de G: 

Quand a > 0,a « p — 3, et. G est de la première espèce, son ordre 
est exprimé par l'une des formules suivantes: 


O = pt a(n'p*t? + 1), 

0 az 9*7 (n'p"*' + p + 1). 
Dans le cas de la premiére formule, G ne contient d'autres substitutions 
linéaires que celles de H; c'est ce qu'on voit de la même maniere que 
pour &— 1 (n? 15). Dans la seconde formule le nombre np" + p + 1 


est divisible par p + 1; en effet, on voit facilement que le nombre des 


deta mathematica. 11. Imprimé le 25 Avril 1888. 32 


250 L. Sylow. 


groupes d'ordre p*, contenus chacun dans p+ 1 des groupes J,, est égal 
. (npo t1 + p* + 1)p$-1 
a ———— . 


pi 
Quand G est de la seconde espèce, deux quelconques des groupes 





n 


I, ne peuvent avoir d'autre substitution commune que l'identique; car 
sils en avaient, ils contiendraient une méme substitution de l'ordre p, 
laquelle appartiendrait a Jj et à /j; mais on a vu, au commencement 
de ce numéro, que cela est impossible. Done si G est de la seconde 
espèce, a étant > 1, et < p — 3, on a comme pour a = I, 


() = pany? + 1). 


§ 5. 

21. Recherchons de quelle manière un groupe primitif du degré 
p^ peut être composé. Nous désignerons par H le groupe que nous avons 
plus haut appelé H’, en gardant du reste les notations précédentes. Le 
groupe primitif dont il est question dérive des substitutions des groupes 


I,,1,,...,1,, et H, ce que nous exprimerons en écrivant 


np 


G — (1,1, <--.,f, 


np 9 


Hy 


son ordre est 


Supposons que 6 contienne un groupe G', permutable à ses substitutions 
et, par suite, transitif. Dénotons les groupes contenus dans G', ainsi que 
leurs ordres, en accentuant les lettres relatives aux groupes correspondants 
contenus dans G; on a 


ANE HUN Les Le) 


, 
np 


O' = y" "?z'(n'p + 1). 


On sait que chacun des groupes J’ est contenu dans un des /,; nous 
allons démontrer que J; est permutable aux substitutions de chaque 
groupe J, qui le contient. En transformant les 1! successivement par 


toutes les substitutions de /,, on obtient un groupe entre les /;, dont 


l’ordre est une puissance de p; comme leur nombre est p L:-]'um 
; Î 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 251 


au moins d'entre eux, par exemple Jj, est invariable par ces transforma- 


tions. Par conséquent J, est contenu dans J,, car autrement le groupe 


0° 
(I; 5) serait de: l’ordre p*t?*”, ce qui est absurde. De plus on a a — o' 


ou: à = «+ 1; en effet, ss a> a’ + T, on aurait 
b 
I, = (% , 9|,..., Vos 02,1054, ... 8, 020) 
en transformant ce groupe par #%,, on aurait le suivant 
( b +) 
(8, , D CA QC OPT 9, * 95 19,4. Che 9^ e rU ot), 


qui diffère de Ij, ce qui est impossible. Il faut donc que a =a’ ou 
a— ax +1, et dans les deux cas Jj est évidemment permutable aux 
substitutions de chacun des groupes J, qui le contient. 

Premier cas, «= «a. Comme J; est identique au groupe I, qui le 
contient, on a évidemment »' = n, 


O—ntm(np - 1). 


Le groupe /7 est contenu dans H et permutable a ses substitutions, car 
le groupe transformé de À’ par une substitution de H est contenu dans 
H et G’, et par conséquent il ne peut être que H’. 

Inversement, si G', ayant pour ordre p“**7'(np + 1), est contenu dans 
G, et si, en outre, H’ est permutable aux substitutions de H, G' est per- 
mutable à celles de G; c'est ce qu'on voit presque immédiatement en re- 
marquant qu'on a G —(G', H). Si l’on excepte les groupes de la premiére 
espece ou a — o, la condition relative au groupe H’ peut étre omise, 
puisque les substitutions de H sont échangeables entre elles — D'ailleurs, 
si G' n'est pas nécessairement permutable aux substitutions de G, le 
groupe (4;, 1,,..., £5), contenu dans G', l'est toujours. 

Les facteurs de composition de G sont donc: 1°, les facteurs de com- 
position du groupe A 2°, ceux de @ (voir, pour la notation, le Me- 
moire de M. Jorpan: Sur la limite de transitivité, § 2, Bulletin de la 
Société Mathématique, t. 1). Si l'on excepte le cas ou, a étant égal 
à zéro, H est icosaédrique, les facteurs qui naissent du groupe 4 sont 

; 
des nombres premiers. Quand H est icosaédrique, H’ peut l'être aussi, 


et. dans ce cas les facteurs de composition qui précédent ceux de G' 


252 L. Sylow. 


sont encore des nombres premiers; si non, //’ ne contient que des sub- 
stitutions de la forme 





v, ax, ay|. 

Second cas, a — a' + 1. Chacun des groupes J, ne peut contenir 
qu'un seul des groupes /;. En effet si Jj et Ij étaient contenus dans 
I,, on aurait 


ra Mom CET m iF 
um. AQ A. 
I xxm (8, , 8, nee > 9, 4, Va b); 


done G' contiendrait 9"! et #1, et par suite "^", ce qui est contre 
l'hypothèse. Or, on a vu que deux des groupes J, ne peuvent contenir 
un méme groupe transitif de l'ordre p^*' que dans.le seul cas où 4 = 1, 
G est de la premiére espéce et ou l'on a 


O = p'z(p + 1)(n,p° + 1). 


Done, si l’on fait abstraction de ce cas, il faut que » = m, 


Q' = yz (np + 1). 


Comme G' est permutable aux substitutions de J,, le groupe @ en con- 
tient un autre G" de l'ordre p’*’z’(np + 1); d'aprés ce qui précède G” 
est permutable aux substitutions de G, et évidemment G’ est permutable 


à celles de G"; done les facteurs de composition de G sont: 1°, les di- 


viseurs premiers de =, 2°, le nombre p, 3°, les facteurs de composition 


7175 


de @. 

Si le groupe G’ est lui-méme composé, la série des décompositions 
est arrétée, au plus tard, quand on est parvenu à un groupe de l'ordre 
pz(np-- 1), où z, est un nombre premier. En effet on ne rencontrera 
pas le cas qui a été excepté, comme le font voir les expressions de O 
trouvées au numéro précédent. Donc, à part l'exception signalée, le 
nombre » a la propriété de se conserver dans le cours des décompositions. 
Un groupe dont l'ordre est exprimé par la formule 


O = y^" z(ny* + p* + 1), 


x étant supérieur à 1, n'entre jamais dans ce cas. On aurait en effet 
O — y zt + p + 1), et par conséquent G' ne contiendrait d'autres 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 253 


substitutions linéaires que celles de H’; mais d'autre côté il contiendrait 
2,9 T, v| (n° 20, ce qui est une 





nécessairement la substitution 
contradiction. 
Considérons enfin le cas d'exception. On a 


O = p'z(p + 1)(n,p° + 1), O' = pz (wp + 1). 


Désignons par /' le groupe d'ordre p^z(p + 1) formé des substitutions 
linéaires de G, et soient Z,, 1 ,..., I, les groupes d'ordre p? contenus 


, 


dans /. On &.vu que lun des groupes J), 4,,...,4, 


,, est contenu dans 


I,, et que, par suite, il a la forme (9, , 97 /); donc G" contient la substitu- 
tion 4. Dans un autre des groupes J, les substitutions échangeables à 


toutes les autres sont les /"; on peut done conclure que G’ contient f. 
Done parmi les groupes J, se trouve le suivant: (8,, é) — lj, qui est 


contenu dans les p + 1 groupes 7,,1,,..., Z,. D'autre part I, étant 


o 
permutable aux substitutions de tout groupe J, qui le contient, ne peut 
être contenu dans aucun des groupes J,,,...J,,. Il s'ensuit que chacun 


des J’ est contenu dans p + 1 des J,. Done on a 
O'. = pia (np? + 1). 


Quand p = 3, il n'existe d'autres groupes du genre que nous considérons, 
que ceux où n, = O, c'est-à-dire ceux qui sont contenus dans le groupe 
linéaire. Pour les autres valeurs de p, le groupe 4 qui renferme les 
substitutions linéaires et homogénes dont le déterminant est congru à 
1 (mod p), et qui est contenu dans G, a pour facteurs de composition 


2 
E AMA en 
a et 2. Les substitutions de 4 sont permutables a J) et par 


suite a H' On en peut conclure que H’ ne contient que des substitu- 
tions de la forme |z,y ax,ay,. En effet toute substitution de H’ 
peut être écrite sous la forme ST, où S appartient a 4, et ou T a la 


forme |x,y ax,y|. Or comme 4 contient la substitution 








g=|v,y rv,-y | 


H contiendra e ^'SeT et par suite ce ^! Se. S^; cette substitution, faisant 


4 


partie d'un groupe contenu dans 4 et permutable à ses substitutions, 
ne peut être que 1 ou |z,y —x,—y|. Mais la dernière alternative 


254 L. Sylow. 


ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de r, comme on le voit aise- 
ment; pour les autres il faut donc que g~'Sg = S; mais alors S est ca- 
nonique en æ et y, done 


> 
4 


I 
= dm y an 5—y |. 
a 


Par conséquent les substitutions de H’ sont de la forme 





U=|x,y ax, by; 
mais, puisque J contient la substitution 9, , H' contient la suivante 
SEE: cm b—a 
8 Ua. Ut =|r,y x +— Uy 


ce qui exige que b=a (mod p). 
€ . G 

Les premiers groupes composants de G sont ceux de gr ce groupe 
est isomorphe au groupe contenant les substitutions linéaires et homo- 
genes de G. Donc, si l'on suppose que H contienne des substitutions 
dont le déterminant est non résidu quadratique de p, et qu'on désigne 
par zz" le nombre des substitutions de H qui ont la forme |x,y ax, ay] 
DU 


, EY 


P^ 


- 1) 
les facteurs de composition de @ seront: 2 , les facteurs pre- 


miers de 7”, les facteurs de composition de @’, et lon aura 





Si au contraire // ne contient que des substitutions dont les déter- 
minants sont résidus, le premier facteur (2) doit être omis, et lon aura 
z = zz'(p—1). Le nombre n n'a pas ici la propriété d’être conservé 
en passant du groupe G au groupe G'; mais cette propriété appartient 
toujours au nombre N, défini par l'équation 


O = y" P( Np. 1), 


P désignant l'ordre du groupe formé de celles des substitutions de @ 


Le 


qui sont linéaires en x et y ou en & (mod p°), suivant l'espèce du groupe. 


22. Voici une autre conséquence de ce qui précède, qui sans avoir 


m , 4 . , ^ ) 
beaucoup d'importance, présentera peut-être quelque intérêt, vu quon ne 


D 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 255 


connait qu'un tres petit nombre de cas ou l'on peut reconnaitre la ré- 
solubilité d'un groupe de son ordre seul: 

Tout groupe dont l'ordre est p'g ou p'q^, p et q étant des nombres 
premiers inégaux, est résoluble. 

Soit. G un groupe de l'ordre pg; il en contient un autre H, de 
l'ordre q.  Désignons par y, une fonction rationnelle des éléments, in- 
variable par les substitutions de H, mais variable par toute autre sub- 
stitution; cette fonction prend, par les substitutions de G, un nombre p’ 
de valeurs différentes, y,, ÿ,,...,%,»;. Em opérant dans ces fonctions 
les substitutions de G, on a un groupe G' entre les y, lequel est tran- 
sitif et isomorphe à G.  L'ordre de G' est p? ou p?q. Dans le premier 
cas H est permutable aux substitutions de G; comme les facteurs de 
composition de G' sont p, p, ceux de G sont p, p, q. Si l'ordre de G" 
est pq, ce groupe en contient un autre IJ’ de l'ordre p; en désignant 
par p'z l'ordre du groupe qui contient les substitutions de G’ permutables 
à l', on a une équation de la forme 


pg = p'r(np + 1). 





Or, on ne peut avoir 7 — I, puisque alors x serait nul, donc il faut que 
Tr —q,n--0; c'est-à-dire que les substitutions de G' sont toutes per- 
mutables à J’; par conséquent les facteurs de composition de G' qui 
sont en méme temps ceux de G, sont g,p,p. Dans les deux cas G 
est done résoluble. 

Si l'ordre de G est pq”, on obtient comme plus haut un groupe 
G' du degré p* isomorphe à G; son ordre est p^, p’q ou pq”. Dans les 
deux premiers cas @’ est résoluble, et par suite aussi G. Dans le troi- 
sieme on a, comme ci-dessus, une équation de la forme 


p'q* = p'z(np + 1), 


et l'on peut supposer y > p. Or on ne peut avoir z— 1, donc il faudrait 
que q divisät z; mais z est un diviseur de (p — 1)'(p + 1), nombre dont 
aucun diviseur premier ne surpasse p, à moins que p ne soit égal à 2. 
Mais cette supposition est inadmissible, puisque l'ordre d'un groupe du 
quatrième degré est un diviseur de 24. Ainsi le troisième cas peut être 
évité. Le théorème est done démontré. 


256 L. Sylow. 


22. La détermination du groupe que nous avons désigné par H 
permet de resserrer un peu, dans quelques cas spéciaux, la limite de 
transitivité des groupes, assignée par M. Jorpan dans son Mémoire sur 
ce sujet, inséré au Bulletin de la Société Mathématique, t. 1. En 
effet, si dans le théoréme III du Mémoire cité, on fait m= 2 , » — o, 
on démontre, en suivant le raisonnement de M. Jorpan, que si un groupe 
du degré pq +k, où gq<p,q<k, est plus de & fois transitif sans 
contenir le groupe alterné, / ne pourra-surpasser 5, si le nombre pre- 
mier p est de l'une des formes toh + 1; il ne pourra surpasser 4, si p 
est égal à 5 ou qu'il soit de l'une des formes 10% + 3. Les mêmes 
règles sont encore valables, quand le degré est pg + k, où g<k,q<p’. 
Si lon fait q — r, et qu'on suppose en méme temps que l'ordre du 
groupe partiel qui laisse A + 1 éléments immobiles, soit divisible par p, 
k ne peut méme dépasser 2. C’est la une proposition analogue à l'élé- 
gant théorème I du Mémoire de M. Jorpan, et elle se démontre de la 


méme maniere. 


bo 
[41] 
I 


SUR UN. MODE DE TRANSFORMATION DES SURFACES MINIMA. 
(Second Mémoire) 
PAR 
E. GOURSAT 


à PARIS. 


1. Le probléme traité dans le travail précédent! conduit à exa- 
miner une question plus générale. Soient 


Ti Tata SR TEN ME 





1% = 08,425 Lo nd s 7) 


(1) 





8 = PLY, 23 9,5 o» 4) 


trois fonctions de six variables indépendantes 7,9,2,m,,9,,7 Sup- 


0° 
posons que æ,7y,2 désignent les coordonnées d'un point d'une surface 
minima quelconque S, et x,,%,, % les coordonnées du point correspondant 
de la surface adjointe S,. Le point de coordonnées x, , y,, 2, décrira 
une certaine surface S,. Quelles sont les fonctions f, ç , & les plus géné- 
rales, telles que la surface S, soit aussi une surface minima, quelle que soit 
la surface minima S? 

On a vu dans le travail précédent qu'on peut satisfaire à cette 
condition en prenant pour f,@, ¢ des fonctions linéaires convenablement 
Les propriétés connues des surfaces mi- 


ehoisles (dB YA, 2,, 9,» By. 


nima conduisent sans difficulté à la forme générale des fonctions f, ¢, ¢. 


9. Soit m un point queleonque de l'espace de coordonnées a,b,e, 


m, un autre point de coordonnées 4,, 0, ,e,, P et P, deux plans paral- 


0 





! Voir Acta mathematica, t. 11, p. 135. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 29 Mars 1888, 8g 


258 E. Goursat. 


léles passant par ces deux points, a, /,7 les cosinus directeurs de la 
normale à ce plan. Considérons une surface minima S passant au point 
m et tangente en ce point au plan P; comme on peut déplacer la sur- 
face adjointe S, parallèlement à elle-même, nous pouvons supposer que 
le point correspondant à m sur S, est précisément le point m,. Les 
formules (1) feront correspondre au point m un point m, dont les coor- 


données a,, ,,¢, ne dependront que des coordonnées des deux points m 


1 
et m,. Des formules (1) on deduit 








of of ef of of of 
dy, —-— dx — di =e ht IN Le | pe 
Ox T oy Yr 92 i ou. © ii 9y, Wr 92, W 
9c 90 9c 9 99 99 
dy, — — dx Ber) gau zu EE 
(2) ee er en a 2m dy, + 2^, d, 
oc . 2d ad ol dr ¢ 
dz, — — dx — di da da — m zu dS 
= ov 2 oy Yr 02 p ou, ° y oy Yo + 21-08 


or on a! 


dx, = Bde — rdi, dy, = ydx — adz, de, = ady — fda, 
et, si on remplace dr,, dy,, dz, dans les formules précédentes, on voit 
que les cosinus directeurs de la normale à la surface décrite par le point 
2,,9,,2, ne dépendent que de 2,9,2,9,,9,,2,,«, f,y. Par conse- 
quent, si lon considère toutes les surfaces minima S tangentes à un plan 
P en un point déterminé m, telles que le point correspondant au point 
m sur la surface adjointe S, soit un point déterminé m,, toutes les sur- 
faces S, définies par les formules (1) sont tangentes à un plan déterminé 


1 


P, en un point fixe m,. 
Cela posé, soit /' une courbe minima queleonque représentée par 


les équations 


B — Alt), 
(3) Y = B(t), 
z cu, 





' Scuwarz, Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflichen (Journal für Mathe- 


matik, t. 80, p. 280; 1875). 


Sur un mode de transformation des surfaces minima, 


ou A(t), B(t), C(t) désignent trois fonctions d’une méme variable ¢ 
vérifiant la relation 
dA? + dB? + dC’ = 0; 


soit /;, une seconde courbe minima représentée par les équations 


[*7 iA(f) + A, 


(4) FH x 
m = iC (t) + », 


ou À,/, sont trois constantes quelconques. Par la courbe /' faisons 
passer une surface minima quelconque S et soit 4 la développable 
circonscrite à S le long de /'; cette developpable se réduit, comme on 
sait, à un Cône ayant son sommet en un point du cercle de l'infini." La 
surface adjointe S, 
la transporter parallèlement à elle-même ou la remplacer par sa symé- 


n'est pas complètement définie de position; on peut 


trique relativement à un point de l'espace. On reconnait aisément qu'on 
peut, sans restreindre la généralité, la faire passer par la courbe /;, de 
facon que les points des deux courbes /', /;, qui correspondent à une 
méme valeur de ¢, se correspondent aussi sur les surfaces S, S,. 

A la surface S les formules (1) font correspondre une surface S, 
qui, par hypothese, doit être une surface minima. A la courbe 7', ces 
formules font correspondre une certaine courbe C représentée par les 
équations 


X, = f [A(0, Bi), CH; tA + 4,1B(0 + p, iC (t) +v] = F(X, Y, 2), 
(5) 4 Y, = e[A(0, BY), C(t); àA(0) + A, iB(t) + p,iC(t) +r] = (X, Y, 2), 
Z, = dA(0), BY), CH; LA(0 + A, TB (0) + p, iC (t) +v] = V(X, Y, 2); 


soit 4, la développable circonscrite a S, le long de la courbe C. La 
courbe C et la développable 4, resteront les mémes, on vient de le 
voir, si les courbes /',/; et la développable J restent les mêmes. Or 
il existe une infinité de surfaces minima S inscrites dans la dévelop- 
pable 4 le long de la courbe C, et on peut toujours supposer que les 
surfaces adjointes passent par la courbe /;. On voit done qu'il doit 


exister une infinité de surfaces minima S, inscrites dans la développable * 


260 E. Goursat. 


4, le long de la courbe C. Or cela ne peut avoir lieu que si cette 
courbe C est elle-même une courbe minima.’ Si on remarque mainte- 
nant qu'on peut répéter le raisonnement qui précède en partant d’une 
surface minima quelconque et d’une courbe minima quelconque située 
sur cette surface, ou est conduit aux conclusions suivantes. Si les for- 
mules (1) font correspondre à une surface minima quelconque S une 


nouvelle surface minima S, ; 


1° toute courbe minima I' de S a pour transformée une courbe minima 
I, de S,; 2° on peut déduire la courbe I, de la courbe I’ par des for- 
mules de transformation (5), qui font correspondre un point à un point et 


qui changent toute courbe minima en une nouvelle courbe minima. 


9. D'apres cela, voici comment on obtiendra la transformation la 
plus générale satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Soit S une surface 
minima quelconque, 5S, 
transformation de cette nature. La surface S peut étre considérée comme 


une surface minima qui lui correspond par une 


le lieu du milieu d'une corde joignant un point d'une courbe minima 
I’ à un point d'une autre courbe minima /". La surface S, peut être 
engendrée de la méme facon au moyen de deux courbes minima 77, /1. 
Soit 7 une courbe minima de S homothetique à /'et 7, la courbe mi- 
nima qui lui correspond sur $,; cette courbe 7, sera homothétique a 
l'une des courbes /\, 7/1, à la courbe /\ par exemple. Il résulte alors 
de ce qui précéde que l'on pourra passer de la courbe /' à la courbe 
]; au moyen d'une transformation qui fait correspondre un point à un 
point et à toute courbe minima une nouvelle courbe minima. La courbe 
I, se déduira de /" par une transformation de méme nature. 

Prenons, par conséquent, deux courbes minima quelconques /', 1”, 


représentées par les équations 


X = A(t), 5 = Ar), 
PiY —B(, I” \ Y = Bin), 
Ze. | = Qr), 





! DarBoux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. 1, p. 396. 





Sur un mode de transformation des surfaces minima. 261 


et soient S, S, les deux surfaces minima, adjointes l'une de l'autre, 
données par des équations | 


2x — A(t) + A'(r), - 
S À 2y = Bit) + B'(r), 
2a = C(t) + C'(z), 


) Alc) — @ +. iz, 
Bit) =y—y, Blt) = y. + iH, 

) Or) = 4a +. 
Appliquons à chacune des courbes J’, I” une de ces transformations dont 
il vient d’être question, qui font correspondre un point à un point et 
qui changent les courbes minima en courbes minima. On obtient deux 


autres courbes minima 1°, IT: 
t 


], 


|^ = F[A(+), B(t), C 
if 


( 
| O[A(t), Bi), 

Z = ¥[A(t), B(t), O(¢ 
E = F[A'(), Br), C(t 
rity: = @fA(c), B(2), 

Zi = WA), B(7 


ES 
à = 


C(t 


d » e. C e nt St 


B 
YQ 


21, = a. -- A, 
8, p = Y E, 
+ ZI. 


202 E. Goursat. 


Si on remplace dans ces formules A(t), B(t) , C(t); A(z), B'(c) , Cr) 
par leurs valeurs en fonction de #,y,2;4,,%,,24 et si on divise par 


on aboutit aux formules suivantes pour re- 


2 les coordonnées %, , y, , 2, 


présenter la surface S, 


Qu 


[^ = Fir — in ,y — iy, ,2— iz] + Fler + ix, , y + yy, 2 + 24]; 
(6 Jy, Dr — ix , y — d ,2— ia] + Ole + my + y,,2+ 1%], 
2 = Ur — in y— ws — ia) + T [x t+ im.y + 9, 2 + ie]. 
Ces formules sont bien de la forme (1) et, d'après ce qu'on vient de 


voir, ce sont les plus générales qui satisfassent aux conditions du pro- 


bleme propose. 


4. Nous sommes done amenés a rechercher les transformations de 
l'espace qui font correspondre un point a un point et qui changent toute 
courbe minima en une nouvelle courbe minima. — Solent 


| EXAMS 
jp y. 
> END WA 


les formules qui définissent une transformation de cette espèce; la somme 
2 

dX? + dY?+ dZ? est égale à une forme quadratique homogene de 

dX ,dY,dZ dont les coefficients ne dépendent que de X, Y, Z. Mais, 

puisqu'on doit avoir 


dX? + dYi + dZi =o 
toutes les fois que l’on a 
dX? + dY? + dZ? = o, 
il faut évidemment que l'on ait identiquement 
(8. ax? + dY? + 42? = A(dX? + dY’ + aZ) 


À ne dépendant que de X, Y,Z. On connait toutes les transforma- 


Sur un mode de transformation des surfaces minima. 263 


tions de la forme (7) qui satisfont à cette condition." Elles résultent de 
la combinaison de transformations par rayons vecteurs réciproques avec un 
déplacement, et dépendent de dix paramètres arbitraires. Ces transfor- 
mations peuvent être définies d’une manière élégante, si l’on emploie 
les coordonnées pentasphériques; elles résultent alors d’une substitution 
orthogonale à cinq variables effectuée sur ces coordonnées. Il n'y a 
aucune difficulté à déduire de là l'expression générale des fonctions 
F,F,0,0,%,%" qui figurent dans les formules (6) et par suite 
. des fonctions f,¢,¢ des formules (1). Il est à remarquer que, si la 
surface primitive S est réelle, les formules (1) donneront une infinité de 
nouvelles surfaces qui seront toutes réelles, pourvu qu'on applique aux 
deux courbes J’, I” des transformations imaginaires conjuguées. 


5. Supposons que les transformations appliquées aux deux courbes 
minima I’, I” se réduisent à une inversion par rapport à une sphere de 
rayon À ayant pour centre l'origine des coordonnées. Les formules (7) 
deviennent ici 

R’X 


X, a X? + y? i mrt 





r R°Y 
9) Carers 


R°Z 


4 ye py m) 


et les formules (6) nous donnent 


p = Ur + Ve, 
Vy, ES Uy + Vy. 
|. = Ur + Vs, 


(10) 


LIOUVILLE, Journal de Mathématiques pures et appliquées. 1°" série, t. 13, p. 
220: et: t. 10, p. 103. 
DARBOUX, Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes ortho- 
gonaux. Annales de I Ecole Normale, t. 7; 1878, 


264 E. Goursat. 
en posant, pour simplifier l'écriture, 


2/,,2 2 2 2 2 2 
Rat +: —Wu —u 





U = - 2 2 9 9 3 x = M 
(x ED: y^ mb ANE ue Yo —— 2) n 4 ox, + YYo + 22) 
(11) 
V — 2R'(zv, + YY + 22.) 





Get + y? + st — 2 — yo —- 8). + AQ, + yy, + 2%)” 


Ces formules mettent en évidence la propriété suivante: les trois points 
de coordonnées (x,y, 2), (&, > Yo» 25) , (0, 9, 4,) sont dans un méme 


plan passant par l’origine. La transformation qui précède a déjà été 


employée par M. Lir. 


RE eee 


bo 
a 
or 


UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE NORMEN KOMPLEXER ZAHLEN 


VON 


K. SCHWERING 


in COESFELD. 


Wenn a — 1, À Primzahl und « nicht reell ist, so heisst der Aus- 
druck 


aa + a,a? + aa + ...+ a; at, 


WO 4,,45,,05,...,0, ., reelle ganze Zahlen bedeuten, eine aus 4" Ein- 
heitswurzeln gebildete komplexe Zahl. Unter der Norm einer solchen kom- 
plexen Zahl versteht man das Produkt 


IL (a, a’ ot LE ILE FT MS eA (r=1, 2,8, ..., À—1) 


Die Berechnung einer solchen Norm ist bei zahlentheoretischen Unter- 
suchungen insofern eine Sache von grundlegender Bedeutung, als die Norm 
allein Auskunft über die wesentlichen Eigenschaften einer komplexen Zahl 
geben kann. Es war daher unbedingt geboten, in erheblichem Umfange 
Normenberechnungen durchzuführen und die Ergebnisse in Tafeln zusam- 
men zu stellen. Solche Tafeln hat Herr C. G. REUSCHLE mit grosser 
Sorgfalt berechnet, und die Akademie der Wissenschaften in Berlin hat 
den Druck auf ihre Kosten herstellen lassen. Ist hiermit dem prak- 
tischen Bedürfnisse abgeholfen, so bleibt gleichwohl für die Theorie die 
ebenso interessante als schwierige Aufgabe zu lösen, den wirklichen Aus- 
druck der Norm näher zu untersuchen. Schon Herr Rzvscurg selbst 
hat in dieser Richtung Wege gezeigt.‘ In einer kleinen Gelegenheits- 
schrift Entwicklung von Produkten konjugirter Faktoren, Stuttgart 1874, 
finden sich beachtenswerte Angaben über die Bildung der Norm.  Ins- 
besondere bildet er die von ihm sogenannte kubische Normform und ver- 


Acta mathematica. 11. Imprimé le 10 Avril 1888, 34 


266 K. Schwering. 


wendet sie für Primzahlen des czsten Tausend. Wenn nun meine eigenen 
Untersuchungen einen ganz anderen, und wie ich glaube, zweckent- 
sprechenderen Gang genommen haben, so verdanke ich dies dem glück- 
lichen Umstande. dass mir die Aufgabe der Normenberechnung bei einem 
besonders geeigneten Ausgangspunkte entgegentrat. Ich wurde nämlich 
durch eine von Herrn Kronecker gestellte Frage veranlasst, die Normen 
trinomischer komplexer Zahlen zu untersuchen und kam so zu dem 
Bd. 10 S. 79 (diese Zeitschrift) stehenden Ausdrucke. So blieben meine 
Rechnungen in ziemlich weitem Umfange wirklich ausführbar und ich 
sah mich in den Stand gesetzt, für die von wir gewählte Form alle 
Fragen nach Anzahl und Bildung der auftretenden Glieder vollständig 


beantworten zu können. 


1. Fangen wir mit einem Beispiele an. Wir suchen die Norm 
N(z + aa + bo? + ca‘); oT, 
Zu diesem Zwecke bilden wir 
G P(z) — (2 +a+tb+o)N(ze + aa + ba? + ca‘). 
Dann hat die Gleichung P(z) — o die À Wurzeln: 
2, = — (ax + ba” + ca”). Een 


Suchen wir zunächst die Potenzsummen dieser Wurzeln zu bestimmen. 
Für jede komplexe Zahl 


g(a) — a, + a + aa +... + 1a" 


erhält man 

(2 e(1) + ça) + cfa”) +... + Piu cam. 
Dies soll künftig durch 

(3) 2g(a) = da, 


kurz ausgedriickt werden. Bezeichnen wir nun die Summe der hi Po- 


tenzen kurz durch s,, so ist: 


(4) s, — z-£ZÉ-c..- ua = 2(— 1)(ax + ba” + ca)". 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 267 


Entwickeln wir nun rechts nach dem polynomischen Lehrsatze, so haben 
wir nur diejenigen Glieder zu berücksichtigen, welche wir oben mit a, 
bezeichneten, also die Glieder von der Form 


= Du E um a bc". D AM Aie 


wo k,l,m den Bedingungen genügen müssen: 
(s) | k + dl + em zz o. (mod A), 
5 es 

| h=k+t+l+me)i. 


Wir sehen hier die verallgemeinerte Form derjenigen Kongruenzen vor 
uns, welche zuerst E. Kummer bei Zerlegung der ¢-Funktionen in Fak- 
toren bemerkt hat. Ganz allgemein können wir diese Kongruenzen so 
erklären: | 


(6) | av, +a,0, +... + 4,2%, — Oo (mod À), 


. Ty HT +... + Zn LÀ. 


Die a, a,,..., «, sind gegebene positive oder negative ganze Zahlen, die 
Unbekannten #,,2,,...,#æ, dürfen nur positive ganze Zahlen sein. Diese 
Kongruenzen bilden einen Hauptgegenstand unserer Untersuchungen und 
mögen kurz als KummMersche Kongruenzen m‘ Ordnung bezeichnet werden. 
Für alle durch die Kummersche Kongruenz 3'* Ordnung (5) be- 
stimmten Wertegruppen £,/,m finden wir 
S LE 
(7) $, = AN (— 1) ele à Ber. 
k, l,m er abe 
Aus diesen s, sind die Koefficienten p, durch die Wanınssche Formel 
zu gewinnen. Obwohl diese Formel in der erwähnten Abhandlung S. 62 
bereits von uns abgeleitet worden ist, können wir nicht umhin, diese Ab- 
leitung hier noch einmal in gedrängter Kürze zu wiederholen. Es soll 
nämlich eine, wie es scheint, nicht unwesentliche Erweiterung dieser be- 
kannten algebraischen Formel angeschlossen werden. 


log (2 — 2,) = log2 — - .2, 


268 K. Schwering. 
Daher 


; I 

Pr oe ee es x cg We pr 
log 4 ^ log MES 2.14119 UN? 
Nun erscheinen aber unsere s,, wie Gleichung (7) zeigt, wieder als 
Summen und zwar aus Summanden von der obigen Form. Demnach 
wird 


| ^—1 ak blem 
A(—1)AHl, — —— 
(8) P — 2 ]1le Xs ues 


Für jede Wertgruppe #,{,m, welche der Kummerschen Kongruenz (5) 
genügt, hat man also die Reihe zu bilden: 





|h — rabiem] 


^n 


I 


I+... a jd 








h 





lim 2 








Die so entstehenden Reihen sind zu multipliziren und das Produkt noch 
mit # zu vervielfachen. Alle Potenzen mit negativem Exponenten von 
2 fallen weg. Dei dieser Entwicklung spielen also die Wertverbindungen, 
welche den Kunuuerschen Kongruenzen genügen, dieselbe Rolle, welche bei der 
gewöhnlichen Warineschen Entwicklung den Potenzsummen zufällt. Hierin 
besteht die oben angekündigte Erweiterung der Warınsschen Formel. 
Man ist nun imstande, eine Reihe wichtiger Bemerkungen zu unserer Ent- 
wicklung zu machen. | 


1.) Eine Auflösung der Kummerschen Kongruenz lautet 
i =O, == 0; MA: 


Für diese Wertverbindung erhält P laut Formel (8) den Beitrag c’. 
Ebenso entstehen aus k — 0, /=A, m — o und Kk — À, ! — o, m —0 
die Beiträge ^ und a’. k —0, 1 — o, m — o liefert 2’. 

2.) Ausser den vier Gliedern 2’, a’, b’,c haben alle in P auf- 
tretenden Summanden den Faktor 2. 


3. Man kann die in (5) auftretende Ungleichung ersetzen durch 
k + T+ om < À. 
Denn für k + | + m — À erhalten wir in P die von 2 freien Glieder, 


(a + b+ c)N(aa + ba’ + ca‘), 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 269 


welche als Norm einer érinomischen Zahl (einer Zahl niedrigerer Ordnung) 
für erledigt gelten können. 


Die vorstehenden Untersuchungen sind zwar nur für die viergliedrige 
Zahl z + au + ba’ + ca^ durchgeführt. Allein es ist klar, dass die ge- 
zogenen Schlüsse mit geringer Änderung allgemeine Geltung erhalten. 

Wir verzichten also darauf, die Faktoren unserer Norm nach Perioden 
zusammenzufassen. Anders wird der praktische Rechner verfahren. Er 
wird mit BEuscHLE z. B. für À — 3m + 1 zunächst m Faktoren zu einem 
Produkte 4,7, + 4,7, + 4,7, vereinigen und dann die Norm dieser Zahl 
nehmen. Leider scheinen aber die Gesetze, nach denen sich die Zahlen 
À, , À,, A, bilden, durchaus nicht einfach zu sein. Ja, es ist sogar von 
grossem Vorteil, den Faktor z + « + b 4- c zur Norm hinzuzufügen. Ist 
so in P der mit À multiplicirte Teil berechnet, so weiss man, dass der- 
selbe für jede komplexe Einheit von der Form z+ aa + ba’ + ca^ ver- 
schwinden muss, wenn a — b — c — 2 — +1 ist. Und statt der Gleichung 


giae apu iEg-u-]-o 


haben wir die einfachere 


2. Wir stellen uns jetzt die Frage: Wieviel Glieder enthält der ent- 
wickelte Ausdruck: 


(op c. a+a+...+a,)N(aa + aa + ...+ 2,0? 


Wir werden diese Frage wieder für die viergliedrige Zahl in (1) beant- 
worten. Die Antwort wird in einer Form gegeben werden, welche sich 
alsbald verallgemeinern lässt. In dem entwickelten Produkte 


(2 +a+b-+c)N(2 + aa + ba’ + ca‘) 


kommen soviel wesentlich verschiedene Glieder vor als die Kummersche 
Kongruenz (5) Lösungen enthält. Darunter befinden sich aber die sämt- 
lichen Glieder des Produkts nächstniedrigerer Ordnung, nämlich die- 
jenigen, für welche z — o, also k + i + m — À ist. Daher finden wir 
die. Zahl, um welche die Gliederzahl des Produkts aus vier Elementen 


270 K. Schwering. 


die Gliederzahl des Produkts nächstniedrigerer Ordnung übertrifft, wenn 
wir die Anzahl der Lösungen der Kongruenz 


(10) k + ol + em=o (mod À) 


bestimmen, für welche ist 


ktl+tm<A. 


Wir betrachten die Funktion ¢(z, x) von der Form: 








I I I 
ET) @(z, x) = : 
( d e / I — az I-—a"z I— “v2 
Dann ist 
£(2 ‚2)= P. gk Fotten, petit, (5,1, m=0, 1, 2, 8, ...) 
k,l,m 


Die Reihe ist konvergent, wenn die drei Grössen az, x°’z, az ihrem ab- 
soluten Betrage nach jede kleiner als Eins sind. Ersetzen wir x durch 
4,29/,9 ,..., a^ und addiren die so entstandenen Reihen, so wird rechts 
jede Potenz von x in Wegfall kommen, für welche die Kongruenz (10) 
nicht erfüllt ist. Jede Lösung %k,!,m derselben liefert dagegen den 
Beitrag 2. So erhält man 


E12 2.o(2, a) = AXa,. 2^. 
a 


Hier bezeichnet a, die Anzahl der Lösungen der Kongruenz (10), welche 
die Eigenschaft haben, dass ihre Summe h ist; . 


(13) k+l+tm=h. 
Setzen wir andererseits 
(14) Du) = (u — xu — x’)(u — zx), 
u 
so ist 
| a” I 220 I qa ] 

f EN "E : pe LÁ — à | | ] | : : 

¢(z,%) = ——: - 
L3) 5 / d(x) ] — ı2 | d (a ) I fe Ju ) 1— 42 


Als Koefficient von 2" erscheint daher jetzt: 








(16) nt 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 271 


Wenn wir nun A alle Werte von Null bis À — 1 durchlaufen lassen und 
dann über alle Werte x — a,a’,..., a’ summiren, endlich das Resultat 
durch À dividiren, so erhalten wir zufolge (12) die Anzahl der Lösungen 
der Kongruenz (10). Schliessen wir zunächst den Betrag der Summe für 
x=a'= 1 aus. Dann sind zwei Zahlen h’ und A" immer so wählbar, 
dass man erhält 


("+ 2)9=(h" + 2)e=(h + 2) (mod A). 


Hierdurch aber verwandelt sich der Ausdruck (16) in 


I I I 
May * Tel 


h+2 


Der Klammerausdruck ist, wie die Entwicklung von nach fallenden 


I 
Potenzen von « zeigt, identisch Null. Mithin liefert die Summirung über 
die komplexen a zur Summe der Koefficienten a, keinen Beitrag. Es 
bleibt also noch der Beitrag, den x = ı liefert, zu bestimmen. Dieser 
ist zusammengesetzt aus sämtlichen Koefficienten von 2” in e(z, 1). 


Nun ist 





h 2)(7 
or et Super 





pe I: 22 





, 1 €; 2h H : : 
und die Summe aller Zahlen X t c U von h=o bis A — À— 1 


MARET TE 


beträgt ae Trennen wir A ab, so ist die gesuchte Zahl 
A+ 1)Q + 2 5 1 a : : 
CHE, Um soviel übertrifft die Anzahl der Glieder des entwickelten 


Produkts P aus vier Elementen die Anzahl der Glieder des Produkts 
nächstniedrigerer Ordnung. Durch ganz analoge Schlüsse findet man, 
dass das Produkt P für fünf Elemente dasjenige für vier um 


(M E IA 2A + 3) 
^ EM. Te 


übertrifft u. s w. Hiernach erhalten wir das Endergebnis: 


Das aus m Elementen zusammengesetzte Produkt 


P — (a, -- a, 4E... 4 - a) Na + aa’ +...+ 2, 0") 


bo 
= 


IK. Sehwering. 


enthält 


"AE À Ig À + 1-2) A+ (AT 2)...A+ m —2 
(17) Ir (A + - Um M NES X P ) ( ) 


2.3 MCCC quee 





verschiedene Glieder. 





So ist für À = 11 


t3 


IM on OS Cs WO 6, 7; 8, 9; 10, 


g = 2, 85134), 125 , 300, 1120 ,200% 0972 152 10 


3. Im vorhergehenden Paragraphen haben wir die Anzahl der ver- 
schiedenen‘ Glieder des entwickelten Produkts P kennen gelernt. Wir 
suchen jetzt die Beschaffenheit dieser Glieder näher zu bestimmen. Wenn 
die komplexe Zahl, deren P gesucht wird, aus vier Elementen besteht, 
also 


2 + aa + ba’ + ca, 


so kann man fragen: Wieviel Glieder a^U'c"z" kommen in P vor, bei denen 
die Zahlen k,l,m,n sämtlich von Null verschieden sind? Diese Frage ist 
nicht ohne Bedeutung. Denn ihre Beantwortung gibt zu erkennen, wieviel 
Koefficienten in P wirklich neu zu berechnen sind; ist nämlich eine der 
4 Zahlen k,l, m,n Null, so kann man den betreffenden Koefficienten 
durch die Berechnung des P einer trinomischen Zahl finden. Und 
Gleiches gilt allgemein. Für die Berechnung des P einer aus m Ele- 
menten bestehenden Zahl sind nur diejenigen Lösungen der KvMwrnschen 
Kongruenz von Dedeutung, welche von Null verschieden sind. 

Wir lösen die Aufgabe zunächst für m = 4 und dehnen dann die 
Lösung durch ein Verfahren weiter aus, welches dem im vorigen Para- 
graphen analog ist. 

Für das P einer vierelementigen komplexen Zahl haben wir die 4 
Glieder 2 + a’ + b +c’. Verschwindet eins der Elemente, so entsteht 


’ : ; i A—1 a}. 
eine trinomische Zahl, es erscheinen also —— Glieder von der Form 
ban 


eee 
a‘ bz Im ganzen zeigen also 4.——— Glieder diese Form. Endlich 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 273 


bleiben die Glieder von dem gesuchten Typus, x an der Zahl. Daher 
mit Rücksicht auf (17) 


À— I A+ 1 (A+ 14 + 2 
ie 


2 


et 4. 





Hieraus folgt durch leichte Rechnung: 


eee ees 
2.3 A 


D eom 





Zur Verallgemeinerung unseres Ergebnisses greifen wir auf die Funktion 
e(z,x) zurück. Für das entwickelte Produkt P der fünfelementigen 
komplexen Zahl 


£ + aa + ba’ + ca? + da" 
fallt die Frage: »Wie gross ist die Anzahl der Glieder vom Typus 
a^ bc" d"z"?» genau zusammen mit der folgenden: »Wie gross ist die An- 
zahl der Lösungen der Kummerschen Kongruenz 
k + ol + em + $n zo (mod À), 
ktltm+n<i, 


wenn keine der Zahlen k,/, m,n verschwinden darf?» 
Bilden wir die Funktion: 


er b A+0l+em4+)n „A+l+-m-+n 
qu x À 


? 


so wird jetzt der Koefficient von 2”, wenn 


> 


Du) — (u — a)(u — az?) — x*)(u — ax"), 


RARE a (| al -] 23 git 1)0 va alt Ds = at l "1 
| ¢ ( e) gf (^) d r* ) a ( p" ) | 
Für h — 1,2,3 wird der Klammerausdruck identisch Null. Lassen wir 


auch h = À zu, so durchlaufen die Exponenten von x wieder völlige Rest- 


systeme mod À, können also zur Summe Null zusammengefasst werden, wie 


früher. Bestimmt man den Beitrag für x = 1, so findet man ihn aus 
a3 S (h — 1h 2)(h 3)» 
(1—2) kw Pigs * 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 17 Avril 1888. 


274 K. Schwering. 


"s (A — 1X4 — 2Y4 — 3 ; . 

analog wie früher zu i-e: 3. Aber diese Zahl ist noch um 
diejenige zu vermindern, welche der anfangs ausgeschlossenen Annahme 
h = À entspricht. Diese Annahme besagt aber, dass a,d,c,d einen von 
Null verschiedenen, z den Exponentén Null haben soll Die Anzahl 
dieser Falle haben wir oben bestimmt; es ist die Anzahl der analogen 
Glieder in dem P, welches ein Element weniger enthält. Die fünfele- 
mentige Zahl liefert also in dem entwickelten Produkte eine Anzahl 
Glieder 

.. (4 — NA — 2)(4 — 3) (A— 1)(A— 2) , 42— 1 

jim s = = sp , 


oe Bnd 22 2 








welche alle 5 Elemente enthalten. So findet man allgemein: 
In dem entwickelten Produkte 


Po—(a +a +... +a,)N(aa + aa’ +... + aa 


kommen f, Glieder vor, welche alle m Elemente enthalten, wo 


yi 


(4 — 1(4— 2)...(4 — m + 2) (A — 1). 


2.3...(m — I) 








\ I 8) jp == 


Für das Produkt aus A— ı Elementen 
(d, AP Gg ae + = sl v 4) N(a a s 1,0” +...+ N 
erhält man daher die bemerkenswerten Beziehungen: 


A—t (A— 1A — 2) À— 1 


a + m 0 





7 


Ebenso findet man 
. A—r 
hs = 2 





und allgemein 


(19) RR 


Nun sind wir imstande, in einem gegebenen P, die Anzahl und die Form 
der Glieder genaner anzugeben. In P, finden sich f, Glieder, in denen 


m 


kein Element fehlt, m.f,_, Glieder, in denen ein Element fehlt, 


(m — 1) 


" 
vn 2 


12572 


(lieder, in denen zwei Elemente fehlen, u. 8. w. 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 27T: 


So hat man für A= 7 in dem Produkte P, 


6.3 Glieder, welche 5 Elemente enthalten, = 18 


15.2 » » 4 » » 30 
20.3 » » 3 » » 60 
6 » » I » » 6 


Im Ganzen 114 


Diese Zahl liefert auch Formel (17). 
Für A = 11 hat man in dem vollständigen Produkte 


P (a +... + a, )N(a.a + a0 + ::. + aua) 


10. 5 Glieder, welche 9 Elemente enthalten, = 50 
45.10 » » 8 » » 450 
120.20 » » 7 » » 2400 
210.22 » » 6 » » 4620 
252.20 » » 5 » ) 5040 
210.10 » » 4 » » 2100 
PION » » 2 » » 600 
TIC LET » » I » » IO 


Im Ganzen 15270 Glieder. 


Stellen wir nun noch die Lehrsätze zusammen, welche für die Kuvwwgn- 
schen Kongruenzen im vorstehenden als richtig gefunden worden sind, 


I.) Sei 
(Qa, + lo +... + Ant, =O (mod J), 


+e +... +24, <A, 


ter 


eine Kunmersche Kongruenz m" Ordnung, so erhält man, wenn alle 


positiven ganzzahligen Lösungen einschliesslich o und A zugelassen werden, 


A+ 1 A+ 1)A+ 2)...(A -- m D) 
Pues 


- M a wena 


Wertaysteme 2,, 24, «.., € 
I 2 
2.) Werden aber o und À nicht zugelassen und soll sein 


+2 +... + 2, <A; 


276 K. Schwering. 


so erhält man nur 


À — Yyà — 2) (À — m + 1) (A — 1 A— 2).. (A thr 2) A— 1 
[== Te a er ge oc c res 
2.3... m 2.3...(m — I) 2 
Wertsysteme. 
3.) Werden Lösungen x,=0 zugelassen, wird aber die Bedingung 
gestellt 
V + V a nes + Un = ^s 


so beträgt die Anzahl der Lösungen 


(A+ UA + 2)...(A + m— 1) 
2. 


3...m 


Li 


4) Werden Lösungen x, = 0 ausgeschlossen, aber die Summe gleich 
À zugelassen, so beträgt die Anzahl der Lösungen 


CD )...(4 — m +1) 
3: 





5.) Sind zwei Kummersche Kongruenzen gegeben 


V + 442, +... + a,%, — o (mod A), 
2, tat... tau, <A, 
by + boyy +... + b,y,=0 (mod A), 
Heke Yes aa Une As 


unter Ausschluss der Lösungen x, = 0, y, = 0, so ist die Anzahl der 


7 
Wertgruppen der x genau gleich da der y, wenn m+ n = À— 1. 


Beispiel, A = 7. 


+ 24”, =0 (mod 7); y, + 29, + 39, + Ay, — 0 (mod 7) 


$, + 2,47 y dos d eT ed 
CF, = 5,3,1 Y, =1,2,1 
Tl, = 152,3 Yn 15133 
y, = 1,2,1 


Untersuchungen über die Normen kowplexer Zahlen. 277 
Die vertikal unter einander stehenden Zahlen gehören zusammen. lassen 
wir aber die Nulllósungen und die Summe — À — 7 zu, so hat die 
zweite Kongruenz noch folgende Wertsysteme: 
Us 7a NS 15997224 4358138, Oy Oly Tey 2, yD, .I, 
MEE RISO Tt Oh OO EEE 2 1.2. 1 407,050, 1,0, 


MO SONS, EDS PIs) 2 OO ys ET I, SIPOSE LX IES3, 150, 


0,1,0,2,1,0,2,2,3,4,4,3,2,0,1,2,3,0,0,0,1,2,1, 


= 
| 


oe Ags DO VO 405, 25 4,2 By 047040, 24 Srp Beak 555 3, Lo 3, 1, E 


Mos 2, 9 n5 7794290506, Y,0,2,1,0,2,1,2,3,0,0,0,1,2, I, 
Ve PO nO Ol gy 2g 2,1, 1,2, 1,2, 3,1,0,0,0,1,2, 3,1, 1,2 


Dies sind 43 Lösungen, zu denen noch die 5 selbstverständlichen mit 4 


bez. 3 Unbekannten = o treten. Im ganzen 48. Es ist 
8 8.0 © 9,10 à 
een M nn rm X4 purs ef ao 46 
2 PAR 2 O2 
Lassen wir dagegen Nulllósung zu, die Summe = 7 = À aber nicht, so 
zählen wir 29 und die selbstverständliche y, = y, = y, = y, = 0, im 
8.9.10 
ganzen 30 = —— —. 
; MEC 
Verbieten wir endlich Nulllósungen, lassen aber die Summe 7 zu, 
i en in : ] : 
so erhalten wir 5 ERICH UNE Lösungen sind 
aW. A 
De Sat, 2 y hs 
005 2135 144; 
= 251, 1,2,1, 


DER pm ppm 


Unsere Sätze werden also sämtlich bestätigt. 
Da Kummer die Kongruenzen mit zwei Unbekannten, welche wir 


278 K. Schwering. 


vorhin allgemein untersucht haben (mit m Unbekannten), bei der Fak- 
torenzerlegung der d-Funktionen bemerkte, so könnte der Gedanke ent- 


stehen, dass durch analoge Schlüsse sich aus der Verallgemeinerung der . 


Kongruenzen eine Verallgemeinerung der &-Funktionen ergeben werde. 
Meine Bemühungen in dieser Richtung haben mich aber nur zu Pro- 
dukten der ^ gelangen lassen, sind also nicht von Erfolg gewesen. 


4. Bisher haben wir Untersuchungen über Form und Zahl der im 
entwickelten Produkt P auftretenden Glieder angestellt. Wir wenden uns 
jetzt der Koefficientenbestimmung zu. Wir geben dem Produkte, welches 
wir auch kurz Normprodukt nennen werden, die Form 


(20) P=(z+a+b+ecN(z+ aa + ba’ + ca‘) 
= oe gh bh te chee a ae 


Wenn wir früher von vierelementigen Zahlen ausgingen, so verfolgten wir 
dabei wesentlich äussere Zwecke. Wir hätten mit einiger Einbusse an 
Durchsichtigkeit des Vortrags gleich die allgemeine Form mit m Elementen 
wählen können. Jetzt liegt die Sache anders. Die von jetzt ab vorzu- 
tragenden Entwicklungen können nur für vierelementige Normprodukte 
(reltung beanspruchen. 

Die Zahlform 2 + aa + ba’ + ca kann im ganzen ara 
verschiedene Gestalten aufweisen. Denn 9 und 2 dürfen alle verschiedenen 
Paare von 2 Zahlen aus der Reihe 2, 3,...,4— 2 sein. Aber diese 
verschiedenen Paare führen nicht immer zu verschiedenen Normen. Be- 
zeichnen wir nach dem Vorgange vieler Mathematiker den numerus socius 


von 9 oder diejenige ganze Zahl 9, welche die Eigenschaft hat, dass 


| NE 
do’ =1 (mod 4) wird, kurz durch =, so ist: 
0 


1 £ 1 0 
N(z + aa + ba + ca) = N(z + ao? + ba + ca) = N(z + aa’ + ba’ + ca). 


Kennt man also die zum Paare 9, s gehörige Norm, so erhält man durch 


, : 5 R I » T 
Vertauschung von b mit a, a mit 5 die zum Paare 5, = gehörende Norm 


0 


Di 0 


U. 8. W, 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 279 


Es ist aber auch 
N(z + aa + ba? + ca) = N{za 7! + a + ba? + ca 
= N(a =f 24 + ba? al Con) 


So sind wir zum Paare 1 — 9,1 — «e gelangt. Es gelingt, durch An- 


[0] 


wendung derselben Schlüsse, im ganzen 12 Paare anzugeben, welche zu 

12 Normen führen, die durch die Berechnung einer einzigen aus ihnen 

gewonnen werden und, wie wir sagen werden, eine Periode bilden. 
Diese 12 Paare sind die folgenden: 




















\ \ 175089. fe TS 
(B, e) en) sues all 
= © O O0, 
I EINE I : 
me men Ese 9118; 
(21) 
ie a, ae xd) B icm 
d er ey C A E eT i 
3 I m Ô — € 'd — I ù 
ED BC say ae 
1) () 0 — I 0 — I (e Ü-— E 


Die Art dieser Zusammenstellung erhellt aus Folgendem. Wir nennen 


diejenige Substitution, welche das Paar (8,5) in es überführt «c, 


- 


CRT . I Dh s 
ebenso diejenige, welche (2, ¢) in fe: per ) überführt 7; dann ge- 
\ Eri M © —— > v 


winnt das Schema (21) die folgende Gestalt: 


[07 


y» YO, yw", 
T 2,2 
y^3.3^ 0) Que; 
35 y" Giro. 


Die Zusammenstellung yw bezeichnet, dass zuerst die Substitution 7 und 
dann © vorgenommen werden soll. Wir bemerken die Gleichungen: 


(23) Qi eI, Y = 1. 


280 K. Schwering. 


? das Paar 


Ferner bemerken wir, dass durch die Substitution eor 
(0,2) in (¢, 0) umgewandelt wird. Daher sehen wir, dass im ganzen 
24 Wertepaare erhalten werden und mehr können nicht vorhanden sein. 
Denn die Zahlform z+ a« + ba’ + ca’ liefert durch Vertauschung der 
4 Elemente z2,a,b,c überhaupt 24 verschiedene Darstellungen und jede 
dieser Darstellungen können wir durch Division mit einer geeigneten 
Potenz von « und nachfolgende Vertauschung von « gegen eine andere 
geeignete Potenz von a in die Form z+ aa + ba’ + ca’ setzen. 

Aber die Perioden der Paare (2, ¢) brauchen nicht ı2-gliedrig zu 
sein. Sie können weniger Glieder enthalten. 

1.) Wenden wir uns zunächst der Substitution 7 zu und nehmen 
an, dass sie keine Veränderung bewirkt. Dann erhalten wir zur Be- 
stimmung derjenigen (7, s). welche solche Perioden liefern, die Kon- 


gruenzen: 


N 


I I 0 : 
pm : oec no À). 
I —< DI—2^ 
Hieraus folgt sofort (1 — 2)* + 1 — o (mod A), und wenn wir setzen 
(24) 5? + 1 — o (mod 2), 


dann erhalten wir die dreigliedrige Periode: 


I+43 1 — 4) 


ERO EON 





(-- 8, 1 — 48); | 


to 
Cn 


2- f 9 
Wir bemerken, dass die Summe der Argumente bei dem zweiten Paare, 
die Differenz bei dem ersten und dritten der Einheit kongruent ist. Also 
ist die Differenz der Argumente bei zwei Paaren der Einheit kongruent. 


2 


2.) Nehmen wir an, 7 bewirke Veränderung, aber 7^ nicht. Dann 


gelangen wir zu den Kongruenzen 


1-2 E 
€ 





Î= ——, = == mod‘), 
0.-— € . QE = 
woraus folgt 
(26) € — d — 1 (mod 4). 





Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 281 


Hieraus folgt die sechsgliedrige Periode: 


I I I I 
| ee me ae gts -h 
e € EA e EM 


I I \ [ I 
decl qu re us M ey 


€ ] 








(27) 











Auch hier haben wir, und zwar genau viermal, den Fall vor uns, dass 
die Differenz der Argumente die Einheit ergibt. Nur viermal, denn bei 
den andern ist die Summe der Einheit kongruent. 

3. Es bleibt die Annahme zu erledigen, dass w keine Veränderung 
bewirken soll. Dann folgt 


(28) Dar ?— 1 (mod À). 


G) 


Es ergibt sich eine viergliedrige Periode, nàmlich 
(OG 
I I 
(29) 8): (8): 8, 1-0). 


Oben fanden wir, dass bei der dreigliedrigen Periode stets zwei Argumenten- 
paare, bei der sechsgliedrigen stets vier Paare entstehen, deren Differenz die 
Einheit ist. Umgekehrt lässt sich zeigen, dass aus der Annahme ¢ — 2 +1 
immer ein dreigliedriger oder ein sechsgliedriger Cyklus sich ergeben muss. 
Mithin kommt weder in einem zwölfgliedrigen noch in einem viergliedrigen 








[0) 


Cyklus ein Argumentenpaar von der Form (9,9 + 1) vor. 

Nun ist es leicht, die Anzahl der Perioden, d. h. die Anzahl der 
wesentlich verschiedenen vierelementigen Normen anzugeben. 

I) Sei A= 12% + ı. Die Kongruenzen 9 + 1=0 und e°=1 
(mod À) können beide erfüllt werden. Die Zahlenpaare (2, 2 + 1), deren 
À— 3 vorhanden sind, verteilen sich in den einen dreigliedrigen und 


Tat À — 2)(A — 3) 
3n — 1 sechsgliedrige Cyklen. Da ee Cae NR (6n — 1)(12n — 1) 


Zahlenpaare vorhanden sind, so müssen 3#(2n — 1) zwölfgliedrige Perioden 
vorhanden sein. Im ganzen sind 6n’ + 1 verschiedene Normen zu be- 
rechnen. . 

2.) Sei A— 12n + 5. Der viergliedrige Cyklus fehlt, der drei: 
gliedrige ist vorhanden. Wir erhalten n(6n + 1) zwölfgliedrige, zn sechs 
gliedrige Cyklen, im ganzen 6n? + 4n + 1 verschiedene Normen. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 21 Avril L888, 26 


282 K. Schwering. 


3) A=12n+ 7. Der viergliedrige Cyklus ist vorhanden, der drei- 
gliedrige fehlt. Es existiren zn (2n + 1) zwölfgliedrige, 3n + 1 sechsgliedrige 
Cyklen, 64? + 6n + 2 verschiedene Normen. 

4.) À—12n + 11. Die Ausnahmecyklen fehlen, man hat nur 
on” + zn + 2 zwölfgliedrige, 3n + 2 sechsgliedrige Cyklen, im ganzen 
6n? + ron + 4 verschiedene Normen. 

Versteht man unter Æ(a) diejenige ganze Zahl, welche nicht grösser 
als a ist, so ist in den drei ersten Fällen die Anzahl der verschiedenen 





QA—1) . i— 1) 
Normen 1 + E —g im Falle 122 + 11 aber E! 24 bis 
Zahlenbeispiele. 
© ey eon 


Es entsteht nur ein Cyklus, der dreigliedrige 


(ace Wess Aes 


Es ist nur eine Norm zu berechnen. 


Es entstehen zwei Cyklen, darunter noch kein zwölfgliedriger. 
1. (2,4); 2. (2, 3)3 (55 3)3 (55 4)3 
(2,5); (3, 6)3 (6, 4). (35 4)3 (2, 6)3 (6, 5). 

Es sind also zwei Normen zu berechnen: 
N(z + aa + ba’? + caf) und N(z+ aa + ba? + ca”). 


3.)- À — 11. 


Es entstehen 4 Cyklen, 2 sechsgliedrige, 2 zwölfgliedrige. 
Le (2553) 3145 5): (76); 2. (35 .4)5 (3: 9)3 (55 4) 
(5, 6); (2, 10); (10, 9). (7: 8)5 (25:5)5 (9. 8). 
3. (2,4):(3:6);(2,6); 4. (2,85 (7, 3)3 (4,6); 
(sas i0 110,8); (6) TO) (107 4), 
(7,2):(6,9);(5, 8); (3,5): (9,5); (9, 4); 
(10, 6)5.2 006018 42 10]8 CONO 4:12 si 163 7) 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 283 


Es sind 4 Normen zu berechnen. Wir wählen für dieselben die kleinst- 
möglichen Zahlenpaare, also 


N(z + aa + ba? + ca’), N(z + aa + ba’ + ca‘), 
N(z + aa + ba? + ca‘), N(z + aa + ba’ + ca’). 
I 


Hier erhalten wir 7 verschiedene Normen, deren 2, ¢ wir angeben 


N 


CERTES Oy 5 oc ce 
BI" EAN RSA 353.6 


(2,3) und (3, 4) haben sechsgliedrige, (3,9) einen viergliedrigen, (3, 11) 
einen dreigliedrigen, die übrigen haben zwölfgliedrige Cyklen. 


5) A= 17. 
Wir finden 11 verschiedene Normen, deren 2, € wir angeben 


N 


O2 3, pe File 22,3 ad AD 
DNA ONE yi ER OR du s, 75 6. 
Die drei ersten geben sechsgliedrige Cyklen, (4, 5) den dreigliedrigen, 


die andern zwölfgliedrige Cyklen. 


5. Schreiten wir jetzt zur Bestimmung der Koefticienten selbst. 
Betrachten wir zunächst das Normprodukt mit dreigliedrigem Cyklus. 
Wir haben dem Normprodukte die Form erteilt: 


(2 + à + b + c) N(2 + aa + ba” + ca”*') 
— git q+ pi + à + Ad Katd'c™s": 8* + 1=0 (mod À). 
Ausser dem Faktor z + aa + ba” + ca^*' ist vorhanden 
2 + aa” + ba + ca" *" = a + aa” + bar! + ca”, 


oder nach Multiplikation mit a 5 + za + ca” + aa"*'. Daher erleidet 
unsere Norm keine Veränderung, wenn man die Vertauschung anwendet 
und wiederholt, welche z in db, a in 2, 6 in c und c in a überführt. 


284 | K. Schwering. 


Daher haben die Glieder 'z;*e'a"^ und a‘b'e"zt u. & w. oleichen Koeffi- 
o 


clenten. Man kann dies symbolisch so schreiben: 


k l0 m mn 


wo der an erster Stelle geschriebene Exponent dem a, der zweite dem 
b, der dritte dem c, der vierte dem z zukommt. 
Es ist 


k + 8l + (8 + 1)m=o (mod A), 
ki im 2, 


k,l,m können nicht gleich sein, da 8 + 1 zo folgen würde; also sind 
die aufgeschriebenen Exponentengruppen wesentlich verschieden. Die im 


allsemeinen vorhandenen 


A+ı À + 1) + 2 À — YY4 + 7) 
j GE Re enter 


2 263 6 





2+ 





mM. d - . ne : À — 1X4 + 
Koefticienten schränken sich auf den 4" Teil ein, auf reu) we- 


24 
sentlich verschiedene. 
Beispel eA c Toa 
k= 3 2, D, 5; 3 : Oy 7> 6, 4 ; 2, 
= 2, I, Oo, > I, 1, , 4 s 2, O, 
m= 0, I, 2, L, 30,0: 70%) 1 dor 2, 4, 
w= 8, 9, 10, 4, 6-, 4 ; 55 on D 7) 


K= +2,—3, +1, —22,—19, +1,—1;,4+ 5,432, 44 


Zum besseren Verständnis wollen wir das zugehörige Normprodukt kurz 


andeuten: 


(2 + a + b + c)N(2 + aa + ba’ + ca‘) 
— ga qld jpg 13 2 (a’b?z° + Die? + a2hic® + ace?) 
3 (a*bcz” + ab^ez? + ab?c'z + a bez) + ...}. 





Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 285 


Wenden wir uns jetzt zu den Normen mit viergliedrigem Cyklus. 
Hier haben wir die Form erteilt: 


(¢@ta+tb+oN(z + aa + ba’ + ca”) 
— à 404464 1D K2 able"; 0° =1 (mod J). 
Ausser dem Faktor z + aa + ba’ + ca” ist auch vorhanden 
22 ad 4 B8 ice: 


Unsere Norm erleidet keine Veränderung, wenn man a, b,c cyklisch 
vertauscht. Oder in unserer symbolischen Schreibweise 


k ob me Gm 
Le ERA, 


nr Ah A 


wo 


k + dl + ó?m — o (mod À), 
BEL me A. 


k,l,m können gleich sein, da 1 + 9 + 9*=0o zutrifft. Scheiden wir 
die zugehörigen Exponentengruppen aus 





À — 1 
BT 2) sy —— 3 
Po) 
À— 1 
t= 1, 2, 22 5 
3 
1—1 
m— es gw 4er , 


nm=A—3,A—6,..., I, 


so verteilen sich die übrigen in Gruppen von je drei, welche denselben 
(A - I (4 + 11) 


verschiedene 
18 


Koefficienten Æ aufweisen. Im ganzen sind 


K zu berechnen. 


Go : 
2980 K. Sehwering. 


Beispiel: A= 19; 0 = 7. 


























































































































k|lImin K k | lImin K k|lim|n K 
72. 1 | Jo 46 3.05 ro 12 o| 6|10| 3 
o|12| 6 I 5| o| 3] 11 — 7 6.1101 0173 22 
9| 12 | Teo 03 3 MS TT 10| 01 6| 3 
8} 0| rl10 Berg 61 cr wae MEO 
o| 1| 8/ıo I 2| 1113| 3| —ıo I2 GNO 30 
1| 8| o|ro Tense) 2008 6| 3] 9 
16\| c0.| 22 7 Oe SU PE Ge 8. 7170| 4 
o| 2/16] ı I S10) MET — 9 71 o| 8| 4 30 
2.| 16:| oO} 7 1| 9| 8| I OS EDI 
Y | 721) 70 I0| 4| o| 5 TOs 2u 1933 a 
II| I| O| —ı 4| olıo| 5 14 2| 3/10] 4| — 50 
ir| 1| 7| .o 0|10| 4] 5 3. | o: 2: 74 
| 
TA. 3) LEO 6| 4} 9| 0 6| 1] 4 8 
3192/14] 0 2 4| 9] 6] o 17 1, 4| 6] 8| —56 
2: 1419 3,20 9| 6| 4| 0o 4.64 2108 
©, | SES Ia gr) 277 SAR lS 
2| o|12 3 1 M2) IRON — 17 725 5 — 56 
2.730: | 12 2|9| 1| 7 ZA Sl s 
a) 4/11 | 1 8 |a 2641 22 Sl Nez ID 
4/11} 3| I 3 2/6: 38 2 21 CAMES 61 | 
Ir] 3| 4| I 6| 8| 3] 2 eier} 
I3. 0104 || a2 I|II| 5| 2 4421071106 | 
4113| 2 7 Pes ES 91 — 21 el Ko 99 
4|ı3| 0| 2 ANE RU AIR 7.4, 2 006 
ruo 2 282 oan 23 3:283: 2 S110. 98 
4| 4| 4| 7 86 5| 5| 5| 4| — ror 6| 6| 6| 1| — 83 






































Zum Verständnis: 
(2 + a + b + c)N( + aa + ba’ + ca") 
— 2% 4 a + bY +c? + 19[61(a*D9c?z* + a*b?c*z? + a?b*c72*) +...) 
Für a = b=c=2z=1 finden wir, übereinstimmend mit der REUSCHLE- 
schen Tafel N(1 +a+a+ a) = 11°. 


Untersuchen wir jetzt die Normen mit sechsgliedrigem Cyklus. Hier 
haben wir die Form erteilt: 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 287 
(e E a  b + e) N(a + aa + ba? + ct) — z^ -- d^ -- P LIKE, 
k + dl + (0 + 1)m=o (mod J), 
kt+l+meah 


Statt der obigen Kongruenz können wir setzen 


(30) k+m+o(l+m)=o (mod 2). 
Aus dieser Kongruenz folgt aber, da k + 1 + m + n — 1, 
(31) | 4- n 4- d(k + n)=o (mod 2). 


Jeder Exponentengruppe k,/, m,n entspricht also eine andere /, k ,», m 
oder «a*b'c”z" und a'b'c"z" d gleichen Koefficienten. Man braucht also 


nur Zr DE) verschiedene A wirklich zu berechnen. 


Wenn wir in unserer Norm setzen 2 — 1,¢ = ab, so verwandelt 
sich das Normprodukt in 


(1 + a)(1 + 0) N(1 + aa)(1 + be’) — 1 + c + 4 ab. 


Die übrigen Glieder fallen fort. Hieraus folgen beachtenswerte Glei- 
chungen. Denn es ist 2 Ha‘t™b'+™ —o. Da zu jedem k + m die Kon- 
eruenz (30) das zugehörige / + m eindeutig bestimmt, so haben wir den 
Lehrsatz: 


Die Summe der K, für welche k + m einen festen Wert hat, ist Null. 


Sind die X unmittelbar auszurechnen, so haben sie den Wert: 


(k+tm+i-ı 
k [kl ml »^ 


d d 








Daher die für beliebige p,q gültige Formel: 


(p + IÉp-F2)...(p-tg—1) pp+1)...(p+g-—2) 


(32) LONE g—ılı 


— I = — (p — ( Y p ( ad P oe s ) ST) 
3E up Be) uu uot Api TX OBS o. 


y= 2j: mos F 





288 K. Schwering. 








10.:.721.78 TO 2 Onl. Tt SOLUTO 7.9.9 
== m E 



































































































































































































































+ —————— = 0. 
I1 2.574 jane 1-2 1.9. el ease Qro 
Beispiel eines Normprodukts. À — 13,0 — 3,68 = 4. 
- = aa 
k {2 |m|n K k|limin K |^ Limin| K |^ 1 Im n| K 
o| 3 9 4102 016 10} I| o| 2 3116021106 
ion) mise = 16] ze] ro Aula. ale 2 
1) oO} 3 5| o| 2 te sor 22 5 al 00102 
ol ı| 9| 3| ~ 7 5 + 3 6| ol sl 2| * 3 | 6] 4| 2| rz Tubs 
4| 0| 8 6. 012721 5 2 23 0A 085 7.725, +1 || 20 
aa) Stel * lle) ae ran leer ci mus NN 
2| ı| 2| 8 72) 211.054 1 SA E TS A 82.30 
| 2| 8| 2| 7 9 7| 4] o ie lec) elle a = 2| 8| o| 3 FT 
271122 eral, 7 9 ol Tl 3 2| 4| 3/-4 os»: 25.1726 
Med 3 ES, Sa tO Mods oues! uer Feen al al ala) * 49 | 210 6,51 505 
Zur Bestätigung unseres Lehrsatzes haben wir: 
k + m = 10, ZKH—1—1=o, 
n 4—7+3—0, 
As 5—ı10o+6—1=0, 
i, I—I=0, 
II, dope =o Qu 
8, 49 02 c psc m 


Endlich betrachten wir die Normen mit zwólfgliedrigem Cyklus. 
Hier müssen wir die allgemeine Form bestehen lassen, dürfen aber 
annehmen, dass e > 9. Die Kummersche Kongruenz 


k + ol + em — o (mod A), 


k+l+m<h, 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 289 


können wir in eine Reihe Gleichungen verwandeln. Diese Gleichungen 
bilden zwei Systeme, wie folgt. 


I. System. II. System. 
k + ol + em = À, (e — 1)k + (e — 0)! + en = (se — 1)A, 
k + ol + em = 2), (s — 1)k + (e — ON + en = (s — 2)1, 
k + dl + em = (e — 1)1, (e — 1)k + (e — ON + n=). 


Diejenigen k,1,m, welche der ersten Gleichung des ersten Systems an- 
gehören, liefern K, welche direkt berechnet werden können. Man findet 


K TNT |k Ut m—1 
53 EE 








l m 
Ebenso die k,!,n, welche der letzten Gleichung des zweiten Systems 


angehóren. Man findet 


" 1 Pee ie om, 
(334) A ATEM es 0 TESTS 








^ 


Ist € im Verhältniss zu à gross, so wird man sich mit Vorteil des zweiten 
Systems bedienen. Denn die letzte Zeile desselben sagt aus, da 


e—d<e—I1<e, dass 


(s — 1)k + (e — ON + n> (k + T + n)(e — 9), 


also 
À 


Mithin gibt eine Gruppe k,,{,,m, der r“* Zeile (von unten) des zweiten 


Systems mit einer Gruppe der s"" Zeile zusammen £k, + k,, 0. + 1, 
m, + m, eine Gruppe der r + s"" Zeile, weil 


(r + s)À 


^ 
o 


di d. 


k, tk, +0. + 1, + om, + m, < 


so lange v + s kleiner als e — à ist. 


Acta mathematica, 11. Imprimé le IS Avril 1888 31 


200 K. Schwering. 
Im ganzen hat man 4 Kongruenzen, von denen man ausgehen kann, 
nämlich 


k+ol+em=o 


(s — 1)k + (s — 2) + en=o 
(34) (mod 2). 


(0 — 1) + (s — 1)m + (à — 1)n zo 





(A — 0 + 1)k + (e — dim + (4 — d)n=o 


Jede derselben kann man mit einer willkürlichen ganzen Zahl multi- 
plieiren. Durch diese Operation wird die Anzahl der Gleichungen ver- 
mehrt oder vermindert, welche die Kongruenz ersetzen. Eine Vermehrung 
derselben lässt die Art der Gruppenzusammensetzung aus kleineren k,l,m 
deutlicher hervortreten, schädigt aber die Übersichtlichkeit. Es ist zweck- 
mässig, zunächst alle 4 Kongruenzen zu bilden und als Gleichungen mit 
den rechten Seiten A, 2%, 34 bezüglich ihrer nicht zusammengesetzten 
Lösungen zu untersuchen. 

Man kann fragen, in wieviel Normprodukten, zur Primzahl 2, die 
Exponentengruppe 4,/, a,” auftritt. Fassen wir in der Kongruenz 


k + dl + £m — o (mod A) 
die Zahlen &,/, als gegeben, 2, s als gesucht auf; zu jedem 
Que D Re A 


œehôrt ein festbestimmtes ¢ und nur ¢ = 1 ist unter diesen zu ver- 
werfen. Also kann man im ganzen A— 3 Zahlenpaare ¢, 9 angeben, 
welche Normprodukte der gesuchten. Art liefern. Bilden wir nun alle 
diese Normprodukte, bilden wir ferner die 24 Vertauschungen der k, /, 
m,n und berechnen in allen 24(1 — 3) Normprodukten die zugehörigen 


K, so können wir den Satz aussprechen: 
Alle eben besprochenen K sind mod À kongruent. 


Die Zahlen A bestehen gemäss Gleichung (8) aus einem unmittelbar 
zu berechnenden Teile und aus Teilen, welche dadurch entstehen, dass 
drei der k,/,m,m aus kleineren Gruppenzahlen durch Addition zusam- 


mengesetzt sind. Findet keine Zusammensetzung statt, so fehlen diese 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 291 


Teile gänzlich. Für unsern Satz sind diese Teile auch völlig gleichgültig. 
Denn sie haben den Faktor A mindestens in erster Potenz. Unser Satz 
ist also bewiesen, wenn die Teile, welche unmittelbar berechnet werden 
können, kongruent sind. Dies zeigen wir für die Vertauschung k,!,n, m. 
Die betreffenden Ausdrücke stehen (33) und (33a). Es muss also sein, 
(A+lt+tm+n= dA), 

|A—n— 1 4m |; 
AE "à ee HOHER): 
(35) ( ) Ik] |m ( ) k|l|n ( ) 
Nun ist: 


Gu ae N aM) 


(— 1)". m= (A— 1)(A— 2)...(A—m 


| mod 7 
| ( À), - 


und daraus folgt die Richtigkeit der Kongruenz (35). Jedes berechnete 
Normprodukt liefert Zahlenbeispiele zu diesem bemerkenswerten Satze. Es 
ist auffallend, dass die Æongruenz oft zur Gleichheit wird. Diese Gleich- 
heit ergab sich uns bei den nicht zwölfgliedrigen Cyklen für einige be- 


stimmte Vertauschungen als notwendig. 


6. Jetzt wollen wir in einigen besonderen Fällen die Berechnung 
von Normprodukten vollständig ausführen. 
Als erstes Beispiel wählen wir 


A WATS 2 hs 
(z + a + db + c)N(2 + aa + ba’ + ca‘). 
Hier gelten die Bestimmungen 
k + 2l + 3m=o (mod À), 
k+l+mei. 
Die Kongruenz ersetzen wir durch die beiden Gleichungen: 
k + 2l+ 3m= A, k + 2l + 3m = 21. 


Die letztere können wir wieder durch / + 2% + 3n = À ersetzen. Somit 
haben wir, wie bei den sechsgliedrigen Normen überhaupt, die zulässige 
Vertauschung k,d und m,n. Das Normprodukt kann ohne Rechnung 


niedergeschrieben werden. Sei 


h=k+l+n, k = À — 21 — 3m, n=l + 2m. 


90° - . 
292 K. Schwering. 


Dann ist: 















































































































































(36) (2 + a + b + e) N(z + aa + ba? + ca) 
À À À À à l | h I ERC mmn THE 4n „m 
— td ER oL. (— 1) auri ur) 
Zahlenbeispiel: À = 13,0 = 2,¢ = 3. 
k|limln K k|l|mi|n K Bit m n| K | | l Im "| K 
0| 4| 8 LG 30:26 Ax EU NETS NES 703120 85 
(0 8| 4 : 6| 1] 6| o ! 3l al 5s} ı| 79 31 7| 3] o| 7 
O25) 233058 2| 4| 1| 6 D EIS MON 01 | 113 
| 2] of 8] 3 P 15 iP x INS so RA rl 84 $9: E 
o| 5 | 3| 2| 2|-6 5| 4| o| 4 9 O52 
5| o | Pies 2. 023: E02 AIME) ale 2 2| 0 5 
I| 3 2 | 7 4/0) 3). 6 Gv) ESAMI Co eA: Toll PO 1 2 
3| 1| 7| 2| ~ 7°: ol 4] 6 3 5 2; 56; IRAE 2d o 1o| 2] x - 
2| 1| 3| 7 ale Ed 5 7| 9| 2| 4 It, 1) Over 
-— 10 Ze] 4 1 
Ti TS le OR MET Oi 7. ee IS EL EO 






























































Da 1+a+a*+ a^ eine Einheit, so ist die Summe der K Null. 
Im vorigen Normprodukte, Seite 288, hatten die Vertauschungen 3, 2,1, 7 
und 2,3,7,1 denselben Koefficienten — 10 wie die hier auftretenden. 
Man erkennt darin eine Destátigung unseres im vorigen Paragraphen be- 
wiesenen Lehrsatzes. 


Als zweites Beispiel wählen wir 


(2 + a + b + c)N(z + aa + ba? + ca‘). 


Hier wählen wir die drei Gleichungen: 


k + 21 + 4m =A, 
3k + 21+ 4n = 22, 
3k + 21+ 4n =). 


Ferner bilden wir 


p Met 2^ a* bre" 
ee 


A, — AY (— 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 


für alle &, /, der ersten Gleichung; 


—— Jh 


= N, (— 1)" TENE a‘ b c^ 





für alle k,2,n der zweiten i: 


A EAT 
A, — AY (— rate 





für alle &, /, » der dritten Gleichung. 
Dann ist: 


(37) (2 + a + b + 6) N(z + aa + ba’ + ca‘) 
2 TEN Cw) TM IS Reg NS ey ROT ;07 Aj. 
Kur grae — 5 bilden wir 
d — Ay (— gs Tusci a bic™ 2" 
LIE 


mit der Bedingung k + 2! + 5m = À. 
Ferner die drei Summen B,, D,, B, nach dem Schema 


À— m — I 


D, — i (— uy "EHI a bcn 


mit der Bedingung 





Ak + 36 + sn = rÀ. 
Dann wird 


(38) (¢+a+b+c)N(z + aa + ba’ + ca‘) 


— £ + d UE c e A+B, + By+B, + 207 Bi +o" B, B+ 507 


293 


Schwering. 


K. 


Als Zahlenbeispiele nehmen wir 










































































La DO oso) OM Ss oM ANOS x CO 
~ ! 
| | 
| $9 + MO NN MD OOF m A 
= NO Un in © LC I 0 AA o 
= Nr OOF un. N 0 mn 
> Q +O N O mM OM OHS € 
Nm On yo ond mt 
Ku - - - M — 
M | 
i 
2 €) QN mm OMAN mm O in 
= c€$) c0 0 co sk sb +t un 
FEES IS WO ua st tm st co Qo t6 
| nie O qc sto on vo x O 
| nm o 0 € ee NN + 
| Ko - 
| ag , 
| | | | 
= mono 0 OO NN = O 
= 
eo M Q NN Q nm m NNN 
— 
- a no m 
KS + o o e © © 
EN = UN C0 m - OO N ON + 
MM 
- UN mn € = D = O 
M = 09 aa 
= M ON 60 + in (o sono 
isd O O00 00 rmn m mn Mm 
zm 
I - NOHO + NN © OO = AN YH 
MORE MOSH OM MN m 






























































Nm~ co «sb cO + se = = NOD 
] 
| 
Ne O + MN NN O KF AN in 
VO vn & SS © © + 
= 
TON NH O MOM A 
€M Mmondwte anon 
TU CO = NTO MN = 6m OH 
| | | | | | 
oN -" OO s Om = OQ 
nn cO sb sb OS In un w 
Ss CO Ne M to HO O mo 
ann OO + © - O A 
= MA ON = AQ = x THES 
= = - 
I 
| | 
FIN DO m Q tco Q-m-O s 
= QW = ew ANNA NN ce 
om OO O00 MO nn un 
on Mme NON TO - 
ER Fa mm OW MN 
= - - M 
| | 
| | | 
ON + M NN = D = oO in 
0 O0 0 0 C0 Om = m x 
DO OU + (9 N mm B (0 NN - 
- (ir DW on + © 


II 



















































































mm 00 00 m Oin- «b wo KA 
| | = 
i 

ON SO IN ECM OM NAN c 
~ 
O IN in i») NO > nm r- 09 X = 
- = 
N OA = = O MAN = = 
- HM LE m4 MON dN re 

- 00 OO N - + un AD 
Mad Lund k ^ 
i | | | <= 

| | | 
M OU + 9 NN 0 EE m © em = 
= 
Hmm c) eO «b sb + + WM E 
on" O rn oO mo + = 
TA tO CO ON = - ne 

- 11m t| 0 0 - NN in 

- o K 
— 
| | in 
I 

O N = O wen & O o > 
- >= 
NO = = =e NN NN ON ON om = 
O O O00 1 uo HTM + = 
M ON von TO BH O re 

—- D HN Ms FTF OO = 

- - - t 

| x 

LI 
© UN + 0007-09 MO i <> 
= 
O O0 O0 0 Om = = « E 
x 
DO a nn NN = mane Q ES 
- OU rr. Oem = M an rr RT 








Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen. 295 


Der Vollständigkeit wegen mag noch das letzte der 7 selbständigen 
vierelementigen Normprodukte zur Primzahl 13 angegeben werden. 

























































































| 

|t |m|n K k\l D I ONCE K 

| 
oO) ONZE T 2. 079 Ags Bue wl H | 
51411 18/16 aol PO) Mer Byles ok 8 | 
ANSON Siler gm ill ra (El ene: 
CNT SA 5 0 51 21% pe ol 7 Ic 2 4 | 
xo) No CRIE 1 Es C1 Tale ZI tA o 
Sel! el] alae, 7 stays) © ie || A EB 7 

| | 

2 ts sl: 2h eile 2 ano 2| 8| 3] 0 
3) Coil Ey 32 zur 63 323 32s 8|0|3|2 = 
a NM ans 6| 2| 2| 3 perc spep = 
0|.4| 6| 3 : a eo NE: 2 Si. e] 17:6 
43,1361 &O QUE IE NE 2x6. à 5 3 
3 | 6| 4 4| I A 5 r6: s. po. 2 
rase ior je df 2 uS RAI 22 
212 MEE II AS Au, DA 18 


























Hier ist A=13,0=4,¢=6. Bei weiterer Ausrechnung ergab sich: 
Nii +a+ a* +a’) = 3°, N(1 — a + a* + a) = 313, 
N(— 1 +a4+ a +a) = M1 +a— a + a’) = 131, 
N(1 + a+ à* — a?) = 3°. 


Vergleicht man die A mit den bei À = 19 berechneten, so scheinen die- 

selben noch manche andere Gesetzmissigkeiten zu befolgen; auf die wir 
jedoch nur mit dieser Hindeutung verweisen. ' 

Endlich mag der Ausdruck des vollständigen Normproduktes für 

— 7 hier Platz finden. Wir schreiben denselben in abgekürzter Form 


folgendermassen: 

(a, + dy + a, + a, + a, + a) N(a,a + aa’ + aa’ + a,* +a,a’+a,a‘) 

=a + 7 |a, dy} aA; + 5«,a;a,a44, — 24 a,a,a,a? — 3a} aba,a, — 3a,a,a a} 

— 31,0% + 20,a,a,a, — a aaa, — aaa — dasa, — a,ada, — a,ada, 
+ 2U + 205010; + ataja, + data, + à aia; + das], 


Zahlreiche Bestätigungen unseres Lehrsatzes (Seite 290) zeigen die vorstehenden 


Beispiele auf den ersten Blick. 


296 K. Schwering. 


Jedes niedergeschriebene Glied vertritt 6 Glieder, welche aus demselben 
durch Multiplikation der Indices mit 1.2,3,4,5,6 hervorgehen. So 
vertritt @,aja, die folgende Summe: 


A, 03d, + Asa Ug + As + aaa, + AAA + AA. 


Dieses vollständige Normprodukt wurde berechnet aus einem fünfelementigen. 
Die Rechnung selbst war mit Hilfe unserer Sätze über Anzahl und Bau 
der Glieder eine überraschend einfache zu nennen. 


Coesfeld im Februar 1888. 


né ee V 


DEMONSTRATION DU THEOREME FONDAMENTAL DE GALOIS 


DANS LA THEORIE 


DE LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS 
PAR 


J. T. SODERBERG 


à UPSALA. 


1. Dans les quelques pages suivantes je me propose de présenter 
une démonstration nouvelle et trés simple de l'important théoréme de 
Gators sur l'existence du groupe de substitutions appelé groupe d'une 
équation algébrique. Elle a été publiée en suédois dans ma these inaugu- 
rale Deduktion af nödvändiga och tillräckliga vilkoret för möjligheten af al- 
gebraiska eqvationers solution med radikaler, Upsala Universitets Ars- 
skrift, 1886. Je la présente ici avec de légéres modifications. 


2. Avant d'en commencer l'exposition nous aurons à nous ex- 
pliquer sur le sens particulier que nous attribuerons à certaines ex pres- 
sions. Nous conviendrons de regarder, avec Garors, comme rationnelle 
toute quantité qui peut s'exprimer par une fonction rationnelle aux 
coefficients commensurables à l'unité de certaines quantités données à 
priori et que nous regarderons comme connues. Pour qu'une fonction 
soit appelée rationnelle nous entendrons que tous les coefficients en soient 
‘ationnelles. 

Si une fonction rationnelle des quantités 


Vo E] Zur | IET * T. 1 


reste invariable par les substitutions d'un certain groupe, méme en sup- 


leta mathematica, 11, Imprimé le 2 Mai 1888, NR 


298 J. T. Sóderberg. 


posant 25 dr + ma r, , des variables indépendantes, nous dirons que la 
forme de la fonction reste invariable par ces substitutions. Et nous di- 
stinguerons soigneusement ce cas de l'autre, où, 


Lo A XA CCC Lin | 


étant les racines d’une équation donnée 


a + FR a + 2,9" S se SE Pri 5i Pr ao 


a coefficients rationnels, ce n'est que la valeur de la fonction qui reste 
invariable par certaines substitutions. 


9. En partant des propositions établies par LAGRANGE dans son cé- 
lébre Mémoire Æéflexions sur la résolution algébrique des équations, Section 
IV, il est facile d'établir le théorème suivant: 

Si y et V sont deux fonctions rationnelles des racines x,,2,,...,7, 3 
d'une équation algébrique donnée, et que la valeur de y reste invariable par 
toutes les substitutions qui ne changent pas la valeur de V, la fonction y 
peut s'exprimer en fonction rationnelle de V. 


En effet, LAGRANGE a démontré la proposition suivante: 


Si z et V sont deux fonctions rationnelles des racines %,,2,,..., 0,4 
d'une équation algébrique, si 1,5,,..., 8, 4 sont les substitutions qui ne 
changent pas la forme de la fonction V, si les mêmes substitutions laissent 
aussi invariable la forme de la fonction z, si enfin 1, 0,,..., o, , sont des 


substitutions tellement choisies que le tableau 


I, 515 Soy 9 Sr—19 

0i. ST 5901, 91015 
0» $1095, 8905, > 5x1 Fs 
Dir 5 3) 0-19 S21 see y pr Di 


donne toutes les substitutions différentes qui ne changent pas la valeur de V, 


Démonstration du théorème fondamental de Galois. 299 . 


la moyenne arithmétique des fonctions qui résultent de z en faisant les sub- 
stitutions 1,0,,..., 0; ,, sera exprimable en fonction rationnelle de V. 


L 


Or, il est facile de s'assurer que notre proposition est une conséquence 
immédiate de celle de LAGRANGE. D'abord, la moyenne arithmétique des 
fonctions qu'on obtient de y par les substitutions 1,5,,...,5, ,, est une 
fonction nouvelle z, dont la forme reste invariable par ces substitutions. 
De plus, si lon forme la moyenne arithmétique des fonctions résultant 
de z par les substitutions 1 ,0,,...,0;, on aura le méme résultat 
qu'en prenant la moyenne arithmétique de toutes les fonctions qui s'ob- 
tiennent de y en faisant les substitutions du tableau ci-dessus. Mais il 
suit de notre hypothése que toutes ces fonctions, et par conséquent leur 
moyenne arithmétique, sont égales à y. Donc, en appliquant à la fonction 
2 le théorème de LAGRANGE, on voit que y s'exprime en. fonction ration- 


nelle de V. 
e did. d. 


4. Supposons que 
yos. nni ple 


i— 


solent toutes les formes différentes dont la valeur est égale à la valeur 
donnée V, qu'on puisse faire acquérir à la fonction V en faisant toutes 
les substitutions possibles. Considérons toutes les substitutions dont l'effet 
est de remplacer le systéme des formes 


pu pie 


i—1 


par un autre qui ne contient pas de forme nouvelle; il est évident que 
ces substitutions forment un groupe. Nous dirons que ce groupe appar- 
tient à la valeur V, 
sont, par conséquent, celles qui laissent invariable la valeur de chacune 
des fonctions 


de la fonction V. Les substitutions de ce groupe 


T 7 r 
Vins... 4 AVR 


Il est facile maintenant de modifier la proposition citee plus haut de la 
manière suivante: 


Si y est une fonction rationnelle des racines ry, r, ,... , T, 4, dont la 


"n 


valeur n'est pas changée par les substitutions du groupe appartenant à une 


300 J. T. Söderberg. 


valeur donnée de la fonction V, on peut exprimer y en fonction ration- 
nelle de V. ] 


En effet, on peut choisir les quantités rationnelles 
ho ' ky 92% 6 9 om 
de maniere que la valeur de la fonction 


() = kV, ES ky F ern ae kV, 1 


ne reste invariable que par les substitutions qui laissent invariable la 
valeur de chacune des fonctions V,, V,,..., V; ,. Done y est fonction 
rationnelle de @ et, par conséquent, de V, puisque toutes les fonctions 
Vi, V,,..., Vi, ont la méme valeur V. 

5. Avant d'aborder la démonstration du théoréme fondamental de 
GALOIS, nous établirons encore le point suivant. Admettons que U et V 
solent les valeurs données de deux fonctions rationnelles des racines 
rQ,,01,...., 0, 1 Il est facile alors de former une autre fonction ra- 
tionnelle R des mêmes racines, telle que le groupe appartenant à une 
valeur donnée de R soit formé par les substitutions communes aux deux 
groupes qui appartiennent aux valeurs données des deux fonctions U et 
V. En effet, supposons que 


j T r 
Oy, Diss UL 


soient les différentes formes de la première fonction dont la valeur est 
U, et que 

"Aem a r 

ye E 


aient une signification analogue pour la fonction V.  Considérons une 


fonction rationnelle de la forme 


R=hU, +hU +. + hi Gi + AVE Pi +... + ki, 


où nous supposerons que les coefficients h et k soient des quantités ra- 
tionnelles. Toutes les formes diverses que peut acquérir la fonction R 
par les substitutions, seront représentées par la formule 


hU, LAU IIR Y PEU cb aped MESE 


Démonstration du théorème fondamental de Galois. 301 


où U,... U,, et V;...V;, sont des formes quelconques que peuvent 
. acquérir les fonctions U et V par les substitutions. Il est clair que nous 
pouvons choisir les coefficients h et k, de manière que la valeur de cha- 


cune de ces formes soit différente de la valeur donnée, à moins que 


toutes les fonctions U, ... U,, n'aient la valeur U et les fonctions 
Vasen lawaleur 4V; 
Po Pi 


Mais alors R est une fonction comme celle dont nous avons annonce 
l'existence. Les fonctions U, ... U,, ayant toutes la valeur U, et les 


fonctions V; ...V,,la valeur V, on a 


4 


wey LE ORALE u ES ART 


6. Il est facile à présent d'établir le théoréme de Garors, dont 
voici l'énoncé: 


Si une équation algébrique wa pas de racines égales, il y a toujours 
un groupe de substitutions — et il wy en a qu'un — qui jouit de la double 
propriété suivante: 

1° toute fonction rationnelle des racines dont la valeur est rationnelle, 
reste variable par les substitutions du groupe; 

2° réciproquement, toute fonction rationnelle des racines dont la valeur 
n'est pas changée par les substitutions du groupe, s'exprime rationnellement 
par les quantités connues. 


Ce groupe a été appelé par Gators le groupe de l'équation. 

Considérons l'ensemble des groupes qui appartiennent à des valeurs 
données des fonctions rationnelles de #,,2,,...,4x,, exprimables ra- 
tionnellement par les quantités connues. Parmi ces groupes, il y en aura 
un dont lordre est moindre ou égal à celui de tout autre groupe. Soit 
G ce groupe; je dis qu'il jouit de la double propriété dont il s'agit. 

En effet, soient /' un quelconque des groupes considérés, 7 le groupe 
des substitutions communes à @ et à /', w et 9 les fonctions ration- 
nelles des racines auxquelles correspondent les groupes G et J’; il y aura 
(n? 5) une fonction rationnelle des racines, dont le groupe appartenant à 
une valeur donnée sera »preeisement /. De plus, cette fonction s'expri- 
mant en fonction rationnelle et linéaire de © et 2, il faut que sa valeur 
soit rationnelle. L'ordre de J ne peut done être inférieur à celui de G, 


302 J. T. Sóderberg. 


d'où il suit que ces deux groupes sont identiques, et que, par conséquent, 
les substitutions de G font toutes partie du groupe I’. 

La premiere partie du théorème de GALoIS se trouve donc établie. 

La démonstration de la seconde partie est immédiate. En effet (n° 4) 
toute fonction rationnelle des racines dont la valeur reste invariable par 
les substitutions de G, s'exprime rationnellement par @ et, en conséquence, 
par les quantités connues. 

Il ne nous reste plus qu'à démontrer que le groupe d’une équation 
est unique. S'il n'en était pas ainsi, soit H un autre groupe jouissant 
comme G des propriétés du groupe de l'équation. Comme au n° 4, nous 
pouvons former une fonction rationnelle w, dont la valeur reste invariable 
‚par les substitutions de G, mais est changée par toute autre substitution. 
Cette fonction sexprimant rationnellement par les quantités connues, sa 
valeur reste invariable par les substitutions du groupe H, qui par con- 
sequent est contenu dans G. 

Mais d'un autre côté, les racines étant inégales, nous pouvons aussi, 
par un procédé bien connu (voir p. ex. Jorpan, Traité des substitutions, 
pag. 255), trouver une fonction rationnelle w, dont non seulement la 
valeur, mais la forme méme reste invariable par les substitutions de H 
et dont la valeur est changée par toute autre substitution. Par suite de 
notre hypothèse cette fonction est une quantité rationnelle et par consé- 
quent il faut que sa valeur soit invariable par les substitutions de G. 
Ces substitutions appartiennent donc aussi au groupe H, et par consé- 
quent les groupes G et H sont identiques, ce qui achève la démonstration 
du théorème de Gators. 


303 


ÜBER DIE BEWEGUNG EINES SCHWEREN PUNCTES 
AUF EINER ROTATIONSFLACHE 


VON 


OTTO STADE 


in DORPAT. 


Einleitung. 


Für eine Gruppe von Differentialgleichungen der Bewegung eines 
Systems materieller Puncte hat Jacopr’ die Integrale in der allgemeinen 
Form: 


(ep, 9p, 
| (Sr 05 u p d, ) —p-t 


angegeben. Hier bedeuten 4,,4, die beiden unabhängigen Variabeln, 
durch welche Ort und Lage des Punctsystems bestimmbar sein sollen, 
bedeuten 7, k, «, f Integrationsconstanten, p,, p, gewisse Functionen von 
qd,» (d, . h^, k und endlich ¢ die Zeit. Wenn mit der Auffindung dieser 
Gleichungen die Integration der Differentialgleichungen der Bewegung als 
solche vollständig erledigt ist, so bleibt das Umkehrproblem der Integrale 
ührig, d. h. die Darstellung der Variabeln 4,, q,, beziehungsweise ge- 
gebener Functionen derselben, durch die Zeit /. Diese Aufgabe scheint 
selbst für die einfachen Fälle noch nicht allgemein behandelt worden zu 
sein, wo die Integralgleichungen die Variabeln 4,, ¢ 


: separirt enthalten. 


also a und f + { je einer Summe zweier einfacher Integrale gleich werden. 


" Vgl. Vorlesungen über Dynamik, herausgegeben von Cresson, 8. 175, 8 515. 


Acta mathematica, 11 Imprimé le 2 Mai 1888, 


304 Otto Stande. 


Auf Integralgleichungen, bei denen eine solche Vereinfachung eintritt, 
führt die Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche mit ver- 
ticaler Symmetrieawe. Das Umkehrproblem der Integrale der Bewegungs- 
differentialeleichungen kann in diesem Falle nur bei einer beschränkten! 
Zahl von hotationsflàchen als Beispiel für die Anwendung der elliptischen 
Functionen behandelt werden;? für andere führt es zwar auf hyperellip- 
tische Integrale," aber nicht auf ein Jaconrsches Umkehrproblem, welches 
mittels der hyperelliptischen Functionen lösbar wäre. Es darf daher die 





© Es giebt 5 Rotationsflächen, darunter die Kugel, den Kegel und das Rotations- 


paraboloid, bei denen das Umkehrproblem nur elliptische Integrale enthält, nach Kops, 
Sur le mouvement d'un point matériel sur une surface de révolution, Acta mathematica, 
Bd. 10, S. 89, 1887. 

* Bei der Kugel hat das Problem wiederholt ausführliche Behandlung mittels der 
elliptischen Functionen erfahren, zuerst wohl durch Tissor, Mouvement d’un point matériel 
. pesant sur une sphère, LiouUVILLE's Journal de mathématiques, 1. Serie, Bd. 17, 
S. 88, 1852; vgl. die späteren Darstellungen bei SCHELLBACH, Die Lehre von den ellip- 
tischen Integralen und den Thetafunctionen, Berlin, 1864; Durbar, Theorie der elliptischen 
Functionen, Leipzig, 1878; GEELMUYDEN, Den koniske Pendelbevægelse, Archiv for 
Mathematik og Naturvidenskab, Bd. 5, S. 307, 1881; u. a. Die eine Coordinate 
(z in der Bezeichnung des S 3 des obigen Textes) des bewegten Punctes auf der Kugel 
wird unmittelbar eine elliptische Function der Zeit. Die Darstellung der anderen Coor- 
dinate (c in der Bezeichnung d. a. O.) dureh die Zeit kommt auf die Darstellung der 
elliptischen Integrale 3. Gattung durch Thetafunctionen zurück. Auf wesentlieh anderem 
Wege als die genannten Autoren, nämlich unter Vermittlung der LAMÉ schen Differential- 
gleichung, gelangt HERMITE, Sur quelques applications de la théorie des fonctions elliptiques, 
Comptes rendus, Bd. 93, S. 922, Paris, 1881, zur Entwicklung der 2. Coordinate, 
bezüglich einer Exponentialfunction derselben. Die gleiche Vermittlung nimmt die Me- 
thode von DILLNER, Sur lintégration des équations différentielles du pendule conique, Nova 
acta societatis scientiarum Upsaliensis, 3. Serie, Bd. 12, 1883, in Anspruch. 

Über Kegel und Paraboloid liegen verschiedene Bearbeitungen im Sinne der Trssor - 
schen Entwicklungen auf Grund der Theorie der elliptischen Functionen vor, vgl. BER- 
TRAM, Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung eines schweren Punctes auf Rotationsflächen 
mit verticaler Axe, Archiv der Mathematik und Physik, Th. 59, S. 193, 1876; 
E. Voss, Bewegung eines schweren Punctes auf der Fläche eines geraden Kegels und eines 
Rotationsparaboloids, Schwerin, 1878 (1872); Züge, Bewegung eines schweren Punctes 
auf einem Rotationsparaboloid, Archiv der Mathematik und Physik, Th. 40, 
S. 58, 1884. 

* Vom Geschlecht p = 2 für das Rotationsellipsoid, vgl. SCHLEIERMACHER, Uber 
die Bewegung eines schweren Punctes auf dem verlängerten Rotationsellipsoid, Erlangen, o. J.; 


vom Geschlecht } = 3 für den Kreisring, vgl. 2 10 des vorliegenden Textes. 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 305 


Frage nach der allgemeinen Lösung des Umkehrproblems für alle Rotations- 
flächen gerechtfertigt erscheinen, zu welcher die vorliegende Abhandlung 
einen Beitrag zu geben beabsichtigt. 

Die Untersuchung umfasst alle Rotationsflächen, die von einer Hori- 
zontalebene in nicht mehr als 2 Parallelkreisen geschnitten werden, unter 
näher angegebenen Voraussetzungen ($ 3, $ 8) und führt zu zwei Haupt- 
resultaten. Das erste derselben besteht in dem Nachweis einer von der ge- 
gebenen Rotationsfläche unabhängigen Rotationsfläche 3. Ordnung (S 5), welche 
in der Vertheilung ihrer Schnitteurven mit der gegebenen Rotationsfläche den 
Charakter der Bewegung eines schweren Punctes auf dieser bestimmt und im 
Besonderen die Stabilität oder Instabilität der Bewegung entscheidet. ' 
Dem anderen Hauptresultate zufolge sind für die beiden Normalformen 
(S 4, $ 9) jeder stabilen Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rota- 
tionsfläche die Coordinaten des Punctes bedingt periodische Functionen der 
Zeit, welche durch zweifach unendliche trigonometrische Reihen darstell- 
bar sind. Hierbei ist noch hervorzuheben, dass eine durch ihre Differen- 
tialgleichungen 1. Ordnung definirte Bewegung der betrachteten Art, 
ähnlich wie eine algebraische Curve, aus mehreren Zweigen bestehen kann, 
von denen zwei benachbarte unter Vermittlung von singulären Bewegungs- 


formen ($ 6) — etwa einer Curve mit Doppelpunet oder isolirtem Punct 
entsprechend — auch in einen einzigen Zweig verschmelzen können. Auf 


specielle Beispiele zur Erläuterung dieser allgemeinen Resultate ist nur 
in Kürze ($ 7, $ 10) eingegangen worden. 

Was die analytische Darstellung der Coordinaten des bewegten Punetes 
angeht, so ist dieselbe eine Anwendung einer allgemeinen, früher? von 
mir betrachteten Gattung von Umkehrfunctionen, auf welche ich hier nur 
verweise, um bei einer anderen Gelegenheit den analytischen Charakter 
dieser bedingt periodischen Functionen für alle reellen und auch für einen 
beschränkten Bereich complexer Werthe der Zeit ¢ darzuthun. Die Haupt- 
sätze über jene Umkehrfunctionen sind in einer für den vorliegenden 
Zweck erforderlichen Form ihren Anwendungen vorausgeschickt ($ 1, § 2). 


' Vgl die hiermit verwandten Gesichtspuncte der Untersuchungen von Bonin, 
Über die Bedeutung des Princips der lebendigen Kraft für die Frage von der Stabilität 
dynamischer Systeme, Acta mathematica, Bd. 10, S. 109, 1887. 

* Vgl. Mathematische Annalen, Bd. 29, S. 468. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 3 Mal 1888, 30 


306 Otto Staude. 4 


§ 1. Uber eine Gattung bedingt periodischer Functionen. 


Die anzuwendenden Sätze beziehen sich alle auf das Umkehrproblem: 


icy Te 
? à 
| Ja(e)dæ, i | g, C) dar, m 
e \ F,,(#,) t VF,,(æ) 
ay ay 
(1) ; | 
Ti 2 


| lm), | dede, , 


v N Fu) V Fa) 


ay 


2 


unter verschiedenen . V oraussetzungen über die darin auftretenden Func- 


tionen. 
I Unter F,,(x%;), (a, 2 = 1,2), sind zuerst gegebene Functionen 


; zu verstehen, welche für je zwei Werthe x, — a; und x, — b, ver- 


von x 


schwinden. Setzt man mit Rücksicht darauf: 

/ 7 : > à 
(2) Etre) = (ts — %) (Og — a) fas (Te), 
so sollen f,,(x;) in den Intervallen 

(3) a; X v, b; 


eindeutige und stetige Functionen von a, (eventuell von x; und 








/ 5 —— à8 
=) 
B3B 


sein, daselbst einen beständig positiven reellen Werth besitzen und weder 
o noch co werden. Ferner sollen die Functionen g,,(x;) in den Inter- 





vallen (3) eindeutige und stetige Functionen von c, (ev. von x; und 


(v3 — 4 


Wa == V | sein, die daselbst ihr Vorzeichen niemals wechseln und 


niemals oo werden. Endlich soll die Determinante: 





^ D ame J11(%) Yoo( 3) 931 (94) di, (94) 
D(a, , 2,) = 4 2 Her fur 


(4) FE FE " EI ae 
| vaut i) V fas (9,) V fa) Wii) 


für alle den Ungleichungen (3) genügenden Werthepaare x, beständig po- 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfliche. 307 


sitiv und von o verschieden sein. Die doppeltgestrichenen Wurzelzeichen 
bedeuten die positiven Werthe der Quadratwurzeln. 

Alsdann ist eine gegebene eindeutige Function E(x, , r,) der oberen 
Integralgrenzen &,,x, und der Wurzelfunctionen 2; — az ; ybs—2;; 
welche für alle den Ungleichungen (3) genügenden Werthepaare x, , x, 
endlich und stetig ist, eine für alle reellen Werthe von ¢ eindeutige, 
endliche und stetige, sowie bedingt periodische Function von ¢. Dieselbe 
kann durch eine für alle reellen Werthe ¢ gleichmässig convergente 
Reihe, die zweifach unendliche Fourigr’sche Reihe, dargestellt werden. 


Die Periodieitátseigenschaft bezieht sich auf die Constanten: 











bg 
* 
Jag \ i3) deg 
(5) ug if Seale 
" \ F agg ) 
ag 
7 b3 b3 
2 — ? — 
I Jag (2; N wi) d I qas ng . — Vwi)dæ; 
CV. (0,9 — 5 a + = ————————— [t 
" 2 1 2 2 ? EC 
t V F ap (ar oN w?) e VE me M wi) 
N (Le gr 
H [s 


Während nämlich die Function E(«, , 


ist, wird sie,’ falls mit irgend zwei positiven oder negativen, von O ver- 


%,) im Allgemeinen nicht periodisch 


schiedenen ganzen Zahlen m, , 


m, die Bedingung 


(6) O = 4m o,, + 4m,o,, 


erfüllt ist, eine periodische Function von £ mit der Periode 


(7) T = 4m,o,, + 4m,0,,. 


Enthält E(r,, x,) die Wurzelfunctionen y»; — az; , yb; — x; nur theilweise 
oder nur in gewissen Verbindungen oder gar nicht, so tritt in (6) und (7) 
2m, an Stelle von 4m, oder 2m, an Stelle von 4m, oder beides zugleich. 


Der Beweis dieses Satzes ist a. a. O. von mir gegeben worden; der 


Auf die bedingte Periodicität der hyperelliptischen Functionen zweier Variabler, 


wenn beide Variable lineare Funetionen einer dritten sind, hat U. NEUMANN aufmerksam 
gemacht, De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum 


classem revocatur, Journal für Mathematik, Bd. 56, 8. 40. 


308 Otto Staude. 


Satz kommt im Folgenden zur Anwendung ohne die in Klammern bei- 
gefiigten Eventualitäten, welche nur zur Ableitung des unter II folgenden 
Resultates dienen sollen. 

II. Über die Functionen F,,(x,), 9,,(%,) bleiben die Voraussetzungen 
unter I bestehen; dagegen sollen die Functionen Z°,(x,) nicht, wie dort, 
2 Nullpuncte haben, sondern vielmehr für keinen reellen Werth von x, 
verschwinden. Setzt man im Besonderen: 


~ 


: 1 Lopes 
(8) Ft) = (=) fa(ts) 


so sollen f,.(#,) für alle reellen Werthe von z,, einschliesslich 7, = + co, 
eindeutige und stetige Functionen von x, sein, einen beständig positiven 
reellen Werth besitzen und weder © noch co werden. Ferner sollen 
in gleichem Umfange die Functionen g,(x,) eindeutig und stetig sein, 
niemals ihr Vorzeichen wechseln und niemals oo werden. Die Voraus- 
setzung über D(r,, x,) in (4) bleibt entsprechend beibehalten. Die un- 
tere Grenze a, in dem Ansatz (1) soll jetzt durch o ersetzt werden. 
Unter diesen Voraussetzungen ist ebenfalls eine gegebene eindeutige 
Function E(x, ,x,) der oberen Integralgrenzen x, ,x, in (1) und der 
Wurzelfunetionen yz, — «, , /b, —»,, welche für alle den Ungleichungen 


1 


a, <a € b,,— co € x, € + co genügende Werthepaare z,, x, endlich 
und stetig ist, eine für alle reellen Werthe von ¢ eindeutige, endliche und 
stetise, sowie bedingt periodische Function von /, die wie oben dargestellt 
werden kann. 

Auch die Periodieitätseigenschaften drücken sich wieder durch die 
Formeln (6) und (7) aus, nur hat «,, jetzt den Werth: 


+ 


2E ı (% «3 (#3) da 
(9) €) a2 = ie (M ) Ae . 
a \ Fs ( #2) 








— A 


Der Beweis dieses Satzes II, der a. a. O. noch nicht angegeben 
wurde, kann dadurch geführt werden, dass man die Voraussetzungen des 
Satzes auf die dem Satze I zu Grunde liegenden reducirt. Dies geschieht 
durch die Substitution: 


9 Jy. a, Qe + Dog 
Ts — Ut un y. ES Br . 


: ; ll, << Ds 
Um Us n° I + & 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 309 
Es wird dann: 


X. To 


fee a i 29a2( 2) ds / gas (#2) dye 
Mira ct ot NR ae Ree YA 
: V Fas(22) 7 (1 + 2) V faa (2) V y» — a eX (bo —— Ya)y fa(z;) Co) 


wo das Vorzeichen der Wurzel aus f,(#,) ohne Beschränkung positiv ge- 
nommen werden kann. Da nun, während x, alle Werthe von — oc bis 
+ co durchläuft, y, immer zwischen a, und b, oscillirt, und da somit 








nach den Voraussetzungen unter II die Functionen g,(#,) und f,(%,) 


Mie, — um für alle der Ungleichung a, — y, <b, entsprechenden 
2 V2 E 


x 





= ; ° : : : /1 
Werthe von y, eindeutige, endliche und stetige Functionen von Ve 
Va Ys 


sind, die letztere überdies positiv und von o verschieden, die erstere von 
einerlei Vorzeichen bleiben, so liegt nach der geschehenen Substitution 
wieder der Fall I mit y, für x, vor, und zwar treten hierbei die dort 
in Klammern beigefiigten Eventualitäten ein. 

III. Die beiden Sätze I und II gelten auch dann noch, wenn iden- 
tisch 9,,(#%,) = © ist, unter den entsprechend specialisirten Bedingungen 
ihrer allgemeinen Formen. Jedoch ist dann die Function E(x,), wenn 


sie von allein abhängt, eine unbedingt periodische Function von ? mit 


v. 
der Periode 


(10) T 20313 


die durch eine einfach unendliche trigonometrische Reihe von gleich- 
mässiger Convergenz dargestellt wird.’ 


§ 2. Uber Grenzfälle bedingt periodischer Functionen. 


IV. Ist unter sonst gleichen Voraussetzungen, wie unter I, a, = b,, 
so ergiebt eine einfache Grenzbetrachtung mit Benutzung der eben ci- 


Nach Wetprsrrass, Über eine Gattung reell periodischer Functionen, Monats- 
berichte der Berliner Akademie, 1866. 


310 Otto Staude. 


tirten Untersuchung von WEIERSTRASS, dass x, = a,, und E(x, , «,) eine 


unbedingt periodische Function von £ wird, mit der Periode: 


A,w,, — Aw 
" ma | 21 2 AL 5 
(11) 20 — 2 : ; 


1: 





bezüglich 4w, wenn in E(x, ,a,) auch die Wurzelfunctionen y, 








a, , 
yo, — x, vorkommen; hierin ist: 
(12) À, — Ina) A, = Haas), 
Vii2( 4) | Vf 0.) 


V. Wenn die Function F,(x,) nicht nur ein, sondern zwei Paare 


aufeinander folgender Nullpuncte x, = a,,b, und x, = a,, b, besitzt 


2 
(a, — b, < a; < bi), so können die Bedingungen des Satzes I für die beiden 
V 2 2 2 2/) e D 

Intervalle a, < x, <b, und aj € x,-< b; unabhängig von einander erfüllt 








sein. Wenn man daher die untere Grenze a, in den Integralen (1) ein- 
mal belässt und einmal durch «a; ersetzt, erhält man entsprechend 2 ver- 
schiedene Gruppen bedingt periodischer Functionen £(z,, x,). 

VI. Wird nun aber unter den Voraussetzungen des Satzes V: 
b, = as, so nehmen die Umkehrfunctionen einen wesentlich neuen Cha- 
rakter an, da die Integrale mit der Variablen x, in (1) für x, = 5, lo- 
garithmisch oo werden. Dann bleiben zwar die Functionen E(x, , x.) 
für alle reellen Werthe von £ eindeutige, endliche und stetige Functionen 
von f£, verlieren aber ihre früheren Periodicitätseigenschaften. Im Be- 
sonderen kann die Function x, den Werth 5, für keinen endlichen Werth 
von ¢ erreichen. Unter der ferneren Voraussetzung 9,,(%,) = o (wie 


unter III) nähert sich x, dem Werthe b, mit unbegrenzt wachsendem 4 


2 
asyınptotisch. 


§ 3. Gleichungen der Bewegung auf einer Rotationsfläche 
mit einfachen Horizontalschnitten. 


Die Gleichung einer Rotationsfläche, bezogen auf ein rechtwinkliges 
Coordinatensystem mit vertical abwärts laufender z-Axe sei: 


(1) a +.y° = f’(2). 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 311 


Die Function f(z) soll innerhalb eines gewissen Intervalles 


(2) ALB 


mit näher zu bestimmenden Grenzen A, P eine eindeutige und stetige 
Function der reellen Variabeln z, sowie von positivem reellen, von o 
und co verschiedenen Werthe sein; sie soll ferner innerhalb desselben 
Umfanges einen bestimmten, nicht © werdenden 1. Differentialquotienten 
f(z) besitzen. 

Indem mit e der Winkel zwischen der Meridianebene eines Punctes 
der Rotationsfläche und der zx-Ebene des Coordinatensystems bezeichnet 
wird, können die Coordinaten »,9,2 des Punctes durch die Formeln: 


(3) DEA} COS PE, y = f(2):sing, 2 — 2 


als Functionen von 7 und e dargestellt werden. Da der Winkel c in 
seiner Veränderlichkeit unbeschränkt bleibt, brauchen nur positive Werthe 
von f(z) in Betracht gezogen zu werden. Durch die Formeln (3) wird 
die Lage des Punctes x,y, z der Fläche innerhalb des Raumes zwischen 
den beiden Horizontalebenen z — À und z — B eindeutig bestimmt. In 
demselben Raume wird die Rotationsfläche von jeder Horizontalebene in 
einem und nur einem Parallelkreise geschnitten (einfache Horizontalschnitte) 
und hat sie auch mit der z-Axe keinen Punct gemein; in den Grenzen 
2= A und z — B können die über f(z) und /'(z) gemachten Voraus- 
setzungen durchbrochen werden; es kann hier auch /(2) — O sowie 
f(2) = co sein, also die Fläche sich um die z-Axe in einer Spitze oder 
mit horizontaler Tangentialebene zusammenschliessen. 
An Stelle von e wird fernerhin noch die Variable 


(4) v= sin’g 


eingeführt. 
Die Differentialgleichungen 1. Ordnung der Bewegung eines schweren 
Punctes m von der Masse 1 auf der Rotationsfläche lauten bekanntlich: 
ks V 4- F2). de (z)Vı + fa). da 
(5) de = . \ LR / \ = —— 9 di = / \ = . 
f(3) y2(ga + h)f'(2) - k v2(0g2 + h)f*(s)— k* 


Dabei ist g die Beschleunigung der Schwere, A die Constante der le- 


SS Otto Staude. 


bendigen Kraft und % die doppelte Flächengeschwindigkeit der auf die 
Horizontalebene projicirten Bewegung; & wird von o verschieden voraus- 
gesetzt und kann ohne Beschränkung als positiv angenommen werden. 

Die Abhàngigkeit der Coordinaten #,y, 2 des Punctes m von der 
Zeit ¢ findet. hiernach ihren Ausdruck in den 5 Gleichungen: 





(6) "n cm Pos e I — V, y= {(2) Vv, 2 —= 2, 


[a |. Rue 
e 2yv(ı -— v) f(2)V2 (gz ES h)f (z) — I? 


=o 








TN 
SI 


> 
Z 


fo + Fe). de 
J v2(gz + De) — e 


2 


^0 








welehe nur eine andere Form der Gleichungen (3) und (5) sind und die 
Form des allgemeinen. Umkehrproblems der obigen Einleitung haben. 
Bei der über f(z) gemachten Voraussetzung ist es, so lange z in dem 
Intervalle (2) bleibt, keine Beschränkung, wenn die Quadratwurzel aus 
1 + f(z) positiv angenommen wird, was durch die doppelten Striche 
bezeichnet ist. Die Werthe 2 — z, und v — o , \/1 — v — 1 sollen die dem 


Zeitpunct { = o entsprechenden Anfangswerthe sein (vgl. $ 5). 


8 4. Normalform der stabilen Bewegung auf einer Rotationsfläche 
mit einfachen Horizontalschnitten. 


Innerhalb des in (2) bezeichneten Intervalles sind die Funetionen 


NE Zz) \ Sr 
Jia Fay? UE = flz)yi + (2) 


eindeutig und stetig, positiv und von o und oo verschieden. Setzt man 
die in $ 5 näher zu erörtern ist —, 


daher voraus — eine Voraussetzun ; 


e? 


dass die Function: 


(8) R(z) = 2(ga + h)f'(z) — Kk 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfliche. 313 


die Form habe: 


(9) R(z) = (e — «Xa — 2)" (2), 
wo mit Ausschluss der Gleichheit: 

(10) AN SN doy 

und wo r(z) für das Intervall: 


(11) a SAS e 


positiv und von o verschieden ist, so erfüllen die Gleichungen (6) und 
(7) alle Bedingungen des Satzes $ 2, I in der besonderen Form $ 2, III. 
Man hat in die allgemeinen Sätze des $ 2 neben den bereits angegebenen 
Functionen g,, und g,, die Functionen: 





einzuführen. Die Periodicitàtsconstanten erhalten die Werthe: 


dv a kyı + f'(z).de 
M71, = — Tr = ’ (014 — | , 
^ 24v(1 — wv) 2 1 [\e VvR(z) 
0 Lo 
(12) 
"F(z)y [D + f(z)de 
04, =) 0, 0,4 — | m 


Während daher 2 eine eindeutige, unbedingt periodische Function von f£ 
ist mit der Periode: 
T - 20... 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 3 Mat 1888. 40 


314 Otto Staude. 
sind x ,7 eindeutige, bedingt periodische Functionen von f, welche unter 
der Bedingung: ' 


4m, > + 2m4,0,, = O 


DIN 


die Periode 


/-T! 
T — 2, 0, , 


N 


erhalten. Die Funetion z ist durch eine einfach, die Functionen #, y 
durch zweifach unendliche trigonometrische Reihen darzustellen, die für 
alle reellen Werthe von ¢ gleichmässig convergiren. 

Die Bewegung des Punctes m ist auf die zwischen den beiden Pa- 
'allelkreisen 2 — 2, und z= 2, 


in der Làngsdimension derselben immer in gleichem Sinne fort, indem 


gelegene Zone beschränkt und schreitet 


eae DOUTE: m 
die Flächengeschwindigkeit -4 der auf die Horizontalebene projicirten 


u 


Bewegung constant bleibt. Dabei berührt die Bahncurve des Punctes m 
periodisch abwechselnd den obern und untern die Zone begrenzenden 
Parallelkreis, weshalb diese letzteren Wendekreise der betrachteten Be- 
wegung genannt werden mögen. 

Die Wendekreise 7 — z, und z — z, sind durch die beiden in (9) 
vorausgesetzten Nullpuncte der Function R(z) bestimmt, über deren 


Existenzfrage der $ 5 weiteren Aufschluss geben soll. 


e 


85. Die Rotationsfläche der Wendekreise der Bewegung. 


1 ; 
Denkt man sich die Constanten 5 und -K der lebendigen Kraft und 


der Flächengeschwindigkeit in der Horizontalebene gegeben, so bleibt, für 
die durch die Differentialgleichungen (5) definirte Bewegung, noch der 
Anfangsort z — z,, € — «c, des bewegten Punctes m willkürlich. Bei 


der Symmetrie der Rotationsfläche kann, wie in (7) geschehen, ohne Ein- 
schränkung der Allgemeinkeit ¢, = o gesetzt werden, während für 2, 





'* Vgl. die Untersuchungen von DARBOUX über die Bedingung geschlossener Bahnen 
eines Punctes auf einer Rotationsfläche in der Abhandlung: Etude d'une question relative 
au mouvement d'un point sur une surface de révolution, Bulletin de la société ma- 


thématique de France,.Bd. 0, S. 100, 1877. 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 315 


entweder, wie in (7) mit Rücksicht auf (9), ein Nullpunct von R(z) oder 
auch ein anderer Werth gesetzt werden darf, der einem von der Bewe- 
sung überhaupt getroffenen Parallelkreis entspricht. | 

Da nämlich nach (5) von den Coordinaten des Anfangsortes z,, c, 
und den Constanten h,k die Coordinaten z = 2, ¢’ = «e; der Anfangs- 


geschwindigkeit mittels der Gleichungen: 


JU wb uer «Pi ae 
Le =e Nr EM Bun Al.) 


tv 


(13) 
abhängen, so muss z = 2, der Bedingung: 
(14) R(z) 2.0 


genügen. Diese Bedingung bestimmt innerhalb der Grenzen À < :; — B 
die bei gegebenem /, und % für den Punct m erreichbaren: Parallelkreise 
der Rotationsfläche, während alle der Bedingung nicht entsprechende 
Stellen unerreichbar bleiben. 

In einer Halbmeridianebene nehme man ein Coordinatensystem mit 
den Axen r,z an, wo 2 die bereits eingeführte, der Richtung der Schwere 
folgende z-Axe und r die Durchschnittslinie der Halbmeridianebene mit 
der horizontalen wy-Ebene des bisherigen Coordinatensystems sei Die 
Gleichung der Durchschnittslinie der Rotationsfläche mit der Halbmeridian- 
ebene ist: 


(LS) TEE 
wo r nur positive Werthe annimmt. Man kann nun die Gleichung: 


(16) R(2) = 0, 


auf deren Wurzeln es ankommt, als Resultat der Elimination von r aus 
der Gleichung (15) und der Gleichung 

) k 

I r=- 
7 v2(9g* + h) 

ansehen, wo nach Voraussetzung k > o ist. Demnach sind die Null- 
puncte der Function R(z) die z-Coordinaten der Durchschnittspuncte der 
beiden Curven (15) und (17). Dies von der Halbmeridianebene mit 


yo— Va + y auf den Raum übertragen, giebt den Satz: 


316 Otto Staude. 


Die Wendekreise der Bewegung des Punctes m auf der Rotationsfläche 
§ 3, 1 sind die Schnittkreise der letzteren mit der Rotationsfläche 3. Ordnung: 


k? 


18 m: y^ —————-. 
(18) ue 2(gz 4- h) 


Zur Discussion dieser Rotationsfläche (4, %), welche durch die Para- 
meter /, k charakterisirt ist, bedarf es nur der Betrachtung der Halb- 
meridiancurve (17), die einen Zweig einer Curve 3. Ordnung darstellt. 
Der andere, den negativen Werthen der Quadratwurzel entsprechend, ist 
für den vorliegenden Zweck ersichtlich ohne Belang. Die Curve (17) 
befindet sich in der Halbebene r, z ganz unterhalb der horizontalen Ge- 

h : ; à : 
raden z= —-, welche eine Asymptote der Curve ist. Eine zweite 
g 
Asymptote der Curve ist die verticale z-Axe. Die Curve besteht aus 
einem einzigen, horizontal vom Unendlichen her und vertical in's Unend- 
: ; : : ? his: 
liche hinablaufenden Zuge, der jede unterhalb des Niveau’s z = on die 
B ( 
Halbebene r,2 durchziehende horizontale oder verticale Gerade einmal 
là 


. nn - = ar 
und nur einmal trifft Da ferner in dem betrachteten Umfange 15d O 
Er 


ar . . . . . 
und 75 > 9 so nimmt bei wachsendem z die horizontale Coordinate der 
( 


Curve von co bis o beständig ab, und bewegt sich der Winkel « der 
abwärts laufenden Curventangente gegen die horizontale r-Axe (vgl. Fig. 1) 


beständig abnehmend von x bis = Es ist überdies für alle unterhalb 


der Curve (auf der concaven Seite derselben) gelegenen Puncte r, z der 
Halbmeridianebene: | 








k 
r > = , 
\ 2(gz + lv) 
\ h 
für alle oberhalb der Curve und unterhalb der Geraden z = —; 8€ 


legenen umgekehrt. | 

Die Systeme von Curven, welche bei veränderlichem % und constan- 
tem À oder bei veränderlichem A und constantem % entstehen, sind leicht 
zu übersehen. Denn der Veränderung von h bei festem 4 entspricht eine 
blose Verschiebung der Curve in der Richtung der z Axe. Will man 


" 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 317 


dagegen aus der Curve (h, k) die Curve (h, k’) erhalten, so braucht man 
nur die horizontalen Coordinaten r der ersteren mit %’:%k zu multiplieiren 
(Systeme der letzteren Art vgl. Fig. 2 und Fig. 3). 

Lässt man jetzt die Curve (4, k) um die z-Axe rotiren, so beschreibt 
sie die Rotationsfläche (h, b), welche sich trichterfórmig nach oben gegen 


; hte c : J 
die Ebene 2 = m öffnet und nach unten immer enger um die z-Axe 
( 


zusammenschliesst. Für alle Puncte unterhalb dieser Fläche ist 
2(gz + hye’? + y*)—k? >0 
und fiir alle Puncte oberhalb derselben diesseits und jenseits der Ebene 


I . 
z= —- umgekehrt. Daraus folgt aber weiter: 
ug c7 


Für einen Parallelkreis der gegebenen Rotationsfläche 


ney a 
ist 
Bike) voa o0dero «t0, 
jenachdem derselbe unterhalb, auf oder oberhalb der Rotationsfläche (h, k) liegt. 


Die Rotationsfläche (h, k), welche, unabhängig von der gegebenen Ro- 
tationsfläche, nur von den Constanten der Schwerkraft (9), der lebendi- 


, ; den ES 
gen Kraft (A) und der horizontalen Flächengeschwindigkeit | Lx) abhàngt, 


trennt also einerseits die für die Dewegung erreichbaren und unerreich- 
baren Puncte der gegebenen Rotationsfläche und bestimmt andererseits 
in ihren innerhalb. des Raumes À < z < D gelegenen Schnitteurven mit 
dieser die möglichen Wendekreise der Bewegung. 

Mit y — o geht sie in einen verticalen Kreiscylinder, verbunden mit 
li 


der Ebene 2 — oo über; mit & =o in die z-Axe und die Ebene z = —-. 
q 


8 6. Formen der Bewegung auf einer Rotationsjläche 
mit einfachen Horizontalschnitten. 


Verbindet man dieses Resultat mit der in $ 4 über R(z) gemachten 
Voraussetzung (9), so übersieht man, wenn dieselbe mit ihren Folgen 


318 Otto Staude. 


besteht und wenn nicht. Soll nämlich eine den Differentialgleichungen 
(5) entsprechende Bewegung innerhalb des Intervalles (2) überhaupt mög- 
lich sein, so darf die gegebene Rotationsfläche in dem letzteren nicht 
ganz oberhalb der Rotationsfläche (h, k) liegen, ohne dieselbe zu treffen. 
Dagegen: 


I. Ragt die gegebene Rotationsfläche innerhalb des Intervalles A<z<B 
mit einer Zone in den Raum unterhalb. der Rotationsfläche (h, k) hinein, 
und ist diese Zone von 2 Parallelkreisen, 2 — 2, nach oben und z — 2, nach 
unten, begrenzt, in denen sich beide Rotationsflächen schneiden, ohne sich zu 
berühren, so findet in dieser Zone eine den Differentialgleichungen (5) ent- 
sprechende, bedingt periodische Bewegung des Punctes m mit den Wendekreisen 


2= 2, und 2 = 2, statt. 





Es liegt die in $ 4 behandelte Normalform der Bewegung vor; denn 
den einfachen Schnittkreisen der beiden Flächen entsprechen einfache Null- 


puncte z — 2,2 der Function R(z), zwischen denen nach § 5 die Func- 
tion R(z) positiv und von o verschieden ist, während r(z) (vgl. $ 4, 9) 
zwischen und in den Grenzen z= 2,,2, diese Eigenschaften besitzt. 


II. Reicht die gegebene Rotationsfläche innerhalb der Grenzen A<2<B 
mit mehreren solchen Zonen unter die Rotationsfläche (h, k) herab, so besteht 
die den Differentialgleichungen (5) entsprechende Dewegung aus mehreren 
bedingt periodischen Zweigen. 


Jeder dieser Zweige ist von der erwähnten Normalform des $ 4, wie 
aus $ 2, V unmittelbar hervorgeht. 


III. Fallen die beiden Wendekreise eines solchen bedingt periodischen 
Zweiges der Bewegung zusammen, so geht die entsprechende bedingt periodische 
Bewegung in eine unbedingt periodische Bewegung über. 


Dieselbe erfolgt dem Satze $ 2, IV entsprechend, auf einem Pa- 
rallelkreise 2 — 2, der Rotationsfläche mit constanter Geschwindigkeit. 
Diese periodische Bewegung ist stabil, da ihre Bahn beiderseits von un- 
erreichbaren Theilen der Rotationsfläche begrenzt ist. Für die Periode 


der Bewegung ergiebt die allgemeine Formel,$ 2, 11: 


D 


62 


19 p T T. 





PP TD —" 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfliche. 319 


Dieser Ausdruck lässt sich noch anders darstellen. Denn die Annahme 
2= 4,,2 =o reducirt die Gleichungen $ 5, 13 auf: 


(20) 2-20) DE en). e. 


Da aber bei dem Zusammenfall der beiden Wendekreise z, und z, nach 
$ 4, 9 auch 


(20) R(2) ca oe 


so können mittels dieser 3 Gleichungen (20) h, k und c; durch z, aus- 
gedrückt werden. Man erhält dabei für % den Werth: 


if) if 


Es wird daher nach (19) die Umlaufszeit der längs des Parallelkreises 2 = z 
stattfindenden periodischen Bewegung: 


(21) T — on\/ fer), 


g 





0 





. es l Ah . . * 
Mit Ce) = Var — 2? und. f(2) = - va? —z? liefert diese Formel die be- 





kannten Perioden der Bewegung längs eines Parallelkreises 2 — z, der 
Kugel und des Rotationsellipsoides: 


Z r 2 9 

Tr, Ter. 

J a 

IV. Fallen zwei nächstfolgende Wendekreise zweier verschiedener bedingt 

periodischer Zweige der Bewegung zusammen, so entsteht durch das Zusam- 
menfliessen der letzteren eine asymptotische Bewegung. 


Die Bahneurve des Punctes m flacht sich nach $ 2, VI bei Annä- 
herung an den kritischen Parallelkreis, der aus dem Zusammenfall der 
beiden Wendekreise hervorgeht, derart ab, dass sie, während sie der 

' Vgl. Scherz, Theorie der Bewegung und der Kräfte, Bd. 1, S. 425. (2. Aufl.) 

* Vgl. Foucaurr, Remarques concernant le mouvement d'un point oscillant circulaire- 
ment sur une surface de révolution du second ordre, Comptes rendus, Bd. 61, S. 515, 
Paris 1865; und Sur une modification du modérateur de Warr, ebd. 8, 278, 


320 . Otto Staude. 


Richtung des letzteren folgend, in immer neuen Windungen die Rota- 
tionsfläche umkreist, sich dem kritischen Parallelkreis asymptotisch nähert. 
Auf diese Weise wird die im kritischen Parallelkreis mögliche Verzweigung 
der Bahneurve umgangen. ' Bringt man aber den Punct m zu Anfang 
der Bewegung in diesen Parallelkreis hinein, so wird er ihn umgekehrt 
nach keiner endlichen Zeit verlassen können, sondern ihn mit constanter 
Geschwindigkeit umkreisen. Die so entstehende unbedingt periodische Be- 
wegung unterscheidet sich aber von der vorhin als stabil bezeichneten 
dadurch, dass sie nur im labilen Gleichgewicht steht. Ihre Periode ist 
dieselbe, wie die vorhin unter (21) angegebene. Die Grenzfälle III und 
IV der bedingt periodischen Bewegung setzen eine Berührung zwischen 
der gegebenen Rotationsfläche und der Rotationsfläche (h, k) längs eines Pa- 
rallelkreises voraus. Solche Berührungen können, da die Fläche (h,k) 
sich nach unten zu beständig gegen die z-Axe verengt, nur auf solchen 
Zonen der gegebenen Fläche auftreten, wo das gleiche stattfindet; dem 
entsprechend giebt die Formel (21), da /(z) allgemein positiv voraus- 
gesetzt wurde, nur für negatives f'(z,) einen reellen Werth. Ist längs einer 
solchen Zone mit negativem f'(z) die gegebene Rotationsfläche positiv ge- 
krümmt, so kann sie die Rotationsfläche (h, 5) niemals von unten be- 
rühren, also nur der Grenzfall der stabil periodischen Bewegung eintreten. 
Ist sie dagegen negativ gekrümmt, wie die Rotationsfläche (h, k) selbst, 
so sind beide Grenzfälle, die stabil und die labil periodische Bewegung 
möglich (vgl. $ 10). 

V. Analoge Grenzfille bedingt periodischer Bewegungen, wie die 
eben unter III und IV beschriebenen, finden sich bei der Coincidenz von 
mehr als zwei Schnittkreisen der gegebenen Rotationsfläche mit der Rota- 
tionsfläche (A, k) ein, deren Discussion kein weiteres Interesse beanspruchen 
dürfte. Jedoch soll noch des vollständigen Zusammenfalles der beiden Ro- 
tationsflächen, also der Voraussetzung 


(22) Fe) eee 


V2(gz + h) 
gedacht werden. Wenn der Punct m an einer beliebigen Stelle dieser 
Denn nach KiRCHHOFF, Vorlesungen über mathematische Physik, Y. Vorl., 8 2, 


sind die Coordinaten x 


) 


4 .Z des bewegten Punctes für die Dauer der Bewegung ein- 


werthige Funetionen der Zeit. 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 321 


Rotationsfläche in horizontaler Richtung mit der Flächengeschwindigkeit 4 
seine Bewegung beginnt, so verbleibt er immer in dem anfänglichen Pa- 
rallelkreis. Es liegt eine periodische Bewegung vor, deren Gleichgewichts- 
zustand ein indifferenter ist. 

Diese Eigenschaft führt auf folgende mechanische Definition des einem 
gegebenen h und einem veränderlichen 4 entsprechenden Systems von Ro- 
tationsflächen (%,k), wie es bereits im § 5 erwähnt wurde: 

Wenn von einer beliebigen Stelle irgend eines Parallelkreises z = 2, 
einer Rotationsfläche des Systems ein schwerer Punct in der Richtung der 
Tangente des Parallelkreises mit derjenigen Geschwindigkeit ausgeht, die er 


; 2 ho - 
durch den freien Fall vom Niveau z= Say bis zum Niveau des Parallel- 


kreises 2 = z, erhalten haben würde, so bewegt er sich beständig in diesem 
Parallelkreis. 


Denn die Differentialgleichung der in die yz-Ebene fallenden Me- 
ridiancurve einer Rotationsfläche, auf welcher ein schwerer Punct immer 
einen Parallelkreis beschreibt, wenn er in einem beliebigen Niveau z von 
einer beliebigen Stelle der Fläche mit der als Function von z gegebenen 
und in die Richtung des Parallelkreises z fallenden Geschwindigkeit 
y = y(2) ausgeht, ist: ' 


Die Integration dieser Differentialgleichung mit v’(z) = 2(gz + h), giebt 
aber, unter k die Integrationsconstante verstanden, das in Rede stehende 
System: 

le 


iJ m— = — . 
V2(gz + h) 


VI. Neben den unter I—V betrachteten und in verschiedenem Sinne 
stabilen Bewegungszweigen können auch instabile Zweige vorhanden sein, 


wenn nämlich eine Zone der gegebenen Rotationsfläche, die unter die 





' Vgl. JULIIEN, Problèmes de mécanique rationnelle, Bd. 1, S. 401, Paris 1855; 


über die Tendenz dieser Frage auch DE STr.-GERMAIN, Des surfaces sur lesquelles un point 
peut se mouvoir suivant une certaine loi, LIOUVILLES Journal de mathématiques, 
3. Serie, Bd. 2, S. 325, 1376. 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 9 Mni 1888, 41 


322 Otto Staude. 


Fläche (h, À) herabreicht, innerhalb des Intervalles A < 2 — B nur ein- 
seitig beorenzt ist. Auf diese Zweige soll an dieser Stelle nicht näher 
eingegangen werden. 

Mit g=o ergeben sich aus den Sätzen I—VI die verschiedenen 
Formen der geodätischen Bewegung eines Punctes auf einer Rotationsfläche, 
mit Ausschluss der Bewegung in einem Meridiane. 

Wie die Bestimmung des Intervalles À — z < D für eine gegebene 
Rotationsfläche gedacht ist, wird aus den folgenden Beispielen leicht er- 


sichtlich sein. 


8 7. Beispiele von Bewegungen auf Rotationsflächen mit einfachen 
Hovrizontalschnitten. 


Um die bekannten Beispiele von Bewegungen eines schweren Punctes 
auf einer hotationsflache unter die allgemeine Theorie unterzuordnen, mag 
zuerst die Æugelfläche erwähnt werden. Es ist hier: 


f (2) = ya gs p 


wo unter & der Radius der Kugel verstanden wird. Die Grenzen A und 
B des $ 3, 2 kónnen 4 = —a und B= + a genommen werden, worauf 
f(z) allen Bedingungen des $ 3 entspricht. Die Rotationsfläche (4, 4) 
schneidet, wenn überhaupt eine Bewegung stattfindet, die Kugel in 2 
Parallelkreisen z = z,, 2, (vgl. Fig. 1), die auch zu einer Berührungscurve 
beider Flächen zusammenrücken können, jedoch nach $ 6 nur auf der 
unteren Halbkugel. Während daher im Allgemeinen die Bewegung aus 
einem einzigen bedingt periodischen Zweige besteht, wird sie im Grenzfalle 
stabil periodisch. 

Im Wesentlichen dieselben Verhältnisse wiederholen sich bei allen 
geschlossenen — Rotationsfláchen mit einfachen Horizontalschnitten, wenn sie 
zwischen ihren beiden Schnittpuncten mit der Rotationsaxe überall den 
Dedingungen des $ 3 entsprechen und, in der verticalen Halbebene yz, 
der Winkel der absteigenden Tangente der Halbmeridiancurve der Rota- 
tionsfliche gegen die Richtung der Halbaxe y, beständig wachsend von 
O bis z sich bewegt. Da nämlich der Winkel der absteigenden Tangente 


der Halbineridiancurve der Rotationsfläche (h, A) gegen die Richtung der 


‘Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfliche. 323 


yn 
se 


Halbaxe y beständig abnehmend von z bis - sich bewegt (nach $ 5), 


2 
so können die beiden Meridiancurven sich nicht mehr als zweimal schnei- 
den; sie müssen sich aber, wenn überhaupt, auch wenigstens in 2 ge- 
trennten oder zusammenfallenden Puncten treffen. 

Bei dem Rotationskegel mit verticaler Axe ist für den oberen Halb- 
kegel, dessen aufsteigende Seitenlinie mit der z-Axe den stumpfen Winkel 
y bildet: 


Mayr tor 
Man kann A= -— , DB =o nehmen, indem man 7 als positiv voraus- 
setzt. Kleinere Werthe von z sind unerreichbar, sodass die Annahme 
A zur pene Beschrankung enthalt. Der obere Halbkegel wird von 


der Rotationsfläche (h, k), wenn überhaupt, in 2 Parallelkreisen z = 2, z: 
(vel. Fig. 1) geschnitten, die eventuell auch zusammenfallen. Auf den 
unteren Halbkegel übergehend, hätte man 


f(2) = —tey-2 
und 4 — o, B — co zu nehmen. Es findet sich dann nur ein Schnitt- 
kreis z= 2; zwischen Halbkegel und Rotationsfläche (5, X) und liegt 
daher ein instabiler Zweig der Bewegung vor (vgl. § 6, VI). 
Im Wesentlichen ebenso, wie der nach oben offene Halbkegel, ver- 


halten sich alle unten geschlossenen und oben offenen Rotationsflächen mit 
: : x | : ; h 
einfachen Horizontalschnitten, wenn sie zwischen dem Niveau 3 = — - und 
t 
g 
ihrem tiefer liegenden Schnittpunet mit der Rotationsaxe überall den 
Bedingungen des $ 3 genüsen und der Winkel der absteigenden Tangente 
der Halbmeridianeurve gegen die Richtung der Halbaxe y beständig 
wachsend von einem zwischen o und x gelegenen Anfangswerthe bis z 
sich bewegt. Sie werden, wenn überhaupt, von der Rotationsfläche (A , 4) 
i h. à : 
unterhalb des Niveau's 2 = — - in zwei getrennten oder zusammenfallen- 
N 
den Puncten geschnitten. 
Ein Beispiel für den Fall, wo zwei bedingt periodische Zweige der 
Bewegung möglich sind, bietet die durch Rotation der Fusspunctcurve 
einer Ellipse 


(y? + 2°)? — (ey? + 02) = 0 


324 Otto Staude. 
entstehende Fliche unter der Voraussetzung: 
Dr pp 


Die Gleichung der Halbmeridiancurve ist: 











y = f(2) = V(a* — 22°) + Vat + 4(b* — aa". 


Die Function erfüllt innerhalb der Grenzen A — — 6 und A= + b alle 
Bedingungen des $ 3. Bei geeigneter Wahl der Constanten h werden 
dann mit stetiger Abnahme der Constanten % der Reihe nach folgende 


Formen der Bewegung auftreten. 


Solange die Fläche (h, /) die gegebene Fläche in 2 Parallelkreisen 


z=2, und z — z, schneidet, die respective in der Nähe von 2 — —b 
und z= +0 liegen (vgl. Fig. 2, 1) besteht die Bewegung aus einem 
einzigen bedingt periodischen Zweige (Normalform des $ 4). Sobald zu 
den beiden Schnittkreisen zg = 2, und z = z, noch eine Berührung beider 
Flächen in einem zwischen jenen liegenden Parallelkreis 2 = 2, = 2, tritt, 


liegt die in $ 6, IV betrachtete asymptotische Bewegung vor, die auch 
als labil periodische Bewegung lings des letztgenannten Parallelkreises 
betrachtet werden kann. Indem weiterhin die beiden Flächen in 4 Pa- 
rallelkreisen 2 = 2,,2 = 


u 


2 
a 


— 4,,4.-- 2, sich schneiden (vol, Eig. 2,2) 
zerfällt die Bewegung in 2 bedingt periodische Zweige auf den Zonen 
4 <2<2 und 24, <2<2,. Beim Zusammenfall von 2, und 2, wird 
sodann der obere Zweig stabil periodisch. Weiterhin verschwindet er ganz, 
und es bleibt (vgl. Fig. 2, 3) nur mehr ein bedingt periodischer Zweig 
mit den Wendekreisen z — 2, und z= 4, 
stabil periodische Bewegung übergeht, wenn die beiden Wendekreise zu- 


übrig, der seinerseits in eine 


sammenrücken. 


8 8. Gleichungen der Bewegung auf einer Rotationsfiäche mit 
zweifachen Horizontalschnitten. 


Die Gleichung einer Rotationsfläche sei mit Bezug auf dasselbe Co- 
ordinatensystem, wie in $ 3, wiederum: 


(1) | v 4 y = fl2), 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 325 


jedoch soll die Function f(z) die Form haben: 


(23) fe) = p(4) + va), 
und soll für jeden Werth von z in dem Intervalle 


(24) a < 2 < bd 


^ 


2 im Allgemeinen verschiedene positive reelle Werthe haben, die nur an 
den beiden Grenzen z= a und z — b des Intervalles zusammenfallen. 
Diese Eigenschaft von f(z) soll dadurch bedingt sein, dass die Function 
q(z) die Form hat: 


(25) (2) = ( — a —Ar(2), 


und dass die Functionen p(z) und r(z) fiir alle der Ungleichung (24) 
entsprechenden Werthe von z eindeutige und stetige Functionen der reellen 
Variabeln z sind und einen positiven reellen, von o und co verschiedenen 
Werth besitzen. Auch solien diese Functionen in demselben Umfange 
einen bestimmten, nicht co werdenden 1. Differentialquotienten p’(z) und 
q(2) besitzen. Endlich soll in dem betrachteten Intervalle: 


(26) p(2) > vale) 

sein. Die Rotationsfläche ist dann eine geschlossene Ringfläche, welche von 
jeder Horizontalebene zwischen z= a und z — in 2 getrennten Pa- 
rallelkreisen geschnitten und von den Ebenen z= a und z= b selbst 
längs eines solchen berührt wird. 

Die Differentialgleichungen (5) für die Bewegung eines schweren 
Punctes m auf der Fläche haben jetzt in dem Intervalle a < 2 «€ b insofern 
einen andern Charakter wie früher in dem Intervall $ 3, 2, als f?(<) 
nicht mehr eindeutig und f’(z) nicht mehr überall von oo verschieden 
ist. Sie können aber auf eine der früheren analoge Form gebracht 
werden durch die Substitution 
(27) = Br : + — P ene u; 





es wird dann: 


. 
-- — a — b ad — b 


vq(z) = Ve — ab — z)yr(a) = — — sin u du. 





Sinw.vr(s), de = — 





326 Otto Staude. 


Dieses Abhängigkeitsverhältniss zwischen den Variabeln z und « ist derart, 
dass, während x alle möglichen reellen Werthe durchläuft, z immer 
zwischen a und 0b oscillirt. Es ist daher bei den gemachten Voraus- 
setzungen: 























~ 24 2 


3 b —b \ —b 3 - 
(28) faa = cos u) É sinat r + cos) = Fu) 


~ . 2 


eine eindeutige und stetige Function von w, die immer positiv und von 
o und oo verschieden ist. Ferner wird: 


q() (p) vq) ; 1 2) G(u) 


(29) p (4) = gab Fa dk (z — ay (beu 








wo G(w) für alle reellen Werthe von w nicht nur eindeutig und stetig, 
sondern auch positiv und von o und oo verschieden ist. Da nàmlich 


(30) G(u) = [1 + PAC — ayb — à), 


so ist für alle Werthe von w, für de a < z « b, G(w) positiv und von 
o verschieden; für solche SN von u aber, für die z= a,b wird, ist 


q #2) 
r(z) 





Ic 
Glu) => 
Opa 
ebenfalls positiv und von o verschieden. Da ferner für a <2<b weder 
r(z) verschwindet noch q(2), p'(z), g’(2) co werden können, so ist nach 
(29) G(u) für alle reellen Werthe von w endlich. 

Wenn aber G(w) diese Eigenschaften hat, so wird in dem Differential: 


JI f de VG Qu) du 





der Coefficient von du bei stetiger Bewegung von w niemals sein Vor- 
zeichen wechseln und kann daher ohne Beschrankung demselben sein po- 
sitiver Werth beigelegt werden. 

Hiernach nehmen die analytischen Gleichungen der Bewegung des 
Punctes m auf der Ringfläche zunächst folgende unentwickelte Form an: 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 327 











à b — | 
Gr = FU) WU. y = F(u). vv, = + + cos u, 
dv “kV G@(u) du 
ee no 
J 2yv(i — v) F(u)yR(wu) 
0 Uo 


(32) | 


fee —., 
VR(u) 











Uy 
worin: 


(33) R(u)=2(g2+ h)f?(2)— = ibo ER 


> + > eosu) + he | Fu) he 








Man kann überdies für « in den Gleichungen (31) und (32) auch 
die Variable w einführen, indem man setzt: 








(34) COS *w = PRE A), sin Q4 — — 


worauf F(u), G(w), R(u) eindeutige Functionen von w werden, etwa 
E(w), G,(w), R,(w) und die Gleichungen (31) und (32) die Gestalt an- 
nehmen: 

a + b a — b1 — w? 


Gr) == Fu). Vie, y=Flw)yo, =, 


v 10 


hi dv sa | 2k G (10 ) dae 
— - — ——.— O, 
J 2yv(1 — v) (I + w*) E(w) VR, (w) 


e 
0 Wo 











ut W )N GC) du ze 
J (lL Tow) R,( w) 


lo 


ts 


u, und w, sind die der Zeit ¢ — o entsprechenden Anfangswerthe von 
uw und w. 


Auf analoge Form würden sich die Bewegungsgleichungen für die 


0 


nach oben offenen und nach unten geschlossenen Ringflichen mit theils 
zweifachen theils einfachen Horizontalschnitten bringen lassen; jedoch 


328 Otto Staude. 


bietet diese Untersuchung nichts wesentlich verschiedenes von der eben 


geführten dar. 


89. Die beiden Normalformen der stabilen Bewegung auf einer 
Rotationsfläche mit zweifachen Horizontalschnitten. 


In den Formeln (31) sind æ,y,2 für alle reellen Werthe von u 
und alle v zwischen o und ı eindeutige Functionen von wu, qv, V1 — vj 
ferner gilt in demselben Umfange von den Functionen: 





I kqG (wu 
9 — 773! a Fu) 
PRO) Io. = F( Ww) G (a) 


+ 


in (32), dass sie eindeutig und endlich sind und ïhr Vorzeichen niemals 
wechseln. Hat nun die Function R(w) zwei Nullpuncte «, und w,, sodass 
R(u) = (u — u,)(u, — w)r(u) in dem Intervalle zwischen «, und w, po- 
sitiv und von o verschieden ist, so ist auch die Determinante: 


ı F(u)VG(u) 





D E 


2 vr(u) 
in diesem Intervalle von o verschieden und constanten Vorzeichens. Es 
sind daher, wie früher, v», eindeutige, bedingt periodische Functionen 
und z eine eindeutige periodische Function von ¢. Die Bewegung ent- 
spricht der Normalform des $ 4. 

Wird dagegen R(w) = R,(w) für keinen reellen Werth von w gleich 
o und ist für alle Werthe von w positiv und endlich, so bieten die 
Formeln (31^ und (32’) den Fall des Umkehrproblems § 1, II dar mit: 











: I 
fo = R,(w), Dr =? 
2 \ Rt Ww) 
Lo 
= Da 2h G,(w)dw 
011 — 3? ee "D EX 
2 2] (1 + w)F(w)yhR,(w) 
EE 
I 2F (w)\ G (w)dw 
(,, = 9, Ws, => ar - er 
; 2J (1 + wN)yk,(w) 


Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfliche. 329 


Es wird daher wieder z eine periodische Function von ¢ mit der Periode 
T — 2o,, und x,y bedingt periodische Functionen, die unter der Be- 
dingung: 


T 
4m, , + 2m,o,, =O 


die Periode T = 2m,w,, bekommen. Geometrisch kann indessen die 
entsprechende Bewegung als eine zweite Normalform der Bewegung eines 
schweren Punctes auf einer Rotationsfläche betrachtet werden, welche sich 
von jener des § 4 durch das Fehlen der Wendekreise unterscheidet. Der 
Punct macht volle Umläufe um die Ringfläche sowohl im Sinne der Pa- 
rallel- als im Sinne der geschlossenen Halbmeridiancurven. 

Die Untersuchung der Form der Bewegung des Punctes reducirt sich 
nach dem Vorstehenden wiederum auf die Aufsuchung der Nullpuncte 
der Function: 


Ru) = R(w) = 2(g2 + h)f°(2) — k?, 


also der Schnittkreise der gegebenen Rotationsfläche mit der Rotations- 
fläche (h, k) des $ 5. Es gelten also unmittelbar die Sätze. 


I. Ragt die gegebene ringförmige Rotationsfläche mit einer Zone in den 
Raum unterhalb der Rotationsfläche (h, k) hinein und ist diese Zone von zwei 
Parallelkreisen begrenzt, in denen sich die beiden Rotationsflächen schneiden, 
ohne sich zu berühren, so findet in dieser Zone eine den Differentialglei- 
chungen (5) entsprechende bedingt periodische Bewegung des Punctes m statt. 


Auch hier können mehrere bedingt periodische Zweige der Bewegung 
vorhanden sein und die früher ($ 6) erwähnten Grenzfälle der stabil und 
labil periodischen Bewegung auftreten. 


II. Liegt die gegebene ringfórmige Rotationsfläche ganz unterhalb der 
Rotationsfläche (h, k) ohne mit ihr einen Punct gemein zu haben, so ist die 
den Differentialgleichungen (5) entsprechende Bewegung eine bedingt periodische 
Dewegung ohne Wendekreise mit zweierlei vollen Umläufen. 


In diesem Falle besteht die Bewegung naturgemäss nur aus einem 
Zweige. Der Übergang von dieser Form der bedingt periodischen Bewegung 
zu einer solchen mit Wendekreisen findet unter Vermittlung einer asymp- 
totischen Bewegung statt, wenn die Ringfläche ganz unterhalb der Fläche 
(h,k) liegt, aber dieselbe in einem Parallelkreis berührt. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 28 Mai 1888, 42 


330 Otto Staude. 


§ 10. Beispiel des Kreisringes. 


Für die Ringfläche: 


(zx cy +2’ + a — y = gaa? + y) 


sind die in § 8 mit f(z), p(z), q(2) , r(z) bezeichneten Functionen 


f(2) = a+b? — s*, p(z) =a, qe) = (2 + bb — à), T 


und die dortigen Constanten a,b durch — 5, 6 zu ersetzen. Die Be- 
dingung (26) wird: 
GG, 


Die Gleichungen der Bewegung lauten, wenn man statt des in $ 8 ein- 
geführten « noch z — u setzt: 


s—=(a-+ bsinu)y1— v, y = (a + b sini), 2 — 0 008 


vU u 
^» 


dv | ° kbdu 
—_— Re ee ON 


a 2yv(1 — v) J (a + bsinu) Au) 
0 


u 
fe 


| b(a + bsinu)dw _ 


——— ds 
y Peor) 


Uo 


Ru) = 2(bg cosu + h)(a + b sin u)? — kh? 


Y E entsprechen bezüglich dem tiefsten, dem 


Die Werthe «= o, E 
äussersten, dem höchsten und dem innersten Parallelkreis der Ringfläche, 
sodass der 1. und 2. Quadrant in Bezug auf uw die positiv, der 3. und 4. 
die negativ gekrümmten Theile der Fläche umfasst. 

Durch die Substitution (34) werden die Integrale mit der Variabeln 
auf die. algebraische Form gebracht; sie sind hyperelliptisch vom Ge- 
schlecht p = 3. 

Die Diseussion der Schnitteurven der Ringfläche mit der Rotations- 
fliche (7, Ak) ergiebt nun ohne Schwierigkeit: Wenn die Ringfläche von 





Bewegung eines schweren Punctes auf einer Rotationsfläche. 331 


der Rotationsfläche (4, k) geschnitten wird, was für — bg <h< bg immer 
stattfindet und auch für > bg (dem Falle 5 < — bg entspricht keine 
Bewegung) noch stattfinden kann, so giebt es jedenfalls unerreichbare 
Theile der Ringfläche. Es sind entweder 2 oder 4 Wendekreise vorhanden 
und besteht daher die Bewegung aus einem oder zwei Zweigen, welche 
bedingt periodische Bewegungen von der Normalform des $ 4 sind. 
Wenn dagegen die Ringfläche ganz unterhalb der Rotationsfläche 
(h, k) verläuft, so liegt die zweite Normalform der bedingt periodischen 
Bewegungen vor und macht der Punct m volle Umläufe im Sinne der 
Parallelkreise sowohl, wie im Sinne der Meridiankreise der Ringfläche. 
Wenn das Zerfallen der Bewegung in 2 Zweige möglich ist (wie 


z. B. für die der Fig. 3 zu Grunde gelegte Annahme a = by2 M — 2—), 


-- 


so gestaltet sich der Ubergang der einzelnen Formen ineinander folgender- 
maassen: 

Zuerst wenn die Ringfläche ganz unterhalb der Rotationsfläche (h, 4) 
liegt, (vel. Fig. 3, 1) findet die bedingt periodische Bewegung ohne Wende- 
kreise statt. Sobald alsdann die letztere Fläche die unter ihr liegende 
Ringfläche in einem Parallelkreise des 3. Quadranten berührt, löst sich 
die Bewegung in eine asymptotische Form auf, die dem fraglichen Pa- 
rallelkreis immer näher kommt, ohne ihn je zu erreichen. Bei weiterer 
Abnahme von & schneidet die Fläche (h, %k) bereits eine Zone unerreich- 
barer Puncte aus der Ringfläche aus, während die Bewegung auf der 
andern, unterhalb der Fläche (h, k) gelegenen Zone bedingt periodisch mit 
2 Wendekreisen ist. Weiterhin berührt die Fläche (h,%), während sie 
noch immer den Ring in 2 Parallelkreisen schneidet, denselben gleich- 
zeitig in einem 3. Parallelkreis der bisher. der Bewegung zugänglichen 
Zone, sodass die Bewegung sich abermals in eine asymptotische auflóst. 
Bei 4 Schnittkreisen der beiden Flächen zerfällt hierauf die Bewegung in 
zwei bedingt periodische Zweige mit je 2 Wendekreisen. Die Zone des 
einen Zweiges liest ganz im 3. Quadranten, die des anderen greift über 
den ı. Quadranten herum und nähert sich beiderseits der ersteren Zone. 
Bei abnehmendem % fallen die beiden Wendekreise der ganz im 3. Qua- 
dranten belegenen Zone zusammen (vel. Fig. 3, 2) und die Bewegung 
besteht aus einem stabil periodischen und einem bedingt periodischen Zweige. 
Der erstere verschwindet alsdann und es bleibt, indem nur mehr zwei 


332 Otto Staude. 


Schnittkreise der beiden Flächen vorliegen nur ein bedingt periodischer 


Zweig (vel. Fig. 3, 3), dessen beide Wendekreise sich mehr und mehr von 


verschiedenen Seiten her gegen den 1. Quadranten hinziehen. In diesem 
fallen sie schliesslich zusammen und eine stabil periodische Durchlaufung 
des betreffenden Parallelkreises, in welchem die Rotationsfläche (h, %) 
den ganz oberhalb liegenden Ring berührt, erscheint als letzte Grenzform 
der Bewegung. 


Dorpat, im Februar 1838. 











ACTA MATHEMATICA. 11. 


Stande, Bewegung eines schweren Pundes auf emer Rotationshache. 








—y 





——"-—-————— 


(—————————————14—  ————— 


333 


ZURSTHEORIEUDER BELIPTISCHEN FUNCTIONEN 
(Zweite Abhandlung') 
VON 


H. WEBER 


in MARBURG. 


Nach längerer Unterbrechung setze ich meine in dieser Zeitschrift 
begonnenen Publicationen aus der Theorie der elliptischen Functionen 
fort. Ich beginne mit einigen Betrachtungen über die allgemeine Trans- 
formationstheorie, besonders die Modulargleichungen, welche den Zweck 
haben, die Formeln dieser Theorie unter einem gemeinsamen Gesichts- 
punkt zu betrachten und dieselben teils zu erweitern, teils zu verein- 
fachen. Diese Untersuchungen berühren sich mit den Arbeiten, die in 
den letzten Jahren von F. KLEIN und einigen seiner Schüler veröffentlicht 
sind.” Im zweiten Teile der vorliegenden Arbeit werden diese Formeln 
angewandt auf die Berechnung der aus der complexen Multiplication ent- 
springenden algebraischen Zahlen (der sogenannten singulären Moduln), 
mit Anwendung verschiedenartiger Methoden. Einige dieser algebraischen 
Zahlen finden sich in den einschlagenden Arbeiten von HrnwrrE," ‚Jousert, 


' Acta Mathematica, Bd. 6, S. 329. Die mit I bezeichneten Citate beziehen 


sich auf diese Abhandlung. 

* Man vgl. die sehr dankenswerten Übersichten, die F. KLEIN in den Berichten 
der Sächsischen Gesellschaft d. Wissensch, (2 März 1885) und in den Mathe- 
matischen Annalen (Bd. 26) über diese Untersuchungen und ihren Zusammenhang ge- 
geben hat. Von besonderem Interesse war mir die Dissertation von E. W. FIEDLER, die 
im Jahr 1885 der phil. Facultät der Universität Leipzig vorgelegt wurde, in welcher sich 
viele der von mir benutzten Formeln wenn auch in anderer Form finden. 

* HERMITE, sur la théorie des équations modulaires, Paris 1859. 

* JounERT, Comptes rendus 1800, t. 50. 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 28 Mai 1888, 


334 H. Weber. 


Kronecker.’ Die von mir angewandten Methoden, die alle bisher be- 
kannten Fälle umfassen, vermehren dies Material bedeutend und geben die 
Resultate meist in überraschend einfacher Gestalt. Die Rechnungen lassen 
sich auf denselben Wegen noch weiter fortsetzen. Bezüglich dieser Rech- 
nungen bemerke ich noch, dass dieselben, mit Ausnahme der in $ 8 behan- 
delten Fälle. nicht wie bei Hermire und Kronecker auf numerischen 
Rechnungen, sondern auf algebraischen Umformungen beruhen, dass aber 
trotzdem vielfach die numerische Rechnung, die bei der enormen Con- 
vergenz der in Betracht kommenden Reihen sehr leicht ist, teils zur Con- 
trolle der Richtigkeit, teils zur leichteren Auffindung rationaler Factoren 
mit Nutzen angewandt wird. 


I. ABSCHNITT. 


Zur Transformationstheorie. 


8 1. Einführung der Functionen fo), 1,(&), Flo). 


In der Abhandlung I, $ 6, habe ich als absolute Invariante eines 
Systems doppelt periodischer Functionen mit den Perioden 1,@ die 
Function 


, Lut 
st ) 


(1) J(«) = ih 


\ 


eingeführt, deren Entwicklung nach steigenden Potenzen von q den fol- 
genden Anfang hat 


(2) wo) = qi + 744’ +...) 


Hierin ist, wenn w das Periodenverhältniss bedeutet 


] — enw 
Von derjenigen Function, welche Depexinp (Journal für Mathematik, 
Bd. 83) die Valenz von « nennt, die mit der von F. KLEIN als absolute 


KRONECKER, Monatsberichte der Berliner Akademie, 26 Juni 1862. 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 


Invariante J(w) bezeichneten Function übereinstimmt, unterscheidet sie 
sich durch einen Zahlenfactor, so dass j(w) = 27.64J(w) ist. Der Grund, 
der mich zu dieser Abweichung von der sonst schon gebräuchlichen Be- 
zeichnung, zu der ich mich ungern entschloss, bewog, war der, dass die der 
complexen Multiplication entsprechenden singulären Werte von 7(w) ganze 
algebraische Zahlen sind, was für J(w) nicht der Fall ist. Derselbe Um- 
stand hat mich auch zu den folgenden Einführungen bewogen, welche 
sich übrigens auch sonst als zweckmässig erweisen. 

An Stelle der Invarianten 9,,9, (I, $ 6) benutze ich die von ihnen 


durch Zahlenfactoren verschiedenen Functionen 


(3) 7(@) = 3Y49,(0) = Vio) — =a a(t + 2489’+ e) 
9 


no) = 549,(@) = Vj —27.64 = q (1 — 4929’ + ...), 


\ 


und an Stelle der Hermrre’schen Functionen ¢(w), d(w),z(o) (I, $ 4 
sollen drei Functionen f(®), f,(®), f,(w) eingeführt werden, welche mit 
denselben in folgendem Zusammenhang stehen: 














v2 V2 

f{(w) ~ x(a) —— RIT 
P v24(o) E 12, Lu 
_ V29(9)  .- 12 p 
f, (e) = (0) — (2 7 


Diese drei Functionen lassen sich in folgender Weise durch die Function 
n(@) darstellen: 


I +o 
. Fi d AST | 
24 





f(o) =e ra 
e)» 
(5) | i(5) 
fi (e) = Wa)’ 
f (o) = jae 


336 H. Weber. 
Führt man hier das unendliche Product 
1 y 


(6) x (e) = «^ II( — 0°) 


ein, so erhalt man 


woraus die Reihen: 
_ı 
f(e) = q Sat q 4- q? 2- q* + + + +2 +29 +24" +2q +), 


1 
(8) fle)=¢ "(1—4—4'- 4'—4 4^ a E 29^—24 ^ deg —29 5) 


] 
f,(@) = 429" (t+ g* -- a^ -- 29" - 29^ 4- 39" +.) 


Zwischen den drei Functionen /f(o),f,(®),f,(®) bestehen die aus (4) 
sich ergebenden beiden helationen 


(9) f(e)f (e)fi(o) = vz 

(10) | fo) = fle) + fle jy 

Die Invariante 7,(@) lässt sich durch f(®) in der Weise ausdrücken 
TO c 16 

(11) (0) =, 


so dass /^, — f? , — f? die Wurzeln der cubischen Gleichung 
© — a7,(o) — 16 = 


sind, deren Diseriminante 47,(@)* ist, woraus 


12) 7,(0) =; flo) + fi(oy)f(oy + Flo (eo) — fo) 


Yo)" + 8J/ Ko) to) 
f Co)" | 





Zur Theorie der elliptischen Functionen. 337 


Mittels der Formeln (5) erhält man (nach I, § 5, 7, 8) die zur Trans- 
formation erster und zweiter Ordnung gehörigen Fundamentalformeln 


flo + 1) — € " f (a), 


(13) Slo ce tan, 


(14) Je EE f (o), 


Ich führe noch die Formeln für die allgemeine lineare Transformation 
der Functionen /,/,,f, an, die man aus den bekannten Herurre'schen 
Formeln für die Transformation der Funetionen c, ¢, 7 erhält, die sich 
aber auch (wie in I, $ 5 angedeutet) leicht mittels der Transformation der 
Function 7(@) aus (5) herleiten lassen." Ich gebe diese Formeln tabel- 
larisch, indem in der ersten Colonne die nach dem Modul 2 reducierten 


' Vgl. MorrEN, Über gewisse in der Theorie der elliptischen Functionen auftretende 


Einheitswurzeln. Berichte der Sächs. Gesellsch. d. Wissensch., 1885. 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 26 Mni 1888, 45 


338 H. Weber. 


Transformationszahlen à, , 7, 0 stehen wonach sechs mögliche Fälle zu 
unterscheiden sind. 






































(* 4 (2) Kae 

\r Ÿ a + Bw "A + Bo, ’\a + Bo 
(9) E T8, | fe ro  p(f)e* "ro 
(| nette ae | Ae te 

(16) m 1) (5e Di f. (©) "^u | ol?) fí(e) |— pe? co) 
"IE (e uo) re 
eo BT us dun — (2) te) 
M 1) —o(2)e8 Ue ml m eS — p(2)e* "ro 

a A E (284 c4 800827) 


/ 
Für die lineare Transformation von 7,,7, erhält man 
( + do 
— | = 10) 
Va 7 + Po PYa ? 


yc En — (__ [yer \ 
ME. = ( 1) 7;(@). 


Als Ergänzung der Sätze am Schluss von Abhandlung I, § 7, ergiebt 
sich noch als unmittelbare Folgerung jener Sätze (n° ı) 


(18) 


1.) Wenn eine Function von w, als Function von k? überall einen 
algebraischen Character hat, und durch die beiden Substitutionen 


(o, o + 2), (o, —,) 


9, 


ungedndert bleibt, so ist sie eine rationale Function von f(w)** 





Zur Theorie der elliptischen Functionen. 339 


2.) Bleibt eine solche Function ungeändert durch die Substitutionen 
: I 
(o , © + 27), ae) 
worin r em Teiler von 24 und rr, = 24 ist, so ist sie eine rationale Func- 
tion von flo)". 


Denn bezeichnen wir eine solche Function mit ¢g(@) und setzen 


—2zisrı 


24 
e=e 


so ist nach 1.) für jedes ganzzahlige s 





Ko)"ielo) + ep(o + 2) + e'e(o + 4) +... + gelo + 20 — ı)]) 


eine rationale Function von f(w)”‘. 


82. Die Transformation n°" Grades. 
Ist » eine beliebige positive ganze Zahl und 
(m) n = ad 


irgend eine Zerlegung derselben in zwei Factoren, ferner c eine nach dem 
Modul « genommene Zahl, so dass a,d,c keinen gemeinschaftlichen 
Teiler haben, so sind die Grössen 





(2) 


deren Anzahl, wenn p die sämmtlichen in » aufgehenden von einander 


a 


(5 + ge 


verschiedenen Primzahlen durchläuft 


(3) y= TI + -) 


ist, die Wurzeln einer Gleichung v' Grades, deren Coöfficienten rationale 
Functionen von j(@) sind, der Invariantengleichung (I, S 16). 


340 H. Weber. 


Diese Thatsache ergiebt sich sehr einfach aus der Bemerkung, dass 
durch die Substitutionen 


(5) we = (o; —), 


die » Grössen (2) nur unter einander vertauscht werden. Es ist nämlich 


@,o\/I,O [4 0\ 705.0 
(6) » à Ye; JC HE 

s ) Jm 2 
went 


(7) c=c+d— Ja, 


und 
/a,o 0,1). a Pas © 
(8) \ f. n" I; 2 5 ( 7 à) (y ' a} 


wenn 


aa’ + fc = o, Pd = a, 


(9) ee b 
ya + óc —d, Qui 


Hiernach ist 4' als grösster gemeinschaftlicher Teiler von « und c, und 
dadurch wegen a’d’ — » auch a’ bestimmt, und dann ergiebt sich c' aus 
der Congruenz 


(10) cc’ = — dd’ (mod n). 


Aus (9) folgt sodann 


, 


ad = — c, Bu, =, ga =, 
/ ; / 
(11) 
— yn = CC + dd”, DAL, 


und d ist der grösste gemeinschaftliche Teiler von a’, c’. 
Hieraus schliesst man, dass die Grössen (2) durch die Substitutionen 
(4), (5) nur unter einander vertauscht, und die symmetrischen Functionen 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 341 


derselben nicht geändert werden. Letztere sind daher rationale Func- 
tionen von j(w) w. z. b. w. 

Die Invariantengleichung ist irreducibel in dem Sinne, dass sie sich 
nicht in Factoren niedrigeren Grades zerlegen lässt, deren Coëfficienten 
rationale Functionen von j(®) sind, wie man am einfachsten aus der fol- 
genden Zusammensetzung von Transformationen »'" Ordnung erkennt. 

Man bestimme bei gegebenen «,c,d die Zahl x so, dass 


m =" ce, gd 
ohne gemeinschaftlichen Teiler sind, und dann 7,9 so dass 


a0 — Pr — I. 


> 


Es ist dann 


Do Gi BN. 
(12) Perel Etre EM : i) 


und daraus folgt, dass durch die Substitution 
(ee) 
AT a + Bo, 

welche 7(©) ungeändert lässt, /(m«) in 


.{e + do^ 
ias 


übergeht. Wenn also eine rationale Function von # und /(@) für «w=/(nw) 
verschwindet, so verschwindet dieselbe auch für die sämmtlichen Grössen 
(2) und da letztere von einander verschieden sind, so ist damit die Irre- 
dueibilität bewiesen. 

Wenn nun irgend ein System von » Functionen von @ vorliegt, ent- 
sprechend den » Zahlensystemen a,c,d, die wir, da bei festgehaltenem 
n durch a die Zahl d mitbestimmt ist, mit 


D 


a,o 

bezeichnen, welche ebenso wie die Functionen (2) durch die Substitutionen 

(4), (5) in 9, , permutiert werden, so sind dies gleichfalls die Wurzeln 
ten 


einer Gleichung »"" Grades, welche rational von (©) abhängt, und 
lässt sich @, , rational durch 


‚fe + do \ 
7 ( -- ) und 7(«) 
a" 


342 .H. Weber. 


ausdrücken. Letzteres folgt in bekannter Weise daraus, dass für jedes 
eanzzahlige + die Summe 





> o. | Jt t E - 


durch die Substitutionen (4), (5) ungeändert bleibt, und daher eine ra- 
tionale Function von /(@) ist. 

Die Werte von @,,. sind entweder alle von einander verschieden 
und dann ist die betreffende Gleichung irreducibel, oder sie zerfallen in 
Gruppen von gleich viel unter einander gleichen. 

Indem wir diese Transformationsprincipien auf die Functionen f, f, , f, 
anwenden, setzen wir n als ungerade voraus, und nehmen was alsdann 
freisteht 


(13) ¢ =o (mod 16), 
und wenn n nicht durch 3 teilbar ist 
(14)  c=o (mod 48) 


an, was natürlich auch für die aus (7), (10) bestimmten Zahlen c' 
gelten soll. 
Wird zur Abkürzung 


HOT, fi( e) = u; Lo) u 


(15) 
\ /c + do 2\ ,/e + do . 2) c + do er 
A a | = (air IE a =) 20m Gf a ) = 











gesetzt, so erhält man mit Benutzung der linearen Transformationsformeln 
$ 1 (16), wenn man auf die Änderungen des Zahlensystems a,d,c, wie 
sie durch (7), (9), (10) characterisiert sind, in der Bezeichnung keine Rück- 


sicht nimmt, folgende zusammengehörige Vertauschungen: 


w : u ; u, A U, = (à) ; Ui E vU, ; 
I . ; ; 
16 — 3 : u , Us A u, ; pt R 0 : p, , 


EL 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 343 


worin o,c dritte Einheitswurzeln sind, welche, falls m nicht durch 3 
teilbar ist, den Wert 1 haben. | 

Hieraus schliessen wir nun durch eine Wiederholung der letzten Sub- 
stitution (16), gestützt auf den Satz am Schlusse des $ 1, dass die drei 
Reihen von je » Grössen 


um) SE) iC) Get 


falls » nicht durch 3 teilbar ist, die Wurzeln je einer Gleichung y" 
Grades sind, deren Coéfficienten rational von f(@) resp. f,(w), f,(@) ab- 
hängen. Ist der Transformationsgrad n aber durch 3 teilbar, so kommt 





diese Eigenschaft den Cuben der Grössen (17) zu. Ebenso ergiebt sich, 
/ D 
wenn r ein Divisor von 24 ist, eine solche Gleichung für 


o + de? 
(= E ; 





a 


deren Coéfficienten rational von f(w)’ abhängen. Diese Gleichungen wollen 
wir die Scuràirrrschen Modulargleichungen nennen. (SCHLÂFLI, Journal 


fur Mathematik, Bd. 72.) 


§ 3. Princip zur Aufstellung von Transformationsgleichungen. 


Wir betrachten im Folgenden, immer unter Voraussetzung eines un- 


geraden n, rationale Functionen ®,,. der sechs Grössen 


aye 


mo fla) fie) (eo), f r2), Cr ( + =) on ee, 


a a 





welche durch die Substitutionen 


to 
— 


I / 
(c. — À » (© , © + 
à [0% 


in einander übergehen, und demnach Wurzeln von Transtormationsglei- 
chungen sind, welche rational von /(@) abhängen. 

Diese Gleichungen sind, wie oben gezeigt, entweder irreducibel oder 
Potenzen von irredueibeln Gleichungen. 

Sind die ® 
halten sie im Nenner nur Potenzen dieser Grössen (1), so wird keine von 


ganze rationale Functionen der Grössen (1) oder ent- 


a,c 


344 H. Weber. 


ihnen für einen endlichen Wert von j(@) unendlich, und dieselben sind 
also ganze algebraische Functionen von /(@), d. h. wenn in der Trans- 
torınationsgleichung, deren Wurzeln die ®,, sind, der Coëfficient der 
höchsten Potenz der Unbekannten = 1: ist, so sind die übrigen Coëffi- 
cienten dieser Gleichung ganze rationale Functionen von j(«). 

Richtet man nun die Functionen @,,. durch geeignete Bestimmung 
gewisser Constanten so ein, dass sie für g=0 endlich bleiben, so werden 
dieselben auch für ein unendliches /(@) alle endlich bleiben, die Coéffi- 
cienten jener Gleichung werden mithin constant und die Functionen ®,,. 
selbst sind alle einer und derselben Constanten gleich. 

Auf diese Weise ist man dann zur Aufstellung einer Transforma- 
tionsgleichung gelangt, wenn auch nicht in expliciter Form. 

Bezüglich der Bildung solcher Functionen ®, gelten die folgenden 
Bemerkungen. 

1.) Hat man zwei dieser Functionen ®, die wir in der Folge immer 
mit A,B bezeichnen, so ist jede ganze rationale Function von 4, B 
ebenfalls eine solche Function ®, und man kann die gesuchte Modular- 
gleichung in Gestalt einer rationalen Gleichung zwischen A, B aufstellen. 
Denn da A, D algebraische Functionen von einer Variablen, j(«), sind, 
so lässt sich durch Elimination von /(@) immer eine solche Gleichung 
zwischen A, D herleiten. Damit aber diese Gleichung eine wirkliche 
Transformationsgleichung, nicht eine Identität sei, ist selbstverständlich 
erforderlich, dass aus den Functionen A, B sich nicht die sämmtlichen 
Variablen (1), wenn man sie als unabhängig oder nur durch die zwischen 
den Functionen f, 7, f, bestehenden Relationen verbunden betrachtet, 
eliminieren lassen. 

2.) Wenn n keinen quadratischen Teiler hat, so hat man nur dafür 
zu sorgen, dass die Functionen 4$, , für g — o endlich bleiben, denn 
daraus folgt durch Vermehrung von © um eine ganze Zahl die Endlich- 
keit der übrigen. 

3.) Ist » eine Primzahl, und hat die Function 9, , die Eigenschaft 


durch Vertauschung von 


flo), no), f, (o) 
mit 
+ dw 


(t 


jc + do 2\./c + do 
hl 


a 


GR) 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 345 


ungeändert zu bleiben, so genügt der Nachweis der Endlichkeit von 9, ,, 
woraus durch Vertauschung von c mit w:n die Endlichkeit von @, , 
und daraus nach 1. die der übrigen folgt. 

4.) Es ist nicht immer erforderlich, dass die in n° 1.) erwähnten 
Functionensysteme A,B durch die Substitutionen (2) vollständig un- 
geändert bleiben. Dieselben können auch Einheitswurzeln als Factoren 
annehmen, wenn nur solche Producte A”B* benutzt werden, in welchen 
diese Einheitswurzeln dieselben sind. Man erhält alsdann ein Functionen- 
system ®,, in der Form 


DE ASB 


welches die Eigenschaft hat, dass eine Potenz desselben durch die Sub- 
stitutionen (2) ungeändert bleibt, worauf man die obigen Schlüsse un- 
geändert anwenden kann. Die weiter unten folgenden Beispiele werden 
dies Verfahren klar legen. 


8 4. Die Schläfli’schen Modulargleichungen. 


Wenn die Transformationsgleichung, welcher die Functionen 4, . 
genügen, nicht von /(@), sondern von f(w) rational abhängen, wie bei 
den ScurirLrschen Modulargleichungen, so ist das im vorigen Paragraphen 
entwickelte Princip nicht unmittelbar anwendbar. Wenn es in diesem 
Falle auch gelungen ist, die Functionen ®,, so zu bestimmen, dass sie 
für g — o endlich bleiben, so folgt daraus noch nicht, dass die Coéffi- 
cienten der Transformationsgleichung für 4$, , constant sind, da dieselben 
eine Potenz von /(w) im Nenner enthalten können. Man kann aber 
durch einen kleinen Zusatz auch in diesem Fall unser Prineip anwendbar 
machen. Es geht nämlich (nach $ 1, 15) durch die Transformation zweiter 
Ordnung 


(€ — = 
I o, —— 
( ) ( ot+ 1, 
{(w) in y2:f(w) über. Wenn man daher die Functionen ®,. so be- 


stimmt, dass sie durch die Vertauschung (1) nur unter einander ver- 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 28 Mai 1888, 14 


340 H. Weber. 


tauscht werden, so haben die Coëfficienten der Transformationsgleichung, 
deren Wurzeln diese sind, die Eigenschaft, durch die Vertauschung 


(2) (Ko), 42) 


/ 


sich nicht zu ändern, und sind also ganze rationale Functionen von 





f(w) bs 


Bleiben diese nun für 4 = o, also für f(w) = © endlich, so müssen sie 
constant sein und alles ist wie in dem vorigen Fall. 


Um Functionen 4, , wie die hier geforderten zu bilden, suchen wir 


a,c 
zunächst für ein gegebenes Zahlensystem a,c, d die Zahlen a, 8,7, 0, 
a, C, d' so zu bestimmen, dass 


en deer Ma) 
(4) ad — fip = I. 
Dieser Ansatz führt zu den Gleichungen 
a=c(a+ f) + a'(« — B), q = d'(« + B), 
c — d = cy + 2) + a (y — D), e+d=d(r +0). 


Hierdurch ist zunächst d’ bestimmt als der grösste gemeinschaftliche Teiler 


(5) 


von a und c + d, und aus n = ad’ ergiebt sich a’. 
Man erhält dann aus (5) 








a a(d — c) 
dui dar E pue rs 
(6 
N c+d x e(d’ — €) — d(d' + Ci) 
1 + NL d' , r 0 = DE Pr * 


woraus für « die beiden Congruenzen folgen: 


(3) pete c à c d (mod «^, 


welche mit einander verträglich sind und c’ nach dem modul a’ voll- 
ständig bestimmen. Ausserdem soll, wie immer, c’ durch 16, und wenn 
n nicht durch 3 teilbar ist, durch 48 teilbar sein. 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 347 


Aus den Formeln (6) ergiebt sich, dass entweder 4,9 gerade, 8,7; 
ungerade oder «4,2 ungerade, 2,7 gerade sind, und im ersten Fall 
fr =n (mod8), im zweiten 79 =n (mod 8), ferner in beiden Fällen 
af — yo — o (mod 16), und wenn » nicht durch 3 teilbar ist, 


af + ay + Pd — afr =0 (mod 2). 


Hiernach ergeben sich nach $ 1 (16) folgende zusammengehörige 
Vertauschungen 











o, {(o), fi _-) 
(8) 0) m V2 = V2 
Demi: Cl (pts ar = 
a 


worin, wie oben, p eine dritte Einheitswurzel bedeutet, welche, falls x 
nicht durch 3 teilbar ist, den Wert 1: hat. 
Definieren wir hiernach die beiden Functionen 


/ C + dw\\" ete Ner 
ZI: a) + (ger) 
f Co) / A a =) 1 


»- [nee S p + 0)" te 














a 


worin r,s ganze Zahlen sind, so ergiebt sich, wenn r, als Divisor von 


24 so bestimmt wird, dass 
(n — 1)rr, =0, (n + 1)sr, =O (mod 12), 


nach $ 2 (16), das folgende System von Vertauschungen, (wobei auf die 
Anderungen der Zahlen «,c,d nicht Rücksicht genommen ist) 


& , A, D, 
PES A, B, 
(o) 
(10) eu ur 
wo 2n, (— 1) " A, — 1) ^" Bg 
o— I Sr 2 
a RI! Un 4 ke) b, 


34 


oo 


H. Weber. 


und diese Functionen sind also zur Anwendung des im vorigen Para- 
eraphen dargelegten Princips geeignet. 

Ist » eine Primzahl so genügt nach den Bemerkungen des vorigen 
Paragraphen die Betrachtung des Falles a = 1, für welchen man die 
Entwicklungen hat 


(n—l)r v (n—]l)r v 


/ 











(11) (n+1)s 
" =, es II(1 ar TE ie ; (QD TE (y" 25g 24 
Dy 26 $ q : = EE eee 
I 1 I Nn II: ES g? (1 en gods 


Die Wahl der Zahlen r,s ist an sich willkürlich. Für kleinere Zahlen 
r,s wird man im Allgemeinen einfachere Resultate zu erwarten haben. 
Indessen ist die zweckmässigste Wahl nicht s = 1,r = 1, sondern die, 
bei welcher 

(n — I)r (n + I)s 

ae x 





) 


welches die Exponenten der höchsten Potenz von 4^ in den Entwick- 
lungen (11) sind, Brüche mit demselben Nenner, und zugleich r,s mög- 
lichst klein werden. Eine andere Wahl würde gewisse Potenzerhebungen 
nötig machen. Ausserdem müssen, für ein durch 3 teilbares », auch 
r,s durch 3 teilbar sein. 

Um die Anwendung des Princips im einfachsten Fall etwas ausführ- 
licher darzulegen, sei n — 3, also r = 6 ,s = 3, und 


40 


ple 
nie 


1 
dore B= Q 4 = sd. 


woraus, da A— B keine negativen Potenzen von q enthält: 


A—B=o 
als Modulargleichung folst. 


Auf diese Weise findet man folgende Formeln, worin 


v= fl), w= fo) 


gesetzt ist. 


Zur Theorie der elliptischen: Functionen. 349 


E U U / Uv 
N A—B=o 
MTS A= (5) + (2) , B=u’v’ —- 3.2? 
A— B= 


ae A (“) + (2); B = wv 4 


E M u\° v 6 YT us 
n= II A = (©) + (2), B = uv ——; 
A—B’+B’+2B=o. 
= no er SAALE 
ua —ı2, ZI nc "TL 


GA tomes del 4 Be, 


3 3 6 
n=17. A= (“) 3E (2) a ae E 


v, u 


A* — D* + 17AB — 344"? + 34B + 1164 + 440 = Oo. 


/ 


uM * /v\° 2X 8 
N = 19. A = (*) + | y B = wv! —— 3 


v, u, wv 


A’ — B? + 194B° — 95A°B + 1094? + 128B — 128A = 0,! 





* Die bei Berechnung dieser Formeln benutzten Reihenentwicklungen, die man behufs 
Verification derselben nur einzusetzen hat, sind, soweit sie gebraucht werden, folgende: 


n = 3. A=B=q {3} 
n = 5. A=B=q (1-29...) 
n ="? A=q'(1—49..)) 
H9 (1 + IIQq...) 
d 


ER Oi fe A=q (1 —6q + 21q’...) 
B=q (1 — @ + 29°...) 
n= 13. A= qa + 2q*— 2q°...) 


B= q 4(1 + 6q + 159° + 269°...) 


300 H. Weber. 


Aus diesem ersten System leitet man ein zweites und drittes her 
für die Functionen f,f,, indem man © durch © + ı und darauf c 
durch — 1::« ersetzt ($ 2, 13). Diese beiden Systeme haben dieselbe 
Form, nur dass einmal 


das andere mal 





C 


: 2\ ,/c + la 
i: ia fi (e), N pres - 


zu setzen ist. 











(ap NIS ux S 8 
IT m T Me ") — {—! B, = wv? — 5 
3 0 Wr Bm Imo un 
> —— 
A, + B, — 0 
£T p DN 4 
n = & A =(-) ee D, = wv? —, 
J 1 \v, v ? 1 101 "E uiv? 
) — 
A, +B, =o 
7 BEN 8 
n' == 7 A, = m 2) D, = wv? : 
/ 1 SU, ) als im 2 - ıdı + "TM 
) — 
A,—B,—7=0 
uw. \ E v we 2 
A = II. AE) 5t BD NT 
la aa c 
A, + Di + Bj — 2B, — o. 
M v ^ 6 
LR ES À, ne B, = uy +; 
v, u, Us VE 


A! — 645 + 4? + 204, + B, = o. 





n = 17. 4 = q (1 — 3q + 64° — 13q° + 254! — 394^ + 700° +4 .) 
B = q?(1 + 44 +69” + 89° + 17q° + 289° + 549°...) 


n= 19. A=g *(1— 2g + 3g* — 59° + 11g* — 139* + 249° — 28q"...) 


B —q (+39 + 37 + Ad! + 99° + 44° + 399° — 279°): 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 3 
Aa 74 / 4-8 - 
(u,\ /v 16 
Fre = pote, 1 1 ) rss ey Les! . = 
Du d CEU CB, — Wu d est 
/ 3 21 


A} — Bi — 17A,B, — 344] — 34B, + 116A, + 440 — 0 


A> + B? — 19A,Bi + 954? B, — 1094} + 128B, — 1284, = o. 


85. Die irrationalen Modulargleichungen. 


Noch einfacher gestaltet sich die Anwendung unseres Princips ($ 
bei den folgenden Annahmen. 
Wir setzen wie oben 











uw fia) ue i any uw, = f,(@), 
Done, Gite) tee 
so dass sich aus § 2 (16) die Vertauschungen ergeben 

©, uv, W,V,, UV, 
I 
(2) Pis uv, WU, TAC 


(n+1)ri (n+1)ri (n+1)ri 


: 94 : : 24 E cao . 
o + 1,6 Uv. , € wv, € uy? 
Nimmt man also 


(3) n + 1 -— o (mod 8) 


an und setzt: 
ntl 


24 = uv + (— 1) * (u,v, + u,v,), 
- n-+1 
(4) B= wu,v, + uvu,v, + (— 1) * wow, 


n +1 


, 


= +++" 


Uy Ua TEM 


352 H. Weber. 


so gehen aus (2) die Vertauschungen hervor 


oO, Ay 4 B, 

A B 

(5) e ; 
zi(n+1) __ find) 








w+ I, p À, € HE" d 


Unter der Voraussetzung dass n eine Primzahl ist, hat man also nach 
$ 3 aus A,B ganze rationale Functionen zusammenzusetzen, welche 
unter der Annahme a=ı,d=n,c=o für q — o nicht unendlich 
werden, welche nur solche Glieder A” D* enthalten, in welchen (n + 1)(h — k) 
bei der Division mit 24 einen und denselben Rest lassen, und diese Func- 
tionen Constanten gleich zu setzen, deren Wert sich aus q = Oo ergiebt. 


Auf diese Weise erhält man durch sehr einfache Rechnung! 


DE Arc 
N = 23, À = 1, 
(6) N CC (A? — B) —A — 0, 


DA: A’—A—B=2, 

N=; A? — 44? -- 24 — B = 1. 
Ist » eine zusammengesetzte Zahl, so bestehen gleichfalls solche Glei- 
chungen zwischen A und JB, zu deren Ableitung aber nicht die Be- 


trachtung des einen Transformationsfalles (a = 1) ausreicht; und die 
demgemäss auch weniger einfach ausfallen. Wir führen nur die Formel an: 


ES 5 A’—AB+ı=o. 


— 
SJ 
—^ 


Man benutzt dazu die für n > 7 richtigen Entwicklungen 


n+] 


w=g "(r4 q + q° + q° + q' + q + 2q° 20275) 





wg V (1—q-—4 tt cq —q +24...) 
n +1 


A cog Ft Fer rer): 





Zur Theorie der elliptischen Funetionen. 353 


Für grössere zusammengesetzte Zahlen werden sich weiterhin einfachere 
Formeln ergeben. 
Ist n=3 (mod 8) so sind den Modulargleichungen die Functionen 


4A = uv? — niv — uvs, 


(8) 


| DE 9 9 « 9 € € 
B = we? we? + wv? mv, — ujviuze; 


zu Grunde zu legen, für welche sich die Vertauschungen ergeben 


o, A, - B, 
{ B 
— Ja ) 
(9) o | 
(qii m Dzi 
o-+1, CNT Qui P B eus H. 


(10) n= LI, 2 


n = 19, A? — 7A* — D — o. 


Ist n=ı (mod 4) so muss man, um zu analogen Resultaten zu 
kommen 


SA = u'v! — uiv — usr}, 


B= u*o*wajvi + ut) — wv urs 


setzen, was aber nur für den ersten Fall » = 5 zu einer einfachen 
Formel führt 


(11) gm 8, M EI 


' Die in diesem Paragraphen enthaltenen Formeln finden sieh teils in der in der 


Kinleitung erwähnten Dissertation von E, FIEDLER, andere, wie die für n = 47 . 71 lassen 
sich aus den dortigen, minder einfachen herleiten. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 4 Juin 1888. 15 


354 H. Weber. 


8 6. Zusammengesetzte Transformationsgrade. 
Ist » eine zusammengesetzte (ungerade) Zahl und 
(1) n= nn" 
eine Zerlegung derselben in zwei Factoren n’, n” die zu einander relativ 


prim sind, so gehört zu jeder Transformation n'" Grades 


(2) 


5 


„ 


je eine und nur eine Transformation der Grade m’, 7 


Fa (4 ; O \ To) ) 
(3) \ e. o ] p d". , 


welehe durch folgende Bedingungen bestimmt sind 


| ad = mn, ad’ zw. O° =e 
(4) Ct ==. Ct =a. 
| d"c' =c (mod a’), ve = (moda), 


Nach (4) sind d', d’ bestimmt als die grössten gemeinschaftlichen Teiler 
von d,n und von d,n’. Bildet man die zusammengesetzten Trans- 


formationen 


/ 


a, O Ont = (t5 pd 
Cal. er FE ie: à, (. ND 


" WA STU AT : 
P M 
ao 
(6) Ba MI Een 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 399 


so ergiebt sich aus den Formeln (6) bis (11) $ 2 leicht, dass auch die 
Transformationen | 


(^ L'on Ci Où Fe O 
(7) x ui a) Ned 
ANR ©) AO (an O 
(8) 1 ) sf i , I4 " 
Cy ga Cag tl O50 
sich nach den Formeln (4) entsprechen,' und daraus schliesst man wie 
in $ 2 dass die Invarianten 


(c^ do [ce + do 
7 ' =) ’ i( atl 
a (t 


' Für die Zusammensetzungen (5) ergiebt sich nämlich nach 2 2 dass 








d, der grösste gemeinsame Teiler von @ und c, 


d » » » Do EL PT 
d, » » » Daeg oe 
d' » » » ue XE Y 2 
ferner 
ee, = — did, (mod i), c'e, z — d' d, (mod 5»), 
c 2 zz — d, (moda) 
d : 
und da nach (4) 
cz d"c (moda) uud a=aa’, d = d'd' ist 
, C ! 4 , d 
C 7 =— d, (mod a ) oder e Os d d, (mod n DE 
(b 
also 
. e'(e, — dir) =O (mod m) 
und ; ay 
ac, — d, C,) = 0 (mod » ) 


weil €, und €, durch d' teilbar sind. Da nun d, der grösste gemeinschaftliche Teiler von 


, , / I. . . : . . . 
«,c und n’ = d,a, ist, so folgt hieraus, in Übereinstimmung mit (4) 
e, die, (mod qj). 


Für die Zusammensetzung (6) ergiebt sich das Gleiche noch einfacher aus den Congru- 


enzen (2 2, 7) 


10, = C0 + d (mod it), co = e + d (mod a), d Ce = Cy (mod a), 


356 H. Weber. 
rational ausdrückbar sind durch 


NO AT do y 
J (—— =), J(o). 


N 





Für die Anwendung auf die Functionen f, f,, f, ist noch eine Be- 
merkung beizufügen, welche sich auf den Fall bezieht, dass n durch 3 
teilbar ist. In diesem Fall ist von den beiden Zahlen vn’, 7’ eine, 
nehmen wir an n”, durch 3 teilbar. Es kann also dann c' durch 48 
teilbar vorausgesetzt werden und die Zusammengehörigkeit zweier Zahlen 
c, cC" soll noch näher dadurch bestimmt werden, dass an Stelle der letzten 
Congruenz (4) die folgende tritt: 

(9) d'c" =c (mod 34”). 

Ist diese Congruenz, wie in (4) angenominen ist, für den Modul a” be- 
friedigt, so kann man dieselbe für den Modul 3«" befriedigen, indem 
man zu c" ein Vielfaches von «" hinzufügt. 

Unter dieser Voraussetzung ergeben sich für die in den Transforma- 
tionen (5), (6) vorkommenden Zahlen «a, 8,7, 0, À nach § 2 (9), (7) noch 
foleende Congruenzen: 

a=a'd'd,, p= pad, | 
: (mod 3), 
(10) yzy'adi, 0 = à" dd; | 
h=n'X" (mod 3). 

Wenden wir nun die Bezeichnung w,v in demselben Sinne an wie 
in (15) $ 2 und geben den Buchstaben v', v" die entsprechende Bedeutung 
für die Zahlen »', 4", welche v für die Zahl n hat. (wobei jedoch stets die 
Zusammengehörigkeit nach den Congruenzen (4), (9) aufrecht erhalten bleibt) 
so erhält man die folgenden einander entsprechenden Vertauschungen: 


[02] ; ul 3 u, ; U, 3 Ü " v, ; Vo» 
I 
m u ; U, » U ; ot ; OV) ; pv, . 
7 Pra wt nzı NT noi 
2 24 12 294 ,, | 4 12:5. 
o-]-1;e "wu, ,e “w , eu, ; ge Vv, , ce NECEM, NUS 
I I 
w : "i ; , : v5 p" vn uU. 
I ! , [ nowt n "n n H! 
xd i U io SNA „+ 4^ 0s $37 05 Ui 





Zur Theorie der elliptischen Functionen. 397 


worin o,o dritte Einheitswurzeln sind, welche, falls » nicht durch 3 
teilbar ist, den Wert 1 haben. 

Auf Grund dieser Betrachtungen kônnen wir auf zweierlei Arten zur 
Bildung von Modulargleichungen fiir zusammengesetzte Transformations- 
grade gelangen. 

1.) . Ist 
(22) (w + 1)’ + 1) = Su=o (mod 8), 
so setzen wir 
(13) U = www", U, = u,0, 0,01, U, = Ug VV; V5 
(14) 24 = U+ ie PEU + U,); 

JS TT TT TET Nica tiie ATP 
B — UU, + UU, + (— 1) UU,. 


Für die letzteren Functionen ergeben sich dann aus (11) die einander 
entsprechenden Vertauschungen: 





o, 4, b, 
Een w+l 4 -@+DD 
(15) e? p à p N 
dum dnm 
ow + m a’ te 3 A. g "te 3 B. 
Sind die in (15) vorkommenden dritten Einheitswurzeln = 1, was eintritt, 


wenn n durch 3 nicht teilbar und wenigstens einer seiner Factoren den 


n 


Rest 2 hat, oder wenn x” durch 3 teilbar, »' den Rest 2 hat, so ist 
jede rationale Function von A, B Wurzel einer Invariantengleichung. 
In den anderen Fallen kommt dieselbe Eigenschaft dem Cubus einer 
solchen rationalen Function von 4, B zu, bei welcher die Differenzen 
der Exponenten von À und B in allen Gliedern bei der Teilung mit 3 
denselben Rest lassen. 

Nach $ 3 haben wir also solche ganze rationale Functionen von A, B 
zu bilden, deren sämmtliche Werte für 4 = o endlich bleiben, und diese 
Constanten gleich zu setzen. Sind aber »', x” zwei Primzahlen, so genügt 
es auch hier, wenn der erste von diesen Werten, derjenige, für welchen 


U = fio)f\n"o)fn’o)fin'n’o 


358 H. Weber. 


ist, keine negativen Potenzen von 4 enthält, weil man aus diesem die 
übrigen ableiten kann, indem man © ersetzt durch 


b 
und dann @ noch um ganze Zahlen vermehrt. 
Durch sehr einfache Rechnung ergeben sich die folgenden Beispiele: 
nm — 15, A 
m —.21, (4° — B)? — A = o, 
ee) BD A? — B — A — 4, 
m A’*’—B—A= 2, 


NE ME A? — B — 44° — À + 4 — o. 


| 


(18) Qu" — 1)(n" — 1) = 84=0 (mod 8), 


so setzen wir 








pom ii js E 1)! Gaz Tu 


7 73 "RS, 
vv vv, V,V, / 0 
(19) T T 
Uv „(vv 0,05 
B = +. (— i LI Hs > f 
"t ud, U,V,/ 


wofür sich wieder die Vertauschungen ergeben 
tess) e 





wo, A, B 
/ I Ion 4 "—1p 
(20) EE d CEN p “1, p dy 
N ow 
2uzi 2nzi 
e + I, gg ta g' ^u JH. 


Auf diese Functionen lässt sich dasselbe Verfahren anwenden wie auf die 
in 1.) betrachteten, wenn man noch die Beschränkung hinzufügt, dass 
man nur symmetrische Functionen von A, P, d. h. rationale Functionen 


von AB, A+ B benutzt, weil nur dann aus dem einen Wert einer solchen 





Zur Theorie der elliptischen Functionen. 359 


Function die sämmtlichen übrigen durch die Vertauschungen (16) hervor- 
gehen. Hier ergeben sich die folgenden Beispiele 


n n5 AG. = TO, 
(21) as 2(4 + B) — AD — 5, 
T 30% 2(A + B) — AB = 3. 
Auch wenn # mehr als zwei Primfactoren enthält, behalten diese 


Schlüsse mit den nötigen Modificationen ihre Gültigkeit. Ich führe das 
Beispiel » — ros an, für welches man zu setzen hat: 
3 , 


— f(aeMfse)fe)füoso) | f(39)f Se) (7o)f, (1050) 


— f(e)f(15o)f(219)f(35w) ' fí(e)f (159)f,(219)f (350) 


4 AGO) Go) f rf, (1080) 
f (9) f (150)f, (219) f (350)' 








JA 


+ f(o)f(150)/(210)f(350) , fi(e)fi (150) f (2 19)/, (350) 
f( 3) f(5)f(7»)f(tO5«) fi (39) f, (5e) fi (70) f, (1050) 





4 fol) fa 15.00) p ve) f (se 
f (3090) f, (5) f, (7) f, (105) 1 


II. ABSCHNITT. 
Anwendungen auf die complexe Multiplication. 


8 7. Die singulären Werte von fo). 


Wir setzen nun in die Function /(@) für @ einen der complexen 
Multiplieation entsprechenden singulären Wert, d. h. die Wurzel einer 


quadratischen ganzzahligen Gleichung mit negativer Determinante 


(1) Am’ + 2Bo + € — o, 


360 HM. Weber. 


wenn (4, B, €) eine eigentlich primitive quadratische Form der Deter- 


minante — m, also A,2B,C ohne gemeinsamen Teiler und 
(2) AC — B? — m. 


Nach der Abhandlung I, $ 18, ist alsdann 


_ (Go) — 16) 


[lw ee 


(3) J(@) 


eine ganze algebraische Zahl, welche ungeändert bleibt, wenn die Glei- 
chung (1) durch eine äquivalente ersetzt wird, nämlich die Wurzel einer 
ganzzahligen Gleichung 


(4) Io ER gor 


deren Grad gleich ist der Anzahl h der Classen eigentlich primitiver 
quadratischer Formen der Determinante — m. 


Es soll nun nachgewiesen werden, dass bei passender Auswahl des Re- 
präsentanten der Classe (1) dieselbe Eigenschaft den Grössen fo)”, und 
wenn m durch 3 nicht teilbar ist auch f{o) zukommt. 


Die sämmtlichen einander äquivalenten Gleichungen (1), die einer 
Formenclasse entsprechen, zerfallen nach folgenden Kennzeichen in drei 
Unterabteilungen 


(5) m=ı (mod 2). Il. A=ı, B=1, C=o, (mod 2) 
Il. A=o, B=1, C=]; 
I. A=ı, D zr, C= 1, 

(6) m=o (mod 2). IL A=:1, B=o, C — o, (mod 2) 
HL. do. b=6, 7 = I. 


Nehmen wir an, (1) gehöre zur ersten dieser Unterabteilungen, so bleibt 


diese Eigenschaft erhalten, wenn «c ersetzt wird durch 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 301 


(7) ASI (S) (mod 2) 


während falls 


8) EE M) duod) 


(1) aus der Abteilung I in den beiden ersten Fallen nach II, in den 
beiden letzten nach III gelangt. 

Die Function f(w)** bleibt aber gleichfalls ungeändert durch die 
Substitutionen (7), während sie durch die Substitutionen (8) resp. in 
—fi(e)*, — f(w)" übergeht. 


Es ist nun früher bewiesen ($ 2 und Abh. I, $ 16), dass die » Grössen 


fe + dw\" 
(9) ee) 

wenn r ein Teiler von 24, der, falls # = ad durch 3 teilbar ist, selbst 
durch 3 teilbar sein muss, (bei variablem ©) die Wurzeln einer Trans- 
formationsgleichung »'*" Grades sind 





CLIN do un. 
(10) (TT) . foy | =o. 
und hierin wollen wir » = 8, und wenn » durch 3 teilbar ist — 24 
annehmen. 
Damit 
€ = f(w)' 


die Gleichung 
(11) ®,(x,%) =o 


befriedige, ist notwendig und hinreichend, dass wenigstens für eine der 


» Grössen (9) die Bedingung erfüllt sei 


c + do\' ; i 
(12) HT) = rw), 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 4 Juin 1888, i6 


362 H. Weber. 


und dafür ist erforderlich und hinreichend (Abh. I, § 6), dass die Zahlen 


a. 3,7. 0 sich so bestimmen lassen, dass 


+ do + do \ 
12 TEM LEE JO = I 
( 3) “+ jo | Pr 4 


a 


dass (nach § 1, 16) 


(14) ( j A z (5° °) oder = ( : \) (mod 2), 


dass ferner, wenn r — 8 ist, 
(15) a3 + «y + fo — aß’r=o (mod 3). 
Genügt nun w der quadratischen Gleichung (1) so ergiebt sich durch Ver- 
gleichung mit (13), wenn x einen unbestimmten ganzzahligen Factor be- 
deutet: 
pd = Ar, 
ac — ya = Cz, 


ad + fec — da = 2Br. 


Setzt man also noch 
— ad + fic — da = 2y, 
so folgt: 


fd = Ax, ße — da = Bau + y, 


ac — ya = Cr, ad = Bx — y, 
(16) n = mx’ + y’. 
Nimmt man #, A ohne gemeinsamen Teiler an, so muss d = 1 sein, 
und man erhält 
a = Br — y,. B = Ar, 
(17) 
nr — — Cr + c(Br — y), no = cAx — Br — y 


woraus man ersieht, dass x,y ohne gemeinsamen Teiler sind; übrigens 
können bei gegebenem m die Zahlen n,x,7 der Bedingung (16) gemäss 


beliebig sein. 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 363 


Wir machen nun, je nach dem Verhalten von m gegen den Modul 6 
die folgenden Annahmen, worin sich die Werte von 7, ¥ als notwendig 


ergeben: 
m=o, R—m + 9= 3 (mod 6), T—= 1, Y= À, 
m = 3, n= M =... 3 -(mod 6), e=I, Hera, 
m=1, n—=m + 16=— 1 (mod 6), py — I, y — + 4, 
m = 2, n—=m+ 9=— ı (mod 6), FE y — + 3, 
m= 4, n —m-- 1=—1 (mod 6) ye y — 1 
m= 5, n — Mm = — 1 (mod 6), QI, ul: 


Hieraus erkennt man, dass nur unter der Voraussetzung (5), (6) I die 
Zahlen (17) der Bedingung (14) (und zwar der zweiten) genügen. 
Da also hiernach von den drei Wurzeln der Gleichung (3) 


(a — 16» 


wv 





j(o) = 


eine und nur eine der Gleichung (11) (für r = 24) genügt, so folgt, 
wenn wir des kürzeren Ausdrucks halber den in Abhandlung I, § 18, 
eingeführten Namen »Classeninvuriante» von j(@) auf jede rationale Func- 
tion von J(@) übertragen, durch welche auch /(«) rational darstellbar ist: 


f(w)** ist eine Classeninvariante. 


Ist » durch 3 unteilbar, so erhält, nachdem (5), (6) I festgesetzt ist, 
f(w)* durch die lineare Transformation (c , c» + 22) noch drei verschiedene 
Werte, welche wenn À durch 3 nicht teilbar vorausgesetzt wird, dadurch 
unterschieden werden kónnen, dass 


(18) B=o,1ı,2 (mod 5); 


von diesen genügt aber nur der der ersten Annahme entsprechende Wert der 
Bedingung (11). 
Es genügt also von den drei Wurzeln der Gleichung : 


m f(ey* oO 


304 H. Weber. 


eine und nur eine der Gleichung (11) (für 7 = 8), und daraus folgt: 
Ist m nicht durch 3 teilbar, so ist f(@)* eine Classeninvariante. 


Beispiele, wie sie weiter unten folgen, lehren dass in vielen Fällen 
dieselbe Eigenschaft noch niedrigeren Potenzen von f(@) zukommt." 

Die Hauptform der Determinante —m,(1,0,m) gehört nur bei 
ungeradem m in die Unterabteilung I und daher wird nur in diesem 
Fall f(/— m)” oder f(\— m)‘ Classeninvariante sein. Bei geradem m ge- 
hört (1, r,q + 1) oder (1,3, + 9) zu I und in diesem Fall sind 
also die Classeninvarianten 


f(t + y—m)" = — Am) 


oder 


(3 5E \ — m) De f (Es m). 


8 8. Die Classeninvariante y,(0). 


Aus den soeben bewiesenen Eigenschaften der Zahlen f(w) folgt, 
dass, wenn m nicht durch 3 teilbar ist, auch 


eo) 


(1) re) (foy u 


eine Classeninvariante ist, wenn an der Voraussetzung des vorigen Paragra- 
phen, dass 5 — o (mod 3) sei, festgehalten wird. Es lässt sich dies auch 
auf demselben Wege direct beweisen, da auch zwischen den Functionen 


"m e + do 
(2) Ta 5 =) ’ ri) 


(t 


falls » durch 3 nicht teilbar und c durch 3 teilbar ist, eine Trans- 
formationsgleichung besteht. 

Dieser directe Weg ist deshalb wichtig, weil er sich auch auf die 
Classen der zweiten Art anwenden lässt. Genügt nämlich @ einer Glei- 
chung zweiter Art 


3) Aw’ + Bo + C — o0, | 


Es lässt sich ähnlich wie oben zeigen, dass, wenn m nicht durch 8 teilbar ist, 


. t ; 12 3 . . 
fo) oder f(« Classeninvariante ist. 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 365 


worin B ungerade ist, so wird 





(4) (=) =7,(0) 


ch 
dann und nur dann erfüllt sein, wenn 


c + do y + do : 
. Xx — 40 — fly — 1 
(5) a a+ je Pr ; 





(6) ap + ar + fo — aff =o (mod 3). 


Setzt man also, wie oben 


a = 





(Bx y), p= Az, 


Dir 


(7) ny = — Cr + = (Bu — y), no = cAx — (Bx + y), 
* 4n — ma’ + y’, 
nimmt A durch 3 unteilbar an und setzt 
wenn #= +1 (mod 3), n=m+4=—1 (mod 3), w@=2, y = t4. 
wenn m=—ı (mod3), n=m =—ı (mod3) *=2, y=o, 
so folgt wieder, dass die Bedingung (6) nur unter der Voraussetzung 
B=o (mod 3) 


befriedigt ist, woraus man wie oben schliesst, dass 7,(@) einer ganz- 
zahligen Gleichung genügt, deren Grad h’ gleich ist der Anzahl der 
Formenclassen zweiter Art der Determinante — m, da diese Eigenschaft 
nach Abh. I, § 18, für 7,(@)° feststeht. 

Diese Bemerkung führt uns zur Aufstellung von Classengleichungen 
in einigen interessanten Fallen. 

Die Determinanten 

N 
— 11,— 19, — 43, — 67, — 163 

haben die Eigenschaft, dass für jede derselben eine Classe der zweiten und 


drei Classen der ersten Art existieren, dass also die Classeninvarianten 


366 H. Weber. 


zweiter Art, 7,(@), rationale ganze Zahlen sind." Indem wir die beiden 
ersten — 11, — 19 einer anderen Betrachtung vorbehalten, suchen wir 
diese ganzen Zahlen für m = 43,67, 163 zu bestimmen. Wir haben also 


ee: ee eee ere 
| : =: E T Mul Ze n N | | 














2) 


~ / Y = / \ _ 4 


zu berechnen. 

HERMITE hat in der oben citierten Arbeit »Sur la théorie des équations 
modulaires» dieselbe Betrachtung auf die von ihm mit a bezeichnete Grösse 
angewandt, welche nach unserer Bezeichnung mit 


" jx m x 
—8 pes eL 
=p (= 





/ 


übereinstimmt, und aus seinem Resultat für m = 43 folgt: 





8) ne 


1 
\ p 


) — 960 tortas E 


Für die beiden grösseren Zahlen m = 67, m = 163 lässt sich die Rech- 
nung in einfachster Weise aus der Entwicklung $ 2 (3) führen, indem 
man mit vollständig hinreichender Genauigkeit 


— zVm 
PE Lan ra mma E 
— (Re 


)—e? 


setzen und diese Zahl mit siebenstelligen Logarithmen berechnen kann.” 
Man erhält 








© -3+V—67\_. 
(9) zahl ou = 2 == 5280 = 32.3.5.11, 

c S56 : 
(10) I en) 2 | =°640320 = 2°.5.3.667. | 


Die Einfachheit dieser Resultate zeigt sich aber erst, wenn man zu den 
Functionen f(«) übergeht, wobei es keinen wesentlichen Unterschied macht, 
ob man Formen erster oder zweiter Art zu Grunde lest. 


' Nach der auf Induction gegründeten Vermuthung von Gauss (Disq. Ar. art. 303) 
sind diese 5 Determinanten die einzigen, welchen diese Eigenschaft zukommt. 
Auch für m = 43 ergiebt dies Verfahren den Wert 959 , 98... also wie oben 960. 


eii e. 


zl 


Zur Theorie der elliptischen Funetionen. 367 


Die cubische Gleichung 
y! —pí(e)y — 16 =o 
hat nàmlich nach $ 1 (11) die Wurzeln 
flo) = ia Sr Los) 
Es ist aber nach § 1, (15), (13) 





(= Justa s VN 16 

2 K(— m) 
und wenn daher 
( 3 = fus m) 
gesetzt wird, so ist ©° Wurzel der cubischen Gleichung 
(12) PE 4- cos a Ot wee 


und zwar die einzige reelle positive Wurzel dieser Gleichung. 
Die Gleichung (12) lässt sich aber nun für die Werte (8), (9), (10) von 
7, in acht rationale Factoren (in Bezug auf x) spalten und man erhält so: 





e 
JR MC X5 — 2% —2 — 0,  Discriminante — 4.43, 
n3) uw — 67, vc*'—-2z'— 2% — 2 — o,! Discriminante — 4.67, 
Er ‚8 6 A AU e Di "m. - E os 
1 o M vw” — 6r + 4% — 2 — 0, iscriminante 4.163. 


Wir wollen die Resultate der beiden letzten Paragraphen noch auf 
ein anderes Beispiel anwenden, welches ebenfalls eine gewisse allgemeinere 
Bedeutung hat, auf die Determinante — 58. Für diese Determinante 
existiren zwei Geschlechter quadratischer Formen und in jedem Geschlecht 
eine Classe. Nach Abhandlung I, $ 21 lässt sich also jede Classeninva- 
riante für diese Determinante rational durch \29 ausdrücken.” 


' Diese Gleichung lässt sich auch leicht auf algebraischem Wege aus der Modular- 


gleichung für den Transformationsgrad 71 herleiten. 
* Dass «29, nieht 42 zu adjungieren ist, zeigt die dortige Formel (17), in welcher 
m’ = 2,m” = 29 zu setzen ist. Da in der Teilgleichung ? nicht vorkommen kann, so 


muss zugleich \2 heraus fallen. 





4 
368 H. Weber. 
Nimmt man als Repräsentanten der beiden Classen (1,0 , 58), 
(2,0, 29), so kommen diese in den Gruppen IT, III ($ 7, 6) vor so dass 
I Na 
Ch 8c e ERU 
RUE", AVES) 
als die beiden Classeninvarianten zu betrachten sind. Es ist daher 
. KG ERE 8 en PER - 
ASS) = a + by, 
(1 4) . I a. \ 8 u 
filz v— 58) = a — 5429, 
(15) a” — 290? — 16 (SIE 
und a,b sind ganze (positive ) Zahlen. 
Aus (14) folgt aber 
I ——\8 D ———Àl 
2a— f (y — $8). + AE Meo 
wonach der Wert von 24 mit hinlànglicher Genauigkeit durch das erste 
Glied der Entwicklung 
1 - 
—7\5S 
e? 
dargestellt ist. Es ergiebt,sich so 
HE HO (RE MR S 
also 
d SON E PLE EST 
fi(V.— 58) = 2(727 + 13529) 
! Aus der Formel (T, 2 7, 2) 
dk! = zi k’k’do 
folgt. dass wenn — £c reell ist, 5^ mit wachsendem — io abnimmt. Es ist also 
, | (1 — 2k?)\(1 — k’k'?) 
CO) — PO) = — << — 
f. (e fico) pp 
à " = UD 41/4 2 . id 
positiv, also f,(«) > f,(«) sobald — iw > I und da /,(w)” = 2°h":h* mit wachsendem 
pos 
iw wächst während /,(«)'* = 2'k':k? abnimmt, so ist /,(&) > Als « | sobald — 1 
r . > pf \ > I \ H T d 
den Wert überschritten hat. für welchen f,(®) = f, 2) ist, d. h. den Wert 2. 
E 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 569 


woraus sich die vierte Wurzel ziehen lisst: 


(16) v2f (V— 58)" ar V20- 


§ 9. Berechnung von Classeninvarianten aus der Transformation 
erster und zweiter Ordnung. 


Wir benutzen nun die Principien des ersten Abschnitts zur Berech- 


nung von Classeninvarianten, und gehen dabei aus von den Formeln des $ 1 
= 1 und m = 3 die beiden Gleichungen 


Man erhält zunächst für m 


woraus nach (13), (14), (9), (10) $ 1 -folet 





und nach $ 1 (15) 


(3) 


Aus der Transformation 2'” Ordnung erhält man die Fälle ii 


fiy—3) =F, V2. 


—=2,M—=7 


- 


aa = — - " o = - * 
(e) e) To! 
(a) mao, f(—--. 
5 ds pete Vis 2 
reer ee HN M 
und durch eine zweimalige Anwendung i 15. Setzt man nämlich 
1+ — [5 w I 2 
o=- x = 9 E — c ' 
(6 KERNE = ya 
47 


Acta mathematica, 11 Imprimé le 18 Juin 1888, 


370 H. Weber. 


à a I 1 ER zi 
f,(——) = "TES f) f (5 — gh 
Eliminiert man aus letzterem System f(o). fi(c) , (2) . f.i a . Ae) 


mittels $ 1, (9), (10), so ergiebt sich 


LS + gf +10 


und daraus nach (6) 
(7) m—=15; ETS) yalı + ya). 


Beachtet man, dass von den drei Funetionen f*, ff, f? nach 1, (9), (10), 
zwei durch die dritte mit Hilfe einer quadratischen Gleichung ausgedrückt 
werden, so lässt sich aus einer bekahnten Classeninvariante für die De- 
terminante — m die für die Determinante — 4m herleiten, indem man 
sich, je nachdem m gerade oder ungerade ist, einer der beiden Formeln 


bedient: 


(8) 2f(20) = fi(e)'[fi() + rt)” + 64), 
(9) 2f,(2w) = f(o)" f( e) = -+ WA e)" =. C4}: 


Auf diese Weise findet man aus (1). (4), (5), (7) die folgenden Re- 
sultate: 





(10) Me Lig) =. 

(11) =a, f(yv— 16) = 8y2(1 + v2)”. 
(12) n — 8, f (.— 8) = 3(1 + va). 
(13) "aco f 32) od, 


e. ose 


VF 


=> 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 371 


(4) — mein Ar) = 2% + v9). 
(15) m — 28, AN 28) — 2 2(3 + V7). 
(16) m— 60, — f,(y—6o)' = y2V2(t + 5) (2 + v3)5 + V3). 


8 10. Anwendung der Schläfli’schen Modulargleichiungen 
zur Berechnung von Classeninvarianten. 


Die ScuLärtrschen Modulargleichungen lassen sich in verschiedener 
Weise zur Aufstellung von Classeninvarianten benutzen. Das nächst- 


liegende ist, dass man einen der bereits bekannten Werte von f(y— m) 


oder fj(/— m) für w oder w, in diese Gleichungen einsetzt, wodurch man 
eine Gleichung für f(Y— mn?) oder f(Y— ma?) erhält, die man noch von 
überflüssigen Factoren, die sich leicht finden lassen, zu befreien hat. 


Auf diese Weise ergiebt sich 


(1) m = 9; F(V— 9)" = y2(1 + V3): 
(2) m= 25, — f(j—25) = ÿ2 (1 +5). 
(3) m= 49, — V2f(y— 49) = v; 


(4) m= 18, Ali)’ = tale + V6) 


x — 207° + 3% — 4 = 0. Diser. — 4.50. 


' Die Classengleichung ist hier vom 6" Grade und lüsst sich durch Adjunction 
von ys in zwei cubische Faetoren zerlegen, die man aus obiger Formel leicht dureh Eli- 
mination ableiten kann. Dass hier, wie in mehreren der folgenden Beispiele die Classen- 
invariante rational dargestellt ist dureh \5 und die (einzige reelle) Wurzel einer rationalen 
eubischen Gleichung ist eine Eigentümlichkeit, die mit der ABEL sehen Natur der Classen- 
gleichungen zusammenhängt, worauf ich bei einer nüchsten Gelegenheit zurückzukommen 
hoffe. Diese rationalen cubischen Gleichungen entsprechen den Gauss schen Perioden- 


Gleichungen in der Kreisteilung. 


(6) Wi QU = er) an, 
gy? — 3% — 34 — 1 = O. Diser. — 4.27. 
(7) m = 75) Vefy-7))=% 
p* — 24? — 2% — 4 = 4st 
(8) m= 36, AU! = Ven, 


(9) it == 100, vo v2f, (y— 100), 


(10) yos f(J— 63)" = 2:9, 


(1 I) m = 175, f -— 275) — 21, 


20° — 4x? + — 3 = 5 (2u° — x + 1). 





Wenn man sodann in den ScHLÄFLIschen Modulargleichungen für 
den n‘® Transformationsgrad © = ÿ— x setzt, so wird 


und man hat «= v und mithin À — 2 zu setzen. Auch hier findet 
man leicht die abzusondernden Factoren. 





(12) m=5, VS) = 1 + 5. 
(13) M = It, (a) a 
z?— 24 + 2y— 2 — 0, Diser. — 4.11. 


(14) m= 13; fyv—13)"=3+ vis: 





Zur Theorie der elliptischen Functionen. 375 
(15) JI d NL 24, 
Pr : En rav 
(16) im o. NET) EN 
q'—— 2% — 2 =O. Diser. — 4.19. 


Ein drittes Verfahren, die Scurirrnríschen Gleichungen unserer Aut- 
gabe nutzbar zu machen, ist das folgende: 

Setzen wir in der zum Transformationsgrad n gehörigen Modular- 
gleichung für © die Wurzel der quadratischen Gleichung 


(27) 20? + 2rw« + n = o, 


worin > eine ganze Zahl bedeutet, also 





(18) 20 + 2r = — 
FRERE zei 
(19) m= 2h — vr, 
so ist (nach 1, 15) 
(20) f(w)f.(20 + 2r) =e * y, 
also nach (18) 
s/ [0 . - 
(21) f(o)f lr) = y2e ™, 
L - T 
f, (e) _- =) d ungerade, 
pDy-m 
(22) 
26 2 


AR gerade, 


374 H. Weber. 


Demnach hat man in dem zweiten System § 4 zu setzen 





je nachdem r und damit zugleich m ungerade oder gerade ist. 
Nach (19) ergeben sich für m folgende Werte 


* 
n= 3, UN Ot ES 
NS. i= 105 Oy Oe 
Hes cu Wr cepa Welt 
jj 2 M 1-99 2 OTe og ae 
3 meo. 250 DD TOT 
w= 17, mn = 34, 33, 30, 25, 18,9, 
== pe. WS 50318 24320 22 55 


Wir leiten aus dieser Quelle nur die Formeln für die in dem Obigen 
noch nicht enthaltenen Falle her, wobei dic schon bekannten oder mehr- 
fach auftretenden Werte zur Erleichterung der Auffindung der Factoren 


dienen. 


(25) "iss. yo, = a 21, 
(26) EZ te VEUVE wo) = Vs. 
27) NÉ MATE WE 14) uam, 
I 
1 res I 4 v2 
(28) n ES Eh 2f(/— 21) * = (V3 + v7) (5 + v7)’: 


(29) ge f(yJ—22)' = y2(1 + V2) 





Zur Theorie der elliptischen Funetionen. 375 


2y13 
a — 3 





(30) m — 26, ANNE 26) = «+ 


x — 2% +4—4=0. Diser. — 16. 26. 





(31) Hh se MO fi(V— 30)" = 2y2(3 + Vro)(2 + V5). 
(32) m= 33,  V2f(V—33) = (3 -- vir + 3)’. 
(33) m= 34. A(V—34) = v2% 
ere aR his V17 
An 2 
(34) m- 29, fly) = 22, 


21" — 90° — 8r — 5 = y29(r + 1)”. 


(35) HT fuu — 12 24/37 - 


(36) Ju Bas), — am 
(r* — 80” + 16r — 8) = y2(8r* — 8r + 6). 


Die gefundenen Resultate lassen. sich wieder mit der Transformation 
zweiter Ordnung verbinden, und man erhält so z. B. noch aus (12), (14), (25) 


(37) m=20 f(V=20) — zar, 
pum A EE 1) 
(38) Mm —=.52, Av 532) = 2/22, 
alt yig)e —2 418 = o 
(39) m= 24, A (v— 24)" = 2 (1 + v2) (2 + v3) (v2 + v3)". 


Endlich lassen sich auch noch zwei der Scntärrt'schen Modular- 
sleichungen mit einander combinieren und dureh Elimination neue Re- 
sultate herleiten. Wir geben zwei verschiedene Beispiele der Combination 


370 H. Weber. 


der Modulargleichungen für den 5'" und den 11°" Transformationsgrad 
mit sich selbst, wodurch wir die Classeninvarianten für die Determinanten 
— 41,—105 erhalten, von denen die erste zwei Geschlechter mit je 
vier Classen, die zweite acht Geschlechter mit je einer Classe hat, und 
welche beide als erste ihrer Art von Interesse sind. 


Nehmen wir zunächst 











(40) 00’ + 60 + 5 — o, 10@ = — 3 + V—41; 
(0 7 à 
le am — p 4 \ . 
ES) f, (2(5@ + 3) | ( f So) 
> €) ; — = Ba Sas : = v2 
— f, (100 de 6) NC A= 46), /,(50) P a + 
2 fy — 41) 


Hiernach ergeben sich aus der Modulargleichung für den 5*" Grad ( 4, II) 


zwei Gleichungen, die sich mit Benutzung der Bezeichnung 


57i Ti 


fly ah = flo) HE o)e = y28. 
so schreiben lassen: 
E ee se ee © 


I 
S 7) / 


;) 6. 


Np 


: I E 
2? += + 2 — 
/ 


Durch Addition und Subtraction erhält man hieraus zwei Gleichungen, 


welche nach Beseitigung des Factors £— 5 (der zu den Determinanten 





— 1, — 25 gehört) nur noch von & + 5 und £» abhängen. 
Die Elimination von € + 7 liefert, wenn wir 
— f» = . FO I 
v2&y = yzr = f(V— 41)", PO 
setzen, die Gleichung 
O= 2) — 02" + 203^ 64e aos" —- 12 
„2 E / 4 E A : 
(2° — 44 — 3)2 — 5€ +.32 +32 + 2). 
Der erste Factor, der als zur Determinante — 49 gehörige, von vorn herein 


bekannt ist, wird abgeworfen, und der zweite liefert die eesuchte Glei- 


377 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 


Man erhält so 


chung, welche in Bezug auf x vom 8" Grade ist, und sich durch Ad- 


junction von 41 zerlegen lässt. 
PA 5 "u^ 
22 — 52 + 7 —wva41(? 


I). 





erhält. 


(41) MAT, 
Es genüge zweitens © der Gleichung 
(42) | IIo’ + 8» + 11 —0, 
ie + 8——", 110 —=— 4 + ÿ— 105. 
Demnach, wenn 
f(V— 105) = € 
gesetzt wird 
zi "i ai 
is qe 


und diese beiden Grössen sind, wenn w —=f(o) ist, Wurzeln der Modular- 
(S 4, I) 


gleichung für den r1'" Transformationsgrad. 


Setzt man ur —£,7:u —7 so folgt 


À = — e Tr N) , 


so dass man durch Benutzung beider Zeichen für £,» zwei Gleichungen 
Fortheben des Factors 


Durch Elimination von A und 


ir 
— 
tipi bo 


findet sich 


woraus 


5==(2 + J3)(3 + V5) 


£ 
> 


Für y findet man sodann 
7 + 


Imprimé le 6 Juillet 1888. 


4 


Acta mathematica, 11. 


660 + 168 v15; 
4*5 


378 


JC 


H. Weber. 


woraus leicht folgt: 


(43) m= 105, 64 /2f(/— 105)" — (1 + V3)" (1 + V5)" (V3 + V7) (Vs + V7): 


Die Richtigkeit der Vorzeichen ergiebt sich durch die Vergleichung der 
numerischen Werte. 


§ 11. Anwendung der irrationalen Modulargleichungen 
zur Berechnung von Classeninvarianten. 


Genau in derselben Weise lassen sich die in $ 5, $ 6 abgeleiteten 
irrationalen Formen der Modulargleichungen anwenden und führen zum 
Teil in ausserordentlich einfacher Weise zum Ziele. Wenn wir zunächst 
in den Formeln (4) $ 5 w= y-- « setzen, so wird 





oder für 











und dies ist in die Formeln (6) $ 5 einzusetzen. Für n = 31 erhält man 
zunächst eine Gleichung 3°" Grades in x”, aus der sich durch Factoren- 
zerfällung eine einfachere für x selbst herleiten lässt. Bein=47,n—71 


hat man bezügl. die Factoren x, + 1)? abzusondern und findet so: 


(1) n= 23, f art, RES — Q. 
(2) n-— 31, f(J— 31) = 2%, LD = —0 
(3) n=47, f(¥—47)=V22, PP — a — 2x —2%— 1 — 0. 


(4) Re fip, 2 — 22." —x Hart La +0’ —xm—1—0o. 


NS | 


Ebenso lässt sich auch das dritte Verfahren des vorigen Paragraphen 
hier anwenden, indem man von den Formeln (17), (18), (19) Gebrauch 


macht. Man erhält aber dann nicht unmittelbar Gleichungen für eine 


— TEE À 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 379 


der Functionen f selbst, sondern Relationen zwischen mehreren derselben, 
aus denen die cinfachen Gleichungen erst durch Elimination herzustellen 
sind. Aus der für n = 23 gültigen Modulargleichung erhält man so z. B., 
wenn c der Gleichung genügt: 


20? + 2rw + 23 — o, 


rm 


flo)f(2w + 27) — f (e) (o + 27) = 2 + Vie", 


uud die Rechnung für r=o,r= 1,T*-2 ermebt 

(5) (cepe uar 2/2 (V— 42) = (242 + V7KV3 n Vz)". 
(6) m == 45; Ay)" = 8(2 + Vs) (4 + Vis)” 
(7) m = 46, Eam ven, 


In ähnlicher Weise findet man aus der Modulargleichung für » = 19 
($ 5, 10) eine einfachere Form der Darstellung für m= 38. Setzt man 


DJ 
* 


| Ses WE X NCC MN Hr 
4x = =) VS) — AN) (V 2) — 2 





so ergiebt sich 
0 B= 8x +6 
und, nach Absonderung des Factors z^ + x + 3: 
(8) x? — x! — 2% — 2 = 0, Discr. — 4.38, 


x 


während /(y— 38)” sich so durch z ausdrücken lässt: 


0 are 


‘s sollen endlich noch für m = 35, 39, 55 die Modulargleichungen 


(17), (21), $ 6, verwendet werden. Setzen wir 


T» — ftu— AY et s (V = I; rr Y, = | 2, 


' Man vgl. die Anmerkung zu § 10 (5). 


380 H. Weber. 

so ergiebt sich aus (17), (21) 

(10) y! — 29? — 4 — 0. Diser. — 16.35. 
(11) 25-4 az - 52— 7 o. Diser. — 4.35. 


Die zweite dieser Gleichungen geht in die erste über durch die Sub- 
stitution 


» 


(12) Ve; 


wodureh, da die Gleichungen beide nur eine reelle Wurzel haben, y ra- 
tional durch 2 ausgedrückt ist. 
Ebenso ist | 


(13) 2(2 + 1) — y 


wonach man nach Adjunetion von ys auch x rational durch y aus- 
drücken kann: 





y+2 
Für m = 39 ergiebt die Gleichung (21) $ 6, wenn 
nu — MRC D —- (y 53 ———— = 2 rcx d 
In 39) f | 13 , x , 
gesetzt wird, nach Abwerfung des Factors z + 2 
ON 9 I Eu V13 
(15) e ai) 3°" 95 ee 


Die Gleichung für a’ erhält man aus der Transformation 3‘ Ordnung: 
(S 4, I, mit Benutzung von 15) 

ta 8 

EN UD En 4-0, 


woraus 


y = 4(3 + 13). 





* Aus dem 711% Transformationsgrad erhält man direct für «= /(\— 35) die Glei- 
chung æ°— 2 = (1 + \'5)(a" — &). 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 381 


Setzt man schliesslich 


(16) (NES) Zus yz’x 
so ergiebt sich für z die quadratische Gleichung: 


/ 


(17) p? NI a4) So. 


“= 


i] 








Der letzte Factor (der zur Determinante — 11 gehórt) hat hier keine 
positive Wurzel, und da 2° nicht = 2 ist, so muss 


2 —24— 4 — 0, 2 — 1 + ÿ5 


sein. Setzt man 


(18) V22 = f(V— 55), vac = AV 7 


so liefert noch die Transformation fiinfter Ordnung 


AL + "em 43 v 19 VS 


und daraus 


LH" =.2 + Vs, v—wv = I, 


also 


(19) : PRE ELA ES 


382 — vB der 


8 12. Die Multiplicatorgleichungen. 


In der Abhandlung I, $ 15, sind aus dem Teilungsproblem der ellip- 
tischen Funetionen zwei Arten von Transformationsgleichungen abgeleitet, 
die sich dadurch unterscheiden, dass die Wurzeln der einen aus geraden, 
die der anderen aus ungeraden elliptischen Functionen der Periodenteile 
zusammengesetzt sind. Die ersten heissen Modulargleichungen, die anderen 
Multiplicatorgleichungen. 

Die letzteren gestatten eine wesentliche Vereinfachung im Falle eines 
quadratischen Transformationsgrades.' Diese Multiplieatorgleichungen, 
welche in umfassender Weise von Kırrerr studiert sind,” zeigen in ihren 
Zahlencoéfficienten nicht die Einfachheit wie die Scurárnrschen oder die 
irrationalen Modulargleichungen, so dass diese für die practischen Rech- 
nungen, die sich auf die complexe Multiplication beziehen, geeigneter 
sind. Nur in dem Fall eines quadratischen Transformationsgrades ist in 
Vergleich zur Höhe des Transformationsgrades die Einfachheit der Multi- 
plicatorgleichung eine genügende um mit Vorteil hier verwandt zu werden. 
Ich gehe hier um so lieber auf das Beispiel des 25" Transformations- 
srades ein, weil dasselbe eine unmittelbare Anwendung der allgemeinen 
Methode liefert, durch welche ich im $ 21 der Abhandlung I die Zer- 
fällung der Classengleichungen in Factoren nachgewiesen habe. 

Nach $ 16 der Abhandlung I sind die » Grössen 





falls ad = n eine durch 2 und 3 nicht teilbare Quadratzahl, c=o (mod 24) 


und e der grösste gemeinschaftliche Teiler von «,d ist, die Wurzeln 





' Diese Vereinfachung der Multiplieatorgleichung im Falle eines quadratischen Trans- 


formationsgrades hat zuerst JOUBERT nachgewiesen: Sur les equations, qui se rencontrent 
dans la theorie de la transformation des fonctions elliptiques, Paris 1876. 
2 


3esonders in der Abhandlung Uber die Transformation der elliptischen Functionen, 


Mathematische Annalen, Bd. 26. 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 383 


einer Gleichung »"* Grades, welche rational von j/(w) abhängt. Ist n = 25 
so lässt sich dieser Gleichung die folgende einfache Form geben ! 


; 7? + 10; E 
(2) j(w) Lx X 2 + i. 


wenn zur Abkürzung 


(3) "5 Oh cr WS eh 
Mer P S , y 4 
Eee 
gesetzt wird. 
Es sei nun r eine ungerade Zahl und © Wurzel der quadratischen 
Gleichung (zweiter Art) 


(4) o? +rw + 25 — o, 





ars Frei 


qm = 100 — r’, 
= | 


(5) e) = 


« 


so ist, wenn c aus der Congruenz 


(6) e=r (mod 25), € — r =— 25r (mod 24) 


on 


bestimmt wird, 


C + ® e—r I 


(7) AU as à 


und es wird daher für den Wert (5) von c eine Wurzel der Gleichung (2) 


(8) ‘= — —— 6 : \ lw 


worin die Y— io mit positivem reellen Teil zu nehmen ist. (Abh. I, $ 5.) 


! Vgl. I. Gierster, Notiz über Modulargleichungen bei zusammengeselztem Trans- 


formationsgrad, Math. Annalen, Bd. 14 und Kırrert l. c. 


384 H. Weber. 


+ 
Wir betrachten die Werte r= 1, 3,7 und erhalten 


ri 


I —— .— 
ge, jnos-90; t=-e *(3 + iyıı), 

oe aan 
r= 3, m=o91, t=,(1ı3 —iy) 


jr cA oe 
pay gs. Me 


und hiernach lässt sich aus (2) j(«) berechnen, welches für r — 3 ein 
Cubus wird. 
Auf diese Weise berechnet man ziemlich einfach die folgenden Zahlen 








/— 3 + /--91 = 
ES) = — 48 (227 + 63413) 
= Een e 
(9) i( d T >) = — 2", 27(6263 + 1519/17), 
ft ds rn = 
i( = = — — 214591804316 + 799330532 33). 


Von diesen Werten gelangt man zu den viel einfacheren Gleichungen für 
die Grössen f(y— m) in derselben Weise wie in $ 8. 


Es ist nämlich nach $ 1 




















Setzt man also für r = 3 





DS m) = % 


so ergiebt sich für x die Gleichung 


„24 . 18 2, 
(10) 2° + 7 (w)x'* — 16° = 0; 
und wenn man‘fir r = 7, 1 





Zur Theorie der elliptischen Functionen. 385 


setzt, so folgt für diese beiden Fälle: 
(11) D — [3 — 2 j(w)]x + 32 — 1 =0 


und in (10) und (11) hat man für 7,(w) und j(w) die Werte (9) ein- 
zusetzen. Jede dieser Gleichungen lässt sich aber successive in zwei in 
Bezug auf z',z^, zr rationale eubische Gleichungen zerfällen wie man 
leicht findet und noch leichter nachträglich verificiert. Man erhält so 
die Classengleichungen: | 


MST (Wear) =a 
=” —(4 + Vi7)v* — x — 1 = 0. 
in. ATEN m 


z* — 2x! — (1 + yi13)v — 2 — o. 


m — 99, f(V— 99)! = 2x, 
PI 1170 2433) $* — € Sn EVER) — 1 =o. 


8 12. Zusammenstellung. 


Zur bequemeren Ubersicht sollen hier noch einmal die die complexe 
Multiplication betreffenden Resultate zusammengestellt werden, und zwar 
geordnet nach der von Gauss gegebenen Einteilung (Disq. ar. art. 303; 
vgl. auch die in Bd. 2 von Gauss Werken aus dem Nachlass herausge- 
gebene Tafel der Classenzahlen), so dass die römische Ziffer die Anzahl 
der Genera, die arabische Ziffer die Anzahl der in einem Genus enthalte- 


nen Classen quadratischer Formen von der Determinante — m angiebt. 
Die Falle m = 40, 48, 72, 88, 112, 232, die nach den Formeln (8), (9), 
§ 9, aus den Fallen m = 10,12,18,22,28, 58 leicht zu berechnen 


sind, welchen die Classification IV, 1 zukommt, sind hier noch beigefügt. 
Es ist bemerkenswert, dass die Fälle I, 1; I, 3; Il, 1 erschöpft sind, 
wenigstens wenn die von Gauss (Disq. ar. l. c) auf eine weitgehende 
Induction gegründete Vermuthung richtig ist.' 


' Vel. auch JOUBERT, Comptes rendus, t. 50, 1360. 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 10 Juillet 1888. (9 


H. Weber. 
f(V—2) = V2; 


386 





O, 


x? — 2x? + 24 — 2 


f(J—11)-— x, 


e 


I, 


4 + 2y2, 


aci Uns 


I + ys, 


I oe V5 


x? — 3% — 34 — 1 = 0, 


ge Rn qe 
x — 2% — 2 — 0, 
AN oO. 
x° — 6x° 4+ 4x — 2 — 9. 


x — 2% — 2 — 0, 
2 — $-—1-290, 


2 
d c 


een og —— 0. 


© 
| 
| 
S 
| 
a 
8 
E 
"7 
m. 
+ 
8 
+ 
Le] 
8 
| 
ES 
N 
| 
"e 











= 2%, 
Et 
V— 13 


JE NOE 
f(y.—71) = v2%, 


) 


ya 


) 


10) 


V— 23 


va 











fv 
f 
Nos 


f( 
f( 


| 7: 


Zur Theorie der elliptischen Functionen. 387 


f(V— 18)" = v2(2 + V6), 
f(V— 22)" = y2(1 + 2), 
v8f(v—25) = (1 + V5), 
A(V— 28)" = 2y2(3 + v7) 
fiv= 37)" = 2(6 + ¥37), 
v2h(v— 58) = 5 + y29. 


Iz Aero — œ+ li: +, 





F(V— 17)" = ya, cud : m ur, 
f,(V— 20)" = 2/24, phe ele Be 
A(V— 32)" = 8x, x — 8(1 + yz)'z — 2(1 + V2) — o, 
(V— 34)’ = vaa, UB er 
A(V— 36)° = 82, 2? — 4g — 2 = a s(x 4- 1), 
fv— 39)’ = yz, T un SEV (2 4-13 
fi(V— 46) = V2, + I 3 + y2, 
f(V— 49)" = vac, Pi = 247 
oder 
BAT — kii 
fessa apr, 0 2° —2 (44 is)e —3 £3 fum 
f(V—55) = ya, p gus TN 
f(V— 63)" = V8x, v7 (z^ — x + 1) = y3(@" + 3c — 1), 


v2A (V — 100) = #; 2? — x — 1 = Ye + 1). 


388 H. Weber. 





VER Ten Een ee eee 





v? — 3 
oder 
AZ)? = ye, a it oe ta) 
f(V— 29)' = 2%, 20 — 0g — So e V29(x + 1)’, 
Hy) = +S, ot 2274 =0, 
oder 
f(vV—=35) — v, g^— 2 — (1 + Via — a), 
fi (V — 38)" = 2x, v? — 8x* + 16z — 8 = J2(8z* — 8x + 6), 
oder 
v2fí(4—38) — v4 1 2, xz! — x — 20 — 2 —0, 
V8/(V— 50) = 0 + a ’ t! — 29; + 30 — 4 — 0, 
oder 
A(V=— 50) = ver, gu EY LE 
Au en, 24. De EA M Vi7 2, 
V2f(V—75) = x, t? — 247 — 2% — 4 = 45%, 
IN ol, D — 24 — y — 2 = 13%, 
f(- 99) = as, z! — 130? — 4s — 1 = dag (a2* + 2), 
f(V—-175)= 2%, . 25! — 48° + ~— 3 = ys(2x? — x + 1). 


a 


La =) = yar, (s MEER. (c D) riz 


IV, 1. 2fly— 21)" = (Vs + V7) (3 + v». 
Aw 24)" — 2°(1 + y2)*(2 + y3)"(v2 + v3); 





Zur Theorie der elliptischen Functionen. 389 
fí(V 3o) = 2y2(3 + Vro)(2 + V5), 
v2f(v—33)° = (3 + vi) + 3)’ 
f,(v— 40) = 26 + vs)'G + va) (3 V2 + 2V5), 
2V2A(V— 42) = (2 V2 + vzXVs + v») 
( 








| 


fv—45)” = 2(2 + ys) (v3 + V5), 

V—48) = 8y2(1 + v2 + v3) ( + voy 
A(V— 60) * = 4y2(1 + ys) (2 + v3) (V3 + Vs)", 
aa TONER OR RATE 








| 


) 
) 


E 


(/.— 72)" 

IV, 1. fi((—88) = 4(1 + y3)'(3 + yi) (7 V2 + avi), 
fi (v= 112) = 8yz(3 + V7) ya) (2V2 + V7)”, 
fly 232)° = 2(5 + V29)' (1 + y2)'(99 + 1358). 








VIIL 1. V2 "f(J.— 105)" = (1 + v3) G + vs) (V3 + v7) (s + v» 


Marburg in April 1888. 


DBerichtigungen. 


Das Theorem 2.) Seite 339 muss als unrichtig wegfallen. Auf die 
Resultate ist dieser Irrtum ohne Einfluss. Aus der Tafel (16) Seite 342 
schliesst man, allein auf das Theorem 1.) $ 1 gestützt, dass die Grössen 
viu", oder wenn » dureh 3 teilbar ist, deren Cuben, Wurzeln einer 
Transformationsgleichung sind, deren Coöflieienten rational aus w^* ab- 
hängen. Die Schlüsse auf Seite 347 werden nur in soweit berührt, als r, = 1 


390 .. H. Weber. 


und > und s daher so bestimmt werden müssen, dass (n — 1)r , (n + 1)s 
dureh 12 teilbar sind, wie es auf Seite 348 ff. wirklich geschehen ist. 
Seite 371. Formel (2) ist zu lesen 


V8f(y— 25) = 1 + s, 
Formel (3) zweite Zeile 
ao? — (1 + y7* c -2—0. 
Seite 375. Formel (30) 


VERTS = à + NS 


pies 








391 


BEMERKUNG ÜBER DIEJENIGEN FLACHEN 
BEI DENEN DIE . 


DIFFERENZ DER HAUPTKRÜMMUNGSRADIEN CONSTANT IST 


VON 


- 


E. YXLELIENTHAL 


in BONN. 


Im 59*^" Bande des Journals für Mathematik hat Herr Weıx- 
GARTEN den Satz aufgestellt und bewiesen, dass die dem Hauptkriim- 
mungshalbmesser o, entsprechenden Krümmungsmittelpunktsflächen der- 
jenigen Flächen, bei denen der Hauptkrümmungshalbmesser p, durch die- 
selbe Function von p, ausgedrückt wird, sämmtlich auf eine unter ihnen 
befindliche Rotationsfläche abwickelbar sind. Speciell sind die Krüm- 
mungsmittelpunktsflächen der Minimalflächen auf die Rotationsfläche jeder 
Kettenlinienevolute abwickelbar. 

Der letzteren Bemerkung lässt sich die folgende an die Seite stellen. 
Die dem Hauptkrümmungshalbmesser o, entsprechenden Krümmungs- 


Fa 


mittelpunktsflächen sämmtlicher Flächen, bei denen p, — o, constant ist, 
sind auf die Rotationsfliche der Tractrix abwickelbar und besitzen somit 


ein constantes negatives Krümmungsmass. Dasselbe hat den Werth 


wenn 09, — o, — c. Die Rotationsfliche der Tractrix selbst ist Krüm- 
mungsmittelpunktsfläche von einer Rotationsfläche, die sich durch geeig- 
nete Bestimmung der willkührlichen Constanten aus den Formeln des 
Herrn Liprscurrz (Acta Mathematica, Bd. 10, S. 136, (16)) ergiebt. 


Acta mathematica, 11, Imprimé le 10 Juillet 1888, 


392 R. v. Lilienthal. 

Es sei zunächst gestattet den allgemeinen Satz des Herrn WEINGAR- 
TEN mit den Mitteln zu beweisen, die im 30°" Bande der Mathema- 
tischen Annalen, p. ı u. folg. entwickelt sind. Man erhält für das 
Quadrat des Linearelements ds, der zu o, gehörenden Krümmungsmittel- 


punktsfläche die Gleichung: 
ds = (o, — P) [y L sinodp + N sin (a — e)dq]' + dpi. 


Unter der Voraussetzung 


Pa = f(r) , 


lässt sich nun, wenn o, als unabhängige Variable genommen und gleich 
p gesetzt wird, ein Factor A in der Weise bestimmen, dass 


À(o, — p4)[y L sin odp + VN sin (a — ç)dgq] 


ein vollständiges Differential wird. 
Die hierzu erforderliche Differentialgleichung nimmt unter Berück- 


sichtigung der Beziehung (l. c, p. ro, (6)): 
9 VL sin c 9 /Nsin(o— ¢) | 9, 9 


—. Os um 
(6, — 05) 2q Op en VL sin depo be (s ¢) 





die Form an: 


94 ar Q1 OA ( er ) | AT an ( DAN: 2) 
5; V — Ps) VL sine —5-(o, — p,) VN sin (a — e 
eo -— 90 C 
Eom T AR A LV A 
+ 3; AVL sing 2p ÀVN s&in (e — e) O. 


Wird nun À blos als Function von p = p, betrachtet, so folgt: 


* dpi 
— —— + Const. 
Pi —P2 


gj c6 A 


und man kann setzen: 


(0, — p,)[y b sin odp + y N sin (se — ç)dq] = dq,, 


Über Flächen. bei denen die Differenz der Hauptkrümmungsradien constant ist. 393 


so dass: 
5 PES 
9 01— 922 9 
ds — e. "da + dp; 


wird, woraus die Behauptung des Herrn WEINGARTEN unmittelbar erhellt. 
Nimmt man nun im betrachteten Falle p, — o, gleich e und schreibt 
statt q, wieder g, so ergiebt sich: 


2P1 


2 E 2 2 
ds; = e° dq + dpi. 


Wir suchen jetzt diejenige Rotationsfläche auf, bei welcher das Quadrat 
des Linearelements die letztgefundene Form hat. Sind 


EOS, y = psing, M) 


die Coordinaten einer Rotationsfliiche, ds das Linearelement der letzteren, 


so wird: - 


ds? = [ı + f'(p)*|dp? + prdq?. 


Daher sind p und f(p) so als Functionen von p, zu bestimmen, dass: 


p? d t [1 4- f'(p) d»? -— do; 
wird. 
Nimmt man 


so folet: 


und: 


:e COS, y= e Sn, 


Sir 


/ 2h, 


e. V eS a= pt e). 4 C log Ve ae "e — ( 


Diese Gleichungen zeigen, dass wir es mit der Umdrehungstliche 


) 


I 


- 
1 


der Traetrix zu thun haben. Das Krümmungsmass dieser Fläche ist 


Acta mathematica, 11. Imprimé le 11 Août 188s 0 


3094 R. v. Lilienthal. 


Bezeichnen wir mit æ,y,z2 die Coordinaten einer Fläche, für welche 
die ın Rede stehende Rotationsfläche eine Evolute ist, so finden sich 
c,y,2 leicht mit Hilfe eines von Herrn WEINGARTEX in Journal für 
Mathematik. Bd. 62, S. 62 aufgestellten Formelsystems in der Form: 


O1 2 


Set: c c —f0 1 
COS, Ye = IG 


G € 


(^i 


97. \ 


= / Sil 
a 3 DU a f 4d- C P — NV ce? —e° ) 


Diese Rotationsfläche, bei der nun 


Na — f?» =  ( 


wird, ist unter den von Herrn Lrescnirz (Acta Mathematica, Bd. 10, 
S. 136, (16)) angegebenen Rotationsflächen mit der genannten Eigenschaft 


enthalten, was sich mit Hülfe der Substitution: 





5 I I , 
C= q, In D = -e°, log -+M = — 1 


G [i 


sofort ergiebt. 


Münster '/w. den 1 September 1887. 


305 


SUR L'INTÉGRATION ALGÉBRIQUE 
DES DIFFÉRENTIELLES ALGÉBRIQUES 


PAR 


J. PEASZY CHE 


à S:t PETERSBOURG. 


1. Le travail actuel a pour objet la solution du probleme suivant: 


Exprimer l'intégrale fyde, y étant liée à x par une équation algébrique, 
au moyen d'une fonction algébrique de x ou S'assurer que cette intégrale west 
pas algébrique. 


Le premier pas vers la resolution de ce probleme a fait Anxr, en 
démontrant que, si l'intégrale fus est une fonction algébrique de x, 
elle s'exprime rationellement au moyen de x et de y. 

in s'appuyant sur cette proposition, LIOUVILLE à résolu complete- 
ment le probléme (Journal de l'Ecole Polytechnique, 22° cahier; 
Journal de Mathématiques, t. 3). 

Depuis, plusieurs autres géométres ont étudié la question. Je eiterai 
Brior et Bouquer (Théorie des fonctions elliptiques), MM. Zeuruex (Comptes 
rendus, 1880), Rarry (Annales. de l'École normale, 1883; 1885 
et Humbert (Acta mathematica, 1887). 

Toutes les solutions du probléme, proposées jusqu'à. present, ramenent 
la question à la recherche de quelques polynômes entiers par la méthode 
des coefficients indetermines. 

Ici je vais établir un théorème qui permet de résoudre la question 


Acta mathematica, 11. Imprimé le I] Août LINKS. 


006 J. Ptaszyeki. 


par une vole différente." Ce théorème fournit aussi un nouveau moyen 
de suivre la méthode des coefficients indéterminés. 


2. Théorème. Soit P un polynôme entier en x: 2 une fonction de x 
‘ j VD 
définie par l'équation irréductible à coefficients entiers 
rg (we + g(a jer” +... = 0. 
Soient 2) ,2,...,2, les n déterminations de la fonction 2; J le discriminant 
de l'équation en z. Soit enfin 
DE, 

on D est un polynöme entier, E un polynome entier qui n'a pas de facteurs 
linéaires multiples. 


yo pe , à 4 2 : 
Si l'intégrale | p dx est algébrique, on peut poser 


Y,X,,X,,..., X, 4, étant des polynômes entiers en x, définis de la ma- 
nière suivante: 





1° Y est le produit du polynôme D par le plus grand commun diviseur 
TE 72 
du polynome P et de su dérivée ; 
ö Gu 


29 X,,X,,..., X. satisfont aux équations: 





2 
Z 
2 i—1 1 vitl n—-1 
I 0 à; el [jae el #1 
* 
^» 
r | 2 i2] a, 1 n—1 
M } | I ws Lan) J “9 | da 2 23 
4i; = al | À (1 0,1,2, 2, 01) 
\ 
| 
| 
Z : 
„2 „i—l A witl „n—1 
I “n Sy or Ay | p^ en En 





' En 1881, jai traité la question de cette manière, pour une classe assez étendue 
de fonctions algébriques, dans mon Mémoire intitulé Sur l'intégration sous forme finie 
(S:t Pétersbourg). Dans le cas où la fonction y est égale à la racine d'une fonction ra- 
tionnelle, cette méthode se réduit au procédé de M. TCH£BYCHEFF. Je dois à l'obligeante 
communication de lillustre géomètre la connaissance dé son procédé. Maintenant au sujet 
dudit procédé on peut consulter Cours professé à la Faculté des Sciences de Paris par 
M. HERMITE (2*"* ed.: p. 20). 





Sur l'intégration algébrique des différentielles algébriques. 397 


‘ 


5. Démonstration. Soit [ 


Z C ; f à ES ; 
pdt l'intégrale algebrique. L'intégrale 
sera de la forme (n? 1) 


4 P xs X, AX E X, 24 5 C mes 
(1) | P da NN. 3 + Y, 2 + gx + ls 25 Es i : 


1 
X,,Y,; X,, Y,;... désignant des polynóines entiers en x; on peut sup- 
. DG . . , . 
poser que la fraction y. soit irréductible. 
i 
On tire de l'égalité (1) les.» équations 


X X Y Cu 
ei yet el el 
| P da = jj: E VAE — 3h CONTE , 
"2 SIR Fra 
di = +2, + + 2" 
I 0 ) 1 2 } n— 1 2 5 
ae 0. A ey ah 
| P qu = ¥, Bi 34 en == AT RE = Eos =n 


Remarquons que ces équations montrent que Yintegrale 


sera représentée, dans le voisinage de chaque point @, par une série or- 


donnée suivant les puissances croissantes de x — @ au commencement de 
la série il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants négatifs. 
eb van ALES AN. 
En resolvant nos équations par rapport aux coefficients “as 
o 1 
on obtient la formule 
| » 
) i—1 i+1 1 
m 2 Or: 7 d | OX 2 
VAE 
X i ie fears ihe | dx s Uy 
{ 3) - = | p P ' A — } 
T») ) i \ J | e 
Doo 2 s | da | : 
n HH ' P 1 à 


398 J. Ptaszycki. 


Nous allons maintenant mettre cette formule sous une autre forme. 
Dans ce but, je remarque que les éléments du déterminant qui 
figure dans la formule (3), excepté ceux de la i-ième colonne, restent 
finis pour toutes les valeurs finies de x. Quant a l'élément (2) de la 
ieme colonne, on sait que les seules valeurs finies de x qui puissent le 


rendre infini sont les racines du polynôme P. Soit 


sr (x ah «yy Cr Nm a)" ee (x — u)”. 





On voit sans peine que pour x = a l'intégrale (2) sera finie ou infini- 
ment grande d'un ordre égal au plus à celui de = ar 
Le déterminant considéré se réduit donc à 
f(x) 
(m a, Alle — a, uu. (a — dy)" 1% 


f(x) étant une fonction qui reste finie pour toutes les valeurs finies de 
r. Rappelons que le radical | 4 qui figure dans la formule (3) est égal 
à DyE, où Æ désigne un polynôme qui n'a pas de facteurs linéaires 
multiples. 

D’apres cela, de la formule (3) on déduit que 


P CN fox) 


) i Dat a, al (ia —- a, ... (a — ay)! u \ LE 





On en conclut, en ayant égard aux propriétés des fonctions X,, Y;, 


f(r), E, que le polynôme Y, doit diviser le polynôme 


=D a a). a)" 
Par conséquent, dans l'égalité (1) on peut poser 
y. = Y. (i20,1,2,..., n—1) 


ce qui démontre la premiere partie du théorème. 
Portant la valeur de Y, dans la formule (3), on obtient l'expression 


i 


du polynôme X, qui établit la seconde partie du théoreme énoncé. 


4. Application. lin vertu de notre theoreme, on peut procéder de 


de la maniere suivante pour résoudre le probleme propose (n° 1). 


Sur l'intégration algébrique des différentielles algébriques. 399 


On met la fonction a intégrer y sous la forme P et le discriminant 


de l'équation en z sous la forme 4 = D'E. 
On forme le produit du polynôme D par le plus grand commun 


b 2 A RER Ub ; : 2.4 
diviseur du polynôme 7 et de sa dérivée ——; on déterminera ainsi le 
po) 


Mn 
polynöme ia 


Puis, on développe suivant les puissances décroissantes de x les n 


expressions 
à 
Zz 
» 2 AJ —1 zu wi tl yn—1 | 
I zi #1 Si | Pp da il z 
€ 
à 
2 1—1 2 1 , 1 | 
y- pe 9 2 = A mit 
) I 2 29... 7» pm. s | 
ee à - (i=0, 1,2,...,n—1) 
\ 
I 
à | 
2 
He we „i—1 p = wit] „n—1 | 
(NT on En se By | p da En se On | 
| 
| LA 


dans lesquelles z,,2,....,2, désignent les x déterminations de z: les 
parties entières dans les développements fourniront respectivement les 
polyuores- Muy Xe 3 nc 

Les coefticients de ces polynömes contiendront, en genéral, » con- 


stantes inconnues 6,,05,,...,0,; €, représente la constante arbitraire de 
» 
ye , 2k à 
l'intégrale | per. 
t 


L'une de ces constantes peut être choisie arbitrairement; on déter- 
minera les autres par la condition que l'égalité 


doit avoir lieu identiquement. 


Les constantes (,,60,,..., €, étant déterminées, la fonction 


présentera la valeur de l'intégrale | p dx. Si ces constantes ne satisfont 


{00 J. Ptaszycki. 


pas à la condition indiquée, on concluera que notre intégrale n'est pas 
aloébrique. 
Remarque. 1 peut arriver que l'impossibilité de l'intégration algé- 


brique se manifeste avant que nos opérations soient menées à bout. 
> 


o 


I, integrale E dx west pas algébrique: 1° si le développement de la 


fonction = contient un terme en a’ (n° 3); 2? si, dans le développement 


de l'expression qui fournit le polynôme X,, les puissances fractionnaires 
et positives de x ne s'evanouissent pour aucune valeur de ¢,, G,..., Cy 

5. La seconde partie de notre théorème indique encore le moyen 
suivant de déterminer les polynómes X,, X,,..., X, ,. 

A laide de l'expression de X,, on calcule les limites supérieures des 
degrés de ces polynómes et lon cherche ensuite à déterminer leurs coeffi- 
cients de maniere à vérifier légalité du n° 4. 

Remarque. Si l’on suit cette seconde marche, on n'aura à effectuer 
que les seules opérations arithmétiques pour résoudre le probléme pro- 


pose (n° I 


—9—-— — 


À 


401 


Pris: Oscar" II 


Mémoires présentés au concours. . 


Le concours pour le prix fondé par S. M. le roi Oscar II a été 
clos le 1* juin de cette année. Nous mentionnons ci-après et dans l'ordre 
où ils sont parvenus, les mémoires destinés au concours qui ont été 
adressés au Rédacteur en chef de ce journal, à Stockholm: 


1. Mémoire sur l'équation trinóme de degré impair x" + x =r. 


Epigraphe: Les trois nombres harmoniques élémentaires 
sont 2, 3 et 5. 


2. Nuova Teoria dei Massimi e Minimi degli Integrali definiti. 
Épigraphe: Opinionum commenta delet dies; naturæ judicia 
confirmat. 
(Cie. Nat. D.) 


3. Allgemeine Entwicklung der Functionen. 


Épigraphe: Sich selbst zu loben ist ein Fehler, 
Doch jeder thut's, der etwas Gutes thut. 
(Westüstlicher Divan von Göthe.) 
L'auteur y a joint une traduction francaise: 


Développement général des fonctions 
avec lépigraphe: Tu ne fais pas bien en te louant toi-même 


Mais tu te loues toi-même en faisant bien. 
(D aprés Goethe.) 


4. Les Fonctions Pseudo- et Hyper-Bernoulliennes et leurs premières 
applications. — Contribution élémentaire à l'intégration des équations dif- 
ferentielles. 

Epigraphe: Venient qui sine offensa, sine gratia, judicent. 
(Senèque.) 

5. Uber die Bewegungen in einem System von Massepunkten mit Kräften 

der Form ——. 
s 
Epigraphe: ‘Aziodg 6 Aóyog THe dimdetag Een. 


Euripides.) 


Acta mathematica. 11. AImprimeé le 17 Août 1888 Al 


402 Prix Oscar II. — Mémoires présentés au concours. 


6. Intégration des équations simultanées aux dérivées partielles du 
premier ordre dun nombre quelconque de fonctions de plusieurs variables 


indépendantes. 
Epigraphe: Accipe jussis 


carmina cepta tuis. 
. 


7. Uber die Integration der Differentialgleichungen, welche die Be 
wegungen eines Systems von Puncten bestimmen. 


Épigraphe: Nur schrittweise gelangt man zum Ziel. 
Avec une traduction francaise, intitulée: 


Sur l'intégration des équations différentielles qui déterminent les mouve- 
ments d'un système de points matériels, 


et portant lépigraphe: Pour parvenir au sommet, il faut marcher pas à pas, 


8. Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application 
au développement des fonctions abéliennes en séries trigonométriques. 
Épigraphe: Nous devons l'unique science 
Que l'homme puisse conquérir 
Aux chercheurs dont la patience 
En a laissé les fruits mürir. 
(Sully-Prudhomme, Le Bonheur.) 
Avec un Supplément. ? 


9. Sur le Problème des trois Corps et les Equations de la Dynamique. 
Épigraphe: Nunquam præscriptos transibunt sidera fines. 


10. Sur le Problème des trois Corps. 


Epigraphe: — — — — — — Coelumque tueri 


Jussit et erectos ad sidera tollere vultus. 


(Ovide.) 


11. Über die Bewegung der Himmelskörper im widerstehenden Mittel. 


Epigraphe: Per aspera ad astra. 


to 


Recherches sur la formule sommatoire d’ Euler. 


Epigraphe: Utinam ne nimis erraverim. 


Juin 1888. 
MITTAG-LEFFLER. 





INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÈRES. 


BAND 11. — 1887-1888. — TOME 11. 


BRUNS, H. Uber die Integrale des Vielkórper-Problems......... 


GOURSAT, E. Sur un mode de transformation des surfaces 
minima 


GOURSAT, E. Sur un mode de transformation des surfaces mi- 
DE CON TO TO LEE N need Seas een Det eai se te ualde iik Que aea eu QR sae 


HEUN, K. Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär 


: ‘ c 
E PIEULEHUN. Pünetionen o o SS EA OS. TARN ver tiet Fate ao Ee ER eec vi 


HURWITZ, A. Uber die Entwicklung complexer Grüssen in 
RO ges cm ane avon e cov iR m Fw n 


oo 
Ol <j» 
m. erkria 


LERCH, M. Note sur la fonction S(w, =, s) = 


" 2M 
dr (w + k) 
^ 


LILIENTHAL, RH. v. 
denen die Differenz der Hauptkrümmungsradien constant ist... 


Bemerkung über diejenigen Flächen bei 


PICARD, E. Démonstration d'un théorème générale sur les 
fonctions uniformes liées par une relation algébrique .............. sss 


PTASZYCKI, J. 
CM LOS soto mee CX t Potens a oS. lS 


Sur l'intégration algébrique des différentielles 


SCHWERING, K. Eine Eigenschaft der Primzahl 107 ........... 


SCHWERING, K. Untersuchungen über die Normen komplexer 


Seite. Pages. 
25— 96 
13 )—1580 


187 — 200 
19— 24 
381 —394 


395-—400 


119—120 


265 — 296 


Inhaltsverzeichniss. — Table des matières. 


STAUDE, O. Uber die Bewegung eines schweren Punctes auf 
einer Rotationsflüche. Hierzu eine Figurentafel. 


STRAUSS, E. Eine Verallgemeinerung der dekadischen Schreib- 
weise nebst functionentheoretischer Anwendung 


SYLOW, L. Sur les groupes transitifs dont le degré est le 
carré d'un nombre premier 


SÔDERBERG, J. T. Démonstration du théorème fondamental 
de Galois dans la théorie de la résolution algébrique des équations 


THOMSON, SIR W. On the division of space with minimum 
partitional area 


WEBER, H. Zur Theorie der elliptischen Functionen (zweite 


Prix Oscar II. — Mémoires présentés au concours 


CORRECTION. 


Tome 10, page 381, ligne 2, au lieu de 1816 lire 1815. 





Seite. Pages. 


303 — 332 

13 — 18 
201-—256 
297 —302 
121—134 
333— 390 
401—402 


[Nous avons le douloureux devoir d'annoncer à nos lecteurs la mort de 


notre collaborateur 


H.-TH. DAUG, 


décédé à Upsala, le 23 mars dernier. 

Daug était né le 24 avril 1828 à Gothembourg; en 1856 il devint 
docent pour les mathématiques à l'Université d'Upsala, docteur en phi- 
losophie en 1857, professeur.extraordinaire en 18635, et professeur ordi- 
naire en 1867. De 1858 à 1867 il avait presque sans interruption rem- 
placé MarMsTEN. ll a été élu membre de la Société des Sciences d'Upsala 
en 1862, de l'Académie des Sciences de Stockholm en 1875, de la Société 
des Sciences et Lettres de Gothembourg en 1878. 

Les travaux mathématiques de Daug se rapportent principalement 
aux applications de l'analyse à la géométrie. Ses nombreux élèves qui 
appartiennent à toute la Suéde lui portaient la plus sincére affection et 


conserveront avec reconnaissance le souvenir de son enseignement. 


MITTAG-LEFFLER. 








_ 





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