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University of Ottawa
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ACTA
MATHEMATICA
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A
ACTA MATHEMATICA
ZEITSCHRIFT
HERAUSGEGEBEN
JOURNAL
REDIGE
VON
G. MITTAG-LEFFLER
Fe Q cd «
Lay M Pes
STOCKHOLM
F. & G. BEIJER. *
BERLIN 1893. PARIS
MAYER & MÜLLER.
MASSE 31
A. HERMANN
CENTRAL-TRYCKERIET, STOCKHOLM.
E feu ds EX
RN IS
REDACTION
SVERIGE:
V. BäckLunD, Lund.
. GYLDEN, Stockholm.
Linpstepr, »
Mirrac-LEFFLER, »
EG BP
. PHRAGMÉN, »
NORGE:
C. A. Brerknes, Christiania.
m
Lig, Leipzig. E
L. Svrow, Fredrikshald. |
DANMARK:
J. PETERSEN, Kjóbenhavn.
H. G. ZEUTHEN, »
FINLAND:
L. LiwpErór, Helsingfors.
INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÈRES.
BAND 17. — 1893. — TOME 17.
FRICKE, ROBERT. Entwicklungen zur Transformation fünfter
und siebenter Ordnung einiger specieller automorpher Functionen...
GRAM, J.-P. Rapport sur quelques calculs entrepris par M. Ber-
telsen et concernant les nombres premiers
GYLDEN, HUGO. Nouvelles recherches sur les séries employées
dans les théories des planètes (suite et fin) .............. eene
HACKS, JACOB. Über einige für Primzahlen charakteristische
HILBERT, DAVID. Uber ternüre definite Formenu.....................
KOBB, GUSTAF. Sur les maxima et les minima des intégrales
HOUDIES RE CONTE MEMOIRE: e iss een E EE EIN s
KÓTTER, FRITZ. Sur le cas traité par M"* Kowalevski de
rotation d'un corps solide autour d'un point fixe...
KRAZER, A. Über lineare Relationen zwischen Thetaproducten
NETTO, H. Zwei Determinantens&àtze............. eere esee rre
NETTO, E. Zur Theorie der linearen Substitutionen ...............
PICARD, E. Remarques sur les équations différentielles. Extrait
dane lettre adressée à M.. Mittag-leffler...........5: ee recen nnne e ete nnno
WERTHEIM, G. Tabelle der kleinsten primitiven Wurzel g
aller ungeraden Primzahlen p unter 3000......................................
301—314
1—168
205—208
169—198
321—344
297 —300
315—320
M
.
3
h
+
NOUVELLES RECHERCHES SUR LES SÉRIES EMPLOYÉES
DANS LES THEORIES DES PLANETES
PAR
HUGO GYLDEN
à STOCKHOLM.
CHAPIPRE-TE"
Transformations de quelques équations différentielles.
Le moyen le plus efficace de parvenir aux solutions d'une équation
différentielle qu'on-ne saurait intégrer d'une maniere directe, parait étre
de la remplacer par une suite d'autres équations dont chacune s'intègre
par des procédés connus. Evidemment, la série que forment les diverses
solutions obtenues ainsi doit étre convergente.
Les transformations qu'on va donner dans les pages suivantes se
rapportent aux équations de deux différentes espèces.
D'abord nous nous occuperons de transformer certaines équations du
deuxième ordre dont les divers termes dépendent de puissances enticres
de la fenction cherchée ainsi que de sa premiére dérivée.
Le second genre d'équations que nous envisagerons contiendra des
fonctions trigonométriques, dans les arguments desquelles figure la fonc-
tion demandée.
Mais encore, puisque dans plusieures occasions il sera favorable ou
méme nécessaire de ramener une équation proposée, en omettant certains
Acta mathematica. 17, Imprimé le 13 mars 1892. 1
2 Hugo Gyldén.
termes surpassant le premier degré, à la forme linéaire, on a ajouté un
paragraphe contenant quelques remarques relativement a l'intégration des
équations linéaires. Il s'entend que ces remarques portent uniquement sur
la forme des équations qu'on rencontre dans la mécanique céleste.
§ 5. Equations du deuxième ordre contenant des puissances et des
produits de la fonction inconnue et de sa première dérivée.
1. Avant d'entrer dans les opérations analytiques voici une ex-
plication.
Supposons qu'on ait l'équation du deuxième ordre:
= Ve aj nd
dv \dv CE ) 2
2 étant une fonction connue de v, et admettons qu'on connaisse une
valeur approchée de la solution, En introduisant cette valeur, que nous
désignerons par y,, dans l'équation proposée, on obtient un résultat de
la forme:
ener) f
ou la quantité R sera appelée le reste de la solution approehée.
Le plus souvent, il y a lieu d'opérer la détermination de la fonc-
tion y, de maniére que le reste de la solution soit trés petit par rapport
à.la fonction 2; dans certains cas, cependant, il peut être avantageux
telle que le reste soit exempt de termes
d'établir une expression de ?
70
d'une certaine forme.
2. L'équation que nous allons d'abord considérer est celle-ci:
*
d^y == > = 3
(1) at Yuy + Yoy + Yosy
: i | dy
+ {Vio + Yay Yay,
À dy?
+ {Vo + Yay (a) ur
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 3
où lon a supposé les Y,,, Y,,,... des fonctions connues de v ne ren-
fermant que des constantes et des termes purement trigonometriques. |
En adoptant l'hypothèse que la fonction y soit une petite quantité
de l’ordre des excentricités ou des inclinaisons, nous avons omis les termes
d'un degré plus élevé que le troisième, bien que l'équation que présente
la mécanique céleste en puisse contenir un nombre infini. Cependant,
nous avons négligé les puissances supérieures non seulement puisqu'on
les peut considérer comme trés petites, mais encore pour une raison
moins arbitraire. La voici.
On a eu l'occasion de voir, dans ce qui précéde, qu'on n'arrivera pas
toujours à des résultats satisfaisants en abordant les approximations suc-
cessives par l'intégration d'une équation linéaire ou bien, ce qui revient
au méme, d'un systéme d'équations linéaires; mais d'autre part, on a
aussi pu constater que la solution peut s'obtenir, méme dans certains cas
impossibles à traiter au moyen d'équations linéaires, en partant d'une
équation du troisième degré. Ayant ainsi obtenu une approximation
effective, on en déduit la correction due aux termes négligés toutes les fois
que le coefficient de la troisième puissance de l'inconnue n'est pas trop
petit. Cette condition étant satisfaite le plus souvent, si non toujours,
dans les théories des planètes, il n’y a pas lieu de recourir aux équa-
tions d'un degré plus élevé.
Cela étant, admettons qu'on puisse représenter la fonction demandée
au moyen du développement que voici:
.
(2) YEN £o1)2 zh CT + Gost +...
2 dz
at (21.0 + Piaë + Aıs2° +.. Jas
dz?
+ (£o + 212. + Pare” +...) (5)
où l’on a désigné par @1, 10, --. des fonctions de v qui sont encore
à notre disposition, et par z l'intégrale de l'équation qu'on trouve si l'on
remplace, dans l'équation (1), y par l'expression (2).
4 Hugo Gyldén.
Ecrivons l'équation en 2 de la maniere suivante:
(3) +70,
da di dss
dv ' dv*’ dv?
dépend encore des fonctions arbitraires £44, vs +++; de sorte qu'on peut,
en déterminant ces fonctions d'une manière convenable, faire disparaître
les coefficients de certains termes dans Z. On peut méme, dans quelques
cas, choisir les fonctions arbitraires de manière que toute la fonction Z
devienne très petite ou qu’elle se réduise, au moins pour sa partie essen-
tielle, à un petit nombre de termes, par exemple à ;
Z sera évidemment une fonction de ‘2, et de v, mais elle
‚„de
Z=Zaet Be + Be’,
Z, étant une fonction connue de v, et A’ et 8, des constantes.
En différentiant l'expression (2), il viendra:
dy dEo. does ; dope
(4) SEN PE d Elo ATIS P SE dv
dv dv dv
dv dv (
don doi, dois. d
+ | I — Poa =F Let = [ 2902 + L fe xis ET + 2 |? SF er ^
+ fet Set pote |B)
€ d v |
de, .0
dv
+) +
/
= | Los +
d’z
+110 $2 Gist +. dem
‚de d’z
°° ‘lv dv?
cs Hin eC. - À à
Nouvelles recherches sur les séries ewployées dans les théories des planètes. 5
d'ou l'on tire, par une seconde différentiation:
d’y dy. d'en. d’oos
ON PEE E
+|— oper + [a dos | + Zen],
nia ao Teer
er
+ fers + 2 Put Ris LX
[ps De por Is) *
B E- dei, 2 |4
+ [ages + 2] ened Cr
| des 5 - de...
tact + [Opt om let. |S
+ | 521 + 6 22 tir JC dz
dv pi dv/ dy?
+ {2910 + 2¢n2 + e M3)
+ [60,0 + Moa)
dv
3 d’z
+ {Gro + Pise + 9152 Et "Jas
| dd
+h 2¢20 + 2692 + e
3 d32
2123 | dz
ne JE Ar
= z + | (=) ;
d’z
G Hugo Gyldén.
Pour arriver à l'équation (3), ainsi que pour établir les équations
il nous faut
de condition d'où se derivent les fonctions @,,, 10, ..-
encore les expressions suivantes ou l'on n'a rou que les termes jusqu'au
troisième degré inclusivement:
2
= (1 == Pos) 2° E 2(1 Eus G01) Post
d
As i20 no: 1) 91.02 SF 211.0802 + (1 a Po.) ee
dv
+ (gro + [2(1 — $01) G20 + 291993. Ja) s 26.0020 qe)
dz
gj 99 (1 e ©) 4 AF 3(1 "zm Yor) £192 7,
; 3 (de
Ar 3(1 ET Lo.) £107 (5) T eu) ,
(“ +) 2 5 dE: dpa. 5
dv j^" " dv dv ^
/d 2
Gu) =
Dr
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+2 dv (1 — Foi a dv )
+ 2[ 82 (nes + ee)" (ago +
dv
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dv
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+ {ei 0 + 2C10L11% (7 1 Hal)
d 1.0 0.1
+ |2¢10(1 go. + : )* [7 482° ee + 22.1904
dei. se) Le „de d^: d'a
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ne. [er — 0 +S) (aps + Se)
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Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 7
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+ ufr oet)
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nr {(1 — Po) £1.92 + [(1 — Po) Gia + P10P02]2° ms
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dv dv*
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+ legio + [2(1 x Pia) P3.0 == 201 01.1 )2}
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2:
Hugo Gyldén.
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24 dq. dzN*
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dos $d'z
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dpi. dg, dz d’z
3s [20 — eJ e.c Um )ea— 26 dv e dv*
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Zr 2(1 xxl 02071 sls zm Jets) B
Qu
^ d'zV*
+ (1 — go.) pur)
: d’z 2
+ :):
En introduisant les expressions que nous venons d'établir dans
‘équation (1) nous aurons un résultat de la forme que voici:
(6)
u A, 2 oF AS + Avge.
dz
is [4:2 + 44 Aue},
dz\° dz\?
+ {day + As) + A)
1°2
== s SF Bose zB Bises
re v*
| de d’z dz\? d?z
zin (B. 0 a B, 112} 7, dv: 5 i Bs. di:
, dz /d°2\°
ai {Boo ar Be + Ar MA
+ {Oyo + Coie + Css] J
P v
fe , adédia o ae SHE
zi (Cro EIS Cz ! dv dv? Ou dob 9.
EE EE sns e ————————————————————————— Q——Àá—
iunii: dt mom oe
mie. een ee eS de it Rd)
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 9
Evidemment, par la transformation exécutée, des termes se sont
produits dont le degré est plus élevé que le troisiéme; on les comprendra
dans la fonction 2.
Les divers coefficients entrant dans l’equation précédente sont donnés
au moyen des formules suivantes:
(52) Au = zu, HEEL 2 2) Con ps n
Ba, EE UTE qM ruf: — Fu + Shes) 2%,
luo nee es Fosgus + . y, dte dut
— ae) + (Te),
(7, d) a = © i + Yap + Y, (295; Fs 2 + 2Yu(1— £)£1
3 d 1.0 1 9.1
+ Yıı lc el — f +)
dei, des. d.a
— 2 Fa(1 — go + = ) > +4 s ,
dv
Lo sen PT ek
(7; e) Ay, = du de Yot2o 7 ee c : "E YT aan
+ Y(t EE Aes + Ya(1 gute)
dv
d
kim 209.3 = ma En
EG LM He VA iA a ee Yipee ela avus
ar Y, |a mp Co.) a 3 02 "e — 2 Y, m —
ur Yo a(t EE £o). EC Y, ——
+ at — pos)( Be) 5
Acta ER 17. Imprimé le 26 mars 1892. 2
(7, b)
Hugo Gyldén.
15013 = : d 1.9
2115 — — + Five Sr Y. (30s x T )
dv
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Bis 3 Yoa(1 — 91)" P10
se Vaal C — 9,1)” (: — wit de pe) ; 2(1 — Po1)Pıo "e|
à d 1.0 d 0.1 d 0.1 J
+ Ya[-2G go) prit Ht E ted n
+ 6 u
d? os, 193.1
A,, = at V1 Pa ue Y (ipis +%)
sp Jose — Poa) £23 + $1911]
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+ 3 Vent À $3) Vio
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 11
+ Yi |[— eis i an 2(1— e(t = fet equal]
dv
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101.0 don.
— (1-9, + \ gi £ “us |
dv
==
+ 69,5 + FRET ut ,
: 3.0 ' d 3.0
(nue E = + Yu$s + Y, (ps. er ) + 231030
+ E. Ip d) Lao + (gs T gro]
\
an — Pos. + 2) (eis te |
3
1.0
d 1.0
(a) B, = — gu 282 E Propos
dei r d un
(8,b) Boa = 2¢02 + 2 e + Fi Ptr Fall or) ¢1.0— 2 »fı0 7 e
d 1.2
(8, c) Dy, = 308 + 2 a Ets Yio£15
+ Y SER 3 Po) Pia == P1.0L02]
d de,
zi: :Y, | es. A == 1 d
dt Y,s(1 — Pos) £10
dg,
x =i o ere "de ?
12
(8, d)
(8, e)
(8, f)
Hugo Gyldén.
dP3.0
Bio = 3611 + IUTUITS + 24 0%20 + VAT
19.
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Ir 2 Yji[ü — $yi)tus + £1o13] = 2Y¥,5(1 =, Por) £1.
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de,
ST 2Y,(: mou = )e« + Yırfıo,
Boo = 2959 Els Yogio
B 2021 + 2 Va 0P1.0P1.1 ap Y c £01) £10»
Bi, = 6P30 + 4Yi1sg25 + Y, 121.0
Coo — Pro
à Ca = Pia
Co = Pis
Cho = 220)
Chai = 2855
Co = 393.0;
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 13
A l'aide des équations que nous venons d'établir, on parvient à dé-
terminer les fonctions £41, £19, -... Ces fonctions étant au nombre de
neuf, on peut les choisir de maniére à remplir neuf conditions en quelque
sorte arbitraires: on pourrait, ce qui semble au premier coup d'oeil le
plus naturel, égaler tous les neuf coefficients À à zéro, ou l’on en pourrait
faire disparaître un, certain nombre, se réservant les fonctions encore à
déterminer pour réduire à zéro quelques-uns des coefficients B et C, ou
du moins pour les rendre trés petits. En un mot, on peut disposer des
conditions arbitraires de diverses maniéres afin de rendre l'équation ré-
sultante (3) ou (6) aussi propre à l'intégration que possible.
Mais, en déterminant les fonctions dont il s'agit, il faut avoir soin,
premièrement, que les valeurs de ces fonctions restent trés petites du
premier ordre, vu qu'autrement on ne serait pas assuré de la convergence
des approximations. qu'on a entamées en négligeant, dans l'équation (6),
les termes dépassant le troisieme degré; et puis que ces fonctions ne
contiendront aucun terme ayant la variable hors des signes trigonomé-
triques.
Il y a lieu ici de faire encore une autre remarque. Le plus souvent,
on peut prévoir la nature de l'équation (6), à savoir la nature de la
fonction Z dans l'équation (3), de sorte qu'on sera à méme d'éliminer,
d?z
dv?
l'équation (6), cette élimination ne devant, toutefois, s'étendre au terme
E : - ; Iz
au moyen de cette équation, les termes dépendant de m et de dans
2
d
contenant = seul.
dv .
Faisons maintenant l'application des formules précédentes à quelques
cas particuliers que nous retrouverons dans le courant de nos recherches.
Dans la premiére application des formules précédentes, nous ad-
mettons que parmi les fonctions constituant les coefficients de l'équation
(1), seulement les trois premiéres soient différentes de zéro, de sorte que
nous ayons:
: d?
(10) dud Y,y + Y, + Y, = 2.
En supposant les coefficients Y,, Y,, Y, ainsi que la fonction 2 trés
petits du premier ordre par rapport aux masses troublantes, nous dé-
14 Hugo Gyldén.
terminerons les fonctions c&,;, €;,,,... de façon à satisfaire aux condi-
tions suivantes, qui découlent immédiatement des équations (7).
d? Do.1 = -
(11, a) - == Pgo = Y, — Pos
dv?
d* q.s - 1e, |
(1 its b) E S 1@10 — 2 : — == fo: 2
d Qs - =
(1 I, c) T == VTT ts Y;(1 PS Por) =F Pos;
d'gi4 7 7 deo.
(11, d) dy? his Yig; = — 2Y;(1 — Pox)L10 — 4 am PH
dim = 7-9 de, ı
(ae) doe + Piero = — Y.gi.— 2903 — i + f
, d* Pos r = E
(Y, T) p + Figos — 2X — Por) G02 — Fir P) CE
d* gis r =
(1 I, g) — is Yigis Er 2 TTE KE Pos) ra SF 91.000.)
a dos
— C -— £1) Pro SE s EIS fa
d? os, = -
(1 1, h) ; == Tq Yu => 206 | = Lor) Pan + Proial
V 2 lo...
wr 9 Y;(t gis Poa) Pi. — 69,3 — 4- =. ne Boss
: 1? Ps.0 T = =
(SN) ane + Figso = — 2¥iG10¢20— Yi
d
2918-12 = + Pao-
Comme il est visible, nous n'avons pas égalé les quantités 4,,, 4, ,, ...
à zero, mais bien à d'autres quantités 1, Ajo, ... que nous supposerons
constantes. En voici la raison.
En examinant les équations (11), on aperçoit tout de suite qu'elles
ont la forme commune:
d* 4 *
dv "e a NR
—
—
P Ro
—O———
wo TORRE amr SR MT,
Nouvelles recherehes sur les séries employées dans les théories des planétes. 15
W étant une fonction connue dépendant des Y, et des ¢ déjà détermi-
nés. Les différents ¢ s'obtiennent donc de proche en proche. Mais en
effectuant les diverses intégrations il peut arriver qu'on se heurte contre
des termes séculaires provenant de la multiplication de deux fonctions
trigonométriques ayant le méme argument. En disposant convenablement
des constantes disponibles, on fera facilement disparaitre ces termes. Rien
n'empêche cependant que plusieurs des constantes dont il s'agit n'acquiérent,
dans le courant du calcul, la valeur zéro.
Ayant ainsi déterminé les fonctions ¢, on aura au lieu de l'équa-
tion (6) celle-ci:
d?z ;
(12) 3p Bort + Por + Bos?
2 dz 3
+ {Bio + Bis? + Bas IZ + (Bro + Bur) # Bool Ge)
dz d’z dz\?d?z
+ {Boo + Bars + Bar + | Bio + Bıı2 ?] 3; dy, A 5c Bu (5) RD
dv/ dv
+1Bbo + Bad (15) Poss (Te)
p IT. d*z
[Os + Our Our) Ca Cael Ere + Coola)
dv dv dv?
= e,
où l'on a négligé les termes du quatrième degré et d'un degré plus élevé.
Maintenant, puisque Jes fonctions ¢ sont déterminées, les B, les B'
et les C le sont aussi, et on peut méme, certaines conditions étant satis-
faites, considérer les termes dépendant de ces fonctions comme connus.
En effet, si les f étaient suffisamment petits et que les ¢ fussent des
quantités du premier ordre, on pourrait écrire approximativement:
supposé toutefois que la valeur de z ne devient pas trés grande par
l'intégration.
16 Hugo Gyldén.
2
: : . digni -
En introduisant cette expression de 7,2 ainsi que celle-ci:
av
d'a ag
dv! dv bee
dans l'équation précédente, nous aurons une nouvelle équation dont la
forme est celle de l'équation (1), et on en peut déduire, au moyen des
transformations que nous venons d'indiquer, une nouvelle équation dont
la forme serait celle de l'équation (12). Mais puisque, dans la nouvelle
équation (1), les Y, seront du deuxième ordre par rapport aux masses
troublantes, abstraction faite des constantes 9, les nouvelles fonctions c,
et par conséquent les nouvelles B et C seront aussi du deuxiéme ordre.
On parvient done, en continuant les opérations indiquées, à l'équation
finale:
d'z B :
(13) a? Eis foa? == foa? + fos?
+ PT s fia + Ba)
dz\? dz\*
+ [Bao == Prat) (z) sis Ba.)
== Q,
bien entendu sous la condition nécessaire que la valeur de z trouvée par
les diverses approximations soit si non une quantité du premier ordre,
du moins sensiblement inférieure à l'unité.
. Il peut, cependant, arriver quil soit avantageux d'attribuer à
, I , D
la fonction A,, une autre valeur que celle d’une constante. Si, par
exemple, il était nuisible à la convergence des approximations succes-
sives de garder la fonction ¢,, différente de zéro, on peut la mettre, dès
l'abord, égale à zéro, ce qui entrainerait immédiatement:
Pro =O,
et ensuite:
JB =, =, 0
|
ue P cu o.
des fonctions B ,...
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 17
Par cette détermination, l'expression (2) deviendrait évidemment plus
simple qu'elle ne l'aurait été, si lon avait cherché la fonction g,, en
intévrant l'équation (11,a), mais en revanche on renoncerait à réduire le
coefficient de z à une constante. En faisant ç,, = 0 nous aurons:
PW TE Fr, ,
de sorte que, au lieu de l'équation (12), nous obtiendrons la suivante:
d* s ; :
(14) ; + rar Por?” "T Bos?”
dv?
f 9) dz
"is (Pro T: Brat T fia \- =
dv
dz
+ [Bao án fa N (5) + Bo)
+ { Bure + N T.
Si maintenant, en cherchant l'expression préalable de 7 — par l'inté-
gration de l'équation précédente, aprés y avoir omis les termes dépendant
— on trouvait une valeur de z, suffisamment petite,
on aurait d'une maniére facile la correction z, à ajouter à z,, de sorte
qu'on eüt:
&— ATA.
Mais on peut aussi opérer comme dans le numéro précédent.
En effet, si nous admettons:
w 3 EMIT. Q — Y,— ,
d'z = dO dY; -. dz
dv! dv dv 1 dv bi a
nous aurons, au lieu de l'équation (14), une autre, dont le type est celui
de l'équation (1): les nouvelles valeurs des coefficients Y y entrant ne
different de la fonction Y, ou des. constantes 9 que de quantités du
deuxième ordre. A cette nouvelle équation, on peut appliquer les pro-
cédés que nous venons de mettre en usage, et on parviendra de cette
manière, du moins dans les calculs des perturbations des planètes, à des
expressions des intégrales extrémement approchées des expressions vraies.
Acta mathematica. 17, Imprimé le 30 mars 1892. t 3
18 ; Hugo Gyldén.
Il ne faut pas, cependant, se figurer qu'on puisse pousser les appro-
ximations dont nous avons parlé à l'infini; on peut, au contraire, prévoir
qu'en dehors d'une certaine limite, les approximations ultérieures ne
contribueront plus à l'exactitude du résultat, mais qu'elles le font au
contraire écarter de plus en plus de l'expression exacte.
Cependant, ayant trouvé, par la méthode signalée, une valeur trés
approchée de la fonction z, ce qui nous donne aussi une valeur trés
approchée de y, que nous désignons par y,, il sera facile d'en évaluer
la correction.
Dans ce but, posons:
ys FH
d*y,
rs Sj
J VE LE TN 9:1
(15) Q, =-2— Yıy — Y,y — Y,n—7,
2, étant une quantité extrémement petite dont les divers termes ne
seront pas agrandis par la double intégration. En introduisant les va-
leurs indiquées dans l'équation (10), nous aurons:
G
Vy, 7 T 9 7 2
d Tt Yi + 2¥ oH + 3 Pia + V2 + 3 Pot + Foi 9»
(16)
équation dont il sera facile de trouver l’intégrale avec l’exactitude qu'on
voudra, bien entendu en retranchant, s'il est nécessaire, les termes a
longues périodes qui se produisent par les diverses approximations. - Ces
termes-là se réunissent facilement aux termes de la fonction y,.
Ajoutons encore la remarque qu'il ne sera point nécessaire de dé-
terminer les fonctions ¢ avec. la dernière exactitude. Il suffit d'en avoir
une connaissance si approchée, que les restes de la solution, respective-
ment multipliés par les diverses puissances de y,, seront de trés petites
quantités, qu'on pourra comprendre dans la fonction ©.
L'observation que nous venons de faire tout-a-l’heure nous parait
trés utile, vu qu'elle nous dispense de recherches sur la convergence de
plusieurs développements intermédiaires.
4. Concevons maintenant le cas ou les fonctions Y,,,, ont des va-
leurs trés petites à l'exception de Y,,, que nous supposons tout prés de
l'unité. Donc, en posant:
a
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 19
Tu E — Pu
la fonction P,, est une trés petite quantité: nous la supposerons de l'ordre
des forces troublantes.
En reprenant l'équation (1), nous omettons une partie des termes
du troisiéme degré, vu qu'il n'est pas nécessaire d'y appliquer les trans-
formations dont il s'agit maintenant. Quant aux autres termes du troi-
sième degré, nous les rejoindrons au produit P,,y, ce qui sera permis
en vertu des considérations suivantes.
Admettons que la partie principale de la solution de l'équation (1)
ait la forme:
y = (H) cos((1 — Qv — z],
(H)cosz et (H)sinz étant des fonctions à longue période, dont les dé-
rivées seront, dans les cas ordinaires, de l'ordre de ¢(H), mais dans les
cas exceptionnels de l'ordre de s(H)'.
En différentiant lexpression que nous venons d'admettre, il viendra:
49... (1 — g(H)sin((1 — je— z] + (A),
dv
ou l'on a employé la notation
d ((H ) sin x]
aH) 008 x] (1 zx bur iudei SR —19n
(4) m dv
La fonction (À), étant trés petite par rapport à y, on peut la négliger
dans les formules que nous allons communiquer.
Remarquons d'abord la formule
dyN?
(1 — ty? + (GY) = — 94)
et puis, en ne retenant que les termes dépendant de l’argument simple,
y= KH),
L
2
a (2) y - io — 94).
20 Hugo Gyldén.
Cela étant, il est facile de voir comment, si l'équation proposée
contient les termes
Pray’ + Bl) v | a
on peut en joindre la partie essentielle a la fonction P,, multipliée par y.
Dans l'équation (1) qu'on peut maintenant écrire ainsi:
1° dy
(17) (1 ar Py)y oe Py
: A di di da?
+ Pal a + C ]« Pu + P, 1 — py? — (23) E 9,
nous supposons d'abord, pour mieux juger de la portée de nos trans- _
formations, les valeurs des divers P telles qu'on peut les apprécier en vertu
Diss Sd).
Pas Pas Ps E),
des comparaisons que voici:
la constante 5 étant liée à c au moyen de la relation 7
a 3s
La fonction P,, seule n’obeit pas à ces conditions: en effet, si nous posons
|
|| A + P, |
l'ordre de f$, et celui de P seront donnés par les comparaisons |
B =P |
Pa Po |
|
Nous admettons encore que les fonctions P,, et P ne contiennent |
que des termes périodiques à longues périodes, que la seconde d'elles |
contient en outre un terme constant, et que les trois fonctions P,,, P, 1
et P,, dépendent d'arguments de la forme |
|
(1— o)v—B; obec.
FPS
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 21
Maintenant, si nous faisons
enr a E oe ba gu + (28) |
+ 2,6 + x] (1 NEA me
et que nous admettions encore la notation
d*
(19) dv* To—5E-- L,
il sera possible d'éviter, dans les expressions de - = et de 2 la deuxième
dérivée de E, tant qu'elle se trouve multipliée par quelqu'une des fonc-
tions e et y.
Pour former, d'une maniére aisée, la dérivée de l'équation (18),
remarquons les relations suivantes qui découlent immédiatement de l'équa-
tion (19), à savoir:
dE?
4c o] à
dv * 4 dv
(87) x a ung
"ues ans Ee aon
UPS dE \°
ala SEE (=) dB dB
i 4Q n Pr be i
Or, en différentiant l'équation (18), il viendra:
dv -
dy dE (dgor dei dE
Go) = RC PA EC S LE
= EET tin dE
+ Flo — DE + (5) LE ee — Bis Bo
a — 9e — (Gr) |
3 dE
+ 10h [aeg ae? e diga
d;
re 2%,
L,
22 Hugo Gyldén.
et par une nouvelle différentiation nous aurons, toujours faisant usage
de l'équation (19) et des formules qui en résultent,
d* d’E dCi di
CRE |S a te a
dE à i9
+ | ZU Se. ship pe — Be: «Jas
d*y,
ge | aA aes)
Vy, dy, |. 08
Fas + 4(1 —8 4 — 40 —f) 2E
+ ic — pall —ae—(Z)
dv
1L ^ dio
d v T (2 - —£u)L aS 2 — },)L?
ae 2] 2 Res ar cen — A. |E
d( , 3) dE
jur 8
à dE\dL
+ 12 206 —5 I:
Maintenant, si l'on introduit dans l’equation. (17) les expressions que
T : d d? :
nous venons d'établir de y, de E et de du et que nous admettions les
Ü
notations que voici:
(22,0) re 4 eee ar) oe HP) gat (1 Poa (I= 94)
dv’
= P, (eg == (1 > DEMI
de, , dos. :
(22, b) A, = ee — TR e (1 — P)t1.o =F (1 A Pia ein
dv” dv
+ P, (“ee —pu) + Pos
—M À€—. e ve er État ét estimer bts. L: de
— T— —
——
jacet faro mie sait, peti ne tn di
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 23
mr dy, dy;
(22, c) Ai: = a (1 — Pj) E Pie + Pros,
d? dy
(22, d) pc = 5% "A 4 (1 Ar — 4(1 ge HU rare Pix,
+ Prof at a 2 (1 —Bz|* Pj,
d’y, d; T.
(22, e) A, = TA — 4 38 ae 4(1 xr E (1 E Py),
dv
+ bue 2%, + P
il viendra:
d’E dE
(23) dy! + —A, i) E + us
E dE
LANGE DE 2s PA LT
[o E
(a ))
IL dois
+ Pu + (2% f — 901 + Papa)L + 2 (Voir Fa) de
Den
d -
2 aab — (1 — Ae — 2) + 20 — Pr + Pan |B
d(z, — 7) dB
vin 2| az, n 2 ray e == Pay, 7i) [az | E
| dE |dL
+ | ay, E+ 2(X0—%2) a | ao -—!
—Ps | (1—^—E*) er (i) |
Le plus souvent, c'est-à-dire dans les cas que présentent, à quelques
exceptions près, les mouvements des planètes, on pourrait égaler la fone-
tion 4,, à une constante et les quatre A restants, à zéro. On obtient
ainsi, les deux fonctions c et les trois fonctions y, les premières du
24 | Hugo Gyldén.
second degré’ et les dernières du premier degré. Cela étant, il est
évidemment permis de négliger, dans l'équation précédente et dans la
première approximation, les termes multipliés par P,,, P,, ou P,,, tandis
dL 2 Y
wil faut garder les termes multipliés par L et , vu qu'ils sont, à
q P p ey q ,
l'exception de
lg.
2 ecce
du troisième degré.
Mais nous verrons tout de suite qu'on aura facilement une de-
termination approchée de la fonction Z, ce qui nous permettra de tenir
compte, déjà dans la premiere approximation, des termes dont il s'agit.
Désignant par 8, H la partie constante de la fonction P, nous écrivons:
P=B,H+ P
ce qui donne:
DEB CI Berl.
Maintenant, si nous faisons:
Ava Bi eae A E eR EROR
nous aurons de l'équation (23) la suivante:
PE dL
me HO — BR KBE + £25 — Pal + M= 89,
dv?
(24)
ou l'on a désigné par M une fonction du premier ordre et tout au moins
du troisième degré, dont la plus grande partie peut être regardée comme
connue.
En retranchant l'équation (19) de l'équation (24), on obtiendra l'équa-
tion restante que voici:
dL
dv
(25) L=2+(A d-g)H—8)E—e—-4eaLb-— M.
Nous n'avons pas ici motif de considérer d'autres cas que ceux ou
la différence
P. 3 p,H — B
est trés petite, tout au moins du premier ordre et du second degré. D'un
Là ds
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 25
autre côté, nous nous dispensons d'examiner les cas où la fonction E est
plus grande qu'une quantité du premier degré, vu qu'autrement l'orbite
ne serait plus une orbite planétaire, mais bien pareille à celle d’une
comète. Mais cette présomption-la exige, dans les cas exceptionnels, que
les termes critiques dans 2 soient tout au moins du troisième degré. Par '
ces considérations, on conclut que
p
,
constitue une valeur approchée: de L. En effet, la fonction M étant
donnée au moyen de la formule
!
dE.
(26) M = (29: sr Piofio)L + 2 (y, Eat UE
/ d; 4 N
+) 2( 290 — — Bs — 2) + 206 — B, + Proms )E
l(y, — 72) dE
+ 2 (3% 4 2 = hr 2o P, (y, — 2) a |
dE | dl |
T (265 E + 2(y, le UND ZA
elle est dans les cas ordinaires une quantité du troisième degré, mais
dans les cas critiques où J, est du troisième degré, du cinquième degré.
Il s'ensuit que le premier terme du membre droit de l'équation (25)
l'emporte sur les autres, bien entendu sous la condition, que ¢, et c,,
solent des quantités du second degré, ainsi que y,, 7, et y, du premier
degré, ce que nous avons supposé, vu qu'autrement la transformation
indiquée aurait été sans succès. Mais encore, puisqu'on peut joindre, ce
dE
dv
(22,2) et (22, b), et les y considérer comme des quantités connues, la
partie restante de M sera, non seulement du troisième ou du cinquième
degré, mais méme du deuxième ordre. On peut done commencer les
qui est bien évident, les facteurs qui multiplient Æ et aux équations
approximations par intégrer l'équation
ONE 10
(27) do? te (1 Ze‘ S PAIE em 9 — 17, == Yor 9.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 30 mars 1892. 4
26 Hugo Gyldén.
En portant, dans l'équation (25), l'expression de M que nous venons*de
I , ;
signaler, nous aurons sans peine un résultat de la forme:
dL
dv '
Dans cette relation, où lon a négligé le terme dépendant de L^, on peut
considérer N et ¢ comme des fonctions toutes connues, de la méme nature
que 2 et w,,. Nous reviendrons plus loin sur la résolution d'une équa-
tion du type (28).
5. Revenons aux équations (22) En remplaçant les cinq A par
des valeurs déterminées, nous aurons cinq équations linéaires du deuxième
ordre, dont la troisiéme s'intégre indépendemment des autres, et les quatres
restantes se divisent en deux groupes formant chacun un systéme de deux
équations simultanées.
Admettant d'abord:
Aj» = ©)
l'équation (22, c) s'écrit ainsi:
d^y, / dz,
(29) ze \. B; cde cea ae Eos = — Pis.
Pour nous faire une idée de la nature de l'intégrale, supprimons les
termes dépendant de 7" et de P,,, vu qu'ils n'exercent aucune influence
décisive sur le résultat.
Cela posé, nous allons considérer un terme critique isolé de la fonc-
tion P,,, à savoir:
Pis = psn[(r — o)v — B]
où la nature critique du terme s'est manifestée en ce que nous avons
admis la différence = 3
P, ED. 20
très petite.
En introduisant, dans l'équation (29), l'expression adoptée de P,,,
il en résulte:
. sum [I Zoo —B]
47783 +BH-—20+ 0
nA © dé re Ass
—€—À
——— BÓ
ee
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 27i:
- Certes, le coefficient du sinus ne peut devenir infini, vu que la
constante // contient, parmi d'autres termes, le carré de ce coefficient,
mais il peut devenir trop grand pour étre considéré comme une quantité
du premier degré. Dans ce à pour avoir une valeur du premier
degré de y,, il faudrait égaler A,, non plus à zéro, mais bien à la fonc-
tion y,, multipliée par un facteur du premier ordre. Donc, en désignant
ce facteur par f,, nous aurons, au lieu de l'équation (29), celle-ci:
d;
(30) s ae i N f d Py = I) as P, fe c) 3 Pia
En maintenant les suppositions de l'exemple précédent, il viendra:
7 sin ((1 — o)v — B]
ho B +f +BH— 20 + 0°
d'où lon voit facilement, en considérant ; comme une quantité du pre-
mier ordre et du premier degré, que la fonction y, reste du premier
degré si la différence 5, — 20 + c" est trés petite.
Pour rendre plus facile l'étude des deux systèmes dans lesquels se
divisent les quatre équations restantes du système (22), à savoir: (22, a),
(22, b), (22, d) et (22, e), nous allons y opérer une transformation, afin
que les deux équations de chaque systéme soient symétriques, propriété
que ne possèdent pas encore les équations dont il s'agit. Dans ce but,
on peut utiliser la méthode suivante.
La forme commune aux deux systèmes étant d'abord celle-ci:
[a d’x PAP Ba me p
(31) B
A,B,C et D signifiant des fonctions connues, et p et g des constantes,
introduisons-y, au lieu de x et y deux inconnues nouvelles, & et 7,
dur pd ‘4 29r = M,
= pu EUN.
liées aux premiéres par les deux relations:
= € cos ev + 7 Sin ev, y = 7 cos ov — Ë sin cv,
>
dans lesquelles on a désigné par « une constante indéterminée qu'on
2t
oo
Hugo Gyldén.
choisira convenablement. Pour rendre les formules qu'on va obtenir plus
simples, on se servira de la notation
Ww = wv.
Cela posé, on obtient, au lieu des équations (31), les suivantes:
= A [A— 2p sinu cosu] + "bo + € 4 2p cosu?]
+ £[— 0? + B — of — 2ap cosu* + 2q cosu”]
+ [eA + D — 2op sinu cosu + 2g sinu cosu] = M cosu — N sinu,
d^7 dr
dv: Um
[A + 2p sin u cosu] — [zo + C+ 2psinu’|
+ y[— e? + B — of — 2@p sin u? Eu 2g sinu]
+ [oA + D + 20p sinu cosu — 29 sinu cosu] = M sinu + Ncosu,
et si l’on pose:
il viendra:
d? AT 1
(32) des t [A— i204 C4- p]| Te +{—o?+ B—wC—op+q—i{wA+D)O
lade d
+ pe" E + = + (— po + gje"(E — in) = Me™ + iNe".
De méme, en adoptant la notation
on parviendra à l'équation
E [4 (20 + C + p)}5 = [— o? + B— oC— wp+q+i[wA + D];
dé dz
+ pe?" (— i3 + us) + (— po + gerne ist ip = Me™ — iNe ",
— =e d eee MS
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 29
Les deux équations que nous venons de trouver s'écrivent aussi de
la maniére suivante:
= i dep Ai GTS + + {F, L^ iG, 18 2 ipe?" m. (po qe erin »
= (M + iN)e",
IOS MS ibi M
dvi + LF + iG] c IF, + iG] — ipe?" — (po — geo
= (M — iN)e-*;
done, elles forment évidemment un systéme symétrique.
Dans les équations que nous venons de signaler, on a employé les
notations
F = À; PF, =—o’? + B— &6C — wp + q;
G = 20 + C+ p; G, = oA + D.
Concevons maintenant le système que forment les équations (22, d)
et (22,e). En égalant y, à x et y, à y, nous aurons, en omettant le
petit terme du deuxième ordre 25P,,:
A= Pio; = — 3 + 48 — Pin = — 3 + 48— f, —B,H—P,
C= 4; D = 2P,4; 2p — — 48; g—0,
M = — P,;; NR
et si nous posons:
4B — Bos RH = 3p,
B sera évidemment une quantité, à bien peu prés égale à f ou à fj.
Cela étant, nous allons déterminer la constante © de manicre que
le coefficient G disparaisse. De cette condition, il résulte:
I
o — — (1 — +A)
ce qui entraine:
Fi =1—f6+ 3¢@—f)—FP; G, = 28P,,.
30 Hugo Gyldén. ise
En négligeant, comme plus haut, cette derniere quantité, nous aurons
les équations
d? 0
dv?
d 6 =
+ Piaget le Se PSE ee
EST d.e v dX 1 ,\ —45 119 E n
— 2iße (36) ER A(t Be (= ry
(125$
JL ip, e 757) ,
a>
d v*
dX =
a Pis 5 [1 = pe 340 — B) = PIS
27 di ma «d f I-
a 2 >“) de — Bi — i )e
oen
Mam hc
Examinons ce que deviennent 6 et X lorsqu'on suppose, dans 7,
et P,, l'existence de termes dépendant d'arguments critiques. A cet
effet, supposons que nous ayons:
P,Q = (y + €) cos[(1 — o)v — B],
P,, = 7 — ¢) sin [(1 — e)óé — B]
et que le coefficient s ait une valeur telle que la différence A
p— 26
Tnt ARDT PES
soit tres petite par rapport a f. 3
Or, si lon néglige les termes dépendant des parties périodiques,
c'est-à-dire de P,, et de P', ainsi que la différence 7— f, les équations
précédentes deviendront:
d* 8 / “p,— 4i ey v da —A4i =), vy
EX 4 (I — pe — ie “( 56) Er mw i (: 7^) >»
: tae
i ae x ülye to) VE gel inet (se)
23
oe (1 — gx + 2iBe (sé) Fee 2-58) 9
dv* i i dv 4i
ELE
= i[relt 9-8 4 gg aom 7^) :
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 31
d'ou l'on tire, en mettant: -
9 — — i Me te e m E ye -Ataet a1)
X = ilnel®-#-0r-2] p pelle toot zn.
les équations de condition:
n[— (3 —8—9' + 1— A) + 21 + f—2) =7,
»[— (1 — B + o)? + 1 — 8] — 28p(1 — B8 — e) =
(0)
De là il s'ensuit que le coefficient y est une quantité tres petite du
méme ordre que 7; quant au coefficient », on voit qu'il acquiert le méme
diviseur qui figure déjà dans y,. On conclut de là que l'élimination des
fonctions y, et 7,, dans un cas critique, ne sera pas plus facile que ne
l'a été celle de la fonction y,. Cependant, il ne se produira aucune
complication ultérieure de notre équation résultante, vu que les termes
dus aux fonctions y, et y, vont se rejoindre, aprés quelques opérations
faciles, aux termes analogues dans 7,, de sorte que toutes les trois fonc-
tions dont il s'agit, s’uniront dans une seule.
Venons finalement aux deux premières des équations (22). En les
comparant aux équations (31), on aura, si lon néglige le terme du
deuxiéme ordre, les valeurs
A= Pi; De i ay py de C= 2; D = Py»,
2p = — 2f; (= 18»
M = — 0.13 N — P,,.
Faisons d’abord G = 0, ce qui nous donne:
32 Hugo Gyldén.
en négligeant toujours les quantités du deuxième ordre. Nous aurons
ainsi, en omettant les coefficients périodiques, les équations
d* 0 dX
Gas FP—RB—RH-—JPBIS M P
1
: —i(1— 8)»
(3 ) = (P" + iP, »)€ ( 2 »
35 des ee
Hl — 8 BH 0 |
dv”
Maintenant, si nous supposons:
IP: au A se Tee): P wi iP, = rem eS:
v étant une quantité très petite par rapport à #, et y un coefficient
du deuxiéme ordre et du second degré, nous parviendrons au résultat
que voici:
les coefficients y et » se déduisant en vertu des équations
re AN 8 - ne A5
= ( Falle eue eh — AH GP — fe) = +,
[—(G—58+3) + ı-A—- Bub — GP + fa) n= o,
d'où l’on conclut facilement que les fonctions dont il s’agit peuvent acquérir
des valeurs trés grandes, la différence #, — f étant tres petite. Il s'ensuit
de là que les transformations que nous venons d’indiquer dernièrement
ne portent pas toujours au but proposé.
Mais si, dans un cas critique, il se trouvait impossible de faire
disparaître entièrement les coefficients variables de E et de jy» 9n pourrait
C
du moins utiliser les équations (35) pour détruire une infinité de termes
dans les fonctions /" et P,,, de sorte qu'on n'aurait retenu, dans les
coefficients doht nous avons parlé, qu'un nombre fini de termes.
——————————ÉW PR
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 33
6. Dans le cas où l'on ne saurait annuler les quantités A,, et Ayo»
ni les trois 4,,, 4,,, Aso non plus, l'équation (17) prend la forme
d(H)*\ d
: ^) +8 uO UL) =
dv / dv
(a6 $4 Ad [1 — B, A LED px Vy JE (o =D
où l'on a mis en évidence les termes dépendant de (/)’, fonction qui est
donnée par la formule
a = (1 — py? + (34).
Dans l'équation que nous venons de signaler, on a désigné par # et @
deux fonctions connues ne contenant qu'un nombre fini de termes pure-
ment périodiques, la premiére consistant exclusivement des termes en
cosinus, la seconde des termes en sinus; les coefficients p et A, sont des
constantes, le premier de l'ordre zéro, le second du premier ordre, et tous
les deux du degré zéro. Nous supposons enfin, qu'on n'ait retenu, dans
la fonction y,, qu'un nombre fini de termes.
Maintenant, si nous remplacons la fonction y par une autre z, et
la variable indépendante v, par une autre w, et que nous supposions les
relations suivantes:
ddv
z /
: en 1
14 9? ror +o”
Y =
d étant une fonction dont nous pouvons disposer à volonté, nous aurons
d'abord:
dy _ [de - 3% — [dv
dv = a Ai Ger i 2
d’z RL d^] ad s
dv! als, Pg i an ge
— f var
Te als (s di 9) A E 5
et ensuite, en introduisant les expressions obtenues dans l'équation (36):
u DIS A AUD ne ssl
du? E I + ss 1 f (1 dE a+ |
> By (Hy 2 f Dav - Q 2 f Div
rer Ua ggf
Acta mathematica. 17. Imprimé le 23 avril 1892. 5
34 Hugo Gyldén.
d(H)*
dv
doit étre considéré, le cas étant critique, comme une quantité du cinquieme
, vu quil
Dans cette équation, on a omis le terme dépendant de
degré. \
Cela étant, nous allons déterminer la fonction d& de manière que la
condition
: d? | lee
7 uu
(38) ds IE d du? == [1 =; UH p— EX en (r4 g)y rh = hp
soit satisfaite; on a employé la notation
p=(1— fe +(F)-
Jn supposant de plus que (/7)' ainsi que 7° soient des quantités du
deuxième degré, nous aurons, vu que d est évidemment une fonction a
longue période dont la seconde dérivée est une quantité du second
ordre et au moins du second degré, la relation approchée:
Dia
+4
Si l’on introduit cette expression dans la formule
dy
any = (1 — py? + (2)
2 Qj mes
= (1 =p) (1 + (=) (rs g)'e
il viendra:
(HM)? AS que dm '
et l'on prévoit aisément que l'erreur de cette relation ne surpasse pas
une quantité du quatriéme degré.
En utilisant la relation trouvée, et en établissant les notations
?
jon Ho 4 a 2 2 f av
LT Eu: PE Tes
on parvient, eu égard à l'équation (38), au résultat que voici:
d’z
(39) ;+(1—- A — Bsn°)e + fx = (2).
du?
ee EEE TEEN eh en 0 RN AU
-
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 35
Telle est l'équation qu'il nous reste à intégrer; mais avant que de
nous occuper de cette tâche, revenons à l'intégration de l'équation (38).
Si l'on écrit la dite équation de la manière suivante:
d? — B, fov 5
uo) A + N = An +9)
2 qu
eus 35 Are + 4)?
on pourra tout de suite, aux termes du membre de droite, appliquer les re-
lations approchées entre [Pde et f, et entre (/7)* et 7° que nous venons
d'obtenir tout à lheure. Mais puisque les fonctions @ et ¥ sont don-
nées au moyen de v, tandis que la variable indépendante de notre
équation est w, il faudrait d'abord changer la variable d'ou dépendent
les arguments. Cependant, la différence v — u ne contenant que des
termes périodiques, on peut mettre, tout simplement, # au lieu de v
dans les arguments de la forme
ov + À,,
le coefficient v étant une quantité du premier ordre et, dans les cas cri-
tiques, du second degré.
En effet, si nous admettons le développement
2 | Ddv
es =a, + a, cos(7,v + A,) + a, cos(%v + À,) + ...,
qui est nécessairement convergent, même si Ji Ddv est une quantité de
l'ordre zéro, et que nous y posions:
pz U,
nous aurons immédiatement:
2 f ddv - =
e =a, + a, cos(o,u + A,) + a, cos(o,u + À,) +...
— {0,a, sin(o,u + A,) + 0,4, sin(o,u + À,) +...JU
— [eia cos(a,u + À,) + oa, cos (ou + A,) + ...}
T EU.
36 Hugo Gyldén.
d'où il est visible que les parties dépendant des puissances de U sont
peu considérables relativement aux termes de la première ligne, la fonc-
tion U étant considérée comme une quantité de l'ordre zéro.
En calculant la fonction U au moyen de la formule
7?
Ddv
[EN
T — =
t la T9)
— I I,
on ne saurait éviter la naissance d’un terme séculaire, ce qui ne doit
pas, cependant, se produire. Il ne sera pas difficile, toutefois, de se mettre
à l'abri d'un tel inconvénient. En effet, il ne faut qu'ajouter au membre
de droite de l'équation (38) une constante, v, qu'on peut choisir de facon
à détruire le terme séculaire dont nous avons parlé. :
Maintenant, aprés avoir établi la notation
uj cou a+W,
où la fonction W ne renferme que des termes périodiques, nous mettons
l'équation (40) sous la forme
|
(dv
E + 3a(t = Bichat Zr |
fon
+ 3(1—A)W + Vcr joe #1) —
2f Or fon
PORC JET
TOES ie sie a
Quant à cette équation, il s'entend facilement, sans qu'il soit nécessaire
d'entrer dans les détails, comment on opére son intégration au moyen
d'approximations successives. J’ajouterai l'observation que, selon l'hypo-
these, les fonctions 7°, (H)' et ¥ ne contiennent que des termes à longue
période ou bien des termes constants: un tel terme passera évidemment,
sans être essentiellement agrandi, dans l'intégrale de l'équation (40).
—————————————
^ pie —
"-
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 37
7. "Toutes les fois qu'il s'agit d'un cas critique, l'intégration de l'équa-
tion (39) est, comme on le comprend à la premiére inspection, extréme-
ment difficile. Nulle espérance d'en treuver la solution sous forme d'un
développement, ni suivant les puissances des forces perturbatrices ni
suivant celles des excentricités ou des inclinaisons. Mais il parait méme
manquer toute possibilité de retrancher directement, de l'équation dont
il s’agit, quelque partie de manière que le reste soit convenable à l'inté-
gration, tandis que l'influence de la partie retranchée soit assez petite
pour étre négligée d'abord. IL faut done recourir à de nouvelles trans-
formations.
Pour préparer un peu le terrain, posons:
2=4 + 4,
ce qui changera l'équation (39) en la suivante:
€ dz
l'a, | |
Fut +7 FO — 2, — Bea Fa) + Bar = (2).
Puisque l'une des fonctions z, et z, est entièrement arbitraire, nous pouvons
50
la déterminer par l'équation
1
P32ı = P:
ce qui entraine:
dz, %
Ta + (tA, — fan) = (2) —G—8)2 4
Toute la partie à droite est connue: selon notre supposition, (4) est
une quantité du troisième degré, si le cas est critique, et on s'aperçoit
facilement que les termes critiques dans la somme
a’
(1 = AR + as
sont aussi des quantités du troisième degré.
Il parait à la première inspection que l’équation en z, est bien simple;
néanmoins son intégration présente de très graves difficultés. Afin de
38 Hugo Gyldén.
les aplanir, nous allons remplacer 7? par deux nouvelles fonctions, 7, et
x,, dont la seconde soit connue. Dans ce but, posons:
& — 5 cos[(t — o,)u— B,— Al; 4 = 4, cosiit— 2)u Br}
7, cosz, et y, sinz, étant deux fonctions connues. Nous admettons en-
suite, ce qui est d'accord avec la supposition d’un cas critique, que la
différence e, — e, soit extrémement petite, de sorte que l'on ait:
2
0,4001 ER0 n,
hypothese a laquelle nous ajoutons la suivante:
B — 20, 2 BP — 20, $ a7’.
Avant d’aller plus loin, voici quelques relations entre les fonctions
dz, . dz e^
ORE md NT 5 a d'un côté et 7,; 7%» 7 de l'autre.
d
Après avoir fait, pour abréger:
(1 —o,)u— B, =f, ; (1 —o,)u— B, = f,,
D cael Se a Br
Mo COS Ty — Lo 3 7, COST, — By;
% NT, = b, ; 7, sinz, = h,,
lg, : a ; dg, dh, —
cosf, du + sinf, du (A) cost, dv i f, dv (A
nous aurons:
l ;
E = — (1 — a)», sin E, + (A);
js,
= = — (1 — 0), &nF, + (4).
Les fonctions (A), et (A), étant ordinairement du premier ordre et
du premier degré, dans les cas critiques même du troisième degré, on
peut, le plus souvent, les négliger à côté de y, et y,. Il y a cependant
des formules où l’on doit, inévitablement, les retenir.
ee u MR o
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 39
Cela étant, il sera facile d'établir les formules que voici:
a, = g, cosf, +h, sinf, ; au xp Go mU SE — 0) conf) + (A),
da: —. :
(1 — 0,)g = (1 — 0,)2, cosf, =a, An f, + (A), sinf,,
; dz
(1 —o,)h, = (1 — 0,)4, sin f, + d, COS f, — (A), cosf,,
ate dz,\* dz, :
(1 — agi = (1 — ay'à + (Ft) —222 (a). + a
ainsi que des formules toutes semblables donnant g,, h, et 7}.
En désignant par w la différence
Bee le = a eit 4 — B, + T, — 71
nous aurons ensuite:
dz, dz, : c
(1 Pe B)4,4 + qu du e CL cos w + (f= 20 + Fy) No sin F, San E
= a x 2, (2), sin BM —e)(1)y7 sin F,]2- (4 (4);
dz, dz, AUS :
(1—0){2, Wei IS —(1— )5,7, sinw + (8— 20+7+0,0)7,7, sin F, cosF,
—(B— 2e— c 4- ,0),*, eosF, sin F,
nS (1 por 2)((). 9 cos F, C (4) eus F, ^
où l'on a employé les notations
ay d. 8x D
D; —,
2 2
Nous ajouterons encore quelques relations qui nous seront utiles
prochainement; les voici:
709 cos W 4 (u + h,h,) cos (f, EF i zs (hog, E g,h,) sin (f, a f)
709 sin Ww = (22 + h,h,) sin (f, ne. ) y (bg, Fer g,h,) cos Gg c )
1 1
40 Hugo Gyldén.
ou bien: |
me" = (gg + bh, — hs — gh)jet.
Nous allons employer, plus loin, la notation
D DE
il conviendra alors de se rappeler la relation
En vertu des formules que nous venons de signaler, il sera main-
tenant facile d'établir la suivante, où l'on a négligé les termes du pre-
mier ordre, ce qui convient à l'usage que nous allons en faire,
7 = 95 + yi + 2909 COS W.
En portant cette valeur de 7’ dans l'équation en 2, que nous venons
de donner dans le commencement du numéro présent, nous aurons, aprés
avoir établi la notation
Bt
g — (9)—( — Bx — 24
B, du?
l'équation suivante en z,:
d'z, 2 2 /
(41) du? eI {1 =P; = Ps + 2701. COS W d 71)) ^e = v.
8. En partant de l'équation (41), il y aura lieu de supposer le
développement que voici:
4, = U, + U, cos w + U, cos 2w +...
+ T, sinw + T, sn2w 4 ....
De cette forme, il découle immédiatement: |
- da, Lo [d Us AU |
um x lan cosnw + j, Sn di
: dw
+ > I— nU, sinnw + nT, cos nw];
L
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les AEN des planètes. 41
dw
du
5 dw\?
n*U, cosnw + n?T, sin nw | ( —
ET De LA + J (=)
y f U si T d’w
+ >) {—2U, sinnw +n n COS WW]:
En introduisant, avec le développement admis de z,, cette expression
de la deuxiéme dérivée dans l'équation (41), il en résultera:
d*U 2 :
dut Se (1 n — fim Tr 71)! U, — [77 Ui = 2,
d*U, (dw * : 5 dT, dw , d’w
EIE m cn (=) — Psy a 2) DE ern T, du
— [9 U, a U,) “= 9
T. ar 3 5 „au dw d’w
a. “ul — (+) f Gro + jn — 2 7 du Uus
— Bn Ts = 0,
d*U, dw dT, dw d’w
er A J Lita
du? V | : Pi : OR) — fs Gs if 7) dE jur du 3 ? du?
— Bin (U un U,) hos
ar, dw dU, dw T a’w
du + | I = (a) — fs Gp a MT: == du du 2 U; du”
ve UU AH SE T.) 1.0;
Ces équations, deux formant toujours un couple (a l'exception des
trois premières), on peut les réunir dans une seule équation du second
ordre en -posant: |
Z, =U, + i.
Acia mathematica. 17. Imprimé le 27 avril 1892, 6
49 À Hugo Gyldén.
Le type général des équations qu'on obtient ainsi devient:
d'Z, dw . dw dZ, .d^w
(42) POLE | boo fi MU (m) — Bari i 7)|2 Se dudu m qe Zu
du?
— Bm (Z-ı = 72) == O;
et de cette équation, on en peut tirer une autre, que je tiens pour la plus
convenable aux recherches sur la convergence du développement pro-
posé pour représenter la fonction z,. Afin d'y arriver, posons:
in(w—1
7 = Caen v).
n n
En introduisant $ au lieu de Z,, dans l'équation précédente, il viendra:
°C, 2 (day? mS ‚dd d£,
ane —Á (5.) — fps + m). — 2n y" du
ia
—i(w—42Üü i(w—d2Üü
— Ber nr el 0:
Mais puisqu'on a:
i(w--V) __ .
709€ = Egi 1+ h,h, HE i (hg, Le 8h)
Ne = gp, sr lie eh;
Gips.
2T
dw o M
l'équation demandée prendra la forme que voici:
0%
(43) mt | I m — an’ — Bm + vi je — 4int Te
= fs(gogi E hohe "p Cu) = if, (hogy — HE Tx o
De cette équation, deux choses sont faciles à conclure: d'abord, que
les fonctions £ ne peuvent aucunement devenir plus grandes qu'une
quantité du premier degré, vu que 7, contient les carrés de tous les coeffi-
cients dans ces fonctions; et puis, que les fonctions dont il s'agit, lorsque
devient si grand que le produit #7 surpasse l'unité, décroissent de ma-
niére à former une série convergente.
Pour corroborer cette dernière assertion, négligeons la fonction &,,;,
et supposons qu'on connaisse ¢,, dont la valeur ne saurait surpasser une
"uec
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 43
quantité du premier degré, ainsi que les expressions approchées de
mo ne ep De
Concevons maintenant un terme ‘du second membre, désignons-le par:
i
ye Fe
et négligeons la partie périodique de 7 + i. En vertu de l'équation
précédente, on obtient facilement l’expression suivante du terme demandé
dans €, la voici:
ny 2
ye"
(s = — — ed
oF pans — 1 + 8, — 4nd + PH, + H,)
Par H, + H, on a désigné la partie constante de 75 + 7.
Certes, le coefficient 7 est une quantité du premier ordre et tout au
moins du troisième degré, mais il peut être affecté d'un facteur tres grand,
dont la valeur n’atteint pas, cependant, celle de n. On a toutefois obtenu
un résultat qu'on peut considérer comme très petit, même par rapport à
une quantité du premier degré. A partir d’un tel résultat relativement
à C, la convergence des fonctions 6,1, &42-.. sera évidemment tres
rapide.
‘9. Pour le calcul effectif de la fonction z,, la méthode dont nous
venons de faire l'exposition n'est pas suffisamment aisée, vu qu'elle exige
des approximations successives et en méme temps renouvelées. Nul doute
qu'on ne puisse en tirer, en employant certains procédés de tàtonnements,
des régles pour calculer les coefficients dans la fonction demandée, mais
dans le cas où il ne s'agit que d'une solution approchée, on peut atteindre
le but d'une manière plus directe.
Reprenons l'équation (39), et admettons-y le développement
(44) 2= VE VE, +...
Bus et nous desenons par, (0,10, ED, pla ade: s 2-7 deR
constantes encore disponibles, du premier ordre et du second degré, liées
entre elles par les relations suivantes:
pue um aso qe qeu...
x gor pm qo pe oe;
y RSS RA Met Melle) je de eie subo CH 3
44 Hugo Gyldén.
l'équation (39) peut se remplacer immédiatement par le système que voici:
Va: (mei Ol)
du”
tbe
—
av,
du?
+ (1 EE fh rem I) VY, = (B^ = I») I f.
sc De ducenti,
(45) à ER (go DV, = OM,
P37
EE BGT (hn? py = IOV 1
Du développement (44), on tire facilement la formule
(46). 7? =(1 BNP + Vit... +21 PRE a ey, Vy.
lee : dry .dV,dV, , _ dV, dV, |
“ie ext n EPA me ee Ro
| du du ^ du i
à l'aide de laquelle on peut intégrer le système (45).
Voici la marche à suivre: .
Las première des équations (45) s'intègre tout-de-suite; seulement,
la constante / n'étant pas encore déterminée, les coefficients du résultat
contiendront cette quantité comme symbole algébrique. La fonction V, |
étant connue, du moins quant à la forme, on établira la fonction 7° en
mettant:
2 / 2 av)"
=(1— AV —*).
P= 0 AVI+ (GS
En passant, avec cette valeur préalable de 7”, à la deuxième des
équations (45), on aura d'abord l'occasion de déterminer la partie /\” de
19. Le but qu'on a poursuivi avec cette arbitraire, est évidemment de
rendre la valeur du second membre de cette équation aussi petite que |
possible. Le plus naturel est sans doute de mettre:
DE
H étant la partie constante de 7’, mais une autre détermination peut
QE ee
oe
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 45
quelquefois se présenter plus favorable. Quoi qu'il en soit, la constante
1, renferme la partie 8,H, mais peut encore contenir d'autres termes.
Cela posé, on détermine la fonction V,, ce qui est maintenant très
facile; on aura ensuite une nouvelle détermination de 7°, avec laquelle
on pourra renouveler l'intégration de l'équation en V,, et on sera arrivé
à la troisieme des équations (45).
Il s'agit, avant tout, de la détermination des constantes I) et 4.
Le principe général du choix des constantes / est toujours le méme: c'est
de les déterminer de maniére que la somme des termes du membre à
droite soit la plus petite possible, et que la réapparition dans les divers
V, d'un certain argument soit évitée le plus possible.
Au fur et à mésure qu'on avance, dans la détermination des fonc-
tions V,, le nombre des constantes à choisir devient plus grand. Donc,
plus l'indice de la fonction cherchée est grand, plus on aura des constantes
à sa disposition pour modeler convenablement le second membre.
Mais ce qui est indispensable, c'est que les constantes /, P, ..
renferment le terme f,/1.
De la maniére indiquée, on peut déterminer les fonctions V, de proche
en proche en renouvelant, autant qu'il sera nécessaire, le calcul dés le
commencement.
Mais contre le mode du calcul indiqué tout à l'heure, on pourrait
faire la méme objection que nous venions de signaler, lorsque il s'agissait
de la méthode du paragraphe précédent. L'inconvénient dont nous avons
parlé tient à ce que les équations (45) sintégrant de proche en proche,
ne donnent pas, immédiatement, la valeur compléte de la fonction cher-
chée, mais qu'on est obligé de recommencer le calcul, chaque fois q'une
nouvelle valeur de 7°, plus, exacte que la précédente, a été atteinte.
Aprés avoir introduit l'expression de 7° selon l'équation (46), on évitera
cet inconvénient en changeant la répartition des divers termes connus sur
les différentes équations.
En faisant:
HOO BE
on reconnaitra facilement l'identité de la somme des équations suivantes
avec l'équation (39):
46 Hugo Gylden.
dev, ; i
xh p HE
d* mn : dV?
du^ + (t= Am BA), = At — AV; + e A | V.
9 dV, id
—A | — Vi + (Se) Lx
= a ev:
Tut ra — f — f N, = FAR == 3) P. T I — ujr,
(47 ; oP
a At — AV} + = 4 2(1—8)V V,
dV, av, “BR
Fe : ud du AR, E en
dV
Al x ae V) t C)
dV, d V, |
etc. + 2 me
Pourvu qu'on ait calculé les fonctions précédentes, les seconds membres
des équations (47) sont immédiatement connus, abstraction faite des fac-
teurs dépendant de la constante H.
Quelquefois on pourra opérer les approximations encore plus avan-
tageusement en remplacant le systéme précédent par celuici:
= + P, IC ave (WE) en i |. ce
+ TT |o -AVi+ (7) + H— ur. = al B)Vi+ ies ) Ir
(48) nn HIB “A, AV e) CHE: ]"- = alo —aris +) -ur
+a 1—f)Vo+ (=) - — H Jr +28, ic — BV, V, + = Cay, N LAESA
LV, dV, dV,
—f, | = — DT eel end |
ie BE ar ( a y +2((1 B)V, A + Em d ir
etc.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 47
C'est surtout lorsque les fonctions (2) et 7 sont restreintes à ne
contenir, chacune, qu'un seul terme prépondérant que l'emploi des équa-
tions (48) se montre extrémement favorable. En effet, dans ce cas les
=) et (1 = y Ja (< Ye
fonctions (1 — AV; + ( +
[2
constantes, du moins à des fonctions où les parties variables sont très
"s ) se réduisent à des
petites par rapport aux parties constantes, de sorte que les deux premicres
fonctions s'obtiennent presque immédiatement.
I
8 6. Equations avec termes trigonométriques dont les arguments
dépendent de la fonction cherchée.
1. L'équation fondamentale que je vais traiter dans le paragraphe
présent, est, quant à son type, une généralisation de celle que jai exa-
minée dans mon mémoire de 1887, et dont l'intégrale donne l'expression
des grandes inégalités des planètes.
L'équation générale dont il s'agit contient des termes de deux genres:
les uns dépendent des anomalies des planètes ou des arguments astrono-
miques qui les remplacent, les autres ne renferment, dans les arguments,
que les longitudes des périhélies et des noeuds. Les termes du premier
genre contiennent encore, dans les arguments, la somme de toutes les iné-
galités multipliée par un facteur de l'ordre zéro, tandis que cette somme
ne figure, dans les arguments des termes du second espèce, que multipliée
par un coefficient de l'ordre des forces troublantes. Les termes du second
genre donnent naissance aux termes élémentaires se réduisant à des con-
stantes, lorsque les masses troublantes s'annulent.
Dans mes travaux précédents, j'ai considéré séparément ces deux
espèces de termes, et j'ai réussi d'assigner une limite supérieure aux
inégalités dépendant des anomalies. De là, on pouvait méme conclure,
du moins dans le cas de deux arguments, la convergence des dits termes,
vu que la suite de leurs limites supérieures se montrait convergente.
Quant aux termes élémentaires, il ne fut pas possible, ni de dé-
montrer leur convergence, ni d'en obtenir la valeur avec une exactitude
illimitée. .Seulement, dans les cas les plus faciles, on a pu calculer,
d'une maniére bien simple, les coefficients de ces termes, et on a obtenu
48 Hugo Gylden.
des résultats qui, on peut l'admettre, ne sont pas trop différents des
valeurs exactes.
Dans les recherches suivantes, on a considéré les deux genres de
termes simultanément, ou bien: on a eu égard aux termes de la pre-
miére espèce, en formant l'équation différentielle d'ou s’obtiennent les
termes élémentaires.
En désignant par s,,5,,... des nombres entiers quelconques, que
nous pouvons d'ailleurs supposer positifs, et par 2,, À ,... des quantités
dépendant .de ces entiers ainsi que des rapports entre les mouvements
moyens des arguments astronomiques, enfin par les symboles a, , 6,,...
des quantités aussi dépendant de nombres entiers et d'arguments astrono-
miques, mais seulement d'une manière telle que les divers o ne renfer-
ment que les rapports des mouvements des apsides et des noeuds au
mouvement de l’argument v, de sorte que les o sont de l'ordre des forces
perturbatrices, nous allons considérer l'équation du deuxième ordre:
(1) tsi sn(G, ST) ee ANUS
les fonctions X, et 4, étant données au moyen des développements
26 m A, sin(G, + s T) + A, sn(G, + $T) +...
nd
to
EL
pe ioe : iT
+ {Aj sin(G, + 5s T) + Ajsin(@, + s T) + iube
(3) 2. = a, sin A, + a, sim A, 4 ....
1
Dans ces formules on a encore admis les notations:
G — 22,0 + Dr
H, = 6,0 + bis
n
et on a désigné par A,, 4,,... des coefficients du premier ordre et
d'un degré quelconque, tandis qu'on a supposé les coefficients a, ,@,,...
du second ordre et au moins du second degré. Les B et les à expri-
ment des angles constants.
I] ne sera pas, cependant, nécessaire de considérer simultanément
tous les termes de l'équation (1), vu que la plupart d'eux n'exercent
=
dtes
e
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 49
qu'une influence insensible, les uns sur les autres. Tous les termes de
nature à ne pas sagrandir n'offrant aucune difficulté à l'intégration, on
peut les calculer séparément. Ce sont seulement les premiers termes du
développement X, et celui que nous avons mis en téte du second membre
de l'équation (1) ainsi que ceux dont les A sont trés petits, et en par-
ticulier les termes devenant élémentaires qui demandent à étre considérés
ensemble.
En ne considérant que les termes dont les À décroissent, les À corres-
pondants forment une série dont la convergence est extrémement rapide.
De méme, en mettant de côté, dans la fonction 2, les termes dont
les o n’acquierent pas de valeurs diminuant de plus en plus, les a restants
forment une série trés convergente.
Done, en ne retenant, dans les fonctions X, et 2, que les termes
exercant une influence sensible sur les résultats d'intéeration dus aux
autres termes, ainsi que ceux qui deviendront, eux mêmes, trés grands,
les développements (2) et (3) seront très convergents.
Si les fonctions X, et 2, étaient égales à zéro, on aurait iminé-
diatement l'intégrale de l'équation (1). En désignant par Z, ce que
devient 7 lorsque les dites conditions sont remplies, et en posant encore:
la fonction Z, sera donnée au moyen de l'expression
= A 2K
G, +52, = 2 am — (Av + B,),
x
d'ou il résulte:
r ( : I TUE. 3
So cs —“4 sin G, + e u 26 ep sus.
Ne 2,1. q
On a supposé, toutefois, que la valeur de A, soit différente de zéro,
ce qui entraine toujours une valeur du module inférieure à l'unité. En
effet, le module étant déterminé par la condition
2K a
ee
T À,
cette équation admet toujours, si le second membre a une valeur finie et
positive, une racine positive inférieure à l'unité.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 25 avril 1892.
-1
50 Hugo Gyldén.
Cela étant, nous faisons:
DT
= ce mim
9
En substituant cette expression dans l'équation (1), et en retranchant:
PY, on =
du — — A, sin(G, + $Z,),
aprés avoir développé suivant les puissances de V, le terme mis en
1
évidence dans l'équation mentionnée, nous aurons:
2S » É : 2K 2
mer s, A, cos 2 am = (Av + B,)V, + 5,4, sin 2 am T (Av + B,)V}
2 2K
See En t
25,4, cos 2 am —
. 3 ce
(Av + B)Vi—...—2(X, + 2),
ou bien, si nous remplacons, moyennant la relation
la variable indépendante e par £:
(4) = + k* cos 2 am £V, — k’sin 2am E Vi — ; cos 2améVi-+ ...
ee x 0
ou l'on a posé
ju (er ; C= (3) 9.
; De NDE u QAUM
P d
En utilisant l'équation que nous venons d'obtenir, il faut évident-
ment exprimer les fonctions X et 2 au moyen de la variable £, ou bien,
si l'on a recu l'intégrale sous forme d'une quadrature, restituer la variable
v sous le signe js
2. L'équation en V, à laquelle nous sommes parvenus, appartient
au type de l'équation (10) du paragraphe précédent. On peut donc
— » métrage Ret 43 ds oai dd Dat p pati
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 51
y appliquer soit la transformation aboutissant en l'équation (12) du dit
paragraphe, soit celle dont le résultat prend la forme de l'équation (14).
Je préfère la premiere.
En faisant:
Y, =k’ cos2amé = — (2k? sn £' — k*),
la forme générale des équations (11) sera:
d’on.i
d=
PE (2k? sn &' — k’)e. = Wins
où lon a désigné par W,, une fonction toute connue dont les diverses
expressions sont données par les seconds membres des équations (11).
L'intégrale générale de l'équation que nous venons de mettre en
évidence, s’exprimant au moyen de la formule
&(5 | E,
st a
d
dne as JW dn &d£,
(5) Pri = Chi dné + c;,d
nous allons considérer les divers cas correspondant a différentes valeurs
des indices h et i.
D'abord, nous faisons:
\
W,; = k*cos2 an £ — f,
d'ou il résulte:
f Wa dn dé = [/(&* cos 2 am £ — f,,) dn &d£.
Maintenant, pour éviter tout terme ayant la variable £ pour multiplicateur,
on doit annuler la constante f,,. Nous aurons de la sorte:
= I
if W,, dn £dé =; k? sin 2 amé
et ensuite:
es a f Wa dn €dé = ái
de facon que notre résultat sera:
Gor = Con dné + 1.
1
E
.
52 Hugo Gyldén. |
Pour faire disparaitre, dans l’expression- de ¢,,, le terme constant,
: DK ; |
il faut remplacer la constante surabondante c,, par — — ; il en résulte: |
exis
2K
6,a Por = I — — dn €. |
( ; ) Pon = $ , |
Avec cette expression, il sera facile de former l'expression |
4
; CU QU E ENS
Won — 2k?(=*) sn&ené + Bio
“(8 a 1
d'ou nous tirons, aprés avoir égalé la constante A. à zéro, le résultat |
que voici: |
wach 2K |
f W,, dn£d£ — — (S ) dn é?,
c TT
1
1
Aprés avoir opéré la seconde intégration, nous aurons:
a > .
dé 7 JE 2K fo =
dné | —3 [n » dn €d&é = — (— J£ dn
| ane. 1.0 SS al” $5 |
résultat qui parait, au premier coup d'oeil, en contradiction avec nos :
suppositions, puisque le facteur £ est sorti hors des signes trigonométriques.
Cependant, si l'on fait: [
|
$ 5 2KK
En 0: Co = > !
1.0 1.0 - E i
les termes semiséculaires se détruisent, et nous retiendrons
PU ME 751
voz HE Oe) ote
(6, b) Pi (
Pour déterminer la fonction c,,, rappelons-nous qu'on a: “|
Y. = — k2sın2ame.
I] résulte de la qu'on doit adopter la valeur zéro de la constante f,,,
ainsi que l'expression
Woo = aie (
n
| dnZ sn €cné.
At TES ee 2 Ua u iique i
-
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 53
En introduisant cette valeur dans l'équation (5), on aura tout de suite:
6(é) , E
6 (€) 3 x*|
— (*) dn & fan "dé. .
Gon = Cor dn € + 63 dn 3
Mais, puisqu'on a:
I s AST v =
dné DI d£ + Ke
il viendra, si nous faisons;
A 2K
Co. = 95 ul)
, la formule que voici:
E d log 8.8)
+ - ! K a) K\?
(6, c) Qo = C ) dn pun Ag = — 3 (=) snécné.
Cherchons maintenant la fonction £13
En vertu des expressions que nous venons de signaler, nous obtenons
facilement celles-ci:
,
sin 2 am €;
2() ga 23d log 6,(8)
= 2 a(l — ¥o1) F100 = E ns dz
— 4 == (C) {2 dn£& — (1 + &'?) dn},
dont la somme, à laquelle il faut ajouter la constante A donne la
fonction W,..
Examinons d’abord l'intégrale
-/2K\°K d log 6,(é "
A= —4(2*) y | e ER ane
On obtient immédiatement
A K 24 d’log 8,(2) =
== E TS Dr Mc He
,
ijt, 2K\’K, dlogO(é) , (2K\
ne dou ume. X
54 Hugo Gyldén.
d'ou l'on tire, en considérant la formule
Lk? E , d*log6,(&)
dn £& (dus de :
le résultat:
LL a Ra SCC GN EY IG ) ee. JEUN CIC N.
A zu US (=) j Ans +- ki” (=) = | dn £ de — ea J dn £ de.
En ajoutant à cette expression la suivante
nous aurons:
: f W,, dnédé = A -- B 4- f, fan Ede.
Cela étant, nous designerons par Uf? et U,” les termes constants
dans les développements de dn&? et de dné*, de sorte qu'on a:
E
LE x
2 E I
UNE Ban Ig
feta
-
7
2K
de la constante f, satisfasse a l'équation de condition
or, la partie constante de dn£ étant égale a , il faut que la valeur
2K\°| k ,2 K 2 (1 k?) Ue vol a Sh
CP DE E V T 35v RE —
autrement la fonction ¢,, contiendrait des termes séculaires.
En introduisant, dans l'équation que nous venons de trouver, les
, b
valeurs indiquées de Ui” et Uj?, on obtiendra:
fa = ©.
Ags ant ainsi fixé la valeur de la constante f,,, on aura sans peine
la fonction ç,, sous forme d'une serie ne contenant que des termes en
cosinus, vu qu'on peut toujours par une détermination convenable de la
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 55
constante surabondante €,,, faire disparaitre, dans le résultat, le terme
constant.
La détermination de la PR, €», Sopere tout-à-fait en procédant
comme nous l'avons indiqué dans ce qui précède. Il suffit de remarquer
qu'on peut égaler la constante f,, à zéro. La raison en est que la fonc-
tion W,, ne contient que des termes en sinus. Telle est aussi l'expression
de g,,: car, aprés avoir choisi la constante c;, de manicre à faire dis-
paraitre les termes semiséculaires, la dite fonetion sera représentée par
une série ne renfermant que des termes en sinus.
On pourrait aussi se servir de la formule générale
ein Je 2n — I f2n—2 Je
f dne à de — = = = 0, a?) fang dé — ke J ‘dng en qe
I d(dn wh
2n(2n + 1) dB 7
qui sert à développer les diverses intégrales de proche en proche.
Il nous reste à chercher les fonctions qui multiplient les termes du
troisieme degré.
D'abord, puisque nous avons:
7: 2 2 »-
Y, = —-k*'cos2 amË
3 ,
3
il est aisé de trouver l'expression suivante
AN t 2,4/2K 3
Ws = zu =; (sin 2 am &)’dn&+ SE ( =) cos2amédné + Hs
4 ,
= — 2 Sy sng? en &tdn £ + © =i (== =) (12 sn né*) dn £° + fos,
\
ce qui entraine:
DIR
HE OR EEE ES
Avant tout, je vais montrer que la partie constante de cette ex-
pression s'annule de soi-même, de sorte qu'on aura:
Pos = 0.
56 Hugo Gyldén.
A cette fin, remarquons la formule
T(6 3 4242 3 LD E 4 P .12
Uo -[io HE’ — oh eat ale),
U étant le terme constant dans le développement de dn£. En in-
troduisant, avec les valeurs de UF et UT? données plus haut, l'expression
que nous venons de signaler, nous aurons:
ce
US N Be kUS + k?U® =o.
Done, la partie constante du développement de la fonction W,, se détruit.
En conséquence du résultat que nous venons de trouver, il faut qu’on
égale à zéro, la constante f,.. {
Du fait que la fonction W,, ne contient que des termes en sinus,
il s'ensuit que la constante A,, aura aussi la valeur zéro. On en conclut
encore que toute la fonction ¢,, s'obtient sous forme d'une série ne con-
tenant que des termes en sinus.
Quant à la constante f,,, le calcul en serait trés compliqué s'il
s'agissait d'en mettre en évidence l'expression algébrique. Mais puisqu'il
n'importe que trés peu si la constante dont il s'agit est trés petite ou
exactement égale à zéro, nous nous restreindrons à ne considérer que la
forme de la fonction e,,.
in inspectant l'équation (rr, h) du paragraphe précédent, et en se
rappelant la forme des fonctions .Y,, Y,, &oı , 95, , Los €t 915, il sera Aise
de voir que le produit W,, dn£ est représenté au moyen d'une série en
cosinus. En déterminant la constante A,, d'une manière convenable, le
terme constant disparaitra, de sorte qu'il résultera, pour représenter la
fonetion oO, un developpement ne contenant que des termes en cosinus
puisque le terme constant peut étre détruit au moyen de la constante
surabondante c,,.
Finalement, en abordant la détermination de la fonction ¢,,, on
comprendra tout de suite que la constante A,, est nulle, et que la dite
fonction s'obtient sous forme d'une série en sinus sans terme séculaire.
3. Ayant determine les fonctions ¢,,,¢,.,... de la manière que
nous venons d'indiquer précédemment, et aprés avoir introduit dans l'équa-
tion (4) l'expression
|
!
1
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 57
3 | dV.
y, = (1 — 91) % zb 90 ge + 9,5 T1 ee,
nous obtenons:
se I EDU UE cs
ou oe
Sk qe xi
le symbole
py ee So (AT ,
"E 37 Ce
signifiant une suite de termes très petits, du deuxième ordre, qu'on re-
connaîtra facilement en considérant l'équation (12) du paragraphe pré-
cédent.
Maintenant, si nous ne retenons qu’un seul terme de X, et que nous
posions:
X, = A, sin(@, + 8,7) + 4, sin(G, + s, T) +... + Aysin(G, + ST),
nous aurons:
d^ V. :
ue — ? A, sin(G, + s, T) — (X, + 2, + X).
Mais, puisqu'on a:
2 > DIE dy
T = 2, ae ad a et ae ttt)
l'argument du terme que nous avons mis en évidence s’écrit de la ma-
niére suivante:
: 2E! dT.
2\v + 2B, + 2 (1 — Pos) Li + 5,2 Fr ER
dv
En developpant, suivant les puissances de
208, ds ere
"o
le sinus de cet argument, aprés l'avoir mis sous la forme d'une série tri-
Acla mathematica. 17. Imprimé le 17 mai 1592. 8
58 Hugo Gyldén.
gonométrique, le résultat sera toujours convergent, et on pourrait méme
démontrer que le terme constant ne surpasse pas l'unité. Pour plus de
détails, il suffit de renvoyer le lecteur à mon mémoire »Untersuchungen
etc.» p. 241.
En supposant que la fonction V^ soit une quantité tout au plus de
$3
5 I . Ss A . A Ors frame.
l'ordre de —, le produit 201, peut toujours être considéré comme
0
une quantité trés petite du premier ordre, vu que la fonction g,, s'évanouit
avec k?, c'est-à-dire avec les forces troublantes. Il en est de méme du
ave 22 Oh Um dy, . \ . . \
produit TDR PU 353 pourtant, si À est trés petit relativement à À, ce
o So He
produit est notablement moindre que le terme dépendant de ¢,,. Dans
le cas d'une orbite intermédiaire, le rapport — est toujours peu considérable
, À ’
0
d'où lon pourrait tirer l'autorisation à omettre, dans la premiere ap-
d
dv
due à ce fait n'étant pas essentielle, je n'en ferai pas usage. En revanche,
jintroduirai pour abréger l'écriture, les notations
1
proximation, le terme dépendant de Cependant, la simplification
2 2: Qoi = duis
E20
2 gm
1
Derek gp 7 dio
0 0
de sorte que nous aurons:
2 I I d T I
m [7 " . "2
T=Z,+ a Um B der Qu T, + Do al ey Poot +...
"o E =) “a
Cela posé, l'équation en # prend la forme suivante:
Uy 8 5 Sir 8, : T ^
"ut — — A sin (G, E 22 5) —5 A, cos (6, +2 V [s Z, — Part +
ai 0
2
dv 2 \ 8,
t 152 A, sin(G, + 2? V. sz —— e ep UE
1.22
—2(X, T 2, TB Y)
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 59
En examinant les divers termes du développement signalé, on s'aperçoit
facilement qu’on en peut retrancher une partie telle que les termes restants
deviendront indépendants de l'argument G,. Pour mettre en évidence
la partie dont il est question, posons:
de =? (7, + 0,),
et admettons en outre la notation
h h
payee Sat Pella soy
oe .. 4.4
les h étant les parties constantes des puissances paires du produit s,Z,.
5 1220
Enfin, nous designons par /,,,/,,... les termes constants dans les dé-
veloppements de dé, dio, ---
Maintenant, si nous etablissons l’equation
+
jT Ld Y m ?0 = Y m\m?
(7) os = — AP, sin (G, + 5,T.) + a aid, SD (GS 2,07 -E s
Para
dZ,
dv
Ge CT dE
+ A, sin(G, + 5,2)
l'équation d'ou s'obtient la fonction 4, sera celle-ci:
d* $, "m . m 7
(A aies [s À, cos (G, + s, T,) — s, A, sin(G, + s, T, )[s, Z, — ...] —...} 4,
4 ya ; ; 8,
—— A; sin(G, 4-5, Z,) xi —A, cos(G, +s, 7,)(s, Z,— = dT, t.)
I esie pear
La raison d'introduire le symbole [], se comprend facilement. Il
nous sert, tout comme dans le paragraphe 1 du premier chapitre, à trans-
férer certains termes d'une équation à une autre. Nous pouvons de la
sorte admettre que les termes acquérant, par lintégration, des diviseurs
moindres que A, c'est à dire les diviseurs A, ,A,,..., soient rejoints
à l'équation (7) tandis que ceux qui ne deviennent pas trés agrandis
se trouvent réunis dans l'équation (8) Ainsi, la fonction 7, ne dépendra
plus de l’argument G, ou d'arguments de la forme iG, + ?G,, i et ?
60 Hugo Gyldén.
étant des entiers tels que la difference iA, + iA, ne soit pas trés petite,
c'est a dire comparable à A.
Mais, puisqu'il y a toujours certaines valeurs des nombres i et ?
qui rendent la différence iA, — i'A, aussi petite qu'on voudra, il sera in-
dispensable, pour délivrer la fonction 4, de termes assujettis à devenir
trop grands, de les transférer à l'équation (7). Au reste, ces termes dé-
pendant d'arguments qui sont déjà représentés dans l'équation (7), on
pourra les réunir avec les termes correspondants de cette équation.
Quant au premier terme du second membre de l'équation (8), on
peut aussi le considérer d'une manière trés simple. En effet, ce terme
ne dépendant que de largument G,, on en tient compte par une légére
inodification des coefficients du développement de la fonction Z,. A cet
égard, il me faut renvoyer le lecteur aux formules que j'ai données dans
les »Untersuchungen etc», p. 237, et dont j'ai fait, dans le mémoire
présent, un fréquent usage.
Cela établi, il est évident que la fonction 4, est une quantité du
deuxiéme ordre, et que ses divers termes sont multipliés par quelqu'un
des facteurs 4, , A,,...; son développement, convergent en méme temps
que celui de 7j, s'obtiendra sans difficulté essentielle. Il ne nous reste
1
done qu'à chercher le développement de la fonction 7|.
4. Concevons en particulier le cas d'une orbite intermédiaire, où le
nombre des arguments est restreint à deux seulement. On comprend
aisément que la fonction 7^ reste toujours trés petite, tout au plus de
I : : d.
l'ordre de —, et que la fonction 2, n'existe plus. Il est donc évident
dT,
dv
trés petits par rapport au premier terme du second membre, et qu’on peut
les considérer au moyen d'approximations successives. En négligeant,
te
que les termes de l'équation (7) qui dépendent de amd ig ... sont
d'abord, ces termes, ou plutôt, en les réunissant avec la partie X,, on
retient l'équation
ale NAE ;
(9) dq: = — A,P, sin(G, oe Sy, nA d 9, ].
Mais la forme de cette équation est précisément celle de l'équation (1), à
l'exception de ce que la partie [7,, ®,] figure à la place de 9,; on peut
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 61
donc réitérer les opérations qui nous ont conduit aux équations (7) et (8),
procédé duquel découleront de nouvelles équations du même type que
celui des équations citées. On aura ainsi le système de résultats que
voici:
d n
Jm = Poot er |,
T -— Z, T T, zug (ie Do 5 + Pro
v9 [m = Z 47, + 0 + El gun + ente emn + eh
d'où l'on tire, en ajoutant les diverses équations:
(11) T=Z, +2 +2, +...
+ 0, + 0, + 0+...
d 75
dv
I : d Tq,
tet — qo, + qm Le
1.0 dv Pi
I .
+ Bx Mem doi + da
w
En vertu des résultats que j'obtins relativement aux nombres s,, s,, ...
lorsque, dans mon mémoire de 1887, j'établis la série dont il s'agit, il
se comprend immédiatement que le développement de la premiére ligne
de l'équation précédente est convergent.
Quant à la série
(UNES m
qui n'a pas été mise en évidence, dans mon mémoire cité, je remarque
qu'on a:
D ii als
les coefficients f étant des quantités tout au plus de l'ordre zéro, mais
le plus souvent trés petites. Mais, puisqu'on a, dans le cas intermédiaire,
62 Hugo Gyldén.
(voir l'introduction du mémoire que je viens de citer), il s'ensuit que
la série dont il s'agit jouit au moins de la méme convergence que celle-ci:
8; A, SA,
74,
8 ale 8 gh
0 1 E
E Me
En considérant maintenant que la forme générale des coefficients À, est:
vin = MES
M, étant un coefficient du premier ordre, et ¢ une quantité moindre
que l'unité, il sera clair que la convergence de la série que nous venons
de mettre en évidence est celle d’une progression géométrique.
Finalement, en considérant qu’on a:
PRE AS
9,9. fe
on se convaincra facilement que le développement donné sur la troisième
ligne de l'équation (11) est convergent. Car, si les sommes des dé-
veloppements entre les parenthèses ne forment pas, en elles-mêmes, une
série convergente, ce qui cependant ne peut arriver que sous conditions
spéciales, les dites sommes appartiennent du moins au méme ordre de
grandeur: la convergence dont il s'agit est done nécessitée par les fac-
I . ; . . .
teurs —, —,.... Pour mieux élucider les diverses circonstances qu'on
8i Sy
doit considérer, en faisant la conclusion indiquée sur la convergence,
voici quelques remarques.
En regardant plusieurs termes critiques qui, considérés isolément
font prendre aux modules des valeurs peu différentes de l'unité, ces va-
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 63
leurs deviendraient sensiblement amoindries si on les évaluait simultanément,
c'est à dire en considérant l'influence mutuelle qu’exercent les divers termes,
les uns sur les autres. Cela est visible par la présence des facteurs P.
La convergence des développements
d
— d.i V, + Pio Ste en. et;
étant difficile à démontrer généralement, on peut s'en dispenser, vu
qu'il n'est pas nécessaire d'introduire un nombre illimité de fonctions d.
Il suffit, en effet, de faire disparaitre les premières puissances des fonc-
tions V,, V,,... ainsi que leurs premières dérivées: les termes non éli-
minés (dont la convergence s'ensuit immédiatement), ainsi que les termes,
à nombre limité, dépendant des fonctions B,,, D,,,... etc. [voir: l'équa-
tion (12) du paragraphe précédent] se réunissent aux fonctions ¥,, Y,, ....
On se rappelle que l'équation (7) contient des termes dépendant de
l'argument G, qui ont été négligés dans l'équation (9), à savoir: les
termes provenant des produits 77sin(@ + s, 1), ete.; il sera facile de
réunir à la fonction Z,, la partie de 7,, due à ces termes. En effet,
si nous considérons une équation du type de l'équation (4), aprés y avoir
négligé les termes dépendant de V2, de V3, etc., et que nous omettions
la partie élémentaire, nous aurons:
re
we
= 8 T NS
+ ki cos2amé,.} =F ( ) X-
= 27?
Or, si nous admettons, pour revenir au cas envisagé,
CA
x = ern 4
bh14Tisn2ameé,
ce qui est le terme le plus essentiel dont il s'agit, nous aurons:
d* V,
dg + kj cos2amé.V, = eens T? sn &, en €,.
On tire de là, en utilisant une formule bien connue,
6, (£,)
61(6,)
s.l Fe
, A dn & | 2 sn&, en&, dnäde..
"=
2
e, dn& + c, dn & d
64 Hugo Gyldén.
Par cette formule, il est aisé de voir que la partie de V, que nous
venons de considérer, est une quantité tout au plus du même ordre que
le produit
Inn ky .
2
si
elle est, dans les cas qui se présentent à l'ordinaire, une quantité du
cinquième ordre par rapport aux forces perturbatrices Quoi. qu'il en
soit, la partie considérée est assez petite relativement à la fonction Z,; et
puisque les termes semiséculaires qu'on a introduits par la double inté-
gration, se détruisent, en déterminant d'une manière convenable la con-
stante c,, la fonction V, ne contiendra d'autres termes dépendant de
largument G, que ceux qui se réunissent à la fonction Z, sans la mo-
difier sensiblement.
Par des considérations analogues, on se convaincra que ce que je viens
de dire relativement à la maniére de tenir compte du terme de la forme
dZ,
dv ?
A; sin(G, + s,%)
est légitime, et que le méme raisonnement s'applique aussi aux autres
termes de la même forme.
Ayant ainsi examiné les différentes parties du développement (11)
de la fonction 7, et les ayant trouvées convergentes et dépourvues de
tout terme renfermant la variable hors des signes trigonométriques, on
conclut que le développement dont il s’agit reste en vigueur pour toute
valeur de la variable indépendante.
5. Si, contrairement aux suppositions précédentes, la fonction qui
figure dans le second membre de l'égalité (4), renfermait des termes
donnant lieu, par l'intégration, à des termes élémentaires, la manière
d'opérer que nous avons poursuivie précédemment cesserait d'étre appli-
quable. La raison en est qu'un terme dont l'argument a la forme simple
H = où + b
peut devenir, dans le procédé d'intégration que nous avons envisagé, telle-
ment agrandi que les termes dépendant de Vj et de V1 dans l'équation
(4) ne seraient pas négligeables par rapport au terme qui se trouve mul-
RO
t e
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 65
tiplié par la première puissance de V,. Il nous faut donc, pour arriver
à un résultat effectif, opérer l'intégration de l'équation dont il s'agit d'une
autre facon.
A cette fin, reprenons l'équation (4), et commencons par y faire entrer
quelques modifications, du reste peu sensibles.
D'abord, nous en retranchons le terme dépendant de la partie con-
stante de Vi, terme qui se réunit immédiatement avec la fonction Z,.
Or, par cette opération, on ne parvient plus à déterminer le module
conformément à l'équation signalée dans le n° 1, mais bien à employer,
à ce but, la relation
2KYV*, 9 — 8,4, 4h, 16h, \
(=) k = (1-4...)
h,,h,,... étant les parties constantes des fonctions Vi, Vi,.... En
ne considérant que la première puissance de la constante /,, l'équation
(4) prendra la forme suivante:
+ (1 + 2h,)k? cos 2 am &. V, — k* sin 2 am £(V1 — h,)
(12)
ln cos 2 am Ë. Vi = — © ( = (X, +82)
Maintenant, pour rendre l'étude de l'équation (12) plus aisée qu'elle
ne l'est en conservant la forme primitive, introduisons, au lieu de V,
une nouvelle fonction z, de maniére que la partie essentielle du terme
dépendant de sa première puissance disparaisse dans l'équation trans.
formée. On y parvient en admettant
y = 2x dn é.z.
1 7
7
Puis, pour éviter le terme dépendant de la premiere dérivée de z,
ou du moins, pour en faire disparaitre la portion la plus considérable,
Acta mathematica. 17. Imprimé le 19 mai 1892, y
66 Hugo Gyldén.
introduisons une nouvelle variable indépendante « dont la relation à
la variable & sera donnée par la formule
E
dn w’do,
HE
E étant lintégrale elliptique complète de seconde espèce.
Certes, on aurait pu faire disparaitre aussi le terme dont jai parlé
tout-à-l'heure, en utilisant la méthode du n? 3 du paragraphe précédent;
mais je préfére, dans le cas actuel, l'emploi du moyen que je viens
d'indiquer.
Cela étant, on déduit immédiatement les formules que voici:
ASK Bande, e
am c ux quae cd snécné.2},
dE .2K G ? dn é dz (e) k'sn © en o dn £ Kk'snéen£]dz
de ^ m = dn o* dw’ K | dn o? E dne* xl do
- — k* cos 2 am & dn &.2,
en vertu desquelles l'équation (12) se transforme en celle-ci:
DUN "als | (==) k? sin 2 am w (= (s k'sin2am £4 ;|2K dz
(13) ( ) dw’ T dnw T ) 3 dn 2 2 | z dw
T
a
2 2
+ 2h, (=) (5) k? cos 2 am € dn w*z
2K /K\?k? sin2amé 5 (= : Be
(5) e nt quum | =) dn € h,
E
7. 4 / 2
() (7) k?cos2 am &dn&?’dn w*z°
Hi ao. UN Car = RE
- zs) Ge +9)
CE
! On a écrit, dans cette équation, (=) (X + 2) au lieu de (X + 2).
Nouvelles recherches sur les séries employées daos les théories des planètes. 67
Mais il faut qu'on remplace partout, dans cette équation, la variable
X par son expression en w. A cette fin, rappelons-nous la relation
E d? log 6
diari Détente)
ce qui donne:
K d log 6 6(o)
= (0
: tz E do ,
ou bien:
" z | 44
== —: in -
e o SH RU 38 x? t; z Hin 2-— got:
Puis, en mettant:
2K 2K
= — 0 wo = —u,
pid 7
et en considérant les développements
== H— 49 + 159° — 329° + 769° —....,
spa t4q— 40 — 329° + 449 +.
d'ou il s'ensuit:
TR CET 2 Ae 1
epe ISIN VE MET ae
' Le développement que nous venons de donner dans le texte, s'obtient directement
de la manière suivante,
En observant qu'on a:
SNE ts ub ROME 8q 16q°
(=) dni = (=) TU oic ed t gx ee DER
et d'autre part:
2
(S) dn? = (1-; —- ye ) (E) = 5 &() cos 2 am £,
T T 2 T
nous allons introduire, dans la seconde de ces expressions, le developpement
2 2K : 2 2 4 32q°
k =) eds 2am € = — 32q'(1 + 2q° + 49 a) a RS
68 Hugo Gyldén.
on obtient:
2in(r—u)
e = 1 — 16n°q°
+ 8ingl1 — (7 + 8n?)g?] sin 2u
— 32n'q? cos 24
+ Sing” sin 4u + 16n?q? cos 4u + ...,
n étant un entier quelconque.
De cette expression générale, on déduit les formules suivantes:
cos 22 = — 49 + 449° + (1 — 124?) cos 24 + 4q cos qu + ...,
sin2æ = (1 — 20q°) sin 24 + 4qsinqgu+....
cos4% = 249° — 8q cos 2u + cos 4u + ...,
sin 4r = — 8qQ sin 24 + sin 4u + ...,
qui nous serviront à exprimer tous les coefficients de l’équation (13) au
moyen de l'argument w.
Par la théorie des fonctions elliptiques on parvient facilement aux i
développements que voici:
2Kk’sin2am& 16q
sin 2x Seek
T dn & 3 ed: ?
ZEN: : 167 (Sd s
(=) k? sin 2 am € dn £ = er 2% + : 1 PASS) ı WE S ear
Tv
Nous aurons ainsi:
DIRE, li SN ATEN - ^ 5 ^
TT
=
Mais, puisqu on a (JAcoBI, Fund. nov. p. 105):
it |
NATION A " |
G-ie( ) = 1 + 2497 + 249° + 969° +..., |
il viendra:
= I + 89° — 8g* + 324^ — ...,
d'où lon tire, aisément, la formule signalée.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 69
2
2
(=) k* cos2am& = — 32q'(1 + 2q° +...) + 167 COS 2%
1 — q°
324*
+ ; gr COS 4 se
(=
2
) dng? = 1 + 84 — 8q +... 4
ry 2
16«
+ pam ess
I-—
e k*cos2am &dn &' = 32g"(1 + 29° +...) + 16q(1 + 99°) cos 2x
+ 964! cos 4x,
où nous allons introduire les expressions de sin27,.., obtenues tout-à-
l'heure. Il résulte de la sorte:
2K k?sin2amé
c dn &
= 16q(1 — 1947) sin 24 + 644? sin qu + ...,
/2 3
(=) k* sin 2 am £dn £ = 16q(1 — 514?) sin 24 + 128q° sin qu + ...,
\
(=) k? cos 2am £ = — 969° + 13444* + 16q(1 — 2747) cos 2u
+ 964* cos 4u,
(AE) ‘ang? = 1 — 249° + 6964* + 8¢(1 — 279°) cos zu
+ 484? cos qu + ...,
(=) k* cos 2am £dn £? = — 324? + 2496q° + 16q(1 — 5147) cos 2u
+ 160g? cos qu + ....
Finalement, puisqu’on a:
(=) dn'o* = 1 + 489° + 2409° + 16q(1 + 1797) cos 2u + 644? cos 4u+...,
70 Hugo Gyldén.
on formera aisément les expressions que voici:
K\* si E ;
(=) a ee diene 16q(1 — 34?) sin 2u + 128g? sin4u + ...,
T dn £
2K re E. 4 2 4 2
(=) k* cos 2 am €dnw* = 324? — 14729° + 16q(1 + 59°) cos 2u
+ 224q° cos 4u + ...,
(=) k? sin 2am £dn £dn o* = 16q(1 + 299°) sin 2u + 2569? sin 4u +...
Mou NES
eo i dno = 16q(1 + 2947) sin 24 + 192q’sin4u+...,
[a
T
B k? cos 2 am Edn &' dn w* = 969? + 17284* + 169(1 + 774^) cos 2u
+ 2889? cos 4u +...
Ayant obtenu ces développements, on aura immédiatement, en les
introduisant dans l'équation (13), celle-ci:
d’z : ; dz
7, + [1924? sin 2u — 128g” sin AU} Te
au
(14)
du
+ h, 644? — 39689° + 32q(1 — 1147) cos 2u + 4489’ cos 4u}z
— {16q(1 + 134?) sin 2u + 256g” sin 4ulz*
q 3
— (9697 + 1929° + 16q(1 + 6147) cos 2u + 2884” cos 4u}2°
= — h,l16q(1 + 1397) sin 24 + 1929? sin 4u}
MEE CS (1 — 164?) amo: (X + 9).
T dn £
6. Apres avoir établi l'équation (14), il nous reste à la transformer
au moyen d'une substitution convenable, de maniére à débarrasser les
divers termes des facteurs trigonométriques. Cette transformation dont
la théorie générale a été exposée dans le paragraphe 5, s'opére dans
notre cas tout simplement en adoptant l'expression
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes.
(15) = y — 4q(1 + 134?) sin 2u.y? — SIC + 6147) cos 2u.y°
— 164? sin 4u.y* — 164! cos 4u.y°
+ 4h,q(1 + 1347) sin 2u + 8h,q(1 — 1147) cos 2u.y
+ 12/,q* sin qu + 284,4 cos qu.y
— 8q(1 + 1347) cos 2u.y S 2 8q(1 + 6147) sin 2u. y!
dy B dy
2 . 2 a 3
— 16q COS 4u.y 7, + 24q° sin 4u.y "m
On en obtient par différentiation:
16 : ;
m on 8q(1 + 1347) eos 2u.y* + 3,20 + 6147) sin 2u.y*
— 649° cos 4u.y* + 644? sin 4u.y°
+ 8h,q(1 + 1347) cos 2u — 16h,q(1 — 1147) sin 2u.y
+ 48h,q* cos qu — 112h,q° sin4u.y
+ 8q(1 + 1347) sin 20.2 dy + 8q(1 + 6147) cos 2u yt
d Vu 3c aw
Ries dy 2 2 dy
+ 329 sin 4u.y 7^ + 48q° cos 4u.y Tu
+ {8h,q(1 — 1147) eos 2u + 28h,q° cos qu]
d 2 d*
— [8q(1 + 1347) cos 2u + 16g? cos 4u] (à) ES I:
ES 8g (1 =e 619°) sin 24 + 24q? sin zu] 24 4
dy?
2y (54) TEAM
12 Hugo Gyldén.
et puis:
d’z d'y
du* du*
+ 16q(1 + 139°) sin 2u.y’ + ETC + 6147) cos 2u.y*
+ 2564q sin 4u.y? + 2569? cos 4u.y°
— 16h,q(1 + 139°) sin 2u — 32h,q(1 — 119”) cos 2u.y
— 192h,q’ sin 4u — 448h,q° cos 4u.y
s : l
— {32h,q(1 — 119°) sin 2u + 224h,q° sin qu}
i dy\* | d^
+ {24q(1 + 1347) sin 2u + 96g° sin su} (S5) am "e|
du?
+ {249¢(1 + 6147) cos 2u + 1449" cos qu] ay (Se) + jd |
+ [8h,q (1 — 1147) cos 2u + 28h,q° cos qu]
U
dy ay
3 du du? y du
da? dy d*y d’y
2 ( ) "Oy raus Uni
du du du?
— [8g (1 + 1347) cos 2u + 16q° cos 4u]
+ 189 (1 + 619?) sin24 + 24q? sin 4u!
\ q j
On obtient encore:
2° = y! — 8¢(1 + 1347) sin 24.9? — 329° sin 4u.y°
+ (8h,q(1 + 1347) sin 2u + 24h,q° sin 4u]y
— {16q(1 + 1347) cos 2u + 329? cos qu] 22. |
Avec les expressions que nous venons de signaler, on déduit de
l'équation (14) la suivante, ou l'on a omis les termes surpassant le qua-
ER EN ; OW HO IE. : à RS
trieme ordre et le troisième deere, la dérivée = étant toujours considérée
= au
comme une quantité du premier ordre et du premier degré:
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 73
d*y 4,3 4
ma + 2048q'y — 3072q'h,y
CC 2 dy
+ [1929° sin 2u — 1289 sin 4u} >
+ 8.644? sin 2u (y? —h,) + Gad co 2u.y*
— [1924? cos 2u — 649° cos qu] hy
3 dy $ 2 NER
— 8.644? cos 2u.4 35 + (20.644? sin 2u + 1284? sin 4u]y a
— [329(1 + 547) sin 2u + 2244? sin 4u}h, E
dy? d’y
(2) iH Ya
ly? 1?
+ {24q(1 + 619°) cos 2u + 1449° cos4u}l an.) hs ya
dy d*y d^y
du du du?
+ [244(1 + 1347) sin 20 + 969’ sin 4u!
— {8q{(1 + 1347) cos 2u + 16g? cos au}! 3
+ {8q(1 + 619’) sin 2u + 249° sin QE (E) +6 VR zi py
V du du? du
+ {8q(1 — 1147) cos 2u + 2897 cos 4u}h, =
=— (A) — 169) F(X + 9)
2,
ou bien, en rassemblant les termes multipliés par a) et en négligeant
encore certains termes sans importance,
ES jt + (249 sin 2u + 969° sin 4u)y + (24q cos 2u + 1444? cos 4u)y?
d
7,8 5 d : : dy
du |- (24q cos 2u + 489? cos 4u) 5" + (484 sin 2u + 144q* sin qu)y 7,
+ 20484*y? — 3072q4*h,y + 5129? sin 2u(y? — h,)
en [244 sin 24 + 964? sin (9) — 8q cos 2u y T
RE (=). (1 — 169 joe (€ 4.9).
Acta mathematica. 17. Imprimé le 21 mai 1892. 10
74 Hugo Gyldén.
Arrivé à cette équation, nous la multiplions par:
1
{1 + 244 sin 2u.y 4p ...] = 1 — 24qsin2u.y + ...;
puis, en considérant que les termes essentiels à facteur trigonométrique
2,
: di à
de l'expression Ta sont ceux-ci:
au“
d'y —
: dy\?
quoe 2 d
= — i in 24(y° — h,) — 249 sin 2 ie
du? SURGE (y 2) fel u = d
d'ou l'on tire:
d'y : 5 ET
—, = — 10244 cos 2u(y^ — h,) — 48q cos 2u( 7- ) — ...
da? 41 (y ») Tod du, :
nous introduisons cette valeur dans l'équation dont il s'agit. Maintenant,
si dans le premier membre, nous rejetons les termes du deuxiéme ordre
dépendant d'une fonction trigonométrique, termes qui en effet sont trés
peu sensibles, il en résulte:
d^y Je 2 dy 2 "m ei c d*y
ce) OMR ceed I Dod (3) y + 249 sin 2u( 5") — 8q cos 2u.yj du?
= = : dn o*
-—-() (1 169?)(1 24q sın 2u.y + Jane + 9),
équation dans laquelle on a toutefois négligé, parmi d’autres termes aussi
quelques-uns dépendant de la troisième et de la quatrième dérivée de y.
En supposant que y soit finalement exprimé au moyen d’une suite
: . AN ; ge 5 dy\ °
de termes trigonométriques, il est visible que la fonction (25) renfermera
€
un terme constant, nécessairement positif, du méme ordre que la somme
des termes périodiques. En ne considérant, dans une premiere approxi-
mation, que cette partie constante, on parvient à un résultat de la forme
1? |
T — By — — Q, |
du? |
„N
=
“NI
SS
3
dr
' En formant une nouvelle expression de —, il faut évidemment rejeter le terme
du
8 2 Zu
Trac OS == a
A n 2i)
2 no
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 75
où 5, signifie une constante positive du quatrième ordre par rapport aux
forces perturbatrices, et @, une suite de termes trigonométriques qui
s'obtiennent en développant l'expression
2K dn o*
"e cam — 16q°*)(1 — 24q sin2u.y +. Jang + 2).
Les transformations que nous venons d'opérer ont fait naitre, dans
l'équation résultante, quelques termes de nature particuliére, à savoir des
termes qui ne sont multipliés ni par une fonction trigonométrique de
la variable indépendante, ni par quelque autre fonction de cette variable,
mais lesquels se composent de deux facteurs, dont l'un est fonction des
coefficients constants entrant dans l'expression de y et l'autre fonction de
y et de sa première dérivée. Ces termes — je les appellerai termes à
facteur horistique ou, plus brièvement, termes horistiques' — sont dans
la théorie des mouvements des corps célestes, on l'entend aisément, de la
plus grande importance: en effet, la présence des termes de la nature
envisagée rend convergentes et, quant au résultat numérique, limitées, les
solutions des équations différentielles, tandis que, sans eux, le procés
d'intégration pourrait aboutir à un résultat divergent.
Cependant, les coefficients constants des termes dont il s'agit n'étant
que trés petits, l'influence qu'ils peuvent exercer est, à l'ordinaire, peu
sensible, et le mode de calcul des inégalités planétaires devient, dans la
plupart des cas, presque le méme que celui qu'on a employé dans les
théories antérieures. Pourtant, si la période d'une inégalité est trés longue,
et surtout s'il s'agit du calcul d'un terme élémentaire ou de la détermina-
tion d'un terme de libration, la forme plus compléte de l'équation diffé-
rentielle que nous avons mise en évidence, lemportera sur celle qu'on
obtient en négligeant, dés le début, les termes d'un ordre plus élevé
que le premier.
7. Il s'est montré, dans ce qui précede, que les coefficients des
termes à facteur horistique sont du quatriéme ordre par rapport aux
forces perturbatrices: venons maintenant à l'examen des termes analogues
provenant de l'équation (12), si l'on y ajoute l'expression
! Öptazindg, tenant à i limite, qui termi
Optattxoc, appartenan ee qui limite, qui ermine,
1
a
Hugo Gyldén.
ug. aT
x E sin (G, + CE DES
hea ar
— 31, 4e sin (G, + S)
Faisons d'abord:
ce qui nous donne:
lé 8, , .2 2K\* . Eee
X => pk G sin (G, + 5,T) 7
et considérons les formules
2 2
I RYAN 7 y
dZ 2K
$,3— = 2(— dn & — 1);
9 dx ( T e ) ?
l'expression de X prend alors la forme que voici:
(18) 9, (= = dn —1) =
| De AN
Ses sin 2am £, V2 — 44? 2%) cos2am £. Vi —
T 3 T
A Ve
dz
TP
VOR. ZINC
(E sin2am € + 2k’(—) cos2am&.V, —
c T 1
Puis, en introduisant les valeurs
V. d 23 2K
= ma c— =
1 Ds 2 da c dx
TN
E (t "| sin 2 am &.z,
2 AB
l'expression précédente se transforme en celle-ci:
2h 2K :
(19) = pe (© =) (= dne— i) sin2am£
2K\* /2K
me api (25 a (an né— 1) cos 2am édné&
2
+ PP (ES) sin 2
2K\° . ; 2
k?(—) sinzam &+ 2k?(—) cos2am &.V.
T T 1
Nouvelles recherches sur les series employées dans les théories des planètes. 77
Papal 2 Sz KC ; "
— [wea (ang — 1) sin 2 am £ dn £?
ON. a
+ pe (==) sin 2 am & cos 2 am édn ]z
2 NEU I
-Bwec, (= die 1) cos 2 am é dn £?
yid
2K\5
— i) sin 2 am €? dn £?lz
4
a 2K * de
+ pk pr sin 2am § dn 5 7,
(2) En
de
E =
(=) sin 2 am £dn £?z
us
2I B dz
pe (77) cos 2 am € dn £'z? —
T da
En ne demandant que les termes du deuxiéme ordre par rapport à
q, il sera permis de remplacer, généralement, la variable x par u, ou €
par w; seulement dans le terme qui se trouve multiplié par a il est
indispensable d’employer l’expression plus rigoureuse du coefficient, ainsi
que de tenir compte du facteur
2KNS „ dn o*
(=) (1 — 169.) mE I + 244? + 12q cos 24 +...,
qui peut être égalé à l’unité dans les autres termes.
K\ * ;
=) cos2amédné’ que nous avons donnée
4
Avec l'expression de i
dans le n? 5, il s'obtient:
(=) (1 — 16q Ex ae =) cos 2 am & dn €?
= 12897 + 329 cos 2u + ....
Hugo Gyldén.
-1
oo
Maintenant, si nous portons dans l'expression de X, la valeur de z
; >, : "NN LET ots
donnée par l'équation (15), ainsi que celles de dg? 22°77» et que nous
nous rappelions la relation
dz dz
ME f N , \
— — — II — 89g cos 2u wie ©
da dau! 1 d
il est aisé de voir que la fonction X exprimée en y ne contiendra pas
de termes du deuxième ordre de la forme f,y, ni de la forme B,y°, f,
et f, étant deux constantes de l'ordre de q^. Il est encore visible, si
l'on ne considère que les quantités du deuxième ordre, que les autres
termes indépendants d'une fonction trigonométrique de l'argument w, ne
. : . dz dz
proviennent que des produits sin 24 7 , cos2u.27,.... Retenons seule-
au C
ment les termes
dz dy 3 dy : 2)
= == SIN 24.9 —- 6g sin 2u.y| —
du du or a a I du ale m ;
dz dy DE ME dy?
Ca Yan 16q cos uy (SY) ;
introduisons-les dans l’expression precedente de X et rejetons les terınes
périodiques du deuxieme ordre; nous aurons ainsi:
2K\° CT A > dy ; /dy\?
a (=) (STE TE) ine X = — 64pq Yaa ots 128pq (at)
Gba site == sane nee ree
— 16pg sin 2u 7 — 32pq cos 2u.y 7,
2 dı
+ 32pq sin 2u.y?— + ....
“du,
Après avoir introduit, dans l’equation (16), l'expression que nous
venons de trouver, il faut la multiplier par:
d
E on UY a t
I — 24q SIN 2U.Y + 24q COS 2w y 484 SIN 2U.Y a — sss
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 79
Cette multiplication effectuée, nous aurons, au lieu de l'équation (16),
celle-ci:
d° 1
(20) GE rozaq*ly — 1289 y 5! as + Ji
as Eod dy ? dy : 9 dy
= — 16pq sin 2u 7° — 32pq cos 2u.y 7 + 32pq sin 2u.y? 77
— 244 sin zu (A 2 + 8q cos 2u. ea 3
T
ws (=) (1 — 169”)(1 — 244 sin 2u.y + .. E 5
Maintenant, pour débarrasser cette équation des termes périodiques
dépendant de l'argument w, nous admettons, en désignant par € une
fonction nouvelle,
y = €+ 4pq sin TES + 8pq cos 2u. a — 8pq sin 24. a ;
U
on en tire:
dy ge dg T AM 2 dg
po = S 8pq cos 207 16pg sin 24. [e 16pq cos 2u. e
dc 2 dt |
+ 4pq sin au Te + 8pq cos 2u " + £ du |
od “|
— 8pq sin 2u (s 2) dui l
d'y _A% : doctr „dc : ade
m eR am 16pq sin 2U 3, 32bücos2u.Q 7, + 32pq sin 2u.€ du
de / &
= Vópg cos zu S — 3224 sin zu (7. 3! n: Pa]
— 32pq COS 20
ini) a CIS
dC dE dc |
+ 4pq sin 2u s m Spq cos 2u 3205 dut ris Sq al
dc? pac art dic
(s) daos du du? du® |?
: — Spq sin 2u
80 Hugo Gyldén.
dy dc id , de
xm Pn 8pq cos 2u.6 Lr + 16 pq cos 22463 EISE
2 dy i4 po AC } . 1t :
au 8 qu 8pq sin 20.6 du + ...,
dy\* di us y d£?
(2) = (5) — 32pq sin 2u.c() Bete
/
Mais avant que nous allons introduire ces valeurs dans l'équation
(20), examinons ce qu'il faut y placer au lieu du terme dépendant de —
Evidemment, puisqu'on a déja tenu compte, dans l’equation (16), du
terme + 244 sin (22, la nouvelle expression de I ne devra contenir
que les termes provenant de la fonction X. En considérant séparément
ces termes, et en ne retenant que ceux qui sont périodiques et du premier
ordre, nous aurons:
d^y
: da dy
7,3 = — 16p9 sin 2u 7 — 32pq COS 2u. 3» + ...,
ce qui nous donne:
d’y d
Py, he dy a)’
ie 32pq Cos 2u 7 — 32pg cos eu (re +....
Avec cette valeur, l'équation (20) deviendra:
' d*y 4 ae aha =
(20') mur ET hoy — 96q Wa)
= M diy E . dy Pn 2 dy
— — 16pq sin au du 32pq cos 2u.y 7, + 32pg SIN 2u.y ^
i dy\° DON: : dn o*
— 244 sin eu (52) -— (=) (1 — 249 sin 2u.y +...) dnt Q.
C'est dans cette équation qu'il faut substituer les expressions que
nous venons de trouver tout à l'heure.
On apercoit de la sorte que la somme des termes de la forme
4 dé
ic 2
const. € = + const. (=)
aU
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 81
disparait, autant que ceux-ci résultent des termes
- dy dy : 2 dy
— 16pq sin 2u 77 — 32pq cos 2u.y 57 + 32pq sin 2u.g* 7
L'équation qui reste, et où l'on a rejeté tout terme inutile, sera done la
suivante:
IR "m.
| - yd 6 4 = 2 ds
{1 + 16pq cos 2u — 32pq sin 2u.¢—.. Nan? 102449 h,C— 964 qu)
de? dc ds
= — 249 sin au (77) + 32pq sin 2u( 3] + 64pq cos au. (=)
ase
— lA4pq sin 2u + 8pq cos 2u. € — Spq sin 2u. 2?! —
4 d > lu
dn c*
+ (=) (1 — 244 sin zu. +...) @.
En multipliant cette équation par {1 + 16pq cos 2u —32pq sin 2u.$—..",
of”
SE d E à : er À
le coefficient de -= deviendra égal à l'unité, et les termes dépourvus de
du? o I
facteurs trigonométriques provenant du produit
: : dt A* : dés
[1 — 16pq cos 2u + 32pq sin 24.7] sin an(s) + 32pq sin er
dc ?
+ 64pq cos ;
du |
forment, en s'ajoutant, un seul terme, savoir:
2
dg
= 38170°° (nr) ’
de sorte que la multiplication envisagée fait disparaitre, dans l'équation
précédente, ce terme au premier membre. Mais puisqu'on a, en rejetant
la fonction 2, ainsi que tout terme d'un ordre surpassant le premier par
rapport à q:
<= = — 24q sin (Re) + 32pq sin ou( jJ + 64pq cos 2 u. (2)
Acta mathematica. 17. Imprimé le 8 juin 1892, 71
82 Hugo Gyldén.
d'ou l'on déduit:
2
= — 484 cos zu (5 31 + 64pq cos zu (5 ) — 128pq sin 2u.£(%) + ...,
dic
da?
le terme dont il s'agit reparait, mais réduit à la moitié de la valeur
précédente; nous aurons done, en écrivant finalement y au lieu de &
d* ly\?
(21) da 10244? h,y — (96 + 2p) = {1 +
On aurait obtenu un résultat un peu modifié si, au lieu d'avoir
adopté l'expression précédente de y, on avait retenu tous les termes mis
en évidence, à l'exception de celui-ci:
-
: 1
4pq sin 24 E
du
En effet, avec les valeurs
dy dc de od
— — — — 169g sin 2u.d > __ 16pq cos 2
du du PY du bg ML du
are
20 (TE) pris
p\ 2 2»
+ 8pq cos 2u (=) + ¢ — = Spq sin 2u
d’y dac e pi dc
dons gx OP Ed OOo QU 3279 sin 24. E
pag il
2¢() ane du’
: | are
— 32pq sin U NG " 2) un 32pq cos 2u
du?
ORE dc |
xp DU Ss nds; du uua ar C qus iu
— 8pq sin 24 ,
dc? dde dM
> f= Ca
2 (7) ares : D
du du du?
dy /— GENE 9 dy de
du x + Léon e(z) i du -— du
et:
(EN — sopa sinay.c(%2)
Ge ^ (du 991 Gne wes du,
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 83
on déduit immédiatement de l'équation (20’) celle-ci:
: lc :
[1 — 32pq sin 2...) 1024q'h, £— 128p 4 CT
— (96 + 384p — 128p°)q'€
-
aan a qsin 2u = b 2pqsin 24 "4- G4nq cos zu. ¢ —
pq du 44 32pq PY
se 2
— (8pq cos 2u. f — 8pq sin 2u.7? 4 ~+(1+...)2
PY PY dü
En multipliant cette équation par:
P
: dé
I + 32pq sin 2u.6 + 48pq sin 2u.8 57 +...
3”
et en remplagant 5; dis ; par:
1
A nceus : (aay dex |<
— 32p cos 2u 7, + 64pq cos zu, — 484 cos 2u(‘,,) ,
on parvient finalement au résultat suivant:
(22)
E
Wy 16pq sin au 2H — 1024q"h,y — (96 + 192p — 256p°)q "(t y
= (hr)
dans lequel on a mis y à la place de ¢.
: : dy Re ae
8. Bien que les termes de la forme TE visibles quelquefois
dans nos calculs, aient disparu dans les équations (21) et (22), nous
allons considérer une équation différentielle renfermant un tel terme:
nous le retrouverons, en effet, en utilisant une substitution différente
de celles que nous avons employées dans les n* précédents.
L'apparition d'un terme de la forme envisagée rend extrémement
pénible l'intégration de l'équation dont il s'agit, et nous ne saurons sur-
monter les diffieultés en provenant que par des approximations ou
méme par des tatonnements. Afin de nous procurer une idee de ce qui
84 Hugo Gyldén.
résulte de la présence du terme signalé, concevons d'abord l'équation
très simple:
d À
(a) d Tay = — asin (ou + b),
et désignons-y, pour abréger, l'angle ow + b par H.
Or, puisqu'il ne s'agit maintenant que d'une solution particuliere,
et pas du tout de l'intégrale complete, supposons:
y — x, Sin H 4- x, sin 2H +...
et cherchons à déterminer les coefficients.
D'abord, si o n'est pas trés petit, on pourrait commencer par mettre: .
¥=%.+% cuc:
et établir les équations
dy :
En = — a sin H,
d^y, dy,
en
du? Ho qu ’
mais par cette voie, la détermination des y appartenant aux grandes
valeurs des indices, deviendrait laborieuse, et encore, la convergence du
z , . . LOL , . .
développement supposé cesserait, si le rapport © excédait une certaine
g
limite. Il faut done, dans certains cas, éviter le développement suivant
les puissances de y, bien que cette quantité soit généralement très petite.
En admettant le développement suivant les multiples de H, on en tire:
y — god ad ue)
LN DR ee N ep
+ (5x at} fl x eet Sees H
FE
— 41% + s + xx 4 ...)cos3H
—Ó———— "P n
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 85
ce qui donne par différentiation:
d a
yn dox; +...) sin
20 /1 .
+- (x — 1, — Kr —...) sin 2H
+ 9" (x, — Xj, — XX; — ..-)8in 3H
alae
En substituant ces expressions dans l'équation (a), et en égalant à
zéro les coefficients des divers sinus, on obtiendra:
LO
X10° T Gn + %% +...) =4,
valeur avec laquelle on tire de la première la suivante:
2 2 2
LONE ft 2 2h -- Lis
LX; xx + 6 —'35 xbeslem sacs
. Maintenant, en supposant les coefficients x,, x,,... ou connus, ou
négligeables, il se comprend que la quantité x,, qui s'obtient par la ré-
solution de l'équation précédente du troisième degré, ne surpasse Jamais
une certaine limite qui s'approche d'autant plus de zéro, que la valeur de
6 :
7: est plus petite.
On aura facilement des résultats semblables relativement aux coeffi-
LA
cients X,5;X,.... Done, en admettant toujours la convergence du dé-
86 Hugo Gyldén.
veloppement suivant les multiples de H, les résultats que nous venons
d'obtenir nous permettent de calculer, au moyen d’approximations
successives, les valeurs des coefficients demandés. Il faut toutefois re-
marquer que dans le cas où o disparaît, la série des x n'est plus con-
vergente. |
L'équation (a) se transforme facilement dans une autre dont la forme
est, quelquefois, plus convenable. Pour y garder plus de généralité, dé-
signons par @ une fonction toute connue de w, et considérons, au lieu
de l'équation (a), celle-ci:
2
iy dy
— y= =.
(A) du? T du ¢
On en tire immédiatement, en désignant par — ;yh, la constante
d'intégration, une premiere intégrale, à savoir:
dy + jn" — h,) = f Qdu;
du
et, en vertu de ce résultat, il sera facile d'obtenir de l'équation (/) la
suivante:
1 ite , I
(7) da ( zh, + nf Qdu)y "epa i
Telle est la transformée de l'équation (5): on en conclut, toutes les fois
que la fonction Q ne renferme qu'un nombre fini de termes trigonomé-
triques, que le terme dépendant de y tend à diminuer les coefficients
dans la solution de l'équation dont il s'agit. Dans ce cas, on pourrait,
en employant la méthode du $ 5, réduire l'intégration de l'équation (7)
à celle d'un système d'équations linéaires et d'une équation du deuxième
ordre et du troisième degré à coefficients constants et ne renferment plus
di
aucun terme de la forme py s.
" au
Mais si, par contre, la fonction Q contenait un terme constant, le
coefficient de y, dans l'équation (y), renfermerait la variable # multipliée
par cette constante: l'integration de l'équation (y) deviendrait, dans un tel
cas, extrémement difficile, et on ne saurait développer la fonction y
dans la forme d'une série trigonométrique.
—
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 87
Ayant ainsi donné une idée du rôle que joue le terme dépendant
de y, nous allons examiner des cas plus compliqués que celui qui est
représenté par l'équation (f).
9. Considérons d'abord l'équation
d*y
yo! =
(a) du d uy
— QR,
Q étant un polynôme contenant un nombre fini de termes purement tri-
gonométriques et à coefficients constants, dont les arguments ne dépendent
que de la variable «, et À, une fonction qui peut renfermer, parmi un
nombre infini de termes trigonométriques, certains termes dépendant de
l'nconnue y elle-même.
Dans l'équation signalée, nous allons remplacer la fonction y par la
somme de deux nouvelles fonctions Y et Z, de sorte qu'on ait:
Mr Y + Z,
ce qui entraine:
dZ
ai re = M + 12% an
: E
du a u?
L'une des fonctions Y et Z pouvant être choisie à volonté, nous
établissons la relation
ah ee 4
et nous retiendrons l'équation que voici:
= M dY
(7) x d 16 Le LE = R.
De l'équation i on tire par intégration:
(0) — AE *—h,) +5 SZ? = Jf Qdu
— ; ph, étant une constante surabondante, qui doit être déterminée de
: dZ :
manière que le développement de 57 ne contienne pas de terme constant.
Evidemment, la valeur du binôme Y? — jh, reste toujours négative.
88 Hugo Gyldén.
Dans l'équation (0), introduisons au lieu de Z une nouvelle fonction,
& dont la relation à la première soit:
2 Fd ge
I+ £udu'
il en résultera l'équation
aX Ir’
[4
Cela posé, nous allons introduire, dans l'équation (7), la valeur de
UL ee, j j 7 a
= tirée de l'équation (9), et nous aurons, aprés avoir remplacé Z par
DNS
1 + Cpdu’ l'équation que voici:
dy Dee | ana 2 dey? J is
du? 3b 1 + Edu du a | omes (3 — h,) Er: (3) EE nj Qdu Y=;R,
d'où l’on tire, en admettant:
a
I
la suivante:
wur qq ode I |
me Mr ES. Mere + lan m ex à + nf Qu] 4
x (1 == OR,
d’U
du?
+
ou bien, en introduisant la valeur
2
I ag n DE I ©
E $ era S ) 1 )
D4Cdw 4 la +) ^, | za) Qdu,
celle-ci:
RUMP RC verc m I MED dc alee
du* | p [5 Ej ae h, | (1% dE (=). dr 2! J'eant
= (+R
Des deux équations (s) et (C), il faut déduire les deux inconnues
€ et U. Pour lever les difficultés adhérant à cette tâche, voici les
(©)
démarches les plus convenables.
oo
Ve,
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes.
Au lieu de supposer Q tout connu, admettons maintenant:
= Q, --- CR,
et puis:
R —R,—CR, + F,
où nous avons désigné par Q, et A, deux fonctions tout connues dont
nous supposons la premiére du deuxiéme degré ou bien égale à zéro et
la seconde, du premier degré, et par F, une fonction du troisième degré
dépendant de U et €.
Cela admis, la fonction £ sera évidemment une quantité du deuxième
degré, et si l'on néglige, dans l'équation (2), les quantités du quatriéme
degré, et que l'on suppose tout simplement:
7 aT!3
F = BU”,
il viendra:
iP E. I
AN as onc = =
(y) at [AU — A) + BU zu f Qaul U = R,
Cette équation étant indépendante de & on en déduira une valeur
approchée de U, qu'il faut d'abord égaler à la fonction Y.
Ayant trouvé une valeur préalable de Y, on va chercher la fonction
€ en intégrant l'équation (s) qui, si l'on néglige les termes du quatrieme
degré, s'écrit ainsi:
dom 2 y 2X
(9) du — ;nRC— m x Wh sm:
Yu
Certes, l'intégration de cette équation n'est pas facile, mais on par-
vient néanmoins, par approximations successives, à l'expression de C sans
constantes arbitraires, tout ce qu'on demande ici: d'ailleurs, l'équation du
troisième ordre se transforme aisément en une autre du deuxième degré
qui n'est plus linéaire, mais dont la forme, si l'on néglige un terme du
troisiéme degré, est bien celle de l'équation (a), de sorte qu'on pourrait
appliquer, à son intégration, le procédé dont nous avons fait l'exposition
précédemment. Mais on peut aussi, en partant de l'équation (s), déduire
directement une nouvelle équation de méme nature que l'équation (2).
Acla mathematica. 17. Imprimé le 16 juin 1892, 12
90 Hugo Gyldén.
En effet, si nous posons:
= Ls Re I
nous aurons de l'équation (s) celle-ci:
DA EE Ln 1) — nf Qdu = o,
du
et puis, par différentiation:
O33 . do " 5 .
En eliminant = entre ces deux équations, et en admettant la notation
AU
9 = Hi)
il viendra:
I
d* poe
7 [7 (7 — à) + api — n f Ode |y, = — zu mn
du”
équation qui appartient, évidemment, au type de l'équation (C) ou de
l'équation (y).
En intégrant l'équation que nous venons de trouver, nous pouvons
dans la première approximation négliger Q, de sorte que le second
membre soit réduit à:
dY
du
== ae
Sil sagit de déterminer des termes élémentaires, la quantité signalée est
du troisième ordre et du quatrième degré par rapport aux excentricités,
tandis que À, est du deuxième ordre et du deuxième degré; en con-
sidérant les termes non-élémentaires, la fonction R, peut être du premier
s B AY En
ordre, mais le produit py d est alors du quatrieme ordre par rapport
au
aux forces troublantes. On a done obtenu une vraie approximation.
De la relation
& *
log(1 + ¢) = p | v, du
—
——— de. he
Nouvelles recherches sur les series employées dans les théories des planètes. 91
on déduit aisément:
n AB dq x:
^" 1-cCpdw — yv
de sorte qu'on aura:
y = 3 + 2Y,-
Evidemment, cette formule n'est qu'approximative; elle donne cependant,
dans la plupart des cas, le résultat d'une exactitude suffisante.
10. Pour la transformation de l'équation (x) du numéro précédent,
voici une autre méthode.
Faisons d'abord:
RER.)
(23) y (ve fva)
ce qui nous donne:
dy — 3 dU 3U?
ea Ge ToT ea Pe
= ei + | Od) ^ «(i + fut)
dy 3 aU 9 dU, 6U*
iS A ees a mot AVI VO CAIN AU NUM V)
du «(1 + [ van) du el + [Udu) du TE + | Van)
d dU D
Dto m E UU esc. AMENS
En introduisant ces expressions dans l'équation dont j'ai parlé, il s'ensuit
immédiatement:
au U*
ET aN (lef Ua
Telle est l'équation transformée remplaçant l'équation (a): on l'utili-
sera avantageusement, mais seulement, bien entendu, en adoptant l'hy-
= (x +f Udu)(Q + B.
pothése que fe Udu s'exprime au moyen d'un développement convergent,
et que cette intégrale soit inférieure à l'unité. Mais en tous cas, l'emploi
Le
de la transformation indiquée se montre avantageuse s'il ne sagit que
92 Hugo Gyldén.
d'une solution approchée et que la somme d'un nombre fini de termes
représentant l'intégrale dont nous avons parlé, ait une valeur suffisam-
ment petite.
Concevons encore le cas où la fonction À renferme un terme de la
forme
e yf(w),
f(w) étant une fonction toute connue de w.
En désignant la somme des termes restants dans À par À, nous aurons
facilement de l'équation (24) la suivante:
(25) du PU — U* =" (1 + fUdu)(Q +R)
— 2U?* f'Udu — ...,
résultat dont nous pourrions faire application prochainement. Dans le
cas des termes élémentaires, la fonction U est, le plus souvent, une quan-
tité du deuxième ordre et l'intégrale { Udu du premier.
11. La manière d'opérer la transformation de l'équation fonda-
mentale que nous venons de poursuivre dans les n? 5—7, se remplace
avantageusement par plusieurs autres procédés, dont voici un qui mérite
d'étre examiné soigneusement.
Reprenons comme point de départ l'équation , à savoir, si nous
{ ;
: E LC EK 1
admettons toujours la notation € = — x, celle-ci:
7
s d^ V. REN = OK S
0 See! is k? zi NO z Le V. ES k? =) <= i = V2
3 COS 2 am 6. ; sin 2 am &.
(4) da" srt ( TE ) on "Am ) c
2 ONS S =
— (2) cos 2 am £. Vi = — X — 4.
3 NT
Or, au lieu de faire disparaitre le terme du premier degré, nous
nous proposons seulement de débarrasser les termes du. deuxième et du
troisième desré des facteurs trigonometriques, On peut done tout-d'abord
mettre:
Lou = O;
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 93
ce qui entraine immédiatement:
Pro = 0.
Maintenant, en adoptant l'expression
V, = 2—{4q(1 — 114?) sin 2z + 4q’ sin 4v]z*
-— MIC — 16q7)cos 2x + 24? cos qar| 2"
|
— {8q(1 — 1147) cos 20 + 44? cos 4r];
+ [8g (1 — 1647) sin 2z + 109° sin gala s,
nous aurons: «
=. an [8g (1 — 119?) cos 22 + 169°? cosqalz?
c — i64?) sin 2x DE Pd sin 4% |z
+ [87(1 — 1147?) sin 22 + 84? sin 42] 7^
+ {8q(1 — 164?) cos 2x + 204” cos gr} ©
— [8q(1 — 1147) cos 2x + 49° cos 4d] (5) s ru
+ {8q(1 — 1647)sin 2x + 10g? sin 42} e) + ,
um = + | 169( 1 — 1147) sin 2% + 644? sin 4c]a*
+12 a(1 — 164?) cos 2: + d 2 cos aula?
e x) vx - Z
dzX* 3472
w(t) + 2 dst
dz d’z ,d'
3 dz da da? * da?
( =) dz d’z |
+ {24q( 1 — 119°) sin 2z + 24q° sin qa}
+ {24q(1 — 164?) cos 2x + 609? cos 4x}
— {8q(1 — 119°) cos 2x + 4q° cos 4v]
NEG 2 ;
^ + (8g(1 — 1647) sin 2x + 1og’singa}|2() 4-625554 + 2
94 Hugo Gyldén.
et encore:
Vi = 2? — [8g(1 — 1147) sin 20 + 84? sin 4x}2°
— {16q(1 — 114?) cos2x + 8q° cos 442! — er
vs —a x,
Ensuite, si nous etablissons l’expression
4
DEN HAS
i ( ) cos? an Eye — 263 cos 2 am Ë.Z
6q
== po 2r +
[int
— {4q(1 — 1147) sin 20 + 49° sin 4x]z?
3
8
—É ac — 1647) cos 2” + ^ cos qr 2
Se
—{8q(1 — 1147) cos 2» + Aq? cos 42]; 7
2 dz
+ {8q(1 — 1647) sin 2x + 109’ sin gelz 3e
—k (= =) cos 2 am £z
64 320 dz
=f we — i4 ac |? — 6 ae
+ [1604 sin 2% — 329° sin 4x}2°
2 62
di EM cos 2% + ME cos 42 | z?
ainsi que celles-ci:
2K 9
(= = 2am &.Vi = — [64q'(1 — 129”) + 128q‘}2°
+ {16q(1 — q?) sin 2x + 3297 sin 4x2?
(1924? cos 2% — 64q? cos 4x] 2?,
2q°
COS 4X 358
Ex cos 4x +
|
|
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 95
2 3 E q° 3
A 22) cos 2 am £1 = — ie TAS 2
2 6
+ ea + q’) cos 2a + * 2t cos 42 1 z^,
et que nous les introduisions dans l'équation (4^, il en résultera:
x k? (= =) cos 2 am £.2 + (64q° — 3844*)z? — 644* ES
dz\° d's
(à) a a iz?
2 2
+ [249(1 — 1647) cos 20 + 6097 noce + ES
+ {24q(1 — 114?) sin 2z + 244? sin 4v]
d’z
T a Sts d gus
(m) + te
— {8q(1 — 114?) cos 2x + 49° cos 4x
q
+ {8q(1 — 1647) sin 22 + 109? singe!
|
= — X¥— Q.
d’z
En multipliant, pour égaler à l'unité le coefficient de i l'équa-
tion précédente par:
1 + [249 (1 — 1147) sin 2z + 244? sin 4z]z
+ [244(1 — 164?) cos 2x + 609? cos 4v]2*
— [24q(t — 1147) cos 2x + 129° cos 47] 7
—1
+ [48¢(1 — 164?) sin 2x + 609’ sin 42]4 7*
= 1 —[24q(1 — 114?) sin 2x + 249° sin 4r]z
+ [244(1 — 119°) cos 2x + 129° cos 4v] =
+ [12.244* — 24q(1 — 409”) cos 2r — 12.294? cos 4x] 2’,
96 Hugo Gyldén.
on obtiendra:
d’z 2 DK Ew 2,3 ^ 4,3
(26) xp k (=) cos2amé.z + 64q°2° — 3849 2
: 2, d£ 5 2 dz =
+ 128g an 2889 (=)
— [12.16.489* + 12.1697(1 — 399°) + 12.16.299*]2°
+ 244 sin 2a (=)
de
— [[8q(1 — 119?) cos 2x + 44? cos 4x]z + 96972
A : d’z
— [89(1 — 1647) sin 2x + 109° sin 40]2?) 7
= | I 24q Sin =. —- 24q cos 2% ds
— 24q cos 22.2? + ... (X + 9),
ou, afin de faciliter au lecteur la vérification du caleul, on a mis en
évidence, les différentes parties dont est composé le coefficient de 2°.
I] nous reste encore à remplacer, dans l'équation que nous venons
de trouver, la troisième dérivée de z par sa valeur, autant qu'elle est
connue.
Dans ce but, écrivons:
d’z 2K\° dz\*
— rl cos 2 am &.2 — 24q sin on(5*) ——Á
dx° Wis * au ‚de,
2 9 . d *
= 1324? — 16q(1 + 9°) cos2x 32q° cos4xlz — 24q sin (de) — 7,
ar
où la partie essentielle de Z est égale à X +2.
De l’équation précédente, on tire par différentiation:
d’z
s 3 Iz\?
de (32q(1 + q°) sin 20 + 1284? sin 41]z — 48q cos 2:(%)
+ [329° — 169 cos 20 — 324? cos ga} "b —:
Sree,
da
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 97
; aas 3 : 1 3 :
et maintenant, si lon introduit cette valeur de ls dans l'équation (26),
les termes du deuxiéme ordre de la forme
const. 2°
se détruisent, et on obtient l'équation que voici:
2 2
(27) = + (2) cos 2 am &.2 — 89604*z? — 96q (Te 2) + 1929 Dem
1 u à ne dz\*
= — 24qsin :(z)
— {[8q(1 — 119?) cos 2x + 49° cos 4x]z
Ks Om z^ dz
[8q (1 169^) sin 2x + 109° sin 4x]z EE
=| 1—24q8in2z.2--24q cos Tee 24q cos 21.2 4- ... (X 4- 2).
Cherchons maintenant les termes provenant de la fonction X en
adoptant, pour cette fonction, la valeur que nous avons donnée par
l'équation (18).
En ne demandant que les termes horistiques du deuxiéme ordre par
rapport à g, nous aurons, en vertu de l'expression mentionnée, en y
portant les valeurs précédentes de V, , 5 Er
— X = — 32pq° sin4r
— 64pg’2 + (= = m’ 2° + 128pg'e°
2 LENS
+ 128pq (7)
= dz da 4 dz
— 16pq sin 273, 32M C08 24.2 + 32pq sin 22.2 ES ust hay
Il suffit également de mettre:
; dz dz
. Z = + 16pq sin 205 + 32pq cos 20.2, + ZG
Acta mathematica. 17. Imprimé le 17 juin 1892. 13
98 Hugo Gyldén.
Z, étant une fonction renfermant les termes non considérés dans nos
calculs actuels, et qui donneraient naissance à des termes horistiques d'un
ordre ou degré plus élevés que le deuxiéme ou le troisiéme.
En différentiant l'expression signalée de Z, et ne retenant que les
d
termes dépendant de cos2x et de € nous aurons:
dZ dz dz\°i, dZ,
deem 32pq cos 2% 7, + 32pq cos ax( 5) + dr
Maintenant, si nous introduisons cette expression dans l'équation (27),
et que nous multipliions l'expression précédente de X par
I — 24q Sin 2z.2 + ...,
ce qu'exige l'équation (27), l'équation dont il sagit prendra la forme
+ 16pq si 25 3€
Psp PL SE
2 2K 2
Br +e ) cos2am& + 64pq°
\ ae
= 1 SCANS
— (128pq? -- 89604*) 2? 4- (192 + 64p)q'2 7- — (96 — 384p)a'« (7)
2
— — 244 sin ar (=)
dz : 9 dz
— 32pq COS 20.2 + 32pq sin 20.2 7
y
et
— 89 cos 27.2
da
— [1 — 244 sin 22.2 + ...]9,
où lon a négligé le terme périodique du second ordre.
On pourrait se contenter du résultat que nous venons d'obtenir;
cependant, pour garder plus d'homogénéité dans les termes périodiques
restants, je préfére de chercher une,autre équation ne contenant plus
le terme de la forme |
pq COS 2x E |
PY ide. |
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 99
Dans ce but, je fais la substitution de
dy
2 — y + 8pq COS 20.4 7,
et des expressions en découlant, a savoir:
dz — dy : _ dy _{ /dy\° d’y
i a 16pq sin 21.47 + 8pq cos 2x (22) + Ya?
d’z _ d'y dy\? d*y
dat ges M cos 20.y ot — 32pq sin 2% (3) tds
dy dy | ay
+ 8pq cos 2213 5-3 F V qs
dz A. dy 2 > ' | 2 :
icd is (5) — 32pq sin ez (2) +...,
dans l'équation (28), et j'obtiens:
d*y
dx?
I — 32pq sin 20.4 + 24pq cos 2% .
+ 16pq sin oe at + |" (=) cos 2 am 6 + 64pr!ly — (128pq* + 89604*)y*
2 2 2 and, 39 a, (dy\’
+ (1924* + 128pq" — 128p'q)y 7 — 969 (2)
: /dy
= — 24gsın 20( 8) + 32pq sin e(t a + 32pq sin 22. yr
d* :
— 8pq cos 22. T5 — {I — 24q8sin2z.y 4- ...]9
En multipliant ce résultat, dans lequel on peut supprimer le terme
; 1Z
dépendant de + par EL en y
: dy
I — 32pq sin 2%.y + 24pq cos 2% 7,
portant l’expression
3 dy d 2
Le 169 cos 22 2 — 32 pq cos 22 7 — 48g cos 2a (77 » + 640g cos 2o (77) ,
100 Hugo Gylden.
on obtient finalement:
2K
T
2, A 2
(29) — + 16pq sin ano + le ) cos 2 am € + Ga y
ad dy\?
— {128pq?+ 8960q*]y* + 64(3—2p)q"y 7, —32(3—Op+ Spr)
= — 8(3 — 4p)q sin 20(
d
j 1
2) + 32pq sin 27.y?—
dx
— (1 — 24qsin20.y+ ...)2.
Dans cette équation, qu'on peut regarder comme le résultat essentiel
de nos transformations, il faut remarquer que le coefficient de y^ ne
contient pas tous les termes du quatrième ordre; mais les termes qui y
manquent encore, ne peuvent pas, excepté dans un cas spécial, annuler ce
coefficient, vu qu'ils sont multipliés par le nombre irrationnel p ou bien
par son carré.
12. Si Von avait introduit, dans l'équation (27), au lieu de la
valeur de X qu'on a empruntée à l'équation (18), un terme du type
À, sin(24,v + 5, T),
on aurait obtenu des termes dépendant d'un nouveau module, et no-
tamment de nouveaux termes horistiques. En désignant par g, la valeur
de q qu'on déduit avec 4,, A, et s,, les nouveaux termes horistiques
sont, pour la plus grande part, multipliés par q^g; et par gj; ils sont en
conséquence du quatrième ordre. Le nombre de ces termes étant trés grand,
on pourrait croire que leur influence l'emportàt sur les termes que nous
venons de mettre en évidence. Cependant, ayant calculé ces termes par
différentes méthodes, je me suis convaincu que leur somme n'aura
d'autre effet que d'agrandir le coefficient négatif de y^: le résultat que
nous venons de donner par l'équation (29), n'aurait donc pas changé
quant à la forme. Or, dans le mémoire présent, il ne s'agit pas de
donner des formules parfaitement préparées à l'usage des calculateurs,
mais seulement de désigner les methodes d'obtenir la solution absolue du
probléme des trois corps, tel qu'il se présente dans notre systéme pla-
nétaire. Voilà la raison pourquoi je me suis dispensé, pour le moment,
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 101
de communiquer mes recherches, d'ailleurs assez laborieuses, sur la to-
talité des termes horistiques; mais, j'ai pris cette résolution encore par
un autre motif, dont voici l'explication.
Dans les calculs numériques exécutés d’après les régles qu'on pourrait
déduire en intégrant l'équation (29) ou une autre équation de la méme
nature, il n'est pas du tout indispensable de connaitre, dés l'abord, tout
le coefficient d'un terme horistique; il suffit, au contraire, d'en avoir
évalué la plus grande partie, disons un peu plus que la moitié. Cela
se comprend aisément par un exemple, dans lequel on suivra la marche
des approximations.
Supposons à cet égard qu'on ait l'équation
d*y
a ae " NEUTRE de
Ta — (y? — 0)y = — a, sin H, — a, sin H, —...,
où les H sont donnés au moyen de la formule générale
IH, = Tnt SE bu
et où à désigne une quantité positive ou négative, dont la valeur absolue
est inférieure a »". Supposont encore que la série des @ soit convergente.
Cela étant, on voit immédiatement que si l'on commence par intégrer
l'équation
d*y,
dx?
— yy, = — a, sin H, — a, sin H, —...,
on aura tout d'abord le résultat approximatif
j= >= an A + 3 ; sin H, +.
9, on LZ
développement qui est nécessairement convergent. Dans la deuxiéme
approximation, supposons qu'on connaisse déjà une valeur approchée de
d, désignons-la par 0, et procédons à intégrer l'équation
d*y : HO ISO
pea = a pana, re —...,
d’ou il resulte:
7A a,0 à
Y, = Gr ein. H, Kan pein H, +.
102 Hugo Gyldén.
Selon l'hypothèse, le rapport ^ est inférieur à l'unité; donc, les
yl ) PI y? , ,
; à, ? : S : on 5
fractions =~, , 5——35,... sont à fortiori moindres que l'unité. ll s’ensuit
Gap BP Gs ap D
de la que le développement de y, sera aussi convergent.
^ ^ : à one ^
Admettons que 9, + 0, soit une valeur plus approchée de 9 que
ne l'est 9, seul: or, nous allons intégrer ias
d*y, a «Te 8X0, HOF One
qa? vy, = — a] rq y) + — Au zum
8,(0, +8) à
a = H e
as tar] +
En continuant ces opérations, on trouvera dans la quatrième appro-
ximation:
| [9,(0, +2,)0,+0,+0,) , 6,(0, 4-0, +0,) 0,0, à, à
Vy. ELS a,| @ e Da) ar (cl E y?) + (a + y?) zn (ci SE | sın H,
0, (0, + 0, (8, te 0, + 0,) 0,(0, + 0, ir 0») 0,0, à, x
ai «| (os + y? S (org v zm (02 Te BOL SF (o TE >| sin T2
Ends
et ainsi de suite.
Maintenant, si l'on établit la somme de tous ces développements
convergents, on aura, ce qu'on voit facilement, un résultat également
convergent et identique à celui-ci:
a
1 xcci vues LE zi ee Dod Nn
J di + v — p a d y —380 21 :
seulement, les divers coefficients de la somme dont nous avons parlé
constituent certaines transformations des coefficients qui entrent dans l'ex-
pression dernièrement signalée. |
Quant à la forme développée des coefficients, il se comprend aise- f |
ment quelle admet des développements convergents, pourvu que la suite
des approximations successives par lesquelles s'obtient 9, c'est à dire,
la série
soit convergente.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 103
Puis, des conditions
on conclut la convergence de la suite
y sth; Ty.
Mais on voit encore de ce que nous venons de mettre en évidence,
qu'il est favorable de commencer les approximations par une valeur de
»" un pen plus forte, de facon à obtenir une valeur positive de 4. De
cette manière, on trouverait les principales parties des divers coefficients
des développements de y,, y, ,... toujours positives, ainsi qu'un agrégat
de termes positifs, quand on établit la somme des divers y,. Evidem-
ment, les différents termes dont la somme constitue un coefficient de
la fonction complète y, seront de la sorte les plus petits possibles.
Ainsi, une valeur positive de 9, c'est à dire une valeur un peu trop
grande de »”, sera, en effet, plus avantageuse à la convergence des appro-
ximations successives, que ne l'est une valeur négative de 2 ou bien, ce
qui revient au méme, une valeur de »*, inférieure à la valeur effective.
Voilà aussi pourquoi l'emploi de l'équation (29) est préférable à celui
de l'équation (17).
§ 1. Equations linéaires.
1. Par les transformations dont nous venons de faire l'exposition
dans les deux paragraphes précédents, on a les moyens de ramener les
équations différentielles de la mécanique céleste à des types plus simples,
notamment à celui-ci:
d?
(1) eh Za — Be" = X,
où l'on a désigné par Z et X deux fonctions connues, dont la premiére
se trouve trés souvent réduite à un coefficient constant, et par Ba une
quantité toujours constante. Cependant, puisqu'il est inutile d'effectuer
la réduction compléte, ce qui serait aussi extrémement difficile si non
104 Hugo Gyldén.
impossible, on doit supposer la fonction X, non plus tout à fait connue,
mais seulement quant à ses termes principaux, ceux-ci étant donnés par
l'expression
La solution définitive ne s'obtient done qu'au moyen d'approximations
successives, dont la convergence n'est, cependant, soumise à aucun doute,
pourvu que la partie de X qu'on a négligée d'abord soit suffisamment
petite.
Mais l'intégration de l'équation proposée est néanmoins trés pénible:
elle ne s'opère aisément que dans deux cas particuliers. D'abord, si la
fonction Z est remplacée par une constante et que la fonction X ne
contienne qu'un seul terme, l'équation dont il s'agit s'intégre sans trop
de peine, comme nous l'avons vu dans le Chap. I. Puis, s'il était pos-
sible de réduire notre équation à la forme linéaire, la forme du résultat
serait telle qu'on en obtiendrait lintégrale d'une manière aisée. Dans ce
qui suit, nous allons examiner comment une telle réduction s'opére.
La principale objection qu'on peut faire contre l'emploi d'une équa-
tion linéaire comme point de départ des approximations successives est
celle qu'il donne naissance à des expressions dont les dénominateurs peuvent
acquérir des valeurs trés petites et méme évanouissantes. En effet, ayant
formé l'équation linéaire tout simplement en supprimant le terme — 8,2,
on tombera dans une solution souvent assez inexacte et quelque fois méme
tout à fait inadmissible; et une telle équation ne fournira pas de fon-
dement pour démontrer la convergence du résultat.
Mais si, au contraire, on opére la réduction à la forme linéaire en
tenant compte, de la maniére qu'on va apprendre prochainement, du terme
en z?, l'intégrale de l'équation transformée a la propriété de n'excéder
jamais certaines limites. Les difficultés adhérant à l'emploi d'une équa-
tion linéaire où l'on a négligé entièrement les quantités du troisième
degré, ayant ainsi disparu, on aura l'occasion fréquente de considérer
des équations linéaires d'une forme spéciale.
Concevons maintenant la réduction de l'équation (1) à la forme linéaire.
* Nous admettons toujours: G„ = 24,v + 2B,, An ayant une valeur quelconque.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 105
2. En désignant par & une fonction encore indéterminée, nous
allons introduire, dans l'équation (1), une nouvelle inconnue au lieu de
2, en admettant la relation
ê —= u
Id d
Nous aurons de la sorte:
I dy 2 dq dy 2 ‘dd\ ? I d*o Z
(2) RIO. Lu aye (a5) JT 2 t y
1 + d dv (t + d) dv dv (t +)’ \dv (1 + @) dà I+ ¢
3
y
UM. roy
Ps (1 + DE ’
et, si nous déterminons la fonction d de maniére à satisfaire à la condition
db (1 wa d)» — A Br
(3) doi 3 (1 + ¢) :
»* étant une constante, nous aurons, pour déterminer la fonction y, l'équa-
tion que voici:
Ay 2 db dy | 2 2 dy\*) _ d
Ds Again crc EP ed lr (1 oras
Cela étant, si nous admettons qu'on sache intégrer l'équation
12
(s) a (2 = + OX,
le second membre étant supposé connu, nous aurons immédiatement, en
négligeant d'abord la quantité d, une valeur préalable de la fonction y.
Avec l'expression de y qu'on obtient ainsi, on va chercher la fonction
d au moyen de l'équation (3); à cette occasion on doit aussi déterminer
le coefficient »* de manière que la fonction & soit dépourvue de tout
terme constant.
Dans ce but, écrivons l'équation (3) de la manitre suivante:
d?
(3) 1 Zu u mu Bu) y d 4...
LA
d'où il s'entend immédiatement que la demi-somme des carrés de tous les
Acta mathematica. 17. Imprimé le 27 juin 1892. 14
106 Hugo: Gyldén.
coefficients que renferme l'expression de y, cette demi-somme multipliée par (5,
constitue la partie essentielle de la constante v*.
En effet, si nous admettons que l'intégrale de l'équation (5), les
constantes arbitraires étant égalées a zéro, soit exprimée par le développe-
ment
y — a cos Gs CF ANCOSCGS re,
il s'ensuivra:
I I 1^5
y! => (+ +. ) + 5x cos 2G, + 5x, cos 2G, +...
+ x,x,{cos(G, — @,) + cos(G, + G,)|+....
En introduisant cette expression dans l'équation précédente, on obtient
tout d'abord les résultats approchés que voici:
y! = ße Toc...)
LA — a Ba?
TE an ;cos(@, — G,) dad dm RÉ —cos(G, + G,)+...;
4
développement dont la convergence est évidente, si la série
grew E
chaque terme étant pris avec le signe positif, jouit de cette propriété.
Ayant établi ces résultats, il sera facile de parvenir aux expressions
algebriques des coefficients x, toutes les fois qu'on sait intégrer l'équa-
tion (5).
En admettant d'abord que la fonction Z soit réduite à une constante,
— 9, et en désignant par H la demi-somme
es + 44+...)
de sorte qu’on ait:
— B,H,
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 107
les expressions des coefficients demandés seront visiblement celles-ci:
— A,
4À + g + AH’
4,
— en rr
RANCE geo H
*
x
Maintenant, si nous établissons l'expression de la somme des carrés
des divers x, il en résulte immédiatement l'équation
I À; <E A
21 [44 + 9 + AH] © [44 + 9+ 8,4)’
ww
(6) H= d
d'ou s'obtient toujours une valeur réelle et positive de //, pourvu que
la série mise entre les crochets soit convergente.
La fonction H déterminée de la sorte, je l'appellerai fonction horistique,
vu que sa présence dans le coefficient de y rend la solution de l'équation
linéaire convergente, et quant à sa valeur, limitée; en conséquence, une
équation linéaire renfermant, dans le coefficient de l'inconnue méme,
une fonction horistique, sera appelée équation horistique. Mais je dé-
signerai plus généralement par fonction horistique la somme des puis-
sances paires des coefficients x,, x,,..., multipliées par des coefficients
positifs quelconques.
Done, par la réduction d'une équation contenant des termes hori-
stiques, on est parvenu à une équation horistique.
La fonction H supposée réelle, il sera facile de démontrer la con-
vergence de la série
en AES Un PATES
Dans ce but, reprenons l'équation
E
AM a + TEES p,H à
Xn
et posons-y:
A» I 9
2 4A + 9 + BH — > fx. 2
108 Hugo Gyldén.
la quantité P est donc indépendante de x,; on obtient ainsi:
fax + Dx s Ay,
t3l-
d'ou l’on conclut que la valeur de x,, quel que soit P, ne surpasse
jamais la limite
NE
Ps
Or, les A formant une série dont la convergence égale celle d’une pro-
^
gression géométrique, il s'ensuit que la convergence de la serie dont il
sagit est au moins aussi rapide que celle de
5
vi 3,
Wa, VA + VA HH...
La recherche sur la convergence de notre développement est done ramenee
à celle de la réalité de la fonction horistique 4.
3. En supposant, dans l'équation (6), une valeur positive de g, les
termes du second membre forment nécessairement une série convergente;
donc, la valeur de H sera réelle et positive.
Mais si, par contre, la valeur de g était négative, la discussion de
l'équation (6) deviendrait délicate.
En cntamant cette discussion, nous posons, pour abréger,
v= 44, + 93
puis, nous omettons l'indice 3 attaché à f, aprés quoi l'équation (6) s’écrira
ainsi
[ à dE Ay
|, E v2)? (A, + y*y
pie
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 109
nous aurons:
An I 2 2
n8, f + x a qui
Maintenant, si nous supposons fini le nombre des termes de X dans
l'équation (5), on trouve toujours une valeur réelle ct positive de la
somme |
Xp beum dot dat Mt Fran t ox mnn
done, en désignant vette somme par
| t9
(Py — &)
m
~
A)
le coefficient P7? dans l'équation
m
A 22 pto» I 3 3
NL m %n ZI X,
est une quantité réelle et finie.
Puis, si l'on désigne par Z,, sans tenir compte du signe, la valeur
maximum que peut acquérir x, pour une valeur réelle quelconque de
P? ., on aura, quelles que soient les valeurs des quantités 4, , 4, , ..., In,
ainsi que celles des coefficients A, , 4,,..., 4
E 3/ A,
Z, x
B
a 2
UA nn y* e p?A},
la comparaison
m)
d’ou il s’ensuit:
expression qui montre que la valeur minimum de 9, + »” ne peut
s’abaisser au-dessous d'une quantité du méme ordre que Ban.
En supposant toujours que les A, forment une suite de quantites,
décroissant comme les termes d’une’ progression géométrique, il s'ensuit
de ce que je viens d'établir, que les coefficients x,, x,,..., x,, et «
fortiori, leurs carrés x;,2x3,...,25 diminuent dans le rapport indiqué:
et comme cette thése est également vraie quelque grand que soit le
nombre m, nous en concluons la convergence de la série
Agee?
‘
110 Hugo Gyldén.
c'est-à-dire, que P, est une quantité réelle et finie. 1l nous reste à
montrer qu'on peut toujours, au moyen d'approximations successives,
s'approcher de la valeur exacte de y*.
m
considère, dans l'équation (6), que les m premiers termes du second
membre, et cherchons a déterminer la différence
Dans ce but, désignons par v»; ce que devient »*, lorsqu'on ne
2 D
Ym41 Yn ESI. Simi
dont la valeur s'obtient au moyen de l'équation
Ai
(9, + Yin, EIS Vn T n
Ld Le
Sm4 Me Pen
2
Ay An
+ - i = +... + = = - =
(9. Sr vn), ELS vin + Em)" (In Sr Yin)(Om Els Yin Eis Seen)
2
Ai
(9, Ar Yin) (9, m Um SF En Kl
I
cli Sm+1
LATE a AS -
(9, + Yn) (9, + v; 3E Emil)” ii
»
ae I 3 2 mi
a! 2 = 2^
2 Gnas + Yn + m1)
En vertu des considérations précédentes, on conclut facilement que
les rapports
Sas 1 cine 1 S +1
$ =) Hugues. y =
DA + Ym DA = Vin Im + Yn
sont de petites quantités, lesquelles, dans une première approximation, il
sera permis de négliger auprès de l'unité, L’equation que nous venons
de signaler, s'écrit donc de la manière suivante:
| BA; BAS Be Oe I BARI]
I == 3 == 2\3 == DT 3E ih He: ag Sm Lou 2 2
(9, zB v») (4, Eis Yin) (In SF vn) LE 2 (one + Um Sa À
d'ou l'on tire toujours une valeur réelle de £,,, qui s'évanouit avec A,,,,.
Aprés avoir repris l'équation primitive, il ne reste plus aucune
difficulté à obtenir une valeur plus exacte de £, ,,.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 111
De la manière indiquée, on parvient à déterminer les £,,,, £,,,,...
sans autres inconvénients que ceux qui tiennent à la peine d'un long calcul
numérique.
Ajoutons iei la remarque que tous les ealeuls précédents auraient
été plus compliqués mais quant à leur porté et nature pas essentielle-
ment changés, si l'équation (1) avait contenu les termes
dz dz\?
Ad. Bs) ,
Z, étant une fonction connue de v. Je ne tiens pas, cependant, opportun
d'entrer dans le détail y relatif.
4. Considérons maintenant le cas plus compliqué où la fonction Z
n'a plus une valeur constante, mais désigne une fonction connue de v.
En désignant par x une constante, nous supposons encore la fonction
dont il s'agit telle, que si l'on met:
Z=a-+X,
l'intégrale de l'équation
d'y
iac Xy ==
soit connue.
Admettons d'abord le développement
. dz . dz
y = LE en el DIOE
d'ou l'on tire par différentiation:
d’y [4^ 7, d"z d T, d"*1z mu EET.
D |e ae? ae ete + Viens
da? dz? da”
Si nous portons ces expressions dans l’equation
d*y
(7) mi + (X+a)y =9,
et que nous désignions par p une constante encore a notre disposition,
il en résultera l'équation de condition que voici:
Hugo Gyldén.
diy. dT, dz MOUSE
(8) ico dau th Siria fusus
d^ T, dz 5 dT, d’z La d'z
dx? dz de dx’ 1 dx°
d* Y. d’z d V, d*z . d'z
9 = AI
da? da? ^ de da? 2 y
Er
ROC ED het v m tate + r
dz
Zee (OR
évidemment, les termes multipliés par p s'annulent identiquement.
Pour satisfaire à cette condition, établissons avant tout l'équation
d’z
(9) a a2 ch
ce qui donne:
d*z dz
a + (a +2) = ©;
d*z
d’z
Pun (a SUD) s O,
et encore:
PIX: i E Jh 1 diz 5
ey a + pda 7 (a p) de‘ FENTE
dz —— EBEN I da
de /— a+pde (a+p)de ‘°°
Avee ces relations, on tire immédiatement de l'équation (8) une
autre, ou ont déjà disparu certains termes; puis si l'on met:
p=—p, +p, +..
et que l'on introduise, dans l’equation dont il s'agit,
ey)
eg oso d’z Ps d'a _
PE a + pda ar (a + p)’de* side
dz Dae heey p d’z
Dias FE zi dct = PAP MO LU à NEN?)
da a + p da (a + p) da
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 113
on parviendra, en égalant à zéro les coefficients de z, de - Ys aux
conditions que voici: ȃ
muU, = 0
FR aee DAE
(10) ue di XV m 2 PTE Vo
ae t+ Mer hw,
Te = — 2. pri gaye
. . . . . . . . . . E . . . . . .
La forme de toutes ces équations est évidemment telle qu'on peut,
selon la supposition, déterminer les diverses fonctions W^, V,
avoir recours à des approximations. Cependant, la partie tout connue |
de chaque équation étant formée au moyen des fonctions précédentes,
on ne saurait parvenir aux intégrales demandées que de proche en proche.
Par ce fait, la marche à suivre pour obtenir ces diverses fonctions est
indiquée. ‘Mais il faut qu'on fasse encore une observation.
L'intégration d'une équation quelconque du système (10) introduit,
JG SATIS
dans l'intégrale, deux arbitraires: ces constantes étant, en effet, sura-
bondantes, on les déterminera de facon que l'expression de l'intégrale
soit exempte de termes contenant la variable indépendante hors des signes
trigonométriques. Mais puisque, avec ces constantes seules, on ne saurait
éviter tout terme de la nature mentionnée, on a introduit une suite d'autres
constantes, à savoir p,,p,,-.- quon va choisir de manière à atteindre
le but proposé.
5. Supposons qu'on ait trouvé, par l'intégration de la premiere des
équations (10), l'expression
V, = ef (m) + e af (o) + AC
Acta mathematica. 17. Imprimé le 28 juin 1892, 15
114 Hugo Gylden.
c, et c, étant les deux arbitraires, et } une constante tellement choisie
que l'équation
, hs dy,
9 de Js da
subsiste, dans laquelle on a désigné par y, et y, les deux ‘intégrales
particuliéres de l'équation proposée, de sorte qu'on ait:
Wf) on = fin) f)
Avec ces valeurs, la condition établie s'exprime de la maniere
suivante:
df (a ( m
f (0) AO — (s) mt CE) = — n,
de de
ou bien, si l'on admet la notation
f(x) = e(x)A(&),
ainsi :
gods I n de (a)
(Atæ)) da
En substituant, dans la formule (16) du $ 2, l'expression précédente
de h, il est facile de parvenir au résultat que voici:
(11) y= efie) + eiim + e(u)]
» " dz »
A Y parte dx,
formule qui peut devenir d’un usage tres fréquent.
Maintenant, si nous désignons par W, les divers membres de droite
des équations (9), on aura:
Ys. ila), d OP f(a) [ha +-c(x)]
a
+ De) | E SR ff.) W,dr.
ie ac e dift fs dni
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 115
Evidemment, les constantes p, entrant dans les expressions des divers
W doivent être déterminées de manière à débarrasser les produits f(x) W,
de tout terme constant: par le choix convenable des constantes cj" et
cf’, on pourra ensuite faire disparaître, dans la formule précédente, le
terme constant ainsi que celui qui est formé par une constante multipliée
par x. Seulement, si n est égal à zéro — cas dans lequel on doit, tout
d'abord, annuler la constante cf? — l’autre constante, à savoir cj", peut
être choisie à volonté. En effet, ayant attribué à la constante ce? une
valeur quelconque, cela n’exerce qu'une modification des arbitraires in-
troduites par l'intégration de l'équation (9). Egalons done, dés le début,
la constante c{” à l'unité, ce qui donne:
Ayant ainsi déterminé les fonctions #',, admettons la notation
atp=--yv’,
et nous aurons, en intégrant l'équation (9),
a= Ce. Ce,
C, et C, étant les deux constantes effectivement arbitraires.
Maintenant, si nous nous rappelons le développement supposé de y,
il sera facile de parvenir au résultat que voici:
1
(12) y= OLE, Rod, wee +. def
+ 0,10, — vet, yy, —.. je”.
En admettant les notations
Pee du tW.
Ve PEU EE RP
=
(13)
la formule précédente s'écrit ainsi:
(12°) y — OD MT Qe + C(P — »vQ)e";
et, si nous posons:
y, = BP + »Q)e*5 uc Be nen,
‘
116 Hugo Gyldén.
f, et f, étant deux constantes que nous allons déterminer de maniére
à avoir:
Ua pds
— = il
1 de 2 da ?
nous aurons les termes à ajouter à la formule (12^), afin qu'elle donne
l'intégrale de l'équation complète
d? :
(7) wat (a + X)y = W,
au moyen de l'expression
(14) — B, B,CP + »Qe7 f W(P — »Q)e-" dz
+ BBÂP —»9)e7 f W(P + »9)e*dz.
Pour arriver à une relation d'ou s'obtient le produit 4,5, — car
nous n'avons aucun moyen immédiat pour séparer les deux facteurs —
voici un procédé.
En introduisant, dans l'équation
les valeurs de y, et de y,, il viendra:
d p EE »Q v)
P + vQ ebd rm
da = BIB. (Paso
on tire de là, aprés avoir effectué la différentiation,
p d
(15) 2v, B, per iQ er ba l= = — I.
Par cette relation, il sera visible que, si l'on y introduit les valeurs de
P et (Q qu'on va trouver prochainement, le produit £,, soit égal à
t3
x
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 117
En supposant que W, P et Q soient donnés au moyen d'expressions
ne contenant que des termes périodiques ou des constantes, on se con-
vaincra que chaque diviseur introduit par le procès d'intégration, prendra
la forme
o + yp’,
c étant le coefficient de x dans l'argument du terme dont il s'agit.
Done, si « renferme une fonction horistique des coefficients dans y,, fonc-
tion qui entre aussi dans l'expression de »*, et que W, P et Q soient
donnés au moyen de séries, convergeant comme des progressions géomé-
triques, le résultat qu'on obtient, en effectuant le calcul d’après la for-
mule (14), sera aussi convergent.
6. Ayant établi les expressions de y, et de y, au moyen des fonc-
tions P et Q, on pourrait se proposer de déterminer, d'une manière di-
recte, ces fonctions sans passer par les fonctions #°,, V. ,.... Si dans ce
but, on introduit, dans l'équation (7), aprés y avoir écrit X au lieu de
a + X, l'expression de y, ou bien celle de y,, il sera aisé d'en tirer
une nouvelle équation qui se divise immédiatement en deux autres, pourvu
qu'on égale séparément à zéro les termes dépendant des puissances paires
de », ainsi que ceux qui contiennent comme facteur une puissance im-
paire de cette quantité. Ces deux équations, les voici:
dips du FR
[er + (X »)P — o,
(16) |
Le système des deux équations linéaires que nous venons de déduire,
se remplace facilement par une seule équation du deuxième ordre qui,
toutefois, n'est plus linéaire. En effet, si nous posons:
a
da
P+yQ = (1 + De) as
ll
y »Q = (1 a dye’ qagy t
118 Hugo Gyldén.
toutes les deux équations (16) seront satisfaites par la valeur de ¢ qui
résulte en intégrant l'équation
2
d*d y
(17) da “(1+ Jy
+ X(1 + ¢) = 0.
Nous reviendrons plus tard à cette équation qui, si on la développe suivant
—
es puissances de d, renfermera des termes horistiques, et qui en con-
séquence admet une solution uniformément convergente.
Mais, en procédant ainsi, on trouverait les fonctions P et Q affectées
des exponentielles, réelles ou imaginaires, yu que les puissances paires de
d renferment nécessairement des termes constants. Bien que l'inconvénient
qui en résulte ne soit pas, en effet, trés grave, cherchons néanmoins a
déterminer, s'il est possible, les P et @ autrement, mais de manière à
ne contenir, outre un terme constant, que des termes trigonometriques
dépendant des arguments qui se trouvent déja dans la fonction X, ainsi
que leurs multiples.
Il ne s'agit toutefois que d'une solution particulière du système (16)
laquelle s'obtient quelquefois trés aisément au moyen d'approximations.
Posons dans l'équation (7), en écrivant toujours X au lieu de a+ X,
(1 8) y noe (1 ae e) nine
où lon a désigné par ¢ et z deux nouvelles fonctions que nous allons
déterminer de façon à remplir certaines conditions. On obtient de la
sorte l'équation
I d’o 2(v+ 2) de dz
— y? v2 3? p =
I + da? I + o dx 3E ? = 2 M + « + dx + X Oo.
(19)
Or, puisqu'une des fonctions ¢ et z est entierement arbitraire, on
pourrait établir la condition
v
“
= —— Yi
mire e)
ce qui nous aménerait à l'équation (17) de sorte que ç fut égal à d;
mais cherchons d'autres modes pour déterminer les deux fonctions ¢ et 2.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 119
D'abord, si l'on exprime ces deux fonctions au moyen d'une troisième,
en admettant les relations
JR
résultat qui n'est au fond qu'une simple transformation de l'équation (17).
Evidemment, aprés avoir développé, suivant les puissances de y,
l'équation que nous venons de trouver, elle renfermera des termes hori-
stiques, et on en pourrait, par conséquent, tirer une solution uniformément
convergente. En déterminant, en méme temps, la constante » de manière
que la fonction » ne contienne aucun terme constant, nous aurons les
fonctions P et Q exprimées au moyen des formules
I v [raz
La e
Vt
,
pog e c Ar
Vr
qui permettent de déterminer les deux fonctions dont il s'agit de facon
qu'elles ne dépendent que des arguments qui figurent dans 7 ou bien
déjà dans X. Donc, si lon suppose que la fonction X ne contienne,
outre un terme constant, que des termes périodiques, il sera toujours
possible de parvenir, aprés avoir obtenu une solution particuliére de
Péquation (20), à l'intégrale générale de l'équation (7).
Mais on pourra aussi opérer la détermination des deux fonctions ç
et z de la maniére suivante. — | 7
Si l'on établit. l'équation
(a1) + M RS SR UN es &
da?
120 Hugo Gyldén.
| étant une constante encore à notre disposition, il restera, pour dé-
terminer la fonction 2, celle-ci:
l = ave
(22) d (es) varie
et on en conclut la formule suivante:
eram | 9 u
Seat A "++ erde,
U
qui sert à calculer z de proche en proche.
in considérant la relation
fe + e) f e" da E Go cte) —c\e" — 2y f (ie + ç} — cede,
où lon a désigné par c une constante surabondante qu'il faut déterminer
de maniére à avoir le facteur
ee:
exempt du terme constant, l’expression precedente de z se transforme
aisément en celle-ci:
er.
(i4 gy —c)
(* +0 4271 + e) — 4
Nia
Cg ey.
Mais avant d'aller plus loin, E à déterminer la fonction ç-par
intégration de l'équation (21).
7. Supposons m ait:
X =a, +, cos H, + a, cos H, 4- ... + a, cos H,,
n*
les 4 ,4,,...,a, étant des coefficients positifs, et les arguments H,
donnés au moyen de la formule générale
Hz = 0,0 T b,.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 121
Ensuite, posons:
P = Pi A bee
et determinons la fonction e, au moyen de l'équation
d'g,
dec p ERE
Il s’ensuivra:
Ay
P = aa pod, + Fa peor Hy, +. + ba pes.
Maintenant, en formant le produit g,X, et en ne considérant que
la partie constante y contenue, la condition que le second membre de
l'équation (21) soit dépourvu du terme constant, s'établit immédiatement,
tant quelle est indépendante des termes qu'on va obtenir dans les ap-
proximations suivantes. La condition dont nous parlons s'exprime au
moyen de la relation
TL ns uc E i aa
(a) F= a, +; F2 un
2 oi + l? 2 où + l?
2, +1:
Evidemment, si la valeur de a, est positive, l'équation que nous venons
d’etablir, admet toujours une racine reelle et positive.
Mais, si, au contraire, a, a une valeur negative, distinguons alors
deux cas: l'un où l'on a:
0
I ai La; IR
ES ER On 210,
as ae
et l’autre où l'inégalité
I a? La; Ta,
a = ae es ë = <0
pe zeti aie oe he
subsiste.
Dans le premier cas, il y a évidemment une valeur de /’, entre o
et + co, qui satisfait l'équation (a): en effet, la somme
a:
n
Mere?
o, + U
D | -
inc BL
qui, selon lhypothése, est positive, si /^ est disparu, reste toujours con-
Acia mathematica. 17. Imprimé le 1 juillet 1892, 16
122 Hugo Gyldén.
tinue, autant que 7? est positif, et prend une valeur négative lorsque /*
acquiert une valeur suffisamment grande.
Dans le second cas, écrivons — /? au lieu de /^ et désignons par o
la plus petite des quantités e, e, ,.... Or, la valeur de
I. (eR d dens,
F— a, Tg spe fi.
étant négative, si J? est égal à zéro, et continue, /* ayant une valeur entre
o et o", nous en coneluons qu'il y a une valeur de 7’, entre o et c,
satisfaisant l'équation (a), mais il en peut aussi résulter une racine, à
peu prés égale à a,. L'équation dont il sagit a donc toujours au moins
une racine réelle, qui peut aussi étre considérée comme une petite quantité,
pourvu que les coefficients 4,,..., a
petites valeurs.
, ainsi que les o,,..., c, aient de
Aprés avoir ainsi determine une valeur approchée de /* et en consé-
quence trouvé une expression approchée de ¢,, passons aux approximations
suivantes. On aura d'abord la fonction e, en intégrant l'équation
dig, ME
da?
a =V — 9X.
Dans le courant des approximations successives, il y a lieu de faire
une remarque importante. En établissant le produit g,X, il en pourra
déjà résulter une partie constante qui se rejoint à l'équation (a), et qui,
par conséquent, tend à modifier un peu le résultat qu'on venait de
trouver dés le début. Cela arrive toutes les fois que quelques-uns des
arguments H, sont des multiples de quelques-uns des autres H,. Mais
en continuant les approximations par la voie indiquée, on retrouvera,
du moins dans l'expression de c,, et dans celles des fonctions sui-
vantes, les arguments d’où dépendent les termes de la fonction @,.
Il s'ensuit que les approximations consécutives nécessitent des incréments
à ajouter au résultat qu'on a obtenu d'abord relativement à /. Que
ces incréments tendent à augmenter la valeur positive de /?, ou bien à
diminuer sa valeur négative, cela se comprend par le fait que tous les
nouveaux termes entrant dans la fonction ¢ sont positifs, pourvu qu'on
y fasse 1? égal à zéro. De cette circonstance, on conclut aussi la con-
vergence des approximations successives, d'ou découle immédiatement celle
/————— Á
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 123
du résultat final, vu que chaque approximation ne donne qu'un nombre
fini de termes. En effet, plus la valeur positive de /? est sensible,
moins s'agrandit g par le procès d'intégration: et puisque les approxi-
mations successives tendent à agrandir la valeur positive de 1’, on finira
Xn
par avoir le rapport a X, étant égal à 1? — e, , X, moindre que
l'unité. A partir de là, les résultats des approximations consécutives
diminuent en raison hypergéometrique. Rien n'empéche cependant que
le résultat ne converge, la valeur de / étant négative; seulement, on
ne saurait, d'une manière aisée, mettre cette convergence en lumiére sans
avoir recours aux valeurs spéciales des constantes entrant dans la fonction X.
Ayant ainsi obtenu le résultat que la fonction ¢ s'exprime au
moyen d'une série trigonométrique, uniformément convergente et exempte
du terme constant, revenons à la formule (23).
8. Si nous désienons par /,, h,, ... les parties constantes de
o 2 4
€!,€',..., et que nous ne considérions que la partie exempte du signe
n nous aurons tout de suite l'équation de condition que voici:
I
P uS e(1 + 3h, + 5h, +...) — 0,
d'ou s'obtient la valeur
WN Ion
=
+
ensuite, apres avoir admis le developpement
Ze en are
on peut établir l'expression suivante, qui donne approximativement la
fonction 2,
à = — 296.
Cependant, la structure algébrique des résultats qu'on pourrait obtenir
en étendant plus loin l'application de l'équation (23), devenant fort com-
pliquée, je préfére l'emploi de l'équation (22) comme base des recherches
sur la fonction z. En mettant dans la dite équation,
de
da
124 Hugo Gyldén.
nous aurons immédiatement:
d’o
dt En }
Fe eae Sc erg
ou bien, en vertu de l'équation (21), celle-ci:
dg 2 2 7
(24) Apt ns +v’+X=o.
Si nous remplacons € par deux nouvelles fonctions, U et V, de ma-
niere à avoir:
C= U-+ I,
nous pouvons les déterminer de facon que chacune d'elles ne depende que
des puissances paires de v. De la sorte, si » était imaginaire, les deux
fonctions dont il s'agit deviendraient néanmoins réelles.
Par la condition admise, l'équation en € se divise dans les deux
suivantes:
dU 2 2 2772 2
Eu 2* y UT 437? 4g? x eme,
(25) ee
b 2 1-19 y 6,
d’où lon tire, en différentiant la première, et en remplaçant les premieres
dérivées de U et de V par leurs valeurs tirées de ces équations elles-mémes,
le résultat
(26) ran
Mais la premiere des equations (25) nous donne:
Bu u
de sorte que nous pouvons remplacer l'équation précédente par celle-ci:
d’U dU dX
(267) aub AXU + 6US- + 40° =
da
Cette équation du troisiéme degré se transforme aisément en une |
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 125
équation linéaire du troisième ordre, du reste bien connue: en effet, si
l'on introduit la fonction y au moyen de la relation
dy
ipa
| 2147’
il résultera:
da d; dX
(27) aoc qe Sea (up sro
équation qui s'écrit aussi de la maniere suivante:
d? dy d’; dy d? 2t
rt a + DEX 420 +L =o
dx dx’
On en t3 immédiatement une intégrale, à savoir:
; d*y dy
(27) + (Z) + 20 + DX ri,
27° étant l'arbitraire introduite par l'intégration.
Ayant trouvé la solution d'une des équations (26), (26’), (27) ou (27’),
la difficulté principale de notre tàche est surmontée, vu que la fonction
V, encore indéterminée, s'obtient au moyen de la formule trés simple:
y bg uu (const. — el x
ET const. eR
— ES
En introduisant cette valeur de V, ainsi que celle de U exprimée
par y, dans la premiére des équations (25), nous retrouverons tout facile-
ment l'équation (27^, et il en résultera simultanément la valeur
const. — -
Mais, on pourrait aussi chercher la fonction V d'une maniere directe.
Dans ce but, nous tirons de la seconde des équations (25) la suivante
A dU
oo Sang
126 Hugo Gyldén.
en introduisant dans la premiére des équations (25), au lieu de U, la valeur
nous retrouvons l'équation (20), excepté que V aura pris la
place de 7. Nous en concluons l'égalité
Tale
Egalement, il sera facile d’établir une relation simple entre la fone-
> ,
tion y et celle que nous avons désignée, un peu plus haut, par f. En
effet, si nous admettons:
1+d—Vi+7,
on retrouvera l'équation (17), à condition toutefois qu'on ait:
gel
Nous retomberons donc dans la formule déjà établie
I
V= 7) "erp pes: quyy I
Maintenant, puisqu'on a:
dy
lx
PS
i 1 +9’
on arrıvera immediatement au resultat
de dé -
dx da
er: uate eigen
ce qui donne
à h
| «dz = v fd + log - E ;
— v f'dz +6 — g ; (y ER
Wie
La différence ¢—g qui entre dans la formule signalée, s'obtient
directement en vertu d'une équation différentielle du second ordre que
nous allons déduire maintenant.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 127
vr
En supposant d moindre que l'unité, l'équation (17) sécrit de la
maniére suivante:
d + [X — 3/9 + 6/9? — 10/9? + ... ——X—yv5
dx >
(171)
la différence entre cette équation et l'équation (21) nous donne immédiate-
ment:
ce? + [X — av — e)
a) is (32? — le E 6y*g* a Loy*d* an Et
Mais puisqu'on a:
p=p—v+e; EE CT) DE me AU) EE ET oy
l'équation précédente se met sous la forme qui voici:
d*(o — @) > 2 ,
(28). o + [X — 3v* + 12g — 30v'g* 4... (9
+ 6v (9 — g)* — xov (9 — eg) +
=, LEE (3p? — lo
Il est visible par là que la détermination de la différence ¢— c
s'opère, à peu pres, de la méme manière que celle de la fonction 4;
l'introduction de la fonction e parait done inutile. Néanmoins, si le second
membre de l'équation (28) est trés petit, la différence 4 — ge deviendra aussi
trés petite, de sorte que les approximations conduisant à l'intégrale parti-
culiére de cette équation convergent rapidement: dans ce cas, l'emploi de
ladite équation est à préférer à celui de l'équation (17), vu que la fonction e
s'obtient, par l'intégration de l'équation (21), d'une manière relativement
facile.
e)
Gyre =F cs.
9. A ce qui concerne l'intégration des diverses équations qui se
sont présentées, l’une après l’autre, dans les n 6 et 8, il y a quelques
observations a faire.
La plupart des équations dont j’ai parlé renfermant des termes hori-
stiques, on saurait généralement en tirer une solution dont la convergence
serait uniforme; cependant, ces termes pouvant s'annuler, certaines con-
ditions étant satisfaites, il paraît nécessaire d’étudier séparément les diffé-
128 Hugo Gyldén.
rents cas qui peuvent se présenter. Mais sans entrer dans le détail d’une
analyse qui serait d'intérêt, plutôt pour la théorie des équations linéaires
que pour les recherches sur les mouvements des planètes, je me borne à
envisager le cas où la quantité v* aura disparu ou du moins sera trés
petite, et encore à traiter l'intégration de l'équation (20).
La condition que »* soit égal à zéro, s'exprime au moyen de la
relation B
Ge DU
a, étant toujours le terme constant dans l'expression de X. Ce résultat,
s’obtenant sans calcul en vertu de l'équation (24), peut étre vérifié au
moyen de l'équation (20).
En effet, si l'on met dans cette équation v égal à zéro, elle devient.
—- 12)
I3 y EQ t à
et si l’on y introduit:
d’n dy
da? dU da
= — 2 ——— ,
I-F-7 da I+n
dy
E ao
Dc;
: oa > ee AD,
la relation mentionnée sera retrouvée, vu que la dérivée 7, ne peut
€
contenir aucun terme constant.
Supposons maintenant qu'on ait y exactement égal à zéro; l'équation
(26) devient alors:
d’U dX
p ir m Nul UE DES
(26 ) dat 2XU ail TE
dont le terme horistique — 2U* ne disparait aucunement.
Admettons le développement
TSU, Asie Bel,
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 129
et désignons par g une constante que nous supposons également donnée
au moyen d'un développement, à savoir:
I = Do + 20 + 921 + so + 951 + 9: +.
Cela étant, nous allons déterminer les divers U au moyen des équa-
tions suivantes:
d* U ax
us (24 + 9)U, LA
d*U, T3 T
D NE EP (2a, Sr g)U, = 2(X — a,)U, + 205 — 9.0:
d?
E EZ (X 0 0, - ERU, - 60D? 4- aU?
da
— 9100; —:g3 4 U, — 92103;
d* U
E (2a, + U, = 2(X —a,)U, + 6(U; + USU, + 2Ui
+ 6U$(U, + U,) + 120,U,U,
— a1 Us — 939 Uy — (gio + 925 + 931) Us
— so Us — 932 Uy — 34 Us
etc.
Evidemment, les divers g sont introduits afin de rendre les seconds
membres des équations établies si petits que possible, mais il ne sera aucune-
ment nécessaire en remplir exactement cette condition. Les g, pouvant
ainsi étre choisis en quelque sorte à volonté, on peut les déterminer de ma-
nière qu'ils soient toujours positifs. En désignant par A” la partie constante
de U}, par AP la partie constante de UT, et ainsi de suite, puis, par
fios feos feas +. des constantes positives, on pourra établir les formules:
en (0)
io = holt”,
Ai a). el (i)
Io = fio f$; fii = fal,
LL (2). ET (2). Pen (2)
Iso holy ; Isa = fs $55 Is2 = heals
etes
Acta mathematica. 17. Imprimé le 4 juillet 1892. 17
130 Hugo Gyldén.
et, après avoir introduit ces expressions dans les équations ci-dessus, il
sera facile de choisir les valeurs les plus convenables des constantes f,
choix, qui en effet doit être dirigé selon les données numériques de
l'équation proposée.
Cela fait, on p à l'équation
NE
Go) g aa x (em + 2a, ze (on + 2a, + 9)? Ux > (om + 2a, + 9)(o, + 2a, + 9)
a EE
où lon a désigné par N,,, N,
m) mn >
... des coefficients positifs constituant
une série dont la convergence est celle d’une progression géométrique.
De cette équation, il résultera nécessairement une valeur positive de g, ce
qui entraine la convergence de la série
Ug pap
laquelle, en effet, peut être trés rapide si g acquiert une valeur considérable.
En supposant que la fonction U soit finalement exprimée par la série
U =), sin H, + 2; sn H, +...,
les 2 étant des coefficients constants, et les H, des arguments dont une
partie se trouvent déjà dans la fonction X, on aura la condition
cur
D | =
(31) Ur
qui doit être satisfaite, pour avoir le coefficient » égal à zéro. Il y aurait
done, si »* n'était pas exactement égal à zéro, deux équations, à savoir
les équations (30) et (31), qu'il faudrait résoudre simultanément, si l'on
voulait en méme temps trouver l'intégrale générale de l'équation (26") et
déterminer la valeur de Ja constante « entrant dans l'équation (7).
Dans le cas envisagé derniéórement, c'est à dire, si »? avait une valeur
très petite mais différente de zéro, on pourrait intégrer l'équation (26) au
moyen d'approximations successives, mais on trouverait aussi l'intégrale
cherchée en utilisant la méthode que nous avons présentée dans le n° 4
du paragraphe présent.
10. Considérons encore l'équation (20) qui parait s'accommoder le
mieux à la détermination de la constante y?.
——
pu» Er, ve
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 131
: 7 ^ ; À , A
En développant suivant les puissances de 7, on peut d'abord s'arréter
à l'équation que voici:
(32) La NE [2x — : (2) + 6» ‘fr = 2X +2 +2 = (2),
da da
où il sagit de déterminer la constante »? de manière que la fonction 7
ne renferme que des termes périodiques.
Supposons, comme dans les numéros précédents, qu'on ait:
X =a, + a, cos H, + a, cos H, + ...,
s : i»? ;
et designons par — e* la partie constante de 2x—3 (7) + 6y?, de sorte
que e? soit donné au moyen de l'expression
e? = — 2a,— 6° + = jm (2):
da
Cela étant, admettons le développement
9.5535 e/g ee
et remplacons l'équation posée par le systeme
(33) = th x en, TE 2X — 2T (X)
évidemment, la constante vy? doit satisfaire à la condition
o = 2a, + 2v! += HC )+ 2 T (X) qd.
de sorte que cette constante ne figure plus dans le systéme signalé.
De l'expression précédente de e’, on tire maintenant celle-ci:
h = 4a, eem) eedem +...
132 Hugo Gyldén.
où il faut, pour avoir une valeur préalable de e’, introduire, au lieu de
7, sa valeur approchée 7,.
L'intégration de la première des équations (33) nous donne tout
de suite:
2a,
Ue = om vd EGO
d'ou s'obtient:
m dz, Aou 2ai8, 24} 6}
2) legs xe t |
a a;
o—e gi—e'
Avec ces valeurs, on trouve immédiatement l'équation
ai(oi + e?) , ante)
CIN CET.
(34) e = 4a, + 6
d'où il résulte toujours une valeur réelle de e*.
Ayant déterminé la valeur de e?, celle de »* en découle facilement,
vu qu'on a:
‘ 22
aia; (5 0 |
6y? = — e? — 2a, + stat)
expression qui se remplace facilement par la suivante:
aï(ai 26°) ay(o, + 2e?)
Gey Tier)
(35) = — a, —; te
On voit par là que »? est négatif toutes les fois que a, garde une
valeur positive, mais que, si a, est négatif, y" peut passer par zéro et
méme devenir positif. Et encore, bien que e* soit une fonction de a,, ce
qui est d'abord visible del'équation (34), cette derniére quantité entre dans
l'expression de »? principalement comme terme additif sans être mul-
tiplié par aucun autre facteur que l'unité. En conséquence, si l'on va
chercher la solution de l'équation (7^, à savoir de celle-ci:
A
ums
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 133
une fonction horistique se trouvant dans a, entrera comme terme additif
dans les dénominateurs des divers termes dont la somme constitue la
fonction y.
En continuant les approximations que nécessite l'intégration de l'équa-
tion (20), on se convaincra facilement, soit de la convergence des ap-
proximations successives, soit de celle des séries trigonométriques, par les-
quelles sont représentés les résultats obtenus dans les diverses approxi-
mations.
En effet, les conditions rigoureuses qu'il faut remplir étant celles-ci:
S
dcs 20 c GET D— 7. — 2y* T (55),
3m | Mz | T
ao 2a, + 2»! +27 =e + 6° T(7°)
dzV*
ee) re
ap 24 (7 ) 2 \1-7? 2) 7 ?
il est immédiatement visible que la valeur de la fonction 7 ne peut se
rapprocher trop de l'unité, vu qu’autrement la valeur de e* deviendrait
trés grande, ce qui rendrait, à son tour, les coefficients x et, en consé-
quence, toute la fonction 7 assez petite. S’etant ainsi assuré que les ré-
sultats des diverses approximations ne peuvent pas différer beaucoup l'un
de l'autre, on ne doutera pas qu'on ne parvienne finalement à un résultat
définitif. Néanmoins, les premiéres approximations pouvant, dans un cas
critique, s'écarter plus du résultat vrai qu'il n'était désirable, on pour-
rait, dans un tel cas, pousser la convergence des approximations successives
au moyen de certains artifices de calcul, dont je ne tiens pas, cependant,
nécessaire de faire mention ici.
Mais examinons encore la convergence du résultat qu'on obtient dans
une certaine approximation.
Dans ce but, écrivons d'abord l'équation (20) ainsi:
, d^,
det en een Ns
134 Hugo Gyldén.
où lon a désigné par N une somme de termes trigonometriques dont les
coefficients sont déterminés en vertu des approximations précédentes. N’en
mettons en évidence que les parties principales. Les voici:
7 7 3 dn\*
EL ANI og Kes — (7) +
D | Geo
b 2
(2) + 6°77 +...-+ partie const.
da
En substituant, dans cette expression, la valeur de 7 qu'on a déjà
trouvée il en résultera un développement de la forme suivante
N= WN, cosH, + N, cos H, +...
+ N,,cos2H, + N,,c0s2H, +...
Jte
+ N;5 cos (H, + H,) + N, ,cos(H, — Hj) +...
een:
Cela posé, la fonction 7 s'exprime au moyen du développement
(36) 7: A608 el pax, eps dr
+ x,,cos2H, + x, cos2H, +...
ds
+ x, cos (H, + H,) + x, cos (H, — Hj) +...
S ERE o Us
où les coefficients sont des quantités qu'on obtient au moyen des formules
N m.n À Nm —R
== — . = POI, = À
(Gn Ar On)” >= gi" ds (On >= On)” EIL Gr
Am n
L'équation qui sert à déterminer e^ est maintenant, à ne tenir compte
que des termes du deuxiéme degré, celle-ci:
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 135
2 gr 4 2-74
€ = 40, IAA b OX t.:-
+ 4%. + 405a +...
ose
T (n + u + (nonni...
el
+ 3{a,x, + a,x, +...}.
Généralement, la quantité e? est sensiblement différente de zéro: si
elle est négative, la convergence du développement (36) est immédiate-
ment visible; ne considérons done que le cas où e? est positif. Admettons
encore que, si l’on pose:
(37) e = 34,2, + 309%, + M,,
la somme des termes indépendants de x,, que nous avons désignée par
M, soit une quantité positive.
Cela étant, l'expression par laquelle est donné le coefficient z,, devient:
N,
4 me mn à je)
05 =: 304 X5 Er: 36; Xa — M,
d'ou l'on tire l'équation du troisième degré que voici:
QS 2 2 ] E
(38) 390,X, + 30,X, iE (c, =. M,)x, Sars AN
Qu'on distingue maintenant deux groupes de termes dans l'ex-
pression (36): au premier groupe appartiennent ceux dont les arguments
se trouvent déjà dans la fonction X; les termes du second genre dépendent,
au contraire, d'arguments qui apparaissent en vertu des opérations exé-
cutées pour arriver à l'expression mentionnée. Les termes du premier
groupe sont marqués par un seul indice, ceux du second groupe, par deux.
Considérons d'abord un terme du second genre.
En formant l'expression du type (37), le terme dépendant de a, y
136 Hugo Gyldén.
manquera évidemment; et le terme analogue manquera également dans
l'équation (38), de sorte que nous avons:
2 3 2 —
3 Omn Xm.n [o MES) Xn.n + Ns a
De cette équation, il est facile de voir que les x, forment nécessairement
en forment une: car si 0°
m.n
une série convergente, pourvu que ies N,
e ")
m.n
était une quantité fort petite, l'expression approchée de x,, deviendrait:
x ER N a
*m.n Man ?
et puisque les différentes M, ne différent guère, m et » étant de grands
nombres, l'un de l'autre, la convergence des x,, est presque la méme que
était égal à M,
mativement, on aurait à peu prés:
celle des N,,,; ensuite, si o? ne füt ce méme qu'approxi-
mn? ) mn
n.n)?
: INS
$ M :
Xn n
formule qui montre que les x
des N
m.n*
convergent comme les racines cubiques
mn
Venons maintenant aux termes du premier genre.
Si l'on remplace, dans l'équation (37), @, par la valeur
) 2/7? n
An Ne 2 2 2 2
N, Fe (o; aee ) == RAC ie ),
n n
\ , . r a . a . .
où l’on a écrit, pour abréger, f, au lieu de NS il viendra:
n
2
2 2 2 2:72 /
Ca 3 d (o. ane ) Sr Zar =e M,.
On tire de là:
e? Au 9n On Xn + 305 X1 + M,
I + 3fn%a ;
et ensuite, par l'introduction de cette valeur dans la formule
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 137
on obtiendra:
N,O + 3fnxn)
PRET TR ; 372.5
B. M, "I3 305 Xn
ou bien:
3e, x, — (e, — Ma eee NF + 3/12)
résultat qui s'obtient, d'ailleurs, immédiatement de l'équation (38).
L'équation que nous venons d'établir se résout facilement, en mettant,
dans le second membre, la valeur de x, qui est connue par les approxi-
mations précédentes; et on en conclut, comme auparavant, que les x,
forment une série convergente ou méme limitée, pourvu que le nombre
des N, ou bien, ce qui revient au méme, le nombre des a, soit fini.
De la manière indiquée, on parvient à exprimer la fonction 7 au
moyen d'une série ne contenant que des termes trigonométriques, et dont
la convergence est uniforme.
11. Dans les derniers numéros, on a établi des méthodes pour in-
tégrer l'équation linéaire du second ordre dans laquelle le coefficient de
la fonction inconnue est un agrégat de termes trigonométriques. On y
a notamment trouvé les moyens nécessaires pour arriver aux développe-
ments numériques des différentes fonctions servant à exprimer l'intégrale
demandée. Passant maintenant à l'intégrale de l'équation complete (7^,
on sera amené à chercher le développement d'une expression comme
celle-ci:
(39) Bae St faeta,
où »* signifie une constante renfermant comme terme additif une fonction
horistique de tous les coefficients du développement de E, et où lon a
désigné par ® et z, deux développements uniformément convergents.
Mais bien que le développement de z soit uniformément convergent,
il pourrait toutefois arriver que la fonction if zdx ne le fit plus. Dans
un tel cas, l'usage de l'expression signalée parait d'abord défendu. Ce-
pendant, ‘en retranchant de z une partie z, telle que f z,dx s'exprime au
Acta mathematica. 17. Imprimé le 8 juillet 1892, 18
138 Hugo Gyldén.
moyen d'une série uniformément convergente, on peut choisir z, de ma-
nicre que le reste z, devienne aussi petit qu'on voudra. Donc, les fonctions
— | 29d. Zod r E Re . ^
eS et ef se développant toujours en séries uniformément conver-
gentes, on retombe dans une formule du type (39), à la seule exception
que z se trouve remplacé par z,, fonction dont nous considérons la valeur
toujours comme trés petite par rapport à y De*dx, 0, étant égal à del t,
Or, on obtient au moyen d'intégration par parties:
E=e” f De“ da — Cali Ji zes alt du ib De” da:
Lg n Deum er ib z, dx JT. Qe" dx
ei: Ent nit 2, eft dy fz, dz | D, eda,
de sorte que, si l'on admet la notation
Det = 2, | ‘D, eda,
la fonction E sera exprimée par le développement -
E=e" f 19, — D + 0, —... t 0, sje" da
Mais bien qu'on puisse généralement supposer que la convergence
e eo
du développement
p Due
soit trés rapide, il sera néanmoins utile d'examiner un peu plus soigneuse-
ment la nature du reste donné au moyen de la formule
R Ig vz— | zd | D, e Ef ez qe d
Admettons d'abord:
Ba C08 Ha cis COS EEE
et supposons que la série
Hist PIE I
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 139
soit convergente, mais qu'au contraire la série
Ts Ta
Dol aliqu:
soit divergente.
Maintenant, en désignant par A} ce que devient H,, lorsqu'on remplace,
dans la formule
H, = 9, X + b,,
?
la variable x par une autre &, on sait, en vertu des recherches de
M. Poincaré,’ que la série
7 (in H, — sin Hj) + 2 (sin H, — sin Hs) +...
est convergente, bien que cette convergence ne soit pas uniforme, et que
la somme tende vers une limite dépendant de la différence x — £.
Cela étant, et si nous nous réservons, aprés avoir exécuté l'intégra-
tion demandée, de mettre 5 égal à x, l'expression de R s’ecrit de la
maniére suivante:
& > > Yi. MA EY ret , ?
TU 2: PAN t d ve-+ = (sin H,—sin H',)+ ^ (sin H,—sin H';) +...
R =e” Sade { De + fade dx E | De CA CA dx,
LE u
formule dans laquelle on pourra developper, suivant les puissances de
a l'exponentielle sous le signe MH. Opérant ainsi, on par-
9,
viendra à des intégrales du type
es un f Pq sin HA, — sin Hj)" (sin H, — sin H;)"..,e"dx,
1.2. SN 2 1.255)... by
Tin, , Muse)
où l'on a désigné par n, , n, ,... des entiers positifs.
Je vais d'abord montrer que, en exécutant l'intégration qu'exige la
formule signalée, les dénominateurs of", o;?,... se détruisent en vertu
des facteurs sortant des opérations successives.
' Bulletin astronomique, T. I, p. 319 — voir aussi la note insérée par M.
CHARLIER dans les Astr. Nachrichten, T. 122,-p. 161.
140 Hugo Gyldén. =
Dans ce but, admettons la notation
ere
9, Gil
1.2.3...n,.1.2.3..n0,
qo zu
— @,,(sin H, — sin H;)" (sin H, — sin H;)™...,
ce qui donne:
(5"
6. "s : 2
DACA OF ES — it e f (sin H, — sin Hi)^ e" da.
On tire de là, en intégrant par parties, et en remplacant, aprés avoir
effectué l'intégration, £ par x ou bien, ce qui revient au méme, H; par H,,
Im, mer)
x: i i cos H, (sin H, — sin H})""" dx f po dr;
Do (ig t
ensuite, si nous posons:
cos H, ve Pedy = Woe
la formule précédente prend la forme
7 ny—1
"n (8)
9,
In, n...) = — e" f Vi? (sin H, — sin Hy)" ede.
I.2.3...(n, — T)
Mais encore, si nous admettons la notation
ACT ARI
= j 9$, (sin H, — sin H;)"(sin H, — sin Hj)" ...e*dz,
. eee . DD ges U
ce qui serait en pleine concordance avec la notation deja utilisee, nous
aurons:
Po cos RE En)
et:
TNS ts ae)
> n ni—1
(2)
an nt VX 1 iT QU Ani —1 pvr
prm uS ‚feos H, (sin H, sin Hye In, , n, , ..-)dz,
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 141
formule qui montre que déjà un facteur égal à e, est disparu du de-
nominateur. :
En continuant les opérations indiquées, c'est à dire, en posant de
proche en proche:
eng — cos H. dà pove*ds
Quo qas Ay | Pet ede;
on parviendra à la formule
= = yim) e
= me" perde,
De méme, en opérant de la sorte sur la fonction Z(n,,n,,...), il
s’ensuivra:
} pe 2 p—vx f" peo) ;
Dre reve TE Pf Der dx,
. D . . . . . . . . . . ,
et on parviendra finalement à l'expression
T(9)— etf 0$, e dz.
Concevons, pour mieux mettre en lumière les résultats auxquels nous
sommes déjà arrivés, un exemple spécial et assez simple. Dans ce but,
ne considérons qu'un seul des termes dont la somme est désignée par le
symbole ®,, et supprimons en le coefficient qu'on mettrait inutilement en
évidence. Donc, en supposant:
iA —iA
D, =e zs € it
nous aurons tout de suite:
ei Ax egi
rw
Za
Il s'ensuit, » étant le dernier des nombres »,, »,,..., ainsi que H le
dernier des His #7. A Ss
142 Hugo Gylden.
; 14 gAPHURL I en MENT “ag nc
ie ie
A lv-ab yma op T vd
ly (eel gem) —_ 4 (gh FRE osi)
2 2
e y? ES FE
I vitta uet ES Em nie) RE tA (giha—iH g-riH)
2 2
DES
Inutile de continuer plus loin le caleul; car on voit immédiatement
que la fonction /(n) se compose d'un nombre fini de termes, chacun
ayant pour dénominateur le produit de n + 1 facteurs de la forme
v? + (A + mo)’,
m étant un entier n'excédant pas #. Et que la puissance 7" divisée par
un tel produit sera toujours très petite, cela se comprend parce qu’on
peut choisir les 7 aussi petits qu'on voudra, mais encore parce que la
quantité vy” contient, selon l'hypothése, une fonction horistique de tous les
coefficients figurant dans la fonction E, et par conséquent, aussi dans le
reste f.
On conclut de ces considérations que la fonction R se développe,
suivant les multiples des divers H, dans une série uniformément con-
vergente.
Les résultats que nous venons d'obtenir nous permettent d'accomplir
la résolution de la question entamée dans le n° 2 du paragraphe actuel;
car la seule difficulté y restant a été levée par notre méthode générale
d'établir l'intégrale d'une équation linéaire du second ordre avec un
coefficient de l'inconnue renfermant plusieurs termes périodiques.
Ces résultats suffiront encore pour établir, d'une maniére absolue,
le développement de l'intégrale de l'équation (53, $ 2), aussi que de
celles de plusieurs autres équations que nous avons rencontrées dans les
pages précédentes.
12. Avant de mettre un terme aux considérations générales que
suggere lemploi des équations résultant de nos transformations dans les
paragraphes 5 et 6, voici encore quelques réflexions utiles.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 143
L’admission du principe sur lequel reposent les dites transformations,
amenait inévitablement des termes dépendant de la troisieme dérivée de
l'intégrale cherchée; néanmoins, on put conserver la forme des équations
différentielles du second ordre par la raison que ces dérivées étaient
multipliées par de très petits coefficients du premier ordre, ce qui per-
mettait d’en remplacer la plus grande partie par une fonction connue.
Cependant, comme on a déja remarqué dans le n° 4 du paragraphe 5,
la poursuite de telles éliminations ne conduit pas à un résultat jouissant
d'une exactitude surpassant une limite déterminée, bien qu’on puisse de
la sorte s'approcher de l'expression rigoureuse de l'intégrale cherchée de
manière que l'écart inévitable soit tout à fait insensible dans les calculs
numériques. Mais on a aussi, d'un autre cóté, révélé le moyen de par-
venir à une solution exacte. En effet, la quantité ©, donnée par la
formule (15) du paragraphe 5, étant extrémement petite, la fonction qui
résulte de l'intégration de l'équation (16) du méme paragraphe, est aussi
fort petite, vu que 9, ne doit plus contenir de termes sensibles s'agran-
dissant par l'intégration. On aura done, au moyen d'approximations
successives, l'intégrale de l'équation (16).
Mais entrons un peu plus profondément dans le détail de la mé-
thode que nous avons mise en usage pour débarrasser l'équation trans-
formée des termes dépendant de la troisiéme dérivée, et cherchons en
la portée.
Evidemment, cette méthode repose, au fond, sur le remplacement de
l'équation du troisième ordre par un système de deux équations dont
lune est du second ordre et lautre du premier. En effet, si nous ad-
mettons la notation
d’z
— + Y 2 L,
1
ce qui entraine:
d’z HD RAR da
a hae
nous aurons, en introduisant, dans l'équation (14) du paragraphe s, cette
valeur de la troisiéme dérivée, une équation du second ordre par rapport
à z, mais qui renferme, outre z, la fonction inconnue Z. D'autre part,
nous aurons, pour déterminer la nouvelle inconnue, au lieu de l'équation
(28), une 'équation du type i
144 Hugo Gyldén.
dL
(40) L=N+S,—¢>,
ce qui revient à avoir mis, dans l’équation (14, $ 5), 2+ S, à la place
de 2. En conséquence, nous aurions au lieu de l'équation (15, $ 5),
celle-ci:
:
2,= 24+ S, — Y,y, — Y,y, — Y,y, ——
Nous allons voir qu'on pourra déterminer la fonction L de maniére
que le reste de la solution de l'équation (40), que nous admettons iden-
tique avec S,, soit une quantité trés petite ne renfermant que des termes
périodiques dont les périodes sont extrémement courtes. Donc, la fonction
S, qui figure dans le second membre de l'équation (16), étant en elle-
méme trés petite, ne peut donner, par l'intégration, naissance à des termes
sensibles.
Pour montrer la propriété de S, que nous venons de signaler, ad-
mettons le développement fini
L-— U, 4 gU, + gU, t... gU, +R,
et déterminons les fonctions U,, U, , ..., U,, R au moyen des équations
de condition
IESU
Zi em Lo dU,
( +7) i FE “doi |
de = dU,
(: x 25) U, ^ dv
de dU, 4
S TER
REG ee
dv v
Evidemment, si l'on a désigné par » un nombre trés grand, de sorte
"EE, ^ ET. RE
que le produit ne peut étre considéré comme une quantité de l’ordre
av
zéro, bien que sa valeur soit inférieure à l'unité, les fonctions U, tendent
meu ALY BED DNO ma tm
nn med a e^ ame T ym ys
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 145
; . 32 j : de
à s'agrandir considérablement: d'abord, parce que le dénominateur 1 + T
av
peut acquérir des valeurs voisines de zéro, et encore, parce que les
opérations successives font naitre des termes trigonométriques dans les
fonctions dont il s'agit, dépendant des multiples trés élevés de v, ce qui
fera ressortir, en effectuant les différentiations successives, de grands fac-
a : Ter
teurs. En désignant par ¢ la valeur maximum de la fonction ^ , on peut
dv
estimer la valeur maximum de U, en raison de celle de U, au moyen
de l’expression
2 2 2 un
Decor NEBEN
- AT I ß
done, si n n’excéde pas considérablement la valeur de —, le produit
VE
signalé sera une quantité trés petite. Mais le nombre » peut sortir
dU,
beaucoup. hors.de cette limite sans que le produit 9 cesse d'étre
4 (d
une quantité extrémement petite.
Cela étant, divisons le produit dont nous avons parlé tout à l'heure,
en deux parties V, et W,, de sorte que la premiere renferme seulement
des termes de méme nature que celle des termes de la fonction N, et la
seconde, des termes à périodes trés courtes. Or, on pourra appliquer le
procédé précédent a l'équation
dh.
dv
EN E E Luc
et égaler le reste S, à W, + S,. De la sorte, on obtiendrait une valeur
trés petite de R, mais aussi trés exacte, de facon que le nouveau reste
S, sera extrémement petit en comparaison avec le reste $,.
Ainsi, on peut continuer les approximations aussi loin qu'on voudra,
et de cette manière obtenir les fonctions cherchées avec une exactitude
illimitée.
Acia mathematica, 17. Imprimé le 15 juillet 1892. 19
146 Hugo Gyldén.
CHA PITRE IM.
Applications aux inégalités des planétes.
Les matiéres que je viens de traiter dans les chapitres précédents
étant accrues considérablement malgré moi, il me faut limiter le plus
possible l'exposé des applications qu'on en pourrait faire aux théories des
planètes. Je m'arréterai done a seulement mettre au jour les principaux
traits des grandes perturbations dépendant des arguments astronomiques,
ainsi qu'à essayer de répandre quelques lumières sur les inégalités dites
librations. Mais je vais ajouter encore quelques remarques relativement
aux restes des solutions supposées mises en nombres, prouvant qu'on
pourra, en effet, rendre ces restes aussi insignifiants qu'on voudra, bien
qu'une partie d'eux contiennent une infinite de discontinuités.
§ 8. Inégalités dépendant d'arguments astronomiques.
1. La détermination des inégalités du rayon vecteur ainsi que celles
de la latitude s'opérent en intégrant un système d'équations différentielles
du type que nous avons envisagé dans les équations (47) et (48) du pa-
ragraphe 5. Ces équations étant du second ordre et du troisième degré,
on peut les remplacer par des équations linéaires toutes les fois que les
membres de droite ne contiennent pas de termes critiques. Mais comme
il y a toujours une infinité de tels termes, bien que leurs coefficients
soient généralement extrémement petits, il convient de conserver des l'abord
la forme plus rigoureuse des équations dont il s'agit.
Considérons en premier lieu le systéme (47), dont les diverses équa-
tions sont plus simples que celles du systéme (48), et admettons le dé-
veloppement
(2) = — Xr, cos ((1 — o,)u — B,).
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 147
Quant aux coefficients 7,, dont la convergence est celle d'une progression
géométrique, nous en supposons les plus grands du premier ordre et du
premier degré; nous admettons de plus que le coefficient d'un terme cri-
tique soit tout au moins du troisième degré.
Maintenant, après avoir remplacé dans les équations (47), H par
2H H, par LH etc., ce qui rend plus simples les opérations à exécuter
sans déranger l'identité de la somme des équations dont il s'agit avec
l'équation (39), nous allons établir l'intégrale de la premiere d'elles. Le
résultat s'écrit immédiatement ainsi:
(1) V, = xcos((x — 9u — D)
+ CR ER, — p,)u — B,),
ei
zi
4
x et /' étant les deux constantes arbitraires et c, une quantité qui s'obtient
au moyen de l'équation
3
(1 — à" = — Hh — A.
Avec l'expression trouvée, où la fonction horistique H figure encore
comme une quantité indéterminée, il sera facile de former le développe-
ment de
Cre) + — AV,
du
ainsi que celui de
Dem, eck
Lf = |o — AV; je = ^
Y du cu
Dans ces formules, ainsi que dans plusieurs formules précédentes
de méme nature, on a supposé f du premier ordre par rapport aux
forces troublantes, mais cela n'était pas inévitable. Au contraire, on pouvait
égaler, sans inconvenient essentiel, cette quantité à zéro, ce qui rendrait
un peu plus simples les seconds membres des équations (47) à partir de
la deuxième.
Maintenant, si nous déterminons H, de manière à débarasser la deuxième
des équations (47) du terme dépendant de l'argument (1 — ju — Ff,
148 Hugo Gyldén.
nous aurons, en omettant la partie s'évanouissant avec les facteurs du
premier ordre,
H, = ate ase oe
(v. + 5 8,4)
équation dans laquelle nous avons employé la notation
8, = (1— 0) — 1 + ff.
De Véquation que nous venons d'établir, on peut tirer une valeur
préalable de H, en identifiant cette quantité avec H,; mais il peut arriver
qu'on s'arréte ainsi à un résultat intermédiaire bien différent du résultat
=
D
—
cherché, à savoir de la fonction horistique totale. Or, on arrive à un
résultat plus satisfaisant en opérant de la maniére suivante.
Considérons la deuxiéme des équations (47), et portons dans les termes
de son second membre, termes que nous avons d'ailleurs mis en évidence
un peu plus haut, l'expression obtenue de V,, ainsi que celle de y que
nous supposons connue: de la sorte nous parviendrons à l'équation que
voici:
zn. NL
du? RAP PI 3h ) V, = — 2x’g, cos ((t — 7,)u — C,)
s
=> cos ((1 — 7) — Cnn)
De — “8 jal
NS NS > Ibn by - COS ((1 L— Toa) U ro Cnn")
i
(1.43 "n a) (o f. H)
PAN >» m NE 3 Aue ere cos (( I On nin VU SE Bann’):
a mm oo (1.43 Bs i) (+2 P, H) (+5 > B. H)
Dans cette équation, on a employé plusieurs notations nouvelles:
on a d'abord désigné par g, des quantités de méme nature que les 7,,
par 7, des quantites analogues aux o, par C,, des angles constants, et
on à en particulier admis le développement
Ax = Dig} cos ((1 — z,)u — C,).
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 149
On a ensuite désigné: par h, et 4, certains coefficients, comme les 7, et
les g,, tout au moins du premier ordre et du premier degré; par z,,, des
sommes des coefficients c, o, et z, chacun multiplié par un nombre entier,
positif ou négatif; par C,,,, de semblables combinaisons des angles /', B,
et Cy; par z,,,, des combinaisons analogues de o,, a, et 7, ainsi que
par C,,,,, des combinaisons de B, , B, et Cy; par a et D,,,, de pareilles
sommes des produits de trois o, ou de trois B, avec certains nombres
entiers. Finalement, les p,,, signifient certains coefficients contenant un
facteur purement numérique multiplié par f.
Maintenant, si nous admettons encore les notations
UE Ex) — zl: Ay
B, uw" == (g^ t cuu). m i T P»
© un"
l'intégrale de l'équation précédente sera donnée au moyen da la formule
suivante, où l’on a supprimé tout terme dépendant de constantes arbi-
traires nouvelles:
CNE - o Un — eos ((1 — 7,)u — C,)
Qi. © SAH
P Y S (IPM IONS — - eos ((1 — z,,)u — C,,)
3
nn = p. i) (o g,H
Onn + ar: dr 4, )
de DE »n D = bab br cos ((1 — 7,,,) * — Cyr)
3 3 3
nnn" $2 3, H , =p Hl) (9 = B. i)
(e s ik n um
RS Se eee cos((t — eu) —
(Inu + Str) (oe 3 BH) (+30) (the 3)
Ayant obtenu ce résultat, il faut l'introduire dans la troisiéme des
équations (47). A cette occasion, on. déterminera la partie H, de la
fonction ‘horistique totale, en satisfaisant à la condition que nul terme dé-
D ).
150 Hugo Gyldén. =
pendant de l'argument (1 — c)u — /' n'apparaisse dans le second membre
de l'équation mentionnée. Par cette condition, on sera conduit à une
expression de la forme
A,
np hnpc y e eue de
= E
Onn + 8,1) (+ In "|
4 a
der
+) SINE 7 —,
a te 4, + 3 ierit
| (om i) (9. 3) (9. 41]
-EXY ie
E | (b + 3 B, H) (». + ua i) (v. ar 3g i) (4. a 38 i) | x
TD 4 4 ae?
les coefficients A étant tout connus et respectivement du deuxième, du
quatrième, du sixième et du huitième ordre.
En réunissant les équations (2) et (4), et en identifiant H, + H,
avec H, on aura une nouvelle équation d’où l’on pourra toujours tirer
l
une valeur réelle et positive de H. Certes, cette équation sera trés com-
pliquée, mais il faut toutefois se rappeler que, si l'on s'arrête aux termes
d'un degré pas trés élevé, le nombre des termes critiques sera trés petit,
de sorte qu'on pourra tout d'abord rejeter la plupart des termes apparais-
sant dans la somme des deux équations mentionnées. On aura néanmoins
une valeur de H ayant le caractère d'une véritable approximation. Ce
sont seulement les termes du deuxième degré et ceux dont les diviseurs
sont presque évanouissants qu'il faut retenir en opérant cette premicre
approximation.
On pourrait encore s'imaginer qu'il serait quelquefois nécessaire de
considérer simultanément avec les termes de H, et de H, quelques termes
provenant des fonctions V,, V,,.... (Certes, cela peut arriver, et il
faudrait opérer, le cas échéant, en continuant les procédés que nous venons
d'expliquer, mais un tel cas est si rare et si peu probable que nous ne
nous en soucions pas.
— —————
BC ab Pts, PP IR ss pg gro rte mmt
—P n RE
— €
b.
T
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 151
Quant à la convergence des développements des diverses fonctions
V, on s'en convainc par la circonstance que // est une fonction horistique
de tous les coefficients se trouvant dans la somme V, + V, +... Il
s'ensuit encore que cette somme elle-méme constitue une série convergente,
parce qu'autrement une valeur assez grande de // sortirait d'un nombre
fini de fonctions V, ce qui à son tour rendrait ces fonctions trés petites
et méme insensibles.'
Encore une remarque. En se rappelant qu'un coefficient isolé x,
donné au moyen de l'équation
Tn
An ne E23
8,4- 2 9,H
4
change de signe sans passer par zéro, ni par l'infini, lorsque cette équa-
tion admet des racines égales, et en considérant qu'il y a un nombre
infini de valeurs négatives des 9, qui s'accordent à peu prés avec la
condition de racines égales, et qui rempliraient cette condition exacte-
ment, si la constante arbitraire x subissait un changement méme extré-
mement petit, on en conclut que les divers x, me sont pas des fonctions
uniformes de la constante d'intégration. Ce résultat s'énonce aussi en disant
qu'une infinité de x, ne peuvent pas être développés suivant les puissances
de Ax, quelque petit que soit cet accroissement de x.
Cela est en harmonie avec le théorème que la science doit au génie
de M. Poincaré, et que l'éminent géomètre a exprimé par les mots:
le problème des trois corps n’admet pas d'autre intégrale uniforme que celles
des forces vives et des aires.”
Néanmoins si les constantes arbitraires sont fixées, et qu'elles aient
des valeurs convenables, on peut toujours, abstraction faite d'un cas extré-
mement rare appelé cas asymptotique, obtenir une solution numérique
donnant les coordonnées d'une planète au moyen des séries trigonomé-
triques uniformément. convergentes.
Mais une telle solution, représentant assurément une fonction uni-
forme quand les constantes y entrant ont des valeurs fixées, est soumise
* Voir, pour plus de détail, le dernier passage du n? 8, § 5.
* M. BRUNS, dans une note présentée à la Société de Leipzig et réimprimée dans
ce journal, a montré que le problème dont il s'agit n'admet pas d'intégrale algébrique ou
abelienne outre les intégrales connues.
152 Hugo Gyldén.
a une altération finie, bien que celle-ci puisse être insignifiante, si certaines
arbitraires changent d'une quantité si petite qu'on voudra. Or, ayant
déterminé numériquement, et jusqu'à un certain degré d’approximation,
les constantes arbitraires et les premiers termes des développements men-
tionnés, ces termes n'offriront généralement aucune discontinuité, lorsque
l'arbitraire entrant dans le dénominateur varie d'une quantité tres petite; et
bien qu'on ne puisse dire la méme chose des termes restants, on est'néan-
moins sür que leur somme n'excédera jamais une limite déterminée, dont
la valeur est proportionnelle à la somme des racines cubiques des termes
critiques qu'on a négligés dans la fonction perturbatrice. En d'autres
mots: l'étendu du changement brusque que peut subir, aprés l'intégration,
un certain terme critique de la fonction perturbatrice, est une quantité
comparable à la racine cubique de ce terme, multiplié, il est vrai, par
un facteur de l'ordre — 1 par rapport aux masses troublantes, mais qui
est commun à tous les termes. Donc, en considérant que la convergence
des termes critiques dans la fonction perturbatrice est comparable à celle
d'une progression géométrique, il sera facile de conclure qu'on pourra
pousser le degré d'approximation si loin qu'on voudra, de sorte que le
reste deviendra moindre qu'une quantité donnée.
Ce que nous venons de dire relativement aux coefficients x, s'applique
aussi à la fonction horistique H considérée comme fonction de la constante
arbitraire x. L'examen de cette fonction, qui admet une infinité de dis-
continuités, bien qu'elle ne devienne jamais infinie, doit étre d'un certain
intérét pour l'analyse algebrique.
fera tout d'abord la remarque que chacune d'elles s'intégre, le second
membre étant supposé tout connu, d'aprés les méthodes que j'ai développées
avec assez de detail pour le cas d'un seul terme tout connu. Il n'y a,
en effet, que trés peu à ajouter aux matieres du chapitre I pour étendre
2. Quant à l'application des équations (48) du paragraphe 5, on
les régles du caleul y exposées aux cas de plusieurs termes connus.
Envisageons d'abord l'application de la méthode que nous venons d'ex-
poser dans le n? 4 du paragraphe r.
A cet égard, reprenons une équation quelconque du systéme (48) du
"ENS
"0 am: ^ ac Au LA En ae ; à ONT Mn
paragraphe 5, et remplacons y: V, par p; u, par o; (1 — f)V, + Ca) :
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 1538
par 77; B, par = Be Ensuite, figurons-nous que la partie 4B. — H,), qui
ne dépend pas des coefficients entrant dans la fonction V,, soit réunie
avec (4. Nous aurons de la sorte:
do , |
(9. + -A 2m) = — Er.cos(t — e)e — B).
Maintenant, si l'on opére les transformations indiquées dans le n? 4
du paragraphe 1, on retrouvera les équations (24), (25), (26) et (27) du
dit paragraphe, à la seule exception que le second membre de l'équation
(24) sera dans le cas actuel:
E Gr a pe n cos ((1 —‘o,)v — B,).
Ecrivons l'intégrale de l'équation envisagée de la manière suivante:
E =k cos ((1i—¢)u— G) >. = ra ee rel Tau BP) TB
k et G étant les deux arbitraires; 0, une correction que nous allons dé-
terminer prochainement, et 9, la quantité A, tip.
Puisque H est une fonction horistique de tous les coefficients qui
entrent dans l'expression que. nous venons d'établir, ce développement
est uniformément convergent, du moins si l'on ne tient pas compte de
la correction 6. Pour déterminer cette correction, différentions l'expres-
sion précédente de E, et introduisons le résultat, ainsi que la valeur de
E, dans l'équation (24) du $ r. Nous avons de la sorte un résultat qui
u
à k d4 : :
renfermera une partie dépendant du facteur qu? une autre partie dé-
€
Jj
?
2 er ; ER: 1?
pendant du facteur (4) et une troisième partie multipliée par =:
En considérant que ces derniers facteurs sont des quantités du deuxiéme
ordre, nous aurons, si nous ne retenons que les termes du premier ordre,
et que nous nous rappelions la valeur approchée
dV 3
RG H),
Acta mathematica. 17. Imprimé le 16 juillet 1892. 20
du
154 Hugo Gyldén.
l'équation suivante, servant à déterminer la correction 6:
d°0
net (A iA)
3 (1 RU de
en LAU Nees HN REV on ens ((1 — g)u — D).
Apres avoir porté, dans l’equation trouvée, la valeur approchée
dE
2
Sr (2);
on obtiendra par intégration une expression de 6, nécessairement con-
vergente, parce que H est horistique aussi par rapport aux coefficients
dans l'expression de 0, et dont la valeur numérique est aussi générale-
ment trés petite par rapport à celles des plus grands coefficients mis
en évidence dans l'expression de E. Mais il peut aussi arriver, dans le
cas de termes critiques, que la fonction @ soit du méme ordre que les
premiers termes figurant dans E. En tel cas, on peut opérer de la ma-
niére suivante.
On commence par établir l'expression approchée
E = keos((1 — su — G) LM q Ser ae — o,)u — B,),
1 n
d'où lon tire par differentiation
dE
du
= — (1 — dksin((1 — du — G)
NT eL rote arc. cele ta BY
En multipliant par cette équation, membre par membre, l'équation
d’E
FRE (ne A Fr cos ((1 — o,)v — B,),
et en ne retenant que les termes devenant agrandis par l'intégration, on
obtiendra
d’E | dE
|du* À CRE | du
aw re > > An sin ((o, + oy)u =P (1 = On ye Ir D, 37 By),
où l'on doit identifier e, avec c.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 155
Cela étant, différentions l'équation (27) du $ 1 deux fois, ce qui
nous donne:
d'y 3 dy”
255 Ted fi du ?
eset mr à : : : sd - ‘ ; x
d'ou lon tire, aprés avoir remplacé jq, Par sa valeur approximative, à
savoir :
d’E ‚IdE
os tdi
l'équation
dy 4 ;
du —iAELA, sin [(o, — o,)u + B, — B, + (1 — o,)].
Si, dans cette équation, on met à part les termes dont les indices
sont égaux, et que l'on supprime le facteur (1 — 9,), qui en effet est
fort prés de l'unité, on tombera dans une équation du type
ey
du?
= — a’ sin V — LA, sin(22,u + 2D, + V,
où a^ est une quantité positive ou négative du deuxième ordre, 24,,
une différence e, — ce, et 2B,, une différence B, — B,.
On cherchera la solution de cette équation, en utilisant une des
méthodes que j'ai exposées, soit dans le $ 3 du présent mémoire, soit
dans le mémoire Untersuchungen über die Convergenz etc.
Ayant ainsi obtenu une expression approximative de # on formera
celles des fonctions cos ¥ et sin V, aprés quoi il sera facile d'établir une
nouvelle équation du type de l'équation (24) $ 1. Ensuite, on déduira
,
d. E ee ;
une nouvelle valeur de mL laquelle servira à renouveler les procédés
aU
que nous venons d’expliquer précédemment, et notamment a refaire le
calcul du coefficient a? ainsi que celui des coefficients A,.
De la maniére dont nous venons d’esquisser les traits principaux du
calcul, on parviendra à une solution aussi approchée de l'équation (s).
3. Quant à l'application de la méthode du $ 2, il suffit de ré-
veiller l'attention du lecteur sur l'équation (14) du dit paragraphe, la-
156 Hugo Gyldén.
quelle renferme, dans son second membre, le terme — BA: * Elle
se transforme donc, au moyen d’une substitution convenable, en une
autre du type de l'équation (15), si l'on y augmente le coefficient de y
par la quantité — bH, b étant un coefficient du méme ordre que f", et
H, une fonction horistique des coefficients dans le développement de la
fonction Az. L'équation qu'on obtient ainsi s'intègre en employant la
méthode du n° 5 du paragraphe précédent.
Mais il nous reste à signaler une difficulté qui concerne le dé-
veloppement de la fonction W.
On a, dans le $ 2, établi les formules
cependant, si l'équation (1) renfermait, dans son membre de droite, plu-
sieurs termes tout connus, les expressions de M et de N seraient évidem-
ment plus compliquées. Or, il peut arriver que l'intégrale
°r,,.dG dH
| [ui + NG ev
que renferme l'équation (12), ne soit pas exprimée au moyen d'un dé-
veloppement convergent, bien que les fonctions M et N soient données
par de telles séries. Dans ce cas, la méthode envisagée n’est plus applicable,
bien qu'elle puisse rendre de grands services toutes les fois que l'intégrale
mise en évidence s'exprime au moyen d'un développement convergent.
Je n’insiste pas davantage sur les nombreuses applications qu'on
pourra faire des théories précédentes au calcul des perturbations du rayon
vecteur et de la troisième coordonnée.
4. La détermination des grandes inégalités de la longitude exige
qu'on intègre l'équation (1) du $ 6. Cette équation étant assez compliquée,
on la transformée de diverses manières afin de parvenir à d'autres équa-
tions plus simples, notamment aux équations (17) et (29). Je vais main-
a
^ : . 2/ 2
Par une erreur d'impression, le signe = avant le terme — —— 2 (—0--2,) Az
128
1
a manqué.
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 157
tenant montrer l'application de ces deux équations au calcul des grandes
inégalités et aux inégalités élémentaires.
Supposons qu'on ait, dans le second membre de l'équation (17),
remplacé la variable v, qui y figure encore dans les arguments, par la
nouvelle variable w, et négligeons de plus les petits termes de courte
période, qui effectivement sont sans aucune importance. Alors nous
aurons, en mettant »* au lieu de f,
2
(6) iu v’y = — Xa, sin (s,u + b,),
du?
dont l'intégrale s'écrit immédiatement ainsi:
o
Un
Tv
y = ce" + ce" + 2 = ‚sin (o,u + b,).
Pourvu que les a, forment une série convergeant comme une progres-
sion géométrique, ce que nous avons supposé dés le début, la série trigono-
métrique figurant dans l'expression de y est visiblement uniformément con-
vergente quelles que soient les valeurs de o,. Quant aux deux arbitraires
c, et c, il faut évidemment les égaler à zéro, vu qu'autrement des ex-
ponentielles paraitraient dans l'expression de la longitude. Or, il est dans
la nature des choses que cela soit ainsi; parce que: égaler à zéro les con-
stantes c, et c,, c'est faire prendre au mouvement moyen sa vraie valeur.
Au contraire, si l'on avait calculé les coordonnées d'une planète en em-
ployant une valeur du mouvement moyen pas tout à fait exacte, on
aurait nécessairement établi certains développements suivant les puissances
du temps, développements qui cesseraient d'être convergents lorsque le
temps eüt acquis des valeurs dépassant une certaine limite.
Considérons maintenant, au lieu de l'équation (6), celle-ci:
d
(7) du — yy = — Asin(2du + 2b + sy),
où l'argument du seul terme de droite renferme la fonction cherchée
multipliée par un nombre s que nous supposons assez grand. L’equation
considérée convient d'ailleurs à la recherche d'une inégalité de tres longue
période provenant d'un terme trés éloigné dans le développement de la
fonction perturbatrice. Il y a donc lieu de supposer À et À trés petits,
ainsi que le produit sA. |
158 Hugo Gyldén.
En désignant par ç un facteur que nous allons choisir convenable-
ment, nous mettons l'équation précédente sous la forme
d’y
(7°) AE EE À Sin (eau + 2D + sy) + vu —
du? I+
T (au + 20 + sy);
puis, nous déterminons un module elliptique en établissant l'équation
ei
TE (I + €)
Maintenant, si nous négligeons la somme des deux derniers termes
du second membre, nous aurons facilement:
am = Qu + D) — du — j|
|
E eo 2(Au + 5) + Mss ie Se
(8) y=;
et:
eosin (22u + 2b + sy) = gis e D) k? sin 2 am = (Au + D)
| gh 16q 5 324^ |
= ara n 2(Au + b) + un ah ae As
Ensuite, si l’on fait:
ye
ds
les termes dépendant de sino(Aw + 6) disparaitront de l'équation (7’),
de sorte que la somme des deux derniers termes de son second membre
sera toujours trés petite autant que le module £^ n'est pas trés pres
de l'unité. Done, en caleulant le module moyennant la formule
l'expression de y que nous venons de signaler, donnera avec un trés haut
degré d'approximation, la solution de l'équation (7. Il serait facile d'en
obtenir la correction si approchée qu'on voudrait.
En considérant, dans le développement de la fonction perturbatrice,
des termes assez éloignés pour que le produit s4 soit moindre que »’,
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 159
on voit immédiatement que des inégalités sensibles ne peuvent pas se
produire en dehors d'une certaine limite, méme si À acquiert une valeur
évanouissante. Il est encore visible que, si l’on calcule une suite de
modules avec divers À convergeant comme une progression géométrique,
la série des modules convergera de la même manière. Donc, en supposant,
dans le second membre de l'équation (7) une suite de termes au lieu
d'un seul, dont les coefficients convergent comme une progression géomé-
trique, on pourra renouveler les opérations que nous avons exposées dans
le n° 3 du § 6, et on aura de la sorte une expression de l'intégrale
cherchée, d'abord plus convergente que les différentes parties de l'ex-
pression (11) du même paragraphe. Il serait facile de rapprocher ces
deux résultats, l'un de l’autre; je n’insisterai cependant pas sur ce point.
5. S'il s'agit de calculer un terme élémentaire, et surtout une
grande inégalité provenant d'un terme de la fonction perturbatrice mul-
tipliée par un coefficient trés grand par rapport à »?, la méthode simple
que nous venons d'expliquer précédemment ne parait pas assez efficace,
principalement parce que les équations (6) et (7) ne renferment pas de
terme dépendant de y*. On aura, dans ces cas, un meilleur point de
départ pour le caleul, dans l'équation (29) du $ 6. Mais cette équation,
étant dans sa forme primitive trop compliquée, on lui donnera la forme
de l'équation (1) du $ 7, ou une forme analogue.
Pour cet effet, mettons:
2 e-Spqcos?r
Er CD — du
y 1 +? (1 Tod) 3
et nous aurons une nouvelle équation, dans laquelle a disparu le terme
1 : - 3
dépendant de d Puis, en opérant comme dans le n? 6 du $ 5, on
pourra déterminer la fonction d de manière que l'équation résultante
prenne la forme —
; uM d’z ; LT R :
(9) Gee ere ete att
a et 8 étant des constantes, dont A est toujours positive, mais a générale-
ment négative. La fonction R renferme, il est vrai, des termes dépendant
160 Hugo Gyldén.
dz TN i ; ;
de 2 et du? Ainsi que de d, mais ces termes, étant sans importance essen-
U
tielle, on pourra les negliger dans la premiere approximation, ou plutöt,
n'en considérer que la plus grande partie, en modifiant un peu les va-
leurs de a et de B. |
Cela admis, nous allons chercher la solution de l'équation
d’z
(10) unsh az — Bz* = — a sin(ou + D),
ce qui revient à déterminer le terme élémentaire qui provient du terme
mis en évidence dans le second membre.
En opérant comme dans le n° 9 du § 4, nous écrivons l'équation
précédente ainsi:
d’z
— + (a+h)2— pz = — asin(ou + b) + hz;
da
puis, en désignant par g,k et x trois quantités constantes, dont une est
arbitraire, nous déterminons les autres en vertu des équations
2 i qii
a h—À( ES B-2—
Nous aurons de la sorte:
d’z
g*du*
2 22.
+ (1 +19) — 2k’- = 1 — a sin (ou + b) + he}.
ap XC CHER
(11)
En admettant la constante h déterminée de manière que le second
membre soit aussi petit que possible, on aborde l'intégration de l'équa-
tion précédente en mettant ce membre exactement égal à zéro; on obtient
ainsi:
2 — 7 Si (Tu + P), mods i,
l'arbitraire qui entre dans l'argument étant égalée a 5. |
L'autre arbitraire, introduite par l'intégration de l'équation du second
ordre, doit être choisie de manière que la période de la fonction elliptique
coincide avec celle de sin(ew + b); donc, il faut mettre:
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 161
a
Puis, en égalant la constante h a = ce qui annule, dans le second membre
de l'équation (1), le terme dépendant de sin (ow + b), on aura:
a+ : = (o Tk),
et en soustrayant de cette relation celle ci:
on retiendra:
équation qui se met immédiatement sous la forme
= Br’ + [(&5 va — a fx =a.
c
En vertu de cette équation, il sera facile de conclure la valeur de x,
à savoir celle du coefficient du terme élémentaire, mais seulement sous
la condition que le module & soit connu. Or, la valeur du module n'étant
pas connue dés l'abord, on pourra le plus souvent commencer le calcul
>
RT, cem hs : SN \
par mettre — égal à l'unité, ce qui conduira à une valeur approchée de
, T
x. Avec cette valeur de x, on déduira celle de k au moyen de l'équation
2 g*
yous ; 2KA*
et, ayant ainsi une valeur approchée de (—) , on renouvellera le calcul
c
de x.
Dans les cas où & s'approche beaucoup de l'unité, on peut entamer
les approximations en utilisant l'équation
BC + p)t— ar =a.
On voit, par l’analyse précédente, combien peut étre différente, la
vraie valeur du coefficient d’un terme élémentaire de celle qu’on ob-
tiendrait en employant la formule brute
a
‘ > x!
6°
Acta mathematica. 17. Imprimé le 18 juillet 1892. 21
162 Hugo Gyldén.
§ 9. De la libration.
i. L'inégalité dans les mouvements de translation que LAPLACE
nomme libration, se manifesta pour la première fois dans le systéme
des satellites de Jupiter.
Les observations ayant prouvé que le mouvement moyen du pre-
mier satellite, moins trois fois celui du second, plus deux fois celui
du troisième est toujours égal à zéro, l'auteur de la mécanique céleste
en découvrit la vraie cause et établit ainsi la théorie de la libration. —
Depuis lors, un long intervalle s'était accompli avant que le second cas
d'une telle inégalité fut signalé, cette fois, par M. M. Hatz, Marra et New-
comB dans le systeme des satellites de Saturne. Mais ce cas étant plus
compliqué que celui de LAPLACE, il paraît que la théorie en est encore
susceptible de quelque perfectionnement. Il en est de même, mais à
un plus haut degré encore, de quelques autres tentatives, peut-être plus
intrépides que décisives, parce que les librations auxquelles visent ces
essais, se trouvent mélées avec plusieurs autres inégalités, ce qui rend ex-
trémement difficile leur étude.
La théorie des librations est généralement très compliquée. On ne
saurait la traiter avec succès — sauf dans des cas exceptionnellement
simples — sans avoir recours aux fonctions elliptiques. Cela s'entend de
l'analyse communiquée dans la section II de mon mémoire de 1887; et
presque en même temps, M. TisseraxD montra, d’une manière trés claire,
ce méme fait dans une note insérée dans les Comptes rendus de l'aca-
démie de Paris. Dans mon mémoire cependant, j'ai tenté de donner
quelques renseignements sur la convergence des inégalités ordinaires,
lorsque les mouvements moyens remplissent la condition de la libration;
et on y peut voir qu'une grande valeur du coefficient de cette inégalité,
rend douteuse la convergence de certaines autres inégalités. Donc, si l’on
a obtenu, en vertu des observations, une valeur considérable du coefficient
dont il s'agit — car ce coefficient est en effet une constante d'intégration
— il y aurait lieu à quelques doutes de la réalité du résultat.
Que LarPrAcE, alors que la théorie des fonctions elliptiques était à
peine créée, ait néanmoins réussi à obtenir un résultat, q'on peut con-
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 163
sidérer comme à peu pres exact, cela doit être attribué d'abord à la presque
insensibilité du coefficient de la libration, mais aussi à la circonstance que la
période de cette inégalité, dans le cas envisage, est indépendante des excen-
tricités et des inclinaisons. Dans le cas opposé, à savoir si la période de
la libration dépendait des excentricités ou des inclinaisons ou de ces deux
éléments ensemble, les termes horistiques l'emporteraient considérablement
sur la dite période, ct ils pourraient méme la rendre imaginaire finale-
ment. On peut, en effet, énoncer la règle générale que: plus élevé est le
degré d'un terme critique, moins il est probable qu'il en sortira un terme de
libration.
Dans aucune des recherches de 1887, ni dans celles de M. TissERAND,
ni dans les miennes, on n'avait pu tenir compte des termes horistiques,
alors encore inconnus, C'est sur le róle que jouent ces termes dans la
théorie des librations que je vais donner quelques remarques assez rapides.
2. Considérons en premier lieu le cas simple où le coefficient de
la libration est trés petit, de sorte qu'on en peut négliger les puissances
surpassant la première.
Si dans l'équation (7) du paragraphe précédent, on met A et b égaux
à zero, et qu'on remplace w par v, il en résulte:
d’y E :
5 — vy = — À sinsy.
(1) dut ae y
Voilà l'équation différentielle, d'ou l'on déduit, par intégration, l'expression
de l’inégalité cherchée. Aprés avoir développé le second membre suivant
les puissances de sy et négligé les termes dont le degré surpasse le pre-
mier, on aura immédiatement l'expression analytique de l'inégalité de-
mandée. La voici:
y = lsin(JsA — v?.v — LL),
l et L étant les deux arbitraires dont nous supposons la premiere tres petite.
Quand le produit sA, que nous supposons toujours positif, l'em-
porte sur le coefficient »", aussi positif, la solution trouvée sera réelle et
périodique; dans le cas opposé, c’est à dire, si:
y! > sA,
la solutión sera donnée au moyen des exponentielles multipliées par des
9
164 Hugo Gyldén.
constantes arbitraires. Evidemment, ces constantes doivent être égales
à zero.
En supposant, par impossible, le coefficient »^ rigoureusement égal à
zero, des librations pourraient se produire, quelque petit que fût le produit
sA; par contre, a l'état réel des choses, il y a la une limite, déterminée
par la condition
sA — y? » o.
Par ce résultat, on conclut qu'une relation linéaire de la forme
8,0 + 8,0 + Sv" +... = termes périodiques,
v,v,v",... étant des arguments astronomiques, et 5,5, ,,... des entiers
quelconques, positifs ou négatifs, ne reste pas maintenue par les forces
attractives, si la somme des entiers surpasse un certain nombre.
En partant de l'équation (1), il sera facile d'obtenir un résultat plus
approché que le précédent. Pour y arriver, écrivons la dite équation,
aprés avoir désigné par h un facteur constant, de la manière suivante:
d — — (A — h)sinsy + v’y — h sin sy.
Maintenant, si lon fait:
v
h=-;
S
la somme des deux derniers termes de droite de l'équation précédente
sera trés petite, et on aura, en intégrant l'équation
d’y DENS
= — (4 —*) sin sy,
une valeur très approchée de la fonction y. Pour en déduire la cor-
rection, il faut recourir à l'équation (24) de l'article III de mon mémoire
Untersuchungen über die Convergenz etc.
dv?
3. Dans les recherches sur les librations, il faut évidemment qu'on
emploie des termes horistiques aussi bien déterminés que possible. Il
est donc à présumer que l'emploi de l'équation (29) du $ 6, ou bien
de l'équation (9) du paragraphe précédent conduise plus rapidement au
résultat que ne le fait, l'équation (1). Car dans cette équation-là, la partie
des termes horistiques mise en évidence est, comme on le trouve immé-
diatement, plus grande que dans l'équation derniérement citée.
wee
M»
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 165
Reprenons donc l'équation (9) du paragraphe précédent, et rempla-
cons-y, pour établir dés l'abord le cas de la libration, la fonction R par
le terme — A sinsz. Puis, en développant ce terme suivant les puissances
de sz, et en ne retenant que les deux premiers membres de ce développe-
ment, nous aurons:
(2) SG eA) (8 + gs°4)2° = o.
Admettons encore les notations:
— I ; I -
z= SSS = de = v: (8 + 854) du’,
p étant une constante à notre disposition, et rappelons-nous que le coeffi-
cient @ peut prendre des valeurs négatives aussi bien que des valeurs
positives. Notre équation sera alors:
d'
2 3
Hog + a0 — 20° — o.
On en déduit tout de suite, en désignant par g’ une constante d'inté-
gration que nous supposons moindre que l'unité,
10^?
(3) (s) = g° — a0? + 0*
Mettons encore:
et nous aurons:
(4) : (2) = C a— b— e) (i JL yc 6),
De sili. See
166 Hugo Gyldén.
ou bien:
il résultera:
ce qui donne:
(EEE 0 —Tsnx = z sna,
i I I NE )
ein Gt j
la deuxiéme constante d'intégration étant renfermée dans x.
Si b était égal à zero, le module % prendrait la valeur 1, et le cas
deviendrait asymptotique. Si ensuite g devenait plus grand que 2d, la
transformation précédente conduirait à des expressions dépendant des ar-
guments imaginaires: pour les éviter, écrivons l'équation (3) ainsi:
(s) n) = (9 + n6 + Pg — nà + 0)
le coefficient n étant égal à Ja + 2g, de sorte qu'on a:
2g — n? = — a.
Maintenant, si l'on introduit, au lieu de 0, une nouvelle fonction d,
en mettant:
-I-—ctang d
I + etang d
Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. 167
on trouvera par un calcul pas très long:
E : k? = 1 —e“; EU +):
im a I € 5 L af mud
Nous avons supposé:
a < 2g;
done, le coefficient n est réel et moindre que 2ÿg. Il s'ensuit que e^, et
en conséquence aussi k" sont des quantités réelles, positives et moindres
que l'unité. Mais dans ce cas, puisque la fonction 6 peut passer par
l'infini, ce qui ne convient pas aux inégalités dont il s'agit, il faut mettre
g égal à zéro. Donc, la libration est impossible.
En supposant:
"920.
on aura:
n= 2 V3:
et en conséquence:
e*—0; k*—1;
on est done retombé dans le cas asymptotique.
Supposons finalement a négatif, ce qui entraîne la forme suivante
de l'équation (4):
(2) = (Sa+0 + ear 0°).
En mettant:
0 — tang d = VE b tang 9,
il résultera l'équation que voici:
2(4g\* — (1 >
P) = (Get?) E LM
: -a+tb
168 Hugo Gyldén.
Donc, les quantités
w= sat; k= 1 ——
22 + b
sont réelles, et le module X, moindre que l'unité. En conséquence, la
fonction ¢ peut prendre toute valeur entre — oo et + ©, en sorte
que 0 passera par l'infini. Mais cela est contre la nature des inégalités
considérées, d'où l'on conclut que la libration est impossible, ce qui revient
à dire qu'il faut égaler à zéro la constante g.
Par l'analyse précédente, deux choses ont été démontrées: 1° que
la libration est impossible si le coefficient a est négatif; 2° que la li-
bration peut exister si le coefficient mentionné est positif, mais seulement
à condition que:
E
g «a.
0,
Or, pour les termes éloignés dans le développement de la fonction per-
turbatrice, le coefficient a est négatif; on en conclut que des librations
ne peuvent pas s’engendrer de ces termes.
169
UBER TERNARE DEFINITE FORMEN
VON
DAVID HILBERT
in KÖNIGSBERG i. Pr.
Eine ganze rationale homogene Funktion f der drei Veränder-
lichen 2,9%, 2, deren Ordnung » eine gerade Zahl ist und deren
NC + ı)(n + 2) Coefficienten reelle Zahlen sind, möge eine ternäre
definite Form genannt werden, wenn dieselbe für reelle Werte der
Veränderlichen x,y, 2 stets positiv ausfällt oder den Werth o annimmt.
Giebt es reelle Wertsysteme der Veränderlichen, für welche die definite
Form f den Wert o annimmt, so ist, wie man leicht zeigt, die Diskrimi-
nante der Form f nothwendig gleich o.
Die eben aufgestellte Definition lässt unmittelbar erkennen, dass
durch beliebig oft wiederholte Addition und Multiplication von definiten
Formen stets Formen entstehen, welche wiederum definit sind, d. h. die
Gesammtheit aller definiten Formen bildet einen Formenbereich von der
Beschaffenheit, dass jede durch Addition und Multiplication aus Formen
des Bereiches zusammengesetzte Form wiederum dem Bereiche angehört.
Ferner ist jedes Quadrat einer beliebigen Form mit reellen Coefficienten eine
definite Form und wir erhalten daher durch Addition und Multiplieation
soleher Formenquadrate stets wiederum definite Formen. Ich habe jedoch
in einer Abhandlung: » Über die Darstellung definiter Formen als Summe
von Formenquadraten»' gezeigt, dass nicht jede definite Form auf diese
Mathematische Annalen. Bd. 32, S. 342.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 23 septembre 1892. 99
1
170 | David Hilbert.
Weise als Summe von Formenquadraten dargestellt werden kann, und
zwar lautet der bezügliche dort von mir bewiesene Satz, wie folgt
Eine jede ternäre quadratische und biquadratische definite Form lässt
sich als Summe von drei Quadraten reeller Formen darstellen. Unter den
definiten Formen von der 6°" oder von höherer Ordnung giebt es jedoch stets
solche, welche nicht einer endlichen Summe von Quadraten reeller Formen
gleich sind.
Um dennoch zu einer allgemein gültigen Darstellungsform für die
definiten Formen zu gelangen, beachten wir zunächst die Thatsache, dass
allemal, wenn ein Faktor einer definiten Form definit ist, nothwendig
auch der übrig bleibende Faktor eine definite Form sein muss; es würde
daher der definite Charakter einer Form auch bereits dann erkennbar
sein, wenn dieselbe sich als Bruch darstellen liesse, dessen Zähler und
Nenner gleich Summen von Formenquadraten sind. Eine solche Darstellung
ist nun in der That stets möglich, wie im folgendem gezeigt werden wird.
Der Beweis dafür bietet erhebliche Schwierigkeiten dar; ich theile der
Übersicht halber die Darlegung desselben in 9 Abschnitte und kennzeichne
kurz am Anfange eines jeden Abschnittes das zu erstrebende Ziel, am
Schlusse des Abschnittes die in demselben gefundenen Resultate.
1
Um die Existenz von gewissen definiten Formen, deren Besonderheit
später ausführlich dargelegt werden wird, nachzuweisen, bedienen wir uns
des folgenden Hilfssatzes:
ten
Es sei eine ternäre Form 7’ von der &'" Ordnung und mit reellen
Coefficienten vorgelegt von der Beschaffenheit, dass die Curve F = o 9
gewöhnliche Doppelpunkte P,,..., P; mit getrennt liegenden Tangenten
und ausserdem beliebige andere Doppelpunkte besitzt; es sei ferner F’
eine Form von derselben Ordnung » und mit reellen Coefficienten, welche
in den Punkten P,,..., P; verschwindet, dagegen in sàmmtlichen übrigen
Uber ternäre definite Formen. 171
Doppelpunkten der Curve F= o einen von o verschiedenen Werth an-
nimmt; endlich soll es möglich sein, N — 7 Punkte in der Ebene zu be-
stimmen derart, dass durch diese und durch die 9 Punkte P,,..., P;
sich keine Curve »"* Ordnung hindurch legen lässt: unter diesen Voraus-
setzungen giebt es stets eine Curve G — o von der nàmlichen Ordnung
n, deren Coefficienten sich von den Coefficienten der Form F nur um
beliebig kleine Grüssen unterscheiden und welche in beliebiger Nahe der
Punkte P,,..., P; je einen gewöhnlichen Doppelpunkt mit getrennten
Tangenten besitzt, sonst aber keinen weiteren singulären Punkt aufweist.
Der Einfachheit halber setzen wir im Folgenden stets die dritte
Coordinate z der Einheit gleich; die Coordinaten der 2 Punkte P,,..., P;
seien dann bezüglich
ca
Ue ver AU Hoe ata
Die gesuchte Form @ nehmen wir an in der Gestalt
G=F+t(F + 9),
wo { eine Veränderliche und & wiederum eine Form »'"' Ordnung bedeutet:
wir wollen dann die N Coefficienten w,,..., «y dieser Form @ als Funk-
tionen von £ derart bestimmen, dass die Form @ für genügend kleine
Werthe von ¢ die Bedingungen des obigen Hilfssatzes erfüllt. Zu dem
Zwecke führen wir die folgenden Ausdrücke ein:
a, — a, + (4, + &),
P. == b, 3e t(B, sis 7):
wo &,,7, noch zu bestimmende Funktionen von ¢ sind und wo
Ono HOR Qi RC
ay 919) ox ay”
Vis TAL
s FSF (m) 2
ox? oy? 220 3585
oF'oF oFoF
On Q9r9y ay 9x”
B, = = —
j s S FSFX m : id
au? oy! ey) yeu
172 David Hilbert.
einzusetzen sind. Nunmehr betrachten wir die 39 Gleichungen
G (a, , E) XE o,
ax (a, 3 B.) Ti o, CEST EE S)
OG
vli s ? p) = 0)
Dieselben nehmen wegen
or oF
VOCE b.) 0); az Me b.) = (en 2y (a, , b) = ©:
FORD 20%
nach Weglassung des Faktors ¢ auf der linken Seite, die Gestalt an
Sas ad AD et a
20 ?
2 ro or j 1
> (Us » b) + & ap (a, , 0.) + 7, BV (a,, 0) HU b i0, «12:10
9.
9.2 or or m tar
ay (a, , b.) SE ES andy (a, , b) 3E Ns DE (a, , b) + wy ic tesi p Oo,
wolf is, Joly Toe MY ee ganze’ rationale Ausdrücke in «,, ..., «y;
& , y, bedeuten.
Es gilt nun bekanntlich der folgende Satz: '
Wenn » Gleichungen von der Gestalt
Q1, 3, =F DO 3r Ayn Ly SF 9B, m, NEN. Lu) =F DRE UON (a, cp SOT] Lu) => TEN) I Oo,
TE Sis P rue is Oum Cm ES Wu (2 RP Opa] Ge) 3E RE UM CA PACE CRE | Zu) 32 Ss SSG
gegeben sind, wo die linken Seiten Potenzreihen der m + 1 Veränder-
lichen 2,,..., z,, t bedeuten und die Determinante der Coefficienten
! Vergl. L. Königsiferger, Theorie der Differentialgleichungen mit einer unabhängigen
Variabeln. Leipzig 1889. 8. 43.
; Über ternüre definite Formen. 173
Gy layer, Gq, einen von Oo verschiedenen Wert besitzt, so lassen sich
für die Grössen z,,..., v, eindeutig bestimmte, nach ganzen Potenzen
von ¢ fortschreitende Reihen finden, welche obige m Gleichungen identisch
für alle Werte von ¢ befriedigen.
Nach der Voraussetzung des zu beweisenden Hilfssatzes gibt es in
der Ebene N— 2 Punkte P,,,,..., Py von der Beschaffenheit, dass durch
die N Punkte P,,..., Py keine Curve x“ Ordnung sich legen lässt.
Die Coordinaten solcher N — 3 Punkte bezeichnen wir bezüglich mit:
rab ls Dee
RE A NR
Wir fügen dann den obigen 30 Gleichungen noch die folgenden N — à
Gleichungen
Q (a, 5) —— 9 (s=0-41)..-,N)
hinzu und betrachten in dem so entstehenden Systeme von N + 20 Glei-
chungen die Grösse ¢ als unabhängige Veränderliche und die N + 29
CIEDSSBID PEN ns ©, MEN cise EUM: Sit 7, als die zu bestimmenden
Funktionen von £. Auf dieses Gleichungssystem lässt sich der obige Satz
anwenden; denn diese N + 20 Gleichungen haben die verlangte Gestalt
und die betreffende Determinante der Coefficienten von 4, 5... , Ay; e pM
&, 923 ::-5&, 7% ninmt den Wert an
qu" ques GUN GR eee rae dest
i OPE al 9° F\ 2 m ids ue . 001
E- ay? E Ll PART TEA A
ausa sat i Er
Hier haben die 2 Faktoren des Produktes II sämmtlich einen von o ver-
schiedenen Wert, da nach Voraussetzung die Punkte ?,,..., P; für die
Curve # =o gewöhnliche Doppelpunkte mit getrennten Tangenten sind
und die N-reihige Determinante ist wegen der zuvor angenommenen Eigen-
schaft der Punkte P,,...., Py ebenfalls eine von o verschiedene Grosse.
Damit haben wir die Coefficienten der Form 2 als Funktionen von
¢ bestimmt und es bleibt nur noch übrig zu zeigen, dass für genügend
174 David Hilbert.
kleine Werte ¢ die Curve G — o ausser den 9 Doppelpunkten a, , A;
2305, 9, keine anderen singulàren Punkte besitzt. Dieser Nachweis ge-
schieht, wie folgt. Die Coordinaten der singulären Punkte der Curve
G — O bestimmen sich aus den Gleichungen
9G 9G
G = © TON T O, ae
©
und sind daher, wie man leicht durch Elimination erkennt, algebraische
Funktionen von f£. Besässen also diese 3 Gleichungen für beliebige Werte
von € ausser den 9 Lösungen a, , 5 ---5%; f; noch eine andere gemein-
same Lösung, so müsste dieselbe sich, wie folgt, entwickeln lassen
45 — (o + a, t^ + ave + Er
Y E b. + b, ta + b, tr zl rene
wo die Exponenten »,,2,,...,/,/%,..., positive rationale Zahlen und
wo a,,6, von Oo verschieden angenommen werden können. Für ¢ =o
folgt, dass der Punkt xz = a,,y — bd, ein singulärer Punkt der Curve
F=o ist. Nach der im Hilfssatze gemachten Voraussetzung nimmt die
Form F’ in den singulären Punkten der Curve F= o einen von o ver-
schiedenen Wert an. Es sei F’(a,,d,) =a. Verlegen wir nun den
Anfang des Coordinatensystems in den Punkt 2 — @,,y — 6,, so nehmen
die obigen 3 Gleichungen die Gestalt an
ey +... +t(a +Wc+ay+..)+t:.-=0,
y +... UM... ) a a= 5 == 05
xe+...-t(a"+... ER ©
und man überzeugt sich leicht, dass diese Gleichungen durch die Reihen
Qo UNDE y p
nicht identisch für alle Werte ¢ befriediot werden können. Damit ist
der Beweis für unseren Hilfssatz vollständig erbracht.
-
Über ternäre definite Formen. 175
Der Hilfssatz ist nach verschiedenen Richtungen hin einer Verall-
gemeinerung fähig; ich möchte überdies hervorheben, dass derselbe in
der Theorie der algebraischen Curven und Flächen zur Erledigung von
Existenzfragen wesentliche Dienste leistet.
9
In diesem Abschnitte werde ich eine ternäre definite irreducible
Form G von der Beschaffenheit construiren, dass G — o eine Curve mit
=(n — 1)(n — 2) getrennt liegenden Doppelpunkten darstellt, welche zum
Theil reell und isolirt, zum Theil paarweise conjugirt imaginär sind.
Ich nehme zu diesem Zweck an, es sei bereits eine ternäre definite
irreducible Form /' von der » — 2"" Ordnung construirt von der Eigen-
schaft, dass /'— o eine Curve mit -(n —- 3)(n — 4) getrennt liegenden
D | =
Doppelpunkten darstellt; ferner nehme ich 2 lineare Formen / und /' mit
reellen Coefficienten und von der Beschaffenheit an, dass die imaginäre
gerade Linie / + il’ — o die Curve /’= o in » — 2 getrennt liegenden
imaginären Punkten Q,,..., Q, , schneidet. Die conjugirt imaginäre
Gerade /-— il’ =o schneidet dann die Curve /'— o bezüglich in den
n — 2 conjugirt imaginären Punkten @,..., Q; , und diese letzteren
Punkte liegen wiederum alle untereinander und von den Punkten Q,,.., Q, ,
getrennt. Ferner nehme man auf /'— o irgend 3(» — 2) paarweise con-
jugirt imaginäre Punkte R,,..., A, ; und auf der Geraden / + il’ = o
zwei imaginire Punkte 5,, S, an; die zu diesen conjugirt imaginären
Punkte S|, Sj liegen auf der Geraden / — il’ = o. Endlich sei P irgend
ein ausserhalb der Curven /—0,/1-E il’ =o, /—il' =o gelegener
reeller Punkt der Ebene. Ich construire jetzt eine Form 7" von der 2‘
Ordnung, welehe in den -(» — 3)(m — 4) Doppelpunkten von /'— o,
I
ere inden Punkten" (0i, «4. , rs O 20 Q1 gy leer
in dem Punkte P und in dem Schnittpunkte der beiden Geraden / — o,
| =o verschwindet. Eine solche Form existirt stets, da die Gesammt-
ante HAT : t TW
zahl der angegebenen Punkte gleich 4n(n + 3) ist. Die Form F’ nimmt
176 David Hilbert.
in den beiden Punkten Q, ,, Qi. einen von o verschiedenen Wert an;
denn im entgegengesetzten Falle würde die Curve #’ — o mit der Curve
['— o mehr als n(a— 2) Punkte und mit den Geraden / + il’ = o,
| — i — o mehr als n Punkte gemein haben und folglich müsste die
Form F’ mit der Form F = (P + /7)/" bis auf einen constanten Faktor
übereinstimmen. Dies ist aber nicht der Fall, da die letztere Form F
im Punkte P einen von o verschiedenen Wert hat, die Form F’ dagegen
im Punkte P verschwindet.
Wir wenden jetzt den in Abschnitt 1 bewiesenen Hilfssatz auf die
Curve F-— 0 an. Diese Curve hat die - (n — 3)(n — 4) Doppelpunkte
von /'= o, ferner die Punkte Q,,..., Q, ,, Qt, ..., Q; , und ausserdem
den Punkt / — o, /" — o zu gewöhnlichen Doppelpunkten mit getrennten
Tangenten. Die Form Z7" verschwindet in diesen sämmtlichen Punkten,
ausgenommen in den beiden Punkten Q, ,, Q; +. Es giebt daher nach
jenem Satze eine Curve G =o von der nàmlichen Ordnung n, welche in
()
der Umgebung der Doppelpunkte von /'— o, der Punkte Q,,..., Q, s,
Qi, ..., Qi, und des Punktes / — 0, /’ = o je einen gewöhnlichen Doppel-
punkt mit getrennten Tangenten besitzt, sonst aber keinen Doppelpunkt
aufweist. Die Zahl der Doppelpunkte der Curve G — o ist daher genau
gleich - (m — 1)(n — 2).
Die Form G ist für hinreichend kleine Werte des Parameters ¢ eine
definite Form. Denn hätte die Curve @ = o einen reellen Zug, so müsste
dieser für / — o sich in einen reellen isolirten Doppelpunkt der Curve
F — o zusammenziehen. Andererseits kann für jede um einen solchen
Doppelpunkt abgegrenzte Umgebung ein von o verschiedener Wert von
t gefunden werden, so dass die diesem Werte / entsprechende Form @
in jener Umgebung positiv oder null ist. Man sieht dies leicht ein, wenn
man den Mittelpunkt des Coordinatensystems in den variirenden Doppel-
punkt verlegt.
Dass die erhaltene Form @ für beliebige, zwischen gewissen Grenzen
liegende Werthe von ¢ irreducibel ist, kann durch folgende Betrachtung
gezeigt werden. Wir denken uns durch die Gleichung G = o die Grösse
y als algebraische Funktion von x bestimmt und dann über der complexen
x-Ebene die zu dieser Funktion y zugehörige Riemannsche Fläche con-
Uber terniire definite Formen. 177
struirt. Für ¢ — o zerfällt diese Riemannsche Fläche in 3 getrennte den
Gleichungen /'=0,/ + i —o,l— il' =o entsprechende Theile: der
erste der Gleichung /'— o entsprechende Theil bedeckt die complexe z-
Ebene (x — 2)fach und ist wegen der Irredueibilität jener Gleichung in
sich zusammenhängend; die beiden anderen Theile bedecken die z-Ebene
je einfach. Lassen wir nun den Parameter { von o an wachsen, so werden
die Doppelpunkte Q, ,, Q; , aufgelöst und in folge dessen erhalten die
beiden letzteren Theile je 2 Verzweigungspunkte, welche dieselben mit
dem ersteren Theile zu einer einzigen in sich zusammenhängenden Rie-
mannschen Fläche verbinden. Damit ist der verlangte Beweis geführt.
Wir haben jetzt eine irreducible definite Form G von der Eigen-
schaft gefunden, dass die Gleichung @ = o eine Curve mit - (n — 1)(n — 2)
(SRE
gewöhnlichen getrennt liegenden Doppelpunkten darstellt.
y
In diesem Abschnitt wollen wir die soeben construirte Form @ als
Bruch darstellen, dessen Zihler gleich der Summe von 3 Formenqua-
draten ist.
Zu dem Zwecke wählen wir auf der Curve G =o irgend » — 4
getrennt liegende und paarweise conjugirt imaginäre Punkte A,,...,
A,_, aus und bilden dann 3 von einander linear unabhängige Formen
P,0,x von der n — 2" Ordnung und mit reellen Coefficienten, welche
in den = (n — 1)» — 2) Doppelpunkten und in den # —- 4 Punkten 4,,
..., A,_, verschwinden. Dies ist stets möglich, da die Zahl der aufer-
legten Bedingungen gerade um 3 kleiner ist, als die Zahl der Coefficienten
einer Form von der » — 2“" Ordnung. Wenn wir nunmehr die Curve
G(x, y, 2) = o vermöge der Formeln
Sa NG N rum alam 2) 2 x( 9 2)
transformiren, so erhalten wir eine Gleichung von der Gestalt g(£, 7, €) — o.
Hier ist g eine irreducible quadratische Form von £,», 6, da unter den
n(n — 2) Schnittpunkten der beiden Curven G =o und wp + ve + wx — o
Acta mathematica. 17. Imprimé le 28 février 1893. 93
178 David Hilbert.
nur 2 mit den unbestimmten Parametern w,v,w veränderliche Punkte
vorhanden sind. Die Ausführung der Transformation ergiebt Formeln
von der Gestalt
2.9: 2m Es Ge ile ne CESSION
wo r,s,% Formen der Veränderlichen €, 7, € mit reellen Coefficienten
sind. Hieraus folgt, dass g eine definite Form ist; denn wäre g(£, 7, ¢) — o
die Gleichung eines reellen Kegelschnittes, so wiirden sich durch Berech-
nung der Formen r,s, unendlich viele reelle Wertsysteme 2, y, z
ergeben, fiir welche G verschwindet. Die Form g gestattet daher eine
Darstellung von der Gestalt
HAS CENTER ao ra ran Lee) Gel ag eas
wo c,d,e reelle Constanten sind, deren Determinante von o verschieden ist.
Wenn wir nun in der Form g statt der Veränderlichen €, 7, € die
Formen p, c, einsetzen, so entsteht eine Form von der 2» — 4°" Ord-
nung in z,5,2, welche die Form G als Faktor enthält. Wir setzen
9(p 0: x) = h(z , y,2)G (x, ¥, 2);
wo h eine definite Form von der » — 4°" Ordnung in x, y, bedeutet.
Die 9 reellen Constanten c,d,e sind noch zum Theil willkürlich:
man wähle die 3 Constanten c,,d,,e, derart, dass die Curve n — 2'*
Ordnung so + da + e,x — o aus der Curve G — o ausser jenen
- (m — 1)(n — 2) Doppelpunkten und den » — 4 festen Punkten 4,,..., 4, ,
zwei von diesen und unter einander getrennt liegende Punkte A und B
ausschneidet.
Setzen wir der Kürze wegen
Cp + d,o+ ex — P(x,y, 2),
Cp + d,o +.6,%
cp + do + e,x = K(v,y, 2),
ns
8
E
&
~~
x
M
~~
so erhalten wir:
hG — P + 5° + Kk.
b
$
Uber ternäre definite Formen. 179
Aus dieser Formel sieht man unmittelbar, dass die Form / in den
» — 4 Punkten A,,..., 4, , verschwindet; ausserdem ist für die weitere
Entwicklung der Umstand wesentlich, dass % in den Doppelpunkten der
Curve G — o nicht verschwindet. Um das letztere zu beweisen nehmen
wir das Gegentheil an und verlegen den Anfang des Coordinatensystems
in den betreffenden Doppelpunkt, für welchen h =o ist. Dann haben
die in Betracht kommenden Formen die Gestalt
h=het+thyt+...,
GG; 26.2 - Gy" + ..:,
= Pat Py +...,
Pos LY + ...,
K = Khye+ Ky +t...,
Le
m
wo nur die Glieder niedrigster Ordnung in #,y hingeschrieben sind. Aus
der obigen Identität folgt leicht
(Pix + Py)? + (Xv +3)’ + (Aye + Ky)? = o
und hieraus wiederum ergiebt sich, dass die 3 linearen Formen
P,x + Py, yu Xy, kya + K,y
entweder identisch o sind oder sich unter einander nur um einen con-
stanten Faktor unterscheiden. Wir können daher jedenfalls aus den Formen
P,,K 2 lineare Combinationen // , //, herstellen, welche keine Glieder
erster Ordnung in x,y enthalten. Dann wählen wir auf G — o einen
beliebigen Punkt P und bestimmen die Constanten À ,A, so, dass die
Form //| — AH, + A,//, im Punkte P verschwindet. Die Curve // = o
besitzt dann in dem Anfangspunkte des Coordinatensystems einen Doppel-
punkt und geht ausserdem durch die übrigen Doppelpunkte der Curve
G =o und durch die Punkte 4,,..., A, ,, P je einfach hindurch; sie
würde daher die Curve G =o in mehr als n(n — 2) Punkten schneiden,
was unmöglich ist. Die Annahme derzufolge h in jenem Doppelpunkte
verschwindet ist daher unzulässig.
180 David Hilbert.
Wir haben in diesem Abschnitte gezeigt, dass die in Abschnitt 2
construirte Form @ die Darstellung
PRESS TRES
h
G
gestattet, wo P, Y, A Formen n— 2'* Ordnung mit reellen Coefficienten
: I
bedeuten, welche in den - (n — 1)(n — 2) Doppelpunkten und ausserdem
in den » — 4 paarweise conjugirt imaginären Punkten A, ,..., 4, , der
Curve @= o verschwinden. Ausserdem ist h eine Form n — 4!" Ord-
. 5 I .
nung, welche in jenen ; m — i)» — 2) Doppelpunkten von o verschieden
ist, dagegen in den n — 4 Punkten 4,,..., A, , verschwindet. Die Curve
P — o schneidet auf G — o noch die beiden weiteren einander conjugirt
imaginären Punkte A, B aus, in welchen h von o verschieden angenom-
men werden kann.
4.
Die Form G ist eine Form mit verschwindender Diskriminante. Wir
werden jetzt mit Hilfe dieser Form G eine Form f mit nicht verschwindender
Diskriminante construiren, welche die nàmliche Darstellung wie G gestattet.
Aus den am Schlusse des vorigen Abschnittes angestellten Betrachtun-
gen folgt, dass für einen Doppelpunkt der Curve G — o die 3 Determinanten
|9P pF. | VAE lex 92 |
| or 9y | ox oy | or y
| |
| : = ’ | = E
aX oX | ak 9K | | aK aK |
er 9y | or y | on oy |
nicht sämmtlich verschwinden und es ist daher móglich, 3 quadratische
Formen p,q,m zu bestimmen von der Beschaffenheit, dass die Determinante
TEN |
= SF)
or «(OY 1 |
92 won PT
= = F&F!
| or oy 1
ok ok |
— — 4|
or 07 |
Uber ternäre definite Formen. 181
eine Funktion wird, welche in simmtlichen Doppelpunkten von G — o
einen von o verschiedenen Wert annimmt. Wir setzen nun
e — P + th,
f= Xd,
y = K + thm,
f = G + 2t(Pp + Xq + Km) + Ch(p? + q° + m?)
k und haben dann infolge der Formel für @ die Identität
hf = e zx 2 zt a
wo die Formen h,f,¢,¢,y offenbar sämmtlich in den Punkten 4,,
., 4, gleich o sind.
Um den Nachweis zu führen, dass die Form f für beliebige zwischen
gewissen Grenzen liegende Werte von ¢ eine von o verschiedene Diskri-
minante besitzt, nehmen wir im Gegentheile an, es gebe für beliebige ¢
stets ein Wertepaar ©, y, welches den Gleichungen
nue n
f —9, an oy zy
genügt. Durch Elimination erkennt man leicht, dass die Lósungen x, y
algebraische Funktionen von ¢ sind und daher eine Entwicklung von der
Gestalt
Da et QUE ir
y = db, + Din + bt + ...,
gestatten würden, wo die Exponenten »,,»,,..., n ,/4 ,..., positive ra-
tionale Zahlen sind und wo a,, 0%, von o verschieden angenommen werden
können. Für é—o folgt, dass der Punkt z — a, , y — b, ein Doppel-
punkt der Curve @ — o ist. Verlegen wir den Anfang des Coordinaten-
systems in diesen Doppelpunkt, so erhalten die in Betracht kommenden
Formen die Gestalt
G — Gu + 2G,,ay + Gy’ +...,
Pp + Xq + Km = Cx + C,y +...,
hp? + q^ + mm) = 0, +...
ies
182 David Hilbert.
und es wird folglich
rof pue
Sap aie Gaal ae eat)
Ley am 3 Ga Be
20y — 12% + 939. ae 2 +...,
i xf y of ! Y
fF UH = Gat + Cyt uf Eos
wo rechter Hand nur die Glieder niedrigster Ordnung in x, y, ¢ hin-
geschrieben sind. Damit nun diese 3 Ausdrücke nach Einsetzung der
Werte
3 ecc e gie Re
identisch fiir alle ¢ verschwinden, ist es, wie man leicht zeigt, nothwendig,
dass jene Reihen für æ,7 nach ganzen Potenzen von ¢ fortschreiten und
dass die Determinante
| G; CAR C, |
A= | Ga e C, |
| C, C, C, |
den Wert o hat.
Zur Berechnung der Determinante A setzen wir
pape Pag pue, p=pt+...,
2 = I oc 23 d 1. q=qt+...,
REPARER RENE m=mti+...,
h=h, +...
wo h, wegen der früher bewiesenen Eigenschaft der Form h von o ver-
schieden ist. Aus der Formel
hG — P + ZE + Kh?
folet
h,G,, = Pi + ZT + X
zy d > > Vv bu "d Æ
h GC = PLI 2h As
GC pu ee
pet c
D a A
Uber ternäre definite Formen. 183
und die Determinante A ist daher bis auf den Faktor h, gleich der
Diskriminante der quadratischen Form
(P, X + P,Y -- hp, T? + (EX + Z,Y +4 T) + (A,X + KY +h m, T);
diese Diskriminante ist aber bis auf den Faktor h, gleich dem Quadrat
der Determinante
P OP, M
» \
ET =“, Go |»
|
un KEN}
welche ihrerseits infolge der vorhin getroffenen Wahl der quadratischen
Formen p,g, m eine von o verschiedene Zahl darstellt. Wir sind somit
auf einen Widerspruch geführt und hieraus folgt die Unzulässigkeit un-
serer Annahme, der zufolge die Diskriminante der Form f für alle Werte
t verschwinden sollte.
Wir kehren zu den im vorigen Abschnitte construirten Formen zu-
rück. Da die Form P im Punkte A verschwindet, so wird eine der
beiden Formen X + iK oder F— iK ebenfalls in A gleich o; es sei dies
etwa die Form + ik. Dann wird zugleich die conjugirt imaginäre
Form X — iK in dem zu A conjugirt imaginären Punkte P gleich o und
die Form X + iX hat nothwendig in B, die Form X — iK in A einen
von o verschiedenen Wert; denn im entgegengesetzten Falle müssten XY
und A in A verschwinden und da h in À von o verschieden ist, so würde
folgen, dass die Curve G — o in À einen Doppelpunkt besitzt, was nicht
der Fall ist.
Wir beweisen ferner, dass die Curve X + iA = o die Curve G=o
in A berührt. Zu dem Zwecke verlegen wir den Anfang des Coordinaten-
systems in den Punkt A und wählen die Tangente von G = o im Punkte
A zur y-Achse; die in Betracht kommenden Formen nehmen dann die
Gestalt an
I — HP vcrb uu Grise,
DOE T LM qr NOTONS TEEN AN AE
TS Ah
184 David Hilbert.
wo 7%, G,,h, von o verschiedene Zahlen sind. Aus der Relation
iG = PS 4 aK ao
folgt 7, = o, und damit ist die Behauptung bewiesen.
Die Formen f,e,d,y enthalten noch die Veränderliche ¢. Durch
Wahl eines genügend kleinen Wertes für ¢ können wir offenbar erreichen,
dass die Schnittpunkte der Curve f— o mit den Curven ¢ + iy = o,
dà — iy — o in beliebige Nähe der bezüglichen Schnittpunkte der Curve
G —0 mit den Curven ¥ + ik, Y}—ik =o fallen, wobei die Ent-
fernung zweier Punkte etwa durch die Summe der absoluten Beträge
der Coordinatendifferenzen gemessen werden möge. Wir grenzen nun
unter Zugrundelegung eben derselben Definition der Entfernung um die
I : : A : ,
=(n — 1)(n — 2) Doppelpunkte von G — o je ein so kleines Gebiet ab,
dass h in jedem Punkte dieser Gebiete von o verschieden ist, und dass
ausserdem keine Form von der n — 3'" Ordnung existirt, welche in jedem
dieser - (n — 1)(n — 2) Gebiete eine Nullstelle besitzt. Dass letzteres stets
möglich ist, geht aus dem Umstande hervor, dass es keine Curve x — 3°"
; ‘sere : 1
Ordnung giebt, welche durch die sämmtlichen -(w — ı)(n — 2) Doppel-
2
punkte von G — o hindurch geht. Ausserdem grenze man auch um die
beiden Punkte A, B je ein Gebiet ab, in welchem h von o verschieden
ist. Nun wahle man ¢ so klein, dass die Schnittpunkte der Curven
Q + dy =o und ¢ — iy =o mit der Curve f — o sämmtlich in die ab-
gegrenzten Gebiete fallen, abgesehen von den an — 4 Schnittpunkten A,,
., 4A, 4, welche fest bleiben. Berücksichtigen wir dann die Identität
ph Posh ihe di
und die Thatsache, dass f — o keinen Doppelpunkt besitzt, so erhalten
wir durch eine ähnliche Schlussweise, wie sie kurz zuvor angewandt worden
ist, das folgende Resultat: die Curve 4 + iy = o berührt die Curve f — o
in einem Punkte des um A abgegrenzten Gebietes und in je einem Punkte
I
EU REN : TET S P EM
derjenigen Gebiete, welche um die -(n — 1)(7 — 2) Doppelpunkte von
G — o abgegrenzt sind; wir bezeichnen die Berührungspunkte bezüglich
Über terniire definite Formen. 185
mit A, U,,..., Um». Die Curve ¢ — iy =o berührt die Curve
f — o in einem Punkte des um B abgegrenzten Gebietes und in je einem
AN ui
Punkte der um die 7(» — 1)(n — 2) Doppelpunkte abgegrenzten Gebiete ;
wir bezeichnen die Berührungspunkte bezüglich mit B, V,,..., Vi
Somit haben wir eine definite Form f mit nicht verschwindender
Diskriminante construirt, welche die Darstellung
‘n—1)(n—2) *
PR Sea:
h
gestattet; dabei sind ¢,@,y Formen von der x — 2" Ordnung mit
reellen Coefficienten und mit den folgenden Eigenschaften: die Curven
¢=0,¢=0,y=0 haben mit der Curve f = o gewisse » — 4 paar-
weise conjugirt imaginäre Punkte A,,...,4,_, gemein; die Curve d + iy = o
: : Fe
berührt ausserdem die Curve f — o in den 1 + 5(n — 1)(n — 2) imagi-
nären Punkten A, U,,.... Us ns; die Curve $ — iy =o berührt
2 2 t
f =o in den conjugirt imaginären Punkten B, V,,..., Vio-no-2 die
Curve ¢ =o schneidet die Curve f — o noch in den weiteren Punkten
Be sss Uyá—)-» > B,V,,..., Viaswa-». Sämmtliche in Betracht
gezogene Punkte liegen von einander getrennt und die Berührungspunkte
LER ps Uie ayin—2s sowie die Berührungspunkte V, ,..., Vi, ;, + liegen
nicht auf einer Curve » — 3'* Ordnung.
In den nun folgenden Abschnitten werden wir sowohl die Coeffi-
cienten der eben construirten Form f, als auch die auf der Curve f — o
gelegenen Punkte 4, 5, U, V einer stetigen Veränderung unterwerfen
und zwar derart, dass dabei die sämmtlichen Coefficienten von f und die
Coordinaten der Punkte A,,..., À, 4, A als die unabhängigen Veränder-
lichen, dagegen die Coordinaten der Punkte U,,..., Ui, 5, 2 als Funk-
tionen jener unabhängigen Veränderlichen betrachtet werden. Dabei be-
nutzen wir einige Thatsachen aus der Theorie der Abelschen Funktionen,
welche sich für unseren Zweck, wie folgt, aussprechen lassen.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 1 mars 1893. 24
186 David Hilbert.
Es sei F eine beliebige Form von der »“" Ordnung mit reellen
Coefficienten und von nicht verschwindender Diskriminante. Durch die
Gleichung 7 — o wird y als algebraische Funktion von x definirt. Da
die Curve F= o keinen Doppelpunkt besitzt, so hat das Geschlecht der-
selben den Wert
p -— (n — 1)(n — 2).
Die p überall endlichen Integrale der Curve haben die Gestalt
EDO c
——ÀU
or 4
UC ox
UE
wo die Summe der Exponenten 5p,» die Zahl » — 3 nicht überschreitet.
Für unseren Zweck kommt das Problem in Betracht, eine Curve von
der » — 2% Ordnung zu construiren, welche die gegebene Curve F — o
in den gegebenen Punkten 4,,..., 4, , schneidet, in dem ebenfalls ge-
gebenen Punkte A berührt und endlich in p weiteren zu bestimmenden
Punkten berührt, Dieses Problem führt auf eine Theilungsaufgabe; das-
selbe ist daher mit Hilfe des Jacobischen Umkehrproblems lüsbar.
Es seien p bestimmte überall endliche Integrale nach der von Rır-
MANN angegebenen Vorschrift ausgewählt; wir bezeichnen dieselbe mit
w,,...,w, und verstehen allgemein unter w(P) den Wert eines solchen
Integrals im Punkte P.
I. Sind dann P,,..., P4, , die Schnittpunkte irgend einer Curve
n— 2% Ordnung mit der Curve / =o, so ist nach dem Abelschen
Theorem
PE Ce UE Cp
wo f,,--., , gewisse Summen von überall endlichen Integralen bedeuten,
welche nicht von den Punkten P,,..., P,, ,,, sondern nur von den Coef-
ficienten der Form # abhängen.
Aus der Umkehrung des Abelschen Theorems ergiebt sich ferner
der folgende Satz:
I. Wenn für n(n— 2) Punkte P,,..., P,, ; der Curve F=o
die in Satz I angegebenen Congruenzen erfüllt sind, so können diese durch
eine Curve n — 2t* Ordnung ausgeschnitten werden.
PET
ee
se B
— ——
ELI TIENS
vete Ly Lg ee
Über ternüre definite Formen. 187
Wir verstehen im Folgenden unter w(x) den Wert, welchen das
Integral w in dem Punkte mit den Coordinaten x, y annimmt. Es gelten
dann für die zu unserem algebraischen Gebilde zugehörige Funktion 6
von p Veränderlichen die folgenden Sätze:
III. Wenn die p Punkte U,,..., CU
» nicht auf einer Curve n — 3'*
Ordnung liegen, so verschwindet die Funktion
6 [w, (x) XE w,(U,) And ei w, ( U,) LT w,(x) SH w,( U,) NM ftn w,(U,)]
nicht identisch für alle Werte von x.
IV. Wenn die obige Funktion @ nicht identisch für alle Werte
von x verschwindet, so hat sie, als Funktion von x betrachtet, die p
Punkte U,,..., U, und nur diese zu Nullstellen, und wenn man dann
in jener Funktion 6 die Werte
DU) +... + 0,(U,) = — Eo, CA.) 42... Ew (A, uy] — (4)
= 2
(s=1,2,..-,p)
einsetzt, so sind die p Nullstellen die Berührungspunkte einer Curve
n — 2% Ordnung, welche F=o in den gegebenen Punkten 4,,..., 4, ,
schneidet und in dem gegebenen Punkte A berührt.
V. Die Funktion 6 verschwindet identisch, wenn es möglich ist, in
jeder beliebig kleinen Umgebung der p Punkte U,,..., U,
Punkte U;,..., U, zu finden von der Art, dass diese ebenfalls Berührungs-
punkte einer Curve »-— 2“ Ordnung sind, welche / =o in den ge-
gebenen Punkten 4,,..., 4, , schneidet und in dem gegebenen Punkte
A berührt.
VI. Umgekehrt wenn die obige Funktion @ identisch für alle Werte
von « verschwindet, so giebt es in beliebiger Nähe der Punkte U,,..., U,
stets p andere Punkte U;,..., U) von der Art, dass die letzteren die
Berührungspunkte einer durch 4,,..., 4, , hindurch gehenden und in
A berührenden Curve # — 2“* Ordnung sind.
andere p
EN
188 David Hilbert.
6.
Mit Hilfe der angeführten Sätze lässt sich die stetige Änderung der
Coefficienten der Form f in der Weise vollziehen, wie dies am Anfang
des vorigen Abschnittes in Aussicht genommen worden ist. Zu dem
Zwecke bilden wir für die besondere Form f die Funktion
8[w,(x) — w,(U,) — ...— w(U,), ..., w,(x) — w,(U,) —...— w,(U,)]
und denken uns darin die auf die Punkte U bezüglichen Integralsummen
durch die bekannten Grössen ersetzt, in der Weise, wie dies in Satz IV
des vorigen Abschnittes geschehen ist. Da nach der in Abschnitt 4 aus-
geführten Construction von f die p Berührungspunkte U,,..., U, nicht
auf einer Curve » — 3'" Ordnung liegen, so ist nach Satz III des vorigen
Abschnittes die Funktion @ nicht identisch für alle Werte von x gleich o.
Die Funktion 6 besitzt daher nach Satz IV nur in den y Punkten
U,,..., U, den Wert o. Die Perioden und Argumente der Funktion
4 setzen sich in bestimmt vorgeschriebener Weise aus den zur Curve f — o
gehörigen überall endlichen Integralen zusammen. Wenn wir daher die
Coefficienten der Form f und die gegebenen Punkte 4,,.... 4, ,, À
einer stetigen Anderung unterwerfen, so ändern sich auch die Perioden
und Argumente der Funktion 6 stetig, solange nur die Diskriminante der
Form f nicht o wird. Es lässt sich nun die Funktion 0 nach Potenzen
der Perioden und Argumente entwickeln und nach einem bekannten Satze
von Weıersrrass' sind folglich auch die Nullstellen der Funktion 6
stetige Funktionen der Perioden und Argumente. Damit ist gezeigt, dass
diese Nullstellen ebenfalls sich stetig àndern, wenn man die Coefficienten
der Form f und die gegebenen Punkte 4,,..., 4, ,, À einer stetigen
Anderung unterwirft.
Die Nullstellen U,,..., U, der Funktion 9 sind, wie eben ausgeführt
worden ist, die Berührungspunkte einer Curve n — 2° Ordnung.. Da
* Vgl. die Abhandlung: Einige auf die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer
Veränderlichen sich bexiehende Sätze. Abschnitt I.
——]
wn,
que emm gent eee
Fe sde ————— 2
a— MA a — Xs i
pn
nn Pug
a
win
+
des
Lr
rs rn
ee x
Über ternäre definite Formen. 189
durch diese p Berührungspunkte und durch die gegebenen Punkte A,,
.,A,_,, A die Berührungscurve ¢ + iy — o völlig bestimmt ist, so
folgt, dass auch die Coefficienten der Form 4 + iy bei jener stetigen
Anderung selber eine stetige Anderung erfahren und das gleiche gilt
daher auch von den Coefficienten der Formen 4» und y.
Es kommt nun wesentlich darauf an, zu zeigen, dass jede durch
stetige Änderung aus f entstehende Form F eine ebensolche Darstellung
gestattet, wie die Form f. Um diesen Beweis zu führen, construiren wir
zunüchst aus den p Nullstellen der Funktion 6 für die Curve F — o die
bezügliche Berührungscurve; es sei + iX =o die Gleichung dieser
Berührungscurve; dabei müssen die » — 4 einfachen Schnittpunkte dieser
Berührungscurve mit /'— o paarweise conjugirt imaginär gewählt sein;
wir bezeichnen dieselben wiederum mit 4,,..., 4, ,. Die Berührungs-
punkte heissen wiederum 4, U,,..., U, und die zu diesen conjugirt
imaginären Punkte B, V,,..., V, sind dann offenbar diejenigen Punkte,
in welchen die ebenfalls durch A,,..., 4, , hindurch gehende Curve
J'— iX =o die Curve F = o berührt.
Nach Satz I ist
w,(4,) +... + w,(A, 4) + 2[w,(4) + w,(U,) +... + w(U)] m,
w,(A,) +... + w,(4, a) + 2[w,(B) + w,(V,) +... + w,(V,)] m f.
(s=1,2,...) p)
und wenn man diese beiden Formeln addirt und die so entstehende Con-
gruenz durch 2 dividirt, so wird
w(A,) +... + w, (A, 1) + w,(4) + w,(U,) +... + w,(U,)
+ w,(B) + w(V,) +... E w(V;))m B, +
[SWL]
wo //,,..., J, ein Periodensystem ist und wo = entweder o oder 1 be-
deutet. Um zu entscheiden, welcher von diesen beiden Fällen eintritt,
beachten, wir, dass die auf f=o gelegenen Punkte 4,,..., 4, ,, A,
Ur UB, V... V,~sammthich«durch eine Curve & — 2'* Ord-
ue -
190 David Hilbert.
nung, nämlich durch die Curve ¢ = o ausgeschnitten werden und dass
daher nach Satz I
w,(4,) +... + w(A, 4) + w,(A) + w,(U,) +... + w,(U,)
== w,( B) is w,( Vi) +...+ w,( V,) =, (8=1,2,-.-,p)
ist. Da aber durch stetige Anderung der Coefficienten der Form F und
der Coordinaten der Punkte 4,,..., 4, ,, 4 die obige Formel in diese
letztere übergeführt wird und die Perioden //,,..., //, bei dieser Anderung
nicht sämmtlich verschwinden können, so folgt, dass in der ersteren Formel
s den Wert o hat, und nach Satz II können daher die auf F = o gelegenen
Punkte: A, 5-20, 4,3, Ay U, ‚er. Ds Bae Vib eu ebenfalls Kdureh
eine Curve n — 2 Ordnung ausgeschnitten werden; dieselbe sei durch
die Gleichung ® — o dargestellt, wo ® eine Form » — 2'* Ordnung mit
reellen Coefficienten bedeutet.
Jede der beiden Curven 4! — o und 4^7 + X? = o schneidet die
Curve F4 o in. deh-n(n.— 52) Punkten 3. 5 2-4 As A Dette,
B,V,,..., V, und zwar zàhlt offenbar jeder dieser Punkte als 2-facher
Schnittpunkt. Bestimmen wir daher die Constante À derart, dass die
Form 24? + 4? + X? mit der Form F noch eine weitere Nullstelle
gemein hat, so wird jene Form A4" + 4/7 + X” nothwendig die Form #
als Faktor enthalten. Dabei ist die Constante À eine reelle Zahl; denn
wäre sie complex und bezeichnen wir ihren conjugirt imaginàren Werth
mit 4, so folet, dass auch zugleich die Form 4'4? + 47 + X^ durch F
theilbar sein müsste, was offenbar nicht zutrifft. Nehmen wir ferner die
Quadratwurzel aus dem absoluten Wert von A mit in die Bezeichnung
der Form 4 auf, so erhalten wir eine Relation von der Gestalt
HI gene
Da wir durch stetige Änderung der Coefficienten von #, $, V, X
nothwendigerweise wieder zu den bezüglichen Coefficienten der Formen
f,¢,¢,y, zurück gelangen können und zwischen diesen letzteren Formen
die Relation
hf— gp + +
Über ternäre definite Formen. 191
besteht, so muss auch in der obigen Formel das positive Vorzeichen gelten,
und wir haben somit gezeigt, dass die Form # die Darstellung
0: + we + X?
F = H
gestattet. Dabei ist F eine Form mit reellen Coefficienten, welche aus
der Form f durch beliebige stetige Änderung der Coefficienten entstanden
ist, mit der Einschränkung jedoch, dass bei der vorgenommenen Änderung
keine Form auftritt, deren Diskriminante gleich © ist oder für welche die
betreffende Funktion 6 identisch für alle Werte von x verschwindet.
js
Wir untersuchen in diesem Abschnitte, unter welchen Umständen aus
der Form f durch stetige Veränderung der Coefficienten eine Form ent-
stehen kann, für welche die betreffende Funktion 6 identisch verschwindet.
Für diese Untersuchung brauchen wir einen Hilfssatz aus der Theorie der
Elimination, der wie folgt lautet:
Es seien m Gleichungen von der Gestalt
Glen am =O;
Fa cc th ES A PO RES
vorgelegt, wo 6G,,..., G, ganze rationale Funktionen der Unbekannten
æ,y,... und der Parameter p,4,... sind. Diese Gleichungen seien
für a= QU MON, pi og = a, 1." erfüllt. und es gebe" ferner
eine positive Grösse 7 von der Art, dass allemal, wenn die Werte der
Parameter p,q,..., absolut genommen die Grösse 2 nicht überschreiten,
ein und nur ein System von Grössen r,y,... gefunden werden kann,
welche jene Gleichungen befriedigen und deren absolute Beträge ebenfalls
sämmtlich die Grösse 9 nicht überschreiten: dann sind nothwendig die
Grössen + ,y,... algebraische Funktionen der Parameter p,4,... d. h.
jede der Funktionen x , y, ... genügt einer algebraischen Gleichung, deren
Coefficienten rational von p,q,... abhängen.
192 David Hilbert.
Der Beweis bietet keine wesentliche Schwierigkeit; ich gehe jedoch
auf denselben hier nicht näher ein.
Mit Hilfe des eben ausgesprochenen Satzes lässt sich der Beweis führen,
dass die Coordinaten der Berührungspunkte U,,..., U, algebraische Funk-
tionen der Coefficienten der Form 7 und der Coordinaten der Punkte
A,,...,A, 4, 4 sind. In der That wenn man die Bedingungen dafür
aufstellt, dass U, ,..., U, die Berührungspunkte einer Curve n — 2'*
7
Ordnung sind, welche die Curve F= o in den gegebenen Punkten A,,
..., A, 4 schneidet und in dem gegebenen Punkte A berührt, so erhält
man ein System von algebraischen Gleichungen; und wenn wir dann die
Coefficienten der Form 7 und die Coordinaten der Punkte 4,,..., 4, 4,
A stetig ändern lassen, so entspricht jedem dadurch entstehenden Systeme
von Coefficienten und Coordinaten eine bestimmte Funktion 6, deren
Nullstellen eben jene Berührungspunkte darstellen. Somit sind unter
Berücksichtigung der Sätze IV und V in Abschnitt 5 alle Bedingungen
unseres Hülfssatzes erfüllt und es folgt daher aus demselben, dass die
Coordinaten der Berührungspunkte U,,..., U,
; algebraischen Gleichungen
genügen, deren Coefficienten ganze rationale Funktionen von den gegebenen
(Grössen, nämlich von den Coordinaten der Form 7 und den Coordinaten
der Punkte A,,.
Gleichungen aufgestellt und nehmen an, dass die Coefficienten dieser
.., 4, 4. A sind. Wir denken uns diese algebraischen
Gleichungen nicht sämmtlich eine ganze rationale Funktion der gegebenen
Gróssen als gemeinsamen Faktor enthalten.
Soll nun die Form F die Besonderheit haben, dass die bezügliche
Funktion 0 für alle Werte von a und für alle Werte der Coordinaten
VOnHA tust p aye
der Abschnittes 5 in beliebiger Nähe der Punkte U,,..., U, noch an-
dere Werthe Uj;,..., U;, welche jene Gleichungen befriedigen, d. h. jene
Gleichungen haben unendlich viele Lósungen und daher müssten in diesem
, identisch verschwindet, so giebt es nach dem Satze VI
Falle mindestens in einer jener Gleichungen sämmtliche Coefficienten ver-
schwinden. Durch Nullsetzen dieser sämmtlichen Coefficienten entsteht
dann ein Gleichungssystem von der Gestalt
wo €,...., Cy ganze rationale Funktionen von den Coefficienten a,,..., ay
e
der Form F sind. Diese Funktionen, können nicht sämmtlich ein und
ah or
j
LL
B
Über ternüre definite Formen. 193
denselben Faktor enthalten, da ja die linken Seiten der obigen Gleichungen
sonst ebenfalls diesen Faktor enthalten müssten, was unserer Festsetzung
widerspricht. Wegen der gefundenen Eigenschaft definiren diese Glei-
chungen, wenn wir die Coefficienten a,,..., ay von Æ als homogene
Punktcoordinaten in einem Raume R von N — : Dimensionen deuten,
gewisse algebraische Gebilde, welche von niedrigerer als von der N — 2"
Dimension sind, und somit hat sich ergeben, dass die Funktion 6 bei
beliebiger Wahl der Punkte 4,,..., 4, ,, A nur dann identisch ver.
schwinden kann, wenn die Coefficienten a,,..., ay der betreffenden Form
F im Raume R von N — ı Dimensionen einen Punkt darstellen, welcher
auf gewissen-algebraischen Gebilden von niederer als der N — 2" Di-
mension gelegen ist.
8.
Wir sind nun in den Stand gesetzt, die am Schlusse des Abschnittes
6 gefundenen Resultate auf alle definiten Formen auszudehnen. Zu dem
Zwecke beweisen wir zuvor den folgenden Satz:
Es sei f ,f,,... eine unendliche Reihe definiter Formen, von denen
jede eine Darstellung in der oben gefundenen Weise gestattet und deren
Coefficienten in der Grenze bezüglich den Coefficienten einer bestimmten
Form F gleich sind: diese Form F ist dann ebenfalls in der fraglichen
Weise darstellbar.
Zum Beweise setzen wir
| $i 4 z
fs h,
und denken uns für jeden Wert von s den Bruch auf der rechten Seite
so eingerichtet, dass der absolut grösste Coefficient in den Formen c,, 4, , y,
der Einheit gleich wird, was sich offenbar stets erreichen lässt, indem wir
Zahler und Nenner des Bruches durch das Quadrat dieses absolut gróssten
Coefficienten dividiren. Da nach der Voraussetzung auch die Coefficienten
der Formen f, simmtlich absolut genommen unter einer gewissen Grenze
liegen, so gilt das nämliche auch von den Coefficienten h,. Betrachten
Acta mathematica. 17. Imprimé le 3 mars 1893. 25
194 David Hilbert.
wir nun die unendliche Reihe der Coefficienten in den Formen ¢,, ¢,, y, , h,,
so folgt aus einem bekannten Satze, dass sich mindestens ein System von
zugehórigen Werten finden lässt, in dessen Umgebung sich die Coeffi-
cientenwerte der Formenreihe verdichten. Die aus diesen Verdichtungs-
werten gebildeten Formen bezeichnen wir mit @, V, X, H. Dann ist
es für ein beliebig klein vorgeschriebenes 9 stets möglich, eine Zahl s zu
finden, so dass
[D —9,| « 9, | — | «9 |X — y,| < a, | H—h,| < 0
ausfällt. Hieraus kann leicht bewiesen werden, dass
HF = +Y+ x
ist; wäre nämlich
HF— 0’ — W"—X=A,
wo A eine Form ist, welche mindestens einen von o verschiedenen Coeffi-
cienten hat, so setze man
iib = h, Se pem F E f. + Xs, $ — €, ar ds = d, == Es) X = Xs 3E Ns
in die letztere Gleichung ein und beachte, dass durch geeignete Wahl
von s sämmtliche Coefficienten der Formen z,, z,, 0,,¢,,. 7, unter jeden
noch so kleinen Wert herabgedrückt werden können. Hiermit aber wäre
es unvereinbar, dass A einen von © verschiedenen Coefficienten hat.
Durch eine leichte Überlegung folgt zugleich, dass nothwendiger-
weise, wenn für jedes s die 3 Formen ¢,, d,, y, eine gewisse Anzahl ge-
meinsamer Nullstellen haben, auch die Grenzformen ®, V^, X .ebenso
viele gemeinsame Nullstellen besitzen müssen.
Der leichteren Darstellung wegen, deuten wir im folgenden die N
Coefficienten a,,..., ay der Form F als homogene Punktcoordinaten im
Raume À von N — 1 Dimensionen und betrachten in diesem Raume zu-
nächst die durch die Gleichung D — o dargestellte Flüche, wo D die
Diskriminante der Form / bedeutet. Diese Fläche ist von der N — 2'*"
Dinension und theilt den Raum in verschiedene Gebiete. Wir denken
en
Se Te ae
ee de à
——S RR
her OO ——
Z2
|
Über ternäre definite Formen. 195
uns ferner in dem. Raume À die durch die Gleichungen €, —0,...,
C, — o dargestellten algebraischen Gebilde construirt; dieselben sind den
Ausführungen des vorigen Abschnittes zufolge von niederer als von der
N — 2‘ Dimension. Nunmehr fassen wir insbesondere diejenigen Punkte
des Raumes R ins Auge, welche den definiten Formen entsprechen. Wie
leicht einzusehen und auch bereits in meiner oben citirten Arbeit Über
die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten? bewiesen
worden ist, können zwei definite Formen durch stetige Änderung der
reellen Coefficienten in einander übergeführt werden, ohne dass dabei eine
Form mit verschwindender Diskriminante passirt wird, d. h. die den de-
finiten Formen entsprechenden Punkte des Raumes R erfüllen ein einziges
zusammenhängendes Gebiet. An der Grenze dieses Gebietes liegen solche
Punkte, denen definite Formen mit verschwindender Diskriminante ent-
sprechen, und ausserdem ragen in jenes Gebiet der definiten Formen noch
isolirte Gebilde von der N — 3'"" und von niederen Dimensionen hinein,
deren Punkte ebenfalls Formen mit verschwindender Diskriminante dar-
stellen. Da die Gebilde C, — 0,..., C, — ebenfalls höchstens von
der N-— 3°" Dimension sind, so können auch diese den Zusammenhang
des Gebietes der definiten Formen nicht stören und wenn daher f und F
zwei definite Formen sind, so ist es stets möglich durch stetige Änderung
der reellen Coefficienten die Form f in die Form F überzuführen, ohne
dass dabei ein Punkt der Diskriminantenfläcke D — oder ein Punkt
des Gebildes C, — 0,..., Cy = o überschritten wird.
Wir verstehen jetzt unter f die in Abschnitt 4 construirte definite
Form. Da die Berührungspunkte U,,..., U, nicht auf einer Curve
n — 3°" Ordnung liegen, so verschwindet die Funktion 6 nicht identisch
und der entsprechende Punkt im Raume R liegt daher nicht auf jenen
Gebilden €, — 0,..., Cy — o, zugleich liegt derselbe ausserhalb der
Diskriminantenflàche. Nun bezeichne F irgend eine beliebige definite
Form, so dass der entsprechende Punkt entweder ausserhalb oder auf
jenen besonderen Gebilden zu liegen kommt. Dann verbinde ich in der
eben betrachteten Weise f mit F durch einen Weg, auf welchem die
Form f stetig in F übergeht, ohne dass dabei ein auf jenen besonderen
Gebilden gelegener Punkt passirt wird.
! Vgl. Mathematische Annalen. Bd. 32. S. 344.
196 David Hilbert.
Wir führen nunmehr den Beweis dafür, dass jedem Punkte dieses
Weges eine Form entspricht, welche die fragliche Darstellung als Quotient
gestattet. In der That, wenn wir den Weg bis zu einem bestimmten
Punkte hin durchlaufen und wenn allen bis dahin durchlaufenen Punk-
ten Formen entsprechen, welche jene Darstellung gestatten, so ist auch
für die diesem Punkte entsprechende Form jene Darstellung möglich,
wie aus dem zu Anfang dieses Abschnittes bewiesenen Satze folgt.
Andererseits ergiebt sich aus Abschnitt 6 die folgende Thatsache: wenn
für eine Form F, welche einem Punkte des construirten Weges ent-
spricht die Darstellbarkeit bereits bewiesen worden ist, so lässt sich von
diesem Punkte ab auf dem Wege stets ein endliches Stück abgrenzen
derart, dass auch alle diesem Weystiicke entsprechende Formen jene Dar-
stellung gestatten, und da die dem Endpunkt des Weges entsprechende
Form F eine beliebige definite Form ist, so haben wir den folgenden
Satz bewiesen:
Jede beliebige ternäre definite Form # von der »'" Ordnung ist in
der Gestalt darstellbar
mU ral ae
EGER EPI
wo ®, l.l, X Formen mit reellen Coefficienten von der x — 2'" Ordnung
sind, und H die » — 4* Ordnung besitzt.
LE
Das eben gewonnene Ergebniss liefert unmittelbar den Beweis für
den in der Einleitung ausgesprochenen Satz; denn die rechter Hand im
Nenner des Bruches auftretende Form H von der » — 4” Ordnung ist
offenbar ebenfalls eine definite Form und gestattet daher wiederum nach
eben jenem Satze die Darstellung als Bruch, dessen Zähler eine Summe
von 3 Formenquadraten und dessen Nenner eine definite Form von der
n — 8" Ordnung ist. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens gelangen wir
schliesslich zu einem Bruche, dessen Nenner eine Constante oder eine
quadratische definite Form ist. Da letztere ebenfalls einer Summe von
+ Über ternäre definite Formen. 197
. . Formenquadraten gleich ist, so erhalten wir nach Ausführung der Mul-
tiplicationen eine Darstellung der ursprünglichen Form F als Quotient von
Quadratsummen. Wir sprechen den so gewonnenen Satz, wie folgt, aus:
Eine jede ternäre definite Form F lässt sich in der Gestalt
4 AU pitt. + O
| Pitt... +9
darstellen, wo ®,, 0,,..., 0p, €,, %,,---,¢, Formen mit reellen Coeffi-
cienten sind.
‘
X . Königsberg in Pr, 18 Februar 1892.
199
ZWEI DETERMINANTENSATZE
VON
E. NETTO
in GIESSEN.
E
So viel ieh weiss, ist der folgende Satz noch nicht bekannt.
Wird die aus dem Systeme
C,
x=3,4, En)
41,3, ...,1t
durch Fortlassung der a" und der A" Colonne (8 > a) entstehende De-
genommen, so wird
1 AD Am A
(1) A, Ar Ax
A, A, A,
Daraus folgt
(4)
(PONS OU RTS
E. EE 1 a—1
Ca E. à Cy a—1
Acta mathematica. 17. Imprimé le 3 mars 1893.
terminante durch &,, bezeichnet, ferner A; =
= O.
ET (2) AT, + 4,0, +... + 4,2, = O,
1 (3) Ca, + Gala +... + Cain = O.
d,+1
Garen
— A, gesetzt und À,, — o
Der Satz braucht nur unter der Voraussetzung bewiesen zu werden,
dass nicht alle A,,=o sind. Wir verstehen unter a,, 4,, ..., a, un-
bestimmte Gróssen und betrachten das Gleichungssystem
(x23,4, ...,n)
(41,2, ...,n)
200 E. Netto.
Betrachtet man in (2) die a als völlig willkürliche Veränderliche, so
giebt (4) die allgemeinen Lösungen von (3)
(4) (= e Te Za; INS (a, A=1, 2, ..., f)
Andererseits weiss man, dass jede Lösung von (3) aus zwei von einander
unabhängigen Sonderlösungen linear zusammengesetzt werden kann, also
etwa
= Do = PQ, + AS (221,2, ...,7)
so dass die Vergleichung der beiden letzten Resultate ergiebt:
La, Au = Pop + VA oo: (a,A=1,2,...)n)
Wenn man hierin a — 1 und die übrigen a, — o setzt, dann erhält man
für à =a,f,7 das in (1) ausgesprochene Resultat.
Es ist klar, in welcher Art der Satz sich erweitern lässt, sobald
man das Systemic, für x 4,5, 0,754 14,25 vec ‚betrachtet.
9
ram
Der aufgestellte Satz kann auch direct bewiesen werden; es scheint
aber, dass der Beweis sich umständlicher gestaltet, als wenn man auf
die linearen Gleichungen zurückgeht. Das hier angewendete Hülfsmittel
hat auch Herr K. Hexsez (Acta mathematica, Bd. 14, S. 317—319)
zum Beweise eines KroNECKER’schen Determinantensatzes benutzt. Aber
gerade in diesem Falle kann man den Nachweis auch unmittelbar liefern,
indem man sich auf den LAPrACE'schen Determinanten-Zerlegungs-Satz stützt.
Das Theorem und sein Beweis nehmen dann die folgende Gestalt an:
Aus den beiden Systemen variabler Elemente
h,t, 21,2, ...,
Ani, Vu (ruine)
bilden wir ein drittes System
CRE cm Ay, On (p,q=1,2,...,m.n)
DEUS ym NUE ER) ah Gien)
émail
a dd
a aa d
Zwei Determinantensätze. 201
welches so beschaffen ist, dass zu jeder Combination 4,,, b, nur ein c,,
aber offenbar auch umgekehrt zu jedem c,, nur eine Combination a,,, by
gehört. Nun bezeichnen wir
A, = [al A, == | dl, A, m hee
und versuchen A. durch A,, A, auszudrücken. Wir teilen durch Hori-
zontalstriche die Determinante A, von mn Zeilen in m Systeme von je »
Zeilen. In jedem solchen steht in den Gliedern jeder einzelnen Colonne
dasselbe a,,, da in ihr g ungeändert bleibt und p von (h—1)n + ı bis
(h — 1)n +n läuft. Greift man also zur Bildung einer LArLAcE'schen
Subdeterminante » Colonnen heraus, dann kann man die a,, herausziehen
und behält eine Determinante aus den b,, zurück, in der 5 von 1 bis n
läuft. Diese Determinante ist also o oder A,. Die Larrace’sche Satz
zeigt also, dass A, durch A teilbar ist. Vertauscht man die a mit
den b, dann folgt ebenso die Teilbarkeit von A, durch A7 und berück-
sichtigt man die Dimensionen der drei Determinanten in den a, 0 dann
erkennt man, dass
EN = CST NG
sein wird, wo cst eine Constante bedeutet. Der Wert derselben ergiebt
sich gleich 1, sobald man alle «, mit von einander verschiedenen In-
dices gleich Null setzt.
3. :
Die Methode des Uberganges von Determinanten-Relationen zu li-
nearen Gleichungen bewährt sich auch beim Beweise des folgenden Satzes.
Es sei :
[Gs |-— €, (| ees
(1; £—1,...,) (i,k=1,...,m;m—n)
Cu "MEC Be) C m C,
ddr Mu mas me ar. el
= E(a, f) (a, 8=m+1, .., m)
2
Cn pope Cmm Cms
Can Sy Ca,m Cap
Acia mathematica. 17. Imprimé le 3 mars 1893. 26
202 E. Netto.
dann ist
(1) |E(a, | = DC.
(2,8 2 m4 1, ...,n)
Um dies zu beweisen, gehen wir von dem Systeme der Gleichungen aus
(2) 2 E (a , pu; — O0 (a, B9 m4-1, ...,7)
und nehmen an, die Determinante auf der linken Seite von (1) sei 0;!
dann können die x so gewählt werden, dass sie, ohne sämmtlich zu ver-
schwinden, (2) befriedigen. Zugleich ist (2) identisch mit
9 E (a , a m META 1)
E185 5!
(3) Qc n La, 8T m Dc, x 3% = ©} Gea
hier kun 1
Addirt man zu (3 3) die für alle a,
ungen
.., v, identisch erfüllten Gleich-
Los
dH(a,m + 1) k=1,...,m
x RER 2509 + DEC, uw; — © (rin)
k ‚m+1 7 7 7=1,....™ /
so entsteht
9E (a (k=1,....m
(4) M rt Ya cr ED De, us fes. (in )
k m+ J \a=m+],...,n
Wählt man nun die noch unbestimmten x, ,@,,...,%, so, dass
G) Lait = 0 (re)
wird, dann folgt aus (4) dass auch alle
2 Pp. Er
werden. Bei den letzten Schlüssen war vorausgesetzt, dass D nicht ver-
schwinde. Kann man nun (5), (6) befriedigen, dann folgt, dass auch C
verschwindet; d. h. ist die Determinante | E(a , B)| Null, so ist entweder C
oder D Null.
Mit solehen Determinanten beschäftigt sich KRONECKER, Journal für r. u. a.
Mathematik, Bd. 72, S. 152, 153
Zwei Determinantensitze. 203
Umgekehrt ruft € — o, D -- o das Verschwinden von | E(a, f)|
hervor. Denn wenn C =o ist, kann man die z,,..., x, so wählen,
dass (5), (6) erfüllt sind, ohne dass die x sämmtlich Null werden. Dabei
kann man annehmen, dass eins der z,,,,..., &, nicht verschwindet, weil
sonst wegen D + o unter Berüchsichtigung von (5) auch alle z,,..., 7,
Null würden. Eliminirt man jetzt aus (5) und je einer Gleichung von
(6) z,,2,,..., X,, 80 kommt man geradezu auf (2) zurück. Die De-
terminante von (2) ist also auch gleich Null.
Es sei ferner D — o. Wäre nun der Satz, dass | E(a , f)| dann
auch verschwindet, schon für einen Wert von » bewiesen, so gälte er
auch für » + 1. Denn für diesen Fall brauchte man nur | E(a , 5) | nach
den Elementen der letzten Colonne zu entwickeln; die Adjuncten sind
simintlich ähnliche Determinanten von einer um Eins niedrigeren Ordnung.
Es reicht also aus, den Beweis für » = m + 2 zu liefern, d. h. zu zeigen,
dass mit D auch
E(m -- :r,m-F1) E(m+1,m-+ 2)
E'm+2,m+ı) E(m-2,m + 2)
verschwindet. Entwickelt man die E nach Elementen der letzten Zeile
und der letzten Colonne, und beachtet dabei D — o, so entsteht die Form
| rc, aC niu ’ Xe, i inso Pa
,
2 essa mr Pa , mir mes Pas]
wo die Summation sich auf alle i,k — 1,...,m bezieht und die P,
Subdeterminanten von D sind. Die Determinante zerfällt in eine Summe
> a
\ SE Co li Emi T d , Cs 1g Cx maa Dye
ik; Cr 9,6 E41 Pa , Cm +2, CE m2 Pre
Cmtii Cm
= » Caen +2 Pa Pix == (9x
kl Cm 42,1 Cm 2, I
da die letzte Determinante entweder Null ist, oder durch eine andere
zerstört wird, bei welcher 2,2 vertauscht sind.
204 E. Netto.
So ist gezeigt: Ist C — o, oder ist D — o, so ist auch | E(a, f)|
gleich Null.
Da die Determinante der E homogen in den € ist, so kann man
schon nach dem ersten der beiden erhaltenen Resultaten (vgl. HENsEL,
Acta mathematica, Bd. 14, S. 319)
| Bia, £)| = 229, C" D"
setzen, wobei die g von den c unabhängig sind, und stets
np + my = (m + 1)(n — m)
sein muss. Nimmt man alle ausserhalb der Hauptdiagonale in C ste-
henden Elemente gleich o, so wird die Determinante der E gleich
N—M u 2 .
(ere ine MES) Üm Elm 1 m 2,m42. * 19 (CE
daraus geht sofort hervor, dass nur ein Wertepaar p — 1,» — 1n —m — 1
den Bedingungen genügt.
Hierdureh ist der zu Anfang des Paragrafen aufgestellte Satz be-
wiesen.
205
UBER EINIGE FÜR PRIMZAHLEN CHARAKTERISTISCHE BEZIEHUNGEN
VON
JACOB HACKS
j à > ia CREFELD.
7 Es seien m und » zwei beliebige positive ganze Zahlen. [x] sei die
: grösste in x enthaltene ganze Zahl. Stellt man dann die Gleichungen auf
(n — ı)m = [> — "In Tra
und addirt, so kommt
(1) — = SI [=| + S Ke
n
s=1 s=1
Bezeichnet man jetzt mit ö den grössten gemeinschaftlichen Teiler von
m und » und setzt m — m0, n — n’d, so dass m’ und w' relative Prim-
zahlen sind, so ergibt sich leicht
nl 4r
— I n — à
(2) yam agria m
2 2
1
Setzt man diesen Wert in (1) ein, so folgt
n—1 |
4 1 sm (man = 1) 6 O— 1
- (3) 5 E | ] zm 2 La cow
= N
Acla mathematica. 17. Imprimé le 3 mars 1893.
206 Jacob Hacks.
Sind m und # relativ prim zu einander, so wird 9 = 1 und
n—1
(4) SS =| (die = p — I)
rn LO 2
1 2
Bezeichnet jetzt p eine Primzahl, so ist p relativ prim zu 1,2,3,..., p—1. |
Setzt man also in (4) n =p und für m der Reihe nach die Werte
1,2,3,...,p — 1, so entstehen die Gleichungen
p—! -
S )—I
MEI =
ZA
P—
t
dureh deren Addition man die Beziehung erhält
(s) p = [2] - (Ez) — a
welehe ohne Anwendung von Summenzeichen folgende Gestalt hat:
we
PI M
HE
E «rc e |
+.
a | ze >] + [ie] Va pe — (*) 0-2)
Diese Beziehung gilt nur für Primzahlen, wie sich leicht aus dem Um-
stande ergibt, dass nur eine Primzahl p die Eigenschaft hat, relativ prim
zu den Zahlen 1,2,...,p— 1 zu sein. Die Gleichung (5) ist also für
Primzahlen charakteristisch.
og EET eet
Über einige für Primzahlen charakteristische Beziehungen. 207
Setzt man in (4) m — p und n der Reihe nach gleich 1,2,3,..., p— t,
so erhàlt man in derselben Weise die Gleichung
e [m +[2] [E]
rd
sal ial a TE
4 p—1
zeros
(p — 2)p - (eL =
= =e | — IE ) no
welche ebenfalls für eine Primzahl p charakteristisch ist.
Eine àhnliehe Gleichung erhält man aus der bekannten für zwei
beliebige positive relative Primzahlen » und » gültigen Beziehung
ie e i
ms ns Mm ib
elt eel EE]
(Gauss Werke, Band 2, S. 9), indem man » gleich einer ungeraden
Primzahl p und für m der Reihe nach die Werte 1,2,3,...,p— 1 setzt:
-
|
r
Bj
Fr]
ke 46
Ea)
+
-M-_
=
eI
I
Oo
ks
w||
-
wi „MN
=
| -
-
dli ood
DET Tem
ME
=
M
STE
I
"S
Zr
x
| ns
À AM 44
ze fen
le
r^
vel e
208 Jacob Hacks.
Durch Addition dieser Gleichungen ergibt sich
v=p—1l set ES —1 .-— [;
D: FSR Seles
7 E
Auch diese Gleichung ist für eine Primzahl p charakteristisch, wie
sich daraus ergibt, dass für zwei beliebige positive ganze Zahlen m und
n mit dem grössten gemeinschaftlichen Teiler 9 die Beziehung besteht
p cy T er d M
Babel ps al
ms
(8) B Es
(cf. Acta mathematica, Band ro, S. 34).
1
Die Gleichungen (5), (6) und (7) haben die Eigenschaft, dass sie
ausser p nur bestimmte Zahlen enthalten.
Für den grössten gemeinschaftlichen Teiler 9 zweier Zahlen m und
n ergeben sich aus (2), (3) und (8) bezw. folgende Ausdrücke:
n—1
mai 2020,
1 :
2
oder
N iz] sm i: sn m |p a
dat Dla) le e
je nachdem die Zahlen m und n beide gerade, oder wenigstens eine von
ihnen ungerade ist,
209
SUR LE CAS TRAITE PAR M™ KOWALEVSKI DE ROTATION
D'UN CORPS SOLIDE PESANT AUTOUR D'UN POINT FIXE
PAR
FRITZ KOTTER
à BERLIN.
Dans le 12 volume de ce journal M™ de Kowatevski a publié un
mémoire qui constitue un progrès important et réel dans l'étude du
mouvement d’un corps solide pesant autour d’un point fixe. Aux deux cas
déjà connus de ce problème elle en ajoute un troisième dans l'hypothèse où
les cosinus directeurs de la direction de la pesanteur, et les trois composantes
de la vitesse de rotation s’expriment dans le voisinage d’une valeur finie
du. temps quelconque même complexe sous la forme
(t E t) "BE HM to).
Ce cas est caractérisé par ce fait que deux des moments principaux d'inertie
sont égaux entre eux et doubles-du troisième et que le centre de gravité
est dans le plan de ces deux moments principaux. Dans un mémoire
postérieur (tome 14 de ce journal), M"* de Kowa evski a démontré que
ce cas est le seul en dehors des deux précédemment connus qui jouit de
la propriété annoncée. Dans ce cas en dehors des trois intégrales géné-
rales des six équations différentielles pour les composantes de la vitesse
de rotation et les cosinus directeurs de la direction de la pesanteur, il
existe une autre intégrale algébrique de manière que le problème est ra-
mené aux quadratures. Au moyen de ces quatre intégrales il est possible
Acta mathematica. 17. Imprimé le 29 octobre 1892. 27
ai
210 Fritz Kotter.
d'exprimer les six grandeurs en question au moyen de fonctions hyper-
elliptiques de deux arguments. Il résulte encore des équations diffé-
rentielles du problème que ces arguments sont des fonctions linéaires du
temps. Quant aux six ‘cosinus qui manquent encore, M"* de KowALEVskI
déclare qu'on peut les représenter aussi au moyen des fonctions théta,
mais elle renonce à faire le calcul à cause des difficultés qu’elle prévoit.
On peut éviter ces difficultés en exprimant d’une manière convenable
les trois cosinus de direction. Pour le cosinus directeur 7’ de l'axe prin-
cipal d'inertie distinguée, M"* de KowarrvskI a déjà obtenu une ex-
pression relativement simple, à savoir une fraction dont les deux termes
sont des fonctions linéaires homogenes de trois fonctions hyperelliptiques.
Au contraire pour les cosinus 7 et 7’ qui relient les deux autres axes
du corps avec la pesanteur, se présentent des fractions tres compliquées
dont le dénominateur est le carré du dénominateur de 7", et dont les
numérateurs sont des fonctions homogènes du 2° degré d’un grand nombre
de fonctions hyperelliptiques. Ces expressions peuvent se mettre sous
une forme beaucoup plus claire si on calcule 7 + 4j, r— ir '. Ces deux
expressions sont des fractions dont les numérateurs et dénominateurs sont
composés d'une manière relativement claire linéairement au moyen de
six fonctions hyperelliptiques. Cette forme induit à étudier au lieu du
mouvement des trois axes le mouvement d'un troisième système de coor-
données dont la position est bien déterminée à chaque instant par rapport
au système de coordonnées précédent. Les cosinus directeurs des nou-
veaux axes et de la verticale sont des fractions dont les numérateurs
comme le dénominateur commun sont des fonctions linédires et homogénes
de fonctions hyperelliptiques. Un examen attentif des coefficients de ces
expressions montre qu'on peut les représenter plus simplement au moyen
de fonctions hyperelliptiques de deux arguments dont les valeurs sont
naturellement constantes. Indépendamment de la valeur des quatre argu-
ments ainsi introduits, les trois fonctions de ces arguments satisfont à la
condition caractéristique pour les trois cosinus directeurs d'une droite avec
trois axes rectangulaires, en outre elles satisfont à certaines équations
différentielles partielles, dont une autre solution est de grande importance
pour l'étude du mouvement d'un corps solide dans un fluide. C’est cette
circonstance qui dans ce cas comme dans l’autre fournit une détermina-
tion simple et naturelle des six cosinus directeurs restants.
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 211
Dans ce qui suit je développerai les résultats auxquels j'ai arrivé
de cette manière, et même déduirai les quantités obtenues par M™ de
KowALEvsKI, pour les avoir sous la forme la plus commode pour les dé-
veloppements suivants.
8 1. Les équations différentielles et les quatre intégrales algébriques.
A un instant donné la position d'un corps qui tourne autour d'un
point fixe, est complétement déterminée par les cosinus directeurs de deux
systémes d'axes de coordonnées rectangulaires dont l'un est fixe dans
l'espace, et l'autre fixe dans le corps qui tourne. Le système d'axes
fixes dans l'espace 2, //, Z est choisi de manière que l'axe Z soit dans
la direction de la pesanteur. Le système de coordonnées fixes dans le
corps n'est pas encore déterminé par la condition de coincider avec les
axes principaux d'inertie, parce qu'ici deux axes principaux d'inertie
sont égaux entre eux, et que par suite toutes les directions d'un certain
plan peuvent étre considérées comme axes principaux d'inertie. Nous
supposons donc le systéme d'axes choisi de maniére que l'axe Z coincide
avec le plus petit axe d'inertie, et que le centre de gravité du corps
soit sur la partie positive de l'axe des X. Nous désignons avec Kircu-
HOFF les moments principaux d'inertie et la masse du corps par P, Q, R
et M et par z, la distance à l'origine du centre de gravité et par g
l'accélération due à l'attraction de la terre. Les cosinus directeurs des
trois axes du corps avec la verticale sont 7, , 7, , 7, et les cosinus direc-
teurs avec les deux axes horizontaux seront aq,, «,, «,, A}, 8,5 f,. Dans
notre cas on a donc
JE em (ue m
Par un choix. convenable de l'unité de longueur on peut prendre
R= M
et par un choix convenable de l'unité du temps on peut faire que
‘
gru
212 Fritz Kötter.
alors nous obtenons pour les composantes de la vitesse de rotation et pour
les cosinus directeurs 7,,7,, 7, les équations différentielles suivantes
dp : dr,
2 uic de n pcc Un
dq dr,
Fee eres ar e By m
dr dy,
af. 132 Fem (be ees he
De ces équations différentielles on peut déduire quatre équations intégrales
algebriques, à savoir d’abord la relation entre les cosinus directeurs
ndmctpneru
secondement l'expression du théoréme de aires
2 (bn + Wo) +17 = 2
troisiemement le théorème de la conservation de la force vive
2(p* + q?) +r? = 27, + 6l,
et quatriémement une intégrale spéciale à laquelle on arrive de la ma-
nière suivante.
On reconnait facilement que par suite des équations différentielles
on a les equations
ail + i) +i + ind + + + in)
et
2 (9 — ia)? + n — irs} = 4 iro — i +7, — im).
D'où il résulte immédiatement
(p d 39 +n + Cp — 0) + n — y) =,
où k désigne une constante réelle.
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 213
§ 2. Représentation des six quantités 7,,7,,7,,? i g,r au moyen
de fonctions hyperelliptiques.
Deja M"* de Kowarevskı a ramené les quatre équations intégrales
«à une autre forme en introduisant au lieu de y,;7,, 9,9, les quatre
quantités
x, — p + iq, L, — p — iq,
& —(pti tni, Se WEN 15
alors les équations intégrales deviennent
(1a) 2a m.
(1 b) r* = 6l, +5 + & — (x, 4- 23)",
(1 €) m = 21— z,£, — 2,6, +02 +2)
(1 d) Rei al, + a2, x.
En éliminant de ces équations les quantités r und y, nous obtenons
l'équation
(2) & R(x,) + ER(x,) + R,(v,, x,) + &'(v, — v)! = o,
où on a posé pour abréger
(3 a) R(x) = — z* + 6l,x? + Alc + 1 — E,
(3b) Rfx,,&,) = — 6l,vix — qla,a,(x, + x.) — (1 — k?)(r, + v)?
+ 6l (1 — k’) — 4D.
Nous pouvons évidemment convenir que k sera une valeur positive, et
poser alors J£ VE — Kk, si nous convenons aussi que yz et VE, repré-
sentent des valeurs imaginaires conjuguées. De (ra) et (2) nous tirons
alors les équations Fs :
VE MEG Laure VE, EG) (#,) | as! R EE 2k VR(x R(z,) V R(z,) ) er
Tun age TE ae (v, E e)
214 Fritz Kötter.
Or, on a
R(v,) R(a,) — R,(@ , vv, — x)
== u — 121,02, + 36h xia, — 481%, (0, + ©) + 240 lo x, (m, + v.)
+ Aer, Ha) + 2(1 kai + 121,(1 — Kov,
+ 41 — K?)v, + x) + (1 — &?*
= (— aja, + 6l,a,x, + 2l(x, + v,) + (1 — K^»)
ou si on pose pour abréger
(3 €) Rx, ,x,) = — u + 6lv, v, 4+ 2l(x, + x) + 1 — E,
R(x,)R(x,) — (x, — v,)' Rí (x, , x,) = R(x, , v,)”.
Nous obtenons done
VE, EN ) = Va yR(z,) (æ,) NP (@, 5%)" — Bn) ) 2k VR(a,) )VR(,) : SEE
* a — d. (v, — %,) (z, — rom
Si nous posons '
(4) T R(z, , 2,) —VR(a,)VR(2,) ru R(æ, , ,) + VR(&,)VR(«,)
ti (z, — #,)’ í 3 (s, —)*
nous obtenons
VE y ye MOD) — u M — 6) —
= ( x kt, + E)
et par suite
(5 a) VE > IET (VE + DE, — 1) + V, — DE, + D),
— VR(: au Was ah RE ete EBEN,
(5 b) VE, ma a (vi, = k)(t, ar k) Zu Vt = k)(t, = it)).
En vertu de l'équation (4), on peut exprimer les quantités a, , x,
de la maniere suivante au moyen de ¢,,¢,. Comme on le voit facile-
ment, à chaque système de valeurs /,,í£, correspondent 8 systèmes de
valeurs æ, ,æ,. Les grandeurs z,v, et x, J- v, ont une relation ration-
- Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 215
nelle aussi bien avec ¢, +7, qu'avec ¢,f,, et chacune de ces équations
est du second degré en z,r, et x +:2,. D’apres l'équation (4) les
grandeurs ¢ sont les racines de l’équation :
R(x, ,%,)
oe -
*@, — 2)" (a — 2)
Fan, 5 2) AS
E ,
qui peut aussi s’écrire
(ah es , , £,) — ule, u) *t u)
(a, = 2,)*
uer nee 2800s qM HE wr o
(v, Xy æ,)°
Le numérateur du dernier terme de cette équation peut s’ecrire de la
manière suivante
2(u + 3l)oio3 + Alr v, (v, + 2,) — qu(u + 3l)x,x,
+(1 — k* +u)(e, + @,)? — qlu(x, +2,) + AU — 61,(1 — k?) — 2(1 — k?)u
2l -
teret)
@ + e) »
2 (u Eis 3) 1).
= (va + Sio (a, — v)
+ [2(& + (1 — k))(u + 38) — ie
Si nous posons maintenant ¢ + 3/, — s, u + 3l, — z et
z((2 — 34) + (1 — &?) — 2? = e(z)
nous avons
(6) (s— 9? — a Res) — 3h a),
(a, — 2,)*
E re " 2l: z, ar e(z) (Ets; — Qo.
€, — %, V2z *; —% z,—— zx) 22
: : E ; :
Si nous appelons e,,e,,e, les racines de l'équation ¢(z) résolue par
rapport à z, alors pour z — e, les produits (s, — e,)(s, — e,) deviennent
les carrés de fonctions rationnelles de x, et x, nous obtenons les équations
— 2,2%, — es + 3l 2] æ + DU nl Ran 1 1
á V2e« = = : ; : a vs We eaXs, I eu): Nec ORE
g — €, V 26a Ci
216 Fritz Kotter.
V2e 2l nri ads
Dee)’ J2e, p (eu) Plea
5 6 Je nd
Et & nous les multiplions par —
nous ajoutons
(74) a GA eec
b Da D la nr
4 3l, SM NOM INN s TE FEN
(79) unl n EEE MEI am are
qi — 9$.
a- Mo CS
Si les racines sont choisies convenablement, on peut poser
2) = V2eaVese;;
nous obtenons alors
+ 2 Be en
zal = = X Ves vs, + eu)8, — ea)
1
(7 4) "IO
où les signes des radicaux peuvent toujours et doivent être choisis de
manière que 2ye;e, — v2eg 2e,
Nous obtenons trés simplement les grandeurs Vin) oi VR Gr.) de
€ — 9s qa —— €,
la maniére suivante. On a
eae Re, , %) — EINE) u 30
(æ, — Lo )
1 R(@,) + R(@,) + (ei — a2)? — 24 R(e VR(&,)
2 (v, — %,)”
d'ou il résulte
on a de méme
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 217
Mais lorsque s = s, l'équation (6) a lieu pour toute valeur de z. Si on
pose 2 — s, on obtient
( 22, 713 — eh + 3l, 2l e+ =) + 20(s,) (& it æ,) 1) =o
/2s —
ba wae V2s, PE RTS (e, — 2,)* 28,
et par suite
I
28, — (x, + v) = 220, ts + 31 — 5) + 2l(x, + 2,))?.
Par un choix convenable des signes des radicaux on peut done écrire
4 R
CHR VERRE Les (25,(r,v, + 3l, — s,) + 2l(x, + x,)),
CENT A CHE" v2V¢(s,)
VR (e) VR(a,) oer I 5 A :
ZH + œ, — v, mi Le re T 3l, Fi 2l(x, + %,))-
Des signes des deux radicaux ÿg(s,) et Yo(s,) l'un seulement est arbitraire,
parce que R(x,) et R(x,) s'expriment rationnellement au moyen des quan-
tités ys, — e,)(s, —e,) En multipliant les deux équations nous obtenons
R(x,)—R(x,) _ 1282, 3l,—s,)+2l(x, +%,) 25, (zv, + 31, —s,)+21(x, +2,)
(e, — 2.) 2 ves.) ve(s,)
Si nous multiplions le premier membre par x, — x, et si nous donnons
alors à z,,z, la méme valeur tres-grande x, alors nous obtenons
— 447. Si nous désignons par s l'une des valeurs + 1 ou — 1, on
peut écrire
a=1,2,3
Ve(s)Ve(s,) RC ve = ea) (8, — eg)
C'est pourquoi en opérant de méme sur le second membre, nous obtenons
la valeur — 4ex*. Nous avons alors à poser pour ¢ la valeur + 1, ou
, ^ es . —— ———— en
en d'autres termes, a choisir les radicaux V¢(s,) et Ye(s,), de manière que
í Ves) es) n „vo se ea).
a=1,2,
Acta mathematica. 17. Imprimé le 16 décembre 1392. 28
218 Fritz Kötter.
On a de plus
25
(wa, + 31, — s) + 2l(v, + x,)
(2s( (x, x, + 3l, ee 2l(x, 3b 5) = ves)
=
(s 2 ej (s lg e,\(s > es)
See 2e, (4 + 31, — ea) + 2l(a, + a,
SOS (x,2, + 3 ) ( )
g (ea)($ — ea)
v2¢aV(s, — exXs, — ea)
= = Wes) (s)(x ad EN
V 26a Vs, — ead(s,
= £4)
o (£s) S — eq
= — 2 yes)
D ER — es,
D'après cela nous obtenons
— ey)
V2es (aaa V¢(s,)
NG el, — e)
(8 a) V R(a,) wt N ca € (e) En a Bone
Eo. ER v2 V2e,
2 gos) lee
ea)(8, — eg)
nen 6 =
ea
8b VR(z,) ze am € (ea)
( | Ti em ig + V2 > V2es |
zn (EO, En
— €a\(s, — es)
€ (ea)
De plus on a
R(z,)YR(z,)
NE _ (S, — 85),
et par consequent
(Va) jm Ii. 9 VE)
v, — €, SX $E
(RE): EGO.
nl 8,—8% —@,
ainsi nous obtenons de (5a) et (5b) en posant
—h-3h-—e +h+
3l, =e;
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 219
VE = + re Zur e,)(8, = + ve, EZ e, Xs, E e)
?3 Ve (ee — ve(s) Ne
€ (Ca) —e 8,—e
Cy p
VE TOM 8, E 2, ive, D e,X8, = e,) che v(s, Fs e X8, ES e)
> V2es (Eu + EC e a
P(ea) \8;— € 8,
i) RTS eur,
EE ea a
Nous déterminons les expressions \/(s, — es, — e,) et Vs, — e,)(s, — e,) de
maniere que l'on ait
De plus nous déterminons y(s, — e,)(s,—e,) et (s, — e, Xs, — e,) au
moyen des équations
v(s, =. e, X5, — e,) vis, er e. Xs, P €.) = (s, E €,)v(s, e e, )(s, — e,)
vis, ES e,)(s, = e) v (s, *e eX, ET €.) Ta (s, ny €,)v (5, zx i e, X8, fix e.)
De plus nous posons
= Me — e,)(ss — e) V e (sg) = Vie —x (8—1,2)
Pa = vis, — egX(8, — 8) (a=1,2,3,4,5)
de maniere qu'on ait aussi
5
= Il P
a=1
Enfin nous désignons par P,, l'expression
PP; | 8, MN S
Si — 8, | (s, ca ea)(8, Fix es) (s, EL eg)(s, -— eg)
220 Fritz Kotter.
Cela posé, nous pouvons écrire
(9 a) | VE =
yet => mms
(9 b) a=
Or, on a VE VE, — 4. D'où
V2% p V2ea p / V2e, 1
2k(T g (e) P) = ex € (ea) ee (X e»)
Les grandeurs & et €, elles-mêmes peuvent s'exprimer par
ne rx a + > EP
V2 p V2e,
=: 9 (eu) m 9 (es AA
ur - DRE
(10b) & — y = > me a)
264 p 268 p
> e (ea) RE =F > e (ur
Des grandeurs € et x on tire alors les grandeurs y, — y, + iy, ; J, — 51 — a
(10a)
a5
au moyen des équations y; = en e
« Or les expressions de x; et x; peuvent être transformées de la ma-
niere suivante.
Des équations (7) il résulte
Si Vesey Pa ate I
(11a) r= IAE ;
1 m
> 657
My Vest; pu
(11 b) no ge) 7,
2 V2e, 5.
3 4
Lege rmm f
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 221
Nous ajoutons aux dénominateurs et aux numérateurs de ces fractions
respectivement le facteur
p LI M v2e, B; Fr: Y um TES Y. i
9 (es) 9 (e
Or, on a: |
(EX) Er) —(Y Hee) (y dn)
y YEA
"x 2. roc (e5— e) P, Pin
Ar > V2e, P5P,P S, S,
9 (ea) 8, — 8, rl Fa egXs, Pod ejXs, sel T (s, a egXs, = e,)(8, KZ e,)
et cela devient en vertu de 8,8, = IL»,
Ye P,P, ( S, " S, J- V2 p
e (eu) 8i 3x 8, (s, S eaXs, e e) | (s, nr ZIG, FA €. ) Q9 (ea) AR"
On a donc les deux équations
(X Mev) (SP 6.) -Y 39 2. — (Y Mer (SP),
€ (Ca) — qe)
(xXx HER) Mer (LP) (TEs.
Par suite on peut séparer dans le numérateur de x, et de x, le facteur
> v2es P,. Nous obtenons donc
9 (ea)
XR eg
T de.
124 == 9 (ea)
( ) n Y» Ve p
(ea)
Dee qa =
(12b) pees Ba) gef
: > V2. p en V26; P
¢ — (Pa) Fart 2 g(a) ^
Ps
ee
222 Fritz Kotter.
Pour obtenir z? et 22 nous multiplions les deux expressions de x, et celles
de z,. Au numérateur s'introduit alors la somme et la différence des deux
(X Were.) (yen) —y Yet p.
(were) Y VP.
expressions
Parce qu'on a
(ey — ej) Pos = — (P, Pa — Po Pj);
et par suite
> Paese À P,P Vertes = Fe
9 (e) tre g(e)g(e) '
nous obtenons pour la premiére des deux expressions
£56, ferne + €y — ep).
dU D D IDA MEZUR 7 B
Y 9 g4-- a ae ga € (es)e (e)
Mais on a encore
e, = pe) + ee; + €, — e)
et e; + e, — e, = 2(3l, — e). De plus l'expression 2
NE
se réduit à
D € (ea)
zero, et l'expression entière peut s'écrire
3 2e4(3 3 — eg) ppt Y 2 Vege, (3l, — eg) PP,
Ces ea) Eee (eg) e (ey)
» V2*s p V26s (4
Al i © ¢ (ea) 102 9 (e) h — Ba)
ors on 4
Ve M V2ts (,
er > € (Ca SC) Ch e) d PC) y (3 — e) Pas
X V2es p Wee p
€ i
(3, —4,) Pa + Y. ies (3l, — e) Pas
ys cs Pus zr > à er ES
u € (ea) € (ea)
V2e,
Pe km 9 (eq)
—— V —
»otu Cem c rms EP ————POU—
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 223
Le
au moyen des valeurs données plus haut pour £,,£ nous obtenons
de plus
jue DIOE ee — 0) D
(13a) h = À — 2 — € (ea) g (ea) ,
= V2% p ER > > V26s p
"E € (ea) Ps
26, [265
Y s — e) P4, + PON (e, — e;) P.
(13 b) Ya = 6 — %3 = 2
a V2e. »
De Pi T > ey \ a5
Le cosinus directeur qui manque encore, et la composante de la vitesse
q q , I
angulaire qui reste à déterminer se tirent des équations (1 b), (1 c), (1 d).
Si nous les multiplions par xj, 27, , 1 et 25, 2%, , I, nous obtenons
(rz, +7) = R(a,) + (v, — 2*8,
(rz, + 75)? = R() + (0, — 26,
tandis qu'on obtient en les multipliant par z,v,, x, + v,, 1
(rz, + Ir, +7) = Kia, , 2).
Par suite de ces équations le signe de l'une des grandeurs est déterminé
par celui de l'autre. Les deux premiéres équations peuvent s'écrire
(== t +) = + (æ, — #) & R(&,)
VR(«,) R(z,) R(z,) (v, — 2,)*
_,, Wis — ee, = 0) + vis, = 2X8, — «))-
er
et
e Br TaN os (v, — +.) SR)
(ur) TERN
— pap Wis — eX — e) — Ve exe, — 9)
ES Gr,
tandis qu’on a 4
(ra, s Toray + Ya) ar R(x, , æ,) ME eS RE 6l, EET amie te
VR x, )VR(x,) VR(z,)VR(«,) 8, — 8 372%
224 Fritz Kötter.
Il va de soi qu'ici tous les radicaux ont la signification donnée plus
haut. Les seconds membres des deux premières équations peuvent encore
s’écrire
(Vis, — eXs, — €) + VE, — EX, — e).
(s, ei sd)
et
(vis, SSD cs ub v(s, — e, Xs, — «).
(s, PS 8,)*
Nous n'avions rien fixé de plus pour le signe de P, et de P,, si ce n'est
que leur produit fut égal à (s, — e,Xs, — e) (s, — e,Xs, — &,)- En disposant
convenablement du signe de ces grandeurs nous pouvons poser
TX, d p. si Vs, TH e,Xs, a= es) at Vs, id e, Xs y es).
V R(a,) SA ER
alors il vient
re, ls Ts ER vs, SSC PU e,) er vs, SCA e,XS E e,) ‘
"Tres Re
De ces équations on tire
Vs, — es, — e) VR(@,) + VR@,) 4 Ve — @,\(s, — e) VR(@,) — VR(@,)
ger d €i — Vi §, — 8, Qu Le
DEA INGE AGA ae e) V, V Ra) Tg, VR(e,)
js = 8, —— 8, x, —&
CE Vs, — e,Xs, — e;)m, VR(z,) — e, VR(x,) :
$, — 8; 2, — v,
Au moyen des équations (Sa), (8 b) on tire ensuite
2 À
5 PERLE ERS x23 5 Se ie H
SEM
peu) * A
Or, on a E
[SETS P, Ps P,Ve(s,) P,Pg P,Ve(s,)
Ves) = (8, ME. ea(8, m egXs, i ey)’ Ves) Ba (8, => ea)8, ow. egX8, FA e;)
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe.
et par suite
ee 0 ee)
PEL a eee Je
realer Tag wer)
de maniere qu’il vient
(13) r=y2
On a de plus
a, +2, VR(e,)—VR(e,) — VR(æ,)+ V Rej)
Li — Le 4, — 8, d Ts
2 e, V R(z,) = æ, VR(z,) = (x, — v.)
u 0%
— (x, —2) e rp ea "a
= Se EE Zo
(ee) *
ee
+ (Er)
=
Le second terme dans la parenthèse peut s'écrire
v2eq PsP) _ #3 V2e. PP, Ve) (ea — €)
= ¢ (ea) (s, — eas, — e;) €(eg)g (e) — (s, — esXs, — e;
m. * V2e(es — e) P; Ps zig
Be leere) 8i pee VE 3, ,
tandis que le premier terme devient égal à
gary, ene Pa te) Vests zug PaP,
(p(eg)? s, — e = ¢ (eg) 9 (e) s, — es
de maniére qu'on a pour la somme dans la parenthése lexpression
q p P p
ee. A EE
ve) > (Ge) s $6) 2- For = € (eae (e, ie
à * en V2e, a 2%
, ET A" e (ea) =) " € (ea) 8, Ks E
Acta mathematica. 17. Imprimé le 14 décembre 1892.
29
226 Fritz Kötter.
Si on remplace enfin x, — v, par sa valeur, on obtient définitivement
s Rm Vest; P.
zy R(n) — e, RG) _ 5, & ¢ (ea) 8 — Ca
NET = Ve) EE:
V2ee p
Dp
(142)
D'une maniére toute semblable on obtient
vere, P.
2 /R(z,) 1 R(z,) = 72 en)
(14b) æ \ N VONT = ges, — ta
V. v. V2e, P:
> g (Co
En se servant de ces valeurs, on obtient, de la méme maniére qu'en dé-
terminant 7, =
32 Ves ey d
(1 5) —— —_ € (ea)
= v2
Y vo"
pes)"
Pour la détermination des grandeurs s, et s, comme fonctions du temps
nous procéderons comme il suit. On a, comme il est facile de le voir,
E re 92, 9v,
VR@)—VR@) _ 08 9 (——
TD E E = 2y2 D: ve)
Or, O0,
R R (a) Pra CHR
V GUN (a, = — 2 y2 8, — + |o (s,);
TT 2 12
V. VR@,) ze VR(,) m jos 9 (8, Tom E e BEER à
DENT or aber ar agian, siete
9%, 9v,
BU 1
= Ll. 98, 95, [XR
sut Se g, — a, ve (s)
2, V BR (v) + e, V R( Rx x QN ee
v, v h(x, + gy CAS n = (a :) 1 2
v, — x, sate Ve 9s, Wr, — & 2 Ve (s)
Ow, Ow,
_ “295 den
>= SWZ 5 ve(s,)
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 227
et par suite
Ld ——— Or E
eve VAE) Na = VR)
2 2g) st = — VEG) 2 agis) — = ER)
Par suite entre x, et x, d'un côté, s, et s, de l'autre existent les deux
équations différentielles
mo ds ds
2 = HE ,
(16a) |. a VR@,) ^ ve) — ve(s)
= da ds ds
6h e WE T JS UIS
(1 ! ) VERG) Vee) ^ Vee)
Mais on a de plus d'après les équations différentielles du probléme
DA ARTE ge a CRESCE ORE Ne fe
VR) VR) u
RP Mer o Na «nr
VR(@,) VR@,) m
En nous servant de ces deux équations, nous tirons
ds, _ dE
N: + ’
ds, n dí
Bais peer
et par suite
d dS
(17 a) a S.N à — — ivadt,
ds,
(7b) | | en
.
5
228 Fritz Kôtter.
$ 3. Décomposition du mouvement.
Si on désigne par # + iv une grandeur complexe de module 1, alors
les grandeurs 7; et 7; qu'on tire de
ricus)
et la grandeur 7, peuvent étre considérées comme les cosinus directeurs
de la verticale par rapport à un nouveau systéme de coordonnées dont
le 3° axe se confond avec l'axe des Z fixe dans le corps. Le premier
axe du nouveau système forme avec les axes des X et les Y les cosinus di-
recteurs 4 et — v, pendant que le second a les cosinus directeurs v et u.
Le mouvement relatif du nouveau systéme de coordonnées par
rapport à celui qui est fixe dans le corps est done une rotation autour
de l'axe des Z de ce dernier avec la vitesse angulaire
Et d In (u — iv) |. ,d]ln(n + iv)
er Oy di I CREE UE ci
Les composantes de la vitesse de rotation du nouveau systéme par rapport
aux axes fixes dans le corps sont donc
P,a, rtp.
De la résulte que les composantes de la vitesse de rotation du nouveau
système par rapport à ses propres axes se déduisent des équations
p' + ig — (p + ig\(u + iv),
T = Tr +2:
Nous savons que VE et VE sont deux grandeurs conjuguées dont le
module est k. Nous pouvons donc considérer
— rn eg
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 229
comme des grandeurs qui satisfont aux conditions requises. Comme on
a 2k =e, — e,, on tire en se servant des équations (ga), (9 b)
Zee p V2es p
2 € (ea) usd € (Ca es
(18) “+ —
e, — e E V2es p
ze
et encore
V2e, V2e,
NEU ne TOR en, qui OP
hi x3 "cas X Vas 2
€ (ea)
Vest p = Vest p.
b ^ I x Pu GN € (es)
(20) p tu = — ee or
le, — e v2»,
NES 4 a
EIE
d Ing, —
dn
Par suite on a
_ .dln(w + iv) _ i dln£, |n.
a dt rer gen 2
et encore
vV2e.
: I I S € (ea) &r
(21) r=r-p=-r = — ———.
2 v2 > V2e,
9 (ea)
De là se déduit lensemble suivant de formules
Vene
a QUEE et, ee fa
; n E 2 = Vea
pe =. Ge) Y est
es
n= > ERAN z
er
‘ pz ge)
230 "oU Fritz Kotter.
BUE E wi De
p = — '—-—i 20)
Nea p à == vea p
v2 Ve, — e, "PA Pe Va en e, >
2 (es) Pen)"
ee Ze ii
= Vea p
px € (e)
Ve, - Vea p
fp et SE E poumon EM
popa eis ps => VE
€ (ec) "(OM
Ces grandeurs satisfont aux équations différentielles suivantes qu'on déduit
facilement des équations différentielles du probléme
(22 a) ar Rande
(22 b) em
(22 c) BE qr — pps
(23 a) 2 E p t
(23 b) ot — zu,
(23 c) 2 = = a — iv,
(24 a) = = — rv,
(24 b) Den ru.
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 231
$ 4 Représentation des coefficients de 7,,7:,7:,p ,q,1 au moyen
de fonctions hyperelliptiques.
Pour la détermination des cosinus directeurs du nouveau système
par rapport aux deux axes horizontaux du système fixe dans l’espace il
est d’une extrême importance que les coefficients constants dans les ex-
pressions précédentes puissent s'exprimer au moyen de fonctions hyper-
elliptiques.
Cette représentation dépend essentiellement de l'équation
(25) g(a) =a(e? — 61,2 + ol +.1 —k*) — 21? — o,
dont les racines sont les grandeurs €, ,e,,e,. Nous pouvons l'écrire aussi
+
e(z) = 2(e— e,)(e—e,) + z— 2 =0,
de manière que pour une valeur quelconque de z on a
2 — 2 = ala = e,)e — e;) s (2 de e) m eye = es).
Si nous posons 2 = e, (a = 1, 2, 3), nous obtenons
21? — e, = e,(e, — eje, — e;). (a=1,2,3)
pot
Mais si on a z — e;, à désignant l'un des indices 4 ou 5, nous obtenons
2 — e; = — (e; — eye; — e)(e; — ej) = (e — e;(e» — e;(es — e;).
Si nous attribuons aux grandeurs ye, , ye, , Ve, la méme signification que
précédemment, et si de plus nous déterminons les radicaux 4e, —e, et
Vea—e, (= 1,2, 3), nous pouvons définir de nouveaux radicaux par
les égalités
(26) V2l? — e, = VeaVea — e, yea — 6,» (a=1,2, 3)
[5] == / / RUE
(2 7) V2 - €5 ve, eve, Ca €4 — ea (2—4,5)
Et comme ye,Ve;Ve, = 1/2, nous en tirons l'égalité
(28) MNT TNA ENTER EINER T ea.
292 Fritz Kötter.
Nous poserons encore
R(z) = pee — e)R — &,)
et definissons alors les radicaux \/R(e,) par les égalités suivantes
(29 a) VE (eu) = V¢ (ea) Vea — e ea — 6»
(29 b) VR'(e,) Ve, — e, v= g(e,) 7 Ve, — e,V2l° — e,»
(299) JE) = ids a.
Les radicaux yg(e) doivent étre déterminés de manière que, si a, 8,7
désigne une permutation circulaire des nombres 1, 2, 3, on ait
VE Cave (eg ve (e) = — ta — ee — Ne, — e) = ie (ees — e2-
Enfin la signification de ye, — e, et Ve, — e, doit être prise telle que l'on ait
ve, SONS I Tr ver Vea—e, :
Sindans P(s 5), (@= 1,2,3,4;5) mous prenons pours 7s, une
P I 2 : :
paire de valeurs s; — 4, 5, on peut développer P, suivant les puissances
(5
de 7. Nous obtenons
(30) P(&, 2) = P(e” + EP.
Il vient
(30 a) P(SX = Js — eas (30b) P(s) = o,
(300) BASED = eee eue OÙ
On peut développer de même P(5.)) et on obtient
re af
(31) PC = Weave a
(31 b) P(s) = — Vs, — e, Vs — ey — ees
(31 c) P(s:)e = (s, a = (€, + €5 zE e))v& T5 ea VS ep dou 208
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d’un point fixe. 233
Nous posons encore
(32 a) Q(s, , $), = ys
(25) On = PE
be iOS A ay”
E / RE
; (33 2) Q5 9) = ere? Ot Sur
(33 b) Q(s, Y = Vee te PG
USC Re) VR (e)
Nous considérons les grandeurs Q(s,, s,), comme des fonctions de
E (34)
a, a,
où a, et a, sont des constantes. Si nous prenons maintenant pour s, , s,
: 1
la paire de valeurs sj, = nous obtenons
$2
E S PEN E "s ds, 8,48, | „me
E- | “= N + [AS | — ive Bee)
E ar a
Ps vf —itya(1 us T 3
Len
E a ds ds =
Va = Vz fs + [5 — i7y2 P(r?)
"m
= de + e. 2)
i
5
N ce 1
ou nous avons écrit e pour „(a +e, +e, +e, + e). En regardant
maintenant la fonction Q(s,, s,), comme fonction de v, , v, nous pouvons
la poser égale à
© Rv, , v)
| ‘ RO, v) '
Acta mathematica. 17. Imprimé le 8 mars 1893, 30
234 Fritz Kötter.
où R(v,, v,) doit devenir infiniment petit de premier ordre, quand c = si
est infiniment petit.
Nous prendrons pour v,,v, les valeurs vi, v; et nous allons dé-
velopper suivant les puissances de 7. Si nous posons pour abréger
9? It (v, , vs)
Ü I 9v;
€ —— me b = £X — =
(35 a) RC, v) À, (35 b) 2 PRG.) m,
Me ef av!
9*R(v,,v,) 9E
ov c 3»
(35°) deme Sa,
av! 4
nous obtenons
Q(s)? = AR (0, v3),
Me OR (CD), v
QE v2 i( ES Bala mR(v, , n).),
*R 7 f hi aR , 3 if j I
LOUE iC : o Ce 2m “ee + (2m? —n)R(v, à).
1 1
Ve Ves (e NETT ea = e,) E» Ves Veu ema Vea =a Ve. uA Vea Sas
ge) Fea) Re):
V2? — eyes — e, Ne, — e;
(VR G3)
D'aprés cela nous obtenons pour le dénominateur commun
Dre ve = Le (e, Me D Q(e, E» Q(20c Qs; , Spa
De plus on a
(e, — e )Vea le) NT — e, (ea — e,)(e — e,) Ven
Ve, — e,€ (e) (e) VR (4)
(Ve e,) Val: — e, Val? — e, e, — eave, — £a
(VRR)
bo
e
cx
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe.
et par suite
2 (ex — e) Ven
—— V Pa = LOE) Ole.) Q(217)G” Qs, , s, Y.
Y mu pte Pa = ZOO (EP OLE" Q( s s).
D'où il résulte
a 6) a Pp = am =
EE = TO VAE Gs OU Se
v
Pour trouver le numérateur du 3"* cosinus, nous écrivons
4 Vest; _ ito — alas ae ea ee a Va ave
e (e) / VA.) VR Ca) v B (e,)
; (es BNP EN qm cu er
— VIG) Ro) VR (eu)
Par suite on a
X Es p, = ET AT OIG” Os, 5 s).
Sim Les numérateurs de j', 4,» s'expriment aussi de cette manière. On a
Vege, (eu — eese Val" — e, (eu — e.)
Dem TIE
(ea — eV ea Zach Ves mali Vege, 2l us ven ra Se
VR (o) (o) Vea — t,
Nous multiplions les deux termes du dernier facteur par ye, ye, — e, et
obtenons alors
(ex — e,)ves — e, Neu — e, L V2 Yal® a)
VK G,) Rs) VP — e,
à dq EAN e, Ve, — ey er = 6). ER ea alas |
zm VR (e,) R (e;) vai — va, Wa
= (tta eee, ape yar EE geal? se, JL Ua Val — a, Val" — n. )-
VR (e,) R (e,)
236 Fritz Kotter.
D'après cela les numérateurs de p’ et q’ deviennent
A LIT Ves ey
V2 — (e) Ve, — e,
uA
oo C? Q(e- One Jat t WIE Qs, sue
wash ty ARI COE S
os play, —e, ^
=> Q(e) s vO ei | eran Jas + 1Q(20? JS Joc 51» 8, )as*
Les coefficients du numérateur de 7’ ont la forme
Ve, NC = e,) Ve, V2l? — e, y 2l* — e,
g (ee) V Re) VB (eg) VR (e,)
be ‚(es — ej) Ves — e, Ves — e, e, 2I* — e, Val? — e,
VR (ea) VE (es) VR (ej) Val? — e,
; (s e,)Ve, — e; Ca Ve, — eu eu 2 20 — e 20 — e,
VR Go EGG) — 2)? esp celat e p Vale,
ENCORE DEN
VE) Vi ten Ve) | EM EMEN EE
D'aprés cela le numérateur de »' devient égal à
on Ves
(2095,
Vz EN = — le)” Q(e Que + 1Q(205; [ DISEASE
Enfin pour transformer encore les numérateurs de w et v, nous divisons
l'égalité obtenue plus haut
Ves ve, mu Ve; Tm V2l* — e,
CNW meme per VE
q (ea) VR (e;) ie
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 237
par Ve, —e, = yR(e)iyzl’—e,. Alors nous obtenons
Veau a = Ve — tale, — ta VF — es 2l — e,
ve, aa Og € (ec) R'(e,) VR (e,) 6. — e,
_ Ca — &,)N&, — ea 6s — &a (tà — e,Key — e) V 20* — e, y 20* — e,
It (e5)v R (e,) 2 — e, s
; Eger er — (2l’—e;+ 21° — e,)) 21° aye =
R (e) VE (e)
CO ed 21* — a, J21* — a, |
x al?’ — e, m
(eu — e) Ne, — eae, — ea,
EGO (al — (e e, — RP Re
| + V2 y20 — es 2 — e; V2 — ej
E- ne e| x (a — i, + e, + e.) V2 — e 21! =,
+ Ia ar = e520? — ya — e,
E ERN e) VA — a — s.
Nous déduisons de la méme manière
+ l2 al* — es y2l* — e, 2D — e,
+ (ee) zs.
Nous obtenons par suite
on PESE Pa-—
XU
—2Q(e, X Ale) "(2 Q2? +1 y2 Q(20702—(20— e, —e;) Q2) Qs 5 82)
SNC Vp nu tes
23 Ve, "ge 9 (eu) i5
—XEQ(eX-"Q(e e; "(2 (2! “VEEP +l y/2 Q(2U2—(2P—e,—e;) Q(20)ss 1 (515 Sa)as -
ee 1 y
h
238 Fritz Kotter.
Il est remarquable qu'une grandeur qui se compose avec le numerateur
de y; de la méme manière que les deux expressions précédentes avec
les numérateurs de 7,, 74, a la valeur zéro. C'est
2Q (PE + L2 QE) — (20,— e, — e) Q (2)
= (al? — (e, + e, + €) N27 — eg y 20 — e, — l2 V2 — e, 28 — e, 20 — e,
— (21? — e, — e;)y2U — es 20 — e,
4
= (alte) areal, — hye V2? — e, Vale 217 — e,
= (21? — e) JP — e 213 — e, — Val — eg 20 — ej (20 — €) = 0.
V t \ 4 V Lt E 4
Si nous désignons de plus par vj',v? et vj", vj" les couples de valeurs
que prennent v,, v, lorsque s, — e, , $, — OO et s, — 6, , 5, =O,
nous obtenons immédiatement
65 , SR, Vs Ja kw, v; ), R(vi , v)aa R (vi » Vo)as
(36) Ti = SRW, vs Rr s EO, ae Rn, Wa’
Ruy, s ER, avis as (t, 5 0.)as
(36 b) [s DIR, v; o FU, ,% Jar VeRO; , ve) ?
(36 c) " joke. v; aR (ry, vj );R(vi , Ys) R(v, , Vs) a7
3 fs ZR(v, vj), R(v, , v, RW; va R(v, , v,)a
Si nous désignons par AF(v;, v;) le résultat de l'opération
(| + im) Fo; 2) — i0
B 2
Ou;
nous obtenons
/
YR (v, ; Vy Ja li (v, » Uo CA li (v E U5)u4) It (v, B Vy at
(37 a) P — SSR, v RSS Ao Rn a
(235 lee TRY, vi) Rot, v) CA R(vi , Wa) R(v, » Vus
97 nm
; T7 Tr FT DIT ,
ZR(v, v Je R(v; , vy lak (r, , v;), R(v, » Ve Ja
À ) MEN. XR(v, , v), R(v, , vs QA Rv, , vg) RO, , v.s
(37€ SR, Vz ary , v? )aR(v , v)a R(v, , v,)«
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour dun point fixe. 239
Pour la suite il est essentiel que les expressions précédentes puissent s’écrire
un peu autrement. Comme il est facile de le voir, on a pour un indice
simple Q(s')) = o et par suite
liv, , v.
2v,
= mA(v; 1 CAPE
Sy! 3 (ERw‘ V, 5 Vo a LR Vs) a ), Rv, , v3). Ri, , v5),)
1
— IX R(v/ di NE V; ^, R(i nti 03"), R(v ’ v5), R (v 19 T. 32H
Nous pouvons done écrire
a
(39 a) p =I — iz
, , .9 :
(39 b) ] = is
à p LOT
(39 c) = lyr — ri
Si on pose pour abréger
(40) VFw,% = AAF(v;,v) —IAF (x; , v;)
+ (n — m — DP + skis gr (vj , 95),
\
les grandeurs # et v deviennent
, SR, va Ru, u Ja V R(vi , v) B(v, 5 v.)
(ara) hen SR (vis v; abv, , v; Ja RU » Dee R(v, , Vie
rye XR (vi , D Du Foi 3 vy MVR , [A Jas R(v, , Vy as
(41 b) AR ae: ERW, %)Rlı , v; ); R(v, , W)uR(, , v DE í
§ 5. Introduction des fonctions théta.
Les fonctions employees dans le chapitre précédent R(v, , v,) peuvent
"a .
se représenter facilement au moyen des fonctions 0. Pour introduire
cat
240 Fritz Kôtter.
ces fonctions, nous avons d'abord à rechercher la position relative des
zéros de S et des limites d'intégration.
Les deux zéros e, et e, sont réels et e, — e,. Des trois zéros e,,
€,, €, qui sont les racines de l'équation
s(s — ej(s —e,) +s— 2? =o
il y en a un ou trois réels. Dans le 1% cas au moyen du terme indé-
pendant de s on reconnait le signe de la racine réelle; dans l’autre cas
la plus grande racine est certainement positive, tandis que les deux
autres sont en même temps positives ou négatives. Nous pouvons donc
distinguer trois cas.
I) Toutes les racines réelles
1) e Beer,
2) ve Ogres nee
II) Une racine réelle, les 2 autres imaginaires
3) ie, >0; 6; et e. conjuzuer.
De l'équation
V(s, — es, — ea) = V2e,
©, %, — 6a + 3l 2l x +%,
d +
% 2% Ver
2
qui a lieu pour «= 1,2,3, on peut très facilement déduire la position
, par rapport aux zéros. D’après les équations qui
définissent s, et s,, ces deux grandeurs sont réelles, et parce que yR(e,)
et VR(x,) doivent étre conjuguées, on a s, >s,. Comme x, et x, sont
aussi des grandeurs conjuguées, le second membre de l'équation écrite
plus haut est imaginaire si e, est positif, et réel si e, est négatif. Ainsi
les racines positives sont toujours situées entre les deux valeurs s, ef s,,
tandis que les racines négatives occupent la méme position par rapport
aus, setas On ca donc
des grandeurs s,, 5
dans le premier cas .s, >ie, > €, res:
dans lessecond cas, 5, > prp MM
dans le troisième cas s, > e, > 5,.
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 241
Des équations précédentes (5 a et s b)
EN ER nn R(« is ae
ee E + VE IM = VE + Ht, — b) = vis, — e — e)
R RUHR "eu x
DE Pa = Vt mG, + k) = vis, — e,Xs, — e)
on déduit que (s, — e,)s, —e,) est purement imaginaire et \(s, — e, Xs, —e,)
réel. Comme (s, —e,) —(s,—e,) est certainement positif, parce que
8, >85, > e,, il résulte de la premiere condition que l'on a
Be Cars Sa ee
tandis que de la seconde condition il résulte que ou bien
Cd CE B1 A
1d ou
: ZR TUE ee
On a done ou bien
D e Su > €,
D ou
e SS
Mais on avait
1 ds, s,ds
dt = dv = e a AR
” Tz S, Tha )
Qi prc ML
o = dv, = i G + =I
Done S, et S, sont de pures imaginaires de maniere que toujours un
nombre impair de zéros doit être supérieur aux arguments. D’apres
cela nous obtenons dans les trois cas spécifiés plus haut
I. GS Seen en,
$, > e, > 85
II. Duc EN ne Fer ig,
j Sy 206,28,
Acia mathematiea. 17. Imprimé le 9 mars 1893. 31
Fritz Kötter.
bo
i
bo
Il. SELS;
ON ON SES
Nous appelons maintenant les zéros d,, 4,, 4,, 4,, a, et quand ils sont
tous réels, nous choisissons les indices de maniére qu'on ait
a, = a, < a, E a, « a,.
Dans le cas où deux zéros sont imaginaires conjugués, on désignera par
a, celui dont la partie imaginaire est positive et par a, celui dont la
partie imaginaire est négative, et on aura
<q, Sis.
Comme limites inférieures nous prenons les zéros a, et a,, alors les inte-
grales
ay a,
a.
D | ds, | ds,
Uv. = — — ——:
2 == a 1
v2 © S n 5. |
az a
se distinguent de grandeurs reelles au plus par un systeme de demi-
v,,%, sont de pures imaginaires
périodes simultanées. Au contraire
Les limites supérieures sont ici
sauf des demi-périodes simultanées.
201? et co. Mais
(21? — e (20? — e;)(20* — e,)(20* — e, (20? — e,) = 2l (20 — e,)' (20? — e)?
est positif d'ou résulte immédiatement l'exactitude de notre assertion.
Nous introduisons maintenant au lieu de la grandeur S la grandeur
(c S v2
© — ME v— 2(s — a,\\s — a,\(s — a,)(s as — a.)
" De ees trois cas le second doit être rejeté, puisque on a é,+e,—e, +e,+e, et
exo Cary il s'ensuit €, +e, <e, + e,, tandis que les conditions du deuxième cas
exigeralent €, + e, >e + €,.
eet en en
RAE te gm tme
uw omo
APPEL aes t nm à m woe" ^. E
Sur la rotation d'un eorps solide pesant autour d'un point fixe. 243
et nous posons F(s), — s, F(s), = 1. Ainsi que nous avons fixé la
désignation des zéros, les demi-périodes
Flo) F(s),
x, = [72 ds et &, = [as
La S LA >
sont toujours reelles, si nous choisissons convenablement les chemins d’inte-
gration. Dans le cas où tous les zeros sont réels nous prenons comme
chemin d’integration pour les deux integrales la droite qui joint les deux
limites et alors nous donnons a © de a, à a, des valeurs positives et de
a, à a, des valeurs négatives. |
Mais si a, et a, sont des valeurs imaginaires conjuguées il en sera
pour l'intégrale K,, comme précédemment, mais au contraire nous pren-
drons l'intégrale K,, le long d'un are de cercle joignant a, et a, et
coupant la droite a,a, en un point b situé entre a, et a,. Le signe de
la grandeur & qui doit varier d'une manière continue sur le chemin
d'intégration, sera choisi de manière que © soit en b une imaginaire né-
gative. Comme © est évidemment en D purement imaginaire, © ne
prend pas des valeurs conjuguées en deux points conjugués du chemin,
mais les parties imaginaires coincident tandis que les parties réelles
sont de signes contraires. De là il résulte immédiatement que les deux
parties de l'intégrale qui s'étendent de a, à b et de b à a, sont con-
juguées de maniére que l'intégrale entiére
a
Mt | Ott
a
est réelle.
Nous définissons de plus deux nouvelles demi-périodes par les
équations
ay a,
= "F(s),ds = "F(s),ds
UR | I UAM j=.
, a2 =
es
~
t t
o a»
=
—
Dans le cas oü toutes les racines sont réelles il faut encore prendre des
chemins d'intégration rectilignes et S doit être imaginaire négatif entre
Cf . . , *
a, et a,, imaginaire positif entre a, et a,, ces intégrales deviennent alors
244 Fritz Kötter.
purement imaginaires. Si a, et a, sont imaginaires, le chemin pour
la première intégrale doit se composer du segment rectiligne de a, à b
et de l’arc de cercle ba,, et le chemin de la seconde intégrale doit se
composer de l'arc a,b et du segment de droite ba,. Ici encore la gran-
deur © doit varier d'une manière continue, le signe devant étre choisi
de sorte que © soit en b imaginaire négatif dans la premiere intégrale
et imaginaire positif dans la seconde.
Alors les intégrales iK,, et iK,, ne sont plus imaginaires pures, mais
. # . 12 2A x I
prennent une partie réelle qui est égale pour la premiere à —3Én et
x I
pour la seconde à 4- 5 Ba
Nous posons de plus
iK, = 1K, et iK = Ka + Ka
de manière que toujours 7K’, soit purement imaginaire. Nous appelons
7h
(PAS
périodes primitives les valeurs ainsi définies 2, , 2, , 2i 5, , 2i
En place de v, et v, nous introduisons maintenant les grandeurs wu, et
P 1 2 c 1
4, qui satisfont aux équations
9 — 20 woe
Uca KC ru esa oe
Leur résolution nous donne
u = fu, dat
Wy = 13V, À ases
alors 4, et w, ont immédiatement les périodes simultanées
oO un. Ws
aux autres systemes de périodes primitives correspondent alors les périodes
te = 2i(gi Ki ap be K;,); Tap = Ta:
Si nous posons
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe.
les intégrales
sont des demi-périodes de «, de la forme
Dn a à
ie a = (niv + nino)
et on à
ni mi ni ni
pour A=o — I — I o o
Ar à — I — I I fe)
er o — I1 1 o
ae o — 1 O I
AE d Oo Oo Oo Te.
Tout autre systeme de demi-periodes simultanées de uw,
periodes introduites plus haut.
La fonction 4(w,,w,) est alors définie par l'équation
u Qu ) m D elmer mmc nima) en Quem za Mae) Ri
1 2 x
Ny Ne
De plus on pose
et u, peuvent
se former au moyen d’une période entière et d’une ou deux des demi-
VICA „u, | N, , n,)= S(u, +99, + Mines + m7, 4% 7,4)e «Cra tra),
où l'on a posé pour abréger
T, — Wa cb 97s
et cette définition ne s'applique pas seulement pour les nombres » entiers.
A l'aide des nombres m?,») nous définissons maintenant les fonctions
théta à indice simple
mn I li HE,
4 ir Re", À | À À
‘ Yu, , Wu.) = u + zo ‚u, + = W., | 3 My, su).
s
246 Fritz Kotter.
Si À et 4 sont deux indices différents, on doit avoir
mit =m. +m et nit=ni + n (mod 2),
—Wq e n 0, in SO
et
De la même manière nous définissons les fonctions theta dont l'indice
est formé de plusieurs indices simples. Si un indice simple devient
double, il disparait. S'il y a plus de deux indices simples on peut
réduire l'indice parce que l'on a
m=o et Zml=o (mod 2).
Des lors que À soit un indice simple ou composé et que
I
e, = 5m, HAT, HT),
I
(Oo (m, + Mt + 1t, 7,4),
soit une demi-période quelconque, qui aprés augmentation d'un certain
nombre de périodes entiéres puissent se ramener à la demi-période appar-
tenant à l'indice p. Alors il vient
u, + o, , u, + e)
7 1 ri À Auf À Ay
: 2, (2 + Wg + Mn) T | —n,m, + nd (mj, Tm—mm;! )|
= BU, ue e .
Si dans le c, et c, , m, et n, sont des nombres pairs, on obtient une autre
2 ,
égalité
Qu, +m, + mt, d nnus, bm, ncm, + nn),
IE = = ml 34 ut À
zi Jn, (2u, ar sr N, Toi +N, us) men, m,—Mm,, n,)
= J(u, , we € :
Si À et p sont deux indices simples alors Yn’ mi est congruent à O ou I
suivant que À est plus petit ou plus grand que p. Si A= y alors la
ee E QT M lee Mw K Dis Es
Sur la rotation d'un eorps solide pesant autour d'un point fixe. 247
dite expression est paire ou impaire suivant que l'indice lui-même est
pair ou impair. De plus on a toujours pour deux indices simples différents
X (nmt — nm?) = 1 (mod 2).
Entre les fonctions théta et les limites supérieures des intégrales on a
les relations suivantes où 2A représente un indice simple pair
u, , 0, )or id V (— 1)*(s, — eaXs, — aaa) :
Hu, , Uy) VR (a3)
du, , U)a-ı E» v— 1)4—1(8, — a:1—)(8 — 421-3)
—— SS ——————————— ?
Hu, , Uy) V— Ras)
Hu, 2 uy) F(u, ? U, ary I E VE (a JE an) ( e, E. e,
U, MU, 20.) 5: Sb s. A, (8, ars, — a,) (8, — aa), — Ay) ;
disi 2)
(Dans la dernière formule on a le signe + ou — suivant que À est
inférieur ou supérieur à y.)
Nous posons les grandeurs e,, e,,¢, égales aux grandeurs a, , a, ,
a, et les grandeurs e,,e, égales aux grandeurs a,, «,. Alors il vient
P v(s, = e, \(s, = e,) run * Fu, 2 Us)
Q(s, ) Sy), = ETC a 8, n) u, , wu)
formule où », est un. nombre entier dépendant de l'indice, qui est pair
ou impair en méme temps que l'indice; e, signifie + 1 ou — 1 suivant
le choix de J(s, — e;(s, — e). Comme #(u, , w,) a la propriété que nous
imposions à R(v,,v,), nous pouvons poser R(v, , v,) = #{u,,u,). Alors
nous obtenons pour le dénominateur commun
2. (— r)*e,cte' e" 8(uj', u7),8 (uj, 7"), 8(u, , us), (mu, , wu),
X — X1, X2,X3
De plus on a
Q(s, ? CAP Vz cs Q.Q, ÿ(u, , u5)9 (u, » Ms) :
Er Vt (ay, — a3) lu, , hu, , u.s,
A
0
248 Fritz Kotter.
»» nous obtenons
12
Et comme €, —e, = à, — à, , (=) — À
yx, VA
RY, , v,),, RW; while sels) me (us Ue) a
Il faut prendre ici le signe + si l'indice x, < À, ou autrement le signe
—. Dans le premier cas Ln'm*=1 et dans le second =o mod 2.
Nous pouvons done toujours au lieu de + écrire aussi
Am?
ee (— 1)” m .
Nous obtenons d'une maniére analogue
R (v, , Ro, E JE
YX ”xg
Sn X3 Xo Eo: CO ,
= —(— 1)" me eee.(—1)" ?*99(wwWu)aS(u > wu
Comme évidemment dans les fractions n’entrent que les rapports des
PI
111
grandeurs (wj, u,),4(u;", w;"), nous pouvons les multiplier par un même
facteur quelconque sans altérer l'exactitude des formules Mais les
/' par un choix convenable du chemin d'intégration sont
évidemment les demi-périodes o7", w;"
grandeurs w;,w
et par suite en place de la
grandeur
Se 1)*e,676, €," dur), TAC aN
x
on peut poser l'expression
(— I y^ pigs | n 3xp.*
Les signes des termes des fractions à déterminer dépendent du
chemin suivant lequel on détermine les grandeurs x, ‚2, , «1, w; et peuvent
étre changés d'une maniére certaine parce que nous pouvons aussi changer
ces chemins le cas échéant. Nous voulons déterminer les grandeurs w,,
, de manière que si s, est situé entre deux zéros a, et a, , u, et u,
sont réels, mais si s, est situé entre a, et — co, w, doit se composer
u
d'une partie réelle et de la demi-periode
ay
'G (s ),ds
— ET/1 = — | VE .
—À eats set
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 249
En augmentant w; et u; d'un nombre convenable de périodes, nous
pouvons faire que tous les nombres y, soient congrus les uns aux autres
suivant le module 2, et de plus, s'il le faut changer le signe de 7, et de 7,.
Nous pouvons toujours supposer que deux des quantités y, soient égales
lune à l’autre; si la 3°, par exemple y,,, est différente nous augmentons
u, de la période 2w%**. On change ainsi le signe des termes dont l'indice
est différent du troisième, pendant que les termes de l'indice x, conservent
leur signe. Maintenant les nombres y, sont congrus les uns aux autres,
et égaux à zéro, parce qu'ici cela ne dépend que des fractions. Pour
changer le signe des deux grandeurs 7;,;;, ou celui de 7; seul ou celui
de 7; seul nous avons à ajouter aux grandeurs u, les périodes 2%",
20% ou 20;. Le signe de 7, est déterminé par celui des deux gran-
deurs 71, 7i- ‘ ; -
D'après ce qui a été dit, le terme du dénominateur relatif a l'indice
x devient
In A m*
ga 8,,,,0 (Us , us), 8 (Uy , Uy) y+
Les termes correspondants des numérateurs deviennent
; = + InAm* „In? mX : ‘
7 e;(— I ) [ 98 o 8... 5 (u 1) u;),, 8 (u, , u,), 1
Doux Son
"E +Znltm* En Jm , ;
AA €, E (— I ) 1 Br sx DTE, (uj , Us) xn D (u, , Us) ,
Sr XQ 5 mr InAltmX Vy
E pp 2 es ' ,
— E Sues ERERER(— 1) ii (—1) ds dise (Ui, US) aye (tly Me) rye
On peut encore transformer un peu les coefficients de ces expressions.
On a en effet
xg x ul x, x.
Xn m? +x nm? + nm
a) = (— 1)
À Xp) X. Ap x D XpE, X
i EmT+Sn m +n® m
a a
X; X Xs X xyes Ap x AUX
je m'-nm '+n 'm I Le m + ( rye m
De plus on a
y+», + X», 0 (mod 2),
et par conséquent
| (9 ger
Acta mathematica. 17. Imprimé le 8 mai 1893. 32
250 Fritz Kotter.
Si nous désignons maintenant par |”) une quantité qui a la valeur o
ou +1 suivant que l'indiee n est pair ou impair, alors d’après les dé-
veloppements précédents on peut poser
PA
— ee; (— 1)? = i^l,
at
—— = e,(— r)- == jlel
Mais comme on a
JA] + | e| + |Ae|=1 (mod 2)
on peut poser pour le coefficient de la troisième expression
as jlAn| + s = er
Et il faut prendre simultanément pour tous les termes le signe supérieur
ou inférieur. Si nous définissons done jz) d’une manière convenable
on peut prendre le signe +.
D'après cela nous obtenons les expressions suivantes pour les grandeurs
NN. Pr TU
Yn^mX : Xn m* r ;
ri + la 2 nee ee dar dran 0 (Uy , 13) D ut » Usxà
1 v «À , ,
Me cag ies DTP (u E us) (Uy , 1s).
», x «nan D /
r ill 2,(— m2 eM i D sz Pus? (un > U)xu 0 (Qu, , Us) xy
2 ’ ZA Mx
D eS eO PD (Us » Us} D (Us » Ua)x
' Salim? Emm! , ,
5 i An] 2x (— fi) DR een D seu dur E Usa D (tts , Uz)yau
3 SmAfı ) ,
Pup Ts 3D AS Ida , 5). (Uy , Uy)x
d 5, ex * Sy Altin®
mn: M 2 Ug: g^ odi c Dis sx AQ , us). a, > s)
Àj
Apes Lu mE Ind (us , us) 0 (Uy , Us 2
, 7 x Mm D ,
q' ES jte 2, zs CE Doy) In Ad, , Us) D (Uy , Us) xp
rA , ,
Due aR dar dazu D Qs E 5) (ut, » Ug)x
Ihn x + Alem 1 D
p "LT 2x(— ee m Disi 95 Ad (uri , as) D (Uy , QE
+ DOCS $1 À A , , ,
Ay e ga rend (t (US) (ta , 10)
|
|
t
i
B
*
4
è
|
;
Jose
nac
— —
err temm Cines
ei eC A
— -
Eee
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe, 251
, n^ mX ,; XnAl'nX , ,
— oil AX— DI LATET VI (u, , u)ad(u, Us)
yd, x , , b
ER) oxi Prax? (My » Uae (Us » Un)
, Yn! + XnÀitX ,
| 2. (— TEN EON Js 9, VÀ (uy E Us) 9 (Us , Ug)yı
p = — 2i" ;
^ SA x , ,
Ep, Dis Du; , u$) (Uy , Us)
Ainsi d’après cela les cosinus directeurs avec la verticale de méme que
que les vitesses de rotations pour notre systéme de coordonnées sont dé-
terminés; on trouve les grandeurs correspondantes pour le systéme de coor-
données fixe dans le corps au moyen des formules
. n + tr : p + iq
VI rie: nd ce
n ir p — iq
.8 6. Les cosinus directeurs pour les axes horizontaux et les com-
posantes de la vitesse de rotation par rapport aux axes fixes
dans l’espace.
Si une ligne quelconque forme avec les axes fixes dans le corps
les cosinus directeurs a, , «,, a,, alors on trouve les angles de la méme
ligne avec les axes du nouveau systéme de coordonnées au moyen des
équations
a; + ia, = (a, + $a,(w + iv) ai — ia, = (a, — imu — iv), a3 = a,.
Inversement si les derniers sont données, on trouve aussi facilement
CONSU RP oe
Si maintenant une direction dont les cosinus avec les axes du 3°
système sont f, ,,/4, est perpendiculaire à la direction yi, 72,73, on
doit avoir
Bi + 7262 + Th: = o.
252 Fritz Kötter.
Une troisième direction perpendiculaire aux deux premieres a alors pour
cosinus directeurs
a = Ar — Bo
as = fin — Br
Or, si lon a un système quelconque de grandeurs a,, b, qui satisfait
à ces quatre conditions, on trouve les cosinus directeurs de deux lignes
perpendiculaires entre elles et sur la direction 7 au moyen des égalités
a! + ig; = K(a, + ib,),
(x=1, 2, 3) 1
a; — if, = K (a, — ib),
ou K et K’ sont deux grandeurs à déterminer de sorte que l’on ait |
KES (a; + D) = X + fl) = 2. |
On peut donc poser
V2 (a, + ib,)
Ma + LE)
tius
La grandeur w, se détermine alors au moyen de la condition que la
vitesse de rotation du corps relative à l'axe vertical, c’est à dire l'expression
‚da, , apy M4 d x — m )
a Tun T = Ya nr il) 3 ;
ait la valeur deja connue
(1881) (Es af Be À
Pn 2E (EE SE 13°
Il importe encore qu’on puisse supprimer les facteurs communs des
grandeurs (a, + ib, en les rejetant sur X. La méme chose se fera pour
(a, — ib,).
Les quantités w, et w, étaient seulement dépendantes de ¢, en tant
2
qu'elles sont des fonctions linéaires de v, qui est lui-même égal à f.
On a donc
dy, — YER.
dt Piu, du LU em (x=1,2,3)
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 258
Les composantes de la vitesse de rotation étaient
OU
al .9y, (OT 97,
gd =, V5: ih (Za, u shi):
O75 (27. or
ee la le LAS À
lr, Faut ox fs i o, zu 9.)
Si on introduit ces expressions dans les équations différentielles pour
rn»r»7 (24a, 24b, 24c), on arrive aux relations suivantes
9n ne
Es Ua ia
272 9r, (975 ors ‚ (71 271
(y ju d = = TEN + 25 dia) ri — (adn ka au? Io):
97,
CE + Tg,
Nous remarquons ici que ces équations ne sont établies que pour les
systèmes spéciaux de valeurs de u,, w,, u, , w; considérées ici, mais elles
sont vraies pour des valeurs quelconques. Les quantités g,, , 7,, peuvent
aussi étre remplacées par deux valeurs absolument arbitraires. Enfin les
coefficients
ETE » Xn
C, = À 8,5, Fun
peuvent être remplacés par d’autres grandeurs C, qui satisfont à la con-
dition caractéristique
2(— 1)"!@ So
dont il est facile de vérifier l'exactitude pour les grandeurs ici considérées.
Mais comme ce qui a été démontré jusqu'ici suffit pour la conti-
nuation du calcul, nous réservons pour une autre occasion l'extension
des formules en question.
Si maintenant dans l'intégrale qui représente le théorème des aires
pour un plan horizontal
‘
2(py, + 972) + m = 2l
254 Fritz Kotter.
nous exprimons toutes les quantités au moyen des quantités corres-
pondantes dans le nouveau système de coordonnées, nous obtenons
(pi + dre + T7) c
et, en remplaçant p’, q’, r’ par leurs valeurs,
(ri opi ut 2075 or: NU OTs 975 ;
EXON nig ; 7 2 7 7 == .
i( (fu tan =F IE TA t 35/4 r2 SF (du T auda ra o
Par conséquent les quantités
97. 9r, (97% ore
— ( — ( et ; =—
Ju, 711 T $4 (Sta de)
remplissent les conditions supposées pour a, , b,.
Pour caleuler ces expressions, nous deduisons quelques formules dans
lesquelles x représente l'un quelconque des indices x, , x, , x,; de plus soit
x, =, h=À, =, A, An; enfin dans les formules qui suivent
À désigne l'un quelconque des indices A, , A,, A. L'expression
X»Ám* 9 9
(— is m 8(u),, 8(w), LOL + 2-8 905
a (— nee Sul er CPU CALO® (= Ge + LOU:
1 2
3 9 ;
ers Bu). (SI + ou, om
peut s’ecrire comme fonction de «
Alu + WU — Wi + 3U8 (u + w)5,(u — ww)
+ 88(u + wu), 9(« — Wa: + 88'8(u + uw) (n — U) sei
! Pour plus de simplicité j(«), est écrit en place de J(u, , »,),, 9, en place de
ÿ(0,0),. Enfin AÓ(»), et A, représentent les valeurs
99 (w), + 99 (w), OÙ (uu), 99 (wu),
Jıı io et 11 J12
ou, ou, ou, ou,
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 255
Nous obtenons deux relations entre %, %’, 8 et 9, si nous observons
que le premier membre est une fonction paire ou impaire suivant que
|x + |xA|=1 ou o (mod 2), et une troisième relation en posant u, = w|”,
et une quatrième en posant #, = @,'”. Nous obtenons enfin
+! (— De OT + Uus A Dix — ae 1 0 ue um De
I EG IntmXı , ,
EE (— 1)" 8, A isl (— rj à du —Uu Mix, (0 +u ha
+ (— 1)" 9 (wu + ie Su — uw).
Nous obtenons de même en remplaçant d'abord « par — x, puis en
posant u, = cl" et ensuite u, = wi"
(— D (ua (uw), (8(w), A BU her — $(u), AB (u),]
(— 1)?" "^ 8(u'), (wu), [8(u), A9(u),; — lu), ABC), =
"e desc 1)" 8 (u — 0h50 A iss (— y Pete e bl (og qp) 8a
+ (EN) A Pis (— rmt 9 (0 — U) ur sega
+ (— 1)? 8(u — ws À Ps (— D genesi I(ULW) 50 sx
+ (— nine rl 8(u-- Us À Ss. (— Ep qn 8 (u— us Bl
Nous multiplions la premiére équation par C? et ensuite nous sommons
en donnant à l'indice x les trois valeurs x,, x,,x,. Nous multiplions
la seconde par C,C, et formons la somme des termes qui peuvent
se dériver par permutation circulaire des nombres 1,2,3. Comme
X(— 1)'€? = o, les termes d'indice x, disparaissent dans la premiére somme
et nous obtenons par addition des deux sommes
256 Fritz Kotter.
(22, C, 8(w),8(u),] (
9 9 SAX ;
au, 7 Sr 5-5.) Ze D z u alu)
ou,
= | XC, (— ar) gx + 2-9.) 2:0, 8 (w), Hu),
PE (= pom | X(— 1)" s(w— Wi À Dax |
x
> Am XnXg392 + |Ȉ| C 77 4 u aene d
j
u (— mo | Y (— yrs CE 9 (u + Wr A D qax |
D |
2(— ps C, 8 (u — W) Chan | ?
Si nous ajoutons au premier membre le facteur i" et le dénominateur
N? = {3C,8(u),8(u'),\?,
Pree É 9r : pu : :
nous obtenons l'expression 2 + x Pn où ;' désigne celui des cosinus
Uy U,
directeurs 7,73, 7, qui correspond à Vindice 4. De là nous déduisons
pi» fps
dr or . . n . , 2
SEIT MR QUA. en permutant w en w’. Mais si dans l'équation établi
uy Uo
précédemment nous changeons w en w’, la valeur du premier terme du
second membre change de signe, tandis que la seconde partie reste in-
variable. Car l'indice 13x est impair, tandis que 13xÀ est pair. Par
2 , J
suite nous obtenons
m (— Ty aeos iN? | > (+ 1) — dS 0,9 (wu ia WP) À Pray |
Iz 1) (— ry" 6 9(u ES ORE A
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 257
Par suite nous pouvons poser
» E SM Vy X 3%À ,
, ig j^ ( Joe cae +iu Li * re a I2 iN C, (u usq )isxa Ü sx?
ae su = 7)“ one
Z0,0(u),9(u )y À
où a’ et f# sont celles des quantités à, a,, a; et A, ;. f, qui corres-
pondent à 7. Pour déterminer A, nous avons à former
= 1)1] 2 i 1) — S us pee OA u "b ssi Pian |
Am ny hs (x=xp%2:%5
^ 13xÀ
X [3 (— Y TA E C,8(u — u^; Bis) .
Cette expression se sépare en quatre parties a savoir
> e, (— 1)? t9 Qu + w’) 5,8 — wu) Paar
X 7XjXo Xs
DA C, C, (— elle I J^ 4l 9 (u + Uus 9 (u = nsa Siga fina
zi (— I jare 9 a5 W x 5 (u — Jsxa DTP Il
et deux autres parties qui se deduisent de la deuxieme par permutation
circulaire des indices x, , z, . z,.
Si nous considérons d'abord la partie de la premiere expression qui
est multipliee par C7, nous reconnaissons qu'elle est aussi bien par rapport
à w qu'à w une fonction théta paire de caractéristique nulle. On peut
donc la poser égale à
2:4, ,,9 (u),0'(u);,
ou x et x prennent les valeurs x,, x,, x,, x,. Si nous déterminons les
coefficients de la maniére connue, nous obtenons
^?
>> (— LI esl 3°(u);9? (w);.
H= MyM a%e
Nous multiplions par C; et faisons la somme suivant x, qui parcourt les
valeurs x,, x,, x,; alors il vient
PO) > else,
X—X)5X0X35X4 A — XXX
Acta mathematica. 17. Imprimé le 13 mai 1893. s; 33
258 Fritz Kötter.
2, alors |xx|=|x| + |x), |13| +|13x|/=1 et par suite le coefficient
de ce terme devient
SUL
— (— 1)" X C2 (— rh = o.
x
Si au contraire x est un indice simple, on a
113] + |13z|=0, |xx| Zo ou =|x| + |x| 9 1
suivant que x est identique à x ou non. Si nous designons maintenant
les deux indices x différents de x par x' et x" nous obtenons
us ean [C (— 1)! E C; (— 1) (— 1) m. 202.
Par suite la première partie se réduit à
2 À C78?(u),97(u'),.
X),X2)X3
La partie multipliée par C, C, est une fonction théta relativement à «
de caractéristique xx, qui est paire ou impaire suivant que |x,| + |x, |
est pair ou impair. Si donc À désigne l'un quelconque des indices A,,
À,, À, on peut la poser égale à
Af (wu), 8(u),, + B$(u),19(u),5.
Si nous posons maintenant w = @,,;, la partie multipliée par B disparaît,
et nous obtenons
3
AS(o™), 8 (c9), .
Au contraire lexpression à transformer devient égale à
490), 8 (7^), 8 (u^), (w'),..
Il vient done A = 4ó$(w),8(w'),; maintenant il est facile de voir
qu'aussi pour une autre période "^ l'expression à transformer devient égale
à la valeur de A#(u), 4(u),, et que par suite pour cette valeur BY(u), 7; 9(w), 5
sannule. Mais ce n'est possible que si B est nul. Par suite la seconde
partie devient simplement
4C, C, 8 (w),, 8 (u), 8(w ),. u^.
— acd
$E Qv pe du MANDA GRE
+
1 1
1
1
1
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 259
Si nous permutons entre elles circulairement les grandeurs x, , x, , x,,
nous obtenons la troisième et la quatrième partie. En réunissant les
quatre parties nous obtenons enfin
2| X C,ó(u Ju)? = 2N*.
XXX
Par suite la grandeur K a ici exactement la valeur 1, de sorte qu'il vient
e tius
Am ) À ,
a d: ig yr i (— poene POM C 1I» (— 25 XnX,43 9X C, (u + wandten
i 2,00 (u),9 (wu ),
Nous déduisons la fonction iw, de la composante de la vitesse de rota.
tion suivant l'axe verticale
p-—pn-aryctrvn
nic
=
2
En
=.
=
MO
<
TI
a
—
R
x
A
~
=
so
—
a, — iB) (a, — 1, U, -
-- > (a Gi if) ae dr mi dt (a; = iB;) E
2
Or N(a; — if;)e*'^ est seulement fonction de u, — wj , «, — ws; par suite il
vient
9 N (a; — if, iA) 9(«, — 18, N (a — if) N
b cuis cir Aris | St eo au, )
tandis que N(a! + ifj)e ^* ne dépend que de w, + wi , "«, +. de sorte
qu'on à
dea (a, + 42) N Berta, + (NO
Max aux
et en consequence
tum (os au) fun + En) EC + Bee — i£) N°)
t dN ; NÉ v2
— SE X (n, + ig); — i£)
Mais comme la somme qui se rencontre plusieurs fois a la valeur 2, il
sen déduit
x dap: 2 zm dln N
Er (a on, fa + po 9.)
l :
TR Ini
260 Fritz Kotter.
L'expression de gauche avait la valeur constante /, par suite il vient
u, = (l + im)(t — t,)
ou ¢, désigne une constante.
Les six cosinus directeurs des deux axes horizontaux par rapport au
systeme de coordonnées tournant dans le corps autour de laxe du mo-
ment d'inertie distingué étant ainsi déterminés, on peut de la manière dé-
veloppée plus haut trouver les cosinus directeurs relatifs au système de
coordonnées fixe dans le corps.
Maintenant il ne nous manque plus que les composantes de la
vitesse de rotation suivant l’axe horizontal. Elles sont déterminées par
les équations
pt ig = Ep + i) = Fi) (ci.
Mais on avait
Gina ocak
ae 2
(a, + BC py NU ana AL LEE
+ = (a; ES ifs) | I(— iym tl gu + TANT EE N=.
Xm13X
p + iq = + ilz nl m C, (n EE JO ey eene NS
== xxi pls o aq + ile ADR EN TES
Le mouvement du corps se compose du mouvement du système des axes
de coordonnées introduit et d'une rotation autour de l'axe des z de ce
systeme dont la vitesse est 7”.
Par suite les composantes de la vitesse du corps par rapport aux
axes fixes dans l'espace sont
D=ptra = +rp,
|
4 ry.
e
—
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 2
$ 7. Résumé des résultats obtenus.
Nous avons vu que le mouvement du corps peut sexprimer d'une
maniére relativement simple, si on introduit outre le systéme d'axes fixe
dans l'espace, et le système fixe dans le corps, un troisième système dont
le troisieme axe coincide avec l'axe du moment principal d'inertie di-
stingué. Le mouvement relatif du corps par rapport à ce système est
done une rotation autour de l'axe des z, et le systéme est choisi de
maniere que la vitesse de rotation soit la moitié de la composante de la
vitesse de rotation du corps prise par rapport à laxe du plus petit mo-
ment principal d'inertie. [
Ski maintenant. (0,5 €; Q1 Hs Bos Poo Tis Tor Ty» Pr DT ive Do Qa
sont les cosinus directeurs et les composantes de la vitesse de rotation
pour le: systeme, fixe, dans le corps, et si a1, 25, a3, Pi, Pas Pas Tis To To»
p.q,r,p,q,r ont la méme signification pour le nouveau système
d'axes introduit, enfin si w et v sont les cosinus directeurs de l'axe passant
par le centre de gravité du corps, par rapport au premier et au deuxiéme
axe du nouveau systéme, on a les égalités suivantes
, > 14 E E
A; — gs fs = Ps is — Ts) T 20,
: a, + tay ; Bi + ifs n nus
a da, = ———— +18, -————— Fir —
Lm ut iv’ Pr ts uc iv’ SEE u Ei
Scb rob
DET — =
pry utiv’
-p=ptra, death, F=P +97.
u,,u,, désignent des fonctions linéaires de ¢ g,,t +h,, 9,,t +h, qui
sont réelles, abstraction faite de demi-périodes additives, au contraire
u;,u, désignent un couple de constantes qui sont imaginaires si on fait
abstraction de demi-périodes additives.
ay
E ifi = iP)
262 Fritz Kotter.
De plus !,m,n,t, sont des constantes, dont nous avons déterminé
les valeurs plus haut. m est une grandeur imaginaire, tandis que les
autres sont réelles. Par suite, la fonction w, que nous avons définie
par l'équation u, = (J + im)(t — f,) a, elle aussi, des valeurs réelles.
Les indices x,, %,,%,,4,/ désignent les nombres 0, 1,2,3,4 dans
un ordre convenablement choisi.
Si nous désignons par A et V les symboles opératoires,
t : 3 oF (x, , v, 9P(z, , a,
AF(@, , £,) = (+ im) F(@, , 9,) — (eg, =F tg),
or, or,
= = Ä eic e. or
Nase. yo NAE sr HAF, om) s (nm I Fe) Fn a, i,
et si nous désignons par |À| un nombre qui en méme temps que l'indice
À soit pair ou impair, on obtient pour les cosinus directeurs les for-
mules suivantes, dans lesquelles la sommation se rapporte à l'indice x
qui parcourt les valeurs x,, x, , x,
Atty %
Dinan ( _ p» m* Dis dad ui 5 us) 9 Qr, : Madea
A
RE : AN Sn} lene jj
zi Dis issu (Uy , ur) Qu, Uy)
nl py X yn^mX , ,
Be isn at (s En nl, u PLACE aan
[Bs S
Aux
here Bis dazu D (Us , uk Ou, „u ax
Ana \ Sy AleX ’ ,
Alga Dre = T Du 9,5, (us „U 2) (u, D (79 9
LM
>» Inkl Brava DASPD (uy é 0) 9 (ut, u JE
Y YA X / — nn 13%À , /
Sn13mÀ 2o um ese 1)4l(— De * Ü rs D (Uy FE Ur, Us E Us)isxaVrsxa
v yy Apa X , ,
Die" Ae Dis dazu (A , Us), (1, , Us )x
1 À 7 ,
N Xn^!m* ( Su 1) 241 ( — pnm ttn 9 sa sx D (Uy ar u, Us El: 2S Ft C
v yy Aft X " /
Aun mg xU rex ltr » Ma) 0 (th, 5 Wade
ip, un i" (— yee EM
PX 13x40
Au x ? D
TEENS 77 Aim (n real D tm DT az tau. c Us 18m raxdp tiuy.
Da I e
n^ X " "
2E em dar drazu ddr , Us) 0 (t, , Uy)x
eis
et im,
)
)
?
Sur la rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. 263
pour les composantes de la vitesse de rotation suivant les axes propres
du système:
+ Sy Aft, X ee ,
UN "T Sin? = 1)2" mY ui Fron A O(a, ? usa 9 (u, ^ Uy )xà
v Ana x , ,
ZR rr Dieu D (uy ; 3), 0 (2t, , Uy)x
p
v SA »
q' ze NU» Fm (— 1) m* ga Doc A du, ,u ou (n, ‚u pe
v.v. Ap x
zem 9:5 Prsxn (ori > Us), 9 (u, mn x
++ YA X Yn X , , ,
A inl P: idi ES EDT DA A (v, , 2s) 9 (U, , U) à
M In Am m* ÿ D D] ?
13xÀ Vıszu (ui „u cO 16. U,)x
et pour les composantes de la vitesse de rotation suivant les axes fixes
dans l’espace:
,
T' = const. = l,
= 1 À Es, , ,
y + iq’ = + ei^ ain ced ar DE 9,5, Disxa D (Uy EU ; Ue tuu Ax
V+ Sy hf X , ,
Se a tax, (U, > U, x0 (Uy » s).
Enfin les cosinus directeurs du premier : axe fixe dans le corps par rapport
aux trois nouveaux axes introduits
Salt x
RE 2ilil P» m* (= p»? m Bisnis V Ou, » Ma) 12x u, » U 2 )isxa
AV vm 9 sr su D (ur > us) D (ut, D Us )x
,
++ Ty
*|A| Ai Ame (— 1) mg Dis V. 9a, , Us)ıszad (u 12 U s)1sxp
v = — 21
rye SY du m*
SF A Dis 0 (15 us) (Qu, y ex
,
w= O.
Il est remarquable que les deux mouvements dans lesquels nous
avons décomposé la rotation du corps appartiennent tous les deux à un
type général, dont des autres cas spéciaux représentent les mouvements
à la Porwsor et le mouvement d'un corps solide dans un liquide que
jai traité dans un travail publié dans le Journal für die reine und
angewandte Mathematik, t. 109.
Berlin, janvier 1891.
ZUR THEORIE DER LINEAREN SUBSTITUTIONEN
VON
E. NETTO
in GIESSEN.
Die Überführung einer linearen Substitution
X, = S (a, w= 12) ..., f)
n
in ihre Normalform
U, = put Gen)
ist ohne jede Schwierigkeit, sobald die charakteristische Gleichung
| Cu — PE, | = 0 (En = 1; €, — o falls 24+ ist)
nur verschiedene Wurzeln besitzt. Anders wird es, wenn man diese Be-
dingung fallen lässt. Ich habe im Folgenden die Frage behandelt, ob
es möglich ist, von der einfach herzustellenden Normalform einer nicht
singulären Substitution zu der einer beliebigen benachbarten überzugehen,
selbst in dem Falle, dass die charakteristische Gleichung der letzten
mehrfache Wurzeln besitzt.
1:
In den Paragrafen 147—157 seines Traité des substitutions giebt
Herr €. Jorpan eine »kanonische Form» der linearen Substitutionen von
n Veränderlichen. Dieselbe versagt aber, sobald die Determinante der
Substitution verschwindet. Eine leichte Abänderung der Methode führt
Acta mathematica. 17. Imprimé le 21 octobre 1893. 34
266 E. Netto
jedoch zu allgemeingültigen Ausdrücken. Das Resultat, welches sich
dabei ergiebt, ist das folgende:
Es sei
(1) A (o) EX Ele PN) ee (Pa + ps; Xo = n)
die charakteristische Function der Substitution
(2) AC. => Ley, (2,,— 1527 ny:
dann lässt diese sich durch die Einführung linearer homogener Verbind-
ungen der x, als neuer Veränderlichen auf die Form bringen
T5. , ODER ’ 11 uie (z—1) 31 73
Br pru DURE 0 yt EUR QUEUE + pu,
D = pth, D = us pty 5 ..., CUP? Sap” + pw”,
7 , M , ,
(3) Uy, = pu, : a Zee ut Pit s
Feit , TAN NES 11 FUE)! 2 He) (7)
17 Doi » Vy = 0, +, 435 VP =u + p20";
. . . . . . . . . . . . . , . . . . . . .
(a+, +:.+m =: tb ps 94.3)
Schreibt man jetzt die charakteristische Determinante der Substitution,
die ja durch die Einführung der w,v,... keine Anderung erfahren hat,
in ihrer zu (3) gehörigen Form nieder, so enthält sie nur in der-Haupt-
diagonale und in der dazu parallelen, links benachbarten Reihe von Null
verschiedene Elemente. In der Hauptdiagonale steht zuerst o,-mal das
Glied y, — p, dann o,-mal p, — p, u. & f. In der links benachbarten
Parallelreihe steht in allen zu U, U7',..., Vz’, V7/',... gehörigen
Zeilen eine 1, sonst überall eine Null.
Die Glieder x, oder v,..., die in (3) einer und derselben Zeile an-
gehören, wollen wir einer Kette der Normalform zurechnen; die Anzahl
der Glieder einer Kette werde als ihre Ordnung bezeichnet; die Aus-
drücke # ,%,... wollen wir die Normalcoordinaten nennen.
Erwähnt sei der besondere Fall, in welchem die charakteristische
Function die Form p" annimmt. Hier erhält man
ARE ib
iM Gite wl Sehr Ü cuu
n
Zur Theorie der linearen Substitutionen. 267
wobei die e beliebig einen der Werte 0,1 annehmen können. Daraus
lässt sich dann, wie leicht zu sehen ist, die allgemeine Form von (2) an-
geben. Es sei
i Yan, = Lay. ty, Male
dann hat man, falls e, — o und u, = o gesetzt wird
X, = M Ur EC as. a Ian, a, - 1,» En T, ( arbres)
Hn y :
als allgemeine Form derjenigen Substitutionen, die bei mehrfacher Wieder-
holung schliesslich alle Variablen zu Null machen.
2.
Wir behandeln jetzt die Aufgabe, die Elementarteiler bei der zn § 1,
(3) gehörigen Determinante der Normalform zu bestimmen. Sie sind nach
der Einführung des Herrn Weıersrrass folgendermassen zu definiren: Es
sei (o, — o)" die höchste Potenz von (o, — o), welche alle »*" Subdeter-
minanten, d. h. alle von der Ordnung x — r teilt, dann werden
(1) (Pu —— py n > (a = = p)" P2 à (0. trs pyr? 5
die zu (o, — p) gehörigen Elementarteiler.
Um diese in unserem Falle zu bestimmen, bedarf es einiger Vor-
a
untersuchungen.
Wir betrachten zuerst die Subdeterminanten der zu § 1, (3) ge-
hörigen Determinante A, und bezeichnen sie durch
(2) Nagel iia
wobei die ersten Indices sich auf die Ordnung der weggelassenen Zeilen
(Zus Zu»: Zu), die zweiten Indices 8 sich auf die Ordnung der weg-
ay
gelassenen Colonnen (C,, C;,,..., C;,) beziehen. Dabei können wir na-
Pa
türlich voraussetzen
aet wi «x aueh [BG guise B. ede
Oo
20
E. Netto.
Dann erkennt man zunächst, dass (2) identisch verschwindet, falls A, <a,
ist. Denn tilgt man in unserer Determinante die Colonne C;, dann treten
in die zurückbleibende Matrize von 2(n — 1) Gliedern, welche für den
Augenblick mit ,, bezeichnet werden sollen, für die Elemente
LN d a4 voies d, a
d, 5, Ay, sia QE sa
5
(3)
: hys |a das n d; s
nur Nullen ein; denn alle diese Elemente standen in A rechts von der
Diagonale. Tilgt man dann die weiteren Zeilen und Colonnen, so wird,
wenn a, > fj, ist, immer noch ein System von fj[(n — r) — (8, — 1)]
Nullen zurückbleiben, die in 4, Zeilen zu je (u — r) — (f, — 1) ange-
ordnet sind. Das genügt aber, um (2) zum Verschwinden zu bringen.
Soll also (2) von Null verschieden sein, so ist a, < fj, zu setzen.
Ferner verschwindet (2), wenn f, > a, ist. Denn wenn a <a, <f,
angenommen wird, dann entsteht aus A nach der Tilgung von os oM
eine Matrize von z(» — 2) Gliedern, welche wiederum für den Augen-
blick mit d,; bezeichnet werden mögen. In ihr werden die Elemente
a, d
a
HI, d, iis QA dea.
(4)
d d d
An _99 re es
n—2,1 n—2,2 n —2 0;
sämmtlich gleich Null, da sich alle diese in A links von der ersten Pa-
rallelreihe zur Hauptdiagonale befanden. Tilgt man nun die übrigen
Zeilen und Colonnen, so bleiben, falls 4, > x, ist, immer noch
[n "Er r) LE (a, "a 1)]a,
Nullen in «a, Colonnen zu je (» — r) — (a, — 1) verteilt zurück, und
dadurch wird das Verschwinden von (2) bewirkt. Ist aber A, = a,, so
betrachten wir statt (4) das System von Nullen
Zur Theorie der linearen Substitutionen. 269
(5) E.
d [USER Pic MÀ
-
n—2,1 n—?, n—2,0,—1 ?
und dies führt nach Tilgung der übrigen vorgeschriebenen Zeilen und
Colonnen auf ein System von [(n — r) — (a, — 2)] (a, — 1) Nullen in
(2. Diese Determinante verschwindet also auch hier.
Will man demnach das identische Verschwinden von (2) vermeiden,
so muss man a, — f, <a, annehmen.
Unterdrückt man darauf, um (2) zu bilden in A(p) die beiden
Reihen Z,, C,, so entsteht zunächst eine Matrix von (n — 1)(n — 1)
Elementen, die für den Augenblick wieder mit d,, bezeichnet werden
mögen. In ihr ist jedes Element d,, bei dem A<p, pn > f, oder bei
dem a>, , p — fist, gleich Null. Folglich zerfällt A,,; in das Product
aus einer Determinante (5, — 1)" und einer solchen (u — f,) " Ordnung.
Jene erste bleibt bei den weiteren Reihenstreichungen, die auf (2) führen,
unberührt. Die zweite hat dieselbe Bildung wie A(p) und es gelten
daher für den Übergang zunächst zu 2,,.,, dieselben Überlegungen.
Somit erkennt man:
Damit (2) von Null verschieden sei, müssen die Beziehungen gelten
a, X fi, ay Bi! MM Se ee ONE
Findet dies statt, dann zerfällt, wie sich soeben gezeigt hat, (2) in
ein Product von Subdeterminanten, deren jede ihrem Hauptgliede gleich
wird, da bei dem einen Teile derselben rechts, bei dem anderen links
von der Diagonale nur Nullen stehen. Das Erste findet bei dem ersten,
dritten, fünften, ... Factor statt; diesen kommen die Gradzahlen (a, — 1),
(a, — 1 — A), (a, —1 —,).... zu. Das zweite findet bei dem zweiten,
vierten, sechsten, ... Factor statt; diesen kommen die Gradzahlen der
Determinanten (8, — a), (f, — 2), (, —@,),:.. zu. Die Determi-
nanten der ersten Art haben in der Hauptdiagonale nur Elemente (5,— p)
und ihre Werte werden sonach Potenzen von solchen Differenzen. Die
Determinanten der zweiten Art haben in der Hauptdiagonale nur Grüssen
270 E. Netto.
1 oder o. Eine Null tritt dann und nur dann auf, wenn eine der er-
wähnten Partialdeterminanten aus einer der Ketten in die folgende hin-
über greift; denn die der Hauptdiagonale benachbarte linke Parallelreihe,
welche hier in die Diagonalreihe der zweiten, vierten, . .. Partialdetermi-
nante gerückt ist, enthält stets und auch nur bei Beginn einer Kette das
Glied o. Es ergiebt sich daher weiter:
Damit (2) nicht verschwinde, ist ferner nötig, dass Z, und C;, ebenso
Z, und C,,... jedesmal solche Diagonalglieder aus A(p) ausschneiden,
welche derselben Ketie angehören.
Nach diesen Untersuchungen ist es leicht, die zu o, — o gehörigen
Elementarteiler zu bestimmen. Dabei muss die Gesammtheit der nicht
a betrachtet werden. Wählt man Z,,€, so, dass
die Diagonalglieder, welche A, weniger hat als A, einer zu o, ge-
verschwindenden A
hörigen Kette entnommen sind, dann tritt für die zweite Partialdetermi-
nante der zweite, soeben erwähnte Fall ein. Es werden 3, — a, von den
c, Elementen p, — o, die in der Diagonale von A(p) vorkommen, jetzt
ausscheiden. Nimmt man also a — 1, f, — 7, dann fehlt die i. A.
erste Determinante ganz; die zweite, hier an erster Stelle auftretende
gehört dem zweiten Typus an, und so fällt, als höchst mögliche Potenz
(o, — o) fort, und A,, enthält (oe, — p) nur noch in der Potenz
(ce, — 1) —(z—1)- e, — z. Eine höhere Potenz kann nicht in Wegfall
kommen, ohne dass A, — o wird. Die Vergleichung mit (1) zeigt,
dass p, = ©, , p, = e, — x wird, und dass also x der Exponent des ersten
Elementarteilers ist. Diese Potenz von p, — 9 ist die höchste, welche alle
45 von A teilt.
eine möglichst hohe Potenz von p
Subdeterminanten A
Um aus À,
93 PE TEST EE
jp ausscheiden
zu können, müssen die beiden entsprechenden Partialdeterminanten zweiter
Art möglichst hohe Potenzen von p, — enthalten; dies findet statt,
wenn man q,— |,]-—7;a,-—z-41,p,-z--7, setzt. Dann
erhält man, da zwei Determinanten erster Art von den Ordnungen
0 Ep — 0; GEL MEN
vorhanden sind, (p, — o) in der Potenz s, — z — z,. Dies ist gemäss
(1) gleich p, zu setzen, und dann wird p, — p, — z,. Geht man in
dieser Weise fort, so erhält man das Resultat:
|
|
did mt de nie tnt. à Éd. LL. ds à
—— fé a
Zur Theorie der linearen Substitutionen. 271
Die Determinante A(p) erscheint, in ihre Elementarteiler aufgelöst,
unter der Form
Ale) — t (p, — BY UP. =p) (A: — py? NÉ
(6) (0, — py (0, — p)*(o, — py: ...
so dass die Ordnungen der Ketten, ihrer Grösse nach geordnet, als Expo-
nenten der aufeinanderfolgenden Elementarteiler auftreten.
»
Wir wollen jetzt von der Substitution (2) § 1 mit den Coefficienten
c,, zu einer neuen Substitution dadurch übergehen, dass wir jedem Ele-
mente €, noch additiv 7,,.{ hinzufügen. Die 7 sollen dabei beliebige
endliche Constanten sein, während ¢ eine unendlich kleine Veränderliche
ist. Es folgt leicht, dass die Wahl der 7 so getroffen werden kann, dass
O(p) = 0 = [Ca + rat — peu] =O
für alle von Null verschiedenen, hinlänglich kleinen Werte ¢ nur ungleiche
Wurzeln besitzt. Führt man die erste Substitution durch die Benutzung
der Normalcoordinaten #, = Xa,,r, in die Normalform über, so wird die
à
gleichzeitige Einführung der w in die zweite Substitution diese in eine
Form bringen, welcher jene Normalform benachbart ist, und Coeffieienten
besitzen, welche in £ linear sind.
Wir wollen die Wurzeln von @ — o untersuchen, aber nicht gleich in
voller Allgemeinheit, sondern zunächst in dem Falle, dass A (p) — (p,—p)"
wird. Es ist ferner nur eine Erleichterung in der Bezeichnung, wenn
wir o, — o setzen. Wir wollen annehmen, dass in der zu # gehörigen
Substitution % Ketten, bezw. von der Ordnungen
AM U nn s
vorhanden sind; alle Diagonalglieder in 6 haben die Form ;,,f — p:
ferner ist, wenn die Glieder in # mit d,, bezeichnet werden,
T2 E. Netto.
page Ja-6 d hag lan st le | eae os d, a — Tub I,
Pa = Trin! d, esi Mine Lo ER 93
(1) PEPPER hie all
yt hot, n tl — rte ts yy + ng 2, yt tt) NÉ eee ae NU.
während die übrigen d,, alle gleich den ;,,.¢ zu setzen sind.
Entwickelt man nun #(9) nach Potenzen von p, dann wird + o"
mit der Summe aller der Subdeterminanten a" Ordnung von 6(o) mul-
tiplicirt werden, deren Hauptdiagonalen der Hauptdiagonale von 6(o)
entnommen sind. Es kommt uns darauf an, die niedrigste, in dieser
Summe vorkommende Potenz von ¢ zu ermitteln.
Für a — 1 finden wir sofort #27...
Für a — 2 betrachten wir, wenn /, > 1 ist, die Determinante
hide ae
jx ele el
und sehen, dass auch hier ¢’ das niedrigste auftretende Glied ist.
Für 2 = 3 folgt, wenn h, > 2 ist, das gleiche Resultat, wie aus
ni! tst Just |
jo Brest Hast rt |
Tart Tab Y. Taal |
hervorgeht.
Das setzt sich so fort, bis zu «= A, wo in der entsprechend ge-
bildeten Determinante noch ¢’ auftritt.
Nimmt man aber weiter a =, + 1, so sieht man unmittelbar,
dass ¢' nicht mehr auftreten kann. Denn dies ist nur möglich, wenn in
einer der als Coefficienten auftretenden Determinanten alle Glieder der
zur Hauptreihe links benachbarten Reihe den Summanden 1 enthalten;
das geht hier aber nicht mehr, da keine Kette von hinreichend hoher
Ordnung ist. Andererseits erkennt man aus der Determinante | d,, |,
(x, A=1,2,...,h, + 1), dass ein Glied mit ¢* auch wirklich erscheint.
à
H
z
Zur Theorie der linearen Substitutionen. 278
In. gleicher‘ Art folgt für x,A=1,2,....,4, + 2, dann. für
Kae 3d. ows ob bise zur gear vy hy Ay,
dass jedesmal Glieder mit ¢? vorhanden sind.
Für a=h+h,+tıbisa=h+h,;,+ h, giebt es Glieder mit
Pw gef
Es wird daher die Entwicklung die folgende werden:
A( 0) cm ar p + À, tp" 1 + A, tp" 2 + co IL An
(2) - Bap he + Bute hy —2 + Re 4E B Lp ^um
+ P ip" Vi EL io 63 HE EQ
die Exponenten der letzten Zeile folgen aus
hth taht... +h=n.
Freilich ist bisher nur gezeigt worden, dass die angegebenen Po-
tenzen von / die niedrigsten sind, die überhaupt vorkommen können,
aber noeh nicht, dass sie auch wirklich auftreten. Dies zeigen wir am
einfachsten an folgendem Beispiele: Es ist, wie man ohne Schwierigkeit
erkennt,
Pe ee ty Pm ARAM, CPE
(t. —70
ta 1)" A a, Ze)
V, Zu) .
ee mu
= p" — tp" — afp" — a,a,tg"-? — a,a,a,to" —... — aa, ... ait.
Setzt man hierin die a, gleich den d,, , aus (1), dann liefert diese De-
terminante ein Beispiel für #(o), bei welchem die Form (2) wirklich
auftritt. Dieselbe Form muss daher für unbestimmte 7 bestehen.
Nachdem diese erste Frage entschieden ist, wollen wir an zweiter
Stelle die Wurzelentwickelungen für @() = o gemäss (2) vornehmen.
Dies gestaltet sich bei der Anwendung des sogenannten Newron’schen
Acta mathematica. 17. Imprimé le 23 octobre 1893. 25
274 E. Netto.
Parallelogramms ' besonders einfach. Es handelt sich hierbei darum, die
Glieder zu bestimmen, welche auf der rechten Seite von (2) die niedrigste
Dimension erhalten, wenn man für o etwa /^ einsetzt, und darum, die
passenden Werte von a anzugeben. Dabei kommen ausser o" sicher nur
die Schlussglieder der einzelnen Zeilen in Frage, also
(3) te ; fil bate ; [E + air ha) ; 3 + oC Iie + Ir-ı + Are) RE ; Da
Hier ist zu beachten, dass man hat
Besen
daraus folgt, dass für
gx die beiden ersten Exponenten; für
UR
I : h 3
(4) Oro der zweite und der dritte Exponent; für
Uk—-1 5
I : 1
eee der dritte und der vierte Exponent u. s. w.
lx—2
die niedrigsten Werte annehmen. Dieses Verhältnis wird auch dann nicht
gestört, wenn mehrere der h einander gleich werden; dann werden eben
nur die entsprechenden « und die Exponenten selbst einander gleich.
Nach dem Newron’schen Satze ergeben sich dann die Entwickelungen
1 TR 1
ayy ( ty CUT 1 ih m nM hy—1 ñ)
Pi a: 3. U ), Pa a 3, ou PROBIS N SR 3, (a l PL
15 1
, )
—_ in Ty —— GR Ly hy pee He 1)
Pn+ı = x, (; ji ieee — ap, (coli ) De ye PP p m 3, («! tj,
wobei %,%,,... Potenzreihen bedeuten, die nach ganzen Potenzen der
* Vgl. BALTZER: Analylische Geometrie, S. 305. Pursgux: Untersuchungen über
die algebraischen Functionen, dargestellt von H. Fiscupr, S. 15 ff.
FA -——
€
Zur Theorie der linearen Substitutionen. 275
Argumente fortschreiten, und die ®,, @,,... primitive A, M; ,... Ein-
heitswurzeln sind.
Gleiches folgt für den allgemeinen Fall, sobald die Potenzen (3)
auch bei der allgemeinen Determinante als diejenigen der niedrigsten
Ordnungen bestehen bleiben. Es ist auf die folgende Art leicht zu sehen,
dass dies tatsächlich eintrifft.
Wir wollen eine Substitution (n 4 m)‘ Ordnung in der Normalform
annehmen; o = o sei wie bisher die »-fache Wurzel; die übrigen Wurzeln
mögen p,,,,--- heissen. Wir bilden wie vorher die Determinante
A,(e) der benachbarten Substitution. Ihre ersten » Zeilen stimmen in
ihren ersten » Colonnen mit dem #(p), welches wir soeben untersucht
haben, überein. Wir entwickeln nun A,(p) dem Larrace'schen Satze
gemäss in eine Summe von Producten aus Determinanten, die den n
ersten Zeilen, und solchen, die den » letzten entnommen sind. Dabei
,(o) der m'" Ord-
nung multiplicirt. Diese beginnt mit einer Constanten bei ihrer Ent-
erhält man zunächst @(o) mit einer Determinante A
wickelung nach Potenzen von p; so dass also simmtliche in (2) enthaltenen
Glieder wieder auftreten; und diese sind in @(). A,(o) die der niedrigsten
Dimension, da jede Multiplication von (2) mit einem p*é’ nur die Di-
mension erhöht. Ausser dem. betrachteten Producte (0). A,(p) kommt
eine Reihe ähnlicher Glieder vor, die aus jenem durch Austausch von
Colonnen entstehen. Hierbei fallen aber in jedem Factor höchstens Glieder,
die gleich ı sind, aus der Diagonal-Parallelreihe fort, d. h. es treten allen-
falls höhere aber niemals niedere Potenzen von ¢ bei denselben Potenzen
von o auf. Die Dimension der Glieder vermindert sich daher nicht.
Ferner liefern die Annahmen (4) genau die » Wurzeln, welche für
t=o zu p =o werden; weitere Wurzeln und weitere, hierher gehörige
Glieder niedrigster Dimension giebt es also nicht.
Folglich gelten die über die Wurzelentwickelung gemachten Schlüsse.
Ist eine Substitution mit den Coefficienten c,, gegeben, welche p = p,
als Wurzel der charakteristischen Gleichung besitzt, und bildet man eine
Substitution mit den Coefficienten c,, + y.t, worin y,, unbestimmte Con-
stanten und t eine beliebig kleine Veränderliche bedeuten, so möge es für
A (c + fat — p21) = 0
270 E. Netto.
die Entwickelungen
D Ll
Py =a = B, ( ï), P2— Po =. B, (aur), 0 Pn, — Po == 3, (onyx).
1\ 1 1
ER ZS hy ane m E ( 1 xi u ( h,—1 5);
Pit Po Pi ( j Di en — Po = By ub, = aua, Po = By NOR" 07/5
. . . . . . . . . E . . . . . . . . H . . . . .
geben. Dann besitzt die ursprüngliche Substitution, also die für welche t = o
gesetzt ist, für o = p, eine Kette der Ordnung h,, eine zweite der Ordnung
h,, u. s. f. Die Entwickelungen der Wurzeln bestimmen also die Ordnungen
der Ketten, bezw. der Elementarteiler.
T
Zum Zwecke unserer weiteren Untersuchungen betrachten wir, wie
auch schon im $ 2, die Subdeterminanten A,, der Normalform unserer
Substitution mit den Coefficienten €,,. Dabei bedeuten wie oben a, f
die Indices der weggelassenen Zeile und Colonne. Um die Bezeichnung
zu vereinfachen, nehmen wir p — o als m-fache Wurzel von A (5) — o an
und setzen die zugehórigen Zeilen in der Determinante an die erste Stelle.
Aus $ 2 kónnen wir unmittelbar das Resultat übernehmen, dass
À, = 0 sei, wenn a > f wird.
I. Nun setzen wir zunächst A < m voraus.
It @a=1,2,...,ß, so zerlegt sich Aj, sofort in, das Product
einer Determinante (m — 1)" Ordnung, die den m ersten Zeilen, und
einer solchen (n — m)" Ordnung, die den (n — m) letzten Zeilen von A
entnommen ist. Die letzte sei
(1) À, + Aye + A,o? +... + 4,_,p"" = T(p), (A, = 0);
dass A, + © sein muss, folgt leicht daraus, dass diese Hauptsubdetermi-
nante die Wurzel o =o nicht mehr besitzt. Der erste Factor ist aus
den m ersten Colonnen der m ersten Zeilen derart entnommen, dass in
ihnen Z,, C, unterdrückt wurden. Dabei sieht man sofort, wie aus den
Zeilen Z,41, Zgi2)--+) Zs x die Glieder der, Parallelreihe zur Haupt-
a
Zur Theorie der linearen Substitutionen. 277
diagonale, welche für die Substitution charakteristisch ist, in die Diagonale
selbst rücken (vgl. $ 2), und so folgt für diesen Factor der Wert
ps VU oder O,
je nachdem Z,, C; in dieselbe Kette, die zu
oder nicht.
p — o gehórt, einschneiden
Ist a > f, so verschwindet A,; nach § 2.
IL Ist 8 > m, so zerfällt die Determinante A,; wieder in das Product
zweier anderen, deren zweite von der Ordnung (» — m) ist und aus den
letzten (n — mn) Zeilen entnommen wird. Da aber hier C; gestrichen ist,
so wird aus den ersten Colonnen, die nur Nullen innerhalb der betreffen-
den letzten Zeilen enthalten, eine solche herausgenommen werden müssen.
Es verschwindet daher A,..
Dies ergiebt
Ant Ado ke Avastin ts (a — p<m),
(2) apr pt TE T(g) oder = 0, (a « B x mj),
A,; = O, (in allen anderen Fällen).
Geht man von dem eben betrachteten A zu dem im vorigen Para-
grafen untersuchten benachbarten @ mit den um 7,,.¢ vermehrten Ele-
menten über, so folgt modulo ¢
CIRE a ZI ner t P = 212877. (a DT B ES n),
(3) Bac phat ost To Mb) oder — 0, (a « B x m),
0,550; (in allen anderen Fällen).
Nun setzen wir
(4) 0,8, = LAS == Nm Se 0. ss — e. (€),
dann folgt aus der Fundamental-Eigenschaft der Determinanten und der
Definition der Substitution mit der Determinante 6
bo
=]
[0 2)
A
c
=
=
©
go P(X) = pp P(x) + (m= ge) + a t7,
wobei die oberen Indices die Ableitungen der betreffenden Functionen
nach o bezeichnen sollen. ef^ " enthält als Coefficienten nach (4)
(6) (pro (a —1) MO FN ore
, , =
la 20. 40 na.
Setzt man hierin für ¢ und p jedesmal o ein, so verschwindet, wenn « > m
ist, nach (3) jedesmal die ganze Reihe. Ist dagegen « — m, so zeigt (3)
dass 0/5 ? sicher von Null verschieden ist, und möglicherweise auch
noch die vorhergehenden Glieder der Zeile (6), während die folgenden
verschwinden.
Für a «m ist also ww "(zy nicht: gleich Null: - Da 9 = 0. eine
414 e p
m-tache Wurzel von A = o ist, so verschwinden 050, g—9 .... Die
letzte Gleichung von (5) ergiebt also für p = o, t=
eu (Xk) = m Te Gp (t=0, p=0)
Ist eC"? (z) identisch gleich Null, so haben wir in ct"? (z) eine zu op — 0
gehörige Normalcoordinate gefunden, wie die letzte Gleichung von (5)
zeigt. Ist g(x) dagegen nicht identisch Null, so liefert die in (5)
vorhergehende Gleichung
pas ( X) — (m ies DEZ). Ge
Ist hier e" ?(xz) identisch Null, so hat man eine aus e" (x) und
g(a) bestehende Kette zweiter Ordnung erlangt, da der Factor (m — 2)
nur formal aber nicht im Wesen eine Änderung hervorruft. Ist dagegen
gs" (x) nicht identisch Null, so kommen wir in gleicher Weise zu einem
dritten Kettengliede u. s. f.
|
Zur Theorie der linearen Substitutionen. 279
Da endlich für a=1,2,...,m alle e von einander verschieden
sind, weil ja &,(x) mit 4% abbricht, so ergiebt uns das Schema (5)
für ¢=0, o= o alle zu der Wurzel p gehörigen Ketten.
Bemerken wir weiter, dass die c,(r) als Normalcoordinaten direct
aus der vorgelegten Substitution mit den Coefficienten c,, + 7,,t mit Hilfe
der Subdeterminanten (x — 1i)" Ordnung gebildet werden können, so
erkennt man Folgendes:
Es sei eine Substitution mit den Coefficienten c,, vorgelegt; wir bilden
eine benachbarte Substitution mit den Coefficienten c,, + yat, wobei t eine
beliebig kleine Variable und die y,, Constanten bedeuten, die so gewählt sind,
dass die zugehörige charakteristische Gleichung keine gleichen Wurzeln besitzt.
Dagegen mag die charakteristische Gleichung der ersten Substitution die
Wurzel p — o genau m-fach besitzen, Dann werden m Wurzeln der cha-
rakteristischen Gleichung der zweiten Substitution für t = o auch gleich o.
Wir bezeichnen nun mit
die Adjuncten der Elemente aus der a*" Colonne in
| Ca + Tat >= £y, * D |,
und mit ç,(x) die lineare Function
0,4%, zh Ou To + CR CAS, Es 8.225;
die Ableitungen derselben nach p sollen der Reihe nach durch
9 ae , 3° Ga x) 11 go a æ)
pal) _ © (x), 2 galalı e, (x) , BIS rts "ei
14
9p 1
me)
EU m
bezeichnet werden.
Dann wird für t = o, p = o das letzte Glied g(x) der Zeile (6)
verschwinden bei n — m Werten von a. Wählt man für einen der übrigen
Werte von a ausser dem letzten, nicht verschwindendem Gliede noch diejenigen
vorhergehenden, die gleichfalls nicht verschwinden, so bilden diese die Glieder
einer Kette der Normalform in der durch die Glieder von (6) angegebenen
S o EP ur. MN T! MU 2
ART ET = P = PES
J ir . =
: x re = fu et Eee af
Te a z ’ ER T
pem er, x ™ 1 t A ET
280 ; E. Netto.
Reihenfolge; die nicht verschwindenden | e" (x) geben also die einzelnen ©
letzten Kettenglieder. OKT. bo
Durch diese Darlegungen ist der Übergang von der Normalform
einer nicht singulären Substitution zur Normalform einer benachbarten |
singulären geliefert.
Giessen d. 25. September 1891.
7
Ie aS": a éses
j^
Tjev mod} mov
— PALIER OS
—— GC
ÜBER LINEARE RELATIONEN ZWISCHEN THETAPRODUCTEN
VON
A. KRAZER
in STRASSBURG i. E.
In meiner Habilitationsschrift ! habe ich diejenigen Thetafunctionen
einer Veränderlichen, deren Charakteristiken aus Dritteln ganzer Zahlen
gebildet sind, einer systematischen Behandlung in der Hinsicht unter-
zogen, dass ich die zwischen diesen Functionen bestehenden wesentlichen
Beziehungen erforschte. Meine Untersuchungen haben später in der
sorgfältig ausgeführten Dissertation des Herrn ScHLEICHER eine Fort-
setzung gefunden, indem derselbe ihnen das Additionstheorem und das
Umkehrproblem der aus diesen Functionen gebildeten Quotienten hin-
zufügte.
Dass sich die nàmlichen Untersuchungen für jene Thetafunctionen
einer Veränderlichen, bei denen der gemeinsame Nenner r der Charak-
teristikenelemente 5 oder überhaupt eine ungerade Zahl ist, anstellen
lassen, ohne wesentlich neue Hülfsmittel zu erfordern, war zu sehen; diese
Untersuchungen hat Herr SrEvERT mit Erfolg begonnen.
Nun lag aber andererseits auch der Gedanke nahe, die in meiner Ha-
bilitationsschrift angestellten Untersuchungen auf Thetafunctionen mehrerer
! Uber Thetafunetionen, deren Charakteristiken aus Dritleln ganxer Zahlen gebildet
sind, Mathem. Annalen, Bd. 22, pag. 416.
* Darstellung und Umkehrung von Thetaquotienten, deren Charakteristiken aus Dritteln
ganzer Zahlen gebildet sind. Inaug. Dissertation, Würzburg 1888.
* Über Thetafunctionen, deren Charakleristiken aus Fünfteln ganzer Zahlen bestehen.
Schulprogramm des neuen Gymnasiums in Nürnberg 1890/91.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 24 octobre 1893. 36
282 A. Krazer.
Veränderlichen auszudehnen, umsomehr als die zur Grundlage dienende
Thetaformel sich ohne weiteres für beliebiges p aufstellen liess. Dahin
gehende Untersuchungen hat Herr v. BrAUNMÜHL angestellt. Derselbe
ging aber noch weiter, indem er auch die schónen Untersuchungen, welche
Herr FroBexius * über die zum Werthe r = 2 gehörigen Thetafunctionen
mehrerer Veränderlichen mitgetheilt hatte, auf den Fall r = 3 übertrug.
In einer späteren Abhandlung? hat Herr v. BRAUNMÜEL seine Unter-
suchungen auf den Fall eines beliebigen r zu übertragen versucht.
Bei dem auf die Charakteristiken bezüglichen Theil solcher Unter-
suchungen erkennt man aber bei einiger Sorgfalt, dass eine Übertragung
der im Falle + = 2 erhaltenen Resultate nur auf den Fall, wo 7 eine
Primzahl ist, im ganzen Umfange geschehen kann, dass dagegen in dem
Falle, wo r keine Primzahl ist, diese Resultate zum gróssten Theile ihre
Gültigkeit verlieren. Was ferner den auf die Thetafunctionen selbst
bezüglichen Theil der erwähnten Untersuchungen betrifft, so wird man
sich dabei in allen Fallen mit Vortheil als Ausgangspunkt jener Theta-
formel bedienen, welche zu diesem Zwecke von Herrn Prym und dem
Verfasser * mitgetheilt wurde. Bei specielleren Untersuchungen erfordern
aber der Fall, wo r gerade ist, und der, wo r ungerade ist, eine ver-
schiedene Behandlung.
Die nachfolgenden Zeilen sollen einen kleinen Beitrag zur Theorie
der zu einem beliebigen Werthe von r gehörigen Thetafunctionen mehrerer
! Untersuchungen über p-reihige Charakleristiken, die aus Dritteln ganzer Zahlen
gebildet sind, und die Additionstheoreme der xugehórigen Thetafunctionen, Abhandl. der
K. bayer. Akademie der Wiss. II. Classe, 16. Band, 2. Abth., pag. 327.
? Uber das Additionstheorem der Thelafunctionen mehrerer Variabeln, Crelles
Journal, Bd. 89, pag. 185, und: Uber Gruppen von Thetacharakteristiken, C relles
Journal, Bd. 96, pag. 81. ,
* Über. Gruppen von p-reihigen Charakteristiken, die aus nn ganxer Zahlen ge-
bildet sind und die Relationen xugehöriger Thetufunctionen n‘!® Ordnung, Mathem. An-
nalen, Bd. 37, pag. 61.
* Uber die Verallgemeinerung der Riemann’schen Thetaformel, Acta mathematica,
Bd. 3, pag. 240. Es muss hier bemerkt werden, dass die Formel (25) des Herrn von
Braunmühl (Math. Ann., Bd. 37, pag. 94) durch Addition jener n^ Formeln (6) entsteht,
bei denen an Stelle von [7] die n^ Charakteristiken (vs), f — O, 1,..., m^ — t, ge
setzt sind.
Über lineare Relationen zwischen Thetaproducten. 283
Veränderlichen liefern. Bei anderen Untersuchungen im Gebiete der Theta-
functionen wurde der Verfasser nämlich auf die Frage hingewiesen, unter
welchen Umständen »" Thetaproducte r"" Grades 6[y + a°](v), x — o, 1,
e, 7? — 1, bei denen die Charakteristiken [4'?] eine Gruppe bilden (in
dem Sinne, dass die Summe irgend zweier von ihnen. wieder unter ihnen
enthalten ist) linearabhängig sind. Es sollen im Folgenden die noth-
wendigen und hinreichenden Bedingungen hiefür aufgesucht werden.
1.
Die Riemann’sche p-fach unendliche Thetareihe:
L=p p'=p p=p
— 0,..., ]- 00 > = Gua my mul +2 DU My Un
8 i. j7lp-1l p-l
OR PEN EAE Sil 4
my... ip
bei der die. Parameter a. = a,. (p, — 1,2,..., p) der für die ab-
solute Convergenz der Reihe nothwendigen und hinreichenden Bedingung,
eo o o
dass für reelle x der reelle Theil von Lda
p
sei, unterworfen sein sollen, stellt eine einwerthige und für endliche v
stetige Function der complexen Veränderlichen v,,...,v, dar, die den
Gleichungen:
(1,) av, |...
(27) (v, + a,
TC, X
np ^ n n
eine negative Form
zu u s
v, + zi
cea tat
"i. |v, + ',,) — (v, | T» | DG rt
genügt. Erfüllt umgekehrt eine einwerthige und für endliche » stetige
Function der complexen Veränderlichen v,,..., v, die Gleichungen (1),
(2), so kann sie sich von der Function 9(v, |...
den v freien Factor unterscheiden.
v) nur um einen von
284 A. Krazer.
Die obige Function ist ein besonderer Fall der allgemeineren:
1G.) =. Op
| AN MC | Lis | oj)
n-pp-p an ap! =? a a
u B
at RDS as (m at =) (mu + =) +2% (map + = (m S Em)
p=1
u=1 pm =1 7
uae ,
my. yp
bei der r eine positive ganze Zahl, die a, « ganze Zahlen bezeichnen.
Die so definirte Function ist mit der ursprünglichen Function #(v, |...|v,)
verknüpft durch die Gleichung:
=] p=
p-pp-p cip
>> 2 Ayıp = = +2 p» zu (v Apoc ri)
x p pal L=
und geht, wenn die sämmtlichen Grössen «, a’ den Werth Null annehmen,
in dieselbe über, d. h. es ist:
a. | i | MC Lau) done);
Ahnlich wie die ursprüngliche genügt die allgemeinere Function den
Gleichungen:
(1) CA Cees zi
Oi ESL 77
2avri
ee
v,
(yay)
... |, + 85)
2a/y rri
ite |" neu MC m | Dee er To,
yog. ae
FUCO d A
| , AC dr Cy,
CT RC
Über lineare Relationen zwisehen Thetaproducten. 285
welche sie zugleich bis auf einen von den Variablen v,,..., v, freien
Factor bestimmen.
= Ay avs à 75 . . ^
Der Zahlencomplex [ ; À soll, wenn dadurch kein Missverständ-
ee eI:
. "m . " - a *
niss zu befürchten ist, abgekürzt mit | | bezeichnet werden; ebenso möge
a
es erlaubt sein, wenn die Ausdrücke für die Argumente einer Theta-
function sich nur durch untere Indices unterscheiden, hinter dem Func-
tionszeichen nur den allgemeinen Ausdruck fiir die Argumente mit Weg-
lassung des Index in doppelte Klammern eingeschlossen zu schreiben,
also “| statt |" |e
das Grössensystem v,|...|v, einfacher durch (v) bezeichnet werden. Be-
zeichnet man dann endlich noch das System:
..-|v,); im Anschlusse daran möge dann
nt
Bi . S m nx.
UÜ +5 % a, + —ai|.. a ae a — T,
pal
wobei unter den #, # ganze Zahlen zu verstehen sind, symbolisch mit
beiden im Folgenden zur Anwendung kommenden Hülfsformeln:
3 \ : E D
a ) so bestehen für irgend welche ganze Zahlen 8,//,r,;' die
ÁA-— pe = jL=—p 5 , 7
Suid Ju Qe. ER TAA
mno x "ay Pei 2p. (r+ LE ri + ^ gi)
pi =
Bg 174 + B nur k=1 T ?
== €
21) 85s do
(B) De Ne en lu
Qi GU e dol Spi ote 5
286 A. Krazer.
+)
5
ae : : 5
Ji v) werde ein Product von r Thetafunctionen von der Form:
a
Mit ol
«
e[^. toy = »|^. |o + eral |e +e)... deo + em
a a a
bezeichnet, bei dem die c Constanten bedeuten, welche den p Bedingungen:
(1) 2 3
C, + u + eee + CP =O (#=1,2, ..., P)
genügen. Ein solches Product soll ein Thetaproduct »'" Grades genannt
werden. Aus der Formel (B) des Art. 1 folgt sofort für jedes System
ganzer Zahlen 7,7’ die Gleichung:
[^ SM Sak 77 to) = e^ zu le),
a ran no ZA Set
5 . . : mae :
welche zeigt, dass im Ganzen »" verschiedene Functionen el Jo exi-
stiren; als Repräsentanten derselben kónnen diejenigen angesehen werden,
bei denen die a, a’ sàmmtlich Zahlen aus der Reihe 0, 1,..., r — 1 sind.
Der Zahlencomplex mI d soll die Charakteristik des
a TROUS
a
Chea oa Ce
Thetaproductes genannt und im Folgenden kürzer mit [a] bezeichnet
werden. Mit Rücksicht auf die letzte Formel denke man sich im Fol-
genden stets bei der Charakteristik [a] die sàmmtlichen Zahlen a, a’ durch
ihre kleinsten positiven Reste nach dem Modul ersetzt; es gibt dann im
^ 2 du c Gy... 0,
Ganzen nur 7 Charakteristiken, die aus | í | hervorgehen, wenn
COST
man an Stelle des Systems der 2p Buchstaben a, ,...,a,,a,...,a,
der Reihe nach die sämmtlichen Variationen der Elemente 0,1,...,7—1
zur 2p" Classe mit Wiederholung treten lässt Die Charakteristik
Be) : à :
| ] soll kurz mit [o] bezeichnet werden. Unter der Summe zweier
00
PAO Ai era — the
> — re
Mr LE m a
Über lineare Relationen zwischen Thetaprodukten. 287
Charakteristiken [a], [2] soll jene Charakteristik [7] — [a + f] verstanden
werden, deren Elemente 7, , 7, für ~=1,2,....p durch die Con-
gruenzen 7,= a, + f, (mod.r), 7; — «a, + f$, (mod. r) bestimmt sind; ebenso
unter der Differenz der Charakteristiken [a], [5] jene Charakteristik
[6] = [a — f], deren Elemente 2,,0, für a=ı,2,...,p durch die
Congruenzen 9,= a, — f, (mod. r) d= a, — fj, (mod. r) bestimmt sind.
Eine Charakteristik [5], deren Elemente £,, 6, für n — 1,2,...,p
durch die Congruenzen f,-— ga, (mod.r), $,= ga, (mod.r), in denen g
eine ganze Zahl ist, bestimmt sind, möge mit [5] — [ga] bezeichnet werden.
3
) kürzer
3
/
Es möge endlich erlaubt sein, das frühere Symbol (v +
D
durch (v + | |) zu ersetzen. Für das Thetaproduct 6[a](v) besteht dann
auf Grund der Formel (A) des Art. 1 die Gleichung:
u=pu=p Bu Bu L=p ,
— D X ay —— —2 Y. B (vs dome Pai
e[o]t» + |B) = Ola + Ave "nm t rms at
die im Folgenden wiederholt zur Anwendung gelangen wird.
2.
Es mögen mit [a], [47] , ... , [a] ¢ (7 — p) Charakteristiken von
der Beschaffenheit bezeichnet werden, dass die Gleichung:
(1) [ge + ga +... + g,a* —ıer
in der die g ganze Zahlen bedeuten, nur durch g, =9,=...=9,=0 (mod. r)
befriedigt werden kann, und dass weiter für jedes x und À von 1 bis q:
=p
(2) À (a? a — a a) zo (mod. r)
ist. Aus diesen Charakteristiken bilde man dann mit Hilfe ganzer
Zahlen g,,9,,...,9, die Charakteristik [g,a'? + g,a? +...+ 9,0] und
lasse darin an Stelle des Systems der q ganzen Zahlen g der Reihe nach
die sämmtlichen »? Variationen der Elemente 0,1,...,*—1 zur 4'^
Classe mit Wiederholung treten. Die r? so entstehenden Charakteristiken
288 A. Krazer.
fal info er [8 ] nes [a] sind dann alle von einander ver-
schieden, und es besteht für irgend zwei unter ihnen die Congruenz (2).
Man definire nun +? Grössen Way X — 9; 1,...,7 — 1 folgender-
%
massen:
1. Ist r ungerade,
so setze man für x —0,1,...,77— Y:
Jr
Im Bara
v Hu i Li
Wax] = f
dabei ist, wie im Folgenden überall, im Exponenten & zur Abkürzung
LH
u=p
statt 27 gesetzt.
pl
Brauchbarkeit unumgänglich ist, ungeändert, wenn man die Zahlen a, a’
um beliebige ganze Vielfache von r ändert; auch ist, wenn x, À irgend
zwei Zahlen aus der Reihe 0, 1,..., 77 — 1 bezeichnen:
Jede der so definirten Grössen bleibt dann, was zu ihrer
SET) Qf roo (A)
zi ^ a, ta, Y te, )
;
Wax) tae] — ©
T—1 . à) 3
TE (Pals ala)
c" % I ae ty
= Wo] [ar] € ,
und man hat daher auf Grund der Congruenz (2) die Gleichung:
— 27i
+ La) a! 0)
255; elt
Wi a+ ai) = Wao] Mar € (x, A=0) 1,75 1«4—1)
2. Ist v gerade,
3 Waa) nach Belieben so,
so setze man wj = I, wähle Weary] » Vp] » * *
dass:
27i (x) r(x)
i Zi Zu, a,
je == EEE sen)
Wralx] e D
ist, was auf 2° Weisen geschehen kann, und definire die Grösse:
Wi ae ta +a ...] ?
bei der x,A,v,... Zahlen aus der Reihe 1,2,...,q bezeichnen, die
auch theilweise oder alle einander gleich sein können, durch die Gleichung:
ee Jens ee pi e
pepe cm à dm cl os e e
rn ar SS
Alcor SE
—
Uber lineare Relationen zwischen Thetaproducten. 289
2zi (x), r(À) x) (v) , (À) ny) .
as Im, CA tds a ta, CA T -)
Wiale) + al) + a) +] = lao] P [a0)] Wat] €
Es ist dann wiederum für irgend zwei Zahlen x, 2 aus der Reihe o, 1,
Nen Ts
— 27i (x) 1h c
E
Whale) +a] — Wr] Wa] € : A,
Man nehme nun an, dass zwischen den r? Thetaproducten r Grades
6[y + a®J](v), x — 0, 1,..., 1! — 1, bei denen [7] irgend eine Charak-
teristik bezeichnet, eine lineare Relation:
x-—-ri—l
(3) 2 «ln + a" ](v) = o
bestehe, in der die e von v unabhängige Grössen bezeichnen, die nicht
alle den Werth Null besitzen. Lässt man dann das Variablensystem (v)
in das System (v + |a”’|) übergehen, indem man unter x’ irgend eine
Zahl aus der Reihe 0, 1, ..., »*— 1 versteht, so geht aus der Gleichung
(3) die neue:
x=71—1 a 27i X040
1 pu
(4) PX acad 4 c,0[ + a? + a™](v) =o
hervor, und aus dieser entsteht, wenn man mit [s] irgend eine Charak-
teristik bezeichnet, linke und rechte Seite mit:
25i (x) REATO)
== > (a ET Lars s,)
2n 27 p
Waxy?
multiplieirt und nach x von o bis +? —1 summirt, die Gleichung:
RTE Z (ate a") art) 10)
Cu m sme :,) D mA T :
(5) = > e ee € WA wr y 6x8 [ +a + av) = o.
x= x=
Auf der rechten Seite dieser Gleichung führe man nun an Stelle des
Acta mathematica. 17. Imprimé le 27 octobre 1893. 37
290 A. Krazer.
Summationsbuchstabens x einen neuen Summationsbuchstaben À ein, in-
dem man:
[a] p [a” ma a]
setzt und dabei unter » eine Zahl aus der Reihe 0, ı,...,r’— 1 versteht,
über die sogleich verfügt werden wird. Bei der Ausführung der Sum-
mation nach x durchläuft dann auch À die Reihe der Zahlen o, 1,
...,72— 1 nur in anderer Reihenfolge, und man erhält, wenn man
schliesslich noch v = x setzt und beachtet, dass:
271
— La al ®)
en aM yD
Wig) — a9] = Vt fay €
ist, aus (5) die Gleichung:
x
Il
|
„
©
T
6 (een)
Fe) Wi gx)
À—n1—1 27i } \
DE a? — ai Me ;
x( > per ee) Weary) 8» + a\(v)) =
A=0
Für jede der 7? Charakteristiken, die man an Stelle von [s] setzen
kann, muss daher, sobald nicht der erste der beiden die linke Seite der
Gleichung (6) bildenden Factoren verschwindet, der zweite Null sein.
Da nun aber aus dem Verschwinden aller ersten Factoren das Ver-
schwinden der sämmtlichen Grössen c folgen würde, und dies ausge-
schlossen ist, so ergibt sich als Resultat der bisherigen Untersuchung,
dass immer, wenn zwischen den r? Thetaproducten 7‘ Grades 6[ 4- a^? (v),
x—0,1,...,75— 1, überhaupt eine lineare Relation (3) besteht, dann
zwischen ihnen auch mindestens eine, im Allgemeinen aber mehrere li-
neare Relationen von der speciellen Form:
3 a e — a? e, À
(7) > e" eh waa Ol + a ](v) = o
existiren. Das Bestehen dieser Relationen (7) ist dann aber auch eine
Über lineare Relationen zwischen Thetaproducten. 291
zum Bestehen der Relation (3) hinreichende Bedingung, da sich die linke
Seite der Gleichung (3) aus den linken Seiten der Gleichungen (7) auf
Grund der Gleichung:
x=rt—]
(8) X 690 + yo)
a] 2ri (x) 7
ae
A === = — 5
N Pan (a, T" 2n &,) LT
ZEE
x=0
=)
I ( Wialx)] =
— y?p ] ] 2
/ À ei a TL (aM aD. ) \
feo | Se ( 54 ;
ee ee = Here Wa] Oly zh a^ v) |
^x)
!
PNE
A=0
in der die Summation so auszuführen ist, dass [=] die Reihe der 1”
Charakteristiken durchläuft, zusammensetzen lässt.
4.
is seien wiederum mit [a”],..., [a] q (a « p) Charakteristiken
von der Beschaffenheit bezeichnet, dass die Gleichung:
(1) er. = ge" — [o]
in der die g ganze Zahlen bedeuten, nur durch g, =...=g,=o0 (mod. r)
befriedigt werden kann, und dass für jedes x und À von 1 bis q:
=? ~
(2) Zara” — aa) =o (mod. r)
ist, und es seien [a] = [o], [a], ..., [a] jene r? verschiedenen Cha-
rakteristiken, die aus [9,0 + ... + g,a%] hervorgehen, wenn man darin
an Stelle des Systems der q Buchstaben g,,...,g, der Reihe nach die
simmtlichen Variationen der Elemente 0,1,...,7—1 zur q' Classe
mit Wiederholung treten lässt. Es seien ferner mit [5], ..., [8] q'
(q+ q' <p) Charakteristiken von der Beschaffenheit bezeichnet, dass die
Gleichung:
4
(1 [^,^ Terre hy 81 == [o],
292 A. Krazer.
in der die h ganze Zahlen bedeuten, nur durch h, =...=h, =o (mod. r)
befriediet werden kann, und dass für jedes p von 1 bis q’ die Coneruenz:
g ; p 5
=D
(27) 2 (BP a — B? a?) =o (mod. r)
nicht für alle Werthe von x besteht, und es seien [8°] = [o] , [f”],
..., [7 7] jene r? verschiedenen Charakteristiken, die aus:
[AE +... + hy B7]
hervorgehen, wenn man darin an Stelle des Systems der g’ Buchstaben
h;,...,h, der Reihe nach die simmtlichen Variationen der Elemente
0,1,...,r7—1 zur qQ'"" Classe mit Wiederholung treten lässt. Lässt
man dann in der Charakteristik [a^ + g^] x die Reihe der Zahlen
O,1,...,77—1 und unabhängig davon p die Reihe der Zahlen o, 1,
...,7 — ı durchlaufen, so gehen aus [a® + f^] r***. Charakteristiken
hervor, von denen keine zwei einander gleich sind.
Man nehme nun an, dass zwischen den rt? Thetaproducten 7"
Grades 8[y o® BP) x= 0,1, ort — T, 950, I5 22 —
bei denen [7] irgend eine Charakteristik bezeichnet, eine lineare Relation:
x-r1—] p-rv—1
(3) EE ely + a + Fv) = o
bestehe, in der die c von v unabhängige Grössen bezeichnen, die nicht
alle den Werth Null besitzen. Lässt man dann das Variablensystem (v)
in das System (v + |a?
Zahl aus der Reihe 0, 1,...,77—1 versteht, so geht aus der Gleichung
(3) die neue:
) übergehen, indem man unter x' irgend eine
x-r1—1 p—r1—1 27 Y D
y Ec La ee * 8,0)
: un 1
Boal a. "
x=0 p=0
af
„en + a” +a + g?](v) = o
hervor, und aus dieser entsteht, wenn man unter [s] irgend eine Cha-
akteristik und unter w die nämliche Grösse wie im vorigen Artikel
[46]
versteht, linke und rechte Seite mit:
DENT ———
y sum
care %
«x
^. Th dj
2ri , , 2zi
(x) ^ (x). KW), ap)
i (s) » 1 »» Y or 2 (aj Eu a, En) ge Zu, (a, + Fy, )
Über lineare Relationen zwischen Thetaproducten. 295
multiplicirt und nach x’ von o bis »* — ı summirt, die Gleichung:
x-—r'—] x--:1—1 p=rt—}
x-0 x=0 p=0
= O,
Auf der rechten Seite dieser Gleichung führe man nun an Stelle des
Summationsbuchstabens x’ einen neuen Summationsbuchstaben À ein, in-
dem man:
[a] ET [at Le a”)
setzt und dabei unter » eine Zahl aus der Reihe 0, 1,..., 7 — 1 ver-
steht, über die sogleich verfiigt werden wird. Bei der Ausfiihrung
der Summation nach x durchläuft dann auch À die Reihe der Zahlen
0,1,...,%— 1 nur in anderer Reihenfolge, und man erhält, wenn man
schliesslich noch » = x setzt und beachtet, dass:
27i y^ (0) 4 G0
"rus pi
Vt) at] — Vox reo]
ist, aus (5) die Gleichung
27i Br, 27 y^ (A) 21(p) \
— 2- (at Ey 0 e.) YET Zul Hu
7 ‘ u !
; v. On + a +”)
p=r—1 A=rt—1
(6) > cat > e
(ds dl ze
bei der zur Abkürzung:
x=ri—l 27i : 2zbN^ (
25 (x)? 1(x) _ Lo (x) op)
P (CA nmm s,) wel, An I A Ie]
€ T y : d € Lu | Cp = C p
J , r i f
x=0 Wi atx]
gesetzt ist.
Aus dem Bestehen der Gleichung (3) folgt das Bestehen der Glei-
chung (6) für eine beliebige Charakteristik [s] Würden nun für jede
der 7" Charakteristiken, die man an Stelle von [s] setzen kann, die
sämmtlichen Grössen C (p — 0, 1,...,7*— 1) den Werth Null be-
sitzen, so würde dies auch das Verschwinden der sämmtlichen Grössen c
nach sich ziehen, und da dies ausgeschlossen ist, so ergibt sich als Re-
sultat der vorstehenden Untersuchung, . dass immer, wenn zwischen den
1,070 9 Dg + a + a "B? (o)
294 M. Krazer.
r+? Thetaproducten 7*" Grades O[y + a + g?](v) (26v) über-
haupt eine lineare Relation (3) besteht, dann zwischen ihnen auch minde-
stens ein®, im Allgemeinen aber mehrere lineare Relationen von der
specielleren Form:
p=r1—1 À-T1—1
TI a ai) BRÜSTE, (A) ae
em (Qt 20 Le $ CH ; Dom r at, Pr D Oy +a +6)
=O
existiren. Das Bestehen dieser Relationen (7) ist dann aber auch eine
zum Bestehen der Relation (3) hinreichende Bedingung,
Seite der Gleichung (3) aus den linken Seiten der Gleichungen (7) auf
Grund der Gleichung
da sich die linke
0m + a” + B?)
x=0 p=0
tl 27 GO t 1(x) 27i a9, 3" (0)
p=r—1 ( pn jer SIE 5) or © Za nm Pa IE )
I =O Wiad] p
on
Ap Er .
1 ‚A=rı—1 27 Y (a e' 9" Me ) - FT (0) 7m)
[e] p=0 m LUPIS lien NER ae Pn (A) p)
X i € € Wray 9 + € +f Je),
in der die Summation so auszuführen ist, dass [s] die Reihe der 7?
Charakteristiken durchläuft, zusammensetzen lässt.
Lasst man endlich in der Gleichung (7) das Variablensystem (v) in
das System (v—|f|) übergehen, indem man unter c irgend eine Zahl
aus der Reihe 0,1,...,7?—1 versteht, so geht aus derselben die
Gleichung:
A=r1-1 27 = 27zi 5 =
« RD STE O(a POW 4 tO gag
(af ann é,) 6 Y on (a B, Pu € fi En 1 )
= O
hervor. Besitzen nun für irgend eine Charakteristik [e] nicht die sämmt-
lichen Grössen Cl! den Werth Null, so folgt aus dem Bestehen der
»” Gleichungen, die aus der Gleichung (9) hervorgehen, wenn man s die
Reihe der Zahlen 0, ı,...,+”— 1 durchlaufen lässt, das Verschwinden
der Determinante:
Weal ] Oly +a + po ge]ke))
’
Über lineare Relationen zwischen Thetaproducten. 295
Y ; à; À-r1—1 m (2) t 1) ant y^ (A) 2" (0) 6), r() 6) e! (p) »
m ^ ES FAC =) (an Bu zer oy ha ba ) =
E tto 24 d ^ wo [9 + a? + 8° — 8? (v)
E ES
Pre =0,1,..., 1! — I,
und man kann daher das oben gefundene Resultat auch so aussprechen,
dass immer, wenn zwischen den ?*?** Thetaproducten r“" Grades:
Of» + a) + Bro) x—0,1,..., r1 —1
09,1, ..., r1'—1
eine lineare Relation besteht, dann mindestens eine der Determinanten
1''" Grades (10) verschwindet.
Strassburg, den 9. December 1891.
bo
©
-3
REMARQUES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Extrait d'une lettre adressée à M. Mittag-Leffler
PAR
E. PICARD
à PARIS.
J'ai eu déjà plusieurs fois l'occasion d'insister sur la profonde diffé-
rence qui se présente dans l'étude de certains problémes entre les équations
du premier ordre et les équations d'ordre supérieur (voir en particulier
le chapitre V de mon mémoire de 1888 sur les fonctions algébriques de
deux variables).
Cette différence capitale tient en réalité à la circonstance suivante.
Appelons singularité essentielle d'une intégrale d'une équation différentielle
tout point singulier qui n'est pas un póle ou un point critique algé-
brique; soit maintenant une équation différentielle algébrique du premier
ordre
fs s dy pit
f(e,y, ©) — o
f étant un polynôme. On peut démontrer que les singularités essentielles
des intégrales de cette équation sont fixes, c'est à dire ne dépendent pas de
la constante d'intégration. Il est juste d'attribuer ce théorème à M. Parx-
LEVÉ qui l'a indiqué, sous une forme seulement un peu différente, dans
son mémoire Sur les lignes singulières des fonctions analytiques (Annales
de la Faculté de Toulouse (1888), page 38).
Je remarque maintenant que le théorème précédent ne s'étend pas
aux équations d'ordre supérieur au premier. Ainsi, pour une équation
différentielle algébrique
2
: fev, aa) 0
Acta mathematica. 17. Imprimé le 10 mai 1893. 38
298 E. Picard.
les singularités essentielles seront en général mobiles. Il suffira de prendre
comme exemple l’equation
dy\* c d'y (du m
i ad d (2) — oO
dont l'intégrale générale est
et où les singularités essentielles dépendent de C’.
Vous savez que les équations différentielles du premier ordre, à points
critiques fixes ont fait l'objet des recherches de M. Fucus et de M. Porncaré.
Il n'y a dans ce cas aucune difficulté à reconnaitre sur l'équation diffé-
rentielle si les points critiques sont fixes; la véritable raison en est dans
le théorème de M. PariwLEvÉ: il suffit de s'assurer, ce qui est facile,
qu'un point arbitraire du plan ne peut pas étre un point critique algé-
brique pour une intégrale. Il en est tout autrement pour les équations
d'ordre supérieur; il est encore facile dans ce cas de reconnaitre qu'un
point arbitraire ne peut pas étre un point critique algébrique pour une
intégrale, mais, dans cette hypothèse, l'intégrale générale n'aura pas né-
cessairement ses points critiques fixes, car il peut y avoir des singularités
essentielles mobiles. On peut d'ailleurs aller un peu plus loin en ne
se bornant pas aux conditions qui excluent les points critiques algé-
briques, et reconnaitre en général sur l'équation différentielle si toute
intégrale prenant en un point arbitraire ainsi que ses dérivées des valeurs
déterminées (finies ou infinies) est uniforme autour de ce point. Quand
ces diverses conditions sont remplies, on peut dire que l'intégrale genérale
a lapparence d'une intégrale à points critiques fixes, mais il n'est pas
permis d'affirmer qu'elle a réellement ses points critiques fixes, c'est à
dire qu'en dehors de certains point fixes elle est toujours uniforme.
En partieulier, si l'équation différentielle ne renferme pas la variable
indépendante, nous avons les conditions pour que l'intégrale générale soit
à apparence uniforme suivant une dénomination que j'ai employée il y a
déjà longtemps. Ces conditions sont de nature algébrique; il arrivera au
contraire, en général, que les conditions nécessaires et suffisantes pour que
l'intégrale générale soit réellement uniforme sont de nature transcendante.
Remarques sur les équations différentielles. 299
,
Deux exemples éclairciront suffisamment, je crois, les généralités qui
précédent. La relation
y
a
dy =
— —— = loo (s C C'
IE CE
Yo
ou R(y) est un polynôme du quatrième degré en y, définit une fonction
y de æ satisfaisant, quelles que soient les constantes C et C’, a une équa-
tion différentielle facile à former
dy sy)
AU — 9:
L'intégrale générale de cette équation est à apparence uniforme; elle aura
un point singulier à distance finie et elle ne sera véritablement uniforme
que si l'intégrale elliptique admet 2zi pour période, ce qui s'exprimera
par une relation transcendante entre les coefficients de l'équation. Con-
sidérons, en second lieu, l'équation linéaire à coefficients rationnels
d*o dw
E — + p— i — o
(E) qu INE
dont les points singuliers, y compris le point à l'infini, sont supposés
réguliers. En désignant par w, et w, deux intégrales distinctes, on sait
que si l'on pose
ey)
y) _ M
e)
la fonction y de x satisfait à une équation différentielle algébrique du
troisième ordre:
(1)
Si la différence des racines de l'équation fondamentale est, pour tout point
critique de (E), une partie aliquote de l'unité, l'intégrale générale de (1)
sera à apparence uniforme, mais, comme le montre la théorie des fonc-
tions fuchsiennes, elle ne sera pas en géneral une fonction uniforme.
Permettez-moi de vous indiquer encore un exemple d'une équation
où la variable figure explicitement. J’envisage l'équation
(2) DE PAT QE Ry? + Sy T=o
où les coefficients sont des fonctions uniformes de æ et où nous suppo-
serons que @ n'est pas identiquement nulle. L'intégrale générale aura
X dy d'y d'y
fly, oot ge) = ©:
300 E. Picard.
l'apparence d'une fonction à points critiques fixes si les deux séries d'inté-
grales devenant infinies en un point arbitraire z, admettent ce point pour
pôle. Cette condition entrainera deux identités entre les fonctions P, Q,
R,S,T et leurs dérivées jusqu'au quatrième ordre. On obtiendra ces
identités de la manière suivante. Soit
yel +h +re—%,) + (en) + (5 — 2) +...
une intégrale de (2) admettant le pôle z,. En substituant cette ex-
pression dans l'équation différentielle, on determine les coefficients
a 2 P; "f 0,
mais dans l'équation qui devrait donner e, cette lettre disparait; on a
alors une relation entre a4,f/,7,0 et le coefficient ¢ reste arbitraire.
Comme « est donné par une équation du second degré, on a les deux
identités cherchées entre P, Q, R, S, T et leurs dérivées, puisque x,
est arbitraire. Ces conditions ne suffisent pas bien probablement pour
que l'intégrale générale de (2) soit réellement à points critiques fixes.
Dans son beau Mémoire sur la rotation d'un corps solide, M"* de
Kowarevskı fait quelque chose d’analogue à ce que je viens de faire
plus haut. En réalité, elle ne trouve que des conditions pour que les
intégrales solent à apparence uniforme, et c'est seulement aprés l'inté-
gration effectuée qu'on peut affirmer que les intégrales sont uniformes.
Je me propose de revenir un jour sur le travail de M"* de KowALEVSkI,
en appliquant à son probléme les méthodes générales de mon Mémoire
sur les fonctions algébriques de plusieurs variables; le développement
des calculs se fera, je crois, d'une manière plus simple et moins artificielle.
Ces remarques, peut étre trop rapides mais que je compte dé-
velopper en détail dans le tome troisième de mon Traité d'analyse, ne
sont pas en définitive trés encourageantes. Il est peu probable que les
équations d'ordre supérieur à points critiques fixes puissent conduire à
l'étude de transcendantes nouvelles, en laissant bien entendu de côté les
équations linéaires. J'espère beaucoup plus de ces systèmes d'équations
aux dérivées partielles, dont je vous entretenais naguère, et que j'ai
sommairement indiqués dans une Note des Comptes Rendus (Sur des
fonctions d'une variable dépendant de deux constantes réelles arbitraires, juin
1892).
te teeny bee same mer ma
———— ——9
-
301
RAPPORT SUR QUELQUES CALCULS ENTREPRIS PAR M. BERTELSEN
ET CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS
PAR
J.-P. GRAM
à COPENHAGUE.
Comme on sait, nous possédons des tables des diviseurs comprenant
les nombres des neuf premiers millions. Pour les trois premiers millions
ces tables ont été calculées par BURCKHARDT,' pour les trois suivants par
M. J. GraisueR? et pour les trois derniers par Dasr.' Lesdites tables
donnent immédiatement pour chaque nombre composé non divisible par
2, 3, 5 le plus petit nombre premier qui le divise; les nombres premiers
eux-mêmes sont désignés par un —. Dans l'introduction à la table du
sixième million, M. GLAISHER a, en outre, communiqué les résultats de
lénumération trés soigneuse des nombres qui dans les tables sont in-
diquées comme premiers, et il a comparé ces résultats avec ceux qu'on
trouve en calculant la totalité des nombres premiers jusqu'à une limite
donnée au moyen de différentes formules approximatives. Par cette
comparaison on trouve en général une assez bonne concordance entre les
énumérations et les calculs faits d'aprés la formule approximative de
Riemann. Celle-ci devant être supposée représenter la fonction en question
* J. Cu. BURCKHARDT: Table des diviseurs pour tous les nombres des 1°, 2° et
3° million. Paris 1817. (1814— 1817.)
* JAMES GLAISHER: Faclor Table for the fourth, fifth, sixth Million. London
1879, 1880, 1883.
* ZACHARIAS DasE: Factoren-Tafeln für alle Zahlen der siebenten, achten, neunten
Million. Hamburg 1862, 1863, 1865.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 10 mai 1893.
302 J.-P. Gram.
aussi exactement qu'il est possible de le faire par une formule approxi-
mative continue de ce genre, on avait le droit de conclure que les tables
des diviseurs étaient essentiellement correctes.
Néanmoins on sait depuis longtemps que les tables ne sont pas sans
fautes. A la vérité, M. MeısseL' a trouvé par un calcul direct la totalité
des nombres premiers dans chaque myriade jusqu'à 1 million concordant
avec le résultat donné par les énumérations dans les tables, mais dans
le 2° million plusieurs erreurs isolées ont été trouvées, tant par M. Meissez
que par d'autres auteurs. Malheureusement, on ne possède pas une table
des diviseurs pour le 10° million, et le nombre (10°) — je denote par
le symbole 6(») la totalité des nombres premiers jusqu'à la limite x
— calculé par M. MeisseL ne saurait donc être appliqué pour contrôler
les énumérations. Toutefois le fait que l’ecart entre les valeurs de 6(10‘)
trouvées par l'énumération et par la formule de RIEMANN était + 87,
tandis que l'écart correspondant pour 9.10" fut — 132, indiqua quil y
avait probablement plusieurs erreurs. Un examen attentif des déviations
entre les résultats de M. GLAISHER et ceux que donne la formule de
RIEMANN pour chaque centaine de mille dans le 9* million, m'avait depuis
plusieurs années conduit à la conviction qu'il se trouvait dans ce million,
une série d'erreurs, notablement que plusieurs nombres composés étaient
marqués comme nombres premiers.”
Poussé par ces considérations, j'avais plusieurs fois songé à entre-
prendre moi-même le calcul de 6(9.10°), mais la difficulté d'achever sans
erreurs un calcul si long et si fatigant m'avait toujours découragé. Le
vif intérét que toutes les recherches concernant les nombres premiers ont
excité parmi les géométres durant ces derniéres années, rendait cependant
ledit caleul de jour en jour plus désirable.
Ce fut done une heureuse circonstance qu'un jeune homme M.
N.P. BERTELSEN, calculateur dont l'habileté n'est comparable qu'ávec celle
d'un Dase et qui possède en outre les connaissances mathématiques
nécessaires, ait bien voulu entreprendre un calcul de @(9.10°) d'après la
* Uber die Bestimmung der Primzahlenmenge innerhalb gegebener Grenxen. Mathe-
matische Annalen, T. 2, p. 636—042, efr. T. 3, p. 523, T. 2I, p. 304, T. 25, p. 251.
* L. Lorenz: Analytiske Undersogelser over Primtalmengderne. Kgl. Danske
Videnskabernes Selskabs Skrifter. 6t° Række V, 4, p. 450.
Rapport sur quelques calculs concernant les nombres premiers. 303
méthode de M. Muissez. M. BERTELSEN commença l'oeuvre durant l'été
de 1891 et il a consacré à des calculs décrits ci-dessous une grande partie
de ses loisirs pendant l'année suivante. Un résumé succinct de son travail
fut présenté par moi dans le 14° Congrès des naturalistes scandinaves,
qui eut lieu à Copenhague en juillet 1892.
Le calcul de @(9.10°) donna aussitôt le résultat prévu que les tables
des diviseurs indiquent des nombres premiers en excès. L'erreur totale
s'éleva à 78 unités, la valeur correcte de @(9.10°) étant 602489 au lieu
de 602567 d’après M. Guatsuer, le nombre 1 n'étant pas compté comme
premier. L'écart de RiEMANN fut par là réduit à 54 unités seulement.
L'erreur totale est relativement assez insignifiante et semble témoigner
avantageusement du degré de l'exaetitude apportée tant à dresser de si
vastes tables qu'à effectuer les énumérations. Cependant, il était désirable
d'avoir les erreurs mieux localisées, et, dans ce but M. BERTELSEN entre-
prit le caleul de 6 pour chaque million jusqu'à 10 millions.
Ce nouveau calcul fit constater en premier lieu que les résultats
obtenus par M. Meissen pour @(10°) et 6(10*) étaient parfaitement
corrects; qu'ensuite il y avait dans les tables des 2, 3, 4 et 5° millions
des erreurs probablement peu nombreuses, que les 6 et 7° millions
peuvent étre sans faute, mais que, dans le 8° et surtout dans le 9°, il
doit y avoir de fortes erreurs.
Mais M. BrmrELSEN ne se contentait pas de ces résultats. Avec une
assiduité qui doit exciter la véritable admiration de tous ceux qui com-
prennent combien un pareil travail est pénible et fatigant, il se mit à
chercher ces erreurs, dans les tables mémes en commençant par le 9*
million et examinant tout d'abord si quelques-uns des nombres indiqués
comme premiers étaient réellement des composés.
Cela nécessita une localisation ultérieure des erreurs, et aprés avoir
calculé @ pour des intervalles de 100000 et méme des plus petits, on
arriva au résultat surprenant que, dans le 9* million, presque tous les
multiples du nombre premier 2617 sont signalés comme des nombres
premiers. Tel est encore le cas pour divers multiples d’autres nombres
premiers, par exemple 13 et 181.
Ces découvertes imprévues encouragérent à de nouveaux efforts.
Au moyen d'un système de tables auxiliaires et d'autres artifices que
M. BERTELSEN se construisit peu à peu, il calcula successivement un grand
304 J.-P. Gram.
nombre de valeurs distinctes de 6(») avec des intervalles de 100000,
50000 et méme, en certains endroits, de 25000 ou moindres encore. Cela
fait, il a entrepris une recherche minutieuse des erreurs dont l'existence
dans chaque intervalle était révélée par le calcul, et le résultat de ces
recherches se trouve dans la table I, qui donne une liste de toutes les
erreurs connues jusqu'ici dans les tables des diviseurs Quelques-unes
de ces erreurs sont de purs errata, d'autres sont dues sans doute à
un déplacement du crible, d'autres encore sont des fautes de calcul ou
de transcription.
On trouvera dans la liste des erreurs quelques briéves indications à
cet égard; le signe Pr. dénote que le nombre posé est premier, un asté-
risque signifie que l'erreur a été signalée auparavant. La liste contient
non seulement des erreurs concernant les premiers, mais d'autres encore,
par exemple de fausses indications des plus petits diviseurs. Voici pour
les divers millions les nombres respectifs de fautes connues:
Millions, à 290. 29^. 1 ec ND m u
Erreurs 1.523 ph. | ok Oo TG AO ME]
Tandis qu'à l'exception du 1* million, où l'on n'a trouvé qu'une faute
(signalée par Dass), les tables de BURCKHARDT contiennent d'assez nom-
breuses erreurs; les tables de M. GLAISHER ne sont fautives qu'en trois
points, et le 6* million en semble totalement exempt, preuve du grand
soin avec lequel le travail a été exécuté. Tel est aussi le cas du 1°
million de Dasr, tandis que les deux derniers millions traités par ce
caleulateur sont moins bien réussis, mais l'on doit se rappeler que l'achéve-
ment de ce grand oeuvre par lui-méme a été empéché par la mort.
La liste suivante n'a pas la prétention d’être absolument complete,
les tables n'ayant point été examinées avec le même soin dans toutes
leurs parties; le but principal n'était pas méme de trouver toutes les
erreurs commises, ce qui est impossible sans refaire le calcul des tables.
Néanmoins on peut compter qu'il n'y reste que trés peu de ces erreurs,
surtout dans l'indication des nombres premiers. Pour en comprendre
la raison, il faut considérer la méthode suivie par M. BERTELSEN pour
les chercher systématiquement.
Avant d'expliquer ce procédé je dois rappeler succinctement la mé-
thode de M. Mzrsszr. :
Rapport sur quelques caleuls concernant les nombres premiers. 305
Soit m la limite pour laquelle on va calculer 6(m), la totalité des
nombres premiers inférieurs. Désignons par p, le nombre premier n°
et par
- d(m,n) — m —Y ET TYELT—M ET. +...
la totalité des nombres < m qui ne sont divisibles par aucun des nombres
a,b,c,..., représentant les # plus petits nombres premiers. En appli-
quant dans les dénominateurs tous les nombres premiers inférieurs a
Vm, ladite formule donne, comme on le sait, 1 + la totalité des nombres
premiers qui sont compris entre les limites /m et m. On a donc
d (m , 8(/m)) = 1 + Alm) — 6(Vm).
D'ailleurs on trouve facilement la formule de réduction suivante
m
O(m,n) = dm, n — 1) — o( Bm ,n — JI
n
dont l'application devient plus commode en remarquant, comme l’a fait
M. Muissez, qu'on peut trouver une expression simple pour la difference
D(m , 8(/m)) — (m , 8(m)).
En effet, cette différence représente la totalité des nombres appartenant
respectivement aux classes suivantes de nombres:
1° les nombres premiers eux-mêmes entre \m et ym, soit «, f, y, ...,
en nombre
pi = (Vm) — (Vm);
des carrés et des produits formés de ceux-ci, savoir a’, 8°, ...,
RER)
2 2
2°
af, Pr, ete., en nombre
3° des produits des nombres «a, ß,y,... par d'autres nombres pre-
miers > ym; le nombre de ces produits étant
> (6(2) = om) : 419 On.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 13 juin 1893. 39
306 J.-P. Gram.
On a donc
t
i
d (m , 8(/m)) — O(m , O(Vm)) = Ec pO (Vm) + D 6("),
la somme X étendue à tous les nombres premiers de /m à Vm.
a
La détermination de @(m, 0(/m)) est done réduite soit au calcul
de (m, 6(Vm)) qui peut se faire par réductions successives, soit au calcul
des termes entrant dans la somme X 6(=). Puisque m = 10° donne
=
Co ais = < 46416, les termes en question se trouvent le plus facile-
ment au moyen d'une liste des nombres premiers, numérotés suivant leur
grandeur. Egalement le calcul de @(m,m) peut être facilité par la
construction de tables auxiliaires. Pour plus de détails voir le mémoire
de M. Mzrsszr.
Quant aux nombres 0, le calcul de M. BERTELSEN a été fait de cette
méme maniére, à part quelques petites modifications provenant de ce qu'il
y avait à caleuler une longue série de résultats de méme genre devant
se supporter et se contróler mutuellement autant que possible. Pour
plus de süreté quelques-uns des nombres 6 sont en outre calculés deux
fois à quelque temps d'intervalle. Plus tard, M. Muisser, à qui j'avais
communiqué les résultats obtenus par M. BERTELSEN, a eu la bonté
d'entreprendre lui-même un calcul des nombres @(2.10°), 0(3.10°), @(5.10°)
et @(9.10°). Il a trouvé une parfaite concordance avec M. BERTELSEN,
soit dans les résultats définitifs, soit dans les détails examinés. Ce sur-
croit de contrôle exigé par un auteur si bien versé dans ces calculs
difficiles, et qui fait autorité, exclut toute crainte sur l'introduction
d'erreurs systématiques.
On peut admettre qu'au moins tous les nombres 6 qui sont cal-
culés deux fois, sont tout à fait exacts et qu'on peut sérieusement
compter sur les autres. Et chaque doute sur ce point disparait quand
on se rappelle que M. BERTELSEN a trouvé dans les tables des diviseurs
le méme nombre d'erreurs concernant les nombres premiers qui devait
s'y trouver d'après ses calculs de 6, et en outre quand on considère son
procédé ingénieux pour découvrir ces mémes erreurs que je vais exposer.
Par sommation directe des diviseurs insérés dans les tables, on peut
trouver la somme des plus petits diviseurs des nombres composés non
un
Rapport sur quelques caleuls concernant les nombres premiers. 307
divisibles par 2,3,5, dans un intervalle donné. Cette même somme
que nous désignons par S, peut être calculée par une autre voie. Un
nombre premier donné, soit p,, se trouvera dans la table comme plus
petit diviseur d'un nombre composé chaque fois qu'il sera multiplié par
un nombre qui contient seulement des facteurs premiers > p,. Si l'on
considére l'intervalle depuis zéro à la limite m, on trouvera done p,
comme plus petit diviseur un nombre de fois qui est donné par le symbole
Mm ,* x
0 , s — 1). Pour l'intervalle de m à M, la somme S se trouvera
5
alors par la formule
s=Yp(o(%,s—1)— o(@,s—1)), 3 <s < 6(JN)
qui donne un calcul assez facile parce que les fonctions ® qui y entrent
sont déjà calculées, au moins en partie, pour déterminer @(m) et 8(M).
Un exemple fera mieux saisir l'utilité de cette opération. On a
trouvé par le calcul
6(8,150000) = 549150 mais selon GLAISHER 549184. Diff. = 34,
8(8,175000) = 550729 » » » 550768. » — 39.
L'intervalle considéré contient donc, au moins, 5 erreurs. Deux d'entre
elles sont dues à l'omission du diviseur 26r7 pour les nombres 8.162423
* et 8,167657; restent encore trois erreurs à chercher.
En sommant les diviseurs de la table on trouve pour le méme in-
tervalle
S — 1165686
Correction + 2.2617 = 5234
S corrigé 1170920.
Le calcul donne
B — 1171462
Différence 543-
Comme 543 = 3.181, il fallait d'abord examiner dans le dit inter-
valle les 12 nombres dont le plus petit diviseur est 181, et l'on constata
que précisément trois de ces multiples étaient indiqués comme des nombres
premiers.
308 J.-P. Gram.
Ces cing erreurs étant rectifiées, l'intervalle en question ne peut plus
contenir que des erreurs n'entachant ni l'exactitude du total des nombres
premiers ni celle de la somme des plus petits diviseurs A proprement
parler il ne peut rester que des erreurs où, par suite d'un lapsus calami
ou d'un déplacement des caractères, le plus petit diviseur n'est pas
rapporté au nombre congru. Telles sont les erreurs aux nombres 1,359233
et 8,783693, mais le cas est trés rare sans doute. Dans les cas où l'on
a vérifié d'aprés la méthode ci-dessus indiquée, on peut affirmer presque
en toute süreté que toutes les fautes sont découvertes, et cela d'autant
mieux que la preuve est praticable seulement en cas d'erreurs trés peu
nombreuses, l'existence d'erreurs trés hétérogènes dans une méme inter-
valle nécessitant un examen détaillé.
Dans les intervalles auxquels on n'a pas appliqué la preuve par som-
mation, certaines erreurs ont pu passer inapercues, mais elles ne peuvent
pas influencer les nombres premiers étrangers à l'intervalle, car le classement
erroné d'un nombre composé parmi les nombres premiers sera compensé
par une autre erreur en sens opposé, également dans le dit intervalle.
Il y a donc raison d'admettre qu'en prenant pour point de départ
les valeurs de @ calculées par M. BERTELSEN et en faisant des énuméra-
tons supplémentaires dans les tables des diviseurs corrigées d'aprés la
liste des erreurs donnée ci-dessous, on pourra déterminer, pour chaque
limite inférieure à 9 millions le nombre 0(m) des nombres premiers
avec une erreur d'une unité au plus.
Tel est le résultat important de loeuvre de M. BERTELSEN. Si son
but principal eût été d'entreprendre une revision complete des tables, on
aurait pu employer un autre moyen de contróle, savoir la sommation
des nombres premiers eux-mêmes, opération facilitée par la disposition
des tables, en procédant page par page. D’autre part la somme en
question peut être calculée par une méthode analogue à celle décrite
auparavant. I] aurait été bien désirable que cette vérification ou une
analogue, eüt été appliquée en méme temps qu'on dressait les tables; il
faudra également l'employer, s'il s'agit de construire de nouvelles listes
des nombres premiers Mais pour le cas des tables des diviseurs existantes
le travail serait ingrat. En effet bien qu'on trouve des fautes dans ces
tables, il n'en faut pas moins reconnaitre qu'à tout prendre, ces tables sont
remarquablement bien dressées, surtout eu égard à la grandeur du travail.
1
1
Rapport sur quelques calculs concernant les nombres premiers. 309
Et il ne faut pas moins apprécier ce qu'on doit à des hommes tels
que MM. Gratsuer, MeısseL et BERTELSEN, qui ont mené à fin des oeuvres
supplémentaires qui permettent d'utiliser à des recherches scientifiques le
contenu des tables primitives.
Reste à expliquer la dernière des tables ci-jointes. Celle-ci contient
dans la 2° colonne les valeurs de 6(m) calculées par M. BERTELSEN et cor-
respondant aux arguments de la première colonne. Sous l'entéte Gi — 6,
la 3° colonne donne les différences des vraies valeurs de (m) et de
celles qui sont trouvées à l'aide des énumérations de M. Giatsuer. Enfin
la derniére colonne indique, pour des intervalles de 50000 au moins,
l'écart de la formule de Riemann ou, strictement parlant, l'écart de sa
partie continue. Comme je l'ai démontré, cette formule approximative
peut étre réduite à la forme suivante:
Pn) EU + m + mr +... (s = n+)
||.15 |2.28, © |3. 38,
Led
et dans mon mémoire sur les nombres premiers! j'ai donné les tables
nécessaires pour en faciliter le caleul. Quoiqu’on ait raison de voir dans
P(n) + 1 une expression de @(#) un peu plus correcte que P(n), on a
préféré d'employer cette dernière pour la comparaison. M. BERTELSEN a
lui-même calculé les valeurs de P(n) d'après ma table et, comme le
montrera la comparaison, les valeurs trouvées concordent bien avec celles
calculées autrement par M. Gratsuer.’
A la fin de la table on a ajouté d'une part les valeurs de 6(m)
pour chaque centaine de mille du 10° million, de l'autre les valeurs de
O(m) correspondant à 20 millions et à 9o millions. M. BERTELSEN est le
premier qui ait fait ces calculs; il a également recalculé la valeur de
@(10°) et constaté l'exactitude du résultat indiqué auparavant par M. Mrıs-
sen. Le dernier nombre @(10°) est donné d’après cet auteur.
Ladite table contient done ce qu'on posséde aujourd'hui en fait de
déterminations correctes des valeurs de 6(m).
* Undersogelser angaaende Mengden af Primtal under en given Grense. Kgl. Danske
Videnskabernes Selskabs Skrifter. 6 Række II, 6. 1884.
? M. GLAISHER donne, pour n = 3300000, P(n) + I = 236961, tandis que la
valeur correcte est 236860.
310 J.-P. Gram.
PAB. as
Liste des erreurs trouvées dans les tables des diviseurs.
9899* = 19.521 2954939 = 13.227303
: 2968129 — 1607.1847
1788027 5 = 11.103467 2976227 = 547.5441
1233473 Pr.(1233173 = 37.33329) 2976881 Pr. (2976581 =17.311.563)
1249843 * = 77.23.1109
1250111* = 53.103.229 3543737 Pr.(3543437=181.19577)
1270471* Pr.
1330001 * Pr. (1333001 = 1123.1187) 4801751 = 167.28753
1359233 Pr.(1359239 = 7.277.701) 4986869 = 29.359.479
1411679 Pr.(1412279 = 11.128380)
TALZO47) — W703 50.208 102202859330
1420847 Pr.(1421147 = 7.97.2093) 7040029 = 1627.4327
1496693 = 11.103.1321 7047113 Pr.
1556257* = 37.42061 7047413 = 1997.3529
1618087 Pr. (1628087 = 1069.1523) 7110881 = 1861.3821
TÉMOINS D 10/23 7141793 = 2617.2729
1623703 == 151.10753 7220819 = 1877.3847
1787471 = 7'.36479 7224053 = 2143.3371
1793023* Pr. 7324523 = 2467.2969
1793029* = 7.256147 7384631 = 2179.3389
1916683 = 193.9931 7385993 = 1933-3821
1936159 Pr.(1946159 = 1123.1733) 7430573 = 2089.3557
1979687 = 47.713.577 7489961 = 181.41381
1984891 Pr.(1994891 = 797.2503) 7556273 = 1949.3877
1996399 = 67.83.359 7556573 Pr.
7576799 = 149.211.241
2012603 = 887.2269 7601003 = 2437.3119
2070520 —731.075859 7601303 Pr.
2501261 =7.17.21019 7614461 = 2539.2999
2518817 = 7.587.613 7680451 = 1811.4241
2755189 = 163.16903 7190381 = 2311.3371
2763907 = 1297-2131 7802999 — 2179.3581
2768683 Pr.(2768983 = 7.449.881) 7810963 = 1847.4229
2868407 Pr.(2888407 = 683.4229) 7820201 = 1831.4271
2903591 = 1699.1709 7845427 = 1901.4127
2913833 = 13.29.59.131 7855549 = 13.29.67.311
2915899 = 7.71.5867 7856147 = 13.604319
Rapport sur quelques calculs concernant les nombres premiers.
7857343 =
7860931 =
7861517 =
7861529 =
7863323 =
7864519 =
7865117 =
7866911 =
7868107 =
7887931 =
7927501 =
7933649 =
7941047 =
8057743 =
8068211 =
8083913 =
8136253 =
8162423 =
8167657 =
8167987 =
8169797 =
8170159 =
8209529 =
8277571 =
8282197 =
8288039 =
8293273 =
8318393 —
8324677 =
8340379 =
8350847 =
8382251 =
8397953 =
8418889 =
8427193 =
8429357 =
13.604411
13.101.5987
2383.3299
13.604733
13.107.5653
13.701.863
13.605009
13.605147
13.605239
367.21493
1879.4219
2341.3389
1831.4337
2617.3079
2617.3083
2617.3089
2617.3109
2617.3119
2617.3121
181.45127
181.45137
181.45139
2617.3137
2617.3163
7.11.29.3709
2617.3167
2617.3169
43.193451
2617.3181
2617.3187
2617.3191
2617.3203
2617.3209
2617.3217
67.73.1723
2617.3221
8450293 = 2617.3229
8456059 = 239.35381
8478889 Pr.(8488889 = 233.36433)
8486449
8491187
8496181
8500853
8507867
8513101
8523569
8525317
8528803
8536319
8560207
8633483
8638717
8654419
8670121
8685823
8696291
8711993
8717227
8748631
8759099
8783693
8783699
8788069
8790503
8795737
8821907
8827141
8869013
8874247
8916119
8931821
8984161
Le signe * dénote que l'erreur indiquée est connue auparavant.
Pr. désigne un nombre premier.
Le nombre 3026279, auquel BurCKHARDT a attribué le diviseur 79, est, comme l'a indiqué
M. GLAISHER, premier.
Dans la page 72 du 1* million les nombres 63 et 64 dans l'en-téte se trouvent au-dessus 00 et
03 au lieu de 97 et oo.
277.39637
569.14923
1223.6947
277.30689
2617.3251
2617.3253
2617.3257
877.9721
2617.3259
11.776029
2617.3271
2617.3299
2617.3301
2617.3307
2617.3313
2617.3319
2617.3323
2617.3329
2617.3331
2617.3343
2617.3347
571.15383 (5171)
149.58951 (49)
2017.4357
2617.3359
2617.3361
2617.3371
2617.3373
2617.3389
2617.3391
2617.3407
2617.3413
2617.3433
311
312
JP. Gram.
TAB ie
Nombres calculés des nombres premiers inférieurs à une limite donnée.
Mm
en millions
0'Ioo
"200
"300
"400
"500
‘600
"700
‘800
‘900
1'000
‘025
‘050
075
O(m)
9592
17984
25997
33860
41538
49098
56543
63951
71274
78498
80335
82134
83905
85714
87519
89302
91120
92938
' 94693
96469
98257
100021
101802
103544
105313
107126
108843
110630
112389
II4155
115935
117663
119414
121127
122885
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en millions
o — 1:650
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o "525 ‘700
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— 2 ‘500
O(m)
124634
126302
128141
129862
131608
733324
135072
136813
138542
140291
142029
143754
5592
147182
148933
150669
152382
154104
155805
D575021
159250
160973
162662
164360
166081
167836
169511
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172873
174578
176302
177988
179684
181378
183072
Gl —
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+ 18
+ 22
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‘850
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‘900
‘925
‘950
‘975
3'000
‘100
‘200
‘300
‘400
‘500
‘600
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‘800
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4'000
‘100
‘200
‘300
"400
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‘600
‘700
‘800
‘900
5'000
t poa MA TT CU
Rapport sur quelques caleuls concernant les nombres premiers.
O(m)
184781
186462
188157
189880
191557
193256
194932
196645
198341
199993
201687
203362
205095
206789
208449
210109
211793
213453
215126
216816
223492
230209
236900
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250150
256726
263397
269987
276611
283146
289774
206314
302824
399335
315948
322441
328964
335439
341992
348513
Acta mathematica.
17.
Gi— 0 P-® he
en millions
+1 5'100
+ 1 + 29 ‘200
+1 "300
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+ 1 "700
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o + 17 ‘200
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— I — 4 ‘600
o "100
o a "800
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o 1210 .050
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o — 41 "150
o — 26 ‘200
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— 1 — 4 ‘600
— I + 36 “650
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— I + 12 -800
— I + x ‘850
— I + 29 "goo
o — 30 '950
Tr — 65 8:000
Imprimé le 21 juin 1893.
O(m)
354971
361407
367900
374362
380800
387202
393606
399993
406429
412849
419246
425648
432073
438410
444757
451159
457497
463872
470283
476648
479864
483015
486167
489319
492494
495666
498797
501962
505147
508261
511417
514565
517740
520910
524026
527154
530334
533506
536652
539777
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Gl— 0
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914 J.-P. Gram.
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‘100 546024 + 33 + 33 ‘100 608672 + 5
‘150 549150 + 34 + 49 . ‘200 614917 tS
200 562319 + 39 ap n ‘300 621177 — 30
ee) + 40 + ı "400 627400 — 23
‘300 558597 +44 SPOT ‘500 633578 Ee
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"400 564877 +49 + 14 ‘700 646054 cuir 2i
"450 567967 + 51. + 59 ‘800 652265 — 13
1500, STATION 52 + 41 ee 658445 spo
550 574274 TRUST dp ug 10'000 664579 3p 9j
‘600 577439 + 58 ug
"650 580566 + 60 — 12 20'000 1270607 — 37
"joo 583714 + 64 — 31
750 586850 + 67 — 39 90'000 5216954 + 227
‘800 , 590006 + 71 m (655)
.850 593112 1073 — 48 100‘000 5761455 + 96
‘900 596222 +75 7233
‘950 - 1599355 4 ah WT 483 1000:000 50847478 — 24
TABELLE DER KLEINSTEN PRIMITIVEN WURZELN g
ALLER UNGERADEN PRIMZAHLEN p UNTER 3000
VON
G. WERTHEIM
in FRANKFURT a. M.
Jede Primzahl, für welche 10 primitive Wurzel ist, ist mit dem
Zeichen * versehen.
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|
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73 25204 .|L.5 770% AKG) AN 22 283. | #2.3.47 3
Acia mathematica. 17. Imprimé le 21 juin 1893.
316 G. Wertheim.
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Du ne 20 2 797 2*.199 2 | 1061 ITEM 2
Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln g aller ungeraden Primzahlen p unter 3000. 317
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2011
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247 | 002215023 5
2459*| 2.1229 2
246782324237 2
2473* | 2°.3.103 5
2477 2°.619 2
2503 Wl 2,3139 | MS
2521 2 E pe (een)
2551 | 2. DENIS ZG 2
2539*| 2.3°.47 2
2543°| 2.31.41 5
2549*| 4.7.13 2
n | Pop | g
PGC el eee Sra don y)
2557 Dos sun
2ETO |e 2291:2,89
2591 | 2.5.7.37
2595 || 92.30
2609 2*.163
20107 231 iy RTC
2620 E A ean
2098 a 2r - eot]
2647 DATE
26517 * 2.88
2659 | 2.3.443
2663 * 210,
2671 2.3.5.89
2677 2. 19..223
2683 2.3'.149
2:08,72 Par 170
2689 p T
2693 27.673
200002 TON
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272.0 | retin zit
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2879 2.1439 "B2 2 7299 ae mos Neo 1:5 232.5. ||| Lo "—.
2887 | 2.3.13.37 5 | 2939*| 2.13.113 2 | 2999 2.1499 mi E
Frankfurt a. M., August 1892. ;
4
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DAC ANSE POS FRS EX ue rae ee > = E.
321
SUR: LES: MAXIMA ET LES MINIMA
DES INTEGRALES DOUBLES.
Second Memoire
PAR
GUSTAF KOBB
à STOCKHOLM.
Dans un mémoire précédent’ nous avons étudié la question de la
recherche des maxima et des minima d'une intégrale double dans les
cas où les variations de la valeur de l’integrale sont complètement libres;
c'est à dire, la classe de problèmes qu'on appelle des maxima ou des
minima absolus. Il y a un autre genre de questions, où lon se pro-
pose de chercher les maxima et les minima d'une certaine intégrale sous
la condition que la valeur d'une ou de plusieurs autres intégrales reste
invariable quand la valeur de la premiére est variée. Alors les varia-
tions de la première intégrale ne sont plus libres. Dans ce mémoire,
nous allons traiter la classe de problémes qu'on appelle des maxima et
des minima relatifs.
Soient
(1) T y ait: UE d.d E. 7.0 ae NL OI
^
(2) yy = [f F'& F y, 2 x aif. y, 2 m y", z")dudo
C
' Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. Acta mathematica,
tome 16, p. 65.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 27 juin 1893. 41
822 Gustaf Kobb.
deux intégrales doubles, où comme auparavant
D
" ox ; Oy ; 02
= au’ D = omo mim Su? |
{
x"! aL Oe ” MEAE z" re i
av’ : 9v Ov |
et F" et F’ sont des fonctions régulières et bien définies. Les limites
des deux intégrales sont les mêmes. Nous nous proposons de trouver
une surface qui rende la premiére intégrale un maximum ou un minimum
sous les conditions que la seconde conserve une valeur donnée et que la
surface passe par un certain contour C dans l’espace. Nous nous bornerons
pourtant à considérer des fonctions P" et F’ telles, que les valeurs des
intégrales soient indépendantes du choix des variables auxiliaires w et v.
Nous avons trouvé auparavant que, dans ce cas, les fonctions F et
F" doivent satisfaire aux relations I (4)'
mp te xii...
Fac sete! a
oj E E at TEC
Fao" + Y Tan,
Il faut d'abord montrer qu'il existe des variations de la surface
Na mu v y = y(ü, v), g — 2(u, v)
pour lesquelles la seconde intégrale conserve sa valeur. Si nous étendons
l'intégration sur la surface
"cg y d, due & |
1 : . \ . , . D .
Ces citations se rapportent à mon premier mémoire Sur les maxima et les mi-
nima des intégrales doubles.
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 323
nous obtenons la valeur de la variation correspondante de l'intégrale 7’
suivant I (16)
(3) AT = [f G'wdudo + (...), +...
en employant les mêmes notations qu'auparavant. Posons maintenant
(4) E=ké T hS, 9 = ky + him, hs d 5G
où k, et k, sont deux constantes quelconques et £,,5,,7, ,»,, 6, 6 des fonc-
tions arbitraires qui s'annullent aux limites. Ensuite
, 2
Sis (i=1, 2)
& + M + te
qr |o. up |
M; = [JG w,duav.
On aura
w = kw, + kw,
et
Al' =hk,M, +kM, + (....), +.
Les fonctions M, et M, sont complètement déterminées, aussitôt que nous
avons fixé €, ,&,, 7% » x, & > C Pour que l'intégrale J’ conserve sa valeur,
il faut que
o = kM + M, + (...),+----
Supposons
Mig
Cela est toujours possible, sauf le cas, ou
Geo:
Mais cette équation est une des conditions nécessaires pour que l'intégrale
I' soit un maximum ou un minimum. C'est, par conséquent, un cas
particulier qu'il faut exclure.
Si M, n'est pas nul, on a, suivant un théorème connu de la
théorie des fonctions
M,
? k, = gi + k, SA).
324 Gustaf Kobb.
En substituant cette valeur dans les expressions (4), nous avons de va-
riations qui ne changent pas la valeur de l'intégrale I’.
Nous avons ensuite la valeur de la variation de l'intégrale 1°:
AN JD = ff Ge dudo ECS
= KMS + k MS + (...),
M = ff @’w.dudv
ou, en employant la valeur trouvée de 5,,
M,
(s) Are (an — a: Mi) snm UE
Mais pour que AZ? conserve toujours le même signe, il faut que le
coefficient de k, s'annulle. Ainsi
M;
M} ——, M; =o
1 M, 2
ou
6 M;
(6) M, M,
Le premier membre dépend de & , 7,,& et le second de &,,7,,&- Le
quotient a donc une valeur constante, indépendante des variations, que
nous appelons A. Alors
M} — iM, = o
ou
fe’ —2@)w, dudv = o
d'ou résulte l'équation aux dérivées partielles du second ordre '
(7) GG AG 0
qui est analogue à celle que nous avons trouvée dans le cas des maxima
et des minima absolus.
' Dans la suite une majuscule signifie toujours une expression de la forme
A* — 4.
eee ere er
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 329
Pour ramener la variation totale de l'intégrale J’ ou de l'intégrale
I’ à la forme , nous sommes obligés de supposer ou bien que la sur-
5 |
face primitive ne possède pas de lignes de discontinuité, c'est à dire des
e
lignes le long desquelles ia normale de la surface change brusquement
sa direction, ou bien que les variations s'annullent le long de celles-ci.
Cependant il est évident que chaque partie régulière de la surface doit
e
satisfaire à l'équation
G =o
où A a toujours la méme valeur. En effet, nous pouvons varier la
surface, de manière qu'une partie régulière seule soit variée, et que le
reste conserve sa forme. Alors cette partie doit satisfaire à l'équation (7).
Ensuite nous avons vu que la valeur de À est indépendante des
variations. Mais parmi celles-ci il en existe certainement, qui ne varient
qu'une partie régulière de la surface. Mais la valeur correspondante de
À doit être la même, si toute la surface est variée. Par conséquent, la
valeur de À est la même pour chaque partie de la surface qui peut
être variée.
Supposons maintenant qu'il existe des lignes de discontinuité sur la
surface primitive et que les variations ne s’annullent pas suivant celles-ci.
Alors la variation totale des intégrales n'est pas réductible à la forme
(3). Nous avons déjà traité la méme question pour le cas des maxima
ou des minima absolus. Ici on peut procéder de la méme manière et
on trouve en posant
F = F°— }F®
que les expressions
8 oFov OF du oFov oF du 0Fov dF du
(8) 9x 0s — 9v Os” 9y 9s dy as’ 02 0s 92’ Os
doivent avoir les mémes valeurs aux deux cótés de la ligne de discon-
tinuite, pour que l'intégrale 7° puisse être un maximum ou un minimum.
C'est, par conséquent, encore une condition nécessaire.
Nous avons vu que la surface primitive doit satisfaire à l'équation (7)
G = G* — ÀG' — o.
Supposons que nous ayons trouvé une solution de cette équation; il nous
340! ^ Gustaf Kobb.
faut puis montrer, qu'elle donne un vrai maximum ou un vrai minimum
ou que la variation totale A7° pour chaque variation, qui ne change pas
la valeur de la seconde intégrale, conserve le méme signe. Nous suivons
la méme marche que dans le cas des maxima et des minima absolus.
Ainsi, il se présente d'abord la question: Ayant trouvé une solution
de l'équation (7) qui passe par le contour donné, est-ce qu'il existe une
autre, qui à chaque point est infiniment voisine de la premiére? ll faut
pourtant généraliser un peu la question. La quantité À est une constante,
dont la valeur est déterminée par la condition que la seconde intégrale
I’ conserve toujours la méme valeur. Par conséquent, la valeur de A
n'est pas la méme pour deux surfaces infiniment voisines. Il faut done
considérer À comme une quantité variable, quand nous voulons répondre
à la question énoncée.
On voit immédiatement qu'à la méme surface il ne peut pas corres-
pondre plusieurs valeurs de A4. On aurait
G* — ÀG' =o,
G* — À4,6G' =o
d'ou suit
(4—24,)6G' =o
et
Ate
car nous avons déja exclu le cas
G — o.
Soit maintenant
nO pe dU Ce PT TRAE dos
une nouvelle solution de l'équation (7), où pourtant la valeur de A est
changée en À + A' on aura
G(r 46,9 - 9,243 6A - 23) — G(n,y 2,2) = 0.
Cette différence peut s'ecrire
Gr EY mute SIE EET)
LE, y, 3) — AG y, 3] — NEW] + Ey + e+ 0
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 327
ou
AG—XG(e@+éE,yt+y,2z+0)=0
si nous entendons avec le symbole d'opération A, que 2 soit regardé
comme une constante.
Mais au lieu de considérer l'équation unique
G=0
il vaut mieux considérer le système équivalent I (15)
Den = (2) —2 (0) = 26,
| 0æ ou Wer av Vox"
uw. pw o med r\n 9 (EN
(9) crgo ies oy Ou Gr) 9v (or) E
"Tum zm Set 9 9H sued
dam Pi Al, 92 Ou el 9v ie AP
De la premiére de ces équations nous aurons
Oe Es 9 Oe Cy A A) ate, 92,9)
= AT, — XPi(r 6,9 4 2, 2 4- Q)
ou en observant que
a,
le second membre devient
ADT, —NaG'(e@ + E,yty,2z+ 0) =0.
De la méme ete nous formons les deux autres différences
AT, —XBG'(@ + €,y+7,2+ 0) = 0,
AT, — XyG(r + E,y+ty,z+ 0) =0.
Multiplions la premiere de ces équations par &, la seconde par y, la
troisième par € et ajoutons; ensuite, multiplions par dudv et integrons
dans l'iftérieur du contour donné.
328 Gustaf Kobb.
Alors nous aurons l'intégrale
(10) Sea, + AT, + CAL, — XG (e+ €,y +7,2 + C)w} dude,
mu EU
Evidemment, cette intégrale double est nulle. Nous allons la transformer.
D'abord on remarquera que les variations €, x , ¢, ne sont pas libres, elles
sont assujetties à la condition que la seconde intégrale /' conserve sa
valeur. Ainsi
AT =o
ou, en arrétant le développement aux termes du second. ordre,
(11) o = ff {aw + ZB,,r,r,)dudv
ou c, et z, désignent les variations £, 7, € et leurs dérivées du premier
ordre. Les coefficients B,, de la forme quadratique sont des fonctions
n
connues de æ ,y et z. Ensuite,
f xa +E,y Fx, 2 + O)wdudo = ff (x Gr + XZB,,7,1)dudv.
Enfin, nous avons montré dans le mémoire précédent, que, si nous arrétons
le développement de AT”, AF, et AZ’, aux termes du second ordre,
l'intégrale
JJ EAT, + AT, + AT, \dudv
peut être transformée dans la forme suivante
[f 1:4. hm + 2:215, 7,7, )du dv.
La premiére forme quadratique provient uniquement des termes du pre-
mier ordre, ses coefficients A,, sont indépendants de c, et cz, et ils sont
des fonctions connues de z,9y,z. Dans la seconde, au contraire, les
coefficients A/, sont des fonctions linéaires et homogènes de FRET
Maintenant l'intégrale (10) peut s’écrire
(12) [6) — 247. ut D A yz c, — Nah. — ME Biyt,7,\dudv.
edidi
“Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 329
En multipliant l'équation (11) par X et en lajoutant à l'équation (12),
nous aurons
(13) o = ff 2» [47 + À, X, — B,.)]7,7)dudo.
Il s'agit de voir, si cette équation peut être satisfaite par des valeurs de
£,7,C qui changent, réellement, la surface primitive. Il existe, évidem-
ment, une infinité de maniéres à varier la surface, de sorte qu'elle coin-
cide avec elle-même.
Nous avons vu qu'il suffit de poser
e— al, 72 = Ut, cli
ou a,b,c sont les cosinus directeurs de la normale de la surface primi-
tive au point (x, y, 2).
Par cette substitution la forme quadratique sous les signes sommes
3 ‘ al ol ,
devient une forme quadratique de /, ES esu deci? roa
Li p
Ainsi, on aura de (13)
(14) o = ff (2- (4. + 45) ac) dudv.
Les 4,, sont indépendantes de / et de ses dérivées et proviennent unique-
ment des A, de l'équation (13). Les 4},
\ ol ol ;
homogènes de /, — , — et de X.
= ou’ dv
Dans le mémoire précédent, nous avons vu que si la forme qua-
sont des fonctions linéaires et
dratique
>A ite To
est définie, on peut toujours fixer une limite de / et de ses dérivées du
premier ordre ainsi que de 2’, de sorte que pour des valeurs de ces va-
riables, qui sont inférieures à cette limite, la forme quadratique
2 (Aw + AL) 55
soit aussi une forme définie.
Mais alors, il n'existe pas d'autre solution de l'équation (14) que
» ‘
Acta mathematica. 17. Imprimé le 28 juin 1893. 42
330 Gustaf Kobb.
Par conséquent, la surface déjà trouvée est unique, c'est a dire, il
n'existe pas d'autre surface, qui satisfait à une équation
G = 0
où la valeur de A diffère trés peu de celle de l'équation primitive, qui
passe par le contour donné et pour laquelle les valeurs des coordonnées
et de leurs premiéres dérivées dans chaque point différent trés peu des
valeurs dans les points correspondants de la surface primitive.
Ainsi, il faut calculer la forme quadratique
art
py *u.
ou plutôt l’integrale double
(15) JETER oe za du do
pour reconnaitre, si la forme quadratique sous les signes sommes est une
forme définie, ou non. Nous avons vu que la forme quadratique en
?
question provient uniquement des termes du premier ordre de l'expression
EAT + HAT, + CAR
Par conséquent, l'intégrale (15) n'est autre chose que l'intégrale
(16) fl (ol, + 76T, + &T.}du dv.
ve
Dans la seconde partie du mémoire précédent nous avons fait le
calcul d’une intégrale semblable, mais ce calcul étant assez pénible, il
suffit de se rappeler les résultats qu'on y a obtenus. D'après les formules
IT (6), IT (7) et IT (17) on aura pour l'intégrale (16) l'expression
ff Ir Nonae FE +2 2F, ee F uw” aude
[72 ou ? Qu Qv
w = a£ + f» + re,
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 331
Ensuite, F,, F,, F, et F, sont des facteurs, définis par les formules I (8),
II (13) et I (14). Ils sont tous de la forme
F, = Fi — 4F;.
On voit aisément que l'on a
k= (PEP?
et, par conséquent, que w et | s'annullent en même temps.
La forme quadratique sous les signes sommes est définie, si dans le
contour donné
F,F,— Fio,
(18)
TB ee,
ou, la dernière condition n'étant pas remplie, s'il est possible de trouver
deux fonctions finies et continues B et D, de sorte que
T 1 7 2 eB eB , 1 92 T ie
(19) F, KR — A ++ p.) — FEB + 2FLBLB— F, " SO:
Mer
Nous avons transformé cette condition et nous avons vu qu'elle est tou-
jours remplie, s’il existe une intégrale finie et continue de l'équation
dec Pee AU d ic aU _ 9U
(ej comm o) = f, SEL) TP USO
qui ne sannulle pas dans l'intérieur du contour d'intégration de l'intégrale
(17). Ainsi, cette condition est suffisante mais nous n'avons pas démontré
qu'elle est nécessaire comme dans le cas des maxima et des minima ab-
solus. La démonstration appliquée dans ce cas n'est plus valable, car les
variations ne sont pas libres; elles sont assujetties à la condition qu'elles
ne changent pas la valeur de la seconde intégrale J’. Nous laissons, pour-
tant, ce point pour le moment.
Supposons, maintenant, que les conditions (18) et (19) soient remplies.
Alors la forme quadratique sous les signes sommes de (17) est définie,
et d'aprés ce que nous avons déjà dit, la surface est unique dans la signi-
fication que nous avons donné à ce mot. Mais, comme les fonctions
332 Gustaf Kobb.
F,, F,, F,, F, sont des fonctions continues de x,y,z et de leurs déri-
vées, on voit, aisément, que les conditions précédentes sont aussi remplies
pour chaque autre surface qui diffère très peu de la surface primitive.
Ainsi, nous pouvons construire autour de celle-ci une certaine aire, de
sorte que, si nous y prenons un contour arbitraire et qu'il existe une
surface qui satisfasse à une équation
qui passe par ce contour et qui differe tres peu de la surface primitive,
cette nouvelle surface soit aussi unique. La valeur de À dans l'équation
G — o n'est pas nécessairement la méme que dans l'équation qui nous
donne la surface primitive; elle peut aussi en différer un peu.
Dans le eas des maxima et minima absolus, nous avons donné en-
core une condition pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum,
qui nous servait à distinguer un maximum d'un minimum. Dans le cas
actuel, nous allons procéder de la méme maniere. Nous appelons chaque
équation
où À différe trés peu de la valeur primitive, une équation G et aussi chaque
surface, qui satisfait à une telle equation, une surface G. Sur la surface
G, qui passe par le contour donné C
nous tracons un certain contour fermé
K. Par ce contour K nous faisons pas-
ser une surface quelconque et sur cette
surface J’ nous tracons un autre con-
tour A’, trés voisin du contour K et
qui ne le coupe pas, et supposons quil
existe une surface G, qui passe par K’.
Il existe évidemment une infinité de
tels contours A’ sur la surface 7”. Nous
avons vu qu'il n'est pas nécessaire de supposer que les contours K et A’
et la surface /' soient réguliers. Ils peuvent aussi être composés d'un
nombre fini de parties régulières. Il faut seulement que les deux con-
tours ne se coupent pas.
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 333
Considérons l'intégrale 7° étendue sur la partie extérieure du contour
K de la surface primitive, sur la partie de la surface /', qui est située
entre les contours K et 4A’, et, enfin, sur la surface G, qui passe par le
contour K’. Cette intégrale, que nous appelons 7’, peut être considérée
comme une variation de l'intégrale /*, étendue sur la surface primitive.
D’après les formules HI (1) et IIL (2), on aura
21 AP = 7° — I’ = fé sinods + [| G'wdudu + (1).
à 2
K K
Ici, la fonction &° est définie par les formules III (16) ou IT (22). En-
suite, / est la longeur de la projection de la distance AA’ sur le plan
tangent de la surface /' dans le point A, l'angle que fait cette pro-
jection avec la tangente de K dans ce point, et enfin ds l'élément de
l'arc de K.
Mais les variations de la surface primitive doivent étre telles, que la
seconde intégrale /' ne change pas sa valeur. Alors, en formant la méme
différence pour l'intégrale 7’, on aura
(22) o — AT = f'& sin o ds + [[ G waudo + (D, +.
k K
Multiplions l'équation (22) par — À et ajoutons le produit à l'équation
(21). Nous aurons
NI f (8* — A&^l sin © ds + fa? — 1G’)wdudv + (1), +...
A
=
ou, en remarquant que
G° —AG = G—0o
et en introduisant la notation
& = 6°— 28’,
(23) AI’ = [8lsinwds + (D, 4 ...
Mais, pour que la surface primitive rende, réellement, l'intégrale 7^ un
334 Gustaf Kobb
maximum ou un minimum, il faut que pour chaque contour K et chaque
surface /' la différence AJZ° ne change jamais son signe. Ainsi
AI’<o pour un maximum
AI’>o pour un minimum.
Pour des valeurs assez petites de / le signe du second membre (23) de-
pend du signe de son premier terme, l'intégrale
f 8lsin o ds ,
K
et pour que cette intégrale conserve toujours le méme signe, quels que
solent le contour K et la surface 7', il faut que la fonction 8 ne change
jamais son signe. La nouvelle condition nécessaire pour l'existence d'un
maximum ou d'un minimum est, par conséquent, pour le cas d'un maxi-
inum, que la fonction 8 ne devienne jamais positive et pour le cas d'un
minimum que la fonction & ne devienne jamais négative.
D'après la dernière forme que nous avons donnée à la fonction &
Ill (22), il suit que, la condition HI (23) remplie, elle ne sannulle que si
la surface /' est tangente à la surface G le long du contour K. Dans
le cas où la condition Ill (23) n'est pas remplie, il faut faire une re-
cherche spéciale.
Supposons maintenant que les conditions (18) et (19) soient remplies
et que la fonction & ne change pas son signe. Alors, nous pouvons en-
tourer la surface primitive d'une aire telle que dans celle-ci pour chaque
contour il n'existe qu'une seule surface G, qui diffère trés peu de la sur-
face primitive et en la resserrant, sil le faut, telle que la fonction &
conserve le méme signe pour ces nouvelles surfaces. Certainement, cela
arrive, si la condition IIL(23) est remplie.
Imaginons, ensuite, dans l'aire À une
surface /', régulière ou du moins composée
d'un nombre fini dè surfaces régulières qui
passe par le contour primitif C, et sur 7?
deux contours K et K’ trés voisins qui ne
se coupent pas. Supposons que les deux
contours soient tels qu'il existe des surfaces G,
qui passent par ces contours et qui différent
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 335
tres peu de la surface primitive. Evidemment K et K’ ne sont pas ar-
bitraires, mais il en existe toujours une infinité. Cela résulte immédiate-
ment d'une considération géometrique. Comme la surface /' est située
dans l'aire A, il suit qu'il n'existe qu'une seule surface G pour chacun
des deux contours A et K’.
Considérons, ensuite, l'intégrale I’ étendue d'abord sur la partie de
T, au dehors de K’, puis sur la surface G qui passe par A’. En appelant
2 la partie de I’ dans l'intérieure de K et 99 la partie entre K et X,
nous désignons notre intégrale /* par
I'(9 + 08).
De méme, nous désignerons l'intégrale I’, étendue sur la partie de 7°
au dehors de K et sur la surface G qui passe par K, par
1°(8).
D'après ce que nous avons dit, les deux fonctions /*'(9 + 90) et 1°(4)
sont complètement définies. On aura donc
x
I'(9 + a2) — I'(9) = ff F’dudv — [Eau do — ff F*dudv.
X K 4
K
On voit, facilement, que le second membre peut s'écrire de la manière
suivante
(24) I°(@ + 09) — 1°(2) = — f'8'l sin ods — [J G'wdudv + (1), + ..
k X
Formons la méme différence pour la seconde intégrale J’, Nous aurons
I'(9 + 09) — r(9) = — (8'lsin ow ds — ff @wdu do + (D).
K K
Or, l'intégrale 7’ doit toujours conserver la méme valeur pour toutes
les variations en question. Par conséquent, on a
(25) Bi — [sl sin « ds — ff Go du dr m (2), == PR,
K BER:
Multiplions l'équation (25) par la valeur de 4 qui appartient à la surface
336 Gustaf Kobb.
G qui passe par K, et ajoutons le produit à l'équation (24). L'intégrale
double disparaît, et il reste
26 T'(QH 00) TO), — falsum ds EU ae
cy 2
K
Supposons que la fonction & ne devienne jamais négative. Alors, il suit
de l'équation (26) que l'intégrale /'(9) va toujours en décroissant, si 4
va en croissant et, par conséquent, que /'(9) atteint sa plus petite valeur,
quand le contour K atteint le contour primitif C. Mais, alors, linté-
grale /^(9) devient
WON DES)
I°(8) fF du dv,
ou l'intégration est étendue sur la surface primitive G qui passe par le
contour C. De l'autre côté on a
I°(o) = [| Frau dv
y
et par conséquent
(27) SF’ du do < [[ du dv.
Ô j
G
Ce raisonnement exige que la fonction 8 ne soit pas identiquement
nulle sur la surface J’, mais, il est facile de s'assurer que cela n'est pas
possible, en suivant les mémes considérations que dans le cas des maxima
et des minima absolus.
On démontre aussi de la méme maniére qu'auparavant que l'inégalité
(27) subsiste encore, si la surface /' est tout à fait irréguliére, pourvue
que les intégrales 7° et J’ aient un sens defini. L'existence d'un minimum
est donc établie. De la méme manière on démontre l'existence d'un
maximum si la fonction 8 ne devient jamais positive. Ainsi, nous som-
mes arrivés au résultat suivant: L'intégrale 1° devient un maximum ou
un minimum en méme temps que l'intégrale / a une valeur donnée, si
les conditions (18) et (19) sont remplies et que la fonction & conserve
le même signe pour la surface donnée par l'équation
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 337
à savoir, un minimum si la function & ne devient jamais négative et un
maximum si la fonction & ne devient jamais positive.
Il y a, pourtant, une circonstance à se rappeler. La démonstration
précédente repose, évidemment, sur le fait que la fonction /"*(9) est com-
plètement déterminée, quand le contour K est fixé. Mais, cela n'est vrai
que quand nous nous bornons à considérer de telles surfaces G, ou non
seulement les valeurs des coordonnées d'un point quelconque mais aussi
de leurs dérivées du premier ordre different trés peu des valeurs dans le
point correspondant de la surface primitive. Par conséquent, nous n'avons
établi la propriété maximale ou minimale de la surface que dans le cas
ou non seulement les variations mais aussi leurs dérivées du premier ordre
sont infiniment petites.
Jusqu'ici, nous n'avons pas imposé aux variations 5,7, 4 de la
surface cherchée d'autres restrictions que celle que la valeur de la seconde
intégrale J’ doit être invariable. Mais, il est facile d'en imposer d'autres.
Ainsi, on peut demander que la surface cherchée soit renfermée dans une
certaine partie de l'espace, limitée par une surface fermée. Alors, il
peut arriver que la surface cherchée rencontre la surface de la limite.
Dans ses recherches sur le célébre probléme isopérimétrique dans le plan,
STEINER a énoncé les deux théorèmes suivants.
»Si la courbe cherchée coïncide dans une partie finie avec la courbe
de limite, les deux courbes se touchent dans les deux points de rencontre.»
»Si la courbe cherchée rencontre la courbe de limite dans un seule
point, et que l'on neglige les variations où la courbe ne rencontre pas la
limite, les tangentes des deux branches forment dans le point de rencontre
des angles égaux avec la tangente de la courbe de limite.»
STEINER a trouvé ces deux théorèmes par une méthode synthétique,
et il prétend même que le Calcul des Variations ne possède pas les moyens
pour les démontrer. M. Werersrrass a réfuté cela, en démontrant deux
théorèmes généraux, dans la théorie des maxima et des minima des inté-
grales simples, dont ceux de STEINER sont des cas spéciaux.
Nous allons démontrer pour les intégrales doubles deux théorèmes
analogues aux théorèmes de STEINER.
Soit 7^ l'intégrale double dont nous cherchons le maximum ou le
minimum sous les conditions que l'intégrale I’ conserve sa valeur et que
la surface cherchée reste toujours dans l'intérieure d'une certaine partie
Acta mathematica. 17. Imprimé le 18 juillet 1893. 43
328 Gustaf Kobb.
de l'espace, limitée par la surface fermée A. Supposons que nous ayons
trouvé une surface qui satisfait à l'équation
et que cette surface G coupe la surface 4 suivant un certain contour A
qui peut étre fermé ou non.
Prenons sur la surface A deux contours K,
et K, trés voisins de K
et qui ne le coupent pas, ensuite sur la surface G un contour L. Faisons
passer par L et K, et par L et K, deux
surfaces arbitraires trés voisines de G.
Sur la surface G entre L et Æ il peut
y avoir des lignes de discontinuité, mais alors,
il faut que suivant celles-ci les conditions
(8) soient remplies.
Caleulons maintenant la variation de
l'intégrale 1°, si nous intégrons sur la sur-
face B, et la partie de A qui est située
dans lintérieure de X,, au lieu d'intégrer sur la surface @ et la partie
de À correspondante.
D'aprés les formules (21), (22) et (23) on aura
(28) Ar’ = [ 81 sin wds + (D, + ...5
K
de méme si nous remplacons B, par BD,
(29) AT = {&l,sinw,ds + (1), +...
K
Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'un minimum, Alors, nous
avons trouvé comme condition nécessaire que la fonction & ne devienne
jamais négative. On a ensuite dans (28)
LESS ©, sinw > O0,
mais alors, on voit qu’en posant dans (29)
lo
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 339
on a nécessairement
sinc, < o.
Par conséquent, pour que la variation totale A /" ne change pas son signe,
il faut que nous ayons
le long du contour K. Mais nous avons vu que si la condition III (23)
est remplie
Ree 22 po Tum S)
la fonction & ne sannulle que pour le cas où les deux surfaces @ et A
sont tangentes le long du contour K.
Voilà, justement, la généralisation du premier théoréme de STEINER
au cas des intégrales doubles.
Passons maintenant au second théoréme. Supposons que nous ayons
trouvé comme solution de notre probléme que la surface G, qui satisfait
à l'équation
soit composée de deux parties différentes G, et G, qui se coupent le
long d'une certaine courbe Æ sur la surface A. Prenons deux points
queleonques B et C de la courbe K et tra-
cons sur À entre B et C une nouvelle courbe
K'. Ensuite, sur les surfaces @, et @, deux
courbes L, et L,. Faisons passer par L,
et K' une surface arbitraire J’, trés voisine
de @, et telle que l'intégrale 7" ne change
pas sa valeur, si l'on intégre sur la surface
I, au lieu de sur la surface G,. Enfin,
par L, et K' une autre surface arbitraire
Jes,
de la surface I).
Appelons I} et J} les valeurs de l'intégrale /* étendue sur les sur-
faces G, et G, respectivement, et de méme 7j et J, les valeurs correspon-
dantes sur les surfaces I’, et 7. Indiquons aussi par les indices 1 et 2,
si les valeurs des coordonnées x, y, 2 ou de leurs dérivées se rapportent
qui a des propriétés analogues à celles
à la surface G, ou à la surface G,.
|
340 Gustaf Kobb. 1
D'après la formule I(5) nous aurons |
= ioe oF oF dv
eet Ls ber lee |
: 90x, 9j, 92,1905 |
K i
oF oF oF Tou
SE ta ces ds Æ. (2), |
92, EUR 02, 105 4
car l'intégrale double disparait, parce que l'intégration est étendue sur la i:
surface G,. De méme
= Clr cle oF oF ov
A R= IE gee
4 02s OU 92,1985
K
oF oF oF jou
= |: = + N = -- a | ds + ks Ber E
9x. 0Y» 92, 19s
Il faut prendre le signe — pour que l'intégrale simple soit prise dans le
méme sens. Ainsi, eu posant
AI'—T-FnLn—1Hh-—1m,
on aura
(30) AI = | EE au ee Le E d
, , , = , , 37)
; Qv, 9%; OUR OY (92, 0% Os
K
. (OF oF er oF oF oF du =
IE oo pac
O2, oa Qu, OY (92, 92, / ] 0s |
Pour transformer cette intégrale simple nous introduisons un nouveau
systeme de coordonnées dans un point quelconque O de la courbe K.
Comme laxe des (9,) nous choisissons la tangente de la courbe K, en-
suite, comme l'axe des (9) la normale de la courbe K qui est située
dans le plan tangent de la surface G, et, enfin, comme l'axe des (9,) la
normale de la courbe K, qui est située dans le plan tangent de la
surface @,.
Les cosinus directeurs que font ces axes de coordonnées avec les
axes des X, Y et Z sont, respectivement,
Sur les maxima et
Pour l'axe des (2)
les minima des
COS a, cos f,
Pour l'axe des (2,)
COS as , COS
Pour l'axe des (0,)
cos a’, cos f’,
Au point O de la courbe K correspond un point 0’ de la courbe K’,
dont les coordonnées sont
DUI
Soit
cosa
0
c= 6,
2
y+;
0, cos B, + 0, cos B; +
intégrales doubles.
COS 71 .
[77
cosy.
,
cos 7’.
dn ^
1 + d, cosa,’ + 0, cosa’,
^ , 5
0, cos fr,
€ = 0, cosy; + 0, cosy; + 0, cosy.
En introduisant ces valeurs de £,
sous le signe somme devient
FP oF
[cos ay ea — 2) + cos
9x, Qd.
ion oF F
— [cos di — 7) + cos fi
94 92,
,(8F. oF „[aF
+6, [cos a (rae ;) + cos B; (
Ox, Q2. 9y;
(oF . oF ;
= [os a; ( T en + cos
s Or, 92, /
oF mon oF
+ 0 [es (5 — ;) + 003 (7
9x, dx, y:
eH 25ER
— [cosa (—— s) + eo os f en
9x1 9%,
= + cos r' (
02:
oF'\ OF oF\ 9
+ vu ED
VA 92, 92, Os
gee A) + eo OS 7 n'(—
1 ys 92,
DEAR oF
[a3 le
CF 22, 9% Os
oF oF ok
E + cos =
Wy md 5 92,
oF oF
or ==
92, ez Os
ip oe , (oF
—) qe cosy (5 —
Oys
oF
°
oF
2)
341
0,. 0,, 0, les coordonnées de O' dans le nouveau système, nous aurons
7, dans la formule (30), la quantité
): (e
AU
ou
Os
ou
9s
a2) ls
,
CEA
Qu |
| 3m )]
BE
os |
=)
342 Gustaf Kobb.
Le coefficient de 2, s'annulle d’après les formules III (8) et I (4). Ensuite
on a pour le coefficient de 2, d’après la formule III (16) l'expression
£ p ^ eS =f , , x dm) st! al Aye , 1 "n FU
ch — é (a V5 E», Ya, Los Lo 3 Yo 5 22 à UM M E15 Li » Vi a):
Enfin, pour le coefficient de 9, on a
wt 0
oe e 4 3 _/ , ae 11 , 3 , e Pg Hn Hn
S ET &(x fs By X15, po Zi, Vy s Mio By Vo» Vo y Eo s Lo 5 Yo ; d)
Par conséquent, on aura
AI'— f(8,2, — 8,2) ds + (.. ),-
K
Mais, l'intégration est étendue sur une partie arbitraire de la courbe K.
Done, pour que la variation totale AJZ° conserve toujours un signe in-
variable, i] faut que la fonction sous le signe somme
8,0, — 8,0,
conserve toujours un signe invariable. Mais, cette quantité représente à
un facteur pres, qui n'est pas nul, la distance du point O' au plan
8,0, — 6,9, = 0.
Il faut donc que le point O' soit toujours situé du même côté de
ce plan. Le point O' appartient à la surface A et, par conséquent, le plan
o
N ON
c —— © E
8,0, — 6,0, = O
doit être le plan tangent de la surface A au point 0.
Ensuite soient a, et a, les angles que font les axes (9) et (0,) avec
le plan
PN AN
o 2] —
© 0, ©,0,; O,
ces angles étant comptés dans des directions opposées, on aura
0 Silas
p. sns
et, par conséquent,
sina ©
. o .
sin a 1 ca
CDS ee
mS
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 343
Mais les axes 2, et 9, sont situés dans les plans tangents des surfaces G,
et G, et sont, d'ailleurs, des normales de la courbe K. On peut donc
énoncer le théoréme suivant:
»Si les deux surfaces G, et G, se coupent le long d'une courbe K
tracée sur la surface A, il faut, pour qu'un maximum ou un minimum
soit possible, que les sinus des angles, que font les plans tangents des
surfaces G, et G, avec le plan tangent de la surface 4 au méme point,
soient proportionels aux fonctions 8, et &,, ces angles étant comptés dans
des directions opposées.»
On reconnait facilement que ces deux théorèmes correspondent aux
deux théorèmes donnés par M. Werersrrass dans la théorie des maxima
et minima des intégrales simples, dont ceux de Steiner sont des cas
spéciaux.
245
ENTWICKLUNGEN
ZUR TRANSFORMATION FÜNFTER UND SIEBENTER ORDNUNG
EINIGER SPECIELLER AUTOMORPHER FUNCTIONEN
VON
ROBERT FRICKE
in GÖTTINGEN.
In den nachfolgenden Zeilen erlaube ich mir den Lesern der Acta
mathematica einen Beitrag zur Theorie jener eindeutigen Functionen einer
complexen Veränderlichen vorzulegen, welche von einem Teile der dabei
interessierten Mathematiker als »automorphe Functionen» bezeichnet werden.
Es sei gestattet, hier am Eingang der Kürze halber nur auf die grossen
Abhandlungen Bezug zu nehmen, welche Porxcare in den ersten Bänden
der vorliegenden Zeitschrift über die gedachten Functionen veröffentlichte;
es lassen sich nämlich eben von diesen Abhandlungen aus die für das
Folgende massgeblichen Gesichtspunkte von vornherein am deutlichsten
angeben.
Zs scheint, dass der von Poincaré gewählte Eingang in die Theorie
wenigstens der »eindeutigen» automorphen Functionen der unmittelbarste
ist; ich meine jene Methode, die Untersuchung automorpher Functionen
auf das vorangegangene Studium der zugehörigen Gruppen linearer Sub-
stitutionen der Veränderlichen zu basieren, diese Gruppe selbst aber eben
durch »Angabe ihrer Substitutionen» als definiert anzusehen. Bei jenem
ersten Forschungsgange hatte nun PorwcAnÉ nur est ganz nebenher das
Problem berührt, wie man Gruppen unserer Art etwa durch erschöpfende
Angabe der Bildungsgesetze ihrer Substitutionscoefficienten thatsächlich her-
Acla mathematica. 17. Imprimé le 3 novembre 1893. 44
346 Robert Fricke.
zustellen vermöchte; vielmehr galt es in erster Linie, die Summe der all-
gemein möglichen Folgerungen aus der Angabe einer fraglichen Gruppe
zu ziehen, unangesehen alle jene Ergebnisse, die aus dem besonderen
Bildungsgesetz der einzelnen Gruppe entspringen mögen.
In Anbetracht dieser letzteren Verhältnisse muss das Beispiel der
Modulfunctionen vorbildlich sein. Weil nämlich dort die Gruppe von
dem bekannten einfachen Bildungsgesetze vorlag, war es möglich für die
zugehörigen Functionen jene weitverzweigte Theorie durchzubilden, welche
den besonderen Namen der Theorie der elliptischen Modulfunctionen trägt.
Hierüberhinaus ist es das Bestreben des Verfassers gewesen, auch für
andere Gruppen von einem fest gefügten arithmetischen Bildungsgesetze
auszugehen, und es sind in dieser Hinsicht eine Reihe von Ansätzen in
den neueren Bänden der Mathematischen Annalen (von Band 38 an)
sowie in den Göttinger Nachrichten vom vorigen Jahre veröffentlicht.
In dem vorliegenden Aufsatze wollte ich die bezeichneten Ansätze in
das functionentheoretische Gebiet hinein verfolgen, um solcher weise ihre
Tragweite nach dieser Richtung hin darzuthun. Dabei schränke ich mich
von vornherein auf denkbar einfache Verhältnisse ein, um einerseits die
darzulegenden Gesichtspunkte an möglichst elementaren Vorst e\\ungen zu
entwickeln, und um andererseits unmittelbaren Anschluss an gewisse be-
kannte functionentheoretisch-geometrische Entwicklungen zu gewinnen. In
der That werden wir späterhin Gelegenheit finden, die Resultate älterer
Arbeiten von KLEIN und Gorpax für unsere Zwecke zu benutzen, Arbeiten,
die einmal die Ikosaedertheorie sodann die bei der Transformation 7'*
Ordnung der elliptischen Functionen auftretende Gruppe 168°" Ordnung
betreffen. Die nàheren Literaturangaben sollen überall im Laufe des
nachfolgenden Textes nachgetragen werden.
- 5 1,7 c
Zur Theorie der automorphen Functionen. 347
ERSTER TEIL.
Entwicklungen über die Dreiecksfunctionen von den
Verzweigungen (2,4,5),(2,5,6).
§ 1. Das arithmetische Bildungsgesetz der zum Kreisbogendreieck
(2,4,5) gehörenden Gruppe.
In der Ebene der complexen Veränderlichen 7 sei ein von Kreis-
bogen begrenztes Dreieck gezeichnet, welches die Winkel er dar-
bietet; die Ecken des Dreiecks nennen wir in sofort verständlicher Zu-
ordnung p, ; P,, P,, und dem entsprechend mögen die
Seiten (p,, p,) » (p, » 25) » (p; » p,) heissen. Das Dreieck Fig. 1.
habe die in Fig. ı gezeichnete Lage; es soll also der
Punkt p, mit 7 — coincidieren, während die Seite
(p,,p,) auf die imaginäre Axe oberhalb „=i zu
liegen kommt. Das in Rede stehende Kreisbogen-
dreieck soll kurz als Dreieck (2,4, 5) bezeichnet |
werden; es ist in der Figur zugleich so angenommen, EIG
dass seine drei begrenzenden Kreise bei Verlängerung
die reelle y Axe unter rechten Winkeln schneiden.
Auf das beschriebene Dreieck (2,4, 5) wenden wir jetzt das von
Schwarz ausgebildete Symmetrieprincip’ an und gewinnen eine be-
kannte Dreieckseinteilung der oberhalb der reellen Axe gelegenen »po-
sitiven y-Halbebene». Die Dreiecke sind abwechselnd durch indirecte
und directe Kreisverwandtschaft? mit einander aequivalent, und die li-
! Wegen des Näheren über diesen Gegenstand darf ich auf die von KLEIN und mir
verfassten Vorlesungen über elliptischen Modulfunetionen, I, pag. 85 ff. verweisen; ich
citiere dieses Werk in der Folge kurz als M. I oder M.II je nach dem gerade gemeinten
Bande.
‘
SAM pages.
348 Robert Fricke.
nearen 7-Substitutionen, welche diese Kreisverwandtschaften analytisch
darstellen, bilden die Gruppe, die hier näher untersucht werden soll.
Wollen wir zuvörderst nur mit directen Kreisverwandtschaften zu
thun haben, so müssen wir etwa dem Dreieck der Fig. ı sein durch
Symmetrie längs der imaginären Axe entworfenes Spiegelbild anfügen;
es entspringt solchergestalt ein »Doppeldreieck», welches wir A, nennen.
Indem wir je zwei im gleichen Sinne neben einander liegende Dreiecke
der Halbebenenteilung zu Doppeldreiecken zusammenfügen, mögen wir
die letzteren in irgend einer Folge A,, A,,A nennen. Die li-
27°
nearen y-Substitutionen, welche A, in die übrigen Doppeldreiecke trans-
0
formieren, bilden die in Rede stehende Gruppe, welche 7'(2, 4, 5) heisse;
Pl ue Pg
m+ 6
reellen 4,8,7,0 einer positiven Determinante ag — fy haben, sollen
ihre Substitutionen, welche durchgehends die Gestalt 7 mit
symbolisch durch V, — 1, V, , V,,... bezeichnet werden, und zwar
transformiere V, das Dreieck A, in A,.
Als Fundamentalpolygon der Gruppe in Krem’s Sinne’ kann das
Doppeldreieck A, angenommen werden. Die
Fig. 2. Randeurven sind dabei so zusammengeordnet
wie Fig. 2 angiebt; die Gruppe Z(2,4,5)
lässt sich demgemäss aus zwei Substitutionen
erzeugen, und es seien dies, wie schon in
Fig. 2 angedeutet, die Substitutionen V, und
V,. Beide sind elliptisch, und sie haben die
Perioden 4 bez. 2;^ die ausgerechneten Ge-
stalten dieser erzeugenden Substitutionen der
Gruppe sind aber:
1+ V5 imi gnus |
7 ‚ / 7 , s 2
(1) (7) 7 1 TE D? (Vi) UE Ee = za om
( fume eal SENS)
2 2 } 4
* M. I, pag. 183; naeh PoINCARÉSs Benennung »polygone générateur», ef. Acta
mathematica, Bd. I, pag. 16.
SM pagas.
ee
CAEN
RER pe |
CRNA rm mn
EEE tad nn jum ap
u;
4^ «t.
Y
Zur Theorie der automorphen Functionen. 349
Um diese Angaben zu belegen, bemerke man erstlich, dass die Substitu-
tionscoefficienten hier überall reell sind, und dass V,, wie es sein muss,
7=i zum Fixpunkt' hat, V, aber einen auf der imaginären Axe ober-
halb » =i gelegenen Punkt. Durch diese Lagenbeziehungen, sowie
andrerseits durch die Forderungen, dass die Substitutionen V, , V, und
V, V, die Perioden 4, 2 und 5 haben müssen, sind, wie man leicht ins
einzelne nachweist, V, und V, gerade in der unter (1) angegebenen
Gestalt eindeutig bestimmt. |
Aus der Gestalt der erzeugenden Substitutionen suchen wir nun auf
das Bildungsgesetz der ganzen Gruppe zu schliessen. Hier lehrt nun
erstlich V,, dass sich die Substitutionscoefficienten aus ganzen algebraischen
Zahlen desjenigen reellen quadratischen Zahlkörpers * aufbauen werden, dessen
Ur La. ate UR S :
Basis [ j —. ist; dabei ist jedoch noch die Quadratwurzel aus der
2
. — 1 + [s À - A t
speciellen ganzen Zahl P — Dunes dieses Körpers adjungiert zu denken.
Die Substitutionscoefficienten werden somit die Gestalt darbieten:
(2) a — À + ByP, CE NE zn,
wenn hierbei 4, B, C, D ganze Zahlen des genannten Körpers sind.
Aus der Gestalt von V, und V, wollen wir noch ein zweites Gesetz
für die Coefficienten a, 8,7, 0 der zu betrachtenden Substitutionen ab-
leiten. Nennen wir für den Augenblick die beiden reellen Zahlen
(A + BYP) conjugiert, so sollen a und à, sowie ($ und — y Jeweils con-
jugiert sein. Von diesem, bei V, und V, thatsächlich vorliegenden
Bildungsgesetze zeigt man nun durch einfache Ausrechnung, dass es bei
Combination von Substitutionen unzerstörbar ist: Alle Substitutionen von
[(2,4,5) werden somit den Typus:
(A + B JP)» + (C+ DyP)
(3) aeg (ST ED JP); + (4 — B yP)
aufweisen müssen.”
! M. I, pag. 164; »point double» bei POINCARÉ.
? Wegen der zu benutzenden arithmetischen Begriffsbestimmungen vergleiche man die
» Allgemeine Zahlentheorie» DEDEKIND s im Supplement XI von DIRICHLET s Vorlesungen
über Zahlentheorie, (3° Auflage).
? Die allgemeine Tragweite des in der Substitutionsform (3) liegenden Ansatzes
findet man in den Mathem. Annalen, Bd. 42, pag. 564 discutiert,
350 Robert Fricke.
Aber es gehören noch keineswegs alle Substitutionen (3), die wir zu
bilden vermögen, der Gruppe J'(2, 4,5) an; vielmehr treten neue Ein-
schränkungen ein, und diese letzteren haben wir im Anschluss an den
Modul oder die Determinante der Substitution:
(4) ad — fr = A’— Pb? + C* — PD’
zu beschreiben. Die in der Folge zu brauchenden Zahlwerte der Ver-
bindung (4) sollen auf 1,2 und 4 eingeschränkt bleiben, und wir sprechen
demgemäss von unimodularen bez. duomodularen und quadrimodularen Sub-
stitutionen (3). Der arithmetische Charakter der anfänglich vorgelegten
Gruppe ist dann in einfachster Weise dahin zu formulieren, dass sie aus
allen duo- und quadrimodularen Substitutionen (3) besteht. Wir wollen die
so gemeinte Gruppe als die arithmetisch definierte /(2, 4, 5) bezeichnen
und ihre Identität mit der aus V,, V, zu erzeugenden Gruppe von drei-
eckigem Fundamentalbereich nun im einzelnen nachweisen.
82. Identität der arithmetisch definierten 1(2.4,5) mit der Gruppe
des Kreisbogendreiecks (2,4, 5).
Das System aller unimodularen Substitutionen (3) $ 1, welche aus
ganzen Zahlen A, B, C, D des öfter genannten Körpers unter der Voraus-
rt: Y :
setzung jio Rid ET gebildet werden kónnen, móge kurz durch 2,
2
bezeichnet werden, und wir brauchen weiter in sofort verständlichem
Sinne die Bezeichnungen X, und ¥,. Das System X, der quadrimodularen
Substitutionen wird X, in sich enthalten, nur dass jede unimodulare Sub-
stitution mit 2 erweitert erscheint. Dass das System X, eine Gruppe
vorstellt, ist unmittelbar evident; denn hier multiplicieren sich bei Com-
bination zweier Substitutionen deren Determinanten. Aber auch das System
X, stellt eine Gruppe dar, wo wir dann nach jedesmaliger Combination
zweier Substitutionen den gemeinsamen Factor 2 aus allen vier Coeffi-
cienten müssen fortheben kónnen, um solchergestalt zu einer quadrimodu-
laren Substitution zurückzugelangen. Zum Beleg dieser Behauptung muss
eine kurze arithmetische Betrachtung vorausgesandt werden.
Zur Theorie der automorphen Functionen. 351
Die Bedingung der quadrimodularen Substitutionen:
A’ — PB? + C — PP? — 4
liefert für die ganzen Zahlen A, B, C, D der einzelnen Substitution die
nachfolgende Congruenz:
(1) A’ + C? z P(B* + D^, (mod. 4).
Es giebt nun im quadratischen. Zahlkörper modulo 2 vier incongruente
Zahlen, und also sind unter den 16 modulo 4 incongruenten Zahlen nur
vier mod. 4 mit Quadraten congruent. Man wird sie als quadratische
heste von 4 bezeichnen und findet unter Gebrauch der Abkürzung:
a + qu —(@ zb)
für dieselben (o, 0), (1, 1), (1
9
sofort weiter, dass unter den 16 ]
(2) (0,0), (0, 2), (2,0), (2,2), (1,9), (1, 1), (2; 1),(2,3),(3,0),(3, 3)
mod. 4 mit der Summe zweier Quadrate congruent sind. Multipliciert
0), (2, 3). Von hieraus berechnet man
testen mod. 4 nur die zehn
man diese zehn Zahlen mit P=(— 1,1) einzeln, so kommen einmal die
vier ersten Zahlen (2) wieder zum Vorschein, ausserdem aber gerade die
sechs in der Reihe (2) noch fehlenden Reste modulo 4. Zufolge (1) wird
man sonach B* + D* nur mit einer der vier Zahlen (o, 0), (o, 2), (2,0),
(2,2) mod. 4 identificieren können, worauf dann P(B?+ D?) d. h. A?+C?
wieder mit einer von diesen vier Zahlen congruent wird. Die vier ersten
Zahlen (2) entstanden aber durch Verdoppelung eines quadratischen Restes
von 4, und also ergiebt sich: Bei den quadrimodularen Substitutionen be-
stehen immer die Congruenzen:
(3) A=C, B=D, (mod. 2),
und es giebt insgesamt nur vier modulo 2 incongruente quadrimodulare Sub-
stitutionen (3) § 1.
Mögen nun die beiden quadrimodularen V und V’ durch Combina-
tion V" = VV" liefern, so wird man, um V" auf die Determinante 4
zurückzubringen, die vier Coefficienten durch 2 teilen. Ordnen wir alsdann
352 Robert Fricke.
V" wieder in der Gestalt (3) $ 1 an, so haben wir für die zu V" ge-
horenden A", D", C", D'', die entweder ganze Zahlen oder Hälften solcher
sind, die Gleichungen:
c
24" = AW 4 PBB = CO" PDD,
2B" — AB’ + BA’ 4 CD'— DC,
20" — ACG + PBD! CAL = PDP
3D^ — ADV BC CR TD
Nun aber sind für V und V’ die Congruenzen (3) in Gültigkeit, und
also folgt aus (4) ohne weiteres, dass A", D", C", D" ganze Zahlen des
quadratischen Körpers sind. V" gehört somit wieder dem Systeme 2,
an, und dieses bildet also in der That eine Gruppe.
Die aus den quadrimodularen Substitutionen bestehende Gruppe wird
‘durch die in $ 1 mit V, bezeichnete Substitution in sich selbst trans-
formiert,' indem man ohne Mühe die Gleichung:
EY Eo e
vory-( Jeu M
— C+BVP, À + DyP
verificiert, wo übrigens nur die vier Coefficienten der Substitution an-
gegeben sind. Fügen wir sonach der Gruppe der quadrimodularen V
noch alle diejenigen Substitutionen hinzu, welche durch Combination ihrer
V mit V, in der Gestalt V' = VV, entspringen, so gelangen wir zu einer
umfassenderen Gruppe, in welcher die aus dem System X, bestehende Gruppe
eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 ist.” Nun genügt aber die
duomodulare Substitution V, ihrerseits auch der Bedingung (3) In den
vier Coefficienten von V' — VV, tritt somit zufolge (4) der gemeinsame
Factor 2 auf, nach dessen Forthebung wir in V' wieder eine ganzzahlige
duomodulare Substitution gewinnen. Auf der anderen Seite lässt sich jedes
duomodulare V’ in der eben benutzten Gestalt VV, darstellen; denn V’V,
1
ist quadrimodular und auch Vj findet sich in ¥,. Die eben aufgestellte
ZEMENT tote OI
? M. I, pag. 308 ff.
Zur Theorie der automorphen Functionen. 338
Gruppe, die X, umfasst, besteht also aus X, und X, und liefert somit nach
der Verabredung von § 1 die »arithmetisch definierte» Gruppe:
T2 » 4, 5) == 2, Y,
Es ist nun weiter leicht beweisbar, dass die Gruppe der duo- und
quadrimodularen Substitutionen (3) § 1 eigentlich discontinuierlich ist.‘ Man
muss zu diesem Ende von der zu Grunde liegenden Gleichung:
(5) A’ — PB? + C? — PD? = 2 oder 4
zu derjenigen »conjugierten» Gleichung übergehen:
(6) A" — PB” + C" — P'D" = 2 oder 4,
die einfach durch Zeichenwechsel von ys; aus (5) hervorgeht. Hier ist
LENS
nun der Umstand besonders folgenreich, dass P’ = negativ und
dem absoluten Werte nach grösser als 1 ist. Die Folge ist, dass bei den
Substitutionen unserer Gruppe nur solche Zahlen A, B, C, D zur Geltung
kommen, deren conjugierte Zahlen absolut < 2 sind. Nach einem bekannten
Satze der Zahlentheorie? giebt es aber nur eine endliche Anzahl ganzer
ten
Zahlen eines Körpers x" Grades, die selbst samt ihren conjugierten Zahlen,
absolut genommen, eine festgesetzte endliche Grenze nicht überschreiten.
Es kann somit nur eine endliche Anzahl von Substitutionen in der Gruppe
geben, deren vier Coefficienten dem absoluten Betrage nach eine beliebig
zu wählende endliche Constante nicht übersteigen. Solches aber wire un--
móglich, wenn infinitesimale Substitutionen in der Gruppe vorkàmen, und
also ist nach der eben citierten Abhandlung PorxcanÉ's die eigentliche
Discontinuität der Gruppe evident.
Um das Fundamentalpolygon der Gruppe zu gewinnen, benutze ich
eine Operationsweise, die bei ähnlichen Gelegenheiten immer eine be-
deutende Erleichterung der Überlegung bewirkt. Die fragliche Massnahme
besteht darin, dass die Gruppe durch Zusatz sogenannter Substitutionen
zweiter Art, die indirecte Kreisverwandtschaften bedeuten, erweitert wird.?
' Siehe PorvcARÉ, Acta mathematica, Bd. 3, pag. 57 ff.
* Siehe DIRICHLET-DEDEKIND, a. a. O., pag. 556.
Siehe Schwarz in Bd. 70 des CRELLE schen Journals, pag. 105, oder M. I,
pag. 82 f. 5
Acta mathematica. 17. [mprimé le 28 octobre 1893. 45
354 Robert Fricke.
Hierher gehôren vor allem die Transformationen durch reciproke Radien
an Kreisen der 7-Ebene, Operationen, die kurz als Spiegelungen bezeichnet
werden. Bedeutet 7 der zu y conjugiert complexe Wert, so liefert der
Übergang von 7 zu 7 = —y die Spiegelung an der imaginären Axe.
Indem wir diese besondere Spiegelung den bisherigen Substitutionen »erster»
Art hinzufügen, gelangen wir zu einer erweiterten Gruppe, wobei die duo-
und quadrimodularen Substitutionen zweiter Art:
(4 ByP)g —(0 + DyP)
(— € + DJP)s — (4A — B JP)
ST
) 7 =
als neu hinzukommen; es mögen diese Substitutionen kurz V genannt werden.
Von besonderer Wichtigkeit sind unter den Substitutionen (7) die-
jenigen, welche Spiegelungen darstellen; die Bedingung, damit dies vorliegt,
ist B — 0,' und der zugehörige Spiegelkreis ist, wenn wir x = x + vy
setzen, gegeben durch:
(8) (C — D JPyx* + y?) + 24x —(C + D JP) — o.
Diese Gleichungen aber sind anzusetzen, einmal für alle innerhalb des
quadratischen Körpers ganzzahligen Auflösungen der ternären Gleichung:
(9) à a E Dia ps,
— und wir erhalten hier eine erste Classe von Spiegelkreisen — sodann
aber für alle ganzzahligen Auflösungen von:
(10) >= A mp
womit wir die zweite Olasse der Spiegelkreise erhalten.
Die Spiegelkreise (8) sind, wie man sieht, sämtlich orthogonal gegen
die reelle Axe gerichtet, und nun gilt es einzusehen, dass diese Kreise in
ihrer Gesamtheit gerade jene Dreiecksteilung (2, 4, 5) der n-Halbebene be-
wirken, welche wir am Anfang vom Kreisbogendreieck (2 , 4, 5) aus durch
immer wiederholte Spiegelung herstellen. Von hieraus ist es dann leicht,
die Identität der arithmetisch definierten Gruppe mit der Gruppe des
Kreisbogendreiecks (2, 4, 5) zu erkennen.
1
Siehe etwa M. I, pag. 196 ff.
M uU
Zur Theorie der automorphen Functionen. 355
Zu diesem Ende muss man zuvörderst feststellen, welche Perioden
bei den elliptischen Substitutionen unserer Gruppe vorkommen mögen
Für eine elliptische Substitution der Periode » ist
7 — c
(11) A = 2 cos oder —'J2 cos"
je nachdem eine quadrimodulare oder duomodulare Substitution vorliegt.
7 — 7 . Ja
Soll aber 2 cos- oder y2 cos- eine ganze Zahl des für uns zu Grunde
y y
liegenden quadratischen Zahlkörpers sein, so ist nach elementaren Regeln
» auf die Werte 2, 3,4, 5 eingeschränkt; es kommen also jedenfalls keine
anderen als die Perioden:
(12) Bi Sis) 3 94525
bei den elliptischen Substitutionen der Gruppe vor. Die Perioden 2, 4, 5
kommen auch sicher vor; denn sie sind in der Gruppe des Kreisbogen-
dreiecks (2, 4, 5) enthalten, die doch jedenfalls zufolge (1) § 1 sich in der
arithmetisch definierten Gruppe vorfindet.
Man bemerke nun weiter, dass der Kreuzungspunkt zweier Symmetrie-
kreise (8) immer den Fixpunkt fiir eine elliptische Substitution ergiebt,
die durch Combination der beiden zugehörigen Spiegelungen entspringt.
7
3
oder Vielfachen derselben schneiden können. Da wir nun mit einer eigent-
lich discontinuierlichen Gruppe zu thun haben, so liefern die sämtlichen
Kreise (8) eine Einteilung der positiven Halbebene in lauter aequivalente
Es folgt, dass jene Symmetriekreise einander nur unter Winkeln
ul
r . . T* RE: TA ENT
Kreisbogenpolygone mit Winkeln 7, = PEUT
In weiteren Verfolg der geometrischen Verhältnisse innerhalb der
7-Halbebene werden wir diejenige Maassbestimmung gebrauchen müssen,
welche PoIncArE für die Untersuchung der Gruppen reeller Substitutionen
eingeführt hat." Insbesondere ziehen wir die Formel für den Inhalt eines
* Siehe Acta mathematica, Bd. I, pag. 6 ff. Die betreffende projective Maass-
bestimmung geht durch einen in M. I, pag. 239, geschilderten Projectionsprocess in die-
jenige Maassbestimmung über, welche KLEIN bei seinen bez. Untersuchungen (in Bd. 4 der
Mathem.-Annalen) der »hyperbolischen» Geometrie zu Grunde legt. Man vergl. übri-
gens auch CLEBSCH-LINDEMANN, Vorles. über Geometrie, Bd. 2, Abt. 1.
356 ^ Robert Fricke.
im Sinne der Maassbestimmung geradlinigen Polygons ohne entspringende
Winkel heran; ist J dieser Inhalt, » aber die Anzahl der Polygonseiten
und o die Summe der Winkel, so lautet der Ausdruck für J:
(13) I = 4k?[(n — 2)z — e],
wo k eine für die Maassbestimmung charakteristische Constante ist.
Wir greifen nun ein einzelnes der aequivalenten Polygone unserer
: 5 5 . . . Tu
Halbebenenteilung auf und nehmen an, es sei ein #-eck mit À Winkeln 25
x Winkeln E pe Winkeln 2 und endlich » Winkeln + so dass x+A+ ptyv=n
3
; 4 . hr
ist. Unter den Spiegelkreisen der Gruppe finden sich jedenfalls alle
Symmetriekreise der Dreiecksteilung (2,4, 5), und es möge das einzelne
Dreieck (2,4, 5) aus m Polygone bezeichneter Art zusammengesetzt er-
scheinen. Alsdann gilt die Gleichung:
4Amk?[(n — 2)z — e] = LB
Setzt man hier für o seinen Wert ein, so kommt nach leichter Um-
gestaltung:
m.[60(n — 2) — (302 + 20x + 15m + 12»)] = 3.
Hier steht aber links das Product zweier rationalen ganzen. Zahlen; es sind
also nur zwei Fälle möglich einmal m = 3, sodann m = 1.
Die Auswahl m = 1 liefert, falls wir noch für » seinen Wert als
Summe der vier ganzen Zahlen x,A, 4,» eintragen:
20(n — 2 — | 10k + 20(*) + Su + | =
3
10À + yo. (5) + 152 + 16y = 41,
woraus man zugleich ersieht, dass x durch 3 teilbar sein muss. Es ist
eine einfache zahlentheoretische Überlegung, welche zu dem Schlusse
führt, dass die einzige Auflösung der letzten Gleichung in ganzen, nicht-
1 + x 5 :
negativen Zahlen 2, -, 4,» die folgende ist:
3
x —90, À-—p—y-I.
Zur Theorie der automorphen Functionen. 357
LE TE
2174599
und dies ist das Ausgangsdreieck der in $ 1 besprochenen Halbebenen-
teilung, ein Resultat, welches ja nur in anderer Gestalt eine Bestätigung
der Gleichung m = 1 liefert.
Prüfen wir nun den Fall m — 3, wo wir die diophantische Gleichung
Hier hat man also » = 3, und zwar ein Dreieck der Winkel
gewinnen:
40x + 30A + 455 + 48» = 121.
Man stellt ohne Mühe fest, dass diese Gleichung eine Auflósung in ganzen,
nicht-negativen Zahlen x, 2,7,» überhaupt nicht besitzt. Damit aber ist
in der That evident, dass die Kreise (8) die Dreiecksteilung (2, 4, 5) der
Halbebene bewirken.
Der Abschluss unserer Überlegung gestaltet sich endlich wie folgt:
Sollte das einzelne Kreisbogendreieck in seinem Innern noch zwei bezüg-
lich der erweiterten Gruppe aequivalente Punkte aufweisen, so würde es
eine Substitution geben, welche die gesamte Dreiecksteilung derart in sich
überführen würde, dass speciell das Ausgangsdreieck in sich selbst trans-
forıniert erscheint. Nach den einfachsten Sätzen über Kreisverwandtschaft '
ist aber evident, dass ein Kreisbogendreieck mit drei verschiedenen Winkeln
nur durch die Identität 7 — » in sich übergeführt wird. Es hat sich
somit bewährt, dass die Gruppe des Kreisbogendreiecks (2,4 , 5) thatsäch-
lich in der am Schlusse von § 1 angegebenen Art arithmetisch zu definieren ist.
Übrigens entspringen aus den gewonnenen Resultaten eine Reihe von
Ergebnissen betreffs der Auflösung der quaternären Gleichungen (5) in
ganzen algebraischen Zahlen A, B , C, D des oft genannten quadratischen
Körpers, sowie auch betreffs der Einheiten desjenigen biquadratischen
Korpers, der dureh Adjunction von yP entsteht. Auch bemerke man
etwa noch, dass die Kreisbogen (8) von der ersten Classe die Einteilung
der Halbebene in lauter reguläre rechtwinklige Fünfecke liefern, während
die Kreise der zweiten Classe die Symmetrielinien der Fünfecke dar-
stellen u. s. w.
+ cf. M. I, pag. 88 ff.
358 Robert Fricke.
§ 3. Arithmetischer Charakter der zum Kreisbogendreieck (2,5, ©)
gehörenden Gruppe.
Die grosse Ausführlichkeit, mit welcher soeben das Kreisbogendreieck
(2,4, 5) besprochen wurde, wird uns gestatten, in dem nun noch zu
erledigenden Falle (2, 5, 6) um so kürzer zu verfahren. Um wieder aus-
schliesslich mit reellen Coefficienten der Substitutionen zu thun zu haben,
legen wir das Ausgangsdreieck mit den Ecken p,,p,, p, so, dass die
reelle 7-Axe den gemeinsamen Orthogonalkreis der drei Seiten bildet.
Im übrigen liege p, bei y — i, p, auf der imaginären Axe oberhalb
7 =i, während als Ausgangsdreieck der Gruppe /(2, 5, 6) dasjenige
»Doppeldreieck» genommen werden möge, welches durch den zwischen
y =i und p, verlaufenden Teil der imaginären Axe symmetrisch ge-
hälftet wird.
Die Gruppe Z'(2, 5, 6) lässt sich, wie man eben sah, aus zwei ellip-
tischen Substitutionen V, und V, erzeugen, die 7 = à bez. p, zu Fix-
punkten haben und die Perioden 2 bez. 6 aufweisen. V, ist hiermit
völlig bestimmt; bei V, ist noch die genaue Lage von p, unbekannt,
und dieserhalb bleibt im Ausdruck von V, noch eine Constante zu be-
stimmen. Diese letztere ist in der Art zu wählen, dass V, V, die Periode
5 bekommt; es ergeben sich so als Erzeugende der Gruppe 12, 5,6):
EST DS pai]
OS CT V3 » = v =
GR ad Lee eite Ä
ils © EXIT I &
2 2 ’
Indem wir nun V, und V, mit einander combinieren, müssen wir
die allgemeinen Gesetze klarlegen, nach denen die Coefficienten der Sub-
stitutionen von /'(2, 5, 6) gebildet sind. Es ist evident, dass hier wieder
die ganzen Zahlen A, B, C, D des quadratischen Körpers von der Basis
IL V5
*
| in Betracht kommen; ausserdem aber kommen noch zwei
PE
Zur Theorie der automorphen Functionen. 359
Quadratwurzeln zur Geltung, nämlich diejenigen aus den beiden ganzen
Zahlen:
(2) Ee C ur d
2
des quadratischen Körpers. Der Erfolg lehrt nun, dass man hier auf
zwei verschiedene Typen von Substitutionen kommt: einmal haben wir
Substitutionen:
(3) Fe M
ONa + Dyre ,.4 — ByP.
\
\
und hier ist evident, dass die Bauart dieser Substitutionen bei Combinationen
unzerstörbar ist. Hat man aber eine Gruppe aus Substitutionen V zu-
sammengesetzt, so lehrt eine leichte Rechnung, dass dieselbe mit der unter
(1) mit V, bezeichneten Substitution vertauschbar ist. Wir werden also
nach bekannten Regeln zu einer erweiterten Gruppe gelangen, wenn wir
neben jedes V noch die Substitution:
, [ 94Q-- DJPQ, A+ ByP ^
(4) liuc : el
UT A E BP , CVQ Te DyPQ,
reihen.
Nun ist V, quadrimodular und V, kann sofort zu einer ebensolchen
Substitution ausgestaltet werden; beide subsumieren sich alsdann unter
die allgemeine Gestalt (4), wenn wir die gegenwirtig vorliegende Be-
deutung von 4, B,..., P, Q berücksichtigen. Bei dieser Sachlage
schreiben wir jetzt vor, dass die Substitutionen (3), (4) welche wir ge-
brauchen wollen, durchweg quadrimodular sein sollen.
Der weiteren Untersuchung stellt sich nun die nachfolgende Schwierig-
keit entgegen. Nehmen wir das Ausgangsdreieck (2, 5, 6) so an, dass
p, mit y — i coincidiert, während p, oberhalb 7 = à auf der imaginären
Axe liegt, so subsumieren sich die erzeugenden Substitutionen gleichfalls
unter die quadrimodularen V’. Auch in der neuen Gestalt besteht die
Gruppe aus quadrimodularen V, V', und also gilt es, noch neue Be-
dingungen für A, B, C, D aufzustellen, welche uns in den Stand setzen,
die Substitutionen von einander zu sondern, je nachdem sie bei der ersten
360 Robert Fricke.
oder zweiten Gruppengestalt auftreten. In diesem Betracht gilt nun der
Satz: Die Gruppe I'(2, 5,6) in ihrer ursprünglichen Fixierung wird von
allen quadrimodularen Substitutionen (3) und (4) gebildet, welche die Be-
dingungen befriedigen:
2
(5) REN ne BA CHIENS pos (mod. 2).
Um dies nachzuweisen, betrachten wir nur erst die quadrimodularen
V mit der Bedingung (5) und haben an die Stelle des Schemas (4) $ 2
das nachfolgende zu setzen:
24" — AA' + PBB' — 000 + PQDD’,
2D" = AB' + BA' + QCD! — QDC',
| 2€" = AC + PBD' + CA’ — PDB’,
2D" = AD' + BC — CB' + DA".
(6)
Sind die Bedingungen (5) für A, B,... und 4’, D', ... erfüllt, so müssen
einmal 4”, BD", ... wieder ganze Zahlen sein,'sodann müssen für diese
ganzen Zahlen die Bedingungen (5) selbst wieder gelten:
Der erste Punkt erledigt sich so, dass man aus den Gleichungen (6)
Congruenzen modulo 2 macht und dabei für A’ und C' die mod. 2 mit
ihnen congruenten Zahlen PB’ + D' und B’ + PD' einträgt. So findet
z. B. für A” die nachfolgende Rechnung statt:
24" = A(PD' + D?) + PBB' + QC(B' + PD') + PQDD,
24" = B'(PA + PB + €) + D(A + PC + PD);
hier stehen aber rechter Hand in den Klammern durch 2 teilbare Zahlen,
wenn man nur berücksichtigen will, dass P? + P + 1 — o (mod. 2) ist;
A" ist deshalb wirklich eine ganze Zahl des Körpers, und ein Gleiches
beweist man in analoger Art für D", C" und D”.
Endlich ist noch die Unzerstörbarkeit der Bedingungen (5) gegenüber
Combination von Substitutionen zu beweisen, und zu diesem Ende bilden
wir aus (6) modulo 4 die Congruenz:
2(A" + PB" + D") z A(A' + PP' + D) + B(PA' + PB + €)
+ C(C' — B' — PI») + D(A’ + PC’ — PD’), (mod. 4).
J
Zur Theorie der automorphen Funetionen. 361
Hier stehen rechter Hand in den Klammern allenthalben durch 2 teilbare
Zahlen, und also kónnen wir A und C auf Grund von (5) ersetzen; es
folgt alsdann nach kurzer Zwischenrechnung:
2(A” + PB" + D") = 2B(PA' + PB’ + C) + 2D(A' + PC — PD’),
und hier stehen wieder rechter Hand in den Klammern durch 2 teilbare
Zahlen, so dass die erste Congruenz (5) für A", B", ... thatsächlich erfüllt
ist. Nicht anders beweist man das Bestehen der zweiten Congruenz (5).'
Dass die Gruppe der quadrimodularen V mit der Bedingung (5)
eigentlich discontinuierlich ist, ergiebt sich gerade wie im vorigen Para-
graphen dureh Discussion der Gleichung:
A* — PB’ + QC — PQD? = 4,
. . . . . I —
wobei zur Geltung kommt, dass die mit P conjugierte Zahl P = NS
A
negativ, die mit Q — 3 conjugierte Zahl Q’ = 3 dagegen positiv ist. Es
wird demnach auch die Gruppe der quadrimodularen V, V' von der
Bedingung (5) eigentlich discontinuierlich sein; denn sie enthält die Gruppe
der V als Untergruppe vom Index 2 in sich.
Die eben zuletzt hergestellte Gruppe enthält jedenfalls die Gruppe
des Kreisbogendreiecks (2, 5, 6) in sich; denn die Erzeugenden V,, V,
erfüllen als Substitutionen V’ die Bedingungen (5). Es gilt nun noch
zu zeigen, dass beide Gruppen geradezu identisch sind. Zu diesem Ende
benutzen wir wieder die Symmetriekreise der durch Spiegelungen er-
weiterten Gruppe der V, V', und hier finden wir wieder zwei verschiedene
Classen von Kreisen (den Typen V und JV’ entsprechend). Durch die
gesamten Spiegelkreise wird eine Einteilung der Halbebene in lauter
vu. ctu
. ET . . 7 7T .
aequivalente Kreisbogenpolygone mit Winkeln 7, ae geleistet; denn
man stellt leicht fest, dass unter den quadrimodularen V, V’ an ellip-
tischen Substitutionen nur solche der Perioden 2, 3,5 und 6 auftreten
können. Mösen wir mit einer z-eckteilung zu thun haben, wobei das
e e ,
einzelne Polygon x Winkel 2 À Winkel sut Winkel ; und » Winkel
OW A
' Die eben zuletzt gegebene Entwieklung giebt einen speciellen Fall einer all-
gemeinen Untersuchung in den Mathem. Annalen, Bd. 42, pag. 586.
Acta mathematica. 17. Tmprimé le 30 octobre 1893 46
362 Robert Fricke.
aufweist; alsdann ergiebt sich aus der Berechnung des Polygoninhalts im
Sinne der nicht-euklidischen Maassbestimmung die diophantische Gleichung:
m(15x + 20A + 244 + 25» — 60) = 4,
wenn m Polygone ein einzelnes Dreieck von Typus (2, 5, 6) zusammen-
setzen. Nimmt man hier m — 2 oder m = 4, so ist beide Male eine
Auflösung der diophantischen Gleichung in ganzen, nicht-negativen Zahlen
x,À,p,% nicht aufzufinden. Die einzige Möglichkeit ist somit m = 1,
womit wir zum Kreisbogendreieck (2, 5, 6) direct zurückkommen. Von
hieraus zeigt sich dann endlich wie im vorigen Paragraphen, dass im
Innern des genannten Dreiecks keine zwei bezüglich der Gruppe der V, V’
aequivalente Punkte mehr vorkommen können. Die arithmetische Defini-
tion der in Rede stehenden Gruppe des Kreisbogendreiecks (sr 0) age
also oben in richtiger Weise gegeben.
§ 4. Einführung zweier Riemann’schen Flächen von je ı20 Blättern.
Nach sehr bekannten Sätzen der Riemann’schen Functionentheorie
existiert eine Function 2(7), welche ein Kreisbogendreieck der 7-Ebene
auf eine Halbebene z conform abbildet;' in unseren beiden Fällen (2, 4, 5)
und (2,5,6) mögen zugehörige automorphe Functionen 2(y) dadurch
eindeutig fixiert sein, dass wir in den Ecken p,, p,, p, resp. Py» D; D,
die Werte z — o bez. 1 und co vorschreiben. In der Theorie dieser
beiden Functionen z(7) spielen alsdann die arithmetisch definierten Gruppen
der beiden vorigen Paragraphen eben dieselbe Rolle, wie in der Theorie
der Modulfunctionen die Gruppe der rational-ganzzahligen, unimodularen
7-Substitutionen.
In wie weit dies für eine Transformationstheorie der Functionen z(x)
Bedeutung gewinnt, soll hier kurz ohne Beweis angegeben werden. Müge
1 Wie die allgemeinen Riemann schen Existenztheoreme durch die Methoden von
SCHWARZ und NEUMANN ihre endgültigen Beweise gefunden haben, wolle man z. B. in
M. I, pag. 508 ff. nachsehen; für die im Texte vorliegenden Verhältnisse vergl. man
auch noch RITTER in den Mathem. Annalen, Bd. 41, pag. 12 ff.
uem RP eee es
LL
peqe cy sas
Zur Theorie der automorphen Functionen. 363
I’ eine der beiden Gruppen sein und z(7) die zugehörige Function, so
wollen wir auf 7 eine Substitution W ausüben, die vollständig die Bauart
der Substitutionen von /' bewahrt mit der einen Ausnahme, dass W nicht
quadrimodular oder duomodular sein soll, sondern als Determinante eine
beliebige ganze Zahl des quadratischen Körpers darbieten mag. Stets ist
alsdann die transformierte Function z'(x) = 2(W(n)) an die ursprüngliche
durch eine algebraische Relation f(z', 2) = o gebunden, die wir als Trans-
formationsgleichung zu bezeichnen haben. Als Ordnung der ausgeübten Trans-
formation kann man etwa die Norm der Determinante von W benutzen.
Dieser allgemeine Satz ist einfach dadurch zu belegen, dass die
Gruppe I’ durch Transformation vermöge W in eine Gruppe 7"— W"TW
übergeführt wird, welche mit Z’ im Sinne PorxcARÉ's commensurabel *
ist. Nennen wir » die Ordnung der Transformation W, so wird in der
^
That durch die Forderung: :
(1) | B=C=D=o, (mod. n)
an die Substitutionen V von Z’ eine Untergruppe ausgesondert, welche in
I' und J” zugleich enthalten ist. Dass aber die als Hauptcongruenz-
gruppe n‘“ Stufe zu bezeichnende Untergruppe der Bedingungen (1) inner-
halb Z’ eine Untergruppe von endlichem Index ist, zeigt man durch elemen-
tare Betrachtungen. ?
Wir folgen nun dem Vorbilde der Theorie der Modulfunctionen, wenn
' wir an Stelle der Transformation x‘ Ordnung sogleich eine ausführliche
Theorie der Hauptcongruenzgruppe 2" Stufe innerhalb der einzelnen un-
serer beiden Gruppen treten lassen. Im übrigen sollen hier keineswegs
allgemeine Entwicklungen über die Tragweite der angedeuteten Principien
angestellt werden; vielmehr soll nur am nächstliegenden Beispiel auf-
gewiesen werden, wie sich die fraglichen Ansätze nach der functionen-
theoretischen Seite ausgestalten lassen. Wenn wir dabei Congruenzgruppen
fünfter Stufe betrachten, so mag durch das Voraufgehende gerechtfertigt
sein, warum wir von Entwicklungen zur Transformation fünfter Ordnung
unserer automorphen Functionen z(y) sprechen.
! Siehe wegen dieser Benennung POINCARÉ s Abhandlung Les fonctions fuchsiennes
2
et lV Arithmétique, in LiovviLLEs Journal, 4'* Folge, Bd. 3.
? Man sehe etwa wieder M. I, pag. 308 ff.
364. Robert Fricke.
Wenn wir modulo 5 congruente Substitutionen nicht als verschieden
ansehen, so reducieren sich die beiden Gruppen /(2, 4,5) und /(2,5,6)
auf gewisse zwei Gruppen von endlicher Ordnung, die nach bekannten
gruppentheoretischen Sätzen ' den Hauptcongruenzgruppen fünfter Stufe
innerhalb der Gruppen J’ zugeordnet sind. Da aber 5 innerhalb unseres
quadratischen Zahlkörpers keine Primzahl ist, so sind die beiden in Rede
stehenden endlichen Gruppen nicht einfach. Demnach giebt es dann um-
gekehrt in den Gruppen 2’ noch umfassendere ausgezeichnete Untergrup-
pen, welche die Hauptcongruenzgruppen fünfter Stufe in sich enthalten.
Um die hiermit gemeinten Gruppen zu gewinnen, schreiben wir
Dur
2
und bemerken, dass modulo 5 die folgende Congruenz gilt:
j!—Jj—1z(j—3) zo, (mod. 5).
Die’ neue Reduction, welche wir vornehmen wollen, besteht hiernach darin,
dass wir y = 3 (mod. 5) schreiben; es folgt dann:
: —ı ls
J 35 P= ute 2, (mod. 5)
für (2,4, 5), während im Falle (2, 5, 6) zu setzen ist:
j = 3, P= Q= 3, (mod. 5).
Nach kurzer Zwischenrechnung aber entspringen die Sätze: Die Gruppe
I(2,4,5) reduciert sich durch die bezeichnete Maassnahme auf die Gruppe
aller mod. 5 incongruenten Substitutionen:
- (a+ by2)y + (c + dy2)
= c+d v2) + (es b v2
) (mod. 5)
einer gegen 5 primen Determinante; dabei sind a, b,c, d rationale ganze
Zahlen, und ein gleichzeitiger Zeichenwechsel der vier Coefficienten ist
hier überall ohne Wirkung. Die quadrimodularen V führen auf die
Substitutionen (2), deren Determinante quadratischer Rest von 5 ist, die
duomodularen V liefern entsprechend die Nichtreste. Andrerseits folgt:
Die Gruppe I(2, 5,6) reduciert sich auf alle incongruenten Substitutionen :
* Man vergl. hier des näheren M. I, pag. 320.
Zur Theorie der automorphen Functionen. 365
C++ + ava) (nos
d ain (aus) 9)
einer gegen 5 primen Determinante; letztere ist Rest oder Nichtrest von 5,
je nachdem eine Substitution (3) oder (4) $ 3 vorliegt.
Um über Ordnung und Structur unserer endlichen Gruppen alles
Wesentliche auszusagen, transformieren wir die Substitutionen (2), (3) ver-
möge:
1 — V2
(4) 27 = bez. 52——— —
1 + 2o I + V30
und gewinnen solchergestalt bez.:
,_ (a — 2e) «e — (b + 24d)
~ — 2(b — 2d)o + (a + 2c) |
(mod. 5).
Dies (a — c)e — (b +4) | |
“ns 3(b — d)w + (a +c)
Hier stehen überall durchaus rationale Substitutionscoefficienten, und
also lassen sich unsere beiden Gruppen isomorph beziehen auf die Gruppe
aller incongruenten ganzzahligen Substitutionen:
ao + fp
yo + 0’
LA
[0]
(mod. 5)
einer gegen 5 primen Determinante. Diese letztere Gruppe ist nun aus
der Theorie der elliptischen Functionen sehr bekannt: sie ist eine G,,,
der Ordnung 120 und isomorph mit der Permutationsgruppe von fünf Dingen.
Indem wir hiermit zwei ausgezeichnete Untergruppen 7°,, je vom
Index 120 in den beiden Gruppen /' auffanden, betrachten wir vor allen
Dingen noch die beiden zugehórigen Fundamentalpolygone. Als geschlossene
Flächen gedacht? liefern dieselben zwei Flächen je mit einer regulär-
symmetrischen Einteilung in 2.120 Dreiecke, und dabei kreuzen sich die
Symmetrielinien der Einteilung im einen Falle immer zu 4 bez. 8 und
10, im anderen Falle zu 4 bez. ro und 12. Beide Flächen gestatten
120 Transformationen in sich, und die beiden zugehórigen Gruppen G,,,
sind isomorph. Bilden wir diese Flächen vermöge der zugehörigen z(»)
! Siehe hier und in der Folge M. I, pag. 328 ff.
366 Robert Fricke.
ab, so entspringen zwei Riemann’sche Flachen von 120 Blättern über den
betreffenden Ebene 2; diese Flächen sind je nur an den drei Stellen
2= 0,1, verzweigt, und zwar hängen die Blätter zu 2,4, 5 bez.
zu 2,5 und 6 zusammen. Nach einer bekannten Formel berechnet man
von hieraus, dass die beiden fraglichen Flächen die Geschlechter p = 4 bez.
p = 9 aufweisen.
85. Von den algebraischen Functionen der 120-blättrigen
Riemann’schen Flächen.
Die vorangehenden Entwicklungen sollen dadurch zum Abschluss
gebracht werden, dass wir über die algebraischen Functionen der beiden
gewonnenen Riemann’schen Flächen erschöpfenden Aufschluss geben. Bei
dem nicht ganz geringen Geschlechte sowie der erheblichen Blätteranzahl
der fraglichen Flächen würde diese Untersuchung freilich aussichtslos
erscheinen, hätten wir nicht in dem Umstande, dass die beiden zugehörigen
algebraischen Gebilde je durch 120 eindeutige Transformationen in sich über-
gehen, das Mittel, Anschluss an gewisse Untersuchungen von KLEIN und
GORDAN zu gewinnen, die wir unmittelbar für den vorliegenden Zweck
verwerten können. Wir schliessen zunächst unter alleinigem Gebrauch
der ersten der beiden Flächen etwa so:
Die Normaleurve der Functionen @' eines algebraischen Gebildes
vom Geschlechte p = 4 ist eine Curve sechster Ordnung im Raume von
drei Dimensionen: As giebt also eine Raumcurve C, sechster Ordnung des
Geschlechtes p = 4, welche durch 120 Collineationen in sich übergeht. Diese
C, ist der vollständige Durchschnitt einer Fläche zweiter Ordnung mit
einer solchen dritter Ordnung. Des genaueren gelten nach WEBER und
Norrurr 1. c. die Sätze: durch die Curve C, lässt sich überhaupt nur
eine einzige Fläche zweiter Ordnung hindurch legen, sowie drei linear-
unabhängige Flächen dritter Ordnung. Betrachten wir vorab allein die
Fläche zweiter Ordnung, die wir F, nennen.
' Siehe über diesen Gegenstand WEBER, Mathem. Annalen, Bd. 13, NOETHER,
Mathem. Annalen, Bd. 17, sowie übrigens M. I, pag. 560.
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pec
Zur Theorie der automorphen Funetionen. 367
Die Fläche F'
2 120
120 Transformationen in sich selbst übergehen. Die beiden Schaaren
muss den Substitutionen der G,,, entsprechend durch
geradliniger Erzeugender der Fläche F,, die wir uns zweckmässig als
Hyperboloid denken, werden bei der einzelnen Transformation entweder
permutiert oder jede Schaar wird in sich transformiert. Sind À und y die
Parameter der beiden Geradenschaaren, so werden entsprechend diesem
Umstande die 120 Transformationen teils durch:
"A aÀ + b , Lau +b
(1) Micon ds A cp +d
darzustellen sein, teils aber durch:
ur ap + b ; ai+b
LE) ME | a7 JI
Nun giebt es aber mit Rücksicht auf die in $ 4 erkannte Structur der
r
an Gruppen linearer Substitutionen einer Variabelen bekanntlich !
P
120
keine brauchbare @,,, und nur eine G,,, nämlich die Ikosaedergruppe.
Bei der im unserer G,,, enthaltenen G,, erfahren somit À und p simultan
die sechzig Ikosaedersubstitutionen; die 60 restierenden Transformationen ent-
springen alsdann durch Vertauschung der beiden Geradenschaaren.
Hier haben wir nun den unmittelbaren Anschluss an Entwicklungen
Kreiv’s in der Ikosaedertheorie gewonnen.” Es erledigt sich erstlich die
Frage, welcher Art die in (1) vorliegende isomorphe Beziehung der
Ikosaedergruppe auf sich selbst ist. Es können hier nur zwei Arten der
Zuordnung in Frage kommen, die in »Ikos.» als cogrediente und contra-
grediente Zuordnungen unterschieden sind.” Es ist kein Zweifel, dass für
uns der Fall der Contragredien: zur Geltung kommt, und dass deshalb
die analytische Darstellung der G,,, eben jene ist, wie sie in »Ikos.», pag.
120
197 u. f, geleistet wird. Denn indem wir statt A, die homogenen
‘ Siehe KLEIN, Mathem. Annalen, Bd. 9, und GORDAN, Mathem. Annalen,
Bd. 12.
® Man sehe Krem’s Vorlesungen über das Ikosaeder, die weiterhin als »Ikos.»
citiert sind; namentlich kommen die Entwicklungen pag. 179 ff. sowie pag. 197 ff. in
Betracht.
s Siehe auch M. II, pag. 135, wo übrigens »digredient» statt contragredient ge-
schrieben ist.
368 Robert Fricke.
Variabelen A,:A, und y, :z, gebrauchen, muss unsere auf dem Hyperboloid
F, gelegene Curve C, nach »Ikos.», pag. 180, durch Nullsetzen einer
doppelt-binàren Form f(A,, Ay; p, , pj) von der Dimension 3 in jeder Va-
riabelenreihe dargestellt werden kónnen; und wur im Falle der Contra-
gredienz wird uns eine, und zwar auch nur eine Form dieser Art geliefert.
Das volle System der Formen, welche sich bei der für uns vor-
liegenden G invariant verhalten, ist nun bereits vor langer Zeit von
130
GonpAN! aufgestellt und »Ikos»; pag. 196, reproduciert; dieses System
besteht aus vier Formen, die |. c. durch a, 8,7, V bezeichnet sind, und
die in der einzelnen Variabelenreihe A,, A, bez. y, , y, die Dimensionen
3,4,5,10 haben. Um Collisionen der Bezeichnungsweise zu vermeiden,
nenne ich die fraglichen Formen 4,, 4,, 4,, 4,, und muss die beiden
ersten unter ihnen hier ausführlich angeben, da sie gleich weiter ge-
braucht werden:
[Asi 5 Aas 4 » 2) = — Apps — Ape — À pi Ap ps
(3) s
| 4,0, sad s Me) = — Ale + Mia + 3p — As + Ap fe
Die vier Formen A sind nicht von einander unabhängig; vielmehr besteht
zwischen ihnen die nachfolgende Relation identisch:
(4) Ai, = 108414, — 13543 41 + 90414, 4; — 3204, Aj A;
+ 2564; + 4i,
die aus »Ikos», pag. 182, direct herübergenommen ist. Was nun die
durch Nullsetzen unserer vier Formen dargestellten Raumcurven angeht,
sc haben wir in A, = o und A, = o zwei nicht-zerfallende Raumcurven
C, und C, von sechster und achter Ordnung. Demgegenüber stellen
A, — o und A,, — o zerfallende Gebilde dar, nàmlich Systeme von fünf
bez. zehn Kegelschnitten; die letzteren sind die Symmetrielinien gewisser
zehn der G,,, angehörender »Spiegelungen» des Hyperboloids F, in sich.
, = © dargestellte C, die Normaleurve der ¢
für unsere erste 120-blättrige Fläche ist, geht aus der bisherigen Über-
120
Dass nun die durch À
legung hervor. Immerhin müssten wir hier noch dem Einwande begeguen,
ob wir nicht vielleicht mit einem hyperelliptischen Gebilde zu thun haben,
! Cf. Mathem. Annalen, Bd. 13.
|
|
Zur Theorie der automorphen Functionen. 369
wo die Überlegungen am Eingang des Paragraphen ungültig würden.
Dass aber die durch A, =o dargestellte C, eine Specialeurve der an-
deren Riemann’schen Fläche ist, dürfte von letzterer aus nur schwierig
zu erkennen sein. Wir werden daher in beiden Fällen durch directe Be-
trachtung der beiden Curven zum Ziele kommen müssen.
Um das Geschlecht der einzelnen C,, zu bestimmen, projicieren wir
sie von einem ihrer Punkte aus auf eine Ebene. Sie geht alsdann in eine
ebene C, , mit zwei (rn — 1)-fachen Punkten über; die letzteren rühren
in der That von jenen beiden geradlinigen Erzeugenden der P, her, die
durch das Projectionscentrum gehen; jede derselben schneidet die C,,
noch in » — 1 Punkten. Sonstige mehrfache Punkte müssten auch auf
der C, solche sein; jedoch müssten auf der C,, mit einem Punkte alle
bezüglich der G,,, aequivalenten Punkte mehrfach sein, man würde also
immer eine für die Werte = 3 und 4 übergrosse Anzahl von mehr-
fachen Punkten auf C,, , erhalten. Demgemäss ist das Geschlecht der C.
2n°
__ (2n — 2)(2n — 3) (1 — 1)(n — 2)
p= - — 2. = (n— 1)’,
2
und also liefern uns die Curven C, und C, wirklich algebraische Gebilde
der Geschlechter p — 4 und 9 mit je 120 eindeutigen Transformationen
in- sich. *
Sollen wir hier nun thatsächlich mit den beiden algebraischen Ge-
bilden des vorigen Paragraphen zu thun haben, so müssen wir auf den
Curven C, und C, je eine 120-wertige Function z construieren kónnen,
die gegenüber den 120 Transformationen des Gebildes in sich invariant
ist, und die überdies von sich aus zu der einzelnen der oben betrachteten
120-blättrigen Flächen hinführen muss.
Um dies zuvórderst für die Curve C, zu leisten, schreiben wir die
Relation (4) speciell für die Voraussetzung 4
, = O in der Gestalt:
(5) Ai, — At — 25645 = 0
und führen z als Parameter des Curvenbüschels 40" Ordnung ein:
(6) +) — 256241 = o.
* Dass die durch A, = O dargestellte Curve sechster Ordnung irreducibel und vom
LA
Geschlechte p = 4 ist, bemerkte KLEIN bereits in »Ikos.», pag. 202.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 4 novembre 1893. 47
370 Robert Fricke.
Die einzelne dieser Curven wird auf dem Hyperboloid FE, durch eine
2
Fläche 20°“ Ordnung ausgeschnitten, welche letztere die C, in einem
System von 120 bezüglich der @,,, aequivalenten Punkten schneidet.
120
Mit Hilfe von (5) können wir nun (6) umschreiben in die Proportion:
(7) 2:
und haben damit eine r20-wertige, gegenüber G
[o (= 12
Eur de 20 Goa
x
, invariante, algebraische
Function z des Gebildes construiert.
Nun ist aus (7) evident, dass die 120 Punkte der C, mit 2 — o zu
Paaren an sechzig Stellen coincidieren, die durch A,, = © ausgeschnitten
werden; desgleichen coincidieren die Punkte 2 — 1 zu 4 an 30 Stellen
und die Punkte z= co zu 5 an 24 Stellen. Unter der Voraussetzung,
dass im einzelnen dieser drei besonderen Punktsysteme keine zwei Punkte
mehr coincidieren, und dass ferner jedem von 2 — 0,1, co verschiedenen
Werte z stets 120 durchgängig getrennt liegende Punkte der C, ent-
sprechen, gewinnen wir durch Abbildung der C, vermóge der alge-
braischen Function z eine Riemann’sche Fläche des Geschlechtes p = 4,
in Übereinstimmung mit dem Geschlechte der C,. Jede andere Annahme
würde aber auf eine Erhöhung der Geschlechtszahl p führen. ist also un-
zulässig.
Um die Untersuchung der Curve C, vorab bis zu dem gleichen
Punkte zu fördern, setzen wir die Relation (4) unter der Voraussetzung
A, — o in die specielle Gestalt:
(8) A = A;(A45 + 10845).
Hier werden nun auf der C, zwei Systeme zu 24 bez. 40 Punkten durch
A, =o und A, — o ausgeschnitten, die, wie man leicht beweist, jeden-
falls keine Punkte gemeinsam haben. Der zweite Faktor auf der rechten
Seite von (8) wird sonach, mit Null identisch gesetzt, auf C, lauter Punkte
ausschneiden, die von den 40 Punkten A, = o sicher verschieden sind.
Nun schneidet aber A}, = o achtzig Punkte je doppelt gezählt aus; es
folgt somit aus der Identität (8), dass A, — o vierzig Punkte ausschneidet,
die zu Paaren coincidieren. Dem Rechnung tragend schreiben wir:
2
CAPES 5 N;
(9) Di 2—17 Tt (E = 108 A} : (VA,) '
Zur Theorie der automorphen Funetionen. 371
was mit der Relation (8) in Übereinstimmung ist. Von hieraus gestaltet
sich die Schlussweise gerade so wie bei der C,; wir gewinnen durch Ab-
bildung des algebraischen Gebildes vermöge z eine 120-blättrige Rie-
mann’sche Fläche des Geschlechtes p — 9, welche an Lage und Art der
Verzweigungspunkte mit der zweiten Riemann'schen Fläche des vorigen
Paragraphen übereinstimmt.
Die beiden soeben auf algebraischem Wege abgeleiteten Riemann'schen
Flàchen von je 120 Blättern stimmen also mit den beiden arithmetisch ge-
wonnenen Flächen des vorigen Paragraphen nach Zahl, Art und Lage der
Verzweigungspunkte sowie auch in Ansehung der Gruppen G,,, eindeutiger
Transformationen der Flüchen in sich vollkommen überein. Von hieraus
lässt sich aber die genaue Identität der in Rede stehenden Flächen wie
folgt beweisen.
Nach einem Fundamentalsatze der Theorie der automorphen Func-
! existiert auf der einzelnen der beiden zu den Gleichungen (7)
tionen
und (9) gehörenden Riemann’schen Flächen jeweils eine unverzweigte
y-Function, welche die Fläche auf ein einfach bedecktes und einfach
zusammenhängendes Kreisbogenpolygon mit Hauptkreis abbildet. Bei
geschlossenen Wegen auf der Fläche erfährt 7 lineare Substitutionen,
die in ihrer Gesamtheit eine eigentlich discontinuierliche Gruppe bilden
mit dem Abbild der Fläche als Fundamentalbereich. Es erleidet 7 über-
dies bei allen eindeutigen Transformationen der Fläche in sich lineare
Substitutionen. Nun ist leicht evident, dass wir hier zu jenen beiden r-
Functionen zurückgeführt werden, die wir in sofort verständlicher Abkürzung
n(2,4,5;2),7(2,5,6;2) schreiben. Man bemerke nur, dass Stücke
der reellen Axe der einzelnen Fläche in der bezüglichen 7-Ebene stets
Kreisbogen als Abbilder liefern; denn symmetrische Umformungen der
Fläche in sich, bei denen Teile der reellen z-Axe an ihrer Stelle bleiben,
liefern Spiegelungen der 7-Ebene. Dass aber dann ein einzelnes Halb-
blatt der Fläche sich auf ein Kreisbogendreieck (2, 4, 5) bez. (2,5, 6)
abbildet, ist aus der Verzweigung der Fläche sofort evident.
Bei dieser Sachlage wird die einzelne unserer Flächen vermóge z(z)
auf eine Netz von 2.120 Kreisbogendreiecken der Einteilung (2, 4, 5)
bez. (2, 5, 6) abgebildet, und die offenen Randeurven dieses grossen Po-
! Siehe KLEIN in den Mathem. Annalen, Bd. 20, pag. 49.
372 Robert Fricke.
lygons müssen so zusammengeordnet sein, dass dasselbe eine in der Ge-
samtgruppe /(2, 4,5) bez 1(2,5,6) ausgezeichnete Untergruppe de-
finiert. Hier zeigt sich nun, dass die gewiinschte Zusammenordnung der
Randeurven des Polygons überhaupt nur in einer einzigen Weise getroffen
werden kann. Daraus aber würde folgen, dass die einzelne unserer Flächen
aus der Zahl, Lage und Art ihrer Verzweigungspunkte sowie ihrer Eigen-
schaft, die G,,, von Transformationen in sich zu besitzen, bereits eindeutig
bestimmt ist. Man kann dies durch wirkliche Herstellung der betreffen-
den Dreiecksnetze und Discussion derselben thatsächlich durchführen.
Findet man aber die graphische Handhabung grösserer Dreiecksnetze zu
umständlich, so lässt sich auf folgende Art eine wesentliche Vereinfachung
der Schlussweise herbeiführen.
Sei 7' eine unserer beiden Gruppen /(2, 4,5) und /(2, 5, 6) und
l;,, eine in J” ausgezeichnete Untergruppe, deren zugehörige endliche
Gruppe G,,, mit der Permutationsgruppe von fünf Dingen isomorph sei.
Die Function z(7) nimmt im Polygon der Gruppe 7, den einzelnen
complexen Wert 120 Male an, und die Aufgabe, bei gegebenem z den
einzelnen Punkt des Polygons zu bestimmen, ist im Sinne einer in der
Theorie der Modulfunctionen ' gebräuchlichen Sprechweise als ein Galois"-
sches Problem 120°" Grades zu bezeichnen. Bei der bekannten Structur
der G,,, hat dieses Problem eine Resolvente fünften Grades, und um-
gekehrt kann die G,,, als Galoissche Gruppe dieser Gleichung fünften
Grades angesehen werden, das Polygon der /\,, aber als Riemann’sche
Fläche der zugehörigen Galois’schen Resolvente. Es ist demnach evident,
dass die 77,, mit jener Gleichung fünften Grades eindeutig bestimmt ist.
Nun ist aber leicht zu zeigen, dass es für jeden unserer beiden Fälle
(2,4,5),(2,5, 6) nur eine einzige Gleichung fünften Grades giebt, deren
Galois’sche Resolvente die hier zu fordernde Beschaffenheit hat. Um. etwa
bei (2, 5, 6) zu verweilen, so müssen wir eine fünfblättrige Riemann'sche
Fläche construieren, die nur bei 2 — 0, 1, oo verzweigt ist. Bei z= co
müssen alle fünf Blätter zusammenhängen, bei z = 1 müssen zwei Ver-
zweigungspunkte zu zwei bez. drei Blättern vorliegen, endlich bei 2 — o
hängen die Blätter zu Paaren zusammen oder sie verlaufen isoliert. Es
existiert nur eine Riemann’sche Fläche, die diesen Anforderungen genügt;
' Siehe M. I, pag. 607 ff.
Zur Theorie der automorphen Funetionen. 375
dieselbe liefert in der Dreiecksteilung der y-Ebene das in Fig. 3 ge-
zeichnete Polygon, wobei übrigens zur Vereinfachung der Zeichnung eine
gegen früher etwas veränderte Lage des Hauptkreises der Dreiecksteilung
angenommen wurde. Ein analoges Resultat entspringt im Falle (2,4, 3),
wo sich das Polygon der Fig. 4 als einzig brauchbares einstellt. Indem
hiernach die Resolventen fünften Grades eindeutig bestimmt sind, gilt ein
Gleiches von den Gruppen /\,,, und alle voraufgehend aufgestellten Be-
hauptungen sind damit verificiert.
w
E)
b
A,
Es mag noch interessieren, die explicite Gestalt der beiden Gleich-
ungen fünften Grades kennen zu lernen, die den zwei angegebenen Po-
lygonen zugehören; man findet für die Fälle (2, 4, 5) resp. (2,5, 6):
£:4— 1:1 = z'(ac— 5):(c — 1) (ac + 37° + 27 + 1):— 1,
3
:3— I: ı = c'(z— 5c — 57 + 45): (7 — 3) (c + 2)°: 4.27,
wobei c als Unbekannte und z als Parameter zu denken ist. Hier hat
man mit zwei Gleichungen fünften Grades zu thun, die durch eindeutige
Functionen von »
7(2,4,5;2) bez. (2,5, 6; 2) auflösbar sind.
§ 6. Von der Beziehung der beiden Curven C, und C, auf
das Ikosaeder.
Die gewonnenen Ergebnisse gestatten, eine grosse Reihe von Folge-
rungen nach Seiten der Geometrie zu. ziehen; man wird die auf dem
rd
Hyperboloid Æ, vorliegenden Verhältnisse ausführlich mit den beiden
374 Robert Fricke.
geschlossenen Netzen zu 2.120 Dreiecken in Connex setzen können. Aus
dem sich hier bietenden Untersuchungsbereich soll indes nur eine einzige
Frage discutiert werden. Bevorzugen wir das eine System der gerad-
lifigen Erzeugenden auf dem Hyperboloid Æ,, so schneidet die einzelne
Gerade die C, in drei, die C, in vier Punkten. Hier liegt also eine 3-
4-deutige algebraische Correspondenz ' zwischen beiden Curven vor, und
diese wollen wir doch auch ganz direet von den Kreisbogendreiecken
aus verstehen. |
Zu diesem Ende sei zunächst bemerkt, dass der einzelnen geradlinige
Erzeugenden vom Parameter A doch der Punkt A einer Kugel entsprechend
gesetzt werden kann, welche letztere wir als Trägerin der complexen
Werte À benutzen. Diese Kugel ist kurz als Ikosaeder zu bezeichnen,
denn sie erfährt die Ikosaederdrehungen bei der Hälfte der Substitutionen
dena 6o e
deutig, auf die C, ein-vierdeutig bezogen.
- Man kann somit sagen: Das Ikosaeder ist auf die C, ein-drei-
Um nun die hier vorliegenden Correspondenzen in einfachster Weise
durch Figuren zu illustrieren, gehen wir auf einen sehr wichtigen Satz
1
Poinearés über die Abhangigkeit verschiedener Dreiecksfunctionen von
einander zurück.” Nach diesem Satze ist 7(2, 3,532) — um sogleich
diese sofort verständliche Bezeichnung zu gebrauchen — eine eindeutige
Function von 7(2,3, 0032), desgleichen ist 7(2,4,5;2) eindeutig in
n(2, 4, coy 2) und’ 7(2',5 ,'6 ;2) in. »(25 695 0,2) Zu w(» 7399959)
gehört die der Theorie der Modulfunctionen zu Grunde liegende Gruppe;
a
die Gruppen von 7(2,4,;2) und 7(2, ©, 6; 2) lassen sich arith-
metisch ohne Mühe mit Hilfe der Irrationalitäten {2 bez. y3 definieren,
und es trifft sich, dass die Reduction dieser Gruppen modulo 5 genau
auf jene beiden endlichen Gruppen @,,, führt, die wir in § 4 aus den
damaligen Substitutionen (2) bez. (3) aufbauten.
Die Beziehung zwischen den Dreiecken (2, 4, co) und (2,3, %)
ist nun in Fig. 5 bezeichnet; man sieht, dass sich zwei Dreiecke (2,4, co)
genau mit einem Complex dreier Dreiecke (2, 3, ©) decken. Dem-
gemäss werden die 2.120 Dreiecke des zur Curve C, gehörenden Po-
1
t3
oo
Siehe über diesen Gegenstand Hurwirz in den Mathem. Annalen, Bd.
sowie M. II, pag. 518.
* Siehe PoINCARÉ in den Acta mathematica, Bd. 5.
né u ft 9—————————————" rc
|
Zur Theorie der automorphen Functionen. 375
lygons genau 3.(2.60) Dreiecke (2,3, oo) bedecken, d. i. genau drei Ab-
bilder des Ikosaeders, und hierin liegt die 1-3-deutige Beziehung des
letzteren auf die C, offen vor. An der unteren Spitze der Figur 5 bei
7 = o deckt sich das Dreieck (2,4, co) gerade genau mit dem Dreieck
(2,3, ©); an der oberen nach y = ico ziehenden Spitze decken sich
erst zwei Dreiecke (2, 3, oo) mit einem Dreieck (2, 4, co). Dies ergiebt
den Satz: Das durch die C, gegebene algebraische Gebilde lässt sich auch
durch dreifache Uberdeckung des Ikosaeders definieren, wobei an den zwölf
Ikosaederecken immer zwei Blätter zusammenhängen. Da p = 4 sein muss,
Fig. 5.
so treten weitere Verzweigungspunkte nicht auf, und also giebt es unter
den Erzeugenden der einen Art auf F, nur 12 (gewöhnliche) Tangenten
der Curve sechster Ordnung ©.
Die Beziehung zwischen den Dreiecken (2,3, ©) und (2,6, co)
ist in Fig. 6 illustriert, es decken sich immer zwei Dreiecke (2, 6, &)
mit vier Dreiecken (2, 3, ©); damit aber wird die 1-4-deutige Be-
ziehung der C, auf das Ikosaeder evident. Insbesondere lesen wir noch
aus Fig. 6 ab: Das durch C, gegebene Gebilde kann man auch durch ein
vierfach überdecktes Ikosaeder definieren, wobei an der einzelnen Ecke immer
3 Blatter verzweigt sind; dies liefert wirklich p = 9.
376 - Robert Fricke.
ZWEITER TEIL.
Entwicklungen über die Dreiecksfunctionen 7(2,3,7;2), (2.4, 7:2)
und einige verwandte Polygonfunctionen.
§ 1. Bericht über die Gruppen der Dreiecke (2,3,7) und (2,4,7)
und Aufstellung zweier zur Transformation siebenter Ordnung
gehörender Untergruppen.
Ohne die Berührung mit bekannten functionentheoretischen Unter-
suchungen zu verlieren, können wir die unternommenen Entwicklungen
noch in das Gebiet der Transformation siebenter Ordnung fortsetzen.
Hierbei ist zuvörderst kurz der arithmetische Charakter der zu den Kreis-
bogendreiecken (2,3,7) und (2, 4, 7) gehörenden Gruppen zu recapitu-
lieren.!
Die fraglichen Gruppen lassen sich am einfachsten von der Gruppe
des regulàren rechtwinkligen Siebenecks aus beschreiben. Das Siebeneck
soll dabei so liegen, dass die reelle 7-Axe der Orthogonalkreïs der Sieben-
ecksseiten ist, während zwei unter diesen Seiten auf der imaginären 7-Axe
bez. dem Einheitskreise liegen. Zieht man alsdann in diesem Siebeneck
die sieben Symmetrielinien, so entsteht die Dreiecksteilung (2, 4, 7). Um
die Einteilung (2,3, 7) zu gewinnen, bemerken wir, dass nach Formel
(13), $ 2, der Inhalt J des Siebenecks:
il == a (sr 7) = 6k7z
ist, wihrend für den Inhalt 9 des Dreiecks (2, 3, 7):
/ T TE T) 2k
à—4P(n—2—2—7|-
X 2 3 7/ 21
! Die beiden Gruppen (2, 3, 7) und (2,4, 7) sind ausführlich in den Mathem.
Annalen, Bd. 41, pag. 443 ff. behandelt; die Bezeichnungsweise des vorliegenden T'extes
ist gegen die dortige ein wenig modificiert.
ay
Zur Theorie der automorphen Functionen. Sui.
folgt. Es sind also 63 Dreiecke (2, 3, 7) zusammen inhaltsgleich mit
dem Siebeneck, und dies wird geometrisch dadurch unmittelbar evident,
dass sieh das Siebeneck durch Hinzunahme neuer Symmetriekreise geradezu
in 63 Dreiecke (2, 3, 7) zerlegt. Die betreffende Figur ist l. c. pag. 458
ausführlich gezeichnet, wo man dann auch nachsehen wolle, dass die frag-
liche Einteilung des Siebenecks eine unsymmetrische ist. Es sind in der
That zwei Einteilungen möglich, die bei Inversion an einer Siebeneck-
diagonale in einander übergehen.
Um jetzt die hier in Betracht kommenden 7-Substitutionen bezeichnen
zu kónnen, haben wir den cubischen Zahlkürper der ganzzahligen Gleichung:
(1) JS tag” — 29 — 1 — 0
einzuführen. Dieser Körper besitzt in [1 ,7,7*] eine Basis, und es seien
A,B,C,D ganze Zahlen desselben. Wir haben dann hier wieder mit
Substitutionen der Gestalt:
bo
mt
——
=
En
=
—
au
as)
=
+
a
+
~
~
=
=
=
zu thun, wobei P die ganze Zahl (j — 1) des cubischen Körpers ist. Des
genaueren aber gelten nach den l. c. gegebenen Entwicklungen die Sätze:
Die Gruppe der Function n(2,4,7;2) besteht aus allen duomodularen
Substitutionen (2) im Verein mit denjenigen quadrimodularen, welche die Be-
dingungen:
(3) ASG: B=D (mod. 2)
befriedigen. Bei der Gruppe (2, 3, 7) kommt die doppelte Möglichkeit,
das Siebeneck in 63 Dreiecke zu teilen, zur Geltung. Wir müssen hier
nämlich die gesamten quadrimodularen Substitutionen (2) in zwei Classen
teilen; die Substitutionen der einen Classe sollen den Bedingungen genügen:
(à A+B+ (+37 —ı1)D=o, C+(j +j—1)B+D=o, (mod. 2),
diejenigen der anderen Classe aber den Bedingungen:
(5) A+(ÿ+)—1)B+D=0o, C+B+(j+j—1)D=0o, (mod. 2).
Es bilden dann die Substitutionen der einen oder zweiten Classe die Gruppe
Acia mathematica. 17. Imprimé le 30 octobre 1893. 48
318 Robert Fricke.
(2,3, 7), Je nachdem wir von der einen oder andern Einteilung des Sieben-
ecks ausgehen.
Die linke Seite der Gleichung (1) reduciert sich nach dem Zahl-
modul 7 auf den Cubus des linearen Ausdrucks (j— 2). Wir wollen
dementsprechend die beiden Gruppen (2,3,7) und (2,4,7) modulo 7
reducieren, indem wir zugleich 7=2 und im Anschluss daran
VP = yj —1=1 (mod. 7)
schreiben. Die Determinanten der zur Verwendung kommenden Sub-
stitutionen (2) sind durchweg quadratische Reste modulo 7; man kann
die modulo 7 reducierten Substitutionen dieserhalb dadurch zu unimodu-
laren ausgestalten, dass man jeweils die vier Coefficienten mit einer ganzen
rationalen Zahl als gemeinsamen Faktor versieht. Auf die bezeichnete
Weise lassen sich die beiden Gruppen (2,3,7),(2,4, 7), wie man sieht,
homomorph * auf die bekannte Gruppe G der 168 incongruenten uni-
168
modularen Substitutionen mit ganzen rationalen Coefficienten:
, a0 +
(6) = HR (mod. 7),
yo + 0
beziehen. Dabei entspricht einer Substitution der Gruppe (2, 3, 7) bez.
(2°, 4,7) stets eine "Operation" der 26.
einer Substitution (6) unendlich viele Substitutionen in der einzelnen
> während natürlieh umgekehrt
jener beiden Gruppen zugeordnet sind.
Indem wir insbesondere diejenigen Substitutionen der Gruppe (2, 3, 7)
bez. (2, 4,7) sammeln, welche der Identität (6) zugehóren, werden wir
in jeder unserer beiden Dreiecksgruppen .eine ausgezeichnete Untergruppe
d von Index 168 gewinnen. Unter diesen beiden Untergruppen J),
ist die zur Gruppe (2, 3, 7) gehôrende sehr bekannt; sie spielt bei der
168
Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen ihre be-
kannte wichtige Rolle.” Sollen wir die beiden Gruppen durch die Be-
zeichnungen 1°,,(2, 3, 7) und J;
(2: 4, 7) unterscheiden, so könnte man
die zugehörigen Polygone bez. geschlossenen Flächen durch F (2,3, 7)
und F..(2,4,7) bezeichnen. Man kann dieselben zu 168-blättrigen
' Wegen der hier gebrauchten Bezeichnungsweise sehe man den eben mehrfach ge-
nannten Band 41 der Annalen, pag. 466, Note.
? Siehe KLEIN. Bd. 14 dér Annalen, pag. 429 ff. oder M. I, pag. 692 ff.
ae ac od
e
Zur Theorie der automorphen Functionen. 379
Riemann’schen Flächen umgestalten, welche über den Ebenen y der zu
z(2,3,7;y) und z(2, 4, 7; y) inversen Functionen gelagert sind. Aus
der leicht festzustellenden Verzweigung dieser Flàchen folgt alsdann,
dass sie zu den Geschlechtern p — 3 und p — 1o gehóren, was ein für die
Gruppe Z'(2, 3,7) wieder sehr bekanntes Resultat einschliesst. Die nun
zu entwickelnde functionentheoretische Behandlung der 7°,,(2, 4, 7) ba-
sieren wir auf die Gruppe G,,, der Transformationen der Fläche in sich.
§ 2. Vom functionentheoretischen Charakter der beiden Unter-
’
gruppen 1
168 *
Die functionentheoretische Behandlung der zu (2, 3, 7) gehürenden
Untergruppe Z',, ist von Krem 1. c. geleistet worden. Es zeigte sich
auf Grund geometrisch-functionentheoretischer Überlegungen, dass das
durch die fragliche Gruppe definierte algebraische Gebilde vom Geschlechte
p — 3 als Normalcurve’ die durch
9 ME Hg =
(1) 2124 £184 + 252, =O
gegebene ebene Curve vierter Ordnung besitzt, wobei z,,2,, 2, homogene
Punktcoordinaten einer Ebene sind. Diese Curve geht der G,,, ent-
sprechend durch 168 ternäre lineare Substitutionen der z, in sich selbst
über, und in der Existenz und Gestalt” dieser ternären Gruppe gewann
die Untersuchung eine neue Dasis.
Einmal war nämlich die Gruppe G,,, als Collineationsgruppe für
die z,-Ebene aufs neue einer geometrischen Untersuchung fähig. Fürs
zweite konnte man die Hülfsmittel der linearen Invariantentheorie heran-
ziehen, um neben der linken Seite der Gleichung (1) andere wichtige
Formen f(z, , 2,,2,) zu gewinnen, welche gegenüber der ternären Gruppe
Gorpan* sogar wieder das »volle System» der hier in Betracht kommenden
die Rolle absoluter Invarianten spielen. Es ist durch KLEIN * und
! M. I, pag. 569.
* Wegen der letzteren sehe man M. I, pag. 705.
* Math. Annalen, Bd. 14, pag. 446 und Bd. 15, pag. 265 ff.
* Math. Annalen, Bd. 17, pag. 370.
380 Robert Fricke.
Formen aufgestellt. Dasselbe umfasst insgesamt vier Bildungen der Di-
mensionen 4,6, 14 und 21; wir bezeichnen diese Formen kurz durch
fi, ff, und f,,.’ Zwischen ihnen besteht die algebraische Identität:
(2) fanc u d 172875 — 857 Wohn | 10.0361
+ 17.64.fif chs — 256f if — 128.469fif5
+ 43.512fife — 2048fifc,
die weiterhin mehrfach zur Verwendung kommt.
Sei jetzt irgend eine gegenüber der G,,, invariante Curve »'” Ordnung
in der z,-Ebene durch f,(z,) = © vorgelegt, so wird die links stehende
Form m*" Grades gegenüber der G absolut invariant sein.? Es ist
168
demnach f, als ganze rationale, in den z homogene, Verbindung der
fof... darstellbar; und zwar genügen, wenn wir uns auf irreducibele
Curven einschränken wollen, offenbar bereits f, , f, und f,, zur Darstellung
aller f:
n
(3) Ma 222) = GUT:
Umgekehrt können wir auf diese Weise unendlich viele, gegenüber der
G,,, invariante, irreducibele Curven der z,-Ebene gewinnen, und durch
diese Curven sind alsdann ebenso viele algebraische Gebilde definiert,
deren einzelnes 168 eindeutige Transformationen in sich zulässt.
Wenn nun das durch f, — o dargestellte Gebilde für die Trans-
formation siebenter Ordnung der Modulfunctionen die Grundlage liefert,
so kann man fragen, in wie weit alle die übrigen soeben aufgestellten
algebraischen Gebilde bei der Transformation siebenter Ordnung sonstiger
automorpher Functionen Rolle spielen mögen. Hier bietet sich nun als
eine erste Anwendung das durch f, = o dargestellte algebraische Gebilde
dar. Die ausführliche Gestalt von f, ist:
ce 22 42 255 255 DIR N
(4) 5219224 2129 254€ 2,2, == O.
Die hierdurch dargestellte ebene Curve sechster Ordnung C, ist irredu-
1
Wegen der invariantentheoretischen Definition und Gestalt der 7, , 7 . sehe
CHAR
man M. I, pag. 733; die Relation (2) ist von GORDAN l. e. angegeben.
* Siehe dieserhalb etwa M. I, pag. 702.
w————
Zur Theorie der automorphen Functionen. 381
cibel und singularitätenfrei, so dass sie das Geschlecht p = 10 besitzt;
es liegt also in (4) ein algebraisches Gebilde p = 10 mit 168 Transforma-
tionen in sich vor, welche die uns bekannte G,,, bilden. Die Identität dieses
Gebildes mit dem im vorigen Paragraphen auf arithmetischem Wege von
der /1,,(2, 4, 7) aus abgeleiteten Gebilde des gleichen Geschlechtes lässt
sich nun ohne besondere Mühe nachweisen.
Vorab sind zugleich zur Vorbereitung späterer Überlegungen einige
geometrische Sätze über die Collineationsgruppe G
Die Substitutionen der Periode 7 in G,,,
ganzen 8 mal 3 Fixpunkte, die als Punkte p, bezeichnet werden mögen,
und die bezüglich der G,,, alle mit einander aequivalent sind. Die 21 Paare
einander inverser Substitutionen der Periode 4 haben 21 mal 3 Fixpunkte
p,; diese Punkte zerfallen in zwei Classen zu 42 bez. 21 Punkten, wobei
ies, Zusammenzufassen:
besitzen in der z,-Ebene im
nur die Punkte der gleichen Classe aequivalent sind; die 21 Punkte der
zweiten Classe mögen allgemein p; heissen. Die 28 Paare inverser Sub-
stitutionen der Periode 3 haben 28 mal 3 Fixpunkte, die wieder in zwei
Classen zu 56 Punkten p, und 28 Punkten pj zerfallen. Die noch fehlen-
den 21 Substitutionen haben den Charakter harmonischer Perspectivitäten;
die 21 Axen sind die Verbindungslinien der 21 Paare zugeordneter Punkte
Py die 21 Centren sind die Punkte pj.
Man bringe nun die durch (4) gegebene C, mit den Curven C,,
€,,, C,, der Gleichungen f, =0, fj, =0, f,, =O zum Durchschnitt
und specialisiere zugleich die Relation (2) für die hier vorliegende An-
nahme f, = © zu:
(5) fa == fu HS 256fif1a-
Dass die C, auf der C, die 24 Punkte p, ausschneidet, ist aus der Theorie
der Modulfunctionen bekannt.‘ Von den Punkten p,, p; liegt kein einziger
auf C,; zu den p; gehört nämlich auch 2, = z, = z,, und dieser Punkt
geniigt der Gleichung (4) nicht; die Punkte p, sind hingegen die Schnitt-
punkte von f, — o und f, — o und liegen deshalb nicht auf der C,.
Daraufhin prüfe man das System der 84 Schnittpunkte von C, und C,,.
Da dieselben zufolge (5) auf den 21 Perspectivitätsaxen liegen, so kann
es sich nur entweder um ein beliebiges System von 84 aequivalenten
E L pag.
M
o3
On
2
82 Robert Fricke.
D.
Punkten der genannten Axen handeln, oder im besonderen coincidieren die
84 Punkte auf C, und C,, zu Paaren an den 42 Stellen p,. Aus der
Gestalt der Gleichung (5) ergiebt sich leicht, dass der letztere Fall vor-
liegt; dann aber folgt sogleich weiter: Die C,, schneidet C, in 126
Punkten, nämlich einmal den 42 Punkten p, und sodann in weiteren 84
aequivalenten Punkten.
Bei dieser Sachlage wird durch
(6) guum UO.
eine 168-wertige algebraische Function unseres Gebildes definiert, welche
in aequivalenten Punkten der C, gleiche Werte annimmt. Dabei coinci-
dieren die 168 Punkte y — o zu 2 an 84 Stellen, die Punkte y — 1 zu 4
an den 42 Stellen p, und die Punkte y— zu 7 an den 24 Stellen p,.
Indem wir somit die Curve C, auf die Ebene y abbilden, entspringt eine
168-blàttrige Riemann'sche Fläche des Geschlechtes p = 10, die nach Art
und Lage der Verzweigungspunkte sowie betreffs der Gruppe G,,, der
Transformationen in sich mit der im vorigen Paragraphen gewonnenen
Fläche übereinstimmt. Die genaue Identität beider Flächen lässt sich am
einfachsten. unter Benutzung der Resolventen siebenten Grades wie folgt
beweisen.
Um direct an die Vorstellungen des vorigen Paragraphen fnzuknüpfen,
so muss sich ein Polygon von 2.7 Kreisbogendreiecken (2, 4, 7) derart
construieren lassen, dass bei Abbildung desselben auf die y-Ebene eine
siebenblättrige Fläche der nachfolgenden Verzweigung entspringt: Nur
bei y — 0,1, 0o sollen Verzweigungspunkte liegen, und zwar muss die
Anzahl in Cyclus zusammenhängender Blätter bez. ein Teiler von 2,4
und 7 sein, je nachdem y — o, 1 oder co vorliegt; es soll aber auch
wirklich bei y — o wenigstens ein Verzweigungspunkt zu 2, bei y — 1
zu 4, bei y — co zu 7 Blättern vorkommen. Die Untersuchung zeigt,
dass sich im ganzen fünf Polygone dieser Art auffinden lassen. Indessen
sind unter diesen Polygonen nur zwei unsymmetrische enthalten, die durch
symmetrische Umformung in einander übergehen. Dass aber diese beiden
Polygone die Resolventen 7%" Grades ergeben, um welche es sich hier
handelt, ist aus der Structur der Gruppe G,,, bekannt. Mit den beiden
Gleichungen siebenten Grades ist nun auch die Riemann'sche Flàche ihrer
gemeinsamen Galoisschen Resolvente eindeutig bestimmt, und also ist die
LL a a AMMMMAMMS
Zur Theorie der automorphen Funetionen. : 19898
genaue Identität der beiden auf functionentheoretischem und arithmetischem
Wege gewonnenen Riemann’schen Flàchen auf demselben Wege wie oben
in $ 5 bei der Transformation fünfter Ordnung er-
härtet.
Es sei gestattet, das eine der beiden unsym-
metrischen Polygone hierneben in Fig. 7 mitzuteilen.
Gebrauchen wir jetzt wieder die in (6) eingeführte
Function y und wählen übrigens eine Hauptfunction
7(n) für das Polygon zweckmässig aus, so kann man
nach einer bekannten Methode die Gestalt der beiden
Gleichungen siebenten Grades berechnen; es findet
sich:
Man vergleiche dieses Resultat mit einer von KLEIN in Bd. 15 der An-
nalen, pag. 266, unter (12) aufgestellten Gleichung 7'" Grades. Die
letztere muss in (7) übergehen, wenn wir V = o d. i. f, = o nehmen.
Man hat hier nur folgende kleine Rechnung vorzunehmen: erstlich schreibe
man an Stelle von (7):
(8) z*( (e + ROSE =} age + 132V7 (y — 1).
+ 7
Nun werde an Stelle von c die neue Variabele x durch die nachfolgende
Bestimmung eingeführt:
7 3i 2 SES:
„2 ARUN IN A Wo eT VI
= jue c — — )-
2 4
Nach Ausführung dieser Substitution lässt sich ‘aus (8) rechter und
linker Hand die Quadratwurzel rational ausziehen, und es entspringt die
Gleichung:
|
a le steel ae - =
(9) puppy DEW? d vu ER RTE
+ 31 Rs AE
an $— 16 fy —1 = :
Hier liegt aber genau die l. c. abgeleitete Gleichung für V — o vor.
> Cha Wie Teepag. 638:
384 Robert Fricke.
83. Von den durch die Gleichung nf; + ef = 0 definierten
algebraischen Gebilden.
Nachst den beiden im vorigen Paragraphen besprochenen Riemann’-
schen Flichen sind die einfachsten algebraischen Gebilde mit der Gruppe
G,,. von Transformationen in sich diejenigen, welche durch die Gleich-
ungen zwölften Grades:
(1) fa = ufo + pals = ©
definiert sind. An Stelle eines einzelnen Gebildes haben wir hier gleich
zweifach unendlich viele, insofern der Wert der complexen (zwei reelle
Parameter einschliessenden) Grösse y = p,:p, Willkiirlich wählbar bleibt.
Hier gilt nun als erster Satz: Unter den co? durch (1) gegebenen Curven
C,, giebt es nur zwei reducibele, diejenigen nämlich, welche den Werten
p — O0 und p, = o entsprechen. Sollte nämlich für einen von p= o
und oo verschiedenen Wert des Quotienten y, :y, die Form f,
^ . . . [4 a,
Factor f, vom Grade m < 12 besitzen, so wird die Form f, jedenfalls
einen
nicht durch alle 168 ternären Substitutionen der @,,, in sich selbst über-
gehen. Ist sie aber gegenüber einer Untergruppe invariant, welche inner-
halb G,.. den Index! durch die Substitutionen der @
168
insgesamt in » Gestalten /„,fms»---,/% > über, und es werden diese »
m
m
» hat, so geht f, A
unterschiedenen Formen m" Grades durchgängig Factoren von f, sein.
Nun ist, abgesehen von »— 1, der kleinste Wert von v gleich 7. Bereits
dieser würde m — 1 erfordern, und man hätte in
fi EC POOR ALE
als letzten Factor eine Form fünften Grades f, mit 168 Substitutionen in
sich; eine solche existiert indessen nicht. Auch die weiter folgenden Werte
y=8,... führen auf keine mögliche Zerfällung von f,,, und also sind
alle oo? algebraischen Gebilde (1) mit Ausnahme der beiden für ~=0, co
irreducibel.
* Vergl. M. I, pag. 309.
Zur Theorie der automorphen Functionen. 385
Um das Geschlecht der Gebilde (1) zu berechnen, bemerke man
erstlich die Sonderstellung der 24 Punkte p,. Sind in einem einzelnen
derselben die Tangenten der beiden Curven f, = o und f, — o durch
æ — Oo bez. y — Oo bezeichnet, so hat man in der Nähe dieses Punktes
als Gleichung der €,, angenähert g,y^ + mx” = 0; jede C,, weist sonach
im den 24 Punkten p, ebensoviele Spitzen auf. Sonstige mehrfache Punkte
treten aber im allgemeinen nicht auf. Denn es giebt ausser den Punkten
p, keine weiteren Punkte der z,-Ebene, welche zugleich auf allen co?
Curven C,, gelegen wären. Von partikulären Werten 5, und von den
Punkten p, abgesehen ist nämlich ein Punkt einer C,, insgesamt mit 168
oder 84 Punkten eben dieser C,, bezüglich G,,, aequivalent. Ausser
jenen 24 Spitzen müssten demnach mit einem gleich 84 weitere singuläre
Punkte auftreten, und dies würde dem Umstande widersprechen, dass die
Geschlechtszahl p einer irreducibelen Curve notwendig > Oo ist.
Die eben skizzierte Überlegung liefert nach einer bekannten Formel
das Resultat, dass unsere algebraischen Gebilde im allgemeinen das Geschlecht
p = 31 besitzen. Eine Herabminderung dieser Zahl p ist nur in zwei
partikulären Fallen möglich. Da nämlich die Punkte p, und p, immer
nur auf einer der beiden Curven C, und C, liegen (und nicht auf der
anderen), so haben wir nur noch die beiden speciellen Curven zwölfter
Ordnung f = o und ff? — o zu discutieren, welche durch die 28 Punkte
p; bez. dureh die 21 Punkte pj hindurchlaufen.
Einer unter den Punkten p; hat die Coordinaten z, = 1; somit ist
a
die besondere Curve Cj? gegeben durch:
(2) 2 (2.) = 27fs —4fi = ©
Die Punkte p; sind in der z,-Ebene Fixpunkte von Diedergruppen G,.
Ein und derselbe Punkt einer Riemann'schen Fläche kann aber nicht
zugleich Fixpunkt einer G, und G, sein, die eine Diedergruppe @, zu-
sammensetzen; vielmehr bemerkt man leicht, dass alle Substitutionen, die
einen einzelnen Punkt der Fläche an seiner Stelle lassen, notwendig eine
cyclische Gruppe bilden. Die Cj? muss demnach durch den einzelnen
Punkt p; mehrfach hindurchziehen, und die nähere Sachlage ergiebt 28
Doppelpunkte p; für Cj. Diese Curve hat somit das Geschlecht p — 3
Acta mathematica. 17. Imprimé le 31 octobre 1893. 49
386 Robert Fricke.
und die Classe k = 4, und stellt sich mit ihren 28 Doppel- und 24 Rückkehr-
punkten als die reciproke Curve der durch f, = o gegebenen C, dar.”
Für die besondere Curve C(? gelten völlig analoge Überlegungen.
Die Gleichung dieser Curve wird man etwa aus dem Umstande ableiten,
dass sie (s als primitive 7‘ Einheitswurzel gebraucht) durch den Punkt:
214,12, =(e be t— ee? — eo): (6? + oP? — et — | 4): (6 +et—e—e)
hindurch zieht, der einer der 21 Punkte pj ist; es findet sich:
(3) (2) = fe + 4fi = 0.
Noch einfacher aber ist es, die hier vorliegenden Werte p, — 1,5, = 4
aus gewissen weiter unten zu entwickelnden Überlegungen zu entnehmen.
Übrigens beweist man, wie vorhin, dass die Punkte p; Doppelpunkte der
Cj) sind; es liegt demgemäss hier ein algebraisches Gebilde des Geschlechtes
p = 10 vor.
Gehen wir zu einer beliebigen Curve C,, des Büschels (1) zurück,
so hàlt es nicht schwer, auf dem zugehórigen algebraischen Gebilde eine
168-wertige Function zu construieren. Die 48 Schnittpunkte der Cj,
mit der durch f, — o gegebenen C, fallen zu Paaren in den 24 Punkten
p, zusammen. Schneiden wir die C,, ferner mit der durch f,, = o ge-
gebenen C,, indem wir vorab annehmen, dass der Quotient p von p, und
p, nicht gerade einen der partikulären Werte:
(4) jt: COS
habe. Das Schnittsystem kann dann sicher keines der speciellen Punkt-
systeme 9,, Ps, 25, Pa, py enthalten; es kann aber auch im allgemeinen
kein System zu 84 Punkten p, enthalten, weil die Schnittpunkte der 21
Perspectivitätsaxen und der C,, mit y sämtlich veränderlich sind. Der
Schnitt der C,, und der C,, liefert demnach 168 im allgemeinen durch-
aus getrennt liegende bezüglich G,,, aequivalente Punkte, die nur für
! Betreffs der hier auftretenden Curve vierter Classe sei auch die Góttinger Disserta-
tion (1890) von Hrn. M. W. HASKELL genannt: Uber die xu der Curve A*n d - ^v 4- vy! 4—0
im projectiven Sinne gehörende mehrfache Überdeckung der Ebene.
Zur Theorie der automorphen Functionen. 387
partikuläre » in gewissen Systemen coincidieren können. Man definiere
daraufhin die zum algebraischen Gebilde gehörende Function y wie folgt:
(5) AY VA TES j
Das Quadrat von y ist eine algebraische Function unseres Gebildes; y
selbst ist unverzweigt, aber infolge der Quadratwurzel im Nenner von (5)
konnte y bei Periodenwegen einen Zeichenwechsel erfahren oder auch in
aequivalenten Punkten (bezüglich der G,,,) entgegengesetzte Werte haben.
Inzwischen kónnen wir mit Hülfe der Identität (1) die Gleichung (5) in
die andere Gestalt setzen:
2
(6) Ay pe ass
(Vf)
und indem hier eine Cubikwurzel im Nenner steht, ist evident, dass y
eine algebraische 168-wertige Function ist, die gegenüber den 168 Substitu-
tionen absolut invariant ist.
Nunmehr können wir unser algebraisches Gebilde auf eine 168-
blättrige Riemann’sche Fläche über der y-Ebene beziehen. Verzweigungs-
punkte dieser Fläche werden immer dann eintreten, wenn für 168 be-
züglich G,,, aequivalente Punkte der C,, gewisse Coincidenzen eintreten.
Wie wir schon sahen, kommen hier die Punkte p, in Betracht, jedoch im
allgemeinen nicht die Punkte p,,p,,,p Es bleibt somit nur noch
die Discussion des Schnittes der C,, mit der C,,. Die einzelne der 21:
Axen schneidet C,, in zwölf Punkten p,, die zu je vier mit einander
aequivalent sind. Einer dieser Punkte p, liegt im allgemeinen nur auf
einer Axe; denn man stellt ohne Mühe durch gruppentheoretische Uber-
legungen fest, dass Schnittpunkte zweier Axen immer Punkte p; oder pj
sind. Es folgt somit durch leichte Abzählung als Verzweigung unserer
Riemann'sehen Fläche: Bei y — w sind die Bldtter zu je sieben in 24
Verzweigungspunkten verbunden; ausserdem finden sich an gewissen drei Stellen
y jedesmal 84 zweiblüttrige Verzweigungspunkte. Als Geschlecht dieser Fläche
findet sich, wie es sein muss, p — 3r.
Zur Berechnung der letzteren Verzweigungsstellen y hat man in die
Relation (2) $ 2 die nachfolgenden Werte einzutragen:
(7) ? fa — 0; n =
4 1 Pa ee "3 $
Jaa Wi) ) f, E o
388 Robert Fricke.
Neben y — oo ergeben sich daraufhin die drei im Endlichen gelegenen
Verzweigungsstellen als Wurzeln der Gleichung:
(8) pi psy? — 22]; poy? + m (1695 + 68m p, — 6395)
+ (3205 + 3441 + 938m + 2705) = 0.
Der gleich folgenden Untersuchung halber müssen wir die Invarianten
des durch die Verzweigungsstellen gegebenen Punktquadrupels aufstellen.
Unter Gebrauch einer sehr bekannten Bezeichnungsweise findet sich:
Jo = — 2°. api pla (43)? — 2.5.7 (ag)t — 3°. 723],
(9) 93 = — php 3°. 7 (Ap)? + 7-1 3-(4/u) ps + 3 7-17 (Ap)ps + 3 n5],
| A =— 2°. 3 "p uis (Att si 274) (44h Tz jh
Weiter ergiebt sich für die absolute Invariante J = g;: A, wenn wir uns
der Abkürzung 44: = 7 bedienen:
(10) I:I— 31:1 = r(37? — 2.5.77 — 3.7)
:— (3708 + 7.1377 + 3°.7.177 + 3°)?
:27(z + 27)! (c — 1)‘.
Diese Formeln hat man näher zu discutieren, indem man zugleich auf
die Beziehung zwischen der absoluten Invariante J und dem Doppelver-
haltnis* der vier Verzweigungsstellen y Rücksicht nimmt.
Diese Untersuchung wird in übersichtlichster Weise dadurch aus-
geführt, dass man c als complexe Veränderliche ansieht und in der Ebene
derselben die sieben conformen Abbilder der /-Ebene zeichnet, wie sie der
Gleichung (10) entsprechen. Um diese Abbilder für das Auge in Evidenz
zu bringen, kann man etwa diejenigen Linienzüge der 7-Ebene graphisch
markieren, welche Abbilder der reellen /-Axe sind. Diese Linienzüge
werden sich dreimal zu Paaren überkreuzen und dort Punkte mit /-— 1
liefern; einer dieser Punkte liegt bei t= 44 = —0,23..., die beiden
anderen tragen conjugiert complexe Werte z. Des ferneren werden die
in Rede stehenden Linienzüge einander zu dreien in den beiden Punkten
* Siehe etwa M. TI, pag. 70.
Usus a ng D ALI 9 n ee ee aie Io
m—«QÓ—Ó— en
LE on. id
Zur Theorie der automorphen Functionen. 389
+ 16/7 :
Ap=T—= Ben überkreuzen und dortselbst Punkte mit J = o fest-
legen. Endlich liefern noch die beiden Kreuzungsstellen 44 — c — — 27
und = ı Punkte mit 7= co. Eine diesen Vorschriften entsprechende
Zeichnung der 7-Ebene wird man sich leicht herstellen.
Liegen die vier Verzweigungsstellen y auf einem Kreise, so ist das
Doppelverhaltnis reell und J ist reell und > ı. Sehen wir etwa nur auf
die Punkte der reellen y-Axe, so tritt dies nur für 4 <— 27 ein: Alle
vier Verzweigungsstellen y sind stets und nur dann reell, wenn p im Intervall
—= OS es der reellen Axe liegt; für alle übrigen reellen p liegt
ausser y — co nur noch eine Verzweigungsstelle auf der reellen y-Axe, die
beiden andern sind dann conjugiert complex. Hierneben merken wir noch
den Punkt = u = —0,23... als solchen an, dem ein harmonisches
Doppelverhältnis entspricht, wahrend für die beiden Verschwindungsstellen
des Ausdrucks (377 — 7or— 189) aequianharmonisches Doppelverhältnis
vorliegt.
Die beiden Werte = 1 und c = — 27 liefern 7 = co; hier fallen
beide Male zwei unter den vier Verzweigungsstellen zusammen. Die 168-
blättrige Fläche degeneriert dabei so, dass bei c — 1 je zwei coincidierende
Verzweigungspunkte einen neuen zu vier Blättern ergeben, während bei
t= — 27 durch Zusammenfall zweier Verzweigungspunkte je ein drei-
blättriger entsteht. Dass hier die beiden im voraufgehenden Paragraphen
behandelten Flächen wieder entstehen, ist aus den damaligen Entwicklungen
leicht ersichtlich.
Die Coineidenz von zweien unter vier Punkten eines Quadrupels hat
man in projectiver Hinsicht stets als etwas Partikuläres anzusehen; aber
es gilt nicht notwendig das Gleiche für den Zusammenfall dreier oder
aller vier Punkte. Man kann nàmlich immer eine lineare Substitution
auf y (oder besser auf homogene y,, y,) ausüben, die im Sinne unserer
Sprechweise hyperbolisch ist und einen oder auch zwei Punkte des Qua-
drupels zu Fixpunkten hat. Öfter wiederholte Anwendung dieser Sub-
stitution wird alsdann offenbar drei bez. alle Punkte des Quadrupels.
immer mehr zusammenrücken lassen. Um in diesem Sinne den Charakter
unseres Punktquadrupels der Verzweigungsstellen y für y, — o bez. 1, — o
näher zu untersuchen, muss man auf die zugehörigen Werte J recurrieren.
390 Robert Fricke.
Man findet aber T=o bez. I= 1 und hat somit für u, — o harmo-
nisches, für y, — o aequianharmonisches Doppelverhältnis. Für y = co
und p = o sind sonach die eintretenden Coincidenzen allein Folgen einer
unzweckmässigen Auswahl des y: die vier Punkte y haben bei p— co eine
Lage, die in projectivem Sinne von einem beliebigen harmonischen Punkt-
quadrupel nicht verschieden ist, und Analoges gilt für p = o. Diese Auf-
fassung wird für das Verständnis der gleich folgenden Entwicklungen not-
wendig sein.
8 4. Von den zu den Gebilden m; + afi = 0 gehörenden
7-Functionen.
Die letzt vorangehenden Entwicklungen hatten den Zweck, die Be-
trachtung der zu unseren algebraischen Gebilden gehörenden y-Functionen
vorzubereiten. Zur Einführung der letzteren müssen wir gegenwärtig auf
die bezüglichen Existenztheoreme zurückgreifen, wie sie in den Arbeiten
von Krem in Bd. 21 der Math. Annalen sowie in den gleichzeitigen
Abhandlungen PorwcAnÉ's aufgestellt und behandelt worden sind.
Auf einer vorgelegten Riemann’schen Fläche giebt es eine grosse
Mannigfaltigkeit derartiger Functionen x, die bei geschlossenen Wegen
auf der Fläche lineare Substitutionen erfahren, und es galt, unter den-
selben diejenigen herauszugreifen, welche besonders einfache Eigenschaften
haben. Man wird erstlich verlangen, dass die Gruppe der zugehörigen
linearen Substitutionen eigentlich discontinuirlich sei, wobei dann ein zu-
gehöriger Discontinuitätsbereich gerade genau ein conformes Abbild der
zerschnittenen Riemann’schen Fläche sein soll. Des ferneren sollen die
Substitutionscoefficienten durchaus reell sein, so dass wir mit einer Haupt-
kreisgruppe zu thun haben, und es soll die zugehörige Polygonteilung
nur die eine Halbebene bedecken.
Um jetzt gleich auf eine einzelne unserer 168-blättrigen Flächen zu-
rückzugehen, so ist durch die bisherigen Forderungen eine 7-Function
noch keineswegs eindeutig bestimmt. Vielmehr genügen denselben noch
unendlich viele 7-Functionen, deren Gruppen alsdann auf einander ho-
momorph bezogen sind. Man kann aber eine einzelne unter diesen Func-
tionen durch die Forderung aussondern, dass die Abbildung der Rie-
a s ee a tn eee
Zur Theorie der automorphen Functionen. 391
mann’schen Fläche auf das Polygon der 7-Halbebene ohne Ausnahme conform
sei. Dieser Forderung zufolge wird sich z. B. die Umgebung eines ein-
zelnen Windungspunktes der Fläche, die sich über sich selbst mehrfach
hinüberzieht, in der z-Halbebene auf einen einfach bedeckten Vollkreis
abbilden.
Man hat hier nun ein Beispiel jene Continuitätsbetrachtungen zu
illustrieren, deren sich KLEIN und Poincaré beim Existenzbeweise der
charakterisierten 7-Function bedienten. Um dies weiter auszuführen,
haben "wir vorab den Umstand zu verwerten, dass die Fläche 168 ein-
deutige Transformationen in sich zulässt. Die 7-Function erfährt ent-
sprechend 168 lineare Substitutionen, und weiter ist eine Folge hiervon,
dass sich das Polygon der z-Halbebene aus 168 mit einander aequivalenten
Polygonen aufbauen lässt. Die Gruppe der z-Substitutionen, die den ge-
schlossenen Wegen auf der Riemann'schen Fläche entsprechen, wird als
ausgezeichnete Untergruppe /\,, vom Index 168 in einer umfassenderen
Gruppe /' enthalten sein. Diese letztere Gruppe I’ wird aber vom Ge-
schlechte p = o sein und lässt sich aus vier elliptischen Substitutionen V,,
V,, V,, V, der Perioden 7,2,2,2 erzeugen, zwischen denen die Relation
V, V,:V,:V, — 1 besteht. Letztere Angaben folgen bei den Eigenschaften
von 7 aus dem Umstande, dass der Discontinuitätsbereich von /'ein Abbild
der 7-Ebene ist.
Den Parametern der Vierecksgruppe mit fest gegebenen Winkeln
IE aoi = stehen nun die (beiden reellen) Parameter in dem System
unserer algebraischen Gebilde gegenüber. Aber wir wollen die gegen-
seitige Abhängigkeit der beiderlei Parameter hier nicht in voller All-
gemeinheit, sondern nur für die symmetrischen Riemann’schen Flächen
verfolgen, deren zugehörige Vierecksgruppen /' der Erweiterung durch
Spiegelungen fähig sind. Hier ist der Parameter y auf diejenigen Linien-
züge seiner Ebene eingeschränkt, die wir im vorigen Paragraphen als Ab-
bilder der reellen J-Axe markierten; und dieser einfach unendlichen Man-
nigfaltigkeit von Werten y steht der eine reelle Parameter symmetrischer
Vierecksgruppen gegenüber.
Man hat nun zwei wesentlich verschiedene Arten symmetrischer Vier-
ecksgruppen J’. Im einen Falle lässt sich die erweiterte Gruppe 7’ aus-
schliesslich aus Spiegelungen erzeugen, im zweiten Falle sind die Erzeugenden
392 Robert Fricke.
von 7 drei Spiegelungen und eine elliptische Substitution der Periode
zwei; die nebenstehenden Zeichnungen versinnlichen dies näher. Die Fi-
guren sind so angenommen, dass der Punkt
. Fig. 8. p, beide Male mit x — coineidiert, während
Py die Verbindungslinie der Eckpunkte p, und
p, auf die imaginäre y-Axe zu liegen
kommt.
Wenn wir hier etwa nur auf die re-
ellen Werte von y achten sollen, so würde
einem Viereck von der ersten in Fig. 8
gegebenen Gestalt ein ped ent-
sprechen. Mit der Entfernung p,, p, ist
das Viereck eindeutig bestimmt; dieselbe
ist so gross anzunehmen, dass der Kreis (p, , ps’) den Einheitskreis nicht
schneidet, und sie darf andrerseits so klein gewählt werden, dass die Ent-
fernung (p,, ps) im Sinne der hier in Betracht kommenden Maassbestim-
mung grösser als (pj, p) ist. Die beiden Grenzlagen des Kreisbogen-
vierecks sind hiermit bereits markiert: Für 4u = — 27 degeneriert das
. . . y fs . . ME TIN
Viereck in ein Kreisbogendreieck der Winkel 2 5» ©: Auf der geschlos-
senen Fläche, die eine reguläre Einteilung in 2.168 Vierecke trägt, ist
dieser Grenzfall dadurch charakterisiert, dass längs gewisser 28 Symme-
trielinien Abschnürungen der Fläche eintreten, wobei an Stelle jeder Sym-
metrielinie ein Punktepaar unter entsprechender Verminderung des Zusam-
menhanges der Fläche tritt.
Der andere Grenzfall des Kreisbogenvierecks liefert » = co und
I = 1; wir haben ein längs seiner Diagonale p; , p; symmetrisches Viereck
und entsprechend die harmonische Lage der vier- Verzweigungsstellen y.
Die Gruppe /\,, lässt sich jetzt als /}, innerhalb der Dreiecksgruppe
(2,4, 14) ansehen, aber wie wir am Schlusse des vorigen Paragraphen
bereits bemerkten, versagt die Darstellung des zugehörigen algebraischen
Gebildes vermöge der Curven C,, C, der z,-Ebene.
Im gerade besprochenen Grenzfall tritt als neue Symmetrielinie die
Diagonale p,, p; auf. Indem wir p jetzt über co reelle positive Werte
annehmen lassen, bleibt die letztere Symmetrielinie allein in Geltung,
run. en TE ot
Zur Theorie der automorphen Functionen. 393
während übrigens die bisherigen Symmetrielinien ihren Charakter als
solche einbüssen. Der hiermit geometrisch bezeichnete Übergang, den die
beigefügte Fig. 9 noch näher versinnlichen soll, ve-
rificiert ganz unmittelbar, dass sich der Übergang Fig. 9.
über w— co ohne Zerfall des algebraischen Gebildes
vollzieht.
Man wird in ähnlicher Weise für die posi-
tiven Werte von yp die begonnenen Betrachtungen
fortsetzen. Der partikuläre Fall des Geschlechtes
p= 10 für 44 = 1 wird dann entstehen, wenn die
beiden durch die elliptische Substitution der Periode
2 auf einander bezogenen Randcurven des gehälfte-
ten Ausgangsvierecks unendlich klein geworden sind.
Man kommt dann wieder auf das Kreisbogendreieck
, O zurück. Hierbei ist bemerkenswert, dass
wir sowohl jetzt wie vorhin bei 45 = — 27 durch Grenzübergang gar
nicht die y-Functionen
(1) 22,35730. und! x(254 75 V)
gewinnen, die doch im Sinne unserer allgemeinen Massnahme zu den
beiden Gebilden mit 4“ = 1 und — 27 gehören; vielmehr erhalten wir in
beiden Fällen die 7-Function z(2, © 7; y), welche auf die unter (1) ge-
nannten Functionen nur erst homomorph bezogen ist. Im übrigen dürfte
nur noch die Betrachtung der aequianharmonischen Fälle 7 — o von
Interesse sein. Hier wird, wie man leicht überblickt, /,,, eine Unter-
gruppe Zi innerhalb der Dreiecksgruppe (2,4,21). Die Zahl der
Symmetrien verdreifacht sich, und dem entspricht. die Möglichkeit, das
Viereck von hieraus auf dreifachem Wege als symmetrisches continuirlich
abzuändern. Diese Möglichkeit aber documentierte sich in der Figur des
vorigen Paragraphen dadurch, dass sich an den Stellen 7 — o drei Linien-
züge überkreuzten.
Acta mathematica. 17. Imprimé le 1 novembre 1893. 50
394 Robert Fricke.
Analoge Untersuchungen von immer mannigfaltigerem Charakter lassen
sich an die algebraischen Gebilde knüpfen, wie sie durch Curven C,,
Cig ‚eie.
Paha + Jofcfs = ©
: 3 nee »
Ihfufa E ble =F Pstels = 0, etc.
zu definieren sind. Zumal die C,, würden zu ganz analogen Betracht-
ungen Anlass geben, wie voraufgehend die Curven C,,. An Stelle des
Kreisbogenvierecks mit drei rechten Winkeln und einem Winkel 5 tritt
hier das Kreisbogenfünfeck mit drei rechten Winkeln, einem Winkel
ww |
7
und einem Winkel =. Hier stellt sich dann als eine der Ausartungen
A
7
a
das Kreisbogenviereck der Winkel -,-,-,- ein, bei welcher aber kein
t3
tl
vo |
BIA
Zerfall des algebraischen Gebildes stattfindet. Eine Vierecksgruppe dieser
Art ist nun von arithmetischer Seite her bereits länger bekannt; es ist die
reproducierende Gruppe der ternären quadratischen Form (x? + y* — 112”)
im Sinne Pomcare's.! Dabei ist das Zustandekommen einer ausgezeich-
neten Untergruppe /\,, vom Index 168 auch aus dem arithmetischen
Bildungsgesetze der Gruppe verständlich. Die Coefficienten der betreffen-
den 7-Substitutionen setzen sich nämlich numerisch rational aus den Irra-
tionalitäten /2 und yir zusammen. Die Reduction modulo 7 liefert dem-
gemäss nur 168 incongruente Substitutionen, da 2 und 11 quadratische
teste von 7 sind. Es ergiebt sich von hieraus die Existenz einer ge-
schlossenen Fläche vom Geschlechte p = 36 mit einer regulären Ein-
1
1
Pra 7
teilung in 2.168 Vierecke der Winkel -, = =, und man könnte ins-
2 )
t3
tl
32
besondere in den Symmetrielinien dieser Fläche ein interessantes Gegenbild
der Gruppenstructur G,,, entwickeln. Alle co! Gruppen der Kreisbogen-
vierecke = ,-, 3 (mit Hauptkreis) sind übrigens einander isomorph,
2
5
bo
und es soll durch die vorangehenden Mitteilungen noch keineswegs be-
^ Vergl. die schon oben genannte Abhandlung PorxcARÉ' Les fonctions fuchsiennes
et Varithmétique in LIOUVILLE s Journal, 4'* Folge, Bd. 3.
Zur Theorie der automorphen Functionen. 395
hauptet sein, dass die besondere Gruppe des Rationalitätsbereiches \/2,
Vir gerade auch die aus der speciellen C,, sich ergebende Gruppe sei.
Inzwischen scheint es sehr schwierig zu sein, hierüber zu entscheiden.
Die Continuitätsbetrachtungen über die Gestalt der Kreisbogenpolygone
wiederholen sich natürlich gleichfalls unter immer grósserer Mannigfaltig-
keit der in Betracht kommenden Verhältnisse. Es scheint aber, dass
man bei Betrachtungen dieser Art erst noch eine grössere Reihe von
Einzelerfahrungen wird sammeln müssen, ehe die allgemeinen Erwägungen,
durch welche die Begründer der Theorie der automorphen Functionen die
Existenztheoreme der 7-Functionen darzulegen versuchten, als allseitig ge-
klärt angesehen werden kónnen.
Braunschweig, Màrz 1893.
2) ?
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d by Professor Sylvester during the period of his connection with the University. It will be hereafter under the direction»
SIMON NEWCOMB (Foreign Member of the Royal Society, and Corresponding Member of the Institute of France), Professor of —
ronomy and Mathematies in ‘the Johns Hopkins University and Director of the U. S. Nautieal Almanac, as Editor, and of.
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Jet
2E
M.
Le
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Seite, Pages, D
Netto, E. Zur Theorie der linearen Substitutionen.... :................ 265—280 . | À
Krazer, A., Über lineare Relationen zwischen Thetaprodücten.......... 281—296 me
Picarp, E. Remarques sur les équations différentielles. Extrait d'une R-
lettre. adressée à. M.. Mittag-Léffler 1$. 2525105 ee LL. 297-300 a ! M.
Gram, J.-P. Rapport sur quelques calculs entrepris par M. Bertelsen det
| et concernant les nombres premiers 221: 901—314 | x
e à Wertnem, G., Tabelle der kleinsten primitiven Wurzel g aller un-
geraden; Primzahlen. p unter 3000 2.5.0 7 0 ee 315—320
Koss, Gusrar, Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. ; $1
Secoudsmémoie- 0 N doceo RARES ES EE EEE Sew rat TA €
Je FRICKE, ROBERT, Entwicklungen zur Transformation fünfter und sieben- UL a
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